Приближение функций многих переменных и теоремы вложения - Никольский С.М.

Автор: Никольский С.М.
Теги: анализ математика дифференциальные уравнения естественные науки функции точные науки
Год: 1977
Похожие
Интегральные представления функций и теоремы вложения
Целые функции многих комплексных переменных
Лекции по теории функций комплексного переменного
Линейная алгебра и функции многих переменных
Текст
                    С. М. НИКОЛЬСКИЙ

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ

МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ

ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Москва 1977
6,17.2
Н 64

УДК 517,5

Приближение функций многих переменных и тео-
ремы иложения. Никольский С. М. Главная
редакция физико-математической литературы изда-
тельства «Наука>, М., 1977, 456 стр.

.Основная направленность книги — изложение со-
временного состояния теории вложения классов диф-
ференцируемых функций, определенных на евклидовых
пространствах различных размерностей. Читатель
должен быть знаком с основами теории интеграла
Лебега,

Это изложение проведено с большой полнотой,
дано описание свойств различных функциональных
пространсти, их взаимоотношений, теорем вложения
для них, возможности обращения этих теорем, аппро-
ксимационных свойств этих пространств н представ-
лений функций. Новое издание пополнено главой, по-
священной весовым классам функций, заданных на
областях с гладкой границей.

Н

202^14?
053(02)-77

@ Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1977
Предисловие ко второму изданию ..................................  6

Введение.........................................................  7

Глава 1. Предварительные сведения ............................... 11

1.1.	Пространства С (в) и Ьр(@) ....................	11

1.2.	Линейные нормированные пространства..................... 15

1.3.	Свойства пространства Ьр (<?).......................... 26

1.4.	Усреднение функций по Соболеву.......................... 33

1.5.	Обобщенные функции...................................... 36

Глава 2 Тригонометрические полиномы ............................. 83

2.1.	Теоремы о нулях. Линейная независимость ................ 83

2.2.	Важные примеры тригонометрических полиномов ............ 86

2.3.	Интерполяционный тригонометрический полином Лагранжа	...	89

2.4.	Интерполяционная формула М. Рисса................... 92

2.5.	Неравенство Бернштейна.............................. 93

2.6.	Тригонометрические полиномы от многих переменных.... 94

2.7.	Тригонометрические полиномы по некоторым переменным	....	96

Глава 3. Целые функции экспоненциального типа, ограниченные
на Кп .................................	99

3.1.	Предварительные сведения...............................  99

3.2.	Интерполяционная формула .............................. 111

3.3.	Неравенства разных метрик для целых функций экспоненциаль-
ного типа................................................. 122

3.4.	Неравенства разных измерений для целых функций экспоненци-
ального типа.............................................. 130

3.5.	Подпространства функций данного экспоненциального типа . . .	133

3.6.	Свертки с целыми функциями экспоненциального типа....	135

Глава 4. Классы функций IV, Н, В ............................... 140

4.1.	Обобщенная производная................................. 140

4.2.	Конечные разности и модули непрерывности............... 145

4.3.	Классы V, Н, В ........................'............... 150

4.4.	Представление промежуточной производной через производную
более высокого порядка и функцию. Следствия............... 162

4.5.	Еще об усреднении по Соболеву.......................... 171

4.6.	Оценка приращения по направлению....................... 173

4.7.	Полнота пространств IV, Н, В........................... 174

4.8.	Оценка производной разностным отношением............... 177
Глава 5. Прямые и обратные теоремы теории приближений. Эквива-
лентные нормы .................................................. 180

5.1.	Введение .................................................. 180

5.2.	Теорема об аппроксимации................................... 182

5.3.	Периодические классы........................................ 189

5.4.	Обратные теоремы теории приближений......................... 195

5.5.	Прямые и обратные теоремы о наилучших приближениях. Экви-
валентные /7-нормы.......................................... 202

5.6.	Определение В-классов с помощью наилучших приближений.
Эквивалентные нормы......................................... 212

Глава 6. Теоремы вложения разных метрик и измерений................. 227

6.1.	Введение.................................................... 227

6.2.	Связи между классами В, Н, 117............................. 230

6.3.	Вложение разных метрик..................................... 232

6.4.	След функции .............................................. 233

6.5.	Вложения разных измерений..................................  235

6.6.	Простейшая обратная теорема вложения разных измерений . . .	240

6.7.	Общая теорема вложения разных измерений.................... 242

6.8.	Общая обратная теорема вложения ........................... 243

6.9.	Обобщение теоремы вложения разных метрик.................... 246

6.10.	Дополнительные сведения ................................... 243

Глава 7. Транзитивность и неулучшаемость теорем вложения. Ком-
пактность ...................................................... 255

7.1.	Транзитивные свойства теорем вложения...................... 255

7.2.	Неравенства с параметром в. Мультипликативные неравенства	257

7.3.	Крайние функции в Нр. Неулучшаемость теорем вложения . . .	261

7.4.	Еще о крайних функциях в Нр ..................	264

7.5.	Неулучшаемость неравенств для смешанных производных ....	267

7.6.	Другое доказательство неулучшаемости теорем вложения ....	268

7.7.	Теоремы о компактности .................................... 273

Глава 8. Интегральные представления и изоморфизм изотропных классов	283

8.1.	Ядра Бесселя—Макдональда................................... 283

8.2.	Изоморфизм классов Ф1р .................................... 288

8.3.	Свойства ядра Бесселя—Макдональда.......................... 289

8.4.	Оценка наилучшего приближения для /Д ...................... 292

8.5.	Мультипликатор, равный единице на области ................. 293

8.6.	Суммы Валле-Пуссена регулярной функции ..................... 295

8.7.	Неравенство для операции 1_г (г > 0) над функциями Экспонен-
циального типа ............................................. 300

8.8.	Разложение регулярной функции в ряд по суммам Валле-Пуссена	304

8.9.	Представление функций классов Вгрц через ряды Валле-Пуссена.
Нулевые классы (1 р =< оо) .................................. 305

8.10.	Ряды по суммам Дирихле (1 <р<оо)........................... 308

Глава 9. Лиувиллевские классы Г..................................... 314

9.1.	Введение ..................-................................ 314

9.2.	Определения и основные свойства классов Ьр и Ьгр .......	316

9.3.	Взаимоотношения лиувиллевских и других классов............. 323

9.4.	Интегральное представление анизотропных классов............. 326

9.5.	Теоремы вложения ........................................... 348

9.6.	Теорема вложевия с предельным показателем .................. 358

9.7.	Неэквивалентность классов Вр и Ьр .......................... 363
Глава 10. Теоремы	вложения	для весовых классов................... 866

10.1.	Введение	............................................... 366

10.2.	Покрытие	области	регулярными мостами ................... 370

10.3.	Доказательство вложения	(Й) -> ^г~„1 (й)............. 378

10.4.	Доказательство вложения	(Й)-> В'+“ (Й)............... 883

г+а--

10.5.	Доказательство вложения (Й) -> Вр р (Г) ................ 893

, 1
г+а------

10.6.	Доказательство вложения Вр р (Г) -> 47^ (й)............. 399

10.7.	Связь между граничными функциями ....................... 412

10.8.	Доказательство неравенства 10.1	(16) ................... 414

10.9.	Доказательство эквивалентности	норм....................  421

Замечания ........................................................ 422

Литература ........................'.............................. 445
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ

Во втором издании исправлены замеченные недостатки. Неко-
торые из них были любезно сообщены мне Ю. А. Брудным,
Я. С. Бугровым, В. И. Буренковым (редактором книги), К. И. Ос-
колковым и Д. Данскиным (I. Бапзкш), который перевел эту книгу
на английский язык для издательства Шпрингер. Я их благодарю.

Я дополнил это издание 10-й главой, посвященной весовым
классам. Отобраны наиболее ходкие с точки зрения приложений
теоремы вложения. Проверено, что с помощью этих теорем и
общих соображений из теории гильбертовых пространств можно
доказать существование решения первой краевой задачи для
уравнения эллиптического типа с сильным вырождением на гра-
нице и узнать дифференциальные свойства решения вплоть до
границы.

Основные результаты, о которых здесь идет речь, принадле-
жат А. А. Башарину, Л. Д. Кудрявцеву, П. И. Лизоркину,
С. М. Никольскому и С. В. Успенскому. Далеко не всегда они
доказывались для областей с кривой границей. Авторы нередко
ограничивались рассмотрением полупространства и формулиров-
кой (не всегда полной) соответствующего результата для обла-
сти с достаточно гладкой границей.

Мы здесь рассматриваем весовой класс 1Гра (й) функций
(см. 10.1), заданных на ограниченной области с достаточно глад-
кой (и— 1)-мерной границей. Как правило, соответствующее
неравенство доказывается сначала для (одномерного) отрезка или
прямоугольника, а затем оно переносится на общий случай одним
и тем же методом, развитым автором.
ВВЕДЕНИЕ

В последние два десятилетия теория вложений классов диф-
ференцируемых функций многих переменных, начало которой
положил еще в тридцатых годах С. Л. Соболев, получила боль-
шое развитие. В настоящее время решение ряда основных вопро-
сов в ней пришло к завершению и появляется необходимость
в компактном их изложении. Лично я пришел к вопросам тео-
рии вложения в связи с давно интересовавшими меня идеями
классической теории приближения функций полиномами, прежде
всего тригонометрическими полиномами и их непериодическими
аналогами — целыми функциями экспоненциального типа.

Эти идеи, которые мне пришлось соответствующим образом
развить, послужили мне основой для построения теории вложе-
ний //-классов, где уже в вопросах о следах функций возникли
не только прямые, но и полностью их обращающие обратные
теоремы. Последние можно еще назвать теоремами о продолже-
нии функций на пространство с принадлежащих к нему много-
образий меньшего числа измерений. При этом был охвачен не
только изотропный случай функций, имеющих дифференциаль-
ные свойства, одинаковые по разным направлениям, но также
и анизотропный.

В дальнейшем О. В. Бесов построил аналогичную теорию
вложения введенных им В-классов, тоже базируясь на методах
теории приближения тригонометрическими полиномами или
целыми функциями экспоненциального типа. В-классы замеча-
тельны тем, что они подобно //-классам являются, как мы гово-
рим, замкнутыми в себе по отношению к теоремам вложения.
Этим мы хотим сказать, что интересующие нас теоремы вложе-
ния (мы не будем уж здесь их формулировать) выражаются
в терминах В-классов и при этом обладают в известном смысле
свойствами транзитивности и обратимости в случае проблемы
следов.

С. Л. Соболев доказал свои теоремы вложения для классов
ф1р = ф1р(&) функций, имеющих на достаточно общей области Л
п-мерного пространства /?п интегрируемые в р-й степени
(1 гС р гС сс) производные до порядка I включительно. Соболев-
ские классы можно назвать дискретными классами, потому что
параметр I, выражающий дифференциальные свойства входящих
в них функций, пробегает дискретную последовательность
/ = О, 1, 2, ... Классы же Н и В в этом смысле непрерывны.
Читатель, когда он ознакомится с главой 9 этой книги, отдаст
себе отчет в том, что те теоремы С. Л. Соболева с дополнениями
к ним, принадлежащими В. И. Кондрашову и В. П. Ильину,
которые сопровождаются изменением метрики, являются в опре-
деленном смысле окончательными и даже, насколько это позво-
ляет дискретность классов, транзитивными.

Что же касается теорем вложения, сопровождаемых только
изменением измерения без изменения метрики, —мы называем
их теоремами о следах, — то здесь дело обстоит сложнее. Конечно,
теоремы С. Л. Соболева давали определенный ответ на вопрос,
какими дифференциальными свойствами обладает след функции
класса 1Гр(й) на многообразии Гей, но он давался в терми-
нах классов IV7, а теперь мы знаем, что, вообще говоря, если
не считать случая р = 2, окончательный ответ на этот вопрос
не выражается в терминах классов №.

Первые окончательные результаты по проблеме следов ГГ-клас-
сов были получены при р = 2 Ароншайном [1] и независимо от
него В. М. Бабичем и Л. Н. Слободецким [1] и Л. Н. Слобо-
децким [2]. В этом случае (р = 2) были введены дробные классы
ТГ* (й) и №г2 (Г), соответствующие любому положительному не
обязательно целому параметру /, и в терминах этих классов
получены прямые и полностью им обратные теоремы вложения.
В принятых в этой книге обозначениях — Ь‘2 = В2. Дальней-
шие исследования Гальярдо [1], О. В. Бесова [1], [2], П. И. Лизор-
кина [11] и С. В. Успенского [1]. [2] привели к полному реше-
нию проблемы о следах функций классов №р при любом конеч-
ном р>1. Как выглядит это решение, читатель найдет в той
же главе 9 (положив №Р = ЬР). А сейчас мы только «скажем, что
следы функций [ класса №1Р при р^=2, вообще говоря, принад-
лежит не к 1Г-, а к В-классам. Это указывает, с одной стороны,
на тот факт, что теоремы вложения разных измерений (теоремы
о следах) перестают быть замкнутыми по отношению к ^-клас-
сам, а с другой, — на то, что между классами 17 и В имеется
тесная связь. Настолько тесная, что в свое время, когда в этих
вопросах было не все ясно, считали, что классы В1Р при дроб-
ных I являются естественными продолжениями целых Соболев-
ских классов и обозначали их через 1Гр. На самом деле естест-
венными такими продолжениями являются так называемые лиу-
виллевские классы Ь,гр. Им посвящена глава 9, таким образом,
в частности, и классам IV7, потому что мы считаем №р = Вр
(/ = 0, 1, ...). Читатель должен помнить, что в данной книге
обозначение 1Гр употребляется только при 1 = 0, 1, ... По этому
поводу см. 4.3.

С. Л. Соболев изучал функции своих классов при помощи
введенных им интегральных представлений, получивших боль-
шое развитие в исследованиях В. П. Ильина, а затем О. В. Бесова
(см. по этому поводу ниже 6.10). Функции классов Ьгр опреде-
лены на всем пространстве, и при их интегральных представле-
ниях очень важно позаботиться о том, чтобы ядра последних
достаточно быстро убывали к нулю на бесконечности. Такими
являются известные ядра Бесселя— Макдональда. Они и взяты
в качестве основы при представлении функций классов Ьтр. Мы
говорим в качестве основы, потому что на самом деле здесь рас-
сматриваются анизотропные классы Ьр. Ядра их интегральных
представлений являются определенными усложнениями макдо-
нальдовых ядер. Отмечу, что при написании главы 9 я суще-
ственно пользовался материалами, предоставленными мне моим
коллегой П. И. Лизоркиным, который совсем недавно получил
полную систему теорем вложения для общих анизотропных клас-
сов Ьр, где г —любые положительные векторы. Его результаты
опубликованы пока в виде краткой заметки.

В одномерном случае (где проблема следов не возникает) тео-
ремы вложения разных метрик для классов Ьр и при нецелых г
для классов Нтр получены еще в работах Харди и Литтлвуда.

Операции 1Г, определяемые ядрами Бесселя— Макдональда,
носят универсальный характер. В этой книге они изучаются й
применяются в разных случаях. Мы довольно широко пользу-
емся понятием обобщенной функции, поэтому книга содержит
небольшой параграф, где приведены с полными доказательствами
только те сведения из теории обобщенных функций, которые
читателю необходимо знать для понимания дальнейшего. Я ввожу
понятие регулярной в смысле Ьр обобщенной функции, пользуясь
операцией 1Г. Для регулярных функций различные доказатель-
ства, связанные с умножением на обобщенную функцию, сильно
упрощаются. Этим я широко пользуюсь, потому что встречаю-
щиеся в этой книге обобщенные функции регулярны.

Операция 1Г получила интересные применения также в главе 8.
Она осуществляет изоморфизмы не только Ь-, но и В- и //-клас-
сов и может служить средством для интегральных представле-
ний функций этих классов. Эти идеи, которые в периодическом
одномерном случае исходят еще от Харди и Литтлвуда, совсем
недавно изучались с различных точек зрения в работах Арон-
шайна и Смита, Кальдерона, Тэйблсона, Лионса, П. И. Лизор-
кина и автора и др.
В этой книге, естественно, уделено место основам теории
приближения функций многих переменных тригонометрическими
полиномами и целыми функциями экспоненциального типа. Они
сами по себе могут представлять интерес, но в основном они
имеют подчиненную роль — средствами теории приближения
далее доказываются теоремы вложения для Н- и В-классов,
даются также представления функций этих классов через ряды
по целым функциям экспоненциального типа или тригонометри-
ческим полиномам. Имея в виду эти цели, наряду с традицион-
ными неравенствами мы вводим и применяем другие неравен-
ства (разных измерений и метрик).

Следует отметитц, что в этой книге мы даем полные доказа-
тельства теорем вложения для упомянутых классов функций,
определенных на всем п-мерном пространстве Дп. Но эти классы
можно определить для областей йс/?п. Такие определения даны
в книге. Сформулированы также (без доказательства) весьма
общие теоремы о продолжении функций этих классов на все
пространство (с сохранением класса). Это дает возможность рас-
пространить теоремы, доказанные для пространства 7?п на слу-
чай областей й 7?п.

Наконец, отмечу, что в последнее время велись исследова-
ния (начатые Л. Д. Кудрявцевым) более общих — весовых клас-
сов. В этой книге мы ограничились только отдельными замеча-
ниями о связи весовых классов с рассматриваемыми здесь не
весовыми классами.

Отмечу еще, что на протяжении последних более чем десяти
лет в Математическом институте им. В. А. Стеклова работал
постоянно действующий семинар по теории дифференцируемых
функций многих переменных, возглавляемый В. И. Кондрашо-
вым, Л. Д. Кудрявцевым и мною. В нем активно участвовали
О. В. Бесов, Я. С. Бугров, В. И. Буренков, А. А. Вашарин,
П. И. Лизоркин, С. В. Успенский, Г. Н. Яковлев и другие
математики. Многие результаты, излагаемые в этой книге, при-
надлежат участникам этого семинара и обсуждались на нем по
мере их возникновения.

В заключение я считаю приятным долгом выразить глубокую
благодарность своим коллегам О. В. Бесову, прочитавшему
рукопись книги, П. И. Лизоркину, прочитавшему ее главы 8 и
9, и С. А. Теляковскому, прочитавшему несколько глав. Они
сделали много ценных замечаний, которые мною так или иначе
учтены.

Я благодарен также Т. А. Тиман, указавшей на отдельные
недостатки рукописи.

Наконец, я глубоко благодарю моего молодого коллегу
В. И. Буренкова — редактора книги. Многие его советы, относящие-
ся не только к форме, но и к существу изложения, мною учтены.
ГЛАВА 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

1.1	Пространства С (®) и

В этой книге будут рассматриваться функции, зависящие,
вообще говоря, от многих переменных.

Символ А?л (п=1, 2, ...) всегда будет обозначать п-мерное
евклидово пространство точек х = (Х1, ..., хп) с действительными
координатами. Длина вектора х будет обозначаться так:

(1)

Если @ есть замкнутое множество, принадлежащее к/?„(^с
<=Дл). т0 будет обозначать совокупность всех равномерно
непрерывных на <о (действительных или комплекснозначных)
функций / = /(х).

Каждой функции / е С($) приведем в соответствие ее норму
(в смысле С (<^))

ИИс«8>)= зир |/(х)|.	(2)

ХЕ 8

В случае ограниченного (замкнутого) множества $ зир можно
заменить на гпах.

Если р есть действительное число, удовлетворяющее нера-
венствам 1=Ср<оо, и на некотором измеримом не обязательно
ограниченном множестве <о с: Дл, принадлежащем к Дл, задана
измеримая действительная или комплекснозначная функция /
такая, что функция интегрируема (суммируема) в смысле
Лебега на ©, то положим.

= А 1/1р^),/р.	О)

\« /

Величина (3) называется нормой функции / в смысле Ьр (8).
Через Ьр (<^) будет обозначаться совокупность всех функций,
имеющих конечную норму (3).
Мы не будем различать две эквивалентные функции /1 и
еЬр{<о), т. е. отличающиеся на множестве меры нуль. Будем
считать их равными одному и тому же элементу функциональ-
ного пространства Ьр(<$) и писать Л = /а- В частности, если
функция р^Ьр(<о) равна нулю почти для всех хе<^, будем
писать / = 0, отождествляя таким образом эту функцию с функ-
цией, тождественно равной нулю на <о. Таким образом, из
равенства	—/а||4р(#) = 0 следует, что Д — /а = 0 и Л = /а.

Множество & может иметь измерение т, меньшее, чем п, и
тогда интеграл, входящий в равенство (3), понимается в смысле
естественной (/п-мерной) лебеговой меры, определяемой на мно-
жестве <о. Нам не понадобится рассмотрение сложных по своей
конструкции множеств <о. Часто $ будет совпадать со всем про-
странством Яп или будет некоторым его /п-мерным подпростран-
ством или /и-мерным кубом или шаром, принадлежащим к Дл.
Наконец, 8 может быть гладкой или кусочно-гладкой гиперпо-
верхностью, состоящей из достаточно гладких кусков, и тогда
мера измеримого подмножества &, на базе которой определяется
интеграл, входящий в правую часть (3), представляет собой
обобщение (распространение) обычного понятия площади гипер-
поверхности.

Определение (3) естественно распространяется и на случай
р=*оа. Действительно, если функция / (х) измерима и суще-
ственно ограничена на ограниченном множестве <о, т. е. для нее
существует величина

вир уга! | / (х) | = М{,
хев

называемая существенным максимумом*) |/(х)| на <о, то имеет
место равенство

Ит й/||д«5) = ^.	(4)

Р —* СО	И

Оно доказывается следующим образом. Пусть рг обозначает меру е. 'Если
Му=0 или р<?=0, то равенство (4) очевидно. Будем считать, что 0<_М/ с со.
Если <?— ограниченное измеримое множество, то

Следователь но,

II/Ид	(5)

р—>оо	р

Если <?— неограниченное измеримое множество, то неравенство (5), вообще
говоря, не выполняется (например,	/(х) = 1). Однако можно доказать

*) Л1у есть наименьшее число среди чисел М, обладающих тем свойством,
что множество всех х е <?, для которых | / (х) | > М, имеет меру нуль. Легко
видеть, что оно существует.
это неравенство в предположении, что / (х) е Ьр (§) для всех достаточно боль-
ших р и что Нт Ц/||, .«, < со. В этом случае

р->оо р'

|/(х) \рах^/р^му2 щх) \р12ах^1р,
поэтому

Нт /( |/(х) |Рйх\1/ргёЛ1!/2Г Нт /I | / (х) |р йх\1/₽11/2,
р—00)	[₽-<»>	/ ]

откуда и вытекает неравенство (5).

С другой стороны, нз определения существенного максимума 'функции
следует существование ограниченного множества положительной меры такого,
что для всех его точек выполняется неравенство

|/(Х)|>М/-8,

где 0 <е * Мр. Поэтому

П/Иг.	(М(-г)Р<1^р^ (УИу-е)^)1^,

р \<?1 /

откуда

Нт ||/||г

р—>ОО	Р

Так как 8 произвольно, то

Нт ||/||ь	(6)

р -* ОО	р

Отметим, что неравенство (6) справедливо для любого измеримого множества 8.

Из (5) и (6) следует (4).

Таким образом, доказано, что если функция / (х) существенно ограничена
на ограниченном измеримом множестве <?, то существует конечный предел

Нт ||/||д	(7)

р -»00 р
равный существенному максимуму / (х) на <?.

С другой стороны, из существования предела (7) следует существенная
ограниченность / (х) на <?. В самом деле, если бы это было не так, то как бы
нн было велико М существовало бы измеримое и ограниченное подмножество
<?' множества <? положительной меры, на котором

|/(х)|>Л7.

Тогда для любого рэ= 1

11/11^ ((?)	(^')1/Р.

откуда

' Пт

р—> со	Р

Так как как угодно велико, то предел (7) не может быть конечным, и
мы пришли к противоречию.

Приведенные соображения указывают на целесообразность
следующего обозначения:

[|/1кю«?) =5иРуга> 1/(^)1,	(8)

ХЕ <?
дополняющего обозначения (3) при р = оо. В функциональном
анализе принято еще обозначать норму (8) следующим образом:

(<?> = 8ир уга! | / (х) |.	(9)

хе <?

Мы тоже иногда будем пользоваться этим обозначением, считая,
таким образом, что

П1|ЛГ (в) = ЦЛ^-ооО?)’	0°)

Символ М. (<^) будет обозначать совокупность всех функций /,
имеющих конечную норму в смысле М ($).

Если есть ограниченное замкнутое множество и функция
/(х) непрерывна на <^,-то величина (8) равна обычному макси-
муму функции |/(х)| на <о. В этом случае

И 1коо(<?) = 11/Це (<?).	(П)

1.1.1.	В случае, если функция /(х)=/(хь •••, хп) является
периодической периода 2л по всем переменным, т. е. если для
нее выполняется тождество

Цхг......х;_!, хг + 2л, х1+1...хп) = Цх1.....хп) (1)

для всех или почти всех х и I = 1, ..., п, то при ее нормиро-
вании мы в качестве множества § будем рассматривать п-мер-
ный куб

Л(л) — {0	2л; /=1.......п}

пространства 7?л и соответствующую норму будем обозначать
следующим образом:

। ««(«-)=и с	(ч

Наличие звездочки всегда будет указывать на тот факт, что
функция / периодическая и норма ее вычислена относительно
куба, определяющего период функции.

При п=1, как правило, будем писать |)Лд*> ИЛ^»> 1/Ь,
р
вместо соответственно ||Л[*, ||Лм*> Л/Ис*'

Совокупность всех периодических периода 2л определенных
на 7?л функций с конечной нормой ЦЛУ* будет обозначаться
через А*п>. Совокупность всех непрерывных периодических пери-
ода 2л определенных на 7?л функций будет обозначаться сим-
„(л)
волом С* .

Впрочем, значок (п) в этих обозначениях мы по возможности
будем опускать.

Очень часто мы будем рассматривать измеримое множество
$ = ЙтХ<= /?„, представляющее собою топологическое произ-
ведение /и-мерного подпространства Рт (т < п) точек (х1( ..., хт)
и измеримого множества	где Рп-т есть подпростран-
ство точек (хт+1,	х„).

При этом функциональное пространство, состоящее из изме-
римых на функций /(х), периодических с периодом 2л отно-
сительно переменных х1Т ..., хт и суммируемых в р-й степени
на множестве ДтХ<#', где

Дт = {О «С хк «й 2л,	т},

мы будем обозначать через Ь* (<^). Звездочка будет указывать
на наличие периодичности (по Дт) у функций / е Ь* (<^) и на тот
факт, что норма функции (еЬ (<#) определяется равенством

И к*(«) =

(2л	2Л

$ |/(Х1, .... Хт, Хт + 1, .... Хп) 1^! ... (1хт(1хт + 1 ... Лхпу/р.

О 0 <?'

1.1.2.	Мы будем широко пользоваться тем фактом, что для
суммируемой периодической функции ф, т. е. принадлежащей
к 1«л), имеет место для любого й равенство

I! ф (х + а) ||ь* = || <р (х) ||ь*,	(1)

так же как и для функций ф (х) е Ьр (7?я) равенство

|| ф (х + а) ||ьр	= IIФ (X) ||ьр (ял) •	(2)

1.2	. Линейные нормированные пространства

1.2.1.	Линейное множество. Множество О элементов х, у,
2, ... называется линейным множеством, если в силу некоторого
закона каждым двум его элементам х и у соответствует эле-
мент 2 = х+у, принадлежащий к О, называемый суммой х и
у, и если каждому действительному (комплексному) числу а и
элементу хе О соответствует элемент ах е О, называемый
произведением числа а на элемент х, и при этом операции
сложения и умножения подчиняются следующим аксиомам:

1)	х+5>=5> + х,

2)	(х+>|) + г = х + Су + г),

3)	из х +.у = х + 2 следует у—2,

4)	ах + ау = а(х+д»),

5)	ах + ₽х = (а + ₽)х,

6)	а(Рх) = (а₽)х,

7)	1 • х = х.
Множество С есть действительное или комплексное линейное
множество в зависимости от того, являются ли входящие в егс
определение числа а, р действительными числами или комплекс-
ными.

Из определения линейного пространства следует, что в нем
существует единственный элемент 0 —нулевой элемент такой,
что для всех х е 6 справедливо

х + 9 = х, 0-х = 6.

Действительно, пусть элементы х и у принадлежат к О. Положим б =
= б„ = 0-х и бм = 0-у, тогда

*	У

х-|-6л.= 1 • Х-|-0  Х=1 • х — х
и аналогично

-У + 0у=.У-

Из полученных равенств на основании аксиом следует

х+-У + 0х = х+-У + 0з>-
откуда

ел-бу=б.

Положим еще —1 -х =— х, тогда х+(—х) = б. Если х и у — произволь-
ные влементы из О, то уравнение х+а=у имеет решение 2=у + (—х) един-
ственное по аксиоме 3), которое естественно называть разностью у и х и обоз-
начать г=*у—х. Таким образом, в О определена, кроме сложения, операция
вычитания.

Аксиомы линейного множества дают нам право, пользуясь
операциями сложения, вычитания и умножения на число, пре-
образовывать конечные суммы вида

ах + Р.У + • •  +

подобно тому, как это делается с буквенными алгебраическими
выражениями.

Всякое множество с: 6, содержащее вместе с элементами X,
у элемент ах-\-$у, где а, р—действительные (комплексные)
числа, очевидно, есть в свою очередь линейное множество.

Конечная система элементов х1г ... , х„ из 6 называется
линейно независимой, если из равенства

СС1Х1 + . . . + ССпХп = 6

следует аА = 0 (к = 1, ... , п). В противном случае эта система
называется линейно зависимой.

Множество функций определенное в § 1.1, есть, оче-
видно, линейное множество. Нулевым элементом в С является
функция, тождественно равная нулю на 8.

Множество (<^) функций /, интегрируемых в р-й степени
на измеримом множестве &, есть также линейное множество
с нулевым элементом, представляющим собой функцию почти
всюду на <^, равную нулю (эквивалентную нулю).

1.2.2. Пространство Банаха. Пространства С (&). Линей-
ное (действительное или комплексное) множество Е называется
нормированным пространством, если каждому элементу х е Е
приведено в соответствие неотрицательное число Цх||, называе-
мое нормой элемента х (в пространстве Е или в смысле прост-
ранства Е), удовлетворяющее следующим условиям:

1)	если || х | = 0, то х = 6,

2)	||*+.Я<1И1+Ы	(х,уе=Е),

3)	||ах|| = |а|||х||,

где х е Е и а — произвольное (действительное или -комплексное)
число.

Из 2) следует справедливость неравенства

11И1-(х,ус=Е).	(1)

Нормированное пространство Е называется полным, если
из того, что для последовательности хл е Е (п=1, 2, ..^выпол-
няется условие (Коши)

Ит ||хл-хт|| = 0,
п,

следует существование в Е элемента х0, для которого выпол-
няется равенство

11 щ ||хл-хо|| = 0.	(2)

«—♦СО

Тот факт, что выполняется свойство (2), записывают еще
так:

Птхл = х0,	(3)

«—♦СО

говоря, что хп стремится к х0 по норме пространства Е или
в смысле метрики Е.

Линейное нормированное полное пространство называется
еще пространством Банаха или банаховым пространством.

Определенное в 1.1 функциональное множество С(<^) есть,
очевидно, банахово пространство. Хорошо известно также, что
определенное в том же параграфе множество функций Ь„ (<?)
(1<р=Соо) также есть банахово пространство. При этом С(^)
и 1р(^) являются действительными или комплексными простран-
ствами в зависимости от того, состоят ли они из действитель-
ных или комплексных функций I- В первом случае позволяется
I умножать на действительные числа, а во втором —на комп-
лексные.
1.2.3. Конечномерное пространство. Множество ЭИ с: Е назы-
вается подпространством банахова пространства Е, если оно
есть замкнутое (относительно нормы || • ||) линейное множество.

Пусть принадлежащие к Е элементы хг,..., хп образуют
линейно независимую систему. Множество ЭЙ„ элементов вида

У = 5 скхк,	(1)

1

где с = {с1г ... , ся) — произвольная система действительных
(комплексных) чисел, называется п-мерным {конечномерным)
пространством. Если ЭНЛ есть часть Е, то ЭЛл называется еще
п-мерным под пространством пространства Е, а система элемен-
тов Х1, ..., хп — его базой. Чтобы обосновать сделанное опре-
деление, мы должны убедиться в том, что ЭИЛ есть замкнутое
линейное множество. Линейность ЭЛл очевидна, замкнутость будет
установлена ниже.

Если наряду с элементом у, определяемым равенством (1),
задан еще другой элемент

У' = 5 с'кхк,
1

определяемый системой с' = (с^	то, очевидно,

1

Отсюда следует, что

Ит ||_у-/|| = 0.	(2)

[ с — с' |-*0

Свойство (2) означает, что элемент у непрерывно (относи-
тельно нормы) зависит от определяющих его коэффициентов ск.
В силу неравенства

1Ы1-1!У111<!5'-/11

из (2) вытекает также, что

Ит И/1| =	II-	(3)

|с — с'|-*0

Таким образом, норма

||_у|| = Ф(с1, ... , сл) = ф(с)

есть непрерывная функция от с=(съ ..., сл).

Минимум этой функции на (замкнутом и ограниченном) мно-
жестве, определяемом уравнением

Н=]/ 5^=1.
достигается для некоторой системы коэффициентов с° = (с™'.с„')

и равен числу

1 = ф(с«»)>0,
Л

заведомо положительному, потому что система Хт, ..., хп линейно
независима.

Зададим произвольную систему чисел с = (съ ..., сп) (| с | > 0)
и положим

Тогда в силу того, что |с' | = 1, будет иметь место неравен-
ство

II	1

которое после умножения левой и правой частей его на %|с|
превращается в неравенство

(4)

Теперь уже нетрудно доказать, что линейное множество 9Лл
замкнуто и, таким образом, является подпространством.

В самом деле, из того, что

=	(/=1,2,...)	(5)

11^ - Ут II	0	(/. /П->ОО),

следует в силу (4), что
|си)_с(т) |^Х||уг—_ут||->-0	(/, /и->оо),

где с(/) = (ср, ..., с^) (/=1, 2,...). Следовательно, существует
предел

Нт си) = с(0),	(6)

/—►со

откуда

И^-Д’оНО (/->сю),	(7)

где

Уо = 2	(= ЯП„.	(8)
Отметим еще одно важное свойство конечномерного простран-
ства ЭЛ„, непосредственно вытекающее из неравенства (4). Оно
заключается в том, что всякое ограниченное (по норме) множе-
ство Й с: ЭЛл является компактным в 5Лл, т. е. из всякой
последовательности элементов е Я (/ = 1, 2, ...) можно выде-
лить подпоследовательность, сходящуюся (по норме) к некоторому
элементу ЯКЛ. Действительно, из того, что элементыопределя-
емые равенствами (5), образуют ограниченное множество, сле-
дует в силу (4), что векторы с(1} также ограничены в совокуп-
ности. Но тогда для некоторой подпоследовательности натураль-
ных чисел I будет выполняться равенство (6) для некоторого
вектора с(0\ а следовательно, и соотношения (7), (8).

Замечание. В специальных курсах функционального
анализа доказывается, что и наоборот, если всякое ограничен-
ное множество, принадлежащее к данному банаховому простран-
ству ЭЛ, является компактным, то ЭЛ есть конечномерное
пространство, т. е. все его элементы могут быть записаны
в виде конечной суммы (1), где элементы х1г ..., хп образуют
линейно независимую систему.

Так как
то

У, I Ск I I с
1
поэтому, если считать, что

Л12э (к = 1..........п),

то, приняв еще во внимание (4), получим

| У, скхк | М У | ск | Мп | с | \ Мп/.
|| 1 || 1

и мы доказали, что для любых ск (к = 1,..., п) выполняются
неравенства
п	п	п

<Э|

п

У скхк

1

где X и М — положительные числа, зависящие от свойства нормы,
определенной в ЭЛл.

Если в рассматриваемом п-мерном множестве введена другая
норма определяющая, таким образом, другое пространство
то получим новые неравенства
п	п	п

1	1	1

где X' и М' — другие, отличные вообще от X, М положительные
числа. Из (9) и (10) следует, что

п	п	п

икг12СкХкII |2саха||^ГМп||2слхлГ. (11)
1	1	1

1.2.4.	Эквивалентные нормированные пространства. Если
линейное множество нормировано двумя способами, что приводит
к двум нормированным пространствам Ех и Е2, и если сущест-
вуют две положительные константы сх, с2, не зависящие от хе
е Е1г Е2, такие, что

С1II IIX Це, < с2 IIX 01	(1)

для всех х е Еъ Е2, то пространства Ех и Е2 называются
эквивалентными.

Как правило, мы не будем различать эквивалентные нормы,
т. е. будем пользоваться одними и теми же обозначениями для
эквивалентных норм.

Из неравенства 1.2.3 (11) следует, что любые две нормировки
«-мерного линейного многообразия приводят к эквивалентным
нормированным пространствам.

В дальнейших рассуждениях в качестве конечномерных под-
пространств будут обычно фигурировать множества тригономет-
рических или алгебраических полиномов от одной переменной
данной степени V или от п переменных данных степеней ух,..., уп
или просто системы § = {?х, ..., ?„} из п чисел, нормированные
тем или иным.способом.

1.2.5.	Действительные гильбертовы пространства. Пусть И —
линейное действительное множество и каждым его двум элемен-
там /, ф приведено в соответствие действительное число (/, ф)—
скалярное произведение / и ф, — обладающее следующими свойст-
вами:

1) (Л из (Л /) = 0 следует, что ^ = 6 —нулевой эле-
мент Н;

?) (Л ф) = (ф, /);

3) (еА + Сз/г, ф) = С1(/х, ф) + с2(/2, ф), каковы бы ни были
действительные числа сх, с2 и элементы /, ф, /х, /2 е Н.

В Н вводят норму

Ш = (А /)1/2
(нетрудно проверить, что это выражение в самом деле является
нормой). С этой нормой Н делается нормированным простран-
ством. Если Н — полное пространство, то Н называется гиль-
бертовым пространством (действительным').

Заметим, что при любых действительных Хи /, <р е И
0=С(А/ + ф, Л/ + ф) = Л2(/, /) + 2Х(/, ф) + (ф, ф),
поэтому

ка ф)К(л л1/2(ф. Ф)1/2=тны-

Пространство Л2 (И) действительных функций, измеримых
на й и имеющих интегрируемые квадраты на й со скалярным
произведением

(Л ф) = $ 7 (*) Ф (*)Ах (А Ф е ^2 (&)),
о

служит важным примером действительного гильбертова простран-
ства. Мы встретимся и с другими примерами (см., например,
4.3.1 (4)).

Легко видеть, что для любых /, ф е Н выполняется равенство
11/+ф||2+1И-фР = 2 (Ш12+11ф112).	(1)

напоминающее известный факт из геометрии: сумма квадратов
диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.
Пространство Ьр (й) при р =# 2 не является гильбертовым,
потому что можно указать принадлежащие к нему функции /, ф,
для которых равенство (1) не выполняется.

1.2.6.	Расстояние от элемента до подпространства. Наилучшее
приближение. Пусть 2)? есть подпространство банахова простран-
ства Е, и пусть у е Е. Расстоянием от у до 2Л называется
нижняя грань

Е(.у)= 1пГ	(1)

распространенная на все элементы х е 2)?. Мы часто будем,
следуя традициям, возникшим в теории приближений функций,
называть число Е (у) наилучшим приближением элемента у при
помощи элементов х е 2)1.

Может случиться, что в 2Я существует элемент х* такой,
что для него рассматриваемая нижняя грань реализуется, т. е.

Е(у}= шт ||^-х|| = ||^-х#||.	'	(2)

хеш;

В этом случае элемент х* называется наилучшим элементом,
приближающим у при помощи элементов х е 2Я.

Важно отметить те достаточно общие случаи, когда можно
заранее утверждать, что в задаче (1) наилучший элемент суще-
ствует. Кроме того, представляет интерес другой вопрос, яв-
ляется ли наилучший элемент для данной задачи единственным.

Нетрудно видеть, что если ЗЯ = 2)1Я есть конечномерное под-
пространство произвольного нормированного пространства Е, то
для всякого элемента у е Е наилучший элемент, приближаю-
щий у при помощи х е ЗЯп, всегда существует. В самом деле,
пусть

Е(у) = шГ

тогда существует (минимизирующая) последовательность элемен-
тов (/=1, 2, ...) такая, что

||_у-х(/)[| = Е(_у) + 8/	(е^О, ег->0).

/—►со

Эта последовательность ограничена и, следовательно, ком-
пактна и, таким образом, некоторая ее подпоследовательность
сходится по норме к некоторому элементу х* е 2)1Я. Нетрудно
видеть, что х* есть наилучший элемент, приближающий у при
помощи № 2)1Я. Он, вообще говоря, не единствен.

Если 301— бесконечномерное (не конечномерное) подпростран-
ство пространства Е, то в задаче (1) наилучший элемент может
не существовать вовсе. Такие явления обнаруживаются, напри-
мер, в пространствах Е<х>($) и Ь1($)- Однако при р, удовлетво-
ряющем неравенствам 1<р-<оо, существование наилучшей
функции имеет место для любой функции / е Ьр (<о) и любого
подпространства 2)1 с Ьр (<о). Больше того, в этом случае наи-
лучшая функция всегда является единственной; эти факты дока-
зываются ниже в 1.3.6. В пространствах А1((^) и Лоо(<^), если
наилучший элемент существует, то он не всегда является един-
ственным (см. 1.2.7, примеры 1) и 2)). Впрочем, и в простран-
ствах Е, и С имеются важные для анализа случаи единст-
венности наилучшей функции; но эти случаи зависят от специ-
альных свойств подпространств 2)1 и приближаемых функций /.
Подобные вопросы не будут рассматриваться в этой книге.

1.2.7.	Пример 1. Пусть функция /(х) = з1§пх. Будем при-
ближать ее в метрике Ь(—1,1)*) при помощи постоянных функ-
ций ф (х) = с, т. е. искать такую константу X, при которой
достигается минимум

1	1

гшпЦ/ — с ||л(_1,+1) = гшп $ \1(х)—с\(1х= \ I / (х) — XI йх.
с с -1	-1

Нетрудно видеть, что минимум достигается для любой постоян-
ной X, удовлетворяющей неравенствам —1	1.

*) Ьр (а, Ь) обозначает Ьр (<?), где <? есть сегмент [а, 6].
С точки зрения обозначений, которые фигурировали в пре-
дыдущем параграфе, можно сказать, что мы приближали функ-
цию	—1, -|-1) при помощи постоянных на (—1, +1)

функций ф(х) = с, образующих одномерное подпространство про-
странства Ь(—1, +1). Наилучшая функция оказалась не един-
ственной.

Пример 2. Функцию /(х) = 81§пх будем приближать теперь
в метрике —1, -ф1) = Л1 (—1, +1) при помощи линейных
функций

Ф (х) = Ах-\-В,

где А и В — произвольные действительные числа.

Нетрудно видеть, что

гп1п II / (х) — Ах — В Ил (-! +1) = ш!п шах |/ (х) — Ах — В | =

А, В	А, В

=и / (%)_ и (-1, +1) >

где А может быть любым числом, удовлетворяющим неравенству
I А) -Л 1.

Таким образом, и в этом примере наилучшая функция не
единственна.

1.2.8. Линейные операторы. Если Е и Е'— банаховы про-
странства и каждому элементу х е Е при помощи некоторого
закона соответствует определенный элемент

У = А (X),

принадлежащий к Е', то говорят, что А есть оператор, отобра-
жающий Е в Е'. Оператор А линейный, если, каковы бы ни
были элементы хх, х2еЕ и числа сх, с2 (действительные или
комплексные в зависимости от того, являются ли Е и Е' дей-
ствительными или комплексными пространствами), имеет место
равенство

А (с1х1 + с2х2) = схА (хх) + с2А (х2).

Линейный оператор А называется ограниченным, если суще-
ствует положительная константа М такая, что имеет место
неравенство

|| А (х) Вв' «С М || х Цд для всех хе Е.	(1)

Наименьшая константа М, для которой выполняется это нера-
венство для всех х е Е, называется нормой оператора А и обо-
значается символом ||Л||. Норма оператора может быть еще опре-
делена как одна из верхних граней:

мн 5цр	51,р мс*)1Ь
Оператор А называется вполне непрерывным, если он отобра-
жает всякое ограниченное множество <о сд Е в компактное мно-
жество, принадлежащее к Е'. Иначе говоря, какова бы ни была
ограниченная последовательность {хг} элементов Е, возможно
выбрать из нее такую подпоследовательность {Х[к} и такой
элемент у0 е Е', что

Нт А (х1к)=у0.
к —юо

Если пространство Е' конечномерно, то всякий линейный
ограниченный оператор А, отображающий Е в Е', есть вполне
непрерывный оператор, так как А отображает всякое ограничен-
ное множество из Е в ограниченное множество из Е', а послед-
нее вследствие конечномерности Е' компактно.

Рассмотрим пример. Пусть Е по-прежнему обозначает бана-
хово пространство, и пусть 501 есть его конечномерное под-
пространство.

Пусть еще каждому элементу х е Е соответствует только
один элемент х*=А(х), наилучшим образом приближающий х
среди элементов «еЭЛ, иначе говоря, пусть А (х) есть един-
ственный элемент из 3)1, для которого выполняется равенство

пип II х — и ||в = |[х — А (х) ||Е.

Тогда А (х) есть оператор, отображающий Е в 591. Этот опе-
ратор, вообще говоря, нелинейный (он линейный, если Е есть
гильбертово пространство), но вполне непрерывный, как это
видно из следующих соображений. Из неравенства

IIА (х) ||й -1] х |]в	|| х - А (х) ||в	,| х ||в

следует, что

М (х)||в^2||х||в.

Отсюда вытекает, что оператор А отображает ограниченное
множество элементов Е в ограниченное множество элементов 591.
Но последнее, вследствие конечномерности 591, компактно.

Замечание. Определение вполне непрерывного оператора
может быть распространено и на многозначные операторы, ото-
бражающие Е в Е', т. е. такие, что каждому х^Е соответст-
вует, вообще говоря, не один элемент у = А (х). Многозначный
оператор А называется вполне непрерывным, если из всякой
ограниченной последовательности элементов е Е можно вы-
делить подпоследовательность {х1/г} и такие определенные зна-
чения оператора А (х^, что последовательность {Л (х/й)} схо-
дится в Е’.
Приведенный пример оператора А (х) наилучшего приближе-
ния элемента х при помощи элементов конечномерного подпро-
странства 2)1 в общем случае дает многозначный оператор, являю-
щийся в указанном выше смысле вполне непрерывным опера-
тором.

1.3.	Свойства пространства ЬР($)

Мы только сформулируем и разъясним некоторые свойства
пространства Ьр (<^), отсылая читателя за доказательством их
к другим источникам (см. замечания к главе 1 в конце книги).

1.3.1.	В 1.2.2 было у?ке отмечено, что Ьр(<°) есть банахово
(действительное или комплексное) пространство. Таким образом,
для элементов пространства Ьр(<°) выполняются следующие
свойства:

1)	норма

каждой функции Г е Ьр ($) неотрицательная и равна нулю только
для функции /о, эквивалентной нулю (/о = О);

2)	|| Гх + Га 1к„ (#)	II /11к„ (*) + II Га ||ъ (<^)»

3)	№,(*) = И

где с—произвольное (действительное или комплексное) число;

4)	из того, что Гл <= Ьр (^) и

|| Гл-Г/||ьр (<?)-> О (*, /~>°о),

следует существование функций	для которой

1йп||/*-Мкв(»)“0.	(1)

«—►ОО	х

Свойства 1) и 3) очевидны. Неравенство 2) носит название
неравенства Минковского. Оно может обратиться в равенство
в том и только в том случае, когда функции Г1 и Га линейно
зависимы как элементы пространства Ьр. Свойство 4) —это теорема
о полноте пространства Ьр.

Мы будем писать

Чг(х) = н0(х)4-н1(х) + ...	(хе«?)

и говорить, что ряд, -стоящий в правой части этого равенства,
сходится в смысле Ьр (<^) к его сумме V (х), если
Неравенство Минковского распространяется по индукции
на случай Л7 функций, и тогда оно имеет вид

(2)

II 1	1 р

Из него также легко следует неравенство

2/,
1





(3)

соответствующее случаю М = оо. Оно читается так: если функции
Д е Ьр (<^) (к = 1, 2 ...) и ряд (чисел) в правой части (3) сходится,
то ряд /1 + /-2 + - • • сходится в смысле Ьр (<^) к некоторой функции

СО

(принадлежащей к Ьр (<^)), которая обозначается через у1, Д, и имеет

1

место неравенство (3).

Отметим еще следующий нужный для нас факт. Если ряд
/ (*) = Л. (х) + Л (х) + • • •

сходится в обычном смысле почти всюду на <о к функции / и, кроме
того, он сходится к в смысле	то / (х) =	(х) почти

всюду на <о. В самом деле, по условию сумма 8п(х) первых
и членов нашего ряда сходится в метрике Ьр к . Но тогда,
как это известно из теории функций действительного переменного,
существует подпоследовательность индексов пь и2, ... такая, что
8пк (х) сходится в обычном смысле почти всюду к ?*(х) на
и, так как 8П/г (х) почти всюду также сходится к / (х), то почти
всюду /(*)=/* (х).

В левой части неравенства (2) сначала производится операция
суммирования по индексу к, й к результату применяется опера-
ция взятия нормы, в правой же части эти две операции меняются
местами. Ниже приводится подобное неравенство, когда операция
суммирования по значку к заменяется на операцию интегриро-
вания по переменной к.

1.3.2.	Обобщенное неравенство Минковского. Для функции
к (и, у), заданной на измеримом множестве <о = х <^2 сгде
Х = (Ц, у), и^Хъ .... хт), у = (хт+ъ ..., хп), имеет место не-
равенство

к (и, у) йу-р йи\1/р \	\ к (и, у)\р с!и\'/р (1у,

-	1 «с /9 'С ОО,

(1)

которое надо понимать в том смысле, что если правая его часть
имее'г смысл, т. е. почти для всех у е существует внутренний
интеграл по и существует внешний интеграл по <^2, то
имеет смысл и левая; и левая часть не превышает правую.

1.3.3.	Неравенство 1.3.2 (1), в частности, будет часто при-
меняться при следующих обстоятельствах:

Ц | (* - х) / (О Л |р дх)1/р = 01И ('Ш' + *)	|р ах)1/р

< $ I к(/) | 0 I/(' + X) Г ах)1/р Л = $ IК (I)	(«) к йи)1/р =

= И1к(К)И1кр(Щ. (1)

где 1<р<оо, КеЕ(7?), / (=	(7?)*).

Если функции К (() и / (/) являются периодическими пе-
риода 2л функциями и гели КеЕ(0, 2л), /еАр(0, ^л), то
имеет место аналогичное неравенство

2л

> О

$ К {I — х) / (/) Л
о

р \1/р

Ох) || К|]ь(О, 2Л) ||/ ||Тр(О, 2Л)

(2)

или подобное неравенство для периодических функций от п пе-
ременных.

1.3.4.	Неравенство Гёльдера. Если	/2	($) и

у + где	то имеет место неравенство Гёль-

дера

51ЛА1^^11Л1К^)!1Мк?(е).	(1)

<?

Оно обращается в равенство тогда и только тогда, когда | /1 |₽
и | /2 \ч линейно зависимы.

1.3.5.	Неравенства Кларксона ***). Равномерная выпуклость.

Пусть Д, /2еЕр(<?). Если 2«ср<оо, то

Если же 1<р^2, — 4-— =1, то
н Р ч

1^||:л,+<2)

При р = 2 неравенства (1) и (2) переходят в равенство (равен-
ство параллелограмма).

*) Здесь и в дальнейшем $ =

**) При р = оо считается, что -^ = 0-

***) См., например, книгу С. Л. Соболева [4].
Говорят, что банахово пространство Е .равномерно выпукло,
если из того факта, что

О < а < Л1 “ I'1 аХ'П) + (1 ~ Х*} В) °’

где Цх^Ц = || х^ || = 1, следует

-О-

Из неравенств (1), (2) Кларксона следует, что пространство
О?)(1<р<оо) равномерно выпукло. В самом деле, пусть

1К<«=!-| » 11/Г’НПН-

Тогда из (1), (2) следует, что

/(п)	||/<'”+/<'” ||х

2 II II 2	| ’

(3)

где Х = р в случае (1) и Х = у в случае (2). Если теперь

О < а < “ II + (1 “ И) 0’

то

1 -

2

0.

Но тогда правая часть (3) стремится к нулю, а с ней и левая.
Значит,

|7Г-^||—»о-

1.3.6.	Теорема. Пусть Е (в частности, Ер(&), 1<р<;оо)
есть равномерно выпуклое банахово пространство, 2)1 его подпро-
странство и у<еЕ- 2*1.

Тогда существует, и притом единственный, элемент и е 2)1,
наилучшим образом приближающий у при помощи элементов из 2)1:
11^-«|1 =	||_у-х||.	(1)

хе®

Доказательство. Пусть

тГ || V — х|| = ^	(с/>0);

тогда существует минимизирующая последовательность элемен-
тов хп е 2)1, для которых

||.у-хл|| = ^ + ел (ел-4-0, ел^0).

Будем считать, что х, х’ обозначают какие-то элементы 2Я.
Очевидно, элементы
имеют единичные нормы и для любых а, 0^0, а 4-0 = 1,

0^ 1 -|| а®у„ 4- 0®ут || =
=, 1 — к—  1 ?—

II \ ^ + 8л	+ 8т

^ + ел	й + еот)^ т1лт п, т->«>0>

равномерно по рассматриваемым а, 0.

В таком случае, согласно определению равномерно выпуклого
пространства,

Но

। ” - “«।=- тчУ - I -

= | а+ел ~	|+0<Чв71*л —*«П+с(1)	(«. т —то),

так как элементы хп, хт ограничены по норме. Мы доказали, что
IIхп — хт || л_ 0.

Вследствие полноты Е и замкнутости 9)1 существует элемент
неМ такой, что Хп-^п и, очевидно, выполняется (1).

Пусть теперь существует еще один элемент и', для которого
выполняется (1). Для	имеем

й^||а«4-(1 -а) и’ - у || а || и - у ||4- (1 - а) ||»' -^|| =

= ай 4- (1 — а) (1 = й.

Следовательно, ||аи4-(1 — а) — _у|| = ^ Таким образом,
||«^+(1-«)^|-1.

причем №~у | = | я ~у | = 1. Вследствие равномерной выпук-
лости пространства Е ^х\п} =, х^ = я ~^у , получим

и— у	и'—у

а ~ а •
т. е. и = п'.

1.3.7.	Нам часто еще придется пользоваться следующими
фактами, относящимися к теории функций действительного пере-
менного.

Пусть/, /А<=1Р(^) (6=1, 2, ...) и

Нт ||/-М1р(«) = 0 (&->°о), (1=ср^оо).	(1)
Тогда существует подпоследовательность {^} натуральных
чисел такая, что

И гл	= I (х) почти для всех х е<*•	(2)

Таким образом, существует множество с: <^, отличное от $,
на множество меры нуль, такое, что / и [к1 (1= 1, 2, ...) на
конечны и равенство (2) выполняется для всех х е отсюда
легко следует, что если наряду с (1) при некотором р* имеет
место Пт	<«) = 0, то {* = [ на «?, т. е. функции | и

й-юо	р

эквивалентны на

Если измеримое множество $ = <^1х^>2 есть топологическое
произведение двух измеримых множеств <^х, <^2, т. е. каждая
точка х е может быть представлена в виде пары х = (_у, г),
где у е ^1, г е <^а, то можно считать, что

Цх) = }(у, г), [к(х) = К(у,г) (А=1,2, ...).

В этом случае

И-МкР«») = П тИ^)4уУ/р (*=ь 2,...),
X#!	/

где

ЗД) =	-/*(у, г)\Р(12: = \\1(у, г)-[к(у,	(3)

й’з

— суммируемые на (принадлежащие к Ь (й>1)) неотрицательные
функции.

Из равенства (1) следует, что

Ит ТА (у) йу = О,

и, таким образом, применяя к Т* отмеченное выше свойство
(где надо считать р=1 и заменить § на <^х), мы придем к сле-
дующей лемме.

1.3.8.	Лемма. Из равенства 1.3.7 (1), где измеримое множе-
ство $ = <^1х<^>2 есть топологическое произведение измеримых мно-
жеств <^2, следует, что для некоторой подпоследовательности
{&,} натуральных чисел почти для всех	выполняется

равенство

Нт (у, г) - (У, г) в =0.	(1)

^->00	Р'

Из доказанной леммы и замечания в начале п. 1.3.7 вытекает
еще такая лемма.

1.3.9.	Лемма. Пусть множество = определяется,
как в предыдущей лемме, и пусть для последовательности функ-
ций Ьр(&) (к = 1, 2, ...) и функции / е Ьр (&)) выполняется
равенство

Нт ||/-М|д«у) = О (1^р^оо).	(1)

* СО

Пусть, кроме того, для некоторого числа р' (1 =ср' =^оо),
вообще отличного от р, и функции выполняется равенство

Нт ВМ.у, г)-[к(у, г) 11^) = 0	(2)

<6-»оо

почти для всех у

Тогда [ = [*, т. е. функции [ (х) и (х) эквивалентны на

Доказательство.-В силу предыдущей леммы для неко-
торой подпоследовательности натуральных чисел {^} и на неко-
тором множестве	отличном от <^>1 на множество меры

(в смысле ^\) нуль, имеет место равенство 1.3.8 (1) для всех
у <^1'. Можно считать, что равенство (2) также имеет место
для всех у $1. Итак, если у е <^, то для него выполняются
одновременно (1) и (2).

Но тогда равенство 1(у, %) = 1*(у, 2) имеет место для почти
всех т. е. почти всюду на измеримом множестве 8 — х <^а.

Отметим еще следующие теоремы.

1.3.10.	Теорема (П. Фату) *). Если последовательность изме-
римых неотрицательных функций {Д} почти всюду на измеримом
множестве 0 с Дл сходится к функции Е (х), то

Е дх знр К Д с1х\.
в	и )

1.3.11.	Теорема**). Из ограниченной в смысле Ьр(&)
(1<р<оо) последовательности функций {Д}:

можно выделить подпоследовательность слабо сходящуюся
к некоторой функции / ^.Ьр(&) с У\\ьр(в)^М. Это значит, что
имеет место равенство

Нт § Д<р дх= $ /<р йх

*-»оо $	$

для любых функций <р ^Ьд (<^)	= 1 .

1.3.12.	Функция / Ьр (&) называется непрерывной в целом
в Ьр (&), если для любого е > 0 найдется б (е) > О такое, что

И (*+.?)-/(•*) 1кР(#в)<8

*) См., например, книгу И. П. Натансона [I].

**) См., например, книгу В. И Смирноза [!].
как только |<6. (Здесь — множество таких х е <8, что
х-\-у<=% для любых у, удовлетворяющих неравенству |_у | <б.)
Теорема. Всякая функция } (х) е Ьр (<^), 1 «С р < оо непре-
рывна в целом в Ьр (<^).

1.3.13.	Мы будем широко пользоваться также следующими
неравенствами при 1гСр=Соо:

/со	\1/Р	/ОО	\1/р	/со	\1/р

1>*+мр; <ш°*|р	+тмр .	а)

\ 1	'	\ 1	/	\ 1	/

оо	/со	\ 1 /р / оо	\1/<7

У|а*м< У|МР У|М9| , если + у =. 1,	(2)

Т	\ 1	/	/	р 9

где ак, Ък — произвольные числа. Они называются соответственно
неравенством Минковского и неравенством Гёльдера для сумм.

С помощью (1) устанавливается, что линейное п-мерное много-
образие векторов | = {§ъ ..., §„} с нормой

! п	\1/Р

ИЦ»*3 ,21^1Р > Кр<ОО,
Р \ 1	/

есть нормированное пространство. В частности, из 1.2.4 следует,
что для любых р и р' (1 р < р'сю)

С1 II & ||; п =С II § II; П	С2 || § Ц л ,	(3)

р	р'	р

где С;, с2 — положительные константы, не зависящие от §. Конечно,
эти неравенства можно получить непосредственно, установив
точные константы с1г с2-

1.4.	Усреднение функций по Соболеву*)

Обозначим через

ст8 = {|-к|<е}, О1 = ст,

шар в /? = /?„ радиуса е с центром в нулевой точке.

Пусть ф (/) есть бесконечно дифференцируемая четная неотри-
цательная функция от одной переменной I (—оо</<оо),равная
нулю для |/|^1 такая, что

$ф(|/|)Л = 1.	(1)

В качестве ф можно взять функцию

Ф(0 =

1

— рО-

о,

1 =г=Д I / I,

*) С. Л. Соболев [4].

2 С. М. Никольский 4
где константа подобрана так, чтобы выполнялось усло-
вие (1).

Функция

Фв(*)“-^-ф(т-). Ф С*) = Ф (II),	в>0,	(2)

бесконечно дифференцируема на 7? (учесть четность ф), имеет
носитель на ст8 (см. далее 1.4,1) и удовлетворяет условию

$ <ре(х)с1х = ~ $ ф(у)^ = 1.	(3)

Пусть= Я — открытое множество и/еАр(^) (1<р^оо).

Положим / = 0 на	Функция

?Лх) = 1е,М = ± § Ч	аи = ~ (х - и) аи (4)

называется е-усреднением по Соболеву. Это, очевидно, беско-
нечно дифференцируемая функция на Я.

Пока мы обратим внимание на следующее важное свойство /8:

||/е-Л,+о (в+0, НЧ-М), 1^Р<оо).	(б)

Оно показывает, что при конечном р(1=ср<оо) множество
бесконечно дифференцируемых на 7? функций всюду плотно
в т- е- независимо от того, как устроено открытое мно-
жество §, для каждой функции I е Ьр (§) можно указать семей-
ство бесконечно дифференцируемых на 7? функций Д, (ее Собо-
левских усреднений) так, что выполняется (5).

В самом деле, в силу (3)

П(х)-Цх) =

=$ ф у м -/ <•*)]Ли=5 ф (®) у (х -е®) -/ <*)]

откуда, применив обобщенное неравенство Минковского и учи-
тывая, что <р имеет носитель на ст, получим

II $ ф (®) И (х - в») -1 (х) Цр аъ

5Нр II / (X - с) -1 (X) ||р -> О	(е->0).	(6)

I О I < е

В случае р = со свойство (5) не выполняется. Однако если
считать, что § = Я и / (х) равномерно непрерывна на 7? (/ е С (7?)),
то (6) запишется в виде

аир |На:-о)-/(х)|->0	(е->0).
Отметим еще неравенство

5 Ф(у)И= 11 Лр (1^р^со).	(7)

1.4.1.	Финитные функции. Пусть § с /? — открытое множество.
Функция <р (х) называется финитной в если она определена
на § и имеет компактный носитель, лежащий в §. Носителем
функции называется замыкание множества всех точек, где она
не равна нулю.

Лемма. Если ?^.ЕР(§) (1=ср<оо), то существует после-
довательность бесконечно дифференцируемых финитных в § функ-
ций ф/, для которых выполняются свойства

II / - Ф/ ||Р	0	(/—>со),

| ф/ (х) | < зир уга1 | / (х) |.

ЛЕЙ

Если [ одновременно принадлежит к Ьр и Ер.(1^р, р'<оо),
то последовательность {фД может быть взята одной и той же.

Доказательство. Зададим т]>0 и подберем открытое
ограниченное множество	такое, чтобы

и\\ьр (й-й) < -у.

Обозначим через д расстояние от О до границы § (с1>0;
если § не ограничено, то д = оо). Введем еще функцию

Л (х) =

О,

хей,
х & О.

Ее е-усреднение /в, е = Ф при есть бесконечно дифферен-
цируемая финитная функция в §, для которой выполняются
неравенства

Ц/ — /й, е Цдр (й)	|| / — /й 1кр (й) + II /й — /й, е ||/,р(й) =

= |1Лмв-й> + —/и. екр(й)<’2' + Т = ТЬ

если только 8 достаточно мало.

Далее (см. 1.4 (7))

I /й, е (х) | < зир Уга!1 /й (х) | «С зир уга11 / (х) |.
хеИ	хеН

Поэтому, если =	0, то, считая, что 8 = 8/, П = П/, мы

получим, что функции ф/ = /в/, е/ удовлетворяют требованиям -
леммы. При этом, если одновременно / е Ьр, Ер-, то для обоих
р и р' можно подобрать единые П/ и 8/, а следовательно, и ф;.

1.4.2.	Лемма. Если 1^.ЬСО(^) (измеримая и существен-
но ограниченная на открытом множестве § с Л? функция), то
существует последовательность бесконечно дифференцируемых фи-
нитных в § функций <рь удовлетворяющая условиям

Нт ф;(х) = /(х) почти всюду на д,	(1)

/-►со

| Ч>1 (х) I зир уга! 11 (х) I.	(2)

хее

Доказательство. Обозначим через д„ пересечение д
с шаром | х | < /V, и пусть тру монотонно убывает к нулю
(#=1, 2, ...). Так как /е/,(^у), то можно указать финитную
в следовательно в д, функцию Ду такую, что

5 / ~ 1м Йг(йлг) < 1Ту	(3)

и

|^(х)|^5пруга! |/(х)|.
хе(

(4)

Из (3) и (4) следует, что из последовательности {/уу-} можно
выделить подпоследовательность {<Р/}, подчиняющуюся требова-
ниям леммы.

1.5.	Обобщенные функции

Введем класс 5 (Л. Шварц [1]) основных функций <р = <р (х).
Функция <р класса 5 определена на /?, комплекснозначиа
(ф = Ф1-Н’ф2. Фь Фг действительны), бесконечно дифференцируема
на 7? и такова, что для любого неотрицательного числа I
(достаточно целого /) и неотрицательного целого вектора к =*
= (^1, ... , кп)

зир (1 +1 х |0 | ф(*> (х) | = х (/, к, ф) < оо,

X

где

Ф<*) =

к к ’
дх ' ... дхпп

п

/=1

(1)

Положим ЬР = ЬР(Я). Из (1), в частности, следует, что
| ф<*> (х) | х (0, к, ф)<оо,

т. е. функция ф(*> е 5 ограничена (ф<*> е Лоо)- Далее ф(4) е Ьр
(1 р <. потому что

I (	п+‘\р

5 I Ф(А) (х) I” дх < Сг ’	71---<

_	-/п+1	\ С ах	о//л+!	>.	\

<сгх^^—, к, ф; у(1 + | х|)я-1	ф)<оо,
где п — размерность /?. Таким образом, при любом к

и	к, <р).	(2>

Кроме того,

|ф^)(х)|^х;1+^Ф)-->0	(|х|->оо).	(3)

Если фт, фе$ (т=1, 2, ...) и для любых неотрицатель-
ных целого числа I и целого вектора к

х(/, к, фт — <р)->0	(щ—>оо),

то будем писать

фт —> ф (5).

Про функцию ф, бесконечно дифференцируемую на /?, будем
говорить, что она имеет полиномиальный рост, если для любого
неотрицательного вектора к существует 1 = 1 (к), так что

|ф(‘)(х)| <с(1 + 1X19,
где с не зависит от х.

Если фе5, то фф е 5, потому что

(фф)“> = 2 С^ф^"'’

л < к

(к = (к!...к„),	« = (8Х..8„),

п

/ = 1

и если т— натуральное число, то

| (1 +1 х |т) ф<*’ф(*-| сх | (1 +1 х |т) (1 +1 х /<*>) ф(‘-*> | <
<с2|(1+|х|", + /(*>)ф<4—!>|<саи(т4-/(5), к — 8, ф).

Больше того, эти неравенства показывают, что если
фт, фе$ и фш->ф(5), то ффт->фф(5).

Преобразование Фурье функции ф будем обозначать так:

Ф(-^) = 777Л72- ? <р(Ме-‘Хх^, Хх = Ул./х/г

(2л) О	**

и обратное к нему преобразование так:
Покажем, что если <ре5, то <р, ср е 5 и, каковы бы ни
были неотрицательное число I и целый вектор к,

(1 + |х|')|ф(‘’(х)1<<и	2 х(Г, Л',(р),	(4)

(/', к') г

где с/,* —константа, зависящая от (/, к), и ^ — зависящее от
(/, к) конечное множество пар (/', к'}. Отсюда следует, в част-
ности, что если <рт, фё5, фт->ф(5), то фт->ф(5) и

В самом деле,

ф(*' (х) *= $ ф (X) е~1Кх с1к,
где

Ч’(%)='ё^“<р(Х) = •••

Очевидно, что ф (X) е 5,

(1 +1х I) (1 +1*11 + • • • + |*п |)	(5)

и

| ф<*> (х) | с $ 1% |1* 11 ф (X) |4Х

<с ?  _4'' /Лп+а х (।к > + п + 2> °> <Р)^с1х(|Л| + « + 2, 0, ф). (6)

Далее для | х71	1

| х$^ (х) |	| ф<*> (х) | С1Х (| к | + п + 2, 0, ф),

а для |	1, считая, что Ад, есть часть /?, где | X/ | < и

учитывая (см. (3)), что ф->0 при Х; = ±#->оо, получим

(7)

п

ГТ. к

сг [ X [1*1-1 (при к = 0 надо заменить;

Так как II
)Л| — 1 на 0), то

с I 1 (1*1 — 1 _и I 1 [1*1

|х7ф(*)(х)|^Сг	г+2- (х (П +1 ^ | + 2, о, ф) +

4" х (п 4~ | й | -|“ 2,	<р))	(8)

где ^ — направленный по оси x^ единичный вектор.
Из (б), (6), (8) следует, что

(1+|х|)|ф<*)(х)|<

< с11г1п(п +1 Аг 14-2, 0, ф)+ У х («4-1*14-2, е/, ф)\
\ , = 1 )

и мы доказали неравенство (4) при любом к и /=1. При про-
извольном I доказательство аналогично, нужно только в равен-
стве (7) произвести интегрирование по частям вместо одного
I раз.

Положим для ф, фе8*)

(Ф, ф) = ф (х) ф (х) йх.

Из теории интегралов Фурье известно, что

(ф, ф) = (ф, ф),	(ф, ф) = (ф, ф).

Линейный и непрерывный на 5 функционал (/, ф) называется
обобщенной функцией (над 5).

Таким образом, если ф1( ф2, <рт, ф е8, сг, с2 — комплексные
числа и фт->ф(8), то

(Л С1ф14-с2ф2) = с1(/, Ф1)4-с2(/, ф2)

(Л	ф) (т->оо).

Множество всех обобщенных (над 8) функций / обозначается
через 8'.

Производная от [е8' по переменной X/ определяется как
линейный функционал

(&> <Р) = — (Г, Фх7).

Если / (х) — обычная измеримая функция, определенная на
/? и такая, что существует интеграл

(Л Ф) = V (х) ф (х) дх	(9)

для всех фе8, который оказывается линейным функционалом
над 8, то обобщенную функцию, определяемую равенством (9),
отождествляют с /(х). Например, если / е Ьр (1г=Ср=Соо), то
интеграл (9) есть линейный функционал над 8. В самом деле,

$ | / (х) ф (х) I о!х I / б/х)|/₽ I ф I? дху1я сх о, ф)

*) Обращаем внимание читателя, что под интегралом ф взято без знака
комплексного сопряжения (см. В. С. Владимиров [1]).
и следовательно, интеграл (9) конечен для всех ф е 5 и непре-
рывен в 5. Линейность (9) очевидна.

Если /(х)е5, ае/? и с#=0 —действительное число, то
1(х-\-а), [(сх) е 5' и определяются соответственно как функ-
ционалы

(}(х + а),	= ф(х —а)),

Нсх) = -^(х), ф(у)).

Если / есть обобщенная функция, а ф —бесконечно диффе-
ренцируемая функция полиномиального роста, то функционал
над 5, определяемый равенством

(/Ф, Ф) = (А Фф)>

очевидно, также есть обобщенная функция, обозначаемая через
/Ф или Ф/(/ф = ф/).

Если фг и ф2 —две бесконечно дифференцируемые функции
с полиномиальным ростом, то их произведение обладает тем же
свойством; при этом легко видеть, что если /е5', то

(Ф1Ф2)/ = Ф1 Ш)-

Ясно, что если /(х) есть обычная, принадлежащая к А,
а ф (х) — бесконечно дифференцируемая функция с полиномиаль-
ным ростом, то обычное произведение /(х)ф(х) соответствует
по правилу отождествления обобщенной функции /ф (произве-
дению обобщенной функции / и ф).

Преобразование Фурье (прямое и обратное) для ( е 5' опре-
деляется соответственно равенствами

(А ф) = (Л ф). (А ф) = (А ф)(фе$).

Так как ф,„->ф(5) (фот, <р е 5) влечет фот->ф, фт->ф(5),
то /у / <= 8'.

Если / (х) е Ьр (1 р оо) есть обычная суммируемая в р-й
степени на функция, то она, как мы знаем, есть обобщенная
функция и имеет преобразование Фурье являющееся, вообще
говоря, обобщенной функцией. Если / е Ь2, то, как известно,
/е/,2 (теорема Пэли —Винера, см. книгу Н. И. Ахиезера [1]),

/(х) =—1‘т ( [ е~1x1 (М,
1 ' '	(2л)п/2 л^-оо Л

АЛ'

Ал- = {I х, | <] =1,	, п},

и сходимость понимается в смысле Ь2. При этом г/х =
» §[(рс1х (для всех <ре5), что показывает, что в данном случае
Обычное преобразование Фурье функции совпадает (отождеств-
ляется) с обобщенным.

Пусть фе5; тогда

<Р(>) № = ,9 \пЦ У (*«)* Ф («)е1ха аи

И

ф =(/«) ф(и) \и =и11...ипа).

Далее

Ф(А) (х) = —у (— 1и)* ф (и) е~1ха йи = (—1и)*ф(и1 •

Для обобщенных функций / е 8' имеют место аналогичны»
равенства

=	= (— И1)*Ь	(10)

В самом деле, если /е8', ф®8, то

(/Ч <₽) = (- 1)|Л| (Л Ф(А)) = (-1)|А|(/, (-/«)* ф)«((*«)Ч Ф),

(?<*>, <р) = (—1),Л| (л	О’«)ЛФ) = (С-»«)*/, <₽)•

Пусть по-прежнему ф е 8 и

ДЛГ = {|х71	/=1, ..., «}<=/?.

Тогда

(Г,ф) = (1, Ф)= —~7Г У ф(/)г'1(Й«

= —1—7о- Нт С ф (I) сП Г е~1x1 с1х —

д^

1 р	жтг в!п 1М/

= (2л)«/2 Нт ф (/) П —(11 (2л)"/® ф (0).
ы _>ОО п Л	ДД- Ч

Последнее равенство следует из обычной теории интеграла
Фурье.

Таким образом,

1 = (2л)л/2 б (х),

где б (х) есть известная дельта-функция, т. е. обобщенная функ-
ция, определяемая равенством

(б, ф) = ф(О) (<ре8).
Отсюда, если к = (к1....кп) — вектор с целыми неотрицатель-

ными компонентами, то

х* = I* (— 1х)л •”! = Р (2л)п/2 б<*> (х).
Далее

(б, <р) = (б, $) = —

т. в.

~ 1

'	6 = (2л)п/2 ‘

Для функций /, ^е.8' (1=1, 2, ...) пишут

Л->/($'). если (/[, ф)^(/,ф)

(И)

(12)

(13)

для всех (ре 5, и говорят, что стремится к / в смысле 5'
или еще слабо. Если /х и / — обычные интегрируемые функции
такие, что почти всюду

//(*)->/(*)	(1-^-оа)

и

1Мх)|^Ф(х)е=1 (/=1,2,...),

где Ф не зависит от I, то, очевидно, /,, / е 5' и, согласно
теореме Лебега, /,->/ слабо.

Из (13) следует, очевидно, что если //->/(5'), то

А->/(5'),	(14)

ДА->%/(5'),	(15)

/?)-> /^ ($'),	(16)

где X —бесконечно дифференцируемая функция полиномиального
роста.

Пусть фе5, ул = (улх, ..., улп), / = (/х, ...» /^—действитель-
ные векторы. Тогда

= —Цг- ( е1* —ф (и)е~м<1ие{х1 М =
(2л)п/2 3	(2я)л/2 3 к '

= (2^ 5	5 ф(ул + ©)е-^б/о = ф(ул + х).	(17)

Если теперь / е 5', то, учитывая, что функция е‘^( беско-
нечно дифференцируема и ограничена вместе со своими произ-
водными (полиномиального роста), получим для фе5

(е^/, ф) = (/, ^ф) = (/, ф(ул + х)) = (/(х-ул), ф(х)),
т. е.

^=/(Х-р)	(/<=5').	(18)

Далее

ф) = (/, е^Ар) = (/(*), ф(лг-р)),

т. е.

^ = /(* + ?*) (/65').	(19)

1.5.1. Свертка. Мультипликатор. Мы часто будем иметь дело
с ситуацией, когда некоторая измеримая функция р(х) умно-
жается на ?(х), где / е= (Я) (/? = /?„). Если Цх) есть,
обычная функция, то естественно считать, что

р| = р,(х) Цх).	(1)

Однако и в этом как будто простом случае могут возник-
нуть трудности, заключающиеся в том, что наряду с определе-
нием р/ при помощи равенства (1) может быть другое опреде-
ление р/ как некоторой обобщенной функции (принадлежащей
к 5'), и тогда возникает вопрос об идентифицировании этих
двух определений.

В случае, если / е 5' есть обобщенная функция, в нашем
распоряжении пока имеется единственное определение ц? в пред-
положении, что р. есть бесконечно дифференцируемая функция
полиномиального роста. Именно $ определяется как функционал

(р|. ф) = (А РФ)-	(2)

Если е Ьр, то это определение согласуется с формулой (1)
так как в этом случае

(Н^, Ф) = 5 [Р (х) I (х)] Ф (х) <1х = $ / (х) [р (х) ф (х)] ах = (/, Иф).

Ниже будут введены другие определения р/, где р. принад-
лежит к некоторому классу измеримых ограниченных на =
функций, а / е Ьр. Этот параграф посвящается важному слу-
чаю, когда — В этом случае функция

Н(х) = -^72- (

ограничена и непрерывна на А?, но, конечно, она не есть про-
извольная непрерывная на А? функция.

Если / е 5, то функции р/, и/е5'. Но они также могут
быть вычислены средствами обычного анализа (пояснения
ниже):

Э - $ =	\е‘ха<Ы $ К (?) е- '“М р (Л) е~А) -

-	5е,хи ли Н ® р(Х -ю е~1аКс1к •

в	5 е‘ха аи 5 1ик^ 5к ®

Так как / е 5, то интеграл в третьем члене по л есть функция
от и, принадлежащая к 5 с/,; она умножается на интеграл
по являющийся непрерывной ограниченной функцией; произ-
ведение принадлежит к I,, и потому после умножения его на
&хи и интегрирования по и получим непрерывную функцию к$
ОТ х. Замена порядка интегрирования по | и по X в четвертом
равенстве законна, потому что Д, / е Ь (в силу теоремы Фубини).

Интеграл в предпоследнем члене этих соотношений назы-
вается сверткой К и /; при этом в рассуждениях, где Д фикси-
ровано, а / <= Ьр — произвольная функция, Д называется ядром
свертки, функцию ц мы будем называть мультипликатором в Ьр.

Правая часть (3) имеет смысл не только для / е 5, но и
для / е Ьр. Каковы бы ни были функции К^Ь и [ е Ьр
(1^р^оо), имеет смысл их свертка

= (2я)п/2 $ К(х-и)/(и) ^« = -^72- $ К(и)/(х-и)й«, (4)
удовлетворяющая к тому же важному неравенству (см. 1.3.3(1))
иыа (Н-и-Мч. н-н»)- ₽)

Равенство (3), верное для функций / е 5, дает основание
положить по определению

= (р*=ДеД, / еЦ	(6)

Так как, согласно (5), К * <= Ьра 8', то Д*/е8', и эту
последнюю обобщенную функцию мы уславливаемся, таким
Образом, обозначать через р?.

Покажем, что для любой функции ?^ЬР (1=Ср^оо) суще-
ствует не зависящая от ц(реД) последовательность бесконечно
Дифференцируемых финитных функций такая, что при /->оо

//-*/($') и ^-»»И/(8').	(7)
Если р конечно, то определим (см. п. 1.4.1) последовательность
финитных функций таких, что

V—Л||р-*о	(/->оо),

|(н * /) - (н * Л) 1р Я р к II / - Л Ь -> о,
следовательно, и в слабом смысле и р^->р^. Если же
р = оо, то определим (см. 1.4.2) последовательность бесконечно
дифференцируемых финитных функций ограниченно сходя-
щуюся почти всюду, таким образом, слабо сходящуюся к /.
В силу ТОГО, ЧТО |1б1и / — Е Лоо, фуНКЦИЯ

от х непрерывна и ограничена на /?. На основании теоремы
Лебега о пределе под знаком интеграла она ограниченно стре-
мится для всех х к нулю, следовательно, как обобщенная функ-
ция она слабо стремится к нулю, т. е. имеет место (7).

Если р = К е Ь и в то же время р бесконечно дифференци-
руемая полиномиального роста, то в нашем распоряжении имеется
два определения произведения р| (/ е Лр). С одной стороны, это
функционал

(М-Л ф) = (Л Иф) (<ре5),
а с другой— функционал (6). Покажем, что эти функционалы
равны.

Пусть есть последовательность бесконечно дифференци-
руемых финитных функций, для которых р/;-*р/ слабо. Тогда,
если не только це!, но и еще р бесконечно дифференцируемая
полиномиального роста, то

(р/, ф)=Пт(р/,, ф) = 11'т(^, рф) = (/, рф),	(8)

I —* со	I —* со

и мы доказали интересующее нас равенство функционалов.

Таким образом, определение (2) для бесконечно дифференци-
руемой функции р полиномиального роста и определение (6),
где реЛ не противоречат друг другу, какова бы ни была
функция / ее Ьр (1=^р«Соо).

Если Л, р — дифференцируемые функции полиномиального
роста и / то мы знаем (см. 1.5), что

Л(р/) = р(Л/) = (Лр)/.	(9)

Если теперь Л = А'1е Ь, р = 7<2 е Ь, то и ХреЛ и для всех
(1<р<оо)

к (рТ) = Р (V) = (^Р)
В самом деле, легко проверяется методами обычного анализа,
что при указанных условиях функция

К = К2 =	(х-«) Ка («) </«

принадлежит к Ь и имеет место

/с1*(/са*Л=ка*(к1*;)=(к1*к8)*А	(П)

что (в силу (6)) эквивалентно (10). Мы не собираемся во всей
общности рассматривать случай, когда мультипликатор есть
произведение Хр, где X е Ь, а р — бесконечно дифференцируемая
функция полиномиального роста. Это не понадобится нам в даль-
нейшем. Но есть один случай, который будет нам нужен —слу-
чай множителя У_1рУ, где V, ре Ь и V, — кроме того, поло-
жительная бесконечно дифференцируемая функция полиномиаль-
ного роста. Если /е Ьр, то операция

у-1р^=у-1(р(^)

имеет смысл. В самом деле, V? можно понимать в смысле (1)
или (6); это приводит к одному и тому же результату; опера-
цию р (V/) (над V/) во всяком случае можно понимать в смысле (6)
(У/еАр!) и, наконец, последнюю операцию И-1 (рУ^) (над рУ/)
во всяком случае можно понимать в смысле (2); для этого надо
только заметить, что р(1//)е5', потому что р(У/)еАр.

Важно, что имеет место равенство

У-1р^ = (у-1рУ)/ = р7	(12)

для всех / е Ьр. В самом деле, если / есть финитная функция,
то оно сводится к соответствующему очевидному равенству между
обычными функциями. Если же / е Ьр, то, как мы знаем, можно
подобрать последовательность бесконечно дифференцируемых фи-
нитных функций такую, что одновременно р/,->р^ и(рУ)^->
-►(р!/)/ слабо (рУ е Ы). Но тогда, учитывая, что V1 — беско-
нечно дифференцируемая функция полиномиального роста, и
слабо. Поэтому равенство (12) можно получить
предельным переходом при /->оо из уже установленного ра-
венства

(У^рУ/ь <р) = (рЛ, ф) (<ре5).

1.5.1.1. Общее определение мультипликатора в (1 «с р «С со).
Пусть р = р(х) есть ограниченная измеримая на /? = /?„ функ-
ция, таким образом, ре5'.

Подчеркнем, что если (е 5, то ( е5 есть бесконечно диф-
ференцируемая функция полиномиального роста, и следовательно,
определено произведение р/ е 5':

(нЛ <₽) = (Н. Ж	(1)

которое представляется измеримой функцией

р/ = р(х)/(х).

По определению функция ц называется мультипликатором
в Ьр (1-Ср<оо), если она измерима и ограничена (на 7?) и для
Любой бесконечно дифференцируемой финитной функции (или,
Что то же самое, для любой функции /с5) выполняется нера-
венство

(2)

где константа ср не зависит от /.

Если теперь / е Ьр и /> — бесконечно дифференцируемые фи-
нитные функции, для которых —Д|->-0 (7->-оо), то из (2)
Следует, что

(*» /—>-оо).

Следовательно, существует функция Р &ЬР, к которой при I ->-оо
в смысле Ьр стремится р/г. Ее естественно обозначать через

= =	(3)

называя р.*/ сверткой функции р. (вообще обобщенной) с/. Вто-
рой член в (3) указывает на то, что мы определяем еще р/ по-
средством равенства

Р? = Н*Л	(4)

где ц*/ понимается указанным выше способом. Этим определено
произведение р] для функций ?^ЬР (1 «ср < со). При р = оо
это определение уже не проходит, потому что ограниченную
на 7? функцию нельзя сколь угодно хорошо аппроксимировать
в метрике Ьх финитными функциями. Но для наших нужд будет
вполне достаточно в случае р = со определения р/, введенного
в предыдущем параграфе, когда р = К е Ь.

Мультипликатор р (удовлетворяющий свойству (2)) мы еще
будем называть множителем Марцинкевича (см. далее 1.5.3).

Очевидно, что

II м/ II? ср II / Ир	(5)

для всех 1^ЬР (1«ср<оо), где ср та же константа, что и
в соответствующем неравенстве для

Функция р, для которой очевидно, есть мультипли-
катор в смысле данного сейчас определения, потому что
(см. 1.5.1) для бесконечно дифференцируемых финитных функций /
^ = ^72 5н(х-и)/(и)с(«,	(6)

откуда немедленно следует (2), где

С₽ = (2^||И^

Это определение для ц е Ь эквивалентно соответствующему опре-
делению мультипликатора, введенному в 1.5.1;—сказать, что
функция р^рв/ определяется (для / е Ьр, 1=Ср<оо, и р е Ь)
как интеграл (6) или как предел в метрике Ьр такого интеграла,
вычисленного для бесконечно дифференцируемой финитной функ-
ции когда [| / —// 1|р —0, это, очевидно, все равно.

Но мы здесь обобщили понятие мультипликатора и свертки,
потому что р может не принадлежать к А и быть даже обобщен-
ной (не обычной) функцией.

Отметим, что если / е Ьр (1^р<оо) и // — бесконечно диф-
ференцируемые финитные функции, для которых ||/> — / ||рО
(/->оо), а р— мультипликатор, то
откуда следует, что

р?/+р/(5').	(7)

Если р есть множитель Марцинкевича и в то же время бе-
сконечно дифференцируемая функция полиномиального роста, то
для / е Ьр и последовательности {/,} бесконечно дифференцируе-
мых финитных функций, для которой выполняется (7), будем
иметь

(ц/, ф)= Ит(р/;, ф)= Нт (//, рф) = (/, рф). (8)
I —* оо	/ —» оо

В первом члене (8) р/ понимается в смысле (4), во втором
равенстве (8) переброска р за запятую законна, потому что р
бесконечно дифференцируема и полиномиального роста, послед-
нее равенсто основано на том, что /,->-/(5) и рф е 5.

Равенство (8) показывает, что если р есть множитель Мар-‘
цинкевича и в то же время бесконечно дифференцируемая функ-
ция полиномиального роста, то соответствующие этим фактам
определения р/ для [^Ьр (1=ср<;оо) не противоречат друг
другу.

Покажем, что вместе с 1 и ц произведение Хр есть мульти-
пликатор в Ьр и имеют место равенства

Хр/ = рХ/ = (Хр)/ (/ (=Ьр, 1=Ср<оо).	(9)
В самом деле, начнем с того, что покажем само по себе
интересное утверждение, что если функция Х(х) измерима и
ограничена, а функция Р не только принадлежит к Ьр, но и
к Т2, то

КР = К(х)Р(х),	(10)

т. е. произведение ХР, понимаемое в смысле (4), представляет
обычное произведение функций Л, (х) и Р (х). В самом деле, так
как Р е Т2, то существует последовательность бесконечно диффе-
ренцируемых финитных функций Рк (А=1, 2, ...) такая, что
(см. п. 1.4.1)

И-М-*о.

Для бесконечно дифференцируемых финитных функций Рк
имеет место

ХРк=к(х)Рк(х)	(11)

по определению. С другой стороны,

Э^Х>(ЛР),

следовательно, в 5' и, значит,

КРк^КР(5').	(12)

Вследствие ограниченности к и на основании равенства Пар-
севаля

Н(х)А(х)-^(х)Лх)||2^ср6-?||2 = сй^-/?||2->0,
откуда вытекает, что

А, (х) Рк (х) к (х) Р (х) (5').	(13)

Из (11)—(13) следует, очевидно, нужное утверждение (10).

Зададим теперь произвольную финитную функцию / е 5.
Положим

Так как е Т2, то в силу ограниченности р также	и

Р^Ь2. Следовательно, в силу (10)

М = к (х) (р?) (х) = К (х) р (х) I (х) =

= Р (X) к (X) ? (х) = (к (X) Р (х)) ? (х) ~ (Ар) (14)

Этим равенство (9) доказано пока для / е 5. Поэтому для / е 5,.
учитывая, что к и р —мультипликаторы,

и (мг |₽=и1 мй/1) 11₽ < с и й и, <	а,
и мы доказали, что Хр есть тоже мультипликатор. Остается
доказать равенства (9) для произвольной функции / е Ьг
(1 <Р<со). Для этого нужно взять последовательность беско-
нечно дифференцируемых финитных функций /Д сходящуюся к /
в метрике Ьр, подставить вместо в (14), применить ко всей
членам (14) операцию и перейти к пределу при
в смысле Ьр.

1.5.1.2. Лемма. Пусть а^Нп — фиксированная точка. Тогда
вместе с р (х) функция р (х — а) есть множитель Марцинкевича
и выполняется равенство

/—I—/-------------\

е;а/р7)е~ = ^(х — а)/ (для всех [ еЬр), (I)
из которого следует, что

/------\

IIР (X - а) Пр = || ре- ‘“7 Ир ср || е~ !а‘[ ||Р = сР ЦЯ-	(2)

Таким образом, константа ср в этом неравенстве та же, что
и в соответствующем неравенстве для р(х).

Доказательство. Положим

и =	(₽ей>).	(3)

Тогда (см. 1.5 (18))

Г = е'=^ = ^(х + ₽).

Поэтому (см. снова 1.5 (18))

/-----\ /---------;—“—\ /-----------:---\

р (х — а)1 = р (х — а) I- а (х — а) = е‘а'р (х) /_ а (х),

и в силу (3) мы получаем (1).

1.5.2. Периодические функции из Ьр. Функции

<в„ (х) = 81'§п 81п (2п+1лх)	(0-сх=с1),

п = 0, 1, 2, ... образуют ортогональную и нормальную (на [0, 1])
систему (Радемахера).

Для любой двойной последовательности комплексных чи-
сел {атп} и р>0 справедливы неравенства*)

(2 а^ \р12	“тп^т (0) (8') |р < (5 я™)р/2 (1)

о о

с константами, не зависящими от атп.

В самом деле, если з — натуральное число, то, воспользовав-
шись полиномиальной формулой Ньютона и тем фактом, что

*) Здесь и в дальнейшем мы будем часто писать А В вместо А =5 сВ,
где с — константа.
[®л (О)]* = юл (0) при нечетных I, получим сначала для действи-
тельных Отп

П|2>тлИт (0) шл (0') |25б/0б/0' =
о о

= У (25)[	2“1 2ам

Ал (2«!)! ... (2а„)! “«»!»! ••• а^^'-

(25)1 V д! 2а. 2а _ (2«)! /у . \»

«!2* Ал «11 ... а25! ат1п1 ••• атмп25 «I 21	а'"л/

(а1 + - . . + «25 = 8).

Но тогда, если атп = атп + /₽тл — комплексные,

11	11

| апп<лт (0) сол (О') |2‘ 6/0 6/0' <	| атпат (0) сол (0')	б/0 б/0' +

0 0	0 0

+ $ $ I ₽™<от (0) СОЛ (О') |2* 6/0 6/0'<
о о

<(2 °&л)8 + (2 ₽^лу < (2 | атп |2)\ (2)

Поэтому для любого р>0, если взять натуральное 8 таким,
что 2в^р, будем иметь (используя неравенство Гёльдера)

/1 1 ,	,	\1/р

'0 0	/

< И | Ц атп^т (0) сол (0') I28 6/0 6/0') 8< (2 аЦ1/2,
\о о	/

что доказывает второе неравенство (1). Далее, если р^2, то

/1 1	\1/2

(У 64Л),/2 = И12 а^т (6) ®л (9') М ж <

'о о	/

/* 1	\1/р

<1И|2 ^тп^т(0) б»л (О') |₽ 6/0 6/0'1 ,
оо	/

что доказывает первое неравенство (1). Остается его доказать
при р<2. В силу (2)

ИI 2 а^т (0) ®л (0') |4	<3(2 а^)2.

Пусть 82 = 2 атп, 5 = 2 атпы>т (0) бпл (О'), А — множество то-

чек (0, 0') таких, что |(5(0, 0')|>у, С А дополнительное к А
в единичном квадрате множество и | А | и | С А | — их меры. Тогда

0 0	А С А

/ 1 1	\ 1/2

<152|С'4|+/'Гл“О $ $меле') ^(-|-+/з /МП)в2.
'00	)

Значит,

1<^ + 2/|Л| или

Следовательно,
1 1
о о
что доказывает первое неравенство (1) при р <2. Этим нера-
венства (1) доказаны полностью.

Аналогично доказываются соответствующие (2) неравенства
в и-мерном случае:

/1	1	,	\1/р	1/2

(2М1/2<(Г--$15>И*(0)М	, (3)

\о о	'

где 6 = (6Ь ..., й„.) — всевозможные целочисленные неотрицатель-
ные векторы и

<0,(0) = ®^ (01) ... со^(0п).	(4)

Пусть / (?) е Ьр — Ьр (0, 2л) (1 < р < оо) есть функция от одной
переменной / периода 2л, разлагающаяся в ряд Фурье вида

НО = 2 ске‘к1.
о

Известно (см. Зигмунд [1], гл. VII), что при 1<р<;ооэтот
ряд сходится к / в смысле Ьр.

Зададим возрастающую последовательность натуральных
чисел

0 = п0 < 1 = П1 < п2 <...,

удовлетворяющую условию

-2^->о>1	(6 = 1, 2, ...),	(5)

и введем функции
пк

6о(/) = со, 6А(/)= 2	(6=1,2,...).

"*-1+1
Тогда ряд

/(0 = 2бА(/)
о

сходится к / в смысле Ь*. Положим далее

/1(0 = 1]8А(/)	(8й = ±1; к = 0, 1, ...),

о

где числа в* = ±1 любым образом зависят от к. Тогда имеют
место неравенства (Литтлвуда и Пэли [4], см. Зигмунд [2], II, XV)

(6)

С константами, зависящими от р, но не от / и распределения {е*},
И с нормами, взятыми по периоду. Эти утверждения легко рас-
пространяются на функции многих переменных

/(хЬ2^=р,(/)ег?

(у = (уь .... V,,,); к=*(къ ..., кп)),	(7)

где

б*(/) = б*л...б*л(/)

и

= 8й1 . .. 8*я,	/1 =	8*6* (/).

Здесь предполагается, что (5=1,..., п) могут принимать
только значения ±1. Для таких / и /х также имеют место не-
равенства

ИКП1КУ1 (Кр<оо),	(8)

где уже нормы взяты по «-мерному периоду {0<Х/<2л; / =
= 1, ..., п}. Будем считать

6*'(0 = б*л ... Ч-Л-х (Л, ^' = ^1-..

8*' = 8*х ••• е*„_х-

Поэтому, если принять, что неравенства (8) верны для п— 1»
и считать, что интегралы берутся по соответствующим периодам,
то получим

1Л?= I	128*'6*' р йх'=

= 5 ах' Л Л е*'б*. (/) |р ахп < \ах' Л 2 8*6* (/) \р ахя <
т. е. (8), если принять во внимание, что

2 М*л 2	(/) = 2 еА (/)•

Наконец, можно для функций (7) написать неравенства

И11р<(Ш6^)|)1/2|р<И1Ь> (1<Р<со)	(9)

с константами, не зависящими от /.

В самом деле, полагая й = {О 6, «С 1}, получим

ШНИ1;^<П2<»и«)б.Сл-
о	я

<ин№4\п\рр.

□

(10)

Переход от 2-го к 3-му и от 6-го к 7-му членам производится
на основании неравенства (8) при е* = <о*(8) и от 4-го к 5-му
и затем к 6-му членам —на основании неравенства (3).

Из (9) следует, что если / е Ь* есть функция, у которой коэф-
фициенты Фурье Ск не равны нулю разве что для к^О и %—
произвольное множество векторов к, то функция

ЕМ)=ф = 2Мф)
к^в	к

порождает ряд Фурье некоторой функции ф е Л*, для которой
выполняются неравенства

21О)1у/2М|^1ВД111/2|

||\ ЬЕв / II \ к	/Ир

Заметим, что если произвольная периодическая функция от одной
переменной

/(0=2^= 2 + 2=/++/-

— оо	*<0

принадлежит к Ь*, то ей сопряженная (тригонометрически) функ-
ция (при 1<р<со)

/* (0 = -» ^81§п кскеш	(11)

— 00

(здесь 81§п 0 = 1), а вместе с ней и = /+ —также принадлежит
к Ь* (Зигмунд [1], гл. VII, 2.5). Следовательно, /+ = 4г (/ + 1[*) а
<= Л* и |]/+Ж Ц/Пр- Отсюда по индукции следует, что и для функций

/ (х) = ске1кх

многих переменных, если положить

/+= Ц сАе^,

й>0

(п)

то из того, что /еЬ* = Л*, следует ||/+^<ЦЛр-

Пусть к = (Ах, ..., кп) есть произвольный (не обязательно не-
отрицательный) целочисленный вектор. Положим

±П|й1|	±п|Ал1

6й(/)=	2	...	5 сте(тх,	(12)

±П|й1|_1 + 1	±"|йп|-1 + >

где на соответствующем /’-м месте ставится + или — в зависи-
мости от того, будет ли ^>0 или йу<0, а при к] = ® надо
Считать «| ^1 — 1 + 1 =0. На основании сказанного выше, очевидно,
наряду с неравенствами (9) имеют место также аналогичные им
неравенства

У11р<|(21^(П12У/2||р<1'П1р	(13)

для произвольной периодической функции / (х) (не обязательно
такой, у которой с*=/=0 только для ЛзгО).

Легко проверить, что неравенства (13) сохраняются и для
функций

нх)=2;^^=2;бн/).	(14)

ск = ^ ^ / («) е ~ Ли, А/ = {| I; / = 1, ..., п},

произвольного периода 21. При этом надо, конечно, соответственно
видоизменить определение 6* (замена х на у х в правой части (12)).

Важно отметить, что константы, входящие в неравенства (13),
не зависят от I.

1.5.2.1.	Пусть

ОО

+	(1<Р<оо)	(1)

— оо	4<0

периодическая функция от одной переменной, а последователь-
ность {п*} и функции 6*(/) (6 = 0, 1, ...) определены так же,
как в 1.5.2.
Положим еще

пк

Ъ-кЦ) = 2	(2)

"А-1+1

М) = вА(/)-Н-*(/), * = 1, 2...,	(3)

₽о(/) = 6о(/) = со.

