Ю. В. СИДОРОВ, М. В. ФЕДОРЮК, М. И. ШАБУНИН
ЛЕКЦИИ
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО
ПЕРЕМЕННОГО
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ, ИСПРАВЛЕННОЕ
Допущено Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебника
для студентов инженерно-физических
и физико-технических специальностей вузов
ГлСЛ МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1 889

ББК 22.161.5
С34
УДК 517.53/55@75.8)
Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., 111 и Г> у к » и М. И, Лекции по
теории функций комплексного переменного: Учеб. для вузов.— 3-е изд.,
испр.—М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1080.— ^180 с— ISPIN 5-02-013954-8.
Изложены основы теории функции комплексного переменного. Наря-
Наряду с традиционными разделами курса п книге подробно рассмотрены
многозначные аналитические функции и мемштариме асимптотические
методы. Кроме того, в ней рассмотрены аналитическая теория обыкновен-
обыкновенных линейных дифференциальных -уравнении второго порядка, задачи
Дирихле для уравнения Пуассона на плоскости, некоторые физические
задачи теории поля, операционное исчисление.
2-е изд.— 1982 г.
Для студентов инженерно-физических и физико-технических специ-
специальностей вузов.
f. 1602070000—027go on (©Издательство («Наука».
053@2) -89 Главная редакция
х ' физико-математической
татам г: по плъйк/. а с изменениями, 1982;
ibrJIN 0-и^-и1йУо4-о исправленное, 1989

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава I. Введение 7
§ 1. Комплексные числа 7
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел ... 18
§ 3. Кривые и области иа комплексной плоскости .... 24
§ 4. Непрерывные функции комплексного переменного ... 35
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного . . 44
§ 6. Функция argz 50
Глава II. Регулярные фуннции 57
§ 7. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана 57
§ 8. Геометрический смысл производной 64
§ 9. Интегральная теорема Коши 75
§ 10. Интегральная формула Коши 83
§ 11. Степенные ряды ' 86
§ 12. Свойства регулярных функций 89
§ 13. Обратная функция 101
§ 14. Теорема единственности 107
§ 15. Аналитическое продолжение 109
§ 16. Интегралы, зависящие от параметра 111
Глава III. Ряд Лорана. Изолированные особые точки однозначного
характера 121
§ 17. Ряд Лорана 121
§ 18. Изолированные особые точки однозначного характера . . 12 6
§ 19. Теорема Лиувилля 136
Глава IV. Многозначные аналитические фуницин 139
§ 20. Понятие аналитической функции 139
§ 21. Функция In z 145
§ 22. Степенная функция. Точки ветвления аналитических
функций 153
§ 23. Первообразная аналитической функции. Обратные триго-
тригонометрические функции 164
§ 24. Регулярные ветви аналитических функций 169
§ 25. Граничные особые точки 187
§ 26. Особые точки аналитических функций. Понятие о рииа-
' новой поверхности 192
§ 27. Аналитическая теория обыкновенных линейных диффе-
дифференциальных уравнений второго порядка 203
Глава У. Теория вычетов и ее приложения 218
§ 28. Теоремы о вычетах 218
§ 29. Вычисление определенных интегралов с помощью вычетов 228

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 30. Принцип аргумента и теорема Руше 252
§ 31. Разложение мероморфной функции на элементарные дроби 256
Глава VI. Конформные отображения 267
§ 32. Локальные свойства отображений регулярными функциями 267
§ 33. Общие свойства конформных отображений 273
§ 34. Дробно-линейная функция 279
§ 35. Конформные отображения элементарными функциями . . 288
§ 36. Принцип симметрии , 312
§ 37. Интеграл Кристоффеля — Шварца ....... 323
§ 38. Задача Дирихле 335
§ 39. Векторные поля на плоскости 350
§ 40. Некоторые физические задачи теории поля 358
Глава VII. Элементарные асимптотические методы .... 366
§ 41. Простейшие асимптотические оценки 366
§ 42. Асимптотические разложения 383
§ 43. Метод Лапласа 390
§ 44. Метод стационарной фазы 402
§ 45. Метод перевала 410
§ 46. Метод контурного интегрирования Лапласа 425
Глава VIII. Операционное исчисление 436
§ 47. Основные свойства преобразования Лапласа .... 436
§ 48. Восстановление оригинала по изображению 444
§ 49. Применение преобразования Лапласа к решению линей-
линейных уравнений 457
§ 50. Колебания струны под действием мгновенных толчков 464
Список литературы 473
Предметный указатель 475

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана авторами на основе их более чем
двадцатилетнего опыта преподавания теории функций комплекс-
комплексного переменного в Московском физико-техническом институте.
Эта книга является учебником для студентов высших техниче-
технических учебных заведений с повышенным курсом математики.
Авторы полагают, что она может оказаться полезной также
при самостоятельном изучении курса ТФКП.
Основное внимание в книге уделяется методам ТФКП, кото-
которые часто применяются в прикладных задачах (разложения в
ряды, конформные отображения, вычисление интегралов о по-
помощью теории вычетов, асимптотические методы). Материал
книги авторы старались изложить так, чтобы максимально по-
помочь читателю овладеть основами ТФКП. С этой целью в книге
подробно разобрано большое количество примеров. Авторы на-
надеются, что эти примеры помогут читателю глубже усвоить тео-
теоретический материал курса и приобрести навыки в решении
задач.
Книгу условно можно разделить на две части. Первая часть
(главы I—III, V, VI) содержит тот необходимый минимум све-
сведений по ТФКП, которым должен овладеть современный инже-
инженер-исследователь. Глава I носит вводный характер, в ней со-
содержатся основные сведения о комплексных числах и непрерыв-
непрерывных функциях комплексного переменного. В главе II изложены
основные свойства регулярных функций, включая понятие ана-
аналитического продолжения и аналитические свойства интегралов,
зависящих от параметра. В главе III рассматриваются ряды Ло-
Лорана и особые точки однозначного характера. Глава V посвя-
посвящена теории вычетов и ее приложениям. Рассмотрено много
важных типов интегралов от однозначных и неоднозначных ана-
аналитических функций, в частности интегральные преобразования
математической физики (Фурье, Меллина, Лапласа), интегралы
типа бета-функции. В главе VI рассматриваются свойства кон-
конформных отображений, подробно изучаются отображения эле-
элементарными функциями и даются приложения: задача Дирихле,
векторные поля на плоскости, некоторые фиаические задачи тео-
теории поля.

6 ПРЕДИСЛОВИЕ
Вторая часть (главы IV, VII) рассчитана на более подготов-
подготовленного читателя. Глава IV посвящена многозначным аналити-
аналитическим функциям. В ней подробно изучены аналитические свой-
свойства и приведены основные формулы для вычисления значений
важнейших элементарных функций. Особое внимание уделяется
вопросу о выделении регулярных ветвей многозначных аналити-
аналитических функций. Эта глава содержит аналитическую теорию обык-
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго поряд-
порядка. В главе VII изложены основные асимптотические методы (ме-
(метод Лапласа, метод стационарной фазы, метод перевала, метод
контурного интегрирования Лапласа и некоторые другие методы).
В главе VIII рассмотрены основы операционного исчисления.
Первое издание книги вышло в 1976 году. Для второго изда-
издания A982 г.) книга была дополнена и частично переработана.
Настоящее третье издание печатается с небольшими измене-
изменениями.
Авторы с глубокой благодарностью вспоминают профессора
Б. В. Шабата, прочитавшего рукопись первого издания книги и
сделавшего много полезных предложений.
Авторы

Глава I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Комплексные числа
1. Определение комплексного числа. Комплексными числами
называются пары (х, у) действительных чисел х и у, если для
них определены понятие равенства и операции сложения и ум-
умножения следующим образом:
1. Два комплексных числа (xl7 yt) и (х2, Уг) считаются рав-
равными тогда и только тогда, когда х± = хг и j/i = у2.
2. Суммой двух комплексных чисел (хи г/i) и (х2, у г) назы-
называется комплексное число (xt + х2, г/i + у2).
3. Произведением двух комплексных чисел (xt, г/4) и (х2, уг)
называется комплексное число (xiX2 — y,.y2, xty2 + x2yi).
Для обозначения равенства, суммы, произведения и других
операций над комплексными числами применяются те же знаки,
что и для действительных чисел. Таким образом, по определе-
определению комплексного числа
(хи У\) — {хг, у г) тогда и только тогда, когда
xt = x2 и yi = y2; A)
сумма и произведение двух комплексных чисел соответственно
равны
(хи yi) + (x2, г/2) = (х1 + х2, г/i + г/2), B)
(хи yi) (x2, y2) = (xix2 - yiy2, х,у2 + x2yt). C)
Из формул B), C) вытекают, в частности, соотношения
„ 0) = (х1 + х1, 0), (х„ 0)(х2> 0) = (*!*„ 0),
которые показывают, что операции над комплексными числами
вида (х, 0) совпадают с операциями над действительными чис-
числами х. Поэтому комплексные числа вида (х, 0) отождествляют-
отождествляются с действительными числами: (х, 0) = х.
Комплексное число @, 1) называется мнимой единицей и
обозначается буквой i, т. е. i= @, 1). Вычислим по формуле
C) произведение I • i — f. Имеем
1) = (-1, 0) = -1.

8 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Из формул B), C) вытекают также равенства
@,i/) = @, l)(y,O) = iy,
(х, у) = (х, 0) + @, y) = x + iy.
Таким образом, каждое комплексное число (х, у) можно пред-
представить в виде х + iy. Запись комплексного числа в виде x + iy
называется алгебраической формой комплексного числа. Комп-
Комплексные числа вида iy называются чисто мнимыми. В частности,
число 0, т. е. комплексное число @, 0), является единственным
числом, которое одновременно и действительное, и чисто
мнимое.
С помощью алгебраической формы комплексного числа фор-
формулы A) — C) записываются так:
Xi + ij/i = хг + гуг тогда и только тогда, когда
Zi = х2 и г/! = у2; D)
(Xi + й/4)+ (х2 + iy2) = ^ + х2) + i (г/i + у2), E)
(Zj + iyj (х2 + iy2) = (Х& - yty2) + i (Xiyz + ay/i). F)
Комплексное число х + iy принято обозначать одной буквой
z, т. е. z = х + iy. Число х называется действительной частью,
а число у — мнимой частью комплексного числа z = x+iy. Для
этих чисел приняты следующие обозначения:
х = Re(x + iy)= Re z, у = Im(ar + iy)= Imz*).
Здесь, как и всюду в дальнейшем, если не оговорено противное,
в записи z = х + iy предполагается, что х и у — действительные
числа.
Комплексное число х — iy называется сопряженным с ком-
комплексным числом z = х + iy и обозначается г:
2 = х + iw = х iy G)
Очевидно, (z) = z для любого комплексного числа ъ. Из D)
вытекает, что равенство z = z имеет место в том и только в том
случае, когда z — действительное число.
Число Мхг + у2 называется модулем комплексного числа
z = x + iy и обозначается Izl:
Очевидно, [zl Ss 0, причем |zl=0 тогда и только тогда, когда
z = 0. Модуль действительного числа совпадает с абсолютной
величиной этого числа.
*) Обозначения Re и Im являются сокращениями французских слов
Reel (действительный) и Imaginaire (мнимый).

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 9
Отметим две формулы:
Ы = 1г1, (9)
zz=\z\\ A0)
которые вытекают из G), (8) и равенства
zz=(x + iy) (х - iy) = хг + у\
Дальнейшие свойства, связанные с понятиями z и Ы, будут
рассмотрены ниже.
2. Свойства операций. Операции сложения и умножения
комплексных чисел обладают следующими свойствами:
1. Коммутативности:
Zi + Z2 = Z2 + Zj, ZiZz = Z2Z1.
2. Ассоциативности:
(Zi + Z2) +Z3 = Z1 + (Z2 + Z3), (ZiZ2) Z3 = Zi (Z2Z3) .
3. Дистрибутивности:
Zi (Z2 + Z3) = Z^ + ZiZs.
Докажем, например, коммутативность сложения. Пусть zx =
= xt + гг/i, z2 = ж2 + iy2. Тогда по формуле E) имеем
zi + z2 = (Xi + xz) + i (yt + y2),
Но по свойству коммутативности сложения действительных чи-
чисел Xi + хг = хг + Xi и г/i + г/2 = г/2 + г^. Следовательно, Z! + z2 =
= Z2 + Zl
Аналогично проверяются остальные свойства 1—3.
Из свойств 1—3 вытекает, что операции сложения и умноже-
умножения над комплексными числами х + iy обладают формально та-
такими же свойствами, как если бы число i было действительным.
В частности, нет необходимости запоминать формулы E) и F),
их можно получить по обычным правилам алгебры. Например,
F) вытекает из равенства
(ж4 + iyt) (x2 + iy2) = XiX2 + ix,y2 + ix2yi + fy^
и равенства i2 = — 1.
Числа нуль и единица в множестве комплексных чисел об-
обладают теми же свойствами, что и в множестве действительных
чисел. А именно, для любого комплексного числа z имеют место
равенства
z + O = z, z-l=z.
В множестве комплексных чисел можно ввести операцию,
обратную к операции сложения. Эта операция, как обычно,

10 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
называется вычитанием. Для любых двух комплексных чисел zt
и z2 существует, и притом только одно, число z, удовлетворяю-
удовлетворяющее уравнению
Z + Zj = Zlt A1)
Это число называется разностью чисел zt и z2 и обозначается
Zi — z2. В частности, разность 0 — z обозначается —z.
Из D), E) вытекает, что для любых комплексных чисел
zl=xi + iyl и %г = x2 + iy2 уравнение A1) имеет единственное
решение z = (х4 —ж2)+ i(j/4 — у2). Таким образом,
Zi — z2 ={x± + iy±) — (xt + iyz) = (xl — x2) + i(j/j — y2). A2)
Введем операцию деления комплексных чисел. Операция,
обратная умножению, называется делением, а частным двух чи-
чисел z, и z2 называется такое число z, которое удовлетворяет
уравнению
zz2 = Zi, A3)
z
и обозначается zt: z2 или —.
za
Докажем, что уравнение A3) имеет единственное решение
для любых комплексных чисел Zi и Za, если z2 Ф 0. Умножая
обе части уравнения A3) на число za и используя формулу A0),
получаем z!z2!2 = Z!Z2, откуда умножением на число . ,а находим
I 2 I
z = -,-1 ?a- Таким образом,
A = ^ = ^_, Z2^0. A4)
Если z1 = ic1 + ij/1, г2 = ж2 + гг/2, то формулу A4) можно за-
записать в виде
Эту формулу можно не запоминать — достаточно помнить, что
она получается умножением числителя и знаменателя на число,
сопряженное со знаменателем.
Пример 1.
2 — 3? _ B — Зг) C — 4i) _ 6 — 8i — 9i + 12г2 __
T+Ti ~~ C + 4i) C — 4i) — За + 42 ~~
6 — 17e — 12 ¦_ 6 17. rn
~ 25 ~ 25 25 ' LJ
3. Геометрическая интерпретация комплексного числа.
Пусть на плоскости задана прямоугольная система координат.

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
11
Комплексное число z = х + iy изображается точкой плоскости
с координатами (х, у), и эта точка обозначается той же буквойz
(рис. 1). Такое соответствие между комплексными числами и
точками плоскости, очевидно, является взаимно однозначным.
При этом действительные числа изображаются точками оси абс-
абсцисс, а чисто мнимые — точками оси ординат. Поэтому ось абс-
абсцисс называется действительной осью, а ось ординат — мнимой
осью. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа,
называется комплексной плоскостью.
Ясно, что точки z и —z симметричны относительно точки О,
а точки z и z симметричны относительно действительной оси, так
как,если z = х + iy, то —z = (—x)+i(—y), az=x+i(—y) (рис.1).
z-zz
Рис. 2
Комплексное число z изображается также вектором с нача-
началом в точке 0 и концом в точке z (рис. 1). Такое соответствие
между комплексными числами и векторами комплексной пло-
плоскости с началом в точке 0 также является взаимно однознач-
однозначным. Поэтому вектор, изображающий комплексное число z, обо-
обозначается той же буквой z.
Из формулы (8) и рис. 1 видно, что длина вектора z рав-
равна \z\ и имеют место неравенства |Rez| ^ |z|, Umzl «? |z|.
С помощью векторной интерпретации наглядно иллюстри-
иллюстрируются сложение и вычитание комплексных чисел. Из форму-
формулы E) вытекает, что число zx + z2 изображается вектором, по-
построенным по обычному правилу сложения векторов z, и zi
(рис. 2). Вектор zi —Z2 строится как сумма векторов z\ и — z%
(рис. 2).

12
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Из рис. 2 видно, что расстояние между точками Zi и z2 равно
длине вектора Zi —z2, т. е. равно \zi — z2l.
Пример 2. Множество точек z, удовлетворяющих уравне-
уравнению \z — z01 =sR, есть окружность радиуса R с центром в точке
20, так как iz — zoi —расстояние между точками z и z0. []
Пример 3. Множество точек z, удовлетворяющих уравне-
уравнению Iz — Zil = lz — z2l, есть множество точек, равноудаленных
от точек zt и z2. Следовательно, это уравнение прямой, перпен-
перпендикулярной отрезку, соединяющему точки z4, z2, и проведенной
через его середину. Q
Пример 4. а) Множество точек z, удовлетворяющих урав-
уравнению Iz — Zil + Iz — z2| = 2a, где a>~2~ Iz! — z2|, есть эллипс
с фокусами в точках zu z2 и с большой полуосью, равной а,
так как Iz — zj + lz — z2l—сумма расстояний от точки z до
точек Zi и z2.
б) Аналогично, уравнение ||z — zj — Iz — z2||=2a, где
a<i-^-\z1— z2|, является уравнением гиперболы с фокусами в
точках z,, z2 и с действительной полуосью, равной а. []
Неравенства треугольника. Для любых комплекс-
комплексных чисел Zi и z2 имеют место неравенства
— Iz2||
A5)
Доказательство. Длины сторон треугольника с верши-
вершинами в точках 0, Zi, Zi + z2 равны IzJ, |z2| и |zt + z2| (рис. 2).
Следовательно, неравенства A5) являются известными из эле-
элементарной геометрии неравенствами для
длин сторон треугольника.
Следствие. Для любых комплекс-
комплексных чисел zu z2, ..., zn имеет место нера-
неравенство
JS** <2г1**|- A6)
4. Тригонометрическая и показатель-
показательная формы комплексного числа. Положе ние
точки z = х + iy на комплексной плоскости однозначно опре-
определяется не только декартовыми координатами х, у, но и
полярными координатами г, <р (рис. 3), где r=|z|—расстоя-
r=|z|—расстояние от точки 0 до точки z, а ср — угол между действительной
осью и вектором z, отсчитываемый от положительного на-
направления действительной оси. При этом если отсчет ведется
против часовой стрелки, то величина угла считается положитель-
положительной, а если по часовой стрелке — отрицательной. Этот угол
называется аргументом комплексного числа z (z Ф 0) и обозна-

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 13
чается так: <p = argz*). Для числа z — О аргумент не опреде-
определяется, поэтому во всех дальнейших рассуждениях, связанных
с понятием аргумента, предполагается, что z Ф 0.
Из рис. 3 видно, что
x = rcosq>, j/ = rsinq>. A7)
Следовательно, любое комплексное число z Ф 0 можно предста-
представить в виде
z = r(cosq> + isin<p). A8)
Запись комплексного числа в виде A8) называется тригономет-
тригонометрической формой комплексного числа.
Из формул A7) вытекает, что если z = х + iy, cp = argz, то
cos ф = 1/-г—Г sin ф = л/4 г D9)
V * + У У х% + у2
Из рис. 3 видно, что справедливо и обратное утверждение: число
<р является аргументом комплексного числа z = x + iy только
тогда, когда выполняются оба равенства A9). Следовательно,
для нахождения аргумента комплексного числа z = x + iy нуж-
нужно решить систему уравнений A9).
Система A9) имеет бесконечно много решений, и все эти ре-
решения задаются формулой <р = >ф0 + 2кп, к = 0, ±1, ±2, ... ,
где <р0 — одно из решений системы A9). Таким образом, аргу-
аргумент комплексного числа определяется неоднозначно: если ф0 —
одно из значений аргумента комплексного числа z, то все значе-
значения аргумента этого числа находятся по формуле
fc = 0, ±1, ±2, ... B0)
Из системы A9) вытекает, что аргумент <р комплексного чис-
числа z = х + iy удовлетворяет уравнению
Следует иметь в виду, что не все решения уравнения B1) яв-
являются решениями системы A9).
Пример 5. Найдем аргумент комплексного числа z =
= — 1 — i. Так как точка z = — I — i лежит в третьей четверти
и tgcp=l, Toarg(-1-0 = ^+ 2ftn, ft = 0, ±1, ±2, ... Q
Если \z\ =1, qp = argz, то по формуле A8) имеем z = coscp +
+ isin<p. Комплексное число созф + гвшф обозначается симво-
символом ещ, т. е. функция е^ для любого действительного числа ф
определяется формулой Эйлера
е'ф = cos ф + i sin ср. B2)
*) Обозначение arg является сокращением французского слова argu-
argument (аргумент).

14
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
В частности, ег™ = 1, еяг =-1, e
О \\
ni/2
i,
= -г (рис. 4).
, , )
Отметим, что \ещ\ = 1 для любого действительного числа <р«
Из B2) заменой <р на — <р получается равенство
е"** = cos ф — i sin ф. B3)"
Сложением и вычитанием равенств B2) и B3) получаются дбор-
мулы Эйлера
cos ф = -|- (е*ч> + е-'"?),
! B4)
sin ф = (*ф ф)
'.=8Т.
с помощью которых тригонометрические функции выражаются
через показательную функцию.
Функция е% обладает обычны-
обычными свойствами показательной
функции, как если бы число i бы-
было действительным. Отметим ос-
основные из них:
е ^е ^ = е ^i™*>, B5)
B6)
(ei<f)n= eim,
n = 0, ±1, ±2, ...
B7)
Докажем равенство B5). Имеем
ег<р1е Ф2 = (cos Ф1 + г sin фх) (cos ф2 + i sin ф2) =
= (cos фл cos ф2 — sin фл sin ф2) + i (sin фл cos ф3 + cos фа sin ф2)
= cos (Фх + ф2) + i sin (фх + ф2) =
Аналогично проверяется равенство B6). Равенство B7) полу-
получается из B5) и B6) по индукции.
Из B7) и B2) вытекает формула Муавра
(cos ф + i sinф)" = cos шр + isin гсф, п = 0, ±1, ±2, ... B8)
Пример 6. Вычислим суммы
S2 = sin x + sin (x + a) + sin (x + 2a) + ... + sin (ж + па).
Положим S = Si + iSt, тогда по формуле Эйлера B2) имеем
S = (cos х + i sin x) + (cos (x + a) + i sin (ж + a)) +...
... + (cos (x + na) + i sin (x + no.)) =

§ 1, КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА 15
Суммируя эту геометрическую прогрессию со знаменателем q =
Jx (Жп+1)а _ л)
= е*\ получаем ? = ^-= -1-. Так как St = Re S, St =
e* — 1
= 1т5, то из этой формулы можно сразу найти обе суммы ^ и
52. Поделим числитель и знаменатель на еш/2, тогда знаменатель
будет равен 2t sin (a/2), a числитель будет равен
cos (ж + (п + 4-) а) — cos [х— -Ц-) +
+ i I sinfa; + [п + -j-j aj — sin[x |-jj =
Отсюда находим
sin
51 = COS \X + -y-l,
sin~ .
. (n + 1) a
sin * ' na
s» = ?-**(* + %. ?
sin-2-
Из формул A8) и B2) следует, что любое комплексное чис-
число z ?= 0 можно представить в виде
z - ге\ B9)
где г = \z\, ф = argz. Запись комплексного числа в виде B9)
называется показательной формой комплексного числа.
С помощью равенств B5) и B6) легко получаются форму-
формулы умножения и деления комплексных чисел, записанных в
показательной форме:
ziz2 = ri« lrs^ 2 = r^e v*!^;, C0)
Из формулы C0) следует, что модуль произведения двух
комплексных чисел равен произведению модулей этих чисел:
|г4г21 = Izillzj,
а сумма аргументов сомножителей является аргументом произ-
произведения:
если q>1 = argzi, cp2 = argz2, то ф1 + ср2 = arg (z4z2). C2)

16
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Аналогично из формулы C1) вытекает, что модуль частного
двух комплексных чисел равен частному модулей этих чисел:
а разность аргументов делимого и делителя является аргумен-
аргументом частного:
если фх =
tp2 = argz2, то ц>г — ср2 = arg -*-. C3)
Z
Пример 7.
A - гУЗKA + гJ =Bе-я'/3K(У2 enl/iJ =
= 23е-я'2еяг/2 = 23(-1Jг = -Ш. []
Отметим, что из геометрической интерпретации (рис. 3) вы-
вытекает правило равенства комплексных чисел, записанных в
показательной форме: если z1 = rte^ и z2 = r2ei(p2, то равенство
z4 = z2 имеет место тогда и только тогда, когда ri = r2 и <pi ==
= ф2 + 2кп, где к — некоторое целое
число. Таким образом, zd = z3 тогда и
только тогда, когда
\zi\ = \z2\ и arg z, = arg z2 + 2кп,
C4)
где к — целое число.
С помощью комплексных чисел
удобно записывать многие формулы
аналитической геометрии. Пусть At =
=>(*., г/,), Л2 = (ж2, у2), О = @, 0)^-
точки на плоскости (х, у), a.i = OAu
а2 = ОА.2. — векторы. Этим векторам отвечают комплексные числа
z, = xt+. iyu zz = x2 + iy2. Имеем
Ziz2 = ад, + x2y2 + i {х,уг — xtyt).
Действительная часть этого выражения равна скалярному про-
произведению векторов ait аг:
х
Риа 5
а его мнимая часть равна 25, где 5 — ориентированная площадь
5 треугольника с вершинами в точках О, Аи А2'
5 = 4
Пусть А = (х, у) — точка плоскости (ж, у). Найдем ее коор-
координаты (х', у') в новой системе координат, полученной из ста-

§ 1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
17
рой поворотом на угол а (рис. 5). Точке А отвечает комплекс-
комплексное число x + ty = re\ Тогда х' + iy' = re'"-> = re* • e'ia -
= (ж+#)е-1в, т. е.
ж' + sz/' = (x + iy) (cos a — i sin а).
Отсюда, приравнивая действительные и мнимые части, находим
х' = zcosa + !/sina, у' = —х sin a + у cos a.
5. Извлечение корня. Рассмотрим уравнение
*- = а, C5)
где аФО — комплексное число, п — натуральное число. Пусть
а = peie, z = rei<f. Тогда
Из этого уравнения с помощью свойства C4) находим г" = р,
щ = 6 + 2кп, откуда г = у р, фй = (8 + 2кп)/п и
Л = 0, ±1, ± 2, ... C6)
Покажем, что среди комплексных чисел C6) ровно п раз-
различных. Заметим, что числа z0, zu ..., гп_4 различны, так как
их аргументы
о z<
тп-1
¦п-Г
Рис. 6
различны и отличаются друг от
друга меньше, чем на 2л (см.
C4)). Далее zn = z0, так как
п
1 Zn | = | Zo | = Yp И фп = ф0 + 2я.
Аналогично zn+1 = zi? z_4 = zn-x
и т. д.
Таким образом, уравнение C5) при а Ф 0 имеет ровно п
различных корней:
Zfe == у р е , к = и, 1, ..., 1% — 1. \о *)
На комплексной плоскости эти точки расположены в вершинах
правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса
с центром в точке 0 (рис. 6).
Замечание. Комплексное число z называется корнем п-й
степени из числа а (обозначается V~o)-> если z" = а. Выше пока-
2 Ю. В. Сидоров и др.

18
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
имеется ровно п различных корней ге-й
зано, что при а?=0
степени из числа а.
6. Дальнейшие свойства комплексно сопряженных чисел.
Если z = х + iy, то по определению G) z = х — iy. Как уже от-
отмечалось (см. (9)), модули комплексно сопряженных чисел рав-
равны: \z\ = \z\. Установим связь между их аргументами.
Пусть г = геЧ Тогда из B2) и B3) (или из рис. 7) видно,
что z = ге"'ф. Следовательно, если <р =
= arg z, то —ф = arg z.
Отметим, что операция сопряжения
перестановочна с арифметическими опе-
операциями над комплексными числами:
z2 =
Рис. 7
z2,
, ±1, ±2, ...,
z Ф 0 при
n < 0.
Эти равенства проверяются непосредственно.
Пример 8. Пусть P(z) = aozn +а^"'1 + ... + ап — многочлен
с действительными коэффициентами. Тогда
Если P(zo) = O, то P(zo) = P(zo) = O, т. е. если число z0 является
корнем многочлена с действительными коэффициентами, то и
комплексно сопряженное число z0 также является корнем этого
многочлена. []
§ 2. Последовательности и ряды комплексных чисел
1. Последовательности. Определение предела последователь-
последовательности {zn} комплексных чисел zu z2, ..., zn, ... формально такое
же, как и определение предела последовательности действитель-
действительных чисел.
Определение. Комплексное число а называется пределом
последовательности {zn}, если для любого в > 0 существует такой
номер N = N(e), что для всех n>N выполняется неравенство
|zB-al<8. A)
При этом пишут lim zn = a.
п-»оо
Другими словами, число а называется пределом последова-
последовательности izn}, если
lim | zn - а | = 0. B)

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
19
Последовательность, имеющая предел, называется сходя-
сходящейся.
Геометрический смысл неравенства A) заключается в том,
что точка zn лежит в круге радиуса е с центром в точке а
(рис. 8). Этот круг, т. е. множество точек z, удовлетворяющих
неравенству \z — ol < е, где е >0, назы-
называется е-окрестностью точки а. Следова-
Следовательно, точка а является пределом по-
последовательности {zn}, если в любой
окрестности точки а содержатся все чле-
члены этой последовательности, за исключе-
исключением их конечного числа.
Таким образом, определение предела
последовательности {zj является обыч-
обычным определением предела последова-
последовательности точек плоскости, сформули-
сформулированным в терминах комплексных
чисел.
Каждой последовательности комплексных чисел {zn} соответ-
соответствуют две последовательности действительных чисел {ж„} и iyn),
где zn = хп + iyn, п = 1, 2, ... Имеет место
Теорема 1. Существование предела limzn = a, где а =
п-»оо
= ос + ф равносильно существованию двух пределов:
lim xn = a, lim yn = р.
0\
Рис. 8
Доказательство. Пусть существует предел limzn = а, т. е.
П-»о°
выполняется условие B). Тогда из неравенств \х„ — а\ < \zn — a\
и Iу„ — [51 ^ \zn — а\ следует существование пределов lim xn = а и
п-*оо
lim yn = р.
П-»оо
Обратное утверждение вытекает из оценки
|zn - a| = | (хп - а)+ i(yn-$)\< \хп -а\ + \уя-^\
(см. A5), § 1).
Из теоремы 1 и свойств сходящихся последовательностей дей-
действительных чисел вытекают следующие свойства последова-
последовательностей комплексных чисел: если lim zn = а и lim ?n = b, to
п-»оо п->оо
lim (zn ± ?„) = а ± Ъ,
lim
n-»oo
zn
а
при л = 1, 2, ...;
C)
D)
E)
2*

20 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Точно так же, как и в курсе математического анализа, дока-
доказывается
Критерий Кош и. Последовательность. {zn} сходится тогда
и только тогда, когда для любого е > 0 существует такой номер
N, что для всех п> N и m>N выполняется неравенство
\zn-zm\ <e.
Последовательность комплексных чисел izn] называется огра-
ограниченной, если существует такое число R, что |zj <R для всех
номеров п.
Из геометрической интерпретации предела последовательности
вытекает, что всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Однако, имеет
место
Теорема Войерштрасса. Из любой ограниченной по-
последовательности можно выделить сходящуюся подпоследова-
подпоследовательность.
Для доказательства этой теоремы достаточно заметить, что
из ограниченности последовательности {zn} вытекает ограничен-
ограниченность последовательностей {xj и {yj, где zn = xn + iyn, затем
применить теорему Вейерштрасса для последовательностей дей-
действительных чисел и воспользоваться теоремой 1.
Рассмотрим свойства последовательностей комплексных чи-
чисел, связанные со свойствами последовательностей модулей и
аргументов этих чисел.
1. Из определения предела последовательности и неравенства
I IzJ — lal I «? |zB — a\ (см. A5), § 1) вытекает следующее
свойство:
если lira zn = а, то lim | zn \ t= | а |.
П-»оо 71-»оо
2. Достаточным условием сходимости последовательности
комплексных чисел является следующее условие. Пусть zn =
= rnei4>n, где г„ = | zn |, cpn = arg zn. Если lim rn = р и lim ф„=
71 -*оо 71—»оо
= а, то lim zn = peia.
П-»оо
Это свойство вытекает из формулы zn = г„ cos фв + irn sin фв
и теоремы 1.
2. Расширенная комплексная плоскость. Понятие «бесконеч-
«бесконечность» вводится с помощью следующего определения.
Определение. Последовательность комплексных чисел
{zn} называется сходящейся к бесконечности,
lim zn = oo, F)
П-»оо
если
lim 12„ | = оо. G)

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 21
Это определение формально совпадает с соответствующим
определением для действительных чисел, так как соотношение
?7) означает, что для любого R > 0 существует такой номер N,
что для всех п>N выполняется неравенство
1*»1>Я. (8)
Для бесконечно больших последовательностей комплексных
чисел справедливы следующие свойства.
1. Если zn Ф 0, п = 1, 2, ..., то lim zn = оо тогда и только тог-
тогда, когда |lim — = 0.
n-»oo zn
2. Если lim zn = оо и lim Z,n = а Ф оо, то Ит (г„ + ?„) = оо
и Нт — = 0.
3. Если lim ги = оо и Нт ?п = а =/= 0, оо, то lim (znt,n) = оо
и lim-^- = оо.
Рассмотрим геометрический смысл соотношения G). Нера-
Неравенство (8) означает, что точка zn лежит вне круга радиуса R
с центром в точке 0 (рис. 9). Это множе-
множество называется окрестностью бесконечно-
бесконечности. Следовательно, точка z = °° является ^?fc^ n
пределом последовательности izn}, если в
любой окрестности точки z — °° содержатся
все члены этой последовательности, за ис-
исключением их конечного числа.
Таким образом, «числу» z = °° ставится
в соответствие символическая бесконечно
удаленная точка. Комплексная плоскость, рис g
дополненная бесконечно удаленной точкой,
называется расширенной комплексной плоскостью. Приведем
геометрическую интерпретацию расширенной комплексной пло-
плоскости.
Рассмотрим сферу 5, касающуюся комплексной плоскости в
точке 0 (рис. 10). Обозначим через Р точку сферы S, диамет-
диаметрально противоположную точке 0. Каждой точке z комплексной
плоскости поставим в соответствие точку Л/, которая является
точкой пересечения сферы S с отрезком, соединяющим точки г и
В (рис. 10). Ясно, что при этом последовательности {г„}, сходя-
сходящейся к бесконечности, соответствует последовательность точек
сферы 5, сходящаяся к точке Р. Поэтому точке г = оо поставим
в соответствие точку Р.
Такое соответствие между точками расширенной комплекс-
комплексной плоскости и точками сферы 5 является взаимно однознач-

22 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
ным. Оно называется стереографической проекцией, а сфера S
называется сферой Романа.
Комплексные числа (включая z = <») можно изображать точ-
точками сферы Римана. При этом сходящиеся последовательности
комплексных чисел изображаются на сфере Римана сходящимися
последовательностями точек.
Рис. 10
При стереографической проекции окружности переходят в
окружности, угол между пересекающимися кривыми на плоско-
плоскости равен углу между образами этих кривых на сфере Рима-
Римана [15].
Замечание. Понятия суммы, произведения и т. п. для
комплексного числа z и символа <ж> не определены, т. е. записи
z + оо, z • оо, то + оо и т. п. не имеют смысла. Однако употребля-
употребляются обозначения вида:
(—оо, +оо)—действительная ось,
(—г'оо, +joo)—мнимая ось,
(а — too, а + joo) — прямая Re z = a,
($i — °°, pi + оо) — прямая Imz = [i и т. п.
Теорема. Расширенная комплексная плоскость компактна,
т. е. из любой последовательности комплексных чисел можно
выделить сходящуюся (может быть, к бесконечности) подпосле-
подпоследовательность.
Доказательство. Если последовательность {zn} ограни-
ограничена, то из нее можно выделить сходящуюся подпоследователь-
подпоследовательность по теореме Вейерштрасса. Бели же последовательность
(г„) неограничена, то для любого целого к > 0 существует но-
номер пк такой, что I Zn. I >> к. Следовательно, lira гпъ = оо.

§ 2. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 23
3. Ряды.
Определение. Ряд
2 ч (9)
ft=l
называется сходящимся, если сходится последовательность его
п
частичных сумм sn = 2 z*. При этом предел s последователь-
оо
ности {sn} называется суммой ряда (9): s = 2 zft«
ft=i
Ряд (9) называется абсолютно сходящимся, если сходится
оо
РЯД 2 | Zft I-
Таким образом, исследование сходимости ряда сводится к ис-
исследованию сходимости последовательности его частичных сумм.
В частности, из свойств сходящихся последовательностей выте-
вытекают следующие свойства:
00
1. Для того чтобы ряд 2 zh сходился, необходимо и доста-
точно, чтобы сходились ряды 2 xh и 2 Vhf. где zft = a;ft + ii/ft.
При этом
0U ОО ЭО
S7 _ У -у. I * У „
zh~~ Zj xh "Г I jLt J/ft-
оо Ой
2. Если ряд 2 zk сходится, то ряд 2 azh-> где а — комплекс-
комплексное число, также сходится и
оо Ой
ft=l ft=l
ОО ОО ОО
3. Если ряды 2г4и 2 ?ь сходятся, то ряд 2 (Ч + ?л) так-
также сходится и
оо оо оо
(zh т few — Zj zft + Zj feft»
00 00
4. Если ряды 2 zft И 2 ?fc сходятся и их суммы соответ-
ft=i ft=i
оо / ft \
ственно равны s и о, то ряд 2 2 zn?fc-n+i также сходится
fc=l \n=i /
и его сумма равна so.

24 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
5. Критерий К о ш и. Ряд 2 zft сходится тогда и только
тогда, когда для любого е > 0 существует такой номер N, что
для всех п>N и rn&* n>N выполняется неравенство
h=n
OO
6. Для сходимости ряда 2 %h необходимо, чтобы lim Zk = 0.
оо oo
7. Если ряд 2 I zh I сходится, то ряд 2 zh также сходится.
fe=i ft=i
§ 3. Кривые и области на комплексной плоскости
1. Комплекснозначные функции действительного переменно-
переменного. Пусть функция z== a(t) определена на отрезке а «^ t sg ?$ и
принимает комплексные значения. Эту комплекснозначную
функцию можно представить в виде a(t) — %(t)+iif\(t), где
|B) = Reo(?) и r)B)=Imo(?) — действительные функции. Мно-
Многие свойства действительных функций естественным образом пе-
переносятся на комплекснозначные функции.
Предел функции a(t)— l(i)+ щ(*) определяется формулой
lim a (t) = lim?(i) + nimii(J). A)
Таким образом, предел lim a (t) существует, если существуют
о
пределы lim|(f) и Нпат](*).
Это определение эквивалентно следующему: lim a (?) =a, ec-
ли для любого е >0 существует такое б > 0, что \a(t)~ а\<г
для всех t таких, что \t — ta\ < б, t?=t0.
Это же определение можно сформулировать с помощью пре-
предела последовательности: lima(i) = а, если lima(?n) = a для
любой последовательности {?„} такой, что lim tn = f0, in =?*= t0 при
n=l, 2, ...
Пределы комплекснозначных функций обладают следующими
свойствами: если существуют пределы lima! (t) = at и lim a2 (f) =
= a2, то существуют пределы
lim К (t) ± a2 @1 = «

§ 3. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ 25
а если аг Ф 0, то и
Аналогичны определения и свойства пределов lim a(t) и
lim а(?).
t-»to+o
Введем понятие непрерывности комплекснозначной функции.
Функция о (?) = !(?)+ JT)(i) называется непрерывной в точке
(или на отрезке), если в этой точке (на отрезке) непрерывны
функции l(t) и T\(t).
Это определение эквивалентно следующему: функция a(t)
называется непрерывной в точке U, если limo(?) = а(?„), т. е.
'-'о
если для любого е > 0 существует такое б > 0, что \o(t) — a(ta)\ <
< е для всех t таких, что \t — to\ < б.
Ясно, что сумма, разность и произведение непрерывных ком-
комплекснозначных функций являются непрерывными функциями,
а частное двух непрерывных комплекснозначных функций яв-
является непрерывной функцией в тех точках, в которых знамена-
знаменатель не равен нулю. Отметим также, что комплекснозначная
функция a(t), непрерывная на отрезке [а, {$], ограничена на этом
отрезке: \a{t)\ <,M для некоторого ?>0 и всех te[a, p].
Производная функции o(f) = !(?) + щ{?) определяется фор-
формулой
Следовательно, производная о' (t) существует, если существуют
производные ?'(?) и r\'(t).
Это определение эквивалентно определению производной с
помощью формулы
o'(t)=lim
Нетрудно проверить, что если существуют производные O"i [t) и
a2 (t), то существуют производные
а если <т2 @ ^ 0, то и
/ \' ' '
Однако не все свойства дифференцируемых действительных
функций переносятся на комплекснозначные функции. В част-
частности, для комплекснозначных функций теоремы Ролля и Ла-
гранжа, вообще говоря, неверны.

26 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Пример 1. Функция a(t) = e" дифференцируема на отрез-
отрезке [0, 2я], a{t)=ieu, lo'(f)l=l при всех t^[0, 2л]. Таким
образом, о' (t) не обращается в нуль ни в одной точке отрезка
[О, 2а], хотя о@)«=оBя)= 1. П
Интеграл от функции <s{t) = ?(?) + Щ&) определяется фор-
формулой
D)
Это определение эквивалентно определению интеграла с по-
помощью предела интегральных сумм:
5 п
E)
где
(ft) ,
Очевидно, комплекснозначная функция, непрерывная на от-
отрезке, интегрируема на этом отрезке. Имеют место формулы:
1. ( аа (t)dt = a \ a(t) dt, a = const.
a
¦ В P P
2. j [ax (t) ± a2 (t)] dt = J Ol (i) d* ± j a2 (?) dt.
a a a
a P
4. ja(t)df = ja(;,
a a б
Имеет место формула Ньютона — Лейбница
5. J a (i) d? = Ф ф) — Ф (а), где функция Ф (i) — первообразная
a
функции a(t), т. е. Q?'{t) = o(t), a<t ^ p.
6. Если комплексноэначная функция с(?) интегрируема на
отрезке ta, И, то функция |о(г)| также интегрируема на этом
отрезке и имеет место неравенство
Р
j a (i)
\a(t)\dt. F)
a

§ 3. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ
27
Доказательство. Интегрируемость функции I о (?) I сле-
следует из свойств интегрируемых действительных функций. Дока-
Докажем неравенство F). Используя неравенство A6) § 1, имеем
2 o(xk)Ath
n
;2|a<
h=i
Отсюда, переходя к пределу при Д -*¦ О, где А = max Affc, полу-
W
чаем формулу F).
Следствие. Из формулы F) вытекает неравенство
Р
i — a) max | a(t)\,
Заметим, что для комплекснозначных функций теорема о
среднем неверна.
Пример 2. ] extdt = 0, а функция е" не обращается в
о
нуль ни в одной точке отрезка [0, 2я]. []
Замечание. Комплекснозначную функцию o(t) =
+ iy\(t) можно рассматривать как вектор-функцию (!(?),
Рассмотренные выше определения предела, непрерывности и про-
производной для функции a(t) являются обычными определениями
соответствующих понятий для вектор-функции, сформулирован-
сформулированными в терминах комплексных чисел.
Комплекснозначная функция z = a(t), а<?<р\ отображает
отрезок [а, р] на некоторое множество точек комплексной плос-
плоскости, которое можно рассматривать как «график» этой функ-
функции. В частности, если функция z = a(t) непрерывна, то ее «гра-
«графиком» является некоторая кривая на комплексной плоскости.
2. Кривые. Пусть на конечном отрезке а < t < fi задана не-
непрерывная комплекснозначная функция z = a(t). Тогда говорят,
что задана непрерывная кривая*)
3 — 0(С), 'ОС ^ X ^= р, 10 I
а уравнение (8) называется параметрическим уравнением этой
кривой. При этом, если Zi = o(?1) и z2 = o(?2), где а^^<?2<Р,
то говорят, что точка z2 кривой (8) следует за точкой z^ (или:
точка z4 предшествует точке z2). Таким образом, кривая (8)
является упорядоченным множеством точек комплексной плоско-
плоскости. Другими словами, кривая (8) всегда считается ориентиро-
ориентированной в направлении возрастания параметра t. Направление
движения точки z вдоль кривой (8), соответствующее возраста-
*) В дальнейшем для краткости слово «непрерывная» опускается.

28 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
нию параметра t, называется положительным. Точка а = а (а)
называется началом (или начальной точкой) кривой (8), а точ-
точка & = о(р)—ее концом (или конечной точкой).
Пусть кривая f задана уравнением (8). Тогда на комплекс-
комплексной плоскости точки z = a(t), a<?<;?$, образуют некоторое мно-
множество М(ч). Это множество отличается от самой кривой, во-
первых, тем, что кривая является упорядочен-
о э- о ным множеством точек.
~? ? Пример 3. Кривая z = cosi, n<i<2jt,
рис ^ является отрезком [—1, 1], ориентированным в
направлении от точки г = —1 к точке z = l
(рис. И).П
Пример 4. Кривая а = е'*, 0=^?*?я,
является полуокружностью Ы =1, Im z ^ 0,
-/ - ^ ориентированной против часовой стрелки
Рис. 12 (рис. 12). []
Второе отличие кривой ч от множества
состоит в том, что различным точкам кривой может отве-
отвечать одна и та же точка плоскости: если a(ti) = a(t2) при ti?=t2,
то точки zt = a(tt) и z2 = a(t2) являются различными на кривой ^i
но как точки плоскости они совпадают. Такие точки называются
точками самопересечения кривой (8). Исключением является
совпадение начала и конца кривой: если о(а) = о(Р), то эта точ-
точка не считается самопересечением кривой (8).
Кривая, не имеющая точек самопересечения, называется про-
простой кривой. Кривая, у которой начало и конец совпадают, на-
называется замкнутой кривой.
Кривые в примерах 3 и 4 являются простыми незамкнутыми
(рис. 11 и 12).
Пример 5. Кривая z = е", 0 < t < 2я, является окруж-
окружностью Ы = 1, ориентированной против часовой стрелки, с на-
началом и концом в точке z = 1. Это пример простой замкнутой
кривой (рис. 13). []
Пример 6. Кривая z = o(f), 5~^?^2л, где
<*(*)=
является незамкнутой с самопересечением в точке z = 1
(рис.14). При этом точки zt = a@) и га = аEя/3) являются
различными на данной кривой, хотя как точки плоскости они
совпадают: zt = z2 = 1. П
Пример 7. Кривая z = cos t, —л < t < я, является отрез-
отрезком 1—1, 1], проходимым дважды: сначала от точки z — —l к

g з. кривые и области
29
точке z = l и затем от точки z = l к точке z = —1 (рис. 15).
Это пример замкнутой кривой, у которой каждая точка интер-
интервала (—1, 1) является точкой самопересечения. []
Замечание. Две кривые z = Oi(t), ai^t^fyi и z = o2(t),
а2 < т =? р2 считаются совпадающими, если существует действи-
действительная функция t = s (т), непрерывная и монотонно возрастаю-
возрастающая на отрезке а2=?т«?р2, такая, что s(as) = ai, s(p2)=Pi и
(((
(())() рр
Совпадающим кривым, очевидно, отвечает одно и то же мно-
множество точек плоскости.
Ясно, что уравнение любой кривой z = ai(t), a^f^P, мож-
можно записать в виде z = 02(t), 0<t^1, например, с помощью
Рис. 13
-7
Риа 15
замены t = a + (ji — а)т; a1(?) = 0i(a + (p — а)т) = о2(т). Таким
образом, не теряя общности, уравнение кривой можно записы-
записывать с помощью комплекснозначной функции, определенной на
отрезке [0, 1].
Пример 8. Уравнение кривой, рассмотренной в примере 3,
можно записать в виде z = t, — 1<К1, или в виде z = 2t — 1,
Рассмотрим кривую ¦у> заданную уравнением z = a(t), a<
^ t ^ р. Обозначим через ¦у кривую, полученную из кривой ^
изменением ориентации на противоположную. Тогда уравнение
кривой if можно записать в виде z = o(—t), —^=^?=^— а. Часть
кривой "f, проходимая от точки Zi = a(?1) до точки z2 = a(t2), где
ti и U принадлежат отрезку [а, р], называется дугой кривой ^.
Пусть a == t0 < ti < t2 < ... < tn = p и Tf* — ДУга кривой f, про-
проходимая от точки zk-i==a(tk-i) до точки zt = a(fA) (A; = l, 2, ...
..., га). Тогда будем говорить, что кривая ч разбита на дуги
Ti> Та, • • •, Т» илм кривая f состоит из дуг уи ¦уг, • •., "in- Этот
факт будем обозначать так: f = fifz • • • Т«- Ломаная с последова-
последовательными вершинами в точках zh = a(th), А; = 0, 1, ..., га, назы-
называется ломаной, вписанной в кривую f (рис. 16).
Рассмотрим совокупность всех ломаных, вписанных в кривую
f. Если множество длин этих ломаных ограничено, то кривая f
называется спрямляемой, а точная верхняя грань этого множе-
множества называется длиной кривой ^.

30 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Кривая называется гладкой, если ее уравнение можно за-
записать в виде z = a(t), а =??=??, где функция a(t) имеет на от-
отрезке [а, ?$] непрерывную и отличную от нуля производную
a'(t)?=O, причем, если кривая
замкнута, то должно выполняться
равенство а'(а) = о"'(Р).
Кривая называется кусочно
гладкой, если ее можно разбить
на конечное число гладких кри-
кривых. Простейшим примером ку-
кусочно гладкой кривой является
ломаная.
Рис. 16 Уравнение кусочно гладкой
кривой можно записать в виде
z = o(t), a < t =? р, где функция a(t) непрерывна и кусочно
непрерывно дифференцируема на отрезке [a, [J] и на этом от-
отрезке a'(t)?=O. Всюду в дальнейшем уравнение кусочно глад-
гладкой кривой будем записывать только с помощью таких функций.
Геометрический смысл производной комплекснозначной функ-
функции, состоит в следующем: если кривая ^ задана уравнением
z = a(t), <x<t<:$, и в некоторой точке иe [a, [J] существует
а'^^О, то кривая "{ в точке zo — a(to) имеет касательный век-
вектор a'(t0) (см. замечание на с. 27). Следовательно, кусочно
гладкая кривая во всех точках имеет касательную, кроме, быть
может, конечного числа точек, в которых существует предельное
положение касательной слева и справа. Эти исключительные
точки называются угловыми точками кривой.
Из курса математического анализа известно, что кусочно
гладкая кривая f' z = a(t), a<?<?$, спрямляема и ее длина
1( выражается формулой
l(y)=\\a'(t)\dt,
a
так как \а' (t)\dt = dl— элемент длины кривой у.
Всюду в дальнейшем будем рассматривать только кусочно
гладкие кривые.
Введем понятие неограниченной кривой. Пусть на луче t > a
задана непрерывная комплекснозначная функция z = о (t) и
о(+°°) = °°, т. е. lim a(t)=oo. Тогда говорят, что задана не-
ограниченная кривая
z = a(t), a<i<oo, (9)
а уравнение (9) называется параметрическим уравнением этой
кривой. Неограниченная кривая (9) называется кусочно глад-

§ 3. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ 31
кой, если для каждого конечного [J > а кривая z = a(t), a^t^$
является кусочно гладкой.
Аналогично определяются неограниченные кривые в случае,
когда параметр t пробегает полуось — °°<t^a или всю число-
числовую ось.
Уравнение неограниченной кривой (9) можно записать в виде
г = Ci (т), ai«?T<pi, где d (т) -*¦ оо при t-*-($i, Pi —конечное число.
Для определенности уравнение такой кривой будем записывать только в
виде (9).
3. Области. Множество D точек расширенной комплексной
плоскости называется областью, если это множество
открытое, т. е. для каждой точки, принадлежащей D, суще-
существует окрестность этой точки, принадлежащая D;
связное, т. е. любые две точки, принадлежащие D, можно со-
соединить кривой, быть может, неограниченной, все точки которой
принадлежат D.
Граничной точкой области D называется точка, в любой окре-
окрестности которой есть точки, принадлежащие Т), и точки, не при-
принадлежащие D. Множество граничных точек области называется
аге'% о Ка+е
Рис. 17 Рис. 18
границей этой области. Область D, дополненная всеми своими
граничными точками, называется замыканием области D и обо-
обозначается D.
Всюду в дальнейшем будем рассматривать только такие
области, границы которых состоят из конечного числа кусочно
гладких кривых и изолированных точек.
Кроме того, будем считать, что все граничные кривые обла-
области D ориентированы так, что при движении точки вдоль гранич-
граничной кривой в направлении этой ориентации область D остается
слева. Поясним это на примерах.
Пример 9. Границей области 0<!г — а\<е, е >0, явля-
йтся точка z — a и окружность \z — a\ = е, ориентированная про-
против часовой стрелки и проходимая один раз (рис. 17). Эту
область будем называть так: «.круг \z — a\ < г с выколотой точ-
точкой а» или «проколотая окрестность точки a». [J
Пример 10. Область Izl < 1, 0<argz<2jt будем изобра-
изображать, как указано на рис. 18, и называть так: «круг Ы < 1 с

32
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
разрезом по отрезку [0, 1]». Граничная кривая Г этой области
состоит из следующих частей: отрезок [0, 1], проходимый от точ-
точки z = l до точки z = 0— нижний берег разреза; отрезок [0, 1],
проходимый от точки z = 0 до точки z = 1 — верхний берег раз-
разреза; окружность Ы = 1, проходимая против часовой стрелки
один раз. Отметим, что каждой точке полуинтервала @, 1] со-
соответствуют две различные точки гра-
граничной кривой Г. []
Пример 11. Граница Г области
1 < \z\ < 2 состоит из двух кривых:
r = rtur2, где Г4 — окружность Ы =
= 2, ориентированная против часовой
стрелки, Га — окружность Ы = 1, ори-
ориентированная по часовой стрелке
(рис. 19). О
Область D называется ограничен-
ограниченной, если существует такой круг К:
\z\ <R, что D<=-K. Примерами ограни-
ограниченных областей являются области на рис. 17—19.
Пример 12. Следующие области являются неограниченны-
неограниченными (рис. 20):
а) Ы>1;
б) верхняя полуплоскость Imz>0 с разрезом по отрезку
Ю, »];
в) полоса llmz|<l;
Рис. 19
о
^^
Рис. 20

8 3. КРИВЫЕ И ОБЛАСТИ 33
г) полуполоса llmz|<l, Rez>0 с разрезом по отрезку
[1, 2]. Q
Область D на комплескной плоскости называется односвяз-
односвязной, если любую замкнутую кривую, лежащую в D, можно не-
непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области D. Не-
Непрерывную деформацию кривой достаточно понимать наглядно
геометрически (рис. 21), но можно дать и строгое аналитическое
определение (см. п. 4 § 3).
Примерами односвязных областей являются области на
рис. 18 и 20,6, в; неодносвязными являются области на рис. 17,
19, 20,з.
Определение односвязной области на расширенной комплекс-
комплексной плоскости такое же, как и на нерасширенной комплексной
плоскости, только непрерывную деформацию кривой в точку
z = оо нужно рассматривать на сфере Римана.
Пример 13. Следующие области расширенной комплексной
плоскости являются односвязными:
а) Ы>1 (рис. 20,я);
б) вся расширенная комплексная плоскость;
в) гФа — вся расширенная комплексная плоскость с выко-
выколотой точкой а. (П
Пример 14. Следующие области являются неодносвязными:
а) гФ1, i — вся расширенная комплексная плоскость с вы-
выколотыми точками 1 и i;
б) вся расширенная комплексная плоскость с разрезами по
отрезкам [0, 1] и [i, 2{\;
в) К Ы <°°. Q
Для областей с кусочно гладкими границами имеет место
следующее свойство: граница односвязной области на расширен-
расширенной комплексной плоскости состоит только из одной замкнутой
кривой, может быть неограниченной, или только из одной точки,
или не имеет ни одной точки — вся расширенная комплексная
плоскость.
Имеет место
Теорема Жордана. Простая замкнутая непрерывная
кривая разбивает расширенную комплексную плоскость на две
односвязные области.
Для ограниченной простой замкнутой кривой эти области бу-
будем называть так: внутренность кривой — та из двух областей,
которая не содержит бесконечно удаленную точку, и внешность
кривой — вторая область. Будем говорить, что простая замкнутая
кривая ч ориентирована положительно, если при движении точки
вдоль y в направлении этой ориентации внутренность у остается
слева.
Ясно, что область D на комплексной плоскости является од-
односвязной тогда и только тогда, когда внутренность любой про-
3 Ю. В. Сидоров и др.

34
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
стой замкнутой кривой, лежащей в D, целиком принадлежит
области D. Образно односвязную область можно представлять
как лист бумаги произвольной формы, может быть, с разрезами
по краям, но без «дырок» внутри.
4. Гомотопные кривые. Непрерывную деформацию кривой можно пред-
представить наглядно геометрически (рис. 21, 22). Строгое аналитическое
понятие этого определения вводится следующим образом.
Рис. 21
Рис. 22
Пусть кривые •% z = а0 (t), O^f^l, и ^ г = ffi @> 0 ^ ? < 1,
лежат в области D и имеют общее начало в точке а = с0 @) = с, @) и
общий конец в точке Ъ = а0 A) = Ci A).
Будем говорить, что кривую ft можно непрерывно деформировать в
кривую "/!, оставаясь в области D, если существует функция a (i, s), не-
непрерывная в квадрате Osgrf^l, O^s^l и удовлетворяющая следую-
следующим условиям:
1) при каждом фиксированном »е [0, 1] кривая f,: z = a (?, s), 0^
sg t <; 1, лежит в области D;
2) o(f, 0) = co(«), a(t, 1) ЕЛ|A),0<(<1;
3) О @, s) s а, о A, s) г 6, 0 г? s < 1.
В частности, если кривая fo замкнутая (а = Ь) и а((, 1) аа, 0<(^
<; 1, то будем говорить, что кривую чо можно непрерывно деформировать
в точку, оставаясь в области D.
Кривые fo и Tfi называются гомотопными в области D (обозначение:
То » Ti вД), если кривую "уо можно непрерывно деформировать в кривую
Ть оставаясь в области D (рис. 22). Замкнутая кривая f называется
гомотопной нулю в области D (обозначение: ч « 0 в J9), если эту кривую
можно непрерывно деформировать в точку, оставаясь в области D
(рис. 21).
Имеют место следующие свойства:
1. В односвязной области любые две кривые с общим началом
и общим концом гомотопны между собой, а любая замкнутая кривая
гомотопна нулю.
2. Пусть кривые f = */1Т2 и ¦[ = Y1T2 лежат в области D. Тогда, если
ti да Tfi B D и Tfs » Тг в /?, то т » 1 в D.
3. Кривая ТТ гомотопна нулю в любой области, содержащей кри-
кривую y-

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 35
§ 4. Непрерывные функции комплексного переменного
Пусть на множестве Е комплексной плоскости z определена
комплекснозначная функция w — f(z), т. е. каждой точке z =
= х + iy ^E поставлено в соответствие комплексное число w =
= u + iv. Эту функцию можно представить в виде f(z) = u(x, у) +
+ iv(x, у), где и(х, y) = Ref(x + iy), v(x, y) = lmf(x +iy). Та-
Таким образом, комплекснозначную функцию комплексного пере-
переменного можно рассматривать как пару действительных функ-
функций двух действительных переменных.
1. Предел функции. Пусть точка а является предельной точ-
точкой множества Е, т. е. любая окрестность точки а содержит бес-
бесконечное число точек множества Е. Число А называется преде-
пределом функции f(z) при z^-a no множеству Е, если для любого
е>0 существует такое 6 = 6(е)>0, что для всех z^E, удов-
удовлетворяющих условию 0<[z — я|<б, выполняется неравенство
l/(z)— A\ < е. При этом пишут
lim f(z) = A
E
или /(z)-*¦ А при г-»-й,ге?.
Данное определение предела функции эквивалентно следую-
следующему: lim f(z) = A, если для любой последовательности {zn},
, гпфа (ге = 1, 2, ...), сходящейся к а, последовательность
{/(zn)J сходится к А, т. е. lim f(zn) = A.
П-»оо
В дальнейшем для краткости вместо lim f(z) часто будем
г->а,геЕ
писать lim/(z).
Из теоремы 1 § 2 вытекает, что существование предела
lim/(z), где f(z) = u(x, y)+iv(x, г/), a = a+i^, равносильно
существованию двух пределов lim и (х, у) и lim v (ж, у), причем
зс-»а зс-»а
lim / (z) = lim и (х, у) + i lim v (x, у),
z-* а х-*а, ж-»а
Пределы функций комплексного переменного обладают таки-
такими же свойствами, как и пределы функций действительного
переменного: если существуют пределы lim / (z) = А и lim g (z) =
z->a z->a
- В, то lim [/ (z) ± g (z)] = A ± B, lim [/ (z) g (z)] = AB, lim Ш =
z->a z->a z-*a ° ( '
=4 E^°)-
В дальнейшем будут использоваться символы ~, о, О. Зна-
Значение этих символов разъясняется в приводимой, ниже таблице,
3*

36
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
где функции /(z) и g(z) определены на множестве Е, а — пре-
предельная точка множества Е.
Формула /(z) = o(#(z)) (z->a, z<=?) означает, что функ-
функция /(z) есть бесконечно малая по сравнению с функцией g{z)
при г->-я, z^E. В частности, запись f(z)—o(i) (z -> я, z eE)
означает, что /(z)—бесконечно малая при г->я, z<=E.
Аналогично, формула f{z) — O(g(z)) (z^a, z^E) означает,
что функция /(z) ограничена по сравнению с функцией g(z)
Формула
/(*) ~g(z) (z->a, ze=E)
f(z) _0 (*(*)) (z-+a, ze=E)
f(z)=O(g(z)) (ss?)
f(z)=O(g(z)) (,->«,.e?)
Разъяснение
Отношение / (z)/g (z) ограничено
на множестве
E: \f{z)/g(z)\^M, !SS
Отношение / (z)/g (z) ограничено
в пересечении некоторой окрест-
окрестной точки а с множеством Е
при z ->- я, ге?. В частности, запись f(z) = O(l) {z^-a, z^E)
означает, что функция f(z) ограничена при z-+a, z^E.
Формулы вида /(z)~g(z) (z->~a, z^E) называются асимп-
асимптотическими формулами, а формулы вида f(z) — o(g(z)) (z^>-a,
z^E), i{z) =0{g(z)) (z-*¦ a, z^E) называются асимптотиче-
асимптотическими оценками.
Ясно, что свойства символов ~, о, О для функций комплекс-
комплексного переменного такие же, как и для функций действительного
переменного. Часто вместо записи (z -»- a, z^E) будем писать
коротко (z-+a).
Пример 1. Пусть m и п — целые числа, причем тп > п.
Тогда zm = o(zn) (z -*¦ 0); zn = o{zm) (z -^ »); zn = O(zm) (z e E,
E: \z\>l). []
Пример 2. Пусть Р„(z) = aozn + a^"-1 + ... + an, Qm(z) =
= bozm + ^z-4 +... + Ът, причем Яо^О, Ь„=^0. Тогда Pn{z)~
~ aazn (z -*- oo), (?m(z)~ bozm (z^- oo). При этом, если m>«, то
^()/?(z) = o(l) (z-*-oo), a если m = n, то i'n(z)/Qm(z)~

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 37
2. Непрерывность функции на множестве. Пусть функция
/(z) определена на множестве Е и точка а принадлежит множе-
множеству Е. Функция /(z) называется непрерывной в точке а, если
для любого е > 0 существует такое б > 0, что для всех z^E,
удовлетворяющих условию |z —я|<6, выполняется неравенство
1/(*)-/(а)Кв.
Если точка а является предельной точкой множества Е, то
непрерывность функции /(z) в точке а означает, что
lim/(z) = /(«).
z-*a
Это определение эквивалентно следующему: функция /(z) =
= и(х, y)+iv{x, у) называется непрерывной в точке а = а + Щ,
если функции и(х, у) и v(x, у) непрерывны в точке (а, (}).
Функция f(z) называется непрерывной на множестве Е, если
она непрерывна в каждой точке этого множества.
Ясно, что сумма, разность и произведение непрерывных
функций комплексного переменного являются непрерывными
функциями, а частное двух непрерывных функций /(z) и g(z)
является непрерывной функцией в тех точках, в которых знаме-
знаменатель g(z) не равен нулю.
Имеет место также непрерывность суперпозиции непрерыв-
непрерывных функций: если функция /(z) непрерывна в точке а и функ-
функция F(?) непрерывна в точке ? = /(я), то функция F(f(z)) не-
непрерывна в точке а.
Пример 3. Функции z, Rez, Imz, z, \z\ непрерывны во
всей комплексной плоскости. []
Пример 4. Многочлен Р (z) = aozn + вцг" + ... + я„ с комп-
комплексными коэффициентами является непрерывной функцией во
всей комплексной плоскости. []
Р (z)
Пример 5. Рациональная функция R(z) = ^rj-r, где P(z),
Q (z) — многочлены, непрерывна во всех точках комплексной пло-
плоскости, в которых Q(z)?"O, []
Введем определение: функция /(z), определенная на множе-
множестве Е, называется равномерно непрерывной на множестве Е,
если для любого е > 0 существует такое б > 0, что
для любых г, е Е, z2<= E, удовлетворяющих неравенству
Ui-Z2|<6.
Так как равномерная непрерывность на множестве Е функ-
функции f(z)=u(x, y)+iv(x, у) равносильна равномерной непрерыв-
непрерывности на множестве Е двух функций и(х, у) и v(x, у), то из
курса математического анализа следует, что функция /(z), не-
непрерывная на замкнутом ограниченном множестве Е, равномер-

38 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
но непрерывна на этом множестве. (Напомним, что множество
Е называется замкнутым, если все предельные точки множества
Е принадлежат этому множеству.)
В дальнейшем часто будут рассматриваться функции, непре-
непрерывные в области и непрерывные в замыкании области. Имеют
место следующие утверждения:
1. Непрерывная в области D функция равномерно непрерыв-
непрерывна в любой ограниченной области Du такой, что Di^D.
2. Если функция /(z) равномерно непрерывна в ограничен-
ограниченной области D, то ее можно доопределить в граничных_ точках
области D так, что получится функция, непрерывная в D.
3. Последовательности и ряды. Последовательность (/n(z)}
называется равномерно сходящейся на множестве Е к функции
/(z), если для любого е>0 существует такой номер N, что не-
неравенство
1/„0О-/(*)Ке
выполняется для всех п > N и всех z^E.
об
Ряд 2 ?*(z) называется равномерно сходящимся на множе-
стве Е, если последовательность его частичных сумм Sn (z) =
n
= 2 gk (z) сходится равномерно на множестве Е.
Справедливы следующие утверждения:
1. Критерий Коши (для последовательностей).
Для того чтобы последовательность {/„(z)} равномерно сходи-
сходилась на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы для лю-
любого е > 0 существовал такой номер N, чтобы для всех п>N,
m>N и всех z^E выполнялось неравенство
1/.(*)-/»(*)!< в.
2. Критерий Коши (для рядов). Для того чтобы ряд
оо
2 8h (z) сходился равномерно на множестве Е, необходимо и
п^—л.
достаточно, чтобы для любого е > 0 существовал такой номер N,
чтобы для всех п>N, m^ n>N и всех z^E выполнялось не-
неравенство
fc=n
3. Признак Вейерштрасса. Если члены ряда 2 gh(z)
удовлетворяют оценке lgft(z)l<ck Зля ecex.z&E, k=i, 2, ...
оо оо
..., а числовой ряд 2 <?ь сходится, то ряд 2 ?йB) сходится
равномерно на множестве Е,

§ 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 39
4. Пусть / (z) = lim /„ (z), где /„ (z), п = 1, 2, ...,— непрерыв-
п-»оо
кые функции на множестве Е. Если последовательность {/„(z)}
сходится равномерно на множестве Е, то функция f(z) также
непрерывна на множестве Е.
5. Пусть gh(z), А = 1, 2, ...,— непрерывные функции на мно-
00
жестве Е. Если ряд 2 S^i2) сходится равномерно на множе-
00
стве Е, то его сумма S{z) = 2 #fe(z) также непрерывна на мно-
жестве Е.
4. Непрерывность функции на кривой. Пусть дана кривая
у: z = a(t), a^ t^ (}, и пусть на отрезке а<?<^ задана комп-
лекснозначная функция w = г|з (?). Эту функцию можно рассмат-
рассматривать как функцию на кривой у: каждой точке zt~a(t) кри-
кривой f поставлено в соответствие комплексное число w = ty(t).
Таким образом, функция определена на кривой f, если задана
пара функций:
z = a(t), w = ${t), a^t^$. A)
Если f — простая незамкнутая кривая, то соотношения A)
определяют функцию w — f(z), однозначную на множестве М
точек плоскости z = a(t), a ^ t ^ (}, так что w = f(a(t))= ()
В общем случае соотношения A) также определяют функ-
функцию w — f(z), но, быть может, неоднозначную как функцию
точки плоскости: если кривая у имеет самопересечение o(ii) ==
= о(?2), ti.?=ti., то в точке z = o(*i) = o(?2) функция f(z) может
иметь два различных значения. Однако и в этом случае вме-
вместо записи A) для краткости будем писать w = /(z) = /(o(i)),
a sS t «s p.
Введем определение: функция w = ty(t), a^t^$, называ-
называется непрерывной на кривой 4: z — a(t), a«??^(}, если функ-
функция w = ^(t) непрерывна на отрезке as??*Sfl, причем, если
кривая у замкнутая, должно выполняться равенство i|)(a) = г|)((}).
Имеют место следующие утверждения:
1. Если функция /(z) непрерывна в области D, то она непре-
непрерывна на каждой кривой, лежащей в области D.
2. Если функция /(z) определена в области D и непрерывна
на каждой кривой, лежащей в области D, то функция f(z) не-
непрерывна в области D.
5. Непрерывность функции в области вплоть до границы.
Пусть а и Ъ — внутренние или граничные точки области D. Рас-
Расстоянием между точками а и Ъ по области D называется ве-
величина

40
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Рис. 23
где 1(у)—длина кривой у. а нижняя грань берется по всем
кривым y> соединяющим точки а, Ъ и лежащим в области D.
Ясно, что Рс(я, Ь)>\а — Ъ\ и рс(я, Ъ)=\а — Ъ\, если отрезок
[я, Ъ] принадлежит области D.
Замечание. Существенно, что если а и Ъ — различные
точки граничной кривой области D, то pD(a, Ь)>0 даже в том
случае, когда а и Ь совпадают как точки плоскости.
Пример 6. Пусть D — круг Ы<2 с разрезом по отрезку
[О, 2] (рис. 23). Тогда pD(-i, i) = 2,
pD(l-i, 1 + i) = 2У2. Если я = 1 — точ-
точка верхнего берега разреза, а 6 = 1-
точка нижнего берега разреза (рис. 23),
то рс(я, b)j=2, pD(a, 0)=l, pD(a, I —
-i)=l + l/2. Q
Рассмотрим ограниченную область
.D, граница которой Г состоит из
конечного числа замкнутых кривых
Г4, Г2, ..., Гп. Пусть функция /(z)
определена в области D и на каждой
граничной кривой ГА, к — 1, 2, ..., п.
Введем
Определение. Функция f(z) называется непрерывной
в области D вплоть до ее границы Г, если для каждой точки я,
принадлежащей области D или границе Г, имеет место равенство
lim /(*) =/(a).
pD(z,a)->0
Заметим, что если граничная точка а не является точкой са-
самопересечения граничной кривой, или если а — внутренняя точ-
точка области D, то
lim f(z) = lim /(z).
Рд(г,а)->0 z->a,zSD
Пример 7. В обозначениях примера 6 имеем:
lim /(z) = lim /(z),
Pp(z,2i)-»0 z-»2i,z(=D
lim /(*)= lim /(z). []
PD(z.0)-»0 z->0,z(=D
Таким образом, если граница Г области D состоит из про-
простых замкнутых кривых, то непрерывность функции в области
D вплоть до границы Г равносильна непрерывности этой функ-
функции в D. Но если граничная кривая области D не является про-
простой кривой, то из непрерывности функции в области D вплоть
до границы, вообще говоря, не следует непрерывность этой функ-
функции в D.

§ 4, НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 41
Пример 8. В области D примера 6 (рис. 23) рассмотрим
функцию /(z) = Vz = r1/VV2, где z^re*, 0<<р<2я, доопреде-
доопределенную в каждой граничной точке а этой области по формуле
f(a)= lim /(г). Эта функция /(г) является непрерывной в
PD(z.a)->0
области D вплоть до границы. В частности, если точка z = х > О
принадлежит верхнему берегу разреза, то
lim / (z) = lim / (z) = / (* + Ю) = Vx.
PljCz.*)-^ z->x, Im z>0
Аналогично, для точки z = x > 0, принадлежащей нижнему бе-
берегу разреза, имеем /(# — Ю) = — Ух._ Следовательно, функция
/(z) не является непрерывной в D — эту функцию нельзя
«склеить» вдоль разреза так, чтобы она осталась непрерыв-
непрерывной. []
6. Показательная, тригонометрические и гиперболические
функции.
Показательная функция. Функция ег для комплекс-
комплексных z = х + iy определяется формулой
е1 = ex+iy = e*(cosy + i sin у).
Следовательно,
Re ег — ех cos у, Im ег = е* sin у.
Из этого определения вытекают следующие свойства функ-
функции ег:
1. Для любых комплексных zv и z2 имеет место равенство
2. Функция ег периодична с периодом 2ni:
3. Функция е" непрерывна во всей комплексной плоскости.
4. Для любого комплексного z — x+,iy имеют место ра-
равенства
5. Функция е* принимает все значения, кроме нуля, т. е.
уравнение е" = А разрешимо для любого комплексного числа
А?=0. Если a = arg А, то все решения уравнения ez = А дают-
даются формулой
z = ln\A\+i(a + 2kn), k = 0, ±1, ±2, ... B)
В частности, если е* = 1, то z = 2kni, к = 0, ±1, ±2, ...
Замечание. Если ег=А, то комплексное число z называ-
называется логарифмом комплексного числа 4^0 и обозначается In A.

42 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Из формулы B) следует, что
In A =ln \A\ -Harg.4.
В частности, lnl = 2fou, ln(—1) = Bк + l)ni, In г = \2к + -у 1 ni
(& — целое число).
Тригонометрические функции. Функции sin z и
cosz для комплексных значений z определяются формулами
sin z = -~ (eiz — е~{г), cos z = -|- (eiz + e~iz). C)
Из этого определения вытекают следующие свойства функ-
функций sin z и cos z:
1. Функции sinz и cosz непрерывны во всей комплексной
плоскости.
2. Функции sin z и cos z принимают все значения, т. е. урав-
уравнения sin z = А и cos z = Л имеют решения для любого комп-
комплексного числа А.
3. Все формулы элементарной тригонометрии, справедливые
при всех действительных значениях х, остаются справедливыми
и при всех комплексных значениях z. Например,
sin2 z + cos2 z = 1 *), sin 2z = 2 sin z cos z,
sin (zj + z2) = sin Zj cos z2 + cos zt sin z2,
cos (zt + z2) = cos zt cos z2 — sin Zi sin z2.
В частности,
а) sin (z + 2я) = sin z, cos (z + 2я) = cos z,
т. е. функции sin z и cos z являются периодическими с перио-
периодом 2я;
б) sin(—z) = — sinz, cos(—z) = cosz,
т. e. sin z — нечетная функция, a cos z — четная функция.
'4. Для любого z = x + iy имеют место неравенства
4-1 еУ- е~У\ <| sinz|<4-(e» + е-»), D)
Докажем неравенства D). Из формулы C) с помощью не-
неравенства треугольника (см. A5), § 1) получаем
¦) Эта формула будет доказана в § 15 (пример 2) другим способом.

g 4. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ 43
Отсюда, учитывая, что
I еи | = | е-уе!х | = е~у I eix I = e~v, I е~н | = е»,
получаем D). Аналогично доказываются неравенства E).
Из D) и E) следует, что при у -> °° имеют место асимпто-
асимптотические формулы (равномерно относительно х, где z = x + iy):
| sin z j — -g- e]y\ | cos z | ~ — ely|.
Следовательно, функции sin z и cos z не являются ограничен-
ограниченными на всей комплексной плоскости (это вытекает также из
свойства 2).
5. Имеют место формулы
sin (х + iy) = sin x ch у + i cos x sh y,
cos (x + iy) = cos a; ch у — i sin ж sh y.
Из этих формул (или из D) и E)) вытекает, в частности,
что уравнения sin z = 0 и cos z = 0 имеют решения только при
у = 0, т. е. только на действительной оси. Следовательно, все
решения уравнения sin z = 0 даются формулой z = кя, к = О,
=Ь1, ±2, ..., а все решения уравнения cos z = 0 находятся по
формуле z = -j- + кя, к = 0, ± 1, ± 2, ...
Функции tgz и ctgz определяются формулами
, sin г . cos г
tgZ = , CtgZ = -: .
в cos г' в sin г
Из свойств 1 и 5 следует, что функция tgz непрерывна при
zф-^¦-\¦ кя,& функция ctgz непрерывна при z?*kn, где к = 0,
±1, ±2, ...
Гиперболические функции. Функции shz и chz
определяются формулами
shz = -|-(e* — е-*), chz = -|-(e* + e~z). F)
Из C) и F) видно, что shz = — isin(iz), chz = cos(jz). Та-
Таким образом, свойства функций shz и chz непосредственно вы-
вытекают из свойств функций sinz и cosz. Отметим, в частности,
что функции sh z и ch z непрерывны во всей комплексной пло-
плоскости; все решения уравнения shz = O находятся по формуле
z = kni, к = 0, ±1, ±2, ..., а все решения уравнения chz = O
находятся по формуле z = f -тт-'Ч- ^л] h к = 0t ±1, ± 2, ...
Функции th z и cth z определяются формулами
,, shz ., chz
thz = T—, cthz = -T—»
ch z sh г

44
ГЛ, I. ВВЕДЕНИЕ
(It \
-у + kn j it а функция cth z
непрерывна при z Ф kni, где к = 0, ±1, tfc2, ...
Отметим, что формулы для тригонометрических и гипербо-
гиперболических функций, справедливые при действительных х, оста-
остаются в силе и для комплексных г.
§ 5. Интегрирование функций комплексного переменного
1. Определение интеграла. , Пусть на кривой f определена
комплекснозначная функция /(z). Рассмотрим разбиение кри-
кривой у на дуги ifii \г, ..., ^„ точками z0, ztl ..., zn, взятыми в по-
порядке следования по кривой у, где z0 — начало, a zn — конец
кривой f (рис. 24). Обозна-
Обозначим через 1к (к = 1, 2, ..., п)
длину дуги -у* (z*-i — нача-
Л / "' S7?v\ ло, a zk — конец дуги ^А) и
гС ^2^ пусть Z =s max ift. На каж-
<& ККя
дой дуге ^fc выберем точку
5* s Т* и составим интеграль-
интегральную сумму
^ 2/(Ь0(г*-я*-О. A)
Рис. 24 h=1
Если при Z ->- 0 существует
конечный предел интегральных сумм A), не зависящий от вы-
выбора точек zh, t,h, то этот предел называется интегралом от функ-
функции f(z) no кривой у:
п
f (z) dz = lim 2 / iU) (zft — zft_i). B)
x+iy, f(z) = u(x, y)+iv(x, у). Введем обозначения
i/ft, xh — xk-i = ДжА, yh — j/ft_! = Дг/А, %h = | +j
n
2
где мА = мAм t]»), vk=v(lh, r\h). Переходя в этом равенстве
к пределу при I -»¦ 0, получаем
Пусть
Тогда
2/(i
j"/(z)dz= juda; — vdy + ij ydx + udi/. C)
v v v
Следовательно, существование интеграла J / (z) dz равносиль-
v
но существованию следующих двух криволинейных интегралов

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 45
от действительных функций:
J и dx — vdy и \ vdx -\- и dy.
v v
Если кривая ч задана уравнением z = о(t) =»%(t) + ir\(t)', a<
<?sgp, то в формуле C) dx = %' (t)dt, dy — t\'(t)dt и, следо-
следовательно,
J / (z) dz = J («?' - wi') <tt + / J (vV + utiO Л =
V a a
P P
= J (u + to) (?' + in') dt = J / (a («)) a' (*) Л. D)
a a
Пример 1. Пусть /(z)^l, а и Ь — соответственно начало и
конец кривой ч- Тогда интегральная сумма A) равна
7»
2 (Zk — Zft-l) = Zx — Zo + Z2 — Zi + . . . + Zn — Zn_! =
ft=l
= zn — z0 = 6 — a,
откуда J dz = b — a. Таким образом, j dz зависит только от на-
v v
чальной и конечной точек кривой ^ и не зависит от пути инте-
ь
грирования. В этом случае вместо J dz можно писать Jdz.
v о
В частности, если а = Ь, то ] dz = 0, т. е. интеграл J dz по лю-
v v
бой замкнутой кривой равен нулю. Ц
2. Свойства интегралов. Из формулы C) следует, что непре-
непрерывная на кривой функция интегрируема на этой кривой. Из
свойств криволинейных интегралов вытекает также, что имеют
место следующие формулы:
g(z)dz, E)
V V V
где а и Ъ — любые комплексные числа (линейность интеграла).
2- \j{z)dz = - I f(z)dz, F)
Т v-l
т. е. при изменении ориентации кривой интеграл меняет знак.
3. J / (г) dz = J f(z) dz 4- \f(z) dz. G)

46 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Пример 2. Пусть f(z) = z, f— кривая с началом в точке а
и концом в точке Ь, Так как функция f(z) = z непрерывна на
кривой у, то интеграл \ zdz существует и предел B) не зависит
'у .
от выбора точек zk, ?ft. Полагая ?& = zh^x. Тогда \ zdz — lim S,
где 5" = 2 zfe_! (zfe— Zfe—x). Полагая ?& = zfe, получаем J zdz =
n
= limS, где S = 2 zk(zk — zk^x). Следовательно,
= a? - z\ + a| - A + ... + z\ - zU = zl - z?> fca -
откуда находим
Таким образом, интеграл J z dz не зависит от пути интегриро-
v
вания. В частности, интеграл J zdz по любой замкнутой кривой
v
равен нулю. []
Пример 3. Вычислим интеграл 1п = J (z — a)ndz, где п —
ср
целое число, Ср — окружность |z — a|=p, p > 0, ориентирован-
ориентированная против часовой стрелки.
Уравнение окружности Ср запишем в виде z = a + pe'', 0<
< t < 2я. Тогда dz — ipe" dt и по формуле D) находим
J e*
откуда при п = — 1 получаем /_1 = 2яг, а при п?=~ 1 по форму-
формуле Ньютона — Лейбница (§3) находим
Л= о.
i=0

§ 5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ. ФУНКЦИЙ
47
Таким образом,
(z —
и = 0, 1, ±2, ±3, ...,
i, n = -l. U
(8)
Имеет место следующее свойство: если ряд / (z) = 2 fn (z),:
составленный из непрерывных на кривой у функций /„ (z) (n =
= 1, 2, ...), сходится равномерно на ч, то его можно почленно
интегрировать, т. е.
Это вытекает из C) и теоремы о почленном интегрировании
равномерно сходящегося ряда, составленного из действительных
функций.
3. Оценки интегралов.
Лемма 1. Пусть функция f(z) непрерывна на кривой у.
Тогда имеет место оценка
f{z)dz
(9)
где \dz\ = У(dxJ + (dyJ — ds — элемент длины кривой
Доказательство. Имеем
п
ж
откуда, переходя к пределу, получаем оценку (9).
Замечание. Оценку (9) можно также получить из D)
с помощью неравенства F) § 3.
Следствие. Из неравенства (9) вытекает оценка
f(z)dz <MZ(y), A0)
где М = max | / (z) |, 1М — длина кривой v.
Лемма 2. Пусть функция /(z) непрерывна в области D и
кривая f лежит в D. Тогда интеграл от /(z) no у можно с лю-
любой точностью приблизить интегралом от f(z) no ломаной, ле-
лежащей в области D, т. е. для любого е > 0 существует ломаная
С, лежащая в области D, такая, что
\\f(z)dz-\f{z)dz
\у с
Доказательство. Рассмотрим область Di такую, что
>i сг D и кривая ч лежит в Di (существование такой области Dk

48 ГЛ, I, ВВЕДЕНИЕ
будет доказано ниже в лемме 4). По свойству 1, п. 2 § 4 функ-
функция /(z) равномерно непрерывна в Du т. е. для фиксированного
е > 0 существует б > 0 такое, что для любых z е Ви ? е Du
\z — t,\ < 6 имеет место неравенство
где I — длина кривой *{•
Разобьем кривую ^ на дуги fh f2, ..., Y" последовательными
точками z0, zu ..., zn так, чтобы длина 1к дуги у* была меньше
6 и чтобы круги \z — zft|<6 (k = l, 2, ..., re) принадлежали Dl
(это можно сделать так же, как и в лемме 4). Пусть С — лома-
ломаная с последовательными вершинами в точках zo, z\, ..., zn, ch —
отрезок [Zft-!, zft], Kk= |zft — zft_J — длина cA (A; = 1, 2, ..., re).
Так как 1к < б, то Ял < lh < б, т. е. дуга fft и отрезок ск лежат
в круге |z —гя|<6 (Л=1, 2, ..., ге). Следовательно, для всех
:еу4игес,в силу A2) имеет место оценка
|/(z)-/(zft)|<^-. A3)
Докажем оценку A1). Имеем
у с
-21
k 1 (
1*.
ГС
|_Vfe
.Vft Vfe
откуда, используя равенство
1
(см. пример 1),
J/(z)dz- j/(
V С
п
<2
ft=l
с
получаем
z)^z
A1
<
I/«-/W)l*
«ft
Применяя для каждого слагаемого в правой части неравенства
A4) оценки A0) и A3), окончательно получаем
Лемма 3. Пусть D — ограниченная односвязная область,
Г — граница области D. Если функция f(z) непрерывна в обла-

§ В. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 49
сти D вплоть до границы, то интеграл от /(z) no Г можно с лю-
любой точностью приблизить интегралом от f(z) no замкнутой ло-
ломаной, лежащей в области D.
Доказательство леммы 3 выходит за рамки нашего курса.
Рассмотрим неодносвязную область. Пусть граница Г огра-
п
ничейной области D состоит из кривых Гх, Г2, ..., Г„: Г = {J Th.
fe=i
Если функция /(z) непрерывна в области D вплоть до границы
Г, то интеграл от /(z) по Г определяется формулой
\f(z)dz= 2 \f(z)dz. A5)
Из леммы 3 вытекает
Следствие. Если функция /(z) непрерывна в области D
вплоть до границы, то интеграл от /(z) no границе области D
можно с любой точностью приблизить суммой интегралов от
/(z) no замкнутым ломаным, лежащим в области D.
Лемма 4. Кривую f, лежащую в области D, можно по-
покрыть конечной системой кругов, принадлежащих области D.
Доказательство. Пусть Г — граница области D, р(у, Г) =
= inf | z — ? |— расстояние между кривой f и границей Г
zev,?sr
области D. Из курса математического анализа известно, что
P(Y. Г)>0.
Разобьем кривую f на дуги ^н Tz> • ¦ •> in последовательными
точками z0, Zi, ..., zn, где z0 — начало, a zn — конец кривой i,
так, чтобы длина Ц дуги ^ была меньше -^ р (у, Г):
Р^Г)' У = 1,2,..., п.
Покажем, что кривая i покрывается следующей системой кругов:
К?. |z_Zj|<i-p(Y, Г), / = 0,1,..„п. A6)
В самом деле, если z s ^h то
44), A7)
т, е. дуга if лежит в круге К} (j = 1,2,..., п).
Следствие. Пусть область D,. — объединение всех кругов
п
A6): Di — [} К}. Тогда кривая i лежит в области Z?t и ДсО,
j=° 1
причем р(-у, Г^^г-^- р(^, Г), где Г± — граница области Di.
¦4 Ю. В. Сидоров и др.

