/
Автор: Мерзляк А.Г. Полонский В.Б. Якир М.С. Рабинович Е.М.
Теги: алгебра математика задачи по математике 7 класс
ISBN: 978-5-360-06435-0
Год: 2016
Текст
Алгоритм успеха
А.Г. Мерзляк
В.Б. Полонский
Е.М. Рабинович
М.С. Якир
Самостоятельные
и контрольные работы
Пособие для учащихся
общеобразовательных
организаций
Москва
Издательский центр
«Вентана-Граф»
2016
ББК 22.141я721
М52
Мерзляк А.Г.
М52 Алгебра : 7 класс : самостоятельные и контрольные ра-
боты : пособие для учащихся общеобразовательных орга-
низаций / А.Г. Мерзляк, В.Б. Полонский, Е.М. Рабино-
вич и др. — М. : Вентана-Граф, 2016. — 96 с. : ил.
18ВМ 978-5-360-06435-0
Пособие содержит упражнения для самостоятельных и конт-
рольных работ. Используется в комплекте с учебником «Алгеб-
ра. 7 класс» (авт. А.Г. Мерзляк, В.М. Поляков), входит в систе-
му «Алгоритм успеха».
Соответствует федеральному государственному образователь-
ному стандарту основного общего образования (2010 г.).
ББК 22.141я721
18ВМ 978-5-360-06435-0
© Мерзляк А.Г., Полонский В.Б.,
Рабинович Е.М., Якир М.С., 2014
© Издательский центр
«Вентана-Граф», 2014
От авторов
Эта книга вместе с учебником для углублённого изуче-
ния математики «Алгебра. 7 класс» авторов А.Г. Мерзляка,
В.М. Полякова входит в один учебно-методический комплект.
Первая часть книги — «Самостоятельные работы» —
разделена на четыре однотипных варианта по 38 работ в ка-
ждом (самостоятельные работы, имеющие одинаковые номе-
ра, являются однотипными). Каждая самостоятельная рабо-
та соответствует определённому параграфу учебника, что от-
ражено в её названии. К параграфам учебника, изучение
которых предполагает рассмотрение задач многих типов,
предлагаются две самостоятельные работы. Наличие анало-
гичных задач в самостоятельных работах с одинаковыми но-
мерами также позволяет использовать этот материал для от-
работки навыков решения основных типов задач.
Вторая часть пособия содержит задания для контроль-
ных работ.
Самостоятельные работы
Вариант
Самостоятельная работа № 1
Введение в алгебру
1. Мастер изготавливает а деталей в час, а его ученик — на
7 деталей меньше. Сколько деталей они изготовят вместе,
если мастер будет работать 6 ч, а ученик — 4 ч?
2. Запишите в виде выражения:
1) сумму куба числа х и квадрата числа г/;
2) квадрат разности чисел т и п\
3) разность квадратов чисел т и п.
3- Значения переменных а, Ь и с таковы, что а + Ь = 4,
Ь + 2с = 3. Найдите значение выражения:
1) а + 2Ь + 2с; 2) Ь(а + Ь) + 8с.
Самостоятельная работа № 2
Линейное уравнение с одной переменной
1. Решите уравнение:
1) 5 - 2(х - 1) = 4 - х;
2) (2х - 5)(3х + 9)(0,25 - 0,1х) = 0;
х — 1 х - 9 _ х - 2 х + 1
7 3 12 6 4
2. При каком значении переменной значение выражения
4(г/ - 0,2) + 1,9 на 6,9 больше значения выражения
5г/- 6(0,3 4-г/)?
3- Решите уравнение ||х| + 3| = 4 4- х.
4. В равенстве (а - 1) х= * - 3 замените звёздочку таким вы-
ражением, чтобы получившееся уравнение имело корни
при любом значении а.
Самостоятельная работа № 3
Решение задач с помощью уравнений
1. Проволоку длиной 456 м разрезали на 3 части, причём
первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая — на
114 м длиннее третьей. Найдите длину каждой части про-
волоки.
2. На первой полке было в 4 раза меньше книг, чем на вто-
рой. Когда на первую полку поставили 17 книг, а со вто-
рой взяли 25 книг, на полках книг стало поровну.
Сколько книг было на каждой полке сначала?
3. От одной станции отправился поезд со скоростью 56 км/ч,
а через 4 ч от другой станции навстречу ему отправился
второй поезд со скоростью 64 км/ч. Найдите время, кото-
рое был в пути каждый поезд до момента встречи, если
расстояние между станциями равно 584 км.
Самостоятельная работа № 4
Тождественно равные выражения. Тождества
1. Докажите тождество:
1) а - (4а - 11) + (9 - 2а) = 20 - 5а;
2) 10 - 9^с -1)+ 7с - 16 = -2с.
2. Найдите значение выражения:
1) 2т - ^Зт - , если т - 0,71;
2) За - 5 (4а - ЗЬ) + 2 (ЗЬ - а - 1), если а = Ь =
3) 6х - 3 (2г/ - (у - (1 - 4 г/))), если 2х + Зг/ = 5.
3. Докажите, что равенство не является тождеством:
1) х2, х1 = л44;
2) (а- 1)2 = а2- 1;
3) (с - 2)(с + 3) = (с - 2)с + 3;
4) |2ггг + Зп| - 2\т\ + 3|п|.
Самостоятельные работы ' *
Вариант
Самостоятельная работа № 1
Введение в алгебру
1. Мастер изготавливает а деталей в час, а его ученик — на
7 деталей меньше. Сколько деталей они изготовят вместе,
если мастер будет работать 6 ч, а ученик — 4 ч?
2. Запишите в виде выражения:
1) сумму куба числа х и квадрата числа г/;
2) квадрат разности чисел т и п\
3) разность квадратов чисел т и п.
3- Значения переменных а9 Ь и с таковы, что а + Ь - 4,
Ь + 2с = 3. Найдите значение выражения:
1) а + 21) + 2с; 2) Ь(а + Ь) + 8с.
Самостоятельная работа № 2
Линейное уравнение с одной переменной
1. Решите уравнение:
1) 5 - 2(х-1) = 4 - х;
2) (2х - 5)(3х + 9)(0,25 - 0,1х) = 0;
V - 1т - 9 _ .г - 2 .г + 1
7 3 12 6 4
2. При каком значении переменной значение выражения
- 0,2) + 1,9 на 6,9 больше значения выражения
5г/- 6(0,3 + г/)?
3. Решите уравнение ||х| + 3| = 4 + х.
4. В равенстве (а - 1) х = * - 3 замените звёздочку таким вы-
ражением, чтобы получившееся уравнение имело корни
при любом значении а.
Самостоятельная работа № 3
Решение задач с помощью уравнений
1- Проволоку длиной 456 м разрезали на 3 части, причём
первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая — на
114 м длиннее третьей. Найдите длину каждой части про-
волоки.
2. На первой полке было в 4 раза меньше книг, чем на вто-
рой. Когда на первую полку поставили 17 книг, а со вто-
рой взяли 25 книг, на полках книг стало поровну.
Сколько книг было на каждой полке сначала?
3- От одной станции отправился поезд со скоростью 56 км/ч,
а через 4 ч от другой станции навстречу ему отправился
второй поезд со скоростью 64 км/ч. Найдите время, кото-
рое был в пути каждый поезд до момента встречи, если
расстояние между станциями равно 584 км.
Самостоятельная работа № 4
Тождественно равные выражения. Тождества
1. Докажите тождество:
1) а - (4а - 11) + (9 - 2а) = 20 - 5а;
2) 10 - э(с -1)+ 7 с - 16 = -2с.
2. Найдите значение выражения:
1) 2т -^Згтг -(гтг , если т = 0,71;
2) За - 5 (4а - ЗЬ) + 2 (ЗЬ - а - 1), если а = Ь =
3) 6х - 3 (2у — (г/ — (1 — 4г/))), если 2х + Зг/ = 5.
3. Докажите, что равенство не является тождеством:
1) х2л'7 = л44;
2) (а - I)2 = а2 - 1;
3) (с - 2)(с + 3) = (с - 2)с + 3;
4) |2ггг + Згг| = 2|/гг| + 3|п|.
Самостоятельная работа № 5
Степень с натуральным показателем
1. Вычислите: 2
1) 43 + (-3)5; 3)7 (-1);
2) (-8)2 - (-1)10; 4) (63 : 400 + 0,32) : (-0,1)2.
2. Составьте числовое выражение и найдите его значение:
1) сумма куба числа 5 и квадрата числа -8;
2) куб разности чисел 8 и 9.
3. Расположите выражения в порядке убывания их значе-
ний:
(-0,2)4; (-0,2)7; (-0,2)5.
4. Докажите, что уравнение 2Х8 - Зх5 + лл - 2л + 1 = 0 не име-
ет отрицательных корней.
5. Докажите, что значение выражения 7116 - 26 делится на-
цело на 5.
Самостоятельная работа № 6
Свойства степени с натуральным показателем
1. Представьте в виде степени произведение:
1) 59 • 54; 2) с7сс2; 3) (т - п)\т - п)3.
2. Представьте в виде степени частное:
1) я12 : а4; 2) с8 : с; 3) (а + 6)11 : (а + Ь)7.
3. Замените звёздочку такой степенью с основанием а, что-
бы выполнялось равенство:
1) я8 • * = я13; 2) а7 : * = а3; 3) (* : а6) • а5 = а?.
4. Представьте степень в виде произведения степеней:
1) (хг/г)10; 2) (2х)5; 3) (-Зяб)4.
5. Представьте в виде степени выражение:
1)-т9; 2) Хб-хДг/4; 3) --^-р3#3.
6. Представьте в виде степени с основанием а выражение:
1) (-а5)4; 2) ((а3)2)5; 3) (-а6)7 • (-а3)3 : а15.
Самостоятельная работа № 7
Свойства степени с натуральным показателем
1. Представьте выражение в виде степени и вычислите его
значение:
1) II5 • (II3)7 : II24;
2) 92 • 27 : З4.
2. Найдите значение выражения:
3. Представьте выражение:
1) 9а14626 в виде степени с показателем 2;
2) -0,125/тг15гз6#21 в виде степени с показателем 3.
4. Представьте выражение 27” + 27” + ... + 27” в виде сте-
81 слагаемое
_ СК-» V/V»
пени с основанием 3.
5. Какой цифрой оканчивается значение выражения 3”+1 • 17”?
6. Сравните значения выражений 627 и 1418.
Самостоятельная работа № 8
Одночлены
1. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его
коэффициент и степень:
1) За • (-2ас);
2) р (-д) р20;
3) -4г3 • 0,ЬЛ/ • (-2,5?/).
2. Найдите значение одночлена -3,2а2Ь3, если а = — , Ь = -1.
3. Упростите выражение:
1) 5а6 • (-За2/?)2; 2) (-х4?/3)7 • 8х2г/5.
4. Выполните умножение: 2^х”+1г/г”+3 ^х4”-2?/5”1-1, где т
ип — натуральные числа.
5. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выпол-
нялось равенство (*)2 • (*)3 = -4х5г/10г4.
6. Значения переменных т, п и к таковы, что 2ттгл23 = 5,
т2к2 = 2. Найдите значение выражения:
1) Зт3п3к2; 2) 5т7п3к6.
Самостоятельная работа № 9
Многочлены
1. Найдите значение многочлена:
1) 2х2 + Зх - 5 при х = ;
2) Зх2у + ху2 - 1 при х - 2, у - -1.
2. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида
и укажите его степень:
1) х2 + 4х - 5 + х2 - Зх + 2; 2) 4а2Ъ - ЗаЬ2 - а2Ъ + 2аЪ2.
3. Составьте два многочлена стандартного вида, используя
каждый из одночленов 2аЪ, -Ь, 4а2, ЗаЬ2, -ЗаЬ, 5аЬ2 по
одному разу. Укажите степень каждого из полученных
многочленов.
Самостоятельная работа № 10
Сложение и вычитание многочленов
1. Упростите выражение:
1) (Зх + 9) + (—х2 - 15х - 40);
2) (13x2/ - Их2 + Юу2) - (-15Х2 + 10x2/ - 15г/2).
2. Решите уравнение 14 - (2 + Зх - х2) = х2 + 4х - 9.
3. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы обра-
зовалось тождество: * - (5х2 - 4x2/ + у2) = 7х2 - Зху.
4. Представьте в виде многочлена выражение саЬ - са.
5. Расставьте скобки так, чтобы равенство х2 - 4х + 3 - х2 -
- 4х - 3 = 0 стало тождеством.
Самостоятельная работа № 11
Умножение одночлена на многочлен
1. Выполните умножение: -4а(а2 - ЗаЬ + 7Ь).
2. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение
10х(5х2 - 72/) - 6х(5г/ + 9х2).
3. Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины. Если
ширину прямоугольника увеличить на 4 м, то его пло-
щадь увеличится на 32 м2. Найдите исходную длину пря-
моугольника.
4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: *(х - Зг/ + 2г) = -2х1 2у + &ху2 - *.
5. Упростите выражение хп(хп+3 - 2х) + х(4хгг - х2п+2), где п —
натуральное число.
Самостоятельная работа № 12
Умножение многочлена на многочлен
1. Выполните умножение:
1) (2у + 1 )(5у - 6); 3) (а - 4Ь)(а2 + ЗаЬ - 6Ь2);
2) (Збг - 6)(2а - 7Ь); 4) а(4а - 5)(2а + 3).
2. Преобразуйте в многочлен выражение:
1) (х + у)(2х - у)(3х + у); 2) (х2 - Зх + 1)(х2 + Зх + 1).
3. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: (Зх + *)(* + 5г/) = 6х2 + * + 20г/2.
Самостоятельная работа № 13
Умножение многочлена на многочлен
1. Упростите выражение
(Зт - ±п)(3т + 5лг) - (4,5т - п)(2т + 4гг).
2. Решите уравнение (х + 6)(х - 1) - (х + 3)(х - 4) = 5х.
3. Докажите, что при любом значении переменной значение
выражения (х - 2)(х2 - х + 3) - (х2 + 5)(х - 3) равно 9.
4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: (а - *)(* + 6Ь) = а2 + * - 1262.
5. Остаток при делении натурального числа а на 6 равен 5,
а остаток при делении натурального числа Ь на 6 равен 4.
Докажите, что остаток при делении произведения чисел а
и Ь на 6 равен 2.
Самостоятельная работа № 14
Разложение многочленов на множители.
Вынесение общего множителя за скобки
1. Вынесите за скобки общий множитель:
1) Збг - аЪ\ 3) 21а2Ъ + 28бг62;
2) бг5 + а2; 4) -6т3п2 - 9т2п - 18тп2;
5) (б?2 + 2а)2;
6) х2/?+1 - х\ где к — натуральное число.
2. Представьте в виде произведения многочленов:
1) х(2а - 56) + у(2а - 56); 3) (а - 4)2 - 5(а - 4).
2) 5х(6 - с) - (с - 6);
3. Решите уравнение:
1) х2 - 8(х - 3) = 24; 2) (2х - 1)(3х + 1) + х(1 - 2х) = 0.
4. Докажите, что значение выражения:
1) 86 + 215 кратно 9; 2) 144 - 74 кратно 5.
Самостоятельная работа № 15
Разложение многочленов на множители.
Метод группировки
1. Разложите на множители:
1) аЬ + ас + хЬ + хс\ 3) а6 + а4 - За2 - 3;
2) 6т - тп - 6 + а; 4) Юаб - 2а + 562 - 6.
2. Вычислите значение выражения
32,4 • 6,7 + 17,6 • 8,3 - 32,4 • 1,7 - 3,3 • 17,6.
3. Найдите значение выражения Зх3// - 2у2 - Зх2 + 2//3х при
1 1 2
х = 1- , у = -, разложив его предварительно на множи-
тели.
4. Разложите на множители трёхчлен х2 - 7ху + 6г/2, пред-
ставив предварительно один из его членов в виде суммы
подобных слагаемых.
Самостоятельная работа № 16
Произведение разности и суммы двух выражений
1. Выполните умножение многочленов:
1) (2а - 7)(2а + 7);
2) (9х + 7у)(7у - 9х);
3) (0,4т5 + 0,1лг3)(0,1Л23 - 0,4т5);
4) (-а8 - 63)(63 - а8);
5) (х2п - х”)(х2гг + х"), где п — натуральное число.