Тогда из неравенств 1.5.2 (6) следуют аналогичные им не-
равенства

Е/^<ИЛр<И^ Г<Р<оо.	(4)

где

/ж = 2е,рА(/) (еА = ±1),	(6)

о

с константами, зависящими от а и р, но не от / и распределе-
ния {еД. В самом деле,

(2мм/))+==2еА(/+),
(Емм/))_=ЕеА (/-(-/)).

кроме того, (М|р, ||Мр<Шр> поэтому в силу 1.5.2 (6)

йМ1р<||2е^(/+)|р<|2е^(/)|р’

5 /_ ||р = II /_ (- о цр < 12	(I- (- 0) |р < 12 ^к т

откуда следует первое неравенство в (4).

Далее

12 (П ||р || 2(/+) |р+12(/- (- 0) I, <

<Ж1+1!М1р<11/1р.

т. е. второе неравенство (4).

Из (4) следуют неравенства

щ<К2 ₽ко),л> 1,<щ.

что доказывается, как в 1.5.2 (10) (заменить 6 на Р).

Справедливо еще следующее утверждение, которое в одномер-
ном случае доказано в книге Зигмунда (гл. XV, 2.15) и может
быть распространено по индукции на многомерный случай.

Пусть /х, /2, ...еЬр» (1 <р<оо) — последовательность функ-
ций от х = (Х1, ..., хп) периода 2л с коэффициентами Фурье с*,
не равными нулю разве что дляй^О, и пусть $я, обозначает
сумму Фурье /я порядка кп. Тогда существует константа Ар, не
зависящая от и М такая, что

2л	2Л / ^	\р/2

^Х1...аХп.	(6)

О	О \ 1	/

1.5.3. Теорема о мультипликаторах в периодическом случае.
Для числовой последовательности {X/}, зависящей от одного
индекса /, введем разность Дл; = Л/+1 — V Для кратной последо-
вательности {X*}, зависящей от неотрицательного целочисленного
вектора к = (Аъ ..., йл), мы будем рассматривать разности Д;-Х*,
взятые покомпонентен, и кратные разности Д;1 ... Д;тХ4 (т е^н).

Теорема (Марцинкевича). Пусть задана кратная последо-
вательность {X*}, подчиняющаяся неравенствам

+ 2 I 1—1	±2 I кт 1—1

У, ... У, |Дд ... Д;тХу|^Л! (1)
V. = + 21А11—1 V, =±21*т|_1

для любых, наборов натуральных чисел ]\, ..., /от таких, что
1 /х < /4 <... < /т п, где М — константа, не зависящая от к
и Л, ..., ]т (при к/ = 0 соответствующая сумма распространена
только на У/ = 0)', + или — ставится в зависимости от того,
будет ли ^>0 или <0.

Преобразуем функцию периода 2л вида (см. 1.5.2 (7))

/(Х) = 2с^ = 2б^)еЛ₽	(1<р<оо)	(2)

к

посредством чисел (множителей Марцинкевича):

^(*) = 2^е“Л = 2М^-	(3)

Тогда Р е Ь*и существует зависящая только от р константа ср
такая, что



(4)

Доказательство. Ограничимся случаем п = 2. Больше
того, будем считать, что в (2) ряды распространены только на
к 0, что не нарушает общности.

Положив

2	2

ц = 2*-1 у = 21~1

(5).
и применив преобразование Абеля, получим

2А— 1 2 — 1

е«(П= 2 2^^(^+^=

2* —1 2*—1

= X 2 г1/РЧ/— ?Ч/+1— ^1+1,/ +^+1,/+1] +

2к—1 г'— 1

2;—2

+ 2 Г2к — 1, / [^2А — 1, / — ^2А — I, Н-1] +
2г-1

2А — 2

+ 5 Г!, г'-1[\.2;-1 “ \+1,2;-1] + ,’2А-1, ?'-Л2А-1,2'-1=5Г^У-
г* — 1

(в)

Применим неравенство Буняковского и учтем (1):

I (Г) Г=г^у 21уу 15 г<! IЪ) I м. 2 гЬ 1 I.

Поэтому на основании 1.5.2(13) следует (мА = 2А):
И₽11р<|(Е1^^)1)1/2[<
2л 2л

< МР/2 ШЕЕ КЫ)2Г/2 Лу. (7)
О О Ц, I	}

В круглых скобках правой части (7) стоит функция (см. еще (5))
Г[,], мУ I Ту I	(8)

(]/ I Ту I — коэффициент, не зависящий от х, у). Ее, очевидно, можно
рассматривать как отрезок ряда Фурье функции

«н(/)Ш	(9)

Следовательно, в фигурных скобках правой части (7) стоит
сумма 25 квадратов отрезков рядов Фурье функций (9).

к, I

На основании 1.5.2.1 (6) интеграл (7) мажорируется таким же
интегралом, где отрезки Фурье функций заменяются самими
функциями

Ир 2$я (21 (/) 121У ИГ2	<

о о и, I	]

2Л 2л

и мы получили неравенство (4).

Легко проверить, что неравенство (4) сохраняется для функций
произвольного периода 2/ с той же константой ср.
1.5.4.	Теорема о мультипликаторах в непериодическом случае.
Зададим вектор вида

к = (къ к„)	(6/=0, 1; /=1........и).	(1)

Носителем вектора к называется множество

&к — {/1, • • • > ]т}

тех индексов /, для которых к] = 1.

Теорема. Пусть на К —Кп задана функция А. (х), обладающая
следующими свойствами.

Каков бы ни был вектор к вида (1), производная*)

существует и непрерывна в любой точке х = (хъ ..., хп) с XI #= О,
еде I е е*, и подчиняется неравенству

\хкОкк\^М.	(3)

Тогда К есть множитель Марцинкевича. Именно, существует
не зависящая от М и I константа •яр такая, что

^крМ ||/||р	(1 <р <оо)	(4)

для всех I е Ьр.

Заметим, что так как X удовлетворяет указанному в теореме
свойству при Л = 0, то она ограничена на 7? и непрерывна разве
что за исключением точек, принадлежащих к координатным пло-
скостям. Поэтому Л. —измеримая функция на Цп и в то же время
обобщенная (X е 5').

Доказательство. Ограничимся рассмотрением двумерного
случая. Пусть / (х, у) — финитная бесконечно дифференцируемая
функция. Носитель ее будем считать принадлежащим к квадрату

Д3о ={|х|, |г/|<5о}.	(5)

И пусть

/ (X, 1/) = 2 с^е‘ 5 <М +	(8 8о)>	(6)

Ц. V

где

(н. У = 0, ±1, ...)	(7)

ее ряд Фурье. Положим

иЛх, У) = 21 К\ 5 ’ ~)с^е	•	(8)

_______________ Ц, V

*) Возможно некоторое обобщение этой теоремы в терминах обобщенных
производных.
В силу (3) (при Л = 0)

Пусть теперь к>0, /5=0, тогда
2й—1

у1 I	/ (ц-(-1) л	/л \_^/цл VI

I	\ 5 '	3 /	\ 5	’ 5 /1=

и=2й->

<и + 1) л

ЦЛ

(Ц.+ 1)л	4

$

5 |е>(е.-?-)|‘«-:^г2'л1<2Л1- О»)
ц,л

5

г>	дк

В этих выкладках использована непрерывность по х при
х>0 и любом у. Полученное неравенство сохраняется также и
для к = 0 при любом /:

|Х(у* ’т)~ Х(0, ^1=^1 Х(т’ V)! + |Х(°> ^)|<2Л1,

Аналогично, используя непрерывность ~ по у при г/>0 при
любом х, получим	у

2*—1

2	(у+1)п)-х(-у-,	(А, /5=0). (И)

у=2/~ 1

Далее, пока для к, / > 0

2й— 1 21— 1

2 2 | х (н+ 1) л (у+ 1) Л	(у + 1) Л _

— 1 2^—1

д/ (ц+ 1) Л УЛ \ .	/ р.л ул\ 1 =

\	5	’ 3 )'	\ « ’ 5 / | =

(ц+ 1)л (у+<)Л

-221 |	| ^«•ч)«‘гч|^

цл ул

$	$

(ц+Ол (у-Н)л

2^22 $	$ |й^Й.ч)|<гЕ^<л«.	(12)

(1Л	УЛ

«	«
Здесь использована непрерывность дхд при х, г/>0. Для к > О
и I = 0 это неравенство сводится к следующему:

(13)

(учесть неравенство (10), верное для любых к, /^0), а при
Л = 0, / = 0 сумма в левой части сводится к одному члену, не
превышающему тоже 4Л4.

Мы доказали, что левые части (9) —(12) при любых к,
не превышают 4М. Аналогичные неравенства доказываются для
остальных трех квадрантов: 1) к^О, 1^0; 2) /г=^0, /^0;
3) к, 1=с0.

Это показывает, что условия теоремы Марцинкевича соблю-
даются и, следовательно, существует не зависящая от 8
(см. замечание в конце п. 1.5.3), М и / константа ср такая, что

।	сРми\\1Р(^)=сРм и Ир,	1<р<оо.	(И)

В данном случае преобразование функции / при помощи мно-
жителя X записывается в виде интеграла

ОО со

“(*» 0) = ^ $ МВ, Т))НВ,

—СО —ОО

где

/ (х, у) = ~ ! (и, V) е-1 (хи+у'°'> йи (IV
П

(8^80)-

Очевидно,

— я 1 (кл 1п
ск‘~ 252 I [—> 8

(15)

Оценим на
разность

произвольном фиксированном квадрате Ди (р>0)

и(х, г/)-иДх, у)=‘Г1 + гг + га.
Здесь

=	Л)?(5, лИ^^Л-

- У	ь(—, — )с1,ег"(^ + ^) =

1^1, и।^ослг

= -^ 5	Л)/(1, гОе'^-^’^Л-

д#

я V V \(кп 1л\г(кп 1п \	(кх + 1у)

-^2 2	• <16)

| к ]| 11< О.Н	,

ЛГ — натуральное число и 8 подобрано так, что а = -~ — нату-
ральное число;

г2=^ I МВ. Л)7&Л)е,(^>^Л,

^2—

л VI' л Мл 1п \ г ( кп /л \ I- (** + 1у)
гз=-^2хи> ~ц\-Т’~)е

где сумма распространена на такие пары (к, I), что или
\к\, или ]1\ больше, чем аЫ. Функция /, будучи бесконечно
дифференцируемой финитной функцией, принадлежит к основ-
ному классу 5, поэтому также / е 8, значит,

\№, л)|<(1+12)-1(1+л2)-1

и

|г2к и а+^ни+лт^л+о ^-^оо).

Я2-Ддг

При а = -^->1 для г3 имеет место подобная оценка:

। '.| <ГР +(Ж Р + (Ж *° № - .

Задав 8 > 0, можно указать такое А^>0, что для всех 8>з0

|г2|, ( Гз | < 8.

При этом М можно указать такое 8! > 80, что для всех 8 > 8! и
для всех (х, у) е Ди

| П I < 8.
Мы доказали, что для любого ц>0

Пт и5 (х, у) = и (х, у) - А,/

5 —> СО

равномерно на Ди.

Из (14) следует, что

1К1кр(Ац)<ср|1ЛР (н^8)-

Переходя к пределу при оо, а затем при р->оо, получим
неравенство (4) для финитных функций [ е5.

Этим доказано, что К есть множитель Марцинкевича.

1.5.4.1. Если функция и (х) = и (хь ..., хя) от п. переменных
подчиняется условиям теоремы, сформулированной в 1.5.4, то
она, очевидно, подчиняется также условиям этой теоремы, если
ее рассматривать как функцию от к переменных хь ..., х*
(Л<п) и, следовательно, является мультипликатором относи-
тельно них.

1.5.5, Примеры множителей Марцинкевича (в смысле Ьр,
1</?<оо).
п

1.	81§П Х = П 81§ПХ/.
1

2.	(1 + 1XIV (Х>0).

3.	(1+х/У/2(1+|х|2)-'/2 (г>0; /=1, .... п).

4.	(1+|х|2)г/2 (1 +2|х,+) 1 (г>0).
\ 1 /

5.	хг(1+ | X |2)~г/2	(|/| г, г>0, /^0).

( п 2/

6, х'(1+х!) 2 2(1+*/)2

(п \-г

1+21 + 1

1 /

(г —произвольное действительное число).

8,	(1 +1 х |2)-'/2А;' (х) (г = Г1 =... = гп > 0).

9,	(1 + |х|2Г/2Лг(х) (г = Г1 = ... = гп>^).

Г1

10.	(1+х?)2Лг(Х) (1 = 1,.

11.

п	М 1

2(1+х))2	Л-(х).

7 = 1	)

., п).


п

5(1+^)2°

12.

п	г7в1а ( п	'уСЬ + вН-Ч

НЕи+*/) 20

1	) I 1	)

(гу>0; сг, 6, 1>0).

Аг (X) =

п	у

5 (1+*/) 2

7 = 1

Эти функции мы обозначим соответственно через (1=1, ...
..., 12). Они будут нам нужны в дальнейшем. Доказательство
того, что они суть множители Марцинкевича, сводится к пре-
дыдущей теореме 1.6.4.

Критерий ее для щ выполняется тривиальным образом, так
как р-! есть константа (4-1 или —1) в каждом открытом коор-
динатном угле.

Функции р/ непрерывны вместе со своими частными произ-
водными любого порядка на 2? = 2?л, за исключением функций р<
(1 = 4, 5, 6, 7), которые непрерывны на /?, но их частные про-
изводные вообще разрывны на координатных плоскостях.

Ниже дается доказательство выполнения критерия Марцин-
кевича для ряда функций р/. Вопрос сводится к проверке того,
что функции

х‘р1й) (к = (кг....кп), Аг0, 1)

ограничены на каждом координатном угле пространства 7?.
Вследствие симметрии этих функций достаточно такую проверку
произвести для положительного координатного угла. Все рас-
сматриваемые функции, кроме рв и р12, суть произведения
р; = определенных функций и Согласно формуле Лейб-
ница

хку^ = хк С^-°МО),

где сумма распространена на всевозможные целочисленные неот-
рицательные векторы а^к. Вопрос свелся к оценке функций
вида

ХАХ4 хкхк~“ (14-1X |2Г/2 ~ 111 ~“* 1

на положительном координатном угле.

Условимся писать А^В вместо |4| = сВ, где с —некоторая
константа. Имеем

и-Ь;

1

(* — а)

(1 + | X 13)1*-“ I

п \ (а (

(1 + 1 X !У/2

п

1+11Х1

1

< 1 • I • с < оо.
При г<1 функция я/л разрывна, когда одна из координат Ху,
где / е ев с е* (еа — носитель вектора а) равна нулю. Но согласно
теореме 1.5.4 достаточно, чтобы функция %4 была непрерывной
для положительных Ху с /ее# и любых остальных Ху, что,
очевидно, в данном случае соблюдается. При оценке =
будем иметь

х* = Xй и<“)у(Р)т;<у)»	(1)

где сумма распространена на всевозможные векторы а, 0, у
с компонентами, равными 1 или 0, такими, что а + 0 + у = Л.
При оценке произвольного слагаемого этой суммы будем считать
(иначе оно равно нулю), что еас=е/, а 0 есть вектор, 8-я ком-
понента которого равна 1, а остальные компоненты — нулю.
Вопрос сводится к оценке

—3-1	^_1 [п 1

х*х'-“(1 + х^)2 х^пин-*/)2 )2<1+^)2

«V	I 1

Сделаем пояснение к оценке первого множителя во втором
члене этих соотношений. Пусть

(1 + ХК) г'° = тах (1 + х/)
/

тогда

-- - г.-^(1+4,)	2 П(1+4)2Г/=(1+^)° = 1-

2(1+*^

1

При /у>1 оцениваемое произведение без множителя Xй раз-
рывно, когда одна из координат Ху, где / ееас ек равна нулю,
но, согласно теореме 1.5.4, достаточно, чтобы этот множитель
был непрерывным для х7->0, где /ее* и любых остальных ху-,
что в данном случае, очевидно, выполняется.

Для п7

/	П	\— г — I ОС |

хах7^х4х*-“(1 4-1X |2)г/2—1*—«I (1	=

\	1	/

х2 (* —а)
(1 + | х

з С. М. Никольский
Здесь применены неравенства

(п \

1 +5х/и(1+1*12)1/2<1

1 /

второе при г>0и первое при г<0.

Функция х7 разрывна на некоторых координатных плоско-
стях, но ее пределы на них изнутри каждого координатного
угла существуют, поэтому в каждом замкнутом таком угле х7
можно считать непрерывной.

Для р8 будем рассуждать следующим образом. Пусть I —
вектор с компонентами, равными 1 или 0. Применяя формулу
Лейбница о дифференцировании произведения функций многих
переменных, опуская постоянные коэффициенты и рассматривая
векторы х с неотрицательными координатами, получим (е5—
носитель вектора «)

(учесть, что	«/2*0).

Для р9
Для р10

х^{(1+х?)4г(х)}< 2

8 I

Первые две дроби в правой части не превышают константу,
третья дробь тоже не превышает константу, потому что ее

числитель грвО, если существует /=/=/,	1|) = (1+х?)2,

Д-1

если / — « = 0; ф = 2х? (1 Д-х®)2	> если множество состоит

только из одного индекса I.

Для рп

х1О1

8»
Для р12 один из членов суммы Лейбница (1) оценивается
следующим образом:

г п	'•/Щ-1 “। ( п	1РI

5 (’+«/)20 Г	5 (’+«/)20	X

и / и /

Г; (?- + 6)1— а — IV I

2а

ГуХ

'^“’иуХ

г,И

а

Гу (X + б)
и 2а

и,=>

/ Чу

Г „	г.-б^а

2(1+«/Н

«2*

п

Гу (Х + 6Па

2а (

Гу (X 6)

(1+«П 20

п

/6 ер

п

В первой дроби, если всюду зачеркнуть а, порядок не изме-
нится, он не изменится также, если степени X, 6, Х-|-6 вынести
за знак соответствующих фигурных скобок.

При доказательстве в случае функции рЦ появятся слагае-
мые, которые можно записать как правую часть (2). Изменится
лишь на обратную величину ее первая дробь, которая все равно,
очевидно, будет ограниченной.

Легко видеть, что функции р12 и р?2 останутся множителями
Марцинкевича, если в каждом из трех ее множителей пара-
метр а принимает разные значения оъ о2, о3 или если в ее
первом множителе заменить п на т<_п. В последнем случае
в (2) надо считать, что носитель еа состоит из индексов с номе-
рами, не превышающими т, иначе соответствующее слагаемое
суммы Лейбница равно нулю. В последнем члене (2) в первом
множителе числителя п надо заменить на т.

1.5.6. Распространение неравенства 1.5.2 (13) на непериоди-
ческий случай. Целью нашей будет доказать, что для любой
функции [^Ьр(^п) = Ьр (1 <р<оо) выполняются неравенства

(о
где с1г с2 — константы, не зависящие от /,

(«о.-{' хх2‘']	(2>

\	IV, А? С I

и для

ДЙ = ДА1.*П={2^~'<«/<2А/; / = 1..п} (3)

(2*/-1 при йу = О заменяется на 0), а для произвольных к пря-
моугольник Д* есть множество точек {«181§п61, ип 81§пкп},
где » = («!, .... ип) еЛ^.)*„)•

В дальнейшем будет показано (см. 8.10.2), что если / есть
регулярная в смысле Ьр(1<р<оо) обобщенная функция
(см. далее 1.5.10), для которой норма, стоящая во втором
члене (1), конечна, то [ <= Ьр.

Ограничимся рассмотрением двумерного случая. Зададим
бесконечно дифференцируемую финитную функцию ?(х, у) с носи-
телем, принадлежащим к

Д»» = {И> Ш<М.	(4)

и рядом Фурье 1.5.4 (6). В силу того, что (^0 вне Д3о для
8>50, будем иметь неравенства

|Ц<|(2|в«(Ит1м4.)<1^	<6>

где

6ы(/) =

±('г|*|-1+1)±(п|Ц-1+1)



и где мы на этот раз считаем, что ио = и_1 = О, «1=1, л* =
= 2й-ар (6 = 2, 3, ...), и 8>50 подобрано так, что р = -^->2
целое. Знак + или — ставится в зависимости от того, будет
ли к или I положительным или отрицательным. Условие 1.5.2 (5)
соблюдено:

-5*+Т^2 (6=1, 2, ...),

поэтому константы, входящие в неравенства (5), не зависят от
8>80.

Положим

М) = 2^ I о)е'^+^^^ = (1)д^,
Ч/

где Ли —прямоугольник (3) (при к1 = к, кл = 1, п = 2).
Пусть

д =	_ &2п	0	Д _ ^2п

5 ’	5 ’	5 ’	5

Д = {[а, Ь]х[с, 4/]}; Ь—а, —

|/|> 4- > ?1> 1^Д-	<х> ^)еА-

17 р дх ’ ду\ ( дхду	'

Применим преобразование Абеля к сумме

71	Д	^8 71

вд_22^‘7<**+‘”-₽22'

А, 11	к, Ц

I,	(к, — 1

=2?2?'Н 2 /их)дА/(^,
11 I *<

где



~)1кЛ*) , (6)

к

1к(х)=У е^х

1^(к+1)х

е 5	— 1

ДлгДй/ —	^й+1, /•

Дальнейшее преобразование Абеля приводит к равенству

х _ я

Од — 2з*

к, — 1 1,~1

2 2	4)+

. *1	11

4,-1	(,-1

+ 2 № • ^т)1к л- + 2 1к>(х) ц •

4,	11

Если учесть, что

^)1кЛх)1<ЛУ)}- (7)

( I X | < 8),

\1к(х)\^

2

е 8 —1

то из (6) и (7) следуют четыре неравенства

]6д|^сМд|Д|{1, ]х|-1, |г/|"\ 1-Ч/1’1}, Ц], | у । < з, (8)

где с не зависит от рядом стоящих множителей и от з. Второе,
например, получается из (6) при помощи следующих выкладок»

1	(	8 М.	8	1

|6дК7г(/,-/1) {(*2-М77Г-7А + Л1д |7]-(*-°)}
(во втором слагаемом в фигурных скобках добавлен множитель
Ь — а^1). Четвертое неравенство следует с помощью аналогич-
ных выкладок из (7).

Положим Фх(х, г/) = т1пс{1, |х|-1, | у [-1,	Очевидно,

Ф1 <= Ьр (1 <р<оо|) и из (8) следует, что

|дд|^Мд|Д|Ф1(х, у) ((х, г/)е=Дл).

(9)

На основании (9), считая, что

б«(/)=вд,,

Да/ =

(«А-1+1) Л

5



получим | 61/(/) | МД5 |Д1/|Ф1(х, у),
ы

Так как функции /,	— убывают на бесконечности

быстрее (1 4-|х|х + |г/|х)-1, где X как угодно велико, то, очевидно,
УМдз |Д«| <А<оо,

где константа Л не зависит от 5. Поэтому

{Ж'(/) 1Т Ж'(/) I =

= ф(х, уУ=Ьр($а) ((х, (/)еД5).	(10)

Ограничиваясь для простоты неотрицательными к, I, будем
иметь ^5 подобрано так, что 0=-^ — целое^

2А-2р	2/-2р	я

.8 ; л VI VI ?/рл ул\ ‘7(и*+^)

е*/(/)=2? 2 _2 Цу ’ ~т)е

2й З3 + 1 2* Зр + 1

2^

2& ~ 3 2^ ” 3

равномерно относительно (х, у) е Д# для к, 1^2 (2-1 надо
заменить на 0), каково бы ни было фиксированное Л7>0. Если же
одно из чисел (пока неотрицательное) меньше 2, то двукрат-
ная сумма превращается в однократную или даже (для б^, д?0,
6^) сумма вырождается в один член. В этих случаях 6а/(/) —0
равномерно на Ддг, так как под интегралом стоит функция,
непрерывная относительно х, у, и, V. Аналогичные факты верны
и для чисел к, I любого знака, поэтому доказано, что при
любых к, I

на Дат

равномерно, каково бы ни было А^>>0.

Из второго неравенства (5) следует при любых АГ, ^>0

I/ 2 1&т1!ул1 «=№
/ 1кр(Ллг>

и после перехода к пределу при $->-оо, затем Л\->оо и затем
А/’-хэо получим

|(Е 1^(/)|2}'/2|р Пр-

из (10) следует

/ 2 1«й<п1Т'йФ^ »>

\| А!, 1С<А'	!

поэтому после перехода к пределу сначала при 8->-оо, затем
А^->-оо получим

ШМ/) |2}1/2^ф (х, у).

Наконец,

11 (21 «<<«1!Г |>.) -I (21 «•« (/) 1’}'% м | <

/ 2 1<М)ГГ

1.1*1, т<лг 1

Мм

12'1 '/2

ММ

Р

+| 2 1«И)Н	+| 2 1М/)|1	+

II 1*1- \1\<Ы МЛ«~М \\к\.\1\<Ы	'Ер^-Ддг)

Я I кИд„) я 2' 16"	“ А+  +А.

где У, есть сумма по парам чисел к, I, по крайней мере одно
из которых не меньше АГ.

Здесь

Л, /з^||Ф||ер(д2-аЛг),
/4^2А1>ЬП|Ф|!р<еЯФк
к!

где не зависит от 5 и стремится к нулю при Л^->-оо
/5<8лМ	(М->оо).

Таким образом, АГ можно взять настолько большим, чтобы
/»,	/6 были меньшими заданного е>>0, а затем подобрать 80

так, чтобы было Л < е для всех я > 80.
Мы доказали, что для любой бесконечно дифференцируемой
финитной функции /

^|{2|адГПЛ>-|{216“ «1Т1

и тогда на основании (5), где константы в неравенстве не зави-
сят от 5, получим (1) (пока для бесконечно дифференцируемых
финитных функций).

Если теперь / е Ьр, то подберем последовательность беско-
нечно дифференцируемых финитных функций /у (/'=1, 2, ...)
так, что

И-М1р->0	(11)

Это показывает, что для любого е>0 найдется такое %, что для
I, />А.

после перехода к пределу при (->со в этих неравенствах
заменится на Дальнейший же переход к пределу при (V -> сю
приводит к неравенству

(/>Х),

откуда следует, что

|{2|8«(Л-/)12П|р->0	(/ + оо).

(12)

Для функций /у неравенства (1) выполняются. Вследствие же
(11) и (12) в этих неравенствах законно перейти к пределу при
у_>оо, получив при этом неравенства (1).

1.5.6.1. Совершенно аналогичными рассуждениями, более
простыми, потому что мы имеем в виду одномерный случай,
доказывается, что для функций )(х)е1р(—со, сю) =	(1 <;

<р<со) имеют место неравенства



(13)

где

Р/(Л=о)лЛ

Л,= {2/-1=С |х|	2г, 1 = 0, 1, ...; при 1 = 0 заменяется на

нуль} и константы в (13) не зависят от В качестве исход-
ного неравенства в периодическом случае надо взять 1.5.2.1(4).
1.5.7, Преобразование Фурье функции	Функция

п

31§ПХ = ]^[ 31§ПХ;
/=1

есть мультипликатор при 1<р<;оо (см. п. 1.5.5). Функционал
(пояснения ниже)

(1)

Здесь 7?+ — положительный координатный угол,

Д/^ =	1 = 1, ..., п],

д<р (о = Д!Д2... дя<р (о
и

(2)

Д/ф (0 = <р (0 - <р ((ъ .... 1/-!,—^, //+ъ .... 1Я)	1.П). (3)

В предпоследнем равенстве (1) при перемножении членов
произведения появляются интегралы

Г	Ц созА^Л-^О,

я+	'='

стремящиеся к нулю при Л^-»-оо вследствие суммируемости
^*1Дф(^) на /?+ в силу хорошо известной в теории рядов Фурье
леммы. Интеграл в последнем члене (1) написан в смысле Коши:

(4)

ке

где /?е есть множество точек отстоящих до любых коор-
динатных плоскостей на расстоянии, большем чем е>0. Функ-
ционал (4) определяет обобщенную функцию, которую обозна-
чают через V. р. Итак доказано равенство

81§ПХ = ^-^ Iя V. р. у.

Для / е 5

81§п х * / = з1§п х/ =	81§п я $ / (?) е~иа <Не1ах с!и =

= (2^р5 р (х - ?)	0.1 =	сП, (5)

где последнее равенство следует из уже доказанного равенства
между третьим и последним членами (1), если заменить там
<р (?) на /(х —?)• Последний интеграл (5) понимается в смысле
Коши.

Записьщ

81 "П X * / = 81 "П X/ =

1-^-г^-(11

(6)

мы будем пользоваться и тогда, когда / е Ьр (1<р<сю), пони-
мая члены (6) как пределы, к которым стремятся в смысле Ьр,
соответствующие выражения для финитных функций /ь где
||/ —	В отношении первого и второго членов (6) это было

обосновано выше (см. 1.5.1), потому что зщпх мультипликатор
в Ьр для 1<р<оо. Соответствующее определение для выра-
жения внешне записанного в виде интеграла мы' сделали сейчас.
На самом деле можно доказать (М. Рис. [1] при п=1), что для
/ е Ьр (1<р<оо) это есть действительно интеграл в смысле
Коши, существующий почти для всех х, но на этом мы оста-
навливаться не будем. Нам это не понадобится.

Пусть ?х = (Р1, ..., |ДЯ), а = (аи ..., ял)>0 (ау>0) —два
фиксированных вектора и

Дв = {|х/|<а/; /=1, .... п},

А(|х, а) = {|ху — р/[<07; /=1, .... п}, Д (0, а) = Дв.

Таким образом, Д (ц, а) есть сдвиг Дв на вектор ц. Заметим,
что характеристическая функция (от одной переменной /)
интервала (а, Ь) равна

(1)(«, Ь) = у	(^ - й) - з1§п (* - 6)]-

Отсюда следует, что

(I)А (И, а) = П Т (Х/ - И/ + «/) -	(X/ - Р/ - Д/)] =

/=1

= -(7л1)П 5 81§п«51§п (X — р — а),	(7)

где сумма распространена на всевозможные .векторы а«
= (аь а„) такие, что |а;| = я/, /=1, ..., п.

Мы знаем, что функция З1§п X — мультипликатор:

(1<Р<со),	(8)

где ир не зависит от / (см. 1.5.5), а зщп (х — а) — тоже муль-
типликатор с той же константой ир в соответствующем нера-
венстве (см. 1.5.1.2), каков бы ни был вектор ае/?, поэтому
из (7) следует

II (1 )д (ц, а)Лр 2я 5	1И Ир ~ хр II Лр (1<р<оо),	(9)

потому что сумма распространена на 2Л слагаемых. Замечательно,
что константа ир в (9) та же, что и в (8), и, таким образом,
не зависит от р и а.

Из (7) следует (см. 1.5(18)), что

(1)л|в,« “ ( а.11*- 2 5'§п “ е‘ “*+'' “	* -

- П (г“л - с- “Iх')	(- <Г V. р.ф >

/ 2 \п/2 .	„

= (-)	(х),	(10)

где

п

йа (X) =	81П а!Х/ V. р.

/=1

1	"	81П а,х,

Х “ У. Х<

(Н)

В (11) при перемножении обычной функции на обобщенную
получилась обычная функция. Например, в одномерном случае
это доказывается так:

^81пах V. р. ф(х)) = (у. р. 81пахф(х)) =

= Д[5шахф(х)Пх = $ вЬду ф (д;)	(12)

о

где ДЕ (х) = Р (х) — Р (—х). Интеграл в правой части (12) уже
можно понимать в смысле Лебега.

Для функций ) е 5 имеет место равенство

(1)д(и, а/ =	$ е‘Р(х~аЮа (х - и) [ («) Ли,

в частности при ц = 0

/?(х)=и)да)=-^-(13)

где интегралы в правых частях понимаются в смысле Лебега.
Остановимся подробнее на (13). Интеграл (13) имеет смысл и для
любой функции / е Ьр (1<р<оо), потому что Да(х)ез
е Ь„ (— + -- = 1^ и

4	\Р Я /

5	I Да (X - а) / («) | ЙИ < ра ]|9 И )|р < ОО.

Непосредственно видно, что он есть непрерывная функция от х
(даже равномерно непрерывная):

I р (X) - Р (>-) | Ра (X - «) - Д (у - и) а91! Пр -* О (X -+у).

Если [1^8, р —Лр->0 и Р[ есть результат подстановки
вместо / в (13), то

Р (X) -	(X) | Ра |М1 / - М|рО

равномерно. С другой стороны, (1)да есть множитель Марцинке-
вича, и потому р* — Р ||р —>0 (к, /->0). Это показывает, что Р[
стремится в смысле Ьр именно к функции Р, определяемой интег-
ралом (13), и что для / е Ьр справедливо равенство (13), где его
правая часть есть интеграл Лебега, а левая понимается в терми-
нах множителя Марцинкевича (см. 1.5.1).

На самом деле Р (х) есть аналитическая функция притом целая
экспоненциального типа (см. далее 3.6.2).

1.5.8. Функции фе и фЕ. Функция фе определена на /? = /?„,
зависит от малого положительного параметра 8 (0<8<;8о) и обла-
дает следующими свойствами: ф8 (х) бесконечно дифференцируема
и неотрицательна на /?, имеет носитель на кубе

Де = {|*/1<8; /= 1, .... п}
(т. в. <р» = 0 вне ДЕ) и, кроме того, удовлетворяет равенству

5 фЕ (х) йх = 1	(0<е<ео).	(1)

де

Важно, что Фее5 и имеет компактный носитель, т. е. есть
финитная функция (см. 1.4.1).

Если ф есть произвольная непрерывная на /? функция (даже
локально суммируемая на /? и непрерывная в нулевой точке), то

П пИ фЕ (х) ф (х) с!х = ч> (0).	(2)

е-<-0 ’’

потому ЧТО

I Фе (X) ф (X) (1Х — ф (0) =5 Фе (X) [ф (X) — ф (0)] (1х

| де	де

Фе (х) зир | ф (х) — ф (0) | йх = зир | ф (х) — ф (0) | ->0 (е->0).

д8 де

Если (р е5, то равенство (2) можно записать следующим образом:

Пт(фе, ф) = (6, ф) = ф(0),	(3)

е->0

где 6 = 6 (х) есть дельта-функция.

Положим

Фе (X) = (2л)а/2фе (X).

Так как фе—>-6 (е—<-0) слабо, то фе (2л)п/26 = 1 слабо. Кроме
того, фе (х) как обычная функция при е->0 ограниченно схо-
дится к 1 для всех х:

фе (X) = $ Фе (О е~1х{	(4)

1фе(х)|=е5$фе(0^=1.	(5)

Ниже будет показано, что если / е Ьр, и е—>0, то слабо
Фе/->А.	(6)

Фе^*/^*Л	(7)

(8)

Далее, если	-^--ф ~=1, то можно определить

свертку при помощи интеграла

\ ё (и) Нх - и) йи.

Очевидно,
Эта свертка находится в стороне от введенных в 1.5 обобщений
этого понятия, где § е 8' была такой функцией, что I ^.Ьр влечет
В данном же случае при / е Ьр функция ё*1 принад-
лежит к классу ЬЯ = 7И ограниченных (измеримых) функций.
Однако для такой свертки имеет место свойство, аналогичное (8)
ё*^^ё*{	(е->0).	(9)

Доказательство (6). В силу теоремы Лебега

ф) = $ФеШ(0ф(0^->$А₽^ = (/> ф).

Доказательство (7).

(ФеЯ*А ф) : -9 ‘ /2
(^Д) V V

-» ,о \п/2	ф).

(^Д^	•/ •/

Так как

ПI ё (0 / (х— *) I IФ (х) | ах <

С 15 И (0 / (X - с| [ II <Р |!? Ик IIЛРII фк (у + 7 = !).

Доказательство (8).

&*ФеА Ф) = ,9 ' Фе (0 / (0ё(х - 0 ф (х) йх (11

-*^тг $ У(()ё(х-{)(р(х-{)ах(И,	(Ю)

так как

$$1/(0я(*-0ф(*)1^ ах || 5 / (о ё (х -1) м [р в ф

<кИЛР|1 фВ?-

Доказательство (9). Такое же, как и доказательство (8),
но надо принять во внимание неравенство

5 $ 1/(0<§'(*-Сф(*-С I ^л^||ЛР|1г119 II ф Вт.

1.5.9. Операция /г лиувиллевского типа. Пусть г есть произ-
вольное действительное число. Функция

(1 + 1«1у/* = [1+ 2н}У/2	(1)

\ /=1 /

бесконечно дифференцируема на 7? и имеет полиномиальный рост
при любом знаке г.
Положим

0Д«) = (1 + |«|2)-'Х	(2)

Так как

ед7) = (1 + |к|2)-^	(3)

— бесконечно дифференцируемая функция с полиномиальным
ростом, то для любой обобщенной функции / е8' имеет смысл
свертка

^ = Олв/ = д} = ('1 + |«|2)-^) = 77, .	(4)

определяющая операцию 1Г, отображающую в Р е 8'.
Очевидно,

/о/ = Л	(5)

Если тир - произвольные действительные числа и / е 5', то

л+Р/=а+|Х|2)-г/2(1+1^12)-р/2?= и+|хр)-^= 7Г/Р/.	(6)

В частности, при р = — г

= Ц = и	(7)

т. е. операции 1Г и 7_г взаимно обратны.

Нетрудно видеть также, что операция 7Г отображает 5 на 5

взаимно однозначно и непрерывно: если <рт, (ре8и <рт->(р(‘5)
при т->оо, то

(5).

Можно еще ввести операцию 7*, определяемую формулой

7* = (1	| А, |2)—г/2^

которую естественно назвать сопряженной к 1Г. Она, очевидно,
обладает всеми свойствами, установленными выше для 7Г, в том
числе непрерывностью в смысле сходимости в 8.

Связь между 1Г и 7? проявляется в равенствах

(7Г/, Ф) = (/, 7*<р),

(7*}, ч>) = (}, 7ир) (/еУ, (ре 8).

Из них немедленно следует, что операции 7Г и 7* непрерывны
на 8' (слабо непрерывны), т. е. что из того, что }т, [ е 8',
т=\, 2, ..., и

следует, что

' 7*}т

7?/ (8Г).
В самом деле, например,

<р) = (/т. 7?<р)—>-(/, 7Др) = (Л/, ср).

Заметим, что при г = —2 имеет место замечательное равенство

/_2/=(1+ №))=/+ =
/=1

=/-2^7.)0=/-2В=^-^=(1-а)^

/=1 /=1 '

где А —оператор Лапласа.

Следовательно, при любом натуральном I

/_2^ = (1 + 1^12)7 = (1-А)7 (/^5').	(8).

1.5.10. Регулярные обобщенные функции. Дальнейшее расши-
рение понятия свертки. Операция 1Г может служить удобным
средством для расширения понятия свертки на класс обобщенных
функций, которые мы называем регулярными.

По определению функцию [ г 5' мы будем называть регуляр-
ной в смысле Ьр и писать / е 8'р, если для некоторого р0 > 0
имеет место

1^ = Р^Ьр.

(П

Пусть у. есть мультипликатор в Ьр (у. е Ь при р= 1) (см. 1.5.1,
1.5.1.1). Пусть еще / есть регулярная в смысле Ьр функция, для
которой выполняется свойство (1).

Положим для рЭ=ро

[т*/ = 7_р (ц*/р/).

Это определение не зависит от
наряду с (1)

= Ьр

(21

(3)

р2эр0. В самом деле, пусть.

(Р'>Р).

Тогда при р' —р = л, учитывая, что 1р^ = Р^Ьр, получим
/—р' (р * Л7) = I-г (р * Ш) =

=/-р и+1 х (1+1 х |2)-г/2/^=7_р|^=Лр (** /р/).

(см. 1.5.1 (12) при цзЬ и 1.5.1.1 (9) при 1^р<оо). В третьем
равенстве мы воспользовались тем фактом, который будет доказан
позже (см. 8.1), что

(1 + |х|2)-^2 е Ь

(г>0),
и тем, что функция (1 + | х |2)х при любом действительном % беско-
нечно дифференцируема и полиномиального роста.

При любом действительном г имеет место равенство 1гх = х =
= х1...хп, показывающее, что функция х не принадлежит к 8Р
(Ь<р<^сю), хотя она принадлежит к 5'. Это следует из 1.5 (12)
при к = ш = (1, ..., 1):

< 1 +1 х [2)-^х = 1п (2л)2 (1 +1 х |2)-“2	(х) = 1п (2лр (х) = х.

Важно заметить, что для регулярной в смысле Ьр обобщенной
функции / равенство

1-к (р * /?/) = р*/	(4)

имеет место для любых X (положительных и отрицательных).
Действительно, для I существует р>0 такое, что /р/еА„ При
равенство (4) уже доказано выше, если же Х<р, то поло-
жим р = Х + <т (<т>0). Тогда функция регулярна. Именно
1аЬ,^Ьр. Поэтому

/-А. (н * 47) = ДД-а (н * /р/) = /_р (н * /рЛ = н * Л

Из (4) следует, что для регулярных в смысле Ьр функций /
и любого действительного г

/Ди * /) = 1Г1_Г (р * /,/) = р * 1Г[,	(5)

т. е. к регулярной функции / операцию 1Г можно применить под
знаком свертки.

Из (5) следует, что если р —множитель Марцинкевича и / регу-
лярная в смысле Ьр функция, то свертка р*/ тоже регулярна.
Действительно, пусть е Ьр, тогда имеет место (5), где правая
часть принадлежит к Ьр.

Ранее были доказаны равенства 1.5.1.1 (9), которые мы запи-
шем в терминах сверток:

1*(р « Д = р * (^*Л = ^Р */,	/ Е (1-С р < оо). (6)

Они верны, если к и р — множители Марцинкевича, откуда выте-
кает, что (/.р) есть тоже множитель Марцинкевича. Пусть теперь /
есть регулярная в смысле Ьр обобщенная функция и 1^^Ьр
(р>0). Тогда равенства (6) будут выполняться, если в них под-
ставить /р/ вместо /. Но для регулярных / операцию /р законно
во всех членах (6) вынести за знаки сверток, но тогда равны
между собой функции, стоящие под знаком /р, и мы доказали,
что (6) имеет место для любой регулярной в смысле Ьр обобщен-
ной функции.
ГЛАВА 2

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ

2.1. Теоремы о нулях. Линейная независимость

Функция

п

Тп(г) = ^+ У (а* соз кг + рА ею кг),	(1)

а=1

где ак, (к = 0, 1, ..., п) — произвольные комплексные числа*
а г — комплексная или действительная переменная, называется,
тригонометрическим полиномом п-го порядка. Это определение не
исключает случая ал = Рл = 0.

Тригонометрический полином есть функция периода 2л, н*
следовательно, при его изучении достаточно ограничиться рас-
смотрением изменения независимой переменной г = х-\-1у в про-
извольной вертикальной полосе а х <а + 2л (или
=Са-]-2л), —оо<1/<оо комплексной плоскости ширины 2л.

С помощью равенств

е11г2 1е-1кг	е1кг_е~1кг

соз кг =---, 81п кг =-------------- (2).

(6 = 0, 1, 2, ...)
тригонометрический полином (1) можно преобразовать к более
симметричному виду

п
Тп(г)= 2 ске,кг,
к=—п

- _«*—₽**

С*-----2--’

(3)
(6=1,2,...), Со = ?.

Из (3) видно, что если коэффициенты ай, р* полинома (1)-
действительны, то коэффициенты ск, с_к для каждого к попарно
комплексно сопряжены

с_к = Ск, й = 0, 1, ...,	(4)

Обратно, из (4) следует, что числа ак, действительны.

Важнейшее свойство тригонометрических полиномов выра-
жается следующей теоремой.

2.1.1.	Теорема. Тригонометрический полином Тп порядка п,
у которого коэффициенты сп и с_п в (3) не равны нулю,
имеет в любой полосе а х < а 2л комплексной плоскости
ровно 2п нулей с учетом их кратности *).

Если обозначить их через г±,	, г2л, то имеет место

равенство
2п

Тл(г)=Л П	(П

*=1

где А 0 — некоторая константа. Наоборот, равенство (1) опре-
деляет тригонометрический полином порядка п.

Доказательство. Воспользуемся представлением Тп
в виде 2.1 (3). После подстановки 2 = е1г, которая преобразует
взаимно однозначно рассматриваемую полосу плоскости г на
всю комплексную плоскость 2 (кроме 2 = 0), получим

Тл(2)- 2 С^ = 2~ЛР2Л(2),
к = — п

где

Ргп (%) — С-п + С-п+1? + •  • + сл22л.

В силу условия теоремы сл^0 и с_л#=0 и потому многочлен
Р2п (X) степени 2п имеет в комплексной плоскости 2 ровно 2п
нулей (с учетом кратности), не равных нулю.

Отсюда следует, что тригонометрический полином Тп имеет
в рассматриваемой полосе также ровно 2п нулей (с учетом их
кратности). Обозначим нули многочлена Р2п(2) через 2й = е'2*
(к = 1, ..., 2п), тогда

2п

Тл(г) = сле-'“ П (е,2-^) =

2п

2 2* 2л I г~гк гк~г) 2Л

= спе Й=1 щ 2 —е1 2 ) = Л шп г „г*,

й=1	к = \

*) Число а называется нулем кратности т функции /, если / (а) =
= (а) = ... =	(а) = 0, кт> (а) Ф 0.
где

2п

Л =с„22л (—1)ле * = * .

Таким образом, первая часть теоремы доказана. Чтобы убе-
диться, что функция (1), где числа гк (/г = 1......2п) принад-

лежат к некоторой вертикальной (замкнутой с одной стороны)
полосе комплексной плоскости ширины 2л, есть тригонометри-
ческий полином порядка п, достаточно провести сделанное пре-
образование в обратную сторону, исходя из (1).

2.1.2.	Линейная независимость. Если тригонометрический
полином Тп (?) равен нулю более чем в 2п точках вертикальной
полосы ширины 2л, то на основании теоремы 2.1.1 все его коэф-
фициенты должны равняться нулю. В частности, это имеет место,
если тригонометрический полином порядка п тождественно или
почти всюду равен нулю на действительной оси.

Отсюда следует, что система функций

1, СО8Х, 81П X, ..., СО8 ПХ, 81П ПХ	(1)

линейно независима в С* и Ь* (см. 1.1.1 и 1.2.1). Надо учесть,
что нулевой элемент в Л* есть функция, почти всюду равная нулю.

Линейная независимость системы (1) следует также из орто-
гональных свойств тригонометрических функций (т, п = 0, 1,2,...)

ЗТ	ЗТ	х -

1 с •	,	1 с	,	| 1, т = п,

— \ 8Ш тх 8Ш пх ах = — \ со8 тх со8 пх ах = <

п	I 0, т Ф п,

— 31	—31	4	'	1

П

§ 81П ШХ СО8 ПХ 6?Х = 0.
— 31

2.1.3.	Если Тт и Тп тригонометрические полиномы соответ-
ственно порядков т и п и т^п, то сумма и разность их есть
тригонометрический полином порядка не выше т.

Произведение же их есть тригонометрический полином порядка
не выше т-\-п, что вытекает из равенств

СО8 тх со8 пх = у [со8 (т — п)х + со8 (т + п)х],	,

81п тх 81п пх = у [со8 (т — п) х — соз (т ф- п) х],
со8 тх 81п пх = у [зш (т + п) х — зт (т — п) х].

2.1.4.	Из ортогональных свойств системы 2.1.2 (1) вытекает,
что если тригонометрический полином четный (четная функция),
то он содержит в качестве своих членов только косинусы (0* =
»=0), и если он нечетный, то только синусы (аА = 0).
Рассматривая действительные части равенства

СО8 ПХ + I 81П ПХ = (СО8 X 4- { 81П х)п,
получим

СО8 ПХ = СО8ЛХ Сп СО8Л-2Х (1 — СО82 х) + С„ СО8Л-4Х (I — СО8аХ)2 +...,
откуда следует, что всякий четный тригонометрический полином
п-го порядка можно представить в виде Рл(со8х), где

Р„(г) = а0 + а1г + ... + апгп

есть некоторый алгебраический многочлен п-'й степени.

С другой стороны, из равенства

СО8Л х = (е‘х+^_,х)п = А. ^пХ + С^е/ («-2) 4-... 4- е-^)

следует, что

СО8лХ=^г

п

СО8 ПХ 4- Сп СО8 (п — 2) X 4- .. . 4- Сп

п ~

СО8 2%4-^-

(1)

для п четного,
[Г п 1 т

СО8 ПХ 4-СО8 (п — 2)х4-..- + Сп СО8Х4 (Г)

для п нечетного.

Таким образом, функция Рл(созх), где РП(?) есть алгебраи-
ческий полином п-й степени, представляет собой четный поли-
ном п-го порядка.

2.2. Важные примеры тригонометрических полиномов

Из равенства

п,

к = 0

е1 ГЛ4-1) X_

е1х—\

рассматривая в нем отдельно действительную и мнимую части,
получим

1	"	 яп(п4-у)х

у 4- У со8 кх = —------г^- = Рл(х),	(1)

А = 1	2 ЯП у

Л	С08-Х- — СО8 П-Ь-Н- *

у 81П кх------±\ -V- = Я* (X).	(2)

*±1	2 яп
В частности, равенство (1) показывает, что полином
обращается в нуль в точках

(*=1, .... 2п)

интервала (0, 2л), следовательно, его также можно записать
в виде произведения

2п

Оп(х~) = А ]| 81П“—
*=1

где Л — постоянная. Полагая в этом равенстве х = 0, получим
соотношение

2п4-1

2 “

2п

А П 51пТ’

А = 1

из которого можно определить А.

Тригонометрический полином О„(х) играет большую роль
в теории рядов Фурье. Он носит название ядра Дирихле.

Отметим, что (пояснения ниже)

я . 2Л+1	"I . 2га4-1 I

Р яп —5—х	р мп —=!—х

---— ^ = 2 ]----------7---Ь^ + 0(1) =

X «п Т	о

(2п+ 1)л
2	пл

= 2 $ 1^1 ди + О (1) = 2	-|-0(1) =

о	л

п — 1 л	п—1	л

-2 2	+ 2е )5|п“Л'+0<1>“

Л*=1 0	йх=1	о

п—1

=42 |+о(1)=41пге+°(1) («=1.2,...). о)

А=1

Величина	носит название константы Лебега суммы

(п-го порядка) Фурье. Здесь О (1) обозначает некоторую ограни-
ченную функцию от натурального п. В приведенных выкладках
мы воспользовались ограниченностью функции лг1 —(зшх)*1 на
О, у и тем фактом, что для и е [0, л]

п—1

1	\ V 1

---г—;— =Сс 7 т^<С1<оо.

кя-[-и ]	к2 1

1
При конечном р>1 норма ||/>л||л* неограничена:

р

2п4-1
П~Г~

2 8[п *-

. 2гаЧ-1
51п~2~х

х

(1Х>

2п4-1

-2-л

>српр~1	и- ди > АрПР-1 (п=1, 2, ...).

о

(4)

2.2.1.	Разделяя действительную и мнимую части равенства

1— е1х

1____(П4-1) X

получим

81П («+ 1) X

п  Х

2 8Ш-

 о Я -|- 1

 1—СО8(П-|-1)Х ___81П	2 х

2 81Пу	ЯП у

2.2.2. Воспользовавшись 2.2 (1) и 2.2.1 (2), получим

1+ 2	2 0И%)=

6=1	6=0

п

----------— У 81П (к +^-}х

2 (п+1) яп у

1	2

(п+1) 2яп^

Гп(х).

(1)

(2)

(О

Этот полином в теории рядов Фурье носит название ядра
Фейера порядка п.

Заметим, что функция

(х) =

(2)

где 1 и а —натуральные числа, есть тригонометрический полином
порядка х =	1), так как она только на постоянный мно-

житель отличается от а-й степени ядра Фейера (х).
Для дальнейшего будет полезно оценить точный порядок
изменения величины

л	л

а,, = кх. (х) <1х = 2	(х) <1х,	(3)

— л	О

когда V = 1, 2, ...

Если принять во внимание, что

то будем иметь

2

— а 8ш
л

Но

(%=1, 2, ...).

Очевидно, таким образом, что при фиксированном а

ау^Л2а-1 ^=1> 2> ...).	(5)

Введем еще тригонометрический полином

(%) — - ку (х) —

<лу	иу

(г = Ог(Ь-1)),

(6)

где а>0 —фиксированное целое число, А.= 1, 2, ... и Оу — кон-
станта, определяемая равенством (3).

2.3.	Интерполяционный тригонометрический полином Лагранжа

Если два тригонометрических полинома Тп (х) и <2л(х) сов-
падают в 2и-|-1 различных точках полузакрытого интервала
а^х<а-\-2п, то их разность Тп(х) — (1п(х), являющаяся поли-
номом порядка п, равна нулю в этих точках, а следов'ательно,
и тождественно равна нулю, так как не равный тождественно
нулю полином п-го порядка может иметь на периоде не более
2п нулей.

*) Всюду в этой книге мы считаем, что а-,_ ~ йд, (А. е <»)• гДе & есть некото-
рое множество чисел X, если существуют две положительные константы сх и
такие, что для всех 1 = 6" выполняются неравенства сха-К сга\.
Итак, тригонометрический полином Тп (х) порядка п вполне
определяется своими значениями

Уо> Уп> •••, Уъпг

соответствующими каким-нибудь 2п-|-1 различным точкам

х0 < хг <

< х2л < х0 + 2л

периода.

Нетрудно написать эффективное выражение для него.

Действительно, на основании 2.1.1 функция

...8[П х—х^ з!п х~х^\

0.м & = -7^-----------х Л ~гЛтД--------------

„!п хт х0	т~1 чт Хт Хт+1 <ип Хт Х*п

ыи---2--• • • «ш 2 йн1 2	'''	'	2

(т = 0, 1, ..., 2п)

есть тригонометрический полином порядка п, обладающий, оче-
видно, свойством

<Э(т)(^)=4 1’ к,~т' (й, т = 0, 1........2п).

( 0,

Поэтому искомый тригонометрический полином Тп(х), удовле-
творяющий условиям

Тп(хк) = ук (6 = 0, 1, ..., 2п),

можно записать в виде

2п

ТП(Х)= 2 (УтЧх)Ут =
т = 0

2" 81П--... 81П ----81П -------81П --------

__	2	2	2	2

Хт х° стп Хт хт-1 хт хт+1 . хт х2п

т—о 81П---2---••• мп--2----51п----2	• • • яп-2--

Особенно важным является случай равноотстоящих узлов
интерполяции, т. е. когда

*‘-ЕТГ	1....2 * * * * * В">-

В этом случае можно написать простое выражение для (х),
если принять во внимание, что тригонометрический полином

. 2л+1

1	«п~2—

па (X) = + СО8 X +... + СОЗ пх =----

4И	Г»

2 8т 2

(1)
обладает свойствами

Ол(0) = ^-, Оп(х* *) = 0, х* =

Отсюда следует, что полином

С(т) (*) = гДт °л - Хт)

(*=1’2....2«)’

(т = 0, 1, 2, ...)

удовлетворяет условиям

С1т) (хА) =

1,

О,

к = т,
к^=т.

Таким образом, всякий тригонометрический полином

Тп (х) = у + 2	С05 кх + Ьк 3*П Йх)

4 = 1

можно записать в виде

2л

Тп (х) = 2«+1 2	=

к = 0

2п

2п 4“1

к = 0

(2)

(3)

 2л + 1	.

ЯП —=--(X — хк}

-------------Тл^)-

яп—2

Заменяя в этом равенстве Ол (х) соответствующей суммой,
получим *)
2п п

2^гт 2 2со81 Тп =
к = 0 1 = 0

п |- / 2л	.	, 2п

2л 4-1 2	2 СО8 1ХкТп (ХА) 1 СО8 »Х +1	81П 1ХкТп (Хк) I 81П 1х .

г=о|_\А = О	/	\А=0	/

Сравнивая коэффициенты при соз й и 81п 1х с соответствующими
коэффициентами Тп(х), получим

2п
2

а/=1^+12 со81ХкТп (Ха) =°»1.............п>»

А = 0

2л

= 2л+1 2 $га1х,>Тп(хк) (/=1, 2,	п).

<к=О

п	п

•) Мы считаем, что и* = у+ ик.
к = 0	к = 1
2.4.	Интерполяционная формула М. Рисса*)

Если Тп (6) есть тригонометрический полином

7\(0) = у + 2 (алсО8М + М1п66),	(1)

то для него справедливо тождество

2п

Тп(0) = а„СО8П0+^2 (~1)Ас1§Ц1тп(0А),	(2)

4=1

где

04 = ^-л	(6=1, 2..2п).

Докажем его.

Точки 0А суть нули полинома соз «0, поэтому

2п

соз /10 = А Л з1п —Д—.	(3)

4=1

Отсюда функция

^-(л+М

(?т} (9) =	(-1 )от	= (-1)'"«	---г-1---

2	гп 8,п е-в^

(т= 1, 2, ..., 2п)

есть тригонометрический полином порядка п, так как она пред-
ставляет собой произведение вида (3), в котором множитель
81п 2 заменен на множитель зш— 2	. Этот полином,

очевидно, равен нулю во всех точках 0А, за исключением точки 0т,
где он равен единице. В последнем можно убедиться, применив
правило Лопиталя. Итак,

(9*) = !*’	(М=1, 2, ..., 2л).

( 0, т^=к

Отсюда следует, что функция

2п

П(0)=^2

4 = 1

есть тригонометрический полином порядка п, совпадающий
с исходным полиномом 7\(0) в нулях созп0. В таком случае

) М. Рисе [1].
на основании теоремы 2.1.1 о нулях тригонометрического поли-
нома

Тп(0) = ссо8п6 + П(0),	(4)

где с — константа.

Нам осталось еще показать, что

с: ап.	(5Т

В самом деле, коэффициент Фурье тригонометрического поли-
нома со8 пб с1§а~^-, соответствующий созпб, равен

— ( со82 пбс!§{ со8а п (и4- 0А) с!§~ с1и =
Я	л	л	&

—л	—л

л

~	81п2 пи с1§ у с1и = О,

—Л

так как подынтегральная функция в последнем интеграле нечет-
ная. В таком случае полином ф(т) (6), а следовательно, и поли-
ном Т„ (0) не содержит в себе члены с созпб. Отсюда из (1) и
(4) вытекает (5).

Тождество (2) доказано. Если продифференцируем его и поло-
жим затем 6 = 0, то получим

2п

4 = 1	МП2-|

Это последнее равенство справедливо для любого полинома
порядка п, в частности, оно справедливо для полинома Тп(и-[-&),
где « — переменная, а 6 зафиксировано произвольно. Таким
образом, для любого 6 имеет место

2п

^(0)=^ 2 (-1)А+1-Чг?^0+0^	(б>

4 = 1	З'П2-?-

Это и есть формула М. Рисса.

2.5.	Неравенство Бернштейна

Если положить в формуле М. Рисса 2.4 (6) ТП (0) = 81п «0
то при 6 = 0 получим

п

— VI 1__________

П 4п . „О* ‘

Й=1 81П2-^

(1>
Поэтому из 2.4 (6) для любого тригонометрического полинома
порядка п следует неравенство

|| Т'„ пЦ Тп|]ь*	(1=^р^оо),	(2)

(2л	\ 1/р

5 трм\ ,
о	/

называемое неравенством Бернштейна.

Оно является точным в том смысле, что существует триго-
нометрический полином, для которого оно превращается в равен-
ство. Именно, это имеет место для полинома

Тп (6) = А 81п (пб + а),
где А и а—произвольные действительные константы.

2.6.	Тригонометрические полиномы от многих переменных

Функция вида

...уп(гх, гп)= 2 ск1.............кае1(к^+-+кп^г (1)

г=1..п

где^, ..., л’п — натуральные числа, гх, ..., г„ —комплексные
переменные и ск1..— постоянные коэффициенты, вообще говоря,

комплексные, зависящие от целых к1г ...» йп, называется три-
гонометрическим полиномом порядков ..., соответственно
по переменным гх, ..., гп.

Употребляя векторные обозначения

* = (У1, ..., А’п), Л = (^1.кп),

г = (ги г„),	=

1

будем еще писать

Т=Т,(г)=	2 с^

/= 1..п

и говорить, что Т =Ту есть тригонометрический полином от г
порядка V.

Если коэффициенты удовлетворяют соотношениям

с-к = ск,	(2)

т. е. если они изменяются на им сопряженные числа при пере-
мене знака у всех индексов к{, то для действительных г ="
= (21, гя) полином Ту есть действительная функция. В самом
деле, если х = (х1г ..., х„) есть действительная точка, то-
в силу (2)

Ту(х)= У, ске~1кх = У с_ке~1кх = Ту (х).

2=1, п	2=1, ...» п

Мы будем главным образом иметь дело с полиномами, удов-
летворяющими условию (2), которые естественно назвать дей-
ствительными тригонометрическими полиномами.

Для комплексных 2 действительные полиномы Ту (2) вообще-
не являются действительными, но они делаются действитель-
ными функциями, если их рассматривать как функции от дей-
ствительных х=(хъ ..., х„).

Мы определили действительные тригонометрические поли-
номы Ту как линейные комбинации (1) из комплексных функ-
ций е1кх с комплексными коэффициентами, удовлетворяющими-
условиям (2) сопряженности, но их можно определить также
как линейные комбинации с действительными коэффициентами
из действительных функций. Такими функциями являются все-
возможные произведения вида

Ф1(х1)ф2(х2)...фл(х„),	(3>

где фг(хг) (1=1, ..., п) есть либо функция зтйх; (1«С&=ё:^),
ЛИбО фуНКЦИЯ СО8&Х; (0 ==5 & «С V/).

Наоборот, всякая линейная комбинация из функций вида (3)
с действительными коэффициентами есть сумма вида (1) с коэф-
фициентами, удовлетворяющими условию (2) сопряженности,
т. е. действительный тригонометрический полином порядка
* = (^1...У„).

Тригонометрические полиномы Ту суть непрерывные перио-
дические по каждой переменной функции и, следовательно, они
входят как элементы в пространство С* и тем более в про-
странство А*п) (см. 1.1.1).

Различные функции вида (3) удовлетворяют условию ортого-
нальности на прямоугольнике

Л(л) = {0	2л; 6=1, ..., п}

и потому образуют линейно независимую систему в С* и в Ь*
(1 ^р^оо).

В качестве примера отметим, что всякий действительный
тригонометрический полином порядков р, V соответственно по
х, у можно записать в виде

Ц V

Т^(х, у)= У У (аА/СО8 йх со8 1у +

А=0 1 = 0

-\-Ьк1 СО8 кХ 81П 1у + ск1 81П кх СО8 1у + йк1 81П кх 81П 1у),

где ак1, Ьк1, ск1, д.к1 — действительные коэффициенты.

Если в полиноме Ту, (г) зафиксировать все переменные, кроме
одной, например, г,, то мы получим, очевидно, тригонометри-
ческий полином от одной переменной 2/ степени и к нему
приложимы все свойства тригонометрических полиномов от
одной переменной.

Однако тригонометрические полиномы от многих переменных
обладают также интересными свойствами, которые трудно зара-
нее предвидеть на основании только знаний свойств полиномов
от одной переменной.

2.7.	Тригонометрические полиномы
по некоторым переменным

Пусть = с—цилиндрическое множество точек
х = (и, у), и = (х,. хт)(=Ят,	у — (хт+1, ..., ха) <=<&’, где

<з'— измеримое (« — и)-мерное множество. Выделим из & усечен-
ный цилиндр

$ * = Д(т) х ,

где

д(т) _ {о хк 2л; к=\, ..., т}

есть т-мерный куб, и введем пространство Ь* (<?) функций / =
= /(х) (действительных или комплексных), принадлежащих
к Ьр(<^*), и почти для всех уе®'' (в смысле (и —т)-мерной
меры) периодических периода*2л по каждой из переменных хъ ...
..., хт. Очевидно, Ь* (©) —полное пространство.

Обозначим далее через

Тх (х) = Ту, (и, у) = Ту, (хг.хт, у)

функции такие, что каждая из них принадлежит к Ь* (<^) и почти
для всех	по и = (хг, ..., хт) есть тригонометрический

ПОЛИНОМ*) ПОрЯДКа Г = (У1, ..., Ут):

Множество всех таких функций при данном V обозначим
•через ЭЛ«р (<з). Оно, очевидно, линейное.

*) Надо иметь в виду, что функция, эквивалентная (относительно <?) функ-
ции Ту, (х), рассматривается как равная Ту.
Каждая функция Ту <= Ьр поэтому (теорема Фубини)
существует множество сг полной меры такое, что Ту (и, у) е
е	с I (А!т)) по и для всехуе^'! (Д(т) ограничено!).

Можно заодно считать, что для всех у имеет место пред-
ставление

Ту (и, у) =	2 ск(У)е1ки,	(1)

-у[<к[<У1

1 = 1.п

где ск (у) — некоторые функции, зависящие от .у. В силу орто-
гональных свойств е1ки справедливы равенства

Сй^ = (2^ X Л, (и, .У) с?и,	(2)

дРП>

из которых следует, в частности, по теореме Фубини, что с* (.у) —
измеримые функции на <о', потому что Ту, как принадлежащая
к	во всяком случае локально суммируема (если бы

даже <?' было неограниченным). Из (2), применив обобщенное
неравенство Минковского, а затем Гёльдера, получим

II ск (у) \\ьр т (2^ 5 |] Ту [и, у) ||гр (^> аи

Д(т)

(2^ Iд (т) 11/71!=с ВК	(I +1 =1) ’ &

Р	Р	У [У	у	1

где |Д(т)| есть (т-мерный) объем Д(т) и с —константа.

Мы доказали, что каждая функция Ту е ЭЛ*р (<^) представима
в виде (1), где ск(у) удовлетворяют неравенствам (3). Обратное,
очевидно, также верно.

Пользуясь этим свойством функций ЭЛ*р(^>) и тем фактом,
что пространство Ьр($') полно, легко видеть, что верна сле-
дующая лемма.

2.7.1.	Лемма. Множество ЭЛ* (^) есть подпространство
в

Если & = Кп, т. е. ' пусто, то ЭЛ* (<э) есть, очевидно, к тому
же конечномерное подпространство. Если же имеет положи-
тельную (и — иг)-мерную меру, то ЭЛ* (^) не конечномерно.

2.7.2.	Для функций

Ту=Ту (Х1, у) е эл*р (^) = ээп (/?! х

(являющихся тригонометрическими полиномами по степени V)
почти для всех у Е®1', выполняется обобщенное неравенство

4 С. М. Никольский
Бернштейна

<*>

(^ф=[0, 2л]х<з'; Х1 е [0, 2л],

Действительно, Тх(х1, у) есть тригонометрический полином
по Х1 для всех у е 5 с где множество полной меры в .
Поэтому на основании 2.5 (2) при 1^р<оо

(2)

Интегрируя обе части этого неравенства по у е и возводя
в степень 1/р, получим (1). При р = оо неравенство (1) очевид-
ным образом вытекает из соответствующего неравенства 2.5 (2).

2.7.3.	Другие неравенства для тригонометрических полино-
мов, которыми мы будем широко пользоваться, см. в 3.3 и 3.4.
ГЛАВА 3

ЦЕЛЫЕ ФУНКЦИИ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОГО ТИПА,
ОГРАНИЧЕННЫЕ НА Кп

3.1. Предварительные сведения

В этой главе мы рассмотрим некоторые свойства целых функ-
ций экспоненциального типа, ограниченных на действительном
пространстве	Мы увидим, что они весьма аналогичны

соответствующим свойствам тригонометрических полиномов. В то
время как тригонометрические полиномы являются хорошим
средством приближения периодических функций, целые функции
экспоненциального типа могут служить средством приближения *)
непериодических функций, заданных на и-мерном пространстве.
Быть может, неискушенному в этих вопросах читателю следует
начать эту главу с чтения 3.1.1, где дополнительно даются
общие сведения из теории кратных степенных рядов.

Зададим п неотрицательных чисел , хп (не обязательно
целых) или неотрицательный вектор V = (уь ..., гл) 0.

Функцию

§ =	=	...уя(гь ..., г„)

называют целой функцией экспоненциального типа V, если для
нее выполняются следующие свойства:

1) она есть целая функция по всем переменным, т. е. раз-
лагается в степенной ряд

§ (г) = 2 ак?ъ =	2 ак1.........г**	(1)

к. >0

1 = 1, .... п

*) Впрочем, в то время как тригонометрический полином определяется
конечным числом числовых параметров (коэффициентов), функция экспонен-
циального типа, вообще говоря, существенно определяется бесконечным (счет-
ным) числом параметров (например, коэффициентов ее ряда Тейлора), поэтому
в практических вычислениях появилась бы необходимость в приближении ее
еще более простой функцией.

4*
с постоянными коэффициентами а*== (а^,*л), абсолютно схо-
дящийся для всех комплексных я =(21,	г„).

2) Для всякого в > 0 существует положительное число Ав
такое, что для всех комплексных =	...,п) вы-

полняется неравенство

|§(г)|=^Л8ехр	(^ + е)|гу|.	(2)

/=1

Будем еще говорить, что указанная функция принадлежит
к классу Е„.

Положим р = (р1, ..., р„) (ру>0; /=1, ..., п), и пусть
|гу|^р/, М(р)= зир |^(г)|.

Тогда из свойства (2) следует, очевидно, неравенство

М (р) «С Ае ехр У, (V/ + е) р/,

/=1

и наоборот, потому что

\д(г)\^м[ 2|гу|2>| ^Л8ехр + е) I г, [.

Производную порядка к = (к^ ..., к„) от § в точке г =*
== (?!, ..., г„) можно записать по формуле Коши

„(й) (2\_	** С С 8	••• > Сп) ^С1  ^.П	/О\

8	(2га)" Л	••• Л	Д *.+ 1	’	( )

С1 Сп И '+

/=1

где Су — окружность в плоскости с центром в Ху, Следова-
тельно, если считать, что г = 0 и Су имеет радиус ру, то полу-
чим неравенство Коши

।	। М (р)

Пусть

о _ к!

Уу+е

Тогда

Ы’СЛ/'-1	(8 = (8....8)).	(4)

Мы доказали, . что из (2) следует, что для всякого г>0
найдется Л8 такое, что выполняется (4). Согласно формуле
Стирлинга

Д -	П (1 + „)*/ (8,, -» о, к, - ОО),

*	«I	/ = 1

поэтому из (4) следует (2) (но вообще с другой константой В8):

п

М (Р) <2 I I Р* < 2 Рк =	(У/ + 28) ₽/>

к	к

где Ве — достаточно большое зависящее от 8 число.

Из доказанного следует, что если § е Ех, то и любая ее част-
ная производная е Еу. Дело в том, что из (4) следует, что
модуль (к — 1)-го коэффициента степенного ряда удовлетво-
ряет неравенству

I Ы „ 1^- л,е1*-^(у + 2е)*~*

где Ав достаточно велико.

Из сказанного следует, что в случае целой функции

/(г) = 2 а^к
к = 0

от одной переменной следующие два условия, каждое из кото-
рых выражает, что / экспоненциального типа степени V, экви-
валентны:

р-- 1П М (Г)

11ГП—(5)
г —> со г

И

Иш-^-ул|ал| = Пт }//г1	(6)

д-*со е	п-*со

Обозначим через ЭЛур (/?) = Я)^р (1=ср=Ссо) совокупность
всех целых функций экспоненциального типа V, которые как
функции от действительного хеР = /?п принадлежат к Ьр =
= Д,(Д). Положим еще = т. е. ЭОД состоит из всех
функций типа V, ограниченных на Д.

Заметим уже сейчас, что в дальнейшем будет доказано, что
(см. 3.2.5 или 3.3.5) при любом р (1 ^р^оо) €0\.р с Кроме
того, будет видно (см. 3.2.2 (10), 8 = Рп, п = т), что для каждой
функции § е существует не зависящая от г константа А
такая, что

2 У/|^|

| § (2) Ае1 =1	(гу = х) + %•).	(7)
Это неравенство сильнее неравенства (2). Из него непосредст-
венно следует, что § ограничена на 7?„. Таким образом,
можно определить как класс целых функций / (г), для которых
имеет место (7).

Функции

...	, е1кг'е~1кг .	е1кг_е-Цгг

соз яг = —------, 81пяг =--------->

где к — действительное число, принадлежат, очевидно, к классу
ЯП|Й|(7?1) = !Ш)А(.

Тригонометрический полином

ГV (%) — Т\, .... Уп (21, .. •, 2П) = У!
ы

принадлежит к 3)^ (7?„), но не к 37Ц, (1==5р<оо).

Функция 81пг/г от одной переменной г принадлежит к ЗЛ1р (7?х)
Кр^оо. В самом деле, как функция от действительного х
она, очевидно, принадлежит к Ьр с указанными ограничениями
на р. С другой стороны, она есть, очевидно, целая функция;
далее, 81пг есть целая функция, и нетрудно видеть, что для нее
При некоторой константе сг выполняется неравенство

181пг |

Поэтому

|41|<с1е1у| (|г>1).

С другой стороны, существует положительная константа са та-
кая, что

| — |<с2	(|г|<1).

Но, так как	то

Таким образом, имеет место

ЯП-? 1^се!е1 аля всех 2>

где
с = тах(с1, с2).

Функция е* принадлежит к Ег (Ех), т. е. есть целая экспо-
ненциального типа, но не принадлежит к 377^(7?!) при любом р
(1 ^р^оо). С другой стороны, функция принадлежит, оче-
видно, к ЭЭТ100 =	(/?х). Алгебраический многочлен Р (г) =*

п

есть, очевидно, функция типа 0 не принадлежащая
о

однако к ЭЭТОр(^1) ни при каком р (1 =С р=Соо). Из дальнейшего
(см. сноску на стр. 115) будет видно, что если / е ЭЭТОр (/?!), то
/—константа (равная 0, если 1=Ср<оо).

Очевидно, с: ЗЛу'р, если

V = (VI, .... Vп)=ё^V, = М, ..., ч'п), Т. в.	(/= 1, ..., п).

Если считать, что обозначает некоторую функцию из класса
ЭО^, то, очевидно,

ёчё^ = ёч+\1г	ёч' = ёр>

где

|* = (н.....Цл), Р/ = тах(у/, V/),

П ёч, (г/) =ёч (г).

/=1

Легко видеть, что если § есть целая функция типа единица
по всем переменным и р/=#0 (/= 1,..., п), то ^(р^, ... , цлхл)
есть целая функция типа |Ц1|, ..., |ря|. Верно и обратное
утверждение. Можно, пользуясь приведенными общими свойст-
вами, конструировать из заданных целых функций экспонен-
циального типа другие такие функции. Мы применяли для этого
операции сложения и умножения, взятые в конечном числе.
Важным средством конструирования целых функций экспонен-
циального типа является процесс интегрирования по параметру
(см. 3.6.2).

3.1.1. Сведения о кратных степенных рядах. Достаточно все рассмотрения
провести на примере двойных рядов. Для рядов более высокой кратности они
аналогичны.

Под суммой ряда

ОО со

5=2 5“*/.	(1)

й = 0 1=0

где вообще говоря, — комплексные числа, понимается предел

1>т 2 2 “Н=3	(2)

т, л->со к_0 1==0

(если он существует), когда натуральные числа тип неограниченно воз-
растают независимо друг от друга.

Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд с членами
| ик11, Очевидно, абсолютно сходящийся ряд сходится.

Если ряд (1) абсолютно сходится, то его члены равномерно ограничены,
т. е, существует константа К такая, что

\ик1\^К	(Л, / = П, 1,2,...).
Однако если ряд (1) сходится неабсолютно, то его члены не обязаны быть
равномерно ограниченными, как показывает пример ряда

СО со

(3)
о о

где 001 = 11, ац=— II, аы = 0 для остальных натуральных к, I. Он сходится
к сумме, равной нулю, но не абсолютно, и члены его не ограничены в сово-
купности.

Рассмотрим степенной ряд

/ОЪ С)=22зд‘С'.	(4)

о о

где сд/— комплексные постоянные и г[,	— комплексные переменные. Пусть

•тот ряд абсолютно*) сходится в точке т]0, Ео, где т]0 =?а О, =?а 0. Тогда он
сходится также абсолютно н равномерно для любых г], удовлетворяющих
неравенствам

1’11^Р11«1о|, 1С1«^Ра1Со|. 0<Р1. Ра<1-	(5)

В самом деле, существует константа с такая, что

РлЖ|<с (й, /-0, 1,,..),

поэтому для указанных т],

кллччнгйХФ|^ПИ^ер'р*

и, следовательно, члены ряда (1) по абсолютной величине соответственно
не превышают членов сходящегося ряда

(1 — Р1)(1—р2)

Ряд (1) законно почленно дифференцировать для указанных т[, сколько
угодно раз. В самом деле, после однократного дифференцирования, например
По г), общий член полученного ряда для указанных т[, будет удовлетворять
неравенствам

|сл/^Й_1^1 = |с«^о||т^7||^| Непо-

следовательно, продифференцированный ряд равномерно сходится в области (5),
так как сходится ряд

22^Р?-1Р2 <°°-

Из сказанного следует, что

1 дЛ+,/(0, 0)

Ск1~ к\1\

*) Если отбросить слово «абсолютно», то это утверждение вообще неверно.
Например, если в (4) в качестве сд/ взять коэффициенты ад/ ряда (3), то ряд (4)
сходится при ^г] = ^=1 и расходится при г] = 0 н любом ^=^0, так как он
вырождается в этом случае в расходящийся ряд

СО	со

о	о
Это, в частности, показывает, что разложение рассматриваемой функции /
в степенной ряд (1) единственно.

Функция /(т], □, представимая в виде абсолютно*) сходящегося степен-
ного ряда (4) в комплексной области, определяемой неравенствами

I П I < Р1. I С I < Ра.	(6)

называется аналитической в этой области.

Пусть /(я, ^) —аналитическая в области (6) функция. Тогда при фикси-
рованном я (| я | < р1) и произвольном (| $ | < р2) функция

ж

разлагается в сходящейся по степеням ряд. Поэтому / (т], есть аналити-
ческая функция от для | ^ | < р2. Аналогично / (т], при фиксированном
5 (I С I < Ра) есть аналитическая функция от г] для | я | < рР Отсюда следует
представление / в виде интеграла Коши

Нт1 П = 1 в >	С С Ж-ЖЖ-	171

и — я	(2га’)а	(а—я)(О-^Ч) ’

получаемое путем последовательного применения этого представления по каждой
из переменных я. Здесь Съ С2— окружности соответственно в комплексных
плоскостях я> Ь с центрами в нулевых точках и радиусами г± < р1( г2 < р2 и
I Я I < И. I ? I < т2.

Так как ряд

1 V V №
(и — я) (°—	+

равномерно сходится относительно ие.С,, у е С2 и я> удовлетворяющих
неравенствам

| Я I < Л < ГЪ | Ё | < Г2 < Г2,

то подстановка его в (7) и почленное интегрирование приводят к исходному
равенству (4), откуда

Ск1

Ни, у)
и>>+1у1+1

<1и &>.

(3)

Если бы мы исходили из произвольной непрерывной на С1( С2 функции / (и, у),
то интеграл (типа Коши), стоящий в правой части (7), был бы равен некото-
рой функции Р (и, у), представляемый в виде абсолютно и равномерно сходя'-
щегося для | я I < г[, | & | < г2 ряда

? (и, о) =2 2 Са/яЧ'.	&

Л —О 1^0

каковы бы ни были г( </1 и г2 < га. Таким образом, функция К (а, ц) анали-
тична, если | Я I < И, | С | < г2.

*) Здесь слово «абсолютно» можно опустить, так как можно доказать, что
из сходимости ряда (4) для всех (I) я> С с 1Л I < Р1> IС I < Ра следует его
абсолютная сходимость для всех указанных я> Ь-
И» того факта, что функция /, аналитическая в области (6), является
аналитической по каждой переменной, следует формула

2л 2л

/(П> 0 =	^(п + ге'0- & + рег'0Н0<*ф.	(Ю)

о о

0<г<Р1—|т)1, 0<р<рг —|Е|,

которая получается из соответствующей одномерной формулы.

Отметим еще такое свойство: если последовательность аналитических
в области (6) функций (т), 2) сходится при Л'->-со равномерно на множестве

I И I -</-!< рь |^|<Г2<Р2

при любых указанных г2, г2, к функции / (т), 2), то последняя аналитична
в области (6). Чтобы убедиться в этом, подставим в (7) вместо / и перейдем
к пределу прн #->оо, тогда для предельной функции /(т), 2), где | г) | < гъ
]21<га> будет выполняться (7), что показывает, что она аиалнтнчйа для
| г) | < Г1, |2|<г8 н вследствие произвольности гг < рп г2 <р2 аналитична
в области (о).

Пусть задана последовательность степенных рядов

/л(п.	(п=1, 2, ...),

абсолютно сходящихся для т) — т]о=?^О,	н таких, что

2 21	11 По I* I I' -> 0 (п, т ->оо).

о о

Тогда, очевидно,

11П1 с^=ск1,
П->со

где сы— некоторые числа. Прн этом ряд

ни.
о о

абсолютно сходится при т) = т)0, 2=г&)> и Для I И | «5 т)о. | С I Со

о-мп.
о о

откуда видно, что равенство

Нт /„(гр 0=/(п> С)

Л-»оэ

имеет место равномерно в области

I и I I По Ь 1< I Со1-

В втой книге мы будем оперировать только целыми функциями

/(*)= 2 а/А	(П)

*>в

г. е. такими функциями, для которых ряд (11) абсолютно сходится для всякого
комплексного г.
Из отмеченных выше свойств аналитических функций следует, что степен-
ной ряд (И) целой функции сходится равномерно на любой Ограниченной
области, так же как и ряды, получаемые почленным дифференцированием (И),
которое законно производить по любым переменным г1э ... , гп любое конечное
число раз. При фиксированных гт+1, ... , гт функция /(г1( ... , гт, 2т+1,...
..., гя) есть целая функция относительно г±.гт.

Если функция {(г) целая, то ее можно разложить (единственным образом)
в ряд

/(*)= 2 сл(г—г0)й
к	к	к

по степеням (г—г0) = (?1 — г01) 1... (гя — гОя) п, абсолютно сходящийся для
всех г. Например, в случае п = 2 это утверждение следует из того, что фор-
мальные тождества

ОО 00

/ (21> 2а)= 2 5 ак1г1гч“

5 аы 5 ^Х2!» ’(21_21о)* 2 ^2ОТ 1	г2о)/’“

4ж.0Ь0	5=0	/~0

— 2 У Сцу (21 — 21д)^ (г^ — 32о)*
ц=0

законны по существу. Последнее равенство получено после приведения подоб-
ных членов при одинаковых степенях (?1 —	(г2 — г20)'’. Чтобы обосновать-

его, достаточно показать, что его левая часть есть абсолютно сходящийся
кратный ряд, т. е. что

5 5 1°«1 2 СИ~’ (х~хоУ 2 С^-^-р0)'<со
*«вг=о »=о	/=о

(хо = |2ю1. Ро — 1 220 1» х—хв—| 21—2ы |, р—Ро —I2» —2ао|).

Но это так, потому что все члены этого ряда неотрицательны и его сумма

2 2 । । хку1 < 00
О 1*0

по условию сходится.

3.1.2.	Преобразование Фурье функций класса Из 3.1 мы
знаем, что целую функцию от одной переменной

Г(г)=а0 + ^г+%г* + ...	(1)

типа ст>0 можно определить как целую функцию, обладающую
одним из следующих свойств:

Шп1п^-^<а	(2)

/—►СО г

ИЛИ

Пгп ая | < а.	(3)

п-юо
В силу этого можно сказать, что определяемая рядом (I)
функция Р (г) имеет тип ст тогда и только тогда, если ряд

Ж = у +1 +1

(4)

сходится для | г|> ст.

Функция /(г) называется преобразованием Бореля функции Р(г).
С ней связан следующий интеграл:

ОО (8)

0

=	6),

(5)

взятый вдоль луча (^ = ре '9, Ог^р<оо). Именно, оказывается,
см. книгу Н. И. Ахиезера [1], § 81, что если целая функция Р
типа ст, то для нее интеграл (5) равномерно и абсолютно схо-
дится на любом множестве, внутреннем по отношению к полу-
плоскости А0, которая не содержит точку г = 0 и границей
которой является касательная к окружности | г | = ст в точке сте/9.
При этом имеет место тождество

/(*) = /(*, 6) (геЛ0)

для любого (действительного) 6.

Пусть известно, что функция Р (г) не только целая экспонен-
циального типа ст, но и принадлежит к А = А( — оо, оо) как
функция от действительного х, иначе говоря, Р	= ЭЭТа1.

Если положить в (5) 9 = 0, я и г = х-[-1у, то получим

о
о

— со

(х^ 0),

(х«с0).

(6)

(7)

Заметим, что на основании общих высказанных выше сообра-
жений мы могли бы сказать только, что интегралы (6), (7)
сходятся соответственно для х > ст и х < — ст. Однако в данном
случае рассматривается функция Р Для нее непосредственно
видно, что интегралы (6) и (7) сходятся в более широких
областях -(соответственно) х^О и. х$с0. Интегралы, получен-
ные из (6) и (7) формальным дифференцированием по г = х-\-1у,
снова, очевидно, абсолютно сходятся при х^=0 и х<0. Это
показывает, что интегралы (6), (7) определяют аналитические
функции при х>0 и х<0 соответственно. Они, следовательно,
совпадают на указанных областях с функцией /^ — преобразо-
ванием Бореля функции Р.
Из (6) и (7) для е>0 следует

I (е+1у)-I (- в + 1у)= | Р (I) е-^вг» । Я (11,

—ОО

откуда, перейдя к пределу при е~>0, получим

0-] Р(1)е-^(Ц	(|^|>ст),

т. е. преобразование Фурье функции Р е 3)1^ есть функция
(непрерывная), тождественно равная нулю вне отрезка [—ст, ст].

Если ст — (сть ..., ст„) — положительный вектор и Р е ЙКа1(/?п) =
х= ЯЯа1, то ? (х) есть непрерывная на 7?л функция. Так как Р (иг, ...
..., ип) = Р(и) есть целая типа оу функция по ии принадлежащая
к /,(/^1) = Е(—оо, оо) почти для всех и' = (ы2, ..., ип) из соот-
ветствующего (п—1)-мерного пространства, то для таких и'

\р(и!,	(|х21>оу),

но тогда Л(х) = 0, если | | > стх. Это рассуждение можно про-
вести для всех хД/=1.....п). Тем самым доказано следующее

утверждение.

3.1.3.	Теорема. Если Р е 3)1^, то Р (х) — непрерывная функ-
ция, равная нулю вне

Аа={|х7[^сту,	/«=1....и}.

3.1.4.	Известно, и в этом заключается теорема Пэли — Винера*),
что если Р е ЭЛ<г2> « = (<*1» • • •. °л). то функция

(1)

где интеграл понимается в смысле сходимости в среднем

р(«)^М«|	+ 0 (АГ-^оо),	(2)

д* кем

А№={|х7|<У)	/=1, ... п},

не только принадлежит к Ь2(Яп), как это вытекает из (2),
но, кроме того, Р (х) = 0 почти всюду вне Аа. Наоборот, если

*) Пэли и Винер [1] при п=1. Доказательство в этом случае см.,
например, в книге Н. И. Ахиезера [)]. Планшерель и Полна [1]
при п > 1.
Ф — произвольная функция из Ь2(Да), то функция

ГМ = -^02 ?*₽(») ^ха аи	(3)

принадлежит 3)?^, и определяемая формулой (1) функция Р — у
почти всюду.

Легко проверяется, что если считать, что Р (х) е пред-
ставляет обобщенную функцию (Р е 5'), то функция Р (х) пред-
ставляет преобразование Р (в смысле 5) и Р = Р (см. 1.В).

Таким образом, преобразование Фурье функции Р = можно
рассматривать как обобщенную и обычную функцию, и притом
принадлежащую к Ь2 (Аа).

Из дальнейшего будет видно, что если 1	и 5 е 331^, то

Р е ЗЭТа2> поэтому Р имеет носитель на Да и г е Ь2 (Аа). Но если
2<р^оо, то преобразование Фурье функции Р ^Ид1вр может ока-
заться существенно обобщенной функцией. Например, 1 а ЗЯОт =*
= а 1 = (2л)п/2б(х) (см. 1.5). Поэтому при р>2 утверждение,
что Р имеет носитель на Да может быть сформулировано только
на языке обобщенных функций.

Будем говорить, что обобщенная функция Фе5' имеет носи-
тель на Аа, если для любой основной функции <р (<р ® 5) такой,
что фиО на Д<т+г, где <тф-8 = {о1ф-е, ..., опф-е} имеет место
(ф, <р) = 0.

3.1.5.	Докажем следующую теорему, принадлежащую
Л. Шварцу.

Теорема. Если § Е ЗЯар (1 р «С оо), то § имеет носитель
в А®.

Доказательство. Введем функции ф8 (см. 1.5.8) и ф8 ==
= (2я)л/2фе. Так как ф8 <= 5, то ф8 е 5 с= Ьд ф- у = 1^, поэтому

Ь. Кроме того, функция ф8 целая экспоненциального типа е,
поэтому ф8р экспоненциального типа оф-8 = (ст1ф-е, ..., стпф-е)
и, следовательно, ф8^ е 3)1СТ+Е11. Значит, если сре5 и ф = 0 на
Ал+е, то (см. 3.1.3)

Ж?, ф) = 0.

После перехода к пределу при е—>0 получим (см. 1.5.8 (6))

ф) = 0, .

что и требовалось доказать.

Что касается обращения этой теоремы, то для наших целей
будет достаточно знать, что преобразование Фурье функции
(обычной), равной нулю вне Ла и принадлежащей к ДДАЛ, на
основании теоремы Пэли — Винера есть функция класса 33?^.
3.2. Интерполяционная формула

Пусть (см. Сайвин [1]) есть непрерывная функция периода
2у > 0 по каждому из переменных и а — (ах, ..., а„) такой век-
тор, что ряд Фурье

(|х7|<у),	(1)

к

(% =	] ^(и)е \	* > Ли,	(2)

абсолютно сходится, т. е.

(3)

Докажем, что если, кроме того, /, /е! (таким образом, /
и / непрерывны и ограничены на /?), то

©V (О IЙ = Нт	5	(*) “

| */| < АГ

1М<"	*

(4)

где ряд справа равномерно сходится относительно х Первое
равенство в (4) следует из того, что имеет место равномерная
сходимость при У->оо частичной суммы

Ьм(х) = Е

IМ < "

к ©V (х). В самом деле, учитывая, что / е Ь, получим

I I = Г(®у-^лг)?|

К-М1?П^->0 (У->оо).

Второе равенство (4) следует из формулы 1.6 (19). Третье оче-
видно.

3.2.1, Теорема. Пусть П (х) — П (хх, ..., хп) есть бесконечно
дифференцируемая функция полиномиального роста, четная или
нечетная. Если & (х) —четная, то будем предполагать, что для
любого V > 0 периодическая периода 2у по каждому из переменных
функция

(х) = П (х)	(|х/|<у; / =!,...,«)	(1)
разлагается на Дч в абсолютно сходящийся ряд Фурье (3.2. (1)
при а = 0). Если же & (х) — нечетная функция, то будем пред-
полагать, что ряд 3.2(1) при а = ач — [~, ...,	абсолютно

сходится.

Будем еще считать, что

ККС* (^\)	(2)

и

У, си < со.	(3)

к

Пусть далее § (х) е (/?„) =

Тогда имеет место равенство

^?=2сМх_а'’+^)	(4)

к

(а\, = 0 при четной й, =	... , при нечетной О), где ряд

сходится в смысле Ер.

Нетрудно видеть, что если й (х) есть нечетная тождественно
не равная нулю функция, то ей соответствующая периодическая
функция <оДх), вообще говоря, разрывна и без умножения на
е‘а( ее ряд Фурье заведомо не может абсолютно сходиться.

Доказательство. Зададим в! > 0, и пусть 0 < е < ех.
Введем функции ср8 и фе. В 3.1.5 было показано, что е ЭЛу+е, 1(
следовательно, ф8^ есть непрерывная функция с носителем в Д^8.
Таким образом, ф8^еТ и законно применить к формулу 3.2(4).

Имеем

Ае (X) — й	—

к

• ’ 2

(ау+е, = 0 при четной функции й и а\,+8,
при нечетной функции й).

В этих соотношениях всюду фигурируют обычные функции;
второе равенство имеет место потому, что й = й\+е1 на Д^81 —
носителе функции ф8^; третье равенство верно в силу 3.2 (4).

Так как	то ф8^ — ограниченная на 7? функция и

ряд (5) равномерно на Д сходится к его сумме, которую мы
обозначили через Ле (х). С другой стороны,

|Фе (Х)| =

§ <р8 (() е~1хе 61
а8

<ре^

Ав
и по условию § е Ьр, поэтому ряд (5) сходится к Ле (х) также
и в смысле Ьр. Будем именно так понимать сходимость ряда (5).
Заметим, что

^8 (X) = $ Фе (0 е~1х* &	1

Л8

(8-0),

поэтому

И т ЛЕ (х) = У (х - а„+е1 +
8—*0	“	\	*~ГЬ1

(6>

в смысле Ьр. В самом деле,

| Ле (х) — 2 с^ё ^х — о^+Е1 + у_|_е1) |

Iе*1"8' ||[^Е (Х — ^+8! + -^.^ ')—

I А/ 1 < Ы

%ё(х- ау+е, +	+ 2 2' | С”** | Ц § Ц1рг

где штрих во второй сумме обозначает, что сумма распростра-
нена на все к, которые не вошли в первую сумму. Всегда можно
взять М настолько большим, чтобы вторая сумма была меньшей
наперед заданного г] > 0, и затем подобрать е0 настолько малым,
чтобы первая сумма была меньшей г] для положительных е < 80,
что возможно по теореме Лебега. Обе части равенства (6) на
самом деле не зависят от ёх —это видно из (5). Из (6) после
перехода к пределу при е1->-0 следует наконец, что

ИтЛ8(х) = У (х-а.+ ~^-},	(7)

8 —* 0	“	\	у /

где ряд справа сходится в смысле Ьр, предел слева, как отме-
чалось выше, также понимается в смысле Ьр. В самом деле,
норма в смысле Ьр разности правых частей (6) и (7) не пре-
вышает

5 ке1-с*1Итр+ 2

1м<м	1м<А

— ё [х — «V + —+1| ё • 2 2 Iс* I >

где учтены неравенства (2) и (3), в которых надо считать, что
Уо = т4-е0 (е1<е°). Опять М можно взять настолько большим,
чтобы третья сумма была меньшей т], при этом X первая и
вторая суммы будут при достаточно малых ет также меньше
чем г], потому что -> и су+81 -> (ёх -> 0) (учесть, что
й —бесконечно дифференцируемая, следовательно, суммируемая
на Ду+г, функция).

Итак, (7) доказано.

С другой стороны (см. (5)),

(Ае, Ф) = (йф8^, ф) = 01Ш йф)т^т&, йф) = (й#, ф),

и мы доказали интерполяционную формулу (4).

3.2.2. Интерполяционная формула для производной целой функ-
ции экспоненциального типа. Эта формула будет получена как
частный случай общей формулы 3.2.1 (4). Пусть §ч(х)=§(х)^
а ШЦ, (7?1) = ШЦ,, т. е. есть целая функция от одной переменной
степени V, ограниченная на действительной оси. Для ее произ-
водной имеет место формула (1.5 (10))

^'(х) = /^.	(1)

Функция И бесконечно дифференцируема, нечетна и имеет поли-
номиальный рост. Рассмотрим периодическую периода 2у функцию

с0 1кп (

2 с^е V {И<у, а==-^-},
— 00

С I ( Я — и

& =	| ае'2’	=

к 2у 3

— V

1 С . /,	1 \ П . - V (— I)*'1

= ~ V \	аи = —±—^7.

о	"У”'2)

Ясно, что

и

2К01<00-

Поэтому функция И удовлетворяет всем требованиям, которые
предъявлялись к О (/) в 3.2.1. В силу 3.2.1 (4) справедлива
интерполяционная формула

г 2/

где ряд сходится в смысле Гр. Ее можно рассматривать как
аналог формулы М. Рисса для тригонометрических полиномов.
В дальнейшем будет видно, что 20Ц,	= ЭЛу и, таким

образом, на самом деле ряд (2) сходится не только в смысле Бр,
но и равномерно.

Если положить в (2) §(х) = ипхе аЛ100, и затем подставить
х — 0, то получим

Поэтому для любой функции § е (1 р оо) имеет место
неравенство

к'1кр^'’||(?[|Лр,	(4)

которое носит название неравенства Бернштейна *). Оно дока-
зано С. Н. Бернштейном ([1], 269 — 270) при р = оо.

Если г — х-\-1у есть произвольное комплексное число, то

ОО

^(г) = 2-^г-ги)(х), откуда
о

к(*+Шр^|р,№1!дР.	(5)

где норма слева взята по хе

Так как функция ё(и-\-1у) при любом фиксированном у по и
есть снова целая экспоненциального типа V, то из (5) следует,
что если #(г)еШ^р, то и ё(и-\-1у) е ЯПуР, но тогда верно
равенство (2), если заменить в нем х на произвольное ком-
плексное г:

-°°Г_27

где сходимость понимается по х(г = х-\-1у) в смысле БР(К1).
Мы уже предупреждали читателя, что в дальнейшем будет дока-
зано (см. 3.3.5), что ШЦ, с:	откуда непосредственно

следует, что ряд (6) равномерно сходится по х (г =* х 1у), а в силу
(5) легко следует также, что он сходится равномерно на любой
полосе {У1<.у<.Уг}, где уи уг — произвольные действительные
числа.

Пусть §(х)^§(хг, х’) есть функция, определенная на изме-
римом множестве $ =	х'е <^')> принадлежащая

к 7.р(<^), целая экспоненциального типа V по почти для всех
(в смысле (п— 1)-мерной меры) х' е В силу теоремы Фубини

*) Неравенство (4) верно и при у = 0: ведь из (4) и того, что е Ф10р а: ЗЯЧр.
следует, что ||р==0 и # —константа, равная, очевидно, нулю при конечном р.
можно сказать, что для указанных х' по функция ^(Хх, х') а
•е (Кх), и потому вследствие (4)

[I	Ур Ь II? ,п .	(1 р < оо).

И дхг 11^	м /

После интегрирования обеих частей этого неравенства по х’ е
и возведения в степень 1/р получим

I	V Ыт, М (1 < р ОО).	(7)

Мы приписали также очевидный случай р = оо.

Если функция &(Х)=§(Хх, •••> х„) е (#п), то, учитывая,
что любая ее частная производная есть целая функция
экспоненциального типа V (см. 3.1), легко получим на основа-
нии (7) (^ = 7?п) неравенство

(8)

Его можно обобщить еще, предполагая, что §(х) — §(и, х') =
= ^(Х!, хт, х)	=	<=/?„ —измеримое мно-

жество, т<п и § — почти для всех х' е $' по хг, хт
целая экспоненциального типа у = (ух, ..., хт). Тогда, если 1 =
= (Ах, ..., Ат, 0, ..., 0), то получим

|Я(М||др(«)^^||^Цд₽^).	(9)

Если учесть, что почти для всех х'

ё{и + 1у, х')=ё(г) = е(» + 1у)= 2	№)\

Л>0

то из (9) легко получим, что
т

№(« + *>» -И|кр(^к(*)11тр(^/=1	•	(Ю)

Из (2) можно получить как частный случай формулу М. Рисса,
доказанную в 2.4. Надо только учесть, что тригонометрический
полином порядка у является целой ограниченной на действи-
тельной оси функцией у (Ту е ЭЭТУ), поэтому к нему применима
формула (2). Надо учесть еще, что 7\ есть периодическая периода
2л функция.