50 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
§ 6. Функция arg z
Функция lnz была определена в § 4 формулой lnz = ln|z| +
+ i arg z. В главе IV будет показано, что все элементарные мно-
многозначные функции выражаются через логарифмическую функ-
функцию. Поэтому необходимо тщательно исследовать многозначную
функцию argz.
Свойства функции argz и, в особенности, свойства прираще-
приращения аргумента вдоль кривой (см. ниже п. 2) будут широко ис-
использоваться, начиная с § 21. Однако некоторые из них нам
понадобятся уже в § 13.
1. Полярные координаты. Известно, что декартовы и поляр-
полярные координаты точки z (z = х + iy) комплексной плоскости
связаны формулами
, jy = rsincp. A)
Если полярные координаты (г, <р) заданы, то декартовы коорди-
координаты (х, у) однозначно определяются формулами A). Если
известны декартовы координаты (ж, у), то из A) однозначно
находится г = Ухг + уг. Однако ф определяется неоднозначно:
из уравнений
cos ф = —,. х , sin ф == —, v B)
число ф = arg z находится только с точностью до 2кп, где к —
целое число.
Это обстоятельство (неоднозначность соответствия между
(ж, у) и (г, ф)) не играет существенной роли при исследовании
однозначных функций. Но при исследовании многозначных
функций (например, функции In z) оно становится весьма суще-
существенным.
Заметим, что формулы A) устанавливают взаимно однознач-
однозначное соответствие между всей комплексной плоскостью z и мно-
множеством {0<г<°°, —я<ф<я) U {г = 0, <р = 0) на плоскости
(г, ф). Это множество не является областью (т. е. открытым
связным множеством), в то время как плоскость z является
областью. Взаимно однозначное соответствие между областями
получается, например, если рассмотреть полуполосу П: {0<г<
<оо, —я<ф<я). На плоскости z полуполосе П отвечает об-
область Do: плоскость с разрезом по полуоси (—°°, 0] (рис. 25).
В области Do будем отсчитывать полярный угол <р от полу-
полуоси х > 0 (при х > 0 полагаем ф = 0). Тогда ф будет изменять-
изменяться в пределах —я<<р<я, и каждой точке z^D0 отвечает
только одно значение <р = ф(г). Тем самым в области Da задана
однозначная и непрерывная функция <p(z). Эта функция беско-
бесконечно дифференцируема по переменным (х, у) в области А>,
так как отображение A) полуполосы П на область Do беско-

§ 6. ФУНКЦИЯ arg 2
51
нечно дифференцируемо, взаимно однозначно и его якобиан
/ = г не обращается в нуль.
Функция ф(г) однозначно определяется уравнениями B), так
как —я<ф<я. В любой точке z области А> значение ф(г)
совпадает с одним из значений многозначной функции argz
(см. п. 4 § 1). Поэтому функция ф(г) называется однозначной
©
О
Я',
-Л:
V///////////,
п
Рис. 25
непрерывной ветвью функции arg z. Для простоты будем обозна-
обозначать эту ветвь ф = arg z.
В области Do существует бесконечно много однозначных не-
непрерывных ветвей фь(г) функции argz. Все они описываются
формулами
Л = 0, ±1, ±2, ...
Функцию ф = arg z, определенную выше, можно выразить из
формул B) через обратные тригонометрические функции:
argz = arctg — , если х>0;
arg z = л + arctg —, если х <С 0, у > 0;
argz = —я + arctg—, если ж<0, у-<0.
Однако в случае произвольной области нельзя получить про-
простую формулу, которая выражала бы непрерывную ветвь функ-
функции argz через обратные тригонометрические функции, так как
эти функции меняются в пределах от —я/2 до я/2 или от 0 до
я, а функция argz может меняться в любых пределах. Более
удобным является интегральное представление функции argz,
которое рассматривается ниже (см. A5)).
2. Приращение аргумента вдоль кривой. Пусть кривая ч не
проходит через точку z= 0. Угол поворота вектора z при дви-
движении точки z вдоль кривой "у от начальной до конечной точки
этой кривой назовем приращением аргумента z вдоль кривой f
и обозначим его ATargz (рис. 26).
4*

52 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Пример 1. а) Если <у — отрезок прямой с началом в точке
1 — i и концом в точке 1 + i, то Ау arg z = -5-;
б) если ^+ — полуокружность \z\ = I, Imz>0, ориентирован-
ориентированная против часовой стрелки, то Дт+ arg z = п (рис. 27);
Рис. 26 Рио. 27
в) если 7- — полуокружность \z\ = 1, Imz<0, ориентирован-
ориентированная по часовой стрелке, то AT_argz = — л (рис. 27). []
Выведем формулу для ATargz. Из формул A) имеем
dx = cos ф dr — г sin ф <йр, di/ = sin ф dr + г cos ф йф, C)"
откуда rdcp = —sin ф da: + cos ф dy. Следовательно,
. D)
« + у
Рассмотрим интеграл J d arg z. Этот интеграл равен разности
v
значений аргумента z в конечной и начальной точках кривой f.
т. е. равен приращению аргумента вдоль кривой: ATargz. Сле-
Следовательно,
?
E)
Формулу E) можно записать в виде
^-, F)
т dz r dx A-1 dy — у dx-\-x dy
так как Im—= Im T_. =— а а—-да переменную инте-
интегрирования в F) можно обозначить любой буквой.
Рассмотрим свойства приращения аргумента.
1. Пусть кривую 1 можно непрерывно деформировать в кри-
кривую ft» не проходя через точку z — 0 (т. е. кривые -у и fi гомо-
гомотопны в области 0<|z|<<») (рис. 28), Тогда имеет место

§ 6. ФУНКЦИЯ arg г 53
равенство
Дт arg г = Дт arg z. G)
Доказательство. Рассмотрим интеграл
\Pdx-\-Qdy, (8)
v
где функции Р(ж, i/), Q(x, у), — и -^ непрерывны в обла-
области D, и кривая «у лежит в области D. В курсе математического
анализа [9] доказана
Теорема. Если область D о дно с в язна, то для того
чтобы интеграл (8) по любой замкнутой кривой у, лежащей в
области D, равнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы во
всей области D выполнялось равенство
— — -20- (п)
Из этой теоремы вытекает
Следствие. Если в области D (может быть, не односвяз-
ной) выполняется равенство (9) и кривую у можно непрерывно
деформировать в кривую ¦у,, оставаясь в об-
области D (т. е. кривые "у и fi гомотопны в
области D), то имеет место равенство
J Pdx + Qdy= J Pdx + Qdy. A0)
Положим в A0)
Непосредственной проверкой убеждаемся,
что эти функции удовлетворяют условию
(9) в области 0<|z|<<». Таким образом, Рис. 28
из E) и A0) получаем равенство G).
Формула G) следует также из геометрического смысла при-
приращения аргумента вдоль кривой (рис. 28).
Из свойства 1 вытекает, в частности, свойство
2. Если замкнутая кривая -у не проходит через точку z = 0
и эту кривую можно непрерывно деформировать в точку, не
проходя через точку z = 0 (т. е. кривая ¦у гомотопна нулю в об-
области 0< Ы < °°), то имеет место равенство
ATargz = 0. A1)
Заметим, что равенство G) выполняется не для любых кри-
кривых -у и "ft с общим началом и общим концом (ср. пример 1, б

54 гл. i. введение
ив)). Также и равенство A1) справедливо не для любой замк-
замкнутой кривой ч.
Пример 2. Если f— окружность Ы = 1, ориентированная
против часовой стрелки и проходимая один раз, то ATargz =
= 2я. ?
Отметим еще два свойства приращения аргумента:
3. Если кривая х не проходит через точку z = 0, то
Дт arg г = -Дт_1 argz. A2)
4. Если кривая f = 41Y2 не проходит через точку z = 0, то
Д7Л arg z = AVi arg z + ATg arg z. A3)
Эти свойства вытекают из формулы F) и свойств интегра-
интегралов (формулы F) и G) § 5).
3. Непрерывные ветви функции argz. Пусть D — односвяз-
ная область, не содержащая точек z = 0 и z =» <». Зафиксируем
точку z,e/) и выберем argz0 — одно из значений аргумента z0.
Положим
arg z = arg го + Дт argz, A4)
где кривая ч с началом в точке z0 и концом в точке z лежит
в области D.
По свойству 1 п. 2 приращение аргумента Дт arg z не зависит
от кривой fi так как в односвязной области любые кривые с об-
общим началом и общим концом можно непрерывно деформиро-
деформировать друг в друга, оставаясь в области D (п. 4 § 3). Следова-
Следовательно, функция A4) однозначна в области D. Эта функ-
функция непрерывна в области D, так как ее можно записать в виде
Z
arg z = arg z0 + J , >a+ 2 • (l5>
zo
Таким образом, функция A4) является однозначной непре-
непрерывной ветвью многозначной функции argz в области D.
Очевидно, таких ветвей бесконечно много:
(argz)k = argz0 + ATargz + 2A;n, й = 0, ±1, ±2, ..., A6)
т. е. многозначная функция argz в области D распадается на
однозначные непрерывные ветви A6). Отсюда следует, что не-
непрерывная ветвь функции argz в области D полностью опреде-
определяется своим значением в одной точке z0 s D.
Пример 3. Пусть Do — вся комплексная плоскость с раз-
разрезом1 по лучу (—оо( 0]. Положим z0 = I, arg 1 = 0. Тогда
arg г = Дт argz, A7)
где кривая у с началом в точке z0 = 1 и концом в точке z лежит
в области Д, (рис. 29). Очевидно, функция A7) совпадает

§ 6. ФУНКЦИЯ arg г
55
с функцией qp(z), рассмотренной в п. 1. В частности, имеем:
arg х = О, если х > О,
л
arg (iy) = -5-,
если у > О,
arg (iy) = — -у, если у < 0 и т. д. []
В формуле A4) точка z0 может быть граничной точкой об-
области D.
Г
Рис. 30
Пример 4. Пусть D{ — вся комплексная плоскость с разре-
разрезом по лучу [0, +оо). Пусть z0 = 1 — точка верхнего берега
разреза, arg z0 = arg 1 = 0. Тогда
argz = ATargz, A8)
где кривая «у с началом в точке zo = 1 и концом в точке z лежит
в области Di (рис. 30). В частности, имеем:
arg (iy) = -у, если у > О,
arg х = л, если z < О,
arg (iy) = -—, если у < О
и т. д. (ср. пример 3).
Найдем значения функции A8) на верхнем и нижнем бере-
берегах разреза. При х > 0 имеем arg (х + Ю) = lim arg (x + iy) = 0,
v-»+o
аналогично arg (я — Ю) = 2я. Следовательно, функцию A8)
нельзя «склеить» вдоль луча @, +.°°) так, чтобы эта функция
осталась непрерывной. (Функцию A7) также нельзя склеить
непрерывно вдоль луча (—°°, 0).) Отсюда, в частности, следует,
чт.0 в области 0<|z|<<» нельзя выделить непрерывную ветвь
функции argz. []
Из формулы A4) видно, что для того, чтобы функция A4)
была однозначна в области D, необходимо и достаточно, чтобы
цриращение аргумента ATargz не зависело от кривой -у, т. е.
чтобы для любой замкнутой кривой ft лежащей в области D,

56
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
имело место равенство ATargz = 0. Другими словами, в области
D не должно быть простых замкнутых кривых, содержащих
внутри себя точку z = 0, т. е. нужно, чтобы в области D нельзя
было обойти вокруг точки z = О (одновременно вокруг точки
z = °°). Такой областью является, например, вся комплексная
плоскость с разрезом по неограниченной кривой, соединяющей
о
-в
Рис. 31
точки z = 0 и z = °°. В такой области и в любой ее подобласти
многозначная функция argz допускает выделение однозначных
непрерывных ветвей.
Заметим, что значения функции A7) изменяются в преде-
пределах от —п до я: — n<argz<n, геД» а значения функции
A8)—от 0 до 2я: 0<argz<2n, z^Di. Но в случае произ-
произвольной области непрерывная ветвь функции argz может ме-
меняться в любых пределах.
Пример 5. Пусть D2 — вся комплексная плоскость с раз-
разрезом по кривой z = — eu, 0<t<°°. Положим arg5 = 2n.
Тогда
arg z = 2я + Дт arg z,
где кривая f с началом в точке zo = 5 и концом в точке z ле-
лежит в области ZJ (рис. 31). В частности, вычисляя значения
приращения аргумента, находим: arg(—6) =3я, arg7 = 4n,.
arg(—4) = я, arg 3 = 0, arg(—2) = — л, argl = — 2jt и т. д. Q

Глава II
РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 7. Дифференцируемые функции. Условия Коши — Римана
1. Производная. Пусть функция /(z-) определена в некоторой
окрестности точки z0. Если существует конечный предел отно-
отношения ^z° zl ii!»L при Дг -*¦ О, то этот предел называется
Дг
производной функции /(z) в точке z0 и обозначается f'(zo),
а функция /(z) называется дифференцируемой в точке z0. Таким
образом,
Функция /(z) называется дифференцируемой в области, если
она дифференцируема в каждой точке этой области.
Пусть Д/ = /(го +Дг) —/(z0). Тогда соотношение A) примет
вид
|f = /'(z0). B)
Это означает, что для любого е >0 существует б = б(в)>0 та-
такое, что неравенство
имеет место, если 0< |Дг| <б. Из B) следует, что
д/ = /'Bо)Д2 + 0(Дг) (Дг->0).
Обратно, если приращение Д/ функции /(z) представляется в
.виде
Д/ = ЛДг + о(Дг), C)
где А — комплексная постоянная, не зависящая от Дг, то функ-
функция /(z) дифференцируема в точке г0 и A = f'(z0).
Таким образом, равенство C) является необходимым и до-
достаточным условием дифференцируемости функции /(г) в точке

58 гл. п. регулярные функции
z0. Из C), в частности, следует, что функция, дифференцируемая
в точке z0, непрерывна в этой точке.
Пример 1. Функция f(z) = zn (п>1 — целое) дифферен-
дифференцируема во всей комплексной плоскости, так как
lim (' + *>-' = lim "zlA:+°^ = nzr-K D)
Следовательно,
(z»)' = nz"-\U E)
Из определения производной и свойств пределов вытекает,
что на функции комплексного переменного распространяются
известные из курса математического анализа правила дифферен-
дифференцирования.
1. Если функции /(z) и g(z) дифференцируемы в точке z, то
их сумма, разность, произведение и частное (при g (z)?=0) так-
также дифференцируемы в этой точке и имеют место равенства
= f'±gr, (с/)' = с/' (с = const),
2. Если функция /(z) дифференцируема в точке z, а функ-
функция F{w) дифференцируема в точке w = /(z), то функция
O(z) = F[/(z)] дифференцируема в точке z, причем
O'(z) = F'(w)f(z). G)
Пример 2. Из формул E) и F) следует, что
а) функция f(z) = zm, где т<0 — целое, дифференцируема
во всей комплексной плоскости, кроме точки z = 0, и (zm)' =
= mzm~l; в частности,
1
.2 '
б) многочлен Pn(z) = aozn + a1z"-1 + . .. + an_1z + an —диффе-
—дифференцируемая во всей комплексной плоскости функция и
Р'п (z) = naozn-i + (re — 1) а^-ъ + ... + 2an_2z + an-i\
. _ D . . Pn (*)
в) рациональная функция л (z) = -~.——- имеет производную
во всех точках, где Qm(z)?=0, причем формула для R'(z) имеет
тот же вид, что и соответствующая формула для действитель-
действительных х. U
В определении производной содержится требование, чтобы
предел A) не зависел от способа стремления Az к нулю. Это
накладывает на дифференцируемую функцию комплексного пе-
переменного значительно более сильные ограничения, чем на диф-

§ 7. УСЛОВИЯ КОШИ —РИМАНА 59
ференцируемую функцию действительного переменного. В § 12
будет доказано, что функция комплексного переменного, диффе-
дифференцируемая в области, обладает производными всех порядков
в этой области.
В § 4 было отмечено, что непрерывность функции комплекс-
комплексного переменного f(z) = u(x, y)+iv(x, у) в точке z = x + iy рав-
равносильна непрерывности функций и и v в точке (х, у). Анало-
Аналогичное утверждение не имеет места для дифференцируемое™.
Именно, требование дифференцируемости функции f(z) = u + iv
налагает дополнительные условия на частные производные функ-
функций и ж v.
2. Условия Коши — Римана.
Теорема 1. Для того чтобы функция j(z) = u(x, y) +
+ iv (х, у) была дифференцируема в точке z = а: + iy, необходи-
необходимо и достаточно, чтобы
1) функции и(х, у) и v(x, у) были дифференцируемы в точ-
точке {х, у);
2) в точке (х, у) выполнялись условия Коши — Римана
дх — ду ( ду ~ дхщ ^
Для производной f(z) справедлива формула
' {Z) * дх + 1 дх — ду 1 ду- W
Доказательство. Необходимость. Пусть функция
/(г) дифференцируема в точке z. Тогда в силу C) имеем
Д/ = /'(г)Дг+е(р), A0)
где е(р) = о(р) при р -> 0. Здесь обозначено p=lAz| =
= У(Ах)* + (Ау)г. Функция е(р) комплекснозначная, представим
ее в виде е(р) = ef(p) + ie2(p), где функции ei(p), e2(p) прини-
принимают действительные значения. Так как --»-0 при р->0, то
— у U, — >¦ U при р -> 0, и поэтому
0(p), 82(p)==0(p) (р-0). A1)"
Обозначим Д/==Дц + гДу, J'(z)~A + iB и подставим в A0),
тогда получим
Аи + i Ду =(Л + №) (Ах + i Ay)+ г{ + ie2. A2)
Приравнивая в этом соотношении действительные и мнимые ча-
части, получаем
it Av = ВАх + ААу + е2. A3)

60 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Тем самым доказано, что функции и, v дифференцируемы в точ-
точке (х, у).
Из равенств A3) находим
л ди D ди D dv л dv
А=——, —в = ——, ti = , А = ,
дх ' ду ' дх ' ду
откуда следуют условия Коши — Римана и формула (9), так как
f(z) = A + iB.
Достаточность. Пусть функции и(х, у) и v(x, у) диф-
дифференцируемы в точке (х, у) и пусть выполняются условия (8).
Тогда имеют место равенства A3), где ei = o(p), ег = о(р). Ум-
Умножая второе из этих равенств на i и складывая с первым,
получаем
Дм + i Ду = ААх - ВАу + i(BAx + ААу)+ 8i + гв2,
или
Д/ = (А + iB) {Ах + i Ay) + st + is2,
или
где в(р) = о(р), откуда в силу C) вытекает дифференцируемость
функции /(z) в точке z. Теорема доказана.
Пример 3. а) Функция ег = ё" cos у + ie* sin у дифференци-
дифференцируема во всей комплексной плоскости, так как
ди х dv ди х . dv
ох " оу оу " ах
По формуле (9) находим
(ег)' = -TJ- + i -jt? = ех cos у + iex siny = ezf
т. е.
(e')' = e'. A4)
б) Функции sin z, cos z, sh z, ch z дифференцируемы во всей
комплексной плоскости, и их производные вычисляются по фор-
формулам
(sin z)' == cos z, (cosz)' = — sinz, A5)
(shz)' = chz, (chz)' = shz. A6)
в) Рассмотрим функцию z2 = x2 — уг — i2xy. Имеем -т— = 2xt
— = — 2y, — = — 2y, -g— = — 2x. Условия (8) выполняются
только при х = у = 0, следовательно, функция z2 дифференци-
дифференцируема только в точке z = 0. []
Пусть z = re**, тогда /(z) = a(r, cp) + iv(r, ф), и условия Ко-
Копта — Римана в полярных координатах имеют вид
du__\_bv__ dv_ 1_ du_ ,,,,,
~dr ~~ ~F dtp' dr r dm' ^ '

§ 7. УСЛОВИЯ КОШИ —РИМАНА 61
Следовательно,
,, , . г [ ди , . dv\ i I dv . ди\ ..оч
Пример 4. Пусть D — плоскость z с разрезом вдоль поло-
положительной действительной полуоси.
а) Функция Уг = Иг е""/2, где z = re1", 0 < <р < 2л, удовлетво-
удовлетворяет условиям A7) и поэтому 1/z — дифференцируемая в обла-
облаD ф П ф A8) (Vz)'
сти D функция. По формулам A8) находим (Vz)' = 2 -./-
т. е.
/ <ф/а
б) Функция 1пг = 1пг + гф (z = rei9, 0<ф<2я) удовлетво-
удовлетворяет условиям A7) и
(lnZ)' = i-. ? B0)
3. Сопряженные гармонические функции. Пусть функция
f(z) = u + iv дифференцируема в области D и, кроме того, функ-
функции и и у имеют непрерывные частные производные до второго
порядка включительно. Тогда, дифференцируя первое из ра-
равенств (8) по х, а второе — по у, получаем
д2и = д\ д2и = д%
дх2 дхду' 9уъ дудх'
Складывая эти равенства и учитывая, что производные
d2v
и ¦ в силу их непрерывности равны, находим
ду дх дх ду
Аналогично получаем
д\ _п
дх* • ду
Действительная функция и(х, у), имеющая в области D не-
непрерывные частные производные второго порядка и удовлетво-
удовлетворяющая уравнению B1), называется гармонической в области D,
а уравнение B1)—уравнением Лапласа.
Выше было указано, что дифференцируемая в области D
функция имеет производные любого порядка в этой области
и, следовательно, обладает непрерывными частными производны-
производными любого порядка. Поэтому действительная и мнимая части

62 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
функции f(z) — u + iv, дифференцируемой в области D, являются
гармоническими функциями в этой области.
Гармонические функции и(х, у) и v(x, у), связанные между
собой условиями Коши — Римана, называются сопряженными.
Таким образом, действительная и мнимая части дифференцируе-
дифференцируемой в области функции являются в этой области сопряженными
гармоническими функциями.
Обратно, если в области D даны две сопряженные гармони-
гармонические функции и(х, у) и v(x, у), то, по теореме 1, функция
f(z)= u + iv дифференцируема в области D. Следовательно,
справедлива
Теорема 2. Для дифференцируемости функции f(z) = u +
+ iv в области D необходимо и достаточно, чтобы функции
и(х, у) и v(x, у) были сопряженными гармоническими в этой
области.
Зная одну из функций и(х, у), v(x, у), можно в односвязной
области найти другую функцию.
Теорема 3. Для всякой функции и(х, у), гармонической в
односвязной области D, можно найти сопряженную с ней гармо-
гармоническую функцию, которая определяется с точностью до про-
произвольного постоянного слагаемого.
Доказательство. Так как и(х, у)— гармоническая в од-
односвязной области D функция, то
д I ди\ _ JJ_ 1ди\
ду [ ду ) ~ дх [ дх ]'
ди , , ди ,
и следовательно, выражение -— ах-\--т—ау является полным
дифференциалом некоторой однозначной функции v(x, у), опре-
определяемой с точностью до произвольного постоянного слагаемого
С формулой (§ 6, п. 2)
v(x, y)= J —^fdx + Tx~dy + c- B2)
(*о-»о)
Здесь (х0, yo)^D и (х, y)^D (интеграл не зависит от кривой,
соединяющей точки (х0, у0) и (х, у), а зависит лишь от точки
(х, у), если точка (ж0, у0) фиксирована).
Из B2) имеем
дУ __ __ ди_ dv_ _ ди_
дх ~ ду ' ду ~ дх'
откуда следует, что v(x, у) — гармоническая в области D функ-
функция, сопряженная с и(х, у).
Из теорем 2 и 3 следует, что если задана гармоническая
функция и(х, у) в односвязной области D, то можно найти,
с точностью до постоянного слагаемого, дифференцируемую в

§ 7. УСЛОВИЯ КОШИ —РИМАНА 63
области D функцию f(z) = u + iv, т. е. восстановить дифферен-
дифференцируемую функцию по заданной ее действительной (или мни-
мнимой) части. Если область D многосвязна, то функция v, опреде-
определяемая интегралом B2), а также функция f(z) = u+iv могут
оказаться неоднозначными.
Отметим, что при нахождении функции v(х, у) по заданной
функции и(х, у) (или наоборот) часто бывает более удобным
вместо формулы B2) непосредственно использовать условия Ко-
ши — Римана (см. пример 5).
Пример 5. Найдем дифференцируемую функцию /(z), если
Re/(*)=¦ в (я, У) = у3-3х2у.
Функция и = у3 — Зх3у является гармонической во всей комп-
комплексной плоскости. Имеем
dv ди
откуда
+ g{x). B3)
Из B3) находим
*L. = _ 3»- + g' (*). B4)
С другой стороны, в силу (8) получаем
Сравнивая B4) и B5), находим g' (х) = Зх2, откуда g(x) = x3 +
+ С, где С — действительная постоянная, и из B3) получаем
v = — Зху2 + х* + С. Искомая функция
/(«) = и + iv = у1 - Зх2у + i(x3- 3xy2)+ iC = i(z* + С)
дифференцируема во всей комплексной плоскости. []
4. Понятие регулярной функции. Введем одно из основных
понятий теории функций комплексного переменного — понятие
регулярной функции.
Определение 1. Пусть функция f(z) определена в окре-
окрестности точки z = a (a ?= <») и разлагается в ряд
/(*)= 2 с»(«-в)я, B6)
П=0
сходящийся в некоторой окрестности точки z = a (т. е. в круге
\z — a\<p, p>0). Тогда функция /(z) называется регулярной
в точке z — a.
Функция f(z) называется регулярной в области D, если она
регулярна в каждой точке области D.

64 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема 4. Если функция /(z) регулярна в точке z = a,
то она дифференцируема в этой точке.
Доказательство. По условию, степенной ряд B6) схо-
сходится в некоторой окрестности точки а, откуда следует, что
f(a) = c0. Рассмотрим отношение
/(*)-/(а) _ /(*)-е0 _ V, /„ „\„_, B7)
Так как ряд B7) равномерно сходится в круге |z —а|<р4<р,
то его сумма непрерывна в этом круге и в правой части B7)
можно почленно перейти к пределу при z ->• а (более подробно
теория степенных рядов будет изложена в § И), и этот предел
равен с4. Поэтому существует предел и левой части B7) при
z ->• а, т. е. существует /' (а) = с4.
Замечание 1. В дальнейшем (§ 12) будет показано, что
функция, дифференцируемая в области, регулярна в этой области.
Пример 6. Функция . _ = J^ zn регулярна в точке z = О
(ряд сходится в круге Ы < 1). []
Определение 2. Пусть функция /(z) определена в окре-
окрестности бесконечно удаленной точки и разлагается в ряд
п=о
сходящийся в некоторой окрестности точки z = оо (т. е. в области
Izl >R). Тогда функция /(z) называется регулярной в бесконеч-
бесконечно удаленной точке.
Замечание 2. Из определения 2 следует, что функция
/(z) регулярна в точке z = °о в том и только в том случае, когда
функция g(t,) = f(i/t,) регулярна в точке ? = 0.
Пример 7. Функция /(z) = z/(z —1) регулярна в точке
z = °o, так как функция g (t,) = f A/t,) = 1/A — ?) регулярна в
точке % = 0. []
§ 8. Геометрический смысл производной
1. Понятие однолистности. В § 4 было введено понятие функ-
функции комплексного переменного. Этому понятию можно дать сле-
следующую геометрическую интерпретацию.
Пусть на множестве Е расширенной комплексной плоскости
z определена функция w = f(z) и пусть Е' — множество ее зна-
значений на плоскости w (рис. 32). Тогда говорят, что задано ото-
отображение множества Е на множество Е'. Точка w^-E' называ-

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
65
ется образом точки z^E, а точка z— прообразом точки w при
отображении w = f(z).
Может оказаться, что некоторые точки множества Е' имеют
не один, а несколько прообразов, т. е. отображение w = f(z) мо-
может не быть взаимно однозначным. Если отображение w = f(z)
является взаимно однозначным, то функция /(z) называется
Рис. 32
однолистной. Приведем более подробное определение однолист-
однолистности.
Определение 1. Функция w = f(z) называется однолист-
однолистной на множестве Е, если она в различных точках множества Е
принимает различные значения.
Отображение w = f(z), осуществляемое однолистной функ-
функцией, является взаимно однозначным и называется однолистным.
Очевидно, функция w = f(z) является однолистной на мно-
множестве Е, если для любых точек Zi и z2 этого множества равен-
равенство /(Zi) = /(z2) имеет место в том и только в том случае, когда
zt=z2. Иными словами, функция w = /(z) однолистна на мно-
множестве Е, если это множество не содержит ни одной пары точек
Zi и z2 (Zi?=z2) таких, что /(Zi) = /(z2).
Из определения однолистности следует, что если функция
однолистна на множестве Е и Ei <= Е, то эта функция однолистна
на множестве Et.
Суперпозиция (результат последовательного выполнения) од-
однолистных отображений есть однолистное отображение, т. е.
если функция ? = /(z) однолистна на множестве Е (Е-^-Е^,
а функция w = g{t>) однолистна на Et (Е^Е2), то функция
w — g[f(z)] однолистна (рис. 33) na E (Е-+Ег).
, Если отображение w — f(z): Е-*¦ Е' является однолистным,
то каждой точке w^E' ставится в соответствие одна и только
одна точка «е? такая, что f(z)=w. Тем самым на множестве
Е' определена функция z = h(w), обратная к функции /(z).
Справедливы тождества:
f[h(w)] = w, w^E'; h[f(z)]^z, z^E.
5 Ю. В. Сидоров и др.

ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Функция w = f(z), заданная на множестве Е и отображаю-
отображающая Е на Е\ является однолистной на Е тогда и только тогда,
когда обратная функция z = h{w) однозначна на множестве Е'.
2. Примеры однолистных отображении.
Пример 1. Линейная функция
u, = /(z) = az+b, A)
где а, Ь — комплексные постоянные (а ?= 0), однолистна во всей
комплексной плоскости, так как обратная функция
z = h (w) = — w
v ' a a
B)
однозначна.
Функция A) отображает взаимно однозначно расширенную
комплексную плоскость z на расширенную комплексную плос-
Рис. 33
кость w. При этом точка z = °° переходит в точку «7 = 00, а со-
соответствие между конечными точками плоскостей z и w опреде-
определяется формулами A), B).
Рассмотрим случай Ь = 0. Тогда
w = az, C)
откуда
\w\ = lal |z|, arg w = arg a + arg z. D)
Из равенств D) следует, что отображение C) сводится к по-
подобному растяжению плоскости z в |а| раз с центром подобия
в начале координат и повороту всей плоскости вокруг точки
z = 0 на угол а = arg а. При отображении C) луч arg z = ср пе-
переходит в луч arg w = ф + а, а окружность |z|=r — в окруж-
окружность \w\ = \а\г (рис. 34). Круг |z| <.R при этом отображении
переходит в круг }w\ < |а№.
Если |а| = 1, т. е. а = eia, то преобразование C) есть поворот
плоскости на угол а. В частности, преобразование w = iz есть
поворот на угол я/2, а преобразование w = —z есть поворот на
угол п.

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 67
Преобразование A) есть суперпозиция преобразований
Поэтому преобразование w = az + b можно осуществить, выпол-
выполнив в указанном порядке следующие преобразования:
а) подобное растяжение плоскости z в \а\ раз (центр подо-
подобия — в точке z = 0);
Рис. 34
Ъ.
б) поворот плоскости ? вокруг точки % = 0 на угол а = arg а;
в) параллельный перенос (сдвиг) плоскости т на вектор
D
Пример 2. Функция
W = •
E)
отображает взаимно однозначно расширенную комплексную плос-
плоскость z на расширенную комплексную плоскость w (обратная
функция z = Ум; однозначна). При этом точке z = 0 соответству-
соответствует точка w = °°, а точке z = °° — точка w = 0. Луч arg z = ср
переходит при отображении E) в луч arg w = — <р, окружность
(z|=r — в окружность IH = 1/г, круг Ы<Д — на область
\w\>l/R. ?
Пример 3. Рассмотрим функцию
ю = z2. F)
Если zj = z\, то либо Zi = z2, либо
Z^-22. G)
Две точки, связанные равенством G), симметричны относитель-
относительно начала координат. Следовательно, функция w = z2, однолистна
в области D в том и только в том случае, когда эта область не
содержит ни одной пары точек, симметричных относительно точ-
5*

ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
кп 0. В частности, функция F) однолистна в верхней полу-
полуплоскости Im z > 0.
Рассмотрим луч argz = a @<а<л), лежащий в верхней
полуплоскости (рис. 35). При отображении F) этот луч пере-
переходит в луч arg w = 2а. Будем вращать луч arg z = а, непрерыв-
непрерывно увеличивая а от 0 до я. Тогда луч arg w = 2а, являющийся
образом луча arg z = а, будет поворачиваться против часовой
Рис. 35
стрелки. Если луч на плоскости z опишет верхнюю полуплос-
полуплоскость, то его образ опишет всю плоскость w. При этом лучи
arg z = 0 и arg z = я, образующие границу области Im г > 0, пе-
перейдут соответственно в лучи arg w = 0 и arg w — 2л. Геометри-
Геометрически эти лучи совпадают с положительной действительной
полуосью на плоскости ю. Для того чтобы отображение F) было
взаимно однозначным не только внутри области Imz>0, но и
на ее границе, проведем в плоскости w «разрез» по положитель-
положительной части действительной оси и будем считать, что луч arg z = 0
(т. е. положительная полуось на плоскости z) отображается на
верхний, а луч argz = я — на нижний берег этого разреза.
Итак, функция w = z2 однолистна в верхней полуплоскости
и отображает эту область на плоскость w с разрезом вдоль поло-
положительной действительной полуоси (рис. 35). Отметим еще, что
при отображении w — zz полуокружность z = peie, 0< 9 «S я пе-
перейдет в «незамкнутую» окружность |и;|=р2 (точки Wy = p2 и
w2 = р2е2л*, являющиеся образами точек Zi = р и z2 = ре = —р,
совпадают, но лежат на разных берегах указанного выше раз-
разреза).
Функция w = zz является однолистной и в нижней полупло-
полуплоскости и отображает область Imz<0 на плоскость w с разрезом
вдоль положительной действительной полуоси (рис.36). При этом
отображении лучи argz = я и а^г = 2я, образующие границу
области Im z < 0, переходят соответственно в верхний и нижний
берега разреза. В самом деле, луч argг = я + б (8>0, б — до-
достаточно мало), который «примыкает» к лучу argz = я, перехо-

§ 8, ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
69
дит в луч arg w = 2п + 26, расположенный выше верхнего берега
разреза. Аналогично, луч arg z = 2я — б переходит в луч arg w =
= 4л — 26, примыкающий к нижнему берегу разреза.
argz
Отметим еще, что при отображении w = г2 правая полупло-
полуплоскость (Rez>0) и левая полуплоскость (Rez<0) переходят в
плоскость с разрезом по отрицательной действительной полуоси
(рис.37). D
Пример 4. Рассмотрим отображение
w = е\
(8)'
(ш)
О
Найдем условие, которому должна удовлетворять область D, что-
чтобы отображение (8) было однолистным в этой области. Если
gzi = ez2, т. е. (?i~z2= 1, то
(п. 6, § 4)
Z\ — Z2 == 2ля{ ^ О
(й-0, ±1, ±2, ...). (9)
Следовательно, для однолист-
однолистности отображения (8) необхо-
необходимо и достаточно, чтобы об-
область D не содержала никакой
пары различных точек, удов-
удовлетворяющих условию (9).
В частности, отображение w = Ц (%\
= е' является однолистным в го-
горизонтальной полосе а < Im z < Рис 37
< Ь, 0 < Ъ - а «? 2я.
Рассмотрим полосу Dt: 0<1тг<2я (рис. 38)'. При отобра-
отображении (8) прямая z — x+iC (С—фиксировано, 0<С<2я;
t-оо <х < +°°), параллельная действительной оси и лежащая в
полосе Di, переходит в линию w = ex+ic = e* ¦ etc, т. е. в луч
arg w = С. Будем двигать прямую z = x + iC параллельно дей-
действительной оси, непрерывно увеличивая С от 0 до 2я. Тогда луч
argM7 = C, являющийся образом прямой z — x+iC, поворачиваясь
против часовой стрелки, опишет всю плоскость w. При этом пря-
прямые z = х(—°° <#<<») и z = z + i ¦ 2я, образующие границу

70
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
полосы Di, отобразятся соответственно на лучи arg w = 0 и
arg w = 2я.
Таким образом, функция w = ег, однолистная в полосе 0 <
<1тг<2я, отображает эту полосу на плоскость с разрезом
по лучу {0, +°о) так, что нижний край полосы переходит в верх-
верхний берег разреза, а верхний край полосы — в нижний берег
разреза.
Заметим, что при отображении (8) отрезок z = Ci + iy (Ct —
фиксировано, 0<1/<2я), лежащий в полосе D± и параллельный
©
Рис. 38
= e
wa = eCle
С* ili
мнимой оси, переходит в «незамкнутую» окружность w = e >е
^ 2я) радиуса eci (точке z4 = C\ соответствует точка
i верхнего берега разреза, а точке z2 = Ct + 2га — точка
2 лежащая на нижнем берегу разреза и совпадающая
геометрически с точкой Wi).
Аналогично можно показать, что полоса D2: 2n<Imz<4n
отобразится функцией w = е* на плоскость с разрезом по лучу
[О, +°°) так, что нижний край.полосы D% перейдет в верхний
берег разреза, а верхний край полосы — в нижний берег разреза.
Точно так же можно установить, что функция w = ег однолистна
в полосе Dk: 2(к— 1)я < Imz<2kn (к — целое) и отображает
эту полосу на плоскость w с разрезом по лучу [0, +<»). Q
3. Понятие конформного отображения.
1. Сохранение угла между кривыми. Пусть функ-
функция w=f(z) дифференцируема в некоторой окрестности точки
z0 и пусть f (zo)?=0. Рассмотрим гладкую кривую у: z = o(f),
a<i^p (рис. 39), проходящую через точку z0 = o(t0), ?oe
е(а, р). Обозначим 8 угол, образуемый касательной к кривой f
в точке z0 и положительным направлением действительной оси
(касательная считается направленной в ту же сторону, что и
кривая). Тогда 8 = arg о' (to).
Пусть i' — образ кривой f при отображении w — f(z), т. е.
"(': w = w(t) = f[o(t)], <x<t<$, а точка w0 — образ точки

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
71.
zo(«>o = /(o"(?o)) = /(z0)). По правилу дифференцирования слож-
сложной функции
wr(t,) = f(z0)a'(t0). A0)
Так как по условию f'(zo)^O и a'(to)^0 (см. § 3), то w'(и)Ф
¦^0, т. е. кривая f' имеет касательную в точке w0. Пусть
arg w'{tu) — 6'. Тогда из A0) находим
6' = arg w' (f0) = arg f (z0) + arg о' (г„),
e' = e + arg/'(z0). A1)
Величина a = 8' — в называется углол поворота кривой f в
точке z0 при отображении w = f(z). Из формулы (И) следует,
Рис. 39
Рис. 40
что если /'(г0)^0, то угол поворота в точке z0 не зависит от
кривой и равен a = arg/'(z0), т. е. все кривые, проходящие через
точку z0, поворачиваются при отображении н> = /(г) (f'(zo)^Q)
на один и тот же угол, равный аргументу производной в точ-
точке z0.
Таким образом, отображение w — j(z), где /(z) — дифферен-
дифференцируемая в окрестности точки г„ функция и /' (г„) Ф 0, сохраняет

72
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
углы между кривыми, проходящими через точку z0, не только
по величине, но и по направлению отсчета (рис. 40).
Пример 5. Найдем угол поворота а при отображении ш —
= /(z) в точке z0.
г —
а) Пусть /(z)=^—Д где Imz0 = y0>0. Тогда
г г
1> W
^
2tlmi,
а = arg/'(z0) = — -у.
б) Пусть /(g)= Z~Zf , где К|<1. Тогда
1 гг
W=0. ?
2. Постоянство растяжений. Пусть функция w = f(z)
дифференцируема в некоторой окрестности точки z0 и f(zo)?=O.
Рассмотрим произвольную точку z кривой ч, расположенную до-
достаточно близко к точке z0 (рис. 41). Обозначим Az = z — z0,
*t
А«? =/(z) —/(zo)
следует, что
u>=f(z)
Рис. 41
¦w0. Из определения производной /'(z0)
~ = /' (z0) + е (Az), где е (Az) + 0 ири Az -^ О,
откуда получаем
или
)• A2)"
Пусть \z — zol = lAzI = р, где р достаточно мало, тогда из
формулы A2) находим, что окружность \z — zol = р переходит

§ 8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ 73
при отображении w = f(z) в кривую, которая мало отличается
от окружности
\w — wo\ =pl/'(zo)|.
Иначе говоря, отображение w = f{z) с точностью до малых более
высокого порядка, чем Дг, растягивает круг |Az|<p в 1/'(гоI
раз.
Величина Hm \ j = к называется линейным растяжением
кривой f в точке z0 при отображении w = f(z). Следовательно,
линейное растяжение в точке z0 не зависит от вида и направле-
направления кривой и равно к = I/' (z0) |.
3. Определение конформного отображения.
Пусть функция /(z) определена в некоторой окрестности точ-
точки z0.
Определение 2. Отображение w — f(z) называется кон-
конформным в точке z0, если оно сохраняет углы между кривыми и
обладает свойством постоянства растяжений в точке г0.
Из полученных результатов вытекает, что если функция /(z)"
дифференцируема в некоторой окрестности точки z0 (регулярна
в точке z0) и f(zo)?=O, то отображение w = f(z) является кон-
конформным в точке z0.
Замечание 1. Условие f{zo)?=O означает, что якобиан
отображения w = / (z) в точке z0 отличен от нуля. В самом деле,
отображение w = / (z) = и + iv эквивалентно отображению
и = и{х, у), v = v(z, у). A3)'
Якобиан / отображения A3) равен
ди dv dv ди
ди
дх
dv
дх
ди
ду
dv
ду
г
-I а.. я.. а_ ду QX ду •
Используя условия Коши — Римана (§7, формулы (8))', но-
лучаем
/'(z) = g + *g., то
J-\f(z)\\ A4X
Таким образом, если /г(г0)ФО, то якобиан J(z0)?=O.
Определение 3. Пусть функция /(z) однолистна в обла-
области D и пусть отображение w = f(z) является конформным в
каждой точке области D. Тогда это отображение называется
конформным.

74 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Из определений 1—2 и свойств производной вытекает, что
если функция /(z)
1) дифференцируема в области D,
2) однолистна в области D,
3) ее производная отлична от нуля в этой области,
то отображение w=f(z) является конформным.
Заметим, что условие 3) вытекает из условий 1) и 2) (см.
§31).
Примеры конформных отображений приведены в п. 2. Линей-
Линейное отображение w = az + Ь (а Ф 0) является конформным во
всей комплексной плоскости. Далее, функция w — zz осуществ-
осуществляет конформное отображение верхней полуплоскости Im z > 0
на плоскость с разрезом [0, +°°). Наконец, отображение w = e'
является конформным в полосе 0 < Im z < 2я.
Более подробно конформные отображения будут изучены в
главе VI.
Замечание 2. Если функция регулярна в точке z0 и
f(zo)=O, то отображение w = f(z) не является конформным в
точке z0. Поясним это утверждение на примере функции /(z)=*
= z%. В точке z0 = 0 производная функции гг обращается в нуль
(/'(z) = 2z). Рассмотрим два луча argz —а и argz = p, выходя-
выходящие из точки z = 0. Их образами при отображении w = z2 явля-
является лучи arg w = 2а и arg w = 2р. Исходные лучи образуют
между собой угол ? —а, а их образы—угол 2(? — а). Следова-
Следовательно, углы в точке z = 0 удваиваются, т. е. отображение w = z*
не является конформным в точке z = 0.
4. Площадь образа области и длина образа
кривой. Пусть функция w = f(z) конформно отображает об-
область D на область D'. Тогда якобиан отображения равен / =
= 1/'BIг» и площадь области D' равна
S (D') = f J du dv = f f | J | dx dy = f f | /' (z) |2 dx dy.
D' D D
Пусть f — кривая, лежащая в области D,. a Y — ее образ при
отображении к> = /(г). Тогда длина кривой f' равна
У'
Замечание 3. Приведем геометрическую интерпретацию
формулы A4). Как известно из курса математического анализа,
величина |/|, где / — якобиан отображения A3), равняется ко-
коэффициенту растяжения площадей при отображении A3), т. е.
при отображении w — f(z) = u + iv. Выше было показано, что
линейное растяжение при отображении w = f(z) не зависит от
направления и равно l/'(zo)|. Следовательно, коэффициент рас-
растяжения площадей равен l/'(zo)|2.

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ 75
§ 9. Интегральная теорема Коша
В этом параграфе будет доказана интегральная теорема
Коши — один из наиболее важных результатов теории функций
комплексного переменного.
1. Теореиа Коши для случая непрерывной производной.
Теорема 1. Пусть функция f(z) дифференцируема в одно-
связной области D и ее производная непрерывна в D. Тогда ин-
интеграл от f(z) no любой замкнутой кривой f, лежащей в области
D, равен нулю:
J/(z)dz = O. A)
V
Доказательство. Если f(z) = u(x, y)+iv(x, у), то по
формуле C) § 5 имеем
где
/х = j и dx — v dy, Jz — j v dx + и dy.
v v
Так как функция /(z) имеет непрерывную производную в обла-
области D, то частные производные первого порядка функций и, v
непрерывны в области D и выполняются условия Коши — Ри-
мана
ди dv ди dv ,nv
Qx ду ду дх
В силу сформулированной в § 6 (п. 2) теоремы из B) следует,
что Л = h = 0. Таким образом, ] / (z) dz = Jx + iJ2 = 0.
v
2. Теорема Коши (общий случай).
Теорема 2 (интегральная теорема Коши).
Пусть функция /(г) дифференцируема в односвязной области D.
Тогда интеграл от /(z) no любой замкнутой кривой f, лежащей
в области D, равен нулю:
J/(z)dz = O. C)
v
Доказательство. Приведем доказательство интегральной
теоремы Коши, принадлежащее Гурса.
1. Докажем сначала теорему для случая* когда кривая f
является контуром треугольника, лежащего в области D. Прове-
Проведем доказательство от противного. Пусть теорема неверна. Тогда
найдется треугольник (контур этого треугольника и сам тре-

76
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
угольник обозначим символом А) такой, что
'f(z)dz
D)
Соединив середины сторон треугольника Д (рис. 42) отрез-
отрезками прямых, разобьем его на четыре треугольника Aw (к =
= 1, 2, 3, 4). Заметим, что
J f(z)dz=\f{z)dz.
д(Ь> А
E)
В самом деле, левая часть E) равна сумме, состоящей из
интеграла по контуру треугольника Д и интегралов, взятых два
раза (в противоположных направ-
направлениях) по каждой стороне тре-
треугольника Д<4) (эти интегралы
взаимно уничтожаются).
Из равенств D) и E) следует,
что по крайней мере для одно-
одного из интегралов в левой части
E) (обозначим соответствую-
соответствующий треугольник Ai) справедлива
оценка
Рис. 42
так как в противном случае
| dz
4'
F)
fc=1
I dz
т. е. а < а, что невозможно.
Далее, разбивая треугольник Д4 указанным выше способом
на четыре треугольника и повторяя предыдущие рассуждения,
найдем такой треугольник Д2, что
1
f(z)dz
Продолжая. этот процэсс, получаем последовательность тре-
треугольников {Д„} такую, что каждый треугольник Д„ содержит
треугольник Дп+1 (л = 1, 2, ...) и имеет место неравенство
f(z)dz
G)

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА KOIHII 77
Формула G) дает оценку снизу для /„. Найдем для /„ оцен-
оценку сверху. Пусть Р — периметр исходного треугольника; тогда
периметр Рп треугольника А„ равен Р/2п и, следовательно, Р„ -*¦
~*~ 0 (и -* оо). Таким образом, последовательность треугольни-
треугольников {А„} является стягивающейся: каждый треугольник Дп со-
содержит все последующие треугольники Дя+1, Дя+2, . -., и пери-
периметр треугольника Д„ стремится к нулю при п -*¦<*>. Отсюда сле-
следует, что существует единственная точка z0, лежащая внутри или
на границе треугольника А и принадлежащая всем треугольни-
треугольникам At, A2, ... По условию, точка z0 принадлежит области D.
Так как функция f(z) дифференцируема в точке z0, то
/B) = /(
откуда
Дп
= / (z0) \dz + f (z0) J z dz — zof (z0) §dz+ \o(z — z0) dz. (8)
Дп Дп Дп Дп
Так как jdz = 0, Jz dz = 0 (§ 5, примеры 1, 2), то из равенства
Дп Дп
(8) имеем
\f(z)dz= §o{z — z0)dz. (9)
Дп Дп
Из определения величины o(z — z0) следует, что для любого
е >0 найдется б = б(е) такое, что для всех z: \z — z0l<6
имеет место неравенство
|o(z — z0) I <e |z — zol. A0)
Выберем п столь большим, чтобы треугольник Дп лежал в круге
Iz — Zol<6. Тогда из (9) и A0) имеем
Л =
Дп
т. е.
^п<8^. A1)
Сравнивая G) и A1), получаем а/4"<еР74п, т. е. а<еР2,
что при а > 0 невозможно, так как г > 0 можно выбрать сколь
угодно малым. Следовательно, а = 0, т. е. равенство C) спра-
справедливо для любого треугольника, лежащего в области D.
2. Пусть теперь в качестве 1 взят контур произвольного замк-
замкнутого многоугольника, лежащего в области D.
Дп Дп

78 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Если многоугольник является выпуклым, то его можно раз-
разбить на треугольники диагоналями, проведенными из одной вер-
вершины. Представляя J= J/(z) dz в виде суммы интегралов, взя-
V
тых по границам треугольников, на которые разбивается данный
многоугольник, получаем / = 0.
Далее, любой многоугольник можно разбить на конечное
число выпуклых многоугольников. Следовательно, и в этом слу-
случае J / (z) dz = 0.
3. Пусть, наконец, f — произвольная замкнутая кривая, ле-
лежащая в области D. По лемме 2, § 5 \ f (z) dz можно с любой
v
точностью приблизить интегралом по замкнутой ломаной,
лежащей в области D, т. е. для любого е > 0 существует замк-
замкнутая ломаная L такая, что
(z)dz— ]f(z)dz
По доказанному выше \ f(z)dz — O и поэтому последнее нера-
венство принимает вид
\f(z)dz
<е, откуда в силу произволь-
ности числа е > 0 заключаем, что j /(z) dz = 0.
v
3. Следствия, дополнения и замечания к теореме Кошн.
Замечание 1. Функция /(z) = — дифференцируема в
кольце 0< Ы < 2, но \ ~Ф^ (§5, пример 3). Этот пример
г|=1
показывает, что требование односвязности области в теореме
Коши существенно.
Следствие 1. Если функция /(г) дифференцируема в од-
носеязной области D, то интеграл от /(г) не зависит от пути ин-
интегрирования. Именно, если кривые f, ^i лежат в области D и
имеют общие начало и конец, то
Таким образом, кривую "f можно деформировать в области D
(оставляя концы неподвижными), не меняя значения интеграла.
Используя следствие, приведенное в § 6. п. 2, получаем тео-
теорему 3, которая также называется интегральной теоремой Коши.

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОНШ 79
Теорема 3. Если функция /(z) дифференцируема в обла-
области D, а кривые fi и ^2 гомотопны в области D, то
Область D может быть и неодносвязной.
Теорема Коши остается в силе и для случая, когда кривая f
является границей области D. Приведем формулировку теоремы
Коши для этого случая.
Теорема 4. Пусть D — ограниченная односвязная область
с кусочно гладкой границей Г и пусть функция /(z) дифферен-
дифференцируема в области D и непрерывна вплоть до ее границы. Тогда
\ f (z) dz = 0.
г
Доказательство теоремы 4 вытекает из теоремы 2 и лем-
леммы 3, § 5.
Утверждение теоремы 4 остается в силе и для многосвязных
областей.
Следствие 2. Пусть граница Г многосвязной области D
состоит из замкнутой кусочно гладкой кривой Го и попарно не
пересекающихся замкнутых кусочно гладких кривых 1\, Г2, ...
..., Г„, расположенных внутри Го, и пусть функция f(z) диф-
дифференцируема в области D и непрерывна вплоть до ее границы.
Тогда
\t(z)dt+ 2 \f(z)dz = O. A2)
г fe=1 r
г„
Кривые Го, Г4, ..., Г„ ориентированы так, что при обходе
каждой из этих кривых область D остается слева.
Доказательство. Соединим кривую Го с кривыми Г4,
Г2, ..., Гп разрезами ^i, Ъ> • • •» 7» (рис. 43) так, чтобы получив-
получившаяся область D была односвязной. Граница Г области D
состоит из кривых Го, Г4, ..., Гп и разрезов fi, Та, ..., 'in. По
теореме 4 J / (z) dz — 0. Учитывая, что интегрирование по каж-
г
дому разрезу ^ (к = 1, 2, ..., п) совершается два раза (в про-
противоположных направлениях) и, следовательно, J / (z) dz = 0,
Vft
получаем формулу A2).
Отметим частный случай следствия 2. Пусть функция /(z)
дифференцируема в области D (не обязательно односвязной) и
пусть ч и *Y» — простые замкнутые кривые (одна из них лежит
внутри другой), образующие границу области Di^zD (рис. 44).

80
Тогда
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
= \j{z)dz.
A3)
В формуле A3) обход кривых f и ft совершается в одном и том
же направлении. Из равенства A3) следует, что если замкнутый
контур f произвольно деформируется в области, где функция
Рис. 43
Рис. 44
/(z) дифференцируема, то величина интеграла j j(z)dz при этом
v
пе меняется.
4. Интеграл и первообразная. Пусть функция /(z) определе-
определена в области D, а функция F (z) дифференцируема в этой обла-
области. Если F'(z) = /(z) для всех z^D, то функция F(z) назы-
называется первообразной функции f(z) в области D.
Теорема 5. Если функция f(z) дифференцируема в одно-
связной области D, то она имеет в этой области первообразную.
Доказательство. Рассмотрим функцию
A4)
где интеграл берется по любой кривой, лежащей в области D.
Так как интеграл A4) не зависит от пути интегрирования (след-
(следствие 1), то функция F(z) однозначна в области D. Покажем,
что F{z) есть первообразная функции /(z), т. е.
-(//©«)'-

§ 9. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА КОШИ 81
Пусть z + Az — точка области D, лежащая в достаточно ма-
малой окрестности точки z^D. Рассмотрим отношение
_
Ч Ч ) z
A5)
„ F{z + Az)—F(z),,.
Покажем, что разность а = д- / B) стремится
к нулю при Az -*- 0.
г+Дг
+
Так как j dt, = Az (§ 5, пример 1), то
= /(*). A6)
Используя независимость интегралов A5) и A6) от пут»
интегрирования, возьмем в качестве пути интегрирования отре-
отрезок, соединяющий точки z и z + Az. Тогда
откуда
В силу непрерывности функции /(z) в точке z для любого е>0
найдется б = б(е)>0 такое, что при \z — 51<б имеет место
неравенство
Так как в A7) % принадлежит отрезку [z, z + Az], то \z — tl ^
^ lAz| и, следовательно, неравенство A8) справедливо, если
|Az| <б. Из A7) и A8) получаем | а 1 <С р-г—ге j Az |, т. е. lal<ef
если |Az|<6. Следовательно, существует
lim
Д2->0
т. е. F'(z) = /(z). Теорема доказана.
Из доказательства теоремы 5 вытекает
Следствие 3. Пусть функция f(z) непрерывна в области
D, и интеграл от этой функции по любой замкнутой кривой, ле-
6 Ю. В. Сидоров и др.

82 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
жащей в области D, равен нулю. Тогда функция F (z) = J / (?) dt,
*»
есть первообразная функции f(z).
Заметим, что если F(z) — первообразная функции /(г) в об-
области D, то функция F(z)+C, где С — произвольная комплекс-
комплексная постоянная, также является первообразной функции /(z) в
области D. Справедливо и обратное утверждение, а именно,
имеет место следующая
Теорема 6. Совокупность всех первообразных функции
f(z) в области D определяется формулой F±(z) + C, где F,(z) —
какая-нибудь первообразная функции f(z), а С — произвольная
постоянная.
Доказательство. Пусть ^(г) и Fz(z)—две первообраз-
первообразные функции /(z) в области D. Тогда функция F(z) = F2(z) —
— Fi(z) = u + iv есть постоянная в области D. Действительно,
по условию F' (г) = F'2 B) — F[ B) = / (г) — / (г) = 0 для всех
z^D. Отсюда следует (§ 7, формулы (8), (9)), что ^ = -щ =
= JL = _!! = 0 в области D, и по известной теореме из курса
математического анализа получаем F(г) = const, т. е. F2(z)' ¦*»
= Fi(z)+ С, где С — комплексная постоянная.
Следствие 4. При условиях теоремы 5 любая первообраз-
первообразная F(z) функции f(z) выражается формулой
Z + C, A9)
где С — комплексная постоянная.
Следствие 5. При условиях теоремы 5 имеет место фор-
формула Ньютона — Лейбница
(?) d? = F (zx) - F (z0). B0)
Доказательство. Полагая в формуле A9) z = zb полу-
получаем C = F(zo). Взяв, далее, в A9) 2 = г„ находим
i i
= 1 /@ dt + C = $f®dt + F(z0),
откуда и вытекает равенство B0).
Следствие 6. Если функции /(z) и g(z) удовлетворяют
условиям теоремы 5, то справедлива формула интегрирования

§ 10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 83
по частям:
Доказательство. Интегрируя тождество /g' = (/g)' —
— gf и пользуясь формулой
= f (Zl) g (Zl) - / Bo) g (z0) =
1
J
получаем равенство B1).
Отметим, что интегралы от дифференцируемых элементар-
элементарных функций комплексного переменного в односвязной области
вычисляются с помощью тех же методов и формул, что и в слу-
случае действительных функций. Так, например,
г»
|* -п+1 _ zn+l
*? - егз - /i; J lndl = 2 w + 11 (л > 0 — целое).
Пример 1. Функция /(z)= 1/z дифференцируема в неод-
носвязной области D: 0<|z|<°°. Пусть D — односвязная об-
область и пусть В cr D. Тогда функция
i
где интеграл берется по любой кривой, лежащей в области 2J,
является в силу теоремы б первообразной для функции /(z) и
F' (z) = 1/z. Однако, функция
неоднозначна в области D, так как \ -р=2я?=^=0. у
§ 10. Интегральная формула Коши
Из интегральной теоремы Коши вытекает одна из важней-
важнейших формул теории функций комплексного переменного — ин-
интегральная формула Коши.
Теорема. Пусть функция /(z) дифференцируема в одно-
связной области D и пусть простая замкнутая кривая у лежит
в D и ориентирована положительно. Тогда для любой точки z,
6*

84
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
лежащей внутри у, справедлива формула
A)
Формула A) называется интегральной формулой Коши.
Доказательство. Функция /(?)/(?—z) дифференци-
дифференцируема по ? в области D с выколотой точкой г. Выберем р так,
чтобы круг \%—z\ < р вместе с его границей Ср: |? — z\ = р
лежал внутри f. Тогда, используя следствие 2 из интегральной
теоремы Коши (§ 9, формула A3)), получаем (рис. 45)
р
- 2Hi J
c
1 Г ^
c
где Jx — 2^-.
3) , то
¦а%. Так как ^—. \ т-~^= * (§ •*, пример
Ш сп
B)
и поэтому для доказательства формулы A) достаточно устано-
установить, что Л = 0.
В силу непрерывности функции /(?) в точке z для любого
е >0 найдется такое б = б(е)>0, что неравенство 1/(?) —
— f(zi) I < e выполняется при
IS — zl < б. Следовательно,
г |< JL Г
/(»-/(*)!
если р < б. Учитывая, что Л
не зависит от р, получаем
/, = 0, т. е. / = /(z). Формула
A) доказана.
Рис 45 Замечание 1. Пусть!) —
ограниченная односвязная об-
область с кусочно гладкой границей Г и пусть функция /(z) диф-
дифференцируема в области D и непрерывна вплоть до ее границы.
Тогда для любой точки 2, лежащей внутри D, имеет место

§ 10. ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА КОШИ 85
формула
Формула C) доказывается так же, как и формула A); при этом
используется теорема 4 § 9. Эта формула остается в силе и в
том случае, когда D — многосвязная область. Доказательство
формулы C) для случая многосвязной области аналогично до-
доказательству формулы A2) § 9.
G помощью формулы C) значение функции /(z) внутри об-
области выражается через ее значения на границе этой области.
Отметим частный случай формулы C). Пусть функция f(z)
дифференцируема в области D и пусть ^ и fi — простые замк-
замкнутые кривые (ft лежит внутри ^), образующие границу обла-
области Di<^D (см. рис. 44). Тогда для любой точки zefl, спра-
справедлива формула
В формуле D) кривые f и fi ориентированы положительно.
Замечание 2. Если в правой части формулы_ C) z при-
принадлежит внешности кривой Г, т. е. z лежит вне D, то подын-
подынтегральная функция дифференцируема по % всюду в D и по
теореме Копш интеграл равен нулю. Таким образом
2яг J ; - z "ь ~ \ 0, z вне D.
Теорема о среднем. Пусть функция f(z) дифференци-
дифференцируема в круге К: \z — zol <R и непрерывна в замкнутом круге
К. Тогда значение этой функции в центре круга равно средне-
среднему арифметическому ее значений на окружности, т. е.
^zo) = lj/(zo + ^)rfcp. E)
о
Доказательство. Пусть в формуле C) Г есть окруж-
окружность радиуса R с центром в точке z0. Тогда
I = z0 + Re'4, 0 < ф < 2я, dt, = i Re^dy,
о jr
i f/(Pde. i f /('.
°
2Я
Формула E) доказана.

86 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема о среднем для гармонических функ-
функций. Пусть функция
u(z)=u(x, у), z = x + iy,
гармоническая в круге К: \z— zo| <R, непрерывна в замкнутом
круге К. Тогда
2Л
ui^^T^u^ + Re^dy. F)
о
Доказательство. Пусть /(z)— регулярная в круге К
функция такая, что Re/(z)= u(z).
По теореме о среднем
/(z0) = ^J/(z0 + p^)d9, 0<р<Д. G)
о
Отделяя в формуле G) действительные части, имеем
2Я
о
откуда, переходя к пределу при р -+¦ R, получаем формулу F).
§ 11. Степенные ряды
1. Область сходимости степенного ряда. Степенным рядом
называется ряд вида
оо
2 сп (z — а)пх A)
где а, с„ (п = 0, 1, 2, ...) — заданные комплексные числа, z —
комплексное переменное. При а = 0 ряд A) имеет вид
оо
2 с„2». B)
Очевидно, все свойства степенных рядов вида B) справедливы
и для рядов вида A).
Областью сходимости степенного ряда B) называется мно-
множество всех точек 2, в которых ряд B) сходится. Точка 2 = 0
всегда принадлежит области сходимости степенного ряда B).
Существуют степенные ряды, которые сходятся только при
2 = 0 (пример 3).
Пример 1. Ряд 2(—1)П2" сходится при Ы < 1 и рас-
ходится при \z\ > 1. Q

§ 11. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ 87
Пример 2. Ряд 2~~ сходится во всей комплексной пло-
n=o n
скости, так как для любого z можно указать такое п0, что при
п>щ имеет место неравенство \z/n\ < 1/2, т. е. \zn/nn\ < 1/2",
откуда вытекает сходимость ряда в точке z. []
Пример 3. Ряд 2 пП%п сходится лишь при z = О, так как
П=0
если z?=0, то при «> l/|z| имеем \nz\ >1 и \nz\" > 1 (не вы-
выполняется необходимое условие сходимости ряда). Q
Теорема 1 (теорема Абеля). Если степенной ряд
B) сходится в точке z0 Ф 0, то он абсолютно сходится в круге
Ко: |z| < |zol, а в любом меньшем круге Кг: \z\ ^ /?, < |zo| этог
ряд сходится равномерно.
Доказательство. В силу сходимости ряда B) в точке
ze имеем lim cnz% = 0 и, следовательно, существует такая посто-
П-»оо
янная М > 0, что для всех п имеет место неравенство | сп% \<.М,
Пусть z — произвольная точка круга К<>. Тогда
C)
где q — Iz/zd < 1, и из C) вытекает абсолютная сходимость
ряда B) в круге Ко-
Если z^Ku то |cnz"|<Af |z/zo|n<Afg", где д, = Д1/|20|<1
не зависит от z, и по признаку Вейерштрасса ряд B) сходится
равномерно в круге Кг.
Пусть R — точная верхняя грань расстояний от точки г = О
до точек 2, в которых ряд B) сходится. Тогда при \z\ > R этот
ряд расходится. Из теоремы Абеля вытекает
Следствие 1. Ряд B) сходится в круге К: \z\ <R, а в
любом меньшем круге \z\^Rx<.R этот ряд сходится рав-
равномерно.
Круг К называется кругом сходимости, а его радиус R —
радиусом сходимости ряда B). В точках окружности \z\ = R
ряд B) может как сходиться, так и расходиться. Если ряд
B) сходится только при 2 = 0, то его радиус сходимости
R = 0, а если он сходится во всей комплексной плоскости,
то R — °°.
' Радиус сходимости ряда B) определяется формулой Коши —
Адамара
R = l/l, 1 = ШУ\с^\. D)
Доказательство формулы D) см. в {1].

88 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦШ1
Рассмотрим ряд
оо
S псп*"-1, E)
п=х
составленный из производных членов ряда B). Так как
Km У п = 1, то из D) вытекает
П-»оо
Следствие 2. Радиус сходимости ряда E) равен радиусу
сходимости ряда B).
2. Почленное дифференцирование степенного ряда.
Теорема 2. Пусть радиус сходимости степенного ряда
/B)=SV F)
равен R (R?=0). Тогда этот ряд можно почленно дифференци-
дифференцировать в круге |z| < R любое число раз. Получаемые при диф-
дифференцировании ряды имеют тот же радиус сходимости, что и
ряд F).
Доказательство. Рассмотрим ряд
S B) =
П=1
составленный из производных членов ряда F). В силу следст-
следствия 2 ряд G) сходится равномерно в круге Kt: |z|=Si?i<i? в
его сумма S(z) непрерывна в Kt. Покажем, что функция /(z)
дифференцируема в круге К± и
S(z) = f(z). (8)
Пусть у — произвольная кривая, лежащая в круге Ki и соеди-
соединяющая точки 0 и z. Тогда (§9)
zfe+1
о
Следовательно,
г
J лспГ-^Е = cnzn, л=1, 2, ... (9)
о
Интегрируя почленно по кривой ^ (п. 2 § 5) равномерно
сходящийся ряд G) и учитывая, что интеграл J?(Qd? не за-
0
висит от пути интегрирования, получаем
f S @ dS = S f вс„Г"Ч =
"=1
"=1

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 89
Из A0) и F) находим
Z
J 5 (9 # = /(*)-(*,.
Z
В силу следствия 3 § 9 функция J S (Q d? является первооб-
о
разной для функции S(z) и, следовательно, 5(z)=/'(г). Таким
образом, функция /(z) дифференцируема в круге Kv и имеет
место равенство (S), т. е. ряд F) можно почленно дифферен-
дифференцировать в круге Ki. Но радиус i?4 круга Kt можно взять сколь
угодно близким к R, и поэтому ряд F) можно почленно диф-
дифференцировать в' круге К.
Операцию почленного дифференцирования, очевидно, можно
применить к ряду F) любое число раз. Теорема доказана.
Следствие 3. Коэффициенты сп степенного ряда
/(*)= 2 *«(*-«)", A2)
п=о
сходящегося в круге К: \z — a|<i? (R?=0), определяются
формулами
co = /(a), cn = ^)(n=l,2, ...). A3)
Доказательство. Применяя теорему 2 к степенному ря-
ряду A2), получаем
/<"'(z) = n!cn+(n + l)!cn+1B-a)+... A4)
для всех z^K. Полагая в A4) и A2) z = a, приходим к фор-
формулам A3).
Из формул A3) вытекает единственность разложения функ-
функции в степенной ряд.
V^ rn^ (а)
Степенной ряд ^ -—р-^ (z -- a)n называется рядом Тейлора
71=0
0
функции j{z). Таким образом, всякий степенной ряд A2) в его
круге сходимости есть ряд Тейлора суммы этого ряда.
§ 12. Свойства регулярных функций
Определение регулярной функции было дано в § 7 (п. 4).
В этом параграфе будет доказана эквивалентность понятий диф-
ференцируемости и регулярности в области и рассмотрены свой-
свойства регулярных функций.
1. Регулярность дифференцируемой в области функции.
Теорема 1. Если функция f(z) дифференцируема в обла-
области D, то она регулярна в этой области.

90
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Доказательство. Пусть % = а — произвольная точка об-
области D. Рассмотрим круг К: \z — а\ < р, р>0, лежащий в об-
области D вместе со своей границей V- it — а! = р. Пусть z —
произвольная точка круга К. В силу интегральной формулы
Коши
<«
Разложим функцию f~zrz B РЯД (геометрическую прогрессию)
по степеням z — а:
1
i i :
\ — 2
=nr -2d
Если t, <= 7р, to
U-«I = p,
(« - a)"
" — a)n+1"
•<1,
B)
и, следовательно, ряд B) сходится равномерно по ? на окруж-
окружности fp (признак Вейерштрасса). Ряд
Ш.-
t @
{
полученный из ряда B) умножением на /(?), также сходится
равномерно на ^р, так как функция /(?) непрерывна и, следова-
следовательно, ограничена на ^р- Интегрируя почленно по fp ряд C),
в силу равенства A) получаем
п=о
где
Ряд D) сходится в круге К: \z — а\ < р, а это означает, что
функция f(z) регулярна в точке а. Так как а — произвольная
точка области D, то функция /(г) регулярна в области D. Тео-
Теорема доказана.
Из теоремы 1 и теоремы 4 § 7 вытекает
Следствие 1. Для того чтобы функция /(z) была регу-
регулярна в области D, необходимо и достаточно, чтобы она была
дифференцируема в этой области.
Таким образом, в области D понятия дифференцируемое™ и
регулярности эквивалентны. Отсюда и из свойств дифференпи-

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 91
руемых функций (§ 7), в частности, вытекает, что если функции
/(г) и g(z) регулярны в области D, то их сумма, произведение
и частное (при условии g(z)?=0) также регулярны в области/).
Аналогично, если функция /(z) регулярна в области D,
а функция F(w) регулярна в области G и если множество зна-
значений функции w = f(z) (z^D) принадлежит области G,
то функция Ф(я) = F[f(zI регулярна в D.
Из доказательства теоремы 1 вытекает
Следствие 2. Ряд D) заведомо сходится в круге \z — a\<
< Ri, где Rt — расстояние от точки z = а до границы области
D, в которой функция /(z) дифференцируема.
Поэтому радиус сходимости степенного ряда D) не меньше,
чем Ri.
Следствие 3. Если функция /(z) регулярна в круге К:
\z — а\ < R, то она представляется рядом Тейлора
п=о
сходящимся во всем круге К.
Следствие 4. Если функция /(z) регулярна в точке
z = а, то она регулярна в некоторой окрестности этой точки.
Доказательство. Регулярная функция /(z) представля-
представляется в некотором круге К: \z — а\ < р сходящимся рядом D)
и, следовательно, дифференцируема в этом круге (§ 11, теоре-
теорема 2). Но по теореме 1 функция f(z) регулярна в круге К. Это
означает, что если z0 s К, то
п=о
Полученный ряд сходится в некотором круге \z — zol<pi,
Pi > d, где d — расстояние от точки z0 до границы круга К.
Замечание 1. Функция, дифференцируемая в точке z = a,
не обязана быть регулярной в этой точке, так как регулярная
в точке z = а функция дифференцируема не только в самой
точке z = а, но и в некоторой ее окрестности. Так, функция
/B)=? дифференцируема только при 2 = 0 (§ 7, пример 3, в)
и поэтому не является регулярной в точке z == 0.
2. Бесконечная дифференцируемость регулярной функции.
Теорема 2. Если функция f(z) дифференцируема в обла-
области D, то она бесконечно дифференцируема в этой области.
Имеет место формула
где Yp — граница круга \% — z\ ^ p, лежащего в области D.

92 ГЛ. П. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Доказательство. По теореме 1 функция /(z) регулярна
в области D. Пусть z = а е D. Так как функция /(z) регулярна
в точке z = а, то
/B)= Sen (z -a)-, G)
п=о
где ряд G) сходится в некотором круге Iz — а|<р (р>0).
Согласно теореме 2 § 11 ряд G) можно почленно дифференци-
дифференцировать в круге Iz — а|<р любое число раз и, в частности
(см. формулы A3) § И),
с0 = /(а), сп = ^ (и = 1, 2, .. .)• (8)
С другой стороны,
_/<">(«) _J
откуда, заменив а на г, получаем формулу F).
Из этой теоремы, в частности, следует, что производная ре-
регулярной функции есть регулярная функция.
Замечание 2. Равенство F) формально получается из
интегральной формулы Коши
если продифференцировать ее левую и правую части п раз.
Замечание 3. Если функция /(z) дифференцируема в ок-
окрестности точки а, то она регулярна в точке а (теорема 1) и
представляется степенным рядом, который является рядом Тей-
Тейлора для f(z) (§11, следствие 3). Таким образом, формальный
ряд Тейлора
для функции /(z), дифференцируемой в окрестности точки а,
сходится к этой функции в некоторой окрестности точки а. Ана-
Аналогичное утверждение для функций действительного перемен-
переменного не имеет места. Например, функция
х = 0
всюду дифференцируема и имеет все производные в точке х = 0г
равные нулю, и, следовательно, все коэффициенты ряда Тейло-
Тейлора для f(x) в точке х = О равны нулю, однако f(x)?^O.

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 93
Из теоремы 2 и п. 3 § 7 вытекает
Следствие 5. Гармоническая в области функция беско-
бесконечно дифференцируема.
3. Достаточные условия регулярности. Теорема 1 утвержда-
утверждает, что достаточным условием регулярности функции /(г) в
области D является дифференцируемость этой функции. Рас-
Рассмотрим другие достаточные условия.
Теорема 3 (теорема Морера). Пусть функция f(z)
непрерывна в односвязной области D и пусть интеграл от функ-
функции f(z) no любому замкнутому контуру, лежащему в D, равен
нулю. Тогда функция f(z) регулярна в области D.
Доказательство. В силу следствия 3 § 9 функция /(z)
имеет первообразную, т. е. существует дифференцируемая функ-
функция F(z) такая, что F'(z) = f(z) для всех z^=D. Согласно тео-
теореме 1 функция F(z) регулярна в области D, и, следовательно,
ее производная — регулярная в D функция, т. е. функция/(z) =
= F' (z) регулярна в области D.
Теорема 4 (первая теорема В ей е р ш тр а сса).
Пусть функции fn(z) (п = 1, 2, ...) регулярны в области D, и
пусть ряд
/(*)=S/n(s) (9)
равномерно сходится в каждой замкнутой области, лежащей
в D. Тогда функция /(z) регулярна в D.
Доказательство. Пусть z0 — произвольная точка обла-
области D. Рассмотрим круг К: \z — z0l<6, лежащий вместе со-
своей границей в области D. По условию, ряд (9) равномерно
сходится в Ж, а значит, и в К. Кроме того, функции /n(z) (n =
= 1, 2, ...) регулярны и, следовательно, непрерывны в К. По-
Поэтому функция /(z) непрерывна в К как сумма равномерно схо-
сходящегося ряда, составленного из непрерывных функций.
Пусть f — любой замкнутый контур, лежащий в круге К,
Интегрируя почленно равномерно сходящийся на f ряд (9)г
получаем
(z)Jz= 2 J/nB)<fe.
По итегральной теореме Коши J fn(z)dz = 0 (п = 1, 2, ...) и,
следовательно, J / (z) dz = 0. В силу теоремы Морера, функция
v
/(z) регулярна в круге К и, в частности, в точке z0. Так как
z0 — произвольная точка области D, то функция /(z) регулярна
в области D. Теорема доказана.

94 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Теорема 5 (вторая теорема В ейершт р а с са).
В условиях предыдущей теоремы ряд (9) можно дифференци-
дифференцировать почленно любое число раз. Получаемые при_ этом ряды
равномерно сходятся в каждой замкнутой области Diy лежащей
в области D.
Мы ограничимся формулировкой второй теоремы Вейер-
штрасса (доказательство ее содержится, например, в [И]).
Другие достаточные условия регулярности, относящиеся к
интегралам, зависящим от параметра, будут даны в § 15.
В заключение п. 3 приведем краткую сводку основных
свойств регулярных функций. Заметим, что наряду с термином
«регулярная функция» в литературе используются другие экви-
эквивалентные термины:
{регулярная функция)^\голоморфная функция)=
^{однозначная аналитическая функция).
Критерии {необходимые и достаточные условия) регулярно-
регулярности функции f(z) в области D:
1) дифференцируемость функции /(z) в области D;
2) условия Коши — Римана.
Достаточные условия регулярности функции f(z) в области
D дают теорема Морера и первая теорема Вейерштрасса.
Свойства регулярных функций:
1) сумма, разность, произведение регулярных функций f(z)
и g(z), а также их частное (при g(z)?=O) и суперпозиция яв-
являются регулярными функциями;
2) регулярная функция бесконечно дифференцируема;
3) для регулярной функции справедливы интегральная тео-
теорема Коши и интегральная формула Коши;
4) первообразная регулярной в односвязной области функ-
функции регулярна.
4. Некоторые приемы разложения в степенной ряд. Всякая
функция /(г), регулярная в круге \z — а\<р, разлагается в
сходящийся в этом круге (см. следствие 3 из теоремы 1) сте-
степенной ряд
/B)=2с„B-а)«, A0)
п—о
где коэффициенты сп определяются формулами
cn = ±f-n){a) (И)
или
с» = 2^ I (tZ^Fi^ Pl<P. A2)
IS-o|=Pl ^ ;
Этот степенной ряд является рядом Тейлора функции /(г) в
окрестности точки z = a.

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 95
Непосредственным вычислением производных от элементар-
элементарных функций ez, sin z, cos z, sh z, ch z в точке z = 0 (§ 7, фор-
формулы A4), A5), A6)) получаются следующие сходящиеся во
всей комплексной плоскости разложения:
n=o
2°° (_1
BВ
B+ D1 '
n=o n=o
00
shz= 2i Bre + l)!' chz = 2i ~Щ\-
n=o v ' ' n=o
Напомним также ряд
n=o
сходящийся в круге Ul < 1.
Заметим, далее, что для нахождения коэффициентов ряда
A0) формулы A2) обычно не используются. Часто коэффици-
коэффициенты ряда Тейлора находят, используя известные разложения
(в частности, формулы A3) —A6)) и применяя различные ис-
искусственные приемы.
Пример 1. Ряд
\L z> n=o
получается дифференцированием ряда A6). Q
Пример 2. Для нахождения ряда Тейлора в окрестности
точки z = 0 рациональной функции
представим ее в виде
J_ / 1 + 1 \ = J_ Г_1_ +
откуда в силу формулы A6) получим ряд
сходящийся в круге |zl < 1. []

96 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Приведем некоторые приемы разложения в степенной ряд.
1. Арифметические операции над степенны-
степенными рядами. Пусть функции /(z) и g(z), регулярные в ок-
окрестности точки z = а, представляются рядами
/(*)=Scft(z-a)», A7)
*(*)= 2 d» (*-«)". A8)
П=0
где ряды A7) и A8) сходятся в круге \z— a\<R. Тогда име-
имеют место разложения
00
Af (г) = 2 Асп (z — а)п, Л = const, A9)
f(z)±g B) = S (c« ± dn) (* - a)", B0)
71=0
2 2 (* - af. B1)
n=o \fe=O /
Ряды A9) —B1) сходятся в круге \z — a\ <R.
Пример 3. Чтобы разложить в ряд в окрестности точки
z = 0 функцию ezcosz, можно перемножить ряды A3), A4).
Однако для эффективного вычисления коэффициентов разложе-
разложения удобнее использовать тождество
(piz -I- p~iz\ i
—~—1 = -i-
Так как 1 + i = У2 е'п/4, 1 — г = У2 e"W4, то в силу A3) полу-
получаем разложение
" = 2 -Т^Г C0ST 2 '
сходящееся во всей комплексной плоскости. []
2. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим задачу об отыскании коэффициентов ряда Тейлора
в окрестности точки z — a функции /(z), равной отношению
двух регулярных функций ( / (г) = -^-п\) > ряды Тейлора кото-
которых известны (h(a)?= 0). Если
00 00
/(«) = S сп(я- о)», *(z) = 2 anB- a)",
n=0 n=o
n=o

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 97
то, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях раз-
разности z — а в равенстве f(z)h(z)=g(z), получаем уравнения
вида cobn + Cibn-i + ... + cnb0 = an, из которых можно последо-
последовательно найти коэффициенты с0, с„ с2 и т. д.-Нетрудно полу-
получить выражение для сп через коэффициенты аа, а,, ..., а„ и
Ьо, Ъи ..., Ъп в виде определителя (см. A1]).
Пример 4. Применив метод неопределенных коэффициен-
коэффициентов к функции 737' ПОЛУЧИМ
тЬ -г!?*- <22>
е 1 П=0
Здесь 5„ — числа Бернулли, определяемые из соотношений
Во = 1, С°п+1В0 + С1п+1В1 + ... + С1+1Вп = 0 (п> 1), где С^+1
(& = 0, 1, ..., тг)—биномиальные коэффициенты. Ряд B2) схо-
сходится в круге \z\ < 2я.
Используя тождество
cos г _ . e2iz + 1 _ t 21
и формулу B2), получаем разложение
¦ i)n 2Д22п (|г|<;л;). П B3)
3. Ряд степенных рядов. Пусть
00
/(*)= 2/«(*)< B4)
П=1
где все ряды
со
/п (я) = 2 4А) (г — a)ft (га =1,2, ...) B5)
сходятся в одном и том же круге К: \z — а\ < р и, кроме того,
ряд B4) равномерно сходится в каждом круге \z — а\ =? р1; где
pt < р. В силу теорем Вейерштрасса имеем
откуда
y
n=i n=i
/W = 2^B-a)J=2(l 4Й)) B - «jft. B6)
4. Подстановка ряда в ряд. Рассмотрим функцию
/(z)=g(A(z)], где функция w = h(z) регулярна в круге К^.
7 Ю. В. Сидоров и др.

98 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
\z—а\ < Ru а функция g(w) регулярна в круге К: \w ^-b\ <
< R, причем h(a)— Ъ. Пусть
g(w) = S Ьп (w - b)n, h(z) = 2 ««(z - a)"
— степенные ряды для функций g(w) и h(z).
Так как функция h(z) регулярна в круге К,, то существует
круг К2: \z — a\ <R-i^Rl такой, что \h(z) — h(a) I <R, т. е.
\w — b\ < R. Функция /(z) регулярна в круге Кг как суперпо-
суперпозиция регулярных функций. Коэффициенты разложения / (z) =
оо
= 2ck (z — «^определяются формулами B5) — B6), где /„ (г) =
fe=O
= bn[h(z)— b]n, так как
f(z)^g (w) = 2 Ьп (w - Ъ)п = 2 &n [А (г) - *>Г. B7)
п=о »г=0
Полученный ряд
/(*)= 2 bn[k(z)-b]n= 2 cft(z-«)A B8)
заведомо сходится в круге \z — a\ <R2, где i?2 выбирается так,
чтобы при \z — a\<R2 выполнялось условие \w — b\ =
= \h{z) — b\<R.
5. Переразложение степенного ряда. Отметим
следующий частный случай подстановки ряда в ряд. Пусть ряд
/(*)= Sen (*-«)» B9)
п=0
сходится в круге К: \z — a\<R и пусть b — некоторая точка,
лежащая в круге К. Представим z — а в виде
2_a = (b_a) + (z—Ь). C0)
Из B9) и C0) имеем
/ (г) = 2 Сп [(г -Ъ) + (Ь- а)]». C1)
П=0
Если |z —Ь|<р, где р — R — \Ь — а\, то |z —al<i? и, при-
применяя метод подстановки ряда в ряд, из C1) получаем раз-
разложение
C2)
п=0
сходящееся в круге \z— b] < p.
5. Нули регулярной функция. Точка z = а называется нулем
регулярной функции f(z), если /(а) = 0.

§ 12. СВОЙСТВА РЕГУЛЯРНЫХ ФУНКЦИЙ 99
1. Пусть а Ф оо — нуль функции / (z). Рассмотрим разложе-
разложение функции /(z) в степенной ряд в окрестности точки z = а:
f(z)=Ilcn(z-a)n. C3)
п=о
Так как точка z = а — нуль функции /(z), то со = /(а) = О.
Пусть в формуле C3) ст — первый отличный от нуля коэффи-
коэффициент разложения (с0 = ct = ... = cm-t — 0, стФ0), т. е.
/(z) =Cm(z — a)m + cm+l(z — a)m+1 + .. ., cm ф 0. C4)
Тогда число т называется порядком (или кратностью) нуля
z = a функции /(z). Так как ch = /w(a)/(ft!) (ft = 1, 2, ...), то
порядок нуля z = а функции f(z) равен наименьшему порядку
производной этой функции, отличной от нуля в точке z = а.
Равенство C4) можно записать в виде
j (%\ ^ /^ п\ mJ"? -\~ С (Z ^Л -4— 1 C51
где ряд A(z)= cm+cm+,(z — а)+... сходится в том же круге,
что и ряд C4). Следовательно, функция h(z) регулярна в точке
z = а, причем h(a)= cm ?=0. Итак, если z = a — нуль порядка пг
функции /(z), то справедлива формула
где функция h(z) регулярна в точке z — а.
Обратно, если функция /(z) представляется в виде C6), где
функция h(z) регулярна в точке z = a, то имеют место форму-
формулы C5) и C4), т. е. точка z = a является нулем порядка тп
функции /(z).
2. Пусть z = оо — нуль функции /(z). Так как функция /(z)
регулярна в точке z = °° (п. 4 § 7), то
00
/(*) = ео+2-?- <37)
По условию, Со=/(оо) = 0. Пусть ст — первый отличный от ну-
нуля коэффициент ряда C7), т. е. с, = с2 = ... = cm_t = 0, по
с™ Ф 0 (число тп называется порядком нуля z = оо функции
/(z)). Тогда
i^T^^) C8)
ТТ=771
откуда
, ^,(oo)=Cm^0, C9)
где функция ip(z) регулярна в точке z = °°.
7*

100 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Обратно, если функция /(г) представляется в виде C9), где
т >1 — целое, a i|)(z)— регулярная в точке z = <» функция,
то имеет место формула C8), т. е. точка ъ = °° является нулем
порядка т функции f(z). Таким образом, доказана
Теорема 6. Точка аФ<х> тогда и только тогда является
нулем порядка тп функции f(z), когда эта функция представ-
представляется в виде f(z) = (z—a)mh(z), где функция h(z) регулярна
в точке а и h(a)?:0.
Аналогично, представление функции /(z) в виде /(z) =
= z~mi|)(z), где ty(z)—регулярная в точке z = <» функция,
if (оо) Ф 0, m > 1—целое, является необходимым и достаточным
для того, чтобы точка z = °° была нулем порядка тп функ-
функции /fz).
Следствие 6. Если точка а является нулем порядка m
для функции f(z), то для функции g(z) = {/(z)]p (р>1—це-
(р>1—целое) эта точка является нулем порядка ртп.
Замечание 4. Вытекающая из равенства C6) асимптоти-
асимптотическая формула
f{z)~cm{z-a)m, cm?=0 (z-*a) D0)
является необходимым и достаточным условием для того, чтобы
регулярная в точке аФ °° функция f(z) имела в зтой точке нуль
порядка тп.
Аналогично, функция /(z), регулярная в точке z = °°, имеет
в этой точке нуль порядка тп в том и только в том случае, когда
/B)~7г> А^° (*-*«>)¦ D1)
Формулы D0) и D1) можно принять в качестве определения
порядка нуля соответственно в точке z = a (аФ°°) и в точке
Z = оо.
Пример 5. Функция /(z) = sin— имеет нули первого поряд-
порядка в точках zft = y~ 0е ~ =Ь 1» ± 2, ...) и в точке z = оо. Q
Пример 6. Функция /(z) = (e*+lK имеет нули третьего
порядка в точках zt = Bfc + i)ni, k = 0, ±1, ±2, ... П
(z' | |)g
Пример 7. Функция / (z) == . а .u e1/z имеет нули шесто-
шестого порядка в точках zh = enk+1)"i/s, k = 0, 1, 2; точка z = °° яв-
является для этой функции нулем четвертого порядка:
/B)~^е1/г~7- О*-*»). D
Докажем следующую теорему о нулях регулярной функции:
Теорема 7. Пусть функция f(z) регулярна в точке а и
/(а) = 0. Тогда либо /(z)=0 в некоторой окрестности точки а,

§ 13. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ
101
либо существует такая окрестность точки а, в которой нет нулей
функции f(z), отличных от а.
Доказательство. Возможны два случая: 1) все коэф-
коэффициенты ряда C3) равны нулю, тогда /(z)=0 в некоторой
окрестности точки а; 2) существует такое число m ^= 1, что с0 =
= С, — . . . = Cm-t = О, НО Cm Ф 0.
Во втором случае точка а является нулем порядка m функ-
функции /(z) и, следовательно, по теореме 6, /(z) = (z —а)ш/Цг), где
h(z) — регулярная в точке а функция, 1г(а)Ф0. В силу непре-
непрерывности функции h(z) из условия )г(а)Ф0 следует, что Ъ(г)Ф
Ф 0 в некоторой окрестности точки а. Итак, существует окре-
окрестность точки а, в которой нет нулей функции /(z), отличных
от а. Следовательно, нули регулярной функции изолированы.
§ 13. Обратная функция
1. Теорема об обратной функции. Термин «обратная функция»
был введен в п. 1 § 8. Дадим более подробное определение об-
обратной функции.
Пусть функция w — f(z) определена на множестве Е и пусть
Е' — множество значений этой функции (рис. 46). Тогда для
каждого значения w e
е Е' имеется одно или
несколько значений z e
е Е таких, что f(z) =
= w, т. е. для каждого
w e E' уравнение
f(z)=w A)
имеет одно или не-
несколько решений ге?.
Эти решения опреде-
определяют на множестве Е'
функцию z = h(w), ко-
которая называется обрат-
обратной к функции w=f(z).
Таким образом, для нахождения функции, обратной к функ-
функции w = f(z), нужно для каждого w^E' найти все решения
уравнения A). Из определения обратной функции следует, что
на множестве Е' имеет место тождество
Рис. 46
Приведем достаточные условия, при которых обратная функция
регулярна.
Теорема об обратной функции. Пусть функция
w = /(z) регулярна в точке z0 и пусть f (го)ФО. Тогда

102 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
1) существуют круг К: |z — zo|<p и круг К': \w — wo\ <p',
uv=/(z0), такие, что для каждого w*^K' уравнение A) имеет
единственное решение z = h(w), где zeК;
2) функция z — h(w), обратная к функции w = f(z), регу-
регулярна в точке w0;
3) в некоторой окрестности точки w0 имеет место формула
Доказательство. Полагая z — х + iy, w = u + iv, заме-
заменим уравнение A) эквивалентной системой уравнений
и(х, у) = и, v{x, y)=v. C)
Якобиан J(x, y) = J(z) отображения C), равный |/'(z)|2 в силу
формулы A4) § 8, по условию отличен от нуля в точке z0 =
= ха + iy0 и, следовательно, отличен от нуля в некоторой окре-
окрестности этой точки.
В силу известной теоремы из курса математического анализа
(см. [9]) в некоторой окрестности точки wo — uo + ivo существу-
существует однозначное непрерывное отображение х = х(и, v), y =
= у(и, v), обратное к отображению C). Это означает, что су-
существует круг К': | ы? ¦— ы?0! < р' такой, что для каждого w^K'
уравнение A) имеет единственное решение
z = x(u, v)^iy(u, v) = h(w),
такое, что z^K ж z = h(w) — непрерывная функция.
Остается доказать, что функция h(w) регулярна в точке w0.
Пусть w^K' и w + Aw*=K'. Рассмотрим отношение Az/Aw, где
Аш=^0, a Az = h(w + Aw) — h(w). Заметим, что если Аю^О,
то Az=^=0, так как функция w = f(z) взаимно однозначно ото-
отображает достаточно малую окрестность точки z0 на окрестность
точки w0.
Рассмотрим тождество
Дш '/ Дг' ' '
Пусть Аи; -*¦ 0; тогда в силу непрерывности функции h{w) име-
имеем Az ->- 0. Перейдём к пределу при Az -»¦ 0 в правой части ра-
равенства D). Этот предел существует при любом способе стрем-
стремления к нулю величины Az, так как функция w=*f(z) диффе-
дифференцируема в окрестности точки z0, и равен .,. . • Следователь-
Следовательно, существует предел левой части равенства D) при Aw -*¦ 0
и имеет место формула B). Теорема доказана.
2. Функция Уз. Рассмотрим функцию w = z*. Для нахожде-
нахождения обратной функции нужно решить уравнение
z* = w E)

§ 13. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 103
относительно z. Уравнение E), как известно (п. 5 § 1), при
W Ф 0 имеет два решения. Если одно из решений _уравнения
E) обозначить через Ую, то другое решение есть —Ую.
Таким образом,, функция z = h(w), обратная к функции w =
¦= z2, является двузначной. Заметим, что функция w = z2 опре-
определена во всей комплексной плоскости z и множество ее значе-
значений совпадает со всей комплексной плоскостью w.
Естественно поставить вопрос о существовании и способе до-
строения однозначной непрерывной функции такой, чтобы ее
значение в каждой точке области D совпадало с одним из зна-
значений двузначной функции, обратной к функции w = z2.
Будем, как обычно, обозначать независимое переменное z,
а функцию w. Пусть Д, — плоскость z с разрезом вдоль дей-
действительной положительной полуоси. Запишем z в показатель-
показательной форме и рассмотрим в области Do функцию
iv = Л (z) = tr eilf/\ 0 < го < 2я. F)
Функция /i(z) является однозначной и непрерывной в области
Do и удовлетворяет условию f\ (z) = z, т. е. функция /, (z) яв-
является решением уравнения
«;2 = z. G)
Множество значений функции w = /i (z) — верхняя полуплоскость
(рис. 47). Это вытекает из определения функции F), а также
©
О
Рис. 47
из того факта, что при отображении G), обратном к отобра^
жению F), верхняя полуплоскость Im w > 0 переходит в пло-
плоскость, z с разрезом по положительной действительной полуоси
(пример 3 § 8).
Таким образом, функция w = /t (z) однозначна и непрерывна
в области Do, т. е. в плоскости с разрезом [0, +°°), и отобра-
отображает эту область на верхнюю полуплоскость.
Аналогично, функция
w = U (z) = -ir ei<f/\ 0 < <p < 2я,

104
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
однозначна, непрерывна в области Д,, удовлетворяет условию
/a (z) = z и отображает область Д, на нижнюю полуплоскость
(рис. 47).
Будем говорить, что /i(z) и /2(z) — непрерывные в области
Do ветви двузначной функции Vz. Эти функции дифференци-
дифференцируемы, а следовательно, и регулярны в области Д, в силу тео-
теоремы об обратной функции. По формуле B) заходим
А = 1,2.
(8)
©
Рис. 48
Впрочем, дифференцируемость функций /,(z) и /2(z) и формулы
(8) можно установить, используя условия Коптя — Римана в по-
полярных координатах (пример 4 § 7). Функции /,(z) и /^(z) на-
называются регулярными ветвями двузначной функции Vz в об-
области До. Нередко обе эти ветви обозначают одним и тем же
символом Vz. Для того чтобы опре-
определить, какая из двух возможных
веташ двузначном функции u> = Vz
рассматривается, достаточно ука-
указать а) либо значение функции в
какой-нибудь внутренней точке об-
области Д>; б) либо значение функ-
функции в граничной точке (на раз-
разрезе), но при этом должно быть
указано, на каком берегу разреза
берется точка — верхнем или ниж-
нижнем.
_ Например, если рассматривается регулярная ветвь функции
Vz, которая в точке zo = —1 принимает значение wa = i, то речь
идет о функции iz> = /i(z), отображающей область Д, на верх-
верхнюю полуплоскость; если же известно, что —1 -*¦ —i, то имеется
в виду функция \v = fz(z), отображающая область Д на ниж-
нижнюю полуплоскость. _
Аналогично, регулярная ветвь функции Vz, принимающая в
точке z0 — 1 + 0 • i, лежащей на верхнем берегу разреза [0, +°°),
значение 1, есть функция w — fi[z); если же z0 = 1+ 0 • ?-*¦ —1,
то речь идет о функции w = /г(г).
Рассмотрим теперь область В — плоскость с разрезом вдоль
отрицательной части действительной оси (рис. 48). Очевидно,_в
этой области можно выделить две регулярные ветви функции Vz:
u; = /1(z)=Vr e™2,
w = fi (z)i= -Vr е1'*72 (z = re*, -я < ф < я).
Функция w = f, (z) отображает область D на правую полупло-

§ 13. ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ 105
скость (Reu;>0), а функция w = f2(z) отображает область D
на левую полуплоскость (ср. п. 2 § 8; рис. 37).
Итак, если в качестве области взята плоскость z с разрезом
вдоль положительной или отрицательной части действительной
оси, то в такой области двузначная функция Vz распадается
на две регулярные ветви. Легко убедиться в том, что регулярные
ветви функции Vz можно выделять и в плоскости с разрезом
по лучу arg z = а. Обозначим эту область Da, так что D* == Б.
Проведенное исследование позволяет утверждать, что
1) двузначная функция Vz распадается на две регулярные
ветви в области Da, т. е. в плоскости с разрезом по лучу argz =
= а, соединяющему точки z = 0 и z = °°;
2) в точке Zo области Da. эти ветви принимают значения со-
соответственно w0 и — Wo',
3) множество значений регулярных ветвей существенно за-
зависит от области Da, в которой эти ветви выделяются;
4) регулярная ветвь функции Vz в области Da однозначно
определяется, если указан либо образ внутренней точки этой
области, либо образ граничной точки (в последнем случае долж-
должно быть сказано, о точке какого из двух берегов разреза идет
речь).
3. Функция In z. Понятие логарифма комплексного числа
было введено в п. 6 § 4. Логарифмическую функцию в комплекс-
комплексной плоскости естественно ввести как функцию, обратную к по-
показательной. Рассмотрим уравнение относительно w:
е« = z. (9)
Пусть z = reilf, w = u + iv. Тогда из уравнения (9) имеем и =
= lnr, y = <p + 2/bt (fc = 0, ±1, ±2, ...). Следовательно,
A0)
где arg z — фиксированное значение аргумента числа z, к — це-
целое. Таким образом, уравнение (9) при гФО имеет бесчислен-
бесчисленное множество решений, определяемых формулой A0), т. е.
логарифмическая функция в каждой точке z (z Ф 0) принимает
бесчисленное множество значений. Действительная часть этой
функции (lnlzl) определяется однозначно.
Рассмотрим вопрос о возможности выделения в области D
однозначной непрерывной ветви логарифма, т. е. непрерывной
функции, значение которой в каждой точке области D совпадает
с одним из значений многозначной функции lnz. Очевидно, что
однозначную непрерывную ветвь логарифма можно выделить в
области D, если в этой области функция argz допускает выде-
выделение однозначной непрерывной ветви.
Как и в случае функции Vz, возьмем в качестве области D
область А, т. е. плоскость с разрезом [0, +°°). В этой области

106
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
функция ф = arg z допускает выделение однозначных непрерыв-
непрерывных ветвей. Пусть <р = arg z (обозначение то же, что и для мно-
многозначной функции) — непрерывная ветвь аргумента в области
Do, такая, что
0<<р<2я. (И)
Сохраняя прежнее обозначение для логарифмической функ-
функции, положим
u; = lnz = ln Ы + iargz, A2)
где qp = argz удовлетворяет условию A1).
Функция w = lnz удовлетворяет уравнению (9). Из A1) —
A2) следует, что эта функция однозначна и непрерывна в обла-
области Do. Функция w = In z взаимно однозначно отображает об-
область Do на полосу 0 < Im w < 2л (рис. 49).
э
о
\
Рис. 49
- ©
ш
2xi
2тЛ
'/////////////////У////////////.
0
- E
) °
-2itl
Используя теорему об обратной функции или пример 4 § 7,
получаем следующий результат: функция lnz, определяемая
условиями A1) — A2), регулярна в области Do. Она называется
регулярной ветвью в области Do многозначной логарифмической
функции, а ее производная вычисляется по формуле
(lnz)' = 4"
Заметим, что в области Do существует бесконечно много од-
однозначных непрерывных ветвей аргумента, и все они имеют вид
(argz)* = argz + 2fert (ft —целое), A3)
где ф = arg z — рассмотренная выше ветвь аргумента, удовлетво-
удовлетворяющая условию A1). Взяв в формуле A3) к = 1, получим
ветвь аргумента (argz)t и соответствующую регулярную ветвь

§ 14. ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ 107
логарифма
w = (In z) j = In \z\ + i arg z + 2я? = In z + 2я?. A4)
Функция (In z) j отображает область Do на полосу 2я < Im ю <
<4п (рис. 49).
Аналогично, взяв в A3) А; = —1, получим функцию
w = (lnz)-i = In z — 2ni, A5)
осуществляющую взаимно однозначное отображение области Da
на полосу —2я < Im z < 0 (рис. 49).
Функции (lnz)i и (lnz)_i являются регулярными ветвями
логарифма в области Do-
Для выделения в области Do регулярной ветви логарифма
достаточно указать соответствующую непрерывную ветвь аргу-
аргумента (формула A3)); последняя однозначно определяется зна-
значением аргумента, заданного в какой-либо внутренней точке
области Do или на ее границе, т. е. на верхнем или нижнем бе-
берегу разреза @, +°°). В частности, регулярная ветвь лога-
логарифма, принимающая действительные значения на верхнем бе-
берегу разреза, определяется формулами A1) — A2).
В заключение отметим, что регулярные ветви логарифмиче-
логарифмической функции можно выделять и в других областях. Подробно
этот вопрос будет рассмотрен в главе IV.
§ 14. Теорема единственности
1. Теорема единственности.
Теорема 1 (единственности). Пусть функция f(z)
регулярна в области D. Пусть f{zn)= 0, л = 1, 2, . . ., где {zj —
последовательность различных точек, zn'^D, п = 1, 2, ..., та-
такая, что limzn —a, a^D. Тогда /(z) = 0 в области D.
71-* со
Доказательство. Разложим функцию /(z) в ряд Тей-
Тейлора по степеням z — а:
f(z)=I,ch(z-a)\ . A)
fe=0
и покажем, что все коэффициенты этого ряда равны нулю. До-
Допустим противное; тогда, по теореме 7 § 12, существует окрест-
окрестность U точки а такая, что f(z)?=Q при z^U, z^a. Это про-
противоречит условию теоремы; следовательно, все коэффициенты
сп равны нулю. Ряд A) сходится в круге К: ]z — a!<p0, где
Ро — расстояние от точки а до границы области D. Таким обра-
образом, /(z) = 0 в круге К.
Пусть Ъ — произвольная точка области D', покажем, что
}(Ь) = 0. Соединим точки а и Ъ ломаной у, лежащей в области D.