2. Представьте в виде многочлена выражение:
1) -Зх2 (2х + 1)(1 - 2х); 2) (а3 + 63)(а6 + 66)(а3 - 63).
3. Решите уравнение (х - 1)(х + 1) -/(х - 3) = 0.
4. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось тождество:
1) (* - 7а)(* + *) = 25Ь2 - *;
2) (* + *)(* - *) = Эх6 - 4г/4.
Самостоятельная работа № 17
Разность квадратов двух выражений
1. Разложите на множители:
1) 36т2 - 25гс2;
2) *2у2
3) 0,81г/10 - 400г12;
4) -1 + 49л468;
5) 1-т2п2 -1—а6Ь2\
9 25
6) 26* - 9, где к — натуральное число.
2. Представьте выражение в виде произведения многочлнов:
1) (36 - 5)2 - 49; 2) а4 - (а - 7)2.
3. Решите уравнение (2х + З)2 - (х - 5)2 = 0.
4. Докажите, что при любом натуральном п значение выра-
жения (9/2 + 2)2 - (5гг - 2)2 делится нацело на 56.
Самостоятельная работа № 18
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений.
Квадрат суммы нескольких выражений
Представьте в виде многочлена выражение:
( 1 А2
1) а + ±6 ; 4) (-8 -4с)2;
\ /
2.
3.
4.
2) (х3 - х2)2; 5) (х - у + 2)2;
3) (-116 + 2а5)2; 6) (2а - Ъ)\2а + 6)2.
Упростите выражение (6а - 36)2 + (9а + 26)2.
Решите уравнение (х - I)2 + (х - 2)2 = 2Х2 + 7.
Упростите выражение (а3 - 2)(а3 + 2) - (а3 + З)2 и найдите
его значение, если а = -2.
5. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образо-
валось тождество:
1) (ббг5 + *)1 2 = * + * + 49/?4;
2) (* _ *)2 = 9^ _ * + ЮОх4//10.
Самостоятельная работа № 19
Преобразование многочлена в квадрат суммы
или разности нескольких выражений
1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в ви-
де выражения, противоположного квадрату двучлена:
1) а2 + 8бг + 16; 4) бг6 - 4бг36 + 4б2;
2)6х-1-9х2; 5) 2х2г/2-^х4-169г/4;
3) 60а/? + 36а2 + 25б2; 6) — п6 + Зтп5 + 16ги2гг4.
64
2. Какой одночлен следует поставить вместо звёздочки, что-
бы полученное выражение можно было представить в ви-
де квадрата двучлена:
1) * + 30пг3п2 + 9п4; 3) * - аЬ + —
25
2) бг4 - 0,8бг6 + *;
3. Вычислите значение выражения
5,422 + 10,84 • 3,58 + 3,582.
Самостоятельная работа № 20
Преобразование многочлена в квадрат суммы
или разности нескольких выражений
1. Решите уравнение:
1) 49х2 - 42х + 9 = 0;
2) (х + 4)2 + 2(х - 3)(х + 4) + (х - З)2 = 0.
2. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений
многочлен:
1) 29х2 - 20хг/ + 4 г/2; 2) 2х2 + бхг/ + 9г/2 - 8х + 16.
3. Найдите наибольшее значение выражения 1 + 12х- 9х2.
4. Докажите, что выражение (бг + 56)(бг + 5Ь - 6) + 9 прини-
мает неотрицательные значения при любых значениях пе-
ременных.
5. Известно, что а1 2 + Ь2 + с2 = 41, аЬ - ас - Ьс = -8. Найдите
значение выражения а + Ь - с.
Самостоятельная работа № 21
Сумма и разность кубов двух выражений
1. Разложите на множители:
1)с3 + 8; 3) х6- г/9;
2) 27а3 - Л3; 4) (а - 2)3 + 27.
2. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось равенство:
1) (* + *)(9х2 - * + 25г/2) = 27Х3 + 125г/3;
2) (хг/4 - *)(* + * + г12) = х3//12 - г18.
3. Решите уравнение (3 + 4х)(9 - 12х + 16Х2) - 16х(4х2 - 1) = -5.
4. Докажите тождество
(х - 4)(х + 4)(х2 - 4х + 16)(х2 + 4х + 16) = х6 - 46.
5. Докажите, что значение выражения 212 + З3 делится наце-
ло на 19.
Самостоятельная работа № 22
Куб суммы и куб разности двух выражений
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1)(4х-3)3;
2) (а2" + Л3")3.
2. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образо-
валось тождество: (* + *)3 = * + 6х2 + * + *.
3. Решите уравнение 27Х3 - 54х2 + 36х -8 = 0.
4. Числа х и у таковы, что х3 + г/3 = 15, ху(х + у) = 4. Найдите
значение выражения х + у.
Самостоятельная работа № 23
Применение различных способов разложения
многочлена на множители
1- Разложите на множители:
1) бх3 - 5х//2; 3) -8а5 + 8а3 - 2а;
2) 2х2 + 24хг/ + 72г/2; 4) 5а3 - 4066.
2. Представьте в виде произведения выражение:
1) а - ЗЬ + а1 2 - 9б2;
2) а2 - 9Ь2 + бЬс - с2;
3) а2 - Ь2 + 4а + 4;
4) х3 4 - 8г/3 + 2у - х;
5) 9п - 2 • 12” + 16" - 25, где п — натуральное число.
Самостоятельная работа № 24
Применение различных способов разложения
многочлена на множители
1. Представьте в виде произведения многочленов выражение:
1) (5а - 2б)(5а + 2Ь) - Юас + с2;
2) (б?2 - 4а)2 - 16;
3) а3 - 12а62 + 4а26 - 27/А
2. Разложите на множители трёхчлен х2 + 4хг/ - 5г/2, выде-
лив предварительно квадрат двучлена.
3. Известно, что а + Ь = 5, аЬ = 4. Найдите значение выра-
жения:
1) а2Ь + аЬ2;
2) а2 4- Ь2.
4. Найдите все натуральные значения п, при которых вы-
полняется равенство 9п - 2 • 3” - 3 = 0.
Самостоятельная работа № 25
Формулы для разложения на множители
выражений вида ап - Ьп и ап + Ьп
1. Разложите на множители выражение а20 + Л5.
2. Докажите, что при любом натуральном п значение выра-
жения:
1) 162”+3 + 1 кратно 17;
2) 19” + 35 кратно 18.
3. Упростите выражение
520 + 519 • 4 + 518 • 42 + ... + 5 • 419 + 420 - 521.
л „ 215+214+...+ 2 + 1
4. Сократите дробь —-----5---------.
27 + 26 + ... + 2 + 1
Самостоятельная работа № 26
Множество и его элементы
1. Поставьте вместо звёздочки знак е или ё так, чтобы по-
лучилось верное утверждение:
1) - * АГ; 2) 4 * АГ; 3) -2 * АГ; 4) 0 * АГ.
5
2. Запишите множество корней уравнения:
1) (х + 3)(х2 - 9) = 0;
2) [г + 1| = -2.
3. Какие из следующих утверждений верны:
1) {2} е {2, 7}; 3) 2 € {2, 7};
2) {2} е {{2}, {7}}; 4) 0 е {{2}, {7}}?
Самостоятельная работа № 27
Связи между величинами. Функция
1. На рисунке изображён график движения туриста от базы
до озера и обратно.
1) На каком расстоянии от базы был турист через 6 ч
после начала движения?
2) Сколько часов он потратил на остановку?
3) Через сколько часов после выхода с базы турист был на
расстоянии 8 км от неё?
2. В начале нагревания температура воды была 12 °С. Во вре-
мя нагревания температура воды повышалась каждую
минуту на 3 °С.
1) Запишите формулу зависимости температуры Т воды
от времени I её нагревания.
2) Найдите значение температуры Г, соответствующее
значению времени / = 4 мин; 7 мин; 10 мин.
3. Рассмотрим функцию /, заданную по следующему прави-
лу: каждому натуральному числу поставили в соответ-
ствие остаток при делении его на 9. Найдите:
1) область значений функции;
2)/(12);/(15);/(27);/(100).
Самостоятельная работа № 28
Способы задания функции
Найдите: 1)/(-2); 2)/(-1); 3)/(2); 4)/(4); 5)/(4,1).
3. Задайте формулой функцию, значения которой равны
разности числа 1 и удвоенного значения аргумента.
Самостоятельная работа № 29
График функции
1. Принадлежит ли графику функции у = 2х2 + 2 точка:
1) А (0; 2); 3)С(-2;10);
2) В (-1; 2); 4) И (2; 10)?
2. Функция задана формулой у = х2 - 4, где -3 < х < 2.
1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.
2) Постройте график функции, пользуясь составленной
таблицей.
3) Пользуясь графиком функции, найдите, при каких
значениях аргумента значения функции отрицательны.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пере-
сечения с осями координат графика функции у = х2 4- 7х.
Самостоятельная работа № 30
Линейная функция, её график и свойства
1. Функция задана формулой у = -2х 4- 3. Найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно:
-3; 0;
2) значение аргумента, при котором значение функции
равно: 7; 0.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пере-
сечения с осями координат графика функции у - 2,5х - 10.
3. Постройте в одной системе координат графики функций
/(х) = х 4- 1 и #(х) = -Зх 4- 5. Найдите:
1) координаты точки пересечения построенных графиков;
2) значения х, при которых /(х) > §(х).
4. Задайте формулой линейную функцию, график которой
изображён на рисунке.
5. Постройте график функции у = |х| 4- х - 4.
Самостоятельная работа № 31
Уравнения с двумя переменными
1. Какие из пар чисел (1; 1), (-2; 11), (3; -15), (-1; 1) яв-
ляются решениями уравнения 2х2 + //-3 = 0?
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пе-
ресечения графика уравнения с осями координат:
1)х2-г/ = 9; 2)х2 + г/2 = 100.
3. Постройте график уравнения:
1) (х + 2)(г/ - 2) = 0; 2) х2 + г/2 - 2х = 8г/ - 17.
4. При каких значениях а пара чисел (1; 1) является реше-
нием уравнения |х - а\ + |г/| = 3?
Самостоятельная работа № 32
Линейное уравнение с двумя переменными
и его график
1. Постройте график уравнения Зх + у - 1.
2. Укажите все пары чисел, являющиеся решениями урав-
нения:
1) Ох + 5 г/ = 15; 2) Ох + 0 г/ = 1.
3. Из данных уравнений выберите те, график которых сов-
падает с графиком уравнения Зх - 2г/ = 2:
1) 6 х - 4 г/ = 4; 2) 2х - З г/ = 2; 3) 6 г/ - 9х = -6.
4. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, гра-
фиком которого является прямая, проходящая через на-
чало координат и точку А (2; 3).
5. При каком значении а пара чисел (-2; 4) является реше-
нием уравнения ах - 5г/ = 8?
Самостоятельная работа № 33
Системы линейных уравнений с двумя переменными.
Графический метод решения системы
двух линейных уравнений с двумя переменными
1. Решите графически систему уравнений:
1)
у - х = 0,
Зх - у = 4;
2)
х = -2,
2х - у = 1.
2. Пара чисел (7; 5) является решением системы уравнений
ах -Ту - 21,
5х + Ьу = 20.
Найдите значения а и Ь.
3. К уравнению 5х + у = 8 подберите линейное уравнение
так, чтобы получилась система уравнений:
1) имеющая единственное решение;
2) имеющая бесконечно много решений;
3) не имеющая решений.
4. Сколько решений имеет система уравнений
х1 2 3 - у2 - 0,
х + 2у = 3?
Самостоятельная работа № 34
Решение систем линейных уравнений
методом подстановки
1. Решите систему уравнений методом подстановки:
2х - у = 1, Г2(х + 2 г/) - 3(х - у) = 5,
7х-6г/ = -4; 4(х + Зг/) - Зг/= 17;
2х - Зг/ = 2,
4х - 5г/ = 1;
5х Зг/ .
Т 2 =14
^ + 77 = 10.
3 2
Самостоятельная работа № 35
Решение систем линейных уравнений
методом сложения
1. Решите систему уравнений методом сложения:
Зх-7г/ = 11, |2х - Зг/ = 8,
6х + 7г/ = 16; 7х-5г/ = -5.
2)
4х + 2г/ - 5,
4х - 6г/ - -7;
2. Прямая у = кх+ Ъ проходит через точки М (3; 1) и Е (1; 5).
Запишите уравнение этой прямой.
3. Решите уравнение |х + Зг/ - 5| + (7х - 6г/ + 19)2 = 0.
4. Решите систему уравнений <
X у
У
1 = 6.
Самостоятельная работа № 36
Решение задач с помощью систем
линейных уравнений
1. За 7 кг апельсинов и 4 кг лимонов заплатили 700 р.
Сколько стоит 1 кг апельсинов и сколько 1 кг лимонов,
если 5 кг апельсинов дороже, чем 2 кг лимонов, на 160 р.?
2. В двух ящиках лежат яблоки. Если из первого ящика пе-
реложить во второй 45 яблок, то в ящиках их станет по-
ровну. Если же из второго ящика переложить в первый
20 яблок, то в первом станет в 3 раза больше яблок, чем во
втором. Сколько яблок лежит в каждом ящике?
3. Есть два сплава, первый из которых содержит 30 % меди,
а второй — 70 % меди. Сколько килограммов каждого
сплава надо взять, чтобы получить 120 кг сплава, содер-
жащего 40 % меди?
Самостоятельная работа № 37
Основные правила комбинаторики
1. В магазине продаются авторучки 5 видов и фломастеры
7 цветов. Сколько существует способов приобрести авто-
ручку и фломастер?
2. Сколько различных трёхзначных
чисел можно составить из цифр 2,
3, 4, 0 (цифры могут повторяться)?
3. На рисунке изображена сеть дорог,
связывающих города Л, В, С и Р.
Сколько существует маршрутов, ве-
дущих из города А в город Р?
Самостоятельная работа № 38
Начальные сведения о статистике
1. Найдите среднее значение, моду, меДианУ и 1,пзм»>
борки:
6, 6, 8, 10, 13, 14, 14, 14, 23.
2. В результате исследования водительсК°го стажа
ков одного из автопредприятий быДа получена <.
ющая таблица.
Водительский стаж До 5 лет 6-10 лет 11-15 лет 15-20 лет
Количество водителей 6 12 14 10
Св
20
Найдите относительную частоту каЖДого значения
стройте соответствующую гистограмМУ-
Вариант
Самостоятельная работа № 1
Введение в алгебру
1. Через первую трубу в бассейн поступает х л воды в час,
а через вторую — на 11 л меньше. Сколько литров воды
поступило в бассейн, если первая труба была открыта 5 ч,
а вторая — 3 ч?
2. Запишите в виде выражения:
1) разность квадрата числа I и куба числа т\
2) квадрат разности чисел а и Л;
3) разность кубов чисел а и Ь.
3. Значения переменных «, Ь и с таковы, что а + 2Ь = 3,
а + Зс = 2. Найдите значение выражения:
1) 2а + 2Ь + Зс; 2) а(а + 2Ь) + 9с.
Самостоятельная работа № 2
Линейное уравнение с одной переменной
1. Решите уравнение:
1) 4 - 6(х + 2) = 3 - 5х;
2) (Зх - 20)(4х + 28)(0,2 - 0,06х) = 0;
3) * + 2_1 + 6_1 + 4 + 1- 5
' 5 30 10 15 ’
2. При каком значении переменной значение выражения
3(х-0,8)+2,6 на 6 больше значения выражения
-7х- 4(0,7 - 2х)?
3. Решите уравнение ||х| + 1| = 3 + х.
4. В равенстве (а + 2)х = * + 8 замените звёздочку таким вы-
ражением, чтобы получившееся уравнение имело корни
при любом значении а.
Самостоятельная работа № 3
Решение задач с помощью уравнений
1. Трое рабочих изготовили 762 детали, причём второй изго-
товил в 3 раза больше деталей, чем третий, а первый — на
117 деталей больше, чем третий. Сколько деталей изгото-
вил каждый рабочий?
2. На первом складе было в 3 раза больше телевизоров, чем
на втором. Когда с первого склада взяли 20 телевизоров,
а на второй привезли 14 телевизоров, на складах телеви-
зоров стало поровну. Сколько телевизоров было на каж-
дом складе сначала?