3,2.3.	Неравенство 3.2.2 (4) можно распространить на более
общие нормы *). Пусть Е есть банахово пространство функций
?(х, то), определенных и измеримых на ^«^хХ^х, обладающее
следующими свойствами:

*) См. в конце книги замечание к 3.2.3.
1)	сложение двух функций Е и умножение функции на число
определяется обычным образом. Две функции и /а, равные
почти всюду на $, считаются равными (Д = /2) как элементы Е\

2)	если / = /(х, ии}<=Е, то Д„ = /(х + х0, су) е Е для всякого
действительного значения х0 и ||/(х, су) || = || / (х + х0, су)||;

3)	из того, что }п<=Е(п=\, 2,...), / <= Е,	и

/л (х, СУ)->-ф(х, су)(п->-оо) для хе/?! и почти всех су е
следует, что ф = /.

Если функция (х, су) е Е и почти для всех су относи-
тельно х она есть ограниченная целая функция типа V, то для
нее имеет место равенство

ОО

^(х, та>)°~2-	+	(’)

-оо « —-75-

почти для всех су в смысле обычной сходимости. С другой сто-
роны, вследствие свойства 2) сумма норм членов ряда (1) не
превышает у||^г||> и, таким образом, правая часть ряда (1) схо-
дится по рассматриваемой норме к некоторой функции ф е Е.
Но функция ф в силу свойства 3) должна необходимо быть
равной Этим обосновано неравенство



(2)

3.2.4.	Обобщенное неравенство, аналогичное 3.2.3 (2), можно
получить, основываясь на 2.7.2, и для тригонометрических поли-
номов. Для этого достаточно считать, что пространство Е состоит
из функций /(х, су) периода 2л по х с нормой, подчиняющейся
только свойствам 1) и 2).

3.2.5.	Теорема*). Пусть 1^р<оо и целая функция

. ё=ёу(г) = ^(х + 1у)

экспоненциального типа V = (уъ ..., ул)>0 принадлежит к классу
Ер(Пп)- Тогда

Иш ^(х) = 0.	(1)

I X | -»оо

Отсюда, в частности, следует, что ^(х) ограничена на /?л.

Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае
У!=...=ул=1, к которому можно привести нашу функцию,
заменяя ее на следующую	Ограничимся дву-

мерным случаем, при п>2 доказательство аналогично.

*)Планшерель и Полна [1].
Итак, пусть задана целая функция §(гъ г2) = § типа (1,1),
принадлежащая к Ьр (/?2), где 1 < р < оо. Как всегда, будем счи-
тать х1г х2 действительными.

Имеет место равенство (см. 3.1.1)

2л 2л

ё(Х1, х2) =	^(Х1 + Р1в/в*.	+

о о

где рх, р2>0. Помножим обе его части на рхр2 и проинтегрируем
на прямоугольнике 0«срх, р2гСб. Тогда получим

ё х2) ~	ё	+ «П1> х2 + &2 + й]2) С& Лц ^2 ^2,

а а

где @1, П1) и (^2, Лг) суть декартовы координаты, а —круг радиуса б
с центром в начале координат.

Отсюда

(Х1, х2) |	^-2 $ $ | ё (Х1 + + й]ъ х2 + %2 + /Ла) |<%1	^2

а а

(б б	Х1 б X} -р в	. цр

$ $	$	$ 1^ + ^1)1р<&^2 ] , (2)

— в —в	Х1 — йх,— в	/

Б + й1 = (&1 + »11» Бг + пъ)-

Докажем, что интеграл

б б	ОО 00

Цё) = $ $ <^1^2 $ $ 1йГ(§+»1) |Р^П1^Т]2
— б — б	—со — со

конечен, откуда будет следовать, что правая часть (2) стремится
к нулю, когда |х|->оо, и теорема будет доказана.

В самом деле (см. 3.2.2 (10)),
в в

+	(я2)Л11<^12<

-в-в

в в

<Ий(Шьр(Я2) 5 5 е(|т"1 +'112!) Р йт11 < °°-

При р=^оо эта теорема неверна, как показывает пример функ-
ции 81пг е ЗЛ1>0о (#1).

3.2.6.	Целые функции экспоненциального сферического типа,
Про целую функцию

е(2)=ё(*1, •••> гп)
мы будем говорить, что она экспоненциального сферического типа
а^О, если для любого е>0 можно указать константу Ле>0
такую, что

|2(г)|<Леехр| (а-юу^0)

для всех 2. Совокупность всех таких функций данного типа
а 5=0 обозначим через 8Еа. Так как

то

Еа/Уп <= 8Еа <= Еа-

Множество функций § е 8Еа, которые как функции действи-
тельного вектора хе/?„ принадлежат к Ьр(1?п)*=Ер, обозначим
через 5ЭЛар.

Пусть «> = ((0!..соп) есть произвольный единичный вектор

(действительный). Обозначим через

п

(*) “/»(*)=2 -й-

/=1
производную от / в точке х по направлению <о и через

(х) =	° (X) = Г (х) <о* (/=1,2,...)

1*1=/

производную порядка I от / в точке х по направлению <о. Вве-
дем преобразование

Х = (Х1...Х»)^(51,	1д) = 1,

где 51....5„ —координаты х в новой прямоугольной системе

координат (действительные), которая выбрана так, что возраста-
ние 51 при фиксированных 5г> • • •, %п ведет к передвижению
точки х по направлению о. Преобразование координат

%к “ У, (^ж Ь • • • , П)	(2)

8= 1

определяется действительной ортогональной матрицей. Эта мат-
рица определяет также преобразование

гк = У,
3*1
комплексных систем	юп) в системы г = (гх, ..., гп).

При этом, очевидно, выполняется равенство

8=1	5=1

Положим

ё(*) = ё(21.......г„)=^(№ъ	.... йУя)=§#(су),

и пусть # е 5Й)1ар; тогда и е 52>1ар,
очевидно, целая функция и

потому что ё* есть,

(а + е)1/ 2 Н/1’	• (а + е>1/ 2

(су)Н|^(г)|<Лее У / = ' ~АЁе У / = >	.

Из этого неравенства видно, что ё*~ функция типа о по йуг
и к ней применимо неравенство 3.2.2 (4).

Далее

=	(I),

поэтому

||4°(х%



Полагая 2 = (х1 + (У1, ..., хп + 1уп), получим

СО	со

ё = 2 д 2 ё(*> ю «у)л = 2	(*) а । у>

1 = 0	\к\=1	1 = 0



> п

1я=2^2’

/= 1

где, таким образом, есть производная порядка I по направ-
лению ®=у/|у| или у.

Но тогда

оо	/ Г П- \

к (X + (У) ||ьр	к (X) ||ьр 2	= к (X) 111р ехр о 1/ 2 // •

(4)

Преобразование Фурье ё функции ё^^^-ар имеет носитель,
принадлежащий к шару с 7?л радиуса ст с центром в нулевой
точке (Л. Шварц [1]).
В самом деле, если ^еЛх,то, учитывая, что при ортогональ-
ном преобразовании координат (2)

х<±$,

имеет место ли = §т>, йи^йъ, и, считая, что г»' = (ца, ..., ц„),
получим

$(х) в Iё {и) е~1ха йи=(с)	=

=	5 ё* (У1>	= (§).

Но (Вх, §') типа о по и почти для всех принадлежит
к поэтому (см. 3.1.3)	(|) равна нулю вне полосы | | «С

при любом выборе координат (^2, ..., ^я), но тогда §(х) =
» 0 вне шара оа. Наше утверждение, если § е 5ЭЛа1, доказано.
Если § е 8м1ар, то вводим функции <рЁ (х) и фЁ (х) и рассуждаем,
как в 3.1.5.

Если / — обобщенная функция и е с 7? — открытое множество,
то будем писать

0е = О,	(5)

если

(А <Р) = 0

для всех <р а 5, имеющих носитель, принадлежащий к е.

Пусть 0<Х<ст и ца — по-прежнему шар с центром в нуле-
вой точке радиуса ст. Покажем, что если } е Ьр (1=С/?=Соо) и

(К = о,

то для целой функции § сферической степени X, принадлежащей
к Ь, имеет место равенство

ё*! = -^~^^ё(х-и')Ни')йи = {).	(6)

Введем определенные в 1.5.8 функции <рЁ и фЁ = (2л)"/2 фЁ.
Для (ре5 и такого е>0, что Х-фе<;ст,

ф) = 0МА ф) = (А ФейГф) = о,	(7)

потому что § вместе со своими производными— ограниченная
бесконечно дифференцируемая функция, фЁе<$,

а5, а следовательно, фЁ^<р <5, и имеет носитель, принадле-
жащий строго к оа. После перехода к пределу в равенстве (7)
при е->0 (см. 1.5.8 (7)), получим (6).
3.3.	Неравенства разных метрик

для целых функций экспоненциального типа

В этом параграфе нас будут интересовать классы целых
функций 201^ (#я).

Центральное место здесь занимает неравенство разных метрик,
с помощью которого норма функции (х) в метрике Ьр- = Ьр> (7?я)
оценивается через ее норму в метрике Ьр (1»Ср^р'^оо) и
произведение некоторых степеней ..., уя. Это неравенство
будет играть существенную роль в дальнейшем при изучении
дифференцируемых функций более общих классов.

Очевидно, (/?„) есть линейное множество. Оно бесконечно-
мерно. Например, функции 81п2ДД2 (к=\, 2, ...) принадлежат
кЭЭТ1р(/?1),	и образуют линейно независимую систему.

Поэтому уже из общих соображений функционального анализа
можно заключить, что единичная сфера в 50?ур(7?„) не компактна
в метрике Ьр(Яп) = Ьр. Однако мы увидим, что она компактна
в ослабленном смысле (см. 3.3.6).

3.3.1.	Теорема. Пусть 1 ^р^оо, хк = кк (к = 0,
±1, ±2, ...),	(г) — целая функция от одной переменной

типа V и

I СО	\1/Р

Ш)= 5иР * 5 I (хк - и) И < 00

“ \ -СО	/

или ||^||ь <оо. Тогда имеют место неравенства

Шкр^((ОАр<(1+МШ1ьр-	(1)

Доказательство. При р = оо теорема тривиальна. Пусть
1=Ср<оо и ||ь <оо. Тогда

со	оо хк + 1	со

— оо	— 00 х/?	— оо

где числа %к удовлетворяют неравенствам хк<_1к<.хк+1. Исполь-
зуя обобщенное неравенство Бернштейна, неравенство Гёльдера,
а также неравенство |||хЦ — ||г/|||	— у\\, получим

/00	. 1/р ! СО	\ 1/Р

АЦ|^(Ы1Р - ЛЕ 1^(**)1₽

/ СО х*+1	Н/Р

=Лк;|ьд/г1)=сАу||^||Ьр(Л1).

\ -°° хк	'
Поэтому

I со	\ 1/р

Л 5 |$у(**)|Р) =

 —00	/

- / СО	у 1 /Р / ОО

- Л21&Ш -Л51^(Ы1Р

1/0-1 /ОО	\ 1/Р

+(Л51^(Ы1Р

(1 +	|| Ц^р (ях). (2)

Если принять во внимание, что при любом фиксированном
и функция ^(х — и), рассматриваемая как функция от х, есть
целая функция типа V, то из неравенства (2), заменяя в нем
ёч(х) на — и), получим второе неравенство (1).

С другой стороны, если ((^Ж < сю, то
р

оо	со х* + 1	со Л

5 |Яу|р^ = 2 X Ыр<& = 2 $|^(хл+1-и)|р<*и =
— СО	— ОО	— оо О

Ь, оо	оо

= $5 |^(хА+1-н) 1^^/гзир 2 \§ч(Хк-и)\р, (3)

О — со	0	—оо

где замена порядка суммирования и интегрирования законна
в силу того, что оперируем с неотрицательными функциями.
Этим доказано первое неравенство (1).

3.3.2, Теорема*). Пусть 1^р^оо, Л;>0, х^^Му
(1=1, ...» п, /г = 0, ±1, ±2, ...), § = — целая функция типа
* = ....у„),

(Шрп> =

₽зир(Г1/г'" 5 ••• 2 НЧ1)-И1...........Х/<л“ил)Н <ос

И; \т -1 I, = — со I = — оо	/

(1)
или

Иар(Яя)=И.р<00-

Тогда

II ё V Цьр (я„)	((§у))рп) «с П (1 +	И 1кр («„) •

(Ч\

*) О. М. Никольский [3].
Доказательство. При р = оо неравенства (2) тривиальны.

Пусть 1гСр<оо. Тогда

ОО	СО

Ц ••• Л $ ••• $	х^-ип\Р(1и =

/, = — оо I = — со О	О

1	п

*1 ля

-1 •   5 2  • • 2 Ил - .......<’ - I< ««»“

о о

и мы доказали первое неравенство (2) в предположении, что
второй член (2) конечен. Пусть теперь конечен третий член (2).
Чтобы доказать второе неравенство (2), заметим, что § (2 — и) =
= ё (21 — и1> •••> 2л~мл) при любых фиксированных и/ есть целая
функция типа V по 2, для которой ||^(х — и) ||р = ||§ (х) ||р. Поэтому
достаточно доказать неравенство

' п.	со	оо	\ 1/р п

ПЛ, 2	2	|еМ’....ОН <П<1+лл)к!1„.

1 = \ I = —— со	I = — со	I 1 — 1

Но оно уже доказано в предыдущей теореме при п= 1. Допустим,
что верность его установлена для т = п— 1. Тогда в силу того,
что при любом фиксированном хх функция § есть целая типа
у2, ..., соответственно по х2......хп, будем иметь

п

П	х2, ..., хп) |рЛ2, ... с!хп^

1 = \

откуда после интегрирования'по и возведения в степень р1
получим

П С1 НйгИр^5
/ = 2
, п \ 1/р	/ оо	оо	\ 1/р

ПМ И 2 - 2	....28

М = 2 /	\/2 = —со 1п=~со	у

/ п	СО	СО	\	УР

З’т+Цпл. 2 - 2 Ж'...............<’)Н 

1	1 1 \/ = 1 1г = - оо 1п = — оо	/

Последнее неравенство имеет место в силу второго неравенства

3.3.1 (1), так как § есть целая функция типа V! по
3.3.3.	Лемма*). Для любых ай^0

(СО	I 1/р'	» СО . 1/р

5°*)	(5е*)	(1 =^р*Ср'^оо). (Г

1	/	\ 1	/

Доказательство. Достаточно считать, что
со
5^ = 1.

тогда

со	со

ак^ 1, У, ак ==г У, а”к = 1,

1	1

откуда следует неравенство (1) при 1 р < р' < оо. Чтобы полу-
чить (1) при р' = оо, достаточно перейти к пределу при р' ->оо.

3.3.4.	Теорема. В условиях теоремы 3.3.2 имеет место нера-
венство

2__1_

₽((Мя)
\/= I /

(1 <р<р'<оо).

(1)

Оно непосредственно вытекает из определения ((^))^п) и преды-
дущей леммы.

3.3.5.	Теорема**). Если 1=Ср^р'^оо, то для целой
функции экспоненциального типа § = Ьр(Нп), у = (уъ ..., уп),
имеет место неравенство (разных метрик)

Ц^1|1р.(Я„)

1

р'

(1)

При фиксированном п и произвольных V* это неравенство точно
в смысле порядка.

Доказательство. На основании 3.3.2 (2) и 3.3.4, полагая
1 1

(О ----Т, получим

р р 3



*) См. Харди, Литтлвуд и Полна [1].

**) С. М. Никольский [3], см. замечания 3.3—3.4.3 в конце книги.
Функция

Ф (а) = -^Г

на полуоси 0<а<оо достигает своего минимума, равного

= «“(!-<“ 2‘

Таким образом, можно написать

(Я„) (^о)" (П	к кр («„)>

откуда в силу (3) следует (1).

Чтобы доказать второе утверждение теоремы, рассмотрим
функцию

очевидно, принадлежащую к Ьр (7?„) при любом р, удовлетворя-
ющем неравенствам	и представляющую собой целую

функцию типа V = (у^, ..., чп). Ее норма равна

(1 ^р^оо),

где ср —положительная константа, не зависящая от у^ Следова-
тельно,
______________________________________

С г ( п \р Р'

II (Ял) = 7р? П	II ру 11ьр (Я„) -

что и требовалось доказать.

3.3.6.	Теорема о компактности*). Из всякой ограни-
ченной в метрике Ьр (/?„) последовательности функций §(к) е
е (/?«) (1^Р^оо, &=1, 2, ...) можно выделить подпосле-
довательность (/=1, 2, ...) и определить такую функцию
§ е ЯЛур (/?„), что имеет место равенство

Нт ё(к.} (г)=ё(г)

к^оэ ' и

равномерно на любом ограниченном множестве.

) р=со, п=1, С. Н. Бернштейн [1], стр. 269 — 270.
Доказательство. По условию существует константа Ах
такая, что

к(*)йья(Яя)!<^1 (6=1,2,...).	(1)

Отсюда в силу 3.3.5 (1)

1

/ п

1б'(й) (х) I 2Лу/Л [§(*) !кр(Кл)	(2)

где константа А также не зависит от 1г.

Разложим в ряд Тейлора:

„ С<А)2О

а> О

где а = (ах, ..., ал) —системы неотрицательных целых чисел и

(А) . А+-+%.^,(0)

Са	з “1 а

дх1 1 ... дхпп

Вследствие (2) и неравенства Бернштейй? (3.2.2 (8))

|с^|=сАг«	(6=1, 2, ...).	(3)

Таким образом, коэффициенты с^> (6=1, 2, ...) равномерно
ограничены при каждой фиксированной системе а и, возможно,
воспользовавшись диагональным процессом, получить подпосле-
довательность натуральных чисел 63, ... такую, что

Положим

Ит с^ = сп,
. а а*
»со
а> о

(4)

(б)

Тогда

п

а> О

потому что числа са удовлетворяют неравенству

(6)

Следовательно, ^(г) есть целая функция экспоненциального
типа V.
п

Далее, считая, что |а|2 = У, а/, получим
/ = 1

1С _С(М|

1^(2)—	||=^ а" ^гГ1 ••• I 1“" +

|а,'<А

,	VI	| са | Т-1 са	| > а, .	.

+	У, щ I г1 I 1	• • • I гп |	п — О1 + <Т2.

I а /V

а!

.	|а1	I	1а»

I У1211 1 ... | упгп | п

Но в силу (3) и (6) для

о2 ^2А

при достаточно большом Ы. Если это достаточно большое
зафиксировать, то в силу (4) можно указать такое $0, что
| Ст11< е для всех 5>50 и \2\^К-

Таким образом,

< Нт^(г) = ^(г)	(7)

равномерно для всех г, удовлетворяющих неравенству | 2 ] К,
где /( — любое положительное число.

Наконец, если Ур с /?„ есть сфера радиуса р с центром
в начале координат, то вследствие (7) и (1)

II ё (К Р) = 1ип Ц^) ||ьр (кр) < Л,

откуда после перехода к пределу при р->оо получим

и

(/?„)•

• 3.3.7. Пример применения теоремы 3.3.5. Зададим числа
1 =СРь р2,  • •, рп^ сю и рассмотрим пространство ..(/?„)	=

= Ер (/?„) измеримых на /?„ функций /(х)=/(Х1, ..., хп), для
которых конечна норма





РП-1	РП-2

°П	\рП-1

^Хп -

(1)

где все интегралы берутся от — оо до -|- оо.
Здесь, если рП' = рП'+1 = ... = рп = со, то надо считать

Р„_2 Рп‘	)_!_

\рл_1 Рп, + 1	I Рп'

\ПРя^Хп) рп	] ахП‘) =•

= зчр 7(*1............Хп>-1,	Хп', .... х„)|	(2)

ХП'...хп

при фиксированных произвольных Хг, Хп--1-

Пусть сначала 1 ^р^рг^р2^. ..^рп и =	...?„ = &

есть целая функция экспоненциального типа V, ограниченная
на /?п. Рассматривая ее как функцию только от переменной хп,
можно написать

1 1__________1 1

(5 \е\Рпйх^Рп ^2урпп-1 Рп ($ЫР'‘-1 йх^рп-1

где интегралы всюду мы условимся считать взятыми в беско-
нечных пределах (— оо, со).

Отсюда

1__

\рп_1
”п ^п-х!

1_________1 1

___________________1_________1 _____________________1__________1 _____________________________________________1
^21+!ЧА-1 Рп ^п_^„)р«-2 ₽п-1($$ЫРя-2йхп-1йхп)Ря-2.

Первое неравенство здесь следует из теоремы 3.3.5 при п = 1
и р = рп-ъ р' = рп, а второе из теоремы 3.3.5 при п — 2 и р =
= рп-2, р'=рп-1- Продолжив этот процесс до конца, получим
неравенство *)

л (л + 1) _1_____1	__1______1__

И и	____с, 2 рп-1 Рп .	Рп-г Рп-1

И^1к(₽1.....чп (уп~->Уп)	х...

д_	гг(та+1) „	_1___1_

... Х(Уг ... Хп)Р Р1|Ыкр(/?„) =2 2 Рй ||^|к.р(Я„). (3)

Для получения этого неравенства в сущности применялось п раз
неравенство 3.3.5 (1) в соответствующих частных случаях.

Для того чтобы доказать неравенство (3) в общем случае
1=Ср-СР1, ..., рп^оо, достаточно заметить, что

II ^^(Р! Рп) < II /11^  9п) >	(4)

*)С. М. Никольский [5], [13], [14].

Ь С. М. Никольский
где	—перестановка чисел ри рп в неубывающем

порядке. Неравенство (4) вытекает из обобщенного неравенства
Минковского (см. 1.3.2). Например, при п = 2, р2^рх имеем

г»
х2)^ах2у,ах1

₽1

Р*

$ I / (хъ х2) [₽< йх^Р1 йх2

р«

Неравенство (3) в смысле порядка точное, что проверяется
на функциях (см. 3.3.5 (4)).

3.4.	Неравенства разных измерений для целых функций
экспоненциального типа

Эти неравенства также будут иметь существенное значение
для дальнейшего, с их помощью норма целой функции экспо-
ненциального типа, исчисленная для подпространства 7?т е
(т<п), оценивается через норму ее, исчисленную для всего
пространства /?„. Мы увидим в дальнейшем, что неравенства
разных измерений послужат основой при изучении устойчивых
граничных свойств дифференцируемых функций.

3.4.1.	Пусть § = %тхе' <щ Ёп есть цилиндрическое измеримое
множество точек х = (и, у),

и = (х1г ..., хт)ЕЙт,

У = (хт+1....хп) е с Рп т

и

Г = (уъ ..., ут)=э0.

По определению функция р(х) Е Ш1ур(ба), если она принадлежит
к Ьр (о) и почти для всех у е <о' по и является функцией
экспоненциального типа V.

Для функций
ё = е («?) =	(/?т х «?')

выполняется неравенство

_1__

/ т \р р'
у)1кР'(кт)^'}^2т[П М	(1)

1 р «ё р' оо,
где в левой части внутренняя норма вычисляется по перемен-
ной и Е/?т, а внешняя —по переменной у е <§’. В самом деле,
на основании неравенства разных метрик (3.3.5 (1)), которое
применяется для почти всех у е <о',

/	1__!_	\р

I	/ т \ р р'	I

к(“> .у)Ц,(^ =

/	]__!_	\р

« /	/ т \ р р*	।

= 5 12т(П V* к(“. Жр(йт)

$ к(“. У)1р.(нт)йу,

откуда, возводя обе части полученного неравенства в степень
1/р, получим (1).

Положим в формуле (1) р’ = оо и учтем, что для некоторого
множества ^с^"' полной меры имеет место следующее свой-
ство: для всякого у е <о{ функция § (а, у) типа V по и и конечна
норма

к(“. ЖсО(ят)=8иРуга>1ёг(“> .у)1=
т

= Пт тах\§(а, у)\^\§(и, _у)1	(^й,),	(2)

Р-сонеГр

где через Ур мы обозначили шар с центром в начале радиуса р,
принадлежащий к

Неравенство (2), таким образом, справедливо для у ез1; и
и е /?т, поэтому

№(»-

и мы получим, учитывая (1), следующее неравенство:

1

/т \р

к(«. Жр<<?')^2"ЧП	1Ыьр(*>-	(3)

3.4.2.	Теорема*). Если 1«^р^оо и 1 ^т<^п, то для
всякой целой функции §? (г) =	.у (21, ..., г„) е (Ял) экспо-

ненциального типа V имеет место неравенство (разных измерений)

*) С. М. Никольский [3].
б*
При фиксированных п и т и произвольных V = (V!, ..., ул)
зто неравенство в смысле порядка точно.

Доказательство. Пространство Ял можно рассматривать
как топологическое произведение

где (х^, ...» хт)	хл) /^л_т. Если теперь

в неравенстве 3.4.1 (3) считать, что <о —Нп, б\ = %т и заменить
7?т на Яп-т, то получим искомое неравенство.

Точность неравенства (1) в смысле порядка относительно V
можно проверить на функциях Гу (см. 3.3.5 (4)), которые уже
служили в 3.3.5 для подобной цели.

Замечание. Полагая в 3.3.7 (3) р1 = ... = рл = р, ря+1=...

... = рл = оо, получим неравенство

1

Г 00	00	\ ~

5 ... 5 вир \§(и1...............ит, хт+1, ..., хп) |₽	... дит\ <

к—СО	— сохт+1....Хп	/

1 1

п(п + 1) , П	, СО СО

=<2 2 П V»]	5 ••• 5 \§(и)\раи1...аип\ ,

\т-|-1	/ \—оо	—со	/

которое уточняет неравенство (1) в том смысле, что слева под
интегралом вместо |§(«х, ..., ит, хт+1, ..., хп) |р стоит

вир	•••, ит, хт+1, ..., хл)|р.

хт+1....хп

3.4.3.	Неравенства разных метрик и измерений для три-
гонометрических полиномов. Они аналогичны соответствую-
щим неравенствам для целых функций экспоненциального
типа.

Пусть Т =	(х) е 3)1* (/?„), т. е. Т — тригонометрический

полином порядка V от п переменных, и

((Г))*1’ = шах
₽ и.

п /у 1

1В2

1

(1)

= А^ = 1» 2, ...; 1=1, ..., п, 1^р^оо).
Тогда имеют место неравенства *)

В П Й ^((П))^’ < П	II (”>,	(2)

р	р	1	р

1 — 2.

(п \р р'

ГтЦЙ,	(3)

2л 2л	\ —

(5 * ' 5 I (^1> • • • >	^т+1г • • • > хп) (%-щ.... йит)

\о о	/

/ п	\ — /2л 2л	\ —

п Ч₽ $••• 5 \ т\ра^...аип\р. (4)
Уп-Н /'0	0	/

Они аналогичны соответствующим доказанным выше неравен-
ствам для целых функций экспоненциального типа и доказы-
ваются аналогично. Теперь уже при доказательстве все суммы
(2) распространяются, как в (1), на конечное число слагаемых
(Л\, ..., Мт), интегралы берутся по периодам и применяется
неравенство Бернштейна для тригонометрических полиномов.
Однако если вести рассуждения по аналогии с тем, как это
делалось для функций экспоненциального типа, получается
(округленная) константа 3 вместо 2, что объясняется тем, что
в периодическом случае приходится искать минимум ф (а) среди
дискретных значений а. Но, конечно, в обоих случаях приве-
денные константы завышены.

Для тригонометрических полиномов можно получить аналоги
и других приведенных в 3.3 неравенств.

Точность указанных неравенств в смысле порядка на этот
раз проверяется на ядрах Фейера (см. 2.2.2).

3.5.	Подпространства функций данного
экспоненциального типа

Теорема. Пространство %$1ур ($) = 301^ (Дт х#') (см. 3.4.1)
есть подпространство пространства Ьр (&), т. е. линейное замк-
нутое в Ьр($) множество.

Доказательство. Линейность ЯИГр(<^) очевидна.

Пусть для последовательности е (^) (к = 1, 2, ...)
выполняется условие

Нт к*-&к,«?) = 0.	(1)

к. 1-юа	*

*) См в конце книги замечания 3.3—3.4.3.
Тогда существует функция / е Ьр (&) такая, что

Пт	(<?) = 0.	(2)

к -* со	р

Очевидно, можно указать множество а: <о' полной меры одно
и то же для всех /г=1, 2, ... такое, что §*(«, у) будет для
всех у е целой по и экспоненциального типа V. Заодно можно
считать, что обладает дополнительно свойством

Игл ||/(«, у)-ёк («, _у)||ь (я ) = 0 для всех _у е (3)
^-»оо

где ^ — некоторая подпоследовательность натуральных чисел
одна и та же для всех у е (это следует из (2) на основании
леммы 1.3.8). Далее из (3) вследствие неравенства 3.2.2 (10)
(р = оо) и неравенства разных метрик следует, что (уе<^1)

|ёк3{и + IV, у) -§кз. (и + IV, у) |
т

^зир|^ («, у)-ёъ3,(ц, _У)|г' = 1
и	1

т ±	2

У')-^ (и, уЦь^е^1 _^о,	(4)

/=1

3,	з' -> оо.

Это показывает, что ^(г, у) для любого фиксированного у е
при з->ор равномерно на любом ограниченном множестве комп-
лексных г стремится к некоторой функции ё 50» очевидно,
целой по г. Пусть

Длг = {|хх|	/ = 1...п}.

Из сказанного следует, что ^(х)->^(х) (з->оо) почти всюду
на ^Дд-, а из (2) тогда вытекает, что й’(х)=/(х) почти всюду
на <^Ллг, а следовательно (в силу произвольности IV), и на <з.
Наконец, из неравенства, аналогичного (4),

т 1

\ёк3(г, 50|^2т ГИ||^ («,
/=1

перейдя в нем к пределу при з->оо, получим такое же нера-
венство, но только уже для §•, что показывает, что ё при любом
у = экспоненциального типа V по и.

Мы доказали, что фигурирующую в (2) функцию [ можно
видоизменить на множестве п-мерной меры нуль так, что она
почти для всех у будет целой экспоненциального типа V по и,
и так как [<=Ьр(Кп), то / еЭЛур(<^). Теорема доказана.
3.6.	Свертки с целыми функциями экспоненциального типа

3,6.1.	Лемма. Пусть

ёУ}=Ъ^2к

О

(1>

есть четная целая функция от одной переменной экспоненциаль-
ного типа х. Тогда функция

ё* (х)=^(|х|) = 2с2»1х12й	(2)

о

есть целая сферического типа х.

Доказательство. Ряд (1) абсолютно сходится для
любого I, многочлен

|х|2й = (х? + ... + х^

имеет положительные коэффициенты. Поэтому ряд (2) после
раскрытия скобок в каждом его члене есть абсолютно сходя-
щийся для любого х = (хг, ..., х„) степенной ряд по степеням
хъ ..., хп. Следовательно, (г) — целая функция. Она экспо-
ненциального сферического типа V, потому что

1Мг)1 = 1§(|г|)!^Л8е У 1	.

3.6.2.	Теорема. Пусть у есть целая функция экспоненциаль-
ного типа X/ по (/ = 1, ..., п) (или сферического типа х), при-
надлежащая к Ь9(Кп), 1 «С С/«С ОО, и / е 1Р (/?„)	-ф-	= 1^.

Тогда функция

со (х) = \у(х — и)[ (и) ди

принадлежит к (соответственно к 5Э31ГОО), т. е. есть огра-
ниченная на ₽ = Рп целая экспоненциального типа х^ по гу (соот-
ветственно сферической степени х).

Если	/еД, (1=^р^оо), то соеД, (1.3.3), поэтому

со е ЭЭ^р (5Э0\,р).

Доказательство. Ограниченность со на 7? следует из
неравенства

| со (X) I и (х ~ и) ||р ||[ (и) ||р = Ц^Цр\\Ц\Р.	(1)

В силу того, что у есть целая функция, имеет место разложе-
ние в ряд Тейлора

ё(г~и) = 2 ^ГИ)^>	(2)
абсолютно сходящийся при любом « е/? и любом комплексном
»= (гь .... г„).

Имеем

V (-«)/(«) гк у (-«)/(«) гк =ф(и)(

1*1<#	*>о

/ 1 . 1 ,\

тогда (- + --1)

5Ф(«)<г«<2тк*И/Ь«:
А

П

। д г &	У] у?!г/|

А

Это неравенство показывает, что равенство (2) после умноже-
ния его на / («) законно (на основании теоремы Лебега) почленно
интегрировать

®(г)=	(—«)/(«) с?«, (3)

и при этом имеет место неравенство

2 '71г/1
1®(г)МШ1НХ = 1	•

Если § есть не только типа V по каждой переменной, но и
сферического типа V, то надо еще доказать, что со также сфе-
рического типа V.

В самом деле, для действительных х, и, у

2^** (х — «А ,. . ь
 Й1 №)" =

А>0

-2 ‘"2

г=о |*|=у	с = о

где есть производная от § порядка I в направлении у. По-
этому, рассуждая, как при выводе (3), будем иметь,

. , . . V №}(х~аШи)аи

со (X + 1у) = 2 —-п-------। -У ।) •

/=0

Учитывая неравенства

15 4'1 (х-«)/(«)^ I : ] 8» Ц«г V к |, V |,.
которые выводятся на основании 3.2.6 (3), получим

ОО

1= О

Мы доказали, что со е Э7^от.

3.6.3.	Теорема. Пусть

со (г) = \к (\г - и |) / (и) Ли, 5=5’	(О

Кт

где

( . 1\^
81П Т I

(2)

X — натуральное четное число, удовлетворяющее неравенствам

(X — р) д — т > О	(3)

(1 +|и1)-ц1р ди<со (р>0).	(4)

Тогда со (г) есть целая функция экспоненциального сферического
типа 1.

Доказательство. Положим

Применяя неравенство Гёльдера, получим

| СО (г))	/ (г) 1| / (и) (1 +1 И ||Лр	(5>

где

1 (г) = \к (| г-и |) |? (1 + 1 и ')«" Ч1;'

$ у/^/ $ у/а+/	$ у/’ =/1+/2 + /3. (6>

\|и'<1/	\!И[<ЗА/	\;и}>1,ЗА/

Заметим, что

I г - и I2 = | 2 2/ “ 2 2 2/«/ +	1

| «г2 — 2л I « ! — Л2 = (I и I — Л)2 — 2Л2 = -ф (I и ]).	(7)

Функции ^81п и к (/) от одной переменной I целые типа 1»
ограниченные на действительной оси, поэтому Чп и &(|г|)—
целые сферического типа 1, ограниченные на /?т (3.6.1). В таком
случае, учитывая, что и е — действительные точки и г =
= (*1 + ЧЛ, •••> хт + 1ут), имеет место (см. (3.6.1) и 3.2.6 (4))

А:(|г —«|)<ехр|_у|^ехр Л,	(8)

. I г — и I	.

8Ш !ехр [_у ] гС ехр Л.	(9)

Поэтому в силу (8)

Л^ехрЛ/ $ (1 +| а |)?и (1а\1/ч <^ехр А,	(10)

\1«1<1	/

/2<ехрЛ/ (1 +; и |)?иаи?'4 <ехр {(1 +е) Л},	(И)

\|«|<ЗА	/

где 8>0 —произвольно малое число, константа во втором нера-
венстве (11) зависит от е, а в силу (7) и (9) (пояснения ниже)

/з<ехрЛ/< $ рЦ? йр\/Ч <ехр А (р = |ы|).	(12)

\р>1, зл (р)2	/

Функция

^ = Ф(р) (р^ЗЛ)

ограничена, потому что она положительна и ее производная
отрицательна. Следовательно, полагая

V =-^(Х<7-Н<7-т+1)

и р = /Л, получим, что интеграл, входящий в (12), с точностью

до постоянного множителя н1е превышает

ф>[

 р> ЗА,

ф (р)У

/~2У (Н < 1

3

*	Д2У-1 __ |

Д2У-1	1

(Л>1),

(Л<1),

т. е. справедливо второе наравенство (12).' Из полученных оце-
нок следует, что для любого 8>0 существует константа св, не
зависящая от Д такая, что

|(о(г')|<С8И(«)(1+|и|)-РиЛ)ехр{(1+8)Л}.	(13)
Остается доказать, что со (2) есть целая функция. Пусть
/л' = } Для | и | < IV и /дт = 0 для | и | > IV и

<олг (2) = $ /г (| г - и |) /лг (в) йи.

Зададим произвольное число Л>0, и пусть ел есть множе-
ство точек 2 = (г1г ..., гт), для которых |г/|<Л. Для таких
точек

л =	212/12=стЛ

и в силу (13)

| со (2) - сод, (2) I < сетЛ |] (/-/„)( 1 +1 « |)-р (Дт) -> о,

У—>со

т. е. ®лг (г) ->со (г), У—>-оо равномерно на любом ^д, и следо-
вательно, со (2) — целая (см. (3.1.1)). Утверждение доказано (см.
далее 4.2.2).
ГЛАВА 4

КЛАССЫ ФУНКЦИЙ IV, Н, В

4.1.	Обобщенная производная

Зададим в пространстве /?=/?„ открытое множество § и обо-
значим через его ортогональную проекцию на гиперплоскость
Хх = 0. Пусть на § задана действительная (комплексная) измери-
мая функция / (х) = / (Х1, у). При фиксированном у она есть
функция от хг, определенная на соответствующем открытом одно-
мерном множестве. Если функция / абсолютно непрерывна на
любом принадлежащем к этому множеству замкнутом конечном
отрезке, то будем говорить, что она при указанном у локально
абсолютно непрерывна по х^.

По определению функция [ имеет-обобщенную производную ~
{по хх), если / измерима на § и существует эквивалентная ей
(относительно §) функция локально абсолютно непрерывная
почти для всех допустимых у (т. е. у е §г). Функция будет
иметь почти всюду на § (в смысле п-мерной меры) обычную част-
ную производную Любую эквивалентную ей (в смысле п-мер-
ной меры) функцию мы и будем называть обобщенной производной

С	с.

ат [ на § по хг и обозначать через

Если <р (/) есть функция от одной переменной I и Я — откры-
тое множество точек I, то тот факт, что <р имеет на Я обобщен-
ную производную <р' (/), можно выразить следующим образом:
существует функция фь эквивалентная ф (относительно Я^,
локально абсолютно непрерывная на Я. Тогда фх имеет, как
известно, почти всюду на Я обычную производную ф{ (/). Любая
функция, эквивалентная ф1 (/), и есть по определению обобщен-
ная производная ф' (/) на Я.

Чтобы не было недоразумений, поясним более подробно, почему при ука-
^/1

ванных условиях обычная частная производная существует почтя всюду
«а &
Проекция ^х открытого множества на подпространство точек у=(0, х2..хп)

есть, очевидно, также открытое множество. Каждой фиксированной точке у
соответствует одномерное открытое (в одномерном смысле) множество е? точек
вида (х1, у) ед. Множество д можно рассматривать как теоретико-множествен-
ную сумму

* = I]

>681

По условию функция (хх, у) почти для всех у абсолютно непре-
рывна по хг на каждом замкнутом отрезкё изменения х1г принадлежащем к еу.
Отсюда следует, что для почти всех точек у функция /х (хх, у) имеет почти

для всех хг е еу

обычную частную производную

ОХу

/1 . Обозначим через д'

множество всех точек х = (хх, у) е д, для которых не существует частная про-
изводная /) . Множество д' измеримо, гак как оно является дополнительным

к множеству тех точек х ед, для которых существует предел отношения

Пт	У)~М*1. У)

л-*о	Л

Лх. (*1- »>

представляющего собой для каждого й измеримую функцию (/ измерима на д
по условию!). Надо иметь в виду, что множество точек сходимости последова-
тельности измеримых функций на (измеримом) множестве & измеримо *).

С другой стороны,

^'= I) <,

уее.1

причем почти для всех у едг в смысле (п—1)-мерной меры, |лву = 0. Отсюда
(по теореме Фубннн) д’ имеет п-мерную меру цд' = О, и, таким образом, функ-
ция /х имеет почти всюду на д обычную частную производную которую
мы назвали обобщенной частной производной / по хх.

Функция (измеримая на открытом**) множестве^) может
в свою очередь иметь обобщенную частную производную по хъ

*)	Пусть — последовательность измеримых функций, заданных на
измеримом множестве <?, елт = |х: |5д(х)—/Д (х) | Для любых к, 1^п;

п, т = 1, 2,... Тогда А = епт есть множество точек сходимости {5*}, оче-
т п

видно, измеримое.

**	) В определении — можно вместо открытого в Нп множества дс.Яп
ОХ^

взять измеримое множество <? <= являющееся открытым по переменной хх.
Точнее, можно взять измеримое множество 6“ с Ял, проекция которого 6“х на
подпространство точек у> = (0, х2....хп) измерима в (п— 1)-мерном смысле,

такое, что

*== и

у

где еу — открытые одномерные множества точек вида (хх, у) с изменяющимся
числом хх. В частности, таким является измеримое множество вида <?=/?хх<?хс
сЯ„, где <?х —измеримое в смысле (п—1)-мерной меры множество.
т. е. может оказаться, что существует ей эквивалентная (в смысле
п-мерной меры) определенная на § функция ф, абсолютно непре-
рывная по хг на любом замкнутом отрезке изменения х1г почти
для всех у^§г. Обычная производная по хг от ф, существую-
щая почти всюду, или ей эквивалентная функция обозначается
через Подобным образом по индукции определяется —

= № (к —0, 1, 2, ..., /4°? = /)- Нетрудно видеть, что если суще-
дк[

ствует на § обобщенная производная то всегда можно функ-
ции / привести в соответствие ей эквивалентную, определенную
,	5® <Э2ф д'пп

на в функцию ф такую, что производные -д2-, —..., —суще-
ах1 дх‘ дх^

ствуют в обычном смысле почти всюду на

(/= О, 1...... к—	1) абсолютно непрерывны

замкнутом отрезке изменения хг для всех
щих к одному и тому же множеству а:
на множество меры нуль.

д1<р

§ и при этом —
дх1г
по хх на любом
у, принадлежа-
отли иному от

Аналогично определяются обобщенные на § производные

(1 = 2, ..., п). Смешанные производные второго и высших поряд-

ков определяются по индукции. Например, производная
определяется равенством

(Э2/

дх± дх2

=_д_д[,
дх2	дх1 дх2'

Очевидно, тот факт, что функция /(х) от одной переменной
имеет на (а, Ь) обобщенную производную порядка к, сводится
к тому, что она (после изменения на множестве меры нуль)
имеет обычные производные до порядка к — 1 включительно
абсолютно непрерывные на любом замкнутом отрезке [с, д] с
с: (а, Ь), что влечет за собой еще существование производной
(х) порядка к почти всюду на интервале (а, Ь).

Мы будем всюду в этой книге иметь дело с обобщенными про-
изводными и часто поэтому будем называть их производными без
добавления слова «.обобщенными».

Хотя данное выше определение обобщенной производной
является весьма общим, но уже оно само по себе является
достаточно эффективным в применениях при интегрировании по
частям. Пусть функция / имеет на § обобщенную производную

При этом } мы будем считать уже видоизмененной на мно-
жестве п-мерной меры нуль, как это требуется определением.
Пусть, кроме того, ф (х) есть функция, непрерывная на § вместе
со своей производной Тогда почти для всех_у = (х2, хп),
каков бы ни был отрезок [а, й] ху, принадлежащий к законно
интегрирование по частям

6

У / (*ъ У) (хг, у) (IX! =
а

Ь

=	у)<р(Ь, У)-Ца, у)<р(а, у)- $ Д(хь у) <р (хъ у)дх. (I)

Часто появляется необходимость это выражение интегрировать
по у, но для этого измеримости / (х) = / (хъ у) на § недоста-
точно, нужны добавочные условия на Такими эффективными
условиями могут быть суммируемость или локальная суммируе-
мость т и или только на ц.

' дхг	дхх ь

Понятие обобщенной производной мы находим в исследова-
ниях Беппо Леви [Г], который рассматривал обобщенные про-
изводные с интегрируемым квадратом на §. В дальнейшем мно-
гие математики приходили к этому понятию нередко независимо
от своих предшественников.

С. Л. Соболев [1], И подошел к определению обобщенной
производной с точки зрения идеи введенного им понятия обоб-
щенной функции. Определение Соболева заключается в следую-
щем. Пусть и к — локально суммируемые на открытом множе-
стве § функции. Если для любой бесконечно дифференцируемой
финитной в § функции <р выполняется равенство

^Хфйх = (—I)1®1	йх,

то А есть обобщенная производная от

Если функция / локально суммируема на § вместе со своей
производной понимаемой в смысле первого определения, то
для финитной в § бесконечно дифференцируемой функции ф
будем иметь (см. (1))

V а? ах = $ау V (х’ У^^Х1> У) &1=
е	е,

= ~ ^У^& (Х1’ у) ф (Х1’ у) йХ1 = ~ 5
«1

„ д!

и мы доказали, что из первого определения производной ~~

Рх1

следует второе. Обратное также верно. Нам удобнее привести
доказательство этого утверждения позднее (см. 4.5.2), а пока
мы будем исходить из первого определения. Отметим, что оба
определения несмешанной обобщенной производной — также
дх^

совпадают. Но это уже не так для смешанной производной. Из

первого определения вытекает второе, но не наоборот, как пока-
зывает пример функции / (х1г х2) = <р (%1) ф-ф (х2), где <р (х2) и
ф(х2) —непрерывные нигде не дифференцируемые функции.

д2/

В смысле С. Л. Соболева = 0, а в смысле первого опреде-

а2/

ления производная ч—4— не существует.

0Х2 ОХ2

Совпадение обоих определений /:(5) имеет место во всяком

случае тогда, когда	....а также

/(* 51....................../(51................20-0),	.... )(!Г»................°)	И [

локально суммируемы. Это имеет место для функций классов Ц7,
Н, В, Ь, которые мы будем изучать в этой книге (см., напри-
мер, 4.4.6).

Приведем характерную задачу, естественным образом приво-
дящую к понятию обобщенной производной.

Пусть на § задана последовательность непрерывно дифферен-
цируемых функций (х) (/г=1, 2, ...), обладающая таким свой-
ством: какова бы ни была ограниченная область

I! К — Мкр(О)->0

-о

11 дх1 дхг

(к, I —оо),
(к, / —> оо).

(2)

(3)

Требуется охарактеризовать локальные свойства функции /,
к которой стремится в среднем (локально):

*-»оо	₽

(4)

Эти свойства заключаются в том (см. 4.4.5), что функция /

* *	г д(

имеет обобщенную производную ~ на § и / и д- локально сум-
0Х}	0X1

мируемы на § в р-й степени.

Приведем еще одну задачу, тесно связанную с нашими це-
лями, приводящую к понятию обобщенной производной.

Обозначим через множество точек х е О, отстоящих от
границы Г открытого множества О на расстоянии, большем чем
й>0, и пусть

Ма[/] = 5Цр
к

||НХ1 + Л> У) —Нх1> У)И1р(Нл)

IА 1“

< оо

(0<а^1).

(5)
Пусть еще на й задана последовательность непрерывно диффе-
ренцируемых функций (х), обладающая свойством (5) и такая,
что

Л	<6>

Требуется охарактеризовать свойства функции /, для которой
имеет место (4). Эти свойства заключаются в том (см. 4.7), что
/ имеет на й обобщенную производную и величина
конечна.

4.2.	Конечные разности и модули непрерывности

Пусть § сд /?„ есть открытое множество и /г = (к1, ..., Нп) е
е—произвольный вектор. Обозначим через множество
точек таких, что вместе с х принадлежит к § также лю-
бая точка х-ф/Л, где О «С I 1, т. е. любая точка отрезка,
соединяющего х и х-фЛ.

Мы также будем употреблять обозначение где б > 0, мно-
жества точек х^§, отстоящих от границы § на расстоянии,
большем чем б. Множества и могут быть пустыми. Оче-
видно, §|Д| с&.

Пусть / есть функция, определенная на §. Если х е §Л, то
имеет смысл (первая) разность

Ы = Ы (х)=[(х+ &.)-? (х)

функции I в точке х с (векторным) шагом Н.

По индукции вводится понятие к-й разности функции I
в точке х с шагом Л:

Д^ = Д^(х) = ДйДГ7(х)	(ДЯ/ = Л Дл = Дл, к=\, 2, ...).

Она во всяком случае определена на множестве §кь-
Очевидно,
к

^(х)= Ц (-1)'+*С^(х + /Л) (к = 0, 1, ...).	(1)

1= О

Если $ —натуральное число, то, очевидно,

А5л/ (х) = У, Дй/ (х + /Л)
'^0

и (по индукции)

Д5^(х)= у ... У Д*/(х-ФМ-ф... + /яЛ).	(2),

= 0	1=0
Модулем непрерывности порядка к функции } в метрике Ьв (§)
по направлению Л мы называем величину

а*	б) = зир ||Д*А/(*)1к|Л|=1,

р'-	'	(3)

со(б) = сол(/, б) = соА(/, 6).

(Если «^ — пустое множество, то мы считаем || • ]|ь (<?) = 0.) Для
того чтобы имела смысл величина (3), необходимо, чтобы нормы
под знаком зир были конечны, что будет, например, если / е
е Ьр (§). Ниже мы остановимся на некоторых характерных
свойствах модулей со* (б).

Хорошо известно (см. 1.3.12), что если функция }^ЬР(§) и
1 р < оо, то

Пт со (0 = 0.	(4)

/—о

При р = оо это свойство не имеет, вообще говоря, места.
Однако оно выполняется тривиальным образом, если / равно-
мерно непрерывна на ц.

Имеют место неравенства

0 со (б2) — со (бх) яс со (б2 — бх) (0<61<62).	(5)

Первое из них очевидно. Второе может быть доказано следую-
щим образом. Если бх, б2^0, то всякое / с 111 бх -ф б2 можно
представить в виде / = /х-]-/2, где /х и /2 одного знака с I и
/х | б х, (/21	б2.

Поэтому

со(бх-|-б2) = зир Ц/(х + (/'+/") Н)—}(х) ||ь (г/й)

Ц" К 62

зирб ||/(х + (/' + /")Л)-Нх + /"Л)||ьр(гй) +

+ зир ||/(х + /"Л)-/(х)||1. (8<й)=С

зир |]/(х4-/'Л)-/:(х)||г ^л) + со(б2) = со(бх)-|-со(б2).

Заменив в этом неравенстве б2, бх-|-б2 соответственно на б2 — бх,
б2, получим (5).

Из (4) и (5) следует, что функция со (/) (при 1гС/?<со и
р = оо, если / равномерно непрерывна на §) непрерывна при
любом /^0.

Из второго неравенства (5) следует еще такое свойство

со (/б) /со (б)	(б>0; /=1, 2, ...).
Оно может быть получено
виде из равенства (2) ($ = /):

также и притом в более общем

о? (/б) 1как (6)	(й, /=1, 2, ...).	(6)

Очевидно, что

со* (б) со* (6')	(0<б<б').

(7)

Неравенство (6) обобщается на произвольные, не обязательно
целые />0. Для этого подберем натуральное т так, чтобы
т / < т + 1; тогда

со*(/б)^со*[(т+ 1)б]=^(т+ 1 )* со* (б) ==с (/+ 1 )* со* (б)	(8)

(/>0, к = 1, 2, ...).

Заметим еще, что

। /Т|6"	(-х)	। 2$ 11 (х) (***> ’ (9)

и следовательно,
со*+*(б)^2*со*(б).	(10)

Пусть 1^т^п, х = (и, у), м <= (хъ хт) е Ят, у =
== (хт+1, ..., хп). Мы будем также обозначать через 7?т множе-
ство точек (хь , хт, 0, ..., 0) пространства (Дтс/?„).

Введем величину

П^(/, б),р(в) = зир <о*(/, б)1р(г),	(11)

которую мы будем называть модулем непрерывности порядка к
функции [ в направлении (подпространства')	Если § —

ограниченное множество и д — его диаметр, то легко видеть, что
для б>с/ функция П«т (/, б) есть постоянная.

Пусть теперь функция / имеет любые производные поие/?га
порядка р. Тогда для нее имеет смысл на § производная по
направлению любого единичного вектора Н е /?т:

йР) = 5	О 2)

1«1=р

(к = (кг, .... кт, 0, ..., 0), | Л |= 1,

Л^ = Лф.../г5'п = Л51...Л5'пО°...О0, 0°= 1).

Положим

^т(/(р), б)= зир со*(/оэ), б).	(13)

ЛЕЙ
Эту величину мы будем называть модулем непрерывности произ-
водных (всех) порядка р функции ф

Так как в силу (8)

“а(Ар). /6)^(1 + /)*со*(/(р\ б),

то и верхние грани этих величин по Ле/?т, 1Л) = 1, остаются
в той же связи

<О(Р), /б)^(1 + /)*П^(/(р), 6).	(14)

Неравенства (8), (14) показывают, что конечность модулей не-
прерывности для малых 6 влечет за собой конечность их для
больших 6.

В силу того, что есть конечная линейная комбинация из
производных 51 = р (по координатным направлениям) с огра-
ниченными коэффициентами Л®, (| Л*| -С 1), не зависящими от х,
имеет место

^т(Ар)> «)= 5“р	1№*р)

I й | = 1 11 I

^зирзир Яд?лГ)(х)|др{г<А) =

А *	|5| = р

= зир со* (/<*>, 6)=	П«т(/М, 6), ,(15)

л 1®)=р	|®)=р

где суммы 2 распространены на все координатные производ-
ные порядка р с 5 = (81,	8т, 0.....0).

4.2.1,	Если <^ = /?1Х©' с/?п (х=(хь у), Х1Е/?1, у^#',
есть цилиндрическое измеримое множество, и / — определенная
на $ функция периода 2л по хъ то в этом случае норма функ-
ции / в Е» (<^) понимается в смысле

11/ь^)=Н1Л^у/₽.

где = {(0, 2л) х<^'}. Поэтому в этом случае

со* (/)= зир ||Дм/(х) |ь о?.),

|Л|<<

где Н есть приращение хг (число).

Свойства модулей непрерывности со» (/) аналогичны свойст-
вам со* (/).

4.2.2.	Рост функции с ограниченной разностью. Пусть <? = 7?тх#'— ци-
линдрическое множество точек х = (а, у), и = (х1, хт), у = (хт+1, .... х„),
иеРт, у е <?'. Будем для краткости писать (в этом пункте)

Мл=нио(лх<п, н=Ы1Дт=11-кр(1?).
Зададим натуральное к и положительное число б > 0.
Пусть на § задана функция / (х), удовлетворяющая условиям

11/(х)11{|а|<б(4 + т)} <-А>	(0

||	(X) || < В	(2)

для любых Н Е Цт, |й| = 8.

Положим

алг = {АГ<|ю|<^ + 1, >е<?'}.	(3)

Докажем существование константы с = с§А, для которой выполняется не-
равенство

11ЛбЛГ<^~И+И+В)^)>	^ = 1, 2, ...	(4)

Заметим, что для в > 0 из (4) следует

Цт+<.к+е.> Р < дп+е, >

где сг не зависит от У=1, 2, ... ив1>0 зависит от в, откуда при в>0,
приняв во внимание (1), получим неравенство

/(х)

т , . .

— + * + е

|Р

< СО,

(5)

в котором нельзя считать в = 0, как это показывает пример функции от одной
переменной (А=1, 2, ...).

При доказательстве для простоты будем считать 6 = 1.

Зададим првизвольный единичный вектор и' е Цт и определим в
(т—1)-мерный куб, ортогональный к а' с центром в нулевой точке и имеющий
ребра единичной длины. На этом кубе как на основании и векторе и' как на
высоте построим единичный куб <о=<оя, е/?от.

Зададим еще натуральное число Л\ и пусть ®лг = обозначает единич-
ный куб, состоящий из точек вида Ми’-\-и, где и пробегает га.

Заметим, что для локально суммируемой в р-й степени (при р=ес> ло-
кально ограниченной) функции ф (х) имеет место

ЛГ—1

ф^а'+а, у) = ф(а, у)+ У Аф(/и' + «, У),
/=о

Дф(/а' + а, у)=Ф((/ + 1)и' + и, У)—Ф(/«'+«, У),

откуда	х

|1Ф1!ШЛг^Н11ш+ 2 II Аф Цоу	(6)

1 = 0

Докажем неравенство

К'5/ ии, <с(Л+(Л + В)^	(7)

(с=с*, х; У = 0, 1, ...; з = 0, 1, ..., к).

При з = 0 оно непосредственно следует из (2) (6= 1). Пусть (7) верно при з,
докажем его верность при «+1. Будем считать

ф'х) = Д*Г5_1/(х).
Тогда

II к — 5—1	II	к — 5—1

2 (-1)'+^-1С^1/(« + /'х, у) 2 С1к_$_1=2ь~3~1 А,
II ( = 0	||<о	1=0

)| А<Л и - II Ь-и~ Ч [I,- < с (А + (А + В) /*).

Поэтому на основании (6)
/7—1
^2МА +С 2 (Л + (Л+В)Л^С1(Л+(Л + В)№«)
/=о

Мы доказали (7). Полагая в (7) 8 —к, получим

Шш„в,=^(Л + (Л + В)М*).	(8)

Из (8) и (3) следует существование константы с2 такой, что
у<}^^с2Ыт-1(А + (А + В)Ык)Р (М=1, 2,...)
или (4). Дело в том, что область может быть покрыта кубами вида а>^зи,
где 8 = М—1, М, М+1, количество которых имеет порядок Мт-1.

4.3.	Классы IV, Н, В

Начнем с широко применяемого в этой книге определения
понятия вложения.

Если Е и Е'— два нормированных пространства, Е с Е', и
при этом существует не зависящая от х константа с так, что
1№'^Цх1Ь	(I)

где |Н1д —нормы соответственно в смысле Е' и Е, то мы
будем говорить, что имеет место вложение Е-+Е’. Если Е-+Е'
и Е'-+Е, то будем писать Е*Е Е'.

Если элементы одного и того же линейного множества нор-
мированы в смысле разных метрик Е и и Е+±ЕЪ то мы
часто будем писать: Е = Ег и даже || х ||е = || X Цд,, добавляя в тех
случаях, когда могут быть недоразумения, что это равенство
имеет место с точностью до эквивалентности.

Пусть /?п рассматривается как прямое произведение /?п =
= КтхКп-т координатных подпространств Рт и Яп-т, 1 ^т^п.
Тогда произвольную точку х е можно записать в виде х =
= («> Д'). гДе	у е Еп-т- В частности, х = « при т = п.

Пусть далее § с Еп — открытое множество и 1^р^оо. В этом
параграфе определяются классы

^р=1Г'ир(^	(/ = 0,1,...; ^р(^) = Гр(§)),

 нгир = н'ир(§) (г>0),

ВирЪ ~ Вири (§)	0, 1 ^== 6 ОО; Варр = Вир^)»
При т = п в этих обозначениях букву а будем опускать и
тогда получим: \С1Р, Нгр, В'^, Вр (6 = р). В другом важном слу-
чае, когда Вт = Вх. (/ = 1, .... т), будем писать №Х/Р, НХ/Р,
ВХ/Р9, ВХ.Р‘

Эти классы мы будем называть изотропными по направле-
ниям Вт, потому что их дифференциальные свойства по любым
направлениям Вт одинаковы, или просто изотропными, если
т = п. Для целого вектора 1 = (1г, ...,	(//^О) и вектора

р = (рь рт), где	будет еще определен класс

(при разных I/ или р/ анизотропный)

^(я)= Ц ^/Р/(ё)	= при р = (р,	р))

как пересечение классов №^.р.(ё)- Аналогично определяются
классы

‘'М- П В’/

1 = 1 ' '	/ = 1 ' 1

где г = (Г1..гп)>0 (НГР = НГР, Вр^Врв при р = (р, ..., р)).

Классы (и-мерные) №р(ё) (1 = 0, 1, ...) называют классами
Соболева по имени С. Л. Соболева *), изучившего их основные
свойства и впервые получившего для них основные теоремы
вложения применительно к областям §, звездным относительно
некоторого шара, и к конечным суммам таких областей. Эти
классы состоят из функций, интегрируемых в р-й степени на §
вместе со своими частными производными (обобщенными) по-
рядка I.

Классы (п-мерные) Нр(§), Нр(§) определены для любых г>0
или Г/>0. Они состоят из функций, принадлежащих к Ьр(ё)
и имеющих на § частные производные определенных порядков,
удовлетворяющих в метрике Ьр условию Гёльдера (Липшица
при р--со) или (при целых г, г/) обобщенному такому условию
(условию Зигмунда), в котором первая разность заменяется на
разность более высокого порядка.

//-классы во всей полноте определены в работах С. М. Ни-
кольского **), получившего для них теоремы вложения. Оказа-
лось, что эти теоремы образуют замкнутую систему и, в част-
ности, теоремы вложения разных измерений (см. далее) полностью
обращаются.

*) С. Л. Соболев [3], [4]. Анизотропные соболевские классы
см. С. М. Никольский [10].

**) С. М. Никольский [3], [5], [10].
Классы Врв, ВГре во всей полноте определены О. В. Бесовым *),
получившим для них замкнутую систему теорем вложения.
Теорема вложения разных измерений для этих классов тоже
обращаются.

В дальнейшем для классов Н и В будут даны эквивалент-
ные определения в терминах наилучших приближений функциями
экспоненциального типа. Применительно к классам В они будут
более широкими, охватывающими случай 0 = оо. Мы увидим,
что естественно считать, что

^ироо = Нир'

В дальнейшем будет показано (см. 9.3), что для достаточно
общих областей (0 = р)**)

В'»Р->^Р (1^р^2),	(2)

^1иР-^В1ар (2<р^оо, В1ат = Н1ит) (/=1,2,...).	(3)

В частности, таким образом,

В'и2 = г'и2 (/=1,2,...).	(4)

Равенство (4) указывает на определенную связь между классами
В и V/, проявляющуюся при /? = 2. Но имеется и другая связь,
проявляющаяся уже при любом р. Она вытекает из свойств
следов функций указанных классов (см. 9.1).

Исторически наличие этих связей дало повод называть***)
классы, которые обозначаются здесь через Вр, Вр(0 = р), в слу-
чаях дробных (не целых), г, г соответственно классами №р, Ц7Р,
считая, по-видимому, что именно эти классы являются естест-
венными продолжениями соболевских (с целыми /, /) классов
№!р, 1ГР. Дело, конечно, здесь не в обозначениях, но теперь
уже, когда все основные вопросы о взаимоотношениях указан-
ных классов выяснены до конца, ясно, что естественными (если
угодно, истинными) продолжениями соболевских классов в п-
мерном случае являются другие так называемые лиувиллевские
классы, построенные на основе непосредственного обобщения
понятия дробной производной в смысле Лиувилля (или Вейля
в периодическом случае). Мы говорим об и-мерном случае потому,
что в одномерном случае всегда так считалось — проблема следов
там не возникала.

*) О. В. Бесов [2], [3]. Теорема вложений для классов Вгр6 см.

В. П. Ильин и В. А. Солонников [1], [2].

**) О. В. Бесов [3], [5].

***) Л Н Слободецкий [1].
Итак, мы будем исходить из следующих обозначений. Имеются
соболевские классы ^1Р, определенные для целых / = 0, 1,
они «погружены» в дробные лиувиллевские классы, обознача-
емые через Ь1Р (I — действительное число); таким образом, №1Р =
= Ар(/ = 0, 1, ...). Мы увидим, что классы Ьр объединены тем,
что принадлежащие к ним функции имеют единое интегральное
представление (через свертки ядер Бесселя — Макдональда с функ-
циями см. 9.1). Мы увидим также, что классы Ьр обра-
зуют замкнутую систему по отношению к теоремам вложения
разных метрик. Замкнутость проявляется в том, что теоремы
вложения разных метрик для классов Ьр выражаются полностью
в терминах этих классов и притом эти теоремы, обладают свой-
ством транзитивности (см. далее' 7.1). Однако классы Ьр при
рУ=2 не образуют замкнутой системы по отношению к теоремам
вложения разных измерений, и здесь нет различия между
целыми и не целыми г.

Точные теоремы вложения разных измерений для классов Ьр
при р ф 2 уже не выражаются в терминах этих классов. Чтобы
выразить их, появляется необходимость в привлечении классов
Вр. Однако исключение составляет случай р = 2, изученный
в работах Ароншайна [1] и Л. Н. Слободецкого *). Теоремы
вложения разных метрик для классов Вг, (в обозначении Л. Н. Сло-
бодецкого 1Г0, где не меняется р = 2, замкнуты в себе. Сами
по себе классы Вгр образуют замкнутую систему по отношению
к теоремам вложения разных метрик и измерений (и некоторым
другим) и имеют единое интегральное представление через ядра
Макдональда (см. 8.9.1), но в то же время эти классы играют
служебную роль в задаче о следах функций классов Ьр (или
при г = 1 натуральном), которая решается теоремами вло-
жения разных измерений. В этом заключается связь между
классами Ь и 5; другая связь, как было отмечено выше, заклю-
чается в том, что Ь[ = В1* (/ = 0, 1, ...). Подобные взаимоотно-
шения имеют место и для соответствующих анизотропных
классов.

После сказанного было бы целесообразнее либо считать, что
№Гр для дробных г обозначает лиувиллевский класс, и вовсе не
употреблять знак Ьгр, либо оставить только обозначение Ьгр для
всех г, выбросив специальное обозначение для Соболевских
классов. Но я этого не сделал в этой книге, потому что боюсь
уподобиться лицу, которое увидело целесообразность переимено-

*) Л. Н. Слобод едкий [1], [2], см. еще В. М. Бабич и
Л. Н. Слободецкий [1].
вания улицы, переименовало ее, но не спросило мнения об этом
жителей, ее населяющих.

Мы увидим (см. 6.1), что при любых е>0 имеют место вло-
жения

Нг+е-+Вгирв-+Нгар (г>0, 1 ^9^ сю),

(5)

н1+е-+ж1ар -+Н1ар

(/=1; 2, ...).

(6)

Указанные классы являются линейными нормированными
пространствами. Это будет непосредственно видно из их опреде-
лений. Как будет видно в дальнейшем, они являются полными,
следовательно, банаховыми пространствами (см. 4.7).

Мы увидим, что норма в смысле IV, Н, В слагается из двух
чисел

..... (?)

где второе слагаемое (которое мы будем называть полунормой)
характеризует чисто дифференциальные свойства /. Полунорму
можно считать нормой в соответствующем пространстве ш, И, Ь,
где не различаются функции, отличные друг от друга на много-
члены определенных степеней (относительно х1г ..., хт).

В дальнейшем (см. 8.9.2, 9.2) указанные классы будут опре-
делены в случае ё = Кп и для нулевых и отрицательных значе-
ний г, но они вообще состоят из обобщенных функций (регу-
лярных в смысле Ьр).

4.3.1. Классы IV. Пусть § е — открытое множество, I —
целое неотрицательное число, 1	и х = (и, у), и — (х1г...

..., А'т)е/?и, у = (хт+1, ..., хп); через будем обозначать
также подпространство точек вида (и, 0).

По определению [ е У71ир (§) (№1ир (§) = №р (§) *) при т = п,
№ир(§)—Ьр(&У)> если конечна норма

11/Цр(й)=11/^«)+Л/1^р(й) (/=1. 2,...),	(1)

ИЦр(й)=11%«).

ВЛ»/ (8)= 5

{« = ($!, .... 5т, 0, .... 0), И =	(2)

где, таким образом, сумма распространена на все производные
(обобщенные) смешанные и не смешанные порядка I по и. Тем
самым предполагается, что у / существуют обобщенные произ-

*) С. Л. Соболев [3], [4].
водные по и порядков меньших I, но а рпоп не предполагается,
что они принадлежат к Ьр(ё)- Но мы увидим, что они во всяком
случае локально суммируемы на кроме того, они, в том числе
и производные порядка /, не зависят от порядка, в котором
производится дифференцирование (см. 4.5.1).

Можно рассматривать пространство т1ар (§) (при т = п т!р (§))
функций /, для которых конечна полунорма (2), т. е. предпо-
лагать, что т1ар (§) состоит из измеримых функций /, быть может,
не принадлежащих к Ьр (%), но таких, что для них имеют смысл
принадлежащие к Ьр (§) обобщенные производные на § порядка I.
Очевидно, т‘ар (§) есть линейное множество. Оно будет норми-
рованным пространством, если считать, что две функции /х,
<= т1ар (§), отличающиеся на многочлен степени 2—1, опреде-
ляют один и тот же элемент пространства а/ (§); иначе говоря,
нулевым элементом в т)1р (§) является произвольный многочлен

Л-1(х)= 2	к = (/гъ •••> кт, о.0),

степени /—1с коэффициентами ак = ак(у), зависящими от у =
= (хт+1, .... хп).

Норма (1) эквивалентна следующей норме:

17 М (Й) = [Ш1Р + 2	(3)

“Р \й\	|*| =1	/	/

5 = (5!, ..., 5т, 0, ..., 0).

Преимущество этой последней заключается в том, что при
р = 2 она гильбертова. Скалярное произведение, порождающее
при р = 2 эту норму, имеет вид

(А ф) = $(7ф + 2 г/х.	(4)

§ \	I * , = I	/

Можно говорить также о классах (§) функций /, для
которых конечна норма

=!'М’+|3!	....») и

и классах *)

Фир (ё) = П (ё) (Фир = при Р = Р1 = .. . = Рп),
1=1	(6)

Г = (Г!, ..., г„)>0, Р = (Р1.Рп), 1=^Р/^ОО,

*) С. М. Никольский [10].
с нормой

Введем еще другой класс '^р: функция / е '№1ар (§), если
для иее имеет смысл норма

1 ? И'г' «о = II ? -К «>+®иР II 1к₽«>’	<8)

ир	и~*т

где

/2= Е № = №••“%)• 1«1 = 0’	<$)

,« 1=р

производная от / порядка р по направлению а.

В дальнейшем будет показано (см. 9.2), что

(/?„).

Если область § такова, что для нее имеет место теорема о про-
должении (см. замечания в конце книги к 4.3.6)

^•••''(§)->Г'--’/(2?п),

тогда

(я) ->	(Я) -> Ш -*	(««) -> К (ё),

где первое вложение объясняется тем, что производная р есть
в то же время производная по направлению X/. Обратное вло-
жение

К (ё) - 'К (ё),

очевидно, также верно, следовательно, при наличии теоремы
о продолжении

К(ё)^’^(ё)-

Как будет видно из дальнейшего, для многих достаточно «хоро-
ших» множеств § из того, что / е №ир (§), автоматически следует,
что все частные производные от / по и до порядка р — 1 вклю-
чительно принадлежат к Ьр(ё)- Однако для произвольного
открытого множества § это вообще неверно.

4.3.2.	Пример. Функция /(х) от одной переменной х задана на множестве
оо

= представляющем собой теоретико-множественную сумму интервалов
1

оА = (а* <х< д*) длины 8к = к 2.
Пусть

^=^4^ (*=1. 2,...).
й4

Тогда, если =Д^а<1, то

2р

/ОО	< 1 /р

* /

(ОО	\Мр	/ 00	\ 1/р

У 6Р (1 -а) +1 I _	1 I У 1 I

6	}	(р_|_1)1/Р \^д,2[р(1-а)4-1]у

У<!> Одр(й) = ° П₽И 1^2’

При этом условие 6й = А-2 показывает, что множество § может быть ограни-
ченным.

Таким образом, / е ’ (§) (/3=2), но норма ее первой производной
в метрике Ьр (§) равна -|- со.

4.3.3.	Классы И. Обозначения, введенные в начале 4.3.1,
сохраняются в силе. Пусть 1 =ср=Соо, г>0 и числа к, р целые
неотрицательные, удовлетворяющие неравенствам к>г — р>0.
Такие пары (к, р) мы будем называть допустимыми.

По определению функция [ ^Нгар(§) *), если она принадлежит
к и для нее имеют смысл производные порядка 8«
= (51, ..., 5т, 0, ..., 0) с |в| = 25/ = Р и для них выполняются
1
неравенства

йл^,(х)|иигАЛ)^|л1|лгр,	(о

где М. не зависит от Л е Нт, или эквивалентные им неравенства

б) = зир со* б) М6Г~р.

I Л I = 1

При этом полагаем

И1„;,„М^ю+И1^м,

где полунорма

(!')

(2)

(3)

*) При р=со здесь имеется в виду, что функция / эквивалентна некото-
рой функции, обозначаемой снова через /, для которой выполнено (1).
есть нижняя грань всех М, для которых для всех Н <= Ят,
|й|=1 и любых указанных в выполняется неравенство (1).

Это определение на самом деле зависит еще от допустимой
пары (к, р), но будет доказано (5.5.3), что нормы (2) (но вообще
не (3)) для измеримого множества § = /?тх§' и разных допусти-
мых пар попарно эквивалентны, а для других множеств § экви-
валентность будет зависеть от возможности продолжения функ-
ций за пределы § на с сохранением соответствующих норм
(см. замечания в конце книги к 4.3.6).

Пусть г = г-|-а, где г —целое и 0<а«^1. Если а<1, то,
выбрав в качестве допустимой пары числа р = г', й=1, получим
частный вид неравенства (1)

|Ал^)(х)||/.р(йл)^М|Л|“	(0<а<1).	(4)

Если же а=1, то эта пара не годится, но можно взять в ка-
честве допустимой пару р = г, к — 2, и тогда неравенство (1) будет
иметь вид

ИГ’ (Х)1М82Л)^М I	(5)

Обычно пользуются определениями *) (4) и (5) или просто одним
определением

||А^(х)|ир(82Л)^Л1|Л|“,	(0<а<1),	(6)

годным для любых рассматриваемых а.

Возможно, видоизменение этих определений, заключающееся
в том, что в качестве полунормы М] берется нижняя грань
таких М, для которых (1) выполняется, для всех	удов-

летворяющих неравенству | Л | «С л, где л — заданное положи-
тельное число. Так видоизмененная норма также, как мы уви-
дим, эквивалентна вышеопределенным нормам во всяком случае
для областей вида § = Л?тх§'.

Наконец, возможно еще4 одно определение: функция / е
<= Нир(.ё), если для нее имеют смысл производные порядка р
по любому направлению А е/?т и

||А^||ьр(8а|Л|)^А1|ЛГЛ	(7)

где (к, р) — допустимая пара и М не зависит от й ед7?т. Это
неравенство эквивалентно следующему:

П6(/р; б)= зир зир |А*Лр(й4а)	(8)

|Л| = 1	'

Норма / определяется аналогично (2).

') С. М. Никольский [5].
Если 7?т (//? = !) есть координатная ось х}-, то соответствую-
щий класс Нгир(§) мы будем обозначать через Нгх.р(§) (1—^,
..., т) и норму через

и / 11я^.Р (г)=и и? «я+(9)

Х'Н/1,; „>	(Ю)

Наконец, если г = (гъ ..., гт), р = (ръ рт) {г, > 0,
1^Р/«Соо; /=1,	т^п), то положим*)

т

Нир = П НГх/р/ (§) (Нир = НГар При р = Р1 = ... = рт) (П)

с нормой	Мн' ® = , ”“х №„,«>+1/1,,. и.	(12)  ару&' 1^/^т  II л г = тах П||г.	.	(13)  Л«р(?)	4'^(8)

В (13) можно заменить тах на получив эквивалентную

4.3.4. Классы В. Сохраним обозначения, введенные в начале
4.3.1, и введем еще параметр 9, где 1^9<оэ. Пусть г>0 и
числа й, р (образующие допустимую пару) целые неотрицатель-
ные, удовлетворяющие неравенствам к>г — р>0.

По определению функция [ принадлежит к классу ВиР$(ё) **)
(при т = п просто Вгрв(ё)\ если ^^^р(ё)> существуют обобщен-
ные частные производные по и е Вт от [ порядков 5 = («1, ...
... , зт, 0, ... , 0) (| 51 «С р) и конечна одна из следующих
полунорм:

/°° \ 1/®

V) 	(1)

/со	1/0

Ш'.и- 2 М |«г--»<->1|лу.«(х)ц	о)

1й1-т-е(г-Р)11Д^р

(4)

*) С. М. Никольский [10].

**) См. сиоски на стр. 160.
(см. 4.2 (12), (13)). При этом полагаем

Я' й(й) = НМ) +'тьг ,й) (/=1. 2, 3, 4).	(5)

ир0р	ирй

Все четыре приведенные полунормы (1) —(4) зависят еще от
допустимых пар к, р; кроме того, их можно видоизменить, взяв
написанные там интегралы по ограниченным областям (соот-
ветственно по	или | и | с т]), и все же определенные

при помощи них нормы оказываются эквивалентными во всяком
случае для областей вида д'=х	(см. далее 5.6) и,

следовательно, для областей с которых функции продолжимы
на Яп с сохранением указанных норм.

Часто эти нормы задаются в следующей ситуации *). Для
данного г>0 определяется целое г такое, что г = 7’4-а и
0<а«с1. Если а<1, то достаточно взять допустимую пару
р = Г, к=\, если же а=1, то р = г, к = 2 или же, чтобы объ-
единить эти два случая, можно взять р = г, к = 2.

Если ^ — ограниченное множество и д его диаметр, то для
каждая из функций й в (1) и (2) равна некоторой постоян-
ОО

ной с и остатки § интегралов, стоящих в правых частях (1),
а

(2), конечны (ведь 0, г — р>0). Поэтому конечность полунорм
(1), (2) зависит исключительно от свойств указанных модулей
для малых I.

Классы Вх.р (/=1, .... т) соответствуют тому случаю,
когда Вт заменяется координатной осью х,-.

Полагаем **)

т

при т-">

Отметим простейшие неравенства между полунормами (1) —
(4) (при одной и той же паре к, р):

(6)

Последнее неравенство следует из неравенства 4.2(15). Пер-
вые два получаются немедленно, если ввести полярные коорди-
наты и = (/, о), 1 = \и\, с1и = 1т~1 д1 да и учесть неравенства

II д^р к (^«)

*) О. В. Бесов [3], [5]. В этих работах рассматривались нормы (1) и (3).

**) О В. Бесов [3], [5], случай р^= ... =рл, В. П. Ильин и
В. А. Солонников [1], [2], общий случай.
4.3.5.	Периодические классы. Периодические классы №*($),

Н$р(&), ВГ*.рв($) определяются на множестве <^, = 7?/х<^/с=7?п,
где В/ — действительная ось X/ (/ = 1, ..., п). Это классы функ-
ций /(х7, у), У = (х1( ..., Х/-1, х/+1, ..., х„) периода 2л по ху.
Они определяются в точности так же, как соответствующие
классы 1Г^.р (<^), ... непериодических функций, но только всюду
надо норму ||-||ьр(#) заменить на норму Ц • Цд. (<?ф), где =
== [0, 2л]х^'. Аналогично определяются периодические классы
где & = КтХ#' <=1Яп (1^т==Сп); при
т = и значок и опускаем).

4.3.6.	Продолжение функций с сохранением класса^ Сделаем
еще важное замечание. Пусть А(^) обозначает один из классов
V? (&), Н(§), В(ё) с теми или иными параметрами г, р, ...
Если область	такова, что всякой функции ^еА(§)

можно привести в соответствие определенную на /?л функцию /

такую, что / = / на § и

II/ |1л (Я„) С II Ил (8)’

где с не зависит от /, то будем говорить, что функции / класса
Л(^) можно продолжить с § на Кп с сохранением класса (или
нормы). Будем еще говорить в этом случае, что имеет место
вложение

Л (ё) -> А (/?„).

Наши классы устроены так, что если функция /еЛ(/?„),
то ее значения на § образуют функцию / е Л (§) и

II /Ил (8) <|/ Ил (Д„).

В связи с этим говорят, что имеет место вложение

Л (/?„)-> Л (ё).

Допустим теперь, что для некоторой области § заданы два
класса Л (§) и Л' (§) и

Л (§)-► Л (/?„)-> А'(/?„)•	(1)

Тогда

А(§)^А'(§).	(2)

В этой книге уделяется главное внимание изучению указан-
ных классов в случае, когда § = или § = Ятхё', где 1^
<т<и и ^' — измеримое (п — т)-мерное множество. В замеча-
ниях в конце книги к 4.3.6 читатель найдет формулировки
нескольких общих теорем о продолжении с сохранением класса.
Наличие вложений (1) влечет за собой автоматически вложение (2).

6 С. М. Никольский
4.4.	Представление промежуточной производной
через производную более высокого порядка и функцию.
Следствия

В этом параграфе вводятся некоторые видоизменения фор-
мулы Тейлора, на основании которых будут получены некото-
рые неравенства

4.4.1.	Рассмотрим на конечном интервале (а, Ь) функцию/(х),
имеющую на любом внутреннем по отношению к (а, Ь) отрезке
абсолютно непрерывные производные до порядка (р —2) вклю-
чительно и, следовательно, почти всюду на [а, 6] производную
порядка р— 1. Для нее имеет место почти для всех х0 формула
Тейлора

р —1	*

/ (х) =	/(/) (*о)	+# (х, Хо) (а<х, х0<Ь)	(1)

/=0

чисто формальная, потому что при высказанных условиях ничего
нельзя сказать о поведении остаточного члена 7? (х, х0).

Прямоугольник {а<.х, х0<.Ь\ обозначим через А. Разделим
отрезок [а, Ь] на 2р равных частичных отрезков

До, • • • , Агр-1

и выберем на каждом отрезке Д2А с четным индексом соответ-
ственно по точке хк. Пусть § обозначает р-мерный куб точек
(хн ..., хр). координаты хк которых соответственно принадле-
жат к частным отрезкам Д2А:

ха<=А2А (6=1........р).

Перенеся в (1) /? (х, х0) в

х числа х1г ... , хр, получим

левую часть и подставляя вместо
линейную систему из р уравнений

р—1

2 -(уУ^Н^)-1?(хь хо) (6=1, .... р) (2)
/=о

с р неизвестными (х0) и определителем

П7 = П? (х, — х0, .... Хр — Хо) =

= 2	.....Хр- Хо)	= 2 а/к-{Хк^Ха'>-;	(3)

4=1	4=1

где есть алгебраическое дополнение определителя 1Г, соот-
ветствующее его элементу (хА — х0У (Д)
Из (2) и (3) следует
р

Р (х0) = ~ а/кУ(хк)-В(хк, х0)]	(/ = 0, 1, ... , р-1). (4)

*= 1

Функция 1Г только постоянным множителем отличается от
определителя Вандермонда, равного произведению всевозмож-
ных множителей вида (хк — хг), где к<Ц, к, 1=1, ..., р, и так
как разные хк, хг находятся на расстоянии, большем положи-
тельной константы, то функция 1/1Г ограничена. Функции а,к
также ограничены, поэтому из (4) следует неравенство

| /(7) (х0) V I / (хк); +1 Я (хк, х0) I )	(5)

\й=1	/

(хое=[а, &],	(%!....хп)<=§).

Так как левая часть (5) не зависит от хк (к=1, ..., р), то,
очевидно,

Iр (х0) | -< с2 2! (!)/ (хх) 1 я (хк, х0) [Ьр и))

=^с3(||/||1р(О1/,) + ||7? (х, Хо)||хр1 х(о>*))	(/ = 0, 1, р—1),	(6)

где знак Ьр> х обозначает, что норма исчисляется по переменной х.

Наконец, из (6) следует

^с(|]/Ьр(а,г,)Ч-|)/?|кр(Д1)	(/ = 0, 1.р-1). , (7)

При р = оо это оч^^дно, а при р конечном это получится, если
возвести левую и правую части (6) в степень р, к правой части
применить неравенство

1-±

аф-Ь^2 р (ар-\-ЬрУ/р (а, Ь>0, 1^р^оо),
проинтегрировать обе части неравенства по х0 и, наконец, воз-
вести их в степень 1/р.

4.4.2.	Заметим, что если |[ Р < со, то, подставив выражения 4.4.1 (4/
для производных /‘Л (х0) в равенство 4.4.1 (1), проинтегрировав обе его части
по кубу § точек (х0, ... , хр) и разделив на величину его объема х, получим
формулу *)

Нх) = Р(х) + Р(х),	(1)

где

2 т 5	....7Г"1

/ = о к = ) в,
________________ Й

*) С. М. Н и к с л ь с к и й [11].

6 -
есть многочлен степени р—1 и

$Я(А Хо)^' (3)
8

Формула (1) показывает, что функция / может быть представлена в виде
суммы некоторого многочлена Р (х) степени р—1 и остатка Р (х). При этом
Р и Р явно выражены только через саму функцию / и ее остаточный член
Тейлора Р.

Остаток 7? обычно выражается через производную /'Р> от функции / по-
рядка р.

Таким образом, в правую часть формулы (1) вовсе не входят явно проме-
жуточные производные /|,), ... , /’Р-1’, что дает возможность оценивать нормы
втих производных через нормы / и

4.4.3.	Рассмотрим важные частные случаи формул 4.4.1 (6)
и (7).

Если функция /5^р(а, Ь), то она эквивалентна вполне
определенной непрерывной функции, которую мы снова обозна-
чаем через /. Для нее справедлива формула Тейлора 4.4.1 (1)
с остаточным членом

Р(х, х0)= (р_71)-1- $	(«) Ли,	(1)

где /(р) (= Ер (я, Ь).

Из (1) следует неравенство

\К(х, х0)\^с1у^\\кр(а<Ь}, а^х, х0^Ь.	(2)

Тем более

Р1кр(Д)^Сэ11/(Р,|!1р(а,М>	(3)

где константа с2 зависит от Ъ — а, р и р. В таком случае из
4.4.1 (6) и (7) следуют соответственно неравенства

IР (*о) | с3 (Н ир (в, й) + II (а, = С3 :| Г1,, (й, Ь),	(4)

с8||/||ЧР)(а_ Ь) (/ = 0, 1....р-1).	(5)

Оба полученных неравенства непосредственно распростра-
няются на случай класса функций №РР (3), где <^ = [я, Ь]х<°1
(х е [а, Ь], у =	Вп) — измеримое множество

м,и. ««у)'*

ИЛн/Р (а, Ь)^у\р С4 II / II ГР (7)
д, хр ]	хр'к'

(/ = 0, 1, ..., р).
Если }&Нгхр(&) и Г = р— 1, то / записывается по формуле
4.4.1 (1), где

X

К (Х> Х«) =Ф=2)Т $ (« “хо)р-2 [ЛР-1) («» -У) - ДР-1) (*о> ^)] аи-
х9

Отсюда

Ь	/XX

51 к |Р Охо <с( $ $ I йР-1) (и, у) - Др-1) (Хо, У) |р йи йх0
а	\ а х9

и

Ь х9

+ й IЙ”"

*= с

(Хо — А,

~х — а

(«, У)—?(х ” (Хо, У) |Р Ли ах0

(х0 + к, У) — Др 0 (ХО, У) )р йк Охо +

У)—[хР г) (х0, у) [р М (!х0

х — ах — К

5 $ |/1р-1)(хо+л, у)—^х~^(хо, у)\ранОхо

О а

+ с $|/1р ”(х0-/г, ,у)-Др 0 (х0, у) |р ОН Охо

$ | [х ° (Хо + н, У) -	” (Хо, у) |Р (1ХО йу

р

ь

5 X \^Х~^ (Хо-к, у)-^У~А} (Хо, У)\р йХойу
в, х-\-Н

Отсюда, приняв во внимание, что при й>0

\ р

(Хо + к, у) —	” (х0, у) 1Р Охо йу I < Мка,

где

^=1/^.
получим

/ь ь	\-

||/?||гв (<?) = Ц 5 $|#|р С1хос1у <1х\р «5

\а $1 а	'

$ МрНар (1Н <1х\ + МрНар д.Н (1х\ < с2М.

\а 0	/ \а 0	/

Поэтому из 4.5.1 (7) следует

II/V’ 1вр («) с-з (I! I ||1р (в) + II # ||1р («>)

+	(/=1,..., Г).	(8)

Неравенства (4), (5), так же как (8), верны и приа= — оо,
Ь = 4- оо. В случае (4) это очевидно. В случаях же (5) и (8)
это следует из 6.1 (2) и (8), в случае (5) (1<р<оо) еще
из 9.2.2. Соответствующее неравенство для интервала (а, оо)
сводится к предыдущему путем применения теоремы о продол-
жении 4.3.6.

4.4.4.	Заметим, что при определении функций классов 1Гр (^)
и Нр (<^) предполагалось существование на & обобщенных част-
ных производных /б* порядков /=1,..., р—1 (?), но не пред-
полагалось, что они имеют конечную норму в смысле Ьр (<^).

Неравенства 4.4.3 (7) и (8) показывают, что конечность
норм указанных производных вытекает из определения соответст-
вующих классов. Но тогда производные /<.'> (/' = 0, 1,..., р—1)
почти для всех _у по переменной х абсолютно непрерывны
на замкнутом отрезке [а, Ь]. Таким образом, почти для всех
имеет место разложение / по формуле Тейлора

Ня> 5')= 2/'Т^(х-й)А + (^=Т)Гр"Р)(М’ УНх-иу-^и (1)
О	а

в окрестности концевой точки а сегмента [а, д] и соответ-
ствующее разложение в окрестности другой концевой точки Ь.
Отметим неравенство



И 4?% (8л/р । л,) /г|Р

дх?

(2)

У №'

которое можно трактовать следующим образом: если имеет смысл
правая часть неравенства (2), то и левая, и имеет место само
неравенство (2).

В 4.8 будет получено обращение неравенства (2) при р = 1.
Доказательство. Пусть сначала р = 1; тогда в силу
равенства

А

Ах,. л/(х) = $Д, (%1 + Л у)(И, х = (хь >0 е= йП л

о

имеющего место почти для всех допустимых у = (х2, ..., хп) и
для всех Н, допустимых для всякого такого у, получим
(см. 1.3.2)

1)Лм.Лр(й|Л|)

О

А

1^0 <е)
о

сП

=|А|1%(о.



Поэтому при произвольном р

II А?ь // 1|ьр (гХ1Р (л |) II АХъ л д/ ||ьр (5Х1Р । /, |) ^

1 /г 11| Д р~^х>	(р_1}! Л <

I2II1кр (р-2)! л.)	<Iн 1рл(«>•

Следствие 1. Для функции (х) = (х1г ... , хп) <=
е V? (<=), ^ = Я1Х^1 (т. е. принадлежащей к Ьр (<о) и целой
степени V по хъ см. 3.4.1) имеет место неравенство*)

|| А° ,	||,	| П \р & | (уф к (*)	(3)

р	|| Эх» ||ьр (а>)	р

(см. 3.2.2 (7)). Здесь надо учесть, что $Х1,6 =^>, так как есть
цилиндрическое в направлении хг множество.

Следствие 2. Если г > 0 — целое, то

(4)

Это следует из того, что

УIIА^,	пЦ ср ^Х121 Л I) -С II АХр Л/^’ || /,р ^Х1! Л 0	21	(г).

4.4.5.	Лемма. Пусть задана последовательность функций
^(1—1., 2,...), принадлежащих к р (§), где § с: НП — откры-
тое множество.

Если для двух функций I, ср е (§)

11/-Л1|гр(.)->0,	/->оэ,	(1)

*) Неравенство (3) верно и для тригонометрических полиномов порядка?
по хг, если заменить Ьр (<?) на Ьр* (<?).
то (в обобщенном смысле)

Ф = 7Т на §.	(3)

Доказательство. Пусть сначала ^ = [а, 6]. Из того, что
функция [1^^хР[а, Ь] (/«1, 2,...) следует, что для нее или
некоторой эквивалентной ей функции, обозначаемой снова через Д,
для любых х, х0 <= [а, Ь] имеет место разложение Д по формуле
Тейлора

Р~' (X )	1 Р

М*) =	<4)

О

В силу 4.4.3 (4) и условий леммы

^С[ик-Цьр^ь)+Уг-/(/р)||ьр№ ь>]->ОГ *, /->оо,
т. е. имеет место равномерная сходимость

Пт / </> (х0) = М*о) (а<х0=сд; / = 0, 1,..., р— 1)
/-+СО

на отрезке [а, 6]. Но тогда после перехода к пределу в (4) при
/-> оо получим

р —1	х

/(*) = 2 т- (* -х0)к+ф=Л)Г $ - Ор-2 ф (О
о	х,

т. е.

М0 = /(/,(0, / = 0, 1...р-1,

Ф (/) =/(Р) (г1)

и лемма доказана.

В общем случае лемма будет, очевидно, доказана, если будет
доказана справедливость равенства (3) на произвольном прямо-
угольном параллелепипеде Ас».

Будем считать, что А = [а, 6].хА1, где хг <= [а, 6], у/еАх.
В силу условий, наложенных на функции //, и того факта, что
их счетное количество, можно считать их видоизменениями
на множестве меры нуль так, что существует множество А{ с Ах
полной меры такое, что для всех у е Ах все функции локально
абсолютно непрерывны по х. Из (1) и (2) следует, что почти
для всякого у е Ах, для некоторой (зависящей от у) подпосле-
довательности индексов имеет место (см. 1.3.8)

дхР || Ьр (а, *)

Но тогда для указанных у

ф(*1, 3') = ^-(^ь У)

почти для всех х1 е [а, Ь]. Это и приводит к утверждению
леммы.

4.4.6.	Теорема. Пусть — открытое множество и
—другое открытое ограниченное множество такое, что 81 а

Тогда, если	то

\\Р}\\ьр^^се1у\\^(е)	(I)

с81 — константа, зависящая от р, I и но не от

Эта теорема легко вытекает по индукции из неравенства 4.4.3
(7). Учитывая, что §1 можно покрыть конечным числом кубов
Дс§ с ребрами, параллельными осям координат, достаточно
теорему доказать для одного из них.	_.

4.4.7.	Лемма. Пусть дана последоватпельно&пь функций
/* = (Х1............Хп) = (х) (к = 1, 2, ...),

интегрируемых на § в р-й степени (1 -С р -с оо) вместе со своими
фигурирующими ниже в (1) частными производными до порядка р
включительно, и, кроме того, даны функции



,	... а.

(а14-...4-а,^р, а; — целые положительные,	п)

что

Пт ||/ — ЛРь (й) = 0,
>СО	г

такие.

Пт /<
/? —* со

Нт

А ~* СС

(Рук
дхф

Ик

’З 1 а1 л “с
дх1 1... дх3 *

Тогда (в обобщенном смысле)

д<Х1-|-а2^

дх*'дх%‘ ’

= 0,
Ер(Й)

(1)

= 0-

||ЬР (Ю

д'

дх^...дх^>

(2)

А»1 — /счаа






Для случая 5=1 это лемма 4.4.5. Переход к общему случаю
совершается без труда по индукции.

4.4.8.	Если рассматриваемые в 4.4.7 функции и их част-
ные производные соответствующих порядков непрерывны на §,
то эти частные производные не зависят от порядка дифференци-
рования, поэтому и обобщенные производные 4.4.7 (2) не зависят
от порядка дифференцирования почти всюду на §.

4.4.9.	Теорема. Пусть функции ф, ...непрерывны вместе
со своими частными производными до порядка р включительно и
вместе с функцией / удовлетворяют условиям леммы 4.4.7 и при
этом равенства (1) выполняются для любых а~(а1,..., ап)
с |а|=^р. Пусть, кроме того, область § изменения переменных
х1г..., хп взаимно однозначно отображается на область § пере-
менных 1Ъ..., 1п при помощи функций

Х/ = ф/(6, ••• , 6г)	(1)

непрерывных, имеющих непрерывные и ограниченные на § частные
производные порядков, не превышающих р и таких, что якобиан

Г) (А — ^Х1’	’ х")

Тогда функция

б7 (4, •••, Мв/(Ф1......Фл)

интегрируема в р-й степени на § вместе со своими частными
производными порядка до р включительно, причем эти частные
производные вычисляются по классическим формулам, как если бы
функция / имела непрерывные частные производные.

Доказательство. В самом деле, из условий леммы сле-
дует, что фв> <= Ьр (§) для всех 5 с 151 р и имеет место

$ | фг> (х) дх = Нт $ |	(х) дх =

а	к ~*°°е

= “т $ 1 (фь .... ф„) |” и (0 л = 5 | ф’> (Фх.ф„) \р о (I) <П,

е	е

и так как О (I) ограничена снизу положительной константой,
то (фь ..., ф„)еЬр(§). Положим

/7*(О=^(Ф1. •••. Фл), 6'(О=НФ1. •••. Фл).

Согласно классической формуле производная от Рь порядка
/ = (6, ...» /„) имеет вид

Л°(0 = 2 «^}(Ф1..........Ф„),	(2)

|«КИ1
где ах — определяемые преобразованиями (1) функции, непрерыв-
ные и ограниченные на Так как -> /<л) (к. ->оо) в смысле

{§), то на основании сказанного Д4) (фъ ..., <рл) ->/(5) (<ръ ..., <рл)
в смысле Ьр {§) и из (2) следует после перехода к пределу при
&->со, что

«^(фъ .... <р„)	(2')

почти для всех В формулу (2') входят, вообще говоря,
обобщенные производные. Если последние непрерывны, то (2')
есть классическая формула.

В этих рассуждениях мы считали, что р конечно (1 <р<оо).
При р = оо из условия леммы ничего нового не возникает, потому
что тогда /<5)(|«|<р) равномерно сходится к

4.5.	Еще об уфеднении по Соболеву *)

Пусть § с Я =Яп — открытое множество, 1^р^оо, функция
/еТр(^) и

=	(/ = 0на/?-^)	(1)

ее е-усреднение (см. 1.4).

Очевидно, /8 (х) бесконечно дифференцируема на 7? и

/<5) (*) = У / («)	(2)

для любого целого вектора 5 = (я1, ..., 8„)^0.

4.5.1.	Обозначим, как обычно, через множество точек хе^,
отстоящих от границы § на расстоянии, большем чем е>0.

Пусть /еТ,^) и -^-^Ьр(§). Если хе§е, то в равенстве

4г

1

ел + 1

У («)аи

под интегралом, который можно считать распространенным на
шар радиуса е с центром в х, стоит функция /, абсолютно
непрерывная по иг почти для всех (и2, •••, ип), поэтому этот
интеграл можно проинтегрировать по частям по ц2 (при х<^дй
это, вообще говоря, не так, / может быть существенно разрывной
в указанном шаре).

Учитывая, что

') С. Л. Соболев [4].
и что ф-0 вне упомянутого шара, получим

- 7г Ь - Ш. <*>•

(9/	д2?

Вообще, если рассматривать функции Д , -------—, .... то,

<«/, дхц Эх/,
рассуждая по индукции, получим

О’(/.) = РП, (х^ёе), В^ = — д—	(1)

дх 1 ... дх п
1 п

При определении класса ТГр(§) предполагалось, что всякая
принадлежащая к нему функция / принадлежит к Ер (§) вместе
со своими частными производными порядка /. Что касается
подчиненных производных | у | < /), то они, естественно,
предполагались существующими (в обобщенном смысле) на
ио не обязательно суммируемыми в р-й степени на ё.

В 4.4.6 было показано, если е №1р (§) и а с: § — произволь-
ный п-мерный шар, то (15) е (а) (|^|^/). Но тогда для
достаточно малого 8>0 имеет место на а равенство (1), из
которого в силу 1.4(5) следует при 1=Ср<оо (или при р = оо
в предположении, что О5/ равномерно непрерывна на 7?л), что
Р'(/,)-Г>7кр«г)=||(^/)е-^кр(Ф-*0	(8+0, И^/). (2)

Учитывая, что /в — бесконечно дифференцируемая функция и,
следовательно, для нее результат операции О’Д, не зависит от
порядка дифференцирования (по 5Ъ ..., 5Л), и что а произ-
вольный шар, мы приходим к следующему выводу.

Если [ е№р (§), то для указанных у производные /(4) почти
всюду не зависят от порядка дифференцирования.

4,5.2.	Теорема. Пусть [ и X — локально суммируемые на §
функции. Если функция X есть производная по х± на § по Собо-
леву, то она также есть производная

Ь =	(1)

дхг ’	' '

в употребляемом нами смысле (см. начало § 4.1).

Доказательство. Пусть

Ь(х) = 5 фв (х-и)? (и) ди,	(2)

е — усреднение /; тогда

/И*) - 5 -^Че(х-и)[(и)аи = — $ ~<ре (х-«)/(«) =

>= <рв (х - и) X (и) ди (х^ёе).	(3)
Последнее равенство имеет место в силу того, что А, есть про-
изводная от / по Х1 на § в смысле Соболева, и того, что <рг (х — и)
при фиксированном хе§е есть финитная функция по и.

Так как / и к локально суммируемы на то из (2) и (3)
следует (см. 4.5.1) (2)), что

||/8-а«т)-*0, е^О,

Ц/е — Мцч)-*"0- 8->0,

на любом замкнутом шаре но тогда согласно лемме 4.4.5
имеет место (1).