108
ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть р — расстояние между ломаной f и границей Г области
D; так как у — конечная ломаная, лежащая в D, то р > 0.
Построим круги Ка, Ки ..., Кп с центрами в последовательных
точках z0 = a, z,, ..., zn = b ломаной f и радиусами, равными
р; точки г, выберем так, чтобы \zj — Zj-il < р/2 при / = 1, 2, ...
..., п. Тогда все круги К, лежат в области D, а центр круга
Kj+i лежит внутри круга К}, j =»
= 0, 1, ..., п — 1 (рис. 50).
Так как р0 ^ р, то круг К со-
содержит круг Ко', следовательно,
f(z)=O в круге Ко. Разложим
функцию /(z) в ряд Тейлора по
степеням z — zt. Круг Kt лежит
в области D, поэтому этот ряд
сходится в круге К^ Поскольку
центр Zi круга Ki лежит в круге
Ко, то /(z)=0 в окрестности точ-
точки Zi и тем же способом, что и
/(z)=0 в круге К^ Продолжая
что функция /(z) тождественно
"О. Теорема до-
Рис. 50
выше, можно показать, что
эти рассуждения, получаем, ф
равна нулю во всех кругах К$, так что /(Ь)
казана.
Следствие 1. Пусть функция /(z) регулярна в области D
и /(г)=0 на множестве Е, которое содержится в D и имеет
предельную точку a^D. Тогда f(z)= 0 в области D.
Доказательство. По определению предельной точки су-
существует последовательность различных точек {г„}, п = 1, 2, ...,
такая, что zn^E, lim zn = а. Так как /(zn) = 0 при всех п и
гг-»оо
точки г„ лежат в D, то /(z) = 0 в D по теореме единственности.
Следствие 2. Пусть функции /(z), g(z) регулярны в об-
области D и совпадают на множестве Е, которое содержится в D
и имеет предельную точку a^D. Тогда /(z)=g(z) в области D.
Доказательство. Функция h{z) = f(z) — g{z) регулярна
в области D и /i(z) = 0 при z^E, так что h(z) = O в D в силу
следствия 1. Поэтому f(z)= g(z), z*=D.
2. Замечания и дополнения.
Замечание 1. Рассмотрим функцию /(z)= sin(l/z). Тогда
/(zn)=0, где г„ = 1/(яп), п = ±1, ±2, ..., и lim zn = 0, но тем
не менее ](г)Ф0. Этот пример не противоречит теореме един-
единственности, так как предельная точка а — 0 последовательности
{zj не является точкой регулярности функции sin—.
Замечание 2. Теорема единственности и следствия 1, 2
справедливы и в том случае, если D — область расширенной
комплексной плоскости.

§ 15. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 109
Чаще всего будет использоваться следующий, ослабленный
вариант теоремы единственности:
Следствие 3. Пусть функция f(z) регулярна в области D
и /(z)sO на некоторой кривой у, лежащей в D, или в некото-
некотором круге К <= D. Тогда /(z)= 0 в области D.
Теорема единственности является одним из важнейших
свойств регулярных функций и лишний раз показывает, сколь
сильно отличаются свойства дифференцируемых функций комп-
комплексного переменного от свойств дифференцируемых функций
действительного переменного. Пусть, например, функция f(x)
на некотором отрезке / действительной оси непрерывно диффе-
дифференцируема, или дважды непрерывно дифференцируема, или
п раз непрерывно дифференцируема, или бесконечно дифферен-
дифференцируема. Пусть Л <= / — меньший отрезок, и на нем задана
функция g(x), обладающая теми же дифференциальными свой-
свойствами, что и f(x). Тогда существует бесконечно много функций
/(я), имеющих указанные дифференциальные свойства при х^1
и совпадающих с g{x) при х^1\.
§ 15. Аналитическое продолжение
1. Определение и основные свойства.
Определение 1. Пусть выполнены следующие условия:
1) функция /(z) определена на множестве Е;
2) функция F(z) регулярна в области D, содержащей мно-
множество Е;
3) jF(z)=/(«) при гей.
Тогда функция F(z) называется аналитическим продолже-
продолжением функции f(z) (с множества Е в область D).
Важнейшим свойством аналитического продолжения является
его единственность.
Теорема 1 (принцип аналитического продол-
продолжения). Пусть множество Е имеет предельную точку а, при-
принадлежащую области D. Тогда аналитическое продолжение с
множества Е в область D единственно.
Доказательство. Допустим, что функция f(z), опреде-
определенная на Е, имеет два аналитических продолжения F,(z), F2{z)
в область D. Так как F1(z) = F2(z) при z e E, то, по теореме
единственности, Fi(z) = F2(z) в области!).
, В частности, если Е — кривая, лежащая в области D, или
Е — подобласть области D, то существует не более одного ана-
аналитического продолжения функции /(z) в область D.
Пример 1. Найдем аналитическое продолжение функции
¦/(*)= S*".
п=о

НО гл. ii. регулярные функции
Этот ряд сходится и является регулярной функцией в круге К:
Ы<1. Имеем/(z)= l/(l-z), Izl < 1.
Функция F(z)= 1/A — z) регулярна в области D (это рас-
расширенная комплексная плоскость с выколотой точкой z=l) и
F(z)=/(z) при Ы < 1. Следовательно, функция F(z) является
(единственным) аналитическим продолжением функции f(z) с
множества К в область D. П
2. Аналитическое продолжение экспоненты, тригонометриче-
тригонометрических и гиперболических функций. Функции ег, sin z, cos z были
введены в § 4. Покажем, что эти функции можно определить
как аналитическое продолжение функций е*, sin ж, cos ж. Поло-
Положим, по определению,
-?-
пГ
п=0
Ряд в правой части сходится при всех z, поэтому сумма ря-
ряда регулярна при всех z (§ 12). Функция ez при действитель-
действительных z = x совпадает с известной из анализа функцией е*. Сле-
Следовательно, функция е* является аналитическим продолжением
функции е* с действительной оси на всю комплексную плоскость.
Введем следующее
Определение 2. Функция, регулярная во всей комплекс-
комплексной плоскости, называется целой функцией.
В частности, полиномы и е" — целые функции.
Теорема 2. Пусть f(z), g(z)—целые функции. Тогда
f(z)dzg(z), f(z)g(z),f(g(z))—целые функции.
Доказательство следует из определения 2 и свойств
регулярных функций (§ 12).
Введем функции sin z, cos z, sh z, ch z, определив их как сум-
суммы степенных рядов:
sinz= Л /„. , .„—, cosz =
22П + 1 « ,271
Г4ЛТГ' chz=2
« n • • - BЛ)! '
Так как все эти ряды сходятся при любых z, то функции sin z,
cos z, sh z, ch г — целые. Кроме того, эти функции являются
аналитическим продолжением функций sin x, cos x, sh x, ch ж с
действительной оси в комплексную плоскость.
Введем функции tg z, ctg z, th z, cth z, полагая по опреде-
определению
sin г
Sf

§ 16. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА Ш
Функция tg z регулярна при всех гФ°°, при которых cos z ?*
т. е. при гф~ + кп, к*=0, ±1, ±2, ... Функция ctgz
регулярна при гФкл, функция thz— при z Ф i! -у- + кя],
функция cth z — при z Ф ikn, где к = 0, ±1, ±2, ...
Из курса математического анализа и из элементарной триго-
тригонометрии известны теоремы сложения и ряд тождеств для три-
тригонометрических и гиперболических функций при действитель-
действительных значениях аргумента. Можно показать, что эти формулы
остаются справедливыми и для комплексных значений аргу-
аргумента.
Пример 2. Покажем, что
sin2 z + cos2 z — 1
при всех z.
По теореме 2 функция /(z) = sin2 z + cos2z — 1—целая, так
как sin z, cosz— целые функции. Пользуясь тем, что /(х) = 0
при действительных х, по теореме единственности получаем, что
/(z)=eO при всех z. 0
Пример 3. Покажем, что
/1+г2 = /le22 A)
при любых комплексных zu z2.
При действительных zu z2 формула A) справедлива. Пусть
z2 действительно и фиксировано, тогда левая и правая чаети
равенства A) — целые функции от переменного z4. При действи-
действительных Zi эти целые функции совпадают, следовательно, по
теореме единственности, зти функции совпадают при всех комп-
комплексных z,. Итак, формула A) верна при любых комплексных
Zi и при любых действительных z2.
Пусть теперь z4 комплексно и фиксировано. Тогда левая и
правая части равенства A) — целые функции от z2. Так как они
совпадают при любых действительных z2, то они совпадают при
любых комплексных z2. Тем самым формула A) доказана при
любых комплексных zt и z2. []
§ 16. Интегралы, зависящие от параметра
1. Регулярность интегралов, зависящих от параметра. Рас-
Рассмотрим интеграл
F(*) = J/(?,*)#. A)
v
Теорема 1. Пусть выполнены условия:
1) If — конечная кусочно гладкая кривая;
2) функция /(?, z) непрерывна по (?, г) при ? е ^ zeZ>, где
D — область в комплексной плоскости;

112 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
3) при каждом фиксированном ?е^ функция /(?, z) регу-
регулярна по ъ в области D.
Тогда интеграл A) есть регулярная в области D функция.
Доказательство. В силу условий 1, 2 функция F(z) не-
непрерывна в области D. Возьмем произвольную точку a^D и
построим круг К, который содержит точку а и лежит внутри D.
Применим теорему Морера. Пусть к' — замкнутая кривая, ле-
лежащая в круге К. Тогда
j F(z) dz = j ( J /(?, z) dt) dz = j ( j /(?, z)dz) dl = 0, B)
так как порядок интегрирования можно переставить, а интеграл
по к' равен нулю (интегральная теорема Коши). По теореме
Морера функция F(z) регулярна в круге К; следовательно, F{z)
регулярна в области D.
Следствие 1. Пусть у — неограниченная кусочно гладкая
кривая, пусть выполнены условия 2, 3 и следующее условие:
4) интеграл A) сходится равномерно по z^D', где D'—
любая замкнутая подобласть области D.
Тогда функция F(z) регулярна в области D.
Следствие 2. Пусть условия 1, 3 выполнены, но функция
/(?, z) может иметь особенности в концах кривой ^. Если функ-
функция /(?, z) непрерывна по (?, z) при z^D, ? s Ч> ? не принад-
принадлежит концам f и выполнено условие 4, то функция F(z) ре-
регулярна в области D.
Доказательство следствий 1 и 2 проводится точно так
же, как и в теореме 1; интегралы в B) можно переставлять
в силу равномерной сходимости интеграла A).
Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда
-dl z<=D. C)
Доказательство. Пусть К — круг \z — a\^r, лежащий
в области D и if'—его граница. Тогда при 1г — а\<г имеем
- J1 su J Y=^f )l~ J
v
Перестановка порядка интегрирования возможна в силу не-
непрерывности подынтегральной функции и конечности кривых
Ъ Т'-
Замечание. Теорема 2 остается в силе, если выполнены
условия следствия 1 или 2, и интеграл C) сходится равномерно
по z s D', где D' — любая замкнутая подобласть области D.

§ 16. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА ИЗ
2. Аналитические свойства интегральных преобразований.
Наиболее употребительными в математической физике интег-
интегральными преобразованиями являются преобразования Лапласа,
Фурье и Меллина.
Пусть функция /(О определена на полуоси t>0. Ее преоб-
преобразованием Лапласа называется функция
t. D)
о
Теорема 3. Пусть функция f(t) непрерывна при t>0 и
удовлетворяет оценке
\f(t)\<Ceat, t>0. E)
Тогда ее преобразование Лапласа F(z) есть функция, регуляр-
регулярная в полуплоскости Re z > ос.
Доказательство. Воспользуемся следствием 1 из теоре-
теоремы 1. Условия 2, 3 теоремы 1 выполнены. Пусть 6>0, Rez>
>а + Ь, t>0. Тогда
\f(t)e~zi\ ^ Ce(a-Re г)' ^ Се"".
оо
Так как j Се~ * dt сходится, то, по признаку Вейерштрасса.
о
интеграл D) сходится равномерно по z при Re z > a + б и функ-
функция F(z) регулярна в этой полуплоскости. В силу произвольно-
произвольности б > 0 функция F (z) регулярна при Re z > a.
Преобразованием Фурье функции f(t), определенной на дей-
действительной оси, называется функция
оо
F(z)= j e^f(t)dt. F)
—оо
Теорема 4. Пусть функция f(t) непрерывна при — °° <
< t < °° и удовлетворяет оценкам
1/@ К C,e-', t>0; 1/@1 <С«", *<0, G)
где а>0, р>0. Тогда ее преобразование Фурье F(z) есть функ-
функция, регулярная в полосе- —а < Im z < p.
Доказательство. Разобьем интеграл F) на два ин-
интеграла:
оо О
F (z) = j «ь* / (t) <tt + J e« / @ d« s. Fx (Z) + F2 (*).
0 —oo
В силу условия G) и теоремы 3 функция Fi(z) регулярна в по-
полуплоскости Re(—iz)>— a, а функция F2(z) — в полуплоскости
Re(iz)>—р, что и доказывает теорему.
8 Ю. В. Сидоров и др.

114 ГЛ. II, РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
В частности, если функция /{?) финитна, т. е. /(О23О ПРИ
U! > Т, и непрерывна при Ы<Г, то ее преобразование Фурье
является целой функцией. Это следует из теоремы 1, поскольку
в этом случае
F (z) = j еы f (t) dt.
-г
Преобразованием Меллина функции f(t), определенной на
полуоси t > 0, называется функция
t. (8)
о
Здесь t" = ez"", ? > 0.
Теорема 5. Пусть функция f(t) непрерывна при t>0 и
удовлетворяет оценкам:
где а > [5. Тогда ее преобразование Меллина является функци-
функцией, регулярной в полосе —а < Re z < —[5.
Доказательство. Разобьем интеграл (8) на два ин-
интеграла
F{z) = \ f'1 f (t) dt + j f-1 f (t) dt ^ F1 (z) + F2 (*).
0 1
Пусть 0 < t< 1, Re z > -a + б и б > 0; тогда
i
Так как J t ~x dt сходится при б > 0, то, по признаку Вейер-
0
штрасса, интеграл Ft (z) сходится равномерно по z при Re z ^
^= —а + б. В силу следствия 2 функция F4 (z) регулярна в полу-
полуплоскости Re z > — a.
Далее, при f > 1, Re z < —р — б и б > 0 имеем
со
Из сходимости интеграла j t 1dt и следствия 1 вытекает,
1
что функция F2(z) регулярна в полуплоскости Rez<—{*.
Преобразования Фурье и Меллина связаны следующим соот-
соотношением:
[M(/(*))](z) = [F(/(e<) )](-iz), A0)
где [М(<p(?))](z)— преобразование Меллина, а [F(y(t))](z) —
преобразование Фурье функции <f(t). Действительно, делая

§ 16. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 115
замену переменной t = e\ получаем
со оо
[М U (*))] (z) = i f-1 f (t) dt= j e" / И dx
о —°°
(мы предполагаем, что все интегралы сходятся). Последний ин-
интеграл совпадает с правой частью формулы A0).
В частности, с помощью соотношения A0) можно вывести
теорему 5 из теоремы 4.
3. Аналитическое продолжение гамма-функции. Гамма-функ-
Гамма-функция Эйлера Т(х) при действительных х>0 определяется фор-
формулой
j3c l t j* (A A\
i e ai ^iij
о
и является преобразованием Меллина функции е~*. Рассмотрим
интеграл
**-1e~td/. A2)
о
Имеем е-'<1, 0<*«Sl; е-'<сРГр, *>1, где р> 0 —любое.
В силу теоремы 5 функция F(z) регулярна в полосе 0<Rez<
<Р при любом р > 0, так что F(z) регулярна в полуплоскости
Re z > 0. Итак, мы аналитически продолжили функцию Г {х) с
полуоси @, +«>) в правую полуплоскость.
При действительных х > 0 для гамма-функции справедливо
функциональное соотношение Г(аг+1) = агГ(*). В силу теоремы
единственности
при Re 2 > 0, так что
Г (г) =-j-Г (г + 1), Rez>0. A3)
Функция Г(г+1) регулярна в полуплоскости Rez>—1. Сле-
Следовательно, функция, стоящая в правой части формулы A3),
регулярна в области D1 = {Rez>—I, z ?> 0} и тем самым функ-
функция Г(г)^ аналитически продолжена в область Dt. Но теперь
правая часть формулы A3) регулярна в области D2 =
= {Rez>—2, z?=0, z^—i), и мы продолжили аналитически
гамма-функцию в область D2. Продолжая эти рассуждения, по-
получаем следующий результат:
Гамма-функция допускает аналитическое продолжение на
всю комплексную плоскость, за исключением точек z = 0, —1,
-2, ...
Этот метод аналитического продолжения основан на функ-
функциональном соотношении A3) и потому имеет весьма ограни-
ограниченную область применимости. Рассмотрим другой, более общий
8*

116 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
метод. Разобьем интеграл A2) на два:
г оо
Г (г) = J е-хё~* dt + l tz-\-1 dt = F2 (г) + F2 (г). A4)
о i
Из доказательства теоремы 5 следует, что F2 (z) — целая функ-
функция, a Fi(г) — регулярная при Rez>0 функция. Следователь-
Следовательно, нам остается аналитически продолжить функцию F1(z).
С этой целью разложим функцию е~' в ряд Тейлора:
П—0
Этот ряд сходится равномерно при 0 ^ t < 1 и если умножить
его на функцию tz~\ где Re z > 1, то полученный ряд также бу-
будет сходиться равномерно при 0 «S t < 1. Имеем
п=0
Члены -—¦ j- последнего ряда регулярны во всей плоскости,
за исключением точек z = 0, —1, —2, ... Пусть Д, — комплекс-
комплексная плоскость г, из которой удалены р-окрестности точек z = О,
—1, —2, ... Тоща |l/(z + n) I < 1/р при z^Dp, и ряд в пра-
правой части A5) сходится равномерно при
z e ДР: так что сумма ряда регулярна в
о
" комплексной плоскости с выколотыми точ-
ками z = 0, — 1, —2, ... Итак формула
()
Рис, 51 „=о /
дает аналитическое продолжение гамма-функции на всю комп-
комплексную плоскость, за исключением точек z = 0, —1, —2, ....
4. Аналитическое продолжение преобразования Лапласа.
Рассмотрим еще один важный прием аналитического продолже-
продолжения функций, заданных интегралами — поворот контура интег-
интегрирования.
Теорема 6. Пусть функция /(?) регулярна и ограничена в
угле larg?l <а<я/2. Тогда ее преобразование Лапласа F(z)
можно аналитически продолжить в угол | arg z \ <-jt + a.
Доказательство. Рассмотрим интеграл
= J
A7)

§ 16. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 117
где h — луч 0«Sl?I<°°, arg? = -P, и 0<р<а. Покажем, что
оо
Fz(z) = F0(x)= \e-sif(t)dt A8)
о
при х > 0. Рассмотрим замкнутый контур CR, состоящий из от-
отрезков [0, R], [Re'*, 0] и дуги окружности ч*: |?1=Д, -?«?
<arg?<0 (рис. 51).
В силу интегральной теоремы Коши ] e~xlf (?) dt, = 0- По-
кажем, что интеграл по ^в стремится к нулю при R -*¦<*>. По
условию, |/(?)|«?ДГ при 0«?|Е;1<°°, largfcKa. Далее, 1 =
= Re*, — р < ф < 0 при ? е ^в. Следовательно,
Vfi
о, а;>0). Переходя к пределу при R -»- °° в тождестве
J
J
VB H«-»P
получаем A8). Далее, ?=pe~'fi, 0^p<<» на луче Zp, так что
со
Fp (z) = j e-p(«-ip) / (pe-«) e-{P dp.
Используя неравенство [f(pe~9)\ <:M при 0^р<°°, получаем
по теореме 3, что функция F$(z) регулярна в полуплоскости
Re(ze~ip)>0, а функция Fo{z) регулярна в полуплоскости
Rez>0. Положим
[F0(z), Rez>0,
Так как F0(z) = F$(x) при х>0, то функция Ф(з) регулярна
в объединении полуплоскостей Rez>0 и Re(ze~'p)>0, т. е.
в угле 2"<argz<-2-+ р. Но ^ — любое такое число, что
22
О «? р < а. Следовательно, мы продолжили аналитически функ-
функцию F(z) в угол g-<argz<;-2- + а. Аналогично, выбирая
—а ^ р < 0, получаем, что функцию F (z) можно аналитически
продолжить в угол g а < arS z < ~2~' Теорема доказана.

118 ГЛ. II. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
Пример 1. Рассмотрим функцию
Функция / (?) =, . ~ регулярна и ограничена в любом угле
|arg?| ^a<~2". Следовательно, функция F{x) допускает ана-
аналитическое продолжение в угол | arg Z, | < -у + а, т. е. в пло-
плоскость с разрезом по полуоси (—°°, 0]. (j
5. Интеграл типа Коши. Интеграл
^* B0>
называется интегралом типа Коши. Исследуем его аналитиче-
аналитические свойства в предположении, что функция /(?) непрерывна на
кривой f.
1. Пусть if — конечная кривая. Тогда дополнение к f состоит
из конечного или бесконечного числа областей. В каждой из
этих областей интеграл типа Коши является регулярной функ-
функцией в силу теоремы 1. Однако эти регулярные функции, вообще
говоря, различны, т. е. не являются аналитическими продолже-
продолжениями друг друга. Например,
Г
V=1Z 10, |z|>l.
Покажем, что функция, представленная интегралом B0), ре-
регулярна в бесконечно удаленной точке. Делая замену z = w~l
и полагая F(z)=G(w), получаем
V
Так как if — конечная кривая, то знаменатель ?и> — 1 Ф 0 при
достаточно малых w и функция G(w) регулярна в точке и> = 0
в силу теоремы 1.
2. Пусть ^ — бесконечная кривая. Ограничимся, для просто-
простоты, случаем, когда if — вещественная ось; тогда
Пусть функция f(t) удовлетворяет оценке
>, a>0. B2)

§ 16. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА 119
Покажем, что тогда формула B1) определяет две функции
F+(z), F-(z), которые регулярны в полуплоскостях Imz>0,
Im z < 0 соответственно. Воспользуемся следствием 1. Рассмо-
Рассмотрим случай Im z > 0. Пусть z = х + iy лежит в полуполосе П:
1*1 < о, у>Ь, где а > 0, Ь>0. При вещественных t и при
ze=n имеем \t - z\z = (t - x)z + f > f - 2 \t\a > tz/2, если
If I > 4a. Следовательно,
/@
t-z I
(zell, Ul >4a).
Поскольку интеграл J g (t) dt сходится, то по признаку Вей-
ерштрасса интеграл F(z) сходится равномерно по z e П. В силу
следствия 1 функция F(z) регулярна при геП; так как а >0
можно выбрать сколько угодно большим, а Ъ > 0 — сколь угодно
малым, то интеграл B1) представляет функцию F+(z), регу-
регулярную в верхней полуплоскости. Аналогично доказывается, что
интеграл B1) представляет функцию F-(z), регулярную в ниж-
нижней полуплоскости.
Пример 2. Пусть функция /(z) непрерывна на полуоси
t>0 и удовлетворяет оценке B2). Тогда интеграл типа Коши
о
представляет функцию, регулярную в плоскости с разрезом по
полуоси [0, +,°°). []
3. Если функция /(?) регулярна на контуре интегрирования
If, то интеграл типа Коши допускает аналитическое продолжение
через точки контура. Прием, который при этом используется, за-
заключается в том, что мы сдвигаем контур интегрирования.
Пример 3. Пусть
и<2-
Функция F(z) регулярна в круге Ы < 2. Покажем, что функ-
функцию F(z) можно аналитически продолжить на всю комплексную
плоскость z. Положим при R > 2
Функция FR{z) регулярна в круге Izl <R. Покажем, что
Fa(z)-F(z) (Ы<2). B3);
Тем самым наше утверждение будет доказано. Подынтегральная

120 ГЛ. И. РЕГУЛЯРНЫЕ ФУНКЦИИ
функция /(?) = (?2+1)~Ч? — z)-1 регулярна в кольце Ы <
<1?1<°°, если Ы > 1, так как функция 1/(?2+1) регу-
регулярна при всех ? Ф ±i.
Следовательно, в силу интегральной теоремы Копш инте-
интегралы по окружностям 1?|=2 и l?l=i? от функции /(?) рав-
равны при Ы <2, что и доказывает B3). []
Этот пример допускает следующее обобщение. Рассмотрим
интеграл F(z) типа Коши B0), где v — простая замкнутая кри-
кривая. Тогда этот интеграл определяет функцию, регулярную в об-
области ?>„, лежащей внутри у.
Пусть функция f(t) регулярна в замкнутой области D, огра-
ограниченной кривыми -{' и у, где f' — простая замкнутая кривая, и
\ лежит внутри f'. Тогда формула
v
дает аналитическое продолжение функции F(z) в область D',
лежащую внутри ч'. Действительно, функция /(?)/(?— z) регу-
регулярна в области D, если z s Do, так что в силу интегральной
теоремы Коши
Ш
V
Интеграл в левой части этой формулы задает функцию, регу-
регулярную в В', а интеграл в правой части равен F(z). Следова-
Следовательно, Fy> (z) = F (z) (z^Do), и наше утверждение доказано.
Аналогичный метод применим к интегралам вида B1).
Теорема 7. Пусть функция /(?) регулярна в полосе
— а =? Im С ^ 0 и удовлетворяет условию
Тогда интеграл B1) допускает аналитическое продолжение в
полуплоскость Imz> — а и это продолжение Fa(z) дается фор-
формулой
—ia+oo
I
Итак мы рассмотрели здесь следующие приемы аналитиче-
аналитического продолжения функций, заданных интегралами:
1) интегрирование по частям;
2) поворот контура интегрирования;
3) перенос контура интегрирования.
Ряд других примеров аналитического продолжения будет рас-
рассмотрен в §§ 21, 23.

Глава III
РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА
§ 17. Ряд Лорана
1. Область сходимости ряда Лорана. Ряд вида
S cn{z-a)n, A)
где а — фиксированная точка комплексной плоскости, с„ — за-
заданные комплексные числа, называется рядом Лорана. Этот ряд
называется сходящимся в точке г, если в этой точке сходятся
ряды
B)
п=о
2 *<*-«)"=2
а сумма ряда A) по определению равна сумме рядов B)" и C)'.
Ряд B) является степенным рядом, и, следовательно, его
область сходимости есть круг \z — a\<R (при R = 0 ряд B)
сходится только в точке а, а при R = °° — во всей комплексной
плоскости). Полагая в C) l/(z — a) — t, получаем степенной
оо
ряд 2 c-ntnj область сходимости которого есть круг |*|<а.
п=1
Следовательно, ряд C) сходится в области \z — а\ > р, где
р = 1/а. Если выполняется условие
р<Д, (Ч
то ряд A) сходится в области
р<!г — a\<R, E)'
т. е. в круговом кольце с центром в точке а.

122
ГЛ. III. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
В каждой точке, лежащей вне замкнутого кольца E), ряд
Лорана A) расходится в силу расходимости одного из рядов
B) — C). Таким образом, область сходимости ряда A) есть кру-
круговое кольцо E), если выполнено условие D). В точках, лежа-
лежащих на границе кольца E), ряд A) может как сходиться, так и
расходиться. Если р > R, то ряды
B) и C) не имеют общей обла-
области сходимости и, следовательно,
ряд A) нигде не сходится.
Замечание 1. Из теоремы
Абеля (§ 11) вытекает, что во
всяком замкнутом кольце р <
< pi < |г — а\ < Ri < R, лежа-
лежащем в кольце E), ряд A) схо-
сходится равномерно и согласно тео-
теореме Вейерштрасса (§ 12, теоре-
теорема 4) его сумма /(z) регулярна
в кольце E). Справедливо и об-
обратное утверждение — теорема 1.
С 52 2. Разложение регулярной функ-
функции в ряд Лорана.
Теорема 1. Функция /(г), регулярная в кольце D: р. <
< \z — а\ < R, представляется в этом кольце сходящимся рядом
Лорана
5
си 6
/(г)= 5 cn{z-a)n,
F)
1 Г
|
/ (?)
и = 0, ± 1, ±2, ...
Доказательство. Рассмотрим кольцо Dt: pt< 1г — а\ <Rt
(рис. 52). Обозначим Г и Г4 соответственно внешнюю и внутрен-
внутреннюю границы кольца Di. Пусть z — любая точка кольца Di. В си-
силу формулы D) § 10 имеем
Заметим сначала (см. доказательство теоремы 1 § 12), что

§ 17. РЯД ЛОРАНА 123
Преобразуем, далее, второе слагаемое формулы (8). Имеем
Если ^еГц то -—- =-j L—г=?<1и, следовательно, в
"^~" CL
силу признака Вейерштрасса, ряд A1) равномерно сходится по
5E sl\) для каждого геД. Так как функция /(?) непрерыв-
непрерывна на Fi, то она ограничена на Гь Отсюда следует, что ряд
/(С) (?-«)*
)k+i
равномерно сходится по % на окружности Г4. Интегрируя ряд
A2) почленно и полагая к + 1 = — и, получаем
71=—1
n==_L Г Ш-—dS. A4)
2т J ir — a)n+1
Подставляя A3) и (9) в (8), получаем сходящееся в каждой
точке кольца Dy разложение F), коэффициенты которого опре-
определяются по формулам A0) и A4).
В силу следствия 2 из интегральной теоремы Коши (§9, фор-
формула A3)), в формулах A4) и A0) в качестве контура интегри-
интегрирования можно взять окружность |? — a\—R0, pi<Ro<Rt,
т. е. справедлива формула G). Поскольку pi можно взять сколь
угодно близким к р, a Ri к R, то ряд F) сходится во всем коль-
кольце D. Теорема доказана.
3. Единственность разложения функции в ряд Лорана.
Теорема 2. Разложение в ряд Лорана функции f(z), регу-
регулярной в кольце D: р < U — а\ < R, единственно.
Доказательство. Пусть функция /(z), регулярная в
кольце D, имеет в этом кольце два разложения:
/(«)= S cn{z-a)n= 2 cn(z-a)n. A5)
П = —DO П= —00
Умножая ряды A5) на (z — a)~m-\ где m — фиксированное це-
целое число, получаем
S cn(z - а)""-1 =2 7n(z- a)n~m-\ A6)
Л — — оо П=— ОО
Так как ряды A6) равномерно сходятся на окружности \z —

124 ГЛ. III. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
— а\ = Ro, р < Ro < R, то, интегрируя их почленно по этой
окружности и учитывая, что при целом к
J (z-afdz ^
!г-а|=Н0 [2П1, к = — 1,
получаем ст = с„ для каждого целого т.
Из теоремы 2 следует, что коэффициенты разложения данной
функции в ряд Лорана не зависят от того, каким способом по-
получено это разложение.
Пример 1. Функция
. . 1
/ W - A _ z) (z + 2)
регулярна в областях Д: |г|<1, D2: K|z|<2, Ds: |z|>2.
Найдем разложение функции /(г) в ряд Лорана в этих обла-
областях. Представим функцию /(г) в виде суммы простых дробей:
Mr^ ih) A7)
Если Ы < 1, то
а если Izl > 1, то
¦Чт—24. A9)
1 —z
211- z
Аналогично, в круге Izl < 2 имеем разложение
7+2
а если I г I > 2, то
"»"
2 + 2 ¦-• ' „=1
/от
B1)
а) В области ?>,: |z| < 1 в силу формул A7), A8), B0) функ-
функция /(г) разлагается в ряд Лорана

§ 17. РЯД ЛОРАНА 125
Этот ряд есть ряд Тейлора.
б) В области D2: К Ы < 2 разложение функции /(z) в
ряд Лорана (формулы A7), A9), B0)) имеет следующий вид:
Этот ряд содержит как положительные, так и отрицательные
степени z.
в) В области As: Ы>2 функция /(г) представляется ря-
рядом Лорана (см. формулы A7), A9), B1)), содержащим толь-
только отрицательные степени г
/w-i'-"~.r-'- a
Замечание 2. Укажем на связь между рядом Лорана и
рядом Фурье. Пусть функция /(г) регулярна в кольце
б1<|г|<1 + б2, 0<б,<1, 62>0, B2)
содержащем единичную окружность |г| = 1. Тогда она пред-
представляется в этом кольце рядом Лорана
71=—оо
откуда, полагая z = е'*, получаем разложение в ряд Фурье
функции
B3)
Обратно, если функция F(cp) представляется в виде
где функция /(г) регулярна в кольце B2), то ряд B3) является
рядом Фурье для -Р(ф).
4. Неравенства Коши для коэффициентов ряда Лорана.
Теорема 3. Пусть функция /(г) регулярна в кольце D:
р0 < 1г — а\ < Ro. Тогда коэффициенты ряда Лорана
5ля функции f(z) в кольце D удовлетворяют неравенствам
КК-^Г. га = °. ±L ±2,..., B4)
л
где Af = max | / (г) |, ^д: |г — а| =R, p<,<R
г^7

126 ГЛ. III. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Неравенства B4) называются неравенствами Коши для коэф-
коэффициентов ряда Лорана.
Доказательство. Пользуясь формулой G), получаем
М
+1 l6_jJ
Г \dt\-?-
§ 18. Изолированные особые точки однозначного характера
1. Классификация изолированных особых точек однозначного
характера.
Определение 1. Пусть функция /(z) регулярна в кольце
0<|z — a|<p, но не регулярна в точке а (а^»). Тогда
точка а называется изолированной особой точкой однозначного
характера для функции /(z).
Кольцо 0<|г — а\ < р, т. е. круг \z — а\ < р с выбро-
выброшенным центром, будем иногда называть так: проколотая ок-
окрестность точки а.
Аналогично, бесконечно удаленная точка называется изоли-
изолированной особой точкой однозначного характера для функции
/(z), если функция /(z) регулярна в области р< 1г| < «>.
В зависимости от поведения функции /(г) вблизи точки а
различают следующие три типа особых точек.
Определение 2. Изолированная особая точка а однознач-
однозначного характера функции f(z) называется
а) устранимой особой точкой, если
существует и конечен;
б) полюсом, если lim/(z) = оо;
г-* а
в) существенно особой точкой, если lim/(z) не существует.
z-*a
Пример 1. Для функции
точка г = 0 является устранимой особой точкой, так как функ-
функция /(г) регулярна при г?=0и
.-*.+ ...
lim-^- = lim - = 1- П
Пример 2. Для функции
/(а)=ГГ7

§ 18. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 127
точка —1 является полюсом, так как эта функция регулярна при
z ?> —1 и lim /(г) = оо. []
г-* — 1
Пример 3. Точка z — °° является существенно особой для
функций е2, sin z, cos г, так как эти функции регулярны во всей
комплексной плоскости и не имеют предела при z-*- °°.
Действительно, lim е* = оо, lime* = 0, а пределы sin ж я
Я-*Н-оо Х->—оо
cos х при х -*• оо не существуют. []
Пример 4. Для функции / (г) = е1^2 точка г = 0 является
существенно особой точкой, так как функция /(г) регулярна при
гФО ж не имеет предела при z-*-0. В самом деле, если z=x,
то
г->о эс->0
а если г = iy, то
lim / (z) = lim е~^ = 0. П
z->o
2. Ряд Лорана в окрестности особой точки. Пусть функция
/(z) регулярна в кольце К: 0<lz — al<p. Тогда эту функцию
можно разложить в ряд Лорана
/(*)= I ^(г-а)п, A)
п——с»
сходящийся в кольце К.
Определение 3. Ряд A) называется рядом Лорана для
функции /(z) в окрестности точки а, а ряды
71=1 VZ а)
/,(*)= S *«(*-*)" C)
п=0
называются соответственно главной частью и правильной частью
ряда A).
Пусть функция /(г) представляется в окрестности бесконечно
удаленной точки, т. е. в области R < Ы <°°, сходящимся рядом
/(г)= |j с„г». D)
П=—оо
Определение 4. Ряд D) называется рядом Лорана для
функции /(г) в окрестности бесконечно удаленной точки, а ряды
/x(z)= 2с„г", E)
С»
/2(z) = <\>+ 2^-nZ-" F)
' 71=1

128 ГЛ. III. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
называются соответственно главной частью и правильной частью
ряда D).
Замечание 1. Главная часть ряда Лорана в окрестности
особой точки а (конечной или бесконечно удаленной), как видно
из определения — это сумма всех тех и только тех членов ряда
Лорана, которые стремятся к бесконечности при z ->• а.
Главная часть — функция, регулярная во всей комплексной
плоскости, кроме точки а, а правильная часть, т. е. разность
между /(г) и главной частью /4(г), есть функция, регулярная
в точке а.
Пример 5. Ряд Лорана для функции /(z) = zV/z в окрест-
окрестности точки г = 0 имеет вид
и, следовательно, главная часть ряда G) в окрестности точки
z = 0 равна /х (г) = 2 *т» а правильная часть равна
тг=1 («+ 2)! г
/2(z) = z* + z + i-.
Ряд G), сходящийся в окрестности бесконечно удаленной
точки (он сходится во всей конечной плоскости с выколотой
точкой z = 0), есть ряд Лорана для функции /(г) в окрестности
точки z = оо. Главная часть ряда G) в окрестности точки г = °°
равна г2 + z, а правильная часть равна
Пример 6. Найдем ряд Лорана функции
/ (z) = cos ——г
1 w z + 1
в окрестности точки z = — 1. Имеем
1
Используя известные разложения для cos г и sin г, получаем
ряд Лорана для /(z) в окрестности точки z = — 1:
z . sin l cos 1
sin 1 , , / . лхп cos 1 ,
Bn)\(z-tl)
2n

§ 18. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 129
Пример 7. Чтобы найти правильную часть g2(z) ряда Ло-
Лорана для функции g(z) = г2 cos в окрестности точки г = —1,
разложим функцию z2 в ряд Тейлора по степеням z + 1. Имеем
z2 = [(z + l)-l]2 = (z+lJ-2(z + l)+l. (9)
Перемножая разложения (8) и (9), находим
g2(z) = S2|l_2sinl + (sinl-2cosl).(z + l) + cosl- (г + IJ. Q
Пример 8. Для нахождения главной части fi(z) ряда Ло-
Лорана функции /(z)= l/(z2 + 1) в окрестности точки i предста-
представим эту функцию в виде /(z) = z_t g(z), где
Следовательно,
Пример 9. Главная часть ряда Лорана функции
V
в окрестности точки z = <» равна z2, так как /(z) = zJ + ()
где g(z) — правильная рациональная дробь (функция, регулярная
в бесконечно удаленной точке). []
3. Устранимая особая точка.
Теорема 1. Для того чтобы изолированная особая точка а
была устранимой особой точкой функции /(z), необходимо и до-
достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности точки
а была тождественным нулем.
Доказательство. Необходимость. Пусть о — устра-
устранимая особая точка для функции /(z). По определению устрани-
устранимой особой точки существует
lim/(z) = Аф оо A0)
г-*а
и, следовательно, функция /(z) регулярна и ограничена в неко-
некоторой проколотой окрестности точки а, т. е.
\f(z)KM, 0<|z-al<p. (И);
Если 0<pi<p,-TO из (И) в силу неравенств Коши (§ 17, фор-
формула B4)) имеем
\cn\^M/pnlf n = 0,±l, d=2, ... A2)
8 ю. В. Сидоров и др.

130 ГЛ. III. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Так как в неравенствах A2) pt можно взять сколь угодно ма-
малым, а коэффициенты с„ не зависят от pi, то с» ¦= 0 при п =•
= — 1, —2, ..., т. е. главная часть ряда Лорана для функции /(zj
в окрестности точки а тождественно равна нулю.
Достаточность. Если главная часть ряда Лорана для
функции /(г) в окрестности точки а тождественно равна нулю,
то
где ряд A3) сходится в некотором кольце 0<|z —а|<р. Но
степенной ряд A3) сходится во всем круге |г — а| < р и, следо-
следовательно, существует* lim/(z) = с0, т. е. а — устранимая осо-
г-*а
бая точка.
Из доказательства теоремы 1 вытекает, что условие A0) мож-
можно заменить условием A1), т. е. справедлива следующая
Теорема 2. Для того чтобы изолированная особая точка а
была устранимой особой точкой для функции f(z), необходимо
и достаточно, чтобы функция /(z) была регулярна и ограничена
в некоторой проколотой окрестности точки а.
Замечание 2. Продолжив по непрерывности функцию f(z),
в точку a(f(a) =|lim/(z) = cA, получим регулярную в точке а
функцию:
ее
/ (z) = 2 сп (z — а)п> \z — л | < Р-
Этим оправдан термин «устранимая особая точка». В дальней-
дальнейшем поэтому нередко устранимые особые точки будем рассмат-
рассматривать как точки регулярности.
Пример 10. Функция / (г) = /_ сов, регулярна в точке
z = 0, так как эта функция регулярна в проколотой окрестности
точки z =• 0 и при z -+¦ 0 имеем
e'-l~z, (e'-l)*~z\ l-cosz~zV2,
откуда следует, что lim/(z) = 2 (/@) = 2). []
Пример 11. Функция /(z) = ctgz регулярна в точке
z = 0, так как
cos* 2Г 1 . _,_ч
где g[z\— регулярная в точке z=»0 функция. Q

§ 18. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 131
4. Полюс.
Теорема 3. Для того чтобы точка аФ°° была полюсом
функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы эта функция пред-
представлялась в виде
A4);
где ^(z)—функция, регулярная в точке а, тп^ 1 — целое. Это
число m называется порядком полюса а функции f(z).
Аналогично, точка z=*°° является полюсом функции f(z)
тогда и только тогда, когда
f(z)=*zmh(z), Л («О* 0, A5)
где h(z)—функция, регулярная в точке z=*°o, m^l — целое
(тп — порядок полюса z = °° функции f(z)).
Доказательство. Пусть аФ°° — полюс для /(z). Тогда
функция f(z) регулярна в некоторой проколотой окрестности
точки а и lim/(z) = оо, откуда следует, что
l/(z)l >1 A6);
в некотором кольце К: 0<\z — a\ <р (р выберем так, чтобы
функция f(z) была регулярна в К).
Рассмотрим функцию g(z) = l/f(z). Эта функция регулярна
в К, так как /(z) регулярна в К и не обращается в нуль в этом
кольце в силу неравенства A6). Следовательно, а — изолиро-
изолированная особая точка для g(z). Из A6) следует, что !g(z)|<l
в К, и по теореме 2 получаем, что а —устранимая особая точка
для g(z). Полагая
получаем, что g(z) регулярна в круге \z — a\ <р и точка а явля-
является ее нулем.
Пусть m — порядок нуля функции g(z). По теореме 6 § 12
(формула C6)) имеем g(z) — (z~-a)mh(z), где функция h(z)
регулярна в точке a, h (а) Ф 0. Отсюда получаем
где r|)(z)= l/fe(z) —регулярная в точке а функция, ip(a)
И{)Ф0
{)
Обратно, иэ равенства A4) следует, что функция f(z) регу-
регулярна в проколотой окрестности точки а и что Hm/(z) = oo4
z-*a
т. е. z=-a — полюс для f(z).
Пусть z = oo — полюс функции f(z). Как и в случае конеч-
конечной точки, точка z = <» является нулем для функции g(z) =
= l//(z). Для завершения доказательства достаточно применить
теорему 6 § 12 (формула C9)).
9*

132 ГЛ. III. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Следствие 1. Изолированная особая точка 0=5*0° является
полюсом порядка m для функции f(z) в том и только в том слу-
случае, когда имеет место асимптотическая формула
f(z)~A{z-a)-n, АФО, z-+a. A7J
Аналогичная формула справедлива и в случае, когда полюсом
порядка пг для функции f(z) является бесконечно удаленная
точка:
1(z)~Bzm, ВФО, z-*oo. A8);
Из определений порядка нуля и порядка полюса (или из
формул A7), A8) и формул D0), D1) § 12) вытекает, что по-
полюс порядка пг можно рассматривать как нуль отрицательного
порядка —га.
Теорема 4. Для того чтобы изолированная особая точка а
была полюсом для функции f(z), необходимо и достаточно, что-
чтобы главная часть ряда Лорана для функции f(z) в окрестности
точки а содержала лишь конечное число членов.
Доказательство. Пусть точка аФ°°— полюс порядка m
для функции f(z). Тогда имеет место формула A4). Разлагая
функцию i{)(z) в ряд Тейлора в окрестности точки а, получаем
ряд Лорана для функции /(z) в окрестности точки а:
fW = lT=%r+ ...+^El + c§ + c?(s-a)+... A9)
Его главная часть /х (z) = ^ —^~ содержит лишь конечное
ь=1 (* — а)
число (не более т) членов, причем с-т Ф 0, где т — порядок
полюса а.
Обратно, из равенства A9) вытекает формула A4) и, следо-
следовательно, а — полюс для /(z) порядка т. Теорема доказана для
случая конечного полюса. Если полюсом функции f(z) является
точка z — °°, для доказательства теоремы следует использовать
формулу A5).
Пример 12. Для функции /(z) = 1/sinA/z) точки zh — 1/(kn)
(&=»±1, ±2, ...) являются полюсами первого порядка, так как
функция g(z)=*l//(z) = sin(l/z) регулярна при гФО, а точки zh
являются ее нулями первого порядка (g'(Zk)?>0). Следователь-
Следовательно, точка z = 0 является неизолированной особой точкой (пре-
(предельной точкой или точкой накопления полюсов). Точка z = °° —
полюс первого порядка для /(г), так как }(z)~ z (z-+ °°). []
Пример 13. Для функции /(z) = (l — cosz)/(e* — 1)* точка
2 = 0 — полюс первого порядка, так как функции <p(z)= 1 — cos z
и $(г) = (е* — I)8 регулярны в окрестности точки z = 0 и при
z-^0 имеем l-cosz~zV2, (e*-lK~z!, т. е. /(z)~l/Bz).
Точки zh = 2kni (fe = ±l, ±2, ...) —полюсы третьего порядка

§ 18. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 133
для /(z), так как эти точки являются нулями третьего порядка
для функции r|)(z), а <р(гк)Ф0. Точка z = <» является неизолиро-
неизолированной особой точкой (предельной точкой полюсов) для функ-
функции f{z). []
5. Существенно особая точка.
Теорема 5. Для того чтобы изолированная особая точка а
была существенно особой точкой для функции /(z), необходимо
и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана в окрестности
точки а содержала бесконечное число членов.
Доказательство следует из теорем 1 и 4.
Пример 14. Точка z — 0 является существенно особой для
функции
так как главная часть ряда Лорана для еи' содержит бесконеч-
бесконечное число членов. []
Пример 15. Точка z = °° является существенно особой для
функции
71=0
так как главная часть ряда Лорана для f{z) в окрестности точ-
точки z = оо содержит бесконечное число членов. []
Поведение функции в окрестности существенно особой точки
характеризует
Теорема 6 (Сохоцкого).. Пусть а—существенно особая
точка для функции j(z). Тогда для любого комплексного числа А
найдется последовательность точек {zn}, сходящаяся к точке а
и такая, что limf(zn) = А.
71-» 00
Доказательство.
1. А=?°°. Заметим, что функция /(z) не ограничена ни в ка-
какой окрестности точки а, так как в противном случае по теоре-
теореме 2 точка а была бы устранимой особой точкой.
Отсюда следует, что для каждого натурального п в кольце
Кп: 0<\z — a\<l/n найдется точка zn такая, что |/(zn)l>n,
т. е. zn-»-a и/(zn)-> оо («-*-<»).
2. А Ф оо. Заметим, что если для любого е > 0 и для любого
6>0 существует точка z« @<|z« — a|<6) такая, что
l/(z«) — А\<г, то теорема доказана (достаточно взять е = 1/га,
6=*1/в, и = 1, 2, ...).
Пусть указанное утверждение не выполняется. Тогда
существуют числа е0 > 0 и б0 > 0 такие, что для всех

134 ГЛ. III. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
z: 0< \z — a\ < б0 имеет место неравенство
\f{z)-A\>Bt. B0)
Рассмотрим функцию
Из B1) в силу B0) имеем
|<;г-, 0<|z-a|<60. B2)
Так как а — изолированная особая точка для f(z), то а являет-
является изолированной особой точкой и для g(z) (g(z)ik0 в кольце
0< \z — a\ <сб0 в силу неравенства B0)).
По теореме 2 точка а является устранимой особой точкой
для функции g(z) ж, следовательно, существует
(z) = B. B3)
Из B1) имеем
-а|<бо? B4)
а из B3) и B4) получаем, что существует lim/(z) (конечный
при В Ф 0 и бесконечный, если В = 0), т. е. либо а — устранимая
особая точка для /(z), либо а — полюс, что противоречит усло-
условию теоремы. Теорема доказана.
Приведем формулировку более глубокой теоремы, характе-
характеризующей поведение функции в окрестности существенно особой
точки.
Теорема 7 (Пикара). В любой окрестности существенно
особой точки функция принимает, и притом бесконечное число
раз, любое значение, кроме, быть может, одного.
Проиллюстрируем теорему Пикара на двух примерах.
Пример 16. Точка z = °° является существенно особой для
функции f(z) = e* (пример 3). Рассмотрим уравнение
е*=А, АФО. B5)
Это уравнение имеет следующие решения:
zk - In IAI + i {axgA + 2kn), B6);
где &TgA — фиксированное значение аргумента числа A, k=>0,
±1, ±2, ... Из B5) и B6) следует, что в любой окрестности
точки z =» оо имеется бесчисленное множество точек zk, в кото-
которых функция е* принимает значение, равное А (А Ф 0). Значе-
Значение А — 0 функция е* не принимает (такое значение называется
исключительным для ег). []

§ 18. ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОГО ХАРАКТЕРА 135
Пример 17. Для функции /(z) = sinz точка z = °° является
существенно особой, и для каждого А уравнение sin z = А имеет
бесчисленное множество решений:
4- 2кп (к — любое целое).
Следовательно, функция sinz не имеет исключительных зна-
значений. Q
В заключение рассмотрим еще ряд примеров, связанных с оп-
определением типа изолированных особых точек.
Пример 18. Пусть функции f(z) и g(z) регулярны в точке
ai g{z)^0. Тогда для функции F(z) = /(z)/g(z) точка z = a яв-
является либо полюсом, либо точкой регулярности. В самом деле,
если g(a)?=0, то функция F(z) регулярна в точке а. Если точка
а —нуль функции g(t) порядка т и /(а)?=0, то эта точка явля-
является полюсом порядка ш для функции F(z). Наконец, если точ-
точка а является нулем порядка п для f(z) и нулем порядка т для
g(z), то при п>т функция F{z) регулярна в точке а, а при
п<т точка а является полюсом порядка т — п.
В частности, функция tgz регулярна во всей комплексной
плоскости, кроме точек гк = -^- + кл (к — целое), которые явля-
являются полюсами первого порядка. Аналогично, функция ctg z име-
имеет полюсы первого порядка в точках z* = кп {к — целое) и не
имеет других конечных особых точек. []
Р (z)
Пример 19. Для рациональной функции R (z) = ^" , где
Pn(z) и Qm(z)—многочлены степени п и т соответственно, не
имеющие общих нулей, нули знаменателя Qm(z) и только эти"
точки являются полюсами. Других особых точек в конечной
плоскости у функций -R (z) нет. Точка z — <х> является особой,
а именно полюсом порядка п — т, если п > т, и точкой регу-
регулярности, если п < т. []
Пример 20. Пусть z-=a — существенно особая точка для
функции /(z). Тогда для функции g(z)=l//(z) точка а является
либо существенно особой, либо неизолированной особой (пре-
(предельной точкой полюсов). Действительно, если существует коль-
кольцо 0< \z — а\ < б, в котором f(z)?sO, то точка а является изо-
изолированной особой точкой, а именно существенно особой для
g(z) (пример: f(z) = ei/z, g(z) = e-lh, z = 0). Если же в любой
окрестности точки а имеются нули функции f(z), то для функ-
функции g(z) эти точки являются полюсами и, следовательно, z = a —
предельная точка полюсов для функции g (z)[f(z) — sin —, g (z) =
_. 1 z_
~~ sin A/2)'

136 ГЛ. III. РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Пример 21. Для функции /(z) = e1/sin* точки zh = kn (к =
=> 0, ±1, ±2, ...) являются существенно особыми. В самом деле,
sinz~(—l)"(z— fcrc), z-^кп. Пусть к — четное. Тогда если
2 =» х -*¦ кп + 0, то sinz->+0 и f{z)->- +°°, а если z = а; -*¦ кп — 0,
то sinz-*-—О и /(z)->-0, т. е. функция /(z) не имеет предела в
точке zh. Аналогично рассматривается случай нечетного к. Дру-
Других особых точек в конечной плоскости у функции f(z) нет.
Точка z = °o является для функции |(z) предельной точкой су-
существенно особых точек. []
Обобщим результат примера 21.
Пример 22. Покажем, что если точка а является полюсом
функции /(z), то для функции g(z) = eHz) эта точка является
существенно особой.
Пусть та — порядок полюса. Тогда по формуле A7) имеем
/(z) ~ A (z - a)~m, А Ф 0 (z -»¦ а). Полагая А -= Uleia, z - а = re*»,
получаем
/(z)~ |Л!г-те(@'-т'1)). B7)'
Рассмотрим луч Zj:, z — a — гегч>^, где ф4 = а/т. Тогда из B7)
следует, что j{z)~\A\r~m (r->-0, zel,), откуда lim g(z) — oo.
г-»а,г? /х
Аналогично, на луче z — а = гещ*, где ср2 =(а + л)/то, име-
имеем /(z) U|r-m и, следовательно, Hm g(z) = O. Отсюда
г-»а,г=г2
следует, что функция g (z) не имеет предела при z -»• а, т. е. а —
существенно особая точка для g{z). jj
Пример 23. Для функции / (z) = j— точки zft=— 1 +
sin2F+I
+ -Т- (fe = ± 1, ±2, ...) являются полюсами второго по-
порядка, z = — 1 есть предельная точка полюсов, а точка z = °° —
полюс пятого порядка: sin 7jri~T' /(z)~z5 (z-*-°°). Других
особых точек у функции /(z) нет. []
§ 19. Теорема Лиувилля
Напомним, что функция f(z), регулярная во всей комплекс-
комплексной плоскости, называется целой.
Разложим целую функцию /(z) в ряд Тейлора
/00= 2 ««*"• A)
Этот ряд сходится при всех z и, следовательно, является рядом
Лорана для функции }(z) в окрестности бесконечно удаленной
точки.

§ 19. ТЕОРЕМА ЛИУВИЛЛЯ 137
Единственной особой точкой целой функции /(z) в расширен-
расширенной комплексной плоскости может быть точка z = °°. Если
z = oo —полюс порядка п для целой функции f{z), то f(z) —
многочлен степени п. Целая функция, для которой точка z = °°
является существенно особой, называется целой трансцендентной
(примеры: ег, sin 2, cos z).
Если целая функция f(z) регулярна в точке z = °°, то /(z) =
= Со = const. Таким образом, единственный класс аналитических
функций, которые не имеют особых точек в расширенной комп-
комплексной плоскости — это константы.
Теорема 1 (Лиувилля). Пусть целая функция
удовлетворяет в области Ы >Л4 неравенству
\f(z)\<M\z\n, n>0-целое. Щ
Тогда f(z) — многочлен степени не выше п.
Доказательство. Используя неравенства Коши (п. 4,
§ 17), в силу B) получаем при R>Rt следующую оценку для
коэффициентов ряда A):
\ k = i,2, ... C)
Если k>n, то из C) следует, что ск = 0, так как R можно
взять сколь угодно большим, а коэффициенты ск не зависят от R.
Итак, с„+1 = сп+г = . ¦ • = О, т. е. /(z) — многочлен степени не вы-
выше п. Теорема доказана.
Следствие 1. Если целая функция f(z) ограничена во всей
комплексной плоскости, то она есть постоянная: /(z)^ const.
Докажем с помощью теоремы Лиувилля, что справедлива
Основная теорема алгебры. Всякий многочлен Рп(z) =
= co + c,z + ... + cnzn (c^O, п>1) имеет по крайней мере
один нуль.
Доказательство. Пусть многочлен Рп(z) не имеет нулей.
Тогда функция g(z) = l/Pn(z) является целой. Так как функция
g(z)->0 при z -*- оо (Pn(z)~ cnz", z-*¦<*>), то эта функция огра-
ограничена во всей комплексной плоскости, и в силу следствия из
теоремы Лиувилля получаем g (z) *э const, что противоречит опре-
определению функции g(z). Итак, многочлен Pn(z) имеет по край-
крайней мере один нуль.
Более общим, чем класс целых функций, является класс ме-
роморфных функций.
Определение. Функция /(z) называется мероморфной,
если в каждой ограниченной части плоскости она регулярна, за
исключением, быть может, конечного числа полюсов.

138 ГЛ. III, РЯД ЛОРАНА. ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ
Во всей комплексной плоскости число полюсов мероморф-
ной функции может быть и бесконечным (примеры: ctg z,
1 1 \
^-gt — 1. Рациональная функция является мероморфной и
имеет во всей расширенной комплексной плоскости лишь ко-
конечное число полюсов. Справедливо и обратное утверждение, т. е.
имеет место
Теорема 2. Мероморфная функция /(z), имеющая во всей
расширенной комплексной плоскости лишь конечное число по-
полюсов а„ аг, ..., а. (точка z = °° также может быть полюсом),
является рациональной и представляется в виде
/(*)=* 4+ /„(*)+2/*(*), D)
где /0(z) и fh(z) — главные части ряда Лорана для функции f(z\
в окрестностях точки z = °° и а» соответственно,
Доказательство. Пусть
mh
4
i-i (z — ak)
— главные части ряда Лорана для функции /(z) в точках ak и
2 = оо соответственно. Тогда функция
g(z) = /(z)-/0(z)-t/ft(z)
ft=l
регулярна во всей расширенной комплексной плоскости и, сле-
следовательно, g(z)**A = const. Так как /к(г)-»-0 при 2-*-°о
.(ft = 1, 2, ..., s), то А = lim [/(*) - /0 (z)].
Z-»oo
Замечание 1. Формула D) представляет собой известное
из курса математического анализа разложение рациональной
функции на сумму простейших дробей (А + /о(z) — целая часть).
Теорема 2 дает простой вывод этой формулы.
Замечание 2. Можно показать (см. [1]), что всякая меро-
мероморфная функция представима в виде отношения двух целых
функций.
Для мероморфных функций справедлива
Теорема Пи к ар а. Мероморфная функция, отличная от
постоянной, принимает все комплексные значения, за исключе-
исключением, быть может, двух.
Те значения, которые мероморфная функция не принимает,
называются пикаровскими исключительными значениями. Так,
функция tgz имеет два исключительных значения i и —i, т. е.
tg 2 Ф ±i ни при каких z.

Глава IV
МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 20. Понятие аналитической функции
1. Аналитическое продолжение вдоль цепочки областей. По-
Понятие аналитического продолжения играет исключительно важ-
важную роль в теории функций комплексного переменного. Обобще-
Обобщение этого понятия приводит к обобщению понятия регулярной
функции — а именно, к понятию многозначной аналитической
функции.
Пусть даны две области Do, Du и пусть их пересечение Аи
непусто и является областью (рис. 53). Пусть функции fa(z),
/i(z) регулярны в областях Do, Dt соответственно, и пусть эти
функции совпадают в области D0l, т. е.
Тогда функция /i(z) называется непосредственным аналити-
аналитическим продолжением функции /0 (z) из области Do в область Dt.
Это продолжение единственно по теореме единственности.
Рис. 53
Рве. 54
Пусть дана цепочка областей Do, Dh ..., Dn таких, что все
пересечения D} П Di+h 0 «S j < n — 1 непусты и являются обла-
областями (рис. 54). Пусть существуют функции /o(z), /i(z), ...
• ••> Mz) такие, что каждая последующая функция ft+i{z) явля-
является непосредственным аналитическим продолжением предыду-
предыдущей функции fj(z) из области D} в область Di+i. Это означает,
что функции /j(z) регулярны в областях D} и что fj(z)f()
Dd D

140 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Тогда функция /B(z) называется аналитическим продолже-
продолжением функции /0(z) вдоль цепочки областей Do, Dt, ..., Dn. Это
продолжение единственно.
Полученный набор регулярных функций (/0(z), /i(z), ...
• ••, /n(z)} определяет некоторую функцию F(z). Ее значения
даются формулой
Заметим, что «функция» F(z) может оказаться неоднознач-
неоднозначной! Действительно, цепочка областей Do, Dt, ..., Dn может
замкнуться, т. е. область Do может пересечься с областью Dn.
Значения же функций /0(z) и /n(z)
в пересечении Da П Dn не обязаны
совпадать. Неоднозначность функ-
функции F(z) может возникнуть уже на
первом шаге, если Do П /L состоит
более чем из одной области. На
рис. 55 изображен случай, когда
Do П Di состоит из области Doi и за-
заштрихованной области Ло1. Если
Рис. 55 при z е D01 функции /0 (г) и /, (z)
совпадают, то при z <= Д,, эти функ-
функции не обязаны совпадать, так что при z^DOi либо F(z) =
= /o(z), либо F(z) = fi(z), и функция F(z), вообще говоря,
двузначна.
Многозначная (вообще говоря) функция F{z) по построению
«составлена» или «склеена» из однозначных элементов — регу-
регулярных функций /0(z), /i(z), ..., /„(z). Аналитической функцией
~F(z) называется набор таких элементов, полученных из исход-
исходного элемента /0(z) аналитическим продолжением по всем це-
цепочкам областей, по которым продолжение возможно. Таким об-
образом, аналитическая функция склеена из регулярных элементов
(или, как их еще называют, регулярных ветвей). Существенно,
что по исходному элементу однозначно строится аналитическая
функция.
Более удобным понятием, чем понятие аналитического про-
продолжения вдоль цепочки областей, является понятие аналитиче-
аналитического продолжения вдоль кривой.
2. Аналитическое продолжение вдоль кривой. Элементом
в точке z0 будем называть функцию /(z), регулярную в некоторой
окрестности этой ¦ точки. Два элемента называются экви-
эквивалентными, если они заданы в одной и той же точке
и совпадают в некоторой окрестности этой точки. Отношение
эквивалентности элементов транзитивно. В дальнейшем вся-
всякий элемент рассматривается с точностью до эквивалентности.
Введем понятие аналитического продолжения элемента вдоль
кривой.

§ 20. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 141
Определение 1. Пусть на кривой <у задана непрерывная
функция ф(?), в каждой точке ? кривой f задан элемент /t(z)
и этот элемент совпадает с <p(z) на некоторой дуге (открытой,
если ? — внутренняя точка if) кривой if, содержащей точку ?.
Тогда элемент /zt(z) в конечной точке zt кривой if назы-
называется аналитическим продолжением вдоль кривой ^ элемента
fz (г), заданного в начальной точке z0 кривой *у.
В этом случае говорят также, что элемент fzo(z) аналитиче-
аналитически продолжен вдоль кривой ч, или что этот элемент допускает
аналитическое продолжение вдоль кривой у.
Замечание 1. Функция, заданная на кривой *у, является
однозначной функцией от точек кривой *у (§ 4). Именно, если
кривая у задана уравнением z = a(t), а<?<?1, то каждой точ-
точке z( = a(f) кривой f отвечает одно число <p(z() — значение
функции <р в точке Zt кривой if. Однако функция q>(z) как функ-
функция от точек плоскости z может не быть однозначной, если
кривая if имеет самопересечения.
Замечание 2. Если элемент /zo(z) можно аналитически
продолжить вдоль кривой y, то его можно аналитически продол-
продолжить вдоль некоторой цепочки областей, покрывающей кривую
•у. Далее, элемент /*0(z) можно аналитически продолжить вдоль
любой кривой ч') достаточно близкой к кривой "у и имеющей те
же концы. Эти факты будут доказаны в п. 5 (леммы 2, 3). На-
Наоборот, если данный элемент можно аналитически продолжить
вдоль цепочки областей, то нетрудно показать, что его можно
аналитически продолжить вдоль любой кривой, содержащейся
в этой цепочке.
Важнейшим свойством аналитического продолжения вдоль
кривой является его единственность.
Теорема. Аналитическое продолжение данного элемента
вдоль данной кривой единственно.
Доказательство. Пусть дана кривая Y: z = a@i 0<
«Si^l, и пусть элемент /0(z), заданный в начальной точке
zo = a@) этой кривой, можно аналитически продолжить вдоль
кривой у. Тогда в каждой точке zt = a(t) задан элемент /<(z),
и функция q>(t) = ft(Zt), Os??s?l, непрерывна. Допустим, что
это продолжение не единственно; тогда существует другое мно-
множество элементов /((z) в точках z, кривой "у, функция ф(?) =
==fi(Z(), Os??<l, также непрерывна, но элементы /i(z), fi(z)
в конечной точке кривой не эквивалентны. Докажем, что <р (?) =з
~ff(t) при О<?<1; тем самым теорема будет доказана.
Действительно, элементы /i(z), /i(z) совпадают на некоторой
дуге кривой if, содержащей точку zb так как по определению эти
элементы совпадают с функциями ф и ср соответственно на не-
некоторой дуге; по теореме единственности эти элементы тожде-<
ственно равны в некоторой окрестности точки zit

142 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пусть М — множество всех таких t, что <р (t) = <р (t). Это мно-
множество содержит отрезок [0, б], если б > 0 достаточно мало.
Действительно, элементы /0B), /o(z) в точке z0 эквивалентны и
потому совпадают в некоторой окрестности этой точки, а стало
быть, и на некоторой дуге 4: z = a(t), 0=^?<б, кривой *у. До-
Допустим, что М Ф [О, 1]. Тогда существует t* > О такое, что
ф(*)™*ф(О| 0<t<?*, но в любой окрестности точки t* име-
имеются точки, не принадлежащие множеству М. Из непрерывности
функций ф, ф следует, что ф(?*) = ф(?*), так что t*^M, и если
t* = l, то теорема доказана. Пусть f*<l. Функции ф@> ф@
совпадают при t^t* по условию; элементы /** (z), /** (z) сов-
совпадают с функциями ф и ф соответственно на некоторой дуге
кривой f, содержащей точку zt* по определению аналитического
продолжения. Следовательно, /** (z) == ft* B) на некоторой дуге
вида z = a(t), t* — a*Zt^t*, и по теореме единственности эти
элементы тождественно равны в некоторой окрестности точки
Zj«. Поэтому множество М содержит некоторый отрезок вида
[t*, t* + а], что противоречит определению числа t*.
3. Определение аналитической функции. Пусть в точке z0 за-
задан элемент /(z). Продолжим его аналитически по всем кривым
с началом в точке z0, по которым такое продолжение возможно;
полученное множество элементов называется аналитической
функцией, порожденной элементом /(z). Множество всех таких
кривых назовем множеством допустимых кривых.
Это определение аналитической функции принадлежит
К. Вейерштрассу. Две аналитические функции по определению
равны тогда и только тогда, когда их исходные элементы экви-
эквивалентны. В силу теоремы из п. 2 существует только одна ана-
аналитическая функция, порожденная данным элементом. Этот эле-
элемент называется также ростком аналитической функции. Экви-
Эквивалентные элементы порождают одну и ту же аналитическую
функцию. Множество значений, которые принимает аналитиче-
аналитическая функция F(z) в точке z, совпадает с множеством тех зна-
значений, которые принимают все ее элементы в этой точке.
Дальнейшие свойства аналитических функций будут уста-
установлены в § 24; к тому времени уже будет рассмотрено доста-
достаточно много примеров аналитических функций.
4. Аналитическое продолжение степенных рядов. До сих пор
ничего не говорилось о том, как именно осуществлять аналити-
аналитическое продолжение элемента вдоль кривой. Приведем алгоритм
аналитического продолжения, основанный на переразложении
степенных рядов. Рассмотрим ряд
/о W= 2М*-«)П, (!)
71=0

§ 20. ПОНЯТИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ 143
имеющий конечный радиус сходимости Ло > 0. Функция /0 (z)
регулярна в круге Кв: \z — а\ < Ro, так что /0(z)— элемент в точ-
точке а. Возьмем точку N?o и разложим /0(z) в ряд по степеням
z — Ъ. Имеем
п
(z _ а)п = [(z — Ъ) + (Ь — а)]те = 2 С* F — a)n~h (z — 6)^.
Подставляя это выражение в ряд A) и собирая вместе слагае-
слагаемые, содержащие одинаковые степени z — b, получаем ряд
п=о
B)
Пусть Д4 — радиус сходимости ряда B), Я, — круг \z — b\<
<-Riw, тогда i?i ^i?0— 1Ь — л|, так как Ri не меньше, чем рас-
расстояние от точки Ъ до границы круга Ко (§ 12). Если Rl = R0 —
— 16 —а|, то круг .Ki содержится в круге Ко, и аналитического
продолжения не получается. Пусть Ri >
>R0—\b — a\; тогда круг Kt не содержит-
содержится в круге Ко (рис. 56). В силу теоремы
единственности
/,(a)-/. (a), aeJCnjft. C)
Следовательно, ряд /i(z) является непосред-
непосредственным аналитическим продолжением ря- Рис. 56
да /о (z) (из круга Ко в круг Я0.
Допустим, что существует последовательность элементов (сте-
(степенных рядов) /o(z), /i(z), ..., /„(z) таких, что элемент /,(«)'
является непосредственным аналитическим продолжением эле-
элемента f)-i (z), I «s / < п. Пусть -йГо, ^1? ..., Кп — круги сходимо-
сходимости рядов /o(z), /i(z), ..., /„(z) с центрами в точках z0, aif ..., zn.
Тогда элемент /n(z) является аналитическим продолжением эле-
элемента /0(z) вдоль цепочки кругов Ко, Ки ..., Кп.
Аналитическое продолжение с помощью переразложения сте-
степенного ряда малоэффективно. При продолжении конкретных
функций удобнее использовать другие приемы. Главным из них
является использование интегрального представления функции.
5. Некоторые свойства аналитического продолжения вдоль кривой.
Результаты этого раздела будут использованы в § 24.
Пусть элемент /0(г) аналитически продолжен вдоль кривой у: z =
= o(t), 0 «Sfs^l, и пусть /j (z) — соответствующий элемент в точке
¦ zt = a (t) кривой f- В качестве элемента ft (г) возьмем степенной ряд
Лемма 1. Радиус сходимости r(t) ряда ft(z) либо при всех t равен
бесконечности, либо является непрерывной функцией t.

144 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Доказательство. Пусть г (t0) < оо для некоторого to. Возьмем
ti такое, что точка z ( лежит в круге сходимости элемента ft (г) н I z( —
— zt \<.-?rr(tA. Тогда радиус сходимости ряда /, (z) не меньще, чем
расстояние от точки z% до границы круга сходимости ряда ft (г) (§12),
так что г (t.)^ r(tn) — 1 zt —z, I. Точка г. лежит в круге сходимости
\ 1/ v и/ I 0 1 I 'О
ряда/, (г); следовательно, г (tn) ^ r It Л— I г. —г, I. Таким образом,
и г (t) является непрерывной функцией t.
Лемма 2. Аналитическое продолжение элемента вдоль кривой мож-
можно заменить аналитическим продолжением вдоль конечной цепочки
кругов.
Доказательство. Так как радиус сходимости г (t) является не-
непрерывной положительной функцией t при O^isgl, то r(i)^6>0
при t е [0, 1]. Выберем последовательность значений 0 ^ t0 < к < • ¦ ¦
... < tn = 1 так, чтобы I о (tj+i) — о (tj) | < 6 при / = 0, 1, ..., п — 1.
Тогда круги Kj-. |z — ztJ< г(tj), j = 0, 1, ..., n, образуют конечную
цепочку, а элементы ft (z), ft (z),...,ft (z) образуют аналитическое про-
продолжение вдоль этой цепочки.
Лемма 3. Если элемент можно аналитически продолжить вдоль не-
некоторой кривой, то его можно аналитически продолжить вдоль любой
достаточно близкой кривой, имеющей те же концы. При этом в конечной
точке получатся одинаковые элементы.
Близость кривых понимается в следующем смысле. Рассмотрим кри-
кривые Yi: z = Oj (t), O^t^ 1; / = 1, 2. Расстоянием между этими кривы-
кривыми называется величина max j а, (I) — а (I) I. Кривые называются близ-
o<t<r х * '
кими, если расстояние между ними мало.
Доказательство. Пусть элемент /0 (z) в начальной точке z0 =
= о@), кривой "{: z — o{t), 0 eg t^ 1, аналитически продолжен вдоль этой
кривой. Возьмем последовательность 0 = ?<, < <i< ... < tn = 1 такую, что
| о@ — a{tj-i) | < 6/4 при tj_i < t < ts, j = 1, 2, ..., n, где 6 > 0 — то же,
что и в доказательстве леммы 2. Тогда по доказанному в лемме 2 эле-
элемент /o(z) можно аналитически продолжить вдоль цепочки кругов К^,
К\,...,Кп\ центр круга Kj расположен в точке zt., а радиус равен 6.
Рассмотрим кривую f.z=o(t), O^t^l, для которой^ о @) = а @),
о A) = о A), и такую, что расстояние между кривыми f, f меньше, чем
6/4.
Покажем, что элемент /o(z) можно аналитически продолжить вдоль
кривой Y- По построению дуги fJi Кг кривых fi Ч> соединяющих точки
o(fy), a(*i+i) и a(tj), o(tj+i), лежат вдоль круга Kj. Пусть точка z(t)
кривой "f лежит на дуге "fj! положим ft(z) = ft.(z). Точка zt лежит
внутри круга сходимости Kj ряда ft. (z), так что ft(z) —элемент в точке
z(t). Отметим, что
Таким образом, в каждой точке zt кривой "у задан элемент /<(z),
и тем самым на кривой f задана функция <р (z) формулой ф (z<) =
fB)

§ 21. ФУНКЦИЯ In z 145
Покажем, что функция <р непрерывна на кривой fi этим будет дока-
доказано, что элемент /o(z) аналитически продолжен вдоль кривой *{¦ По по-
построению функция ф непрерывна на дугах fii за исключением их концов,
так что остается проверить непрерывность функции ф в точках z .,
1</<га. Точка1г. е К.(\К-+1, и в этой области /(. (г) гз /. (z), так
как элемент /0(z) аналитически продолжен вдоль цепочки кругов
Ко, Ки ..., Кп. Следовательно, ft-(~*u) = h-+1{\)> чт0 и доказывает
непрерывность функции <р в точке sf,. Лемма доказана.
§ 21. Функция In z
1. Аналитическое продолжение функции In ж. В курсе мате-
математического анализа рассматривается функция In ж при дей-
действительных положительных значениях х. Естественно опреде-
определить функцию lnz для комплексных значений z как аналитиче-
аналитическое продолжение функции In x. Функция In а; разлагается в ряд
Тейлора
оо
1пж = 1п[1 +(*-!)] = 2 ^/"'(g—1)".
который сходится на интервале 0 < х < 2. Рассмотрим этот ряд
при комплексных z, т. е. рассмотрим функцию
Ряд A) сходится в круге Ко: \z —1|<1, так что функция
/0(z) регулярна в этом круге, и fo(x) = lnx при 0<ж<2. Сле-
Следовательно, функция /o(z) является аналитическим продолже-
продолжением (и притом единственным!) функции In а; с интервала 0<
< х < 2 в круг Ко.
Обозначим символом lnz аналитическую функцию, порож-
порожденную элементом /0 (z), заданным в точке z = 1.
Наша задача — выяснить, по каким кривым элемент /o(z)
можно аналитически продолжить, и получить эффективные фор-
формулы для функции lnz. Аналитическое продолжение элемента
/o(z) можно было бы осуществить с помощью переразложения
степенных рядов (§ 20), однако этот путь является весьма гро-
громоздким. Удобнее воспользоваться интегральным представле-
представлением логарифма:
j^-, 0<z<oo.
i
10 Ю. В. Сидоров и др.

146
ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Покажем, что аналогичное интегральное представление имеет
место для исходного элемента /0(z).
Лемма 1. В круге Ко: \z —1|<1 справедлива формула
где интеграл берется по любой кривой, лежащей в круге Ко.
Доказательство. Функция /0(z), заданная формулой A),
регулярна в круге К„. Интеграл, стоящий в правой части равен-
равенства A'), также является регулярной в круге Ко функцией по
теореме 5 из § 9, так как подынтегральная функция регулярна
в круге Ко. При 0<ж<2 этот интеграл равен In я, т. е. сов-
совпадает с рядом A). По теореме единственности этот интеграл
совпадает с рядом A) при z е Ко, т. е. справедлива формула A').
Лемма 2. Элемент /0 (z) можно аналитически продолжить
по любой кривой ч, которая выходит из точки z = 1 и не прохо-
проходит через точку 2 = 0.
Доказательство. Полагая
W {Z) = J С '
где интеграл берется по дуге кривой у, получаем функцию w(z)
на кривой "f- Возьмем круг К с центром в точке z0 е f, не со-
содержащий точки z = 0, и положим при z е= К
z
"Г* ' '
1 zo Jo
где последний интеграл берется по любой кривой, лежащей
в круге К (рис. 57). Этот интеграл является регулярной в кру-
круге К функцией по теореме 5 из § 9, так
как подынтегральная функция регуляр-
регулярна в круге К. Следовательно, функция
f(z) является элементом в точке г„ кри-
кривой *(. Элемент в начальной точке z =¦ 1
по построению совпадает с исходным
элементом /o(z). Чтобы завершить дока-
доказательство леммы, остается проверить, в
соответствии с определением 1 из § 20,
что значения w(z) и /(z) совпадают на
некоторой дуге fo кривой fi содержащей точку z0. Можно счи-
считать, что эта дуга лежит в круге К. Тогда при ге^, имеем
C)

§ 21. ФУНКЦИЯ In г 147
где путь интегрирования является частью дуги fo. Так как пути
интегрирования в формулах B) и C) можно взять одинако-
одинаковыми, то /(z)= w(z), z^'io, что и требовалось доказать.
Пусть D — область расширенной комплексной плоскости,
/(z) — элемент в точке zo^D. Пусть элемент /(z) допускает ана-
аналитическое продолжение по всем кривым, лежащим в области D.
В результате такого продолжения получается множество элемен-
элементов, которое называется аналитической в области D функцией.
Из этого определения и леммы 2 следует
Теорема 1. Функция Inz аналитична в области 0<
<Ы<оо,
2. Основные свойства функции Inz. Из доказательства лем-
леммы 2 следует, что значение функции Inz в точке z ?= 0, °° дается
формулой
г
D)
где интеграл берется по некоторой кривой *у, которая не прохо-
проходит через точки 0, °°. Вычислим этот интеграл. Имеем ?=»ге1(|>,
где г=|?!, так что d%, = е'фdr + ire<<rdtp, ¦?¦ = -—¦ + idq>, и инте-
интеграл D) равен
где ATargz — приращение аргумента вдоль кривой i (§ 6). Сле-
Следовательно,
Inz = In \z\ + iA-, argz. E)
Эта формула является основной формулой для функции Inz.
Замечание 1. Значение логарифма Inz зависит не только от точки
z, но и от кривой 1, по которой берется интеграл D). Строго говоря, это
значение следовало бы записывать в виде (Inz)T или (f)lnz. Однако
такого рода обозначения не являются общепринятыми, и мы не будем
их систематически употреблять. Вместо этого каждый раз будем указы-
указывать, по какому пути исходный элемент аналитически продолжен.
Из D) вытекает формула
Пример 1. Вычислим значение функции Inz в точке zu
полученное в результате аналитического продолжения исходного
элемента /0(z) вдоль кривой у.
а) f — отрезок [1, i], zt = i;
б) ч — полуокружность ч+: z = eu, 0<?<я, Zi*=—1;
в) у — полуокружность if_: z = e~u, 0 < t < я, z, = —1.
10*

148 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
В случае а) имеем ATargz = n/2, так что 1пг = гя/2. В слу-
случае б) имеем Дтargz =+я, так что 1п(—1)=?я, а в случае
в) A, arg z = —я, так что In (—1) == — in. []
Из основной формулы E) вытекает следующее свойство ло-
логарифма:
1. Все значения функции Inz в точке z даются формулой
lnz=ln|z|+sargz. G)
Здесь arg z — неоднозначная функция: arg z = (arg z) 0 + 2/ctj,
где (argz)o — некоторое фиксированное значение аргумента,
к — произвольное целое число. Эту формулу можно также запи-
записать в виде
In (re**) = In г + ?qp + 2kni, k = 0, dbl, ±2, ..., (8)
где In г — действительное число.
Следовательно, In z — бесконечнозначная функция, т. е. в
каждой точке z?=0, oo эта функция имеет бесконечно много
значений. Действительная часть этой функции однозначна:
Re In z — In \z\
для любых z •?• 0, oo и для любого значения In z.
Из формулы G) следует, что
eln* = z, (9);
так что функция In z является обратной к функции е'.
В силу формулы G) любые два значения логарифма в точке
z0 отличаются на 2/сяг, где к — целое число. Отсюда вытекает
следующее важное свойство логарифма:
2. Если /i(z), /2(z)—элементы логарифма в некоторой точке
z0, то /t(z) — /г(г) = 2kni в некоторой окрестности этой точки,
где к — целое число.
Отсюда следует, что любой элемент логарифма в любой точке
zo?=0, °° полностью определяется заданием своего значения
в этой точке. Произвольные аналитические функции не обла-
обладают ЭТИМ СВОЙСТВОМ.
3. Пусть /(z)—элемент функции Inz такой, что /(zo) = lnzo.
Тогда
/ (Z) = 1П Z0 + 2 {Z=^- B - *„)». (Ю)
n=l 0
Этот ряд сходится в круге Iz — zB\ < \zB\.
Заметим, что коэффициенты Тейлора в формуле A0) имеют
тот же вид, что и в случае действительных z, z0.

§ 21. ФУНКЦИЯ lnz 149
Докажем A0). По формуле Тейлора имеем
п=0
Из F) следует, что /'(z)=l/z в окрестности точки z0, так что
fn) (га) ='(— I)" {п — 1)!/Zq при п S* 1, и формула A0) доказана.
Распространим формулу E) на случай, когда исходное зна-
значение логарифма задано в точке, отличной от точки z = 1.
4. Пусть в точке z0 задано значение логарифма In z0 и кри-
кривая f соединяет точки z0 и z. Пусть In z — значение логарифма
в точке z, полученное в результате аналитического продолжения
вдоль кривой ^. Тогда справедлива формула
Z
lnz = lnza+ In
iAvargz. A1)
Эту формулу можно также записать в виде
In z = In \z\ + i[Im(In z0) + Д, argz]. A2)
Доказательство следует из соотношения
J ъ
V
Пример 2. Пусть 1пг = г5яУ2, и f — отрезок [i, 2]. Про-
Продолжим аналитически элемент логарифма, равный г5л/2 в точке
z = i, вдоль кривой f- Тогда по формуле A2) имеем
3. Характер неоднозначности функции lnz. Многозначные
аналитические функции могут иметь особые точки нового типа
по сравнению с рассмотренными в главе III — точки ветвления.
Определение 1. Пусть функция F(z) аналитична в про-
проколотой окрестности точки а и неоднозначна в этой окрестности.
Тогда точка а называется изолированной точкой ветвления
функции F(z).
Пример 3. Точки 0, «> являются изолированными точками
ветвления функции lnz. []
Приведем другое определение точки ветвления. Пусть функ-
функция F(z) аналитична в кольце 0< \z~a\ <г. Возьмем точку z0
из этого кольца и элемент /o(z) в точке z0 и аналитически про-
продолжим этот элемент вдоль окружности \z — a\ = \zo — a\ с на-
началом и концом в точке z0. (Коротко эту процедуру будем за-
записывать так: «Совершим обход вокруг точки о» в положи-
положительном или в отрицательном направлении в зависимости от
ориентации окружности.) Если элемент /i(z), полученный в ре-

150 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
зультате аналитического продолжения, не совпадает с исходным
элементом /0(z), то точка а является изолированной точкой ветв-
ветвления функции F(z).
Возьмем точку z0 *f* 0, °°, элемент /0 (z) логарифма в этой
точке и совершим обход вокруг точки z = 0 в положительном
направлении. Если /i(z) — полученный в результате аналитиче-
аналитического продолжения элемент, то по формуле A1)
Следовательно, логарифм обладает следующим свойством.
5. При обходе вокруг точки z = 0 в положительном направ-
направлении
In z -v In z + 2ni, A3)
т. е. элемент логарифма получает приращение +2я?. При обходе
вокруг точки z == 0 в отрицательном направлении
lnz-+lnz-2ni. A3')
Замечание 2. Свойство 5 является характеристическим
свойством логарифмической функции. Именно, пусть функция
F(z) аналитична в кольце К: 0<lz|<r и обладает следующим
свойством: при обходе вокруг точки z = 0 в положительном
направлении
F{z)-+F{z) + c, сФО
(т. е. любой ее элемент получает приращение с = const). Тогда
где функция G{z) регулярна в кольце К.
Для доказательства рассмотрим функцию G(z) = F (z) —
— ъ—.lnz. Она аналитична и однозначна в кольце К, ибо
G(z)-*- G(z) при обходе вокруг точки z = 0.
Функция lnz, как и всякая многозначная аналитическая
функция, «составлена» (или «склеена») из однозначных анали-
аналитических функций, а именно, из своих элементов. Всякий эле-
элемент логарифма называется однозначной (или регулярной)
ветвью логарифма. Аналогично, однозначной ветвью многознач-
многозначной аналитической функции называется любой ее элемент. Мож-
Можно по-разному выбирать элементы, из которых «склеена» анали-
аналитическая функция.
Из формулы A1) и свойств аргумента (§ 6) вытекает сле-
следующее свойство логарифма:
6. Пусть кривые fi, f2 лежат в области 0< \z\ <<», соединя-
соединяют точки а, 6 и гомотопны в этой области. Пусть /(z)—произ-
/(z)—произвольный элемент логарифма в точке а. Тогда при аналитическом.

