’З.ф. З^МС^Л &2
АЛГЕБРА
ГЕОМЕТРИЯ
{^амасмл&тельКш
и tcafanfta^ftbce ^ибасии
ИЛЕКСА
А.П. Ершова, В.В. Голобородько, А.С. Ершова
САМОСТОЯТЕЛЬНЫЕ
И КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
ПО АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ
ДЛЯ 9 КЛАССА
7-е издание,
исправленное и дополненное
ИЛЕКСА
Москва
2008
Рецензенты:
Ю.В. Ганделъ, доктор физико-математических наук,
профессор Харьковского Национального университета
им. В.Н. Каразина;
Е.Е. Харик, Заслуженный учитель Украины,
преподаватель математики ФМЛ № 27 г. Харькова;
Перепечатка отдельных разделов и всего издания — запрещена.
Любое коммерческое использование данного издания
возможно только с разрешения издателя
Ершова А.П., Голобородько В.В., Ершова А.С.
Самостоятельные и контрольные работы по ал-
гебре и геометрии для 9 класса.— 7-е изд., испр. и
доп.— М.: Илекса,— 2008,— 192 с.
ISBN 978-5-89237-136-0
Пособие содержит самостоятельные и контрольные работы по
всем важнейшим темам курса алгебры и геометрии 9 класса.
Работы состоят из 6 вариантов трех уровней сложности.
Дидактические материалы предназначены для организапии
дифференцированной самостоятельной работы учащихся.
ISBN 978-5-89237-136-0
© Ершова А.П.,
Голобородько В. В.,
Ершова А.С., 2005
© ООО «Илекса», 2005
ПРЕДИСЛОВИЕ
Основные особенности предлагаемого сборника
самостоятельных и контрольных работ:
I. Сборник содержит полный набор самостоятельных и кон-
трольных работ по всему курсу алгебры и геометрии
9 класса.
Контрольные работы рассчитаны на один урок, самостоя-
тельные работы — на 20-35 минут, в зависимости от темы
и уровня подготовки учащихся.
В. Сборник позволяет осуществить дифференцированный кон-
троль знаний, так как задания распределены по трем уров-
ням сложности А, Б и В. Уровень А соответствует обяза-
тельным программным требованиям, Б — среднему уровню
сложности, задания уровня В предназначены для учеников,
проявляющих повышенный интерес к математике, а также
для использования в классах, школах, гимназиях и лицеях
с углубленным изучением математики. Для каждого уровня
приведено два расположенных рядом равноценных варианта
(как они обычно записываются на доске), поэтому на уроке
достаточно одной книги на парте.
3, Как правило, на одном развороте книги приводятся оба ва-
рианта всех трех уровней сложности. Благодаря этому уча-
щиеся могут сравнить задания различных уровней и, с раз-
решения учителя, выбрать подходящий для себя уровень
сложности.
4. В книгу включены домашние самостоятельные работы, со-
держащие творческие, нестандартные задачи по каждой
изучаемой теме, а также задачи повышенной сложности.
Эти задания могут в полном объеме или частично предла-
гаться учащимся в качестве зачетных, а также использо-
ваться как дополнительные задания для проведения кон-
трольных работ. По усмотрению учителя выполнение не-
скольких или даже одного такого задания может оцени-
ваться отличной оценкой.
Ответы к контрольным и домашним самостоятельным рабо-
там приводятся в конце книги.
Тематика и содержание работ охватывают требования дейст-
вующей программы по математике для 9 класса. Для удоб-
ства пользования книгой приводится таблица тематического
распределения работ по учебникам Ю. Н. Макарычева и др.,
Ш. А. Алимова и др., А. В. Погорелова и Л. С. Атанасяна
и др.
Наш адрес в Интернете: www.axiom.com.ua.
Алгебра
Квадратичная функция
А(1; 0)?
у = 2х - 8.
Дх) > 0.
х + 4
С-1. ФУНКЦИИ И ИХ СВОЙСТВА
Вариант А1	Вариант А2
о
Функция задана формулой
f(x) - 2х2 - 5х + 3.	f(x) = 5х2 - Зх - 1.
а) Найдите Д-1),
б) Определцте, при каких значениях
х выполняется равенство f(x) = 1.
в) Принадлежит ли графику функции
точка
А(0; -1)?
©
Функция задана формулой
у = -Зх + 9.
а) Определите, при каких значениях х
/(г) < 0.
б) Найдите нули функции.
©
Найдите область определения функции
х +1
у = ——т-
х - 4
Вариант Б1
Вариант Б2
X + 1
Функция задана формулой
ч х + 8
Дх) =-----
х - 4
а)	Найдите Д1).
Квадратичная функция 5
б)	Определите, при каких значениях х
выполняется равенство fix) = -1.
в)	Найдите область определения и
нули функции.
I ®
Функция задана формулой
у - 6 - 1,5х.	у = 0,8х + 4.
а)	Определите, при каких значениях х
функция принимает
трицательные значения.	положительные значения.
б)	Является ли данная функция
(возрастающей (убывающей)? Ответ
объясните.
©
Найдите область определения функции
I х	_
I \/2х + 4	V >/б-Зх
Вариант В1	Вариант В2
.. х2 - 3
fix) =-----
х-1
fix - 1) = 1.
Функция задана формулой
.. ч 3-х2
/(х) =-----
х-1
а)	Найдите f(y[2 + 1).
б)	Решите уравнение
f(x + 1) = -1.
в) Найдите область определения и
нули функции.
©
Функция задана формулой
4	3
•	у —	4
х + 2	х-1
6
АЛГЕБРА
а)	Определите, при каких значениях
х функция принимает
отрицательные значения.	положительные значения,
б)	Является ли данная функция
возрастающей (убывающей)?
Ответ объясните.
©
Найдите область определения функции
_ л/2х-1	_ >/3 + 2х
У ~ х2 -9	У ~ 25-х2 ’
С-2. КВАДРАТНЫЙ ТРЕХЧЛЕН
Вариант А1	Вариант А2
О
Найдите корни квадратного
трехчлена
х2 - 2х - 24.	х2 + Зх - 28.
©
Разложите на множители квадратный
трехчлен:
а)	х2 - 5х - 6;	а) х2 - 5х + 6;
б)	-2х2 + 5х - 3.	б) -6х2 - х + 5.
©
Сократите дробь:
2х2 - 5х + 2	4х + 8
Выделите квадрат двучлена
из квадратного трехчлена
х2 - 4х + 5.	х2 + 2х + 6.
Квадратичная функция
7
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Найдите корни квадратного трехчлена
6х2 + 5х - 4.	Зх2 - 2х - 8.
©
Разложите на множители квадратный
трехчлен:
а)	-х2 + 9х - 8;	а) -х2 + 4х - 3;
б)	— х2 + х - 6.	б) — х2 - 2х - 6.
3	2
©
Сократите дробь:
Зх2 -12	2х2 + 5х + 2
Зх2 -7х + 2	8-2х2
О
Докажите, что при любом значении
у квадратный трехчлен принимает
положительные значения:
2у2 - 12г/ + 20.	Зг/2 + 12г/ + 16.
Вариант В1	Вариант В2
о
Составьте квадратный трехчлен,
корнями которого были бы числа
1-л/з и 1 + л/з.	5 + >/2 и 5-V2.
©
Сократите дробь:
. 42-х-х	Зх -Их-4
а) —5-------;	а) -------;
2х2-13х + 6	12 + х-х2
9х3 - 9х2 + 2х	g. 2 - 5х - 2г/ + 5хг/
1 - Зх + у - Зху ’	10х3 - 9х2 + 2х
8
АЛГЕБРА
©
Упростите выражение:
9а - 4	44-16а	8а-3	40-27а
а + 7 а2 + 5а-14	а + 5 а2 + 2а-15
О
Определите, при каком значении у
квадратный трехчлен
-|</2+2г/-4	-|j/2-3z/-5
О
принимает наибольшее значение,
и найдите это значение.
С-3. ГРАФИК КВАДРАТИЧНОЙ
ФУНКЦИИ
Вариант А1	Вариант А2
О
Найдите координаты вершины
параболы
у = 2х2 - 8х + 3.	у = -х2 + 4х - 9.
0
Постройте график функции
у = х2 - 4х + 3.	у = х2 + 4х + 3.
Найдите по графику:
а)	значение у при х = 2;
б)	значения х, при которых у = 3;
в)	нули функции;
г)	промежутки возрастания и
убывания функции.
©
Используя шаблон параболы у = х2,
постройте в одной системе координат
графики функций:
Квадратичная функция 9
У = ~х2\ у = -х2 + 1; У = -(х + I)2.	у = х2 - 3; у = (х - З)2; У = -(х - З)2.
Вариант Б1 о Параболу	Вариант Б2
у = 2х2 сдвинули влево на	у = -2Х2 сдвинули вправо на
3 единицы и вверх на 5 еди-	2 единицы и вниз на 3 еди- ниц.	ницы. Задайте формулой функцию, график которой получился в ре- зультате таких преобразований.	
0
Постройте график функции
у = -х2 + 6х - 5.	у - 2х2 - 8х + 6.
Найдите по графику:
а)	точки пересечения графика
с осями координат;
б)	нули функции, промежутки,
в которых у > О, у < О;
в)	промежутки возрастания и
убывания функции;
г)	наименьшее и наибольшее
значения функции.
©
Найдите область значений функции
у - х2 - 2х.	у = 4х - х2.
Вариант В1	Вариант В2
о
Определите, при каких значениях b
и с вершиной параболы
у = х2 + Ьх + с является точка
А(-2; -1).	А(2; 1).
10
АЛГЕБРА
е
Постройте график функции
у = (2х - 1)(х +3).	у = (3 - х)(2х + 1).
Найдите:
а)	ось симметрии параболы;
б)	промежутки знакопостоянства
функции;
в)	промежутки монотонности функции;
г) область значений функции.
©
Опишите преобразования, с помо-
щью которых из графика функции
у = х2 можно получить график
функции
у = |2х2 - 8х + 6|.	у = Зх2 + 6|х| + 6.
С-4*. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ:
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант
1
Вариант 2
о
Функция задана формулой у = х2 + рх + q.
Найдите р и q, если:-
а)	график функции пересе-
кает оси координат в точках
(О; 8) и (4; О);
б)	наименьшее значение,
равное -5, функция прини-
мает при х = 2.
а)	график функции проходит
через точки (1; 2) и (О; 3);
б)	наименьшее значение,
равное 1, функция принима-
ет при х = -3.
©
Определите значения а,
при которых график функции
Квадратичная функция 11
у = 2х2 + х + а лежит выше у = -х2 + 6х + а лежит ниже
оси абсцисс.	оси абсцисс.
©
Задайте формулой квадратичную
функцию, график которой проводит
через точки
А(3; 3), В(—1; 3), С(5; 15).	А(-3; 3), В(1; 3), С(-4; 8).
О
Постройте график квадратичной
функции
у = х2 - 4х + а, если ее наи- у = -х2 + 6х + а, если ее наи-
меньшее значение равно 1. большее значение равно 2.
©
Квадратичная функция задана
формулой у = ах2 - (а + 2)х + 3.
Найдите а, если осью симметрии
графика является прямая
х=1.	-	х =-1/2.
©
Определите значения р,
при которых графики функций
у = х2 - 9 и z/ = х2 + рх.	у = х2-риу=х2 + Зх.
пересекаются в одной точке.
©
Постройте схематически график
функции у - ах2 + Ьх + с, если
известно, что
а < О, b > 0, с < О, D > 0	а > О, b < О, с > О, D < О
(D — дискриминант квадратного
трехчлена).
©
Найдите промежутки монотонности
функций:
а)	у = х2 - 5|х| + 4;	а) у = х2 - 6|х| + 5;
12
АЛГЕБРА
б)	у = |х2 - 5х 4- 4|.	б) у = |х2 - 6х 4- 5|.
0
Постройте графики функций:
а)	у = хл/х2 - 6х 4- 9 ;	а) у = ху/х2 + 4х + 4 ;
б)	у = ||х2 - х| - 2|.	б) у = II*2 + х| - 2|.
Ф
Дана функция
f(x) = х2 - 2х.	f(x) = х2 + 4х.
Постройте графики функций
У = ~f(x) + 1» У = |2/(х)|, у «= f(\x - 1|).
К-1. КВАДРАТИЧНАЯ ФУНКЦИЯ
Вариант А1	Вариант А2
О
Разложите на множители квадратные
трехчлены:
а)	х2 - 15х + 26;	а) х2 + 13х + 22;
б)	4у2 + Зу - 7.	б) Зу2 - 5у - 3.
0
Постройте график функции
у = х2 + 2х - 3.	у = х2 - 2х - 3.
а)	Найдите по графику функции
промежутки, в которых у > 0 и
У < о.
б)	Не выполняя дополнительных
построений, найдите координаты
точек пересечения данного графика
с графиком функции
у = 7х + 63.	у = Зх 4- 47.
Квадратичная функция
13
©
Сократите дробь:
У2 -49
у2 -5у- 14 *
I. +у- 42
z/2 -36
О
Определите значение х, при котором
функция
у = -х2 + 2х - 1	у = —х2 - 6х - 9
принимает наибольшее значение.
Найдите это значение^
Вариант Б 1	Вариант Б2
о
Разложите на множители квадратные
трехчлены:
а)	-х2 4- 6х - 5;	а) -х2 - 2х 4- 3;
б)	— х2 - Зх + 4 .	б) — х2 - Зх + 6 .
. 2	3
©
Постройте график функции
У = (3 - х)(х +1).	у = (1 - х)(х + 5).
а)	Найдите по графику функции
промежутки возрастания и убыва-
ния функции.
б)	Определите аналитически
координаты точек пересечения
данного графика с графиком
функции
у = х2 - х 1- 1.	у = х2 - 7х + 3.
©
Сократите дробь:
9х2 -6x4-1	8х2 - 2х -1
6х2 4- х -1	16х2 4-8Х4-1
14
АЛГЕБРА
О
Определите, при каких значениях с
наименьшее значение функции
у = 2х2 - 8х + с	у = 2х2 + 16х + с
равно 2.
Вариант В1	Вариант В2
о
Сократите дробь:
5а2 - 4а& - b2	20а2 + Sab - Ь2
b2+7ab + 10a2	b2-llab + 10a2
&
Постройте график функции
у = х2 - 4|х| +3.	у = |х - 4х + 3|.
Пользуясь графиком, найдите
промежутки монотонности данной
функции.
©
Задайте аналитически уравнение
прямой, проходящей через точки
пересечения графиков функций
у = х2 + 2х и у - 6х - х2.	у = 2х2 - 5х и у = х2 - х.
О
Выполните действия:
4у2 -9 _ . 3 + 2у + 9-4у	9у2 - 4	2- у , у
2у2-7у + 3’1-2у	3-у ’	2у2-5у + 2 3у + 2 1-2у'
0
Квадратичная функция
15
Пользуясь графиком функции
у = ах2 + Ьх + с, изображенным
на рисунке, определите знаки чисел
а, Ь, с и дискриминанта квадратного
трехчлена ах2 + Ьх + с.
Ответ объясните.
С-5. РЕШЕНИЕ КВАДРАТИЧНЫХ
НЕРАВЕНСТВ
Вариант А1	Вариант А2
о
Решите неравенства:
а)	х2 - 9 > 0;	а) х2 - 4х < 0;
б)	х2 - Их н- 30 с 0;	б) х2 - Зх - 10 > 0;
в)	-2х2 + 5х - 2 < 0.	в) -Зх2 + 7х - 4 > 0.
е
Найдите значения х, при которых
трехчлен 4Х2 - 4х + 1 прини- трехчлен -16Х2 + 8х - 1 при-
мает положительные значе- нимает отрицательные значе-
ния.	ния.
О
Докажите, что при любом
значении а верно неравенство
1 > 2а - 5а2.	6а < а2 + 10.
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Решите неравенства:
а)	х2 - 8х + 15 > 0;	а) х - 10х + 21 > 0;
б)	8 - 2х2 > 0;	б) 15х- Зх2 < 0;
в)	(2 + 7х)2 < (4 - Зх)2.	в) (1 - 5х)2 > (И + Зх)2.
16
АЛГЕБРА
Докажите, что при любых
значениях х верно неравенство
4х2 - 20х + 25 > 0.	-9х2 + 24х - 16 < 0.
Найдите область определения функции
х -1	х +1
У =-r=i-----= •
V-6x2 + Их - 5
л/бх2 + Их + 6
Вариант В 1
Вариант В2
Решите неравенства:
а)	(2х - 8)2 - 4х(2х - 8) > 0;
б)	12х2 + 12х + 3 > 0;
в)	л/х2 - 7х > -1.
а)	(Зх + 9)2 + 6х(3х + 9) > 0;
б)	12х - 18 <2х2;
в)	у/х2 + 4х > -2 .
х2 - х - 2 < О,
х2 + х - 2 > 0.
Решите систему неравенств:
х2 + X - 6
х2 - X - 6
Найдите все значения а, при
которых уравнение
х2 + (а - 2)х - 2а + 1 = 0 не х2 + (а +
имеет корней.	имеет два корня.
2)х - а2 + 1 = О
С-6. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛОВ
Вариант А1
Вариант А2
Решите неравенства:
а) (х + 2)(х - 3) > 0;	а) (х - 1)(х + 4) < 0;
Квадратичная функция
17
б) (х + 1)(2х - 8)(3х + 6) < 0;
ч х + 3
в) -----
3-х
0.
б) (х - 2)(4х + 4)(2х - 6) > 0;
.1-х	_
в) ---< 0 .
Определите, при каких значениях х
имеет смысл выражение
Найдите целые решения
неравенства:
х
2х - 4
Зх
х -1
Вариант Б1
Вариант Б2
Решите неравенства:
а)	(2х + 3)(х - 1) < 0;
б)	х(4 - х)(х + 1) > 0;
. 2х - 4 Л
в)	------- > 0.
х + 5
а)	(Зх - 2)(х + 3) > 0;
б)	х(х - 2)(3 - х) < 0;
\ х + 5 Л
в)	< 0 .
Зх-6
- 81х5.
Используя разложение на
множители, определите,
при каких значениях х данное
выражение принимает
неотрицательные значения:
16х - х5.
2х + 7
2-х
Найдите целые решения
неравенства:
х -4
х - 2
4-х
4 - 2х
7х + 2
2х - 4
18
АЛГЕБРА
Вариант В 1
Вариант В2
о
Решите неравенства:
а)	(Зх - 6)(х - х2) > 0;
б)	(х2 - 25)(х2 - 6х + 5) < 0;
в)	(х4 - 9х2)(-х2 - 3) > 0.
а)	(2х - х2)(2х + 6) > 0;
б)	(х2 - 4)(х2 - Зх + 2) < 0;
в)	(—х2 - 2)(х4 - 4х2) > 0.
О
Найдите целые решения неравенства:
х2 - х - 6	х2 + х - 6	0
х2 - 4х + 4	х2 + 4х + 4
Решите неравенство:
х - 2
х + 2
К-2. РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ
Вариант А1
Вариант А2
о
Решите квадратичные неравенства:
а)	х2 - 2х - 8 < 0; б)	2х2 - 5х + 3 > 0; в)	х2 - 1 < 0.	’ а) х2 + 4х - 12 < 0; б) Зх2 - 4х + 1 > 0; в) х2 - 9 > 0.
Решите неравенства, используя
метод интервалов:
а)	(х - 5)(х + 3) > 0;	а) (х + 5)(х - 3) < 0;
2х + 4
б)	—Г
х - б
б) —-----
2х + 6
Квадратичная функция
19
Зх2 - х > О,
Решите систему неравенств:
fx2 +2х > 0,
|х > 0.
Найдите область определения
функции
1
.2
х/30 -х -х2
Длина прямоугольника на
3 см больше ширины. Какую
длину должен иметь пря
моугольник, чтобы его пло-
щадь была меньше 28 см2?
Ширина прямоугольника на
4 см меньше длины. Какую
ширину должен иметь пря-
моугольник, чтобы его пло-
щадь была больше 21 см2?
Вариант Б 1
Вариант Б2
Решите квадратичные неравенства:
а) (2х - 3)(х + 1) > х2	+ 17;	а) (2х + 1)(х - 3) < х2 +	21;
б) 11 - х > (х + I)2;	б) х + 22 с (х + 2)2;
в)	-Зх2 < 9х.	в) 2х2 > -4х.
Решите неравенства, используя
метод интервалов:
а) (4х - 4)(1 + х)(5 - х) > 0; а) (2х - 6)(4 + х)(1 - х) > 0;
б) х3 - 81х > 0.	б) х3 - 64х > 0.
Решите систему неравенств:
f 4
х
х + 2 > 0.
х-З < О.
20
АЛГЕБРА
Найдите область определения
функции:
6 + х -х2
х-2
У =
6 - х -х2
х + 2
0
Периметр прямоугольника ра-
вен 28 см. В каких пределах
может меняться длина пря-
моугольника, чтобы его пло-
щадь была больше 48 см2?
0
Периметр прямоугольника ра-
вен 30 см. В каких пределах
может меняться ширина пря-
моугольника, чтобы его пло-
щадь была больше 54 см2?
Вариант В1	Вариант В2
О
Решите квадратичные неравенства:
а)	X2	Зх-1 	> х -1; 2	а)	2 2х -1 о . х	> 2х + 4 ; 3
б)	х2	+ 6х 2х + 3	9 6	2	б)	х2 + 10х 2х + 5 9П t 10	2
в)		-з)2 (х-2)2	1-х 16	4^2	в)	(х + 1)2 (х-1)2	2х-1 12	3	“	4
	О Решите неравенства, используя метод интервалов:
а) (х2-2х-3)2 < (х2-3х)2;	• а) (х2+Зх + 2)2 > (х2+2х)2
2х3 - х4 + Зх2 л	Зх3 - х4 + 4х2
б) ---=--------> 0.	б) --;--------— > О .
х“ + х + 6	х~ + х + 2
0 Решите систему нерав	енств:
(х - 4) х/х2 + х - 2	(х + 4)х/х2 - х-2 л
х + 5	х-5
15 + 2х-х2 > 0.	15-2х — х2 > 0.
Квадратичная функция
21
О
Найдите область определения функции
у = <j-x2 + 2|х| + 3 .	у = yj-x2 + |х| + 6 .
©
Лодка должна пройти 15 км
по течению реки и вернуться
обратно не позже, чем через
4 часа. Скорость течения ре-
ки равна 2 км/ч. Какой
должна быть собственная
скорость лодки?
©
Планер должен пролететь
60 км по направлению ветра
и вернуться обратно не поз-
же, чем через 5 часов. При
какой скорости ветра это
возможно, если собственная
скорость планера 25 км/ч?
22
АЛГЕБРА
Уравнения и системы
уравнений
С-7. РЕШЕНИЕ ЦЕЛЫХ УРАВНЕНИЙ
Вариант А1 О	Вариант А2
Решите уравнения:
а)	(8х + 1Х2х - 3) - 1 = (4х - 2)3; б)	х4 - 26х2 + 25 = 0; в)	4х3 - х2 = 0; г)	(х2 - 5)2 - 3(х2 - 5) - 4 = 0. 0	а)	(Зх - Ш2х + 1) -10 = (6х + 2f; б)	х4 - 17х2 + 16 = 0; в)	2х4 - х3 = 0; г)	(х2 - 3)2+ х2 - 3 = 2.
Определите, при каких значениях х
равны значения двучленов
х3 - 4х2 и 9х - 36.	х’ + 9х2 и 4х+ 36.
Вариант Б 1 о	Вариант Б2
Решите уравнения:
а)	х4 - х2 - 12 = 0; б)	16х3 - 32х2 - х + 2 = 0; в)	(х2 + 2Х)2 - 7(х? + 2х)-8 = 0; г)	(х2 + Зх + IX*2 + Зх + 3) = -1.	а)	х4 - 4х2 - 45 = 0; б)	9х3 + 18х2 - х - 2 = 0; в) (х2 - 2х)2 - 2(х2 - 2х) - 3 = 0; г) (х2 + х - 5Х*2 + х + 1) = -9.
Определите, при каких значениях у
л у2- 3
сумма дроби ------ и дроби,
У
обратной данной, равна 2,5.
у2 -4	-
разность дроби ----- и дроби,
У
обратной данной, равна 2
со I to
Уравнения и системы уравнений 23
Вариант В 1 о	Вариант В2
Решите уравнения:
а) х5 - 5х3 - 36х = 0;	а) х6 + 2х4 - Зх2 = 0;
б) х3 + Зх2 + 6х + 8 = 0;	б) х3 + 5х2 - 15х - 27 = 0;
в) (х2 - 7х + 13)2 - , - (х - 3)(х - 4) = 1; г) (х2 + 5)2 = (5х - I)2. 0 Найдите четыре последова- тельных целых числа, произ- ведение которых равно 120.	в) (х2 - 5х - 7)“ - - (х - 3)(х - 2) = 25; г) (х2 - Зх)2 = (2х - 6)2. 0 Найдите четыре последова- тельных нечетных числа, про- изведение которых равно 105.
С-8*. УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ:
МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ,
ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1	Вариант 2
О
Решите уравнения, выполнив
подходящую замену переменной:
а)	(х2 - 2х - I)2 + + Зх2 - 6х - 13 = 0; х2-3х-6	8х	п б)			= -2; х	х2-3х-6 в)	(х - 1)(х - 7)(х - 4)х х(х + 2) = 40; 'г) б!х2+Д|+5|х+-|-38 = 0; V х2; 1 х)	а)	(2х2 + Зх - I)2 - - 10х2 - 15х + 9 = 0; х2 + 2х-6	Зх	о б)			= -2; х	лг+2х-6 в)	(х - 4)(х + 2)(х + 8)х х(х + 14) = 1204; г)	2fx2+-?-I-71 х + —|+9 = 0; 1 хг) V х)
24
АЛГЕБРА
х2 - х х2 - х + 2 _	х2 + х _ х + х - 5 _
Д х2 -х +1 х2 -х-2	’ Д х2 + х-2 х2+х-4
е) (х + I)4 + (х + З)4 = 16.	е) (х + 4)4 + (х + 6)4 = 82.
0
Решите уравнения, используя
деление на подходящее выражение
с переменной:
а)	(х2 - 6х - 9)2 = xfx2 - 4х - 9);
б)	х4 - 7Х3 1- 14х2 - 7х + 1 = 0;
в)	(2х - I)2 + (2х - 1)(х + 2) =
= 2(х + 2)2;
х2 - 12х +15 _ 4х
х2-6х + 15 х2-10х + 15
a)	(2k2 - 5х + 2№? + 7х + 2)=-20л2;
б)	х4 + х3 - 4х2 + х + 1 = 0;
в)	2х4 + х2(х + 2) = 3(х + 2)2;
. х2 - 6х - 9 х2 - 4х - 9
Г)	~	2 п ~ "п ’
х х - 6х - 9
0
Решите уравнение, используя
выделение полного квадрата:
2
2
х2 +
X
х-1
= 8.
х2
X
2х -1
= 2.
О
Определите значения параметра а,
при которых уравнение
х4 + (а2 - а + 1)х2 - а3 - а = 0	Xх + (а2 - 2а + 2)х? - 2а3 - 4а =0
а)	имеет единственный корень;
б)	имеет два различных корня;
в)	не имеет корней.
С-9. РЕШЕНИЕ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ
ВТОРОЙ СТЕПЕНИ
Вариант А1
Вариант А2
о
Решите системы уравнений:
Уравнения и системы уравнений
25
а)
х-у = 7,
ху = -10;
а)
в) «
2х + у2 = -1;
х + у = 4,
х2 - у2 = 8.
б)
X + у = 2,
ху = -15;
2х + у = -1,
х2 + 2у = 3;
х-у = 1,
х2 - у2 =7.
Вариант Б 1
Вариант Б2
а)
б)
Решите системы уравнений:
I х + 2у = 7,
[2 г/2 + ху = 14;
(х-1)(У + 3) = 5,
Зх - у = 4;
[х2 + у2 = 13,
[ху = -6.
2х - у = 2,
2х2 - ху = 6;
6) |(х + 2)(У + 1) = 12,
а)
в)
х2 + у2 = 10,
ху = -3.
Вариант В1
Вариант В2
б)
в) ’
I х + у = 4,
[х2 + 2ху + 2у2 =17;
1_1 = 1
У х 5 ’
х-у = 4;
х2 + ху = 10,
у2 + ху = 15.
Решите системы уравнений:
х-у = 3,
|2х2 - 2ху + у2 = 10;
1 1	3
—ь — = —,
х у 8
,х + у = 12;
х2 - ху = -2,
У2 ~ху = 3.
а)
б)
в) <
26
АЛГЕБРА
С-10. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ
СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ.
ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
СИСТЕМ
Вариант А1 о	Вариант А2
Не выполняя построений, найдите
координаты точек пересечения
параболы у = х2 + 2х - 1 и прямой у = х - 1.	параболы у = х2 + х + 2 и прямой у = 2х + 2.
0 Сумма двух чисел равна 12, а их произведение равно 32. Найдите эти числа.	0 Разность двух чисел равна 7, а их произведение равно 18. Найдите эти числа.
0
Решите графически систему
уравнений:
и и н н 1 г to	\ у = х2 + 2, [ у = х + 4.
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Не выполняя построений, найдите
координаты точек пересечения
параболы у = х2 - 5 и ок- ружности х2 + у2 = 25.	параболы у = х2 + 3 и ок- ружности х2 + у2 = 17.
0 Сумма катетов прямоуголь- ного треугольника равна 17 см, а его гипотенуза — 13 см. Найдите катеты тре- угольника.	0 Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см, а его гипотенуза — 10 см. Найдите катеты треуголь- ника.
Уравнения и системы уравнений
27
Решите графически систему
уравнений:
ху = 6,
у = х + 1.
ху = 12,
у = х-1.
Вариант В1
Вариант В2
х2 - 9у2 = 0 и у2 + х = 10.
Найдите координаты общих точек
графиков уравнений:
4х2 - у2 = 0 и х2 - у = 8.
Если двузначное число разде-
лить на произведение его
цифр, то получится 2. Если
это же число разделить на
сумму его цифр, то получится
4. Найдите данное число.
Если двузначное число разде-
лить на сумму его цифр, то по-
лучится 4. Если же к произве-
дению его цифр прибавить
квадрат числа десятков, то по-
лучится данное число. Найди-
те данное число.
Решите графически систему
уравнений:
у = |х' + 6х + б|,
У-х = 5.
у = |х2 - 8х +12|,
у + х = 6.
