Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 282
Pierre Lelong, Lawrence Gruman
Entire Functions
of Several Complex Variables
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York Tokyo

Я Лелон, Л Груман
Целые функции
многих
комплексных
переменных
Перевод с английского
А. М. Руссаковского и С. Ю. Фаворова
под редакцией
JI. И. Ронкина
Москва «Мир» 1989

ББК 22.161.5
Л43
УДК 517.53/55
Лелон П., Груман Л.
Л43 Целые функции многих комплексных переменных: Пер. с
англ. — М.: Мир, 1989, — 348 с.
ISBN 5-03-001007
Монография известных французских математиков, содержащая си-
систематическое изложение современного состояния теории целых функций
многих комплексных переменных. В ней представлены классические и
новые результаты и указаны приложения в теории дифференциальных
уравнений, теории чисел, вопросах полноты систем функций. Многие
результаты получены самими авторами. Книга снабжена обширной
библиографией, в конце каждой главы дана информация по истории
излагаемого материала.
Для математиков разных специальностей, студентов и аспирантов
университетов.
1602070000-344 13.89 ББК 22.161.5
041@1)89
Редакция литературы по математическим наукам
ISBN 5-03-001007 (русск.) © Springer-Verlag Berlin Heidelberg
ISBN 3-540-15296-2 (англ.) 1986. All rights reserved. Authori-
Authorized translation from English lan-
language edition published by Sprin-
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New
York
© перевод на русский язык, «Мир»,
с авторскими исправлениями, 1989

Предисловие редактора перевода
Книга П. Лелона и Л. Грумана, перевод которой предлагается
читателю, посвящена теории целых функций многих перемен-
переменных, являющейся одним из актуальных разделов современного
комплексного анализа.
Хорошо известные принципиальные различия между целыми
функциями одного и многих переменных (характер нулевых
множеств), необходимость использования в многомерном случае
качественно новых методов из других областей математики
обусловили определенное запаздывание развития теории целых
функций многих переменных. И хотя первые результаты в этой
теории были получены Борелем еще в первом десятилетии на-
нашего века, начало ее интенсивного развития следует, по-види-
по-видимому, датировать пятидесятыми годами. Оно сопутствовало об-
общему повышению интереса к вопросам многомерного комплекс-
комплексного анализа и привело к появлению на рубеже 60—70-х годов
монографий П. Лелона, В. Штолля, Л. И. Ронкина, частично
или полностью посвященных целым функциям в С". В совокуп-
совокупности эти монографии давали весьма полное представление о
состоянии теории целых функций на то время. К настоящему
времени в этой теории произошли большие изменения. Так, раз-
развитие метода Лелона обратных функций и создание теории
комплексного оператора Монжа — Ампера привело к тому, что
практически все результаты об исключительных множествах
роста, полученные первоначально в других терминах, оказа-
оказалось возможным получить в терминах плюриполярных мно-
множеств и тем самым придать им окончательный характер. Сфор-
Сформировался ряд новых направлений, как, например, теория функ-
функций вполне регулярного роста, интерполяция в классах целых
функций многих переменных, теория распределения значений
голоморфных отображений Crt-^lCm и др. Возникли новые при-
приложения, в частности к уравнениям свертки, к теории чисел,
к вопросам полноты систем функций. В силу всего этого назрела
настоятельная необходимость систематического отражения со-
современного состояния теории целых функций многих перемен-
переменных, произошедших в ней изменений. В значительной степени
эту задачу решает предлагаемая читателю книга П. Лелона и
Л. Грумана. Ее авторы хорошо известны специалистам. Работы
П. Лелона стали классикой многомерного комплексного ана-
анализа. Достаточно сказать, что им были введены и разработаны
такие фундаментальные понятия, как понятия плюрисубгармо-
нической функции (введено в 1942 г. одновременно с К. Ока)

6 Предисловие редактора перевода
и положительного потока. Широко известны понятие числа Ле-
лона, формула Пуанкаре —Лелона, первая и вторая проблемы
Лелона и др. Ряд важных результатов получен Лелоном и в
самой теории целых функций. Другому автору — Л. Груману —
принадлежат тонкие результаты по росту целых функций и
распределению их корней, по уравнениям свертки, по теории
распределения значений голоморфных отображений. Особо сле-
следует отметить его результаты по трансцендентной проблеме
Безу. Научные привязанности авторов, естественно, нашли от-
отражение в содержании книги: в значительной степени она со-
состоит из их результатов. Излагаются в ней и некоторые резуль-
результаты А. Скода, А. Мартино, К. Кизельмана, Э. Бомбьери,
С. Ю. Фаворова и др. Материал книги выходит за рамки ее на-
названия и представляет интерес не только для специалистов в
области теории целых функций и ее применений, но и в более
широкой области многомерного комплексного анализа и соот-
соответствующих приложений. Значительная часть книги не отра-
отражена в советской математической литературе ни в моногра-
монографиях, ни в статьях, и несомненно, что появление ее перевода
будет для советского читателя интересно и полезно.
Здесь хотелось бы также отметить, что при подготовке рус-
русского издания были учтены замечания и уточнения, специальна
присланные авторами.
В конце книги помещен весьма обширный список литера-
литературы, относящейся к теме монографии. Этот список содержит
значительно больше источников, чем их упоминается в тексте
книги. Тем не менее ряд серьезных работ, особенно советских
математиков (В. С. Азарина, А. Садуллаева, В. В. Напалкова,
С. Ю. Фаворова и др.), в него не вошел. В связи с этим пере-
переводчиками дан дополнительный список литературы.
Л. И. Ронкин

Введение
1. Теория целых функций многих комплексных переменных со-
составляет важный и оригинальный раздел комплексного анализа.
Изучение таких функций зачастую мотивируется обилием при-
приложений к задачам в других областях математики, и в том числе
в дифференциальных уравнениях с частными производными
(благодаря преобразованию Фурье — Лапласа) и в теории опе-
операторов свертки, в аналитической теории чисел и проблемах
трансцендентности, в теории аппроксимации и т. д.
Для задач, фигурирующих в этих приложениях, часто бы-
бывает важно находить решения, удовлетворяющие некоторым
условиям на рост. С каждой конкретной проблемой, как пра-
правило, связана некоторая шкала роста, и искомое решение долж-
должно иметь определенный рост в этой шкале. Иногда речь идет
о минимальном асимптотическом росте или об оптимальном в
некотором смысле решении.
Для одной переменной изучение решений с условиями на
рост составляет ядро классической теории целых функций. Ис-
Исторически установление связи между числом нулей целой функ-
функции /(г), гЕС, и ростом |f| (или, эквивалентно, log|f|) стало
первым примером систематического исследования условий роста
в общей постановке.
В задачах с условиями на рост решений требуется более
детальная информация, чем просто теоремы существования.
Связь между двумя шкалами роста часто можно интерпрети-
интерпретировать как связь между семействами ограниченных множеств
в определенных пространствах Фреше. Однако для приложений
крайне важно располагать точными и явными представлениями
решений.
При переходе от С к О возникают новые задачи, такие, как
распределение значений голоморфных отображений Сп в Ст.
С другой стороны, для получения решений и их представлений
в классических задачах зачастую необходима новая техника.
Нули целой функции f уже не являются изолированными, и
в этой ситуации количественные характеристики нулевого мно-
множества получают с помощью представления дивизора Xf функ-
функции f (или, более общо, аналитического множества) через по-
положительные замкнутые потоки (обобщенные дифференциаль-
дифференциальные формы).
Как это ни парадоксально, именно неголоморфные объекты,
«мягкие» объекты (objects souples по-французски, см. [С])
комплексного анализа, в первую очередь плюрисубгармони-
ческие функции и положительные замкнутые потоки, нашли

8 Введение
применение в задачах с условиями роста для получения гло-
глобальных представлений в СХ Часто те или иные свойства клас-
классических (т. е. голоморфных) объектов выводятся из свойств,
установленных для мягких объектов. Плюрисубгармонические
функции были введены в 1942 г. К. Ока и П. Лелоном и встре-
встречаются в этой книге с самого начала. Возникают они естествен-
естественным образом: как log|/|, как индикатор роста семейства целых
функций /, который представляет собой верхнюю огибающую
log|/|. При решении второй проблемы Кузена, т. е. нахождении
(с условиями на рост) целой функции / с заданным нулевым
множеством X в С", мы решаем сйачала общее уравнение
iddV = 0 для замкнутого положительного потока 0. Если в ка-
качестве 0 берется [X], поток интегрирования по X, то получается
y = log|/|. Применение плюрисубгармонических функций поз-
позволяет также получить замечательный (и неожиданный) ре-
результат, принадлежащий А. Скода A972): аналитическое мно-
множество У в С" размерности р@ ^ р ^ п— 1) может быть пред-
представлено как нулевое множество У = F~l @) целого отображе-
отображения F={f\f ..., f/i+i), причем рост \\F\\ оценивается через рост
объема У. Плюрисубгармонические функции, получаемые из по-
потенциалов, хорошо приспособлены для построения глобальных
представлений в О. Такой метод позволяет избежать тонких
исследований идеалов голоморфных функций, обращающихся
в нуль на У и удовлетворяющих условиям на рост.
Подобным же образом, с использованием свойств мягкого
объекта, присущих потоку (iddV)p, и уравнений Монжа — Ам-
Ампера в последнее время были получены результаты в теории
распределения значений голоморфных отображений Сп-+С'т
(или аналитических множеств Х-*~ У).
II. Прежде чем описать содержание настоящей книги, нам хо-
хотелось бы сделать несколько замечаний.
a) Мы не стремились охватить полностью весь предмет (чис-
(число задач при п > 1 слишком велико для одной книги). Мы по-
постарались ввести читателя в круг основных проблем современ-
современных исследований в этой области, особенно тех, которые поро-
породили общие методы либо новую технику. Приложения появ-
появляются только в гл. 6 (к аналитической теории чисел) и гл. 8
и 9 (к функциональному анализу).
b) С другой стороны, мы постарались сделать изложение
замкнутым в себе. От читателя требуется некоторая подготовка
в одномерной теории, а также в интегрировании, исчислении
дифференциальных форм и теории распределений. Список книг,
где читатель сможет отыскать общие результаты, не вошедшие
в книгу, приведен перед библиографией (такие ссылки обозна-
обозначаются заглавными латинскими буквами).

Введение 9
Доказательства дополнительных результатов сосредоточены
в трех приложениях. В приложении I приведены общие свойства
плюрисубгармонических функций, в приложении II излагается
техника уточненных порядков, а в приложении III — решение
д-проблемы для @, 1)-форм с оценками в L2 по методу Хёр-
мандера.
c) Важностью аналитических представлений, особенно для
приложений, вызвана необходимость приводить некоторые вы-
вычисления в расширенном объеме. Авторы сознают, что некото-
некоторые доказательства в книге чересчур техничны. Мы рекомен-
рекомендуем читателю вначале просмотреть все доказательство цели-
целиком, чтобы уловить основные идеи, прежде чем погружаться
в детали вычислений.
d) Литература по целым функциям очень обширна. Библио-
Библиография, не претендуя на полноту, дает возможность обозреть
текущее состояние предмета. Каждая глава заканчивается ко-
короткими комментариями, где сделана попытка объяснить про-
происхождение упоминаемых результатов.
III. В гл. 1 даны основные определения шкал роста в О,
введены понятия порядка и типа, индикатора роста и уточнен-
уточненных порядков. Эти классические понятия очевидным образом
распространяются на плюрисубгармонические и целые функции
в О. В гл. 2 приводятся основные свойства положительных диф-
дифференциальных форм, а также положительных и замкнутых по-
потоков. В гл. 3 изучается решение с оценками роста уравнения
iddV = 0 для положительного замкнутого потока 0 типа A,1)
в О. Отсюда при соответствующем 0 получается V = log|f|, и,
таким образом, мы имеем решение второй проблемы Кузена
с оценками и представление для целой функции с заданным ну-
нулевым множеством. Этот результат для целых функций конеч-
конечного порядка в Сп является распространением классических од-
одномерных результатов Ж- Адамара и Э. Линделёфа. Глава 4 по-
посвящена классу целых функций вполне регулярного роста. Не-
Некоторые результаты приводятся впервые. Важность изучения
этого класса, базирующегося на материале предыдущих глав,
обусловлена многочисленностью приложений (преобразование
Фурье, системы дифференциальных уравнений) и возможностью
связать регулярность роста log|f| с регулярностью распреде-
распределения нулевого множества функции f.
В гл. 5 исследуются задачи, касающиеся целых отображе-
отображений Crt—>-Cm. Первая ее часть посвящена конструкции пред-
представления аналитического множества У в С" в виде нулевого
множества целого отображения F: Cn->Crt+1, т. е. У=/7~1@),
F = (fu ..., frt+1), причем с оценками роста ||F||. Во второй
части изучается рост объема при г->оо множеств F~l(a)(]

10 Введение
(]В(О,г), где 5@, r) = {z: ||z||< г}. В третьей части исследуется
связь между ростом объема аналитического множества в С" и
его следа на линейных подпространствах СЛ. Рассматриваются
также случай медленного роста и алгебраический случай.
В гл. 6 приведен пример приложения методов предыдущих
глав к проблеме из теории чисел. Доказывается, что множество
точек в С", в которых определенные семейства мероморфных
функций конечного порядка принимают алгебраические значе-
значения, содержится в алгебраическом подмногообразии в О огра-
ограниченной степени. Этот знаменитый результат Э. Бомбьери
A970) явился глубоким и неожиданным приложением теории
замкнутых положительных потоков и чисел vt{x) (аналога крат-
кратности в точке х носителя потока t) к теории чисел. При этом
использовались классический метод Зигеля и /Лоценки для
д-оператора. Эти же идеи послужили несколько позже основой
для теоремы Сью о структуре замкнутых положительных по-
потоков.
В гл. 7 доказывается теорема об индикаторе роста для це-
целых функций конечного порядка: любая положительно одно-
однородная порядка р плюрисубгармоническая функция является
индикатором (регуляризованным) роста некоторой целой функ-
функции порядка р.
Содержание гл. 8 и 9 касается приложений теории целых
функций к классам линейных операторов. Здесь используется
тот факт, что пространство 2D(Q) преобразований Фурье рас-
распределений, заданных в ограниченной области Q в Ся, является
подпространством пространства Зё(Сп) целых функций в Ся.
При этом во многих задачах классы распределений в й харак-
характеризуются параметрами роста соответствующих функций из
3$(Сп), На таком пути возникают аналитические функционалы.
Это элементы сопряженного пространства к пространству
Ж {О,) голоморфных функций в Q, снабженному топологией рав-
равномерной сходимости на компактах в Q. В гл. 8 рассматри-
рассматриваются преобразования Фурье — Бореля и Лапласа с целью
описать свойства аналитических функционалов и их носителей.
Глава 9 посвящена операторам свертки в линейных про-
пространствах целых функций. С помощью техники, развитой в
предыдущих разделах книги, получаются новые результаты, в
частности для функций порядка р < 1.
В книге используется следующая система обозначений и
ссылок: каждое утверждение (теорема, лемма, предложение,
определение и т. п.) имеет двойную нумерацию, первое из чи-
чисел обозначает номер главы, в которой оно содержится, а вто-
второе— его порядок внутри главы. Так, запись «теорема 8.23»
означает ссылку на 23-е утверждение гл. 8. Цифры в скобках
означают ссылки на формулы в тексте. Например, D.18) — ссыл-

Введение И
ка на 18-ю формулу в гл. 4. Римские цифры I, II, III исполь-
используются при ссылках на приложения, расположенные в конце
книги.
Авторы благодарят К. Дидериха, Р. Гая, А. Скода и
М. Вальдшмидта, которые прочли различные части рукописи;
их замечания способствовали улучшению изложения. Авторы
признательны Мирей Герт за печатание рукописи, что являлось
отнюдь не легкой задачей. Мы хотим также поблагодарить
редакторов издательства «Шпрингер» за отличную и скорую
подготовку книги к печати.
Париж и Марсель П. Лелон,
Январь 1986 г. ¦ Университет
Париж-VI
Л. Груман,
Национальный центр
научных исследований,
Марсель

Глава 1
Характеристики роста
§ 1. Предварительные сведения
Мы будем обозначать через С поле комплексных чисел, а через
R — подполе вещественных чисел. Пусть z = (z\, ..., zn)— эле-
элемент \СП. Комплексные координаты и координаты в R2n связаны
между собой формулами zk = xk + iyk, zk = xk — itjk и xk =
= {zk + zk)/2, yk=(Zk — zk)/2L Если не оговорено противное,
то С'я наделяется евклидовой метрикой пространства R2n
A.1) ds2=E (rfx| + rft/|) = Z rf^^
и соответственно формой объема
n
т = Л (d*fc Л dr/A) = (//2)/г dzx!\dzxl\ . .. Л d^ Л йг„.
Областью Q мы всегда будем называть открытое связное мно-
множество. Расстояние от 2ЕЙ до границы Q определяется ра-
вейством da (z) = inf \\z — zf || (|| • || обозначает евклидову норму);
если ?2 = 0^, то мы полагаем d&{z) = + оо. Пусть а = (аь ...
..., ап) — мультииндекс из неотрицательных целых чисел. Мы
полагаем |а|=2а*> za = z ... zanny a через Z)a обозначаем
дифференциальный оператор Da = d]a]/dza{1 ... dzJJ*.
Символом ^^(Q) обозначается множество функций в й, про-
производные которых порядка |а|^А непрерывны, a ^^(Q) —
множество функций, все производные которых непрерывны. Че-
Через ^о(й) (соответственно ^Т (Q)) мы обозначаем подмноже-
подмножество в <S?k(Q) (соответственно в ^°°(Q)), состоящее из функций
с компактным носителем в Q. Операторы внешнего дифференци-
дифференцирования д и д определяются формулами
п п
д= Z (d/dzk) dzk, д = Ц

§ 2. Субгармонические и плю рис у б гармонические функции 13
И, как обычно,
Функция f:Q а О->.С называется голоморфной в Q, если
/^^(Q) и df = O. Последнее означает, что df/dzk = O для
1 ^ k ^ /г. Поликругом A(z', г) с центром z' полирадиуса г на-
называется область
Д(*', r) = {z: \z'k-zk\<rky rk > О, 1<?<az}.
Для Д(г', r)<^Q и голоморфной в Й функции / я-кратное при-
применение интегральной формулы Коши дает интегральное пред-
представление
2л 2л
2л 2л /,
A.2) / (г) = Bя)-« [..A K».
n
n
геД(г', г).
Как и при /г = 1, из A.2) следует разложение f в ряд Тейлора
f(z)=Zca(z-z')a, о = (о„ .... а„),
который равномерно сходится для |г^ — г^ I ^r'k < гЛ. Семей-
Семейство голоморфных функций в Q обозначается через ^(Й). Эле-
Элементы Ж(Сп) называются целыми функциями. Таким образом,
целая функция f(z) допускает разложение в ряд Тейлора
f(z' + z) = y?t Yj Pa(z')za> который для каждой точки zf
m I a |=m
сходится равномерно по z на компактных подмножествах в \Сп.
Выражение 2 ЛхОг')^ называется однородным многочленом
степени m разложения Тейлора f(z) в точке z''.
§ 2. Субгармонические и плюрпсубгармонические
функции
При изучении целых функций многих комплексных перемен-
переменных нас будет интересовать асимптотический рост |f|, fe
е^(Сл), или, что эквивалентно, асимптотический рост
log|f|. Пусть ф(^) — возрастающая функция от t, t ^ 0, такая,
что
lim sup ^ ,V < qo при и^О и lim ф(/) =
*» + ф КЧ t +
Рассмотрим в Ж(СП) подкласс Мф, определяемый условием
log I / (z) |<ср (||z ||)+ C(f).

14 Гл. 1. Характеристики роста
Тогда функция %f (г) = lim sup ° ,\ ' характеризует асимпто-
тйческий рост по отношению к весовому множителю ф(/) на ве-
вещественных лучах, выходящих из начала координат. Таким об-
образом возникает необходимость рассматривать выражения вида
lim sup ct log| fi |, /jG^(Cn), ct e R+. Такие выражения при-
/e/
надлежат классу плюрисубгармонических функций, введенному
К. Ока и П. Лелоном. Этот класс замкнут относительно опе-
операции взятия наименьшей полунепрерывной сверху мажоранты
семейства функций, равномерно ограниченного на компактах
(в действительности можно показать, что семейство clog|f|,
f eJ!S(Cn), c^ R+, с помощью этой операции локально порож-
порождает все множество плюрисубгармонических функций, но этот
факт нам не понадобится). Плюрисубгармонические функции
играют в многомерном случае ту же роль, какую субгармониче-
субгармонические функции играют в комплексном анализе одной перемен-
переменной. Более того, в С" при п ^ 2 росту целых функций присущи
особенности, в некотором смысле близкие к классическим свой-
свойствам (псевдовыпуклость, иногда R"-выпуклость) областей голо-
голоморфности. Применение плюрисубгармонических функций и си-
систематическое использование их свойств позволяет получить
большинство результатов этой книги.
Сначала напомним важнейшие определения и ряд свойств
плюрисубгармонических функций. Доказательства этих свойств
можно найти в приложении I.
Определение 1.1. Пусть Й — область в Rm. Вещественная
функция ф (—оо ^ ф(л:) < + °°) называется субгармонической
в Я, если
a) ф полунепрерывна сверху и у(х)Ф—оо в Q,
b) ф (*)< Л (дс, г, ф) = со U ф (х + га) dcow (а)
где r<d&{x), com — объем единичной сферы 5m-1 и Rm, a
% — среднее значение ф на Sm~l относительно меры Хаара
doom (a).
Определение 1.2. Пусть Q — область в Сп. Вещественная
функция ф (—оо ^ ф(г) < + оо) называется плюрису б гармо-
гармонической в Я, если она обладает свойством а), а также свой-
свойством
2я
bo) q>B)<Z(z, со, г, Ф)=^5 q>(z + wre™)dQ
о
для всех таких до, г, что г-f ше!3 при и ^ С, |«|^ г.

§ 2. Субгармонические и плюрисубгармонические функции 15
В дальнейшем через D(z,w,r) мы будем обозначать замк-
замкнутый круг
{z'geC1: z' = z + uw, «gC, |и|<г}.
Множество субгармонических функций в области Й обозна-
обозначается S(fi), множество плюрисубгармонических функций обо-
обозначается PSH(Q). Напомним некоторые классические свойства
множеств S(Q) и PSH(fi) (за доказательствами мы отсылаем
читателя к приложению 11)):
i) если хт — объем единичного шара^в Rm и 9gS(Q), to
Ф М < Tmlr"m \ Ф (* + х')dx (*') = А (*> г> Ф) ПРИ г < du (*)
ll^'ll < г
(см. замечание после определения I. 1);
и) множество S(Q) содержится в Ь\ос— семействе локально
интегрируемых по мере Лебега функций, и для Q cz Cn множе-
множество PSH(Q) является подмножеством S(Q) (см. предложение
1.9);
iii) множество {x^Q: (p(#) = —оо, фе5(й)} имеет лебе-
лебегову меру нуль в Q (следствие I. 12);
iv) если qp<=S(Q), а ^ей, то либо ф(х) < Бирф(л:'), либо
функция ф постоянна (предложение I. 13);
v) если ф е PSH (Q), a D {z, w, r) cz Q, то функции
г—> sup Ф(г') и г—>/(г, ш, г, ф) являются неубывающими
z's D(z, ta», r)
выпуклыми относительно log г; как следствие X(z,r,cp) и
Af(z, г, ф)= sup ф(г') являются неубывающими выпуклыми
относительно log г функциями (предложение I. 17);
(vi) если F: Q->Q' — голоморфный гомеоморфизм (анали-
(аналитический изоморфизм) Q на Q', то отображение Г: фЕ
е Р5Н(Й)-^ф of-1 e PSH(Q') является биекцией (т. е. класс
плюрисубгармонических функций инвариантен относительно го-
голоморфных гомеоморфизмов и тем самым является объектом
аналитической структуры; это утверждение неверно для более
широкого класса 5(Й)).
Отмеченные выше свойства будут играть весьма важную
роль, поскольку для / ^.Ж(Сп) функции log|/| составляют под-
подмножество V{Cn) в PSH(C"). Однако класс PSH(C") суще-
существенно шире, чем V(Cn) (он содержит, к примеру, выпуклые
функции от переменных log гь ..., log rn (см. приложение I)).
Для класса PSH(C") полезно ввести некоторые понятия,
связанные с теорией меры.
!) Здесь и далее римские цифры I, II, III означают ссылки на прило-
приложение I, соответственно приложения II, III.—Прим. перев.

16 Гл. 1. Характеристики роста
HaPSH(Q) и S(Q) мы введем топологию L\oc, порождаемую
полунормами NK(q>)=yq>(z)\dx(z), где dx — мера Лебега,
к
а К—компакт в Q. На самом деле достаточно ограничиться
полунормами Nt (qp) = ^ | ф (z) \ dx (z), где В,- — замкнутые шары,
i
образующие счетное покрытие Q (в L\OC(Q) мы не различаем
функции, совпадающие почти всюду). Отметим, что с такой то-
топологией Lioc(Q) является пространством Фреше, a S(Q) и
PSH(Q) образуют выпуклые конусы в Lioc(&), замкнутые в этой
топологии (см. приложение I).
Теорема 1.3. Подмножество М в S(Q) ограничено в тополо-
топологии L\oc (й) тогда и только тогда, когда элементы М равномерно
ограничены сверху на каждом компакте в Q и М не содержит
последовательности, равномерно сходящейся к —оо на каждом
компакте К в Ql).
Доказательство. Поскольку М ограничено в L\OC(Q), оно не
может содержать последовательности ф^, которая бы сходилась
равномерно к —оо в каждом замкнутом шаре В (интегралы
V | срл | rf-r равномерно ограниченыV Для компактного подмно-
в ) _
жества К в Q определим множество К'= U В(х9 1/2Ьк)> гДе
6к= inf [dsix), 1]. Тогда K'^Q, и для х^К, y^S{Q) мы имеем
К
ф) ^ Tm12m6/cm \ | ф (xf) | dx (xf).
Таким образом, если М ограничено, то все его элементы
равномерно ограничены сверху на каждом компакте в Q.
Пусть теперь MaS(Q) и все элементы М равномерно огра-
ограничены сверху на каждом компакте в Й. Если существует такая
полунорма Ni, что множество {Л^-(ф), ф ^ М} неограничено, то
в М можно выбрать такую последовательность фЛ, что
^•(фл)-^00, и так как ф^ равномерно ограничены сверху на Bif
то Нш \ q)kdx = — оо. Пусть б > 0 — расстояние от Bi =
= B(xi,ri) до CQ, т. е. б = inf dQ(xf)f и пусть а е @,6/2).
1) Более того, такое множество М будет предкомпактным (Азарин
[5*]). — Прим. перев.

§ 3. Нормы в Сп и порядок роста 17
Для х е В (xi, а) имеем
Если а — верхняя грань функций ф^, в В[у то, в силу свой-
свойства средних значений субгармонических функций, для х^
^B(xifa) справедлива цепочка неравенств
$ Фл (х) - o]dxm <
из которой следует, что последовательность cpfe равномерно схо-
сходится к —оо в В (xl, a).
Пусть Q — наибольшее открытое подмножество в Q, такое,
что {фй} сходится к — оо равномерно на компактных подмно-
подмножествах в Q. Поскольку B(xif a) cz Q, то ясно, что Q непусто.
Далее, если х' — предельная точка Q в Q, то найдется такой
шар В(х\ р)шQ, что В(х\ р)(]й содержит множество КШQ
положительной лебеговой меры. Тогда lim \ Ф^йт== — оо,
k^ В(*'.р)
и в силу рассуждений, аналогичных изложенным выше, ф*(л;)->
~^ оо равномерно на В(х\ а) для таких а > 0, что р + а <
<d®(xf). Таким образом, точка х' принадлежит Q и, значит,
Q замкнуто. Так как Q —- подмножество, одновременно откры-
открытое и замкнутое в области Й, то Q = Q. Теорема доказана. ?
§ 3. Нормы в Сп и порядок роста
Пусть p(z) — вещественнозначная функция в Сп. Будем гово-
говорить, что: р (г) субаддитивна, если р (z + zf) ^ p (z) + p(zf);
p(z) положительно однородна степени р, если p(tz)= Pp(z) при
*^0; P(z) комплексно однородна степени р, если p(uz) =
= u\vp(z) при и е С. Если p(z) субаддитивна и p(tz) =
= t\p(z) при /eR (соответственно р(Я,2) = |Я|рB) при
IgC), будем говорить, что p(z) есть вещественная (соответ-
(соответственно комплексная) полунорма. Если, дополнительно, р(г) = 0
тогда и только тогда, когда z = 0, то р(г) — вещественная (со-
(соответственно комплексная) норма.
По норме р(;г) равенством Bp(z, r) = {zf: p(z — zr) < г) оп-
определяется р-шар с центром в z радиуса г. Если норма не ука-
указана, то это значит, что рассматривается евклидова норма ||;г[|.

18 Гл. 1. Характеристика роста
Напомним, что если р и q— две нормы в С", то они опреде-
определяют единственную отделимую топологию векторного простран-
пространства в iCn и существуют положительные конечные константы С\
и С2, такие, что
A.3) 0<С,</ф)Д7(г)<С2 при хфО.
Для данной функции a(z): Cft->R+ = {rGR: r > 0} положим
A.4) Ma>p(r)= sup a (z).
Из A.3) следует, что существуют такие зависящие только от
p(z) и q (z) константы Си С, 0 < С < С < оо, что для каж-
каждой вещественнозначнои функции а (г)
A.5) Мп9 q (Cr) < Ма, р (г) < Ма, q (Cr).
Функции, которые мы будем рассматривать, часто будут плюри-
субгармоническими, и в этом случае справедливо
Предложение 1.4. Если cp(z) — плюрисуб'гармоническая функ-
функция в О, то
a) величина m^ (z, z\ r) = sup cp (z + uz') либо тожде-
и е С, | и |< г
ственно по г равна —оо, либо является возрастающей выпук-
выпуклой функцией от log r\
b) если p(z) — комплексная норма, то Мф|р(г) — возрастаю-
возрастающая выпуклая функция от log г.
Доказательство, а) следует из того, что или q>(z + uz') = —оо
при всех и^С, или cp(z-{-uzf) — субгармоническая функция
переменной и = а + /р в С = R2 (см. замечание 2 после опре-
определения 1.2). Чтобы получить Ь), заметим, что Ма>р(г) =
= sup [sup q>(uz)], a sup cp (uz) или является возрастающей
выпуклой функцией от log г, или тождественно равен —оо, при-
причем последнее не при всех z e /H A). ?
§ 4. Минимальный рост; теорема Лиувилля и ее
обобщения
Из предложения 1.4, формулы A.5) и свойств выпуклости сле-
следует, что непостоянная функция (p^PSH(O) не может расти
как угодно медленно:
Теорема 1.5. 1) Пусть p(z) — норма, <p(z) — плюрисуб гармо-
гармоническая функция в О. Тогда существуют конечные или бес-
конечные пределы С= hm —« uC(zt z) = hm
r_>oo i0Sr r->oo
этом

§ 4. Минимальный рост: теорема Лиувилля и ее обобщения 19
a) С ^ 0; кроме того, C(z,z')^0, за возможным исключе-
исключением случая С (z, z') = — оо, когда ф (z + иг') s= — оо при и е [С;
b) C(z,uz')= C(z,z') для каждого меС, ифО.
2) ?сли p(z) —норма в Сп и <p(z + uz')^ — оо для меС,
го производные (д/д log г) Af ф, р (г) и E/5 log г) тф (г, г', г) q/-
ществуют, за исключением, быть мооюет, счетного множества
значений г, и
Нт (д/д1о8г)А!ф|Р(г)= Нт
Нт (д/д log г) тф (z, z', r)= lim ^.
->оо Г->оо 1US '
Г->оо
Доказательство. Очевидно, существует такое /*о > 0, что
MqtP{ro)>—оо. Так как эта функция возрастающая и выпук-
выпуклая относительно log г, то предел С ^ 0 существует. Если
q(z-\-uzp)=—оо, то для г>1 имеем (log г)~1тфB, ^ r) =
= —оо и, следовательно, С (г, гг) = —оо. В противном случае
<р(г-\-иг') есть К2-субгармоническая функция от и и, следова-
следовательно, по тем же причинам C(z,z')^0. Из определения с по-
помощью элементарных выкладок получаем, что C(z,zf) =
= С (г, г'и) при иф$. Часть 2) непосредственно следует из
предложения 1.4. ?
Теорема 1.6. Пусть fe=Je(Cn), <p(z)= log|f(z) |, и пусть
Ф = hm f— .
Тогда
1) множество т]р ={zf: C(z')^.p} является конусом, и если
при этом т]р не содержится в алгебраической гиперповерхности
{определяемой как множество нулей некоторого однородного
полинома), то f — полином степени не выше р;
2) если f — полином степени пг, то
Cm (г') = lim inf [тф @, z', г) — mlogr] ==тф@, zr, 1),
Г->оо
г5в if = log|Pm|, a Pm есть однородный полином степени m
в разложении f no однородным полиномам. Кроме того, для
'О\{0}
Доказательство. Пусть / (zf) —Y*Pk (^0 есть разложение / (zf)
в ряд по однородным полиномам. Тогда при аеС имеем

20 Гл. 1. Характеристики роста
оо
f{uz') = Yj Pk(z')uk. Из интегральной формулы Коши следует,
что
2я
и, таким образом, log\Pk{z') | ^ гаф@, г\ г)—&logr. Поэтому
если существует последовательность ГцДг^-^оо, на которой
mir@,z"frll(z'))—klogr[i,(z')-*—00, то Pk{z') = 0. Итак, если
т]р не содержится в множестве нулей однородного полинома, то
Pk(z') = 0 для k > р. Если / — полином степени m, to \f(rz')\ =
= \Pm{z')rm\-\- O(rm-1). Отсюда следует вторая часть тео-
теоремы. ?
Так как Мф p(r)= sup тф@, z', г), то справедливо
РB')<1
Следствие 1.7. Ясли lim inf —^ = р < + оо, то f — поли-
яож степени не выше р. Если, кроме того, р — целое число и
lim inf [Мф> р (г) — plogr] = — оо, го степень f не выше р—1.
Г->оо
S частности, если lim inf [M^p(r) — log г] = —- оо, го / есть тож-
Г->оо
дественная постоянная /@). ?
§ 5. Целые функции конечного порядка
Введем в комплексном векторном пространстве Ж(Сп) струк-
структуру топологического векторного пространства. Именно, наде-
наделим Ж(Сп) топологией равномерной сходимости на компакт-
компактных подмножествах. Эта топология может быть задана после-
последовательностью норм Nm(f)=- sup |/(г) |, и, следовательно,
II z ||< m
Ж{Сп) в этой топологии есть пространство Фреше. Тогда ра-
венство b{f,g)=d(f-g), где d(f)= ? 2~m ^^ , , опре-
деляет метрику, инвариантную относительно сдвигов. Множе-
Множество рс^(С") ограничено тогда и только тогда, когда най-
найдется такая определенная при г ^ 0 функция г|э(г), что 0^
<Ф(г)<+оо и Afiogifi. p(r)<i|)(r) для /ер и p(z)=||2||.
Таким образом, изучение общих свойств функций f^3@(Cn),
имеющих определенную скорость роста, на самом деле есть изу-
изучение ограниченных множеств в Ж(Сп).
Как было показано в предыдущем параграфе, непостоянные
функции из Ж(Сп) не могут расти медленнее log г. Кроме огра-

§ 5. Целые функции конечного порядка 21
ничений, связанных с этим обстоятельством, выбор возрастаю-
возрастающей функции г|)(г), выпуклой относительно log г, достаточно
произволен. Мы будем пользоваться шкалой возрастающих функ-
функций вида ork, о > 0, k > 0. Это мотивировано тем, что наибо-
наиболее изученные и используемые трансцендентные целые функции,,
например преобразования Фурье мер и распределений с ком-
компактным носителем, естественно изучать, применяя указанную
шкалу. Отметим, что такие функции имеют приложения в раз-
различных разделах математики — от теории чисел до дифферен-
дифференциальных уравнений в частных производных.
Определение 1.8. Порядком р положительной вещественной
функции а («г) по отношению к норме p(z) называется величина
log МпгР (г)
р = lim sup = .
Если р <С +оо, то а (г) называется функцией максимальногог
нормального или минимального типа в зависимости от того, бу-
будет ли неотрицательная величина
Ма.р(г)
о = lim sup —
Г-»оо
равна +оо, конечна или равна нулю; а называется типом а (г)
по отношению к норме р{г). Для q>ePSH(O) определим по-
порядок р, используя функцию а(г)= cp+(z)= sup{(p(;z), 0}.
Если / — целая функция, то, допуская некоторую вольность
речи, будем говорить, что / имеет порядок р, когда log|/| имеет
порядок р, и вместо M[OS \ f \, Р (г) для простоты будем писать
Mf)P(r). Целую функцию не выше первого порядка и конечного
типа будем называть функцией экспоненциального типа.
Замечание. Порядок и характер типа (но не его величина)
не меняются ни при изменении нормы, ни при сдвиге начала
координат и, таким образом, определяются только топологией
пространства О.
Примеры. 1) Если ji — мера с компактным носителем в Сп*
то функция f(z)~ \ expl V ^^(^(С) имеет порядок 1 и нор-
сп \k=l )
мальный тип;
2) если P(z)—полином, то функция ехрР(г) имеет порядок
degP;
3) если /i(zi), ..., fn(zn) — целые функции конечного по-
порядка, а Р — полином, то Р о F, где F =(fs ..., fn), есть целая
функция конечного порядка;

22 Гл. 1. Характеристики роста
4) cos VZ\Z2 в С2 есть целая функция порядка р = 1 и типа
0=l/V2.
оо
Теорема 1.9. Если' f (z) = ? Pq(z) есть разложение целой
q=0
функции в ряд по однородным полиномам и Cq= sup | Pq (z) |,
Р()<
то порядок р и при р > 0 тип а функции f no отношению к р (z)
даются формулами
b) loga = lim^sup[^g* + — j P log^7 — logp - 1,
b') log oep = lim sup (-?- log Cq + log ^7) ,
q->oo
c) a = li
d) (Эля р=1 a^li^
q-±oo
Доказательство. Пусть zq — точка в единичном р-шаре, для
которой \Pg(Zg)\= Ся. Применяя, если нужно, унитарное пре-
преобразование, считаем, что zq =(xqy 0, ..., 0). Если f(u) =
00
=f(u, 0, ..., 0) и f(u)= Yj ctmum — разложение f(u) в ряд
Тейлора в нуле, то |#^| — Cqn по интегральной формуле Коши
Cq ^ r~q exp Mf>p(r). Если MftP{r)^.Ark при г > R(A, k), то
С,, ^ r-?exp Ark. Так как
-^г (г-* ехр Лг*) = г-^-1 (— ^ + ЛЛг*) exp Arky
то минимум г~^ехрЛг^ достигается при г =(q/kA)l/k и равен
(eAk/q)Q/k. Поэтому для достаточно больших q имеем
Таким образом, для данного е > 0 и достаточно больших q
выполняется неравенство k^(qlogq)/(—logC^) — е, и если /
конечного порядка р, то р^ lim sup(^log^)/(— logC^), или, что
q
эквивалентно, — р > lim sup (logCq)/(q\ogq). Если / конеч-
q->oo
ного типа а и А > а, то A.6) дает (с k = p) неравенство
Aep^qCfgq для достаточно больших q, зависящих от Л, и, та-
таким образом, сер ^ lim sup qC9qlq.

§ 5. Целые функции конечного порядка 2$
Предположим теперь, что Cq ^ (eAk/q)qfk для q ^ qo(A,k).
Если q > тп где тг — наибольшее целое число, не превосходя-
превосходящее 2keAkrk, и г достаточно велико, то для p(z)^ r
I Pq (z) I < (eAk/qfk rq < B"V"*)" rq = 2~q.
Поэтому I f (z) |< ? Cqrq + 2 для р (г)<г. Пусть ц(г) = sup С/*7.
Тогда expMftP(r)^.BeAkr+l)\i(r) + 2. Из наших предполо^
жений о Cq следует, что
»г (г) < sup (eAk/q)q/k rq < sup (eAk/x)x/k rx.
q k
Функция (eAk/x)x/krx достигает своего максимума при х =
= Akrk и, следовательно, \л (г) ^ exp Ark и Mf, p(r)^ Ark -\-
для достаточно больших г. Это показывает, что-
p^Iim sup^
По формуле Стирлинга
log
Поэтому
?
Следствие 1.10. Если f — целая функция порядка р и типа а
по отношению к норме p(z), то ее сужение на любое линейное
подпространство L имеет порядок не выше р и тип не выше о
{по отношению к сужению р на L).
Замечание. Если 2 aa.za — разложение в ряд Тейлора с цен-
(X
тром в начале координат целой функции /, то ее порядок р и
тип а (по отношению к данной норме) можно вычислить по
коэффициентам аа (напомним, что порядок в отличие от типа не
зависит от нормы). Для этого нужно сравнить mq= sup \aa\ к
\a\ = q
Cq= sup \Pq(z)\. Рассмотрим классические случаи p(z) =
Р (z) < 1
= ||г|| и р(г)= sup \zk\.
1<?<
a) p(z) =||г||. В этом случае единичный шар содержит поли-
поликруг | zk К l/л/п, k = 1, ..., п. По интегральной формуле Коиш
л/яУ Для |а| = 9 и> таким образом, m

24 Гл. 1. Характеристики роста
С другой стороны, Cq ^s{n,q)mq, где s(n,q) — число мономов
в Pqy и, таким образом, 5(п, q)^(q + 1)п. Следовательно,
log mq — (q/2) (log n) < log Cq < log mq + n log (q + 1).
Из теоремы 1.9(а) вытекает, что — l/p = limsup—j—-, а из
q — oo Ч *^s Ч
<b') ~ что
1
где B' = lim sup (<7 sup \aa\Qfq).
q-+oo | a \ = q
b) p(z)= sup |гЛ|. Тем же способом получим
log m^ < log Cq < log m^ + n log (? + 1).
Следовательно, в формулах для р и а в теореме 1.9 можно за-
заменить Cq На Ttlq.
Определенный выше порядок р иногда называется глобаль-
глобальным порядком, или порядком по совокупности переменных, функ-
функции f(zu ..., гп)^^ё(СГ). Иногда мы будем изучать рост це-
целой функции fe<9#(OX Ср), у которой переменные z^Cn и
^gCp играют разную роль. Так будет, например, при изучении
преобразований Фурье линейных дифференциальных и псевдо-
псевдодифференциальных операторов. Это приводит к определению
индикатора роста и порядка по каждой переменной в отдель-
отдельности.
Пусть / е Ж (О), где С" = iC X ... X С. Рассмотрим функ-
функцию Mf р (г) = sup log | / (zu ..., zn) |по отношению к нор-
|г|<г ftl я
||
ме p(z) = s\iip\zk j. При этом будем писать Mf (r) вместо MftP(r).
k
Кроме того, положим
Щ (г„ . .., гп) = sup log | / (zu ...,zn)\.
Определение 1.11. Для f^?e{Cn) определим индикатора
роста Nl\k) (r) функции f no переменной Zk формулой
A.7) M{fk)(r)=--Mf(U ..., 1, г, 1, ..-, 1)
(г,- заменяется на 1 в Mf(ru ..., гп), если \фк, и rfe = r).
Будем говорить, что функция / порядка pk no zk, если M<fk)(r)
имеет порядок р^,.
р1) Авторы в разных местах книги употребляют термин «индикатор» для
обозначения разных понятий. Общепринятым является использование этого
термина, приведенное на стр. 35. — Прим. перев.

§ 5. Целые функции конечного порядка 25
Замечание. Если функция / конечного порядка р, то pk ^ р„
так как М\k) (r) < Mf (r) при г>1.
С другой стороны, глобальный порядок р можно оценить
сверху выражением, зависящим от pk. Чтобы показать это, за-
заметим, что при \zk\ = rk функция
A.8) Mf{ru ..., rn)= sup log|/(ад, ..., anzn)\
I | < *
выпукла по каждой переменной ^^ = log|^| и ограничена при
—оо <; ak ^ uk ^ 6*. < +оо. Из непрерывности функции log|f|
в окрестности каждой точки г, где/(г)^ О, следует непрерыв-
непрерывность фуНКЦИИ ф(Нь •••, W/i)= AJf(ri, ..., rrt) ПрИ U=(U\, ...
..., ^n)eiRrt. Ввиду A.8) ty(u) будет плюрисубгармонической
функцией от z=(z]\, ..., гл), зависящей только от модулей г^
Поэтому ty(u) — выпуклая функция от и (см. предложение 1.25).
Следовательно, 70f(/*i, ..., гп)—непрерывная выпуклая функция
переменных uk = log rk, возрастающая по каждой переменной г*.
Пусть (ии ..., un)^R\. Из .выпуклости г|)(и) следует, что
если С = (СЬ ..., С„), O<Q<1 и ЕС^=1, то
п
Ф(С,«„ .... С„и„)< ? С**@, ..., О, иъ 0, ..., 0).
Перепишем это неравенство в виде
A.9) Mf(rv.... ,-„)<;? cXV»)c '¦^f
Из неравенства A.9) немедленно вытекают следующие два
утверждения:
i) если для каждого k порядок роста по переменной Zk конечен,
то / имеет конечный глобальный порядок;
ii) порядок по переменной Zk можно определять, используя вме-
вместо поликруга |z/|^l, \zk\ ^ r поликруг |г/|^г/» |^|^r"
где радиусы г? фиксированы.
Теорема 1.12. Для любой системы чисел (уь ..., уп), такой,
п
что yk > 0 и Yj Yfc l = 1» выполняется неравенство
Доказательство. Полагая в A.9) rk = г, имеем Г? =
Следствие 1.13. Пусть функция 1^Ж{Сп) имеет конечный
порядок pk no каждой переменной zki k—l, ..., п. Тогда эта

26 Гл. 1. Характеристики роста
функция имеет конечный глобальный порядок р и sup
Доказательство. Левое неравенство следует из того, что
M{fk) (r) ^ Mf (г) при г ^ 1. Для доказательства правого неравен-
неравенства заметим, что в случае конечных р*. для каждых p'k > pk
с некоторыми константами Ak выполняются неравенства
f п. Поэтому, полагая A=J p'fe и
= Ap^-!, из теоремы 1.12 получаем
Mf (г) = Mf (г, ..., г) < я (g Р;лл) г\ а
Теорема 1.14. Пусть f^3^{CnI и пусть ть ..., %п-\ — фик-
фиксированные положительные числа. Тогда для некоторой функ-
функции е(г), такой, что г(г)->0 при г-^оо, и некоторого числа го
при г > г0 выполняются неравенства
Доказательство. Из A.9) получаем
Выберем функции Cfe(r) так, чтобы Ck(r)^0, lim Cfe(r) = O при
Jfe<n, lim С„(г) = 1 и Е Cft(r)=l. Тогда
+ S Cft (r
fe = 1
Чтобы каждая квадратная скобка в правой части была
отрицательной, на Ck(r) наложим еще условие M(fk) (xl^Ck{r)) =
= M{fn)(r)y k=\y ..., n— 1. Определим затем функцию а (г)
равенством
a (r) = sup {A: M(fk) (x$<Mf(r), k = 1, ..., п- l}.
Заметим, что а(г)>п— 1 при г > г0, где г0 столь велико,
что М<?Чг)> sup Mfe>(T^-'). При r>r0 функция a (r)

§ 6. Уточненный порядок 2Т
непревывно возрастает и lim а(г) —+ °°- Положим е (г) =
Г->оо
_Га(ц— Л в функция г (г) убывает к нулю при г->оо и,
[п-\ -1-1
S Ck (г) , то для
п-1
г > г0 определена функция Сл(г)= 1 — X ?&(г) > 0 и
& = 1
е(г)>с„(гГ'-1. а
Замечание. Теоремы 1.12 и 1.14 можно точно так же приме-
применить к целой функции f ^ Ж (Е), Е = Е\ X •.. X ?я с ?* = С"
Пусть nk\ E-*Ek — проекция Е на Ek и р^ — норма в ?V Опре-
Определим норму p(z) в ? равенством р (z) = sup pk о nk B). Для
ПОЛОЖИМ
г) = sup log |/B)| и Aff(rb ..., rn)= suplog I/(г) |.
Если функцию iM(f^(r) определить как Mf{ru ..., гЛ) при r/= I
для / =^= & и /-? = /', утверждения обеих теорем останутся вер-
верными.
§ 6. Уточненный порядок
Шкала роста, определяемая порядком и типом, была в дальней-
дальнейшем уточнена Валироном. Он ввел вспомогательные функции
сравнения, называемые уточненными порядками, которые позво-
позволяют не рассматривать минимальный или максимальный тип.
Для целых функций многих переменных преимущества этого
метода особо заметны.
Определение 1.15. Уточненным порядком для порядка р назы-
называется любая функция р(г), г ^ 0, удовлетворяющая условиям
i) lim р(г) = р и ii) lim p'(r)r logr = 0.
Г-> 00 Г-> со
Пример. Определим индуктивно log/(r)= log(log/_ir). Тогда
определяемая равенством
rp(/Wplog^r ... log^fr, p.>0, / = 1, ..., m,
функция р(г) является уточненным порядком (конечно, ее надо
соответствующим образом переопределить в окрестности нуля).
Определение 1.16. Если ф(г) — вещественнозначная функция
в О, то ее тип по отношению к норме p(z) и уточненному

28 Гл. 1. Характеристики роста
порядку р (г) определяется равенством а = lim sup——т-г—. При
этом ф называется функцией минимального, нормального или
максимального типа по отношению к р(г) в зависимости от того,
будет ли а =? О, или 0 < а < оо, или а = оо.
Заметим, что для данной функции ф число а зависит и от
р(г), и от р(г).
Определение 1.17. Зависящая от г >0 функция L(r) назы-
называется медленно растущей, если для каждого интервала / ш
<с=@,оо) и каждого е>0 найдется число г0, такое, что при
г > го для каждого k e / выполняется неравенство
<е.
Теорема 1.18. Если р(г)— уточненный порядок, то L(r) =
= гр(п-р — медленно растущая функция.
Доказательство. Пусть дано е > 0. По определению
1°ё D?f) = [Р (И ~ Pi 1°ё Ь + [Р (kr) - р (г)] log г.
Пусть вначале 0 < а ^ k < 1. По теореме Лагранжа о сред-
среднем значении
Р (г) - р (kr)
r — kr
для некоторого %^[kr, г]. Из пункта п) определения 1.15 еле-
о
дует существование такого R, что 1 р' (?) 1 ^ 3 , t i^ ^ i g p пРи
I > а/?. Поэтому при достаточно больших г имеем
е (г — kr) log г ^ е(а~1 — l)logr 8
Из пункта i) определения 1.15 следует, что при больших г
I
и, таким образом,
| р (Лг) — р |< e2-1 (— log a) ',
L (kr) \
) I <в-
Точно таким же способом получим, что log у L<\ j < е при
г > го и всех & е [1, ft]. П
Предложение 1.19. ?слн р (г) —уточненный порядок для по-
порядка р > 0, то найдется число /?, такое, что функция гр(г> яв-
является строго возрастающей при г > R.
Доказательство. Имеем -^-(гР<г>) = р(г)гР(г>-1+гР<г>р/(r)logr.
Так как р(г)>р/2 при г >/?t и | рг (г) г log г | < р/4 при г > R2,

§ 6. Уточненный порядок 29
то при r>sup(Ri9 R2) выполняется неравенство
Замечание. Можно всегда переопределить уточненный поря-
порядок р(г) на ограниченном множестве, не оказывая при этом
влияния на изучаемые характеристики асимптотических свойств
целых функций. Так, при р > 0 всегда можно предполагать, что
функция Г'°<г> строго возрастает при всех г > 0.
Предложение 1.20. Для данных а, Ь, 0 < Ь < оо, и е > 0
найдется /?(е), такое, что при г > R{z) и а^. k ^ Ь выпол-
выполняется неравенство
A-е) 6prp(r) < (krf{kr) < A + е) kQr9ir).
Доказательство. По теореме 1.18 при достаточно больших г
Определение 1.21. Уточненный порядок р(г) называется силь-
сильным уточненным порядком, если р(г) дважды непрерывно диф-
дифференцируемо при г>0 и lim р" (г) г2 log г = 0.
Так как нас интересуют свойства, связанные с выпуклостью,
то следующее утверждение существенно.
Предложение 1.22. Если р(г) — сильный уточненный порядок
и р > 0, то при больших г функция гр(г) выпукла относительно
log г. Если р > 1, то Г'0(г) при больших г есть выпуклая функ-
функция от г.
Доказательство. По предложению 1.19 гр(г)—возрастающая
функция от г. Простые вычисления показывают, что
) =¦- р (г) гр<г> + г^У (г) г log г.
d log г
Из определения 1.15 следует, что это выражение положительно
при достаточно больших г. Далее, как следует из определений
1.15 и 1.21,
rP(r) = г
+ р (г) гР (^ р' (г) log г + р" (г) гр (г V log г +
+ р' (г) rPW + р (г) рг (г)/-PC") log г + гр^У (г) log г +
+ [р' (г) г log г]2 грМ} > -^

30 Гл. 1. Характеристики роста
Аналогично при р > 1 для достаточно больших г
(Г)
+ р (г) rP^-V (r) log г + р" (г) ге<г> log г +
+ р' (г) r^)-i + Р (г) р' (г) геи-1 log r +
+ (р' (г) log гJ гр w > P(P~U
Фундаментальное свойство, которое нам понадобится (era
доказательство приводится в приложении II) состоит в том, что
для любой положительной непрерывной возрастающей функ-
функции а (г) конечного порядка р > 0 найдется сильный уточнен-
уточненный порядок, по отношению к которому а (г) имеет нормальный
тип. Этот результат будет применяться к функции Mf p(r) с
/^(O)
В теореме 1.9 была получена формула, выражающая тип
целой функции порядка р через однородные полиномы ее раз-
разложения в ряд Тейлора. Подобные формулы существуют и для
уточненного порядка. Так как г^г) при р > 0 можно считать мо-
монотонно возрастающей функцией для г > 0, то уравнение
t = r^r^ имеет единственное решение при t > 0, которое мы
обозначим г = ф@*> иными словами, ф(^) — обратная функция
к г^г\
Теорема 1.23. Пусть X Pq {г) — разложение в ряд по одно-
родным полиномам целой функции f(z) конечного порядка р > О
и уточненного порядка р(г), и пусть Cq = sup | Pq (z) |. Тогда
(z)<l
тип о функции f по отношению к норме р (г) и уточненному по-
порядку р(г) вычисляется по формуле
1 log a = lim sup \^- log Cq + logф (/)! — ~ ^.
Доказательство. 1) Прежде всего покажем, что
lim ф W) _ kMP для любого k s @, оо). Действительно, по-
скольку t = r*ir\ то j 1^ ^ = р' (r)r l°g г + Р (г)> и поэтому
f -р. ДаЛее, так как «I-
lim
достаточно больших г

§ 6. Уточненный порядок 31
Интегрируя это неравенство по е от точки t до точки kt, получим
Следовательно, lim ф , ,N = ?1/р.
2) Пусть а > а. Как и в доказательстве теоремы 1.9, из не-
неравенств Коши вытекает, что для больших г имеем \ogCq<.
< orrp(r) — q log r. Выбирая в качестве г решение уравнения
q = gprp(r), при больших q получаем logCq^— — qlogфГ^-V
Отсюда следует неравенство
Переходя здесь к пределу при ^оо и пользуясь уже доказан-
доказанным в п. 1) соотношением, получаем, что lim sup ((p(q)Clq ) ^
q->oo
^.(аре) р. Так как это справедливо при любом of > а, то тем
самым доказано неравенство
3) Пусть а определено равенством
Покажем, что d ^ а. Если это не выполняется, то можно вы-
выбрать о', такое, что д < о' < а. Тогда существует q0, такое, что
при q > qo
(q/pgI/p ?У
Пусть ji (r) = sup C^r*7. Ясно, что при достаточно больших q
я
\i(r) < supexpA(x),
x>qQ
где А (х) = х log [(а'реI/9г/<р (q)]. Так как ф(дсР<*>) = х, то
^ Л (yPW) = ypdrbip (у) log [(a»l/pr/y] +
+ У9{у? (У) log у log [(а»1/рг/у]

32 Гл. 1. Характеристики роста
Отсюда и из определения 1.15 следует, что для любого е > О
при г > ге максимум функции А (х^х)) достигается в точке хг,
такой, что A + е)-1(а/рI/Рг < хг <A + е) (а'рI^/-. Из предло-
предложения 1.20 вытекает, что х°г^х^<.A + е)р+1 сг'ргр(г) при доста-
достаточно больших г, и, таким образом,
\i (г) < exp A (xQr <*')) < ехр {A + е)р+1 a'prp(r) log [(а»1/р гх;1] } <
<exp{a/(l+e)P+1(l+plog(l+8))rP^}.
Выберем pi > р. При достаточно больших х имеем ф(яр1)>
> ф(л;р(А:)) = jc, и, следовательно, при q > Br)pl (a/pe)pl/p в соот-
соответствии с A.12) получим Qr^ < 2~q. Поэтому при достаточно
больших г
ехр Ми р (г) < Brf (</ре)»/9 \i (г) + 1 <
< A + 2pl (a»pl/p rpl) ехр {ar A + e)p+1 (I + ер) rp(r)}.
Следовательно, a ^ ar(l + e)p+1(l + ре), что при малых е
невозможно. П
§ 7. Регуляризация
Если {cpJ^Lj — конечное семейство субгармонических (соответ-
(соответственно плюрисубгармонических) функций, определенных в об-
области й, то функция г|)(г)== sup q>i(z) является также субгар-
1 < i < m
монической (соответственно плюрисубгармонической). Если же
семейство функций бесконечно, пусть даже равномерно ограни-
ограничено сверху на компактных подмножествах, то его наименьшая
верхняя грань, вообще говоря, не полунепрерывна сверху и, сле-
следовательно, не является субгармонической (соответственно плю-
плюрисубгармонической) функцией. Исправим положение, взяв наи-
наименьшую субгармоническую (соответственно плюрисубгармони-
ческую) мажоранту семейства {ф/}/е/.
Определение 1.24. Регуляризацией локально ограниченной
сверху в области й cz Rm функции ф(х) назовем функцию
Ф* (х) — lim sup ф(я').
Очевидно, что ф* (х) — наименьшая полунепрерывная сверху
мажоранта для ф(х).
Лемма 1.25. Если ф — полунепрерывная сверху в области
QczC" функция, то для каждого дое(>\{0} интеграл
1 Г
g B) = —- \ ф (z + weiQ) dQ является полунепрерывной сверху

§ 7. Регуляризация 33
функцией в области Q'={z: z + uw se п для всех mgC,
М<1}.
Доказательство. Пусть гт-^г в Q'. Тогда функции ф(гт +
+ weie) равномерно ограничены по m и по 6. Лемма Фату по-
показывает тогда, что
2л
lim sup g{zm)< 4г ^ lim sup ф(zm + weiQ)dQ<
zm-*z Л 0 >
2л
Теорема 1.26. Пусть {фЛ/<ее/ — локально ограниченное сверху
семейство плюрисубгармонических функций в области Q cz Сл и
i|) (z) = [sup ф,(г)]. Тогда г|)*(г) е= PSH(Q).
Доказательство. Пусть 2ЕЙ и а>еО\{0} выбраны так,
что круг D(z, w, \) = {z': zr = z + wu, u^C, |и|^1} лежит
в Й. Тогда, так как ф,- ^ sup ф? ^ -ф*, то
2я 2я
Ф; (г) ^ -т— \ ф^ (г + ш^г6) dQ ^ -^— \ г|)* (г + weiQ) dQ.
о о
2л
Таким образом, г|) (г) ^ -^ \ г|)* (г + weiQ) dQ. Осталось сделать
о
регуляризацию в обеих частях этого равенства и применить
лемму 1.25. ?
Теорема 1.27. Пусть {фЛ^е/ — локально ограниченное сверху
семейство плюрисубгармонических функций в области Q cz О
и I — упорядоченный фильтр, такой, что фильтр его сечений
Si ={/ е /: / ^ /} имеет счетную базу Sm. Пусть, далее,
<ф (z) = lim sup ф; (г) = lim sup фДг).
либо f* (z)e PSH(Q), либо а|5*(г) = — оо.
2л
Доказательство. Пусть г|)т(г)= sup ф^(г), и пусть \ обоз-
начает нижний интеграл Лебега по границе круга D(z,w, l)czQ.
Тогда
2я
= Пт оЫг)< l™ ^-

34 Гл. L Характеристики роста
Применяя лемму Фату к нижнему интегралу Лебега, получаем
2я
*(г) < Г \ lim SUP *" (г + weiQ) dQ =
*0
*0
2я 2я
Сделав регуляризацию обеих частей этого неравенства ипри-
2я
1 Г
менив лемму 1.25, получим далее Ф* B)^-0— \ Ф* (z + weie) dQ.
о
Следовательно, если ty* (z) ф —- оо, то г|)*(г) е PSH(?2). ?
Тем же способом получается следующий результат:
Теорема 1.28. Пусть {<рЛ/е/ — семейство субгармонических
функций, определенных в области Q cz Rm, локально ограничен-
ограниченное сверху равномерно по i> a I — упорядоченный фильтр, та-
такой, что фильтр его сечений имеет счетную базу Sn. Тогда ре-
регуляризация ф* (х) функции ф (я) = lim sup фг- (х)= lim [ sup фг- (х)]
il iS
либо ss —оо, либо является субгармонической функцией.
Замечание. Если семейство {<р*}^е/, фг^Р5Н(й), равно-
равномерно локально ограничено сверху, то функция г|) (z) =
= вирф^(г) интегрируема по 0 на множестве {z + weiQ:
0^0^ 2л} для каждого круга D(z, w, l)cz Q, который не со-
содержится в Г\ {z^Q: ф^(г) = — оо}. Множество {0: г|)(г +
+ ш^'е) < ф*(г + ш^'9)}, где через ф* обозначается регуляриза-
регуляризация г|) на комплексной прямой z + uw по переменной г/, имеет
линейную меру нуль, так что
2я 2я
J ty(z + weiQ)dQ= J $>* (z + weie) dQ.
*o *o
Подобным свойством обладают границы шаров в Q для функ-
функций из S(Q).
§ 8. Индикаторы роста
Пусть ф(х) — субгармоническая функция конечного порядка р
и нормального типа относительно уточненного порядка р(/). По-
Положим hr(x, x', ф)= lim sup *п^Х • Если, кроме того, ф (г)—
t>0t tVK4

§ 8. Индикаторы роста 35
плюрисубгармоническая функция в Cn = R2n, определим также
функцию
/ / / \ 1- Ф (иг + z')
Mz, г,Ф)= hmsup ; .«(ini) •
Рассмотрим также регуляризации этих функций:
h*(x, х'у ф)=- Hmsup h(y9y\q>);
{У,У')-*{х,х')
h* (zt z', ф) = lim sup h (w, w\ ф).
(w, oKj-Xz, z')
Функцией hr (x, x'f ф) измеряется рост ф вдоль луча, выходящего
из точки х\ а функцией h^(zy z', ф) измеряется рост ф на комп-
комплексной прямой, проходящей через z'. Если ф имеет нормальный
тип относительно уточненного порядка р(/), то найдутся такие
константы Сф и Лф, что ф(г)^ Лф||л:||р(||л:||) +Сф. Следовательно,
и из предложения 1.20 следует, что функции hr(xy x\ ф) и
hc(z, z\ ф) локально ограничены сверху в RmX Rm и СЛ X С/2
соответственно. Таким образом, функция h*r(x> x'9 ф) субгар-
субгармоническая, если функция ф субгармоническая в Rm, а функ-
функции h*(zy z', ф) и /г* (г, z'y ф) плюрисубгармонические, если
функция ф плюрисубгармоническая в О.
Определение 1.29. Радиальным индикатором роста (относи-
(относительно центра х') субгармонической функции ф(л:) порядка р и
нормального типа относительно уточненного порядка р(^) назы-
называется функция h*(x, x', ф). При фB)<=Р5Н(О)с15(Р2/г)
функцию /г* (г, z'y ф) называют круговым индикатором роста
функции ф(г) (относительно центра z').
Замечание 1. Наибольший интерес представляет случай
Ф = log|f| для функции f ^Ж(Сп) конечного порядка р. В этом
случае будем говорить, что функции А* (г, г', ф) и /г* (г, г', ф)
являются соответственно радиальным и круговым индикаторами
функции f.
Замечание 2. Зависимость от выбора функции ф обычно ясна
из контекста и поэтому в записи индикатора часто будет опу-
опускаться.
Предложение 1.30. Для фиксированного xr e Rm функции
hr(x, x'y ф) и h*r(x, x'y ф) положительно однородны степени р.
Для фиксированного zr e Сп функции hc(zyz'yq) и h*c(z, z\ ф)
комплексно однородны степени р (т. е. hr(txy x'y ф) = t^hr(xy x'y ф)

36 Гл. L Характеристики роста
для t ^ 0 и соответственно hc (uz, zr, <р) = I и I ^h (z, zf, ф) для
и€=С).
Доказательство. Докажем утверждение только для радиаль-
радиального индикатора; случай кругового индикатора рассматривается
аналогично (см. также теорему 1.34).
По теореме 1.18 для Ь(г)=гр^~р и любого / > 0 всегда
lim , , ; = 1. Поэтому
Г-»оо L \Г)
hr(tx, x , ф) = lir
{rtf(rt) r9ir)
• • — #,, „ - г —i
lim sup hr (у, у'у ф) = f lim sup Ar Г-f, y\ ф) =
= tQ lim sup Ar(fif, /, ф) = /рА;(х, *', ф). П
Теорема 1.31 (лемма Хартогса). Пусть vt(x), t > 0, — семей-
семейство субгармонических функций в области QczRm равномерно
ограниченное сверху на компактных подмножествах из Q. Пред-
Предположим, что для некоторого компакта К a Q существует кон-
константа С, такая, что w(x) = [lim sup vt (x)]* ^.C на К. Тогда для
t->oo
каждого е > 0 найдется Тг, такое, что vt(x)^ C+ е при t ^ Тг
и х<=К.
Доказательство. Рассмотрим открытую ограниченную окре-
окрестность & компакта /С, такую, что й(Ш^и ш(х)<С + е/2 в Q.
Так как функции vt(x) ограничены сверху на Q, то, вычитая из
них в случае необходимости одинаковую константу, можно, не
ограничивая общности, считать, что vt ^ 0 в Q.
Выберем г столь малым, что В(х, 3r)czQ для всех х^К.
Далее, vt(x) ^ А (х, г, vt) и по лемме Фату lim sup A (x, г, vt)^
t->oo
^ С + е/2. Следовательно, для каждого х е К найдется Тх, такое,
что А (х, г, vt) ^ С + е/2 для t > Тх. Пользуясь тем, что vt ^ 0,
получаем, что для хг е В (х, б) при б < г
\ \ vt(y)dx(y).
B{x',r+b) B(x, г)
Следовательно, 0*(л/)^ С+ е при б < 6а: и t > Тх. Выбрав те-
теперь покрытие компакта К конечным числом шаров В(хи 6Х.)9
получим, что утверждение теоремы справедливо для t > sup Txr D

§ 8. Индикаторы роста 37
Следствие 1.32. Если выполнены условия теоремы и g(x)—
непрерывная функция на К, для которой [lim sup vt (x)]* ^ g (x)
t->oo
на /С, то найдется число Те, такое, что vt(x)^ g(x) + e при
t > Те.
Доказательство. Пусть дано е > 0. Выберем, пользуясь рав-
равномерной непрерывностью g(x) на К, число б > 0 так, чтобы
при ||х — л/||< б выполнялось неравенство \g(x)—g(x')\<.
< е/4. По теореме 1.31 для каждого х^ К найдется число Тх,
такое, что при t > Тх и х'^В(х, б) справедливо неравенство
vt{x')< g(x) + е/2. Выберем конечное покрытие К шарами
В (xi, б). Тогда при ^>supT^. имеем vt (xf) < g{х') + &. П
Теорема 1.33. Функции h*r(x, x\ ф) и h*c(z> z\ qp) не зависят
от центра х' или z\ и это справедливо как для уточненного по-
порядка р (г), так и для обычного порядка р.
Доказательство. Докажем это свойство для индикатора
А* (х, л/, ф). Доказательство для кругового индикатора прово-
проводится аналогично (и может быть получено непосредственно из
теоремы 1.34).
Выберем х0 е Rm и определим функцию Я {х) =
= limsupAr(jc//, x0, ф), которая является субгармонической по х.
Для любого е > 0 и х ф 0 найдется б > 0, такое, что
hr{x", jco, ф)^ К{х)+ в/2 при х" ^ В(хо, б). Теперь по теореме
1.31 можно выбрать Re так, что при г > Re и \\х — х"\\<. б вы-
выполняется неравенство
г-Р<г)ф(гх" + jco)<ft (jc) + e.
Пусть х\ — произвольная точка в ,Rm, и пусть ||# — xi||< 1.
Тогда при \х" — л'||<б/2 и достаточно большом г (зависящем
от jc0) точка х = -^—— + х" лежит в шаре В(хОу б). Таким
образом,
+ У) = г"р(г)Ф (гх + JC0)< Я (jc) + e,
н, следовательно, hr(x", у, фХЯ(л:) + 8 при \\х" — х\\<&/2 и
IIУ — -^ill< 1. Поэтому h*{x, х\, ф)^Я(л:) + е. Так как выбор е
^ыл произволен, то htr{xy jci, ф) =< К (х) = /г* (х, jc0, ф). Так как
точки jci и хо произвольны, это доказывает теорему 1\ ?
!) Одновременно доказано, что в определении регуляризованного инди-
индикатора регуляризацию можно выполнять только по первой переменной
х е R m. — Прим. перев.

38 Гл. 1. Характеристики роста
Замечание. Теорема 1.33 остается справедливой и в случае,
когда функция ер субгармонична в открытом конусе Г и ф(х)^
^ Лфгр<г> + С при |U|| < г и х е Г. Индикатор такой функции
определен и является субгармонической функцией в Г, положи-
положительно однородной степени р. Если Г — выпуклый конус, х е Г
r (^ЛГ то ф*(л;, *') = $*(*, 0).
В дальнейшем в записи h*r(x, x'f qp) и Л* (г, г', qp) будут опу-
опускаться х' и z'.
Теорема 1.34. Пусть ер (г) — плюрисубгармоншеская функция
конечного порядка р и нормального типа при уточненном по-
порядке р(г). Тогда h*(z, <p)= sup h*(zew9 qp).
0<8<2я
Доказательство. Из определения обеих функций следует, что
h*c (z, ф)^ h*r(zeiet ф) для всех 0. Предположим, что
sup h*r (zoeie, ф) = b < а = h*c (г0, ф) для z0 Ф 0. Семейства
^6^ 2я
~Q(t)
плюрисубгармонических функций vt (z) = t~Q(t)cp(tz) равномерно
по / локально ограничено сверху. Для е > 0, такого, что
Ь + 2е < а, множество со = {г': h*r {z') < (b + г) (|| г' ||/|| z01| )р явля-
является открытой окрестностью компакта S2o= {zoeie: O^0^2jc}.
Пусть cot^co есть открытая окрестность S2o, и пусть ш2 =
= со1П{^: V2II ^о II ^ II ^ II ^ 21| г01|}. Тогда для z <= ю2 имеем
lim sup ^ (г) < /г; (z0) < F + е) (|| г ||/| г0 J )р, и, согласно след-
ствию 1.32, существует такое Го, что ^^ (г) ^F +е)( || г H/II го||)р +
+ е2~р при t^T0 для всех 2G©2. Таким образом, /
npHzecD1n{2:72ll^oll<l|2||<2||Zoll} и, сле-
следовательно, /г* (г0) < 6 + 2е < а, что невозможно. ?
§ 9. Исключительные множества, связанные с харак-
характеристиками роста плюрисубгармонических функций
В этом разделе описываются множества комплексных прямых
в О, на которых рост целой функции отличается от ее глобаль-
глобального роста. Естественно это описание дать в терминах плюрипо-
лярных множеств.
Определение 1.36. Пусть Q — область в О. Множество EczQ
называется плюриполярным в Q, если существует функция
Ф е PSH(Q), такая, что Е a{z: ф(г) = —оо}.
Предложение 1.37. Пусть Q — область в О. Тогда счетное
объединение плюриполярных в Q множеств плюриполярно в GL

§ 9. Исключительные множества 39
Доказательство. Пусть A' cz A = (z e Q: yQ (z) = — оо
оо
<р е PSH (Q)}, и пусть Е cz \J А/. Пусть открытые множества Q
образуют компактное исчерпание Q, т. е. Qq cz cz Qg+l и
оо
U Q^ = Q. Согласно следствию 1.12, лебегова мера Aq равна
оо
нулю, так что существует точка ?^ (J Ад. Обозначим Мд =
оо
= вирф? и положим 5т(г)=2 С, [ф,, (г) — Мд], где константы
оо
С^ > 0 выбраны так, чтобы ряд 2 С^ | ф^ (?) — Mq \ сходился.
Тогда 5m^PSH(Q) и последовательность Sm при m^q убы-
убывает в Qg.
Далее, lim Sm (?) > — оо. По предложению I. 3, 5 (z) =
m-»oo
= lim SmB:)^PSH(Q^) для каждого q. Поэтому S(z)<=PSH(Q)
m->oo
(следствие 1.20) и Ecz{z^Q: S(z) = — oo}. ?
Предложение 1.38. ?слг/ функция cpePSH(O) ограничена
сверху, то ф ^ const.
Доказательство. По предложению I. 17, Мф(/')= sup ф(г) —
ll||<r
возрастающая выпуклая функция относительно log r. Поэтому
если функция Мф(г) ограничена сверху, то она постоянна, и из
принципа максимума следует, что постоянна и сама функция
<р. ?
Напомним важную теорему об обратной функции для плю-
рисубгармонических функций (см. теорему 1.28). Пусть Йс
<= О — область, ф <= PSH (Й X С). Положим Мф (г, г) =
= sup ф(г, и). Эта функция или постоянна, или возрастающая
|и|<г
выпуклая функция от log г. Для 2GQ функция б (г, т) =
= sup{r: г > 0, MB, r) < m} определена при т>ф(г, 0), и
при этом функция ф(г, т) = — log б (г, т) является неположи-
неположительной плюрисубгармонической функцией на каждой связной
компоненте множества Qg ={z e Q: M(z, 1) < q}, m> qy или
тождественно равна —оо.
Предложение 1.39. Пусть последовательность плюрисубгар-
монических в области Qcz\Cn функций yq равномерно ограни-
ограничена сверху на компактных подмножествах и при этом
lim sup ф^^ 0, а в некоторой точке ? е || справедливо равенство

40 Гл. 1. Характеристики роста
lim sup ф^ (?) = 0. Тогда множество А = {z e Q lim sup ф (г) < 0}
#-»оо q->oo
плюриполярно в Q.
Доказательство. Пусть открытые множества Q>q образуют
компактное исчерпание Q. По теореме 1.31 существует число
Tq9 такое, что ф/<^ в Qq при 1>ТЯ. Выберем подпоследо-
оо
вательность {ф^} так, чтобы q>q^q~2 вО?и ? |ф^(?)| < +°°-
Тогда Sm (г) = ? [Ф; (z) - <Г2] е PSH (Q) и lim Sm (?) > - оо.
q=\ m-*oo
Следовательно, по предложению 1.3, S(z)= lim Sm {z) e
m -> oo
^PSH(Q), и для ге/1 имеем S(e) = —oo. П
Предложение 1.40. Пусть Q cz О и ф е PSH(Q X 1С),
Ф ^ 1. Пусть p(z') — порядок функции ф2' (и) = ф (z!', w). Гог(9а
(Зля любой области Q! ш Q найдется последовательность отри-
отрицательных плюрисубгармонических функций г|)^ б ?У, такая, что
l
q
Доказательство. По определению
k ,ogv .
Для m > sup М (гг, 1) положим rm=6 (z\ m)=sup {r: M (z\ r)<m}.
Поскольку при г, лежащих между rm и rm+1, справедливо не-
неравенство (logm)(logб (z\ пг + I)) <logM(z', r)(logг) <:
< [log (m + 1)] [log б (z', m)], то р (^) = lim sup (log m) X
m-»oo
X(log6(z/, m)) и, следовательно,
[- P (г')Г1 = Hm sup [- log б (z', m)\ (log m). П
m -> oo
Теорема 1.41. Пусть Q cz Cn~l и ф?Р8Н(ЙХС). Для г =
= (г/, и), /ей, ^^р^з р(гг) обозначим порядок функции
u-+y{z\u). Если в некоторой области Q'<ш?1 порядок p(z')
конечен для точек из некоторого неплюриполярного в Q' мно-
множества М, то он ограничен на каждом компакте в Q и р* (zf) =
= limsupp(z")<=PSH(Q).
Доказательство. Пусть Q" — открытое подмножество в Q,.
такое, что Q7 с: Q" ш Q. Предположим, что
га> sup{l, sup ф(г', и)},
и рассмотрим функцию
г|) (z\ пг) = (log тГ1 [- log б (z', m)] < 0.

§ 9. Исключительные множества 41
Для функций g(z') — lim sup г|) (г', m) и g* {z') = lim sup g {z")
существуют две возможности:
1) g*(z') = 0 в Q"- Тогда для некоторой точки г^еО' будет
выполняться равенство g (г^) = g* (zj) = 0 (предложение 1. 27),
и из предложений 1.39 и 1.40 следует плюриполярность множе-
множества
? = {г'е= Q": ? (г7) < 0} = {z' <= Q": р (г') < оо}
в Q". Так как Q' a Q", то это противоречит условию теоремы.
2) g*(z')zjkO. Тогда если g*(z') = — ooy то и g(z') = --oo,
и р(г/) = 0. Если gm(z')^ — oo, то g*(z') €= PSH(Q//), а прин-
принцип максимума и неравенство g*{z')^0 приводят к тому, что
функция g*(z) ограничена сверху строго отрицательной кон-
константой на каждом компакте KczQ". Следовательно, функция
р*(,г/)=—[g*B/)]~1 равномерно ограничена сверху на К. Та-
Таким образом, согласно предложению 1.24, функция р*(г') ло-
локально плюрисубгармонична в Q и, значит, р*(,г')е PSH(Q). П
Замечание. О функции ф(-г', и) из доказанной теоремы гово-
говорят, что она имеет конечный порядок по переменной и.
Следствие 1.42. Предположим, что функция фЩ)
имеет конечный порядок р, z = (z , и), zf e iCn-i, «eC. Тогда
порядок p{z') функции u^-q>(z'yu) no переменной и есть кон-
константа ро ^ р, за исключением точек из некоторого плюриполяр-
ного множества в .С1, на котором p(z') < р0.
Доказательство. Рассматривая, если это необходимо,
$ир{ф, 2} вместо ф, можно считать, что ф ^ 2. Так как р* (z') ^ р,
то из предложения 1.38 следует, что р*(«г) есть постоянная р*.
Как и выше, имеем — рСг'I = Hm sup ф (z\ m), где функции
т->оо
^{г\ пг) определены и неположительны для \\z'\\ ^риш> Мр —
= sup 4>(z'9 u)^2. Заменим теперь функции ty(z',m) на
II 2'И < Р. |К|<1
последовательность функций typ(z')^TSH(Cn). Для этого по-
положим при гпр > Мр
Цр (z') = sup [ф (z\ mp)\ log ^Ц при || г'
*pB/) = logJ^i при || г71| > р.
Так как функция ^(г7, тр) не превосходит при Hz'IKp вели-
величины —ар < 0, a logdlz'llp) непрерывен и обращается в нуль
при ||г || =р, то ipp(z')^ PSH(!C.n). Теперь выберем z'Q, ||^|| < 1,

42 Гл. 1. Характеристики роста
так что
Г = гтт = Hm sup ij> (z' m).
p* p(z0) m->oo V u J
Далее, выберем последовательность mP > Mp, p = 1, 2, ..., для
которой lim sup [ib (z') + l/p*l = 0, и применим предложение
1.39 с Q = С". Тогда получим, что множество {г'еС":
р(г/)<р*} плюриполярно в С". ?
Замечание. Будем говорить, что целая функция F(z\, ..., zn)
конечного порядка по переменной zn, если для z' = (zi, ...
..., zn-\)<^Cn-x порядок p(z') функции Zn-+F(z\zn) конечен
для всех z'. Из теоремы 1.41 вытекает, что это будет в том иг
только в том случае, когда р(г') принимает конечные значения
на неплюриполярном множестве. Заметим, что F может быть
конечного порядка по переменной zn и тогда, когда ее глобаль-
глобальный порядок бесконечен.
Следствие 1.43. Пусть cpePSH(O), и пусть р(г) — порядок
функции фг(и): u-+<p(uz). Тогда р(г) совпадает с порядком р
по совокупности переменных для всех г, не лежащих в плюрипо-
лярном конусе А с вершиной в начале координат, в точках ко-
которого р(г)<р. Более точно, AczA' ={z: S(z) = —оо}, где
S(z)<eePSH(O) и S(kz) = S(z)+log\k\ для всех I е= С.
Доказательство. Предполагая, что ф(,г)> 1, положим
б (г, m) = sup (г: г > 0, Мф (rz) = sup ф (uz) < m).
l«l<r
Пусть m>mo= sup ф(г). Тогда для mgC
II z ||< 1
— log б (hz, m) = — log б (z, m) + log | и \
и при m> mo> 1 функции
фт (г) = (log m) [- log б (г, т)] gPSH (Ся)
равномерно ограничены сверху на каждом компакте в Crt. По-
Положим
g(z) = — -7т-г = Hm sup фт (г).
Тогда ^г(Хг) = ^(г) при X Ф 0, р(г)^0 и g*(г)e PSH(Cn). Сле-
Следовательно, g*(z)= Со и р*(г)= — с~1. Так как
log sup qp(zr)

§ 9. Исключительные множества 43
sup [— log 6 (г, m)\
= lim sup IUII<1 = lim sup sup i|)mB),
P m->~ logm m-»oo ||zll<l
то, по теореме 1.31, —p-1 ^ c0. Так как существует точка
I <= О, такая, что lim sup [фт (?) — с0] = 0, т. е. р (?) = с0, и
так как p(S)^P» то р* (г) = Со = р. Далее, множество Л =
= {2: р(г)< р} = {-г: g(z)< c0} есть конус с вершиной в начале
координат.
a) Пусть с0 = 0. Выберем такую последовательность mq,
пгд > т0, что lim mq = оо и а = X 0°g m<7)~1 < °°» причем
Z | 'Фт^ (?) | < °°- Т°гда функция 5 (z) = а ? -фт^ (z) плюри-
субгармонична в С", и при этом S(uz) = S(z)-{-\og\u\ для
и е С и 5 (г) = —оо во всех точках, где р(г) < р = оо.
b) Пусть со < 0 и, значит, порядок р конечен. Выберем об-
области Qq, образующие относительно компактное исчерпание &1.
Как и в предложении 1.39, можно найти последовательность
mq-+- оо, mq > mo > 1, такую, что
(О Ътя (г) - с0 - I/?2 < 0 для z e Й„
B) Z|*m,@--co|< °°-
C) a=E(logmGr1<oo.
Тогда функция 5 (г) = ? [г^ (г) - с0 - I/?2] e= PSH (Сл) удо-
удовлетворяет условию S(uz) = S(z)+ log|w| для w e С и множе-
множество {г: р(г) < ро = — Со} содержится в плюриполярном ко-
конусе {z:S(z)= —оо}. ?
Теорема 1.44. Пусть Q — область в ?п~1 и cp<=PSH(QXC).
Пусть область Q\ ш Q и А — неплюриполярное подмножество в
Q\. Пусть ^(t)—возрастающая выпуклая функция перемен-
переменной t, такая, что Л1ф(г, г) ^ W(log г) при г > г0 > 1 и z^A.
Тогда найдется функция а(г)€ PSH(Qi), принимающая значе-
значения из промежутка [ 1, -f- оо), для которой Л1Ф (z, r) ^
^ 4я (а (г) log r) при r^ro«2eQi.
Доказательство. Пусть mo=supMB:, 1). Уравнение
xF(logr)=m имеет решение log r = logr](m), а уравнение
M(z,r)=m имеет решение г = 6(г,/п). Положим г|)(г, т) =
= [ — log б(г, т)] (logri(m))-1 для т > mi = sup{m0, tj)(O)}»
Отметим, что \f (г, m)e PSH(Qi) и г|)(г, m) < 0 в Q и, кроме

44 Гл. 1. Характеристики роста
того, i|)(z, m)^.—1 при зеА Положим фд (г)= sup{x(z):
t^PSH(Qi), т^О в Qi, т^—1 на А}. Так как множество Л
не плюриполярно, то q>*A(z) Ф 01) и q>*A(z) e PSH(Qj). По прин-
принципу максимума ф^(г)<0 в Qr Положим
a (z) = — [ф^ (г)] е PSH (Ц).
Тогда неравенство —log б (г, m) ^yA(z) logri(m) перепишется
в виде а (г) log б (г,/n) ^ log г] (т), или, что эквивалентно,.
^т](т). Полагая г = ц (т) 1/о('г), имеем
Мф (г, г) < Мф (г, б (г, m)) = m = 4 (log л (m)) = V (а (г) log r). D
Эти результаты будут применяться к функции ф(г) —
= log|/(z) |, где / — целая функция в С". Как отмечалось выше,
индикатор роста функции / является плюрисубгармонической
функцией, не обязательно непрерывной; позже результаты этого
раздела будут применяться для индикатора функции, считаю-
считающей нули /.
Комментарии
Идея использования промежуточных функций для определения
типа принадлежит Линделёфу, хотя понятие уточненного по-
порядка дал Валирон [1]. Вычисление порядка и типа через коэф-
коэффициенты ряда Тейлора является классическим при п = 1. Раз-
Различные обобщения на случай п ^ 2 детально рассматривались
советскими математиками (см. Гольдберг [1]J). Связь глобаль-
глобального порядка с порядком по каждой переменной впервые рас-
рассматривал Борель [1], а связь его с ростом на комплексных
прямых первым изучал Сир A) в начале века 3). Данная здесь
современная точка зрения на индикаторы принадлежит П. Ле-
лону [2]. Обобщение классического индикатора Фрагмена —
Линделёфа на субгармонические функции сделано Дени и Ле-
лоном [1], [2]. В частности, в своих ранних работах Лелон по-
подошел к теореме Хартогса в С2 с позиций субгармонических
]) Если бы ф^ (z) = 0, то, взяв ? такое, что фл (?) = Фл (?) == 0, и по-
последовательность TnB)GPSH(fii), такую, что хп (г)< 1 на Д xn(z)^O
в Qi и ^ | %п (?,) | < оо, мы получили бы, что сумма ^ хп (z) плюрисубгар-
монична в Qi и обращается в —оо на А, а это невозможно, так как Л не
плюриполярно. — Прим. перев.
2> См. также Ронкин [1], [14], Маергойз [2]—[8], Гече [4], [5]. — Прим.
перев.
3) В дальнейшем этот вопрос изучался в работах Лелона [2], [14], [15],
/Пода 11], Ронкина [1], [2], [5], [8], [14], Фаворова [2*]—[4*], Локшина [1]—[3*],
Хенгартнера [1], [2], Ставского [1]. Кизельмана [31. — Прим. перев.

Комментарии 45
функций и теории потенциала. После того как Ока и Лелон
[5], [6] ввели класс плюрисубгармонических функций, свойства
индикаторов были получены из общих свойств локально огра-
ограниченных семейств плюрисубгармонических функций. Характе-
ризация индикаторов целых функций конечного порядка в тер-
терминах плюрисубгармоничности была дана Кизельманом [2] и
Мартино [4], [5] (она будет представлена в гл. 7). Данное
здесь доказательство независимости h*r(x, х', qp) от центра хА
имеет то преимущество, что рассматривается класс субгармо-
субгармонических индикаторов в конусе. Результаты § 9 и теоремы об
обратной функции для плюрисубгармонических функций (см.
приложение I) были получены Лелоном [15] для комплексных
топологических векторных пространств.