§ 21. ФУНКЦИЯ In г 151
продолжении этого элемента вдоль кривых ^ь ^2 получим один
и тот же элемент в точке Ъ.
Действительно, приращения аргумента вдоль кривых fi и f2
равны: Ay arg z = AVz arg z, так что аналитическое продолжение
вдоль кривых Yi и Тг приводит в силу A1) к одному и тому же
значению логарифма в точке Ъ.
Пусть D — произвольная односвязная область, не содержа-
содержащая точек 0, оо. Фиксируем точку Zjefl и значение lnz0 в этой
точке. Аналитически продолжив элемент /(z) логарифма (/(zo) =
!=lnz0) по всем путям, которые выходят из точки z0 и лежат
в области D, получим однозначную
в области D функцию /(z). Это еле- /
дует из свойства 6 и из того, что в / -
односвязной области любые две /
кривые, имеющие общее начало и /
общий конец, гомотопны. Получен- L
ная однозначная аналитическая Рис. 58
функция называется регулярной
ветвью логарифма в области D. Выбрав в точке z0 другое значе-
значение логарифма, получим другую регулярную ветвь логарифма
в этой области.
Выберем в качестве D плоскость с разрезом по лучу (—°°, 0]
(рис. 58}. Функция lnz в этой области распадается на бесконеч-
бесконечное число однозначных ветвей. Эти ветви имеют вид
А = 0, ±1, ±2, ... A4)
Здесь (arg z) „ — однозначная ветвь аргумента такая, что
Вместо того чтобы рассматривать бесконечно много регуляр-
регулярных функций в одной области D, возьмем бесконечно много
идентичных экземпляров этой области. Обозначим эти области
А,, А = 0, ±1, ..., и будем считать, что в области Dk задана
регулярная функция /*(z).
Теперь склеим области Dh («листы») в одну поверхность.
Пусть 1% — разрез (—°°, 0] на листе Dh и пусть l?, Ik — верх-
верхний и нижний берега разреза соответственно. Если z = х < 0, то
так как (arg хH = ± я, х е it- Следовательно

152
ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Поэтому будем склеивать нижний берег разреза lk+i с верхним
берегом разреза it, А=»0, ±1, ±2, ..., тогда функция lnz будет
однозначна на полученной бесконечнолистной поверхности.
Построенная поверхность изображена на рис. 59. Она назы-
называется римановой поверхностью логарифма. Эта поверхность на-
напоминает по форме бесконечную в обе стороны винтовую
лестницу.
Заметим, что риманова поверхность логарифма односвязна.
Замечание 3. Можно по-другому «разрезать» логарифм
на регулярные ветви. Именно, в качестве D
можно взять плоскость с разрезом по любой
простой кривой ч, соединяющей точки О
и оо. Выбор разреза диктуется конкретной
задачей. Например, при вычислении интег-
Рис.59 ралов вида J R (х) 1п х их, где R (х) — рацио-
о
нальная функция, оказывается удобным провести разрез [0, +«>)
(§ 29).
Поскольку уже известны конформные отображения некоторых
областей функцией е% то отсюда можно сразу же получить ряд
отображений функцией lnz. Функция ег взаимно однозначно и
конформно отображает полосу П: 0 < Im z<a ширины а ^ 2я
на сектор S: 0 < arg w <a. Следовательно, обратная функция
©
///////////А
П
У////////////
ьа,
z=lr\w
777/77//////////
Рис. 60
z = In w взаимно однозначно и конформно отображает сектор
S: 0<&Tgw<a на полосу П: 0<Imz<a (рис. 60). Однако
здесь следует выражаться поточнее, так как обратная функция
неоднозначна. Сектор S — односвязная область, не содержащая
точек 0, оо. Следовательно, в этой области функция z = lnw
распадается на однозначные ветви. Отображение S-+-II осу-
осуществляется одной из этих ветвей z0 (w); ее можно задать одним
из способов:
1) 0< Imzo(«>)< 2я в секторе S;
2) zo(l) = O (т. е. задается значение ветви на границе).

§ 22. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ 153
Функция u? = lnz (точнее, ее ветвь /o(z), заданная формулой
A4)), взаимно однозначно и конформно отображает плоскость z
с разрезом по полуоси (—°°, 0] на полосу —я < Im w < я.
Другие ветви логарифма отображают сектор S на другие по-
полосы. Именно, если fh(z) — ветвь логарифма в секторе S, задан-
заданная формулой A4), то функция w = /ft(z) взаимно однозначно и
конформно отображает сектор S на полосу ГЦ (рис. 49):
2кя < Гт w <с 2?я -f a.
В курсе математического анализа для функции In x выводится функ-
функциональное соотношение In (х\х2) = In ж, + In хъ Так как In г — неодно-
неоднозначная функция, то аналогичное соотношение
111 (Zl22) = In Z\ + In Z2 (zU Z2 ф 0) A5)
приходится трактовать иначе. Именно, если wt = In z\ — любое значение
функции In г в точке 2[ и ш2 = In zi — любое значение функции In z в
точке z2, то их сумма w\ + w2 есть одно из значений In (ziz2). Это ут-
утверждение следует из тождества
W.+W- 1П 2. lnz
е 1 2 = е Ч 2 = z%z2.
Далее, если ш0 = 1ц (ziz2) есть одно из значений функции lnz в
точке zjz2, то существуют такие значения wj=lnzj, / = 1, 2, что ш0 =
= н>1 + ш2, т. е. выполйяется A5). Для доказательства фиксируем зна-
значения шо = 1п (ziz2), wi =lnzb Тогда
т. e. ш0 — Ш1 совпадает с одним из значений In z.
Равенство A5), очевидно, неверно, если в него подставить произволь-
произвольные значения In z в точках z\, z% z\z2. Например,
zi = z2 = 1, In (ziz2) = 0, In zi = 0, In Z2 = 2я2.
§ 22. Степенная функция. Точки ветвления
аналитических функций
1. Операции над аналитическими функциями. В предыду-
предыдущем параграфе была введена элементарная многозначная ана-
аналитическая функция lnz. Все остальные элементарные аналити-
аналитические функции можно выразить через логарифм с помощью
арифметических операций, суперпозиции, операции обращения
функции. Определим эти операции для аналитических функций.
Операции над аналитическими функциями вводятся с по-
помощью операций над их исходными элементами. Пусть даны
два элемента /(z), g(z), заданные в одной и той же точке z0,
и пусть F(z), G(z) — аналитические функции, порожденные
этими элементами. Тогда функции
также являются элементами в точке z0 (для частного требуется,
чтобы g(.zo)?'O). Эти элементы порождают аналитические

154 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
функции, которые обозначим символами
F(z)±G(z)t F(z)G(z), F(z)/G(z)
соответственно. Если же элементы /(z), g(z) заданы в разных
точках, то их сумма, разность, произведение, частное не опре-
определены, так что эти операции над аналитическими функциями
F(z), G(z) также не определены.
Символом F' (z) обозначим аналитическую функцию, порож-
порожденную элементом f(z) в точке z0.
По определению, эти операции над аналитическими функ-
функциями снова приводят к аналитическим функциям. Рассмотрим
важный частный случай, когда функции F(z), G(z) аналитичны
в одной и той же области.
Теорема 1. Пусть функции F(z), G(z) аналитичны в об-
области D. Тогда функции
.F'(z), G'(z), F(z)±G(z), F(z)G(z), F(z)/G(z)
(в последнем случае требуется, чтобы G(z)?=0 при zeZ)J она»
литичны в области D.
Доказательство. Докажем аналитичность функции
F(z)+G{z); точно так же доказывается аналитичность осталь-
остальных функций. Пусть f(z), g(z)— исходные элементы этих функ-
функций, заданные в точке z0, кривая у лежит в области D и имеет
своим началом точку z0. Продолжив аналитически элементы f(z),
g(z) вдоль кривой у, получим в каждой точке ?е-у элементы
UB), ?c(z). Их сумма ^t(z) = /:(z) + g:(z) регулярна в точке ?;
тем самым элемент Mz) = /(z) + g(z) B точке z0 аналитически
продолжен вдоль кривой у.
Эта теорема позволяет несколько расширить запас элемен-
элементарных аналитических функций. Например, следующие функции
являются аналитическими (область аналитичности указана в
скобках):
lH2Z @<Ы<оо), Zlnz @<Ы<оо),
z + lnz@<|z|<oo),
Пример 1. Рассмотрим функцию F(z) = z\nz (исходный
элемент логарифма задан в точке z = l, In 1 = 0). Исследуем
характер неоднозначности этой функции. Покажем, что точка
z = 0 является точкой ветвления функции F(z). Пусть f — ок-
окружность Ы=1 с началом в точке z = l, ориентированная по-
положительно. При обходе вокруг точки z = 0 (т. е. при аналити-
аналитическом продолжении исходного элемента f(z) вдоль кривой ч)'
имеем In z -*¦ In z + 2ni, так что f(z)->~ f(z) + 2niz. Следовательно,
точка z •= 0 является точкой ветвления. После п обходов полу-
получаем /(z)->-f(z)+ 2nniz. Точка z = °° также является точкой
ветвления функции F(z), так как обход вокруг точки г = 0 »

§ 22. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ 155
положительном направлении — это обход вокруг точки z = °°
в отрицательном направлении. []
Определим суперпозицию аналитических функций. Пусть ана-
аналитические функции F(z), G(z) порождены элементами /(z),
g(z), заданными в точках z0, w<> = f(za) соответственно. Суперпо-
Суперпозицией G(F(z)) называется аналитическая функция, порожден-
порожденная элементом g (/(z)).
Теорема 2. Пусть функция F(z) аналитична в области D,
ее значения лежат в области D и функция G(z) аналитична в
области D. Тогда суперпозиция G(F(z)) аналитична в обла-
области D.
Доказательство. Пусть кривая у с начальной точкой
z0 лежит в области D. Продолжив аналитически элемент /(z)
вдоль кривой 1, получим в каждой точке % & f элемент Д (z) и
функцию w(z) на кривой *('• w(z) = fz(z). Эта функция отобра-
отображает кривую у на кривую -у, лежащую в области Л, с началом
в точке w0 = f(z0). По условию, исходный элемент g{w) функции
G(w) можно аналитически продолжить вдоль кривой у; это про-
продолжение дает элемент gm(w) в каждой точке w^f. Если w^^,
w~h(?), то функция gw(h(z)) = hi(z) регулярна в точке ?s
^ If, и потому является элементом в этой точке. Тем самым ис-
исходный элемент g(f(z)) аналитически продолжен вдоль кривой
f, так что G(F(z))—аналитическая в области D функция.
Пример 2. Функция ln(z — а) аналитична в области 0<
< \z — a\ <oo. Q
Пример 3. Функция In . аналитична в расширенной
комплексной плоскости с выколотыми точками ±1.
Действительно, функция w — ¦ . , в указанной области D
регулярна и не принимает значений 0, °°. Функция In w анали-
аналитична в области В: 0< \w\ < оо. []
Отметим еще тождества: е|п(г~а) = z —a, Reln(z — а) =
= ln|z — a\, справедливые при 2Фа, °°.
Замечание 1. Строго говоря, формула F(z) = ln(z — a)
еще не определяет аналитическую функцию: необходимо, по оп-
определению аналитической функции, указать ее исходный
элемент. Это замечание связано с тем, что формула может опре-
определять не одну, а несколько аналитических функций, если не
указан исходный элемент.
Пример 4. Выражение F(z) = lnez определяет бесконечно
много аналитических функций
Fh(z) = z + 2kni, k = 0, ±1, ±2, ... Q
Другие примеры такого рода будут приведены в п. 5.

156 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2. Степенная функция. При действительных х>0 и при дей-
действительном фиксированном а справедлива формула ха = еа 1п *.
Распространим эту формулу на комплексные значения z и на
комплексные значения а (а фиксировано), положив, по опре-
определению,
za = eaIn*. A)'
В качестве исходного элемента функции za возьмем элемент
go(z) = еа/о(г) в точке z = l, где /0(z)—исходный элемент функ-
функции lnz в точке z= 1 (§ 21, A)). Тогда
со
~ лл "V rkt» A\h rk а(а—1) ... (а —ft + 1) /ov
go (z) = 2i Ca (z ~~ J) ' 6a = ft! * ^'
dk
Действительно, —g g0 (z)
и формулы Тейлора
= к\ С„. Из этого соотношения
следует формула B).
Из свойств логарифма вытекают следующие свойства степен-
степенной функции.
Теорема 3. Функция za аполитична в области 0< Ы < оо.
Доказательство. Функция Inz аналитична в области D:
0<[z|<oo; тем же свойством обладает функция a lnz. Так
как ег — целая функция, то по теореме 2 функция z° = еа 1п *
аналитична в области D как суперпозиция аналитических
функций.
Производная степенной функции вычисляется по той же фор-
формуле, что и в действительном случае:
J2
Замечание 2. Эту формулу следует понимать так:
где значения za в обеих частях равенства — одни и те же.
Из формул для логарифма и из соотношения A) вытекают
все формулы для функции za. Основная формула для степенной
функции вытекает из A) и из формулы A2) § 21.
1. Пусть кривая f соединяет точки Zo, Zi и не проходит через
точки 0, оо. Пусть в точке г„ задан элемент /(z) функции z"
такой, что / (z0) = z*. Продолжив аналитически этот элемент/

§ 22. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ 157
вдоль кривой y, получим в точке zt значение
zi == z^exp a In
¦]¦
ky arg z . D)
Эта формула довольно сложна, и в таком виде почти не бу-
будет использоваться в дальнейшем. Более простые формулы для
функции z" получаются при действительных а; этот случай яв-
является к тому же наиболее важным для приложений.
2. Любой элемент функции z™ в каждой точке z0 ^ О, °° пол-
полностью определяется заданием своего значения в этой точке.
Любые два элемента /i(z), /2(z) в каждой точке zo^O, °° отли-
отличаются числовым множителем:
/.(*)-eeA7i(*), E)
где к — некоторое целое число.
Это свойство вытекает из формулы A) и из свойства 2 лога-
логарифма (§21).
3. Все значения функции z™ при действительном а в точке
z = re** даются формулой
fc = 0, ±1, ±2, ... F);
В частности, при действительном а функция Iz"! однозначна:
Ы*. G)
Из формулы D) и из формулы A1) § 21 вытекает следую-
следующая основная формула (8) для функции za при действитель-
действительных а.
4. Пусть в точке z0 = гоегф° задано значение zj = г"егаф° функ-
функции z". Пусть z" — значение в точке z?, полученное в результате
аналитического продолжения вдоль кривой f, соединяющей точ-
точки z0 и Zi. Тогда
(8)
В частности, при таком продолжении
ATargza = aArargz. (9)
Рассмотрим ряд примеров.
Пример 5. Все значения функции yz = zlln, где п>2 —
целое число, в точке z = reUt, гФО даются формулой
^z = ^^ = ^7>+2fen), Л = 0,1, ...,п-1. A0)
Действительно, значения y^z при к = 0, 1, ..., w—1 различны,
так как числа еФй, фл = (ф + 2Ая)/7г при этих значениях к раз-
различны. Далее, любое целое число к можно представить в виде

158 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ft = пт + г, где т, г ~ целые числа, О *S г ^ п — 1. Так как егф&=
__ ег2лтегфг _ егфг^ то фОрМула ^Q) содержит все значения ~\fz.
Таким образом, функция yz в области 0< Izl < °° явля-
является га-значной, т. е. в каждой точке этой области имеет ровно
п различных значений.
Из формулы A0) вытекает тождество
ssx. (И)
Следовательно, функция V~z является (правой) обратной к функ-
функции z". П _
Пример 6. Все значения функции Vz в точке z = re"" да-
даются формулой Vz = l/reUf = ±Vr е*ф/а. Следовательно, функция
Vz является двузначной в области 0 < Iz! < °°. П
Пример 7. Если а — действительное иррациональное чис-
число, то функция ze является бесконечноэначной в области 0 <
< Ы < °°.
Действительно, все значения функции za в точке z = re*" да-
даются формулой F). Покажем, что различным к отвечают раз-
различные значения ze. Допустим противное; тогда существуют це-
целые числа ки кг, различные и такие, что е *23la = elfti23ta. Отсю-
Отсюда находим, что (kt ~ кг)а = т, т Ф 0 — целое число, т. е. а —
рациональное число, что противоречит условию. []
Замечание 3. Если число а не является действительным,
то функция z* бесконечнозначна в области 0<|zl<°°.
_ Пример 8. Пусть в точке z=l задан элемент f(z) функции
1z_ такой, что /A)=1, и f — отрезок [1, i]. Вычислим значение
1/i, полученное в результате аналитического продолжения вдоль у.
_ Имеем |Vi| = l, ATargz = n/2, и по формуле (8) находим
У* = е'я/\
Пусть теперь -у — кривая z = e~", 0<?<Зя/2. Тогда
Дг arg z = -Зя/2, так что УТ= е""я/4 = -егя'\ П
Приведем еще одну формулу для функции z":
5. Пусть /(z)—элемент функции ze в точке zo^=O, такой,
что /(zo)=z*. Этот элемент разлагается в ряд Тейлора
ее k
/ (z) = 20 ^Са, g , A2)
fc=o zo
который сходится в круге Iz — zoi < lzol (т. е. центр круга рас-
расположен в точке Zo, радиус круга равен расстоянию от точки Zo
до точки z = 0).

§ 22. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ 159
Действительно, по формуле Тейлора имеем
fe=0
Далее, из формулы C') следует, что /'(z) = az"/z, так что
fih)(z)=k\ C^gP-z-b* и подставляя выражения для производных
в формулу Тейлора, получаем соотношение A2).
Заметим, что формула A2) имеет тот же вид, что и из-
известная из курса математического анализа формула Тейлора для
степенной функции (при действительных z0, z, a).
При действительном о и при положительных *i, х» справедливо тож-
тождество
(* А)
"-*?*••
Аналогичное соотношение
(*А)"—?? A3)
при комплексных t\, tff*v приходится трактовать иначе ввиду много-
многозначности функции 2е. Соотношение A3) понимается в том же смысле,
что и аналогичное соотношение A5) § 21 для логарифма. Именно, если
wi, w» — какие-либо вначения функций za в точках г\, I», то wyw2 — одно
из виачений функция га в точке zjz2. Далее, если щ — некоторое значе-
значение функции za в точке ziz2, то существуют значения w1 = z™, w2 ~ z"
такие, что wo=*WiWt. Доказательство следует непосредственно из F).
3. Характер неоднозначности степенной функции. Из опре-
определения степенной функции и из свойства 5 логарифма (§ 21)
вытекает следующее свойство степенной функции:
6. Пусть f(z) — элемент функции za в некоторой точке Zo^O,
°°. Тогда при обходе вокруг точки z = 0 в положительном на-
направлении этот элемент умножается на ейяа, т. е.
/(z)-^ei2"a/(iz), A4)
а при обходе в отрицательном направлении умножается на
/(z)-e-'2»"/(z). A4')
е~'2яа, т. е.
В предыдущем параграфе было введено понятие точки вет-
ветвления. Из свойства 6 вытекает, что точки z = 0, °° являются
точками ветвления функции z", если а не является целым чис-
числом. Введем следующую классификацию изолированных точек
ветвления.
Определение 1. Пусть функция F(z) аналитична в коль-
кольце К: 0 < \z — a\ <p, и пусть в каждой точке этого кольца
имеется ровно п > 2 различных элементов функции F (z). Тогда
точка а называется изолированной точкой ветвления порядка п
функции F(z).

160 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Аналогично вводится порядок изолированной точки ветвле-
ветвления Z = оо.
Если п конечно, то точка а называется алгебраической точ-
точкой ветвления. Если п = °°, то точка а называется точкой вет-
ветвления бесконечного порядка или логарифмической точкой вет-
ветвления.
Замечание 4. Можно доказать (§ 26), что если в неко-
некоторой точке кольца К аналитическая в этом кольце функция
F(z) имеет ровно п различных элементов, то в любой точке
этого кольца функция F(z) также имеет ровно п различных эле-
элементов (случай п — оо также допускается).
Пример 9. Точки 0, оо являются точками ветвления по-
порядка п функции У z. В частности, точки_ 0, оо являются точ-
точками ветвления второго порядка функции Vz.
Действительно, пусть /о (z) — какой-либо элемент функции
j/z в точке z0 Ф 0, оо. Тогда все элементы в этой точке имеют
вид
т. е. их ровно п. Q
Пример 10. Функция F(z)=l/Vz аналитична в кольце
0<lzl<oo; точки 0, оо являются точками ветвления второго
порядка этой функции. []
Замечание 5. Типичная ошибка при исследовании особых
точек функции F(z)=l/T/z такова: «Точка z = 0 является по-
полюсом, так как lim (I/V^z) = °°.» Это утверждение неверно, так
z-*o
как полюс — особая точка однозначного характера.
Пример 11. Функция F(z) = у ? , ^ имеет две точки
ветвления второго порядка: z = ±1. Точка z = оо не является
особой точкой. Действительно,
F(z)=VG(z), G(Z) = i^L
Функция G(z) регулярна в точке г = <» и G(<»)= 1=^0; по тео-
теореме 2 функция F(z) аналитична в расширенной комплексной
плоскости с выколотыми точками ±1. П
В предыдущем параграфе было доказано, что в каждой одно-
связной области, не содержащей точек 0, °°, функция In г рас-
распадается на регулярные ветви. Так как z" = еа 1п *, то в каждой
такой области функция z* также распадается на регулярные
ветви. Любые две ветви отличаются множителем е<2кла, где к —
целое число (см. F)).
Пример 12. Пусть S — сектор 0< arg z < р «? 2я. В этом
секторе функция z" распадается на регулярные ветви. Одна^ из

§ 22. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ
161
этих ветвей определяется (при действительном а) формулой
/o(z)= |zlVeargz, 0<argz<2n. A5)
Остальные ветви имеют вид
Д(а)=ев«*/.(а), A6)
где к — любое целое число. _
В частности, функция l/z распадается на две ветви: /0B) =
= Ше(!/!)"81, ДB)--/о(а), где 0<argz<2n (ср. с §13).
Рис. 61
Пусть а>0, 0 < аф < 2я. Тогда ветвь w = fa(z) функции za
взаимно однозначно отображает сектор S: 0 < arg z < р на сек-
сектор 5: 0<argu;<a^ в плоскости ы; (рис. 61), т. е. развора-
разворачивает сектор S в а раз. Действительно, из F) следует, что
если w = ре**, z = re* @ < <р < Р), то р = г", -ф = аф, так что
точки w заполняют сектор 3 (рис. 61). []
Пример 13. Пусть D — плоскость с разрезом по полуоси
[О, +°°) (рис. 47). Функция F(z)=l/z распадается в области D
на две регулярные ветви /i(z), /2(z):
Здесь z = rei4>, 0 < ф < 2я. Функция u; = Д (z) взаимно однознач-
однозначно и конформно отображает область D на верхнюю полупло-
полуплоскость Im w > 0, функция w = Д (z) — на
нижнюю полуплоскость (см. рис. 47).
Пусть z = х + г'О, ж > 0 (т. е. точка z
лежит на верхнем берегу разреза). Тог-
Тогда Д (ж + Ю) = Уж > 0. Если же z = х —
— Ю (т. е. точка z лежит на нижнем
берегу разреза), то Д(ж —Ю) = —Тж. []
4. Риманова поверхность функции г а. Рис. 62
Если а таково, что za — бесконечно-
значная функция, то ее риманова поверхность будет точно та-
такой же, как и риманова поверхность логарифма. Новый тип
римановой поверхности возникает в случае, когда функция z01
является конечнозначной.
11 Ю. В. Сидоров и др.

162 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Построим риманову поверхность функции Vz. Пусть_ D — пло-
плоскость с разрезом по лучу (—°°, 0]. Тогда функция l/z распада-
распадается в В на две однозначные ветви /i(z), /2(z), такие, что
/tA) = 1, /2(z) = — fi(z). Возьмем два экземпляра Dt, D2 области
D и будем считать, что функция /*(z) определена в области Dh.
Тогда при z <= Д,
кг (ге*) = ±У7е*/2, -я < <р < я.
Пусть lh — разрез на листе Dh, alt и 1? — соответственно верх-
верхний и нижний берега разреза. Так как qp = ±я на it, то
Поэтому для того, чтобы получить поверхность, на которой
функция Vz однозначна, необходимо склеить верхний берег раз-
разреза it с нижним берегом разреза 1^~ и, аналогично, склеить
К с it (крест-накрест). Получится риманова поверхность функ-
функции Vz (рис. 62), имеющая самопересечение.
Аналогично строится риманова поверхность функции i/z.
Возьмем п экземпляров Do, ..., Dn-i области D (плоскость с
разрезом по лучу (—°°, 0]). В области Dk рассмотрим регуляр-
регулярную функцию
/ft (z) = V'r e<V")(<p+2ta)> z _
Тогда /ft(z)| + =/ft+1(z)] _. Склеим берег it с берегом 1~,
затем it с Z7 и т. д., и, наконец, ?T_i с Z^". Тогда мы получим
риманову поверхность функции i/~z, которая имеет самопересе-
самопересечения.
11/—¦
Заметим, что риманова поверхность функции у z при любом
целом п односвязна.
5. Примеры. В определении точки ветвления порядка п тре-
требуется, чтобы в каждой точке кольца 0< Iz — а\<г имелось
ровно п различных элементов (а не значений!) аналитической
функции F(z). Приведем примеры, которые показывают, что это
требование нельзя заменить условием «в каждой точке имеется
ровно п различных значений».
Пример 14. Функция F(z)="YzBmz имеет ровно две осо-
особые точки: 0, оо, которые являются точками ветвления второго
порядка. Однако в точках z* = fot, А = ±1, ±2, ... эта функция
принимает только одно значение: F (zh) = 0. []

§ 22. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. ТОЧКИ ВЕТВЛЕНИЯ 163
Пример 15. Рассмотрим функцию F(z) = z' = ег 1пг. Все
значения этой функции в точке z = 1/га (га>0 — целое) даются
формулой
^=\ к = 0, 1, ...,п-1.
у П
Следовательно, в точке z = 1/га функция гг имеет ровно п раз-
различных значений. Пусть а. — иррациональное действительное
число; тогда F(a) имеет бесконечно много значений:
F(a) = a"ete2*\ к = 0, ±1, ±2, ... A7)
Таким образом, в различных точках области 0 < Ы < <» эта
функция имеет различное число значений.
Покажем, что точка z = 0 (и соответственно точка z = °°)
является логарифмической точкой ветвления функции F(z).
Возьмем элемент /0 (z)_ зтой функции в точке z0 ?= О, °° и совер-
совершим обход вокруг точки z = 0 в положительном направлении.
Так как элемент функции In z получает приращение +2ni, то
после обхода fo(z)->- e2nilf0(z). Следовательно^ все элементы функ-
функции z' в точке z0 ^ 0, оо даются формулой
Ш = ШеГ", к = 0, ±1, :±2, ... Q
Пример 16. Вычислим i', т. е. найдем рее значения функ-
функции z' в точке L Из формулы A7) следует, что
к = о, ±1,±2, ...
Заметим, что все значения i' — действительные. []
Приведем еще примеры типа примера 4.
Пример 17. Выражение F{z) — ^z2 определяет две анали-
аналитические функции: Fi(z) = z, F2(z) = —z. []
Примеры 4, 17 показывают, что нужно с осторожностью от-
относиться к формально написанным многозначным функциям.
Операции над аналитическими функциями были корректно опре-
определены в начале этого параграфа. С другой стороны, как пока-
показывают приведенные ниже примеры, не всякое выражение, со-
содержащее знак корня или логарифма, является многозначной
функцией.
Пример 18. Функция F(z) = cos Vz аналитична в области
О < Ы < °°, по теореме 2. Покажем, что эта функция одно-_
значна. Фиксируем точку z0 и любой элемент f(z) функции 1/z
в этой точке, и совершим обход вокруг точки z = 0. Тогда
f(z)-*-—f(z), а в силу четности косинуса со$f(z)-*- cos/(z), так
что функция cos Vz однозначна. Точка z = 0 является устрани-
устранимой особой точкой; следовательно, cos Vz — целая функция.
И*

164 ГЛ. IV, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Единственной ее особой точкой является существенно особая
точка z = оо. []
Пример 19. Функция F(z) = (smyz)/yz также является
целой функцией. (Здесь символом T/z в числителе и знаменате-
знаменателе обозначена одна и та же аналитическая функция.)
Функция za является уже достаточно сложной функцией.
Пример 20. Рассмотрим уравнение za — 1, а Ф 0. Решая
его, получаем a In z = 2kni, откуда
Zft—e , /С— U, 3:1, 3:4, ...
Пусть a — действительное число; тогда все корни zh лежат на
единичной окружности. Если a — иррациональное число, то эти
корни всюду плотно заполняют единичную окружность |zl=l.
Для регулярной функции такая ситуация невозможна: если
бы некоторая функция f{z) была регулярна в окрестности ок-
окружности Ы = 1, то на самой этой окружности имелось бы не
более конечного числа решений уравнения j(z)=l. Данный
пример можно интерпретировать так: сделаем разрез, например,
по полуоси (—оо, 0]; тогда функция za распадется в плоскости
с этим разрезом на бесконечно много регулярных ветвей. На
окружности Ы = 1 для каждой ветви имеется только конечное
число точек, в которых она принимает значение 1; иными сло-
словами, корни уравнения za = 1 лежат на разных листах рима-
новой поверхности. [И
§ 23. Первообразная аналитической функции.
Обратные тригонометрические функции
1. Первообразная аналитической функции. Пусть аналитиче-
аналитическая функция F(z) порождена элементом /0(z) в точке z0 Ф <».
Возьмем достаточно малый круг К с центром в точке z0 и рас-
рассмотрим функцию
г
zz=K, A)
где интеграл берется по пути, лежащему в круге К. Тогда функ-
функция go(z) регулярна в круге К.
Аналитическая функция G(z), порожденная элементом go{z)
(см. A)) в точке z0, называется первообразной функции F(z).
Будем употреблять запись

§ 23. ПЕРВООБРАЗНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 165
Теорема 1. Если, функция F(z) аналитична в области D,
то ее первообразная G(z) также аналитична в области D.
Доказательство этой теоремы полностью аналогично доказа-
доказательству леммы 2 § 21. Пусть кривая ^ лежит в области D и
выходит из точки z0. Возьмем точку ? «= у и пусть ^с — Дуга кри-
кривой 7, соединяющая точки z0 и ?, /(z)— элемент в точке ? функ-
функции F(z), полученный из исходного элемента /o(z) аналитиче-
аналитическим продолжением вдоль кривой ^Е. Рассмотрим малый круг К
с центром в точке ? и положим при z e К
где последний интеграл берется по кривой, лежащей в круге К.
По теореме 5 § 9 функция g(z) регулярна в круге К, т. е. яв-
является элементом в точке ?, и если ? = z0, то gi,(z) = go(z). Та-
Таким образом, в каждой точке ? кривой f построен элемент; их
согласованность проверяется так же, как в лемме 2 § 21. Тем
самым элемент go{z) продолжен аналитически вдоль крпвой у,
так что порожденная этим элементом аналитическая функция
G(z) аналитична в области D.
Очевидно, что
G'(z)=F(z).
Далее, если G1(z), G2(z) — первообразные от одной и той же
аналитической функции F(z), то G1(z) — G2(z)^s const.
2. Функции arctgz, arcctgz, arthz, arcthz. При действитель-
действительных x функция arctga; допускает интегральное представление
arctg х = I -
dt
Функция A + z2)" регулярна во всей комплексной плоскости,
за исключением полюсов z = ±i. Положим
arctgz ^j^. C)
До теореме 1 функция arctgz аналитична в комплексной пло-
плоскости с выколотыми точками z = ±i.
Выразим арктангенс через логарифм. Имеем
^_ -АЬ+ )dt ъ
+ ra~ 2 }{i-iz + i+ida(a~ и mi-

166 ГЛ, ГУ, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИП
Следовательно,
iz ...
7F, D)
так что функция arctgz аналитична в расширенной комплекс-
комплексной плоскости с выколотыми точками ±г. Аналитичность арк-
арктангенса в точке z = оо следует из представления
1 , г +
arctg z = -57- ш —^
57-
гл 2 f
Точки z = ±i являются логарифмическими точками ветвления.
Функция arctgz является обратной к функции tgz, т. е.
tg (arctg z)=z
при всех z?=zti, oo.
Замечание 1. Точнее было бы сказать, что arctgz —пра-
—правая обратная к функции tgz. Действительно, многозначное вы-
выражение F(z) = arctg (tgz) определяет не одну, а бесконечно
много аналитических функций Fk(z) = z + кп, к = 0, ±1, ±2, ...
Пусть /о (z) — элемент арктангенса в точке z = 0 такой, что
/о@) = 0. Тогда
00
2fe E)
Этот ряд сходится в круге Ы < 1.
Формула для производной от арктангенса, известная из кур-
курса математического анализа, остается неизменной:
-i arctg 1=-^.
Аналогично вводятся аналитические функции arcctgz, arthz,
arcthz. Поскольку все эти функции выражаются через логариф-
логарифмическую функцию, то вычисление их значений сводится к вы-
вычислению значений логарифма. По этой причине самостоятель-
самостоятельное значение этих функций в теории функций комплексного пе-
переменного невелико.
3. Функции arcsinz, arccose, arshz, archz. При действитель-
действительных х<=[— 1, 1] функция агсйшж допускает интегральное пред-
представление
arcsina;
.
Аналитически продолжим' эту функцию на комплексные значе-
значения аргумента. Для этого воспользуемся теоремой 1. Функция
F(z)=l/yi — zJ аналитична в комплексной плоскости с выко-
выколотыми точками z="±l (это точки ветвления функции F(z)).

§ 23. ПЕРВООБРАЗНАЯ АНАЛИТИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ 167
По теореме 1 функция
z
arcsinz = \ -Л== F)
также аналитична в комплексной плоскости с выколотыми точ-
точками dhl. Здесь интеграл берется по любому пути, не проходя-
проходящему через точки ±1,
Исходный элемент /0(z) функции arcsinz зададим в точке
z = 0. Его можно задать либо с помощью ряда
/. (z) = arcsinz = z + 2 {X)H\nXl*n+1>
71=1
либо с помощью интегрального представления
z
/0 (z) = arcsinz = j J3" jt z <= D.
Здесь Z> —плоскость с разрезами по лучам (—°°, — 1], [1, °°),
интеграл берется по пути, лежащему вДи выбрана такая ветвь
корня, что
Функция arcsinz также выражается через логарифм. Имеем
при всех % Ф ±1, оо
sin w = z, w = arcsin ж.
Решая уравнение
относительно w, получаем
arcsinz iIn(iz + VI-z»). G)
Исследуем характер многозначности арксинуса. Пусть ^+,
^_ — простые замкнутые кривые с началом в точке z = 0, точки
z = l и z = — 1 лежат соответст-
соответственно внутри <(+ и ч_ (рис. 63).
Кривые ч_ и ч+ ориентированы
соответственно положительно и
отрицательно. В качестве ч± мож-
можно взять, например, окружности
|z=Fl|=l (рис. 63). Пусть
/в(z)—исходный элемент аркси- Рис.63
нуса в точке z = 0.
1. Аналитически продолжим /0(z) вдоль кривой у+. Пусть z
лежит в малой окрестности точки z = 0. Тогда полученный в
результате аналитического продолжения элемент /(z) равен ин-
интегралу по пути if» который соединяет точки 0 и z, и состоит из

168 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
кривой 7+ и отрезка у* ~ IP» гУ- Т= Т+Т*- При обходе вокруг
точки ветвления z=l получаем, что VI — %г-*¦ — VI — z2. Следо-
Следовательно,
/(z)--/o(*) +
Ветвь корня выбрана так, что VI — ?21е=о = 1 (в начальной
точке кривой Y+)- По теореме Коши интеграл по контуру ¦у ра-
равен интегралу по разрезу [0, 1]. На верхнем берегу разреза
VI — хг>0; на нижнем берегу разреза VI — а?<0. Следова-
Следовательно,
Г } dx
V+Kl —& oK1 x
Окончательно получаем, что при обходе вдоль кривой ^+
Аналогично доказывается, что при обходе вдоль кривой у~
В частности, после двух обходов вдоль кривой ^+ получаем
2. Аналитически продолжим элемент /0(г) вдоль кривой
Y+Y-. Тогда
- сю)
Если же продолжить аналитически элемент /0(z) вдоль кри-
кривой 7-Т+1 т0
Отсюда следует, в частности, что кривые у_'у+ и 7+Y- него-
негомотопны в плоскости с выколотыми точками z = ±1 (в против-
противном случае аналитическое продолжение элемента /o(z) вдоль
этих кривых привело бы к одному и тому же элементу; см. § 24,
теорема о монодромии). Кроме того, точка z = °° является точ-
точкой ветвления, так как при аналитическом продолжении по
пути "V+V- мы обходим вокруг этой точки. Эта точка ветвле-
ветвления — бесконечного порядка, так как при аналитическом про-
продолжении вдоль кривой (¦у+'у-1)* $ = ± 1, ± 2, ...)
fo(z)-*-fo(z)+2kn.
Аналогично вводятся аналитические функции arccos z, arsji z,
arch z. Все они выражаются через логарифмическую функцию.

24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 169
§ 24. Регулярные ветви аналитических функций
1. Теорема о монодромии. Покажем, что понятия «аналити-
«аналитическая однозначная функция» и «регулярная функция» тожде-
тождественны. Пусть функция F(z) регулярна в области D. В каждой
точке zoefl естественным образом задан элемент fZf)(z), а имен-
именно, сама функция F(z). Фиксируем точку г,е!)и элемент /Z() (z)
в этой точке. Если кривая у соединяет точки z0, z и лежит в
области D, то элемент /z (z) очевидным образом допускает ана-
аналитическое продолжение вдоль кривой •у: в качестве элемента в
точке z*^t можно взять просто саму функцию F(z).
Если функция F(z) аналитична в области D и однозначна в
этой области, то функция F(z) регулярна в D. Действительно,
в окрестности любой точки области значения функции F(z) сов-
совпадают со значениями некоторого (и притом единственного) эле-
элемента, так что функция F(z) регулярна в каждой точке обла-
области D.
Исключительно важное значение в теории многозначных ана-
аналитических функций имеет следующая теорема.
Теорема о монодромии. Пусть D — односвязная об-
область расширенной комплексной плоскости и пусть элемент /(z),
заданный в точке z0, допускает аналитическое продолжение по
всем кривым, выходящим из точки za и лежащим в области D.
Тогда аналитическая функция F(z), полученная в результате
аналитического продолжения элемента f(z) no всем таким кри-
кривым, регулярна в области D.
В условиях этой теоремы элемент f(z) порождает аналити-
аналитическую в области D функцию. Поэтому теорему о монодромии
можно сформулировать так:
Функция, аналитическая в односвязной области, регулярна
в этой области.
Доказательство. Пусть у0, fi — кривые, заданные урав-
уравнениями z = o0(f), z = 0](i), O=?f=Sl, лежат в области D и
соединяют точки z0, z4. Покажем, что аналитическое продолже-
продолжение элемента f(z) вдоль кривых ^о, 7» приводит к одному и
тому же элементу в точке zt. Тем самым будет доказано, что
аналитическая функция F(z), порожденная элементом f(z\, од-
однозначна в области D; в силу сделанного выше замечания функ-
функция F(z) регулярна в области D.
Ограничимся, для простоты, случаем, когда D — ограничен-
ограниченная область. Так как область D одпосвязна, то кривые ^р, ti го-
гомотопны в этой области, т. е. существует функция CD(s, t), об-
обладающая следующими свойствами (§3):
1. Функция Ф(в, t) определена и непрерывна в квадрате К:
О < s, t < 1, и ее значения лежат в области D.

170 ГЛ, IV, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2. Ф(в, 0) =¦ Zo, Ф(в, l) = zt при всех s; Ф@, *)=
, ) M)
При каждом фиксированном «е[0, 1] уравнение г = Ф(в, t),
0<?«?1, определяет кривую f»i которая лежит в области D
и соединяет точки z0 и zt. Если числа s, s' е= [0, 1] достаточно
близки, то расстояние между кривыми yt, Ys' мало, что следует
из определения расстояния: р ("у«, Ъ') ~ тах 1Ф (s, *) — Ф 0s'> t) |
и равномерной непрерывности функции Ф в квадрате К. Следо-
Следовательно, по лемме 3 § 20 для любого s е / = [0, 1] существу-
существует 6(s)>0 такое, что если s' лежит на интервале /, = (s —6(s),
s + 6(s)), то аналитическое продолжение элемента /0(z) вдоль
всех таких кривых \>«' приводит к одному и тому же элементу
в точке zt. По лемме Гейне — Бореля можно выбрать конеч-
конечное число интервалов /s., 0 = s0< st< ... < sn = 1, покрываю-
покрывающих отрезок /, так, чтобы интервалы /,.., I»i+V 0 < / < » — 1,
имели непустое пересечение. Если s e ISg \J I, , то аналитическое
продолжение элемента /(z) приводит к одному и тому же эле-
элементу в точке zt; то 5ке самое верно при ss/A U /8аи т. д. Про-
Продолжая эти рассуждения, получаем, что аналитическое продол-
продолжение элемента /(z) вдоль любой кривой f,, O^s^l, приводит
к одному и тому же Элементу в точке z4.
Из доказательства этой теоремы вытекает следствие, кото-
которое также называется теоремой о монодромии.
Теорема о монодромии (вторая формулировка).
Пусть элемент f(z), заданный в точке z0, допускает аналити-
аналитическое продолжение по любым кривым, выходящим из точки
z0 и лежащим в области D. Если кривые ft, ^i выходят из точки
z0 и гомотопны в области D, то аналитическое продолжение эле-
элемента f(z) вдоль кривых ife, Ь приводит к одному и тому же
элементу.
Область D может быть неодносвязной.
2. Выделение регулярных ветвей. Регулярной ветвью анали-
аналитической функции называется любой ее элемент. Теорема о мо-
монодромии позволяет построить простой и удобный алгоритм,
с помощью которого многозначную аналитическую функцию
можно «разрезать» на регулярные ветви. Именно, пусть функ-
функция F(z) аналитичйа в конечносвяэной области D. Проведем
разрезы, превращающие эту область в односвязную область В;
это делается так же, как ив § 9 (рис. 43). Фиксируем элемент
/0(z) в точке zo^D. По теореме о монодромии этот элемент по-
порождает регулярную в области D функцию F0(z), которая яв-
является регулярной ветвью функции F(z). Различные элементы в
точке Zo порождают различные регулярные ветви функции F(z);
таким образом, в области D функция F(z) распадается на регу-
регулярные ветви. Заметим, что разрезы, превращающие область D

f 24, РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 171
в односвязную, можно проводить по-разному; так что можно
по-разному «разрезать» многозначную аналитическую функцию
на регулярные ветви.
Приведем примеры на выделение регулярных ветвей анали-
аналитических функций.
Пример 1. Проведем в комплексной плоскости разрез
вдоль простой кривой f, соединяющей точки 0 и оо. Полученная
область D односвязна. Покажем, что функция lnz распадается
в области D на регулярные ветви. Фиксируем точку z0 e D и
элемент логарифма /(z) в этой точке. Так как этот элемент до-
допускает аналитическое продолжение по любой кривой, не про-
проходящей через точки 0, «>, то, по теореме о монодромии, этот
элемент порождает регулярную в области D ветвь логарифма.
В область D функция lnz распадается на бесконечное число
регулярных ветвей. Если fi(z), U(z) — две регулярные ветви ло-
логарифма, то fi(z) — f2(z)^2kni при z^D, где к— целое число
(п. 2 § 21).
Аналогично,- функция za распадается в области D па регу-
регулярные ветви. Если a — действительное иррациональное число
или если Ima^O, то регулярных ветвей бесконечно много;
если a = p/q, где р, q — взаимно простые целые числа, g ^ 1,
то имеется ровно q различных регулярных ветвей (§ 22). В ча-
частности, функция у z распадается в области D на п регуляр-
регулярных ветвей.
Если /i (z), /2 (z) — две различные регулярные ветви функции
za в области D, то fz(z)=e2klliaf1(z), где кФ 0 — целое число
(§ 22, свойство 2). []
Пример 2. Пусть /(z)—регулярная ветвь функции lnz в
области D (рис. 31), такая, что /A) = 0. Вычислим значения
/(-2), /C), /(-4). По формуле E) § 21 имеем при z^D
f(z) = ln \z\ +ZA,argz,
где кривая f соединяет точки 1, z и лежит в областп D. Следо-
Следовательно,
/(-2) = ln2 + nt, /C)-1пЗ+2я4, /(-4) = 1п4 +Зяг. Q
Пример 3. Разложим регулярную функцию f(z) из при-
примера 2 в ряд Тейлора по степеням z— 3. По формуле A0) § 21
имеем
?
Пример 4. В области D: 0<lzl<<» нельзя выделпть ре-
регулярные ветви функции lnz,y^z (re> 1). Это следует из
свойств 5 § 21 и 6 § 22. []

172 ГЛ, IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пример 5. Пусть Da — плоскость с разрезом по лучу
z = reia, 0<r<«>; 0<а<2я. Тогда, по теореме о монодро-
мии, в области Д» функция Yz распадается на две регулярные
ветви. Нормируем ветвь /«(z) условием /аA) = 1 и вычислим
/«(*) (аФп/2). Имеем
где кривая -j лежит в области Д» и соединяет точки 1, L
1. я/2 <«< 2я. В этом случае в качестве f можно взять
отрезок [1, i], так что <р = я/2, fa(i) = е<я/\
2. О < а < я/2. В этом случае в качестве f можно взять дугу
окружности z = е~", 0 < t «3 Зя/2, так что
Ф = -Зя/2, /в@ = -в'я/*. П
Прежде чем перейти к следующим примерам, приведем не-
которые пояснения по поводу выражений типа ln/(z), Y/(z),
(/(z))a, где /(z) —регулярная функция. Формула F(z) = In /(z)
сама по себе еще не определяет аналитической функции; необ-
необходимо указать исходный элемент, или, в силу свойств лога-
логарифма, значение функции в некоторой точке (см. также при-
пример 4 § 22). Формула
F(z) = In f(z), F{za)=wa,
где wa — одно из значений ln/(z0), полностью определяет ана-
аналитическую функцию F(z).
Пример 6. Пусть функция /(z) регулярна и отлична от
нуля в односвязной области D. Тогда функция
, F(zo)=we
регулярна в области D. Здесь ew° = /(z0).
Действительно, функция F(z) аналитична в области D (тео-
(теорема 2 § 22), и по теореме о монодромии эта функция регуляр-
регулярна в области D. Функция F(z) однозначно определяется соот-
соотношениями
eF("=/(z); F(zo) = wo
и требованием регулярности в области D. Значения функции
F(z) вычисляются по формуле
F(z) = \n |/B) I + ipmi*. + Ат arg/(*)]. A)
Кривая Y лежит в области D и соединяет точки z0, z. []
Пример 7. Пусть функция f(z) регулярна и отлична от
нуля в односвязной области D. Тогда функция
F{z)-if№, F(z.)-wh
где"ц?0 = / B„), регулярна в области D. []

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 173
Рассмотрим функциональные соотношения для логарифми-
логарифмической и степенной функций. Пусть функции /4(z)', /a(z) регу-
регулярны и отличны от нуля в односвязной области D. Тогда
функции
F, (я)-In/,(*)', Fi{zo)-*Wu
F0(z)~ In (A (z) U (*)),
регулярны в области D (пример 6).
Лемма 1. Если w0 = wt + w2, то в области D
Fo(z)^Fl(z) + F2(z). B)
Доказательство. Функция F{z) = Fl(z) + F2(z) регуляр-
регулярна в области D и eF<z> = /i(z)/2(z), F(z0)=w0. Эти условия
определяют единственную регулярную в области D функцию
(пример 6). Так как функция F0(z) также удовлетворяет этим
условиям, т. е.
то F{z)am F0(z) в области D.
Формально равенство B) можно записать в виде
In (/, (z)/,(*)) = In h(z) +In f2(z), z^D. C)
Точный смысл равенства C) указан в лемме 1.
Аналогично соотношению C) доказываются равенства
Уд (*)/,(*) = Уш /Ш.
Здесь /i(z), /z(z) — регулярные и отличные от нуля в односвяз-
односвязной области D функции, равенства D) справедливы при z e D.
Точный смысл равенств D) следующий: в левой и правой
частях равенства стоят регулярные в области D функции, и зна-
значения левой и правой частей совпадают в некоторой точке z0 e
^ D. Рассмотрим, например, второе из равенств D). Это равей-
ство понимается в следующем смысле:
F0(z) = Fl{z)F2(z),
где
^oB)=r/i(z)/2(z), F0(z0) = w0;
и выполнено условие w» = u>iWt.

174 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Из формул C), D) вытекают важные формулы для аргу-
аргумента произведения и частного функций.
Следствие. Пусть функции /i(z), /z(z) регулярны и от-
отличны от нуля в области D, кривая у лежит в области D. Тогда
Av arg (Д (z) /, (z)) = Av arg Д (z) + Av'arg /2 (z), E)
Av arg (i-i. j = Av arg Д (z) — Av arg /2 (z).
F)
Доказательство. Докажем формулу E). Пусть область
D односвязна, кривая -у соединяет точки z0, z и пусть ^(z),
7 = 0, 1, 2 — те же функции, что и в лемме 1. Тогда при z e Z)
имеем
(z)], / = 1, 2,
F. (*) - In I/. (г) Д (z) | + * [Im н>0 + Ат arg (Д (z) /2 (z)) J.
Подставляя эти выражения в B) и учитывая, что w0 = Wi + u;2,
получаем формулу E).
Пусть D — неодносвязная область. Покроем кривую f конечным чис-
числом лежащих в области D кругов Ка, К\, ..., Кп, центры которых г0,
*i, ..., zn расположены в последовательных точках кривой у. Здесь zq —
начальная, zn = г — конечная точка кривой -(. Разобьем кривую ч на ду-
дуги т(о, Чъ ¦ • •, Чп, гДе ДУга Ti лежит внутри круга Kj, так что \ =
= ifoTi • • • Tfn-ifn. Тогда равенство E) справедливо для каждой из дуг ^
по доказанному выше. Так как приращение аргумента вдоль кривой -у
равно сумме приращений аргумента по дугам ^о, fu • • •) T«i T0 равенство
E) доказано.
Равенство F) доказывается аналогично, с помощью первой
из формул D).
Так как равенство двух аналитических функций — это ра-
равенство их исходных элементов, то формулы типа B), C) оста-
остаются в силе и для аналитических функций. Пусть, для просто-
простоты, функции /i(z), /2(z) регулярны и отличны от нуля в обла-
области D. Фиксируем точку z0 e D; тогда (пример 7) в некоторой
ее окреетности U регулярны функции
ft (z),= Щ1), ft (*.) = wj, 7 = 1,2,
go(z)=Mfl(z)U(z),
Пусть Wj таковы, что w0 = Wiiv2; тогда по доказанному выше
go(z)-^(z)g2(z), zezU. G)
Если Fj{z)—аналитическая функция, порожденная элементом
g,{z), заданным в точке z0, / = 0, 1, 2, то в силу G)
F0(z) = Fl(z)F2(z), (8)
где равенство понимается в смысле равенства аналитических

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 175
функций. Коротко равенство (8) принято записывать так:
VA(*)/,(«)-V/, (я) У/,(я);
точный смысл этого равенства указан выше. Аналогично интер-
интерпретируются остальные равенства C), D).
3. Регулярные ветви аналитических функций в неодносвяз-
ных областях. Теорема о монодромии не позволяет решить воп-
вопрос о выделении регулярной ветви функции F(z), аналитической
в неодносвязной области D. Эта задача исследуется так. Пусть
/(z)— какой-либо элемент функции F(z) в точке гоеД и f —
замкнутая кривая с началом в точке z0, лежащая в области D.
Аналитически продолжив элемент /(z) по кривой у, получим
элемент g(z) в точке z0. Условимся коротко записывать эту про-
процедуру так:
при обходе по кривой f
Лемма 2. Если при обходе по любой такой кривой f
то элемент f(z) порождает регулярную в области D ветвь функ-
функции F(z). Иными словами, существует регулярная в области D
функция Fа(z) такая, что
в окрестности точки z0.
С интуитивной точки зрения эта лемма вполне очевидна.
Строгое доказательство см. [24].
Если же при обходе по некоторой замкнутой кривой f
где элемент g(z)?=f(z), то функция F(z) не допускает выделе-
выделения регулярной в D ветви.
Такова процедура выделения регулярных ветвей в общем
случае. Применительно к таким аналитическим функциям, как
V/(z), ln/(z), (f(z))a, где /(z) —регулярная в некоторой обла-
области D функция, эту процедуру можно значительно упростить.
Дело в том, что перечисленные функции обладают тем же свой-
свойством, что и функции lnz, z* (§§ 21, 22): любой элемент функ-
функции ln/(z) (и аналогично для функции (/(z))a) в любой точке
полностью определяется заданием своего значения в этой точке.
Поэтому справедлива следующая
Лемма 3. Пусть функция f(z) регулярна и отлична от ну-
нуля в области D, аналитическая функция F(z)=lnf(z) порож-
порождена элементом Fa(z) в точке zoe?). Если все значения F(z0),
полученные в результате обходов по всем замкнутым кривым у

176 ГЛ. IV, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
(с начальной точкой z0), лежащим в D, совпадают с Fa(z0), то
аналитическая функция F(z) регулярна в области D.
Такое же утверждение справедливо для функции (j(z))a.
Доказательство. Докажем первое утверждение. Пусть
Y — замкнутая кривая с начальной точкой z0, лежащая в D. То-
Тогда F0(z)->- Ft(z) при обходе вдоль if» гДе Fi(z)—элемент в
точке z0. По условию леммы, Fl(z0) = F0(z0). Так как любой
элемент функции F(z) = ln/(z) в точке z0 однозначно опреде-
определяется заданием своего значения в
z°' этой точке, то F1(z) = F0(z). В силу
леммы 2 элемент F0(z) порождает
регулярную в области D функцию.
Аналогично доказывается второе
утверждение.
Пример 8. Покажем, что ана-
литическая функция F(z)=l/z2 — 1
распадается на две регулярные вет-
ветви в области DB, где Do — комп-
Ряс. 64 лексная плоскость с разрезами
(-оо, -1] и [1, +оо).
Так как z2 — 1 Ф 0 в ?>„, то по теореме 2 § 22 функция F(z)
аналитична в области Da. Поскольку область Do односвязна, то
по теореме о монодромии функция F(z) распадается на регуляр-
регулярные ветви в области Do. Регулярная ветвь полностью определя-
определяется заданием ее значения в некоторой точке za^DQ:
F.(z)-1z*-l, F0(za)=wa,
где itfg = z\ — 1 (т. e. w0 — одно из значений V z\ — \\). Регуляр-
Регулярных в области Da ветвей ровно две, и они связаны соотношенн-
eM^1(z)=-/T0(z), ze?H.
Аналогично, функция G (z) = In . распадается на регу-
регулярные ветви в области Do; этих ветвей бесконечно много, каж-
каждая ветвь однозначно определяется заданием своего значения
в некоторой точке z0 ^ D. Например, можно описать все ветви
Gh(z) следующими формулами:
(k = 0, ±1, ±2, ...). ?
Пример 9. Пусть D — плоскость (не расширенная) с раз-
разрезом по отрезку [—1, 1] (рис. 64). Покажем, что аналитиче-
аналитическая функция F(z)—l/z2 — 1 распадается в области D на две
регулярные ветви. Заметим, что область D неодносвязна.
Доказательство 1. Пусть исходный элемент F0(z)
функции F(z) задан в точке z0 e D и пусть ^ — простая замкну-

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 177
тая кривая с началом в точке z0, лежащая в D. Значение F(z0),
полученное при обходе вдоль у, равно
где <p = ATarg(z2 — 1). Так как z2 — 1 =(z — 1) (z + 1), то
<p = <pj + <p2, ф1 = ATarg(z — 1), <р2 = Дтarg(z + 1).
1) Если отрезок (—1, 1] не лежит внутри кривой ^ то qk =
= <р2 = 0, так что F(u) = Fa(z0).
2) Если отрезок [—1, 1] лежит внутри кривой f (рис. 64)
и эта кривая ориьпхярована положительно, то <р± = фг = 2я, так
что ф = 4я и снова F(zo) = Fo(z0). Если f ориентирована отри-
отрицательно, то ф = —4it.
Тем самым доказано, что функция
/0(z)=Yz2-l, ze?>; /.(я.)-и'в
регулярна в области D (w0 — одно из значений корпя
Аналогично, функций
/1(z)=yz2-l, zeZ);
регулярна в области Л, и
так что функция Yz' — 1 распадается на две регулярные ветви
в области D.
Доказательство 2. Представим функцию F(z) в виде
zG(z), G(z) = ]/l _A,
Функция G(z) задана условием
где F0(z), Go (z) — исходные элементы функций F(z), G(z) в
точке z0. Функция z регулярна в области D. Функция G(z) ана-
литична в одпосвязйой области D = D U{z = <»} на римановой
сфере. По теореме о монодромии функция G(z) регулярна в об-
области D, а значит, и в D. Следовательно, функция
регулярна в области D. []
Пример 10. Пусть D — комплексная плоскость с разре-
разрезом по отрезку [—1, 1] и /(z)—регулярная в D ветвь функ-
функции Yz2 — 1, такая, что /B)= УЗ. Вычислим значения зтой
12 Ю. В. Сидоров и др.

178 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
функции при вещественных z = x. Если zeD, то
-l), ф2 = ATarg(z + l),
где кривая ч соединяет точки 2, z и лежит в D.
1. Пусть х > 1. Тогда в качестве f можно взять отрезок
[2, я], так что ф1 = ф2 = О и /(я)=У:гг — 1. (Здесь и ниже все
корни — арифметические.)
2. Пусть а;е(—1, 1) и лежит на верхнем берегу разреза.
В качестве f можно взять крисую, лежащую в верхней полу-
плоскости (рис. 65). Тогда ф4=я, ф2 = О, так что f(x + iO) =
= Ш — х\
3. Пусть а; < —1. В качестве f можно взять кривую, лежа-
лежащую в верхней полуплоскости. Тогда cpt = ср2 = +я, так что
4. Если х лежит на нижнем берегу разреза, то в качестве f
можно взять кривую, лежащую в нижней полуплоскости
(рис. 65). Тогда ф4 = —я,
ф2 = 0, так что i(x — гО) =
Пусть z = iy, y>0. В
качестве ^ возьмем отрезок
[2, iy]. Тогда <pt + фг = я,
так что f(iy) = гУу2 +1
Ряс- 65 (j/>0). Аналогично,
/(-й/)=-ЛУ + 1 (у>0).
Вычислим f(z). По формуле C) § 22 имеем
Пример 11. Пусть Z), /(z)—те же, что и в примере 10.
Разложим функцию f(z) в ряд Лорана в окрестности точки
z = оо.
Из тождества Vz* — 1 = zV I 5- следует, что /(z)
где g(z) — регулярная в области D ветвь функции J 1 j-.Так
как /(х)>0 при х> 1 (пример 10), то g(x)>0 при х> 1, так
что lim g(x) = l. Следовательно, ?(°°)=1, и искомое разложе-
Х-»+оо
ние имеет вид
00
п=0

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 179
Прииер 12. Покажем, что аналитическая функция
распадается на регулярные ветви в области D (рис. 64), где
D — плоскость с разрезом |[—1, 1],
Доказательство 1. Пусть ^о (z) — исходный элемент
функции F(z) в точке z0 и f — простая замкнутая кривая с на-
началом в точке z0, лежащая в области D. Значение F{z0), полу-
полученное при обходе вдоль f, равно
Далее,
Av а*? ГТ1 = <Pi - Фи» <Pi = Avarg(l — z),
ф2 = ATarg(l +z).
Если отрезок [—1, 1] не лежит внутри кривой у, то cpi =
= фа = 0. Если отрезок ¦[—1, 1] лежит внутри кривой f и эта
кривая ориентирована положительно, то <р4 = 2я, срг = 2я, так
что снова <pi — ф2 == 0. Следовательно, F(zo) = Fo(zo), и функция
регулярна в области D.
Функция F(z) распадается в области D на счетное множест-
множество регулярных ветвей. Эти ветви описываются формулами
1 —z
1 — Z
/й (z) = In I ^~ I + iAy arg ^-qp^ + i Im w0 + 2Ani,
& = 0, ±1, ±2, ...
Здесь и>о = 1Q ° , — фиксированное значение логарифма, кри-
кривая "]f соединяет точки za, z и лежит в области D.
Доказательство 2. Функция
. -1 + Т _
аналитична в области D = D\){z = °o]. Область D односвязна;
по теореме о монодромии функция F(z) регулярна в области D,
а стало быть, и в области D. П
Пример 13. Пусть D — плоскость с разрезом по отрезку
[—1, 1] и /(z)— регулярная в области D ветвь функции In. .
такая, что /@ + Ю) = 0 (т. е. значение /(z) в точке z = 0,
12»

180 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
лежащей на верхнем берегу разреза, равно нулю). Вычислим
значения /(z) на действительной и мдимой осях.
В области D имеем
^
—Фа)«
— z), ф2 = ATarg(l+z),
кривая f лежит в области D и соединяет точку 0, лежащую на
верхнем берегу разреза, с точкой z.
1. Пусть z = xe(—1, 1) и лежит на верхнем берегу разре-
разреза. Тогда ф4 = ф2 = 0, так что
/(z + *0) = lni=-
(это действительное число).
2. Пусть г — х>1; тогда ф1 = —л, ф2 = 0, так что
Если z = х < —1, то ф4 = 0, ф2 = я, так что
3, Пусть г = ге(_1) 1) и лежит на нижнем берегу разре-
разреза. Тогда ф4 = —2л, ф2 = 0, так что
4. Пусть z = iy, у>0. Тогда ф1 = —<р2, 92 = arctg#, так что
при у > 0
)
поскольку |1 — iy\ = |1 + iy\. Аналогично, f(iy)= — 2i(n +
+ arctg у) при у < 0. []
Пример 14. Пусть D, f(z) — те же, что и в примере 13.
Разложим f(z) в ряд Лорана в окрестности точки z = °°.
При #>0 имеем (пример 13, 4) f(iy)= —2? arctg у, так что
/ (оо) = lim / (iy) = — яг.
У^ + оо
Следовательно, в окрестности точки z = оо имеем
' <2)"ln irw - -«• + ь (* - т) - " (* + т)>
где стоящие в правой части равенства логарифмы — регуляр-
регулярные в точке z = оо функции, равные нулю при z = «>. Разлагая*

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 181
эти функции в ряды Лорана, получаем
ОО f ОО 00
l)n+1
/(z) = -m-2t —n-rl
Этот ряд сходится в кольце 1 < Ы < °°. []
Пусть а, й — комплексные чпсла, аФЪ и D — плоскость с
разрезом по отрезку [а, Ь]. Точно так же, как и в примерах 9
и 12, можно доказать, что аналитические функции
F (z) = V(z-a)(z-b), G (z) = lnj^f
распадаются в области D на регулярные ветви.
4. Регулярные ветви аналитических функций в неодносвяз-
ных областях (продолжение).
Пример 15. Пусть D — плоскость с разрезом по отрезку
[—1, 1] (рис. 64). Покажем, что при действительных а функция
распадается в области D на регулярные ветви.
Пусть исходный элемент F0(z) функции F(z) задан в точке
z0 и у — простая замкнутая кривая с началом в точке z0, лежа-
лежащая в области D. Значение F(z0), полученное в результате об-
обхода по кривой Yi равно
Как и в примере 12, ф = 0, так что F(zo) = Fo(zo) и по лемме 3
функция
/00=
регулярна в области D. Две различные регулярные ветви функ-
функции F(г) в области D отличаются множителем е"яа\ где к —
целое число. []
Пример 16. Пусть D — плоскость с разрезом [—1, 1],
/(z) —регулярная в D ветвь функции (jjl^J » а — действи-
действительное число^ /@ + ДО)=1 (т. е. /(zo)=l в точке z0 = 0, ле-
лежащей на верхнем берегу разреза). Вычислим значения /(z)
на действительной оси. Имеем при z e D '
/ (z) = | ГТ11" eia<t> Ф = Фа — Ф2.
где <р4 = Ат arg A — z), ср2 = Ат arg (I + z) и f — кривая, кото-
которая соединяет точки 0 + гО, z и лежит в D. Числа <pi, ф2 вычис-
вычисляются так же, как и в примере 13.

182 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. Если z = x^(—1, 1) и лежит на верхнем берегу разреза,
то ф1 = фа = 0, так что
2. Если z = х > 1, то ф1 = —я, ф2 = 0 и
Если z = х < —1, то ф4 = 0, ф2 = л, так что
I х Ла
В этих формулах I jttjJ >0.
3. Если z = a:e(—1, 1) и лежит на нижнем берегу разреза,
то ф4 = —2л, ф2 = 0, так что
()a. U
Пример 17. Пусть /(z), D — те же, что и в примере 16.
Вычислим первые два члена разложения функции /(z) в ряд
Лорана в окрестности точки z = °°. Имеем
/(оо)= lim /(a;) = e~taIt
(пример 16, 2). Далее,
где функция g(z) регулярна в точке z = °° и g(°°) = l. Разла-
Разлагая функцию g(z) в ряд Лорана по степеням 1/z, получаем
-24+---V D
Пример 18. Пусть D — плоскость с разрезом [0, 1]. Ана-
Аналитическая функция
распадается в области D на три регулярные ветви. Доказывает-
Доказывается этот факт точно так же, как и в примере 15.
Пусть /(z) — регулярная в D ветвь функции F(z), положи-
положительная на верхнем берегу разреза. Разложим /(z) в ряд Лора-

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 183
на в окрестности точки z = °°. Имеем при z e D
е*ф/3, ф = ф! — ФЯ,
где 9i = ATargz, <р2 = ATarg(l —z), кривая f лежит в области
D и соединяет точку z0 = -g + гО (лежащую на верхнем берегу
разреза) с точкой z^ Пусть z = x>\\ тогда ф4 = 0, ф2 = —я,
так что /(#)== 1/ —~егл/3. Следовательно,
/(оо)= lim 1{х) = еЫ1\
Имеем в окрестности точки z = °°
z
где значение корня в точке z = °° равно 1. Следовательно, иско-
искомое разложение имеет вид
j / \ iJt/3 "V1 f^n / л\п „—п I 1
п=0
Пример 19. Пусть Pn(z) — полином степени п:
где Zi, ..., zn — различные комплексные числа, и -R;>max|zft|j
т. е. все нули полинома Pn(z) лежат в круге \z\ < R. Покажем,
что аналитическая функция F (z)]= -\/Pn(z) распадается на п
регулярных ветвей в кольце D: R < |z| < °°.
Пусть исходный элемент F0(z) функции F(z) задан в точке
z0 и ] — простая замкнутая кривая с началом в точке z0, лежа-
лежащая в области D. Полученное в результате обхода по кривой ^
значение F(z0) равно F(zo) = Fo(z0)е**7", ф = ATargPn(z).
Далее, ф = ф4 + ф2 + ... 4- ф„, ф^ = Дт arg (z — z}).
Если внутренность кривой Y лежит в области D, то все ф* =
= 0, так что <р = 0 и F(zo) = F^(z0). Пусть круг \z\<R лежит
внутри у, и эта кривая ориентирована против часовой стрелки.
Тогда все ф^ = 2я, так что ф/п — 2л и снова F(zo) = F0(z0). По
лемме 3 функция F(z) распадается в области D на регулярные
'ветви. Если /0(z) — одна из этих ветвей, то все остальные регу-
регулярные ветви имеют вид
Отметим, что / (z) = yPn (z) ~ y^a z (z->oo), где)/а — не-
некоторое значение корня (свое для каждой ветви).

184 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Приведем другое доказательство. Имеем
где z0G(zll)=sF0(z0). Функция G(z) аналитична в односвязной
области D = DU{z = oo) и, по теореме о монодромйи, регулярна
в этой области. Так как B=>D, то функция G(z) регуляр-
регулярна в D. []
Пример 20. Пусть F(z)—функция из примера 19. Фикси-
Фиксируем точку Zo, соединим ее отрезками со всеми точками zj, I ^
п, и пусть D — внешность полученной «звезды» (рис. 66).
Точно так же, как и в примере 19,
можно показать, что функция F(z)
распадается в области D на п регу-
регулярных ветвей.Ц
Рис. 67
Пример 21. Функция F(z) = У (z2 — 1) (z2 — 4) распада-
распадается на две регулярные ветви в области D, где D — плоскость
с разрезами ио отрезкам [—2, —1] и [1, 2] (рис. 67).
Пусть исходный элемент /^(з) функции F(z) задан в точке
za^D, и Y — простая замкнутая кривая с началом в точке z0,
лежащая в D. После обхода по i получаем значение
- 1) (z2 -4)].
Далее,
ф4,
— Дт arg(z —
где z4 = —2, z2=— 1, zs = 1, z4 = 2. Если разрезы не лежат
внутри у. то все ф] = 0, так что F(zo) = Fo(zo). Если внутри кри-
кривой y лежит только отрезок [—2, —1], то ф3 — ф4 = 0, ф4 = ф2 ¦=
= 2п (если ч ориентирована положительно), так что ф = 4л и
снова F(za)^Fb{zb). Аналогично, ^(г0) = ^0Bо), если у содер-

§ 24. РЕГУЛЯРНЫЕ ВЕТВИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 185
жит внутри себя отрезок [1, 2]. По лемме 3 функция
/(г)=У(г2 —l)(z2 —4), zsbD; /(zo)= F0(z0)
регулярна в области D. \J
Пример 22. Пусть z\, Z2, ..., Z2n— различные комплекс-
комплексные числа, F(z)=V(z — Zj) (z— гг)...(г — z2n). Сделаем раз-
разрезы вдоль простых непересекающихся кривых lh соединяющих
точки Zij-U zy, I < / =? п. Тогда в полученной области функция
F(z) распадается на две регулярные ветви; доказательство точ-
точно такое же, как и в примере 21. []
Пример 23. Пусть Pn{z)— полином степени п,
Р„(г)= a(z — Zi) (z — z2). ..(z — zn), a ?= 0,
все нули которого лежат в круге \z\ < R. Выясним, при каких
целых значениях т в области D: R < \z\ < оо можно выделить
регулярную ветвь функции F (z) = у Рп (г).
Пусть исходный элемент F0(z) функции F(z) задан в точке
г0 и у — простая замкнутая кривая с началом в точке z0, лежа-
лежащая в D. После обхода вдоль i получаем значение
ф; = Дт arg (Z — Zj) .
Если внутренность кривой f лежит в области D, то все ф,,- = 0.
Пусть y ориентирована положительно и содержит внутри себя
круг \z\ < R. Тогда все ф^ = 2я, так что ф = 2пл.
Следовательно, функция F(z) допускает выделение регуляр-
регулярной ветви в рбласти D тогда и только тогда, когда ег2пя/т = 1,
т. е. когда п делится на т. []
Пример 24. Функция F (z) = In z _ „ z ~T |, F(Q)=w0,
где 1#о — одно из значений lnz|2=2/3 аналитична в области Do —
расширенной комплексной плоскости с проколами в точках —4,
—2, 1, 3. Действительно, функция / (z) = |'Ц з) (г + 2) регу"
лярна и отлична от нуля в области Do, так что функция
F(z) = ln/(z), F@)=w0
аналитична в Do по теореме 2 § 22. Приведем примеры обла-
областей, в которых можно выделить регулярную ветвь функции
F(z).
1. Проведем разрезы вдоль непересекающихся лучей, выхо-
выходящих из точек —4, —2, 1, 3. Полученная область Dt односвяз-
на, и по теореме о монодромии (см. также пример 6) функция
F(z) распадается на регулярные ветви в области Dt.

186 ГЛ. IV- МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
2. Проведем разрезы (—°°, —4], [—2, 1], [3, °°) и покажем,
что в этой области D2 функция F(z) также распадается на ре-
регулярные ветви. Действительно, если у — простая замкнутая
кривая, которая лежит в области D2 и содержит внутри себя
отрезок [—2, 1], то
jrr|. Фг =
Очевидно, что ф1 = 0, так как z + 4^0, z — 3 ^ О внутри кри-
кривой Y- Далее, ф2 = 0, что доказывается так же, как и в приме-
примере 12, и потому ATarg/(z) = O. Из этого соотношения, точно
так же, как и в примере 12, вытекает, что функция F(z) распа-
распадается на регулярные ветви в области D2. В частности, это ут-
„ 3 _ 17
верждепие верно и для кольца Vs: у <
z + -^-
^7
3. Пусть Dt — плоскость с разрезами [—4, —2], [1, 3]; в
этой области функция F(z) также распадается на регулярные
ветви. Действительно, если у — простая замкнутая кривая, ко-
которая лежит в D, то
Av arg/(z) = Дг argj^| + Av arg|^| = ф1 + cp2
Если разрез [—4, —2] лежит внутри у, а разрез [1, 3] — вне ^»
то очевидно, что ф2 = 0, а ф4 = 0 в силу примера 12. Аналогич-
Аналогично рассматривается случай, когда разрез A, 3] лежит внутри f.
В частности, функция F(z) распадается на регулярные вет-
ветви в круге
д
-я- и в области
it
Пример 25. Пусть D — плоскость с разрезом [0, 1],
/(Z) = fz(l-ZK, /(a:+i0)>0, же @,1).
Функция /(z) регулярна в D (пример 19). Вычислим /(—1),
/'(-I),/"(-!)• Имеем Цг) = уГЩ, g(z)=z(l-zf.
Напомним, что^(ц>а) = ^ (<3') § 22)' гДе значения иЛ в
обеих частях равенства одинаковы. Следовательно,
g (г) »
(г) / (г) 3 (g' (z)? / (г)
м 1
IW-4 g(z) 16 /(г) '
Пусть кривая ч соединяет точку х^@, 1), лежащую на
верхнем берегу разреза, и точку —1. Тогда
Ат arg g (z) = Ат arg z + 3AT arg A — z) = я.

g 25. ГРАНИЧНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 187
Следовательно, / (- 1) = е*и | f*(-,l) | « е1я/4 УЪ. Далее,
g(_l) = _8, g'(-l) = 20, g"(-l)=-36, так что
1) = -^«<я/4- ?
Пример 26. Покажем, что в области D: 1 < Ы < °°
нельзя выделить регулярную ветвь функции
Функция G(z)=» Vz2 — 1 в области D распадается на две
регулярные ветви go(z), gi(z) (пример 9); пусть ?0B)>0,
g,B)<0, для определенности. Таким образом, функция F(z)
распадается в области D на две аналитические функции:
*), 7 = 0,1, h,(z)-z + gi(z).
Заметим,, что gs(z)** —go(z). В силу примера 11
так что при z ->¦ оо
Пусть ^ — окружность |z|=p>l, ориентированная положи-
положительно, с началом в точке z = р. Если и>) — исходное значение
функции Ff(z) в точке р, то после обхода по ^ получим значение
Инеем ф0 = 2я + -ф0, "ф0 = дг arS B + 0 [—]]. Если р достаточно
велико, то фо =» 0, так что Fo (z) — неоднозначная функция.
Аналогично, <р4 = — 2я + ti, \Jjx = Av arg [-j + 0 f-^-)), так что
ipi •— 0, если р достаточно велико. D
§ 25. Граничные особые точки
Пусть функция /(z) регулярна в области D, границей кото-
которой является простая кусочно гладкая кривая Г, и пусть % е Г.
Точка 5 называется особой точкой функции /(*), если эту функ-
функцию нельзя аналитически продолжить по кривой ^, которая ле-
лежит в области D и имеет своим концом точку ?.
Из этого определения и свойств аналитического продолжения
(§ 20) следует, что возможность аналитического продолжения

188 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
функции f(z) в граничную точку ? области D не зависит от вы-
выбора кривой y, лежащей в боласти D.
Докажем, что если выполнено условие
lim /(ft) (z) = оо A)
при некотором к > О, то точка ? е Г является особой для функ-
функции /(z) (при /с = 0 полагаем /<0)(z)— /(z))- Действительно,
если функцию /(z) можно аналитически продолжить в гранич-
граничную точку ? области D по кривой у, то в силу определения ана-
аналитического продолжения (§ 20) существует функция Д(г), ре-
регулярная в некотором круге К: \z — ?1 <р и такая, что /:(z)^
^/(z), если zeXfly. Отсюда следует, что при любом к ^ 0
Шп/<*>(*) =/?«E) =#=«,,
что противоречит условию A).
Рассмотрим вопрос о граничных особых точках в случае, ког-
когда D есть круг. Имеет место следующая
Теорема. На границе круга сходимости степенного ряда
/B)=2cn(z-a)n B)
лежит хотя бы одна особая точка его суммы.
Доказательство. Пусть К: \z— а\ <R— круг сходи-
сходимости ряда B), 0<i?<°°, и на окружности Yb'- fz — а\ =i?
нет особых точек функции /(z). Тогда эту функцию можно ана-
аналитически продолжить в каждую точку, лежащую на ул. Резуль-
Результат аналитического продолжения обозначим F(z), так что
F(z)s/(z), если z^K. По определению аналитического про-
продолжения для каждой точки S е Т« существует круг Кг. с цент-
центром в точке ?, в котором функция F(z) регулярна. Таким обра-
образом, окружность ^л покрыта бесконечным числом кругов, центры
которых лежат на fB.
В силу леммы Гейне — Бореля [9] из этого бесконечного по-
покрытия можно выделить конечное покрытие, т. е. существует си-
система кругов К.1.Ц = 1, 2, .. .,ri), ?j «= fB такая, что каждая точ-
точка 5 е Yb принадлежит хотя бы одному из этих кругов. Пусть
Z-, — точка пересечения двух соседних кругов К-ц и К^.+1 (] =
= 1, 2, . .., п; Ktn+1=sKt ), лежащая вне круга К и пусть До =
= min \zj — а\. Тогда функция F(z), совпадающая с f(z) в
j
круге К, регулярна в большем круге Ка: \z — а\ < Ro, R0>R.
Отсюда вытекает (§ 12, следствие 3), что функция F(z) пред-
представляется в круге Ко сходящимся рядом B), т. е. радиус схо-
сходимости ряда B) больше R, что противоречит условию.

§ 25. ГРАНИЧНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 189
Пример 1. Радиус сходимости ряда 2 (~ l)"z2" равен 1.
На границе круга сходимости этого ряда лежат две особые точ-
точки его суммы 1/A + z2), а именно, точки i и —i. Q
Следствие. Радиус сходимости ряда B) равен расстоя-
расстоянию от точки а до ближайшей особой точки функции /(г).
Это утверждение позволяет во многих случаях эффективно
находить радиус сходимости степенного ряда без использования
формулы Коши — Адамара (§ 11).
Пример 2. Радиус сходимости ряда
1
(*_3) n
равен 2, так как ближайшей к точке z = О особой точкой его
суммы является точка —2. Q
Пример 3. Радиус сходимости ряда
COS Z
71=0
равен я/2, так как олижаишими для точки % = 0 особыми точ-
точками фуНКЦИИ tg Z ЯВЛЯЮТСЯ ПОЛЮСЫ Zi = Л/2 И Z% = —Jt/2. Q
Замечание 1. Функция действительного переменного е*
бесконечно дифференцируема на всей оси, и ряд
сходится для всех х. Функция 1/A+ж2) также является бес-
бесконечно дифференцируемой на всей оси, однако радиус сходимо-
сходимости ряда
* 21)-^ D)
равен 1. Причина этого явления становится понятной лишь с вы-
выходом в комплексную плоскость. Действительно, функция ег яв-
является целой и радиус сходимости ряда C) R = °°. Функция
1/A + z) имеет две особые точки Zi = ?, z2 = — i, и поэтому ра-
радиус сходимости ряда D) равен 1.
Замечание 2. Сходимость степенного ряда B) в точках
границы круга сходимости не связана с регулярностью суммы
ряда в этих точках (см. примеры 4—6).

190 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Пример 4. Ряд т—— = ^ zn расходится во всех точках еди-
п=0
ничной окружности; для суммы этого ряда точка 1 — особая,
а остальные — точки регулярности. []
оо
Пример 5. Ряд f {%) = 2d — сходится в точке 1,
п=г
и его сумма регулярна в этой точке, так как /(z)— регулярная
ветвь функции ln(l + z). []
Пример 6. Ряд / (z) = 2л nin-i-i) СХ°ДИТСЯ во всех
п=1 ' "¦" '
единичной окружности, включая точку 1, но эта точка является
особой для /(z). Действительно, /(z)—регулярная ветвь функ-
функции 1 Ч—~ In A — z) = F (z), а точка z = l является для F(z)
особой (логарифмической точкой ветвления). LJ
Приведем пример функции, для которой каждая точка гра-
границы круга сходимости является особой.
Пример 7. Рассмотрим ряд
Радиус сходимости этого ряда равен 1. Покажем сначала, что
точка z = 1 является особой для /(z). Возьмем в качестве f от-
отрезок [0, 1]. Если z s у, то z2* = x*h-+1 при z = x -*¦ 1 — 0 (k -» 0,
1, 2, ...) и, следовательно, ](х) = 2 я2 -*-°° при а:-»¦ 1 — 0.
Таким образом, условие A) выполнено и точка z=l является
особой точкой для /B).
Далее, из равенства
получаем следующее функциональное соотношение для /(z):
n = l,2f... E)
Так как точка z = 1 является особой для /(z), то из равенства
E) следует, что при любом натуральном п все точки, удовлетво-
удовлетворяющие условию
z2" = 1, F)
также являются особыми для /(z). Корни уравнения F) обра-
образуют всюду плотное множество точек на единичной окружности.

§ 25, ГРАНИЧНЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ 191
Отсюда следует, что все точки единичной окружности являются
особыми для f(z). Действительно, если бы некоторая точка 5
единичной окружности была не особой, то существовала бы со-
содержащая эту точку дуга единичной окружности, состоящая из
неособых точек, что не имеет места. П
Пример 8. Пусть на границе круга сходимости степенного
00
ряда / (z) = 2 cnZ™ лежит лишь одна особая точка z0, а именно
п=о
полюс первого порядка. Найдем асимптотическую оценку коэф-
коэффициентов с„.
Из условий задачи следует, что
где функция g(z) регулярна в круге Izl <R, R> lzol, и в силу
сходимости ряда
*(*)=? bnzn (8)
71=0
в точке Zo имеем
ЪпЧ-^О, п->оо. (9)
Так как
77 2л ^
О п=о О
то из G), (8) и A0) следует, что
о о
откуда в силу (9) получаем следующую асимптотическую
оценку:
А - ¦ -о. (И)
Из формулы A1), в частности, находим
. Приведем формулировку одного результата, который носит
название
Теорема Прингсхейма. Если радиус сходимости ряда
оо
2j cnzn равен 1 и если Re с„ ^ 0 Зля есех п, то точка z = 1
является особой для суммы этого ряда.

192 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 26. Особые точки аналитических функций.
Понятие о римановой поверхности
1. Ветви аналитических функций. Особые точки. Аналитиче-
Аналитическая функция, по определению,— это множество всех элемен-
элементов, полученных из некоторого элемента аналитическим продол-
продолжением. Это множество элементов связно в том смысле, что
любые два элемента аналитической функции могут быть полу-
получены один из другого аналитическим продолжением вдоль неко-
некоторой кривой.
Понятие особой точки аналитической функции можно ввести
следующим образом. В § 25 было введено понятие граничной
особой точки регулярной функции. Так как аналитическая функ-
функция составлена из элементов (регулярных функций), то назовем
точку z0 особой точкой аналитической функции, если она яв-
является граничной особой точкой некоторого элемента функции.
Это понятие является довольно сложным, и в столь общей
форме фактически не будет использоваться в дальнейшем. Наи-
Наиболее важным типом особой точки является изолированная осо-
особая точка аналитической функции.
Предварительно введем понятие ветви аналитической функ-
функции. Пусть в точке z0 задан элемент /(z). Если аналитически
продолжить /(z) по всем кривым (с начальной точкой z0), по
которым такое продолжение возможно, то полученное множе-
множество элементов образует аналитическую функцию F(z). Если же
аналитически продолжить элемент /(z) только по части кривых,
по которым такое продолжение возможно, то мы получим ветвь
F0(z) аналитической функции F(z).
Иначе говоря, ветвью аналитической функции называется
связное подмножество элементов этой функции.
Ветвь F0(z) аналитической функции может быть неоднознач-
неоднозначной функцией z. Однозначная ветвь аналитической функции яв-
является регулярной функцией. Такие ветви рассматривались в
§ 24; в настоящем параграфе рассматриваются многозначные
ветви аналитических функций.
Примером ветви аналитической функции служит аналитиче-
аналитическая в некоторой области D функция. Напомним это понятие
(§ 20). Пусть D — область расширенной комплексной плоскости,
/(z)—элемент в точке za^D, и пусть этот элемент можно ана-
аналитически продолжить по любой кривой, лежащей в D. Полу-
Полученное в результате всех таких продолжений множество элемен-
элементов называется аналитической в области D функцией F(z).
Определение 1. Пусть функция F{z) аналитична в про-
проколотой окрестности точки а, но не является регулярной в точке
а. Тогда точка а называется изолированной особой точкой функ-
функции F(z).

§ 26. ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 193
Эта функция F(z), вообще говоря, является ветвью некото-
некоторой аналитической функции G(z). Если точка а. является особой
для некоторой ветви аналитической функции, то она является
особой точкой этой функции.
Если а — изолированная особая точка ветви F(z), то она
либо является особой точкой однозначного характера (полюс,
существенная особая точка), либо является точкой ветвления.
Пример 1. Пусть К — кольцо 0<Ы<г, точка z,e?
Зададим в точке z0 элемент /(z) функции hi z и аналитически
продолжим его по всем кривым, лежащим в кольце К. Тогда
мы получим аналитическую в К функцию Fa(z), которая яв-
является ветвью аналитической функции In z.
Аналогично, по элементу g(z) функции м» заданному в
точке zoeX, строится аналитическая в К ветвь G0{z) этой
функции. []
Две аналитические функции, по определению § 20, равны
тогда и только тогда, когда их исходные элементы эквивалент-
эквивалентны. Для ветвей удобнее ввести понятие равенства иначе. Именно,
две ветви некоторой аналитической функции, по определению,
равны, если они состоят из одних и тех же элементов.
С этой точки зрения в примере 1 существует ровно одна
ветвь функции In z, аналитическая в кольце К (аналогично для
функций yz, za).
Пример 2. Точка z = 0 является логарифмической точкой
ветвления для ветви F0(z) логарифма, указанной в примере 1.
Точка z = 0 является точкой ветвления порядка п для ветви
Ga(z) функции y^z, указанной в примере 1. и
Одна и та же точка комплексной плоскости может быть осо-
особой точкой для одних ветвей аналитической функции и не быть
особой точкой для других. _
Пример 3. Рассмотрим функцию F (z) = z _ ^ • В окре-
окрестности точки z = 1 функция Vz распадается, по теореме о мо-
нодромии, на две регулярные ветви /i(z), j%{z). Пусть /i(l) =
= +1, /2A)=»-1. В той же окрестности функция F(z) распа-
распадается на две однозначные ветви
*W-4^2. ,-1.2.
бетвь Fi{z) имеет в точке z=l простой полюс, а ветвь Fz{z)
регулярна в точке z = 1, так как 1 + /2A) = 0. П
Пример 4. Аналитическая функция F(z)= z + T/z* — 1
распадается на две регулярные ветви /0(z), /i(z) в плоскости
с разрезом [—1, 1] (§ 24, пример 9). Пусть /0B) = 2 + УЗ,
13 Ю. В. Сидоров и др.

194 ГЛ. IV, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
UB) = 2- УЗ; тогда
/0(z)~2z, ДB)~± (z-»-oo)
(§ 24, пример 26). Следовательно, точка z = °° является полю-
полюсом первого порядка для ветви /0(z) и нулем первого порядка
для ветви /i(z). []
Ниже будет показано (пример 12), что точки z = ±1 яв-
являются точками ветвления второго порядка функции F(z).
Во многих случаях характер точек ветвления можно уста-
установить с помощью следующей теоремы.
Теорема 1. Пусть функция F(z) аналитична в проколотой
окрестности U точки а, функция /(z)^0 регулярна в этой ок-
окрестности и точка а является точкой ветвления порядка п функ-
функции F(z) {здесь га< °°). Тогда точка а является точкой ветвле-
ветвления порядка п аналитических в области U функций
f(z) + F(z), f(z)F(z), Щ
(в последнем случае требуется, чтобы F(z)=?0 при z <= ?7)',
Доказательство. Рассмотрим аналитическую в области
U функцию G(z)= /(z)+ F(z). Пусть zo^U, тогда, по усло-
условию, в этой точке имеется ровно п различных элементов /i(z),
/i(z), ... функции F(z). Следовательно, в этой точке имеется
ровно п различных элементов /(z)+/4(z), /(z) + /2(z), ... функ-
функции G(z), так что точка а является точкой ветвления порядка п.
Аналогично этот факт доказывается для функций f(z)F(z),
f{z)JF(z).
Пример 5. Точка z = 0 является точкой ветвления второго
порядка функций —т=, z У"z, z + Yz. т=> Vz sin z (эти
yz l + yz
функции аналитичны в проколотой окрестности точки z = 0).
Функции Vz + sin z, e' Vz, —=, т= аналитичны в проколо-
yz 1 + yz
той окрестности точки z = °°, которая является точкой ветвле-
ветвления второго порядка для этих функций. Q
Пример 6. Точки 0, <» являются точками ветвления по-
порядка п аналитических функций
—, V z + ег, —, V z sin z. U
Пример 7. Точки 0, оо являются логарифмическими точ-
точками ветвления аналитических функций

§ 26. ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 195
Пример 8. Пусть функция /(z)^0 и регулярна в проко-
проколотой окрестности точки а. Тогда точка а является точкой вет-
ветвления порядка га для функций
yz — a + f(z), у<,— и,]К<,„ ,
у z — о
и точкой ветвления бесконечного порядка для функций
ln(z-a)+ /(z), /(z)ln(z-a), J^l a),
аналитических в некоторой проколотой окрестности точки a. Q
Пример 9. Исследуем особые точки функции F (z) = —т=..
1 + у z
Эта функция аналитична в расширенной комплексной плоско-
плоскости с выколотыми точками 0, 1, <».
Точки 0, °° являются точками ветвления второго порядка
(пример 5). В малой окрестности U точки z=l функция l/z
распадается на две регулярные ветви /i(z), /2(z) по теореме о
монодромии; пусть /j(l)=l, тогда /гA)=—1. Соответственно
функция F(z) распадается на две ветви Fj (z) = . , . ,, / = 1,
2, при z^U. Ветвь F^z) регулярна в точке z = 1, ветвь F2(z)
имеет простой полюс в этой точке, так как (§ 22, A2))
в окрестности точки z = 1. П
Пример 10. Исследуем особые точки функции F(z) =
= _ ., которая аналитична в расширенной комплексной пло-
плоскости с выколотыми точками 0, 1, °°. Точки 0, <» являются ло-
логарифмическими точками ветвления (пример 7). В малой ок-
окрестности точки z = 1 функция In z по теореме о монодромии
распадается на регулярные ветви fh(z), к = 0, ±1, ±2, ...;
пусть fh(l)=2nik. Точка z=l является простым полюсом для
ветвей Fh (z) = , к Ф 0, и точкой регулярности ветви
F0(z). U
2. Суперпозиции корня, логарифма и регулярных функции
(особые точки). Пусть функция /(z) регулярна и отлична от
нуля в области D. Рассмотрим аналитическую в области D
функцию (§ 24)
F(z) = ln/(z), F(zo)=wo, A)
13*

196 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
где z0 e D, е ° = / (z0) (т. е. w0 — одно из значений логарифма).
Значения функции F(z) при zefl вычисляются по формуле A)
§ 24:
F(z) = ln \f{z) I + i[\m w0 + Дт arg i(z)]. B)
Здесь кривая f лежит в D и соединяет точки z0, z; значение F(z)
8ависит не только от точки z, но и от кривой f.
Аналогично, рассмотрим аналитическую в области D функ-
функцию
G(z) = VW), G(zo) = ?o = PoA C)
где za<=D, t?=f(z0). Значения этой функции при zefl вы-
вычисляются по формуле
cp = Avarg/(z). D)
В частности, если функция / (z) Ф 0 регулярна в точке а или
имеет полюс в этой точке, то функции In /(z), y^/(z) аналитич-
ны в некоторой проколотой окрестности точки а.
ft ,
Напомним важное свойство функций ln/(z), у f{z): для того
чтобы задать элемент такой функции в точке z0, достаточно за-
задать его значение в этой точке.
Теорема 2. Пусть функция /(z)^0 либо регулярна в точ-
ке а и f(a)= 0, либо имеет полюс в точке а. Тогда
1) точка а является логарифмической точкой ветвления
функции ln/(z);
2) если а —простой нуль или простой полюс функции f(z),
то точка а является точкой ветвления порядка п функции у^Дг).
Доказательство. Если D — достаточно малая проколо-
проколотая окрестность точки а, то
f(z).= (z-a)m h(z), ze?>,
где пг Ф 0 — целое число, функция h(z) регулярна и отлична от
нуля в области Di<=D[){a) (§12, § 18). Пусть f — простая
эамкнутая кривая с начальной точкой z0, которая лежит в Dt
содержит точку а внутри себя и ориентирована положительно.
Тогда
Дт arg f{z) = тоДт arg(z -a)+A^ arg h(z) =¦ 2nm,
так как ATargu(z)=O. Действительно,
Avargfe(z) = jdargfe(z) = Im j^j-dz = O,
v v
так как функция h'(z)/h(z) регулярна в односвязной области

§ 26. ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 197
Dt. Следовательно,
где if* = ff ... f (А раз). Так как любая замкнутая кривая с на-
начальной точкой z0, которая лежит в D, гомотопна кривой if* (к —
целое число), то все значения функций F(z)= ln/(z), G(z)=s
— Vf (z) в точке z0 даются формулами:
Fk (z0) = In | / (z0) | + i [Im w0 + 2knm],
k = 0, ±1, ±2, ... Следовательно, F(z)— бесконечнозначная в
D функция, так что а — логарифмическая точка ветвления функ-
функции F(z).
Пусть то = ±1; тогда в точке z0 имеется ровно п различных
значений Gh(z0), О < к ^ п — 1 функции G(z), а стало быть,
ровно п различных элементов в этой точке.
Можно доказать эту теорему иначе: при z s D справедливы
формулы (п. 2 § 24):
In/(z) = тIn(z- а) + lnh(z), VW) = ^(z—а)
ft и
где lnu(z), yfe(z)— некоторые регулярные в D U {а} ветви.
После этого остается воспользоваться теоремой 1.
Пример 11. Пусть R(z)—рациональная функция. Тогда
ее нули и полюсы (и только они) являются особыми точками
функции F(z) = In R (z), F (z0) = w0 (е™0 = R (z0) и z0 не является
ни нулем, ни полюсом функции R(z)), которая аналитична в
расширенной комплексной плоскости с проколами в указанных
точках. Все эти точки — логарифмические точки ветвления. Q
Пример 12. Пусть i?(z)—рациональная функция, имею-
имеющая только простые нули и полюсы. Все эти точки — точки вет-
ветвления порядка п функции >^i?(z). []
Пример 13. Пусть /(z) = zmh(z), где функция h(z) регу-
регулярна и отлична от нуля в круге D; \z\<r, m?=Q — целое
число. Тогда функция
аналитична в кольце К: 0< Izl < г. Исследуем характер особой
точки z = 0.
Пусть ч — положительно ориентированная окружность Izl ¦=¦
в |zo| с начальной точкой z0. После к обходов вдоль f в силу D)'
F(z0)-+Fh{zo), Fh(za)=wae™m'\ F1
так как Ат arg / (z) = mAT arg z + ATarg h (z) = 2nm.