С-11*. СИСТЕМЫ РАЦИОНАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1
Вариант 2
О
Используя замену переменных,
решите систему:
28
АЛГЕБРА
1
-------+ у = 5,
х + Зу У
х + Зу
{ху + х-у = 7,
[х2у - ху2 = 6.
\х2у -ху2 = 6,
[ху + х — у = -5.
&
Решите симметричную систему:
х + ху + у = 5,	1х - ху + у = 1,
х2 + ху + у2 = 7.	|х2 + у2 + 2х + 2у = 11.
Решите систему неоднородных
уравнений:
2х2 - 2ху + Зу2 = 3,
[х2 - xi/'+ 2у2 = 2.
х2 + Зху - Зу2 = 1,
2х2 — ху + у2 = 2.
а)
б)
Решите систему, используя метод
почленного деления:
х3 + у3 = 9,
X + у = 3;
ху - х = 2,
ху3 - ху2 = 8.
а)
б)
х3 - у3 = 7,
х-у = 1;
х2 - у2 =3,
х2 - ху - 2.
<
Решите систему, используя
разложение на множители:
(х - l)(i/ + 5) = 2х2 + х - 3,
[2х2 -ху -Зу -7 = 0.
(х + 4) (z/ -1) = х2 + 5х + 4,
х2 - z/2 - Зх + 8 = 0.
©
Решите систему:
Уравнения и системы уравнений
29
х2 + ху + х = 10,
у2 + ху + у = 20.
(х2 = 13х + 4у,
у2 = 4х + 13у.
К-3. ЦЕЛЫЕ УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ
Вариант А1	Вариант А2
о
Решите уравнения:
а)	х4 + 5х2 - 36 = 0; б)	х4 - 16х2 = 0.	а)	х4 + 8х2 - 9 = 0; б)	х3 - 25х = 0.
О
Решите систему уравнений:
1 ху - х = 4, ’ 2х + у = 7.	ху - у = 24, |х - Зу = -5.
©	©
Периметр прямоугольника равен 22 см, а его площадь равна 30 см2. Найдите сто- роны прямоугольника.	Периметр прямоугольника равен 18 см, а его площадь равна 20 см2. Найдите сто- роны прямоугольника.
О
Найдите нули функции
у = х3 + 2х2 - х - 2.	у = х3 - х2 - 9х + 9.
©
Найдите решения системы:
115 — -|— — —, ; < х у 6 X + у = 5.	1 _1= 1 \у X 6 ’ х- у = 1.
н
30
АЛГЕБРА
Вариант Б 1
Вариант Б 2
Решите уравнения:
а)	4х4 + 15х2 -4 = 0;	а) 9х4 + 8х2 -1 = 0;
б)	Зх3 - 2х2 - х = 0.	б) 2х4 - 5х3 + Зх2 = 0.
Решите систему уравнений:
2х2 - Зху = -4,
Зх + у = 5.
15х2 -2ху = 5,
2х - у - 3.
Диагональ прямоугольника
равна 13 см, а его площадь
равна 60 см2. Найдите пе-
риметр прямоугольника.
Диагональ прямоугольника
равна 10 см, а его периметр
равен 28 см. Найдите пло-
щадь прямоугольника.
I
I
V
1
1

i
О
Найдите абсциссы точек,
в которых график функции
у = (X2 - З)2	у = (х2 - 8)2
пересекает параболу
у = х2 - 3.	у = X2 - 8.
©
Найдите решения системы:
•LzJ. = о,	^±1 = о,
. у + 3	• <х-2
у2+х = 11.		х2-у = 5.
Вариант В1
Решите уравнения:
а)	(х2 + 2х)(х2 + 2х - 2) = 3;
б)	х5 + х4 - Зх3 - Зх2 - 4х - 4 = 0.
Вариант В 2
а)	(х2 - 2х)(х2 - 2х - 7) = 8;
б)	х5 + х4 + Зх3 + Зх2 + 2х + 2 = 0.
Уравнения и системы уравнений
31
Решите систему уравнений:
хУ = 5
« У х 2’
х2 + у2 = 20.
©
60 деталей первый рабочий
изготавливает на 3 часа быс-
трее, чем второй. За сколько
часов второй рабочий изгото-
вит 90 деталей, если при со-
вместной работе они изготав-
ливают за 1 час 30 деталей?
О
Решите уравнение:
(ху + х-3)2 +
+ (ху + у - 4)2 = 0.
х _ у_ = 3
\у х 2’
х2 - у2 = 12.
©
30 страниц одна машинистка
печатает на 1,5 часа быстрее,
чем вторая. За сколько вре-
мени вторая машинистка на-
печатает 60 страниц, если,
работая вместе, они печатают
30 страниц за 1 час?
(ху - х - 4)2 +
+ (ху - у - З)2 = 0.
©
Найдите решения системы:
х2 - 4
у + 3
. х + 2
= 0,
= 0.
х2 - 25
У + 1
= 0,
1-У2
. х-5
= 0.
32 АЛГЕБРА
Арифметическая и
геометрическая прогрессии
С-12. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.
ФОРМУЛА n-ого ЧЛЕНА
Вариант А1	Вариант А2
О
Составьте формулу n-ого члена
арифметической прогрессии (ап)
и найдите а1Х, если
аг = 2,4; d = -0,8.	аг = -2,4; d = 0,8.
0
Найдите разность арифметической
прогрессии (сп), если
Су = -1,2; с5 = -0,4.	Су = 2,7; с4 = 1,8.
©
Найдите первый член арифме-
тической прогрессии (ап), если
Og — 23; ciyy = 48.	д4 = 4; ДХ2 = 36.
О
Дана арифметическая прогрессия
-21; -18; ...	.	33; 30; ...
Определите, под каким номером
в эту прогрессию входит число 0.
Вариант Б 1	Вариант Б2
о
Дана арифметическая прогрессия
-22,5;-21; ...	16,9; 15,6; ...
Найдите 11-й член и разность прогрессии.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
33
Найдите первый член и разность
арифметической прогрессии (ап), если
а4 = 1,8; а7 = 0,6.	а3 = -2,3; а8 = -0,8.
Найдите номер члена арифметиче-
ской прогрессии (ап),
равного 22, если а3 = -2; d = 3. равного 47, если а4 = -3; d = 5.
Арифметическая прогрессия задана
формулой
сп = 11п - 78.
Найдите первый положи-
тельный член прогрессии.
сп = 93 - 7п.
Найдите первый отрица-
тельный член прогрессии.
Вариант В1
о
Бригада изготовила в янва-
ре 62 детали, а в каждый
следующий месяц изготов-
ляла на 14 деталей больше,
чем в предыдущий. Сколь-
ко деталей изготовила бри-
гада в ноябре?
Вариант В2
о
Мастерская выполнила в ян-
варе 44 заказа, а в каждый
следующий месяц увеличи-
вала производительность тру-
да на 11 заказов. Сколько
заказов выполнила мастер-
ская в декабре?
©
Найдите 17-й член арифметической
прогрессии (ап), если
а5 = -9,1; а12 = -7.	а3 = 9,4; ап = 3,2.
©
„ 11
Между числами - — и - — вставьте
три числа	четыре числа
так, чтобы они вместе с данными
числами составили арифметическую
прогрессию.
2 Сам. и контр, алгебра, геометрия 9 кл.
34
АЛГЕБРА
О
Найдите значения х, при которых
числа
х - 1; 4х - 3 и х2 + 1	х + 1; 2х + 1 и х2 - 3
составляют арифметическую про-
грессию.
С-13. ФОРМУЛА СУММЫ
л ПЕРВЫХ ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ
ПРОГРЕССИИ
Вариант А1
Вариант А2
о
Найдите сумму десяти первых членов
арифметической прогрессии
24; 21; ...
-3; -1; ...
©
В первый день магазин про-
дал 12 кг сахара, а в каждый
следующий день продавал на
2 кг сахара больше, чем в
предыдущий. Сколько сахара
продал магазин за 8 дней?
©
Найдите сумму
натуральных чисел, не пре-
восходящих 30.
©
За первую секунду движения
тело прошло 18 м, а в каж-
дую последующую проходило
на 3 м больше, чем в преды-
дущую. Найдите путь, прой-
денный телом за 6 секунд.
натуральных чисел, не пре-
восходящих 40.
О
Дана арифметическая прогрессия
(ап), где
ап = 2п + 1.	ап = 2п - 1.
Найдите сумму ее членов с 11-го по
20-й включительно.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
35
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Найдите сумму десяти первых членов
арифметической прогрессии (ап),
если
ап = Зп - 2.	ап = 4п + 1.
©
Найдите сумму восьми первых чле-
нов арифметической прогрессии (хп),
если
х3 = -4; х5 = 2.
©
Найдите сумму
четных чисел, не превосхо-
дящих 40.
О
В арифметической прогрес-
сии (ап) ar- 111, d = -6. Ка-
кое наименьшее число чле-
нов этой прогрессии, начи-
ная с первого, нужно взять,
чтобы их сумма была отри-
цательной?
х2 = 7; х4 = -1.
нечетных чисел, не превос-
ходящих 40.
О
В арифметической прогрес-
сии (оп) аг = -100, d = 8. Ка-
кое наименьшее число чле-
нов этой прогрессии, начи-
ная с первого, нужно взять,
чтобы их сумма была поло-
жительной?
Вариант В 1	Вариант В2
о
В арифметической прогрессии
55; 51; ... найдите сумму	-63; -58; ... найдите сумму
всех ее положительных чле-	всех ее отрицательных чле-
нов.	нов.
©
Найдите сумму всех двузначных
натуральных чисел,
кратных 7.
кратных 8.
36
АЛГЕБРА
©
В арифметической прогрессии (ап)
d = -5; ап = -8; Sn = 145.	d = 3; ап = 59; Sn = 610.
Найдите п и av
О
В арифметической прогрессии (хп)
х13 = 10. Найдите <S25.	х9 = 6. Найдите S17.
К-4. АРИФМЕТИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Вариант А1	Вариант А2
о
Дана арифметическая прогрессия
-25; -22; ...	27; 24; ...
а)	Составьте формулу п-го члена
прогрессии.
б)	Найдите 21-й член прогрессии.
©
Дана арифметическая прогрессия
(сп), в которой
с2 = 18; с3 = 14.	*с2 = -9; с3 = -5.
а)	Найдите первый член и разность
прогрессии.
б)	Найдите сумму первых 8 членов
прогрессии.
©
Арифметическая прогрессия задана
формулой
хп = 29 - З/г.
хп = 5п - 47.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
37
а)	Найдите сумму первых 10 членов
прогрессии.
б)	Сколько в данной прогрессии
положительных членов?	отрицательных членов?
О
Дана последовательность натураль-
ных чисел, которые
кратны 4 и не превосходят 50. кратны 3 и не превосходят 40.
а) Сколько членов в данной после-
довательности?
б)	Найдите сумму всех членов по-
следовательности.
Вариант Б 1	Вариант Б2
	О Дана арифметическая прогрессия
29; 24; ...	-31; -27; ... а)	Найдите 31-й член прогрессии. б)	Определите, входит ли в данную прогрессию
число -41.	число 41. © а) Между числами 1 и 4 вставьте
8 чисел	10 чисел так, чтобы они вместе с данными числами составляли арифметиче- скую прогрессию. б) Найдите сумму членов получен- ной прогрессии. © Арифметическая прогрессия задана формулой
а = 98 - 5п.	а = 6л - 121.
"П	а) Найдите сумму
положительных	отрицательных
членов данной прогрессии.
38
АЛГЕБРА
б) Найдите сумму членов данной про-
грессии с 5-ого по 14-й включительно.
О
Дана последовательность двузнач-
ных натуральных чисел,
кратных 7.	кратных 6.
а) Составьте формулу н-ого члена
последовательности,
б) Найдите сумму членов последова-
тельности.
Вариант В1	Вариант В2
о
Дана арифметическая прогрессия
(ап), в которой
а2а5 = 112; °- = 2 .	а3а4 = 80;	- 2 .
а5	°5
а)	Составьте формулу н-ого члена
данной прогрессии.
б)	Определите, сколько в данной
прогрессии членов, модуль которых
не превосходит 10.
0
Арифметическая прогрессия задана
формулой
хп = 2п + 1.	хп = 2п - 3.
а)	Найдите сумму членов данной прогрессии
с 7-ого по 20-й включительно.
б)	Какое наименьшее число членов
данной прогрессии, начиная с первого,
нужно взять, чтобы их сумма была
больше 360?
©
Дана последовательность двузнач-
ных натуральных чисел,
Арифметическая и геометрическая прогрессии
39
кратных 4.	кратных 6.
а)	Составьте формулу суммы
первых п членов данной последова-
тельности.
6)	Найдите сумму двузначных
натуральных чисел,
не кратных 4.
О
Арифметическая прогрессия
содержит 20 членов. Сумма
членов с четными номерами
на 80 больше суммы членов
с нечетными номерами.
Найдите разность прогрес-
сии.
не кратных 6.
О
Арифметическая прогрессия
содержит 10 членов, а ее раз-
ность равна 5. На сколько
сумма членов с четными но-
мерами отличается от суммы
членов с нечетными номера-
ми?
С-14. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ПРОГРЕССИЯ.
ФОРМУЛА n-ого ЧЛЕНА
Вариант А1	Вариант А2
о
Составьте формулу n-ого члена
геометрической прогрессии
3; -6; ...	-2; -8; ...
О
Найдите пятый член геомет-
рической прогрессии (bn), если
h = 48; q = - .	ъ. = 81; q = - .
1	2	3
©
Найдите первый член геомет-
рической прогрессии (хп), если
40
АЛГЕБРА
В геометрической прогрессии (Ь„)
Найдите Ъ2
Найдите Ьь
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Найдите шестой и а-ый члены
геометрической прогрессии:
-20; 2; ...	30; -3; ...
О
Найдите седьмой член геомет-
рической прогрессии (Ь„), если
65 = -i;g = 2>/2.
О
^3 - g ’ Ч ~	•
- и 9
9
Найдите знаменатель геометриче-
ской прогрессии (х„), если
Между числами
16
1
и —
16
вставьте три числа так, чтобы они
вместе с данными числами составили
геометрическую прогрессию.
Вариант В1
Вариант В2
о
Найдите шестой и тг-ый члены гео-
метрической прогрессии (Ьп), если
Арифметическая и геометрическая прогрессии
41
Ьг = 8д4; Ь- = А	Ь2 = 27д5; &4 =
1о	о
О
Найдите седьмой член геометриче-
ской прогрессии (х„), если
х2 = -2; х4 = -6.	х4 = -4; х6 = -8.
©
Найдите значение х, при котором
числа
х + 1; 4х и 16х - 12.	х - 2; Зх и 9х + 30.
составляют геометрическую
прогрессию.
Составьте формулу п-ого члена гео-
метрической прогрессии, если
разность между шестым и чет-
вертым членами равна 72, а
разность между третьим и пя-
тым членами равна 9.
разность между пятым и
третьим членами равна 144,
а разность между четвер-
тым и вторым членами рав-
на 48.
С-15. ФОРМУЛА СУММЫ ПЕРВЫХ п ЧЛЕНОВ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ.
БЕСКОНЕЧНАЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Вариант А1
Вариант А2
о
Найдите сумму первых пяти
членов геометрической прогрессии
(Ь„), если
42
АЛГЕБРА
©
Найдите сумму бесконечной
геометрической прогрессии:
3; 1; —;...	4; 2; 1; ...
3
©
Найдите первый член геометриче-
ской прогрессии, если
S4 =15:5 = 0,5.	S4=40;5 = —.
3
о
Представьте в виде обыкновенной
дроби число
0,(4).	0,(7).
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Найдите сумму первых пяти членов
геометрической прогрессии (Ь„), если
Ь2 = 6; q = -2.	b3 = -18; q = 3.
	© Найдите сумму бесконечной геомет- рической прогрессии:
1; 2-, 3 9	2;1,5;|;... О © Найдите знаменатель геометрической прогрессии (хп), если
S3 = 39;	Xi = 27.	S4 = 30; S2 = 24. О Представьте в виде обыкновенной дроби число
2,(17).
1,(12).
Арифметическая и геометрическая прогрессии
43
Вариант В1	Вариант В2
о
Найдите сумму первых пяти членов
геометрической прогрессии (Ьп), если
Ьп = 2-3”“ Ч	bn = 3-2rt+1.
©
Найдите сумму бесконечной геомет-
рической прогрессии:
4-72; -4; 2^2;...	З-УЗ; - 3; -73;...
©
Найдите знаменатель геометриче-
ской прогрессии, если
S5 = 2; S10 = 64.	S3 = 54; S6 = 2.
1,6(12).
О
Представьте в виде обыкновенной
дроби число
2,5(14).
С-16*. КОМБИНИРОВАННЫЕ ЗАДАЧИ
НА ПРОГРЕССИИ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1
Вариант 2
о
Три числа составляют арифметиче-
скую прогрессию. Найдите эти числа,
если известно, что
их сумма равна 27, и при
уменьшении на 1, 3 и 2 со-
ответственно они составляют
их сумма равна 12, и при
увеличении на 1, 2 и 11 со-
ответственно они составляют
геометрическую прогрессию.
геометрическую прогрессию.
44
АЛГЕБРА
е
Четыре числа составляют геометри-
ческую прогрессию. Найдите эти
числа, если известно, что
при увеличении их на 10,
11, 9 и 1 соответственно
они составляют арифмети-
ческую прогрессию.
©
Найдите четыре числа, из ко-
торых первые три составляют
геометрическую прогрессию, а
последние три — арифмети-
ческую, если сумма крайних
чисел равна 32, а сумма сред-
них чисел равна 24.
О
Все члены геометрической
прогрессии (Ьп) различны.
Между Ь2 и Ъ3 можно вста-
вить число X так, что числа
Ьр b2, X и &3 составляют
арифметическую прогрес-
сию. Найдите знаменатель
геометрической прогрессии.
при уменьшении их на 2, 1,
3 и 11 соответственно они
составляют арифметическую
прогрессию.
©
Найдите четыре числа, из ко-
торых первые три составляют
арифметическую прогрессию,
а последние три — геометри-
ческую, если сумма крайних
чисел равна 7, а сумма сред-
них чисел равна 6.
О
Все члены арифметической
прогрессии (а„) различны.
Если удалить а2 и а3, то
числа аи а4 и а5 составляют
геометрическую прогрессию.
Найдите ее знаменатель.
К-5. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
ПРОГРЕССИЯ
Вариант А1	Вариант А2
о
Дана геометрическая прогрессия:
1; 3; 9; ...	2; 4; 8; ...
а)	Найдите шестой член прогрессии.
6) Найдите сумму первых шести
членов прогрессии.
Арифметическая и геометрическая прогрессии
45
Найдите сумму бесконечной геомет-
рической прогрессии (Ьп), если
Ъ, = 12; q = —.
1	3
Ь. = 24; q = - .
1	4 2
©
В геометрической прогрессии (сп)
с5 = 162; q = -3.	с4 = 24; q = -2.
а) Найдите сР
б)	Какие из членов данной прогрессии
отрицательны?
О
В равносторонний тре-
угольник со стороной 8 см
вписан другой треугольник,
вершинами которого явля-
ются середины сторон пер-
вого. Во второй треуголь-
ник таким же образом впи-
сан третий треугольник и
т. д. Найдите периметр
восьмого треугольника.
О
В треугольнике с основани-
ем 16 см проведена средняя
линия, параллельная данно-
му основанию. В образовав-
шемся треугольнике таким
же образом проведена сред-
няя линия и т. д. Найдите
среднюю линию пятого тре-
угольника.
©
Дана бесконечная геометриче-
ская прогрессия (сп) с суммой S
и знаменателем q.
Найдите сп если q = |, S = Найдите q, если q =18, S =
= 4215.	= 15’
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Дана геометрическая прогрессия (Ь„):
Ьп = 3(-2Г.	Ъп = 2(-3)п.
а)	Найдите пятый член прогрессии.
46
АЛГЕБРА
б)	Найдите сумму первых восьми
членов прогрессии.
©
Найдите сумму бесконечной геомет-
рической прогрессии
8; 2; i;...	6; 3; 1,5; ...
2
О
Дана геометрическая прогрессия (с„)
с положительными членами, в которой
с4 = 24; с6 = 96.	с3 = 18; с5 = 162.
а)	Найдите сР
б)	Определите количество членов прогресс-
сии начиная с первого, сумма которых
равна 45.	равна 80.
О
Первоначальный вклад 400
рублей банк ежегодно уве-
личивает на 15%. Каким
станет вклад через 4 года?
о
Снижение себестоимости то-
вара составляет 5% в год.
Первоначальная себестои-
мость товара равна 800 руб-
лей. Какой станет себестои-
мость товара через 3 года?
©
Сумма членов бесконечной геомет-
рической прогрессии (Ьп)
в 3 раза больше ее первого
ТТ •»
члена. Найдите отношение —.
в 1,5 раза меньше ее первого
члена. Найдите отношение — .
Вариант В1
Вариант В2
26,
О
Сумма первых трех членов геомет-
рической прогрессии равна
168,
а сумма следующих трех членов
равна
Арифметическая и геометрическая прогрессии
47
702.	21.
а)	Составьте формулу л-ого члена.
б)	Найдите сумму первых пяти членов.
Найдите сумму бесконечной геомет-
рической прогрессии (Ьп), если
1	к 27	1
о. = —; q = — .
3	8	2
А _ 8 .	- 1
4 27’q 3
О
В геометрической
сп = 3; q = 0,5; Sn = 93.
Найдите и п.
О
В правильный треугольник
со стороной 3 см вписана
окружность, в которую впи-
сан еще один правильный
треугольник, и т. д. Найдите
сумму площадей треуголь-
ников.
прогрессии (сп)
c„ = 54;? = 3;S„= 80|.
О
В окружность радиуса 4 см
вписан квадрат, в который
снова вписана окружность, и
т. д. Найдите сумму длин всех
таких окружностей.
0
Решите уравнение на интервале
(-1; 1):
— + х + х2 + х3 + ... = 3 .	—-1 + х-х2 +х3... = —.
х	х	3
48
АЛГЕБРА
Степень с рациональным
показателем
С-17. ЧЕТНЫЕ И НЕЧЕТНЫЕ ФУНКЦИИ.
ФУНКЦИЯ у = Хп
Вариант А1	Вариант А2
о
Докажите, что функция f(x) является
четной, а функция g(x) — нечетной,
если
f(x) = х8 - Зх2;	/(х) = 2х6 - х4;
£(х) = х + р-’	g(x) = x5+-.
©
Постройте схематически график
функции
У = X6.	у = X5.
С помощью графика определите,
сколько решений имеет уравнение
х6 = 2.	х5 = -3.
©
По данному графику определите,
является ли данная функция четной
или нечетной.
О
Сравните числа:
Степень с рациональным показателем
49
а)	(-25)6 и (-24)6;
б)	(-25)7 и (-24)7.
а)	(-12)4 и (-16)4;
б)	(-12)5 и (-16)5.
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Исследуйте функции на четность
или нечетность:
б) /(х) = 2х4 - х2 - 1.	б) f(x) = Зх" - 2х‘ - 1.
О
Постройте схематцчески график
функции
у = X8.	у = х9.
Пользуясь графиком, сравните
z/(-3,8) и г/(-2,6).	z/(-4,2) и i/(-4,4).
0
Достройте график данной функции
на промежутке [-2; О], если данная
функция является
нечетной.	четной.
О
Определите количество корней
уравнения
xk = 2	xk = -21
при четном и нечетном k.
50
АЛГЕБРА
Вариант В1	Вариант В2
о
Исследуйте функции на четность
или нечетность:
a)	f(x) = |1 + х| + |1 - х|;	a) f(x) = (х - 2)2 + (х + 2)2;
б)	f(x)=x3~3x2 .	б) f(x)=x2~ix .
' ’ 2х - 6	v ’ Зх -12
о
Постройте схематически график
функции
у = —(х + I)5.	у = -х6 + 2.
Пользуясь графиком, решите
уравнение
-(х + I)5 =1.	-х6 + 2 = 1.
О
Используя свойства четности и нечет-
ности, постройте график функции
У = Хг + 2|х|.	у = х|х|.
О
Известно, что f(x) — четная функ-
ция, g(x) — нечетная функция.
Определите, является ли четной
или нечетной функция
У = ~f(x)-^(х).	у = |g(x)| \f(x).
С-18. КОРЕНЬ n-ой СТЕПЕНИ
И ЕГО СВОЙСТВА
Вариант А1	Вариант А2
О
Вычислите:
Степень с рациональным показателем 51
а)	</81 -ь </-125 ; б)	(</2)5 - </0,001 ; ©	a)	V64 + V- 2 7 ; б)	(</з)4 - </Ь,0001 ; в)^)б+3^.
Решите уравнения:
а) х4 = 625; б) 2х3 + 14 = 0.	а)	х6 = 64; б)	Зх5 + 15 = 0.
©
Найдите значения выражений:
ч /^7 W3 a) Vv64 + -• _ -; V3 б) ^0,001-Voj + V?.	ч /з/Х7 V96 а) <^64+^; V3 б) 5/0,04 ;о,2 + VF.
О
Сравните числа:
V2 и VI.	со S
0
а) Внесите множитель под знак корня:
2</7 .	3^2 .
б) Вынесите множитель из-под знака
корня:
</32 .	</81 .
Вариант Б1 о	Вариант Б2
Вычислите:
х L19	- — 	, 61	1	
а) V 32	’	а) з1	V-0,00032 ; V 64
52
АЛГЕБРА
б) V(-5)4+(^5)‘;	б) ^/(-7)6 +(^)Э;
в) V29 • З6 +V27-48 .	в) л/з8 • 212 + V25 135
О Решите уравнения:	
а) — х3 + 36 = 0; 6	а) 49 + -х3 =0; 7
б) 2х4- 8 = 0.	б) Зх6 - 18 = 0.
©	
Упростите выражения:	
a) 7V? + \/б4с30 (с > 0);	a) VV? + V32c25 (с >
б) V2	б) </27.^-^-. V3
О Сравните числа:	
V5 и 7з.	V3 и V2 .
©	
а) Внесите множитель под знак	
корня:	
х^Зх , где х > 0.	х^2х2 , где х > 0.
б) Вынесите множители из-под знака	
корня:	
V128a8 , где а < 0.	\/243а6 , где а < 0.
Вариант В1	Вариант В2
о	
Вычислите:	
а) з/42- + </8 162-^^-; V 8	V5	а) д?+^54'32- V oz
б) ^(-2)в -(‘4?)*;	б) ^(-3)s	;
V162
0);
Степень с рациональным показателем
53
в) л/б + 2^5  ^6-2^5 .	в) V10- 2\/17  V10 + 2>/17 .
0
Решите уравнения:
а)	— х5+ —= 0;	а) — х3+ —= 0;
32	243	125	216
б)	х8 - 15х4 - 16 = 0.	б) х8 + 7х4 - 8 = 0.
О
Найдите значения х, при которых
верны равенства:
a)	3V2x - 4 + 6 = 0;	а) 4^/Зх + 6 -12 = 0;
б)	Vx-3Vx-4 = 0.	б) Vx-5Vx-6 = 0.
О
Сравните числа:
-ТзЖ и -V5.	-i/з и -^6^2 .
О
а)	Внесите множители под
знак корня:
ху\/-х , где у > 0.	-ху^ , где х > 0.
б)	Вынесите множители из-под
знака корня:
tl-80a5b6 .	V-162a7^16 .
С-19. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА
СТЕПЕНИ С ДРОБНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вариант А1	В а р и а н т А2
О
Представьте степени с дробным
показателем в виде корней:
i	1
а)	2а3 ;	а) ЗЬ2;
54
АЛГЕБРА
з
б)	(2а)"4.
_2
б) (3d)"3.
0
Замените арифметические корни
степенями с дробным показателем:
a) V72; 1	a) V24 ; _ 1
б) -f=.	б) ТТ
yjX	л/с3
©	
Вычислите:	
1 1	1 1
___	II 	-W  И	1^»
а) 9 6•9 : 93;	а) 4 3 • 4 : 46;
- Г -- у3	1 ( _1 у
	
б) 254 - б’6	;	б) 272 • з"4
	
1	1
в) f—-92>|4.	в) f— -8’1)5
<16	)	<125	)
О	
Упростите выражения:
а)	(8х““’3р;	а) (81</““л)4;
(	Гл?
б)	а2'5 • а 11 .	б) б3'5 • й’18 .
©
Определите, при каких значениях у
имеет смысл выражение
Вариант Б1	Вариант Б2
О
Представьте степени с дробным
показателем в виде корней:
Степень с рациональным показателем
55
3
а) 4х 7 ;
5
а)	5х 6;
б)	(4л)1 .
б) (5х)2,5.
Замените арифметические
корни степенями с дробным
показателем:
а)
б)
1Ч2а2 ;
1
а)
б)
а)
б)
Вычислите:
2
1001’3  юо’15
2
1003
5
1Т4
9 J
( з\2
• 3 4 h
в) |— 0,09
U9
.-0,5
а)
б)
5
251,25 • 25 12
25s
5
1 Г9 I
8 J I
в) f— 0,16
36
.-0,5
Упростите выражения:
а) (16а1-6 р;
2
а) (32а2’5)'3;
-11 5
б) а 2 д6 •
1 \3
а0,5 • Ь18
б) а 3 • £0’75 • а3  Ь16
1
/ ? Y
• 2 9
Определите, при каких
значениях у имеет смысл
выражение
_3	1
(z/-2) 4 +(1+1/)2.
1	2
(*/-2р +(i/ + 3)5 .
56
АЛГЕБРА
Вариант В1	Вариант В2
О
Представьте степени с дробным
показателем в виде корней:
а)-3х-"5;	а) -2х-2'125;
3	3
б) (ж — j/)s.	б)(х + г/)’.
е
Замените арифметические корни
степенями с дробным показателем:
а)	а\12аУа ;	а) ауЗау/а ;
б)	, 1	.	б)	*— .