4.6,	Оценка приращения по направлению

Рассмотрим линейное преобразование

х{= а:к1к (г = 1, .... п)	(1)

А = 1	*

с определителем, не равным нулю, отображающее взаимно одно-
значно точки х = (хъ ... хп) е § в точки I = (/ь ..., 1п) е
Оно удовлетворяет требованиям теоремы 4.4.9. Если /®1Гр(^),
то мы знаем уже, что для каждого шара асЗс^ выполняется
4.5.1 (2), но тогда вследствие теоремы 4.4.9 преобразованная
посредством (1) функция /(0	(Х1 (0> • •• *«(0) имеет на любом

шаре а следовательно, и на § все производные ^>(1) по I,
где 151 < I, вычисляемые к тому же по классическим правилам.
Ясно, что / е

Чтобы определить производную от функции / е 1Гр (§) по
направлению вектора Л е 7?л, введем ортогональное преобразо-
вание (1) такое, что изменение в положительном направлении
при фиксированных 1г, ..., 1п влечет изменение х в направле-
нии Л. Мы будем считать, что производная от / по направлению Л
определяется равенством

~	~ = 7 -^-соз^, X/),	(2)

дН д(1 дх/ \	\ /

/=1

У м/г	О)

1	М=«

(у = (51, ...» 5Я); И</,	|Л|=1).

Очевидно, это определение не зависит от выбора ортогонального
преобразования (1), подчиняющегося указанным требованиям.
Имеет место равенство

Ал/ (х) = / (х + й) — / (х) = | й | $ /* (х + Иг)	(4)

о

откуда

В Ал/ (ХЖ„ (йд) I Л I II /л (х + /й) ||г. (аА) (И = | й 11| / дЦл (й)>	(5)

о

где й есть произвольный вектор. Легко получить также более
общее неравенство (в частности, содержащее аналогичное 4.4.4 (2))

Нн-'>Мр.>«|*1р|г.м	(6)

4.7,	Полнота пространств IV, Н, В

Теорема. Каково бы ни было открытое множество ё<^.Р.п,
пространства	.

^иР(ё), ^1ар(§), ягар(е), НГар(ё), ВГаргЛё), вгар.(ё)

ПОЛНЫ.

Существуют различные варианты определений указанных
классов. Для произвольного открытого множества ё они вообще
/не эквивалентны. Мы доказываем полноту для вариантов: 4.3.1 (1)
для пространств ^гир, 4.3.3 (5) для Нгар, 4.3.4 (2) или 4.3.4 (4)
для Варо. Для других вариантов доказательство не отличается
существенно.

Доказательство. Будем считать, что ё1 с ё1 с ё — ограни-
ченное открытое множество. Пусть задана последовательность функ-
ций Й7«р (ё) (й=1, 2, ...), удовлетворяющая условию Коши
в метрике Й7«р(^).

Тогда (см. 4.4.6 и 4.4.7)

I)	/Г» - /Г’ кр (й1> < II /д - ЛII (я) + о (1)

к, /'->ОО, 5 = (5г, ..., 8т, 0, ..., 0),
существует функция /, для которой

11/^-НМ^-*0- ^-*°°)-	(2)

Она принадлежит к ^1ир (ё1), потому что е У?ир (ё1). Задав
е>0, можно указать М >0 так, что для к, / > К

к/*—ми (К0+ 2 V*5’-//л,1^р(й1)^и/*~Л||й7/ (й><8 (з)
|.1=г	р
тля любых Переход в первом члене (3) к пределу при / ->оо
в силу (2) приводит к такому же выражению, где надо заме-
нить /у на /, т. е. имеет место

II /а / II (Я1) 8
ир

(к Ж)

для любого следовательно, и для При этом / принадлежит

(вместе с /А) к У71ар (§). Этим полнота №1ар (§), в частности,
^1^р (§) доказана, но тогда, очевидно, и №1ар (§) полно.

Докажем теперь полноту Виро (§) (1

Варсо

= Нгар).

Можно доказать (см. замечание в конце книги к п. 4.3.6), что

функции^классов Вг' " ’ г (§) = Вгйр$' ’г (§) можно продолжить

с	на 7? с сохранением нормы (по §), т. е. можно для

каждой / е Вг..г (§) определить ее продолжение /(/ = / на

так, что

IIЛ В'.........Г(Я) СII IIВг...............''(8)

Но дальше будет доказано (5.6.2), что

Вг...'(#) = 5Г (Я).

(4)

(5)

Поэтому для функций удовлетворяющих условию Коши в Вг (§)

о^ИЛ-М1вщг)>И^-М1в......г^>

> IIЛ - // 11щ.(Я) > II л - Ь к- (Л) > II № - 1кр0У (6)

(« = (81.8ОТ, 0, .... 0), |®|^Г, г = г + а,

г —целое, 0<а=С1).

Первое неравенство тривиально (Вг -> Вг...г); второе справед-

ливо в силу вышеуказанной теоремы о продолжении, здесь /у,
— функции, продолжающие, согласно этой теореме, соответст-
венно функции /4, /у с множества §1, третье неравенство следует
из (5); четвертое будет доказано позднее (6.2(8)). Отметим, что
в случае НГХ1Р(§) (т=1) неравенство между первым и последним
членами (6) следует непосредственно из (4.4.3 (8)) без привлечения
теоремы о продолжении.

Из (6), очевидно, следует, что при р = Г

||П°и-Мр(г1)->0	(*, /->оо, «<=/?„),	(7)

где $и — производная от порядка р по направлению и, каково
бы ни было
Теперь, рассматривая класс Н'ар(§рп для простоты считая,
что и 0<а<1, и задав е>0, получим

:_г„	, Ж (Х + И)~/Ра (X+ «))-(/%„ (х)-/?ц (х))||1р (й1)

А и 0?) “г	1 ц ,а

(8)

П

где X достаточно велико. Если к зафиксировать и стремить
/->оо, то в пределе первый член (8) в силу (7) превращается
в такое же выражение, где /у надо заменить на /. В нем заме-
няем на §а, что, очевидно, законно. Взяв верхнюю грань
полученного выражения по и, получим

1 ир

и так как из того, что Ц^Нгар(§), следует, что [^Нгар(§), те
полнота Нгар(§) при а< 1 доказана. При а = 1 в (8) надо вместо
первой разности от	взять вторую, рассуждая анало-

гично.

Для класса же В'ир<, (§) (1 б < оо) для любого е>0

IIП ~ ||т (ю +1 $ I « Г"’-6*II~ III («1)	< е

(р, у>М, и е Р.т, $ =	к^2, при а < 1 /г^1),	(9)

где 0 <%< и — произвольные числа.

Переход к пределу при у->оо приводит к такому же нера-
венству, где /р надо заменить на /р. Это следует из того, что
здесь можно применить теорему Лебега о пределе под знаком
интеграла. Дело в том, что зависящая от и норма под знаком
интеграла в (9) ограниченно стремится к такой же норме, где
вместо /₽ стоит /р (см. (6), (7)). В полученном неравенстве, вер-
ном для любых указанных к, х, можно, очевидно, положить Х = 0,
х = оо и заменить на &/и, что влечет

г <8>

Р>У.

Кроме того, из того, что	следует /<=Вгир^(д). Пол-

нота Вири (§) доказана.
4.8. Оценка производной разностным отношением

Теорема (обращающая неравенство 4.4.4 (2)). Пусть функ-
ция [(х)=[ М, у) задана на открытом множестве у, локально
суммируема на нем и удовлетворяет неравенству

С I \

V Н 1

(1 <р<оо),

(1)

где М не зависит от Н.

Ж

Тогда на § существует производная-^—, обладающая свойством

Ж1’"х'гЛ1'	<2)

е

Доказательство. Зададим два строго вложенных друг
в друга открытых куба Ас=Дс:Д1с=Д1с=§’ с гранями, параллель-
ными осям координат. Имеем

И	\ К /е

((•)е —е-усреднение),

поэтому из (1) и 1.4 (7) следует для достаточно малых И и 8

С е р

1

н

с1х -С Л4.

Переходя к пределу при /г -> оо, получим

{ I |р дх М.	(3)

3 I дхг |	х

△

Имеем

Х1

КМ, У)~КМ, у)=\^-(1, у)&,	(4)

С/л*

Хх

где мы считаем, что _у = (В2, ...» ?«) пробегает прямоугольный
параллелепипед

Д » = {х/=== 1;у =сС х^/ = 2, ..., л}
и

[хь Х1] хА,сА.

Интегрируя (4) по уеЛ,, получим

**

\ 1КМ, У)-к (Хи у)]ду= ^ду ^^(1, у) <11.	(8)
Из (3) следует, что существует .последовательность чисел

8* —> 0 и функция ф е Ьр (А) такая/ что ->ф слабо в смысле
(А) (см. 1.3.11). С другой стороны, из того, что [|/е* —(Д)_

из последовательности {е*} можно выделить подпоследователь-
ность {е*} такую, что

5 /е* (Х1, у) Лу (х1г у) ду, 8А-> О,
Л.	д»

для всех х, из некоторого множества ед [а, 6] = прх,А (проек-
ция А на ось хг) меры (линейной) Ь — а. В таком случае, если
в (5) положить е = еА, то в пределе при 8*—>0 для любых х1г
х{ е $ получим

Х1

5 [/ «, у) (Х1, 5»)] ^У = $ йу 5 Ф (^. У)

△* Х1

Если разделить обе части этого равенства на //, ..., Нп и перейти
к пределу при	затем /г2->0 и т. д., то получим почти

для всех у = (х2, ..., хл) и

хА<=<§, х\ е 3 ((хи у), (я!, у) е А):

Х1

I (х{, у) - ? (хъ у) = $ ф (/, у) аь	(6)

На самом деле это равенство верно почти для всех допустимых .у
и всех Х1, х{ е [а, Ь], поскольку его правая часть непрерывна
по Х1, х{. Оно указывает на существование на А (обобщенной)
частной производной = ф е Ьр (А) и в силу произвольности А

на существование е Ьр (й), каково бы ни было открытое

й С й С ф

Так как теперь уже мы знаем, что подынтегральная функция
в (1) стремится почти всюду на й к	то (теорема Фату

1.3.10)

{	Р Лх^ М,

и вследствие произвольности й ед й ед § справедливо (2).

4.8 1. Теорема 4.8 при р = оо п=1 есть известная теорема
из теории функций действительного переменного: если функция I
удовлетворяет на интервале (а, Ь) условию Липшица с констан-
той М, то она имеет почти всюду на (а, Ь) производную, удов-
летворяющую неравенству | /' (х) | М (см. П. С. Александров
и А^Й- Колмогоров [1]).

4.8.2. Теорема 4.8 при р=1, п=1 переходит в следующую:
если для локально суммируемой на (а, Ь) функции выполняется

неравенство

ь — ь

5 | / (х + й) — / (х) | йх МН

<.Н <.Ь — а),

то она эквивалентна некоторой функции, которую мы снова обо-
значаем через ограниченной вариации на (а, Ь) и

Уаг^М.

(а, Ь)

В самом деле, рассуждая, как в начале доказательства тео-
ремы 4.8, получим

§ | /е | йх М,
А

где Л — произвольный интервал такой, что У	(а, Ь),

Поэтому

ь

Уаг ^ = <\\Ге\дх-^М.	(1)

(а, Ь) %

Так как /ей (Л^, то $ |/е —/|йх->0 и в силу произволь-

Д,

ности Ах с: Л1 с: (а, Ь) существует последовательность е*-> 0 та-
кая, что

/еА(х)->/(х)	(2)

почти всюду на (а, Ь). Но по теореме Хелли (см. И. П. Натан-
сон [1]) из условия (1) и того факта, что выполняется (2) даже
только в одной точке интервала (а, Ь), следует, что существует
подпоследовательность {е^} последовательности {е*} такая, что /е,
стремится всюду на (а, Ь) к некоторой функции ф, ограничен-
ной на (а, Ь) и

Уаг фс М.

(а, Ь)

Но тогда фи/ эквивалентны на (а, Ь).
ГЛАВА В

ПРЯМЫЕ И ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ

ТЕОРИИ ПРИБЛИЖЕНИЙ. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НОРМЫ

5.1.	Введение

Всюду в этой главе мы считаем, что и = (х1г ..., хт) е
_у==(хт+1, ..., хп), и рассматриваем цилиндрическое измеримое
множество = Нт х точек х = (я, у) = (х,, ..., х„), где и е Дт,
у&$'. Через мы обозначаем также подпространство то-
чек (и, 0) = (Х1, хт, 0.....0).	При т = п (о=Цп-, случай

т = 0 будет мало интересен.

Эта глава посвящена изучению приближений функций из Н, №
и В классов (см. гл. 4), заданных на указанном цилиндриче-
ском множестве <^. Функции классов Нр и УРр будут прибли-
жаться целыми функциями экспоненциального типа (по я) в мет-
рике Ьр, периодические же функции классов Н*р и М7Р — триго-
нометрическими полиномами (по а) в метрике Ь*.

Для классов Н и 1Г будут доказаны прямые теоремы теории
приближения (типа Джексона), показывающие, что определяю-
щие класс числа г или системы чисел (гъ ..., гт) определяют
также порядок приближения принадлежащих к ним функций.

Будут доказаны также обратные теоремы теории приближе-
ния (типа Бернштейна), показывающие, что порядок приближе-
ния данной функции / при помощи функций конечной степени
или тригонометрических полиномов часто полностью определяет
тот класс Н (но не Ц7), к которому принадлежит функция Д
В ряде интересных для анализа случаев будут получены на
языке порядков приближений необходимые и достаточные усло-
вия принадлежности функции / к'тому или иному Д-классу.
Важным средством выражения этих теорем будет служить поня-
тие наилучшего приближения, идея которого восходит
К П. Л. Чебышеву.

С этой точки зрения будут рассмотрены также классы Връ.
Принадлежащие к ним функции также полностью характери-
зуются поведением их наилучших приближений целыми функ-
циями экспоненциального типа или (в периодическом случае)
тригонометрическими полиномами. Именно, для того чтобы функ-
ция принадлежала к данному классу В, необходимо и доста-
точно, чтобы сходился определенный ряд, составленный из ее
наилучших приближений. Мы увидим, что определение клас-
сов Врв на языке наилучших приближений, естественно, расши-
ряется на случай 8 = оо и приводит к эквивалентности: ВУ> =
~ Н?.

В этой главе на основе метода приближений будет получено
много различных эквивалентных определений норм в Н и В
классах. Сам факт эквивалентности сводится к некоторым
неравенствам, в частности неравенствам между частными про-
изводными одной и той же функции.

Будем рассматривать определенные на & = функции
§х(х) = §х(и, у), у = (ух, ..., ут), являющиеся почти для всех
у е о' целыми функциями экспоненциального типа V по пере-
менным и~(х1.......хт). Совокупность всех таких функций

при данном V образует подпространство 2кт>(®)с
с: Ьр (в) (см. 3.5).

Пусть задана функция	(1^р=е^оо). Наилучшим

приближением I при помощи функций е ЙИур (<^), где V =
— (ух, ..., — заданная система чисел, называется величина .

=	«?> = Ы У~^\\ьв =	(1)

р	р 1Ц,	р

При т = п нижняя грань (1) достигается для некоторой (наилуч-
шей) функции. Действительно, из (1) следует существование по-
следовательности функций е ЗЛур (Л?„) (5=1, 2, ...), для ко-
торых выполняются неравенства

II / ~ \\ьр < Еу (])Ьр (Яд) + е5 = д + е, (е, 0).

Из этой последовательности можно в силу 3.3.6 выделить под-
последовательность, которую мы снова обозначим через
такую, что она равномерно сходится к некоторой функции
е (/?„) на любой ограниченной области § с Но тогда

||/-Я*Е(Ю= Ит 11/-^»к«)^ Ит II/-ёгзкщп) = д.

Следовательно,

II / - |кр («„) = а-

Так как ЭУ1хр (<^) есть подпространство пространства Лр(<^),
то при условии 1<р<оо нижняя грань (1) достигается для
единственной (наилучшей) функции е 3^р (в1). Иногда удобно
рассматривать функции, которые мы будем обозначать через
§их, (х) (у>0). Это есть определенные на $ функции, являю-
щиеся почти для всех у = (хт+1, . , х„) целыми экспоненциаль-
ного типа по и = (хг, хт) сферической степени V.

Наилучшим приближением функции [ (=	(<^) при помощи

функций §их (при данном V > 0) назовем величину

Еих (/) = Еау (/)ь (<?) = 1пГ ||/ ёГыг ||ь (<8“),	(2)

Ра	Р

где нижняя грань распространена на все е Ьр ($) при дан-
ном V.

Частным случаем этих понятий является величина

ЕХ ч (/)ь («, = 1п1 || / - л ||ь (#),	(3)

' р еХ У1"	1 ' р

где ^/?уХб"7 (/=1, .... п), И/ есть ось координат х,- и §х.х—
функции из Ьр (&) экспоненциального типа V по X).

5.2.	Теорема об аппроксимации

5.2.1.	Прямая теорема об аппроксимации целыми функциями
экспоненциального типа. Пусть есть неотрицательная чет-
ная функция от одной переменной экспоненциального типа 1,
удовлетворяющая условию

$^(|«Н«=1,	(1)

0 

где хт — соответствующая константа, и пусть ^> = /?тх^'.

Для произвольной функции ф (х), определенной на <^, век-
тора Л е Рт и натурального числа I справедливо равенство

/	I

(—1)'+1Д/,Ф(х) = У (—I)7'1 С5<р(х + /Л)= у (* + /*)-ф(х),
/=0	/=1

(2)
где

2И=1.	(3)

1= 1

Зададим функцию / е Ьр (<^); тогда для почти всех у функ-
ция /(«, у) от и принадлежит кЛр(Л?т), и имеет смысл функция

=	30= $ ёГ(|^1){(—1)Л1А^/(х) + /(х)} Л =

I

= гОИ) 2	$1 у)м== 5 ^(^-«)/(Л у)&,	(4)
где

В силу (1)

(X) - {(х) = (—V)1-1 \ I) (х) М.

(5)

(6)

Предположим теперь, что функция / имеет на по и про-
изводные порядка р, принадлежащие к Ьр($) ик = 1 — р. Тогда
из (6) следует (пояснения ниже)

Ецу (/)ьр (#) II / ^|ер(^) =

5 ёГ(|^|)А^(х)Л



(х) ||ьр (#) <И



$2(1'1)1'1414Н'1)^'йЦ/р, I), (#) =

Л,	Р

т

= 4- йд (?р, -)	^>0),	(7)

ур Лот\' ’ V /Ьр(#)	4	'*	4 7

если правая часть конечна.

В частности, из (7) следует, что если / е Нгар (4, то
Еау(1)^.

(8)

Мы применили обобщенное неравенство Минковского 1.3.2
и неравенство 4.6 (6); /р есть производная от / порядка р по
направлению I, ПДт(/р, б) —модуль непрерывности / по всем
производным порядка р. К нему применено свойство 4.2 (14).
Наконец, мы считаем, что функция § выбрана так, чтобы инте-
грал

$ 2 (') 1р+к+т~1 М
— ОО

был конечным. В качестве § можно взять функцию вида

/.

( 81П пг-]

I Л I

) >

(9)

где Х^р + ^4-щ + 2 —целое четное и р — постоянная, для кото-
рой имеет место (1).
Так как §(д) есть целая функция от одной переменной экспо-
ненциального типа I, то в силу (5) функция есть в свою
очередь целая сферического типа V по и = (х1,	, хт) (см. 3.6.2),

принадлежащая к Ьр ($).

5.2.1.1. Допустим, что про функцию / мы знаем только, что для нее ко-
нечен модуль непрерывности

й* (/₽, 6)<оо	(1)

ТП

прн некотором 6 > 0. Тогда, рассуждая как выше (справо налево), мы можем
получить для — ^6 всю цепочку соотношений 5.2.1 (7), исключив пока пер-
вое неравенство Разность /—будет представлять собой формальную запись
функции, стоящей под интегралом в третьем члене 5.2.1 (7). Однако если
известно, что функция / локально интегрируема в р-й степени на <? (или даже
несколько меньше: см. ниже), то можно заключить, что I интегрируема в р-й
степени на § с определенным весом, а прн выборе подходящего ядра десть
целая функция сферического типа V (интегрируемая с тем же весом). В самом
деле, из (1) для любого Л е Кт с | Л | «с 6 следует:

В Ю |кр (Я) 69 || Ь^Х)	(/Р, 6)

и в силу 4.2.2 (5) (заменить к на /)

Н(х)(1+|«|-н)||Ьр(е)<оО,	(2)

где

Р = —-(-/-фе (е > 0).	(3)

Но тогда почти для всех у е <?'

|1/(и, у)(1 + |« |)-и||^(5)<оо.

И в силу 3.6.2 можно ядро § (0 вида 5.2.1 (9) подобрать так (взяв X доста-
точно большим), что функция

§у,(х)= Кх(1 — у)М	(4)

(см. 5.2.1 (4), (5)) заведомо будет сферического типа почти для всех у.

Теперь приобретает смысл также и первый член в формуле 5.2.1 (7)~-
(/)д Его можно рассматривать как нанлучшее приближение в
метрике кр (9) рассматриваемой функции / при помощи целых функций сфери-
ческого типа V (вообще не принадлежащих к (<?)). Мы показали, что если
для локально суммируемой в р-й степени функции / имеет смысл модуль (1),
то ее имеет смысл приближать в метрике Ьр (<?) функциями сферического
типа V по а.

На самом деле (см. 4.2.2 (4)) вместо Локальной суммируемости | / |Р (при
р=«со—локальной ограниченности и измеримости /) достаточно предполагать
существование Ц/1|^ (охв,}, где о = { | и | <5(/ + т)}.

5.2.2. Другие оценки аппроксимации. Ниже приводятся другие оценки,
основанные на формуле 5.2.1 (6). Если / имеет обобщенные производные по
и = (иг, ... , ит) до порядка р включительно, то из 5.2.1 (6) следует, что во
всяком случае формально для любого целочисленного неотрицательного век-
тора « = («!, ... , 8т, 0, .... 0) с | 5 | ^р имеет место равенство

(1)

и неравенство

(2)

1<т

Если при любом 8 с | 5 | р интеграл в правой части (2) конечен, то имеет
место уже неформальное равенство (1) и неравенство (2).

Мы будем еще пользоваться неравенством

|| длФ(*)=МдлФ (*)|кр(#> (0<Г<0,	(3)

где с=2!~‘', Н <= Кт.

Тогда (пояснения ниже) при к — 1 — р, | 8 | р

Р<и>(^)р’|'|Нг',5^/м<4
р	р 1 '

«т	Р

<^4(7! рП1Ж|р-|‘12^|вф<Р>- Цг)^<

.<^7| р(41)41Р~|в|(1+1^й + "!)^2й«т(/(р’,

СО

р(0 (1 -Н)р +А + т- 1 М 2	(/(р)- V)<

о

%-^йт 2 аЦ/"'. т) <»>»> <’1
|«| = р

0Р -1 ® I

Первое неравенство получается на основании 4.6 (6), здесь _у^|’ обозна-

чает производную порядка р — [81 по направлению Л Второе получается
в силу того, что эта производная есть линейная комбинация из обычных про-
изводных (по координатным направлениям) того же порядка с ограниченными
коэффициентами, не зависящими от х; при этом сумма распространена на все
производные /'Р1 порядка р. Третье вытекает из определения 4.2 (13). Четвер-
тое, в силу 4.2 (14), при р=0 (где надо / заменить на /<Р’) и в последнем
неравенстве надо считать 8 выбранным так, чтобы выполнялось 5.2.1 (1).

Отметим еще, что любая производная 4₽1 по и е Кт порядка р может
быть записана (см. 5.2.1 (4)) в виде

I

4” (х^=	2 а^ир} (“+ V  у)
откуда	[

(<,да- У > (I' I) 2 И, 11	(-+I. «»<

1	1 Р

$ йг(| * |)^а>^ (/(р),| й1\(<?)<Н“^(/(Р).

ИЛИ

Й^(4Р,-б)<^т(/(Р)- 0>	(5)

где с не зависит от V и /.

Это показывает, что дифференциальные свойства / передаются на рав-
номерно относительно V.

5.2.3.	Вернемся снова к ядру 5.2.1 (5), которое нас будет
интересовать на этот раз при т=1. Будем, таким образом,
предполагать, что <^ = А1 X ©' с /?„.

Положим

Ау,Д«)= 2 ^7^(7)	(/ = р + А, — со < и < со). (1)

/=1

В силу 5.2.1 (7)

- 5 К.., «-Ч)IV, У)	Ь < («’.	(2)

в предположении, конечно, что правая часть (2) имеет смысл.
Конечно, мы считаем, как в 5.2.1, что целая положительная
четная функция § (/) от одной переменной экспоненциального
типа 1 выбрана так, что выполняется условие 5.2.1 (1) при т = 1,
обеспечивающее оценку (2). Подчеркнем, что из него, во всяком
случае, следует, что

=	.(3)

— со

$ | Ку, / (/) I М < С/ < оо (т>0),	(4)

— со

где с1 не зависит от у>0.

Пусть теперь $ = Кт х с /?„, §(х) — функция, которая
почти для всех у е®'' есть целая экспоненциального типа V =
= (V!, ..., ут) по (%!..хт); мы как всегда будем ее обозна-

чать через

=	... \’т (-И, •••, хт).

Это определение имеет смысл, когда V, (/=1, ..., т) — положи-
тельные конечные числа. Распространим это определение на слу-
чай, когда некоторые V/ (не все) равны сю. Именно, если V^ = с>о
(1-^т), будем считать, что по переменной х1 функция § не обя-
зана быть целой. Например, , Л?2, ОО ,	, ОО, где V!, конечны,

обозначает, что эта функция почти для всех (х3, ..., х„) в смысле
(п — 2)-мерной меры есть относительно хь х2 целая функция
экспоненциального типа соответственно

5.2.4.	Теорема. Пусть р_/, А, (/=1, ..., т) — натуральные
числа, —	1(х) = Ци, у)^Ьр($) и задана система функ-

ций

СО

§У1, со, ... , со (-^) ~	^У1, 11 (^) / (-^1 ”1“	-^2’ • • • >	У') 6^,

Ул, оо» » 00 ("^) ~	Куи /1 (^1) Ку2, 4 (^2) X

— со — со
х/(%1 + иь *2 + ^2» *з, хт\ у)йих(1и2, (1)

...^т(Х)= 5 ... 5	//«Ф-

— 00	— со

..  1т (Цт) /	•••» %т ит, У) йи^ ... йит,

где V/ > 0.

Тогда каждая из функций ..............?	ю....ю (очевидно) принад-

лежит к Ьр (#) и является целой экспоненциального типа V!, ...,
соответственно по х1г ..., X/	Кроме того, выпол-

няются неравенства

«о** (ХР1) >

и, „ - х'\*‘

II/ ~ СО.......оо ЦАр (<?)	,

.у И 1

Л2 у х2 ' ^2 У((§|)

II ё^>1, СО, .... СО — й'у,, V,. оо, .... 00 ||ьрг (<?)	,	(2)

со?'” [

хт \ хт Ут /Ьр (<^)

|1	__ /~г	I

II	°°	....'’т^Рт^~~~-	уРга

(3)

(0к1^(е(рд	св^1((/=1 .. т) (4)
Из (1), в частности, при р = р1 = ... — рт, очевидно, следует:

т Ю*У7/(Р/) _1_\

И , ч _ VI 1	"У/ А- <<»>

||!2----------------------₽;----— •	(5)

/=1	У/'

Доказательство. Приведем доказательство теоремы
в случае т = 3; для т>3 оно аналогично.

Первое неравенство (2) получается на основании 5.2.3 (2):

°°...оо||ьр(е)^^	^ьр(3)-

Второе неравенство (2) получается при помощи следующих
выкладок:

II ЙЗ’,, со, со VI, оо ||ьР1 (<?) —

= Г '1 («1) М*1 + «1, х2, х3;	, (6)

II - оо	1кР1 (<?)

где

Й1 (Х1, х2, х3; дО =

= /Сч, х2, х3; у)~ Ку., г, (и2)1(х1г х2 + и2, х3; у) с1и2

«—СО

и в силу 5.2.3 (2)

Тогда, применяя к (6) обобщенное неравенство Минковского,
получим (см. еще 5.2.3 (4))

11^1, ОО, оо §у., у,, оо||ьр>(<?)

Г 1^, /,(«1)1И1(л;1 + «ь х2, х3; _у)||ьр.«?) Й«1 =
—со

= Н11кР, (#) I /, (м1) |^«1^------------------------——.

—00	у2

Наконец, третье неравенство (2) получим при помощи рас-
суждений:

(ёУ1, V,, оо ёУ1, V*. V,)	Х2, Х3‘, у) =

 = $ $	/, («1) Ку., I. (и2) ^2 (Х1 + ии х2 + ы2, х3, у) <1их 4ил,
где

Л2(Х1, х2, х3; у)=*

= 1(хъ х2, х3; у) — Яу„ г,(«)/(хг, х2, х3 + и-, у) Ли.

—со

Поэтому, применяя обобщенное неравенство Минковского и
соотношения 5.2.3 (2) и (4), получим

С1 С; ю*3

и	и	'> ‘‘ '» Хз \ х‘ У3 /

||§У,, у2, со	у2, у3 |]Г._ (®)	•

у3

Неравенства (2) доказаны. Неравенство (3) (при т = 3) немед-
ленно получается, если к интегралу, стоящему в правой части
последнего равенства (1), применить обобщенное неравенство
Минковского

|йУ1, VI, Уз (5)

$ $ $ 1^,. /,(«1)Лу„ /. («г)#у„ /, («з)! ^И1^2^ИзН1кр («)^

—со —со —со

(/ = 1,2,3).

Наконец, если продифференцировать последнее равенство (1)
р! раз по хг и применить операцию &гй разности по хх, то
в силу неравенства Минковского получим

I	ТР II	со со со

дХ.л-^	(«Му,. а«2)^,./з(«3)х

йхр‘ ;|ЬР1(0) Л-оо-оо

х|А*1,	(Х1 + «1, х2 + и2, х3 + и3, ^)|[ьр(1?) с!их с1и^ аи3 <

Г Г Г I ^з, А, Л. I, I Ли2 аи3	Iн I),

откуда следует (4). При / = 2, 3 доказательство аналогично.

В.З. Периодические классы

Теоремы § 5.2 сохраняются с некоторыми видоизменениями
в доказательствах, если в их формулировках рассматриваемые
там функции считать периодическими периода 2л, а приближаю-
щие целые функции заменить на тригонометрические поли-
номы Как всегда, в этом случае надо нормы - |]д (®) (<^ =
= х с 7?л) заменить на нормы |Н1ьс(®,) (^* = д(т) X ^1), где
Д1»>) = (0	2л; /=1, ..., т}. Первые простейшие прямые
теоремы приближения были получены в периодическом случае.
Именно, Джексон показал, что периодическую периода 2л функ-
цию от одной переменной, имеющую непрерывную производную
порядка г, можно приблизить тригонометрическими полиномами
/'„(х) (п=1, 2, ...) так, что отклонение (в равномерной мет-
рике С) удовлетворяет неравенству

“* (гг1>

|Нх)-7\(*)1^г- У пГ п1 (п=1, 2, ...),

где ©„(Г'"’, б) есть модуль непрерывности функции /(г). Метод
приближения периодических функций тригонометрическими
полиномами, который будет рассматриваться ниже, является
модернизованным методом Джексона. В простейших случаях
(см. далее 5.3.1 (6), (8) /=1, а = 2, и=1) он совпадает с мето-
дом Джексона. С другой стороны, он является аналогом рас-
смотренного выше метода 5.2.1 (4) приближения целыми функ-
циями экспоненциального типа.

5.3.1. Первые два равенства 5.2.1 (4) при т=1,—со < х < оо можно еще
записать в виде

&ч(х,У) = $ ^(т/){(— 1/+1 Д*. (Цх, у)+/(х, у)} 41=

—СО
со	I

= $	У, ак((х+к1, у) 41,	(1)

—со	к = 1

где

<й=1....О	(2)

И

(0==^(^)

есть целая неотрицательная функция экспоненциального типа V, удовлетво-
ряющая (см. 5.2.1 (1), (2)) следующему условию:

$	(3)

—со

Введем в рассмотрение по аналогии тригонометрические полиномы (0
(т = 0, 1, 2, порядка не выше V, обладающие следующими свойствами:

2л

$Ь,(0Л=1	(4)

о

2л

5 | тг (0 1 С, = I, 2, ...),	(5)

е

где с — константа, не зависящая 01 V.
Очевидно,

то И = "•
л

При V > 0 полиномы Ту (/) определяются неоднозначно.

Такие полиномы можно получить, например (см 2.2.2 (2)), при помощи
формулы

/ М \ 2ст

(6)

2
т Г
81П н-

<М0= —
«V

где о > О— целое, не зависящее от X число, X — натуральное число такое, что

2 (X— 1) о •<: V < 2Хо;

(7)

константа Оу подобрана так, чтобы выполнялось равенство (4). В примере (6)
полиномы Ту (/) неотрицательны, поэтому свойство (5) автоматически следует
из свойства (4).

Определим по аналогии с (1) функцию

2л

Ту(х, у) = $ Ту(0{(-1)/+'<	У)+Г(х, У)}& =

О
2л	1

= 5 Ту (/) У с!,,/(х^к(, у) сП, (8)

О к = 1

где на этот раз /(х)=/(х, у) есть определенная на <§’ = /?1Х^'с/?я (хе/?,,
у е <?') периода 2л по х, интегрируемая в р-й степени на <5’*=10, 2л]хб"'
функция.

Отметим, что

2л I

2 Р V

То (х, у} =— \ 2, (Х + М, у)

О к = 1

2л	I	2л

= р(«,5-)^« 2 (-12+’С*= (/(«, у) с1и=Та (у}.	(8')

О	к = 1	О

Таким образом, при фиксированном у функция То (х, у) есть константа (функ-
ция от у), представляющая собой среднее значение / (х, у) по периоду 2л.

В силу периодичности / можно еще написать:

I	2кл

Ту (х, у) =	§ Ту I (х+«, у) йи =

к = 1 О

I	к — 1 2 (8 + 1) л

= 2^г2	5	(|)/(х+«, У)^=

к = 1	8 = 0	2$л

I	к — 1 2л	2л

+ Л у}й(=	Ку{1)!(х + /, У)(И,

• А=1	5 = 0 0	О

(9)
где

I к — I
^=2^24
к = I 5« О

I + 2вя \

А /'

(Ю)

Покажем, что функция Ку (0 есть тригонометрический полином порядка
н« выше V, откуда следует, что Ту(х, у) по х (почти для всех у) есть также
тригонометрический полином порядка не выше V.

В самом деле, тригонометрический полином Ту можно записать в виде
некоторой линейной комбинации

V



с постоянными коэффициентами а-К.
Но

( —

к— 1 /п ~Н Ш &—1 . Х2$л | кПОИ
2 в к г“ек 2 е к =»

8 = 0	3 = 0	I	-

0 при

X

, = р целом,
к

X

-&-=р нецелом,

и, следовательно, сумма

з = 0

есть тригонометрический полином порядка V. Но тогда Ку также есть триго-
нометрический полином порядка V.

Из (8) следует

2л

Ту —1 =	1)ж $ Ту(/)А^. ,/(х, у) а/,

о

(11)

откуда применением обобщенного неравенства Минковского получим основное
неравенство

II Ту / 'Льр =5 \ | Ту (0 ; А х, /I (*. У) <п
(у = 0. 1, ...)

(12)

Имеет место следующая теорема, сводящаяся к неравенству, аналогичному

5.3.2. Теорема. Пусть \^р^со, <? = /?1Х<?[ <= функция [ =*
= / (х, у) (х е /?!, у е <?!) определена на <?, имеет период 2л относительно х
почти для всех у е и принадлежит к классу фр (<?*),	=[0, 2л]Х<?*. Кроме

того, пусть [ имеет на & обоби^еннуюпроизводную=^^порядка р(/^0)=/).
Наконец, пусть четные неотрицательные тригонометрические полиномы ту (/)
порядка V удовлетворяют наряду с условием 5.3.1 (4) еще дополнительному
условию

п

Г*

о

(1)

где константа ар не зависит от V — 0, 1, 2, ... (Такие полиномы можно полу-
чить по формуле 5.3.1 (6) при соответствующем выборе а и X.)

Тогда определяемая равенствами 5.3.1 (8) функция Ту(х, у) (тригономет-
рический полином порядка V по х) приближает [ в метрике Ьр (<?*) со следую-
щей оценкой:



а* (?(Р) __________Е.

х, 1,р(в) [ X , г_|_

’р ^4-1)р

(г = 0, 1, ...),

(2)

где Ьр—константа, зависящая от р.

Доказательство. Мы уже знаем, что тригонометрические поли-
номы определяемые соотношениями 5.3.1 (6), (7), удовлетворяют усло-
виям 5.3.1 (4). Убедимся, что они при т^1 удовлетворяют также неравен-
ству (1) при некоторой константе ар+1 в предположении, что 2<т— р 3.
Этим будет установлено существование полиномов, удовлетворяющих условиям
теоремы.

В самом деле,

(М \2а

йп —- \	03

-Т-)

о	о



(V-!, 2, ...),

где последнее неравенство следует из 5.3.1 (7).

Примем во виимаиие, что имеет место неравенство

К+Л (х,	((?) И II< лр) у) к* ' 4 (I *I).	(3)

где

^((?)(/, в).

Заметим еще, что справедливо неравенство



которое доказывается аналогично неравенству 4 2 (8),
7 С. М, Никольский
Применим неравенство 5.3.1 (12) при / = р-)-/г, учтя (3) и (4):

л

X ® у) I* (й) м

—л	О

л
V -р ]	Л

= 2 ) ту(0<Ра‘(()Й+2 $ т7(/)/РШ*(/)^^
0	я

V + 1

Л

(тТ1))р + 1(у+1)А $ МО*»**
л

V-)- 1

2 Лр+й	Ьр	л

(у + 1)Р ] = (у + 1)Р “* уТ+Т]

где

6р= 2 ^лр+^яр+/).

Этим теорема доказана.

Примечание 1. Для рассмотренного тригонометрического полинома Ту
выполняется равенство 5.3.1 (11), поэтому

(х, У)=лр' (X, у)+(-1 /+1XV (0	/₽> (х, у) <и,

о

и мы получили равенство, аналогичное равенству 5.2.2 (1). Рассуждая, как
в 5.2.2 при [ = р+й, легко получим неравенство, аналогичное 5.2.2 (5):

со» (ТУ”,б)^сш*	(/(р>, 6),

Х,Ер («)''’	х, Ер(Й)и

(5)

где константа с не зависит от рядом стоящего множителя.

Примечание 2. Если периодическая функция /(х, у) такова, что ее
среднее значение по периоду равно нулю, т. е.

2л

$ / (и, у) с1и=0,
о

то То=0 (см. 5.3.1 (8)), поэтому неравенство (2) при у = 0 сводится к сле-
дующему неравенству:

к

б.З.З. Как в 5.2.3, можно определить (аналогичные

„ М) функции



т

„ (хх, ..., хп), заданные на измеримом множестве <?=^т X <?1 с_ /?п,

являющиеся тригонометрическими полиномами почти для всеху = (хт+1,..., хп)е
е относительно переменных Х1, ..., хт соответственно порядков ... , ут.
Мы будем, как в 5.2.3, допускать, что отдельные у*(А = 1, ..., т) могут рав-

няться оо.
Пусть г = (г1г ..., гт) > 0. Определим четные неотрицательные тригоно-
метрические полиномы ту> г^(1) порядка V, удовлетворяющие условиям теоре-
мы 5.3.2 соответственно при р = г], ..., р = гт. Для них, таким образом, выпол-
няются условия

2л

г (0^=1,

(1)

2л

0

6> + 1)г/

(/ = 1.........т; у = 1, 2, ...).	(2)

полиномы

(ядра)

порядков V

Определим далее тригонометрические
по формулам

(к = 1,

(см. 5.3.1), где

Полагаем далее

2я

оо.....оо (•*)•=$ Ку, Г, (“) !(х1 + и, Хг,

1	о 1 1

хт; У) Ли,

\......

2л 2л

= ^’"^КуГ (И1)---Ку г (ит) /	+

(I Т1	п т

.... хт + ит', у) <1и1 ...йип.

Для указанного семейства Т

функций } можно по аналогии сфор-
ут

мулировать и доказать теорему (обобщение теоремы Джексона), аналогичную
теореме 5.2.4.

В частности, из нее следует, что если (е Н* (<?), то

С 11/11 г
И*

Е*

*,У

XI, Р

(у+1)' ’

(3)







где с не зависит от рядом стоящего сомножителя.

5,4. Обратные теоремы теории приближений

В этом параграфе будет выяснена схема, следуя которой
можно получить обратные теоремы теории приближений, указы-
вающие на принадлежность функции к тому или иному классу,
если известны оценки ее приближений.

Доказывается общая теорема, в основе которой лежит обрат-
ная теорема теории приближения (для тригонометрических поли-
номов и целых функций экспоненциального типа), принадлежащая
С. Н. Бернштейну*).

5.4.1. Теорема. Пусть Рп есть п-мерное пространство
точек х = (и, у), и = (хъ ..., хт), у = (хт+1, ..., х„) и Нт = («, 0) —
его т-мерное подпространство (1 ^т^п). Пусть далее г>0,
к — натуральное число, 1 -с; р -с; оо , и 9Л у — линейные, зависящие
от параметра 1 множества функций, определенных на откры-
том множестве § <^Кп, причем

ЭЛусЭЛ,. (у<чг).	(1)

Допустим, что каждая функция т^, е ЭЛ^, обладает следующими
свойствами: т\ имеет на § производные по и порядков, меньших
г + к, и имеют место неравенства

(2)

«=($!, ..., 8т, 0, ..., 0), |5|<г-Н,

где константа с не зависит от V.

Пусть, кроме того, для данной функции [ е Ьр (^) существует
семейство функций е ЭЛ,,., зависящих от V, такое, что

6,^1),	(о

где К не зависит от V.

Тогда [ е /7«р (^) (см. 4.3.3) и выполняются неравенства

\\^\\ьр^^А(\\Н^ + К)	(4)

для всех производных от [ порядка р<г и

<5)

где А не зависит от рядом стоящего множителя.

Замечание 1. Функции можно еще считать периоди-
ческими по Х1 периода 2л, определенными на § = & = х , и
тогда в (1) —(5) надо Тр (§), Нгир (ё) заменить на Ьр(^), Нга*р(&).

Замечание 2. Можно считать, что V пробегает значения
%? = у(5), зависящие от 5 = 0, 1, ..., и удовлетворяющие условиям:

1)	V (5)	1,

2)	у(5)->оо (5~>оо),

3)У-(5+1} ^А<оо (5 = 0, 1, ...),’

' у(«)	'	,	,

где Л не зависит от 5. В частности, можно считать, что V (5) = а8,
а> 1.

•) С. Н. Бернштейн [1], стр. 11—104.
Действительно, пусть

II / -	(5) ||ьр (в)	7^7	(5 = 0, 1, ...)

И то=тшт(5), 5=0, 1, ...

Если	то полагаем ту = 0 и тогда ||/ — тт|| =

Н ,л II/К -

= ||/||^	, если же т>т0, то подберем 5 так, чтобы

V (5) 'С V < V (5 + 1 )•

Так как (5) <= ЭДУ {5) <= ЭДУ, то можно считать ту(5) = ту и, сле-
довательно,

и г II	К К Ж5+1)у- ЛГЛ'	.

Н Тт||гр(й) х (5у хг ( у(5)	) хг .

Таким образом,

И-М.^, ^1,

где

к1=11Ш+/<л,

и неравенство (3) выполняется для всех у 1, как требует тео-
рема. Заключение теоремы (см. (4), (5)) не меняется от замены
К на Къ потому что || И + Л1 <||И+ ^-

Доказательство теоремы 5.4.1. В силу (3) функцию
/ можно представить в виде ряда

/ = 1Ж	(6)

о

где

Я = т, = V’ Я = V - V-! (/ = 1 ’ 2« • • •).

сходящегося в смысле При этом (г) = ||.||),

1е.1=|Г11«х+1Л,

|«Я«||т!,-Л + ||/-г1„К24+5Д7-$- (/-1.2,...). (7)

Возьмем какую-либо производную от / порядка р, смешанную
или несмешанную:

/(0) = 2<2'0),	|р| = р.	(8)

о

Так как множества линейны и <=	(/ = 1,2,...),

то	е ЭД у и на основании оценки (2) имеют место неравенства

^Яг-с2₽'1^17Д^>
показывающие, что формальное почленное дифференцирование (8)
ряда (6) при р<г законно и ряд (8) сходится в смысле Ьр (§)
к (см. лемму 4.4.7). При этом	и выполняются

неравенства (4).

Зададим вектор Л = (/21, ..., Ит, 0, ..., 0) и подберем
натуральное Ы так, что

-Хг <I Л| <4т. |Л|2= УЦ.	(10)

Рассмотрим к-к> разность функции /<»>, соответствующую
сдвигу Л. Учитывая равенство дл<р(х) = | Л | (х + полу-
0
чим
д^(0)(Х) =
1 1

= 2|Л|й С... $	(#0)(х+л(«1+...+ «*))аи!... аик+

о оо

+ 2^о,^)> ап
^4-1

где хе^й. Очевидно,
№	со

м + 2‘ 2 1<2!”к<«>-А+Л. (12)
0	Р ' кп>	ы + ]

Учитывая, что производная есть конечная линейная ком-
бинация из обычных производных по координатам ....хт

и неравенства (2), (9), (10), получим

71 < I Л |*с4 (IIЛ + Ю 2 21	- р л /

<с8|Л|*(Ш + Т0 2Г*-<—р»"<МЛ + 70 |ЛГ-р.	(13)

Важно отметить, что мы предполагаем, что к > г — р. Если бы
мы считали, что к = г — р, то сумма

2]21*-^-р»/ = Лг4-1
о

не имела бы порядка 21*-1г—рМл = 1.
Далее

ОО

2 Т(747УТ<^|ЛГр.	(14)

м + 1 2

Из (12) —(14) и (4) при р = 0 следует (5).

5.4.2.	Теорема (обратная 5.2.1. (8) *). Пусть г>0, 1 «СрСоо,
1 -Xт -X п, § = НтУ^' « / Ьр (^)-

Если для наилучшего приближения [ в метрике Ьр ($) при
помощи целых функций экспоненциального сферического типа V
выполняется неравенство

(у^1),	(1)

где К не зависит от V (м может пробегать значения у = у(з),
удовлетворяющие условиям замечания 2 в 5.4.1, 5 = 0, 1, ...),
то [ Нр (<^), и

У Ц «?) (И'1лр и?) + ^)>	(2)

Л(ПЦ,(*)+/<),	(|р| = 0, 1, ..., 7),	(3)

где А не зависит от рядом стоящего множителя.

Доказательство. Из условия следует существование
семейства функций (и, у) (и е Нт, У е $') экспоненциального
сферического типа V по а (почти для всех у е <^') таких, что

Но тогда утверждение теоремы непосредственно вытекает из тео-
ремы 5.4.1, если учесть, что являются также функциями
экспоненциального типа V по каждой из переменных х2 ..., хт,
и потому для них выполняется неравенство (см. 3.2.2 (9))

1|'+	V'*'	<*>’

какова бы ни была производная порядка к = (/?1, ..., кт, 0, ..., 0).
Случай, когда у= у(э) пробегает значения, описанные в замеча-
нии 2 в 5.4.1, сводится, согласно этому же замечанию, к случаю
непрерывно изменяющегося V.

5.4.3.	Теорема (обратная к 5.3.3 (3)**). Пусть г>0,
1 р ‘X оо, § = Н1 х с= Нп и функция { (х1г у) (х± е
у е <^') по переменной хг (почти для всех у е &') периодическая
периода 2л и принадлежит к Ь* (<$).

*) т=1, р=>оо—С. Н. Бернштейн [1], стр. 421—432; т=л«1,
1г+р<со — Н. И. Ахиезер [1]; т=1, 1=<рг5со—С. М. Николь-
ский [3].

**) См. замечание в конце книги к 5.4.
Если для наилучшего приближения I в метрике Ь* (<^) при
помощи функций 7\. (лу, у), являющихся (почти для всех у <=
тригонометрическими полиномами порядка V, выполняется нера-
венство

(у = 0, 1 ...),	(1)

то / <= Н*р (<^) и

(1^Р<г),	(2)

ИЬ	=М,^АК,	(3)

л*

Ххр

где А не зависит от К-

В условии теоремы достаточно считать, что числа V пробегают
значения, описанные в замечании 2 в 5.4.1.

Эта теорема аналогична теореме 5.4.2. Но исторически она
возникла ранее этой последней *), прежде всего, при р = сю, п = 1.
Ее условие (1) при у = 0 содержит неравенство для наилучшего
приближения / при помощи константы, что приводит к неравен-
ствам (2), (3) с правыми частями, зависящими только от /С (сравни
с 5.4.2 (2), (3)).

5.4.4.	Гармонические полиномы. Рассмотрим гармонический
полином

ФЛ(Р> 0)=	+	(0 ’ Р 1, — оо < 9 < оо).

о

(1)
Обозначим

11ф1М°я)= И 1ф(Р- е) |рР<М°	(2)

ко

Теорема. Имеют место неравенства **)

I / йФ„ >	сп1 ,| л ,

I дР ^р(ап)	 р( 0)

д‘Фп </ггЙФ„Ц
38' ь	“ "%(’«)

р( И)	5

(п, 1=1, 2, ...; 1«~ргСоо).

*) С. Н. Бернштейн [1], стр. 11—104, см. замечание в конце книги
к 5.4.

**) А. Л. Ш а г и н я н [1] при р = оо, Я. С. Б у г р о в [2] —общий случай.
Доказательство. Положим

I

х (х — 1) ... (х — I + 1) =	^1х1>

1 = 1

где, таким образом,	—числа, зависящие от I и /. Тогда

п

^г = ~рГ ^к(к-\) ... (й-/4-1)р*(аАсо8Й0 + &А81пй0) =
к=\
п I	I

=~ 2 2 К1к*рк со5 й0+&*з1п =2 (р>е)’
к=1 I = 1	Г=1

где

(р, 0) =	2 к'рк (ак сок 60 + Ьк 8Й1 60).

к=\

Имеем
2л	п

(Р, 0) =	$ фл (р, и + 0) 2 & сок ки <1и =

О	к=\

2Л

=	5 со5 пифп (р’	“+0) $ (“) аи> <6)

о

п — 1

где Хп>(ы)=2 тг) созки и штрих обозначает, что слагае-
о

мое, соответствующее 6 = 0, равно у. Здесь надо учесть, что
сок пи со8 ки = у (сок (п + к) и + сок (п — к) и) и полученные, таким
образом, члены со8(п-}-6)и при 6>0 ортогональны на отрезке
(О, 2л) изменения и к тригонометрическому по и полиному
Фп (р, 0 4-и) порядка п.

Применяя преобразование Абеля, получим

п — 3

хп’(«)= 2 (^+1)а2(1-4/^(«)+

А = 0

+	Г п-1 (“) +	(2' - 2) Рп^ (и),

П‘~!	П‘

где Рк(й) — ядра Фейера (см. 2.2.2 (1)), А2р* = — 2]хА+1 + рА+2.

Существенно отметить, что Рк (и)	0 и Д2^1—	^0, вслед-

2Л

ствие чего х(п‘\и)	0 и § | х« * (и) | йи = 1 (»= 1, 2,...). Применяя

о
к (6) обобщенное неравенство Минковского, получим
2л

1 Ц, 21 К, | п‘К1 В Фя ||Ьр (ад) 1 | $ («) | ди <

(ал)>

откуда следуют (3) и (4). Неравенство (5) следует из того, что
Фя (р, 0) есть тригонометрический полином по 0 порядка п.

5.5.	Прямые и обратные теоремы о наилучших приближениях.
Эквивалентные /7-нормы

В этом параграфе сопоставляются доказанные выше прямые
и обратные теоремы о наилучших приближениях. Мы увидим,
что функции классов Н полностью характеризуются поведением
их наилучших приближений. Как и всюду в этой главе, @ —
— 2?тХ^' <=/?„.

Наилучшее приближение измеримой на 8 функции / при
помощи целых функций экспоненциального сферического типа V
по и, согласно 5.2.1 (7), удовлетворяет неравенству

г, ф - Е„	<

2 о

|в|=р

если, конечно, правая его часть имеет смысл. Таким образом,

(/) = о (у-Р)	(у->оо)	(2)

для /е1Г2р(<^) ПРИ Р конечном (1^р<оо) и при р = оо, если
производные /(^(|$| = р) равномерно непрерывны на 3 в напра-
влении Нт, что обозначает, что для любого в найдется 6>0
такое, что

Как показывают приводимые ниже примеры (5.5.5), оценка (2)
при р>0 не обращается, т. е. из того, что для / е Ьр (<^) выпол-
няется (2), не следует, что / е №%р(<?)-

В случае же р = 0 она обращается. Именно, имеют место
следующие две теоремы (типа Вейерштрасса).

5.5.1.	Теорема. Пусть 1^р<оо. Для того чтобы функ-
ция / е Ьр (<о), необходимо и достаточно, чтобы существовало
семейство функций е Ьр (#) целых экспоненциального сфери-
ческого типа V по и таких, что

В/-ёМгр(е)->0	(у->оо).	(1)
Необходимость следует из 5.5 (1) при р = 0, достаточность
тривиальна.

5.5.2.	Теорема 4*). Для того чтобы функция [ была огра-
ниченной и равномерно непрерывной на & в направлении Нт,
необходимо и достаточно существование такого семейства огра-
ниченных в совокупности на <о функций целых экспоненциаль-
ного сферического типа V по и, что

Ит^(х)=/(х)	(1)

V —> со
равномерно на <о.

Доказательство. Снова необходимость следует из 5.5 (1)
при р = 0. Докажем достаточность. Так как ограничены и имеет
место равномерная сходимость (1), то / ограничена и существует
постоянная X такая, что для всех рассматриваемых V и х е §

I й\>	1

Поэтому для Л е Ят

(х + Л)	(*)! |Л I «ир |	(х) |

1 Л | V зир |	(х) | гС Ау | Й |,

т. е. (при данном у) равномерно непрерывны на <о в напра-
влении /?т, а потому и / равномерно непрерывна на $ в напра-
влении 7?т.

5.5.3.	Рассмотрим нормы

'Шн, „ =1/11=11/11+1/^, 1НМ1-М),

и соответствующие им классы 'И, >Н, где

'||/к = 'Л+ (/=1,2, 3,4)

наименьшие константы М, для которых соответственно выпол-
няются неравенства (см. 4.3.3)

Ч,(/и,> %(^)^Л4дг-р (И = р),	(1)

^т(/Р, Ькр(^Мдг-р,	(2)

||л:/<в,(х)||др(#)^Л4 | Л Гр (И = р),	(3)

||Л^(х)|^(#)^Л4|ЛГР	(4)

(р^О, к>г — Р>О) и Ле/?т. Мы вводим еще норму (класс)
в[|/[|й= зир у^(/),	(5)

о

*)С. Н. Бернштейн [2], стр. 371, при п=1.
где Ех (/) = Еау (/) есть наилучшее приближение функции / в мет-
рике Ьр ($) целыми функциями сферического типа V по и. Здесь V
может также пробегать значения V («) = а3, а>1 (з = 0, 1, 2, ...).

Кроме того,

<’|/Ь = шГ5=зир а5г||<Э^||,	(6)

где предполагается, что функция / представима в виде сходя-
щегося к ней в метрике Ьр (<^) ряда

/=ЖИ*).	(7)

8=0

члены которого — целые функции сферического типа а3 по и,
причем норма (6) конечна. Нижняя грань взята по всем разло-
жениям (7). Отметим, что норма / явно в (6) не входит.

При /=1, 2, 3, 4 можно еще рассматривать видоизмененные
константы !М}, которые мы будем обозначать через 1М] — это
наименьшие константы в соответствующих неравенствах (1) —(4),
когда б т] или ||й|| <т], где т] — заданное произвольное поло-
жительное число. Соответствующие классы будем обозначать
через >Н', !Н' и нормы

№ = Ш1 + '11 Л^-

Нашей целью будет доказать, что все классы ’Н, "Н' (но
вообще не '7г, '/г') эквивалентны между собой; при этом каждый
из них можно взять с любой независимой системой допустимых
параметров к, р, т], а. Впрочем, константы соответствующих
вложений зависят от этих параметров (наряду с г, п, т).

Сказанное даст основание в дальнейшем употреблять единое
обозначение Ц/Ц^г „ для всех норм '• |[, опуская / и штрих;
р '

что касается норм • [!А, ^-Цл-, то для них эти обозначения, вообще
говоря, существенны. Попутно мы получим некоторые вложения
для классов /г, интересные сами по себе.

Непосредственно из определения модулей непрерывности, вхо-
дящих в (1), (2), следует, что имеет место эквивалентность

1Н^Н, *Н^Н,	(8)

если сравниваемые классы берутся при одних и тех же парах к, р.
Это же имеет место, если в (8) заменить Н на /г, Н' или /г' (при
сравнении с одинаковыми т]). Ниже будет показано, что

2Н 1Н' 2Н', и при этом эти классы можно взять незави-
симо с любыми допустимыми к, р, а также любыми т] > 0. Тогда
в силу (8) к этой цепочке можно присоединить и классы >Н'
при / = 3, 4, которые, таким образом, также можно брать каж-
дый с различными допустимыми к, р, т). Случаи / = 3, 4 можно
считать рассмотренными.

Зададим г|>0 и допустимые к, р (р^О, к>г — р>0).

Из (1) и (2) следует:

1/г'-^2/г'.	(9)

Далее

2/г'->5/г',	(10)

где мы пока считаем

5||/||л' = зиР ^(Л-

(П)

В самом деле, в силу 5.5 (1) для /е2/г' и функции опреде-
ляемой равенством 5.2.1 (6):

с	1 с /	1 \

Д- (/) ||/-2М/> V?	(12)

и потому

Если теперь /е5/7', то / е Ьр (^) и для / конечна норма (11).

Тогда в силу обратной теоремы 5.4.2 / е *Н и

5Д'^1/7^1Д'.	(13)

Второе вложение тривиально. В (9) и (10) можно, очевидно,
заменить /г на И, что вместе с (12) дает

,2/7 _> 2/7'

1/7'_> 2/7'5/7'->	’	(14)

т. е. классы, входящие в эту цепь, эквивалентны. Так как ЪН'
не зависит от к, р, то можно считать, что в этой цепи пары к, р
в ’Н и >Н' (/=1, 2) взяты произвольно и независимо. Число г,
в 1Н' и 2Н' тоже можно взять независимо, потому что гН не
зависит от г].

Нам еще предстоит показать, что отмеченные выше варианты
норм 5||-|| эквивалентны между собой.

Из (5.5) (1) следует, что для

с1М(

ЕУ(П^^ ^>0),

поэтому

гМ. *> зир угЕч (/)
V > о

зир

5 = 0, 1,...

а8гЕа^).

Но если правая часть в этих соотношениях конечна, с> 1 и
/еД)^), то по обратной теореме 5.4.2 (см. еще замечание 2
в 5.4.2) / е 1/7. Это доказывает эквивалентность.
Далее, пусть [ е 5Н и — функции целые сферического типа V
по и такие, что

Зададим а> 1 и положим

<21 = <2а° = §а°,	~	(8=1, 2, . . .)•

Тогда получим представление функции / в виде сходящегося
к ней в смысле Ьр (<о) ряда

Г=Е<2^	(15)

5 = 0
с оценкой

|1<2И^ка*-/Ш/-^аН<-^>

где константа в последнем неравенстве зависит от а.

Таким образом

6ИЛ^ зир ИЫ<в1|/к
5= 0, 1, . . .

Наоборот, из того, что функция /е8//, следует, что для
любого е>0 она представима в виде ряда (7) так, что

зир а"||(2а4<6Шн + 8-
8

Поэтому

Г-

ДО — 1 П оо

2 <2а‘ =ЕЫ1^

о Ц м

- (6II / ||н + 8) Е а-" < (в в / к + 8) а-АГг,

т. е.

Ш = зира'"Ван(/)<‘Ш + 8-
ДО

Кроме того,

И И Е Я М < Ш Ин+е) Е	1 / к+в.

и мы доказали в силу произвольности 8, что

т. е.


Полученные результаты, в частности, содержат следующую
теорему.

Замечание 1. Выражение (6) есть банахова норма, потому
что для любых функций

/= 2 & « г = 5 с:

5=0

зир а" ||& + (?8* || зир а" || &1|+зир а" ||	||,

зир а" ||<?(& ||= с|зира"||(?Д

где с —произвольное число, а эти соотношения сохраняются и
для нижних граней, т. е.

ви+г\\н^б\\п\н+б\\г\\н.

5.5.4.	Теорема. Для того чтобы определенная на <о —Кт х<о'
функция / принадлежала к одному из классов ’Нгир (#) (/ = 1, 2,
3, 4) или ^'ир^)	=	2, 3, 4), необходимо и достаточно,

чтобы ее наилучшее приближение при помощи целых функций
экспоненциального сферического типа V по и удовлетворяло нера-
венству



где с не зависит от у>0 или ч — а3 (з = 0, 1, ..., у>0, а>1).

Справедлива также

5.5.4.1.	Теорема. Произвольная функция ? е Нгир (&) может
быть представлена в виде сходящегося к ней в метрике Ьр (&)
ряда 5.5.3 (7) функций 0аДх) — целых сферического типа по и —
так, что операторы 6)^ = Аф (5 = 0, 1, ...) линейные и выражение

зир а* ||&51| =7 ||/||н

есть эквивалентная норма в Нгир (<о).

В самом деле, пусть [ е Нгир (<^). Положим

<2а0 = ^1,	(2а^=§аЗ — §аз-1 (в = 1, 2, ...),

где функции .ду —целые экспоненциального типа V по « — опре-
деляются равенством 5.2.1 (6), из которого видно, что функ-
ции а вместе с ними линейно зависят от /. При этом
(см. 5.5.3 (12))

С2Мг

(У>У0>0),
откуда

С,

(5=1, 2, ...)

и, следовательно, для указанных (?а5

бт1я~7№~м/к

потому что эквивалентность 3 * * 6(| / \]н ~21| / ||н уже установлена.

5.5.5.	Пример 1. Хорошо известно, что если действительная функция
/ (х) периода 2л принадлежит к пространству I*. то она разлагается в ряд
Фурье

со

/ (*)=4г+2С05 кх+8111 ^)«

1*

(1)

сходящийся к ией в смысле 1* = Ц(0, 2л), где

При этом

2л	оо

О	4=1

(2)

(3)

Наоборот, если ряд из любых действительных чисел ак, Ьк стоящий в пра-
вой части (3), сходится, то ряд (1) сходится в смысле Д* к некоторой функ-
ции /бА» и имеют место равенства (2).

Вследствие известных ортогональных свойств тригонометрических функ-
ций, квадрат иаилучшего приближения при помощи тригонометрических поли-
номов порядка п—1 (в смысле Д*) функции /е/.», определенной рядом (1),
равев

2л р	л—1

ел(()^,= гп‘п \ /М —-у — 2 (уАсозДх+6А8Й1 кх)
* 1’*' * о I	1

2

п—1

---(а* соз кх-±-Ьк зш кх)

Лх=

2л оо

' 21"*
о I л

-,2	оо

сое кх Ьк ып кх) <1х = л
п

(4)
Если функция / принадлежит к Й7*, т. е. абсолютно непрерывна и ее
(существующая почти всюду} производная е Ь*, то ее коэффициенты
Фурье ак, Ьк можно (проинтегрировав по частям) представить в виде

=	=	(А=1,2),	(5>

где ак, Р* — коэффициенты Фурье производной для которой ряд

СО	со

2а1 + ₽1 = 5^(а1 + &1)	(6>

1	1

сходится. Наоборот, функция / принадлежит к И?*, если она представима
со

в виде (сходящегося в ней в смысле Ь*) ряда (1), причем У] к2(ак + Ьк)<со

1

Наилучшее приближение функции /е при помощи тригонометрических
полиномов (л— 1)-го порядка подчиняется неравенству

СО 9 10 2	°°

= л	*- (сц + 01)	(я~2) п-*со, (7)

п	п

что согласуется с общей теорией (периодический аналог формулы 5.5 (1)).

Чтобы убедиться в том, что, обратно, из (7) не вытекает принадлежность Д
к классу 1Г*, рассмотрим функцию

<р(х)

сов кх

к3/2 КТпА

Очевидно,

ОО	оо

^(л12*==«2га-^я‘кГ7г2^=’0(,г’2) ("'>со)-

п	п

С другой стороны, 1Г», так как ряд

СО

к 1п к ’
1

соответствующий ряду (6), расходится.

Пример 2. Функция периода 2л

ОО

,, , V кх

^)=2 тег’

I

очевидно, непрерывна и имеет наилучшее приближение при помощи тригоно-
метрических полиномов (п—1)-го порядке в метрике С (или 2оо), удовлетво-
ряющее неравенству

со

С _ V! 1 с 0 (0	/ ч

п
В то же время почленно продифференцированный ряд

СО

,,, . VI созйх	...

2

в силу монотонного убывания к нулю его коэффициентов равномерно сходится
на [е, 2л—е] при любом е > 0 (см. Зигмунд [1], 2.6). Таким образом, его
сумма непрерывна на интервале (0, 2л) и равна производной [' (х). При этом
ряд (8) есть ряд Фурье для /' (х), так как |д2<со. В таком случае /'
разрывна в точке х = 0, потому что если бы /' была непрерывной всюду, то
ее п-я сумма Фейера в х=0 стремилась бы к /' (0). Между тем сумма Фейера
как средняя арифметическая из первых п+1 сумм Фурье стремится в х=0
вместе с этими суммами к со.

5.5.6.	Анизотропный случай. Будем исходить из доказанной

в 5.2.4 (5) оценки

Из нее для наилучшего приближения / <= №гир (#) при помощи
целых функций экспоненциального типа у = (ух, ..., ут) по
« = (хх.....хт) следует неравенство

т

(^->0)	(2)

/=1

при 1гСр<со или при р = оо, если частные производные
соответственно равномерно непрерывны на <о в направлении Ху.

Если / е Нр (<^), то из (1) следует, что
т

Ех фь (#) II ? - & ||Ь («)	С [| / ||Аг	2 4- •	(3)

Р ] хр

В частности, если заменить в этом неравенстве V] соответ-
ственно на (у>0), то получим (опуская Ьр (^))

...ЛЯ(/НСХ|^(Л (у>0).	(4)

Зададим а>1 и введем нормы

Фк = 1М1 + 'П (/ = !.. 2, 3), ||.|] = ||.^(#),	(5)

где

1Ш*=1!Лй>-,,?).	(6)

р к '

Ш = зируЕ 1/Г1....?Лт(/),	(7)

№ = зиР	(8)

5«0, I, .. и
Кроме того, положим

4Ц/ ||н = ш! зир (2, ||,	(9>

8=0, 1, ...

где последнюю норму (не содержащую явно ||/Ц) надо понимать,
в том смысле, что / представима в виде сходящегося к ней
в метрике Ар(<^) ряда

ОО

(10)
о

члены которого суть функции целые типа а8/г/ по х;- (/= 1, ..., т)
так, что норма (9) конечна. Нижняя грань взята по всем раз-
ложениям (10).

Все четыре нормы '[] - (но не '|| • ||А) и соответствующие им
классы >Н эквивалентны. Ниже это утверждение доказывается
для /= 1,2, 3. Эквивалентность 3Н = *Н будет следовать (см. 5.6.1)
как частный случай из соответствующего предложения для В
классов.

Имеет место очевидное неравенство
з/»7 (/) з/г1 з/г
х?а !	а 1, ...»а тп

где слева стоит наилучшее приближение / в метрике Ьр ($) при
помощи функций целых экспоненциального типа а8/г/ по одной-
переменной X]. Поэтому, если / е 3Н, то

зир а°Е ,/г (/) зир а’Е 5/г	8/г (/) = 3|| / Цд-

$	и х, ... , и

Но тогда, учитывая еще, что / ^Ьр (^), получим, что / <= Я^р (<^>
(см. 5.5-3) и

«,)<№ (/“Ь	т)-

х}р

Поэтому / ^.Нр (<^) = 1Н и

Мы доказали, что

т. е. эти классы эквивалентны.

Полученные результаты, в частности, содержат следующую,
теорему.
5.5.7.	Теорема*). Для того чтобы функция [^Нр(&),
необходимо и достаточно выполнение неравенства
т

Е^^сУ±- (^.>0).	(1)

1 V

Неравенство (1) необходимо следует из 5.5.6 (3). Наоборот,
если оно выполняется для любых независимых у^>0, то тем более
для вида	= 1, ..., т), и тогда конечна верхняя грань

5.5.6 (7).

Конечно, определяющие Нр классы Нгж/ можно рассматривать
в различных вариантах, описанных в 5.5.3 (т=1, /?т = Влу).

5.5.8.	Все доказанные в этом параграфе теоремы без измене-
ний переносятся' на периодический случай, при этом всюду в рас-
суждениях надо заменить соответственно Н, И7 на Н*, Ж- и це-
лые функции на тригонометрические полиномы. Следует при
этом учесть сказанное в 5.3.

5.6. Определение В-классов с помощью наилучших
приближений. Эквивалентные нормы

Пусть $ = Втх&'Яп, г>0, к. и р —допустимые целые числа
(удовлетворяющие неравенствам р>= 0, & > г — р > 0), 1 р оо,
1йСб<оо, а>1и функция / измерима на

Основной целью будет доказательство того, что нормы

У\\Вг	(/=1> •••> 5),

ир0

гДе 1Н1 = 1Нкр(*)>

= 2 Пн-0(г-₽)а*(/Ч 0е ^УУ
[«1=р\о	!

/СО	\1/6

'о		!

Ш= 2 Н 1«г"-вм|ЩГ’(х)!!,,я<г«у'в

1*1—/

|«г-е,'-”икиЕ ,«лу,в.

{СО	1 1/0

2»"’Е1а.(П,	.

1 = 0	” >

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

*) С. Н. Бернштейн [2], стр. 421—426, р = оо; С. М. Николь-
ский [1], 1 р < оо.
эквивалентны; кроме того, они эквивалентны норме (не содержа-
щей явно ||/||)

/СО	\ 1/6

> =	(4	(«>!),	(6)

V = о	р )

где нижняя грань распространена на все представления / в виде
сходящего к ней в смысле (&) ряда

/= 2 <?„?(*).	<7)

1 = 0

члены которого целые экспоненциального сферического типа а1
по	так что норма 6||/||в конечна.

Здесь /<*> обозначает произвольную производную от / поряд-
ка 5 = (81, ..., 8т), |$| = р, по переменным ии ..., ит, а /ри —
производную по направлению « ейт порядка р,

б) = й^т(/и\ 6)в ((?) = 8цр

т	р |и|<б	р

Й*(Л б) = й^т(/р, 6), (#)= зир зир ||	(х) к (#>.

т	р	|в| = 11<|<«	р

Мы вводим еще нормы

Ш'ЧЛ+Ш' (/=1. 2, 3, 4).

Это такие же нормы, как соответственно ||в, Цй, но в них
по определению интегрирование производится по / е [0, г]] или
по и с | и | < т).

Будет доказано, что эти нормы эквивалентны предыдущим
(без штрихов), но с константами, зависящими от т). Надо иметь
в виду, что каждый из перечисленных классов зависит еще от
допустимой пары (к, р). Будет показано, что любые такие два
класса, соответствующие разным парам, тоже эквивалентны (с кон-
стантами, зависящими от этих пар).

Отметим, что эквивалентность нормы (5) с одной из остальных
норм для классов ВгирЦ (<^) соответствует утверждению теоремы
5.5.4, дающей в терминах наилучших приближений необходимые
и достаточные условия принадлежности функции / к классу
Н«Р(<^). Из (5) следует, что Вгироз($) = Нгир (^).

Классы, соответствующие указанным нормам, краткости ради,
мы будем обозначать через 1В,'Ь (/= 1, ..., 6), УВ', ^Ь' Ц = 1, ..., 4).

Надо иметь в виду, что сами по себе полунормы ’Ь, 1Ь',
вообще говоря, не эквивалентны, эквивалентны суммы их с
т-е- н°рмы 'Д1В'-

Ниже мы доказываем ряд вложений, из которых будет сле-
довать высказанное выше утверждение об эквивалентности. Эти
вложения и сами по себе представляют интерес. Некоторые из
них верны не только для допустимых пар к, р, т. е. удовле-
творяющих неравенствам к~>г — р>0.

Имеем пока для одной и той же не обязательно допустимой
пары натуральных к, р

Ч>-+Ч7 -+3Ь' -+*Ь'.

(8)

Первое и второе вложения очевидны, а третье следует из соот-
ношений

Аналогично также для одной и той же не обязательно допусти-
мой пары к, р:

Ч?-+Ч)' -+2Ь' -+ЧУ.	(9)

Пусть теперь [ е *В' при некоторых не обязательно допусти-
мых к, р.

Для каждого у>0 существует целая сферического типа V
по и<=Рт функция такая, что (5.2.1 (6))

К

(10)

и тогда



ёГ(1“1)Д^ (*) М =



= с

Г 5
о 151=1

Поэтому (пояснения ниже)

{со	, 1/е гео	, 1/о

%а'гвЕв^)\ «Ж а1гвЕв^)(11\
/=о	)	1-1 а )

ё(1)

СО	л СО

_ Г	дп-1	I С	/г0

р ёщ\а
у	I— 1

<Рт'1+г^(оК 5 у’г0’1К5+₽н-*;)11М<Ц л<

0	(о [51 = 1		)

5 и-т ^Р)01ГД^1Г^«+
о	(|и|<П

со	х 1/6

(И)
В четвертом соотношении (неравенстве) применено обобщен-
ное неравенство Минковского: сначала норма по х подведена
под знак интеграла по /, а затем норма по / — под знак инте-
грала по /. В пятом интеграле сделана замена / на V при
помощи подстановки а~Н = у.

Если т] = со, то

'1Л.<‘|Д	(12)

т. е.

*Ь->ЪЬ.

(13)

(14)

В дальнейшем будет использовано только вложение (13), но
вложение (14) само по себе интересное.

Пусть теперь / е ЬВ. Обозначим через §а1 функцию целую сфе-
рической степени а1 по и такую, что

|/-^^2ЕаД/)	(/ = 0, 1, ...),

и положим

$а° = ёа<>, ^а1=ёа1~ёа^	(/=1,2,...).

Тогда в смысле Ьр (<^)

ОО

1 = 0

потому что из конечности 8||• ||й следует, что Еа1(/)-+®
Далее

и<Эа»||^И11+2Дао(/),

ШЫёа1-Ц\ + У-ёа^^^,

потому что Еа1 (/) не возрастает при возрастании I. Поэтому

{ОО	\ 1/9

(1Л+2г4))в+2^ом(/)е <
; = 1	)

/СО	\ 1/9

<11/11+ 2	=811Лв,

(1 = 0	)

и мы доказали, что

8В->-6В.

Пусть теперь / е вВ, задано е > 0 и / представима в виде (7),
где сумма ряда в (6) не превышает ’И/Цв + в. Зададим произволь-
ные допустимые натуральные к, р. Для любого и е 7?т, це-
лочисленного вектора 5 = («!,..., 8т, 0, ..., 0) с | 51 = р и
натурального У

Ы — I	оо

Д^’(Х)= 2 Д^’(х)+2

/ = о

#	со

'Д^I •«I«I* 2 а'<р+*’ |<21.|+2‘ 2 а‘“|е„,|.

1 = 0	^ = ^

Отсюда

<,-*)_ шр |д:/м(х)|<

\и\<а~ Я, иеКт

<а~^ 2 аг(р+А)||М+ 5 °1Ч
I = 0	/ = АГ

Оценим 1 []/[!&'- Имеем

1

^1-0(г-р)й4^)( /)ел=3

6

= 1па^ ав(г~(Яп&к (/^>, йгп)ес(п =
о

со АГ -|-1

= 1па2 5 л0(/,~р)лй* (/(5\ а~п)е(1п<^
лг=о ы

< 2 ае^-₽)^(/(Ч а-^е = /1 + /2(	(16)

м = о

где (объяснения ниже)

Л= 2	(2 а/(р+А)|^||)е< 2 <ЛМ9. <17>

М = 0	\/ = 0	/	1=0

/2= 2 а^г-р^( 2 а/р||МУ< 2 а"9 ||М9-	<18>

М = 0	Ч = М	/	1 = 0

Неравенства обосновываются следующим образом. Если а> 1,

0<д <₽, Ь^О (1 = 0, 1, ...), то

оо	I № \0	со	/ АГ .	\0

2 а-еП 2^4 = 2 а“"ЛГ 2 а^^-^ЬЛ <

^ = о	\/ = о /	лг=о	\/ = о	/

ОО	ОО	00	оо

< 2 а	2 а1б’₽)%9= 2 а(б'₽)9^? 2 а-96"< 2а~₽е/&9’

М = 0	1 = 0	1 = 0	^ = ^	1 = 0
у, а0^

/ со \ в со	, со	, 0

2 Ь‘ = 2 а^[ 2	<:

V = А / А = О	V = А	/

< 2 а^'

А= О

< 2 ав™ 2 а(М)!Ч9 = 2 а(Р~б)е/&® У а0'5л'<2 Л0; (20)
А = О	/ = А	1=0	А = 1	1 = 0

при этом А-С В надо понимать в смысле А^сВ, где с —кон-
станта, зависящая от а и д, но не от Ь,.

Неравенство (17) получается из (19), если положить р = й—
— г + р(>0)» = оМр+А) ||фа/||, а неравенство (18) получается из
(20), если положить

р = г-р,

Применение этих двух неравенств требует предположения допу-
стимости пары к, р, т. е. выполнения условия к>г — р>0.

Мы доказали, что

т	\ 1/е

Ш-9('-р)-1Й*(^), 0е Л <6И1!в+е.	(21)

\о	/

тт	1	,	1	,

Далее, положив у + ^-=1, получим

ОО	ОО	/ оо	, 1/0'

II/ И 2 8 М=2а~1га1г I И (2/г0') (6II г 1!в + е)=

= с(«||Л|в + е),	(22)

поэтому в силу произвольности е из (21) и (22) следует, что
(для любой допустимой пары к, р)

вВ-^1В'.	(23)

Наконец, с помощью (7) следует, что (|^| = р<г)

В/и) К 2 а1р II II = 2 а--р)а‘г II	II <

1=о	г=о

/СО	,1/0

< 2^11^Г) =Ш||в + 8),	(24)

\ о	/

и так как функция /-0(^-р)-1 интегрируема на (1, оо) и (|$| = р)
I)
ТО

О (г - р) -	Ц	||в + е))

откуда в силу произвольности е имеет место более сильное, чем
(23), вложение

вВ-^1В,	(25)

верное для любой допустимой пары к, р.

Пусть теперь к, р —допустимая пара. Собрав вместе (8), (9),
(13), (15), (25), получим

1Ь	*В' -^В-^В-^В.

Так как здесь всюду можно заменить Ь на В (потому что это
означает только, что соответствующее неравенство не изменяется,
если прибавить к обеим его частям ЦП), то

1В-+'В'(	ув'-^в-^в-^в.

\.2В'/

С другой стороны, очевидно (цепи (8), (9) верны, если в них
всюду опустить штрихи),

1В( Ув-^В' -+'В.

\2В/

Это показывает, что все входящие в обе цепи классы эквива-
лентны. Для другой допустимой пары к', р' снова получим экви-
валентность этих классов, и так как класс 8В, так же как 6В,
не зависит от (допустимых) к, р, то, очевидно, все указанные
классы ('В(/=1, ..., 6), >В'а=1, ..., 4)) эквивалентны между
собой независимо от того, какими парами к, р или параметром
т] > 0 они определяются. Конечно, возникающие здесь константы
вложения зависят вообще от к, р, т], а. Отметим еще, что классы
5В, вВ остаются эквивалентными при изменении а>1. Это сле-
дует из того, например, что они эквивалентны (нос константами,
зависящими от а) классу 'В, не зависящему от а.

Замечание. Пусть [^1В. Определим для [ функции
при помощи равенства (10). Легко видеть, что получается
из / при помощи линейной операции §-г = Лг(/) (см. 5.2.1 (4)).
Из цепочки неравенств (11), которую надо читать, начиная
с третьего члена, и из дальнейших оценок (см. (12)) следует
неравенство
/	\ 1/6

\/ = 0	/

Поэтому, если ПОЛОЖИТЬ ((& = (2и^)

(1 = 1, 2, ...)

и учесть, что

то легко получить неравенство

/СО	. 1/0

6ШвЖ2>ЖЫе <№•	(26)

\(=0	/

Это рассуждение показывает, что выражение

/00	к 1/0

7Шв=Ж И1<Ме	<27)

\1=0	/

может служить эквивалентной нормой для ВиРе(е). При этом
функции 0$ удовлетворяют (7) и получаются из / при помощи
линейной операции 5.2.1 (4) или какой-либо другой операции,
для которой верно второе неравенство (26). Важно еще отметить,
что для данного г0>0 для всех г<г0 эти операции для каждого
в можно взять одними и теми же.

В дальнейших рассуждениях мы будем широко пользоваться
нормой (27), не оговаривая каждый раз происхождение

5.6.1. Анизотропный случай. Зададим функцию / е Вгрд (<о), где

Р = (Р1, .... рт), 6 = (9ь ..., 9Ш), Г = (Г1, ..., гт),
1^т^п, 1^Р/, В/^оо, Г/>0, а>1, <^=7?тх<^'.

Определим для нее семейство функций .....целых экспо-

ненциального типа V; по X/ по формулам 5.2.4 (1), где 0<^==$
=^оо, и введем постоянную 1. Докажем, что имеют место
неравенства, обобщающие неравенство 5.2.4 (2) на случай
конечных 6:

' 00	\ 1/01

2о61015II«о.....со ^с^Ц0(«)’
При бу = оо соответствующее /-е неравенство имеет вид

5/,1	1	5/Г1	3/Г!	II	II /

Оно непосредственно следует из 5.2.4 (2). Если же 9, конечно,
то (г/ — р,>6, ру^О, см. 5.2.4 (2); 5.6)

2 а * II 5/Г1	3/г1 1	ё 5/''1	3/Г.	II0/

|| а 1, ..., л ' 1—1, оо,..., оо	а 1, ..., а /, оо, ..., оо ||^

'7_₽/

а-"% ,<
8 — 0	]

о’	М'х/ )	' »р0(*)

и мы доказали (1).

Пусть теперь р = рг =... — р„, 9 = 91 = ... = 9т. Введем нормы
(ШЧЛ^):

'11Лв = Ш + Ш (/=1. 2, 3).	(2)

Мы считаем, что *Ь = Ърв ($’), т. е. это уже известный класс,

/ оо	\ I /0

Ш= 2 '“Е.л,..........(3)

\$ = 0	/

и
/ оо	\ 1 /0

Ш = (5	,	(4)

где предполагается, что / представима в виде сходящегося к ней
в смысле Ьр (<$) ряда

/ = 5	(5)

8 = 0

члены которого (^ — функции целые типа а5/Г/ соответственно
по х< (/ = 1, ..., гп).

Нормы (2) (классы В), но не >\\-\\ь, эквивалентны.

В самом деле, пусть е ХВ = В₽е (^)

[ О°	\ 1/0

....лС 0)	<6>

(средняя часть (6) не превышает сумму левых частей неравенств
(1) при равных и равных 9;).
С другой стороны,

, оо	1/0

№-|%т+	>ЧЬ, СТ-

\ о	/	/	8х'/Р№

где второе неравенство верно в силу эквивалентности норм,
соответствующих полунормам 5.6(1) и 5.6(5).

Из (6), (7) следует, что 1В~2В.

Переходим к доказательству эквивалентности гВ = 3В. Пусть.
/ е *В. Определим для / семейство целых функций = § з/Г1 аз/гп
(а> 1, 5 = 0, 1, ...), для которых имеет место (6):

<п-	(8>

\5 = 0	/

Отсюда, в частности, следует

Положим

Со = Яо» =	(5=1,2,...).	(9)

Из сходимости ряда, входящего в (8), следует, что функция
представима в виде сходящегося к ней в смысле Ьр(<э) ряда (5)..

Далее,

/ОО	\ 1/9

\з = 0	/

/оо	1/0	/ со	л 1/0

«1й1++2«*1б-.СТГ <з|/Ь-

Наконец, если / е 3В, то / представима в виде ряда (5) с конеч-
ной нормой (4). Но для каждого / есть целая типа а5/г/ по
X], поэтому / е Вх'/Р (<^) (см. 5.6 (6), заменить аг на а и положить-
т= 1, /?т = /Ц) и

ШЬ <311Л1в	(/=1,	т).

*-	В*(Р

Таким образом, / е Вгр (^) и

р

Мы доказали, что 1В = 3В.

В заключение подчеркнем, что нормы классов гВ = Вр (^^
выражаются (4.3.4) через нормы В^^} (1=1, •••> т), которые
можно мыслить в любых эквивалентных формах, описанных
В 5.6 (при /П=1, Кт^Ех^-
Отметим, что мы всюду здесь считали, что ву и 6 может рав-
няться оо, поэтому, в частности, доказано, что в обозначениях
п. 5.5.6 имеет место 3Я = 4Я.

5.6.2.	Покажем эквивалентность классов

в;ь",г(^)=в;9(^) (1^9^00).	(1)

Первый из них обозначим через В, второй через В'. Выберем
число а так, чтобы а{/г Ут, тогда ~\У т а3/г а3 + |/г (5 = 0, 1, ...
..., т). Заметим, что целая функция (}а5/г а3/г типа а3!г по каж-
дой переменной Ху (/=1,	/«) в то же время есть сферичес-

кого типа У~та3!г по и, тем более сферического типа а<5 + 1Уг
по а:

0-а?/г.а3/г = ^иа <5 + >//•

Пусть теперь /еВ. Тогда

СО	со

/ = 2	......а3/' = 2 О-иа^ + Ы'

5=0	5=0

51

/СО	ч 1/0	/ 00	1 1/0

\5 = 0	/	\5 = 0	/

где мы положили фиао =	= 0.

Итак, доказано, что если функция /еВ, то она представ-
ляется в виде ряда

ОО

О

целых функций сферического типа а5/г по и так, что

т. е. доказано, что В->-В'. Обратное вложение тривиально, и
мы доказали (1).

5.6.3.	Теорема*). Пусть { е Вгре и 1 = (1Ъ ..., 1т) — цело-
численный неотрицательный вектор (/у^О) такой, что

•) См. замечания в конце книги к п. 5.6.2—5.6.3.
Тогда существует производная

(2)
и

1И<ХГе(^<1в;е(^	(3>

где с не зависит от

Теорема перестает быть верной при замене р = хг на р + е,
где 8>0 (см. 7.5). Кроме того, она, вообще говоря, неверна-
при х = 0 (см. замечание к 5.6.3).

Доказательство. В силу условия теоремы

СО	со

/ = 5	а*1гт = X & (а > !)>

5 = 0	••••»“	0

где члены ряда —целые функции экспоненциального типа а3/г>
по X/ (/=1.....т),	причем

/ со	4 1/9

ИЛв= 1>9'ШР

\ о	/

(в = в;е^), ]|-[| = Ыкр(в>), а>1).

Имеем пока формально

/(*> = 2 $(*),	(4>

о

где Л —любой из векторов (/1, 0, ..., 0), (11г 12, 0, ..., 0), ...

1 =	.... /л). Заметим, что

т

л;/,

Поэтому

/СО	. 1/9 /СО	4 ]/9

[2^9||<3^й	2<ш,е) =11Лв-	(5)=

\ о	/	\ о	/

Из (5) следует, что ряды (4) сходятся в смысле Др, поэтому
на основании леммы 4.4.7 почленное дифференцирование в (4)
(в обобщенном смысле) законно.

Заметим, что ф/1, так же как есть целая типа а3/г/ по х7
(/ = 1, ..., т). Если положить а* = Ь ((?>!), то неравенство (5>
для к = 1 запишется в виде

/оо	» 1/9

\ о	/

где (//' — целая типа Ьз1г’К по Ху. В таком случае /(/'е В^е (<^’)>
и выполняется неравенство (3).
Сделаем еще следующее добавление. Допустим, что мы поже-
лали производную /<п, о которой шла речь в теореме, продиффе-
ренцировать еще V = (/{, ..., Гт) «раз». Согласно этой теореме
это возможно, если величина

Отсюда

Но величина х* в свою очередь представляет собой константу
х, возникающую в теореме, если в ней I заменить на I ф- Г.

В этом смысле рассматриваемая теорема носит транзитивный
характер.

5.6.4 Пример. Ниже приводится пример, показывающий,
что полунормы 3Ь и 3Ь', вообще говоря, не эквивалентны
<(см. 5.6(3), (4)). Ограничимся одномерным случаем

пг=1, г=1—у<1, р = 0, к=1, Ъ=р.

Пусть /дг (х) — четная функция, равная



О^х^М,
М<х.

Тогда

оо 00	ч	Ы К —х

= 2р/1 $	*+	” 4x^2 ^ 4х $ ~ = №-Р,

О — оо	0	0

1 /со —Л 0 >

5 + П^=л+л+л=о(^-р),
о (о — СО — л)

потому что
Отсюда видно, что не существует константы с такой, что для
всех У>0 было бы выполнено неравенство ®|| ||6 <с

5.6.5.	Непрерывность по сдвигу. Теорема. При А->-0

]/(х + Л)-/(х)к^0	=	(/?„), 1^р<оо, /^0), (1)

|/(х + Л)-/(х)|в-^0 Ц(=В = ВГР(ХП), 0<оо, г^О). (2)
Утверждение (1) при р = оо не имеет места, так же как (2) при
6 = оо (Вроо = //р, см. далее 7.4.1); при р = оо 1^6<;оо (2)
остается верным.

Доказательство. В случае I = 0 (№’ = Ьр (/?„)) свойство
(1) есть хорошо известный факт (неверный, однако, при р = оо).
К нему сводится и общий случай, потому что есть сумма
Дух

норм / и -у в Вр(Кп) О'=1> •••• п)- Для Функции / е В имеет
дх^

место представление

о

{оо	\ 1/9

2ПШЙ ,
о	)

где & —целые функции типа 28/г' по х7-. Поэтому

и (х + А) - / (х)	2'250II & (* + *)-(X) Г +

I о	)

+ 2(2250||СЛ0|,/0<е + е = 2е,	|А|<6,

(к	)

если взять У достаточно большим, а затем уже подобрать доста-
точно малое б.

Примечание. В (1) и (2) можно заменить р нар = (р1, ...
..., р„) (1 р/<оо), потому что эти соотношения верны, в част-
ности, для классов р(/?„),	Р/(2?л), /= 1, .... п.

5.6.6.	При условии, что 1 «С 6, р<оо, § с /?„ —открытое мно-
жество, = §(ЯП— Ку), где Ку —шар с центром в нулевой точке
радиуса У, и / е Вгре = В (§), имеет место

11/11%лг)->0	(Л^->оо).	(1)

8 С. М, Никольский
Это видно из определения нормы || • ||в, например, в форме 4.3.4 (2)
(р = 0, й=>2):

. 1/0

(ЛГ-»оо).

₽0'К > \и	/

Ведь	поэтому (Л	конечна при любом I и

стремится к нулю, монотонно убывая, при (V—<-оо, и можно
применить теорему Лебега о предельном переходе под знаком
интеграла.
ГЛАВА 6

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ РАЗНЫХ МЕТРИК И ИЗМЕРЕНИЙ

6.1.	Введение

Начнем с того, что приведем формулировку теоремы вложе-
ния С. Л. Соболева [3] с последующими дополнениями В. И. Конд-
рашова [1] и В. П. Ильина [2] *). Применительно к простран-
ству и его координатному подпространству Ят (1^т^п)
эта теорема гласит:

Если функция / е (/?„) и

0<р = / у +	1<р<р'<оо,	(1)

то**)

(2)

где [р] — целая часть р. Это значит, что существует след функ-
ции [\пт = (Р> принадлежащий к классу	и выполняется

неравенство

в<РЧ?](«т)<С^Ч(*л)’	(3)

где с не зависит от / **).

Понятие следа / будет объяснено в дальнейшем, а пока мы
скажем, что во всяком случае, если / непрерывна на /?„, то ее
следом на /?т называется функция <р индуцируемая функ-
цией / на

В частности, при т--^п из (2) следует «чистое» вложение
разных метрик:

(4)

♦) См. замечание в конце книги к 6.1.

**) Общая теорема С. Л. Соболева может быть записана в виде формулы
(2), где надо заменить Рп, Рт соответственно на	н считать, что

ц есть область звездная относительно некоторого п-мерного шара.

8*
утверждающее, что если / б (/?л), то / е (/?„) и

ШйДр](дл)(д^)	(5)

лри условии, что выполняется (1) (при т = п).

Теоремы вложения С. Л. Соболева будут доказаны в главе 9.

В данной же главе мы собираемся рассмотреть указанные воп-
росы для классов Врв(1?п), в частности (при 6 = оо) классов
НГр(Кп). Впрочем, из полученных в этой главе теорем, в част-
ности, будут следовать сформулированные выше теоремы в случае,
когда р >• 0 — нецелое, и тогда, как мы увидим, они верны при
более широких условиях: 1 р р'оо.

Приведем уже сейчас характерную теорему вложения разных
метрик, которая, в частности, будет получена в этой главе:

в;е(/?л)^в^9(/?л),	(6)

если

1 «С р < р'«С со, 1 «с 6 «с со, р = г — л 0-—	> 0.	(7)

Таким образом, если функция / принадлежит к левому классу (6),
то она принадлежит и к правому классу и, кроме того, выпол-
няется неравенство

^4ч)(«л)^^Че(«л)’	(8)

где с не зависит от /.

Характерная (прямая) теорема вложения разных измерений,
которая будет доказана в этой главе, записывается следующим
образом:

5ре(Ял) -> 5р0(/?т),	(9)

где

1 ==Ср, 6=Ссо, 1^т<2п, р = г —	0.	(Ю)

г	Р

Она утверждает, что при условиях (10), если задана на /?„
функция / класса Врв(Кп), то она имеет след <р на /?т, принад-
лежащий к классу Вро (7?т), и выполняется неравенство

“ФЧе(«т)^^Це(«л)’	(И)

где с не зависит от /.

Неравенство (11) важно для приложений, оно указывает
на определенную (устойчивую) зависимость норм следов функций /
от норм /.

Теоремы вложения разных измерений для классов Вро харак-
терны тем, что они полностью обратимы. Приведем в качестве
примера теорему, обратную теореме (9). Она записывается сле-
дующим образом:

В?е(2?от)-^В;е(2?л)	(12)

(при условиях (10)) и читается так: каждой функции <р, опреде-
ленной на Ят и принадлежащей к классу Врв(Кт), можно при-
вести в соответствие ее продолжение на /?л — функцию / е Вгро(^п)—
так, что / |л = <р и

(13>

где с не зависит от <р.

Более общие теоремы вложения разных измерений, которые
найдет читатель в данной главе, также соответственно обращаются.
Это показывает, в частности, неулучшаемость этих теорем. Что
же касается теорем вложения разных метрик, то они тоже неулучша-
емы (в терминах, в которых они высказываются); это доказывается
в следующей главе. Там же читатель прочтет о некоторых инте-
ресных так называемых транзитивных свойствах теорем вложения.

Данную главу мы начинаем с установления простейших свя-
зей между классами 117, Н, В, выражаемых при помощи вложе-
ний.

Здесь мы отметим только следующие связи:

(е>о, г=о, 1,...),	(14)

вторая из которых нам уже известна.

Из (14), (6) и (9) следует ^р = I — —4--^ > 0 — нецелое V.

У1, (/?„) -> Н1Р (/?„) -> н‘~па~ й (/?„) -> ДР, (7?т) ->	(7?т), (15)

т. е. (2).

Для классов Нгр(Яп) теоремы вложения разных метрик и
измерений так же как обратные теоремы вложения разных
измерений, доказаны С. М. Никольским [3] методами прибли-
жений целыми функциями экспоненциального типа. Они обоб-
щены О. В. Бесовым [2], [3] на введенные им классы Вр$ (7?„)
(Др = ВрОТ). О. В. Бесов также базировался на методе прибли-
жений целыми функциями экспоненциального типа. Некоторые
теоремы вложения разных метрик для одномерных классов Нр
были известны Харди и Литтлвуду [1]. Для более общих клас-
сов Нр (/?„) (ру, вообще говоря, различные) теорема вложения
разных измерений также доказана С. М. Никольским [10] мето-
дами приближения. Затем она обобщена на классы Вгра В.П. Ильи-
ным и В. А. Солонниковым [1], [2], но уже другими методами.
Ниже мы всюду при доказательстве базируемся на методах
приближения, в том числе и при рассмотрении указанной тео-
ремы для общих классов Вре*).

6.2.	Связи между классами В, Н, IV

Функции этих классов мы будем рассматривать на цилиндри-
ческом измеримом множестве =	(1«Ст^п, « = (хь ...

•	= С^т+ь

Положим для краткости

в«р0 (<^)=вр0, я;р(^)=я;, тпР(^)=тг;,
=	г>0, 1^9<оо.

Имеют место вложения (г = г + а, 0 < а 1, Г — целое)

в;1-*в;е->в>->в;Оо=/7; о^ео'^аэ),	(1)

К~^гр (г=1, 2, ...),	(2)

в;+8->в;0->в; (е>о),	<з>

(Р=о, 1,..../),	(4)

в;0+е-^в;0 (е>0).	(5)

Вложения (1) показывают, что при возрастании 0 классы Вр0
расширяются. Доказательство (1) непосредственно вытекает из
того, что (см. 5.6 (6), (7)) функция е Вре может быть опреде-
лена как сумма сходящегося к ней в смысле Ь„ ряда

/=	(6)

5 = 0

члены которого функции —целые сферического типа а*(а>1)
по и так, что (см. 5.6 (27))

/СО	\ 1/0

= 2>геШе («>1).	(7)

р° \«=о	/

Ведь при возрастании 0 правая часть (7) убывает (см. 3.3.3).
Из цепочки (1) видно также, что при фиксированных г и р
«наихудшим» классом является класс Нр и «наилучшим» Врь

Вложения (3), из которых следует, что

в^е->в;0->в;0~8

*) См. Т. И. Аманов [3].
для любых 1^0', 0, 0"^оо, каким бы малым ни было е>0,
показывают, что класс Врв более существенно зависит от г,
нежели от 0. Второе вложение (3) уже доказано в (1). Пусть
I е Нр+е; тогда

II / II г4-е = зир а5(г+е) || СМ = м < °°>
Р	«

поэтому

>1/0

М \0|
а$(Г+8) ) |

^сМ,

где с не зависит от М, откуда следует первое вложение (3).
Вложение (5) вытекает из того, что правая часть (7) возрастает
вместе с г. Надо иметь в виду, что для данного г0>0 для всех
г<Го функции 0$ можно считать одними и теми же (см. заме-
чание в конце § 5.6).

Вложение (2) следует из неравенств

8 & р) (х) || 2*-*1| ^) (х) |] 2^ । к 11 А. (х) | < | Л | ^ В /(г) |

где сумма распространена на все производные /<г> от / порядка г.
Из (1) и (4) следует, что

Вгрв-+Нгр-+№рр (р = 0, 1...../).	(8)

Для анизотропных классов

Вгир6^) = Вгрв, Нгир($) = Нгир, УКР^) = У7ГР

имеют место вложения (Р = (Р1, .... рп))

ВР1-+ Врв-+ Вре> -+ Вгрсо = Нгр,	1	0 < 0' < оо,	(9)

(р —целый вектор),	(10)

(8>о, т. е.	8/>о),	(н>

В^е-+Врв	(г>0),	(12)

-> Др-> 117°	(р<г, р —целый вектор). (13)

Они аналогичны вложениям (1) —(5), (8) и немедленно из них
следуют. Если р = р1 = ... = рп, то всюду р заменяется на р.
6.3. Вложение разных метрик

Имеет место *)

	Вре (Яя) -*• Вр’е (7?я),	(1)
если выполняются следующие условия: 1 гё р < р'гё оо, 1^0^00,’  1 С 1	1 \ V 1 П  х = 1 —	Л / —>0,  \Р	•  г* = иг.  (Мы считаем, что г>0.)  В частности, если учесть, что Вр (/?„) = Вр г (Яп)		(2)  (3)  (4)  (см. 5.6.2),
имеет место	Вро (Яп)-+Вгр'в(Кп)	(1')
при условиях	1 р < р'оо,  х = 1 —	т — >0,  \Р Р 1 г ’  г' = иг.	(2')  (3')  (4')

Например, при р' = оо и

Вгрв (/?„) -> ВГЛ (/?„) ->	(/?„)

и, следовательно, если функция	то она непрерывна

и ограничена на /?я вместе со своими частными производными
порядка, меньшего чем г'. Больше того, если, например, г' =
= рф-а, р —целое и0<а<1, то производные /(р) порядка р
удовлетворяют на А?я условию Липшица степени а.