3. Из села в город выехал велосипедист со скоростью
15 км/ч. Через 2 ч из города в село выехал мотоциклист
со скоростью 70 км/ч. Найдите время, которое был в пути
каждый из них до момента встречи, если расстояние меж-
ду городом и селом равно 115 км.
Самостоятельная работа № 4
Тождественно равные выражения. Тождества
1. Докажите тождество:
1) 2х - (8 - х) + (Зх - 2) = 6х - 10;
2) 12 -6^2г- |)+7г -15 = -5г.
2. Найдите значение выражения:
1) Зп - - (и - если п = 0,23;
2) 4х - 2(8х - 5г/) + 3(2г/ + х - 3), если х = , у = ;
3) За - 4(ЗЬ - (Ь - (1 - 8й))), если а + ЗЪ = 2.
3. Докажите, что не является тождеством равенство:
1) х^х4 = .г20; 3) (л + 3)(х - 3) = х + 3(х - 3);
2) (а + 2)3 = а3 + 8; 4) |3г?г + 5п| = 3|?/г| + 5|гг|.
Самостоятельная работа № 5
Степень с натуральным показателем
1. Вычислите:
1) (-2)4 + З3;
2) (-9)2 + (-1)7;
3) 5
-Т-
5) ’
4) (82 : 200 - 0,42) : (-0,1)2.
2. Составьте числовое выражение и найдите его значение:
1) сумма квадрата числа -3 и куба числа 5;
2) куб разности чисел 6 и 2.
3. Расположите выражения в порядке убывания их зна-
чений:
(—0,3)9; (-0,3)6; (-0,3)3.
4. Докажите, что уравнение Зх10 - 4х7 - 2.x3 + х2 + 3 = 0 не
имеет отрицательных корней.
5. Докажите, что значение выражения 3124 + 14 делится на-
цело на 5.
Самостоятельная работа № б
Свойства степени с натуральным показателем
1. Представьте в виде степени произведение:
1) 711 • 73; 2) с19сг3; 3) (а + Ь)(а + Ь)7.
2. Представьте в виде степени частное:
1) а23 : а17; 2) Ь7 : Ь; 3) (а - /?)15 : (а - Л)11.
3. Замените звёздочку такой степенью с основанием а, что-
бы выполнялось равенство:
1) б/11 • * = а19; 2) я14 : * = я6; 3) (* : а7) • а11 = я18.
4. Представьте степень в виде произведения степеней:
1) (тпр)9; 2) (Зх)4; 3) (-2б/с)3.
5. Представьте в виде степени выражение:
1) -Ь1-, 2) 16«2/>2; 3) ~а3Ь3.
6. Представьте в виде степени с основанием Ь выражение:
1) (-66)2; 2) (07)3)2; 3) (-65)3 • (-64)7 : 612.
Самостоятельная работа № 7
Свойства степени с натуральным показателем
1. Представьте выражение в виде степени и вычислите его
значение:
2.
1) 79 • (72)6 : 719; 2) 162 • 8 : 27.
Найдите значение выражения:
( 1? 7 4 V
1) 3- —
4 13
29 514
3. Представьте выражение:
1) 25т12п28 в виде степени с показателем 2;
2) -0,008х18?/3224 в виде степени с показателем 3.
4. Представьте выражение 16” + 16” + ... + 16” в виде степени
32 слагаемых
х с основанием 2.
5. Какой цифрой оканчивается значение выражения
2п+2 . 13„?
6. Сравните значения выражений 1124 и 536.
Самостоятельная работа № 8
Одночлены
1. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его
коэффициент и степень:
1) 56 • (-Заб);
2.
3.
4.
3) -2а2 • 0,2а64 • (-2,56).
Найдите значение одночлена -2,5а362, если а = -1, 6 = +
5
Упростите выражение:
1) 2х9 • (-4а2х3)2;
2) (-а366)5 • 5аЬ4.
9 7
Выполните умножение: 1 —х”+3г/2'”-1 • — х4”-2?/6”*-2, где т
и п — натуральные числа.
5. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выпол-
нялось равенство (*)2 • (*)3 = -9л^у927.
6. Значения переменных х, у и 2 таковы, что Зх4?/ = 2,
у2 2^ = 3. Найдите значение выражения:
1) бх4?/3^3; 2) 4х4?/7г9.
Самостоятельная работа № 9
Многочлены
1. Найдите значение многочлена:
1) Зх2 - 7х + 1 при х =
2) 2аЬ2 - а2Ь - 1 при а = -2, Ь = -3.
2. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида
и укажите его степень:
1) 2у2-у- 7 + г/2 + Зг/+ 12;
2) 2я36 - 5яб3 - 1агЬ + аЬ3.
3. Составьте два многочлена стандартного вида, используя
каждый из одночленов Зх, 5х3//, -4г/х2, -у, х2у, 6х по од-
ному разу. Укажите степень каждого из полученных мно-
гочленов.
Самостоятельная работа № 10
Сложение и вычитание многочленов
1. Упростите выражение:
1) (2х - 3) + (-2х2 - 5х - 18);
2) (14яб - 9а2 - 362) - (-Зя2 + 5яб - 4б2).
2. Решите уравнение 5х - (3 + 2х - 2х2) = 2х2 - 7х + 17.
3. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы обра-
зовалось тождество: * - (5хг/ - х2 + 2у2) = Зх2 + ху.
4. Представьте в виде многочлена выражение асЬ - Ьс.
5. Расставьте скобки так, чтобы равенство х2-6х+5-х2-
- 6х - 5 = 0 стало тождеством.
Самостоятельная работа № 11
Умножение одночлена на многочлен
1. Выполните умножение: -Зя(я2 + 2аЬ - 56).
2. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение
4х(7г/ - Зх2) - Зг/(х - у2).
3. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины. Если
ширину прямоугольника уменьшить на 2 м, то его пло-
щадь уменьшится на 42 м2. Найдите исходную длину пря-
моугольника.
4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: *(2я + Ь - 4с) = -6я26 - Зяб2 + *.
5. Упростите выражение х"(3х - х"+5) + х(2х" - х2п+4), где п —
натуральное число.
Самостоятельная работа № 12
Умножение многочлена на многочлен
1. Выполните умножение:
1) (Зх - 1)(2х + 5); 3) (т + Злг)(т2 - бтп - п2);
2) (4х - у)(2х - Зу); 4) х(3х - 1)(2х + 5).
2. Преобразуйте в многочлен выражение:
1) (х - у)(х + 2у)(2х - у);
2) (х2 - 2х + 3)(х2 + 2х + 3).
3. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: (4х - *)(* - Зу) = 28х2 - * + 9г/2.
Самостоятельная работа № 13
Умножение многочлена на многочлен
1. Упростите выражение
(5х - 2у)(3х + 5у) - (2,5х - Зу)(6х + 8г/).
2. Решите уравнение (х + 3)(х - 2) - (х + 4)(х - 1) = 6х.
3. Докажите, что при любом значении переменной значение
выражения (х + 1)(х2 - 2х + 5) + (х2 + 3)( 1 - х) равно 8.
4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: (* + 86)(бг - *) = а2 + * - 2462.
5. Остаток при делении натурального числа а на 7 равен 2,
а остаток при делении натурального числа Ь на 7 равен 5.
Докажите, что остаток при делении произведения чисел а
и 6 на 7 равен 3.
Самостоятельная работа № 14
Разложение многочленов на множители.
Вынесение общего множителя за скобки
1. Вынесите за скобки общий множитель:
1) 4х - хг/;
2) а1 + бг4;
3) 24х2г/ + Збхг/2;
4) -8бг63 - 12бг26 - 24бг262;
5) (х2 + Зх)2;
6) х3"*2 + х", где п — натуральное число.
2. Представьте в виде произведения многочленов:
1) б/(3х - 2у) + Ь(3х - 2у);
2) 2у(п - т) + (т - и);
3) (х + З)2 - 3(х + 3).
3. Решите уравнение:
1) х2 - 6(х + 3) = -18; 2) (Зх - 2)(4х + 1) - х(2 - Зх) = 0.
4. Докажите, что значение выражения:
1) 273 + З7 кратно 10; 2) 153 - 53 кратно 13.
Самостоятельная работа № 15
Разложение многочленов на множители.
Метод группировки
1. Разложите на множители:
1) аЬ - ас + уЬ - ус\ 3) х7 + х3 - 4Х4 - 4;
2) 4и - пс - 4 + с; 4) &тп - Зт + 2п - 1.
2. Вычислите значение выражения
18,2 • 8,1 + 23,8 • 5,1 - 18,2 • 7,6 - 23,8 • 4,6.
3. Найдите значение выражения Зх3// - 4хг/3 - Зх2 + 4 г/2 при
4
г/ = 1—
у 4
5
разложив его предварительно на множи-
тели.
4. Разложите на множители трёхчлен х2 - 5хг/ + 4г/2, пред-
ставив предварительно один из его членов в виде суммы
подобных слагаемых.
Самостоятельная работа № 16
Произведение разности и суммы двух выражений
1. Выполните умножение многочленов:
1) (36 - 5)(36 + 5);
2) (5х + 8г/)(8г/ - 5х);
3) (0,5x3 + 0,2г/4)(0,5х3 - 0,2г/4);
4) (—х7 - г/3)(г/3 - х7);
5) (у*п - уп)(у*п + уп}, где п — натуральное число.
2. Представьте в виде многочлена выражение:
1) -2у2 (Зг/ + 1)(1 - Зг/); 2) (а5 - 65)(а10 + 610)(а5 + 65).
3. Решите уравнение (х + 2)(х - 2) - х(х - 6) = 0.
4. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось тождество:
1) (* - 4х)(* + *) = 9б2 - *;
2) (* + *)(* - *) = 4а2 - 49б2.
Самостоятельная работа № 17
Разность квадратов двух выражений
1. Разложите на множители:
1) 4х2 - 81г/2;
2) а2Ь2 - ;
9
3) 1,69 г/14 - 900г8;
4) -1 + 36а6 *610;
5) 1—ги6/г4 * -1—а2Ь8;
6) З4* - 25, где к — натуральное число.
2. Представьте выражение в виде произведения многочленов:
1) (4х - З)2 - 25; 2) а6 - (а + 4)2.
3. Решите уравнение (Зх + 4)2 - (2х - З)2 = 0.
4. Докажите, что при любом натуральном п значение выра-
жения (7п + З)2 - (4п - З)2 делится нацело на 33.
Самостоятельная работа № 18
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений.
Квадрат суммы нескольких выражений
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1) +
2) (х4 - х2)2;
4) (-2 - 5х)2;
5) (а - 2Ь + I)2;
3) (-За + 463)2; 6) (Зх + г/)2(3х - г/)2.
2. Упростите выражение (х - 8г/)2 + (4х + 2г/)2.
3. Решите уравнение (х + 2)2 + (х - I)2 = 2х2 - 6.
4. Упростите выражение (Ь2 - 1)(62 + 1) - (Ь2 + 2)2 и найдите
его значение, если Ь - -3.
5. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образо-
валось тождество:
1) (7г/7 - *)1 2 = * - * + 8164;
2) (* + *)2 = 25х10 + * + 121х2г/6.
Самостоятельная работа № 19
Преобразование многочлена в квадрат суммы
или разности нескольких выражений
1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в ви-
де выражения, противоположного квадрату двучлена:
1) а2 + 14а + 49; 4) х10 - 6х5Л + 9б2;
2) Юг/ - 1 - 25г/2; 5) 2х4.г/2 - 196г/4 - ^+х8;
3) 16ггг2 + 49п^- 56гггп2; 6) у^а6 + 9гг3/?2 + 4б4.
2. Какой одночлен следует поставить вместо звёздочки, что-
бы полученное выражение можно было представить в ви-
де квадрата двучлена:
1) * - 24т5и + 36и2; 3) *-ху + ~^У2^
2) а* - 0,6а5 + *;
3. Вычислите значение выражения 7,462 - 6,92 • 7,46 + 3,462.
Самостоятельная работа № 20
Преобразование многочлена в квадрат суммы
или разности нескольких выражений
1. Решите уравнение:
1) 25 г/2 - 30г/ + 9 = 0;
2) (х - 2)2 + 2(х + 5)(х - 2) + (х + 5)2 = 0.
2. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений
многочлен:
1) 25х2 - 24хг/ + 9г/2; 2) 2х2 - 12хг/ + 36г/2 + Юх + 25.
3. Найдите наибольшее значение выражения 1 + 4х - 4х2.
4. Докажите, что выражение (х - 4г/)(х - 4г/ - 8) + 16 прини-
мает неотрицательные значения при любых значениях пе-
ременных.
5- Известно, что а1 2 + Ь2 + с2 = 26, ас - аЬ - Ьс - 5. Найдите
значение выражения а - Ь + с.
Самостоятельная работа № 21
Сумма и разность кубов двух выражений
1- Разложите на множители:
1) а3 + 64; 3) Л9 + а12;
2) вх3 -г/3; 4) (а + З)3 - 27.
2. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось равенство:
1) (* + *)( 16а2 - * + 962) = 64а3 + 2763;
2) (т3п - *)(* 4- * 4- к3) - т9п3 - кА2.
3- Решите уравнение (2 - Зх)(4 4- 6х 4- 9х2) 4- Зх(9х2 - 2) = -4.
4. Докажите тождество
(х - 2)(х + 2)(х2 + 2х + 4)(х2 - 2х + 4) = х* - 26.
5- Докажите, что значение выражения 215 - З3 делится наце-
ло на 29.
Самостоятельная работа № 22
Куб суммы и куб разности двух выражений
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1)(2х-3)3;
2) (а3" + 64")3.
2. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образо-
валось тождество: (* - *)3 = * - 15х2 4- * - *.
3. Решите уравнение 64Х3 4- 144х2 4- 108х 4- 27= 0.
4, Числа х и у таковы, что х3 4- у3 = -14, ху(х 4- у) = 2. Найди-
те значение выражения х 4- у.
Самостоятельная работа № 23
Применение различных способов разложения
многочлена на множители
1. Разложите на множители:
1) 7Х5 - 7Х3//2; 3) -За7 - 12а5 - 12а3;
2) Зх2 - 24хг/ + 48г/2; 4) 2а9 + 54612.
2. Представьте в виде произведения выражение:
1) а + 5Ь + а1 2 - 25б2;
2) х2 - 1662 + 86с - с2;
3) х2 - у2 - 6х + 9;
4) х3 4 - 27г/3 - Зг/ 4- х;
5) 25" - 2 • 10" + 4" - 9, где п — натуральное число.
Самостоятельная работа № 24
Применение различных способов разложения
многочлена на множители
1. Представьте в виде произведения многочленов выра-
жение:
1) (4а - 36)(4а + 36) - 8аг' + с2;
2) (а2 + 6а)2-81;
3) а3 - За26 - баб2 + 863.
2. Разложите на множители трёхчлен х2 + 8хг/ + 7 г/2, выде-
лив предварительно квадрат двучлена.
3. Известно, что а - 6 = 3, аЬ = -2. Найдите значение выра-
жения:
1) а2Ь - аЪ2-,
2) а2 + 62.
4. Найдите все натуральные значения и, при которых вы-
полняется равенство 25" - 2 • 5" - 15 = 0.
Самостоятельная работа № 25
Формулы для разложения на множители выражений
вида ап - Ьп и ап + Ьп
1. Разложите на множители выражение а15 + 65.
2. Докажите, что при любом натуральном п значение выра-
жения:
1) 182"+5 + 1 кратно 19;
2) 15" + 27 кратно 14.
3. Упростите выражение
631 + 630 • 5 + 629 • 52 + ... + 6 • 530 + 531 + 532.
л г 521 + 520 + ... + 5 + 1
4. Сократите дробь —— ---------—- .. •
510 + 59 + ... + 5 + 1
Самостоятельная работа № 26
Множество и его элементы
1. Поставьте вместо звёздочки знак е или е так, чтобы полу-
чилось верное утверждение:
1) -5 * АГ; 2) | * АГ; 3) 0 * АГ; 4) 6 * АГ.
2. Запишите множество корней уравнения:
1) (х + 2)(х2 - 4) = 0;
2) |х + 3| =-4.
3. Какие из следующих утверждений верны:
1) 4 е {{3}, {4}}; 3) 0 е {3, 4};
2) 4 е {3, 4}; 4) {4} е {3, 4}?