198 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
а) Пусть числа т, п взаимно просты. Тогда фукнция F{z)
имеет в точке z0 ровно п различных значений, и точка 0 является
точкой ветвления порядка п функции F(z).
б) Пусть d — наибольший общий делитель чисел т, п, т. е.
то = pd, п = qd, где р, q — взаимно простые целые числа, g ^
> 1. Тогда среди чисел Fh(z0), k = 0, ±1, ... имеется ровно q
различных. Точка z = О является точкой ветвления порядка q,
если q Ss 2. Если же g = 1, т. е. если т делится на п, то точка
z = 0 не является точкой ветвления.
Например, точки 0 и 1 являются точками ветвления функции
Vz2/{z — 1) порядка 3. О
Рассмотрим более сложный пример. Предварительно заме-
заметим следующее. Пусть U — проколотая окрестность точки а, и
пусть все элементы аналитической функции F(z), заданные в
точках области U, допускают аналитическое продолжение по
всем кривым, лежащим в U. Тогда в области U функция рас-
распадается на аналитические ветви, т. е. на функции, аналитиче-
аналитические в области U. Действительно, возьмем точку z0 <= U, эле-
элемент /o(z) в этой точке и аналитически продолжим его по всем
кривым, лежащим в U; мы получим аналитическую в U функ-
функцию F0(z)—ветвь функции F(z). Если существует элемент Д(г)
функции F(z) в точке z0, который не является элементом ветви
Fo(z), то он порождает аналитическую в U ветвь Ft{z) и т. д.
В рассмотренных выше примерах аналитическая функция
F(z) либо распадалась в U на регулярные ветви, либо состояла
из одной аналитической ветви. Приведем пример иного рода.
Пример 14. Исследуем особые точки функции
Эта функция является суперпозицией F(z)= H{G{z))следующих
функций:
Исходный элемент g(z) функции G(z) зададим, например, в
точке z=-4, #D) = —§" (т- е> Vzlz=4 = 2). Пусть D — расши-
расширенная комплексная плоскость с проколами в точках 0, 1, <»;
тогда функция G(z) аналитична в области D и не принимает
эначений 0, °°. В точке w — — 1/3 зададим элемент h(w) функ-
функции H(w) — \nw; пусть hi — т] " — 1пЗ + ти. Тогда по тео-
теореме 2 § 22 функция F(z)= H(G(z)), порожденная элементом
h{g(z)), аналитична в области D.
&) z = 1. Покажем, что в малой проколотой окрестности К:
О < Iz — II < г точки z = l функция F(z) распадается на две

§ 26. ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 199
аналитические ветви Fii2(z), F2(z)^ —Fi(z), и для каждой иэ
этих ветвей z — 1 — логарифмическая точка ветвления. Действи-
Действительно, функция ф(г)=Уг"в круге К: \z — II < г, по тео-
теореме о монодромии, распадается на две регулярные ветви
q>j(z), / —1, 2, причем ф±A)= 1, cp2(z) = — q>i(z). Соответ-
Соответственно функция G(z) распадается в К на две регулярные ветви
z j
По формуле Тейлора <Pi(z) = 1 Н ^ 1- ..., так что
Следовательно, ветвь Gi(z) имеет простой нуль, а ветвь G2{z)—
простой полюс в точке z = l. Функция F(z) распадается в if на
две аналитические ветви Fj(z) = lnGJ(z)) / = 1, 2, причем
F2 (z) = — Fi (z), и точка z = 1 является логарифмической точ-
точкой ветвления функций F1|2(z) (теорема 2).
б) z = 0. Покажем, что в малом кольце К: 0 < Izl < г
функция F(z) распадается на счетное множество ветвей, для
каждой из которых z = 0 — точка ветвления второго порядка.
Функция G (?) = In ттт в малой окрестности U точки ? = 0
распадается на регулярные ветви Gh(%), k=0, ±1, ..., где
?fc@)=2fau. Следовательно, функция FA(z)= ^(Vz) анали-
тична в проколотой окрестности точки z = 0. При малых |?l
имеем
так что при малых \z\
2 fz + O{z).
Следовательно, Fh{z)—двузначная функция, и z = 0 является
точкой ветвления второго порядка этой функции.
в) z = °°. Структура функции F(z) в окрестности этой точки
такая же, как и в окрестности точки z = 0. Действительно, за-
замена z = 1/? приводит функцию F(z) к виду
где ^ лежит в окрестности точки ? = 0. Q
Пример 15. Исследуем особые точки функции
F(z) = ?l+ V7TI.

200 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Эта функция — сумма аналитических функций G (z) =y z, H{z)=>
= Vz+l; их исходные элементы g{z), h(z) зададим в точке
z=l: Vz|z=1 = 1, 1z +1 |z_! = V2 > 0. Функция F(z) ана-
литична в расширенной комплексной плоскости с проколами
в точках —1, 0, оо.
а) z = 0. Покажем, что в малой проколотой окрестности
Кх\ 0<|zl<r точки z = 0 функция F(z) распадается на две
аналитические ветви Ft{z), Fz{z), для каждой из которых
z = 0 — точка ветвления третьего порядка. Действительно, функ-
функция #(z)=Vz + l распадается на две регулярные ветви #i(z),
Я2B)=— #i(z) по теореме о монодромии. Поэтому функция
F(z) распадается в Kt на две аналитические ветви
F1(z)=G(z)+Hl{z), F2(z)=G(z) + #2(z),
для каждой из которых z = 0 — точка ветвления третьего по-
порядка (пример 8).
б) z = —-1. В малой проколотой окрестности Кг: 0<lz +
+ 1|<г функция F{z) распадается на три аналитические вет-
ветви, для каждой из которых z = — 1 — точка ветвления второго
порядка. Действительно, по теореме о монодромии функция G(z)
2лг
распадается в Кг на три регулярные ветви G1(z), G2(z)==e3 Gx(z),
G3(z) = e3 G1(z), так что F(z) распадается на три аналитиче-
аналитические ветви Gj{z)+H{z), j = 1, 2, 3.
в) z = оо. Покажем, что z = 00 — точка ветвления шестого
порядка для функции F(z). Пусть f — простая замкнутая кри-
кривая с началом и концом в точке z «= 1, внутри которой лежат
точки z = 0, z — — 1. При обходе вдоль f в положительном на-
направлении
ATarg z = ATarg(z+ 1)= 2л.
Исходное значение функции F(z) в точке ? = 1 равно F(l) =
= 1 + У 2. После N обходов вдоль f получим следующие значе-
значения F(i):
N=•1: F(l)=e2n</3-V2;
# = 3: F(l)=l-V2;
N = A:
5: F(l)=ein</3-r2.
При N = 6 снова получим F(l) = 1 + V2.
Следовательно, функция F(z)—шестизначная. Этот факт
можно установить иначе: покажем, что функция w = F(z) удо-

§ 26. ОСОБЫЕ ТОЧКИ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 201
влетворяет алгебраическому уравнению шесто;" степени. Возведя
в куб обе части тождества w — у z + 1 = j/ z, получаем
и после возведения в квадрат обеих частей этого тождества по-
получаем
P(w, z)= u>6 - 3(z + 1)н>* - 2zw3 + 3(z + iJw2 -
-6z(z+1)h;-z3-2z2-3z-1=0.
При каждом фиксированном z это уравнение имеет шесть кор-
корней; в данном случае можно показать, что эти корни различны,
если z Ф 0, z Ф — 1. D
3. Структура аналитической функции в окрестности алгебраи-
алгебраической точки ветвления. В окрестности алгебраической точки
ветвления аФ °о аналитическую функцию можно разложить в
ряд по дробным степеням z — а.
Теорема 3. Пусть функция F(z) аналитична в кольце К:
0<|z — a\<r, и пусть точка а является точкой ветвления
порядка га < °°. Тогда справедливо разложение
F(z)= S ch(z-a)h/n, G)
fc=-00
где ряд сходится в кольце К.
Доказательство. Рассмотрим функцию O(?) = .F(a+,
+ V)'» эта функция аналитична в кольце К: 0<|Cl<V~r> По-
Покажем, что функция Ф(?) однозначна в К; тем самым будет до-
доказано, что Ф(?) регулярна в К и, по теореме 1 § 17, разлагает-
разлагается в ряд Лорана:
Ф@= S с&\ (8)
сходящийся в кольце К.
Возьмем окружность у. |?1=р, где 0<р<Уг, с началь-
начальной точкой р. Когда точка 5 пробегает окружность f один раз
в положительном направлении, точка z = а+ ?" пробегает
га раз окружность ^: Iz —al=pn в положительном направле-
направлении. Пусть /о (z) — элемент в точке zo = a + pn функции F(z).
Так как а — точка ретвления порядка га функции F(z), то
/o(z)-*-/o(z) после га обходов вдоль у. Следовательно, <Ро (С) -*-
-*-фо(?) после обхода по if. гДе фо(?) = /о(а+ 5ПУ— элемент в
точке So = р функции Ф(?), и функция Ф(?) регулярна в кольце
К. Так как ?n = z — a, то из (8) следует G).
Следствие. Пусть точка z = <» является точкой ветвле-
ветвления порядка га < оо аналитической функции F{z[. Тогда спра-

202 ГЛ. IV, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
ведливо разложение
F(z)= S ckzhln, (9)
h=—oo
где ряд сходится в кольце вида R < Ы < «>.
Для доказательства достаточно заметить, что точка ? = 0 яв-
является точкой ветвления порядка п функции F(l/?) и воспользо-
воспользоваться теоремой 3.
Ряды вида, G), (9) называются рядами Пюизо.
4. Понятие о римановой поверхности. Аналитическая функ-
функция не является функцией в обычном смысле слова, так как од-
одному и тому же значению z может отвечать не одно, а несколько
(или даже счетное множество) значений. Чтобы иметь возмож-
возможность рассматривать F(z) как функцию в обычном смысле сло-
слова, свяжем с F(z) некоторую поверхность R, на которой F[z\
будет однозначной функцией. Полученная поверхность называ-
называется римановой поверхностью аналитической функции F(z).
Сформулируем определение римановой поверхности.
Рассмотрим аналитическую функцию F(z). Точкой римано-
римановой поверхности R (функции F(z)) называется пара PQ=(z0,
/o(z)), где /о(z)—некоторый элемент в точке z0 функции F(z).
Будем считать, что две пары (z0, /о (z)) и (z0, /i (z)) определяют
одну и ту же точку римановой поверхности, если элементы /o(z)
и Д(г) эквивалентны. Проекцией точки PQ=(z0, /0(z)) римано-
римановой поверхности на комплексную плоскость z называется точ-
точка z0:
(z0, /o(z))-»-Zo.
Окрестностью Uo точки Pt= (zB, /o(z)) называется множество
точек Р = (?, /o(z)), где Ig —zol<e и е>0 таково, что функ-
функция /o(z) регулярна в круге Iz — zol < e. Проекцией окрестно-
окрестности Uг на комплексную плоскость является круг \z — zo\ < e.
Замечание 1. С теорией римановых поверхностей и с бо-
более глубоким понятием римановой поверхности читатель может
познакомиться по книгам [6], [19], [24]. Риманова поверхность
связна, так как любые два элемента аналитической функции мо-
могут быть получены друг из друга аналитическим продолжением.
Риманову поверхность можно наглядно представить как по-
поверхность в трехмерном пространстве. В §§ 21, 22 были по-
построены римановы поверхности функций In z, V z.
Замечание 2. С помощью римановой поверхности можно
наглядна представить, что такое ветвь аналитической функции.
Именно, ветви отвечает связный «кусок» римавовой поверхности
(и обратно). Утверждение «функция F(z) распадается в обла-
области О на m аналитических ветвей» в терминах римановой по-
поверхности R означает, что часть R, которая проектируется на D,
состоит из пг связных кусков.

§ 27. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 203
С аналитической функцией F(z) можно связать еще один
объект — «график» этой функции. Так как функция w = F(z)
принимает комплексные значения, то ее график лежит в про-
пространстве (z, w), где z, iv — комплексные числа, т. в. в четы-
четырехмерном пространстве. Графиком аналитической функции
F(z) называется множество всех пар (z, F(z)), где F{z)— все
значения функции F(z) в точке z. Этот график является, вообще
говоря, двумерной поверхностью в четырехмерном пространстве
(z, и;). Эта поверхность не может иметь самопересечений по
«кривым», по теореме единственности; однако в изолированных
точках различные «куски» этой поверхности могут склеиваться.
Например, если ^(г) = (г — l)lnz, то в точке с координатами
z = 1, w = О склеивается бесконечно много «кусков» графика
этой функции.
§ 27. Аналитическая теория обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений второго порядка
1. Уравнения с регулярными коэффициентами. Многие зада-
задачи математической физики приводятся к обыкновенным линей-
линейным дифференциальным уравнениям второго порядка:
y"+p{x)y' + q(x)y = O.
При этом коэффициенты р(х), q(x) являются аналитическими
функциями, а в большинстве случаев даже рациональными функ-
функциями. Поэтому естественно исследовать решения уравнения
вида
w"(z) + p(z)w'(z)+q{z)w{z)°=O A)
с точки зрения аналитических функций. Такой подход, или, как
еще говорят, «выход в комплексную плоскость», позволяет ис-
использовать мощные средства теории аналитических функций и
получить важные результаты о структуре решений уравне-
уравнения A). Именно, оказывается, что если p(z), q(z) — рациональ-
рациональные функции, то любое решение уравнения A) является анали-
аналитической во всей комплексной плоскости функцией, за исключе-
исключением, быть может, полюсов коэффициентов p(z), q(z). Полюсы
функций p(z), q(z) являются, как правило, особыми точками
для всех решений уравнения A) — а именно, точками ветвле-
ветвления. Более того, удается исследовать структуру решений в ок-
окрестности этих особых точек.
В этом разделе мы рассмотрим уравнение A), коэффициен-
коэффициенты p(z), q(z) которого регулярны в некоторой области D ком-
комплексной плоскости z. Поставим вадачу Коши: найти решение
уравнения A), удовлетворяющее условиям
w(zB)=wB, w'(zo)=u>t, B)
где zB s D, a wB, wi — заданные числа.

204 ГЛ. IV, МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теорема 1. Пусть коэффициенты p{z), q(z) уравнения A)
регулярны в круге К: \z — zo\<R. Тогда существует решение
w{z) задачи Коши A) —B), регулярное в круге К.
Доказательство см. [21], [18].
Покажем, как найти решение w(z) задачи Коши A) — BJ,
используя теорему 1. Решение w{z) разлагается в степенной ряд,
сходящийся в круге К:
w(z) = 2 wn (z — zo)n. C)
п=о
Первые два коэффициента разложения известны из данных
Коши:
Далее, функции p(z), q(z) по условию также разлагаются в ря-
ряды Тейлора:
Р W = 2 Pn (z - zo)n, q (z) = S qn B - zo)n, D)
n=0 =0
сходящиеся в круге К.
Подставим ряды C), D) и ряды для w't w" в уравнение AJ;
тогда получим ряд Тейлора ^jCn(z— zo)n, тождественно равный
нулю в круге К. Поэтому с„ = 0 при всех га =* 0, 1, 2, ... Отсюда
получаем рекуррентные соотношения для коэффициентов ы?,,
wt, ...
Проделаем соответствующие выкладки, предполагая для про-
простоты, что z0 = 0. Имеем
w" + p(z)w' + q(z)u> =
= 2 n(n-i) wnz"-2 + 2 nwnzn"- 5 Pmzm + 2 ^nzn 2
n=i m=0. n=o m=o
00
= 2 cnzn = 0.
n=-o
Уравнение сп = 0 имеет вид
(» + 2) (n + 1) wn+i =
n+l n
= — 2 kpn-h+1wh — 2 Qn-kWk* » = 0,1,2, ... E)
ft=l ft-0
Коэффициент шп+, выражается через коэффициенты u?0, u7t, ...
.... и>.+1. Так как wB, wx известны, то из уравнений E) последо-
последовательно определяются коэффициенты wt, wt, ...
Пример 1. Рассмотрим уравнение
w'-zw^Q. [6]

§ 27. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 205
Это уравнение называется уравнением Эйри. В данном случае
p(z)"»O, q(z)=— z, так что коэффициенты уравнения регулярны
во всей комплексной плоскости. В силу теоремы 1 всякое реше-
решение уравнения Эйри является целой функцией.
Решим уравнение Эйри. Систедоа E) в данном случае имеет
вид
(» + 2) (га + 1)и>„+2 — wn-u га = 1, 2, ...
В частности, wz — 0, откуда следует, что wb = wb = ... = н;г+вк =..,
... = 0. Далее из этой системы находим
sn B-3)-E-6) ... [(Зп —1)-Зге] ' W8n+i C-4)-F-7) ... [Зп (Зп + 1I *
Пусть Wi(z)— решение с данными Копта u>4@)= 1, w[@) = О
и WiB) — решение с данными Коши u;2@) = 0, w's@) = i. Тогда
z3
2-3 + B-3) E-6)
+ •• • +
— z + 3^4+ C-4) F-7) + •• • + C-4) F-7) ... [Зп (Зп + 1)] + #"
Всякое решение уравнения Эйри является линейной комбина-
комбинацией решений Wi(z), w%(z). В частности, решение
Atlz\-
называется функцией Эйри. []
Пример 2. Уравнение
и;"
где a, b — постоянные, называется уравнением Матъе. В силу
теоремы 1 всякое решение уравнения Матье является целой функ-
г. D
Пример 3. Всякое решение уравнения Вебера
(а — постоянная) является целой функцией 2. []
1 В теореме 1 предполагалось, что коэффициенты уравнения
регулярны в круге К. С помощью аналитического продолжения
можно доказать аналог теоремы 1 в случае, когда коэффициенты
уравнения A) регулярны в односвязной области.
Основной теоремой для уравнений вида A) с регулярными
коэффициентами является следующая

206 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Теорема 2 (теорема существования и един-
единственности). Пусть коэффициенты p(z), q(z) регулярны в
односвязной области D, точка z0 e D. Тогда
1) существует регулярное в области D решение w{z) задачи
Ноши A) —B),
2) это решение единственно, т. е. если Wi(z), Wz{z)—регу-
Wz{z)—регулярные в области D решения задачи Коши A) —B), то u>i(z)^
^w2(z) e области D.
Доказательство. Докажем сначала единственность ре-
регулярного в области D решения w(z) задачи Коши A) — B). По
условию
{) Wa, w' (Zo)= Wi.
Из уравнения A) находим значение w" (zo) = —p(zo)Wi — q(za)wa.
Дифференцируя уравнение A), получаем
W"' = -{p{z)w'Y-{q{z)w)',
откуда находим h/"(z0). Дифференцируя полученное уравнение
далее, находим ww(z0), u><5)(z0) и т. д. Следовательно, по дан-
данным Коши однозначно определяются все производные u;<n)(z0),
что и доказывает единственность.
Докажем первое утверждение теоремы. В силу теоремы 1 су-
существует решение wo(z) задачи Коши A) — B), регулярное в
круге К: \z — zo\ <R, где R — расстояние от точки z0 до границы
области D. Тем самым в точке z0 задан элемент wo(z). Покажем,
что этот элемент допускает аналитическое продолжение по лю-
любой кривой у, лежащей в D, с начальной точкой z0. Пусть р —
расстояние между кривой у и границей области D, тогда р > 0.
Покроем кривую у конечной цепочкой кругов Zo, Ki, ..., К„ ра-
радиуса р. Центры кругов К5 лежат в последовательных точках
z0, ..., zn кривой ^ (zn —конец кривой ч), и центр Zj круга К}
лежит внутри круга Ki-l при / = 1,2,..., п.
В точке Zi зададим такие данные Коши, которые совпадают
со значениями решения wo(z) и его производной, т. е.
где wo = Wo(Zi), w1 = wQ(z1). По теореме 1 существует регуляр-
регулярное в круге Ki решение этой задачи Wi{z); по доказанному выше
= wo(z), z^KoOKi.
Аналогично, существует регулярное в круге К2 решение w2(z)
задачи Коши
w (г,) = w1 (z2), w' (z2) = w[ (z2),
и это решение совпадает с Wi (z) при геХ,П К2. Продолжая этот
процесс, получаем, что элемент wo(z) аналитически продолжен

§ 27. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 207
вдоль цепочки кругов Ко, ..., Кп; при этом все элементы wo(z),..
... wn(z) являются решениями уравнения A).
Таким образом, элемент wo(z) порождает аналитическую в
области D функцию w{z), все элементы которой удовлетворяют
уравнению A). Так как D — односвязная область, то по теореме
о монодромии функция w(z) регулярна в области D. Теорема
доказана.
Из доказательства теоремы 2 вытекает
Теорема 3. Пусть коэффициенты p(z), q(z) уравнения A)
регулярны е области D. Тогда всякое решение уравнения A)
является аналитической в D функцией.
Если D — неодносвязная область, то решение уравнения A)
может быть многозначной аналитической функцией.
Пример 4. Рассмотрим уравнение Эйлера:
w' + ±w'+-^w = 0, G)
* Z
где а, Ъ — постоянные. Коэффициенты уравнения Эйлера регу-
регулярны в комплексной плоскости с выколотой точкой z = 0.
Будем искать частное решение уравнения G) в виде w = z\
Подставляя в уравнение и деля его на zx~2, получаем уравнение,
из которого определяется X:
= 0. (8)
Если корни Я,4, Я,2 этого уравнения различны, то функции
wx (z) = z \ w2 (z) = z2 образуют фундаментальную систему ре-
решений уравнения Эйлера. Если же корни совпадают: Я,1 = Я2 = Я,
(т. е. если (а —IJ — 4Ь = 0), то уравнение G) имеет решение
wl(z) = zli и, кроме того, решение w2{z) = z%Inz; эта пара реше-
решений образует фундаментальную систему решений (ф. с. р.). П
Рассмотрим уравнение A) в окрестности бесконечно удален-
удаленной точки. Делая замену переменной z = l/? и полагая ср(?) =
= u;(l/?), получаем уравнение
))* ?({)«о. (9)
Всякое решение уравнения (9) регулярно в точке ? = 0, если
функции 2?-1 — ?-2р ( у-)« ?~*<л-р| регулярны в точке 5 = 0.
Следовательно, всякое решение уравнения A) регулярно в точ-
'ке z = °°, если функции 2z — z2p{z), zlq(z) регулярны в точке
2. Особые точки уравнения. Особые точки коэффициентов
уравнения A) называются особыми точками этого уравнения.
Особые точки уравнения являются, как правило, особыми точ-
точками для всех решений этого уравнения. Например, точка z = 0

208 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
является особой точкой уравнения Эйлера G). Если корни %it
Xt уравнения (8) различны, то всякое решение уравнения Эйле-
Эйлера имеет вид w (z) = Cxz г + Caz а, где Си С2 — постоянные. Если
числа Хи %2 действительные и нецелые, или если Im Xi Ф 0,
Im Хг *? 0, то точка z = 0 является особой точкой для любого ре-
решения уравнения Эйлера (исключение составляет только три-
тривиальное решение w(z)^O).
Исследуем поведение решений уравнения A) в окрестности
точки z0, которая является полюсом хотя бы для одного из коэф-
коэффициентов уравнения. Возьмем кольцо К: 0 < \z — zol <r, в кото-
котором функции p(z), q(z) регулярны, и точку 2s^. Рассмотрим
решения Wi(z), w2[z) с данными Коши
$ [ (z) = a±; w2 (z) = b0, w2 (z) = bu A0)
и выберем числа ah b} так, чтобы
Пусть U — круг с центром в точке z, лежащий в кольце К. По
теореме 1 в этом круге существуют решения w?(z), w\(z) задач
Коши A0), регулярные в круге U, и эти решения линейно неза-
независимы, так как Д Ф 0. Пусть wt (z), изг (z) — аналитические
функции, которые порождены элементами w\(z), wl(z),заданны-
wl(z),заданными в точке z. По теореме 3 функции u>i(z), wt(z) аналитичны в
кольце К и являются решениями уравнения A), т. е. любой их
элемент удовлетворяет уравнению A).
Возьмем замкнутую кривую -[ с начальной точкой z, лежа-
лежащую в кольце К, и продолжим аналитически элементы н;? (z), w>l(z)
вдоль у. Тогда
w°(z)-+w\(z), w%{z)-+w\{z),
где w\(z), wl (z) — регулярные в круге U функции. Кроме того,
эти функции являются решениями уравнения A) при z^U. Так
как решения w\(z), wl(z) по построению линейно независимы
при z e U, то существуют постоянные cft такие, что
Рассмотрим матрицу С:
С - С11 Ч
0 = 1. г I,
\С21 С22/
в пусть Xi, Хг — ее собственные значения, т. е. корни уравнения
1Х~Я Cl* =0.
С21 С22 *

§ 27. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 209
Теорема 4.
1. Если корни %и %% уравнения A2) различны, то уравнение
A) имеет два решения вида
... / ,рх / , / ч / > р2 / ч ,,т
где Х} = е } (/ = 1, 2) и функции cpi(z), cp2(z) регулярны в
кольце К.
2. Если корни уравнения A2) совпадают, A,i=X2 = X, тч>
уравнение A) имеет два решения вида
Здесь Л = е2я{р, а — постоянная и функции q>i(z), фг(г) регуляр-
регулярны в кольце К.
Напомним, что К — кольцо вида 0<lz — za\<r и что коэф-
коэффициенты уравнения A) регулярны в К.
Доказательство. Введя вектор-функции
„.»=(:;;;;), ,=ол,
запишем соотношение A1) в виде
wl(z) = Cw°(z). A5)
Пусть Т — невырожденная квадратная матрица второго порядка.
Положим
w°(z) = Tw°(z). A6 J
Тогда после обхода вдоль f
и соотношение A5) примет вид
w1(z) = TCT-iw°{z). A7);
1. Пусть собственные значения Я4, Я,2 матрицы С различны.
Тогда существует матрица Т, приводящая матрицу С к диаго-
диагональному виду:
При таком выборе матрицы Т соотношение A7) принимает вид
w\ (z) = Xjwl (z), wl (z) = %2w* (z). A8)
2Jtip
Выберем р! так, чтобы е 1 = %1, ж рассмотрим функцию
ф1 (z) = (z-*„)"%;; (z).
14 ю. В. Сидоров я др.

210 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
При обходе вдоль f имеем
. .-Р, -2ягр -pj
(Z-Zo) 1->б ^Z — Zo) \
так что
= ЯГ1 (г - lef*! (z - z/V (*) = ф1 (г).
Следовательно, аналитическая функция qp4(z) однозначна, а ста-
стало быть, и регулярна в кольце К. Таким образом, уравнение A)
имеет решение
a>i (*) = (z - z/^ (z)
и, аналогично, решение
Тем самым утверждение 1 теоремы доказано.
2. Пусть Я,1==Я,» = Я,. Тогда существует матрица Т, приводя-
приводящая матрицу С
а) либо к жордановой нормальной форме;
б) либо к диагональному виду.
В случае а) имеем
тгт-1 1% ON
так что вместо A8) получаем соотношение
w\ (z) = Xwl (z), w\ (z) = %Ъ°2 (z) + w\ (z). A9)
Для решения itfi(z), порожденного элементом w1(z), снова по-
получаем представление вида A3). Поделив второе из равенств
A9) на первое, получаем
w\{z) =w
w\{z)
i
Ь'
w\ (г)
так что функция гЬ (z) = s^— обладает следующим свойством:
w\{z)
yp(z)-+yp(z) + ±
при обходе вдоль f. Следовательно (§ 21, замечание 2), функция
регулярна в кольце К, и для решения h>i(z), порожденного эле-
элементом w\(z)r получаем представление A4J.

§ 27. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 211
В случае б) имеем TCT~r= (Q .), так что соотношение
A8) имеет вид
w\ B) = Хю? B), w\ (z) = Xwl (z),
а решения ws(z) имеют вид Wj(z) = {z — zo)°<Pi(z), / = 1, 2, где
Ф,-(z) — регулярные в кольце К функции. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть коэффициенты уравнения A) ре-
регулярны или имеют полюс в точке z = °°. Тогда уравнение A)
либо имеет два решения вида
ш1(г) = 2р1ф1(г), w2(z)=z\2(z), B0)
либо два решения вида
где функции cpi(z), фг(г) регулярны в проколотой окрестности
точки z = °°.
Действительно, замена переменной z = l/? приводит уравне-
уравнение A) к виду (9); коэффициенты последнего уравнения либо
регулярны, либо имеют полюс в точке Z, = 0.
3. Регулярные особые точки. Пусть zq — полюс или точка
регулярности коэффициентов уравнения A). Тогда имеются две
возможности:
а) точка z0 является полюсом или точкой регулярности для
обеих функций q>iB), q>2(z), входящих в формулы A3), A4);
б) точка z0 является существенно особой точкой хотя бы для
одной из функций q>i(z), q>2(z).
В случае а) точка za называется регулярной особой точкой
уравнения A), в случае б) — иррегулярной особой точкой урав-
уравнения A). Эти определения распространяются и на точку
Z = оо.
Регулярные особые точки являются наиболее простыми осо-
особыми точками и хорошо исследованы. Структура решений в ок-
окрестности иррегулярной особой точки весьма сложна, и мы не
будем их рассматривать; по этому поводу см. [18].
Замечание 1. Пусть z0 — регулярная особая точка, wt(z) —
решение вида A3). Тогда cpi (z) = (z — 20)тф4B), где пг — целое
число, функция^ ф( (г) регулярна и отлична от нуля в точке z0.
Заменяя pt на pt = pt + m, получаем
(*) = (*— zo)Pl<i>i(z).
Отметим, что Ях = в i.
14*

212 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Поэтому в случае регулярной особой точки можно считать,
что функции <Pi(z), <p2(z) регулярны в точке z0 и что <р( (zo)sfkO,
)
Приведенное выше определение регулярной особой точки но-
носит косвенный характер, так как оно сформулировано в терми-
терминах свойств решений, а не свойств коэффициентов. Покажем, как
по свойствам коэффициентов можно установить, является ли
особая точка уравнейия регулярной или иррегулярной. Будем
для простоты, считать, что особой точкой является точка z = 0.
Лемма. Для того чтобы точка z = 0 была регулярной осо-
особой точкой или точкой регулярности уравнения A), необходимо,
чтобы в точке z = 0:
1) функция p(z) имела полюс первого порядка или была ре-
регулярна,
2) функция q(z) имела полюс не выше второго порядка или
была регулярна.
Доказательство. Ограничимся для простоты случаем,
когда корни уравнения A2) различны. Имеем
^+p(z)?+q(z) = O. B2)
Далее, w1 (z) = zPl<Pi (г), Хг = е"", ф1@)=?ь0 (см. замечание 1).
Подставляя w^{z) в соотношение B2), получаем
Pi (Pi-1) , 2Pi <PJ('> , Ф'(') ,
г2 г Ф;1 (г) + ф1 (г) +
+ ^г) + ^рМ +q®°
Аналогично, решение w2(z) можно представить в виде A3), где
функция <р2 (z) регуларна и отлична от вуля в точке z =» 0, так
что
Pi (Pi-1)!', fri'frW , «Р^г) ,
+ + +
ф< (z) ф! (*)
Функции -^j-, -ф^, / = 1, 2, регулярны в точке z = 0, так
как ф!,ж{0)Ф0. Вычитая равенство B4) из равенства B3), по-
получаем
[pi-p, + za(z)]p(z) = z-1b(z), B5?
где функции a(z), b(z) регулярны в точке z = 0. Так как Я1=^Я2,
то pi^p» и из B5) следует, что функция p(z) либо регулярна
в точке z = 0, либо имеет полюс первого порядка в этой точке.
Но тогда из соотношения B3) следует, что в точке z = 0 функ-

§ 27, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 213
ция q(z) либо регулярна, либо имеет полюс не выше второго
порядка.
Таким образом, если z = 0 является регулярной особой точ-
точкой уравнения A), то это уравнение имеет вид
w' + ~Yw +-^-w = 0, B6)
2 z
где функции a(z), b(z) регулярны в точке z = 0.
Л. Фукс доказал [18], что условие B6) является достаточным,
т. е. справедлива
Теорема 5. Для того чтобы особая точка z = 0 была ре-
регулярной особой точкой уравнения A), необходимо и достаточ-
достаточно, чтобы это уравнение имело вид B6), где функции a(z), b{z)
регулярны в точке z=0.
Следствие 2. Для того чтобы особая точка z = °° была
регулярной особой точкой уравнения A), необходимо и доста-
достаточно, чтобы это уравнение имело вид B6), где функции a(z),
b(z) регулярны в точке z = °°.
Пример 5. Уравнение Эйлера G) имеет две особые точки
О и °°. Обе они являются регулярными особыми точками. Q
Пример 6. Уравнение Бесселя
zzw" + zw' + {zz-vz)w = 0 B7);
(v — постоянная) имеет две особые точки: 0 и °°. Точка z = 0 —
регулярная, точка z = °° — иррегулярная. П
Пример 7. Гипергеометрическое уравнение
2A — z)w" +[f — (a + p + l)z]w' — a$w = 0 (Щ
(а, Р, f — постоянные) имеет три особые точки: 0, 1, °°. Все они
являются регулярными особыми точками. Q
4. Построение решений в окрестности регулярной особой точ-
точки. Рассмотрим уравнение B6), для которого z = 0 является
регулярной особой точкой. В этом случае можно построить ре-
шеиия в явном виде. Будем искать решение в виде ряда
w(z) = zp 2 wnznx B9)
где ш0Ф0, p, wn — неизвестные числа.
В силу теоремы 5 такое решение существует, и ряд B9| схо-
сходится в проколотой окрестности точки z = 0. Имеем
71=0
B) = S (» + Р) (» + Р - 1)
п=0

214 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Разложим коэффициенты a(z), b(z) в ряды Тейлора:
а (*)=. |)а„2п, b(z) = 2bnZn.
П=О П=0
Подставляя в уравнение B9), получаем
zfw0 [р (р - 1) + а„р + Ь,] + 2р+1{и>1 [р(р + 1)+ а„ (р + 1)+ Ь„] +
+ wo {pai + bi)) + ... + zp+n{wn [(p + га) (р + га - 1) +
+ а„ (p + n) + b0] + ... + M?o (pa» + bn) } + ... = 0,
Приравнивая нулю коэффициенты при степенях zp+n, n = 0, 1,
2, ..., получаем рекуррентную систему уравнений:
о/о(р) = 0,
p)-O,
(зо);
"Wo (p + га) + uv-i/i (р + и — 1) +
+ юп-2/2 (р + п - 2) + ... + wofn(p) = О,
где
Так как wa Ф 0, то /0 (р) = 0, т. е.
Ь„ = 0. 'C2J
Это уравнение называется определяющим уравнением. Пусть
Pi, p» — корни определяющего уравнения. Имеются две возмож-
возможности.
1. Разность pi —р2 не является целым числом. Тогда /o(pi +
+ п)?=0, и(р2 + п)Ф0 ни при каком целом га2*1. Полагая p=pi
в уравнениях C0),можно последовательно найти wit w2, ... (ана-
(аналогично при р = рг). В этом случае уравнение B6) имеет два
линейно независимых решения wi(z), wz{z) вида A3).
2. Разность pi — р2 есть целое число. Пусть pt — р2 = т S* 0.
Тогда fo(pi)=-fo(pt+m)=O, но /o(pi + n)!'&O ни при каком це-
целом ra^l. В этом случае существует одно решение Wi(z) вида
A3). Второе линейно независимое решение найдем с помощью
формулы Лиувилля [22]:
z
|>х (г) wa (z) ~1 р(г dz
= Се ° . С = const.

§ 27, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 215
Это соотношение можно переписать в виде
- J p(z)<fc
откуда находим
z
Z "
w2 (z) = Wl (z) J -?-^ dz. C3)
Так как p (z) = —^ = -j- + ox + ..., то
где функция i|)(z) регулярна в точке z = 0. Следовательно,
подынтегральное выражение в C3) имеет вид z ° Jx (z)f где
функция x(z) регулярна и отлична от нуля в точке z = 0. Из
определяющего уравнения C2) следует, что pi + р2 = — До + 1»
н так как piep» + m, то — а„ — 2pt = — (т+ 1). Имеем x(z)^
00
¦=» S Xn2n« откуда
П=0
п=0
Интегрируя C3), получаем
K7j,(z) = Wi (z) (xm In z + z~mA B))',
где функция h (z) регулярна в точке z = 0. Окончательно нахо-
находим, что второе линейно независимое решение уравнения B6J
имеет вид
wa (z) = zl ф2 (z) + »! (z) xm Ь *, C4)
где функция ф2 (z) регулярна в точке z = 0.
Выясним структуру решений некоторых дифференциальных
уравнений в окрестности регулярной особой точки.
Пример 8. Точка z = 0 — регулярная особая точка урав-
уравнения Бесселя B7). Определяющее уравнение C2)] имеет вид
и его корни paBHbi.pli4

216 ГЛ. IV. МНОГОЗНАЧНЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
1. v не является целым числом. Тогда уравнение Бесселя
имеет два линейно независимых решения вида
Wi (iz) = z"<pi B), w2 (z) = z-v<p* B),
где функции <plf 2 (z) регулярны и отличны от нуля в точке 2 = 0.
2. v — целое число; пусть v>0 для определенности. Тогда
уравнение Бесселя имеет решение вида w± (z) = zv<p4 (z), где
функция <pt B) регулярна и отлична от нуля в точке z = 0. Вто-
Второе линейно независимое решение находим по формуле C3J
Пусть v >= 0 или же v не является действительным числом.
Найдем решение уравнения Бесселя. Уравнения C0) принимают
вид (при р = v)
где /о(р) = р2 — v2. Отсюда находим, что k>i = ips =... = win+i =...
w (— l)n
... = 0 и что и>2П = — . Следовательно, функция
4"nl (v + 1) ... (v + п)
является решением уравнения Бесселя. Заметим, что
Решение
= V
(-l)n(z/2Jn+v
п=о r(n + l)r(n + v + D '
которое отличается от решения W\ (z) только числовым множи-
множителем, называется функцией Бесселя. Если v не является целым
числом, то решения /v(z), /_v(z) образуют фундаментальную си-
систему решений уравнения Бесселя. П
Пример 9. Для уравнения Лежандра
A — z2)w" — 2zw' + Kw = О
(X — постоянная) точки z = ±1 являются регулярными особыми
точками. Исследуем структуру решений в окрестности точки z =
= 1. Определяющее уравнение имеет вид р(р —1)+р = 0, от-
откуда pi = р2 в 0. Следовательно, уравнение Лежандра имеет ре-
решение Wi B), регулярное и отличное от нуля точке г =» 1,

§ 27. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА 217
Второе линейно независимое решение найдем по формуле C3).
В данном случае р (z) = z—$ — у In (z2 — 1), так что
1 — г az
U>9.
z
= W, (Z) Г т-з
Подынтегральное выражение в окрестности точки t, = 1 разла-
разлагается в ряд
Интегрируя этот ряд почленно, получаем
w2 (z) = Wl{z) ( i-ln(z- 1) + 2 bn(z - l)n I,
0
откуда w2(z)—tvl(z)ln(z—l) + (p(z), функция cp(z) регулярна в
точке z = l, фA) = 0. Таким образом, решение w2(z) имеет ло-
логарифмическую особенность в точке z = l. []

Глава V
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 28. Теоремы о вычетах
1. Вычет в конечной точке. Пусть функция f(z) регулярна в
проколотой окрестности точки а (а?"х>), т. е. в кольце К: 0<
< \z — а\ < р0. Тогда точка а является для функции либо изоли-
изолированной особой точкой однозначного характера, либо точкой
регулярности, а функция /(z) представляется в кольце К сходя-
щимся рядом Лорана / (z) = 2 сп (z — а)п.
Определение 1. Вычетом функции /(z) в точке а (обо-
(обозначается res / (z)) называется коэффициент с_, ряда Лорана для
/(z) в окрестности точки а, т. е.
res/(z) = c_1. A)
г=а
По формуле G) § 17
где окружность Tfp: |z — а | = р @ < р < р0) ориентирована поло-
положительно. Отсюда получаем
f f (z) dz = 2sii res f(z). B)
Таким образом, если z = a — изолированная особая точка функ-
функции f(z), то интеграл от функции /(z) по границе достаточно
малой окрестности точки а равен вычету в этой точке, умножен-
умноженному на 2ni. Очевидно, res / (z) = 0, если а — точка регулярности
z=a
функции /(z).
Во всех примерах этой главы контур интегрирования ориен*
тирован положительно (если не оговорено противное).

§ 28. ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ 219
Пример 1. Найдем вычет функции el/z в точке 2 = 0. Так
к е1" = 1 ¦
следует, что
как е1/г = 1 + — + 5~г + • • •. то с_! = 1 и res eI/z = 1. Отсюда
j e1/zdz = 2лi res e1/z = 2ni. Q
|l г-»
Пример 2. Пусть /(s) = ^^. Тогда res/(z) = Hr, так как
1 / z8 z5 \ 1
)~7~lZ — ЗГ + 5Г + • ¦• j ис-1 = 5р Отсюда находим
J
sinz
Пример 3. Если/(z) = zcos-3771 то res/(z) = —-j, так как
/(z)=[(z+l)-l][l-2-^2-+...] nV^-f D
2. Вычисление вычета в полюсе z = a {афоа).
1. Случай простого полюса. Если точка а—простой
полюс функции /(z), то ряд Лорана для f(z) в окрестности точ-
точки а имеет вид
/ (z) = в„1 (z - а) + 2 сп B - а)п,
откуда находим с-1 = lim (z — а) / (z), и поэтому
z-»a
res / B) = lim (z-a)f (z). C)
z-*a
В частности, если f(z)=q>(z)/ty(z), где <p(z) и i()(z) —регу-
—регулярные в точке а функции, причем ф(а)'И=0, if(a) = O, \(/(а)=?0,
то точка а является простым полюсом функции /(z), и по фор-
формуле C) находим res / (z) = lim ~ f I T =
2. Случай кратного полюса. Если точка о —полюс
порядка т для функции /(z), то ряд Лорана в окрестности точ-
точки а имеет вид
tiz) = (/3"г + ¦ • • + fEh + со + ct(z- a) + ... E)

220 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Умножая обе части E) на (z — a)m, получаем
(z - a)nf(z) = c_m + ... + c_tB - aI" + c0 (z - a)m +... FJ
Дифференцируя равенство F) m — 1 раз и переходя к пре-
пределу при z-+a, находим (т — 1I с_х = lim - [(z — a)m/ (z)]t
г-* a dz
откуда получаем формулу для вычисления вычета в полюсе т-то
порядка:
В частности, если f(z) = h(z)/(z — a)m, где функция h(z) ре-
регулярна в точке a, h(a)?=0, то из G) вытекает следующая
формула:
Пример 4. Рассмотрим функцию / (г) =
(,-1)A_2)"
имеющую полюс первого порядка в точке z = 1 и полюс второго
порядка в точке z = 2. По формуле C) имеем
1
по формуле (8) получаем res/(z) = (—37) — — 1- П
г=2 \z a/z=2
ТТ г тт X. a COS Z lit
Пример 5. Для функции ctg2 = -r точки z = KJt (к —
целое) являются простыми полюсами, и по формуле D) находим
. г cos j 1 •
res ctgz = U-т—y\ =1.
г—kn l\Blaz) Jz=ftn
Отсюда, в частности, следует, что главная часть ряда Лорана
для функции ctgz в окрестности точки кл равна 1/(г — &я)\ D
3. Вычет в бесконечно удаленной точке. Пусть функция f(zj
регулярна в области р0 < Ы < °°, т. е. в проколотой окрестно-
окрестности точки z = oo. Тогда точка z = °° является для функции f(z)
либо изолированной особой точкой однозначного характера, либо
точкой регулярности, а функция f(z) представляется в области
Ро < Ы < °° сходящимся рядом Лорана
00
,,,_ V п_
у \Z\ — ^\ Cf\,Z —
п=—оо п=о *
Определение 2. Вычетом функции f(z) в точке z = °°
(обозначается res / (z)) называется число — с_,, где c-t — коэф-
z=oo
фициент при 1/z ряда Лорана для функции /(z) в окрестности

§ 28. ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ 221
бесконечно удаленной точки, т. е.
res/(«)=-!;_!. A0)
zoo
z=oo
1 С
По формуле G) § 17 с~г = ^п J f{z)dz, где окружность \z\ —
. . Ы=р
= р (р > ро) ориентирована против часовой стрелки. Отсюда в
силу A0) находим
2=0°
f(z), A1)
где Yp — окружность Ы =р, ориентированная по часовой стрелке.
Замечание 1. Формулы B) и A1) можно объединить в
одну. В самом деле, если функция /(z) регулярна в проколотой
окрестности U конечной или бесконечно удаленной точки а, то
интеграл от f(z) по границе Yp этой окрестности равен вычету в
точке а, умноженному на 2я? (при обходе ^р окрестность U в
формулах B) и A1) остается слева).
Пусть точка z = °° является нулем порядка к функции /(zj.
Тогда в окрестности бесконечно удаленной точки функция /(zj
представляется рядом Лорана / (z) = —j- + •— "t1 + .. ., где
z * z
c-k Ф 0, и при г -> оо имеет место асимптотическая формула
Если &= 1, то res / B) = — сг = — Л, а если /с ^ 2, то res /(z)=0.
2=00 z—00
Таким образом,
/(z)~4B->°°) =>гев/(в) = -Л, A2)
" 2=0О
/(z) — 4(z->oo, A>2)=^pes/(z) = 0. A3)
z г=оо
Пример 6. Для функции ег1* = 1 + — Н——g- + ... коэф-
коэффициент с-4 = 1 и, следовательно, res е = — 1. Заметим, что эта
Z=oo
функция регулярна в точке z == °°, тем не менее вычет в этой
точке не равен нулю. []
Пример 7. Для функции /(z) = j-r-^cos— точка г = <»
является нулем первого порядка: /(z)~l/z (z-»-°°). По формуле
A2) находим, что res/(z) = —I. (j

222 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Z . 1
Пример 8. Для функции / (z) = -^ sin — точка z
г + 1 z
z
+
является нулем третьего порядка: f(z)~ 1/z3 (z->-°°). По фор-
формуле A3) получаем res / (z) = 0. П
Пример 9. Пусть /(z) — регулярная ветвь аналитической
функции L ¦ J в плоскости с разрезом [—1, 1], принимаю-
принимающая значение 1 в точке z = 0 верхнего берега разреза (при-
(пример 17 § 24). Тогда ряд Лорана для /(z) в окрестности точки
г = оо имеет вид / (z) = е~гая[ 1 - + ...], откуда получаем
4. Основная теорема теории вычетов.
Теорема 1 (основная теорема теории выче-
вычетов). Пусть функция f(z) регулярна в односвязной области D,
8а исключением конечного числа особых точек z4, z2, ..., zn, и
пусть y — простая замкнутая кривая, лежащая в области D и
содержащая внутри себя точки zit z2, ..., zn. Тогда
\ / (г) dz = 1m 2 res / (z), A4)
у ftl
кривая у ориентирована положительно.
Доказательство. Пусть Yfc (k=l, 2, ..., n)—окруж-
n)—окружность достаточно малого радиуса с центром в точке zk, ориенти-
ориентированная против часовой стрелки. В силу следствия 2 § 9 имеем
\f(z)dz= 2.f f(*)dz,
откуда, используя B), получаем формулу A4).
Следствие. Пусть функция f(z) регулярна во всей расши-
расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного числа
особых точек. Тогда сумма всех вычетов функции f(z), включая
вычет в точке z — <», равна нулю, т. е.
res/(z) + res/(z) = O. A5)
X
Здесь zh (k = l, 2, ..., п)— все конечные особые точки
функции f(z), а точка z = °o является либо особой точкой, либо
точкой регулярности функции f(z).
Доказательство. Пусть f — ориентированная в положи-
положительном направлении окружность \z\=R, где R выбрано так,

§ 28. ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ 223
что все точки zh (к = 1, 2, ..., п) лежат внутри f. По теореме 1
\f{z)dz=2ni 2 res /(«). A6)
С другой стороны, из формулы A1) следует, что
.) / (z) dz = — 2ju res / B). A7)
У 2=00
Из равенств A6) и A7) вытекает формула A5).
Обобщением теоремы 1 является следующая
Теорема 2. Пусть функция f(z) регулярна в области D
расширенной комплексной плоскости, за исключением конечного
числа особых точек, и непрерывна вплоть до границы Г этой об-
области. Пусть Г состоит из конечного числа ограниченных кусоч-
кусочно гладких кривых. Тогда
а) если область D не содержит точку г = °°, то
\ f(z)dz= 2ni 2 res/(z); A8)
г ь=1 г=ч
б) если точка z = 00 принадлежит области D, то
f / («) dz = 2m ( 2 res / B) + res /(«)). A9)
Здесь Zi, z2, ..., zn — все конечные особые точки функции f{z),
лежащие в области D.
Доказательство, а) Пусть D — ограниченная область.
Рассмотрим многосвязную область D, полученную из области D
выбрасыванием кругов К) достаточно малого радиуса с цент-
центрами в точках z} (] = 1, 2, ..., п)^ В силу теоремы 4 § 9 инте-
интеграл от /(г) по границе Г области D равен нулю, т. е.
/(z)dz = J f(z)dz + 2 J/B)dz = 0, B0)
Г '=! Vj
где граница ^ круга Щ ориентирована по часовой стрелке. Так
как
\ f (z) dz = — 2я i res / B)
У) z=zi
(формула B)), то из B0) вытекает формула A8).
б) Пусть К — круг \z\<R, содержащий внутри себя гра-
границу области D и все конечные особые точки функции /(z)
[(рис. 68). Рассмотрим область &, полученную из области G =»
«= D П К выбрасыванием кругов К}, указанных выше. Граница Г
f

224
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
области & состоит из границы Г области D, окружностей
окружности 1(я: \z\ =R. Имеем
B1)
где кривая Y.* ориентирована положительно. Так как
j f(z)dz = — 2nt res f(z),
yR *=<*>
то из равенства B1) следует формула A9). Теорема доказана.
Теорема о вычетах является одной из самых важных теорем
теории функций комплексного
переменного. С помощью этой
теоремы можно эффективно вы-
вычислять многие определенные
интегралы.
5. Вычисление интегралов по
замкнутому контуру. Рассмотрим
несколько примеров на вычисле-
вычисление интегралов по замкнутому
контуру с помощью вычетов. Во
всех этих примерах обход кон-
контура интегрирования Y. соверша-
совершается в положительном направле-
направлении (при обходе кривой ^ ее
внутренность остается слева).
Пример 10. Пусть /(z) = (cosz)hi. Тогда по формуле A4)
i = 2ni res f(z).
Так как в круге Ы < 2 функция f(z) имеет одну особую точку
г = 0 (полюс) и /(*) = -}-— ^- + 1-Z+ ..., то гад/(г) = с_х =
= — 1/2. Следовательно, \ —~- dz = — лi. П
J z
|Z|=2
Пример 11. Пусть /(z)=l/(e'+l). Тогда /= j f(z)dz =
= 2ni res f{z), так как функция f(z) имеет внутри круга
2=ni
|г — 2?| <2 одну особую точку, а именно, полюс первого порядка
г = л?. По формуле D) находим
res/(*) = -—l-t =-1
z=ni (ez + l)z-nt
и, следовательно, / = —2ici. Q
Рис еа

§ 28. ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ 223
—^~, то / = )
1 11
Пример 12. Если f(z) = Bz — l)cos—^~, то / = ) f(z)dz=
1 1*1=2
= 2itires/(z), так как функция /(z) регулярна в круге Ы < 2,
кроме точки 2=1, которая является существенно особой. Имееи
COS ~= COS (i + j COSlCOSSittlSUl
2z-l = 2(z),
откуда находим коэффициент c_j при (z —l) ряда Лорана для
функции /(«):
c_j = — (cos 1 + sin 1).
Следовательно, / = — 2ni(cos 1 + sin 1). []
Л 'е1/(г-1)
Пример 13. Вычислим интеграл / = \ z _ ^- dz.
N=4
Способ 1. Функция /B)=j^72#el/(Z~li имеет в круге Izl <
< 4 две особые точки: z = 1 и z = 2. Следовательно,
/ = 2ni (res / (z) + res / (z)).
Z=l 2=2
Так как
то res / (z) = — ^У^ —: = 1 — e. Далее,
z=l
71=1
Таким образом, / = 2ni. П
Способ 2. / = —2ni res /(z). Точка z = °° является для /(z)
г=оо
нулем первого порядка:
По формуле A2) получаем res/(z) = — 1 и, следовательно, /=
Q
Пример 14. Пусть P(z)= zn + aizn~i +... + an-1z +ал —
многочлен степени п>2 ж пусть f — окружность, внутри кото-
15 Ю. В. Сидоров и др.

226 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
рой лежат все нули этого многочлена. Покажем, что функция
™(я) = т§ш<* B2)
7
удовлетворяет уравнению
Р ЦА w B) = w(n) B) + азУ-1' (z)+ ... + ап-гш' (z) + anw B) = О
B3)
и следующим начальным условиям:
u;@) = 0, w'@)=0, ..., м;'"'@) = 0, м;("-"@)= 1. B4)
Из B2) находим ^(ft) (z) ¦= 2яг j ¦pTfT ^S и, следовательно,
v
Формула B3) доказана.
Проверим выполнение условий B4). Имеем
B5>
Если к<п, то функция ?YP(?) имеет в точке ? = °° нуль по-
порядка ге — /с и, следовательно, при /с <; п — 2 получаем
rest,h/P(Q = 0.Таким образом, u;(A)@)=0 при А; = 0, 1, ...
..., « — 2. Пусть к = п— 1; тогда ?П-1ЛР(?)~ 1/? (?-*¦ °°), так что
ree(?"~V^(S)) = -1 и из B5) следует, что м;("-1)@)= 1. [j
6. Интегралы от многозначных функций. Рассмотрим не-
несколько примеров на вычисление интегралов от регулярных вет-
ветвей многозначных аналитических функций. В примерах 15—18
нужно вычислить интегралы от всех ветвей многозначных ана-
аналитических функций, стоящих под знаком интеграла.
Пример 15. Вычислим интеграл j J31 ^2* Функция
_ |z-l 1=1/2
Уг распадается в круге К: \z— ll <V2 на две регулярные ветви
gi(z) и ^(zK3— gi(z) и, следовательно, подынтегральная функ-
функция распадается на две регулярные ветви /iB) = ^!B)/(z —1)
и 1г{%) = gi(z)J{z — 1). Пусть gi{z) — та ветвь корня, для которой
gi(l)=l; тогда g2(i)——l. Каждая из функций Д(г), fz(z) ре-
регулярна в круге К, кроме точки z — 1, которая является их

§ 28. ТЕОРЕМЫ О ВЫЧЕТАХ 227
простым полюсом. По теореме о вычетах
f A (z) dz = 2яг res Д (z) = 2я^х A) = 2лг.
|z—11=1/2 *=!
Аналогично, J f2(z)dz = — 2л i. []
|z -11=1/2
Пример 16. Вычислим интеграл \ —, - . Подынте-
wi,«v«"-i
гральная функция распадается в области \г\ >2 на две регуляр-
регулярные ветви: /t(z) и /2(z).
Пусть fi (z) — та ветвь, которая удовлетворяет условию
z2fi(z)-*-l (z->-°°). Тогда для другой ветви /2(z) выполняется
условие zzf2(z)-*- — 1 (z-*-°°). Так как для функций /i(z) и /2(z)
точка z = °° является нулем второго порядка, то
ft(z)dz= J ft(z)dz = O. П
|г|=2 |г|=2
Пример 17. Вычислим интеграл :—^—г dz. Функ-
1г+1|=1/2
ция In2 распадается в круге Ко: |z+l|<l/2 на бесконечное
число регулярных ветвей ^(г), определяемых условием g*(--l)='
z2 -4- 1
1. Обозначим /fe(z)= - (гГ лг'- Так как ^л(г)=г&Я1
в круге Яо, если й^О, то при k?*0 каждая из функций fh(z)
регулярна и, следовательно,
f fk
(/
Для ветви /0 (z) точка z = — 1 является полюсом первого по-
рядка. Поэтому jw /0 (z) = [ ^ + ^, ^ = щ^^ = - 2 и
j /0 (z) dz = 2я j res /0 (z) = — 4ni. []
1|=1/2 г=-г
Пример 18. Пусть /(г)—та ветвь аналитической функции
( — г) в плоскости с разрезом [0, 1], которая принимает
.положительные значения на верхнем берегу этого разреза. Вы-
Вычислим интеграл J f(z)dz. Так как функция /(z) регулярна
1*1=2
в области |z| >2, то J f(z)dz = —2ni res/(z). Воспользуемся
1*1—2 *=°°
полученным в § 24 (пример 18) разложением /(z) в ряд Лорана
15*

228 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
в окрестности точки z = °°:
п-иэ (- 1) V =
71=0
Отсюда находим res / (z) = — -5- е1Я/3. Следовательно,
(z) = 2-^eiIt/3. Q
\
Г
§ 29. Вычисление определенных интегралов
с помощью вычетов
Теоремы о вычетах позволяют сводить вычисление интегра-
интегралов от комплексных функций по замкнутому контуру к нахо-
нахождению вычетов подынтегральной функции внутри контура. Тем
же способом могут быть вычислены и многие определенные ин-
интегралы от функций действительного переменного. Во многих
случаях удается достаточно просто находить с помощью вычетов
определенные интегралы в случаях, когда применение методов
математического анализа оказывается не эффективным. В част-
частности, если все особые точки подынтегральной функции, лежа-
лежащие внутри контура интегрирования, являются полюсами, то
вычисление вычетов в этих точках сводится к вычислению про-
производных. Следовательно, в этом случае вычисление интеграла
сводится к нахождению производных.
2Л
1. Интегралы вида / = J Л (cos <p, sin cp) d(p. К интегралам по
о
замкнутому контуру сводятся интегралы вида
2Л
I = \ R (cos ф, sin ф) йф, A)
о
где R(u, v) — рациональная функция от и, v. Пусть z = е'ф.
Тогда
\ { 1 \ l
(j C0S(P= 2
При изменении ф от 0 до 2я переменная z пробегает окруж-
окружность |zl=l в положительном направлении. Интеграл A)
сводится к интегралу по замкнутому контуру / = ] Лг (z) dz,
1*1=1
где Rx(z) = — - R i (z + T > T-\z — -)\— рациональная функ-

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 229
ция от 2. По теореме о вычетах
п
I = 2ni 2 res Дх (z),
h=l
где Zi, 22, ..., zn— все полюсы рациональной функции Ri(z),
лежащие в круге \z\ < 1.
Пример 1. Делая в интеграле
/=
1 — 2a ces ф + a2
о
замену переменной z = е'ф, получаем
Уравнение az2 — (a2 + 1) z + a = О имеет корни zt = a, 22 = I/a.
Так как la! < 1, то в круге Izi < 1 лежит лишь точка zi — a—>
полюс первого порядка подынтегральной функции /(z). По фор-
формуле D) § 27 находим
res / (z) =
-V + 0U, «2-1'
и следовательно,/ = 2я/A— а2). [] у
2. Интегралы от рациональных
функций. Рассмотрим интеграл
-/? — О
/ = J Д (ж) <**, B) Рис 69
—оо
где R (х) — рациональная функция. Предполагается, что интеграл
B) сходится.
К интегралу B) нельзя непосредственно применить теорему
о вычетах, так как контур интегрирования — бесконечная не-
незамкнутая кривая. Чтобы воспользоваться теоремой о вычетах,
введем вспомогательный замкнутый контур Гв (рис. 69), состоя-
состоящий из отрезка [-R, R] и полуокружности Сн (Ul ==R, 0<
^ arg 2 <1 л), и рассмотрим интеграл
I
R (z) dz.
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть функция f(z) регулярна в области Imz>
> 0, га исключением конечного числа особых точек, и непре-

230 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
рывна вплоть до границы этой области. Если интеграл
оо
j f(x)dx C)
— оо
сходится и
lim f f(z)dz = O, D)
где Сн — полуокружность \z\ — R, Imz ^ 0, то
оо
f f(x)dx= 2ni 2 res/(z). 'E)
Imzj>0J=!j
В формуле E) вычеты берутся по всем особым точкам функ-
функции /(z), лежащим в верхней полуплоскости.
Доказательство. Рассмотрим контур Гл (рис. 69) и вы-
выберем R столь большим, чтобы все особые точки функции /(z),
лежащие в верхней полуплоскости, находились внутри Гя. По
теореме о вычетах
я
[ f(z)dz= [ f(x)dx+ f f(z)dz=2ni 2 res/B).
гв -д cR imzk>oz=zh
Перейдем в этом равенстве к пределу при R -*¦ °°. В силу схо-
сходимости интеграла C) существует
Я оо
Ига f f(x)dx= \ f{x)dx.
й-*°о -R -00
Кроме того, J f(z)dz^-0 при R-+°° в силу условия D). Фор-
Сд
мула E) доказана.
Обратимся теперь к интегралу B). Пусть R(z) — Pn(z)/
/Qm[z), где Pn(z) и Qm(z) — многочлены степени п и m соответ-
соответственно. Из сходимости интеграла B) вытекает, что к = т — п^
5s 2 и функция -ff(z) не имеет полюсов на действительной оси.
Следовательно,
R (z) ~ Л/Д z -> оо, /с > 2 — целое,
так что \R(z) I ^ e|zl~2 при достаточно больпшх |zl. Тогда на
полуокружности Св выполняется неравенство li?(z) I <i cff~2 и,
следовательно,
R (z) dz
or

§ 29, ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 231
Тем самым доказано, что условие D) выполнено и в силу
леммы 1
оо
f R(x)dx = 2ni 2 res Л (г). F)
-оо lmzh>oz=zh
Здесь вычеты берутся по всем полюсам функции R(z), лежа-
лежащим в верхней полуплоскости.
Аналогично доказывается формула
R (x) dx = — 2ni 2 res R (z).
Пример 2. Вычислим интеграл /= I „ —^. Так как
J (ж +1/
— 00
1 1
функция Л (z) = 4 = : ~г—rzj имеет в верхней полу-
плоскости единственный полюс четвертого порядка в точке z = i,
то по формуле (8) § 28 находим
res R (z) = -57 т = — -QQ-, у
и в силу F) / = 2nires Л(г) =
= 5я/16. D
Пример 3. Вычислим интеграл _
Г » ~*~ R х
1= \ —, где п > 1 — натураль- Рис. 70
о
ное число.
Уравнение z2n + 1 = 0 имеет следующие корни: zh = егB"+1)я/2п,
к = 0, 1, ..., 2/г—1. Воспользуемся следующим свойством под-
интегральной функции: Л(е'я/Пг) = R{z). Возьмем в качестве
контура интегрирования кривую Гн (рис. 70), состоящую из
отрезка [О, Л], дуги окружности CR: z = Ле'ф, 0 ^ ф < л/п и от-
отрезка I: г = ге**/п, О^г^Л. По теореме о вычетах
я
[ R (z) dz = j Л (х) dx+ [ R(z)dz+ j" Л (г) dz = 2ni res Я (г), G)
Гя о ся j z=zo
так как внутри Гн функия Л (г) имеет только один полюс г0 =
_ егя/Bп)_ рычет в точке Zo равен
1 2
res Л (г) =
2п

232 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Далее, интеграл по отрезку I сводится к интегралу по от-
отрезку [О, R];
я
dr
j R (z) dz = - j R (reinln) emlndr = - ein/" J-
! 0 0
Оценим интеграл по CR. Так как \R(z) 1 ~ l/|z|2n (z-*-°°), то
Переходя в равенстве G) к пределу при Д-*-°°, получаем
2n sin j—
оо
3. Интегралы вида /= J eaxR(x)dx. Здесь R(x)—рациональ-
—оо
пая функцвя. Интеграл
00
/= j e**R{x)dx (8)
— 00
есть преобразование Фурье функции R(x). При вычислении ин-
интегралов (8) используется
Лемма 2 (Жордана). Пусть a>0 и выполнены следую-
следующие условия:
1) функция g(z) непрерывна в области 1гцz>0, |z| 1^R0>0;
2) M(R) = m&x\g(z)\->0 при R-^oo, (9)
гЗе Ся — полуокружность \z\ = R, Imz 5= 0.
ГогЗа
lim ("?r(z)eiezdz = O. A0)
Доказательство. Пусть z^ Св, R>Ro. Тогда z = Ле*",
О ^ ф < л, dz = iRe^dq,
jgiajj __ | gja(B cos (p+iB sin ф) | __ g-aB sin (f A1V
Так как a>0, то |eiazl<l (z^CR). Однако этой оценки не-
недостаточно для доказательства соотношения A0). Чтобы полу-
получить более точную оценку для \eiaz\ на Св, воспользуемся не-
неравенством
| |, A2)

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 233
справедливым в силу выпуклости функции sin <p на отрезке
[О, я/2].
Оценим интеграл /х = J erazg(z)dz. Используя A1), получаем
Я Я/2
IIt|<max|g(z)| f e-«*sin("Д dcp = 2ДЛГ(Д) [ e"e*sinФЙФ,
откуда в силу A2) находим
я/2 а
/ а а
Г -2Я-Ф / П\ - Н-
J е " dq> = ДГ (Л) ^— jj-j e "
Я/2
Из этой оценки и (9) вытекает A0). Лемма Жордана доказана.
Обратимся теперь к интегралу (8). Этот интеграл сходится
в том и только в том случае, когда на действительной оси нет
полюсов функции R{z) и, кроме того, i?(x)~-^-(ж->- с»), k>i.
Следовательно, условие (9) выполняется, и в силу леммы
Жордана
j eiezi? (z) dz-*-0 (R ->- oo, a> 0).
По формуле E) имеем
oo
f eiaxR [x) dx = 2ni 2 res(eiazi?(z)). A3)
Замечание 1. Если a<0, то, заменив контур Гл (рис.69)
на контур, симметричный с Гл относительно действительной оси,
получаем формулу
00
f R (x) eiaxdx = - 2яг 2 res [ Д (г) еш].
—oo Imzft<o *=2ft
Замечание 2. Если функция R(x) действительна при
действительных х и а>0, то, отделяя в формуле A3) дейст-
действительную и мнимую части, получаем
[ R {x) cos ax dx = - 2л Im Г 2 res {eiazR (z))l
f R{x)sva.<xxdx = 2n'Re\ 2 res(e^R(*))].
-oo [1тгй>ог1=гй J
A4)

234
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Нет необходимости запоминать формулы A4). Гораздо важнее
усвоить те приемы, с помощью которых получаются эти фор-
формулы.
Пример 4. Вычислим интеграл
J *2-
— 1) cos 5ж
dx.
По формуле A4) имеем
I = - 2я Im Г res (е1ъг -у-^ VI,
U=i+2i\ г2 —2z+5/J
так как подынтегральная функция f(z) имеет в верхней полу-
полуплоскости единственный полюс
(первого порядка). По фор-
формуле D) § 28 находим
res / (z) =
z=l+2i
-J?
-p О р
Рис- 71
Я x
Отсюда
—s— (cos 5 + * sin 5),
-ne-I0sin5. []
со
Пример 5. Вычислим интеграл/= \ ^—^-dx. Пусть Гр,л —
о
контур, изображенный на рис. 71. Рассмотрим интеграл /р,я =
С eiz
= \ — dz. Этот интеграл равен нулю, так как функция e'Vz
LP.H
регулярна внутри контура Гр, в. С другой стороны, он равен сум-
сумме интегралов, взятых по Ср, CR и отрезкам [-R, —р], [р, R].
Имеем
где h (z) — функция, регулярная в точке z = 0. Если z e Ср, то
z = ре*ф, 0 ^ ф < п, dz = гре^йф и
и
о
\ jdz= i\d(f>= — in.

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 235
Функция h(z) ограничена в окрестности точки z = 0 и, сле-
следовательно, J h(z)dz->0 при р-»¦ 0. Отсюда получаем
ср „ .
Г eiz
\ —dz-*—in при р->0.
ср Z
Интеграл по CR стремится к нулю при R -*¦ °° (лемма Жор-
дана). Далее, сумма интегралов по отрезкам [—R, — р] и [р, R]
равна
-р я в я
С eix Г eix С eix e~ix С sin x
\ — dx + \ — dx = \ dx = 2i\ dx.
J Я ^J Ж J X J X
-Я p p p
Следовательно,
О = /PiH = 2tjj$^-dx-in + г, (р) + e2 (Д), A5)
p
где 6i(p)-»-0 (p-*0), Zz(R)-+O (Д-*¦<»). Так как интеграл /
сходится, то существует
я
lim
р->оо
Н-»ооР
Переходя в A5) к пределу при р -*¦ 0, R->°o, получаем 2г/ —
— in = 0, откуда / = я/2. []
Пример 6. Вычислим интеграл
COS <М — COS 8ж
i —
- Г COS <М — COS 8ж ,
= i — dx
Рассмотрим интеграл 1р,н= \ 1 dz, где ГР|Н — кон-
гР,я
ТУР> указанный на рис. 71. Этот интеграл равен нулю в силу
теоремы Коши. С другой стороны, он равен сумме интегралов,
взятых по Ср, CR, [-R, — р], [р, Л]. Для подынтегральной функ-
функции f(z) = (eiaz — eifiz)/z2 точка z — 0 является простым полюсом
и res/(z)=i(a — р"). Как и в примере 5, можно показать,
«=о
что интеграл по Ср стремится к я (а — ^) при р -*¦ 0, а интеграл
но CR стремится к нулю при R -*¦ °°. Далее, сумма интегралов
по отрезкам равна

236 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Переходя в равенстве
я
о f cos as — cos 6s , , оч , , . ,,,, .-.
2J ^ z-dx + n(a — 0) + ех (р) + е2 (Л) = О
р
(е4 ->• 0 при р -*¦ 0; е2 ->- 0 при i? -*¦ <»)
к пределу при р -*¦ 0, Я -»¦«>, получаем 2/ + зх (а — р) = 0, откуда
/=f(P-a). D
Пример 7. Вычислим интегралы Френеля
СО 00
1г = J cos ж2 dx, /2 = j sin ж2 йж.
о о
Рассмотрим контур Гн, указанный на рис. 70 (п = 4). Так как
функция eiz регулярна внутри Гв, то
R
\ eiz*dz = J e^dx + j eiz*dz + J eiz*dz = 0. A6)
гя о cR i
Оценим интеграл j eiz dz. При z^CR имеем z=Rei<f, 0 < <p < jt/4,
так что |efa2| = e~R 81П2ф^е~DК/я^ф в силу неравенства sin2<p>
^ 4ф/зх @ < ф < л/4). Следовательно,
Я/4
л j е-<4яа/я)^Ф = ? A - е~я2) -> о (л -> оо).
о
, 2 2
Далее, если z^l, то z = rein/4, так что е2 = е~г . Поэтому
о
Из курса математического анализа [9] известно, что
о
Переходя в равенстве A6) к пределу при R -»¦ °°, получаем
A7)

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 237
Отделяя в равенстве A7) действительные и мнимые части, на-
находим искомые интегралы:
ОО 00
I cos xr dx— sin xr dx = y , . [J
о о
oo
4. Интегралы вида / = J xa~1R (x) dx. Рассмотрим интегралы
о
вида
оо
I=$x*-lR(x)dx. A8)
о
Здесь а — нецелое*) действительное число, R{x) — рациональ-
рациональная функция. Интеграл A8) есть преобразование Меллина функ-
функции R(x). Это преобразование применяется в математической
физике и в аналитической теории чисел.
Интеграл A8) сходится в том и только в том случае, когда
функция R(z) не имеет полюсов на полуоси @, +ooj и
lim | z \aR (z) = 0, lim | z \aR (z) = 0. A9)
Z-*0 2-»oo
Можно считать, что точка z = 0 не является ни нулем, ни полю-
полюсом функции R{z).
При таком предположении относительно поведения R(z) в
нуле первое из условий A9) имеет место в том и только в том
случае, когда а>0. Обратимся ко второму из условий A9). За-
Заметим, что для функции R (z) справедлива асимптотическая
формула
R (z) ~ A/zK (z -* оо, А Ф 0, к — целое), B0)
и, следовательно, второе условие A9) выполняется тогда и толь-
только тогда, когда к — а>0. Таким образом, интеграл A8), где
R(z)—рациональная функция, не имеющая полюсов на дей-
действительной полуоси [0, +°°) и такая, что R@)Ф0, сходится
тогда и только тогда, когда 0 < а < /с, где к определяется из
асимптотической формулы B0). Из этих условий следует, что
R (z) -*- 0 при z ->- оо.
Чтобы воспользоваться теорией вычетов при вычислении ин-
интеграла A8), продолжим аналитически подынтегральную функ-
'цию в комплексную плоскость. Пусть D — плоскость с разрезом
[О, +оо). Выделим в области D регулярную ветвь h(z) функции
za~*, положительную на верхнем берегу разреза; обозначим эту
ветвь символом za~l, так что A(z) = za~*.
*) Метод вычисления интеграла B7) при целом а изложен в п. в.

238
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
В области D имеем г = гегф, где r=|z|, qp = argz, 0<<р<2д
и, следовательно,
h (z) = za~l = (re*")* = |*-»е«(—»)•, 0 < <p < 2n.
На верхнем берегу разреза ф = 0, так что
Если же точка z лежит на нижнем берегу разреза, т. е. z
= х=х-Ю (ж>0), то ф = 2я и А(ж-гО) = й(Ж) = ха-1е<2'1(а-
или
Обозначим
(x) = k(x)ei2"a, k(x)>0 (x>0).
= h(z)R(z) = za-lR{z). Тогда f(x) = h(x)R(x) и
/(*)¦
"/(*).
B1)
Покажем, что для интеграла A8) имеет место формула
т 2ni
1
B2)
где сумма берется по всем полюсам функции i?(z).
Рассмотрим контур Гр R (рис. 72), состоящий из окружностей
Ср: Izl =p, CB: |zl==i? и от-
отрезков [р, i?], [Л, р], лежащих
соответственно на верхнем
и нижнем берегах разреза.
Пусть R > 0 настолько ве-
велико, а р > 0 настолько
мало, что внутри контура
ГРв лежат все полюсы функ-
функции R(z). По теореме о вы-
вы^
х четах
Р.н= J f(z)dz =
lP,R
, B3)
Рис. 72
где сумма берется по всем
полюсам функции R(z).
С другой стороны, интеграл /Р|В представляется в виде сум-
суммы четырех интегралов
я р
/Р.н = J / (ж) ds + j / (я) dx+l f (z) d« + f / (z) dz. B4)
Покажем, что интегралы по Ср и Св стремятся к нулю при
р -*- 0 и R ->- оо. Это утверждение вытекает из следующей леммы:

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 239
Лемма 3. Пусть М (р) = max |/(z) |, где Ср — окружность
jzl =р. Если р.Щр)->-0 при р -> 0 и RM(R)-+O при R -*¦ °°, то
Доказательство. Эти соотношения вытекают из следую-
следующей оценки интеграла:
f(z)dz
I
Для интегралов по Ср и CR в B4) условия леммы 3 выполне-
выполнены. Действительно,
М (р) = max | za~1R (z) | = р" max \R (z) |,
и из A9) следует, что ра max | R (z) | ->0 при р-> 0 и поэтому
p
рД/(р)->-0 при р-> 0. Аналогично доказывается, что
при R -> оо.
Переходя в равенстве B3) к пределу при р -> 0, i? -*¦ °° и
используя соотношение B1), получаем
/ _ ейя«/ = 2ni 2 res (z"-1^ (г)),
откуда вытекает формула B2).
Пример 8. Вычислим интеграл
Здесь i?(z)=l/(z + l), !z|«|i?(z)| -l/lzl1-»-^ при z -> «,
так как а<1. Далее, [z[a[i?(z) I ~ |z)a->0 при z ->¦ 0, так как
а > 0. Таким образом, условия A9) выполнены, и по формуле
B2) получаем
2
где /(z) = za~1/(z + 1). Далее, res /(z) = z"-1 |z=_! = ei(a~1)jI, так
z=—1
как ф = (argz)z=_x = п. Итак, res /(z) = — eian, откуда находим
z=—I
/ = . " . П B6)
sin ait I—I > '

240 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Замечание 3. Рассмотрим интеграл B5) как функцию от
параметра а: 7 =/(а). Этот интеграл сходится равномерно при
е<а<1 — е, где е>0, так что функция /(ос) непрерывна при
0 < а < 1 и имеет место формула B6). Правая часть формулы
B6) регулярна во всей комплексной плоскости а с выколотыми
точками 0, ±1, ±2, ... Следовательно, формула B6) дает ана-
аналитическое продолжение интеграла B5) с интервала @, 1) в
комплексную плоскость а с выколотыми точками 0, ±1, ±2, ...
Пример 9. Вычислим интеграл
1 = /. . ач, dx, О < a < 4.
о
Здесь R (z) =' * , |z|aLR(z)|~l/UI4-a-v0 при z->~, так
как а<4; Ыа|Д(г)|~ |г|а-»-0 при z-^О, так как а>0. Усло-
Условия A9) выполнены, и по формуле B2) получаем
где /(z) = za-lR(z). Функция R(z) имеет полюсы второго порядка
в точках i и —L По формуле (8) § 28 находим
res/(z)='
гJ Jz-t
Напомним формулу для производной степенной функции (§ 22):
(zp)' = fyz^/z. Используя эту формулу, получаем
res / (z) = {*«-i (г + г) [-^ - 2 (z
где (га~')г=* = е'<а~1)я/2. Следовательно,
res / (z) =
Аналогично находим
res/(z) = г (и ~ 2)
гes> / (z; —
г=—i
Окончательно получаем
, 2пг а, — 2
2 - « е{("/2^ + ,-«<"/»)« ^ я B-a) cos
2 2 2sinan
г я B —а) г-,
или / = . . .—^г-, П
4 sin (cwi/2) U

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
241
1
Ях \а
t _ ж ) ^ (ж) dx.
Рассмотрим интегралы типа бета-функции
1
„
Здесь а — действительное нецелое*) число, R(х) — рациональная
функция. Будем предполагать, что функция R{z) не имеет по-
полюсов на отрезке [0, 1] и вы-
полняется условие — 1<сс<
< 1. Тогда интеграл B7)
сходится.
Заметим, что интеграл
B7) заменой х/A — х) = у
сводится к интегралу вида
A8). Однако во многих рио. 73
случаях более удобно непо-
непосредственно применить теорию вычетов для вычисления ин-
интеграла B7). Для применения теории вычетов продолжим ана-
аналитически подынтегральную функцию в комплексную плоскость.
Пусть D — плоскость z с разрезом по отрезку [0, 1] (рис.73).
Выделим в этой области регулярную ветвь h(z) функции
I ytz—) ' положительную на верхнем берегу разреза. Если z =
= х + Ю @ < х < 1) — точка верхнего берега разреза, то
Найдем h(x) = h(x — Ю), 0<я;<1, где х = х — Ю — точка ниж-
нижнего берега разреза. Имеем (ср. пример 16 § 24)
1 — z
где cpi = ATargz, cp2 = ATarg(z— 1); -у — кривая, соединяющая
точку верхнего берега разреза с точкой z^D (рис. 73). Если
h{x) = e
Обозначим f(z) = h(z)R(z). Тогда f(x- Ю) = ei2"af(x + Ю), или
где f(x) совпадает с подынтегральной функцией в B7).
*) Метод вычисления интеграла A8) при целом а изложен в п.
16 ю. В. Сидоров и др.

242 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Докажем, что для интеграла B7) имеет место формула
res /(z) + res /(z) ,
1-е
,i2rax
B8)
где zi, Z2, ..., zn— все конечные полюсы функции R(z).
Для доказательства формулы B8) рассмотрим контур Гр
(рис. 74), имеющий вид «гантели». Этот контур состоит из ок-
окружностей Ср: [z| = p, C'p: |z —1| = р и отрезков lt: p<x^
^ 1 — р, 1г: р ^ х ^ i — р, лежащих соответственно на верхнем
и нижнем берегах разреза. По теореме о вычетах (теорема 2
§ 28) имеем
B9)
/Р = С / (г) dz = 2лг [ 2 res / (г) + res / (z) ),
где р выбрано столь малым, что все полюсы функции R(z) ле-
лежат вне «гантели».
а:
Рис, 74
С другой стороны, интеграл /р равен сумме интегралов
1-р
j
C0)
Оценим интегралы по окружностям Ср и С'р. По условию, функ-
функция R(z) регулярна в точке z = 0 и поэтому li?(z)|^M при
малых Izl. Далее, \h(z)\ = \z\a/\l — z\a <Mt\z\a при малых |z|.
Поэтому если z^Cp, то l/(z)l = \h{z) I li?(z) I «?ЖЖ,ра, так что
if (р) = max | / (z) К M2pa. Следовательно, рЖ(р) < М2р'+а -»- 0
при р ->- 0, так как 1 + а > 0. По лемме 3 имеем j / (z) dz -v 0
cp
(p->0). Аналогично доказывается, что интеграл по окружности
Ср стремится к нулю при р -*¦ 0. Переходя в равенстве B9) к

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
пределу при р -*¦ 0, получаем
/ п
A _ е12яа) / = 2лП 2 res / (z) + res / (z) ,
откуда вытекает формула B8).
Найдем вычет в точке z = <») предполагая, что функция R(z}
регулярна в этой точке, т. е.
*2
Разложим функцию h(z) = | ! j в ряд Лорана в окрестно-
окрестности точки z = °°. Имеем (ср. пример 17 из § 24) A(z) =
A()(), где
— функция, регулярная в точке z = <», g(°°)=l. Здесь /г(оо) =
= e"xD)i"<lp2), Vl = AVi arg г, ф2 = AVi arg(z-l), -у, — кривая
(рис. 74), соединяющая точку верхнего берега разреза с точкой
Хо > 1 действительной оси. Так как cpi = O, ф2 = — п, то й(°°) =
= е"*". Следовательно,
f(z)=h(z)R(z)=h(oo)g(z)R(z) =
откуда res /(z) = — eian(ac0 + с_х). В частности, если точка z =
2=оо
= оо является нулем первого порядка для Л (г), т. е. со=О,
с_! =? 0, то
res /(z) = — eiaitc_!. C1>
Z=oo
3 а м.е ч а н и е 4. Изложенный выше метод вычисления ин-
интегралов вида B7) без изменений переносится на интегралы
вида
ь
где R(х)— рациональная функция, — 1<а<1, а^О. В этом
случае имеем res / (г) = — eiait [ac0 (о — a) + c-j], так как
+
•••)•
16*

244 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Пример 10. Вычислим интеграл
Здесь функция R(z)= l/(z +1) имеет единственный простой
полюс z = —1. По формуле B8) находим
reS /(*) + reS
. 1па. { /() +
1 — е \г=—1 г=оо
где /(*)=»* (z) Д (z) = (т=т) 7TT* Имеем
res /(z)=A(_l) =
где h (— 1) = 2 "е1"^! ф*), фх = л, ср2 = 0. Следовательно,
res / (z) = 2~aeian.
2=—1
Так как R (z) = ¦ —з" + • • • > то по формуле C1) получаем
res / (z) = — eiait.
Отсюда находим / =
/o_a ,\ П (l — 2~a) p
B - 0 = v8inaw 7- U
I ег2ап ч ' sin ая
Пример 11. Вычислим интеграл
1
Для функции R(z)= l/(z + 2)г точка z = оо является нулем вто-
второго порядка, а функция h (z) = (z/(l — z)) 2 регулярна в
точке z = °°. Следовательно, точка z=<» является нулем второго
порядка для функции f(z)=>h(z)R(z) и поэтому res /(z)= 0 (п. 3
1=00
$28).
По формуле B8) находим / = ni res / (z), так как a = — Va«
Z=—2
Имеем res /(z) = h' (— 2), где A(z) = (-1 — 1) \ Далее (пример
25 § 24)
h' (~ 2) = [те ("Г - 4)#]„ " ~ -8TF2) *

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
245
где h(—2)=y-2 e , Ф = я. Следовательно, h (— 2) =
= —j]/3/2 и res /(z) = — i/D1^6). Отсюда находим, что / =
= я/D/б). Ь 2
Пример 12. Вычислим интеграл
'-J
-da:.
J,
Выделим в плоскости с разрезом по отрезку [—1, 1] регулярную
ветвь функции [A — z) A + zK] , положительную на верхнем
берегу разреза; обозначим эту вехвь h(z), так что h(x+iO) =
>0, — 1<л;<1. Тогда
3-пг
2
h(x) =h(x — iO) =e2 X
Xh (x) — — ih (x) — значе-
значение функции h(z) на
нижнем берегу разреза
(§ 24, пример 16).
Обозначим i? (z) =
/(Z)
Рис. 75
и рассмотрим контур Г
(рис. 75), состоящий из отрезков [—1, 1] и [1, —1], лежащих
соответственно на верхнем и нижнем берегах разреза. По теоре-
теореме о вычетах (теорема 2 § 28)
1 -1
/ (х) dx + / (х) dx = 2яг (res / (z) + res / (z) + res / (z)\,
J J \z=i z=—г z=oo )
где f(x) = —if(x). Найдем вычеты. Здесь res / (z) =
±i
z=±i
h(z)
l±i-
Для нахождения значений степенной функции h(z) в точках i и
—i нужно вычислить ф(*> = Ayh arg(z — 1) и фBй)= AVft arg(z + 1),
где f* (* = 1, 2) — кривые, соединяющие точку О + iO с точками
г и —г соответственно (рис. 75). Имеем
л (о = I л (о I
где |Л@ | = /2, ф(!1} = - л/4, фBх) = л/4 (рис. 75), /г (г) = /2 в^« и
res/(z) = —

246 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
(B) B)\
.„ _„, ..,.,-,..., ф1 +Зфз ) = /2е1(и/8)л (рис. 75)'и
res / (z) = -р-
Найдем вычет в точке z = °°. Имеем
где Лх (оо) = егA/4)(Ч3)+8(рB))) фC) = дГз arg (г_1}) ф(,) = д^ arg (г +
+ !)> Тз — кривая соединяющая точку 0 + Ю с точкой х0 > 1
(рис. 75). Здесь ср® = — л, ф«> = 0. Следовательно, /ii(°°) =
*/) и
Далее,
R(z) = 7~7"+ • • •'/(г) =
откуда res / (z) = — е-»я/4> Окончательно получаем
2=00
A + i)I = У2л (е'я/8 + ei3n/8 - У2егя/4),
откуда / = я /2 ( /2 cos -J- —• 1). []
i 4/- 5
Пример 13. Вычислим интеграл / = \ — ^— dx. Пусть
J A + Х)л
h(z)— регулярная ветвь функции [z(l — zK] * в плоскости с раз-
разрезом [О, 1], принимающая положительные значения на верхнем
берегу разреза, т. е. h (х + ?0) = h (х) — [х A — хK] * >0, 0 < х <
< 1. Тогда /г(л;-Ю) = /г(Ж) = ?/1(;е). Обозначим /(z) = h(z)R(z),
Л() 1/A + K. Имеем
По теореме о вычетах
1 О
\ f(x)dx+ \ f(x) dx = A — i)I = 2тн f res /(z) + res / (z)\.
Й 1 U-=-l 2=0O J
Найдем вычеты. Так как точка z = <» является нулем второго,
порядка для функции /(z) (fi(z)~l/z3, й(г)~Лг, z ->¦«>), то
res / (г) =
2=oo

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 247
Точка z = —1 является полюсом третьего порядка для /(z) и
в силу формулы (8) § 28 имеем res f(z) — -^-к"(— 1), где
h" (-l)=-3 -8-7/4егл/4 (§ 24, пример 25), т. е.
res
Окончательно получаем e~in/iI = —Зя8~7/4?е<я/4, откуда
?
оо
6. Интегралы вида /= J ха~х (In x)m R(x)dx. Рассмотрим ин-
о
тегралы вида
оо
/ = j ха~г (In х)п R (х) dx. C2)
о
Здесь а — действительное число, т > 1 — целое, R (z) — рацио-
рациональная функция. Будем предполагать, что функция R(x) удо-
удовлетворяет тем же условиям, что и в п. 4. Тогда интеграл C2)
сходится в том и только в том случае, когда выполняется условие
A9), так как множитель lnma; не влияет на сходимость.
Заметим, что интеграл C2) можно получить из интеграла
A8) дифференцированием по параметру а.
Действительно,
ОО ОО
-^ J xa'1R (x) dx=*\ жа~'1п х R (x) dx.
о о
Дифференцируя A8) т раз по а, получаем C2).
Однако интеграл C2) можно вычислить непосредственно с
помощью вычетов. Пусть D — плоскость с разрезом [0, +°°),
h{z) = za~i — регулярная ветвь функции га~г в области D (п. 4),
положительная на верхнем берегу разреза. Фиксируем регуляр-
регулярную ветвь логарифма, принимающую действительные значения
на верхнем берегу разреза; обозначим ее lnz. Тогда в области D
In2 = ln \z\ + iargz, 0
На верхнем берегу разреза z = х + гО (х > 0), arg г = 0и
На нижнем берегу разреза z = x — iO = x (я;>0), argz = 2ji и
In (х — Ю) = In х = In х + 12п.
Обозначим /(z) = h(z) (Inz)mR(z) = za-i(Inz)mR(z); тогда f(x +
+ Ю) = f(x) = x°-x (In x)mR (x) — подынтегральная функция в

248 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
C2), а
/(ж - Ю) = /(ж) = ei2n<V-1 (In ж + 2ni)mR(x)
— значение функции /(z) на нижнем берегу разреза.
Рассмотрим интеграл
/(z)dz* C3)
гр.й
где Гр, R — контур, указанный на рис. 72. Пусть выполнено ус-
условие A9). Тогда в силу леммы 3 интегралы по CR и Ср стре-
стремятся к нулю при 7? -> °°, р -»- 0.
Как и в п. 4, имеем
| / (х) - / (ж)] <*ж = 2яi 2 res / (z), C4)
О г=гй
где вычеты берутся по всем полюсам рациональной функции
R(z).
Рассмотрим два возможных случая.
1. Число а — нецелое. Тогда левая часть C4) содержит
оо
7A —е12яа), а также (при то>1) интегралы вида J ха~1Aпх)' X
о
X.R(x)dz, где 0 ^ s < тга — 1. В частности, при иг = 1 из C4) имеем
A _ е.2шх) / _ 2niei2Iia f Xх-1 R (ж) da: = 2лг 2 »s (z"/? (z) In z),
C5)
где Zi, z2, ..., zn —все полюсы функции R(z). Из равенства C5)
оо
можно найти интеграл 7, а также интеграл J xcc~1R (x) dx.
о
2. Число а — целое. Тогда интеграл C2) имеет вид
оо
7 = j (In x)m R (x) dx, C6)
о
где R(x) — рациональная функция. В этом случае в качеств©
подынтегральной функции в C3) нужно взять (lnz)m+17?(z),
а не (\nz)mR(z). Действительно, если /(z) = (lnz)m7?(z), то
f(x) = (lnx)mR(x), i{x) = {\nx + 2ni)mR{x) и формула C4) не
позволяет найти искомый интеграл.
Однако, если функция 7?(z) является четной, то при вычис-
вычислении интеграла C6) с помощью вычетов в качестве подынтег-
подынтегральной функции можно взять /(z) = (lnz)m7?(z); контур инте-
интегрирования в этом случае есть контур Гр, в, указанный на
рис. 71 (см. ниже пример 15).