Глава 2
Локальные метрические свойства
нулевых множеств
и положительные замкнутые потоки
§ L Положительные потоки
Биголоморфное отображение F: СЛ->С,Л индуцирует преобра-
преобразование вещественных координат с неотрицательным якобианом
\J(F) |2, где J(F)— якобиан относительно переменных гь ..., zn
отображения F. Поэтому выбор фиксированной формы объема
в С" определяет ориентацию в С", инвариантную при голоморф-
голоморфных изоморфизмах. Сужение этой формы на пространство Ср,
где р < /г, или на комплексное подмногообразие определяет там
элемент объема и, следовательно, ориентацию. Это приводит к
определению положительных дифференциальных форм в алгебре
внешних дифференциалов E2n(dz) с инволюцией (которая за-
задается как dz-+dz) и их обобщениям — положительным замк-
замкнутым потокам.
п
Будем писать р = у дд||г||2 = у V dzj Adzf и положим рр =
/
(р)Рр, что и будет как раз р-мерной евклидовой формой
объема в С".
Определение 2.1. Дифференциальная форма y(dz) с комп-
лекснозначными коэффициентами называется положительной
степени р в E2n(dz), если
i) она однородна типа (р, р), 0 ^ р ^ /г,
п) для каждой системы форм аь ..., а«-р, линейных по
<?гДэто значит, что at:= X aiyjdZf, a^/eCl, произведение
Ф Л 1а{ Л а{ Л . . . Л ian_p Л ап_р = фр„, где ф > 0.
Для области Q с= С" через Фр (Q) будем обозначать множе-
множество всех положительных форм степени р в Q с непрерывными
коэффициентами. Как следствие определения 2.1 получаем
Предложение 2.2. С-линейная замена координат в E2n(dz):
dz] = Z{ си k dzts d2j = ? */. k d*k
преобразует положительную форму в положительную форму и,
следовательно, биголоморфное отображение F: 0->-?У индуци-
индуцирует отображение Фр (Q) на Фр (й7)-

§ 1. Положительные потоки 47
Предложение 2.2 позволяет определить положительные фор-
формы на комплексных многообразиях М с= Q: именно, это те
формы, которые положительны при каком-то (а значит, при
любом) выборе локальных координат.
Для р = О множество Фо" (Q) состоит из неотрицательных
непрерывных функций на Q. При р = 1 форма qp лежит в ФГ
п
тогда и только тогда, когда qp = / J] q>IykdZjAdzkt причем мат-
и k=\
рица [ф/, k{z)\ неотрицательна для каждого г?Й (см. замеча-
замечание 1 после предложения 2.5).
Если для какого-то р
B.1) ф = /Я! АХ{ Л . . . Л /ЛрЛЛр,
где все формы Xs комплексно линейные по dz\ с коэффициен-
коэффициентами из <S?0(Q)i то, как легко видеть, ф е Фр (Q). Формы ф, пред-
ставимые в виде B.1), назовем приводимыми.
Если L — комплексное подпространство размерности р, то су-
существует вращение g e U(n), задаваемое уравнением и = g(z),
такое, что g(L) определяется равенствами ир+\ = ... =ип = 0.
Определим форму t (L) g Фр (Сп) равенством t(L)=g*^, где
Р = у du{ Л йщ Л ... у dwp Л dup, а преобразование gf* состоит в
подстановке du = g(dz). Так как переход к другим ортонорми-
рованным координатам u = y(v) на L не изменит t(L), то ото-
отображение /.—>Фр^С'*) определено корректно.
Для (р, р)-монома y = adzj Adzj, где аеС, I = (iu •••>'р)>
/ = (/ь • • •, /р), через *ф обозначим (л — р, /г — р) -форму, опре-
определяемую равенством
р + 1 Л^Л^/р + , Л ... АЛ,..
Таким образом, *t(L) — это форма t(L-L), соответствующая
ортогональному дополнению подпространства L.
Тем самым доказано равенство т (L) Л т (L1) = р„ и
Предложение 2.3. Для каждого линейного подпространства L
размерности р существует положительная форма х (L) е Ф^ (С1),
связанная с L с помощью унитарной группы U(n). Ее дополне-
дополнение *x(L) — это форма, ассоциированная с подпростран-
подпространством LL.
В определении 2.1 можно считать формы аь ••-, а«-р ли-
линейно независимыми. Если L — подпространство размерности
п — р, ортогональное подпространству {г: oti = ... = ап-Р =
= 0}, то произведение щ л с^ л . .. л ш„.р л art_p, которое фигу-

48 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
рирует в пункте ii) определения 2.1, как раз равно Cx(L)t где
С — некоторая положительная константа. Таким образом, до-
доказано
Предложение 2.4. Однородная форма типа (р, р) положи-
тельна тогда и только тогда, когда она удовлетворяет равенству
B.2) ФЛЧ (L) = Сф (г) рй> Сф (г) > О,
для каждого р-мерного пространства L.
Условиям B.2) можно придать другой вид, вычислив Сф(г)
для формы Ф=Еф/,/^/Л^/ типа (р, р). Рассмотрим для
этого сужение формы ср на подпространство L, которое в коор-
координатах Uj определяется уравнениями ир+\ = ... = ип = 0.
¦3-4 ' имеем
aui J/=i р
B.3) Ф = *р[Еф/,ЛА/]т(?) на L,
где /гр = 2р, если р четное, и kp = —/2^, если р нечетное, а
Сф(г) равно коэффициенту при %(L) в равенстве B.3). Тем са-
самым доказано
Предложение 2.5. Для того чтобы однородная типа (р, р)
форма ф была положительной, необходимо и достаточно, чтобы
ее сужение на каждое комплексное р-мерное подпространство
L было произведением положительной функции C^{z) на форму
объема x(L). При этом q>i,i^Q, если р четно, и —/<р/, / ^ 0,
если р нечетно.
Замечания. 1. При р = 1 форма ср = / 2 Ф/, k &г\ A dzk поло*
жительна тогда и только тогда, когда эрмитова форма
h=Yj4i,kdzidzk положительно полуопределена.
2. В дальнейшем запись ф ^ 0 будет означать, что форма ф
положительна, а запись ф1 ^ ф2 — что форма ф1—фг положи-
положительна.
Пусть ф — форма типа (р, р), и пусть A={LS}—система из
N = I t n_ .А комплексных линейных (п — р)-мерных под-
подпространств. Решая систему из N линейных относительно коэф-
коэффициентов ф/, / уравнений Ф Л t(Ls) = Сф5(г)рп, можно выра-
выразить эти коэффициенты линейно через Сф, s(z) и получить равен-
равенства

§ 1. Положительные потоки 49
где постоянные Я/,/ зависят только от Л. Точнее, пусть akfS =
п
dz}> I ^k^n — p, 1 ^s^Af,—данные @, 1)-формы,
п
Yjk s
причем Ls = {aky s = 0, k = 1, ..., n — /?}, s = 1, ..., TV, и пусть
<°s = «*i, s Л d1? 5 Л m2? s Л d2> 5 Л . . . Л /а„_р, s Л а„_Рэ s =
где Л7' 7 — однородный полином от а? 5 и a?t s. Занумеровав как-
либо наборы индексов /, /, положим A = det [Л?7]. Поскольку
А есть сумма различных мономов с ненулевыми коэффициен-
коэффициентами, то А Ф 6 относительно 2Nn(n — р) переменных a? s и aj, s,
и, следовательно, А ^ 0 как функция от переменных a? 5
в пространстве С^л(л""р). Так как А^Ц* вещественно, то
дд-л^р _ вещественный полином в пространстве |р2ЛГл(л""р) веще-
вещественных и мнимых частей переменных alk s и соответственно
ИР = {л: е R2A^rt {п~р): А = о} — алгебраическое многообразие ве-
вещественной размерности 2Nn(n — р)— 1. Далее, так как o)s =
= bsx(Ls), где bs > 0, то А = Ъ\ ..., bNA\, где Ai = Ai(A)
строится по коэффициентам форм %(LS) так же, как А строится
по коэффициентам форм со5. Условия А = 0 и Ai = 0 эквива-
эквивалентны. Таким образом, в каждом открытом подмножестве из
jfc2Nn(n-p) можно найти точку, в которой Ai Ф 0 (соответствую-
(соответствующую систему A={LS} в этом случае будем называть регуляр-
регулярной). Если Gn-p(Cn)—комплексное грассманово многообразие,
состоящее из линейных (п — р) -мерных подпространств в Сп
(см. [Н]), то в каждом его открытом подмножестве можно
найти регулярную систему Л = {?<?}, которая позволяет вычис-
вычислить ф/, у (г) как линейные комбинации функций Сф, s(z). При
этом если ф — положительная форма, то Сф, s(z) — положитель-
положительные функции. Позже этот алгебраический процесс будет исполь-
использован для положительных потоков, при этом Сф.з'Ря будут по-
положительными мерами.
Предложение 2.6. Пусть М — комплексное подмногообразие
в QczCn размерности р (см. определение 2.33) и феФр+(й)
имеет компактный носитель в Q. Тогда
B.4)
Если
то \d
м
Ф = dty для
гф = [М] Щ) =
\ Ф =
j
м
формы
0.
\|? с коэффициентами из <e>lt

50 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Доказательство. Пусть {Uk}—локально конечное покрытие
М относительно компактными открытыми множествами Uk^Mr
а {а*}—разбиение единицы, подчиненное {Uk}. Тогда
\ ф = Z \ а^ф=
М k М
(сумма конечна, так как ср имеет компактный носитель). Для
каждого Uk существует голоморфный гомеоморфизм Fk\ Uk-*-
->- Vk, где Vk — открытая окрестность нуля в Ср. Поэтому
Так как a^=a^f !>0 и ф^ = фо/^ 1 е Ф^ (Vk), To
, откуда следует B.4). Если 9 = dij), то
=Е S < ^=Е Sd (aM) - Z S d<Л *'*•
Так как suppa^— компакт в Vk, то по теореме Стокса каждое
слагаемое первой суммы равно нулю, а так как ^а^ = 1, то
k
k vk м
Площадь многообразия М есть положительная мера а, зна-
значение которой на / е Ч?™ (О) определяется формулой
B.5) о(/)
П
где Р= yZ d2:*A^ и РР =
Это приводит к следующему утверждению.
Предложение 2.7. ?суш М — комплексное многообразие в
Qcz: С.л, то площадь М, определенная в B.5), есть сумма проек-
проекций на координатные подпространства
Cp(I)=^Cp(dzir ..., dzip),

§ 1. Положительные потоки 51
Доказательство. Имеем рр = (р!) р" = (^)"(- l)p(p~mX
XУ* Й2; л dz1 = 2] Р/- Отсюда и из B.5) получаем
где величины а/, определяемые интегралом от р7 по Л1, как раз
являются проекциями с кратностью многообразия М на СрA)с:
<= О, где Ср(/) определено уравнениями z/ = 0 при \ф1. ?
Замечание. Положительная мера [M]Ar(Lp) является про-
проекцией площади М на подпространство Lp.
Через ^о (р >(^) будем обозначать пространство дифферен-
дифференциальных форм ф бистепени (р, #) с коэффициентами из У* (Q).
Положим ^о°= LJ ^о?(р, ^) (й), и пусть {Qf-} — исчерпание Q
открытыми множествами, такими, что Qt Ш Qi + 1. Введем
в ^o?(p, ^) (fit) топологию равномерной сходимости коэффи-
коэффициентов фЛ/ и всех их производных. В этой топологии
^о!(р, q) (Qi) образует пространство Фреше. Наконец, введем
в *&о!(р, q) (й) топологию строгого индуктивного предела
^оГ(р, q)(Q) = Hm(&o!(P, q)(&i). Дуальным к Фо!(р,Я)@) является
множество линейных функционалов /(ф), для которых
lim /(фт) = 0 для каждой последовательности фт, сходящейся
к нулю в ^~/р п)(&)> последовательность фт стремится к нулю
в ^о?(р, q)(&) тогда и только тогда, когда
i) существует Q/, такое, что supp фт с= Q,- для каждого т;
ii) для каждого мультииндекса а
lim [sup sup | D\my /f, (z) | ] = 0,
m->oo гей /, /
где Da — дифференциальный оператор по вещественным коорди-
координатам в С". Дальнейшие подробности см. в [Е, F].
Определение 2.8. Элемент дуального пространства к ^~(р, ^ (Q)
называется потоком типа (//, q'), где р' = п — р, qr = п — q.
Если дополнительно Нт/(фт) = 0, когда фт удовлетво-
пг-^-оо
ряет i) и
ii') lim [sup sup | фШт Iy 7 (z) \ ] = 0, то о потоке ? говорят, что он
т-»оо гей/,/
непрерывен порядка нуль. Это означает, что t продолжается как

52 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
линейный функционал на пространство ^о, (Р, q)(&) дифференци-
дифференциальных форм типа (р, q) с непрерывными коэффициентами и
компактным носителем. Потоки типа (/г, п) применяются к функ-
функциям с компактным носителем и, следовательно, являются рас-
распределениями, а если они еще непрерывны порядка нуль, то это
меры. Потоки типа @, 0) применяются к формам максимального
типа и, следовательно, играют роль плотностей-распределений.
Будем называть их обобщенными функциями. Произведение та-
такой функции на элемент объема $п является распределением.
Определение 2.9. Поток t называется положительным пото-
потоком степени п — р, если
i) / обращается в нуль на подпространствах ^олг, s)(Q) при
(г,8)Ф(р,р) (т. е. *e=«ft(p>p> (Q)').
ii) для каждой системы ai, ..., ар комплексных линейных
по dzj форм с постоянными коэффициентами и каждой функ-
функции фе?0°°Р, Ф>0,
B.6) Т (/, а) (ф) = t [q>iax Л ах Л ... Л iap Л ар]
В частности, форма г|э еФ„.р(й) определяет положитель-
положительный поток типа п — р
Обозначим через T+_p(Q) пространство положительных пото-
потоков степени п — р в Q. Как и в предложении 2.4, имеем
Предложение 2.10. Поток t, определенный в й, принадлежит
Тп~р (Q) тогда и только тогда, когда для каждого линейного под-
подпространства L размерности р поток tAi(L) является положи-
положительным распределением (и, значит, мерой).
Итак, каждому потоку t e Tn-P (Q) можно сопоставить меру
в Q (зависящую от L, dimL=p). Поток /еГп-р(й) можно
также представить однородной типа (п — р, п — р) дифферен-
дифференциальной формой. Канонический вид этого представления сле-
следующий:
B.7) t = b'n-
где k'n_p = 2~{n~p\ если п — р четное, и i2~(n~p\ если п — р
нечетное, a titj — распределения, при этом tiy i$n — положитель-
положительная мера.

§ 2. Внешнее произведение 53
Предложение 2.11. Для любого потока t еГл%B) найдется
последовательность областей Qm<^Qm+i, образующих исчерпа-
исчерпание Q, и последовательность положительных потоков tm, за-
задаваемых формами tm е Фп-р (йт), таких, что для любой формы
фе«?:,м,(О)
Нт /т(ф) = /(фI>.
т->оо
Доказательство. Пусть р — неотрицательная функция из
^° {В @, 1)), для которой \ р (z) d% (z) = 1, и пусть р8 (г) =
= р (г/е) e-*»f t& = / * р? = k'n_pZ (f/f 7)e dzf Л <й„ где (*Л 7)е =
= (h, /Р„) * Ре- Тогда (*л 7)е е ^~ (Qe), где Q8 = {г е= Q: | г - g | > г
при всех ?<=<5?2}> и для ф?
B.8) / (Ф) = lim / [pe * Ф] = lim te (Ф). ?
е->0 0
^ 2. Внешнее произведение
Теорема 2.12. i) Если /еГр+(Й) и y<=<S>t (?2), го / Л ф е Г^+i (Q).
п) ?сла /^Г1+(Й) м феф^р(й), го /ЛфЕ^р.
iii) В частности, если t\ е Гр (Q) м ^ е ФГ (Q), / = 2, ..., ?,
то t{/\t2/\ . .. Mq^. Tp+q(Q).
Доказательство. Пусть вначале /еФр+(Й) и ф е ФГ (й).
Тогда для фиксированного 20gQ имеем ф (z0) = / X С;. (г0) X
Х«уЛа^., где Су(г0)^0, а с^. — формы типа @, 1) с постоян-
постоянными коэффициентами. Для любой системы таких же форм
«Ь • • •» ап-р-\
* Л ср Л /а, Л СЦ Л ... Л т„_р_! Л аЛ_р_! = г|э (г0) ря,
где г|)(го)^О. Так как это справедливо для любой точки гЕЙг
то t Л ф <= Ф^+1 (й). В случае произвольного потока / се Г^ (й)рас-
смотрим, пользуясь предложением 2.11, последовательность
tm s Ф^ (Q8), сходящуюся (в том же смысле, что и в предложе-
предложении 2.11) к потоку t. D
]) Если коэффициенты потока / суть меры, то предельное равенство вер-
верно и для ф е ^q. — Прим, перев.

54 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Определение 2.13. Для фЕ^^.^Й определим норму ||<р||,
полагая ||qp|| = sup sup| qp7 7(г) |. Модуль |ф| формы qp опреде-
z €= Q /, /
«лим равенством
| ф | (z) = sup | фл j (г) |.
Для меры \х в области Q положим |jli|q = sup|\x(f) |, где
«\(Q) и ll/H |/()|<l
Определение 2.14. Пусть t — поток с непрерывностью порядка
нуль, определенный в области Q <и О. Будем говорить, что по-
положительная мера (ы мажорирует поток t, если существует кон-
константа Сц, такая, что для каждой формы ф
Определение 2.15. Следом потока t е Тп-Р (й) называется по-
поток at = t л Pp.
Теорема 2.16. Если поток t GT^fQ), то его коэффициенты
ti, j в представлении B.7) ассоциированы с комплексными ме-
мерами Г/, / и существует зависящая только от п и р константа С,
такая, что
для любой области Q' a Q. Любой регулярной системе А =
= {LS}, 5=1, ..., N, подпространств размерности р и соответ-
соответственно системе положительных мер \xs = t А т; (Ls) отвечают та-
такие зависящие только от Л, п, р константы Сь С2, что
е ^0, (р, q) (Q)
N
<2.9) Е
B.10)
(таким образом, J] \xs мажорирует t и at мажорирует t).
Доказательство. Так как Л — регулярная система, то, как от-
отмечалось выше, меры Г/, / суть линейные комбинации положи-
положительных мер |lis = /at(Ls), 5=1, ..., N, так что Tj j =
= 2 С/ /М<5> гДе C/j — зависящие от Л комплексные константы.
5=1
Это доказывает левую часть B.10). Так как |3 инвариантно от-
относительно ортогональных преобразований и
РР = Z ШУ dzii л dzix Л ... л dzip л dzip,
то ot = t Л рр ^/ Л t(Ls) = \is для всех 5, откуда немедленно

§ 3. Положительные замкнутые потоки 55
следует правая часть B.10); неравенство B.9) вытекает из.
B.10). ?
Следствие 2.17. Если t ^Tn-P(Q), то supp/ = supper^.
Предложение 2.18. Пусть t ^Tn-P(Q). Тогда для любой си-
системы oti, ..., <Хр форм типа A,0) с коэффициентами из ??0(Q)
выполняется условие ii) определения 2.9.
Доказательство. Для /?ФП+_Р(Й) это очевидно, а в общем
случае достаточно заметить, что, согласно теореме 2.16, коэф-
коэффициенты потока t являются мерами, поэтому предельный пе-
переход в предложении 2.11 справедлив для любой формы
Замечание. Так как положительные потоки непрерывны по-
порядка нуль, то из определения 2.9 следует, что
i) Tp (Q) и Ф^ (Q) образуют конусы над множеством поло-
положительных непрерывных функций (т. е. для t\, t2^Tp (Q) и оц,
а2 <= ^° (Q), ai ^ 0, а2 ^ 0, имеем ai/i + а2/2 <= Г^" (Q));
ii) по условию i) определения 2.9 фЛ'ф = 'фЛф при
Ф g Фр (Q) и \|) g Ф^" (Q), но при этом, вообще говоря, фЛг|)^
iii) поток t ==i ^ tPiCfdzp Adzq положителен тогда и только
тогда, когда распределение 9 (Я) = (? tPiqlpVq) Prt=E TPyQKplq —
положительная мера для каждого Я е Сп. Здесь TPyq = tPi q$n —
комплексная мера, ассоциированная с tp, я, причем TPtP^0 и
ТРгЯ = TqtP. Для форм это очевидное следствие замечания 1
после предложения 2.5, а для потоков достаточно применить
предложение 2.11 и уже доказанный результат для форм;
iv) если со — однородная форма типа (р, 0), то форма
&'соЛсо положительна (это следует из предложения 2.4). По-
Поэтому для/ е Tt (Q) и ср = k'p Yj Cjtoj Л со,-, где Су^О, ®/e?o1(p,o)(Q}
и &p = 2~~(rl~p) при четном р и kp = i2~in~p) при нечетном р,.
имеем /ЛфеГр+1B).
^ 5. Положительные замкнутые потоки
По двойственности определим действие на поток / операторов
d, д и д. Именно, при t ^ (Я?™(Р, Я) (О))' положим dt (ф) =
= (-1)р+^(?/Ф), 3/(ф) = (-1)р+д/(Лр) иа/(ф) = (~-1)р+^(аФ). Если
поток / определяется интегралом \ г|)Лф для некоторой фиксиро-

66 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
ванной формы «Ф, то dt(<p) = (— l)p+q t(dq>) = (— l)p+q [ г|> A d<p =
= \ dij) Лф для (jiGfo^fp^jP, и, следовательно, поток dt пред-
представляется формой d\|), так что определение дифференциала
потока корректно.
Определение 2.19. Поток t называется замкнутым, если
dt = 0, т. е. t(dq>) = 0 для любой формы ф e ^fo°(Q).
Через Г^_р(й) обозначим множество положительных
замкнутых потоков степени п — р в Q.
Предложение 2.20. Если t€=Tn-P(Q), то dt = dt = O.
Доказательство. Так как t — однородный поток типа (п — р,
п — р) и д/(<р)= ^Eф), то равенство ^(|ф)= 0 достаточно про-
проверить для фе<8о°(р_1,Р). В_этом случае 0 = ^(ф)= ^(йф) =
= ^((Эф)+^((Эф), а так как 5ф е ^олр-ир+п» то /Eф) = 0 ввиду
п. i) определения 2.9. Аналогично доказывается равенство
Замечание. Если р8е(??~(В@, е)), зиррфС1Й8 и поток t
замкнут, то
d (t * ре) (Ф) = (t * Ре) (*Р) = / ((dcp) * Ре) = / (d (ф * Ре)) = 0.
Следовательно, повторяя доказательство предложения 2.11, за-
заключаем, что поток /еГй1Р(й) является пределом (в том же
смысле, что и в предложении 2.11) последовательности потоков
tm ^ Тп-р (Q) с коэффициентами из (ё?0°.
Положим aa = -^ddlog\\z — a\\2 и у = -jd\\z\\2Ad\\z\f, при
этом вместо а0 будем писать просто а°. Форме а соответствует
положительно полуопределенная эрмитова форма
zk-(?
|pZ dzkdz
которая является метрикой проективного пространства Р(О)
(см. [Н]). Более того, так как log||z_— a\\2 e PSH(C'rt), то
внешняя дифференциальная форма /551og||z — а||2 положи-
положительна в O\{a}. Поэтому afl e Ф^ (Cft \ {а}), и из теоремы
2.12 и проверяемого по индукции равенства dofe === daa А аа~~ +
+ аа A doST1 = 0 следует, что ара е= Ф^ {С1 \ {а}).
Далее, так как yAy —0, то выполняется равенство
B.11) ар = п-р[||2|Г2ррР-р1|2|Г2р-2рр-1Л7]-
1) Нетрудно видеть, что а = п~1 [\\z\\~~2 $ — \\z\\~Ay]. —Прим. перев.

§ 3. Положительные замкнутые потоки 57
Предложение 2.21. В Сп\{а) выполняется равенство а2 = 0.
Доказательство. Пусть со? = {г? С": zt Ф 0}, и пусть
= Zk/zt, k Ф i- Тогда для z е= со^
Так как ddlog\Zi\2 = 0 при zt Ф 0, то а" имеет тип (д, az)
в пространстве Cn+l и, следовательно, аЛ = 0. Так как
СЛ \ {0} = U соь то а" = 0 в Cft\{0}, a поскольку опера-
операторы д и д инвариантны относительно сдвига, то а2=О
вСЧ {а}. П
Пусть t <= fn-p(Q)hOg Q. Положим
B.12) Vt = tAap = tA [(//2л;) aa log || z ||2]p.
Из теоремы 2.13 следует, что vt — положительный (п,п) -по-
-поток и, следовательно, мера в Q\{0}.
Теорема 2.22. Пусть /е?й+.р(О), w Агг/сгь В@, /?)<sQ.
Для r{ < r <r2< R положим
at(r)= J J
ri<l|z||<r2
B 13)
Доказательство. Предположим сначала, что поток t имеет
коэффициенты из ^Р°°. Тогда, так как dt = 0, то по лемме Пуан-
Пуанкаре найдется 9, такое, что dQ = t. Далее, применяя теорему
Стокса, получаем
ri<||z||<r2 rl<\\z\\<r2
На поверхности ||z||= const имеем d||z||2 = d|lz||2 + <3||z||2 = 0„
поэтому y =ird\\z\\2 A д||г||2 = 0 и из B.11) вытекает, что»

68 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
ар = n-p\\z\\~2P$p. Теперь для / = 1, 2 по теореме Стокса имеем
И г II-Гу II г II-Г
В @, г,)
что доказывает B.13) в этом случае. Для произвольного
i е Тп-р(&) рассмотрим форму te = ^ *ре, построенную при до-
доказательстве предложения 2.11. Так как ot(r)—мера с носите-
носителем на компакте В (О, г), то at (г) ^ ate (г + е) ^ at (r + 2е) и, сле-
следовательно, lim at (r + е) = сг^ (г). Применим B.13) к потоку
е-»0 е
i8 и шарам В @, п + е), В @, г2 + е), после чего перейдем к пре-
пределу при 8->0.
Теорема 2.23. Пусть t e fп-Р(&) и og Q. Положим at(a, r) =
= \ t Л Рр (Эля г <du(а), и щ/с™ v<*= t A aPa. Тогда
•1 z-a||<r
i) r-2Pot(atr)—возрастающая функция от г при г < fifo(a)
ii предел
<2.14) lim т- V-2p^ (а, г) = v, (а)
г->0 ^
.существует и неотрицателен;
ii) ес/ш продолжить меру v^ в точку а как сосредоточенную
массу vt(a)S(a), где число vt(a) определено в B.14), то
Доказательство. Так как vt(ru r2) ^ 0, то из B.13) следует,
что величина т^У~~2р<^ (а, г) не убывает по г и, следовательно,
предел B.14) существует. Эта же формула показывает, что
lim v, (е, г) = t2pr~2Pat (a> r) - v* (a) = S
8">0 0<||z-a||<r
или, что эквивалентно,
0<||z-a||<r
Существование числа v*(a), называемого числом Лелона по-
положительного потока f, является одним из важнейших свойств
положительных замкнутых потоков.

§ 4. Положительные замкнутые потоки степени 1 59
Определение 2.24. Пусть t e Т+_р(Сп). Массу меры v, в шаре
5@, г), т. е. функцию
B.15) v,(r) = T-V-^@, г),
назовем индикатором роста потока t.
§ 4. Положительные замкнутые потоки степени I
Предложение 2.25. Пусть F^PSH(Q), где Q — область в СК
Тогда форма
где производные понимаются в смысле распределений, задает
элемент множества Т\ (Q).
Доказательство. Так как V^L}OC(Q), то производные
d2V —
-^—-т=— определены как распределения и t= iddV является
021 azk
потоком. Этот поток замкнут, так как
dt (ф) == t (Лр) = / ^ ddV Л Лр = / J ddV Л dq> = — / ^dV Л ddy = 0.
Для доказательства положительности t предположит^ вна-
вначале, что V ^ ^2 П PSH(Q). Тогда сужение формы t = iddV на
комплексную прямую z = 20 + uw, и ^ ;С, для данных ш ^ С^
игоей имеет вид
d2V I
2 д^ ^^^ dw Л dw = Л (F, а;) / du л dw.
p я Р q J
Так как Vw(u)= V(zq + 2iyw) — субгармоническая функция клас-
класса ^2 и AUVW = 4h(V,w)^0 для всех a)e;C!ft, то эрмитова
форма /i(V, ш) положительно полуопределена. Поэтому внеш-
внешняя форма iddV положительна (см. замечание Ш) после пред-
предложения 2.18). В общем случае применим регуляризацию, ис-
используя свертку с ре (см. предложение 2.11). Так как функция
Ve = V * ре плюрисубгармонична на множестве {г ^ Q:
dQ(z)>e}> то поток tB = iddVe, как следует из предыдущих
рассуждений, будет положительным. Для каждого ?У<?=Й поток
t = \\mts положителен как слабый предел положительных пото-
е->0 ^
ков и, таким образом, / ^ ft (Q). П
Покажем, что по крайней мере локально справедливо и об-
обратное утверждение. Именно, для каждого t e ft (Q) и каж-
каждого z e Q найдутся окрестность Uz точки z и функция V е

60 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
, такие, что t = iddV на U?. Для доказательства
этого используем интегральный оператор, дающий решение
^-проблемы со специальными свойствами регулярности.
Пусть строго выпуклая функция &B)е&2(:С,я) такова, что
для каждого вектора t ^ R2n и некоторой функции C(z)>0\
здесь (хи ..., х2п) — вещественные координаты в О = R2n.
Пусть Q = {z ^ С'п: k (z) < 0}1). Ориентируем границу bd Q
области Q так, чтобы была справедлива теорема Стокса, и
пусть x(t)—неотрицательная класса (g7o° функция вещественной
переменной t, такая, что %(/) = 0 при /^ 1/2 и %(t)= 1 при
t ^ 3/4. Положим ф(г, ?) = х(*(Е)/*B))» ?Нг> S) = (& —
—zi) Ф (z, С) + A - Ф (z, С)) йЛ (С) /йЬ.
Для фиксированного ^gQ множество Кс ={г: k(z) < &(?)}
строго выпукло и содержит supp(l — ф). Рассмотрим касатель-
п
ную плоскость Re 2j (S? — ^) "^р~ (?°) = 0 Для So ^ bd /Cj. Тогда
?-1 *
я, таким образом, Re^] (Сг — zi)ei(z< S) > 0 для zs supp(l— ф).
Положим
 iUi?' ''
где Cn~- .Л . Простые вычисления показывают,
что d^K(zy ?) = 0, когда знаменатель не обращается в нуль, т.е.
когда ?=й= z. Заметим, что
когда &(?)^г l/2k(z). В частности, так будет, если ? лежит в до-
достаточно малой окрестности точки г.
1) Будем считать, что множество {z: k(z) < m] ограничено для любого
т. — Прим. перев.

§ 4. Положительные замкнутые потоки степени 1 61
Теорема 2.26 (формула Коши — Фантаппье). Пусть k(z)^
<&2(Сп) —строго выпуклая функция, 2={геСл: ?
и пусть h(z) — функция класса (ё>{ в окрестности Q. Тогда
h(z) = — \ h (?) К (z, ?) + \ dh (?) л К (z, ?).
bdQ Q
Доказательство. Фиксируя гейи применяя теорему Стокса,
получаем
\dh(l)AK(z,Q = lim [ дА (?) л * (z, ?) =
S е->оа\в()
\
J,2,e)
= \ A(?)/C(z,
Ъ + °ЪЧвГг.*)
bdQ
В последнем равенстве учитывается, что
S— i (п -— 2)! д+
п \\z — С1|2~2Л Л Ря_1 ==— 1. П
— bdB(*.e)
Следствие 2.27. Пусть |3 всгб @, 1) -форма в окрестности шара
i?@, 1) с коэффициентами класса (g7o°, такая, что д$ = 0.
Пусть 1\ далее,
а(г)=
(Эа = 0 в 5@, 1).
Доказательство. Пусть а — какая-нибудь функция из 9°°9
для которой da(z)= $(z) в окрестности 5@,1) (см. приложе-
приложение III). Тогда
й(г)=- J a@K(z,0+ \ P(S)A/C(z, S).
bdB@, 1) В@, 1)
Ядро /СB,g) голоморфно по переменной г ^5@, 1) для ? ^
ebdS@, 1). Поэтому да (г) =р(г). П
!) Здесь в определении /С(г, g) надо взять k(z) = ||z||2—1. — Прим.
перев.

62 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Теорема 2.28. Для любого замкнутого положительного по-
потока 0 степени 1, определенного в окрестности шара 5@, 1),
найдется плюрисубгармоническая в В@, 1) функция V, для ко-
которой в смысле потоков iddV = 0.
п
Доказательство, Пусть 0 = / ? в/, k dzf л dzk.
к, ] — I
При достаточно малых е функции 0^ k = ®t k *Pe принадле-
жат классу ^°° в окрестности В@, 1). Положим Эе = Э*ре =
= i X 9/ k dzj a dzk. Так как 9 — положительный замкнутый
/.*
поток, то таким же будет поток 9е. Положим Ajtk= \ tQeftk(tz)dt.
о
Ясно, что функции Ajtk из класса <ё>о°. Определим теперь
формы v\ типа A, 0) и v\ типа @, 1), полагая
v\ = Е Аи kzk dzf и v\ =
/г
Проверим, что d(vl — и?) = 9е. Так как форма ? 0/,
п
является, очевидно, ^-замкнутой, то и форма ?1 AJikdZj также
5-замкнута, а следовательно, ^-замкнута и форма v\. Анало-
Аналогично проверяется, что ^-замкнутой будет и форма vl. Далее,
= Z

§ 4. Положительные замкнутые потоки степени 1 63
как ?C^ + ^,)=^фЛ, то
s-1
id {vl - vV) = / {dvl - dvV) =
/, k L о о
Форма 9е положительна, поэтому u8, = ae,- и функция
|(?)A/C(z, ?)
удовлетворяет, согласно следствию 2.27, уравнению
5f2 -
Пусть a = V2 в Л рЯв1 = S в„ dr, ae = V2
Выберем б столь малым, чтобы 9 было определено в окрестно-
окрестности шара В (О, 1 +6), и положим V(z) = — \ (п — 2)! 2~1п~п X
В (О, 1)
Xllz-Elp-^rfaK). Тогда У (г) и Ке(г) = К * PeJz) - субгармо-
субгармонические функции, причем Ve(z) убывает к V (z) при е->0.
Полагая С'п = (п — 2)!/2я'г и применяя теорему Стокса, имеем
bdB(O,
в (о, 1) в (о, 1)
Следовательно,
B.16) ]/е (z) = 2 Re J о| (С) Л [/С (z, J) + /ОД || z - ? И2" Л
в (о,:
+ 2Re J
bdB(O, 1)
Так как v\ = ve2f то ае= 1/2веЛрп_1 = V2 Re/(Eu| — dv*) Л рл-1 =
= Re/du|AP/l_1. Поэтому последний интеграл в B.16) можно
заменить на 2С'п \ —1| z — 5 ||2~2/г da8. Далее, так как коэф-
В@,

64 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
фициенты формы v\ имеют ограниченную /Лнорму ° на
В @, 1+6), а массы \ dae ограничены равномерно по е, то
В@,1)
можно выбрать последовательность em | 0, такую, что каждый
коэффициент формы v\m слабо сходится к некоторой мере.
Затем, поскольку К (z, ?) = — iCfnd^ || z — ? \?~2п Л pn_j в окрестно-
окрестности г, aCJ \ —1|г — t>\\2-2ndGe'^ V (г), то найдется такая
В@, 1)
подпоследовательность е^, что VB/ -> V почти всюду. Наконец,
B.17) Vs(*)>CK + VB(z)>CK + V(z)
для zs=KmB{Q, 1).
Таким образом, если ф е#~(П_1, rt_i) F@, 1)), то из B.17)
по теореме о мажорированной сходимости следует, что
iddV(q)=
В @,1)
= lim \ iddVeA<p = \\m [ 9еЛф= \ 9лф. П
е->°в<о.1) е->ов(о, и в(о, 1)
Замечание. Приведем здесь набросок второго доказательства
теоремы 2.28. Это доказательство имеет исторический интерес
и мотивирует развитие соответствующей техники в гл. 3.
1) Предположим, что (К есть A, 1)-форма, коэффициенты
которой — полиномы от 2/г вещественных переменных х9 у:
где Pptq,x{z) и QP,q,\x{z) — однородные полиномы степени К и \х
соответственно. Если существует решение V системы уравнений
то положим W (г, z, /, /') = V (zt, ztr) при /, t' e С. Из (Ь)
следует, что -^тB, zy /, ?) = ?%,я(*г> tr*)zpzq, а это экви-
Р. Я
1) Эти коэффициенты имеют ограниченную /Лнорму на В @,1 +6), по-
поэтому можно выбрать последовательность ет->0 и число 6'<6 так, чтобы
коэффициенты форм vem имели равномерно по m ограниченную /Лнорму
на сфере bdB(O, 1+6')- Таким образом, представление B.16) надо выпи-
выписывать для шара 5@, 1 + б7). — Прим. перев.

§ 4. Положительные замкнутые потоки степени 1 65
валентно равенству
W(z,Z, I, 1) = V(Z,Z)=Z E^+ir'dA+l) Pp.<M*)Qp.1.*B).
К V> P, Я
Используя условия согласования
(о\ m'p' q — dB's- q и дВ'р> q — ^ k
() Э*8 ~ dzp dzk ~ dzq
и уравнение Эйлера для однородных функций PP,q,\(z),
Qp, <7, ia(^)i нетрудно показать, что V является решением (Ь).
Эта техника принадлежит Пуанкаре. Если функции Эр, q опреде-
определены и вещественно аналитичны в шаре В (О, R), то в некоторой
окрестности начала координат они представимы в виде беско-
бесконечной суммы однородных полиномов от г, г, и некоторое изме-
изменение конструкции позволяет и в этом случае провести анало-
аналогичные рассуждения и найти решение V в окрестности начала
координат.
2) В общем случае, когда Э = / X 0Pf q dzp Л dzq — положи-
п
тельный замкнутый поток, положим а= t V Эт m (след Э)
т=1
и рассмотрим потенциал
U(z) = - J \\z-af-2ndo{a)\
при этом предполагается, что 6 определено в шаре радиуса
R + 26. Тогда MJ =
m
Так как, согласно (с),
п
R + 26. Тогда MJ = ^ 0mj m. Положим Эр, q = Эр, q dz д2
дЧ'р q дЧр q д2 d2U
dzm dzm dzm dzm dzm dzm dzp dzq
д2 л д2 d2U
dzp dzq m> m dzp dzq dzm dzm
то V p'- =0, а следовательно, 0^ q — распределение,
представляющее гармоническую функцию в JS(O, R). По дока-
доказанному в п. 1), найдется R' <C R, такое, что в В{0, /?7) суще-
существует решение V уравнения -~—•%=— =01 я. Осталось положить
OZp OZq P> ч
V=U+V в B@,R'). П

66 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Предложение 2.29. Пусть h — плюригармоническая функция
в окрестности шара 5@,1). Тогда найдется голоморфная в
5@, 1) функция fy такая, что h = Ref.
^Доказательство. Если функция_Л плюригармоническая, то
дд/г = О и, следовательно, d(dh — dh) = 0. По лемме Пуанкаре
существует такая функция g, что dg = dh — dh. Так как
функция h вещественнозначная, то dh = dh. Следовательно,
i dg = i dh — / dh, откуда следует, что idg= — / dh = idh = i dg,
так_что функция /#_также вещественнозначная 1). Если f = h + g,
то df = dh-\- dg = dh — dh = 0 и, значит, функция /голоморфна
и h = Ref. a
Следствие 2.30. Пусть Э — положительный замкнутый поток
степени^ 1 в О. Тогда существует такая функция V^ PSH(C"),
что id dV = 9.
Доказательство. По теореме 2.28 можно выбрать Vm в
5@, га) так, что WFm = 8. Следовательно, Vm+\ — Vm — плю-
плюригармоническая функция в 5@, га) и, значит, является веще-
вещественной частью функции hm{г)^ЖE@, га)). Так как целые
функции плотны в Зё(В@, га)), то можно выбрать
А^е5»(Ся) так, что \hm(z)-h'm(z)\ <2~m в 5@, га-1).
Возьмем У0 = 0 и, считая, что Vm{z) = 0 в С5@, га), положим
V (г) = |о [(Vk+l (г) - Vk (г)) - Re h'k (г)].
Тогда FePSH(C"), поскольку в В@, т)
Если V — плюрисубгармоническая функция [и t^=iddVy то
1
2я
at = /л Prt_i =i"9— &У. Это позволяет легко вычислить число
Лелона vt{a).
Предложение 2.31. Пусть Уе PSH(Q). Тогда если t = iddV,
то
1) С точностью до аддитивной константы, поэтому для получения равен-
равенства h = Ref надо вычесть из f константу. — Прим. перев.

§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 67
ii) vt{a) является плотностью в точке а меры B*1)-^ V от-
относительно Меры Т2п-2\
Доказательство. По теореме Стокса имеем
= «^„г2"-' 4г Я (а, г, V) = 2л (т2„_2г2"-2) -г?- Я (а, г, V).
В @, г)
Результат теперь вытекает из того, что А,(а,г, V) — убываю-
убывающая выпуклая функция от log r (предложение I. 17). ?
Предложение 2.32. Пусть Fs(zu .. .?zn)e5^(Q), 5=1, ..., m,
2 |Fs(z)l2 IsPSH(Q), t = iddV. Тогда
s==l /
B.18) v,(a)
где vs — кратность нуля Fs в точке а. В частности, если V =
= \og\F(z)\y то число Лелона vt совпадает с кратностью нуля
в точке а, т. е. со степенью первого не равного тождественно
нулю полинома в разложении Тейлора по однородным поли-
полиномам F (z-\- а)= 2 Pm (z) б точке а.
Доказательство. Предположим, что а = 0. Тогда Fs(uz{, ...
..., uzn) = uvF's(u, zp ..., гп), где функция F's голоморфна
по (л+1) переменным {и, г). Следовательно,
где W(u,z)-- плюригармоническая функция от (u,z). При
0
¦ ()Z|^(. )|
Поэтому h@,r,V)=vlogr+l/2A + e{r), где Л = Я, @, 1,
logi|))>—оо и е(г)->0 при г->0, откуда следует B.18). П
§ 5. Аналитические множества и потоки интегри-
интегрирования
Так как нас интересуют свойства нулевых множеств конеч-
конечных семейств голоморфных функций, рассмотрим здесь некото-
некоторые комплексные аналитические структуры таких множеств.

68 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Определение 2.33. Пусть Я cz О — область. Замкнутое (в Я)
подмножество М cz Я называется комплексным подмногообра-
подмногообразием размерности р, если для каждого z e M существуют окре-
окрестность Uz cz Я точки z и голоморфные функции fi2e(U)
i = l, ..., п — р, такие, что
и ранг матрицы M^U) равен п — р.
Определение 2.34. Пусть Я — область в Сп. Множество
У cz Я называется аналитическим множеством в Я, если для
каждой точки гЕЙ найдутся окрестность этой точки Uz и функ-
функции fi e ?e(Uz), i = 1, ..., tz, такие, что
Если иг[\игф 0, то множество Y() UZQ Uz определяется
двумя различными системами fJ(z/) = O в Uz и ^/(г/) = 0 в Кг»
при этом число уравнений может быть различным.
Определение 2.35. Пусть Q — область в Сп и Y cz Q — анали-
аналитическое множество. Комплексной размерностью d\mzY множе-
множества Y в точке z e Y называется минимальное число линейных
п
уравнений X а] s(z'f — zf) =0, которые после их добавления к
равенствам /,-(г) = 0, t = l, ..., tZy делают z изолированным
решением системы
мо-о, ?«,,,(*;-*,)=о}.
Если dim2 Y = р для всех г ^ К, то говорят, что У имеет «ш-
стую размерность р.
Замечание. Если У — чистой размерности 0 в Я, то У состоит
из изолированных точек.
Определение 2.36. Если У — аналитическое множество в об-
области Я cz О чистой размерности р и У={гЕЙ: f{(z)= ...
... = fn_p(z) = O, fi^?e(Q)}, то говорят, что множество У
есть полное пересечение.
Определение 2.37. Аналитическое множество У cz Я назы-
называется неприводимым, если для любой пары аналитических мно-
множеств yj и У2, таких, что У = Y\ [} У2, либо У = Уь либо У = У2.
Комплексная структура аналитических множеств подробно
изучается в [А, В]. Там, в частности, доказано, что любое ана-
аналитическое множество У в Я cz !С.Я является объедине-

§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 69
нием неприводимых аналитических множеств Ykf и при этом
i) для каждого Q' czcz Q имеем Yk Л Q' = 0 при k ^ k(Q')\
ii) каждое множество Yk разбивается на два множества
Y'k и Yk\ множество Yk, называемое множеством регулярных
точек Yk, является связным комплексным аналитическим под-
подмногообразием в Q \ Yrk размерности pk = dim Yk l\ а множе-
множество Yk> называемое множеством сингулярных точек yfe, яв-
является аналитическим множеством в Q, причем dimF^ < pk\
Hi) dim Y = sup dim Yki замкнутое множество Yr =
= U y'k U (У& П УI) является аналитическим подмножеством
размерности не выше dim У—1, и при этом У\У является
объединением непересекающихся комплексных подмногообра-
подмногообразий в Q\Y'.
Отметим, что если Y={z^Q: /;(г) = 0, /=1, ...,р,
fj{z)^ 3e(Q)}t то dimz Yk ^ n — р для всех г. В частности, для
голоморфной функции \ ф 0, / е Ж(Q) и У^={гЕЙ: f(г) = 0}
размерность в регулярных точках Yf точно равна п— 1.
Определение 2.38. Пусть Q — область в Ся и 0 g Q. Псевдо-
Псевдополиномом Вейерштрасса Р(и; z)g^(CX Q) называется
k~\
функция Р(и\ z) = uk + Yj cti{z)u\ где а,(г)^ Ж{&) и аг@) =
f0
0
= 0.
Теперь напомним классический результат.
Предложение 2.39 (подготовительная теорема Вейерштрасса,
см. [А, В]). Пусть f — голоморфная функция в окрестности Q
начала координат в О, и предположим, что z~pf @, zn) — голо-
морфная и не обращающаяся в нуль функция в некоторой окре-
окрестности начала координат в С. Тогда функция f может быть
представлена единственным образом в виде f = hPpy где функ-
функции h и Рр голоморфны в некоторой окрестности нуля в Сп
1
и Рр— полином Вейерштрасса, т. е. Рр= z? + ? Д/СгОХ
X -г?, где коэффициенты Я/(г') голоморфны в окрестности
нуля в С"-1 и обращаются в нуль в точке zr =(гь ..., zw-i) = 0.
V»
Следующее предложение является первым шагом в опреде-
определении точного понятия «площади» аналитического множества.
Предложение 2.40. Пусть У={геЙ: fj(z) = 0, 1 ^ / ^ Г,
/у ei^(Q)} — аналитическое множество в области Q, такое, что
ОеУи dim0 У = р. Тогда
') Напомним, что dimY= sup сПтг К. — Прим. перев.
Y

70 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
1) для каждой {не обязательно ортогональной) системы ко-
координат, при которой 0 — изолированная точка в C.n~p{zp+\y ...
..., zn) П У у существуют область
D = {zs=Q: \z{\<6, /=1, ..., р, Iz/Кб', j = p+l, ..., п)
и аналитическое подмножество ? czD, такие, что У f| D cz ? f| D
и Y является полным пересечением, которое следующим образом
задается определенными в ;CX{(zi, ..., zp): [zi\ < 6} псевдо-
псевдополиномами Р/(и\ z\, ..., zp), j = p + 1, ..., n:
Y = {z: Pp+i(zp+l\ zx, ..., zp)= ... =Pn{zn; zx, ..., zp) = O};
2) если, кроме того, Y имеет чистую размерность р в Й, то
проекция я: 'С"->О обладает следующим свойством: если
W
= \(zl9 ..., zp) е я (D): П /?/ (z) = О j , г(9в /?, — дискри-
минанты псевдополиномов Р}, то для каждой точки z ^Y f\D,
для которой n{z)qE W, найдется ее окрестность Uz, в которой
z/+i, ..., zn будут голоморфными функциями от z\, ..., zp в
l)z[\Y, z\, ..., zp — локальные координаты в UZ(]Y.
Доказательство. Предположим, что р ^ 1 (при р = 0 множе-
множество У={0} определяется равенствами z\ = 0, /=1, ..., п).
Проведем при фиксированном р индукцию по п. При п = р
утверждение теоремы очевидно, так как в этом случае У = Q.
Предположим, что утверждениие теоремы справедливо в про-
пространстве [С1, и докажем его для пространства СЛ; при этом
можно считать, что п ^ р + 1. Так как dim0 У = р, то можно
найти такое подпространство L с dim L = п — р, что 0 будет
изолированной точкой L(]Y. После линейного преобразования
координат можно считать, что L = Cn-p(zp+\, ..., zn). Таким
образом, комплексная прямая {zx = ... = zn-\ =0, zn e С}
лежит в L. Рассмотрим теперь определяющие У уравнения
f 1 = ... = ft = 0. Среди функций /;- найдется хотя бы одна
(будем считать, что это ft), такая, что ф(г«) = /i@, ..., 0, zn) Ф
Ф 0. Пусть еще В @, г)ссО.
Положим г/ = (г1, ..., *„_!> и D1 = {(z/, zn): \\z'\\2 < г2 - г2пУ
\*п\< гп}> гДе гп < ЧчГ выбрано так, что функция y(zn) в круге
I zn I < гп обращается в нуль только при zn = 0 и | ф (zn) \ ^ а > 0
при |2„| = гя. Можно также считать гп столь малым, чтобы
в области D\ = S\y^{zn: \zn\<rn^czDl9 где AjCzC1, можно
было пользоваться предложением 2.39 и чтобы функция /j (zf\ zn)
представлялась в виде Q{zn\ z')fx (z), где функция fe 5^(ZH
не обращается в нуль в D\, а псевдополином Q(zn\ г7) по пере-
переменной zn имеет степень k, равную кратности нуля в точке

§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 71
zn==0 функции ф(^). При таком выборе гп возьмем Д{ столь
малым, чтобы при z' e Д{ все корни полинома Q{zn\ z') были
по модулю меньше гп. Пусть Q (zn; z') = П Qaa (zn> z') "" Раз"
ложение Q на неприводимые псевдополиномы по zn> и пусть
Q(zn; z') = TlQa(zn; z'). Тогда degQ = fe<& и, кроме того,
а ^
дискриминант R{z') функции Q как полинома от zn не равен
тождественно нулю в Д{. Таким образом,
Y(]D\ = {z^D{: Q(zn; z') = 0, f,(z) = O, 2 </</}.
Положим W{={z'^А[: R(z') — 0y В каждой точке zf e
еД,\1^1 все корни Av = Av(z')> v=l,..., fe, уравнения
Q(ert; ^0 = 0 различны. При этом функции Av(z') аналитические
на Д; \ W, и | Av (z') | < гл для всех v = l b/EAJxr,.
Поэтому функции f i {z') = П fj {*', К (z% j = 2, ..., tf голо-
v=l
морфны и ограничены в Д^чи^. По следствию 1.23 они могут
быть голоморфно продолжены на все Д{.
Если (/,ж2„)еУ, то Q(zny /) = 0и ^(г', zn)=-0 для всех /,
поэтому и f/(z/) = O, / = 2, ...,/. Таким образом, я„(К)с
cz rrt_, = {^ е= Д;: fy (У) = 0, / = 2, ...,/}. Отметим, что 0 — изо-
изолированная точка множества C/l~p (zp+u ..., ^„^fl^-i.
Поэтому по предположению индукции можно выбрать псевдо-
псевдополиномы
и D2cAj так, что
Положим
р /г . у\ - ТТ n(z • z z ?<5l) И^-1-
^л 1^л> ^ ; — -LJL V ^rt> ^р • • • > ^р, Ьр+р • • • > brt_i
si 5л-1-р
где d^) (z,, ..., 2 ) — различные корни уравнений рр . (г .; z,,...
...,гр) = 0при(г1,...,гр)^Г2 = ](г1,...,гр): П Л/(^ zp)=0\.
Так же, как и выше, доказывается, что Pn{z) продолжается как
голоморфная функция в D2. Заменим теперь Рп{г) на псевдо-
псевдополином Рп(г)> имеющий те же нули, что и Pn(z), но не имею-
имеющий кратных делителей.

72 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Положим D = ?>2 X {zn'- \zn\<rn]. Теперь Y cz? = {z(=D:
РР+1= ••• =ЯЯ_! = ЯЯ = О} и n(Y(]D)^n(Y(]D)f что дока-
доказывает 1).
Докажем 2). Пусть z0 = (z°, ..., 2J)gF- такая точка, что
(z°, ..., zj) ^ IF. Тогда каждое из уравнений Рр+. (zp+/; zp ...
..., z ) = 0 имеет в связной окрестности V точки (zj, ..., zj) e
<= Ср единственный корень zp+j = ?р+/(г1э ..., zp), который
является голоморфной функцией со значением в точке [z\, ...
..., 20), равным z°+j. Следовательно, существует такая окре-
окрестность U = {z: \zk - 4| < rk) ^Д что ^(f7) П ^ = 0 и Y\}U
содержит связное аналитическое подмногообразие в [/, опре-
определяемое равенствами zp+/ = gp+/(z1, ..., zp), l</<« —p,
Bi, ..., 2р)еУся(У). Далее, К — локально неприводимое
аналитическое множество, К и К имеют одинаковую размер-
размерность р и К си Р. Следовательно, КГ)^==УП^ и Bi> •••> 2Р) —
локальные координаты этого многообразия. ?
Предложение 2.41. В условиях предложения 2.40 множество
Y' сингулярных точек Y содержится в аналитическом множестве
размерности не более р — 1.
Доказательство. По предложению 2.40, я (Y') си W =
{я ^ п
(ги •••> *р): П #/=0к причем П /?/^ 0 в я(/)), так
как ни один из полиномов Pp+i не имеет кратных сомножи-
сомножителей. Следовательно, dimz'W < р для всех z' e 11^. Так как
слойя~!((/) П К дискретен, тосНп^я^) П ^ < Р длягел^). П
Пусть G/z-p(Cn)—грассманиан (п — р)-мерных подпро-
подпространств в Сп. Тогда Gn-p(Cn)—компактное аналитическое
многообразие комплексной размерности р(п — р) (см. [Н]).
Предложение 2.42. Пусть X — аналитическое множество чи-
чистой размерности р в шаре В@, г) w 0gX. Тогда для некото-
некоторого г <г множество !)={Lg Gn-P(Cn): L f] X Г) В @, г) не ди-
дискретно} есть аналитическое множество в Gn-p(Cn).
Доказательство. Пусть Ft(z\, ..., zn) = 0, t=l, ..., Т,—
система уравнений, которая определяет множество X в В@, г).
Выберем какое-либо Lo e Gn-P{Cn) и, считая для простоты, что
L0={z\ Z\= ... =zn_p = 0}, рассмотрим следующую окре-
окрестность UB точки z0:
B.19) t \k t

§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 73
Для (zp+i9 .. ., 2я)еД = {(Zp+i, ..., zj, \zf\< r/n, j = p +
+ 1, ..., п) уравнения
B.20) Ft ( ? C{zh ..., ? ф/, zp+u • • •, zn) = 0,
определяют аналитическое множество % в (Уе X Д с= G,z_p(O)X
X С"~р. Рассмотрим пересечение % с со = С/8'XА', где е'<еи
Д7 dd Д. Множество со пересекается лишь с конечным числом
неприводимых компонент %. Пусть %s — одна из таких компо-
компонент комплексной размерности ds.
Далее, пусть я: (L, z)-^L — проекция Gn_p (Сп) X Сп~р на
Gn-P(?n) и <© —размерность слоя хП я («(?)) Д^я g e xs.
Заметим, что d^(g) = O при ? = (L, 0) тогда и только тогда,
когда Ьфц. С другой стороны, ранг г(?) системы B.20)
в точке ^ равен ds(t>) ~ d^iQ, причем ds(?,) постоянно на %s.
Поэтому условие r(g)^ds— 1 определяет аналитическое под-
подмножество х^ ^ Xs> и множество (г] fl U^) X {0} совпадает с ана-
аналитическим множеством U Х^ П (UB, X {0}). Таким образом,
ц — аналитическое множество в Gn-p(Cn), и остается только
доказать, что ц Ф Gn-p^C!1). Это следует из того, что dimX = р,
и, значит, существуют г и L, такие, что эсП В@, г)П L ={0}. ?
Теперь можно доказать ограниченность площади множества
регулярных точек Р аналитического множества Y в окрестности
сингулярной точки z' e V.
Теорема 2.43. Пусть Q — область в С", Y — аналитическое
множество чистой размерности р в О. Тогда для любого ком-
компакта KdQ найдется такая константа C(K,Y)>Qt что для
любого шара В (г, г) а К р-мерная площадь crjr, т. е. след по-
тока интегрирования [У], удовлетворяет неравенству
B.21) \
В (z, г)
Доказательство. Достаточно доказать B.21), для компактной
окрестности D точки ге Y(]Q. При этом для простоты можно
считать z = 0. Пусть Lo — такое (п — р) -мерное подпростран-
подпространство, что 0 — изолированная точка Lo fl Y. По предложению 2.42
можно выбрать окрестность со точки Lo в Gn-p(Cn) так, что 0
будет изолированной точкой для L П Y при всех LG(o. Полагая
N = п\ (р\ (п — р) I)-1, выберем точки Lu -.., LN из со так, чтобы
набор Lp ..., L'N ортогональных подпространств к Lb ..., LN
образовывал регулярную систему.

74 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Оценим вначале [Y]{x(L\)) == \ t(Li). Согласно предложению
Y
2.40, можно выбрать систему координат и в ней окрестность Dx
начала координат так, что Lx = Сп~р (zp+l, ..., 2rt), L\ =
= Cp{z{, ..., zp) и Yf]DiCzlT9 гДе У —аналитическое множе-
множество в некоторой окрестности D ияэ Du определяемое равен-
равенствами Pp+l(Zp+\\ Zu ••-, Zp)= ... =Pn(Zn\ 2,i, • .., ZP) = Q, В
которых Pp+] — псевдополиномы по zp+/, причем degP/+P =
= Y/+p- Таким образом, для каждой точки z'=(zu ••-, zp) мно-
п
жество л~1 (z')flY (}Di состоит не более чем из y = П Y/ то-
точек. Из следствия 1.12 и из того, что2) nrl(W)()?—аналити-
nrl(W)()?—аналитическое подмножество в Р, при B(zyr)cz D\ следует, что
Таким
с
У(\В<г,
\
Y(]B(z,r)\n-
образом,
t(LJ)^y \ (
Г) B{z\r)
т(Г
/ \р
Y(]B(z,
l\dZtA ...
x(L
г)
AdZp
\).
,Л
где .г7 = я (г) — проекция на Ср (zv ..., 2p) = L^. Аналогично,
для подпространств Uv ..., L^ получим оценки
где B(z, r) a Ds и Cs не зависит от г и г. Поэтому если Д — связ-
связная открытая окрестность нуля в П А?> ™ Для B(z,r)cz& вы-
s= 1
полняются неравенства
, г)
По теореме 2.16 существует такая зависящая только от Lb ...
..., LN константа С", что для каждого положительного потока t
/ N \
его след at допускает оценку at < С" I X t А т (L?) I, поэтому
для потока [У] получаем
B.22) о? [В (г, г)] < С (A, Y) г2р при В (г, г) с: Д.
!) Множество W определено в предложении 2.40. — Прим. перев.

§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 75
Осталось покрыть компакт К конечным числом областей А/, для
которых выполняется B.22) с некоторыми константами
С (А,-, У), и выбрать С (/С, Y) =- supC(A/f Y). ?
Заметим, что как определение потока ^, так и определение его
замыкания по формуле dt(ф) = t(dy) являются локальными:
если{/7/} — локально конечное открытое покрытие области QczCrt
и ру е 9?™ (Uj) — подчиненное ему разбиение единицы, то для
формы ф с коэффициентами из 9?™ имеем t (ф) = J] / (р7ф) =
= 2^(ф/)» где фу = руф. Докажем сейчас обобщение теоремы
Стокса, которое будет применяться для продолжения замкну-
замкнутых положительных потоков в Qc Rm на все Rm. Так как эта
задача локальная, можно считать Q относительно компактным.
Теорема 2.44. Пусть t — непрерывный порядка нуль поток,
определенный в ограниченной области Q cz Rm. Тогда
\) для того чтобы поток t продолжался до непрерывного по-
потока f во всем Rm, необходимо и достаточно, чтобы поток t
был ограничен в Q, т. е. меры, являющиеся коэффициентами t,
имели бы конечную массу в Q. В этом случае простое продол-
продолжение t потока t с носителем в Q определяется равенством
B.23) ?(Ф)= lim f[<typ],
q->oo
где aq (x) — семейство таких функций из ff™ (Q), что 0 ^а7 (х) ^ 1,
ag + iW^a</W M lim aq (х) равен характеристической функции
q->oo
%q (x) множества Q;
ii) если, кроме того, поток t замкнут, то его простое продол-
продолжение, определенное в B.23), замкнуто тогда и только тогда,
когда lim t Adaq = 0 для какой-нибудь последовательности функ-
q->oo
ций aq{x) с теми же свойствами, что и в \).
Доказательство, Если t продолжается до непрерывного по-
порядка нуль потока ? в области Of n> ?1, то, очевидно, для лю-
любого Gccfi' масса IUHg MUIIg не превосходит массы IIHI-q
и, следовательно, IU||Q<IU'|fe- < °°- Обратно, если t имеет
конечную общую массу в й, то соотношение B.23) определяет
непрерывный порядка нуль поток t в Rm с ограниченной мас-
массой. При этом 1 не зависит от выбора конкретной последова-
последовательности а? с вышеперечисленными свойствами. Далее, для
формы ф с коэффициентами из (g?^°(Rm)
t (dy) = lim / (c^ dq>) = lim [t (d (с^ф)) — t (daq А ф)].

76 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Так как поток / замкнут и supp адц>— компакт в Q, то
t(d(aqq))) = 0. Поэтому i (dqp) = — lim / (daq л qp) для каждой
последовательности aq(x) с указанными свойствами, что доказы-
доказывает И). ?
Следствие 2.45. Пусть Q — область в Rm = Rp X Rm~p, 0<
^ р < га, у =(хи ..., хр), yf =(xp+h ..., xm) и пх ={xg Q:
\\у\\?=0}. Для того чтобы простое предложение t замкнутого и
непрерывного порядка нуль потока t в Q\ было замкнутым в Я,
достаточно, чтобы равенство
B.24)
г->0
выполнялось для каждой области GczczQ, где \\t\\rG — масса
потока t в G П Й1 П {\\у'\\ < г}.
Доказательство. Пусть 1г(х), г > 0, — семейство таких функ-
функций из 9^@), что 0^/rOXl, lf>(x)^lr(x) при р > г,
1г(х) = 0 при du{x)^r и lim / (x) = %Q (х), где xQW — характе-
г->0
ристическая функция ?2. Для данной формы ср с коэффициен-
коэффициентами из У" рассмотрим область G, такую, что supp фсб с: с: Q.
Тогда /r(x) = 1 для х?(}иг<го.
Пусть, далее, g(t)—бесконечно дифференцируемая убываю-
убывающая функция, определенная при t ^ 0, равная 1 при 0 ^ / ^
^ 1/2 и равная 0 при t^\. Рассмотрим для х=(у,у') семей-
семейство функций аг(х)= 1Г(х) [1—g(\\y'II/г)] и положим t = lim /ar.
По теореме 2.44
= Hm [— / (dar Л ф)].
r->0
При г < r0 имеем /г (дг) = 1 для x^G и | dg |< -~ sup | g' (t) \ =
= С/г. Поэтому | i (d<p) | < $т \U |Г0 IIФII ПРИ т < го, и из B.24)
следует, что ?(йф) = О. ?
Теорема 2.46. Пусть Q — область в Rm = R^ X Rm""p, 0 <
<р^га, у = (хи ..., хр), у'=(хр+и ..., хт), и пусть Q} =
= {xgQ: Ili/HI^O}. Для того чтобы простое продолжение t
замкнутого и непрерывного порядка нуль потока t в Q' было
замкнутым в ?2, достаточно, чтобы для каждой области G czczQ
существовали такие константы CG и у > р + 1, что для каждого
шара В = В (х, г) a G
B.25) im

§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 77
Доказательство. Для каждой области G aa Q и множества
Gr= G (]{х: \\у'\\< г} найдется г0 > 0, такое, что при г < г0
образ G'r множества Gr при проекции Rm->Rp; х = (#, у')->-
->¦(#, 0) является компактом в О {] Rpy где G — компактная окре-
окрестность G. Покроем Gr кубами At с ребрами длиной 2г, парал-
параллельными координатным осям, так, чтобы Rp f) Ai было гранью
куба Ai. Общее число кубов, для которых Л; П Gr = 0, не пре-
превосходит С\Г-р, где С\ < оо. Из B.25) получаем тогда
II/If <*Г гу~р
после чего утверждение теоремы вытекает из следствия 2.45. П
Теперь можно доказать основной результат раздела.
Теорема 2.47. Пусть Y — аналитическое множество чистой
комплексной размерности р ^ 1 в области Q а О, и пусть
t = [?] — определенный в Q\Y' поток интегрирования по мно-
множеству регулярных точек множества У. Тогда простое продол-
продолжение t потока г на все Q (которое будет обозначаться через
[Y]) существует и является положительным замкнутым потоком.
Доказательство. Из предложения 2.6 следует, что [Y] е
^Tn-P(Q\Y'). Далее, Y' — аналитическое множество размер-
размерности не выше р—1. Пусть ?{ — множество регулярных точек
F', a y\ — множество сингулярных точек Y\ Тогда в Q \ Y[ мно-
множество Ki является объединением комплексных подмногооб-
подмногообразий Ys. Положим J^= U O^n^s')-Это множество также ана-
s?=s'
литическое размерности не выше р — 2. Положим Q" = Q\
\ (Y\ U U Y"\ Пусть {Ui}— локально конечное покрытие множе-
ства ?! в Q", такое, что для каждого Ui существует отображе-
отображение у?: t/i-^C", при котором yt(Uif] Yx) является окрестностью
нуля в CPif pi^p— 1. Пусть {р,-}—подчиненное {Ui} разбиение
единицы, и пусть ф g Й!(Р, гi) (Q") U %"(p-i, ^) (Q"). Тогда di (qp)=
= t(dy)= S ? (^ (Р^ф))- Поскольку 2pi + 1 < 2p, из теорем 2.43
и 2.46 следует, что t продолжается как замкнутый поток в Ui.
Поэтому f(d(p?-<p)) = 0 для всех *, и t — замкнутый поток в Q".
Но Y = Y'X\J\JY" — аналитическое множество размерности не
S
выше р — 2, так что можно повторить предыдущие рассуждения,
продолжив t на Q \ Y', где Y' — аналитическое множество раз-
размерности не выше р — 3. Повторив этот процесс не более р
раз, получим продолжение потока t до замкнутого положитель-
положительного потока ? во всем й. ?

78 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Замечание 1. В случае р = О нетрудно видеть, что t =
где y={at} и 6(at)—мера Дирака в щ.
Замечание 2. Существенным моментом доказательства тео-
теоремы 2.47 была оценка площади аналитического множества, по-
полученная в теореме 2.43. Эта оценка приводит также к следую-
следующему результату.
Предложение 2.48. Аналитическое множество чистой размер-
размерности р имеет 2р-мерную площадь, которая определяется фор-
формулой
Она конечна на каждом компактном подмножестве в Q и обла-
обладает свойством а — X ah где а7 — проекция а на подпростран-
подпространство \Cp{zi).
Таким образом, мы видим, что для ^ = [К] след at как раз
и будет площадью У.
Предложение 2.49. Для /е fn-P(Q) число Лелона vt{a) по-
полунепрерывно сверху.
Доказательство. Так как at (а, г) совпадает с массой меры
ot в замкнутом шаре радиуса г с центром в а, то функция
at (а, г) полунепрерывна сверху по а при фиксированном г, а
следовательно, полунепрерывна сверху и функция vf(a) =
= inf%-lr-2Pat(a, r). ?
г->0 И
Теорема 2.50. Пусть f — F*t — образ положительного замк-
замкнутого потока t e Tп-Р\ при биголоморфном отображении zf =
= /^B) окрестности точки г0 на окрестность точки го^.^Ч2^)-
Тогда числа Лелона vt,(jsQ и vt(z0) потоков V и i в точках z'o
и zQ соответственно равны.
Доказательство. Разобьем доказательство на несколько
шагов.
i) Предположим для простоты, что zo = O, z'0 = 0 и F биго-
ломорфно отображает окрестность Q точки z0 на окрестность
Q' точки z'o в С", п ^ 2. Поток V = FJ действует на форму ср
с коэффициентами из^(й') по правилу
B.26) trto) = F.t(q>)=t(r4>),

§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 79
где F*q получается из ф заменой z' = F(z). Положим \|)(z) =
= Р*AИ12). Таким образом, если F = (FU ..., Fn), то
B.27) *(z)=?Ft(z)Ft(z).
Из определения vt'@) получаем тогда, что
— [
nr2) J
ii) Последнее равенство в i) приводит к определению числа
Лелона по отношению к функции i|)(z), имеющей свойства, по-
подобные функции ||z||2.
Пусть L(Q)—множество тех функций V(z)e PSH(?2), дли
которых
a) V(z)^0
b) V(z)€=V2(Q)()PSH(Q),
c) множество V(z)^r — компакт в Q при 0 < г < У?о,
d) logy(z)ePSH(Q).
Ясно, что для Vu V2^L(Q) всегда Vx • V2^ L(Q), а также
V[ gL(Q) при всех / > 0. Но, кроме того, V\ + V2e= L(Q).
Чтобы в этом убедиться, заметим, что если 1/gL(Q), to
п
log V + Re Z Akzk ^PSH(Q) для любого A=(AU ..., An)^
Z
Cn. Поэтому V (z)
exp Z Akzk
Р8Н(?2)для всех А е Сл.
Простые вычисления (см. лемму 3.46) показывают, что это усло-
условие является достаточным для d). Но если оно справедливо
для V\ и для V2, то оно будет справедливым и для V\ + V2.
В частности, если
B.28) $е(*) = Ф*(*) + вф'(г),
п
где ф = Z zkZk> k ^ 2, / ^ 2, а функция г|) определена равен-
равенством B.27), то tyB(z)e
Для данной функции /igL(Q) определим число Лелона
Vh,t@) потока t относительно h формулой
B.29) v* , @) = 1

SO Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Таким образом, vq>, /@)== v/@). Существование предела в
B.29) получается так же, как и в теореме 2.23, из неравенства
B.30) ^,(р2) J
r\<h{z)<r\
h{z)<r\ h{z)<r\
где ah = -^ дд log h — положительный замкнутый поток с непре-
непрерывными коэффициентами. Если в качестве h (z) взять опреде-
определенную в B.27) функцию г|)(г), получим, что vA^@) = Vf@).
iii) Докажем соотношение
B.31) V.*(°> = '4.«(°>. l>2'
Так как A'EifQ), то д№ = lhl-xddh + 1A - \)hl~2dh/\dh.
На й-сфере, определяемой равенством h(z) = r2, имеем
Далее,
vAi t@)=lim
r->0
Полагая, как и в теореме 2.22, t = dQ и р = г'~\ получаем по
теореме Стокса
hl{z)<r*
h(z)<Q2
что доказывает B.31).
Для того чтобы доказать равенство v,j,f t@) = vv, ^@) (что
эквивалентно утверждению теоремы), достаточно проверить не-
неравенство v^, t @) ^ vp, /@) (обратное неравенство доказывает-
доказывается теми же рассуждениями, примененными к отображению F~l).
Из B.31) вытекает, что достаточно при любых k > I ^ 2 дока-
доказать неравенство v^fe f @) ^ v(p/ ^ @).
Пусть -ф8 (г) определено равенством B.28). Так как k > I, то
для каждого ее @,1) можно найти такое г8, что |ue(z)|^
<еA+ е)|ф'(-г)| при ||z||=r8. Выберем теперь г так, чтобы

§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 81
множество {г: i|)ft (г) ^ г2} было компактным в Q. Рассмотрим
интеграл
/8(г)=(яг2ГР
%{z)<r2
Так как г > ге при малых е > 0, то
Aimn-Pp-2P [ /л D>
р->0 - J 2
t Л (ir<
Положим Ye = 8Р + у'> гДе Р — Т ^Лр' и Y' = Т ^ ^** ^ак как
потоки р и у' положительны, то у^^гр^р и, следовательно,
/е(г)>Нтя-"р-2Р \ е^л(~5ЛрОР = A+е)"% / ,@).
Р+0 J V2 У Ф.г
Ф'<р7еA+е)
С другой стороны, по теореме Лебега о мажорированной
сходимости
\
так что I0(r)^Vyi t@). Отсюда следует, что
Следствие 2.51. Если X — аналитическое множество чистой
размерности р, то для каждой регулярной точки го е X число
Лелона V[x\(z0) равно 1.
Доказательство. Найдем окрестность U точки го, окрестность
V точки 0еСли биголоморфное отображение F: U->- V, такие,
что F(zo) = O и F(U(]X)=V(]Cp(zu .... zp)=Y. По теореме
2.50
Vi (го) = v[yl @) = lim т-V-2Por[y] (г) = 1. ?
Замечание. Площадь а аналитического множества Y в Q —
это след потока * = [У]. Согласно B.13), площадь а^(г) множе-
множества Y в шаре В@, r)cz Q обладает следующим свойством: от-
отношение ot(r)/r2p является возрастающей функцией от г. Пред-
Предложение 2.50 дает нижнюю оценку для at (г) в регулярных точ-
точках:

82 Гл. 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств
Комментарии
Первые попытки изучения площади аналитического множества
предпринимал еще Пуанкаре [2], который показал, что если
/ — голоморфная функция, то log|/| локально представим в виде
суммы Р2"-гармонической функции и потенциала —Сп\\\а —
— z ||2~2/x do (а), где а — «площадь» дивизора / = 0. В 1938 г.
Кнезер [1], обобщая произведение Вейерштрасса на многие пе-
переменные, использовал проективную площадь и построил ло-
локально сходящееся представление голоморфной функции log /,
где / определяет дивизор X. В 1952 г. Штолль [2] этим же ме-
методом получил решение проблемы Кузена для дивизора X ко-
конечного порядка. В 1950 г. Рутисхаузер [1] показал, что для
аналитического многообразия X в С" выполняется неравенство
cFx(r)^ nr2. В 1950 г. Лелон [8] с помощью потенциала полу-
получил сходящееся представление для log|P|, где Р — полином в
С". Используя технику распределений [F] и потоков [Е]. Ле-
Лелон в 1954 г. дал современную формулировку интегрирования
по дивизору X в виде
= J-i-а5 log щ л Ф
и ввел поток, ассоциированный с данными Кузена.
Общая задача существования и замкнутости потока интег-
интегрирования [X] для аналитического множества X отличается от
случая коразмерности 1 тем, что уже нельзя считать X полным
пересечением. Положительные потоки и положительные замк-
замкнутые потоки были введены Лелоном [10] в 1957 г., продолже-
продолжение потока было получено как следствие ограниченности мер.
Сейчас положительные замкнутые потоки стали классической
частью комплексного анализа, что будет проиллюстрировано в
последующих главах.

Глава 3
Связь между ростом целой функции
и ростом ее нулевого множества
Задача построения голоморфной функции одной комплексной
переменной по данному нулевому множеству была рещена
Вейерштрассом в середине XIX века. Он показал, что если Q —
область комплексной плоскости, {ak}—последовательность то-
точек в Q, не имеющая предельной точки в Q, a rrik— последова-
последовательность положительных целых чисел, то существует функция
/e<?^(Q), которая в каждой точке ak имеет нуль порядка rrik
и не обращается в нуль в других точках. Эквивалентной зада-
задачей для многих комплексных переменных является вторая про-
проблема Кузена, которую можно сформулировать следующим об-
образом: верно ли, что для каждого нулевого множества X, ло-
локально определенного в области йс Сл, существует голоморф-
голоморфная в Q функция, имеющая нулевое множество, совпадающее
с Л? Точнее, если {?/;}—открытое покрытие Q и функции
U е= M(Ui) выбраны так, что fJT1 е= Ж (Ut П Uf) и fj'1 e=
^ Ж (Ut[\UD для всех пар i, /, то существует ли функция f<=
€«(Q), такая, что f - f7{ <= Ж {Ut) и Г7/ ^ Зв{иг) для всех /?
Ответ на этот вопрос в общем случае отрицателен, даже если
Q — область голоморфности. Он зависит как от топологических,
так и от комплексно-аналитических свойств Q (см. [А, В]). Од-
Однако в случае Q = С," ответ всегда утвердителен.
В процессе изучения нас будет интересовать также количе-
количественный вариант второй проблемы Кузена. Данные Кузена
X = (Ui,fi) определяют дивизор в :С.Я, состоящий из аналити-
аналитического множества Y(X) размерности п—1, которое как раз
является нулевым множеством ft в ?/,-, и набора неотрицатель-
неотрицательных целых чисел rrik — кратностей неприводимых ветвей Yk(X)
множества Y{X)\ mk является порядком корня ft на множестве
Yk(X) регулярных точек Yk{X) (см. ниже). Из условий совме-
совместности, состоящих в голоморфности f{fjl в Utfl Uf и связности
Yk(X), следует, что числа rrik корректно определены. Это приво-
приводит нас к определению «площади с кратностью» для данных
Кузена X в шаре В @, г) по формуле о (г) = ? mk • площадь
(Yk(X)()B(Q, r)). Задача состоит в том, чтобы найти такую це-

84 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
лую функцию /, чтобы функции ff~{ и fj~l были голоморфны
в Uи a logAl/(r) имел минимальный асимптотический рост. Для
целых функций конечного порядка это эквивалентно построе-
построению решения минимального порядка роста. Решение этой за-
задачи для данных Кузена конечного порядка и свойства таких
решений являются обобщением на многие комплексные пере-
переменные хорошо известных результатов Э. Бореля, Ж. Адамара
и Е. Линделёфа для одной комплексной переменной (см. [D]).
§ L Положительные замкнутые потоки степени 1,
ассоциированные с положительными дивизорами
Пусть X = (//, LJi) — данные Кузена в Q, Y(X)—аналитическое
множество, определяемое соотношениями Y(X)(] LJi = {z e Vc
fi(z) = Q), и У(Х)—комплексное многообразие регулярных то-
точек Y(X)-
Теорема 3.1. Данные Кузена X = (fifUi) в области Q опре-
делают каноническим способом положительный замкнутый по-
поток QXy который называется потоком, ассоциированным с дан-
данными Кузена X. При этом в Ui указанный поток определяется
равенством Qx = "^"ddlogl ft |. Кроме того, если Z = (f\, из-
изданные Кузена, эквивалентные X, то 0z = 8*.
Доказательство. Положим /; = — дд log | ff | в 1)\. Определим
0х в Q равенством 0* = // в Uf. Так как функции fJJ1
и f~flfj голоморфны в Uj[\Vk, то (log|//|— \og\fk\)— плюригар-
моническая функция в Uj П Uk, и поэтому ti—tk=^dd\[og\fi\ —
—l°gl /л 1]=0, так чт0 поток 9* корректно определен. Так как //
положительно и замкнуто в Of для каждого /, то поток 9* по-
положительный и замкнутый в Q. Если_данные Кузена X=(fi9Ui)
nZ = {f/pUfj) эквивалентны, то dd(\og\fi\ — \og\ffj\) = 0 на
UiOU'j и, следовательно, потоки 0* и 0z совпадают. ?
В случае п = 1 для голоморфной в Q функции /, такой, что
Д) = 0, найдется окрестность Ua точки а, в которой f(z) =
= {z — a)ig(z), где g(z)=?0 в Ua. В Ua имеем

§ 1. Положительные замкнутые потоки степени 1 85
где б(а)—мера Дирака в точке а. Поэтому при п= 1 поток,
ассоциированный с данными Кузена {ak, га*}, имеет вид
9^ = 2 ™<Ф (ak)- При п > 1 докажем следующую теорему.
Теорема 3.2. Пусть X = (/,-, Ui) — данные Кузена и Qx —
ассоциированный положительный замкнутый поток. Тогда
/о i\ q \™* rY1 гу /УЛ1
k
где Yk(X) — неприводимые компоненты Y(X), [Yk(X)] — поток
интегрирования по k-й компоненте, a trik = Vk{z)—положитель-
Vk{z)—положительное целое число — кратность Yk(X) в данных Кузена X. Для
каждой формы фЕ%М(п-и-1)Й имеем
C.2) 9х(Ф) = ?т* J Ф,
где суммирование проводится по тем k, для которых Yk{X)(]
0
Докажем вначале следующее утверждение.
Предложение 3.3. Число Лелона vx(z) потока 9*, ассоцииро-
ассоциированного с данными Кузена X = (fi, Ui), постоянно для всех
z e Yk(X) и равно целому числу rrik-
Доказательство. Так как Yk(X) связно, достаточно проверить,
что vx(z) локально постоянно и принимает только целые зна-
значения. Пусть zo^?k(X). Рассмотрим голоморфный гомеомор-
гомеоморфизм w = H(z) некоторой окрестности UZo точки 2о на окре-
окрестность V начала координат; при этом считаем, что H(zo) = O
и wn(z) = 0 тогда и только тогда, когда z e Yk (X) Л U2<i. Если //
определяет Yk(X) в U2o, то функция ff(w) = f;°H~l(w) обра-
обращается в нуль в V тогда и только тогда, когда wn = 0. По под-
подготовительной теореме Вейерштрасса (предложение 2.39) можно
найти окрестность V а V начала координат, в которой
[q-\
где gj(w)=^=0 в V. А так как Jj(w) = 0 тогда и только тогдаг
когда шл = 0, то ff(w) = w%gf(w). Таким образом, поток
^ дд log | f/ (w) | == -~- дд log| wn | имеет в окрестности нуля число
Лелона, равное q, а так как по теореме 2.50 это инвариант при
аналитических изоморфизмах, то vx(z)=q в окрестности точки
zos=Yk(X). ?

86 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
Доказательство теоремы 3.2. Дляфе^-и-и с носите-
носителем в UZo получаем
(ф) = ^ $ ^log I /у | л Ф=^ J aa log i fy i л (Ф о //-1) =
wn=° Yk(X)
где q— число Лелона потока 0* в точках множества ?k(X).
Это доказывает C.2) для ср с носителем в U2o. Для формы
чр ^ ?Р~(Л_1, л_1)(й) используем разбиение единицы, подчиненное
покрытию {U2} множестваY{X) \ \JY'k(X), где Y'k{X)— множе-
множество сингулярных точек Y(X) на Yk(X). Из теорем 2.46 и 2.47
следует, что \ QxAq> = \ В^Лф, а последний интеграл ра-
Y(X)\\Jy',(X)
k k
вен Vmfe \ ф. По следствию 2.51 это совпадает с действием
Yk(X)
потока YumkWk{X)\ на форму ф. D
Определение 3.4. Положительные числа rrik, возникающие в
формуле 3.1, называются кратностями Yk(X) в данных Кузена X,
а поток 0х, ассоциированный с X, называется потоком интегри-
интегрирования с кратностями.
Определение 3.5. Мера ох = Qx Л Ря-i ~" слеД потока Э^ —
называется площадью Y(X) с кратностями. Это определение
оправдано тем, что \ рл-1 является как раз Bп — 2)-мерной
k
площадью комплексного многообразия ?k{X).
Замечание 1. Мажорация 110*11 мерой Спох может быть ин-
интерпретирована как мажорация потока интегрирования по ана-
аналитическому множеству Y(X) площадью аналитического мно-
множества Y(X).
Замечание 2. Тем же способом vx может быть интерпрети-
интерпретирована как проективная площадь, a v*(r) — как мера относи-
относительно метрики в Р(Сп) конуса комплексных прямых, проходя-
проходящих через начало координат и пересекающих множество Х(]
ПВ@, г). Число Лелона v*@) является степенью конуса на-
лравлений комплексных касательных к X из 0. Точнее:

§ 2. Индикаторы роста данных Кузена в Сп 87
Предложение 3.6. Пусть X определено в окрестности нуля
равенством f(z) = O. Тогда функция vx(r) = (T2n-2^n~2)l
обладает следующими свойствами:
ii) V;f(r) = C02-i ^
II a ||
где n(a,r)—число нулей (с учетом кратности) функции f(ua)
на комплексной прямой z = иа, по модулю не превосходящих г.
Доказательство. Так как ох (г) =~dd log | / | Л р„_! =
= Bл)" A log | / | рп, то по теореме Стокса {)
II г ||<г
r2"-' _^L % (о, г, log | / |) • щп =
у г, log |/|).
2л
2я>~' \1о
С другой стороны, на комплексной прямой z = au для \и\ = г
2л
д ,~ v — 1
П(
4 ' О 10g Г %
о"
Усредняя это равенство по сфере ||а||= 1, получим
), г, log | / |). ?
§ 2. Индикаторы роста данных Кузена в Сп
Евклидова площадь ох{г) и проективная площадь vx(r) харак-
характеризуют рост данных Кузена X. Так как они связаны форму-
лой ^
то достаточно пользоваться только проективным индикатором
(
)
Если X определено глобально полиномом P(z) степени т,то,.
как следует из предложения 3.6, vx{t) = д1о t МО, *> log|P|)
1} Для обоснования смены порядка дифференцирования и интегрирова-
интегрирования можно формулу Иенсена для /(«а) проинтегрировать по daJ« (a), a
затем продифференцировать по log г. — Прим. перев.

-88 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
и, следовательно, [lim vx (t) = m = deg P. Так же как и при
t->oo
изучении целых функций, нас прежде всего будет интересовать
шкала роста конечного порядка.
Определение 3.7. Будем говорить, что данные Кузена X
имеют конечный порядок р, если
logv (г)
Определение 3.8. Если р(г) — уточненный порядок, то типом
X функции vx(r) относительно уточненного порядка р(г) назы-
называется величина Я, = lim sup vx(r)r~Q(r)> говорят, что vx(r) есть
Г-»оо
•функция минимального, нормального или максимального типа,
если соответственно А, = О, 0<А,<+оо или X = +°°-
Предложение 3.9. Для а>0, s >0 и п ^ I следующие усло-
условия эквивалентны:
I) J rsdvx(t)< +со,
И)
Ш)
iv)
и любое из этих условий влечет равенство lim Vx(r)r~5= 0.
Г-»оо
Доказательство. Интегрированием по частям получаем
г г
C.3) 5r s dv* W = г%^ W С + 5 5v
a
Так как непостоянный внеинтегральный член в правой части поло-
положителен, то i) влечет ii) и существование предела lim vx (t) t~s = С.
*->oo
Теперь из ii) следует, что С = 0. Обратно, из ii) следует, что

§ 3. Канонические потенциалы в R 89
lim \ t~~s~lvx(t)dt = O, и так как vx(t) возрастает, то
Г->оо J
Г
2г
Нш Г\х (г) = lim vx (г) (± - ' ) \ Г1 Л = 0.
Поэтому из ii) в силу соотношения C.3) следует i). Эквива-
Эквивалентность Hi) и iv) доказывается так же, a ii) и iv) совпа-
совпадают. ?
Определение 3.10. Число T = inf{s: выполняется i)} назы-
называется показателем сходимости данных Кузена X.
Определение 3.11. Наименьшее целое q, для которого*
оо
\ t~q~l dvx @ < °°> называется родом данных Кузена. Отметим,,
1
оо
что, по предложению 3.9, \ t~q~2vx (t)dt < + оо.
1
Предложение 3.12. Порядок р функции vx(t) равен показа-
показателю сходимости Vx(t). Если р не целое, то род q функции
vx{t) равен целой части р; если р целое, то q— 1 ^ р ^ qy при
этом в случае р = q —- 1 функция vx (t) имеет минимальный тип
при порядке р.
Доказательство. Утверждение немедленно следует из опреде-
определений и предложения 3.9. ?
§ 3. Канонические потенциалы в Rm
Для xeR положим
Нр (а, х) = \\а — х ||~р, 1 < р < т — 2,
Ло (а, х) = — log || а — х ||, р = 0.
При р = т — 2 функция —Лт-2(я,л:) является ядром Нью-
Ньютона в Rm и
Для целого q ^ 0 определим каноническое ядро рода # и раз-
размерности р в Rm, полагая
1 dqhD (а, ^
вр (а, х, ?) = — Лр (а, л:) + hp (а, 0) + ... + -^ ^—

90 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
Далее,
1 d*hD (a, tx)
q\ dt*
Ра (а. *. р)
*=о II а Г
где Ря{а,х,р) — однородный полином от х в Rm степени q. Для
р = m— 2 функции Рд(а,х,пг — 2) гармонические в Rm, и для
р = m — 25, 2 ^ 25 ^ m справедливо равенство &8ХРЯ (а, х, р) =
= 0, где Д* есть 5-я итерация лапласиана А 1). Далее, имеем для
аФО, О^р^га — 2,
<3.4) ер (a, x,q) = - hp (а, х) + \\а \\~р [I + Рх(а, х,
C.5) =-||а||р Е Р,(а, х, р),
где ряд в правой части равномерно сходится на каждом ком-
компакте шара ||л:||<||а||.
Пусть ||jc||= <||а|| при t>0 и 0 — угол между векторами
@, а) и @, х) в Rm. Тогда
Следовательно, ряд в C.5) почленно мажорируется рядом
<з.б)
5=0 5=1
Случай р = 0 соответствует классическому случаю, изучен-
изученному Вейерштрассом в С= R2 для потенциала, связанного с
ядром —log||a — х\\. В этом случае ряд в C.5) мажорируется
оо
рядом 2 us/s = —log A — и) и оценки, полученные в R2, будут
5=1
справедливы для ядра eo{a,x,q) в Rm.
Предложение 3.13. При р = 0 и m ^ 2 ядрое0(а, х, q) удов-
удовлетворяет во всем Rm следующим оценкам (где ||а||=т^0 и и =
М|||
)
) | (а, х, q) \ ^ uq+i при u
\ео(а, х9 0) | ^ ей при и < е~х\
и) во(а,л:, ^)^e^B+log?) npw u^z q/(q+ I), q ^ \ и
?0 (a, x, 0) ^ log A + и) для всех и.
!) Это следует из того, что этим свойством обладает hp(a, x) (доказы-
(доказывается индукцией по s). — Прим. перев.