^16д2д4	^9а2Ь3
0
Вычислите:
О
Упростите выражения:
Степень с рациональным показателем
57
©
Определите, при каких значениях у
имеет смысл выражение
Г 6-7у + у2¥	( 3-2у-у2 Y4
I У-1 J *	I Z/ + 3 J
С-20. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТЕПЕННЫХ
ВЫРАЖЕНИЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ
ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Вариант А1	Вариант А2
О
Упростите выражения:
а)	2 a3Ja t	3 а4	
		а)	1 ’
б)	а6 /2	5 \ 1 1 X3 + у3 Х31/3 .	б)	а12 ( 5	1 А 3 3 X4 - у4 Х41/4
©
С помощью формул сокращенного
умножения преобразуйте выражения:
а) ^2а2 - Ь2	V 1	1А 2а2 + Ь2 ;	а)	/ 1 1 а2 + 3d2	1	1 А а2-ЗЬ2 ;
С 1	2 > б) ! а2 + а3	2	б)	< 1 4 Y а5 - а5 1	7	•
1 (х-1/)х3	© Сократите дробь:			1 4
2 • (х0,5 + 1/0,5)х3	(			3 х-у)у4	
58
АЛГЕБРА
Вариант Б1	Вариант Б2
Упростите выражения:
а)
б) х^у^х^ + у^-у.
©
Преобразуйте выражения:
/ 1 1 \
х а4 + Ь4
Г -	-
б) а4 + За2 - \/а - 9а3.
©
Сократите дробь:
3	1 1
х4 - Х21/4
~з Т Г ’
х4 -х4г/2
( - -
б) За4 + а4 -6а .
2 1
х - х3у3
1 2
х - х3у3
Вариант В1
Вариант В2
Упростите выражения:
Степень с рациональным показателем
59
б)
2	2
X Зу 3
2	2
X3 + у3
х
б) X 4у 4
х4 - у4
X
X
2	2
X 3 - у 3
х х 4 + у 4
Преобразуйте выражения:
Л 2	1 \2 Z 9	1 \2
а) а3 + 2а3
а3 - 2а3
Л 4
а) За5
4
За5
Л 2	2
б) а3 + Ъ3
4	2 2	4 А
а3 - а3Ь3 + Ь3 .
б) а6 — Ь6
а3 + а6Ь6 + Ь3 .
©
Сократите дробь:
1	-2
X3 + X 3
х + 2 + х"1 ’
К-6. СТЕПЕНЬ С РАЦИОНАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Вариант А1
Вариант А2
Вычислите:
2'3 • 20,5
/— li
V5-5 3 .
5	’
а)
56
з

60
АЛГЕБРА
о
Представьте в виде степени
с основанием х:
Сократите дроби:
1,5 _ „0,5	0,2
. Л- Л	\ Л
а) X0 5	;	а) ?2+х0’2 ;
о
Решите уравнение:
(j/-l)S=2.	(1/ + 2)5=3.
1 1
^х2у2 +у
Упростите выражение:
х2 + у2 ) у2
г
X2	у
1'1 11
^х2 ~ у2 х-х2у2 ?
1 1
X2 +у2
~г
Вариант Б1
Вариант Б2
о
Вычислите:
Степень с рациональным показателем
61
а)
Vx-Vx3 ;
б)
XX4
W
Представьте в виде
с основанием х:
степени
а)
б)
_з
XX8
(Я 
х 
™/х  W ;
х •
Сократите дроби:
а)
х + 2х°’5 .
х1’5 + 2х ’
а)
4
х3-3х
х - Зх3
б)
а0’5 + 2а°’25Ь0’25 + д0’5 ’
б)
а3 - 2а6Ь6 + Ь3
2 1
а - а3Ь3
Решите уравнение:
„0,8	1,2	„0,8 „0,2 О _ п
*v * Л	Л 'Л-	хи —- V •
х1,5х0,5
-3 = 0.
0
Упростите выражение:
х - X3
2
k х3 -1
з
X + X3
2 *
1-х3
1 + 2х3 -
X3 + 1
2
1-х3
Т •
1-х3
Вариант В 1
Вариант В2
Вычислите:
2
9-0.5.275
а) --------- 5
^/3
1
62
АЛГЕБРА
б)
( 4	3 V
83 - 3 4
181
0
Представьте в виде степени
с основанием х:
б) VxVx7 .
б)
2 1	12
x3z/3 - хАу3 + у е
X + у
О
Решите уравнение:
2х3 ~	= 20 •
4х-у[у + х-у
х-2^ху + у
Зх3 + 2х^~ = 5 .
О
1-< 1 со гН	Н 1	+ Н d 1 со н	Упростите ( 1 > _х^_ _ 1 х-1Н 1 , 1	Х3-Ь	выражение	г: < 1 1 ' х3	Зх3 -1 х +1 i	Х+1	~ ^х3 - X3 + 1	) х3 -1
Тригонометрические выражения и их преобразования
63
Тригонометрические
выражения и их
преобразования
С-21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Вариант А1 о	Вариант А2
Вычислите:
a)	cos 0° - 2sin 90°; б)	4tg45° + sin 2 70°.	a)	2sin0° - cosl80°; б)	3ctg45° + sin90°.
©
Найдите значение выражения:
sin a + cos 2a при a = 30°.	a cos a - sin— при a = 60°.
©
Укажите три значения при которых
cosp = -1.	sinp = -1.
О
Объясните, может ли cos а прини-
мать значение, равное
V5-1.	1-2V2.
Вариант Б1 о	Вариант Б2
Вычислите:
a)	sin 30°cos 60° - sin2 4 5°; 6)	2cosl80° - sin2 270°.	a)	cos30°sin60° + cos2 45°; 6)	3sin90° - cos20°.
64
АЛГЕБРА
Найдите значение выражения:
(X
tga ctg — + cos3a при a = 60°.
2
tg2actga - sin За при a = 30°.
Укажите три значения p, при
которых
>/з
sinp = —
н 2
cosp = —.
2
3cosa - 2.
Найдите наибольшее и наименьшее
значения выражения
1 + 4sina.
Вариант В1
Вариант B2
Вычислите:
. 2 sin 30° cos 0°
a) ------------;
tg 30° sin 60°
6) (ctg 45° - cos 270°) sin 90°.
. 2 cos 60° sin 90°
а) ---------------;
ctg 60° cos 30°
6) (tg45° + sin 180°) cos 180°.
Сравните с нулем
cos a - sin(a + 15°)tg(a - 15°)
при a = 45°.
значение выражения:
sin a - cos(a + 15°)ctg(a - 15°
при a = 45°.
sinp = cosp.
|2 - 3cosa|.
Укажите три значения P, при которых
tgp = ctgp.
Найдите наибольшее и наименьшее
значения выражения
3 - 4|sina|.
Тригонометрические выражения и их преобразования 65
С-22. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ.
РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Вариант А1	Вариант А2
о
Вычислите:
а) 2sin — - tg— ; 3	6	а) 2cos — -ctg—; 6	3
б) cos 2л+ 2 ctg .	б) sin— - 2tgл . 2
©
Определите знак выражения:
a)	since tga, если a — угол а) cosactga, если a — угол
четвертой четверти;	второй четверти;
б)	cos 812°.	б) sin 905°.
©
Найдите значение выражений:
а)	sin(-45°);	а) cos(-60°);
«а , 9л	х 7 я
б)	ctg—.	б) tg—.
4	3
Объясните, имеет ли смысл
выражение
Vcos2a , если a = 230°.
се
sin— , если a = 520°.
2
Вариант Б1
о
Вычислите:
ч . ТС . 71	ТС
а) sin-tg--ctg-;
3 3	4
Вариант Б2
ч ТС ТС ТС
а) cos — ctg — — tg — ;
6	6	4
J Сам. и контр, алгебра, геометрия 9 кл.
66
АЛГЕБРА
Зл , л о) COS	ctg — + Sin Л . 2	2	71 б) sin л + tg 2л: - cos— . 2
е
Определите знак выражения:
ч sin a cosа a) 	, если а — угол ctg а второй четверти;	ч sinatga а) 	2—, если а — угол ctg а третьей четверти;
_ л 71	Зл б) tg — • cos —. 7	5	_ 6л , 9л б) cos — tg—. 7	8
©
Найдите значения выражений:
a) sm(-765°);	а) cos(-750°);
х 25л б) ctg-—. о	х 17л б) tg —. 4
О
Определите, в каких координатных
четвертях значение выражения
отрицательно:
cos a tga	sin a ctg a
Вариант В1 о	Вариант B2
Вычислите:
. ' л . л . л а) cos —sin —ctg—; 6	4	3	. , л л . л а) tg —cos —sin—; 6	4	3
х a 2 . Зл 1 б) tg2K—sm	— cos л. 3	2	3	б) 2ctg-^-3cos^-+ 5sin0 .
©
Определите знак выражения:
Тригонометрические выражения и их преобразования
67
ч cos a + tg a
а)		, если a
ctg a
угол второй четверти;
4л 5л
sin — cos —
б)	—Ц—5-.
tgT
. sina + ctg a
а) -----------, если a
tga
угол четвертой четверти;
Зл . 4л
cos — sm —
б)	—5	5 
6л
ctgT
ч , ( 13л:Л .
а)	tgl—— Ism
Найдите значение выражений:
а) ctg I —— Icos
13л
3
25л
6
б)	cos(-765°) - sm(-405°).
б) sin(-1125°) - cos(-405°).
Определите, в какой четверти
может лежать угол а, если
|sina| = -sina.	|tga| = -tga.
С-23. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ
Вариант А1
о
Найдите
8
cos а, если sina = — и
17
л
 < a < л .
2
Вариант А2
5
sm а, если cos a =-------и
13
Зл
л <
Упростите выражения:
а) tgactga - sin2a;
a) cos2a - tgactga;
68
АЛГЕБРА
_ cos2 а - 1 б)	2 cos а	1 - sin2 а б) . 2 sin а
©
Докажите тождества:
a)	(1 + tg2a)cos4a + sin2a = 1; 1 - sin2 а ,	1 б)	tga = 1. sin a cos а	а)	(1 + ctg2a)sin4a + cos2a = 1; 1 - cos2 a ,	n 6)	ctg a = 1. sin a cos a
Вариант Б1 о	Вариант Б2
Найдите значения тригонометрических
функций угла а, если
12 Зя cos a = — и — < a < 2л:. 13	2	15 л sin a = — и — < a < n . 17	2
0
Упростите выражения:
a)	|		1 |- ctg2 a ; ^cos a J 6)	tga ctg a - (tga cos a)2.	. (	1	-.1,2 a)		2	1 • tg2 a ; <sin a ) 6)	tga ctg a - (ctg a sin a)2.
О
Докажите тождества:
a)	sin4a + 2cos2a - cos4a = 1; _	sin a	sin a 6)	= 1 + cosa 1-cosa = -2 ctg a.	a)	cos4a + 2sin2a - sin4a = 1; cosa	cosa o, 6)	= 2 tga. 1-sina 1 + sina
Вариант B1	Вариант B2
О
Найдите значения тригонометрических
функций угла а, если
Тригонометрические выражения и их преобразования
69
8	Зл tg а = — и л < а < — . 15	2	12 Л ctg а =	и — < а < л . 13	2
©
Упростите выражения:
. 1-sina cosa а) -	-	.	; cosa 1 + sina б) cos2 а +	: tg а . 1 + ctg a )	. sin a 1 + cosa a)	-	.	; 1-cosa	sin a 6)	sin2 a + 		:	ctga	. 4	1 + tg2 a J
©
Докажите тождества:
. cos4a-sin4a	,	1 a)		2	+ 2tg2a =—— ; cos a	cos a 6)		= sin a . tga + ctga	. sin4a-cos4a _ 1 ,	1 a)		—	+ 2ctg2a = — sm a	sm a CtSa	2 6)		= cos a . tga + ctga
С-24. ФОРМУЛЫ	ПРИВЕДЕНИЯ
Вариант А1	Вариант A2
О
Представьте выражения в виде
тригонометрической функции угла а:
a)	cos (180° - a); f 3л > 6)	tgl — + a 1.	a)	sin (360° - a); X [	| 6)	ctg - + a . \	J
©
Найдите значения выражений:
a)	sin210°; , 3л 6)	ctg — . 4	a)	cos300°; „ ж 5л 6)	tg—. 4
70
АЛГЕБРА
Упростите выражение:
с . (Зл	f 3л
--a -sin—+a . to,
i J 12 J 12
tg-----а зт(тг-а) + соб(л + а).
Вариант Б1
Вариант Б2
Упростите выражения:
а)	sin(270° - a) - cosQSO? + a);
6)	tg(-^ + a j+ctg(2jr - a).
a)	sin (90° + а) + cos(360° - а);
б)	tg(jr + a)-ctg
Зл
- - а
2
a)	sin 840°;
, ( 11л
6)	Ctg----—
k o
Найдите значения выражений:
a)	cos (-600°);
, 15л
6)	tg—
J	4
Докажите тождество:
)-ctgla--
sin(n-a
1 + cos(-a)
= tg(n+a).
cos(2tt - a) - tg a -
Вариант В1
Вариант В2
a) tgf—-1 |sin(rt-l) +
12 J
Упростите выражения:
a) ctg(rc- 3)cos( — - 3
. (3 л
- sin — + 3 ;
I 2 J
Тригонометрические выражения и их преобразования
71
б) 1 - sin(a - л)х
б) 1 - cos a - — х
I 2 J
х sin
x cos(a + 7r)ctg
Найдите значения выражений:
a)	sin (-69(b);
’	. 21л
б)	ctg——.
4
а) cos 1020°;
Докажите тождество:
♦ [ ТС	1 гх	I 7Г ।	. ( ТС
sin —a -cos— + a =0. cos — + a -sm—a =0.
16 J 13 J	6	1	(3	)
К-7. СВОЙСТВА ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ
ТОЖДЕСТВА. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Вариант А1
о
Вычислите:
а)	2 cos 30° + tg | - — |;
к 3 J
5тт
6)	ctg у - sin 225° .
Вариант A2
а) 2 sin 60° + ctg
7л
6) cosy+ tg540° .
0
Упростите выражения:
а) (1 - cos2a)(l + tg2a);
6)
• 2
+ sm a.
а)	(1 + ctg2a)(l - sin2a);
6)	tg(n + a)ctg(2n-a) +
+ cos2 a.
72
АЛГЕБРА
О
Известно, что
sina = 0,6 и 90° < а < 180°.
Найдите tg(180° + a).
cos a = 0,8 и 270° < a < 360°.
Найдите ctg (90° - a).
О
Докажите тождества:
2	j 2
а) 1 + tg2 a = tg a ;	а) 1 + ctg2 a = C g a ;
sin a	cos a
cosa-cos3a . (3л	A „ sin3a-sina (3л
------6) cos2 a =C0Sk-"
©
Объясните, существует ли угол а,
для которого
3	1
sina = — и cosa = — .	tga = 0,4 и ctga = 2,5.
Вариант Б1
Вариант Б2
о
Вычислите:
а)	2 sin 60° + ctg^—— cos 0 ;
6)	V3cos -sin570°.
1	I Л
a)	cos 30° + —tg — — cos л ;
2 I 3 J
t— 7л
6)	V3cos—+ cos(-480°) .
л
3
Упростите выражения:
a)	sin4a + sin2acos2a - sin2a;
6)	—rr----
cos (л-a
(л
'' ”°12
a)	cos4a + sm2acos2a - cos2a;
6)	“V--------?+
sm ^л + a)
+ tg(jt + a)ctgI 2л - a).
k (л	Y f 3л	]
+ ctg----a tg — + a .
12	j I 2	J
Тригонометрические выражения и их преобразования
73
©
Известно, что tga = — и 180° < a < 270°. 4 Найдите cos (180° + a).	4 ctga = — и 270° < a < 360°. 3 Найдите sin (270° + a).
о
Докажите тождества:
.	cos2a	, 4 a)	, 2	.2 =ctg a; tg a - sm a «4	1 6)	sin X = sinx = cos(x - 2л) ctg (x - л).	4	sin2 a	x 4 a) 2	2 = tg a; ctg a - cos a _ 1 o)	COS X = COSX (	Л ± (3л = cos x — ctg	x L k	2J I 2	)
©
Объясните, существуют ли углы аир,
для которых sinp = sina + cos a и cosp = sina - cos a.	tgP = sin4a - cos4a и ctgP= .2	2 • sm a - cos a
Вариант B1 о	Вариант B2
Вычислите:
sin(-45°)cos315° + sin 630° a)—-——z	x	; , ( л , ( 13л tg -- Ctg —— k о J k 6 )	cos(-45°) sin405° - cos 900° a)—		; , [ л ] , ( 7л ] tg -- ctg - — \ О )	\ О J
— v ч	ТС	о ft 6) 1 + COS— + COS — + 3	3	6) 1-sin—+ 6
q 71 + COS — + ... 3	• 2 ft • 3 ft + sin —sm —+ ... 6	6
©
Упростите выражения:
a) cos4 a + cos2 a sin2 a + + sin2a + tg2a;	a) sin4 a + cos2 a sin2 a + + cos2a + ctg2 a;
74
АЛГЕБРА
б) ---—-------------
1 + tg2(2n:-a)
б)
1 + ctg2 (л + a)
Известно, что
2cos2a - 5cosa + 2 = 0 и
270° < a < 360°. Найдите
+ ГЗл
tg —+ a
\	J
4sin2a - 8sina + 3 = 0 и
90° < a < 180°. Найдите
+ Г 3л
ctg, Y + a
о
Докажите тождества:
) cos(a-2n)cos2(270° + a)	sin(a - n:)sin(90o + a)
tg(a - n)sin(90°+a)	, ( л^ 2/0™o	\
'	' v 7	ctg a-- cos (270°-a)
= sinacosa;	\	2 J
= ctg2 a;
6) sin6a + cos6a + 3sin2acos2a =	6) (1 - sin4a - cos4a)(l + tg2a) =
= 1.	= 2sin2a.
0
Найдите значение выражения
4 sin a-cos a	x . 3cosa + 4sina
------------, если tga = 4.	-----------, если ctg a = 3.
sina-3cosa	cosa-2sina
С-25. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Вариант A1
о
Вычислите:
а) cosl8°cosl2° - sinl8°sinl2°;
Вариант А2
а) sin22°cos23° + cos22°sin23°;
Тригонометрические выражения	и их преобразования	75
б) sin 15° (указание: 15° = 45° - 30°).	б) sin 75° (указание: 75° = 45° + 30°).
©
Упростите выражения:
a) sin(a + Р) -	a) cos(a-P)-
. (Я	V о - sin —a sinp; <2	)	(я	V - cos — a sinp; <2 J
cos 4a cos a + sin 4a sin a 6) 	. sin 3a	_ sin5acos2a-cos5asin2a 6) 	. cos 3a
©
Докажите тождество:
, [ Я	1	( Я	] sm — + a = cos —a . U	)	<4	)	Я	I	. I Я	1 cos — + a = sin — a . U	J <4	)
Вариант Б 1	Вариант Б2
О
Вычислите:
. cos 70° cos КУ + sin70psinl0° a) 	; sin 50° cos 10° + COS509 sin 10°	. cos 25° cos 5° - sin 25° sin 5° a)	; sin 35° cos 5° - cos 35° sin 5°
6) cos 105°.	6) sin 165°.
©
Докажите тождества:
cos(a-B) a) 			-7 = ctga + tgp ; smacosp	sin(a-P) a) 			= tga - tgp ; cosa cosp
• (Я	. f я ) 6) sin — + a + sm —a = 16 J 1б J	{Я	(я 6) cos	a -cos —+ a = (6	)	16	J
= cos а.
= sina.
76
АЛГЕБРА
О
Известно, что tga = 2,
tgp = 1. Найдите tg(a + Р).	Найдите tg(a - Р).
Вариант В1 о	Вариант В2
Вычислите:
. Зл ' л	Зл . л sin — cos — + cos—sin— а)	4	12	4	12 . sinl5°	. л	Зл	л . 3л sin — cos — + cos—sm— a) . 10	20	10	20. cos 15°	’
~ n о) cos — + a , если <6 J tga =—90° < a < 180°. V3	[71 o) cos — a , если (3 J ctga = —1=, 90° < a < 180°. V3
О
Докажите тождества:
ч ( л	f 5л a) cos — + a cos	a - <12	)	(12 J	a) sin(— + a |cos| — + a <6	) (з J
. f л	. 5л	_ (12	J	(12	J 6) sin(a -P)sin(a + p) = = sin2 a - sin2 p.	5л	V (л	A 4 -cos — +a sin — + a = 1; I 6	J (3	J 6) sin(a-P)sin(a+P) = = cos2 p - cos2 a.
©
Известно, что
ctga = i, tg(a +P) = 1. О Найдите ctgp.	ctgp =-|, tg(a-p) = -l. Найдите ctga.
Тригонометрические выражения и их преобразования 77
С-26. ФОРМУЛЫ ДВОЙНОГО
УГЛА
Вариант А1 о	Вариант А2
Вычислите:
2 ТС	. 2 ТС cos	sin — . 12	12	О . л	Л 2sin—cos— . 8	8
©
Упростите выражения:
у» О ЛО а)		2 sin 20° cos 20°; 2 cos 40°	.	cos 100° a)	 cos 50° + sin 50° -(cos2 25° - sin2 25°);
6) cos—-sin—|x I 8	8 J	- / n	• n \2 sin 8a 6) (cos 2a + sin 2a)	. '	2 cos 4a
а	. а о . а
х cos—+ sin — '2sin —.
<8	8 J 4
©
Известно, что sin a = 0,6 и a — угол первой четверти. Найдите cos 2a.	cos a = 0,8 и a — угол первой четверти. Найдите cos 2a.
о
Докажите тождество:
2tga (	2	• о 	5— 2 cos a -1 = sm 2a. l-tg2av	7	sin2a _ 2tga l-2sin a l-tg2a
Вариант Б 1 о	Вариант Б2
Вычислите:
sin 7 5° cos 75°.
4cos2210° - 4sin2210°.
78
АЛГЕБРА
©			
Упростите выражения: . sin210° + cos 20°	ч а) 	:	а)		sin 40°	. 2 	sm2	20°:
0,5 ctg 10° о) 2sm — + cos— . 4	2	б)	2tg20° 2 cos2 2a - cos 4a .	
© Известно, что 5 тс sina = —, — < а < тг.	12 Зл cos a = —, — <		a < 2л
13 2 Найдите tg2a.	13 2 Найдите tg2a.		
О
Докажите тождество:
о l-tg2a . n	n 2tga _
tg 2a---— = sin 2a .	ctg 2a----5— = cos 2a .
1 + tg a	1 + tg a
Вариант В1 о	Вариант В2
Вычислите:
- о . 2	2 ТС 1-8 sm — cos — . 16	16 ’	О*	\	4	• 4 2sm— cos	sin — . 12 (	24	24 J
©
Упростите выражения:
a) sin a cos3 a - sin3 a cos a;	a)(cos2a - sin2a)2 - - 4sin2a cos2 a;
6)	1 + cos 8a sin2 2a - cos2 2a	1-cosa 6)		. . a a sin —cos — 4	4
©
Известно, что
a ctg — = 4 . Найдите tg(7i - a). 2	ctg2a = -. Найдите tg(2n - 4a). 3
Тригонометрические выражения и их преобразования
79
Докажите тождество:
1 + cos 2a	x 2	1 - cos 2a , 2
---------= ctg a .	---------= tg a .
1 - cos 2a	1 + cos 2a
С-27. ФОРМУЛЫ СУММЫ И РАЗНОСТИ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Вариант А1
Вариант А2
Представьте в вице произведения:
a)	cos 2а + cos 8а;	a) sin 5а + sin За;
б)	sin 82° - sin 22°.	б) cos 74° - cos 14°.
Разложите на множители:
sina + sin 2a + sin 3a.	cos a + cos 2a + cos 3a.
Докажите тождество:
cos a - cos 3a
-------= tga .
sina + sm3a
sina-sin3a , n
-----------= ctg 2a .
cos 3a - cos a
Вариант Б1
Вариант Б2
Представьте в виде произведения:
а) 2sinacosa + sin 4a;
5л	Зл
б) cos----cos—.
12	12
а)	cos2 a -sin2 a + cos 6a;
6)	sin — - sin — .
4	12
Разложите на множители:
1
— cos 2a .
2
х/2	• л
------s±n 4a .
2
80
АЛГЕБРА
©
Докажите тождество:
sin а + sin 2а 4- sin За ± п 	= tg 2а . cos а + cos 2а + cos За	sin За + cos 2а-sin а	х _ 		 ctg 2а . cosa + sin2a - cos За
Вариант В1 о	Вариант В2
Вычислите:
. cos59°-cosl° а)		; sin 59° - sin 1° „ . 71	. 5л	71 б)	sin— 4-sm	cos—. 18	18	9	ч cos 89° + cos 1° а)		; sin 89° + sinl0 _.ч	17л	7л	5л б)	COS	+ COS	cos—. 36	36	36
©
Упростите выражение:
sin a-sin 3a + sin 5a -sin 7a cosa + cos3a + cos5a 4-cos7a	cosa - cos3a i-cos5a - cos7a sina 4- sin 3a 4- sin 5a 4- sin 7a
©
Докажите формулу:
cos a cos P = = — (cos(a - p) + cos(a 4- p)). 2	sin a cosP = = |(sin(a-p) + sin(a+p)).
К-8. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
И ИХ СЛЕДСТВИЯ
Вариант A1 о	Вариант A2
Найдите значения выражений:
a) 2sinl5°cosl5°;	a) cos — sin — ; 8	8
Тригонометрические выражения и их преобразования
81
б) sincos cossin . б) cos76°cosl6° + sin76°sinl6°.
24	8	24	8
©
Упростите выражения:
a)	2tga(l - sin2a);	а) 2ctga(l - cos2a);
cos5a + cosa	sin5a-sina
б)	---------------------. б) ---------------------------.
cos 2a cos a - sin 2a sin a	sin 5a cos 3a - cos 5a sin 3a
©
Известно, что аир —
углы четвертой четверти,	углы второй четверти
5	о 3 sina =	, cosp = — . 13	5	12	4 cosa =	, sin В = —. 13	5
Найдите sin (a + 0).	Найдите cos (а + 0).
О
Докажите тождества:		
а)	cos 3a sm3a 	= -2 ;	а) cosa sina	cos 3a sin 3a „ , n 	+	= 2 ctg 2a ; sina cosa
б)	l-cos4a , 	= tg 2a .	6) sin 4a	sin 4a *	, _ 	= tg 2a . 1 + cos 4a
	© Объясните, существует	ли
значение х, при котором
sin2x - cos2x =-1,2.	sinxcosx = —.
9
Вариант Б1
Вариант Б2
Найдите значения выражений:
a) sin2105° - cos2105°;			a) 8sinl65°cosl65°;		
	, 5л	л	5л	Л	
	sm —	- sin —	cos — + cos	—	
6) 		12	12	6) 	12		12	
	л л	. Л . Л	Л	Л	л .	л
cos	— cos —	- sm —sin —	cos —cos— + sm	— sm	—
	6	12	6	12	3	12	3	12
82
АЛГЕБРА
Упростите выражения:
а)	(1 - cos 2a)ctga;
cos 6a sin 6a
6)	+ 2.
cos 2a sin 2a
а)	(1 + cos 2a)tga;
sin 9a cos 9a _
6)	2.
sin 3a cos 3a
Известно, что
12	Зл
sin a =---, л < a < — .
13	2
Найдите tg a - — .
4
5	3л
cosa =----, л < a < —.
13	2
TT „	, ( Я ''l
Найдите tg a + — .
4
Докажите тождества:
. sin 3a + sin a sin 4a
a) ------------=----------; j
cos 3a + cos a 1 + cos 4a
sin (a - p) + 2 cos a sin p
2cosacosP - cos (a ~P)
= tg(a + |3).
©
Вычислите:
sin20p(8cos20°cos40pcos80° - 1).
а)
б)
sin3a-sina _ sin4a
cos3a-cosa cos4a-1
sin(a + P) - 2cosa sinP
2cosacosp -cos(a + p)
= tg(a-p).
4sin25°cos25°cos50° - sin80°.
Вариант В1
Вариант В2
Найдите значения выражений:
. , 7л х 7л
а) tg — -ctg—;
О	о
2 sin2 49°-1
а)
б)
cos 53° - cos 37°
б)
Зл , Зл
ctg —-tg- ;
О о
sin 12° - sin 48°
l-2cos2 54°
Упростите выражения:
Тригонометрические выражения и их преобразования
83
(1-sin a)(sin4a - sin2a) а) 				; cos a + 2 cos 3a + cos 5a ( sina cosa ^sin7a + sina 6) 	+	 	—	. V cos 2a sin 2a ) cosa	fl - cos2 a)(cos4a - cos 2a) a) sin a - 2 sin 3a + sin 5a ( sina	cosa Vosa-cos7a 6) . _	9 		• sin 2a cos 2a J sina
©
Известно, что 1 cosa = —, n < a < 2л . 9	1 3л cos a = —, — < a < 2л . 8 2
Найдите sin —.	TT „	a Найдите cos —.
о
Докажите тождества:
a)	cos2(a - P) - sin2(a + P) = = cos2acos2P; 6)	sin 3a = 3sina - 4sin3a.	a)	sin2(a + P) - sin2(a - P) = = sin2asin2P; 6)	cos 3a = 4cos3a - 3cosa.
©
Найдите наибольшее и наименьшее
значения выражения:
<3 sina + cosa .	sina - V3 cosa .
С-28*. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1 о	Вариант 2
Вычислите:
a)	cos 20° cos 40° cos 80°; 6)	cos 36° - sin 18°; в) tg 1° tg3°tg50-... tg89°.	a)	sin 10° sin 30° sin 50° sin 70°; 6)	sin 54° - sin 18°; в)	ctg 2° ctg 4° ctg 6° ..ctg 88°.
84
АЛГЕБРА
0
Известно, что sina - cos a = а.
Найдите sin3 a - cos3 a.
©
Известно, что sin a + cos a = a.
Найдите sin 2a.
©
Найдите tgx, если
cos2x - 3cosxsinx +1 = 0.
sin2x + 3sinxcosx + 1 = 0.
О
Докажите тождество:
sin4 a + cos4 a -1 2	1 - sin6 a - cos6 a 3
sin6 a + cos6 a -1 3	1 - sin4 a - cos4 a 2
©
Определите, какие целые значения
может принимать выражение
2 sin х - 3 cos х.	sin х + 2 cos x.
©
Пусть a, P и у — углы треугольника.
Докажите, что:
4 sin a	, _ a)		= ctg p + ctg у; sin p sin у 6)	sin a + sin p + sin у = A CL p Y = 4cos —cos —cos—. 2	2	2	. sin y ,	, D а)		—- = tga + tgp ; cos a cosp 6)	sin 2a + sin 2p + sin 2y = = 4 sin a sin P sin y.
О
Разложите на множители:
а)	1 + cos a + sin а;	а) 1 - cos a + sin a;
б)	1 - 4 sin2 a.	6) 3 - 4 cos2 a.