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 249
оо
Пример 14. Вычислим интеграл /= I х~~ <2 In
dx
(* + IJ '
U
Условия A9) выполнены (а = 1/2, к = 2) и по формуле C5)
получаем
II + 2лг \ — г dx = 2л? res / (z). C7)
Так как точка z = —1 является полюсом второго порядка, то
In z + 4
jhm / (z) = B1/г In 2);=_г = [(- -1
где (z *J=_1 = e~inl2 = — i, (In z)z__1 = in. Следовательно,
res /(z) = -J + f.
Приравнивая в C7) действительные и мнимые части, находим
—1/
о
Пример 15. Вычислим интеграл
г', dx, a>0.
х ¦+¦ а
О
Пусть Грв — контур, указанный на рис. 71. Рассмотрим ин-
интеграл
Ip,R = f(z)dz = 2ni res / (z),
rP,R
где /(z)=-j 5—регулярная ветвь логарифма, принимающая
z -\- a
действительные значения при z = х > 0. Интегралы по полуок-
полуокружностям С9 и CR стремятся к нулю при р -*¦ О, R -*¦ °°, так как
l/(z)KM1llnp| (геСр), | / (z) | < М2 ii? (z е= Сн). Здесь
res /(z) = |-7г^-) = "", / • Переходя к пределу при р -*- 0$
г=го \ Zz lz = ia Zat
R->-oo, и учитывая, что
О ОО ОО
Г ,, ч , Г In ж + гя , у , . Г
f(x)dx=\ 2 ^ , йя; = / + ш
dx
о

250 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
ОО
получаем 21 + Ы 2 х = — /in а + г ~), откуда
J х +а а \ * )
Метод, изложенный в п. 6, позволяет вычислять интегралы
вида
C8)
где а, Ъ — действительные числа (а < b), m 12s 0 — целое.
Пусть в C8) m = 0, а = 0, Ъ = «>. Тогда интеграл C8) при-
мет вид /= ) R(x)dx, где i?(^) — рациональная функция, удов-
b
летворяющая условиям п. 4. Если R(x)—четная функция, то
оо
/ = -7Г- \ R (x) dx, и для вычисления интеграла применим метод,
— оо
указанный в п. 2.
Пусть функция R(x) не является четной. Тогда нужно рас-
рассмотреть интеграл /р,н = J In zR (z) dz, где Гр, R — контур, ука-
гр,н
занный на рис. 72, a In z — регулярная ветвь логарифма.
оо
Пример 16. Вычислим интеграл /= \ . „ .. . Здесь
¦J (х +i)
B(z)=l/(z° + l)\ f(z) = Inz-R(z), f(x) = (lnx)/(xs + lJ, /E?) =
— f(x) + 2ni/(x3 + lJ и в силу формулы C4) имеем
/ = -2 res/(z),
где zk = еB*+1)я>/з^ ^ = i) 2, 3. Так как точка zt — полюс второго
порядка для функции f (z) = _ g a ^ * 2 __ g 2 , то

§ 29. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 251
ИСПОЛЬЗУЯ формулы In Zx = Hi, (zx — Z2) (Zj — Z3) = (Z3 + l)'=Zi =
= 3zi, z\ = — 1, zx + z2 + z3 = 0, получаем
Аналогично учитывая, что lnz2 = -^-n?, Inz3 = —, получаем
2
z = z2 9 V 3 У z = z3 9 V 3
Окончательно находим
27
Обратимся к интегралу C8). Этот интеграл заменой пере-
переменной (х — а)/(Ъ — х) — у преобразуется к виду
оо
/ = J Д (ж) lnm х dx.
В заключение отметим, что другие типы интегралов, которые
вычисляются с помощью вычетов, можно найти в [10], [16].
Приведем пример такого интеграла.
оо
Пример 17. Вычислим интеграл \ е~ах cos bxdx, a>0.
о
Пусть Гн — граница прямоугольника с вершинами в точках
z1 = — B, z2 = — R + -Tj^-i, z3 = R + -i^i, z4 = R,
где R > 0. Рассмотрим функцию
/ (z) = е-™*, z = x + iy.
По интегральной теореме Коши
-az2dz = 0. C9)
На отрезках [zu z2] и [z4, z3] имеем
п
I , / ч i —a(R2—y2) ^ 4O2
Следовательно, интегралы от f(z) по этим отрезкам стремятся
к нулю при R -*¦ о°. Если z e [z2, z3], то

252 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
и равенство C9) можно записать в виде
л — ?
j e-^dx — eia J e-a*2-ib* dx + a (R) = 0, D0)
J J
-Л —Л
где a (R) -*¦ 0 при R -+- oo.
Так как
J Va J — r a'
то, переходя к пределу в равенстве D0) и выделяя действитель-
действительные части, получаем
,2
§ 30. Принцип аргумента и теорема Руше
1. Принцип аргумента.
Теорема 1. Пусть функция f(z) регулярна в области G,
за исключением, быть может, полюсов, и пусть D — ограничен-
ограниченная односвязная область, лежащая в области G вместе со своей
границей Г.
Если функция j(z) не имеет на Г ни нулей, ни полюсов, то
где N — число нулей, Р — число полюсов функции /(z) в обла-
области D. При этом каждый нуль считается столько раз, какова его
кратность, а каждый полюс — столько раз, каков его порядок.
Доказательство. Заметим, что функция f(z) может
иметь в области D лишь конечное число полюсов, так как в про-
противном случае существовала бы в области G предельная точка
полюсов (неизолированная особая точка). Число нулей функции
f(z) в области D также конечно. Действительно, если число ну-
нулей бесконечно, то существует предельная точка нулей функции
/(z), лежащая в области G и, следовательно, /(z)=0 в В по
теореме единственности.
Особыми точками подынтегральной функции F(z) = f(z)/f(z)
являются лишь нули и полюсы /(z), и по теореме о вычетах
(§ 28) левая часть A) равна сумме вычетов, взятых по всем
нулям и полюсам функции /(z), лежащим в области D.
Пусть z = a —нуль функции /(z) кратности п. Тогда

§ 30. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА И ТЕОРЕМА РУШЕ 255
где g(z)— функция, регулярная в точке a, g(a)?=0. Следователь-
Следовательно , Р (*) = -у$- = т^Г + TW"' 0ТКУДа находим ves^F (z) = nr
т. е. вычет функции F(z) в точке z = a, являющейся нулем /(z),
равен кратности этого нуля.
Аналогично, если z = b— полюс функции /(z) порядка р, то-
где h(г) — функция, регулярная в точке z = Ь, h(b)?=O. Отсюда
получаем
и, следовательно, res F(z) = — p, т. е. вычет функции F(z) в
г = Ь
точке z = b, являющейся полюсом /(z), равен порядку этого по-
полюса, взятому с обратным знаком.
Таким образом, левая часть A) равна разности между сум-
суммой кратностей нулей и суммой порядков полюсов функции /(z),
и формула A) доказана.
Замечание 1. Формула A) остается в силе и для неодно-
связной области.
Следствие. При условиях теоремы 1 формулу A) можно
записать так:
S-AT&Tgf(z) = N-P. B)
Здесь Ararg/(z) — приращение аргумента функции f(z) при
обходе кривой Г в положительном направлении.
Доказательство. По условию функция /(z) регулярна
в окрестности кривой Г и /(z)?=0 на Г. Следовательно, f(z)?=O
в некоторой окрестности кривой Г, и в этой окрестности можно
выделить аналитическую ветвь функции ln/(z). Так как
/)
г г
где ДгIn/(z) — приращение (изменение) функции ln/(z) при об-
обходе точкой z замкнутого контура Г в положительном направ-
направлении. Но ln/(z) = ln l/(z)l + ?arg/(z), где In I/(z) I — однознач-
однозначная функция, и поэтому Аг1п l/(z) I =0. Следовательно,
Arln/(z) = iArarg/(z),
и из формулы C) получаем
г
откуда в силу A) вытекает формула B).

254
ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Равенство B) известно под названием принципа аргумента.
Согласно формуле B) разность между числом нулей и числом
полюсов функции /(z) внутри контура Г равняется изменению
аргумента этой функции при обходе контура Г, деленному на
2л (при условии, что функция /(z) регулярна внутри контура Г
л на Г, за исключением конечного числа полюсов, и не обра-
обращается в нуль на Г).
Замечание 2. Формула B) остается в силе и для случая,
когда функция /(z) регулярна в области Z), за исключением
конечного числа полюсов, и непрерывна вплоть до границы Г
этой области.
В частности, если функция /(z) не имеет полюсов в области
D (Р = 0), то формула B) принимает вид
Выясним геометрический смысл Ararg/(z). Пусть Г' — образ
кривой Г (рис. 76) при отображении w = f(z). При полном об-
обходе замкнутого контура Г точкой z соответствующая точка опи-
описывает на плоскости w замкнутый контур Г". Изменение аргу-
аргумента функции /(z) на контуре Г определяется числом полных
оборотов, которые совершает вектор w при движении точки w
по замкнутому контуру Г'. Если вектор w не делает ни одного
полного оборота вокруг точки н; = 0, то Ararg/(z) = O.
2. Теорема Руше. При подсчете числа нулей регулярной
¦функции в заданной области часто применяется следующая
Рис. 76
Теорема 2 (теорема Руше). Пусть функции /(z) и
g(z) регулярны в ограниченной односвязной области D и на ее
границе Г и пусть для всех геГ имеет место неравенство
1/(*I>1*(«I. E)
Тогда функции f(z) и F(z) = f(z) + g(z) имеют в области D
одинаковое число нулей.

§ 30. ПРИНЦИП АРГУМЕНТА И ТЕОРЕМА РУШЕ
255
Доказательство. В силу условия E) f(z)?=O для всех
zeT. Кроме того, F(z)^0 на Г, так как \F(z)\ > \f(z)\-
— \g(z) I >0. Пусть NF и Nf — число нулей в области D функций
F(z) и f(z) соответственно. По формуле D) имеем
^iz). F)
Поскольку /(z)Ф0 на Г, то при геГнз равенства
следует, что
АГ arg F (z) = Аг arg / (z) + Аг arg (l + Щ-).
G>
Покажем, что второе слагаемое в правой части G) равно нулю.
Действительно, при обходе точкой z замкнутого контура Г точка
w = 1 + g(z)/f(z) описывает замкнутую кривую Г' (рис. 77),
лежащую внутри круга 1м; — 11 < 1,
так как при геГ в силу E) имеем
\w — II = \g(z)/f(z) I •< 1. Следователь-
Следовательно, вектор w, конец которого движется
по кривой Г', не совершает ни одного
полного оборота вокруг точки w = 0
и поэтому Аг arg(l + g(z)/f(z)) = 0.
Таким образом, из F) и G) следует,
что NF = Nf.
Пример 1. Найдем число корней
уравнения
z9 - 6z4 + 3z - 1 = 0
Рис 77
внутри круга Ы < 1. Обозначим f(z) = —Qz\ g(z) = z9 + 3z — 1.
Если г е Г, где Г: Ы=1, то
!/(*)! =6, lg(z)|<|z|9 + 3|z| + l = 5,
откуда l/(z)| > l|^(z)| при zef, По теореме Руше число корней
исходного уравнения в круге Ы < 1 совпадает с числом корней
уравнения /(z) = —6z4 = 0 в этом круге, т. е. равно 4. []
Пример 2. Докажем, что уравнение
z + X-ez = 0, Х>1 (8)
имеет в левой полуплоскости (Rez<0) единственный (и притом
действительный) корень.
Рассмотрим замкнутый контур, составленный из дуги полу-
полуокружности CR: \z\ =R, Rez< 0 и отрезка Z: [—iR, Ш]. Положим
f(z) = z + X, g(z) = —e'. На отрезке I имеем \f(z)\=\X + iy\>
ЗгА>1, \g(z)\ = \ety\ = 1. На полуокружности Св при

256 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
имеем
l/(z)i > Ы -Я = Я-Я> 1, \g(z)\ =
так как х =? 0. В силу теоремы Руше число корней уравнения
(8) в области \z\ <R, Rez<0 при любом /?>Я+1 равно числу
корней уравнения z + X = 0, т. е. равно 1. Отсюда следует, что
и во всей левой полуплоскости уравнение (8) имеет ровно один
корень. Этот корень является действительным, так как левая
часть уравнения (8) положительна (равна Я —1) при z = х = 0
и стремится к — °° при х ->- —°°. Г]
Замечание 3. Теорема Руше остается- в силе, если при
сохранении остальных условий теоремы 2 заменить условие ре-
регулярности функций /(z) и g(z) на границе Г области D услови-
условием непрерывности этих функций вплоть до границы этой области.
Теорема Руше позволяет получить простое доказательство
основной теоремы высшей алгебры (ср. § 19).
Теорема 3 (основная теорема высшей алгеб-
р ы). Многочлен п-й степени с комплексными коэффициентами
имеет ровно п нулей.
Доказательство. Пусть
Рп (z) = aazn + а^п-1 + ... + пп-iZ + ал
— произвольный многочлен п-й степени (а0 Ф 0). Обозначим
/(z) = aozn, g{z) = aizn-i + ... + an^z + ал. Тогда
Так как ]im 8) = 0, то найдется Л > 0 такое, что для всех
z: \z\^R выполняется неравенство
7W
Пусть Г — окружность Ы — R. Так как на Г имеет место нера-
неравенство (9), то по теореме Руше NF = Nf. Но Nf = n, поскольку
функция f(z) = aozn имеет п нулей в круге \z\<R (точка z — 0
является нулем кратности п функции /(z)). Таким образом,
в круге Ы <R число нулей функции F(z) = Pn(z) равно п, т. е.
многочлен Pn(z) имеет в этом круге п нулей. Так как в силу
неравенства (9) функция F(z) не имеет нулей при \z\^R, то
теорема доказана.
§ 31. Разложение мероморфной функции
на элементарные дроби
В качестве приложения теории вычетов рассмотрим вопрос
о разложении мероморфной функции на элементарные дроби.
Напомним определение мероморфной функции (§ 19). Функция
f(z) называется мероморфной, если она регулярна в каждой

§ 31. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 257
ограниченной части плоскости, за исключением конечного числа
полюсов.
В § 19 было показано, что мероморфная функция /(z), имею-
имеющая во всей расширенной комплексной плоскости лишь конеч-
конечное число полюсов (рациональная функция), представляется в
виде суммы многочлена (главной части ряда Лорана для /(z)
в точке z = °°) и элементарных дробей (главных частей ряда
Лорана для f(z) в окрестности ее полюсов).
Это утверждение можно обобщить на случай мероморфной
функции /(z), имеющей бесконечное (счетное) число полюсов.
1. Теорема о разложении мероморфной функции. Введем
следующее
Определение 1. Пусть имеется последовательность {Г„}
вложенных друг в друга (Г„ лежит внутри Г„+1, п = 1, 2, ...)'
замкнутых контуров Г„, содержащих точку z = 0 и таких, что
¦^<С (п = 1, 2, ...), A)
где S*. — длина контура Гп, d*. — расстояние от начала коорди-
координат до кривой Tn(dn= inf |z|\, причем
I zevn )
dn -*¦ °°, n -*¦ °°. B)
Такую систему контуров назовем правильной.
Теорема 1. Пусть все полюсы zk (ft=l, 2, ...) меро-
мероморфной функции f(z), регулярной в точке z = 0, являются про-
простыми и занумерованы в порядке неубывания их модулей: IzJ <
<|z»|=C. Если функция f(z) ограничена на некоторой пра-
правильной системе контуров {Т„), т. е.
\f(z)\<M, геГ„, и = 1, 2, ..., C)
то
где Ah= res /(z). Ряд D) сходится равномерно в каждой огра-
z=zh
ничейной области с выколотыми в ней полюсами функции f{z).
Доказательство. Рассмотрим интеграл
где гейп (Gn — внутренность кривой Г„) и % ^ zk (k = 1, 2,...).
Пусть F(?) = » (У_L • В области Gn функция F(t,) имеет простыв
полюсы % = z, ? = zk e Gn; точка S = 0 является либо простым
полюсом, либо точкой регулярности (если/@) = 0) для функции
17 ю. В. Сидоров и др.

258 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
F(%). По теореме о вычетах
/„(*) = res F (С) + и»*1 (9+ 2 resF(Q. F)
В силу формулы C) § 28 имеем
G)
= /(*), (8)
Подставляя G)— (9) в F), получаем
G * \ к I
zh<=Gn
откуда в силу равенства —-, г- = —/ -\ ) находим
zk{zk~z) \ z~zk zkj
/(*) = f@) + 2 Л*(т=Т + "г) + Ш j Т7Г=1Г^ A0)
Оценим /n(z). Пусть D — ограниченная область. Тогда су-
существует круг К: \z\ < R такой, что Dcz К. Имеем
Здесь |z|<i? (z^D<=K), ]%]>dn (dn — расстояние от начала
координат до контура Гп), \% — z\'^\%\ — \z\>dn — R, \f(%)\^.M.
Следовательно,
1 о ^ CMR
так как Sn<Cdn в силу A). Из этой оценки и условия B) вы-
вытекает, что In(z)-*-0 при ra->°° равномерно по z^D (z?*zk,
fc-1, 2, ...)•
Переходя в равенстве A0) к пределу при и->°°, получаем
Коротко формулу A1) будем записывать в виде D), считая, что
суммирование в D) производится в следующем порядке: сна-
сначала берутся слагаемые, которые относятся к полюсам, лежа-
лежащим внутри 1\, затем к этим слагаемым последовательно добав-

§ 31. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ
259
ляются группы слагаемых, относящихся к полюсам, лежащим
между Г4 и Г2, между Г2 и Г, и т. д. Теорема доказана.
Замечание 1. Теорему 1 можно обобщить, заменив нера-
неравенство C) неравенством
1/B)
(л=1, 2, ...),
A2)
где р > О — целое (при сохранении остальных условий теоре-
теоремы 1). В этом случае имеет место следующая формула:
/w = 2'
ft=o
k\
h=l
A3)
о
,С„
Для доказательства формулы A3) достаточно применить тео-
1 С zvf(t) ,„
рему о вычетах к интегралу ^—. \ — ас,.
г„ S (^~z)
2. Разложение функции ctg z на элементарные дроби. Рас-
Рассмотрим функцию / (г) = ctg z . Эта функция является меро-
морфной, имеет простые полюсы в точ-
точках zh = kn (& = ±1, ±2, ...),не имеет g
других конечных особых точек и
res / (z) = 1 (пример 5 § 28). Пока-
z—hn
жем, что функция f(z) ограничена на
правильной системе контуров {Г„}, где
Г„ — квадрат AnBnCnDn (рис. 78) с
центром в точке z = 0, стороны кото-
которого параллельны координатным осям,
а их длины равны 2а„, ап=-^- + лп п
(« = 0,1,2,...).
Пусть z e CnDn; тогда
довательно,
|ctgz| = ctg ^-^- +
откуда получаем
Ictgzl < 1, ze
Пусть z^BnCn, тогда z-
яп
Рис. 78
: an + iy, где —а„ <у<ап, и, сле-
ev — „-»
П \ 7 7?/
ian, где -а„ ^ а; < а„,
A4)
|ctgz| =
: — 1
17*
1 —
-2а„

260 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
откуда находим
1 —
(n = 0,1,2,...). A5)
Так как lctg(—z)| = Ictg zl, то неравенства A4) и A5) имеют
место соответственно на сторонах АпВп и DnAn квадрата
AnBnCnDn, т. е. на контуре Гп. Итак,
Ictgzl^M, zsr», и = 0, 1, 2, ...
Отсюда следует, что функция / (z) = ctg z также ограничена
на системе контуров Г„. Далее, /@) = 0, так как функция /(z),
регулярная в точке z = 0, нечетна. Итак, в формуле D) /@) = 0,
Ак= 1 (к = 1, 2, ...) и, следовательно,
-=4+ 2'(i^et + 4) A6)
где штрих означает, что к Ф 0.
Заметим, что между контурами I\_i и 1\ лежат ровно два
полюса функции f(z), а именно zh — kn и zft = — А;я. Объединяя
в сумме A6) слагаемые, соответствующие этим полюсам, полу-
1,1.1 1 2% „ -
чаем = у — -;— = -х s—- Таким обра-
z — кп Ы ' г -|- кп кп г2 _ Аая2
зом, справедлива формула
Пример 1. Разложим на элементарные дроби следующие
мероморфные функции: a) tgz, б) —*—, в)
sin г
*, в)
sin г е — 1
а) Так как tgz = — ctgfz—^-j, то из формулы A6) полу-
получаем
tg z = — i ^ _ _ ^ ^ _
00 / 1
= — 21 ( 2*-l +
fc-i^«- 2 я
откуда
~2 nj'
«8»

§ 31. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕРОМОРФНОЙ ФУНКЦИИ 261
б) Так как 1/sin2 z = - (ctg z)', то, дифференцируя равномер-
равномерно сходящийся ряд A6), получаем
оо оо
1 1 ,
+
в) Так как
_J e-z/2 t e-z/2 _ er/2 + e*/2 + e-z/2 _ i ,
e* __ 1 ~~ ег/2 _ e-2/2 ~ 2 e^/2 _ в-г/2 2 "^ 2 '
то, используя тождество cth? = ictg(i?) и формулу A7), полу-
чаем
= _,_ +
Пример 2. Покажем, что
а> 'i =
1 , 1 , У 2z pi
+ + 2 ?-- D
B1)
предполагая, что ни один из знаменателей в «i и s2 не обраща-
обращается в нуль.
а) Полагая в формуле A7) z=ian, получаем
ctg гап = — i cth an — — slt
откуда вытекает формула B0).
в) Формула B1) получается из B0) дифференцированием
по а. 0
3. Разложение целой функции в бесконечное произведение.
Известно, что всякий многочлен п-й степени Pn(z) можно пред-
представить в виде произведения
п
Pn(z) = A(z-Zl)(z- z2) ... (z-zn) = АП (z -*k), B2)
где zit z2, ..., zn — корни этого многочлена (среди них могут
быть и кратные).
Формулу B2) можно обобщить (при некоторых условиях)
на целые функции. Интерес представляет лишь случай, когда
целая функция /(z) имеет счетное число нулей. Действительно,
если целая функция /(z) отлична от нуля во всей комплексной
плоскости, то функция F(z) = lnf(z), где взята одна из регу-
регулярных ветвей логарифма (пример 6 § 24), является целой, при-
причем F'{z) = f'(z)/f(z), откуда
/(*)-*"*>. B3)

262 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Далее, если целая функция f(z) имеет лишь конечное число
нулей ah (к •= 1, 2, ..., s) и рА — кратность нуля ак, то функ-
функция Ф (z) = /(z) /ф (z), где Ф (z) = (z — ajfi ... (z — а/4, нигде
не обращается в нуль и, следовательно, представляется в виде
B3), откуда получаем формулу /(z)= (z — a1)pi... (z — ae)PseF{z),
т. е.
/(г) = еадП(г_йл)р*, B4)
где F(z) — некоторая целая функция.
Пусть целая функция /(z) имеет бесконечное число нулей;
попытаемся обобщить формулу B4) на этот случай. Вместо ко-
конечных произведений в этом случае возникают бесконечные про-
произведения. Поэтому нам потребуются некоторые сведения о бес-
бесконечных произведениях (см. [ц, [11]).
Определение 2. Бесконечное произведение
П A + ah) B5)
ft—1
называется сходящимся, если все его множители отличны от
нуля и существует конечный и отличный от нуля предел А по-
п
следовательности Ап = Д A + а*)-
Отметим, что необходимым и достаточным условием сходи-
сходимости бесконечного произведения B5) является сходимость
ряда
Sin (! + «*). B6)
где -я < arg(l + ah) «? я, к =- 1, 2, ...
Определение 3. Бесконечное произведение B5) назы-
называется абсолютно сходящимся, если ряд B6) сходится абсо-
абсолютно.
Можно показать, что абсолютная сходимость бесконечного
со
произведения B5) равносильна сходимости ряда 2 |а*|.
Понятие сходимости бесконечного произведения естествен-
естественным образом обобщается на случай, когда его множители —
функции комплексного переменного. Рассмотрим бесконечное
произведение
ПИ + Ы*I, B7)
/л (z) — функции, регулярные в области D.

§ 31. РАЗЛОЖЕНИЕ МЕР0М0РФНОЙ ФУНКЦИИ 263
Определение 4. Бесконечное произведение B7) назы-
называется сходящимся в области D, если его множители (за исклю-
исключением, быть может, конечного числа их) не обращаются в нуль
в этой области и если произведение отличных от нуля множите-
множителей сходится в каждой точке области D.
Определение 5. Бесконечное произведение B7), множи-
множители которого отличны от нуля в области D, называется равно-
равномерно сходящимся в этой области, если последовательность
п
функций Fn(z) = Ц [1 + /ft(z)] равномерно сходится в области!).
Если бесконечное произведение B7) равномерно сходится в
оо
области D, то функция F(z) — lim Fn(z) = Ц [1 + /ft(z)] регуляр-
на в области D в силу теоремы Вейерштрасса (§ 12).
Из теоремы 1 о разложении мероморфной функции на эле-
элементарные дроби можно получить следующую теорему о пред-
представлении целой функции в виде бесконечного произведения:
Теорема 2. Если целая функция f(z) такова, что мера-
морфная функция F(z) = f(z)/f(z) удовлетворяет условиям
теоремы 1, то
B8)
Бесконечное произведение B8) равномерно сходится в каждой
ограниченной части плоскости.
В этой формуле каждый сомножитель [1 ~\ повто-
повторяется столько раз, какова кратность нуля zh.
Доказательство. Функция F(z) имеет простые полюсы
в точках zh, где zk — нули функции f(z), и не имеет других полю-
полюсов. Тогда Аи = res F (z) = nk, где nh — кратность нуля zh функ-
ции /(z) (§' 30). По теореме 1 имеем
Так как F (z) — -^ [ln/(z)], где для логарифма выбрана ана-
аналитическая ветвь, то интегрируя ряд B9) по некоторой кривой,
соединяющей точки 0, z и не проходящей через нули функции
/(z), получаем
оо
+2Ml--r) + -H- C0)
h=l i- \ к 1 ft J

264 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
оо .
Потенцируя C0), находим / (а) = / @) eF<°>* П И - y-J ez/Zk, где
F@) = /'@)//@), и формула B8) доказана.
Замечание 2. В условиях, указанных в замечании 1, фор-
формула B8) заменяется следующей формулой:
где feft (z) = -J- + -j (-j-\ +.-. + — (t")P' S (z) — многочлен сте-
степени не выше р.
4. Разложение синуса в бесконечное произведение. Рас-
Рассмотрим целую функцию /(z) = (sinz)/z. Эта функция имеет про-
простые нули в точках zh — kn (к = ±1, ±2, ...). Далее, функция
/' (z) 1
F (z) = v ' — ctg z удовлетворяет условиям теоремы 2 и,
следовательно, можно применить формулу B8). Так как f(z) =
= (sin z)/z = 1 — -gj- + ..., то / @) = 1, /' @) = 0, и по формуле
B8) находим
В формуле C1) сгруппированы множители, относящиеся к ну-
нулям кп и — кп (к — 1, 2, ...) синуса. Преобразуя выражение
в квадратных скобках, окончательно получаем
4г C2)
к п J
Пример 3. Разложим в бесконечное произведение целую
функцию ег — 1. Имеем
J =
7
/« sh у.
Используя равенство sh? = —isini^ и формулу C2), получаем
?
5. Обращение степенного ряда. В заключение главы V в ка-
качестве примера на применение теории вычетов рассмотрим за-
задачу об обращении степеннбго ряда, т. е. задачу о нахождении
коэффициентов ряда
z = h (w) - 2 bn(w— wQ)n, C3)

§ 31. РАЗЛОЖЕНИК МЕРОМОРФПОЙ ФУЙКЦИИ 265
где z — h(w) — функция, обратная к регулярной в точке z0
функции !с = /(г)=2йп(г- zo)n, /' (z0)^0, Wq = /(z0).
Так как /'(zo)?=0, то по теореме об обратной функции
(§ 13) существуют круг К: \z — zol<p и круг Kt: \w — wo\ <
<р? такие, что для каждого w^Kt уравнение f(z) = w имеет
единственное решение z^K. Тем самым определена однознач-
однозначная функция z — h(w), регулярная в круге д4. Найдем коэффи-
коэффициенты ряда C3) для этой функции.
Рассмотрим интеграл
здесь if — граница круга К, w<^ Kt. Подынтегральная функция
^(?)=5/'E)/(/(?)~"w) регулярна внутри f, за исключением
точки z = h(w), которая является простым полюсом для
и по теореме о вычетах получаем
= res
Jf(O-
т. е.
Имеем
1
f(Q-w /(?)-
/ (С) -
~o (/(С)-'
-. C6)
Ряд C6) сходится равномерно по ? (?sTf)> так как lu; —u;ol<
<Pl (beZ,), a l/(?)-u>olSspi (?eTf). Умножая C6) на
2^j ?/' (Q и интегрируя почленно вдоль у, получаем
z = h(w)= 2 bn(w — u;0)"t
где
f^ « = 0,1,2,... C7)
В формуле C7) 6о = z0. При п>1 из C7) интегрированием
по частям находим

266 ГЛ. V. ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
Подынтегральная функция в C8) имеет внутри f единственную
особую точку, а именно полюс n-го порядка ? = z0. Находя вычет
этой функции по формуле G) § 28, получаем
, dn-i г z-z -in
bn=~^l^dz^\ /С)-/('о) ' п = 1'2"-- C9)
Ряд C3), коэффициенты которого вычисляются по формулам
C9) (&о = z0), называется рядом Бурмана — Лаеранжа.
Приведем формулы для вычисления коэффициентов 64, b2, bt
ряда C3) через коэффициенты ап ряда /(z)= 2 яп (z — zo)n.
Имеем
Пример 4. Пусть /(z) = ze~a2 (z0 = 0, u;0 = 0). Тогда, вы-
вычисляя коэффициенты 6Л по формулам C9), получаем
и, следовательно, z = h (w) — ^ ^~— wn. [j

Глава VI
КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Понятие конформного отображения было введено в § 8.
В этой главе рассматриваются общие свойства конформных ото-
отображений и детально изучаются отображения элементарными
функциями.
§ 32. Локальные свойства отображений
регулярными функциями
1. Теоремы об обратной функции. В § 13 доказана теорема
об обратной функции к функции /(z), регулярной в точке z0,
в случае, когда f'(z<,)?=0. Рассмотрим случай, когда /'(z0) = 0.
Теорема 1. Пусть функция w = f(z) регулярна в точке
г0Ф°° и
где n~S*1. Тогда существуют окрестности U, V точек z0, wo =
= /(z0) соответственно и функция z = i|}(u?) такие, что
а) уравнение
/(я)-и»
(относительно z) при каждом w е V, w Ф м?0, имеет ровно п
различных решений z = ty(w), принадлежащих U;
б) функция z = i|>(iy) аналитична в области V, w?=w0 и
/(¦(иО)-ю, w = V. A)
Из A) следует, что функция z = ty(w) является обратной к
функции w = f(z), z^U. Эта обратная функция в силу а) яв-
является n-значной в области V, и>Ф w0.
Доказательство. По условию теоремы точка z0 является
нулем функции f(z) — f(z0) порядка п, т. е.
w - w0 = /(z)- /(zo) = (z- zo)nM*>,
где функция h(z) регулярна в точке z» и ^(z»)s?fe0 (п. 5 § 12).
Обозначая w~ u?0 = ?", получаем ?n =(z — zo)"^(z), откуда

268 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
? = (z — zQ)T/rh(z). Функция f/h(z) распадается в окрестности
точки z0 на регулярные ветви, так как h{zu)*?*Q (п. 2 § 24).
Пусть hi(z) — одна из этих ветвей и ? =(z — zo)/Ji(z). Тогда
функцию w = f(z) можно представить в виде суперпозиции двух
регулярных функций
и; = и;о + 5п, BУ
z), C);
где функция hi (z) регулярна в точке z0 и й? (z,0) Ф 0.
Функция C) удовлетворяет условиям теоремы § 13, так как
?'(zo) = A1(zo)=?bO. По этой теореме существует окрестность J7
точки z0, которую функция ? = ?(z) взаимно однозначно отобра-
отображает на некоторый круг К: |?1<р, р>0 (^0 = ?(zo)= 0). При
этом обратной к функции ? = ?(z), z^U, является функция
е = ?(?), регулярная в круге К.
Функция ? = j/u; — w0, обратная к функции B), n-значна и
аналитична в кольце V: 0< \w — wa\ < pn (§ 22). Следова-
Следовательно, функция z = ty (w) = f \y w—w0), обратная к функции
U7 = /(z), z<^U, n-значна и аналитична в кольце V как супер-
суперпозиция регулярной и аналитической функций (§ 22).
Следствие 1. При условиях теоремы 1 точка w0 является
алгебраической точкой ветвления порядка п для функции z =>
= if>(itf), обратной к функции w = f(z), и в окрестности точки
и>в имеет место разложение в ряд
оо
-ф (и;) = 2 са {Vw — wQ)h,
ft.=0
где с0 *= z0, c? ?" 0.
Действительно, г|з (и;) = g (Vw — w0), a f (Q = 2 СЛ ГДв
ft=0
c0 = g@) = zo и С] ?» 0, так как из C) по формуле для произ-
производной обратной функции (§ 13, формула B)) имеем
Из доказательства теоремы 1 вытекает
Следствие 2. При условиях теоремы 1 существует функ~
ция z = g(?), zo = g(O), регулярная в точке ^ = 0 и такая, что
в некоторой окрестности точки 5 = 0. Дрм агам

§ 32. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИИ 269
Пример 1. Пусть точка z0— полюс функции f(z). Рассмот-
Рассмотрим уравнение
№ = А. D)
Пусть U — малая окрестность точки z0. Покажем, что сущест-
существует такое а, что для каждого А, удовлетворяющего неравен-
неравенству \А I > а, уравнение D) имеет ровно га различных решений,
принадлежащих U, где га— порядок полюса z0 функции /(z).
а) Если Zo'?*'00, то функция g(z)=l//(z) регулярна в точке
г» и g(z0)=g'(z0) = ... = g<"-"(zo) = 0, g<"'(zo)^O (§18). Из
§ 13 и теоремы 1 вытекает, что уравнение g(z)= 1/A, равно-
равносильное уравнению D), имеет ровно га различных решений
z e U, если 1/1АI < г для некоторого е > 0.
б) В случае z0 = °° рассмотрим взаимно однозначное ото-
отображение 5 = 1/z окрестности точки z = °° на окрестность точки
5 = 0 (§ 8). Тогда число решений уравнения D) в окрестности
точки z = °° совпадает с числом решений уравнения /A/5) =
— А в окрестности точки 5 = 0. Функция йE) = /A/5) имеет
полюс порядка га в точке 5 = 0 (§ 18). Следовательно, как и в
случае а), уравнение йE) = Л имеет ровно га решений. []
2. Однолистные функции. Определение однолистности функ-
функции в области было дано в § 8. Введем понятие однолистности
функции в точке.
Определение. Функция /(z) называется однолистной в
точке z0, если эта функция однолистна в некоторой окрестности
точки z0.
Очевидно, что однолистная в области функция является од-
однолистной в каждой точке этой области. Обратное утверждение,
вообще говоря, неверно: однолистная в каждой точке области D
функция может не быть однолистной в области D (см. ниже
пример 5).
Рассмотрим критерии однолистности функции в точке.
Теорема 2. Функция /(z), регулярная в точке г0?=оо5 яв-
является однолистной в этой точке тогда и только тогда, когда
Доказательство. Необходимость. Если /'(zo)=O
и /(z)# const, то по теореме 1 в любой Окрестности точки ze
найдутся по крайней мере две различные точки z4 и z2 такие, что
/(z!) = /(z2), т. е. функция /(z) не является однолистной в точ-
точке z0. Очевидно, функция /(z) = const также неоднолистна в
точке z0.
Достаточность. Если /'(z0)-Ф 0, то по теореме § 13 функ-
функция /(z) однолистна в точке z0.
Следствие . Функция
-=2-+ ..., \z\>R,

270 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
регулярная в точке z = «>, является однолистной в этой точке
тогда и только тогда, когда С-г = — res / (z) Ф 0.
Z=oo
Доказательство. Рассмотрим функцию
+ с-&2 + ..., Itl < i/R,
регулярную в точке ? = 0. Функция ? = 1/z взаимно однозначно
отображает окрестность 1 г( >» jR точки z = °° на окрестность
|?|<1/Д точки ? = 0 (§ 8). Следовательно, для однолистности
функции /(z) в точке z=<» необходимо и достаточно, чтобы
функция g(?) была однолистна в точке 5 = 0, т. е. по теореме 2
должно выполняться условие g' @) = c-i ^ 0.
Следствие 4. Функция /(z), имеющая полюс в точке z»
(конечной или бесконечной), является однолистной в этой точке
тогда и только тогда, когда этот полюс простой (первого по-
порядка) .
Для доказательства этого утверждения достаточно приме-
применить теорему 2 (следствие 3, если zo = °°) к функции l//(z).
Впрочем, следствие 4 вытекает также из примера 1.
Пример 2. а) Функция f(z)=iz2 однолистна в каждой
точке z Ф 0, °° и неоднолистна в точках г = 0иг = ».
б) Функция /(z)=l/z2 однолистна в каждой точке z?=0, °°
и неоднолистна в точках z = 0 и z = °°. П
Пример 3. Если z0 — существенно особая точка функции
/(z), то эта функция не является однолистной в точке z0. Дейст-
Действительно, в любой окрестности точки z0 уравнение f(z) = A по
теореме Пикара (§ 19) имеет бесконечное число решений для
каждого значения А, кроме, быть может, одного, т. е. функция
f(z) неоднолистна в точке z0. Q
Пример 4. Пусть функция f(z) регулярна в области D, за
исключением двух точек zu z2, которые являются полюсами
функции f(z). Покажем, что эта функция не является однолист-
однолистной в области D. В самом деле, если \А\ —достаточно большое
число, то уравнение j(z) = A имеет по крайней мере два реше-
решения Zi и z2, где точка zj близка к точке z} (/ == 1, 2) (пример 1),
т. е. функция /(z) неоднолистна в области D. []
Пример 5. а) Функция f(z) = ez однолистна в каждой
точке z Ф оо, но не является однолистной во всей комплексной
плоскости. Действительно, эта функция во всех точках zft =
= a+2kni (ft = 0, ±1, ±2, ...) принимает одно и то же значе-
значение еа.
б) Функция f(z) = z2 однолистна в каждой точке кольца
1< |z| < 3, но не является однолистной в этом кольце, так как
/(z)—четная функция: /(z) = /(-z). Q
Подведем некоторые итоги. Пусть функция f(z) регулярна и
однолистна в области D с выколотыми точками zit z2, ..., zn.

§ 32, ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОТОБРАЖЕНИЙ 271
Среди этих точек zh {к = 1, 2, ..., п) не может быть сущест-
существенно особой точки функции f(z) (пример 3) и не может быть
двух полюсов (пример 4). Следовательно, функция /(z) может
иметь только один полюс, причем первого порядка (следствие 4).
Таким образом, необходимыми условиями однолистности
функции /(z) в области D являются следующие условия:
1) функция /(z) должна быть регулярна в области D, за ис-
исключением, быть мозкет, одной точки — простого полюса;
2) в каждой конечной точке г^Д в которой функция f(z)
регулярна, должно выполняться условие f'(z)?=O;
3) если точка z = °° принадлежит области D и. в этой точке
функция / (z) регулярна, то должно выполняться условие с_х =з
= -res/(z)=/=O.
2в=оо
Условия 1)—3), вообще говоря, не являются достаточными
для однолистности функции в области (пример 5). Достаточные
условия будут рассмотрены в § 33.
3. Принцип сохранения области.
Теорема 3 (принцип сохранения области).
Пусть функция f(z) регулярна в области D и /(z)^ const. Тогда
при отображении w~f(z) образом области является область.
Доказательство. Пусть G — образ области D при отоб-
отображении w = /(z). Покажем, что G — открытое множество. Пусть
точка Wo принадлежит множеству G, т. е. w0 — /(z0), где zoe-D.
По теореме 1 и теореме § 13 для любой точки w из доста-
достаточно малой окрестности точки w0 существует по крайней мере
одна точка z из окрестности точки z0 такая, что w = f(z), т. е.
юеС. Таким образом, существует окрестность точки w0, целиком
принадлежащая G.
Связность множества G вытекает из непрерывности отобра-
отображения w = f(z), так как при этом отображении образом любой
непрерывной кривой, лежащей в области D, является непрерыв-
непрерывная кривая, которая состоит из точек множества G. Следова-
Следовательно, G — открытое связное множество, т. е. область.
Следствие 5. Пусть функция f(z) регулярна в области
D расширенной комплексной плоскости, за исключением, быть
может, полюсов, и /(z)^ const. Тогда образом области D при
отображении w = /(z) является область расширенной комплекс-
комплексной плоскости w.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда функция
/(z) имеет один полюс в конечной точке zo^D. В остальных
случаях доказательство аналогично.
Пусть Д> — область D с выколотой точкой z0. По теореме 3
образом области Do при отображении w = f(z) является область
Go. Из примера 1 вытекает, что существует кольцо R<~\w[<
< оо, принадлежащее Go. Следовательно, множество G = G0U
U {w = оо} является областью.

272
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
4. Принцип максимума модуля.
Теорема 4. Пусть функция /(z) регулярна в ограниченной
области D, непрерывна вплоть до границы этой области и /(z)^
Ф const. Тогда максимум модуля этой функции
max | / (z) |
z=D
достигается только на границе области D.
Доказательство. Рассмотрим точку zoe-D и докажем,
что существует точка Zi^D такая, что l/(zi) I > l/(z0) I. По тео-
теореме 3 образом области D при отображении w = /(z) является
область G, для которой точка wo = /(zo) является внутренней.
Значит, можно выбрать точку Wi^G на прямой, проходящей че-
через точки 0, w0, такую, что |H>il>|wo| (рис. 79). Эта точка wt
©
Рис. 79
т. е.
f(zi). Следо-
Следоявляется образом некоторой точки Zi^
вательно, l/(z4) I > l/(z0) I.
Следствие 6. Если функция f{z)?* const регулярна в обла-
области D, то l/(z)l не может иметь локального максимума во внут-
внутренней точке области D.
В самом деле, из доказательства теоремы 4 вытекает, что в
любой окрестности точки zo^D существует точка z, такая, что
l
Следствие 7. Если регулярная в области D функция
f(z)^ const не имеет нулей в области D, то l/(z) I не может иметь
минимума во внутренней точке области D.
Действительно, в этом случае функция l//(z) регулярна в об-
области D и по теореме 4 в любой окрестности точки zo^D суще-
существует точка Zi<=.?) такая, что |l//(zi)l > ll//(zo)l, т. е. l/(zt)l <
ll
/()
Пример 6. Пусть функция /(z)^ const регулярна в огра-
ограниченной области D, непрерывна вплоть до границы Г этой об-
области и l/(z)| |геГ = с = const. Покажем, что функция /(z) имеет
хотя бы один нуль в области D.
В самом деле, если f(z)?=O для всех z^D, то в силу след-
следствия 7 имеем l/(z)l > с при z^D, что противоречит утвержде-
утверждению теоремы 4: |/(z) I < с при z<=D. Q

§ 33. ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 273
Лемма Шварца. Пусть функция j(z) регулярна в круге
Ы<1, /(О) = О и |/(z)l<l при Ы<1. Тогда во всем круге
Ы < 1 имеет место неравенство
\f(z)\<\z\.
Если хотя бы в одной точке zf^O круга Izl < 1 выполняется ра-
равенство l/(z) I = Izl, то
/(z)=etez,
где а — действительное число.
Доказательство. Рассмотрим функцию g(z) = f(z)/z. Эта
функция регулярна в круге Izl < 1, так как /@) = 0 (§ 18). На
окружности Ы=р, 0<р<1 имеем \g(z) I = l/(z) l/lzl < 1/р.
Следовательно, по теореме 4 во всем круге |zl<p имеет место
неравенство lg(z)l<l/p. Так как р можно взять как угодно
близким к единице, то lg(z)|<l, т. е. l/(z)l<lz| при Ы<1.
Далее, если в некоторой точке z0 (lzol<l) функция lg(z)l
достигает своего максимума, т. е. \g(zo)\ = 1, то g(z) = const
(следствие 6), т. е. g(z) = eia и /(z) = eiaz.
Имеет место следующий принцип максимума и минимума для
гармонических функций.
Теорема 5. Пусть функция и(х, у), гармоническая в огра-
ограниченной области D, непрерывна вплоть до границы этой обла-
области и и(х, у) Ф const. Тогда максимум и минимум этой функции
достигаются только на границе области D.
Доказательство. Заметим, что достаточно доказать тео-
теорему для случая максимума, так как точка минимума гармони-
гармонической функции и(х, у) является точкой максимума функции
—и(х, у), которая также гармоническая.
Предположим противное: пусть максимум гармонической
функции и(х, у) достигается во внутренней точке zo=xo + iy»
области D. Рассмотрим любую односвязную область Dt, лежа-
лежащую в D и содержащую внутри себя точку z0. В области Di су-
существует регулярная функция /(z) такая, что Re/(z) = M(x, у)
(§ 7). Тогда функция g{z) — enz) регулярна в области Di и мо-
модуль этой функции \g(z) I = еи(х'у) достигает своего максимума
в точке z0. Следовательно, g(z) = const (теорема 4), откуда /(z)^
¦= const и u(x, y) = const при z^Di. В силу произвольности об-
области Di имеем и(х, z) = const при z^D, что противоречит усло-
условию теоремы.
§ 33. Общие свойства конформных отображений
1. Определение конформного отображения. В § 8 дано опре-
определение конформного отображения областей, не содержащих бес-
бесконечно удаленную точку. Было отмечено, что такие отображения
осуществляются однолистными регулярными функциями. Для
областей расширенной комплексной плоскости введем следующее
18 Ю, В. Сидоров и др.

274 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Определение 1. Отображение w = f(z) области D рас-
расширенной комплексной плоскости z на область G расширенной
комплексной плоскости w называется конформным, если
1) это отображение взаимно однозначно, т. е. функция f(zj
однолистна в области D;
2) функция /(z) регулярна в области D, за исключением,
быть может, одной точки, в которой эта функция имеет полюс
первого порядка.
Рассмотрим локальные свойства конформного отображения
w — f(z) в окрестности конечной точки z0, в которой функция
/(z) регулярна. Так как критерием однолистности функции f(z)
в точке z0 является условие f'(z<,)?=0 (§ 32), то из геометриче-
геометрического смысла производной (§8) вытекают следующие два свой-
свойства конформного отображения:
1. Постоянство растяжений. Линейное растяжение в точке z0
одинаково для всех кривых, проходящих через эту точку, и рав-
равно If (Zo).l.
2. Сохранение углов. Все кривые в точке z0 поворачиваются
на одинаковый угол, равный arg/'(z0).
Отметим следующие свойства конформных отображений:
3. Отображение, обратное к конформному отображению, так-
также является конформным.
4. Суперпозиция двух конформных отображений также явля-
является конформным отображением.
Эти свойства вытекают из определения 1 и свойств однолист-
однолистных и обратных функций (§§ 8, 13, 32).
2. Конформность в бесконечности. Введем понятие угла меж-
между кривыми в бесконечно удаленной точке.
Определение 2. Углом между кривыми flt ^г, проходя-
проходящими через точку z —°°, называется угол между образами этих
кривых при отображении ? = 1/z в точке % = 0.
Из этого определения и свойства 2 вытекает, что отображение
? = 1/z сохраняет углы между кривыми в каждой точке расши-
расширенной комплексной плоскости.
Пример 1. Пусть два луча «fu «f2 выходят из одной и той
же конечной точки z0. Тогда угол между лучами fii ^2 в точке
z = оо равен углу между этими лучами в точке z0, взятому с про-
противоположным знаком.
Доказательство. Ограничимся, для простоты, случаем,
когда z0 = 0. Пусть f} — луч: arg z = <р,- (/ =1, 2). Тогда угол
между f4, f2 (в направлении от ^ к f2) в точке z = 0 равен
а = ф2 —ф, (рис. 80). Образом луча ^s при отображении % = l/z
является луч ^: arg? = —ф} (/ = 1, 2) (§ 8) и поэтому угол меж-
ДУ Ти Та в точке ? = 0 равен (—<jp2) — (—<Pi) = — а (рис. 80). Сле-
Следовательно, по определению 2 угол между лучами ^ f2 в точке
z = °° равен —а. П

§ 33. ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
275
Из определения 2 и свойства 2 вытекает следующее свойство
конформного отображения:
5. При конформном отображении области D расширенной
комплексной плоскости сохраняются углы между кривыми в каж-
каждой точке этой области.
О
Рис. 80
Доказательство. В силу определения 1 и свойства 2
нужно доказать справедливость следующих утверждений:
1. Если функция
регулярна в точке z = °° и с-^О, то отображение w = f(z) со-
сохраняет углы между кривыми в точке z — °°.
2. Если функция /(z) имеет полюс первого порядка в точке
Zo (конечной или бесконечной), то отображение w=f(z) сохра-
сохраняет углы между кривыми в точке z0.
Докажем первое утверждение, второе доказывается анало-
аналогично.
Представим функцию w = /(z) в виде суперпозиции двух
функций: ? = l/z и w = g(%)= /(l/?) = Co + c-tt, + с~ъ%г +... По
определению 2 отображение ? = 1/z сохраняет углы между кри-
кривыми в точке z = °°. Отображение w = g(t,) сохраняет углы меж-
между кривыми в точке ? = 0, так как g'(O)=c-l?=O (свойство 2).
Следовательно, отображение w = /(z) сохраняет углы между кри-
кривыми в точке г = «>.
Замечание 1. Можно показать, что отображение % — 1/z
является поворотом сферы Римана на 180° вокруг диаметра с
концами в точках z = ±1 (их образами при стереографической
проекции). Следовательно, это отображение сохраняет углы меж-
между кривыми в каждой точке сферы Римана. Поэтому определе-
определение 2 является естественным. Можно показать, что любое кон-
конформное отображение сохраняет углы между кривыми на сфере
Римана.
18*

276 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
3. Соответствие границ при конформном отображении. Пусть
D и G — ограниченные односвязные области, границами которых
являются простые замкнутые кусочно гладкие кривые Г и Г со-
соответственно. Тогда имеет место
Теорема 1 (принцип соответствия границ)'.
Если функция w = /(z) конформно отображает область D на об-
область G, то
1) функцию f(z) можно непрерывно продолжить на эамыка-
ние области D, т. е. можно доопределить /(z) на Г так, что по-
получится непрерывная в D функция;
2) эта функция w = f(z) отображает взаимно однозначно кри-
кривую Г на кривую Г с сохранением ориентации.
Доказательство этой теоремы содержится в [5].
Докажем теорему, обратную к теореме 1. Пусть D и G —
ограниченные односвязные области с простыми кусочно гладкими
граничными кривыми Г и Г соответственно. Тогда имеет место
Теорема 2 (критерий однолистности функ-
функции в области). Пусть функция w = f(z), регулярная в об-
области D и непрерывная вплоть до ее границы Г, отображает
взаимно однозначно кривую Г на кривую Г с сохранением ориен-
ориентации. Тогда эта функция однолистна в области D и отображает
конформно область D на область G.
Доказательство. Нужно доказать, что
1) для каждой точки и>0 е G существует только одна точка
Zo^D такая, что f{zo)=wo, т. е. функция f(z)—w0 имеет ровно
один нуль в области D;
2) для каждой точки wu не принадлежащей области G, функ-
функция f(z) не принимает значение Wi при z^D.
Докажем первое утверждение. По условию теоремы функ-
функция f(z)— w0 не обращается в нуль на Г, так как при z^T точ-
точка w = / (z) принадлежит Г, a w0 <= G. Значит, по принципу аргу-
аргумента (§ 30) число нулей функции f(z)—w0 в области D равно
N = A/2я) Аг arg [/ (z) — w0] = (l/2it) Ajrarg (w — w0). Так как точ-
точка wtt лежит во внутренности замкнутой кривой Г (рис. 81), то
Ду arg (w — w0) = 2ix и N = 1.
Аналогично, если точка Wi лежит во внешности кривой Г, то
Дрarg(w — Wi) = 0 (рис. 81) и уравнение f(z)=Wi не имеет
решений в области D.
Замечание 2. Теоремы 1 и 2 справедливы и для областей
расширенной комплексной плоскости с кусочно гладкими грани-
границами: при конформном отображении граница области переходит
в границу образа области взаимно однозначно с сохранением
ориентации (см. [5]).
4. Теорема Римана. Фундаментальной теоремой теории кон-
конформных отображений является

§ зз. Общие свойства конформных отображений
277
Теорема 3 (теорема Римана). Пусть D — односвяз-
ная область расширенной комплексной плоскости, граница кото-
которой состоит более чем из одной точки. Тогда
1) существует функция w = j(z), которая конформно отобра-
отображает область D на круг \w\ < 1;
Рис. 81
2) эта функция единственна, если выполняются условия
f(zo)=wo, arg/'(zo) = cc. A)
Здесь z0, w0 — заданные точки (zo<^D, \wo\<l), а— заданное
действительное число.
Исключительными являются следующие области:
а) вся расширенная комплексная плоскость,
б) вся расширенная комплексная плоскость с одной выколо-
выколотой точкой.
Эти области нельзя конформно отобразить на круг |н?|<1.
В самом деле, пусть функция w = f(z) конформно отображает
всю расширенную комплексную плоскость на круг \w\ < 1. Тогда
эта функция регулярна и ограничена во всей расширенной комп-
комплексной плоскости и, следовательно, /(z) = const по теореме Лиу-
вилля (§ 19). Аналогично, если функция w = f(z) конформно
отображает всю расширенную комплексную плоскость с выколо-
выколотой точкой za на круг \w\ < 1, то эта функция регулярна и огра-
ограничена при z Ф za. Тогда точка z0 является устранимой особой
точкой функции f(z) (§ 18), т. е. функция /(z) регулярна и огра-
ограничена во всей расширенной комплексной плоскости, и /(z)^
^ const по теореме Лиувилля.
Отметим, что если граница односвязной области D содержит
две точки, то границей области D является некоторая кривая,
проходящая через эти точки. Такую область по теореме 3 можно
конформно отобразить на единичный круг. Доказательство тео-
теоремы 3 содержится в [5].
Из теоремы 3 вытекает
Следствие. Пусть границы односвязных областей D и G
состоят более чем из одной точки. Тогда существует одна и толь-

278
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ко одна функция w — f(z), которая конформно отображает об-
область D на область G так, что
f(zo) = wo, argf(zo)=a, B)
где Zo^D, wo<^G, a — действительное число.
Доказательство. Существование. По теореме 3
существует конформное отображение ? = g (z) области D на
круг |?| <1 такое, что g(ze) = O, argg'(zo) = O (рис. 82). Ана-
Аналогично, существует конформное отображение t, = h(w) области
G на круг |?| < 1 такое, что ft(u>0) = 0, arg h'{wo) = — а. Тогда
Рис. 82
функция u> = iJ>(J;), обратная к функции %=h(w), конформно
отображает круг \%\ < 1 на область G так, что ty@) = w0,
argi|)'@) = а. (рис. 82). Следовательно, функция w = f(z) =
= Mg(z)) конформно отображает область D на область G и
удовлетворяет условиям B).
Единственность. Пусть две функции w = fj(z) (/ = 1,2)
конформно отображают область D на область G так, что
U (zo) =
/i («•) = а> / = 1» 2.
Докажем, что /1(г)=/гB) при z<=D.
По теореме 3 существует единственное конформное отобра-
отображение % = h(w) области G на круг |?1<1 такое, что h(wo) = O,
aTgh'(wo) = O. Функции t, = gj(z) = h(fj(z)) (/ —1, 2) конформно
отображают область D на круг \%\ < 1 и удовлетворяют усло-
условиям
Следовательно, по теореме 3 gi(z)™ga(z), т. е. h(fi(z))^h(f2(z)),
откуда /4(z) = /2(z).
Замечание 3. Вместо единичного круга можно было взять
какую-нибудь другую «каноническую» область, например, верх-
верхнюю полуплоскость. В дальнейшем, как правило, рассматрива-
рассматриваются отображения на единичный круг или на верхнюю полу-
полуплоскость.

§ 34. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 279
Итак, если границы односвязных областей D и G состоят бо-
более чем из одной точки, то существует конформное отображение
области D на область G, причем это отображение не единствен-
единственно. Для единственности достаточно задать условия B), которые
называются нормировкой конформного отображения. Эта норми-
нормировка содержит три произвольных действительных параметра:
Mo, v0 (wo = uo + ivo) и ос. Вместо B) можно задать другие усло-
условия, содержащие три независимых действительных параметра.
Например:
1. Существует единственное конформное отображение w =
= /(z) области D на область G, удовлетворяющее условиям
f(Zo)=WQ,
где z0, w0 — внутренние, a zu Wi — граничные точки областей D
и G соответственно.
2. Существует единственное конформное отображение ге =
= /(z) области D на область G, удовлетворяющее условиям
f(zh)=wh, k = 1,2,3,
где Zi, z2, z3 — различные граничные точки области D, a wt, wz,
w3 — различные граничные точки области G, занумерованные в
порядке положительной ориентации граничных кривых областей
D и G соответственно.
В случае неодносвязных областей вопрос о существовании
конформного отображения является гораздо более сложным.
Даже для простейших двусвязных областей D: р<Ы<Я, G:
pi<\w\<Ri не всегда существует конформное отображение/)
на G (см. § 36). Теория конформных отображений многосвязных
областей изложена в [5].
§ 34. Дробно-линейная функция
Функция
f^ A)
где а, Ъ, с, d — комплексные числа, называется дробно-линейной.
Отображение, осуществляемое функцией A), называется дробно-
линейным. Условие ad — be Ф 0 означает, что w Ф const. В фор-
формуле A) предполагается, что если сФО, то w(°°) = a/c,
w(—d/c)^°°, а если с = 0, то w(<*>) = °°. Таким образом, дробно-
линейная функция определена во всей расширенной комплекс-
комплексной плоскости. В частности, при с = 0 функция A) является ли-
линейной, а отображение, осуществляемое линейной функцией,
называется линейным.
Рассмотрим основные свойства дробно-линейных отобра-
отображений.

280 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1. Конформность.
Теорема 1. Дробно-линейная функция конформно отобра-
отображает расширенную комплексную плоскость на расширенную
комплексную плоскость.
Доказательство. Очевидно, функция A) регулярна во
всей расширенной комплексной плоскости, за исключением точ-
точки z = — die — полюса первого порядка.
Решая уравнение A) относительно z, находим функцию
dw-Ь adbc?Q B)
ad_bc?=Q B)
— cw -j- а1 ~ ' v '
обратную к функции A). Функция B) однозначна на всей рас-
расширенной комплексной плоскости и также является дробно-ли-
дробно-линейной. Следовательно, дробно-линейная функция однолистна в
расширенной комплексной плоскости.
Замечание 1. Имеет место обратное утверждение: если
функция w = f(z) конформно отображает расширенную комп-
комплексную плоскость на расширенную комплексную плоскость, то
эта функция является дробно-линейной.
В самом деле, по определению 1 § 33 функция /(z) регулярна
в расширенной комплексной плоскости, кроме одной точки —
простого полюса. Если эта точка z0 — конечная и res f(z) = A,
z=2o
то функция g(z) = f(z) — A/(z — z0) регулярна во всей расши-
расширенной комплексной плоскости. Следовательно, по теореме Лиу-
вилля (§ 19) g(z) = const, т. е. f(z)—дробно-линейная функция.
Если z0 = °°, то f(z) — целая функция и /(z) = O(z) (z-*-°°)
(§ 19). Тогда по теореме Лиувилля f(z) = az+ b.
2. Групповое свойство.
Теорема 2. Совокупность дробно-линейных отображений
образует группу, т. е.
1) суперпозиция (произведение) дробно-линейных отображе-
отображений является дробно-линейным отображением;
2) отображение, обратное к дробно-линейному, также явля-
является дробно-линейным.
Доказательство. Свойство 2 доказано в п. 1. Докажем
свойство 1. Пусть
«AV^o C)
D)
2Ъ ' i
Подставляя C) в D), получаем
az-\-b ,кч

§ 34. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 281
где ad — bc = (aidi — bici)(a2d2 — b2C2)^=0, т. е. отображение E)
является дробно-линейным.
Замечание 2. Группа дробно-линейных отображений не-
некоммутативна. Например, если w(z) = 1/z, ?(z) = z+l, то
w(C(z)) = rp-1, CMz)) = -f+ 1, «> (С (*))^= С (">(*))•
3. Круговое свойство.
Теорема 3. Дри дробно-линейном отображении образом
любой окружности или прямой является окружность или прямая.
Доказательство. Сначала рассмотрим линейное отобра-
отображение w = az+ Ъ (аФО). Это отображение сводится к подобию,
повороту и переносу (§8). Следовательно, линейное отображе-
отображение переводит окружности в окружности, а прямые — в прямые.
В случае, когда дробно-линейная функция w = g' d не яв-
является линейной (сФО), представим ее в виде
ш = Л+т^-, F)
где А=а/с, В = (bc — ad)/c2, Zn — d/c. Тогда отображение FJ
сводится к последовательному выполнению следующих отобра-
отображений:
t = z + z0, r\ = -L, ш = А + Вц. G)
Первое и третье отображения G) обладают круговым свойством,
так как они линейные. Остается доказать, что второе отображе-
отображение G), т. е. отображение
w = ±, (8)
также обладает круговым свойством.
Уравнение любой окружности или прямой на плоскости z =
= х + iy имеет вид
+ 6 = 0 (9)
(если сс = О, то (9) — уравнение прямой). Так как
то уравнение (9) записывается в виде
0, A0)
где D = -у (Р — iy)- Подставляя в A0) z = i/iv, получаем
8ww + Dw + Dw + a = 0. A1)

282 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Следовательно, образом окружности A0) (прямой, если сс = О)
при отображении (8) является окружность (И) (прямая, если
6 = 0).
Отметим, что дробно-линейное отображение w = аг"Г пе-
CZ ~j~ и,
реводит окружности и прямые, проходящие через точку z =•
= —d/c, в прямые, а остальные окружности и прямые — в ок-
окружности.
В дальнейшем будем считать, что прямая — окружность бес-
бесконечного радиуса. Поэтому круговое свойство можно коротко
^ сформулировать так: при дробно-ли-
дробно-линейном отображении окружности
переходят в окружности.
4. Свойство сохранения симмет-
симметрии. Понятие симметрии (инверсии)
относительно окружности определя-
определяется в элементарной геометрии сле-
следующим образом. Пусть Г — окруж-
окружность радиуса R с центром в
точке О.
Рие- 83 Определение. Точки М и
М* называются симметричными
относительно окружности Г, если они лежат на одном луче, вы-
выходящем из точки О, и ОМ • ОМ* ¦= Rz (рис. 83).
В частности, каждая точка окружности Г является симмет-
симметричной сама себе относительно этой окружности.
Таким образом, на комплексной плоскости точки z и z* яв-
являются симметричными относительно окружности Г: \z — a\ = R,
если они лежат на одном луче, выходящем из точки а и
\z~a\\z* — а\ =RZ. Точка z = °° считается симметричной отно-
относительно окружности Г с точкой а — центром этой окружности.
Из этого определения вытекает, что симметричные относи-
относительно окружности \z\ = R точки z, z* связаны соотношением
z*=RzJz. A2)
В частности, симметричные относительно единичной окружности
Izl = 1 (рис. 84) точки z, z* связаны соотношением
z* = 1/z. A3);
Так как точки z и z симметричны относительно действительной
оси, то из A3) следует, что точка 1/z получается из точки z
двойной симметрией: относительно действительной оси и относи-
относительно единичной окружности (в любом порядке) (рис. 84).
Из A2) вытекает, что симметричные относительно окружно-
окружности \z — a\ =i? точки z, z* связаны соотношением
z* = а + -Л-=. A4)
z — а

§ 34. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
283
Дробно-линейное отображение обладает следующим свойством
сохранения симметрии.
Теорема 4. При дробно-линейном отображении пара то-
точек, симметричных относительно окружности, переходит в пару
точек, симметричных относительно образа этой окружности.
Здесь «окружность», в частности, может быть прямой.
Предварительно докажем следующую лемму.
Рис. 84
Лемма. Точки М и М* являются симметричными относи-
относительно окружности Г тогда и только тогда, когда любая окруж-
окружность if, проходящая через эти точки, пересекается с окруж-
окружностью Г под прямым углом.
Доказательство. Необходимость. Пусть точки М,
М* симметричны относительно окружности Г радиуса R с цент-
центром в точке О (рис. 85). Рассмотрим окружность у, проходящую
через точки М, М*. Проведем из точки О прямую, касающуюся
окружности 7 в точке Р. По теореме элементарной геометрии
(квадрат касательной равен произведению секущей на ее внеш-
внешнюю часть) имеем ОРг — ОМ • ОМ*. Это произведение равно й2,
так как точки М, М* симметричны относительно окружности Г.
Значит, OP = R, т. е. точка Р лежит на окружности Г. Таким
образом, касательная к окружности f является радиусом окруж-
окружности Г и, следовательно, окружности у, Г пересекаются в точке
Р под прямым углом.
Достаточность. Пусть любая окружность у, проходящая
через точки М, М*, пересекается с окружностью Г под прямым
углом (рис. 85). Тогда прямая (частный случай окружности),
проходящая через точки М, М*, также пересекается с окруж-
окружностью Г под прямым углом, т. е. эта прямая проходит центр О
окружности Г. Более того, точки М, М* лежат на одном луче,
выходящем из точки О, так как в противном случае окружность

284 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
радиуса -у ММ*Х проходящая через точки М, М*, не пересека-
пересекается с Г под прямым углом.
Остается доказать, что ОМ ОМ* — R2. Пусть окружность у,
проходящая через точки М, М*, пересекается с Г в точке Р
(рис. 85). Тогда ОР — касательная к у и, следовательно, ОРг =
= ОМ • ОМ* по теореме о квадрате касательной (см. необхо-
необходимость) .
Доказательство теоремы 4. Пусть точки z и z* сим-
симметричны относительно окружности Г и пусть дробно-линейное
отображение w — f(z) переводит окружность Г в Г, а точки z,
z* — в точки w, w* соответственно. В силу кругового свойства
Г — окружность. Нужно доказать, что точки w, w* симметричны
относительно Г. Для этого в силу леммы достаточно доказать,
что любая окружность у, проходящая через точки w, w*, пере-
пересекается с Г под прямым углом.
Прообразом окружности f при дробно-линейном отображении
w = /(z) является окружность у, проходящая через точки z, z*.
Эта окружность f пересекается с Г под прямым углом. Следова-
Следовательно, у пересекается с Г также под прямым углом, так как
дробно-линейное отображение является конформным во всей рас-
расширенной комплексной плоскости и поэтому сохраняет углы
между кривыми в каждой точке.
5. Дробно-линейное отображение, переводящее три точки в
три точки.
Теорема 5. Существует единственное дробно-линейное
отображение, при котором три различные точки zt, z2, z, пере-
переходят соответственно в три различные точки Wi, wz, w3. Это
отображение определяется формулой
w— ;
A5)
Доказательство. Из теоремы 2 следует, что функция
w = f(z), определяемая соотношением A5), является дробно-
линейной. Ясно также, что wh — f(zk) (k = 1, 2, 3).
Докажем, что если дробно-линейная функция w = /4 (z) удов-
удовлетворяет тем же условиям, что и функция w = f(z), а именно
wh = fi(zh) (& = 1, 2, 3), то /i(z) = /(z). Пусть z = ty(w)— функ-
функция, обратная к функции w = f(z). Тогда а|э(Д(z))— дробно-ли-
дробно-линейная функция:
= z*, т. е.
az. -4- 6
Z * ^23

§ 34. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ 285
Отсюда получаем
cz\ + (d — a) zk —- b — О,
т. е. квадратное уравнение cz2 + (d — a)z — Ь = 0 имеет три раз-
различных корня. Следовательно, с —0, d = a, 6 = 0 и if(/i(z)) = z,
откуда /i(z) = /(z).
Следствие 1. Функция w = f(z), определяемая формулой
A5), конформно отображает круг, граница которого проходит
через точки zh (А = 1, 2, 3), на круг, граница которого проходит
через точки wh (A = l, 2, 3).
Здесь и далее «круг» — внутренность окружности, или внеш-
внешность окружности, или полуплоскость.
Замечание 3. Из доказательства теоремы 5 следует, что
дробно-линейное отображение w — w(z) может иметь не более
двух неподвижных точек zu z2, т. е. таких, что w(zh) = zk (fc =
= 1, 2), если w(z)?*z. Дробно-линейное отображение, имеющее
две неподвижные точки zt, z2, определяется формулой
где А — комплексное число.
Пример 1. Всякое дробно-линейное отображение, перево-
переводящее точку Zi в точку w = 0, а точку z2 — в точку w = °°, имеет
вид
w = a1^l, A6)
2 Z
где А — некоторое комплексное число. []
6. Примеры дробно-линейных отображений.
Пример 2. Дробно-линейное отображение полуплоскости
Imz > 0 на круг I w\ < 1 имеет вид
w = Z-^Leia, A7)
где Im z0 > 0, а — действительное число.
Доказательство. Пусть дробно-линейная функция w ==
= w(z) отображает полуплоскость Imz>0 на круг |ш|<1 так,
что w(zo) — O (Imzo>O). Тогда в силу свойства сохранения сим-
симметрии w(zo)=°° и по формуле A6)
w = AZ-^-. A8)
Покажем, что 141 = 1. Так как точки действительной оси
переходят в точки единичной окружности, т. е. |ш| =1 при дей-

ГЛ, VI, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
стоительных z — x, то из A8)
AX-^
(\x — zol = \x — zol). Следовательно, А — eia и из A8) получаем
формулу A7).
Замечание 4. При отображении A7) угол поворота кри-
кривых в точке z0 равен а — у (рис. 86), так как из A7) имеем
arg и/ (z0) = а — у (§ 8, пример 5).
Замечание 5. Всякое конформное отображение полупло-
полуплоскости Im z > 0 на круг I w I < 1
[г) (ш) ,у//^/у^. имеет вид A7).
В самом деле, по теореме
Римана (§ 33), существует
единственное конформное ото-
6 ^ НТ** /? бражение w = w(z) полупло-
полуплоскости Imz>0 на круг \w\ <
< 1, удовлетворяющее услови-
условиям w(za) = 0, arg w' (zo) = а —
Рий 86 — у. Следовательно, это ото-
отображение совпадает с отображением A7).
Это замечание относится и к формулам A9), B1).
Пример 3. Дробно-линейное отображение круга lz| < 1 на
круг |ш| < 1 имеет вид
w =
A9)
где |zol < 1, а — действительное число.
Доказательство. Пусть дробно-линейная функция w =
— w\z) отображает круг lzl<l на круг |и;|<1 так, что
w(zo) = O (|zol<l). Тогда в силу свойства сохранения симмет-
симметрии (п. 4) w{l/zo)= °° и по формуле A6) имеем
» = ^- B0)
Покажем, что }А\ =1. Так как точки единичной окружности
переходят в точки единичной окружности, т. е. |ш| =1 при z —
= е", то из B0)
1 =
1 -
Следовательно, A — eia и из B0) получаем формулу A9). [}

34. ДРОБНО-ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
287
Замечание 6. При отображении A9) угол поворота кри-
кривых в точке z0 равен а (рис. 87), так как из A9) имеем
argw'(zo) = a (§8, пример 5).
Пример 4. Дробно-линейное отображение полуплоскости
Im z > 0 на полуплоскость Im w > О имеет вид
w = a-l±±, B1)
cz-\- d
где a, b, с, d — действительные числа и ad — be > 0.
Доказательство. Пусть дробно-линейная функция ю =
= w(z) отображает полуплоскость Imz>0 на полуплоскость
Рис. 87
1тн7>0. Рассмотрим три различные точки zh z2, z3 границы об-
области Imz>0, т. e. zh— различные действительные числа. Об-
Образы этих точек являются граничными точками области Imw>
> 0, т. е. wh = w (гк) — действительные числа. Тогда функция
w — w(z) определяется формулой A5), откуда получаем фор-
формулу B1), где а, Ъ, с, d — действительные числа.
Покажем, что ad ~ be > 0. В силу принципа соответствия гра-
границ (§ 33) конформное отображение w—w(z) переводит дей-
действительную ось Im z = 0 в действительную ось Im w = 0 с
сохранением ориентации. Следовательно, при действительных
z = х имеем arg w' (x) > 0, т. е.
откуда ad — be > 0. []
Пример 5. Конформное отображение h> = h>(z) круга |zl < 1
на круг |и?|<1, удовлетворяющее условиям
arg w'(zo) = а, определяется формулой
B2)
»-•• с»
Доказательство. Функция
2 — г„

288 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
отображает круг ,'lzl < 1 на круг |?|<1 так, что g(zo) = O и
aigg'(za) = a (пример 3). Функция
1 — wwQ
отображает круг |м;| < 1 на тот же круг |?| < 1 так, что h(w0) —
==0 и argft'(u;o) = 0 (пример 3). Следовательно, функция w =
= w(z), определяемая формулой B2), отображает круг Ы<1
на круг |и;|<1 так, что w(zo) = wa и arg w'(zo) = a. П
Пример 6. Конформное отображение w ~ w (z) полуплоско-
полуплоскости Im z > 0 на полуплоскость Im w > 0, удовлетворяющее ус-
условиям w(zo) = wo, arg w'(zo) — a, определяется формулой
w — w0 _ z — z0 ь
Доказательство этого утверждения аналогично доказательству
формулы B2). \j
§ 35. Конформные отображения элементарными функциями
1. Функция w =z2. Рассмотрим свойства функции w = z2,
некоторые сведения о которой были приведены в § 8.
1. Однолистность. Напомним, что функция w = z2 одно-
однолистна в области D тогда и только тогда, когда в этой области
нет различных точек zt и z2, связанных равенством
Zi = — Z2. A)
Равенство A) означает, что точки zt и z2 симметричны отно-
относительно точки z = 0. Таким образом, функция w = z2 одноли-
однолистна в области Z? в том и только в том случае, когда эта область
не содержит ни одной пары точек, симметричных относительно
точки z = 0.
В частности, функция w = z2 однолистна в полуплоскости,
граница которой проходит через точку z = 0.
Пример 1. а) Функция w = z2 конформно отображает
верхнюю полуплоскость Im z > 0 на область G — плоскость w
с разрезом по лучу [0, +°°) (§8, рис. 35).
б) Функция w = z2 конформно отображает нижнюю полупло-
полуплоскость Imz<0 на ту же область G (§ 8, рис. 36). []
Рассмотрим отображение координатной сетки функцией w =
= z2 для случаев полярной и декартовой систем координат.
2. Образы лучей argz = a и дуг окружностей
|z!=p. Линии arg z = const и |zl = const образуют координат-
координатную сетку на плоскости z (полярные координаты). В § 8 было
показано, что функция w = z2 взаимно однозначно переводит:

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 289
а) луч arg z = а в луч arg w = 2а;
б) дугу окружности |z[=p, a^argz<(S, где (S — а<я,
в дугу окружности I w\ = р2, 2а < arg w < 2р.
Пример 2. Из свойств 1, 2 вытекает, что функция w = z2
конформно отображает кольцевой сектор S: pi<lzl<p2, 0<
<argz<a<n, где 0<pi<p2 ^+°°, на кольцевой сектор
3: р!<|н>|<р|, 0<argw<2a (рис. 88). D
Рис. 88
3. Образы прямых Rez = c, lmz — c. Покажем, что
функция w — z2 взаимно однозначно переводит:
а) прямую Re z == с в параболу
B)
б) прямую Im z = с в параболу
Здесь р = 2с2, w = и + iv.
Действительно,
w == и + iv = z2 = {х + iyJ = ж2 - у2 + 2xyi,
т. е. и = х2 — уг, v = 2ху. Если Re z == x = с, —<» < у < +°°, то
откуда вытекает формула B)l Аналогично, при Im z = ^ = с
получается формула C).
Если с = 0, то р = 0, и парабола 2 вырождается в луч (—°°,
О],* проходимый дважды, т. е. прямая Rez = 0 переходит в луч
(—°°, 0], проходимый дважды (§ 8, рис. 37). Аналогично полу-
получаем, что прямая Imz = 0 переходит в луч [0, +°°), проходимый
дважды (рис. 88).
Отметим, что любая парабола вида B) пересекается с любой
параболой вида C) под прямым углом в силу свойства сохра-
19 ю. В. Сидоров и др,

290
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
нения углов при конформном отображении. Фокусы всех пара-
парабол B) и C) расположены в одной и той же точке w = 0.
Пример 3. Из свойств 1, 3 вытекает, что функция w = z*
конформно отображает прямоугольник (рис. 89) на криволиней-
криволинейный четырехугольник, ограниченный дугами парабол вида B),
C)-П
0
//////////7//////У'//////7'/
b О а
Рис. 89
2. Функция w = V г. Свойства функции w = Vz, обратной к
функции w=-zz, рассматривались в §§ 13 и 22. Напомним, что
функция Vz является аналитической в плоскости z с выколоты-
выколотыми точками z = 0, °°, а в плоскости с разрезом, соединяющим
точки z = 0 и z = оо, распадается на две регулярные ветви.
Пример 4. Пусть D — плоскость z с разрезом по лучу
[0, +<») (§ 13, рис. 47). В этой области функция Vz распада-
распадается на две_ регулярные ветви /4(z) и /2(z)== — /t(z), где
fi(x + 0i)= Ух>0 при ж>0, т. е. функция ft(z) принимает
положительные значения на верхнем берегу разреза. Функция
w = ft (z) конформно отображает область D на верхнюю полу-
полуплоскость Imw>0, а функция u? = /2(z) — на нижнюю полу-
полуплоскость Imu?<0 (§ 13, рис. 47). []
Пример 5. Пусть D — плоскость с разрезом по лучу (—°°,
0] (§ 13, рис. 48). В этой области функция Vz распадается на
две регулярные ветви /4(z) и /г(г) = — /i(z), где /4A)=1. Функ-
Функция w = /4 (z) конформно отображает область D на полупло-
полуплоскость Re z > 0, а функция w = /г (z) — на полуплоскость Re z <
<0 (§ 13, рис. 48). ?
Пример 6. Пусть D — внешность параболы уг = 2pl x +-j),
где р> 0, z = х + iy, т. е. область уг > 2р (х + -|] (рис. 90).

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 291
В этой области функция Vz распадается на две регулярные
ветви /i(z) и /a(z)='-/i(z), где U [— jj = i Vp/2. Из при-
примера 3 (рис. 89) следует, что функция w = /t (z) конформно
отображает область D на полуплоскость Im w> T/p/2, а функ-
функция w =>fz(z) — ша. полуплоскость Imw<— Ур/2 (рис. 90). []
W=f,(Z)
'//////////////777//Т/7777////
Рис. 90
Пример 7. Пусть D — полуплоскость Im z > 0 с разрезом
по отрезку [0, ih] (h>0) (рис. 91). Найдем конформное ото-
отображение области D на верхнюю полуплоскость Im w > 0.
а) Функция Х>~ъг конформно отображает область D на об-
область D% — плоскость % с разрезом по лучу [—№, +°°) (рис. 91);
0 Hw
777777777, '- ///'///////////Р////////.
Рис. 91
б) функция tj = ? + u2 (сдвиг) конформно отображает об-
область Di на область D* — плоскость tj с разрезом по лучу [0,
-+¦«>) (рис. 91);
в) функция w = Уц (точнее, ее регулярная ветвь в D2, при-
принимающая положительные значения на верхнем берегу разреза)
< а*

292 ГЛ, VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
конформно отображает область Dt на полуплоскость Im w > 0
(пример 4).
Следовательно, суперпозиция отображений а)—в), т. е. функ-
функция w =» Tz2 + Ь? конформно отображает область D на полупло-
полуплоскость 1тм;>0 (рис. 91). []
3. Функция w =га. Свойства степенной функции z" изуча-
изучались в § 22. В частности, был рассмотрен
Пример 8. Функция w = Z", a > 0, конформно отображает
сектор 0<argz< ji < 2я, где ?К2я/а, на сектор 0<argu;<
<сф (рис. 61). []
Замечание 1. В примере 8 и всюду в дальнейшем симво-
символом za обозначается следующая функ-
функция:
za=|z|aetaar«x, DJ
определенная в секторе 0 < arg z < 2л.
Отметим следующий частный слу-
случай примера 8.
Пример 9. Пусть 5 — угол 0 <
< arg z < {J ^ 2я. Тогда функция w =
= z"/p конформно отображает угол S на
верхнюю полуплоскость Im w > 0. []
Рассмотрим область D, ограниченную двумя дугами окружно-
окружностей, пересекающихся в точках а и Ъ под углом а (рис. 92).
Эта область называется луночкой. Покажем, что луночку D мож-
можно конформно отобразить на верхнюю полуплоскость с помощью
дробно-линейной и степенной функций.
Применим дробно-линейное отображение ? = jzri' ПРИ ко"
тором ?(а) = 0, ?{Ь) = °°. Это отображение переводит дуги, ог-
ограничивающие D, в лучи, пересекающиеся в точке ? = 0 под
углом а, (§ 34). Следовательно, образом луночки D является
угол {J < arg ? < р + а, где р — некоторое число.
Этот угол поворотом т] = ?e~!|i отображается на угол 0 <
< arg х] < а, который функция w ~ г\я/а отображает на полупло-
полуплоскость Imu>>0 (пример 9). Таким образом, функция
-п. _.-П\Я/а
конформно отображает луночку D на верхнюю полуплоскость.
Пример 10. Конформные отображения областей, указан-
указанных на рис. 93, на верхнюю полуплоскость осуществляются сле-
следующими функциями:
- г\2/3

35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
293
д> ¦»-
-УШ о
4. Функция w—ez. Некоторые свойства функции
рассмотрены в § 8. Напомним эти свойства.
= ех были
2
Рис. 93
1. Однолистность. Функция w — e' однолистна в обла-
области D тогда и только тогда, когда эта область не содержит ни-
никакой пары различных точек zu z2, связанных равенством
Zi-z2 = 2/mi, &*=±1, ±2, ... E),
В частности, функция w = ег однолистна в полосе 0 < Im z <
<2я и конформно отображает эту полосу на плоскость w с
разрезом по лучу [0, +°°) (§ 8, рис. 38).
Рассмотрим отображение координатной сетки Re z >=» const,
Im z = const функцией w = ег.
2. Образы прямых Rez = c, Imz = c. В § 8 было по-
показано, что функция w = e* взаимно однозначно переводит
а) отрезок Rez = c, a<Imz<&, где Ъ — а<2л, в дугу ок-
окружности \w\ = е", а^ arg w < Ъ;
б) прямую Im z = с в луч arg w = с.
Пример 11. Из приведенных свойств 1, 2 вытекает, что
функция w = ег конформно отображает прямоугольник с, <
<Rez<c2, a<Imz<b, где — °° ^ ci<cz^+°°, b — a<i2n,
на кольцевой сектор el <C\w\<,e2, a< arg w<b. Частные
случаи таких отображений показаны на рис. 94. [J

294
ГЛ, VI, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
5. Функция w = In z. Свойства функции w ~ In z, обратной к
функции ю = е1, рассматривались в §§ 13 и 21. Напомним, что
функция w = In z является аналитической в плоскости z с вы-
выколотыми точками z = 0, °°, а в плоскости с разрезом, соеди-
соединяющим точки z = О и z = <», распадается на бесконечное число
регулярных ветвей.
fib
/f'/////////////S/////////S//////t
©
©
УУУУУ^УУ У У УУУУУУУу'у^У Sy
0
/tl
лУУУУУУУУУУУУУУУУУ/
г
\
w
/
/
/
0
w=e*
a
w=e2
6
ш=ег
в
Рис. 94
(w)
-7
@ /
-1
©
/
-1
0
ъ
I
1
\
^7777
/
1
Приведем примеры конформных отображений функцией w =
— In z, рассмотренные в § 13 и 21.
Пример 12. Пусть D — плоскость z с разрезом по лучу
[О, +°°) (рис. 49). В этой области функция Inz распадается на
регулярные ветви:
(lnz)ft = lnlz|+i(argzH + 2fcm, fc = O, ±1, ±2,
где 0<(argzH<2n. Функция u; = (lnz)ft конформно отображает
область D на полосу 2кл < Im w<2(k + 1)л (рис. 49). []
Пример 13. Функция w = \nz конформно отображает сек-
сектор 0<argz<a^2n на полосу 0<1тц?<сс (рис. 60). Здесь
In z = In \z\ + г arg z, 0 < arg z < <x. []
6. Функция Жуковского. Функция
W = -г:
F)

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 295
называется функцией Жуковского. Эта функция регулярна в
1 ( 1 \
точках z Ф 0, со, причем w'(z) =-2A 2 )» а в точках z = О
и z = оо имеет полюсы первого порядка. Следовательно, функ-
функция Жуковского F) однолистна в каждой точке z?=d=l, так как
w'(z) =5^=0 при г?=±1, и неоднолистна в точках z = ±l, так как
м/(±1) = 0 (п. 2 § 32). Докажем следующее свойство.
1. Однолистность. Функция Жуковского w — -^iz-\—)
однолистна в области D тогда и только тогда, когда в этой об-
области нет различных точек zt и za, связанных равенством
1. G);
1 / 1 \ 1/ 1 \
В самом деле, пусть -jI zi + — 1 =^ [ Z2+ 7-) • Тогда (zx — za) M
X | 1 1= 0, откуда либо z, = z2, либо zxz2 = 1.
Равенство G) геометрически означает, что точка z2 = 1/z,
получается из точки zt двойной симметрией: относительно ок-
окружности Izl —1 и относительно прямой Imz = 0 (§ 34,
рис. 84). Таким образом, функция Жуковского однолистна в об-
области в том и только в том случае, когда эта область не со-
содержит ни одной пары различных точек, которые получаются
одна из другой двойной симметрией: относительно единичной
окружности и относительно действительной оси.
Пример 14. Фупкция Жуковского w == f (z + у) одноли-
однолистна в следующих областях:
а) Izl > 1 — внешность единичного крута,
б) Izl < 1 — единичный круг,
в) Im z > 0 — верхняя полуплоскость,
г) Im z < 0 — нижняя полуплоскость. []
Замечание 2. Пусть D — область, состоящая из точек 1/z,
где z^D. Тогда функция Жуковского однолистна в области D
в том и только в том случае, когда области D и D не имеют
1 / \\
общих точек. При отображении w = -^ (z ¦]—I образами обла-
областей D и Л является одна и та же область, так как w<(z)~
= u?(l/z).
2. Образы окружностей и лучей. Найдем образы
окружностей Izl = р и лучей argz = a (полярная координатная
сетка) при отображении функцией Жуковского. Полагая в F)
z = re1'", w = и + iv, получаем и + iv = ~ (reiv + -j e~iq>), откуда
jJ cos ф, v = у (г — -ij sin ф. (8)
и = ^

296 ГЛ, VI, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Рассмотрим окружность
2 = ре'», 0^ф^2я (9)
(р>0 — фиксировано). Из (8) следует, что при отображении
функцией Жуковского образом окружности (9) является эллипс
и = - (р + -i-j cos ф, y=±(p_±)sin«p, 0<<p<2it, A0)
с полуосями ар =-j(р + —], Ьр = -j P —- ис фокусами в
точках w = ± 1 (так как а% — Ъ\ = l). Исключая из уравнений
A0) параметр <р, при р Ф-1 уравнение этого эллипса можно запи-
записать в каноническом виде
И-1- A1)
Отметим, что при замене р на 1/р (р^1) эллипс A0) ос-
остается тем же самым, но его ориентация меняется на противо-
противоположную. На рис. 95 показаны окружности |z|=p, р>1,
ориентированные по часовой стрелке, и их образы — эллипсы
A1); из A0) видно, что эти эллипсы ориентированы также по
часовой стрелке. На рис. 96 показаны окружности Ы=р при
0<р<1 и их образы — эллипсы A1); при этом ориентация
меняется на противоположную: окружность Ы=р, ориентиро-
ориентированная против часовой стрелки, переходит в эллипс (И), ориен-
ориентированный по часовой стрелке.
При р = 1 зллипс A0) вырождается в отрезок (—1, 1], про-
проходимый дважды, т. е. окружность Ы = 1 переходит в отрезок
[—1, 1], проходимый дважды (рис. 95, 96).
Рассмотрим луч
z = reta, 0<г<+« A2)
(а — фиксировано). При отображении функцией Жуковского об-
образом этого луча (см. (8)) является кривая
a, 0<r< + oo. A3)
Исключая из уравнений A3) параметр г, при а^кл/2 (к —
целое), получаем
^4 . A4)
^4
cos a sin a
Кривая A4) —гипербола с фокусами в точках w — ±i и с асим-
асимптотами v = d=utga.
Если 0<а<я/2, то кривая A3) является правой ветвью
гиперболы A4), т. е. луч A2) при 0<сс<я/2 переходит в пра-

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
297
вую ветвь гиперболы A4) (ориентация показана на рис. 97).
При замене в 13 а на я — а получается левая ветвь той же
гиперболы A4), поэтому луч A2) при я/2<а<я переходит
в левую ветвь гиперболы A4) (рис. 97). Отметим также, что
Рис. 95
Рис. 96
при замене в A3) а на —а получается та же ветвь гиперболы
A4), но ее ориентация меняется на противоположную.
Рассмотрим лучи A2) при a = knJ2 (к — целое). Из A3)
следует, что луч arg z = я/2 переходит в мнимую ось Re w = 0
(рис. 97). Луч argz = 3n/2 также переходит в мнимую ось
Reu> = 0. При а —О кривая A3) вырождается в луч [1, +<»),
проходимый дважды (сложенный вдвое) (рис. 97), т. е. луч
argz = 0 переходит в луч [1, +°°), проходимый дважды: луч
[1, +°°) переходит в луч [1, +«>) и полуинтервал @, 1] —

298
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
в луч [1, +оо) (рис. 97). Аналогично, луч argz
в луч (—°°, —1], проходимый дважды (рис. 97).
переходит
1
1 \
1 / 1 \
Таким образом, функция Жуковского w= ~2\~^~ ~zl пеРе"
водит окружности |z|==p в эллипсы A1), а лучи argz =
= а — в ветви гипербол A4); фокусы всех эллипсов A1) и ги-
гипербол A4) расположены в точках w = ±l; любой эллипс A1)
пересекается с любой гиперболой A4) под прямым углом.
7
—- 7
о
Рис. 97
Пример 15. Пусть D — внешность единичного круга
(рис. 95). Найдем образ области D при отображении функцией
Жуковского, однолистной в этой области (пример 14а). Q
Способ 1. Образами окружностей Ы=р, р>1 являются
эллипсы A1), которые заполняют всю плоскость w с разрезом
по отрезку [—1, 1]. Следовательно, функция Жуковского кон-
конформно отображает внешность единичного круга на внешность
отрезка [—1, 1] (рис. 95).
Способ 2. Луч
z = ге1а, 1 < г < +оо A5)'
переходит в кривую
1
и =-j
1
7)cosa
1 / 1\
' v==~2\r~ 7Jsinoc' 1<r<+°°»
A6)
которая является частью (половиной) ветви гиперболы A3).
При изменении а от 0 до 2я кривые A6) заполняют всю пло-
плоскость w с разрезом по отрезку [—1, 1] (рис. 95). Следователь-
Следовательно, функция Жуковского конформно отображает внешность еди-
единичного круга на внешность отрезка [—1, 1] (рис. 95).