§ 3. Канонические потенциалы в Rm 9t
Доказательство. При q Ф О утверждение i) следует из того,,
что при и < q/ (q + 1)
2 «
а при q = 0 — из неравенства u~l\\og(l— и) | < е для и <
Для доказательства ii) при q ^ 1 заметим, что
в0(а, х,
и поэтому
Случай 9 = 0 очевиден, так как log|l — «|^log(l + «). D
Предложение 3.14. Для р ^ 1 положим тр, „ = Г—л. 1. ) "
Гогс>а (Зля a#0,u =IWI/||a|| имеем
C.7) | <?р (а, х, ^) К С, (р, ?) || a |f «"+' «ри « < т (р, q),
C.8) ер(а, х, ^)<С2(р, <7)||а|Гры" дри и>т(р, <?),
С,(р, <?) = [(р-1)
при q>0 и САР, 0) = [(р-1)!]-'(р+1)". С2(Р, 0) = 1.
Доказательство. Из C.5), C.6) при 0<ы<т<1 имеем
\е„(а, х, ?)|<||а|Г" Е ^.^-
При р=1 C.6) дает 6PiS=l и
\ер(а, х, q)\<\\a\rpu^(l+r + x2+ ...) =
= ||a|fp^+1 (I - г) = ||a|fV+1 (p + q + 1).
Это доказывает C.7) с нужным значением C(l,q).
Для р ^ 2 имеем
, (р + ^ - 1I (s + 1) ... (s + р - 1) ^ (р + 5 - I)*»

92 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
И
оо
| е„(а, х, q) |<||а|Г" -^-щ ? (/> + 9 -г m)" xm
Заметим, что для пг ^ 1 и р ^ 1
р + д
откуда следует, что
\ер(а, x,q)\^-^w(p + q)p-i(l-\.
Поскольку ат = —? ? и A — ах) = (р-{-<7 + 1), то C.7)
доказано с указанным значением С! (р, q).
Для вычисления C2(pf q) используем равенство C.4). Так как
функция —hp(a,x) отрицательна, то
ер (а, ху q) ^ || а ||"р A + ЬРу хи + ... + ЬРл quq) ^
^ ,, ., —П —0 0 Г 1 I 1 l If 0l
< || а || рт Vll+ftp, iT+ ••• +6р,<7т J-
Это немедленно даст С2(р, 0)=1. В общем случае, поскольку
х < 1, в квадратных скобках q + 1 слагаемых, и так как
Ьру s ^ ЬР} q, TO
v ^„ ,,-Р в/ , 14 г / Р + <7+ 1 \Р<7 ^
ер(а, л:, ?)<||а|| ри4(q + l)fep>(y (^ ' V—J <
?
Предложение 3.15. Пусть а, лге Rm, a =#=(), m ^ 2, ^
p, <7 — положительные целые числа. Тогда
C.9, '.<«•» d'
а)
Ь) С@, q) = 3eB + log q) при q ^ 1.
Доказательство. Возьмем С (р, q) = sup [ A + х) Сх (р, q),
A + т)С2(р, q)] и воспользуемся предложением 3.14. Если за-
заменить т на (—тт+у) * то мы ПОЛУЧИМ значение C(p,q) для
р ^ 1. Случай р = 0 легко следует из предложения 3.13. ?

§ 4. Каноническое представление целых функций 93
Замечание. Оценки для ядра ep(a,x,q) не зависят от раз-
размерности пг пространства; в дальнейшем они будут использо-
использованы для Сп = R2n.
§ 4. Каноническое представление целых функций
конечного порядка
Пусть X = (fj,Uj) — данные Кузена в О, и пусть функция
vx(r) имеет конечный порядок р. Нас будет интересовать целая
функция F(z), нули которой точно совпадают с аналитическим
множеством Y(X) и для которой величина MF (г) = sup log\ F(z)\
имеет минимально возможный рост. Фактически задача по-
построения такой функции будет рассматриваться как частный
случай более общей задачи. Для Vr = log|/7| положим
{3.10) ex = -^j
Тогда Qx является потоком, ассоциированным с данными Кузена
X. Рассмотрим задачу построения плюрисубгармонической функ-
функции V, являющейся решением уравнения —ddV = Q, где 9 —
ТС
данный A, 1)-положительный замкнутый поток. Из C.10) вы-
выводим, что
где ore — положительное распределение, а, значит, положитель-
положительная мера — площадь данных Кузена X с кратностью (см. тео-
теорему 3.2.). Вначале построим V как потенциал в R2n = С". За-
Затем докажем, что для потока 9 конечного порядка роста реше-
решение V уравнения C.11) в действительности является и решением
уравнения C.10).
Как и в классическом случае п = 1, т. е. в теореме Адамара,
покажем, что если в качестве q выбрать род данных Кузена X,
то потенциал Iq (z) =&^1_2 \ е2п-2{а, zy q)dax{a) сходится. Суще-
Существенный шаг доказательства состоит в доказательстве того, что
функция Iq(z) в действительности является плюрисубгармониче-
плюрисубгармонической и решает уравнение C.10). Более того, в случае данных
Кузена будет показано, что Iq{z) = log\F(z) \ для целой функ-
дии F.

94 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
Предложение 3.16. Если поток 9 имеет род q (и, значит,
оо
\ t~s~l dvQ(t) < оо при s ^ q) и О §? supp 9, то интеграл
C.12) Iq (z) = k2n-2 J e2n-2 (a, z, </) Are (a),
где ^2tt_2 = <n__2)\ ' сх°дится равномерно на каждом компакт-
компактном подмножестве в Сп и дает решение уравнения C.11). При
этом если через AV обозначить распределение, определяемое
формулой -L д dV Л р„_! = -^ AV • рЯ1 то
C.13) Д/^=-2жт0.
Замечание. Мы будем называть /Л-г) каноническим потен-
потенциалом рода g для потока 9.
Доказательство. Предположим, что ||z||^ R и R' > Rx~x9 где
т то же, что и в предложении 3.14. Тогда
J I е2п-2 («, 2,
\\a\\>R'
flail >/?'
Так как ve@ — рода q, то по предложению 3.9 интеграл в пра-
правой части сходится. Это доказывает равномерную сходимость
на компактах интеграла C.12). С другой стороны, ?2,1-2@,2,9)
отличается от —h2n-2(a,z) на конечную сумму гармонических
полиномов, откуда следует, что Ае2,г-2(я, z, q) = &2л-22я6(а), а
значит, и равенство C.13). ?
Теорема 3.17. Канонический потенциал Iq(z) замкнутого по-
положительного A,1) -потока 9 рода qy такого, что supp 9 П
П В @, г0) = 0, при \\z\\= r удовлетворяет неравенству
C.14) /,(*)< Л (л, ^/
)
где А (п, q) = B« — 2) С Bя — 2, ?) (^ + 2п — 1).
Доказательство. Из C.9) следует, что
,.? dae(t)
sup Iq (z) = М(г)<&2/1-2СBn — 2,

§ 4. Каноническое представление целых функций 95
Интегрируя по частям, получим
° ° (at + br)(jQ(t)dt
с a = q -\-2n — 1, b = q -\-2n—-2. Первое слагаемое равно нулю,
так как orQ(r0) = 0 и \\mrg~2n+laQ(t) = limt~q~lvQ(t) = 0. Таким
t->oo t-+oo
образом,
n ~ j
va (/) dt
9
1 + г) tq
•о
Отсюда
М (г) < W-.2T2«-2 Bп 4 q - 1) С Bм - 2, д) г94
dt
f ve")'" ^r-if ve^)^ - f V8
J (< + r)/«+l ^ J t"+i ^ J ;
n
Замечание. Лучшая оценка может быть получена при деле-
делении на интервалы r0 < t < т~1г и т~1г < t < оо. На этом пути
имеем
г) < \t-7l \С' B« - 2, <7)r"+1 J v,@
L
^ [С2 B/г - 2, q) - С, Bя - 2, g) т).

96 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
Канонический потенциал является Р2/г-субгармонической
функцией. Поэтому из C.13) и теоремы Стокса следует, что
= \
U*|f<r
При этом, так как Х@, г, Iq)—выпуклая функция от —г2~2п,
производная существует вне счетного множества значений г.
Итак,
C15) v(r)~ ]/
Теорема 3.18. Канонический потенциал Iq(z) положитель-
положительного замкнутого потока 6 степени 1, носитель которого не содер-
содержит начала координат, обладает следующими свойствами:
I) М{г) и ve(r) имеют один и тот же порядок р;
и) если р не целое и если ve(r) минимального, нормального
или максимального типа по отношению к порядку р, то такой
оо
же будет и функция М(г)\ интегралы \ M(t)t"Qmml dt
Го
оо
и \ ve(t)t~9~l dt сходятся или расходятся одновременно-,
Го
iii) если р целое и род ve@ равен р— 1, то М(г) минималь-
минимального типа при порядке р.
Доказательство, i) Так как Я@, rjq)—выпуклая возрастаю-
возрастающая функция от log г и Х@, г, Iq)^ Iq@) = 0, то из C.15) сле-
следует, что
C.16) ve (г) < Я @, er, Iq) - X @, г, /,) < Л @, er9 Iq) < М (ег),
и, значит, р7 = порядок /^ ^ р = порядок ve(O- Теперь если
ve(r)^ С(г)гР-^ для некоторого е > 0, то из C.14) получается
М(г)^ C'(e)A(ntq)rP+e. Поэтому р7 ^ р.
И) Если р не целое, то род q потока 6 удовлетворяет нера-
неравенствам <7<Р<<7+1- Если у — тип ve@> так что ve(O^
^ (у + е)^р ПРИ t > R = R(b) для некоторого е > 0, то, поло-
R
жив a = \t~q~lVQ(t)dt, из C.14) получим
C.17) M()^A( )<4() + ( + )][?^+ Г

§ 4. Каноническое представление целых функций 97
Так как от е здесь зависит только a, a q < p, то тип у' функ-
функции М(г) не превосходит C(Y + e), где С не зависит от е.
С другой стороны, из C.16) следует, что у ^ е<*у'. Из C.16)
оо
также следует, что сходимость интеграла \ M(t)t~9~ldt влечет
'"о
оо
сходимость интеграла \ ve(t)r9~~l dt. Теперь, используя C.14),
имеем
R
Го
< А (я, q) [ \ r'-p-' dr \ ve (О Г" Л + $ r<"p dr \ ve (О Г' dt\.
Меняя порядок интегрирования и пользуясь тем, что G — Р <
< 0 < <7 + 1 — Р> получаем
= J Гя~\ (t) dt \ rq-p-1 dr < (р - 9) \ t~9~\ it) dt,
го
что равномерно по R ограничено сверху, и
/? с» оо t
ve (/) /-^2 Л < J ve @ Г'7 dt
Это доказывает ii).
оо
iii) Если теперь р целое и \ vQ(t)t~Q~ldt <оо, то ^7 = р — 1
г0
и lim ve (/) /~р = 0 по предложению 3.9. Пусть R > г0 столь ве-
лико, что при некотором е > 0 для t > R выполняются нера-
оо
венства ve@ ^e/N \ ve (t) t~9~l dt < e. Тогда для г > R полу-

98 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
чаем из C.14)
Г R Г
r-PM(r)< A (n, q)\y\ ve@rp dt + j J dt +
*¦ r0 ft
а это показывает, что М(г) имеет минимальный тип при по-
порядке р. ?
Эта теорема обобщается на случай уточненного порядка.
Теорема 3.19. Пусть 9 — замкнутый положительный поток
типа A, 1), такой, что 0 ф. supp 9 и функция ve(f) имеет конеч-
конечный нецелый порядок р и нормальный тип при уточненном по-
порядке p(t). Тогда канонический потенциал этого потока Iq{z)
также имеет нормальный тип при этом уточненном порядке.
Для доказательства нам понадобится следующая
Лемма 3.20. Если р(г) — уточненный порядок, то для Х<
<p+lur>R>r0
R
а при X > р +
Доказательство. После интегрирования по частям получим
R
Из определения 1.15 следует, что для данного е > 0 существует
г
такое Ге, что|/2|<е [tQ{t)~Kdt при г> Те. Напомним, что р —
R
X > —1, поэтому
¦ — (p + 1 — Я,) г
<(P+1— л) A-е) L8r -гЧ>

§ 4. Каноническое представление целых функций 99
При X > р + 1 получаем
- р - 1)-' J /р(°-я [(р(о - р) + р'(/)/logt] dt = 7, + 72.
Из определения 1.15 следует, что для данного е > 0 существует
с»
Ге, такое, что при г > Те имеем |72|^е \ t9{t)~kdt> и поэтому
<бA-бГ1(я~р-1Г1гр(г)+1"\ а
Доказательство теоремы 3.19. Из C.16) имеем
и, следовательно,
ve @ rm < Af И rpW < Af
Из определения 1.15 следует, что limep@ = ep, а из теоремы
*о
1.18-что \\m[etf{et)~9(t) = l. Поэтому lim sup ve(/)rp@<
t->oo t->oo
^.eQ lim supAf (t)t~Q(t\ С другой стороны, при <7<р<<7+1 и
ve(*)<(C+в)*р<*> для r>R>rQ получаем из C.14)
^ Го
o^). D
Замечание. Из оценки роста для Af (г) = sup IQ (z) легко оце-
1|2||<Г
нить рост среднего значения X@,ryIg) и величины
Л @f г, 1д) = (т2пг2п)-1
Положим /^^^supl/^, 0}, /,7 =sup{—Iq, 0}. Из субгармонич-
субгармоничности Iq получаем 0<Я@, г, /^) = я@, г, /<j~) — Я@, г, /^)>

tOO Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
откуда следует, что
0<Л@, г, /^)<Л@, г, /?)<ЛГ(г),
и, таким образом,
C.18) Я @, г, |/J)<2M(r) и Л @, г, |/, |)<2Л1 (г).
$ 5. Решение дд-уравнения
Уже было показано, что канонический потенциал 1я(г), ассоции-
ассоциированный с положительным замкнутым потоком 6 типа A,1)
рода q, для которого 0 §? supp 6, является решением уравнения
-^-А/<7 = ав. В этом разделе будет показано, что этот потен-
потенциал Iq(z) служит также решением более общего уравнения
C.10).
Пусть Q = —^LdQPyqdZpAdzqt где 9р>д— комплексные меры.
р- q.
Тогда поток 8' = -^-ddIq — 9 = — Yt 0р. я dzp л dzq обладает сле-
п п р. я
дующими свойствами:
i) след X 0р. р ~~ НУ^евая мера,
и) 8х является д- и d-замкнутым потоком.
Предложение 3.21. Если поток 9' типа A, 1) замкнут и имеет
нулевой след, то он представим как дифференциальная форма с
гармоническими коэффициентами.
Доказательство. Предположим вначале, что коэффициенты
Q' q дважды непрерывно дифференцируемы. Тогда ввиду зам-
замкнутости формы 6/ получаем
dzm dzp ' dzm dzq
для тфръ q. Таким образом,
дЧ. g д2
В общем случае выберем функцию ae<g?o°(B(O, 1)), зави-
зависящую только от || г || и такую, что \а(г)^т2„=1 и а^О, и
положим ае (г) = а (z/г) гГ2п. Тогда функция Qp, q * ae = \ 9Р, ^ (а) X
X «е (г — a) dr2tt (а) лежит в классе ^Р°°, а форма X (вр. <7 * ае) X
Р. <7
Xdzp л dzq удовлетворяет условиям предложения. Следова-

§ 5. Решение дд-уравнения 101
тельно, коэффициенты 9Р, q * а6 — гармонические функции. По
свойству среднего значения гармонических функций получаем
[9р, я* ае'] * ае = 9Р, q * ае, так что [вр, q*a&'— 9Р, <7]*ае = 0 для
любых е, е'. Переходя здесь к пределу при е->0, получим
6' ^==9^ ^*ае/, и, значит, поток 9Г эквивалентен форме с гар-
гармоническими коэффициентами. Q
Лемма 3.22. Пусть h(x) — гармоническая функция в шаре
B@,R)ciRp. Тогда ее комплексификация f(X) голоморфна в
шаре \\Х\\< /?/V2 в О, а величины mc (r') = sup \f(X)\u m(r)=
_ №|<г"
= sup | А (х) | мрг/ rr д/2 <r < R связаны соотношением
\\x\\<r
mc {r') ^
Доказательство. Функция f(X) определяется в шаре 5@, r)<
cz Cp с помощью интеграла Пуассона
Это единственная голоморфная функция в 5@, г), совпадающая
на 5@, r)f]Rp с функцией /г(х). Простые вычисления показы-
показывают, что для \\Х\\ = г' и г' л/2 <г
C.19) |j
^ (г — г' cos фJ — г'2 sin2 ф,
где величина ф определена равенством |(ReZ||=|[Z||cos ф =
= гАсо5ф. Таким образом, для \\X\\ > г/л/2 правая часть в
C.19) не обращается в нуль, и поэтому f(X) — голоморфная
функция в 5@, г 1л/2) сг Ср. Кроме того, при \\Х\\^.г/л/2 имеем
(rak — Xk)
r2/2 — г/2, откуда следует требуемая оценка
mc(r'). D
Следствие 3.23. i) Если h(x) — гармоническая в R? функция,
то ее комплексное продолжение в О является целой функцией,
рост которой оценивается с помощью неравенства mc{r)^JC'm{2r).
ii) Если |Л(х)|<С||х|Г, xeRp, то \f{Х)\^С'\\Х\\\ 1еСр,
с С/ = 5.25+р~2С.
ш) Если функция h(x) гармонична в Rp и удовлетворяет
неравенству \h(x)\^ C\\x\\s, то h является полиномом степени
q ^ 5. Если же s < 1, то h(x) = 0.

102 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
Доказательство. \) и ii) следуют из леммы 3.22, a iii)— из
следствия 1.7. ?
Возвращаясь к форме §' = (i/zi) (ddlq — 8), отметим, что ее
можно записать в виде
где APt k(z) — гармонические функции в О. При этом APt k(z)
обращаются в нуль в начале координат вместе со своими про-
производными до порядка q — 2, q ^ 2, где q — род потока 8. Это
вытекает из того, что таким свойством обладает потенциал
Iq{z)y если 0 ^ supp 6. Итак, справедливо
Предложение 3.24. Поток 8' = — ddlq — 6 является замкну-
замкнутой A,1)-формой с гармоническими коэффициентами AP}k(z)t
которые в случае q ^ 2 обращаются в нуль в начале коорди-
координат вместе со своими производными порядка не выше q — 2.
Докажем, что в действительности APt *(z) = 0.
Предложение 3.25. Существуют константы CPyk и CPik, такие,
что
I Apt k(*)\<r~2 ftp, *ve Br) + К kM(Щ>
где М (г) = sup Iq (г).
Доказательство. Пусть ae(z) — те же функции, что и в дока-
доказательстве предложения 3.21. Так как функции APtk(z) гармо-
гармонические, то Ар, k {z) = Ap,k* oce (z), и поэтому
Ap,k (z) = -i- (-г?щ U (г) * ае (г)) - 6р, k * ае {z) = S, (z) - S2 (z).
Так как
> где AfPf, =
д2
а) | d
то
Полагая ||г|| = г, е = г, получаем
< Мр, kr2n~2M Bг) т2.г2л < т--2с;, feM Br),
где Со, k = т>2пМр% k.

§ 5. Решение дд-уравнения 103
Далее, по теореме 2.16 коэффициенты 0Р, k удовлетворяют
неравенству \\QP, к\\к ^ 2||а||^ на каждом компакте К. Поэтому
и если е = г = \\z\\, то
| S2 (г) | < 2Г2по Br) sup | а, |< Г2СР, kvQ Br). D
Теорема 3.26. Канонический потенциал Iq(z) положитель-
положительного замкнутого потока 0 степени 1, носитель которого не со-
содержит нуля и который имеет конечный порядок р и род qy яв-
является плюрисубгармонической функцией в \Сп и удовлетворяет
уравнению C.10).
Доказательство. Достаточно проверить, что Ар, k(z)^0 в С"
для всех р, k. Прежде всего отметим, что, согласно след-
следствию 3.23 и предложению 3.25, в рассматриваемом случае
APik(z) является полиномом. Рассмотрим несколько случаев.
i) Если р < 2, то, по предложениям 3.18 и 3.25, |Лр,*(г)|
стремится к нулю при г->оо, и, согласно следствию 3.23, полу-
получаем, что Ар, k{z) = 0.
ii) Если р > 2 и не целое, то род q удовлетворяет неравен-
неравенству q < р < q + 1, и, как следует из предложения 3.25 и след-
следствия 3.23, Ap,k(z)—полином степени не выше q — 2. Но про-
производные Ap,k(z) порядка q — 2 и меньше равны нулю в на-
начале координат, следовательно, APi k{z) ^ 0.
ш) Если р ^ 2 целое и р = q, то полином Ар, k(z) имеет сте-
степень не выше q — 2 и по тем же причинам, что и в предыду-
предыдущем пункте, Ар, k(z) = 0. В частности, если р = q — 2, то
Ap,k(z) ограничено и равно нулю в начале координат.
iv) Если р ^ 2 целое и q = р— 1, то ve@ имеет минималь-
минимальный тип при порядке р и по теореме 3.18 функция
M(t)= sup / (z) также минимального типа. Из C.20) теперь
HzIK*
следует, что \APt k{z) \ ^ е(г)г^-2, где lime(r) = 0. Далее, со-
г->0
гласно следствию 3.23, APik(z) — полином степени не выше
р — 3 при р^ЗиЛР)й(г) = 0 при р = 2. Так как для р ^ 3 все
производные порядка, меньшего или равного р — 3, равны нулю
в начале координат, то Ар, /г(г) = 0ив этом случае. П
__Пусть V(z) — решение уравнения C.10) в С*. Тогда
idd(V — Iq) = 0 и, следовательно, V = Iq + Я, где Я — плюри-
гармоническая функция в (С*. Значит, по предложению 2.29,
# = Req>, где сре^СС/1). Если V(z) имеет конечный порядок,

104 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
то функция # = Recp полиномиального роста и по след-
следствию 3.23 функция ф является полиномом 1К Будем различать
два случая:
i) порядок р потока 0 не целый. Тогда ф — полином степени
m и порядок V равен sup{p, m};
ii) p — целое число. В этом случае справедливо
Предложение 3.27. Если положительный замкнутый поток в
типа A,1) имеет индикатор ve(r) конечного порядка р ^ О, то
существует вещественное конечномерное пространство Е0 всех
решений минимально возможного порядка р уравнения iddV =
= 0 и при этом
i) если р не целое up — 1 < q < p, то
C.21) V(z) = V@) + 2Re< > -ir-^lV (tz)]tm.0> + Ia{z),
где V(z) = Pq(z)-{- Iq(z), а полином Pq(z) имеет степень q, ко-
которая меньше порядка р функции Iq{z)y и определяется значе-
значениями V и ее производных порядка не выше р в начале коор-
координат;
ii) если р целое и р = q, то решения порядка р даются тем
же равенством C.21); если q = p—1, то V(z) = Pp-\(z) +
+ Iq (z) + Pp (z), где Pp (z) — вещественная часть однородного
полинома степени р.
В заключение подведем итог.
Теорема 3.28. Если 6 — положительный замкнутый поток
степени 1 и конечного порядка р в ГС,Л, такой, что 0 ф. supp 6, то
каноническое решение уравнения C.10) имеет минимально воз-
возможный порядок, равный порядку индикатора ve(t). Любое
другое решение V уравнения C.10) конечного порядка р' мо-
может быть получено добавлением к Iq(z) вещественной части
полинома P(z) степени не выше р', а произвольное решение
получается добавлением вещественной части целой функции.
§ 6. Случай данных Кузена
Пусть X = (fjyUj) — данные Кузена, такие, что Oz?Y(X)y и
пусть q — род функции vx{t), а ох =®х л Р«-ь Тогда для потен-
потенциала
сю
Ja)
1) Точнее, H(z, z)—плюригармонический полином, поэтому Н = Re q>,
где ф — полином в С" той же степени. — Прим. перев.

§ 6. Случай данных Кузена 105
выполняются равенства
idd(Ig-log\fi\) = 0 в Ut.
Это следует из того, что в Uj имеем Qx = idd log | /7-1 и
Предложение 3.29. Существует целая функция F0(z)f такая,
что
<3.22) log|F0(z)| = /,(z).
Доказательство. Пусть В— шар в '.С/1, такой, что В f| Y(X) =
= 0. Если предложение справедливо, Fq(z) не обращается в
нуль в В, и поэтому функция G{z)== Iogf0(z) = Ai(z) + iA2(z)
голоморфна в В. Следовательно, dG = dG = 0, что эквивалент-
эквивалентно равенству дА{ — 1дА2 = 0 и, таким образом, dG = дА{ +
-\-idA2 = 2dA\. Кроме того, Ig = \og\F0\ = Аи так что dG =
= d\ogF0 — 2дА{ = 2dlq и, значит,
C.23) G = log Fo B) = log Fo @) + 2
где интеграл вычисляется от точки 0 до г по любой ломаной,
компактной в [Cn\Y(X).
Покажем, что C.23) определяет логарифм ненулевой голо-
голоморфной функции в \Cn\Y(X). Для этого вначале покажем,
что при замене пути интегрирования у на путь у' с теми же
началом и концом рассматриваемый интеграл изменяется на
слагаемое, кратное 2ш. Для этого рассмотрим замкнутый путь
Y0 = ('y>Y/). Стандартным приемом сводим задачу к случаю,
когда путь Yo является границей многообразия уо> лежащего в
одном из Of. По теореме Стокса, пользуясь равенством
ddlq — дд log| /у |, последовательно получаем
Yo
Yo
Yo
Это показывает, что функция Fo = е° корректно определе-
определена в Cn\Y(X). Для проверки голоморфности Fo рассмотрим

106 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
сначала точку zo^Y(X). По определению G в C.23), dG яв-
является A,0)-формой в окрестности z0, и так как dG — 2dIq, то
dG = 0. Поэтому функция G = log F0(z) голоморфна в точке
го. Кроме того, функция \og\F0\ = Iq локально ограничена свер-
сверху на компактных подмножествах в |СЛ Следовательно, |Fo|
локально ограничен, и, значит, функция Fo может быть продол-
продолжена как голоморфная функция на все I.C/1 (см. следствие 1.23).
Далее, в Uf имеем -^•ddlog\FQ(z)\ = Q = — ddlog\ffl и,
таким образом, log | Fofyl \ — плюригармоническая функция в Ur
Поэтому Fofyl и fjF^1 не обращаются в нуль в Uf и F0 = fj(f)j>
где ф/ — голоморфная в ?// функция, ф7- Ф 0. Далее, если F —
целая функция, обращающаяся в нуль на данных Кузена X, то
Т7/7^ ==/7//ф/ и, таким образом, функция g = FFol голоморф-
голоморфна в каждом Uf и потому целая. Если же F — решение проб-
проблемы Кузена X, то F = gF0 с g = eh ф 0 в [С1, Ае^(С"). ?
Используя теорему 3.26, получаем следующую теорему.
Теорема 3.30. Пусть X = {ff9 Uj) — данные Кузена, такие, что
О^У(Х), а поток вх имеет конечный порядок р. Тогда суще-
существует функция F0(z)y нулевым множеством которой является
Y(X) (другими словами, решающая вторую проблему Кузена
с данными X), такая, что
i) log | Fo (z) | = Iq (z) = k~nl_2 J e2n_2 (a, z, q) dax{a)
_2(a, ?, q).
где @,2) — любая компактная ломаная в \Cn\Y(X) и q —
род Ох;
И)
гх@ = (т2„_/"-2)-1ах(/) и В@, го) П
iii) Fo имеет тот же порядок, что и данные X, и если vx(t)
нормального типа относительно уточненного порядка p(t) up
не целое, то Fo также нормального типа относительно уточнен-
уточненного порядка

§ 7. Медленно растущие данные Кузена 107
iv) Fo делит любую целую функцию, которая обращается в
нуль на Y(X);
v) среди целых функций, которые обращаются в нуль на
Y(X) и только на Y(X) (с учетом кратности), F0(z) является
единственной, порядок которой совпадает с порядком vx{t) и
для которой /7о@)= 1, а все производные порядка не выше q
обращаются в нуль в начале координат-,
vi) любая целая функция со свойствами i) —iv) может быть
записана в виде Foexp P(z), где P(z)— какой-нибудь полином
степени не выше р.
Следствие 3.31. Целая функция конечного порядка р опре-
определяется множеством Y своих нулей и значениями в N точках
из :СПу где N = dim?p (см. предложение 3.27).
Определение 3.32. Родом q' целой функции f будем называть
величину sup(p, q), где q — род нулевого множества f, a p —
степень полинома Р(г), который находится из равенства f(z) =
= F0(z)expP(z).
Род / не превосходит ее порядка р и строго меньше его, если
р не целое.
§ 7. Медленно растущие данные Кузена:
случай рода нуль; алгебраический случай
Оценка роста функции F0(z) для данных Кузена X конечного
порядка в |С" зависит от константы С B/г— 2yq) (предложе-
(предложение 3.15), которая в свою очередь зависит от двух констант
CiBn — 2,q) и C2Bn — 2fq) (предложение 3.14). При q = 0
имеем С2 B/г — 2,0) = 1, но Ci B/г — 2,0) зависит от размерно-
размерности п. Если т = ( 2^Z 1 JП 2 для п>2> то 0 < е-1 < т < 4/9.
Используя замечание после теоремы 3.17, получаем
0(z)|< \ vx(t)t'ldt +
Интересно рассмотреть случай, когда второй интеграл в этом
неравенстве пренебрежимо мал по сравнению с первым — в
этом случае получится оценка, не зависящая от размерности п
пространства. Так будет в случае, когда vx(t) удовлетворяет
оценке типа
<3.24) vx(t) <С(log+ t)s + С, С> 0, С > 0, 5>0.

108 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
оо
Положим Is = \ (log t)st~2dt. Интегрируя по частям, получаем
г
гIs (r) = srls_x (г) + (log r)s и г/0 (г) = 1.
Следовательно,
C.25) Мо(г) = sup log| Fo(z) |<С(s + I) (log+ r)s+l +
ll||<
где е(г)==оA). Отсюда и из теоремы 1.6 получаем следующую
теорему.
Теорема 3.33. Если функция vx(t) для данных Кузена X
удовлетворяет условию C.24), то для канонического решения
Fq(z) второй проблемы Кузена справедлива оценка
C.26) lim sup M° (r)s+l < (s + I) lim sup Vy{r)
Если s = 0, т. е. если 0 < vx (t) < v^ < оо, то
C.27) li^
В ^гож случае Fo является полиномом степени Voo и, значит^
Voo — целое число.
Доказательство. Неравенство C.26) непосредственно сле-
следует из C.25). Если 5 = 0, то vx{t) ограничено, и поэтому
vTO = lim vx (t) существует. Далее, C.26) приводит к неравен-
t->oo
ству
C.28) H^
Так как MQ(r)—возрастающая выпуклая функция от log г, то
предел в левой части C.28) существует. Кроме того, из C.15)
следует, что
^,. . г МО, г, log I Fo I) ^ 1# . , Mo (г)
v^<hminf v \ ^V ou <liminf , °v; .
Вместе с C.28) это доказывает C.27). Из выпуклости М0(г)
относительно log г также следует, что М0(г)^ M0(l)+ Voologr^
или | Fo(z) I^ С||г|Г°°. Поэтому, согласно теореме 1.6, F0{z) яв-
является полиномом степени Voo. ?

§ 7. Медленно растущие данные Кузена 109
Теорема 3.34. Пусть F(z)—целая функция, и пусть
lim (log г) М (г) = а и lim v* (г) = 6, где функция vx(r) есть
Г->оо Г->оо
индикатор ±ddlog\F\ [так что ух(г) = т^гК(Оу г, log| F\)) .
Тогда
i) если а = О, то F(z)^= F@) и Ъ = 0;
и) если 0 < а < оо, го а = Ь и F — полином степени а;
если, кроме того, Р@)ф 0, то выполняются равенства
log\F(z)\ = log\F @) | + **L2 J [- ||а - z\\2~2п + ||a\f~2n] dax (a),
log F (z) = log F @) + 2ftiU J Г J а (- || a - z \\2~2п)\ dax (a);
iii) если a = + oo и b Ф + cx>, то 6 ^елое a lim inf —— > 0.
Г
Доказательство. Утверждения i) и ii) следуют соответствен-
соответственно из теорем 3.33 и 3.30. Для доказательства утверждения iii)
заметим, что его заключение, значение величины Ь и фигури-
фигурирующее в нем условие и = +°° не зависят от выбора начала
координат. Поэтому можно предполагать, что F@)?=0. Выбе-
Выберем по теореме 3.33 такой полином Ро степени 6, что Р0@)= 1
и F(z)= Po{z)g(z), где функция g(z) не имеет нулей в |СЛ
Пусть g{z)=expgi(z)=exp{A(z)+iB(z)}9 где gx(z)— целая
функция в |СЛ а функции A(z) и B(z) вещественные. Предпо-
Предположим, что для некоторой возрастающей последовательности
Гщ-> оо выполняется соотношение lim r^lMp(rm) = 0. Так как
т->оо
\og\F(z)\ = log\P0(z)\+A(z)
и при достаточно больших г
, r, log+|P0|)-M0, r, log-|P0l)>0,
то Л@, г, log" |Р01)< F+1) log г и lim r-iA@,rm, Л+) = 0.
т->оо
Далее, функция A(z) гармоническая. Поэтому по лемме 3.22 она
продолжается до целой функции A(Z) переменного Z ^\С?п
Кроме того, Л@) = Я@, г, Л+)—Х@, г,А~). Поэтому Я@, г, |Л|)>
^ 2Л @, г, А+) — Л @) и lim г"!Я @, гт | А |) = 0. Согласно лемме
/72-> оо
3.22 *>, теперь найдется такая константа сп, что величина тс(/") =
= sup I i4(Z)| не превосходит cn'k@y2ri \A\) и, следовательно,
\\Z\\=r
1) Нетрудно видеть, что в лемме 3.22 можно т(г) заменить на Я@, г,
| h |). — Прим. перев.

110 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
lim r^mc (l/2rm) = 0. По следствию 1.7 получаем тогда, что
т-»оо
A(z) = Л@) в 1С/1 и» таким образом, Л(г)^ const в О. Функ-
Функции Л (г) и й(«г) связаны друг с другом уравнениями Коши —
~ дЛ дВ дЛ дВ D/ ч ,
Римана -г— = -т— и -^— = ———, поэтому B(z)= const и
<Ч дУк дУк dxk У V '
^B)= СРо(-г). Но тогда a=ft<-foo, что противоречит
условию. П
Следствие 3.35 (характеристика алгебраических множеств
коразмерности 1). Пусть X — данные Кузена в С/* и, значит,
определена сумма X mkYk{X)> г^е ^ь(Х)—неприводимые ком-
компоненты множества Y(X), ma — целые положительные числа.
Множество Y(X) алгебраично тогда и только тогда, когда огра-
ограничена величина vx(r). В этом случае набор компонент Yk(X)
конечен, а число vx(oo)= ? mkvk(oo)является степенью соответ-
k
ствующего полинома Pq{z).
§ 8. Случай целого порядка:
обобщение теоремы Линделёфа
Полное исследование связи между ростом функций vx(r) и
Мо (г) = sup log | Fo (z) | в случае целого порядка р мы еще не
II z || < г
проводили. При п = 1 для такого исследования Линделёф ввел
величину S (г) = X а~р> которая учитывает не только мо-
дули корней, но и их аргументы. На этом пути в случае обыч-
обычного порядка р получены следующие результаты:
i) для целого р функция Fo имеет тип не выше нормального
тогда и только тогда, когда величина |5р(г)| остается ограни-
ограниченной при г->оо, а считающая функция числа корней п(г)
имеет тип не выше нормального при порядке р;
ii) функция Fo имеет минимальный тип тогда и только
тогда, когда либо род q = f>—1, либо q = p и функция п(г)
имеет минимальный тип, а 5р(г)->0 при г-^оо.
В случае п ^ 2 вместо 5р(г) рассматривается семейство од-
однородных гармонических полиномов степени р в R2". Положим
C.29) Ф*. р (z) = W-2 J II а \\2~2пР9 (a, z) dax (а),
полиномы степени q=p
в представлении канонического ядра е2п-2(а, zyq).

§ 8. Случай целого порядка: обобщение теоремы Линделёфа 111
Определение 3.36. Семейство {Pt (x)}t>a>0 полиномов сте-
степени не выше (i от переменной х ^ Rp будем называть ограни-
ограниченным (соответственно стремящимся к нулю на бесконечно-
бесконечности), если существует открытое множество со d Rp, такое, что
Mt = sup | Pt(x) |<С (соответственно Mt-^О при t-^oo).
Предложение 3.37. Для семейства {Pt{x)} с deg Pt = (i < оо
следующие свойства эквивалентны:
I) семейство {Pt(x)}t>a>0 ограничено по модулю равно-
равномерно по t {соответственно стремится к нулю равномерно при
/->оо) для каждого ограниченного множества в Rf>\
ii) комплексификация {Pt(X)}t>a>0 ограничена по модулю
равномерно по t (соответственно равномерно стремится к нулю
при t-+oo) для \\X\\ < 1;
iii) коэффициенты aa,t полиномов Pi ограничены по абсо-
абсолютной величине (соответственно стремятся к нулю при /->оо).
Доказательство. i)=^-ii). Любое ограниченное открытое мно-
множество со содержит куб Ar = (x: \xk — x^\<r, k=\, ..., р\
для некоторого г > 0. Пусть q>t(x)= Pt(x — х@)). Тогда
\q>t(xk)\^Mt при |х^|<г и, как следует из леммы 3.22, при
I X | < г/л/2 выполняется неравенство | Ф* (X) \ ^ СрМи Теперь
по интегральной формуле Коши \а'а t\<^C'p[l r • Mt9 где аа, t —
коэффициенты полинома yt(X). Поэтому \ Pt(X)\^.CPi[itMt(l +
+ ИX — х° || У*. Импликации ii)=^iii) и iii=4^i) тривиальны.
Предложение 3.38. Пусть {Pt(x)}—семейство вещественных
однородных степени ji гармонических полиномов в Rp. Если
числа mt= sup \Pt(x)\ (соответственно А@, 1, Р+\) ограни-
ИдсИ<1 V V П
чены сверху, то {Pt} — ограниченное семейство. Если mt
(соответственно Я @, 1, Р*)) стремится к нулю при t-^oo, то
семейство {Pi} стремится к нулю при /->оо.
Доказательство. Если deg Pt = 0, то доказывать нечего. Если
/^1, то l@,l,Pt)=Pt@)=0. Следовательно, А@, 1,
|) = 2Л@, 1, P+)<2mr Поэтому по лемме 3.22 для ||jc|| <
1/2
C.30) | Pt (х) |< 5 • 2Р~\ @, 1, 1^1
и требуемое утверждение следует из п. iii) предложения 3.37. ?

112 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
Рассмотрим теперь случай, когда vx(t) имеет целый поря-
порядок р и род q = р. Пусть
C.31) DR(z) = Iq(z)-ORiP(z) =
= k2n-2 \ е2п-2 (а> z> Я - 1) dax(a) +
Hell < Л
+ k2~n-2 \ e2n-2(a> г» q)dax(a) = Ix + I2.
\\a\\>R
Функция DR(z) субгармонична в R2n. Положим
C.32) MD(R)= sup DR(z).
Используем C.9) для оценки интегралов 1\ и /2. Имеем
Положим
Yv
C.33)
HAf(O*
где, как и раньше, Afn(r)= sup log|Fn(?)|. Так как vx(t) <
11гЦ<г ' '
<(Yv + e)/p при t>Rey to
Л < 4ttr(*) + ^Р S vx@ ^"Р С + ^)-1 Л + A,*' (Yv + «V
Го
Следовательно,
/?-pAfо (/?) < (Yv + е) [ А2 + А4 + А5] + ^- J Vjr (О Гр Л
Го
И
C.34) lim sup R~9MD (R) < 46vv>
R->oo
где Л6 зависит только от п к q. Таким образом, мы приходим
к следующему утверждению:

§ 8. Случай целого порядка: обобщение теоремы Линделёфа 113
Предложение 3.39. Функция MD (R) = sup [Iq (z) — ФЯу р (z)]
имеет не более чем нормальный тип при порядке р, если функ-
функция vx (R) имеет рост не выше нормального типа при порядке р.
Функция Md{R) будет функцией минимального типа при поряд-
порядке р, если таковой будет функция vx(r).
Доказательство. При q = p^ 1 это следует из C.34). При
q = р = 0 интеграл 1\ приводится к виду
—Кп-2 \ Кп-2^
IN Я
\
INK Я
а данная выше оценка для /2 остается справедливой. Поэтому
MD(R)^ A4supvx(t). Наконец, если q=p—1, то 7v = 0, не-
неравенство C.34) по-прежнему выполняется и, значит, MD(r)
имеет минимальный тип. ?
Положим l(r)= sup ФгрB) = г~р sup Фг p(z) и § =
= lim supg(r).
Г->оо
Предложение 3.40. Для канонической функции Fo, отвечаю-
отвечающей данным Кузена X целого порядка р, справедливо неравен-
неравенство
Доказательство. Из C.31) получаем, что glC)!
^Or)P{z) + Dr(z). Поэтому г-еМ0(г)^Ъ(г)+ Авуу + o(r)t от-
откуда и следует доказываемое утверждение. ?
Предложение 3.40 дает верхнюю границу типа у0 функции
Fo(z), если § конечно. Если ? = 0 и vx(t) имеет минимальный
тип, то и Fo(z) имеет минимальный тип. Остается доказать об-
обратное— дать верхнюю границу для ? через Yv и yo- Это можно
сделать, воспользовавшись гармоничностью и однородностью
полиномов Фд, p(z). Действительно, как и в доказательстве
предложения 3.38,
Я@, Я, Фя,р) = я@, R, ф?р) = 72М0, Я, |Ф*,р|)
и DR(z) = Iq(z) — <&R99(z), так что
Я @, R, Ф?р)<Л@, R, /^) + Я@, R, Dt).
Так как Iq(z)—субгармоническая в R2n функция, равная
нулю в начале координат, то % @, R, /^)^я@, R, 1%)^.
^M(R). Следовательно,
@, R,

114 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
Поскольку по формуле Пуассона
sup Ф*,о(г)<Л7Л@, R, Ф?Р),
21КД/2
то, пользуясь еще однородностью Фя,р(-г), получаем
sup ORj
II г ||< Я/2
и, таким образом,
C.35) 6<4
Подытожим полученные результаты:
Теорема 3.41. Пусть yv — тип индикатора vx{t), q = p — род
vx(t), 7o — тип канонического потенциала Iq(z), a I — число,
определенное ранее для семейства гармонических полиномов
Ф/?эР(г). Тогда существуют константы С/, /= 1, ..., 5, завися-
зависящие только от п и р, такие, что
iii)
iv) C3sup(g,
Следствие 3.42. Если порядок р данных Кузена X целый,
а тип функции vx(t) no отношению к порядку р минимальный и
если семейство {Фя, р(<г)} сходится к нулю при 7?-^оо, то ре-
решение Fo проблемы Кузена также имеет минимальный тип при
порядке р. В случае q = р функция Fo будет функцией не бо-
более чем нормального типа, когда sup(?, yv) конечен, и макси-
максимального типа, когда sup(?, Yv)= °°-
Рассмотрим теперь случай, когда vx(r) имеет целый поря-
порядок р и нормальный тип относительно уточненного порядка
р(г). Как и выше, положим
Yv = lim sup v^ (t) Гр@, Yo = >im sup Mo (t) Гр@,
/->oo /->oo
I (R) = sup ФЛ> p (z), Г = lim sup /?p~p (Л)| (R).
||Z||<1 Л^-сю
Теорема 3.43. Существуют константы С,- (такие же, как и
в теореме 3.41), при которых выполняются неравенства
и)
iii) 2[Yo Yv]
iv) C3sup(r, Yv)<Yo<C4sup(i/,

§ 9. Следы данных Кузена на комплексных прямых 115
Доказательство. Поскольку vx(t) ^ (yv + e) t9it) при / > Re, то
R
t9{t)~9 dt +
Далее, используя лемму 3.20 для оценки каждого интеграла,
имеем
Таким образом,
lim sup R~9{R)MD (R) < [A2 + A3 + A4] Yv.
/?-»oo
С другой стороны, так как Iq(z)= Ф#, 9(z)-{- DR(z), то
R9~Q {R)M0 (R) < /?p~p {R)MD (R) + R9~9 iR)l (R),
и поэтому
^^ Л Л Г
и уо^ Ciyv-{-l'. Далее, так же как и в теореме 3.41, из нера-
неравенства
l(R) = R-Q sup
находим, что
g (R) R9'9 {R) < Л6 [ЛГ0 (R) R-9{R) + MD (R) R~9(R)]
и, следовательно,
Замечание. Используя предложение 3.37, можно заменить
условия на семейство {Ф#, р(г)} конечным числом условий, со-
состоящих в том, что интегралы
\\a\\2-2n+9tnK(a)dox(a)
остаются ограниченными (или стремятся к нулю) при R-*ooy
где {ть(а)} — конечное множество мономов от а*, щ степени р.
§ 9. Следи данных Кузена на комплексных прямых
Пусть X — данные Кузена конечного порядка р, такие, что
0^ Y(X)> и пусть Iq{z)—канонический потенциал, построенный
в § 4. Естественно назвать следом X на комплексной прямой u-z,

116 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
проходящей через начало координат, множество нулей ап{г)
функции F0(uz) (с учетом кратности). Пусть
г
п2 (г) = card {ап(г): \ап(г)\^г) и fjг (г) = \-^ dt
о
соответственно суть считающая функция и проинтегрированная
считающая функция. По формуле Иенсена, поскольку /70@)= 1,
2п
и, следовательно, Nz(r) при фиксированном г есть плюрисуб-
гармоническая функция от z (см. предложение 1.14). Далее по
предложению 3.6
г
< $ Afa(r)d(o2rt(a) = (o-i J log\F(ra)\d<»2n(a)=\vx(t)t-4t.
Ц|| 1 ||| l 0
$
Ца|| = 1
Согласно следствию 1.43, порядок функции N2{r) равен в точ-
точности р для всех г, кроме, быть может, точек из некоторого
плюриполярного конуса в !.С.Л.
Изучим теперь одно особое свойство целых функций конеч-
конечного порядка как функций от одной переменной при фиксиро-
фиксированных остальных. Этот результат будет использован при изу-
изучении сужений целой функции на множество комплексных пря-
прямых, проходящих через начало координат.
Теорема 3.44. Пусть целая функция F(z',u) от z = (z'tu)^
^\Сп, з'еС" имеет конечный порядок р(г') по и при фикси-
фиксированном zr. Пусть, далее, EsCzlCf1'1 — множество таких точек
г', что функция F(z\u) как функция от и имеет не более чем
s нулей, и пусть А = {z'eIC,*: F{zr, u)=0, u^ С}. Тогда
A\jEs замкнуто и либо совпадает с LC/1, либо содержится в
аналитическом подмножестве Л15.
Доказательство. Покажем, что если z[^Es U А, то и не-
некоторая окрестность точки z'o также не принадлежит ?slM-
Пусть ycz\Cu — кривая, охватывающая по крайней мере 5+1
(изолированных) нулей функции F (z'0> и) и такая, что F ?= О
на у. Тогда
±\ ^(z\ u)du>s+\
при z' = z'o, а поскольку как функция от z/ интеграл в левой части
непрерывен, то в некоторой окрестности U точки z'o он больше 5,

§ 9. Следы данных Кузена на комплексных прямых 117
а, значит, п? (г) ^ s + 1 при r>sup{|w|: u^y}. Таким обра-
образом, множество ES\]A замкнуто в С".
По теореме 1.41, р= sup p{z')<oo. Случай F(z'y w) = O
очевиден, поэтому будем предполагать, что F{z', и)Ф0. Если
У = {(z', ы)е;С,л: F{z', и)= 0}, то множество А X Си является
пересечением аналитического множества У с его параллельны-
параллельными переносами Yv = [(z, и): (z, и — у)?У]. В частности, это
множество тоже является аналитическим. Определим теперь
аналитическое множество Тй^сцСЛ инвариантное относительна
указанных переносов и содержащее множество (ЛХ!Сы)и
U(?sXiCm). Для этого выберем какой-нибудь шар ВаСп-1г
точку по еС и число г > 0 так, чтобы множество Л = {(«г7, «):
z'eB, |« — wo|<r} не пересекалось с множеством У. Функ-
Функция
G(z\ u) = F-*(z\ u^
голоморфна в Л, а ее коэффициенты
— J__di-[>-i dF'\
dci ~~ ц\ ди<1 L ди J
голоморфны в Cn \ У. Простое вычисление показывает, что
+1
aq = F-^-larq9 где а^—полиномы от F(z', a), ..., ^+1 ^(г7 ц)
и, следовательно, целые функции в \СП. С другой стороны, если
z'f=Es(] В, то
s
П
s
F (г', и) = П (и - а;) ехр Р (и),
/ = 1
где Р(и)—полином степени не выше [р], а а/ и коэффициенты
полинома Р(и) зависят от zf. Таким образом, для z/ ^ ES(]B
Положим
Qz- (и) = П (и - a,) =tbp(u- щ)р.
Тогда
где полином 7?2' (w) от переменной и имеет коэффициенты, зави-
зависящие от z' e Es П В, и степень не выше s + Р — 2. Поэтому

118 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
при v ^5 5 + Р> z' е ?* П В и (г', и)бА
C.36) Е^-ц(г', "о) 6ц = 0.
ц=о
Следовательно, все детерминанты
av ... av_
<3.37) D,{z', uo)=
av+s ... а?
обращаются в нуль при z' ^ES(]B. Переходя от функций
a[X(z/, и0) к функциям a' (z\ ы0), получаем, что
Dv (z'y u0) = F~GD'V {z\ и0), о = (s + 1) (v + 1),
где детерминанты D'v строятся так же, как и детерминанты
Z)v, по функциям а^. Функции D^ (z\ и) являются целыми функ-
функциями в СЛ, и, значит, определяемое равенствами
D'y(z'9 и) = 0, v>5 + p,
множество Ms или совпадает с 1С/1, или является аналитическим
в СЛ. Из определения а^ легко следует, что AXCucz Ms. Поло-
Положим теперь Ms = Ms(]{{z\ и): и = 0}. Для z/0^Ms\A найдется
такая точка и0, что F (z'o, wo)=^=O, и соответственно окрестность А
точки (Zq, w0), не пересекающаяся с Y. Так как детерминанты
C.37) при v^s-f-p обращаются в нуль в точке (<г^, и0), то
система C.36) имеет решения bj(z'Q, ио)9 / = 0, ...,5, а это
означает, что функция F~{ (z'Q, ^)-^"('го» w) для м6С имеет
не более чем s полюсов и потому z'o e Es. Отсюда, в частно-
частности, следует, что Ms инвариантно при параллельных перено-
переносах и-^и — vy уе'С. Следовательно, если М8фСпу то Es
содержится в аналитическом множестве Ms, аеслиЛ?5=Сл,
тоЕ8[}А=Сп-1. П
Следствие 3.45. Пусть X — данные Кузена конечного по-
порядка, такие, что 0 ф. Y(X). Пусть, далее,
Тогда множество Es замкнуто, и если Es не содержится в нуле-
нулевом множестве некоторого однородного полинома, то множество
оо
Y(X) алгебраическое. В частности, если \J Es не является
s = 0
учетным объединением алгебраических множеств в Р(С/г), то
множество Y(X) алгебраическое.

§ 10. Случай данных Кузена бесконечного порядка 119
Доказательство. Пусть F0(z)—каноническая функция для
X и А — окрестность начала координат, такая, что Fo(z)?=0
при 2бА. Положим F(z\, ..., zn, u)= F0(uz\, ..., uzn), и пусть
z' = (z\, ..., zn). Выберем R и Го так, чтобы (^mJeA при
1ИК#и |и|<г0.
Коэффициенты a'v (z'), фигурирующие в доказательстве
теоремы 3.44, в рассматриваемом случае будут однородными
полиномами от z\ а значит, и функции D'v также являются од-
однородными полиномами от zr. Множество А пусто, так как
0^ У(Х). Поэтому или Es — аналитическое множество в Р(\Сп)г
или Dy = 0 при v > vo. Но в последнем случае Es = Р(\Сп}
и vx(t)^ С <С оо. Следовательно, Y(X)—алгебраическое мно-
множество. D
§ 10. Случай данных Кузена бесконечного порядка
В предыдущих разделах строилось каноническое решение про-
блемы Кузена для данных X конечного порядка. Здесь эта про-
блема будет рассматриваться в случае, когда считающая функ-
функция vx(t) для X имеет бесконечный порядок, т. е. когда
Как и раньше, будем искать ту целую функцию F, которая
дает решение проблемы Кузена и для которой рост log|.F|
подобен росту vx{t)\ однако связь между ростом этих функций
будет менее точной, чем в случае конечного порядка.
Здесь используется та же техника, что и раньше. Именно,
решается уравнение —ddV = QX> гАе ®* — поток, ассоцииро-
ассоциированный с данными Кузена X. Вначале, применяя формулу го-
мотопий, мы решим уравнение dv = Qx, а затем разложим ре-
решение на (Э-замкнутую и d-замкнутую части. При этом будут
-использоваться /Лоценки Л. Хёрмандера (см. приложение III),
которые позволяют контролировать рост решения. Результаты
будут получены в предположении, что 8 — положительный
замкнутый поток степени 1. В случае данных Кузена легко по-
показать, как и раньше, что V =\og\F\, где F — целая функция,
дающая желаемое решение.
Пусть функция a(jc) е ^0° (В@, 1)) неотрицательна, зависит
только от ||г|| и \ a(z)dx2n(z) = 1. Положим ae(z)= s-2na(z/e)
и определим положительный замкнутый поток
C.39) ее = 9*а8,

1420
Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
коэффициенты которого суть ^-гладкие функции. Далее, по-
положим
C.40)
И
C.41)
ае (*) =
В (г, е)
так что lim veB) = v(z), где v (z) — число Лелона потока 8 (ко-
е-»0
торое является кратностью данных Кузена в точке г, если Э —
поток данных Кузена).
Прежде чем доказывать основной результат этого раздела,
получим необходимые нам вспомогательные утверждения.
Лемма 3.46. Пусть Q — область в |Сп, а ф Ф 0 — определен-
определенная в Q неотрицательная функция. Тогда logqpePSH(Q) в
том и только том случае, когда для всех Я е \Сп функция
<Рх (г) = Ф (г) exp Re ( Е V/) е PSH (й)-
Доказательство. Для доказательства достаточности предпо-
предположим вначале, что фЕ?2(й). Положим фт = Ф + m для
т>0 и докажем, что logфm ^ PSH(Q). Простые вычисления
показывают, что
n
= exp Re
где Фт, а, (<г) = фт (г) exp Re I 2^/z/j- Для фиксированного
выберем Я таким, что Xk = ^dz * Тогда
4
Q
1
Так как фл<=Р5Н^) для всех Я, то и фта <= PSH (Й) для
всех X и, следовательно, V—^ ?Г te?/a)fe ^ 0 для любого
.л. Таким образом, logфm ^ PSH(S). Так как функции
убывают при т-^0 к log у и ф Ф 0, то теперь из пред-

§ 10. Случай данных Кузена бесконечного порядка 12Т
ложения 1.3 следует плюрисубгармоничность функции logqp.
В общем случае рассмотрим функцию ф8(г)= ф(г)*а8(г)е
ePSH(Qe), где Q8 = {z: йп{г)>г). Так как фе(г)е<^оо(Йе) и:
I ? xi
expRe I ? xizi)Фе(*) = $ Фх(* + *0«е(*') X
то, по предложению 1.14, фе,х(г)е PSH(Qe) и, по уже дока-
доказанной части леммы, \ogy2(z)^ PSH(Q8). Отсюда, поскольку
1°6ФеB) монотонно убывает к logф(г), в силу предложения 1.3-
следует, что и ^феРБЩЙ).
Для доказательства необходимости достаточно заметить, что*
условие log ф е PSH (Q) влечет условие log ф (^)+Re ( 2 ^izi I
( для любого Xe€n, и так как е* — возрастаю-
возрастающая выпуклая функция, то требуемое утверждение вытекает из-
предложения 1.24. ?
Лемма 3.47. Если V(z)^ PSH(|C") и ф(г)— такая веще-
вещественнозначная функция, что \ \ V (z) |2 ехр (—2ф (z)) dx (z) < С2^
то для всех z e LQrt выполняется неравенство
V (г) < С (я, е) -С ехр [ sup ф(гх)]
с некоторой константой С(/г, е).
Доказательство. По неравенству для среднего значения суб-
субгармонической функции имеем V{z)^.C(п, е) \ ^(г + г^Х-
Y,dx{z'). Отсюда с помощью неравенства Шварца получаем
(пу е) Г J
12
V (г) < С (пу е) Г J | У (г + гО |2 ехр (-2Ф (z + г7) dr {z')\12 X
L J
[ \
L Hz'I
<C(ai, e) С ехр Г sup ф(гО1. П
Lllz'-z||<e J
XI 1 /-V S . /\ rf / S\ I I ^
\
Hz'IKe
Теорема 3.48. Пусть 8 — положительный замкнутый A,1)-
поток, и пусть его след удовлетворяет неравенству
C.42) ст8B:ХСехрФ(г) для всех z^Cnt

122 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
где С > О, а Ф (z) — плюрисубгармоническая функция в Сл,
Тогда для каждого 6 > О в С" существует такое решение урав-
уравнения C.10), что
C.43) J [V+(z)]2(l +\\z\\Tn~3~6exp(-2^(z))dx(z)^C(nf б)
и
C.44) V (z) < С (б) A + || г ||2)"+3+6ехр % (z),
где 1/+ =sup(l/, 0), ^(z) =
Xlog
\\z-z'\\<&
Доказательство. Пусть 8 = / X 6,- k dzf л dzk, 8s = / 2^ 8; k * ae X
y^dzj Adzk. Теорема 2.16 позволяет следующим образом оце-
оценить 1) коэффициенты 88 через след ae потока 9:
•C.45) |8b^)l<ie/,,|*ae<-i-Sae(^-^)
где Me = pe p
Предположим теперь, что V — какое-нибудь решение уравне-
уравнения C.10) (см. следствие 2.30), и положим We = V*аг. Из
свойства средних значений субгармонических функций сле-
следует, что V ^ We и, кроме того, что —ddWe = — dd(l/*ae) =
8*ae = 88. Таким образом, каждое решение уравнения C.10)
мажорируется решением Wz уравнения — ddWe = 8s, коэффи-
коэффициенты которого удовлетворяют условию C.45).
Чтобы найти функцию We, вначале решим уравнение idv =
= 9е. Как и в теореме 2.28, решение дается формулой
;{3.46) v = J] I J tifj. k (tz) г, dt\ dzk -
f, k L о J
t dzj = v2 ~ v{.
J
dt
a) Нетрудно показать, что в данном случае С(п,п—1) =72» —Прим.
мерее.

§ 10. Случай данных Кузена бесконечного порядка 123
При этом dv\ = 0 и dv2 = O. Из C.45) и C.46) получаем
оценки
| Vj (z) |2 < С (еJ1| г ||2ехр [2ф (г)], /=1,2,
и, следовательно, для каждого б > 0 имеем
C.47) \ | Vj(z) |2A +\\z\\2)-n~l~6^p(-2^(z))dx(z) <
с»
<С(е,-д), -/=1, 2.
Проверим, что функция i|)(z)^ PSH(;_Cn). Для этого по лем-
лемме 3.46 достаточно показать, что положительная функция
1
h (z) = w ехр Ф (tz) dt порождает плюрисубгармоническую функ-
о
цию h\(z)= A(z)|exp<A., г>| для каждого Я^!СЛ Но
h (z) | ехр (Я, z)|=
a OB:)^PSH(CW) по условию.
Теперь найдем решения уравнений дщ = vx и du2 = v2, удов-
удовлетворяющие нужным оценкам. Как следует из результатов
приложения III, существуют удовлетворяющие этим уравне-
уравнениям функции и\ и и2, такие, что
\\uf(z)\(l+\\z ||2)-*-3-6 ехр (-2ф (z)) dx (z) < С (е, б), / = 1, 2..
88
Тогда ff = idd(ux + u2), и так как 88=88, то функция W\ =
= jtRe(u! + ^2) дает решение уравнения -^-ddWe = Q& с оценкой
C.43). Оценка C.44) следует из леммы 3.47 !>. ?
Замечание 1. В условии теоремы можно заменить оценку
функции oe(z) на соответствующую оценку функции vB(z).
1) Пусть V — какое-то решение уравнения C.10) (оно существует по-
последствию 2.30). Тогда функция We = V * ав является решением уравнения
— ddWe=Q& и поэтому отличается от функции W&, полученной в доказатель-
доказательстве теоремы, на функцию g, такую, что ddg = 0, т. е. на плюригармониче-
скую функцию. Но тогда (V — g) * 08 = ^8 — g * а8 = tt?e — g = WB и, зна-
значит, функция V — g есть искомое решение. — Прим. перев.

?24 Гл. 3. Рост целой функции и ее нулевого множества
Замечание 2. Оценки C.43) и C.44) останутся справедли-
справедливыми, если ty(z) заменить на ty(z) = sup O(tz) и %(z) —
jc(z) = sup
Замечание 3. Если оценка C.42) радиальная, т. е. ()
^СехрФ(г) при ||z|| = г, где Ф(г)—возрастающая выпуклая
функция от log г, то существует решение V уравнения C.10)
с оценкой
<3.47)' K(z)<C(e, б)A +г2)"+3+бехрФ(г + е).
Замечание 4. В доказательстве теоремы не предполагается,
что 0 ф. supp 8.
Замечание 5. В случае конечного порядка р оценка C.47)
менее точная, чем в теореме 3.30, потому что в этом случае из
,C.47) следует, что
sup
Применим теперь теорему 3.48 для решения проблемы
Кузена.
Теорема 3.49. Пусть X — данные Кузена в :СЛ и пусть ох —
*след потока Эх, а ог(г)—масса меры ох в шаре B(z,e). Пред-
Предположим, что oe(z) ^ сехр Ф(г) для некоторого г > 0 и всех
.zeE\Cn, где с>0 и ф(г)е PSH(Crt). Тогда для каждого б>0
существует решающая проблему Кузена целая функция F(z),
такая, что
«C.48)
(log+ | F (z) |J A + II * l|2)~n~3exp [-2г|> (г)] dx (z) < сС (е, б),
C(e, 6)(l+\\z\?)n+3+*exp%(z),
где функции г|) и % определены в условии теоремы 3.48. В част-
частности, если Ф зависит только от \\z\\ и растет столь быстро, что
C.49) • гп+г+6 ехр Ф (г) < ехр Ф (г + е) при г > #в,
то log | F (z) К сС (г, 6) ехр Ф (г + е) для г = \\г ||.
¦» пи
дг
Замечание 1. Условие C.49) выполняется, если -г— (log r) l
возрастает к бесконечности при

Комментарии 125
Комментарии
Развитие теории n-мерных канонических функций принадлежит
П. Лелону (см. [1] и работы 1953 г.), который доказал плю-
рисубгармоничность потенциала Iq для потока 8, соответствую-
соответствующего данным Кузена конечного порядка. Другие представле-
представления принадлежат Штоллю [2] и Ронкину [9]. Теорема 3.33 для
медленно растущих данных Кузена принадлежит Аванисяну
[3]. Теорема 3.44 1} обобщает два результата, один из которых
принадлежит Сибони и Вонгу [1] (следствие 3.35), а другой
является старым результатом П. Лелона [3], который показал,
что множество точек z\, для которых целая функция F(z\,Z2)
конечного порядка по переменной <г2 не обращается в нуль как
функция от <г2, содержится в аналитическом множестве. Обоб-
Обобщение на п переменных теоремы Линделёфа было дано П. Ле-
лоном в [11]. Приведенное здесь доказательство теоремы 3.41
проще, чем классическое при п = 1. Результаты § 10 принад-
принадлежат Скода [1], который предложил использовать решение
<Э-проблемы с оценками. В случае бесконечного порядка ре-
результаты менее точны.
!) В работе Садуллаева [3*] сформулирован результат, более сильный,
чем теорема 3.43, а именно утверждается, что множество Л [] Es является
аналитическим. Однако доказательство содержит пробел, и в действитель-
действительности там доказано несколько меньше, а именно в точности теорема 3.44. —
Прим. перев.

Глава 4
Функции регулярного роста
Как было показано в гл. 3, для целой функции f(z) существует
связь между асимптотическим ростом величины Mf(r) и объ-
объемом нулевого множества /. В некоторых случаях, однако,
можно сказать значительно больше. Мы докажем здесь фунда-
фундаментальный принцип для функций конечного порядка, который
состоит, грубо говоря, в том, что целая функция конечного по-
порядка имеет асимптотически «регулярно распределенное» мно-
множество нулей тогда и только тогда, когда она имеет асимптоти-
асимптотически «регулярный рост» вдоль всех лучей. Эквивалентная
формулировка, как будет показано, состоит в том, что
r~^rHog\f(rz) | сходится при г-^оо в L\oc(Cn) к h){z) тогда
и только тогда, когда функции г-р<г)Д log|/(rz) | сходятся в
смысле распределений к A/if («г).
В доказательстве будут использованы как простые теорети-
теоретико-потенциальные свойства субгармонических функций, так и
канонические представления целых функций, полученные в гл. 3.
Так как нас интересует использование теории потенциала, то-
излагаемая тема будет развита в большей общности, чем эта
необходимо для целых функций. Во-первых, рассматриваемые
области будут конусами в Rm (для удобства с вершиной в на-
начале- координат). Эти конусы Г, если не оговорено противное,
будут всегда предполагаться открытыми и связными. Во-вто-
Во-вторых, будут рассматриваться субгармонические функции конеч-
конечного порядка в таких конусах. Однако читатель должен иметь
в виду, что главные применения теории будут для целых функ-
функций конечного порядка в С* = R2".
Пусть Г — указанный выше конус, р(г)—уточненный поря-
порядок. Через SHec>(r) обозначим семейство функций и, субгар-
субгармонических в Г и таких, что при некоторых постоянных До
и A\t зависящих от выбора и, для всех х^ Г выполняется нера-
неравенство и (х) ^Ао + А{ || jc||p(I|jc|I) (т. е. функции и имеют не более
чем нормальный тип относительно уточненного порядка р(г)).
Как и раньше, положим
Г / \ 1 • и (гх)
hu(x) = hm sup—^p,
Г-^оо Г"
к*и (х) = lim sup hu (xf).

Введение 127
Функция fiu (х) — индикатор роста функции и — является по*
ложительно однородной субгармонической функцией порядка
p = limp(r) (см. предложение 1.30). При Г = >С.п и u = log\f\,
где f — целая функция, индикатор 1г*и(х) является как раз ра-
радиальным индикатором роста функции f (см. определение 1.29).
В отличие от одномерного случая целые функции многих
переменных могут иметь нерегулярный рост на малом множе-
множестве лучей ]), не оказывающий влияния на глобальное регуляр-
регулярное асимптотическое поведение функции и ее нулевого множе-
множества. Например, функция z2expzi имеет регулярный рост всюду,
кроме луча Z2 = 0, где она тождественно равна нулю. Анало-
Аналогично функция z2 + exp Z\ имеет регулярный рост всюду, кроме
множества тех лучей, где z2 = 0 и Re z\ < 0. Одна из причин
указанного явления состоит в том, что функции fiu и ft*u могут
отличаться на малом множестве лучей. Так как именно ftn
описывает асимптотическое поведение функции и, то естественно
изучать поведение функции и не вдоль отдельных лучей, а на
их сужающихся окрестностях. Эти соображения приводят к сле-
следующему определению.
Положим при 6<d(x, СГ)
J x, r6).
В@, гб)
Так как и — субгармоническая функция, то /«(*, 6) как функ-
функция от б при фиксированном г возрастает.
Определение 4.1. Функция ^eSH^r)(T) называется функ-
функцией вполне регулярного роста на луче {гх: г>0}, если
lim inf lim inf Iru {x, 6) = h*u (x)
60
при хф Еи = {х еГ: ft*u(x) = — оо}. Функция и называется
функцией вполне регулярного роста на множестве Z), если она
является функцией вполне регулярного роста на лучах {гх:
г > 0} для всех xt=D\Euy D ф Еи2К
Х) Фаворов [3*] построил пример целой функции в С2 вполне регуляр-
регулярного роста, сужение которой на каждый луч, выходящий из начала коор-
координат, имеет нерегулярный рост. — Прим. перев.
2) В классической теории Левина — Пфлюгера (см. Левин [D]) понятие
целой функции вполне регулярного роста определяется не так, как это сде-
сделано в настоящей книге, а с помощью так называемых Co-множеств, т. е. та-
таких множеств на плоскости, которые могут быть покрыты последователь-
последовательностью кругов B(zi, г{) со свойством lim R 2_j П = 0. Целая функ-
ция f(z), 2eC, называется функцией вполне регулярного роста, если

128 Гл. 4. Функции регулярного роста
Замечание. Из определения 4.1 и теоремы 1.18 следует, что
максимальное множество, на котором функция и имеет вполне
регулярный рост, является конусом, не обязательно открытым
и связным, с вершиной в начале координат.
§ 1. Общие свойства функций вполне
регулярного роста
Лемма 4.2. Пусть функция weSH^(r) имеет вполне регуляр-
регулярный рост вдоль луча {гх\ г > 0} {соответственно существует
последовательность гп-+оо, такая, что lim u(rnx)rn^ ^ Со).
П->оо
Тогда для любого 6<;74Y> где у = dr (х), найдутся число R
(соответственно номер п0) и константа С6, такие, что при всех
х\ х" <= В(х, 6/4) и r> R (соответственно при п ^ п0)
(a) \lru(x\ 6)-1ги(х", 6)|<C6|U'-x"||
(соответственно (b) \fun(x\ 6) - Un (х"\ 6) |<Сб||х' - х"\\)9
где С6 зависит от 8 и. констант Ло, Аи участвующих в опреде-
определении класса SHP<r>(r).
Доказательство. По теореме 1.31 существуют константы #i
и Си такие, что u(ry)r~^r^ ^ С\ для у^В(х, 3/4у) и г > R\.
Положим ц = \\х' — х?'\\. Тогда при r>R\
Iru(xr, б) <Ги(х', б + л)< F^n)m Iu(х", б) + F + Ул~6>" С,.
Так как и(х) имеет вполне регулярный рост на луче гх, то при
г > R2 имеем Ги (х, 3/4у) ^г h*u (х) — 1 = С2. Поэтому для всех
и (w) dx (w)
— (i !> hf (—г ) "^ ^ ПРИ z ~* °°' 2 ^ ^"' где ^" есть со-множество.
Подобным же образом определяется вполне регулярный рост субгармониче-
субгармонической функции в пространстве (Азарин [3*]). Позднее в работах Агранович и
Ронкина [2*], Азарина [5*], Агранович [1] была впервые высказана в явном
виде весьма плодотворная идея подхода к функциям вполне регулярного
роста с точки зрения сходимости в пространстве &'. Было показано, что
регулярность роста в указанном выше смысле эквивалентна слабой сходи-
сходимости в пространстве 3)' семейства субгармонических функций *~~р log|/(/z)|,
t -*¦ оо. Это определение также эквивалентно определению вполне регу-
регулярного роста, данному авторами книги. — Прим, перев.

§ 1. Общие свойства функций вполне регулярного роста 129
И При Г > SUp(/?b R2)
Следовательно,
D.1) Га (*', б) - Л (*", б) < [E^г - l] Ги (*", б) +
Эта оценка не зависит от х\ /eB(jf,8/4), поэтому, меняя их
местами, получаем
11ги (*', б) - Ги (*", б) | < Сб || х' - х» ||.
Для доказательства (Ь) достаточно вместо г писать гп,
а вместо г > sup (/?ь /?г) писать п > п0. ?
Теорема 4.3. Предположим, что и, t/ES№(r)(r).
функция вполне регулярного роста на луче гх0, то
(х0) = h\ К
Доказательство. Неравенство hu+v (#о) ^ ^" (^о) + h*v(x0) оче-
очевидно. Докажем обратное неравенство. Для хо е ?0 оно три-
тривиально, поэтому можно считать, что хо ф. Ev. Выберем е > 0.
Так как h*v (х0) = lim sup hv (х'), то для каждого г\ > 0 найдется
Х'->Хо
точка х\ такая, что ||jc0 — х*\\ < r\, \ti*v (х0) — fiv (х') \ < е/8 и,
кроме того, hv (xf) = hi (х'). Пусть rn — возрастающая к беско-
бесконечности последовательность, на которой lim у(гп/)г/ п =
Л->оо
= hv (x'). Из теоремы 1.31 следует, что для всех достаточно ма-
малых бит] при ||* — хо\\ < ц + б и г < /?! (е) выполняются нера-
неравенства
«(/•*) Г-р(г)</и (*„) +е/8,
и(г*)г"-р(г)</ь(х0) + е/8.
Из субгармоничности и и полунепрерывности сверху индикатора
Й*и(х) вытекает далее, что при б < б(е) и п > N(e)
hv {х') - е/8 < l[n {хг, б) < hi (x') + е/8.
Положим Qn = {у: \\y-x'\\<6,v (rny) п" Ы < hi (х0) -1 е}.
При достаточно больших значениях п из D.2) и D.3) следует,

130 Гл. 4. Функции регулярного роста
что mesQ ^ ттбт и при ц < г\(8) по лемме 4.2
D.4) # (*', б) > // (*0, б) - е/8 > hi (х0) - е/4.
Положим S* = {*/: || у-Xе ||< б, а(г^). г^Р(Гл) <Й1 (х0) -у
и Lrt = QrtU5rt. Из D.2) и D.4) следует тогда, что при всех
достаточно больших п мера множества Sn не превосходит
о
-з-тт6т. Далее, так как
о
mesf П ( U сО)= lim mes U CL^ > -j xm6m,
oo / oo ч
то множество fl ( U CLp,) непусто. Возьмем теперь какую-
оо /* оо Ч
нибудь точку w ^ П ( U CL^). Из определения ?Л следует,
что найдется возрастающая к бесконечности подпоследователь-
подпоследовательность ГП} = 5у, ДЛЯ КОТОрОЙ
u{s}w) v(sjw) rm L%
р(д) + p E,) ^ Аи W + ^t, (x0) - 2e.
Так как это верно для любого сколь угодно малого т|, то
h*u+v(xo)^h*u (х0) + h*v (х0) — 2е для каждого е > 0 и, таким обра-
образом, h*u+v(xo)^h*u(xo) + h*v(xo). П
Теорема 4.4. Пусть Г — выпуклый конус в Rm. Если функция
weSHp(r)(r) имеет вполне регулярный рост на луче гх0, г > О,
то функция vy {х) = и (х + у), где у еГ, является функцией
вполне регулярного роста на луче гхо.
Доказательство. Пусть дано е > 0. По теоремам 1.31
и 1.33 1} найдутся такие числа /?(е) и бо(е), что при r>R(e)
и б<бо(е) для всех х ^ В(хо, 2б0), \\y\\ <. г80, будут выпол-
выполняться следующие неравенства:
Т ^ Тf
8 •
Отсюда и из условия теоремы следует, что найдутся б
и /?(е, б), для которых при г > /?(е, б)
В @, гб)
L
^ Теорема 1.33 применима и к функциям из SHp(r) (Г). — Прим. перев.

§ 1. Общие свойства функций вполне регулярного роста 131
Так как среднее значение не убывает при увеличении б
и подынтегральная функция неотрицательна, то для достаточно
малых ц неравенство
0>(xmrm6n)-1 \
В@,(\+г\)г6)
выполняется при всех достаточно больших г. Если же г, кроме
того, столь велико, что В (гх0 + у, г8) а В (гх0, г8 A + г\)), то
О > (xmrm6n)-x \
В @, гб)
XdtW>-{. ?
Теорема 4.5. (i) Пусть функция u^SH^r>>(T) имеет вполне
регулярный рост на множестве D\S, где множество D откры-
открытое, a S лебеговой меры нуль. Тогда и имеет вполне регуляр-
регулярный рост на D.
(ii) Если множество D открыто в Г, а функция h*u непре*
рывна в Д то множество точек jcgD, для которых и имеет
вполне регулярный рост, замкнуто в D.
Доказательство. Пусть А — множество точек из Z), для ко-
которых функция и имеет вполне регулярный рост. Зададим е>0.
Предположим, чтол:0^Л, хофЕи. Далее, по теореме 1.31 най-
найдем X > 0 и Rx, такие, что при r>Rxn \\х — хо\\ < X
D.5) и(гх)Г9{г)^к*и(х0) + ф.
Из свойства среднего значения субгармонических функций
в случае (i) и из непрерывности h*u (x) в случае (ii) следует,
что для каждого т|, 0 < г\ < X, существует такая точка /еЛ,
II*' — *oll <Л, что \Ьи(х') — к*и{х0)\<ф. Так как /еЛ, то
для каждого достаточно малого б существует такое /?i (лгх, б),
что lru{x\ 6)>ft«0O-e/6 ПрИ r>Rl(x', б).
Таким образом, если ц достаточно мало, а г достаточно ве-
велико, то из D.5) и леммы 4.2 следует, что
Ги (х0, б) > 1Ги (х\ б) - е/6 > hi (х') - е/3 > hi (x0) - е/2. ?
Замечание. В случае п = 1 индикатор h) всегда непрерывен
(см. Левин [D] ), но при я ^ 2 он не обязан быть непрерыв-
непрерывным (Лелон [13] ).

132 Гл. 4. Функции регулярного роста
Теорема 4.6. Пусть D — открытое связное множество в Г,
и пусть для функции u^SH^r)(T) индикатор h*u— гармониче-
гармоническая функция в D. Если и является функцией вполне регуляр-
регулярного роста в одной точке из D, то она имеет вполне регулярный
рост во всем D.
Доказательство. Гармоническая функция всегда непрерывна,
поэтому из теоремы 4.5 следует, что множество точек Л, где
функция и(х) вполне регулярного роста, замкнуто в D. Дока-
Докажем, что А открыто в D, откуда будет следовать равенство
A = D.
Пусть хоеЛ. Выберем у >0 так, чтобы B(xOi y)cz D. Пред-
Предположим, что найдется /gB(xo,7)V Тогда найдутся е > О,
6 > 0 и последовательность гя->-оо, такие, что В(х', 6)с
czB(xo,y) и
(%МЯЬМ)-1 гп9Ы J и(гпх' + у)dx{у) <h\(*') - е.
В(°>гп6)
Пользуясь гармоничностью индикатора h*u (jc), перепишем это
неравенство следующим образом:
D.6) J r;Hrn)u(rny)dx(y)^ \ hl(y)dr(y)-z6mxm.
В (X', 6) В (*', б)
Далее, согласно теореме 1.31, при г > R{ и х^ В(хо,у) выпол-
выполняется неравенство r~p{r)u(rx)^ sup h*u (x) + 1 = с0, и по-
этому из леммы Фату и определения индикатора вытекает, что
D.7) limsup \ r;P{rn)u(rny)dx(y)^
"-»-00 В(*„,,)<В(*'.в)
< J h*u{y)d%{y).
B(xo,y)\B(x',6)
Из D.6) и D.7) следует, что
D.8) limsup \ rnP(rn)u(rny)dx(y)^ [ h*u{y)dx{y)-zbmxm.
П*°° B(ly) Bitty)
Снова воспользовавшись гармоничностью индикатора, запишем
это неравенство в виде
lira sup#(*„, у)<ЬЦу)-гF/у)т.
Г->оо
Это противоречит тому, что луч гхо является лучом вполне ре-
регулярного роста. Таким образом, /еЛ, и, значит, А—откры-
А—открытое множество. ?

§ 1. Общие свойства функций вполне регулярного роста 133
Теорема 4.7. Пусть функция #^SHp(r)(r) имеет вполне ре-
регулярный рост во всем Г. Тогда для каждого измеримого по Ле-
Лебегу множества К <ШТ
D.9) lim \ | Г9 {r)u (rx) - hi (x) \ dx (x) = 0.
Л
Доказательство. Достаточно доказать теорему в случае,
когда К = В(х0, а) с а ^ -g-d(xOi bd Г). Прежде всего заметим,
что по теореме 1.31 при всех г > R\ и лг^В(х0, а) выполняется
неравенство r~9{r)u(rx)^. sup h*u(x) + 1 = с0, а функция h*u (x)
В (Хо, а)
интегрируема по мере Лебега. Поэтому по лемме Фату
lim sup \ sup {{Г9 {r)u (rx) - h*u (x)), 6} dx (x) = 0.
r-»~ B(*o.a)
Далее, так как | a | = 2sup{0, a} — а для любого веществен-
вещественного a, то для доказательства теоремы достаточно проверить,
что по заданному е>0 можно выбрать /?(е) так, что при
r>R(e)
D.10) (xmam)~l J [Г'{г)и(гх) - tCu(x)\ dx(x) > -e.
В (дсо, a)
Для этого прежде всего заметим, что по лемме 4.2 можно вы-
выбрать /?i(e) и 6 = 6(е) так, чтобы при х'^В(х0, б) и r>R\
(xmam)~l J г-РИи(гх) dx (x) —
, a)
1 I „_л/Л../-._ч , ,._ч <е/2.
В Ос', а)
Поэтому при г > R{
<4.П) (^а")"'
В(^о, а)
Г J г-р <'>и (гхО йт (•) - г~р (% (г;сI dx (jc) =
, a) L В (дс, б) J
J I 'm
В Uo, б) L В (*', а)
В (xo, a)
Образуем теперь конечное покрытие компакта B(xq, a) ша-
шарами Б(xjy6/4), /= 1, ..., Л^, так, чтобы ни одна точка х\ не
попала на множество Еи. Применяя лемму 4.2 к каждому та-
такому шару, найдем числа rj и R2, зависящие от е и б и такие,

134 Гл. 4. Функции регулярного роста
что при г > R2 и х\ х" ^ В (л;/, 6/4), \\х'— х"|| ^ г\ выполняется
неравенство
D.11)' |/?(*', 6)-/?(*", 6)J<e/4
(так как множество шаров конечно, то можно считать, что R%
и г] одни и те же для всех у). Наконец, для каждой точки
х ^ В (хо, а) выберем шар В (х, гх) радиуса гх < г), лежащий
в каком-нибудь из шаров ?(*/, б). Образуем из шаров В(х, гх)
конечное покрытие Ви ..., Bs компакта Б(хо, а), и пусть точки
х^еВь ...д($)еВ5 таковы, что h*u(x{i)) = sup /U(х). Так как
jc(/) ^ ?a, то лучи гх№ являются лучами вполне регулярного
роста для функции w, и поэтому при г > 7?3 выполняется нера-
неравенство /м(а:(/), б);> Л«(х(г)) — е/4. Теперь из определения точек
*w и неравенства D.11)/ следует, что для любых х^В(хо,а),
г > sup(/?2,Rz)> и таких /, у, что jceB/cB(jc/,6/4), справед-
справедливо неравенство
Ги (х, 6) > Ги (x(i\ б) - е/4 > ^^ (х(/)) - е/2 > /i* (jc) - е/2.
Из этого неравенства и неравенства D.11) следует D.10). П
Эквивалентная формулировка доказанного результата со-
состоит в том, что lim r~p{r)u(rx)= ft*u(x) в пространстве распре-
делений ^)'(Г).
Теорема 4.8. Пусть р(г)—сильный уточненный порядок.
Тогда функция u^SH^^(T) имеет вполне регулярный рост
в Г в том и только том случае, когда h*u+v (х) = h*u (х) + h*v (x)
для каждой функции v ^ SHP(r> (Г).
Доказательство. Необходимость следует из теоремы 4.3, по-
поэтому достаточно проверить, что если функция и(х) не вполне
регулярного роста в Г, то существует функция uESHP(r)(r)',
для которой fi*u+v(x0) < h*u(x0) + h*v (х0) хотя бы для однога
хоеЕГ.
Если функция и не вполне регулярного роста в Г, то можно
выбрать хо, е > 0, б > 0 и возрастающую к бесконечности по-
последовательность гп так, что 1и (х0, б) ^Stu (х0) — е. Переходя,
если это необходимо, к подпоследовательности, можно считать
r/t+i^2rrt. По лемме 4.2 существуют Л^ и т^ > 0, такие, что
hn(x', 6)<Л;(*о)-е/2_для n^N{ и \\х' - х0\\< щ\\х01|. Так
1гпх')гп9{Гп\ то
D.12)
при х'^В(х0, г]).