©
Найдите острые углы аир
прямоугольного треугольника,
если
sin 2a - sin (3a - P) = 1.	cos a + sin (a - P) = 1.
Годовая контрольная работа
85
К-9. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
Вариант А1	Вариант А2
о
Решите уравнение:
х4 - 13х2 + 36 = 0.	х4 - 65х2 + 64 = 0.
0
Решите неравенство:
Зх2 + 2х - 1 > 0.	Зх2 - 5х - 2 < 0.
0
Решите систему:
Гх - р = 2,	| х + у = 3,
[х2 - ху + у2 = 7.	[х2 - ху - у2 = 1.
О
Постройте график функции
у = 4х - х2 - 3.	у = 6х - 8 - х2.
Найдите промежутки возрастания
функции.
0	0
Сумма трех чисел, состав-	Сумма трех чисел, составля-
ляющих арифметическую	ющих арифметическую про-
прогрессию, равна 12, а про-	грессию, равна произведе-
изведение первого и второго	нию первого и второго чисел
чисел равно 8. Найдите эти	и равна 15. Найдите эти три
три числа.	числа.
0
Докажите тождество:
sin За + sin а ,	sin 6а-sin 4а
-----------= tg 2а .	------------= tg а .
cos За + cos а	cos6a + cos4a
86
АЛГЕБРА
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Решите уравнение:
(х2 - 5х)2 - 2(х2 - 5х) -24 = 0.	(х2 - Зх)2 - 2(х2 - Зх) - 8 = 0.
О
Решите неравенство:
х3 + 2х2 с Зх.	х3 - х2 > 2х.
©
Решите систему:
х2 + у2 = 26,
ху - 5 = 0.
х2 + у2 -13 = 0,
ху - 6 = 0.
О
Постройте график функции
у = 4х - 2х2 + 6.	у = 0,5х2 - Зх + 2,5.
Найдите промежутки убывания
। функции.
©
Разность между первым и
вторым членами убываю-
щей геометрической про-
грессии равна 8, а сумма
второго и третьего ее членов
равна 12. Найдите первый
член и знаменатель про-
грессии.
©
Разность между вторым и
первым членами возрастаю-
щей геометрической про-
грессии равна 6, а разность
между четвертым и первым
ее членами равна 42. Най-
дите первый член и знаме-
натель прогрессии.
©
Докажите тождество:
(sin а + sin За) (cos а - cos За)	(sin За - sin а) (cos За + cos а)
1-cos 4а	l + cos4a
= sin 2а.	= sin 2а.
Годовая контрольная работа 87
Вариант В 1	Вариант В2
О
Решите уравнение:
(х - I)4 - 5(х2 - I)2 +	(х - 2)4 - 5(х2 - 4)2 +
+ 4(х + I)4 = 0.	+ 4(х + 2)4 = 0.
О
Решите неравенство:
х3 + х2 - х - 1 > 0.	х3 - 2х2 - 4х + 8 < 0.
©
Решите систему:
\ху + Х + у = 11,	\ху + х-у=1,
[х2у + ху2 = 30.	(х2у - ху2 = -б.
о
Постройте график функции
у = \х - 2х|.	у = X2 - 2|х|.
Найдите промежутки монотонности
функции.
© ©
Три положительных числа, сумма которых равна 21, со- ставляют арифметическую прогрессию. Если к ним со- ответственно прибавить 2, 3, 9, то полученные числа со- ставят геометрическую про- грессию. Найдите эти числа. © Докажите тождество: 2 cos“ а - 1 sin За - sin а + = 2 sin а cos а cos За + cos а 1 sin 2а	Три положительных числа, сумма которых равна 12, со- ставляют арифметическую прогрессию. Если к ним со- ответственно прибавить 1, 2, 6, то полученные числа со- ставят геометрическую про- грессию. Найдите эти числа. l-2sin2a cos3a-cosa 2 sin a cos a sin За + sin a 1_ sin 2a
ГЕОМЕТРИЯ
(по Погорелову)
Подобие фигур
С-1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ПОДОБИЯ И ЕГО
СВОЙСТВА
Вариант А1
Вариант А2
о
Дано: дАВС ~ дА^Ср zB = 25°.
Найти: zCP
о
Дано: дАВС <*> дА^Ср zA = 42°.
Найти: zBp
0
Дано: дАВС ~ дА^Ср
Найти: х, у.
©
Докажите, что треугольник,
подобный равнобедренному
треугольнику, также явля-
ется равнобедренным.
Дано: дАВС <*> дА^Ср
Найти: х, у.
О
Докажите, что треугольник,
подобный равностороннему
треугольнику, также явля-
ется равносторонним.
Подобие фигур
89
Вариант Б1
о
Вариант Б2
Дано: дАВС ~ дА^Ср
Найти: углы дАВС.
©
Стороны треугольника от-
носятся как 2:4:5. Найдите
стороны подобного ему тре-
угольника, в котором сумма
наибольшей и наименьшей
сторон равна 28 см.
0
Прямоугольный треуголь-
ник с катетами а и Ъ и ги-
потенузой с подобен прямо-
угольному треугольнику с
катетами ах и Ьг и гипоте-
нузой Докажите, что
ааг + bb1 = cclt
Дано: дАВС °° дА^Ср
Найти: углы дАВС.
0
Стороны треугольника отно-
сятся как 3:5:6. Найдите
стороны подобного ему тре-
угольника, в котором раз-
ность наибольшей и наи-
меньшей сторон равна 9 см.
©
Прямоугольный треугольник
с катетами а и b и гипотену-
зой с подобен прямоугольно-
му треугольнику с катетами
аА и Ъх и гипотенузой сР До-
fl3 Ь3 с3
кажите, что — + — = — .
flj Ь
Вариант В 1
о
Выпуклые четырехугольники
ABCD и AiB^^Dj подобны.
Найдите углы четырехуголь-
ника ABCD, если zAx = 1OCF,
zB:zC:zD= 8:7:11.
0
Диагонали ромба равны
3 см и 4 см. Найдите диа-
Вариант В2
о
Выпуклые четырехугольни-
ки ABCD и	подоб-
ны. Найдите углы четырех-
угольника ABCD, если
zCi = 80°, zA:zB:zJD = 5:2:7.
0
Основание и боковая сторона
равнобедренного треуголь-
90
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
гоняли подобного ему ром-
ба, сторона которого равна
20 см.
©
Треугольники с соответст-
вующими сторонами а, Ь, с
и Ъ, с, d подобны. Докажи-
те, что коэффициент подо-
бия не может быть равен 2.
ника соответственно равны
30 см и 25 см. Найдите сто-
роны подобного ему тре-
угольника, в котором высота,
проведенная к основанию,
равна 4 см.
©
Треугольники с соответст-
вующими сторонами а, Ъ, с
и Ь, с, d подобны. Докажи-
те, что коэффициент подо-
бия не может быть равен
1/2.
С-2. ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вариант А1
о
Вариант А2
о
Дано: zB = zJD.
Доказать: дАОВ 00 \COD.
©
Дано: zA = zC.
Доказать: дАОВ ~ \COD.
©
Подобны ли треугольники,
изображенные на рисунке?
Почему?
Подобны ли треугольники,
изображенные на рисунке?
Почему?
Подобие фигур
91
Дано: zB = zE.
Доказать: zA = Z.D.
Дано: zA = zB.
Доказать: zC = zE.
Вариант Б1
о
Вариант Б2
о
о
Дано: ABCD — трапеция.
Найдите на рисунке подоб-
ные треугольники и дока-
жите их подобие.
0
Дано: ABCD — трапеция.
Найдите на рисунке подоб-
ные треугольники и дока-
жите их подобие.
0
Доказать: дАВС ~ дВВА.
о
Стороны одного треуголь-
ника равны 21 см, 27 см и
12 см, а стороны другого
треугольника относятся как
7:9:4. Докажите равенство
соответствующих углов дан-
ных треугольников.
Доказать: дАВС 00 дВВА.
о
Стороны одного треугольни-
ка относятся как 4:6:7, а
стороны другого треуголь-
ника равны 24 см, 36 см и
42 см. Докажите равенство
соответствующих углов дан-
ных треугольников.
92
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
Вариант В1
Вариант В2
Дано: AD 1 ВС; СЕ 1 АВ.
Доказать: дАВС ~ sDBE.
Дано: AD 1 ВС; СЕ 1 АВ.
Доказать: дАВС ™ \DBE.
Найдите на рисунке равные
углы и докажите их равен-
ство.
О
Докажите подобие двух пря-
моугольных трапеций, в кото-
рых острые углы равны, а
диагонали являются биссек-
трисами этих углов.
Найдите на рисунке равные
углы и докажите их равен-
ство.
Докажите подобие двух пря-
моугольных трапеций, в кото-
рых тупые углы равны, а
диагонали являются биссек-
трисами этих углов.
С-3. ПОДОБИЕ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ '
ТРЕУГОЛЬНИКОВ, свойство
БИССЕКТРИСЫ УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1
о
Вариант А2
О
Подобие фигур
93
Докажите подобие прямо-
угольных треугольников,
изображенных на рисунке.
Докажите подобие прямо-
угольных треугольников,
изображенных на рисунке.
Дано: zABC = 90°; BD 1 АС;
АВ - 15 см; ВС = 20 см.
Найти: BD.
©
В треугольнике со сторонами
25 см и 40 см проведена бис-
сектриса угла между данными
сторонами. Она делит третью
сторону на отрезки, меньший
из которых равен 15 см. Най-
дите периметр треугольника.
Дано: zABC = 90°; BD 1 AC;
AD = 9 см; DC = 16 см.
Найти: BD.
©
В треугольнике АВС наи-
большая сторона АВ равна
40 см. Биссектриса BD де-
лит сторону АС на отрезки
длиной 15 см и 24 см. Най-
дите периметр треугольника
АВС.
Вариант Б1
о
Вариант Б2
СЕ Г АВ.
Доказать: \ADB <*> sCEB.
О
Дано: ABCD — параллелограмм;
BE 1 AD; BF 1 CD.
Доказать: лАВЕ 00 &CBF.
Дано: zABC = 90°; BD 1 AC;
BD = 24 см; AD:DC = 9:16.
Найти: Рддвс.
Дано: zABC = 90°; BD 1 AC;
BD = 12 см; DC - AD = 7 cm.
Найти: Рддвс.
94
©
Биссектриса прямого угла
прямоугольного треугольни-
ка делит гипотенузу на от-
резки длиной 15 см и 20 см.
Найдите длины отрезков ги-
потенузы, на которые ее де-
лит высота треугольника.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
©
Высота прямоугольного тре-
угольника делит гипотенузу
на отрезки длиной 12,6 см и
22,4 см. Найдите длины от-
резков гипотенузы, на кото-
рые ее делит биссектриса
прямого угла.
Вариант В1
Вариант В2
о
Дано: ААг 1 ВС; ВВХ ± АС.
Найдите на рисунке все па-
ры подобных прямоуголь-
ных треугольников и дока-
жите их подобие.
©
Дано: ААг 1 ВС; ВВг 1 АС.
Найдите на рисунке все па-
ры подобных прямоуголь-
ных треугольников и дока-
жите их подобие.
©
Дано: ZABC = 90°; BD 1 АС;
АВ = 15 см; DC = 16 см.
Найти: Рддвс.
©
Катет прямоугольного тре-
угольника равен 18 см.
Точка, принадлежащая дан-
ному катету, удалена от
гипотенузы и от второго ка-
тета на 8 см. Найдите пе-
риметр треугольника.
Дано: ААВС = 90°; BD ± АС;
ВС = 40 см; DC = 32 см.
Найти: Рддвс.
©
Катет прямоугольного тре-
угольника равен 28 см. Точ-
ка, принадлежащая гипоте-
нузе, удалена от каждого из
катетов на 12 см. Найдите
периметр треугольника.
Подобие фигур
95
С-4*. ПОДОБИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1
о
Два треугольника
Разность меньшей стороны
одного треугольника и
большей стороны другого
равна 6 см, разность боль-
шей стороны одного и
меньшей стороны другого
равна 48 см, а длины их
средних сторон равны 20
см и 50 см.
Вариант 2
подобны.
Сумма меньшей стороны од-
ного треугольника и боль-
шей стороны другого равна
34 см, сумма большей сто-
роны одного и меньшей сто-
роны другого равна 31 см, а
длины их средних сторон
равны 14 см и 21 см.
Найдите неизвестные стороны этих
треугольников.
0
Биссектриса прямого угла прямо-
угольного треугольника
равна 12-72 см и делит ги-
потенузу на отрезки в от-
ношении 3:4. Найдите пе-
риметр этого треугольника.
0
Основание равнобедренного
треугольника равно 36 см,
а боковая сторона — 54 см.
К боковым сторонам прове-
дены высоты. Найдите дли-
ну отрезка, концами которо-
го являются основания вы-
сот.
делит гипотенузу на отрезки
в отношении 4:3. Найдите
длину этой биссектрисы, ес-
ли периметр треугольника
равен 84 см.
0
Основание равнобедренного
треугольника равно 60 см, а
боковая сторона — 90 см.
К боковым сторонам прове-
дены биссектрисы. Найдите
длину отрезка, концами ко-
торого являются основания
биссектрис.
о
Докажите, что
два треугольника подобны,
если отношения двух сторон
два прямоугольных треуголь-
ника подобны, если угол, об-
96
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
этих треугольников равны и
угол между биссектрисами,
проведенными к этим сто-
ронам, одного треугольника
соответственно равен соответ-
ствующему углу между бис-
сектрисами, проведенными к
соответствующим сторонам,
другого треугольника.
разованный высотой и медиа-
ной, проведенными к гипоте-
нузе одного треугольника, со-
ответственно равен углу, обра-
зованному высотой и медиа-
ной, проведенными к гипоте-
нузе другого треугольника.
0
Из точки О проведены лучи ОМ и ON.
На луче ОМ выбраны точки А и В,
а на луче ON — точки С и D так, что
ОА : ОВ = ОС : OD. Докажите равенство
радиусов окружностей, описанных
около треугольников
АВС и BCD.	ABD и ACD.
К-1. ПОДОБИЕ ФИГУР
Вариант А1.
о
Стороны треугольника рав-
ны 6 см, 7 см и 8 см. Най-
дите стороны подобного ему
треугольника, периметр ко-
торого равен 84 см.
е
Вариант А2
о
Стороны треугольника отно-
сятся как 2:5:6. Найдите
стороны подобного ему тре-
угольника, периметр кото-
рого равен 39 см.
е
Дано: АВ = 24 см; СВ = 16 см;
МВ = 15 см; NC = 6 см;
Дано: АО = 15 см; ВО = 8 см;
АС = 27 см; DO = 10 см;
97
Подобие фигур
MN = 20 см.
Доказать: &MBN <*> ьАВС.
Найти: АС.
©
Найдите две стороны тре-
угольника, если их сумма
равна 91 см, а биссектриса
угла между ними делит тре-
тью сторону в отношении 5:8.
ВС - 16 см.
Доказать: дАО£> ~ \СОВ.
Найти: AD.
©
Найдите две стороны тре-
угольника, если их разность
равна 28 см, а биссектриса
угла между ними делит тре-
тью сторону на отрезки
43 см и 29 см.
Вариант Б1
Вариант Б2
о
Два равнобедренных тре-
угольника имеют равные уг-
лы при основаниях. Основа-
ние и боковая сторона перво-
го треугольника относятся
как 6:5. Найдите стороны
второго треугольника, если
его периметр равен 48 см.
о
Два равнобедренных треуголь-
ника имеют равные углы, про-
тиволежащие основаниям. Ос-
нование и боковая сторона
первого треугольника равны
16 см и 10 см. Найдите сторо-
ны второго треугольника, если
его периметр равен 18 см.
Дано: АВ 11 CD; АВ : CD = 3:5;
СВ = 64 см.
Доказать: АО-СО = BO-DO.
Найти: ВО и СО.
©
Биссектриса угла прямо-
угольника делит его сторо-
ну на отрезки 21 см и 7 см,
считая от ближайшей к
данному углу вершины.
Найдите отрезки, на кото-
рые эта биссектриса делит
диагональ прямоугольника.
Дано: ABCD — трапеция;
АО; СО = 7:3; BD = 40 см.
Доказать: ВО-АО = CO-DO.
Найти: ВО и DO.
©
Биссектриса угла прямо-
угольника делит его диаго-
наль на отрезки 15 см и
20 см, считая от ближайшей
к данному углу вершины.
Найдите отрезки, на кото-
рые эта биссектриса делит
сторону прямоугольника.
4 Сим. и контр, алгебра, геометрия 9 кл.
98
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
Вариант В1
о
Катеты прямоугольного тре-
угольника равны 10 см и
24 см, а в другом прямо-
угольном треугольнике ги-
потенуза и катет относятся
как 13:5. Отношение пери-
метров данных треугольни-
ков равно 2:3. Найдите сто-
роны второго треугольника.
Дано: ABCD — трапеция;
zABC = zACO;
AD = 18 см; AC = 12 см.
Найти: ВС.
©
Диагональ ромба делит его
высоту, проведенную из вер-
шины тупого угла, на отрез-
ки длиной 10 см и 6 см. Най-
дите периметр ромба.
Вариант В2
о
Гипотенуза и катет прямо-
угольного треугольника рав-
ны 21 см и 75 см, а в другом
прямоугольном треугольнике
катеты относятся как 7:24.
Отношение периметров дан-
ных треугольников равно
3:2. Найдите стороны вто-
рого треугольника.
©
Дано: ABCD — прямоуголь-
ная трапеция; zACD = 9CF;
ВС = 36 см; АО = 60 см.
Найти: АО.
©
Центр окружности, вписанной
в равнобедренный треуголь-
ник, делит медиану, проведен-
ную к основанию, на отрезки
длиной 20 см и 12 см. Найди-
те периметр треугольника.
С-5. ТЕОРЕМА О ВПИСАННЫХ УГЛАХ
И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Вариант А1
о
По данным рисунка найди-
те угол х (О — центр ок-
ружности).
Вариант А2
о
По данным рисунка найдите
угол х (О — центр окружно-
сти).
Подобие фигур
99
Расстояния от точки ок-
ружности до концов ее
диаметра равны 18 см и
24 см. Найдите радиус ок-
ружности.
©
При пересечении двух хорд
одна из них делится на, от-
резки 20 см и 4 см, а вто-
рая — на отрезки, один из
которых меньше другого на
2 см. Найдите длину второй
хорды.
Радиус окружности равен
5 см. Найдите расстояния от
концов диаметра до точки
окружности, если они отно-
сятся как 3:4.
©
Хорда длиной 24 см, пересе-
кая другую хорду, делит ее
на отрезки длиной 10 см и
8 см. Найдите длины отрез-
ков первой хорды.
Вариант Б1
О
Вариант Б2
о
а = 21°
Р = 49°
По данным рисунка найди-
те угол х (О — центр ок-
ружности).
©
Перпендикуляр, опущен-
ный из точки окружности
на диаметр, делит его на
отрезки в отношении 9:16.
Радиус окружности равен
По данным рисунка найдите
угол х (О — центр окружно-
сти).
©
Перпендикуляр, опущенный
из точки окружности на
диаметр, равен 24 см и де-
лит диаметр на отрезки,
разность которых равна
100
25 см. Найдите длину пер-
пендикуляра.
©
При пересечении двух хорд
одна из них делится на от-
резки 3 см и 12 см, а вто-
рая — пополам. Найдите
длину второй хорды.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
14 см. Найдите радиус ок-
ружности.
©
При пересечении двух хорд
одна из них отсекает треть
второй. Найдите длину вто-
рой хорды, если первая хор-
да при пересечении делится
на отрезки 8 см и 9 см.
Вариант В1
О
Вариант В2
о
а = 12°
Р = 64°
По данным рисунка найди-
те угол х (О — центр ок-
ружности).
©
Хорда длиной 48 см пер-
пендикулярна диаметру и
делит его на отрезки в от-
ношении 9:16. Найдите ра-
диус окружности.
©
Радиус окружности равен
11 см. Через точку А, уда-
ленную от центра окружно-
сти на 7 см, проведена хор-
да длиной 18 см. Найдите
отрезки, на которые точка
А делит данную хорду.
По данным рисунка найдите
угол х {О — центр окружно-
сти).
©
Хорда длиной 24 см перпен-
дикулярна диаметру и делит
его на отрезки, один из ко-
торых равен 9 см. Найдите
радиус окружности.
©
Точка В делит хорду окруж-
ности на отрезки длиной
6 см и 12 см. Найдите диа-
метр окружности, если точ-
ка В удалена от центра ок-
ружности на 7 см.
Подобие фигур
101
С-6*. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ
О ВПИСАННЫХ УГЛАХ
И ЕЕ СЛЕДСТВИЙ В ЗАДАЧАХ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1
о
Два угла треугольника рав-
ны 60° и 20°.
а)	Определите, в каком от-
ношении вершины тре-
угольника делят описанную
окружность.
б)	Найдите углы треугольни-
ка, вершинами которого яв-
ляются точки касания впи-
санной окружности со сторо-
нами данного треугольника.
©
Стороны АВ, ВС и CD впи-
санного четырехугольника
ABCD стягивают дуги, гра-
дусные меры которых отно-
сятся как 4:7:5. Найдите
углы четырехугольника, ес-
ли сторона AD стягивает
дугу в 40°.
©
Биссектриса угла В треуголь-
ника АВС пересекает описан-
ную окружность в точке D.
Докажите, что треугольник
ADC — равнобедренный.
О
Постройте прямоугольный
треугольник по медиане и
Вариант 2
о
Углы треугольника относят-
ся как 5:6:7.
а)	Определите, под каким
углом видны стороны тре-
угольника из центра опи-
санной окружности.
б)	Найдите углы треугольни-
ка, вершинами которого яв-
ляются точки касания впи-
санной окружности со сторо-
нами данного треугольника.
©
Стороны АВ, ВС и CD впи-
санного четырехугольника
ABCD стягивают дуги, гра-
дусные меры которых отно-
сятся как 5:7:13. Найдите
углы четырехугольника, ес-
ли сторона AD стягивает ду-
гу в 110°.
©
В четырехугольнике ABCD,
вписанном в окружность,
диагональ BD делит угол D
пополам. Докажите, что
АВ = ВС.
О
Постройте прямоугольный
треугольник по высоте и
102
высоте, проведенным к ги-
потенузе.
©
Разность между медианой и
высотой, проведенным к
гипотенузе прямоугольного
треугольника, равна 1 см.
Основание данной высоты
отстоит от центра окружно-
сти, описанной около тре-
угольника, на 7 см. Найди-
те периметр треугольника.
©
Хорда АВ делит дугу окруж-
ности в отношении 5:13.
Через точку А проведена
касательная к окружности.
Найдите углы, которые она
образует с данной хордой.
О
Из точки вне окружности
проведена секущая, пересе-
кающая окружность в точ-
ках, удаленных от данной
на 12 см и 20 см. Расстоя-
ния от данной точки до
центра окружности равно
17 см. Найдите радиус ок-
ружности.
©
Из точки вне окружности
проведена касательная дли-
ной 20 см. Найдите радиус
окружности, если расстоя-
ние от точки до окружности
равно 10 см.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
биссектрисе, проведенным к
гипотенузе.
©
Медиана прямоугольного тре-
угольника, проведенная к
гипотенузе, на 18 см больше
своей проекции на гипотену-
зу. Вершина прямого угла
отстоит от гипотенузы на
24 см. Найдите периметр тре-
угольника.
©
Отрезок АВ — диаметр окруж
ности. На луче АВ вне дан-
ной окружности выбрана
точка М, через которую
проведена касательная МС
(С — точка касания). Най-
дите Z.BAC, если zACM = 140?.
О
Из точки вне окружности про
ведена секущая, образующая в
окружности хорду АВ длиной
8 см. Кратчайшее расстояние
от данной точки до окружно-
сти равно 10 см, а до центра
окружности — 17 см. Найдите
расстояния от концов хорды
АВ до данной точки.
©
Из точки вне окружности
проведена касательная дли-
ной 20 см. Найдите расстоя-
ние от данной точки до ок-
ружности, если радиус ок
ружности равен 15 см.
Решение треугольников
103
Решение треугольников
С-7. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ.
СООТНОШЕНИЕ ДИАГОНАЛЕЙ И СТОРОН
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Вариант А1
о
Две стороны треугольника
равны 3 см и 8 см, а угол
между ними равен 60°.
Найдите периметр тре-
угольника.
©
Стороны треугольника рав-
ны 3 см, 5 см и 7 см. Най-
дите угол треугольника,
противолежащий стороне,
равной 7 см.
©
Стороны параллелограмма
равны 7 см и 9 см, а диаго-
нали относятся как 4:7.
Найдите диагонали парал-
лелограмма.
Вариант Б 1
о
На сторонах угла, равного
45°, отмечены две точки,
удаленные от вершины угла
на 17 см и 12>/2 см. Найди-
те расстояние между этими
точками.
©
Две стороны треугольника
равны 3 см и 7 см, а угол,
Вариант А2
о
Две стороны треугольника
равны 3 см и 5 см, а угол
между ними равен 120°.
Найдите периметр треуголь-
ника.
©
Стороны треугольника рав-
ны 3 см, 7 см и 8 см. Най-
дите угол треугольника,
противолежащий стороне,
равной 7 см.
©
Диагонали параллелограмма
равны 7 см и 11 см, а сторо-
ны относятся как 6:7. Най-
дите стороны параллело-
грамма.
Вариант Б2
о
На сторонах угла, равного
30°, отмечены две точки,
удаленные от вершины угла
на 2л/3 см и 4 см. Найдите
расстояние между этими
точками.
©
Две стороны треугольника
равны 5 см и 7 см, а угол,
104
противолежащий большей из
них, равен 60е.
а)	Найдите третью сторону
треугольника.
б)	Докажите, что угол, про-
тиволежащий третьей сто-
роне, — тупой.
©
Диагонали параллелограм-
ма равны 19 см и 23 см, а
его периметр равен 58 см.
Найдите стороны паралле-
лограмма.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
противолежащий большей из
них, равен 60°.
а)	Найдите третью сторону
треугольника.
б)	Докажите, что угол, про-
тиволежащий третьей сто-
роне, — острый.
©
Сумма диагоналей паралле-
лограмма равна 22 см, а его
стороны равны 7 см и 9 см.
Найдите диагонали парал-
лелограмма.
Вариант В 1
о
Две стороны треугольника
равны 7 см и 8 см, а синус
угла между ними равен
4^3	„
—— • Найдите третью сто-
рону треугольника. Сколько
решений имеет задача?
©
Треугольник со сторонами
6 см, 10 см и 14 см вписан в
окружность. Найдите цен-
тральный угол, соответст-
вующий вписанному углу,
образованному двумя мень-
шими сторонами треуголь-
ника.
©
Две стороны треугольника
равны 7 см и 9 см. Медиа-
на, проведенная к третьей
стороне, на 1 см меньше
этой стороны. Найдите пе-
риметр треугольника.
Вариант В 2
о
Две стороны треугольника
равны 4 см и 8 см, а синус
>/з
угла между ними равен —.
Найдите третью сторону
треугольника. Сколько ре-
шений имеет задача?
©
Треугольник со сторонами
6 см, 14 см и 16 см вписан в
окружность. Найдите центра-
льный угол, соответствую-
щий вписанному углу, обра-
зованному наибольшей и
наименьшей сторонами тре
угольника.
©
Разность двух сторон тре-
угольника равна 2 см, а ме-
диана, проведенная к треть-
ей стороне, — 4 см. Найдите
периметр треугольника, если
третья сторона равна 14 см.
Решение треугольников
105
С-8. ТЕОРЕМА СИНУСОВ
И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ
Вариант А1
По данным рисунка найди-
те х.
©
В треугольнике АВС лВ =
= 35°, zC = 25°. Укажите
наибольшую сторону тре-
угольника. Ответ объясните.
©
Один из углов треугольника
равен 30°, а диаметр ок-
ружности, описанной около
треугольника, равен 14 см.
Найдите сторону, противо-
лежащую данному углу.
По данным рисунка найди-
те X.
©
В треугольнике ABC zA =
= 110°, zB = 55°. Укажите
наименьшую сторону тре-
угольника. Ответ объясните.
©
В треугольнике АВС zB =
= 45°, АС = 4 72 см. Найдите
диаметр окружности, опи-
санной около треугольника.
Вариант Б 1
о
Вариант Б2
По данным рисунка выра-
зите АВ.
По данным рисунка вырази-
те АВ.
106
е
Дан равнобедренный тре-
угольник АВС с основанием
АС. Известно, что АС —
наименьшая сторона тре-
угольника. В каких преде-
лах может изменяться ве-
личина угла А?
©
Радиус окружности, опи-
санной около треугольника,
равен одной из его сторон.
Найдите угол треугольника,
противолежащий данной
стороне. Сколько решений
имеет задача?
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
©
Дан равнобедренный тре-
угольник АВС с основанием
АС. Известно, что АВ = ВС = а
и zB — наименьший угол
треугольника. В каких пре
делах может изменяться
длина основания АС?
©
Сторона треугольника а и
радиус описанной окружности
R связаны соотношением
а = R\!2 . Найдите угол тре
угольника, противолежащий
данной стороне. Сколько ре
шений имеет задача?
Вариант В1
о
Вариант В2
Дано: AD — биссектриса
треугольника ABC; BD = а;
zB = P; zBAD = a.
Найти: DC. >
©
В параллелограмме ABCD
точка М — середина сторо-
ны ВС. Известно, что zB —
тупой. Сравните углы MAD
и MDA.
©
Две стороны треугольника
равны 4 см и 7з см, а третья
Дано: АС = Ь; /А = a; aCDB = р;
zB = у.
Найти: BD.
©
В параллелограмме ABCD
точка М — середина сторо
ны ВС. Известно, что
zMZ)A > zMAD. Определите,
какие из углов параллело-
грамма — острые.
©
Две стороны треугольника равны
4 см и 3>/2 см. Определите ка
Решение треугольников
107
сторона равна радиусу окруж-
ности, описанной около тре-
угольника. Какую длину мо-
жет иметь третья сторона?
кую длину может иметь третья
сторона с, если она связана с ра-
диусом описанной окружности R
соотношением с = Ял/2 .
С-9*. ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ
И СИНУСОВ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1	Вариант 2
О
Квадрат стороны треугольника
равен неполному квадрату
суммы двух других сторон. разности двух других сто-
рон.
Найдите угол, противолежащий
данной стороне.
©
В параллелограмме биссектриса
острого угла, который ра-
вен 60°, делит сторону на
отрезки 33 см и 55 см, счи-
тая от вершины тупого уг-
ла. Найдите отрезки, на
которые эта биссектриса
делит меньшую диагональ
этого параллелограмма.