Докажем (I). Пусть В, В' соответственно обозначают первый
и второй классы (1) и Н₽ = 1Нк (Ят)- Зададим функцию
и число а> 1. Функцию / можно представить в виде ряда

5=0

(5)

*) С. М. Никольский [3], случай Нр (Кп)=Вгр!Х)(Япу, О. В. Бесов

12], [3], случай 1^0<оо; для некоторых одномерных классов Нр—Харди
И Литтлвуд [1].
члены которого —целые типа а5//7 по х) (/=1, п) функ-
ции, и при этом

/ОО	\ 1/0

Шв=	<°°	(а>1).	(6)

\ О	/

Для функций выполняется неравенство разных метрик (3.3.5 (1))

поэтому

Но если положить ал = Ь (6>1), то получим неравенство

, ОО	I 1/0

<Щв.	(7)

\ о	/

где <2^ —целые типа Ь°/г> по х^. Из него следует, что ряд (5)
сходится в метрике 1.р’ и при этом к /, потому что он сходится
уже к / в метрике (см. (1.3.7)). Больше того, из (7) следует,
что /еВ' и левая часть (7) есть Мы доказали, что

1ИК11Л1В,

и вложение (1) доказано.

В данном случае условия (2') — (4') эквивалентны следующим:

Г, Г >0,	гСОО, Г------= Г-----т.

'	г , р	р,

г,	П

В них существенно входит величина г — которая должна

быть инвариантной, чтобы можно было гарантировать вложение.
В общем случае по этому поводу см. 7.1.

Заметим, что в (1) нельзя заменить /?я на	так как

в этом случае нет неравенства, подобного (7). Да и по существу
это нельзя, что легко обнаружить на примерах.

6.4. След функции

Функция /, принадлежащая к тому или иному классу В(7?я),
1Г (/?„), определена на только с точностью до множества
п-мерной меры нуль или, как мы еще будем говорить, с точ-
ностью до эквивалентности относительно А?я или в смысле 7?я. По-
этому след функции /

Ллт = Ф = <₽(*1. ...» хт)


на каком-либо подпространстве /?т сд {т < п), не имеет смысла,
если его понимать буквально.

Ниже мы даем определение следа функции / на Вт, приво-
дящее к единственной функции ср с точностью до эквивалентности
относительно /?т.

Будем обозначать каждую точку х е Кп в виде пары х =
«= (и, ча}, где ю = (хх.хт), то = (хт+1, хп), и пусть Рт(то)

есть т-мерное подпространство точек (и, IV), где IV фиксировано,
а и пробегает всевозможные значения. В частности, пусть
Кт(О)=ят.

Пусть / (х) — измеримая на Рп функция.

Будем говорить, что функция

Ф = ф(я) = /Ът	(2)

есть след / на Нт, если [ можно видоизменить на множестве
п-мерной меры нуль так, что после этого при некотором р,
1 р =^оо, будут выполняться следующие свойства:'

1)	/ (а, IV) €= Ьр Дт (ТО)), |то| <6,

2)	/ (а, 0) = <р(«),

3)	||/(«, ^)-ф(«)кр(Ят(«»)-*0»
где 8 достаточно мало.

Покажем, что определенный таким образом след / на
единствен с точностью до эквивалентности в смысле Ят.

В самом деле, пусть удалось найти два видоизменения и
функции / на множестве п-мерной меры нуль и такие числа р±
И р2 (1 гёрх^р3^оо), что Для Фх, Рх и /г, Фг, Рг отдельно
выполняются соотношения 1) —3), и пусть § а: Ят — произволь-
ное ограниченное открытое множество. Тогда

л<р2 («) - Фх («) 1кР1 и фх («) - л (и,«о ир1<в)+

+ ||Л (а, то)-/3(«, то) 11^) +с'+;(«, то)-<р2(«)||ьрЛ),	(3)

где с — константа, зависящая от меры Функции /ц и /2 экви-
валентны в смысле Л?я, поэтому

П1Л-^ 1₽1 Ли = 0

и по теореме Фубини почти для всех IV

5 1Л-/г1₽1.^« = О-
нт(«0

Но из множества точек то, для которых выполняется это равен-
ство, можно всегда выбрать последовательность тоъ то2, ...
с |то* | ->0. Правая часть (3), когда то пробегает эту последо-
вательность, стремится к нулю, но тогда левая часть равна
нулю, и так как §а:Кт произвольно, то <рх = ф2 на Л?т.
Нетрудно видеть, что если функция / не только измерима на7?„,
но и непрерывна в п-мерной окрестности то ее след <р с точ-
ностью до эквивалентности в смысле совпадает со следом /
на Вт в обычном понимании этого слова. Заметим далее, что
если для двух измеримых функций /2 возможна при некото-
ром р определенная выше операция взятия следа (2), которую
мы еще обозначим так:

Ф = ^(/) = /|ят,	(4)

то она возможна также для любой линейной комбинации

С1/1 + С2/2,

где сь с2 — произвольные действительные числа и имеет место
равенство

(с1/1 + сг/г) = СМ (/1) + с2Л (/2) •

Таким образом, множество всех измеримых функций Д для
которых операция (4) при некотором р возможна, линейно и (4)
есть определенная на нем линейная операция (оператор). Как
будет видно из дальнейшего, функции классов Вре и при
соответствующих значениях параметров р, г имеют следы на Вт
в указанном выше смысле.

Пусть область § с: Вп и с: так что, в частности, д’
может быть границей д. Пусть далее на д' определен класс
функций Э)1. Зададим на д функцию / и допустим, что она
имеет на д' след:

<Р = /|е',
принадлежащий к ЯИ. Тогда мы будем не только писать: <р
ж= / е ЯН, но и / е ЭЛ.

6.5. Вложения разных измерений

Имеет место *)		
вгрв ш	1 —* Вр0 (Вт)	(П
при условиях		
0 гС т < п,	1 ^р, 0 оо,	(2)
х — 1	1  р		(3>
	/=т-Н	
г' = (Г1'		Гт), Г'^КГ..	(4)

*) С. М. Никольский [3], случай Нр = В^1Я; О. В. Бесов [2], [З),
случай 1 г- 6 <оо.
Здесь Ет обозначает /п-мерное подпространство точек

*=(«, ^)«=(Х1, .... хт, хт+1, ...» хп),

и^=(х1..... хт),	у = (хт+1, хп), где .у фиксировано. Пусть

В, В' — соответственно первый и второй классы в (1) и |]-||т =
= ||’1кр(Лт)- Вложение (1) утверждает, что всякая функция / е В
имеет след

Ллт = <Р^В',
и выполняется неравенство *)

[ф||в'>Сс[|Лв,

где с не зависит от

В случае, если /п = 0, предполагается, что
Вгро (Во) = Вда, в (Вл).

Таким образом, в этом случае речь идет о вложении в разных
метриках (от р к р' = оо), оно уже доказано в 6.2.

Если учесть, что Вгр(Яп) = Вгр.г (Р„), Вр(Ят) = Вр.г (Кт),

то из (1), в частности, следует, что

в;0(2?я)-^в;'е(/?т)	(Г)

при условиях

0«С/л<п,	9«соо,	(2')

х=1-^>°- *	<3')

Переходим к доказательству при	Функцию

е ^рв (Вя) представляем в виде ряда

/ =	(5)

О

функций целых типа а!/г/ (а>1) по X/ (/ = 1, ...» п) с нормой

(оо	\ 1/0

2Х(шл)е •	(6)

о	/

Для применяем оценку (3.4.2 (1))

*) При некоторых оговорках имеет место более точное неравенство
СсЦ/16 (см. 7.2(10) н (11)).
откуда

а0хЧ11 & Р)9У/9 <(5 а‘в <М 11я)0)1/9 =Шв.
\ о	/	\ о	/

Полагая а* = Ь (&> 1), получим
/со	\ 1/0

„./Л- т
\ о	/	\	1< ••• » ь т/

Это неравенство, в частности, показывает, что ряд (5) сходится
при любом фиксированном у в смысле Ьр(Вт) по « = (Хь ...,хт)
к некоторой функции А(х) = /1(й, у) Ьр($т). Но тогда = /
почти всюду в смысле п-мерной меры (см. 1.3.9).

В силу неравенства (7)	(в, _у) е В' при любом у

И1(«, ^)К11/||В.	(8)

Константа в этом неравенстве не зависит от у.

Если будет доказано, что /1 (и, у) есть след / на А?т при
любом у, то вместе с неравенством (7) это приводит к требуе-
мому вложению (1). Так как (см. 6.1 (14))

В = Вгрв (Пп)-+Нгр(Яп),
то

(9)

Приращение (}5 (х) в свою очередь есть целая функция типа
а/г> по X/ (/=1,	я), поэтому на основании 3.4.2 (1), 3.2.2 (7)

и 4.4.4 (2)

|| Аж.л& ||т 2"та’-<1|) Ау^Ц» < 2п”а (	'/'ШЯ1Н

Справедливо неравенство

|| А,?/1 ||т -С (Гц + (Гц,

где
Ц — 1	СО

^=2 ;| А^5||-, а; = 2||А*ЛГ
о	и

Зададим число /г с | Н | с 1 и подберем целое р так, чтобы

а-ц/г/< | Л |	а~(ц~1)/г/.	(10)

Тогда (см. (9))

М~‘ 5 Л - X + -1-)	>Л-1 !

а'^2— У И г<>Шп\/г\<\М 2^.	(П)

о	о
где

Если 8<0, иначе говоря, если г] =	< 1, то



а если 8>0, т. е. если 1<г/, то

<<1Н

При 8 = 0, т. е. /•/ = 1

Стц < | Л | р < 1к | |1п | к 1|.

С другой стороны,

оо

<т^22|Ш1'л

Ц

(12)

Из полученных оценок, очевидно, следует, что *)

||\-лЛ (Х))|т =

о(|/1р),	0<Г/<1,

О (Iк II 1п\к 11),	>7=1,	(13)

г/ > 1.

Правые части (13) стремятся к нулю вместе с к, поэтому
/х(и, у) есть при любом у след / (а, 3/).

Подчеркнем, что исходная функция ] (х) = ((и, у) была известна
с точностью до множества п-мерной меры нуль, поэтому рассмат-
ривать ее как функцию от и при фиксированном у не имеет
смысла. Выше был указан способ получения следа функции / е В.
Для этого надо / разложить в ряд (5) с конечной нормой (6) и
зафиксировать у в его членах Тогда полученный ряд функ-
ций от и сходится в смысле Ьр(Вт), именно к следу (и, _у)
функции

Обычно в неравенствах такого рода, как (13), все же пишут
) вместо Д, понимая это в том смысле, что / можно видоизме-
нить на множестве п-мерной меры так, что после этого для лю-
бого у имеет место (13) и притом с константой, не зависящей
от у.

6.5.1.	Примечание. Вложение 6.5(1) остается верным при
тех же условиях 6.5 (2) — (4), если в нем заменить /?я, соот-
ветственно на измеримые цилиндрические множества <^я = /?ях<^',

•) Л. Д. Кудр явцев [2], ч. 1.
<эт = ВтХ$', где по-прежнему /?яс/?л и г = (х, ®у), х <= /?„,
ие^'. Действительно, при конечном р почти для любого ту
справедливо неравенство, соответствующее 6.5 (I), где константа с
не зависит не только от у, но и от ту. Возведем обе его части
в степень р, проинтегрируем по ТУ, а затем возведем в сте-
пень В результате получим нужное неравенство. При р — оо
это утверждение тривиально.

6.5.2.	Неравенства 6.5 (13) сами по себе интересны. Они ука-
зывают для функций класса Нр (А?т) порядок стремления их сле-
дов в среднем. Этот порядок неулучшаем (см. 7.6).

Нетрудно показать, что имеет место неравенство

||а^А(х)Г=О(|Л|) (г/ = 1, й>1)	(1)

(уже без 1п), дополняющее второе неравенство 6.5(13).

Так как

К^п)-^НГР

(г —целый вектор),

то оценки 6.5(13) применимы и к 1Гр (А?п)*). Они и в этом
случае неулучшаемы в том смысле, что нельзя в их правых
частях указанные там степени | к | заменить большими. Однако
для каждой индивидуальной функции / е 1Гр (/?„) имеют место
следующие оценки:



о(|й|г/) (|й|_^0),	0<г-<1,

о (\к 111п | й 11) (|й|->0), г- = 1,	(2)

0(1 А!) (|й|<1),	Г/>1,

улучшающие при г) С 1 оценки 6.5(13).

В самом деле (см. 5.6.1 (9) и 5.2.4 (5)), в этом случае

II II" | ёа^/гг.а8/гп — /1| + [| / — ^(3 -1 )/Г1.а(8	- 1)/гге || = О (аг

(8—> Ос),

и тогда неравенства 6.5(11), (12) заменяются на такие:

<<о(|лГ') ('•/<0. < <0 (I к 111п Iк ||) (г/=1), ст;<о(|/г |П).

Оценку же О (| /г |) улучшить нельзя. Это легко проверить на
примере ? = §(х) §(у), где §(х) е Ьр (АТ) — целая типа 1 такая,
что (0) =А 0 и Ят = У?,.

*) Оценки (13) для классов №1р (/=1, 2, ...) получил непосредственно
В. И. Кондрашов [1].
6.6. Простейшая обратная теорема вложения

разных измерений

Пусть 1*Ст<« и /?т — координатное подпространство 7?„.
Для определенности будем считать, что оно состоит из точек
(й, 0) = (хх..хт, 0,	0). В § 6.5 была доказана теорема:

(1)
при условии, что

г' = гх = г-^=^>0.	(2)

Ниже доказывается, что имеет место теорема, полностью ее
обращающая *):

5₽0 (7?т) -> Врв (/?„)	(3)

при условии (2). Пояснение см. 6.1 (12).

Обозначим через В, В' соответственно первый и второй
классы (1). Зададим произвольную функцию <рбВ'. Ее можно
представить в виде сходящегося к ней в смысле Ьр (/?т) ряда

ф (И) = 2

5 — 0

где 0.а31г — целые сферического типа а3/г(а>1) и
С со	р/о

IФ - (2 а- (1 <2, Г)•) . I  I" -1  К («.).	(4)

Положим

/ . V/ \ 2

/ ЯП V \

^(/)=	^>0).

\ 2/

Это целая функция от одной переменной / типа V такая, что

! п I у1\2р	\1/р

/ 1 / С08 Т \ М\ \ /2\Чр с„

1^11^)= -ЧЧ О Ы ^>о).

V \ 2 /	/

Введем новую функцию от х е 7?л, определяемую рядом

ОО

*) С. М. Никольский [5], случай Нр = Вгрт; О. В. Бесов [2], [3],
случай 1	0 < со.
где

п

9а$/г (х) = 0аз/г (и)	Г'аи/г (*/)•	(6)

т + 1

Очевидно (см. (2)),

I' п |;л — II П , |тл. (1х)х„п —т

В таком случае
/со	\ 1/6	/со	\ 1/6

1Х(1киг)е)	=сготМв'- <7>

Так как функции д^/г — целые (экспоненциального) типа сГ!г по
каждой переменной хъ хп, то в силу 5.6.1 (4), (5) слева в (7)
стоит норма / в смысле Вре" ’г (7?л). Но Врв' "г (/?„)^Врв (Кп)=В,
и мы доказали, что / е В, Ц/Цв^ЦфЦв'.

Функция / определяется рядом (5), сходящимся к ней
в смысле Ьр(Яп). Но этот ряд при всяком у = (хт+1, ...,хл) схо-
дится также в смысле Вр(7?т) к некоторой функции /1(х), кото-
рая может отличаться от / (х) только на множестве «-мерной меры
нуль (1.3.9). Очевидно,

/1(«, 0) = <р(«)

в смысле Вт, т. е. почти для всех и в смысле т-мерной меры..
Далее, учитывая, что Е\,(0) = 1, /\ (/) ограничены по V и I и

У || <^аз/г ||я < оо, получим

О

ИЛ («, ^)-/1(«, о)|р у

О

п

П Л'/'’ Л)— 1

т + 1



(У — (^т+1> • • • > АГЛ) —0).

Это рассуждение показывает, что <р есть след / (6.3). Этим
утверждение (3) доказано полностью.

Отметим, что класс В = Вре(Кп) представляет собой банахово
пространство. Если

г’ = г

п — т

Р

>0,

то, согласно (1), для функций /ей имеет смысл операция по-
лучения следа

Л/ = /|Л„ = Ф	(8>

на	(1^т<п). Эта операция линейна; более того, со-

гласно (1), она ограниченно отображает В в В', причем в силу
обратимости вложения (1) даже не в В', а на В'. Выше мы до-
казали, что в свою очередь В' можно отобразить на некоторую
часть В при помощи некоторого ограниченного линейного опера-
тора. Этот последний не единственный, можно указать бесконеч-
ное множество таких операторов.

На языке функционального анализа линейный ограниченный
оператор А, отображающий банахово пространство В на бана-
хово пространство В', называется непрерывно обратимым*).

В последующих пунктах мы доказываем более общую чем
6.5 (1) теорему вложения, в которой речь идет о граничных
свойствах не только самой функции / на подпространстве 7?т сц
но и ее некоторых частных производных. Эту теорему мы затем
полностью обращаем.

6.7.	Общая теорема вложения разных измерений

Теорема**). Пусть } е Вгре(Кп), 0^т<п и для некото-
рого вектора 1 = (Хт+1, ..., %„) с неотрицательными целочислен-
ными координатами выполняются неравенства

Р'<И = 4- 2 7’7 2 7)>°-	<»

Пусть, кроме того,

Ф =

илт + 1 ' • • ихп

и Нт обозначает т-мерное подпространство Нп, полученное при
фиксировании вектора у = (хст+1, ..., хп), а р (X) = (р<х>, • .•.р^).

Тогда

=	(7?т)

и выполняется неравенство

с константой с, не зависящей от [ и у.

Доказательство. Из (1) следует, что

•) Ф. Хаусдорф [1], добавление.

••) С. М. Никольский [5], случай ^ = 5^; О. В. Бесов [2], [3],
случай 1 в < со.
поэтому на основании теоремы 5.6.3

яр «= Вр'е (7?л),

(п ’

1 - У ~

л к
й = т + 1	•

(/ = 1, ..., и)

и выполняется неравенство

Чтобы увидеть, к какому классу принадлежит след на 7?т,
воспользуемся теоремой вложения 6.5 (1). Она применима, по-
тому что

и имеет место утверждение теоремы.

6.8.	Общая обратная теорема вложения

Теорема*). Пусть задан вектор г=(гг, ..., г„)>0 и все-,
возможные векторы

^ = (^т+1, •••>	(1)

с неотрицательными целочисленными координатами, для которых-,
определяемые формулой 6.7 (1) векторы р (X) = (р<Х), ..., р(лХ)) по
ложительны.

Пусть, кроме того, каждому вектору 1 приведена в соответ-
ствие функция

....хт)е^1|(4).	(2)

Тогда можно построить на Нп функцию } е Вгре (7?л) такую, что

ИЧе(«я)^С?ка)11вТЫ’	(3)

где с не зависит от <р(Х), сумма распространена на всевозмож-
ные указанные векторы X и <р(х) суть следы частных производных

*) С. М. Никольский [5], случай Нр = Вгр00-, О. В. Бесов [2], [3],
случай 1	6 <. оо.
-функции [;

дХт+1

"хт + 1 • • • ахп

= Ф(М’

Доказательство. Положим

(1 = 1,	п),

Тогда, очевидно,

р(М =

(4)

(5)

(6)

(7)

х™ = 1 -

'V

п

Пусть ф(Х) (= В$Х) (7?т) = В(М. Тогда

СО

Ф(Х) = 5 (А)»

О

где (23(х) —целые типа 25/г'(Х) по х, (1 = 1, ..., т) и

/со	\ 1/0

11Ф(Х)1и>=	.

’ о	/

«нтн-1Мт)). '

Введем тригонометрические полиномы Тч(х) (у = 0, 1,	/),

где I обозначает наибольшее из чисел X/, встречающихся в раз-
личных рассматриваемых векторах X = (А.т+1, ..., %л). Пусть эти
полиномы обладают следующими свойствами: функция

целая и, кроме того,

Ф^(0) = ^Фу(х)|х_о=1, Ф^’(0) = 0	(9)

(/г = 0, ..., V—!, V + 1, ..., /).

О величине степени тригонометрического полинома мы не за-
ботимся, поэтому указанные выше условия его однозначно не опре-
деляют. Будем считать, что мы выбрали вполне определенные
полиномы, имеющие степень ц (V). Тогда Фу (х) — целая типа ц (V),
а Фу — целая типа к. Очевидно, далее

I/ °°	\1/р

Фу6-ГГх')Я = ( ( I Фу (—тщХ^ |Р	I =

\н(х) /\\ьо(кл \ 3 I ЛиМ /I /
(СО	\1/р

5 |Фу(ц) =	(10)

— со	'

где зависит только от V.

Определим функции (хь ..., хя), соответствующие раз-
личным векторам 1 при помощи рядов

А«(*1. .... х„) =

-2<Ь» П	о»

5 = 0	/=т-}-1	I	5 = 0

где, очевидно, /?5(х) — целые типа 2$/г'а) по х1 (1=1, .... п).

Учитывая (5)—(8), (10), имеем

г г (X)
5-------

2 Г/

или

г I (X)

2“ ||^(А)Г < || 05 (А) Г

поэтому б силу (8), учитывая еще, что

о(Х) = 1_ у 1

Г1	Г)

т+1

на самом деле не зависит от г, получим неравенство
II /(X) Цдг	|| Ф(А) ||д(А)-

Р0 V Я/

Заметим еще, что в силу свойств функции Фу для функции
Да), если вектор X допустим, т. е. удовлетворяет условиям 6.7
(1), имеет место равенство

Л-ы+-+Чщ

<9x^23 ... дх!п
лг-|-1 п

В самом деле, если формально продифференцировать почленно
ряд (11) по хт+1, ..., хп соответственно 1т+1, ..., Хп раз, то

получим
дХт+1 + ”-+\|

Л1-|-1	П

|е0	в«0

(13)
Из приведенных оценок для Т?5(х) следует, что на любом
этапе дифференцирования получаются сходящиеся в смысле
Ер (А>„) ряды, поэтому равенство (13) действительно имеет место
в смысле сходимости Ьр (см. лемму 4.4.7). Далее, в силу
ограниченности ограничены также производные Ф^М, поэтому

^2|1&(1)кр(*т)	+2С 2	<14>

О	М4-1

Задаем теперь е>0 и подбираем М достаточно большим,
чтобы второе слагаемое правой части (14) было меньшим е,
а теперь подбираем (см. (9)) б настолько малым, чтобы для
|X/1<6 (/ = т+1 .... и) первое слагаемое было меньшим е.

Если же {X'} —другой допустимый вектор (Х^ц, ..., %А), то
подобными рассуждениями получим

^т+1 + —

дхкм....

п+1 п

= 0.

В таком случае функция

где суммирование распространено на всевозможные допустимые
векторы 1, удовлетворяет всем требованием теоремы.

6.9. Обобщение теоремы вложения разных метрик

Ниже дается обобщение теоремы вложения 6.3 (1) на слу-
чай классов Вре(7?„).

Теорема*). Пусть для рассматриваемых ниже чисел вы-
полняются неравенства (г7->0)

1^р, ^р' ^оо,	(1)

п

х' = 1- У	(2)

/Г \Р1	Р М	' '

г = 1
п

<'=’.....»> <3>

*) С. М. Никольский [10], случай Нгр — Вграр, В. П. Ильин и
В.А. Солонников [1], [2], случай 1	6 < оо (методом теории приближения

Т. И. Аманов [3]).
и

Р<=~*)-	(4)

Пусть далее г = (гъ гп), р = (рь ..., р„), р = (рь ..., рп)-
Тогда имеет место вложение

Вгрв(Я„)^В>.в(Я„).	(5)

Из (5) при р = Р1 = .. . = р„ следует (6.3) (1), р = г'. Заметим
еще, что из того, что х' > 0, следует, что и, > 0 для всех г,
так как р' рь

Доказательство. Вводим семейство функций =
=	...у (0<т;-=^со; /=1, ..., и) целых экспоненциального

типа V] по переменной X/, определяемых последним равенством
в 5.2.4 (1) при т = п.

Положим

ук = V* (з) = 28/р*	(/г=1..п; 5 = 0, 1, ..., и 5 = оо)

и

Фо=й\нО), Фз = /Д (5) ёч (.Г-1)	(® = 1 > 2, ...).	(6)

Очевидно,

(5=1,2,...),	(7)

1= 1

где
............^(3),	1)..л'л (5—!) ~
ёуг(5)...........................^(5—1)...........',л(5—о. ($)

Имеем

(5=1,2,...)	(9)

Применим к каждому г-му слагаемому этой суммы неравен-
ство разных метрик (3.3.5)

(/=1.....л).	(Ю)

*) Можно в этой теореме исходить из условия, что все > 0, так как
для того для которого р; принимает наименьшее значение, х/ > 0, но тогда
и х' > 0, следовательно, остальные х/ > 0.
Подберем теперь числа р7- так, чтобы выражения в скобках были
равны единице:

1 = ^--	-41 У - (1 = 1........п).	(11)

Р/ \Р1 Р / Р1 '	’	’	’	к ’

1 = 1

Деля все равенства на г{, заменяя I на I и суммируя по I, по-
лучим

<«)

1=1	\	1 = 1	/ 1=1

Исключив сумму из (И) и (12), получим

р1=г1~	(/=1.....................(13)

Поэтому суммирование (10) по I приводит (см. (7)) к неравенству

» Д-

из которого следует, что (пояснения ниже)

у со	1 1/0	П [ со 05	/

{22вчед <2 2 2 Р<Ц <

( 1	)	1 = 1 (з = 1	)

п / оо 'вга1 /	_А\е\'/е

<2 2 2	/4 2 р( <

1=14 = 1	1	1р1/

(14)

Второе неравенство (14) следует из того, что если VI, уя и
— произвольные числа и	то в силу 5.2.4 (2)

(^Л	/’п ™ ®л)-
Далее, так как / е ЬРе то также фо ЬР1 (см. интегральное
представление 5.2.4 (1)), тем более С[ое.ЬР', так как рг^р' и

||Оок^и/и^нц9(«я)-	(15)

Из (14) и (15), в частности, следует, что ряд

СО

о

(16)

сходится в смысле Ьр-. Он заведомо сходится в смысле ЬР1 к Д
потому что

IV	(лН

—-<

° Р[	V

<—Цг-->о	(Я->оо),

VI (АГ) 1

так как Вр6 -+НР-+- Нг‘ .

У Р Х1Р1

Итак, ряд (16) сходится к /у справедливы неравенства (14)
и (15) и ф,—целые типа 25/₽г по X; (1 = 1, ..., п), следовательно,
^еВр-(Д„) и имеет место вложение (5).

6.9.1.	Пусть вместо числа р' (см. 6.9) задан вектор р' »
= (Р1, ..., р'п) такой, что р'г^Р! (I, /=1, ..., и). Положим

(1)

и

Г‘ *1 '

(2)

где у-1 определяются, как в 6.9 (3).
Тогда, согласно теореме 6.9,



(1 = 1, .... П)

О)

и, следовательно,

Вре (Нп) Вр'о (Я„).

(4)

6.10.	Дополнительные сведения

6.10.1.	Полученные в этой главе теоремы автоматически пере-
носятся на периодический случай. Их формулировки останутся
верными, если в них символы И?, Я, В заменить соответственно
на 1Г*, Я*, В*.
При доказательстве в периодическом случае роль целых функ-
ций экспоненциального типа теперь уже играют, конечно, триго-
нометрические полиномы. В нашем изложении было существенно,
что целые функции экспоненциального типа обладают специаль-
ными свойствами: для них справедливы неравенства 1) для
производных (типа неравенства Бернштейна), 2) неравенства различ-
ных метрик и 3) неравенства разных измерений. Подобными
свойствами обладают тригонометрические полиномы. Кроме того,
для периодических и непериодических функций можно, как мы
знаем (ср. 5.2.1 (6) и 5.3.1 (11) ), построить аналогичные методы
их приближений тригонометрическими полиномами и соответ-
ственно функциями экспоненциального типа. Этими методами мы и
пользовались, излагая теорию в непериодическом случае.

6.10.2.	Можно указать способ получения общих систем функ-
ций не аналитических, но таких, что для них выполняются
неравенства, очень похожие на дискутируемые выше неравенства
для производных, неравенства разных метрик и разных измерений.

Пусть (О. В. Бесов) *)

Л = (/гх..А„), й<>0,	= №......“Л

\ Г11	ап/

фй(х)= ( П ^-х(^:Л)ф(х+^)4у,	(1)

'=1

где функция х(.У) бесконечно дифференцируема на 7?п и сосредо-
точена (имеет носитель) внутри первого координатного угла, и

$хСу)4у=1- -

Функцию фй (х) назовем средней для ф (х) с векторным шагом
Л = (А1, . . . ,ЙЛ).

Для средних функций справедливо неравенство

(п \ / п ______ 1 \ / т 1 \

<3>

Неравенство (3) в известной мере **) аналогично соответствую-
щим оценкам для целых функций конечных степеней у;=1/й;,
что позволяет перенести без существенных изменений излагаемую
теорию на случай приближения средними функциями фй (или

*) См. О. В. Бесов, В. П. Ильин и С. М. Никольский [1].

*'*) Некоторое отличие заключается в том, что в первой части (3) под
знаком нормы стоит ф, а не ф%. Выход из положения находят в том, что
неравенство (3) применяют для фЛ, и тогда в левой части вместо фЛ будет
фигурировать фйй.
вторыми средними <рлл = (<рл)л), взяв в 5.2.1 (5) вместо

/ .

31П I

гладкую финитную функцию |(/).

Этим путем, например, можно прийти к (полученному из
других соображений) интегральному представлению В. П. Ильина
[6] функции через ее разности. Отметим, что при построении (1)
средней (функции фЛ (х) участвуют лишь значения функции
Ф(х4-_У) для точек у из части окрестности точки у = 0, лежащей
в первом координатном угле. Этим обеспечивается возможность
создания соответствующей «локальной» теории.

Докажем неравенство (3). Можно считать, очевидно, чтоа = 0.
С помощью неравенства Гёльдера для трех функций

Ч — Р	Р_

|х|1-8, |ф(х+^) « , I X I8 |ф (х +.У) |« (е>0)

с показателями %х = - р к, = -^~ Х3 — а имеем*)
р — 1’	д-р л

отсюда

1

! п	р 1— —

ИфМя)

\ I = 1	/	п/

6.10.3.	Полезно иметь в виду следующую лемму.

Лемма. Пусть на Яп = ЯтхНп-т, (х=*(а, IV), и^Нт,
IV е Яп-т) заданы две функции / е Ьр (/?„) (1 р оо) и и

*) Для показателей Хх, Х2, выполнены соотношения 1 со,
Ху1 +	4"	— Ь
последовательность непрерывных на функций (Л=1, 2, ...),
так что выполняются свойства:

1)	УкЧкр(Кп}^ (^^);

2)	||/*(и, «>)-/*(«. лиЦс^^О (к^ео)
равномерно относительно ляз (| ляз | <а);

3)	ли)-[„(а, о»')кр(лт)-*0

(| ляз — ляз' |-»-0, |щ>|, |то'|<а)

равномерно относительно к = 1, 2, ...

Тогда при любом фиксированном ляз (| ляз | <а) есть след
функции [ на соответствующем т-мерном подпространстве
Кт №)

Доказательство. Из свойств I), 2) следует в силу леммы
1.3.9, что / и /* эквивалентны на 7?л: / = /* почти всюду на /?п.
Далее, для указанных ляз, ляз'

У* (и, ла)-^(а, ^')\\ср{пт}^ V* (и, ®)-/*(и, а’)кр(ят) +
+ ||/* (и, о»)-/*(«, а>')5ьр(Лт) + |1/*(я, о>')-/* (я, и,')!кр(Лт)<

<е + е + е = 3е (к>к0, | ляз — ляз' | <б)

при достаточно малом 6 и большом к0. Это возможно в силу
свойств 1), 2), 3).

Чтобы было ясно, какое может иметь значение приведенная
лемма, вернемся к теореме вложения разных измерений, для
простоты ограничившись изотропным случаем. С помощью этой
леммы легко заключить, что достаточно доказать теорему о сле-
дах только для непрерывных или даже бесконечно дифференци-
руемых функций соответствующего класса, как она автомати-
чески будет верна для всех функций этого класса. Поясним эту
мысль.

Пусть В = Вр6(Вл), В'=В?6(Вт(^)) (р = г-^?>о,
1<т < и ЯЛ с В — множество непрерывных функций, плот-
ное в В (в метрике В) *). Пусть далее доказаны неравенства

(1)

Ц/(и, №)-/(«, а>,)||ьр(ят.)^||/1!в А(|те'-а>'|),	(2)

(Х(8)-*0, б-»0),

где с не зависит от ляз и указанных /, так же как функция А (б)

•) В этом рассуждении можно В заменить на И7р (/?„) (/ = 1, 2, ...).
не зависит от / и ад и чл)'. Тогда эти неравенства с той же
константой с и функцией А, (б) имеют место для всех / е В.
В самом деле, пусть е 301 (к=1, 2, ...) и |1 Л — /||в->0 при
й->оо. Тогда

НЫв'^цлц,	(3>

\\[к(и, чл))-^(а, ад') 11ьр(«т)<^(|ад-ад'|),	(4)

где константа К не зависит от к. Из (3) еще следует, что

||Л-Лк<с||Л-АЬ>

откуда вследствие полноты В' при любом чл) существует функ-
ция Л (х) =[* (и, ч/и) такая, что

Ш -п (Ят) IIЛ -Пк =с с|| Л - Л Ив->0, (к -><х>),

И*(«. ^)-/*(«>

И*к^с||Лв.	(5>

Таким образом, для /, Л, Л выполняются условия 1) —3) леммы,
и, следовательно, Л ПРИ любом чл) есть след / на 7?т (ад). Этим
доказаны неравенства (1), (2) для произвольной функции /еВ
(надо учесть, что константа К. в (4) при достаточно больших к,
I может быть взята как угодно мало отличающейся от ||Л|в)-

Подобное рассуждение можно провести в случае обратной
теоремы вложения. Пусть 30?' с В’ — множество непрерывных
функций, плотное в В', и пусть каждой определенной на Кт =
= Ет (0) непрерывной функции ф е 3?Г приведена в соответствие
непрерывная функция А<р = [(х) В, определенная на 7?„, такая,
что след / на Вт есть ф, и выполняется неравенство *)

||Л|в<с||ф||в-,	(6)

где с не зависит от ф е ЭК'. Зададим произвольную функцию
(рей', и пусть фА <= ЗОВ, || ф — фА ||щ -> 0 (к^>-со), Лф* = Л, тогда

||Л-А11в=Сс||ф*-фгЬ'-’-0	(к,

и существует / е В (В полно), так что ]|/ —/* [|в —0• Очевидно,,
что для функций ф, / выполняется неравенство (6) (с той же
константой с).

Отметим, что при конечном 6 множество ЭЭТ целых функций
[&Ьр(Яп) (1^р^оо) экспоненциальных сферических типов
(всех) плотно в любом В = Вре(АЛ) (в метрике В). В самом деле

*) Снова здесь В можно заменить на №р(Вп) (/=1, 2, ...). Соответствую-
щая теорема о продолжении с Нт на доказана в 9.5.2.
оно плотно в любом В = Врб(#я) (1 =Сб<со), потому что если
/ <= В, то (см. 6.2 (6))

оо	/со	\ 1 /9

Шв=(2Хете

О	4 О	/

и

/ ОО	\ 1/0

-*0 (А=-+оо),

4 + 1

где

А
/А = 50,^2».
о

При 1^р<со ЭЛ также плотно в №1р(Яп) (1 = 0, 1,2, ...),
что следует из оценок 5.2.2 (4).

Конечно, из сказанного следует, что множество всех беско-
нечно дифференцируемых функций класса Вгрь(К.^ (1 ^0<оо)
или (7?п) плотно в соответствующем классе, потому что оно
содержит в себе множество функций экспоненциальных типов,
принадлежащих к ЬР (7?п).
ГЛАВА 7

ТРАНЗИТИВНОСТЬ И НЕУЛУЧШАЕМОСТЬ
ТЕОРЕМ ВЛОЖЕНИЯ. КОМПАКТНОСТЬ

7.1.	Транзитивные свойства теорем вложения*)

Зададим системы чисел

г = (г!...гл)>0,	р = (р1г ... , р„) (1=^р,^оо)	(1>

и числа р', р", удовлетворяющие неравенствам

рг^р'<р"^оо.	(2>

Если выполняются условия
/ ЛХ	/ПХ

Р‘=^-’	<3>

п _!__к

и=1-2^г-^>0,	(4>

/=1 Г1
п 1_1
х<= 1 — Р1 Т1Р1 >0 (г = 1,...,п),	(5)

/=1

то имеет место теорема вложения (6.8)

В’Ге (/?„),

осуществляющая переход от системы чисел (1) к системе чисел
Р' = (Р1, ..., Рп), р'.

Надо иметь в виду, что	и потому неравенство (5)

есть следствие неравенства (4).

) С. М. Никольский [3], [10].
Но теперь можно класс Вр^ (7?я) считать исходным и при
наличии неравенства

п

\Р' Р

заключить, что имеет место дальнейшее вложение классов

В^(Яп)^В^(Яп),
где

р’=(Р1’,, р;)=х'р'.

Таким образом, мы преобразовали систему (г, р) в систему
(р', р'), которую в свою очередь преобразовали в систему
(р", р"). Надо иметь в виду, что р' определяется через г, р и
р', а р" —через р', р' и р”. Замечательно, что эти преобразова-
ния носят транзитивный характер: переход от первой системы
ко второй, а затем от второй к третьей может быть заменен
одним переходом от первой системы к третьей.

В самом деле,

р* = ^-

где предположено, что

х, х', хА>0 (А = 1,..., п).	(6)

С другой стороны, пусть рк^р"	п), и пусть имеют

место неравенства

хА>0 (/?=1........п),	(7)

где

п ±_1

х"=1- V Л—

/=1 Г1

Тогда имеет место вложение

т. е. переход от (г, р) непосредственно к (р", р"), где

Р* = {Р*Ь ...» Р*п}

И
р:*=~ (*=1..........................«)•

'Чг

Но легко подсчитать, что

х’ ж= хх',

(8)
поэтому

р*=р"-

Кроме того, в силу неравенства р' < р", очевидно, х' > х’,
т. е. х' > 0. Но тогда вследствие (8) х > 0, и транзитивность
доказана.

Транзитивность теорем вложения разных измерений

Яре (Яп) ->• ВрЭ (/?«,) ->• Яр0 (/?т2)

(1 ^т2<т1<и),

где

Г( = Г/х' (1 = 1,..., т^,
п

И'=1_1 У ±>0,

Р

ЭТ1 + 1

г1 —	(1=1, ..., т^,'

следует из легко проверяемого равенства

х _ 1___к

р

= х'х".

т2+ 1

7.2.	Неравенства с параметром 8.
Мультипликативные неравенства

Зададим функцию / (х) е Нр (/?л) = РГр и положительный
вектор 8 = (81, . .. , 8П). Положим Р (X) = / (8!%!, . .. , 8ПХ„) = /е (X).
Очевидно (Й;> Г; — Р; > 0),

I	Е?II ДХ.л/х?0 (8Л’ •  • ’ &пХп) 1| 8//е Р | Д* е.Ду) (*) |

(^~р/	(еХ7~Ру

(8“ = е?...е“).

Беря верхнюю грань от обеих частей неравенства по Н, получим
11М*)11г. =^-1р\тг ,	(1)

каково бы ни было 8>0.

9 С. М, Никольский
Рассмотрим еще полунорму ^р = ^ре(^л), 1=^6^оо:
/оо	.	\ 1/е

1/1	-	.	(2)

лур \0	)

В нее тоже можно внести функцию /е и произвести замену
переменных в интеграле под знаком й. В результате получим
равенство, аналогичное (1):
___________________________________1

11Мх)Ь/ =е/'е ”11% •	(3)

л У	О >

Х/Р	х.р

Ойо, таким образом, верно для любых 6 (1	^оо).

Очевидно, далее, что

||Д!|р = е р И||р,	(4)

поэтому

Ш\вг = г'Цш\р + % «11/Д	<5>

р I /=1

Для функций /, принадлежащих к изотропным классам,
полагая /Е (х) = / (ех), где теперь е — положительный скаляр, и
рассуждая, как выше, получим
п	п.

р\\[\\р, ||/(8Х)|1лГ=еГ ртлГ, (6)
р	р

\\!^Х)\\ьг=&г-Пр\т\ьг.
р	р

Приведем примеры применения формул (3) — (6).

С вложением Вр^-Вр (0<р<;г) связано неравенство
11Лвр^(||Лр + Шь<).	(7)

р	р

из которого в силу (6) следует неравенство

\т\вР^о^и\\р+^-ри\\ьг)	г)

р	р

с произвольным параметром е.

Наоборот, из (7') при е=1 следует (7). В приложениях
неравенством (7') пользуются, когда хотят, чтобы определенный
один из членов его правой йасти был достаточно малым. Мини-
мизируя правую часть (7') по е, получим неравенство
которое называют мультипликативным, неравенством. Из (7"),
очевидно, обратно, следует (7').

Рассмотрим еще связанные с вложениями разных измерений
и метрик неравенства

11/11^	))	(8)

Р (кт)	Р I п> Р '

1	т < п, р = г------> 0 ,

\	Р 1

II	Ц' («л с (И 11^ («„)И*; («„Л	(9)

(Ю)

(Н)

входит

где Ят — подпространство точек (хь хт, хт+1, ..., хп) с произ-
вольным фиксированным у = (хт+1, .... х„) и с не зависит от }
и <р. Если в этих неравенствах заменить / на /е, а затем изгнать
из-под норм в при помощи (6), то получим соответственно

*1Ч («»> с ('' 1/ц, («„>+1/Ч(к,))-
иЧ'.<’.)-асГ1'Ч<’.)+|?Ч <’«))

Переходя к пределу при е—>-со, получим неравенства
кр/р ,	С II / II/ ,п

ЬР \кт)	°Р \Нп)

ьг', <п \	V /ь /

ЬР \Кп)	1>Р\Кп)

уточняющие неравенства (8), (9), потому что в них

та же константа с, но они уже не содержат слагаемое
||/||л которое предполагалось конечным. Однако если
||/|| ь (/?л) = оо, то неравенства (10), (11), вообще говоря, невер-
ны. 1ак, при г — р^1 многочлен

Л(х)= У, акхк,
I * I «С /
где 1 = 7, если г —нецелое, и 1 = г-[-\, если г —целое,
обращает правую часть неравенства (10) в нуль, в то время как
его левая часть вообще не равна нулю. При г — р< 1 неравенства
(10) могут выполняться без того, чтобы норма была конечной
(см. замечание к 7.2).

Можно в духе формул (10) —(11) дать уточнение теоремы об
оценке смешанных производных. Например, для 1Г*(1 <р<оо)
имеет место неравенство (см. 9.2.2)
откуда

е2

и после перехода к пределу при е->оо получим неравенство

II д2и.

|! дхгдх2

<&1+т.

справедливое при условии, что ||«||<оо.

Подобные уточнения не всегда имеют место. Например,
в неравенстве (7) первый член его правой части опустить нельзя,
это видно из эквивалентного ему неравенства (7'). Если бы
в последнем первый член отсутствовал, то после перехода к пре-
делу при е—>-0 мы получили бы, что левая часть равна 0, что
возможно, лишь когда / — многочлен.

Рассмотрим еще пример, относящийся к анизотропному слу-
чаю.

В неравенстве разных измерений

|ЛЬ«.>
х .р \ т/

п

1	1 "V 1 -

х= 1--7 —;

(12)

о, Р/ = ХГ/ (/=1, ... , т),	(13)

первое слагаемое в правой части лишнее. В самом деле, беря
для удобства ] = 1 и подставляя /е в (12), на основании (3)
получим

ер» (ё! ... ея)-1/р ||/1| Р1

ЬХ1Р

( п )

4	/=**	хр \ П/'

Сокращаем на (ех... ет)-Рр, переходим к пределу при еу->0,
Рх

только для / = 2, ..., т, и полагаем еу = ер, / = т-|-1, ..., п.
Тогда

1Л4»,«	2 Ил,,,.

М%1) I	п> / = т + 1

Переход к пределу при ех->-оо приводит к неравенству (12),
но уже без первого слагаемого в правой части при /=1.
Но то же можно сделать при любом /=1,..., т. Суммируя
по /, получим (если ||Дь <оо) неравенство

ИЛьо,„	Г

ЬР (Ят)	Ьр Гл)

уточняющее соответствующую теорему вложения разных изме-
рений.

7.3.	Крайние функции в Нр-
Неулучшаемость теорем вложения

Будем писать 8 = (е1,	8„)>0, если для всех е,^-0 и

хотя бы одна из компонент 8/>0. Функцию / будем называть
крайней функцией в классе Нгр, если она принадлежит к Нгр
и не принадлежит к Нр+г, каков бы ни был вектор 8>0.

Мы будем рассматривать класс Нгр(Нп), г = (г1, гп)>Ц,
Р = (.Р1, Рл)> 1^ру^оо, /=1, п. Как всегда, если
р = Р! =. .. = рп, то вместо вектора р будем говорить о числе р
и вместо Нр писать Нр. На вектор р наложим условие

Х/ = х.(р) = 1_	(^--^>0	(/=1, ... , п).	(1)

В частности,
Х/(Р) = 1	(/=1....«),

и в случае классов Нр (/?„) условие (I) автоматически выполняется.
Отметим, что

Положим

/ . I V

( *

\ 2 /

(2)

и

(3)

(а>1, ху = ху(р)).
В частности,

Покажем, что фр, г (а, х) е Нр (7?л). В самом деле, пусть
есть 5-й член ряда (3). Так как Р — целая функция типа 1 от

Л

одной переменной, то —целая функция типа У/(з) = а г! по
и при этом

11<2ЛР («„)-«"*' (8 = 0,1,...),	(5)

потому что

Следовательно *),
{» — У'

^(5р||$А (Я ) = \Ц ГЧ ||ФЛр(Ял)~1	(8 = 0, 1,...).	(7)

Таким образом, левая часть (7) ограничена для у, (5), пробе-
гающих возрастающую прогрессию. Это показывает (см. 5.5.3 (6)),
что 1|>е Нх‘.Р. (Ял) для любого 1 = 1, т. е. ф е Нр (7?л).

Но ниже (см. 7.4) будет доказано, что во всяком случае при
достаточно большом а>1 функция фр,г не только принадлежит
к Нр (7?л), но и является крайней в этом классе, а пока мы
сделаем некоторые вытекающие отсюда выводы.

Зададим число р'^р/ (/=1, ..., п), которое, в частности,
может равняться оо, такое, что

(тогда автоматически Иу>0, /=1, .... л), и определим, как
в теореме вложения разных ^метрик числа

Р/ = ~	(/=1......

и/

*) По определению а3 ~ Ь3 (5 е е), если существуют положительные не
зависящие от 5 е е константы с1, са такие, что сга4 < Ь3 с%а3 (з е е).
Если положить

5 —
Ь = ах, а г/= Ь8/р/	Ц=1,...,п),	(8)

то получим

ОО П р {ь ' р/ х)

гр (X) = грр-, о (Ь, X) = У	.	(9)

“.‘Ни

В самом деле,

I Р Р1 I	Р’ Г1

\ Р1 Р / Г1 р' П	Р1Г1

Равенства (3) и (9) указывают на тот факт, что гр являются
одновременно функциями грр>г(Ц> X) и грр/,е (Ь, х), где Ь и а
связаны равенством (8). Но если а достаточно велико, то
грр, г е Нгр (7?л) и г|у>е е/7®, (/?„), что согласуется с теоремой
вложения. Но грР',0 крайняя функция в классе Н^>(НП). Она не
принадлежит ни к какому классу //^'+е(/?я), где 8>0. Это
доказывает, что вложение Нр (Цп) -> Нр + е (Кп) (е>0) неверно.
Но тогда неверно также вложение Врв (7?л) ->В°-+е (7?л), потому
что, если допустить, что оно верно, то имели бы

г+1е

НР 2 (7?я)(/?„)-> В°^Е(/?Л)^/7®+е(/?л),

что, как мы доказали, невозможно. Будем исходить теперь из
функции грр г(п, х) (см. (3)), и пусть

(1	< п).

(Ю)

Будем считать, что вектор р = (Р1, ..., рт), теперь уже /«-мер-
ный, определяется, как в теореме вложения разных измерений
равенствами

Р/= //»«	(/=1.......т),

и пусть х = («, у), а = (х1, .... хт), у = (хт+1, .... хп), гр(х) =
= гр(и, у). Обозначим через /?т координатное подпространство
точек (и, 0). След гр на Нт есть функция (р (0) = 1)

(Ь = ак),

потому что

(т	ч	т	п

Р Рг	Р Г1	р Хи Г1

1	/	1	1

Из (11)	мы	видим,	что	след	грр, г	(х)	на	Дт	есть	грр. 0(и).	При

этом	грр>	г (х) е Нгр	(Дл),	грр,	0 (и)	е/7Р (/?т),	что	сообразуется

с теоремой вложения разных измерений. Но гр® —крайняя функ-
ция в Нр(Нт) и не принадлежит к Нвр+е(#т) (е>0), поэтому
вложение Нр (Дп)-+Н®+е (Дт) неверно. Рассуждая, как выше,
мы приходим к выводу, что неверно также вложение Вр0 (/?„)-►
-> В0Ро~е(Ят). Этим доказано, что теорема вложения разных
метрик в указанном смысле неулучшаема. Однако улучшение
возможно в терминах более общих классов. Например, А. С. Джа-
фаров [1] получил уточнения теорем вложений для классов Нр,
рассматривая более общие классы Нгр * (Нгр 0 = Нгр) функций /,

которые, например, при п = 1, г<1 определяются так: [^Нр'8,
если / ^Ьр и

||/(х + И)(х) ||Лр М ) И |фп

Мы видели, что заключение о невозможности указанного
вложения свелось к доказательству невозможности сопутствую-
щего ему неравенства. Однако осталось неясным, существует ли
в классе Вр0(Дя) функция, не принадлежащая к Вр^"е(7?т).
В 7.6 будет показано, что такая функция существует.

7.4.	Еще о крайних функциях в Нгр

Переходим к доказательству того, что гр = гррг (а, х) (7.3 (3))
при достаточно большом а есть крайняя функция в Нгр (Дя).

Отметим, что функция р (Г) обладает следующими свойствами:
для каждого натурального I можно указать такие, зависящие
от I числа с, 6, что
1)	производная Р{1} (/) сохраняет знак на (0, 3);

2)	на (0, 6) выполняется неравенство

(1)

Первое свойство вытекает из аналитичности Г. Второе из
того, что

/7(О = ао + «2^2 + «4^+ • ••,

где ац =7^=0 для любых 1 = 0, 1, ...
Положим

п

У—

Ы РРЧ

(2)

и заметим, что

Р1 Г/	Р{ Г1 \	^\Р1	Р1/ Г1)	'	' '

/ = 1	/	I

Зададим последовательность

Л = = г‘ (Н = °. 1> •••)-	(4)

где 6 —число, о котором сказано выше, подобранное для 1 =
= /1 + 2 (Г1 = Г1 + а, Г1 — целое, 0<а^1).

Наша функция записывается в виде
оэ	п I

Ф = 2&’ & = р! р\а Г1 х}
о	/ = 1

Нашей целью является оценка снизу нормы	(х) в мет-

рике Ь (^п)> где Ф*?) обозначает производную от ф по хг
порядка Г1.

Имеем

Ах1Лф(х?’ = 2	=5(/1)+о(/1),	(5)

5 Ц.	8 > |Л

ККЛ) 4 2!«<„.)= 4
5>|Л	п	5>ц,

Во втором неравенстве мы воспользовались оценкой 7.3 (5),
в последнем же равенстве произведена замена на Н = по
формуле (4). Мы вычислили константу при На не зря —теперь
видно, что она стремится к нулю при а-*оо.

С другой стороны (пояснения ниже),



/ и, \г - и,	г и,	\

У, а 5у \На г*) а$Г1 г‘ М? + 2 г' (х± + 6А)у X

5 <Ц

Во втором соотношении (неравенстве) область интегрирова-
ния 7?я заменена на ее часть (0, Н)хЯп-ъ состоящую из точек х,
где 0	— ооСх/Соо при / = 2, .... п. В таком слу-

5 И1	,

чае при 5^р. в силу (4) а (х!4-6й) а 2й^б н потому
функции Г^*+2)\а г‘ (х1 + ®^)/ сохраняют знак и, так как еще
Р^О, то норма, к которой мы пришли, может только умень-
шиться, если в сумме оставить одно слагаемое, соответствующее
8 = р. Это объясняет переход от третьего члена к четвертому.
Переход от четвертого к пятому члену осуществляется в силу (4)
и неравенства (1) при / = /'14-2; при интегрировании по Рп-1
надо учесть, что

1
Л^р

\Р(Мх) \Р(1х}'/Р

\Р (и) \Р(1и^Р

= с^~ '/р.

Переход от пятого члена к шестому основан на применении (3).
Наконец, в последнем равенстве применяем (4). Существенно
заметить, что константы с, сь с2 в (7) не зависят не только от
ц, но и от а. С другой стороны, как уже было отмечено
константа при /1“ в неравенстве (6) может быть сделана
достаточно большом а как угодно малой. Следовательно, из
(5), (6) и (7) вытекает, что при достаточно большом а выпол-
няется неравенство

||Дх1Л:кр(^)^И8(/1)1р(«я)	(8)

где Н пробегает убывающую к нулю последовательность (4). Но
тогда функция ф не может принадлежать к классу Яр^е(7?л)
(е>0). В самом деле, допустим, что ф е НГр^е (Дп), и пусть
0<т]<тш{е, 1}. Тогда также ф е Нгр\^п (Дл) и при этом
4-г] — г1 = а + т]<2 = ^, поэтому должно выполняться нера-
венство

для всех Н, что противоречит (8). Аналогично доказывается, что

фф (Дл) для любого 1=1, ..., п, если е>0.

Мы доказали, что функция фр>г(а, х) при достаточно боль-
шом а не принадлежит ни к какому классу

Нг + е(Дп), где в > 0.

7.4.1. Для крайней в Нгр(Цп) = Н (г>0) функции ф норма
||ф(х + Л) — ф (лг) не стремится к нулю при Л->0. В самом
деле, пусть Г1>0 и гг = г1 + с< (74 —целое, 0<а<1). В силу
7.4 (8) для действительных К > 0, пробегающих некоторую схо-
дящуюся к нулю последовательность (|Н11р(Ял) = 1Н1р):

ПА чЬ II > сип II 11₽ > I	/п

IIА Л-Хл ф ||я 8ир----------2й до 2г т > 6. (1)

При а=1 пришлось бы оперировать в (1) второй разностью
по к (вместо первой), что приводит к необходимости доказать
неравенство 7.4 (8) для третьей разности (вместо второй). Это
делается аналогично.

7.5.	Неулучшаемость неравенств
для смешанных производных

В 5.6.3 было доказано неравенство

при условии, что	р_хг, « = 1-24‘>()'	И
Оно
(8>0).
цию

перестает быть верным, если в нем заменить р на р-]-в
Это тоже можно доказать, рассматривая крайнюю функ-.

СО

ф=ф₽. г = 2
«= о

(а>1).

Ее производная

со

5=0 ь \ ? 21 р[)

(ак — Ь)

хотя и не является частным случаем рассмотренных нами семейств
крайних функций, но все же является крайней в классе Н°р(Рп),
и это доказывается совершенно аналогично тому, как это дела-
лось в 7.4, где надо считать р = = ... =рп. То обстоятельство,
что теперь под знаком произведения находятся разные функ-
ции не имеет существенного значения.

Это доказывает наше утверждение для //-классов *), но тогда
и для В-классов.

7.6.	Другое доказательство неулучшаемости теорем вложения

Рассмотрим вопрос, относящийся к общей теории функцио-
нальных пространств. Пусть Е± и В2 — банаховы пространства,
которые как линейные множества принадлежат к одному и тому
же линейному множеству Е.

Теорема 1**). Если линейный ограниченный оператор А
взаимно однозначно отображает Е± на Е2, то обратный к нему
оператор Д-1, очевидно, линейный и отображающий Е2 на Е1г
в свою очередь ограничен.

Пусть банаховы пространства Е1 и Е2 имеют непустое пере-
сечение Е±Е2. Элементам х^Е1Е2 мы припишем норму

|| х||ЕхЕа = 11*к + 11хк-	(!)

Тогда Е±Е2 есть нормированное пространство.

Теорема 2. Если Е±Е2 — полное пространство, т. е. бана-
хово, и если не существует константы с > 0 такой, что
||хк<с[№

*) С. М. Никольский [2], случай р = оо.

**) См. Хаусдорф [1], Добавление.
для всех х^Е1Е2, то в Ег существует элемент, не принадлежа-
щий к Е2.

Доказательство. В самом деле, допустим, что это не так,
т. е. Егс:Е2. Каждый элемент х банахова пространства Е±Е2
можно считать отображенным (одно-однозначно) в х же, но
принадлежащий к Е±. Эта операция линейна и ограничена:

II X =С|| Х||Е1 + || X ||е2 = || X ,

и отображает Е1Е2 на Ег. Но тогда на основании теоремы 1
должна существовать постоянная с такая, что

|| X ||Е1 + II х ||Еа ==: 4| х ()Е1
или

Их ||е2<4)х к. Х^Е1Ег,

и мы пришли в противоречие с условием теоремы.

Применение теоремы 2 требует проверки полноты ЕгЕ2.

Если Е1 = ВГР (/?„), Д2 = В®ДТ?Л) (здесь Вр=Врв), то полнота ЕХЕ2
имеет место, потому что в этом случае из того, что ||Д — Л||е,е2 ->0,
к, 1^-со, в силу полноты Ех и Ё2 следует существование [ Ег
и Е(=Е2 так, что ||/-Д ||Ех->0, ||Е — Дк^° (&->-оо), но
тогда и

( = !....»).

Отсюда (см. 1.3.9) } = Е почти всюду, и мы доказали существо-
вание [(^Е1Е2 так, что

Пусть Г = (Г1, ..., г„)>0, Р = (Р1, .... рп), 1^Р/^ео, и, =
= и, (г, р) >0 (см. 7-3 (1) )•

Введем функцию Е (I) от одной переменной, финитную и
бесконечно дифференцируемую.

Ее нормы в метрике вр^) (0<р=с/) положительны, иначе
она была бы нулем.

п \

см. 7.4(2), 7 =

п ! \

Ф.у = Фаг, м (х)	Е\^1х]) ,	(2)

/=1

зависящих от параметра ^>0.

Построим семейство функций
На основании формул 7.2 (1) и (6)

1 П

ИФ^а^-АГ 4=1' =лгх/ (ЛГ>0),	(3)

г1*1

ЦФ^р.г'Ь,.	^_Хг = ^°=1	(1=1....п)

Зафиксируем внимание на определенном I и зададим числа р*
Рь г* 2= Гь где хотя бы одно из этих неравенств строгое.

Вычислим для сравнения нормы

цф„,а4.~* 1 7 =

—1^иг+®

||Фл?,р,г|| г*	/

ЬхР*

Так как хг>0, то в силу соглашения о р* и г* получим
|| Фаг, а г || г* ->оо (Л'^оо).	(4)

Ч-р.

Итак, каждой паре векторов р, г, удовлетворяющих ука-
занным выше условиям, мы привели в соответствие семейство
функций Ф (Ы, р, г), нормы которых

\\Ф(Ы,р,г)\\вГ	^с<^	(ЛГ>0)

р \ п)

ограничены, и в тоже время для любого I выполняется свойство
(4), если только г*з=г,-, р*^р1 и одно из этих неравенств
строгое.

Семейство Ф (Л\ р, г) мы будем называть граничным семейст-
вом функций в классе В'р (7?п).

Покажем, что (доказанное в 6.9) вложение
в;е

при условиях 1 «Ср,«С р'оо, х>0 (следовательно, и Ху>0,
см. 7.1 (4),(5)),

г .V

р/=4т’ (/=1..........п)
перестает быть верным, если в нем увеличить хотя бы одну
из компонент р; или число р' или сделать и то и другое. В са-
мом деле, если считать = то (пояснения ниже)

п / «/ \

Фм, р, г = ~цу | | В\М =

/ = 1

п.

=	=	(^ = ^).	(6)

1 7 = 1	''

Здесь

т1=1-у-2тг = т(р’ р,)’

1

потому что

далее

мр.

Это доказывает равенства (6).

Таким образом, семейство функций Фл- является одновременно
граничным в классах Вгр и В°< и нормы Фдг в метриках этих
классов равномерно ограничены по №. Однако нормы Ф^ в мет-
рике не ограничены. Но тогда не существует константы с,
не зависящей от Д7 и такой, чтобы

11^0-Ье ^с||Фх||вг,
р' + ч	Р

и мы доказали наше утверждение.

В силу теоремы 2 в таком случае следует, что для любых
8^&0, т]^0, где одно из неравенств строгое, в классе Вгр (/?„)
существует функция, не принадлежащая к В®-^ (/?„). В частно-
сти, в классе Вр(/?„) существует функция, не принадлежащая
к В;^ (/?„).

Вложение (доказанное в 6.5)

в;(т?л)^в» (ад,

р/ = хгу, /=1,

т,

(7)

х = 1

п

7-	у —.

Р г1 ’

т +1
перестает быть верным, если в нем заменить р, р на р*2=р,
р* р, где одно из неравенств строгое.

В самом деле, существует функция <р е В° (Дст), но не при-
надлежащая к На основании теоремы о продолжении ср
можно продолжить с Ргп на /?л так, что продолженная функ-
ция /еВр(/?„). Так как ==ср, то / есть пример функции
[^Вр(Рп), след которой на /?т не принадлежит к Вр!^(/?т).

Из сказанного попутно следует, что теорема о продолжении

тоже не может быть улучшена в терминах рассматриваемых
классов. Однако это не значит, что эта теорема не может быть
улучшена в других терминах. Например, в гл. 9 будет доказано,
что при той же связи между г и р, п и т имеют место взаимно
обратные вложения

где класс Ьгр при р Ф 2 не эквивалентен Вр (Дл).

Зададим еще семейство (граничное в Вр(/?л))

п.

Ф.у = Фу, р.^жТР^'^
/ = 1

В данном случае
п.	*

т = 1-72тг>0’	'') = 1

(/ = 1, ..., н).

Допустим еще, что Р (I), кроме того, что она финитна и беско-
нечно дифференцируема, имеет тейлорово разложение

В (0 = 1 +	.. -ф -ф /?/+1

с неравными нулю коэффициентами, стоящими на нечетных местах
или четных. Тогда, как легко видеть, можно указать положи-
тельное число б и константу В так, что

|Л*’(/)|=эВ/ (й = 0, 1, ..., I, |/|<б).

Пусть Рт есть подпространство точек (хь ..., хт, 0, ..., 0) =
= (и, 0), и = (хъ хт). Тогда

т { 1 \

ФлД«, 0)=^П^1'^=Ф^₽.О	=

1 1 = 1
где

т
ъ=ъ(р, р)=1-|2-^
1

(учесть, что Т = ху1).

Пусть й>0 и г = т+1, п. Рассмотрим приращение

(и, 0)

Д	(0)] -

1 /=1

= Фа„ р>в(«)[р(^)-Р(0)1.,

Функция Р не равна нулю тождественно, поэтому найдется
такое 6>0, что | Р (6) — Р (0) | = К Д> 0. Будем рассматривать
।

значения К, Л\, связанные равенством 6 = Л(Р'Л. В силу первой,
оценки (3) имеем (в нашем случае х/ = 1)

II °) 1кр («т) = || Р. О К («т)^ >	। Н >Р/ •

Эта оценка снизу показывает, что выведенное ранее первое нера-
венство 6.5 (13) (р/ = г(-) достигается и притом не только для
класса Нр(Нп}, но и для Вре(Н)-

7.7.	Теоремы о компактности

Теорема. Пусть задана последовательность функций {/>}„
обладающая одним из следующих свойств:

а)	1ЛЦ(О

(г — целый вектор)

б)	1М„;в («„)= «

(1 ^р, б^ОО).

Тогда можно выделить подпоследовательность и такую функ-.
цию удовлетворяющую*} соответственно условиям (1), (Г), что,

*) Функция / удовлетворяет (1) или (1') с той же константой Л/, если
понимать норму в одном и том же смысле; в случае б) ниже доказательство,
проведено для варианта нормы 4||'||в, р = Р (см. 5.6).
каковы бы ни были числа г), 0<г'/ <.г} (]’ = 1, ...» и), имеет
место

1^-%^° ('«-“)	<2>

для любой ограниченной области § сд /?п.

Доказательство этой теоремы будет базироваться на следую-
щей лемме из функционального анализа.

Лемма. Пусть одно и то же линейное множество элементов х
нормировано двумя нормами || • || и || -||*, причем получающиеся нор-
мированные пространства Е и Е* являются полными и ЦхВ*^
^с||х||, где константа с не зависит от х.

Пусть в Е задано ограниченное множество Р и последова-
тельность операторов АП{х) (п=1, 2, ...), отображающих Е
в Е*, определяемых равенствами

Ап (х) = х Vп (•*)

и удовлетворяющих условиям:

1)	операторы у = Пп{х) (х^Е, у^Е*) вполне непрерывны
{линейность 11п не требуется)-,

2)	зир || Ап {х) || = п» 0	(п->оо).

ХЕ Г

Тогда множество Р компактно в Е*.

Доказательство. Зададим произвольную последователь-
ность элементов хь х2, ..., принадлежащих к Р. Она ограни-
чена и вследствие свойства 1) из нее можно выбрать подпосле-
довательность х/’, Ха1’, ..., для которой П1{Хк’) (&=1, 2, ...)
сходится в В*. Из этой последовательности можно выбрать
в свою очередь подпоследовательность х!8’, х2', ..., для которой
И2 {х'к’) (й = 1, 2, ...) сходится в Д*. Продолжив этот процесс
неограниченно и взяв диагональную последовательность г1 = х^1’,
г2 = Х.22’, мы получим, что Пп{^к) сходится в Е* при й—>оо
и любом п. Зададим теперь е>0. В силу условия 2) при неко-
тором п = И выполняется неравенство

|| Аы{х) ||* <с|| Аы (х) || <е

для всех х Е Р. Если р, д превышают достаточно большое
число, то

II Яр Яд II* II (Яр) ||* Д-1| Ндд (2р) П/д (2д) ||* 1| Ддг (2?) ||* <С Зе,
и компактность р в Д* доказана.

Доказательство теоремы. Пусть К = М-\-Н. Рас-
смотрим сначала случай б) при 0 = оо, т. е. случай класса Нр =
= Нгр (/?„).

Пусть ЭЛ есть множество всех функций для которых
выполняется неравенство (1') (при 0 = оо). Для каждой из них
имеет место разложение (5.5.3 (6), (7))
СО

5=0

где

...аыгп (а>1)

— целые функции экспоненциального типа а5,г! соответственно
ПО X]	. п) и

зир Ь = |И|| г^сК.
5	Р

Зададим число у, удовлетворяющее неравенствам 0 < у < 1 и
положим

Тт(П = Тт=	аУ = Ь.

Тогда (|НР = 1Нкр(Ял))

II / — Тт|| 1>г= 8Нр Ь3 II ф 5	8	=

Р | .............Р

— вир аУ3 || О, []р < <1~7)т зир а31| 0^ Цр 'С (1_у) т .	(3)

Кроме того,

ИЛ//№^ СИЛ1нг'^=с^
р	р

(см. 6.2 (3)).

Функции / из пространства

мы будем рассматривать также как элементы пространства
Е* = НрГ(ё) (е^Яп),
причем, очевидно,

Имеем

;=тт(/)+(/-тт(/)),

где для / е ЭИ

и-Тт(П\\Е^-^^^0

Далее

1ш«ми «тн-гДл?-

р
Поэтому образ любой сферы Е при преобразовании Тт есть
•ограниченное в смысле Ьр = Ьр (7?„) множество функций Тт (/)
экспоненциального типа ат,г) по X/. В таком случае это множе-
ство компактно на любом ограниченном множестве^ с /?„ в смысле
метрики с1 (§) (см. 3.3.6*)), при любом натуральном I, следова-
тельно, оно компактно также в смысле Е* = НрГ(%). Мы дока-
зали, что Тт(/) есть вполне непрерывный оператор (вообще
нелинейный).

Вследствие доказанной выше леммы ЭЛ есть компактное
в Н'рГ (&) множество. Так как это рассуждение годится для
любого у с 0 < у < 1, то ЭЛ компактно в смысле при любом
указанном у. Выберем определенную последовательность чисел {у*},
монотонно стремящуюся к 1, и зададим произвольную последо-
вательность функций {/4 из /“'(сЭЛ). В силу доказанного и
полноты Н^г (см. 4.7) из нее можно выделить подпоследователь-
ность СХ°ДЯЩУЮСЯ в метрике Нр'г к некоторой функции

/ е Нр'г. Из полученной подпоследовательности можно в свою
очередь выделить подпоследовательность сходящуюся в мет-
рике Н'рг к функции / е ЕЕ1ргГ, очевидно, к той же. Продолжив
этот процесс неограниченно и взяв диагональную последователь-
ность, которую мы обозначим через {ЛА}, получим, что
в смысле метрики Н^г, каково бы ни было 5, но тогда (6.2 (3))
и в-смысле метрики Нр , где г/<г/ (/=1, •••, п)-

Мы доказали (2) в случае б) при 0 = оо, к этому случаю
сводятся остальные случаи а) и б) при 1 «С 3 < оо, потому что
1Гр, Врв-^Нр. Но нам еще осталось доказать более тонкий
факт, что предельная функция / принадлежит соответственно
к 1Гр, Вре и выполняются соответственно неравенства

тшг,тьг^х.
р ръ

Неравенство	следует из (1), (Г), (2). '

Как всегда, будем считать, что гу = г/ -|-а/, где /у —целое и

О < а,- === 1. Пусть /И

обозначает частную производную от

Г

порядка /у по X] (г/ < г] < г/).

*) Из ограниченности (в смысле Ьр) функций Тт(^) (к = \, 2, ...) следует
ограниченность их производных любого заданного порядка. Применение 3.3.6
не только к функциям, но и к их производным до порядка I включительно и
диагональный процесс приводят к компактности не только в смысле с (§), но
и в смысле
Тогда (6.2(3))
н-.-а.	«с|а4-ля; ^<>	(-о

В случае б) функции // подчиняются неравенству (Г), поэтому
/со	н	ца \ 1/0

Н |ц|-1- /|Ч“%/(*)1/м =т^	(5)

|м|а/ (9=м’
где

(/ = 1, ... , п; к — 1, 2, ...).
/=1

Переходя в (5) к пределу при к -> оо, на основании (4) получим

/п7 = ^ 5 I и |_1_0“/ |Лх/и/\'(х)	<11тт}4)

(1 -<0 <оо),
(Х)|| ^Иттр)|м|“/ (9 = оо),

поэтому (/ е Ьр) ) е Вгре,
ИЛ,. =2«,«м
/=1
В случае а) функции подчиняются неравенствам

да
где

Переходя к пределу в (6) при к-+оо, получим

и так как еще / е Ьр,

то (см. 4.8) / е №р и

₽ 1=1
Примечание. В доказанной теореме Вре можно заме-
нить соответственно на Врв, и тогда в (2) надо заменить г'
на г', 0 <г'<; г. Случай \ФГО и подобные случаи, которые могут
быть доказаны по аналогии, находят применение в теории вариа-
ционных методов. Для применений очень существенно то, что
неравенство типа (1) влечет за собой то же неравенство для
предельной функции с той же константой. В этой теореме можно
также рассмотренные классы заменить на соответствующие периоди-
ческие классы.

7.7.1.	Теорема. Для того чтобы множество ЯЛ функций
I Ьр = Ьр (§), где — произвольная область, было компакт-
ным в Вр(ё), необходимо и достаточно, чтобы оно было: 1) огра-
ничено в Ьр, 2) равностепенно непрерывно по сдвигу в Вр:

Л (6) = зир со (6, /)р->0 (6->0, 1-<р<оо),
/еда

со (6, 0р= зир / (аг + Л) — / (лт) |[р (/ = 0 на
|Л|<6

3)	чтобы функции } е ЭЛ равномерно убывали по норме в Ьр
на бесконечности

зиР ||/1кп(|х|>м, хе8)->0 (Л?->оо).
/еда р

Эта теорема доказана в книге С. Л. Соболева [4], гл. 1,
§ 4.3. Для ограниченной области § свойство 3), очевидно, отпа-
дает. При р = оо теорема вообще перестает быть верной. В этом
случае норма сдвига отдельной функции вообще не стремится
к нулю при й—>0.

7.7.2.	Теорема. Для того чтобы ограниченное в Ьр = ЬР(ДП)
множество ЭЛ функций } е IV7 =	(/?„) (1 -С р < оо, 7^0) было

компактным в V7, необходимо и достаточно, чтобы ЗЛ было
равностепенно непрерывно по сдвигу.

Л(б)=зир зир +	(б->0)	(1)

/еда!л,<б

и чтобы функции I е ЗЛ равномерно убывали по норме на беско-
нечности:

зир И1к(|х|>м)^0	(#->-оо).	(2)

/еда Р

В приведенной формулировке № можно заменить на В = ВГрв (Дп)
(1^Ср, 9<оо, г^йО).

Доказательство. Будет рассматриваться пространство Ц7,
но всюду можно заменить IV7 на В. Пусть ЗЛ компактно в №7.
Тогда оно компактно и в Ьр, поэтому (см. 7.7.1) выполняется
свойство (2). Согласно общему критерию компактности (Хаус-
дорф [1]) для заданного е>0 можно указать конечную систему
функций /7 (/=1, М) так, что для любой функции
найдется / (зависящее от /), для которого

!1/—//е-

Можно также указать б и .V так, что будут выполняться нера-
венства (см. 5.6.5)

||/(х + А) — / (х)	< е, ||/||ьр(|х| >лг> < е, | А | < б

для всех /7 (/==1, ..., М). Но тогда для любой / е Э)? при
соответствующем /

а/(х + А)-/(х) ||^^||/(х-ф А) —/7 (х-{-А) ||^ +

+1| /7 (х + А) - /7 (х) к + II // (х) -1 (х) || ^ < Зе (| А | < б),
если б достаточно мало, и мы доказали (1). Необходимость усло-
вий теоремы доказана.

Пусть, наоборот, 501 — множество, ограниченное в Ар, и удовле-
творяет условиям (1) и (2). Тогда на основании 7.7.1 оно
компактно в Ьр (||-||^^||-||д )• Введем новое понятие — модуль
непрерывности [ е IV7:

со(/) = со(/, Г)= зир ||/(х + А)-/(х)|>.
I Л I < I

Он удовлетворяет условиям

О < со (б2) — со (61) со (62 — 6^ (О < 6Х < б2),
со (/6) ^(/+1) со (б) (/, б>0).	(3)

Это доказывается в точности так же, как для модуля непрерыв-
ности / в Ьр (см. 4.2). Из (3) следует, что для функции Л (б)
(см. (1)) также выполняется неравенство

Л (/6) ^(/4-1) Л (6) (/, б>0).	(4)

Введем еще функцию от одной переменной

Кк(()=ак^——)	(А> 1)

целую экспоненциального типа А%, где и-{-1—четное нату-
ральное число и константа ак определяется из равенства

1 = С Кк (I и \)ди = аккп $

I 0

=кК~пакип $ (-у-I"'1 д1 = скх~пак
(хя—площадь единичной сферы в с не зависит от А). Отсюда
следует, что

ак = О (*>1).

Полагаем

=	(|«I) / (х + и) Ли,

откуда

рА/11Р<ИА|ИИк	(5)

Для

/ - У= $ Ы и |) [/ (х) - / (х + и)] Ли,
поэтому

||/ - У к? к	\Кк(\ И I) и (X) - / (х + и) ||х. «7 Ли <

< $ Кь(\ и I) А (| и I) Ли <

< 5 /СА(|и|) Л(|«Н«+ 5 ’/сй (I «[) Л б)

I и ; < 6	I »I>6

<Л(6) + Л(6) $ Кк(\и\) (1 +^)с?«<е + е = 2е (й>Л0), (6>
| и | > б

где к0 достаточно велико, потому что в силу (1) можно указать
такое д, что Л(6)<;е, и при этом б второе слагаемое предпо-
следнего члена в (6) можно сделать при достаточно больших к
также меньшим е:

Кк (I и |)(1	+ Л <

/«(>6	в

<^/гп-х	+4) ^~К~г Л1 = с$п~к ->0 (к ->оо).

б

Мы доказали, что

зир И-^/к->-0 (Л-»-оо).	(7>

/еав

Пусть теперь задана последовательность функций е ЭЛ.
Она компактна в Ьр, поэтому из нее можно выделить подпоследо-
вательность, которую мы снова обозначим через {//}, сходящуюся
к некоторой функции / е Ь„. При любом фиксированном к
(см. (5))

-> (I со)
в Ьр, но тогда и в Ж, потому что при фиксированном к функции
Цк11 (1=1, 2, ...) —целые экспоненциального сферического типа
кк (см. 3.6.2 и лемму 7.7.3 ниже).

В силу (7) для любого е>0 можно подобрать к так, что

НА —	(для всех 1=1, 2, ...).

Следовательно, последовательность {А} обладает тем свойством,
что для любого е>0 можно указать такое к, что

А = ^А + (А-ВД.

где первое слагаемое сходится при /-> оо в смысле а второе
по норме ТГ не превышает е для любых /=1, 2, .... Но тогда
вследствие полноты УР

(/-*оо)

в №. Теорема доказана.

7.7.3.	Лемма. В обозначениях теоремы из 7.7.2 имеют место
неравенства

(п \

1 +2 Ш1др,	(1)

+ 2<^Ыкр,	(2)

где с —константа, не зависящая от рядом стоящего множителя,
— целая функция экспоненциального типа V = (тх....тп) 5= 0.

В неравенстве (2) В можно заменить на Н = Нр(Кп).

Таким образом, если последовательность целых функций
одного и того же типа стремится к некоторой функции^ (см. 3.5)
в смысле Ьр, то она стремится и в смысле (Г, Я и В.

Доказательство. Неравенство (1) непосредственно сле-
дует из определения № и неравенства Бернштейна 3.2.2 (9).
Функция § = есть целая типа V; по X/, а следовательно, и
типа 25 > 1 + V), где 5 есть наименьшее натуральное число, при
котором выполняется это неравенство. Положим

§2<> = §2= ... =^25-1=0>

тогда (см. 5.6.6 (6))

1

кН г. =28Г/к!|/.р^2^(1+т,.)г/к11Р^с(1+т;/)к|^

(/=1....пг),
откуда следует (2). В этих рассуждениях, очевидно, можно
заменить В на Н.

7.7.4.	Теорема из 7.7.2 остается верной и доказывается в точ-
ности так же, если в ней заменить № на Н = Нгр(Цп) (г^О,
1^р<оо), но предположить, что для каждой функции / е Я)?
имеет место

|;/(х+й)-/(х)Ь-^о	(|Л|->0)	(1}

(что вообще не имеет места).

В случае р = оо справедлива

7.7.5.	Теорема. Пусть задано множество ЭЛ с А = Н& (/?„)
(г 0) функций I, каждая из которых принадлежит еще к классу
С = С (А„) функций, непрерывных на Нп и имеющих конечный
предел в точке х = оо. Тогда для каждой функции } е ЯЛ, оче-
видно, имеет место 7.7.4 (1). Пусть, кроме того, ЭЛ ограничено в С.

Для того чтобы ЭЛ было компактным в Н, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись условия

А(6) = зир зир И(^ + А)-/(х)||н->0 (6->0)
[еЗП1Л|<6

и чтобы для любого е > 0 нашлось такое № > 0, что

|/(х) — / (х') | < е,	(1)

каковы бы ни были х, х', удовлетворяющие неравенствам | х |,
| х' | > А для всех [ е ЭЛ.

Доказательство также в точности такое же, как доказательство
в 7.7.2, если принять во внимание, что имеет место утверждение:
для того чтобы множество ЭЛ с С функций было компактным в С,
необходимо и достаточно, чтобы оно было: 1) ограниченным,
2) равностепенно непрерывным (на Нп) и чтобы 3) для любого
е>0 нашлось А так, чтобы имело место свойство (1).

Это последнее утверждение легко получить, базируясь на
теореме Арцела: выполнение для ЭЛ условий I), 2) на произволь-
ном шаре | х | =С А необходимо и достаточно для компактности
ЭЛ на этом шаре.
ГЛАВА 8

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
И ИЗОМОРФИЗМ ИЗОТРОПНЫХ КЛАССОВ

8.1. Ядра Бесселя — Макдональда

Преобразование Фурье функции (1 +1 х |2)"г/2 при достаточно
большом г>0 можно получить эффективно; так как она есть
функция от | х |, то к ней применима известная формула *)

Ц+|х|2р

1 е

~ (2л)”/2 3 (1 + 1Ж/2

С оп/2

$	“|Р> «Р

где есть бесселева функция порядка р.

Этот интеграл (типа Ханкеля) подсчитан, например, в книге
Титчмарша**), где надо считать р1 — у, у+1 = у, что дает

______	К„_,(|х|)

и+|х|2)-/2 =	'	2	х о, (1)

2 2 г(т) и 2

Ку(2) = К_у(2) = 1(|У^—(2)
о

Функция (г) называется функцией Макдональда порядка V
или модифицированной функцией Бесселя порядка V.

Для ядра Ку (х) как функции от одной переменной х известны
асимптотические оценки. Здесь мы приведем их без доказатель-

*) Бохнер [1], теорема 5.6, стр. 263.

**) Титчмарш [1], 7.11.6, стр. 264, см. еще Ватсон [1], § 13.6 (2),
стр. 476 и Н. Я. Сонин [1].
ства, ссылаясь на книгу Ватсона [1]. Имеют место асимптотиче-
ские равенства:

= + (1<х)

(Ватсон [1], 7.2.3 (1), стр. 226),

Ко (х) = 1п у+ 0(1)	(О<Х<1)

(Ватсон [1], 3.7.1 (14), стр. 95),

Кп (*) = Т'"'х \п1 + 0	(0<х < 1, п+=0 — целое)

-

(Ватсон [1], 3.7.1 (15), стр. 95),

<*[ " 2 610 I V I Л Г (— | V | + I)	+ О (А-1’1)

(г-^0, V —нецелое)

(Ватсон [1], 3.7 (6), стр. 92; 3.1 (8), стр. 51).

Для наших целей будет вполне достаточно иметь в виду, что
из приведенных оценок следует, что

1^(х)]^р^	(1<Х),

|К0(х) |^с(1п1 +1)	(0<х<1),	(3)

|	(х) |	(0 <х < 1, у#=0 — любое),

где с зависит от V, но не от х.

Впрочем, неравенства (3) легко получить непосредственно,
оценивая интеграл

(4)
о

В интеграле (4) можно считать параметр т = % + + комплексным.
Если учесть, что

|Г| = 1ГЧ	(5)

то оценки (3) остаются верными при замене в них V на X и при
комплексных V. Отметим, что интеграл имеет только две особен-
ности ^ = оо и = 0, а подынтегральная функция непрерывна
относительно (^, х, V) (^ > 0) для любых действительных х и
комплексных V, кроме того, интеграл равномерно сходится от-
носительно указанных х, V в достаточно малой окрестности
любой указанной точки х0, Это показывает, что Ф (V, х) не-
прерывна относительно V, х. Подобные факты имеют место и для
формально продифференцированного по V интеграла. Это пока-
зывает, что функция Ф (V, х) имеет производную^Ф (V, х) по V,.
непрерывную по (V, х). Таким образом, Ф (V, х) аналитическая
по V.

В равенстве (1) его левая часть, если ее рассматривать как
обобщенную функцию, имеет смысл для любого комплексного г.
Правая часть, выражаемая с помощью интеграла (2), также-
имеет смысл как обычная функция от (г, х), каковы бы ни были
комплексное число г(Кег>0) и точки	х=^0. Кроме

того, 6Г (| х |) непрерывна относительно указанных (г, х), так
же как и ее производная по г. Таким образом, она аналитиче-
ская по г.

Из оценок (3) и равенства (1) следует, что

(| х | > 1, п, г —любые),

(| х | < 1, п — г = 0),	(6)>

(| х | < 1, п — г > 0),

(| X | < 1, п — г<0),

где сг>0 — непрерывная функция от г.

Мы считали в этих неравенствах г действительными. Они
верны также в силу (5), если в левых их частях считать г ком-
плексным, а в правой заменить всюду г = % ф-гр, на X.

Легко видеть из (6), что Ог (| х |) е Ь (Кл) = Ь- Из сказанного,
следует, что равенство (1) на самом деле верно при любом ком-
плексном г, если Ке г — А > 0. В самом деле, пусть <р е 8, тогда
функция

((1 ф-|	ф) = ((1+|х|2)-'/2, $)=ф(г)

есть, как легко проверить, аналитическая функция от г. С дру-
гой стороны, с помощью оценок (6) непосредственно устанавли-
вается, что функция 6Г (| х]) по модулю не превышает равно-
мерно относительно г, удовлетворяющих неравенству |г —г0|<
< б (Хо > б > 0), суммируемую функцию *), и так как 6Г (| х |) <р (х)
непрерывна от (г, х), х#=0, и ф ограничена, то, согласно при-
знаку Вейерштрасса, функция

Ф1 (г) = (Ог (| х |), ф(х)) = $Сг(|х|)ф(х)йх

) Константы сг в неравенстве (6) ограничены для указанных г.
есть конечная непрерывная функция по г (Х>0). С помощью
оценок (3), (6) аналогичный факт*) устанавливается для произ-
водной

= <₽(*))•

Это показывает, что ф1(г) аналитическая для Х>0. Она, кроме
того, равна ф (г) для достаточно больших действительных г,
следовательно, и для любого комплексного г с Х>0, какова
бы ни была (ре5. Это влечет равенство (1). Покажем, что для
производных от 0г (| х |) порядка 5 = (въ ..., 5П) имеют место
следующие оценки:

|О%(|х|)|^
с е-|ж|
	п_г+1	(|Х|>1, п, г, 5 —любые),
|х|----------------2

=Сс 1п-|^-|+1	(|х|< 1, п-г + |$| = 0, |$| —четное)

, ,„2г+|Д| (|х|<1, Л-г+|®|>0и л-г+|5| = 0,

Iх ।	а 15[ — нечетное),

1	(| х [ < 1, п-г + |5|<0),

где с (непрерывно) зависит от п, г, 5, но не зависит от х.
Заметим, что по индукции легко проверяется, что

О°е

(21-\к\^\и\; |й|^/^|5|), (8)

где О5 —оператор дифференцирования порядка « = (81, ..., 5Л),
хк = х*1... х^п, к = (к1г ..., кп) — целые неотрицательные векторы,
Л*, I — постоянные, и сумма распространена на пары к, I, удов-
летворяющие неравенствам, указанным в скобках.

Поэтому

РЧ(|х|)|<

СО П—Г ,	| XI1

5 2 е д.1
о

где суммы распространены на указанные в (8) пары к, I.

') В 9.4 подробно рассмотрен аналогичный анизотропный случай.
Если' | х | > 1, то в силу первой оценки (6)

|О%(| х|)|<2

потому что I — |й|^0. Мы доказали первое неравенство (7).

Пусть теперь | х | < 1. Если, кроме того, п — г2/> 0, то-
в силу третьей оценки (6)

I х'О,-и (| х |) |<	,	(10>

I Л. |	I Л |	I л |

потому ЧТО 2/ — I Й I «С I 5

Далее, если п — г-]-2/<0, то в силу четвертой оценки (6)

I х*ег_2д|х |)1 <!**!< 1-

(П).

Если же для некоторого / (одного) п — г 4-2/ = 0, то в силу
второй оценки (6)

(| х |) |<|х*|1п

I А I

(12)

Далее, если п — г4-|5|>0, правая часть (10) больше правых
частей (11) и (12) (| А |^0). Мы доказали для п — г4~|$|^0-'
третью оценку. Если же п —г4-|®| = 0 и | | — нечетное, то нет
натурального /, для которого п — г4-2/ = 0, и в этом случае
оценка (12) не возникает, а оценки (10) и (11) дают 1. Этим
третья оценка (7) доказана полностью. Если же « —г4-|5| = 0
(| 51 — четное), то может возникнуть и оценка (12). Этим дока-
зано второе неравенство (7).

Наконец, если п —	15 I < 0, то правые части (10), (11) и

при | к | > 0 (12) оцениваются единицей. Остается только иссле-
довать случай (12) при к = 0, но он невозможен, потому что из-
п — г4-|5|<0 = « — г-\-21 следует |$|<2/, что противоречит-
тому факту, что наряду с этим должно выполняться при | к | = 0
неравенство 2/ —т. е. 2/«С|$|. Этим доказано послед-
нее неравенство (7).

Из неравенств (7) легко видеть, что 6Г (| х |) при любом г>0-
и любом натуральном п принадлежит к /,(/?„) = /,, поэтому для
функций / е Ьр(^г1) = ЬР (1=^р^оо) имеет смысл свертка

Р(Х) ~ (2л)"/2

и |) / («) Ли = б 4-1«12)~Ч = ЛА (13>

При этом, очевидно, Р е Ьр. На самом деле функция/7 обла-
дает, как мы увидим, значительно лучшими свойствами.
8.2.	Изоморфизм классов XVр

Будем говорить, что банаховы пространства Ег и Е2 изо-
морфны, если существуют линейный оператор А, отображающий
Д1 на Е% взаимно однозначно, и две положительные не завися-
щие от хеЕ1 константы и с2 такие, что

(1)

для всех х е Ег.

Про оператор А будем говорить, что он осуществляет изо-
морфизм Ег и Е.2:

А (^1) = Е2.	(2)

Тогда обратный оператор Л”1, очевидно, существует, линеен и
в свою очередь осуществляет изоморфизм

Л-1 (Е2) = Ег.

Докажем, что операция Д при натуральном / осуществляет изо-
морфизм

Л(ЬР) = ^	(3)

(1<р<оо; Ц7гр = ^(/?„), Др=№°, 1 = 0, 1, ...).

Пусть Р е ХР1р. Тогда

г	. Г	/ •	1	\

Ьр ...........

и в силу того, что (I3 зщп и,)г есть множитель Марцинкевича
{см. 1.5.5, пример 1 и 1.5.4.1),

Поэтому, учитывая еще, что Р е Ьр, получим

1 + 2 \щ\^р
/=1 / ₽

р

/ п \-!

Но функция (1 -ф | и |2)//2 Н +21и)есть множитель Марцин-

кевича (1.5.5, пример 7), поэтому

/=(1 + |В|2у/2)е=Др

и

ИПр^сзИМ-

(4)
Пусть теперь	тогда Р = 6^= (14-| Х|2)-*/2/ и, следова-

тельно (1.5 (10)),

_ 1

?<*> = (/!)* (1 4-1112)

Но при |#| = / функция

(/!)* (1 4- IXI2)-"2

есть множитель Марцинкевича (см. 1.5.5, пример 5). Поэтому

(5)

Но также (8.1 (13)) Ц/7||р «С сБ1|/ Цр, поэтому Р э №р и

р

Мы доказали, что операция Ц осуществляет изоморфизм (3).

В дальнейшем будет показано, что ода может служить сред-
ством для определения и осуществления изоморфизмов других
классов дифференцируемых функций.

8.3.	Свойства ядра Бесселя — Макдональда

Ниже доказывается для ядра Ог (| х |) Бесселя — Макдональда
при г>0 оценка (я —натуральное число, —оо </г < оо)

л =Л IдЦ -д-°г(\х \ах^мг\н\а	(1)

(/=1, ..., п; 8 = Г, г = г4-а, г — целое, 0<а^1).

Так как Ог (| х)) е Ь = Ь (/?„) при г>0, то из (1) следует
(см. определение классов Нр в 4.3.3 и 5.6.2), что

е,(|х|)е # = /№)	(2)

и

||Мх|)ЦН1Мх|)1ИМ„	(3)

где Мг — наименьшая константа, для которой выполняются нера-
венства (1).

Положим « = («/, 1р), и1 = (и1, ...,	д/+1, ..., д„),

(Х) = д5°г^ х |} , Д1Ф (/) = Ф (/ 4- И) - 2<р (/) 4- ф (/ - И).

дх/

Будем пользоваться четырьмя оценками 8.1 (7) (обозначим их
соответственно 1), 2), 3), 4)).

10 С. М. Никольский -
Согласно 1)—3)

(«) 1

потому что п-(г-з)-л-а<л. Следовательно, для |Н |	1

А<в<е|й|а.	(4)

2Л

Сра-^р<Ла

(6)

Переходим к случаю |Л|<1. Будем для определенности
считать, что 0 -< Л •< 1. Имеем

Л — Лх+Л,,	(б)

где Ах такой же, как Л интеграл, но взятый не по всему про-
странству, а по шару | и | < 4й. Тогда

А, <4 $
|в|<2Л	|в|<2Л

в силу оценки (3).

@днако остался случай п — г 4-8 — 0, з —четное. Так как
0<Сг — з^1, то это может быть, лишь если л = 1,з —г — 1 —
четное, т. е. а = г — з = 1.

Нужная оценка тогда получается следующим образом (инте-
гралы одномерные):

Ах «С |^)(«+/г)-^и)(«)|^« +

|а|<4Л

+	|^)(и)-^)(и-/г)|Йи<

Iи |<4Л

<2	5 |яи) (и+И)-^ (и)|йи =

|в|<ВЛ

-л	о

— 2 С	(« + ^) — 8м (и) | Ли 4-2 § |&Сг) (ц + Н) —	(и) | (1и +

-вл	-л

вл

+ 2 р 8{’} (« +Л) - 8м («) | йи = Л}1’ 4- ЛГ 4- М”,
где
ВЛ и + Л	ВЛ и + Л

Л<3) = 2 ри \ й^+1) (О	< р« | -у-	=

О 2	0 и

БЛ	б

- ( 1п (1 +^аи=Н ( 1п(14-0^<Л,
и аналогично

л^<й,

И (учитывая, что 0г (| и |) — четная функция, а потому при а «

 г — 1 четном функция (и) тоже четная)
о

Л18)"=2 $ |	(и + Л) — §м (и) | (1и =

—а
о

«2 ( \ ё(5) (иК) —	(—и)\с1и =

—а

А	Л

— 2 (|#(х) (и) — (й — и) | с1и =2 ^(1и
о	о

И —и

и

С —

5 *

К —и

А	1

= 2 П 1п-^-1 Ли = 2й П 1п I Л ^Н.
о	о

Этим полностью доказано (6). Переходим к оценке

Ла = $ | Дл, | (1и =

|«|>4Л

Л Л

| и | > 4Л I и I > 4Л | и | > 4А
и^>0	—2Л<Иу<0 ау<—2А

где в силу 3) (учесть, что п + я — гф-2 = п — аф-2^п + 1 >0|

СО

«><*’ 5	$Р°-84><Л“,	(7)

I и I < 2Л	2 А

и принимая во внимание, что для ] и | > 4й, —2й<иу<0
| и! 15» | и | — | и> | 4й — 2й = 2й, получим

др» На ( __________Ли1	рП~2^

Д I н/ |п+$-г+2	р«+5-Г+2

|«4>2А	2Л

ОО

<й3 $ р“-*ф<й“.	(8)

2А

Из (4), (6), (7) и (8) следует (I).
10*
8.4.	Оценка наилучшего приближения для /г/

Пусть функция / е Ьр = Ьр(Яп), ^>0 и (8.1 (13))

(•4Л)	*2

(1)

Пусть далее <щ, еЬ, А,у е Ьр — произвольные функции экспо-
ненциального сферического типа V. Таким образом, е 5ЭЛУ1,
ку е З'ЗЛур. Положим

Р (х) — йу (х) =

_ 1

— (2л)л/2

[Ог (] и |) — Шу (и)] [/ (х — и) — ку (х — и)] Ли.

Очевидно, е 5Я)1ур (см. 3.6.2) и

И - «V Цр IIМ -* I) - “V (*) 1к II / - К !1р•
(/Л)

Поэтому, учитывая, что функция 6Г (| х |) е Нгг (см. 8.3) и что,
следовательно, ее наилучшее приближение в метрике Ь при
помощи целых функций сферической степени V имеет порядок
О (у~г) (см. 5.5.4), будем иметь

Еч (°г (| Х |))г Еч фр ~^Е* фрг (2)

где Еу (у)р, Еу (ф)г обозначают наилучшие приближения <р при
помощи целых функций сферического типа V соответственно
в метриках Ьр, Ь, а константа Ьг не зависит от рядом стоящего
множителя.

Пусть снова / е Ьр и, кроме того, преобразование Фурье /
(вообще обобщенная функция) равно нулю на шаре Vу с цент-
ром в начале координат радиуса V (см. 3.2.6 (5)):

/ = 0 на	(3)

Тогда (см. 3.2.6 (6)), если 0<_к<_у, то свертка любой функции
©х & 5ЭЛу1 с / равна нулю:

= То \пц (	(») Цх-и)Ли = 0,

(2Л) с)

поэтому

Р (х) = 77 = 1 /2 С [6Г (I и I) - (И)] / (X - и) Ли
(2Л)

в

^Л^
Но тогда, беря нижнюю грань по <»х, получим неравенство

Ч

справедливое для всех Х<.у, поэтому

(у>о, <М),	(4)

где Ьг — константа, входящая в неравенство (2). Она не зависит
от у>0 и рассматриваемых /.

8.5.	Мультипликатор, равный единице на области

По определению обобщенная функция /е5' равна нулю на
открытом множестве § <= Кп, если для любой финитной в § функ-
ции <р имеет место

(А Ф)»0.

Если при этом / не только принадлежит к 5', но есть также
локально суммируемая на § функция, то почти всюду

/(х) = 0 на §.

В самом деле, пусть а <= § — произвольный шар. Существует
(см. 1.4.2) последовательность финитных в а функций фл,, для
которой имеет место ограниченная сходимость

Нт фЛг(-^) = 51§п/(х) почти всюду на а.
ЛГ —> СО

Поэтому в силу теоремы Лебега

0 = (/=, фЛг) = 5/(х)фЛГ(х)	(У->оо),

а	а

т. е. /(х) = 0 на а почти всюду, следовательно, и на §.

Если А и /1 — /2 = 0 на открытом множестве §, то
естественно говорить, что /1 = /2 на §•

8.5.1.	Лемма. Пусть р, — мультипликатор в Ьр (1=Ср^оо;
цеЛ при р = <х>; см. 1.5.1, 1.5.1.1), равный единице на откры-
том множестве	Тогда для [еЬри вообще для регуляр-

ной в смысле Ьр функции }

= $ = 1 на §	(К=-р).	(1)

Доказательство. Для <ре5, имеющей носитель в и
бесконечно дифференцируемой финитной функции /

(нА ч>) = (и»	= А₽) =(А <₽)•	(2)
Здесь надо учесть, что ц (по определению мультипликатора)
есть обычная измеримая функция по условию леммы, равная
единице на и потому второй член в (2) есть интеграл Лебега;
кроме того, по условию леммы ц (х) = 1 на §, а имеет носи-
тель в что доказывает второе равенство.