§ 1. Общие свойства функций вполне регулярного роста 135
Пусть г|) — бесконечно гладкая функция на R, причем 0 ^
ф<1 и suppi|) cz(—1, 1), г|) = 1 на Г — у, у]. Положим
где х\2 < Чь
По предложению 1.22 при достаточно больших значе-
значениях IUII
{d\og\\
x\\J V dxi )
d\og\\x\\
d2 log 11 xИ ^ p2 ,, „pflMD-2
71 ^-7Г\\Х\\
Поэтому если Ао достаточно велико, a g достаточно мало, то
SH^( по теореме 1.18 и
D.13) ^(*о)>||хо||р + ?.
Пусть теперь хеВ (х0, ti2 || х01|) с: Г. Если rx^\JB (rnxQ,
п
42r«ll^oll)t то rx = rnx' для некоторого /gB(% ^lUoll) и неко-
некоторого rrt, такого, что у~1гп < г < угп с v= t _Л2. Из опреде-
определения функции v(x)t теоремы 1.18 и из D.12) следует, что при
больших г и малых rj
и (rx) + v (rx)
гР(г>
U{Гп) Г и (rnx') v (rnx') I
гр(г) р(гя) "Г р(гя) М
Т
(если выражение в квадратных скобках в правой части отрица-
отрицательно, надо 7Р заменить на y~p)- Далее, ввиду D.13) при ма-
малых т]2 правая часть этого неравенства не превосходит
hi (*о) + hi (xQ) — е/4.
Если же гх^и^(г^о» ^^IUoID» то ПРИ достаточно больших г
га
и JteB(tf0, г]3) по теоремам 1.18 и 1.31
Таким образом, h*u+v(xQ) < hu(xo) + h*v(xQ). D

136 Гл. 4. Функции регулярного роста
Если Гс СЛ и функция / голоморфна в Г, причем g|/|
^БН^Г)(Г), то будем говорить, что / имеет вполне регулярный
рост в Г, когда log|f| вполне регулярного роста в Г в смысле
определения 4.1. В этом случае теорему 4.8 можно усилить:
Теорема 4.9. Голоморфная функция f имеет вполне регуляр-
регулярный рост в выпуклом конусе Г {относительно сильного уточнен-
уточненного порядка р(г)) тогда и только тогда, когда для каждой
голоморфной функции g нормального типа по отношению к р(г)
во всех точках Г выполняется неравенство ftfg{z) = fif{z) + hg(z).
Необходимость следует из теоремы 4.3, поэтому доказывать
будем только достаточность. Нам понадобится для этого следую-
следующая лемма.
Лемма 4.10. Пусть rm — возрастающая последовательность
положительных чисел, такая, что rm ^ e2rm-\ и г\^ 1, и пусть
оо
гоеГ, ||zoll = l. Положим q>(z)=V log ||г~Гтг°" . Тогда для
т = 1
данного г > 0 существует такое 7?е, что при \\z\\ ^ Re выпол-
выполняется неравенство ср(г) ^ [Ы18, а если |[г|[^/?е и у^
^ IIг — rmzo\\ ^ 1 при каком-то т, то ф(г)+ log(l + |[г[|) ^ С>
где константа С не зависит ни от г, ни от т.
Доказательство. Пусть ej~l ^ ||г|| ^ е'К Для m ^ /2
я, таким образом, для ||г|| ^ е2, т. е. / ^ 3,
Е log||гГт' - го| < (/ + IK< 3 (log||г||K.
Для m ^ /2, используя разложение в ряд Тейлора функции
log(l +x), получаем
_ 2/2
-2m C\\\\^
Это доказывает первое утверждение леммы. Далее, если для
некоторого m ^ 2 выполняется неравенство -г- ^ ||г — rmzo\\ ^ U
то при q ^ m — 1
=l - l) >log(e2 - 2) > 0,

§ 1. Общие свойства функций вполне регулярного роста 137
а для q ^ m + 1
и, таким образом,
"х — 2г01| > log ^ — log rm ^ log -- —
Доказательство теоремы 4.9. Как и при доказательстве тео-
теоремы 4.8, найдем Zo'S Г, е > 0, т| > 0 и возрастающую к беско-
бесконечности последовательность {rm}, такие, что ft} (го)Ф—оо и
г тР (Гт) log | / (гтг0 | < ft} (Zq) — е/2 при /gB (zo, Tji). Б^ ограни-
ограничения общности будем считать, что ||<го|| = 1 и что последова-
последовательность {rm} удовлетворяет предположениям леммы 4.10.
Пусть 1|)е%°°(К), 0^г|)^1, supp г|5 cz (—1, 1) и -ф = 1 при
|^| < 1/2. Положим
А (г) = || z f «-I)
2
где 0 < т|2 <-g-Tii- П° предложению 1.22 для достаточно боль-
больших г = ||г|| и для любого w ^>Cn
*=* *
dzjdzk f k (dlogr2J г4 "*""<* log г2
>inf(p/4,pf/2)r'w-fflW|f,
и, следовательно, для достаточно малых | (зависящих от -ф и
тJ) и достаточно больших Ло функция V\(z)=sup(A(z), Ao)
является плюрисубгармонической. Положим
оо
а B)= Ц i|)(z —
И
2

138 Гл. 4. Функции регулярного роста
Если \\z' — rmzo\\ < 1 и г\2Гт > 2, то при р > р' > sup @, р— 1)
по теореме Лагранжа о среднем значении с учетом предложе-
предложения 1.19 имеем \\A(z') — A(rmzo)\\ ^ Collz'||p\ Положим
V2 (г) = Vx (z) + 2пФ (г) + Bл + 1) log (I + || z ||) + CQ\\ z f.
Учитывая, что носитель формы р = да лежит во множестве
U {z: Уг^Нг —rmz0||^ 1}, получаем, согласно лемме 4.10,
т
оценку
оо оо
р рехр(-2V2(z))dx(г)<С J) exp (-logrm)<С J] г2-2- < С.
m=l
Из приложения III следует тогда, что существует решение у
уравнения ду = р с оценкой
где
Рассмотрим теперь голоморфную функцию g(z) = a(z) — y(z).
Так как функция ехр(—2ny(z)) не интегрируема в окрестно-
окрестностях точек rmZQ, то должны выполняться равенства y(rmz0) = 0,
и, значит, g(rmzo) = a(rmzo)= exp Vi(rmz0)< Таким образом,
Если z' е В (zQi т]2/2), а г выбрано так, что rzf e
* то 1^Ги<г<Гт1±^ для неко-
О
которого m и найдется z"^B(zo, уПг), такое, что rmz" = rz\
Пользуясь леммой 3.47, при достаточно больших г получаем
| g (rzf) | < С" exp sup V3 (г) + \а (гг') \ <
< С ехр ШГт) sup A, || г" ||р) +

§ 2. Распределение корней функций 139
откуда следует, что при достаточно малом г\2 и достаточно боль-
большом г
, loglg(rz')! ^
"Г" р(г) ^
гр(г)
Г
PC-)
-f+(i + 3/2%)p+1+
Наконец, если rz' ф U В (rmzQi 3/2Л2гт)» Т0 из леммы 3.47 и тео-
т
ремы 1.31 следует, что при достаточно малом \\z' — Zoll и доста-
достаточно большом г
— + ^ ^hf(z)+ -J- +
r"p(r) sup
llz-rz'||
Таким образом, /ifg (г0) < h) (z0) + /ig (^o)« ?
§ 2. Распределение корней функций
вполне регулярного роста
В этом разделе для целых функций вполне регулярного роста
будет доказан важнейший принцип, связывающий регулярность
роста с регулярностью распределения ее нулевого множества.
Пусть \i = Au(x) и щ = /~р(ОДи(^х), где «GS№(r)(r); эти
меры положительны в Г. Конус Г" будем называть компактно
вложенным в Г, если Г/ПЬAВ@, 1)с=Г. Если Г" компактно вло-
вложено в Г, положим \лТг (г) = M(r"n В @, г)\В@, 1)). (Через
\х(А) и Д/г^ (Л) обозначается общая масса положительных мер
li и Д/г« на множестве А.)
Теорема 4.11. Предположим, что функция и^ SH^r)(T) имеет
вполне регулярный рост в Г, и пусть конус Г7 компактно вложен
в Г, причем Д/г« (bd Г') = 0. Тогда
^т т-2+о(г) = АЙи (Г7 П В @, 1)).

140 Гл. 4. Функции регулярного роста
Доказательство. Из теоремы 4.7 и замечания после нее сле-
следует, что при фе<2?о°(Г) выполняется равенство lim хф^И^^
= \ qpA/iw. Пусть Q — ограниченное открытое множество, такое,
что йсГ. Если {фЛ} — последовательность функций из ^0° (Г),
монотонно возрастающая к характеристической функции %Q (x)
множества Q, то для всех п
lim inf \it (Q) ^ lim \ q>ndiit = \
и, следовательно, lim inf \it (Q) ^ Л/г^ (Q). Таким же способом^
выбирая последовательность функций i
убывающую к функции х^(х), получаем
^0° (Г), монотонна
lim sup |ы, (Q)
Отметим, что
тельно, если Л/ги (bd Q) = 0, то
= m_2+p(<) , где/Й = {х: хД е Q}. Следова-
СледоваПоскольку функция Яи однородна, мера АЙи не может иметь
сосредоточенной массы в начале координат, и поэтому
, 1))= lim
, 1)ПСВ@,
Отсюда и из D.14) получаем, что при достаточно малых г и при
t>T{r, г)
tm-2+p{t)
(Г П В @, 0 П СБ @,
tm-2+Q(t)
9 1)\СВ@, 1/г))>Д/?и(Г'ПВ@, 1))~е.
r
Так как е произвольно, то lim inf
г П В @, 1)).
m_2+p {t) ^ А
Теперь по данному е > 0 выберем v = v(e) так, чтобы при
достаточно больших г выполнялось неравенство
|1(Г'ПВ@,

§ 2. Распределение корней функций 141
Для того чтобы это осуществить, применим D.14) к множеству
О = Г'П Д@, 2)ПСВ@, 1) и выберем такое /0, что jx(^)/2""m*"p@<
UQ)+1 при t^t0. Если 2%<r <2q+lt0 и v = 2~<7\ то
(Г П Д @, *о) П ОВЖТ)) ,
rm-2+p(r) ^ fm-2+p(r)
A/?(Q) + 1 *°
гт-2+р (г)-
Отсюда, так как р(О"^Р и ф'@.1°8'"^0 ПРИ ^~>о°, при доста-
достаточно большом ^о получаем
2-*(m-2+p/2)<e.
Теперь для данного е при достаточно больших t и подходящих
v ввиду D.14) имеем
, О ПОД @, у*))
, v/)),
и так как е произвольно, то
S"P Д'+рщ <^» (Г П В @, 1)). П
Следствие 4.12. Пусть u^SH^(r) имеет вполне регуляр-
регулярный рост в Г. Для того чтобы функция ftu (x) была гармониче-
гармонической в Г, необходимо и достаточно, чтобы для каждого Г7, ком-
компактно вложенного в Г, выполнялось соотношение
lim m-52+p(r) ==^> ^сли Г — конус в Сп и функция и(г) плю-
рисубгармоническая, то функция ft*u (z) будет плюригармониче-
ской в Г тогда и только тогда, когда для любого Г7, компактно
вложенного в Г, выполняется соотношение lim 2к-2+ (г) = ^-
Доказательство. Если /г^ — гармоническая функция в Г, то
А/г« (bd Г') = 0 для любого Г7, компактно вложенного в Г. От-
Отсюда следует необходимость. С другой стороны, можно найти
такую последовательность конусов Г*, что Тп компактно вложен
оо
в Гп+1> иГ„ = Ги Aitu(bdTn) = O. Тогда, по теореме 4.11,
Дим(bd Г„) = 0, так что fiu —гармоническая функция в Г. Если

442 Гл. 4. Функции регулярного роста
дополнительно функции и плюрисубгармонична в Г, то функция
h*u будет плюрисубгармонической и гармонической в Г. Поэтому
функция h*u бесконечно гладкая, а ее форма Леви положительно
полуопределена, откуда следует, что д " = 0 и
i-=0.
dz.dz. l dzbdz
d2h*
Таким образом, " = 0, и, значит, h*u — плюригармониче-
aziazk
екая функция. D
Замечание. Используя теорему Стокса и положительную од-
однородность функции h*u(x), можно выразить Ай«(Г П#@, 1))
через значения пи на rf|bdB(O, 1) и нормальную производную
hu на bd Г П bd В @, 1). Это приводит, в частности, к следую-
следующему обобщению классического результата: если Г^~ кру-
круговой конус с осью tw, t > 0 и угловым раствором ф, то для
всех значений <р, за возможным исключением счетного множе-
множества, зависящего от w, выполняется равенство
tiu{x)dxm_x{x)
ГФ П bd B@, 1)
w
+ (р + m - 2У' ± J hi (x) dxm_2 (x).
ЬёГФ flbdB(O, 1)
w
Для доказательства того, что целая функция с нулями,
имеющими угловую плотность, является функцией вполне регу-
регулярного роста, используем полученные в гл. 3 интегральные
представления. Нам понадобится дополнительная информация
об этих представлениях. Обозначения будут использоваться те
же, что и в гл. 3.
Лемма 4.13. Для данного г > 0 существует зависящее от
8, q, п такое число s0, что при s ^ s0, II аII ^ 3Bя — 2)||г||
Доказательство. Так как | Ps {a, z) \ < |^L bn S9 где bn s =
II a О
-?рBя — 2)Baz— 1) ... Bn + s — 3), то, как и в доказатель-

§ 2. Распределение корней функций
стве предложения 3.14, при ||а|| > т||г|| получаем
143
0 -
Если т = 3 Bai — 3), то каждый член ряда не превосходит
Bп — 2)q+lB/z)k> и поэтому при достаточно большом 5
(a г
п
Лемма 14.4. Яусгб Х= {г: f(z) = O}, 0 ^ X и ()
С/-р(г>+2"-2. Гог^а существует такая константа Л=Л(р, /г),
при любом достаточно малом \i и целом q < p для любого
w е С.я, || а; || = 1, выполняется неравенство
Доказательство. По предложению 3.14 для достаточно малых
^ при ||а|| ^ \лг имеем 1}
Поэтому, интегрируя по частям, получаем
Ь """ I \ о (г} Г70)
К2п-2 J ^2п-2\и> ГШ>
Ji-Г
Поскольку, согласно предложению 1.20,
2-2/г»
J) При |i<l/2 имеем ||х|| = г >2||а||. Поэтому | А2я_2 (а, jc) |<||а||2-
и, чуть изменив доказательство неравенства C.8), можно получить нужное
неравенство.—Прим. перев.

144 Гл. 4. Функции регулярного роста
И
то теперь нужная оценка получается при помощи леммы 3.20. П
Обозначим через Г^, w ^ Сп, круговой конус с вершиной
в начале координат, осью w и углом раствора Ф.
Теорема 4.15. Пусть f(z) — целая функция нецелого порядка
р и нормального типа относительно уточненного порядка р(г).
Для конуса Г с: С" положим а (Г, г) = \ A log | / |. Если пре-
ГПВ@, г)
'*т р(г)+2я-2 == ^(Ф) существует для каждого хю^Ы В @,1) и
каждого угла Ф (за возможным исключением зависящего от
w счетного множества значений), то f(z) — функция вполне ре-
регулярного роста в Сп.
Доказательство. Проверим, что функция f имеет вполне ре-
регулярный рост на каждом луче {rw: r>0}, таком, что
lim Л(Ф) = 0. Так как множество лучей, для которых это соот-
Ф->0
ношение не выполняется, не более чем счетно, то по теореме 4.5
отсюда будет следовать утверждение теоремы в полном объеме.
Зафиксируем такой луч rw и выберем 8 > 0, б > 0 и Фо
так, чтобы а(Г2, r).r2~2"~p(r)</, 0<Ф<Ф0, где число I,
зависящее только от 6, будет выбрано позже. Положим
Lw(<&i, Ф2) = Г^1 —Г^2. Для вектора aeR2" через aQ обозна-
чим такую точку двумерной плоскости, натянутой на векторы
а и w, что ||ае|| = 11^11 и вектор ае образует угол 0 с w. Далее,
положим PQq(a, z) = Pq(aQ, z), где q — род данных X.
Выберем, пользуясь леммой 4.14, число |i0 > 0 так, чтобы
При |Ь1 ^ |Ло
rw>
_5_ гр (г)
12 Т '
Аналогично, пользуясь тем, что q -\~ 1 > р, с помощью леммы
3.14 можно найти Хо < оо, такое, что при X > Хо
rw>
12

§ 2. Распределение корней функций
145
Из определения е2п-2{а, z, q) следует, что для любого g > О при
некотором л =Y](g, ji, X) > 0 неравенства
| k2n-2e2n-2 (я> fwy q) — k2n-2e2n-2 (яег rw, q) \ < Ir2~2n, i = 1, 2,
выполняются, как только 0Ь Э2 ^ Фо, 18i — ^2 К Л> 0 ^ ?» (9ь 92),
|хг<||а||<Лг. Выберем теперь I = ndJn-2+9 > гДе rf =
s== ^m jn-2+Q(r)» и РазДе^им интервал (Фо, я] на конечное
Г->оо Г
число полуинтервалов @^, 6j+i], i=l М, так, чтобы
|Э* — 9/+i|<T|. Положим затем
У\ г)-а(г5, г),
ri = Lw(Qi+u 9г)ПСВ@, fir) П В@, г),
ЦГ)ПВ(О, Яг),
_2(a, z, q)dax(a),
^,2(a, ray,
Для достаточно больших значений г имеем
м
<|7Чга>)-/(г)|
Л (г)
*-2 (ае^ гш> <l)d<yx(a)
-2+р о(г)^ е л
^ 12 '
Далее, положим St(r, 0 = ^-2^-2(^ег га;, <7) ПРИ ^==||ае^||>
а через Вт обозначим полином, определяемый равенством
Hafn-2+q Bm(cosQ) = k2n-2Pm(a, rw)y
где 0 — угол между векторами w и а. Тогда
Кг
2п-2(\> rw> q)dax{a)= \st{ry ^do^t).

146
Гл. 4. Функции регулярного роста
Далее, полагая /,(/-) = /-р(О-р, для данного е>0 и всех /^
^(\ir, А,/-) при достаточно больших /-, согласно теореме 1.18,
имеем
D.15)
- L (г) Л/w+2n1
и, таким образом, для т=1/3Bя — 3)
(г, 0 det (t) =
М-г
гВх cos 8^
(О
cos 8; - гJ + *2 sin
2 + *2 sin2
я — 9^ X Oi (t) (t - r C0S dt) dt
)r lecos e' - r>2 + '2 sin2 e^n
Теперь, используя неравенство D.15), для достаточно малых
и больших г получаем
I Г out) itr _
I L [(< COS Of - ГJ + i2 8in2 в,]» J^r
24d(q+l)
(b)
Gi (t) (t — r cos Qj) dt
[(t cos 9/ — rJ + t2 sin2 Qi)n
П+2/Х-2 ( _
rQ(r)

§ 2. Распределение корней функций
147
Отметим, что
[(s cos9— lJ + s2sin28]
для
. Далее, для
! (t) dt
2n-i + k '
Таким образом, из D.15) следует, что при достаточно малых [i
и достаточно больших г
(с)
(t)
р-Л
Ш (? ¦
В то же время по лемме 4.13 при достаточно больших $ и t ^ тг
имеем
dr, t)-
г-2+fe
ггч
для А >0 и р = р(А, е). Далее, воспользовавшись леммой 3.20,
для достаточно больших значений А и г получаем
М Кг
Кг М
t) dot fl-
flit
X
-dot(t)
M
Xr
ША
\2dA
Kr
Заметим, что
\rk dot (i)
Г ot(t)dt l^Y *Atr*Kn
J f2n + q I ^ Zj 12c/ *
xr ' i=>\
_ k Г Qi(t) 1 |Я
L J 'x
и поэтому по теореме 1.18 существуют такие константы Л|, что
для достаточно больших г
Kr k
[ J^daijfl Л'><г>
J t2n-2+k nkr
ery

148 Гл. 4. Функции регулярного роста
Собирая вместе все полученные неравенства, получаем, что для
функции
e2n_2(a, zy q)dax{a)
t'
,. T(rw)
должен существовать предел hm —^p = yw, а так как эта
функция субгармонична по z, то при достаточно больших г
справедливо неравенство 1ГТ(до, б)^Уа> —е/2.
Рассмотрим теперь функцию Q(z) = k2~n-2 \ е2п-2(а> z> q) X
* w
Xdex(a). Из оценок, полученных в теореме 3.19, следует суще-
существование константы С, такой, что Q(z)^ Cl\\z\\^n\ а так как
Q@) = 0, то
0< J Q{z)dx(z)= J QB)dr(e)-
В @, г A+6)) B(rw, гб)
J QB)dT(Z)
В @, A+б)г)\В(гш, гб)
и, следовательно,
В @, г A+6)) \ В (rw, гб) В (га>, гб)
0< J Q"(z)rfT(z)< J Q+(z)dr(z).
В @,A+6) г) В @,A+6) г)
Функция гР(г) возрастает, поэтому по теореме 1.18 при доста-
достаточно больших г
В@, гA+б))\В(га>, гб)
>—2С/A + б)ргр(г>.
Таким образом, Iq (w, б) > — С'/6~р A + б)р и, значит, по 6
можно выбрать столь малое /, что Iq (w, б)^ —е/2.
Осталось заметить, что log\ f \ = ЯеS(z)-\-Q(z)+T(z)+СбУ
где 5(,г)—полином порядка q < р, и поэтому /[og|fi(^, б) ^
^ Yoy — С ПРИ достаточно больших г. П
Случай целого р более сложный и требует некоторого измене-
изменения рассуждений. Пусть а, р — мультииндексы, т. е. строки из

§ 2. Распределение корней функций 149
п
целых неотрицательных чисел длины п, и пусть | а | = ]>] <*;>
IPI=Zp*. Положим zaz^ = z[x ... zln2il ... znn, и пусть
Pq(a, z) = Z Лх,р(я)гагР,
S(z)= Z ^
где S(z)—плюригармонический полином в каноническом пред-
представлении log |/| по теореме 3.30.
Теорема 4.16. Целая функция f(z) нормального типа при
уточненном порядке р(г) в случае целого р = lim p (г) имеет
Г->оо
вполне регулярный рост в ,С.Я тогда и только тогда, когда вы-
полняются следующие два условия:
i) Hm Q{r)+2n-2 существует для каждого w^ Cn и всех Фе @, я) f
за исключением, быть может, некоторого зависящего от w счет-
счетного множества;
ii) для всех а, р, таких, что |а| + |Р| = р, с некоторыми констан-
константами Са, з существует
Доказательство. Длинное и скучное доказательство сформу-
сформулированной теоремы очень близко к доказательству теоремы
4.15, поэтому мы укажем только те места, в которых оно отли-
отличается от предыдущего.
Прежде всего заметим, что если q = p—1, то потенциал
/р(г) также существует. Поэтому ограничимся здесь рассмотре-
рассмотрением только такого потенциала.
Положим
\ *2п-2 (*. *> ? - Ddax(a)
W\<r
k2n-2
При фиксированном г это субгармоническая функция от z>
поэтому для w e bdS@, 1) можно определить функцию /ф (w, б)
и доказать, как и в теореме 4.15, что для данного г > 0, доста-
достаточно малого б > 0 и достаточно большого г при некотором yw

150 Гл. 4. Функции регулярного роста
выполняется неравенство —е<!/ф (w, б)— Ya>^6- Так как
функция ^/-„-2 j И «И" Pq{a,z)dox{a) гармониче-
екая и однородная степени р, то
D.16) /jog | f | (w9 б) — /фг (ш, б) =
1«! -h 1Э1=р
Поэтому условие ii) влечет вполне регулярный рост функ-
функции /.
Обратно, если f имеет вполне регулярный рост в |СЛ то О
выполняется по теореме 4.11 и, так же как и в первой ча-
части доказательства, доказывается существование предела
lim lim/ф (w, 6) для всех ayebd?@, 1), за возможным
исключением счетного множества. Из D.16) теперь следует, что
для тех же w существует предел
llalKr
Пусть N— число пар мультииндексов а, р, таких, что |a|-f-
+1PI = Pi и пусть J W(t)wft) | — квадратная матрица размера NXN,
где каждая переменная w(i)t i=l, ..., N, пробегает простран-
пространство Сп. Детерминант этой матрицы является вещественно ана-
аналитической функцией в R2nN и, как нетрудно видеть, не обра-
обращается в нуль тождественно. Следовательно, существуют точки
"не лежащие в счетном исключительном множе-
стве, для которых det|| w^wfi)\фО. Отсюда следует, что каждую
из N величин
L
|[a[|<r
\a\\2~2nPa^(a)dax(a)]
J
можно представить как линейную комбинацию следующих вели-
величин, имеющих предел при г-^-оо:
Ja| + |0| = p L llalKr

Комментарии 151
Комментарии
Большинство результатов этой главы являются переформу-
переформулировкой классических результатов о регулярном росте целых
функций одной комплексной переменной, с которыми можно
ознакомиться по книге Б. Я. Левина [D]. Функции вполне регу-
регулярного роста играют важную роль в теории целых и мероморф-
ных функций одной переменной конечного порядка. Они дают
экстремальное решение в некоторых проблемах неванлиннов-
ской теории, а также имеют большое число приложений в тео-
теории дифференциальных уравнений и преобразований Фурье. Од-
Однако теория целых функций вполне регулярного роста в ,С.п
пока еще не получила такого широкого развития. Некоторые
приложения этой теории будут даны в гл. 9. Другие интересные
применения этой теории были получены в недавних работах
Вигеринга [1, 2].
Результаты, изложенные в начале § 1 и 2, были анонсиро-
анонсированы Груманом [7] без доказательств. Теорема 4.8 принадле-
принадлежит Фаворову [1]1}, некоторые упрощения в начале § 2 принад-
принадлежат Берндтссону [1]2>. Другие результаты о функциях вполне
регулярного роста были получены в работах Агранович [2] и
Агранович и Ронкина [1]3),
11 > В этой же статье им была доказана теорема 4.9 для Г = Сл. —
Прим. перев.
2) Отметим, что основные факты теории субгармонических функций вполне
регулярного роста в пространстве впервые были получены Азариным [3*]. —
Прим. перев.
3) См. примечание 2 на стр. 127. — Прим. перев.

Глава 5
Голоморфные отображения С в С
В этой главе мы рассмотрим четыре проблемы, связанные
с целыми отображениями ,СЛ
Если X — данные Кузена в _С.Я, то, как мы показали в третьей
главе, X можно задать как множество нулей целой функции f,
рост которой определяется ростом индикатора v*(r). Первый
вопрос состоит в том, обладают ли подобным свойством анали-
аналитические множества У произвольной коразмерности. Будет по-
показано, что такое многообразие можно представить в виде У =
= {z: F(z) = Q}, где F: .Сл-^-С/" и рост \\F\\ оценивается через
уy(г)— проективный индикатор роста потока интегрирования по
аналитическому множеству У (см. определение 2.24).
Три других вопроса, которые будут изучаться в этой главе,
состоят в следующем:
i) если f — целая функция, a X = f-{(a)> то, как следует из
формулы Гаусса, рост vx(r) оценивается через рост |/|; в част-
частности, для любого а > 1 найдется такое Са, что
vx(r)^Ca sup log|/| + c;.
Вопрос: можно ли оценить объем F~l(a) через рост ЦЛ1 в
случае, когда F — голоморфное отображение?
ii) Если Y—аналитическое множество коразмерности 1 в С",
то можно задать У как f~l@) с помощью целой функции, рост
которой связан с ростом v[y, (г). По одномерной теореме Иенсена
для любой комплексной прямой L, LgtY, объем L(]Y(]B@, r)
растет асимптотически не быстрее максимума log|/| и, следо-
следовательно, не быстрее v[Y] (г).
Вопрос: можно ли оценить объем L()Y () В@, г) в терминах
vlY](r)> если У имеет коразмерность больше 1, а L — линейное
подпространство с dim L = codim У?
iii) Если X = f-{@) и log|/| растет, как vx(r), то для любой
комплексной прямой L с ортом а имеет место равенство
г 2я
= ^\ log | f (г^еа) | rfe — log | f @) |

§ 1. Представление аналитического множества 153
(точки пересечения считаются с кратностями). Поскольку пра-
правая часть является плюрисубгармонической функцией от а, у ко-
которой среднее значение по S2"-1 равно vx(r), то отсюда выте-
вытекает, что множество тех прямых L, для которых Lf\X(]B(Of r)
«растет намного медленнее», чем v*(r), локально плюриполярно
в Р(С") (см. следствие 1.43).
Вопрос: сколь мало множество таких р-мерных подпро-
подпространств Lpt что LP(]Y()B(O, r) растет «медленнее», чем v[Y] (r),
для аналитического множества У коразмерности р?
Как мы увидим, ответ на первые два вопроса отрицателен,
однако при этом будет показано, что множества, для которых
соответствующие оценки невозможны, являются весьма ред-
редкими. Мы покажем также, что и множество подпространств Lp,
таких, что LP (] У растет медленнее, чем v[Y] (r), является редким.
§ 1. Представление аналитического множества
Y в С* как F~l@)
Как и в гл. 3, мы хотим представить аналитическое множество
У в виде F-^O), где F—целое отображение, рост которого свя-
связан с ростом vy(r). Однако в постановке задачи есть два су-
существенных отличия. Напомним, что
i) если X = (Uk, fk) — данные Кузена, то X задает аналити-
аналитическое множество Y(X) в С", каждая неприводимая ветвь Yk
которого обладает некоторой кратностью т/е, и требовалось, что-
чтобы полученное решение проблемы Кузена f имело кратность т^
на Yh\
ii) данные Кузена дают представление потока интегрирова-
интегрирования Qx=Zmk[Yk].
В общем случае аналитическое множество на каждом эле-
элементе Uk открытого покрытия Сп задается как множество-
Y(]Uk={z: fkj(z) = O> j= 1, ..., jk]. Мы требуем только, что-
чтобы У = F~l @) как множество.
Построение потока интегрирования по У как положитель-
положительного замкнутого потока проводилось во второй главе. Основные
этапы дальнейших построений следующие:
a) используя положительный замкнутый поток [У], мы
строим локальные потенциалы, плотность которых сосредоточе-
сосредоточена на У;
b) с помощью разбиения единицы строится глобальный по-
потенциал с плотностью на У;
c) добавляя функцию со строго положительной формой Леви,.
рост которой связан с v[Y] (r), мы получаем плюрисубгармони-
ческую функцию V, такую, что v,, (z) = v{Y] (z) > 1, где vt, (z) и

154 Гл. 5. Голоморфные отображения
V[Y] (г)~~ числа Лелона в точке z потоков t' = — ddV и [Y] со-
соответственно (см. теорему 2.23). При этом рост функции V
также оценивается через v[Y] (r);
d) используя теоремы существования для ^-оператора (см.
приложение III), мы строим такое целое отображение F с тре-
требуемыми оценками роста, что F = F~1@).
Описанное построение !) (с соответствующими изменениями)
можно осуществить в любой псевдовыпуклой области и для лю-
любого положительного замкнутого потока t, но мы не будем про-
проводить его в полной общности.
§ 2. Локальные потенциалы
и дефект плюрисубгармоначности
Введем ядра g» (а, г) = — ср || а — z \\~2р, 1 < р < п — 1, g0 (а, г) =
= log || а — г || (через ср обозначена константа ср = (й<2Р1). Функ-
Функции gp субгармоничны в R2n; плюрисубгармонической является
только функция g0. Лапласиан
&zgP(а, г) = 2pBn-2-p)cp\\a-z|f2p>0
представляет собой (при фиксированном а) локально интегри-
интегрируемую функцию, если р^п — 2. При р = п—1 справедливо
равенство kzgp = 2яб(а) (в смысле распределений).
Предложение 5.1. Пусть о — положительная мера, сосредото-
сосредоточенная в шаре Во пространства Сп9 U (z) = \ gp (a, z) do (а), а
<г' = -^-Д?/. Пусть, далее, d2l(z) = lim^iZl, a d'= Hm2^%p.
Тогда
<6Л) d'2n_2(z) = d2p(z).
Доказательство. Если р = п—1, то а'=-^-Af/ = a, так что
E.1) очевидно. Пусть теперь 1 ^ р < п— 1, a z = 0. Тогда
{2л)~{ Ш = c/p\\\a-z\r2p-2 do{a), где с'р = 2р(п- р - l)^.
Для фиксированного II #11 = ^ положим kp+{(t, r) =
^ а — or ||~2p-2rfco2/I (а). Так как функция — \\а — г\\-ь при
^2п — 2 является К2/г-субгармонической, то kp+\{t,r)—
1) Оно принадлежит А. Скода.

§ 2. Локальные потенциалы и дефект плюрисубгармоничности 155
убывающая функция от г и dkp+i/dt < 0 для р ^ л — 2. Тогда
при г->+0 имеем
= /@, г, A?/) =
п
о
Так как подынтегральное выражение неотрицательно и
сг @, /) = d2p @) x2pt -f- a (t) x2pt , где
если t <C Rbj to
/ @, г, АС/) = с с' (\ + ве) т2/
о
где 0^0^ 1. Интегрируя по частям, имеем теперь
я
at= [—t kp+i\ |0 ¦
где /(г) = сп\ ||а\?р~2п\\a-z f2pdx(а).
Последний интеграл представляет собой свертку г~а с г-Рг
где а = —2р + 2л, а Р = 2р + 2. Нетрудно подсчитать, что
/ (г) = АП9 /рспг'\ где An, Р = лп[р(п — р — 1)(л — 2)!] -1, так что
I(r) = 2pcpx2pc'pd2p(Q) АПгрспг~*A +6е), 0<6<1.
Пусть а'(г) обозначает а'-меру шара В@, г). По формуле
Гаусса
= d2P @) Л„. р B^г - 2)~1 С; A + вв) ^-2
и
(г2п-2Г2п-2)~1 <*' (г) = c(l+ 9e) d2p @),
где с = Лп р^2я1-2Bл — 2)-1= 1# Тем самым E.1) доказано
для 1 ^ р ^ л — 2.

156 Гл. 5. Голоморфные отображения
При р,= 0 имеем go(a, z)= logЦа—z\\ и а@, /)=6@)rf0@) +
+ е@» где О^е@^е для ?е[0, /?]. Тем самым все сводится
к случаю точечной массы в начале координат, для которого E.1)
очевидно. ?
Пусть т] <= ^?JJ° (СЛ), 0^т](г)^ 1 и т]=1 на открытом мно-
множестве со. Введем локальный потенциал
<5.2) U (г) = -с, J || а - z \\'2р ц (a) da (a) =
= -ср\\\а- z\\~2p 4t /\$р{а\
где t e f ^"-p (Cn), a a = t Л Рр — след потока L Тогда d2p (-г) =
= vt(z)—число Лелона потока t в точке г, и мы получаем
Следствие 5.2. Локальный потенциал U(z), определенный
равенством E.2), является и2п'Субгармоническим, а мера -к- Ш
имеет плотность df2n_2(z) = vt(z) на множестве {г: ц(г)= 1}.
Вычислим теперь дефект плюрисубгармоничности потенциа-
потенциала E.2), т. е. найдем такую положительную меру i|)(z), что
<5.3) L (U, Я) =
Как мы увидим ниже, функция ,\|? (,г) может быть выбрана
^°°-гладкой вне носителя кц.
Пусть g'p (г) = -ср || г ||р Рр, и пусть 0 < р < п — 1.
Лемма 5.3. i) Яр?/ р = п— 1 поток
E.4) —ddg'n_l есть мера Дирака 6@).
и) Положим y = 4" <Э IIг II2 л ^Иz II2- Тогда при 0^р^п — 2
имеет место равенство
<5.б) ^а^;=а^
Доказательство. Если р = п—1, то d|3n-i = dPn-i = 0, так
что
(здесь использовано также, что cn_iCnl=п/(п— 1)).

§ 2. Локальные потенциалы и дефект плюрисубгармоничности 157
Для 0<!р^п — 2, поскольку у Л Р = Р Л Y» а y Л Y == О» полу-
получаем
С другой стороны,
— аа^ и г и / —
откуда следует E.5). ?
Замечание. Вне начала координат а" = 0; если положить
ап = 6@), то из E.5) можно получить E.4).
Пусть /—голоморфное отображение QcziC/1 на Q'c=Cm,
а ф — дифференциальная форма в ?У. Определим прообраз ф
в Q, обозначая его /*ср, как форму, полученную подстановкой
в ф переменных г7ей7 и их дифференциалов, выраженных че-
через z и <iz. Если t—поток с компактным носителем в Q, то
образ t в ?У, обозначаемый /*i, определяется с помощью двой-
двойственности: fj(cp)= t(f*y)= t(af*cp), где а (г)—произвольная
функция из 9*0°(й), такая, что а= 1 на носителе t. Если по-
поток ^ не имеет компактного носителя, то поток fj можно опре-
определить, когда отображение / собственное.
Чтобы получить оценку снизу E.3) для потенциала E.2),
нам будет удобно использовать произведение пространств Е{ =
= \Сп(а) и Е2 = Cn(z) и проекции
q: (a,
q': (a,
r: (a,
z)
z)
z)
->a,
->z,
->a —
2, t:
Тогда tV = -cJz-a \\~2p PD (z - a), где p (* _ a) = -L
X Z (rfz* - rfaft) Л №ft - da*), a pp =
Рассмотрим сначала случай, когда t—положительный поток
с ^-коэффициентами. Тогда
qt = -cp\\z- а\\~2р fip(z-a)At(a),
и потенциал E.2) приобретает вид
<5.6) U (z) = -ср J || 2 - а \Г2Р рр (а) Л t(a) = J ^ [тVp Л q*t],
где ^*/—прообраз t при отображении ^, а т*^ — прообраз |/
при отображении х (определенный на Е\Х,Е2). Мы получаем

158 Гл. 5. Голоморфные отображения
E.6), беря образ потока x*g/p л q*t (определенного на E
при отображении q\ Этот образ корректно определен, поскольку
сужение q' на носитель x*gfp л q*t является собственным отобра-
отображением. Вычислим iddU(z), используя равенство E.6). При
этом мы воспользуемся тем, что операторы д и д коммутируют
с операторами взятия образа и прообраза. Итак, для д = дг + да
и Ъ = д2 + да имеем
Применяя дд к произведению, получаем
E.7) iddU = \ q[ [т* (iddg'p) Л q*t] +/, + /, + /3,
где
Л q*(dt)]9
Лемма 5.4. Пусть t — положительная (п — р, п — р)-форма
с компактным носителем. Тогда q[ [т* (tddg'} A q*t\ — положи-
тельный поток типа A, 1).
Доказательство. Если р = п—1, то из леммы 5.3 следует,
что т* (ddg-') = nT*6, где т*6 — поток интегрирования по диаго-
диагонали А в Е\ X Е2. Обозначим его через [А]. Тогда
<?; К (iddg'p) A q*t] = nq: [[А] Л q*t] = Ш^Ф+ (С%
Для р < п — 1 воспользуемся соотношением E.5) из лем-
леммы 5.3. Тогда
E.8) q[ [т* (iddg'p) A q*t] = q[ [x* (яа^1) Л q*t].
Формы /, а и их прообразы q*t9 q*a положительны. Форма
т*а имеет степень 1, и по теореме 2.12 поток (x*a)p+l A q*t поло-
положителен на Е\ X Е2- То же самое верно и для его образа при
отображении q\ что доказывает лемму. ?
Мы оценим теперь |/i|, |/г| и |/3| для потока r\t, где t —
положительная замкнутая форма в lG/1, a tigW, O^r](aJ.

§ 2. Локальные потенциалы и дефект плюрису б гармоничности
Поскольку форма t замкнута, имеем
159
Пусть К\(а, z)—компонента формы /т*(dgQ, имеющая тип
A,1) по г и тип (р, р — 1) по а.
Тогда J\(z)= \К\(а, z) л дц (а) л t (а). Имеем
с*
= Р°р I!z I
и, следовательно,
'** (^) = Р^ II г - «1Г2Р Z (й/ - 27) (da7 - dzf) Л рр (z - а).
Таким образом, коэффициенты /Ci(a,z) ограничены по мо-
модулю величиной С\\а — z\\-2p-{, причем С зависит только от п
и р. С другой стороны, коэффициенты V можно оценить через
след o = t'A$p (см. теорему 2.16). Поэтому если /i(z) =
= И afk (z) dzj Л dzk9 то
[п -11/2
, я) J И a —
с"
а) | рр (а) Л / (а),
где
\дц\ =
Точно так же получаются оценки для /2 и /з. Таким образом,
имеет место
Предложение 5.5. Пусть t — положительный замкнутый по-
поток степени п — р, a rie??, т|(г)^@). Пусть, далее, функция
U задается формулой
-a ||р л (а) Рр (а) л / (а).

160 Гл. 5. Голоморфные отображения
Тогда ее форма Леей L(U,X) удовлетворяет в смысле рас-
распределений неравенству
E.9) L(U. *)=
Замечание 1. Последний интеграл и есть функция f()
в E.3). Ее нужно рассматривать как обобщенную функцию,
т. е. дляср^О, <pe«ff(C")
L(U, k)(q>)>-c(p, n)||X||2
с»
Будучи функцией из L\oc, функция i|)(z) задает положитель-
положительную меру, характеризующую «дефект плюрисубгармоничности».
Вне носителя dt\ функция i|)(z) принадлежит (S>O°.
Замечание 2. Пусть со — открытое множество, на котором
т]=1. Тогда, согласно предложению 5.1, d'2n_2 (z) = vt (z) для
z^ со, где d'2n__2 — плотность меры Bп)~1 Ш.
Доказательство предложения 5.5 мы привели для случая,
когда t — форма. В общей ситуации нужно аппроксимировать
t положительными замкнутыми потоками с ^-коэффициен-
^-коэффициентами.
Замечание 3. Если 7\ и Т2 — две обобщенные функции, то
запись Т\ ^ Т2 означает, что Т' = Т\ — Т2 является положи-
положительным распределением (т. е. для ф^^, ф^О имеем
Г/(ф)^0). В дальнейшем в качестве Т2 у нас будут встре-
встречаться меры. В этом случае если T^T2y то Тх будет мерой.
§ 3. Глобальные потенциалы
Мы «состыкуем» локальные потенциалы для получения глобаль-
глобального потенциала во всем |СД причем сделаем это таким обра-
образом, чтобы сохранить оценки роста.
Зафиксируем число ее @, 1). Пусть % (г) е V™ (Сп) — невоз-
растающая функция от ||г||, такая, что 0^%(z)^l, %(z)=l
при \\z\\ ^ 1 и %(z)=0 при ||г||>1+е. Положим %j(z)==
= X(z/j) для /> 1, pi = Xb P/ = X/ — %ни />2. Носитель р/
содержится в кольце /— 1 ^ ||г|| ^A +е)/ при / ^ 2. Кроме
того,
=1. Пусть Ti/B) = X/(A+22e) ¦)• Тогда ч\, == 1 при

§ 3. Глобальные потенциалы 161
\\z\\ s^(l + 2е)/, в частности т]у = 1 на suppp/ и г]/= О при
||г|| ^A + 5е)/. Положим
?р || з — а [Г2'7 т]/ (а) рр (а) л ^(а)
и
E.10) U{z)=Zp,B)U,(z).
Ha любом компакте только конечное число ру отлично от нуля,
так что ряд сходится. Чтобы оценить дефект плюрисубгармонич-
ности U(z), мы воспользуемся соотношением E.9). Пусть М —
верхняя грань для |д%| + | дд%|. Тогда \dr\f{z) |<МA + 2b)~xj~x
и |ddr)y|^Af(l + 2е)~2/~2. Далее, если z ^ supppy, a ^ supper]/,
то || г — a\\^ej. Согласно E.10), тогда имеем
/=1 J, k, I
Из E.9) вытекает, что первый член оценивается следующим
образом:
E.11) I,>-C(e, nf
Если Р/(г)^=0, то /-1<||г||<A+е)у, откуда ^
<Л+||г||, и мы получаем из E.11) (так как ]Cp/=l), что
LX(U, Я)>
где / = 1 + 5е. Для двух других членов получаются аналогич-
аналогичные оценки, из которых, если мы заменим ot(r) на vt(r), выте-
вытекает следующее
Предложение 5.6. Пусть г > 0. Тогда существует такое раз-
разбиение единицы р/ (и набор функций rj/), что 5ля функции U,
заданной формулой E.10), справедлива оценка
L(U, Я.)>-С(е, п,

162 Гл. 5. Голоморфные отображения
Чтобы получить плюрисубгармоническую функцию, доста-
достаточно к функции U прибавить такую функцию W, что
L(W9 X)>C(s, n, p)(l+rr2vt((l+e)(l+r))\\X\\2.
В качестве W мы возьмем непрерывную функцию от г.
Пусть ?(O=log(l+r2)+i-log2(l+r2). Тогда L(q,k)>
^ A + г2)-1!!^!!2. Построим W в виде W = h°q, где h — воз-
возрастающая выпуклая функция от г, такая, что
E.12) A/oi7(||z||)>C(8, ny p)v,(O+e)(l+r)).
Тогда L(W,K)>A +r2)-lh'j>q(r)\\K\\2. Обозначим обратную
функцию к q(r) через q~x{r). Условие E.12) будет выполнено,
если
А'(г)>С(е, я, p)vt((l+s)(l+q-l(r))).
Поскольку vt(r)—возрастающая функция, в качестве h(r) мож-
можно взять
г
ho (г) = С (е, п, р) \ vf (A + е) A + <Г> (|))) d\.
Тогда Г0B)<С(е, », p)?(r)v,((l+в)A+ /•)), т. е.
E.13) ГоB)<С(е, я, p)log2rvf((l+e)(l+г)).
Если вместо q(r) взять функцию
^
то L(G, Я) ^— v^((l+е)A + г))A + г)~2, что позволяет выбрать
1+г
Такой выбор U^o Дает нам лучшие оценки, когда v* имеет ко-
конечный порядок. Если же v* бесконечного порядка, то лучшие
оценки роста можно получить, используя следующее разбиение
единицы: пусть %(/)е#о\ 0^х@^ ' Для t ^ 8> Х@=° Для
^^2е; положим х/(«) = х(IUII —/е + е), pi = Хь Р/ = Х/ — Х/-ь
У ^ 2. Тогда supp р/ содержится в кольце (/— 1 )е ^ \\z\\ ^
<(/+1)е. Положим теперь T]/(z)= x(llz|| — /е-е)= ()
Если f/(z) определить, как в E.10), мы получим оценку
L(?/, Я)>-С(е, /7, п)||А||2ог,(/- + 4е).

§ 3. Глобальные потенциалы 163
Возьмем W0(z) = ft(||z||2), где Л —возрастающая выпуклая
функция. Тогда L{W0,b)> h'(\\z\\2)\\K\\2. Можно взять W0(z) =
г2
= С(е, р, п) \ Gti's/t + 4e) dt. В этом случае справедлива
о
оценка
E.15) Г0(гХС(е, р, n)r2et(r + e).
Итак, мы показали, что существует такая непрерывная
функция W с подходящими оценками роста, что V = ?/+ W —
плюрисубгармоническая функция. Заменим теперь W(z) на
Wo (z) g ff00 с аналогичными оценками.
Теорема 5.7. Пусть У — аналитическое многообразие чистой
размерности р в Сп, a t — поток интегрирования по У или во-
вообще произвольный положительный замкнутый поток степени р
(г. е. типа (п — р, п — /?)). Пусть at = tA pp — след потока t,
a vt(r)=(x2pr2p)~lot(r). Тогда существует такая плюрисубгар-
плюрисубгармоническая функция V в "С", что
i) если К — произвольный компакт в .С", а со — его ограни-
ограниченная открытая окрестность, то V + ср \ || z — а \\р dat (a) —
(О
функция класса 9°° на К;
и) для Mv (r) = sup V (z) справедлива одна из следующих
\\z\\ <г
оценок:
Mv(r)<C(e, /i, p)log2rv^ (A +е)г) при г > г0>
1+г
E.16)
MY(r)^C(B, d)(l+r)
f
, n, p)r2ot(r + s).
iii) ?сл^ v'v(z) —число Лелона потока t' = -^
то
Доказательство. Поскольку V = U-{- W, a t/^0, справед-
справедливость двух первых утверждений вытекает из приведенной
конструкции и оценок E.13)—E.15). Третье утверждение сле-
следует из предложения 5.1 и следствия 5.2, поскольку функция
W^l^00 и, следовательно, ее плотность есть тождественный
нуль. ?
Теорема 5.8. Пусть У — аналитическое многообразие чистой
размерности р в [СЛ Тогда существует такая плюрисубгармони-
плюрисубгармоническая функция У, удовлетворяющая одной (произвольно вы-

t64 Гл. 5. Голоморфные отображения
бранной) из оценок E.16), что vv(z) = v[y](z) при z^Y
u vv(z)=O при zz?Y> где v есть Bп — 2)-мерная плотность
меры Bn)~lkV.
§ 4. Конструкция тиной системы F целых функций,
что Y=F"l(O)
Для заданной плюрисубгармонической функции V в ,С.Л рас-
рассмотрим аналитическое множество Е(с, V) = {zeiC/1: vv(z)^z
^ с} при с > 0. Нам нужно представить Е(с, V) в виде ^"^О),
где F—целое отображение, рост которого можно было бы оце-
оценить в терминах Mv(r). Поскольку для аналитического множе-
множества Y уже построена такая функция У, что K^^l,^),
а Му(г) оценивается через v\Y\{r), то, построив представление
Е(с, V)= F~l@)y мы тем самым получим и представление У =
= /^(О) с оценками роста ||F|| в терминах V[y\ СО-
Представление У в виде ?A, V) для плюрисубгармонической
функции V было построено для аналитического множества чи-
чистой размерности. Покажем, что это осуществимо для произ-
вольного аналитического множества. Поскольку У = U YSy где
s=0
Ys имеет чистую размерность s, а У5 = ?A, Vs), vVs{z) = 0 при
z ф Ys, то, полагая V = X Vs, будем иметь Y = U Ys = Е A, У).
Определение 5.9. Будем говорить, что Cq > 0 — число полной
стабильности слева для функции Ve PSH(iC"), если Е(с, V) =
= E(cOi V) для се@, со].
Пример. Для функции У, построенной в § 2 по потоку
/ е Г/t-p (С"), мы получили равенство vv (z) = vt (z)\ если / =
= [У], то v^(z)=0 для z^l У. Таким образом, 1 является чис-
числом полной стабильности слева для V.
Докажем теперь ряд лемм, необходимых для построения
отображения F.
Лемма 5.10. Существует такая абсолютная константа С, что
для любой плюрисубгармонической функции Ф, определенной
в окрестности единичного шара {z: \\z\\ < 1} и такой, что
ф@)= 0, Ф(г)< 1, справедливо неравенство
J exp(-O(z))dT2n(z)<C.
\\z\\<m

§ 4. Конструкция системы целых функций
165
Доказательство. Пусть сначала п=1. По теореме Рисса
справедливо представление
1
= \ log
АФ @ rft2 (С) + J-
Полагая z = О, получаем
0 =
или
2 ' '
2я J I г - еь
2Я
2я .
i J (I _
откуда следует, что
2л
и, значит,
2Я
_Lf (t —1
2я 3 |2_
<4 при \г\< 1/3.
Пусть а = — \ ДФ(?)dx2(l). Если Л< 1/е, то а<—^п <1.
2я J log/?
Поскольку ^ < 3, можно взять R таким, что е~х > R > 1/3 и
при
Если а = 0, то |Ф(г) |< С,+ 4 при |г|< 1/3. Если же а =^ 0,
то в силу выпуклости экспоненты
$ -

166 Гл. 5. Голоморфные отображения
и, поскольку а < 1, мы имеем
«р(-Ф (г)) Л, (*)«,-«-
Тем самым для п = 1 утверждение доказано. Если п> 1,
то, вводя сферические координаты, получаем
ехр(—O(z))dx(z) =
ч dr2 (t)
\t\<m
где оJ« — мера на единичной сфере. Теперь требуемая оценка
очевидна. ?
Следствие 5.11. Пусть Ф — плюрисубгармоническая функция
на связном множестве йсцСЛ Тогда у каждой точки гЕЙ,
лежащей вне плюриполярного множества {Ф = —оо}, суще-
существует окрестность UzczQt в которой функция ехр(—Ф) инте-
интегрируема.
Доказательство. Пусть Ф(го)=#=—°°. Тогда в силу полуне-
полунепрерывности сверху Ф(г)< ФBо)+ 1 при \\z — zo|| < б. Приме-
Применяя лемму 5.10 к функции Ф(-г)—Ф(г0), получаем требуемое
утверждение. ?
Теорема 5.12. Пусть Ф е Р5Н(СЛ), а точка z0 e'jC^ такова,
что функция ехр(—Ф) интегрируема в окрестности z0. Тогда
для е > 0 найдется такая функция f e ^(iC^),
S
Доказательство. Пусть о0 —такая окрестность z0,- что
ехр (—Ф (г)) dr (г) < +оо. Пусть, далее, функция % с= 9В% (С")
СОо
такова, что O^x^l, %=1 в шаре B(z0, 6)<=оH. Положим
^ (е) = Ф B:) Ч- 2/г log || ^ — ^01| + 8 log A + IU ||2).
Функция if>(z) плюрисубгармонична, и для oieC"
Ed2q> _ ^ v1 d2e\og(\ + И2)

§ 4. Конструкция системы целых функций 167
Пусть Р = дх. Тогда, поскольку suppP — компакт и
то ~5lPI2exp(-a|)(^))(l+||^||2JrfT<+oo.
Поэтому (см. лемму III. 11) существует такая функция и,
удовлетворяющая условию ди = р = д%, что
М2ехр(-Ф(г))
Зп1|г-
Поскольку р sss 0 в B(zo,б), то функция и голоморфна в В(z0,6),
а так как функция \\z— 2о11~2л имеет неинтегрируемую особен-
особенность, то u(zo)= 0.
Положим f(z)=%(z)—u(z). Это целая функция, f(zo)= 1 и
Заметим, что если V(z)—плюрисубгармоническая функция,
то функция
является гармонической и, следовательно, принадлежит <87о°
в шаре {||z|| < R} (здесь av =iddV A P«_i).
Пусть U(z)=V(z)—HR(z). Интегрируя по частям, полу-
получаем при ||,г|| = г, \\w\\ = t
R
~U(z)=c2n_2 J „ w ^„1-2 >Ъп-2 \ (г + 0^2 dav @, t) =
R
= c2n_2 [av @, t) (r + t)-2n+2] U + c2n_2 \ (r + t)~^xav @, /) dt >
о
R
>\(r+trlvv(t)dt>vv@)log(l +-JJTJJ-).
0
Тогда -V = -U-HR и exp(-t/)>(l + ijfjp)", где а =
= v1/@). Таким образом, если v7(z)^2/z, то функция ехр(—V)
не интегрируема в окрестности точки z.
Теорема 5.13. Пусть V е PSH(Crt), а со = 1 является числом
полной стабильности слева для V. Тогда для любого е > 0
и всех а > 0 найдется такая константа С(п> е, а), #? зависящая

168 Гл. 5. Голоморфные отображения
от г, и такой набор из (п + 1) целых функций F = (/ь .
t/ro?(l,l/)=JF-1@) и
E.17)
||F||<M( + ) + ( + )l(l+r) + C(n, e,
Доказательство. Мы используем оценки решений д-уравне-
ний в L2 с весом (см. приложение III). Пусть е>0 и ф?
^PSH(O), а точка г0 такова, что функция ехр(—ф) интегри-
интегрируема в окрестности z0 (см. следствие 5.11). Тогда по тео-
теореме 5.12 найдется такая целая функция /, что /(zo)= 1 и
E.18)
Обозначим через #ф гильбертово пространство всех функций
/е<Э0(иС.л), таких, что ||/||ф<оо. Замкнутое множество ц а
а:Сп, состоящее из тех точек, в окрестности которых функция
е~ч> не интегрируема, является аналитическим множеством —
множеством общих нулей элементов из #ф. Напомним, что
E.19) ЕBпу ф)ст|.
Каждая точка zoe!C." порождает линейный функционал z0
на Яф, который задается формулой zo(f)= f(zo) и который есть
нуль для z0 ^ Л- Чтобы доказать непрерывность z0, мы восполь-
воспользуемся неравенством Коши — Шварца: положим it>(z)=9(z) +
+ (n-f-e)log(l + ||z||2) для е > 0; тогда в силу субгармонич-
субгармоничности \f(zo)\^(T2nr*nrl J \f(z)\dx(z) и
B(zo, г)
\f(zo)f<(r2nr2n)~2\ J
LBBo,
так что | zo(f) |=| f(z0) |<С||/||Ф, гДеС=(т2„)/2ехр4- М^ A+11 го||) =
= C(zo) и C(z) ограничено на каждом компакте в Сп конс-
константой, не зависящей от / е Яф. Линейная форма z0 принадле-
принадлежит, таким образом, двойственному пространству Н' и отобра-
отображение Лф: z-+z является отображением ?,п в #^. Далее, т] с:
czn' = {z: ф(г)= —оо}, так что т] имеет меру нуль в С".
Пусть zo&i\'. Положим ф = 2nV. Функция ег* интегрируе-
интегрируема в окрестности zq согласно следствию 5.11. Таким образом,
можно найти такую функцию f\ е Яф, что /i(zo)= 1, и из E.18)
по лемме 3.47 получается оценка
sup log| U (z) \<nMv(r + а) + (п + e)log(l + г) + С(п, е, а) + Си
ЦгЦ<г
где С(п, е, а)= (п + е) log A + a)— nloga—

§ 4. Конструкция системы целых функций 169
Далее, если vv(z)^ 1, то для ф = 2nV мы имеем Vcp(z):^
^ 2п, т.е.гЕ ЕBпу ф) и
E.20) ?A, V) =
так что функция ег* не интегрируема ни в одной точке ?A, К).
Отсюда следует, что fi(z)=O для 2е?A,1/), т. е. ?A, V) с
с=/Г'(О).
Пусть X/ — неприводимые ветви ft { @), не содержащиеся
в ?A, V). Для каждого / выберем точку г/Е1/ПС?A, V). По-
Поскольку Со = 1 — число полной стабильности слева для V, то
vv(zj) — 0 и Vq>(z/)=0, а функция e-v интегрируема в окрест-
окрестности z/. Возьмем такую функцию [еЯф, что f(zj)= 1. Тогда
равенство ?/(/)= 0 задает собственное замкнутое подпростран-
подпространство в #ср. Поскольку счетное объединение замкнутых подпро-
подпространств является множеством первой категории в Яф, то най-
найдется функция f2^Hyt такая, что Ы^/)^ 0 Для любого /. Тогда
?A, К)с=/Г1@)П/2(°) = ^2- Далее рассмотрим счетное семей-
семейство Х{р неприводимых ветвей Хг, не содержащихся в ?A,У).
Выберем z'f^Xf\ z'f&E(l, V). Как и ранее, найдется функция
/3еЯф, такая, что /3(^/)^=0 и ?A, V)cz X3 = {z: /ft(z)=0,
k = \, 2 ,3}. Повторяя эту процедуру, получим такой набор
ФУНКЦИЙ /fc, & = 1, . . . , П, ЧТО
?A, V)cZ = {z: fk(z) = O, k=l, ..., п],
а множество Zf|C?(l, V) дискретно. Снова можно взять функ-
функцию /„+iGff?, такую, что /n+1(z)=#=() при г eZfl С?A, I/).
Тогда
E(U V)=nf\ fkl(O),
и ||F|| удовлетворяет оценке E.17), так как ей удовлетворяет
каждая из функций fk. П
Теорема 5.14. Пусть Y — аналитическое многообразие в С/1
чистой размерности р с индикатором v(r). Тогда
Y = {z: fk(z) = O, k=l, ..., n+l},
причем целые функции fk удовлетворяют одной из следующих
оценок:
l+r
E.21) j Мк(г)^С(в, d)(l+r)d \
I

170 Гл. 5. Голоморфные отображения
Замечание 1. Из теорем 5.13 и 5.14 следует, что если /е
^Тп-р(СП), AdSUppt И Vt(z)^l ПрИ ZGi, Vt(z) = 0 ПрИ
z<?A, то А является аналитическим подмножеством в 1С"
и можно представить А в виде F~l@), где log||F|| удовлетво-
удовлетворяет одной из оценок E.21).
Замечание 2. Целые функции fj обращаются в нуль на У
и не имеют общих нулей вне У, но мы ничего не можем сказать
о величине () 1 У W l (
1 для z е У, где W = у log ( ? 1//|2)-
§ 5. Случай медленного роста
Ввиду использования разбиения единицы для построения U(z)
имеется большая степень произвола в поведении этой функции.
Возможно, стоило бы попытаться распространить метод кано-
канонических потенциалов, дающий конструктивное решение для
данных Кузена конечного порядка, на случай произвольных
аналитических множеств. Однако даже в случае коразмерно-
коразмерности 1 этот метод не дает достаточно точных оценок для данных
Кузена бесконечного порядка. Таким образом, более целесооб-
целесообразно ограничиться только случаем конечного порядка, и мы
приведем ниже конструкцию канонических потенциалов для
аналитических множеств У размерности /?, у которых v[y] (г)
имеет конечный порядок.
Возьмем ядра
—ср || а — аг |Г2р, l<p</i-l,
log||a-z||, р = 0,
и построим, как и в гл. 3, ядра ер(а, z, q) для целых q ^ 0.
Теорема 5.15. Пусть t — положительный замкнутый поток
степени п — р и at = t Л Рр — след t. Предположим, что инди-
индикатор vt(r) удовлетворяет соотношению
E.22) J
1
Тогда для любого р и q = 0, 1 канонический потенциал
I(z)= —ср\ер(а, г, q)dat(a) является плюрисубгармонической
функцией.
Для доказательства потребуется следующая
Лемма 5.16. Если q = 0 или q=li то ядро ep(a,z,q) отли-
отличается от gp(a>z) на плюригармоническую функцию.
!) E.22) означает, что род vt не превосходит 1. — Прим. перев.

§ 5. Случай медленного роста 171
Доказательство. Для q = 1, по определению, ер(а, z, 1) = gp(a,
г) + 1МГ2р — ар+2 Re ? 5*g*> а Для ? = 0 имеем ер(а, г, 0) =
= gP(a, г) + \\а\Г2р. п
Доказательство теоремы 5.15. Предположим сначала, что
0 ^ supp^, так что интеграл I(z) сходится. Пусть x(z)e<^o°>
Х(г)=1 при ||z|| < 1 и х(г)=0 при ||г|| ^2. Положим х/B)==
— %(z/])- Существует такая константа М > 0, что МЦгЦ ^
^z\d%j\ и М||г||-2 ^ |дд%/|. Поскольку d%j = 0 при ||г|| ^ / и
||z|| ^ 2/, то найдется такая постоянная С(р, /г, х), что если
/; (г) = -Ср J || а - г 1Г2рХ/ (а) dat (а),
то, согласно предложению 5.5,
E.23) L (/;, Я) > -С (р, я, х) IIЛ ||2 Ф/ (г),
где
IФ/ (г) I < J [II г - а \\~{ | 5ху (а) | + | дд%! (а) |] II г - а |f2/7 dor, (а)
(сР. E.11));.
Пусть ||2т|| ^ /?, a / > 2/?. Тогда для ||а|| = г и / > 2R спра-
справедлива оценка
оо
E.24) IФ/ (г) К С J v, (г) г rfr + С",
в которой С' и С" зависят только от t, R и /г, но не от ге
gB@,J?). Таким образом, ф/(г) равномерно стремится к нулю
на каждом компакте в ^СЛ Далее, если q = 0 или q = 1, то по
лемме 5.16
ер(а, г, 9) = — ср II а — г|Г2р + ^(а, z)>
где функции tq(ayz) плюригармоничны. Поэтому
где //= —ср V ер (а, г, q)%j(a)det(a). Согласно E.23), имеем
L(/, ^) = limL(//, Я)>0, и теорема доказана. Q
/->оо

172 Гл. 5. Голоморфные отображения
оо
Замечание 1. Из предположения \ v^ (г) г~3 dr < + оо сле-
следует, что в представлении E.7) исчезают члены /ь J2 и /3- Та-
Таким образом,
i) iddl (z) = q[ [т* (яа?+1) Л q*t], 0 < р < п - 2,
ii) /del/ (г) = я/, р = п— 1.
Замечание 2. Теорему 5.15 мы доказали в предположении,
что 0 ^ supp/. Если же 0 е supp ^, надо из /(г) вычесть плю-
ригармоническую функцию
оо
если v vt(r)r~2dr < оо, и
E.25) /1B) = -5[2р+2(
a, z)]dat(a)y если J v, (г)г~Ыг < оо.
1
Тогда теорема 5.15 остается справедливой.
Замечание 3. Для р = 0 мы заменяем —||z||-2" на log||z||,
и в E.25) вместо A + ||а\\2р)~1 будет стоять log(l + ||a||), если
оо оо
\ vt(r)r~2dr < оо, а если \ v^ (г)г~ъdr < оо, то I\(z) =
1 1
Re(afz)]dot(a).
Замечание' 4. С помощью E.25) можно вычислить k(I\,Q,r)
и индикатор vo(r) потока ~дд1х = 9, у которого в каждой точ-
точке z число Лелона такое же, как у потока t. При 1 ^ р ^ п— 2
для г = ||z|| > 0 получаем
оо
ve(r) = г~э~МЛ> 0» r) = r\u2pkp(uy r)vt(u)du,
о
, d2hD
hp = hp(a, r) — среднее значение
а — z\\~2p для заданных а, ||а|| = м, и г? S^-^O, r), г =

§ 5. Случай медленного роста 173
= \\z\\ > 0. Если /7 = 0, мы берем —log \\а — г||, а вместо Bр)~1
будет фигурировать —.
Применяя канонические потенциалы, можно при условии
E.22) улучшить оценки в E.21) в случае, когда [У] — поток
интегрирования по аналитическому подмножеству размерности
р. Тогда получается равенство V(z)= I(z) и, следовательно
(ср. C.14)),
E.26) Mv(r) = M7(r
П
Таким образом, У = F~l@) и для а > 0, е > 0 имеем
MF(r)^nMv (г + a)+ elog(l+г) + С(п, е, 0).
Резюмируем вышесказанное в виде теоремы.
Теорема 5.17. Если У — аналитическое многообразие чистой
оо
размерности р с индикатором v[Y](t), таким, что \ v[y] (t)t~'3dt<.
i
< оо, то для любого е > 0 существует такое представление
У =/7-1@), что
[+Г) + С(П, р, 8),
a Mv(r) удовлетворяет E.26). Таким образом, для q = 0 или
E.27) sup log\\F||<nA(p, q)rq\ [ vY(t)rq-ldt +
+ elog(l +r) + C{n, p, e).
Доказательство. Как и при доказательстве леммы 3.47, со-
согласно свойству средних значений (по шару В (г, %)) субгармо-
субгармонических функций, выбирая т = ег, получаем
sup ||^||2<CFrr2rtexp[2Ml,((l+e)r) + 2nlog(l+r)]. ?
Таким образом, в описанном случае мы получили гораздо
более точные оценки роста.

174 Гл. 5. Голоморфные отображения
§ 6. Алгебраический случай
Пусть Y—алгебраическое многообразие в 'С.Л Его можно за-
задать как множество общих нулей (д+1) полиномов Р/(г);
с помощью плюрисубгармонической функции
E.28) F = -|/
многообразие Y определяется как множество
причем величина v[y] (z) совпадает с минимальным из порядков
нуля Pf в точке z, a lim -~^ = р = sup (deg Py).
Г->оо *°S Г
Определение 5.18. Функцию VePSH^C/1) назовем функ-
функцией класса минимального роста Sa, a > 0, если
,. Mv(r)
Предложение 5.19. Пусть Y — алгебраическое многообразие
(т. е. множество общих нулей семейства полиномов в [С") чи-
чистой размерности р. Тогда Y = E(l,V) для V^Sa, причем
a^m-C(p), где С{р)—константа, зависящая только от р,
a m =deg Y = maxcard{Kfl 1^}, где максимум берется по всем
таким (п — р)-мерным плоскостям |ы в [СЛ что Y(][i дискретно.
Доказательство. Y есть конечное объединение неприводимых
алгебраических многообразий Yt размерности р. Линейное под-
подпространство A размерности (п — р) пересекает Yt в конечном
числе nii{\x) изолированных точек (кроме, разве что, подпро-
подпространств A, принадлежащих аналитическому множеству x\i с
a Gn-pi'C/1) — см. теорему 2.42). Для каждого Yt величина
nii([i) постоянна на Gn-P(lCfl)\v\i и 2 тг(\i) = т. Для fie
^ Gn-P(Cn) обозначим через [ji] поток интегрирования по ана-
аналитическому многообразию ji.
Пусть функция р(г) е ^~(В@, 1)) такова, что 0^р(г)^1,
а ^ р(z) dx(z) = l. Положим р8(z) = е~2/гр(г/е), е > 0, Те = [У] * р?,
где [Y] — поток интегрирования по Y. Предположим что О^ёУ.
Пусть [Хо — фиксированное подпространство в .С/1 размерности
(п — р), U(n) обозначает пространство унитарных матриц,
а со — мера Хаара на U(n), нормированная так, что мера всего
пространства равна 1. Тогда из наших предположений следует,
что
В @, г) U(n)

§ 6. Алгебраический случай 175
Обозначим через ?0 положительный замкнутый поток типа
(Р, Р): h = J
U{n)
Если Р(:С")—проективное пространство, а л: С/*Х0->-
->-Р(|Ся)—естественная проекция, то ?0 задает поток |q типа
(р—1, р—1) на P(lC/*). Если ф — форма типа (п — р, п — р)
на Р(Сп)у положим (|0, ф) = (?» ф(л(г))). Аналогичным обра-
образом поток [\хо] индуцирует поток До типа (р—1, р—1) на
Р(Сп). Пусть ф — произвольная (п — р, п — р)-форма с <*Р°°-
коэффициентами на Р(Сп). Положим ? (ф) = \ ф (y(z)) da (у)»
U (п)
Мы покажем, что ? (ф) = k (ф) аЛ-^, где а = — дд log || z ||2.
Поскольку каждый элемент Р(&п) можно перевести в лю-
любой другой элемент с помощью матрицы из U(n), а ?(ф)
и ап~р инвариантны относительно действия элементов U(n)> то
достаточно показать, что для произвольной точки гЕР(Сп)
справедливо равенство ?2 (ф) = k (ф) а"~р. Пусть, например,
z = (z\9 ..., Zn-u О- Покажем, что пространство U(n—^-ин-
U(n—^-инвариантных форм типа (п — р, п — р) в Л1С/*-1 одномерно.
Пусть ?z (ф) = Yj Cjjej Ле7, где еи ..., ея_! — стандартный орто-
нормированный базис в .С1, / = м < ... < 1л-р, a eI = eix Л,...
... Л е/п_ . Предположим, что I ф J. Если у е I/ (п — 1) — элемент,
который умножает *'-ю координату на —1, а остальные остав-
оставляет неизменными, то, поскольку ?z(<p)(Y B)) = ?г(ф), получаем,
что Си = 0. Аналогичным образом, рассматривая перестановки
координат, видим, что сц = Cjj. Таким образом, ?2 (ф) = k (ф)Х
Х2^/А^7- Тогда, поскольку \ а" = 1 и форма а инва-
*(ся)
риантна относительно преобразований из U(n), имеем
k(<p)=
Р(Сп)
Далее, так как n(y(z)) = y(n(z))t то
(Io, Ф)=
J (Ы, Ф (я (Y (
г/(я)
Поэтому
1
= №0, ая-")(аР-1, Ф) = (аР-1, Ф)

176 Гл. 5. Голоморфные отображения
и, значит, fo = ар~~1. Поскольку и |0, и ар постоянны на ком-
комплексных прямых и оба индуцируют один и тот же поток ар~1
в РОС"), то Ь = аР.
Вернемся к нашему соотношению, которое теперь выглядит
так: т^ \ \ Гелар. Устремляя е к 0, мы получаем, что
В (О, г) U (п)
m^v[y](r). Это, в частности, означает, что индикатор v[y] (г)
имеет род нуль. Пусть
/ (г) = -ср \[\\г-а \Г2р - || а \Г2р] da[Y] (a) =
— канонический потенциал. Тогда в силу теоремы 5.15 функция
I(z) плюрисубгармонична и Y = E{\,I). Согласно предложе-
предложению 3.14, поскольку С2(р, 0)= 1 при любом р, получаем
E.29) / (г) <Cp\^Ldi + с' (Р) г
Го
Поэтому при ||г|| = г выполняется неравенство I(z)^
^ mc(p)\ogr, так что I(z) принадлежит классу минимального
роста Smc(p). ?
Теорема 5.20. Пусть Y — аналитическое множество чистой
размерности р, такое, что v[Y] (t) ^ m. Тогда Y является алгеб-
алгебраическим многообразием и его можно задать с помощью по-
полиномов Pj степени не выше птс(р)-\-—.
Доказательство. Поскольку потенциал / (г) == —ср \ [|| z —
— а\\~2р — || а\\~2°] da[Y] (а) удовлетворяет E.29), то для функции
Pk по теореме 5.17 мы имеем оценку deg|P^| ^ nmc{p)-\- у,
так что, согласно следствию 1.7, Pk — полиномы степени не
выше птс{р)-\- у. ?
Следствие 5.21. Аналитическое множество Y является алгеб-
алгебраическим многообразием тогда и только тогда, когда индика-
индикатор v[y] (/) ограничен, и при этом degF= lim v[Y] (t).
§ 7. Псевдоалгебраический случай
При изучении дифференциальных операторов бесконечного по-
порядка важную роль играет класс аналитических множеств У,

§ 7. Псевдоалгебраический случай 177
ОО
имеющих нулевой род и таких, что если h2 (г) = r \ v[Y](t)t~2 X
г
г
Xdt, a hl(r)=\vm(t)rldtf то lim h2(r)/hl(r) = 0.
J Г->оо
Го
Это условие выполняется, например, когда v[Y](t) ^C(log+ t)s.
Тогда I(z)^1^rT(log+r)s+l(l+e(r))f где в (г)-* 0 при г-^оо.
Мы можем тогда задать Y с помощью целых функций fk(z)
(т. е. Y = {г: fk(z)=Of k=l, ..., л+1}), удовлетворяющих
соотношению lim Mf (r) (log r)~K = 0 для Я > 5 + 1. Такие
Г->оо Л
функции обладают следующим свойством: для любого е > О
существует такое /?8, что если |f(z)|< 1 и ||г|| > RZy то рас-
расстояние от точки г до нулевого множества Xf оценивается свер-
сверху через е||г||.
§ 8. Контрпримеры к задаче равномерной оценки
сверху
Перейдем теперь к изучению остальных трех проблем, упомя-
упомянутых во введении к этой главе. Сначала приведем примеры,
показывающие, что равномерные оценки сверху в задачах i)
и И) получить невозможно.
Пусть gk(z)—целые функции переменной 2Е,С, задавае-
задаваемые формулой gk(z)= ГГ A — z • 2~1). Для е > 0 через Се обо-
значим такую постоянную, что log( 1 + г) ^ Сеге при
Если 2? <|г|< 2Р+\ то
i=p+l
где Cg не зависит от k. Таким образом, при всех k и \z\> 1
имеем
| gk (z) | < exp (C'eB1 z Г) < Cl exp| z |e.
с
Для натуральных с положим P(w, c) = J±(w — l/j).
Пусть Ci <C ... << cm <; ... — возрастающая последователь-
последовательность натуральных чисел. Положим

178 Гл. 5. Голоморфные отображения
Этот ряд равномерно сходится на компактных подмножествах
LCA Далее, если hB = {l/e}1*, то
Z 2~m2\w + I \m ^t 2~m \w + I \m + Ceexp\w
m—l m=\
Поэтому для е > 0 справедлива оценка
\f(z, w)\^Cf:exp\z\efJ2~m2\w+\\m<:
оо
Положим /г (г, w) = Ц A — z • 2~г) и F (г, w) = (h (г, w),
1
f(z, да)), F: C2->C2. Тогда F~l@) = {Bm, 1//): /ne=Z, / = 1, ...
Если S(r)—произвольная положительная возрастающая
функция от г, то, полагая в определении функции f(z,w) числа
ст равными {S(rm)}> где rm = 2m+l, мы получим, что
lim sup car —^г— ^ 1. Таким образом, никакая оценка
Г->оо ^ V)
сверху cardG7-1 (а)П 5@, г)) через функцию от ||а||, г и log H^H
невозможна.
Пусть У с: С3 — аналитическое множество
Y = {{Z\, z2f З3): f (z\, z2) = gB3) = 0}.
Если взять С! = 1, то /@, 0) = —sr+ У* r~(-~l)C
^ z»i 0/72I
2
00 __
2 ~m(—
z
< -?^lzl, так что V2eI/2> I / @. 0) | > V. B -
m2
1ри фиксированном г найдется не более чем (log 2 J-1- log г
таких значений г3, что ^(гз)=0, |23|<г. Множество Y\ =
= {(zuZ2,Zz): g"(^3)=0} является объединением гиперплоско-
гиперплоскостей Ym = {Bb22, ^з)'. г3=2т}. Положим ? = {z: /(г)=0}.
На каждой гиперплоскости Ут, как вытекает из оценок гл. 3,
имеем
так что
Фигурные скобки здесь обозначают целую часть числа.— Прим. перев.

§ 9. Оценка объема 179
Константа C(ev) зависит только от е, какими бы ни выбирались
числа ст> т^2 (при условии С\ = \). С другой стороны,
Y(]{z: zl = z3} = {Bm,j,2m): m<=Z, /=1, ..., cm) и, зада-
задаваясь произвольной возрастающей функцией S(r)y можно так
подобрать ст9 чтобы
с,Ш(ГП<««,-»}ПВ<0.г))
Г->оо
Таким образом, нельзя получить оценку величины п(У, L, г) =
= card Y(]L(]B(Of г) через a[Y] (r)? которая была бы справед-
справедлива для всех гиперплоскостей L в [СЛ
Наличие контрпримеров, которые мы только что привели,
не лишает нас возможности получить оценки, справедливые
вне некоторого редкого исключительного множества. Именно
в такой постановке мы и будем решать задачи i), ii) и iii).
§ Р. Оценка сверху объема F~x(a)
для голоморфных отображений
Вначале мы докажем ряд лемм, на которые будут опираться
наши последующие рассуждения. В дальнейшем, если Q — об-
область, задаваемая ^-функцией р (т. е. Q = {г: р(г)< 0}, при-
причем grad p ф 0 на bdfi), то мы будем всегда считать, что bd Q
ориентировано так, что справедливатеорема Стокса \ i|)= \ d^p
bdQ
(сама область Q снабжается ориентацией, индуцированной
из 1С/1).
Лемма 5.22. Пусть р <= ^°° (С/1) П PSHfljC/1), и пусть
причем grad р Ф 0 на bd йг. Пусть, далее, 8 — положительный
замкнутый (п — р,п — р)-поток в JG/1 с Ф00-коэффициентами.
Тогда
\) Q Л$р~1 Aidp есть положительная мера на bd fitr;
ii) если V <=<&2 (Q), то
E.30) [ VQ л Рр"! л idp = [ Vd л Рр"! л iddp +
Доказательство. Первое из утверждений означает, что у каж-
каждой точки Zo ^ bd Qr должна существовать такая окрестность ?/,

180 Гл. 5. Голоморфные отображения
что I(h)= \ Л9л Рр_! Л /ф^ 0 для любой функции fte?0X
bd Qr
X(^nbdfir), Л ^ 0. Пусть задана непрерывная функция
cp(jtb ..., Xm) в Rm. Мы можем вычислить Rest. ф|^ =0 какпредел
Rest, ф Um=0
где а(/)е#°°(—1, +1), ^ а(/) d/ = 1 и e~la(t/e) аппроксимирует
меру Дирака 6@). Аналогично, для формы г|)
По предположению grad p ф 0 на bd Qr, так что можно взять
такую окрестность U, чтобы р было одной из координат в ней.
Пусть Я — продолжение h на все U, Я ^ 0. Имеем тогда
:lL) dp Л Й8л pD_! л /ф =
( Г^-) А9л РР_! Л /ар л ф> 0.
е-»о
Последнее неравенство имеет место по определению положи-
положительной формы, поскольку Я*а ^ 0.
Заметим, что тем самым мы задали ориентацию на bdQr,
согласующуюся с теоремой Стокса.
Для доказательства И) мы сначала применим к левой части
E.30) теорему Стокса. Поскольку d(d Л Р^") = 0, получаем
bd йг
Далее, поскольку р — а=0 на bd Qr, то, интегрируя по частям,
имеем
л е л рр-1 л /ф = J ак л е л рр~! л /а (р — г) =
елрр"!. П
Лемма 5.23. Пусть Y—аналитическое множество чистой раз-
размерности р в ;С/\ и пусть 8[К] — положительный замкнутый по-
поток интегрирования по (регулярным точкам) Y. Пусть Уе

§ 9. Оценка объема 181
e=#~AC,*)nPSH(C'I),V^O. Положим Mv (r) = sup V (z). Тогда
llz||<r
для любого у < 1 найдется такая постоянная С, зависящая
от у, п, р и q, что
E.31)
Доказательство. Пусть 8V — последовательность положитель-
положительных замкнутых потоков с ^-коэффициентами, таких, что
8v->8[n в слабой топологии (см. предложение 2.11). Положим
Ts = (iddV)8 и ovs (t) = J rsA6vAPP~s. Тогда по теореме-
B@,t)
Стокса
Mv (г) J 9V л Г5 л Pp~s =
В (О, YSr)
bd Б (О, y5'")
(согласно лемме 5.22, i))
> J yrs л pp"s~J л /a ii г ||2 л ev
bd Б @, YSr)
(согласно лемме 5.22, ii), так как V^
> J (г2 — || г ||2) Ts+1 л pp-s-J л 8V
В (О, ySr)
(после интегрирования по частям)
ySr ysr
\ 5
Итерируя это неравенство, получаем
В @, yqr) B @. г)
Устремляя теперь v к бесконечности, мы приходим к неравен
ству
8[п л рр"' Л (Ш)^ ^СГ2я [My (r)]q J в[У1 л рр.
(О, Y^r) В @, г)

182 Гл. 5. Голоморфные отображения
Поскольку o[Y] (г) — возрастающая функция от г, она непре-
непрерывна вне счетного множества Е. Полученное неравенство спра-
справедливо для последовательности^'^ СЕ, rmr-+r, откуда и сле-
следует заключение леммы. ?
Лемма 5.24. Пусть Y—неприводимое аналитическое множе-
множество размерности р, содержащееся в области Q cz 1С/1, и пусть
Y' и Р — множества сингулярных и регулярных точек Y соот-
соответственно. Пусть, далее, F = (f\, ..., fm): У-Н.С/71— голоморф-
голоморфное отображение, a Y = {z e Y: rank (dfu ..., dfm) < sup x
X rank (dfb..., dfm) = fe}. Тогда для любого z e= (Y \ Y) най-
найдутся такая окрестность Uz точки z в Y и такая окрестность
Vz точки F(z) в LCm, что
i) F(UZ) есть комплексное аналитическое многообразие раз-
размерности k в V(z);
ii) dim(Uz[]F-l(a))=p — k для as=F(Uz).
Доказательство. Пусть 2G Т\?. Тогда для некоторой окрест-
окрестности Wz точки z существует биголоморфное отображение
1: W2-*B@,l), g(z)=O. Положим F(z)= F(l'l{z))$ zee
gB@, 1). Тогда имеем
F(z) = (f,(z), ...9fm(z)):
и rank(dfb ..., dfm)=k. Предположим для простоты, что
(в противном случае перенумеруем функции и переменные).
Тогда по теореме об обратном отображении найдутся такие
окрестности Т и Тг точки 0 в В@, 1), что отображение я: 7->-
-+Т\ задаваемое формулой z = (fi(z), ..., fk(z), zn+u ..., zp),
является биголоморфным гомеоморфизмом. Положим ff(z) =
= f/oJT1(z). Тогда ff(z) = zh /=1, ...,М^0 аГ при
j > k, I > k, иначе rank [dft, ..., df*] > k хотя бы в одной
точке Т. Таким образом, при / > k функция ff зависит только
от переменных (гь ..., Z*), и если Uz = l~l(T), то
= ff (wb ..., ^), / = *+1, ..., m}
и, значит, F(UZ)—комплексное многообразие размерности k
в окрестности Vz точки F(z). В качестве локальных координат

§ 9. Оценка объема 183
на Vz можно взять /*, ..., /*, так что dim(Uz(]F~l (а)) =
= dim(f П (F*) (a)) = p-k. П
Лемма 5.25. Пусть У—аналитическое множество чистой
размерности р в области ОсЦСЛ и пусть F: Y->Cm— голо-
голоморфное отображение. Обозначим через Y' множество сингу-
сингулярных точек У, а через ? — множество ?= {зеУХГ:
rank[d/i, ..., dfm] < m}. Тогда существует такое множество Е
класса Fo, имеющее нулевую лебегову меру в [Ст, что если
афЕ и Y[]F-l(a)?= 0, то dim(Y ft F~l(a) )= р — m и ни одна
неприводимая ветвь Y(]F~l(a) не содержится в Y'\}?.
Доказательство. Пусть У/— неприводимая ветвь У, аУ/-
множество сингулярных точек У/. Положим
kj = max rank[dfu ..., dfm],
?, = {2 e У/ \ Уг. rank [df lf ..., dfm] < k,}.
Будем проводить индукцию по размерности р. Если р= 1,
а А/= 0, то функции f/, i= 1, ..., m, постоянны на У/ и, зна-
значит, F(Yj)=aj. Если Л/ = 1, то У/П У/— счетное множество.
При а<? U FfK/JU U F(PyUK/) размерность f-^ajfiy
равна 1 и ни одна ветвь F~l(a)(]Y не содержится в ?\]Y\
Пусть теперь р произвольно. Для любого а е ;.С/", такого, что
F~l(a)f\ У Ф 0, выполняется неравенство dim (F-l(a)(]Y)^
^ р — т. Если kj <C m, то из леммы 5.24 и из того, что соб-
собственное комплексное подмногообразие является множеством
типа Fa лебеговой меры нуль, следует, что ?/ = F (У/ \ (Р/ U У/))
есть множество типа Fo нулевой меры. Существует счетное
число открытых подмножеств Q,-/ в uC.m и аналитических мно-
множеств Wij в Qtj, таких, что dim Wn К: р— 1 и Y]\JYf=UWiJ.
Согласно предположению индукции, найдутся такие Fa-множе-
Fa-множества E\j лебеговой меры нуль в ;Ст, что если F~l(a)(] Wij ф 0У
то dim(F-}(a)[]Wij)^: р — т—1 при а Ф E'ir Если k\ = m, по-
положим ?/ = U?i/, а если fey <m, положим Е\=Е\ \](\) Eq\ Тогда
еслиа^иЯ/ и F~l(a)(]Y = 0, то dim{F~x{a)[\Y) = р — т
и ни одна ветвь F~l(a)(]Y не содержится в и(УуиУу). ?
Теорема 5.26. Пусть У—аналитическое множество чистой
размерности р в 1С/1, и пусть F: У-^.С/71 ¦— голоморфное отобра-
отображение, m < р. Положим MF (г) = sup || F ||. Для asC" через 0а

184 Гл. 5. Голоморфные отображения
обозначим положительный замкнутый поток интегрирования по
регулярным точкам) F-\(a)[\Y и положимощ (а; г)= \ 8ал Рр_т.
В (О, г)
Пусть заданы числа е > О и р > 1. Тогда множество
.^ = }flG Cm: dim F~l(a)?=P — mu
limsup—5^ й 7 ^г ^ О>
г-»~ гт (log г)ра[К, (A + 8) г) (log MF((l + e)r))m J
имеет лебегову меру нуль.
Доказательство. Пусть V(z)= \og(l+ \\F\\2). Тогда 0 ^
< V(z)<log(l +MF(rJ) при ||z||<r. Из леммы 5.23
(см. E.31)) следует, что при у < 1 найдется такая постоян-
постоянная С, что
С [log+MF(r)]m a[Y] (г) Г2т > [ (iddV)m Л е(к, Л p,-m.
Из леммы 5.24 вытекает, что если sup rank F Ф m, то
Y
F~x {?,!") имеет лебегову меру нуль.
Пусть r]v е ^~ (В @, г)) — последовательность функций, ко-
которые, возрастая, стремятся к характеристической функции
множества B@,ymr)\(Y'\J?). Для фиксированного v, если
z e supp r)v, можно найти окрестность UzmB @, yv) \ (У и
U?) и координаты (g\9 ..., g"p) в UZy такие, что множество
{z: gm+\ = ... = gP = 0, |g-/| < бг, *' = 1, ..., m} можно ото-
отобразить с помощью голоморфного гомеоморфизма п2 на окрест-
окрестность Vz точки F(z). Поскольку supprjv — компакт, можно по-
покрыть его конечным числом таких окрестностей ?//, i=l, ...
..., Л^. Пусть at есть ^°°-разбиение единицы, подчиненное ?Л,
т. е. suppa/dt//, а/ ^ 0 и J]^^lHa suppr)v..no теореме Фу-
бини будем иметь
лв1У1(г) лрр_т =
Wwaw log A + || w f)]m ) щцАу] (w) Л рр_т (г (а;))
б, суммируя по /, получим
log A +1| w ||2)]т 5 4v%] («;) л рр_т (г (а;)).