©
Докажите, что
в равнобокой трапеции
квадрат диагонали равен
сумме квадрата боковой
стороны и произведения
оснований.
тупого угла, который равен
120°, делит сторону на от-
резки 24 см и 16 см, считая
от вершины острого угла.
Найдите отрезки, на кото-
рые эта биссектриса делит
большую диагональ этого
параллелограмма.
в любой трапеции сумма
квадратов диагоналей равна
сумме квадратов боковых
сторон и удвоенного произ-
ведения оснований.
108
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
О
Стороны треугольника равны
1 см и 2 см. Через центр
окружности, вписанной
в данный треугольник,
и концы третьей стороны
проведена окружность.
Найдите радиус проведен-
ной окружности, если угол
между данными сторонами
равен 120°.
Найдите радиус проведенной
окружности, если угол меж-
ду данными сторонами равен
60°.
©
Высоты треугольника АВС
пересекаются в точке Н.
Докажите, что радиусы
окружностей, описанных
около треугольников
АВС и АНВ равны.
АН С и ВНС равны.
К-2. РЕШЕНИЕ
ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вариант А1
о
Решите треугольник АВС,
если zA= 45°, zB= 75°,
АВ = 2\/3 см.
©
Диагонали параллелограм -
ма равны 12 см и 20 см, а
угол между ними — 60°.
Найдите стороны паралле-
лограмма.
Вариант А2
о
Решите треугольник АВС,
если zB= 30°, zC = 105°,
AC = 4 см.
©
Стороны параллелограмма
равны 10 см и 16 см, а угол
между ними — 60°. Найдите
диагонали параллелограмма.
Решение треугольников
109
©
В прямоугольном треуголь-
нике один из углов равен а, а
катет, прилежащий к данно-
му углу, равен а. Выразите
через а и а биссектрису пря-
мого угла треугольника.
Вариант Б 1
о
Решите треугольник АВС,
если АВ = 7>/3 см, ВС = 1 см,
ZB = 150°.
©
Диагональ параллелограмма
равна d и делит его угол на
углы аир. Найдите сторо-
ны параллелограмма.
©
Из точки А, лежащей на
окружности, проведены хор-
ды АВ = 8 см и АС = 4>/з см.
Найдите углы треугольника
АВС и радиус окружности, ес-
ли расстояние между сере-
динами данных хорд равно
2 см.
©
В прямоугольном треуголь-
нике гипотенуза равна с, а
один из острых углов равен
р. Выразите через сир бис-
сектрису второго острого уг-
ла.
Вариант Б2
о
Решите треугольник АВС,
если ВС = 6^2 см, АС = 2 см,
ZC = 135°.
©
Большая диагональ прямо-
угольной трапеции равна d и
образует с меньшим основа-
нием угол а. Острый угол
трапеции равен р. Найдите
меньшее основание и боль-
шую боковую сторону тра-
пеции.
©
Средние линии треугольника
АВС, вписанного в окруж-
ность, равны 3 см, зТз см и
6 см. Найдите углы тре-
угольника АВС и радиус ок-
ружности.
Вариант В1
о
Решите треугольник АВС,
если ВС = 8 см, АС = 7 см,
ZB = 60°.
Вариант В2
о
Решите треугольник АВС,
если АВ = 4^2 см, ВС = 5 см,
zA= 45°.
110
О
Одна из сторон параллело-
грамма на 8 см больше дру-
гой. Найдите периметр па-
раллелограмма, если одна
из его диагоналей образует
со сторонами параллело-
грамма углы 30° и 45°.
©
Треугольник, две стороны
которого равны 16 см и
8>/з см, вписан в окруж-
ность радиуса 8 см. Опреде-
лите, в каком отношении
вершины треугольника де-
лят дугу окружности.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
©
Периметр параллелограмма
равен (2>/2 + 2) см. Найдите
стороны параллелограмма,
если одна из его диагоналей
образует со сторонами па-
раллелограмма углы 30° и
45°.
©
Вершины треугольника де-
лят описанную окружность в
отношении 2:3:7. Наимень-
шая сторона треугольника
равна 6 см. Найдите радиус
окружности.
Многоугольники
111
Многоугольники
С-10. ВЫПУКЛЫЙ
Вариант А1
о
Найдите углы выпуклого
пятиугольника, если их
градусные меры относятся
как 3:4:5:7:8.
о
Сумма внутренних углов
выпуклого n-угольника в
1,5 раза больше суммы его
внешних углов. Найдите п.
О
Докажите, что выпуклый
четырехугольник имеет не
больше трех тупых углов.
Вариант Б1
о
Найдите углы выпуклого
пятиугольника, если каж-
дый из них, начиная со
второго, больше предыду-
щего на 30°.
©
Сумма трех внутренних уг-
лов выпуклого четырех-
угольника равна 300°. Най-
дите сумму внешних углов
четырехугольника, соответ-
ствующих данным внутрен-
ним углам.
МНОГОУГОЛЬНИК
Вариант А2
о
Найдите углы выпуклого
пятиугольника, если их гра-
дусные меры относятся как
1:5:15:16:17.
0
Сумма внешних углов вы-
пуклого n-угольника на 360°
меньше суммы его внутрен-
них углов. Найдите п.
©
Докажите, что среди внеш-
них углов выпуклого много-
угольника не может быть
более трех тупых углов.
Вариант Б2
о
Найдите углы выпуклого че-
тырехугольника, если каж-
дый из них, начиная со вто-
рого, на 40° меньше преды-
дущего.
©
Сумма пяти внешних углов
выпуклого шестиугольника
равна 300°. Найдите сумму
внутренних углов шести-
угольника, соответствующих
данным внешним углам.
112
©
Может ли наибольший угол
выпуклого семиугольника
быть равным 128°? Ответ
объясните.
Вариант В1
о
Найдите углы выпуклого
шестиугольника, если сумма
трех любых его последова-
тельных углов постоянна, а
градусные меры этих углов
пропорциональны числам 6,
13 и 17.
©
Сумма трех внутренних уг-
лов выпуклого пятиуголь-
ника равна 400°. Найдите
сумму внешних углов пяти-
угольника, не смежных с
данными внутренними.
©
Может ли сумма пяти углов
выпуклого семиугольника
быть меньше суммы двух
других? Ответ объясните.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
©
Может ли наименьший угол
выпуклого семиугольника
быть равным 130°? Ответ
объясните.
Вариант В2
о
Найдите углы выпуклого
восьмиугольника, если два
любых соседних угла отли-
чаются на 10°, а сумма двух
любых его соседних углов
постоянна.
©
Сумма трех внешних углов
выпуклого пятиугольника
равна 250°. Найдите сумму
внутренних углов пяти
угольника, не смежных с
данными внешними.
©
Может ли сумма двух углов
выпуклого шестиугольника
быть больше суммы четырех
других? Ответ объясните.
С-11. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ.
ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДИУСОВ ВПИСАННЫХ и
ОПИСАННЫХ ОКРУЖНОСТЕЙ
ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОУГОЛЬНИКОВ
Вариант А1
о
Найдите количество сторон
правильного многоугольни-
Вариант А2
о
Найдите количество вершин
правильного многоугольни-
113
Многоугольники
ка, • если его внутренний
угол равен 108°.
О
В окружности радиуса
2\'3 см вписан правильный
треугольник. Найдите:
а) сторону треугольника;
б) радиус окружности, впи-
санной в данный треуголь-
ник.
©
Вершины правильного вось-
миугольника, взятые через
одну, последовательно соеди-
нены отрезками. Докажите,
что полученный четырех-
угольник — правильный.
Вариант Б1
о
Найдите количество сторон
правильного многоугольни-
ка, у которого внутренний
угол в 3 раза больше цен-
трального.
©
Найдите радиусы окружно-
стей, вписанной в правиль-
ный треугольник и описан-
ной около него, если их
разность равна 4 см.
©
Докажите, что диагональ
правильного пятиугольника
параллельна одной из его
сторон.
ка, если его внешний угол
равен 45°.
©
В квадрат вписана окруж-
ность радиуса 2 см. Найдите:
а) сторону квадрата;
б) радиус окружности, опи-
санной около данного квад-
рата.
©
Середины сторон правильно-
го пятиугольника последо-
вательно соединены отрез-
ками. Докажите, что полу-
ченный пятиугольник —
правильный.
Вариант Б2
о
Найдите количество сторон
правильного многоугольни-
ка, у которого центральный
угол в 2 раза меньше внут-
реннего.
©
Найдите радиусы окружно-
стей, вписанной в квадрат и
описанной около него, если
их произведение равно
4^2 см2.
©
Докажите, что внешний
угол любого правильного
многоугольника равен его
центральному углу.
114
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
Вариант В1
о
Внешние углы двух пра-
вильных многоугольников
отличаются на 30°, а суммы
внутренних углов этих мно-
гоугольников отличаются на
360°. Найдите количество
сторон каждого многоуголь-
ника.
©
Правильный треугольник
АВС вписан в окружность.
На стороне ВС построен
квадрат, около которого
описана окружность. Най-
дите расстояние между цен-
трами окружностей, если
они лежат по разные сторо-
ны от ВС, а ВС - 6 см.
©
Докажите, что диагонали
правильного пятиугольника
при пересечении образуют
правильный пятиугольник.
Вариант В2
о
Центральные углы двух пра
вильных многоугольников
отличаются на 20°, а суммы
внутренних углов этих мно
гоугольников отличаются на
540°. Найдите количество
сторон каждого многоуголь
ника.
©
Общая хорда двух окружно
стей равна 6 см и является
для одной из окружностей
стороной правильного впи
санного шестиугольника, а
для другой — стороной впи
санного равностороннего
треугольника. Найдите рас
стояние между центрами ок
ружностей, если они лежат
по одну сторону от хорды.
©
На сторонах правильного пя
тиугольника построены равно
сторонние треугольники. До
кажите, что их вершины,
лежащие вне пятиугольника,
являются вершинами другого
правильного пятиугольника.
С-12. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ.
РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Вариант А1
о
Дуга, соответствующая дан-
ному центральному углу, со-
2
ставляет - окружности.
Вариант А2
о
Дуга, соответствующая дан
ному центральному углу, со
5
ставляет — окружности.
Многоугольники
115
а)	Найдите градусную и ра-
дианную меры центрально-
го угла.
б)	Найдите длину дуги, ес-
ли радиус окружности ра-
вен 4 см.
©
Найдите количество сторон
выпуклого многоугольника,
сумма углов которого равна
Зл радиан.
©
Хорда длиной 4 2 см стя-
гивает дугу 90°. Найдите
длину окружности.
Вариант Б 1
о
,	12
В окружности радиуса — см
л
выбрана дуга длиной 9 см.
а)	Найдите градусную и ра-
дианную меры дуги.
б)	Найдите длину дуги дан-
ной окружности, соответст-
вующей центральному углу,
равному 2 радиана.
©
Найдите количество сторон
и сумму внутренних углов
правильного многоугольни-
ка, если его центральный
л
угол равен —.
©
Хорда длиной 6> 3 см делит
дугу окружности в отноше-
а)	Найдите градусную и ра-
дианную меры центрального
угла.
б)	Найдите длину дуги, если
радиус окружности равен
4 см.
©
Найдите количество сторон
выпуклого многоугольника,
сумма углов которого равна
5л радиан.
©
В окружности длиной 8\3л см
проведена хорда, стягиваю-
щая дугу 60°. Найдите дли-
ну хорды.
Вариант Б2
о
„	12
В окружности радиуса — см
л
выбрана дуга длиной 10 см.
а) Найдите градусную и ра-
дианную меры дуги.
б) Найдите длину дуги дан-
ной окружности, соответст-
вующей центральному углу,
равному 3 радиана.
©
Найдите количество сторон
и сумму внутренних углов
правильного многоугольни-
ка, если его внешний угол
л
равен —.
©
Концы хорды делят дугу ок-
ружности в отношении 1:3.
116
нии 1:2. Найдите длину
большей из двух образо-
вавшихся дуг.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
Найдите длину хорды, если
большая из двух образовав-
шихся дуг имеет длину
6л см.
Вариант В1
о
Длина дуги окружности ра-
5
диуса 12 см составляет —
6
длины окружности.
а) Найдите градусную и ра-
дианную меры данной дуги,
б) Найдите радиус окруж-
ности, длина которой равна
длине данной дуги.
0
Найдите радианную меру
центрального угла правиль-
ного многоугольника, если
сумма его внешних углов с
одним из внутренних равна
8л
”з~ ’
©
На высоте равностороннего
треугольника, как на диа-
метре, построена окруж-
ность. Найдите длину дуги
окружности, заключенной
внутри треугольника, если
сторона треугольника равна
2уЗ см.
Вариант В2
о
Длина дуги окружности ра-
7
диуса 12 см составляет —
длины окружности.
а)	Найдите градусную и ра-
дианную меры данной дуги.
б)	Найдите радиус окружно
сти, длина которой равна
длине данной дуги.
0
Найдите радианную меру
центрального угла правиль-
ного многоугольника, если
сумма его внутренних и
внешних углов равна 8л.
0
На катете равнобедренного
прямоугольного треугольни
ка, как на диаметре, по
строена окружность. Найди
те длину дуги окружности,
заключенной внутри тре
угольника, если его гипоте
нуза равна 4>/2 см.
Многоугольники
117
К-3. МНОГОУГОЛЬНИКИ
Вариант А1
о
Внутренний угол правиль-
ного многоугольника в 3 раза
больше внешнего угла.
Найдите сторону много-
угольника, если его пери-
метр равен 96 см.
0
Найдите длину и радиус
окружности, если цен-
тральному углу 72° соответ-
ствует дуга длиной 2л см,
0
Сторона правильного тре-
угольника, описанного около
окружности, равна 12^3 см.
Найдите сторону правильно-
го шестиугольника, вписан-
ного в данную окружность.
О
Сторона правильного впи-
санного многоугольника
стягивает в окружности ра-
диуса 6 см дугу длиной
Зл см. Найдите периметр
многоугольника.
Вариант Б1
о
Цериметр правильного мно-
гоугольника равен 84 см, а
сумма его внутренних углов
на 540° больше суммы
внешних углов. Найдите
сторону многоугольника.
Вариант А2
о
Сторона правильного много-
угольника равна 5 см, а его
внутренний угол на 108°
больше внешнего. Найдите
периметр многоугольника.
0
Длина окружности равна
24л см. Найдите радиус ок-
ружности и длину дуги, со-
ответствующей центрально-
му углу, равному 45°.
О
Сторона правильного шести-
угольника, вписанного в ок-
ружность, равна 8 см. Най-
дите сторону квадрата, опи-
санного около данной ок-
ружности.
О
Точки касания двух сосед-
них сторон описанного
многоугольника
ограничивают в окружности
радиуса 6 см дугу длиной
4л см. Найдите периметр
многоугольника.
Вариант Б2
о
Сумма внутренних углов
многоугольника в 3 раза
больше суммы его внешних
углов. Найдите периметр
многоугольника, если его сто-
рона равна 10 см.
118
о
Угол, равный 36°, вписан в
окружность. Найдите длину
дуги окружности, заклю-
ченной между сторонами
угла, если радиус окружно-
сти равен 5 см.
©
Около правильного тре-
угольника с высотой 9 см
описана окружность, а око-
ло окружности описан пра-
вильный шестиугольник.
Найдите его периметр.
О
Длина окружности, описан-
ной около правильного мно-
гоугольника, равна 24л см,
а длина его стороны —
12\/з см. Найдите количество
сторон многоугольника.
Вариант В1
о
Найдите количество сторон
правильного многоугольни-
ка, если сумма двух его уг-
лов на 108° меньше суммы
остальных углов.
©
Окружность радиуса 12 см
вписана в угол, равный 30°.
Найдите длину меньшей
дуги окружности, ограни-
ченной точками касания со
сторонами угла.
©
Около окружности радиуса
4\/3 см описан правильный
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
©
В окружность радиуса 12 см
вписан угол. Найдите его
градусную меру, если длина
дуги окружности, заклю-
ченной между сторонами уг-
ла, равна 8л см.
©
В квадрат с диагональю
8\[2 см вписана окружность,
в которую вписан правиль-
ный шестиугольник. Найди-
те его периметр.
О
Длина окружности, вписан
ной в правильный много
угольник, равна 12л см, а
длина его стороны — 4^3 см
Найдите количество сторон
многоугольника.
Вариант В2
о
Найдите количество сторон
правильного многоугольни
ка, если сумма пяти его уг-
лов на 270° больше суммы
остальных углов.
©
Окружность радиуса 12 см
вписана в угол так, что дли
на большей дуги, ограни
ченной точками касания,
равна 14л см. Найдите гра
дусную меру данного угла.
©
В окружность радиуса
4\/3 см вписан квадрат. На
Многоугольники
119
треугольник. На его высоте
как на стороне построен пра-
вильный шестиугольник, и в
него вписана другая окруж-
ность. Найдите ее радиус.
О
Точки касания правильного
описанного многоугольника
с окружностью последова-
тельно соединены отрезка-
ми.
а)	Докажите, что получен-
ный многоугольник подобен
данному.
б)	Найдите количество сторон
многоугольников, если коэф-
фициент подобия равен 2.
его диагонали как на сторо-
не построен равносторонний
треугольник, в который
вписана другая окружность.
Найдите ее радиус.
О
Через вершины правильного
многоугольника, вписанного
в окружность, проведены
касательные к окружности,
а) Докажите, что многоуголь-
ник, образовавшийся при пе-
ресечении касательных, подо-
бен данному.
б) Найдите количество сторон
многоугольников, если коэф-
фициент подобия равен —=.
V3

120
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
Площади фигур
С-13. ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА,
КВАДРАТА,
ПАРАЛЛЕЛОГРАММА
Вариант А1
о
Стороны параллелограмма
равны 5 см и 12 см, а один
из его углов равен 150°.
Найдите площадь паралле-
лограмма.
0
Периметр прямоугольника
равен 52 см, а его стороны
относятся как 4:9.
а)	Найдите площадь прямо-
угольника.
б)	Найдите сторону квадра-
та, площадь которого равна
площади прямоугольника.
0
Высоты параллелограмма
равны 3 см и 4 см, а его
площадь равна 48 см . Най-
дите периметр параллело-
грамма.
Вариант Б1
о
Периметр параллелограмма
равен 66 см. Два угла па-
Вариант А2
о
Одна из сторон параллело-
грамма равна 14 см, а высо-
та, проведенная к ней, —
5 см. Найдите площадь па-
раллелограмма.
0
Стороны прямоугольника
относятся как 9:1, а их раз-
ность равна 32 см.
а) Найдите площадь прямо
угольника.
б) Найдите сторону квадра-
та, площадь которого равна
площади прямоугольника.
0
Одна из сторон параллело-
грамма в 3 раза больше дру-
гой, а угол между ними ра
вен 30°. Найдите периметр
параллелограмма, если его
площадь равна 24 см2.
Вариант Б2
о
Периметр параллелограмма
равен 44 см. Разность двух
Площади фигур
121
раллелограмма относятся
как 1:5, а две стороны —
как 2:9. Найдите площадь
параллелограмма.
©
Диагональ прямоугольника
больше его сторон на 2 см и
16 см соответственно.
а)	Найдите площадь прямо-
угольника.
б)	Найдите площадь квадра-
та, периметр которого равен
периметру прямоугольника.
©
Высоты параллелограмма
равны 4 см и 6 см, а одна
из его сторон на 4 см боль-
ше другой. Найдите пери-
метр параллелограмма.
его углов равна 120°, а раз-
ность двух его сторон —
2 см. Найдите площадь па-
раллелограмма.
©
Стороны прямоугольника
меньше его диагонали на
4 см и 8 см соответственно.
а)	Найдите площадь прямо-
угольника.
б)	Найдите площадь квадра-
та, периметр которого равен
периметру прямоугольника.
©
Периметр параллелограмма
равен 28 см, а его высоты
равны 3 см и 4 см. Найдите
площадь параллелограмма.
Вариант В1
о
Стороны параллелограмма
равны 12 см и 9 см, а угол
между его высотами равен
30°. Найдите площадь
параллелограмма.
©
Вариант В2
о
Высоты параллелограмма
равны 9 см и 12 см, а угол
между его сторонами равен
30°. Найдите площадь па-
раллелограмма.
0
В квадрат, площадь которого
равна 81 см2, вписан прямо-
угольник так, что вершины
В прямоугольник со сторонами
3 см и 6 см вписан параллело-
грамм так, что вершины па-
122
прямоугольника делят сто-
роны квадрата в отношении
2:1 (см. рисунок). Найдите
площадь прямоугольника.
©
Стороны параллелограмма
равны 12 см и 18 см, а одна
из его высот — 15 см. Най-
дите вторую высоту парал-
лелограмма.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
раллелограмма Делят стороны
прямоугольника в отношении
2:1 (см. рисунок). Найдите
площадь параллелограмма.
©
Высоты параллелограмма
равны 15 см и 10 см, а одна
из его сторон — 12 см. Най-
дите вторую сторону парал
лелограмма.
С-14. ПЛОЩАДЬ ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1
Вариант А2
о
Дано: АВ = ВС = 4 см;
ZC = 75°.
Найти: S&ABC.
©
Найдите наибольшую высо-
ту треугольника со сторо-
нами 11 см, 25 см и 30 см.
©
Высота прямоугольного
треугольника делит гипоте-
нузу на отрезки длиной
18 см и 32 см. Найдите
площадь треугольника.
Дано: АВ = ВС = 10 см;
BD 1 AC; BD = 8 см.
Найти: 8ДДВС.
©
Найдите наименьшую высо
ту треугольника со сторона
ми 25 см, 29 см и 36 см.
©
Катет прямоугольного тре
угольника равен 20 см, а его
проекция на гипотенузу
16 см. Найдите площадь тре
угольника.
Площади фигур
123
Вариант Б1
о
Вариант Б2
о
Дано: BD 1 АС; ^ВАС = 135°;
АС = 2 см; AD = 4 см.
Найти: 8ДАВС.
©
В равнобокой трапеции боко-
вая сторона равна 25 см,
диагональ — 30 см, а мень-
шее основание — 11 см.
Найдите высоту трапеции.
©
Биссектриса прямого угла
делит	гипотенузу
прямоугольного
треугольника на отрезки,
разность которых равны
5 см. Найдите площадь
треугольника, если его
катеты относятся как 3:4.
Дано: BD 1 AC; zC = 45°;
AD = 6 см; DC = 4 см.
Найти: 8ДАВС.
©
Стороны параллелограмма
равны 13 см и 14 см, а одна
из диагоналей — 15 см.
Найдите наименьшую высо-
ту параллелограмма.
©
Биссектриса острого угла
прямоугольного треугольни-
ка делит катет на отрезки,
один из которых на 2 см
меньше другого. Найдите
площадь треугольника, если
гипотенуза и второй катет
относятся как 5:4.
Вариант В1
о
Вариант В2
о
По данным рисунка найдите
площадь треугольника АВС.
По данным рисунка найдите
площадь треугольника АВС.
124
0
Площадь треугольника АВС
равна 36 см2. На стороне BD
выбрана точка К так, что
BK'.KD =1:2. Найдите пло-
щадь треугольника АКС.
©
Медианы прямоугольного
треугольника, проведенные
к катетам, равны 52 см и
/73 см. Найдите площадь
треугольника.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
0
Площадь треугольника АВС
равна 36 см2. На стороне АС
выбрана точка К так, что
АК'.КС = 1:5. Найдите пло-
щадь треугольника КВС.
©
Медианы прямоугольного тре-
угольника, проведенные к кате-
ту и гипотенузе, соответственно
равны 2>/13 см и 5 см. Найди-
те площадь треугольника.
С-15. ПЛОЩАДЬ ТРАПЕЦИИ.
ПЛОЩАДЬ ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКА
Вариант А1
о
По данным рисунка найдите
площадь трапеции ABCD.
©
Найдите площадь ромба,
если его периметр равен
42 см, а диагонали относят-
ся как 5:12.
©
Площадь трапеции равна
24 см2. Найдите расстояние
между основаниями трапе-
ции, если ее средняя линия
равна 8 см.
Вариант А2
По данным рисунка найдите
площадь трапеции ABCD.
©
Найдите площадь ромба, ес-
ли сумма его диагоналей
равна 14 см, а периметр
20 см.
©
Меньшая боковая сторона
прямоугольной трапеции рав
на 4 см. Найдите среднюю
линию трапеции, если ее
площадь равна 36 см2.
Площади фигур
125
Вариант Б2
о
По данным рисунка найдите
площадь трапеции ABCD.
0
Диагонали ромба относятся
как 8:15, а его площадь
равна 240 см2. Найдите пе-
риметр ромба.
©
Диагональ равнобокой тра-
пеции перпендикулярна бо-
ковой стороне. Найдите
площадь трапеции, если ее
основания равны 7 см и
25 см.
По данным рисунка найдите
площадь трапеции ABCD.
0
Разность диагоналей ромба
равна 14 см, а его площадь —
120 см2. Найдите периметр
ромба.
О
Диагональ равнобокой тра-
пеции перпендикулярна бо-
ковой стороне. Найдите
площадь трапеции, если ее
высота равна 12 см, а диаго-
наль — 20 см.
Вариант В1
о
Вариант В2
о
По данным рисунка найди-
те площадь трапеции
ABCD.
0
Площадь ромба равна
600 см2, а одна из диагона-
лей — 30 см. Найдите вы-
соту ромба.
Дано: AD = 18 см; ВС = 2 см;
АС = 15 см; BD = 7 см.
Найдите площадь трапеции
ABCD.
0
Высота и диагонали ромба
относятся как 12:15:20, а
его периметр равен 100 см.
Найдите площадь ромба.
126
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
О
Диагонали равнобокой тра-
пеции взаимно перпендику-
лярны. Найдите площадь
трапеции, если ее основа-
ния равны 7 см и 13 см.
©
Диагонали равнобокой тра-
пеции взаимно перпендику-
лярны. Найдите площадь
трапеции, если точка пере-
сечения диагоналей удалена
от оснований на 5 см и 6 см.
С-16*. ОКРУЖНОСТЬ
И МНОГОУГОЛЬНИК
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1
о
Высота треугольника равна
15 см и делит его сторону
на отрезки длиной 8 см и
20 см. Найдите радиусы
описанной и вписанной ок-
ружностей треугольника.
©
Высота равнобедренного тре-
угольника, проведенная к
основанию, равна 32 см, а
радиус окружности, впи-
санной в треугольник, ра-
вен 12 см. Найдите радиус
окружности, описанной око-
ло треугольника.
©
Центр окружности, описан-
ной около равнобедренного
треугольника, делит медиа-
ну, проведенную к основа-
нию, в отношении 25:7. Бо-
Вариант 2
о
Две стороны остроугольного
треугольника равны 13 см и
15 см, а высота, проведенная
к третьей стороне, — 12 см.
Найдите радиусы описанной
и вписанной окружностей
треугольника.
©
Центр окружности, вписан-
ной в равнобедренный тре-
угольник с основанием
48 см, делит высоту, прове-
денную к основанию, в от-
ношении 3:5, считая от ос-
нования. Найдите радиус
окружности, описанной око-
ло треугольника.
©
Высота равнобедренного тре-
угольника, проведенная к
основанию, равна 64 см, а
диаметр вписанной окруж-
ности равен 48 см. Найдите
Площади фигур
127
кован сторона треугольника
равна 40 см. Найдите ради-
ус окружности, вписанной в
треугольник.
О
Точка касания вписанной
окружности делит гипоте-
нузу прямоугольного тре-
угольника на отрезки 4 см
и 6 см. Найдите радиусы
описанной и вписанной ок-
ружностей.
©
В прямоугольном треуголь-
нике радиусы описанной и
вписанной окружностей со-
ответственно равны 10 см и
4 см. Найдите периметр тре-
угольника.
©
Периметр прямоугольника
равен 46 см. Биссектриса
прямого угла делит диаго-
наль в отношении 8:15.
Найдите длину окружности,
описанной около прямо-
угольника.
О
Высота ромба, проведенная
из вершины тупого угла,
делит его сторону на отрез-
ки 7 см и 18 см. Найдите
радиус окружности, впи-
санной в ромб.
©
Основания прямоугольной
трапеции равны 21 см и
28 см. Найдите радиус ок-
ружности, вписанной в тра-
пецию.
радиус окружности, описан-
ной около треугольника.
О
Точка касания вписанной
окружности делит катет
прямоугольного треугольни-
ка на отрезки 2 см и 6 см,
считая от вершины прямого
угла. Найдите радиусы опи-
санной и вписанной окруж-
ностей.
о
Радиус окружности, вписан-
ной в прямоугольный тре-
угольник с периметром 72 см,
равен 6 см. Найдите радиус
описанной окружности.
©
Разность сторон прямо-
угольника равна 14 см. Бис-
сектриса прямого угла делит
диагональ в отношении 5:12.
Найдите длину окружности,
описанной около прямо-
угольника.
О
Точка касания окружности,
вписанной в ромб, делит его
сторону на отрезки 9 см и
16 см. Найдите высоту ром-
ба.
©
Основания равнобокой тра-
пеции равны 8 см и 18 см.
Найдите радиус окружности,
вписанной в трапецию.
128
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
0
Центр окружности, описан-
ной около трапеции, лежит
на большем основании.
Найдите радиус окружно-
сти, если высота и диаго-
наль трапеции соответст-
венно равны 24 см и 40 см.
©*
Около трапеции со средней
линией 6 см описана окруж-
ность. Угол между радиуса-
ми окружности, проведен-
ными к концам боковой
стороны, равен 120°. Най-
дите площадь трапеции.
0
В полукруг вписана трапе-
ция с меньшим основанием
14 см, параллельным диа-
метру, и высотой 24 см.
Найдите радиус полукруга.
ф*
Около трапеции с высотой
6 см описана окружность.
Угол между радиусами
окружности, проведенными
к концам боковой стороны,
равен 60°. Найдите площадь
трапеции.
С-17. ПЛОЩАДИ ПОДОБНЫХ ФИГУР.
ПЛОЩАДЬ КРУГА И ЕГО ЧАСТЕЙ
Вариант А1
о
Площади подобных треуго-
льников относятся как 4:9.
Сторона первого треугольни-
ка равна 8 см. Найдите соот-
ветствующую сторону второ-
го треугольника.
0
Найдите площадь круга,
вписанного в квадрат со сто-
роной 4 см.