Самостоятельная работа № 27
Связи между величинами, функция
1. На рисунке изображён график движения туриста от базы
до озера и обратно.
1) На каком расстоянии от базы был турист через 3 ч по-
сле начала движения?
2) Сколько часов он потратил на остановку?
3) Через сколько часов после выхода с базы турист был на
расстоянии 4 км от базы?
2. Турист отошёл от лагеря на 8 км и остановился отдох-
нуть. Затем он продолжил движение со скоростью 6 км/ч.
1) Задайте формулой зависимость расстояния 5, на кото-
ром находится от лагеря турист, от времени I, которое от-
считывается после отдыха.
2) Найдите расстояние 5, соответствующее значению вре-
мени I = 1 ч; 2 ч; 4 ч.
3. Рассмотрим функцию /, заданную по следующему прави-
лу: каждому натуральному числу поставили в соответст-
вие остаток при делении его на 8. Найдите:
1) область значений функции;
2)/(10);/(17);/(27);/(40).
Самостоятельная работа № 28
Способы задания функции
1. Функция задана формулой у = х(х + 3). Заполните таб-
лицу.
X -2 -1 0 1 2 3 4
У
4, если х < -3,
2. Дана функция /(%) = < %2,если-3 < х < 2,
х - 8, если х > 2.
Найдите: 1)/(3); 2)/(2); 3)/(-2); 4)/(-3); 5)/(-3,1).
3. Задайте формулой функцию, значения которой равны
разности числа 5 и утроенного значения аргумента.
Самостоятельная работа № 29
График функции
1. Принадлежит ли графику функции у = х2 - х + 1 точка:
1) А (0; -1); 3) С (2; 0);
2) В (0; 1); 4)72(1; 1)?
2. Функция задана формулой у = 1 - х2, где -1 < х < 3.
1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.
2) Постройте график функции, пользуясь составленной
таблицей.
3) Пользуясь графиком функции, найдите, при каких
значениях аргумента значения функции положительны.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пере-
сечения с осями координат графика функции у = х2, - 2х.
Самостоятельная работа № 30
Линейная функция, её график и свойства
1. Функция задана формулой у = 4г - 2. Найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: 0; 6;
2) значение аргумента, при котором значение функции
равно: 0; 2.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пере-
сечения с осями координат графика функции у = 1,2х- 24.
3. Постройте в одной системе координат графики функций
/(х) = —х + 2 и &(х) = 2х - 1. Найдите:
1) координаты точки пересечения построенных графиков;
2) значения х, при которых §(х) > /(%)•
4. Задайте формулой линейную функцию, график которой
изображён на рисунке.
5. Постройте график функции у = |х| - х + 2.
Самостоятельная работа № 31
Уравнения с двумя переменными
1. Какие из пар чисел (2; 0), (5; -3), (-3; 1), (0; -2) являются
решениями уравнения х - у1 2 + 4 = 0?
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пе-
ресечения графика уравнения с осями координат:
1) х2 + у = 16; 2) х2 + у2 = 64.
3. Постройте график уравнения:
1) (х - 3)(г/ + 2) = 0; 2) х2 + у2 + 34 = 6х - Юг/.
4. При каких значениях а пара чисел (-1; 1) является реше-
нием уравнения 2х2 + \у - а\ = 7?
Самостоятельная работа № 32
Линейное уравнение с двумя переменными
и его график
1. Постройте график уравнения 2х + у - -1.
2. Укажите все пары чисел, являющиеся решениями урав-
нения:
1) 4х + 0 г/ = 8; 2) Ох + 0г/ = 2.
3. Из данных уравнений выберите те, график которых сов-
падает с графиком уравнения 2х - 5г/ = 1:
1) -4х + Юг/ = -2; 2) 6х - 15г/ = 3; 3) Юг/ - 4х = 2.
4. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, гра-
фиком которого является прямая, проходящая через на-
чало координат и точку В (1; -3).
5. При каком значении а пара чисел (-1; 3) является реше-
нием уравнения Зх - ау - 6?
Самостоятельная работа № 33
Системы линейных уравнений с двумя переменными.
Графический метод решения системы
двух линейных уравнений с двумя переменными
1. Решите графически систему уравнений:
г/ + х = 0, Гг/ = 2,
1) 5 2) <
[2х + у = -3; [Зх - у = 4.
2. Пара чисел (-2; 3) является решением системы уравнений
3% -Ьу = 12,
< Найдите значения «и Ь.
ах + 2у = 14.
3. К уравнению Зх - у - 2 подберите линейное уравнение
так, чтобы получилась система уравнений:
1) имеющая единственное решение;
2) имеющая бесконечно много решений;
3) не имеющая решений.
4. Сколько решений имеет система уравнений
у1 2 - х2 = О,
у + Зх = 4?
Самостоятельная работа № 34
Решение систем линейных уравнений
методом подстановки
1. Решите систему уравнений методом подстановки:
[Зх + у = 4,
1)
[5х-2г/ = 14;
3(2х - у) - 5(х 4- у) = -7,
2(х 4- 4//) - 5 г/ = 5;
2)
5х - Зг/ = 7,
7х - 6г/ = 8;
—+ = 11.
3 2
4х = 7
3 2
Самостоятельная работа № 35
Решение систем линейных уравнений
методом сложения
1. Решите методом сложения систему уравнений:
5х-6г/ = 7, ГЗх-5г/ = 14,
Юх + 6г/= 8; 2х-7г/ = 2.
2)
5х + 4г/ = 25,
5х - Зг/ = -3;
2. Прямая у = кх + Ь проходит через точки А (-2; 1)
и В (3; -4). Запишите уравнение этой прямой.
3. Решите уравнение |2х - 4 г/ - 10| + (Зх + у - I)2 = 0.
4- Решите систему уравнений
Самостоятельная работа № 36
Решение задач с помощью систем
линейных уравнений
1- На заводе изготовили два вида деталей. Масса 8 деталей
первого вида и 6 деталей второго вида составляет 58 кг.
Найдите массу детали каждого вида, если масса 4 деталей
второго вида на 2 кг больше, чем масса 2 деталей первого
вида.
2. В двух шкафах стоят книги. Если из первого шкафа пере-
ставить во второй 10 книг, то в шкафах книг станет по-
ровну. Если же из второго шкафа переставить в первый
44 книги, то в нём будет в 4 раза меньше книг, чем в пер-
вом. Сколько книг стоит в каждом шкафу?
3- Есть два раствора, первый из которых содержит 3 % соли,
а второй — 8 % соли. Сколько граммов каждого раствора
надо взять, чтобы получить 260 г раствора, содержащего
5 % соли?
Самостоятельная работа № 37
Основные правила комбинаторики
1- В кафе предлагается меню 6 видов сока и 8 видов пирож-
ных. Сколько существует способов выбрать сок и пирожное?
2. Сколько различных четырёхзначных
чисел можно составить из цифр 9, 5,
0 (цифры могут повторяться)?
3- На рисунке изображена сеть дорог,
связывающих города Л, В, С и О.
Сколько существует маршрутов, ве-
дущих из города А в город Р?
Самостоятельная работа № 38
Начальные сведения о статистике
1. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах вы-
борки:
3, 5, 5, 5, 9, 12, 12, 21, 27.
2. Собрав сведения о возрасте спортсменов легкоатлетиче-
ской секции, составили таблицу.
Возраст 11 лет 12 лет 13 лет 14 лет 15 лет
Количество членов секции 9 12 10 14 5
Найдите относительную частоту каждого значения и по-
стройте соответствующую гистограмму.
Вариант
Самостоятельная работа № 1
Введение в алгебру
1. Первый автомобиль за один рейс может перевезти р т гру-
за, а второй — на 2 т меньше. Сколько тонн груза пере-
везли оба автомобиля вместе, если первый сделал 3 рейса,
2.
3.
а второй — 5 рейсов?
Запишите в виде выражения:
1) разность куба числа у и квадрата числа х;
2) квадрат суммы чисел у и х;
3) сумму квадратов чисел у и х.
Значения переменных а, Ь и с таковы, что
Ь - 4с = -3. Найдите значение выражения:
1) а + 46 - 4с; 2) Ь(а + 36) - 8с.
Самостоятельная работа № 2
Линейное уравнение с одной переменной
1. Решите уравнение:
1) 9 - 7(х + 3) = 5 - 6х;
2) (4х - 15)(5х + 35)(0,75 - 0,2х) = 0;
х + 3 2х-1_х + 1 х + 7
' 9 6 2~ 18
2. При каком значении переменной значение выражения
3(г/ + 1,3) - 7,2 на 0,8 меньше значения выражения
4г/ + 5(г/ -1,1)?
3. Решите уравнение ||х| + 4| = 7 + х.
4. В равенстве {а - 2) х = * - 8 замените звёздочку таким вы-
ражением, чтобы получившееся уравнение имело корни
при любом значении а.
Самостоятельная работа № 3
Решение задач с помощью уравнений
1. На заводе в трёх цехах работает 626 человек. В первом це-
хе работает в 2 раза больше человек, чем во втором,
а в третьем — на 142 человека больше, чем во втором.
Сколько человек работает в каждом цехе?
2. В первом ящике было в 5 раз больше груш, чем во втором.
Когда из первого ящика взяли 16 груш, а во второй поло-
жили 12 груш, в ящиках груш стало поровну. Сколько
груш было в каждом ящике сначала?
3. Из одного города выехал автомобиль со скоростью
80 км/ч, а через 2 ч из другого города навстречу ему вы-
ехал второй автомобиль со скоростью 70 км/ч. Найдите
время, которое был в пути каждый автомобиль до момен-
та встречи, если расстояние между городами равно
760 км.
Самостоятельная работа № 4
Тождественно равные выражения. Тождества
1. Докажите тождество:
1) 4т - (т - 4) + (5 - 2т) = т + 9;
2) 8-12Гр-Ц+9р-18 =-Зр.
I 6 1
2. Найдите значение выражения:
( ( 2
1) 4а -I 5а - I а — , если а - 0,37;
I V 97/
2) 6х - 4(3г/ - 5х) + 3(2г/ - 5х + 1), если х = , у = ~ ;
С 116
3) - 5(2п - (п - (1 - 5и))), если Зт + 4п = -2.
3. Докажите, что не является тождеством равенство:
1) х?X?5 = .х30; 3) (а + 4)(я + 5) = а2 + 20;
2) (4 + р)2 = 16 +р2- 4) |2х+ 7г/| = 2\х\ + 7|г/|.
Самостоятельная работа № 5
Степень с натуральным показателем
1. Вычислите:
1) 24 + (-5)3;
2) (~7)2 - (-1)6;
3) 6 -^ ;
к /
4) (43 : 800 + 0,22) : (-0,1)2.
2. Составьте числовое выражение и найдите его значение:
1) сумма квадрата числа -9 и куба числа 6;
2) куб суммы чисел 7 и -10.
3. Расположите выражения в порядке возрастания их зна-
чений:
(-0,5)8; (-0,5)5; (-0,5)6.
4. Докажите, что уравнение 4г6 - 2.г5 + 7Х1 - Зх3 + 5 = 0 не
имеет отрицательных корней.
5. Докажите, что значение выражения 5116 4- 29 делится на-
цело на 10.
Самостоятельная работа № 6
Свойства степени с натуральным показателем
1. Представьте в виде степени произведение:
1) 415 • 44; 2) хх9*4; 3) (а + 26)10(а + 2Ь).
2. Представьте в виде степени частное:
1) б/15 : б/4; 2) г/9 : у; 3) (х - у)12 : (х - г/)6.
3. Замените звёздочку такой степенью с основанием а, что-
бы выполнялось равенство:
1) я5 • * = бг19; 2) а9 : * = а5; 3) (б/14 : *) • б/9 = б/11.
4. Представьте степень в виде произведения степеней:
1) (тир)6-, 2) (Зг/)4; 3) (-2хг/)6.
5. Представьте в виде степени выражение:
1) -и11; 2) 36а2Ь2; 3) -±^-т3п3.
7 7 7 216
6. Представьте в виде степени с основанием с выражение:
1) (-с7)2; 2) ((с2)3)6; 3) (-с3)5 • (-с5)7 : с25.
Самостоятельная работа № 7
Свойства степени с натуральным показателем
1. Представьте выражение в виде степени и вычислите его
значение:
1) 68 • (65)4 : б26;
2) 2510 • 125 : 520.
2.
Найдите значение выражения:
2)
4512
З22 511
3. Представьте выражение:
1) 16х22г/10в виде степени с показателем 2;
2) -0,064а6630с12 в виде степени с показателем 3.
4. Представьте выражение 125” + 125” + ... + 125" в виде» сте-
25 слагаемых
пени с основанием 5.
5. Какой цифрой оканчивается значение выражения З"42 • 37"?
6. Сравните значения выражений 724 и 1816.
Самостоятельная работа № 8
Одночлены
1.
2.
3.
4.
Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его
коэффициент и степень:
1) 6х • (-4г/г);
2) у^-х3) • г/11;
3) -2,5а2 • 0,1а63 • (-4а).
Найдите значение одночлена ^^х2#3, если х = , у = -1.
Упростите выражение:
1) 4а4 • (-2а362)2;
2) (-дЛ/)3 • 6лЛ/2.
3 5
Выполните умножение: 1—х4”_3г/™+2 • — х"+1г/67”-4 , где т
и а — натуральные числа.
5. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выпол-
нялось равенство (*)2 • (*)3 = -49а1365г3.
6. Значения переменных т, п и к таковы, что ктк2 - 3,
к3п2 = 2. Найдите значение выражения:
1) Зга&5а2;
2) Зга^8и4.
Самостоятельная работа № 9
Многочлены
1. Найдите значение многочлена:
1) 2х2 + 5х - 3 при х =
2) 4х2г/ - 2ху2 - 3 при х = -2, у = 1.
2. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида
и укажите его степень:
1) а2 + 5а - 3 + 2а2 +
2) &х2у - 2х2у + ху2 - 7ху2.
3. Составьте два многочлена стандартного вида, используя
каждый из одночленов 5а, -баб, 2а2й, -7й, а2й, аЪ по од-
ному разу. Укажите степень каждого из полученных мно-
гочленов.
Самостоятельная работа № 10
Сложение и вычитание многочленов
1. Упростите выражение:
1) (11 + 2х) + (—х2 + 12х - 35);
2) (14хг/ - 2у2 + 13х2) - (—16г/2 - 5х// -I- 4Х2).
2. Решите уравнение 5 - (3 + 4х - 2х2) = 2х2 - Зх -I- 8.
3. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы обра-
зовалось тождество: * - (2х2 -I- Зх// - 4//2) = бх2 - у2.
4. Представьте в виде многочлена выражение аЬс - Ьа.
5. Расставьте скобки так, чтобы равенство х2-5х+7-х2-
- 5х - 7 = 0 стало тождеством.
Самостоятельная работа № 11
Умножение одночлена на многочлен
1. Выполните умножение: -Зб(а2 -I- бай -I- 5й).
2. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение
8х(3х2 - 2у) - 4х(5// -I- 7х2).
3. Ширина прямоугольника в 3 раза меньше его длины.
Если длину прямоугольника уменьшить на 2 м, то его
площадь уменьшится на 8 м2. Найдите исходную длину
прямоугольника.
4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: *(3х - у -I- 4г) = -&хуг -I- * - 8//г2.
5. Упростите выражение х"(х3"-2 - 2х) - х(х4"-3- Зх"), где п —
натуральное число.
Самостоятельная работа № 12
Умножение многочлена на многочлен
1. Выполните умножение:
1) (Зх - 5)(2х + 7); 3) (у - 2г)(у1 2 - 2уг - 5г2);
2) (5т - 2а)(3т + п); 4) т(2т - 1)(3т + 2).
2. Преобразуйте в многочлен выражение:
1) (2х + у)(х + у)(х - Зу);
2) (х2 - 4х + 1)(х2 + 4х + 1).
3. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: (* - Зг/)(6х - *) = 12х2 - * + 15у2.
Самостоятельная работа № 13
Умножение многочлена на многочлен
1. Упростите выражение
(2а - 36)(7а + 46) - (3,5а + 6)(4а - 66).
2. Решите уравнение (х - 4)(х + 2) - (х - 5)(х + 6) = -х,
3. Докажите, что при любом значении переменной значение
выражения (х + 1)(х2 + х - 4) - (х + 2)(х2 - 3) равно 2.