§ 9. Оценка объема 18&
Таким образом,
\ (Ш10тл9(/)Лрр_т=Нт \ ^(Ш10тл9тлрр_т =
в(о.>г) v-"°°B(o.Vr)
= lim \ [id~dw log A +1| да \\2)Г \ у)Ау\ (w) Л pp_m (z (да)) =
= \ [idwdw log.(l +1| w f)T lim \ ц?т (да) л f$p_m (z(да)) =
= \ o\y] (w; ymr) [idwdw log A + || w \\2)]n
Последнее равенство имеет место по теореме о монотонной схо-
сходимости.
Положим^™ = A +е)~1/2, гт = A +е)т/2,
FT = {а е Ст; а,к, (а; rt) > (log rT)e'Cr72w X
Хат(A +s)ll2r%)[log+MF(A +еI/2лг)Г}( где р' = A +р)/2.
Обозначим через ц (да) положительную меру ц (да) = [/д^дц, X
Xlog(l + IIда||2)]m. Тогда по лемме 5.23
ат (a; rx) dp (a)^Cr^m [log+MF((I + гI'2 гх)\тат (гх A + еI/2>
и, следовательно,
|i(F,)(logr,f C[log+MP((\ +еI/2гт)Глг-2'"стт(A +e)l/2rT)>
о/
так что \х (Fx) ^ (log rT) .
оо
Пусть ?т= U Ff. Тогда |i(?T)<J] (logr/)"^, откуда еле-
дует, что \х (Ех) < б при т > Л1 (е, 6). Если а ф ЕХ' и %' > М (е, 6), то
am(a;rT0<C(logr^^
а при re|/y_i, гТ') имеем
(log г)р/ [log+ AfF((l + e) r)]w am (A + е) г) Г2т.
Таким образом, с?= П ^х и fx(^) = 0. ?
i

186 Гл. 5. Голоморфные отображения
§ 10. Оценка сверху и снизу следа аналитического
множества на комплексных плоскостях
Пусть GqiiCj1)—грассманиан всех комплексных линейных под-
подпространств в Сп размерности q. Это множество можно наде-
наделить структурой q(n— </)-мерного компактного комплексного
многообразия. Делается это так.
Пусть с е!С/7(п"-17)> а / = O'i < ... < iq)— мультииндекс, t/^
^ п. Введем набор из q векторов 1Р = AР\, ..., 1рп) следующим
образом: положим
{1, если p = j,
0, если,*/ Для /е/ и /,, = *„ для/*/.
0 если,*/,
Каждой точке cg.C^"^ поставим в соответствие линейное
подпространство в О, натянутое на векторы 1Р, р= 1, ..., q.
Тем самым определяется локальная карта Ui в GqiiCj1). Чтобы
доказать компактность, вложим Gq(Cn) как подмногообразие
в комплексное проективное пространство. Пусть ,С/(<7) =
= Л Сп — линейное пространство, натянутое на внешние про-
q
изведения степени q. Пусть, далее, 1\у ..., lq — элементы ,СЛ
я я: (Cs(<7)\{0} )-^P(lC/(t7))—стандартная проекция; каждому
подпространству, натянутому на /ь ..., lq, мы поставим в соот-
соответствие n(lxh ... Л lq). Заметим, что если наборы векторов
/ь ..., lq и /[, ..., lq определяют одно и то же подпростран-
подпространство, то /,л ... /\lq = C(l\h ... Al'q), где С —якобиан пре-
преобразования (/р ..., lq)-+(l'v ..-, l'q), так что я(/,л ... /\lq)
корректно определено и является голоморфным отображением
на Ui (более подробное описание G^iC/*) см. в [Н]).
На комплексном многообразии мы не сможем корректно
определить понятие лебеговой меры множества, так как она
изменяется при замене локальных координат. Однако понятия
измеримого по Лебегу множества и множества меры нуль ин-
инвариантны относительно преобразований локальных координат
и сохраняют свой смысл на комплексном многообразии.
Пусть фе?0°° (С"~1), ф > 0 и jj ф (w)dx(w)=Cy > 0. Положим
Ф (w) dx (w).
Лемма 5.27» Функция V*(z) плюрисубгармонична в [Сп и бес-
бесконечно дифференцируема в Crt\{0}.
Доказательство. Достаточно показать, что V*{z) локально
принадлежит ^^ при z= Crt\{0}. Более того, достаточно про-

§ 10. Оценки следа аналитического множества 187
сто показать, что АУе^00 в lC/*\{0}, так как если г0е
<= ON {0} и функция a ge <g>~ (Сп \ {0}) такова, что а = 1
в окрестности го, то по теореме Грина
а (г) У B) = С2„_2 J д^^-г Д <а B0 ^ (*')) <*т (г'),
где С2„_2 = [Bп — 2) со2„Г\ и
так что производные непрерывны при любых р.
Предположим, что z0 ф 0. Если (zo)i = ¦•• = (го)п-1 = 0,
а (zo)n?1O, то 20^suppAy и, следовательно, АУ(г/)=0 в
окрестности <г0. Пусть теперь (го)к?=О для кфп. Положим
Тогда
1-1
(« — 1 v
5 — Zn— Tj ZiWt\Zkl.
Wk=l 5 — Zn— JL ZWi
Пусть
отображение (w, z)-*~(wy z) обозначим через ?*, якобиан обрат-
обратного отображения lit — через Jk(w, z). Поскольку
«-I
log I ^Z ZiWi + zn
= 2jc6 (^g ^а;, + zn) = 2jc6 (s),
где 6E)—поток интегрирования по гиперплоскости 5 = 0, то
ду (Z) = 2я J б E) Ф (I*1 (w9 z)) | /fe (ш, z) f dx (w) =
= ^ бE)ф(ш, z)dx(w),
где ф(ш, z) = 2ny(lkl(w, z))\jk(w, z)]2^^00 в окрестности
Поэтому
^$(^( ). П
Пусть К cz „С.'7' — компактное множество положительной ле-
лебеговой меры. Обозначим через %к характеристическую функ-
функцию /С. Пусть, далее, фу ^^(С^)— такая последователь-
последовательность, что q>v \ я*.

188
Гл. 5. Голоморфные отображения
Лемма 5.28. Существуют такие постоянные Сь С2 и v0, что
q) || при v>v0.
Доказательство. Поскольку V^ (uz) = V^v (z) + log | и |, то
достаточно показать, что C{^V4>v(z)^.C2 при ||z|| = 1 и v ^
>v0. Пусть число Л таково, что /(с: В (О, Л). Тогда У^(г)^
^(Л + 1) + log || г ||. Обозначим через а такую функцию из
^(В@, ЗЛ)), что 0^Га^:1 и a=l в шаре В (О, 2Л). Тогда
если ||z|| = 1, а vo столь велико, что supp avcz Я@,2Л) при
v ^ vo, то, применяя лемму 5.27, получим
У z-wf + z
1)
2А+ 1
a (ш) dx (w) + log BЛ + 1)
log
ft'-l
Z z^
2Л+ 1
. ?
Лемма 5.29. Пусть YcziO1 — аналитическое множество чи-
чистой размерности p^L Тогда множество {L e Gn-\ (:СЯ): ^П
ЦУ=^0м dim(L f) Y) = р} шюеег лебегову меру нуль в Gn-i(Cn).
Доказательство. Пусть У/ — неприводимая ветвь У, имею-
имеющая размерность р, a w ^ \С,п. Тогда, если множество У/ П
то
чем
= 0> непусто и не имеет чистой размерности р— 1,
*=1 . Eva^J
а < г: 2 г^1 = 0 г- Множество • Лу- = {^ [е Сл: К/ с: {г:
}
является линейным подпространством,
при-
а
Aj ф Сп, поскольку F d pi \z: H z>№i = Of,
( -п \
П \z: д] ZiWi = 0f = 0. Если я — проекция Сп->Р(Сп), то
я(Лу) имеет меру нуль в Р(СЛ), и если ?^ия(Лу), то dimX
Лемма 5.30. Пусть УсцСл — аналитическое множество чи-
чистой размерности р, а в\у\ — замкнутый положительный поток
интегрирования по регулярным точкам Y множества У. Тогда

§ 10. Оценки следа аналитического множества
п-\
Z ZtWi
множество таких w^\Cn~\ что поток Bл;) iddlog
+ zn Лб[кь будучи просто продолженным 1> на все Сп как по-
положительный замкнутый поток степени р—1, не является по-
потоком интегрирования по множеству Y f] \ z: J] zt\
К i = l
имеет меру нуль.
Доказательство. Заметим вначале, что если /еЖ(В@, 1)),
то f постоянна на каждой связной компоненте аналитического
множества
Действительно, согласно определению регулярной точки,
для произвольного ге2 существуют окрестность Uz и биголо-
морфное отображение яг: UZ-*B(O, l)d;C/, где 5 зависит от z.
Положим f(u) = f(яГ1 (и)) для иеВ@,1). Тогда ^р- =
п
= } -^- -^-= 0, так что функция f постоянна в шаре В @,1),
л, следовательно, функция f постоянна в Uz и, стало быть, на
каждой компоненте множества Z.
Пусть Y' — аналитическое многообразие сингулярных точек
У. Его размерность не превосходит р— 1. Положим
А{ = |ш <= С*: Yf П \z: g ^ш, + гп = о| ^ 0 и
dim (j' П {^: I] ^о;, + г„ = о|) > р -
Из леммы 5.29 следует, что А\ и А2 имеют лебегову меру
нуль в С1.
Пусть z е У\0. Предположим для простоты, что Z\ ф 0.
Тогда найдутся такая окрестность Uz точки z в Р, что
!) В смысле теоремы 2.44. — Прим. перев.

190 Гл. 5. Голоморфные отображения
inf {z[: z e Uz} > 0, и биголоморфное отображение g2: Uz
->-fi@, l)czLC/. Для фиксированного w положим
1): g
Множество Fv = {w:Yw(]B@9 1 - 1/v) с: ?w П В (О, 1 — l/v)}
замкнуто, а Л = и/\,, так чт0 А является множеством типа F&
v
и, следовательно, измеримо.
Пусть
- 2 2, (И) О^ - 2Л (И)
Zl{u)
Допустим, что при фиксированном w/ = (w2t ..., о;п) точка
= (шь ш7) е Л. Тогда при меУш имеем
ди, vi v"
1 \ i
(
Как отмечено выше, / s= const на каждой связной компо-
компоненте множества {и е В @, 1): df/duj = O) /=1, ..., р}, так
что для каждого к/ найдется не более чем счетное число таких
w\ = f(u), что (wi,w')^A. Таким образом, А имеет меру нуль
в С1". Возьмем теперь счетное всюду плотное множество то-
точек zi e f\0 и определим окрестности ?/2/ и множества Л« опи-
оо
санным выше способом. Тогда множество Л3= U At имеет меру
i = l
нуль.
Пусть w ф Ах U A2 U Л3. Обозначим через Za, множество»
2г: 2 ZiW( + zn = 0i9 а через Z^, и z'w— множества
f=i /
его регулярных и сингулярных точек соответственно. Тогда, по-
поскольку w ф. А2, то dim (Z^) < p — 2.

§ 10. Оценки следа аналитического множества
191
Далее, из предыдущего следует, что так как w ф Л3, то
поток „^ ^^ ;
1 .^
A9V
является замкнутым положительным потоком интегри-
интегрирования по Zw в (Cn\Y')\Z'w. Поскольку dim Z'w^p —2,
то простое продолжение t этого потока является замкнутым
положительным потоком степени р—1 в iC/'Xl". Ввиду того
что dim(Zw(]Y')^i р — 2 для иифА2 (см. гл. 2), простое про-
продолжение t на [С/* снова будет замкнутым положительным по-
потоком степени р— 1. ?
Лемма 5.31. Пусть Ycz\C" — аналитическое множество раз-
размерности р ^ 1, и пусть 8[у| — замкнутый поток интегрирова-
интегрирования по Y. Пусть, далее, КаС/1-1 — компакт, афу? #~ (Сп~{) —
последовательность функций, которые, монотонно убывая по v,
сходятся к характеристической функции %к компакта К. Тогда
если F'v определено, как в лемме 5.27, то при г> I имеет
место соотношение
lim
B@/r)\B{0,i)
[2n
т(К)
cn
-1
где
; r)=
у; r) — a[Y](w; l)]%K(w)dx(w),
(ш; r) =
В@, г) В @, [r)
а через Qw обозначен поток интегрирования по множеству
Z
Доказательство. Обозначим через Yr множество сингулярных
точек У. Пусть i|v е ^0° (fi @, г)) — последовательность функ-
функций, которые, возрастая, сходятся к функции %{В{0 г)\У'\в{о,\)у
Интегрированием по частям несложно получить соотношение
л pp_t =
л в[у, л рр_ь

192 Гл. 5. Голоморфные отображения
а по теореме Фубини
= C- S ft log
idd% л еШ л
Повторно интегрируя по частям, получаем
0-1 |ф\
{w)dx (w).
Сф1
„ш log
Л-1
+ zn
Л е[У1 л p^, I 9V (ш) dr (a;) =
c/i-iL
log
idd% Л 6[у] Л рр_! фv (ш) dr (a;).
]¦
Как следует из леммы 5.30 и теоремы о монотонной сходимости,
lim
|А-»оо
или
n-\
0-1 Ф
Л Э[у] л РР_! 9v(oy)dt(^),
Наконец, по теореме Лебега о мажорированной сходимости,
lim
П
cn-l
Лемма 5.32. Пусть Ус?" — аналитическое множество чи-
чистой размерности р^1. Пусть, далее, /CclC/1 — компакт,
u9vg ^~ (С'1) — та/сая последовательность, что фv \ Хк-
Тогда для любого k > 1 найдутся такие постоянные у и 72, 7з
w 74, зависящие только от К и k, что при г > 1 имеет место
неравенство
l)olY](kr)
-2
В @, r)\fi@ 1)

§ 10. Оценки следа аналитического множества 193
и, следовательно,
r~24iO[Y\ (y2r) < Уз*[П B) + ~^щ \ [ат (а;; г) —
— am (w; 1)] iK (w) dx (w) < y3a[Y] B) + y^, (?r) r~2.
Доказательство, Пусть Эд — последовательность замкнутых
положительных потоков степени р с ^^-коэффициентами, схо-
сходящаяся в &' к Э[у]. Через AVT обозначим множество AJ =
= {2GCn: K^B)<logr} и положим /v(r)= sup ||21|2.
Поскольку, в силу леммы 5.27, V*ve<1?oo(Cn\0)9 из теоремы
Сарда вытекает, что множество значений г, при которых bdA?
не является ^^-многообразием, имеет меру нуль в R. Для г
из дополнения к этому исключительному множеству по теореме
Стокса имеем
(г) J iddV^ л в„л рр_! = tv(г) J iW'vл 9
hd
Согласно лемме 5.22, idV*v л 0цЛРр_! есть положительная
мера на ЪйА? и, следовательно, в силу второго утверждения
этой же леммы,
/v (r) \ idV^ Л 8^ л Pp_i ^
'лв^лрр_!> \ ||2||"Ш1/Ф^лвнлрр_1
(log г — vvv) вй л гаа и г и2 л pp.i.
bd^
А
Из полученных соотношений вытекает оценка
ty(r)
В силу леммы 5.28 при v ^ v0 имеет место неравенство
С\ + logll<z||<T(PvB)<C2 + log || 2 |l, так что ЛгС=б@, rec0 и
В @, sre~Cx) a Avsr. Поэтому
Г2
В @, г) 5 @,

194 Гл. 5. Голоморфные отображения
Пусть функция ц^<&оо(В@,2)) такова, что ц = 1 вВ@,1).
Тогда поскольку |Кфу| ограничен на suppiddr\ равномерно по v
при v ^ vo, то (см. гл. 2)
В @ 2)
Устремляя теперь \х кз бесконечности, получим
•ddV** Л 81П Л pp_t - y3a[Y] B) > y{a[Y]
В @, г)\В @. 1)
Так как это соотношение справедливо для плотного множе-
множества значений г, при которых функция
В @, г)\В (О, 1)
непрерывна, то можно выбрать из этого множества последова-
последовательность гх / г. Тем самым мы получаем левое неравенство
для любых г.
Чтобы доказать правое неравенство, заметим вначале, что,
вычитая постоянную, можно считать, что lag || 2II— С3^
<С V®v (z) <C log || z || при v^v0 и С3 ^ 0. Применяя утверждение
ii) леммы 5.22 к УФл? — log||2||, получаем
В @, kr)
- J (^2r2-||e||2)/ddlog||3||Ae^APp_l =
В @, kr)
(K<Pv _ iOg || z ||) 9|i Л pp_t Л у || г ||2 -
bdB~@, kr)
В @, Лг)
Согласно первому утверждению леммы 5,22, первый член в пра-
правой части отрицателен, так что (см. гл. 2)
F2-1)г2
В @, г) \ В @, 1)
j \ вцЛрр + *2г2 ^ В^ л/dd log || г || л рр_!
В @, kr) В @, kr)
В @,

§ 10. Оценки следа аналитического множества 195
Устремляя теперь \л к бесконечности, получим
h е[У1 л рр_, < y4r2 J е1У1 л рр.
5@, г) \ В (О, 1) В@, *г)
Наконец, выберем возрастающую последовательность зна-
значений г, при которых функция а[У| (&г) непрерывна, и применим
полученное неравенство. ?
Теорема 5.33. Пусть Ycz\Cn — аналитическое множество чи-
чистой размерности р. Тогда для О ^ q ^ р, е>0, Р>1
жество
lgG_(C): lim sup-^- ^Ш^ ^ о}
лебегову меру нуль в Gn-q(,C ).
Доказательство. Мы покажем, проводя индукцию по </> что
множество JL=(Lb ..., Lq)^[Gn^(C)]q: Нт8ира[УП^п...г^ i(r)X
Пусть 9=1- Предположим, что
mes (Е = [l e Gtt_! (С): lim sup —,
Тогда существует компакт К положительной меры, содержа-
содержащийся в Е П UOy где
we С11}.
Положим rT = A + e)t/2p, й = A+еI/2р. По лемме 5.32 имеем
\ [a[Y](w;r)-am(w; l)]xK(w)dx(w)^CeKa[Y]{(l+s)mpr)r\
c/i-i
Следуя рассуждениям, которые проводились при доказательстве
теоремы 5.26, приходим к заключению, что множество
.. ог[У1 (ш; г) — а.у] (ш;
: lim sup—^^
{
имеет лебегову меру нуль. Получаем противоречие. Поэтому
mes(?)=0.

196 Гл. 5. Голоморфные отображения
Будем считать теперь, что предположение индукции спра-
справедливо для t^q—1. Пусть L не принадлежит введенному
выше множеству Е. По предположению индукции множество
[Сж_, (С)Г : limsupr-,(,-,
имеет меру нуль. Применяя к Y()L\fl ••• П Lq-\ предыдущие
рассуждения, получаем требуемое утверждение для q.
Продолжим доказательство. Определим на [
отображение ц: r\(Lu ..., La)= f| Lt. Покажем, что если Е а
czGn-q(C)—множество положительной 2q(n — ^)"меРн(^й меры
Лебега, то и мера ц~1(Е) в [Gn-i{C)]q также положительна.
Пуст*ь Cs(a) = ACn как линейное пространство. Для / =
я
= (i\ < ... < iq) положим / = (/i < ... < jn-q) i ji ^ / и через
sign(/, 7) обозначим знак перестановки A> ..., п)-+{1, I).
Пусть, далее, (ей ..., еп) — стандартный базис в [С/1. Положим
eI = eilA ... л в/ и зададим линейное отображение lq: ijC/W
^.Qs(n-q) соотношениями lq(ei)= sign(/, I)ej.
Пусть nq: ;Cs^\{0} -* P(C,s(q)). Тогда отображение
голоморфно и ^(L)=L-L, где L1 = пространство, ортогональ-
ортогональное к L. Чтобы показать это, введем локальные координаты.
Пусть Ut — карта, введенная в начале этого параграфа. Для
простоты будем считать, что /==A, ..., q). Тогда набору
A, . . ., О, Схь . . ., C\(n-q))
(О, . . ., 1, СцЬ . . ., Cq(n-q))
отображение %д ставит в соответствие набор
(-с1Ь ..., —cqU 1, 0, ..., 0)
( — Ci(n-q), ..., —Cqifi-q), 0, ..., 1)
и, значит, представляет собой голоморфный гомеоморфизм
?// на Uj. Определим голоморфное отображение ooi: [GiC)]
-> Д Сп следующим образом:
<o{(Lb ..., Lq) = linni(L)A AlTi

§ 10. Оценки следа аналитического множества 197
Тогда сор1 @) является собственным аналитическим подмноже-
подмножеством в [Gn-\(i&)]q и, следовательно, имеет меру нуль. Пусть,
далее, голоморфное отображение №:[Gn^i(C)]q \®Tl@) ->Gn-q(C)
действует по формуле
Из этой формулы4следует, что о>2 сюръективно. Согласно лем-
лемме 5.24, если 2q(n—^)-мерная лебегова мера множества ?с=
aGn-q(C) положительна, то и мера ю^1 (Е) также положи-
положительна. ?
Теорема 5.34. Пусть УсСй — аналитическое множество чи-
чистой размерности р, и пусть rm — неограниченно возрастающая
последовательность. Тогда для 0 < q ^ p множество
[l €= Gn_q (С): lim °{™ц(кГт\ = 0 для всех k>o\
{ т-^оо rmzqom{rm) J
имеет меру нуль в Gn-q(.C).
Доказательство. Сначала с помощью индукции по q пока-
покажем, что множество
[^. ]
lim Г5 — ° Для всех
()
(krm)
lim Г
m-юо a[Y] (rm) rm
имеет меру нуль в [Gn-iid))q. Пусть q = 1. Предположим, что
mes (?• = !/,<=(?„_, (С):
lim '_2n OT/ =0 Для всех k > Ol) > 0.
Тогда найдется компактное множество К положительной меры,
К а Е Г) и0, где
Le=Gn_,(C): L = <z: Z ztwt + zn = 0j, шеСЛ|.
Пусть ft) (L) = a[yn4 (*rm) r^ (or[y] (rm))~>, / s Z. Тогда при
всех / и Le/( имеем lim /m(L) = 0. По теореме Егорова мож-
можно найти такой компакт К'а К положительной меры, что

198 Гл. 5. Голоморфные отображения
lim fm(L) = O равномерно на К' (для фиксированного t).
m-»oo
С другой стороны, в силу леммы 5.32 найдутся такие постоян-
постоянные Си Сг и С3, зависящие только от /(', что
Последнее неравенство противоречит тому, что lim fm (L) = О
m-»oo
при t^C3 равномерно на /('. Поэтому mes(?')=0. Пусть те-
теперь предположение индукции справедливо для s ^ </—К
Предположим, что L не принадлежит определенному выше мно-
множеству Е. Тогда существуют такое число k0 > 0 и последова-
последовательность гт> (зависящие от L), что lim —[ггил о т
ГП-+ОО (Гт,) ОГ[у1(Гт,)
По предположению индукции множество
Er ={L =
lim -2{q~\) = 0 для всех k >
имеет лебегову меру нуль. Доказательство заканчивается так.
же, как в теореме 5.33. ?
'. Конечно, для приложений хотелось бы выбрать такую по-
последовательность rm, чтобы сг.у] (г А имело «максимальный
рост». В качестве иллюстрации приведем
Следствие 5.35. Пусть Ус: С" — аналитическое множества
чистой размерности р, такое, что r~2po{Y](r) имеет конечный по-
порядок р. Тогда множество таких L e Gn<-q, О <С q ^ р, что поря-
порядок r~2iP~q)o[Yf[L](r) отличен от' р, имеет лебегову меру нуль*
в Gn-q< Если r~2P9[Y\ (r) имеет нормальный тип относительно
уточненного порядка р(г), то множество таких L^Gn-q, что
r~2{p~q)o[Yf{L](r) имеет минимальный тип относительно р(г), яв-
является множеством меры нуль в Gn-q-
Доказательство. Из теоремы 5.33 вытекает, что множество
тех L^Gn-q, для которых порядок r~2{v~q)a{Y^L] (r) больше р,
имеет лебегову меру нуль. Предположим, что rm — такая воз-
возрастающая последовательность, что a[Y] (г А ^ Яг^Гт^+2р, X > 0„

§ 10. Оценки следа аналитического множества 199
Тогда существует множество Е <z.Gn-q лебеговой меры нуль, та-
такое, что для ЬфЕ можно найти последовательность rm', для ко-
которой
Wi Ы • Ы"р("»'> > о.
Тогда по теореме 1.18
П
Комментарии
Проблема представления аналитического множества X <= С
коразмерности больше 1 в виде F~l@) с оценками порождает
ряд тонких задач, которые пока лишь частично разрешены. Во-
первых, X не обязано, вообще говоря, быть полным пересече-
пересечением, а во-вторых, даже если X является таковым, то__изучав-
шееся в гл. 3 уравнение Пуанкаре — Лелона Qx = iddlog\F\
для коразмерности 1, с помощью которого задача сводилась
к линейному уравнению в случае, когда X—полное пересече-
пересечение чистой размерности q, должно быть заменено нелинейным
уравнением типа комплексного уравнения Монжа — Ампера
Qx = (idd\og\\F\\y.
Два результата, опубликованные в одном и том же году
A972), явились большим вкладом в теорию голоморфных ото-
отображений. Первый из них — это контрпример Корналбы —
Шиффмана [1], показывающий, что невозможно оценить (даже
асимптотически) через функцию от ||F|| рост объема аналити-
аналитического множества F~l(a) коразмерности 2 для целого отобра-
отображения F: C2->iG2. Оценки в среднем были получены Карлсо-
Карлсоном [2] и Груманом J8, 12]. В последней из этих работ пока-
показано, что множество тех а, для которых такая оценка невоз-
невозможна, является плюриполярным.
Другой результат, принадлежащий Скода [2, 3], также уди-
удивителен. Он показал, что аналитическое множество X в C.rt
чистой размерности q, 0 ^ q ^ п—1, можно представить в
виде F-{@)9 где F — целое отображение [С/1 в lC./l+1, a \\F\\
имеет асимптотический рост, оцениваемый через v*(r), индика-
индикатор множества X. Сопоставление этих двух результатов под-
подтверждает «статистическую» природу оценок роста (эту точку
зрения высказал Штолль [8] при изучении трансцендентной
проблемы Безу).
Исследования роста следа аналитического множества X на
линейных подпространствах (см. § 9) были также инспириро-
инспирированы примером Корналбы — Шиффмана [1]. Оценка сверху вне

200 Г л: 5. Голоморфные отображения
исключительного множества была впервые дана Карлсоном
[2] с использованием формулы Крофтона и общих свойств по-
ложительных монотонных функций. Более удивительным ока-
оказался тот факт (Груман [8, 11, 12]), что вне исключительного
множества можно оценить рост следа X на линейных подпро-
подпространствах также и снизу. Соответствующие оценки можно по-
получить вне множеств, которые намного тоньше множеств riyjte-
вой лебеговой меры. За результатами в этом направлении мы
отсылаем читателя к статыда-Молзона, Шиффмана и Сибони
[1], Александера [2], Грумана [8, 11, 12] и Молзона [4].

Глава 6
Приложения целых функций
в теории кисел
Как уже отмечалось ранее, одним из основных мотивов изуче-
изучения целых функций конечного порядка является тот факт, что
в эту категорию попадают все наиболее часто встречающиеся
трансцендентные функции (сверх того, наиболее распространен-
распространенные эллиптические функции являются мероморфными функ-
функциями конечного порядка). Таким образом, исследуя алгебраи-
алгебраические или арифметические свойства целых функций конечного
порядка, мы тем самым изучаем алгебраические или 'арифмети-
'арифметические свойства основных трансцендентных функций. Эти ис-
исследования в свою очередь имеют широкое поле приложений
в трансцендентной теории чисел.
Мы приводим здесь пример применения методов теории го-
голоморфных функций многих комплексных переменных для ре-
щения задачи, обобщающей ряд классических задач теории
чисел.
Метод, о котором идет речь, основан на идее, восходящей
К К. Л. Зигелю и состоящей в построении целой функции, ййею-
щей «много нулей» и принадлежащей классу функций, значе-
значения которых обладают заданными алгебраическими свойствами.
Мы излагаем здесь результат Э. Бомбьери, следуя его совмест-
совместной статье с С. Ленгом. Доказательство опирается на технику
положительных замкнутых потоков и решение ^-уравнений.
§ 1. Предварительные сведения из теории чисел
Комплексное число а называют алгебраическим числом сте-
степени ру если существует такой неприводимый полином Р(х) =
= аохр + • • • + ар с целочисленными коэффициентами (по ф 0),
что Р(а) = 0. Если потребовать, чтобы у ak не было общего
делителя, то такой полином будет единственным; он называется
минимальным полиномом для а. Если ао=1, число а назы-
называют целым алгебраическим числом. Комплексное число, не
являющееся алгебраическим, называется трансцендентным.
Поле рациональных чисел обозначается через Q.
Подполе К поля С. называется расширением конечного типа,
если существуют такие уи ..., ут е /С, что К = Q(yu • • > Ут)х\
1) Через Q (уи ..., Ут) обозначается наименьшее поле, содержащее Q
и у\, .., ут. — Прим. перев.

202 Гл. 6. Приложения * целых функций в теории чисел
Если К является векторным пространством конечной размер-
размерности над С то эта размерность обозначается [/C:Q]. Пусть Кг
будучи расширением конечного типа, есть поле алгебраических
чисел. Тогда по теореме о примитивном элементе поле К яв-
является простым, т. е. К = Q(a) для некоторого алгебраического
числа а и, кроме того, Q(a)= Q[a].
Таким образом, поле, полученное путем присоединения a
к полю рациональных чисел, совпадает с соответствующим коль-
кольцом полиномов. В этом случае мы называем К числовым полем.
Предложение 6.1. Пусть а — алгебраическое число. Тогда
следующие утверждения эквивалентны:
\}у<с$ществует нетривиальный полином Q(x)^Z(x) со стар-
старшим коэффициентом 1, такой, что Q(a)= 0; ~,
ji) существует нетривиальный Z-модуль М, порожденный
конечным числом алгебраических элементов и такой, что
аМаМ.
Доказательство. Пусть р — степень Q из i). Тогда М =г
= Z[a, ..;*txP] — нетривиальный конечномерный Z-модуль,-та-
Z-модуль,-такой, что udM с: М. Поэтому из i) следует и). Чтобы показать,
что #} влечёт i-)»,-рассмотрим базис v\, ..., Vm модуля М. Тогда
.* ы <: / ч ;тп\ г; ^
uViiff^ 2 atjVj, где dif?^Z:. Положим А — [аи]12\] ;;;;„. Так как
det(^ — а/) аннулирует модуль М9 то этот детерминант обязан
быть нулем. Тогда полином Р(х)— det(A — xl) имеет целочис-
целочисленные коэффициенты и удовлетворяет условию Р(а)—0. D
Поскольку (a + P) MN = aMN + §MN a MN и a$MN с
(ZiMN, то из приведенного выше утверждения и) следует, что
множество целых алгебраических чисел является кольцом. Из
п) также вытекает, что если a — целое алгебраическое число,.
а IeZ, то, поскольку ХаМ = а (ХМ) = аМ а М, число Ха*
также целое алгебраическое.
Если a—алгебраическое число, через Da обозначим идеал
в Z, определяемый следующим образом:
Da = {lGZ: Яа—целое алгебраическое число}.
п
Этот идеал ненулевой, так как если Q(x)= 2 сьх1— минималь-
минимально
ный полином для а, то спа е Da. Действительно, если
Q (х) = хп + сп_ххн-х + с
Е

§ 1. Предварительные сведения из теории чисел 203
то Q(cna)= 0 и, следовательно, справедливо утверждением!)
в предположении 6.1. Положительные элементы Da называют
знаменателями для а, а положительная образующая d(a) иде-
идеала Da называется знаменателем а.
Пусть а — алгебраическое число, а Р(х)—его неприводи-
неприводимый 1) полином. Обозначим через оы, ..., ат комплексные корни
Р (все эти числа различны, так как полином Р неприводим
т
в Q[a'] ). Таким образом, Р(х) = Тл. (х— а7). Числа а/ называют
сопряженными к а. Положим |а| = max [ а,-1. Назовем разме-
ром числа а величину s(a) = max (log | a |, logd(a)).
Предложение 6.2. Пусть К—числовое поле. Тогда для а <=
^ /С, а Ф 0, справедливо неравенство
Доказательство. Пусть m — степень неприводимого полинома
для а, так что m^[/(:Q]. Заметим, что неприводимым поли-
полиномом для d(a) -а является полином
р (Х) = xm + am_{d(a)xm~{ -f am_2d{afxm~2 + ... + Ood(a)m,
где хт + ат-\хт-1 + ... + ао — неприводимый полином для а.
т
Имеем Р (х) = П (л: — d (а) ау). Поскольку коэффициенты Р(х)—
т
целые числа, то IId(a)|ay |^ 1, откуда и следует требуемое
неравенство. П
В дальнейшем нам понадобится следующая техническая
лемма из линейной алгебры.
Лемма 6.3. Пусть А — такая ненулевая подгруппа в Rn, что
в любой ограниченной области Rn содержится лишь конечное
число элементов А. Пусть, далее, m — максимальное число эле-
элементов А, линейно независимых над R. Тогда в А можно вы-
выбрать m элементов, линейно независимых над R и составляю-
составляющих Z-базис для А.
Доказательство. Пусть {wv, ..., wm) — максимальное мно-
множество линейно независимых над R элементов А. Проведем
индукцию по гп^п. Пусть т= 1. Положим w = tw\, где t —
расстояние от Л\{0} до нуля. Пусть w e А, а t таково, что
w = tw\. Выберем такое q^Z, что qt ^.t <{q-{-I)?. Тогда
1) Это полином с рациональными коэффициентами, получаемый деле-
делением минимального полинома на старший коэффициент.—Прим. перев.

204 Гл. 6, Приложения целых функций в теории чисел
w — qw = (t — qt)wi^A и 0 ^ t— qt < (q + 1)? — qt = ty что
противоречит выбору 7, если только не выполнено t = qt. В по-
последнем случае w составляет Z-базис для А.
Предположим теперь, что т> 1. Пусть V—векторное про-
пространство над R, порожденное {w\, ..., wm}, a Vm-\— простран-
пространство, порожденное {wu ..., wm-\). Положим Лт_1 = А П Vm-\.
Тогда в любой ограниченной области в Vm-\ содержится лишь
конечное число элементов Ат-\. По предположению индукции
мы можем найти набор w'{, ..., w'm__v являющийся Z-базисом
для Ат-\.
Пусть S — множество элементов из Л, представимых в виде
m
?/Х с /,-€=@, 1] для /= 1, ..., т— 1, w'm = wm и /m^[0, 1J.
Это множество, очевидно, ограничено и, следовательно, содер-
содержит лишь конечное число элементов (включая wm). Выберем
в этом множестве элемент vm, последняя координата tm кото-
которого принимает наименьшее возможное ненулевое значение.
Покажем, что набор {o/j, . > >, w'm_{9 vm} является Z-базисом
для А. .
Запишем vm в виде vm = cxw\ + ... + cmw'm, 0<cffl<l,c/eR.
m
Пусть элемент v e А. Представим его в виде v = 2 XjWfp x. ^ R.
Пусть qm — такое целое число, что qmcm<:xm < (qm + \)cm.
Тогда последняя координата v — Qmvm B базисе {w[, ..., w'\
равна xm — qmcm и 0<л:т — ^mcm < (qm + \)cm — qmcm <cm< 1.
Пусть ^,- — такие целые числа, что qi^Xi < qi-\- I, /=1, ...
..., /n— 1. Тогда у — qmvm — q{w[ — ... - <7m_l<t_1 e= S. Если
последняя координата этого вектора отлична от нуля, то она
будет меньше ст, что противоречит конструкции. Значит, по-
последняя координата равна нулю, а сам вектор лежит в Vm-\.
По предположению индукции его можно записать в виде ли-
линейной комбинации {дор ..., w'm__{} с целыми коэффициентами.
Очевидно, что w'v ..., w'm_v vmлинейно независимы над R. ?
Лемма 6.4. Пусть К—числовое поле и [K:Q] = п. Тогда
в множестве 1К целых алгебраических чисел из К можно вы-
выбрать п элементов, образующих Z-базис 1К-
Доказательство. По теореме о примитивном элементе суще-
существует ровно п вложений о\, ..., оп поля К в С. Отобразим 1к
в С/1 с помощью оператора т: a->(cri(a), ..., ол(а)). Этот опе-
оператор осуществляет аддитивное вложение, так что его образ —
аддитивная группа. Поскольку в любой ограниченной области
величины a/(a) ограничены на //с, то в любой ограниченной об-
области в С" = R2n содержится только конечное число элементов

§ 1. Предварительные сведения из теории чисел 205
т(/#). Согласно лемме 6.3, если m — число линейно независимых
над R элементов /*, то в 1К существует т-мерный Z-базис. По-
Поскольку [/(:Q] = ai, а базис (w\9 ..., wn) для К над Q яв-
является базисом векторного пространства, порожденного (над
Q) множеством 1К (т. е. для а е 1к
с,- e Q, a d(wi)wi e IK), то т ^ п. С другой стороны, так как
Z-базис для /# является Q-базисом для /С, то га ^ п. ?
Лемма 6.5. Пусть у; = ? ацхь j = 1, ..., га — набор чисел,
причем fli/GZ, m<Ln и \ац\<1А. Тогда существует такое не-
нетривиальное целочисленное решение (х\, ..., jc«) системы урав-
уравнений у\ = О, / = 1, ..., га, <*го 1**1 < 1+(^Л)т/(Аг~т).
Доказательство. При jc/, пробегающих BЛГ+1) целых зна-
значений между —М и М, получаем набор из BМ + 1 )п точек у
в Rm, которые лежат в кубе —пАМ ^ yl ^ пАМ. Поскольку
в этом кубе имеется в точности BпАМ + 1 )т различных точек
с целыми координатами, то при условии, что BпАМ + 1 )т <
<BЛ1 + 1)П, найдутся две различные точки (х\, ..., хп) и
(л:р ...,л:^), которые перейдут в одну. Тогда, полагая
х" = х{ — xrv получим нетривиальное решение нашей системы,
причем I х" I ^ 2М. Взяв в качестве 2М четное число из интер-
интервала (ПА )"*/{п~т) _ 1 <^ 2М < (ПА )т/{п-т) + \ ? имеем
BпАМ + \)т < (пА)т BМ + \)т <
< BМ + \)п~т BМ + 1)т = BAf + 1)п.
Лемма доказана. ?
Лемма 6.6. Пусть К—числовое поле и [K:Q] = l. Пусть
п
У; = 2 uijXj, / = 1, ..., га, причем п > ml, и пусть ац — целые
алгебраические числа в К с |а^|<Л. Тогда найдутся такие
числа jCj-gZ, не все равные нулю, что
п
X auxi = 0» / — 1, ..., га, и | хг | < 1 + (спА) >
айв с зависит только от /С.
Доказательство. Пусть w\, ..., <^/ есть Z-базис в /#, суще-
существующий в силу леммы 6.4. Пусть аь ..., а/ — вложения К

206 Гл. 6. Приложения целых функций в теории чисел
в С. Для а^1к положим т(а) = (а1(а), ..., а(а)). Это ото-
отображение вкладывает 1К как аддитивную подгруппу в С1 = R2/.
Тогда векторы Sk = x(Wk), k=l, ..., /, линейно независимы
над полем вещественных чисел. Так кака = ? a{k)wk,Tox(a) =
i
= 2 ®{k)sk и> значит, существует такая постоянная с, завися-
зависящая только от К (точнее, от базиса (w{, ..., wi)), что
\а\= sup | Gt(a) \^c~l sup |a(/)|.
В частности, мы можем записать ац в виде ац = ^ ^qwk, где
a\f e Z и \aif\<.cA. Остается прлменить лемму 6.5 к системе
из ml уравнений
п
Пусть Р(х{, ..., хт)= Y, саха —- полином с комплексными
| a, \^d
коэффициентами. Положим |Р| = тах|са|. Если коэффициен-
коэффициенты полинома — алгебраические числа, обозначим ЦР|| = тах|са|
и определим размер Р равенством s(P) = max(degP, log||P||).
Если Р(хь ..., хт)= 2саха— полином с комплексными ко-
коэффициентами са, a Q(x\, ..., xm) = Yj^^a — полином с ве-
вещественными неотрицательными коэффициентами, то будем го-
говорить, что Р доминируется многочленом Q, и обозначать это
P<.Qy если |са|^аа для всех а. Нетрудно видеть, что если
Pi < Q! и Р2 < Q2, то
ii) P{P2 < Q{Q2;
Кроме того, Р<|Р|A +лг!+ ...
Лемма 6.7. Пусть К—числовое поле. Пусть, далее, f\, ...
..., fm — функции п комплексных переменных, голоморфные
в окрестности U точки ?g Cn и такие, что ft(q)^ К для всех i,
а кольцо K[f\, ..., fm] замкнуто относительно дифференциро-
дифференцирований Di = д/dzx, ..., Dn = d/dzn. Тогда существует такая кон-
константа Со, что для любого полинома Q(x\, ..., xm) степени не
выше d с коэффициентами из 1К справедлива оценка
К' Dn

2. Лемма Шварца 207
Более того, существует знаменатель для числа D\l ... Dnn X
X(Q(/i» • • •> fm))(q)t ограниченный по модулю величиной c\k^d.
Доказательство. Существуют такие полиномы Рц(х\, ..., хт)
с коэффициентами из /С, что Drfi = Р/у(/ь ..., /т). Пусть б —
максимальная из степеней Р;,, i = 1, ..., га, / = 1, ..., п. Для
полинома Р е /С[хь ..., хт] положим
т
to—A uX f
Тогда Р<||Р||A+л:1+...+*„/ и Рц < \\РЦ\\{\ + х{ + ...
... + xmf , так что
DjP < || Р || Corf A + хх + ... + *m)d+6.
Итерируя соответствующие неравенства, получаем домини-
доминирующий полином
/Ji ... ип И < || И п Со (а + | /г |) A + хх -f- ... •+¦ л:т) ,
после чего, подставляя вместо xt значения fi(q), получим первую
оценку.
Для доказательства оценки знаменателя применим индук-
индукцию по \k\. Для |fe| = 0 результат очевиден. Предположим, что
оценка справедлива для всех |&|=^/о—1. Пусть а — общий
знаменатель f\(q)t ..., fm{q). Тогда ad+^kl6 будет общим зна-
знаменателем ДЛЯ ZV ... bnn(Q{fu ...,/m))(9)- ?
Пусть F—поле, а А — кольцо, содержащее F. Элементы
{хи ..., хт} называются алгебраически зависимыми над F, если
существует такой полином Р с коэффициентами в /С, что
Р(хи ..-, хт) = 0\ в противном случае мы говорим, что {х\, ...
..., Хт} алгебраически независимы. Подмножество ? из Л на-
называют алгебраически независимым, если любое конечное под-
подмножество из Е алгебраически независимо. Пусть L — расшире-
расширение поля F. Его подмножество В называется базисом транс-
трансцендентности для L, если В — максимальное множество алгеб-
алгебраически независимых над К элементов L. Число элементов
(возможно, бесконечное) этого базиса называется степенью
трансцендентности L.
§ 2. Лемма Шварца
Лемма 6.8. Пусть F(z) — функция, голоморфная в окрестности
шара {z: \\z\\ ^ R} в Сп. Для 0 ^ г ^ R положим М (г) =

208 Гл. 6. Приложения целых функций в теории чисел
= sup log |F (г) |. Тогда
IUI{
где v (г) — индикатор потока т = — dd log | F |.
Доказательство, Запишем представление Рисса для ^"-суб-
^"-субгармонической функции log|F|. Пусть геВ@,Л), a g(z9a)—
функция Грина для шара В @, /?). Имеем
log \F(z)\ = HR (г) - со2-! J da (a) • ^ (a, г),
где HR — гармоническая функция, принимающая значения
log|F| на сфере ||г|| ==/? (HR(z)^M(/?)), а a = -^rAlog|F|-
след-мера потока т. Пусть а'&С/1 — точка на луче, соединяю-
соединяющем точки 0 и а, такая, что ||а|Ц|а'|| = R2. Тогда при ||a|| = t>
\\z\\ = г имеем
g(z, а) = ||а-г||2
откуда следуют неравенства
g{z, a)>g'(r, t)M(r
, t)do@; t).
Поскольку g'(r, 0=0 при t = /?, после интегрирования по
частям получаем
5
о
Заменяя далее а@; t)x2n-2t2n~2 на v@, t), заключаем, что
о
Для первого интеграла имеем
А
1/2

§ 2. Лемма Шварца 209
а,
где а= п , ^ Г-о~, 1]. Чтобы оценить \ -у——rfa, положим
1/2
Тогда
При n ^ 3, используя неравенство \ t ldt>-?-, получим
Л1/2
Л—1/2
9/2
—-1- —
откуда Л (r) >v (r) log D*^з)г '
Для /г = 2 справедливость формулы проверяется непосред-
непосредственным вычислением.
Для второго интеграла В (г) получаем оценку
где 0 < X = / ^2 < [I = „^_ < 1, так что
В (г) < v (г) (-f Jn »*-* log -j^~ =
= v(r)(-^T7Jtt~2log-
(г) ч 2^j—2
pir) на 1, при п^2 получаем
A(r)-fl(r)>v(r)log Df_+3^r >v(r)log Df_+2)r;r ¦
Чтобы получить оценку для я=1, достаточно заменить
An — 3 на 4/г — 2; более того, отметим, что при больших п
оценка М(г) содержательна только для достаточно больших
значений величины R/r. О

210 Гл. 6. Приложения целых функций в теории чисел
§ 3. Формулировка и доказательство основной
теоремы
Изложение предварительных сведений и результатов закон-
закончено, и мы можем приступить к доказательству основного ре-
результата. Будем говорить, что мероморфная функция имеет
конечный порядок, не превосходящий р, если она является от-
отношением двух целых функций порядка
Теорема 6.9. Пусть К—числовое поле, и пусть f = (fu
..., fm)—набор мероморфных функций конечного порядка
Предположим далее, что
i) степень трансцендентности кольца K[f] больше или равна
(п+ I) (т. е. по меньшей мере п + 1 из функций \i алгебраи-
алгебраически независимы над К);
И) кольцо K[f] замкнуто относительно дифференцирований
d/dzi, i= I, ..., л.
Тогда множество точек ^еСй, в которых /(?) конечно и
принадлежит /Ст, содержится в алгебраической гиперповерхно-
гиперповерхности степени не выше п(п-\- 1 )р [К: Q].
Замечание 1. Условие и) можно ослабить, требуя, чтобы
только поле K(f) было замкнуто относительно d/dzt, i= I, ...
..., п. .Действительно, если df,/dzi = Pa(f)/Q(f), где Рц(х)у
Q(x)^ К[х], то, полагая /Wi = Q(f)~1, получаем, что набор
f = (fi, ••-, fm+i) обладает свойством dfj/dzi^ K[f]9 после чего
можно воспользоваться теоремой 6.9 с дополнительным ограни-
ограничением Q(/(?)H
Замечание 2. Если KczLczM — три поля, то dim^ Л1 =
= d\mKL + d\mLM. В частности, K(fu /2) = #(/1) (/2). Поэтому
можно найти индексы iu ..., in+\, такие, что функции /fi, ..., ft
алгебраически независимы. Без ограничения общности можно
считать, что это fu ..., fn+\.
Пусть S — конечное множество точек ?/, /= 1, ..., /, в \Сп,
в которых f(?) конечно и принадлежит Кт. Пусть, далее, / =
= (/ь •••> 1т)—мультииндекс. Рассмотрим функцию F(z) =
2 a'f[l • • • /'it1- Покажем, что можно так выбрать целые
числа uj^K с не слишком большим |а;|, что DXF(^)=O для
к = (Ки ..., Хп)У supX/<L, ?^S. Ниже мы обозначаем через
{х} наибольшее целое число, не превосходящее х.
Лемма 6.10. Если Jn+l = [К: Q] {tLnlogL}, то можно так
выбрать целые числа а/, не все равные нулю, что DKF (?) = 0
для любых JgS, Л (= Z+, sup Л/ < L, и что log | а/1 < I +
+ o(L)y где «о» зависит только от S и F.

§ 3. Формулировка и доказательство основной теоремы 211
Доказательство. Согласно лемме 6.7, неравенство
выполняется, когда ? <= S, sup Л/ < L, sup /а < /. Далее, суще-
существует такой общий знаменатель А для DKf[l ... flffi1 (?), что
A^CArt+1)/+L, где Ci зависит от f и S, но не от / и L. Ре-
шение уравнения DlF(^)==0 эквивалентно решению /I I
уравнений ^] ^.(ADV}1 ... Z^1©) = ° относительно Jn+l не-
неизвестных а/. Поскольку
то, согласно лемме 6.6,- можно выбрать такие целые числа а/, не
все равные нулю, что
log| а71 < -jj^j- (Llog(L + /) + /) + o(L),
где T = ^fL^'ZY a ri = r+I. Если взять Jn+l = [/C: Q] X
, то _I_<(logLr1. ?
Для каждого L пусть y(L)—такое целое число, 4ToDaF(E;) =
= 0 для max а; < у, ? е S, но существуют такие J'eS и о'
с a/ = Y, что D0'/7 (?') =5^ °. По построению (см. лемму 6.10)
получается L ^ у < +°° (так к^к из у = +оо следовало бы
F(z)=0, что противоречит алгебраической независимости ft).
Пусть g(г)— такая целая функция порядка р, что функции gfiy
j = I, ..., п+1, целые и имеют порядок ^р. Положим
Лемма 6.11. Существуют такие о' с maxo^. = Y ti J'gS, что
log\D*Gy(?)\>-([K:Q]-l)ylogy + O(y),
где О (у) зависит только от f и S.
Доказательство. Заметим, что, поскольку DaF(t>/)= 0 при
таха,<у, то lfGy(Z') = g (Z'){n+l)i D'F(?). Но С = D^F ft') e/С
и отлично от нуля для некоторых о' и ?', так что, согласно пред-
предложению 6.2.
log | Z)°'GY (SO | = (лг + 1) / log 1 я (SO I + log | S I ^
Результат следует теперь из лемм 6.7 и 6.10. ?

212 Гл. 6. Приложения целых функций в теории чисел
Доказательство теоремы 6.9. Пусть Ту = — log | GY (z) \.
Предположим, что г ^ IIS1I +п- Тогда {?: |?/|<1, /=1, ...
..., п) cz В @, г) и по неравенству Коши
или, эквивалентно,
log | D° GY (?0 | < Y log Y + max log | GY (г) |.
IUII = r
Поскольку vyT = yvT , то в силу леммы 6.8 при R ^ ||?'|| + я
имеем
log |?>aGY (?0 |< Y log Y + max log| GY (z) | - v^ @, r) • V log^r.
Так как g и каждая из функций // имеют порядок р, то на
окружности ||г|| = R выполняется неравенство
log I GY (г) | < СЩ»+г + п log (/ + L).
Пусть R = \ с а<{(п+1)р}~\ Тогда R9+e < у{п+1Г\ля до-
достаточно малых е. Поэтому
/ < tLnl{n+l) (log L)mn+l) < / (log YI/(n+1) ynHn+l\
так что max log| GY(z) | = o(vlog y) при /? = ya, a< {(n+ l)p}~"!.
Hzll=tf
Если г — фиксированное число, большее HS'll+n, а у доста-
достаточно велико (оно зависит от г и, следовательно, от S), по-
получим
log | D°'Gy (?01 < y log Y + о (у log V) - Yv^Y @; r) [y log у + С].
y Y
Согласно лемме 6.11, для потока Ту имеют место оценки
0 vrY @; ГХ Кп + 1) Р + о A)] [К - Q] для любого г и до-
достаточно большого у, зависящего от г;
К) vrY(?', г)>1 при ?'geS.
В силу i) общая масса vr равномерно по у ограничена на
каждом компакте в С" и, следовательно, у последовательности
Ту есть подпоследовательность Гц, слабо сходящаяся к некото-
некоторому положительному замкнутому потоку Т. Для компакта К
в Сп имеем \ daT = lim \daT . В частности, отсюда следует,
к3 ^~ t *
что vr(S7)^ 1 ПРИ E'sSh vr(a; r)^ (/г + 1)р[/С : Q] для боль-
больших г.

§ д. Формулировка и доказательство основной теоремы 213
Сдвигая, если необходимо, начало координат, мы вправе
считать, что r~Jvr@;r) интегрируемо в окрестности нуля. Вос-
Воспользуемся теперь результатом из гл. 3. Положим
пП 1
где ат = Т А _ , так что У(г)—плюрисубгармоническая
функция (см. теоремы 3.17 и 3.26) и У(г)< (/г + 1)р[/С : Q]X
Xlog||z|| при ||г||->оо. Кроме того, vv(t>)^ 1 для ? <= 5. Отсю-
Отсюда, в частности, следует, что функция ехр(—2/г\/(г)) не интегри-
интегрируема в окрестности точки ?^S. Таким образом, в силу тео-
теоремы 5.12, существует такая целая функция F(z), не равная
тождественно нулю, что
B^()) rf
Поскольку ехр(—2nV(z)) имеет неинтегрируемую особенность
в точках ?eS, то F(^) = 0 для ?eS. При достаточно больших
||г|| справедлива оценка
Поэтому
\\F(z)f(l+\\z\\2rnin+lmK:Q]~n~Zdx(z)<oo,
откуда вытекает, что F(z)—полином степени не выше п(п-\-
+ 1) р [/С : Q]. Действительно, если F(z)= 2 caza, то, поскольку
функции га, z$ ортогональны на границе шара радиуса R при
а ф р, имеем
\\F(z) |2A + ||г|р)- \
Сп а О
где /а= \ \za\2dx. Последний ряд сходится, только если
bdB@, 1)
са = 0 при а> q — п. Таким образом, F является полиномом Р,
обращающимся в нуль на S. Умножая на константу, можно
добиться, чтобы |Р|= I1). Выберем теперь возрастающую по-
последовательность 5/, такую, что U 5/ плотно в S. Пусть Pi —
соответствующий полином, построение которого описано выше-
1) Напомним, что | Р | = | ^Г саха | = max | са |. — Прим. перев.

1214 Гл. 6 Приложения целых функций в теории чисел
Тогда deg Pi ^ п(п + 1 )р [К : Q]. Поэтому можно выделить под-
подпоследовательность, сходящуюся к некоторому полиному Р Ф О,
такому, что P(S)= 0. ?
Комментарии
Для п = 1 теорема 6.9 известна как критерий Шнейдера —
Ленга. Из нее могут быть получены многие известные резуль-
результаты о трансцендентности: что число еа трансцендентно при
алгебраических а 1) (Эрмит — Линдеманн), что число ар транс-
трансцендентно при алгебраических а и иррациональных алгебраи-
алгебраических р (Гельфонд—Шнейдер) (см. Вальдшмидт [1]). Ленг
[1] доказал /г-мерную версию этой теоремы для случая, когда
5 — произведение одномерных множеств. Поскольку при п = 1
число элементов S конечно, Нагата высказал гипотезу, что при
п ^ 2 множество S должно содержаться в алгебраической ги-
гиперповерхности. Эту гипотезу в 1970 г. доказал Бомбьери [1],
использовавший свойства замкнутого положительного потока 9
и представление решения V уравнения iddV = Q. В доказатель-
доказательстве применялась лемма Шварца для п переменных, получен-
полученная в совместной статье Бомбьери и Ленга, написанной чуть
ранее (см. лемму 6.8). Работа Бомбьери неявно указала путь
к доказательству того факта, что множество {z: vt(z)^ c> 0}
для замкнутого положительного потока t является аналитиче-
аналитическим множеством (этот факт в 1974 г. доказал Сью [1], исполь-
использовавший /Лоценки Хёрмандера). За подробностями отсылаем
читателя к статье Лелона [12Ь].
Оценка степени алгебраической гиперповерхности S была
улучшена Скода [6] и Демайи [1]; Бертран и Массе исполь-
использовали теорему Бомбьери для получения результатов о трансг
дендентности и алгебраической независимости. Читателю, ко-
который хочет подробнее ознакомиться с этой и близкими темами,
мы рекомендуем книгу Вальдшмидта [1], где они всесторонне
обсуждаются.
Разумеется, а Ф 0. — Прим. перев.

Глава 7
Теорема об индикаторе роста
В гл. 1 мы показали, что радиальный индикатор Л! целой
функции f(z) нормального типа относительно уточненного по-
порядка р(г) удовлетворяет условиям
при f>0;
ii) h*f(z}— плюрисубгармоническая функция в ,Crt.
Теперь мы докажем обратное утверждение, считая уточнен-
уточненный порядок сильным. Оно состоит в следующем. Пусть h(z)—
функция, удовлетворяющая i) и ii). Тогда для любого сильного
уточненного порядка р(г) существует такая целая функция f(z),.
что h){z) = h(z).
Пусть k — целое число A ^ & ^ /г), а \|э — плюрисубгармони-
плюрисубгармоническая функция в С". Пусть, далее, аЕ?о°°(В(О, 1)) —функ-
—функция от || г ||, такая, что а^О, \ a(z)dx (г) = 1. Определим no-
индукции последовательность {\|^} плюрисубгармонических
функций следующим образом:
. О Фо= •••=** = *>
ii) \|^ = а * \f/.* для j > k, где
Подпространства {z^Cn: zp = 0 при р > /} будем обозна-
обозначать просто С7" A ^/^/г). Проекцию точки z на С1 обозна-
обозначим через г(/), так что если z = (z\, ..., гп)9 то г(/) = (zb ...
..., z/, 0, ..., 0). Через dxj обозначим лебегову меру в Су.
Все это будет использовано для доказательства следующего
результата о продолжении целых функций с оценками роста.
Теорема 7.1. Пусть г|) е PSH(O), a f(z)—такая голоморф-
пая функция в Ck (k < /г), что \ | / \2e~~^dxk < оо. Тогда функ-
ция f является сужением некоторой целой функции

216 Гл. 7. Теорема об индикаторе роста
"), удовлетворяющей оценке
Доказательство. Проведем его индукцией по п. Для этого
докажем, что если /еЗ^(СУ) и
то существует такая функция §еЖ(С/+|), что g| ; = / и
Так как функция гр^, плюрисубгармонична, то
и если |г/+11< 1, то
Поэтому
I f (Z^>) Р ехр (-
Пусть со &W?(\z\< 1) — такая функция, что a>(z) = l, если
Iz 1^72» (o(z) = 0, если |г|^1, и пусть C = sup -gj" • Будем
искать функцию g в виде
{7.2) g(^i+l)) = ft>(<2-+i)/(^/)) — г/ iXB(/+l))
и потребуем, чтобы dg = 0 в смысле распределений. Форма
[z{!))d(D имеет ^-коэффициенты, д$ = 0 и |p|^2C|/|,
так что
Согласно приложению III, можно найти такую функцию %, что
ехр (-^ (,</+»)) dT/+l &
||2K(/+2/3~^

Гл. 7. Теорема об индикаторе роста 21Т
Если определить теперь #(г(/+1)) равенством G.2), то полу-
получим dg = 0 в смысле обобщенных функций. Пусть ае(г) =
а (т) • Положим ёг(г) = g^ae(z). Тогда ge е= ^°°
и dge = 0, так что gB— голоморфная функция. Поскольку, со-
согласно свойству среднего значения для гармонических функций,
g& = g& * ае' = ge' * ае = ge', то gfg не зависит от е. Так как при
е->0 функции g-e сходятся к g в L2(S@, г)) для любого г, то<
ge = g почти всюду, т. е. g является голоморфной функцией
(точнее, эквивалентна голоморфной функции). Наконец, из.
G.1) и G.2), поскольку ||z/+ill2< 1 + Hz^1*!!2, следует, что
и
Пусть PSHP(/)(C") обозначает множество плюрисубгармо-
нических функций порядка р и нормального типа относительно-
уточненного порядка р@-
Предложение 7.2. Пусть ф е PSHp(o(Cw), а г0ф0. Тогда по»
заданному е>0 можно найти такие числа /?(е, z0) и 6{е, г0),.
|| ll 8 и t > R
Доказательство. Положим 2^ = 20/!J 201|. Поскольку /г^(г) по-
полунепрерывна сверху, у точки 2q есть такая окрестность ?/2'>в
что неравенство /г^(г) ^ /г^ (<г^) + 8/2 выполняется для всех.
z^Uz'. Остается применить лемму Хартогса (теорема 1.31)
к семейству Vt(z)= г~^1)^(гг) на множестве Uz* (которое-
можно считать компактным, сужая его при необходимости). ?
Следствие 7.3. Пусть \f> ^ PSHP(^(C/Z), и пусть Л—такая
непрерывная положительно однородная порядка р функция,
что Л ^ А* Тогда для любого г > 0 найдется такое г > 0, */то
^{г)<,{А{г) + г\\г\Г)\\г\Г{и^-9 при \\г\\>г.
Доказательство. Поскольку единичная сфера — компакт, то
для t > t\> согласно следствию 1.32, при ||z|| = 1 имеем )
(())<')-P. D
Теорема 7.4. Пусть \|? ^ PSHP(*)((». Тогда все функции гр^
введенные в теореме 7.1, имеют один и тот же радиальный ин-
индикатор /г^.

218 Гл. 7. Теорема об индикаторе роста
Доказательство. Существует такое а > 0, что если положить
n|/B) = [ sup i|> B+ ?)]*, то будет выполнено г|) ^ г|)* ^ г|/. Для
20 ф. о и е > 0 можно найти такие числа 6 и г, что
fit)
при /^г и ||2 —го||^б, так что
при /^г'. Но отсюда следует, что /г^, (z) ^ А^ (<г) для всех z и,
значит, /г^, (г) ^,Л^ (<г). Обратное неравенство очевидно. ?
Теорема 7.5. Пусть г|э е PSHP(o(C/z), а /—та/сая ч^лая
^функция, что
J |/ |2ехр(—-ф)йт < оо.
с"
Тогда функция f имеет не более чем нормальный тип относи-
относительно p(t) и h*f(z)^l/2h^(z).
Доказательство. По интегральной формуле Коши
if (^е**1 + zb ..., rnetQn + zn)]2 fi ,fi
i, значит,
Поэтому
1 / (z) I2 < Cn [ sup exp (ф (г +1))] X
|6|<2
X \
К|6,
< С„ [ sup exp (ф B +1))] \ | / B +1) |2 exp (- ф
IS/I<2 KII/K2
; [ sup exp (ф B + I))] \|П2 exp (- ф) dr.
|S/|<2 «

Гл. 7. Теорема об индикаторе роста
Таким образом,
G.3) log|/(г) |<С;'+ V2 sup ф(г + Б)
II 6 II < 2л
и, следовательно, функция / не более чем нормального типа
относительно р(/) и, по теореме 7.4, h*Az) ^ 72^1 (z)- П
Теорема 7.6. Пусть функция \f> e PSH(!.C") положительно*
однородна порядка р. Тогда существует такая убывающая по-
последовательность плюрисубгармонических функций {tyq}, каж-
каждая из которых положительно однородна порядка р и принад-
лежит 9°°(Сп\{0})9 что lim % (z) = i|)(z).
\
Доказательство. Пусть а<=^~(В@, 1)), 0<a(z)<U
a(z)dt(z)= 1 и а зависит лишь от ||z||. Лоложим ae(z) =
=т*a (т) ¦ Тогда функции *е (г)=S * ^а*(г ¦" ^dt (^/)r
принадлежат ^Р°°, плюрисубгармоничны и, убывая, сходятся
к г|)(г) при е->0, однако не являются, вообще говоря, положи-
положительно однородными порядка р. Поэтому изменим немного кон-
конструкцию.
Положим гр8 (г) = || г \\~2п $ ф («О ае (^р) Л (^ для z ^ О,
или, эквивалентно, tj->8 (г) = \ ф (z — || г || ну) ае (ну) dt (ну) для.
любого г. Тогда функции -фе принадлежат ^(С"\ {0}), поло-
положительно однородны порядка р (поскольку таковой является if),
а так как ife = г|)е, если ||z|| = 1, то г^е, убывая, сходятся к г|),
когда е стремится к нулю. Остается показать, что функции ife
плюрисубгармоничны в Сп.
Так как ае(ну) зависит только от ||ш||, то существует такая,
положительная непрерывная функция Л (г), что
е
i?Az)=\A{r)Tr{z)dr,
о
где Tr{z) = \ \f)(z — \\z\\w)dtoon{w). Таким образом, до-
||ш|| = г
статочно показать, что Tr(z) — плюрисубгармоническая функция.
Пусть Г — группа унитарных преобразований в Сп. Эта
группа компактна. Пусть dy — нормированная мера Хаара на Г.
Зафиксируем точку Zo на сфере радиуса г и положим ^(у) =
= i|)(z— ||z||y(zo) ). Тогда Тг (г) = ^ (у) dy. Далее, существует
г
такой элемент tjgT, что rr\(z)= ||z||z0, так что •ty(y)=

220 Гл. 7. Теорема об индикаторе роста
—ryr)(z)), и если обозначить cp(v) = ty(z— n(z) )> то
Так как для любого у ^ Г функция z ь-¦> г — гу (г) голоморф-
голоморфна, то \|?(г-—гу (г))-~ плюрисубгармоническая функция, а зна-
значит, таковой является и Гг(г). ?
Липшицевой (удовлетворяющей условию Липшица) мы бу-
будем называть такую функцию if, что |^(г)—^(^)l^ C\\z — Z'W
для г, /gS2"-1.
Предложение 7.7. Пусть р(г)—сильный уточненный порядок,
и г|) (г)— плюрисубгармоническая положительно однородная
липшицева функция. Тогда существует такая плюрисубгармони-
плюрисубгармоническая функция ^(г), чтоя|)(z)||z\\9{Ш~Р^(z) и
(индикатор берется относительно р(г)).
Доказательство. Пусть е(г)—непрерывная убывающая
функция от /*, причем lime(r) = 0. Тогда существует такая воз-
Г->оо
растающая функция |, что
i) 5' (log 0 > в (г) г* м и Г (log г) > е (г) гр W
при г^г0;
S
Такая функция может быть построена в виде l(s)=\l'(t) dt,
о
t
где l'(t) = C9 ^e(er)er^^ drt a Cp = 2max(p, 1). Действительно,
о
t
' (/) ^ e (eO Cp \ efp(*r) dr^e (ef) etf>^e ) для достаточно больших /,
о
поскольку e{s) ^ 1/п при 5 ^ s«, то
Поэтому \(/)^Сп/ Н В_е^р(е) что доказывает ii). Добавляя
кратное log(l+/*2)> мы можем считать, что 1) выполняется

Гл. 7. Теорема об индикаторе роста
221
при всех г. Заметим, что если а = (а\, ..., ап)^ С/\ то
"ч* 2 —
<7-4>
Hall2
+1"(logr)
|a\f.
порядка р, то
Так как г|? (г) — липшицева функция, положительно однородная
^ ^СЦгН**" (т. е. распределение ^
С2:/ | ozf
эквивалентно функции с такой оценкой). Пусть а — комплекс-
комплексный вектор. Тогда, полагая ||г|| = г, имеем (в смысле распреде-
распределений)
+ Z
si;
+ L
-ewrP(r)
/, k
с некоторой функцией е(г)->-0 при г-^оо. Поэтому можно
найти такую плюрисубгармоническую функцию ?(logr)
с lim ? A°gг) = 0, что функция ^(г)= g(logr) +г|5(г)гР<г> будет
плюрисубгармонической. П
Теорема 7.8. Пусть \J? — субгармоническая функция в С, по-
ложительно однородная порядка р. Тогда (Эля каждого 9 е
^[0, 2я] найдется такая целая функция f(z) порядка р {зави-
{зависящая, возможно, от 9),
где
[
оо
Доказательство. Пусть /г (г) = П A — 2~уг) — целая функ-
функция. Предположим, что (для некоторого /) V4^|^ — 2/|^1/2.

222 .Гл><7. Теорема об индикаторе роста
Тогда
3 . 2'~2 < 2' — 74 < \г I < 2/ +
и
4
k>j
П|'-4
Д
l -
2-'C
3
2 '
П
2f~k
i-
где С7 не зависит от у.
Пусть фЕ?0°°(В@, 72)) — такая функция, что 0 ^: <р ^ 1 и
<р s 1 при | z К 74. Положим g (г) = ? ф (г
(для каждого z отличным от нуля может быть не более чем
одно слагаемое). Будем строить /(г) в виде f(z)=g(z)—
— h(ze~iQ)v(г), где v(z) выберем так, чтобы функция f(z) были
голоморфна. Для этого должно выполняться df = 0 или dv =
= h~ldg = р. Поскольку dg = 0 при |г — 2'VG|^74, то |р|^
^C\dg/dz\ и
где
= [ sup *
I6K1/2
Тогда существует такое решение v уравнения dv = p, что
(см. приложение III)
J I f I2 ехр (— 2 (^ B) + log A + U |2))) dr B)< оо.
С
Итак, f = g — hv — голоморфная функция.
Пусть 2;^|г|^2/+1. Тогда, поскольку log(l+.v)^.v при
х ^ 0, то
оо /+1 оо
k-l

Гл. 7. Теорема об индикаторе роста 223
Положим ^(z)=$(z)+log(l + \z\2)+Cl(log(l+\z\)J. Функ-
Функция г|з субгармонична. Из полученных выше оценок следует, что
*f (e'e) = Ч» (в'в) и по теореме 7.5
p^( + g)r +
ISIO
+ С[ (log A+1 г |2)J). ?
Теорема 7.9. Пусть ф(г)—положительно однородная поряд-
порядка р плюрисубгармоническая функция в СЛ Тогда для любого
Zo^Cn существует такая целая функция g(z) (возможно, за-
зависящая от 20), что ^(z)<i|)(z) и А* (г0) = -ф (г0) (индикатор
определяется относительно р(г)= р).
Доказательство. Выполняя, если понадобится, вращение,
можно считать, что zo = (z\, 0, ..., 0). Пусть гр(а) = гр(а, 0, ...
..., 0). Тогда, согласно теореме 7.8, можно найти такую целую
функцию одной переменной f (и), что А! (г0) = ф (г0) и
3
+ C2log(l+|a|2)
По теореме 7.1 существует такая целая функция g(z), что
g{u, 0, ...,0) = /(и) и 5lg|2exp(-^(e))dTB)<oo, где
I (г) = 2 [ sup «B + 6)Г + С„ [log A +1| г ||2)f + С; log A + || z ||2)
\\1\\<а
для некоторого а > 0. Тогда Л* (г) ^ Л^ (г) по теореме 7.5,
а Л| (г) = А^ (г) = -ф (г) в силу предложения 7.2. П
Следствие 7.10. Пусть г|)(г)—положительно однородная по-
порядка р плюрисубгармоническая липшицева функция в С",
л р@—сильный уточненный порядок. Тогда для любого г0^
^ О существует такая целая функция g (возможно, зависящая
от г0), что /^(г)<г|)(г) a A* (z0) = г|) (г0) (г(?е индикатор вы-
вычисляется относительно р(г)).
Доказательство. Пусть 'ф(г)— плюрисубгармоническая ма-
мажоранта для г|)(г)/*р(г)-Р, построенная в предложении 7.7. Тогда,
как и в теореме 7.8, построим такую целую функцию f(uz0) от
переменной и, что /B7г0) = -ф B7г0) и
|/(z)|<[sup ^(e + g)r +

как
224 Гл. 7. Теорема об индикаторе роста
( мы полагаем / (uz0) = 2 Ф (uzo — 2'г0) ехр (ф B'20)) J. Затем,
и при доказательстве теоремы 7.9, воспользуемся теоремой 7.1
для продолжения / на все Сп. ?
Пусть ф — непрерывная положительно однородная порядка
р функция в С". Обозначим через В%^г) банахово пространство,
состоящее из таких целых функций /(г), что
llm |/
Норму в этом пространстве определим как супремум выраже-
выражения, стоящего под знаком предела. Пусть Ey{t) — Г) BQ(t\ p.
Это пространство Фреше. Если г|) ^ PSHP(o(C/1), обозначим че-
через m(if)) множество непрерывных положительно однородных
порядка р плюрисубгармонических функций <р(г), таких, что
h\ (z) ^ ф (г). Теорема 7.6 утверждает, что Л*(г)= inf ф(г)
и что т(^р)—частично упорядоченное множество со счетным
базисом. Введем еще одно пространство Фреше E%if) =
= П Е%«\
Теорема 7.11. Пусть г|э е PSH(9(o(C/1), a f(z)—целая функ-
функция нормального типа относительно р(/). Тогда f^E%{t) в том
и только том случае, когда h} (z) ^ h\ (z).
Доказательство. Если f^E^, то f^E^ для всех ф^
и, следовательно, выражение
ограничено для каждого q. Поэтому
oo
для любого е > 0. По теореме 7.5 тогда h} (г) ^ 1ц (z) + -j \\ z ||p,
так что h*f(z) ^h^(z).
С другой стороны, если фет(г|э), то, согласно след-
следствию 7.3,
при ||г|| ^ ге, так что f^E^ для любой функции ф^т(г|э) и,
значит, /е Е ^,. П

Гл. 7. Теорема об индикаторе роста 225
Теорема 7.12. Пусть г|э — положительно однородная порядка
р плюрисубгармоническая функция. Тогда существует целая
функция f(z) в С\ индикатор h*f (z) которой относительно р(г) =
= р совпадает с г|)(г).
Доказательство. Рассмотрим функцию 0ePSHp(Cn). Если
0 ^ -ф, то Eq^E^ и отображение вложения непрерывно в то-
топологии этих пространств. Предположим, что в некоторой
точке 2о выполняется неравенство h*Q (г0) < Л1(г0). Тогда в силу
теорем 7.9 и 7.11 найдется такая функция f^E$, что f ^?e»
и, следовательно, Eq — множество первой категории (по Бэру)
в Е $ (образ полного метрического линейного пространства при
непрерывном линейном отображении в другое полное метриче-
метрическое линейное пространство есть либо все пространство, либо
множество первой категории).
Пусть у— функция в ]СП. Определим в Cn+l область Dy =
= {Й,2):^С,2еСя) |?|<ехр(—y(z))}. Это множество
открыто тогда и только тогда, когда функция y(z) полунепре-
полунепрерывна сверху.
Пусть {g)aJ—счетный базис открытых множеств в Cn+1,
a {o)s} — его подмножество, состоящее из таких элементов со,
что (дОСО^ф 0. Положим Us = Dy\J(x)s. Тогда если Dy&D^,
то us^:D{p для некоторого 5 (зависящего от ф). Пусть ms =
= {ф: 9^PSH(Cn), ф положительно однородна порядка р,
«5с=Др}, и пусть Vs — внутренность множества П Ар- Поло-
<рет
5
жим i|)s = [sup ф]*. Функция г|55 плюрисубгармонична, по-
ложительно однородна порядка р и Vs = D^. Таким образом,
Предположим, что f ^Е^ и Щ (г) Ф г|э (г). Тогда us a Dh*
для некоторого s, так что h*f e ms. Поэтому h*f ^ *ф5 и по тео-
теореме 7.11 /^?$5(/). Поскольку U ?\|,5 — множество первой кате-
категории в Еу, то по теореме Бера о категории существует f e
и для этой функции h*f(z) = ty(z). П
Следствие 7.13. Пусть ty(z)—положительно однородная по-
порядка р плюрисубгармоническая липшицева функция. Тогда
существует такая целая функция f(z) нормального типа отно-
относительно сильного уточненного порядка р (/*), что h*. (z) = i|) (z).
Доказательство такое же, как у теоремы 7.12; оно основано
на следствии 7.10. Заметим, что при п = 1 любая положительно

226 Гл. 7. Теорема об индикаторе роста
однородная субгармоническая функция удовлетворяет условию
Липшица [D].
Ожидать столь же сильного результата для произвольного
уточненного порядка не приходится. Однако для кругового ин-
индикатора имеет место следующая
Теорема 7.14. Пусть ^(z)—комплексно однородная порядка
р плюрисубгармоническая функция. Тогда существует такая
целая функция f(z) нормального типа относительно уточнен-
уточненного порядка р(г), что h* c(z) = ^{z).
Доказательство. По теореме 1.23 существуют такие ненуле-
ненулевые постоянные ф(^), что для типа а целой функции f(u) ком-
комплексной переменной и относительно уточненного порядка р(г)
справедливо соотношение (apeI/P = lim sup у (q)ClJq, где Cq —
коэффициенты тейлоровского разложения f(u)= ]? Cquq.
Поскольку функция i|)(z) плюрисубгармонична в С, мно-
множество D = {г: г|)(г)< 1} является областью голоморфности
(см. [А, В]), так что существует такая функция f{z)> которая
не может быть аналитически продолжена в окрестность какой
бы то ни было точки границы D. Пусть }{z)=^Pq(z) — раз-
q
ложение Тейлора функции f, записанное с помощью однород-
однородных полиномов. Тогда индикатор целой функции
удовлетворяет равенству h*f c (z) = г|э (z). ?
Комментарии
Теорема об индикаторе была впервые доказана К- Кизельма-
ном [2] для р = 1 (с использованием теоремы Ока об областях
голоморфности) и независимо — для всех р — А. Мартино [4,
5] методом, предложенным ранее в работе Кизельмана. Этот
метод основан на решении (^-уравнений и /Лоценках Хёрман-
дера (см. приложение III). При п > 1 индикатор hf (z) не обя-
обязан быть непрерывным (пример см. в работе П. Лелона [13] ),
и для того, чтобы преодолеть возникающие в связи с этим
трудности, потребовался аппроксимационный процесс (см. тео-
теорему 7.6) и тонкие рассуждения. Следствие 7.13 и близкие ре-
результаты содержатся в работе П. 3. Агранович [1].

Глава 8
Аналитические функционалы
Пусть М — комплексное многообразие в С" комплексной раз-
размерности т. Через Ж{М) обозначается пространство голоморф-
голоморфных функций на М с топологией равномерной сходимости на
компактных подмножествах в М, а через Ж{М)' — двойственное
ему пространство непрерывных линейных функционалов. Эле-
Элементы Ж{М)' мы будем называть аналитическими функциона-
функционалами на М.
Очевидно, Ж{М) содержится в пространстве ФЩ) непре-
непрерывных функций на М с топологией (превращающей его в про-
пространство Фреше), задаваемой следующим образом: пусть Ki—
исчерпывающая М последовательность компактов, т. е. Ki a
оо
ci/Cz+i, U Ki = M и для каждого заданного компакта К а М
существует такое т, что Ki id К при i > m; топология задается
полунормами
Pi(f)= sup |/(z)|
и не зависит от выбора исчерпывающей последовательности.
В этой топологии Ж{М) является замкнутым подпространством
в ^(М). По теореме Хана — Банаха каждый элемент це
^Ж{М)' представляет собой сужение на Ж{М) элемента jle
e<g3(M)'. Элементы <&(]№)'—комплексные меры с компактным
носителем в М. Таким образом, каждый аналитический функ-
функционал на М представляется (не единственной!) мерой jx с
компактным носителем в М. Поскольку это представление не
единственно, естественно рассматривать класс эквивалентности
yil = {li'(=<g>(My: iif(f)=\x(f) Vf(=2e(M)} для нахождения
представителей с экстремальными свойствами.
Определение 8.1. Определяющим множеством^ аналитиче-
аналитического функционала \i^3@(M)f называется такое компактное
подмножество К в М, что для любой открытой окрестности со
множества К существует такая постоянная С^, что
В оригинале carrier. — Прим. перев.

228 Гл. 8. Аналитические функционалы
Хотелось бы, конечно, определяющее множество аналитиче-
аналитического функционала представлять себе как нечто сходное с но-
носителем меры или распределения. Однако, как видно из при-
приводимых ниже примеров, трактовать это понятие подобным об-
образом в общем случае нельзя. Причина здесь в том, что голо-
голоморфная функция, обращающаяся в нуль на открытом множе-
множестве, есть тождественный нуль (в отличие от ^"'-функции).
Однако в некоторых случаях среди всех определяющих мно-
множеств мы сможем найти наименьшее 1К Эта задача и является
предметом изучения в настоящей главе. Вначале она иссле-
исследуется в Сп, к чему затем сводится общий случай.
§ 1. Выпуклые множества а преобразование
Фурье — Бореля
Пусть KczCn—выпуклое множество; положим Нк(и) —
п
= sup Re (и, г), где (и, г)= ? щг{. Тогда
i) функция hK(u) положительно однородна порядка 1;
п) функция hK(u) субаддитивна, т. е. hK{ui +u2)^ hK{ui)-}-
+ hK{u2).
Обратно, пусть h(u)—положительно однородная субадди-
субаддитивная функция. Положим
К = {г<=Сп: Re (г, м)<й(и) Vu<=Cn}.
Тогда К — выпуклый компакт, a h(u)= tix(u). Вещественно-
значную функцию, удовлетворяющую i) и п), будем называть
опорной функцией, а если К—выпуклый компакт в Сп, то
hx(u) будет именоваться опорной функцией компакта К.
Определение 8.2. Пусть \i^3e(Cn)'. Целая функция
дГу,(и)= jx(exp<tt, 2>) называется преобразованием Фурье —
Бореля функционала \i.
Заметим, что функции ехр<и, z) плотны в <5#(Crt), так как
там плотны полиномы, a zt = Hm Л" [exp(Xzt)— 1] равномерно
на любом компакте в LCn. Таким образом, \х однозначно опреде-
определяется своим преобразованием Фурье—Бореля. Кроме того,
если компактное выпуклое множество К является определяю-
определяющим множеством для \х, то из определения 8.1 следует, что
(8.1) \P»(u)\^CBexp(hK(u) + e\\u\\) Ve > 0.
1) В этом случае мы будем использовать термин «носитель» (support.).—
Прим. перев.

§ 2. Проективный индикатор 229
В следующих разделах мы докажем обратное: если выпол-
выполняется (8.1), то выпуклый компакт К является определяющим
множеством функционала \х.
§ 2. Проективный индикатор
Пусть К—выпуклый компакт в С/1. Через Ж(К) обозначим ли-
линейное пространство функций, заданных и голоморфных в
открытой окрестности К. Пусть {Q/} — семейство открытых
выпуклых множеств, причем Qy+iczczQ/ и К = П &/• Тогда
= у Ж(?1>). Снабдим Ж {К) топологией индуктивного пре-
/ = i
дела. Она не зависит от выбора семейства {Q/}. Поскольку
Ж(Сп) плотно в 3/6{Qj) (см. [А, В]), то Э@(Сп) плотно
в Ж{К), и из определения 8.1 следует, что \л^Ж{К)г тогда
и только тогда, когда \1^Ж(Сп)' и К является определяющим
множеством для \i.
Пусть Р (С п+[) — комплексное проективное пространство
размерности п. Для обозначения его точек будем пользоваться
координатами Б = (?о, Б), где ?е О, а ?о^С. Пусть К— вы-
выпуклый компакт в С". Обозначим через С/С открытое множе-
множество в Р(Сп+1)9 состоящее из таких точек (гиперплоскостей)
5, что 1ПК= 01) {%[\К= 0 тогда и только тогда, когда функ-
функция <?, ,г> + ?0 не обращается в нуль для z^K). Пусть \х^
^Ж(К)'\ рассмотрим значение функционала \i на голоморфной
функции -.—fef°. . Так как эта функция однородна степени
\z> ь/ ~г So _
нуль, то она зависит только от ?.
Определение 8.3. Пусть \х,^Ж(К)\ Функция Фц(?) =
!?о Ч называется проективным индикатором функцио-
нала \х. Она определена на С/С.
Теорема 8.4. Отображение fi-^qp^ является биекцией про-
пространства Ж{К)' на линейное пространство Жо(К) функций,
1) В книге используется одно и то же обозначение 5 Для разных объ-
объектов. В одних случаях_это элемент Р(О+1), в других — гиперплоскость
с нормальным вектором g, в третьих, это функционал, действующий по фор-
формуле <g, z> = <?, z> + g0. Каждый раз из контекста, как правило, ясно, что
имеется в виду. Кроме того, одинаково обозначаются множества в Сп и
отождествляемые с ними множества в P(Cn+1). Например, в данном случае
множество К с= О отождествляется с множеством {A, z) : z s К) a P(Cri). —
Прим. перев.

230 Гл. 8. Аналитические функционалы
голоморфных по g на С/С и обращающихся в нуль на бесконеч-
бесконечности (г. е. в точках g с go = 0).
Доказательство будет состоять из нескольких этапов.
Лемма 8.5. Функция фц, голоморфна и обращается в нуль при
go = O.
Доказательство. По линейности q^ (|) = ?оц ( , * \, так
оо
что фм(|)= 0 при go = 0. Пусть К = П &/> гДе Я/ —открытые
/1
выпуклые окрестности /С. Поскольку <5^(/С)= (J <^(^/)> то лю-
бой функционал \х из Ж (К)' принадлежит и всем 26(Qj)'. От-
Отметим, что <3^(Q/) является замкнутым подпространством в про-
пространстве <$?(&!) непрерывных функций на Q/ с топологией рав-
равномерной сходимости на компактах. По теореме Хана — Банаха
существует такая мера р,/ с компактным носителем в Я/, что
М'(/)=\ММ'/ для /e^(Q/). Пусть gf|Q/ = 0; для каждого ?
так будет начиная с некоторого номера N\. Тогда функция
голоморфна по go, ..., g«, поскольку g f| supp p/ = 0. ?
Лемма 8.6. Пусть К—выпуклый компакт, а г|) — голоморф-
голоморфная функция в С/С, обращающаяся в нуль в бесконечности. Для
элемента f^2e(K) обозначим через f его представление в от-
открытой окрестности о компакта /С. Пусть R={z: p{z)^0}r
где р — строго выпуклая ^-функция, такая, что К а К а о_
Положим
(8.2) т,сп=-{-^:+т \ /<*>|?-(y-?
где 1 =
S(-i)/+II/(^) л ag* Л
/-1 Лэ*-/ Z-l
Тогда правая часть (8.2) зависит только от f, яо яе от вы-
выбора f или R, а отображение f-*T$(j) является непрерывным
линейным функционалом на Зё(К).