©
Площадь кругового сектора
равна 9л см2. Найдите ра-
диус круга, если соответст-
вующий этому сектору цен-
тральный угол равен 90°.
Вариант А2
о
Соответствующие стороны по-
добных треугольников равны
15 см и 25 см. Найдите от-
ношение площадей данных
треугольников.
0
Найдите площадь круга,
описанного около равносто-
роннего треугольника со
стороной ЗуЗ см.
©
Радиус круга равен 6 см.
Найдите центральный угол,
соответствующий круговому
сектору, площадь которого
равна 12л см2.
Площади фигур
129
Вариант
Б1
о
Средняя линия отсекает от
данного треугольника тре-
угольник, площадь которо-
го равна 15 см2. Найдите
площадь данного треуголь-
ника.
©
Найдите площадь круга,
вписанного в треугольник
со сторонами 18 см, 24 см и
30 см.
©
Радиус круга равен б см.
Найдите площадь кругового
сегмента, если соответст-
вующий ему центральный
угол равен 60°.
Вариант Б2
о
В треугольнике, площадь
которого равна 48 см2, про-
ведена средняя линия. Най-
дите площади частей, на ко-
торые она делит треуголь-
ник.
©
Найдите площадь круга,
описанного около треуголь-
ника со сторонами 16 см,
30 см и 34 см.
©
Радиус круга равен 6 см.
Найдите площадь кругового
сегмента, если соответству-
ющий ему центральный угол
равен 300°.
Вариант В1
о
Прямая, параллельная ос-
нованию треугольника, де-
лит его на треугольник и
трапецию, площади кото-
рых относятся как 4:5. Пе-
риметр образовавшегося
треугольника равен 20 см.
Найдите периметр данного
треугольника.
©
В прямоугольный треуголь-
ник с катетами 21 см и 28 см
вписан полукруг с центром
на гипотенузе. Найдите
площадь полукруга.
Вариант В2
о
Прямая, параллельная осно-
ванию треугольника, отсека-
ет от него треугольник,
площадь которого в 8 раз
меньше площади оставшейся
части. Периметр большего
треугольника равен 27 см.
Найдите периметр меньшего
треугольника.
©
В прямоугольный треугольник,
катеты которого относятся как
3:4, вписан полукруг с центром
на гипотенузе, площадь которо-
го равна 72л см2. Найдите пери-
метр треугольника.
5 Сам. и контр, алгебра, геометрия 9 кл.
130
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
©
В круговой сектор радиуса
R с соответствующим ему
центральным углом, рав-
ным 60°, вписан круг. Най-
дите площадь этого круга.
©
В круговой сектор с соответ-
ствующим ему центральным
углом, равным 60°, вписан
круг радиуса г. Найдите
площадь сектора.
С-18*. ПЛОЩАДИ ФИГУР
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1	Вариант 2
О	\
Центр окружности, вписанной в
прямоугольную трапецию, удален
от концов ее боковой сто-	от боковой стороны на 12 см.
роны на 15 см и 20 см со-	Меньшее основание трапе-
ответственно.	ции равно 21 см.
Найдите площадь этой трапеции.
©
В равнобокой трапеции диагонали
являются биссектрисами
острых углов и в точке пе-
ресечения делятся в отно-
шении 5:13, считая от вер-
шин тупых углов. Найдите
площадь трапеции, если ее
высота равна 12 см.
©
Одна из сторон треугольни-
ка равна 20 см, а медианы,
проведенные к двум дру-
гим сторонам, равны 18 см
и 24 см. Найдите площадь
треугольника.
О
Периметр прямоугольного
треугольника равен 48 см,
тупых углов и в точке пере-
сечения делятся в отноше-
нии 13:3, считая от вершин
острых углов. Найдите пло-
щадь трапеции, если ее вы-
сота равна 24 см.
©
Медианы треугольника со-
ответственно равны 24 см,
30 см и 18 см. Найдите пло-
щадь треугольника.
О
Периметр прямоугольного
треугольника равен 48 см, а
Площади фигур
131
а его площадь равна 96 см2.
Найдите площадь описан-
ного круга.
©
Площадь параллелограмма равна
210^3 см2,
а его периметр равен 88 см.
Найдите диагонали парал-
лелограмма, если его ост-
рый угол равен 60°.
©
Катеты прямоугольного тре-
угольника относятся как
3:4. Найдите площадь это-
го треугольника, если раз-
ность радиусов описанной
и вписанной окружностей
равна 15 см.
О
в
прямоугольник периметра
Р. Найдите площадь пря-
моугольника.
©
Площадь квадрата, постро-
енного на диагонали равно-
бокой трапеции, в четыре
раза больше площади тра-
пеции.
площадь описанного круга
равна ЮОтс см2. Найдите пло-
щадь данного треугольника.
а разность двух его сторон
равна 16 см. Найдите диаго-
нали параллелограмма, если
его тупой угол равен 120°.
©
Катет и гипотенуза прямо-
угольного треугольника от-
носятся как 3:5. Найдите
площадь этого треугольни-
ка, если сумма радиусов
описанной и вписанной ок-
ружностей равна 35 см.
окружность радиуса R вписан
прямоугольный треуголь-
ник, сумма катетов которого
равна Р. Найдите площадь
треугольника.
©
Сумма площадей квадратов,
построенных на диагоналях
равнобокой трапеции, в че-
тыре раза больше площади
трапеции.
К-4. ПЛОЩАДИ ФИГУР
Вариант А1
о
В треугольнике АВС АВ - 8 см,
АС = 5 см, ЛА : zB : zC =
Вариант А2
о
В треугольнике АВС прове-
дена высота BD (точка D
132
= 3 : 4 : 11. Найдите пло-
щ;адь треугольника.
0
Площадь ромба равна
120 см2, а одна из диагона-
лей больше другой на 14 см.
Найдите диагонали ромба;
0
радиус окружности, впи-
санной в треугольник, ра-
вен 3 см, а периметр тре-
угольника — 20 см. Найди-
те площадь треугольника.
0
Найдите площадь прямо-
угольной трапеции, боко-
вое стороны которой равны
12 см и 13 см, а основания
относятся как 4:9.
Вариант Б 1
0
Периметр равнобедренного
треугольника равен 36 см, а
его основание равно 10 см.
Найдите площадь треуголь-
ника.
0
Найдите углы ромба, пери-
метр которого равен 24 см,
а площадь — 18 см2.
0
Периметр равнобедренного
треугольника равен 128 см,
а его основание — 48 см.
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
лежит на отрезке АС). Най-
дите площадь треугольника
АВС, если АВ = 25 см, ВС =
= 26 см, BD = 24 см.
©
Диагонали ромба относятся
как 8:15, а его площадь
равна 240 см2. Найдите диа-
гонали ромба.
©
Площадь треугольника рав
на 18 см2, а радиус окруж
ности, вписанной в тре-
угольник, — 4 см. Найдите
периметр треугольника.
О
Найдите площадь прямо-
угольной трапеции, основа-
ния которой равны 4 см и
9 см, а одна из боковых сто-
рон на 1 см больше другой.
Вариант Б2
о
Боковая сторона равнобедрен
ного треугольника равна 17 см,
а его периметр — 50 см. Най
дите площадь треугольника.
©
В ромбе с площадью 98 см2
один из углов равен 150°.
Найдите периметр ромба.
©
Боковая сторона равнобед-
ренного треугольника равна
40 см, а высота, проведенная
Площади фигур
133
Найдите радиус окружно-
сти, вписанной в треуголь-
ник.
О
Найдите площадь равнобокой
трапеции, основания которой
равны 15 см и 33 см, а диа-
гонали являются биссектри-
сами острых углов.
Вариант В1
о
Высота равностороннего тре-
угольника равна 12 см. Най
дите площадь треугольника,
образованного средними ли-
ниями данного треугольника.
©
Радиус окружности, впи-
санной в ромб с площадью
2400 см2, равен 24 см. Най-
дите диагонали ромба.
©
Площадь прямоугольного
треугольника равна 24 см ,
а радиус описанной окруж-
ности — 5 см. Найдите ра-
диус окружности, вписан-
ной в треугольник.
О
Боковые стороны и высота
трапеции соответственно рав-
ны 30 см, 25 см и 24 см.
Найдите площадь трапеции,
если биссектрисы ее острых
углов пересекаются на мень-
шем основании.
к основанию, — 32 см. Най-
дите радиус окружности,
описанной около треуголь-
ника.
О
Найдите площадь равнобокой
трапеции, основания которой
равны 11 см и 25 см, а диа-
гонали являются биссектри-
сами тупых углов.
Вариант В2
о
Высота равностороннего тре-
угольника равна 12 см.
Найдите площадь треуголь-
ника, для которого стороны
данного треугольника явля-
ются средними линиями.
©
Точка касания окружности,
вписанной в ромб, делит его
сторону на отрезки 9 см и
16 см. Найдите диагонали
ромба.
©
Периметр прямоугольного
треугольника равен 24 см, а
радиус вписанной окружно-
сти — 2 см. Найдите радиус
окружности, описанной око-
ло треугольника.
О
Боковые стороны и высота
трапеции соответственно рав-
ны 30 см, 25 см и 24 см.
Найдите площадь трапеции,
если биссектрисы ее тупых
углов пересекаются на боль-
шем основании.
134
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
К-5. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
Вариант А1
о
Две стороны треугольника
равны 6 см и 16 см, а угол
между ними — 60°.
а)	Найдите периметр тре-
угольника.
б)	Найдите площадь треуго-
льника.
©
Площадь круга, описанного
около квадрата, равна
8л см2. Найдите сторону и
площадь квадрата.
©
Биссектриса прямоугольно-
го треугольника делит его
катет на отрезки 12 см и
20 см. Найдите площадь
треугольника.
Вариант Б1
о
В треугольнике АВС хВ =
= 120Р, АВ = 7 см, АС = 13 см.
а)	Найдите периметр тре-
угольника.
б)	Найдите площадь треуголь-
ника.
©
Площадь правильного тре-
угольника равна 12>/3 см2.
Найдите площадь круга,
Вариант А2
о
Две стороны треугольника
равны 6 см и 10 см, а угол
между ними — 120°.
а)	Найдите периметр треуго
льника.
б)	Найдите площадь треуголь-
ника.
©
Длина окружности, вписан
ной в правильный четырех-
угольник, равна 8л см. Най-
дите сторону и площадь че-
тырехугольника.
©
Биссектриса прямоугольного
треугольника делит гипоте
нузу на отрезки 20 см и
15 см. Найдите площадь
треугольника.
Вариант Б2
о
Стороны треугольника равны
3 см и 7 см, а угол, проти
волежащий большей из них,
равен 60°.
а)	Найдите периметр тре-
угольника.
б)	Найдите площадь треуголь
ника.
©
Площадь правильного тре
угольника равна 12л/3см'.
Найдите площадь круга,
Годовая контрольная работа
135
вписанного в треугольник,
и площадь квадрата, опи-
санного около этого круга.
©
Диагональ прямоугольной
трапеции делит острый угол
пополам, а вторую диаго-
наль — в отношении 8:5.
Найдите площадь трапеции,
если ее высота равна 12 см.
описанного около треуголь-
ника, и площадь квадрата,
вписанного в этот круг.
©
Диагональ прямоугольной
трапеции делит тупой угол
пополам, а вторую диаго-
наль — в отношении 2:5.
Найдите площадь трапеции,
если меньшая боковая сто-
рона равна 24 см.
Вариант В1
о
Одна из сторон треугольни-
ка равна 7 см, разность
двух других сторон равна
5 см, а угол между ними —
60°.
а)	Найдите периметр тре-
угольника.
б)	Найдите площадь треуголь-
ника.
©
Сумма площадей правиль-
ных шестиугольников, впи-
санного и описанного около
одной окружности, равна
14л/з см2. Найдите площадь
круга, ограниченного дан-
ной окружностью.
©
Меньшее основание равно-
бокой трапеции равно боко-
вой стороне, а диагонали
делятся точкой пересечения
в отношении 5:11. Найдите
площадь трапеции, если ее
высота равна 20 см.
Вариант В2
о
Сумма двух сторон тре-
угольника равна 16 см, угол
между ними — 120°. Третья
сторона треугольника равна
14 см.
а)	Найдите неизвестные сто-
роны треугольника.
б)	Найдите площадь треуголь-
ника.
©
Разность площадей правиль-
ных шестиугольников, опи-
санного и вписанного в одну
окружность, равна 2>/3 см2.
Найдите длину данной
окружности.
©
Большее основание равнобо-
кой трапеции равно боковой
стороне, а диагонали делят-
ся точкой пересечения в от-
ношении 3:13. Найдите пло-
щадь трапеции, если ее вы-
сота равна 24 см.
ГЕОМЕТРИЯ
(по Атанасяну)
Метод координат
С-1. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА
/
Вариант А1	Вариант А2
Даны векторы а {3; -2}, b {-1; 1}.
О
Найдите координаты векторов
т = —3d, п = а + 2b .	т = -4b , п = а + ЗЬ.
0
Запишите разложение векторов
т и п по координатным векторам
i и / .
0
Найдите среди векторов k {-8; 0},
I {О; 8}, р {-3; 2}, г {-8; 8} векто-
ры, коллинеарные векторам тип.
О
Разложите вектор с по векторам k
и I , если
с = 2г .	с = -Зг .
Вариант Б 1	Вариант Б2
Даны векторы а {-5; 1}, Ь {0; -3},
с {4; -2}.
Метод координат 137
О
Найдите координаты векторов
rn = -а + 2Ь - с ,	т = d-ЗЬ + 2с,
п = 2а-—Ь+4с.	п = -2а + Ь-—с.
3	2
о
Запишите разложение векторов т и
п по координатным векторам i и / .
©
Найдите среди векторов k {-6; 5},
I {1; 2}, р {5; -25}, г {-8; -4} векторы,
коллинеарные векторам тип.
О
Разложите вектор d по векторам а
и b, если
d {-10; 5}.	d{-5; -7}.
Вариант В1
Вариант В2
Даны векторы а {х; -2}, Ь {2; -4},
с{-3; 6}.
т
Найдите координаты векторов
с к	т = З(а -
+ С ,
- 1 - if if
п = — а + — Ъ —Ъ .
4	2	3
1 - 1 г Ч
п = —а +—Ь+—о.
4	2	3
Запишите разложение векторов т и
п по координатным векторам i и / .
138
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
d {4; -8}.
©
При каком значении х векторы а и
т коллинеарны?
О
Разложите вектор d по векторам Ъ
и с, если
d{3; -6}.
С-2. ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ В
КООРДИНАТАХ
Вариант А1	Вариант А2
Даны точки А(1; -2), В(3; 6), С(5; -2).
О
Найдите координаты векторов
АВ, СВ.	АС, ВА .
Q
Найдите координаты точки М,
делящей пополам отрезок
АВ.	ВС.
©
Найдите длину отрезка
CM.	AM.
О
Является ли четырехугольник
ABCD	AD ВС
параллелограммом, если
В(7; 6)?	П(-1; 6)?
Метод координат 139
Вариант Б 1	Вариант Б2
В треугольнике ABC MN — средняя
линия, М е АВ, N е ВС.
О
Найдите координаты точек В и С, если
А(-1; 3), М(3; 4), ДГ(4; 2).	А(1; 3), М(4; 0), N(3; -2).
0
Найдите длины медиан AN и СМ.
©
Три вершины параллелограмма на*
ходится в точках А, В и С. Найдите
координаты его четвертой вершины,
если известно, что они положительны.
О
Принадлежит ли точка Е(0; 1)
стороне АС?
Вариант В 1	Вариант В2
В треугольнике ABC MN — средняя
линия, М е АВ, N е ВС, О — точка
пересечения медиан.
О
Найдите координаты вершин
треугольника, если
М(2; -1), N(0; -1), 0(1; -2).	М(0; -3), М-2; 3), О(-1; 2).
0
Найдите длины медиан AN и СМ.
©
Три вершины ромба находятся в
точках А, В и С. Определите коор-
динаты его четвертой вершины.
140
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
Щ2; -3)
О
Докажите, что точка
М-2; 1)
принадлежит медиане AN а делит
ее в отношении 1:2.
С-3. УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ
Вариант А1	Вариант А2
о
Начертите окружность, заданную
уравнением
(х - 2)2 + (у + З)2 = 9.	(х + З)2 + (у - 2)2 = 4.
0
Запишите уравнение окружности с
центром в точке 0(4; -6), касающейся
оси ординат.	оси абсцисс.
©
Докажите, что АВ — хорда окружности
(х - 4)2 + (у - I)2 = 25, если (х + 2)2 + (у - I)2 = 25, если
А(0; -2), В(4; 6).	А(-2; 6), В(-6; 4).
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Начертите окружность, заданную
уравнением
х2 + (у + 2)2 = 20.	(х + 2)2 + у2 = 18.
0
Запишите уравнение окружности,
проходящей через начало координат
и точку А(6; 0), если известно, что
Метод координат
141
радиус окружности равен 3>/2 ,
а центр лежит на прямой
У = х.	у = -х,
©
Докажите, что АВ — диаметр
окружности
(л - 2)2 + (у - I)2 = 10, если (х - З)2 + (у - 2)2 =17, если
4(5; 2), В(-1; 0).	4(7; 1), В(-1; 3).
Вариант В1	Вариант В2
о
Начертите окружность, заданную
уравнением
х2 - 4х + у2 + 6г/ + 8 = 0.	х2 + 4х + у2 - 6г/ + 3 = 0.
©
Запишите уравнение окружности,
радиус которой равен 5, проходящей
через точки
4(-4; 0) и В(4; 2).	4(-2; 1) и В(6; 1).
©
Определите вид четырехугольника
ABCD и запишите, если это возможно,
уравнение окружности, вписанной в
этот четырехугольник, если
4(-3; 1), В(1; 5), С(5; 1),	4(-1; 4), В(2; 1), С(-1; -2),
В(1; -3).	В(-4; 1).
С-4. УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ
Вариант А1	Вариант А2
о
Запишите уравнения прямых, па-
раллельных осям координат и про-
ходящих через точку
142
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
А(-2; 7).
В(-7; 2).
е
Прямая задана уравнением
2х - Зу + 6 = 0.	2х - Зу - 6 = 0.
а)	Начертите эту прямую.
б)	Запишите координаты точек
пересечения прямой с осями
координат.
в)	Найдите площадь треугольника,
образованного осями координат и
этой прямой.
Вариант Б1
Вариант Б2
о
Запишите уравнение прямой, прохо-
дящей через точки
А(0; 1), В(2; 3).	А(0; 2), В(1; 1).
0
Прямые заданы уравнениями
Зх + 2у - 9 = 0, у+ 3 = 0.	х-2у + 3 = 0, х-2 = 0.
а)	Начертите эти прямые в одной
системе координат.
б)	Найдите координаты точки пере-
сечения этих прямых.
в)	Найдите площадь треугольника,
образованными этими прямыми и
осью ординат.	осью абсцисс.
Вариант В1	Вариант В2
о
Запишите уравнение прямой, прохо-
дящей через точки
А(-3; 5), В(6; 2).	А(-3; 4), В(б; -2).
Метод координат 143
©
Прямые заданы уравнениями
Зх + 4г/ - 5 = О,	4х - Зу + 11 = О,
Зх - 4у - 13 = О, х + 1 = 0. 4х + Зу + 5 = О, х - 1 = О.
а)	Начертите эти прямые в одной
системе координат.
б)	Найдите координаты точек пере-
сечения этих прямых.
в)	Найдите площадь треугольника,
образованного этими прямыми.
С-5*. ПРИМЕНЕНИЕ ВЕКТОРОВ И
КООРДИНАТ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1	Вариант 2
о
Запишите уравнение окружности,
касающейся осей координат и про-
ходящей через точку
(8; -4).	(-9; 2).
©
Точки А и В симметричны относи-
тельно некоторой прямой. Запиши-
те уравнение этой прямой, если
А(-2; 3), В(2; 1).	А(-1; 3), В(1; -1).
©
Отрезок с концами в точках A(xf, yj
и В(х2; у2) делится точкой С(х; у) в от-
ношении АС:ВС=т‘.п. Докажите, что
х=	ос = -^—оа + -^—ов,
т + п	т + п т + п
пу1 + ту2	где О — произвольная точ-
У =-------,	ка>
т + п
144 ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
В треугольнике АВС проведена
биссектриса CD. Найдите координа-
ты точки D, если
А(-1; 2), В(8; 6), С(2; -2).	А(2; 6), В(б; -3), С(-2; 3).
0
В параллелограмме ABCD точка Е —
середина стороны ВС. Отрезок АЕ
пересекается с диагональю BD
в точке О. Найдите отношение
АО:ОЕ.	BO:OD.
К-1. МЕТОД КООРДИНАТ
Вариант А1	Вариант А2
Даны точки
А(0; -3), В(—1; 0), С(5; 2).	А(-1; 0), В(0; 3), С(б; 1).
О
а)	Найдите координаты и длину век-
тора АВ.
б)	Разложите вектор АВ по коорди-
натным векторам i и j .
©
а)	Запишите уравнение окружности
с центром в точке А и радиусом АВ.
б)	Принадлежит ли этой окружности
точка
D(6; -1)?	D(5; -2)?
©
Запишите уравнение прямой АВ.
Метод координат
I
145
О
а)	Докажите, что векторы АВ и
CD коллинеарны.
б)	Докажите, что ABCD — прямо-
угольник.
Вариант Б 1
Даны точки
А(-2; 0), В(2; 2), С(4; -2),
В(0; -4).
Вариант Б2
А(0; 4), В(4; 2), С(2; -2)
В(-2; 0).
О
а)	Найдите координаты и длину век-
тора а = АВ + ЗАВ - -^СА •
б)	Разложите вектор а по коорди-
натным векторам i и j .
BD.
е
а)	Запишите уравнение окружности
с диаметром АВ.
б)	Выясните взаимное расположение
окружности и точек С и D.
0
Запишите уравнение прямой
АС.
О
Докажите, что ABCD — квадрат.
Вариант В 1
Даны точки
А(2; 3), В(-2; 0), С(2; -3).
Вариант В2
А(-2; 3), В(2; 0), С(-2; -3).
146
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
О
Разложите вектор ВО (О — начало
координат) по векторам АВ и СВ.
0*
Запишите уравнение окружности,
описанной около треугольника АВС.
©
Запишите уравнение прямой, со-
держащей медиану СМ треугольни-
ка АВС.
О
Две противоположных вершины
квадрата находятся в точках А и С.
Найдите координаты двух других
вершин этого квадрата.
Соотношения между сторонами и углами треугольника 147
Соотношения между
сторонами и углами
треугольника.
Скалярное произведение
векторов
С-6. СИНУС, КОСИНУС, ТАНГЕНС УГЛА
Вариант А1
Вариант А2
Найдите sina, если
1
cos a = —
2
V3
cosa =-----
2
Постройте угол А, если
Л 3
cos A = —
5
л 5
cos A = —
12
Упростите выражения:
а)	(1 - cosa)(l + cos a);
б)	1 + sin2 a - cos2 a;
в)	(tga - cos a)2 - 1.
a)	(1 - sina)(l + sina);
6)	1 + cos2a - sin2a;
sina
tga
в)
2
-1.
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Найдите cosa, если
24
sina = —.
25
40
sina = —
41
148
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
е
Постройте угол А, если
л 3
cos А = —
5
5
cos А =----
12
©
Упростите выражения:
a)	(cosa + sina)(cosa - sina) +
+2sin2a;
cos2 a - 1
6)	-----:;
cos a sin a
в)	sinacosa tga + cos2a.
a)	(sina - cosa)(sina + cosa) +
+ 2cos2a;
cosasina
6)	—2-----Г ;
sin a -1
в)	tg2acos2a + cos2a.
Вариант В1	Вариант B2
Найдите tga, если
3
sina = —
5
5
cosa = —
12
Постройте угол А
если
•	л 3
sin A = —
5
•	л 5
sin А = —
12
Упростите выражения:
cos4 a - sin4 a
a)	2sin2 a
_ cos3 a-sin3 a
6)	cosa sina
cosa - sina
1
в)	——------cos2 a - tg2a
cos a
a)	2cos2 a + sin4 a - cos4 a;
_ cos3 a + sin3 a
6)	--------------+ cos a sin a
cosa + sina
1
в)	—-------tg a - sin2 a
cos a
Соотношения между сторонами и углами треугольника
149
С-7. ТЕОРЕМА О ПЛОЩАДИ
ТРЕУГОЛЬНИКА.
ТЕОРЕМА СИНУСОВ
Вариант А1
о
В треугольнике АВС АВ =
= бТз см, АС = 8 см, zA = 60?.
Найдите площадь этого тре-
угольника.
©
Две стороны треугольника
равны 7 см и л/98 см, а угол,
противолежащий большей из
них, равен 45°. Найдите дру-
гие углы этого треугольника.
©
Сторона треугольника равна
18 см, а радиус описанной
окружности — 6л/3см. Най-
дите угол, противолежащий
данной стороне. Сколько ре-
шений имеет задача?
Вариант Б1
о
Две стороны треугольника рав-
ны 17 см и 8 см, а косинус угла
15 и -
между ними равен — . Найди-
те площадь этого треугольника.
©
Сторона треугольника равна
5\/б см, а углы, прилежа-
Вариант А2
о
В треугольнике АВС АС = 8 см,
ВС = 1172 см, ZC = 45°. Найдите
площадь этого треугольника.
©
Две стороны треугольника
равны 6 см и 4\/з см, а угол,
противолежащий меньшей из
них, равэн 60°. Найдите дру-
гие углы треугольника.
©
Диаметр окружности равен
12 см, а сторона вписанного
треугольника — бТ2 см.
Найдите угол, противолежа-
щий данной стороне. Сколько
решений имеет задача?
Вариант
Б2
о
Две стороны треугольника равны
20 см и 14 см, а косинус угла
4
между ними равен — . Найдите
5
площадь этого треугольника.
©
Наименьшая сторона треуголь-
ника равна 772 см, а два уг-
150
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
щие к ней, — 15° и 45°.
Найдите среднюю сторону
этого треугольника.
©
Радиус описанной окружно-
сти равен стороне треуголь-
ника и в \2 раз больше
другой стороны. Найдите
углы треугольника. Сколь-
ко решений имеет задача?
ла треугольника равны 105°
и 45°. Найдите среднюю сто-
рону этого треугольника.
©
Две стороны треугольника и
радиус описанной окружно-
сти относятся соответствен-
но как V3 : V2 :1. Найдите
углы треугольника. Сколько
решений имеет задача?
Вариант
В1
о
Две стороны треугольника
равны 7>/з см и 12 см, а
биссектрисы при третьей
стороне пересекаются под
углом 30°. Найдите пло-
щадь треугольника.
©
Два угла треугольника рав-
ны 30° и 135°, а разность
противолежащих сторон рав-
на б(>/2-1) см. Найдите эти
стороны.
©
В треугольнике АВС проведе-
на медиана ВМ. /АВС =
= 75°, /МВС = 45°. Радиус
окружности, описанной око-
ло треугольника МВС, ра-
вен V2 см. Найдите радиус
окружности, описанной око-
ло треугольника АВМ.
Вариант В2
о
Две стороны треугольника
равны 5ч/3 см и 6 см, а вы-
соты, проведенные к этим
сторонам, пересекаются под
углом 60°. Найдите площадь
треугольника.
©
Два угла треугольника рав-
ны 45° и 120°, а сумма про-
тиволежащих им сторон
равна з(>/б+2)см. Найдите
эти стороны.
©
В треугольнике АВС проведена
медиана ВМ. /АВС = 105°,
АС = 12>/2 см. Радиус окруж-
ности, описанной около тре-
угольника МВС, равен 2>/б см.
Найдите радиус окружности,
описанной около треуголь-
ника АВМ.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
151
С-8. ТЕОРЕМА КОСИНУСОВ.
РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ
Вариант А1
о
В треугольнике две стороны
равны 5 см и 16 см, а угол
между ними — 120°. Най-
дите третью сторону тре-
угольника.
©
Угол параллелограмма ра-
вен 45°, а стороны —
7>/2 см и 17см. Найдите
площадь параллелограмма
и его большую диагональ.
©
Решите треугольник АВС,
если ВС = 10 7з см, АВ =
= 20 см, zB = 30°.
Вариант Б1
о
Стороны треугольника равны
7 см, 37 см и 40 см. Найдите
угол, противолежащий сред-
ней стороне треугольника.
©
В параллелограмме биссек-
триса тупого угла, равного
120°, делит сторону парал-
лелограмма на отрезки 15 см
и 10 см, считая от вершины
острого угла. Найдите бис-
сектрису и большую диаго-
наль параллелограмма.
Вариант А2
о
В треугольнике две стороны
равны 5 см и 21 см, а угол
между ними — 60°. Найдите
третью сторону треугольни-
ка.
©
Угол параллелограмма равен
150°, а стороны — 11 см и
3>/3 см. Найдите площадь
параллелограмма и его мень-
шую диагональ.
©
Решите треугольник АВС,
если ВС = 4>/2 см, АС = 7 см,
zC = 45°.
Вариант Б2
о
Стороны треугольника равны
7 см, 13 см и 15 см. Найдите
угол, противолежащий сред-
ней стороне треугольника.
©
В параллелограмме биссек-
триса острого угла, равного
60°, делит сторону паралле-
лограмма на отрезки 25 см и
15 см, считая от вершины
тупого угла. Найдите бис-
сектрису и меньшую диаго-
наль параллелограмма.
152
©
Решите треугольник АВС,
если ВС = 5^2 см, АС = 7 см,
zC = 135°.
Вариант В1
о
Найдите угол треугольника,
если биссектриса, проведен-
ная из вершины этого угла,
делит противолежащую сто-
рону на отрезки 21 см и
35 см, а разность двух дру-
гих сторон равна 16 см.
е
Найдите углы параллело-
грамма, если квадрат его диа-
гонали равен неполному
квадрату разности его сторон.
©
Решите треугольник АВС, ес-
ли ВС = 25 см, АС = 20^2 см,
ZA = 45°.
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
Решите треугольник АВС,
если АС = Зу/2 см, АВ = 2 см,
zA = 150°.
Вариант В2
о
Периметр треугольника ра-
вен 30 см. Найдите угол,
противолежащий стороне,
равной 14 см, если биссек-
триса треугольника делит ее
в отношении 3:5.
0
Найдите углы параллело-
грамма, если квадрат его
диагонали равен неполному
квадрату суммы его сторон.
©
Решите треугольник АВС,
если ВС = 8\/з см, АС = 7 см,
лВ = 30°.