4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: (а + 66)(* - *) = а2 + * - 1862.
5. Остаток при делении натурального числа а на 5 равен 4,
а остаток при делении натурального числа 6 на 5 равен 3.
Докажите, что остаток при делении произведения чисел а
и 6 на 5 равен 2.
Самостоятельная работа № 14
Разложение многочленов на множители.
Вынесение общего множителя за скобки
1. Вынесите за скобки общий множитель:
1) 5х - 2ху;
2)^-^;
3) 22ху2 + ЗЗлЛ/;
4) -4а263 - 12а62 - 20а26;
5) (х2 - 4г)2;
6) х2"+5 + х”, где п — натуральное число.
2. Представьте в виде произведения многочленов:
1) а(3х - 4у) + Ь(3х - 4у);
2) За(х - у) - (у - х);
3) (у - З)2 - 4(у - 3).
3. Решите уравнение:
1) х2 - 5(6 - х) = -30; 2) (2х - 3)(5х + 2) - х(3 - 2х) = 0.
4. Докажите, что значение выражения:
1) 166 - 220 кратно 15; 2) 186 - 96 кратно 21.
Самостоятельная работа № 15
Разложение многочленов на множители.
Метод группировки
1. Разложите на множители:
1) ху - хг + ту - тг\ 3) а1 4- «5 - 2а2 - 2;
2) Ьа - аЬ - 5 4- Ь; 4) 8ху - 4 г/ + 2х2 - х.
2. Вычислите значение выражения
15,6 • 7,8 + 19,5 • 9,4 - 15,6 • 5,8 - 19,5 • 7,4.
3. Найдите значение выражения Зу3х - 4х^у - 4х2 4- Зг/2 при
х = 4-
2
разложив его предварительно на множи-
тели.
4. Разложите на множители трёхчлен х2 - 9ху + 8г/2, пред-
ставив предварительно один из его членов в виде суммы
подобных слагаемых.
Самостоятельная работа № 16
Произведение разности и суммы двух выражений
1. Выполните умножение многочленов:
1) (4Ь - 1)(4б + 1);
2) (8т + 3г/)(3г/ - 8т);
3) (0,Зр3 + 0,2<74)(0,Зр3 - 0,2<?4);
4) (т6 - лг5)(-т6 - лг5);
5) (а3п 4- ап)(а3п - ап), где п — натуральное число.
2. Представьте в виде многочлена выражение:
1) -5т3(1 - 2т)(2т + 1); 2) (х4 - у*)(х* 4- у^х4 4- г/4).
3. Решите уравнение (х 4- 3)(х - 3) - х(х 4- 4) = 0.
4. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось тождество:
1) (* + *)(* - 5т) = 16и2 - *;
2) (* - *)(* + *) = 64Х4 - 9г/6.
Самостоятельная работа № 17
Разность квадратов двух выражений
1. Разложите на множители:
1) 9х2 - 64г/2;
2) х2у2 - —;
’ 16
3) 1,21г8- 225г44;
4) -4 + 169х2г/18;
5) 2^х4//4 -1—а668;
’ 25 У 64
6) 58п - 16, где п — натуральное число.
2. Представьте выражение в виде произведения многочленов:
1) (2а - З)2 - 81;
2) т6 - (т2 - З)2.
3. Решите уравнение (4х + 5)2 - (Зх + 4)2 = 0.
4. Докажите, что при любом натуральном п значение выра-
жения (8лг - 5)2 - (Злг + 5)2 делится нацело на 55.
Самостоятельная работа № 18
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений.
Квадрат суммы нескольких выражений
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1) ; 4) (-5 -2а)2;
2) (г/2 - 2г/)2; 5) (г/ + х - 2)2;
3) (-7х + Зг/3)2; 6) (За + 2/?)2(За - 2Ь)2.
2. Упростите выражение (4т + Злг)2 + (2т - блг)2.
3. Решите уравнение (х - З)2 - 2х2 = 9 - (х + I)2.
4. Упростите выражение (х4 - 3)(х* + 3) - (х4 - 5)2 и найдите
его значение, если х = 3.
5. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образо-
валось тождество:
1) (4«3 + *)1 2 = * + * + 25т2;
2) (* - *)2 = 16Х6 - * + 49г/4х8.
Самостоятельная работа № 19
Преобразование многочлена в квадрат суммы
или разности нескольких выражений
1- Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в ви-
де выражения, противоположного квадрату двучлена:
1) а2 + 10а + 25;
2)8х- Юх2 - 1;
4) т8 - + 9а?10;
5) 2а'лЬ2 -225М а6;
3) бОлт/ + 9х2 + 100 г/2; 6) Цгг4 + 10а2/>3 + 49/?6 .
2. Какой одночлен следует поставить вместо звёздочки, что-
бы полученное выражение можно было представить в ви-
де квадрата двучлена:
1) * - 26Х5//4 + 169г/8; 3) * - Ьс + |с2?
2) т6 - 1,2т7 + *;
3- Вычислите значение выражения 4,272 + 6,73- 8,54 + 6,732.
Самостоятельная работа № 20
Преобразование многочлена в квадрат суммы
или разности нескольких выражений
1. Решите уравнение:
1) Збх2 - 60х + 25 = 0;
2) (х + З)2 + 2(х - 6)(х + 3) + (х - б)2 = 0.
2. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений
многочлен:
1) 9х2 - 12хг/ + 20г/2; 2) 2х2 + 4хг/ + 4г/2 - 6х + 9.
3- Найдите наибольшее значение выражения 1 + 12х - 4х2.
4- Докажите, что выражение (2т + п)(2тп + п - 10) + 25 при-
нимает неотрицательные значения при любых значениях
переменных.
5. Известно, что а1 2 + Ь2 + с2 = 35, Ьс - аЬ - ас = 7. Найдите
значение выражения а - Ь - с.
Самостоятельная работа № 21
Сумма и разность кубов двух выражений
1. Разложите на множители:
1) т3 + 27; 3) «6 - 615;
2)64г/3-х3; 4) (а - 9)3 + 64.
2. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось равенство:
1) (* + *)(25х2 - * + 16 г/2) = 125Х3 + 64г/3;
2) (х2у3 - *)(* + * + 210) = Х62/9 - 215.
3. Решите уравнение
(4 - 5х)(16 + 20х+ 25х2) + 25х(5х2 - 1) = -11.
4. Докажите тождество
(х + 3)(х - З^х2 - Зх + 9)(х2 + Зх + 9) = х6 - З6.
5- Докажите, что значение выражения З12 - 23 делится наце-
ло на 79.
Самостоятельная работа № 22
Куб суммы и куб разности двух выражений
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1)(Зх-2)3; 2) (а2" + 64")3.
2. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образо-
валось тождество: (* + *)3 = * + * + 12х2 + *.
3- Решите уравнение 216Х3 - 108х2 + 18х- 1 = 0.
4. Числа х и у таковы, что х3 + г/3 = -12, ху(х + г/) = -5.
Найдите значение выражения х + г/.
Самостоятельная работа № 23
Применение различных способов разложения
многочлена на множители
1- Разложите на множители:
1) Зх4 - Зх2г/2; 3) -7566 + 3064 - 362;
2) Зх2 - 48хг/ + 192г/2; 4) 2х* - 16г/9.
2. Представьте в виде произведения выражение:
1) х + 4г/ + х2 - 16г/2;
2) Ь2 - тп2 - Зтп - 16гг2;
3) 4х2 - у2 - 4х + 1;
4) 8Х3 + у3 - 2х - у;
5) 16" - 2 • 20" + 25" - 49, где п — натуральное число.
Самостоятельная работа № 24
Применение различных способов разложения
многочлена на множители
1. Представьте в виде произведения многочленов выражение:
1) (7а - ЗЬ)(7а + ЗЬ) - 14ас + с2;
2) (а2 + 4а)2 - 16;
3) а3 - 14аЬ2 + 7а2Ъ - ЗЬ3.
2. Разложите на множители трёхчлен х2 - Зху + 5г/2, выде-
лив предварительно квадрат двучлена.
3. Известно, что а + Ь = 7, аЬ = 6. Найдите значение выра-
жения:
1) а2Ь + аЬ2;
2) а2 + Ь2.
4. Найдите все натуральные значения п, при которых вы-
полняется равенство 16" + 2 • 4" - 24 = 0.
Самостоятельная работа № 25
Формулы для разложения на множители
выражений вида ап - Ьп и а" + Ьп
1. Разложите на множители выражение а25 + Ь3.
2. Докажите, что при любом натуральном п значение выра-
жения:
1) 172"+7 + 1 кратно 18;
2) 23" + 43 кратно 22.
3. Упростите выражение
426 + 425.3 + 424.32 + _ + 4.325 + 326 _ 427.
4. Сократите дробь .
Самостоятельная работа № 26
Множество и его элементы
1. Поставьте вместо звёздочки знак е или ё так, чтобы по-
лучилось верное утверждение:
1)0* ТУ; 2) -8* ТУ; 3)11* ТУ; 4) | * ТУ.
2. Запишите множество корней уравнения:
1) (х + 4)( г2 - 16) = 0;
2) 1х + 5| = -2.
3. Какие из следующих утверждений верны:
1) 0 е {1, 5}; 3) {5} е {1, 5};
2) 5 е {{1}, {5}}; 4) {0} е {{1}, {5}}?
Самостоятельная работа № 27
Связи между величинами. Функция
1. На рисунке изображён график движения туриста от базы
до озера и обратно.
1) На каком расстоянии от базы был турист через 2 ч
после начала движения?
2) Сколько часов он потратил на остановку?
3) Через сколько часов после выхода с базы турист был на
расстоянии 12 км от базы?
2. Закипев при температуре 100 С, вода начала охлаждать-
ся. Каждую минуту её температура понижалась на 4 °С.
1) Запишите формулу зависимости температуры Т воды
от времени I её охлаждения.
2) Найдите значение температуры Г, соответствующее
значению времени I = 3 мин; 8 мин; 11 мин.
3. Рассмотрим функцию /, заданную по следующему прави-
лу: каждому натуральному числу поставили в соответ-
ствие остаток при делении его на 6. Найдите:
1) область значений функции;
2)/(11);/(20);/(54);/(64).
Самостоятельная работа № 28
Способы задания функции
1. Функция задана формулой у = х(х - 4). Заполните таб-
лицу.
X -3 -2 -1 0 1 2 3
У
х + 6, если х < -4,
2. Дана функция /(х) = <8, если-4 < х < 3,
х2,еслих > 3.
Найдите: 1)/(-5); 2) /(-4); 3)/(2); 4)/(3); 5)/(5).
3. Задайте формулой функцию, значения которой равны
сумме числа 4 и утроенного значения аргумента.
Самостоятельная работа № 29
График функции
1. Принадлежит ли графику функции у = 2х2 - 1 точка:
1) А (0; 2); 3)С(0;-1);
2) В (1; 1); 4) Л (-1; 2)?
2. Функция задана формулой у = х2 - 9, где -3 < х < 4.
1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.
2) Постройте график функции, пользуясь составленной
таблицей.
3) Пользуясь графиком функции, найдите, при каких
значениях аргумента значения функции отрицательны.
3- Не выполняя построения, найдите координаты точек пере-
сечения с осями координат графика функции у/ = х2 + 6.x.
Самостоятельная работа № 30
Линейная функция, её график и свойства
1. Функция задана формулой у - -Зх + 4. Найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно:
-2; 0;
2) значение аргумента, при котором значение функции
равно: -2; 0.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пе-
ресечения с осями координат графика функции у - 6 - 4х.
3- Постройте в одной системе координат графики функций
/(х) = -2х -I- 1 и §(х) = х -I- 4. Найдите:
1) координаты точки пересечения построенных графиков;
2) значения х, при которых /(х) > &(х).
4. Задайте формулой линейную функцию, график которой
изображён на рисунке.
5- Постройте график функции у = |х| -I- х - 2.
Самостоятельная работа № 31
Уравнения с двумя переменными
1. Какие из пар чисел (4; -5), (-2; 5), (1; 2,5), (6; -15) яв-
ляются решениями уравнения х1 2 + 2у - 6 = О?
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пе-
ресечения графика уравнения с осями координат:
1)х2-г/ = 25; 2)х2 + г/2 = 81.
3. Постройте график уравнения:
1) (х + 4)(г/ - 4) = 0; 2) х2 + 12г/ - 4х = -у2 - 40.
4. При каких значениях а пара чисел (2; -1) является реше-
нием уравнения |х - а\ + Зг/2 = 6?
Самостоятельная работа № 32
Линейное уравнение с двумя переменными
и его график
1. Постройте график уравнения 2х - у = 5.
2. Укажите все пары чисел, являющиеся решениями урав-
нения:
1) Ох + Зг/ = 6; 2) Ох + Оу = -12.
3. Из данных уравнений выберите те, график которых сов-
падает с графиком уравнения 4х - у = 3:
1) 2у - 8х = -3; 2) 8х - 2у = 6; 3) Зг/ - 12х = -9.
4. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, гра-
фиком которого является прямая, проходящая через на-
чало координат и точку С (-3; 2).
5. При каком значении а пара чисел (1; -3) является реше-
нием уравнения Ох - ау = 4?
Самостоятельная работа № 33
Системы линейных уравнений с двумя переменными.
Графический метод решения системы
двух линейных уравнений с двумя переменными
1. Решите графически систему уравнений:
г/ + х = 0, [х = -1,
1) Г 2) \
4х + г/ = 6; [2х+г/ = 3.
2. Пара чисел (3; -2) является решением системы уравнений
2х + ау - 8,
< , Найдите значения апЬ.
Ьх + 3у = 15.
3, К уравнению 4х + у = 2 подберите линейное уравнение
так, чтобы получилась система уравнений:
1) имеющая единственное решение;
2) имеющая бесконечно много решений;
3) не имеющая решений.
х2 - у2 = О,
Зх + у = 4?
4, Сколько решений имеет система уравнений <
Самостоятельная работа № 34
Решение систем линейных уравнений
методом подстановки
1. Решите систему уравнений методом подстановки:
Г4х - у = 1, /4(г/ - Зх) - 5(г/ - 4х) = -10,
5х + Зг/ = 14; 6(х - 2у) + Ъу = -20;
~7х . 2У л
[Зх + 4м = -2, Т Т = ~4’
2) I * 4) -И д
[6х-7г/ = 11; Зх у _
[Т + 3 “ "
Самостоятельная работа № 35
Решение систем линейных уравнений
методом сложения
1. Решите систему уравнений методом сложения:
2х - 5м = 6, [5х-Зг/ = 11,
1) 1 3) ”
4х + 5г/ = 24; [2х-4г/ = 3.
6х + у = 10,
2)
6х-Зг/ = -26;
2. Прямая у = кх + Ь проходит через точки А (2; -1)
и В (1; -3). Запишите уравнение этой прямой.
3- Решите уравнение |2х - у - 3| + (х + Зу - 5)2 = 0.
4. Решите систему уравнений
1-1=1,
X у
1 + 1 = 7.
X у
Самостоятельная работа № 36
Решение задач с помощью систем
линейных уравнений
1- За 5 ручек и 4 карандаша заплатили 96 р. Сколько стоит
ручка и сколько карандаш, если 3 ручки дороже, чем
2 карандаша, на 18 р.?
2. Петя и Дима собирают марки. Если Петя отдаст Диме
10 своих марок, то у мальчиков марок станет поровну.
Если же Петя отдаст Диме 50 марок, то у него останется
в 5 раз меньше марок, чем станет у Димы. Сколько марок
есть у каждого мальчика?
3. Есть два сплава, первый из которых содержит 12 % меди,
а второй — 30 %. Сколько килограммов каждого слитка
надо взять, чтобы получить 180 кг сплава, содержащего
25 % меди?
Самостоятельная работа № 37
Основные правила комбинаторики
1- Для проведения праздничного концерта нужно выбрать
ведущих — мальчика и девочку. Сколько вариантов вы-
бора есть у режиссёра, если на роль ведущего претендуют
6 девочек и 3 мальчика?
2. Сколько различных трёхзначных
чисел можно составить из цифр 5,
6, 7, 0 (цифры могут повторяться)?
3. На рисунке изображена сеть дорог,
связывающих города А, В, С и И.
Сколько существует маршрутов, ве-
дущих из города В в город С?