§ 2. Проективный индикатор 231
Доказательство. Заметим сначала, что выражение (8.2) имеет
смысл. Действительно, если ?0 Ф 0, то функция ^ имеет сте-
степень — 1 по ?0> так чт0 —;гт ( ) имеет степень — п по ?0.
Поскольку й(г, |(г))= Z (-l)/+1I/(z) Л dlk{z) Л dzt имеет
степень п по |, то —^тг( )^(г» SB)) имеет степень
нуль. В окрестности бесконечности (|0 = 0) можно выбрать
локальные координаты, в которых, например, gi = 1 и, значит,
g** — голоморфная функция, так как г|з имеет нуль в беско-
бесконечности. Поэтому и функция —j~r ( ) всюду определена
^ьо \ So /
и голоморфна, так что интеграл имеет смысл.
Покажем теперь, что его величина не зависит от выбора R.
Достаточно показать, что для ^сс^ссш эта величина
остается неизменной. Действительно, если R и R'—два ком-
компакта в со с непустым пересечением, то возьмем K2(^R[]R/-
Если значение интеграла одинаково для R и R2 и для R'
и R2y то оно одинаково и для R и R'. Итак, покажем, что
Предположим, что р7 — определяющая функция для Rj, т. е.
Rj = {z: pi(z)^: 0, р/ строго выпукло}.
Пусть Х = С/гХ P(Ctt+I), и пусть 2/ с X — многообразие
Выберем и зафиксируем точку 2о^^2- Для 26 R\\K2 через
/п/(г) обозначим точку bd Rj, в которой луч из г0 в бесконеч-
бесконечность, проходящий через г, пересекает bd /С/. Для t^. [0, 1] по-
положим
(т, (г), р (mi (г))> (яц (г), р (т2 (г)

282 Гл. 8. Аналитические функционалы
Точку z ^ K{\R2 можно единственным образом записать в виде
z = tmi(z)+(l — t)m2(z). Поскольку <m/(z), lU)(m}(z))) = 0г
имеем
XS Wf Z/ <m2 (z), |W (m, (z))> (т, (z). p (ms (z))>
Покажем, что для 2 <= /?i\/?2 множество Yt = {z'\ (z\
g@B)> = 0} не пересекает К, так что ty(l(t)(z)) корректна
определено. Положим
If X*' Яе(т{г)Л{1>(пч(г))) {
Re</i.t (г),
Тогда y^czf^ (I(/)(z) можно умножить на любое комплексное
число, и, значит, без ограничения общности можно считать,
что обе величины <т2(г), |^)(mi (г) )> и <mi(z), fB) (т2(г))> ве-
вещественны, так что это включение очевидно). Для ге /( имеем
Re<z, |(])> < 0, а поскольку т2(г)^ Я2с= Яь то Re<m2B)>
1A>(т! (*))>< 0 и, значит,/ Re ('; f ^ (г))) . > 0. С другой
Re(m2(z), |tu (mi (г)))
стороны, Re<z,gB)(z)><0, a Re^^z), ^2>(m2(z) )> > 0, так
что
-(l-/)Re(z IB)(m2(z))) Q
Многообразие 2Ь2 = (г, f'B)) имеет границу Si — 22. При-
Применим на этом многообразии теорему Стокса:
Первый член равен нулю, так как функция /(г) голоморфна.
п
На 21>2 величина (г, |' (г)) = 0, так что ? {dzk-\k +
Наконец,

§ 2. Проективный индикатор 233
а в силу вышесказанного последнее выражение равно нулю.
Следовательно, А = 0. D
Доказательство теоремы 8А. Пусть \л^Ж(К)', а а — муль-
тииндекс из положительных целых чисел. Положим С(а) =
= |х(га). Далее, существует такая постоянная С (К), что если
|!|), то
' a!
(a)
где (|2)=Fi2i, • •, 6/i2n), а ряд равномерно сходится на К.
Поэтому ф^ (|) = V (— l)lai ——р^-р С(а) в окрестности точки
(a) aI ^0
<go,O) в P(,O+1). Если положить g0 = 1, то Фд(^) =^](—1)аХ
(а)
Пусть ф€д^о(/С). Для вычисления С(а) рассмотрим замкну-
замкнутый шар BR с центром в нуле радиуса R > У?о, такой, что К cz
о
cz BR. Ряд Тейлора для г|э в точке 6 = 0 сходится равномерно
для всех г е Br. Пусть ^ (^) = 2 a(a)Ua. Тогда
(а)
Покажем, что если определить \л^ = Т^ по формуле (8.1), то
Гиперплоскость, касающаяся сферы радиуса R в точке z =
= tei» •.., zn)t задается уравнением — R2 + 2 zfij = 0, чему
соответствует элемент | с lo = — R2, Е/ = 2у. Поэтому
/ 1\Я(Я+1)/2+Л р /vn
у ^р / \ (I (х | —\- \) \s
J I Z-/
\(a)
... Х(|а| + л- 4_^^ 7

234 Гл. 8. Аналитические функционалы
Поскольку ряд сходится равномерно на BR, можно вычислить
каждый его член:
)
hdBR
п
Y(-i
/z1
Y(-iy+lz, Л dift Л
/1 *> *•
Применяя формулу Стокса, имеем
, _ Г (|а| + 1)...(|а| + я-1) ч^
Л(а).(Р)— ) (..flSjIal+n X
( 2рг« У (-iy+I г, л rf2fc Л rfzJ =
x«
/ п2\1«1"г« Ь—\
так что Я(а), (р) = 0 при (а)=т^(Р) (нужно рассмотреть инте-
интегралы по окружностям в каждом комплексном сечении и вос-
2я
пользоваться тем, что \ einQe~imQ dQ = 0 при тфп). Тогда
о
1 _ / 1 ч«(«+1)/2 B/)ra(lP|+l)... (IPI + «) я"Р!
откуда
(8.4)
Поэтому ф^ (и) = 2 a(a)^a в окрестности точки и = 0, так что
% = *• П
^ 5. Проективное преобразование Лапласа
Пусть К—выпуклый компакт в С", а A*(z)—опорная функ-
функция /С. Предположим, что f(z)—целая функция экспоненциаль-
экспоненциального типа с h) (г) ^ hK (z) (индикаторы берутся относительно
р=1). Рассмотрим при фиксированном geC." интеграл
>х (У = ?о 5 / (-6W) ехр (-|0Я0 (Л

§ 3. Проективное преобразование Лапласа 235
который абсолютно сходится на множестве Л(?, А,) = {§0:
Re F0A,) > Af (—?^)} и определяет голоморфную функцию от §0
на этом множестве. Значение этого интеграла на самом деле
не зависит от X: если A,i и А,2 — два различных числа, таких, что
А=А(Ъ,К1){)А(Ъ,Ь2)Ф0, то обе функции Г1Fо) = Г^х1(Ео) и
Г2(?о) = Г|,я2(Ы голоморфны в Л, и если |?о| достаточно ве-
велик, то по теореме Коши Fi(go)—Г2(?о)=О (мы интегрируем
по замкнутой кривой — двум лучам, исходящим из начала ко-
координат). Поэтому, в силу единственности аналитического про-
продолжения, riFo)= Г2(?о) в Л и значение Г^х(бо) зависит
только от точки (§о, 6)= I е Р(С.Я+1). Положим
оо
% (I) = ёо J / (-SW) ехр (-!
о
для какого-нибудь значения А,, при котором интеграл абсолютно
сходится. Функция 8f(|) называется проективным преобразова-
преобразованием Лапласа функции f.
Определение 8.7. Естественной областью сходимости для
%(?) называется внутренность множества точек Р(СЛ+1), в кото-
которых интеграл абсолютно сходится.
Лемма 8.8. Пусть f(z)—целая функция экспоненциального
типа, К — компактное выпуклое множество и h) (г) ^ hK (г).
Тогда естественная область сходимости для 8fF) содержит
множество С/С, а функция if (!) голоморфна в С/С и обращается
в нуль на бесконечности.
Доказательство. Пусть g=^oo, geC/C. Выберем локальные
координаты так, чтобы | = {г: <z, гг> = 1} было уравнением
плоскости, определяемой g. Рассмотрим отображение из ,'СП
в С, задаваемое равенством f(z)=<z, и). Тогда множество
G = f(K) является выпуклым компактом в С, который, так
_ *
как ?^С/С, не содержит точку 1. Пусть ho(w)—опорная функ-
функция G, a v — такая точка, что hG(v)<. Rev (она существует, так
как если Rev ^ Iig(v) Vv, to IgC, что является противоречи-
противоречием). Тогда интеграл
оо
\f(uvt)exp(—vt)vdt
о
абсолютно сходится. Действительно, поскольку ;
| f (uvt) | < С8 ехр (hK (uvt) + е || uv || /), е > 0,

236 Гл. 8. Аналитические функционалы
a hK(uvt)= hG(vt)f то \f(uvt)exp(—и/)|^ехр(—лИ) Для не-
некоторого г) > 0, откуда и следует абсолютная сходимость ука-
указанного интеграла.
Предположим, что \f{z)\ < Се ехр(Л*(;г)+ е||г||) при е > 0.
В силу интегральной формулы Коши, если ?/ = @, ..., ?, 0, ...
..., 0) (^ на /-м месте), то
JL = _L С Пи> "' + ? ""}^
и поскольку й/с(г + 5/)^ ftx(^)+^/cE/), то
sup
It 1=1
<Ceexp( sup hK (Zf))expe • exp(hK (z) + s\\z||).
1С 1^ i
Таким образом, каждый из интегралов \ ^jr(—uvt)exp(—vt) X
y^v dt также абсолютно сходится, и можно дифференцировать
под знаком интеграла, так что функция %(?) голоморфна. ?
Теорема 8.9. Пусть f(u)—целая функция экспоненциального
типа. Пусть, далее, для некоторого выпуклого компакта К и лю-
любого е > 0 справедлива оценка \f (и) [ ^Се ехр(кк(и)+ &\\и\\).
Тогда f является преобразованием Фурье — Бореля некоторого
элемента \i^2e(K)', и если 8f(I)—проективное преобразова-
преобразование Лапласа для /, то
/ пп(п+\)/2 Г i
где К—произвольная строго выпуклая окрестность К с ^-гра-
^-границей.
Доказательство. Из леммы 8.6 следует, что %(?) определяет
непрерывный линейный функционал на Ж {К), который мы обо-
обозначим через |ы/. Тогда из (8.2) получаем
дп-1
,.а
Пусть /(ы)= 2^ -^]—• Тогда
|а|=0
(
m \| a|=m

§ 4. Аналитические функционалы 237
Поэтому если величина ||и|| столь мала, что |/(—иЩ | ^
<: С ехр А | К11 для некоторого А < 1, то
2f(») = S Z( Z 3*f-)(-l)mbmtme-*dt.
0 w \|a|=w /
Полагая К = 1, получаем
Для фиксированного щ имеем exp(w0, z)= V —^—, причем
|<х|=0
ряд сходится равномерно на любом компакте. Поэтому, в силу
(8.3) и (8.4),
l bdB
E5)»
|a|=0 (p)
X J z^Q (г, Ш)= Z 5
bd5 ||0
так что flXf (и) = f {и). О
|a|=0
§ 4. Аналитические функционалы
на комплексном подмногообразии М в сп
Сразу же заметим, что многообразие Штейна биголоморфно
эквивалентно некоторому комплексному подмногообразию в Сл
(см. [А, В]), так что все приводимые ниже рассуждения пере-
переносятся на многообразия Штейна.
Определение 8.10. Пусть К—компакт в М. Опорной функ-
функцией Нк компакта К будем называть функцию
Нк (ф) = sup Re ф (г), феЖ (М)
(супремум по пустому множеству считаем равным —оо).

238 Гл. 8. Аналитические функционалы
Так определенная функция Нк является положительно од-
однородной порядка 1 и выпуклой, т. е.
Сужение #*(ф) на линейные функции 3? ={<г, g>; ^G С"} —
это обычная опорная функция компакта.
Определение 8.11. Пусть 5Г— произвольное подмножество
в Ж{М)\ ЗГ-оболочкой Кдг компакта /Сс:М называется мно-
множество
Будем говорить, что К является ^"-выпуклым, если К&- = К,
а все М будем называть ^"-выпуклым, если оболочка каждого
компакта есть компакт в М.
Множество К&- является наибольшим подмножеством в М,
для которого Hg =HK\g.. Отметим еще следующие свой-
свойства:
i) если Гс?сЖ(Ся) и Кх с К2 с с М9 то КирКья",
Щ {К?)яг = К&' = {К&O* если & cz ^, так что К^г ^-вы-
^-выпукло;
III) (П^ОЭ" el П (Кдяг* так что пересечение семейства ^-вы-
^-выпуклых множеств ^"-выпукло.
Если 2Г совпадает с 9? (семейством линейных функций), то
К& есть просто пересечение выпуклой оболочки К с М; если
У = Р — множество полиномов, то Кр есть полиномиально
выпуклая оболочка /С, пересеченная с М\ если ЗГ = Ж{М)У то
Кж{М) — это голоморфно выпуклая оболочка /С (чтобы показать
это, достаточно рассмотреть семейство е'вф, ф?^", 0^6^
Определение 8.12. Компакт /С называется ^-носителем эле-
элемента [\^Ж(Му, если К является ^"-выпуклым определяющим
множеством для \х и для любого определяющего множества
La К выполняется Ъ& = Л^г.
По лемме Цорна |и имеет ^-носитель тогда и только тогда,
когда определяющим для \х является какое-нибудь ^-выпуклое
множество. Вообще говоря, ^-носитель не является единствен-
единственным. Для п=\ рассмотрим линейный функционал \i(f) =
1
= \f(z)dz. Он имеет единственный выпуклый носитель {г:
о
о
о
Imz = 0, 0 ^ Re г ^ 1}, но не имеет единственного полино-
полиномиально выпуклого носителя, так как любая простая дуга,

§ 5. Обобщенное преобразование Лапласа и индикатор 239
соединяющая 0 и 1, является полиномиально выпуклой (см. [В,
теорема 1.3.1]). Позднее мы увидим, что и выпуклый носитель
аналитического функционала может не быть единственным.
§ 5. Обобщенное преобразование Лапласа и индикатор
Определение 8.13. Пусть \ь^Ж(М)'. Обобщенным преобразо-
преобразованием Лапласа функционала \л называется функционал jl, дей-
действующий по формуле ?(ф)= |ы(еф), у^Ж{М), а индикато-
индикатором jli — функционал р (ф) = lim sup og , .
Сужение jl на множество 3? совпадает с преобразованием
Фурье — Бореля (если отождествить 9? с С") и является целой
функцией экспоненциального типа (т. е. конечного типа при
порядке 1); сужение р на 9? совпадает с радиальным индика-
индикатором преобразования Фурье—Бореля функционала |л.
Пусть К—определяющее множество функционала \х. Тогда
для любой открытой окрестности L множества К существует
такая константа Си что
| {х (/Ф) \ = \р (е**) I < CL sup exp Re (ftp).
Lt
Поэтому для t > 0 имеем
7- log I A (ftp) I <-j- logCL + tfLM,
так что р(ф)^:///.(ф). Поскольку L произвольно, получаем
)Я()
)()
Пусть Е—комплексное линейное топологическое простран-
пространство, a Q — открытое подмножество в Е. Функция р, заданная
на Q, со значениями в [—оо, +оо) называется плюрисубгармо-
нической (p^PSH(Q)), если рФ—оо, р полунепрерывна
сверху (т. е. множество {б^й: рF)<с} открыто в топологии
Е для любого cgR)h если для любого компактного в Q диска
{г^й: z = 6i -f- XQ2y l^l^''} выполняется неравенство
2л
Другой эквивалентный способ определить плюрисубгармо-
ническую функцию состоит в том, чтобы вместо последнего
свойства требовать, чтобы сужение р на пересечение Q с лю-
любым конечномерным подпространством М являлось плюрисуб-
гармонической функцией или равнялось —оо на любой компо-
компоненте Q f]M.

240 Гл. 8. Аналитические функционалы
Если \i^2e(M)\ то fi является аналитической функцией
в 2ё(М), поскольку она непрерывна и (х(ф + А/ф) = \L(eP+k*)
является голоморфной функцией от %^С для любых ф, г|э ^
ееЖ{М). Поэтому log|p,|eEPSH(<?#(Af)).
Нам понадобится следующее утверждение.
Теорема 8.14. Пусть Е — комплексное линейное топологиче-
топологическое пространство, отделимое и имеющее счетную базу окрест-
окрестностей нуля. Пусть, далее, Q — открытое подмножество в Е,
a {Pi)ie=i — семейство плюрисубгармонических функций в Q,
причем множество индексов I состоит из целых или действи-
действительных чисел, естественным образом упорядоченных. Предпо-
Предположим, что семейство {pi}t^i равномерно ограничено сверху
на каждом компакте в Q. Тогда функция р* F) = lim sup p (б7),
\ е'-»е
где р = lim sup/?,?, является плюрисубгармонической в Q (р* яв-
te=I
ляется верхней регуляризацией р).
Доказательство. Пусть 8i и 82 — фиксированные элементы Е,
а г таково, что 9i + A,02eQ при |Л|^г. Пусть 6—любой эле-
элемент в окрестности U начала координат, для которой 8i +
-\-XQ2-hUczQ при |А,|<1 г. Поскольку функции pi ограничены
сверху на множестве {6i + Л,92 + в: |^|^г} (это множество
компактно), то, применяя лемму Фату к функции р(Х) =
+ А,92 + 6), получаем
2я
О) < lim sup -±- \pt (Qx + 9
здесь \ обозначает нижний интеграл Лебега по интервалу
[О, 2я] I. В силу наших предположений о топологии в Е, най-
найдется такая последовательность {O^/Li, сходящаяся к нулю в Е9
что lim sup p (Q{ + еу) = р* (e{). Далее, функция р* ограничена
сверху на {Bi + Л,в2: |А,|^г}, поскольку pi равномерно ограни-

§ 6. Носители аналитических функционалов 241
чены сверху на компактном множестве U {Q\ + 0/ + А,02: | X | ^
^r) U {01 + ^02: I M ^S >*}. Применяя лемму Фату к этой после-
последовательности, получаем
р* (Qx) = Hm sup p @! + 0У) <
im sup pm @, + 8у + гв^02) dq> <
/
2л
Наиболее интересен для приложений случай, когда У яв-
является линейным подпространством в Ж{М). Тогда верхняя ре-
регуляризация сужения р (индикатора аналитического функцио-
функционала |х) на У является плюрисубгармонической и положитель-
положительно однородной порядка 1 функцией на &. Верхняя регуляриза-
регуляризация зависит, вообще говоря, от рассматриваемого подпростран-
подпространства, и может случиться, что р*^ ^ р*^ даже в случае У а 9.
§ 6. Носители аналитических функционалов
Теорема 8.15. Пусть м^^С")'. Тогда для любого geS7
имеет место соотношение p#(i) = ini(HK(l); К — определяющее
к
множество для |х), где р<е — верхняя регуляризация сужения
р на&.
Доказательство. Так как р#{?>)^Нк(%) для любого опреде-
определяющего множества К функционала |i, то р<? (I) ^ inf HK (I).
к
Для доказательства противоположного неравенства зафикси-
зафиксируем ?0, И!о11=1- Пусть а—любое действительное число, боль-
большее p#{ko). Покажем, что НкA0)^.а для некоторого опреде-
определяющего множества /С. Положим qs (?) = a Re 2 ?/1о/ + 5 (II ^ II —
Z Ns = {l^S: ||6||=1, qs(t)<pJ(t)}. Множество
Ns компактно, так как функция р# (I) полунепрерывна сверху
и {11611= 1} — компакт. Тогда fl^s = {0}, поскольку qs(lQ) =
s>0
= «>pj?Fo), а для 1Ф1О, ||6||=1, имеем limqs(l) = + oo.
S>oo
Согласно известным свойствам пересечений компактов, для
некоторого 50 > 0 множество NSu пусто, так что qSo (I) ^ р# (I)
при всех I. Пусть /fSo — выпуклый компакт с опорной функ-
функцией qs,. Тогда, по теореме 8.9, KSu является определяющим

242 Гл. 8. Аналитические функционалы
множеством для \i и H^s (!0) = a- Отсюда следует, что
infAM6Xp*F). ?
к
Следствие 8.16. Пусть М — комплексное подмногообразие
в Сл, а [х^2ё(Му. Тогда для того, чтобы 3?-носитель функ-
функционала (ы был единственным, необходимо и достаточно, чтобы
функция р% была выпуклой.
Доказательство. Пусть р# — выпуклая функция, а /Со—вы-
/Со—выпуклый компакт в М с опорной функцией Н^ A) = рх (I). По
теореме 8.9 выпуклый компакт /С является определяющим мно-
множеством функционала \л тогда и только тогда, когда /Со ^ /С-
Поэтому /Со есть ^-носитель. ?
Этот частный случай мы используем для изучения более
общей ситуации. При некоторых предположениях о семействе ZF
можно свести вопрос об ^"-выпуклости к линейной выпуклости.
Пусть Q — открытое подмножество в М, a a: Q-vQ'cz О —
голоморфное отображение. Будем называть отображение а ре-
( да/
гулярным, если его ранг 1т. е. ранг матрицы -^—, k=\, ...
..., п, j = 1, ..., s) всюду равен т.
Отображение а называется собственным, если прообраз
а-1 (/С) любого компакта /С в Q' компактен в Q. Взаимно одно-
однозначное собственное и регулярное отображение а будем назы-
называть вложением.
Определим отображение а* из Ж {О!) в 36{Q), полагая
а*(г|)) = г|) осе. Ему отвечает отображение at: Зв(&)'-+Ж(О/)'t
т. е. ()()И())()
Теорема 8.17. Пусть 2Г — линейное подпространство в Ш(М)Г
содержащее элементы аи ..., as, вкладывающие М в О. Пусть
\х^Ж(Му. Для того чтобы функционал \х обладал некоторым
&~-выпуклым определяющим множеством /С, необходимо и до-
достаточно, чтобы р (г|)) ^ Нк (г|)), я|) е У.
Доказательство. Если /С — определяющее множество для \лг
то неравенство очевидно. Докажем обратное.
Пусть L ш М — открытая окрестность ^"-выпуклого ком-
компакта /С. Поскольку У — комплексное линейное пространство,
то для любой точки z ^ bd L существует такая функция г|)г ^
^9Г, что | tyz(z) | > sup | il;z |. По непрерывности это неравенство
к
сохраняется и в некоторой окрестности Nz точки г. Так как
bd L — компакт, то найдется конечное число окрестностей
Ni = Nzit i= I, ••-, q, покрывающих bdL. Тогда К—компакт-
К—компактное подмножество в A = {z: \^zi(^)\^\^z.(zi)\ = ai, !<;<?}.

§ 6. Носители аналитических функционалов 243
Пусть В — некоторое конечномерное подпространство в У
с базисом (Pi, ..., рО- Тогда
й = (аь ..., aS') =
= (аь ..., as, -ф21, .. ., \Ц, рь . .., Р,), s' = 5 + q + /,
есть вложение М в С5' (не уменьшая общности, можно счи-
считать, что координаты а, линейно независимы). Следовательно,
множество ЛГ = а(Л1) является m-мерным многообразием
в С5'
Пусть 6y = supa/, а бу столь мало, что
А
Kcz{z: \а,(г)\<Ь,-26,}.
Пусть, далее,
D = {^gCs: \w,\<b,},
D^^gC5: ItWyKft, —в,}.
Рассмотрим аналитический функционал [i* = aj([i) на С5'. Пусть
р* — индикатор [г*, а р*(?) — его сужение на линейные функции.
Имеем
Р, F) = Р (A, «*» < Нк ((I, а )) < Z F/ - 26/) | g; |.
Тогда по теореме 8.9 у функционала \х* существует некоторое
компактное определяющее подмножество R в D'.
Пусть f е Ж (Cs') — такая функция, что f \M, = 0. Тогда
|x*(/) = Mr(/oa) = 0. Если теперь f<=3@(D') и /1^ = 0, то можно
взять последовательность /v е 5^ (Cs'), такую, что fv |м, ^ 0 и
fv-^f равномерно на компактах в D'. Поэтому |я*(/) = 0
и в этом случае, так что |я* продолжается до линейного функ-
функционала на M{D') \M^D, (см. [В, теорема 7.2.7] ).
Далее, для любой голоморфной функции f на М" = Mf f| D'
найдется такая функция f ^Ж(М'), что J\M,, = f (см. [А, В]).
Итак, отображение пространств Фреше со: Ж(Р)-+Ж{М"),
задаваемое соотношением со (F) = F \м„, сюръективно, и по тео-
теореме об открытом отображении найдется такой компакт К cz
czAf", что sup |f |^Q sup | f |, где Q>0 — некоторая по-
к K
стоянная. Тогда для функции ^^Ж(М/) и ее продолжения
^ имеем
<CQsup| -ф |<CQsup| -ф КCQsup| -ф |.
К М" L

244 Гл. 8. Аналитические функционалы
Поскольку L — произвольная компактная окрестность /С, от-
отсюда следует, что К—определяющее множество для \х. ?
Теорема 8.18. Пусть $Г — линейное подпространство в Ж(М)У
содержащее элементы аь ..., as, вкладывающие М в Cs. Функ-
Функционал \1^Ж(Му имеет единственный ^-носитель тогда и.
только тогда, когда функция р^ выпукла.
Доказательство проведем в два этапа.
Предложение 8.19. Аналитический функционал \х^^ё(М)г
имеет единственный ^-носитель тогда и только тогда, когда [л,
имеет единственный ^-носитель для каждого конечномерного
подпространства В в &~, содержащего ai, ..., as.
Доказательство. Предположим, что \х имеет единственный
^"-носитель /С. Пусть $ГГ — любое такое подмножество в ёГу
что К&' компактно. Тогда поскольку каждое ^'-выпуклое мно-
множество является ^"-выпуклым, то ^-оболочка К содержится
в любом ^-выпуклом определяющем множестве. Поэтому |л
имеет единственный ^-носитель.
Предположим, что \х имеет два различных ^"-носителя Кг
и /С2. Пусть L\ и L2 — компактные окрестности К\ и /С2 соот-
соответственно, причем K\\L2 ф 0 и /C2\Xi Ф 0. Кроме того, L\
и L2 возьмем достаточно малыми, так чтобы L\ f| L2 не было
определяющим множеством для \х. Поскольку множество К\ fl
П ^С2 не является определяющим, это же верно для некоторой
его окрестности L. Множества L\ и L2 мы возьмем такими, что
Li(]L2czL. Теперь, как и при доказательстве теоремы 8.17,
выберем конечномерные подпространства &~\ и #, такие, что
(Kf)jr.czLh /=1, 2.
Положим $Г' = ?Гх-\- &г2- Тогда (Kj)&~'C^ Lf, так что у \i
есть два ^-выпуклых определяющих множества (Ki)^- и
(^2)^', пересечение которых не является определяющим. Сле-
Следовательно, у [х нет единственного ^-носителя. ?
Доказательство теоремы 8.18. Очевидно, функция р^- вы-
выпукла тогда и только тогда, когда ее сужение на каждое ко-
конечномерное подпространство В выпукло. Поэтому, в силу
предложения 8.19, достаточно доказать теорему для любого ко-
конечномерного подпространства В, содержащего аь ..., as.
Пусть элементы аь ..., а5, а5+ь ..., а5' образуют базис в В.
Определим отображение a = (ab ..., а5'), являющееся вложе-
вложением М в С5'. Пусть [i* = aj([i). Тогда, как и в теореме 8.17,

§ 7. Единственные определяющие множества 245
\i* определяет линейный функционал на 2ё(а(М)), и если К
является ^-носителем для |я*, то а~1(К(]<х(М)) является Б-но-
сителем для (ы. Положим р*A)= рв(A> сс>). Тогда, в силу след-
следствия 8.16, |я* имеет единственный ^"-носитель в том и только
том случае, когда р*(?) выпукло. Поэтому (ы имеет единствен-
единственный Б-носитель тогда и только тогда, когда р^ I выпукло. П
§ 7. Единственные определяющие множества
для областей в Сп
Как мы видели, существуют функционалы, не имеющие един-
единственного носителя. При п = 1 аналитический функционал
всегда имеет единственный выпуклый носитель. Причина в том,
что функция р(?) при п = 1 всегда выпукла (см. [D] ). При
п > 1, однако, носитель не является единственным даже
в классе выпуклых носителей.
Пусть п = 2, а |я—аналитический функционал, преобразо-
преобразование Фурье—Бореля которого есть функция cos (|i^2I/2. Кру-
Круговой индикатор этой функции равен |?i?2|1/2. Поскольку
1/2J
)>0 и, значит, /l^l + ^i^l^i^l1/2, то
по теореме 8.9 определяющим для \х будет полидиск Kt =
= {(zbz2): \zi\^t, |z2|<l/4f}. Положим at = (t,—\/4t).
Тогда at ^ Ks<=$~s = t. Пусть R — произвольное выпуклое опре-
определяющее множество, содержащееся в Kt. Тогда at^R. Дей-
Действительно, полагая ^ = A/7,—4/), для z e Kt, z ф at имеем
2 = Р (?/) = sup (Re (a,, z)), a Re<z, it} < 2. Таким образом, все
*t
Kt являются выпуклыми определяющими множествами.
Заметим, что эти выпуклые носители имеют «углы». Ниже
мы покажем, что это общее свойство неединственных выпуклых
носителей (впрочем, не только выпуклых).
Предложение 8.20. Пусть Q — область голоморфности в Спг
а К — компактное голоморфно выпуклое подмножество в Й.
Тогда для любой открытой окрестности о множества К суще-
существует такая постоянная С^ что если fG?jo,i)(Q) и df = O, то
для заданного е>0 существует такое решение ttG?(Q}
уравнения du = f, что sup | и |^Cwsup| / | + е.
к ©
Доказательство. Пусть coi — открытая окрестность /С, coi Ш Q
и coi голоморфно выпукла в Й. Тогда можно найти такую
плюрисубгармоническую в Й функцию ф (зависящую от ©i, С

246 Гл. 8. Аналитические функционалы
Я /), что ф = 0 в coi и
П
11/2
Q\0),
0I
где константа С будет выбрана позже. Для построения такой
функции, заметив, что функция —log da(z) является плюрисуб-
гармонической, положим с = sup (— ldi)) ()
0)i
= Y(sup(—loguq (г), с)), где y(t) — достаточно быстро расту-
растущая функция от t, причем у г= 0 при t ^ с. Тогда (см. прило-
приложение III) существует такое решение «е?°°(Й) уравнения
ди = /, что
и |2 ехр (-ф) A +1| z И2)" dx < J I f I2 exp (-Ф) rfr.
Пусть i|)G%M(Q), ^=1 на /С. Полагая С„ = (Al4jc^2)!, для
z e /С имеем
Поскольку ||г — а|| > б > 0 при ге /С, flG supp d\|), то, при-
применяя неравенство Шварца, получаем, что при ге/(
т1/2
2j Ч-C'suplf |,
где C(o)i) зависит только от a»i. Далее, имеем
1/2
Г" С
+C'sup|/|,

§ 7. Единственные определяющие множества 247
где C(coi) зависит только от соь поскольку ф = 0 на соь Таким,
образом,
\и (z) |< С' (со,) [Со (со,) sup | / | + 4-1 + С sup | / |.
L o)i С J o)i
Остается взять С = С'(со1). ?
Теорема 8.21. Пусть Ко и К\ — компакты в области голо-
голоморфности ЙсСя, и пусть L — голоморфно выпуклая оболочка
Ко\]К\. Предположим, что множество К таково, что L\K =
= Mo U Мь где Мо и М{ — замкнутые в L\K непересекающиеся
множества, и Kj\KczMj, j = О, 1.
Тогда если Ко и К\ являются определяющими множествами
для некоторого функционала \x^3e(Q)', то множество К так-
также является определяющим множеством для этого функцио-
функционала.
Доказательство. Пусть со — какая-нибудь окрестность /С
Вначале построим такую функцию г|э е ^0° (й), что
i) 0^г|)^ 1;
и) я|р == у на со/\со для некоторых открытых окрестностей
coy id /C/,/ = 0, 1;
iii) функция г|) постоянна на каждой компоненте ?/\со, где
U—некоторая открытая окрестность голоморфно выпуклой
оболочки множества cooU^i-
Пусть /л/ = Л4/\со. Тогда L\co = m0 U m>\ и mo[\tri\ = 0.
Далее, множества /л/ замкнуты в L, следовательно, компактны.
Положим
w/ = {zgQ: inf \\z — w\\<b}.
w rrij
Тогда для некоторого е > 0 множества tnf не пересекаются
и содержатся в Q.
Пусть функция aG№(fl@, е)) такова, что \ a(z)dx(z)= L
Положим i|) = х^, * a (xm, — характеристическая функция
Тогда /ф = / в /л/ и O^ip^l. Далее, L cz ml\] m\ IJco, поэтому
мы можем найти такую пару открытых окрестностей U n V
множества L, что V си /7 cz mo U mfljco, где 1/'— голоморфна
выпуклая оболочка У. Положим соу = (m/ U со) П V; тогда со0 U ©i=
= 1/. Следовательно, голоморфно выпуклая оболочка множе-
множества cooUcoi содержится в V. Поскольку ?/\ © cz mo U/и?, то
функция гр постоянна на каждой компоненте G\со.
Согласно предложению 8.20, найдется такая постоянная С'г
что для любой функции f^3@(Q) и любого е > 0 существует

248 Гл. 8. Аналитические функционалы
такое решение и е У" (й) уравнения du = fdty, что
sup | и | ^ С sup | fdi|) | + е,
©о U coi ?/
л так как дг|) = О на U\(by то
sup |
(Do U (Oi
Имеем м-(/)== M-(i|)/ — w)+[i((l—^)/ + w), и поскольку мно-
множества Ко и K'i определяющие для [а, а ф = / на о)у\E, то
(Do 0)i
< Со sup | ф/ | + Со sup | ы 1 + Ct sup | A — -ф) /1 + С, sup | ы |.
Таким образом,
0)
и, поскольку е произвольно, теорема доказана. ?
Следствие 8.22. Пусть Q — область голоморфности в СЛ, а Ко
и К\ — определяющие множества для функционала \х,^Зб{О)'.
Тогда множество К — Ко U ((L\Ko)U Ал), где L — голоморфно
выпуклая оболочка AoU^Cb также является определяющим
для [г.
Если множество Ко U ^Ci голоморфно выпукло, то определяю-
определяющим для [I будет и множество Ко(]К\.
Доказательство, Положим S = (L\Ko)\J К\, Мо = Kq\K =
= JK0\S = L\S, Afi=(L\/C)\Af0. Тогда Л1^ 0 ^U
U М1 = L\K, и Мо замкнуто в L\K, так как
С другой стороны, Мо = Мо\К = (L\S)\K = (L\K)(]
(]CS — открытое множество, поскольку CS открыто в L\K.
Наконец, Ко\КаМо, a Ki\K cz CKq a CM0, так что К{\Ка
<= (L\K) П СЛ^о = М\. Поэтому можно применить теорему
8.21. ?
Теорема 8.23. Пусть Q — область голоморфности в С", а \х^
^3e(Q)'. Пусть, далее, Ко — минимальное Ж (О) -выпуклое
определяющее множество для \i с дважды непрерывно диффе-
дифференцируемой границей. Тогда оно является единственным опре-
определяющим множеством.

§ 7. Единственные определяющие множества 249
Доказательство. Покажем, что любое <9^(Й)-выпуклое опре-
определяющее множество для \х содержит /Со. Для этого достаточна
для любого <Э#(Й)-выпуклого компакта К\у Ко\К\ Ф 0, по-
построить две плюрисубгармонические функции F и G, непрерыв-
непрерывные в Q и такие, что
i) supF <0, supF> 0;
Ki Ко
ii) supG^O (а значит, и supG^O, где L — голоморфна
/CUtf L
выпуклая оболочка /Co U Ki), и {гфКо, G{z)^ 0)=>- F{z) ^ 0.
Если z^L\Koj to F(z)^Z0 в силу ii), так что ввиду i)
имеем sup F^O. Поэтому sup F ^ 0, где К = Kq[)L\
(L\Ko)[)Ki К
a U — голоморфно выпуклая оболочка (L\/Co)U^Ci- Поскольку
F>0 в некоторой точке /Со, то К является голоморфно выпук-
выпуклым собственным подмножеством в Ко- Тогда из следствия 8.22
вытекает, что К является определяющим для |я. Получаем про-
противоречие. Поэтому /Со—единственный голоморфно выпуклый
носитель |я.
Проведем теперь построение функций F и G. Основной факт,,
на который опирается построение, заключается в том, что обо-
оболочка компакта KczQ относительно голоморфных функций,,
плюрисубгармонических функций и непрерывных плюрисубгар-
монических функций в Q будет одной и той же, если Q — об-
область голоморфности.
Поскольку К\ — голоморфно выпуклый компакт, то суще-
существует такая плюрисубгармоническая ^^-функция 8 в Q, чта
up ff< 0 и supG^0(cM. [В, теорема 2.6.10]). Тогда для до-
К 1 /Со
статочно малого б функция G = Q + 6||2||2 также обладает
этими свойствами. Положим H = G — sup G. Пусть aebd/Co —
Ко
точка, в которой Я(а)= 0.
На внутренней нормали к bd/Co в точке а выберем такун>
о
точку Ь, что если z ф а, ||г—6|| ^ \\а — 6||, то ге/Со (именна
> здесь используется гладкость границы), и положим Я/(г) =
= #(z)-C-/)e(||z-&||2-||a-&||2), j = 0, I, 2, где ее
е@,б) столь мало, что sup#/<(). Тогда Я/ — плюрисубгармо-
К\
нические ^°°-функции. Далее, Hj(z)^ #3(г)^0 на bd/Co, при-
причем равенство имеет место только в точке а. Если #/(г)=0,
zфai то ге/Со, и по принципу максимума Я7 = 0 в /Со, чта
невозможно, так как функции Н} строго плюрисубгармоничны.
Построим теперь функцию f е^00^), такую, что /Со = {z^
ей:[(г)^0} и / ^ Я2 в Q (такая функция строится локально,
а затем с помощью разбиения единрцы производится склейка;
разумеется, функция / не является плюрисубгармонической).

250 Гл. 8. Аналитические функционалы
Тогда поскольку / — НХ^Н2— Н{ и f = Hx только в точке а,
то функция f — Н\ выпукла в некоторой окрестности coi точки а
(матрица (— 27"—^Л , где х\— вещественные коорди-
V OXj OX fa //, к — 1
наты в Cn = R2n, положительно определена в точке а). По-
Поэтому в coi имеем
-H{ в щ),
где супремум берется по всем функциям A (z) = Re (z, 0)+ С.
Введем на множестве таких функций норму || А|| = sup | A (z) \
и для г) > 0 определим функцию
^f-H{ в со1 и
А
где Ло задано равенством
(т. е. Ао — линейная часть разложения в ряд Тейлора функции
e(||z—&||2+Н#—6II2)). Функция Gn непрерывна и плюрисуб-
гармонична в Й. Она совпадает с f в некоторой открытой окрест-
окрестности сол точки а, поскольку Ло есть наилучшее линейное при-
приближение f — Hi в точке а. Кроме того, по построению G^^f
в coi и Hi+Ao^Gn в Q, Ho + Ao^Hi в Q и Hi+Aq^
< Я2 в Й.
Поскольку в /Co\o)i функция G-р при rj-vO, монотонно убы-
убывая, стремится к //i+Ло, a #i + Ло ^ #2, то по теореме Дини
при т] < т]о функция G-p < 0 в /Co\coi. Так как G-p ^ / ^ О
в /СоП^ь то Gyj ^ 0 в /Со. Аналогично, при т]<Л1 функция
</л < 0 в /Сь Положим т] = !/2niin(r]o, "Hi), G = G^. Тогда первая
часть ii) выполняется.
Пусть теперь оJ — окрестность точки а,, в которой G = f.
Тогда
q = sup {H0(z) + A0(z): z<?K0 и G(z)<0}<
<sup {H0(z) + A0(z): z<?Kol)<»2 и Я! (z) + Ao (z) < 0} <
Последнее неравенство имеет место в силу выбора Ь.
Положим F (z) = #о (г) + А0 (z) + С, где
C = inf(—q, —sup(H0 + A0))^inf(—q, — sup Я2) > 0.
/С, /Ci
Тогда условия i) и ii) выполняются. Доказательство завер-
завершено. ?

§ 5. Единственные выпуклые носители 25/
§ 5. Единственные выпуклые носители
Условие ^-гладкости границы в теореме 8.23 выглядит искус-
искусственным, и нам хотелось бы заменить его более слабым уело-
вием. Это удается сделать для выпуклых носителей.
Определение 8.24. Пусть К\ и /С2 — два выпуклых компакта
в С". Будем говорить, что выпуклое множество L линейно раз-
разделяет К\ и /G, если ?(/(i)n?(^2)c= %(L) для любого комплексна
линейного функционала ?.
В частности, для любого X, O^^^l, множество ХК\ +
+ A —А,) #2 линейно разделяет К\ и /B.
Лемма 8.25. Если выпуклые компакты К\ и /С2 являются
определяющими для некоторого функционала ii^3%?(JCn)', та
определяющим для \х будет и любое компактное множество, ли-
линейно разделяющее К\ и /С2.
Доказательство. Пусть ерр,—индикатор \i. Тогда ерр, голо-
голоморфно продолжается на C/Ci и СЖ2. Пусть L линейно разде-
разделяет /Ci и /С2, и пусть \— какая-нибудь гиперплоскость из CL
(не являющаяся бесконечно удаленной). Пусть ?>(!)== {A,
^1ь •••, A,|n)i ^G.C} — комплексная прямая в проективном
пространстве, определяемая точками g и A,0). В точке AД&)
разложим функцию ср^ в ряд Тейлора как функцию от X:
оо
Фи((!» №))= 2 Sn(K l)(X' — Х)п. Радиус его сходимости обо-
rt=0
значим через R{Xy I). Далее, если /?*(Я, |)= lim inf R(X', l')r
то R(X, l)= R*(X, l) всюду, кроме, быть может, множества, не
имеющего внутренних точек. Если мы сможем показать, что ср^
при любом 1 продолжается до голоморфной функции от X на
CL (]?>(?)> то РЯД Тейлора для ср^ окажется сходящимся в CL,.
а поскольку это множество открыто, лемма будет доказана.
Гиперплоскость f задается уравнением вида 1 + <z, ?> = О
либо <z, g> = 0. Определим аналитический функционал |^ на
2ё(С) по формуле |м>(^)= |ы(?(<2, |>)). Множество точек
(Ло» Л)» гДе Л === ^Ло1, ^еС, ло^ С, представляет собой гипер-
гиперплоскость {ло + А/По<2, V) == 0}, которую | отображает в точку
— 1 /X, если Ло Ф 0, или в 0, если Ло = 0.
Множества ?(/Ci) и |(/С2) являются определяющими для \^
так как
% Ы = 6, ( hFI^t) -1» U-k^od)=ф. «1. «».

252 Гл. 8. Аналитические функционалы
если Ло^О» а <P6jl(O) = 5|i(O) = O = <pjl(O). Тогда, в силу един-
единственности выпуклого носителя при п = 1,
С (Б (Кг) Л Б (К2)) = С (Б (*i)) U С (Б (К2))
и g(/Ci)П ЕС^Сг)—определяющее множество для qp^ . Таким об-
образом, фд голоморфно продолжается на OL, так что L — опре-
определяющее множество для |ы. ?
Следствие 8.26. Если \х ф О, а К\ и /G — выпуклые опреде-
определяющие множества для \i, то К\[\К2Ф 0.
Доказательство. Предположим, что К\[\К2 = 0- Пусть ф^—
индикатор |ы. Тогда ф^ продолжается в C/Ci и в С/Сг, так что
функция ф^ определена и голоморфна всюду. Следовательно,
это постоянная, а поскольку она обращается в нуль в бесконеч-
бесконечности, то это тождественный нуль. П
Открытое множество Q а Р(СЛ) называют звездным относи-
относительно начала координат, если вместе с каждой точкой ^gQ
оно содержит и все точки /|, 0 ^ t ^ 1.
Если Qa — семейство звездных областей относительно на-
начала, то U Qa тоже обладает этим свойством и к тому же
односвязно. Таким образом, существует наибольшее множество,
звездное относительно начала, в котором голоморфен индикатор
<Р|л функционала \1^2ё(Сп)'. Обозначим это множество через
Q^ и назовем его звездной областью ф^.
Если К—выпуклое определяющее множество для |ы, содер-
содержащее начало координат, то С/С звездно относительно начала
в Р(О+1) и, следовательно, СЖсийц.
Таким образом, выпуклое множество L, содержащее начало
координат, будет выпуклым носителем \i (единственным в се-
семействе выпуклых множеств, содержащих нуль) тогда и только
* *
тогда, когда CL является максимальным среди множеств СМ,
*
содержащихся в Q^, где М пробегает семейство выпуклых ком-
компактов, содержащих нуль.
Определение 8.27. Комплексная гиперплоскость называется
опорной гиперплоскостью к компакту К в точке jco^bd/C, если
она содержится в вещественной опорной гиперплоскости в
точке хо.
Лемма 8.28. Пусть К — компактное выпуклое множество,
л х^К. Выпуклая оболочка множества К(]СВ(х,е) не содер-

§ 8. Единственные выпуклые носители 253
жит точку х ни при каком е > О тогда и только тогда, когда
х — крайняя точка.
Доказательство. Предположим, что К содержится в каком-
нибудь р-мерном подпространстве в К2/г= Сп. Если существует
такое 80 > 0, что выпуклая оболочка множества К()СВ(х, е0)
содержит х, то найдется (р+1) точек К на расстоянии не
меньше е0 от х, выпуклая оболочка которых содержит х. Таким
•образом, точка х не является крайней в этом симплексе и, сле-
следовательно, не является крайней в /С. С другой стороны, если
х — не крайняя точка, то х содержится внутри некоторого от-
отрезка, принадлежащего /С, скажем х = tx0 + A — t)xu О <
< t < 1, и тогда найдется такое ео, что выпуклая оболочка мно-
множества (*о, х\)Г[СВ(х, е) содержит х при е < е0. ?
Лемма 8.29. Пусть К—выпуклый носитель |ы, содержащий
начало координат. Для любой крайней точки xq e К существует
комплексная опорная гиперплоскость в точке х0> являющаяся
*
(как точка из Р(СЯ+1)) граничной точкой ?1^.. Если любая ком-
комплексная опорная гиперплоскость в точке хо9 содержащая на-
начало координат, содержит также и /С, то существует и комплекс-
комплексная опорная гиперплоскость в точке хо> не содержащая начала
и являющаяся в указанном смысле граничной точкой ?2^.
Доказательство. Если все комплексные опорные гиперплоско-
гиперплоскости в точке xq содержат начало координат, то они являются
граничными точками Q^ по определению (они отвечают беско-
бесконечным точкам, а ф^ определено в окрестности бесконечности).
Поэтому предположим противное.
Пусть V—наименьшее комплексное подпространство в Сл,
содержащее /С, и пусть U — его дополнение, т. е. U(]V= {0},
VXI/ = Сп. Без ограничения общности можно считать, что
*
V = ,Cg. Пусть С К— множество комплексных гиперплоскостей
v
в Р(С^), не пересекающих /С. Тогда С К = F к\ X Сп~я.
Предположим, что функция ф^ голоморфна в С К X Cn~q
v
л что ее можно продолжить в окрестность со граничной точки
{v'Q9 и') множества С/С. Поскольку P(CQ+l) — комплексное мно-
многообразие размерности q> то без ограничения общности можно
считать, что со = А/ХА//, где Д' — полидиск в С9, а А" — по-
полидиск в Cn-Q. Пусть f(z\ z")=Yj C{a){z")z'a — разложение
а
в ряд Тейлора функции ф^ по z' e Д' с коэффициентами из
\"). Пусть R(z")—наименьшее из таких чи°ал /?, что ряд

254 Гл. 8. Аналитические функционалы
абсолютно сходится при sup 1^1^/? для фиксированного z".
Положим
ф B») = - log R BГ) = lim sup | а Г1 log | с{а) {z') |.
|а|-»оо
Тогда либо R(z")= -foo в А", либо $*(z")—плюрисубгармо-
ническая функция. Но г|)*(;г") тождественно равно —оо на от-
открытом множестве в А". Поэтому R(z")=-\-°° B Д"> так что
Фи можно продолжить в окрестность сок (Уо)ХС'1""'7, гдесок (у'о) —
выпуклая окрестность точки v'o в V.
Пересечение комплексной гиперплоскости с V есть либо все
V, либо комплексная гиперплоскость в V. В частности, пересе-
пересечение ]/ с комплексной опорной гиперплоскостью в точке хо, не
содержащей начала координат, имеет вид (t^, j/), где 0о~~
ничная точка С К, u'^Cn~q.
v
Пусть пу (х^ — множество таких граничных точек v'o. Тогда
пу (л:0) — компакт, а множество ( U сок (vf0) X СП~Л U С /С
U^Co) /
содержит звездное (тем самым односвязное) множество вида
(ш^(л:о)Х U')\JCK, где (bv(x0)—окрестность множества пу(х0).
Таким образом, функция фд голоморфна в (ш^(а:о)Х U')\)
и ск = Q.
Пусть L« — выпуклая оболочка множества (К()В(хо, Wn))*
Покажем, что при п> п0 справедливо включение CLn cz Q. Для
этого достаточно показать, что С LnalC K)\J (bv (л:0) при п >
* . *
> п0. Если это не так, то, поскольку, С/(Ь: С Lni для каждого
v v
п обязана существовать комплексная гиперплоскость \п в Vy
такая, что
О 1„П^=0; и) 1пПКФ0; Ш) Ift^c5r(jc0).
* *
Если ?о—предельная точка последовательности %п, та
* *
в силу ii) множество %ъ[\КФ 0, а в силу i) гиперплоскость go
является опорной в точке л:о, что противоречит iii). Таким об-
образом, LnQ является определяющим множеством для |ы, содер-
содержащим начало координат. Последнее противоречие и доказы-
доказывает лемму. ?
Следствие 8.30. Пусть К — строго выпуклый компакт и в каж-
каждой точке bd К существует единственная комплексная касатель-

§ 8. Единственные выпуклые носители 255
ная плоскость. Тогда если К — определяющее множество неко-
некоторого аналитического функционала \л, то оно является един-
#
ственным выпуклым носителем, а С/С есть область определения
функции фр,.
Доказательство. Сдвигая, если нужно, компакт /С, мы можем
о
считать, что 0g/( (строго выпуклое множество всегда имеет
непустую внутренность). Тогда функция ф^ голоморфна в С/С
и в силу леммы 8.29 не может быть продолжена ни через одну
граничную точку. Таким образом, если L — выпуклое опреде-
* *
ляющее множество, то CL с: С/С, так что /С en L. ?
Будем называть компакт /С линейно выпуклым, если его до-
дополнение есть объединение комплексных гиперплоскостей, или,
* *
эквивалентно, /С = СС/С 1}. Пусть Р — семейство линейно вы-
луклых множеств. Будем называть Р-носитель линейно выпук-
выпуклым. Если /С—определяющее множество для |ы, то ф^ продол-
#
жается в С/С, и если выполнены предположения следствия 8.30,
то К—единственный линейно выпуклый носитель.
Предположим, что /С — выпуклое множество, а V — наи-
наименьшее линейное подпространство в С", содержащее /С. Будем
говорить, что /С обладает свойством (и)> если
для любой крайней точки х е bd /С существует не
более одной опорной комплексной гиперплоскости.
Лемма 8.31. Если выпуклый компакт К и комплексное под-
подпространство V являются определяющими множествами для |ы,
то /С П V тоже определяющее множество для (i.
Доказательство. Покажем сначала, что /CUP голоморфно
выпукло, если V—выпуклое подмножество V. Пусть V задано
функциями fi, ..., fn-q (т. е. V = {z: f\= ... = fn_q = Q}).
Предположим, что K(]V ф К. Для точки x^KUV существует
такая голоморфная функция ф*, что ух(х)= 1 и цх(у)= 0 для
У^ V.
Пусть М = sup | ух (z) |. Так как К выпукло, то-существует
к
такая голоморфная функция -ф^, что -ф^ (х) = \ и sup | -ф^ (z) \ <
. Тогда *МрЛ*)=1 и suP I Ф^Ф* (z) К 1. Таким образом,
голоморфно выпукло.
J) Здесь отождествляются точки 2еС%A, z)gP (Сл+1), и равенство
/С = СС /С следует понимать так: К ==» Сп f) С (Сп f) С К). — Прим. перев.

256 Гл. 8. Аналитические функционалы
Пусть со — окрестность K{\V. Тогда существуют открытые
голоморфно выпуклые окрестности /С, V и К U V, которые мы
обозначим соответственно coi, оJ и ю3, такие, что (o)i f| w2)cz ю
и (o3cz(o)i U 0J). Множества (O2(](oz и coi f| <^з являются опреде-
определяющими для |ы, а поскольку со3 = (<о2П w3)U(o>i П <о3) голоморф-
голоморфно выпукло, то в силу следствия 8.22 определяющим является
и множество coi П ю2 cz со. П
Теорема 8.32. Пусть К — выпуклый компакт, удовлетворяю-
удовлетворяющий условию (и). Тогда, если К — носитель некоторого анали-
аналитического функционала \х, то это единственный носитель.
Доказательство. Если К — точка, то условие (и) выполнено
и К—единственный носитель |ы, так как по лемме 8.25 каждый
выпуклый носитель содержит /С Пусть теперь К не точка.
В силу следствия 8.26, если /С и L — два выпуклых носителя, то
К П L ф 0. Мы можем тогда считать, что 0 е К П L. Так как
L — носитель, то в К существует точка х, не лежащая в L.
Предположим, что К с= V для некоторого линейного подпро-
подпространства V в О. Покажем сначала, что L лежит в V. Так как
компактное подмножество в V и множество L являются опре-
определяющими для |ы, то по лемме 8.31 определяющим будет
V П L. Поскольку L — носитель, то должно быть L = V fl L.
Пусть iczV — комплексная опорная гиперплоскость в точке
л:ое/С, не содержащая L. Пусть, далее, / — след на V веще-
вещественной опорной гиперплоскости в точке х0, содержащий /.
Предположим, что / задано уравнением Re<2, л*> = 1, где л*
выбрано так, что sup Re (г, Ti*) = a<l. Тогда sup Re (г,
ze=L zeMC+(l-*)L
Л*) ^ Я + A — Я) а < 1. Это означает, что / не пересекает мно-
множество XK + (l— k)L при 0< А,< 1.
*
Пусть ? — комплексная опорная гиперплоскость в точке лго,
такая, что IC\V=L По лемме 8.25, множество XK + (l — A,)L
является определяющим для |ы и, следовательно, ф^ аналитиче-
*
ски продолжается на ?. Но, по следствию 8.30, ф^ не может
быть продолжено на эту гиперплоскость. Получаем противо-
противоречие. П
Комментарии
Использовать преобразование Лапласа для одной комплексной
переменной предложил Э. Борель. Теорема 8.9 для п = 1 при-
принадлежит Пойа [1], а проективное преобразование Лапласа
ввел Мартино [8], изложению которого мы здесь следуем. Тео-
Теорема 8.4 была также доказана Айзенбергом [1]. Другое дока-
доказательство теоремы 8.9 можно отыскать в [В].

Комментарии 257
Исследование определяющих множеств аналитических функ-
функционалов восходит к диссертации Мартино [1, 2]. Наше изло-
изложение близко работе Кизельмана [1] и более поздней работе
Мартино [6]. Оригинальная работа Мартино [1, 2, 3] содержит
много дополнительных результатов, и в ней, в частности, изу-
изучаются понятия, близкие к понятию определяющего множе-
множества — псевдоопределяющие множества, слабо определяющие
множества и т. п.

Глава 9
Операторы свертки
на линейных пространствах
целых функций
Пусть f(z)—целая функция, а |ы—мера с компактным носите-
носителем в С". Оператор свертки ?(/) определяется формулой
(9.1)
Частным случаем операторов свертки являются дифферен-
дифференциальные операторы конечного порядка с постоянными коэф-
коэффициентами (это легко усмотреть из формулы Коши для поли-
диска), а также конечно-разностные операторы Д (/)= 2 kvf X
v=l
X (z — 2(v)), которые получаются, если в качестве |ы взять
X^V6B(V)), где б обозначает меру Дирака (б-функцию).
Нетрудно видеть, что если функция f удовлетворяет опреде-
определенным условиям роста, то и функция |i(f) будет иметь тот же
асимптотический рост. Например, имеет место соотношение
/г* tfAz) ^.hUz), где индикатор берется относительно уточненного
порядка функции f. Иногда можно рассматривать и меры, не
имеющие компактного носителя, но при этом приходится на-
накладывать ограничения на поведение меры |ы на бесконеч-
бесконечности.
Задача, которой мы будем заниматься, состоит в следую-
следующем: пусть задан оператор свертки /а; когда можно отыскать
такую целую функцию f, которая является решением уравнения
(x(f)= g n имеет рост, близкий к росту g?
Как мы уже видели, оценки роста целой функции тесно свя-
связаны с распределением значений, которые она принимает.
В интересующих нас случаях мы будем накладывать условия на
рост в терминах весовых функций, что позволит интерпрети-
интерпретировать нашу задачу как задачу о линейных операторах в опре-
определенных комплексных топологических векторных простран-
пространствах.

§ 1. Линейные топологические пространства целых функций 259
§ 1. Линейные топологические пространства
целых функций
Пусть w(z)—непрерывная вещественная функция в Сп. Опре-
Определим линейные пространства
(9.2) Д. = {/€=50 (С): sup|/(z)exp(-Hz))|<+oo}
(соответственно B*w = {/ е= 5? (СЛ): lim | / (z) exp (-w (z)) | = О}).
Эти пространства становятся банаховыми, если снабдить их
нормой
(9.3) || /1| = sup | / (z) exp (—w (z)) |.
с
Топология в них более сильная, чем топология равномерной схо-
сходимости на компактах.
Пусть теперь {wm(z)} — последовательность вещественных
функций, причем Wm+\{z)^i wm{z). Тогда В* cz В*
/71+1 /71
ОО
a f) В* = Е становится пространством Фреше после наде-
ления его топологией проективного предела.
Лемма 9.1. Элемент пространства, сопряженного к B*wi пред-
представим в виде такой комплексной меры \х в С", что
\ exp w (z) d| fi | (z) < оо. Элемент пространства, сопряженного
с»
оо
к Л В* , представим в виде комплексной меры \i в С , такой,
тп=\ гп
что \ exp wm (z) d | \x\(z) < оо для некоторого m.
с"
Доказательство. Пусть (В* У — пространство линейных
/ оо \' оо
функционалов на В* . Тогда ( П B*w I = U (В* Y, так что
второе утверждение следует из первого.
Пусть Bw = {ge=<&(Cn): lim \g(z)exp{—w{z)) 1 = 0}. Если
снабдить Bw нормой (9.3), то оно станет банаховым простран-
пространством, в котором B*w будет замкнутым подпространством. Ото-
Отображение g-*gexp(—w(z)) задает изометрический изоморфизм
B*w на Со — пространство всех непрерывных функций в Сл,
стремящихся к нулю на бесконечности. Сопряженным к Со
является множество ограниченных мер в С". В силу вышеска-

260 Гл. 9. Операторы свертки
занного сопряженным к Bw будет множество комплексных мер
|ы, для которых \ exp w (z) d \ \х \ (z) < + оо, а по теореме Хана —
Банаха каждый элемент В*^ продолжается на Bw. ?
Комплексной полунормой p(z) будем называть полунорму,
обладающую свойством p(kz) = \k\p(z), X^'C
Пусть р(г)—уточненный порядок, a p(z)—комплексная по-
полунорма в С". Через Ер(г) обозначим пространство Фреше, по-
получаемое с помощью последовательности
(г) + -\\гц ,
а через Е° — пространство, получаемое с помощью wm(z) =
= ||г||1/т. Таким образом, Ер{г) есть, по сути, пространство це-
целых функций, индикатор которых относительно р(г) не превос-
превосходит [р(г)]р, а Е° есть пространство целых функций нулевого
порядка.
tQ(st)
Заметим, что, по теореме 1.18, lim {t) = 1, 0<s<oo,
так что если вместо wm(z) = <p(z) -\ ||г||> взять wm(z) =
= \p(z) + —\\z\\\ , то получим эквивалентную ме-
метрику на Ер(г).
оо
Лемма 9.2. Пусть f(z)=Y, Pa (z) — разложение в ряд Тей-
<7 = 0
лора по однородным полиномам функции f^Ep(r) (соответ-
v
ственно f^E°). Тогда последовательность Av(z)= ? Pq(z) cxo-
q=0
дится к f в топологии Ер{г)(соответственно Е°).
Доказательство. Положим pm(z) = p(z) -\ ||z||, Mm =
и g(z, X) = f(te), IgC.
По интегральной формуле Коши имеем
так что
SUP (n (Z\\
{)R yPmW

§ 1. Линейные топологические пространства целых функций 261
Пусть теперь \iq = mm—^—д—, а /^ — решение уравнения
R
q = prQir). Тогда \iq^eql9lrqq. Обозначим через ф(/) обратную
функцию к гр(г). Поскольку, как показано в первой части дока-
доказательства теоремы 1.23, lim ф ,п - = ?1/р, то для произволь-
ного ц > 0 существует такое число q^, что при q ^ q^ будут
иметь место оценки
Далее, существует такое число бт > 0, что pk/pm > (I
при k< m. Положим
V = sup | Я, (г) ехр (- (pk (z))p ^
z
Тогда
A + Om) Мч7 A + 6m)
Поэтому ряд YjXqk сходится и, значит, A4->f в топологии
^7=0
?р(г). Доказательство для ?0 точно такое же. ?
сю
Пусть /е?р(г), a f(z)= X ЛДз) — разложение функции /
по однородным полиномам в нуле. Пусть, далее, ср(/) снова обо-
обозначает обратную функцию к г^г\ Положим A{qQ) = f i2i22L.J
оо
ft(z) = Yj A{q]Pq(z). Рассмотрим функцию ft{kz) как функ-
q=0
цию одного комплексного переменного X. По теореме 1.23
ряд для ft (кг) сходится при |Я,| < р(г). Таким образом, ft^2e(D),
где D= {z:p(z)<i 1}, и, как показано в теореме 7.14, отобра-
отображение f — ft является на самом деле отображением на Ж{В).
Если в Ж(О) введена топология равномерной сходимости на
компактах, то из (9.4) следует, что отображение f-+ft является
топологическим изоморфизмом Е9Р{Г) на 3e(D). В случаях когда
уточненный порядок будет фиксирован, зависимость А от р(г)
отмечаться не будет.
Пусть |ы — непрерывный линейный функционал на Ер{г\
Определим тогда непрерывный линейный функционал jm^ на

262 Гл. 9. Операторы свертки
) по формуле (ft, \xt) = (/, \х). Тем самым определен изо-
изоморфизм сопряженных пространств. Пусть Km— выпуклый ком-
компакт Km= {z: pmB)< 1}, и пусть рт = sup Re(z, и). Это
тоже комплексная полунорма, причем рт+1 (и) > р'т(и). Пусть,
далее щ(и) = [х/(ехр<г, м» — преобразование Фурье — Бореля
функционала щ. Поскольку некоторое Km является определяю-
определяющим множеством для \\t, то, по теореме 8.9,
Ми)<Стехр[/4(и)] ПРИ т>тъ-
Так как во введенной на Ж(Р) топологии ряд Тейлора функ-
функции / сходится к /, то
Если теперь применить теорему 1.9 к функции уи(и), имеющей
на прямой {Хи} порядок 1 и тип не выше рт(и)9 то получим, что
p{J|J|p^ при m>m,i .
Из соотношения iit(za)=-?—ц(^а) следует, что |ie(?j(r));
л|а|
(соответственно (?"°)) тогда и только тогда, когда
(9.5) H
Для функционала ней1'1)' (соответственно (f0O) определим
преобразование Фурье—Бореля как формальный степенной
ряд
Вообще говоря, этот ряд сходиться не обязан, так как если
р< 1,то ехр(г, и) ф Ер{г). Однако (9.5) дает возможность оце-
оценить рост коэффициентов этого формального ряда.
Пусть р(г) — уточненный порядок, р(г)->-р> 1. Будем пред-
предполагать, что
О Р(г)>1;

§ 1. Линейные топологические пространства целых функций 263
Поскольку для достаточно больших г эти соотношения обя-
обязаны выполняться, такое предположение не ограничивает общ-
общности. В этом случае уравнение г = /р(')-1 имеет единственное
решение для любого г ^ 0.
Определение 9.3. Сопряженным уточненным порядком для
р(г) будем называть функцию р* (г) = р _ { , где / — един-
единственное решение уравнения г = fpo-i.
Предложение 9.4. Для р > 1 сопряженный порядок действи-
действительно является уточненным порядком.
Доказательство. Сначала заметим, что предел limp*(r) =
= р/(р—1) существует, так что пункт i) определения 1.15
выполнен. Далее, имеем
= (
dr p V) dt p@— 1 V dt
откуда
(последнее равенство справедливо, так как p(t)—уточненный
порядок) и, стало быть, пункт и) определения 1.15 тоже вы-
выполнен. ?
Пусть р>1. Положим Гр = (р— 1)(р~1)/р/р, Ff4r) = \}E?>{rl.
р m pm p
Теорема 9.5. Отображение [i-^[i(u) является биективным
линейным отображением {EQp{r)Y (соответственно (Е0)') на
i) F${Tr)Qi если р> 1;
ii) множество Qpr) формальных степенных рядов в начале
координат, удовлетворяющих (9.5) для некоторого т, если
р < 1 (соответственно множество Qo формальных степенных
рядов в начале координат, удовлетворяющих (9.5) при некото-
некотором р > 0).
Доказательство. Пункт ii) является просто переформули-
переформулировкой уже отмеченных фактов, так что нужно доказать только
первую часть.

264 Гл. 9. Операторы свертки
Пусть ф (q) = rq — корень уравнения q = rQq(r<i\ Так как
Л\/а Ф (q)
Aaq= .и. , имеем
Положим r'q = r9q(ri)~l. Тогда
q
Р*К) »ов< = Р*И^) ^К^)-1) = Р (г,) [р (г,) - I]"' X
X log (<(r")-1) = Р (г,) log rq = log q.
Обозначим через фг@ обратную функцию кгр*(гК Из получен-
полученных соотношений следует, что
д 1 у,—1 q/(<7)
Отсюда вытекает, что рассматриваемое отображение инъектив-
но, а поскольку все вычисления обратимы, оно биективно. ?
Пусть [I e (?р(г))'. Для любого другого функционала v мож-
можно определить свертку т= [i*v как функционал на Ерр{г\ дей-
действующий по формуле (f(z),\x*v) = (\\wf(z-\-w)yv). Эта опера-
операция эквивалентна свертке мер, ассоциированных с [i и v, так
что [i*v = v * \х. Про функционал \i*v мы можем пока сказать
только, что он определен на плотном множестве в EQp{r\ состоя-
состоящем из полиномов. Нетрудно проверить равенство т (и) =
= \x(u)v(u) в смысле формальных степенных рядов.
Лемма 9.6. Пусть [i—произвольный элемент из {Ер{г))' (со-
(соответственно (Е0)') при р < 1 или такой элемент (Ер{г))' при р>
> 1, что \ exp(m\\z\fm))d\ii\(z)^Am для каждого /neZ+.
с*
Тогда отображение Д, задаваемое формулой {i (/) =/ * [i =
= \ f(z + w)d[i (w), является непрерывным линейным отобра-
с»
жением Ер в себя.
Доказательство. Выберем m так, чтобы интеграл \ exp(pm_iX
сп
X (z))d| [i |(z) был конечным. Положим a(z)= pm(z)i р(ш) =
= pm(w), y(z, w) = a(z)-\- $(w). Тогда существует такое число
Afm > 0, что |/(г)| ^ Mmexp(a(

§ 1. Линейные топологические пространства целых функций
265
Пусть сначала р > 1. Выберем такое число бт > 0, что
Pm-l(z)[pm(z)]-1 > 1 +б Т
с"
ехрар
w) d\x (w)
exp{vp(Y) — ofiW}d\i(w)
Имеем
Далее, по теореме о среднем,
rQ(r) __ 'p(r')
d\ix\(w).
(9.6)
= [tp' (t) log / + p (/)] /P^)"
для некоторого /e[r',r]. Так как /р('Ы — возрастающая функ-
функция (р > 1), то при р ^ 6ma имеем
_ a
P(a)
и, значит, в силу условия на jn справедливо неравенство
Пусть теперь р < 1. Можно считать, что гр(г)-1 — убывающая
функция и что -j"rP(r) < rPW-1, поскольку асимптотически это
так. Пусть 0 ^ а ^ Ь. Положим в приведенной выше формуле
(9.6) г = а + 6, г' = Ь. Для некоторого ^ ^ Ь получаем
так что (a + &)p(*+*) ^ a^a) +
' (z -{- w) d\x (w)
откуда следует, что
М~х
exp (p
ex
p (p
\ (w). П
Определение 7.7. Оператором свертки jui в пространстве Ер{г)
(соответственно ?°) будем называть произвольную меру из
(?"р(Г)У, если р< 1 (соответственно из (Е0)' для Е°), и произ-
произвольную меру из(??(г))', для которой f exp(m\\z\\^^zll))d\\x\(z) =
сп
= Лт < оо при всех т > 0, если р > 1.

266 Гл. 9. Операторы свертки
Мы хотим показать, что если \х — оператор свертки в любом
из упомянутых пространств, то можно найти решение f уравне-
уравнения \i(x)=fy принадлежащее тому же пространству. Это экви-
эквивалентно утверждению, что jl отображает Е9Р{Г) на себя. При
доказательстве этого факта будем пользоваться следующим
принципом двойственности.
Предложение 9.8 (см. [G]). Пусть а — непрерывный линей-
линейный оператор из пространства Фреше Е в пространство Фреше
F. Тогда следующие два утверждения эквивалентны:
i) оператор а сюръективен\
и) сопряженный оператор *а: E'-+-F', действующий по фор-
формуле (f, 'а(|ш)) = (a(f), jn), осуществляет биекцию на свой об-
образ, который слабо замкнут в F'. Если вдобавок оператор 'а
сюръективен, то а является биекцией.
Для оператора свертки jl сопряженный оператор задается
сверткой v->-|ui*v. Замкнутость его образа в соответствующем
пространстве была, по сути, доказана в теореме 9.5; нужно
только ввести топологию в рассматриваемых пространствах. При
р-< 1 снабдим Q$r) (соответственно Qo) топологией покоэффи-
циентной сходимости. Эта топология эквивалентна топологии
сходимости на полиномах в {Е9Р(Г)У и, следовательно, слабее, чем
слабая топология. При р > 1 в Fp*{Tr) введем топологию сходи-
сходимости коэффициентов рядов Тейлора в каждой точке С". Если
ji()преобразование Фурье—Бореля функционала jli, а
а(и — ио)а — его разложение в ряд Фурье в окрестности
точки ио, то Са = ц1 -^у-ехр(;г, и0)), так что введенная топология
также слабее слабой топологии.
§ 2. Теоремы деления
Лемма 9.9. Пусть Аа (и) = Д+7 ч однородный полином сте-
пени q, являющийся отношением однородных полиномов степе-
степеней q + m и m соответственно. Пусть, далее, \Bq+m(u)\^
^ C[po(u)]q+m для некоторой комплексной нормы ро(и).
Тогда для любого б > 4 найдется такая постоянная К6 (за-
(зависящая только от Ст и б), что \Aq(и)| ^ СКЬ [ро(и)]qA +
+ б)+
Доказательство. Обозначим через Q множество {и: 1 — 6^
о
^ Ро(и)^ 1 +б}. Для каждой точки ией можно найти такой
полидиск А (и, ги) (если нужно, произведя нелинейную замену
переменных) с центром в точке и, лежащий в Q, что

§ 2. Теоремы деления 267
m( У \\ ||
/=1, ..., /г—1 (см. [А]). Положим й' = {и: ро(и) = 1}, Л^ =
= Д(и, г"/2). Поскольку Q' — компакт, его можно покрыть
конечным числом множеств Д'/, /=1, ...,N. Функция 1/Ст(и)
ограничена (скажем, величиной /С6/2) на компактном множестве
Предположим, что функция Aq достигает своего максимума на
Q' в точке и0. Тогда и0 е А' / при некотором /. По формуле
Коши
h 6)q+m. П
Теорема 9.10 (теорема деления для р<1). Пусть Н(и),
F(u)^Qp{r) при р<1 (соответственно Qo), причем Н(и) =
= F(u)G(u), где G(u)—формальный степенной ряд в начале
координат. Тогда G(u)^QQp{r) (соответственно Qo).
Доказательство. Пусть е>0 — заданное число, и пусть G(u) =
= Z Rq(u), H(u)=Yj pq(u)> F(u)=lL Tq(u), а 5-наимень-
^7=0 <7=0 ^7=0
шее целое число, для которого Ts (и) Ф 0. Выберем число т0
столь большим, чтобы при m ^ то выполнялись соотношения
(9.5) для Н(и) и F(u). Так как при некотором ц > 0 справед-
справедливо неравенство рт (и) !> рт, (и) + г\ \\ и ||, m ^ m0 + 1, то най-
найдутся такие постоянные С\ и С2, что
Поскольку Pq+s(u)= ? Ri(u)Tk+s(u), то

268 Гл. 9. Операторы свертки
Покажем по индукции, что существуют такие постоянные Кя>
что Kq-\ ^ Kq, причем Kq = Kq-\ при q ^ qy и для некоторого
б > 0 имеет место оценка
[ф
ер
Для q = 0 по лемме 9.9 получаем
Далее, вводя обозначение ?(/¦)= г1-р(г), для достаточно боль-
больших ^ имеем
гф(?+*> i«+e _ fr. «,+, _ г ф (?) i"+s reewi*+s ^
где константа Со не зависит от q (для q = 0 нужно заменить
<p(q)/q на 1). Отсюда следует оценка |#<,(ы)| для <7 = 0. Пред-
Предположим, что требуемое неравенство справедливо при q ^
^ q0— 1. Тогда, по лемме 9.9,
R«(u)\<\Ta(u)r1tiPtlt+,{u)\+
L
L [ф (* + / + .)!*+'+• J X
Qo+S

§ 2. Теоремы деления 269
Будем считать, что функция ?(г)= г1-^ возрастающая.
Поскольку асимптотически это так, мы не теряем общности.
Для простоты обозначим i = k + s, j' = Qo + 5> a = p A —
— р)~У2. Поскольку j = r9Srti и qp(/) = >*/, то
[MO]'MO]'] I1 _[?('/)]"'[?('/)]-'
L [Ф(я]' J/v UMJ LeWJ f
если / + i = /. Предположим сейчас, что i ^ 3//4. Так как при
больших г имеет место неравенство -т-[?(г)]а^гзр/8~1 и lim X
>/г1-р(г)/4_. гр<г)/4= ?? то для достаточно больших / получаем
К(г/)]а— К(г|)]«= J -^г K(r)pdr> J -|:B(r)]«rfr>
rt r3//4
гЗ//4
Таким образом,
К(о)]а - К (г»)]« > У[l - (тIМ] =
При i ^ 24a имеем
J
где у ^2 За (так как [?(п)]а = 0(ix'2**) при е>0).
При /^24а+1 и p = 2max?(rt) имеем (так как р < 1)
С('/)
для достаточно большого q0 (а следовательно, и /). По сим-
симметрии справедливы аналогичные неравенства с заменой i на /.
Возьмем q0 столь большим, что г/б/ , \3 ^(З^о). Тогда по-
скольку при достаточно большом qo = l + k либо /, либо k + s

270 Гл. 9. Операторы свертки
больше 24а, то
до
Индукция закончена. Таким образом,
lim sup {—
^
для k ^ m. Теорема доказана. ?
Теорема 9.11. Пусть f и g— целые функции конечного типа
относительно уточненного порядка р(г), причем g имеет мини-
минимальный тип. Если k = f/g — целая функция, то /i* (z) = h* (z).
Доказательство. Очевидно, f = kg. Поскольку функция ми-
минимального типа всегда имеет регулярный рост (см. гл. 4), то
из теоремы 4.3 следует, что
qB) = h\(z) + h*g(z) = ffk(z). а
§ 3. Операторы свертки в пространствах Е9Р{Г) а Е°
Намеченная нами стратегия основана на применении принципа
двойственности (предложение 9.8). Приступим к реализации
этого плана.
Теорема 9.12. Пусть (i—оператор свертки в EQp{r) (соответ-
(соответственно Е°), р?= 1. Тогда уравнение (x(x) = f с f<=Efr) допус-
допускает решение ^g ?p(r) (соответственно Е°).
Доказательство. Сопряженный с jl оператор переводит функ-
функционал v в |i*v. Предположим, что |ш * vi = |л * v2. Тогда
jl(и) v{ (и) = \х (и) v2(и) и, следовательно, \i(u)(vi(u) — $г(и)) =
= 0 как формальный степенной ряд. Но произведение двух
степенных рядов равно нулю тогда и только тогда, когда один
из сомножителей есть нуль. Если Д,(и) = 0, то и |л = 0, по-
поскольку полиномы плотны в Е9р{г) (соответственно Е°). Таким
образом, V[(u) = V2(u)y откуда vi = v2 на полиномах, так что
vi s V2. Поэтому рассматриваемый оператор инъективен. Пока-
Покажем, что его образ слабо замкнут.
Предположим сначала, что р<1. Пусть {а^} = {\x*V}} —
последовательность в образе, такая, что а*, слабо сходятся к не-

§ 3. Операторы свертки в пространствах Е^ и Е^ 271
которому функционалу ао. Обозначим
Sx (и) = I Ркя (и), ji (и) = Z Тя (и), vl (и) = Z *$ [(и).
q = 0 q=0 q=0
Пусть 5 — наименьшее число, для которого Ts Ф 0. Тогда в силу
равенства формальных степенных рядов а%(и)=
имеем
RUu)Tk+s(
u)\
J
Докажем индукцией по q, что RKq{u) сходятся к некоторому
полиному RQ(u). Для q = 0 это следует из леммы 9.9, а если
это верно для всех q ^ qo—1, то результат для q0 получается
после повторного применения леммы 9.9. Поэтому ао(и) =
= ?(и)?(и), а из теоремы 9.10 следует, что x(u)^Qp(r) (соот-
(соответственно Qo), и, значит, ао = |х«т, где т g (Яр(г))' (соответ-
(соответственно (Е°У). Тем самым образ слабо замкнут.
Предположим теперь, что р>1, а <х>\= \*>*V\ — последова-
последовательность из образа, слабо сходящаяся к элементу а. Тогда
имеет место равенство в целых функциях йх(и)= ii(u)v\(u).
Для геСл пусть
оо оо оо
У Т B. Li') У РХ (Z Li') У ftX (Z U')
^=0 <7=0 <7=0
— разложения в ряд Тейлора в точке z функций ji(w), а^(^),
\\(и) соответственно. Пусть 5 — наименьшее целое число (зави-
(зависящее от г), для которого Ts(z> и')Ф0. Тогда, как и в преды-
предыдущем случае, RKq(z, и') сходятся к пределу Rq(ziu/) при
всех q и
R (z и') = \Т [7 и'\\~~*ГР (я. и') У !?,{? и'\Ти (у
i\q ^<с, и ) \L s \^t u /J I ? q+s \Л» ** / LmU А/ \<^, и ) i fc + s \^j
Покажем теперь, что ряд Z Rq (z> u') сходится в окрестности
точки и' = 0.
Пусть А (г, г)—полидиск с центром z полирадиуса г, такой,
полином Ts(z,u') не обращается в нуль. Положим 1/К =
= min| Ts(z, и')\. Существует такая постоянная С ^ 1, что для
А
«7ЕА(г,г) при достаточно малых п, ..., гп справедливы оценки
\Ря(г, Г/ЖС.2Л \Тя(г, и')
что на множестве
- "'']¦

272 Гл. 9. Операторы свертки
Покажем по индукции, что в поликруге А7 = А (г, г/2) спра-
справедлива оценка \Rq(z,u/)\^DCK)q. По формуле Коши имеем
Rq(Z, «о |< J \[Pq+s(z, «;,...,<_„ у -
I in-"n 1 =гп
l + k = q
х[г,(«;....,<.„ у]-'(?«-<)-Ч^'
так что для <7 = 0 оценка получается сразу, а если она уста-
установлена для q— 1, то далее получаем
\Rg(z, u')\^2KDCKL~lZ (l/2)n<DCff)*.
Таким образом, частное а(и)/\х(и)= F(u) является на самом
деле целой функцией, а из теорем 9.11 и 9.5 следует, что
F(u) = v{u) для некоторого v^(E9pir))\ так что образ слабо
замкнут и теорема доказана. ?
§ 4. Дополнительные результаты
об уточненных порядках при р > 1
Для сильных уточненных порядков мы сможем улучшить полу-
полученные выше результаты. Важным моментом здесь является
тот факт, что, согласно предложению 1.22, функция г^г\ где
р(г)—сильный уточненный порядок, является выпуклой, так
что если взять ее композицию с плюрисубгармонической функ-
функцией, то полученная функция тоже будет плюрисубгармониче-
плюрисубгармонической. В частности, если p(z)^0 — опорная функция (т. е.
p(tz)= tp(z), t > 0, p(zi + z2)=^ p{ri)+pB2)), то ее можно
представить в виде р (z) = sup Re (г, и) для некоторого выпук-
лого компакта /С, так что функция р(г) плюрисубгармонична,
а значит, плюрисубгармонична и функция (p(z))^p(^z)\ Отметим
также, что если p(z)—комплексная норма, то logpB)—плю-
рисубгармоническая функция и функция (р(г))Р^г)> плюрисуб-
плюрисубгармонична при любом р (в силу предложения 1.22). Сразу
трудно объяснить, почему для р < 1 нужно брать комплексную
норму, а при р > / — положительную опорную функцию. Это
будет видно из дальнейшего.
Пусть Pm(z) = p(z) + ±\\z\\. Тогда Km = {z : pm(z) < 1} -
выпуклый компакт, a prm(z) = sup Re(u, z)— положительная
ые=Кт

§ 4. Дополнительные результаты 273
опорная функция, причем p'k^p'm при k^m. Пусть wm(z) =
= (Pm (*))Р iPm (г))> < (z) = (P'm (*)/ ^<г))- Положим ?P W =
oo oo
== П fi^ t Fj/ = U 5*'. Снабдим ?п(Г) топологией проектив-
ного предела; при этом получится пространство Фреше. Про-
Пространство Fpr) наделим топологией индуктивного предела.
Пространство непрерывных линейных функционалов на Fpr)
oo
есть (Fpr)Y = П (В* > V, и если в каждом (В* ,Y задать то-
пологию с помощью нормы
(9.7) 1М|т= sup |v(/)|,
то пространство (Fpr)Y можно снабдить топологией проектив-
проективного предела, с которой оно становится пространством Фреше.
Лемма 9.13. Любой элемент а <= (Fpr))' представим в виде
меры ц, удовлетворяющей условию \ ехрдо^яП ц |<оо при всех пг.
Доказательство. Напомним, что мы обозначаем через Bw'
пространство непрерывных функций k(z), таких, что
lim |б(г)ехр(— w'm(z)) \ = 0. Мерой Коши vY назовем функ-
г|| -> оо
ционал интегрирования по спрямляемой замкнутой кривой у»
лежащей на некоторой комплексной прямой. Отметим, что за-
замыкание линейного подпространства, натянутого на меры Коши,
есть (B*,\Ly так как если / — непрерывная функция и vY(/) =
V wm)
= 0 для любой меры Коши, то f голоморфна на каждой ком-
комплексной прямой по теореме Мореры и, следовательно, голо-
голоморфна всюду по теореме Хартогса (см. [В]).
Заметим, что [[ v|[m+1 ^|| v||m. Пусть \х{ представляет- а
в (Bw'\, a \x'2 представляет а в(ВЛ'. Тогда мера (^ — ^О орто-
ортогональна к Bwr, так что существует такая конечная линейная ком-
комбинация мер Коши v2, что || |х^ — \х{ — v2 j^ < 1/2. Положим \х2 =
^1^2"~V2- Подобным же образом построим меры \iv ..., м-m-it
так что llM'm-i~-M'm-2L-2< l/2m~2. Пусть [im представляет а
в Bw> . Можно найти теперь такую конечную линейную ком-

274 Гл. 9. Операторы свертки
бинацию мер Коши vm> что \\ifm — vm - \im_l\m_l < \j2m~\
Положим \xm = \x'm — vm. По теореме Хана — Банаха продолжим
без увеличения нормы функционал \im до функционала jlm на
все В^' . Тогда существует lim jlm в каждом В * . Если обоз-
m m->oo m
начить этот предел через \х, то он и будет искомой мерой. П
Следствие 9.14. Если в (Р9Р'(Г))' введена топология простран-
пространства Фреше, то ((Fpr))'y = Fpr).
Доказательство. Пусть а?%°°(В @, 1)) — неотрицательная
функция, зависящая только от ||г|| и такая, что \ a(z) dx (z) = 1.
Для элемента \х е (Fpr))', который по лемме 9.13 является ме-
мерой, положим A = [х * а. Тогда jl есть ^^-функция. Кроме того,
для голоморфных функций м-(И= fJt(/*a)= \i(f)t так как если
оо
/ голоморфна, то f*a = f. Поэтому {Fpr)Y = fl Qm> гДе Qm —
пространство функций k(z) в LCn, таких, что \ exp{w'm(z)) X
X k(z)dx(z) < оо. Так как элементы пространства, сопряжен-
сопряженного к Qm, являются просто функциями, то остается показать,
что эти функции принадлежат Fpr\
Пусть h (z) — такая функция. Так как h^Q'm, то /г(г)Х
X ехр(— w'm{z)) ограничено почти всюду, и, следовательно, при
га > m имеем lim \h(z) exp(— wL(z)) 1 = 0, если г->оо вне
||г||->оо ' \ m ; \
||
некоторого множества нулевой меры.
Если aY — мера Коши, то aY(/) = 0 для любой функции
f^Fpr), так что aY(A) = A(aY) = 0. Тогда по теореме Мореры
функция h голоморфна. Доказательство завершено. ?
Лемма 9.15. Пусть р(г) — сильный уточненный порядок для
р > 1, а г] (г)—такая неотрицательная функция, что
lim r""p(r)rj(r) = O. Тогда существует такая положительная функ*
/•->оо
ция 1(г) с неотрицательными первой и второй производными,
что Ъ(г)> Ц(г) и limr"p(r)g(r) = 0.
Г-»оо
Доказательство. Пусть {ет} — убывающая последователь-
последовательность положительных чисел, причем lim em = 0» а {rm} — та-
m->oo
кая возрастающая последовательность, что ц(г) ^ em+irP(r) при
г ^ Гщ. Без ограничения общности можно считать, что
-jff9(r) и -фТг9{г) всюду неотрицательны.

§ 4. Дополнительные результаты 275
Построим сначала кусочно линейную функцию 1\(г). По-
Построение проводится по индукции. Пусть щ=\. Положим
\х(г) = max (т|(г), e^pW) для г ^ г\. Если ?i(r) построено
<2
для г ^ Гщ так, что 1\ (г) ^ ет_!гР(г) при rm-\ ^r ^rm, то на
отрезке [rm>rm+i] определим gi (r) следующим образом. Про-
Продолжим 6i(r) линейно, если не существует такого /?me[rm,
rm+\], 4T0ll(Rm) = em-\Rm - Если же такое /?т найдется, то,
задавшись некоторым числом б > О, начиная с точки Rm,
на каждом отрезке [Rm+(q—l)&, Rm + q&]. q^N,
возьмем наклон линейного участка графика 6i(r) равным
~нр{ет-1г9(г)}ц +(^-1N- Если взять б достаточно малым, то мож-
можно добиться, чтобы на интервале [rm, rm+i] выполнялось нера-
неравенство ?i(r)^ emrP(r). Построение завершено. Очевидно, что
?i(O^ 41@ и чт0 Для любого m при достаточно большом г
будет выполнено ?i (г) ^ гтг^г\ Пусть а (г) обозначает то же,
что в следствии 9.14. Положим I (г) = \ |1 (г') а (г — г') dr'.
Так как функция gi (г') выпукла, то | (г) ^ |i (r) и, следователь-
следовательно, ?(г) удовлетворяет предъявляемым требованиям. ?
Прежде чем продолжить рассуждения, заметим, что если
р(г)—сильный уточненный порядок (р>1), то сопряженный
уточненный порядок р*(г) также является сильным. Предоста-
Предоставим читателю самому произвести соответствующие несложные
выкладки.
Теорема 9.16. Преобразование Фурье — Бореля устанавли-
устанавливает изоморфизм между пространствами
i)
ii)
где тв
Доказательство. Пусть ve(^(f))'. Тогда по лемме 9.1 су-
существует такое целое число т, что | v (f) | ^ Cm sup X
X | f (z) exp (- (Pm {z)f ("•» (г)>) J. Таким образом,
| v (и) I < Cm sup | exp ««, г) - (pm (г))р ("«(г)>) | <
Z
<Cmexp(sup( sup (Re(«,2)/-/P(')}))<
<>0 PmB)=l
<Cmexp ;(<))
t

276 Гл. 9. Операторы свертки
Далее имеем 4гШи^ ~ f ^H*» -(р'@ log t+?f
Xt9ii), а поскольку р(/)->-p и tp'(t)logt-*0, то рассматривае-
рассматриваемая функция при больших значениях \\u\\ имеет абсолютный
максимум. При 8>0 и достаточно большой величине ||и|| (за-
(зависящей от б) этот максимум достигается в точке /м, в которой
^L, где |6(и)|<6,иравен
у м-1 _ f
Q*(k(u)p' (и))
Эта величина не превосходит [(т + е)р^(#)] , где е->0,
при б->0, а 0 < а ^ k(u) ^ b < +°°- Поэтому, согласно тео-
теореме 1.18, при больших ||и|| этот максимум не превосходит
(' )
[+] • Следовательно, отображение v->v(u)
пространства (Ер{г))' в F^r) инъективно. Аналогично доказы-
доказывается инъективность отображения v-^v^u) из (Fpr))' в Е%{г\
Покажем, что это отображение сюръективно. Пусть х есть
2/г-мерный вектор вещественных координат точки z. Положим
ф (v) = sup (*! Im vx + ... + лг2л Im
/С
где К= {z: Re<2, u> ^ р(и), ие,Ся}. Тогда ф(у)—плюрисуб-
ф(у)—плюрисубгармоническая функция в ,С.2я и функция 0(у)= (ф(у) )р(ф(°»
также плюрисубгармоническая.
Пусть У7 (и) е ?р(г). Обозначим через т|(г) величину sup X
X (sup (log] F (м) | — (р(и))р(р(и)К 0)). Из леммы Хартогса (а
точнее, из следствия 1.32) вытекает, что на компакте {||и|| = 1}
при г > Rm справедливо неравенство р(г)
р(г)
Тогда, по теореме 1.18, lim т|(г)г~р(г) = 0. В силу леммы 9.15
Г->оо
можно найти такую положительную выпуклую возрастающую
функцию g(r), что ljm 1(г)г"р(г) = 0 и ?(r)^T|(r). Положим
Г->оо
Ф*(о)= sup (x,Imo, + . .. + x2nlmo2n),l*(y)= !(ф*@))- Всилу
вышесказанного функция |*(у) плюрисубгармонична в С2/х.
Пусть теперь S есть /г-мерное подпространство {у =
= (шь —мь • • •, шя, — мя)} в .С.2я, и пусть
w (шь — мь ..., шп> —un) = F (ии ..., мп).