С-9. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ВИКТОРОВ
Вариант А1	Вариант А2
о
Найдите скалярное произведение
векторов а и Ъ , если
а) |й| = 3, |d| = 2,z(d, S) = 135°; а) |а| = 4, |&| = 3, z(a,&) = 120° ;
Соотношения между сторонами и углами треугольника
153
б) а {2; -3}, &{-4; 2}.
0
Найдите косинус угла между векто-
рами d и b, если
d{7; 24}, д{7; 0}.
Докажите, что векторы ВА и ВС
перпендикулярны, если
О
Найдите скалярное произведение
векторов d и Ъ, если
©
Вычислите
|d + d|, если |d| = |d| = 1,
z(d,d) = 30°.
О
4(0; 1), В(2; -1), С(4; 1).
Вариант Б1
a)	d{->/7;l}, |д| = Д z(d,d) = 45°;
б)	а = т + 2d, b = 2d - т,
\пг\ = 3, |d| = 2 .
О
б) а {-4; 1}, d{3; -1}.
d {0; -4}, 6 {20; -15}.
|d - d|, если |d| = Д = 1.
z(d,&) = 45° .
4(0; 1), В(2; 3), C(-l; 6).
Вариант Б2
a)	|^=2,6{-^2>/2},z(d,6) = 30P
б)	а = р - 3k, b = 3k + р,
|Й| = 2, |р| = 1.
Найдите косинус угла между
векторами а и b, если
d = с - d,b = с + 2d,	а = с + d, b = с - 2d,
|с| = |d| = l,z(c, d) = 90° .	|с| = р| = 1, z(c, d) = 90°.
154
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
Вычислите
2d - &, если |d| = 1, |d| = зТз,
z(a,d) = 15(F.
d - 26 , если |d| = 4, b| = 2,
z(d, dj = 120° .
О
Найдите значение m, при котором
векторы d—и Ь перпендикулярны,
если
а {т; -8}, b {4; 3}.	d {—2; 1}, & {9; т}.
Вариант В1
Вариант В2
Найдите скалярное произведение
векторов а и b , если
а)	а = 2m - 3d, Ъ = т + 2п
\т\ = 4, |d| = 1, z(zn, d) = 135°;
б)	d(2a-d) = 8, Idl = 2.
а)	d = 2rh + 3d, b = in - 2d
|zn| = 1, |d| = 3, z(di, d) = 150° ;
6)	(a + 2b}b = 18, Idl = 3.
©
Найдите угол между единичными
векторами а и Ь, если векторы
d-Зб и d-0,2& перпен- 0,4a -2b и 3d-6 перпен-
дикулярны.	дикулярны.
©
Найдите координаты вектора а ,
коллинеарного вектору b , если
&{1; -2},d & = 10.	d{2; -l},d & = 15.
О
Даны векторы a {1; 4} и b {-3; 2}.
Соотношения между сторонами и углами треугольника
155
Найдите значение X , при котором
вектор а + ХЬ перпендикулярен
к вектору Ъ .	к вектору а .
С-10*. РЕШЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ
(домашняя самостоятельная работа)
Вариант 1	Вариант 2
о
Дан равнобедренный треугольник.
Найдите отношение радиусов
вписанной и описанной окружностей,
если
угол при вершине равен а. угол при основании равен £.
©
Дан выпуклый четырехугольник.
Отрезки, соединяющие се-
редины противоположных
сторон, равны а и Ъ и пе-
ресекаются под углом 60°.
Найдите диагонали четы-
рехугольника.
Его диагонали равны с и d и
пересекаются под углом 60°.
Найдите отрезки, соединяю-
щие середины противопо-
ложных сторон.
©
Докажите, что углы треугольника
АВС связаны соотношением
sin2 А + sin2 В - sin2 С =	cos2 А + cos2 В - cos2 С =
= 2 sin A sin В cos С.	= 1 - 2sin AsinBcosC.
О
Дан прямоугольник ABCD.
Докажите, что для любой точки О
выполняется равенство
ОА ОС = ОВ • OD .	ОА2 + ОС2 = OB2 + OD2.
156
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
Даны произвольные точки А, В, С и
D. Докажите равенство:
АВ  CD+ 1AD  ВС - AC BD = 2ACBD =
= 0.	= AD2 + ВС2 - АВ- -CD2,
К-2. СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ СТОРОНАМИ
И УГЛАМИ ТРЕУГОЛЬНИКА
Вариант А1
о
Угол параллелограмма равен
120°, большая диагональ —
14 см, а одна из сторон —
10 см. Найдите периметр и
площадь параллелограмма.
©
Решите треугольник АВС,
если /А = 45°, zB = 75°,
АВ - 2л/з см.
©
Даны точки А(0; 0), В(2; 2),
С(5; -1). Найдите скалярное
произведение АС • СВ . До-
кажите, что треугольник
АВС — прямоугольный.
Вариант Б1
о
Угол параллелограмма ра-
вен 120°, стороны относятся
как 5:8, а меньшая диаго-
Вариант А2
о
Угол параллелограмма равен
60°, меньшая диагональ —
7 см, а одна из сторон —
5 см. Найдите периметр и
площадь параллелограмма.
©
Решите треугольник АВС,
если zB .= 30°, zC = 105°,
AC = 4 см.
©
Даны точки А(0; 0), В(1; -1),
С(4; 2). Найдите скалярное
произведение ВС • АС . До-
кажите, что треугольник
АВС — прямоугольный.
Вариант Б2
о
Угол параллелограмма равен
60°, разность сторон равна
4 см, а большая диагональ
Соотношения между сторонами и углами треугольника
157
наль равна 14 см. Найдите
большую диагональ и пло-
щадь параллелограмма.
©
Решите треугольник АВС, если
АВ= 7-/3 ot,BC=1cm,zB=150>.
©
Даны точки А(0; 0), В(2; 2),
С(5; 1). Найдите скалярное
произведение АВ^ВС - СА).
Докажите, что треугольник
АВС — тупоугольный.
равна 14 см. Найдите мень-
шую диагональ и площадь
параллелограмма.
©
Решите треугольник АВС, если
ВС = 6д/2 см, ЛС=2 см, zC= 135’.
©
Даны точки А(0; 0), В(2; 1),
С(1; -1). Найдите скалярное
произведение АС^ВС - АВj.
Докажите, что треугольник
АВС — остроугольный.
Вариант В1
о
Площадь параллелограмма
с углом 60° равна
210д/Зсм2, а периметр —
88 см. Найдите диагонали
параллелограмма.
©
Решите треугольник АВС,
если ВС = 8 см, АС = 7 см,
zB = 60°.
©
Даны точки А(3; -2), В(1; 4),
C(-l; k).
а)	Найдите
ав(ас-вс) +
+ ВС(СВ- АВ + АС}.
б)	При каких значениях k
векторы АС и ВС перпен-
дикулярны?
Вариант В2
о
Площадь параллелограмма с
углом 120° равна 40л/з см2,
а разность двух его сторон —
11 см. Найдите диагонали
параллелограмма.
0
Решите треугольник АВС,
если АВ = 4^2 см, ВС = 5 см,
zA = 45°.
©
Даны точки А(2; -3), В(-1; 2),
С(/г; 1).
а)	Найдите
АВ[АС -ВС) +
+ ВС(СВ-АВ + АС).
б)	При каких значениях k
векторы АС и ВС перпен-
дикулярны?
158
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
Длина окружности
и площадь круга
С-11. ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОУГОЛЬНИКИ
Вариант А1
о
Найдите углы правильного
восьмиугольника.
©
В окружность вписаны пра-
вильные треугольник и
четырехугольник. Периметр
треугольника равен бл/б см.
Найдите периметр четырех-
угольника.
©
Найдите площадь правиль-
ного треугольника, если ра-
диус описанной около него
окружности равен 7 см.
Вариант А2
о
Найдите углы правильного
двенадцатиугольника.
©
Около окружности описаны
правильные треугольник и
четырехугольник. Периметр
треугольника равен 9^3 см.
Найдите периметр четырех-
угольника.
©
Найдите площадь правиль-
ного треугольника, если ра-
диус вписанной в него ок-
ружности равен 4 см.
Вариант Б1
о
Сколько сторон имеет пра-
вильный многоугольник, если
каждый его угол равен 144°?
©
Периметр правильного тре-
угольника, вписанного в ок-
ружность, на зТз см меньше
периметра правильного шес-
тиугольника, описанного око-
ло этой окружности. Найдите
радиус окружности.
Вариант Б2
о
Сколько сторон имеет пра-
вильный многоугольник, если
каждый его угол равен 156°?
©
Периметр правильного четы-
рехугольника, описанного
около окружности, на 6 см
больше периметра правиль-
ного шестиугольника, впи-
санного в эту окружность.
Найдите радиус окружности.
Длина окружности и площадь круга
159
©
Докажите, что площадь
правильного шестиугольни-
ка можно вычислить по
формуле S = 2д/3г2, где г —
радиус вписанной окружно-
сти.
©
Докажите, • что площадь пра-
вильного шестиугольника
можно вычислить по формуле
зУз 2 п
S =----R , где R — радиус
2
описанной окружности.
Вариант В1
о
Сколько сторон имеет пра-
вильный многоугольник, ес-
ли внешний угол меньше
внутреннего в 11 раз?
©
Докажите, что сторона пра-
вильного восьмиугольника
вычисляется по формуле
а8 = R^2 - л/2 , где R — ра-
диус описанной окружности.
©
Докажите, что площадь пра-
вильного восьмиугольника со
стороной а вычисляется по
формуле S = а2[у[2 + 1).
Вариант В2
о
Сколько сторон имеет пра-
вильный многоугольник, ес-
ли его внутренний угол отно-
сится к внешнему как 13:2?
©
Докажите, что сторона пра-
вильного двенадцатиугольни-
ка вычисляется по формуле
а12 = R^2 - у/з , где R — ра-
диус описанной окружности.
©
Докажите, что площадь пра-
вильного двенадцатиугольни-
ка со стороной а вычисляется
по формуле S = За (2 + V 31 .
С-12. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ, ПЛОЩАДЬ
КРУГА, ПЛОЩАДЬ КРУГОВОГО СЕКТОРА
Вариант А1
о
Площадь квадрата равна S.
Найдите:
а) длину вписанной окруж-
ности;
Вариант А2
о
Площадь квадрата равна S
Найдите:
а)	длину описанной окруж
ности;
160
б)	длину дуги, заключенной
между двумя соседними
точками касания;
в)	площадь части квадрата,
лежащей вне вписанной ок-
ружности.
©
Длина дуги окружности ра-
диуса 10 см равна 4л см.
Найдите площадь соответст-
вующего кругового сектора.
©
Катеты прямоугольного тре-
угольника равны 15 см и
20 см. Найдите длину ок-
ружности, диаметром кото-
рой является высота, про-
веденная к гипотенузе.
ГЕОМЕТРИЯ (по Дтанасяну)
б) длину дуги, стягиваемой
стороной квадрата;
в) площадь части описанного
круга, лежащей вне квадрата.
©
Площадь кругового сектора
окружности радиуса 6 см
равна 9л см2. Найдите длину
соответствующей дуги.
©
Катеты прямоугольного тре-
угольника равны 12 см и
16 см. Найдите длину ок-
ружности, диаметром кото-
рой является медиана, про-
веденная к гипотенузе.
Вариант Б1
о
Площадь треугольника рав-
на S. Найдите:
а)	длину вписанной, окруж-
ности;
б)	длину дуги, заключенной
между двумя соседними
точками касания;
в)	площадь части треуголь-
ника, лежащей вне вписан-
ной окружности.
©
Угол при основании равно-
бедренного треугольника ра-
вен 80°, а на проведенной к
основанию высоте длиной
18 см как на диаметре по-
строена окружность. Най-
дите длину дуги окружно-
Вариант Б2
о
Площадь треугольника рав-
на S. Найдите:
а)	длину описанной окруж-
ности;
б)	длину дуги, стягиваемой
стороной треугольника;
/
в)	площадь части описанного
круга, лежащей вне
треугольника.
©
На высоте равностороннего
треугольника со стороной
4л/з см как на диаметре по-
строена окружность. Найди
те длину дуги окружности,
расположенной вне тре-
угольника.
Длина окружности и площадь круга
161
сти, заключенной внутри
треугольника.
©
Площадь кругового сектора
равна 6л см2, а радиус ок-
ружности — 4 см. Найдите
длину хорды, стягивающей
дугу этого сектора.
©
Хорда длиной 3^2 +\ 2 см стя-
гивает дугу, градусная мера
которой равна 135°. Найдите
площадь кругового сектора,
соответствующего этой дуге.
Вариант В1
о
Площадь правильного вось-
миугольника равна S.
Найдите:
а)	длину описанной окруж-
ности;
б)	длину дуги, стягиваемой
стороной многоугольника;
в)	площадь части много-
угольника, лежащей вне впи-
санной окружности.
©
В прямоугольном треуголь-
нике с гипотенузой 4л/з см и
острым углом 30° на боль-
шем катете как на диаметре
построен круг. Найдите
площадь части круга, отсе-
каемой гипотенузой и распо-
ложенной вне треугольника.
©
Площадь кругового сектора
равна 6л см2, а длина ду-
ги — 2л см. Найдите длину
окружности, вписанной в
этот сектор.
Вариант В2
О
Площадь правильного две-
надцатиугольника равна S.
Найдите:
а)	длину описанной окруж-
ности;
б)	длину дуги, стягиваемой
стороной многоугольника;
в)	площадь части описанного
круга, лежащей вне много-
угольника.
©
В прямоугольном треуголь-
нике с гипотенузой 4л/з см и
острым углом 30° на мень-
шем катете как на диаметре
построен круг. Найдите пло-
щадь части круга, располо-
женной внутри треугольника.
©
Радиус окружности, вписан-
ной в круговой сектор, в 3
раза меньше радиуса сектора.
Найдите длину окружности,
вписанной в сектор, если пло-
щадь сектора равна 24л см2.
6 Сам, и контр, алгебра, геометрия 9 кл.
I
162
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
К-3. ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ
И ПЛОЩАДЬ КРУГА
Вариант А1
о
Внешний угол правильного
многоугольника на 150°
меньше его внутреннего уг-
ла. Найдите периметр этого
многоугольника, если его
сторона равна 6 см.
0
Длина окружности, описан-
ной около правильного тре-
угольника, равна 16л: см.
Найдите длину вписанной в
этот треугольник окружно-
сти.
©
Центральный угол окруж-
ности длиной 30л см равен
84е. Найдите:
а)	длину дуги, на которую
опирается этот угол;
б)	площадь сектора, огра-
ниченного этой дугой.
Вариант Б1
о
Сумма внешних углов пра-
вильного многоугольника в
3,5 раза меньше суммы его
внутренних углов. Найдите
сторону правильного много-
угольника, если его пери-
метр равен 144 см.
Вариант А2
о
Внешний угол правильного
многоугольника в 4 раза
меньше его внутреннего уг-
ла. Найдите периметр этого
многоугольника, если его
сторона равна 6 см.
0
Площадь круга, вписанного
в правильный треугольник,
равна 16л см2. Найдите пло-
щадь описанного около этого
треугольника круга.
©
Вписанный угол окружности
длиной 36л см равен 35°.
Найдите:
а)	длину дуги, на которую
опирается этот угол;
б)	площадь сектора, ограни-
ченного этой дугой.
Вариант Б2
о
Сумма внутренних углов
правильного многоугольника
на 720° больше суммы его
внешних углов. Найдите
сторону правильного много-
угольника, если его пери-
метр равен 144 см.
Длина окружности и площадь круга
163
©
Сумма длин вписанной и
описанной окружностей пра-
вильного треугольника рав-
на 7д/3л см. Найдите пери-
метр треугольника.
©
Длина дуги, стягиваемой
хордой, равна 30л см, а
угол, образованный этой
хордой и радиусом, прове-
денным через ее конец, ра-
вен 15°. Найдите площадь
сектора, ограниченного этой
дугой.
Вариант В1
о
Сумма четырех внутренних
и шести внешних углов
правильного многоугольни-
ка равна 768°. Найдите ко-
личество сторон этого мно-
гоугольника.
0
Длина окружности, описан-
ной около правильного мно-
2 г
гоугольника, в — д/3 раз
3
больше длины окружности,
вписанной в этот много-
угольник. Найдите площадь
многоугольника, если его
периметр равен 12 см.
©
Радиус окружности равен
2 см. Угол между радиусом и
©
Разность длин описанной и
вписанной окружностей пра-
вильного треугольника равна
2л/3л см. Найдите площадь
треугольника.
©
Угол между двумя радиусами
в 4 раза больше, чем угол
между хордой, стягивающей
концы этих радиусов, и одним
из радиусов. Найдите длину
меньшей из дуг, стягиваемых
данной хордой, если площадь
сектора, ограниченного мень-
шей дугой, равна 48л см2.
Вариант В2
о
Сумма двух внутренних и
семи внешних углов пра-
вильного многоугольника
равна 435°. Найдите количе-
ство сторон этого много-
угольника.
0
Площадь вписанного в пра-
вильный многоугольник
круга в 4 раза меньше пло-
щади круга, описанного
около многоугольника. Най-
дите периметр многоуголь-
ника, если его площадь рав-
на 4л/з см2.
©
Радиус окружности равен
2 см. В треугольнике, обра-
164
хордой на 45° меньше, чем
угол между этим же радиу-
сом и перпендикуляром,
проведенным из центра ок-
ружности к этой хорде. Най-
дите площадь фигуры, огра-
ниченной данной хордой и
меньшей из стягиваемых ею
Дуг.
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
зованном двумя радиусами и
хордой, углы относятся как
3:2:3. Найдите площадь фи-
гуры, ограниченной этой
хордой и большей из стяги-
ваемых ею дуг.
Движения
165
Движения
С-13. ПОНЯТИЕ ДВИЖЕНИЯ
Вариант А1
о
Даны точки А(1; 4) и
В(—3; -4). Постройте фигу-
ру, симметричную отрезку
АВ относительно:
а) оси Ох;
б) точки С(—1; 0).
0
Сколько осей симметрии
имеет равносторонний тре-
угольник? Ответ подтверди-
те чертежом.
©
Докажите, что при цен-
тральной симметрии плос-
кости относительно середи-
ны отрезка этот отрезок
отображается на себя.
Вариант Б1
о
Дан прямоугольник ABCD.
Постройте фигуру, на кото-
рую отображается этот пря-
моугольник:
а)	при центральной симмет-
рии с центром в точке А;
б)	при осевой симметрии с
осью BD.
©
Сколько осей симметрии
имеет ромб, не являющийся
Вариант А2
о
Даны точки А(4; 4) и В(-6; -1).
Постройте фигуру, симметрич-
ную отрезку АВ относительно:
а) оси Оу;
б) точки С(0; 2).
0
Сколько осей симметрии
имеет квадрат? Ответ под-
твердите чертежом.
©
Докажите, что при осевой
симметрии отрезок, перпен-
дикулярный к оси и деля-
щийся ею пополам, отобра-
жается на себя.
Вариант Б2
о
Дан прямоугольник ABCD.
Постройте фигуру, на кото-
рую отображается этот пря-
моугольник:
а)	при центральной симмет-
рии с центром в точке С;
б)	при осевой симметрии с
осью АВ.
0
Сколько осей симметрии
имеет прямоугольник, не
166
квадратом? Ответ проил-
люстрируйте чертежом.
©
Докажите, что при движе-
нии перпендикулярные пря-
мые отображаются на пер-
пендикулярные прямые.
Вариант В 1
о
Дана окружность с центром
в точке О и диаметром АВ.
Постройте фигуру, на кото-
рую отображается данная
окружность:
а) при центральной симмет-
рии с центром в точке М,
если М — середина АО',
б) при осевой симметрии с
осью CD, где CD — хорда ок-
ружности, CD ± АВ, CD=-AB.
2
©
Дан равносторонний треуголь-
ник АВС. Постройте фигуру,
на которую он отображается
при симметрии относительно
прямой ВС. Можно ли полу-
чить ту же фигуру с помощью
центральной симметрии? Ес-
ли да, укажите центр сим-
метрии.
©
Используя понятие движе-
ния, докажите, что два ромба
равны, если сторона и острый
угол одного ромба соответст-
венно равны стороне и остро-
му углу второго ромба.
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
являющийся квадратом? От-
вет проиллюстрируйте чер-
тежом.
©
Докажите, что при движении
пересекающиеся прямые ото-
бражаются на пересекающие-
ся прямые.
I
Вариант В2
о
Дана окружность с центром
в точке О и диаметром АВ.
Постройте фигуру, на кото-
рую отображается данная
окружность:
а)	при центральной симмет-
рии с центром в точке М,
если АМ:МВ = 3:1;
б)	при осевой симметрии с
осью CD, где CD — хорда ок-
АВ
ружности, CD ± АВ, CD = —=•
V2
©
Дан равносторонний треуголь
ник АВС. Постройте фигуру,
нав которую он отображается
переходит при симметрии от
носительно точки В. Можно
ли получить ту же фигуру с
помощью осевой симметрии?
Если да, укажите ось симмет
рии.
©
Используя понятие движе-
ния, докажите, что два ром-
ба равны, если диагонали
одного ромба равны диаго
налям второго ромба.
Движения
167
С-14. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС
И ПОВОРОТ
Вариант А1
о
Дан квадрат ABCD, О —
точка пересечения диагона-
лей. Постройте фигуру, ко-
торая получается из этого
квадрата при параллельном
переносе на вектор АО.
0
Дана окружность с центром
в точке О. Постройте диа-
метр AjBj, который получа-
ется из диаметра АВ при
повороте вокруг точки О
на угол 135° по часовой
стрелке.
©
В равностороннем треуголь-
нике АВС точки М, N и К —
середины сторон АВ, ВС и
АС соответственно. Дока-
жите, что при повороте во-
круг центра треугольника на
120° по часовой стрелке
средняя линия MN перей-
дет в среднюю линию NK.
Вариант Б1
о
Дан параллелограмм ABCD.
Известно, что при параллель-
ном переносе точка А перешла
в точку В. В какую точку при
таком переносе переходит точ-
ка D? Ответ объясните.
0
Дан квадрат ABCD. По-
стройте фигуру, в которую
он переходит при повороте
Вариант А2
о
Дан квадрат ABCD, О —
точка пересечения диагона-
лей. Постройте фигуру, ко-
торая получается из этого
квадрата при параллельном
переносе на вектор ОС .
0
Дана окружность с центром
в точке О. Постройте хорду
C1D1, которая получается из
хорды CD при повороте во-
круг точки О на угол 120°
против часовой стрелки.
©
В равностороннем треуголь-
нике АВС точки М, N и К —
середины сторон АВ, ВС и АС
соответственно. Докажите, что
при повороте вокруг центра
треугольника на 120° против
часовой стрелки отрезок АК
перейдет в отрезок ВМ.
Вариант Б2
о
Дан параллелограмм ABCD.
Известно, что при параллель-
ном переносе точка В перешла
в точку С. В какую точку при
таком переносе переходит точ-
ка А? Ответ объясните.
©
Дан квадрат ABCD. По-
стройте фигуру, в которую
он переходит при повороте
168
на 90° по часовой стрелке
вокруг точки С.
©
Используя параллельный пе-
ренос, постройте трапецию
по основанию и углам при
одном из оснований.
Вариант В1
о
Дан угол и точка А внутри
него. Найдите на сторонах
угла такие две точки, чтобы
при параллельном переносе
вершина отображалась на
одну из них, и при этом
другая точка отображалась
на точку А.
©
Дан квадрат ABCD. Построй-
те фигуру, в которую он пе-
реходит при повороте на 90°
по часовой стрелке вокруг
середины стороны ВС.
©
Используя параллельный пе-
ренос, постройте четырех-
угольник по длинам всех его
сторон и углу между про-
должениями двух несмеж-
ных сторон.
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
на 90° против часовой стрелки
вокруг точки А.
©
Используя параллельный пе-
ренос, постройте трапецию по
основаниям и диагоналям.
Вариант В2
о
Дан угол и точка А внутри
смежного с ним угла. Най-
дите на сторонах данного
угла такие две точки, чтобы
при параллельном переносе
точка А отображалась на од
ну из них, а вершина угла. —
на другую.
©
Дан квадрат ABCD. Постройте
фигуру, в которую он перехо-
дит при повороте на 90° про-
тив часовой стрелки вокруг
середины стороны AD.
©
Используя параллельный пе-
ренос, постройте четырех-
угольник по длинам всех его
сторон и разности углов при
одной из сторон.
К-4. ДВИЖЕНИЕ
Вариант А1
о
Даны точки
А(-2; -1), В(1; 2), С(2; 0).
Вариант А2
А(1; -1), В(3; 1), С(0; 2).
Движения
169
Постройте на четырех различных
чертежах:
а)	отрезок АлВц симметричный
отрезку АВ относительно точки С;
б)	отрезок А2С2, симметричный
отрезку АС относительно оси АВ;
в)	отрезок А3В3, который получается
при параллельном переносе отрезка
АВ на вектор АС;
г)	отрезок А4С4, который получается
при повороте отрезка АС вокруг
точки В на 90° против часовой стрелки.
Укажите координаты точек Alf В4,
А2, С2, А3, В3, А4, С4.
0
Каким условиям должны
удовлетворять
два квадрата,	два равносторонних треуголь-
ника,
чтобы один из них можно было
получить из другого при помощи
параллельного переноса?
О
Докажите, что при повороте
правильного треугольника
вокруг его центра на 240°
треугольник отображается
на себя.
квадрата вокруг точки пере-
сечения его диагоналей на
270° квадрат отображается
на себя.
Вариант Б1	Вариант Б2
о
Даны точки
А(-1; 2), В(4; 0), С(-1; -2).	А(3; -2), В(-1; 0), С(3; 2).
Постройте на четырех различных
чертежах:
а) треугольник А&Сц симметрич-
ный треугольнику АВС относитель-
но точки D(l; -1);
170
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
б)	треугольник А2В2С2, симметрич-
ный треугольнику АВС относитель-
но биссектрисы первого и третьего
координатных углов;
в)	треугольник А3В3С3, который полу-
чается при параллельном переносе
треугольника АВС на вектор - — ВС ;
г)	треугольник А4В4С4, который по-
лучается при повороте треугольника
АВС на 90° по часовой стрелке во-
круг основания высоты ВН.
Укажите координаты полученных
точек.
1
У = —х
* 2
прямую
вет объясните.
Можно ли выполнить такой парал-
лельный перенос, при котором прямая
1
у = - — х отображается на
прямую х + Зг/ - 12 = 0 ? От-
вет объясните.
отображается на
x-2z/ + 4 = 0? От-
Докажите, что при повороте вокруг
своего центра
на 80° правильный девяти-
угольник отображается на
себя.
на 75° правильный двадца-
тичетырехугольник отобра-
жается на себя.
Вариант В1
Вариант В2
О
Даны точки
А(-3; 4), В(5; -2), С(-3; -2).
А(—3; -4), В(5; 2), С(-3; 2).
Постройте на четырех различных
чертежах:
а)	треугольник А^С^, симметричный
треугольнику АВС относительно цен-
Движения
171
тра вписанной в треугольник АВС
окружности;
б)	треугольник А2В,С2, симметрич-
ный треугольнику АВС относитель-
но оси, содержащей биссектрису
угла АС В;
в)	треугольник Д3В3С3, который по-
лучается при параллельном перено-
се треугольника АВС на вектор
АВ+СА;
г)	треугольник Л4В4С4, который по-
лучается при повороте треугольника
АВС на 270° по часовой стрелке во-
круг точки пересечения прямых
х-1 = 0и1/+1 = 0.
Укажите координаты полученных
точек.
©
Можно ли выполнить такой парал-
лельный перенос, при котором ок-
ружность
х2 + у2 = 17 отображается на
окружность х2 - 2х + 4г/ +
+ у2 - 12 = О?
Ответ объясните.
©
Отрезки АВ и CD равны.
Докажите, что можно вы-
полнить такой поворот, при
котором АВ и CD совмес-
тятся.
х2 + у2 = 27 отображается на
окружность у2 + 6х + х2-
- 2г/- 17 = О?
Ответ объясните.
©
При некотором повороте
точка А отображается на
точку В, а точка С — на
точку D. При каком значе-
нии угла поворота точки А,
В, С, D лежат на одной
прямой? Ответ обоснуйте.
172
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
К-5. ГОДОВАЯ КОНТРОЛЬНАЯ
РАБОТА
Вариант А1
о
Две стороны треугольника
равны 9 см и 56 см, а угол
между ними — 120°. Най-
дите периметр и площадь
треугольника.
©
Площадь квадрата, описан-
ного около окружности, рав-
на 16 см2. Найдите площадь
правильного треугольника,
вписанного в эту же окруж-
ность.
Вариант А2
о
Две стороны треугольника
равны 13 см и 48 см, а угол
между ними — 60°. Найдите
периметр и площадь тре-
угольника.
©
Площадь квадрата, вписан-
ного в окружность, равна
16 см . Найдите площадь
правильного треугольника,
описанного около этой же
окружности.
©
В треугольнике АВС
АВ =17 см, АС = 15 см, АВ = 25 см, АС = 24 см,
ВС = 8 см.	ВС = 7 см.
Найдите:
а)	АВ-АС, ВА-ВС, СА СВ;
б)	длину окружности, описанной
около треугольника;
в)	площадь круга, вписанного в тре-
угольник.
Вариант Б1
о
Две стороны треугольника
равны 9 см и 21 см, а угол,
противолежащий большей
из них, — 60°. Найдите пе-
Вариант Б2
о
Две стороны треугольника
равны 33 см и 37 см, а угол,
противолежащий большей
из них, — 120°. Найдите пе-
Годовая контрольная работа
173
риметр и площадь тре-
угольника.
е
Сумма площадей правильно-
го четырехугольника, опи-
санного около окружности, и
правильного треугольника,
вписанного в эту окруж-
ность, равна (б4 + 12-\/з) см.
Найдите длину окружности.
риметр и площадь треуголь-
ника.
Разность площадей правильно-
го треугольника, описанного
около окружности, и квадрата,
вписанного в эту окружность,
равна (18V3 - 32j см. Найдите
площадь круга, ограниченного
этой окружностью.
О
В треугольнике АВС
АВ = ВС = 20 см, АС = 24 см. АВ = ВС =15 см, АС = 24 см.
Найдите:
а)	АВ АС, ВА ВС, СА СВ ;
б)	длину окружности, описанной
около треугольника;
в)	площадь круга, вписанного
в треугольник.