Самостоятельная работа № 38
Начальные сведения о статистике
1. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах вы-
борки:
7, 9, 9, 11, 16, 18, 18, 18, 29.
2. Собрав у работников некоторого предприятия сведения
о количестве комнат в их квартирах, составили следу-
ющую таблицу.
Количество комнат 1 2 3 4 5
Количество работников 10 18 14 6 2
Найдите относительную частоту каждого значения и по-
стройте соответствующую гистограмму.
Вариант
Самостоятельная работа № 1
Введение в алгебру
1. Цена одной авторучки составляет х р, а цена одного ка-
рандаша — на 15 р. меньше. Сколько денег заплатили за
5 авторучек и 8 карандашей?
2. Запишите в виде выражения:
1) сумму квадрата числа п и куба числа к;
2) квадрат суммы чисел с и б/;
3) сумму кубов чисел с и (I.
3. Значения переменных а, Ь и с таковы, что 2а - Ь = 3,
а + 4с = -2. Найдите значение выражения:
1) 2а - Ь + 4с; 2) а(2а - Ь) + 12с.
Самостоятельная работа № 2
Линейное уравнение с одной переменной
1. Решите уравнение:
1) 7 - 3 (х - 2) = 5 - 2х;
2) (6х - 13)(7х - 42)(0,26 - 0,12х) = 0;
3) х ~ _ х + 6 _ х - 5 + х — 4
’ 4 24 " 12 8 *
2. При каком значении переменной значение выражения
- 0,4) - 2,6 на 4 больше значения выражения
12г/ -4(0,2 + г/)?
3. Решите уравнение ||х| + 2| = 6 + х.
4. В равенстве (а - 5) х = * + 30 замените звёздочку таким
выражением, чтобы получившееся уравнение имело кор-
ни при любом значении а.
Самостоятельная работа № 3
Решение задач с помощью уравнений
1. В трёх коробках лежит 139 авторучек. В первой коробке
в 3 раза больше авторучек, чем в третьей, а во второй —
на 24 авторучки больше, чем в третьей. Сколько автору-
чек лежит в каждой коробке?
2. В первом бидоне было воды в 5 раз больше, чем во втором.
Когда из первого бидона вылили 7 л, а во второй бидон до-
лили 13 л, то воды в бидонах стало поровну. Сколько лит-
ров воды было в каждом бидоне вначале?
3. Из города А в город В, расстояние между которыми равно
705 км, выехал автомобиль со скоростью 80 км/ч. Через
3 ч из города В в город А навстречу ему выехал автобус со
скоростью 75 км/ч. Сколько времени находился в пути до
момента встречи автомобиль и сколько — автобус?
Самостоятельная работа № 4
Тождественно равные выражения. Тождества
1. Докажите тождество:
1) 2т - (Зт - 13) + (6 - 5т) = 19 - 6т;
2) 7 -15^г/ - |)+ 4г/ -19 = -11г/.
2. Найдите значение выражения:
1) 5Ь - {бЬ - - у если Ь = 0,47;
2) 9у - 5(2х - Зу) 4- 7(4х - у - 2), если х = ^, у - ;
3) 4а - 3(6Л - (Ь - (1 - ЗА))), если 2а - ЗЬ = 7.
3. Докажите, что не является тождеством равенство:
1) х4х3 = х12;
2) (6 + 2)2 = Ь2 + 4;
3) (х - 5)(х + 2) = (х - 5)х - 10;
4) |4х + 9г/| = 4|х| + 9|г/|.
Самостоятельная работа № 5
Степень с натуральным показателем
1. Вычислите:
1) 53 + (-3)4;
2) (-6)2 + (-1)8;
3)8Н :
4) (122 : 300 - 0,32) : (-0Д)2.
2. Составьте числовое выражение и найдите его значение:
1) сумма куба числа 5 и квадрата числа -7;
2) куб суммы чисел 8 и -12.
3. Расположите выражения в порядке возрастания их зна-
чений:
(-0,6)8; (-0,6)7; (-0,6)4.
4. Докажите, что уравнение 2Х8 - Зх5 + х4-2х+1 = 0не име-
ет отрицательных корней.
5. Докажите, что значение выражения 4132 - 36 делится на-
цело на 5.
Самостоятельная работа № 6
Свойства степени с натуральным показателем
1. Представьте в виде степени произведение:
1) 613 • 65; 2) тптт^ 3) (х - г/)2(х - г/)3.
2. Представьте в виде степени частное:
1) а19 : а6; 2) т10 : т; 3) (к + т)14 : (к + т)5.
3. Замените звёздочку такой степенью с основанием а, что-
бы выполнялось равенство:
1) а9 * = а16; 2) ап : * = а4; 3) (а16 : *) • а4 = а11.
4. Представьте степень в виде произведения степеней:
1) (аЬс)7; 2) (4г/)3; 3) (-Зтп)3.
5. Представьте в виде степени выражение:
1) -а5; 2) 81а464; 3) ——а3Ь3.
125
6. Представьте в виде степени с основанием т выражение:
1) (-т3)6; 2) ((т5)2)4; 3) (-т4)9 • (-т3)7 : т21.
Самостоятельная работа № 7
Свойства степени с натуральным показателем
1. Представьте выражение в виде степени и вычислите его
значение:
1) 146 • (142)8 : 1420; 2) 216 • 367 : 615.
2. Найдите значение выражения:
/ зУ6 т14
1) Ц I
I э ) I о I
З7 513
3. Представьте выражение:
1) 49<722616в виде степени с показателем 2;
2) -0,027х9г/42г33 в виде степени с показателем 3.
4. Представьте выражение 81” + 81” + ... + 81” в виде степени
27 слагаемых
с основанием 3.
5. Какой цифрой оканчивается значение выражения 2"+2 • 3"?
6. Сравните значения выражений 621 и 1514.
Самостоятельная работа № 8
Одночлены
1. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его
коэффициент и степень:
1) 4х • (-Зуг);
2) а3(-Ь2)а5;
3) -2,5х* • 0,2х2г/4 • (-2х).
2. Найдите значение одночлена -4,8х2//5, если х - — , у - -1.
3. Упростите выражение:
1) 4а5 • (-5а63)2;
2) (-а365)5 • За264.
4. Выполните умножение: 2~х”+4г/7”/+1 ~х5п~4ут+2 , где т
ип — натуральные числа.
5. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы выпол-
нялось равенство (*)2 • (*)3 = -25а4614с3.
6. Значения переменных х, у и г таковы, что 5г/5г = 2,
х2у3 - 10. Найдите значение выражения:
1) Зх2г/8г;
2) 2х4г/11г.
Самостоятельная работа № 9
Многочлены
1. Найдите значение многочлена:
1) Зх2 4- Юх - 5 при х = ;
2) аЬ2 - 4а2Ь + 2 при а = 2, Ь = 3.
2. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида
и укажите его степень:
1) 362 - 2Ь + 8 + 2Ь2 -4Ь-5;
2) бх^у - Зху3 - 2х^у + ху3.
3. Составьте два многочлена стандартного вида, используя
каждый из одночленов 4ху, -2х, бх2, -ху3, бху, 4х по од-
ному разу. Укажите степень каждого из полученных мно-
гочленов.
Самостоятельная работа № 10
Сложение и вычитание многочленов
1. Упростите выражение:
1) (4х+7) + (34-11х-х2);
2) (1 Чху - Их2 + 7г/2) - (-14х2 + Зху - 9).
2. Решите уравнение 18 - (3 + 5х - х2) = х2 - Зх + 7.
3. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы обра-
зовалось тождество: * - (Зх2 - бху + г/2) = 8х2 - 5хг/.
4. Представьте в виде многочлена выражение сЬа - аЬ.
5. Расставьте скобки так, чтобы равенство х2 - Зх 4- 8 - х2 -
- Зх - 8 = 0 стало тождеством.
Самостоятельная работа № 11
Умножение одночлена на многочлен
1. Выполните умножение: -2а(а2 - ЗаЬ 4- ба).
2. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение
8х(3х2 + бу) - Зх(11г/ - 12х2).
3. Длина прямоугольника в 4 раза больше его ширины. Если
ширину прямоугольника увеличить на 2 м, то его пло-
щадь увеличится на 24 м2. Найдите исходную ширину
прямоугольника.
4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: *(а - 2Ь - Зс) = * 4- 8адс 4- \2ас2.
5. Упростите выражение х(х2п+3 - Зх") 4- х"(х"+4 - 4х), где п —
натуральное число.
Самостоятельная работа № 12
Умножение многочлена на многочлен
1. Выполните умножение:
1) (За + 1)(4а - 3); 3) (х - Зу)(х2 - 4ху + 2у2У
2) (4а - 6)(3а - 26); 4) Ь (36 - 7)(2б - 3).
2. Преобразуйте в многочлен выражение:
1) (х - 2г/)(3х + у)(х - у\,
2) (х2 - Зх + 2)(х2 + Зх + 2).
3. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: (* + 2у)(2х + *) = Юх2 + * + 6г/2.
Самостоятельная работа № 13
Умножение многочлена на многочлен
1. Упростите выражение
(4х -3у)(3х + у) - (1,5х - 5г/)(8х - 4 г/).
2. Решите уравнение (х + 5)(х - 3) - (х + 1)(х - 4) = 4х.
3. Докажите, что при любом значении переменной значение
выражения (х - 1)(х2 + 2х - 4) - (х + 1)(х2 - 6) равно 10.
4. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы получи-
лось тождество: (* - *)(а - 36) = а2 - * + 1562.
5. Остаток при делении натурального числа а на 8 равен 2,
а остаток при делении натурального числа 6 на 8 равен 7.
Докажите, что остаток при делении произведения чисел а
и 6 на 8 равен 6.
Самостоятельная работа № 14
Разложение многочленов на множители.
Вынесение общего множителя за скобки
1. Вынесите за скобки общий множитель:
1) 6х - 5хг/;
2) х9 - х5;
3) 16т2а + 24ттт2;
4) -5т2а4 - 15та2 - 20т2а2;
5) (х2 - 2х)2;
6) х3^1 + х\ где к — натуральное число.
2. Представьте в виде произведения многочленов:
1) т(7х - 2у) + п(7х - 2у);
2) 4Ь(т - и) — (п - т);
3) (у + 5)2 - 2(г/ + 5).
3. Решите уравнение:
1) х2 - 7(х - 4) = 28;
2) (5х - 3)(3х - 7) - х (3 - 5х) = 0.
4. Докажите, что значение выражения:
1) 274 - З9 кратно 26; 2) 184 - 64 кратно 16.
Самостоятельная работа № 15
Разложение многочленов на множители.
Метод группировки
1. Разложите на множители:
1) тп - тк + с1п - Нк; 3) г/8 + г/6 - 6 г/2 - 6;
2) 7х - ху - 7 + у\ 4) 12ху - Зг/ + 4х2 - х.
2. Вычислите значение выражения
12,7 • 5,3 + 3,2 • 7,3 + 0,8 • 7,3 - 12,7 • 1,3.
3. Найдите значение выражения 2х?у - Ьху‘3 - Юг/2 + 4х2 при
1 5 7
х = , у = , разложив его предварительно на мно-
жители.
4. Разложите на множители трёхчлен х2 - бху + 5г/2, пред-
ставив предварительно один из его членов в виде суммы
подобных слагаемых.
Самостоятельная работа № 16
Произведение разности и суммы двух выражений
1. Выполните умножение многочленов:
1) (2т - 7)(2т + 7);
2) (За + 5Ь)(5Ь - За);
3) (0,5а4 - О,262)(О,262 + 0,5а4);
4) (х9 - г/5)(-г/5 - х9);
5) (Ь5п - Ьп)(Ь5п + Ь”), где п — натуральное число.
2. Представьте в виде многочлена выражение:
1) -4х3(Зх + 1)( 1 - Зх); 2) (х6 + г/6)(х12 + у12)(х? - у&).
3. Решите уравнение (х - 4) (л + 4) - х(х - 3) = 0.
4. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось тождество:
1) (* - Зх)(* + *) = 49 г/2 - *;
2) (* + *)(* - *) = 81.А - 16 г/4.
Самостоятельная работа № 17
Разность квадратов двух выражений
1. Разложите на множители:
1) 49а2 - 1662;
2) т2п2 - — ;
/ О 1 7
3) 1,44х10 - 256г/16;
4) -9 + 64Л/14;
5) 3 — а4№ - 1-х2у8 ;
7 16 9
6) 46А> - 49, где к — натуральное число.
2. Представьте выражение в виде произведения многочленов:
1) (5х - 2)2 - 36; 2) п8 - (п2 - 12)2.
3. Решите уравнение (За - 8)2 - (2х - 5)2 = 0.
4. Докажите, что при любом натуральном п значение выра-
жения (11п - I)2 - (5п + I)2 делится нацело на 32.
Самостоятельная работа № 18
Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений.
Квадрат суммы нескольких выражений
1. Представьте в виде многочлена выражение:
п! 11
!) х--г/
2) (а4 - а3)2;
4) (~2х - 7)2;
5) (а - Ъ - З)2;
3) (~2х + 5 г/4)2; 6) (2а - 2Ь)2(2а + 36)2.
2. Упростите выражение (Юх - 2г/)2 + (4х + 5г/)2.
3. Решите уравнение (х + 4)2 - 2х2 = 11 - (х - 2)2.
4. Упростите выражение (т3 - 1)(т3 + 1) - (т3 - З)2 и найди-
те его значение, если т = 2.
5. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образо-
валось тождество:
1) (5л4 - *)2 = * _ * + 36 г/6;
2) (*4 *)1 2 = 49.x8 4 * + 81х12г/6.
Самостоятельная работа № 19
Преобразование многочлена в квадрат суммы
или разности нескольких выражений
1. Представьте трёхчлен в виде квадрата двучлена или в ви-
де выражения, противоположного квадрату двучлена:
1) а2 + 16а + 64; 4) 1666 - 863а5 + а10;
2) 14х - 1 - 49х2; 5) 2а3Ь7 - 121а6 - — 614;
’ 7 121
3) 12тп + 16п2 + 81/тг2; 6) |^а6 + 14а3 464 + 81&8 .
2. Какой одночлен следует поставить вместо звёздочки, что-
бы полученное выражение можно было представить в ви-
де квадрата двучлена:
1) * - 28а663 + 19666; 3) * + ху + г/2?
2) г?12 - 1,4г?7 + *;
3. Вычислите значение выражения 4,182 + 1,82 • 8,36 + 1,822.
Самостоятельная работа № 20
Преобразование многочлена в квадрат суммы
или разности нескольких выражений
1. Решите уравнение:
1) 64х2 - 80х + 25 = 0;
2) (х + 4)2 + 2(х - 7)(х + 4) + (х - 7)2 = 0.
2. Представьте в виде суммы квадратов двух выражений
многочлен:
1) 13х2 - 30хг/ + 25г/2; 2) 2х2 - ]Аху + 49г/2 + 4х + 4.
3. Найдите наибольшее значение выражения 1 + 24х - 9х2.
4. Докажите, что выражение (4г? - &)(4г? - к - 12) 4- 36 при-
нимает неотрицательные значения при любых значениях
переменных.
5. Известно, что а1 2 + Ь2 + с2 = 24, ас - аЬ - Ьс = -4. Найдите
значение выражения Ь - а - с.
Самостоятельная работа № 21
Сумма и разность кубов двух выражений
1, Разложите на множители:
1) г? - 125; 3) гт?9 - г?15;
2)27х3 + ?/3; 4)(х+2)3-64.
2, Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось равенство:
1) (* + *)(4а2 - * + 3662) = 8а3 + 21663;
2) (тп2 - *)(* + * + &6) = - кд.
3. Решите уравнение (2 + Зх)(4 - 6х + 9х2) - 9х(3х2 - 4) = -28.
4. Докажите тождество
(х + 5)(х - 5)(х2 + 5х + 25)(х2 - 5х + 25) = х6 - 56.
5. Докажите, что значение выражения З9 + 23 делится наце-
ло на 29.
Самостоятельная работа № 22
Куб суммы и куб разности двух выражений
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1) (5х- 2)3;
2) (а4” + /?2")3.
2. Замените звёздочки такими одночленами, чтобы образо-
валось тождество: (* - *)3 = * - * + 9х2 - *.
3. Решите уравнение 125Х3 + 150х2 + 60х +8 = 0.