Если / &ЬР, то найдется последовательность бесконечно диф-
ференцируемых финитных функций /, такая, что /;->/,
Слабо. Подставив в (2) /, вместо / и перейдя к пределу при
I -► оо, получим снова (2), но уже для / е Ьр.

Если теперь / — регулярная в смысле Ьр функция, то для
фе5 с носителем в % для достаточно большого р получим

(^7, Ф) - (/-₽ (**/₽/), Ф) = (К* /₽/, (1 +1 * 1’)р/2ф) -

= (АХ (1-НМГфН, ф).

т. е. (1).

8.5.2.	Лемма. Пусть мультипликатор	на Л# =

в{|Ху|<;У; /=1.......п}.	Тогда, если № и функция е

в ЭЭТдг'д (целая экспоненциального типа И' по всем переменным,
принадлежащая к Ьр), то

/С *	= СО\'

(К=н)-

(1)

Доказательство. Пусть е>0 и П' + е<ДГ. Так как ф8
акспоненциального типа е, ф8<вдг' а ЭЭТу+8>р. Кроме того, феа>лг- а
в 5, потому что ф8е5, а <в^ вместе со своими любыми про-
изводными ограничена (и#- полиномиального роста). Поэтому

(цфейлг-, ф) = (р, Фв®ЛГ'ф) = (1, Фв®Х'ф) = (Фв®Х', ф),

где второе равенство имеет место потому, что носитель ф8Идг'ф
принадлежит к Ах. Следовательно,

—~\

РФ8«Х' = Ф8®Х'-

(2)

Переходя к пределу в (2) в слабом смысле при е->0, полу-
чим (1). Для правой части (1) это следует из 1.5.8 (6). Что
касается левой, то надо учесть, что

Цфейдг' - Идг- ||р = 51 (Фв (к) ~ 1) ®х' (*) |Р йх -> 0 (е -> 0)

по теореме Лебега, откуда в силу того, что ц есть мультипли-
катор, левая часть (2) стремится к левой части (1) не только
слабо, но даже в Ьр.
8.6.	Суммы Валле-Пуссена регулярной функции

В теории интеграла Фурье ядро

при целом М соответствует тригонометрическому полиному

Р?г(0-4+ У СО8П/-------*----^-0,1,...),	(2)

П-1	2й1у

называемому ядром Дирихле порядка И.

Среднее арифметическое

V» - V» (0 -	| + 2 СО5И +

О

+ ' У (2М + 1 - к) соз к1 = «” <" + О	+ ')<	(3)

ы+1	Мйп’у

называется ядром Валле-Пуссена *). Мы будем говорить, что
оно имеет порядок М.

Важные свойства ядра Валле-Пуссена заключаются в сле-
дующем:

1*) удг —четный тригонометрический полином порядка 2М;

2*) коэффициенты Фурье Удг с индексами й»0, I..........Ы

равны единице;

Л

3*) |

—Л

4*) 1 ( |уИ/)И/ = 4- ( |со8(^+1)/-с^±1)/|

ЗТ 1	' 2/УЛ Л

I • •

где А не зависит от М 1.

') Валле-Пуссен [1].
Ниже будет рассмотрен соответствующий аналог ядра Валле-
Пуссена в случае интегралов Фурье в «-мерном случае.

Начнем с того, что рассмотрим обычную измеримую и ограни-
ченную на /?«=/?„ функцию §(х) такую, что ее преобразование
урье § в свою очередь есть обычная ограниченная функция,
усть еще ^ = (Х1, ..., Х„) есть векторный параметр, который
будет изменяться на прямоугольнике = {а<Х;<;2а; / = 1...п},

где а>0. Имеет место равенство

5 ё (Мь • • . Мл) = $ ё (Мх...Мл) 31.	(4)

аа

В самом деле, если ф е 5, то

., к„хп) 31,	.....Хях„) ф (х) Зх =

§ М ё (Мх........^пхп) ф (х) Лх =

..., кпх„) ЙХ, ф (х)

Все равенства здесь очевидны, требует пояснения только тот
факт, что ^(М1. •••. Мл) есть при ).ейа обычная ограничен-
ная функция. Но это вытекает из равенств

(к^х, . . • , ^л-^л) == „ .(4/2 ё • • • > ^л«л) е 1хи Зи ™
(/Л) V

[ С

- ~П----------- \ §(«)«	' = 1	7 Зи

ПЛ/(2л)п/2

И предположения, что ё есть обычная ограниченная измеримая
функция.

Аналог ядра Валле-Пуссена определяется с помощью равен-
ства, аналогичного (3):

5 П-тг-"*-

Од( / = 1

1 1ТГ 2С 8Й1 VI/ .	1 чпг СОЗ А/6 —СОЗ 2А/6

“ Л»-11 3	[/	==	11

/=1Ы	/=1	1

(5)
Ядро Ух удовлетворяет свойствам, аналогичным свойствам
1*)—4*):

1)	(г) —целая функция экспоненциального типа степени 2М

по каждой из переменных г; (/=1,	п), ограниченная и сум-

мируемая на 7?;

2)	(4)"/2 = 4г 5 & е~1х* ^-1 на (6)

/=1,	л},

3)	(7)

4)	(А^1).	(8)

Свойство 1) устанавливается без труда. Свойство 3) вытекает

из равенства

1 = 1

V	*

(у>0),

где несобственный риманов интеграл равномерно сходится отно-
сительно V @ [Л^, 2Л^], вследствие чего интегрирование этого интй-
грала по параметру V законно произвести под знаком интеграла!

п	2Л	.

1	(*	1	1 |~ (* ,	(* 81П V*/

~%Г 3	= -^угП	3	3

1=1	М

/2ЛГ	\п

= 1 С	„1,

лп \ 3	л 3 I I

'И	!

Свойство 4) очевидно:

I	/V	3

,	®° .	...	„, о ? 8>п -<Г-1 8>птг

1 С I срз Л// —сем 2Л//1 .,	2 С |	2	2	.,

X 3 ----------р-------а1 = 1Г з------------?-------" =

— ©о	0

оо I • « • 3

Г |8,п 2-8,п7“

3 «а
о



Рассмотрим функцию

П8Й1 Х/6

-1Г-

1=1

являющуюся аналогом ядра Дирихле в п-мерном случае. Ее пре-
образование Фурье (см. 1.5.7 (10))

-(Кт)” (‘К.
(1)дх —функция, равная единице на Дх — {|ху |<X/ /=1, п}
и нулю вне Дх- Она, таким образом, ограничена вместе со
своим преобразованием Фурье, поэтому к ней применимо равен-
ство (4) при а = М, следовательно, приняв во внимание, что

/-1

где (1)Х/ —функция от одной переменной яу, равная единице на
интервале	и нулю для остальных я), получим

«1п М/ /1 Г я. \п с

п	____2Ы	п

° П ~тг У Т ( ПХ/(•"(/) =	(*/)» (9)

/-1	я

где

1

^г(2ЛГ-5)
О

(1&1<Л0,

(2Л^<|?|)-

Мы получили эффективную формулу для Рдг. Из нее
ленио следует (6).

Пусть / в Ьр (1 -С р *^оо). Тогда

(Ю)

немед-

<*(Г, ^)-(1)Л/2(^*П-7?г 5 У^х-иЖ^аи (11)

есть принадлежащая к Ьр функция, только постоянным множи-
телем отличающаяся от свертки Идг*/. Эта функция является
аналогом периодической суммы Валле-Пуссена порядка М. Так
как Удга Шс8Лг (целая экспоненциального типа 2М по всем х,,
принадлежащая к I), то (/, х) е ЯЯ2Лг, р (см. 3.6.2) для всех
Более того, если а,ч е ПЯу, р, то имеет место тождество
о#(<в/у, х)=*ам (х).	(12)

В самом деле, У^еЬ, следовательно, Р# есть мультипликатор.
Кроме того, в силу (9) и (10) ^№^У* на Длг» поэтому, согласно
лемме из 8.5.2

Олг,(®лг, х)~ау(х) (М<М0).

Из полученного равенства при М0->М следует (12). Законность
перевода к пределу легко заключить из рассмотрения эффектив-
ной формулы (о) для Удг.
Если / е Ьр и Шуе Ер —целая функция экспоненциального
типа М, то в силу (12)

Оу(7, Х)-/(Х) = Оу(/-Шу, х)4-шу(х)-/(х),
откуда

1К(7. х)-/(х)||р<(14-М)Еу(/)р,	(13)

т. е. приближение / при помощи Оу (/) имеет порядок наилуч-
шего приближения 7 при помощи функций экспоненциального
типа РЬ

Если р конечно, то правая часть (13) стремится к нулю при
М->-оо (см. 5.5.1), откуда следует, что

0^(7)-»-7	(М->-оо) слабо.	(14)

При р = оо величина ^ (/) уже не стремится к нулю, но свой-
ство (14) все равно имеет место. В самом деле, на основании 8.3 (1)
(0<а=С1)

$| Л^х.Са (| и |) {Ли | А|“.

Поэтому

| Алх/ 0а (I х - и |) 7 (и) Ли | =

- |ЛлЛ/0а(и)7(-*;-1^1711^^1 А|° (/-1,	п),

|7к00=зируга1|/(х)|.

хвЯ

Мы видим, что функция Р (х) = 1а (/) удовлетворяет условию

I ^р (X) | с IИ 0 = 1, .... п),
л так как она, кроме того, ограничена, то принадлежит к (7?)
и, следовательно, равномерно непрерывна на Я, т. е. принад-
лежит к С.

Но тогда

Елг (7а7)оо™	(Е")«>О	(Л^—>оо).

Это показывает, что

ак(Р)-^Р слабо,
поэтому

(^(7), <Р) = (4)"/2(^У*7, ф) = (4)"/2(/-а(^*7а7), ф) =

= (<МЛх7), 71аф)^(7а7, 7±аф) = (/, ф), Ы °О, (15)
и мы доказали (14) и в случае р = оо.

Итак, (14) имеет место для любой 1^ЬР и любого р
(1^р^оо). Важно заметить1, что это свойство сохраняется для
любой регулярной в смысле Ьр функции Чтобы убедиться
6 этом, достаточно проделать над / приведенные выше выкладки (15).

Наконец, отметим следующие важные для нас неравенства

। /д<^ 0 - (/)] ь угх-г 11 алг (л - 0 и (16)

(1п

где г —любое действительное число и уг не зависит от # и /.

При г>0 неравенство (17) следует из того, что операция 1Г
имеет ядро, принадлежащее к I (см. 8.1 (13) и 1.5.1 (5)), а не-
равенство (16)—из того, что (см. 8.5.1 и 8.6 (6))

Оу(0-^(/) = 0 на Ддг.

При г же отрицательном неравенства (16) и (17) вытекают
ИЗ неравенства, которое будет доказано в следующем параграфе,
если учесть, что

(/) - (/) э ₽•

В § 8.8 будет доказано, что неравенства (16), (17) сохра-
няются для любой регулярной в смысле Ьр (обобщенной) функции.

8.7.	Неравенство для операции /_г (г>0) над функциями
акспоненциального типа

Пусть § = е ЗЛур (/?„) = ЗОЦ,, т. е. § есть функция экспонен-
циального типа V по каждой переменной	принадлежащая

К Ьр™Лр(7?„). Применим к ней операцию (см. 1.5.9)

1-гё~(1+\х\Г'2 ё-	(1)

Основная цель этого параграфа показать, что имеет место
неравенство

II 1-гё 1кр (*„) ^ М1 + V)" || ё Ьр («„)	(2)

(г, у>0, 1^р^оо),

где хг — константа, не зависящая от V.

Положим ® (х) = (1 +1 х |2)г/2 и для любого V > 0 введем функ-
цию Иу(х) периода 2V (по каждой переменной %/), определяемую
равенством

<М*) = (1 + 1*12Г/а {|*/1<*, /=!,-(3)

Пусть

1-2. кх

®у(*)вХ^в *	(4)
ее ряд Фурье. Мы покажем, что для г>г0, где г0 достаточно
велико, имеет место неравенство

2|^хг(14-уу/*,

к

(5)

где хг не зависит от V, откуда вследствие теоремы 3.2.1 следует
справедливость интерполяционной формулы

(б)

из которой немедленно вытекает неравенство (2):

Я 1-гёЬ “ 5 НIШ,	(1 + Ир (7)

к

и тот факт, что 1~гё — целая функция экспоненциального типа V
(см. 3.5).	'

При малых г рассуждения, связанные с оценкой суммы У | с* |,
становятся более сложными. Но из того факта, что неравенство (2)
верно при больших г, мы выведем из общих соображений, что
оно верно с соответствующей константой хг и для любых г>0.

Ограничимся рассмотрением двумерного случая. При п^2
рассуждение сложнее, но аналогично.

Имеем = У \
\ *	*У=о/

5 НИН» 1+5 Но 1+5 И/1+5 5

к	I	к I

=	$ $ (1	аи (I(1

— V — V

। I <о (и, V) е у йи <1у

— V —V
Здесь мы применили интегрирование по частям и неравенство
Парсеваля по переменной и. Аналогично

(Г >2).

Наконец, применение интегрирования по частям и равенства
Парсеваля по обеим переменным и и V дает

г V V	1 1/2

К2 5 м2&2(1 + и?Ц-^г~*(1и скД =^с8 (1 4-т2)г/2
( о о	)

(г ^4).

Мы доказали (5) при г ^4.

Пусть теперь г—произвольное положительное число и по-
прежнему § = Подберем натуральное з так, чтобы

2^< 14-у<2\

и представим § в ваде (см. 8.6 (11), (12))

8(х)^а2^§, х)=	<7У,

/=о
где

<7о = СТ2»&>	X) (/=1, .... 8).

Пусть число р > г достаточно большое, чтобы для^него выпол-
нялось неравенство (2). Тогда имеем

о

и (пояснения ниже)

'-л< 2	2 5^7 2«<

/-0	/=8

<2 2г/<2!/<(1+^г.	(8)

/-•

Первое соотношение в этой цепи имеет место на основании
уже установленных неравенств 8.6 (16), (17) (р —г>0). Второе
соотношение следует из того, что р есть такое число, что для
него неравенство (2) (при г^р) верно.
Этим неравенство (2) доказано при любом г. Конечно, при-
веденные рассуждения дают грубую константу хг. Но известны
случаи, когда можно получить точное (наименьшее) ее значение.
Рассмотрим для примера случай п ™ К

Вследствие четности ш (/) — (1 +	(б< ” (/ + 4) т)

V	*-10/+2Г

ь = ж - ( ® (0 соз — / Л = — У ( со (0 соз — I (11 =«

—« к у 1 ' '	у	у	1	4 ' у

0	/-0 У

0/~2Г

V
*-1	2А

"V 2(-1)/’1Йи(е‘+0~И(в‘-0]81п'?/Л' (9)
о	о

Если г^1, то подсчеты показывают, что

и потому разность, стоящая в квадратных скобках под интегра-
лом в правой части (9), монотонно возрастает вместе с /. Отсюда
следует, что слагаемые в правой части (9) по абсолютной
величине возрастают, последовательно меняя знак, и знак с*
совпадает со знаком последнего слагаемого, соответствующего
/ = 6—1. Этим доказано, что

(—1)*с^0	(6 = 0, ±1, ±2, ...; г>1).	(10)

Из четности соу(/) следует, что

ОО
сМО-су+г^соз-^г,
1

поэтому в силу (10) имеет место замечательное равенство*)

(1 + *Т/2 = шуМ=^ + 25(-1)йо*= 2|о1|.
1	—об

Этим доказано, что при г 1 и п = 1 в неравенстве (7) можно
считать х,«1. В таком виде эта константа является неулучшае-
мой *), но на доказательстве этого мы здесь останавливаться
не будем.

•) П. И. Лизвркин [8}.
8.8.	Разложение регулярной функции в ряд
по суммам Валле-Пуссена

Если / — обобщенная регулярная в смысле Ьр функция, то
естественно положить (см. 1.5.10)

а и (/) = (I)"72 (Гаг * /) = (|)П/2 7-р (Удг * 7Р/),	(1)

где р>0 достаточно большое, чтобы 1Р1^.ЬР. Но

поэтому У^*1Р1 принадлежит к Ьр, а в силу того, что функция
Удг экспоненциального типа 2И (см. 3.6.2), Удг * 7Р/е ЭЛ2Л;р.
Применение к этой последней функции операции 7_р (см. 8.7) не
выводит из класса ЭЛ2м р-

Таким образом,

Стлг(/)	(2)

какова бы ни была регулярная (в смысле Ьр) функция /.
Далее при любом действительном Л.

(/) =	(Л/)	(3)

(см. 1.5.10 (5)). Так как для регулярной функции / Стдг (/) е ЭО?зЛг1Р,
то при г>0 для нее, очевидно, выполняются неравенства
8.6 (16) и (17). При г<0 они также имеют место для любой
регулярной функции /, потому что для нее а к (/) — стаЛг (/) е Ьр
и ^ (/)—	(/) = 0 на Адг (см. 8.5.1 и 8.6 (6)).

Нам будет удобно связывать с каждой регулярной функцией
следующий ряд:

/ = «V (/) + 5 [<т2* (/) - <т2»-1 (/)],	(4)

4 = 1

сходящийся, как мы выяснили, к / слабо. Этот ряд мы еще
будем называть разложением регулярной функции [ по суммам
типа Валле-Пуссена.

При любом действительном г к нему законно применять
почленно операцию

ОО

7Г/ = 7гО20 (/) + 2 7, [о24 (/) -	(/)] =

6=1

00

= ^»(7г/)+ 5 [^(7г/)-^-!(7г/)],	(9)

4=1

потому что, если /—регулярная функция, то /г/ тоже, и потому
7Г/ разлагается в виде слабо сходящегося к ней ее ряда Валле-
Пуссена—второго ряда в (5). Члены второго и первого ряда
соответственно равны в силу (3).
8.9.	Представление функций классов Вр$

через ряды Валле-Пуссена. Нулевые классы (1^р=^оо)

Мы предполагаем, что г > 0, 1 ^р оо, 1 оо, Вро (/?„) =
= Вр?, (Врсо = НГр). Будем исходить из следующего определения
класса Вгрв (5.6 (5)): функция / принадлежит к Вр$, если для
нее конечна норма

/ оо	\ 1/0

бтн1Лвг =Ш1р+ 2 2^(/)о . (о

Р0	\з = 0	/

Другое эквивалентное этому определение (5.6 (6)) заключается
в том, что / е Вро, если возможно представление / в виде схо-
дящегося к / в смысле Ьр ряда

ОО
/=2 &
! = 0

такого, что норма

/о°	\ 170

•И1-1ЛВ. - 2 2!81<г,Е	(2>

ро \5 = о	/

конечна (здесь Р, — целые функции экспоненциального типа сфе-
рической степени 2\ линейно зависящие от /).

Покажем, что этим определениям эквивалентно также и сле-
дующее.

Функция е Вр6, если I есть регулярная в смысле Ьр (обоб-
щенная) функция и если соответствующий ей ряд Валле-Пуссена
(сходящийся к ней слабо)

ОО

(3)
5 = 0

?о = ст2о(/), д, = ^2з(ф)-а^-1(})	(8=1, 2, ...),	(4)

таков, что

/ оо	V 1/0

1/11 = ИИвг= 2 2-0к5||е <оо.	(5)

Ро \5 = 0	/

В самом деле, пусть / — регулярная функция в смысле Ьр>
для которой имеет место (3) —(5). Тогда есть целая функция
экспоненциального типа 2Г+’ по всем переменным, но тогда и
экспоненциального сферического типа 2®+1 (см. 3.2.6) и, сле-
довательно, типа 2,г+/, где мы считаем, что I есть натуральное
число такое, что 2]^п^21. Полагая д? = 0 (8 = 0, 1, ..., /) и
?!+/ = <?$ («=1. 2, ...), получим, что У, <?*, 9* сферического

5 = 0
типа 2° и

(с»	\ 1/0

Е2‘г0!1< <°о.
5=0	/

т. е. в[|/[|<оо и /еВ^.

Пусть теперь 6||/||<оо, тогда и (см. 8.6 (13))

^ЛМЕ#-^	(8=1,2,...),	(6)

Поэтому 7||Л<С811Л. и мы доказали эквивалентность норм (5)
с нормами (1) и (2).

Примечание. Эквивалентность сохраняется, если суммы
Валле-Пуссена о2$ (/) заменить соответственно суммами Дирихле
525(/) (см. далее 8.10), однако при условии, что 1<р<оо.
При ря1, оо в неравенствах (6) константа М зависит от 8 и
притом не ограничена при з-»-оо.

Введем нулевой класс В*в вообще обобщенных функций.

По определению [ а В*е, если [ регулярна в смысле Ьг и если
ее ряд Валле-Пуссена (3) таков, что

! оо \ 1/0

<оо.	(7)

₽	\8=0	/

В частности,
|/Ь=5ир|4<оо.	(8)

Приведенные здесь определения (7) и (8) нулевых классов
имеют то преимущество, что они не зависят от определений
соответствующих классов для положительных значений г. Но
возможно такое определение В’д: это есть класс функций [ вида
1-щ, где <р&Врв, а г>0 — любое число. Заметим еще, что аппа-
рат, с помощью которого были даны исходные определения Н-
и В-классов для положительных г, по-видимому, не приспособ-
лен для непосредственных обобщений на случай г«^0.

8.9.1.	Изоморфизм классов Вгр§ для разных г.

Теорема. Операция 1Г (г>0) осуществляет изоморфизм

1г(Врв) = Врв (1^р, 9^00, Вгрю = НГр).	(1)

Равенство (1) дает представление функций класса В^ через
свертку ядра Бесселя — Макдональда 6Г с функциями класса В₽е.
вообще говоря, обобщенными.
Доказательство. Пусть / е Вгрв, тогда / есть регуляр-
ная в смысле Ьр функция, разлагающаяся в [ряд
/- Е ?о = ог2о(/), ?5 = о25(/)-а2,-1(/)	(з=1,2,...),	(1)

где

1/и=(2к^У/в<оо.	(2)

р \«-о	/

Но
Р-Ц
есть также регулярная функция, разлагающаяся в ряд

^=Е<2„	(3)

(з=1,2,...).
При этом

Следовательно,
/ОО	\ 1/0	/ОО	\ 1/0

иь = Е2'0г11<ад	-л/и. (4>

Р9 \« — 0	/	\1=0	/	ра

Наоборот, если РеВ^, то для В существует разложение (3)
такое, что
/ оо	\1/0

иь- 22"‘1<г4 <“•
ре \, _ •	/

а для / = 1-гР — разложение (1) и (см. 8.6 (16))
кЛ=1Н-/2Л<^-2-Ш (з=о, 1, ...),
поэтому
/ 00	\1/Д

Шв’0= ЕМ «Ну.	(б)

*а	/	ре

Теорема доказана.

8.9.2.	Классы В'рв при г<в. Понятие регулярной функции
и ее разложения в ряд Валле-Пуссена дает возможность расши-
рить классы Дре на отрицательные г. Естественно считать, что
функция	еде г — произвольное действительное число
. если I регулярна (в смысле Ьр) и ее разложение в ряд Валле-Пуссена

/ = 2 (Л + Е (Л-(Л] (О

8 = 0	5 = 1

таково, что

1 со	\ 1/0

НЬ =	<оо.	(2)

р9 \5=0	/

Легко видеть, рассуждая, как в предыдущем параграфе, что
при любых действительных г и операция /Г1_л осуществляет
изоморфизм

7Г1_г(в;е) = В;‘0	(1^р, б^оо; ВГ^ = НГР). (3)

8.10.	Ряды по суммам Дирихле (1 <оо)

Если р удовлетворяет неравенствам 1<р<оо, то изложен-
ная выше теорема может быть развита на основе ядер Дирихле

П8ш

ТГ-	(О

являющихся аналогами периодических сумм Дирихле.

Ядра Одт (г) обладают следующими свойствами:

1)	Ру (г) — целая функция экспоненциального типа П по каж-
дой переменной г; (/=1, ..., п), принадлежащая к Ьр, где
1 < р оо.

9\ (2\п/2П -Н\ _/ 1 на Ду = {|х7|<ЛГ},

2)	(») °к-<1)л» -1 0 вне Д„	(2)

(см. 1.5.7 (10)).

3)	^$Ру(7)^=1	(^>0).	(3)

4)	Свертка

5у(/, х) = Ру*/ = -^- $ Ру(х-0/(Л

для / е Ьр (1<р<оо) есть целая функция экспоненциального
типа У по каждой переменной (см. 3.6.2), принадлежащая к Ьр
(см. 1.5.7 (9), (13); 3.6.2; $у (/) е= 3)1ур). При этом

(4)

где ир зависит только от р. При р=1, оо этот факт перестает
быть верным.
5)	Если Идг е то

5 л' (<х>дО =	(5)

Тот факт, что

=	1>м0 (х - 0	(0 Л = Ид, (х) (Х<Х0), (6)

следует из 8.5.2. Далее

Мъ

«1п

~Ч~

-С Ф ~

1^1.

1М>1



поэтому

Рлг. (х-1)	(0 I < Ф (Х-1) I ®дг (0 I е= Ь (Рп), ф(Г) = П Ф <*/)

/ = 1

(а.уеЬр(/?„), фе/.7(/?„), у4-у=1). Кроме того, для всех I
иы0(х — Ь)-+Ох(х — Ь) (Мо-+М). Следовательно, по теореме Ле-
бега в (6) можно заменить Хо на X.

6)	Е>дг*/ = ^ на Л# (см. (2) и 8.5.1).

Из (4) и (5) следует, что если / е Ьр (1<р<оо) и иду —ее
приближающая в смысле Ьр наилучшая функция класса ЭЛЛ-Р,
то (1 < р < оо)

8 / — 5дг (/) |]р	Ц / — в>к ||р 4- || 5 Л' (Иуу) — / ||р

(1 + хр)	(/)р —> о

(/V -> оо).

(7)

В частности, таким образом,

5дг (/)->/(У-> оо) слабо.

(8)

Рассуждая, как при доказательстве 8.6 (14) (см. 8.6 (15)), где
Удг надо заменить на Е)у, получим, что свойство (8) сохраняется
для любой регулярной в смысле Ьр функции.

В таком случае регулярную в смысле Ьр функцию [ можно
разложить в ряд

^52»(П+2[52^)-52^(Л],	(9)

6—1

сходящийся к ней слабо (аналог 8.8 (4)). К этому ряду законно
почленное применение операции /р, где р — любое действительное
число. Важно отметить, что к-й член ряда (9) есть обычная
функция класса кроме того, важно, что

5^	на Л2Й-! (й = 1, 2, ...)
и имеют место неравенства

В /г	(Л —	(Л] Ир Ъ-М~г й (Л — (Л йр> (10)

^(ЛКМ^СЛИр	(П)

для любых действительных г и регулярной в смысле Ьр функ-
ции /.

Рассуждая, как в 8.9, где надо всюду заменить ст, (Л на 5/ (Л,
получим на основании сказанного следующую теорему.

8.10.1.	Теорема. Пусть 1<р<оо, 1^9^оо и г —про-
извольное действительное число. Тогда [ е Врв (Вргх> = Нр) тогда
и только тогда, когда [ регулярна в смысле Ьр и ее (сходящийся
к ней слабо) ряд

/-ЕРх,	(I)

*=о

Ро = 52«(Л, Р^ = 525 (/) _52^-1 (Л	(в-1, 2, ...),

таков, что
/ оо	1 1/0

Ик= М?/ <оо.	(2)

Р9 \8=0	/

=Швг =8ир2"|р,йр<оо	(3)

Р	роо 5

(см. примечание в 8.9).

Докажем лемму, дополняющую результаты 1.6.6 (в тех же
обозначениях).

8.10.2.	Лемма. Пусть [ есть регулярная в смысле В
(1 < р < оо) обобщенная функция, для которой

|{5М (/) 12}Г <°°-	(0

Тогда Ьр.	”

Доказательство. Для произвольного числа 2У>0 опре-
делим множество целочисленных векторов Л:

Олг = {й:	/ = 1, ...» п}

и сумму Лу= У, 6*, дА = дА(Д. Так как / регулярна, то

(А->оо) слабо. С другой стороны, в силу (1) сходится
в смысле Ьр:

|М'-М₽<с|/	5

| \*Е °Л'\

(И, А'->оо).

Поэтому стремится к / в смысле Ьр и / е Ьр.

Аналогично доказывается (обозначения см. в 1.5.6.1)
8.10.3.	Теорема. Если функция [(х) от одной переменной —
регулярная в смысле Ер(—оо, оо), 1<р<;оо, обобщенная функ-
ция, для которой

(1)

то она принадлежит к Ьр.

8.10.4.	Пример. Ниже приводится пример функции
(2 < р < со) целой экспоненциального типа 1,
Которой есть обобщенная функция, ие суммируемая
(а, ь\<= (— 1, +1).

Пусть

фй(х)-/а* (2*-у<И<2* + 4-),
[ 0 (для остальных к)

8 (х) е Ьр со, оо) =
преобразование Фурье
ни на каком интервале

(*-1. 2, ...),

О)

где числа а* >• 0 такие, что

2а1 “со, 2аА<оэ (2<р<оо).	(2)

1 1

М

Положим еще	и

(3)

I

Ряд (3), очевидно, сходится в смысле Ьр —	(— оо, оо), а следовательно, и

в смысле 5', и / е Ьр с. 5', || / ||р = (2 ^51 ак	<со. Пусть еще

_2*+|

=	(А=1, 2, ...).

Легко проверить (см. 1.5.7 (10)), что

Ц (х) -2а* л/~сов 2*х	=а*	(е‘2*х + е~= ф* (х).

р 31	Л	р 31	X

Положим еще
#	___ со Ы

I	-юэ 1

Р (*) = 2]^(Х).
Тогда

|'лгМ|< 5 /00 1^1^

—00

(0°	\1/?	1

5 |Й|Ч] <ШрИ ".	(4)

—со	/

где константы, входящие в эти неравенства, не зависят
Поэтому

от М,

II/Ир

и х.

\? (х)—Р„(х)\^С

00

2^

1—1

и «

р

(б)

и Еу (х) -> Р (х) равномерно иа любом конечном отрезке. Но тогда Р (х)— не-
прерывная функция. Из (4), (5) легко также следует, что Р в 5' и Р^-г-Р (5').

В таком случае

СО	со

р'-ХЧ-Х $*=/.

1	1

где все операции (дифференцирования, суммирования и преобразования Фурье)
понимаются в смысле 5'.

Можно доказать (доказательство см. в книге Зигмунда [2], ч. II, гл. XV,
в конце п. 3.14), что функция Р (х) (понимаемая как обычная функция) ие
имеет производной почти всюду. Но тогда обобщенная производная?7' на любом
интервале (а, Ь) не есть суммируемая функция, иначе говоря, каков бы ни
был интервал (а, Ь), не существует суммируемой иа (а, Ь) функции а (х) такой,
что

Ь

(Р', <р) = а (х) ф (х) йх	(6)

а

для всех функций ф е 5, имеющих носитель на (а, Ь). В самом деле, если
бы такая функция а существовала, то, интегрируя по частям правую часть (6),
получили бы равенство

ь	ь х

У Р (х) ф' (х) йх = у у а (/) ф' (х) с1х,
а	а а

т. е.

Ь	х

$ ф (х) ф' (х) йх = О,	ф (х) = Р (х) — $ а (/) И,

а	а

какова бы ни была функция фе5с носителем на (а, Ь). Но тогда ф (х) = С
есть константа и Р была бы дифференцируемой почти всюду на (а, Ь). Тот
факт, что ф = сопз1, можно доказать следующим образом. Если бы это было
не так, то можно было бы подобрать такую константу с1г что функция А. (х) =
= ф(х)-|-с1 принимала бы значения разных знаков в некоторых двух точках.
Пусть для определенности а<х1-<х3<й и А (хх) < 0 < А (х3). Для рассмат-
риваемых функций ф, очевидно,

Ь

А (х) ф' (х) с1х = О,
а
Ь

потому что $ <р'(х) с/х = 0. Подберем 6 > 0 настолько малым, что X (х) < О на
а

(хг—6, хх + 6) и X (х) > О на (х2— 6, х2 + 6), и пусть со (х) есть непрерывная

на (а, Ь) функция, равная нулю, для х<х1—	и х>х2-|--=- и такая, что

ш' (х) =—1 на !	6	/ 6	, 6 \ , / \ П ( 1 $	6 \ , . .  (*!—2 > х1 + у)> “ (х)=° на (х1 + у’ Х2 — у)> “ (х)=1  , 6\ „

на ^х2—-у, х24-"2-^. Ее е-усреднение сов (х) принадлежит, очевидно, к классу
рассматриваемых здесь функций ср, и потому

ь	Ь

0= у X (х) со' (х) с/х —* у X (х) со' (х) с/х > 0 (е -> 0),
а	а

н мы пришли к противоречию.

Положим

1 с

г (X) - (1)д/} Ос (х-0/(Ой/, Д = {|х|<1}.

Так как /а Ьр, то функция § е Ьр и есть целая экспоненциального типа 1.
Ее преобразование Фурье

^=(1)Д?

есть обобщенная функция, равная ] на Д. Это значит, что

& <р) = (Л <р)

для всех <р е 5 с носителем иа Д. Но тогда /, а следовательно и § не пред-
ставляется ни на одном интервале (а, Ь) с Д суммируемой функцией.
ГЛАВА 9

ЛИУВИЛЛЕВСКИЕ КЛАССЫ Ь

9.1.	Введение

Лиувиллевские классы мы обозначаем через Ьр (/?„) (г О,
Ьр (Яп) = А» (7?л)) в изотропном случае и через Ь'р (/?„) — в анизо-
тропном. При целых г, г они совпадают с классами Соболева

тт;(г=о, 1,...),

Ч7ГР(ЯП)-ЬГР(К„) (Г/ = О, 1, 2, ...; /-1, ...» п).

Возможны обобщения на случай, когда р имеет векторный ха-
рактер.

Классы Ьг, Ьг при дробных г, г являются наиболее естест-
венными продолжениями классов ТГГ,

Для ориентировки мы уже сейчас отметим их основные свой-
ства.

Функции Р Ьр (7?л) определяются в виде уже известных
читателю интегралов

/7(х) = Л/ = —С Ог(|х-и|)/(и)сги,	(1)

I &4 V 1	С/

где (см. 8.1) 6Г — ядро Бесселя— Макдональда. Если г —нату-
ральное, то (см. 8.2) Р пробегает класс №р (/?л), когда / пробе-
гает Ьр(7?л), при этом имеет место изоморфизм 1ГЬР (/?„) = ЧРр (/?„).
Для дробных г равенство (1) ставится в определение класса
Ьгр (Рп) (по крайней мере в этой книге, см. 9.2.3), т. е. мы счи-
таем, что Р ^Ьр (/?„) тогда и только тогда, когда Р = 1Г[, где
/ е Ьр (7?л), и полагаем

Для любого г>0 Ьр^Нр, больше того, «с точностью до
любых малых е» классы Ьгр, так же как Вгр, совпадают с Н'р,
а именно

НГ+^Ь'Р^НГР.

Поэтому «с точностью до е» для классов Ь'р справедливы те же
теоремы вложения, что и для классов Нр. Например, (0</и<п,
1«^р<р<оо, г —п/р + /и/9>е>0)

ьгр(нп)^нгр^п)^нч р+<>	р+» л^т).

Справедливы вложения (см. 9.3, Вр = Врр)

ВГР^Ь'Р (1<р<2), Ьр-^Вр (2<Ср<оо).	(2)

Совпадение классов В и Ь имеет место только при р = 2 (В^Ьр.
При р #= 2 они существенно отличаются друг от друга.

Классы Ьр объединяются единым интегральным представле-
нием через функции /еЬр. Классы Вр объединяются этим же
представлением, но через функции / е Вр, где Вр есть класс,
существенно отличный от Ьр, при р>2 он содержит в себе
обобщенные функции (см. 8.9.1).

Семейство классов 1/р замечательно еще тем, что оно замк-
нуто по отношению к таким теоремам вложения, где происходит
переход от одной метрики к другой. Так, имеет место вложение
разных метрик

Ь'рШ^ЩВп)	(3)

(р = г-п(-1.1<р<д<оо).

Другой, более общий случай представляет собой вложение

Вгр^п)^Ц(Лт)

(4)

(р = г-7 + у^0’	1<Р<?<°°).

где наряду с изменением измерения происходит переход от одной
метрики к другой. Что же касается теорем вложения, где изме-
няется число измерений без изменения метрики, то соответствую-
щая прямая теорема выглядит так	1 <р<оо, р =

п—т . п\

“г--,>°г

ШМрШ	(5)

а обратная так:

Врр(Кт)+ЬГр (/?„).

(6)
На основании сказанного выше В можно заменить на Ь при
р = 2 в (5) и (6), кроме того, в (5), если 1<р<2, и в (6),
если 2 <р <оо. В остальных случаях такая замена неверна.
Таким образом, теорема вложения разных измерений вообще
не замкнута по отношению к классам Ь.

Имеет место следующая ситуация:

Вгр (/?„) -> Ьгр (/?„) -> Вр (Дт) -> Вгр (/?„)	(1 < р 2),

А; (Яп) -> Вгр (/?„) -> Вр (/?„) -> Ь'р (/?„)	(2 < р < оо),

показывающая, что два различных класса Вр (/?„) и Ьр (₽„) функ-
ций, определенных на 7?л, дают одно и то же множество следов
на Ят (класс Вр (/?„))•

Следует отметить, что вложения

Вгр(Пп)^Врр(Пт)

при указанных т, п, р, г, р можно получить как следствие
вложений (5) и (6). В самом деле,

Вгр (/?„) ЬГр+^ (/?л+1) # Вр (7?т).

Факты, которые мы здесь изложили, являются характерными.
В анизотропном случае имеют место подобные же факты. Они
также будут доказаны в этой главе.

9.2.	Определения и основные свойства классов Ьр и Ьр

Пусть	х = (и, у), и^(х1, ...,хт)^Ят, у =

= (хт+1, ..., хл)е7?л_т. Для функций ф(х) = <р(и, у) класса 5
(см. 1.5) будем обозначать их преобразования Фурье (прямое н
обратное) по переменной и через ф“, <р“ (ф“ = ф, <р“ = <р при т = п).
Например,

Ф“ («> У) = У <₽	(О

Операции ф“, <р“ отображают 5 на 5 и слабо непрерывны (см. да-
лее 9.2.1), поэтому для произвольных обобщенных функций / е 5'
(определенных на /?л) соответствующие преобразования Фурье
корректно определяются функционалами

(/“, ) = (/. Ф“)>

(/“, ф) = (Л ф“)-

Если Х(й) есть бесконечно дифференцируемая функция поли-
номиального роста, зависящая только от и, то для /е3'
что непосредственно следует из справедливости этих равенств
для сре5.

Введем операцию

Р =	= 0 +1 и |2)- "2/““ =Х(1 + |«|2)-г/2)	(2)

т	\

|и|2 = 2ы/, 1иг = 1г при т = п,	соответствующую дей-

1	/

ствительному числу г, отображающую 5' на 5' взаимно одно-
значно. При /п=1, когда Ят = ЯХ) есть ось координат х/г будем
обозначать ее еще через 1Х,Г.

Для функций / еЛр = Ар(7?л) (1<лр;Соо) эта операция при
г>0 сводится к свертке

(т \

1 '

где 0г — ядро Бесселя— Макдональда, что доказывается следую-
щим образом.

Для / е 8' имеют место равенства

?(*)=/(—

которые следуют с помощью обычных «перебросок» из того, что
они, очевидно, верны для любых <р е 8. Далее, если Л е Ь и
!^ЬР, то

Л/ = Л/(—и) (—Х) = —^2 С Л(— х —и)/(— и)с1и.

В частности, если Л(«) = Л(—и), то Л^ = Л/. Поэтому для
фе5, учитывая, что 0г (| и |т) = 0г (| — и |т) е= Ьр (7?т),
получим

(/«л <₽)=(л а+|«12)~ф)= 

= (А (1 +1«I2)- '/2ф) = (А (1 +1 и I2)- '/*<₽““) =

"= ^т/2 ^(Х)йх ^Ог(\(-и|т)/ (и, у) Ли (Лх = Л Лу),

что и доказывает (3).

Введем функциональные классы Ьгир = ЬиР (/?„),

Рх^ — Рх1р(К.п), Рир = Рир(Рп), ^=(Г1, ..., Гт).
По определению функция Р е 8' принадлежит к Ь'ар = Р'ар (/?„),
=	1^р^оо, — оо<г<оо, если она представима

соответственно в виде

Р~1агГ, Р-1Х{гГ,

где ! е Ьр. При этом вводятся нормы [Л,. = ]/|р, в частности,
ьир

|Г| г =||М|р, тривиальным образом указывающие на изоморфизмы

Iиг (Ьр) = Ьир, /.у (Ьр) = ЬХ(Р,

осуществляемые операциями 1иг, 1Х{г- Класс Ьгар = ЬиР(Нп), соот-
ветствующий произвольному действительному вектору г, опреде-
ляется как пересечение

т

=/Г)1

о нормой

т

1/1, - 2 И1д9

-р /-1

В силу сказанного выше класс Ьгар можно определить еще
как класс функций, представимых (почти для всех у) в виде
интеграла (3), где /(х) = /(и, ^)еЕр (/?„).

При условии 1 < р < оо

ЬиР^Ьгйр"’г	(г^О),	(4)

ЬиР =ТГ;Р = К'Р-",Г	(г=1, 2, ...),	(5)

Рир “ №ир	(^‘=(/'1,	•••» Гт),	(6)

// —целые неотрицательные).

Равенства (5) и (6) показывают, что классы Ь'ир, Ьгар можно
рассматривать как распространения на любые действительные г,
г соболевских классов ^Ргар, ^Ргир- Но надо иметь в виду, что
функции классов Ьгар, Ьгар определены нами на всем простран-
стве Кп, в то время как функции соболевских классов можно
яадавать на произвольных открытых множествах §С2КП-

Первое равенство (5) при т = п доказано в 8.2. Если же
т<.п, то пусть пока (е8 (класс основных функций). Тогда
/еЯ%(#т) для любого у. Очевидно также, что /еЬр(7?т) для
любого у, ведь функция у) по и принадлежит к 8 = 8 (/?т),
а операция 1Г (по а) отображает ее в функцию класса 8 (/?т),
таким образом, в Ьр (/?т). Поэтому в силу уже доказанного в 8.2

С1II / Них' (Ят) ^8 Л (— 1кр (Кт)	(Пту (7)

где С1, са не зависят от / и у.

Возведение этих неравенств в степень р, применение элемен-
тарных неравенств *), интегрирование по у и повторное приме-
нение этих неравенств приводит к неравенствам

о'ип^	(8)

ир	р	ир

пока для функций [ е 5.

Если теперь / е 1Гир (/?„), то определяем последовательность
финитных (принадлежащих к 5') функций (/-1,2,...) таких,
что||Л-/|| ,	->0 (/->оо).

ир (*п)

Из (8) следует, что

г ->0 (к, 1->оо)
“Р

и в силу полноты №гир и того факта, что (см. (3))

Л(«.	=	€ 0г(1«-Лт)фД^

(2Л) ' V

где 0г (I и |ш) е Ьр (Кт), имеет место второе неравенство (8), где

Р	ир

Если же / е Ь'ар и /В(_Г)/“=Ф, то можно подобрать последова-
тельность финитных (принадлежащих к 5') функций <ра таких,
что || Фй — ф||д ->0, поэтому в силу первого неравенства (8) и
полноты №ир получим первое неравенство (8). Этим доказано
первое равенство (5).

Из первого равенства (5), примененного к каждой оси
(/=1, ..., п), очевидно, следует (6).

Переходим к доказательству (4). Пусть Р ® Ь'йр ‘' (г 5=0),
тогда
/------------------------\

т

Ф= 2 (1+</2^е^, ||ФКИ8гг...............г

/ -1 “₽

*) Имеются в виду неравенства

где числа ак > 0 и с, зависят только от р и количества (конечного) сла-
гаемых под знаком суммы.
и, так как функция
/ т	\ — 1

(1+1 «1т/2 2 и+«/Т/2
\/=1	/

есть множитель Марцинкевича (см. 1.5.5, пример 9 при г = г/,
о=1; учесть здесь и ниже примечание 1.5.4.1), то

/в(_иГ = а + 1«|2)^е1р,

\\р\\ьг Н/м-Л<Ж1р<1П'.-'.........

^ир	^ир

откуда следует, что ЬиР " ' Ь'ар. Наоборот, если Р е Ьгар, то

/ = Г1+1«1+/2^еАр,	|/|р = Идг

«р

и, так как функция

(1 + 1 и|2)-'-/2(1+«,?)'-/2	(г>0)

есть множитель Марцинкевича (см. 1.5.5, пример 3), то

/у = (Т+^>еАр, ||//||р<||/1к, = ИИдг ,

поэтому Ьгар->Ьгйр   ’г, и (6) доказано.

Из сказанного следует

^иР^РГар^ЬГйр-'Г^^Гйр-’Г (г = 0, 1, ...),

что влечет второе равенство (5). Нетривиальная его часть есть
вложение ЧРгйр " ’г -* ЧРгир (1<р<оо), выражающее, что если
функция / е Ьр и имеет несмешанные производные порядка г по
переменным х1г ..., хт в отдельности, принадлежащие к Ьр, то
она имеет также любые смешанные производные порядка г по
указанным переменным, принадлежащие также к Ьр. Существуют
примеры, показывающие, что это вложение при р=1 и р = оо
не имеет места (Б. С. Митягин [1]).

9.2.1.	Слабая непрерывность операции ф“ (<р е 5) вытекает
из следующих соображений. Будем писать ф вместо ф“. Зададим
натуральное I и целочисленный неотрицательный вектор к =
= 5 + р, где 5 = (ки	кт, 0, ..., 0), р = (0, ..., 0, кт^, ..., кп).

Тогда, очевидно, производная

Г)*ф = Я’+в)-
Имеем (пояснения ниже)

(1 +1 х |7 |	| < (1 +1 у |2)' (1 + | «|2)' |	| «с

^с(1 + |у|7 У, гпах (1 +1 и |7' I О(,8')<р(0) («, у) | =•

(('.Ие#!,» “

= С (1 + |у 17 2 (1 +1 ио 17' I О^'+в’Ф («О, у) |

< с 2 (1 +1 у |2 +1 «о I2)2' I+ 0)Ф («о, У) I <

^с^и(21, 5' + р, <р). (1)

Второе неравенство следует из 1.5 (4), в третьем члене константа с
зависит от I и к, но не от ф и у, сумма в третьем и последую-
щих членах распространена на некоторое (зависящее от I и р)
конечное множество пар (/', я') натуральных чисел Т и не-
отрицательных в'. В четвертом члене «0^^т на самом деле
зависит от соответствующего слагаемого и от у; «0 —это точка
максимума (по и) соответствующего слагаемого при фиксирован-
ном у. Из неравенств (1) следует слабая непрерывность ф“.

9.2.2.	Теорема о смешанных производных. Пусть
1<р<оо, Р (=ЬГр = Тгр(П), П = Кп, г— (гх.гл)>0 (г/>0)

и I « (/1( ..., /л)^0 — целый вектор (^^0 —целые), для ко-
торого

п I

х=1-27^°-	(1)

Пусть далее

р = иг.	(2)

Тогда производная

Р^ = (1хуРе=Р9р	(3)

и

(4)

Ьр	ьр

Доказательство. По условию Р е Ьр, поэтому

ф = Л^еД„Л-2(1+х’/,А (Н-йНТЬ- (5)
/=, *»

Чтобы доказать (3), (4), мы должны установить, что для любого
«=1.....«

мг	\

(1 +Х|)-2Т(') = (1 -\-Х^Г’Цх)'~Р 6= Гр,

11 С. М, Никольский
но это следует из (5), если принять во внимание, что функции

(1 +х52)-Г(й:)'Л-*

суть множители Марцинкевича (см. 1.5.5, пример 6).

Доказанная теорема 9.2.2 в определенном смысле аналогична
теореме 5.6.3 для В-классов. Однако теорема 9.2.2 верна при
1<р<ооих^0, в то время как теорема 5.6.3 верна при
1 р «ё ОО, но при X > 0.

Пример. Пусть / есть функция, определенная на круге
° = {р2 = х2 + у2«$ 1} равенствами

/ = ху1прг (р>0), / = 0 (р = 0)	(1)

и продолженная на всю плоскость 7? так, чтобы она вместе со
своими частными производными до второго порядка включительно
была ограниченной и непрерывной на области Р > у (см. тео-
рему 3 в замечаниях к 4.3.6).

Легко проверить, что	непрерывны и ограничены,

д"4	о2/	п"	"7

а дх2 и ду2 огРаничены на в то вРемя как 57^ непрерывна
для р> 0, но неограничена в окрестности нулевой ТОйки.

Этот пример показывает, что при р = оо теорема 9.2.2 вообще
неверна.

9.2.3.	Замечание о производных дробного порядка. Мы опери-
ровали выражениями вида

Й“)=/(а) 06=5')	(1)

только в случае целых векторов а. Если а^О, то есть про-
изводная от / е5’ порядка а. Функция Их')'1 при целых а бес-
конечно дифференцируема и полиномиального роста, поэтому
выражение (1) корректно определяет /(а) е 5'.

Если действительное число а нецелое, то функция (г7)а
(—оо</<то) многозначна, но можно условиться понимать под
этим выражением однозначную ветвь этой функции

(»7)° = 111“ ехр зщп ,

и тогда при а натуральном

(//)“ = (//) ... (//).

а раз

Если далее а, 0 —действительные числа, то

(17)С!Р = (;7)'1(17)Р.
Если теперь «=(«!,	а„), р = (р1; рл) —действитель-

ные векторы и х = (хъ хп) —действительная векторная пере-
менная, то положим

(1Х)“ = (1х1)',1 ... (1хл)Ч
и тогда, очевидно, будет выполняться равенство

(1Х)а (/х)э = (гх)а+р.

Теперь естественно определить производную /(а) порядка а
для произвольных не обязательно целых векторов а при помощи
выражения (1). Однако здесь возникает затруднение, заклю-
чающееся в том, что для дробных а функция (1х}а не является
бесконечно дифференцируемой; она также не является множите-
лем Марцинкевича и, таким образом, неприменима в смысле
рассматриваемых в этой книге определений, даже если / е Ьр.
Выход из положения находят в том, что вместо 5 рассматри-
вается другой класс й основных функций, состоящий из функций,
ортогональных многочленам (П. И. Лизоркин [5]).

Над й определяется класс функционалов (обобщенных функ-
ций) й’. В терминах й’ имеет смысл понятие	для дроб-

ных векторов а. При этом доказывается, что класс Ьгх.р, где
л>0 вообще дробное, можно определить как состоящий из
функций /, для которых конечна норма

I, а +11(агЯ •

р	р

Эта норма оказывается эквивалентной введенной нами норме г •
х/р

9.3.	Взаимоотношения лиувиллевских и других классов

Будем считать, что /? = 7?л, Л = Л(7?), Н = Н(В), ... и

Врр — Вр, Врр — Вр

Справедливы вложения (гЗгО, г^О)

Вр-	>Н'р,	Вр-	>НГр	(2*		5 оо),	(1)
вгр-	+ ьгр,	вгр-	+ вгр	(1*		5 2) *),	(2)

Ср-^ВГр, Ьр-^-Вр (2=с/7=соэ,	= ВдаОТ = /7ю)*).

(3)

*) О. В. Бесов [5] — целые г, г, 1 < р < со; П. И. Лизоркин [8] —
общий случай, 1 < р <_ оо. См. еще замечание к 9.3.
Из (2) и (3) следует, что

В% Аз, Зч= Аз	(4)

и, в частности,

В; = ГзГ, =	(г, Г/ = 0, 1,...).	(5)

Таким образом, значение параметра р = 2 является исключи-
тельным—для него соответствующие классы В и А, а для нату-
ральных г, г и № совпадают.

Приведем доказательства (1) —(3) пока при п=1. В этом
случае вложения, входящие в каждую из пар (1), (2) или (3),
соответственно совпадают.

Пусть функция / е=Ьр = Ьр (31) и оу (/) есть ее сумма Вал-
ле-Пуссена. Тогда

\\ъ°тР^ми\\р,

(/)-№(/) 11^2^,

а это показывает, что (см. 8.9.1 (1))

1/Ц==;р (Цо»* (/)[,• К* ® м «=2*Ф!„

т. е. Ьр-*~Н*р, но так как операция /г осуществляет изоморфизмы:
1г(Ьр)=Ьр, 1г(Нр) = Нгр,
то

Ар -> Нр.

Докажем (3). Случай р = оо уже рассмотрен. Пусть 2 «с р < оо
и функция = Ар (—оо, оо), следовательно, регулярная в
смысле Ар.

Тогда, считая, что 0* (/) имеет такой же смысл, как в 8.10.1,
получим (пояснения ниже)

Первое неравенство следует из 1.5.6.1, второе —из 3.3.3 и,
наконец, последнее —из теоремы 8.10.1. Следовательно, Ьр-±Вр.
Пусть теперь при тех же обозначениях / е В°р, 1<р=с2.

Тогда (пояснения ниже)

1№ = 2IIР* (/)Ир = (21 ₽*01₽^ ({21М) 12}Р^Х>ИЛ₽-
0	—со 0	0
Первое соотношение следует из 8.10.1, предпоследнее из 3.3.3
и последнее из 1.5.6.1. Следовательно, Вр-*-Ьр.

При р=1 рассуждаем иначе. Пусть функция /«В1, тогда
она регулярна в смысле Ь и представляется в виде слабо схо-
дящегося в смысле 5' ряда 8.9 (3) Валле-Пуссена

ОО
о
оо

где У1,||д3Ц1 <оо. Но тогда, очевидно, /е! и

•в1

Мы доказали (1) —(3) при п = 1. Но тогда верны также вло-
жения

ЦР(Ял)->/^р(Я„),	(6)

&/Р (Я„) -> Ц.р (Я„) (1 -с р < 2),	(7)

^,-р (Ял) -> Вгх.р (/?„) (2 <5 р оо).	(8)

В самом деле, непосредственно из определения Н- и В-классов
видно, что если функция В (х) = В (хъ у), у=*(х2, ..., хп), при-
надлежит к Нгх р (Кп), Вх1Р (Ял), то почти для всех у она как
функция от х2 принадлежит соответственно к Нр (ВХ1), ВГР(ХХ1),
где А?*, ось аналогично, если В (х) е ЬХ1Р (Вп), то почти для
всех у она принадлежит к Ьр (%Х1) (это следует из интегрального
представления 9.2 (3) функций класса ЬХ1Р (Ял-,)).

Справедливы при этом с точностью до эквивалентности
равенства

(9)

<10)

где вместо Л можно подставить Н или В, а в (10) В и / связаны
равенством 9.2(3) при т=1. Неравенства, определяющие вло-
жения (6) — (8), следуют тогда из соответствующих уже доказанных
в одномерном случае неравенств между нормами под интегралами
в (9), (10).

Из (6) —(8), где можно х2 заменить еще на (/=1, . . .2 п),
тривиальным образом следуют вложения (1) — (3)), если учесть
(при доказательстве первых вложений (1) —(3)), что

Яр — Яр'г (1 ==гр==гоо), Вр = Вр-’г (1===р^оо),
^₽ = Ар...............г (1<р<оо).

9.4.	Интегральное представление анизотропных классов

В этом параграфе мы займемся изучением операции

г=€/=/,/,	(1)

л=л'=(5 о + */)Г/О/2к 7	(2)

4-1	)

(а>0, г = (ль .... г„)>0),	'

зависящей от положительного вектора г и параметра а. Она
аналогична уже изученной операции 1Г (г —число), и в одномер-
ном случае они при г*=гх и а=1 совпадают. В случае п>1,
?! = ... = гп = г операции 1Г и !г даже при а = 1 не совпадают,
однако они имеют аналогичные свойства, что, например, видно
из того, что функция

(1 + 1 х |2)г/2Лг(х)	(3)

и величина, ей обратная при любом о > 0, есть множитель
Марцинкевича (при 1 < р <оо, см. 1.5.5, примеры 9, 8).

Мы будем писать еще

1-гГ-Г-	(4)

Так как множитель Лг — бесконечно дифференцируемая функция
полиномиального роста, так же как величина ей обратная, то I?
трансформирует взаимно однозначно 5' на 5'.

Операция /г замечательна тем, что она осуществляет изоморфизм

ЬГр~1г(ЬР) (1<р«*>).	(5)

В самом деле, если / е Ьр, то

что следует из того, что функции
(1+х?р/2Лг(х)	(1 = 1..п)	(6)

суть множители Марцинкевича (см. 1.5.5, пример 10). Поэтому

В&. ЬР и

И11ьг<Ик
Наоборот, если Р^Ьгр, то

‘-р

Это следует из того, что функция (см. 1.6.5, пример 11)

{п	1

2(1+*/№	V*

/=1 >

есть множитель Марцинкевича.

Пусть г>0, X, 6 >0, тогда, как мы доказали, имеет место
изоморфизм

7(х+в), (Ар) = ЛЬх+в)'' (1<₽<оо).	(8)

Замечательно, что хотя операция

7 Хг7вг

вообще отличается от операции 7(х+б)г, но они эквивалентны в том
Смысле, что наряду с (8) имеет место изоморфизм

7хг7бг(ЬР) = 4Х+в)г (1<р<оо).

Это следует из того, что функции р, р.-1, рассматриваемые в при-
мере (1.6.5, пример 12), являются множителями Марцинкевича.

9.4.1. Оценки анизотропных ядер. Зададим г = (гъ ..., г„)>0
и 7 =	..., /„), и пусть а>0 настолько велико, что выпол-

няются неравенства

П I	П 1	1

«-1......

Ближайшей нашей целью будет показать, что в таком случае
преобразование Фурье (см. 9.4 (2))

А = Лг(х) = ф(х)	(1)

есть обычная функция, обладающая «производной» *)

л /	\

♦) Можно показать, что это утверждение сохранится, если в нем опера-
цию 1_1 при целых I заменить на операцию производной О,0г™(/х)/Л
(П. И. Л и з о р к и н [12]).
(обычной функцией), подчиняющейся неравенствам

(х) |<с	'{2|ж,г/‘Г  \ ! х	1	(2)  1п(|^+1) (и = °)’  1	(х<0),

| 1—гОг (х) | < се~(| х | > 1),	(3)

где С!>»0 достаточно мало и ст входит только в константу с,
из которых следует, что 0г Ь. Это, в частности, показывает, что
/// = $ Ог (х — и) / (и) йи	(4)

обычная свертка для (1=Ср=Соо).

9.4.2.	Пусть О обозначает комплексную плоскость с вырезом
— оо<х<:0 и р = Х + ф_комплексное число. Будем в даль-
нейшем считать без пояснений, что гр есть однозначная, опреде-
ленная на й ветвь многозначной функции гр, равная хр =
= 1П * на луче 0<х<оо. Иначе говоря, если г = х-|-гг/Е й,
то предполагается всегда, что гр = | г |р е!р аг®г, где |аг2г|<л.

Лемма 1. Пусть 0<а«с1. Тогда

|га-Ла|<М|г-Л |а (гей, Л^О),

(1)

где М не зависит от г и А.

Доказательство. Рассмотрим сначала однозначную ана-
литическую функцию

(2)

на области О* комплексной плоскости с двумя разрезами
—оо</<0, 1<х<оо, равную

I (Х) = (х-1)<х

на верхнем берегу разреза 1<:х<оо.

Чтобы сконструировать такую функцию, надо считать, что
функция г“, стоящая в числителе (2), определяется формулой
2“ = рае1ав (г = ре,в, р>0, —лСбСл); т. е. что г“ (в числителе)
понимается как однозначная ветвь г“, определенная на й, равная
ха для 0<х<оо; что же касается функции (г —1)“ в знамена-
теле, то она понимается в смысле (г—Г)а = гае1ач> (г — 1 = ге'41,
г>0, 0==$ф»с2л).

Определенная таким образом функция / (г) имеет предел
Иш /(г)*»1, кроме того, она ограничена на всех берегах обоих
Ж-»оо
разрезов. Таким образом, она ограничена на всей границе й*
и, согласно принципу максимума, ограничена на й*:

I га — 1



| г“—1|	|г“—1|

|(г —1)« |	| г— 1

и мы доказали неравенство (1)
тогда и для г ей, потому что
неравенство

при А = 1 и всех гей*, н<?
для действительных г==х>1

|ха — 1 | |х — 1 |а (0<а=с1)

хорошо известно.

Если теперь А — произвольное положительное число, то для
гей

|га-Ла| = Л“|(;0“-1 |<МД“|1 |“ = М|г-Д |“,

и мы доказали (1).

Лемма 2. Пусть а 5=1, тогда для гейи любого Д>0
имеет место

|г-Д |(Ла"1 + |г|а-1),	(3)

где М не зависит от г и А.

Доказательство. В самом деле, соединим точки А и г
отрезком с:

С = ДД-/(г-Д)	(0</^1),

принадлежащим, очевидно, к й. Тогда

1

г“ — Аа = а г0"1 дг = а $ [Д Д-1 (г — Д)]00-1 (г — Д) сП,
с	О

откуда и следует (3) ((аД-6)р«Сс(а₽Д-6₽), 0 > 0, е не зависит
от а и Ь).

9,4.3.	Введем обозначения

г> г_н п Ц.

у = 2(1+«/)2» ^=Е(1+«/)2Гя

(о>0)

(1)
и отметим неравенства

СГ^сУ,	(2)

где с не зависит от У,
гп

1М^(1 + «л),/2 = (1+«л)2г"^-	(3)

Здесь (2) следует из того, что для р > 0 и любых х7 >> 0

/ П	\1/3	П

(Хх*П =^сз1Х

\ 1	'	1

а ср не зависит от х7.

В плоскости комплексной переменной а>„ = ип + 1с„ введем
кривую Ьи>

ип + 1к11 (0 < к < 1, — оо < ип < со),

(4)

зависящую от к и векторного параметра и' = («1, ..., ил-1)> Вве-
дем, кроме того, кривую Пусть

/л-1 1Е

В = к (1+<'л+1
\ 1

(5)

где к — постоянная. Если то будем считать, что Ь*и> = Ьи’,
•если же В>1, т. е. когда Ьи' находится выше точки I, то пусть

Т*' = Ьи' “К 1а',

где 1и’ есть проходимый два раза отрезок [г, [В]. Точнее, мы
считаем, что ориентированная кривая Це получается следующим
движением: сначала точка Це пробегает левый кусок Ав-, соот-
ветствующий возрастанию ип на интервале (—со, 0), затем она
спускается по отрезку Ц вниз до I, огибает I, поднимается до
Ьи> и уходит к 4-оо по правому куску Тв-.

Обозначим через Еи> множество точек о>л, заполняющее часть
комплексной плоскости и)п между действительной осью ип и кри-
вой Ьи'.

Так как Л = У а есть бесконечно дифференцируемая функ-
ция полиномиального роста, то имеет смысл Ле 5'. При малых
Г/ интеграл

А(Х) = '[^2’^*“Л(й)4/й
уж во всяком случае может не сходиться абсолютно, поэтому
изучение функции А будет производиться окольным путем вве-
дения вспомогательной функции

_ _р

V 0 = Ар,г,а (р = Х-фф, Х>0,	А1,Г10 = А, = Л) (6)

с комплексным параметром р. Для достаточно больших X имеет
смысл непосредственная запись через лебегов (абсолютно сходя-
щийся) интеграл *)

7— /АР1 0

П(1+^)'//2е‘х“ Ли

12^ 5	У^°	=

= 72^ 5 е‘х и'аа> 3 у^ аип

(х' = (Х1,	хл-1), и' = (ии ..., «„-!)).

Наряду с (7) мы будем рассматривать еще при хл>0 функцию

Н<'> (*) = е‘Х'и' 5 -* 1-----------------------

1и'

Если хл<0, то цЮ (х) определяется аналогично, но в качестве
Ьи> берется кривая в комплексной плоскости, симметричная ей
относительно действительной оси. Рассмотрение для этого вто-
рого интеграла, который мы также обозначим через рЯ (х), ана-
логично, и приводит к аналогичным результатам.

При хл>0и действительных р>ро, где р0 достаточно велико,
внутренние интегралы (7) и (8) равны между собой. В самом
деле, в (8) в V входит комплексное слагаемое

(1+?2Р =[1+(х + 1»2] 2 =(? + й]Р	ИМ.

|=1 4-х2 — у2, ч\ = 2ху.

*) При рассмотрении операции /Улр в (7), (8) произведение Д (1 4-х’)г/2

1

заменяется на
Число может принадлежать к разрезу — оо<^<0 тогда
и только тогда, когда х==0, у2^1, т. е. если

г = 1у, У2 2=1-	(9)

Но точки вида (9) не принадлежат к Еи>, что показывает, что V
есть однозначная аналитическая функция от на Еи'. В даль-
нейшем (см. 9.4.6 (7)) будет показано, что при этом при доста-
точно малом к

— л < аг§ V < л

(Ю)

(если а рг1ог1 считать, что | аг§ У|=Сл), что показывает, что
когда пробегает Вв<, точка V принадлежит к Й (плоскости
с разрезом — оо<х<;0), но тогда и У₽/о (при действительных ст
и комплексных р) есть однозначная аналитическая функция.
Таким образом, под знаком внутренних интегралов (7) и (8)
стоит однозначная аналитическая в области Еа’ функция. Равен-
ство их следует из того, что интеграл по отрезку точек [Л
(0=Сл<^^) стремится к нулю при |^|->оо:

(1+ц^/2Аи”

ур/о

Подобным образом доказывается равенство внутренних интегра-
лов в (7) ив выражении, соответствующем (8) при хп < 0. Это
показывает, что

7/АР1 г, а &)— Р-р’(^)	(-^л 7^ 0» Р > Ро),	(11)

если р0>-0 достаточно велико.

В 9.4.6 будут получены оценки для функции р.^1 (х).

На основании этих оценок и аналитических свойств /_гАр1Г1О
и рР' удается показать (см. 9.4.7), что равенство (11) на самом
деле имеет место для всех комплексных р = %4-/р, в частности
для р=1. Таким образом, обобщенная функция А представляет
обычную суммируемую на функцию А (х) = р,х (X) = р™'. Оценки,
которые будут получены для (4й (х), непосредственно переносятся
на /_1 А(л (х), что и приводит к неравенствам 9.4.1 (1), (2).
9.4.4.	Начнем с того, что оценим п-кратный интеграл (где
Г], 5>0, / = (/!,..., /л)2=0, пояснения ниже)

если

В третьем соотношении оценка интеграла на {| д|> 1} сведена
к оценке на {|и|>1, «/>0; /=1,..., п} вследствие симмет-
ричных свойств функции V. В четвертом введена замена перемен-
ных = с якобианом, стоящим в числителе под интегралом
в пятом члене; при этом еще использовано неравенство
(л \1/а л

3&7	(а>0); здесь 0 > 0 — достаточно малое число,

1	/	1

чтобы шар | и | < 1 содержал в себе шар |||<р. В пятом
вводится переход к полярным координатам. И» (1), (2) следует,
что при р = Х4-4ц, / = 0 и

п


интеграл 9.4.3 (7) абсолютно сходится и может быть записан
в виде

$ = Ли' $ Лип, и' = (и1г ..., ип-^>
п К'

где внутренний интеграл (по ип) абсолютно сходится при любых
И'(|УР| = |У|Х>1„Л;^1 Хгл>], см. (3)).

9.4.5.	Покажем, что, какова бы ни была <р е 5, функция

Ф(р) = (/_/Лр>г>о, <р) (р = Х + ф, Х>0),	(1)

аналитическая на {Х>0}. Имеем, очевидно,

ф(р)=(ЛР,г, а, ф) = $	=п а+Ф 5)- (2)

Производная от Ф формально имеет вид

Ф' (р) = -1
а Л

1р 1п V
ур/о

<Уа.

(3)

Под интегралами в (2) и (3) находятся непрерывные функции
(V 1) и, кроме того,

Ф(в)
уР/О

1(«) I

С [ф (а) | е Ь,

1п У-ф (и)
[7Р/°

1п (и) |

< | ф (а) | «ее Л,

где правые части не зависят от р. Это доказывает, что диф-
ференцирование (3) законно и что Ф' (р) непрерывна, а следова-
тельно, Ф аналитична при Х>0.

9.4.6. Ниже

велик точнее,

(см. 9.4.3 (8))

доказывается, что если параметр ст достаточно
п

гп (х —ст) < 1, х = 2"

1

X *) I, то интеграл

Р(р'’(х) =

1

(2л)л/2

$ Ли' § ----------------------Лип

(1)

(р = Х + ф, Х>0, кроме того **), |ц|<1)

*) Здесь х=х(Х), но х (1) обращается в рассмотренную в 9.4.1 (2) вели-
чину х.

**) Ограничение | р | < 1 на самом деле несущественно.
есть непрерывная по (р, х) функция на множестве {Х>0, | р. | <

<1, хпУ=0}, аналитическая по р, и справедливы оценки



| 1п I Хп I I + 1

1

Ьр’ (х) ;<е

(х>0),

(х =0), (| хп | < 1),

(х<0),

(с>0, |хл|> 1).

(2)

(3)

Обозначим через У* результат подстановки в V вместо ип
комплексной переменной ип + гт]л е Еи-, где Еа’ — область между Т«<
И ОСЬЮ 11/1 = 0. т- е-

Еа’ — {ия + й]п: — оо<нл<оо, О=^т]я^/г^/}

(см. 9.4.3 (4)). Очевидно,

где (п» = П)

© = (1 + (н„ + й1)г) 2 -(1+«^) 2 =

гпа	гпа

= (1+«л + 2«»^-П2) 2 -(1+^)2 •

Оценим о» сверху. Если 0	то в силу 9.4.2 (1)

(пояснения ниже)

| и | ==с М | 2млтр - т]21 2 <||«л|п + П2! 2 <

<(|нл|^)^+йгпа^а<^^в</?^ V. (4)

Применение неравенства 9.4.2 (1) законно, потому что было
выяснено в 9.4.3, что комплексная точка в первой скобке,
определяющей <о, принадлежит к Й (плоскости с разрезом — оо <
<мл<0).

Мы считаем, что константы, входящие в неравенства
не зависят от 1г. Третье неравенство следует из того, что (% + */)“ «С
ха + уа (х, у>0)', предпоследнее из того, что |нл|^и
(см. 9.4.3 (3)) и последнее —из 9.4.3 (2).

Если же гя<т^2, то (см. 9.4.2 (3))

[гя®	гпа

(1 + «я) 2 ' +1 2нят]^ — Л21

</гГ"в</гУ,

(5)

потому что (см. 9.4.3 (3) и 9.4.3 (4), учесть, что 0=Сг]
12нлт]/ — Л21 I ип№ | + «С 1гУ2
И

гпа

Из (4) и (5) следует, что при достаточно малом к можно
достигнуть того, что для всех ип 4- й] е Еиг

|й|<уУ (?<т)’	(6)

где у может быть как угодно малым, откуда

(1-Т)	У,|^(1+т)К	(7)

Неравенства (6), (7), в частности, выполняются на кривой 1&
(верхней границе Еи-). Для дифференциала длины дуги 12> имеет
место оценка:

на Ьи,: ЛЬ*. = ]/" 1 + (к	йип =

= К1 + (кипу (1 + ц’)-1 Лип 2 йип, (8)

на 1и>: (1Ц,' = | й?т]

Аргумент V* (т. е. V на при достаточно малом к оцени-
вается так (считая а рг1ог1, что | аг§ V* | =С л):

| аге V	1ю| < }’У <1	/91

18 к ♦ ' ^==! ре V. |^у_|и| ^=(1-?) V Ь

Этим доказано неравенство 9.4.3 (10), которое понадобилось
нам, чтобы показать, что Ур/а есть однозначная аналитическая
функция от комплексной переменной е Из (9) и (7)
следует также, что

Х4~ 1ц

I ГГ1= (I КИе'аг8У-) °

е

°\У*\”^сУ”	(||х|<1), (Ю)

где, таким образом, с не зависит от А,>0 и | р | < 1.

Имеем	-----

Н(р)(х) = (-^7Гр^“'^'х

2(1 + и))'/2 е!х- (и-+‘^	+ <1ип

1

ур/ст

=7^ + Лп,

(Н)
где здесь понимается как V на Ьи>. Второй интеграл возни-
кает, если только

!п~л Н-
м 5 (1+«^

+ 1)>1.

Модуль подынтегральной функции в /</> не превышает

^(1+^у/2в-^у

0	=а(Х, хп, и),

(12)

где о не зависит от и, хп, р = Х-Нр (Х>0, | р1 < !)• Интеграл
по	от (12) мы и будем оценивать. Мы увидим, что

он конечен при любых /^0, хп>0, Х>0. Если учесть, что
а (X, х„, и) возрастает с уменьшением хп и X	то имеет

место

а(Х, х„, а)<а(Хо, х*п, и) &	= Ъ

(Х>Хо>0, хл$зХп>0).

Кроме того, подынтегральная функция в непрерывна по (р,
х, и). В таком случае на основании признака Вейерштрасса
/р — /|п(р, х) есть непрерывная функция от (р, х). Если
подынтегральное выражение в продифференцировать по (комп-
лексному) р, то модуль полученной производной с точностью
до постоянного коэффициента будет равен

— кхУ., ,, ,
1	" 11п V, |



11 я кХ^и

----»а(Х0 —е, Хп, и) (13)

V в

X > Хо —

>Хо — е>0; | р | < 1, хп^х0>0

и, так как правая часть (13) по и принадлежит к Ь, то вследст-
вие признака Вейерштрасса равномерной сходимости интеграла

можно сказать, что для указанных р и X существует непрерыв-
ная по (р, х) производная Это показывает, что функция
/1%, х) аналитична по р(/^»0, Х>0, | р| <; 1, хл>0).

Отметим, что константы в неравенствах (12) и (13) (так же,
как в последующих неравенствах при оценке /^>) непрерывно

вависят от р.
Для 0<х„<1 (пояснения такие же, как в 9.4.4)

п

^-1



<1 + \

181 >Р >о
Ь>о

11М

-с'.гу-
е гя



1

|1п Х„| + 1

УХП
(х>0),
(х<0),
(х = 0),

X п‘

(14)

Надо принять во внимание, что интеграл в предпоследнем
из этих соотношений, взятый по (1, оо), сходится, а по (уХп, 1)
он не превышает

с $

V*

п

1

хгпл

Лп

,|1пх„| + 1

(х>0),
(х <0),
(х = 0),

(16)

Теперь для хп ~> 1

1± -кхп11и'/!Гя

/</)|< У е~кХяаи+ у (1+н/2)2 е 1 Ли <

I а | < 1	। “ । > 1

Му > 0

.	" (	_ 1 - кхп у; 5у

<в*’«+ Г 1Р1 ;!-&/'/ V7 е 1

181 >₽/“!
8/ > 0

+ Гр'п (х+Ь) -1в-“»Р ф <г-^п + р- тв~ V, (С1 > 0).

(16)
Переходим к оценке Теперь внутренний интеграл берется
вдоль разреза (/, 1В), где

,п-!	_

В = к[ 2 (1-М) 2'«+1

Число В зависит от и', при и' = 0 оно минимально и равно кп.
Если кп>1, то при вычислении внешнее интегрирование
производится по всем и'	однако если кп.<. 1, то интегри-

рование по и' ведется по внешности некоторой ограниченной окрест-
ности точки и' = 0. На (г, /В) имеем ип = 1у(\^у^В), при этом
гпа

входящее в V слагаемое (1 -)-«„) 2 на одном берегу 1а> надо пони-
г в	.а га

—— I -п— л	—— — I —— л

мать как (у2 — 1) 2 е 2 , а на другом как (у2 — 1) 2 е 2
Соответствующие значения V на разных берегах /и- комплексно
сопряжены друг к другу, следовательно, их произведение равно
квадрату их модуля, и внутренний интеграл в равен

в п — 1

'„щр/ч	(	'„щ р/р |	(17)

Л-НО/2— МЧ	и + [((/2_ 1) еглр-/ )

Д= 2 (1 + «^ (р = Х-Н>, *>0).

Модуль выражения в фигурных скобках не превышает (пояснения
ниже)

где константы в неравенствах во всяком случае можно считать
локально не зависящими от р = здесь

1

т = а~1 У'у2 — 1,	а = Аг»а,	(18)
и так как	то

0<^т<^а~1]АВ2 — 1 а-1В =

(19)

где а> можно считать меньшим единицы, взяв достаточно малое к.
На этом основании мы опустили знаменатель во втором члене,
ограниченный снизу положительной константой. Функция под
знаком модуля в числителе аналитична на интервале | т | < I,
равна нулю при т = 0. К ней применена теорема о среднем.
Итак, подынтегральное выражение в не превышает по модулю

с П (1

1

(20)

где с не зависит от у, хп>0 и во всяком случае локально
от Х>0.

Мы покажем, что функция (20) суммируема по области («', у)
определения интеграла при любых указанных х, р, кроме
того, непосредственно видно, что она возрастает с уменьшением хп
и X. Это приводит к тому, что /<*> (р, х) непрерывна по указан-
ным (р, х) и есть действительно производная (по х) порядка I
от /а. Наконец, если продифференцировать подынтегральное выра-
жение в (17) по р, то получим

'У’Д

л-Н(Уа-!)?-'”] 2 / _

^Пр/а

/	г^хр/а

_ 1п\Л + [(У3-1)е»л] 2 /

/	г^хр/ч

и+[(уз-1)е,я]2)

Если выражение в фигурных скобках привести к общему зна-
менателю, взять от него модуль и вынести всюду за скобки А,
то, как мы знаем, при оценке (сверху) знаменатель можно опу-
стить как ограниченный снизу положительной константой, что
же касается числителя, то он, очевидно, оценивается сверху
следующим образом:

1пЛ|{1 + (г/(*НР/'-{1 + кт)'Т| +

+|{1+и)"Т1п{.+(та-4и_

-(1 +	1п (1 + (ТЛИ1 «'^ + '>

= (1п а'"0 + 1) хГп<3 ^аЕтГя° (е>0, а=э1).

Константа в правой части зависит от (произвольно малого) в,
но можно считать, что она не зависит от р из некоторой малой
окрестности р0. В результате получается, что продифференциро-
ванное по р (непрерывное по (и', у, р, х„), х„> О, Х>0) подынтег-
ральное выражение не превышает по модулю функцию, анало-
гичную (20),

п —1

с П 0 + и])!/^Упе^Хп!,ае~Гп>'х''е Л.

1

(20'

Это показывает, что функция 1& (р, х) аналитична по р.
Итак (пояснения ниже),

п—1	В

1	I < 5 П	(1 +	5 у1пе-хпУ^ ау	<

1	1

П—1	0

< $ П	(1 +	аи'\	(1 + а2т2)^2 тг»° йх	<

1	о

I,
п~х! ^п.\-2-
< 1 + 5 П +?/ Г/ !	X

|?1 >0>о I
5/>0

(й	.______

г /« . о 2\/ /2 -х у 1 + а2т2 г а »

х^(14-ат)л/ е п	йх^

о

п— 1

®	~ 1п+'~гпК + гп 2.

1 4- $ ТГ« б/т р	1

0	₽

7	е-х^+^аР=

= 1 + $ тГя° ах { ргпк-1е-х>^+^ аР <
о 3

Ш	(О

хп О 1

(21)
В первом соотношении мы воспользовались оценкой (20); во вто-
ром произвели во внутреннем интеграле замену у на т по фор-
муле (18), учтено также неравенство (19); в третьем интеграл
по и' разбивается на два по | «' | < 1 и | и' | > 1, из коих первый,
очевидно, ограниченный; кроме того, учтены симметрические свой-
ства по «' подынтегральной функции; вопрос сведен к интегри-
рованию по «/>0, при этом введена замена переменных

-^--1

^=иугя>	У=1......я-1);

в четвертом изменен порядок интегрирования, введены в про-
странстве | полярные координаты (|^| = р), использован тот
факт, что переменные аир имеют один и тот же порядок:

/п-1	\ 1/2 (п — 1	'/ст )_±_

Р=(5«ГЛ)	(!+«/)2 ра=«<Р,

и применено неравенство (1 + р2т2)г«/2р2« (р> 0, 0<т<©).

Наконец, в последнем соотношении использовано неравенство
"К 1 + с2р2т2>срт и введена замена хлрт = С, =

Пусть х>0 и параметр о подобран так, чтобы гл(х — ст)<1,
тогда интеграл по С в правой части (21) по интервалу (0, оо)
конечен, так же как конечен интеграл по т, поэтому

1Л

Хп

Если х = 0, то интеграл по имеет при малых хп порядок 1п (хлт),
поэтому при а>0 будем иметь

I Л°|<| 1пх„|+ 1.

Наконец, при х<0 интеграл по при малых хп имеет поря-
док х^, поэтому при а >» 0

Ю<1.

Мы доказали, что (при соответствующем а)

хп п

1,

1п ——

о <х„ < 1.

Наконец, чтобы получить оценку для больших хл, разбиваем
интеграл /Зл на два интеграла: по \и' |<1 и по | и' |> 1. Пер-
вый интеграл (см. третий член в формуле (21)) имеет порядок
е Хп(хп> !)• Чтобы оценить второй, воспользуемся предпоследним
интегралом (21). Тогда получим

(гя(х-ст)< 1;	с2, ст>0).

В случае х„<0 кривая Ей' (см. (1)) в комплексной плоскости ип
берется симметричной по отношению к оси ип = 0, доказательство
в этом случае аналогично.

Итак, мы доказали неравенства (2), (3), при этом уже отме-
чалось, что константа в них непрерывно зависит от р.

9.4.7.	При определении цр (х) = ц(р0) по формуле 9.4.3 (8)
была выделена роль переменной ип. Имея это в виду, положим
р.р (х) = рря (х). С таким же успехом можно ввести функции цр/ (х)
(/== 1, ..., п), где роль ип играет «у. Если х= (х!....х„)	—

точка, у которой х;^0, Ху=#0, то

Нр/ (X) = Цру (х),

потому что это равенство имеет место во всяком случае для
больших действительных р, но тогда и для любых комплексных
р = Х + 1’р. (Х> 0), вследствие аналитичности обеих функций по р
при фиксированном х. Для заданного /' функция (х) опреде-
лена и непрерывна (по х) в любой точке х, имеющей координату
Ху=#0. Из сказанного ясно, что цру(х) можно продолжить по
непрерывности в любую точку х =# 0, и тогда

Нр (.Х) — Цр1 (X) = ... — ЦрП (X) (X =0= 0).	(1)

При этом для вектора /^0 существует такое а0>0, что для
а>а0 функция ц(р ’ (х) непрерывна и

(х>0),
(х = 0),
(х<0)

И>(*)|<

(2)

|х/|<1, р = А,4-ф, Х>0



(|х/1> 1, с>0).
Отсюда немедленно следуют оценки

/ п	\-

\ 1	/

| 1п I X I I + 1

| и^ (х) | се-0' ।* ।

(х>0),

(*)(<«

(х — 0),	|х|<1,

(х<0),

(|х|>1, о'>0),	(4)

где положительные константы с и с', входящие в неравенства,
непрерывно зависят от р.

При 1 = 0 из этих оценок следует, что

Ир (х) = и(р0) (х) ® Ь = I (/?„).

В самом деле, при х^О это очевидно, если же х>0, то
в силу того, что А>0,

и, следовательно (пояснения, как в 9.4.4),

] I Ир (X) I ах < у

1*1 < 1

п

с(р+1<1.

Пусть теперь <р е 5, тогда имеет смысл (ир е Ь)

(НР> ф) = 5 НР (X) ф (х) йх (А>0).	(б)

Обозначим через Ир»(х) правую часть (3) без множителя
с = с(р). Легко видеть в силу монотонных свойств функции х
(по А.) и непрерывности с(р) (по р), что для любого ро = Ао +
+ фо(^о>О> |ИоI< 1) найдется 6>0 так, что если |р —р0|<
<6 (р = А-(-1н, А>0, |н1<1), то (с»с1>0)

| Нр* (X) | =< си^-с* (X) Ь (| X | < 1),
|Ир°(Х^^св-ъ!*! е!(|х|> 1),

где с, С1 не зависят от указанных р. Поэтому выполняется приз-
нак Вейершрасса равномерной сходимости (локально по р)
интеграла (5) и (рр, <р) зависит непрерывно от комплексных
р (А,> 0). Производная от фрр по р также непрерывна по (р, х),
и для нее имеют место такие же оценки, как (6) (см. 9.4.6 (13)
и (20)). Это показывает, что функция (рр, <р) дифференцируема,
следовательно, аналитична по р.

9.4,8.	Для любых комплексных р = А,-|-гр (А,>0), а следова-
тельно, и для р = 1 имеет место при достаточно большом ст
(гп (х — ст) < 1) равенство

^р, г, а — Ир (X).

(1)

В самом деле, функции

(Ар, г, а, <р) и (рр, <р) (<р е= 5)

аналитичны по р (А, > 0) и совпадают для действительных доста-
точно больших р, поэтому они совпадают для любых р, но
также и для любых ф е 5, что влечет (1).

9.4.9.	Другие оценки анизотропных ядер. В нижеследующей
лемме оцениваются разности ядра 6Г в метрике Ьр (#я~1). Эти
оценки будут использованы при доказательстве теорем вложе-
ния. Введем обозначения:

х = (л, О» Л = (*1,	Хл = &.

Лемма*). Пусть г = (г 1, ...,/„)> 0, 1 < р < оо, и задано
нецелое положительное число Ь такое, что при некотором /,
/=1......га — 1 выполняются неравенства (см. 9.4, 9.4.1)

(' п 1
VII	/П

ст— >---Л	(1)

Г/1.	у ’

Тогда

5 |А’Г<Эг(ть	Э|^^с|й|^сГ,як+^-1)’	(2)

Ля-1

где в —целая часть Ь, т. е. Ь*=в + 1, 0^/<1, 8 — целое.

Доказательство. Не нарушая общности, будем считать
Л>0, /=1, ОГ = С и введем ядро

АУ(0 = б+/2)-^2

(— оо </<; оо).

') П. И. Л и з о р к и н [12].
Будем писать

6 (/) = (3 (/, х2, хп),
ио (0=Ф(0;

5-ю разность с шагом Н от функции <р (^) будем понимать в смысле
АаФ = <Р(^ + А) —<р(0, Дл+1ф = АлЛлф.

Из дальнейших оценок будет видно, что ф есть суммируемая
функция от I во всяком случае для почти всех х2, .... хл+1.
Имеем

О(/) = $^+г(/-^)ф(|Ж

(/	/ + (5+1)Л	оо Л

—со	I	/ + (5+1)Л)

= Л + Л + /», (3)

СО	оо

-00	I

ОО

< I! ф Щ Д^+1 и+1 (/) ( сП, Ь = Ь (- оо, оо).
о

Но (пояснения ниже)

00	оо Л Й	/ 3-}-1 у

$|д;ГХ+доИ = И5---Я^+/) р + 1?*
О	ООО	\	1 /

со	Л	Л	оо	сН

г	С______С /7/	С	р5

V.)/	’+> \1-<»+о+«+1 ^33 (^+р)а-/^'

о	о	р+2'*	°	*

\ 1 /
сН

$ р5+/-1 йр Й'5+1.

о

Во втором соотношении (неравенстве) применена (третья) оценка
8.1 (7), в третьем в пространстве ..., /^+1 введены полярные
координаты и учтено, что	в четвертом заме-

нен порядок интегрирования.
Интеграл /3 оценивается аналогично:

(/ = 1,3).	(4)

Далее

оо	оо	^4-(з + 1)Л

$ 1Л1^= $ а 5 дй+х+д/-юш^

—со	—со	I

00	- 5

«С 5 |Ш1^ 5	|А1+1^+Д/-Ю1^ =

-00	^_(5+1)Л

О

-(-'+ПЛ

О

=1К $ |Д!й+1^+/(О|Л=

-(8+1)А

сН

<Ы115	+ 1]ф<нкн. (5)

о

Из (3) — (5) следует после дополнительного интегрирования
неравенств по (Хх, .... х„_х), что

|Д^Ог(яЛ)|^<^+/‘ 5 1;п._(5+/1) 6, |

Ля-1	Кя-1

(5 = 0, 1, ...; / = 1, ..., п— 1).
Воспользовавшись оценками 9.4.1 (2) (учесть, что х = 1 +5+г> 4.

1	1

----1>0 , получим

Первое неравенство следует из первого неравенства 9.4.1 (2)
(х>0) и симметрии его правой части, во втором делается
подстановка хС/и = Х;, в третьем вводятся полярные координаты,
в последнем надо учесть, что

X

п

9.5.	Теоремы вложения

9.5.1.	Теорема разных измерений. Справедливо
вложение

ЬгР(Кп)^В1(Кт),	(1)

Р = (Р1...рт), р/ = пх (1 = 1, ..., т),	(2)

1<Р==ССО, Вда = Н^, 1=^т<и,

х=1_1 У — >0.

Р Г)

т+-1

При условии 2=^р=^со имеет место Ьр-+Вр (см. 9.3 (3))
и теорема следует из соответствующей теоремы для В-классов
(см. 6.5). Поэтому существенно доказать ее для 1<р<;2.
Однако приводимое ниже доказательство годится для всех
конечных р.
Доказательство. Достаточно провести доказательство
в случае т = п — 1, потому что если т < п — 1, то можно перейти
от п к п— 1, пользуясь вложением (1), а переход от п— 1 кт
осуществить с помощью соответствующей теоремы для В клас-
сов (см. 6.5). Это возможно вследствие транзитивности соотно-
шений (2) (см. 7.1).

Итак, надо только доказать вложение

^ (/?„)-> В? (/?„-!),	(3)

Р = (Р1...Р/ = г/«,	(4)

х=1—->0.	(5)

ргп	4 ’

Имеет место (см. 9.3 (1))

а; (/?„) -> Нгр (/?„) -> Я?	-> Ьр (2?^!).

Это показывает, что произвольная функция [^Ьр(Дп) имеет
след ^(х) = /|^д1 на Кп-ъ принадлежащий к Вр(/?л-1) и выпол-
няется неравенство

(6)

Будем считать, что _у = (х1, ..., хп-х) Яп-ъ г = хп, и пусть
(как всегда) рх есть наибольшее целое число, меньшее р1г и
1^Ьр(^п)- Согласно теореме 9.2.2

дх^

где

г' = х'г, х' = 1—— >0

Г1

(ведь р1<Р1<Г1), и

Поэтому имеет место представление 0] = Оъ» • • •» т1л-1))

= \ Ог’ (У - Л, г — С) V (д, С) (%, (V е= Вр (/?„))	(7)

и
Положим

= \ 6Г' (у — 1], ?) V (п, ?) ЙТ) ($, =	(9)

•>	5X0 «Я1

(учесть четность Ог-). Пояснение того факта, что формальная
0р‘ I

вамена х = 0 в (7) приводит к следу —= на 7?т, будет сделано
5x0

в конце доказательства.

Пусть

Л. (у, г) = Д>1ДОг- (у, г)

есть вторая разность ОГт с шагом Н в направлении оси хг. Тогда

д^/,©= $ ' д (_у — п.	=

= И 5 л Оъ О V (у - т],	<%,

откуда, применяя два раза неравенство Минковского, получим

5ДС^11тр(кп_1)



5	5 IА (Т), О I ЙТ) (51 V (у - Т), О |Р йу)1/р =

Ял-1

= Т /(Л,	(10)

1(Н, ?)= 5 |Д’1Лог, 01,	(И)

Положим

и заметим, что

“1 = Р1 - Р1

поэтому можно определить

О < 0 < ах и такое, что

/1, удовлетворяющее неравенству
В таком случае в силу 9.4.9 (2) для 0г> при Л—1+4, 4

/(Л,	(12)

1(И,	(13)

(замена в (13) абсолютной величины второй разности на превышаю-
щую ее сумму абсолютных величин первых разностей), где

Введем еще числа

а = ^р(/1-«1)- 1 < - 1,

'1

а' = 7^-р(4-«1+ 1)- 1 >-!, а' ^=а + ~ р.
Г1	ч

Числа а, а', 0, 0' связаны следующими соотношениями:

Г1 '1 \ '1 /

 =_1 -1п^ + Гпр (1	+ ГпР (1 --М =

= -[+гпр (1-1+-1Д = о,
\	* пР I

«' + р+рР' = о.

Ниже мы воспользуемся неравенством Харди (ф(/)^0):

}1/р /со ,	-4-1	\Р}1^Р

= К сИ( § <р(/«)/₽ ди\ I «С

Ь \| и | < 1	/ )

«С $	; <р (1и)р /а+^ с/п	ди = с М ф (^)р | |а+р

| и | < 1 \о	/	\— со	/

если

а<— 1,

1 *Ср<оо.

Доказательство его, таким образом, свелось к замене перемен-
ной = и затем к применению неравенства Минковского*).

♦) См. Харди,' Литтлвуд и Полиа [1].
Аналогично доказывается неравенство
оо	со

О \18| >/	)	—со

00
С <1и	.	.	,

С1 = \----—о-, если а > — I, 1 =С р < оо.

 1+-2^2-
1 и р

Теперь имеем (полагая в третьем соотношении 1 — кГ11Гп)

< 5 {Я (/?}

_оо	Р' п~1'	п>

Так как в полученном неравенстве можно заменить на х/, то
мы доказали (см. еще (8)), что

1/1«( <Мм*л) (*=1’ •••’ "-1)’

°х1р{^п)

откуда (см. еще (6)) при г = 0 имеет место

«/(^г)цс	(М)

Вр(Р л-1)	Ьр(вп)

Оно, очевидно, верно при любом г, не обязательно равном нулю,
что доказывается аналогично. Этим доказано (3).
Функцию / е Лр (₽„) можно записать в виде

I(У. ?) = $ Ог (^ - 1]. 2 - С) к (I], ?) й(1] (%,

Поэтому

Ш, ? + /0-/(У, 2) =

= $<Л/-(.У-1]> 2- ь) [М'Ъ ? + ^)-Х(1),
и в силу (14)

О’, 2 + //)-/(^, г)]	<

дх 1	I (К

<11/(3’, 2ф/0-/(у, г)II „	< II/(3>, г + Л)_/(_у, г)|| г

аР(Кп-1)	^р(Кп)

нш С+Л)-Мп, Шм/?д)->0 (й->0)	(1<р<оо).

Это показывает, что если в —-/(V, г) зафиксировать г, то по-
йл- р,
1

д^11

лучится функция от у <== х, являющаяся следом —на под-

<???
пространстве хп = г.

9.5.2. Обратная теорема разных измерений.
Пусть 1 р < оо и заданы положительные числа г, (1 = 1, ..., и)
и всевозможные векторы к с неотрицательными целочисленными
координатами

к (М| 1, • . • , О,
для которых

\	/ = т Т 1	1 = т +1 /

(1=1, ... , т).

Пусть еще каждому вектору к приведена в соответствие
функция

Ш) («) = 9\х> (-VI....хт) е В®(Х) (/?„,).

Тогда можно построить функцию 1(х)—1(х1, ..., хп) от п
переменных, обладающую следующими свойствами:

X й? («т)

Гх,|яга =Ч^) («)•

(2)

(3)
Доказательство. Покажем, что в качество / можно
взять уже определенную в 6.8 функцию

^ = 5 Аю»	(5)

А.

где сумма распространена на всевозможные допустимые век-
торы к и

оо	п Ф /	8	\

Ах>=1] П Ь Г(Л Х/).	(6)

5 = 0	/ = т -Н1

Существенно отметить, что функции

з (5 = 0,1,...)

целые экспоненциального типа Ь г>л по X; (/=1, ..., т),
ОО

*Р(1)= 5 *Р(Х)

1 = 0
и
(оо	\ 1/р

<оо.

Что касается функций <Т\ . (/), то их можно считать равными

\И/0

---»	(7)

где 7\—соответствующим образом подобранные тригонометри-
ческие полиномы и Л/ —числа. При этом Фх, суть целые функ-
ции экспоненциального типа 1. В отличие от 6.8, в знаменателе
(7) поставлено /3 (вместо /2), что несущественно, зато теперь
функции Фх. вместе со своими производными первого порядка
принадлежат к Ь — Ц—со, со).'

Тот факт, что / е Вгр (Дл) и выполняются граничные свойства (4),
доказан в 6.8. Остается доказать свойства (2), (3).

Обозначим через Дп_х подпространство точек (хХ) ..., хп х).
Справедливо неравенство (пояснения ниже)

\(-г/)^(Х)^Р(Яп_1)^

«=2М5/₽|1М*Л)|, (§)
где

=	о — Ьг^ (п>1),	(9)

фд/) = Ф(а7) при I =--1, ... , п - 1, Ф = Фл.,	(10)

(0 — П~Г',!' 1-гп(^{чЧ) при 1—11, Ф = Ф; .	(11)

Норма в метрике Ьр (Рп г) каждого члена ряда ((>) равна
произведению Лл-норм сомножителей, из которых он состоит
(в соответствующих подпространствах переменных, от которых
эти множители завися г). При этом надо учесть, что

(К	/А> )	0’ = 1...............1.	•••)

1 '	() I Ш /	р (

(см. 8.7),

где Д’* — ось х, и с, не зависит от 5 = 0, 1, 2, ...
Из (8) следует (пояснения ниже)

что доказывает (2), (3). Но в этих соотношениях надо обосно-
вать второе неравенство.

Отметим неравенства

1Ы0КЛ	(12)

<13)

а5 | ф, (^) I <11 < А,	(14)

где константа А не зависит от рядом стоящих множителей.
В случае (10) эти неравенства немедленно следуют из того, что
Ф (/) есть целая функция, представимая в виде (7). В случае же
(11) это требует пояснений. Функция Ф (I) целая экспоненциаль-
ного типа 1, принадлежит к Л вместе со своей производной,
поэтому ее преобразование Фурье 2л р (х) имеет непрерывную
производную и компактный носитель на (—1, -(-!).

Таким образом, р(1) = р(—1) = 0 и, следовательно (/- — /„),

4-1

Ф (I) = $ р (X)	(/X,

— I

+ 1	о1

Ф (а*/) = Р- (X) е1}а*1 сП. — а 5 $ р (а 'с) е*

(1Г>)

|Л(_иФ(а7)| = «"

аг

5 (1-НУ/2 Р(«~Ч)е'^е

-а1

~ § [р'(а Ч)<гЧ1+^),/2 + ' (1+55Г/2-Цр(а

-а1

-щ-«’ (а 'аг! + а(г 2) * а-) = 2

Мы доказали (13) (см. (И)). Далее, если учесть, что Ф'(<з7) —
целая типа а5, получим

(/)|	а'”5 тах | Ф (а!1) | < А,

51 (0 | (И а~а'п* $ | Ф (оМ) | И < А а

т. е. (12) и (14).

Теперь имеем

5

Хло?/г-ф< (У)

'\Л/<Л1 + Л2 + ЛЭ,

(16)

где

СО СО	Р

Л8 = ^	№ ’-ф5(у) <!у-

1‘	5=0
Но (см. (12), | + |=1)

(при р=1 третий член в этой цепи можно опустить).

Далее (см. (14), пояснения ниже)

оо а т со	оо

Л2< У 5	5	5 I% (У) +1 аУ <

т = 0 а-т-1 5=^ + 1	$ =

оооо	а т	со	5 а т

<У У! ^а3 5 1Ы1/)\^У = У ^а3 у 5 1^1^ =
т==0$ = т-|-1	а-/п-1	8 = 0	т = 0а_т_1

оо	1	со

= у X? а3 51 ф51 (1у < У А,₽

3 = 0 о	5 = 0	’

потому что (см. 13))

оо	оо

2	2 а^<ата"т’1<1 (а-'”-1<1/). (17)

= т -{- 1	з = т + 1

Наконец (см. (14)),

00 ОО	• ОО	\Д — 1

лз<$ У ^а8|ЫШ(У аУ<

1 8 = 0	\з = 0	/

оо оо

< у ы^<у л,?,

5 = 0	1	5

потому что

У I (у) I =! Фо (у) I +УI + (у) I < 1 (1 у < ОО)
5 = 0	1

(см. (12) и (17) при т = 0).