Вариант В1
о
Одна из сторон треугольни-
ка на 11 см больше другой,
угол между ними равен
120°, а третья сторона рав-
на 19 см. Найдите периметр
и площадь треугольника.
G
Разность сторон правильных
треугольника и четырех-
угольника, вписанных в од-
ну окружность, равна 2 см.
Найдите периметр правильно-
го шестиугольника, описан-
ного около этой окружности.
Вариант В2
о
Одна из сторон треугольника
в 4,2 раза больше другой,
угол между ними равен 60“,
а третья сторона равна
19 см. Найдите периметр и
площадь треугольника.
G
Сумма сторон правильных
треугольника и шестиуголь-
ника, описанных около од-
ной окружности, равна 8 см.
Найдите периметр квадрата,
вписанного в эту окруж-
ность.
174 ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
©
В трапецию ABCD можно вписать
окружность. Известно, что
АВ = CD = 5 см, ВС = 2 см, АВ = CD = 5 см, ВС = 1 см,
AD = 8 см.	AD = 9 см.
Найдите:
а)	(АС-ВС)- AD, (dA + BD) ВС;
б)	длину окружности, вписанной
в трапецию;
в)	площадь круга, описанного около
трапеции.
Ответы
175
Ответы
АЛГЕБРА
К-1	А1	А2	Б 1
1а)	(х - 13)(х - 2)	(х + 2)(х + 11)	—(х - 1)(х - 5)
16)	(у - 1)(4у + 7)	(У - l)(8z/ + 3)	(х - 2)(х - 4)/2
2а)	(-да;-3)о(1;да);(-3; 1)	(-да;-1)о(3; да); (-1; 3)	возр. (-да; 1], убыв. [1; да)
26)	(-6; 21); (11; 140)	(-5; 32); (10; 77)	(-1/2; 7/4); (2; 3)
За)	z/ + 7 z/ + 2	У+ 7 У + 6	Зх -1 2х + 1
4	X — 1,	~ 0	Х '3» Z/наиб ~ 0	с = 10
	Б2	В1	В2
1	—(х + 3)(х - 1)	а - Ъ 2а+ Ь	2а + b а - Ь
2	(х - 3)(х - 6)/3	возр. [-2; 0]; [2; да) убыв, (-да; -2]; [0; 2]	возр. [1; 2]; [3; да) убыв, (-да; 1]; [2; 3]
3	возр. (-да; -2] убыв. [-2; да)	У = 4х	У = Зх
4	(-1/2; 27/4); (2;-7)	2	-2
5	2x^1 4х + 1	а < 0, b > 0, с > 0, D> 0	а > 0, b > 0, с > 0, D<0
К-2	А1	А2	Б 1
1а)	(-2; 4)	1	(-6; 2)	(-да; -4) о (5; да)
16)	(-да; 1] о [1,5; да)	(-да; 1/3) и(1; да)	[-5; 2]
1в)	(-1; 1)	(-да; -3) о (3; да)	(-да; -3] о [0; да)
2а)	(-да; -3)о(5; да)	(-5; 3)	(-да; -1)о(1; 5)
26)	(-2; 6)	(-да; -3)о(1; да)	[-9; 0] о [9; да)
3	(-<о; 0)	(0; да)	[-2;-1)о(0; 1)
4	[-4; 5]	(-6; 5)	(-да; -2] о (2; 3]
5	(3; 7)	(3; да)	(6; 8)
176
Математика-9
К-2	Б 2	В1	В2
la)	(-3; 8)	(—да; 1) о (1,5; да)	(—да; -1)и(11/3; да)
16)	(-да; -6] о [3; да)	[-9; 9]	[-15; 15]
1в)	(-да; -2] и [0; да)	(-да; 1] и [5; да)	(-да; 0]и[4/3; да)
2а)	(-да; -4)и(1; 3)	(—эо; -1/2] и {3}	{-2} и [-1/2; да)
26)	[-8; 0]и [8; да)	(-1; 0)и(0; 3)	(-1; 0)и(0; 4)
3	(-2; 0) и (2; 3]	(-3; -2]и[1; 4]	[-4; -1]и[2; 3)
4	(-да; -3]и(-2; 2]	[-3; 3]	[-3; 3]
5	(6; 9)	исоб > 8 км/ч	^ветра < 5 КМ/Ч
К-3	А1	А2	Б1	Б2	В1	В2
1а)	±2	±1	±1/2	±1/3	±1; -3	-2; 1; 4
16)	0; ±4	0; ±5	-1/3; 0; 1	0; 1; 1,5	-1; ±2	-1
2	(1; 5); (2; 3)	(7; 4); (-11; -2)	(1; 2) (4/11; 43/11)	(-1; -5); (5/11;-23/11)	(4; 2); (-4;-2) (2; 4); (-2;-4)	(4; 2) (-4; -2)
3	5 и 6 см	4 и 5 см	34 см	48 см2	9 часов	6 часов
4	-2; ±1	1; ±3	±73 ; ±2	±2^2; ±3	(1; 2); (-3;-2)	(2;3);(-2;-1)
5	(2; 3);(3; 2)	(3; 2); (-2;-3)	(2; 3)	(-2; -1)	(2; 3)	(-5; 1)
К-4	А1	А2	Б1	Б2	В1	В2
1а)	Зп - 28	-Зп + 30	-121	89	±(2п -18)	±(2п -16)
16)	35	-33	да	да	11	11
2а)	22; -4	-13; 4	d= 1/3	d = 3/11	392	336
26)	64	8	25	30	1	п > 18	п > 20
За)	125	-195	912	-1160	2п2 + 10п, п < 22	Зп2 + 9п, п < 15
36)	9	9	505	-640	3717	4095
4а)	12	13	7п + 7, п < 13	6п + 6, п < 15	8	25
46)	312	273	728	810		
К-5	А1	А2	Б 1	Б2	В1	В2
1а)	243	64	-96	-486	2 - З"’1	96 - (1/2)"1
16)	364	126	510	9840	242	186
2	18	48	32/3	12	12	54
Ответы
177
За)	2	-3	3	2	48	2/3
36)	с четн. номерами	с нечетн. номерами	4	4	5	5
4	3/16	1/2	699,6 р.	685,9 р.	Зх/З см2	«85,8 см
5	24	-1/5	9/4	4	1/2	1/2
К-6	А1	А2	Б1
1а)	1	5	2
16)	25	8	46
2а)	хЗ/4	х5/6	х13/24
26)	х2/3	х1/2	х1/2
За)	х-1	1/(Х + 1)	х“0,5
36)	х1/6 - 5	х1/4 - 4	& (tfa - y[b ।
	х1/6 +5	х1/4 + 4	t[a + Vb
4	33	7	2
5	1	1	1
	Б2	В 1	В2
1а)	9	1	1
16)	15	48	135
2а)	х1/2	х-2/з	х1/3
26)	х1/2	ХМЗ	X1/3
За)	х1/3	(х1/2 - у1/2)/х1/3	у1/3/(х1/3 + </1/3)
36)	а1/в-Ь1/в	4х + y/у 1	1 + Vx + 4у
	а2/3(а1/в + Ь1/6)	1 + у/х - Jy	4х~4у
4	1	8	1
5	1	(х1/3+1)/х1/3	(х1/3 - 1)/(х1/3 + 1)
К-7	А1	А2	Б 1	Б2	В1	В2
1а)	0	0	-1	1	-1/2	3/2
16)	72/2	V2/2	-1	-2	2	2/3
2а)	tg2a	ctg2a	0	0	l/cos2a	l/sin2a
26)	9 —cos a	-sin2a	tg2a	ctg2a	sin2a	cos2a
3	-3/4	-3/4	4/5	-4/5	1/V3	1/5/3
5	нет	Да	нет	нет	15	13
178
Математика-9
К-8	А1	А2	Б1	Б2	В1	В2
1а)	1/2	1/72	Тз/2	-2	2	-2
16)	1/2	1/2	1	7з	-1/72	-7з
2а)	sin 2а	sin2a	sin2a	sin2a	(sina)/2	(sina)/2
26)	2cos2a	2cos3a	0	0	4cos3a	-4sin3a
3	-63/65	16/65	7/17	-7/17	2/3	-3/4
5	нет	нет	0	0	2; -2	2; -2
К-9	А1	А2	Б 1
1	±2; ±3	±1; ±8	±1; 4; 6
2	(-оо; -1]и[1/3; да)	[-1/3; 2]	(-чю; -3]и[0; 1]
3	(3; 1); (-1; -3)	(-5; 8); (2; 1)	(5; 1); (1; 5); (-5; -1); (-1; -5)
4	(-^о; 2]	(-<о; 3]	[1; оо)
5	2; 4; 6	3; 5; 7	= 16; q = 1/2
	Б2	В1	В2
1	±1; 2; 4	-3; -1/3; 0	-3; -2/3;0
2	[-1; 0]и[2;оо)	{-1}и[1;а>)	(-°°; -2]и{2}
3	(2; 3); (3; 2); (-2; -3); (-3; -2)	(5; I); (I; 5); (3; 2); (2; 3)	(1; -2); (2; -1); (1; 3); (-3; -1)
4	3]	возр. [0; 1]; [2; сю) убыв, (-оо; 0); [1; 2]	возр. [-1; 0]; [1;ос) убыв, (-юо; -1]; [0; 1]
5	= 6; q = 2	3; 7; 11	2; 4; 6
ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
ПО АЛГЕБРЕ
С-4*	Вариант 1	Вариант 2
1а)	-6; 8	-2; 3
16)	-4; -1	6; 10
2	1 а >- 8	а < -9
3	у=х2-2х	у=х2+2х
4	а — 5	а =-7
5	2	-1
6	р-0	р - любое число
Ответы
179
8а)	возр. [-2,5; 0] ;[2,5;+оо) убыв, (-оо; -2,5] ;[0; 2,5]	возр. [-3; 0] ;[3;+со) убыв, (-оо; -3] ;[0; 3
86)	возр. [1; 2,5] ;[4;+оо) убыв, (-оо; 1] ;[2,5; 4]	возр. [1; 3] ;[5;+оо) убыв, (-оо; 1] ;[3; 5]
С-8*	Вариант 1	Вариант 2
1а)	-1; 3	-2,5; -2; 0.5: 1
16)	-3; -1; 2; 6	-6; -3; 1; 2
1в)	2; 3; 5~ 2	-5± V95
1г)	-3;	0,5; 2 3	0,5; 2
1д)	0; 1	-3; 2; ~1±Л5 2
1е)	-3; -1	-3; -1
2а)	5±Тб1 о 1 ; у, 1 2	-2; -0,5
26)	^;2±ТЗ 2	- -3-± V5 ’	2
2в)	-0,75; 3	-1; 2
2г)	3; 5; 9± V66	-	5± V61 2
3	2; -1±>/з	।, bo 1+ оо]
4а)	а = 0	а = 0
46)	а > 0	а > 0
4в)	а < 0	а < 0
С-11*	Вариант 1	Вариант 2
1а)	(-8,5; 3), (-б|; 2)	(-2; -3), (1; 1,5)
16)	(-2; -3), (3; 2), G10+ 3; \10— 3), (3 - V10 ; -3 - V10 )	(-1; 2), (-2; 1)
180
Математика-9
2	(1; 2), (2; 1)	(1; 2), (2; 1), (1; -4), (-4; 1)
3	(0; 1), (0; -1), (1; 1), (-1; -1)	(1; 0), (-1; 0), (1; 1), (-1; -1)
4а)	(1; 2), (2; 1)	(2; 1), (-1; -2)
46)	<2 (2; 2), --;-2 1 3 J	(2; 1), (-2; -1)
5	(-4; 6), (-4; -6), [4;2^	(1; -1,25), (-0,25; -2,5)
6	(-2;-4), \ и о J	(0; 0), (17; 17), (12; -3), (-3; 12)
С-16*	Вариант 1	Вариант 2
1	13; 9; 5 или 4; 9; 14	1; 4; 7 или 17; 4; -9
2	3; 6; 12; 24	3; 6; 12; 24
3	2; 6; 18; 30 или 32; 16; 8; 0	6; 4; 2; 1 или 0,75; 2,25; 3,75; 6,25
4	2	1 3
С-28*	Вариант 1		Вариант 2	
1а)	1 8		1 16	
16)	0,5		0,5	
1в)	1		1	
2	За - а3 2		а2 -1	
3	1 или 2		-0,5 или -1	
5	-3; -2; -1; 0; 1; 2; 3		-2; -1; 0; 1; 2	
7а)	2^2 cos^-“ U 2,	l а cos — 2	2-T2cosf—- — (4 2	. • а sin — J 2
76)	4sini - -а sinj <6 J I	Я — + а 1 6	)	4 sin а - — sin I 6 J	я — + а 6	)
8	15°; 75°		30°; 60°	
Ответы
181
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)
К-1	А1	А2	Б1	Б2	В1	В 2
1	24, 28 и 32 см	6, 15 и 18 см	15, 15 и 18 см	5, 5 и 8 см	15, 36 и 39 см	14, 48 и 50 см
2	32 см	20 см	24 и 40 см	28 и 12 см	8 см	100 см
3	35 и 56 см	58 и 86 см	15 и 20 см	21 и 7 см	80 см	128 см
К-2	А1	А2	Б 1
1	ZC = 60°; ВС=4 ^2 см; АС» 3,8см	ZA = 45°; BCM /2 см; AB == 7,7см	АС- 13 см, ZC « 28°; ZA ® 2°
2	14 и 2v 19 см	14 и 2V129 см	dsina	dsinp sin(a + р) ’ sin|a + 0)
3	a sin а	с sinp	30°, 60°, 90°, 4 CM
	sin(135° - а)	sin(135°-0/j	
	Б2	В 1	B2
1	АВ= 10 см; ZA ® 37°; ZB % 8°	АВ = 3 см; ZA ® 98°; ZC » 22° или АВ = 5 см; ZA ® 82°; ZC « 38°	AC= 1 см; ZC® 127°; ZB ® 8° или AC = 7 cm; ZC ® 53°; ZB ® 82°
2	dsin(p - а) dsina sin₽	sfnP	(32 2 + 481 см	1 И V2 CM
3	30°, 60°, 90°, 6 см	1:2:3	6 CM
K-3	A1	A2	Б1	Б2	B1	B2
1	12 cm	50 cm	12 cm	80 cm	5	8
2	10л cm, 5 cm	12 см, Зл см	2л см	60°	Юл см	30°
3	6 CM	16 CM	24 3 cm	24 cm	18 cm	4 cm
4	2 4 <2 cm	36 3 cm	3	6	3	6
k-4	A1	A2	Б1	Б2	В 1	B2
1	10 cm2	204 cm	60 cm2	120 cm2	12 3 см	192\3 cm
2	10 и 24 см	16 и 30 см	30° и 150°	56 cm	60 и 80 см	30 и 40 см
3	12 cm	25 cm	30 см2	9 cm	2 cm	5 cm
4	78 cm2	78 cm2	288 cm2	432 cm2	1620 cm2	1020 cm2
182
Математика-9
К-5	А1	А2	Б1	Б2	В1	В 2
1а)	36 см	30 см	28 см	18 см	18 см	6 и 10 см
16)	24<3 см2	15>/з см2	14>/3 см	6>/з см2	6\3 см	15\3 см2
2	4 см, 16 см2	8 см, 64 см2	4л см2. 16 см2	16л см2, 32 см2	4л см2	4л см
3	384 см2	294 см2	234 см2	504 см2	800 см2	384 см2
ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
ПО ГЕОМЕТРИИ (ПОГОРЕЛОВ)
С-4*	Вариант 1	Вариант 2
1	12 см и 24 см; 30 см и 60 см	10 см и 16 см; 15 см и 24 см
2	84 см	12>/2 см
3	28 см	36 см
С-9*	Вариант 1	Вариант 2
1	120’	60
2	21 см и 56 см	21 см и 35 см
4	V? см	\3 см
С-18*	Вариант 1	Вариант 2
1	588 см2	588 см2
2	432 см2	384 см2
3	288 см2	288 см2
4	100л см2	96 см2
5	26 см и 71516 см	26 см и 71516 см
6	600 см	600 см2
7	п2 — -2R2 8	п2 	R2 4
8	30°	90°
Ответы
183
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)
К-1	А1	А2	Б 1	Б2
1а)	{-1; 3}; 716	{1; 3}; 716	{13;-11}; 290	(-1; -17}; 7290
16)	-1 + 3]	i + 3j	1зГ - ну	i -17]
2а)	x2 + (z/ + 3)2=10	(х +1)2 + г/2 = 10	х2 + (г/- I)2 = 5'	(x-2f+(y-3f=5
26)	нет	нет	вне окружности	вне окружности
3	у = -Зх - 3	у = Зх + 3	у = Зх - 4	у = -Зх + 4
	В1		В2	
1	--ав-—св 4	4		_1ав---св 4	4	
2	(х - 1,125)2 + у2 = 3,1252		(х + 1,125)2 + у2 = 3,1252	
3	9х + 4у - 6 = 0		9х - 4у + 6 = 0	
4	(8; 3); (8; -3) или (-4; 3); (-4; -3) или (5; 0); (-1; 0)		(-8; 3); (-8; -3) или (4; 3); (4; -3) или (-5; 0); (1; 0)	
К-2	А1	А2	Б 1
1	32 см; ЗОТЗ см2	26 см; 2073 см2	«22,7 см; 8073 см2
2	ZC = 60°; ВС = 472 см; АС» 3,8см	ZA = 45°; ВС=4 2 см; АВ к 7,7см	АС= 13см; АС « 28°; ZA » 2°
3	-18	18	16
	Б2	В1	В2
1	®8,7 см; 30л/3 см2	26 см; 27379 см	19 см; 7201 см
2	АВ= 10 см; ZA « 37°; ZB «8°	АВ = 3 см; АА » 98°; АС ~ 22° или АВ = 5 см; АА « 82°; АС « 38°	АС=1 см; АС* 127°; АВ » 8° или АС = 7 см; АС « 53°; АВ « 82°
3	0	а) 40; б) 0; 2	а) 34; б) 3; -2
К-3	А1	А2	Б 1
1	144 см	60 см	16 см
2	8л см	64л см2	21 см
3	а) 7л см; б) 52,5 см2	а) 7л см; б) 63л см2	540л см2
184
Математика-9
К-3	Б 2	В1	В2
1	18 см	15	24
2	9\/з см2	6>/з см2	12 см
3	8л см	(1,5л - у/2 ^ см2	^3,5л + \/2 jcM2
К-4	А1	А2	Б1	Б2	В 1	В2
1	А(6; 1)	А(-1; 5)	А(3; -4)	А(-1; 4)	А(1; -4)	А(1; 4)
	ВДЗ; -2)	ВД-3; 3)	В,(-2; -2)	ВАЗ; 2)	ВД-7; 2)	ВА-7; -2)
	А/-2; -1)	А2(1; -1)	Сх(3; -1)	СА-1; 0)	Сх(1; 2)	СД1; -2)
	С2(-1; 3)	С2(4; -2)	А,(2; -1)	А2(-2; 3)	А2(3; -2)	А2(3; 2)
	А3(2; 0)	А3(0; 2)	В2(0; 4)	В2(0; -1)	В2(-3; 6)	В2(-3; -6)
	В3(5; 3)	В3(2; 4)	С2(-2; -1)	С2(2; 3)	С2(-3; -2)	С2(-3; 2)
	Л(4; -1)	Л(5; -1)	А3(-3; 1)	А3(1; -3)	А3(5; 4)	А3(5; -4)
	С4(3; 3)	С4(2; -2)	В3(1; -1)	В3(-3; -1)	В3(13; -2)	В3(13; 2)
			С3(-3; -3)	С3((1; 1)	С3(5; -2)	С3(5; 2)
			А4(1; 0)	Л((1; 0)	А4(-4; -5)	А4(4; -5)
			В4(-1; -4)	В4(3; 4)	В4(2; 3)	В4(-2; 3)
		•	С4(-3; 0)	С4(5; 0)	С4(-2; -5)	С4(-2; 5)
2			можно	можно	можно	можно
К-5	А1	А2	Б 1
1	126 см; 12бТЗсм2	104 см; 15бТз см2	54 см; 54>/з см2
2	ЗТЗ см2	24>/з см2	8л см
За)	225; 64; 0	576; 49; 0	288; 112; 288
36)	17л см	25л см	25л см
Зв)	9л см2	9л см2	36л см2
	Б2	В 1	В2
1	77 см; 231V3/4CM2	40 см; 20л/з см2	45 см; 105>/з / 4 см2
2	16л см2	8^3 + л/б) см	4>/б см
За)	288; -63; 288	24; -6	36; -4
36)	25л см	4л см	Зл см
Зв)	16л см2	1025л/64 см2	425л/18 см2
Ответы
185
ОТВЕТЫ К ДОМАШНИМ САМОСТОЯТЕЛЬНЫМ РАБОТАМ
ПО ГЕОМЕТРИИ (АТАНАСЯН)
С-5*	Вариант 1	Вариант 2
1	(x-4)2+(z/+4)2=16, (x-2O)2+(z/+2O)2=4OO	(x+17)2+(z/-17)2=289, (x+5)2+(i/-5)2=25
2	у=2х+2	z/=0,5x+l
4	fa -I 1 3 J	f*M < 3 )
5	2:1	1:2
1	Вариант 1 I	01 I sina • tg 45°	 к	4)	Вариант 2 sin 20- tg|
2	J а2 + b2 + ab , \1а2 + Ь2 - ab	— л/с2 + d2 + cd , — л/с2 + d2 - cd 2	2
186
Математика-9
Литература
1.	Ю.Н. Макарычев и др. Алгебра 9. М., 1991
2.	Ш.А. Алимов и др. Алгебра 9. М., 1997
3.	М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич. Сборник за-
дач по алгебре для 8-9 классов. М., 1992
4.	Л.И Звавич и др. Задания для проведения письменного эк-
замена по математике в 9 классе. М., 1996
5.	А.В. Погорелов. Геометрия 7-9. К., 1995
6.	Л.С. Атанасян и др. Геометрия 7-9. М., 1990
7.	А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. Геометрия, планиметрия.
М., 1995
8.	Л.М. Лоповок. Сборник задач по геометрии 6-8. К., 1985
9.	Б.Г. Зив, В.М. Мейлер, А.Г Баханский. Задачи по геомет-
рии для 7-11 классов. М., 1991
10.	М.С. Собко, В.Я. Романюк. Геометр1я. Завдання для про-
ведения письмового екзамену в 9-их класах. Л., 1997
11.	А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, М.С. Якир. Алгебраиче-
ский тренажер. М.-Х., 1998
12.	Ю.М. Рабшович. Задач! i вправи на готових кресленнях.
7-9 клас. X., 1997
Содержание
187
Содержание
Работа			стр.
Алгебра	Макары- чев	Алимов	
Квадратичная функция			4
С-1. Функции и их свойства	п. 1, 2	8 кл., §35	4
С-2. Квадратный трехчлен	п. 3, 4	8 кл., §29, 30	6
С-3. График квадратичной функции	п. 5-7	8 кл., §37-39	8
С-4*. Квадратичная функция: задачи с параметрами (домашняя само- стоятельная работа)	п. 3-7	8 кл., §35-39	10
К-1. Квадратичная функция	п. 1-7	8 кл., §35-39	12
С-5. Решение квадратичных неравенств	п. 8	8 кл., §40, 41	15
С-6. Решение неравенств методом интервалов	п. 9	8 кл., §42	16
К-2. Решение неравенств	п. 8, 9	8 кл., §37-42	18
Уравнения и системы уравнений			22
С-7. Решение целых уравнений	п. 10, 11	8 кл., §28, 29	22
С-8*. Уравнения высших степеней: мето- ды решения, задачи с параметрами (домашняя самостоятельная работа)	п. 10, 11	8 кл., §28, 29	23
С-9. Решение систем уравнений второй степени	п. 13	8 кл., §32	24
С-10. Решение задач с помощью систем уравнений. Графическое решение систем	п. 12-14	8 кл., §32	26
С-11*. Системы рациональных уравнений (домашняя самостоятельная работа)	п. 12-14	8 кл., §32	27
К-3. Целые уравнения и системы уравнений	п. 10-14	8 кл., §32	29
188
Математика-9
Арифметическая и геометрическая прогрессии			32
С-12. Арифметическая прогрессия. Формула n-ого члена	п. 16	§28	32
С-13. Формула суммы п первых членов арифметической прогрессии	п. 17	§29	34
К-4. Арифметическая прогрессия	п. 16, 17	§28-29	36
С-14. Геометрическая прогрессия. Формула n-ого члена	п. 18	§30	39
С-15. Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии. Беско- нечная геометрическая прогрессия	п. 19, 20	§31, 32	41
С-16*. Комбинированные задачи на про- грессии (домашняя самостоятель- ная работа)	п. 15-20	§28-32	43
К-5. Геометрическая прогрессия	п. 18-20	§30-32	44
Степень с рациональным показателем			48
С-17. Четные и нечетные функции. Функция у = хп	п. 21, 22	§13, 14	48
С-18. Корень п-ой степени и его свойства	п. 23, 24	§8, 9	50
С-19. Определение и свойства степени с дробным показателем	п. 25, 26	§ю	53
С-20. Преобразование степенных выраже- ний с рациональными показателями	п. 27	§10	57
К б. Степень с рациональным показате- лем	п. 21-27	§8-10, 13, 14	59
Тригонометрические выражения и их преобразования			63
С-21. Определение тригонометрических функций	п. 28	§19	63
С-22. Свойства тригонометрических функций. Радианная мера угла	п. 29, 30	§17, 20, 23	65
С-23. Тригонометрические тождества и их применение	п. 31, 32	§21, 22	67
С-24. Формулы приведения	п. 33	§26	69
К-7. Свойства тригонометрических функций. Тригонометрические то- ждества. Формулы приведения	п. 28-33	§17-23, 26	71
С-25. Формулы сложения	п. 34	§24	74
С-26. Формулы двойного угла	п. 35	§25	77
Содержание
189
С-27. Формулы суммы и разности триго- нометрических функций	п. 36	-	79
К-8. Формулы сложения и их следствия	п. 34-36	§24-25	80
С-28*. Дополнительные тригонометриче- ские задачи (домашняя самостоя- тельная работа)	п. 28-36	§17-26	83 1
К-9.	Годовая контрольная работа	-	-	85
ГЕОМЕТРИЯ (по Погорелову)	Погоре- лов	Атанасян	
Подобие фигур			88
С-1. Преобразование подобия и его свой- ства	п. 100- 102	п. 57	88
С-2. Признаки подобия треугольников	п. ЮЗ- 105	п. 59-61	90
С-3. Подобие прямоугольных треуголь- ников. Свойство биссектрисы угла треугольника	п. 106	п. 63, 64	92
С-4*. Подобие треугольников (домашняя самостоятельная работа)	п. 100- 106	п. 57-64	95
К-1. Подобие фигур	п. 100- 106	п. 57-64	96
С-5. Теорема о вписанных углах и ее следствия	п. 107, 108	п. 71	98
С-6*. Применение теоремы о вписанных углах и ее следствий в задачах (домашняя самостоятельная работа)	п. 107, 108	п. 71	101
Решение треугольников			103
С-7. Теорема косинусов. Соотношение диагоналей и сторон параллелограмма	п. 109	п. 98	103
С-8. Теорема синусов и ее следствия	п. ИО- 112	п. 97, 99	105
С-9*. Теоремы косинусов и синусов (домашняя самостоятельная работа)	п. 109- 112	п. 97-99	107
К-2. Решение треугольников	п. 109- 112	п. 97-99	108
Многоугольники			111
С-10. Выпуклый многоугольник	п. 114	п. 40	111
С-11. Правильные многоугольники. Формулы для радиусов вписанных и описанных окружностей пра- вильных многоугольников	п. 115- 118	п. 105- 109	112
190
Математика-9
С-12. Длина окружности. Радианная мера угла	п. 119, 120	п. ИО- 112	114
К-3. Многоугольники	п. 114- 120	п. 105- 112	117
Площади фигур			120
С-13. Площадь прямоугольника, квадра- та, параллелограмма	п. 121- 123	п. 49- 51	120
С-14. Площадь треугольника	п. 124, 125	п. 52	122
С-15. Площадь трапеции. Площадь четырехугольника	п. 126	п. 53	124
С-16*. Окружность и многоугольник (до- машняя самостоятельная работа)	п. 121- 127	п. 74, 75	126
С-17. Площади подобных фигур. Пло- щадь круга и его частей	п. 128, 129	п. 58, 112	128
С-18*. Площади фигур (домашняя само- стоятельная работа)	п. 121- 129	Гл. VI, XII	130
К-4. Площади фигур	п. 121- 129	Гл. VI, XII	131
К-5.	Годовая контрольная работа	-		134
ГЕОМЕТРИЯ (по Атанасяну)	Погоре- лов	Атанасян	
Метод координат			136
С-1. Координаты вектора	п. 93	п. 86, 87	136
С-2. Простейшие задачи в координатах	п. 71-73	п. 88, 89	138
С-3. Уравнение окружности	п. 74	п. 90, 91	140
С-4. Уравнение прямой	п. 75-80	п. 92	141
С-5*. Применение векторов и координат к решению задач (домашняя само- стоятельная работа)	§8, 10	п. 86- 92	143
К-1. Метод координат	§8, 10	Гл. X	144
Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов			147
С-6. Синус, косинус, тангенс угла	п. 81	п. 93-95	147
С-7. Теорема о площади треугольника. Теорема синусов	п. 110, 111	п. 96, 97	149
С-8. Теорема косинусов. Решение тре- угольников	п. 109, 112	п. 98, 99	151
Содержание
191
С 9. Скалярное произведение векторов	п. 98, 99	п. 101- 104	152
С-10*. Решение треугольников. Скалярное произведение (домашняя самостоя- тельная работа)	§ Ю, 12	Гл. XI	155
К-2. Соотношение между сторонами и углами треугольника	§ Ю, 12	Гл. XI	156
Длина окружности и площадь круга			158
С-11. Правильные многоугольники	п. 115- 117	п. 105- 109	158
С-12. Длина окружности, площадь круга, площадь кругового сектора	п. 129	п. ИО- 112	159
К 3. Длина окружности и площадь круга	§ 13, 14	Гл. XII	162
Движения			165
С-13. Понятие движения	п. 82-85	п. 113, 114	165
С-14. Параллельный перенос и поворот	п. 86, 87	п. 116, 117	167
К-4. Движение	§9	Гл. XIII	168
К 5. Годовая контрольная работа	-	-	172
ОТВЕТЫ			175
ЛИТЕРАТУРА			186
СОДЕРЖАНИЕ			187