4. Числа х и у таковы, что х3 + ?/3 = 40, ху(х + г/) = 8. Найдите
значение выражения х + г/.
Самостоятельная работа № 23
Применение различных способов разложения
многочлена на множители
1. Разложите на множители:
1) б?/6 - бх2?/4; 3) -18г?8 + 12/г6 - 2г?4;
2) 2х2 - 28х?/ + 98г/2; 4) Зх3 - 81г/9.
2. Представьте в виде произведения выражение:
1) а - 6Ь 4- а1 2 - 3662;
2) х2 - 2Ъу2 4- Юг/г - г2;
3) 16а2-^2-8а + 1;
4) 27т3 4 * - п3 + п - Зт;
5) 49" - 2 • 21" + 9" - 1, где п — натуральное число.
Самостоятельная работа № 24
Применение различных способов разложения
многочлена на множители
1. Представьте в виде произведения многочленов выражение:
1) (6а - 5Л)(6а + 5Л) - 12ас 4- с2;
2) (а2-6а)2-81;
3) а3 - 2а2Ь - &аЪ2 4- 27/А
2. Разложите на множители трёхчлен х2 4- Ъху - 7 г/2, выде-
лив предварительно квадрат двучлена.
3. Известно, что а - Ь = 2, аЬ = 8. Найдите значение выра-
жения:
1) а2Ь - аЪ2\
2) а2 + Ь2.
4. Найдите все натуральные значения п, при которых вы-
полняется равенство 36" + 2 • 6" - 48 = 0.
Самостоятельная работа № 25
Формулы для разложения на множители
выражений вида ап - Ьп и ап + Ьп
1. Разложите на множители выражение а10 4- 65.
2. Докажите, что при любом натуральном п значение выра-
жения:
1) 222"+9 4- 1 кратно 23;
2) 18" 4- 33 кратно 17.
3. Упростите выражение
718 + 717 • 6 + 716 • 62 + ... + 7 • 617 4- 618 4- 619.
419 + 418 + +4 + 1
4. Сократите дробь —----3---—-----.
49 + 48 + ... + 4 + 1
Самостоятельная работа № 26
Множество и его элементы
1. Поставьте вместо звёздочки знак е или ё так, чтобы по-
лучилось верное утверждение:
1) 13 * ТУ; 2) 0 * ТУ; 3) -9 * ТУ; 4) | * М
2. Запишите множество корней уравнения:
1) (х - 5ХХ2 - 25) = 0;
2)|х-8| = -1.
3. Какие из следующих утверждений верны:
1) 3 е {3, 6}; 3) {3} е {3, 6};
2) 0 е {{3}, {6}}; 4) {3} е {{3}, {6}}?
Самостоятельная работа № 27
Связи между величинами. Функция
1. На рисунке изображён график движения туриста от базы
до озера и обратно.
1) На каком расстоянии от базы был турист через 5 ч
после начала движения?
2) Сколько часов он потратил на остановку?
3) Через сколько часов после выхода с базы турист был на
расстоянии 10 км от базы?
2. Автомобиль отъехал от города на 40 км и остановился.
Затем он продолжил движение со скоростью 70 км/ч.
1) Задайте формулой зависимость расстояния 5, на кото-
ром находится от города автомобиль, от времени I, кото-
рое отсчитывается после остановки.
2) Найдите расстояние 5, соответствующее значению вре-
мени I = 1 ч; 3 ч; 4 ч.
3. Рассмотрим функцию /, заданную по следующему прави-
лу: каждому натуральному числу поставили в соответ-
ствие остаток при делении его на 7. Найдите:
1) область значений функции;
2)/(16);/(28);/(46);/(69).
Самостоятельная работа № 28
Способы задания функции
Найдите: 1)/(-3); 2)/(-2); 3)/(1); 4)/(3); 5)/(3,5).
3. Задайте формулой функцию, значения которой равны
сумме числа 7 и удвоенного значения аргумента.
Самостоятельная работа № 29
Г рафик функции
1. Принадлежит ли графику функции у = Зх2 - 2 точка:
1)Л(0;2); 3) С (1; 3);
2) В (0; -2); 4) О (1; 1)?
2. Функция задана формулой у - 4 - х2, где -2 < х < 3.
1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.
2) Постройте график функции, пользуясь составленной
таблицей.
3) Пользуясь графиком функции, найдите, при каких
значениях аргумента значения функции положительны.
3. Не выполняя построения, найдите координаты точек пере-
сечения с осями координат графика функции у - х2 - 4х.
Самостоятельная работа № 30
Линейная функция, её график и свойства
1. Функция задана формулой у - Зх - 2. Найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: 0; 2;
2) значение аргумента, при котором значение функции
равно: 0; 4.
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пере-
сечения с осями координат графика функции у - 4,5х - 18.
3. Постройте в одной системе координат графики функций
/(х) = х + 3 и д(х) = -Зх - 1. Найдите:
1) координаты точки пересечения построенных графиков;
2) значения х, при которых Д(х) > /(х).
4. Задайте формулой линейную функцию, график которой
изображён на рисунке.
5. Постройте график функции у - |х| - х + 4.
Самостоятельная работа № 31
Уравнения с двумя переменными
1. Какие из пар чисел (-1; 2), (-11; 3), (1; -2), (7; 0) являют-
ся решениями уравнения х 4- 2у1 2 -7 = 0?
2. Не выполняя построения, найдите координаты точек пе-
ресечения с осями координат графика уравнения:
1)х24-г/ = 36; 2) х2 + у2 = 25.
3. Постройте график уравнения:
1) (х + Ъ)(у - 1) = 0; 2) х2 4- у2 = 14 г/ - 2х - 50.
4. При каких значениях а пара чисел (1; 2) является реше-
нием уравнения х2 4- \у - а\ = 5?
Самостоятельная работа № 32
Линейное уравнение с двумя переменными
и его график
1. Постройте график уравнения Зх - у = 2.
2. Укажите все пары чисел, являющиеся решениями урав-
нения:
1) 6х 4- 0г/ = -12; 2) Ох 4- 0 г/ = 5.
3. Из данных уравнений выберите те, график которых сов-
падает с графиком уравнения Зх - 5г/ = 3:
1) 5г/ - Зх = -3; 2) 6х - Юг/ = -6; 3) 9х - 15г/ = 9.
4. Составьте линейное уравнение с двумя переменными, гра-
фиком которого является прямая, проходящая через на-
чало координат и точку Р (2; -1).
5. При каком значении а пара чисел (-3; 2) является реше-
нием уравнения ах - 4г/ = 10?
Самостоятельная работа № 33
Системы линейных уравнений с двумя переменными.
Графический метод решения системы
двух линейных уравнений с двумя переменными
1. Решите графически систему уравнений:
х - у = 0, у = -3,
1М 2) Г
х 4- 5г/ = 6; [4х 4- у = 5.
2. Пара чисел (5; 2) является решением системы уравнений
2х - ау = 4,
< , ‘ Найдите значения а и Ь.
Ьх + 3у = -4.
3.
К уравнению Зх + у = -2 подберите линейное уравнение
так, чтобы получилась система уравнений:
1) имеющая единственное решение;
2) имеющая бесконечно много решений;
3) не имеющая решений.
Сколько решений имеет система уравнений
у2 - х2 = О,
2х + у = -3?
Самостоятельная работа № 34
Решение систем линейных уравнений
методом подстановки
1. Решите систему уравнений методом подстановки:
2х + 7 у = 11, 7(х + у) - 2(3х + у) = -7,
1) < 3) -
4х - у = 7; 5(х - 2у) - 2х = 4;
5х + 2у - -9, 7 + Т=4'
2) < 4)
Юх - Зг/ = —4; Зх _ 4г/ _ „
4 3
Самостоятельная работа № 35
Решение систем линейных уравнений
методом сложения
1. Решите систему уравнений методом сложения:
5х -4г/ = 9, 4х + 5г/ = 11,
1) * 3)
Зх + 4г/ = 7; 6х + 8 г/ = 15.
7х - 2 г/ = 6,
2) <
7х + 5г/ = -8;
2. Прямая у - кх + Ь проходит через точки С (5; 1)
и Р (1; -3). Запишите уравнение этой прямой.
3. Решите уравнение |2х + 5 г/ + 21| + (8х + Зг/ - I)2 = 0.
4.
± + ± = 6,
Решите систему уравнений <
У
1 = -4.
У
Самостоятельная работа № 36
Решение задач с помощью систем
линейных уравнений
1. Для пошива 5 плащей и 2 курток использовали 19 м тка-
ни. Сколько метров ткани используют для пошива одного
плаща и сколько — для пошива одной куртки, если для
пошива 6 плащей используют на 10 м ткани больше, чем
для пошива 4 курток?
2. На двух складах хранятся компьютеры. Если с первого
склада перевезти на второй склад 8 компьютеров, то на
складах компьютеров станет поровну. Если же со второго
склада перевезти на первый склад 16 компьютеров, то на
первом складе станет в 4 раза больше компьютеров, чем
на втором. Сколько компьютеров хранится на каждом из
складов?
3. Есть два раствора, первый из которых содержит 10 % со-
ляной кислоты, а второй — 30 % соляной кислоты.
Сколько граммов каждого раствора надо взять, чтобы
получить 600 г раствора, содержащего 15 % соляной
кислоты?
Самостоятельная работа № 37
Основные правила комбинаторики
1. Есть 6 видов конвертов и 4 вида почтовых марок. Сколько
существует способов выбрать конверт и марку для отправ-
ки письма?
2. Сколько различных четырёхзначных чисел можно соста-
вить из цифр 3, 8, 0 (цифры могут повторяться)?
3. На рисунке изображена сеть дорог,
связывающих города Л, В, С и Г).
Сколько существует маршрутов, ве-
дущих из города С в город В?
Самостоятельная работа № 38
Начальные сведения о статистике
1. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах вы-
борки:
1, 4, 4, 4, 8, 12, 13, 13, 22.
2. Собрав сведения о размере обуви членов спортивной сек-
ции, составили таблицу.
Размер обуви 23 23,5 24 24,5 25
Количество человек 8 15 11 9 7
Найдите относительную частоту каждого значения и по-
стройте соответствующую гистограмму.
Контрольные работы
Вариант
Контрольная работа № 1
Линейное уравнение с одной переменной
1. Решите уравнение:
1) (2х - 3)(3х + 6)(2,8 - 0,4х) = 0;
х + 12 х-1_х + 1
' 9 6 " 3 ’
2. Первой бригаде надо было отремонтировать 180 м дороги,
а второй — 160 м. Первая бригада ремонтировала еже-
дневно 40 м дороги, а вторая — 25 м. Через сколько дней
первой бригаде останется отремонтировать в 3 раза мень-
ше дороги, чем второй?
3. Решите уравнение:
1) |3х- б| - 2 = 10;
2) |И + 5| = 6;
3) |х+ 4| = |х- 7|.
4. Лодка плыла 2,4 ч по течению реки и 0,8 ч против тече-
ния. При этом путь, пройденный лодкой по течению реки,
на 19,2 км больше, чем путь, пройденный против тече-
ния. Найдите собственную скорость лодки, если скорость
течения реки равна 3 км/ч.
5. Найдите все целые значения а, при которых корень урав-
нения ах = -8 является натуральным числом.
6. Каким выражением можно заменить звёздочку в равен-
стве 2х - 8 = 4х + *, чтобы получилось уравнение:
1) не имеющее корней;
2) имеющее бесконечно много корней;
3) имеющее один корень?
Контрольная работа № 2
Степень с натуральным показателем. Одночлены.
Многочлены. Сложение и вычитание многочленов
1. Вычислите: (З4 : 10 - 0,13 • 100) : 0,42-
2. Представьте в виде степени с основанием х выражение:
1) (х5)2 • (х2 • х3)4;
9 (х4)5 х2 .
X12 ’
3) (-х5)4 • (-х4)5 : (—х3 • х7)3.
3. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
1) -~а2Ь4 -4^а3Ь7;
7 7 3
2) |-2^х3г/5г | • 8х6г7.
4. Решите уравнение (х2 - Зх + 5) - (4х2 -2х-8) = 2- х- Зх2.
5. Вычислите:
46 • 29 . 9аГ92ТГ3Т. 3248
} 324 ’ } 3/ } 215 • 916 ’
6. Вместо звёздочки запишите такой многочлен, чтобы
после приведения подобных членов полученный много-
член не содержал переменной х:
7Х3 - 8х2г/ - Зуг + *.
7. Докажите, что при любом натуральном значении п оста-
ток от деления значения выражения (Зп + 8) - (6 - 2п) на 5
равен 2.
8. Докажите, что не существует таких значений х и у, при
которых многочлены 4х2 - Зх2у - Зу2 и -2х2 + Зх2у + Зу2
одновременно принимают отрицательные значения.
Контрольная работа № 3
Умножение одночлена на многочлен.
Умножение многочлена на многочлен.
Разложение многочленов на множители
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1) Зх(х3 - 4х + 6); 3) (4<я - 7й)(5<я + 66);
2) (х - 3)(2х + 1); 4) (у + 2)(г/2 + у - 8).
2. Разложите на множители многочлен:
1) 10«563 - 18«367;
2) (х + 5)(5а + 1) - (х + 5)(2а - 8);
3) За - ЗЬ + ах - Ьх\
4) х2 - 2ху + х - хг + 2уг - г.
3. Решите уравнение:
1) 12х - 4х2 = 0; 2) (х - 9)(4х + 3) - (х - 9)(3х - 1) = 0.
4. Докажите, что значение выражения 165 - 86 кратно 3.
5. Разложите на множители трёхчлен Зх2 - 4х + 1.
6. Известно, что а + Ь = 3. Найдите значение выражения
а2Ь + аЬ2 - ЗаЬ - 5.
7. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось равенство (* + *)(3х - 5 г/) = 6х2 - * - 5г/2.
Контрольная работа № 4
Формулы сокращённого умножения
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1) (Зх - 4г/)2;
2) (5а - 7Ь4) (5а + 7/?4);
3) (-4пг3 - 2&5)2;
4) (2х" + Зх3")2, где п — натуральное число.
2. Разложите на множители выражение:
1) 25а2 - 9с2;
2) (6а - 7)2 - (4а - 2)2;
3) 64Х8- 144л4г/6 + 81г/12;
4) 25" - 2 • 15" + 9", где п — натуральное число.
3. Упростите выражение (а + 1)(а - 1)(а2 + 1) - (9 + а2)2 и най-
1
дите его значение при а - -
О
4. Решите уравнение:
1) (2г/ - 3)(3г/ + 1) + 2(г/ - 5)(г/ + 5) = 2(1 - 2г/)2 + 6г/;
2) (5х - I)2 - 16л-2 = 0;
3) (х + З)2 + (х - 4)2 = 2(4 - х)(х + 3).
5. Какое наименьшее значение и при каком значении пере-
менной принимает выражение х2 - 4л + 6?
6. Известно, что а2 + Ь2 + с2 - 21 иа + Ь- с = 7. Найдите
значение выражения аЬ - Ьс - ас.
Контрольная работа № 5
Сумма и разность кубов двух выражений.
Куб суммы и разности. Применение различных
способов разложения многочлена на множители
1. Разложите на множители многочлен:
1) т3 + 27п3; 3) -Збг2 + 18а - 27;
2) х3 - 64хг/2; 4) 32Х5 - 1.
2. Представьте в виде многочлена выражение (-Зх - 4)3.
3. Разложите на множители:
1) ас4 - с4 - 25ас2 + 25с2;
2) 4х2 - 4хт/ + у2 - 9;
3) 36" - 2 • 6" - 25" + 1, где п — натуральное число.
4. Решите уравнение:
1) 25Х3 - Юх2 + х = 0; 2) х^ - 4х2 - 9х + 36 = 0.
5. Докажите, что значение выражения 215 + 153 делится на-
цело на 47.
6. Известно, что а + Ь = 1, аЬ = -2. Найдите значение выра-
жения а3 + 63.
Контрольная работа № 6
Функции
1. Функция задана формулой у = 2х2 - 8. Не выполняя по-
строения, определите:
1) координаты точек пересечения графика функции с ося-
ми координат;
2) значение функции, если значение аргумента равно 3;
3) значение аргумента, при котором значение функции
равно -6;
4) проходит ли график функции через точку А (-3; 10).