Мы доказали, что интеграл (16) не превышает уЛ?. Подоб-
ный факт аналогично доказывается и для того же интеграла,
распространенного на {—оо<г/<0}.

12 С. М. Никольский
9.5.3.	Если считать, как мы условились, = то теорема
из 9.5.2 при р = оо перестает быть верной. В самом деле, про-
извольная функция

/(х,	(^2) = ^1(^2)<=^1(^2)с=/%“(^2), 0<а<1,

равномерно непрерывна (после надлежащего видоизменения ее
на множестве плоской меры нуль). Она удовлетворяет на У?2,
поэтому и на оси Яъ условию Липшица степени 1. Однако на
оси можно определить функцию <р (хх) е Н\л (₽г), не удовлет-
воряющую условию Липшица (даже нигде не дифференцируемую,
см. замечание к 5.6.2 — 5.6.3). Поэтому не существует функции
/ (хи х2) е ф'й1 (Яг), которая продолжала бы <р с Я1 на /?2.

9.5.4*	). Из 9.5.1 и 9.5.2, как следствие, можно получить
теоремы вложения:

Вгр (Я„) В°р (Ят),	(1)

где р = хг, х = 1-----— >0, 1 < р < со. В самом деле (пояс-

т-р 1

нения ниже),



[п '	^2Г	^2Г

л+1(^+1)-'Вр* ....И1 т(Ят) = В»(/?т), (2)

где

хх = 1-----— >0, х2 = 1 —- У —---------------------— = ххх;

Ргп+1	2 Р г/	ргп + 1

т +1

₽1_

Вер(Ят)^Ья/

^Гп+1(Яп+1)-^Вгр(Яп).

(3)

Первое вложение в (2), так же как в (3), следует из 9.5.2,
а второе в (2) и (3) —из 9.5.1.

9.6.	Теорема вложения с предельным показателем

9.6.1. Лемма. Пусть § Ьч- (Ят), (^Ьр(Яп),

. , 1.1 <1.1,

1 ^т^п, 1<р<о<со,--------—7=1,------—- = 1,

Г. V	р	р>	’	<?	1	/

! п	.1/2

х = (х1( ..., хл)«=Ял, г(1) = (УХ-|2/М ,	х;>0,

\ 1	/

п	т

I	1

♦) Это замечание принадлежит В. И. Буренкову.

(1)
Тогда справедливо неравенство*)

е (х)} (у) ау

Гк (Х—У)



(2)

где с не зависит от /, у и (хт+1, ..., х„) .т
следует, что

‘ / (У) 4у

! д-(х-у)
п

из которого

(3)





Доказательство. В одномерном случае (п = т = 1,	= 1)

(2) есть неравенство Харди— Литтлвуда

8 №) / (П)	^1

Л+-



(4)

Мы не будем его доказывать здесь**). Тот факт, что из (2) сле-
дует (3), есть теорема Ф. Риса (см. Банах [1]), гласящая, что
если измеримая на функция Р такова, что интеграл Лебега

$ Ру Ух

существует для любой § е Ьч> (&т), то
Р^ЬЯ (Рт)

И1к?(«т) =

" 'ММ<‘

Оцениваемый интеграл запишем в виде

/= $ ё(х)дх $ ду' $ -(у - ,
т.	^п-т

(5)

У' = (Уъ •••, Ут), у" = (ут+ъ .... Уп)- К интегралу, стоящему
в скобках, применим неравенство Гёльдера

|[-]|^/ 5	$ ^/Р'=р(у')(}(у').

\Рп-т	/	\^п-т	/

*) Харди и Литтлвуд [1], случай п = т=1; В. П. Ильин [9],
общий случай.

**) Доказательство имеется в книге Харди, Литтлвуда и Полна
[1], стр. 346.
Но (пояснения ниже)

Выше использованы следующие обозначения:

{т

1

Во втором равенстве введена подстановка

(/=1. .... т-1);

П '

интеграл в третьем члене обозначен через с; конечность его на
единичной сфере /?п_от очевидна, вне же ее, если положить и2/*! —
ограничиваясь положительными и/, и ввести для § = (^от+1, ...»|л)
полярные координаты, то соответствующий интеграл оценивается
следующим образом:
Последнее неравенство получается из очевидных неравенств
— уД)

— -к-	/ ”	\*/2

(/ = Ъ т),

которые остается перемножить и возвести в степень + у
Следовательно,

ОО 00

— 00 —00

АХ! <1У1

А + ~
1*1-У1|₽ ’

00	00

.. 5 $ .шэд

— I ««-9« I”'+ ’

откуда следует (2) путем последовательного /п-кратного приме-
нения одномерного неравенства (4).

9.6.2	. Обобщение теоремы вложения Соболева *).

Теорема. При условиях 1 < р <_д <_ оо, 1

т	п

......<*>
1	п»+1

имеет место вложение

Р = (Р1, •••, Рт), Р/ = «Г/	(/=1,

(2)

..., т).

Доказательство. Будем обозначать через /_г операцию,
обратную к 1Г (г^О, /0 — единичный оператор), и учтем, что
операции 1Г, 1Г', 1—г, 1—г коммутативны.- Пусть }еЬр(Нп)
(г>0), тогда

! = 1гё (§(=Ьр(Яп))

и, следовательно,



где

/г = I-в1-г	|| И (Лд)	с || ё ||ьр (л„),

потому что функция

' т	'/Иа Г п	г/(1-х)-|а

Е(1+«/)2а Е (!+«?) 20
. 1	/11	]

♦) См. замечания к 6.1 и 9.6.2.
есть множитель Марцинкевича (см. 1.5.5, пример 12 и замеча-
ние в конце 1.5.5). Итак,

/ = /ои,

(3)

« = $О(1-х)г(х-5'ШЗМ.У

(4)

И при достаточно большом значении параметра о выполняются

неравенства

! 0(1-и) г (х)

Здесь надо иметь в виду, что х < 1 и

и можно применить оценку (первую) 9.4.1 (2). В последнем
/ п	\ 1/(3	п

неравенстве мы применили обычную оценку =^с2^/,где
\ 1	/	1

с = сп — константа).

Из (4), (5), (6) в силу леммы из 9.6.1 (см. формулу 9.6.1 (3),
где надо считать х,= 1/г/), получим



Но тогда из (3) следует, что / е (/?т) при любых фиксирован-
ных хт+1, ..., хп и

11/11^ =114 (К	)=МЛ,Г,„

ЬЧ\Кт)	р\'п)	р\ п)	Ьр(Кп)

и теорема доказана.

9.6.3	*). Из 9.6.2, если принять во внимание теоремы из
9.5.1 и 9.5.2, можно как следствие получить аналогичную теорему
для пространств В:

ВГР (/?„)-> В® (7?т)

(1)

') Это замечание принадлежит В. И Буренкову.
при условиях 1 <_р <_д <оо, 1=Ст=Сп, г>0, р = хг, х>0
(х см. 9.6.2 (1)). В самом деле (пояснения ниже),

Вгр (/?„) Л ’	Г"+1’ Г"+2(/?л+2)

№ хя	Х8Х2

-> ь? 4......'п'Х/л+1 (/?л+1) -> В* Г1’

Х9Х2
Х1

т(/?т) = вД/?т), (2)

где гл+1, гл+2>0 выбраны настолько большими, что

Х1 =

— + -Г5-
1 + 1 'я + 2

п

х2 = 1 — —
*	\ п

1___

Р^п+2

При этом

х3 = I —

п	\

V И1 । 1 \

Ш "''-2Г/	^2^П + 1/	Х2

Вложения (2) последовательно следуют из 9.5.2, 9.6.2, 9.5.1.

9.7. Неэквивалентность классов Вгр и Ьгр

В заключение покажем, что классы Вр и Ьр при
рУ=2, не эквивалентны (существенно различны). Ограничимся
рассмотрением одномерного случая.

Пусть сначала 1 < р < оо. Рассмотрим последовательность
функций

А,
ф^(о=2^(о=х2со^(2А+1)^-^г- (л'=1> 2> •••)>
о	о

/ 1 (2А<|/|<2^ + 2),

Фй V/ == 1

( 0 для остальных I

(см. 1.5.7 (10)).

Заметим, что при 1<р<оо

$ |фИ01₽^< 5 |^р/ = Л<оо,	(1)

— ОО	—00

[ |$А(0М> (| СОЗ (2А + 1) 1\Р(И> В>0	(2)

— со	Л/3
на (л/2, я/3) функция |/-181п/| ограничена снизу положительной
1ойстантой), где В не зависит от к.

Очевидно (см. 1.5.6.1),

₽А (Ф/у) = 0)^ = Ф* Й, А* = {2А < И 2*+Ч

и имеет место

|| , Л \ 1/2 II

РИР< 2 Я <11ф№р>	(3)

Ц \ о / ||р

где входящие в неравенства константы здесь и ниже не зави-
сят от Ы.

Из первого неравенства (3) следует

/оо	.1/р

«фЛ4<Н лгр/2|^г|М <ЛГ1/2.	(4)

\— оо	/

Далее из второго неравенства (3)
следует

при 2<р<оо (см. 3.3.3)

\1/₽

(1Л >(Л1В)1/₽> №/р	(5)

и при 1<р=с2 с помощью обобщенного неравенства Минков-
2

ского 1.3.2 (1) с показателем а = --^1

/Л1	-.р/2 ,Н ХР/2

ф*1р<Й2/₽| >|2Х/₽1 =	(6)

Из (4), (5), (6) следует, что

А1/21 < ||Ф/у||р < А1/2	(1 < р < оо).	(7)

С другой стороны (см. 8.9. (5)), в силу (1), (2) величина

/ Л1	.1/р

1|Ф^1!в» = ШМ	(8)

р \к = 0	/

т. е. имеет строго порядок ЛУ1^.

Мы видим, что порядки величин (7) и (8) при р#=2 раз-
личны. Это показывает, что нулевые классы Ь°Р = ЬР и Вйр, а сле-
довательно, и классы Др и Вр при любом г не эквивалентны.
С помощью функций Фдг аналогично доказывается, что и при
любом 0#= 2 класс В°в не эквивалентен Ьр (см. О. В. Бесов [61,
которому принадлежит приведенное выше рассуждение). При
0=»2, Рр#=2 также имеет место неэквивалентность, однако она
доказывается иначе (см. К. К. Головкин [1]).

Переходим к случаю р=*1. Одномерное ядро Валле-Пуссена
(см. 8.6 (5), (10), (11))

т/ /л 1 розЛ7—соз2Л7
'Я \*)	^2

имеет преобразование Фурье У^~ у Ил' (0, где

I	(И<П

нИ0= 4-(2ЛГ-О (^<|/|<2^),

о

(22У<И).

Если к и У— натуральные числа и к=^Ы, то

Ц2* (0	(0 = И*' (0 > 1 = ™п (^> Щ •

Поэтому к-я сумма Валле-Пуссена функции У2ы равна

сг2а(У2м) = У2а (&>Л/)

и разложение У2ы в ряд по суммам Валле-Пуссена имеет вид

ы — 1

= Г2° + 2 (^2* — У 2к~О "Ь (а2ы —	1)^"(^2Л,— СГ2Л,)>

1

где = о2ы(У2ы). Отсюда

] У2м ||врц У20 ||д + 2 Ц У2* - У2*-1 ||д -> оо (У -> оо),
к = 1

потому что (после замены переменной и = 2*~1/)

и ,,	,, п С1 соз2ц —соз4ц соз и — соз2и I , Л

II у2к - г2*-4 = Л---------------------— Iаи ~с> °’

где с не зависит от к = 1, 2 ... С другой стороны, норма

и т/ н С |соз и — соз2«1 ,

|| У2" ||ь = )	" Лг = С1 < оо

ограничена. Это показывает, что вложение В?-»-!, необратимо,
ГЛАВА 10

ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ ДЛЯ ВЕСОВЫХ КЛАССОВ

10.1. Введение

Мы будем рассматривать функции, заданные на ограниченной
области йс/?„ с гладкой (п— 1)-мерной границей Г, т. е. Г
есть ограниченное замкнутое дифференцируемое многообразие (см.,
например, книгу Никольского [19], том II, гл. 17, или книгу
О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1], § 22).

Мы еще будем писать Г е С(1) в знак того, что Г описывается
(локально) непрерывно дифференцируемыми функциями. Если
на самом деле они непрерывно дифференцируемы I раз, то будем
писать Г е Си).

Пусть г, р, а —действительные числа, причем г натуральное
(г=1, 2, ...), 1^р=Соо. Таким образом, может быть р = оо.

Обозначим через

(й) =

класс функций /, определенных на й, с конечной нормой

II (в) - И II/. (о»+II а (о»-	0)

11Лд (й) = А \1(х)\Рс1х\1/р	(1=^р=^оо),	(2)

р \й	/



(X)

р(х)“

Ьр(й)’

(3)

где сумма распространена на всевозможные частные производные

/(А) (*)

51*1/

дх*1 ... дх„п

от / порядка г, а р (х) — расстояние от точки х е й до Г.
При р = оо левая и правая (!) части (2) понимаются как

IIЛ Л (й) = 8ируга1|7(х)|.
00	ХЕЙ

Класс 1Гра (й) есть банахово пространство с указанной нор-
мой, при а = 0 это пространство Соболева Н7р (й) (И7ро = ^р)-
Цель этой главы доказать следующие утверждения 1) —6).

1)

(4)

при

а/<у, а, «Саф-/, ГеС!,), 0^/^г.

2) Если
то

0<гф-а<г, ГеС<«

(5)

г;а(й)^в;+а(й).

(6)

Это вложение верно и при а = 0, если 2 р оо. Для й = Л?л
это есть вложение 9.3 (1). Из него следует (6) для ограничен-
ной области й с гладкой (даже липшицевой) (п— 1)-мерной гра-
ницей, потому что в этом случае функции / е Й7р (й), Вгр (й)
можно продолжить за пределы й на с сохранением класса,
т. е. для каждой такой функции / можно указать (продол-
жающую /) функцию /, принадлежащую соответственно к Й7р (/?„),
вгР&„), так, что /(х) = /(х) на й и

(*„) (й> »

соответственно, где с не зависит от / (см. замечания к 4.3.6).

Пусть теперь

°<г + а_1<г	(7)

и 80 —наименьшее натуральное число, не меньшее г ф- а — -у, т. е.

г + а-у==С80<г + а-1+1 .	(8)

Если наряду с (5) выполняется (7) и ГеС(5» + 1) (при р=1
и гф-а—1=80, ГеС(5»+1+Е>, е>0), то вложение (6) можно
продолжить:

№'а(й)^Врл+а(й)^В;+“-1/₽ (Г),	(9)
как это следует из теорем вложения для классов В (см. книгу
О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского [1]. § 24).

Однако верно также следующее утверждение.

3)	Если выполняются неравенства (7) и (8) и

Г <=Оо +> + <=>,	(10)

то

г;а(й)->в;+“~^(г).	(П)

Таким образом, для справедливости вложения (11) требуется
выполнение (7), но не обязательно (5).

На самом деле из (7) и (10) следует более общее утвержде-
ние: если функция { ей7ра(й), то она имеет следы {граничные
функции)

^|г = Ф^в; + “"^"5(Г)	(3 = 0,1...з0-1) (12)

и выполняются неравенства

(5 = 0.1...5»-1), (13)

вр р (Г)

где с не зависит от /.

4)	Имеет место обратное утверждение при условиях (7), (8),(10):
если на Г задана функция

(рев;+<ь_^(г),

то существует функция / е №гра (й), для которой /|г = <Р и

Более общее утверждение при тех же условиях гласит: если
заданы функции

<р,еВ;+“"^~5(Г) (з = 0, 1К ..., з0-1),

то существует функция / е №ра (^)> для которой выполняются
условия (12) и неравенство

«0—1

еде с не зависит от <р,.
5)	Условия (7), (8), (10) и неравенство
г/2^в0	(15)

влекут за собой неравенство

2 |'Р?’кр1П + 1Л^ и},	(16)

где с не зависит от [ (см. (12)).

6)	Если 0<г + а —и ГеС(1), то норма

<17>

эквивалентна *) норме (1):

ил^ (а)~илг (й) ^п(й)).	(18)

*ра(и>

Утверждения 1) —6) сопровождаются соответствующими нера-
венствами. Сначала они доказываются в одномерном случае,
когда й есть конечный интервал, затем одномерные неравенства
распространяются на многомерный случай, пользуясь леммой
о покрытии й конечным числом так называемых регулярных
мостов.

10.1.1	. Мы называем множество Л с /?„ простым множеством,
если найдется такая прямоугольная система координат =
= (&1, • • •. и, ЧТО в ней

А={;:ч>(Г)<^<Ф(ГН'е4	(1)

где а есть (п—1)-мерный шар точек

Г = &....Сл-1). 1Г|а=

1

а ф и ф —функции от непрерывно дифференцируемые на его
замыкании б.

Мы видим, что множество Л замкнуто сверху и снизу (в направ-
лении ^л), но открыто с боков.

Нижняя его граница Сл = ф(?'),	пусть будет уь верх-
няя — (;л = ф (?'), Г е	— Ъ. и боковая — уз = (5Л\у1)\у2.

10.1.2	. Вернемся к ограниченному множеству й с/?л с (п — 1)-
мерной гладкой границей Г.

*) Мы пишем А (а) ~ ц (а)	(гес?), если существуют не зависящие от

а е <? константы съ с2 > 0 такие, что 0 <	(а) ц (а) гС с2Х (а)	(? е <?).
Будем говорить, что множество Л есть регулярный мост
множества й, если

а)Л —простое множество (см. 10.1.1),

б)	АсО,

в)	верхняя и нижняя части границы дЛ. множества Л (в направ-
лении соответствующей Л оси ^л) принадлежат к у2сГ),
но боковая часть у3 = дЛ. принадлежит к й, т. е. все точки у3
не принадлежат к Г.

10.1.3	. Определение. Будем говорить, что регулярный
мост Л опирается на площадку о, а круговой цилиндр О, опи-
рающийся на о (с осью ^л), называть цилиндром, продолжающим Л.

10.2.	Покрытие области регулярными мостами

10.2.1.	Пусть й е — ограниченная область с (п — 1)-мерной
гладкой границей (Г = йй е С([|).

Зададим произвольную точку х е й и выпустим из нее про-
извольный луч Ь. Так как граница Г —замкнутое ограниченное
множество, то существует на Ь точка х'еГ такая, что интер-
вал (х, х'), соединяющий х и х', принадлежит к й ((х, х') е й).
В связи с этим будем говорить, что луч Ь, выходя из точки х е й,
(впервые) натыкается на Г. Если при этом Ь не касается Г в х',
то будем говорить, что Ь, выходя из х е й, натыкается на Г
в точке х’ регулярно.

Пусть есть выходящий из х луч, направленный противо-
положно Ь.

Может случиться, что и Ь и натыкаются на Г регулярно.
Введем прямоугольную систему координат | = (^, ..., |„), для
которой положительной полуосью служит луч Ь. Так как Г
есть непрерывно дифференцируемое многообразие, то существует
(п — 1)-мерный шар

<т=(г: 1Ь/<а21

I /=1	)

точек |' = (^1, ..., Е„-1) и определенные на его замыкании непре-
рывно дифференцируемые функции

<р(|')<ф(|')	(|'е=5)

такие, что простое множество (см. 10.1.1)

Л = {§: <р(|'Х^Ф(Г),	(1)

принадлежит к й:

ЛсдЙ,	(2)

нижняя его (в направлении %а) граница

=	= К'еа}еГ,	(3)
верхняя —

Тз = {§--	1'е»}сГ	(4)

и боковая —

7з = (<5А\у1)\у2<= й.	(б)

Иначе говоря, Л есть регулярный мост области й, покрыва-
ющий х (х<^Л, см. 10.1.2).

Пусть теперь точка хеГ и из нее выходит не касающийся
в ней к Г луч Ь внутрь й. Последнее означает, что существует
достаточно малый интервал (х, у) с Ей. Если точку у непрерывно
двигать в направлении Л, то она наткнется на Г в некоторой
точке у = х' <= Г. Таким образом, имеет место следующая ситуа-
ция:

х^=х', (х, х')<=/,й, х, х'еГ

и Ь не касается Г в х. В этом случае мы тоже будем говорить,
что луч Ь, выходя из хеГ, натыкается (впервые) на Г в точке
х' и притом регулярно, если Ь не касается Г также в х'.

При регулярном натыкании Ь на Г в х' будет иметь место
ситуация, уже разобранная выше, именно, если ввести прямоу-
гольную систему координат | = (51, ..., 5п) с положительной полу-
осью 5л, совпадающей с Ь, то существует простое множество Л
вида (1) со свойствами (2), (3), (4), (5), являющееся регулярным
мостом области й и покрывающее точку х. В системе 5 точка х
есть нулевая точка (имеющая координаты 5/==0, /=1, ..., п).
Отметим, что в данном случае точка х принадлежит к ?1, однако
она не является точкой края ух (см. книгу С. М. Никольского
[22], т. II, 17.2).	_

Впрочем, может случиться, что луч Ь, выходя из хе й,
натыкается на Г не регулярно. Тогда нам поможет лемма.

10.2.2.	Л е м м а. Пусть из точки х е о выходит луч Ь, наты-
кающийся на Г не регулярно. В случае, если х еГ, он не касается
Г и выходит из х внутрь й. Тогда, каков бы ни был круговой
полуконус К с вершиной в х и осью Ь, найдется принадлежащий
к нему круговой полуконус К' с вершиной в х такой, что все
принадлежащие к нему выходящие из х лучи Ь' натыкаются
на Г регулярно. Эти лучи в точке х не касаются Г.

Доказательство. Не нарушая общности, будем считать,
что х есть нулевая точка и луч Ь совпадает с положительной
полуосью хх. Координату хг точки х', в которой Ь впервые наты-
кается на Г, обозначим через х[ (х' = (Х1, 0, ..., 0)). Так как
по условию луч Ь (или ось хх) касается Г в х', то Г в окрестно-
сти точки х' не может описываться функцией, выражающей явную
зависимость хх от остальных координат х2, •  •, хп. Не нарушая
общность, будем считать, что такая функция (описывающая Г)
есть хч = ф(х'), х’ = (х1,	хч-1). Точнее, задав произвольное

е>0, можно указать прямоугольник (5, ст<б)

Д = {х: I*! —	5; |Ху |<б, / = 2..и—1; |хп | < ст}

же (не нарушая общность
ЙД расположена ниже Г (в

К тому
область

Она

0

такой, что ГД описывается функцией

х„ = ф(х'),	(1)

непрерывно дифференцируемой на замыкании (и—1)-мерного
прямоугольника

Д' = {х': |хх — х}|<б; |ху|<б, / = 2, и—1}.

), мы будем считать, что
направлении хп) и, таким
образом, выше Г точки Д
не принадлежат к О.

Сконцентрируем наше
внимание на пересечении й
ПЛОСКОСТЬЮ (Хь Хп) (X] = 0,
/ = 2, ..., п— 1, см. рис. 1).

На отрезке [х{ — 5, х|]
сечение Г плоскостью
(х1г х„) описывается непре-
рывно дифференцируемой
функцией хл=ф (х1) =
[а на [X] — б, х}) и равна

нулю в х\. Положим Д/ = ф(Х1—б). Уменьшая б>0, можно до-
стигнуть того, что

М— тах ф(Х1).

х1- 6^X1

Так как полуинтервал (0, х, — 6] оси хг принадлежит к й и
точка О либо принадлежит к Й, либо в ней ось х{ не каса-
ется Г, то при достаточно малом е > 0 внутренние точки фи-
гуры ОАх\ (см. рис. 1) принадлежат к Й, а луч ОА, вместе с лу-
чами, заполняющими угол АОхг принадлежит к заданному полу-
конусу К, и, если Ое Г, то эти лучи не касаются Г в О.

Пусть <о есть множество точек Х1 е [х! — б, х|], для которых
ф'(х1) = 0, а <^' = ф (<^) — образ § при помощи ф. Очевидно,
измеримо как образ измеримого множества & при помощи непре-
рывно дифференцируемой функции ф. При этом

гп йхп = $ ф' (хг) йх1 = 0.
«г в

Зададим произвольную точку г/е[0,	Пусть х* есть

наименьшее среди тех х1е[х}—б, х}], для которых у = ^(Х1):
х*= пип хъ

у=Ф(*1)
Производная ф' (х*) #=0, но она не может быть положительной,
поэтому гр' (х*) < 0. Луч ОВ впервые натыкается на Г в точке В.

Пусть е = (е1г 0,	0, еп) — единичный вектор, направленный

по лучу ОВ, и п = ^ (В), ||(В),...,^-?(В), -1) (см. (1)). Оче-
видно, вектор п направлен по нормали к поверхности хл = <р(х')
в ее точке В. При этом

Так как еи еп>0, то скалярное произведение

еп==е1^(В)-е„<0.

Это показывает, что луч ОВ натыкается на Г в точке В регулярно,
потому что иначе еп равнялось бы нулю. Но тогда в силу
непрерывной дифференцируемости функции <р существует полу-
конус К' е К, все лучи которого, выходя из О, натыкаются на
границу Г регулярно.

Лемма доказана.

Из нее непосредственно следует, что, какова бы ни была
точка хей, найдется круговой полуконус К с вершиной в х
такой, что все принадлежащие к нему лучи, выходя из х, наты-
каются на Г регулярно. Из этой же леммы следует, что полуко-
нус К.., дополнительный к К, до полного конуса содержит в себе
конус К- с вершиной в х, все лучи которого натыкаются на Г
регулярно. Пусть /Д есть один из этих лучей и Г - противопо-
ложный ему, выходящий из х. Оба луча Ь'_ и Ь' натыкаются
на Г регулярно, и потому, как мы знаем, х покрывается регу-
лярным мостом области й.

Сказанное доказывает следующую лемму.

10.2.3.	Лемма. Произвольную точку замыкания й ограниченной
области	с гладкой (п — 1)-мерной границей можно по-

крыть регулярным мостом области й.

10.2.4.	Пусть точках ей. Пользуясь леммой из 10.2.2, нетрудно
доказать, что из нее можно выпустить лучи Ьи ..., Ьп, натыка-
ющиеся на Г регулярно и образующие линейно независимую
систему. При этом можно считать, что если хе Г, то лучи Ь/
не касаются Г в х и идут из х внутрь й.

В направлении каждого из лучей определим покрывающий
х регулярный мост А; области й, задаваемый неравенствами
вида 10.2.1 (1).Его цилиндрическое продолжение обозначим через 6;.

Пересечение этих мостов

А,= Г|Л/	О)

/-1
назовем сердцевиной креста регулярных мостов (Дь ..., Лп)
области й.

10.2.5.	Лемма. Каждой точке хе й можно привести в соот-
ветствие прямоугольник Дх с центром в ней и область а>х с глад-
кой (и—1)-мерной границей такие, что

ЙДлсохсЛ.г	(1)

(см. 10.2.4 (1)).
Доказательство. Пусть хеЙ, тогда х есть внутренняя
точка любого Л; (/ = 1, ..., п) и существует п-мерная сфера со^.
с центром в х, замыкание которой принадлежит ко всем Л,-. Обоз-
начим ее через <ях. Обозначим далее через Дх любой прямоуголь-
ник с центром в х, лежащий в сох. Для Дх и очевидно,
выполняется (1).

Пусть теперь точка хе Г. Введем прямоугольную систему
координат 2 = (?!, .... гл) = (г', гя),	с положи-

тельной координатной полуосью гп, совпадающей с внутренней
нормалью в точке х к Г. Начало координат этой системы, оче-
видно, есть точка х.

Существует прямоугольник

Д = {г: |г/|<6, /= 1, .... п— 1; | гп | < о}
как угодно малого диаметра, вырезающий из Г кусок у = ГД,
описываемый функцией 2я = ф(г'), г'еЛ', непрерывно дифферен-
цируемой на замыкании проекции Д:

Д' = {г': | г; | < б, /=1, ..., п — 1}.

у делит Д на две части: верхнюю Д+ сз й, состоящую из точек
геД, расположенных выше у (в направлении гя), и нижнюю
Д~, сосюящую из точек 2еД, расположенных ниже у. Эти
точки находятся вне й.

Уменьшая, если нужно, диаметр Д, можно достичь того, что

Дй = Д+ с= Лх.	(2)

Множество Д+, если не считать точек гладкого куска у, части
его границы, погружено в открытое ядро множества Лх. Поэтому
нетрудно видеть, что у можно гладким образом продолжить внутрь
ЛХ\Д+ и образовать замкнутую гладкую (п — 1)-мерную поверх-
ность, ограничивающую некоторую область со, и при этом так,
что

Д+сйс Лх.	(3)

Это утверждение можно подкрепить формальными выкладками,
но мы ограничимся рисунком в двумерном случае (см. рис. 2).
Если Ддг = Д, а>х = а, то получим (1). Лемма доказана.
10.2.6.	Лемма. Замыкание й ограниченной области йс/?„
с гладкой (п—1)-мерной границей можно покрыть конечным чис-
лом регулярных мостов. Более того, й можно покрыть конечным
числом множеств со, где а — области, определенные в 10.2.5.

На основании леммы Бореля среди прямоугольников Ах можно
оставить их конечное число ДХ1, ..., Д.Гд„ покрывающих й. Но
тогда и множества (5^, ..., й.Гл, покрывают й. При этом сд
с:Л.г^ (к=\, ..., IV). Но тогда содержащие аХк регулярные
мосты покрывают й.

10.2.7.	р и р|я. Регулярный
мост Л области й был описан
в соответствующей ему прямо-
угольной системе координат | =
= (?1> . • • > 1п) при помощи соот-
ношений 10.2.1 (1)—(5). В этих
соо тношен иях уч аств ует (п — 1) -
мерный открытый шар о точек
I' = (1ь .... |л-1). Мы условились
в 10.1.3 говорить, что регуляр-
ный мост Л опирается на шар о.
Если в этих рассмотрениях шар о
заменить на концентрический с

ним шар о* с: о* с о, то мы получим другой регулярный мост
Л* с: Л* с: Л, опирающийся на о*.

Докажем лемму (см. С. М. Никольский [24]).

Лемма. Для определенных выше регулярных мостов Л* сЛ
области й, опирающихся соответственно на концентрические
шары о*, о, где ст* с: о* с ст, имеет место соотношение*)

Р®~Р^©	(П

где р^(§) есть расстояние | до Г в направлении |л.

Доказательство. Позволим себе считать радиусы ша-
ров о*, о соответственно равными а, 2а. Зададим точку |° =
= (^°',	Будем для определенности считать, что бли-

жайшая к ней точка Г в направлении ^л находится на верхней
границе у* моста Л*, т. е.

Р^(1°)=Ш)-^^-ф(Г)-	(2)

Функция ф (§') имеет на о непрерывные частные производные.
Пусть есть производная от ф по направлению п и

М =

шах (| ),
- дп ”

П, 5 60

) См. сноску на стр. 262.
где максимум распространен на все указанные и всевозмож-
ные направления п.

Зададим коническую поверхность К:

11'-Г12=5 О/-^/)2-
/=1

Пусть х —кусок этой поверхности, распространенный на Е'е5.
Поверхность

Ъ = Н=Ш 1'^5}
находится не ниже (в направлении §„) х. Это следует из нера-
венства

Пусть т]° —точка Г, ближайшая к |°. Возможны три случая:
1) т]° ед Та, 2) т]° €=	3) т)° <= (Г\у1)\у2.

В случае 1) отрезок §°т]° пересекает х и потому

Р (1°) = | |°- П°!	| |° -^ I шт I =

= а[ф (I0') - ед = 8Ш ар^ (1°) = ср^ (|°).	(3)

Здесь а —угол между (направленными вниз) осью и образующей
конуса К и

81па = (1 -\-М2у1/\

В случае 2) (пояснения ниже)

р (1°) >	- ф с [4) (I0') - ед=ср^о'у (4)

Здесь первое неравенство можно получить, рассуждая как
при получении первых четырех соотношений (3). Второе нера-
венство—см. (2).

В случае 3) точка 1)°е Г находится вне цилиндра е 5,
и так как |° принадлежит к цилиндру е о*, то

где

М = тах [1|)(|')-ф (|')].

Имеет место также тривиальное неравенство

Р®<Р5„© ®еА,)-	(6)
Из (3)—(6) следует
<Н,(§)^р(§)^„© йеА),
т. е. (1).

10.2.8.	Лемма*). Пусть Кп и Кп — п-мерные евклидовы про-
странства точек х = (хг, ..., хп), у = (г/ъ ..., уп) соответственно
и йс/?л, Я* с Яп — открытые ограниченные множества с глад-
кими (п — \)-мерными границами Г, Г*.

Пусть, далее, у = Ах — непрерывно дифференцируемая операция

У1 = (р!(х1.хп), хей (1=1, ..., п),	(1)

преобразующая О. на 9.* взаимно однозначно о якобианом, удов-
летворяющим неравенствам

0<т<1Т§)<М	(2)

Тогда

с1р(х)<р^(у)<с2р(х) (у = Ах, хей), (3)
где р(х), р* (у) — расстояния от х, у до Г, Г* соответственно,
й если операция Ах непрерывно дифференцируема г раз, то

С1111 (Х) Ца(Я) 11 К (30 Ца(Я’) 11 (Х) Ца(«)	(4)

(1 'С р 'С оо, /(*)=/* (Ах), хей),

где положительные константы сх и с2 не зависят от [.

Доказательство. Пусть точка х е й, х' — ее ближайшая
точка на Г (х'е Г) и у —отрезок хх', определенный уравне-
ниями

Х) = аф-\-Ъ!	(/=1, ..., п, а^/ес[5).

Тогда

/ п ,1/2
р(х) = ф-а) ( 21 а/ •
\/=1 /

Операция А отображает у на гладкую кривую у* = Ду:

г/г = Фг («1/4-61, .... «„/ + &)

(1=1, ..., п,

с концами у = Ах, у' = Ах'^Г*. Пусть | у* | есть длина у*,

тогда

Р(у)^

р Г- п ( п	\2-|!/2

|^|=У 212ЙН

а к/ =1 \А=1	/

/ п ,1/2

\4=1	/

(0-а) = Мр (х),

*) См. С. М. Никольский [24].
где

п п

М2 = шах

Мы получили второе неравенство в (3). Первое можно полу-
чить теми же рассуждениями, поменяв местами х и у.

Первое неравенство (4) вытекает из следующих неравенств
(]Л| = г):

11/(х)Иьр(П) = ($ |/(х)|^ху/₽ = н\иу)
\о	/	\й*	I

\я*	/

р	Ьр(Я*)

1р ь	(Я*)- (5)

1Р* {у> ра

В первом соотношении в (5) мы заменяем х на у и р (х)
оцениваем через р* (_у), пользуясь (3). Частная производная
/<‘>(х), \к\ = г есть линейная комбинация производных (у)
порядков |«| =С г с непрерывными на Й коэффициентами р(_у).
г>	, ч о (х)

Во втором соотношении ц(.у) и щуу оценены константами и
в третьем а заменено на а-\-{г—1«|), что, очевидно, законно
при соответствующем подборе константы в

Второе неравенство (4) вытекает из первого посредством за-
мены местами х и у.

10.3.	Доказательство вложения



(1)

где

а/<у,	ГеС(1), 0^/^ г

(см. 10.1 (4)).

Начнем с неравенства Харди 

(2)

(см. книгу Харди, Литтлвуда и Полна [1]), верного при уело-
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЛОЖЕНИЯ V' (й) —	(й)

дл*	д>, и

379

вии, что ц<“-, цгСР + 1- Здесь константа С (а) непрерывно
возрастает вместе с а. Таким образом, она ограничена при любом
а Е [0, а0], где а0 < оо.

Неравенство (3) верно и для а = оо, но только при р = ц—1
(см. стр. 351). Если 1^р<оо, то

где константа

С (а) = Са?(С (0) = 0)

непрерывно возрастает вместе с а.

Если же р = оо, то (3) следует из соотношений

а

5 ф (о м

X

ср (хи)
(хц)Р

(хи)₽_ц+1 и1*-1 Ли

ОО

«С С (а) зируга! IФК11 С (а) = а?11+1 иц-1 Ни.
| /3 I’	\

Вложение (1) в одномерном случае сводится к неравенству

I(х)
а1

I Х 1

\'/₽

|	+ II / 1кр (0, а)

(4)

где С (а) не зависит от /, в предположении (2).

Докажем (4) сначала при / = 1. Имеем (пояснения ниже,
обозначает С (а), где С (а) — константа)

/<-1)(х)=^-1) (а) 4-/(г) (/) сП,

а

откуда

11

II *“*

\1/р

Х-“1Р с1х\

х-“> $	(0 сП

о

Ер(0, а)

<И||ьр(о>а)+|^|^(О>а).	(5)
Ведь при конечном р интеграл во втором члене цепи конечный
(а1р<11), если же р = оо, то этот возведенный в степень 1//>
интеграл заменяется на тах.г^‘, тоже конечный, так как в этом
X

случае ах<;0.

Далее, при (см. 4.4.3 (8))

со \ 2 ’ /

и при р= 1

а

|/(-1)(а)|<|/(-1)(х)| + $1Гг) (01^

X



откуда, интегрируя похек-,а|и деля на а/2, получим

|Л-1)(п)|

а	а

а/2	а/2

+1

/|Г) (х) I

Ха ||ьр(0, а) ’

* 1 V 2’ )

Таким образом, при любом рассматриваемом р первое слага-
емое второго члена цепи (5) оценивается нормой, стоящей в пра-
вой части (4). Этой же нормой оценивается и второе слагаемое
на основании (3). Следовательно, (4) доказано.

Неравенство (4) в общем случае сводится к проверке цепи
вложений

->	->	^ГР7^	(6)

где мы обозначили через 1Грх пространство функций /, опреде-
ленных на (0, а], с нормой

ИЛ^Рх = И1кр(0. а) +	а)’

А это так, потому что

а; — I а; , а, — г =а, — (/+ 1) + 1	0’ = 0, 1, ..., 1—1).

Пусть теперь	есть простое множество (ем. 10.1.1) и

на нем задана функция /© = /(§', %п), локально принадлежащая
дМ

к Ьр вместе со своими производными —(А = 0, 1, г—1) и
имеющая конечную норму

8 Г	и» “ И11^ <л)+И Ца и»’

где р$л(|) есть расстояние точки ?еЛ в направлении 1-п до гра-
ницы Л.

Заметим, что
р6я®-(^-Ф(^))(Ф(^)-гя) ®ел)
(см. сноску на стр. 369).

При условиях (2) имеют место вложения

^(А)^' (Л)	(/ = 0, 1..Г-1).	(8)

В самом деле,
(а<Ь)

из (4) непосредственно следует неравенство

а) ||/ (х) ||ьр(а, Ь) + Н | (х_д)а (V—X)1

Поэтому

- ф (Г))““г (Г) -

*сС(^')-Ф(Г))

4(6')	\1/р

5 1/(5', БЛМл +

*<₽(&')	/

Положим

шах С (ф (!') - <р (|')) = С < оо.

1'ео

(9)

Здесь константа С конечна, потому что функция С (а) непрерывно
зависит от а>0 и согласно определению простого множества

О<т<ф(!')-ф(|') <М (§'еа)

для некоторых констант т, М.
Если учесть, что функции
на А и норма (7) конечна, то

в степень р, применения второго из неравенств

дг-1(

^-1 У — ®’ 1» •••, г) измеримы
после возведения неравенства (9)

У, (У, с2 У

1 \ 1 / 1

(Ю)

(А/^0),

где с1г с2 зависят только от А и р, интегрирования по е ст
и наконец применения первого из неравенств (10) получим

И так как, кроме того,

то имеет место вложение (8).

Пусть теперь П се А есть ограниченная область с гладкой
(п — 1)-мерной границей и / е №%(&) и соблюдаются условия (2).

На основании 10.2.6 область П можно покрыть конечным
числом регулярных ее мостов Л*, ..., Л$, опирающихся соот-
ветственно на (п — 1)-мерные шары ст*, ..., Уменьшая
несколько эти шары, можно добиться того, что регулярные
мосты Л1, ..., Лдг, опирающиеся на уменьшенные шары стъ ...
..., Стдг (оу ед Ст/ се ст*), тоже будут покрывать П.

Докажем вложение (1) при /=1

Ц7ра(П)^1^рГа,, «1<у, «1=^а + 1, 1=С/?^оо.	(11)

Отсюда по индукции, которую мы не будем проводить,
потому что она аналогична рассуждениям в (6), получается и
общее вложение (1).

Чтобы доказать (11), достаточно доказать, что для любой
частной производной /^-1) порядка г—1 и моста Л с: Л се Л*
(индекс мы опускаем !) имеет место

Нг-1)
IX

I Ра1

Ьр(Л)



Введем новую прямоугольную систему координат

(В1> •••, ?п) = I — •* =	•••> ^п)>

(12)

(13)

в которой описывается Л* (см. 10.1.1 (1)). Так как преобразо-
вание (13) линейное с постоянными коэффициентами, то любая
частная производная порядка I по х есть некоторая линейная
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЛОЖЕНИЯ V' (й) - 3'’+“ (й)	383

МЦ	Р

комбинация из производных по | того же порядка I. Учтя
этот факт (при 1=г— 1) и тот факт, что определитель преобра-
зования (13) равен 1, мы видим, что неравенство (12) будет
доказано, если будет доказано неравенство

IV1

где ^г-1) есть какая-либо производная порядка г—1
а интеграл слева взят по множеству А сд А* точек |.

Здесь

Р (I) = Р (х)

(14)

ПО I,

— расстояние от точки х (или, что все равно, |) до Г.
Итак, зададим

Имеем в силу 10.2.7 (1) и (8) при 1=1 (пояснения ниже)

|Ьр(А)

(й)

цепи интегрирование происходит по х

РГ

и (14) доказано.

В первом члене этой

на А, здесь р (х) — расстояние от х до Г. Во втором члене совер-
шается замена переменной х на | в интеграле и применяется
10.2.7 (1). В третьем —применяется вложение (8) при 1=1.
В четвертом — заменяется на меньшую величину ср, поль-
зуясь 10.2.7 (1). Переход к последнему члену сводится к обрат-
дАг~ о

ной замене | на х, при этом —— заменяется на некоторую

линейную комбинацию из частных производных Замена А
на й только усиливает неравенство.

10.4.	Доказательство вложения

(Й) Вг+а (Й)	(0<г + а<г)

Пусть 50 есть наименьшее натуральное число, для которого
г +	Рассмотрим два случая г + а<8о и г + а = 8о-

10.4.1.	Случай 1:

«о — 1 <г + а<50.

(1)
Нам будет удобно вложение 10.4 (1) свести к следующим
двум:

(й)	К‘. а+г-8. (Й) - Вг+а (Й).	(2)

Первое из них верно, потому что г + а — 5о<О=С-
(см. 10.1 (4), (5)).	Р

Положим г + а —5о = ₽<О, тогда г + а — 50 + 1 = 1+р,
0<1+₽<1.	(3)

Второе вложение (2) в одномерном случае сводится к нера-
венству
Ъ— а

Т	(х+Л)-/'8»-1’ (х) ь_к}

Й1+Р(1+^	я

о
Ь—а
2	Ь — Л	х + Л	Р	Ь .

=	( /<’•>(/)<// ^с(Ь-а) (4х,	(4)

3 /г‘+р<1+Р' 3	3 '	4	к ' 3 I Р (х)₽ | у ’

0	ах	а

которое нам предстоит доказать. Здесь С (/)> 0 — непрерывная
функция от ^>0 и р(х)~(х-а)(&-х), хе(а, Ь) — расстояние
от точки х до границы (а, Ь).

Мы начинаем с неравенства (пояснения ниже)

где С (/) > 0 — непрерывная функция от /.

В первом соотношении (5) применяется неравенство Гёльдера
по I е (х, х-\-К). Во втором —надо учесть, что -^--|--|-=1.
В третьем — меняются местами (1х М и (II <1х, а затем (1Н <11 и
(ПАИ, при этом МЫ ПОЛОЖИЛИ

I	/	]Х + Н	\р~

й1+р<1+₽> 3	1л*	*

0	К(1, й) \ х	/

йх,

где

Х(/, Н) =

0,	0</<Л,

I — И, Н<.К1.

Наконец, в последнем (пятом) соотношении надо учесть, что
функция ограничена на [0, /] (я(0=^О-

В самом деле, положим = (/) + §.2 (/), где

1/2	I ,х + Н ,р —1

ё1 (/) = /₽ С —С [ ( аД ах.

61 ' ' Д Д1+р(1+Р)	I = а1

О	К{1. й) \ х /

Так как здесь Л<у<7, то Х(/, И) = 1 — Н. Кроме того,
5>х>/-й><-у = |и Р<0, поэтому Следовательно,
/

учитывая, что § х₽йх<;/11+₽, будем иметь
I — й
Ц2	1	Ц2

(0 <	^(р1) ( №л	= 1.

61' '	3 м.+р(1+Р)	з м+рр

о	I—л	о

С другой стороны, если учесть, что 0=С/^(/, /г), то получим

I	I ,х+н \Р —1

0- (Л = $ С ан - ( ( ( &₽	(1Х <

вг'' л /г1+р<1+р> I д	/

Ц2	КЦ, Л) \ х	/

I	I	I

</₽ ( ------</!+₽ С ^^1+₽/-1-₽ =1.

Л й1+х,<1+₽)	д	Л	Д2+Р

//2	0	1/2

В третьем соотношении надо учесть, что (х4-/г)1+₽ —х1+₽^/11+₽,
так как 0 < 1 + Р < 1.

Конечно, рассматривая вместо ф (/) функцию ф (— /) на (— I, 0)
и рассуждая, как в (5), мы легко получим

I	1—Н

С ан С

5 дн-р<1+₽)

5	0

Ф(0
(/-/)₽

Р (II.

(5')

Пусть теперь а <д. Положим для краткости с = —<1 =

т) = |]/(5»-1>(х4-Л)-/(5»-1)(х)^ у)

(6)
Очевидно, что

Ц.(Х,	V!), если (X, V) С (А,1( V!),	(7)

поэтому, учитывая еще (5) и (5'), будем иметь

\ 1/р

|1 (а, Ь — КуЛК
р+Р <1+0> у

\ 1/р

|1 (а, с — й) ЛК
/г1+рЧ+^1	/

ц (а, с — /г) ЛИ I

Д1+Р(1+₽> у

ц (Л, Ь — И) ЛИ |
л14р(1 + Р) ;

(х —а)?

(х)

(Ь—х)Р

/ с-! (Ь — а)

(х — (Ь—

/в"> (%)

и мы доказали (4).

Переходим к доказательству 10.4 (1) (в случае 1).

10	.4.1.1. На основании леммы 10.2.6 мы можем считать, что
множество П покрыто конечным числом множеств й, каждое из ко-
торых обладает следующими свойствами: 1) й — область с (п— 1)-
мерной гладкой границей, 2) й принадлежит к сердцевине

п

АЛ = р Лу (Й с Лл)

1

некоторого креста регулярных мостов области П.

Зафиксируем внимание на определенной такой области и.
Введем для нее систему координат ^ = (С1, ..., ?я), вообще ко-
соугольную, с положительными полуосями, совпадающими соот-
ветственно с лучами Ь1г... , Ьп, определяющими крест Лх, ..., Ля
(см. 10.2.6).

Функцию /(х) после замены х^±? будем снова обозначать
через / (5).

Если теперь задана функция /(х)е №% (П), то для нее вы-
полняются неравенства (пояснения ниже)

Р(?/ + “-5°

(?)

<И(х)|1

^ра(й)

^р, г + а_8о(й)

(/=1,	п).

(1)
Здесь Ау —отображение А/ при преобразовании и р-^. есть
расстояние от точки ? еЛу до Г в направлении Су- Первое соот-
ношение в (1) верно в силу 10.2.7. Второе соотношение верно

в силу того, что частная производная

а5»/

есть

линейная ком-

бинация с постоянными коэффициентами из частных производных

/18о) (х) по х порядка «0, к тому же, в данном случае якобиан
перехода от к х есть постоянное число, а расширение нормы
от Лу к й только увеличивает ее. Наконец, последнее соотно-
шение в (1) верно в силу первого вложения в 10.4.1 (2).

Будем считать, что

Лу = {?: чО^Су^Ф(?/). 2^1},

где ^ = (С1, ..., Су-1, Су+1.С«) и ст) —(п-1)-мерный эллипс.

При этом ф(§')> Ф(С') непрерывно дифференцируемы на ст) и

т ф (;/) - ф (?' 0	М	(;/ <= ст)).	(2)

В силу 10.4.1 (4) имеет место

2	(?у)

$ |Л;-"К'. С,+*)-/?,

0	ф(^)

(V,

РЕ/

с= тах [ф - Ф (&')]•	(3)

р

После интегрирования этого
(см. 4.3.4, Р = г4-а — 50 (!))

неравенства по е ст) получим



<У°/

 (/= 1, ..., п). (4)

г + а — 5„

Ар(Лу)

Из (1) и (4) следует

1/<г)1Ь.(-)<||/и ,0, (/=1.......»).	(5)

Рьу ' '	ра

Но тогда в силу того, что со ограничена и имеет гладкую
(п — 1)-мерную границу, функцию / (^) можно продолжить на все
п-мерное пространство /?,, точек ^ = (^, ..., Сч) с сохранением
свойств (4) и (5). Точнее, существует функция /а (^) е Вгр+ а (/?„)
такая, что

АЛ) = т	11/ш(?)Ц+а(^)<||/Ца(0)	(8)

(см. примечание к 4.3.6).

Так как преобразование ?^х линейное невырожденное с по-
стоянными коэффициентами, то

||/<о(л:)1!вг + а <С||/|| г	(7)

аР (кп)	^ра (н>

(см. О. В. Бесов, В. П. Ильин и С. М. Никольский [1], § 21).

Существует конечное число прямоугольников \Хк (открытых)
и им соответствующих множеств ак, о которых шла речь в лемме
из 10.2.5 (^ = 1, ..., IV). Каждому к можно привести в соответст-
вие бесконечно дифференцируемую на функцию ср* (х) со
свойствами:

1) 0^Фа(х)^1,

2)	ф* (х) финитна в АХ/г,
а •	_

3)	2фИ*) = 1 на 9
1

(см., например, С. М. Никольский [22], т. II, § 18.4).

Положим

а

Р (х) = ^ак(х)ук(х).	(8)

1

Очевидно,
а

II ? Ив' + а («„)“< 2 |И“/г	||вр+ а («„)“< 11^ 1^ра (й)’	(9)

Пусть хей. Тогда для любого &=!,..., Ы

^к(х)(рк(х)=}[х)(рк(х),	(10)

потому что, если для этого к х е АХк, то хе А^й сд <вА и
(х) = / (х), если же х АХ/г, то фА(х) = 0 и равенство (10)
все равно выполняется. Но тогда

Р(х')=[(х) 2 Ф* (•*) = / (•*) для всех хей. (11)
к = 1

Из (8) и (9) следует

II Лвг + а (й)	(О)

р	р&

и вложение 10.4 (1) в случае 1 доказано.
10.4.2.	Случай 2:
л + а = 80.	(1)

В этом случае

1с;,, (й) -> №’•+' (й) -> в;+в (й).	(2)

Первое соотношение в (2) верно (см. 10.1 (4)), потому что
5„ 4- 1 •< г и г -}-а — 80 — 1 = —1	~ . Второе — предстоит дока-

ти гь.

Начнем с неравенства (пояснения ниже)

/ — '.'Л

,	( |/,'»-,,(а-1-2//)-2^-'>(л- + /0 + Л”-О(.г)|МЛг =

4 о

/'»+ 11 (Д /

Т /1 о + л

<11 {	/(5,,+ ч (/) (И

с/л =



г/2	I— ->Н »+Л	\4Л

«5 А 5 •»') « $

о	о	1

р

р (Л А //) У (-V, А) Л =

I	I

- 51 р"+1 > (0 / Г ё а) л < $ I /ч» 41 ’ (/) 11₽ л. (3)
о	о

В третьем сскнношении мы умножаем и делим /(5» 1! (/) на

Ц- * = 1^ и применяем к интегралу по <11 (.11л неравенство

Гёльдера; при этом полагаем

/х + к	г + II	\ с — I

у (.г, й)=Н с .
' X	V	/

(4)

В четвергом соотношении меняется порядок интегрирования по
ИгМ на	В результате после интегрирования по с!^,
которое возможно довести до конца, получим написанное равен-
ство, где

{I — х,	х<Кх-\-И,

'0 = ( л- + „</<х + 2„. И

Наконец меняем порядок интегрирования но <1х сП на <Нс1х,
а затем сПкИ на сП ЛI и после вынесения за скобки | м (/) I ф
получаем предпоследний член (3), где

1/2	/

$ = г 5 /Д $ м V'х’ !е>у (л'*Л) (° < / < о (б)

’о	/(/Г-.’Л)

и

(О,	б<//<'2/г,

Л (/. 1’й) =	'	'	(7)

’	| / —2/г, 2й</</.	1 ’

Ниже мы доказываем ограниченность Функции .»(/) на (0, /),
откуда следует последнее соотношение в (3). Полагаем

П (0 = §1 (0 +&2 (0.	(о)

где
6-4	>

§1(0=15/Д 5 р (6 л'< а) у(н л,)'7'=

О к (С 2И)

«74	I

= \ \-^р $ Н (6 V, й) у (Г, /1) дх. (9)
0	I - 2Й

Здесь 2й < < I, и потому X (I, 2й) = I — 2/г. Из (5) следует, что

р (6 х, Н) < Н.	(10)

Докажем, что

у(х, Н)<^НР~1.	(И)

В самом деле, переменяя порядок интегрирования в интеграле
в правой части (4), получим (пояснения ниже)

с + Л	у + Л	Х-1-/1	х-Х 2/1

д л ь С	* + /г -

х	V	х	X |-Л

X I - /I	X + 211

< 5 1^+ 5 1^ = ЛЧ-А = 2Л.

х	х + Л
Ведь С — х < — л') 4-х = с, так как х>0, и 2/1+х-{««
= (х-|-Л) — (^ —Л) <л'-|-Л, так как х4-Л<С и, следовательно,

—й>х>б.

Но тогда из (9), (10) п (II) следует

(0<7

04

е д • лдр-1

' л1+р

о

(12)



Имеем далее (пояснения ниже)

1/2 I

8г (О 7 /Дт 5 I1 Т ( V, >1) <1х~

1!\ О

//2	I	1/2	1

1 (’ (Нг Г ,,	. ,	,\ г:	1 Г ДР*1 (1И Г ,,	. .

= 7 ) Д^ V ~ А‘> т (х' Н) < 7 5 7?Т“ } (/ ~ 7*(1х <

сД о	1Ц	о

//2

<Ц’	(13)

д Д- ’ I ” х ’
//4

Так как здесь х<1, то р.(/, х, К) = 1 — х. Во втором члене
цепи мы расширили интервал интегрирования по <7х, пользуясь
тем, что Х(/, 2Д)^=:0 (см. (7)).

Из (8), (9) и (13) следует ограниченность ^(/) на (0, /).

Этим неравенство (3) обосновано полностью.

Конечно, рассматривая вместо /(8»+1) * * * * * * В(/) функцию р»+ *’ (—I)
на (—I, 0) и рассуждая, как в (3), мы легко получим

+'' (х4-/1 Ч-^) ^1 ^2



I

<^^»+0(/) (1-1) |р^_

О

(3')

Пусть теперь а<Ь. Положим с = ~^-, й = а-}-^-^-

V — 2Л
р (X, V) =

А

р

йх.

Л Л

5 Г (Х-Ь + ^1)
О о

Очевидно,

В (7, у)<р(Хг, ух), если (Л, у)с(Х1, ух),
и тогда в силу (3), (3')

Ь — а
4

(Ь — а	\ \/р /Ь — а	\ 1/р

4	\	/	4	\

ц(а,Ь — 2Н)ЛН _________ С ц (а, с—2Н)<1Н |	,

3 Л1+р / ’л Д
о	/	\ о	/

|1(^, Ь — 2Л)

Л1 'Р

гС Сг (Ь — а)

\1/р

|/<’«+»(/) (/_й) |РГ//

\1/р

|^+1) (/) (/)-/)

\1/Р

и мы доказали второе вложение (2) в одномерном случае (О = (л, Л))-
Распространение его на случай произвольной ограниченной
области О с^п ведется рассуждениями, аналогичными приведен-
ным в 10.4.1.1. Теперь уже для функции / (х) Е (О), где
г-]-о' = 50<г, неравенство соответствующее Ю.4.1.1 (1) выглядит
так (г + а — 5(, — 1——1 (!)):

<?’•+7

^(А/)

^8 / (х) ^а(О).

А неравенство,
10.4.1.1 (2))

соответствующее 10.4.1.1 (3),

имеет вид (см.

'4	.Н?'-)

(	Л	?/ + 2А)- 2/^" -п(^, ^ + П)	+

*	ф(су)

Ч'

+’ 1 ’ (ьЛ ёу) И | + ” (?/’ г
«и')
После его интегрирования по % получаем неравенства, соот-
ветствующие 10.4.1.1 (4) и (5):



а5» + 7
^°+1

<1^ (Х) Иг' (О)-
ьр (л/)

Чтобы окончательно получить вложение №ра (й) -+Вр+а (й),
надо повторить рассуждения, приведенные в 10.4.1.1 после фор-
мулы (5).

10.5. Доказательство вложения

1У;а(Й)-*Др+“ Р(Г)	(0<г + а —	Г6о), (1)

г 4-а — натуральное.

Отметим, что верность этого вложения при а = 0 (в том числе
и при р = со) следует из соответствующей теории для безвесо-
вых классов, так как тогда

__1^

^;0(й) = ^(й)->Вр ₽ (Г)

(2)

(см. книгу О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Никольского [1],
теорема 24.3).

Рассмотрим сначала случай

, 1
г 4- а — — — 80.

(3)

Так как 80 < г, то г-\-а— — г — 1 и а	-— 1 -=с0. Слу-

р	р

чай а = 0 уже рассмотрен. Если же а<0, то, учитывая, что
80>0, получим

0^ уСг + асг.

Следовательно (см. 10.4 (1) и теорему 24.3 упомянутой книги),

г;а(й)-^в;+“(й)^в;+“ ₽(Г).	(4)

13 С. М, Никольский
Отметим, что в условие этой теоремы входит ГеС(11) (ц>-г-1-а)
(см. замечание перед теоремой 24.3 и формулу 21 (8') в указан-
ной книге).

Переходим к случаю

г а —— <С 50.

(б)

Если на самом деле г4-а<5о, то в силу неравенства $0»С
получим а<0. Кроме того, из (1) следует, что га 5= О,
поэтому 0<г4-а<г и в силу 10.4 (1) и теоремы 24.3 упомя-
нутой книги

г;а(й)->в;+а(й)->У+а-₽ (Г).	(6)

Если же

г + а-$оэ=О,	(7)

то при 50 — ~ > 0

(Я) -> С°. л+а-5. (Я) -> к (Я) -> 5, р (Г).	(8)

Здесь первое вложение следует из того,

, 1

что г 4-а — «о<у

(см. 10.Г (4)). Второе— тривиально вытекает из (7). Третье —
следует из теоремы 24.3 книги О. В. Бесова, В. П. Ильина,

С. М. Никольского [1].

Второе вложение грубое, и мы не получили точный класс

для следа функции / е (Я). Однако мы доказали, что сущест-
вует след / |г = <р, имеющий интегрируемые на Г частные произ-
водные до порядка $о—1 включительно, которые могут быть

получены из соответствующих частных производных, определен-
ных на Я, как пределы в среднем (в смысле Ьр), или почти
всюду, как это описано в § 24 книги О. В. Бесова, В. П. Иль-
ина и С. М. Никольского [1] (см. также С. М. Никольский [5]). Это
утверждение верно и при з0—- = 0, т. е. при $о = Р=1, но

5 —1

в этом случае в цепи (8) надо заменить В’ р (Г) = Вр (Г) на

Ь₽(Г).

10.5.1	. Ниже мы займемся случаем 10.5 (5), который можно
записать еще следующим образом:

. , 1 __

$о — 1 <1 г + а — — <1 $о«
/ + <!—-

Пусть

Д = {х: 0«сх,«с1,	1 = 1, .... п}

— единичный куб в /?л и Д' —его грань, принадлежащая пло-
скости хл = 0:

Д' = {х' = (хь х„^1): 0«ех,^1, 1=з1.п — 1; хл = 0}.

Введем класс функций №ра(Д), определенный как И?ра(Д)
в 10.1, но где р(х) есть расстояние от хе Д до Д', т. е. р(х) =
= Рхл (х) = хп- Произвольную точку х = (хх....хл) будем запи-

сывать еще так: х = (х', хп) = (х1, х", хп), считая, таким обра-
зом, что х' = (Х!, ..., хл_1) = (х1, х”), х” = (х2, .... хп.^.

Нам предстоит доказать, что

(Д) + г?, г+а_„ (Д) вр+а- р (Д')	(2)

при условии (1). Первое вложение верно в силу 10.1 (4), потому
что г + а —50<у Второе сводится к неравенству

^°~У(Х1 + Л, х", 0)

<Эх*~1

д*»-1/ (хь х", 0)
дх*»-1

р \1/₽

<ИЬ. \Д)

/	р, г + а,—80 '

(3)

где Д/, = {х": 0 х, 1 — /г, 0 х11, I = 2, ..., п — 1}, и вообще

к аналогичным неравенствам

й5’ */

для частных производных --------

дх^~1

(1 = 1, 2, га—1). Положим для краткости

ф(х)

_	(х)

дх?-1 ’

Н)

Так как

ф^ + Л, х", 0) —ф(хь х", 0) =

л

5 (Хх + Й, X”, о (Хх + /, X’, о л,
д д д

где мы считаем ^7 = ^ + то левая часть (3)

_______(1Н______
д14-р(г+а—5о4-О

$	(Х1 + Н, х", 0) — ф (х1( х", 0)

дл

где (пояснения ниже)

л^(Х1+н, Х',

НГ"^а— 8о"Ь I
0

1 ^-(«1+Л, х", Ни) Ли
\	кг + а—11,

+	X', Ни)

Эф , ,
дхп (Х}

^4-а-з,

®р, г+а—«о <д’

(6)

Во втором соотношении (6) мы делаем замену переменной
1 = Ии, (И = И(1и в интеграле по М.

В третьем — применяем обобщенное неравенство Минковского.
В четвертом —в интеграле по <Мг<1х' вводим вместо хх и К новые
переменные х, = %1 + /1 и хп—Ки с якобианом, равным и, и, сле-
довательно, с обратным якобианом, равным и-1. Теперь уже этот
кратный интеграл берется по йхг <1х" <1хп — (1х. При этом интег-
рирование берется по некоторому множеству е сг А точек х. Если
заменить е на А, то получим предпоследний член в (6). Интег-
рал по Ли в нем конечный, потому что <4-а — з0 —	1

(см. (1)), а возведенный в степень 1/р интеграл по <1х не превы-
шает полунорму

с*Ф А

~ дх°п° Г

(А)'
Оценим теперь

йН

2_

р Ни

сЙ’(Х1+6 х”’

} /гл+“—5°+1

<?ф

(х^Ни, х", Ни)

^г + а—з0

<?Ф

(Х1+Ни, х’, Ли) Ли

^г + а.— За

“’р, г-ра —з0 <“>

Эти рассуждения аналогичны приведенным выше для /х.
В четвертом соотношении в интеграле по НН Их' заменяем хх, А
на х[ = хх + Аи, хп = Ни и затем х\ на хх. Получается кратный интег-
рал по некоторому множеству ех с: Л точек х, который только
увеличится при замене ех на Л.

Из (5), (6), (7), учитывая (4), получим неравенство (3) для
д5°—

частной производной - 5д. Аналогично, как уже было отмечено,

З5»-
можно получить подобные неравенства для производной ——у

(/ = 1, 2, .... п-1).

Этим доказано второе вложение (2).

Пусть теперь задана функция / (х) Е 1Гра (й), где йс!?Л —
область^ с (п—1)-мерной границей ГсС5’, и пусть Л* и Л
(Л* сЛ*сЛ)- регулярные мосты (|' = (^х, ..., ?я_х)) области й:

Л = {?: ФЙ')^Я<Ф(Б').

Л* = {&: ф(&')^л^Ф(Г).

Б' ест},

Б' ЕСТ*),

определенные в некоторой прямоугольной системе координат $ —
«= (^х, •••, &>)» гДе можно считать, что ст и ст* — (п — 1)-мерные
кубы (ст* с 5* с: ст). Так как ГеС(!,), то ср, ф а С<,,) (О).
Кроме того,

Ф(Г)-ф(1')>т (Ге&),

и потому множества

* = ф(Г)^ал<ф(1')+/п.
Ь* = {^: ф(Г)=^<ф(Г)+/«,

Г Е о} с Л,
€= ст*} с=Л*.
Введем еще новое отображение
? = (?1..............?л)^(т, •••. 9л) = 9

посредством равенств

5/ = Л/	(/=1, .... п-1),	^л-<р(П = 9л (Ге5)- (8)

Имеем (пояснения ниже)

(хИц7' а(Ц)ХИ (Шу' а(й) ^11/^Ч«'р“г+а_5 (я)^
(Х)>И(п)С»\ а у <9>

№р, г+а—50<*-.)	"р, г + а—5О'-Л*'

Первое соотношение в (9) верно (см. 10.2.8 (4)) в силу того,
что отображение (й й) линейное невырожденное с по-
стоянными коэффициентами^ второе — на основании 10.1 (4), (5).
В третьем — весовой класс № понимается с весом

р&„© = ^-<р(1') = пл;

надо учесть, что р (|) ~	(|) (| е %*) (см. 10.2.7 (1)). В четвер-

том (последнем)—!* есть прямоугольник

< = {9: 011» •••, Пл-1) е= о*,	0^=т]л^т},

получаемый как образ %* при помощи отображения (8). Это
отображение непрерывно дифференцируемо з0 раз, потому что
<р (?) Е О5») (%). Поэтому функция / (|) «=	г+а-5, «) переходит

в функцию /(т]) класса л+а_5о (!*\ где роль р играет т]л.
В таком случае, в силу второго вложения в (2) функция /(ц)
имеет след на грани т)л = 0 прямоугольника X*:

/(91, •••, Пл-1, 0)	₽ (ст*)



•••>	°!1 г+а_1 <11/(п)11^	а)<ии(П)-

„ +	р,„ .	Р, г + а— 50

В„ Р(а.) .

Если обозначить через у* нижнюю границу моста А*, опре-
деляемую уравнением ?л = <₽(?'), ?'. ест*, то получим

г + а-1	< II / II 1Гга (О) ’

ВР ₽(А)

и так как произвольную точку хеГ можно покрыть регуляр-
ным мостом А (области й), точнее, нижней его границей у1г
из которой выброшен край (см. 10.2.1 (3) и ниже), то имеет
место (см, книгу О. В. Бесова, В. П. Ильина и С. М. Николь-
ского [1], § 23)

/|г=в;+“4(Г), |Пг! ,	<|/|,, и,

»р о <п

и вложение 10.5 (1) доказано полностью.

10.6.	Доказательство вложения

^+а--;(Г)->1у;а(й)	(1)

р

(см. 10.1 (14)),

0<г4-а ~~<г, ГеСЧ	(2)

Мы будем употреблять обозначения:

X — (X , %П~19	=	1

х = (Х1, • • • > %п 2)9 х = (х , л:л-1) = (Х1, ' • ’) -^д—1)>

п — 1	п — 2

х'* = 2 х2,, х"* = 2 X2/.
/=1	/=1

10.6.1.	Лемма. Пусть

Д = {х: 0^Х/^ 1, /=1, ...» п}	(1)

— единичный куб и

&' = {х': 0«5Ау«51, /=1.......п — 1}	(2)

— его проекция на плоскость ха = 0.

При условиях 0<г4-а — для любой функции ^(х')&

г4-а—-	__

ейр ₽ (Д') найдется гармоническая на Д функция И е ^гра (Д)
такая, что

(Д)^ЯЛ г+а_1 .	(3)

₽“	в/ ₽(А')

где С не зависит от [ и

У\Хп=,0=Нх')	(х'(=\’\	(4)

Здесь

Мтр И1 -!<%«.+ 2 1-^1		(®

Р“	р 1*1 = г II Хп |И-р(Д>
Так как всякую функцию/е + а Р(Д') можно продол-
жить на Кп-1 с сохранением нормы, т. е. можно построить функ-
г+а_1

цию 1^Вр р(#л-1) такую, что /(х) = /(х) на Д', то лемма
10.6.1 непосредственно вытекает из следующей леммы.

10.6.2.	Лемма. Пусть на верхнем полупространстве
Нп = {х: хп > 0} задана гармоническая функция

П(х) = П (}, х) = кхП ^_^^хцп/2 ’	(0

г + а-1
соответствующая граничной функции [ (?) ^Вр ? (Дп-1)
^0<г4-а ~ г^е

'] _ ах С ____________= ь С	(ОХ

[(,'-хТ+^л/2	)	(«'2+1)л/2’	()

Кп-1	Кп-1

и пусть Вап обозначает полосу

Нп = {х-. 0^хп^а}	(3)

ширины а.

Тогда и^^гра(Нп),

|У||₽ и=И,М+ 2 |-тЦ

ра\*п)	Р\ п)	хп

^С(а)||Л г + а_,	,	(4)

вр Р(*п-1)

где константа С (а) зависит не только от г, а, р, но и от а,
и [ (х') есть след функции И на подпространстве х„ = 0 (см. 6.4):

и\Хп = 0~Цх').	(5)

10.6.3.	Лемма. Для определенной в лемме из 10.6.2 гармониче-
ской функции И выполняются неравенства



дгЦ

дх„ дх'г1

1 1 >
г + а---

ВР Р («л-0

(1)

(Г)



^Ф11
еде С не зависит от ( и а, 11У — частная производная от I/
порядка г по х' = (Х1,	х^), а —д — порядка г—1 по

дхпдх'

х' и только первого порядка по хп.

Пусть $о — наименьшее натуральное, для которого

г + а — —	80.	(2)

Докажем неравенство (1) для частной производной

,7(г)_
их' — —$--------;

дХ1' ... ад

Не нарушая общность, будем считать Ал_1>0.
Итак, пусть Щ') е Вгр+а р(Нп-1),

₽ = г + а-1-5о + 1 (>01).

(4)

Имеем (пояснения ниже)

= кхп ( / ((’) —------------------75-	=

" 3 дх'г [(Г-х')2+х2]л/2
нп-1

= (— \)гкхп (	--------!------^-Л' =

к	М'г [(^'-х')2+^]л/2

^п-1

= (-1)г-8«+1ЙХл у 1)(Г,	X

«0-1

аГ — 5о + 1	1

ХбГГ-5о + 1 [(Г-Х")2+/2_1 +Х^]Л/2	1 Х=(~~	’ + ‘^лХ

С	дг8° +1	1

Хк /( '	’ Хл1 — /л	^"-5» + 1 [(Г-х")2 + ^_1+<]п/2	‘

Так как р»-" (I’) е Ьр (Кп-1), то это дает возможность
в третьем равенстве цепи (5) перекинуть «о— 1 производных
на /. Безразлично, какие именно производные перекинуть. Поза-
ботимся о том, чтобы при этом оставшаяся производная имела
вид

— 80 + I	— $0 + 1

дГг “80 +1 ~ дег-3° д1п_г ’

что возможно, потому что Хя_1>-0 и 80^г, следовательно,
«о— 1</'. При переброске, для определенности производной
соответствующий интеграл (только по /х!) преобразовывается по
следующей схеме:

СО	,	№	№	х ОО

—оо	(	/| = — М	—№	)	—оо

Ведь № абсолютно непрерывна по (почти для всех (/2,	/л~1))

«Ча1>(—оо, оо), откуда

|Ч>(АГ) I < Ф(0) + $
о

/ОО	X 1/р

<1ч> (0) |+$ 11/ ш
\0	/

№ = о (№'«).

Но Ф (А) при /1 —оо достаточно быстро стремится к нулю, чтобы
Ц) (Аг) ф (М)->0, М->оо и, кроме того, фе^(—оо, оо).

Имеем

/»	дГ — 5о + 1	1

Лх„ \	хп-1) -г—гп----------------7м

„3 .	агг-5"+* [(г-хг+инГ

*п-Л

-кхп У /<»о-о (Г, х^М'х

ОО
дг^39 С д	1

х дгг“’’-1> д*п~г [<г—х’)4+^-1+хл]п/2	~0’

Под знаком — стоит четная функция от 1п_и после диф-
ференцирования по 1п-г она становится нечетной функцией, сле-
довательно, интеграл от нее по /п_1 е (—оо, оо) равен нулю для
любых Г, х", хп.

Поэтому, полагая

хл-1) =

хи+/<’»-«> (Г, х„-1+о,

® силу (5), (6) получим

^х. - (-1 г+1	5 ди 1,	хп_!) х

«л-1
дг—«о + 1	1

Х <ЭГГ_’|, + 1 [(^~х')1+/ап_1+х^п/2

Справедливо неравенство
п

<8>


д^+1

где п — натуральное число, а ^+1—операция какой-либо част-
ной производной порядка ц+1. Оно легко следует из равенства

ВР ХП	Ру+1	I Ру-1	I	Р У-3

р11	рЛ+2У	I	рП+2У-2	I	рП+2\'~4

Ро /	\

(V нечетное),

(V четное),

которое может быть проверено по индукции. Здесь Ру —некото-
рый однородный многочлен от х = (Х1, хя) степени /. Конечно,
в неравенстве (7) можно заменить некоторые X/ на X/ — и оно
останется верным.

Из (6) и (7) следует ^пояснения ниже, = 1 )

р

Рп

Дп-1,	х„_1)

п + г — 5,

Р"-хТ + ^_1+^]	2

|ДА- 1.	Хп-1) |₽

ер
[(Р-хТ + ^_1+^]2

м' х

Й'.С =

- с \ сПп^ 5 сП" \ с1хп-{\Д2,-!. /п_1/(5»-1,а"> хл-1)^Х
~°°	*П-2	~°°

С3 V- 1Х- Л + 1 + Е₽

\ —2______2_______Нх —

3	?р "

(Х’4Л-!+^)2

оо

$ ।«-ь и1-"<иI’

П-1 *„-1

•	(9)

Ьр Р (Рп-1)

Во втором члене (9) в интеграле в скобках мы заменили
Г — х" на Iя, что не изменило интеграл, а затем произвели
замену I' на и' при помощи равенств 11 = хпи1 ...» п— 1),
В результате после вынесения за знак интеграла множителя хя
й соответствующей степени возник интеграл

конечный, если предположить, что

(п + г — 80 — е) д > п — 1,

т. «.

п ,	.1

8<7 + Г-5о+-.

(Ю)

В четвертом члене (9) мы изменили порядок интегрирования
и заменили 1п на I. Теперь в интеграле по <1х” йхп производится
замена переменных х1 = 1у1 (/=1, п — 2, хп = ^п-1). В резуль-
тате после вынесения за знак интеграла возникает инте-
грал

(см. (4)) , если

— р₽-п + ер>— 1,

т. е.

п— 1

Р~

п— 1 .	.	1	. ,

___+г+а___8о+1.

(11)

е

Для существования е, удовлетворяющего одновременно (10),
(11), достаточно выполнения неравенства

—Р—\-г + а---80+К- + г-50 +—,

т. е. а<7. Но выполнение этого неравенства всегда* предпо-
лагалось.

Мы доказали (1).
Переходим к доказательству (Г). Имеем, как в (5),

дгУ ь д С ,	д'-*	1

0х'^дхп ~ дхпХп У П ' Зх-1 [(Г_хТ + х^Г2	=

а^-1________1

[(Г-х')2-^]"'2

(_])г-5»/гЛХ,
5х„

Я

хп-1 + 1п-1) X

д'~3°	1	не

х дег-^[а"-^)2+еп-1+х^2	~

= (—!)'-*> 6^-х„ $ /<’•-*> (Г, хл-1 + /л-1)Х

Лл-1

Так как г — к0>0, то 80— 1<г — 1. Не ограничивая общность,
дг ~ 8°	,

будем считать, что производная д^,г_311 содержит дифференциро-
вание по /„-г Поэтому, как в (6),

л	аг — 5»	1

5	^Лг'-8» [^"-X)2+12п_1+х2]^2	=

ЛЛ-1

^П-2

СО
дг — 50 — I г» д	1

х ^^2^7[(Г-х")2+^л_1+х2]"/2 л =0

Теперь, как в (6), имеем

дгЦ

Эх'7-1 дхп

(-1)г-5”| $ Дп-мл_/”"1)(^ х„_1)х

«л-1
у дГ~*о+1______________Ч__________

дГг ~5’ дхп [(*’—х")2 + /2 _ 1 + х2]л/2

На основании (7)

дг ~80 + 1	х„

^-8«ахл [(/*-х7+/2я_,+^

[(Г-хТ4Л_1+^] 2
поэтому остаются верными все неравенства (9), если в левой
части (9) заменить 17$ на )Г_±. Этим неравенство (Г) до-
оХд дх

казано.

10.6.4.	Лемма. Для определенной в лемме из 10.6.2 гармони-
ческой функции 17 выполняется неравенство

|>1	('-*><>». (1)

1	" ^₽( л) ЬР Р (Яп-д

где константа С не зависит от

Доказательство. Рассматриваемая гармоническая функ-
ция 17 удовлетворяет на уравнению Лапласа

п — 1

2дЮ дЮ __
дх2. + дх2 ~

{____ 1 I	П

(2)

Будем считать, что г ^2. Продифференцировав (2) (г —2)
раз по х' = (%!, ..., хл-1), получим



дгЦ

дх'г~* дхп

0.

(3)

Вместе с первым членом левой части (3) удовлетворяет неравен-
сгъу (1) и второй — у,- а-. Но теперь при г ^4, если приме-
дх* дхп

нить к (2) операцию ——г> т0 получим,
дх' дхп

дги

водная —3=7—г удовлетворяет неравенству
дх' дхП

что частная проив-

(1). Продолжив этот

процесс по индукции, мы получим, что все производные вида

дги
дх'^дх*

(г^2) удовлетворяют неравенству (1).

Но в нашем распоряжении имеется также неравенство 10.6.3 (Г),
из которого при помощи подобного же рассуждения следует, что
о	дги

частная производная порядка г 5=2 вида —7=5=74—=——г тоже
дх’ дх^ +1
удовлетворяет неравенству (1). Впрочем, неравенство 10.6.3 (Г)
было доказано при дополнительном условии г — $0>0. Заметим,
что так как г — а + ± < г, то при г — 1 и з0 = 1, т. е. г — 80 == 0.

Этим неравенство (1) доказано.

10.6.5.	Введем положительное число % = Х(р.), зависящее от
р>0, следующим сбразом:

% = р, если 0<р< 1,

любое Х<1, если 1=^р.

(1)
г+а—

Тогда для функции / <= Вр (Дт) выполняется неравенство

||/ (х + и) -/ (х) 1^ <	I «1\	(2)

Х = (Х1....хт) (=/?„, « = («!....ит), |й|8 = 2]ы},

1
где константа С не зависит от / и и.

Неравенство (2) следует из вложения (см. 6.2(9) и (11))

(%<ц)

и того факта, что 0 < р < 1 •

10.6.6.	Лемма. Для определенной в 10.6.2 гармонической
функции I) выполняется неравенство (см. 10.6.5)

П Р(х', хл)-/(х')|^х'У/р^С1|/||	1	(1)

Я"-1	' вр р («л_1)

где константа С не зависит от [ (хл^0)<

Замечание. Заметим, что из (1)'следует, что /(х') есть
след V на полупространстве хл = 0. Это доказывает утвержде-
ние (5) леммы 10.6.2.

Доказательство. Имеем (пояснения ниже)

потому что %4-и —2>0 (л 2^2!) и % —2<—1.
Во втором члене (2) в представлении I/ (х) по формуле
10.6.2(1) мы заменили =	..., /п_г) на а' = (ии ..., нп-1),

полагая 1' — х' = и'.

Надо при этом учесть, что (см. 10.6.2 (2))

Л (и'2+х^2

В третьем члене (2) заменяются переменные и' = (иь ..., нп_г) на
®' = (О1, ..., гп-1) при помощи равенств	(или «'= %„©')•

В четвертом — применено неравенство Минковского, а в пятом —
применено неравенство 10.6.5 (2).

10.6.7.	Лемма. Для определенной в 10.6.2 гармонической
функции У выполняется неравенство (см. 10.6.2 (3) и (4))
м«;С(о)И|	,	.	(1)

^ра.\кп)	г^а

Вр	р («л_1)

Этим будет завершено доказательство леммы из 10.6.2 (см. еще
замечание после формулировки леммы из 10.6.6), следовательно, и
леммы из 10.6.1.

Доказательство. Если неравенство 10.6.6(1) возвести
в р-ю степень, проинтегрировать по хп е [0, а] и результат воз-
вести в степень 1/р, то получим неравенство

Р(х)-/(х')|| , ^С1(«)И||	1	,	(2)

Вр	Р Рп-1)

где константа Сг (а) зависит от а.

Так как

17(*')||д	..

ЬрРп)	^Рп-1)

то из (2) следует неравенство

Р(-*Ч	, + а_!	•	(3)

Р в («л-1)

Из (3) и неравенства 10.6.4 (1) тогда следует доказываемое
нами неравенство (1), но пока при условии г — з0>0. Но это
условие можно снять.

В самом деле, пусть г — 80 = 0. Таким образом, г есть наи-
меньшее натуральное, не меньшее

г + а-1=(г + 1) + (а-1)-|.

Но г<г-|-1, и потому справедливо неравенство

.«с,(<,)(/!	,	.
г+ а— А

Но тогда, учитывая 10.1 (4), получим

в»

т. е. (1) и при г = з0.

10.6.8.	Доказательство вложения 10.6(1), (2).

Пусть на границе Г е С(г) ограниченной области О задана
г+а--

функция р е Вр р (Г) (см. О. В. Бесов, В. П. Ильин и С. М. Ни-
кольский [1], § 23). Рассмотрим в соответствующей системе коор-
динат ?=(^1, ..., &,) регулярные мосты области й (см. 10.1.2):

А = {?: <р(П^^^Ф(Г),	а},

Л* = {?= ф(?')^Сл<Ф(Г), Гео,},
асгсзсг*, 0<т<сф(ё')-ф(ё')> Г'ест*.

Таким образом, АсАсА^.

Введем еще множества

$>* = {&: ф(П^»<ф(Г) + т, Гет},
= {? Ф (?') Гп < ф (&') + т, Ге®*}

и отображение

(г,	п),	(1)

осуществляемое при помощи равенства

Сп = ф(Г') + п (?' ее®*)-

Так как <р(^')еС1г> (?'ест*), то отображение осуществляет
взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое г раз соот-
ветствие соответственно между множествами 2)1, ЯН* и

А = {(?'. П) •’ % ст, 0 -С т] -С т},
А* = {(Г. П) •’ Г' О^п^/я}

(3)1А, 331*	А*) с единичным якобианом.

Нижние (в направлении Сл) границы А, А*, которые мы обо-
значим соответственно через у, у*, принадлежат к Г. Они опре-
деляются в координатах (?', я) соотношениями, т] = 0,
соответственно г] = 0, Е/^ст*.

г + а-1

Исходная граничная функция р е Вр р (Г) на у* может
быть рассматриваема как функция от : р ($) е Вр р (О*).
На основании леммы 10.6.1 существует на Д* функция
ц), для которой



.. 1 <11*1	। .

г + “— й	г + “— г

Вр "(а*)	Вр ₽(Г)

(2)

^.|п=о=ЩГ, 0)=ц(?').

(3)

Так как преобразования

К',

непрерывно дифференцируемы
же; ГеС(г,1)

(на Д*) г раз, то (пояснения ни-

1^(ХК(2й) +|й^г Р(*)“

«||^жр(эд)+ 2 I {? -((^)у

I к |=г|| (6П	1 14» [)

Ьр(ай)

«Р(г,т])11ьР(Д) + 2	(^,Т1)

I к |<г I	П

(4)

1/|т=Щ

(5)

Во втором члене (2) мы заменим переменные X на ?. В этом
случае частные производные	от Щх) порядка г суть

линейные комбинации с постоянными коэффициентами частных
производных от I/ (?) того же порядка г. Мы еще заменили р(х)
на ?п— ф(?'), воспользовавшись соотношением (см. 10.2.7(1)):

Р (X) = р (ё) ~ Р^ (?) = ?п - ф (?') (?' е= ЗЛ).

В третьем члене совершена замена переменных ? на (?', г)),
где т] = ?п — ф(?') (с единичным якобианом!). Теперь уже част-
ная производная I/ <*>(?) от 17 (?) порядка г есть некоторая ли-
нейная комбинация с непрерывными на Д коэффициентами ча-
стных производных 17 <*>(?, т]) различных порядков от 1 до г. Но

II	(Г, п)

II	я"

Др(А)

:г ,..<11^ гм

р, а—(г—| я |/А)	^ра (А)

поэтому написана только эта последняя норма.

Так как норма 17 |)_г конечна и 0<г-|-а---------— < г, то

функция 17 имеет на у след (см. 10.5). В силу (3) этот след
с точностью до множества (п—1)-й меры нуль равен |т(?'). Это
доказывает (4).
ЮЛ]	ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЛОЖЕНИЯ В„ р (Г)- V' (О)	411

Р

Если шар ст и положительное число а взять достаточно малыми,
то множество (открытое!)

Л = {5: Ф(Г)-а?<л<ф(&') + /п}

будет обладать следующим свойством:

ДЙГ = у.

Произвольную точку Х° Е й можно покрыть множеством
вида ЭЛ (см. 10.2.3), а вместе с ним —множеством вида Л. Суще-
ствует конечное число множеств вида ЯЛ:

ЯЛ1, ...» ЯЛлг,

а вместе с ними множеств вида А:

Л1, ..., Лдг,
покрывающих й. По лемме о разбиении единицы можно ука-
зать бесконечно дифференцируемые функции фДх), •••. Фл’ (х)
со свойствами:

1) 0 ф/ (х)	1, 2) ф/ (х) финитна в А/г 3)2Ф/(Х)=1 на П.

1

На основании сказанного выше на множестве ЯЛ7- можно опре-
делить функцию О/, обладающую свойствами (4), (5) (где надо,
заменить I/ на С^).

Положим С^(х) = 0, х ф ЭЛ у и

/(•*)= 5 Ф/ (х) И) (х).	(6)

1

Имеем

II ФА 1кр<о) < II	1кр(эд) < II н II ,+а I •	(7)

Р (*„_1)

Далее,

(нА)(А) = 5	(|Л| = г),

о

где V, и ф^-*> — функции, непрерывные на ЯЛу, не зависящие
от V/. Поэтому

Д (ФА)(*} II II (ФА)(А) И

Д р“ Д^р(О) I р“ 1кр(аФ/)

2 |_р^Г1. (Ш1/) <^4 г+а —1- •

Р	вр р (Г)
Из (6), (7), (8) следует, что

11Лй7^а(а)'<11н11 г+а—1_ •	(9)

вр р от

Кроме того,

Мы доказали, что каждой функции	₽ (Яя-1) можно

привести в соответствие функцию Лр = / е (□) со свой-
ствами (9), (10), т. е. доказано вложение 10.6.

Наши рассуждения были такими, что оператор Лр = / линей-
ный. Вследствие (9) это линейный ограниченный оператор, отобра-
Г-[-ОС--------------------------------1-

жающий банахово пространство Вр ? (К.п-л) в банахово про-
странство 1Гра(О).

10.7.	Связь между граничными функциями

Пусть в пространстве точек ; = (^, .... у = (;', &„) задана
поверхность у:

= ф (?') = ф (Сь • • •, Сп-1) (Г е= а),	(1)

где ф непрерывно дифференцируема р раз на замыкании О
(га —1)-мерной сферы о.

В окрестности у задана р раз непрерывно дифференцируемая
функция /(?.) = /(?', ^).

Положим

МГ) = -^- =^-(Г,Ф(Г))	(8 = 0,1..р) (2)

д^п V д^п

и докажем, что при любом натуральном 6 «Ср любая частная
производная от / порядка к на у может быть записана в виде
конечной суммы

Г(%= 2 а(Г)М°(Г)
о

(й=Ср.),

(3)

где а ($') непрерывно дифференцируемые (р — к) раз функции от

Г (а (Г)еС*’1'-*'), а (^) — некоторые частные производные по
от X, порядка I.
При к=1 это утверждение для следует из (2) при 8=1,
а для (/=1, п — 1) из того факта, что

Ж =	+	<Р/='^'	(/=1. •••» п-1), (4)

откуда

=	=	(/ = 1. •••. п-1).	(5)

Применяя теперь метод индукции, будем считать, что для
некоторого утверждение (3) уже доказано, и рассмотрим
какую-либо производную порядка к + I (к + 1 = 0 + V)

р+1)=	=____________ у1А, = «^

\^'р	... 5^1-1 ’ "	/

Если 0 = 0, то

/<* + % = ^+1

и (3) следует из (2) при 8 = &+1.

Применяя при фиксированном к индукцию по 0, предполагаем,
что (3) доказано для некоторого 0 «С к, и рассматриваем произ-
водную

/(А+1) = —7^—,	(Р + V = й + 1).

д^+у-1;

В силу (4), где надо заменить / на-------—,

д?'₽

___д_ / др+у~у \ _ аР+у , _

т- а{-	1 ас-’аг; ,Ф “

= аИ 2 “«'>4?')— 2 »№= 2

Этим утверждение (3) доказано.

10.7.1.	Замечание. Равенство 10.7 (3) сохраняется почти
для всех и' ео для

/(?) еЯ^+х(ш) [уеусш, ^>7)’

где со сд Яп есть некоторая окрестность у.

В самом деле, так как /(^) можно продолжить на 7?л за пре-
делы го с сохранением класса, то, не уменьшая общность, можно
считать, что / (?) е Н^+К (7?„). Задав е>0, где X— е > у, под-
берем последовательность бесконечно дифференцируемых на
функций и (у = 1, 2, ...) такую, что

(см. 7.7 (3), где (/?„)).

Тогда

(/ = 0. I...И).

и из того факта, что равенство 10.7 (3) выполняется для /у
(V = 1, 2, ...), следует выполнение его почти всюду и для /.

10.7.2.	Пусть функция ) (х) е №'ра (й), где 0<гф-а —

и й с 7?п, — ограниченная область с границей ГссС(®»+1), а 80—
наименьшее натуральное число, удовлетворяющее неравенству

—у. Для такой функции равенство 10.7 (3) выполняет-
ся при 6 = 0, 1, ..., 80—1 почти всюду.

Это утверждение следует из замечания 10.7.1, если учесть,
что при сказанных условиях

Глра(й)->/75р’-1+е(Й)	(е>0).	(I)

Чтобы убедиться в верности (1), рассмотрим три возможных
случая, которые уже рассматривались (см. 10.5 (3) —(8)). Учтем,
что 80 — 1 < г ф-сг —	< л ф-а и лф-а = 80 — 1 ф-е.

Случай 1: гф-а — -^ = 80. Тогда а«с1 (см. ниже 10.5 (3)).
При а = 0 №;0==№р-*Яр“’1+е, а при а<0 Ггра->/7;+“ = Н5Р°~1+*
(см. 10.5 (4)).

Случай 2: гф-сг—<80 и гф-а<80. Тогда И7ра -> Нгр+а —
=/7р’~1+е (см 10.5(6)).

Случай 3: гф-а —-^<80 и гф-а —8оЭгО. Тогда И7ра-►	->

->№р’_1+е (см. 10.5 (8)).

10.8.	Доказательство неравенства 10.1 (16),

т. е.

1И«=ф 2	,Г, + ИЬ ,ф. (О

Р	\ г . г	Р	Р« I

? + $<2	/

ГеО+и, ъ=т^\г (0<л+«-1<г, 4^8о), (2)
где с не зависит от / и 50 — наименьшее натуральное число, при
котором«с 80, т. е.

«о—1 О + а —у =С«о.	(3)

В одномерном случае, когда й есть конечный интервал (0, а),
неравенство (1) имеет вид:

I / Ь)

Г' (*)
ха

(1')

10.8.1.	Доказательство одномерного неравенства
10.8 (1').

Введем интерполяционный алгебраический многочлен Эрмита
<2 (х) степени г—1 при г четном и степени г при г нечетном,
обладающий свойствами

(3(5)(о)=^)(О), е^(а)=^)(а)	(1)

Этот многочлен, как известно, единственный и записывается по
формуле

<2(х) = 2 (^(х)^>(0) + Р1,(х)^(а)),
о<»<4

где Р05, Рц — многочлены той же степени, что и ($, не завися-
щие от /.

Пусть М = М (а) — константа (непрерывно зависящая от а > 0),
для которой при 0«С8<у, 0«С/«с г, | ДСО (х)	| Р|р (х) |<М

на отрезке [0, а]. Тогда, если положить

/(х) = 0(х) + /Дх),
то получим

И (0. а)	В <2 Ц, (0. “>+И кр (0. а) а1!рМА (Л + И ир (0. а). (2)

где

Л(/)= 2 (I Iм (0) I +1 (а) |),	(3)

Я Р^ (х) (а - х)-а ||/.р (0, а) II 0м (X) х-“ (а - х)-“	(0, «, +

+ В /(г) (х) (а - х)-а ||Лр (о, о) М А (/) ||х-а (а - х)~а Цл₽(0. а) +
+ Й/И (х) (а-х)-а ||, (0>а) с,Л (/) + ||/(г) (х){а-х)-а |к (0,й),
, <4)
где последнее неравенство верно, потому что а<—,
Применим формулу Тейлора:
Г — <7—1	X

2 (х - а^к + г (До) $ - 0г-°-^(г) (0 <и (5)

(0<х<д, ВА = ^*+о)(а/2)/А!,	Ь0,1.......г —а—1).

Здесь ст — натуральное число, для которого удовлетворяются нера-
венства

ст — 1 < г/2 ст.	(6)

Так как Рм (0) »= 0 (8 = 0, 1, ..., ст — 1	«0 — 1), то интегри-

рование (5) ст —в раз приводит к равенству

X

рм (X) = г ' - 5 (X -	№ (() <а =

7 о
г — а— 1 х

" Г (а-.)	2 В^(х-/Г^(/-Д/2)М/ + 7?5(х),	(7)

4-0	0

х <

Я, <х) = г(а-Л(г-а) У	(/- иУ~°-Ч^ (и) <1и <П. (8)

0 а/2

При ЭТОМ
а/2 I

— Г(ст-8)Г(г-ст)Я5(х)= $ 5

0 а/2
а I

+ 5 \ (х — 1У~1-1(1 — иу-а-1Рм(и)йи<И^11{8, х)-уЦ(&, х). (9)
а/2 а/2

Считая ~ + у = 1. будем иметь
а/2 а/2

|Л(«. *)!<$ 5 («—0г-а-11^(г)(«)1^«^<
0 <

а/2 и	а/2

< 5 \ ^-1у-°-1й1\Р^ (и)\йи^ и'-°\Р^(и)\<1и<
0 0	о

а/2

<	| Р^ (и) | и~а Ли < 

о
/а/2	\ 1/(?

и«и-а+а)^ы Ц^)(х)х-“||	/

\ 0	/	ЬР\°’ 2 )

<И(г)(х)х-| / й? (10)
потому ЧТО

г ——5о + «> —т. е. д(г — а + а)> —1. (11)

Здесь	а ст —наименьшее натуральное, не меньшее г/2,

поэтому 502эст и справедливо первое неравенство в (11). Вто-
рое—следует из 10.7 (3).

Аналогично

а I

| Ц (8, х) | <	иу-”-11Ем (и)

а/2 а/2

—	$ (/ — ы)г-°-1Л |Е(г,> (м) | с1и $ (а — и)г~° |/?('’) (и) | <Ли

а/2 и	а/2

<||/^)(х)(а-х)-“|| /И (12)
Р (т а)

Из (9), (10) и (12) следует

IЪ (х) I <IIЕ^ (х) х“ (а - х)“ ||др(0, а)	(13)

(8 = 0, 1..СТ-1).

Далее, в силу того, что /?(-2)(ст) = 0 (8 = 0, 1, ст—1),
из (7) следует, что

г—а —1

2 ^ВА = ₽Да)	(14)

А = 0

(8 = 0, 1, ..., СТ—1, А = 0, 1, ..., г —ст—1),

где

( (а-^-Ц1-а/2УсИ^

Матрица ЦХ^Ц имеет ст строк и г —о столбцов и при этом
г —ст «с ст, потому что г/2^5 о. Ранг ее равен г —ст. Действи-
тельно, если бы это было не так, то существовала бы нетри-
виальная система чисел Вк, для которых

Г Х5йвй = о (8 = 0,1........ст-1).

/? = 0

- 5 + к

Г (а —5)
Определим для этих чисел многочлен
г—а—1	х

р(*)=1^ 2	рх-/)“-!(/-«/2? л

4 = 0	0

степени а. При г четном ст = у < г, т. е. ст г — 1, при г нечет-
ном ст = —5- г. Поэтому степень Р (х) не выше степени (? (х).
Очевидно,
г—а—1	х

р(5)(х)=Т(а1^Г 2 М (х-0а^-Ч1-а12)к<И

4 = 0	0

И

рМ(0) = Р<*>(а)	(5 = 0, 1.....ст-1).

Но такой многочлен единственный, тождественно равный нулю,
т. е. Р (х) = 0 и

Г — 0—1

Р<а>(х) = 2 ВА (х —а/2)* = 0.

4 = 0

Следовательно, Вк = 0 (й = 0, 1, ..., г —ст—1), и мы пришли
к противоречию.

Итак, матрица {X,*} имеет ранг г —ст, поэтому из (14) и (13)
следует

| В* |< шах В3 (а) <||/(г) (х) ха (а -х)-а[|л <о, а),	(15)

5	Р

Обратимся теперь к формуле (7) при 5 = 0:

г—а—]	х

р(х) = Т7^ 2 ВД (х-Ост-1(/-|р/ + /?о(х). (16)

4 = 0	О

Так как ст—1, й^0, то

(х — ()СТ~Д —	д.1-=^с.

о

Поэтому в силу (16), (15), (13)

(I р 11ь0(0, а) < II р{г} (х) ХХа (а - х)-а 11^(0, а)	(17)

и в силу (2), (17), (4)

В / кр(0.3) < А (Г) + \\Р |ко(о. а) < а Ф + II	(X) х-« (а - х)-“ |1др(0, а),

и неравенство 10.8 (Г) доказано.
10.8.2.	Доказательство неравенства 10.8 (1). Пусть
Л есть открытое ограниченное множество с гладкой границей
ГеОН) и А с А сд А* — регулярные мосты й, определенные
в некоторой прямоугольной системе координат В = (Г, Вл) =*
«= (В1, •••, Вл-1, Г) соотношениями

А = {В: ф(Г)^Г^Ф(Г), Г^а},
А* = {В: ф(Г)^Г=^Ф(Г), Г «=**},
<ТС=СТ<= (Т*, ф(|') —ф(|')Зг/п>0 на а,,

(1)

(2)

ф(|), ф(В')е№+»(^).

Одну и ту же функцию Г (от точек) мы будем рассматривать
как функцию от х на некоторой области А и функцию от |
в соответствующей области и нормы их в метрике Ьв записы-
вать соответственно через ЦГ (х)||лр<л), ||Р (|) ||ьр(л).

Справедливы соотношения (пояснения ниже)

1/(^)1^(Л)=||/(Гкр(Л)<

(II ||ьр (а) + II Ну кр (о)) +

(Ж)-?«)“ (Вл-Ф (?'))“

(3)

< 2 ККт+1Н*)1<Ю’

о<«+8<<	р

2

которые доказывают неравенство 10.8 (1).