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 299
Отметим, что при этом отображении окружность \z\ = 1, ори-
ориентированная по часовой стрелке (граница области D), пере-
переходит в разрез по отрезку [—1, 1]; подробнее: полуокружность
\z\—l, Imz>0 переходит в верхний берег разреза, а полуок-
полуокружность Ы = 1, Imz^O в нижний берег разреза (рис. 98).
a'
-/ ь'
Рис. 98
Образно говоря, окружность Izl = 1 «сжимается» в разрез по
отрезку [—1, 1] с сохранением ориентации. []
Пример 16. Как и в примере 15, получаем, что функция
ЖУ_ ~4(, + 1) конферв о^ражаа, едавгаы*
круг Ы < 1 на внешность отрезка [—1, 1] (рис. 96). Это ут-
утверждение вытекает также из примера 15 и замечания 2.
Отметим, что при этом отображении окружность Ы = 1, ори-
ориентированная против часовой стрелки (граница круга |z|<l),
©
Ъ'
-1 а'
Рис. 99
переходит в разрез по отрезку [—1, 1], ориентированный по ча-
часовой стрелке. Подробнее: полуокружность \z\ = I, lmz>0
переходит в нижний берег разреза, а полуокружность |zl=*l,
Im z < 0 — в верхний берег разреза (рис. 99). Q
Пример 17. Как и в примере 15, получаем, что функция
Жуковского UJ= 2~(z + 1") К0НФ°РМН0 отображает верхнюю

300 ГЛ. VI, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
полуплоскость Im z > 0 на плоскость w с разрезами по лучам
(—°°, 1] и [1, +») (рис. 97). При этом отображении
а) луч (—°°, —1] переходит в верхний берег разреза по
лучу (-оо, -1],
б) полуинтервал {—1, 0)—в нижний берег разреза
(—, -И,
в) полуинтервал @, 1] — в нижний берег разреза [1, +»),
-1 О 1 -? ? a
Рис. 100
г) луч [1, +») —в верхний берег разреза [1, +°°)
(рис. 100). Q
Пример 18. Из примера 17 и замечания 2 вытекает, что
функция Жуковского w = Y\zJr~z) конФормно отображает
нижнюю полуплоскость Imz<0 на плоскость w с разрезами
по лучам (—оо, —1] и A, +«>). []
На рис. 95—97 жирными линиями отмечены кольцевые сек-
секторы на плоскости 2 и их образы на плоскости w при отображе-
отображении функцией Жуковского. Следующие частные случаи таких
отображений часто используются в практике конформных ото-
отображений.
-1 1 -1
Рис. 101
Пример 19. Функция Жуковского w = -^ [z + —J конформно
отображает
а) область Imz>0, Izl > 1 (рис. 101) на верхнюю полу-
полуплоскость Im и? > 0 (из рис. 95);
б) полукруг Izl < 1, Imz<0 (рис. 102) на верхнюю полу-
полуплоскость Imu>>0; полукруг |zl<l, Imz>0 (рис. 102) на
нижнюю полуплоскость Im w < 0 (из рис. 96);

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
301
в) область \z\ >р>1 (рис. 103) на внешность эллипса A1)
[(из рис. 95); круг \z\ < р < 1 (рис. 103) на внешность эллип-
эллипса A1) (из рис. 96);
'УУ'УУУуУУУУУУу'///УУ/У/У7/Уу'/7'/У/УУгУ/У//
-10 1
а.
-/
-1
0
Рис. 102
Рис. 103
г) сектор a<argz<n — а, где 0<а<я/2 (рис. 104) на
внешность гиперболы A4) (из рис. 97);

302
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
д) сектор 0 < arg z < а, где 0 < а < я/2, (рис. 105) на
внутренность правой ветви гиперболы A4) с разрезом по лучу
11,+») (из рис. 97);
-1 d 1
Рис. 104
Рис. 105
е) сектор 0<argz<a, Ы>1, где 0<се<я/2, (рис. 106)
на область —» к->1, u">0, v>0 (w = u + iv)
cos a sinа
(из рис. 97). D
7. Функция го = г + V z2 — 1,1 обратная к функции Жуков-
Жуковского. Решая уравнение w = -^ [z + —\ относительно z, находим
z = w + Ую2 — 1, т. е. функция
Т=Л A7)

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
303
является обратной к функции Жуковского. Следовательно, ото-
отображения функцией A7) являются обратными к отображениям
функцией Жуковского.
Некоторые свойства функции A7) рассматривались в § 24.
Напомним, что функция A7) является аналитической в пло-
плоскости z с выколотыми точками z = ±1, а в плоскости z с раз-
разрезом, соединяющим точки z = ±l, распадается на две регуляр-
регулярные ветви.
О /
©
а
О cosct /
Рис. 106
Рис. 107
Пример 20. Пусть D — плоскость z с разрезом по отрезку
[-г-1, 1] (рис. 107). В этой области функция z + Vz2 —1 рас-
распадается на две регулярные ветви, ft(z) и fi(z), где /i(°°) =
«оо, /,(»)»о (§ 24). Из примеров 15, 16 (рис. 98, 99) вы-
вытекает, что функция w = fi(z) конформно отображает область
D на внешность единичного круга, а функция w = /2 (z) — на
круг |ш|<1 (рис. 107). []

304
ГЛ. VI, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пример 21. Пусть D — плоскость z с разрезами по лучам
(—°о, —1] и [1, +°°) (рис. 108). В этой области функция
z + Уг2 — 1 распадается на две регулярные ветви /i(z), /2(z), где
/i(O) = i, /г@) = -? (§ 24). Из примеров 17, 18 вытекает, что
©
Ь'
-/ 0 7
а
д
Oaf 1
b'
Рис. 108
функция w = Д (z) конформно отображает область D на верх-
верхнюю полуплоскость Imu?>0, а функция u?==/2(z) —на нижнюю
полуплоскость Imu;<0 (рис. 108). []
Пример 22. В полуплоскости Im z > 0 функция z + Vz2 — 1
распадается на регулярные ветви /i(z), /2(z), где /±@) = г, /г@) =
= — L Отображения этими функциями показаны на рис. 109 (ср.
рис. 101, 102а). П
©
О
Рис. 109
8. Тригонометрические и гиперболические функции. Рассмот-
Рассмотрим примеры конформных отображений тригонометрическими и
гиперболическими функциями.
Пример 23. Покажем, что функция н; = сЬг конформно
отображает полуполосу 0 < Im z < я, Re z > 0 на верхнюю полу-
полуплоскость Imu?>0 (рис. 110).

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
305
В самом деле, функция w = chz = тгС6* + е *) является су-
суперпозицией двух функций:
В результате последовательного выполнения отображения %> — ё1
1 / 1\
(рис. 946) и затем отображения w — ~2y?>+Tj (Рис- Ю1)" п0"
лучаем отображение рис. 110. []
w=chz
Л1
Z
/'/////////У/.
/Г/////У///г//Рг///7/////''//у'/'/////УУ
-i a 1
Рис. 110
Пример 24. Покажем, что функция w = cosz конформно
отображает полуполосу —я < Re z < 0, Im z > 0 на верхнюю
полуплоскость 1тн>>0 (рис. 111).
©
, z(O)=~~-
//////////ТУ
-JL О
///////////7/////////у^/////////7//7у/7/у
-/ о 1
Рис. 111
Действительно, так как cosz = ch(—iz), то, выполняя сначала
отображение ? = — iz (поворот вокруг точки z = 0 на угол —я/2),
а затем отображение w — cht, (рис. 110), получаем отображение
рис. 111. Q
20 ю. В. Сидоров и др.

306
ГЛ. VI, КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пример 25. Покажем, что функция w = sinz конформно
отображает полуполосу — я/2 < Reъ<я/2, Imz>0 на верхнюю
полуплоскость 1ты>>0 (рис. 112),
©
z=a.vcsinw, z(O)=O
G Jt_
г
Рис. 112
-/
О
В самом деле, так как sinz = cos(z — -^\, то выполняя сна-
сначала отображение ? = z—-^ (сдвиг), а затем отображение
w = cos ? (рис. 111) получаем отображение рис. 112. []
Пример 26. Покажем, что функция u? = tgz конформно ото-
отображает полосу —n/4<Rez<n/4 на единичный круг |и?|<1
©
лг
о
z=arctg w. z(O)=O
Ряа 113
г(рис. 113). Отметим, что это отображение удовлетворяет усло-
условиям w{0) = 0, argw'@) = 0.
Действительно, так как
COSZ
то отображение w=\gz можно рассматривать как суперпозицию

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ 307
трех отображений:
Выполняя последовательно эти отображения, получаем отобра-
отображение рис. 113. []
Рассмотренные примеры B3—26) показывают, что отображе-
отображения тригонометрическими и гиперболическими функциями сво-
сводятся к последовательному вы- ^_
полнению отображений, изучен- {?)
ных ранее в § 34 и 35, пп. 1—7. л
9.Разные примеры.Конформ- ,,,,i,i,u.n,,ixs .„,,,,,>!>>>,,>>>,
ные отображения, рассмот- а b
ренные выше в § 34 и 35, Рис. 114
пп. 1—8, являются «табличны-
«табличными». С их помощью находятся конформные отображения других
простейших областей.
Приведем примеры B7—33) конформных отображений ы> =
¦= w (z) веданной области D плоскости z на верхнюю полуплос-
полуплоскость Imw>0.
Пример 27. D — плоскость z с разрезами по лучам (—«>, а]
и [Ъ, +«>), где — оо <а< Ъ<+°° (рис.114).
Способ 1. Как и в примере 10 (рис. 93е), находим
где
Способ 2. Линейная функция ? = (z "—-). _ (сдвиг
и растяжение) отображает область D на плоскость ? с разрезами
по лучам (—оо, —1] и [1, +оо). Затем, как и в примере 21
(рис. 108), w - Б + П2 -1, где wit-. - *. П
Пример 28. D — полуплоскость Imz>0 с разрезом по дуге
|z|=l, O^argz^a, где 0<а<я
(рис. 115).
Способ 1. Функция ?=(z— 1)/
/(z+1) отображает полуплоскость
Im z > 0 на полуплоскость Im ? > 0
(§33)
у ? .
(§33) и разрез по данной дуге переводит -101
в разрез по отрезку [О, Щ, так как 1 -*¦ 0, Рис. 115
— 1 -*¦ оо, где h = tg(a/2). Далее, как и в
примере 7 (рис. 91), w = У?г + кг, где w'(x + 0i)>0 при х>1.
Способ 2. Функция Жуковского ^ = -j [z + у) отображает
область D на плоскость Z, с разрезами по лучам (—°°, —1] и
[cosа, +оо) (из рис. 97). Далее см. пример 27. []
20*

308
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пример 29. О —полоса 0<1тг<я с разрезом по отрезку
[0, id], где 0<d<n (рис. 116). Функция g — ег отображает об-
область D на область рис. 115. Далее см. пример 28. []
т
/////У/////////////////у/////////////////////.
-til
У7777///////7777777777777777777777777777
О
Рис. 116
Рис. 117
Пример 30. О —полоса -я<1тг<я с разрезом по лучу
[а, +°°), где а — действительное число (рис. 117). Функция % = е'
отображает область D на плоскость ? с разрезами по лучам
л1 (—°°, 0] и [еа, +оо). Далее см. при-
пример 27. ?
Пример 31. D — полуполоса 0<
< Im z < п, Re z > 0 с разрезом по от-
>У/У/У/У/77/777у////
Я!
резку [у, о+|],щ«>0 (рис. 118)'.
Функция 5 = ch z отображает область
7777 D на полуплоскость Im?>0 с разре-
разрезом по отрезку [0, isha] (из приме-
примера 23). Далее см. пример 7. []
Пример 32. D — область Rez>0, \z— 11 >1 с разрезом по
отрезку [2, 3] (рис. 119). Функция % = l/z отображает область!)
на область Z), — полоса 0 < Re ? < 1/2 с разрезом по отрезку
Рис. 118
Рис. 119 Рис. 120
[1/3, 1/2]. Область Di линейной функцией можно отобразить на
область рис. 116. Далее см. пример 29. []
Пример 33. D — область |z-ll>l, |z-2|<2, Imz<0
(рис. 120). Функция ? =» l/z отображает область D на полупо-
полуполосу Z?t: 1/4 < Re t < 1/2, Im ? > 0. Область Z>4 линейной функ-
функцией можно отобразить на область рис. 111. Далее см. при-
пример 24. ?

§ 35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
309
Приведем примеры C4—37) конформных отображений w =
= w(z) заданной области D плоскости z на единичный круг
Ы<1.
Пример 34. D — плоскость z с разрезом по отрезку [а, Ь],
где — оо<д<ь<+°° (рис. 121). Линейная функция ? =
e=s /z — —J—)ъ_а (сдвиг и растяжение) отображает область D
на внешность отрезка [—1, 1]. Затем, как
и в примере 20 (рис. 107), w = g +
+ rFr"l, где u>(°°) = 0. ?
а
Рис. 121
Рис. 122
Пример 35. D — круг Izl < 1 с разрезом по отрезку [— 1,о],
где — 1<а<0 (рис. 122). Функция Жуковского ? = yfz + у)
отображает область D на плоскость ? с разрезом по отрезку
(а + 'в')' *1 ^из рис* 9^* Далее см- пример 34. П
Пример 36. D — область Izl > 1 с разрезами по отрезкам
[а, -1] и [1, Ь], где -°°<а<-1, 1<Ь<+°° (рис. 123). Функ-
Функция Жуковского ? = ~2 (z + —) отображает область D на внеш-
внешность отрезка [а', Ь'], где а'= j(a + Г/' Ъ' = Т[Ъ + т
(из рис. 95). Далее см. пример 34. [J
Рис. 123
Рис. 124
Пример 37. D — круг Izl < 1 с разрезом по отрезку [0, 1]
'(рис. 124). Функция Жуковского ?= yU + 'j') отображает об-
область Z) на область Т^: плоскость ? с разрезом по лучу [—1, +°°)'
(из рис. 96). Функция т] = У? + 1, где tjI5—6 = 2i, отображает

310
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
область ?>! на полуплоскость Im r\ > 0. Наконец, функция w =
= (tj — i)I (r\ + i) отображает полуплоскость Im r\ > 0 на круг
Ы<1 (§ 34). Q
Разнообразные примеры конформных отображений элемен-
элементарными функциями содержатся в [8].
Пример 38. Пусть D — область Imz<0, \z + il\>R, где
I > R > 0 (рис. 125). Эту область можно назвать неконцентриче-
неконцентрическим кольцом (прямая — окружность бесконечного радиуса).
Найдем конформное отображение области D на концентрическое
кольцо. Для этого найдем две точки, симметричные одновремен-
одновременно относительно прямой Im z = 0 и относительно окружности
Iz + iZI =Л. Эти точки должны лежать на общем перпендикуля-
перпендикуляре к прямой и к окружности (§ 34), т. е. на мнимой оси. Из сим-
симметрии относительно прямой Im z =» 0 следует, что это точки ±ia,
где а>0. Из симметрии относительно окружности Iz + iZl^i?
получаем (l + a) (I — a) = R*, откуда а = УР— R*. Покажем, что
искомое отображение есть
В самом деле, при этом отображении прямая Im z = 0 переходит
в окружность f. По свойству сохранения симметрии (§ 34) точки
z = ±ia переходят в точки w = 0, w =¦ °°, симметричные относи-
относительно окружности у. Следовательно, w = 0 — центр окружности
"f. Так как точка и>@)=— 1 принадлежит "f, то -/ — окружность
\-i(L+R)
Рис. 125
Ы-l
(рис. 125). Аналогично доказывается, что окружность
-Д при отображении A8) переходит в окружность
|ы>|=#1, где Rx — д | l T д- В силу соответствия границ (§ 33)"
функция A8) конформно отображает область D на концентри-
концентрическое кольцо Rt < \w\ < 1 (рис. 125). []
Пример 39. Пусть D — неконцентрическое кольцо lz + ll>
>9, |z + 6l<16 (рис. 126). Найдем конформное отображение

35. ОТОБРАЖЕНИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
311
области D на концедтрическое кольцо. Для этого найдем две
точки а и Ь, симметричные одновременно относительно окруж-
окружности |z+l|=9 и относительно окружности |z + 6l=16. Эти
точки лежат на общем перпендикуляре к окружностям, т. е. на
действительной оси (рис. 126), и поэтому а, Ъ — действительные
числа. Из симметрии относи-
относительно данных окружностей
получаем. (§ 34)
Рис. 126
(а + 6) (Ь + 6) = 256.
Решая эту систему, находим
а «= 2, Ъ — 26. Как и в примере
38, доказывается, что функция
z — 2 v -
w = _„„ конформно отобра-
отображает область D на концентри-
концентрическое кольцо 1/3 < \w\ < 1/2.[]
Пример 40. Пусть D — область \z — ih\ >У1 + h2, где А —
действительное число. Граница этой области — окружность f с
центром в точке ih, проходящая через точки z==±l, z = ia,
z = — —, а = /& + У1 + /&2 (рис. 127). Покажем, что функция
Жуковского w — ~2\z ^ ~г) °Днолистна в области D.
©
?'
Рис. 127
Рассмотрим отображение %-=l/z, причем точки f; будем изо-
изображать на той же плоскости z. При этом отображении точки
z = ±l остаются на месте, а точка z = ia переходит в точку
% = —i/a, поэтому окружность ч переходит сама в себя (§ 34).
Кроме того, точка г — °° переходит в точку % = 0, лежащую
внутри ч- Следовательно, внешность D окружности ч переходит
во внутренность D этой окружности. Так как области D и D не

312 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
имеют общих точек, то в силу замечания 2 функция Жуковского
однолистна в области D (и в области 25).
Найдем образ области D при отображении функцией Жуков-
/ \
1 / 1\
ского. Заметим, что соотношение w = -^\z-\—I можно запи-
записать в виде ^ , 1 = (\-тп) • Поэтому функцию Жуковского
можно рассматривать как суперпозицию двух функций:
При отображении ?=(j7i7j) окружность if переходит в раз-
разрез по некоторому лучу ч, соединяющему точки ? = 0 и Е; = °°.
1 4- С ~
При отображении w = i_t луч if переходит в дугу окружно-
окружности 7' с концами в точках ы? = ±1. Так как точка z = ia
1 / i\
при отображении w = -^\z-]—I переходит в точку w =
z \ z I
=  Vй — о") = ^' то дуга If' ПРОХ°ДИТ через точку w = ife. Сле-
Следовательно, функция Жуковского конформно отображает внеш-
внешность окружности 7 на внешность дуги окружности Y с концами
в точках гу = ±1, проходящей через точку w = ih (рис. 127).
Отметим, что при отображении функцией Жуковского окруж-
окружность С, близкая к if и касающаяся if в точке z = —1, переходит
в кривую С" (рис. 127), напоминающую профиль крыла самолета.
Кривые вида С (профили Жуковского) были использованы
Н. Е. Жуковским для расчета подъемной силы крыла само-
самолета [10]. D
§ 36. Принцип симметрии
В этом параграфе рассматривается способ аналитического
продолжения с помощью симметрии. Этот способ называется
принципом симметрии Римана —Шварца. Принцип симметрии
существенно упрощает решение задач о нахождении конформ-
конформных отображений областей, симметричных относительно прямой.
1. Симметрия относительно действительной оси. Предвари-
Предварительно докажем следующую лемму.
Лемма 1. Пусть кривая у делит ограниченную область D
на две области Du D2 (рис. 128), и пусть функция f(z) регуляр-
регулярна в областях Du D2 и непрерывна в области D. Тогда эта функ-
функция регулярна во всей области D.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно счи-
считать, что функция f(z) непрерывна в области D вплоть до ее

§ 36. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
313
границы Г. Рассмотрим функцию
A)
Эта функция регулярна в области D (§ 16). Докажем, что
F(z)*af(z) при z^D, тем самым лемма будет доказана.
Добавляя и вычитая интеграл по ч, запишем функцию A)
для z e Dj в виде
B)
где Fj —граница области Д, (/ = 1, 2). В формуле B) интеграл
по 1\ равен /(z), а интеграл по Г2 равен нулю (§ 10), т. е.
F(z)=/(z) при z^Di. Аналогично получаем, что F(z) = f(z)
Рис. 128
Рис. 129
при геД2, Следовательно, F(z)"»/(z) при «efl, так как по
условию леммы фУнкщш f{z) непрерывна в области D.
Следствие 1. Пусть области Di, D2 не имеют общих точек
и граничат друг с другом по кривой ¦у (рис. 128) и пусть функ-
функции ft(z), h(z) регулярны в областях Du D2 соответственно и
непрерывны вплоть до if. Если значения этих функций на кри-
кривой 7 совпадают, то функция
<з)
x (z),
является аналитическим продолжением функции /4(z) из
cra D, в область Z>± U if U D2.
В этом случае будем говорить, что функция /*(z) является
аналитическим продолжением функции U(z) из области ZL в об-
область D2 через кривую "{.
В следующей теореме D — область, граница которой содержит
интервал ч действительной оси, D* — область, симметричная с
областью D относительно действительной оси (рис. 129).

314 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Теорема 1. Пусть функция f(z) регулярна в области D,
граница которой содержит интервал f действительной оси, и об-
области D, D* не имеют общих точек. Если функция /(z) непре-
непрерывна вплоть до f и принимает действительные значения на
интервале /у, то ее можно аналитически продолжить в область
D U "f U D*. Это продолжение дается формулой
f{z), z<=D*.
Доказательство. Докажем, что функция
М*)-7Ш. z = D* E)
имеет производную jx (z) в каждой точке z ^ D*. Рассмотрим от-
отношение
Az)-f1(z) _
Так как z е?)*( TOjeD и при достаточно малом Дг точка z + Дг
также принадлежит D (рис. 129). Следовательно, при Дг -*¦ О
предел отношения F) существует и равен /'(z), т. е./i(z) =/'(z).
Таким образом, функция /i(z) дифференцируема и, следователь-
следовательно, регулярна в области D*.
Покажем теперь, что функция F(z), определенная формулой
D), непрерывна в области D U ч U D*. В самом деле, из непре-
непрерывности функции /(z) вплоть до 7 следует, что lim/(z) = f(x)t
are у, откуда находим lira fx (z) = lim / (z) — f(x), т. е. функ-
функция fi(z) непрерывна вплоть до •у. Так как f(x) = f(x) по усло-
условию теоремы, то Д(г) |гет = /(г) |zeT. Следовательно, функция ^(z)
регулярна в области D U f U Z)* в силу леммы 1 и является ана-
аналитическим продолжением функции /(z).
Отметим, что при условиях теоремы 1 функция /i(z), опреде-
определенная формулой E), является аналитическим продолжением
функции /(z) (из D в I)* через ч)-
Пример 1. Если целая функция /(z) принимает действи-
действительные значения на действительной оси, то_для любого z имеет
место равенство /(z) = /(z). Например, ег~ег, sinz=sinz, cosz=
= cos z, sh z = sh z, ch z = ch z. []
Пример 2. Пусть функция /(z) регулярна в полуплоскости
Imz>0, за исключением простого полюса в точке zo (Imzo>O),
непрерывна вплоть до действительной оси и принимает действи-
действительные значения на действительной оси. Покажем, что если эта

§ 36. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ 315
функция ограничена при z -*- «>, Im z ^ 0, то
где А= res /(z), С — действительное число.
В самом деле, в этом случае функция D) регулярна во всей
комплексной плоскости, за исключением простых полюсов в точ-
точках z0 и z0, причем res F (z) = А (в силу D)). Поэтому функ-
ция g (z) = Т*1 (z) = целая и ограниченная. Сле-
z~zo z~zo
довательно, g(z)ss const по теореме Лиувилля (§ 19), откуда
вытекает формула G). []
Пример 3. Пусть функция /(z) регулярна в полуплоскости
Imz>0, непрерывна вплоть до интервалов f^ (—°°, а), ч2:
(Ь, +°°), где — оо < a «S Ъ < +°° и на этих интервалах принимает
действительные значения. Тогда функция D) регулярна во всей
плоскости z с разрезом по отрезку [а, Ь]. []
Пример 4. Пусть Do — плоскость z с разрезом по отрезку
J—1, 1] и с выколотой точкой z = оо. Докажем, что в области Do
можно выделить регулярную ветвь функции Yz2 — 1.
В самом деле, по теореме о монодромии (§ 24) можно выде-
выделить регулярную ветвь f(z) функции Уг2—1 в полуплоскости
Imz>0. Пусть f(x)>0 при х>1, для определенности. Тогда
f(x)<0 при х < — 1 (§ 24) и из примера 3 вытекает, что функ-
функция D) является регулярной ветвью функции Vz2 — 1 в обла-
области Do. []
2. Применения принципа симметрии. Пусть выполнены усло-
условия теоремы 1, а также следующие условия (рис. 130):
Рис. 130
а) функция u7 = /(z) конформно отображает область D на
'область G, лежащую в верхней полуплоскости Im w > 0;
б) образом интервала 'у является интервал 'у' действительной
оси Im w = 0 (ч' — часть границы области G).
Тогда из теоремы 1 вытекает
Следствие 2. Функция w = F(z), определенная формулой
D), конформно отображает область Da = D U 1 U D* на область

316
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Go = G U f' U G*, где G* — область, симметричная с областью G
относительно действительной оси Imu7 = 0 (рис. 131).
Пример 5. Отображение внешности креста на
полуплоскость. Пусть Do — плоскость z с разрезами по лучу
Рис. 131
[—4, +о°) и отрезку [—3i, 3?] (рис. 132). Найдем конформное
отображение области Do на верхнюю полуплоскость Im w > 0.
На первый взгляд кажется, что естественно воспользоваться
отображением r\ = z2 (ср. пример 7 § 35). Но это отображение
не является конформным, так как функция гг неоднолистна в об-
области D,, (например, DiJ = (— Ai)z = —16). Поэтому рассмотрим
-4
w=v
Bn
-5
Y/7/
О
w~\
-51
Рис. 132
сначала «половину» области Do. Пусть D — верхняя полуплос-
полуплоскость Imz>0 с разрезом по отрезку [0, 3?] (рис. 133). В этой
области функция т] = zz однолистна.
Из примера 7 § 35 следует, что функция E; = /(z)=yz2 + 9
конформно отображает область D на область G: Im % > О
(рис. 133). Здесь /(z)—регулярная ветвь функции Yz2 + 9 такая,
что f(x + 0i)>0 при х>0. При зтом отображении интервал у.
(—°°, —4) переходит в интервал -у': (—°°, —5) (рис. 133). В силу
следствия 2 функция t, = F{z) = l/z2 + Q конформно отображает

§ 36. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
317
область Do^DVyU D* на область G0 = GU'y'UG*, Go —плос-
—плоскость E; с равревом по лучу [—5, +°°) (рис. 132). Здесь F(z) —
аналитическое продолжение функции /(г) в область Do, т. в.
F(z) — регуляржая ветвь функции Уг2 + 9 в области Du такая, что
F (х + Oi) > 0 при х > 0.
Отображая область Go функцией w = 1/% + 5 на полуплоскость
Im w > 0, окончательно находим конформное отображение
©
О
Рис. 133
на полуплоскость Imw>0
i" = ]/5+ ^z2 + 9 области Da
(рис. 132). Q
Пример 6. Отображение внутренности парабо-
параболы на полуплоскость. Пусть Do — область уг < 2р(х + р/2),
Рис. 134
где z = x + iy, p >¦ 0 (рис. 134). Найдем конформное отображение
области Do на полуплоскость Im w > 0.
ПараболаУг = 2plx + -уJ переходит в прямую при отобра-
отображении ? = 1/z (пример 6 § 35). Но область А, содержит точку
ветвления z = 0 функции Уг. Поэтому рассмотрим половину об-
области Do; пусть D — область у2 < 2р ix + -|-j, у > 0 (рис. 135)'.
Найдем конформное отображение области D на верхнюю полу-
полуплоскость. _
1) Функция % = Уг конформно отображает область D
(рис. 135) на полуполосу П: 0<1т?;<У]э/2. Re ? >0 (при-
(пример 3 § 35).

318
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
2) Функция г\ = ch ¦ ,_ конформно отображает полуполо-
полуполосу П (рис. 135) на полуплоскость Imjn>0 (пример 23 § 35).
Таким образом, функция r\ = ch ,_ конформно отображает
область D на полуплоскость 1тт]>0 так, что интервал у.
/////////////////////, '//А
/77/S/777/777777777777777,
'/5>
-1
'/7777////////S
7j=ch-
W
Рва i35
(— p/2, +°°) переходит в интервал ч': (—1, +00) (рис. 135).
В силу следствия 2 функция т] = ch _ ¦ конформно отобра-
отображает область Do на плоскость г\ с разрезом по лучу (—°°, —1]
(рис. 134).
3) Функция w = V—-т| — 1 отображает плоскость г\ с разрезом
по лучу (—°°, —1] на полуплоскость Imu?>0 (рис. 134).
Окончательно имеем: функция w = i V^ch " ._¦ конформно
|/2р
отображает область Do на полуплоскость Im ю > 0 (рис. 134). []
Пример 7. Отображение внутренности правой
ветви гиперболы на полуплоскость. Найдем конформ-
Ж U
ное отображение области —г г~>1> х>0 (область Do
cos ос sin a
рис. 136), где z=~x + iy, 0<а<л/2, на полуплоскость Imw>0.
Гипербола «распрямляется» при отображении функцией т =
*=z + T/zz — 1, обратной к функции Жуковского (§ 35). Но об-
область Do содержит точку ветвления z = 1 зтой функции. По-
Поэтому рассмотрим половину области Do; пусть D —область
—Т гт~>1. х>0, у>0 (рис. 137). Найдем конформное
отображение области D на верхнюю полуплоскость.
Выполняя последовательно отображения
= z + У za - 1 =
-i-

§ 36. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
319
(примеры 19е, 9, 19а, § 35), получаем, что функция
= ch /—archz) конформно отображает область D на полупло-
полуплоскость ImE;>0, причем интервал у: (cosа, +°°) переходит в
интервал •у': (—1, +°°) (рис. 137). В силу следствия 2 функция
c(^4
Рис. 136
? = ch —archz конформно отображает область Do на область
\ а /
Go — плоскость ? с разрезом по лучу (—°°, —1] (рис. 136).
Функция и> == II—% — 1 отображает область Go на полупло-
полуплоскость Im w > 0 (рис. 136). Таким образом, функция w =a
= iy 2chf-^— archz) конформно отображает область Do на полу-
полуплоскость Im w > 0 (рис. 136). П
0
:=ch (? archzj
coscc
—7
Рис. 137
• Замечание. Теорема 1 и следствие 2 легко переносятся на
случай, когда | и ]' — дуги окружностей (в частности, интер-
интервалы прямых). Для этого нужно дробно-линейным отображением
перевести | и ]' в интервалы действительной оси и затем вос-
воспользоваться свойством сохранения симметрии при дробно-ли«
нейном отображении. Подробнее см. [10].

320
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
[О,
Пример 8. Пусть D — плоскость г с разрезами по отрезкам
2tei/] к 0 1 1 138 Н ф
р
e2tei/n
],
рр р
0, 1, ..., ге-1 (рис. 138). Найдем конформное
[, , , (р )
отображение области D на внешность единичного круга.
Рассмотрим угол Do'. О < arg z < 2jt/h (рис. 139). Найдем
конформное отображение u? = /0(z) угла Do на сектор Go: 0<
<argw<2n/n, Ы>1 (рис. 139), удовлетворяющее условиям
/0A)=1, /о(°°) = °°, /.(е*""")-*1""". (8)'
Выполняя последовательно отображения
(примеры 9, 19а § 35), получаем, что отображение jy = /0(z) =
= (zn/2 +Vzn —lJ/n является искомым (рис. 139). Здесь /не-
/нерегулярная ветвь функции (zn/2 + Yzn —1J/п в области Do, удов-
удовлетворяющая условиям (8). При зтом отображении луч f»:
A, +о°) переходит в луч VnS A, +°°), а луч 7Х: (e2Iti/n, +ooe2Iti/n)—
в луч Yi: (e2Iti/n, + °° e2Iti/n).
Рис. 138
Покажем, что существует аналитическое продолжение F(z)
функции /0(z) в область D и функция w = F(z) конформно ото-
отображает область D на область ]w\ > 1 (рис. 138).
Рассмотрим соседний с А, угол D^: 2л/п < argz < 4я/« и
сектор Gt: 2л/«<argw < 4п/«, |«)|>1. Точки угла Dt получа-
получаются из точек угла Do умножением на e2ni/n; аналвгично связаны
точки секторов Gu Go. Следовательно, функция
w - /, (z) - егя'7п/о (e-2"{/nz), zeD,
конформно отображает Dt на Gt. При этом /i'(z)™/0(z), ze^,
т. е. функция /i(z) является аналитическим продолжением функ-
функции /o(z) из области Do в область D4 через fi.
Аналогично, если Dk — угол 2кп/п < arg z < 2 (А; + 1) я/га, Gft —
сектор 2кп/п< axgw<2(k + l)n/n, \w\ > 1, то функция ш =
B=/ft(z) = e2*m7n/o(e"*Jli/nz), zeD, конформно отображает Dh на

§ 36. ПРИНЦИП СИММЕТРИИ
321
Gh (fc = 2, 3, ..., п). При этом /»(*)¦"/»-!(«), г^Чъ где if* —луч
(егш/п, +ooeihni/n).
Очевидно, угол Dn совпадает с углом Do и
/„ B) = el»"v»/o (e-2n"'/nz) = /о (z), ге ?>0.
Следовательно, функция w~F(z) — fh(z), zeDkU^k, к = 0,1,...
. .., п — 1, регулярна в области Z) и конформно отображает
©
"/УУ//УУУУУУУУУУУУУУ//
Рис. 139
©
О
л 2л
Рис. 140
область Z) на область \w\ > 1. Таким образом, функция к> =
= (г"/2 + Yz" — 1J/« конформно отображает область D на об-
область \w\ > 1. [j
Пример 9. Пусть D — полуплоскость Imz>0 с разреза-
разрезами по отрезкам [кп, kn + ia], к = 0, ±1, ±2, ..., 0<а<+~
(рис. 140). Найдем конформное отображение области D на по-
полуплоскость Im w > 0.
Рассмотрим полуполосу Da: —jt<Rez<0, Imz>0
(рис. 141). Найдем конформное отображение w — fo(z) области
Da t на полуполосу Ga: —п < Re w < 0, Im w > 0 (рис. 141),
удовлетворяющее условиям
/о(га) = О, /0(—jt + га)=—я, /0(°°)=°°. (9)
Выполняя последовательно отображения
? = cos z, tj = ^/ch а, ц? = arccos r\
21 Ю. В. Сидоров и др.

322 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
(пример 25, § 35), получаем искомое отображение
cos z
cos z
Здесь /q(z) — регулярная ветвь функции arccos -г— в области
Д>, удовлетворяющая условиям (9). При этом отображении луч
0
¦1СХ,
У-',
/7777777777777s
-Л
V77777777777/
о
О
Рис. 141
^0: (ia, ia+ t°o) переходит в луч у'о: (О,0 + too), а луч -у-^ (—
+ га, — я + too) — в луч Y-i^ (—я, — я + too).
Покажем, что существует аналитическое продолжение F(z)
функции /0(z) в область D и функция w — F(z) конформно ото-
отображает область D на полуплоскость Im w > 0.
Рассмотрим соседнюю с Д, полуполосу А: 0 < Re z < jt,
Im г > 0. Точки области Di получаются иэ точек области Do
прибавлением я; аналогично связаны точки областей Gty Go.
Следовательно, функция
w = /, (z) = /0 (z — jt) + Jt, z^Dt
конформно отображает Z>, на Gi. При этом /,(z) = /0(z) на луче
*Yc т. е. функция /i(z) является аналитическим продолжением
функции /o(z) из области Z)o в область Di через у0.
Аналогично, если Dk — полуполоса (к — 1)я<Кег</от,
Imz>0, Gk — полуполоса (к—1)Jt < Re w < Arjt, 1тш>0,
то функция
w = /чB) — /o(z — кп)+ кп, z^Dh
конформно отображает Dh на Gk, к = 0, ±1, ±2, ... При этом
A(z)^A-i(z) на луче ^-,: {{к — l)n + ia, (k — l)n + io°).
Следовательно, функция
w = F(z) = fh(z), ze?>AU"f4, ft = 0, ±1, ±2, ....
регулярна в области D и конформно отображает область D на
область Imz>0 (рис. 140). Таким образом, функция

§ 37. ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА 323
w = arccos -г— конформно отображает область D на верхнюю
полуплоскость Im w > 0. Г]
Пример 10. Пусть функция w = f(z) конформно отобра-
отображает кольцо К: p<|z|<i? на кольцо К': р'< \w\ <R'. До-
Докажем, что эти кольца подобны, т. е. р/р' = R/R'.
Доказательство. Возможны два случая:
1) окружность Ы=р переходит в окружность \w\=pr;
2) окружность Ы=р переходит в окружность \w\=R'.
Рассмотрим первый случай. По принципу симметрии сущест-
существует аналитическое продолжение Ft(z) функции f(z) в кольцо
Ки pi<lz|<i?, где р, = pz/R. Функция w=Ft(z) конформно
отображает кольцо К^ на кольцо/^: Pi<|tt>|<fl', где Pi=(p'J/^?,
так, что окружность IгI = р4 переходит в окружность I u? | = рх.
Аналогично, существует аналитическое продолжениеF2(z) функ-
функции Fi(z) (и f(z)) в кольцо Кг: г2<|г|<Д, где га = p7.fi3
и т. д. Таким образом, получаем аналитическое продолжение
F(z) функции /(z) в кольцо 0<\z\<R, причем lim.F(z) = 0.
Тогда точка z = 0 является устранимой особой точкой функции
F(z) (§ 18), т. е. функция w — F(z) конформно отображает
круг \z\ < R на круг \w\<R', причем F@)=0. Следовательно,
F(z) — дробно-линейная функция и F(°°)=°o (§ 34), т. е.
f(z) = Az, откуда р/р' =R/R'. []
§ 37. Интеграл Кристоффеля — Шварца
В этом параграфе рассматривается конформное отображение
w=f(z) верхней полуплоскости Imz>0 на многоугольник П,
заданный в плоскости w. При этом используются следующие
Рис. |142
обозначения (рис. 142): Ah — последовательные вершины мно-
многоугольника П, к = 1, 2, ..., п; jtaA — угол многоугольника П в
21*

324 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
п
вершине Ak, 2 ак = п — 2; ак — прообраз вершины Ак при ото-
бражении w=j(z), т. е. ()
1. Теорема Кристоффеля — Шварца.
Теорема 1. Пусть функция w — f(z) конформно отобра-
отображает полуплоскость Im z > 0 на ограниченный многоугольник
П, 0< a* =S2, ak?=oo (& = 15 2, ..., п). Тогда имеет место фор-
формула Кристоффеля — Шварца
г
f (z) = с J g - й,)"!-1 (g - а,)»»-1 ... (? - й^H'»-1 d? + <ч, A)
г<9е с, с4 — постоянные и интеграл берется по кривой, лежащей
в полуплоскости Im г > 0.
Доказательство. По теореме Римана (§ 33) существует функ-
функция w = / (z), которая конформно отображает полуплоскость Imz>0
на ограниченный многоугольник П так, что а* Ф °о (й = 1, 2, ..., ге).
Изучим свойства этой функции.
1. Пусть F (z) — аналитическая функция с исходным элементом f(z),
Im z > 0. Покажем, что функция F (z) является аналитической во всей
расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками а* (к =
= 1, 2 в).
Воспользуемся принципом симметрии (§ 36). Функция w = / (z)
переводит интервал Y&: (а^ яь+i) в интервал IV (Ан, Ah+\) (an+i = a\,
Ап+1 = Ai; один из интервалов ^, ft = 1, 2, ..., re, содержит внутри себя
точку z = оо). В силу принципа симметрии существует аналитическое
продолжение f\ (z) функции /(z) через интервал ч* в полуплоскость
Im z < 0. Функция и» = /? (z) конформно отображает полуплоскость
Im z < 0 на многоугольник п?, симметричный с многоугольником П
относительно прямой lh, проходящей через интервал Гч (рис. 143).
При этом отображении образом интервала f j является интервал Г?-, сим-
симметричный с интервалом Tj относительно прямой h (рис. 143).
Далее, в силу принципа симметрии существует аналитическое про-
продолжение /fcj(z) функции/? (z) через интервал fj в полуплоскость
Im z > 0. Функция w = fa (z) конформно отображает полуплоскость
Im z > 0 на многоугольник П^-, симметричный с многоугольником П от-
относительно I* (рис. 143). Повторяя аналогичные рассуждения, найдем
аналитическое продолжение функции fhj(z) через интервал у, в полупло-
полуплоскость Im z < 0 и т. д. Все эти продолжения определяют функцию F(z),
аналитическую во всей расширенной комплексной плоскости с выколотыми
точками ak (к = 1, 2, ..., ге).
2. Докажем, что функция F" (z)jF' (z) однозначна и регулярна во
всей расширенной комплексной плоскости с выколотыми точками а* (к =
= 1,2 ге).
Воспользуемся теми же обозначениями, что и выше. Покажем, что
/*(z)=eipft/lz) + Bft, Imz<0, B)
где Рч — действительное число. В самом деле, в силу принципа симмет-
симметрии точки w = f(z) и w* = /? (z) (Imz< 0) симметричны относительно

§ 37, ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА
325
— 1фь
прямой h- Линейное отображение Z — (w — \)е » где <р» =
= arg (Ah+i. — Аи), переводит прямую h в действительную ось Im ? = 0
и точки, симметричные относительно прямой h,— в точки, симметричные
относительно прямой Im? = 0 (§ 36). Следовательно, (ш* — А^ е =
— A?) e ft]i откуда вытекает соотношение B).
©
77Z9.
Xz- -
¦- Ук
Рис. 143
Аналогично доказывается формула
/w W = е*']Щ +В-, Im z > 0.
C)
Из формул B) и C) получаем /у (г) = е w/ (z) + Bkj, Im z > 0.
Точно так же для любого элемента /(z), Imz>0, функции F{z)
находим
Im z > 0,
откуда /" (г)//' (z) = /" (z)//' (z). Аналогично, для любого элемента
/*(z), Imz<0, функции F (z) получаем (f*)"/G*Y = (ft)"/(ft)'' Таким
образом, функция g (z) = F" (z)/F' (z) однозначна.
Докажем, что функция g (z) регулярна во всей расширенной комп-
комплексной плоскости с выколотыми точками а* (к = 1, 2, ..., ге). Действи-
Действительно, в полуплоскости Im z > 0 функция / (z) регулярна и /' (z) Ф 0,
так как отображение w = f(z), Imz>0, конформно. Поэтому функция
S (z) = /" (z)//' (z) регулярна в полуплоскости Imz > 0. Аналогично до-
доказывается, что функция g (z) регулярна в полуплоскости Im z < 0.
Далее, в силу принципа симметрии функция / (z) регулярна и одно-
однолистна в каждой точке действительной оси Im z = 0, за исключением
точек аи (ft = 1, 2, ..., re). Поэтому /'(zJ^O при Im z = 0, z Ф оо,
яфлк (к = 1, 2, ..., п), и в окрестности точки z = оо функция / (z)
разлагается в ряд
где с-,ф0. Следовательно, функция /" (z)//' (z), а потому и функция
g (z) = F" (z)/F' (z) регулярна во всей расширенной комплексной пло-
плоскости с выколотыми точками а* (к = 1, 2, ..., п) и в окрестности

326
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
точки z = оо разлагается в ряд
F" (z) 2
Ь-2
3. Докажем, что в окрестности точки ан функция / (z) имеет вид
где функция hh (z) регулярна в точке а* и Лч (а*) =f= 0.
Рассмотрим полукруг К: \ z — aj, | < е, Im z > 0, где е > 0 достаточ-
достаточно мало (рис. 144). Функция w = /(z) конформно отображает полукруг
©
а-к-t
К на область Д, где Д — часть многоугольника П, лежащая в окрест-
окрестности точки А/,.
Функция ? = (if — -4ft) k конформно отображает область Д на об-
область G, где G — часть полуплоскости, лежащая в окрестности точ-
кя 1 = 0. Следовательно, функция ? = gk (z) = [^z)_j4ft]1 "ft кон-
конформно отображает полукруг К на область G так, что gt, (at,) =0, п об-
образом интервала у. (а* — е, в* + е) является интервал t', содержащий
точку ? = 0 (рис. 144). В силу принципа симметрии функция gt,(z) ре-
регулярна в точке z = аА и g'h (aft) =?«= О, т. е. g* (z) «= (z — аА) гч (z), где
функция gh (z) регулярна в точке z = аь и ?а (ад) ^= 0. Из равенства
[/ (z) — ^ft]1/aft = (z — aft) g^ (z) вытекает формула D).
4. Докажем, что функция /"(z)//'(z) имеет вид
E)
где функция
Из формулы D) получаем
/"
/'
B)
(*)
а 1
V k
f" B) «ft - *
^ z_a +^
^й B) = a,hhk (z) + B — ak) h'k (z) регулярна в точке z = ah и % (afe) =
= аккк(ак) =0. Следовательно, функция g(z) =F"(z)lF'(z), равная
f"(z)lf'(z) в окрестности точки а* (свойство 2), имеет полюс первого по-
порядка в точке ah п res g(z) = aft —1. Отсюда и из свойства 2 вытекает,
z=ak
что функция
Г (z)
afe —1

§ 37. ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА 327
регулярна во всей расширенной комплексной плоскости и стремится к
нулю при z->oo. Следовательно, по теореме Лиувилля (§ 19) Н (z) бО,
откуда при Im z > 0 вытекает формула E).
5. Докажем формулу Кристоффеля — Шварца A). Интегрируя равен-
равенство E) по кривой, лежащей в полуплоскости Im z > 0, с началом в
фиксированной точке z0 и концом в точке z, получаем
In /' («) = S К - *)ln (z ~ ak) + «".
откуда
/' (,) = с (Z - в/! (, - в/»" . . . (Z - в»)"".
Из последнего равенства интегрированием получаем формулу Кристоффе-
Кристоффеля— Шварца A). Теорема 1 доказана.
2. Вычисление параметров в интеграле Кристоффеля — Швар-
Шварца. Формула Кристоффеля — Шварца A) позволяет находить
вид функции w = t(z), которая конформно отображает полу-
полуплоскость Im z > 0 на ограниченный многоугольник П. Таким
образом, если многоугольник задан, т. е. заданы его вершины
Ак и углы nah {к— 1, 2, ..., п), то задача о нахождении функ-
функции /(г) сводится к отысканию точек ah (к = 1, 2, ..., п) и кон-
констант с, d. Любые три из точек ак (А=1, 2, ..., п) можно за-
задать произвольно (§ 33); тогда остальные точки ah и константы
с, Ci должны определяться однозначно. Рассмотрим один из спо-
способов нахождения этих точек и констант.
Формулу A) запишем в виде
F)
где h(z)— регулярная ветвь функции (z — «i) * (z — я2)а2 х ...
... (z — ап)ап~1 в полуплоскости Im z > 0. Так как различные
ветви этой функции отличаются друг от друга постоянным мно-
множителем (§ 24), то в формуле F) в зависимости от выбора
ветви h(z) будет изменяться только константа с (точнее, arge).
Для определенности будем считать, что заданы точки аи az,
а3, где at < а2, и z0 = а^ (от выбора точки z0 зависит константа
Ci). Полагая в формуле F) z = at, получаем с1 = /(й1) = Л1.
Найдем arg с. Заметим, что arg h (x) = 9 = const при а4 < х <
<а2. Из F) имеем
откуда arge = arg(.4z — Ai) — 8. Таким образом, формулу F)

328 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
можно записать в виде
Ч
где А > О, a = sng{Az — Ai)— Э.
В формуле G) осталось п — 2 неизвестных параметра: по-
положительное число А и действительные числа а4, а5, ..., ап.
Из G) имеем
ак+1
Ak+1-Ak = Aeia J h{t)dt.
ч
Отсюда, учитывая, что argh(x)= const на интервале (ак,
в»+1), получаем
+
\Ak+1-Ah\ = A J" |Л(*)|Л, ft = 1,2, ...,«. (8)
Здесь an+1 = й(, An+l = At и один из интервалов (ак, aft+1),
Л = 1, 2, ..., п, содержит внутри себя точку z = оо.
Параметры А, о4, а5, ..., йя можно находить из системы (8).
Из теоремы 1 следует, что эта система имеет единственное ре-
решение. Однако в конкретных задачах редко удается найти реше-
решение системы (8). Для простейших многоугольников можно
указать другие способы отыскания параметров в формуле Кри-
стоффеля — Шварца (см. ниже примеры 2, 4).
3. Отображение полуплоскости на треугольник и прямо-
прямоугольник. В теореме 1 рассмотрен случай, когда все точки
ак (к — 1, 2, ..., п) — конечные. Из этой теоремы вытекает
Следствие 1. Пусть функция w = f(z) конформно ото-
отображает полуплоскость Im z > 0 на ограниченный многоуголь-
многоугольник П так, что акФ оо (к ~ 1, 2, ..., п — 1), ап = <». Тогда име-
имеет место формула
г
(г) = с J (С — а/*-1 (? - й2)и2-1 ... E _ «„-/«-i-1 dl + cy. (9)
го
^Формулу (9) можно получить из A) с помощью дробно-ли-
нейного отображения полуплоскости Im z > 0 на полуплоскость
Im?>0, переводящего точку г = ап в точку ? = <» [Ю]. Отме-
Отметим, что в интеграле (9) на один множитель меньше, чем в
интеграле A). Поэтому, как правило, удобнее пользоваться
форму л ой (9). При этом будем считать, что z0 = аи тогда с, =ЛЬ
Пример 1. Отображение полуплоскости на
треугольник. Найдем конформное отображение w = f(z)

I 37, ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА 329
полуплоскости Im 2 > 0 на ограниченный треугольник П с вер-
вершинами в точках Ai, А2, Аа, где .4, = 0, Аг = 1, 1т.45>0
(рис. 145). Здесь 0<а»<1 (к = 1, 2, 3), + + 1
Рис. 145
Положим а! = 0, аг = 1, «з = °о (рис. 145). По формуле (9)
имеем
/ (z) = с j С E - I)™2 « = ^ J Г1 A ~ D dC,
о о
где i4 = ce"^°2~1)i,a подынтегральная функция принимает поло-
положительные значения на интервале @, 1). Из равенства
1
А2-А1 = 1=А^ Л A — tf^1 dt = A-B(av a2)
о
находим А = 1/В(аи а2), где B(at, а2) — бета-функция [9]. Та-
Таким образом, функция
конформно отображает полуплоскость Im % > 0 на треуголь-
треугольник П. []
Пример 2. Отображение полуплоскости на
прямоугольник. Найдем конформное отображение w=
= /(z) полуплоскости Imz>0 на ограниченный прямоугольник
П с вершинами в точках Ак (к = 1,. 2, 3, 4), где At = 1, Аг =
= 1 + Ш, Аа = -1 + Ш, А, = -1, Н > 0, Oh = 4" (* = 1» 2,3,4)
(рис. 146).
Рассмотрим правую половину прямоугольника П: прямо-
прямоугольник П+ с вершинами в точках 0, 1, 1 + Ш, Ш (рис. 147).
Пусть функция w = f{z) конформно отображает первый квад-
квадрант Rez>0, Imz>0 на прямоугольник П+ так, что /@) =
= 0, /A)= 1, f(oo)=iH. При этом отображении интервал if: (Q,
+i°o) переходит в интервал ч': (О, Ш), прообразом точки w =
= 1 + Ш является точка z = а, где 1 < a < +<» (рис. 147).

330
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
По принципу симметрии (§ 36) продолжим аналитически
функцию /(z) в полуплоскость Imz>0 и обозначим это анали-
аналитическое продолжение тем же символом f(z). Функция w = /(г)
А,=ЧЧН iff A2=hlM
0
w=f(z)
-a,
-1 О 1
a.
A^-I 0 A=f
Рис. 146
©
w=f(z)
О
Рис. 147
конформно отображает полуплоскость Im z > 0 на прямоуголь-
рик П (рис. 146) так, что /@) = 0, /(±1) = ±1,/(±й)=±1 +
+ Ш /() Я
Ш, /() гЯ.
По формуле A) имеем
w—Uz) —
где & = !/«, 0<?<l УA — f)(l — k2tz)>0 при v<
Здесь параметры к, А, Н связаны в силу (8) уравнениями
(И)
0<* < 1.
1 1/й
Г dt =J_ Г
J /d-t*)(i-*v) л' J
dt
H_
л'
Интеграл A1) при А = 1 называется эллиптическим инте-
интегралом Лежандра первого рода. Функция z = tf>(w), обрат-
обратная к функции A1), называется эллиптической функцией Яко-
би. Эта функция конформно отображает четырехугольник П на
полуплоскость Im z > 0.

§ 37. ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА 331
Отметим основные свойства функции ф(г):
1. Функция ij)(z) регулярна в комплексной плоскости z, за
исключением точек
z = 2n + iHBk+l)
(к, п — целые числа), которые являются простыми полюсами
этой функции.
2. Функция ij)(z) имеет два периода, 2\ = 4 и T2 = 2Hi, т. е.
(к, п — целые числа).
Доказательство этих свойств аналогично доказательству тео-
теоремы 1. Отметим, что с помощью эллиптических функций мож-
можно найти конформное отображение внутренности эллипса на
полуплоскость [10]. Подробнее эллиптические функции рассмат-
рассматриваются в EJ, [15]..
4. Отображение полуплоскости на неограниченный много-
многоугольник. Рассмотрим неограниченный многоугольник П, не со-
содержащий внутри себя точку w = °°. Пусть одна или несколько
вершин этого многоугольника расположены в точке w = <».
Если n<Xj — угол многоугольника П в его вершине А, = °°,
то — 2<а,<0 (§ 33). При этом сохраняется равенство
п
2 а* = п — 2.
fc=i
Можно доказать, что в этом случае остаются справедливыми
теорема 1 и следствие 1, т. е. имеет место общая
Теорема 2. Конформное отображение w = j(z) полупло-
полуплоскости Im z > 0 на многоугольник П осуществляется
а) функцией A), если ah Ф «> (к = 1, 2, ..., п);
б) функцией (9), если ак?= оо (& = 1, 2, ..., п — 1), ап = <».
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
доказательству теоремы 1 (подробнее см. [10]).
Пример 3. Пусть П — треугольник с вершинами в точках
А, = 0, Аг=\, А, = оо и 0 < cd < 2, 0 < аа < 2, —2 < а, < 0,
at + а2 + а, = 1. Из теоремы 2 и примера 1 следует, что функ-
функция A0) конформно отображает полуплоскость Im z > 0 на
треугольник П.
На рис. 148 показаны примеры таких треугольников:
a)
б)
в)
г)
о,
а1
«1
«1
=4. •
-¦f. -
= 2, а2
3
— 2 ' И
= 1 -
3
2- 2 •
1
«з J".
а ^.
3
;з 2 '
а, = -2.

332
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
В этих случаях по формуле A0) находим:
a) w =
. 4/~ 4/
arcsin у z — у
arctg
6
+ arth-
J
fS
в) u; = 1 - (l + ^-) /Г^7;
r) w = — [arcsin /z + B* — 1) /zA — z)].
Здесь рассматриваются ветви многозначных функций, поло-
положительные при z = х, 0<ж<1. []
Пример 4. Пусть четырехугольник П — полоса 0 <
<1тш<я с разрезом по лучу (—°° + nhi, nhi], 0 < h< 1
7/77777777777?
'Л.=О А.=1
А,=О
а
Л,-
4=0 Aj,=J
fy//////////////.
у777777777777/
А,=О
Aj=OO
Рис. 148
(рис. 149). Здесь At = nhi, A2 = °°, As = °°, Ak = °°, at = 2,
a» = ocj = a4 = 0. Положим ai == 0, a2 — 1, a» = °°. Тогда
o4=—й, где 0<й<+оо. В силу теоремы 2 и формулы (9)
конформное отображение полуплоскости Im z > 0 на четырех-
четырехугольник П осуществляется функцией
A2)
Найдем argc (ср. п. 2). Рассмотрим точку z, на интервале
(О, 1): Zi = Xi, 0<Xi<i. Ее образ — точка и^4 = /(zi) — лежит

§ 37. ИНТЕГРАЛ КРИСТОФФЕЛЯ — ШВАРЦА 333
на стороне (Аи А2) четырехугольника П (рис 149), т. е.
Re Wi < 0, Im Wi = ли. Из A2) имеем
л Г tdt
-A^c) (t_1)(f + 6).
о
Здесь Wi — Ai = Re Wi < 0, и подынтегральная функция отри-
отрицательна @ < t < Xi < 1). Следовательно, с > 0.
a,=O
////г//////////////////////////у////////////////////////////.
Аг=оо
шг О
Рис. 149
Таким образом, в формуле A2) осталось два неизвестных
параметра: с > 0, Ъ > 0. Найдем эти параметры.
Пусть Zj = 1 — р, z2 = 1 + р, где р > 0 достаточно мало. Тог-
Тогда точка Wi = /(z,) лежит на стороне (Д, Л2), а точка и?2 =
= /(z2) — на стороне D2, Л3) (рис. 149), откуда 1т(и;2 — 1^) =
= —л/г. Из A2) имеем
— u>i = / (z2) - / (Zi) = с j (? _ ^^ + Ь), A3)
ср
где Ср — полуокружность |?l=p, Im t, ^ 0, ориентированная по
часовой стрелке (рис. 149).
Рассмотрим интеграл A3). Точка ? = 1 является полюсом
первого порядка подынтегральной функции и
Следовательно, (^_J___ = _i__L- + ?(Q, где функция
(?) регулярна 'в точке ^ = 1 и, значит, ограничена в некото-

334 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
рой окрестности этой точки: lg(?)l ^M. В соответствии с этим
интеграл A3) запишем в виде суммы двух интегралов. Первый
из них равен
с Г JL. = _ JHL. A4)
1 + 6 J l—i 1 + Ьш
3р
ср
Для второго интеграла имеем оценку
(Р-ч-0) A5)
так как
Из A3)—A5) получаем
lm(wa-w1) = -n
откуда при р -*¦ О находим
Отметим, что изложенный выше способ получения соотноше-
соотношения A6) из формулы A2) можно применять для любого много-
многоугольника, рассматривая w в окрестности вершины Ak, если
•сч «л = 0. Применим этот способ
^eMh для четырехугольника П в ок-
окрестности точки Л4. Имеем
К, Л,
Рис. 150 '
где г3 = — Ь — р, z4 = — Ъ + р, 1т(и;4 — гу3)= n(h — 1), Ср—
полуокружность |? + Ы=р, Im?^0 (рис. 149). Отсюда находим
и при р -*¦ 0 получаем
-^гт = 1-к. A7)
Решая систему уравнений A6) — A7), находим с = 1, Ь = —т—.
Подставляя эти значения в формулу A2) и вычисляя инте-
интеграл, окончательно получаем
^ = /(z =

§ 38. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 335
Заметим, что функция ? = ew (п. 4, § 35) конформно отобра-
отображает четырехугольник П на область G — полуплоскость Im ? >
>0 с разрезом по отрезку [0, е!лЛ] (рис. 150). Следовательно,
функция
конформно отображает полуплоскость Im z > 0 на область G.
§ 38. Задача Дирихле
Широкий класс стационарных физических задач сводится к
отысканию гармонических функций, удовлетворяющих некото-
некоторым граничным условиям [2], [10]. В этом параграфе рассматри-
рассматривается метод решения таких задач с помощью конформных
отображений.
1. Постановка задачи Дирихле. Существование и единствен-
единственность решения. Пусть на границе Г ограниченной области D
задана непрерывная функция uo(z). Классическая за-
задача Дирихле для уравнения Лапласа состоит в следую-
следующем: найти функцию u(z), гармоническую в области D, непре-
непрерывную вплоть до границы Г и принимающую на Г значения
uo(z):
Ди = 0, zefl; «|Z?=r = «o(z). A)
Здесь и далее u(z) = и(х, у), и„(г)= ий(х, у)—действительные
функции, Д = —j, H -2 — оператор Лапласа.
ох оу
Решение классической задачи Дирихле A) существует и
единственно. Доказательство существования решения содержит-
содержится в [2]. Единственность решения вытекает из принципа макси-
максимума и минимума для гармонических функций (теорема 5, §32).
В самом деле, пусть «i(z), Uz(z)— гармонические в области
D функции, непрерывные вплоть до границы Г и иЛ^г = и21геГ.
Тогда разность «i(z) — u2(z) — гармоническая в области D
функция, непрерывная вплоть до Г и равная нулю при z e Г.
По теореме 5 § 32 Ui{z)~ u2(z)^ 0 при z^D, т. е. «i(z) =
S u2(z), z^D.
Наряду с классической задачей A) будем рассматривать
также более общую задачу Дирихле, когда функция uo{z) ог-
ограничена и имеет конечное число точек разрыва. Требуется
йайти гармоническую в области D функцию u(z), ограничен-
ограниченную в D, непрерывную вплоть до границы во всех точках не-
непрерывности функции Uo(z) и в этих точках удовлетворяющую
граничному условию и(г) = ио(г). При этом область D может
быть неограниченной.
Решение этой задачи Дирихле существует и единственно [2].

336 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Следующий пример показывает, что если в постановке зада-
задачи Дирихле отказаться от требования ограниченности искомой
функции u(z), то теорема единственности будет неверна.
Пример 1. а) Функция и(х, у)=у, гармоническая в по-
полуплоскости у > О, непрерывна вплоть до границы и равна ну-
нулю при у = 0 (х Ф°°). Функция, тождественно равная нулю,
очевидно, также удовлетворяет всем этим условиям.
I х* „2 1 + г
б) Функция и(х,у) — —— = Ее-,—-, гармониче-
екая в круге х2+у2<1, непрерывна вплоть до границы этого
круга, за исключением точки A, 0), и равна нулю во всех точ-
точках окружности хг + уг = 1, кроме точки A, 0). Функция, тож-
тождественно равная нулю, также удовлетворяет всем этим усло-
условиям. []
2. Инвариантность уравнения Лапласа относительно кон-
конформных отображений.
Теорема 1. Пусть регулярная функция z = g(?) кон-
конформно отображает • область G на область D и u(z)—гармони-
u(z)—гармоническая в области D функция. Тогда функция и (?) = и(g(?)) —
гармоническая в области G.
Доказательство. Рассмотрим односвязную область Gi <=
<= G. Образом области Gi при конформном отображении z = g(?)
является односвязная область Dt^D. Пусть /(z)—регулярная в
области Dt функция такая, что Re/(z)=u(z) (существование
такой функции /(z) доказано в § 7). Тогда функция /(?) =
= /(?(?)) регулярна в области &, и поэтому «(?)= Re /(?) —
гармоническая в Gi функция (§ 7). Так как Gt — произвольная
односвязная подобласть области G, то й(?) — гармоническая
в области G функция.
Теорему 1 можно также доказать следующим образом. Обо-
Обозначим х{\, ti) = Re?(?), у(Ъ, T]) = Img'(S), где ? = ! + ni- Тог-
Тогда отображение z = g(t,) (z = x + iy) можно записать в виде
, У]). B)
Так как #(?)- регулярная функция, то функцпи х(Ъ,ц),у(%,г\)
удовлетворяют условиям Коши — Римана. Поэтому при замене
переменных B) непосредственно получается формула
2u д2и
Из формулы C) следует, что если u(z) — гармоническая функ-
функция по переменным х, у, то й(?)= и(|г(?))—гармоническая
функция по переменным %, г\, т. е. уравнение Лапласа инва-
инвариантно относительно конформных отображений. Этот факт ле-
лежит в основе метода решения задачи Дирихле с помощью кон-
конформных отображений.

§ 38. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 337
Пример 2. Пусть D — область Imz<0, \z + U\ > R, где
Z>i?>0 (рис. 125). Решим задачу Дирихле
Дц = 0, геД; D)
ulim2=o = 0, и||1+«|-л = 7' = const. E)
Рассмотрим конформное отображение ? = h (z) = g_ia
области D на концентрическое кольцо К: i?i<|?l<l, где
a = y?=W, R1={R + l-a)/{R + l + a) (пример 38, § 35).
При этом отображении прямая Im z = О переходит в окруж-
окружность |?1=1, а окружность \z + il\=R — в окружность 1?| =
= Ri. Пусть z = #(?)— функция, обратная к функции %=h{z).
По теореме 1 мE) = u (#(?)) — гармоническая в кольце К
функция:
Дй = 0, %^К. F)
Из условий E) получаем
Таким образом, задача D) —E) свелась к задаче Дирихле
F) —G). Решим эту задачу.
Пусть ? = % + ii\ = peie. После замены % = р cos 9, t) =
= р sin 0 уравнение Лапласа F) запишется в виде
О и 1 ди 1 д и _ |-j
др2 Р д9 р2 t>02 ~~
Так как граничные функции в условиях G) не зависят от 0, то
естественно предположить, что и решение задачи F) — G) не
зависит от 9, т. е. функция м(?) является функцией только от
одной переменной р. Найдем такое решение — тем самым, в си-
силу единственности решения задачи Дирихле будет доказано, что-
решение задачи F) — G) не зависит от 0. В случае, когда функ-
функция й(?) не зависит от 0, уравнение Лапласа F) являете»
обыкновенным дифференциальным уравнением
d2a , 1 du r>
Общее решение этого уравнения u(t,)= Ci + c2ln p = d +
+ e2ln|?|. Из условий G) находим ct — 0, cz = T/\nRu т. е.
функция
является решением задачи F) — G). Для нахождения решения
задачи D) — E) остается перейти к координатам z = x + iy.
22 ю. В. Сидоров и др.

338 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Так как u(z) = u(h(z)) и
то решением задачи D) — E) является функция
±X__L_
где a = 1l2-R\ Ri=(R+ 1 - a)/(R + l + a). Q
3. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в круге.
Теорема 2. Пусть функция u(z), гармоническая в круге
Ы < 1, непрерывна в замкнутом круге \z\ < 1. Тогда имеет
место формула Пуассона
и (re**) = 4- f J—^ , и (еЩ dQ, (8)
гЗе z = rei", 0
Доказательство. Заметим, что при z == 0 формула (8)
совпадает с F) § 10 (теорема о среднем для гармонических
функций). Покажем, что при z Ф 0 значение u(z) также можно
найти по теореме о среднем с помощью конформного отображе-
отображения. Зафиксируем точку z0 = г0егф°,0 =S ro < 1 и рассмотрим кон-
конформное отображение
Z = h(z) = p^- (9)
1-«0
круга |z| < 1 на круг |?|< 1, A(z0) = O (§ 34). Из (9)
находим
Функция z = g(?) конформно отображает круг \%\ <1 на круг
\z\ < 1 так, что g@) = z0.
Функция u(z), гармоническая в круге Ы < 1, непрерывна
в замкнутом круге Ы ^ 1. Следовательно, функция п(%) —
= u(g(t,)) является гармонической в круге |?1 < 1 (теорема 1)
в непрерывной в замкнутом круге l?l ^ 1. По теореме о сред-
среднем для гармонических функций (§ 10) находим
2Л
(И)
Вернемся к прежним переменным. В интеграле A1) сделаем

§ 38. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 33*
замену
A2)
Тогда M(e!'*)=u(fe(eie)) = u(eie). Из A2) находим
Заменяя г0 = гоег9° на z = rei<l из A1) — A3), получаем формулу
(8). Теорема доказана.
Преобразуем формулу Пуассона к другому виду. Заметим,,
что
1 — 2rcos(q> — 0) + г2 leie — z |2 eie — г'
Поэтому формулу (8) можно записать в виде
2Л
и (z) = Re ^ j и (eie) f!!±f de, A4>
о
так как u(eie) — действительная функция. Полагая в интеграле-
A4) е'в = ?, откуда d9 = -?, получаем
u(z) = -Re± J »(Q^f, |z|<l. A5)
Таким образом, формулу Пуассона (8) можно записать в ви-
де A5).
Замечание 1. Теорема о среднем справедлива для гармо-
гармонических и ограниченных функций в круге, непрерывных
вплоть до границы круга, за исключением конечного числа то-
точек. Поэтому для таких функций справедлива и формула
Пуассона.
Следствие 1. Пусть функция f(z) регулярна в круге
Izl < 1 и ее действительная часть w(z) = Re/(z) непрерывна в
замкнутом круге Izl ^ 1. Тогда имеет место формула Шварца
Ш I u®T=T + *Ьп/(°) |*|<1. №
Доказательство. Пусть F(z) — интеграл, стоящий в пра-
правой части формулы A6). Функция F(z) регулярна в круге
lzl<l (теорема 1 § 16) и в силу A5) ReF(z)= u(z) = Re/(z).
Следовательно, F(z) = f(z)+iC (п. 3 § 7), где С — действитель-
22*

340 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ная константа. Так как
*<°> = Si J «tt)f = 5rJ "<«")<» = и<0),
то ImF@) = 0. Из равенства ImF@) = Im/@) + C находим С =
= — Im/@), т. e. F(z) = /(z) — iIm/@), и формула A6) доказана.
С помощью формулы Пуассона можно решать задачу Дирих-
Дирихле для уравнения Лапласа в круге Iz] < 1. В частности, если
граничная функция является рациональной функцией от sincp
и coscp, то интеграл в формуле A5) вычисляется с помощью
вычетов.
Пример 3. Найдем решение задачи
J!?i A7)
где z — re**. Воспользуемся формулой A5). Пусть % = е™, тогда
(9 (
sine
+ 4COS0
Вычислим интеграл I = тт—- \ — ^ ~ НЕ + z dt,f где ок.
2я»|а^12«BС2 + 5С + 2)(С-*)С
ружность |?1 = 1 ориентирована против часовой стрелки. Подын-
Подынтегральная функция F(t,) в области |?| > 1 имеет одну конечную
особую точку ? = —2 — полюс первого порядка и устранимую
особую точку ? = °°. Следовательно, по формуле A9) § 28
/ = — res F(Q- res F{Q.
?=-2
По формулам C), A2) § 28 находим
По формуле A5) получаем решение задачи "A7)
, х т, z у г sin ю _
и (х, гл = Ке^——г-тт- = т — -н . П
Задачу Дирихле для уравнения Лапласа в кольце р< lz| <R
(в частности, в круге или во внешности круга) можно также
решать методом разделения переменных [2]. При этом использу-
используются гармонические функции
In г, r"cosmp, r"sinmp, n = 0, ±1, ±2, ... A8)
4. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости.
Теорема 3. Пусть функция u(z), гармоническая и ограни-
ограниченная в полуплоскости Im z > 0, непрерывна вплоть до прямой

§ 38. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 341
Imz = O, за исключением, быть может, конечного числа точек.
Тогда имеет место формула Пуассона
где z—x+iy, у > 0.
Доказательство. Зафиксируем точку zo = xo + iy0, у о > 0,
и рассмотрим конформное отображение
? = /l(z)=S~ B0)
полуплоскости Imz>0 на круг \t,\ < 1, /i(zo) = O (§ 34). Из B0)
находим
Функция z = g(?) конформно отображает круг 1^1 < 1 на полу-
полуплоскость Imz>0 так, что g(O) = zo. По теореме 1 й{%) =
— и(ё(Ш— гармоническая в круге 1^1 <1 функция. Из условий
теоремы следует, что функция в(?) ограничена в круге 1^1 <1
и непрерывна вплоть до окружности |?|=1, за исключением
конечного числа точек. По теореме о среднем (замечание 1)
имеем
" B0) = и @) = A- J S (ei*) di|,. B2)
о
Вернемся к прежним переменным. В интеграле B2) сделаем
замену
e«+ = fc(*) = 'i—3|. B3)
Имеем u(e^) = u(h(t)) = u(t). Из B3) находим
di|j = Z°~Z\ dt = Щ dt. B4)
Заменяя zo = xo + iy0 на z — x + iy, из B2) — B4) получаем фор-
формулу A9).
Так как _ * ^ = Re . {t _ z), то формулу Пуассона A9)
можно записать в виде
§ j3xdt. B5)
—оо

342 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
С помощью формулы A9) или B5) можно решать задачу-
Дирихле для уравнения Лапласа в полуплоскости Imz>0. Рас-
Рассмотрим, например, задачу
Дц = О, у>0; u\t-t = R(x), B6>
где рациональная функция R(z) действительна, не имеет полю-
полюсов на действительной оси и R(z)->-0 при z-*• °°. Решением этой
задачи в силу B5) является функция
+ 00
— 00
где Im z > 0. Этот интеграл можно вычислить с помощью выче-
вычетов (п. 2 § 29)
и (z) = — 2 Re 2 res ?M. B7)
Здесь вычеты берутся по всем полюсам функции R(%), лежащим
в полуплоскости Im ? < 0.
Пример 4. Найдем решение задачи
Ди = О, г/>0; м 1«-о = Г+1?'
По формуле B7) получаем
B(Z) =
= — 2Re res i = -2Re9., i, .. = , y + 1 ,. П
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Лапласа в произ-
произвольной односвязной области
Дц = О, z^D; ц|г = иоB), B8)
где граница Г области D состоит более чем из одной точки. Ре-
Решение этой задачи можно найти с помощью конформного ото-
отображения области D на круг или полуплоскость и формулы Пу-
Пуассона.
Пусть функция ? = h (z) конформно отображает область D
на полуплоскость Im?;>0, z = g(?) — обратное отображение.
Тогда u{%) = u{g{%)) — гармоническая в полуплоскости Im?;>0
функция и ul4=o = Mo(g(z))|2er = fio(g), где ? = 1 + и1- В си-
силу B5)

§ 38. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 343
В этой формуле сделаем замену ? = /i(z), t = h(x). Получаем
решение задачи B8)
Аналогично, если функция w = j{z) конформно отображает
область D на круг \w\ < 1, то с помощью формулы A5) реше-
решение задачи B8) можно записать в виде
(зо)
Часто при нахождении решения задачи B8) вместо вычисле-
вычисления интеграла B9) или C0) удобно после найденного конформ-
конформного отображения % = h{z) области D на круг или полуплоскость
вычислить интеграл Пуассона (8) или A9) а в полученном ре-
результате сделать замену ? = h (z).
Пример 5. Найдем решение задачи
C1)
при х>0,
_„ "!у=я = О, C2)
при ж<;0, ^ ' v '
где z = a:+n/. Функция t, = е2 (^ = ^ + гт]) конформно отобража-
отображает полосу 0<у<я на полуплоскость t]>0 (§ 35). При этом
условия C2) переходят в условия
_ A при |>1,
и1т1=о = 10 при ?<1.
По формуле A9) находим
Отсюда после замены | = е* cos г/, r\ = ex sin у получаем решение
задачи C1) —C2)
/ \ 1 1 л. е~х — cos у 1—1
»(Z)---lTarctg riny ' ?
5. Функция Грина задачи Дирихле. Функцией Грина задачи
Дирихле для оператора Лапласа в области D называется функ-
функция
GM-^lnlz-SI + gM, zeD, ?еД C3)
где g{z, S) удовлетворяет следующим условиям:

344 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
1. при каждом %<=D функция g(z, ?) является гармониче-
гармонической в области D, т. е.
JJ + J-f = °. z = x+iy<=D; C4)
2. при каждом %<=D функция g{\, z) непрерывна вплоть до
границы Г области D и
g(ZlQ|2er = -^ln|Z-?|[SI, C5)
Из C5) следует, что
G(z, «|„г = 0. C6)
Таким образом, при каждом t,^D функция g{z, ?) является
решением задачи Дирихле C4) — C5). Из теоремы существова-
существования и единственности решения задачи Дирихле следует, что
функция Грина существует и единственна для любой ограничен-
ограниченной области с кусочно гладкой границей. Покажем, что задача о
нахождении функции Грина для односвязной области сводится
к отысканию конформного отображения этой области на единич-
единичный круг.
Теорема 4. Пусть D — ограниченная односвязная область
и пусть функция w = w(z, ?), z^D, ?eZ), при каждом ?e=Z>
конформно отображает область D на круг |и;|<1 так, что точ-
точка z = ? переходит в точку w = 0: w(t,, ?) = 0. Тогда функция
Грина задачи Дирихле для оператора Лапласа в области D
имеет вид
G (z, ?) = ¦?- In [ w (z, ?) |. C7)
Доказательство. Зафиксируем точку %<=D. Так как
отображение w — w(z, ?) конформно, т. е. функция w(z, %) регу-
регулярна и однолистна в области D, то w ' =j= 0 при zefl. Из
условия wE, ?) = 0 вытекает, что w(z, EjJ^O при z^t,. Следова-
Следовательно, функция w(z, %) имеет вид
w(z, ?) = (z — S)^(z, %), C8)
где функция г|э (г, ?) регулярна в области D и i|j(z, ^^O при
z^D. Из C8) имеем
?-]a\w(z,Q\ = ±lii\z-tl + g(z,Qt C9)
где g (z, ^) = 2^- In | ij? (z, Q | — гармоническая в области D функ-
функция как действительная часть регулярной в области D функции
1пф(*?)

§ 38. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 345
Далее, если г^Г, то \w{z, %)\ = 1 и из C9) вытекает усло-
условие C5). Следовательно, функция C9) является функцией Грина.
Замечание 2. Если w = w(z) — какое-нибудь конформное
отображение области D на круг \w\ < 1, то функция w(z, %) на-
находится по формуле (§ 34)
Функция Грина G(z, %) обладает следующими свойствами:
1. Симметрична:
z). D1)
2. При каждом zefl является гармонической по переменным
?. г\{?, = Ь + щ) в области D с выколотой точкой ? = z.
3. При каждом zefl непрерывна вплоть до границы Г об-
области D и
G(z. ?I?еГ = 0. D2)
Свойства 2 и 3 вытекают из свойства 1 и определения функ-
функции Грина. Докажем свойство 1 для односвязной области. Из
D0) имеем \w(%, z)\ = \w(z, ?)l, и поэтому из C7) следует D1).
Доказательство этого свойства для неодносвязных областей см. [2].
С помощью функции Грина можно находить решение задачи
Дирихле для уравнения Пуассона
Дц = *"(*), z^D D3)
с граничным условием
u\v = Uo(z). D4)
При достаточно широких предположениях решение задачи
D3) — D4) имеет вид
\^ D5)
D Г
где % = | + щ, символ -~^ означает дифференцирование по на-
направлению внешней нормали к границе Г области' D по перемен-
переменной ?. Доказательство формулы D5) см. [2].
6. Задача Неймана. Пусть D — ограниченная область с глад-
гладкой границей Г и на Г задана непрерывная функция Ui(z).
Классическая задача Неймана для уравнения Лап-
Лапласа состоит в следующем: найти функцию u(z), гармоническую
в области D
Ди = 0, геД D6)
непрерывно дифференцируемую вплоть до границы Г и удов лет-

346 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
воряющую условию
ТК р = М*)' D7)
an геГ
где -^— производная по направлению внешней нормали к Г.
Для разрешимости задачи D6) —D7) необходимо, чтобы вы-
полнялось соотношение
\ щ (z) ds = 0, D8)
где ds = I dz I — элемент длины кривой Г.
В самом деле, по формуле Грина [9]
D
откуда в силу D6) — D7) вытекает D8).
При выполнении условия D8) решение классической задачи
Неймана существует и единственно с точностью до постоянного
слагаемого. Доказательство существования решения содержится
в [2]. Докажем единственность.
Пусть u(z), u(z)—два решения задачи D6) — D7). Тогда
и(z) = и (z) — u(z)— решение задачи
см = 0, ze D; — = и. DУ)
дп zeT
Воспользуемся формулой Грина [9]
n[()№JJ
X) ГО
Правая часть этой формулы равна 0 в силу D9). В левой части
подынтегральная функция неотрицательна и непрерывна в обла-
области D. Следовательно, -г-= 0, — = 0, откуда u(z)=const при
иХ Оу
z^D.
Наряду с классической задачей Неймана будем рассматри-
рассматривать также задачу D6) — D7) в случае, когда область D неогра-
ничена. Тогда предполагается, что функция u(z) и ее частные
производные первого порядка ограничены в области D.
Пример 6. Найдем решение задачи
Ди = 0, у>0; g =_Bl(ar), E0)
где z — x + iy, Ui(x) — непрерывная функция при — оо
\-^') E1)

§ 38. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ 347
при х -*¦ °°, в > 0. В этом случае -^Ч = — ~ . Предпола-
ОП \y=Q О I/ |у=0
гается, что условие D8) выполнено, т. е.
мх (я) dx = 0. E2)
Задачу Неймана E0) можно свести к задаче Дирихле для
функции тА В самом деле, так как u(z)— гармоническая функ-
функция, то -т- — также гармоническая функция при у > 0. Поэтому
ди _.
для тг- получаем задачу Дирихле
!/=0
+оо
По формуле A9) находим ^ = — J ¦ 'а , arff- откуда
A F . „
M 12) —^ 1 li] (tl ХП 11 Г "~- «Cl *t~ t/ J 0>C •+¦ U \Xl»
2n J
В этой формуле интеграл — гармоническая при у > 0 функция,
так как подынтегральная функция — гармоническая, а условие
E1) обеспечивает сходимость этого интеграла и существование
его частных производных любого порядка. Поэтому С (х) — так-
также гармоническая функция, т. е. С" (х) — 0, откуда С{х) —
= d + Сгх. Из условия E2) следует, что интеграл в формуле
E3) ограничен при у > 0, так как его можно представить в виде
+ОО
J щ (t) In [(t — хJ + у2] dt - ln (a* + у2) J вх (t) dt =
li последний интеграл при больших значениях ж2 + г/2 по модулю
+ О0
меньше интеграла J [ иг (t) | In (| 11 + IJ dt, который сходится в
— 00
силу условия E1). Функция u(z) ограничена, следовательно,
С{х) также ограничена, т. е. Сг = 0, и из E3) окончательно по-

348 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
лучаем решение задачи E0):
оо
где С — постоянная. Эту формулу можно записать в виде
u(z)= *-
- z\dt + Сх
E4)
так как (t — х)г + уг= \t — z\2. []
Решение задачи Неймана D6) — D7) в односвязной области
D можно найти с помощью конформного отображения области
D на полуплоскость и формулы E4).
Пусть функция % — h(z), t, = t, + ir\ конформно отображает
область D на полуплоскость Im?;>0, z = g(t,)— обратное отобра-
отображение. Тогда «(?)= и (#(?)) — гармоническая функция в полу-
полуплоскости Im ? > 0. Найдем —
дп
л=о
, где п — внешняя нормаль
к границе полуплоскости Im % > 0. При конформном отображении
z — g{V) направление нормали п переходит в направление нор-
нормали п, а коэффициент линейного растяжения в точках прямой
Im?; = 0 равен lg'(l)l. Следовательно,
дп
ди
дп
1 g' (Dl^
Учитывая, что -^г
дп
ди
Г1=0
по формуле E4) находим
Вернемся к прежним переменным, полагая % = h(z), t — h(т).
Так как g' (t) = ,, ,, то решение задачи D6) —D7) имеет впд
-A^lrFc§TdT + C- E5)
Пример 7. Найдем решение задачи
Au = U, г<1; -?-\ = и, (е ), EЬ)
2Я
где z = ге'ф, Kt (е1ф) — непрерывная функция и j их (е!ф) dcp = 0.
В этом случае —
а«
•=1

§ 38. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ
349
Функция z = g (?) =
конформно отображает полупло-
полуплоскость Im?:>0 на круг Ы < 1 (§ 34). Обратное отображение
имеет вид ? = h (z) = j^ i. Так как Л' (z) = г, то в силу
E5) решение задачи E6) определяется формулой
и (z) = \ иг (т) In
|т|=1
В интеграле E7) положим
1 — т
* *~~"
тогда
— ¦¦/
. E7)
4
A — тJ
1 + т.
г—
1 — т 1-z"
Из E7) получаем
2Я
u(z) = _-j Ul{e )\n\e ¦
<Z8
х + /я
где
2Я
2Я
= -L j Bl (ei9) In 11 — eie j Й8 =
const
(не зависит от z). Окончательно находим решение задачи E6)
2Я
u{z) = - ~\ иг
•ГС J
- z\dB + С,
E8)
где С — произвольная постоянная. []
Задачу Неймана D6) — D7) в односвязной области D можно
решить с помощью конформного отображения области D на круг
и формулы E8).
Задачу D6) — D7) в односвязной области D можно свести
к задаче Дирихле для сопряженной гармонической функции v(z).
¦п dv Ои , . „ т»
о самом деле, — = -г- = uL (z) в силу условии Копта —
OS 2GF C/t Zs=F
Римана, откуда
E9)

350 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
где интеграл берется по дуге кривой Г. Решив задачу Дирихле
для уравнения Лапласа
Ду = 0, zefl,
¦с граничным условием E9), можно простым интегрированием
найти функцию u(z) (§ 7).
§ 39. Векторные поля на плоскости
1. Основные понятия. Пусть в каждой точке z = х + iy об-
области D на плоскости задан вектор А =(АХ, Ау), компоненты ко-
которого—функции от (х, у): Ах = Ах(х, у), Ау = Ау(х, у). Тогда
говорят, что в области D задано векторное поле А(х, у). Пред-
Предполагается, что функции Ах, Ау непрерывно дифференцируемы
в области D. Векторное поле на плоскости можно задать с по-
помощью одной комплекснозначной функции, которую также обо-
обозначим А:
A=Ax+iAv. A)
Во многих важнейших физических задачах функция А есть ана-
аналитическая функция z, и это позволяет применять методы тео-
теории функций комплексного переменного.
Напомним основные понятия векторного анализа [9].
Линии тока. Рассмотрим автономную систему обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений
§=Ах(х,у), ft=Av{x,y). B)
Параметр t во многих задачах можно интерпретировать как
зремя. Линиями тока векторного поля A) называются фазовые
траектории системы B), т. е. кривые вида x = q>{t), г/ = |ф(О.
^1<^<^2, где (ф(?), y>(t))— решение системы. Точка (х0, у0),
в которой вектор А равен нулю, т. е.
Ах(хо, уо) = 0, Ау(х0, уо) = О,
называется точкой покоя системы B) или критической точкой
векторного поля А. Точке покоя (аг0, У о) отвечает фазовая траек-
траектория (линия тока), состоящая из одной этой точки. Из теории
•обыкновенных дифференциальных уравнений известно, что фа-
-зовые траектории системы B) — а стало быть, и линии тока — не
•пересекаются и что через каждую точку области D проходит ли-
линия тока. Как следует из B), вектор А(х, у) — касательный век-
вектор к линии тока, проходящей через точку (х, у), которая не
•есть точка покоя. Поэтому линия тока касается вектора поля в
каждой точке.
Теория обыкновенных дифференциальных уравнений позво-
позволяет судить о качественной структуре линий тока. Именно, воз-
возможны следующие случаи:

§ 39. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ 351
1. Линия тока состоит из одной точки (точка покоя).
2. Линия тока — гладкая замкнутая кривая.
3. Линия тока — гладкая незамкнутая кривая. В этом случае
каждый из концов линии тока либо лежит на границе области D,
либо совпадает с одной из точек покоя.
Одна из важнейших физических задач, связанных с плоски-
плоскими векторными полями — это задача об установившемся плоско-
параялельном течении жидкости. Пусть течение параллельно
плоскости (х, у). Тогда скорость частицы жидкости, проходящей
через точку (х, у, z), есть вектор вида v = (vx{x, у), vv(x, у), 0),
и соответствующее векторное поле есть поле скоростей. Вместо
векторного поля в пространстве в данном случае можно ограни-
ограничиться плоским векторным полем — полем скоростей
v = (vx, vv). C)
Линия тока — это кривая, по которой движется (течет) частица
жидкости.
Поток и дивергенция. Потоком векторного поля А че-
через замкнутую кривую у называется интеграл
N = $(A, n) ds. D)
v
Здесь и далее (А, п)— скалярное произведение вектора А на
единичный вектор п, нормальный к у, ds — элемент длины кри-
кривой 1- Если Y — простая замкнутая кривая, ориентированная
против (по) часовой стрелки, то нормаль к f направлена во
внешность (во внутренность) кривой -{. Формулу для потока
можно также записать в виде
N
= ) — Avdx + Axdy.
Дивергенцией или расходимостью векторного поля А назы-
называется величина
дАх дА,,
F>
Из формулы Грина вытекает связь между дивергенцией и пото-
потоком
f (A, n) ds = J J div A dx dy. G)
D
D
Здесь ^ — простая замкнутая кривая, ограничивающая область D.
Приведенная выше формула для дивергенции F) неинва-
неинвариантна — она зависит от выбора системы координат. Формула
G) позволяет дать инвариантное определение дивергенции. Пусть
кривая ^ стягивается в точку (х0, у о) и S — площадь, ограничен-

352 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
ная кривой ч- Тогда дивергенция в этой точке равна пределу
div А = lim поток через кривую v . (8)
S-,o площадь v '
¦Следовательно, дивергенция есть плотность потока векторного
поля.
Циркуляция и ротор. Циркуляцией векторного поля
А вдоль замкнутой кривой у называется интеграл
где t — единичный вектор, касательный к кривой у. Эту формулу
можно записать в виде
+ Aydy. A0)
Ротором или вихрем плоского векторного поля А называется ве-
величина
дАи дАх /лл^
votA^-r1- — -^. (И)
дх ду v '
Замечание 1. В векторном анализе ротором пространст-
пространственного векторного поля (в данной точке) называется трехмер-
трехмерный вектор; выше ротором было названо число. Связь между
этими определениями такова: построим по векторному полю A)
пространственное плоскопараллельное векторное поле Л =
= {АХ, Ау, 0). Тогда
), 0, rot Л). A2)
Из формулы Грина вытекает связь между циркуляцией и ро-
ротором
§ §§ A3)
Здесь -у — простая замкнутая кривая, ограничивающая область
D. С помощью этой формулы ротор может быть определен ин-
инвариантным образом
s^0 площадь
Здесь, как ив (8), кривая f стягивается в точку (?0, у о) и S —
площадь, ограниченная кривой f. Следовательно, ротор есть
плотность циркуляции векторного поля.
Замечание 2. Поставим плоскому векторному полю А в
соответствие плоско-параллельное векторное поле Л в простран-
пространстве ,(см. замечание 1). Из векторного анализа можно получить

§ 39. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ 353
следующую интерпретацию ротора. Пусть U—бесконечно ма-
малая окрестность точки (х0, у о), тогда мгновенная угловая ско-
скорость и вращения области U равна и = 72 rot Ж, где rot Ж дается
формулой A2).
2. Солсноидальные и потенциальные векторные поля. Вектор-
Векторное поле А называется соленоидалъным (в области D), если его
дивергенция равна нулю:
div^ = 0. A5)
Соленоидальное векторное поле сохраняет площадь. Именно,
возьмем на плоскости некоторую область Da и сдвинем каждую
точку этой области вдоль линий тока за одно и то же время t.
Тогда область Do сдвинется в область Dt и из условия A5) сле-
следует, что площади областей Do и Dt равны. Если рассматривае-
рассматриваемое векторное поле — это поле скоростей жидкости, то из усло-
условия divy = 0 следует, что если плотность жидкости всюду по-
постоянна, то жидкость несжимаема.
Пусть D — односвязная область. Тогда из формул F), (8),
A5) следует, что интеграл
v (х, у) = j — Avdx + Axdy A6)
не зависит от пути интегрирования. Следовательно, этот инте-
интеграл определяет однозначную в области D функцию, которая
называется функцией тока векторного поля А. Компоненты век-
векторного поля можно выразить через функцию тока
А А
Функция тока определяется по векторному полю однозначно,
с точностью до постоянного слагаемого.
Если векторное поле соленоидально, то линии тока являются
линиями уровня функции тока. Действительно, вдоль линии тока
из B), A7) имеем
так что v(x, i/) = const вдоль линии тока.
Если область D неодносвязна, то функция тока, определен-
определенная формулой A6), будет, вообще говоря, неоднозначной. Тем не
менее, формулы A7) остаются в силе (они справедливы для
всех «ветвей» функции тока), а локально (точнее, в любой одно-
связной области, лежащей внутри D) функция тока существует.
Если векторное поле обладает функцией тока, т. е. существует
функция v(х, у) такая, что соотношение A7) выполняется всюду
в области D, то поле соленоидально.
23 ю. В. Сидоров и др.