2. Постройте график функции у = Зх - 2. Пользуясь графи-
ком, найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: -2; 3;
2) значение аргумента, при котором значение функции
равно: -5; 1;
3) значения аргумента, при которых функция принимает
положительные значения.
3. Равны ли множества А и В, если:
1)Л = {5, 8}, В = {8, 5};
2)Л = {(4; 1)}, В = {(1;4)};
3) А = {7}, В = {{7}}?
4. При каком значении к график функции у - кх - 6 прохо-
дит через точку А (-2; 20)?
5. Даны функции /(х) = 2х - 4 и д(х) = -х + 2. Постройте на
одной координатной плоскости графики функций / и Д.
Определите, при каких значениях х:
1) /(х) > ё(х); 2) /(х) < &(х).
6. Известно, что точка А (х0; у0) принадлежит графику
функции у = /(х). Докажите, что точка В (х0; г/0 + 2) при-
надлежит графику функции у = /(х) + 2.
7. Придумайте какую-нибудь функцию, областью определе-
ния которой является множество натуральных чисел,
а областью значений — трёхэлементное множество.
8. Постройте график функции:
Г-2х, если х < 2,
V -4, если х > 2;
2) у = 3 - |2х|.
Контрольная работа № 7
Системы линейных уравнений
с двумя переменными
1. Решите методом подстановки систему уравнений
х - Зу = 8,
2х - у = 6.
2. Решите методом сложения систему уравнений
Зх + 5у = -1,
2х - Зу = -5.
Решите графически систему уравнений <
х - у = 5,
х + 2у = -1.
4. Найдите решение уравнения 1х - 9у = 128, состоящее из
пары противоположных чисел.
5. При каких значениях а и Ь график уравнения ах + Ьу = 9
проходит через точки А (- 6; 3) и В (8; -1)?
6. Сумма цифр двузначного числа равна 10. Если поменять
его цифры местами, то получим число, которое меньше
данного на 36. Найдите данное число.
7. Решите уравнение 5х2 + 9 г/2 - 12ху -10г+25 = 0.
8. При каком значении а система уравнений <
имеет бесконечно много решений?
Контрольная работа № 8
Элементы комбинаторики
и описательной статистики
1. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах сово-
купности данных: 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 5, 5, 5, 9, 9, 10, 12.
2. Есть 6 ручек, 5 карандашей и 3 пенала. Сколько суще-
ствует вариантов выбрать комплект, состоящий из од-
ной ручки, одного карандаша и одного пенала?
3. Клетки квадрата 2x2 пронумерованы натуральными
числами от 1 до 4. Каждую клетку квадрата можно по-
красить в красный, жёлтый или синий цвет. Сколько су-
ществует способов раскраски этого квадрата?
4. Сколько различных пятизначных чисел можно записать
с помощью цифр 1, 2, 3, 4?
5. Во время соревнований по стрельбе 20 спортсменов допу-
стили следующее количество промахов: 5, 4, 4, 0, 1, 3, 3,
6, 2, 1, 1, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 2, 2, 0.
1) Составьте частотную таблицу.
2) Постройте соответствующую гистограмму.
6. В одном гараже имеется 10 легковых автомобилей и 7 гру-
зовых, а в другом — 8 легковых и 9 грузовых. Сколькими
способами можно составить комбинации для отправки
в рейс легкового и грузового автомобилей, выбрав по од-
ному автомобилю из каждого гаража?
Контрольная работа № 9
Обобщение и систематизация знаний учащихся
4-32° \5 ) V
3. Разложите на множители:
1) 3/тш2 - 12т - 5г?2 + 20;
2) 9 - 4х2 - 48хг/ - 144г/2;
1. В первом мешке было в 3 раза больше муки, чем во вто-
ром. Когда из первого мешка взяли 8 кг муки, а во второй
добавили 12 кг, то в мешках муки стало поровну. Сколько
килограммов муки было в каждом мешке сначала?
2. Вычислите:
о15 / и / 1 V
1)^—— 2 м — I • I 2| .
3) ху* - у* - 8х + 8;
4) 243Х5 - 32.
4. Сколько существует трёхзначных чисел, оканчивающих-
ся цифрой 5?
5. Решите уравнение:
1) бх3 + 45х = 0; 3) х? - Зх2 - 16х + 48 = 0;
2) 49х2 - (4х - 25)2 = 0; 4) х2 - 6х + 10 = 0.
6. Имеет ли решение система уравнений
4х - Зу = 11,
< 2х + 5у = -1,
-5х-6г/ = -3?
Постройте график функции у = <
|х| - х, если х < 2,
-2х + 4, если х > 2.
Вариант
Контрольная работа № 1
Линейное уравнение с одной переменной
1. Решите уравнение:
1) (5х + 30)(4х - 6)(4,8 - 0,8х) = 0;
х + 3 _ х - 3 _ х + 2
} 12 4 6
2. В первом контейнере было 200 кг яблок, а во втором —
120 кг. Из первого контейнера брали ежедневно по 30 кг
яблок, а из второго — по 25 кг. Через сколько дней в пер-
вом контейнере останется в 4 раза больше яблок, чем во
втором?
3. Решите уравнение:
1)|4х + 8| + 3 = 11;
2) Ы + 7| = 8;
3) |х + 5| = - 4|.
4. Лодка плыла 2,8 ч по течению реки и 1,6 ч против тече-
ния. При этом путь, пройденный лодкой по течению реки,
на 36,8 км больше, чем путь, пройденный против тече-
ния. Найдите собственную скорость лодки, если скорость
течения реки равна 4 км/ч.
5. Найдите все целые значения «, при которых корень урав-
нения ах = -6 является натуральным числом.
6. Каким выражением можно заменить звёздочку в равен-
стве 4х + 3 = 6х + *, чтобы получилось уравнение:
1) не имеющее корней;
2) имеющее бесконечно много корней;
3) имеющее один корень?
Контрольная работа № 2
Степень с натуральным показателем. Одночлены-
Многочлены. Сложение и вычитание многочленов
1. Вычислите: (43 : 100 + 0,062 • 100) : 0,23.
2. Представьте в виде степени с основанием х выражение:
1) (х4)3 • (х4 л6)3;
(х3)6 х4 .
г18 ’
3) (—х3)6 • (-х6)3 : (-х3 • х4)5.
3. Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:
1) ~х5г/7 -б^хг/4; 2) -3^а46с6 • 27/Лс5.
4. Решите уравнение
(у2 + 4г/ - 9) - (8г/2 - 9г/ - 5) = 8 + 13г/ - 7г/2.
5. Вычислите: п З10 • 273 . (\1 V Г 3 у. ° 9» ' 2Ц5з) |.1в)’ 6. Вместо звёздочки запишите такой 315.413 1447 многочлен, чтобы
после приведения подобных членов полученный много
член не содержал переменной г/:
8г/3 - 7Х3//2 + Зх3^ + *.
7. Докажите, что при любом натуральном значении П оста-
ток от деления значения выражения (2п + 7) - (4 - 5/^) на
равен 3.
8. Докажите, что не существует таких значений х и у-> ПРИ
которых многочлены -5х2 + 4хг/3 - 8г/2 и Зх2 - 4хг/3 +
одновременно принимают положительные значения*
Контрольная работа № 3
Умножение одночлена на многочлен.
Умножение многочлена на многочлен.
Разложение многочленов на множители
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1) 5«(«4 - 6«2 + 3); 3) (6т + 5г?)(7т - Зп);
2) (х + 4)(3х - 2); 4) (х + 5)(х2 + х - 6).
2. Разложите на множители многочлен:
1) 15т8г?2 - 24т4гг9;
2) (х - 4)(7г/+ 3) - (х - 4)(5г/- 9);
3) 4х - 4г/ + сх - су\
4) За2 - аЬ + 2а - Зас + Ьс - 2с.
3. Решите уравнение:
1) Зх2 + 9х = 0;
2) (х + 7)(5х - 4) - (х + 7)(4х - 3) = 0.
4. Докажите, что значение выражения 274 - 95 кратно 8.
5. Разложите на множители трёхчлен бх2 - 6х + 1.
6. Известно, что т + п = 5. Найдите значение выражения
т2п + тп2 - 5тп - 3.
7. Подставьте вместо звёздочек такие одночлены, чтобы вы-
полнялось равенство (4х + Зу)(* - *) = 12х2 + * - бу2.
Контрольная работа № 4
Формулы сокращённого умножения
1. Представьте в виде многочлена выражение:
1) (2а - ЗЬ)2;
2) (8л3 - 6г/) (8л3 + 6г/);
3) (-Зр4 - 5#3)2;
4) (Зг/5т + 4г/т)2, где т — натуральное число.
2. Разложите на множители выражение:
1) 8162 - 49с2;
2) (6а - 7)2 - (4а - 2)2;
3) 36Л6- 9663с7 + 64с14;
4) 49" - 2 • 28" + 16”, где п — натуральное число.
3. Упростите выражение (3 - Ь)(3 + 6)(9 + Ь2) + (4 + Ь2)2 и най-
дите его значение при Ь = — .
и
4. Решите уравнение:
1) 4(3г/ + I)2 - 27 - (4г/ + 9)(4г/ - 9) + 2(5г/ + 2)(2г/ - 7);
2) (4х - З)2 - 25х2 = 0;
3) (х - 2)2 + (х + 7)2 = 2(2 - х)(х + 7).
5. Какое наименьшее значение и при каком значении пере-
менной принимает выражение х2 + 6х + 12?
6. Известно, что а + Ь - с = 5 и аЬ - Ьс - ас = -2. Найдите
значение выражения а2 + Ь2 + с2.
Контрольная работа № 5
Сумма и разность кубов двух выражений.
Куб суммы и разности. Применение различных
способов разложения многочлена на множители
1. Разложите на множители многочлен:
1) Ь3 - 8с3; 3) -7а2 + 14а - 7;
2) 49х2у - у3; 4)^- 243.
2. Представьте в виде многочлена выражение (-5х - 2)3.
3. Разложите на множители:
1) Збхг/4 - 36г/4 - ху2 + г/2;
2) 9а2 - баб + Ь2 - 16;
3) 49” - 2 • 7” - 4” + 1, где п — натуральное число.
4. Решите уравнение:
1) 16Х3 + 8х2 + х = 0;
2) х3 + 2х2 - 36х - 72 = 0.
5. Докажите, что значение выражения З9 - 43 делится наце-
ло на 23.
6. Известно, что а-б = 2, аб = 3. Найдите значение выраже-
ния а3 - б3.
Контрольная работа № 6
Функции
1. Функция задана формулой у = 18 - 2х2. Не выполняя по-
строения, определите:
1) координаты точек пересечения графика функции с ося-
ми координат;
2) значение функции, если значение аргумента равно 2;
3) значение аргумента, при котором значение функции
равно 16;
4) проходит ли график функции через точку В (- 2; 10).
2. Постройте график функции у - -2х + 5. Пользуясь графи-
ком, найдите:
1) значение функции, если значение аргумента равно: -1; 4;
2) значение аргумента, при котором значение функции
равно: -7; 1;
3) значения аргумента, при которых функция принимает
отрицательные значения.
3. Равны ли множества Си В, если:
1) С = {(3; -1)}, Я = {(-1; 3)};
2) С={7, 10}, П = {10, 7};
3) С = {{0}}, Д = {0}?
4, При каком значении к график функции у - кх - 4 прохо-
дит через точку В (14; -32)?
5. Даны функции /(х) = -х - 8 и §(х) = 2х - 2. Постройте на
одной координатной плоскости графики функций / и
Определите, при каких значениях х:
1) /(X) > ё(х); 2) /(х) < &(х).
6. Известно, что точка В (х0; у0) принадлежит графику
функции у = §(х). Докажите, что точка В (х0; т/0 - 4) при-
надлежит графику функции у = §(х) - 4.
7, Придумайте какую-нибудь функцию, областью определе-
ния которой является множество натуральных чисел,
а областью значений — пятиэлементное множество.
8. Постройте график функции:
-2, если х< -4,
1)У = . л 2)г/ = |Зх|-2.
0, ох, если х > - 4;
Контрольная работа № 7
Системы линейных уравнений
с двумя переменными
1, Решите методом подстановки систему уравнений
X + 4у = -6,
Зх - у = 8.
2. Решите методом сложения систему уравнений
3.
4х - Ту = 1,
Зх - Зу = -2.
Решите графически систему уравнений
х + у = 3,
2х - у = 3.
4, Найдите решение уравнения 5х + Ту - 132, состоящее из
двух противоположных чисел.
5. При каких значениях а и Ь график уравнения ах + Ьу = -8
проходит через точки М (-1; 2) и М (5; 6)?
6, Сумма цифр двузначного числа равна 15. Если поменять
его цифры местами, то получим число, которое больше
данного на 27. Найдите данное число.
7. Решите уравнение 4х2 + Юг/2 - 12хг/ + 6г/ + 9 = 0.
8. При каком значении а система уравнений <
не имеет решений?
-Зх + ау = -6,
9х - Зу = 18
Контрольная работа № 8
Элементы комбинаторики
и описательной статистики
1. Найдите среднее значение, моду, медиану и размах сово-
купности данных: 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 7, 7, 7, 10, 10, 10, 11,
11, 14.
2. Есть 4 карандаша, 3 ручки и 5 фломастеров. Сколько су-
ществует вариантов выбрать комплект, состоящий из од-
ного карандаша, одной ручки и одного фломастера?
3, Клетки прямоугольника 2X3 пронумерованы натураль-
ными числами от 1 до 6. Каждую клетку прямоугольника
можно покрасить в зелёный или фиолетовый цвет.
Сколько существует способов раскраски этого прямо-
угольника?
4, Сколько различных четырёхзначных чисел можно запи-
сать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5 (цифры могут повто-
ряться)?
5. При выполнении домашнего задания по алгебре 20 уча-
щихся класса допустили следующее количество ошибок:
5, 3, 0, 2, 4, 4, 4, 1, 1, 4, 1, 2, 2, 5, 0, 5, 4, 0, 6, 0.
1) Составьте частотную таблицу.
2) Постройте соответствующую гистограмму.
6. В 7 «А» классе танцами занимаются 7 девочек и 5 маль-
чиков, а в 7 «Б» — 6 девочек и 4 мальчика. Сколькими
способами можно составить пары (мальчик и девочка) для
танцевального конкурса, выбрав по одному человеку из
каждого класса?
Контрольная работа № 9
Обобщение и систематизация знаний учащихся
1- В первом мешке было в 4 раза больше сахара, чем во вто-
ром. Когда из первого мешка взяли 35 кг сахара, а во вто-
рой досыпали 25 кг, то в мешках сахара стало поровну.
Сколько килограммов сахара было в каждом мешке сна-
чала?
2. Вычислите:
3. Разложите на множители:
1) Ьху2 - 45х - 8 г/2 + 72; 3) ас* + с3 - 27а - 27;
2) 16 - 9а2 - 12аЬ - 14462; 4) 32 + 243.x5.
4. Сколько существует четырёхзначных чисел, оканчиваю-
щихся цифрой 7?
5. Решите уравнение:
1) 7Х3 + 28х =0; 3) х3 + 4х2 - 9х - 36 = 0;
2) 36х2 - (Зх + 27)2 = 0; 4) х2 + 8х +18 = 0.
2х + 5г/ = 10,
6. Имеет ли решение система уравнений <7х - Зг/ = 11,
-2х - 4г/ = -8?
7. Постройте график функции у =
|х| + х, если х < 1,
Зх - 1, еслих > 1.
Содержание
От авторов..................................... 3
Самостоятельные работы ........................ 4
Вариант 1................................. 4
Вариант 2................................ 22
Вариант 3................................ 40
Вариант 4................................ 58
Контрольные работы ........................... 76
Вариант 1................................ 76
Вариант 2................................ 85
Учебное издание
Мерзляк Аркадий Григорьевич
Полонский Виталий Борисович
Рабинович Ефим Михайлович
Якир Михаил Семёнович
Алгебра
7 класс
Самостоятельные и контрольные работы
Пособие для учащихся
общеобразовательных организаций
Редактор Е.В. Буцко
Художественный редактор В.Ю. Стеблева
Макет В.Ю. Стеблева
Внешнее оформление А.Б. Орешиной
Компьютерная вёрстка О.В. Поповой
Технический редактор Л.В. Коновалова
Корректоры О. Ч. Кохановская, Е.В. Плеханова