В первом соотношении (3) произведена замена переменных
в кратном интеграле (с якобианом, равным 1!). Во вто-
ром — применено к функции /(В) неравенство 10.8 (Г). Здесь

(Г) = Пт

<р(ё')4-о

эту, Вл)
Д5У

371

д?п к’

Ну (В') = Пт

(Г, ы





и ?1, ?2 — нижняя и соответственно верхняя границы (описывае-
мые равенствами Вл = ф(Г), Вл = Ф(Г), Г е *)• В третьем соот-
дг[

ношении (3) весовая норма от производной —- (|) в смысле Ьр (Л)
дЬп

оценена полунормой

,а,ра

V II (X) Д

И р(*)и Ць0(й)‘
|*|=Г
Здесь надо учесть, что

где р — постоянные числа, а /(г) (х) — всевозможные частные
производные от / по х порядка г. Кроме того, надо учесть, что

(Ф(Г)-Е«)(Ел-Ф(Г))>Р(*) ЙеА)

(см. 10.2.7) и тот факт, что Лей.

Неравенство

X	X ЦчЛ^сг) (4)

0<х< <-	0С. + К-1

непосредственно следует из равенства 10.7 (3). Ведь, например,
(пояснения ниже,

Из точки Р = (?', ср О е Т1 (Е' = (Е1.Ел-х) е <^) выпустим

нормаль к кривой у! внутрь Л# и отметим на ней точку, от-
стоящую от Р на расстоянии Ел- Эта точка имеет, с одной
стороны, прямоугольные координаты | = (^, ..., Ел), а с дру-
гой — криволинейные координаты Е = (Еь •••, Ел), при этом при
достаточно малом 6 имеет место взаимно однозначное соответствие

|^Е	(0^Ел=^6),

непрерывно дифференцируемое («о+О раз, потому что ф (§') е
еС(!,+1) (см. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский [1],
§ 24.5, или С. М. Никольский [22], т. I, 7.25). Справедливо ра-
венство

^-= У * (Е)/(А)(Е),

где т (Е) — непрерывные на ст функции. Это объясняет второе
соотношение (5). Четвертое соотношение вытекает из равенства
10.7 (3), верного почти всюду для нашей функции / (см. 10.7.2).
10.9.	Доказательство эквивалентности норм

(см. сноску на стр. 369)

Икр(О)+НЦа(О) ~|'Мр(о) + Ца<а>
(о<г + а—

\	Р /

для ограниченной области й с гладкой границей.

Имеем

(1)

Р“ |ь₽(О) IIа_ г (О) < ИII ^а(й)’

где первое соотношение следует из 10.1 (4), а второе —три-
виально, ведь а —г<а.

С другой стороны,
1Льр(О)<«Л^	(а}<\\1\\^ (О).	<3>

м	р, а—г' '	раг *

где первое соотношение следует из 10.1 (4), а второе верно,.

потому что 0<г4*а —+ а и, следовательно, —г^а.

Из (2) и (3) следует (I).
ЗАМЕЧАНИЯ

К главе 1

1.1	—1.4. Приведены, часто без доказательства, известные факты из теории
функций действительного переменного и теории банаховых пространств, чтобы
в дальнейшем на них ссылаться и чтобы читатель ознакомился с принятыми
обозначениями. Эти факты можно найти в книгах: П. С. Александров и
А. Н. Колмогоров И], А. Н. Колмогоров и С. В. Фомин [1], Банах [11,
Л. А. Люстерник и В. И. Соболев [1], И. П. Натансон [1], В. И. Смирнов [1],
С. Л. Соболев [3].

1.5.	Мы привели с доказательствами элементарные сведения (только те,
которые нужны для данной книги) из теории обобщенных функций над клас-
сом 5 так, как определил этот класс Л. Шварц [1]. Отметим статьи С. Л. Собо-
лева [1], [2], где введено понятие обобщенной функции, и книги на русском
языке по теории обобщенных функций Гальперина [1], В. С. Владимирова [1],
И. М. Гельфанда и Г. Е. Шилова [1].

Отметим еще книгу Хёрмандера [1], где получены далеко идущие резуль-
таты о мультипликаторах. Множитель ц заранее можно было бы не определять
как ограниченную измеримую функцию, а считать, что р е 5' и обладает тем
свойством, что || р/Цр^СрЦ/||р для всех /е$. Хёрмандером доказано, что
такая обобщенная функция р необходимо представляет ограниченную измеримую
функцию р (х).

1.5.2.	Неравенства (6) доказаны в работах Литтлвуда и Пэли [1]. Изло-
женные теоремы в периодическом одномерном случае имеются в гл. XV книги
Зигмунда [2], в двумерном случае см. Марцинкевич [1].

1.5.3.	Теорема Марцинкевича в периодическом двумерном случае доказана
в его упомянутой статье [1] Переход на непериодический случай осуществлен
С. Г. Михлиным [1]. Дальнейшее развитие см. П. И. Лизоркин [6]. Введен-
ное в 1.5.4 условие, чтобы О* А. в каждом координатном замкнутом угле была
непрерывной в любой точке х с Х{ =/= 0, (ее*, применяется, например,
в примере 1.5.5 (5), который используется в дальнейшей теории.

1.5.9.	Операция 1Г изучалась в ряде работ, среди них Л. Шварц [1],
Кальдерон [1], Ароншайн и Смит [2], П. И. Лизоркин [1] — [8], С. М. Ни-
кольский, Ж. Лионс и П. И. Лизоркин [3], Тэйблсон [1].

1.5.10.	Понятие регулярной в смысле обобщенной функции см.
С. М. Никольский [17], [18].

К глав? 2

Сведения, излагаемые в 2.1—2.5, известны и носят здесь вспомогательный
характер. В частности, об интерполяциях см., например, книги В. Л. Гонча»
рова [1] и А. Ф. Тимана [1]. Отметим еще книги Н. И. Ахиезера [1],
А. Зигмунда [2] и И. П. Натансона [2], где, так же как в упомянутых выше
книгах, даются подробные сведения о тригонометрических полиномах от одной
переменной.
К главе 8

3.1	О целых функциях одной переменной экспоненциального типа, ограни-
ченных на действительной оси, см. книгу Н. И. Ахиезера [1]. В частности,
там приводятся критерии 3.1 (5), (6) для целых функций экспоненциального
типа и полное доказательство фактов, относящихся к теории интеграла Бореля,
которые мы в своем изложении опустили.

3.2.	При выводе интерполяционной формулы (4) для функций экспоненци-
ального типа мы следовали схеме, приведенной в статье Сайвина [1]. Но рас-
суждения (см. 3.2.1) ведутся с привлечением обобщенных функций так, как
это делал П. И. Лизоркин [10]. Мы их несколько совершенствуем.

3.2.2.	Интерполяционная формула (2) для производной функции /(г)
экспоненциального типа, ограниченной на действительной оси, имеется
в задачнике Полна и Сеге [1] в предположении, что уже известно, что

Аеа । и । (г = х+»у). Полный вывод дан в книге Н. И. Ахиезера [1], § 84.

3.2.3.	Подход для получения неравенств типа неравенств Бернштейна
в случае общих норм указан в книге Н. И. Ахиезера [1] (§ 81, теорема 3).
Мы добавили к перечисленным там условиям 1), 2) условие 3).

3.3—	3.5. Для тригонометрических полиномов неравенства 3.4.3 (2), (3),
(4) получены С. М. Никольским [3] вместе с аналогичными неравенствами для
целых функций экспоненциального типа (3.3.2 (2), 3.3.5 (1), 3.4.2 (1)).
Для тригонометрических полиномов случай 3.4.3 (3) при п=1, р' — оэ из-
вестен был еще Джексону [2]. Неравенства 3.4.3 (2) для тригонометриче-
ских полиномов в случае п=р=1 вытекают из результатов С. М. Лозин-
ского [11].

Константы приведенных неравенств являются точными в смысле порядка,
но они не точны абсолютно. В некоторых случаях известны более точные или
абсолютно точные значения этих констант. В связи с этим укажем книгу
И. И. Ибрагимова [1], см. еще Н. К. Бари [1].

Неравенство 3.4.1 (1) в предположении, что ^у(х)=^(и, Д’) — целая
экспоненциального типа V по всем х1г ... , хп см. С. М. Никольский [3]. Здесь
рассматривается более общий случай, когда § есть целая только по и.

3.3.	7. На неравенство \\[\\,	.«МЛ/.,.	где ......Яп —

упорядоченная в неубывающем порядке перестановка чисел рг,	, рп,

обратил мое внимание В. И. Буренков.

К главе 4

4.1.	Кроме уже отмеченных в тексте работ Беппо Леви [1] и С. Л. Собо-
лева [1]—[5], обобщенная производная изучалась в работах Тонелли [1],
Ивенса [1], [2], Никодима [1], Калкина [1], Морри [1], С. М. Никольского [3],
[5], Дени и Лионса [1, 2], где имеется дальнейшая библиография по этому
вопросу.

4.2.	Формулу (2) и неравенство (6) для периодических функций от одной
переменной см. С. Б. Стечкин [1].

4.3.	Дробные классы (&) = Вгр (й) (г —дробное) возникли естественным
образом как классы следов функций из целых классов №1р (р) на многообразии
Над или границе р измерения т, меньшего, чем измерение области р.
Сначала эта задача о следах была решена при р = 2 в работах Ароншайна [1],
В. М. Бабича и Л. Н. Слободецкого [1], затем при т = п—1 Гальярдо [1],
Л. Н. Слободецкого [1] и произвольных т и I О. В. Бесова [2]. В последнем
случае потребовались не только дробные В-классы, ио и целые.

Зигмунд [1] обратил внимание на тот факт, что с некоторых точек зрения,
например с точки зрения задачи о порядке наилучших приближений функций
тригонометрическими полиномами класс периодических периода 2л измеримых
функций от одной переменной, удовлетворяющих условию
/2л	\1/р

Шд*/(х)|^х1 ^Л4|Л|,	(1)

где й>1, более естественно дополняет классы функций от х периода 2л,
удовлетворяющих условию

/2л	\1/р

Ц !/(*+*)-/(*) \рах\ ^Л41Л|“	(0<а<1),	(2)

чем класс функций, для которых выполняется (2) при а=1.

Теория вложений Я- и В-классов дает ряд новых примеров, подтверждаю-
щих этот факт.

4.3.4,	В настоящее время известен целый ряд эквивалентных способов
определения пространств В^е. Многие из них собраны в § 2 обзора В. И. Бурен-
кова [3].

4.3.6.	Введем понятие открытого множества §сРп с липшнцевой грани-
цей. Если множество § ограничено, то ее граница Г называется липшицевой,
если, какова бы ни была точка х° е Г, найдутся прямоугольная система
координат § =	... , §л) с началом в х° и прямоугольник

/=1....«}.	(1)

вырезающий из Г часть у = ГД, описываемую уравнением

ВЯ = Ф(Х), Х = (Ь...§я_1),	(2)

ХеД' = {|§7|^П/; / = 1....л —И>

где ф(1) удовлетворяет на Д' условию Липшица, т. е. существует константа М
такая, что

|ф(к')-ф(Х)|^Л4| Г-И	(3)

X, X' Д'.

Если множество § не ограничено, то его граница Г называется липшице-
вой, если существуют не зависящие от х°е Г положительные числа г) и М и
конечное множество е прямоугольных систем координат, получаемых поворотом
данной прямоугольной системы (хп ... , хл), такие, что, какова бы ни была
точка х° е Г, найдется прямоугольная система координат § = (51.5л)

с началом в х°, параллельная одной из систем множества е, и прямоугольник
(1), вырезающий из Г часть у = ГД, описываемую уравнением (2), где ф (X)
удовлетворяет на Д' условию Липшица (3).

Теорема 1. Пусть открытое множество О,с.Цп имеет липшицеву
границу. Любой из классов (й) (/ — целое, 1<р<оо), Нгр (О) (г > О,
1	В'в(а) (г> 0, 1 р  оо, 1 -< 9 оэ) можно продолжить линей-

ным образом за пределы й на с сохранением нормы.

Области О, за пределы которых возможно продолжение функций анизо-
тропных классов, существенно зависят от определяющего класс вектора г или,
точнее, от той пропорции, в которой находятся его компоненты.

Зададим положительный вектор г > 0 (/у > 0; /=!,..., п), 6 > 0 и еще
положительный вектор а > 0. Обозначим через Р(г) = Р(г, р, а, 6) множество
(рог с вершиной в нулевой точке) точек х = (хг, ... , хп) ^Рп, подчиняющихся
условиям

ар <хр <(^ + 6) Л (/ = 1, ... , «).	(4)

0<Л<р,
или любое множество, получаемое из (4) зеркальными отображениями (может
быть, несколько раз) относительно (п—1)-мерных координатных плоскостей.
Таким образом, произвольный рог Р (г) можно еще описать неравенствами

а^Н < \Х/ | !< (О;4-6) Л, 81§П Х(=С0П81,	(5)

О <Л <р.

Обозначим символом

й+й

векторную сумму множеств §1,	<= Рп> т. е. множество всевозможных сумм

х+У. где хей, уед,

Будем говорить, что открытое множество Й е Ае (г) (е > 0), если: 1) его
можно представить в виде двух сумм
к	к

(6)

1	1

где У* есть множество точек хе1;\ отстоящих на расстоянии, большем
чем е, от границы Й\С7*, и 2) существуют р, а, 6 такие, что каждому к
можно привести в соответствие рог рк = рк (г, р, а, 6) такой, что

цк^рк сй (й=1, ... , У).	(7)

Соотношение (7) выражает, что, какова бы ни была точка хе Ик, если рог Рк
передвинуть параллельно самому себе так, чтобы его вершина совпала с х,
то сдвинутый таким образом рог принадлежит к й.

Заметим, что в случае, если г1 = .,. = гл = г, рог Р представляет собой
конус, опирающийся на некоторый многогранник, с вершиной в нулевой точке.
Можно доказать, что в этом случае понятия области, имеющей липшицеву
границу, и области класса Ае(г,	, г) совпадают.

Теорема 2. Пусть задана область Й е Ае (г) и классы с нормами

IIЛ I	—II / Ид (й) + У*

К'р (Й) о ' '

(I/—целые, 1 < р < со),
п /"II . лр/г
VI / Р 4 к. О И

ал \,/е
л1 + е(Л-р/)>|

(8)

(9)

(Ю)



(Л/>г; —ру>0, 1«сб<оо, 1еср-<:оо),

(1 <р«ссо).

Любой из этих классов продолжается за й на Рп линейным образом
с сохранением нормы.

Для 1^р (&) при = = эта теорема доказана Смитом [1], (усилив-
шим результат Кальдерона [2], который доказал ее для более сильной нормы

ИЛь (й)+ Л к (й)=И///*Ц7/ П)-
р	1«|	р	р

14 С. М. Никольский
Здесь имеют место вложения

($) -> К.....1 ($)	.....‘ 1р (/?„) ->

(Н)
где первое и два последних тривиальны, второе есть отмеченный результат
Смита, а третье доказывается в 9.2. Из (11) следует теорема 1 для про-
странств й?р (П).

При неодинаковых натуральных /у эта теорема для (О) доказана одно-
временно и независимо О. В. Бесовым [9], [10] и В. П. Ильиным [6].

Для норм (1 «5 6 со) эта теорема (таким образом, и теорема 1)
доказана О. В. Бесовым [9], [10], см. также О. В. Бесов и В. П. Ильин [1],
Доказательство этих теорем приведено в книге О. В. Бесова, В. П. Ильина
и С. М. Никольского [1], теоремы 18.5 и 18.6.

В. И. Буренков [4], [5] показал, что для каждого г>0 можно указать
область, не принадлежащую, к Ле(г), для которой теорема 2 о продолжении
уже не выполняется. Например, любой рог Р (к), где к^=сг, является такой
областью.

Там же доказано, что если теорема 2 имеет место для пространств (П),
Вг (О) для класса областей вида Ае (г), то только в том случае, [когда вместо
рога Р (г) рассматривается рог Р (г, р) = Р(г, р, р, а, 6), определяемый как
множество точек х е. Ра, подчиняющихся неравенствам

аф < х^‘ < (а/ + б) к	(» = 1...п, 0</г<р),

где

г/ . у 1 / 1	1 \

рг= —, и/=1— 7 —---------------.

Г/	р1)

Отметим еще вытекающую из теорем 1 и 2 теорему.

Теорема 3. Если § с Рп—произвольное открытое множество с д с
с §—другое ограниченное открытое множество, то функции любого класса,
упоминаемого в теоремах 1 и 2, который мы обозначим через Л (§), можно
продолжить с §1 на Рп линейным образом с сохранением нормы (по §). Это
надо понимать в том смысле, что каждой функции / е Л (Й можно привести
в соответствие ее продолжение / е Л (/?л) с (не с так, что

II7 Ид (Ял) ^Шл <е)>

где с не зависит от { и зависимость / от / линейная.

В самом деле, зададим прямоугольную сетку, делящую Р на кубики,
и пусть О — множество, состоящее из кубиков сетки, содержащих точки
Граница О, очевидно, удовлетворяет условию Ае (г) при любом г и если сетка
достаточно густа, то^сЙ с Функции /е Л (о) сЛ (П) продолжим, поль-
зуясь высказанной теоремой, с сохранением нормы с Й на Я: для соответст-
вующих продолжений / имеет место

Шд (Ял) "^И / Ил (й)	II / ИА <Я)'

Эту теорему 3 можно доказать более простым путем, полагая / = /<р, где
<р — «шапка», т. е бесконечно дифференцируемая на Рп функция, равная еди-
нице на и нулю вне § (для классов Нр (§), см. С. М. Никольский [5]),
Частные случаи теорем 1 и 2, относящиеся к продолжению За область
с достаточно гладкой границей и за пределы отрезка, рассматривались в более
ранних работах С. М. Никольского [4], [7], В. К. Дзядыка [1], О. В. Бесова [4],
см. еще В. М. Бабич [1].

4.4.1.	— 4.4.3. Об исследованиях этого рода см. С. М. Никольский [11].
Неравенство 4.4.3 (4) см. в книге С. Л. Соболева [4].

4.4.5.	Если производную понимать в смысле Соболева, то эта лемма
доказывается немедленно. В самом деле, пусть на § Заданы две последователь-
ности функций Д. и лл, е Ьр (§) таких, что

$	о%=1,2,...)	(1)

для всех непрерывно дифференцируемых финитных на функций <р. Если
при этом /д. ->• [, в смысле Ьр (§), то из (1), очевидно, следует, что

$ ? ах = - $ х<₽ ах’

для всех указанных <р, т. е. Л есть производная от / по хг на § по Соболеву.
С. Л. Соболев [4] широко пользовался этой леммой. Здесь она доказывается,
исходя из принятого в этой книге в качестве основного определения обобщен-
ной производной (см. начало § 4.1).

4.4.9.	Эту теорему см. С. М. Никольский [5].

4.8.	Эта теорема в периодическом случае доказана Харди и Литтлвудом [1],
без доказательства сформулирована А. А. Дезиным [1], доказательство при р = 2
приведено в диссертации А. С. Фохта [1].

К главе 5

5.2.	Метод приближения 5.2.1 (4) изучал С. Н. Бернштейн [2], стр.421—432,
доказавший неравенство 5.2.1 (7) при р — со, т=1 Случай т=\, 1 <: р <: со
см. С. М. Никольский [3]. Здесь рассмотрен более общий случай т^п при-
ближения целыми функциями сферического экспоненциального типа.

Само по себе неравенство 5.2.1 (7) при т—п=\, 1 -< р <; со получено
другим методом Н. И. Ахиезером [1].

Периодические неравенства 5.3.2 (2) впервые получены (п = к=1, р = со)
Джексоном [1]. Случай п= 1, 1см. исследования Квада [1] и Н. И. Ахие-
зера [1]. Представления 5.3.1 (11) (аналоги 5.2.1 (4)) см. С. Б. Стечкин [1].
Неравенство 5.3.2 (5) в случае функций, удовлетворяющих условию Липшица
для сумм Фейера (р = оо), см. А. Зигмунд [3], § 4.7.9 и в общем случае (р = оо)
С. Б. Стечкин [1].

Теорема об аппроксимации 5.2.4 и изложенный в 5.3.3 ее периодический
аналог вслучае р = рг =... = рп = со см. С. Н. Бернштейн [2], стр. 421—432,а если
числа Р1, ... , рп вообще разные — С. М. Никольский [10]. Неравенство 5.3.2 (6)
для степенных модулей непрерывности см С. М. Никольский [6].

5.4.	Обратная теорема С. Н. Бернштейна о приближении алгебраическими
и тригонометрическими полиномами (р = со, п=1) доказана в его работе [1],
стр. 11—104. Она уточнена в периодическом случае (при нецелых г) Валле-
Пуссеном [1] и Зигмундом ]1] (при целых г).

5.4.4.	Я. С. Бугров |3], [4] получил также подобные неравенства для поли-
гармонических функций в круге и полуплоскости и применил их при изуче-
нии дифференциальных свойств указанных функций вплоть до границы.

5.5.3.	Эквивалентность норм [| • ||я для различных допустимых пар (6, р)
можно доказать прямым путем, не прибегая к методам приближения (см. в одно-
мерном случае Маршу [1]). Более общие исследования в этом направлении
см. К. К. Головкин ]1], ]2]. Методом приближений в периодическом одномерном
14*
случае она доказана Зигмундом [1]. Он обратил внимание на эквивалентность
при целых г норм вида Ц • ||н. с нормой 6[[ выражаемой через наилучшие
приближения. В непериодическом случае см. С. Н. Бернштейн [2], стр. 421—432.
Здесь рассмотрен этот вопрос для приближений целыми функциями экспонен-
циального сферического типа.

5.5.4.	В периодическом одномерном случае при р = со это есть классиче-
ская теорема, доказанная в работах С. Н. Бернштейна [1], стр. И—104,
Джексона [1], Валле-Пуссена [1], Зигмунда [1]. При 1^р<со см. Квад [1]
и Зигмуид [1]. В непериодическом одномерном случае при 1 р со
см. Н. И. Ахиезер [1]. Здесь дается обобщение на случай приближения целыми
функциями экспоненциального сферического типа.

5.5.8.	В периодическом случае имеется много результатов, относящихся
к этому вопросу.

5.6—	5.6.1. При изложении этих параграфов мы существенно пользовались
работой О. В. Бесова [5] и в случае 5.6.1 еще работой Т. И. Аманова [3].
О. В. Бесов предоставил в мое распоряжение новый (приведенный в тексте)
вариант доказательства вложения *В' ^-^В Этот прием имеет то преимущество,
что он свободно переносится на более общие случаи теорем этого рода
(см. К. К. Головкин [2]).

Среди различных эквивалентных норм || • |]в (в частности, ]| • ||^) мы ввели
нормы • ||в и 4|| • ||в, выражаемые через производные по направлению. В изо-
тропном случае они имеют преимущество, во всяком случае, техническое —
вместо суммы интегралов, соответствующих всевозможным частным производ-
ным порядков х с | = р, берется один интеграл. В случае р=0 такие нормы
употреблялись в литературе нередко.

Эквивалентность классов ХВгр^(Ип) и 5Вр6(Яп) (1^вссо) доказана
О. В. Бесовым [3], [5], в периодическом одномерном случае—А. А. Конюш-
ковым [1] и П. Л. Ульяновым [1]. Эквивалентность 'В^^п) и 3Вр0(Дл) до-
казана в тех же работах О. В. Бесова и при 0 = р, Г[ целых в работе С. В. Ус-
пенского [4].

В частных случаях 0 = р = 2 (для допустимых пар (Г, 1), (7, 2)) нормы
?-Ц были введены и изучались в более ранних работах Ароншайна [1], В. М. Ба-
ича и Л. Н. Слободецкого [1], а при р = 0 =/= 2 для нецелых г Гальярдо [I]
и Л. Н. Слободецкого [1].

Разложения функций / в виде рядов 5.6. (7) с нормой 6|| • цв см. О. В. Бесов
[3], явным образом нормы 6||.||в применялись в работе Т. И. Аманова [3].

5.6.2. — 5.6.3. Пусть функция /(х) имеет производные —— (/=1, ...,п),

Удовлетворяющие по X/ на ограниченной области О условию Липшица степени
ау(0<ау^1, // = ?/-{-«/) равномерно относительно остальных переменных,

и пусть р= (рь ..., рп) — вектор (целый), для которого УУ- <1. С. Н. Берн-
1 г)

штейн (1911 г., см. [1], стр. 96—104) при г = <1 = ... = гп и Монтель (1918 г.,
см. [1]) при любых г/> 0 показали, что в таком случае на О существует
смешанная непрерывная производная ограниченная на любой области
с с О. С. Н. Бернштейн показал еще, что производные /(е)(|р| = г =

= г—а, г = гу) удовлетворяют на условию Липшица степени а' < а.

Теорема 5.6.3 усиливает эти результаты, указывая точно класс, к которому

принадлежит и распространяет (при О = /?„) на случай метрики (1 ^со)
и В-классов. Для //-классов при р = со и г = г1 = ... = гп эта теорема дока-
зана С. Н. Бернштейном ([2], 426 — 432) и одновременно независимо для про-
извольных г/ (/= 1......л) С. М. Никольским [2], показавшим еще ее неулуч-
шаемость в терминах Н-классов и им же [5] в метрике Ьр. Для классов В она
доказана О. В. Бесовым [5].

Вопрос о распространении теоремы 5.6.3 на случай областей Й реша-
ется с помощью теорем о продолжении (см. 4.3.6). В упомянутой работе Мон-
теля на самом деле в качестве О рассматривается квадрат со сторонами,
параллельными осям координат: р не обязательно целый вектор, и тогда
есть смешанная частная производная в смысле Лиувилля.

Теорема 5.6.2 об эквивалентности

при г нецелом следует из теоремы 5.6.3. В общем случае ее доказательство
дано (другими методами) В. А. Солонниковым [1], см. еще С. М. Никольский,
Ж- Лионе и П. И. Лизоркнн [1]. При замене в (1) на П свойство 5.6.2 (1)
конечно сохраняется для областей Й с Дл, для которых справедлива теорема
о продолжении функций классов Вр’в — • г (П) (см. 4.3.6 и замечание к 4.3,6).
В. И. Буренков [2] исследовал области, для которых эквивалентность 5.6.2 (1)
ие имеет места.

Пусть Втр — Втрр (Дл), Нгр = Вгра) (Дл), Ьр = Ьр (Дл). Условие теоремы 5.6.3
при х =“ 0 и 1 р 2 (0 = р) влечет /(0 е Ьр. Это следует из 9.2.2 и 9.3(2).
При 2 р < со это уже не так: если, например, / е В!р (Т^), то отсюда вооб-
ще не следует, что /(О существует и принадлежит к Ьр (см. 9.7).

Для классов Нг = Вроо теорема 5.6.3 в случае х = 0 тоже неверна.
В самом деле, функция

/(0) = 2б-«СО5^0 (6>1)
8 = 1

не имеет нигде производной (Вейерштрасс, Харди, см. Зигмунд [2], гл. II,

4.8 — 4.11) и в то же время она принадлежит к периодическому классу Я».
„	р

Последнее утверждение доказывается следующим образом. Легко проверяется,
что

В сов Ь3х = || соз Ь°х (0, 2я) < К,
р	"

где К не зависит от з~ 1, 2, ... Зададим Л>0 (О <Л<1) и подберем нату-
ральное Я так, чтобы

Тогда

М	оо

| Д2л/ |ь* < X Ндл С05 1к*+5 ь'3 <

Р 5 = 1	Р К

/V —1

< Л2 2 Ь~5Ь28 + Ь~ы < Н*ЬЫ <Л2Ьы + Ь~* < А,
5=1

где применено неравенство 4.4.4(3) для тригонометрических полиномов (см.
ссылку на стр. 167).

5.6.4.	Пример дан Ю. С. Никольским [1].

5.6.5.	Свойства 5.6.5 (1), (2) выражают непрерывность по норме в соответ-
ствующих пространствах №*, Врв. В случае В-классов иа это свойство обратил
мое внимание П. И. Лизоркнн.
К главе 6

6.1.	Дополнение В. П. Ильина [2] в теореме вложения (1) относится к слу-
чаю предельного показателя (когда р = 0, 1, 2, ...) при тсп. Это утвержде-
ние в отдельных случаях предельного показателя было известно В. И. Кондра-
шову [1], он исследовал также некоторые случаи при /га < га и нецелом р.

С. Л. Соболевым доказано также, что в теореме (1) при т = п можно
считать р = 1.

В одномерном случае вопрос о следах не возникает и можно говорить
только о «чистой» теореме разных метрик. Она доказана Харди и Литтлвудом
[1], ск. еще книгу Харди, Литтлвуда и Полна [1].

6.4.	Пусть Гс/?л — достаточно гладкая поверхность измерения гаг<га.
Для нее корректно определяется след / ]г функции /е/Г (7?„) во всяком слу-
га— т _ „

чае при условии г---------> 0. При этом условии имеют место прямое и ему

п — т

обратное вложения Нг	р (Г) (см. С. М. Никольский [5]). Соот-

ветствующее обобщение на В-классы см. О. В. Бесов [11].

6.7.	Я. С. Бугров [4] показал, что вложение

я; (/?„),

верно не только при г' 1> 0, но и при г' = 0, если заменить в его левой части
Н°р (Яр) на Ер(Ят).

Различные усиления теоремы о продолжении могут быть получены, если
требовать от продолжающей функции выполнения дополнительных свойств.

Л. Д. Кудрявцев [2] показал, что в теореме 6.6 функцию [ е Нг (Кп),
продолжающую на Ял функцию

п — т .

Ф е Н р (Пт)	г

можно построить так, чтобы она была бесконечно дифференцируемой на Ял —Ят
и чтобы выполнялись свойства

дг+Ч

... дх8пп

Р

< со,

(1)

п

е>0, ^Г5/г = г+5 (1 ^р<со),
1

Р2 = Ж

2

Эти неравенства перестают быть верными при е = 0. Аналогичный результат
получен им при р = со. Эти факты указывают на определенную связь рассмат-
риваемых здесь классов с так называемыми весовыми классами функций, про-
изводные которых (или их разности) интегрируемы в р-й степени с весом. Если
исходить не из Н-, а из В-классов (0<со), то имеют место подобные факты
уже при е = 0 (С. В. Успенский [3]).

Систематическое изучение весовых классов было начато в отмеченной выше
работе Л. Д. Кудрявцева [2], см. еще А. А. Вашарии [1], С. В. Успенский [4],
И. А. Киприянов [1] и А. Куфнер [1]. Библиографию по этому вопросу см.
В. И. Буренков [3], Л. Д. Кудрявцев [3], И. Нечас [1], С. М. Никольский [12].

Я- С. Бугров [1] доказал для единичного круга а на плоскости в терми-
нах классов Н предельно точную теорему.
Пусть функции периода 2л

Фа(0)еЯ;.+ /-*-1	(Л=0, 1......1-1,	Кр<со, /->0).

Тогда полигармоническая функция и (р, 0) от полярных координат (О^р^ 1,
О<0 г<2л), решающая в единичном, круге а краевую задачу

Ь‘и(р, 0)=О,	|р=1 = Ф* <0) (к = °> 1.....'->)

(Д — оператор Лапласа}, принадлежит к классу Нр р (о).

Аналогичный результат получен для полуплоскости (Я. С. Бугров [3]).
Этим теоремам предшествовали точные результаты Н. М. Гюнтера [1] и Кел-
лога [1] для трехмерной области с гладкой границей при р = со и г нецелого;
О. В. Бесова [1] для полупространства при 1 р =< со и нецелых г; Н. И. Моз-
жеровой [1] для трехмерной области с гладкой границей при 1я5р<оэ и
нецелых г; С. М. Никольского [4], [9] для круга при р = 2 и любых г. См.
еще Т. И. Аманов [2]. В настоящее время имеется много результатов этого
рода с оценками решений различных краевых задач в терминах рассматривае-
мых здесь классов (см., например, В. А. Солонииков [1], Нечас [1], Г2] и
И. Н. Векуа [1]).

6.9. Пусть к — (к1, ... , кп)3^0 (т. е. АузгО для всех /) —целочисленный
вектор, й = (А1( .... /г^) —произвольный вектор (йу^ДО, / = 1.п).	По

определению

Л^=дД11 - Д<А

где Д^й//—разность / порядка к] с шагом Лу по направлению лу	—

Зададим вектор г = (гг, ... , гп)5^0, и пусть е есть какое-либо подмножество

множества натуральных чисел еп= {1, ... , п}, а
компоненты которого подчиняются условию

ге^— вектор,

Положим

О, / е.

ае = ге-ге ={ссе1, ... , а*},

где, если /•? > 0, то /у есть наибольшее целое, меньшее г*, и если ге; = 0, то
7^=0.

Введем еще вектор ш = (1, ..., 1). По определению функция [ (х) =
= /	... , хп} принадлежит к классу ЗрН==8р, если конечна норма



е

’-р(Кп)

где сумма распространена на все подмножества е, йа =Л“1...йа'» и —
частная производная порядка ге. Эта сумма содержит слагаемое ,л

\ Пп)

соответствующее пустому множеству е.
Теорема о представлении. Пусть г>0 Для тоге чтобы
/ (х) е 8рН, необходимо и достаточно, чтобы имело место представление

Г(х) = 5 $к(х),	(1)

Л Эх О

т

где <дк(х) — С) к г к г (х) —целые функции экспоненциального типа 2 / /

2 11	2 п п

соответственно по хр для которых

(2)

\	1=1	/

и с не зависит от к.

Имеют место вложения

8р(Яп)~* 8°Р’(Яп) (1^р<р'<со, р=г—(у - о > о) ,	(3)

8р (*п)^8рт Рт)	(4)

^ет= {1.	, т}; 1 ^т < п; /у—0, / = т+ 1, ...,

В самом деле, если / е 5^ (7?я), то справедливы (1), (2). Но тогда

(р>0)

и I <= 5°, (/?„) . Далее
п

-Аг+т 2 У/

и, если положить в (1) хт+1= ... = хд = 0, то для следа } на получим
представление

<р(Х1, ... , хт)=/(*1.хт, 0.....0)= У р е ,

е_ к т
к т^0

где сумма распространена на т-мерные векторы к'т'^0 и

<7 е= 5 Чк (х1- -  хт’ 0.........°),

к т	О

т 4- Г < / < п

что влечет (4) в силу обратной теоремы о представлении.
Для векторов г1.......гЛГ введем пространство

5г1.....гЛ,= 5^......гЛ, = П з/

1

е нормой
м

•Ь' >••••*	> ,	5'

Р	1	Р

Справедлива теорема об интерполяции:

у

(5)

Если А = л и г* = (0......О, Г[, 0.......0),	то

г1 Л г1 гЛ'	г г

5 .......... =	8 ........ Н	.... п.

Эти результаты доказаны С. М. Никольским [15], [16].

Отметим работу Н. С. Бахвалова [1], где независимо доказана в одну сто-
рону (необходимость) теорема о представлении функций периодического
класса 8*Н: если	то имеет место (1), (2), где С)3— тригонометриче-

ские полиномы. Распространения этих теорем с Н- на В-классы принадлежат
Т. И. Аманову [3] и (другими методами) А. Д. Джабраилову [1].

6.10	.2. Это замечание о средних функциях сообщено мне О. В. Бесовым.

К главе 7

7.2.	Неравенства между нормами частных производных с параметром в и
мультипликативные неравенства мы находим в работе В. П. Ильина [7] и
в последующих его работах, В. А. Солонникова [1], К. К. Головкина [1],
В. П. Ильина и В. А. Солонникова [1] и др.

Неравенства с е применяются в теории дифференциальных уравнений,
когда хотят, чтобы один из членов вида

8“ 11/11 + 4-И/'*’Л

еР

был меньшим наперед заданного числа.

Из результатов С. М. Никольского [11], относящихся к более общим тео-
ремам вложения, следует, что неравенства между полунормами



(«)’

(1)



(2)

1 О < р' СО, г' = г — 4----Цп>0, «Л

\	\ р р /	)

имеют место для произвольной области § с. Кп, без предположения, что
И/11а (в) конечна> если только Г < г'<г (в случае (1)) и /</</•'</•
(в случае (2)).
Из работ Л. Д. Кудрявцева [4] и Ю. С. Никольского [1], посвященных
весовым пространствам, следует неравенство

>	"(«л-!)

“₽(««)

и утверждение о возможности продолжения функций ср е а)р Р
так что для продолжающих их функций имеет место

11/11 !

“-Р Р

без предположения, что нормы ||/||ь ,п . и || ч
р 1 п)

двух теоремах, так же как выше, 0</ — — </.

конечны. В этих

7.3.	Крайние функции введены и изучены в работах С. М. Никольского
[2], [3], Т И. Аманова [1], П. Пилика [1Ь С помощью них была установлена
точность (неулучшаемость) приводимых здесь неравенств между //-нормами.

7.7. Проблеме компактности классов функций, идущей от работ Асколи [1]
и Ариела [1], посвящено много исследований. Основная теорема Арцела о ком-
пактности относится к классу непрерывных функций. В метрике Ьр ей соот-
ветствует теорема Колмогорова [1] (для р > 1) и Тулайкова [1] (для р=1).
К исследованиям по вопросу о компактности классов дифференцируемых функ-
ций относятся работы Реллиха [1], И. Г. Петровского и К. Н. Смирнова [1],
В. И. Кондрашова [1], Пиконе [1], Пуччи [1], Л. Д. Кудрявцева [1], О. В. Бе-
сова [12], В. П. Ильина [8] и др.

Приведенную здесь теорему для классов Нгр, У7р см. С. М. Никольский [8].
В сущности здесь речь идет о слабой компактности: из ограниченной в мет-
рике Нр или последовательности можно выделить подпоследовательность,
сходящуюся в смысле Нг~е (в > 0) к некоторой функции / е Н'р, У7р.

В теоремах 7.7.1—7.7.5 речь идет уже о компактности множества в мет-
рике того пространства, к которому оно принадлежит. В частности, она охва-
тывает теорему о компактности в Ьр (см. С. Л. Соболев [4], гл. 1, § 4.3).

Теоремы 7.7.2—7.7.5 доказаны П. И. Лизоркиным и С. М. Никольским.

О. В. Бесов [12] изучал вопросы компактности множеств функций / в 77-
классах, налагая на / дополнительные условия. Например, в случае Нр (г < 1)
предполагалось, что

||/(х + Л)-/(Х)Ц^а (Л) | Л |'
(а (Л)-> О, |Л|->0).

К главе 8

8.1.	Операция Ц соответствует в известной мере операции Вейля (см. Зиг-
мунд [2], гл. XII, 8)

я

/(х) = 7*<р = -1. § кг(х-/)<р (0 л,	(1)

—л

2° соз	"

---V'------	^<р(7)Л=0, феЕ

V= 1	—Л
Она тесно связана с (непериодической) операцией

х

а

Лиувилля. Ядра //, /* имеют для малых / одну и ту же особенность 11
(мы имеем в виду одномерный случай, ср. 8.1 (6), (13) и Зигмунд [1],
гл. V, 2.1). Эту же особенность имеет ядро Лиувилля (х—/)а-1 при / = х.

Оценки вида 8.1 (7) для частных производных от 0г (| х |) см. Ароншайн
и Смит [1].

8.2.	Теорема об изоморфизме классов	доказана в работах Каль-

дерона [3] и Лионса и Мадженеса [1].

8.3.	Оценки разностей производных от 0г (| X I) см. Ароншайн и Смит [1],
С. М. Никольский, Ж. Лионс и П. И. Лизоркин [1], гл. 1, С. М. Никольский
(с добавлением Е. Носиловского) [18].

8.4.	Неравенство (2) см. С. М. Никольский, Ж. Лионс и П. И. Лизоркин
[1], гл. I, и С. М. Никольский (18), лемма 6.

В периодическом случае при п= 1, р = оо оно было известно И. П. Натан-
сону [2], 119—120, если считать, что Е* есть наилучшее приближение функ-
ции / тригонометрическими полиномами со средним значением по периоду,
равным нулю, и С. Б. Стечкину [2] при обычном понимании Е* см. еще
Сунь Юн-Шен [1].

Неравенство (4) является аналогом соответствующего одномерного неравен-
ства Фавара [1] в периодическом случае. Оно применяется при получении
неравенства 8.6 (16) (г > 0), и здесь мне был полезен совет моего коллеги
С. А. Теляковского.

8.6.	Н. И. Ахиезер и Б. М. Левитан изучали в других целях более общие
чем (I) ядра, соответствующие более общим тригонометрическим суммам

Валле-Пуссена (Вл~ — р, где — ядра Дирихле.

О разложениях, регулярных в смысле Ьр функций по суммам Валле-Пус-
сена см. С. М. Никольский [17].

8.8	—8.9.2. Изложенные здесь факты, основанные на понятии регулярной
в смысле Ьр (1^р^со) обобщенной функции и разложении ее в слабо
сходящиеся ряды Валле-Пуссена, см. С. М. Никольский [17],	[18].

Сами по себе понятия нулевых классов В®9, изоморфизмы Врв дли разных г

и интегральные представления Вгр$ через нулевые классы и отрицательные
классы Вр0, были установлены из различных соображений в работах Кальде-
рона [3], Ароншайна, Муллы и Шептицкого [1], Тэйблсона [1], [2], С. М. Ни-
кольского, Лионса и П. И. Лизоркина [2].

8.9.	Совокупность Зр = 8р (/?л) всех регулярных (см. 1.5.10) в смысле
Бр(1 рссз) обобщенных функций можно определить еще как сумму

5₽=0я?	а)

к

(НГр = Нг(Вп)'), где — произвольная последовательность действительных
чисел, стремящаяся к —оо. В самом деле, если / е 8р, то для некоторого
р2=0 имеет место /р/ е Ьр (см. 1.5.10), поэтому (см. 8.2) /р+1/ е <~ Нр,
но тогда / е Нр Р -> Нрк, если к таково, что г* <—р. Наоборот, если / е НГрк
для некоторого к, то 1_г/г+1/ Нрс.Ь
Ясно, что в (1) можно Н заменить на В или Ь (см. 6.1).

Условимся говорить, что функция /е5р имеет спектр в области Сс/?Л|
если ее преобразование Фурье / имеет носитель на О, т. е. /=0 вне С.

Из сказанного следует, что если функция / е Зр, то и к Нр при некото-
ром г и разлагается в ряд

ОО

/ =	(2)

о

со следующими свойствами: а) е Ьр и имеет спектр в Д5+1— Д5_1 (з =
= 1, 2, ...), До (при 5 = 0), где Д5 = {I Ху | <а5}, а> 1; о) выполняются нера-
венства

(3 = 0,1,...),	(3)

где М ие зависит от 5.

В самом деле, в качестве можно взять соответствующие суммы Валле-
Пуссена функции / (см. 8.9). В случае 1 < р < оо свойство а) можно заменить
на следующее: а) е Ьр и имеет спектр в Д5 —Д^ (5=1, 2, ...), До (при
5 = 0) (см. 8.10.Ц.

Если функция / представлена в виде слабо сходящегося к ней ряда (2)
с указанными свойствами а), б) при некотором действительном г, то будем
говорить, что этот ряд есть регулярное разложение ф

Лемма. Произвольный формально составленный ряд

<х>

2 «5.	(4)

о

члены которого удовлетворяют свойствам-, а*) и5 <= Ср и имеет спектр вне Д„4
(п5 = хз, х>0,—не зависящая от в константа), б)

КПа <а-5Г	(5 = 0,1,...),	(5)

р

слабо сходится к некоторой функции [ е 5'. Сами функции и3, таким обра-
зом, образуют последовательность, сходящуюся слабо к нулю.

В частности, ряд в правой части (2) со свойствами а) и б) слабо сходится
к некоторой функции / е З'р, более точно, / е Нгр.

Доказательство. Пусть хр > — г, тогда (см. 8.4 (4)) || 1ри5

р

<^а змр+п, и потому ряд

со

21^=Г

о

сходится в смысле Ьр, а следовательно, слабо к некоторой Р е Ьр, но тогда
ряд (1) сходится слабо к ( е 1_рР е 5'.

Заметим, что при г > 0 ряд (1) сходится в в предположении, что удов-
летворяется условие б) (без а*)).

Справедливы вложения

(1<Р<Р'<°О).	(6)

^е(«л)->ВР,е(Дя) (1<р<р'^со; 1^0<оо, 5^ = ^),	(7)

где г—произвольное действительное число.
В самом деле, пусть Л.р обозначает один из фигурирующих в левых
частях (6), (7) классов, и пусть к — такое число, что й + р>0, тогда (см. 8.2,
8.7, 9.6.2, 6.2)

'*(л;)=л;+*-лр+*,

откуда

л^/_Длр + ^)=лр,,

и мы доказали (6) и (7).

С теоремами вложений разных измерений дело обстоит сложнее, как это
будет видно ниже.

Положим х = (а, ®), и = (х1, ..., хт), я=(хт+1.хп) (1 ^т<п), и

пусть Кт(оК)—Вт обозначает линейное подпространство точек (а, ®°),
где фиксировано, а и произвольно.

Определение. Пусть функция / е 8р = 8'р (Вп), 1<р=боо«

/ («. ®) = 2 («• р)	(8)

«= о

>— ее регулярное разложение, обладающее тем свойством, что при любом в
спектр принадлежит к спектру (. (Заметим, что члены ряда Валле-Пуссена
подчинены этому свойству.)

Если, каково бы ни было определенное выше регулярное разложение (, ряд

/ (а, ®°) = 2 Яз («> ®°)	(9)

5 = 0

сходится слабо го и (в смысле 5 (7?т)) к некоторой функции [ (а, о0), не
зависящей от разложения (, то эта функция (от и) называется следом [ на Кт-

Отметим, что если функция / (а, о) целая экспоненциального типа, то
любое ее регулярное разложение есть конечная сумма (8) и, очевидно, ее след
на Нт есть / (и, ®°).

Ниже приводится несколько утверждений без доказательства

Теорема. Следы функции / (и, о) на Кт в смысле сделанного определения
и в смысле определения в 6.3 совпадают.

Через обозначим всякое множество точек х = (а, о) вида

а»?.. = л + {Ы<1«Р-} (*>о),

где А есть ограниченное множество в Кп, принадлежащее к кубу ДЛ1= { | ху | <
<	, а > 1} •

Теорема. Если функция [ (и ,о) е 8Р (Кя) (1 р со) имеет спектр,
принадлежащий к множеству ЯП;., то она имеет след / (и, ®°) е 5Р (К.т).

Более точно, для классов функции Нр(Вп), имеющих спектр в Я)\, имеют
место вложения с константами, зависящими от М и X:

( п—т\г

Р ' (*„)	(г-^-<0,Л>1),

(г-——=0,

р	>	(10)

р (Кт) (0 < Л 1, кроме случая

Л_2±1^ = 0, Л=1).

I	Р	/
Обратная теорема. Функцию

<Р(«) е Н^

X (п — т)\

 р ;(*т)

(О <*,==: 1)

или

<р(»)Е^ Р > (Ят) (Ь>1)

можно продолжить на Яп так, что продолженная функция [ (и ,ъ) е Нг (7?л)
имеет спектр, принадлежащий к множеству вида и ее след [ (и, 0) =
= <р (и). При этом имеют место вложения (с соответствующими неравенст-
вами, см. 6.0 (13))

/ Л(п —т)\

Н)	(0<Х^1),	(11)

('/_ п~т > х

И}'	р ! (^-^(Я")	(Х>1).	(12)

Вложение (1Г) при Х=1 и г —П ?т >0 уже известно (см. 6.5), но здесь
ему придана более сильная формулировка, включающая утверждение о харак-
тере спектра продолжающей функции. При Х>1 и г — -—— = 0 (обратное) вло-
жение (12) и соответствующее (прямое) вложение (10) уже не являются взаим-
но обратными.

Подчеркнем, что в соотношениях (11), (12) на спектры функций исходных
(вкладываемых) классов никаких ограничений не накладывается.

В случае 0<Хг51 удовлетворяющая условию теоремы продолженная
функция / (и, я) может быть определена в виде слабо сходящегося ряда

/(«, ®)= 2 <й’

5 = о

тт	(8(птУ

&(«, я) = <рД») | | Р (2,а к,к0у), Р(() = 4\—-—I,

'	/ = т + 1

ГДв

СО

<р («)= 2 *₽*

5=0

Фо (й) = %оЛ Ф5(«)=(а25— %5-1)ф

(см. 8.9).

В случае же 1 продолженная функция {(и, о) определяется слабо
сходящимся рядом

со

/(«, ®)= Л (и, ®),

5 = 0	4

М	_1	_

(и, ®) = ф/и) П Мр/)> а5@) = С083-2я*

4	/ = т+1
где п3 (8 = 0, 1, ...) — возрастающая последовательность натуральных чисел
такая, что —->1 (а->-оо), а функции <р$ имеют прежний смысл.
г-

Функция ф (х, у) от двух переменных, имеющая преобразование Фурье

~	(и, о > 2),

\	0 для остальных (и, ц),

принадлежит к (Я2) и в то же время не имеет следа на оси ц = 0.
Доказательство. В качестве ее регулярного разложения возьмем ряд
оо

5	— 1

где

<?5 (х, */)=2~	\	и~1о~1е‘,х!‘+иа1 ди до,

и

25	25

В III. (К.) 2 * *	“”2 аи а" < 2~®«

25-1	2

поэтому ф е /7у2 (/?2). Далее

8^, (х)	(х< 0) =2^ и-1о-1еглг® ди до =

1	дм

2$	2^	2^

= -Д- ( о-1 до I и~1е1хи ди = сМ I и~1е1ха ди.

2	2	2

Функция 5д, (х) не сходится слабо, потому что, например, для функции <р
такой, что ф = е—х! е 5' имеет место

2*

(5д,, <р) = (5^ <р) = сУ $ и~1е~ “г дисо (.У->-сю). -

2

Возможно построить пример, показывающий, что в (10) нельзя заменить
е > 0 на е = 0.

Указанные выше утверждения могут быть распространены с классов

Н'Р на Не-

справедливы вложения (прямые и обратные 1=ёр<оо, 1^т<п)

(1)

(Прямое см. книгу О. В. Бесова, В. П. Ильина, С. М. Никольского; обратное —

М. Л. Гольдман [1] и независимо В. И. Буренков. Отметим более ранний резуль-
тат Гальярдо [1]:	(7?т) Г"~т (/?„).)

В°т1 Ш^С(Р.т)

(М. Л. Гольдман [1])
Прямая теорема (1) следует из неравенств (см. 3.4.2 и 8.9.5)

ОО	ОО	8 п—т

Л)

где

/ И = 2 Ш х = («1...........х„)	(4)

о

— разложение / в ряд Валле-Пуссена.

Прямая теорема (2) тоже легко получается, если учесть, что для разло-
жения / е= Вю1 (₽я) имеет место

тао 1М*)1<с°.

В°°1Гя) 5=0 хе пп

откуда следует, что /еС (/?я) -> С (Ят).

Обратные теоремы (принадлежащие В. И. Буренкову и М. Л. Гольдману)
не тривиальны —потребовалось построение нелинейных операторов продолже-
ния на 7?я функций, определенных на Ет- Обратное вложение (1) обобщает
результат Д. С. Бугрова (см. замечание к 6.7).

Трибель [1] доказал, что при 1<р<оо пространство (7?я) имеет
безусловный базис, т. е. последовательность функций фу (х) е Врв
(у = 0, 1, ...), которые можно любым образом переставить, обладающую сле-
дующим свойством: всякая функция } е Врв (/?д) представляется единственным
ОО

образом в виде ряда / = У Суфу, где су = Су(/) — линейные функционалы от /.
о

При этом норма II/1| г эффективно выражается через Су.

ВР («я)

П. И. Лизоркин )13] получил подобные результаты для пространства В»
р
функций периода 2л. Формулы П. И. Лизоркина выглядят просто и эффек-
тивно, и это дает возможность нам сформулировать некоторые из них, огра-
ничившись одномерным случаем.

П. И. Лизоркин доказывает,
представляется в виде сходящегося

что произвольная функция / е В» (ДА
рб

в метрике В* (Я)) ряда
р

ОО

Цх)= 2 ГяВя(х),

(5)

где ГЯ = ГЯ (/) — числа, Е_1(х) = е 1Х, Е0(х)=1, Е1(х) — е‘х, и если натураль-
ное л > 1 представить в виде л = 2т х + 5, где т = т(п) > 1 — натуральное,
а 5 = 5 (л)— одно из чисел 0, 1.....2т-1— 1, то

р /у\___р(8) "Г ____ р4-	{у___А5)	\	_25	1

2т-1

^2^—1 (х) = 2тг1 2

я = 2т"1
Если же л<—1, то находим натуральное т > 1 и одно из чисел
О, 1,	2я*-1—1 так, чтобы —п = 2т-1-)-5, и полагаем

Еп.(х)— ^2Я1-1—1	— ^2т1—1	— 4я1-1—1)’

-2я1"1

Е2т~1 — 1	= 2я1”1	2 е‘кХ'

А=—2т+1

Система функций {Еп (х)} ортогональна на [0, 2л], потому что
2л	_	2л	,0	т

$ Еп (х) Ет (х) <1х = ? ЕпЕ_т (1х= <
X	х	(.2 тл, п = т.

Следовательно,

2Л

9т~2 (*

Гп=“— \1Еп<1х

Имеет место равенство (см. (5))

п/11 г =(|Го1е+(р;е)е)1/9»
в₽*9

де

2т<-г— '/рЮ

р;е= зир 2т<г~'^
т 1

2 I гА |₽10/р

|А|<2т—1	/

е; । гА н1/₽

<2т-1	)

1/е

(1 «= 0 =^со),

(0 = оо).



Отметим, что система экспонент {е,Аж}^=_00 образует тоже базис в В*$,
однако не безусловный.

П. И. Лизоркнн иа основании этих результатов получим просто форму-
лируемые условия, необходимые и достаточные для того, чтобы ряд Фурье

V Ске1кх е д» переходил в ряд V	е В* , т. е. чтобы В» В» .

р	р®	Р Р'Я

В упомянутой работе Трибеля мы находим условия для перехода В'рв (/?„)->

-> Вр6 (7?л) при помощи операции т (х) } (х).

8.10—8.10.1. Изложенные здесь факты, относящиеся к разложениям функ-
ций классов Вр0 в ряды по суммам Дирихле в случае 1 < р < со, близки
к результатам П. И. Лизоркина [9], а также к результатам М. Д. Рамаза-
нова [1], исследовавшего с этой точки зрения классы функций, несколько от-
личные от Вр0.

К главе 9

9.1. Пусть

1 < р < д < со,

(1)

1^/п^л, р = г — — + — 2=0
Р^Ч

(2)
и г целое. Тогда из 9.1 (4) следует вложение

К (я„) =	(^) -> Ц Ю -> «Чр1 (Лт)	(3)

(С. Л. Соболева с дополнениями В. И. Кондрашова и В. И. Ильина, см. 6.1).
При р нецелом и р=<? справедливо (см. 9.3 (1), 6.2 (4), 6.5 (Г))

ч	^₽] (лт).

Интересен случай р = 0, р=1 < д <со; в этом случае для натурального г
= доказано (С. Л. Соболевым [4] при т = п и Э. Гальярдо [2] при
т < п), что вложение (3) также остается верным.

9.2.2. Теорема о производных доказана при р = 2 С. Н. Бернштейном [1],
стр. 98, для /1 = /2 = 2 и Л. Н. Слободецким [3] в общем случае; при 1 < р < оо
и целых / = /! = ... = /„ — А. И. Кошелевым [1], и любых / > О— П. И. Лизор-
киным [12]; при произвольных I в периодическом случае — Ю. Л. Бессоно-
вым [1, 2].

9.4 — 9.6. Излагаемые здесь результаты, относящиеся к анизотропным
классам Ьг, в основном принадлежат И. И. Лизоркину, опубликовавшему их
без доказательства в заметке [10]. Он предоставил в мое распоряжение некоторые
рукописные материалы, которые положены в основу моего изложения. Я всюду
сводил вопрос к операции Iг, в то время как И. И. Лизоркин в соответствующих
случаях действовал «чистыми» лиувиллевскими производными (см. 9.2.3). Основ-
ная цель этих исследований получить интегральные представления для (функций)
анизотропных классов Ьг при любом г^О и на их основе получить полную
систему теорем вложеняя для этих классов. Для изотропных классов интеграль-
ные представления этого рода были получены в предыдущей главе. Нужные
оценки возникали там из фактов, относящихся к теории ядер Бесселя—Макдо-
нальда. В анизотропном случае соответствующие ядра усложняются. Конечно,
теоремы вложения в изотропном случае получаются из соответствующей анизот-
ропной теории, если положить гг~... = гп = г. При целых г, г получим соот-
ветствующие результаты для 1Г-классов, в частности теоремы вложения С. Л. Со-
болева, с которых исторически началась эта многомерная теория.

9.4.1.	Оценки (2), (3) для 1_[0г (х) эквивалентны в случае г1 = .., = гл = г
изотропным оценкам 8.1 (7).

9.5.1	— 9.5.2. Теоремы 9.5.1 и 9.5.2 во всей их полноте получены П. И. Лизор-
киным [12]. Они содержат в себе ряд предшествующих результатов, относящихся
к случаю целых г = Ар и произвольных г при р = 2, Ароншайна [1],
Л. Н. Слободецкого [1] (см. еще В. М. Бабич и Л. Н. Слободецкий [1]),
Гальярдо [1], О. В. Бесова [2], П. И. Лизоркина [11], С. В. Успенского [1]
(подробнее см. обзор С. М. Никольского [12]).

Сюда же относятся соответствующие результаты для изотропных классов
ЬГр = Ьр..г, принадлежащие Стейну [1], Ароншайну, Мулле и Шептицкому [1]

и П. И. Лизоркину [3] (подробнее см. В. И. Буренков [3]).

Эти результаты были получены различными методами.

В этой книге при продолжении функции с Ыт на Дл применялся метод
разложения ее в ряд по целым функциям экспоненциального типа и последующего
наращивания его членов специальными функциями (С. М. Никольский [5]).
В этих целях другие авторы также применяли другой метод, основанный на
усреднении функции по Стеклову (см. А. А. Дезин [1], Гальярдо [1]).

Отметим достаточно простое прямое доказательство теоремы вложения
разных измерений в анизотропном случае для целых классов Ьгр = '^гр, принад-
лежащее В. А. Солонникову [1].
9.6.2.	Теорема вложения С. Л. Соболева (с дополнениями В. И. Кондрашова
и В. П. Ильина) (см. 6.1 и замечание к 6.1) входит в теорему 9.6.2 как
частный случай и в терминах (целых) классов Ц7гр является предельно точной.

В изотропном случае дробных I теорема 9.6.2 доказана Стейпом [1] и
П. И. Лизоркиным [17] и в анизотропном (приведенном в тексте) случае
П. И. Лизоркиным [12].

В статье Садоски и Котляра [1] определены для рациональных векторов
Г 0 классы, эквивалентные классам Ьг, и для них доказаны некоторые
теоремы вложения.

К главе 10

10.1.	Первые систематические исследования по теории весовых классов
принадлежат Л. Д. Кудрявцеву. Они изложены в его монографии [2]. В
частности, Л. Д. Кудрявцев получил неравенства 10.3 (1) с точностью до в
и теоремы вложения о граничных функциях весовых классов в //-классы и
им обратные для полупространства. Выражение граничных функций в терминах
Н-классов позволяло получить эти теоремы только с точностью до е.

Мы рассматриваем ограниченные области И с гладкой (и—1)-мерной
границей, хотя в литературе известны соответствующие исследования для
т-мерных границ (или частей границ).

Отметим обзоры по весовым классам С. М. Никольского [12], а также
О. В. Бесова, В. П. Ильина, Л. Д. Кудрявцева, П. И. Лизоркина и С. М. Николь-
ского ([1], стр. 38 — 64), где рассматриваются также приложения этой теории
к краевым задачам математической физики.

10.2.	Теория покрытия области с гладкой границей регулярными мостами
принадлежит С. М. Никольскому [19].

10.3.	Вложение 10.3 (1) получено С. В. Успенским [1] для полупростран-
ства Кп, В этом случае, вследствие неограниченности надо считать
а/ = а + / (вместо агг^а + /). Для ограниченной области с гладкой границей
см. С. М. Никольский [24].

10.4.	Вложение 10.4 (1) сформулировано в статье С. В. Успенского [3],
обзоре С. М. Никольского [12] ^теорема 38, где считалось, что ——	—

---— < Доказательства в п. 10.4.1 в существенном принадлежат В. В. Шань-
кову.

10.5.	— 10.6. Вложение 10.5 (1) и ему обратное 10.6 (1) впервые получено
А. А. Башариным [1], [2] для класса Ц72а(И) и П. И. Лизоркиным [1] для
более общего класса (И) при условии (в нашей терминологии) 0<14~а.

В заметках С. В. Успенского [3] и П. И. Лизоркина [2] эти теоремы
сформулированы в общем виде для полупространства, если исключить случай
целых г-[-а-----, который на этом этапе был еще не выяснен. С. В. Успен-

ский [3] сформулировал также соответствующие теоремы и для области с гра-
ницей ГеС‘г+1' при р>2 для прямой теоремы и 1 <р <2 для обратной.

Теоремы 10.5 (1), 10.6 (1) затем полностью доказаны (в том числе и для
г-}-а—— целых) С. В. Успенским [1]. Приведенное здесь доказательство
прямой теоремы несколько иное. При доказательстве же обратной теоремы для
прямоугольника мы существенно следовали рассуждениям С. В. Успенского,
взявшего в качестве продолжающей на Рп (граничные значения) функции
гармоническую. Мы отдаем себе отчет, что использование этого результата при
переходе от прямоугольника к области с кривой границей оказалось возможным
лишь, если Г е. С1Г>, Между тем как прямая теорема доказана при Г е
Мы не даем здесь доказательство более сложных теорем 10.1 (13), (14')
и отмечаем только статьи Л. Д. Кудрявцева [4] и Ю. С. Никольского [2], где
оии доказываются для полупространства в несколько другой ситуации.

10.8.	Неравенство 10.8 (1) сформулировано в заметке С. М. Никольского
и П. И. Лизоркина [1] и доказано для произвольного г С. М. Никольским [21].
Автор получил совместно с П. И. Лизоркиным соответствующее одномерное
неравенство, которое оказалось нужным при исследовании одной краевой за-
дачи для обыкновенного дифференциального уравнения четвертого порядка.
Неравенство 10.8 (1) можно рассматривать как усиление невесового (а = 0)
неравенства

г1|ф^[|Ер(Г)+И1и;е)},	0)

где сумма взита по I, з (0 зё< г). Неравенство (1) при р = 2, г=1, фо=0
впервые доказано В. А. Стекловым [1] (см. В. С Владимиров и И. И. Мар-
куш [1]), который при этом установил, что наименьшая входящая в это нера-
венство константа с = с(й)=А,! есть наименьшее собственное значение проблемы
Дц—Л««=0, «|г = 0.
ЛИТЕРАТУРА

Агмон (А^топ Р.)

1.	Тпе Ьр арргоасЬ (о 111е ВтсЫе! ргоЫет, Апп. 8сио1а Могта1е 8ир.
Р1за, зег. 3, 13, № 4, 1959, 405—448.

Александров П. С.

1.	Введение в общую теорию множеств и функций, М., Гостехиздат,
1948, 1—411.

Александров П. С. и Колмогоров А. Н.

1.	Введение в теорию функций действительного переменного, М.—Л.,
изд. 3, 1938, 1—268.

Аманов Т. И
г ... г	гг,	, г

1.	Граничные функции классов Н*... п и Н* , Изв. АН СССР,

сер. матем., 19, № 1, 1955, 17—32.

2.	К решению бигармонической задачи, ДАН СССР 87, 1953, 389—392.

3.	Теоремы представления и вложения для функциональных пространств
5^ев(й„) и 5*ев (0^х; ^2л), Труды МИАН СССР 77, 1965, 5—34.

4.	Исследование свойств классов функций с доминирующими сме-
шанными производными, теоремы представления, вложения, продол-
жения и интерполяции. Автореферат докт. диссертации, Новосибирск,
1967.

Ароншайн (Агопзгащ И.)

1.	Воипбагу Уа1иез о! ГипсНопз 'иДИ ВпИе В1г1сЫе( т!е§га1, СопТег. раг-
На1 61В. едиаТ 81и61ез ш е!§епуа1ие ргоЫетз, Ип1у. о! Капзаз, 1955.
Ароншайн и Смит (Агопзга)п И. апб 8тИЬ К. Т.)

1.	РипсНопа! зрасез апб ГипсНопа! сотр1есНоп, Апп. 1пз1. Роипег 6,
1955—1956 (1956), 125—185.

2.	ТЬеогу оГ Веззе1 ро1епВа1з. I, Апп. 1пз1. Роипег 11, 1961, 385—475.
Ароншайн, Мулла и Шептицкий (Агопзгар И., Ми11а Р., 8гер-
{уск1 Р.)

1. Оп зрасез о! ро(епВа1з соппеДеб ауИЬ Ьр с1аззез, Апп. 1пз1. Роипег 13,
№ 2, 1963, 211—306.

А р Ц е л а (Агге1а С.)

1. Ех1з1епга 6е§11 1п(е§га11 пе11е едиаг!оп1 а 6ег1уа(е рагг!а11, Асе. 6еП«
8с1епсе 61 Во1о§па 6, № 3, 1936.

А с к о л и (АзсоП С.)

1. Ье сигуе 11т1В 61 ипа уаг!е(а 6а1а 61 сигуе, Метопа Асе. 6е1.
Ыпсе! 3, № 18, 1884, 521—586

Ахиезер Н. И.

1. Лекции по теории аппроксимации, М., «Наука», 1965, 1—407.

В а б и ч В. М.

1. К вопросу о распространении функций, УМН 8, вып. 2(54), 1953,
111—113.
Бабич В. М. и Слободецкий. Л Н.

1. Об ограниченности интеграла Дирихле, ДАН СССР 106, 1956, 604—606.
Банах (ВапасЬ 8.)

1.	ТЬеопе без орегаПопз Нпеапез, ХУагзхахуа, 1932, 1—254.

2.	Курс функцюнального анал1зу, Ки1в, «Радянська школа», 1948, 1—216.
Бари Н. К.

1. Обобщение неравенств С. Н. Бернштейна и А. А. Маркова, Изв.
АН СССР, сер. матем., 18, 1954, 59—176.

Бахвалов Н. С.

1. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограничен,
ными производными, Вестник МГУ, матем., механ., № 3, 1963, 7—16.
Беппо Леви (Верро БеУ1)

1.	8и1 рппс!р1о б! О1г1сЫе1, Реид. Ра1егшо 22, 1906, 293—359.
Бернштейн С. Н.

1 Собрание сочинений, т. I, М., Изд-во АН СССР, 1952, 1—581.

2.	Собрание сочинений, т. II, М., Изд-во АН СССР, 1954, 1—628.
Бесов О. В.

1.	О некоторых свойствах гармонических функций, заданных на полу-
пространстве, Изв. АН СССР, сер. матем., 20, 1956, 469—484.

2.	О некотором семействе функциональных пространств, Теоремы вложе-
ния и продолжения, ДАН СССР 126, 1959, 1163—1165.

3.	О некоторых условиях принадлежности к Ьр производных периодиче-
ских функций, Научные докл. высш, шк., № 1, 1959, 12—17.

4.	О продолжении функций с сохранением свойств интегрального модуля
гладкости второго порядка, Матем. сб. 58, 1962, 673—684.

5.	Исследование одного семейства функциональных пространств в связи
с теоремами вложения и продолжения, Труды МИАН СССР 60, 1961,
42—81.

6.	О теоремах вложения пространств дифференцируемых функций,
УМН 16, № 5, 1961, 207—208.

7.	Один пример к теории теорем вложения, ДАН СССР 143, 1962,
1014—1016.

8.	О плотности финитных функций в Х''р 0 и распространении функций,
Труды МИАН СССР 89, 1967, 18—30. ’

9.	Продолжение функций из Ьр и №1р, Труды МИАН СССР 89, 1967,
5-17.

10.	К теории вложения и продолжения классов дифференцируемых функ-
ций, Автореферат докт. диссертации, Матем. заметки 1, № 2, 1967,
235—244.

И. Об одном семействе функциональных пространств. Теоремы вложения
и продолжения, Автореферат канд. диссертации, М., 1960.

12. О некоторых свойствах пространств	гп> 14зв, высш. уЧ_ завед.,

сер. матем., № 1 (14), 1960, 16—23.

Бесов О. В. и Ильин В. И.

1. Естественное расширение класса областей в теоремах вложения, Ма-
тем. сб. 75 (117): 4, 1968, 483—495.

Бесов О. В., Ильин В. И., Кудрявцев Л. Д., Лизоркин П. И.
иНикольскийС. М.

VI. Теория вложений классов дифференцируемых функций многих пере-
менных. В кн.: Дифференциальные уравнения в частных производных,
М. «Наука», 1970, 1—252.

Бесов О. В., Ильин В. И. и Никольский С. М.

I. Интегральные представления функций и теоремы вложения, М.,
«Наука», 1975, 1—480.
Бессонов Ю. Л.

1.	Приближение периодических функций, принадлежащих классам г\
суммами Фурье, ДАН СССР 147, 1962, 519—522.

2.	О существовании смешанных производных дробного порядка в Ьр,
УМН 19, вып. 4 (118), 1964, 163—170.

Бохнер С.

1.	Лекции об интегралах Фурье, М., Физматгиз, 1962, 1—360.
Бугров Я С.

1.	Задача Дирихле для круга, ДАН СССР 115, 1957, 639—642.

2.	Свойства полигармонических функций, Изв. АН СССР, сер. матем.,
22, 1958, 491—514.

3.	Полигармонические функции в полуплоскости, Матем. сб. 60, 1963,
486—498.

4.	К теоремам вложения для //-классов С. М. Никольского, Сибирск.
матем. ж. 4, 1963, 1012—1028.

Буренков В. И.

1.	Локальные леммы для некоторых классов дифференцируемых функ-
ций, Труды МИАН СССР 77, 1965, 65—71.

2.	Некоторые свойства классов (й) и (й) при 0<г<1,
Труды МИАН СССР 77, 1965, 72—88.

3.	Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых
функций многих переменных, заданных во всем пространстве, Итоги
науки, Математический анализ, 1965, М., Изд-во ВИНИТИ АН СССР,
1966, 71—155.

4.	Некоторые свойства классов дифференцируемых функций в связи
с теоремами вложения и продолжения, Автореферат канд. диссерта-
ции, М., 1966.

5.	О теоремах вложения для области Кк = \а,Н <х^ < 0Д 0</г<П,
Матем. сб. 75 (117): 4, 1968, 496—501.

Валле-Пуссен (СЬ. 4. бе 1а Уа11ёе Роизз1п)

1. Ье?оП8 зиг Гарргох1та11оп без (опсНопз (Типе уапаЫе гёеПе, Рапе,
1919, 1—150.

Ватсон Г.

1. Введение в теорию интегралов Фурье. Теория бесселевых функций, 1,
М., ИЛ, 1949, 1—798.

Башарин А. А.

1. Граничные свойства функций, имеющих конечный интеграл Дирихле
с весом, ДАН СССР 117, № 5, 1957, 742—744.

2. Граничные свойства функций класса (а) и их приложение к реше-
нию одной краевой задачи математической физики, Изв. АН СССР,
сер. матем., 23, 1959, 421—454.

В е к у а И. Н.

1. Обобщенные аналитические функции, М., Физматгиз, 1959, 1—628.
Владимиров В. С.

1. Методы теории функций многих комплексных переменных, М., «Наука»,
1964, 1—411.

Владимиров В. С. и Маркуш И. И.

1. Академик В. А. Стеклов, М., «Знание», 1973, 1—63.

Гальперин И.

1. Введение в теорию обобщенных функций. На основе лекций Л. Шварца,
М., ИЛ, 1954, 1—64.

Г альярдо (Оа^Пагбо Е )

1. СагаНепгапоп! 6еПе 1гасе зиПа ГгопНега ге1аЦуе ад а1сипе с1азз1 <11
Гипгюп! 1п п уапаЫН, Кепб. Зеппп. гпа1еш. ип-1а 61 Рабоуа 27, 1957,
284—305.
Гельфанд И. М. и Шилов Г. Е.

1. Обобщенные функции, вып. 1, 1—439; вып. 2, 1—337, М., 1959.
Головкин К. К.

1.	О невозможности некоторых неравенств между функциональными
нормами, Труды МИАН СССР 70, 1964, 5—25.

2.	Об эквивалентных нормировках дробных пространств, Труды МИАН
СССР 66, 1962, 364—383.

Гольдман М. Л.

1. Описание пространства следов для обобщенного гельдерова класса,
ДАН СССР 231, № 3, 1976, 13—16.

Гончаров В. Л.

1. Теория интерполирования и приближения функций, изд. 2, М., Гос-
техиздат, 1954, 1—328.

Г ю и т е р Н. М.

1. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математи-
ческой физики, М., Гостехиздат, 1953, 1—416.

Д е з и н А. А.

1. К теоремам вложения и задаче о продолжении, ДАН СССР 88, 1953,
741—743.

Дени и Лионс (Вепу 1лопз 3. Ь.)

1. Езрасез бе Верро Ьеу! е4 аррИсаНопз, С. К. Асаб. 8с. 239, 1954,
1174—1177.

2. Без езрасез бе 4уре бе Верро ЬеУ1, Апп 1пз4. Роипег 5, 1953—1954
(1955), 305—370.

Джабраилов А. Д.

1. О некоторых функциональных пространствах. Прямые и обратные
теоремы вложения, ДАН СССР 159, 1964, 254—257.

Джафаров А. С.

1. О некоторых свойствах функций многих переменных. В сб. «Исследо-
вания по современным проблемам теории функций комплексного пере-
менного», М., Физматгиз, 1960, 537—544.

Джексон (баскзоп В.)

1. ОЬег б!е Пепаи1§ке11 без АппаЬегцп§ з1еП§ег РипкНопеп бигсЬ §апге
гаНопа1е ЕипкИопеп §е§еЬеп Огабез ипб 1п§опоте1пзс11еп Зиттеп
§е§еЬепег Огбпип§, В1зз., (ЗбНш§еп, 1911.

2. ТЬе Шеогу о! арргох1таИоп, Атег. Ма4Ь. 8ос. СоПодшт РиЫка-
Иопз 11, 1930.

Дз яды к В. К.

1.	О продолжении функций, удовлетворяющих условию Липшица в ме-
трике Ер, Матем. сб. 40 (82), 1956, 239—242.

Зигмунд (21§типб А.)

1.	ЗтооШ ТипсНопз, Вике МаШ. б 12, 1945, 47—76.

2.	Тригонометрические ряды, М., «Мир», 1965, т. 1, 1—615; т. II,
1—537.

3.	Тригонометрические ряды (старое изд.), М., ГОНТИ, 1939, 1—323.
Ибрагимов И. И.

1.	Экстремальные свойства целых функций конечной степени, Баку,
1962, 1—315.

И в е и с (Еуапз О. С.)

1.	Мо1е оп а Шеогегп о! ВосЬпег, Атег. б. о! МаШ. 50, 1928, 123—126.

2.	СотрИтеп(з о! ро1епНа1 (Ьеогу. II, Атег. б. оГ МаШ. 55, 1933,
29—49.

Ильин В. П.

1.	Об одной теореме Г. X. Харди н Дж. Е. Литтлвуда, Труды МИАН
СССР 53, 1959, 128—144.

2.	О теореме вложения для предельного показателя, ДАН СССР 96,
1954 , 905—908.
3.	Некоторые неравенства для дифференцируемых функций многих пере-
менных, ДАН СССР 135, 1960, 778—782.

4.	К вопросу о неравенствах между нормами частных производных
функций многих переменных, ДАН СССР 150, 1963, 975—977.

5.	О неравенствах между нормами частных производных функций многих
переменных, Труды МИАН СССР 84, 1965, 144—173.

6.	Интегральные представления дифференцируемых функций и их приме-
нение к вопросам продолжения функций классов №1р (§), Сибирск.
матем. ж. 7, 1967 , 573—586.

7.	Оценки функций, имеющих производные, суммируемые с данной
степенью на гиперплоскостях различных размерностей, ДАН СССР
78, 1951, 633—636.

8.	О полной непрерывности оператора вложения для случая неограни-
ченной области, ДАН СССР 135, 1960, 517—519.

9.	Некоторые интегральные неравенства и их применение в теории дифферен-
цируемых функций многих переменных, Матем. сб. 54, 1961, 331—380.
Ильин В. П. и Солонников В. А.

1.	О некоторых свойствах дифференцируемых функций многих перемен-
ных, ДАН СССР 136, 1961, 538—541.

2.	О некоторых свойствах дифференцируемых функций многих перемен-
ных, Труды МИАН СССР 66, 1962, 205—226.

Калкин (Са!к1'п 3. IV.)

1.	ЕипсВопз о( зеуега! УапаЫез апб аЬзо1и!е сопНпиИу. I, Ийке Ма1Ь.
3. 6, 1940, 176—186.

Кальдерон (СаШегбп А. Р.)

1.	81п§и1аг 1п1е§га1з, 1\то1ез оп а соигзе 1аи§Ы а! 1Ье Маз5аскиз5е(з
ТпзйШе о! ТесЬпо1о§у, 1959.

2.	ЬеЬез§ие зрасез о! ФНегепНаЫе Гипероне, СопГегепсе оп рагра! ШП.
ециаропз, 13п1у. оГ СаШопиа, 1960.

3.	ЬеЬез§ие зрасез о{ (ПНегепНаЫе ГипсНопз апб (ИзиЧЬиНопз, РагНа!
ИШ. ЕциаРопз, РгоуИепсе, Ц. 1., Атег. Ма1Ь. 8ос., 1961, 33—49.

Квад (С)иа(1е Е.)

1.	Тп§опоте1пс арргохттаНоп ш 1Ье теап, Ийке Ма1Ь. 3. 3, 1937.
Келлог (Ке11о§ О. И.)

1. Оп 1Ье бепуаЙуез о! Ьагтоп1с ГипсР'опз оп 1Ье Ьоипбагу, Тгапз.
Атег. Ма1Ь. 8ос. 33, № 2, 1931.

К и п р и я н о в И. А.

1. Об одном классе теорем вложения с весом, ДАН СССР 147, 1962,
540—543.

Колмогоров А. Н. (Ко1то§огоН А.)

1. ИЬег КотраИЬеН бег ЕипкНопептеп§еп Ье1 бег Копуег§епх 1п М1Не1,
ОбН1П§. №асЬг., 1931, 60—63.

Колмогоров А. Н. и Фомин С. В.

1.	Элементы теории функций и функционального анализа, М., «Наука»,
1968, 1—496.

Кондрашов В. И.

1.	О некоторых свойствах функций пространства Ьв, ДАН СССР 48,
1945, 563—566.

2.	Поведение функций из I? на многообразиях различных размерностей,
ДАН СССР 6, 1950, 1005—1012.

Конюшков А. А.

1. Наилучшие приближения тригонометрическими полиномами и коэффи-
циенты Фурье, Матем сб. 44 (86), 1958 , 53—84.

Кошелев А. И.

1. Дифференцируемость решений некоторых задач теории потенциала,
Матем. сб. 32 (74), 1953, 653—664.
Кудрявцев Л. Д.

1.	Об одном обобщении теоремы С. М. Никольского о компактности
классов дифференцируемых функций, УМН 9, № 2 (59), 1954,
111—120.

2.	Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариа-
ционным методом эллиптических уравнений, Труды МИАН СССР 55,
1959, 1—181.

3.	Теоремы вложения для весовых пространств и их приложения к реше-
нию задачи Дирихле. Сб. «Исследования по современным проблемам
конструктивной теории функций», Баку, АН Азерб. ССР, 1965,
493—501.

4.	Теоремы вложения для классов функций, определенных на всем про-
странстве или полупространстве. II, Матем. сб. 70 (112) : 1, 1966,
3—35.

Куфнер (КиГпег А.)

1.	Е1п1§е Е1§епзЬаИеп бег 8оЬо1еУзсЬеп Раите тН Ве1е§ип§зГипсИоп,
Чехословацкий матем. журнал 15, 1965, 597—620.

Лизоркнн П. И.

1.	Граничные свойства некоторого класса функций, ДАН СССР 126, № 4,
1959, 703—706.

2.	Граничные свойства функций из «весовых классов», ДАН СССР 132,
№ 3, 1960, 514—517.

3.	Теоремы вложения для функций из пространства Ер, ДАН СССР 143,
1962, 1042—1045.

4.	Пространства Ер(О). Теоремы продолжения и вложения, ДАН СССР
145, 1962, 527—530.

5.	Характеристика граничных значений функций из Ьгр {Еп) на гипер-
плоскостях, ДАН СССР 150, 1963, 984—986.

6.	(Ер, Е?) — мультипликаторы интегралов Фурье, ДАН СССР 152, 1963,
808—811.

7.	Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и функциональные
пространства Ьр (Р„). Теоремы вложения, Матем. сб. 60(102), 1963,
325—353.

8.	Формулы типа Хиршмана и соотношения между пространствами
(Ел) и Е^ (Ел). Матем. сб. 63, 1964, 505—535.

9.	О преобразовании Фурье в пространствах Бесова. Нулевая шкала В°рд,
ДАН СССР 163, 1965, 1318—1321.

10.	Оценки тригонометрических интегралов и неравенство Бернштейна для
дробных производных, Изв. АН СССР 29, 1965, 109—126.

И.	Граничные свойства функций из весовых классов, ДАН СССР, 132,
1960, 514—517.

12.	Неизотропные бесселевы потенциалы. Теоремы вложения для про-
странства Соболева Е^1’	’ Гд с дробными производными, ДАН СССР

170, 1966, 508—511.

13.	О базисах и мультипликаторах в пространствах Вр&, Труды МИАН
СССР 143, 1977, 88—104.

Лионс и Мадженес (Ыопз Т. Ь., Мадепез Е.)

1.	РгоЫётез аих ПгпИез поп Ьотодёпез (III), Апп. 8сио1а Могт. Зир.
Р1за, зег. 3, 15, 1961, 39—101.

2.	РгоЫётез аих Пт11з поп 1юто§ёпе е{ аррИсаНопз. I, 1—372, Раг1з,
1968.
Литтлвуд и Пэли (ЫШем'ооб 3. Е. апб Ра1еу Р. Е. А. С.)

1. Ткеогетез оп Еоипег зепез апб режет зепез, I, Л. Бопбоп Ма(Ь. Зое.

6, 1931, 230—233; II, Ргос. Бопбоп Май. Зое. 42, 1936 , 52—89;
III, тот же журнал 43, 1937, 105—126.

Лозинский С. М.

1.	Оп сопуег§епсе апб зишшаЬИИу о{ Роипег зепез апб 1п1егро1аНоп
ргосеззез, Матем. сб. 14 (56), 1944, 175—268.

2.	Обобщение теоремы С. Н. Бернштейна о производной тригонометри-
ческого полинома, ДАН СССР 55, 1947, 9—12.

Люстерник Л. А. и Соболев В. И.

1. Элементы функционального анализа, М., «Наука», 1965, 1—520.

Марцинкевич (Магс1пк1еу1сг 3.)

1. Зиг 1ез ти1Нр11са(еигз без зёпез бе Роипег, 3(иб1а МаВг. 8, 1939,
78—91.

Маршу (МагсЬоиб А.)

1. Зиг 1ез бёпуёез е( зиг 1ез бШёгепсез без ЕопсНопз бе уапаЫез гёеПез,
3. МаВз. ригез е! аррБ 6, 1927, 337—425.

Матвеев И. В. и Никольский С. М.

1. О склеивании функций класса Н^, УМН 18, № 5, 1963, 175—180.
Митягин Б. С.

1. О некоторых свойствах функций двух переменных, Вестник МГУ,
сер. матем., мех., астр., физ., хим., № 5, 1959, 137—152.

Михлин С. Г.

1. Интегралы Фурье и кратные сингулярные интегралы, Вестник ЛГУ,
сер. № 7, 1957, 143—155.

М о з ж е р о в а Н. И.

1. Граничные свойства гармонических функций в трехмерном простран-
стве, ДАН СССР 118, 1958, 636—638.

Монте ль (Моп(е1 Р.)

1. Зиг 1ез ро1употез б’арргох1пзаВоп, ВиП. Зое. МаВз. бе Ргапсе, 1918,
151—192.

Морри (Моггеу С. В.)

1. РипсВопз о! зеуега! уапаЫез апб аЬзо1и!е сопНпиВу. II, Пике
МаВз. 3. 6, № 1, 1940, 187—215.

Натансон И. П.

1. Теория функций вещественной переменной, М., «Наука», 1974,
1—480.

2. Конструктивная теория функций, М. — Л., 1949, 1—688.

Н е ч а с (Иесаз 3.)

1.	Зиг 1ез зоШНопз без ёдиаНопз ёШрВдиез аих бёпуёез рагДеПез би
зесопб огбге ауес 1п(ё§га1е бе П1псЫе1 поп Ьогпёе, Схес1зоз1оу.
МаВз. 3. 10, 1960, 283—298.

2.	Без тёВюбез б1гес(ез еп Дзёопе без ёдиаДопз ёШрДдиез, АсабёпЯа,
ёбИюпз бе Гасабёгше Тсйёсоз1оуадие без Зс1епсез, Рга§ие, 1967,
1—351.

Никодим (ГЛкобут О. М.)

1.	Зиг ипе с1аззе бе (опсДопз сопззбегёез бапз 1е ргоЫёте бе П1г1сЫе1,
Рипб. МаВз. 21, 1933, 129—150.

Никольский С. М.

1.	Теория приближения функций, 4, I, Функциональный анализ, Днепро-
петровский университет, 1947, 1—71.

2.	Обобщение одного предложения С. Н. Бернштейна о дифференцируе-
мых функциях многих переменных, ДАН СССР 59, 1948, 1533—1536.

3.	Неравенства для целых функций конечной степени и их применение
в теории дифференцируемых функций многих переменных, Труды
МИАН СССР 38, 1951, 244—278.
4.	К вопросу о решении полигармонического уравнения вариационным
методом, ДАН СССР 33, 1953, 409—411.

б.	Свойства некоторых классов функций многих переменных на диффе-
ренцируемых многообразиях, Матем. сб. 33 (75), 2, 1953, 261—326.

6.	Об одном неравенстве для периодических функций, УМН 11, № 1 (67),
1956, 219—222.

7.	О продолжении функций многих переменных с сохранением диффе-
ренциальных свойств, Матем. сб. 40 (82), 1956, 243—268.

8.	Компактность классов Н*'	’ гп функций многих переменных, Изв.

АН СССР 20, 1956, 611—622.

9.	Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми
точками, I, Матем. сб. 40 (82), 1956, 303—318; II, 44 (86), 1957,
127—144; III, 45 (87), 1958, 181 — 194.

10.	Теорема вложения для функций с частными производными, рассма-
триваемыми в различных метриках, Изв. АН СССР, сер. матем., 22,
1958 , 321—336.

11.	Некоторые свойства дифференцируемых функций, заданных на п-мер-
ном открытом множестве, Изв. АН СССР, сер. матем., 23, 1959,
213—242.

12.	О теоремах вложения, продолжения и приближения дифференци-
руемых функций многих переменных, УМН 16, № 5 (101), 1961,
63—114.

13.	Исправление к статье «Свойства некоторых классов функций многих
переменных на дифференцируемых многообразиях», Матем. сб. 57 (99),
1962, 527.

14.	Об одной задаче С. Л. Соболева, Сибирск. матем. ж. 3, 1962 , 845—851.

15.	Теорема о представлении одного класса дифференцируемых функций
многих переменных посредством целых функций экспоненциального
типа, ДАН СССР 150, 1963, 484—487.

16.	Функции с доминирующей смешанной производной, удовлетворяющей
кратному условию Гельдера, Сибирск. матем. ж. 4, 1963, 1342—1364.

17.	Конструктивное представление нулевых классов дифференцируемых
функций многих переменных, ДАН СССР 170, 1966, 542—545.

18.	Интегральное представление и изоморфизм классов дифференцируе-
мых функций многих переменных. Третья летняя математическая
школа (конструктивная теория функций), г. Кацевели, июнь — июль
1965, Киев, «Наукова думка», 1966, 135—238.

19.	Об одном методе покрытия области и неравенства для многочленов от
многих переменных, МаРзетаНса С1и] 8, № 2, 1966, 345—356.

20.	8оте Ьоипбагу ргоЫет Гог (Не ециаНопз 5И(11 з!гоп§ <1е§епега11оп.
Ас(а Гас. Регит Ка1игПит 1Лз1у., Сопзепзапсе, ЕциасНН II, 17, 1967,
121—127. 81оуепзке ре6а§о§1ске пак1а<1а1е181уо, Вга11з1ауа, 1969.

21.	Об одном неравенстве для функций из весовых классов. Математи-
ческие структуры, вычислительнаи математика, математическое моде-
лирование, София, 1975, 131—141.

22.	Курс математического анализа, изд. 2, М., «Наука», 1975, т. I,
1—431; т. II, 1—407.

23.	О краевой задаче первого рода с сильным вырождением, ДАН СССР
222, № 2, 1975, 281—283.

24.	Об одной теореме вложения для функций весовых классов, Про-
блемы вычислительной математики и математической физики, М.,
«Наука», 1977.

Никольский С. М. и Лизоркин П. И.

1.	О некоторых неравенствах для функций из весовых классов и крае-
вых задачах с сильным вырождением на границе, ДАН СССР 159,
№ 3, 1964, 512—515.
Никольский, Лионс и Лизоркин (№ко!зку 3. М., Полз 3. Ь.
ап<1 Ызогкш Р. I.)

1.	1п1е§га1 гергезеп1аНоп ап<1 1зотогрЬ!зт ргорегНез оГ «отв с1а«зе«
о! ГипсИопз, Апп. 5сио1а Мост. Зир. Р!за, «ег. 3, 19, № 11, 1965,
127—178.

Никольский Ю. С.

1.	Граничные значения функций из весовых классов, ДАН СССР 164,
1965, 503—506.

2.	К теоремам вложения весовых классов, Труды МИАН СССР 105,
1969, 178—189.

Петровский И. Г. и Смирнов К. Н.

1. Об условиях равиостепениой непрерывности семейств функций, Бюлл.
МГУ, секц. А, вып. 10, 1938, 1—15.

Пиконе (Р1сопе М.)

1. ЗиЛа Зепуагюпе рагг!а1е рег зепе, Во1. 13п. Ма1. И. III, № 5, 1950,
24—33.

П и л и к а (РШка Р.)

1. Граничные функции классов Н^1’	' Грп^, ДАН СССР 128, 1959,

677—679.	1

Планшерель и Полна (Р1апз11еге1 М. е{ Ро1уа О.)

1. РопсНопз епНёгез е! ш1ё§1а1ез ёе Роипег тиШр1ез, СоттепС
Ма1Ь. — Не1уеНс1; I, 1937, 224—248; II, 1938, 110—163.

Полна и Сеге

1. Задачи и теоремы из анализа, часть 1, М., Гостехиздат, 1937.
Пуччи (Рисе! С.)

1. Сотра1е22а с!и зисзезюпе сП Гипгюп! е ЗепуаЬПИа <1е11е 1ипг1оп1
1тИа, АппаИ сП МаИгетаИса 37, 1954, 1—25.

Пэли и Винер (Ра1еу Н. Е. А. С. апб 'Лчепег М.)

1. Роипег 1гапз1огтз ш Иге сотр1ех боташ, 1934.

Рамазанов М. Д.

1. Априорные оценки типа Ьр решений параболических уравнений, ДАН
СССР 161, 1965, 530—533.

Р е л л и х (КеШсИ Р.)

1. Е1п 8а1х йЬег тННеге Копуегдепг, 0611. НасИг., 1930, 30—35.

Рис М. (Кегзг М.)

1. Ьез {опсНопз соп]идиёез е! 1ез зёпез Зе Роипег, С. г. Аса<1. 8с. 178,
1924, 1464—1467.

2. Зиг 1ез (опсНопз соп]'и§иёез, МаИг. 2е!1. 27, 1927 , 218—244.
Садоскн и Котляр (Зайозку С., Со11аг М.)

1.	Оп диаз! Иотодепеоиз Веззе! Ро1епНопа! Орега!огз. РгосеесГпдз
о! зутрозшт ш риге таИгетаНсз. 31п§и!аг 1п(е§га1з. РгоуИепсе,
у. X, 1967, 275—287.

С а Й в и н (С1уш Р.)

1.	1педиа1111ез !ог 1п§опоте1пс 1п1е8га1з, Оике МаИг. 3. 8, 1941, 656—665.
Слободецкий Л. Н.

1.	Пространства С. Л. Соболева дробного порядка- и их приложения
к краевым задачам для дифференциального уравнения в частных про-
изводных, ДАН СССР 118, 1958, 243—246.

2.	Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложения к крае-
вым задачам для дифференциальных уравнений в частных произ-
водных, Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та им. А И. Герцена 197, 1958,
54—112.

3.	Оценки решений эллиптических и параболических систем, ДАН СССР
120, 1959, 468—471.

Смирнов В. И.

1. Курс высшей математики, т. V, Гостехиздат, 1947, 1—584.
Смит (ЗтИИ К. Т.)

1.	1педиаП11ез Гог ГогтаПу розШуе 1п1е§го-дИ(егеп11а1 Гогтз, Ви11. Атег.
Ма1И. 8ос. 67, 1961, 368—370.

Соболев С. Л.

1.	Задача Коши в пространстве функционалов, ДАН СССР 3, 1935,
291—294.

2.	МёНюде поиуеПе й гезоидге 1е ргоЫёгпе де СаисЬу роиг 1ез ёциаНопз
Ппёайез НурегЬоПдиез погта1ез, Матем. сб. 1 (43), 1936, 39—72.

3.	Об одной теореме функционального анализа, Матем. сб. 4 (46), 1938,
471—497.

4.	Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, ЛГУ, 1950, 1—255; Новосибирск, 1962, 1—255.

5.	Некоторые обобщения теорем вложения, Рипд. МаШ. 47, 1959, 277—324.
Солнцев Ю. К.

1. Об оценке смешанной производной в	Труды МИАН СССР 64,

1961, 211—238.

Солонников В. А.

1. Априорные оценки для уравнений второго порядка параболического
типа, Труды МИАН СССР 70, 1964, 132—212.

Сонин Н. Я- (8ошп И. За.)

1. РесНегсНез зиг 1ез ГопсНопз суПпдпциез е( 1е дёуе1оргпеп1 без ГопсИопз
сопНпиез еп зёпез, Ма1Ь. Апп. 16, 1880, 1—80.

Стейн (81е1п Е. М.)

1. ТНе сЬагас1ег1га11оп о! ГипсНопз апзш§ аз ро1епНа1з, Ви11. Атег
Ма1Ь. 8ос., I, 67, 1961, 102—104; II, 68, 1962, 577—584.

Стеклов В. А.

1. О разложении данной функции в ряд по гармоническим функциям,
Сообщения Харьковского математического общества 2, серия 5,
№ 1—2, 1896, 60—73.

Стечкин С. Б.

1. О порядке наилучших приближений непрерывных функций, Изв.
АН СССР, сер. матем., 15, 1951, 219—242.

2. О наилучшем приближении сопряженных функций тригонометриче-
скими полиномами, Изв. АН СССР, сер. матем., 20, 1956, 197—206.

Сунь Ю н-ш е н

1. О наилучшем приближении классов функций, представленных в форме
свертки, ДАН СССР 118, 1958, 247—250.

Тиман А. Ф.

1. Теория приближения функций действительного переменного, М., Физ-
матгиз, 1960, 1—624.

Титчмарш Е.

1. Введение в теорию интегралов Фурье, М., Гостехиздат, 1948, 1—479.
Тонелли (ТопеШ Ь.)

1. 8и11а циадга(ига де11 зиренюе, Репс!. Р. Асад. 1л псе!. 6, № 3, 1926,
633—638.

Трибель Г. (ТгтеЬе! Н.)

1. МиШрПегз апд ипсопдШопа! ЗсЬаидег Ьаз!з ш Везоу зрасез, Препринт.
Тулайков А. Н.

1. 7иг КогпракИзеН 1п Раит 1_.р Гиг р=1, 0611. НасНг., 1933, 167—170.
Тэйблсон (ТаИЯезоп М. И.)

1. ЫрзйИх с1аззез о! (ипсйопз апд д!з1пЬиНопз 1п Еп, Ви11. Атег. Ма(Ь.
8ос. 69, 1965, 487—493.

2. Оп +Не (Неогу оГ ЫрзНИх зрасез о! д1з1г1Ьи(1опз оп ЕисПдеап п-зрасе,
I, Рг1пс!ра1 ргорегНез, д. Ма(1г апд МесН 13, № 3, 1964, 407—479.

Уитни (МЪИпеу Н.)

1. АпаИИс ех(епз!опз о! дИГегепНаЫе Гипс'иопз деГшед 1п с1озед зе(з,
Тгапз Атег Ма!Н 8ос„ I, 36, 1934, 63—89; 11, 40, 1946, 309—317.
Ульянов П. Л.

1.	О некоторых эквивалентных условиях сходимости рядов и интегралов,
УМН 8, № 6 (58), 1953, 133—141.

Успенский С. В.

1.	Свойства классов с дробной производной на дифференцируемых
многообразиях, ДАН СССР 132, 1960, 60—62.

2.	Теорема о вложении классов С. Л. Соболева дробного порядка, ДАН
СССР 130, 1960, 992—993.

3.	О теоремах вложения для весовых классов, Труды МИАН СССР 50,
1961, 282—303.

Фавар (Рауагд 3.)

1.	АррПсаИоп де 1а 1огтн1е зотта(о1ге д’Еи1ег А 1а дётопз(га(1оп де
циеЦиез ргорпё!ёз ех!гёта1ез дез 1п1ё§га1ез дез {опсЛопз рёпод!диез
он ргездие-рёпод!диез, Ма1етаНзк Т1дзкг1Н (В), 1936, 81—94.

Ф о х т А. С.

1.	Оценки решений уравнений эллиптического типа вблизи границы
области их задания, Автореферат канд. диссертации, М., 1963.

2.	Некоторые неравенства для решений уравнений эллиптического типа
и их производных вблизи границы области в метрике Ь2, Труды
МИАН СССР 77, 1965, 168—191.

Харди и Литтлвуд (Нагду О. Н. апд [ЛИечлоод 3. Е.)

1.	8оте ргорегНез о! ГгасНопа! 1п1е§га1з. I, МаИз. 2еЛ. 27, 1928,
565—606.

2.	А сопуег§епсе сгЛепоп Гог Роипег зепез, МаЛз. 2еЛ. 28, 1928, 122—147.
Харди, Литтлвуд и Полна

1. Неравенства, М., 1948, 1—456.

Хаусдорф Ф.

1. Теория множеств, ОНТИ, 1937, 1—304.

Хермандер

1. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига, М.,
ИЛ, 1962, 1—71.

Шагинян А. Л.

1. О наилучших приближениях гармоническими многочленами в про-
странстве, ДАН СССР 90, 1953, 141.

Шварц Л. (8сЬ\уаг1г Ь.)

1. ТЬёопе дез д1з1пЬиНопз, I, II, Рапз, 1957.

Яковлев Г. Н.

1.	Граничные свойства функций класса 1Г^ на областях с угловыми
точками, ДАН СССР 140, 1961, 73—76.

2.	Граничные свойства некоторого класса функций, Труды МИАН СССР
60, 1961, 325—349.
Сергей Михайлович Никольский

Приближение функций многих переменных
и теоремы вложения

М., 1977 г., 456 стр. с илл.

Редактор В. И. Буренков

Техи. редактор Л. В. Лихачева

Корректор Е. В. Сидоркина

Сдано в набор 28/1II 1977 г. Подписано к печати
9/1Х 1977 г. Бумага 60х90'/1в. тип. № 1. Физ. печ. л. 28,5.
Условн. печ. л. 28,5. Уч.-изд. л. 27,25. Тираж 7000 экз.
Т-07099. Цена книги 2 р. Заказ Хэ 1194.

Издательство «Наука»

Глйвиая редакция физико-математической литературы
117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15

Отпечатано с матриц, изготовленных Ордена Трудо-
вого Красного Знамени Ленинградским производ-
ственно-техническим объединением «Печатный Двор»
имени А. М. Горького Союзполиграфпрома при
Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной тор-
говли. 197136, Ленинград. П-136, Гатчинская ул., 26,
в 4-ой типографии издательства «Наука». 630077,
Новосибирск, 77, Станиславского, 25. Заказ № 740