§ 4. Дополнительные результаты 277
Тогда \w(v) ] ^ С0ехр(9(у)+ l*(v) ) на 2, так что для е > О
имеем
J | w (v) |2ехр (- 29' (и)) йт (о)< оо,
2
где Q'(v)=Q(v)+l*(v)+\og(l + \\v\\2)n+e. По теореме 7.1 мы
можем найти такую целую функцию W в С2/\ что W = w на
2 и
C2n
где 9"(u) = sup Q'(v'). Отсюда, используя неравенство^
Шварца (см. лемму 3.47), заключаем о существовании такой,
постоянной С^ что
| W (v) | < С; A +1| v ||K/I+eexp9'" (v),
где 9'" (v) = sup 9" (v').
Пусть а — сглаживающая функция, введенная в следствии
9.15. Положим
(9.8) a (v) = J а (х) ехр (- * (xxvx +...+ x2nv2n)) dx (x).
Тогда a@)=\a(x)dx(x)=l, а поскольку а зависит только от
IIл:II, то a(v) есть функция от у2+ . . . + v\n. Таким образом,
й(и)= 1 на 2. Интегрируя несколько раз по частям, из (9.8)
получаем, что | a (v) К —ъ ехр (е (| Im vх \ + ... + | Im v2n I ))•
Если мы теперь обозначим Ф = a-W, то W =W на 2 и
(9.9) \W(x)i<-—?-^
Положив
11 (х) = ~уг \ ехр A (х, о + «V» t (о + «V) dr (v),
R2tl
получим по теореме Пэли — Винера непрерывную функцию, не
зависящую от v\ преобразование Фурье — Лапласа которой сов-
совпадает с W (т. е. W(v)= ^ ехр (— i (xxv{ + ... + x2nv2n)) X
Итак, преобразование Фурье—Бореля функции \х(х) есть
w(v)= F(u), и, если повторить проделанные выше вычисления^

278 Гл. 9. Операторы свертки
из (9.9) следует, что
11 (х) < Km exp (inf Црт (н))р <"« (н)> - Re (и, *>]) <
Поэтому n(jt)e(F?J'(r|)' и, значит, отображение O?*P'(r))' ->Epp(r)
¦сюрьективно. Поскольку
и р**(г)=р(г), то сюръективным будет и отображение
{Fpr)y-> E?yr). Аналогично доказывается сюръективность ото-
отображения №>)'-> Ffyr).
Следовательно, v->v является непрерывным отображением
пространства Фреше (fp'(r))' на ??р(г), откуда, в силу предложе-
предложения 9.8, вытекает, что сопряженный оператор из (??р(г))' в Fpr)
осуществляет биекцию на свой образ, который слабо замкнут.
Поскольку мы установили, что этот оператор сюръективен, то
тем самым доказано, что рассматриваемое отображение — изо-
изоморфизм. ?
Следствие 9.17. В пространстве Ер(г) плотны подпростран-
подпространства, натянутые на
i) ехр<и, z) для и е К, К Ф {0};
И) 2аехрОо, z} для всех мультииндексов а (в частности,
экспоненты и полиномы плотны в Е9р{г)).
Доказательство. Пусть ve (E9p(r)). Если v(expO, г>) = 0 для
и^ К, то v ss 0, откуда следует i). Далее г(гаехр<г, иоУ)= Са,
где Са — коэффициент при (и — ио)а в разложении v в ряд
Тейлора в точке и0. Если Са = 0 для любого а, то v = 0, от-
откуда следует И).
Теорема 9.18. Пусть \х е= (??(г))', где р(г)—сильный уточ-
уточненный порядок с р > 1, a p(z)—неотрицательная опорная
функция. Предположим, что функция \х имеет минимальный тип
относительно р*(г). Тогда сверхточное уравнение (i(x)= f имеет
решение g е Е9р(г).
Доказательство. Отображение v->p,*v взаимно однозначно
и, как нетрудно показать, повторяя вторую часть доказатель-
доказательства теоремы 9.12, имеет замкнутый образ. Остается только
применить предложение 9.8. ?
§ 5. Случай р = 1
До сих пор мы рассматривали уточненные порядки для р < 1
или р > 1. Случай р = 1 намного сложнее. При р ф 1 функция

§ 5. Случай р = / 279
rp(O-i либо убывает, либо возрастает; при р = 1 этого утверж-
утверждать нельзя, нужны дополнительные предположения. В некото-
некотором смысле это отражает то обстоятельство, что главную роль
в этой теории играют экспоненты. Мы не будем здесь рассмат-
рассматривать уточненные порядки, а предположим, что p(r)s 1.
Пусть p(z)—опорная функция некоторого компакта КУ
а Ер — пространство Фреше, которое получится, если взять
wm (z) = p(z) H 1| 21|. Преобразование Фурье — Бореля меры
\х^Ер обозначим через /^ (т. е. /^ (и) = |i(exp <z, и})). Если
т = v*\i — свертка мер \х и v, то М") = Ы") 'fAu)-
Пусть g — произвольная функция, голоморфная в окрестно-
окрестности со множества К. Тогда по теореме 8.9 эта функция опреде-
определяет с помощью проективного преобразования Лапласа непре-
непрерывный линейный оператор Qg из Ер в Ер:
Лемма 9.19. Пусть -ф2о = 8ехр Bо и> для zo^K. Тогда линей-
линейный функционал Т2о на Ж (К), определяемый ^2о1\ есть 8-функ-
ция в точке 2о.
Доказательство. Пусть f — представитель элемента f^
^Ж(К), заданный в некоторой строго выпуклой окрестности о>
множества /С. Так как со — область Рунге, то f можно равно-
равномерно приблизить полиномами в открытой окрестности /С, а по-
скольку z= lim -—f1—, то / можно равномерно приблизить
1М-»о л
экспонентами. Далее, поскольку (см. теорему 8.9)
то Г^о (ф) = ф (z0) для экспонент. Равномерно аппроксимируя
экспонентами в окрестности К заданную функцию /е<3{?((о)у
получаем требуемое утверждение. ?
Лемма 9.20. Пусть v е Е'р, a /v—преобразование Фурье —
Бореля функционала v. Тогда линейный оператор Qf : Ep-*EPt
определенный выше, сопряжен со сверткой v * \х (т. е. (Qf (F)>
О (F ))
1) См. лемму 8.6. — Прим. перев.

280 Гл. 9. Операторы свертки
Доказательство. Функционал [х представим в виде такой
меры, что \exp(p(u) + s\\z\\)d\\i\< <х>. Тогда по теореме Фу-
бини
v(F(u))= \' piexpiz, u))-—
где со — строго выпуклая окрестность /С. Таким образом, (ы пол-
полностью определяется своими значениями на экспонентах
ехр<2, и) для z из некоторой окрестности /С Выберем окрест-
окрестность со столь малой, чтобы /v было определено и ограничено
в о. Тогда для zo e о имеем
(Qfv(exp(z0, и», |х) =
5 |
2(ft)) dg0
= fv Bo) jx (exp <2o, и» = fv (z0) f^ (zq). D
Теорема 9.21. Пусть функционал v e ?p» a v — отвечающий
ему оператор свертки. Тогда для любой функции F^EP суще-
существует функция G е Ер, являющаяся решением уравнения
v(x) = F.
Доказательство. Отображение \i-*fii является взаимно одно-
однозначным отображением Е'р в Ж {К). Введем в Ж (К) топологию
сходимости тейлоровских коэффициентов в каждой точке /С.
Эта топология не слабее топологии, эквивалентной слабой то-
топологии в Е' поскольку для мультииндекса а имеем
Еоли fj^ — последовательность, сходящаяся к некоторой
функции g^3e(K), то, как и при доказательстве теоремы 9.12,
8= /Vjx, так что отображение /ц-^/v/n имеет замкнутый образ,
на который оно осуществляет биекцию, а значит, этими же
свойствами обладаем и отображение p,-^v*|i. Поэтому ввиду
предложения 9.8 оператор v сюръективен. ?
Напомним, что функция ?(<г) называется субаддитивной,
если g(z\ + z2)^ g(z\)+ g(z2). Примерами таких функций
у нас служили опорные функции. Как показано выше, простран-
пространство, сопряженное к В* состоит из таких мер в С", что
\ exp (g (z)) d | \i | (z) < oo. Пространство В' вообще говоря,
устроено значительно сложнее; мы не будем делать здесь попы-

§ 5. Случай q = 1 281
ток описать его. Заметим только, что меры, для которых
exp(g(z))d\\i \(z) < оо, порождают (не обязательно замкну-
тое) подпространство В' в В' замыкание которого в В' будем
____ об S
обозначать через Bgm
Пусть [х е B'gJ a a — функция, определенная в следствии 9.14.
Положим Д= р,*а; это ^-функция. Если функция g субадди-
субаддитивна, то
= J aB0 Л (гО J exp (g (w - z')) d \ jx | (w) < K\\ \i ||.
Здесь /C= sup exp (g (г7)), а ||(ы|| определяется аналогично (9.7).
Hz'11 = 1 ^
В силу вышесказанного можно рассматривать B'g (и, следо-
следовательно, В'\ как замкнутое подпространство в банаховом про-
пространстве Ll(exp(g(z))dx(z))= | f: J | f \exp(g(z))dx(z)< oo |
Лемма 9.22. ?суш функция g(z) субаддитивна, то простран-
пространство, сопряженное к BgJ совпадает с Bg, а пространство, сопря-
сопряженное к В*7, состоит из целых функций.
Доказательство. Поскольку В' есть подпространство &
Ll(exp(g(z))dx(z))J то сопряженное к нему пространство со-
состоит из таких функций Я, что Яехр(—g(z)) ограничено почти
всюду в О.
Пусть vY—мера Коши. Тогда vY(f)=O для f^Bgy так чта
Vy(f)=vy^a(f)=0. Поэтому vY (Я) == 0, откуда следует, чта
функция Н голоморфна на каждой комплексной прямой по тео-
теореме Мореры и, значит, голоморфна всюду по теореме Хартогса
(см. [В]).
Лемма 9.23. Если функция g(z) субаддитивна, то для
a, p e B'g (соответственно Bg') операция свертки а * р (/) =
= az(Pwf(z + w)) определяет непрерывный линейный функцио-
функционал на Bg (соответственно В^), причем
Ца*р||<||а|

282 Гл. 9. Операторы свертки
Доказательство. Нетрудно показать, что для функции f^
^Bg (соответственно В^)все ее производные также лежат в Bg
{соответственно B*g). Это простое следствие интегральной фор-
формулы Коши и субаддитивности g(z). Обозначим через ЛA) век-
вектор @, ..., О, Л, 0, ..., 0) с А на i-u месте. По теореме об
остаточном члене в разложении Тейлора при |Л|< 1 имеем
Интеграл из правой части представляет собой при фиксиро-
фиксированном w целую функцию из Bg (соответственно B*g). Приме-
Применим рш к обеим частям равенства, разделим обе части на h
и устремим А к нулю. Получим равенство df/dzi = df/dzi, где
через f(z) обозначено $wf(z + w). Таким образом, f(z)—целая
функция, причем в силу субаддитивности g(z) она принадле-
принадлежит Bg. Значит, можно применить к ней оператор а. Если
||[|| = 1, то в силу субаддитивности g имеем
и
I f (z) I <IIPIIехр(*(*)),
откуда ||f(z)||< ПРИ и, следовательно, \a(f(z) )|< ||а||-|1РН. ?
Таким образом, Bg (соответственно fi^) с операцией свертки
становится банаховой алгеброй. Эта банахова алгебра комму-
коммутативна, а единицей в ней является мера Дирака 6@).
Лемма 9.24. Пространство М максимальных идеалов алгеб-
алгебры В' совпадает с пространством экспонент exp<w, z) из Bg.
s
Доказательство. Пространство М есть пространство нетри-
нетривиальных гомоморфизмов алгебры В' которые в коммутатив-
коммутативной банаховой алгебре с единицей всегда непрерывны. Поэтому,
в силу леммы 9.23, каждый такой гомоморфизм задается неко-
некоторой целой функцией из Bg. Пусть / — такая целая функция.
Для 20, w0^ Сп рассмотрим соотношение (/, б(го)*б(шо) ) =
= f(zo + wo)= f(zo)f(wo). Из этой формулы следует, что если
f(z) обращается в нуль в какой-нибудь точке, то она тожде-
тождественный нуль. Если требовать, чтобы гомоморфизм был нетри-
нетривиальным, то f(z) не должна обращаться в нуль, и можно
определить ветвь logf(^) в О. Поскольку f@)= 1, то \og\f(z) |
<есть вещественная линейная функция, сопряженная к которой

§ 5. Случай р = / 283
есть линейная функция, однозначно определяемая условием:
f@) = 1. Следовательно, f(z) = exp<w, z}.
Следствие 9.25. Пространство максимальных идеалов алгеб-
алгебры B*g является подмножеством пространства экспонент из Bg.
Отметим, что В* может состоять только из нуля, даже если
Bg нетривиально. Например, если g(z)= Re<2, wo>, то Bg содер-
содержит ехр<2, wo>, а В* тривиально, поскольку если f e В* №
lim | /(z)exp(— g(г)) | = 0, то f(z)exp(—<г, wo>)= 0 и, значит,.
f(z)s=0. По этой причине мы не можем достаточно точно опи-
описать эти пространства.
Предположим теперь, что g(z)=p(z)—опорная функция-
Тогда для <х^5^ (соответственно Д*') определим функцию
{u, г».
Эта функция непрерывна на множестве КР = {z: Re<z, и)
<~р{и) VwgC}, голоморфна внутри КР и
Теорема 9.26. Пусть аеВр (соответственно В*р'). Если
Fa(u)?=0 на КР, то для любой функции /еВр (соответственно
В*р) существует единственное решение f gBp (соответственно
Яр) уравнения а (х) = f.
Доказательство. Рассмотрим идеал Ма в В' (соответственна
Я"), порожденный функционалом а. Тогда существует не-
нетривиальный гомоморфизм, обращающийся в нуль на Afa. Но,,
в силу условия и леммы 9.24, Ма не содержится ни в каком
собственном максимальном идеале. Следовательно, Ма = В/р,
(соответственно В*'). Значит, отображение р->а*р биектив-
биективно, откуда, в силу предложения 9.8, получаем, что отображе-
отображение а также биективно. ?
Пусть Pm(z)— поточечно убывающая последовательность
оо
опорных функций. Положим F= П Врт. Если наделить F то-
771=1
пологией проективного предела, получится пространство Фреше.
Сопряженным к нему будет пространство F' = (J В' . Обозна-
171 Рт
чим через F' множество (J В' , а через К—множество f|^p -
т Рт т т
Кроме того, положим F* = П В* .

284 Гл. 9. Операторы свертки
Следствие 9.27. Пусть а^Р' (соответственно F*'), причем
Ра(и)ф О на К. Тогда для любой функции f^F (соответствен-
(соответственно F*) существует единственное решение f^F (соответственно
F*) уравнения а(х) = f.
Доказательство. Если Fa(u)=? О на /С, то по непрерывности
Fa(u)=7^0 на КРгп при т ^ MOi и, следовательно, существует
единственное решение f в ВРт (соответственно В*р V Таким об-
образом, f ^ П Вр /^соответственно f] В* \ П
т т \ т prnj
Следующий элементарный пример показывает, что для раз-
разрешимости уравнения a(x) = f какое-то условие на Fa(u) не-
необходимо иметь.
Пусть л=1, g(z)=r, f(z)=expz, a a = D—1, где D =
= d/dz. Тогда f^Bg, но решения уравнения а(х)= f, которые
все имеют вид (г+ 1)ехрг+ Сехрг, не принадлежат Bg.
Пусть z = x + iy, где х = (хи ..., хп), а у = (уи ..., уп),
и пусть dx = dx\ ... dxn—мера Лебега в R". Пусть g(z) =
= gf(yb •••, Уп)—опорная функция. Через Bg (соответственно
Вр*) обозначим банахово пространство функций из Bg (соот-
(соответственно B*g), для которых
\\f\\P = ( \\f(x)\pdx\Up <оо, 1<р<оо.
Норму в Bg определим равенством \\f \\ = \\f\\p + sup | f(z)e~s{z) |
сп
(само Bg можно рассматривать как Bg°).
Опишем сопряженное пространство (Врё)'. Рассмотрим про-
пространство BgXLp, состоящее из пар (/, Л), где f^Bg, a /i<=
gLp(R"). Это пространство будет банаховым, если опреде-
определить в нем норму ||(/, h)\\ = sup\f(z)e~-8{z) | + ||A||P. Сопряжен-
сп
ное пространство тогда состоит из пар (а, Р), где aGfi^, |3 ^
^(LpO, a (а, Р)(/,А)=а(/)+Р(А). Подпространство в BgX
Х^р, состоящее из тех пар (/, Л), для которых f(x)= h(x)y
является замкнутым в Bg X Lp. Оно, очевидно, изоморфно Bg
и по теореме Хана — Банаха имеет то же сопряженное про-
пространство. Пространство (Bg*) описывается так же.
Установим основные свойства этих пространств, необходи-
необходимые для дальнейшего.
Предложение 9.28. Пусть f(z)—целая функция в С, имею-
имеющая порядок 1 и индикатор h*f(z)^g(y). Пусть, далее,

§ 5. Случай р = 1 285
оо
\ I f (х) \p dx < оо при некотором р > 0. Тогда
оо
оо оо
\\f(x + iy) |" rfx < exp (pg (y)) \\f(x) Г dx.
— oo —oo
Доказательство. Заметим сначала, что из условия
оо оо
| f (х) |" dx < оо вытекает, что j l0gi+У * <** < °°- Дей"
оо оо
ствительно, пусть ф(^)= ехр(р^). Тогда q> — положительная не-
неубывающая выпуклая функция от t и, значит,
[ dx\:
я ) \+х* dX\ ^ я )
—оо ) —оо
± f**№
Обозначим x = h*f(l) и положим f (z) = f (г)ехр(— ixz). Тогда
/ ^ Lp (R) и /г^(г)<0 при 1тг>0. Пусть Л1> —оо. Положим
1/м(г) = sup (log |f | + -M, 0). Это неотрицательная субгармониче-
субгармоническая функция в С. Обозначим через Аг множество {г: 1тг> 0,
11г|| < г}. Для любого е>0 при r>Re, z^Ar, имеет место
оценка log|f (z) \ ^ гг.
Пусть, далее, D — область с ^-границей, DaA\ и bdDfl
0 {у: у = 0} содержит интервал [—1/2, V2] на вещественной
оси. Обозначим через Dr множество {rz: z^D). Для z из верх-
верхней полуплоскости определим функции
— оо
Her(z)= J erPr(w, z)dSr(w),
bdDr
где Pr{w,z)—ядро Пуассона для Dr, a dSr — элемент длины
на bdDr. Функция Нм(z) + Нгг{z) гармонична в Dr, и при
r>Re в силу принципа максимума Нм (z) + Her (z) ^ Vm (z)
в Dr. Далее, H*(z)=Hei(z/r)-r,a из стандартной оценки ядра
Пуассона в области с ^-границей Р{ (w, z) < . с*^\
расстояние до bdZ)) получается, что He\(z/r) ^e/C/r, так что

286 Гл. 9. Операторы свертка
HM(z)+e,K^ Vm(z). Поскольку число е > 0 было произволь-
произвольным, то Ум(з)^ HM(z). Заметим, что
JL f
я J (t-
— оо
Поэтому
i f ""^l^'JP" > sup (log I f (г) I M)
— oo
при любом М, и, кроме того,
Отсюда следует, что неравенство
справедливо при любом z из верхней полуплоскости. Пользуясь
снова выпуклостью функции <p(l)= exp(pl)> получаем, что
оо
— [ \f(t)\p ydt
— [ \f(t)\p ydt
— oo
откуда
oo oo oo
и, следовательно,
oo oo
]\f(x + iy) Г ^ < exp (тру) \\f(t) |" Л.
— oo —oo
Аналогичное неравенство имеет место и в нижней полупло-
полуплоскости. ?
Лемма 9.29. Пусть f e Bpg {соответственно В%*). Тогда
f (х + iy) es Lp (Rn) u\\f(x + iy) \\p < exp (g (y)). || / (x) \\p.

§ 5. Случай р = /
287
Доказательство. Пусть j~- = (it\, ..., И1п), t\ ^ R. Положим
al = (t\, ..., ^) и дополним этот вектор до ортонормирован-
ной системы произвольными вещественными векторами а7,
У = 2, ..., п. Пусть
Л =
t\ . . . tn
Эта матрица имеет детерминант 1. Положим г7 = Лг, /(г/) =
= f (Л" V), так что \ | f (zO |р dxr = f | f (г) |р djc, и для у[= Im г{,
R R
z'' = Az имеем g(y'v 0, ..., O) = g-(y). Тогда при фиксирован-
фиксированных x'v ..., хп в силу предложения 9.28 справедливо неравенство
и, следовательно,
exp (W (у)) J | f (•) \р dx' = exp (W (у)) \\f(x) f dx. П
Лемма 9.30. Если f e Bpg {соответственно Bpg*), то df/dzj e= Bpg
^соответственно fig*).
Доказательство. Мы уже доказали ранее, что df/dzj e Bg
(соответственно В^). Если |(/>=@, ..., 0, |, 0, ..., 0)—вектор
€ g на /-м месте, то по интегральной формуле Коши
df(x) 1 ( (/))
2я/
J
5'
так что для р = 1 утверждение
леммы следует из леммы 9.29 и теоремы Фубини.

288
Гл. 9. Операторы свертка
Пусть р>1, q = (\ — \/р)~\ a \jl(x)<= L*(Rn). Тогда, ис-
используя лемму 9.29 и неравенство Гёльдера, имеем
df(x)
dz,
,(x)dx
5 5
R" 111
sup
Таким образом, функция -^j- (а:) задает непрерывный линейный
функционал на Lq(Rn) и, следовательно, принадлежит
L(Rn). П
Лемма 9.31. Пусть f ^ Bg {соответственно Bg*), q = {\ — \jp)~l
{q = оо, если р = 1), a pi (я) ^ Lq {Rn). Тогда функция k (z) =
= \f(z + x)\i{x)dx принадлежит Bg {соответственно fi*).
Rn
Доказательство. В силу леммы 9.29 и неравенства Гёльдера
так что остается показать, что k(z)—целая функция. Повторим
рассуждения, использованные при доказательстве леммы 9.23.
Пусть ?(/) означает то же, что и в предыдущей лемме. Восполь-
Воспользуемся формулой
df(z + w)
дг
П
2ш
f {г+
)
111=1
Положим w = х и применим (к правой части) леммы 9.29
и 9.30, после чего, разделив на h и устремив h к нулю, получим
равенство
dk(z) г df(z + x) ()
дг. — ) dz. P (Х) йХ>
из которого и следует требуемое утверждение. ?
Разумеется, вообще говоря, k (z) ф Bpgi так что сопряженное
пространство не будет банаховой алгеброй, но оно будет левым
модулем над B'g (соответственно (B^)j. Для а ^ B'g, у (#)'
(соответственно (Bg*)') определим свертку

§ 6. Еще о функциях порядка меньше единицы 289
Из лемм 9.23 и 9.31 следует, что а * у — непрерывный линей-
линейный функционал на Bg. Операция свертки ассоциативна для
элементов B'g (соответственно (B*g)') (т. е. а/*(а*'у) = (а'*а)*
*v)- Таким образом, имеет место следующее утверждение:
' Теорема 9.32. Пусть a ^B'g (соответственно (В*У), где g(z) =
= g(y)—опорная функция некоторого компакта Kg, причем
ра(и)ф0 на Кё. Тогда для любой функции f ^ Bg (соответствен-
(соответственно Bg*) существует единственное решение f ^Bg (соответствен-
(соответственно Bg*) уравнения &(x) = f.
Доказательство. Если Ра(и)Ф0, то а обратимо вВ^ (соответ-
(соответственно (B*g)'), так что отображение y -*а * Y — биекция (в?)'
(соответственно (Bg*)') на себя. Результат следует теперь из
предложения 9.8. D
Так же как и следствие 9.27, получается
Следствие 9.33. Пусть gm(z) — убывающая последователь-
последовательность функций вида gm(z) = gm(y), и пусть Fp = [\ Bpgjn (соот-
(соответственно Fp* = П Вр*т), а К = П Кёт. Если Fa (и) Ф 0 на К
для a^\J В' , то для любой функции f e Fp существует един-
ственное решение f e Fp уравнения а {х) = f.
Следующий пример показывает, что для разрешимости свер-
точного уравнения необходимо иметь какое-нибудь условие на
Fa(u). Пусть л = 1, a = d/dz, a f (г)= sin z/z e L2(R). Тогда
не существует решения уравнения df/dz = /, принадлежащего
В^уу Действительно, общее решение имеет вид k(z) = C-\-
Z X
+ \ S1fc rf|, так что для х > 0 имеем k (х) = С + \ S1" dt и
о о
k(x)-+ С + Со при х-*~-\-оо. Но для х > 0 получается k (—дс) =
-X X
^f^d/, так что k{—х)-+С— Со.
о о
Поскольку Со ф 0, то ^(х) не может принадлежать L2, каким
бы мы ни выбрали С.
§ 6. Еще о функциях порядка меньше единицы
Пусть р(г) — уточненный порядок для р < 1. Тогда при г > Rq
функция гр(г) возрастает и
А- (гр<г)) = (гр/ (Г) log г + Р (г)) гр ^>-1 <

290 Гл. 9. Операторы свертки
Не нарушая общности, можно предполагать, что это выполнено
всюду.
Если g(z)— положительная субаддитивная функция, то функ-
функция (g(z))p{s{z)) также субаддитивна. Действительно, если 0<
+)
< Ъ ^ а, то +а)~'W == у (g) для g ^> а, так что, полагая
f(r)= r^r\ имеем
a)-f(a) = ft/' (Б) < «рF)"! < &РF) - / (ft)
l) + g (z2)) < / (g (Zl)) + f (g (z2)).
Пусть теперь p(z) — норма, а функционал a^(BpQ{p)y таков,
что а A) =7^=0. Так как единственной экспонентой в Вр9{р) является
функция 1, то оператор а: Вр9{Р)-> ВрР(Р) обратим. Это замечание
будет использовано при доказательстве следующей теоремы.
Теорема 9.34. Пусть р(г) — уточненный порядок для р < 1.
Пусть, далее, а — такой функционал из П (^iiziiPdizii))'' что
аA)=^=0. Тогда для любой функции f нормального типа относи-
относительно р (г) существует единственное решение уравнения a(x) = ff
такое, что
i) h*f(z) = h}(z);
ii) если функция f имеет вполне регулярный рост на луче
{tzo}, t > 0, то и f имеет вполне регулярный рост на этом луче.
Доказательство, i) Предположим, что функция f имеет тип
В/2. Зафиксируем w ^. S2n~l и положим а = h* (w). Зададимся
некоторым числом т]^@, 1) и положим А = тр1 CA + В +
+ а)J/Р. Выберем такой элемент 1^^(В{АМ)р{Ам))г* что
\х = а~1 (выбор \i зависит от Л). Тогда

§ 6. Еще о функциях порядка меньше единицы 291
Далее, | Дг)|<Сехр((В||г||)р(В||г||>), так как / е= В(В/2) ир (Ый
поэтому при r>J?,B силу предложения 1.20 имеем
= \
»||
>
<Сехр((Вг)р(Вг)) \
\
>
ЦгЦ>т|г
\
|zB>T|r
Х
< С exp {{Brf{Br)) ехр [(Вт,г)р (Вт»г) - 3 A + В + а) гр {Вг)] С, <
<ССлехр(-2агр(г)).
Предположим, что h*f(w) < а. Тогда по теореме 1.31 существуют
такие числа g > 0, ri| > 0 и R^, что г"р(г) log|f (гг) | ^ а — g при
II г — ш||<г1| и r>#Ti. Пусть ш/ е 52Аг~1 — такая точка, что
|| w' — w ||< ^"^ и Л^ (шО ^ А* (ш) — g/З, и пусть гт / оо — такая
последовательность, что
m-»oo
Тогда, поскольку \ d \ \i \ (г) < оо, а /2 <ССл/2 ехр (—-2агр(Г)),
должна существовать точка w", такая, что \\w"—w\\ < ц и
loglf
(иначе Ii ^ const • ехр ((а — 1/2) Гт ), что невозможно по опре-
определению гт). Последнее утверждение противоречит тому, что
r-p(r)log|f(rz)|^ а — I при г>/?„. Значит, AjB)<AJB)- Заме-
чая, что
мы можем поменять ролями f и / в приведенных выше вычис-
вычислениях. Таким образом, fi}(z) — hj(z).

292 Гл. 9. Операторы свертки
и) Предположим теперь, что функция f имеет вполне регу-
регулярный рост на луче {tw}, w e S2n~l. Пусть число ц столь мало,
что для г > Rr) имеет место оценка
(9.9) | Irf (z\ 6) - l\ (w, 6) | < |/8 при || z' - w ||< 2r)
(см. лемму 4.2; величины Iru(x, 6) определяются в начале гл. 4).
По определению 4.1 существует такое число R$, что для любого
г > Ri найдется точка wr e S2n"\ удовлетворяющая условиям
\w'r — w\<x\ и r-P^log | f (rw'r) I > h) (w) — 1/4. Так же как в
первой части доказательства, можно найти такое w" e S2n~{, что
| w" — wrr I < г) и
Г-Р (D Jog | / (г<) | > Г-Р "> log | f (Г<) | - g/4.
Поскольку в силу свойства средних для субгармонических функ-
функций справедливо неравенство
Irf «, 6) > г~р (г) log | f (г<) | > Л; (ш) - 6/2,
то из (9.9) получается, что
при г > sup(R^Rv). С другой стороны, по теореме 1.31 суще-
существует такое ft%, что
Irr(w, 6)^h*f(w) + l при r>Rz и б < бЕ,
так что / имеет вполне регулярный рост на луче {tw}. О
§ 7. Операторы свертки в Сп
Закончим эту главу приложением полученных ранее результатов
к операторам свертки в Сп. Пусть Q — открытое выпуклое мно-
множество в С", а К — компакт в Сп. Предположим, что К является
определяющим множеством для некоторого функционала \i e
Зв\СУ. Положим
Q + K = {z = z' + z": 2'e=Q, z"<=K}.
Это открытое выпуклое множество в Сп. Пусть ii()
Определим оператор ft: 3%S(Q + К)-^Ж{п) следующим обра-
образом: (i(f)(z)=iiw(f(z + w)), ze=Q, w<=K, fe^(Q + /().
Пусть е > 0. Тогда можно найти такую меру jxe с носителем
в /(*={г': Зге К: \\г*-г\\< е}, что (i (f) (z) = $ f (z + w) d»z (w).
Отсюда следует, что функция ?<(/)(г) голоморфна в Qe={z:
dQ (z) > е}. Поскольку это верно для любого г > 0, то, в силу
единственности аналитического продолжения, функция jl(f) го-
голоморфна в Q.

§ 7. Операторы свертки в Сп 293
Теорема 9.35. Пусть ц е <9#(C,rt)', К — выпуклый компакт,
являющийся определяющим для ц, a ST^. — преобразование
Фурье — Бореля функционала \х. Если /^ (?) = hK (?) и &~цA) —
функция вполне регулярного роста в Сп (относительно р(г)= 1),
то для любой функции /e<9#(Q) существует решение fe
е Ж (Q + К) уравнения A (х) = f. Если Q cz С п — ограниченная
строго выпуклая область с ^-границей, то оператору: 3e(Q +
+ К)-+2ё(К) сюръективен только тогда, когда h^r (l) = hK (?)
и ?Fu.(?>) — функция вполне регулярного роста в .Сл.
Доказательство. Пусть ae^(Q)', а @~аA) — преобразова-
преобразование Фурье — Бореля функционала а. Если через \х* обозначить
оператор, сопряженный с ц, то &~^{a)(Q = &'[l(l)&~a(l).
Предположим, что последовательность \х*(<Хч) слабо сходится
к элементу §е-Ж{& + К)'. Тогда ?"р(Б) = 0VE)G(g) для
некоторой целой функции G(z), так как (см. теорему 9.12) ряд
Тейлора функции ^р(^) в каждой точке делится на ряд Тей-
Тейлора функции <Гу. (I). Поскольку hKl+K2 (I) < hKl (g) + % (I), то
в й найдется такой выпуклый компакт R, что множество К + К
будет определяющим для р и h^ (g) < hK+% (g) < hK (I) + h% (g).
Так как функция &~цA) имеет вполне регулярный рост, то по
теореме 4.3
Ь*о F) = /*> (Б) - ^ (&) < hK (g) + Л^ F) - Л^ (Б) = /^ (Б).
р м-
Таким образом, в силу теоремы 8.9 существует такой функцио-
функционал 7 si#(Q)', что i?~Y(g)= G(?), и, значит, образ ji' слабо
замкнут. Применяя предложение 9.8, заключаем, что оператор
? сюръективен. Первое утверждение теоремы доказано.
Предположим теперь, что п — ограниченное строго выпуклое
множество с ^-границей и существует такая точка g0 s S2"-1,
что функция *дГц, не имеет вполне регулярного роста на луче
{rlo} или что Kgr (g0) < hK (Бо). Поскольку область Q строго вы-
выпукла, то существует единственная точка го е bd й, для кото-
которой /i/c(go) = Re<|0, го>.
Дальнейшая конструкция существенно опирается на теорему
4.9; мы будем использовать обозначения этой теоремы. Пусть
B(z,s) — такой шар, содержащийся в Q, что JBflbd Q ={г0}.
Для простоты будем считать, что z = 0. Пусть rm — последова-
последовательность из теоремы 4.9; положим {)
1) Число т]2 и функция г|) также из доказательства теоремы 4.9. —
Прим. перев.

294 Гл. 9. Операторы свертки
Обозначим через а тип функции A(Q. Положим также
= sa-{A(l) и, как в теореме 4.9, определим функции
(?)
«v №) = Е ¦ (г — rm5o) exp Vi (rm|0).
Тогда мы можем найти такую последовательность 6V \ 0, что
форма pv = dav удовлетворяет равномерно по v неравенству
\ | pv I2exp (-21Л, ф) dx(t) < С, где V2(g) = (l— 6V) K, A) + 2mp -f
с"
+ 116 if, a p'e=@, 1).
В силу приложения III, существует такое решение ^v урав-
уравнения dyv = pv, что равномерно по v выполняется оценка
J I Yv l2exp (—2 [l/2(&) + -^- log A + Ц е ||2)]) rfr (I) < С.
сп
Положим gv(l)=a>v(l)— Yv(?)- Тогда gv(g)—целая функ-
функция экспоненциального типа, строго меньшего s, и |gv(i)|^
^ С"ехр(У3(Ш равномерно по v в силу леммы 3.47. Поэтому
можно выбрать подпоследовательность, для которой сохраним
обозначение gv(?), равномерно на компактах сходящуюся к не-
некоторой функции g. По построению имеем
IР* A) g, (Б) I <С"exp [hK (g) + hK ft))
для некоторого выпуклого компакта К в й, причем С/Л/ не зави-
зависит от v. Таким образом, если A,v — функционал, для которого
шар радиуса A—6v)s является определяющим множеством, а
его преобразование Фурье — Бореля совпадает с gv(?), то по-
последовательность {i*Xv слабо сходится в Ж(К-\-&)'. Но по-
поскольку &~ix(?>) -g(t>) не является преобразованием Фурье — Бо-
Бореля элемента из Ж (К)', то образ оператора $* не является
слабо замкнутым. ?
Следствие 9.36. Если точка 0 (начало координат) является
определяющим множеством функционала ц е <9#(С^), a Q —
открытое выпуклое множество в О, то для любой функции
f е Ж(п) существует решение ] е^(й) уравнения \i (x) = f.
Доказательство. Если начало координат — определяющее
множество, то STy.i'E) имеет минимальный тип относительна
р(/-)= 1. Поскольку функция минимального типа всегда имеет
вполне регулярный рост, результат следует из теоремы 9.35. ?

Комментарии 295
Комментарии
Изучение уравнений в свертках в пространствах целых функ-
функций инспирировано работами Мальгранжа [1] и Эренпрайса
[1]. Мартино [8] и Тейлор [1] первыми приступили к такому
изучению, но его объектом у них были пространства функций
порядка р ^ 1, так чтобы преобразование Фурье — Бореля
было голоморфной функцией. Исследование случая р < 1 с ис-
использованием при этом оценок роста коэффициентов формаль-
формальных степенных рядов (как предлагается в § 1—3) принадлежит
Груману [3], хотя сама идея содержалась в работе Тейлора.
Случай вещественных норм и сильных уточненных порядков
для р < 1 (§4) изучен в работе Грумана [4]; там использо-
использована идея Хёрмандера [В]. Результаты § 5, использующие
технику банаховых алгебр, также принадлежат Груману [5].
Теоремы 9.32 и 9.34 являются усилением известных результатов
и ранее не публиковались. Что касается § 7, то мы отсылаем
читателя к интересным результатам Моржакова [I]1*.
1) Ряд вопросов теории уравнений свертки в Сп излагается в книге На-
Напалкова [2*].— Прим. перев.

Приложение I
Субгармонические
и плю рису б гармонические функции
Аппарат субгармонических функций и теория потенциала часто
используются в теории функций одной комплексной перемен-
переменной. Для голоморфных функций нескольких переменных в об-
области ЙсС" аналогичную роль играет класс PSH(Q) функций,
плюрисубгармонических в Q. Если /e<9#(Q), то функции |f| и
\og\f\ принадлежат PSH(Q); если cpf-e= PSH(Q), i = \, ..., N>
то и sup ер,- е PSH(Q), Таким образом, множество {log|f|,fe
e<9^(Q)} является подмножеством класса PSH(Q), что позво-
позволяет использовать для изучения этого множества общие методы
теории плюрисубгармонических функций.
Определение 1.1. Пусть Q — область в Rm. Вещественную
функцию у(х) со значениями в [—оо, +°°) называют субгар-
субгармонической в Q, если
i) ф(лг) полунепрерывна сверху и у(х)Ф—оо;
ii) для любой точки х е Q и любого г < da (x) = inf {|| х—х' ||:
х' е CQ} справедливо неравенство
Ф (х + га) d(om (а) ШX (х, г, ф),
Ца||=1
где dam — мера Лебега на единичной сфере Sm~l, а шт — пло-
щадь этой сферы.
Семейство всех субгармонических функций в Q будем обо-
обозначать через 5(Q). Если одновременно фе5(й) и (—ф)е
eS(Q), to функция ф называется гармонической в Q.
Замечание. Если функция ф субгармонична в Q и г < dQ(x)y
то
) — <** \Xf Ту
11*11 < г
где dxm — мера Лебега в Rm, а тт — объем единичного шара
5@,1).

Субгармонические и плюрисурбгармонические функции 297
Определение 1.2. Пусть Q — область в LCW. Вещественная
функция ф(г) со значениями в [—оо, +°°) называется плюри-
субгармонической в Q, если
1) ф(г) полунепрерывна сверху и ф(z)Ф—оо;
п) для любого г, такого, что \z-\-uw\ \u\^r, we-jC}c:Q,
справедливо неравенство
2Я
Ф (z) ^ -=— \ ф (z -|- re^w) dQ.
о
Семейство функций, плюрисубгармонических в Q, обозначим
через PSH(Q). Если одновременно феРБН(?2) и (—ф)^
^PSH(Q), то функция ф называется плюригармонической в Q.
Замечание 1. Если Q &C/1, то PSH(Q)c:S(Q), а если л= 1,
то PSH(Q)=S(Q).
Замечание 2. Функция феР5Н(?2) тогда и только тогда,
когда она полунепрерывна сверху, не равна тождественно —'оо
и когда ее сужение на любую комплексную прямую L1, пересе-
пересекающуюся с Q, на каждой связной /Лоткрытой компоненте мно-
множества Ll []Q есть либо субгармоническая функция, либо тож-
тождественная —оо.
Примеры. 1) Любая непрерывная выпуклая (относительно
вещественных координат) функция в Q принадлежит PSH(Q),
поскольку в этом случае
Ф (*Х -J [ф (х + у) + Ф (х — у)]
и если заменить у на yeiQ и проинтегрировать по мере яЮ/2я, мы
получим второе условие определения I. 2.
2) Если /e^(Q), то log|f|ePSH(Q). Чтобы убедиться
в этом, достаточно показать, что функция ф(и)= f(z + uw)
2Я
удовлетворяет неравенству log | ср @) | ^ -=— \ log | ф (reiQ) \
о
когда круг {z + uw: \и\ ^ г) содержится в Q.
Если ф(и)=0, то неравенство тривиально. Если ф Ф 0, то
к
<p(u) = g (и) П (и — o-j) при | и| ^ г, где функция g(u) голоморфна
и не имеет нулей в круге |w|^r. Тогда log|gr(w)| — гармониче-
гармоническая функция, а поскольку
Bл;)-1 ^ log | reiQ — ai\dQ = sup (log | a} |, log r) > log | at |,
о

298 Приложение I
ТО
2Я к
Bл)-1 \ log| ф(г^е) |46> У log| а, | + log| g@) | = log| q>@) |.
о /Ti
Предложение 1.3. i) ?с/ш феР8Н@), а с > 0, то Сф е
gePSH(Q);
ii) если ф! и ф2 принадлежат PSH(Q), то 8ир(фьф2)^
gePSH(Q);
iii) если {фу}—убывающая последовательность плюрисуб-
гармонических в Q функций, то либо lim (pvB)ss — оо, либо
V->oo
V->oo
Доказательство. Все утверждения непосредственно вытекают
из определения I. 2. ?
Определение 1.4. Функцию фЕ5(й) будем называть не-
непрерывной, если она непрерывна в евклидовой топологии на
RU{-oo}.
Замечание. Функция ф?5@) непрерывна тогда и толька
тогда, когда функция ехрф(х) непрерывна в евклидовой топо-
топологии на R.
Предложение 1.5. Если Q cz Rm, а функция ф??2(Й), та
фе5(Й) тогда и только тогда, когда Аф(х)^0, где
m
Д = V —- — оператор Лапласа. Если йсС", а функция
*—* dxi
/j_ I i
фЕ?2(й), то феРБЩЙ) тогда и только тогда, когда
Доказательство. Запишем разложение Тейлора функции
)
4 Z 4
/Л1
Тогда, поскольку, по соображениям симметрииД(х, г, Ху -~ л:у)=
= 0 при всех / и X (л:, г, (*/—*/)(*?—**)) = 0 при ¦/^ *» то
Цх, г, ф) = Фи) + -2^

Субгармонические и плюрису б гармонические функции 299
Поэтому
lim [k(x, г, ф)-ф(;с)]г-2 = ^
Г-»оо АШ
С другой стороны, по теореме Гаусса (или по теореме Грина)
мы имеем
A.1) Х(х,г, <р) = <р(х)+\ J
О В (х, t)
Таким образом, из того что Дф(х)^0, следует, что Х(х, г,
>Ф(х).
Из замечания 2 вытекает, что функция фЕ?2(й) плюри-
субгармонична тогда и только тогда, когда
/.Л-1
для любого w e iC*. D
Предложение 1.6. ?стгг/ Qc=Rm и ф()
Я(х, г, ф) w Л(х, г, ф) являются возрастающими функциями от г
и выпуклыми функциями от Um{r) = —r2~m при гп > 2 и от
U2(r)=logr при пг = 2. Если Q cz С/1 и ф €= PSH(Q)n<??2(S2),
то Я(г,/*,ф) у Л(г,г,ф) являются возрастающими функциями от
г и выпуклыми функциями от log г.
Доказательство. Из A.1) следует, что функция
(т 2)г а/. (х, г, ср)— дит{г)
является возрастающей, откуда вытекает первое утверждение
лри m > 2. Для m = 2 имеем
и снова нужное утверждение вытекает из A.1). Если QcilC/1
и феР8Н(Й)П<??2(Й), то из A.1) для т = 2 и A.2) следует,
что
2Я
есть возрастающая функция от г. Поскольку это верно при
всех z', то
S ^B| Г, ф)

300 Приложение I
является возрастающей функцией от log/*, так что функция
Я (г, /*, ф) выпукла относительно log г. ?
Замечание, Тот факт, что Я (г, г, ф)—возрастающая и вы-
выпуклая функция от log г, является важным свойством плюри-
субгармонических функций и, вообще говоря, не верен для
^"-субгармонических функций.
В определении субгармонических и плюрисубгармонических
функций требуется только полунепрерывность сверху, тогда как
в предложениях 1.5 и 1.6 предполагалась регулярность. В даль-
дальнейшем мы сможем избавиться от этого требования.
Лемма 1.7. Пусть Q — область в 'Rn, а се@, 1]. Предполо-
Предположим, что Q'czQ и что для лгей' шар B(x,cdQ(x)) содержится
в Q'. Тогда либо Q' = Q, либо Q' = 0.
Доказательство. Очевидно, что множество Q' открыто.
Предположим, что xo^Q'(}Q, и положим d = cLq{xq). Тогда
в Q' найдется такая точка х', что \\х? — xoll ^ cd/4. Отсюда сле-
следует, что rfa(j:')^3rf/4 и что х0 е В(х', cd® (x'))cz Q'. Поэтому
множество й' также замкнуто, а поскольку Q — связное множе-
множество, то либо Qr = fi, либо Qr = 0. ?
В пространстве ,Сп через DZ)W будем обозначать круг
D2tW = {z'<=Cn: z' = z + uw, wgC, |и|<1}.
Лемма 1.8. Пусть Q — область в Сп. Для z^Q положим
S(z, Q)= U D(z, w). Тогда множество S(z, fi) открыто,
и если fir — подмножество Q, обладающее свойством 2Gfi'=^
=> 5 (z, Q )c= Q', то либо Qr = Q, лг/бо fi' = 0.
Доказательство. Очевидно, что 5 (г, Q) — круговая 1) окре-
окрестность точки z. Пусть 2ое5(г,й)—любая точка, отличная от
z. Тогда 2o = 2 + 2/, где гг =^ 0, а круг ?>z, Z'^ й. Существует
такая круговая открытая окрестность нуля С/, что D^, ^ + U cz Q.
Но DZtZ'-\-U есть объединение кругов с центром в точке г,
так что Dz,z'+ U с: S(z, Q). Таким образом, множество S(z, Q)
содержит открытую окрестность точки г0 и, следовательно, от-
открыто.
Для доказательства второй части леммы заметим, что
S(zyQ) содержит шар В (z, da (г)), так что утверждение следует
из леммы 1.7. ?
Предложение 1.9. Пусть Q — область в С." = R2w. Тогда
PSH(Q) cz S (Q)
]) Круговой с центром в точке z здесь именуется область, которой вме-
вместе с каждой точкой z' принадлежит и круг Dz г„ — Прим. перев.

Субгармонические и плюрисубгармонические функции 301
Доказательство. Пусть N — множество таких точек z в Q,
что \ ф dx2n = — оо для любой окрестности U ШО, точки z.
и
Если z^N и \\z' — z\\<±-d&{z), то шар В' = В (V, -у *>(*))
представляет собой компактную окрестность точки 2 в Q. По-
Поэтому ф^г')^Л(V, -уйаОг), ФJ = — оо. Таким образом, если
z^N, то фB') = — оо при \\z' — z\\<cd&(z), где с > 0, т. е.
B(zf cda(z))cz N. Из леммы 1.7 и определения 1.1 следует,
что N=0. ?
Следствие 1.10. Пусть Q — область в Rm (соответственно
Сп). Тогда множество S(Q) (соответственно PSH(fi)) является
выпуклым конусом над R+; оно замкнуто относительно операции
(фЬ ф2)"^ фЗ = SUp (фь ф2).
Доказательство. Для фЬ 92ePSH(Q) (или 5(Q)) множе-
множество {z: ф1(г)= —оо или фгB)= —оо} имеет меру нуль в силу
предложения 1.9. Поэтому функция ftpi+(l — 0ф2, *е[0,1]>
отлична от тождественной —оо и, следовательно, принадлежит
PSH(Q) (iuihS(Q)). D
Определение 1.11. Подмножество Е области Q в Rm (соот-
(соответственно Сп) называется полярным (соответственно плюри-
полярным), если существует такая функция фе5(Й) (соот-
(соответственно PSH(fi)), что Е а {х: ф(х)= —оо}.
Следствие 1.12. (Плюри) полярное множество, в области
Q с:Сп имеет лебегову меру нуль.
Предложение 1.13 (принцип максимума). Пусть Q — область
в Rm, ф?5(Й), a m = sup ф. Если существует такая точка
Хо е Й, что ф (хо) = пг, то у = т.
Доказательство. Если В (х0) г) cz Q, то m = ф (х0) ^
^Л(х0, г, ф)<т. Если у(х)Фт в В(х0, г), то ввиду полуне-
полунепрерывности сверху функции ф найдется такое г > 0 и такое
открытое подмножество U в шаре В(хо> г), что ф(лг)<^ — е
на U и, значит, Л (х0, г, ф)< т. Таким образом, множество
M={x^Q: (р(х)^т) открыто. В силу полунепрерывности
сверху функции ф оно также замкнуто, а так как оно непусто,
то М = Q. ?
Предложение 1.14. Пусть q(zy t)—вещественная функция от
переменных гЕЙсС" и t^T, где Т — локально компактное
пространство. Пусть, далее, \х — положительная мера на Т.
Предположим, что

302 Приложение I
i) функция z-*q>(z,t) плюрисубгармонична в Q и функция
@, t)-*<p{z + weiQ, t) измерима относительно меры dQ X d\x\
ii) для любого компакта К cz Q существует такая постоян-
постоянная М(К), что ф(г, t)^M(K) при всех t e Г.
функция я|э (z) = \ ф (г, 0 dfA @ либо принадлежит
PSH(fi), либо равна тождественно —оо.
Доказательство. Проверим выполнение условий i) и ii) опре-
определения 1.2. Пусть ty*(z) = lim sup if (г)—верхняя регуляриза-
регуляризация функции г|?(г). Тогда существует такая последовательность
wq, стремящаяся к нулю, что
г|)* (г) = lim г|) (г + wq) = lim sup \ ф (г + wq9 t) d\x (t).
Используя лемму Фату и равномерную ограниченность функций
ф(г + wq, t), получаем
q* (z) < J lim sup ф (z + wq, t) d\x @ < J Ф (z, t) d\x (t) = $ (г).
Второе неравенство здесь следует из полунепрерывности сверху
функции ф(г, t) при фиксированном t. Таким образом, -ф*(г) =
= г|?(г), так что функция if» полунепрерывна сверху.
Чтобы доказать ii), заметим, что
2л
я|э (г) = \ ф (г, /) d\x (t) ^ \ dji (t) \ ф (г + weiQ, t) -r—
о
для любого круга {г + *ш: |w|^r}, содержащегося в Q. По-
Поэтому из измеримости относительно dfiX^B вытекает, что
2л
?
Замечание. Предложение I. 14 сохраняет силу для функций
ф(*> 0» субгармонических по xgQ при t^T, если заменить
условие ii) условием ii7): функция (a, t)-*q>{x + га, ?) изме-
измерима относительно dcom X d\i.
Пусть функция а(х) е^Г(В@, 1)) такова, что а(л:)^0, а
зависит только от ||х|| и \ a(x)dxm= 1. Рассмотрим семейство
положительных функций ае(х) = г~та(х/г)у которые при г-^0
аппроксимируют меру Дирака, сосредоточенную в начале ко-
координат.

Субгармонические и плю рис у б гармонические функции 303
Предложение 1.15. Пусть <peS(Q) (соответственно
PSH(Q), и пусть
Фе (*) = <р * ае (л:) = ^ ф (* + х') ае (*') dx (*').
Тогда
i) q>e(x)^S(Qe)[]<e'oo(Qe) (соответственно qpe(z)e PSH(Qe)f}
(Йе)), где Qe = {л:: dQ(x)> е};
ii) фе(л:)—возрастающая функция от г при г < d& (x) и
() (
е->0
Доказательство. В силу условия ii) определений 1.1 и 1.2
имеем фе(л:)^ф(л:) при г <С d&(x). Из предложения 1.14 и по-
последующего замечания следует, что фе(л:)е5(йе) (соответ-
(соответственно PSH(Qe)).
Пусть задано число х\ > 0. В силу полунепрерывности сверху
функции ф существует такое число t^ > 0, что ц>(х-{-у)^
^ ф(^)+Л ПРИ Hyll ^ tr\- Отсюда при е < ^ имеем
Следовательно, Птфе(л;) = ф(л;).
е->0
Далее, из предложения 1.6 вытекает, что среднее значение
k(x, r, фе) функции фе по сфере S(x, r) является возрастающей
функцией от г при фиксированном е и d&(x)> r -\- г. Значит,
функция % (л:, г, ф) = lim А, (х, г, фе) также является возрастаю-
е->0
щей функцией от г при фиксированном ху d® (х) > г. Отсюда по-
получаем, что при е7 < е имеют место соотношения
Я(х, е/, Ф)а(/)Л>
7 Фе,D П
Субгармонические и плюрисубгармонические функции ло-
локально интегрируемы. Используя дифференцирование в про-
пространстве обобщенных функций, мы распространим на S(Q) и
PSH(Q) свойства, установленные ранее для дифференцируемых
субгармонических и плюрисубгармонических функций. Для
S(Q) рассмотрим лапласиан (как распределение)

304 Приложение I
а для ф е PSH(Q)—форму Леви
A.3) L(q>, <о)=^ *»
dzi dzj
Это распределение в Q, зависящее от вектора до.
Предложение 1.16. Пусть ф^5(Й). Тогда распределение
Аф является положительной мерой. Если ф^РБЩЙ), то
р, до) — положительная мера для любого до е ,СП.
Доказательство. Пусть 1|) <~ ^0° (Q), 'ф^О. Согласно предло-
предложению I. 15, существует последовательность субгармонических
функций фя, бесконечно дифференцируемых в окрестности носи-
носителя if>, которые, убывая, стремятся к ф. В силу предложения I. 5
Афа • if dx = \ фа • ДЧ^йт ^ 0. Поскольку функция ф при-
надлежит LJoc(Q), то по теореме Лебега о мажорированной схо-
сходимости Аф('ф) = \ фА'ф^т= lim U^Atjjrft^O. Таким образом,
Аф — положительная мера. Аналогично для функции фЕ
ePSH(fi) выберем стремящуюся к ф последовательность плю-
рисубгармонических функций q^, бесконечно дифференцируемых
в окрестности носителя г|). Тогда
L(ф, w)^)— \q>L(ty, w)dx — lim \ Ф^Оф, w)dx =
J q->oo J
, до) i|) dx ^ 0. ?
= lim \
(J4oo J
Предложение 1.17. Пусть 9EPSH(fi). Тогда Цг, г, ф) и
Мф(г', r)= sup ф^7, z"), /eCm, 2^eCrt~m,
— возрастающие выпуклые функции от log r.
Доказательство. Пусть ц > 0, а ф? — последовательность
плюрисубгармонических ^°°-функций, сходящаяся к ф в йл =
= {г: da(z)> г\}. Тогда, в силу предложения 1.6, А (г, г, ф^) и
А, (г, г, -%)—возрастающие выпуклые функции от log г при г <
< da (z) — ц. Поэтому функции Л (г, г, ф) и Л (г, г, ф) также об-
обладают этими свойствами. Поскольку число г\ было произ-
произвольным, это верно при всех r<.da\z). Далее, My(z'yz") =
= sup ф {z\ аг ) является плюрисубгармонической функцией
Ц||<
переменной z" при фиксированном z\ так чтоМф(г', г) = Я2"@ г,
Mq(z\ z")) есть возрастающая выпуклая функция от log г. ?

Субгармонические и плюрисуб'гармонические функции 305
Определение 1.18. Функцию у(х) назовем локально субгар-
субгармонической в области QdRm (соответственно локально плю-
рисубгармонической в области Q cz Cn), если qp полунепрерывна
сверху, ц>Ф—оо и если для любой точки x^Q существует
такое число p(x)>0, что ф(х)^ %(х> г, ф) при г<р(х) (соот-
(соответственно для любого гей существует такое число р(г), что
2л
Ф (г) < Bл)-1 J ф (г + we™) dQ при || w ||< p (г)).
Предложение 1.19. Если функция ф локально субгармонична
в Q cz Rm (соответственно локально плюрисуб гармонична в
Q а С"), тофЕ 5(Й) (соответственно ф е PSH(Q)).
Доказательство. Пусть функция ф локально субгармонична,
но не субгармонична в Q. Тогда найдется такой шар В(?, r)czQ,
что ф (|) = М > —оо, а Я (g, г, ф) ^ М — е для некоторого е > 0.
Ввиду полунепрерывности функции ф можно найти такую не-
непрерывную на bdB(g, г) функцию %, что % ^ <р и Я(|,г,х)<
<М — е/2. Пусть ty(x)—гармоническая функция в В(|, г),
равная х на bdB(g, r).
Тогда функция ф1 = ф — ф локально субгармонична в Б(^, г)
и ф1(|) > е/2 > 0. С другой стороны, ф1(х)<0 на bdB(g, г).
Отсюда вытекает, что множество {х: ф1(л:)^е/2} компактно
в ВAУ г). Поскольку для локально субгармонической функции
справедлив принцип максимума (см. предложение I. 13 и его
доказательство), мы получаем ф! = const > 0, а это противоре-
противоречит тому, что ф1 < 0 на bdS(^, r). Если функция ф локально
плюрисубгармонична, то существует такая точка xq, что ц>(хо)ф
ф—оо, и на каждой компоненте со множества L{{]Q для лю-
любой комплексной прямой L1 функция ф либо равна —оо, либо
локально субгармонична. Тогда она либо тождественная —оо,
либо субгармонична в со. Поэтому она плюрисубгармонична в Q
(см. замечание 2 после определения 1.2). П
Следствие 1.20. Пусть Q — область в С", а{иь}Т=\—покры-
а{иь}Т=\—покрытие Q областями иАт. е. Q= U иА. Если функция ф опреде-
определена в Q и принадлежит PSH(?A) при всех i, то ф
Следствие 1.21. Пусть MczQ — замкнутое множество, Ма
cz {х: ф(д:)=—оо, фе5(Й)}. Тогда множество СМ связно.
Это же заключение справедливо, если ф^РБЩЙ). Если М —
аналитическое множество в Q, то СМ связно.
Доказательство. Предположим, что это не так. Тогда полу-
получается разложение Q = QiUQ2UM, причем fiin^2=:0. Из

306 Приложение I
предложения 1.9 следует, что М = 0. Поскольку M{]Q{ =
= М П ?22 = 0, найдется такая точка g е М, что g e bd fij ft
f|bdQ2. Выберем число r<dQ(%). Тогда ?(i г/2)П Qi ?= 0 и
B(l/2)Q 0
(/
Определим функцию ф равенствами ф = —1 на Q{ и ф! = О
на ?22. Пусть, далее, 1|)— субгармоническая функция, равная
—оо на М и отрицательная в шаре ?(?, г). Положим ф^ = ф-)-
+ 1( ^ )>g (х) = lim ф^(х). Так как функции ф^ локально
субгармоничны в Q, то ф?5(Й), так что функция g*(x) =
= lim sup #(.*;) субгармонична. Но g*(g) = 0 > >4(g, r/2, g*). По-
лучаем противоречие.
Если Af— аналитическое множество, нужно взять такое чис-
число r<cfa(g), что Af П -S(S. 0= П /7у@),1лде Fj — голоморфные
функции в В (g, r), и положить i|) = log X | Fj |2. П
Предложение 1.22. Пусть Q — область в Rm (соответственно
в Сл), и пусть М — замкнутое полярное множество в Q (соот-
(соответственно плюриполярное множество). Предположим, что
Ф е 5 (Q П СЛ1) (соответственно ф е PSH (Q П СЛ1))— функ-
функция, ограниченная сверху в окрестности любой точки х е М.
Тогда существует единственная функция фЕ5(Й) (соответ-
(соответственно ф е PSH(fi)), такая, что ф = ф яа ?2 П СМ.
Доказательство. Для g е Л1 и г < dQ (g) возьмем такую функ-
функцию if>eS(Q), что г|?(л:)=—оо на М и г|? < 0 в шаре S(g, r).
Мы можем считать, что исходная функция ф^О в S(g, r), так
как /J(g, г)ПМ — компакт. Положим Ф? = Ф + <Г(Ф> ёг(^):::=:
= lim (pq(x). Поскольку функции ф^ локально субгармоничны в
б(|, г), то они субгармоничны, так что ^(x)eS(Q) и g*(x) =
= ф (х) ДЛЯ JCGQfl СМ.
Если ф — продолжение функции ф в шар 5(|, г), то, по-
поскольку М имеет меру нуль, ф(х) = lim A (x, t, ф) = 1\ш А(ху
t, ф), так что продолжение единственно. Утверждение следует
теперь из предложения I. 19. Доказательство в плюрисубгармо-
ническом случае точно такое же. ?
Следствие 1.23. Пусть QczCn> а М — замкнутое и2п-поляр-
ное множество в Q. Пусть, далее, f—однозначная голоморфная
функция в QflCM, такая, что \f\ ограничен в окрестности каж-
каждой точки ^gM. Тогда существует единственная функция
f e<5#(Q), совпадающая с f на Qf] СМ.
Доказательство. Пусть /(z)= u(z)-\- iv(z). Применим сна-
сначала предложение 1.22 к функциям u(z) и —и(г), которые яв-

Субгармонические и плюрисубгармонические функции 307
ляются субгармоническими в Q[\CM. Согласно этому предло-
предложению, существуют субгармонические функции й(г) и (—и) (г)
в Q, совпадающие с u(z) и —u(z) в Q flCAf. Для ge Af имеем
Л(Б) = НтЛ(Б, t, и) = —НтЛF, t, —и) = — (~и){Ъ). Поэтому
функция u(z) гармонична. Аналогично доказывается гармонич-
гармоничность функции с;(г). Имеем /(г) = й(г)+ iv(z)^<S>oo(Q). Сле-
Следовательно, по непрерывности, df = 0 в Q. П
Замечание. Если в качестве М берется аналитическое мно-
множество, то следствие 1.23 переходит в классическую первую
теорему Римана о продолжении.
Предложение 1.24. Пусть г|? (t) — возрастающая выпуклая
функция на [—оо, +оо), и пусть <pePSH(Q). Тогда функция
PSH(Q)
Доказательство. Пусть xe®o°(Q)— неотрицательная функ-
функция, и пусть {ф?}—последовательность плюрисубгармониче-
ских ^-функций, которые, убывая, сходятся к функции ф
в окрестности supp%- Пусть, далее i|)v@—последовательность
возрастающих выпуклых ^^-функций, которые, убывая, схо-
сходятся к функции ty(t). Из непрерывности г|?@ вытекает, что по-
последовательность функций Ф^(г)= tyq(q)q(t)), убывая, сходится
к функции ф(г)= i>(q>(z)) для любого 2esupp%. Простые вы-
вычисления показывают, что
Таким образом, в силу предложений 1.3 и 1.5, функции Фя(г)
плюрисубгармоничны. Доказываемое утверждение вытекает те-
теперь из следствия I. 20. ?
Предложение 1.25. Пусть Q — область в С", обладающая
следующим свойством: если точка z = (z\, •••, Zn), где Zk =
= Xk + itfk, принадлежит Q> то все точки вида zr = \z\, ..., г^),
где z'k = xk + ityk, a t e [0, 1], также принадлежат Q. Тогда
если функция ф^Р5Н(Й) зависит только от переменных xk,
то она является непрерывной выпуклой функцией от х = (хи • • •
Доказательство. Пусть я: г-^xG'R" — естественная проек-
проекция на вещественные координаты. Тогда функция ф продол-
продолжается как плюрисубгармоническая функция на множество
Q' = a)XRtt, где со = jt(Q). Пусть е > 0. Положим 0^ = {ге07:

308 Приложение I
da,(z)>B). Тогда функция (pe(z)'> принадлежит PSH(Q?)n «
П
и зависит только от х. Далее, L(cpg, w)= ^ ^ ^ а^ш7, и,
взяв и/еК", получаем, что ф8 — выпуклая функция. Поскольку
предел убывающей последовательности «выпуклых функций есть
выпуклая функция, то функция ф выпукла, а поскольку выпук-
выпуклая функция, локально ограниченная сверху, непрерывна, то
функция ф непрерывна. ?
Следствие 1.26. Пусть Q — область в С я, Q = [г: 0 ^ r'f <
<Ы<Г/'}' фУнкЧия Ф(О (г = (ги ••-, гя), г/=|г/|), ояре-
деленная в Й, плюрисубгармоническая тогда и только тогда9
когда она является выпуклой функцией переменной v = (v\, ...
..., vn), Vj = log г/.
Доказательство. Пусть точка г = (гь ..., гя) принадлежит
?2. Тогда в некоторой окрестности сог точки г можно определить
ветвь логарифма\ogzk = afe + /с;^. Если феР5Н(Й), то функ-
функция я|> (у^) = /Ф(^^ + iv'k) = Ф С^1, ...,^t'tt) является плюрисуб-
гармонической функцией от переменной w = (v{ + ">{, • • •, vn +
+ ^). В силу предложения 1.25 это выпуклая функция от
v=(v\, ..., vn). Обратно, если функция ty(v) определена на
открытом множестве со = (v: log rr, < v, < log r^} и является вы-
выпуклой функцией переменной v, то ее можно продолжить как
выпуклую функцию на со + Жп> полагая *ф (t^ + iv'k) = ^(^^).
Как следует из замечания после определения 1.2, фе
PS(o + iRn). ?
Теорема 1.27. Пусть QczRm {соответственно О), а
Ф^5(й) (соответственно фу е PSH (Q))— возрастающая по-
последовательность функций, равномерно ограниченных сверху на
каждом компакте в Q: Положима= lim ф^ ф*(д:) = Пт^')
V
Тогда
i) ф* (Х) = Нт Л (*, г, ф), гбе А(х, г, у)—среднее значение
г->0
функции ф /го шару В (л:, г), w ф*е5(Й) (соответственна
5(?2)
Ф());
ii) множество {хеЙ: ф(*)< Ф*(*)} w-weer лебегову меру
нуль в Q.
Доказательство. Очевидно, что ф е Lioc (й), и по теореме Ле-
Лебега о мажорированной сходимости Л (л:, г, ф)= lim А(х, г, фv).
В смысле определения из предложения I. 15.— Прим. перев.

Субгармонические и плюрисубгармонические функции 309
Отсюда следует, что А(х, г, ф)—непрерывная функция от х при
г > 0. Кроме того, А (х, г, ф)е S(Q) (соответственно
А (х, г, ф)е PSH(Q)) и является выпуклой возрастающей функ-
функцией от г, так как этим свойством обладали функции
А(х, г, фу). Поэтому функция -ф (л:) = lim А (х, г, ф) полунепре-
г->0
рывна сверху и \|?^S(Q) (соответственно i|?^PSH(fi)). Далеег
при г > 0 и любом v имеем
откуда, учитывая непрерывность А(х, г, ф), получаем, что
Ф*(л:) ^ Л (л:, г, ф) и, следовательно, Ф*(х)^ г|?(х). Поскольку
ввиду полунепрерывности сверху функции ф* имеет место ра-
равенство lim Л (а:, г, ф*) = ф*, то
г->0
if (а:) = lim А (х, г, ф) ^ lim А (х, г, ф*) = ф*
г->0 г->0
и, значит, ф*(х)= \l?(x).
Утверждение ii) следует из классического свойства Lioc-
функций: для почти всех х имеет место равенство
ф(д:)= lim А{х, г, ф). П
Замечание. Из теоремы 1.27 вытекает следующее:
A) Если дана последовательность функций q>v^S(Q) (со-
(соответственно PSH(Q)), локально ограниченных сверху, и
) lim sup фу (л:) ^—оо, то \|?*(A:)eS(fi) (соответственна
V> о
PSH(fi)) и множество точек, где if>(x) < if>*(л:), имеет лебегову
меру нуль в Q.
B) Конусы S(Q) и PSH(Q) являются замкнутыми множе-
множествами в Z,ioc(?2), и если 9*eS(Q) (соответственно PSH(Q)) —
последовательность Коши, сходящаяся к функции ф е Lioc (й)^
то функция 1|э*(л;) = [Нт зирфу(д:)]* является пределом ф^
V->oo
в l|oc(Q)h почти всюду имеет место равенство ф = г|? = г|э*.
Для доказательства A) положим q>n,p(x)=sup{cpv(x): n ^
^v^Az + p}. Тогда ф«)Ре5(й) (соответственно PSH(Q)).
По теореме 1.27, множество ея = [х: фп (х) < ф* (#)}, где фл =
= lim фл ^Ф^ имеет лебегову меру нуль в Q. Тогда
р-»оо
lim ф„ (х) = г|? (а:), и если g-= lim ф^, то г|? (a:) ^g(x), а множе-
п->оо гг->оо
ство {л:: г|? (л:) < g (x)} содержится в U^rt и, следовательно,
л
имеет меру нуль. Поэтому g(x)=y*(x) (доказательство того,

310 Приложение I
что i|?*^S(Q) (соответственно PSH(Q)), см. в гл. 1, тео-
теорема 1.27).
Для доказательства B) заметим, что по предположению
()^ А(х, г, cpv), т. е. последовательность локально ограни-
ограничена сверху и lim Л(лг, г, qpv) = А (х, г, ф). Используя A) и
V->-oo
лемму Фату, получаем
i|)(л:) < lim sup А (х, г, Фл?) = Л(а:, г, ф)<Л(л:, г, <ф) = Л(л:, г, ф*),
V->oo
откуда
Теорема 1.28 (теорема об обратной функции для плюрисуб-
гармонических функций). Пусть Q — область в ,СД а А =
= Q X С. Для плюрисубгармонической в А функции ф обозна-
обозначим Мф(г, r)= sup ф(з, Я), 2gC", AgC. Если существует
та/сая го^/са г0 е й, ^то ф (г0, Я) ^ ф(го, 0), то
i) для фиксированного 2ЕЙ лабо Л1ф(г, г) ^ ф(г, 0),
Л1ф(г, г) ^сть возрастающая выпуклая функция от log r
lim (logr)-1Afq)B> r)>0;
>
ii) йля z^lQ положим б (г, га) = sup {г: г > 0, Л1ф(г, г)<
< га}, где га > ф(г, 0). Гогйа б (г, га) < 1 на множестве Qm =
= {гей: Л1ф(г, 1)<га}, функция г|? (г, га) =—log б (г, га) ^сть
отрицательная плюрисуб гармоническая функция на каждой
связной компоненте множества Qq при q<.m (или г|?(г, га)==
= —оо в Q^, если г|?(гД) я^ зависит от X в Й^Х.С). Функция
д|) (г, га) убывает по m и lim i|) (г, га) e=s — со.
т->оо
Доказательство. Утверждение i) следует из предложения
I. 17. Точки z^lQ распадаются на два класса: те, для которых
Л1ф(г, г) есть постоянная (и тогда ф(г, А,)= ф(г, 0)), и те, для
которых ф(гД) непостоянна.
Из полунепрерывности сверху функции Мф(г, г) в iCnX'R+
следует, что функция б (г, га) полунепрерывна сверху и, значит,
г|)(г, га) полунепрерывна снизу. Если Л1ф(г, г) возрастает и
lim УИф(г, г) = + °°> т0 функция г|?(г, га) убывает и lim г|? (е,
Г->оо /Л->оо
т)= —со. Если же ф(г, Х)== ф(г, 0), то г|?(г, га)= —со при лю-
любом га > ф(г, 0).
Рассмотрим сначала случай, когда МфЕ^^ХК). Пусть
и = и\ + ш2, где j/i = log|i| = log г. Тогда простой подсчет по-
показывает, что Л1ф(г, и)—плюрисубгармоническая функция:
(дг/дХ) дХ (дг/дХ) дх

Субгармонические и плюрисубгармонические функции 311
Имеем -^-^- = 0, -^-^ > 0, и так как Л1ф(г, и\) = т, то щ =
OU2 OU\
= log б (г, га). По теореме о неявной функции получаем
д2и
+ ди\ dzk дг, du{dh dzf ди{ у
Поэтому
где
Таким образом, —log б (г, га)—плюрисубгармоническая функ-
функция. В общем случае возьмем последовательность q>v(z) плю-
рисубгармонических ^-функций, которые, убывая, сходятся
к ф. Пусть 6VB, га) — последовательность соответствующих
функций в области Q' <Ш Q. Тогда последовательность
—Iog6v(?, га), убывая, сходится к —Iog6B, га), и эта функция
плюрисубгармонична в Q' в силу предложения 1.3. П

Приложение II
Существование уточненных порядков
Теорема II. 1. Пусть М(г)—непрерывная положительная функ-
функция от г > О, причем lim sup -^—— = р < + °°- Тогда суще-
ствует такой сильный уточненный порядок р(г), что M(r)^r9(<r)
при всех г > 0 и М (rm) = rQm для некоторой последователь-
последовательности чисел rm / + °°.
Доказательство. Пусть ф(г) = М(г)-г~р, таким образом, что
lim sup ogq)^ = 0. Произведем замену переменных: х =
= logr, У = logy (r). Тогда у = ^\(x) = logcp(exp х) и
lim sup = и.
План доказательства следующий: сначала построим кусоч-
кусочно-вогнутую мажоранту для кривой у = ty\(x)f совпадающую
с ней на последовательности точек хт9 стремящейся к бесконеч-
бесконечности. Эту мажоранту мы будем затем последовательно моди-
модифицировать, чтобы она приобрела свойства, фигурирующие
в определении уточненного порядка.
Доказательство разобьем на несколько этапов.
1. Построим сначала функцию ^pi(x) со следующими свой-
свойствами:
i) yp[{x) вогнута;
ii) lim —¦ = 0, lim i|)i (л;) = -f- oo;
iii) lim i|^(a;) = 0;
iv) lim sup [i^l (x) + <Pi (x)] = + oo.
Пусть em — последовательность, стремящаяся к нулю. Выбе-
Выберем по индукции возрастающую последовательность точек
хт/ + оо и линейных функций ат(х) с наклоном ет, таких, что
am(xm)=am+i(xm)^—m и q>i(x) > т — ат(х) при х ^ хт.
Для этого положим cxi(a;)=—г\х и выберем точку х\9 для ко-

Существование уточненных порядков 313
торой одновременно г\Х\^\ и cpi(.x;i)>—e^i + l. Если уже
выбраны хт и ат> то положим am+i(x) = am(x)—гт(х — хт)г
a Xm+i выберем столь большим, чтобы выполнялись одновре-
одновременно неравенства am+i(xm+i)^—(m+I) и q>i(*m+i)>
> — ат (Xtri+x) + /п + 1.
Пусть теперь $\(х) = —ат(х) при хт-\ ^ х ^ хт. Тогда i|)i
удовлетворяет i), ii), iv) и iii), кроме точек хт, в которых не
существует производной ty[ (х). Модифицируем эту функцию сле-
следующим образом: пусть 1т — биссектриса тупого угла, образо-
образованного прямыми у = ат(х) и y = oim+i(x), а Ът — окружность
радиуса 8т с центром на /т, касающаяся этих прямых: бт =
={U. У)' \х — хт\2 + \У — Ут\2 = 6т}- Для Точек ^ располо-
расположенных между абсциссами точек касания, положимi|)j (x) = УтЛ~
V~"~ (^~-^тJ (Т- е- заменим ломаную дугой окружности).
Тогда, если взять Ьм достаточно малым, свойства i), ii) и iv)
сохранятся; кроме того, ^\(x)^:<&l(R+) и iii) также имеет
место.
2. Пусть ур(х)—функция, удовлетворяющая приведенным:
выше условиям i), ii) и iii). Тогда существует такая функция
6(л;), что
iv)' lim 6(л:) = + оо;
JC->oo
v) lim 6 (x)/x = 0, lim 6" (*) = 0;
vi)
vii) Q()()
viii) существует последовательность хт /-\- оо, такая, что
точки (xm, t (хт)) являются крайними точками кривой1) у =
= г|) (х) и 6 (хт) = г|) (хт).
Пусть em \ 0. Построим по индукции последовательности
точек хт / + оо и функций 6т (х), заданных на
, что ёт (хт) = ёт^ (^т), б; (*т) = ё;^ (^т),
], та-
при Хт ^ х ^ Хт+ь Кроме того, необходимо, чтобы при этом
на каждом отрезке [хт, хт+\] существовала такая точка х'т, что
точка {х'тУ &(х'тУ) является крайней точкой кривой у=
Построению предпошлем следующее замечание. Пусть
0О(л;)—линейная функция с наклоном е, график которой ка-
касается кривой y = ty(x). Такая функция существует. Действи-
1) Имеются в виду крайние точки множества, ограниченного кривой.—
Прим. перев.

314 Приложение II
тельно, в силу ш) при больших а прямая у = а + ел; лежит
над кривой у = }р(х). Если непрерывно уменьшать а, то най-
найдется такое значение по, что прямая у = Qq(x)= ao-{-ex ка-
касается кривой в некоторой точке [х'{, Ф (*{)]. Ввиду условия ш)
эта точка будет крайней точкой для этой кривой. Положим
О
= ^ + <\т) (* - хт) - 4т) ехр (-гт(х- хт)).
Тогда для графика функции вт(х, с[т)) прямая у = с(от) +
Н- с[т) (л: — хт) будет асимптотой. Положим 5т = в^1_1 (^от). Эта
величина с ростом хт стремится к с[т~1К Выберем числа с(от) и
(зависящие от параметра с\т)) так, чтобы 8т(л;т) = 8т_1 (jcm)
W^tiW' T- е- если ym_1 = 8m_1(xm), возьмем
Число c(jm) мы будем выбирать из промежутка @, 1т), так
что с[т) > 0. Тогда
Выберем хт столь большим, чтобы выполнялись соотношения
im<2^m-^ и 6m(*, Yc\m~l)) > *W ПРИ Jc^*m- Это возмож-
возможно в силу свойства iii) функции i|). Тогда существует такое
число с[т) е Го, ус^'Ч, что кривая y = Qm(x, c[m)) касается
кривой у = ^{х) в точке [х!т, 'Ф(^)). Поскольку кривая у =
= 6m(jc, c(tm)) не содержит прямолинейных участков, точка
(х'т, 'Ф(^)) является крайней точкой кривой у = ^{х). Далее,
по построению, с[т) < 2~тс[[), так что с^ монотонно стремится
к нулю.
Положим B(x) = Bm(x) = Qm(x, с\т>) при х е [xm> xm+1].
Тогда функция 6(jc) удовлетворяет условиям iv)/—viii) всюду,
кроме точек разрыва функции 6". Поскольку эти точки не
лежат на кривой у = if>(*), то, изменяя 8 в их малых окрестно-
окрестностях, мы можем построить новую функцию 8(jc), вторая про-
производная которой принимает значения между верхним и ниж-
нижним пределами 8"(л;) в точках разрыва и для которой сохра-
сохранятся свойства iv)', v), vii) и viii). Тогда (8"(л;)/8'(л:) | <С гт-\
при хт^х^Хт+и так что 8(л;) удовлетворяет и условию vi).
Пусть 8i(jc)—функция, построенная описанным выше спо-

Существование уточненных порядков 315
собом по функции i|)i(jc). Через ijJ {х) обозначим наименьшую
вогнутую мажоранту функции qJ(jt) = <Pi(*)+ 6i(*)« Пусть, да-
далее, 62(jc)—функция, построенная упомянутым способом по
функции $2(х). Тогда 62(л:) ^ Фг(*)^ <Pi(*) + 6i(a;), а для по-
последовательности jc^ Z' + оо крайних точек кривой у = $>2(х)
имеем 62(A:m) = '^2(A:m)- ^° поскольку $>2(х)—наименьшая во-
вогнутая мажоранта, то для каждой крайней точки $2 (х) =
= ф1 (х)+ 6i (x), и поэтому
Положим
/г)^0 . 92 dog г) - 9t (log г)
v } v ~ log г
Поскольку, по построению, cpi(jt)^ 62(jc)—Q\(x), то
^62(logr)—Oi(logr) и, значит,
М (г)^ rPexpF2(logr)—61 (log г) )= гр<г),
причем на последовательности точек, уходящей на бесконеч-
бесконечность, имеет место равенство. В силу v) мы получаем, что
lim р(г) = р и
Г-»оо
lim p' (r) r log r =
Г-»оо
.. . re2(iogr)-e;(iogr)-(e2(iogr)-e,(iogr))(iogr)-1'|
Далее,
„, ч К (bg г) - В" (log г) , / 9; (log г) - 9; (log г)
2
Из vi) и vii) следует, что | Q" (log г) |<| 6^ (log г) |=о A) и 19. (logг)
= о (log г), /=1, 2, так что lim г2 log гр" (г) = 0. ?

Приложение III
Решение д-уравнения с оценками роста
Решение d-уравнения — основное средство в техническом ар-
арсенале теории функций многих комплексных переменных: не-
непрерывная функция f в области Q а .С.л голоморфна тогда
и только тогда, когда поток df = 0. Мы приводим здесь реше-
решение уравнения ди = g, где dg = 0, полученное Хёрмандером
[В] с использованием оценок в L2 и техники гильбертовых про-
пространств. В этом приложении в качестве g мы рассматриваем
только @, 1)-формы. Для задач, исследуемых в книге, этого
достаточно, а решение в общем случае читатель может найти
в [В].
/. Основные леммы о неограниченных операторах
в гильбертовых пространствах
Пусть #i и #2 — два гильбертовых пространства со скалярны-
скалярными произведениями <,>i и <,>2 соответственно. Рассмотрим ли-
линейный оператор А из Н\ в Я2, заданный на линейном подпро-
подпространстве Da ъ Ни называемом областью определения опера-
оператора А. Наша цель — найти такой оператор Л* с областью
определения DA* в Я2, что для x^Da, //ЕОл*имеет место
равенство
Для того чтобы такой оператор Л* был определен однозначно,
необходимо, чтобы DA было плотно в Н\. Будем предполагать,
что это так. Из (III. 1) получим тогда
\(Ах, уJ\<\\А*у\\1\\х\\1=Су\\х\\1.
Оператору А с областью определения DA мы поставим в соот-
соответствие подпространство Da*, состоящее из элементов у^Н2,
для которых существует такая постоянная Су, что для любого
x^Da выполняется неравенство
(Ш.2) \(Ах, уJ\<Су\\х\\{.

Решение д-уравнения с оценками роста 317
Для {/еВд* рассмотрим отображение х-*(Ах, уJ. В силу
(III. 2) это непрерывный линейный функционал на Da. Он од-
однозначно продолжается до непрерывного линейного функционала
на #ь так что существует единственный элемент А*у в Яь для
которого (Ах, уJ = <*, А*У)\. Отображение у-*А*у из DA* в
Н\ является линейным. Оператор Л* с областью определения
DA* называется сопряженным оператором к Л.
Предложение III. 1. Оператор А* замкнут, т. е. если уп-*уо,
yn<^DA* и zn = A*yn-*z0<^Hi, то yo<^DA* и zo = A*yo.
Доказательство. Поскольку гп — последовательность Коши
в Н\, существует такое М^О, что \\zn\\ ^M и, следовательно,
<х, A*yn)i\ = \(x, zn)i\ ^ MIUIIi для x^Da. Таким образом,
(Ах,уп}2\<М\\х\\и когда уп-*уо, а так как <Ах,уп}2->-
-+(Ах,уоJ, то и |i4x,#o>2|<M|UHi. Тогда, в силу (III. 2),
х/ое DA*. Далее, (х, zn}i-*(x, zo)\ и, следовательно, (Ах,уо}2 =
= <*, 2о>ь а ввиду единственности го = Аеу0. О
Мы теперь определим (Л*)* и покажем, что (А*)* = А. Для
этого введем дополнительное предположение, что оператор Л
замкнут, и докажем, что DA* плотно в Н2. Тогда можно будет
определить (Л*)* и получится, что (А*)* = А (откуда следует,
что DA = Ал*)*, если оператор Л замкнут).
Введем пространства Н = #iX#2 и Я = #2X#i и зада-
зададим отображения Si: Н-*Я и В2*. Я->•//, полагая В\(х,у) =
= (у, —*), Д2@, *) = (*, —у).
Графиком Ga оператора Л называется множество пар (л;, Ля)
в Я, где хеОл. Соответственно график G^* оператора Л* со-
состоит из пар (у, А*у) в Я, где у е D^*.
Введем в Я скалярное произведение <(#,y), (^, v)} =
= <-^, ^>i + (Уу vJ, а в Я — скалярное произведение < (у, х),
(v, и)} = <*, а>1 + <у, у>2.
Таким образом, оператор Л замкнут тогда и только тогда,
когда его график замкнут.
Предложение III.2. Справедливо равенство
(III. 3) Ол- = [В1(Ол)]Х в Н.
Доказательство. Если (Ах,у}2 — <jc, e>i = 0 для любого х^.
Eft, то y^DA* и 2 = Л*у по определению оператора Л*. Но
это эквивалентно тому, что ((Ах,—*), (у, z)) = 0 в Я. ?
Предложение III. 3. Если график Ga замкнут, то DA* плотно
в Я2, ?л = Ал*)* и А = (А*)\
Доказательство. Из замкнутости Ga следует, что B[(Ga) =
(B^Ga)I1, а ввиду предложения III.2,(Bj (G^)I1 =(GA*)±.

318 Приложение III
Таким образом, имеем
GA = B2 (Вг (GA)) = B,(G^) = (В2 @А.)у и
(Ш. 4) GA = (B2(GA*))L в Я.
Пусть ut=H2{\{DA*)L. Тогда <@,и), (А*у,— */)> = О в Я для
любых у е Дл*. Следовательно, @, /л)е(В/(Ол* ))-*-. Тогда, в силу
(III. 4), @,м)еОл и и = Л@)=0, откуда вытекает, что DA*
плотно в Я2. Применяя (III. 3) к Л*, получаем, что G(A*)* =
= (B2(GA*)I. Тогда, в силу (III. 4), GA = G{A*r, откуда следует,
что DA = D{A*)* и Л = (Л*)*. П
Лемма III.4. Пусть А — замкнутый оператор с плотной об-
ластью определения Da в гильбертовом пространстве Н\ и со
значениями в замкнутом подпространстве F гильбертова про-
пространства Я2. Тогда F = A {Da ) в том и только том случае,
когда существует такая постоянная С ^ 0, что \\у\\2 ^ C||A*y||i
для любого у gFf|DA*.
Доказательство. Пусть z^F. Ввиду предложения (III. 3),
(А*)* = А. Поэтому решить уравнение Ах = z равносильна
тому, чтобы найти такое х, что <#, А*у)\ = <г, уJ для любого-
y<=DA*.
Предположим, что существует такая постоянная С, о кото-
которой говорится в условии леммы. Если y^F1, то <з, у>2 = 0-
Если же у е F f| DA*, то, по предположению,
(III.5) \(z, yJ\<\\z\\2\\y\\2^C\\z\\2\\A*y\\ly
так что линейный функционал l(A*y)= (z, уJ непрерывен на
A*(DA*). Поэтому существует такой элемент х^Ни чта
(х,А*у){ = (z,yJ. Таким образом, Ах = z к F = A(DA).
Предположим теперь, что F = A(Da). Пусть В = {у: у^
^Ff]DA*f ||i4*y||i ^ 1}. Достаточно показать, что В — ограни-
ограниченное множество в Я2- Пространство A (Da) замкнуто и, сле-
следовательно, является гильбертовым пространством; тогда при
y<=B,z<=F = A(DA) имеем
\<У, г\\ = \<У> Ах\\ = \(А*у, х\\<
<\\А*у\\х\\х\\х<\\х\\х.
Таким образом, множество В слабо ограничено в F. По тео-
теореме Банаха — Штейнгауза оно сильно ограничено. ?
Лемма III. 5. Пусть А — замкнутый оператор с плотной об-
областью определения DA в пространстве Ни a F — замкнутое
подпространство в гильбертовом пространстве Я2, F=zA(Da)~
Пусть, далее, существует такая постоянная С > 0, что \\у\\2 ^
СНЛ^! для любого у е F (]DA*. Тогда для любого v^Hifl

Решение д-уравнения с оценками роста 319
С] [Л-1 (О)]1 существует такой элемент w^DA*t что A*w = v
и WhCWh
Доказательство. Если xn^DA, хп-*-х0 и Ахп = О, то, по-
поскольку оператор Л замкнут, xo^DA и Ах0 = 0. Поэтому ядро
А~{@) является замкнутым подпространством в #ь Равенство
Ах = 0 эквивалентно равенству (Ах, уJ = 0 при всех y^DA*
(так как DA* плотно в Н2) и, значит, равенству (х,А*уI=0
при всех у е DA*. С другой стороны, если (и, A*y)i = 0 при всех
у <= DA*, то ие Дл*)* = DA и (Ла, г/J = (и, А*у){ при всех # е
gD^, так что Л г/= 0. Таким образом, Л @) = (Л*(Ол*))х
и, по симметрии, (Л*)~1@) = (Л (D^) J1.
Из условия вытекает, что F1 а (А (АОI = (Л*)-1@). По-
Поэтому образ сужения оператора Л* на Ff]DA* совпадает с
A* (DA*) в Н{. Из неравенства \\у\\2 ^ C|H*r/||i следует, что этот
образ замкнут в Нх. Тогда если v e Нх ПИ"^)] 1> то уе
^ (Л*| (DA*)IX = Л* {DA*). Поэтому существует такой элемент
w e F П /)л*, что Л*ш = у и, значит, ||ш||2 ^ C||y||i. D
2. Оценки для д-уравненая
Пусть ф — непрерывная функция в области ?2 с: О, a L2(q>)—
пополнение ^(й) по норме, порожденной скалярным произве-
произведением
Пространство L2(cp), рассматриваемое как пространство рас-
распределений, состоит в точности из тех распределений Г, для ко-
которых
I Т (/) |2 <СГ \ | / |2 е-*{г)dx (z) V/ s ^o00 (Q).
Q
Через L^o 1}(ф) (соответственно ^02)(ф)) мы будем обозначать
п
пространство @, 1)-форм f = X fidzt ("соответственно прост-
ранство @, 2)-форм /=? fijdzt AdzA , таких, что ^еР(ф)
{соответственно /^е^(ф)) с нормой II f ||2 = 2 II f111ф Гсоответ-
ственно ||Л12= 2 ||^/f) ; пространство Цо 1}(ф) (соответственно
1B02)(ф)) является пополнением по этой норме пространства

320 Приложение HI
(О, 1)-форм (соответственно @, 2)-форм) с коэффициентами из
Пусть ф1 и фг — две непрерывные функции в Q. Определим
на подмножестве в L2(q)i) оператор А = д со значениями в
LB0 1}(ф2) равенством (в смысле потоков) df = y\~-dzt. 06-
ласть определения этого оператора состоит из таких f^L2(<p\),
что <?/eL?o.i)(<P2).
Предложение III. 6. Оператор А = д имеет плотную область
определения и является замкнутым оператором.
Доказательство, Поскольку ^?o°(Q) плотно в L2(q>i), то об-
область определения оператора А плотна. Если fn-^fo в L2(q>\),
то fn->f0 в L|OC(Q). Поскольку в пространстве распределений
оператор дифференцирования непрерывен, то Afn-*-Af0 в смыс-
смысле потоков. Поэтому, если Afn->g0 в ?20>1)(ф2), то AfQ = g0 в
смысле потоков, так что оператор А замкнут. ?
Рассмотрим также оператор В = д, действующий из L20 1}(ф2)
в ^о,2)(Фз) по Формуле
Для дальнейшего нам понадобится функция ае^(о),
определенная в единичном шаре Во пространства ,О и такая,
что \ a (z) dx (z) = 1; положим ае (z) = е~2"а (г/е).
Лемма III.7. Пусть функция g^L2(Q) имеет компактный
носитель. Тогда функция ge = g *ае принадлежит ff™ ulim \\ge—
0
Доказательство. Поскольку gB (z) = \ g (z + ^0 «е (г') dr (г') и
g имеет компактный носитель, то можно дифференцировать под
знаком интеграла, так что gee^~.
Если и — непрерывная финитная функция, то из формулы
ие (z) - и (z) = J (и (z + ez') - и (г)) <хе (г') dx (z')
и равномерной непрерывности и следует, что ие равномерно
сходится к и.

Решение д-уравнения с оценками роста 321
Далее, поскольку \ ае (z) dx B) = 1, из неравенства Минков-
ского вытекает, что /Лнорма функции ge не превосходит
/Лнормы функции g. Для любого к) > О мы можем найти такую
непрерывную функцию и с компактным носителем, что \\и —
— g\\ < т). Тогда \\ge — ие\\ <г]и
lim sup || g& — g IK lim sup || u& — g8 II +
8»0 8»0
+ IIи — gII + lim sup||ue — a
так как а8 равномерно стремится к и. D
Вычислим сопряженный оператор Л*. Пусть g
f^tfidz^L^^Q). Если [Gfl,,, то
= \(&,(dg/дг,))е~*>dx,
откуда
(III. 6) л7 = -еф
Предложение III. 8. Пусть Ко — фиксированный компакт в
?2, а рт — последовательность функций из ^"(Q), таких, что
О ^ Рт ^ 1, Рт, ^ 1 яа /Со ^ ^я любого компакта К в Q при
m ^ тк функция рт ^ 1 на К- Предположим, что ср2 ^ <ё'1
(т.7) <гф/+> Е |арт/^|2<в-ф/, у= 1, 2.
Тогда @,1) -формы с коэффициентами 6^@) плотны в Da* П Db
по норме ||| / HI = || Л* ||t + 11 ЛЬ + 11 Bf Ik, где \\.\\{-норма в
L2(<Pi)> II • \\2 —норма в ?Bo,i)(<P2)> «II * Из- норма в ?20,2)(ф3)-
Доказательство, Поскольку для любого m функция рт имеет
компактный носитель и принадлежит <ё?оо1 то формы <?Ртл/ и
PmJ/ для /<DB принадлежат L20>2)(qp3).
Далее, из тождества Я (Pmft — Pm W) == с?Рт Л / и из (III. 7)
мы получаем

322 Приложение III
Так как последовательность B(pmf)—pm(Bf) сходится почти
всюду к нулю, то по теореме Лебега о мажорированной сходи-
сходимости
lim l|S(pj)-pm(S/)||3 = 0 для [g
m-»oo
Пусть / <= DA*> a g<^DA. Тогда
<Pmf, Ag\ = (f9 tm(Ag)\ = <f, A($mg)J-(fy
Далее, так как pm имеет компактный носитель, то
К/,
и K/,^pm
Таким образом, |<pmf, Л§>2| sS(C(m, f)+C'(m, f))||?||b т.е.
Pmf e Ол». Из (III. 6) следует, что
В силу (III. 7) и неравенства Шварца получаем
I a* (pj) - рт (Л7) I2 < ZI /,• I2 в(ф'-ф2),
а поскольку поточечно lim | A* (Bmf) — pm (A*f) \ = 0, то, при-
т->оо
меняя снова теорему Лебега о мажорированной сходимости,
имеем
Таким образом, элементы Db[\Da* с компактным носителем
плотны по норме ||| • |||.
Пусть форма j^:Da*{]Db имеет компактный носитель.
Тогда формы /*ае при е<1 имеют носители, содержащиеся
в фиксированном компакте, а поскольку .функция ф2 непрерыв-
непрерывна, то норма fe в LB0 1}@) эквивалентна норме /е в L20 {)Ы>2)-
Тогда, по лемме III. 7, Нт||/8 — /112 = 0. Далее, так как
е->0
fi(/*ae) = 5/*ае, а носитель Bf содержится в носителе /, то
норма в LB0 2)@). эквивалентна норме LB0 2)(ф3) на носителе f
и, по лемме' III. 7, lim || Bfe — Bf ||3 = 0.
8->0
Аналогично, так как Л* — дифференциальный оператор (в
силу (III. 6), то supp A*f cz suppf, однако поскольку Л* не яв-
является оператором с постоянными коэффициентами, то он не
коммутирует с операцией свертки. В этом случае е^2~9^ Л*=
= в + а, где в — дифференциальный оператор с постоянными ко-

Решение д-уравнения с оценками роста
323
эффициентами, а а — оператор умножения на непрерывную
функцию. Поэтому
(e + a)(f*az) = [(Q + a)f]*aB + a(f*az)-(af)*aB.
Как и ранее, правая часть сходится к (в + a)f-\-af—af в
L2@) и, следовательно, lim|| A* (f * a8) — Л*/Hi = 0. ?
Теорема III.9. Пусть Ко— фиксированный компакт в Q,
apme V™(Q) — такая функция, что 0 ^ рт ^ 1, рт = 1 на Ко
и для любого компакта К в Q при пг^ пгк функция рт з? 1
— такая функция, что 2 | d$mjdzk |2
п
на К. Пусть г|э е
п
а ф — такая функция из PSH(Q)fl<872, что V -g—j
/
() <?ля некоторой функции С и всех
Положим Ф1 = Ф — 2г|), ф2 = ф — г|), ф3 = ф.
Доказательство. Положим 8у? = ?ф-
Получаем тогда соотношение
(III. 8) 6 д д •
= -^ — g -
' dzk dzk I dz. dzk
Из (HI. 6), поскольку ф1 — фг = —'Ф, следует, что
Используя неравенство \\а — 6||2 ^ 2||а||2 + 2||6||2, получаем,
что
Далее имеем
= У
Kt
cl u*i
dzt dzf
h dii'

324 Приложение III
Из полученных выше соотношений следует, что
2к
dz,
Предположим теперь, что коэффициенты / принадлежат И>™.
Интегрирование по частям тогда дает
= -\f,-^- (bkfk) e-* dx,
а в силу (III. 8) имеем
- \ !,4г,Ы
= -\ /Л {Щ
В результате еще одного интегрирования по частям получаем
так что
dzu
Утверждение теоремы следует теперь из условия на ф и пред-
предложения III. 8. ?
Определение III. 10. Область Q в С" называется псевдовы-
псевдовыпуклой, если существует такая функция у е PSH(Q)n(??oo(S2),
что матрица Г-г—|^-(,г) | положительно определена в каждой
точке гЕЙ и для любого геК множество Йг={ге Q:
y{z) <r} mQ.
Лемма III. 11. Пусть Q — псевдовыпуклая область в \Спу
и пусть феР5Н(Й)П<?72(й). Пусть, далее, C(z)>0 — такая
вещественная непрерывная функция, что

Решение д-уравнения с оценками роста 325
для любых г е ?3, w е С". Тогда для любой формы g е ZA 1}(ф),
такой, что dg = О и Tg = \ V | gf f^-^-dx < оо, существует ре-
решение u^L2(q>) уравнения du = gy удовлетворяющее условию
<Ш.9)
Доказательство. Пусть y(z)— функция, фигурирующая в
определении III. 10. Зафиксируем число reR. Можно счи-
считать, что функции рт в предложении III. 8 таковы, что pm s 1
на Qr+i при всех т. Тогда можно найти такую функцию i|) ^ 0,
00 n — 2
что
I
E
I
= 0в Q
r+l.
Пусть теперь %(r) — такая выпуклая возрастающая функция,
что x(y(z))>2*(z) и
/г
Пусть, далее, qpj = ф + % (у) — 2ф, ф^ = ф + X (у) — Ф, ф^ = Ф + X (у)-
По теореме III. 9 для формы / е Ол* П ^Db с коэффициентами
справедлива оценка
С (г) | / (г) ре- •) di (г) < 21| A'f Щ + II Bf |g,
где ||-111 — норма в?2(ф^), а || • ||3 —норма в L2(q>r3). Предполо-
Предположим, что Tg=l/2- Тогда ввиду неравенства Коши — Шварца
имеем
Kg,/>2I2<V
Пусть f = /i + /2, где Bfi = 0, a /2 ортогональна к ядру В
в Z|Ofl)(<p?). Поскольку образ А содержится в ядре В, то форма
/2 ортогональна образу А, так что Л*/2 = 0. Так как dg = 0, то
<g, f2J = o и \(g, />2|2 = |<^ Л>2|2<Н7,11? = Н711?.
Применяя теорему Хана — Банаха к антилинейной форме

326 Приложение HI
мы можем найти элемент ur^ L2((pi), такой, что \|иг|2е l
и <gf, />2 ::= <^г, Л*/>ь Поэтому Aur = g. Выберем такую после-
последовательность г;/+оо, что функции urj слабо сходятся
в L2(Qr) для любого г к некоторому элементу и. Поскольку
оператор дифференцирования слабо непрерывен и диг = g, та
ди = g. Далее, так как qpj = ф на Qr, то \| и |2е-ф^т<Л при всех г>
откуда [ | и |2 e~* dx < 1. П
Теорема III. 12. Пусть Q — псевдовыпуклая область в ,СЯГ
a 9^PSH(Q). Тогда для любой формы g e LB0 1}(ф), такой,
что *dg = 0, существует такая функция и, что ди = g и
(ШЛО)
Доказательство. Пусть v(J2;)—функция, фигурирующая к
определении III. 10. Обозначим через Q/ множество Q/ =
= {гей: y(^) <]'{Шп. Поскольку функция (/ — y(z))~{ плю-
рисубгармонична в Q/, то каждая область Q/ также псевдо-
выпукла.
В силу предложения 1.15 существуют такие функции q>/e
е PSH(Q/)n<57oo(S2/), что ф/, монотонно убывая, стремятся к q>
При /->¦ оо.
Положим if/ = ф/ + 21og(l + Ц2Ц2). Поскольку
ХИ-||г|РГ2||ш||2,
то в лемме HI. 11 в качестве C(z) можно взять 2A -f- ||г||2)~2-
Согласно этой лемме, существует такое решение щ уравнения
дщ = g в Q/, что
Далее, так как последовательность {ф/} равномерно ограничена
сверху на каждом компакте a Q, то можно из последовательно-
последовательности {tij} выбрать такую подпоследовательность {tf/J, что щ^

Решение д-уравнения с оценками роста 327
слабо сходятся к некоторой функции и в L2(Q/) при любом /.
Тогда поскольку оператор дифференцирования непрерывен
в Lioc, то du = gy причем
при любых / и / и, значит,
T2d\g\2e-»dT. ?

Литература
A. Ганнинг Р., Росси X.
Аналитические функции многих комплексных переменных. Пер. с англ.—
М.: Мир, 1969.
B. Хёрмандер Л.
Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. Пер.
с англ. —М.: Мир, 1968.
C. Лелон П. (belong P.)
Fonctions plurisousharmoniques et formes differentielles positives. — Paris:
Dunod, 1968, and New York: Gordon and Breach, 1969.
D. Левин Б. Я.
Распределение корней целых функций. — М.: Гостехиздат, 1956.
E. де Рам Ж.
Дифференцируемые многообразия. Пер. с франц. — М.: ИЛ, 1956.
F. Шварц Л. (Schwartz L.)
Theorie des distributions. — Paris: Hermann, 1966.
G. Трев Ф.
Лекции по линейным уравнениям в частных производных с постоянными
коэффициентами. Пер. с англ. — М.: Мир, 1965.
Н. Уэллс Р.
Дифференциальное исчисление на комплексных многообразиях. Пер. с
англ. —М.: Мир, 1976.
Аванисян (Avanissian V.)
1. Fonctions plurisousharmonique et fonctions doublement sousharmoniques.—
Ann. Sci. Ecole Norm. Snpp., 1961, 78, p. 101—161.
2. Fonctions plurisousharmoniques differences de deux fonctions plurisoushar-
plurisousharmoniques de type exponentiel. — C. R. Acad, Sci. Paris. 1961. 252, p. 499—
500.
3. Fonctions entieres de p variables et fonctions plurisousharmoniques a crois-
sance tres lente. — J. Analyse Math. Jerusalem, 1971, 9, p. 347—361.
4. Ouverts d'exclusion dans Cp (p ^ 2) pour les fonctions entieres a crois-
sannce lente. — С R. Acad. Sci. Paris, 1972, 274 ser. A—B, p. 1915—1918.
5. Некоторые приложения метода «исключительных шаров» в Ср — Изв. АН
Арм. ССР, сер. матем., 1973, т. 8, № 4, с. 306—320.
Аванисян, Гай (Avanissian V., Gay R.)
1. Sur les fonctions entieres de plusieurs variables. — С R. Acad. Sci. Paris,
1968, 266, ser. A—B, p. 1187—1190.
2. Sur une transformation des fonctionnelles analytiques et ses applications
aux fonctions entiere de plusieurs variables. — Bull. Soc. Math. France,
1975, 103, № 3, p. 341—384.
Агарвал (Agarwal A. K.)
1. On the properties of an entire function of two complex variables. — Canad.
J. Math., 1968, 20, p. 51—57.
2. On the geometric means ol entire functions of several complex variables. —
Trans. Amer. Math. Soc, 1970, 151, p. 651—657.
Агранович П. З.
1. Существование голоморфной в конусе функции с заданным индикатором
при уточненном порядке. — Теория функций, функц. анализ и их прил.,
1975, вып. 24, с. 3—15.
2. О функциях вполне регулярного роста многих переменных. — Теория функ-
функций, функц. анализ и их прил., 1978, вып. 30, с. 3—13.

Литература 329
Агранович П. 3., Ронкин Л. И.
1. О функциях вполне регулярного роста многих переменных. — Ann. Polon.
Math., 1981, 39, p. 239—254.
Айзенберг Л. А.
1. Общий вид линейного непрерывного функционала в пространствах функ-
функций, голоморфных в выпуклых областях Сп.—ДАН СССР, 1966, 166, № 5,
с. 1015—1018.
Александер (Alexander H.)
1. On a problem of Julia. —Duke Math. J., 1975, 42, p. 327—332.
2. Projective capacity. Recent developments in several complex variables. —
Princeton Univ. Press, ed. J. Fornaes, 1981, p. 1—27.
Андерссон, Берндтссон (Andersson M., Berndtsson B.)
1. Henkin-Ramirez formulas with weight factors. — Ann. Inst. Fourier, 1982,
32.
Андреотти, Штолль (Andreotti A., Stoll W.)
1. Analytic and algebraic dependence of meromorphic functions. — Lecture
Notes in Math. 234.— Berlin: Springer-Verlag, 1971.
Баврин И. И.
1. О виде пары аналитических функций, из которых одна целая, однолистных
в пространстве двух комплексных переменных. — Учен. зап. Моск. обл.
пед. ин-та, тр. каф. мат., 1957, 57, 33—37.
Беренстейн (Berenstein С. А.)
1. The number of zeros of an analytic function in a cone. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1975, 81, p. 213—214.
Беренстейн, Достал (Berenstein С. A., Dostal M. A.)
1. A lower estimate for exponential sums. — Bull. Amer. Math. Soc, 1974, 80,
p. 687—691.
2. The Ritt Theorem in several variables. — Ark. Mat., 1974, 12, p. 267—380.
Беренстейн, Тейлор (Berenstein С. A., Taylor B. A.)
1. Interpolation problems in C" with application to harmonic analysis.—
J. Analyse Math. Jerusalem, 1980, 38, p. 188—254.
Берндтссон (Berndtsson B.)
1. Zeros of analytic functions of several variables and related topics. — Thesis,
Univ. of Goteborg, 1977.
2. Zeros of analytic functions of several variables. — Arwiv for Math.,
1978, 16.
3. A note on Pavlov — Korevaar interpolation. — Nederl. Akad. Wetensch. Proc,
1978, ser. A 81.
Бернштейн С. Н.
1. О целых функциях конечной степени многих комплексных переменных.—
ДАН СССР, 1948, 60, с. 949—952.
Бибербах (Bieberbach L.)
1. Beispiel zweier ganzer Funktionen zweier komplexer Variablen, welche eine
schlicht volumentreue Abbildung des R4 auf einen Teil seiner selbst vermit-
teln. — Preuss. Akad. Wiss. Sitzungsber. 1933, p. 476—479.
Битлян И. Ф., Гольдберг А. А.
1. Теоремы Вимана —Валирона для целых функций многих комплексных
переменных. — Вестник Ленинградск. ун-та, 1959, 13, с. 27—41.
Боас (Boas R. Р.)
1. Entire Functions. — New York: Academic Press, 1954.
Бомбьери (Bombieri E.)
1. Algebraic values of meromorphic maps. — Invent. Math. 1970, 10, p. 248—
263.
Бомбьери, Ленг (Bombieri E., Lang S.)
1. Analytic subgroups of group varieties. — Invent. Math. 1970, 11, p. 1—14.
Борель (Borel E.)
1. Lemons sur les series a termes positifs. — Paris: Gauthier-Villars, 1902.

330 Литература
Боуз, Кумар (Bose S. К., Kumar К.)
1. On a class of Dirichlet series over С2. — Ann. Soc. Sci. Bruxelles, 1975, 89,
ser. I, № 4, p. 509—521.
Боуз, Шарма (Bose S. K., Sharma D.)
1. Integral functions of two complex variables. — Compositio Math., 1963, 15,
p. 210—226.
Бохнер (Bochner S.)
1. Entire functions in several variables with constant absolute value on a
circular uniqueness set. — Proc. Amer. Math. Soc, 1942, 13, p. 117—
120.
Валирон (Valiron G.)
1. Lectures on the general theory of integral functions. — Privat. Toulouse
1923.
Вальдшмидт (Waldschmidt M.)
1. Nombres transcendants et groupes algebriques. — Asterisque 69—70, Soc.
Math. France, 1969.
Ванг (Wang S. P.)
1. On difference equations of entire functions. — Chinese J. Math., 1974, 2,
№ 2, p. 291—306.
Вигеринк (Wiegerinck J.)
1. Growth properties of functions of Paley — Wiener class on Cn. — Indaga-
tiones Math., 1984, 46, № 1.
2. Paley — Wiener functions with prescribed indicator. — Thesis, Univ. Am-
Amsterdam.
Винярский (Winiarski T. D.)
1. Approximation and interpolation methods in the theory of entire functions
of several variables (Polish and Russian summaries). Proc. of the Fifth
Conf. on Analytic Functions. — Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska, 1972,
189, 191, sect. A, p. 22—24.
2. Applications of approximation and interpolation methods to the examination
of entire functions of n complex variables. — Ann. Polon. Math., 1973, 28,
p. 97—121.
Виртингер (Wirtinger W.)
1. Eine Determinantenidentitat und ihre Anwendung auf analytische Gebilde.—
Monatsh. Math, und Physik, 1936, 441, Z. 343—365.
Владимиров В. С.
1. Об одном обобщении теоремы Лиувилля. — Труды Матем. ин-та им. Стек-
лова, 1961, 64, с. 9—27.
Вотье (Vauthier J.)
1. Comportement asymptotique des fonctions entieres de type exponential dans
Cn et bornees dans le domaine reel. — J. Functional Analysis, 1973, 12,
p. 290—306.
By (Wu H.)
1. Normal families of holomorphic mappings. — Acta. Math., 1967, 119,
p. 193—233.
2. An n-dimensional extension of Picard's theorem. — Bull. Amer. Math. Soc,
1969, 75, p. 1357—1361.
Гаврилова Р. М.
1. О представлении целых функций двух комплексных переменных рядами-
Дирихле.— Теория функций, функц. анализ и их прил., 1970, вып. 10,
с 71—78.
Гече Ф. И.
1. Системы целых функций многих переменных и их приложения в теории
дифференциальных уравнений. — Изв. АН Арм. ССР, сер. физ.-мат., 1964,
17, № 2, с 17—46.
2. О характеристиках роста целых функций многих комплексных перемен-
переменных.—ДАН СССР, 1965, 164, № 3, с 487—490.

Литература 331
3. Об одном классе целых функций многих переменных. — Укр. матем. журн.,
1966, 18, № 3, с. 13—27.
4. Об уточненных характеристиках роста целых функций многих комплекс-
комплексных переменных. — Литовск. матем. сб., 1968, 8, № 3, с. 461—487.
5. Исследование роста целых и голоморфных функций многих комплексных
переменных с помощью направленных характеристик. — ДАН УССР, сер. А,
1975, с. 105—110.
Гече Ф. И., Курей А. И.
1. О целых решениях линейных дифференциальных уравнений с частными
производными бесконечного порядка. — Изв. АН Арм. ССР, сер. матем.,
1973, 8, № 2, с. 123—143.
Гольдберг А. А.
1. Элементарные замечания о формулах для определения порядка и типа
целых функций многих переменных. — ДАН Арм. ССР, 1959, 29, с. 145—
152.
Гопола, Нагарайя Pao (Gopola К. J., Nagaraja Rao I. H.)
1. On orders and types of an entire function. — J. Austral. Math. Soc, 1973,
15, p. 393—408.
Гриффите (Griffiths P. A.)
1. On the Bezout problem for entire analytic sets. — Ann. of Math., 1974, 100,
p. 533—552.
Гриффите Ф., Кинг Дж.
!. Теория Неванлинны и голоморфные отображения алгебраических много-
многообразий. Пер. с англ. — М.: Мир, 1976.
Громов В. П.
1. О представлении функций двойными рядами Дирихле. — Матем. заметки,
1970, 7, с. 53—61.
Гросс (Gross F.)
1. Entire functions all of whose derivatives are integral at the origin. — Duke
Math. J., 1964, 31, p. 617—622.
2. Generalized Taylor seties and orders and types of entire functions of se-
several complex variables. — Trans. Amer. Math. Soc., 1945, 120, p. 124—144.
3. Entire functions of several variables with algebraic derivatives at certain
algebraic points. — Pacific J. Math., 1969, 31, p. 693—701.
Груман (Gruman L.)
1. Entire functions of several variables and their asymptotic growth; — Ark.
Math., 1971, 9, p. 141—163.
2. The regularity of growth of entire functions whose zeros are hyperplan-
es. —Ark. Math., 1972, 10, p. 23—31.
3. The growth of entire solutions of differential equations of finite and infi-
infinite order.— Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 1972, 22, № 1, p. 211—238.
4. Some precisions on the Fourier — Borel transform and infinite order dif-
differential equations.— Glasgow Math. J., 1973, 14, p. 161—167.
5. Infinite order differential equations in Banach spaces of entire functions.—
J. London Math. Soc, 1974, 2, p. 492—500.
6. Interpolation in families of entire functions in Cn. — Canad. Math. Bull.,
1976, 19, № 1, p. 109—112.
7. Les zeros des fonctions entieres d'ordre fini de croissance reguliere dans
Cn. — С R. Acad. Sci. Paris, 1976, 282, p. 363—365.
S. The area of analytic varieties in Cn.— Math. Scand., 1978, 41, p. 365—397.
9. Value distribution for holomorphic maps in Cn.— Math. Ann., 1979, 245,
p. 199—218.
10. Proprietes arithmetiques des fonctions entieres. — Bull. Soc. Math. France,
1980, 108, p. 421—440.
11. La geometrie globale des ensembles analytiques dans Cn. Seminaire P. Le-
long. — H. Skoda 1978—1979. Lecture Notes in Math. № 822. — Berlin;
Springer-Verlag, p. 90—99.

332 Литература
12. Ensembles exceptionnels pour les applications holomorphes dans Сл. Se-
minaire P. belong —P. Dolbeault —H. Skoda 1981—183. Lecture Notes
in Math. № 1028. —Berlin: Springer-Verlag, p. 125—162.
13. The zeros of functions of finite order in Cn— Ann. Polon. Math., 1983,
40, p. 161—177.
Грушин В. В.
1.06 одной теореме типа Фрагмена — Линделефа. — Вестник Московос
ун-та, сер. 1, матем. и мех., 1966, 1 № 2, с. 15—17.
Гупта (Gupta M.)
1. On the class of entire functions of several complex variables having finite
order point. — J. Korean Math. Soc, 1976, 13, p. 19—25.
Гуревич Д. И.
1. Замкнутые идеалы с ехр-полиномиальными образующими в кольцах це-
целых функций от двух переменных. — Изв. АН Арм. ССР, сер. матем., 1974,
9, № 6, с. 459—472.
Далал (Dalai S. S.)
1. On the order and type of integral functions of several complex variables.—
J. Indian Math. Soc. (N. S.), 1969, 33, p. 215—220.
Демайи (Demailly J. P.)
1. Formules de Jensen en plusieurs variables et applications arithmetiques.—
Bull. Soc. Math. France, 1982, 110, p. 85—102.
2. Sur les nombres de belong associes a l'image directe d'un courant positif
ferme. — Ann. Inst. Fourier Grenoble, 1982, 32, № 2, p. 37—66.
Дени, Лелон (Deny J., belong P.)
1. Sur une generalisation de l'indicatrice de Phragmen — Lindelof. — C. R.
Acad. Sci. Paris, 1947, 224, p. 1046—1048.
2. Etude des fonctions sousharmoniques dans un cylindre ou dans un cone. —
Bull. Soc. Math. France, 1947, p. 89—112.
Джафаров А. С
1. Некоторые неравенства для целых функций конечной степени. — Изв. ву-
вузов, матем., 1960, 14, № 1, с. 103—115.
2. Некоторые обобщения неравенства Бернштейна для целых функций ко-
конечной степени. — Труды инст. матем. и мех. АН Аз. ССР, 1961, 1 (9)г
с> 87—98.
3. О неравенствах между различными весовыми нормами для целых функций
экспоненциального типа. — Изв. АН Аз. ССР, сер. физ., мат. и техн. наук,.
1963, № 2, с. 17—25.
4. Об обобщении неравенств Эренпрайса, Мальгранжа, Хёрмандера и Ро-
зенблюма для целых функций экспоненциального типа. — ДАН Аз. ССР,,
1963, 19, № 5, с. 3—6.
5. Об обобщении неравенства Р. Боаса для целых функций экспоненциаль-
экспоненциального типа. — Учен. ап. Азербайджане^ гос. ун-та, сер. физ., мат. и хим.
наук, 1964, № 4, с. 3—9.
6. О неравенствах с весом для целых функций конечного порядка. — ДАН
Аз. ССР, 1964, 20, № 12, с. 3—6.
7. О неравенствах для целых функций, принадлежащих одному классу. —
Studia Sci. Math. Hungar, 1964, I, p. 17—25.
Джафаров А. С, Ибрагимов И. И.
I. О некоторых неравенствах с весом для целых функций конечной степе-
степени. — Успехи матем. наук, 1964, 19, № 6, с. 147—154.
Джейн (Jain P. К.)
1. On the means of an entire function of several complex variables. — Yoko-
Yokohama Math. J., 1972, 20, p. 125—129.
Джейн, Гупта (Jain P. K., Gupta V. P.)
1. On the means of entire functions of several complex variables of small
order. — Kyungpook Math. J., 1974, 14, p. 185—194.

Литература 333
Джрбашян М. М.
1. К теории некоторых классов целых функций многих переменных. — Изв,
АН Арм. ССР, сер. физ., мат., естеств. наук, 1955, 8, № 4, с. 1—23.
2. Об интегральном представлении и разложении в обобщенный ряд Тейлора
целых функций многих комплексных переменных. — Матем. сб., 1957, 41
(83), с. 257—276.
Дикшит, Агарвал (Dikshit G. P., Agarwal А. К.)
1. On the means of entire functions of several complex variables. — Ganita,
1970, 21, № 1, p. 75—85.
Еремин С. А.
1. Об интегральном представлении функций экспоненциального роста. — ДАН
СССР, 1966, 168, с. 512—515.
Еремин С. А.
1. О целых функциях двух переменных. — Укр. матем. журн., 1957, 9,
с. 30—43.
Ибрагимов И. И.
1. О некоторых неравенствах для целых функций конечной степени от мно-
многих переменных. — ДАН СССР, 1959, 128, с. 1114—1117.
2. Об оценке нормы линейного оператора в классе целых функций конечной
степени. —ДАН СССР, 1963, 152, с. 1054—1103.
3. О неравенствах для целых функций конечной степени в метрике обобщен-
обобщенного пространства Лебега. —ДАН Аз. ССР, 1964, 20, № 4, с. 13—18.
4. О средних значениях целых функций двух комплексных переменных, пред-
ставимых рядом Дирихле. — Изв. вузов., матем., 1972, № 6, с. 121.
Ибрагимов И. И., Джафаров А. С.
1. Некоторые неравенства для целой функции конечной степени и ее произ-
производных.—ДАН СССР, 1961, 138, с. 755—758.
2. Некоторые неравенства для целых функций конечной степени в норме
обобщенного класса Лебега. — Изв. АН Аз. ССР, сер. физ., мат. и техн,
наук, 1962, № 5, с. 17—28.
Ибрагимов И. И., Насибов Ф. Г.
1. Об экстремальных задачах для некоторых линейных операторов в классе
целых функций конечной степени. — Сб. научн. тр. Мех. инст., Ленинград,
1965, № 50, с. 116—125.
Иванов В. К.
1. Связь между ростом целой функции многих переменных и распределением
особенностей ассоциированной с ней функции. — Матем. сб., 1957, 43(85),
№ 3, с. 367—375.
2. О характеристике роста целых функций многих комплексных переменных.
В сб. Исслед. по совр. проблемам ТФКП. — М.:, Физматгиз, 1960, с. 301—
305.
3. Об индикатрисе роста целой функции двух комплексных переменных.—
Изв. вузов, матем., 1961, 21, № 2, с. 24—31.
4. Характеристика роста целой функции двух переменных и ее приложения
к суммированию двойных степенных рядов. — Матем. сб., 1959, 47(89),
с. 3—16.
Иматоси (Imatoshi Y.)
1 A theorem on uniformity of prime surfaces of entire function of two com-
complex variables. — Tohoku Math. J., 1975, 27, № 2, p. 285—290.
Камтан, Гупта (Kamthan P. K., Gupta M.)
1. Space of entire functions of several complex variables having finite order
point.— Math. Japan, 1975, 20, № 1, p. 7—19.
2. Expansion of entire functions of several complex variables having finite
growth. — Trans. Amer. Math. Soc, 1974, 192, p. 371—382.
Камтан, Джейн (Kamthan P. K., Jain P. K.)
1. Remarks on the geometric means of entire functions of several complex
variables. — Riv. Mat. Univ. Parma, 1972, 3, p. 113—117.

334 Литература
Кардаш А. И., Кулик И. И.
1. Свойства мажорант и диаграммы Ньютона целых функций двух комплекс-
комплексных переменных. — ДАН УССР, сер. А, 1969, с. 583—586, 665.
Карлсон (Carlson J.)
1. Some degeneracy theorems for entire functions with values in an algebraic
variety.— Trans. Amer. Math. Soc, 1972, 168, p. 273—301.
2. A remark on the transcendental Bezout problem. Value Distribution Theory
(Part A), Proc. Tulane Univ. Program on Value Distribution Theory in
Complex Analysis. New York: Marcel Dekker, 1974, p. 133—143.
3. A moving lemma for the transcendental Bezout problem. — Ann. of Math.,
1976, 103, p. 305—330.
4. A result on value distribution of holomorphic maps of Сл -> Сп. Several
complex variables (Proc. Sympos. Pure Math., vol. 30, Part 2, Williams
Coll. Williamstown, Mass. 1975). — Amer. Math. Soc., Providence, R. I.,
1977, p. 225—227.
Карлсон, Гриффите (Carlson J., Griffiths P. A.)
1. The order functions for entire holomorphic mappings, Value Distributi-
Distributions Theory (Part A.). Proc. Tulane Univ. Program on Value Distribution
Theory in Complex Analysis. — New York: Marcel Dekker, 1974, p. 225—
248.
Кизельман (Kiselman C. O.)
1. On unique supports of analytic functionate. — Ark. Math., 1966, 6, p. 307—
318.
2. On entire functions of exponential type and indicators of analytic func-
tionals. —Acta Math., 1967, 117, p. 1—35.
3. The growth of restrictions of plurisubharmonic. functions. Math, analysis
and applications, Part B. Adv. in Math. Suppl. Stud. 76. — New York: Aca-
Academic Press, 1981, p. 438—454.
Киустелидис (Kioustelidis J.)
1. Eine einheitliche Methode zur Herleitung von Reihenentwicklungen fur ganze
Funktionen vom Exponential-typ. — Composito Math., 1973, 26, p. 203—
232.
Кнезер (Kneser H.)
1. Zur Theorie der gebrochenen Funktionen mehrerer Veranderlichen. — Jahres-
bericht der Deutschen Math. Vereinigung, 1948, 48, Z. 1—28.
Кобелева Н. Л.
1. Связь между ростом целой функции двух комплексных переменных и
распределением особенностей ассоциированной с ней функции. — Изв. ву-
вузов, матем., 1962, 28, № 3, с. 59—66.
Козманова А. А.
1. О теореме Полна для целых функций двух комплексных переменных.—
ДАН СССР, 1957, 113, с. 1203—1205.
Кореваар, Геллерштейн (Korevaar J., Hellerstein S.)
1. Discrete sets of uniqueness for bounded holomorphic functions f(z,w).—
Entire functions and Related Parts of Analysis (Proc. Sumpos. Pure Math.,
La Jolla, Calif., 1966). Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 1968, p. 273—
284.
Корналба, Шиффман (Cornalba M., Shiffman B.)
1. A counterexample to the «Transcendental Bezout Problem». — Ann. of Math.,
1972, 96, p. 402—406.
Коробейник Ю. Ф., Моржаков В. В.
1. Общий вид изоморфизма, коммутирующего с оператором дифференциро-
дифференцирования в пространствах целых функций медленного роста. — Матем. сб.,
1973, 91A33), с. 475—487.
Кравченко Ф. Г.
1. Аналитические функции от корней полиномов. — Вычисл. и прикл. матем.,
Киев, 1969, вып. 7, с. 77—93.

Литература 335
Крамер (Kramer R. A.)
1. Zeros of entire functions in several complex variables. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1973, 176, p. 253—261.
Курита (Kurita M.)
1. A theorem on the value-distribution of a complex analytic mapping (Japa-
(Japanese).—Sugahu 16, 1945, p. 195—202.
Куюла (Kujula R. O.)
1. Functions of finite Я-type in several complex variables. — Bull. Amer. Math.
Soc, 1969, 75, p. 104—107.
2. Functions of finite X-type in several complex variables. — Trans. Amer.
Math. Soc, 1971, 161, p. 327—358.
Лал, Дикшит (Lai J., Dikshit G. P.)
1. The Phragmen — Lindelof principle for functions of several complex vari-
variables.—Riv. Mat. Univ. Parma B), 1945, 6, p. 283—286.
Левин Б. Я.
1. Некоторые экстремальные свойства целых функций многих переменных.—
ДАН СССР, 1951, 78, с 861—864.
2. Распределение корней целых функций. — М.: Физматгиз, 1956.
Лелон (belong P.)
1. Sur l'ordre d'une fonction entiere de deux variables. — C. R. Acad. Sci.
Paris, 1940, 210, p. 470.
2. Sur quelques problemes de la theorie des fonctions de deux variables
complexes. — Ann. Ec. Norm. Sup. 1941, 58, p. 83—177.
3. Sur les valeurs lacunaires d'une relation a deux variables complexes.—
Bull. Sci. Math., 1942, 56, p. 103—112.
4. Sur la capacite de certains ensembles de valeurs exceptionnelles. — C. R.
Acad. Sci. Paris, 1942, 214, p. 992.
5. Definition des fonctions plurisousharmoniques. — С R. Acad. Sci. Paris,
1942, 215, p. 398—400.
6. Sur les suites de fonctions plurisousharmoniques. — С R. Acad. Sci. Paris,
1942, 215, p. 454—456.
7. Les fonctions plurisousharmoniques. — Ann. Ec Norm., 1950, 62, p. 301—
338.
8. Proprietes metriques des varietes analytiques complexes definies par une
equation.— Ann. Ec. Norm., 1950, 67, p. 393—419.
9a. Sur la representation d'une fonction plurisousharmonique a partir d'un
potentiel. — C. R. Ac Sci. Paris, 1953, 237, p. 691—693.
9b. Sur l'extension aux fonctions entieres de n variables, d'ordre fini, d'un
developpement canonique de Weierstrass. — С R. Ac. Sci. Paris, 1953,
237, p. 865—867.
9c Sur l'etude des noyaux primaires et un theoreme de divisibilite des fonc-
fonctions entieres de n variables. — С R. Ac. Sci. Paris, 1953, 237, p. 1379—
1381.
10. Integration of differential form on an analytic complex subvariety.—
Proc Nat. Ac. of Sciences, 1957, 43, p. 246—248.
11. Fonctions entieres (n variables) et fonctions plurisousharmoniques d'ordre
fini dans On. — Journal d'Analyse, Jerusalem, 1964, 12, p. 365—406.
12a. Fonctions entieres de type exponentiel dans Cn.— Ann. Irist. Fourier,
1966, 16, p. 269—318.
12b. Sur la structure des courants positifs fermes. — Lect. Notes, 1977, № 578,
p. 136—158.
13. Non continuous indicators for entire functions of n ^ 2 variables and of
finite order. —Proc. of Symposia in Pure Math., 1966, 2, p. 285—297.
14. Fonctions entieres et fonctionnelles analytiques. Cours professe a Mont-
Montreal.— Presse de Montreal, 1968.
15. Un theoreme de fonctions inverses dans les espaces vectoriels topologiques
complexes. — Lect. Notes, 1978, № 694, p. 172—195.

336 Литература
16. Potentiels_canoniques et comparaison de deux methodes pour la resolu-
resolution du дд a croissance. — Lect. Notes, 1980, № 822, p. 144—168.
17. Ensembles analytiques definis comme ensemble de densite. — Inv. Math.,
1983, 72, p. 465—489.
Ленг (Lang S.)
1. Introduction to transcendental numbers. — Addison-Wesley, 1966.
Леонтьев А. Ф.
1. О представлении целой функции нескольких переменных рядом Дирихле.—
Матем. сб., 1972, 89A31), с. 586—598.
Литвинчук Г. С, Хаплаиов М. Г.
1. О базисности и полноте систем в пространстве аналитических функций
от двух переменных. — Успехи матем. наук, 1957, 12, № 4, с. 319—325.
Логвиненко В. Н.
1. Теоремы типа теоремы М. Картрайт и вещественные множества един-
единственности для целых функций многих комплексных переменных. — Тео-
Теория функций, функц. анализ и их прил., 1975, вып. 22, с. 85—100.
2. Об одном многомерном обобщении теоремы М. Картрайт. — ДАН СССР,
1974, 219, с. 546—549.
Лозинский С.
1. Об обобщении теоремы С. Бернштейна. — ДАН СССР, 1947, 55, с. 9—12.
Локшин Б. И.
1. О точности некоторых теорем о росте целых функций многих перемен-
переменных.— Теория функций, функц. анализ и их прил., вып. 18, 1973, с. 81—90.
2. О росте целых функций конечного порядка двух переменных по одному
из них. — Функц. анализ и прил., 1976, 10, № 2, с. 79.
Лунц Г. Л.
1. О сходимости некоторых общих рядов в пространстве многих комплекс-
комплексных переменных. — Сиб. матем. журн., 1972, 13, с. 467—472.
Магнус (Magnus A.)
1. On polynomial solutions of a differential equation. — Math. Scand., 3,
1955, p. 255—260.
Маергойз Л. С.
1. Об одном свойстве индикатрисы роста целой функции многих перемен-
переменных.—Изв. вузов, матем., 1964, № 6 D3), с. 104—115.
2. К вопросу о связях между различными определениями порядков целых
функций многих переменных. — Сиб. матем. журн., 1966, 7, № 6, с. 1268—
1292.
3. Некоторые свойства выпуклых множеств и их приложения к теории роста
выпуклых и целых ф}тнкций. — Сиб. матем. журн., 1968, 9, № 3, с. 577—
591/
4. О шкалах роста целых функций многих переменных. — ДАН СССР, 1970,
192, с. 495—498.
5. Функция порядков и шкалы роста целых функций многих переменных. —
Сиб. матем. журн., 1972, 13, с. 118—132.
6. О типах и связанных с ними шкалах роста целых функций многих пере-
переменных.—ДАН СССР, 1973, 213, № 5, с. 1025—1028.
7. Функции типов целой функции многих переменных по направлениям ее
роста. —Сиб. матем. журн., 1973, 14, с. 1037—1056, 1157.
8. О многомерном аналоге типа целой функции. — Успехи матем. наук, 1975,
30, № 5 A85), с. 215—216.
Маергойз Л. С, Яковлев Е. И.
1. О росте выпуклых и целых функций бесконечного порядка по совокупно-
совокупности переменных. — Некоторые проблемы многомерного комплексного ана-
анализа. — АН СССР, Сиб. отдел., Инст. физ., Красноярск, 1980, с. 79—83.
Мальгранж (Malgrange В.)
1. Existence et approximation des solutions des equations aux derivees par-
tielles et equation de convolution. — Ann. Inst. Fourier 6, 1956, p. 271—355.

Литература 337
Мамедханов Д. И.
1. О некоторых свойствах целой функции конечной степени в обобщенном
пространстве Лебега. — Функц. анализ, некоторые проблемы теор. диф. ур.
и теор. функций. — Баку: АН Аз. ССР, 1967, с. 150—160.
2. Неравенства для положительных целых функций в обобщенном простран-
пространстве Лебега. —ДАН СССР, 1964, 157, с. 526—528.
Мартино (Martineau A.)
1. Indicatrices des fonctions analytiques et inversion de la transformation de
Fourier — Borel par la transformation de Laplace. — S. C. Acad. Sci. Paris,
1962, 255, p. 2888—2890.
2. Indicatrices des fonctionnelles analytiques et inversion de la transormee
de Fourier — Borel par la transformation de Laplace. — C. R. Acad. Sci.
Paris, 1962, 255, p. 1845—1847.
3. Sur les fonctionnelles analytiques et la transformation de de Fourier —
Borel. —Journ. Analyse Math. Jerusalem, 1963, XI, p. 1—164.
4. Indicatrices des croissances des fonctions entieres de W-variables. — Invent.
Math., 1966, 2, p. 81—86.
5. Indicatrices de croissance des fonctions entieres de W-variables. Corrections
et complements. — Invent. Math., 1967, 3, p. 16—19.
6. Unicite du support d'une fonctionnelle analytique: un theoreme de С. О. Ki-
selman. —Bull. Sci. Math., 1967, 91, № 2, p. 131—141.
7. Fonctionnelles analytiques non-lineaires et representation de Polya pour
une fonction entiere de Ai-variables de type exponentiel. — Seminaire P. Le-
long (Analyse), Annee 1970, p. 129—165, Lecture Notes in Math. 205.—
Springer, 1971.
8. Equations differentielles d'ordre infini. — Soc. Math. France, 1967, 95,
p. 109—154.
Метеджер (Meteger J.)
1. Local ideals in a topological algebra of entire functions characteri-
characterized by non-radial rate of growth. — Pacific J. Math., 1974, 51, p. 251—
256.
Митиваки (Michiwaki Y.)
1. Several complex variables and Picard's theorem. — Sci Rep. Tokyo Kysiku
Diagaku sect. A, 1955, 5, p. 77—81.
Мод (Maude R.)
1. Exceptional sets with respect to order of integral functions of two vari-
variables. — Proc. Cambridge Philos. Soc, 1957, 53, p. 323—342.
Молзон (Molzon R. E.)
1. Capacity and equidistribution for holomorphic maps from C2 to C2.—
Proc. Amer. Math. Soc, 1978, 71, № 1, p. 46—48.
2. Sets omitted by equidimensional holomorphic mappings. — Amer J. Math.,
1979, 101, № 6, p. 1271 — 1283.
3. The Bezout problem for a special class of functions. — Michigan Math. J.
1979, 26, № 1, p. 71—79.
4. Potential theory on complex projective space: application to characterization
of pluripolar sets and growth of analytic varieties. — Illinois J. Math., 1984,
28, № 1, p. 103—119.
Молзон, Шиффман, Сибони (Molzon R. E., Shiffman В., Sibony N.)
1. Average growth estimates for hyperplane sections of entire analytic sets.—
Math. Ann., 1981, 257, № 1, p. 43—59.
Моржаков В. В.
1. Об уравнениях свертки в пространствах функций, голоморфных в выпук-
выпуклых областях и на выпуклых компактах в Сп.—Матем. заметки, 1974,
16, № 3, с 431—440.
Моцкин, Шёнберг (Motzkin Т. S., Schoenberg I. J.)
1. On linear entire functions of n complex variables. — Proc. Amer. Math.
Soc, 1952, 3, p. 517—526.

338 Литература
Мухтаров А. Ш.
1. О росте целых функций двух комплексных переменных. — ДАН Аз. ССР,
1971, 27, № 3, с. 6—9.
2. О характеристиках роста функций. —ДАН Аз. ССР, -1972, 28, № 4,
с. 13—15.
Напалков В. В.
1. Подпространства целых функций экспоненциального типа, инвариантные
относительно сдвига. — Сиб. матем. журн., 1973, 14, № 2, с. 427—436.
Ниграм (Nigram Н. N.)
1. Use of the generalized Laplace transform to integral functions of se-
several complex variables. — Riv. Mat. Univ. Parma B), 1966, 7, p. 137—
144.
2. Some uses of the basic properties of Meijer transform to integral functions
ot two complex variables.— Riv. Mat. Univ. Parma B), 1966, 7, p. 193—
202.
3. On «Borel — Laplace» transforms and integral functions of two complex va-
variables. — Istambul Univ. Feu. Fak. Мест. Ser. A33, 1968, 1971,
p. 51—62.
Никольский С. М.
1. Некоторые неравенства для целых функций конечной степени многих пе-
переменных и их приложения. — ДАН СССР, 1951, 76, с. 785—788.
Нисино (Nishino Т.)
1. Sur les valeurs exceptionnelles au sens de Picard d'une fonction entiere
de deux variables. — J. Math. Kyoto Univ., 1962—1963, 2, p. 365—372.
2. Nouvelles recherches sur les fonctions entieres de plusieurs variables com-
complexes. I. —J. Math. Kyoto Univ., 1968, 8, p. 49—100.
3. Nouvelles recherches sur les fonctions entiere de plusieurs variables com-
complexes. II. Fonctions entieres qui se reduisent a celles d'une variable. — J.
Math. Kyoto Univ., 1969, 9, p. 221—274.
4. Nouvelles recherches sur les fonctions entieres de plusieurs variables com-
complexes. III. Sur. quelques proprietes topologiques des surfaces premieres.—
J. Math. Kyoto Univ., 1970, 10, p. 245—271.
5. Nouvelles recherches sur les fonctions entieres de plusieurs variables com-
complexes. IV. Types de surface premiere. — J. Math. Kyoto Univ., 1973, 13,
p. 217—272.
6. Nouvelles recherches sur les fonctions entieres de plusieurs variables com-
complexes. V. Fonctions qui se reduisent aux polynomes. — J. Math. Kyoto
Univ., 1975, 15, № 3, p. 527—553.
Нисино, Иосёка (Nishino Т., Yoshioka Т.)
1. Sur 1'iteration des transformations rationnelles entiere de l'espace de deux
variables complexes. — C. R. Acad. Sci. Paris, 1965, 240, p. 3835—3837.
Новеррас (Noverraz Ph.)
1. Comparaison d'indicatrices de croissance pour des fonctions plurisousharmo-
niques ou entieres d'ordre fini. — J. Analyse Math. Jerusalem, 1964, 12»
p. 409—418.
2. Fonctions entieres ou plurisousharmoniques de type exponentiel. — Ann. Soa
Sci. Bruxelles, Ser. I, 1961, 75, p. 113—122.
Ньюмен, Шапиро (Newman D. J., Shapiro H. S.)
1. Fischer spaces of entire functions. — Entire Functions and Related Paris of
Analysis (Proc. Sympos. Pure. Math., La Jolla, Calif., 1966). — Amer. Math.
Soc. Providence, R. I., 1968, p. 340—349.
Окада (Okada M.)
1. Un theoreme de Bezout transcendant sur Cn — J. Funct. Anal., 1982, 45»
№ 2, p. 236—244.
Пари (Paris, J.)
1. Croissance des fonctions de plusieurs variables et domaines d'holomorphie
associes. — Acad. Roy. Bull. Cl. Sci., E), 1962, 48, p. 29—36.

Литература 339
Перами (Perami H.)
1. Sur le probleme d'Abel — Gontcharoff pour les functions entieres de deux
variables. — С R. Acad. Sci. Paris, Ser. A—B, 1966, p. 556—569.
Петренко В. П.
1. О росте целых кривых и целых функций двух комплексных переменных.—
ДАН УССР, сер. А, 1974, с. 792—794.
Планшерель, Пойа (Plancherel M., Polya G.)
1. Fontions entieres et integrates de Fourier multiples. — Comment. Math.
Helv., 1936—1937, 9, p. 224—248; 1937—1938, 10, p. 110—163.
Пуанкаре (Poincare H.)
1. Sur les fonctions de deux variables. — Acta Math., 1883, 2, p. 97—
113.
2. Sur les proprietes du potentiel et les fonctions abeliennes. — Acta Math.,
1899, 22, p. 89—180.
Реньи (Renyi C.)
1. On some questions concerning lacunary power series of two variables.—
Colloq. Math., 1963—1964, 11, p. 145—171.
Розенфельд (Rosenfeld M.)
1. On polynomials with related level sets. — Canad. Math. Bull., 1970, 13,
p. 137—138.
Ронкин Л. И.
1. О типах целой функции двух комплексных переменных. — Матем. сб.,
1956, 39 (81), № 2, с. 253—266.
2. О целых функциях конечной степени и о функциях вполне регулярного
роста от нескольких переменных. — ДАН СССР, 1958, 119, № 2, с. 211 —
214.
3. Об одном свойстве расположения особенностей на границе полицилиндра
и применении его к целым функциям многих переменных. — ДАН СССР,
1963, № 2, с. 278—281.
4. О сопряженных порядках и типах целых функций многих переменных.—
Укр. матем. журн., 1964, 3, с. 408—413.
5. О росте целых функций многих переменных. — Матем. сб., 1966, 71 A13),
№ 3, с. 337—356.
€. О росте целых функций многих комплексных переменных. — ДАН СССР,
1966, 169, № 3, с. 529—532.
7. Об аналоге канонического произведения Вейерштрасса для целых функ-
функций многих комплексных переменных. — ДАН СССР, 1967, 175, № 4,
с. 767—770.
S. О росте плюрисубгармонических и о распределении значений целых
функций многих переменных. — ДАН СССР, 1968, 179, № 2, с. 290—
292.
9. Об аналоге канонического произведения Вейерштрасса для целых функ-
функций многих комплексных переменных. — Труды Моск. матем. об-ва, 1968,
18, с. 105—146.
10. О характеристиках распределения нулевых точек целых функций многих
переменных. — Теория функций, функц. анализ и их прил., 1970, вып. 12,
с. 111 — 116.
П. О полноте системы функций е * •** и вещественных множествах един-
единственности для целых функций многих переменных. — Функц. анализ и
прил., 1971, 5, № 4, с. 86.
12. Некоторые вопросы распределения нулей целых функций многих пере-
переменных.—Матем. об., 1972, 87A29), с. 351—368.
13. О вещественных множествах единственности для целых функций многих
переменных и полноте систем функций et {*" хУ. — Сиб. матем. журн.,
1972, 13, с. 439—443.
14. Введение в теорию целых функций многих переменных. — М.: Наука,
1971.

340 Литература
15. О дискретных множествах единственности для целых функций экспонен-
экспоненциального типа от многих переменных. — Сиб. матем. журн., 1978, 19Г
№ 1, с. 142—152.
Рубел, Тейлор (Rubel L. A., Taylor В. А.)
1. Uniqueness theorems for analytic functions of one and of several complex
variables. — Proc. Cambridge Philos. Soc, 1968, 64, p. 71—82.
Рудин (Rudin W.)
1. A geometric criterium for algebraic varieties. — J. Math. Mech., 1967—1968,
17, p. 671—683.
Рютисхаузер (Rutishauser H.)
1. Uber Folgen und Scharen von analytischen und meromorphen Funktionen
mehrerer Variablen, sowie von analytischen Abbildungen. — Acta Math.,
1950, 83, p. 249—325.
Садуллаев А.
1. О примере Фату. — Матем. заметки, 1969, 6, № 4, с. 717—719.
Саито (Saito H.)
1. Fonctions entieres qui se reduisent a certains polynomes. I. — Osaka J.
Math., 1972, 9, p. 293—332.
Салимов Ф. Г.
1. О порядке целых функций многих переменных, заданных рядом Дирих-
Дирихле. — Изв. вузов, 1972, матем., № 5A20), с. 74—79.
Сервьен (Servien C1.)
1. Espaces de fonctions entieres et fonctionnelles analytiques. — Seminaire
P. belong (Analyse)j. Annee 1967—1968. Lecture Notes in Math., Vol. 71.—
Berlin: Springer, 1968, p. 57—71.
Сибони, Вонг (Sibony N., Wong P. M.)
1. Some results on global analytic sets. — Seminaire P. belong — H. Skoda
A978). Lecture Notes in Math., № 822.— Berlin: Springer-Verlag, p. 221— 237.
Синг (Singh J. R.)
1. On the order and type of entire functions of several complex variables.—
Riu. Math. Univ. Parma B), 1969, 10, p. 111 — 121.
Сир (Sire J.)
1. Sur les fonctions de deux variables d'ordre apparent total fini. — Rend.
Circ. Palermo, 1911, 31, p. 1—91.
Сицяк (Siciak J.)
1. A note on functions of several complex variables. — Proc. Amer. Math.
Soc, 1962, 13, p. 686—689.
Скода (Skoda H.)
1. Solution a croissance du second probleme de Cousin dans Cn. — Ann. Inst.
Fourier (Grenoble), 1971, 21, p. 11—23.
2. Croissance des fonctions entieres s'annulant sur une hypersurface donnee
de Cn. Seminaire P. Lelong A970—71). Lecture Notes in Math., № 332.—
Springer-Verlag.
3. Sous-ensembles analytiques d'order fini ou infini dans Cn. — Bull. Soc.
Math. France, 1972, 100, p. 353—408.
4. Application des techniques L2 a la theorie des ideaux d'une algebre de
fonctions holomorphes avec poids. — Ann. Ec. Norm. Sup., 1972, 5, № 4,
p. 545—579.
5. Nouvelle methode pour l'etude des potentiels associes aux ensembles analy-
analytiques. Seminaire P. Lelong A972—1973). Lecture Notes in Math. № 410.—
Springer-Verlag. __
6. Estimations L2 pour l'operateur д et applications arithmetiques. — Semi-
Seminaire P. Lelong A975—1976). Lecture Notes in Math. 578.— Berlin: Sprin-
Springer-Verlag, p. 314—323.
Сривастава P. (Srivastava R. K.)
1. On the derivatives of integral functions of several complex variables.—
J. Math. Tokushima Univ., 1967, 1, p. 51—56.

Литература 341
Сривастава, Кумар (Srivastava R. К., Kumar V.)
1. On the order and type of integral functions of several complex variables.—
Compositio Math., 1965, 17, p. 161—166.
2. On means of integral functions of two or more variables. — Rev. Mat.
Hisp.-Amer. D), 1969, 29, p. 59—66.
Сривастава С. (Srivastava S. N.)
1. On the mean values of an integral function of two complex variables.—
Ann. Polon. Math., 1968, 20, p. 57—60.
Сринивасулу (Sreenivasulu V.)
1. A theorem on the order of an entire function of several complex vari-
variables. — Indian J. Pure Appl. Math., 1971, 2, № 2, p. 312—317.
Ставский М. Ш.
1. Связь между ростом целой функции нескольких переменных и множе-
множеством особых точек ассоциированной с ней функции. — Изв. вузов, ма-
тем, 1959, 2, с. 227—232.
Стрелиц Ш. И.
1. Теорема Вимана — Валирона для целых функций многих переменных.—
ДАН СССР, 1960, 134, с. 286—288.
2. Обобщение теоремы Вимана и Валирона для целых функций многих ком-
комплексных переменных. — Литов. матем. сб., 1961, с. 1, 327—354.
3. Соотношение для производных в точках максимума модулей целой транс-
трансцендентной функции многих комплексных переменных. — ДАН СССР, 1962Г
145, с. 737—740.
4. О максимуме модуля аналитической функции многих переменных. — Ма-
Матем. сб., 1962, 57(99), с. 281—286.
5. Некоторые вопросы роста и существования целых трансцендентных реше-
решений уравнений в частных производных. — Литов. матем. сб., 1962, 2, № 1,
с. 167—178.
6. Некоторые свойства максимума модуля аналитических функций многих
комплексных переменных. — Литов. матем. сб., 1962, 2, № 1, с. 153—166.
7. Теорема Вимана — Валирона для целых функций многих комплексных
переменных. —Матем. сб., 1962, 58A00), с. 47—64.
8. О росте целых решений дифференциальных уравнений в частных произ-
производных.—Матем. сб., 1963, 61A03), с. 257—271.
9. Поведение целой трансцендентной функции многих комплексных перемен-
переменных при больших значениях ее модуля. — Литов. матем. сб., 1964, 4У
с. 357—408.
Судзуки (Suzuki M.)
1. Proprietes topologiques des polynomes de deux variables complexes et
automorphismes;algebriques de l'espace C2. — J. Math. Soc. Japan, 1974, 26,
p. 241—257.
Сью (Siu Y. T.)
1. Analyticity of sets associated to belong numbers and the extension of
closed positive currents. — Invent. Math., 1974, 27, p. 53—156.
Такидзима (Takijima K.)
1. The regularity of holomorphic mappings between analytic spaces. — Sci.
Rep. Tokyo Kyviku Daigaku Sect. A, 1969, 10, p. 184—192.
Тейлор (Taylor B. A.)
1. The fields of quotients of some entire functions. Entire functions and re-
related Parts of Analysis (Proc. Sympos. Pure Math., La Jolla, Calif.,
1966). — Amer. Math. Soc, Providence, R. I., 1968, p. 468—474.
Темляков A. A.
1. Целые функции двух комплексных переменных. — Учен, записки Моск.
обл. пед. ин-та, 1954, 20, с. 7—16.
Трутнев В. М.
1. Радиальный индикатор в теории суммируемости по Борелю и некоторые
приложения. — Сиб. матем. журн., 1972, 13, с. 659—664.

342 Литература
-Фаворов С. Ю.
1. О сложении индикаторов целых и субгармонических функций многих пе-
переменных. — Матем. сб., 1978, 105A47), № 1, с. 128—140.
Фату (Fatou P.)
1. Sur certaines fonctions complexes de deux variables. — C. R. Acad. Sci.
Paris, 1922, 175, p. 1030—1033.
2. Sur les fonctions meromorphes de deux variables. — C. R. Acad. Sci. Paris,
1922, 175, p. 862—865.
Филимонова Л. А.
1. Об одном условии представимости целой функции двух комплексных пе-
переменных двойным рядом Ньютона. — Матем. записки Уральск, гос. ун-та,
1974, 8, № 4, с. 100—108.
-Фукс Б. А.
1. Введение в теорию аналитических функций многих комплексных перемен-
переменных.— М.: Физматгиз, 1962.
2. Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных
переменных. — М.: Физматгиз, 1963.
Хан (Hahn К. Т.)
1. A remark on integral functions of several complex variables. — Pacific J.
Math., 1968, 26, p. 509—513.
Хантлер (Hantler S. L.)
1. Estimates for the d-Neumann operator in weighted Hilbert spaces. — Trans.
Amer. Math. Soc, 1976, 217, p. 395—406.
Хенгартнер (Hengartner W.)
1. Proprietes des restrictions d'une fonction plurisousharmonique ou entiere
dans Cn d'ordre fini aux droites complexes O(zu). — С R. Acad. Sci. Pa-
Paris, Ser. A—B, 1968, 266, p. 649—651.
2. Famille des traces sur les droites complexes d'une fonction plurisousharmo-
plurisousharmonique ou entiere dans Cn. — Comment. Math. Helv:, 1968, 43, p. 358—377.
Хёрмандер (Hormander L.)
1. L2 estimates and existence theorems for the д operator. — Acta Math.,
1965, 113, 89—152. [Перевод в сб. «Математика», 1966, 10, № 2, с. 59—
116.]
Чжоу (Chou С. С.)
1. Sur le module minimal des fonctions entieres de plusieurs variables com-
complexes d'ordre inferieur a 1. —C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. A—B, 1968, 267,
p. 779—780.
Чжэнь (Chern S. S.)
1. The integrated form of the first main theorem for complex analytic map-
mappings in several complex variables. — Ann. of Math., 1960, 71, 2, p. 536—
551.
Шварц (Schwartz L.)
1. Generalisation de la notion de fonction. — Ann. Inst. Fourier, 1945, p. 57—
74.
2. Courant associe a une forme differentielle meromorphe sur une variete
analytique complexe. Colloque de Geometrie Differentielle CNRS. — Stras-
Strasbourg, 1953, p. 185—195.
Шнейдер (Schneider D.)
1. Sufficient sets for some spaces of entire functions. — Trans. Amer. Math.
Soc, 1974, 197, p. 161 — 180.
Шопф Г.
1. Зависимость гиперповерхностей сопряженных типов при системах сопря-
сопряженных порядков от выбора сопряженных порядков. — Изв. вузов, 1974,
№ 12A51), с. 35—46.
2. Построение целой функции многих переменных с заданным асимптотиче-
асимптотическим распределением ее нулевых точек. — Укр. матем. журн., 1981, № 4,
с. 476—481.

Литература 343
Шоу (Shaw J. К.)
1. Whittaker constrants for entire functions of several complex variables.—
Pacific J. Math., 1971, 38, p. 239—250.
Штолль (Stoll W.)
1. Mehrfache Integrate auf Komplexen Mannigfaltigkeiten. — Math. Z., 1953,
57, Z. 116—154.
2. Ganze Funktionen endlicher Ordnung mit gegebenen Nullstellen Flachen.—
Math. Z., 1953, 57, Z. 211—237.
3. The growth of the area of a transcendental analytic set of dimension one. —
Math. Z., 1963, 81, p. 76—98.
4. The growth of the area of a transcendental analytic set, I, II. — Math.
Ann., 1964, 156, p. 47—78, 144—170.
5. About entire and meromorphic functions of exponential type. Entire Func-
Functions and . Relatjed Parts of Analysis (Proc. Sympos. Pure Math., La
Jolla, Calif., 1966), p. 392—430. — Amer. Math. Soc. Providence, R. \.y
1968.
6. About the value distribution of holomorphic maps into -the projective
space. —Acta Math., 1969, 123, p. 83—114.
7. Value distribution of holomorphic maps. Several Complex Variables. I. Proc.
Conf. Univ. of Maryland, College Park. Md., 1970, p. 165—190. — Berlin-
Springer, 1970.
8. A Bezout estimate for complete intersections. — Ann. of Math. B), 1972,.
96, p. 361—401.
9. Holomorphic functions of finite order on several complex variables. Confer-
Conference Board of the Mathematical Sciences, Regional Conferences Series in
Mathematics, № 21. — American Mathematical Society, Providence, R. I.,
1974.
Эренпрайс (Ehrenpreis L.)
1. A fundamental principle for systems of linear differential equations with
constant coefficients and some applications. — Proc. Int. Sympos. Linear
Spaces (Jerusalem, 1960). — Jerusalem Ac. Press, Pergamon Press, Oxford,.
1962, p. 161 — 174.
Ямагути (Yamaguchi H.)
1. Sur une uniformite des surfaces constantes d'une fonction entiere de deux,
variables complexes. — J. Math. Kyoto Univ., 1973, 13, p. 417—433.
2. Sur le mouvement des constantes de Robin.— J. Math. Kyoto Univ., 1975,
15, p. 53—71.
3. Parabolicite d'une fonction entiere. — J. Math. Kyoto Univ., 1976, 16, № ly
p. 71—92.
Литература, добавленная при переводе
Абанин А. В.
1*. О некоторых признаках слабой достаточности. — Матем. заметки, 1986,.
40, № 4, с. 442—454.
Агранович П. 3.
3*. Замечание о существовании целой функции с заданным круговым инди-
индикатором при уточненном порядке. — Матем. физика и функц. анализ,.
Харьков: ФТИНТ АН УССР, вып. 3, 1972, с. 5—7.
Агранович П. 3., Ронкин Л. И.
2*. О функциях вполне регулярного роста многих переменных. — Препринт
ФТИНТ АН УССР, 1976, 21 с.
Азарин В. С.
1*. Об индикаторе функции, субгармонической в многомерном простран-
пространстве. — ДАН СССР, 1961, 139, № 5, с. 1033—1036.

<344 Литература
2*. Об индикаторе функции, субгармонической в многомерном простран-
пространстве.—Матем. сб., 1962, 58A00), № 1, с. 87—94.
3*. О субгармонических функциях вполне регулярного роста в многомерном
пространстве. —ДАН СССР, 146, № 4, с. 743—746.
4*. Обобщение одной теоремы Хеймана на субгармонические функции в
m-мерном конусе. — Матем. сб., 1965, 66A08), № 2, с. 248—264.
5*. Об асимптотическом поведении субгармонических функций конечного по-
порядка.—Матем. сб., 1979, 108, № 2, с. 147—167.
Беренстейн, Игер (Berenstein С. A., Yger A.)
1*. On Lojasiewicz-type inequalities for exponential polynomials. — J. of Math.
Anal, and Appl., 1988, 129, p. 166—195.
Беренстейн, Тейлор (Berenstein С. A., Taylor B. A.)
2*. On the geometry of interpolating varieties. — Lect. Notes Math., 1982, 919,
p. 1—25.
Берндтссон (Berndsson B.)
4*. A formula for interpolation and division in Cn— Math. Ann., 1983, 263,
№ 2, p. 399—418.
Бут Е. H.
1*. О целых функциях минимального роста, обращающихся в нуль на алге-
алгебраических множествах. — Теория функций, функц. анализ и их прил.,
1974, 20, с. 6—15.
Бьорк (Bjork I. E.)
1*. On extension of holomorphic function, satisfying a polynomial growth
conditions on algebraic varieties in Cn— Ann. Inst. Fourier, 1974, 24,
N 4, p. 157—165.
Владимиров В. С.
1*. Выпуклые однородные функции — индикатрисы роста голоморфных функ-
функций. — Матем. заметки, 1967, 2, № 2, с. 167—174.
2*. О плюрисубгармонических функциях в трубчатых радиальных областях. —
Изв. АН СССР, сер. матем., 1965, 29, 1123—1146, 1967, 31, с. 103—122.
Гай (Gay R.)
1*. Division des fonctionnelles analytiques applications aux fonctions en-
tieres. — Seminaire P. belong, H. Skoda (Analyse), Annee 1978/1979,
p. 77—89.
Ганзбург М. И.
1*. Многомерные предельные теоремы теории наилучших полиномиальных
приближений. — Сиб. матем. журн., 1982, 23, № 3, с. 30—47.
Гинзбург Б. Н.
1*. О росте целых характеристических функций многомерных вероятност-
вероятностных законов. — Теория функций, функц. анализ и их прил., 1974, вып. 20,
с. 38—49.
Гинзбург Б. Н., Серых Н. Д.
1*. Об алгебраических нулевых поверхностях целых характеристических
функций многомерных вероятностных распределений. — Теория функций,
функц. анализ и их прил., 1978, вып. 30, с. 30—36.
Грамэн (Gramain F.)
1*. Fonctions entieres arithmetiques. — Seminaire P. belong, H. Skoda (Ana-
(Analyse), Annee 1976/1977, p. 96—125.
Диксон, Эстерле (Dixon P. G., Esterle J.)
1*. Michael's problem and the Poincare—Fatou — Bieberbach phenomenon.—
Bui. Math. Soc, 1986, 15, № 2, p. 127—187.
Камынин И. П., Островский И. В.
1*. О нулевых множествах целых эрмитово-положительных функций. — Сиб.
матем. журн., 1982, 23, № 3, с. 66—82.
Кацнельсон В. Э.
1*. Эквивалентные нормы в пространствах целых функций. — Матем. сб.,
1973, 92A34), № 1, с. 34—54.

Литература 345
2*. О взвешенной аппроксимации тригонометрическими полиномами целых
функций экспоненциального типа многих переменных. — Зап. научн. сем.
ЛОМИ, 1976, 65, с. 69—79.
Келлехер, Тейлор (Kelleher J. J , Taylor В. А.)
1*. Finitely generated ideals in rings of analytic functions. — Math. Ann.»
1971, 193, № 3, p. 225—237.
Кизельман (Kiselman С. О.)
4*. Functionals on the space of solutions to a differential equation with con-
constant coefficients. The Fourier and Borel transformations. — Math. Scand.,.
1968, 23, p. 27—53.
Логвиненко В. Н., Середа Ю. Ф.
1*. Эквивалентные нормы в пространствах целых функций экспоненциаль-
экспоненциального типа. — Теория функций, функц. анализ и их прил., 1975, с. 102—
111.
Логвиненко В. Н.
3*. Об интерполяции целыми функциями многих комплексных переменных.—
ДАН СССР, 1977, 234, № 2, с. 302—304.
Локшин Б. И.
3*. О множествах понижения, порядка целых функций в Сп — Теория функ-
функций, функц. анализ и их прил., 1982, 37, с. 62—65.
Массер (Masser D. W.)
1*. Polynomial interpolation in several complex variables. — J. of Approx.
Theory., 1978, 24, p. 18—34.
Напалков В. В.
2*. Уравнения свертки в многомерных пространствах. — М.: Наука, 1982.
3*. Уравнение типа свертки в трубчатых областях С2 — Изв. АН СССР,.
сер. матем., 1974, 38, № 2, с. 446—456.
4*. Об одной теореме единственности в теории функций многих комплексных
переменных и однородных уравнениях типа свертки в трубчатых обла-
областях Сл. —Изв. АН СССР, сер. матем., 1976, 40, № 1, с. 115—132.
5*. О системах неоднородных дифференциальных уравнений в частных про-
производных бесконечного порядка. — Матем. заметки, 1979, 26, № 2Г
с. 217—226.
6*. О дискретных достаточных множествах в некоторых пространствах це-
целых функций. —ДАН СССР, 1980, 250, № 4, с. 809—812.
7*. О сравнении топологий в некоторых пространствах целых функций.—
ДАН СССР, 1982, 264, № 4, с. 827—830.
Нисимура (Nishimura Y.)
1*. Entire functions of several complex variables bounded outside a set of
finite volume. — Publ. RIMS, Kyoto Univ. 1987, 23, p. 487-499.
Папуш Д. Е.
1*. О росте целых функций с «плоскими» нулями. — Теория функций, функц.
анализ и их прил., 1986, с. 117—125.
Петренко В. П.
2*. Рост целых функций двух комплексных переменных, медленно растущих
по одной из переменных. — Изв. АН СССР, сер. матем., 1976, 40, № 1,
с. 65—95.
3*. Рост мероморфных функций. — Харьков: Вища школа, 1978.
Рашковский А. Ю., Ронкин Л. И.
1*. Субгармонические функции конечного порядка в конусе. — ДАН СССР,.
1987, 297, № 2, с. 298—302.
Ронкин А. Л.
1*. О квазиполиномах. — Функц. анализ и прил., 1978, 12, № 4, с. 93—94.
2*. Квазиполиномиальные нулевые множества. — Сиб. матем. журн., 1980, 2U
№ 5, с. 165—169.
3*. Распределение нулей квазиполиномов многих переменных. — Функц. ана-
анализ и прил., 1980, 14, № 3, 91—92.

346 Литература
4*. О квазиполиномах. — Функц. анализ и прикладн. матем. Киев: Наукова
думка, 1982, с. 131—157.
Ронкин Л. И.
16*. О продолжении с оценками функций, голоморфных на нулевом множе-
множестве псевдополинома. — Сиб. матем. журн., 1983, 24, № 4, с. 150—163.
17*. Целые функции в Сп, являющиеся по одной из переменных квазиполи-
квазиполиномами. Многомерный комплексный анализ, тр. конф. — Красноярск, 1985,
с. 129—137.
18*. Целые функции. «Современные проблемы математики. Фундаментальные
направления, т. 9 (Итоги науки и техники, ВИНИТИ АН СССР)».—
М., 1986, с. 5—36.
Ронкин Л. И., Руссаковский А. М.
1*. О продолжении с оценками функции, голоморфной на алгебраическом
множестве. — An.. Pol. Math., 1985, 46, p. 403—431.
Рубел, Сквайре, Тейлор (Rubel L. A., Squires W. A., Taylor B. A.)
1*. Irreducibility of certain entire functions with applications to harmonic
analysis.— Ann. of Math., 1978, 108, p. 553—567.
Садуллаев А.
2*. Критерии алгебраичности аналитических множеств. — Функц. анализ и
прил., 1972, 6, № 1, 85—86.
3*. О каноническом разложении целых функций п комплексных перемен-
переменных.— Теория функций, функц. анализ и их прил., 1974, вып. 21, с. 107—
121.
Секерин А. Б.
1*. О построении целых функций с заданным ростом. — Сиб. матем. журн.,
1986, 27, №> 3, с. 179—192.
Сигурдссон (Sigurdsson R.)
1*. Growth properties of analytic and plurisubharmonic finctions of finite
order. — Thesis, Lund, 1984.
Скода (Skoda H.)
7*. <2"-cohomologie a croissance lente dans Cn. — Ann. scient. Ec. Norm. Sup.,
1971, 4, ser. 4, p. 97—120.
Фаворов С. Ю.
2*. О функциях класса В и их применении в теории мероморфных функций
многих переменных. — Теория функций, функц. анализ и их прил., 1972,
вып. 20 с. 150—160, 1973, вып. 21, с. 56—65.
3*. О целых функциях вполне регулярного роста многих переменных. — Тео-
Теория функций, функц. анализ и их прил., 1982, с. 103—111.
4*. О росте плюрисубгармонических функций. — Сиб. матем. журн., 1983, 24,
№ 1, с. 168—174.
5*. Об одной теореме Сибони и Вонга. — Теория функций, функц. анализ и
их прил., 1985, вып. 46, с. 117—122.
Хёрмандер (Hormander L.j
2*. Generators for some rings of analytic functions. — Bull. Amer. Math. Soc.,
1967, 73, № 6, p. 943—940.
Чирка Е. M/
1*. Комплексные аналитические множества. — M.: Наука, 1985.
Шопф Г.
3*. О сопряженных типах целых характеристических функций многих пере-
переменных. — Укр. матем. журн., 1977, 29, № 4, с. 489—498.
4*. О сопряженных порядках и сопряженных типах убывания многомерного
вероятностного закона. — Укр. матем. журн., 1978, 30, № 5, с. 701—707.
Ямагути (Yamaguchi N.)
4*. Fonctions entieres paraboliques dans Cn. — Seminaire P. Leiong, H. Skoda
(Analyse), Annee 1976/77, p. 325—334.

Предметный указатель
Алгебраическая зависимость (alge-
(algebraic dependence) 207
— независимость (algebraic indepen-
independence) 207
Алгебраическое множество (algebraic
variety) 19
— число (algebraic number) 201
Аналитический функционал (analytic
functional) 227
Аналитическое множество (analytic
variety) 68
Базис трансцендентности (transcen-
(transcendence basis) 207
Комплексно однородная функция
(complex homogeneous function) 17
Комплексное подмногообразие (com-
plex submanifold) 68
Кратность данных Кузена (multipli-
(multiplicity of Cousin data) 86
Лемма Хартогса (Hartogs' lemma) 3&
Линейное разделение (linearly sepa-
separates) 251
Локально плюрисубгармоническая
функция (locally plurisubharmonic
function) 305
— субгармоническая функция (local-
(locally subharmonic function) 305
Гармоническая функция (harmonic
function) 296
Голоморфная функция (holomorphic
function) 13
Грассманиан (grassmanian) 186
Мажорирование потока (current do-
dominates) 54
Медленно растущая функция (slow-
(slowly increasing function) 28
Модуль формы (form modulus) 54
Данные Кузена (Cousin data) 83
Доминирование полиномов (polyno-
(polynomial domination) 206
Знаменатель (denominator) 203
Индикатор роста (indicator of growth
function)
данных Кузена (Cousin data)
87
круговой (circled) 35
положительного потока (positi-
(positive current) 59
по одной переменной (with
respect to one variable) 24
проективный (projective) 229
радиальный (radial) 35
Класс минимального роста (minimal
growth class) 174
Компактное вложение (compactly con-
contained in) 139
Комплексная размерность (complex
dimension) 68
Норма формы (form norm) 54
Образ потока (current push forward)
257
Ограниченное семейство полиномов;
(bounded family of polynomials)
111
Оператор свертки (convolution ope-
operator) 258, 265
Опорная гиперплоскость (supporting"
hyperplane) 252
— функция (supporting function) 228r
237
Определяющее множество (carrier)
227
Площадь данных Кузена (area of
Cousin data) 86
Плюригармоническая функция (plu-
riharmonic function) 297
Плюриполярное множество (pluripo-
lar set) 38, 301
Плюрисубгармоническая функция
(plurisubharmonic function) 14, 297
Подготовительная теорема Вейер-
штрасса (Weierstrass preparation
theorem) 69

348
Предметный указатель
Показатель сходимости (convergence
exponent) 89
Полная стабильность слева (complete
left stability) 164
Полное пересечение (complete inter-
intersection) 68
Положительная форма (positive form)
46
приводимая (decomposable) 89
Положительно однородная функция
(positively homogeneous function)
17
Полярное множество (polar set) 301
Порядок (order) 21
— глобальный (total) 24
— по одной переменной (with res-
respect to one variable) 24
— сопряженный (conjugate) 263
— уточненный (proximate) 27
сильный (strong proximate) 29
Поток (current) 51
— замкнутый (closed) 56
— интегрирования данных Кузена
(integration of Cousin data) 86
— непрерывный порядка нуль (con-
(continuous of order zero) 51
— положительный (positive) 52
Преобразование Лапласа (Laplace
transform)
обобщенное (generalised) 239
проективное (projective) 235
Преобразование Фурье—Бореля (Fou-
(Fourier — Borel transform) 228, 262
Принцип максимума (maximum prin-
principle) 301
Прообраз формы (form pull back)
257
Псевдоалгебра ичность (pseudo-algeb-
(pseudo-algebraic) 177
Псевдополином Вейерштрасса (Weier-
strass pseudo-polynomial) 69
Размер алгебраического числа (alge-
(algebraic number size) 203
Размер полинома (polynomial size)
206
Расширение конечного типа (exten-
(extension of finite type) 201
Расширение простое (simple exten-
extension) 202
Регуляризация (regularization) 32
Регулярная система (regular system)
49
Регулярный рост (regular growth) 127
Род (genus) 89
Степень положительного потока (po-
(positive current degree) 52
Степень трансцендентности (transcen-
(transcendence degree) 207
Субаддитивная функция (subadditive
function) 17
Субгармоническая функция (subhar-
monic function) 14, 296
Теорема деления (division theorem)
267
— об обратной функции для плю-
рисубгармонических функций (in-
(inverse function theorem for plurisub-
harmonic functions) 39, 310
Трансцендентное число (transcenden-
(transcendental number) 201
Тип (type)
— максимальный (maximal) 21
— минимальный (minimal) 21
— нормальный (normal) 21
Формула Коши — Фантаппье (Cauc-
hy — Fantappie formula) 61
F-носитель (f-support) 238
Целая функция (entire function) 13
Целое алгебраическое число (alge-
(algebraic integer) 201
Число Лелона (belong number) 58

Оглавление
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 7
Глава L Характеристика роста 12
§ 1. Предварительные сведения 12
§ 2. Субгармонические и плюрисубгармонические функции 13
§ 3. Нормы в Сп и порядок роста 17
§ 4. Минимальный рост: теорема Лиувилля и ее обобщения .... 18
§ 5. Целые функции конечного порядка 20
§ 6. Уточненный порядок 27
§ 7. Регуляризация 32
§ 8. Индикаторы роста 34
§ 9. Исключительные множества, связанные с характеристиками ро-
роста плюрисубгармонических функций 38
Комментарии 44
Глава 2. Локальные метрические свойства нулевых множеств и положи-
положительные замкнутые потоки 46
§ 1. Положительные потоки .46
§ 2. Внешнее произведение 53
§ 3. Положительные замкнутые потоки 55
§ 4. Положительные замкнутые потоки степени 1 . • 59
§ 5. Аналитические множества и потоки интегрирования 67
Комментарии 82
Глава 3. Связь между ростом целой функции и ростом ее нулевого мно-
множества 83
§ 1. Положительные замкнутые потоки степени 1, ассоциированные с
положительными дивизорами 84
§ 2. Индикаторы роста данных Кузена в Сп 87
§ 3. Канонические потенциалы в Rm 89
| 4. Каноническое представление целых функций конечного порядка 93
§ 5. Решение dd-уравнения 100
•§ 6. Случай данных Кузена 104
§ 7. Медленно растущие данные Кузена: случай рода нуль; алгебраи-
алгебраический случай 107
§ 8. Случай целого порядка: обобщение теоремы Линделёфа 110
§ 9. Следы данных Кузена на комплексных прямых 115
§ 10. Случай данных Кузена бесконечного порядка 119
Комментарии 125
Глава 4. Функции регулярного роста 126
§ 1. Общие свойства функций вполне регулярного роста 128
§ 2. Распределение корней функций вполне регулярного роста . . .139
Комментарии 151
Глава 5. Голоморфные отображения Сп в Ст 152
§ 1. Представление аналитического множества Y в Сп как F~l@) . .153
§ 2. Локальные потенциалы и дефект плюрисубгармоничности . . .154

350 Оглавление
§ 3. Глобальные потенциалы 160
§ 4. Конструкция такой системы F целых функций, что У = /7-1@) 164
§ 5. Случай медленного роста 170
§ 6. Алгебраический случай 174
§ 7. Псевдоалгебраический случай 176
§ 8. Контрпримеры к задаче равномерной оценки сверху 177
§ 9. Оценка сверху объема F~l{a) для голоморфных отображений . .179
§ 10. Оценки сверху и снизу следа аналитического множества на ком-
комплексных плоскостях 186
Комментарии 19$
Глава 6. Приложения целых функций в теории чисел 201
§ 1. Предварительные сведения из теории чисел 201
§ 2. Лемма Шварца 207
§ 3. Формулировка и доказательство основной теоремы 210
Комментарии 214
Глава 7. Теорема об индикаторе роста 215
Комментарии 226
Глава 8. Аналитические функционалы 227
§ 1. Выпуклые множества и преобразование Фурье — Бореля .... 228
§ 2. Проективный индикатор 229
§ 3. Проективное преобразование Лапласа 234
§ 4. Аналитические функционалы на комплексном подмногообразии
М в Сп 237
§ 5. Обобщенное преобразование Лапласа и индикатор 239
§ 6. Носители аналитических функционалов 241
§ 7. Единственные определяющие множества для областей вСп . . . 245
§ 8. Единственные выпуклые носители 251
Комментарии 256
Глава 9. Операторы свертки на линейных пространствах целых функций 25&
§ 1. Линейные топологические пространства целых функций 259
§ 2. Теоремы деления 266
§ 3. Операторы свертки в пространствах Еуг^ и Е° 270
§ 4. Дополнительные результаты об уточненных порядках при р > 1 272
§ 5. Случай р = 1 289
§ 6. Еще о функциях порядка меньше единицы 292
§ 7. Операторы свертки вС" 295
Комментарии 295
Приложение I. Субгармонические и плюрисубгармонические функции 296
Приложение II. Существование уточненных порядков 312
Приложение III. Решение д-уравнения с оценками роста 316
Литература 328
Литература, добавленная при переводе 343
Предметный указатель 347

Уважаемый читатель!
Ваши замечания о содержании книги,
ее оформлении, качестве перевода и
другие просим присылать по адресу:
129820, Москва, И-110, ГСП, 1-й Риж-
Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».