354 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Векторное поле А называется потенциальным, или безвихре-
безвихревым, в области D, если его ротор равен нулю:
rot4 = 0 A8)'
всюду в области D. Пусть D — односвязная область, тогда ин-
интеграл
Z
и{х,у) = [ Axdx + Avdy A9)
не зависит от пути интегрирования и потому определяет одно-
однозначную в области D функцию. Эта функция и{х, у) называется
потенциалом векторного поля А. Компоненты векторного поля
можно выразить через потенциал
^=& ^=g- B0)
Обратно, если существует потенциал, т. е. функция и такая, что
компоненты поля выражаются через эту функцию по формулам
B0), то векторное поле потенциально.
Линии уровня потенциала и(х, у) = const называются экви-
эквипотенциальными линиями. Эти линии ортогональны к линиям
тока. Действительно, вектор-градиент grad и = (Ах, Av), ортогона-
ортогонален к эквипотенциальной линии и касается линии тока.
Если же поле — потенциальное, но в неодносвязной области
D, то локально (а точнее, в любой односвязной области, содер-
содержащейся в D) потенциал существует и определен однозначно,
с точностью до постоянного слагаемого. Во всей же области D
потенциал может быть многозначной функцией, но соотношения
B0) выполняются всюду в D для любой из его «ветвей».
Как известно из векторного анализа, всякое векторное поле
может быть (локально) представлено в виде суммы соленоидаль-
ного и потенциального векторных полей [9], [13].
3. Гармонические векторные поля. Векторное поле называет-
называется гармоническим в области D, если оно соленоидально и потен-
потенциально в этой области, т. е.
div^l = 0, rot A= О B1);
всюду в D. Гармоническое векторное поле обладает и функцией
тока и потенциалом. Из A7), B0) следует, что эти функции
связаны соотношениями
ди ?v ди dv
Тх~ ду' ду~~~Тх'
которые есть не что иное, как условия Коши — Римана для
функции
¦/(*) = »(*, y)+iv(x, у). B3);
Таким образом, справедлива

§ 39. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ 355
Теорема 1. Функция тока и потенциал гармонического
векторного поля являются сопряженными гармоническими функ-
функциями.
Функция f(z) называется комплексным потенциалом вектор-
векторного поля А. В области D эта функция аналитична; если область
D односвязна, то комплексный потенциал есть регулярная в D
функция.
С помощью комплексного потенциала выражаются все харак-
характеристики поля. Прежде всего имеем
, ди . ди dv . dv ,, , < t*)f,\
A = Tx + lTy = Ty-lTx = 1{z)- B4)
В частности, отсюда следует, что производная комплексного по-
потенциала, т. е. функция /'(z)— однозначна, ft потому регулярна
в области D.
Так как /' (z) dz = (Ах - iAv) (dx + idy), то формулы E), A0)
можно записать в виде
j(z)dz. B5)
V V
Объединяя эти формулы, получаем
Г + iN = f /' B) dz. B6)
v
Приведем простейшие примеры гармонических векторных
полей.
Пример 1. Постоянное векторное поле. Такое поле задает-
задается одним комплексным числом А = Ах + iAv1 где Ах, Av — дей-
действительные постоянные. Комплексный потенциал равен /(z) =
= Az + с, где с — постоянная. Линии тока — прямые с направ-
направляющим вектором А, эквипотенциальные лийии — прямые орто-
ортогональные к линиям тока. Поток через любую замкнутую кривую
и циркуляция вдоль любой замкнутой кривой равны нулю. []
Пример 2. Пусть комплексный потенциал — квадратичная
функция j{z) = z*, тогда и(х, у) = хг — у2, v($, y) = xy. Следова-
Следовательно, линии тока — гиперболы ху = const, эквипотенциальные
кривые — гиперболы х2 — у2 = const (рис. 151). Точка z = 0 —
критическая точка векторного поля. Действительно, из B4)
следует, что критическими точками гармонического векторного
поля являются те и только те точки, в которые
/'(*)= 0. B7)
В данном примере точка z = 0 — это линия тока. Среди линий
тока имеются четыре луча: ху = 0, z Ф 0, и два соседних луча
образуют прямой угол в точке z — 0. Среди эквипотенциальных
кривых также имеются четыре луча: хг — уг = 0, z Ф 0. []
23*

356
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Замечание 3. Произвольное гладкое векторное поле мо-
может быть крайне сложно устроено вблизи критической точки.
Если же поле гармоническое, то его локальная структура вблизи
критической точки довольно проста. Пусть г0 — критическая точ-
точка векторного поля с потенциалом /(z), тогда
при некотором п ^ 2. Тогда с помощью замены переменной z =
g@), где g(t)— регулярная и однолистная в точке
Рис. 151
Рис. 152
? = О функция, комплексный потенциал приводится к виду
/te(?))=i(*°)+5n B8);
вблизи точки ? = 0 (§ 32, следствие 2). Поэтому вблизи крити-
критической точки линии тока и эквипотенциальные линии устроены
так же, как и у поля с комплексным потенциалом вида B8).
Среди линий тока, входящих в точку % = 0 имеется 2ге лучей;
угол в этой точке между двумя соседними лучами равен п/п.
Пример 3. Источники и стоки. Пусть комплексный
потенциал / (z) = <г- In z, где Q Ф 0 — действительная постоянная.
Тогда
и линия тока — лучи arg z = const, эквипотенциальные линии —
окружности |zl = const (рис. 152). Это поле гармонично при гФО.
Пусть y — простая замкнутая кривая, содержащая внутри
себя начало координат и ориентированная против часовой стрел-
стрелки. Так как f(z) = (VBnz), то из B6) находим N = Q, Г = 0.
Поэтому точка z = 0 называется источником интенсивности Q,
если Q>0, ж стоком интенсивности \Q\, если @<0. []

§ 39. ВЕКТОРНЫЕ ПОЛЯ НА ПЛОСКОСТИ
357
Пример 4. Вихрь. Пусть комплексный потенциал /(z) =
Г
= кА In z, где Го ^ 0 — действительное число. Тогда
И (Ж. У) = 2^"
и линии тока — окружности I z I = const, эквипотенциальные ли-
линии — лучи arg z = const (рис. 153). Если f — замкнутая кривая,
обходящая точку z *= 0 в положи-
положительном направлении, то J /' (z) dz =
у
= Го, и поэтому N = О, Г = Го. Точ-
Точка 2 = 0 называется вихрем интен-
интенсивности Го. []
С помощью суперпозиции гар-
гармонических полей, рассмотренных
выше, можно получить ряд но-
новых примеров гармонических по-
полей.
Пример 5. Вихреисточ-
ник (вихресток). Суперпозиция
источника (стока) и вихря имеет
равный
Рис. 153
комплексный потенциал,
где Q, Го — действительные постоянные. Если f — такая же кри-
кривая, как и в примере 4, то для потока и циркуляции получаем
значения N = Q, Г =^ Го- Линии тока и эквипотенциальные ли-
линии — логарифмические спирали, которые закручиваются в на-
начало координат. []
Пример 6. Диполь. В этом случае комплексный потен-
потенциал / (z) =
где т Ф 0 — действительная постоянная. Ли-
нии тока и эквипотенциальные линии — окружности, проходя-
проходящие через начало координат (рис. 154). Величина т называется
моментом диполя, действительная ось Ох — его осью. [J
Диполь может быть получен сложением источника и стока
(рис. 155) одинаковой мощности, расположенных в точках z =•
= ±fe при предельном переходе k -*¦ О, Q -»• °°, Q • 2Тъ -*¦ т. Дей-
Действительно,
lim Q'^h In (г + h) — In (г — k) _ m_ dlnz _ _m_
h-,o 2n 2ft ~~ 2я dz ~ 2m

358
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
Пример 7. Мультиполь. Пусть комплексный потенци-
потенциал имеет полюс в точке z = 0: f(z) = Cz~n, »>2, где СФО —
комплексная постоянная. Тогда говорят, что в точке 2 = 0 рас-
Рис. 154
Рис. 155
положен мультиполъ; он также может быть получен сложением
близких к началу координат источников (стоков) и вихрей, при
подходящем предельном переходе, jj
§ 40. Некоторые физические задачи теории поля
1. Обтекание тел. Рассмотрим установившееся плоское тече-
течение идеальной несжимаемой жидкости [10]. Тогда поле скоростей
V = vx + ivy как известно из гидромеханики, является гармо-
гармоническим и характеризуется комплексным потенциалом /(z) =
= и(х, y)+iv(x, у), так что
V=JJz). A)
Пусть на плоскости задана односвязная ограниченная область D
с гладкой границей S и пусть D — внешность S, которая запол-
заполнена жидкостью. Пусть тело движется с постоянной скоростью
— Утс или, что то же, на тело набегает постоянный поток со
скоростью Ус») а само тело покоится. Тогда комплексный потен-
потенциал потока — регулярная в D функция, причем /' (оо) = Vx.
Разложим ее в ряд Лорана в окрестности точки г = <»:
— с
B)
Из B6) § 39 находим 2nic-i = Г + iN, где Г и N — циркуляция
и поток поля вдоль любой простой замкнутой кривой, охваты-
охватывающей тело D. В области D по условию, нет источников, так

§ 40. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ 359
что N = 0, и из B) получаем
в окрестности точки z = °°. Скорость V» и значение циркуляции
Г должны быть заданы — это и есть граничное условие на бе-
бесконечности для комплексного потенциала f(z). Граничное усло-
условие на поверхности S тела таково: скорость потока должна быть
направлена по касательной к S в любой точке контура. Следо-
Следовательно, граница S — одна из линий тока, так что на S вы-
выполняется краевое условие
v(х, у) \в = const. D)
Итак, требуется найти функцию f{z), которая регулярна в
области D, имеет разложение C) в окрестности точки z = °°,
где У,», Г — заданные комплексная и действительная постоян-
постоянные, и удовлетворяет краевому условию D) на контуре S.
Теорема 1. Решение задачи обтекания единственно.
Доказательство. Пусть имеются два комплексные по-
потенциала /i(z), /2 (z) — решения задачи обтекания тела. Тогда
их разность /(z) =/i(z) —/2(z) регулярна и ограничена в обла-
области D. Функция y(z)=Im/(z) гармонична и ограничена в об-
области D, принимает постоянные значения на S, и по теореме
единственности решения задачи Дирихле v (z) » const. Следова-
Следовательно, /(z) = const, потенциалы /i(z), /2(z) отличаются на по-
постоянную, и потому поля скоростей совпадают.
Обтекание тела называется бесциркуляционным, если Г = О
и циркуляционным, если Г Ф 0.
Теорема 2. Потенциал w = f(z) бесциркуляционного об-
обтекания тела конформно отображает область D на внешность
отрезка, параллельного действительной оси.
Доказательство. Без ограничения общности можно счи-
считать, что v\s = 0. Покажем, что существует функция w = g(z),
которая конформно отображает область D на внешность отрез-
отрезка действительной оси и имеет разложение g (z) = Vxz + g0 + ...
в окрестности точки z = <». Тогда g(z) удовлетворяет краевому
условию D) и потому является потенциалом; по теореме 1,
f(z) = g(z)+ const.
Пусть функция w = h(z) конформно отображает область D
на внешность отрезка [0, 1]. Тогда она имеет простой полюс в
точке z = о° и в ее окрестности разлагается в ряд
... h-i
Функция w = (й(г~1)) конформно отображает область D на
некоторую область Di как суперпозиция однолистных функций.
При малых \z\ имеем w = z/(h-i + hoz + ...), так что w@) — 0,

360 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
w'@) = hZ\. По теореме Римана (§ 33) для любого действитель-
действительного а существует функция ha(z), которая конформно отобра-
отображает D на Du такая, что argAa(O)=a. Положим a=argVoo и затем
\ 1FI
'¦> это и есть искомая функция.
Очевидно, что функция w = f(z)=u + iv, которая конформ-
конформно отображает область D на внешность отрезка, параллельного
оси и, удовлетворяет условиям C) (при Г = 0) и D), и потому
является комплексным потенциалом некоторого потока. Поэто-
Поэтому решение задачи о бесциркуляционном обтекании тела сво-
сводится к отысканию функции, конформно отображающей D на
внешность отрезка вида щ < и ^ и2, v = v0.
2. Формулы Чаплыгина и Жуковского. Пусть в воздухе, плот-
плотность которого равна р, движется крыло самолета с постоянной
дозвуковой скоростью — Foo или, что то же, на покоящееся
крыло набегает поток со скоростью V,». Представим крыло в
виде бесконечного цилиндра с образующими, ортогональными
к вектору скорости, тогда получим плоскую задачу теории поля.
Вычислим полную силу, действующую на контур S сечения
крыла — подъемную силу. Пусть p(z)— давление воздуха в
точке z. На контуре S давление направлено внутрь по нормали,
и потому на элемент dz контура S действует сила ipdz. Полная
сила, действующая на контур S, равна Р = ppdz. В установив-
s
шемся безвихревом потоке жидкости справедлива формула Бер-
нулли
р== Л-¦§-!*,
где А — постоянная, v = | V |, V — вектор скорости потока. От-
Отсюда находим
В точках S скорость направлена по касательной (см. D)), так
что V = /' (z) = ve ф, где <р = arg dz. Следовательно,
s
так как e~2i<fdz = dz. Для вектора Р, сопряженного вектору подъ-
подъемной силы, получаем
% \(z)?dz. E)

§ 40. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ 361
Это и есть классическая формула, полученная С. А. Чаплы-
Чаплыгиным.
Из этой формулы и из разложения B) потенциала в окре-
окрестности точки z = °° находим по теореме о вычетах
Следовательно,
Р = — ipTVn. F)
Это знаменитая теорема Н. Е. Жуковского: подъемная сила рав-
равна по величине произведению плотности, скорости потока на
бесконечности и циркуляции; направление ее повернуто на пря-
прямой угол относительно У» навстречу циркуляции.
3. Обтекание кругового цилиндра. Рассмотрим вначале бес-
бесциркуляционный поток, обтекающий окружность \z\ =/?. Потен-
Потенциал такого потока конформно отображает внешность круга на
внешность отрезка действительной оси. Ввиду симметрии задачи
можно считать, что поток набегает в направлении оси х, т. е.
Vao — действительное число. Искомое отображение дается функ-
функцией Жуковского
( z , R \
где а — действительная постоянная. Из условия /' (оо) = V,» на-
ходим w = VooZ -] —. Для произвольного потока (величина
Z
Z
Voo комплексна) аналогично получаем w =
что этот поток — сумма однородного потока Vxz и потока диполя
VooR^/z, расположенного в точке z = 0.
Так как Re In z = const при Ы=.й, то поток g—т-lnz также
обтекает окружность, и решение задачи имеет вид
^^ G)
Найдем критические точки потока, в которых /' (z) = 0, т. е.
скорость потока равна нулю. Из уравнения
т
VaaZ2 + — Z — Vm В? = 0 (8)
находим
Л I .-TI I 7&~\
(9)

362
ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
При | Г | ^ 4я | Уоо | R подкоренное выражение положительно,
так что |z1|2l = R и обе критические точки лежат на окружности.
В дальнейшем будем для простоты считать, что величина F»
действительна. Тогда из (9) имеем
z1|2 = R(i sin a ± cos а), sin tx =
00
и критические точки таковы: z4 = Reia, z2 = Ren"~a).
Если Г = О, то Zi,2 = ±i?, с ростом циркуляции эти • точки
сближаются и при критическом значении Го = AnVooR совпадают.
Граница круга состоит из линий тока (см. D)). Поэтому
линия тока, приходящая в точку z%, разветвляется на две — на
Рис. 156
верхнюю и нижнюю дуги окружности (рис. 156,а). Точка z»
называется точкой разветвления. Во второй критической точке Zi
линии тока (дуги окружности) снова сходятся; эта точка назы-
называется точкой схода. Заметим, что линия тока, входящая в точ-
точку z2, и линия тока, выходящая из точки zu ортогональны к
окружности. Действительно, в точке Si имеем
и локальная структура линии тока такая же, как и для потен-
потенциала -g- f(zi) (z — zif (§ 39). Ортогональность этих липий еле-
дурт из примера 2, § 39.

§ 40. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ 363
При критическом значении Г = ±Г0 имеем
и потому угол между двумя соседними линиями тока, входя-
входящими в точку z = iR, равен я/3 (§ 39). Линии тока изображе-
изображены на рис. 156, б.
Если 1П>Г0, то подкоренное выражение в (9) отрица-
отрицательно и
Ш1 (г ± ^Г2 -16^»«2)
Из (8) следует, что |ztJZj|=i?2, так что одна критическая точка
лежит внутри, а вторая — вне окружности \z\=R. В этом слу-
случае появляются замкнутые линии тока (рис. 156, в).
Циркуляцию Г можно выразить через координаты точки
схода: Г = knv^R sin а. Если же arg V*, = 8, то
?sin(a-6). A0)
4. Обтекание эллипса и пластины. Пусть S — эллипс
Его фокусы расположены в точках ±с, где с—УЪг — аг. Реше-
Решение задачи об обтекании эллипса сводится к задаче об обтекании
круга. Функция, обратная к функции Жуковского w(z) *=z +
+ fz2 — с2, конформно отображает внешность эллипса на внеш-
внешность круга \z\>R (§ 35, п. 7). Регулярная в плоскости с раз-
разрезом [—с, с] ветвь корня выбирается так, что Vz2 — с2 > 0 при
действительных ze(c, -f°°). Радиус окружности R и полуоси
эллипса связаны соотношениями (§ 35, п. 6) а = -я-( R + -=- L
1 / 1 ^
Ь = -у IR д I, откуда находим R = а + Ъ. В силу формулы G)'
имеем
4 in
Множитель 1/2 появляется по той причине, что Vz* — с2 ~ z
(z->oo) и потому ы/(°°)=2. Избавляясь от иррациональности

364 ГЛ. VI. КОНФОРМНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ
в знаменателе, окончательно получаем
+ 2^1n(z + /F=72). A1)
При а = с, 6 = 0 эллипс вырождается в отрезок / = [—с, с]
и из A1) находим комплексный потенциал обтекания пластины
длины 1с
i (z) =i-(FM + F.) i+l-^.-F.) /?=? + 2L in (z + Y#=#
Полагая V<» = ите + ii?,», где и», p» действительны, находим
/ (Z) = uKz - ivx /?=72 + гНг ln (z + V^=?). A2)
Вычислим скорость потока. Имеем из A2)
— 2nvz+ Г
и при произвольном значении циркуляции Г скорость потока об-
обращается в бесконечность на концах пластины, т. е. в угловых
точках границы тела.
Здесь мы впервые столкнулись со случаем негладкой гра-
границы обтекаемого тела. Для таких тел при постановке задачи
об обтекании требуются дополнительные физические предполо-
предположения. Такое условие было найдено С. А. Чаплыгиным. Пусть
обтекаемое тело имеет острие А. Тогда скорость потока должна
быть ограничена у острой кромки профиля. Другая формули-
формулировка условия Чаплыгина такова: острая точка профиля явля-
является точкой схода. Если профиль имеет только одну острую
кромку, то условие Чаплыгина однозначно определяет цирку-
циркуляцию.
Поскольку пластина имеет два острия z — ±с, то условию
Чаплыгина можно удовлетворить только на одном из них; пусть
это условие выполняется при z=>c. Из условия Чаплыгина и из
A3) находим единственное возможное значение циркуляции
Г0 = -2ясу., A4)'
а для распределения скоростей получаем из A3)
V = и„ - ivK УЩ. A5)
На острив z = —c скорость потока обращается в бесконечность.
5. Обтекание профилей Жуковского. Пусть f — дуга окруж-
окружности; которая проходит через точки z = ±а, а середина дуги

§ 40. НЕКОТОРЫЕ ФИЗИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПОЛЯ 365
есть точка z — ih, и ^' — окружность с центром в точке w =
= ih, проходящая через точки w = dza (рис. 127). В | 35 (при-
(пример 40) показано, что функция w •= z + Vz2 — а2 конформно ото-
отображает внешность дуги у на внешность окружности у'. Заме-
Заметим, что касательная к дуге ^ в точке z = —а образует с дей-
действительной осью угол а = 2 &TCtg(h/a), а в точке z = a — угол
§-(я-а)/2.
Пусть yd — окружность с центром в точке wd = ih — de~'a/s,
которая лежит внутри окружности у' и касается с ней в точке
ы> = -а; ее радиус равен Rd — У а2 + hz + d. Функция w(z) кон-
конформно отображает аа внешность yd внепшость у* (рис. 127),
которая по виду напоминает профиль самолета и называется
профилем Жуковского.
Решим задачу обтекания профиля Жуковского, сведя ее к
эадаче обтекания круга. Функция
w = -L(z + Vz'i — a2-wd) A6)
конформно отображает внешность дуги fd на внешность круга
|z| >/?«, и из G) находим комплексный потенциал
где w = w(z) дается формулой A6). Циркуляцию Г определим
из условия Чаплыгиаа: острая точка профиля должна быть точ-
точкой схода. Образ точки z = —a имеет вид Roe~ian, R0>0
(рис. 127), и из A0) находим значение циркуляции
Г = - 2nvoo( Va? + h* + d) sin (в + -f-
По теореме Жуковского подъемная сила крыла равна
\Р\ =

Глава VII
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 41. Простейшие асимптотические оценки
В этом параграфе рассматриваются простейшие методы
асимптотических оценок корней трансцендентных уравнений, ин-
интегралов и рядов. Асимптотическими оценками называются со-
соотношения вида
Hz)~O[g(x)), f(x) = o(g(x)), j(x)~g(x)
при х -*¦ а. Символы О, о, ~ были определены в § 4.
1. Асимптотика корней уравнений. Начнем с простейших
примеров.
Пример 1. Пусть функция /(z) регулярна и имеет простой
нуль в точке Zo^00, т. е. /(zo) = O, f'(zo)?=O. Рассмотрим урав-
уравнение
/00-е, A)
где е — малое комплексное число. При малых !в! уравнение A)
имеет корень z(e), близкий к точке z0; вычислим асимптотику
г(г) при е -*¦ 0.
Эта задача решается с помощью теоремы об обратной функ-
функции (§ 13). В силу этой теоремы в малой окрестности точки
е = 0 существует функция z(e), обратная к функции /(z) (т. е.
/(z(e))=e при малых lei). Функция z(e) регулярна в точке
е = 0 и разлагается в ряд Тейлора
П=1
B)
сходящийся в круге I e I < р при достаточно малом р > 0. Ко-
Коэффициенты ряда B) вычисляются по формуле Бурмана — Ла-
гранжа (§ 31). В частности, cI = l//'(z0).
Из разложения B) вытекают асимптотические формулы
2 (в) = z0 + 2 cfte* + О (e*+i), е -> 0. C)
fti

§ 41. ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 367
В частности, при N=i получаем z(e) = zo + <2(e), при N=>2
получаем
z(e) = z0 + T^ + O(E*). Q D)
Замечание 1. Если нас интересуют только первые не-
несколько членов разложения B), то можно вычислять их мето-
методом неопределенных коэффициентов. Именно, запишем z(e) в
виде ряда B) и подставим в уравнение A). Функция /(z) раз-
со
лагается при малых \z — zo\ в ряд Тейлора /(я) = 2 «n(z— zo)n,
n=l
и уравнение A) принимает вид
2<
Разлагая левую часть этого равенства по степеням е и прирав-
приравнивая нулю коэффициенты при степенях е, получаем рекуррент-
рекуррентную систему уравнений, из которой можно последовательно най-
найти с1( ct, ...
Пример 2. Рассмотрим уравнение A), где функция /(z)
регулярна и имеет нуль порядка п>2в точке z0, т. е.
Из второй теоремы об обратной функция (§ 32) вытекает,
что при малых 8=^0 уравнение A) имеет ровно п различных
решений zo(e), z^e), ..., zn-t(e) (которые являются элементами
некоторой n-значной аналитической функция). В данном при-
примере удобнее не использовать теорему об обратной функции,
а непосредственно преобразовать уравнение A) к такому, для
которого выполнены условия примера 1. Будем считать, что е
изменяется не в полной окрестности точки е = 0, а в некотором
секторе S с вершиной в точке е = 0. Пусть, для определенности,
S — сектор: |el >0, largel < л — б @<б<я).
По условию в окрестности точки z0 имеем
/(«)-(*-*.)•*(*), E)
где функция g(z) регулярна и отлична от нуля в точке z0.
Уравнение wn = е (е Ф 0) имеет ровно п различных решений
0 < / < п — 1, F)
где Vг — фиксированное значение корпя. Пусть е ^ S; симво-
символом!/'е обозначим регулярную ветвь корня такую, что >/^>»0
при е>0.
fl , . ¦¦¦—
Функция у g (z) в малой окрестности U точки z0 распадается
на п регулярных ветвей. Символом Vg(z) обозначим одну из

368 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
них; чтобы выделить ветвь, достаточно задать значение корня
Vg(z0). Так как f(z) = ((z — zo)i^g(z))n, то в силу F) урав-
уравнение A) распадается в U на п независимых уравнений:
(z - z0) VJW = «**W* Vl, О < / < п - 1. G)
Если /(z)—левая часть формулы G), то /' (z0) — Уg(z0)ФО, и
для каждого из уравнений G) условия примера 1 выполнены.
Следовательно, при малых е е 5 уравнение A) имеет ровно
п решений
Л^)\ -1. (8)
Ряды (8) сходятся при малых е. Напомним, что в правой части
символом ."|/"е обозначена регулярная в секторе 5 ветвь корня,
положительная при е > 0. Коэффициенты с* можно вычислять
по формуле Бурмана — Лагранжа (§ 31). В частности (§ 32),
Пример 3. Рассмотрим уравнение
z3-z2 = e (9)
и вычислим асимптотику его корней при е -*¦ 0. При е = 0 урав-
уравнение (9) имеет простой корень zt = 1 и двукратный корень
z2 = 0. При малых е уравнение (9) имеет корень z1(e)-»-Zi = l
(е -> 0) и два корня z2>s(е) -*¦ z2 == 0 (е -»- 0).
Вычислим асимптотику корня Zi(e). Положим z = 1 + 5,
00
тогда % + 2?! + ?' = е. Из примера 1 следует, что ? = 2 с*8**
так что
(Cle + c2e2+ ...) + 2(с^е2+ ...) + О(е8)-е = 0.
Приравнивая нулю коэффициенты при е, е2, получаем
сх - 1 = 0, с2 + 2с? = О,
откуда zI(e)= 1 + е — 2е! + О(е8), е-*-0.
Вычислим асимптотику корней ггз(е). Пусть е>0, для про-
простоты, и пусть iz > 0. Уравнение (9) в окрестности точки z — О
распадается на два:

§ 41. ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 369
где VI — zlz=o = 1. Первое уравнение имеет вид
Положим z = 2 ch ( V^e)*, тогда
ft=i
Cj /в + с2е - -Ь. е + О (е'Л) = i /ё,
откуда находим ct = i, cz = —1/2* Следовательно,
z2 (8) = j VI - ±- +
Эти формулы пригодны при е -*¦ 0, е -е 5, где 5 — любой сек-
сектор с вершиной в точке z = 0. []
Пример 4. Рассмотрим уравнение z — sinz = e. При е = 0
это уравнение имеет корень z = 0 кратности 3, так что при ма-
малых е это уравнение имеет три корня, лежащих вблизи точки
z = 0. Вычислим асимптотику этих корней при е -*• 0, е > 0.
Имеем при малых Ы
3
z — sin z = -g- + О (zb) = e,
откуда в силу (8)
Zj (е) = е*я«/з ^бё + О (г2/3), е -^ 0, / = 0, 1, 2.
Здесь т/ё>0 при e>0. D
Пример 5. Рассмотрим уравнение A), где функция f(z)
регулярна и имеет нуль в точке z = °°. Тогда уравнение A) при
малых е имеет одно или несколько решений, которые стремятся
к бесконечности при е -*¦ 0. Имеем
/(*) = *-» S «**-*, «0=^0.
ft=0
где ряд сходится в области \z\>R при больших R и п>1 —
целое число. Замена ? = i/z приводит уравнение A) к виду
е, (Ю)
оо
где g (?) = 2 aftS*» g @) ^ 0. Тем самым мы пришли к уравне-
ft=0
ниям, рассмотренным в примерах 1, 2. []
24 ю. В. Сидоров и др.

370 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Пример 6. Рассмотрим уравнение
Р (*)->., (И)
где р (z) — многочлен степени п > 2:
р (z) = aozn + а&п-1 +... + а„, а,, Ф 0.
Найдем асимптотику корней этого уравнения при Я, -*• °°,
А«^?, где S — сектор largXl<n — б @<б<л). Положим
е = 1/Я,, ? = 1/z; тогда уравнение A1) примет вид
Из примера 2 следует, что уравнение A1) имеет п корней
Здесь 0^/<п —1, значение V% фиксировано и ]/Я— регу-
регу%
лярная ветвь корня, положительная при X > 0. []
Если f{z) — рациональная функция, то при е -*¦ 0 каждый ко-
корень уравнения A) стремится к одному из корней предельного
уравнения /(z) = 0. Значительно сложнее ведут себя при е -*¦ 0
корни уравнения A), если функция /(z) не является рацио-
рациональной.
Пример 7. Уравнение ег = г при е = 0 не имеет решений.
Если же е Ф- 0, то все решения этого уравнения даются фор-
формулой
() 2/ + 1 е
(Ine — фиксированное значение логарифма), и все корни гк(г)
стремятся к бесконечности при е -*¦ 0. []
Рассмотрим теперь примеры другого рода. Пусть функция
/(z) — целая или мероморфная и пусть уравнение
/«-О A2)
имеет бесконечно много корней zl7 z2, ..., zn, ... В силу тео-
теоремы единственности в каждой ограниченной области комплекс-
комплексной плоскости уравнение A2) может иметь только конечное
число корней, следовательно, zn -*¦ °° при п -*¦ °°. Рассмотрим
задачу об исследовании асимптотического поведения корней
уравнения A2) для некоторых элементарных функций f(z).
Пример 8. Уравнение
i- A3)
имеет бесконечно много действительных корней, что видно из
графиков функций tg x и 1/х. Так как функции tg x, 1/х — не-

§ 41. ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 371
четные, то действительные корни уравнения A3) симметричны
относительно точки х = 0. Пусть х„ — корень уравнения A3),
лежащий в интервале пп — (я/2) < х < пп + (я/2). Найдем асимп-
асимптотику хп при п -*• +°°. Полагая х = пп + у, 1/гая = е, получаем
для у уравнение
cos y-y sin,"
При 8 = 0 уравнение A4) имеет простой корень у = 0; вычис-
вычислим асимптотику решения у (s) уравнения A4) такого, что
у (б) -»-0 при 8 ->¦ 0. Это уравнение имеет вид A), где функция
}(у) регулярна в точке г/ = 0 и точка г/ = 0 — простой нуль
00
функции Ну). Из примера 1 следует, что г/(е)= 2 сь8Й» причем
с4 = 1, так что
Хп = «Я + -i- +
при больших и. В частности,
Кроме того, уравнение A4) имеет корни {—жЛ, и = 1, 2, ... []
Замечание 2. Можно доказать, что уравнение A3) имеет
только действительные корни.
Пример 9. Рассмотрим уравнение
z — lnz = X A5)
в области D, где D — плоскость с разрезом по полуоси (—<*>, 0],
из которой удален круг \z\ < р, р>0. Здесь lnz — регулярная
в области D ветвь логарифма, принимающая действительные зна-
значения при действительных z == х > 0.
Вычислим асимптотику корней уравнения A5) при %-*¦+&>.
Допустим, что уравнение A5), имеет при всех достаточно боль-
больших Я, корень z = z(X); тогда z{%)-*¦ <» при X-*¦+<». Это вы-
вытекает из того, что функция z — In z ограничена в любой ограни-
ограниченной области D<=-D.
Далее, lnz = ln \z\ +iqp, |ф1<я при z^D, так что I In z I •=
¦=o(|z!) при z -*¦ оо, z^D. Следовательно, z(A)~X при Я-^-+<»
и *(а,)-а,A + Е(Я,)), где t,fr)-*0 при Я,-»•+«>.
1. Покажем, что при X > Ха > 0 и при большом Я,о уравнение
A5) имеет в области D единственный корень z(X), причем
X), X — +<». A6)
24»

372 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Полагая в уравнении A5) z = A,(l + ?), получаем уравнение
1 = "Т" + г ' A7)
Воспользуемся теоремой Руше (§ 30). Запишем уравнение A7)
в виде
( l )O, A8)
где 8 = 1пЯУЯ, б = 1/Я,— малые параметры, причем 6 = o(s)
(Я,->-+°°). Рассмотрим круг К,: l?l=s?2s. Так как в-»¦ 0 при
Я->-+°°, то существует А0>0 такое, что круг Кг содержится
в круге К: |?|<1/2 при k>k0. Функция 1пA + ?) регулярна
и ограничена в круге К, т. е. |ln(l + ?)| ^ M, и это же нера-
неравенство верно для круга К» при Я, ^ А.о. На границе I ? I = 2s
круга Kt имеем
1-в-б
и так как б = о (г) при Я, -*• +°°, то
при Я > Я,1, если Я.1 велико. По теореме Руше число корней урав-
уравнения A8), лежащих в круге Ке, равно числу корней уравнения
5 = 0. Следовательно, при К>Х1 уравнение A8) имеет в круге
К, единственный корень ?о(Я); при этом !?о(А.I <2Ы, т. е.
?о(А,)= О ((In Я) А) (А, ->+оо). Тем самым формула A6) до-
доказана.
2. Уточним формулу A6). Для этого применим метод итера-
итераций, т. е. подставим полученную оценку ? = О ((In Я,) /К) в пра-
правую часть уравнения A7). Тогда получим, что
так как 1пA + ?) = 0(?) (? -»¦ 0). Следовательно,
и мы получили более точную асимптотическую формулу для
z(A,), чем формула A6). Снова подставляя в правую часть урав-
уравнения A7) уточненную формулу для ?> получим еще более точ-
точную асимптотическую формулу для z(X), и т. Д.
3. Нетрудно проверить, что асимптотические формулы A6)
справедливы при k^S, |А,| -*• °°, где S — сектор вида largAj <
<зх — a @<a<Jt). В этих формулах In Я, — регулярная в
секторе S ветвь логарифма, положительная ори действительных
Я>1. ?
Пример 10. Рассмотрим уравнение
e'=*az, аФО. A9)

§ 41, ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 373
Покажем, что это уравнение имеет бесконечно много корней, и
вычиолим их асимптотику.
Уравнение A9) в любой ограниченной области комплексной
плоскости может иметь только конечное число корней, так как
е* — az— целая функция. Далее, функция \ez\ экспоненциально
растет вдоль любого луча arg z = а, лежащего в правой полу-
полуплоскости, и экспоненциально убывает вдоль любого луча
arg z = а, лежащего в левой полуплоскости, а функция \az\
растет линейно вдоль любого луча. Отсюда следует, что корни
уравнения A9) концентрируются возле мнимой оси, т. е. все
корни, за исключением конечного числа, лежат в секторе, со-
содержащем мнимую ось. Приведем строгое доказательство этого
утверждения.
1. В области Re z < 0, |z| > l/|a| уравнение A9) не имеет
корней, так как \ег\ =s? I, \az\ > 1.
2. Пусть S, — сектор largzl ^ я/2 — е. Покажем, что при
любом фиксированном se@, л/2) в секторе 3, уравнение A9)
может иметь только конечное число корней. При z e Зс имеем
z = reu>, где | ср |<-|—е, так что \ег\ = ercos" > er 8in \ Так как
\az\ = \a\r = o(er*ln') (r-»+oo),TO \ez\ > \az\ (jeJ,, |z|>fl),
при больших R и уравнение A9) не имеет корней в области
z&Si, \z\ > R. Следовательно, в секторе 8г уравнение A9) мо-
может иметь только конечное число корней.
3. Рассмотрим сектор 5g: -^—е ^ arg z <! -^- • Если уравне-
уравнение A9) имеет бесконечно много корней в секторе S,, то эти
корни стремятся к бесконечности с ростом номера. Пусть
ге5, — корень уравнения A9); тогда существует целое число
п такое, что
z = 2nin + In a + In z. B0)
Здесь In a — фиксированное значение логарифма, a In z — регу-
регулярная в полуплоскости Re z > 0 ветвь логарифма, принимаю-
принимающая действительные значения па полуоси @, °°). Таким обра-
образом, мы получили уравнение, исследованное в примере 9; здесь
%. = 2nin + In а. При вычислении асимптотики корней можно
ограничиться формальными выкладками, поскольку их обосно-
обоснование содержится в примере 9. Полагая z = 2nin + ?, получаем
так что % ~ lnBitwa) (и -»- °°). Тогда
z» = 2nin + Inn + InBлга) + О (-^-), п-у+оо. B1)

374 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Подставляя z = zn из B1) в уравнение B0), можно уточнить
эту асимптотическую формулу.
В формуле B1) имеем lnn>0, Re 1пBяш)> 0.
Аналогичная серия корней уравнения A9) лежит в секторе
^<argz< — ~+ е. ?
Пример 11. Вычислим асимптотику корней уравнения
sin z = z. B2)
Функция Isinzl растет экспоненциально вдоль любого луча с
началом в точке z = 0, за исключением полуосей действитель-
действительной оси. Поэтому корни уравнения B2) могут концентрировать-
концентрироваться только вблизи действительной оси. Докажем это. Пусть Зе —
сектор 8 «? argz *? я — е, где 0 < е < я, е фиксировано. Поло-
Положим z = ге'ф; тогда е < ф < л — е при z e Зе. Имеем
| sin z | = -j-1 eiz — e~iz | > -j- (ersinE — e~raine), z <= Se.
Если ге5„ \z\ >R и R велико, то Isinzl > \z\ ив этой обла-
области уравнение B2) не имеет корней. Следовательно, в секторе
Зг уравнение B2) имеет не более конечного числа корней. То
же самое верно для сектора —я + s *? argzsg—8, так как
функция / (z) = sin z — z нечетна.
Корни уравнения B2) «ходят» четверками: z0, z0, —z0, — za,
так как функция /(z) нечетна и /(г) = /(г) (если х — действи-
действительное число, то }(х) также действительное число). Поэтому
достаточно исследовать асимптотическое поведение корней в сек-
секторе Se: 0 «? argz s? s. Здесь е>0 — фиксированное число, ко-
которое мошно выбрать сколь угодно малым.
Уравнение B2) запишем в виде
еи — е~и = 2iz.
Разрешая это уравнение относительно е", получаем
e'* = j(z + yz*_l). B3)
Функция Vz2 — 1 распадается в секторе S, на две регулярные
ветви /j(z), / = 1, 2, причем /2(z)=a _/t(z). Пусть /t(z) —ветвь,
положительная при действительных г = ж>1; тогда /4(г)~г,
ji(z) z при z e S%. Следовательно, z + /t(z)~2z, z + /2(z)'-'
~ l/Bz) при z -*¦ о», ге^, (пример 11 § 24). Так как Imz>0
при z e St, то \eiz\ ^1 в этом секторе. Поэтому уравнение B3)
при z e S,, \z\ > 1/2 имеет вид еи — i(z + /2(z)).
Логарифмируя это соотношение, получаем
z = 2nn+-j-—ilag (z). B4)
Здесь g(z) = z + f2(z), n > 1 — целое число; символом lng(z)

S 41. ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 375
обозначена регулярная в секторе St ветвь логарифма, принима-
принимающая действительные значения при действительных z. Напом-
Напомним, что корни уравнения B4) стремятся к бесконечности; сле-
следовательно, zn ~ 2пп при п -*¦ °°. Далее, при ге5„ z -*¦ °°
*« +
In*(*) = - In Bz) + In (l + О D-)) = - Ш Bz) + О D-)*
и уравнение B4) принимает вид
z = 2пп + -J- + i In Bz) + О
(здесь z = zn). Отсюда, как и в примере 9, находим асимптотику
корней
(^) гс-^+оо. B5)
Остальные три серии корней имеют вид {?„), {—zn), {—zn). u
2. Простейшие оценки интегралов. Рассмотрим интеграл вида
t. B6)
Нас интересует асимптотическое поведение интеграла F(x) при
х -*• +оо. Если интеграл j / (f) dt сходится, то очевидно, что
В этом случае естественно исследовать при х -*¦ +°° поведение
интеграла G(x) = F(+°°) — F(x), т. е. функции
t. B7)
X
При довольно широких условиях асимптотические оценки
иожно интегрировать, т. е. если
. f(t)~g(t), *->+°°s B8)
то
X X
я->+оо. B9)
Приведем соответствующие достаточные условия.

376
ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Теорема 1. Пусть функции f(t), g(t) непрерывны при
а, функция g(t) строго положительна при больших t и
+ ОО
J g(t)dt= + оо.
C0)
Тогда из соотношения B8) вытекает соотношение B9).
Доказательство. По правилу Лопиталя имеем
i Л
lim
ос-»+ 00
Ж-»+о
Применимость правила Лопиталя следует из условия C0).
Точно так же доказывается
Следствие 1. Пусть условия теоремы 1 выполнены и
f(t)=0(g(t)), t^+oc.
Тогда
ОС / Я \
\ / (f) df = о I ] g (t) dt L a: —>- + oo,
о \a J
Следствие 2. Пусть условия теоремы 1 выполнены и
Тогда
Доказательство. По условию существует постоянная
С > 0 такая, что
Следовательно, при #
Далее, при ж > Ь имеем
ь х\

§ 41. ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 377
ъ
где Ct = ]\f(t)\dt. Так как #(ж)->-+°° при х-++°°, то
а
Ct + СН(х) = СН(х) A + оA))< 2СН{х)
при больших х, и следствие 2 доказано.
Пример 12. Из теоремы 1 и следствий 1, 2 вытекает, что
если а > —1, С Ф 0, то при ж -»- +°° справедливы асимптотиче-
асимптотические оценки
о (a«) => J / («) df = о
а
Здесь /(ж) — непрерывная при х > а функция. []
Пример 13. Пусть функция f(x) непрерывна при х&*а и
С ФО. Тогда при ж ->- +<» справедливы асимптотические оценки
fix) ?-=
а
х
а
Эти соотношения вытекают из теоремы 1 и следствий 1, 2. []
х
Пример 14. Рассмотрим интеграл F(х) = I yi*~+~idt.
о
Так как 1?+l~t при t-^+oo, То Р{х)~хУ2 (х ->+«>).
Исследуем асимптотическое поведение функции ^(ж) при
а; -»¦ +оо более подробно. По формуле Тейлора имеем при f>2
= t
-^- = f + ^- + о (r3).

378 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Следовательно, при х > 2
2 2 2
Последний интеграл сходится, так что
Более подробно доказательство выглядит так:
Стоящая в квадратных скобках функция имеет порядок 0A),
при х -*¦ +0°. []
Теорема 1 и следствия 1, 2, очевидно, остаются в силе и в
том случае, если полуось [а, +°°) заменить конечным полуин-
полуинтервалом [а, Ъ), а условие C0) — условием
ъ
j g(t)dt= + оо.
а
Пример 15. Пусть /(ж)~ Сх~а(х -*¦ +0), где С ?= 0, а>1
и функция /(х) непрерывна при 0 < х < а. Тогда
а
Аналогично, при х -*¦ +0
я
Ja:- ?
Рассмотрим интегралы вида B7).
Пример 16. Пусть функции /(?), g{t) непрерывны при
оо
t"^ a, g(t)>0 при больших значениях t и интеграл jg(t)dt
а
сходится. Тогда при х -*¦ +<» справедливы асимптотические

9 41. ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ 379
оценки
со /со \
f(x)=o (g(x))=>$f{t) dt = o[ f g(t) dt
Действительно, из сходимости интеграла от функции g(t) по
полуоси t > а в этих случаях вытекает сходимость интеграла от
функции }(t) по зтой полуоси. После этого, как и в теореме 1,
остается воспользоваться правилом Лопиталя. []
Пример 17. Пусть а > 1, С Ф 0 — постоянные, функция
}(х) непрерывна при х>а. Тогда при х -*¦ +°° справедливы
асимптотические оценки
оо
~ а — 1 '
f(x) = o (х~«) =»¦ j / (i) dt = о (^i-°),
Ж
со
f(x) = O (х~а) =>. J / (f) d* = О (ж1-»).
Пример 18. Рассмотрим интеграл
о
где функция v (х) непрерывна и неотрицательна при х>0,
у (ж)-*- 0 при х -*¦ +°° и к > 0 — постоянная. Вычислим асимп-
асимптотику F(x) при х -*¦ +°°.
а) Так как У/с2 + v(x)~ к при о; -*-+<», то в силу теоремы 1
F(x)~kx, х -*¦ +о°.
б) Пусть, кроме того, J v (t) dt <; оо. Тогда можно получить
о
более точные оценки для F (х). Имеем
+ v(t)~ к) dt + kx^
У кг
dt
оо
\ , V(t): dt. C1)
J Vk* + v(t)+k

380 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Последнее слагаемое есть оA) при х-*- +°°; следовательно,
F(x)=kx + C + o(l), *-*+«>,
<х>
ч
dt.
0 Укг + v(t) + k
в) Если известна более точная информация о функции v(x),
то можно получить еще более точную оценку для F(x). Пусть,
например, v(x) + кг > 0 при г>0и
v(x)~ Ax~a, х->-+°°,
где А Ф 0, а > 1. Тогда
так что иэ формулы C1) и примера 17 получаем
F (х) = кх + С + 2f{~Ta) + о (х~а+1), *-++°°. U
Пример 19. Вычислим асимптотику при 8 ->- +0 интеграла
Здесь f(t) — непрерывно дифференцируемая при 0^(<1
функция. Заметим, что при е = 0 интеграл F(s) расходится,
если /@)^0, и сходится, если /@)=0. Поэтому представим
этот интеграл в виде
0 О
(8) = /@)[1пA + 8)-1п8] = — /(O)lne
Покажем, что
F,(e)=O(l), 8-^+0.
Функцию f(t) — f{0) можно представить в виде f(t) — f(O)=*
= ?<р(?), где ф@"~ непрерывная при 0«??<1 функция. Сле-
Следовательно,
1 1
о о
где М= max |cp(f)|. Таким образом,
. D

§ 41. ПРОСТЕЙШИЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
381
3. Асимптотические оценки некоторых сумм. Рассмотрим
сумму
C2)
Нас интересует асимптотическое поведение S(n) при п -*¦ +<».
Эта задача в общем случае крайне сложна; ограничимся тем,
что рассмотрим только знакопостоянные суммы (т. е. все сла-
слагаемые f(k) действительны и одного знака).
Один из основных методов получения асимптотических оце-
оценок для сумм вида C2)—это приближенная замена суммы ин-
интегралом.
Теорема 2. Пусть функция f(x) неотрицательна, непре-
непрерывна и монотонна при х ^ 0. Тогда
(n->oo). C3)
Доказательство. Пусть f(x) не убывает. Тогда
ft fc+i
J /(a:) Ac </•(*)< f /(а:)Аг.
Суммируя эти неравенства при k = l, 2, ..., и —1, получаем
П—1 П
j
Следовательно,
(n), C4)
п—1
что и доказывает C3). Аналогично рассматривается случай,
когда функция f{x) не возрастает.
Пример 20. Покажем, что
~ ^ In n + О A), тг->+оо.
Из теоремы 2 следует, что при п-*¦<*>
4-)==1™+-°A>- о

382 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Пример 21. Пусть а > — 1. Тогда
В данном случае, по теореме 2, имеем при п -*¦ °°
п п
2 ка = J xadx + О A) + О (па) =
^)^D-)]~^- ?
2
Приведем еще один результат о приближенной замене сум-
п
мы C2) интегралом J f(x)dx.
о
Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывно дифференци-
дифференцируема при х^О. Тогда
п п п
_g f(k) — jf(x)dx <|/@)| + j\f(x)\dx. C5)
fe=o о о
Доказательство. Имеем
k ft
/(*)= j f(k)dx= j f(x)dx + g(k),
ft-1
ft
j
ft-i
= j [f(k)-f(x)]dx.
Оценим Ig-(A). 1. Так как / (k) — / (x) = j /' (t) dt, то при
Л— KssS k
h
j \f'(t)\dt,
откуда вытекает оценка
ft
|g(/c)|< j \f(k) — f(x)\dx
h-1
Следовательно,
Ji](k)-]f{x)dx
k-0 0
==
/@)
h
< j
h-1
n
+ 2
ft=i
/ ft
V»-i
8f(*)
\ ft
f (t)\dt)dx= \ \f (t)\dt
/ ft—i
" f
"^ 7i=i hit
откуда вытекает C5).

§ 42, АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 383
Следствие 3. Если условия теоремы 3 выполнены, то
справедлива оценка
n)| + ]\f'(x)\dx, C6)
в предположении, что все входящие в эту формулу ряды и ин-
интегралы сходятся.
Отметим, что примеры 20, 21 можно было бы исследовать
с помощью теоремы 3.
Пример 22. Покажем, что при а > 1
X1 X re
• ОО.
Воспользуемся формулой C6). В данном случае
/'(#)= — our", так что
00 Оо
Г -а Г '
J J <
п п
и при га -+• +оо
ОО
§ 42. Асимптотические разложения
1. Пример асимптотического разложения. Рассмотрим
функцию
где х > 0, и исследуем поведение этой функции при а; -*¦ +<».
Интегрируя по частям, получаем
во оо
/(*) = -} Г1 d(e*-*) = -i- - j" ГV-' Л.
9С 9С
Повторяя интегрирование по частям, получаем
* л 2 , (-!)"
_ i)»+i (Л + 1I j е»-'Гп-2 dt = 5» (х) + Rn(x),
X

384 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
где Sn (x) — выражение, заключенное в квадратные скобки. Оце-
Оценим Rn(z). Так как ех~' =^ 1 при х ^ t, то
оо
I /? Лг\ I <Г In А- \\\ \ +-п~2 А+ — ге'
| пп \Х) \^\п + \.у. \ъ at —
о
Следовательно, при х -*¦ +°°
-4—^+-^—¦+
Модуль остаточного члена не превосходит величины 2ге! о;"".
Мы получили последовательность асимптотических формул,
каждая из которых уточняет предыдущую:
и т. д. Эти формулы позволяют приближенно вычислять функ-
функцию f(x) при больших значениях х, так как
\f(x)-Sn-1(x)\<-^T. B)
Правая часть неравенства B) мала при больших х. Например,
при х ^ 2п имеем \j{x)~ Sn-l{x)\ <\/{п2п). Поэтому при боль-
больших значениях х значение функции f(x) может быть вычисле-
вычислено с большой точностью, если взять достаточно много членов
асимптотического разложения A).
Интересно, что полученная асимптотическая (при х -»- +°°)
формула A) годится и для не очень больших значений х. На-
Например, при х = 10, п = 5 получаем
S5(Ю) = 0,09152, 0 < /A0)- S5A0)< 0,00012,
и относительная ошибка приближенной формулы /A0)» ?5A0)
составляет примерно 0,1 %.
Заметим, что непосредственное вычисление функции f(x)
(например, с помощью ЭВМ) тем сложнее, чем больше х. В то
же время асимптотическая формула A) тем точнее, чем больше
х. Лаплас писал, что асимптотический метод «тем более точен,
чем более он необходим».
оо
Функции f(x) можно сопоставить ряд/(х) •*-*¦ j^-—n+1 '.
71=0 Х
Этот ряд расходится при любом х. Действительно, модуль отно-
отношения (»+1)-го члена ряда к и-му равен (п+ 1)х~1 -*- <» при
п -*¦ оо. Тем не менее этот расходящийся ряд, как было показа-
показано выше, может служить для приближенного вычисления функ-
функции f(z).

§ 42. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 385
Пример, который мы привели, был исследован еще Эйлером.
В настоящее время асимптотические методы широко использу-
используются в самых различных областях математики, механики, физи-
физики, техники и т. д. Ценность асимптотических методов состоит
в том, что они позволяют получить простые приближения для
сложных объектов, что, в свою очередь, дает возможность полу-
получить хорошее качественное представление о соответствующем
явлении. Настоящая глава знакомит читателя с некоторыми
наиболее употребительными асимптотическими методами.
Перейдем к строгому изложению понятия асимптотического
разложения.
2. Понятие асимптотического разложения. Пусть М — неко-
некоторое множество точек (на действительной оси или на комплекс-
комплексной плоскости), а — предельная точка этого множества. После-
Последовательность функций {(р„(х)}, п = О, i, 2, ..., определенных
при х е М в некоторой окрестности точки а, называется асимп-
асимптотической последовательностью (при х -»- а, х^М), если для
любого п
Ф„+1(а:)=о(фп(аг)), х -*¦ а, х^М.
Приведем примеры асимптотических последовательностей.
Пример 1. Последовательность ц>п{х)~хГ1 является асим-
асимптотической при х -*¦ О (в качестве М можно взять окрестность
или полуокрестность точки а = 0). []
Пример 2. Последовательность уп(х)= х~п является
асимптотической при х -»- а, х е М в следующих случаях:
1) М — множество \х\ > с, а = °°;
2) М — полуось х > с, а = +<»;
3) М — полуось х < с, а — —°°. []
Пример 3. Последовательность (pn(z)=zn — асимптотиче-
асимптотическая при z -*¦ 0, z е М. В качестве М можно взять проколотую
окрестность 0< \z\ <r точки z = 0 или сектор с вершиной
в этой точке: 0 < Ы < г, а < arg z<p @<p — а< 2п). []
Пример 4. Последовательность <fn(z)=z~n — асимптоти-
асимптотическая при z ->- °°; в качестве М можно взять окрестность точки
z = оо (|z|>i?) или сектор: |z|>i?, a < arg z < jj @ <
< ^ — а < 2я) комплексной плоскости. []
Приведенные в этих примерах асимптотические последова-
последовательности называются степенными асимптотическими последова-
последовательностями.
Рассмотрим понятие асимптотического разложения; это по-
понятие принадлежит А. Пуанкаре.
Определение 1. Пусть последовательность {фп(я)}—
оо
асимптотическая при х -*¦ а, х е М. Формальный ряд 2
71=0
25 ю. В. Сидоров и др.

386 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
где ап — постоянные, называется асимптотическим разложением
функции /(я), если для любого N > О
N
f (х) - 2 «пфп(*) = о(фН (х)), х-+а, х<=М. C)
оо
Ряд 2 «пфп(я) называется асимптотическим рядом для функ-
71=0
ции f(x), и употребляется запись
В п. 1 было получено следующее асимптотическое раз-
разложение:
D)
В дальнейшем будем опускать указание иа множество М в тех
случаях, когда зто не вызовет недоразумений.
Подчеркнем то важное обстоятельство, что асимптотический
ряд может быть расходящимся. Например, асимптотический ряд
D) расходится при любом х. Эта возможность заложена в опре-
определении 1. Действительно, положим
JV
п=о
Тогда, по определению,
J*,„N -*-0, х-+а,
но ничего не говорится о поведении остаточного члена Rn(x)
при N -»- оо (ср. с определением сходящегося ряда!).
Разумеется, сходящиеся ряды также являются асимптотиче-
оо
-^г (х-*-0). Однако термин «асимпто-
П=0
тический ряд» обычпо употребляется по отношению к рядам,
которые расходятся или же сходимость которых не удается
установить.
Важным свойством асимптотического разложения является
его единственность.
Теорема 1. Асимптотическое разложение данной функции
по данной асимптотической последовательности единственно.

§ 42. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 387
Доказательство. Допустим, что имеются два асимпто-
асимптотических разложения функции f(z):
ОО ОО
/ (*) ~ 2 «пфп(х), / (х) ~ 2 ь„Фп (ж),
П=0 71=0
# -»¦ а, х ^ М.
Покажем, что тогда ап = Ьп при всех ?г. По определению,
/(г)— аофо(а;)= о(фо(г)), 1{х) — Ьоуо(х)= о(ф0(а:))
(всюду предполагается, что х -*¦ а, х^М). Вычитая эти равен-
равенства, получаем (а0 — Ь0)ц>а(х) = о(ц>0(х)). Поделив обе части
последнего равенства на ц>о{х), получаем а0 — Ь0 = оA), и пе-
переходя к пределу при х -*- а, х е М, получаем, что а0 = Ьо. По-
Покажем, что а, = Ьг. Имеем
f(x)— аоф0(^)— ai<p,(x)=o(<pl(x)),
f(x) — а„ц)а(х)— b,q>l(x)= o(yt(x)),
откуда следует, что (at — bjy, (х)= о(ц>г(х)), и потому at = bt.
Аналогично доказывается, что ап = Ъп при любом п.
Заметим, что разные функции могут иметь одно и то же
асимптотическое разложение. Например,
е~х - 0 • х° + 0 • х~1 + .. . + 0 • х~п + ..., х --> +оо
(так как е~х убывает быстрее любой степени х при а:-*-+«>),
0 ~ 0 • х° + 0 • х-1 + .. . + 0 • х~п + ..., х-+ +°°.
3. Операции над степенными асимптотическими рядами.
Асимптотическое разложение по степенной асимптотической по-
последовательности (см. примеры 1—4) называется степенным
асимптотическим рядом. С этими рядами можно обращаться
точно так же, как и со сходящимися степенными рядами, т. е.
складывать почленно, перемножать и т. д. Приведем основные
правила действий над степенными асимптотическими рядами.
Ниже предполагается, что z -»- «^ % е 5, где S — сектор вида
|z|>i?, a =S arg z sg fj @ =S (} — ос=^2п); в частности, S может
быть лучом или же внешностью круга |z| > R.
1. Теорема 2. Пусть при г->-<», ze5 справедливы
асимптотические разложения
/(
п=0 п=о
Тогда при z -»- °°, ге 5,
a) a/ (z) + р^ (z) ~ 2 (а«п +
п=о
25
*

388 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
б) /(z)g(z)~ 2 cnz-n\
n=0
inz~n, если I
" ' ' 71=0
Коэффициенты с„, dn вычисляются по тем же формулам, что
и для сходящихся степенных рядов.
Докажем, например, б). Остальные утверждения доказыва-
доказываются аналогично. Для любого целого N ^ 0 имеем
JV N
4G\ — V п 7-п т. Г) G—N—l\ стЫ — У, Ъ 7~п Л- О (г—Н—1\
J \ь) — j^J ""пб пг и \б /? 6 \ь) — *—* ипь Т ^ \" /'
71=0 4=0
поэтому
N
/ (z) g (z) = 2 cnz~n + О (z-^-i), с„ = ао6„ + ajbn-! + -.. + а„Ь0.
71=0
2. Степенные асимптотические ряды можно интегрировать
почленно. Именно, справедлива
Теорема 3. Пусть функция f(x) непрерывна при i>0 u
j{x)~ 2 апх~п, х ->- + оо.
71=2
Тогда
Доказательство. Имеем при любом целом N> 2
JV
J (
Так как \RN(t)\ < cNt~N~l при достаточно больших ?, где c,v —
постоянная, то
оо ОО
j RN (t) dt < cN j Г" dt =-!$-or-" = 0 (x~N).
X X
3. Аналогично доказывается следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть функция /(z) регулярна в секторе S:
\z\&*R, cc<argz<(} @ < ^ — а<2я) и разлагается в асимпто-
асимптотический ряд
оо
/(z)~ 2 «nz-", z-^oo, zeS.
П=2

§ 42. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ 389
Тогда при z -*¦ оо) z^S, где S — любой замкнутый сектор, ле-
лежащий строго внутри S, справедливо асимптотическое разло-
разложение
Здесь интеграл берется по любому пути, лежащему в секторе S.
4. Дифференцировать почленно асимптотический ряд, вообще
говоря, нельзя. Но если /(z)—регулярная функция, то асимпто-
асимптотический степенной ряд можно почленно дифференцировать.
Теорема 5. Пусть функция f(z) регулярна в секторе S:
\z\>R, a<argz<p @<|i — a =S 2я) и разлагается в асимпто-
асимптотический ряд
оо
J I \ "V — т> ^- С
J (Z) '--' ^j dnZ , Z —*• ОО, Z S О.
Тогда справедливо асимптотическое разложение
ос
/' (z) ^ — 2 ttanz~n—1, z—>¦ с», ze5,
71=1
где <? — любой замкнутый сектор, лежащий внутри S.
Доказательство. Пусть ? —сектор ос4< argz =sS (},, а<
< af < pi < р. При любом z e ? имеем
/ (О ^
v ~~
В качестве f возьмем окружность 1^ —z|=elzl, лежаптую в S,
где 0<е<1; так как z^S, то е можно выбрать не зависящим
от z. По условию, при любом целом N^0
N
/ (z) = ^j anz~n -j- i?jv (z), | Rpj (z) | ^ cjv | z | , zs^,
71=0
и функция Rn(z) регулярна в секторе S. Имеем
N
ti /_\ __ у1 ид z—п—1 1 S /z\
J \ ) ±шА ft I iV \"/'
п=1
Остаточный член оценивается так:
z I max | ? |~w~
так как |?1^A — е)|г| при S s Т-Здесь с^->0—постоянная.

390 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
§ 43. Метод Лапласа
1. Эвристические соображения. В этом параграфе рассматри-
рассматриваются интегралы вида
ъ
а
которые называются интегралами Лапласа. Здесь / = [а, Ь] —
конечный отрезок, К—большой параметр. Тривиальные случаи
f(x) = O или S(x)^ const не рассматриваются.
Всюду в этом параграфе предполагается, что функция S(x)
принимает только действительные значения. Функция f{x) мо-
может быть комплекснозначной. Пусть функ-
,\ ции f(x), S(x) непрерывны при х^1.
Нас интересует асимптотическое пове-
поведение интеграла F(K) при Я-*-+°°. Инте-
Интегралы Лапласа вычисляются в явном ви-
виде в немногих случаях, тем не менее их
асимптотику удается вычислить практи-
практически всегда. Пусть для простоты наи-
Ь»-о—». большее значение функции S(x) на отрез-
'1 а х° b х ке / достигается только в одной точке
Рис. 157 х0 е /. Рассмотрим два наиболее важных
случая.
1. max S (х) достигается только во внутренней точке ха отрез-
ка I и S" (хо)ФО.
Ясно, что при больших Я>0 величина интеграла определяет-
определяется в первую очередь экспонентой еХ8(ж). Рассмотрим функцию
По условию, h(x0, K)= 1 и h(x, K)< 1 при х^ха, Я>0. С ростом
К максимум в точке х0 становится все более и более «острым»
(рис. 157). Поэтому значение интеграла A) будет приближенно
равно интегралу по малой окрестности (х0 — б, хо + б) точки х0.
В этой окрестности можно приближенно заменить функцию j(x)
линейной, а функцию S(x)—квадратичной:
/(*)»/ (*0), S(x)-S (х0) « i- S" (х0) (х - хо)\
Поэтому (при f(xa)?*O) имеем
хо+в
0)(*-*o) Аг> B)
Строгое обоснование этих приближений будет приведено в п. 4.

§ 43. МЕТОД ЛАПЛАСА 391
Делая замену х — ха = t/1—kS" (ж0) (S" (хй) < 0, так как ж» —
точка максимума), получаем, что последний интеграл в B) равен
V— XS" (х\
Г
е-'2/2
При X -*¦ +°° пределы интегрирования стремятся к ±°°, и этот
со
интеграл стремится к интегралу \ е~г '%dt = У 2я. Следователь-
— со
но, асимптотика интеграла F(k) при X ->- +°° имеет вид
2. max 5 (х) достигается только на конце х = а отрезка I и
хе.1
S'{a)?*0.
Те же соображения, что и выше, показывают, что при боль-
больших К интеграл F(X) приближенно равен интегралу по малому
отрезку [а, а + б]. На этом отрезке можно приближенно заменить
функции f(x), S(x) линейными:
/(а;)«/(а), S(x) « S{a) + (x- a)S'(a),
тогда
а+6
J e4x-a)S'(a) dx.
| ek6S'(a) 1
Последний интеграл равен -—,-^.+—— т_7__, так
как S' (а)< 0. Следовательно, при X ->- +оо
Формулы C), D) — основные асимптотические формулы для
интегралов Лапласа. Перейдем к строгому выводу этих формул.
2. Максимум S{x) на конце интервала. Получим сначала
грубую оценку для интегралов Лапласа.
Лемма 1. Пусть 1 = (а, Ъ)—конечный или бесконечный
интервал,
S(x)^C, je/, E)
и интеграл A) сходится абсолютно при некотором Хо > 0. Тогда
при Re X > Хо
|F(X)t<CieCRe\ F)
t — постоянная.

392 ГЛ. VII, ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Доказательство. При ReX>X0 имеем в силу E)
где Со = е~х°с. Следовательно,
ь
/ (х) As<*>e( ^-\,)s« dx
a
оеСЯеК
Ь
J 11 (%) I & ax.
a
По условию, последний интеграл сходится, и оценка F) до-
доказана.
Всюду в дальнейшем предполагается, что / = [а, Ь] — конеч-
конечный отрезок, и что функции f(x), S(x) непрерывны при х^1.
Асимптотические формулы для интегралов Лапласа, как бу-
будет показано ниже, пригодны не только при X -*¦ +°°, но и при
%-*-°°, 1е5„ где 56 — сектор larg^l^-^ s в комплексной
плоскости X. Здесь 0< е < я/2. Отметим, что если \е5г, то
1X1 >ReX> \Х\ sine.
Поэтому при К -*¦ оо, 1^5, справедливы оценки:
(ReX)-n = O(U|-n), n>0, \e-CK\=O(\X\-N),
где N > 0 — любое.
Теорема 1. Пусть
S(x)<S(a), хФа; S'(a)?*Q, G)
и функции f(x), S(x) бесконечно дифференцируемы в окрест-
окрестности точки х = а. Тогда при К -*¦ °°, 1е5, справедливо асимпто-
асимптотическое разложение
F(X)~eWa^cnX-n-\ (8)
п=о
Это разложение можно почленно дифференцировать любое
число раз. Коэффициенты сп вычисляются по формуле
f(x)
Главный член асимптотики имеет вид D) или, более точно,
Доказательство. Так как S'(a)?=O, то можно выбрать
б > 0 такое, что S' (х) Ф 0 при а < х < я + б. Разобьем интеграл
A) на два:
где Ft (Я,) — интеграл по отрезку [а, а + б]. Оценим F2(X). Так

§ 43. МЕТОД ЛАПЛАСА 393
как функция S(х) достигает при х^1 наибольшего значения
только в точке а, то S (х) < S (а) — с при а + б < х <> Ь, где с > 0 —
постоянная. По лемме 1 при 1е5, имеем
1ЗД)|^с01еМ8(о)-с)|. (И)
Поэтому интеграл Fz(k) экспоненциально мал по сравнению с
e*.s(a> И) в частности> по сравнению с любым членом cnArn~ieWJ(a>
асимптотического ряда (8).
Интеграл Fi(X), который берется по отрезку [a, a+ 6], про-
проинтегрируем по частям;
о+б
1 ^Г
о+б
-1
a+б
= J
Внеинтегральная подстановка при х = а + б экспоненциально
мала по сравнению с eis(a) (при Я -*•«>, К е Se), так как
5( + 6M(H
( )()
Оценим интеграл Fu (X). На отрезке /t = [a, a + б] имеем
S' (х) < 0, и потому существует постоянная Si > 0 такая, что
S' (х) < — Si при а; е /4. По формуле Лагранжа
где 1е=(д, a + б), и
на отрезке /t. В силу непрерывности функции fi(x) имеем:
|/t (х) Г < М при х е /4. Следовательно,
а+б
a
а+в
f M <~ c Я <= <?
+в
f
J
С учетом этой оценки соотношение A2) можно записать в виде
F, (К) = **««> [зуг^у + О (Х-2)]. A3)
Из этого соотношения, оценки A1) и тождества F (Я) = Ft (К) +
+ ^2 (Я) вытекает формула A0) для главного члена асимптотики.

394 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Интеграл Рц(Х) имеет в точности тот же вид, что и интеграл
Fi(X), и
<н-е
* " v'v KS' (х)
Интеграл F12(X) имеет тот же вид, что и Ft(X), только
Для интеграла jFu(X) справедливо соотношение A3), с заменой
/ на fu значит,
Продолжая этот процесс, получаем разложение (8) и фор-
формулу (9).
Остается доказать возможность почленного дифференцирова-
дифференцирования ряда (8). Функция FCK) является целой функцией % (тео-
(теорема 1 § 16), и асимптотический ряд (8) можно почленно диф-
дифференцировать в силу теоремы 5 § 42.
Пример 1. Рассмотрим преобразование Лапласа функ-
функции f(x)
оо
\{x)e~'kxdx. A4)
Будем предполагать, что функция /(ж) кусочно непрерывна при
х > 0, бесконечно дифференцируема в окрестности точки х — О
и удовлетворяет оценке
при х Зг 0. Покажем, что тогда
F {Ц - 2 /<П) @) ^~"~1
при "К -*¦ °°, К s 5е.
В данном примере S(x) = — х, так что nxax S (х) = 5 @) = 0,
и ?'@)=5^0. Но теорему 1 нельзя непосредственно приме-
применить к этому интегралу, так как область интегрирования неогра-
ничеиа.
Разобьем интеграл F(X) на два: F(X)*=Fi(k) +F2(X), где
F4 (К) — интеграл по отрезку [0, 1]. Так как S{x)=- — х < — 1 при
я > 1, то по лемме 1

§ 43. МЕТОД ЛАПЛАСА 395
и этот интеграл экспоненциально мал при к -*¦ °°, Я е SE. При-
Применяя к интегралу Fi(k) теорему 1, получаем A5). []
Пример 2. Рассмотрим интеграл вероятностей
о
и вычислим его асимптотику при х -*¦ +°°. Так как
оо
то
Ф(а:) = 1 ^-^(ж), F(«)
Т/л
Преобразуем интеграл F{x) к интегралу вида A4).
Делая замену переменной ( = и i полагая затем т2 = 1 + и,
получаем
оо
J -ж2« A + uy4t du.
Последний интеграл" имеет вид A4), где к = х2, f = (J + и)^,
так что /<ft) @) = ( 5-) B/с — 1)!!. Применяя формулу A5), по-
лучаем, что при х-> + оо
Эта же формула справедлива при комплексных х, \х\ -*¦ °°,
|arga;|^-^ е @<е<я/4). Действительно, если х лежит в
этом секторе, то X — х2 лежит в секторе S2e: \ arg "к \ ^ -= 2е,
в котором справедлива формула A5). G
3. Лемма Ватсона. Асимптотика многих интегралов Лапласа
сводится к вычислению асимптотики эталонного интеграла
t. A7)
Лемма 2 (лемма Ватсона). Пусть а>0, |5>0, функ-
функция j(t) непрерывна при 0«??«5а и бесконечно дифференци-

396 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
руема в окрестности точки t — О. Тогда при k-+°°, K^SZ спра-
справедливо асимптотическое разложение
4f l/ij /^/ / , /v J. I , . I lOl
v ' a ¦«¦ \ a n\ v '
разложение можно дифференцировать по К любое чис-
число раз.
Прежде чем доказывать эту лемму, докажем формулу
00
J-
A9)
при Re Я, > 0. Здесь Аг'/в — регулярная в полуплоскости Re К > О
ветвь, положительная при положительных К.
Пусть К > 0. Делая замену Л?* = у, получаем, что стоящий в
левой части равенства A9) интеграл равен
оо
о
Этот интеграл — регулярная функция в полуплоскости Re К > 0.
Правая часть равенства A9) также аналитически продолжается
с полуоси @, +°°) в полуплоскость Re X > 0. Так как обе функ-
функции совпадают на полуоси @, +°°), то по принципу аналитиче-
аналитического продолжения они совпадают в полуплоскости Re К > 0.
Доказательство леммы 2. Разобьем интеграл Ф(Х)
на два:
где интеграл Ф4 берется по отрезку [0, б], б > 0 мало. Так как
—?"<'—ба<0 при 6<i<a, то в силу леммы 1 для интеграла
Ф2(Я,) справедлива оценка
при X е Sz, \X\>1, и этот интеграл экспоненциально мал. На
отрезке [0, б] справедливо разложение
N
п=о
Лп) ,Г1\
где /га = ' ' ', и li|)w(f)l ^CNtN+i, 0<t<8. Поэтому интеграл
Oi(X) равен сумме

§ 43. МЕТОД ЛАПЛАСА
397
где обозначено
а а
Фщ (Я.) = ) «я+в-1в-«вЛ, i?jv (Я) = f i|)W @ е-*'" Л.
о о
Представим Ф1П(Х) в виде разности интегралов по полуосям
(О, +°°) и (а, +°°). Первый из этих интегралов вычисляется
по формуле A9). Второй в силу леммы 1 не превосходит по мо-
модулю величины С\е~апк\, так как — ta ^-аа при t > а. Оконча-
Окончательно получаем
Фт _ * i -(д+Р)/«т / w + Р ^ i n /• п«»Л
m (.л^ — — л 1 I 1 -f- и уе )•
Наконец, модуль подынтегрального выражения в интеграле
Rn(k) не превосходит величины С
р
1 е~ма | и
00
W J
при
S. Окончательно получаем; что при
(сумма всех экспоненциально малых величин включена в оста-
остаточный член). Тем самым асимптотическое разложение A8) до-
доказано. Возможность почленного дифференцирования разложе-
разложения A8) доказывается так
же, как и в теореме 1.
Пример 3. Вычис-
Вычислим асимптотику при х -*¦
-*¦ +°° интеграла
К,
и=4 I
„if*
сЙ.
Интеграл К0(х)—это од-
одна из функций Бесселя Рис. 158
(функция М ак дона ль да).
Непосредственно применить лемму Ватсона к этому интегра-
интегралу, очевидно, нельзя. Поэтому предварительно про деформируем
i контур интегрирования. Проведем разрез по лучу l = [i, +?°°);
тогда функция f(t) = 1/У1 + f, /(O)>0, регулярна в полуплоско-
полуплоскости Im t > 0 с разрезом I. При х > 0 контур интегрирования
можно продеформировать в разрез I. Чтобы доказать это, рас-
рассмотрим контур Гр? я (рис. 158). Этот контур состоит из отрезка
[-R, R], дуг C'-r окружности \t\=R, окружности Ср: \t — i\=p

398 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
и интервалов по берегам разреза. Так как 1ШI «S clil" при
UI-»¦ °°, то интегралы по дугам окружности Ul =R стремятся
к нулю при i?-*» в силу леммы Жордана. Далее, при ? е Ср
имеем
таким образом, подынтегральное выражение имеет порядок
ОA/Ур) при р -*¦ О, t^Cp. Поэтому интеграл по С„ стремится к
нулю при р^-Ои интеграл Ко(х) равен интегралу по разрезу.
Покажем, что при т > 1
(это значение функции f(t) на правом берегу разреза). Имеем
1
i), <p2 = ATarg(i--i)-
Здесь кривая у лежит в верхней полуплоскости и соединяет точ-
точки 0, ix + 0, так что ф4 = 0, фг = +л. Аналогично,
Следовательно,
00 ОО ОО
(здесь сделана замена переменной т = t + 1). К последнему ин-
интегралу применима лемма Ватсона (здесь сс = 1, [} = 1/2), сле-
следовательно,
4. Максимум 5(ж) внутри отрезка.
Теорема 2. Пусть
S(x)<S(x0), хФх0, a<xo<b, S"(xo)?=O B0)
и функции f(x), S(x) бесконечно дифференцируемы в окрестно-
окрестности точки х„. Тогда при X -»- °°, Я е 58 справедливо асимптотиче-
асимптотическое разложение
F (К) ~ exs(Ko) 2 с,Л""/2. B1)
п=0
сЭго разложение можно дифференцировать почленно любое
число раз.

§ 43. МЕТОД ЛАПЛАСА 399
Главный член асимптотики имеет вид C), или, точнее,
')]• B2)
Нам понадобится следующая
Лемма 3. Пусть функция S(x) бесконечно дифференцируема
в окрестности точки х0 и
S'{xo) = O, S" (хо)<О. B3)
Тогда существуют окрестности U, V точек х = х0, у = 0 соот-
соответственно и функция <р(у) такие, что
S(q>(y)) —S(xo) =—у*, jeF, B4)
функция ц>(у) бесконечно дифференцируема при jeF,
Г "~~ B5)
и функция x = <f(y) взаимно однозначно отображает V на U.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно счи-
считать, что ха — 0, S(xo) = O. По формуле Тейлора
ж 1
S {х) = J (х — t) S" {t) dt = х2 J A - t) S" (xt) dt^ — x*h {x).
о о
Если Uo — малая окрестность точки х = 0, то S" (xt)<0 при
x<^U0, 0 ^ t «? 1, так как S" @) < 0. Поэтому функция
i
h (x) = j (t — 1) S" (xt) dt
положительна при x^U0 и бесконечно дифференцируема. По-
Положим
Щ = у, B6)
т. е. x2h(x)=yz, или, что то же, S(x)=—y2. Здесь l/h(x)>0.
Так как
4г (х Vh (a;))U= /* @) = /- ^- Ф 0,
то по теореме об обратной функции уравнение B6) имеет реше-
,ние x = (f(y), ф@) = 0, обладающее указанными в формулировке
леммы свойствами.
Доказательство теоремы 2. Пусть хо = 0, S(xo) = O.
Выберем малую окрестность [—64, б2] точки х = 0 и разобьем ин-
интеграл F(K) на три:

400 гл- VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Здесь Fi (X) — интеграл по отрезку [а, — 6t], Ft (К) — по отрезку
[-6i, 6J, F,(X) — no отрезку [б,, Ь]. Так как S{x)<S@) при
х е /7 х?*0, то интегралы Ft (Я,), Fs (А,) экспоненциально малы
при А, -*¦ ао, \е5„ т. е.
Р,{к)*=О(е-**) @ 0), 7 = 1,3.
Доказывается это так же, как и в теореме 1.
Выберем б} так, чтобы ?(—6i) = 5Fi)'; имеем iSFi) = — e2,
где е > 0, так как а; = 0 — точка максимума функции S (х), и сде-
сделаем в интеграле F2(%) замену переменной х = (р(у):
Это можно сделать в силу леммы 2. Тогда
в
F2 (К) = j e-^h{y) dy, h(y) = f (Ф(у))Ф' (у).
—8
Далее,
где g(y) h(y) + h{y).
Остается применить лемму Ватсона к интегралу F2(X). Здесь
а = 2, E = 1, кроме того, функция g{y)~ четная, так что
g(ft)@) = 0 при всех нечетных к. Окончательно получаем для
Fz(i) разложение B1), где коэффициенты сп имеют вид
Здесь мы учли, что g<2n) @) = 2/гBп) @). Коэффициент св равен
так как ГA/2)=Уя, а ф'@) имеет вид B5).
Из доказательства теоремы 2 вытекает
Следствие 1. Пусть maxS(х) достигается только на конце
х = а отрезка I и 5"(я) = 0, S" (а)Ф0. Тогда при А,->-°°,
справедливо асимптотическое разложение
F (X) - е^°) 2 dnl-(n+1)l2. B8)
Главный член асимптотики имеет вид
V- j?u[/И + О(^)]. B9)

5 43, МЕТОД ЛАПЛАСА 40t
Пример 4. Рассмотрим гамма-функцию Эйлера
оо
Г (х + 1) = j f*e-« Л.
о
Докажем формулу Стирлинга
( ()) ж^+оо. C0)
Этот интеграл не является интегралом вида A); приведем
его к такому виду. Подынтегральная функция fe~* достигает
наибольшего значения на полуоси f>0 в точке to(x) = x, кото-
которая уходит на бесконечность при х -*¦ +°°. Остановим эту точку,,
сделав замену переменной t = xt'. Тогда
оо
Г (х) = *«+iJ exOnt-l) dt.
о
Последний интеграл имеет вид A): К — х, S = lnt — t, /(?) = 1.
Точкой максимума является to = i и S(to) = — 1, S" (?0) = — 1.
Чтобы применить теорему 2, разобьем область интегрирова-
интегрирования на три части: @, 1/2), A/2, 3/2), C/2, °°). Интегралы по-
первому и третьему интервалам экспоненциально малы по срав-
сравнению с е~х = ех С») в силу леммы 1. Асимптотика интеграла
по отрезку [1/2, 3/2] вычисляется по формуле B2), и мы полу-
получаем формулу C0).
Из C0) вытекает асимптотическая формула Стирлинга для
факториала:
Асимптотическая формула C0) справедлива также при комп-
комплексных z, если z-»-<», z^St, где S* — сектор largzl <я —е [7].
Здесь е фиксировано, 0 < е < п. Имеет место более точное асимп-
асимптотическое разложение для логарифма гамма-функции [22]
In Г (z) — I z 1- j In z — z + -i-
+ 2-
где Вп — числа Бернулли (§ 12, пример 4). Для остаточного чле-
члена в формуле C0) доказана следующая оценка:
10A/*) |< 1/12*. ?
Пример 5. Вычислим асимптотику суммы
F (п) = 2 Й
ft=0
26 ю. В. Сидоров ж др.

402 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
при п -»- °°. Преобразуем эту сумму в интеграл. Используя тож-
00
дество A;!n~ft^1 = \e~nxxh dx, получаем
оо
откуда F(п) = п J enS{x) dx, где S(x)=—x+ ln(i +x). Функция
о
S(x) на полуоси х>0 достигает максимума только в точке х = О,
причем ?@) = 0, 5"@) = — 1. Применяя следствие из теоре-
теоремы 2, получаем
§ 44. Метод стационарной фазы
1. Постановка задачи. Рассмотрим интеграл вида
ъ
F(k) = $ f (x) eilsl-x) dx. A)
а
Здесь / = [а, Ь] — конечный отрезок, функция S (х) принимает
только действительные значения и X — большой положительный
параметр. Интегралы вида A) называются интегралами Фурье,
а функция S(x) называется фазой или фазовой функцией. Нас
интересует асимптотическое поведение F(X) приХ->-+°°. Три-
Тривиальные варианты /(ж) = 0 или S(х) = const не рассматриваются.
Частным случаем интегралов Фурье является преобразование
Фурье
ь
F(K) = ^f(x)eikxdx. B)
а
Пусть функция f(x) непрерывна при а<ж<Ь, тогда
при к-*- +°°. Действительно, при больших к функция R
сильно осциллирует, и две соседние полуволны имеют примерно
одинаковые по абсолютной величине, но противоположные по
знаку площади. Поэтому сумма таких площадей мала, в силу
чего мал и весь интеграл
ъ
f Re (/ {х) е^) dx.
а
Наиболее общий результат об асимптотическом поведении ин-
интегралов вида B) составляет следующее утверждение:

§ 44. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
403
Лемма Римана — Лебега [13]. Пусть интеграл
ъ
\ | / (х) | dx сходится. Тогда
а
Ь
j f(x)eiUdx^0,
В лемме Римана — Лебега ничего не говорится о скорости
стремления интеграла F(k) к нулю. Дело в том, что эта скорость
существенно зависит от дифференциальных свойств функции
/(х) и может быть сколь угодно медленной. Асимптотические
разложения для интегралов Фурье удается получить только для
достаточно гладких функций f(x), S(x). Мы ограничимся слу-
случаем, когда обе эти функции бесконечно дифференцируемы на
отрезке /.
Теорема 1. Пусть функции f(x), S(x) бесконечно диффе-
дифференцируемы и S'(x)?=0 при x^I. Тогда для интеграла A) при
h -*¦ +°° справедливо асимптотическое разложение
S еад) 2 Ъп (ik)~n - -L *'«««> 2 вп (гЯ)-п. C)
Это разложение можно дифференцировать по X любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
F W =
Коэффициенты а„, bn вычисляются по формулам
, bn = (-l)nMn{
.. E)
S' [х) dx
Заметим, что формулы для коэффициентов ап совпадают с
формулами для коэффициентов сп из (9) § 43.
Доказательство теоремы 1. Проинтегрируем A) по
частям так же, как и в доказательстве теоремы 1 § 43:
ь
+ k F w
=ieikS(x)
-k
В силу леммы Римана — Лебега имеем Fi(X) = o(l) (Я-»-+°°),
и формула D) доказана, но с остаточным членом в виде оA/%).
26*

404 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Интеграл Fi(X) имеет в точности тот же вид, что и F(X); снова
интегрируя по частям, получаем
f. (х) ь
Здесь fi(x) = — (f(x)/S'(x))', a F2 получается из Ft заменой /
на /1# Так как F2(X) = o(l) (Х-++°°) в силу леммы Римана —
Лебега, то Ft(k)= О(Х~*), и формула D) доказана полностью.
Кроме того, мы доказали, что
f (X) = 4- ьп + -4-
где коэффициенты ah bj имеют вид E). Продолжая интегриро-
интегрирование по частям, получаем разложение C).
Так как интеграл F(X) сходится при любых комплексных X,
то F(X) — целая функция X (§ 16, теорема 1). Возможность
почленного дифференцирования ряда C) вытекает из теоре-
теоремы 5 § 42.
Из доказательства теоремы 1 вытекает
Следствие 1. Пусть функции f{x) и S(x) непрерывно
дифференцируемы к и к +1 раз, к > 1, соответственно на от-
отрезке [а, Ъ]. Тогда
k-i k—i
F(X)=-±- e^b) 2 bniiXrn - -A- e№ 2 «»(Щ~п +
1 n=0 и=0
+ o{X~h) (X-++ oo). F)
Частным случаем этого следствия является асимптотическая
оценка для коэффициентов Фурье, известная из курса матема-
математического анализа.
Следствие 2. Пувтъ функция f(x) к раз непрерывно диф-
дифференцируема на отрезке i[0, 2я] и
/(j)@) = /(j)Bjt), 0<]<к. G)
Тогда при m -*¦ +°°
2Л
= \
eimxf (x) dx = o (m-*). (8)
Действительно, так как eiimn = 1 при тп целом, и выполнено
условие G), то в формуле F) сокращаются все слагаемые,
кроме остаточного члена.
С помощью интегрирования по частям можно вычислить
асимптотику и некоторых других классов интегралов от быстро
осциллирующих функций.

§ 44. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 405
оо
Пример 1. Рассмотрим интеграл Ф(х)~ j eif2 dt и вычис-
X
лжш его асимптотику при х -*¦ +°°. Проинтегрируем по частям:
х)= [ ±d(e»2) =-— + — [ е^2 —
Оценим последний интеграл; имеем
Итак, мы получили, что при х -*¦ +°°
оо
у ?
Оба слагаемые в правой части этого равенства имеют одинако-
одинаковый порядок, следовательно,
ф (х) = О\ —), х ->- + оо.
Чтобы получить более точную оценку, проинтегрируем по ча-
частям еще раз:
оо оо оо
J гV*dt = ^ J r3d (е«2) = _ -^ ^ + ^ J гV'2 Л.
ж
Модуль последнего интеграла не превосходит величины
Следовательно,
Продолжая интегрирование по частям, можно получить
асимптотическое разложение (при х-++°°) для интеграла Ф(х).
Первые два члена разложения имеют вид
2. Вклад от невырожденной стационарной точки. В условии
теоремы 1 содержится одно важное ограничение: S'(x)?=0 при
ге/, т. е. функция S(x) (фаза) не имеет стационарных точек
на отрезке. Если имеются стационарные точки фазы, то асимп-
асимптотика интеграла F(%) имеет иной характер, чем в теореме 1.

406 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Фаза S (х) = ж2 имеет стационарную точку х = 0. Вблизи этой
точки (на интервале порядка 1/УА.) функция cos Хх2 не осцил-
осциллирует, а сумма площадей остальных волн косинуса имеет по-
порядок О(Я~*), т. е. существенно меньше. Поэтому интеграл F(X)
будет иметь порядок 1/УХ. Облечем эти эвристические сообра-
соображения в строгую форму.
Лемма 1. Пусть функция f(x) бесконечно дифференцируе-
дифференцируема на отрезке [0, а] и а Ф 0. Тогда при X -*¦ +°°
Ф (X) = j / (х) *V*** dx = -1 У ^ е{(я/4N(а)/ @) + О(±),
(9)
о (а) = sgn a.
Доказательство. Пусть ос>0 и f(x)=i. Делая заме-
замену переменной 1/аХх = t, получаем
Первый из интегралов, стоящих в квадратных скобках, есть ин-
интеграл Френеля и равен -^ егл^у2л(^ 29). Оставшийся интеграл
есть ОA/У%) при Я -»- +°° в силу примера 1, так что
a
J eU/2>aA*2 ds = -*- Y^ (W* + О (-J-), X -* + 00. A0)
о
Пусть a< 0; тогда
a a
iouc2dz = j e^ dx,
где [3 = — a >0. Следовательно, формула A0) при a<0 оста-
остается в силе, если заменить а па —а = 1а| и eilt/4 на e"ijt/4.
Представим функцию f{x) в виде
где g (х) = ^ ~ ^ бесконечно дифференцируемая при 0
«S х =^ а функция. Тогда
фх (X) = \ е2 xg (x) dx.

§ 44. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ
Оценим последний интеграл. Имеем
407
*И
а
'-*<°>-J
= 0\+\, Х->+оо.
Подставляя эту оценку в A1), получаем (9).
Замечание 1. Из доказательства леммы следует, что
формула (9) справедлива, если функция f(x) дважды непре-
непрерывно дифференцируема на отрезке {0, о].
Теорема 2. Пусть функции /(ж), S(х) бесконечно диффе-
дифференцируемы на отрезке [а, Ъ] и функция S(x) имеет единствен-
единственную стационарную точку х0 е [а, Ь], причем а < хо< Ъ. Если
S" (хо)ФО, то для интеграла A) справедлива формула
F (X) = eiXS(xo)eiWi)&o
2я
A2)
Здесь б0 = sgn S" {)
Доказательство. Разобьем участок интегрирования на
два: [а, х0], [х0, Ь] и соответственно интеграл F(K) на два:
F{X) = F,{X)+ F2CK). Пусть S"(x0)>0, для определенности.
Тогда S'(x0)>0 при хо<х^Ь, и функция S(x) монотонно
возрастает при х0 < х ^ Ь, т. е. <S(a;)>iS(a;o) на этом интер-
интервале. В интеграле F2(X) (по отрезку [х0, Ъ]) сделаем замену
переменной x = cp(t) так, чтобы S(x) — S(xo)= tz (см. § 43).
Тогда
F2 (k) =
Здесь §@ = /(ф@)ф'@» 6'==У5F)-5(а;0)>0. По лемме 1
имеем при X -*¦ +°°
(X) = -1
|1 g @) + О ( f),
причем g@)
= /(#0)l/
У
. Точно такая же формула имеет
У
место для интеграла Fi(X), откуда следует A2). Случай

408 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
S" (хо)< 0 приводится к случаю S" (жо)> 0:
ь
ТЩ = J е^ыЩ) dx, S(x) = —S (x),
а
и S" (хо)> 0. Теорема доказана.
Пример 2. Вычислим асимптотику при х -> +<» функции
Бесселя
2Я
Здесь п > 0 — целое число. В данном случае фаза (ф)ф>
и имеются две стационарные точки фазы q>t = я/2, фг = Зя/2.
При этом
Асимптотика интеграла Jn(x) равна сумме вкладов от стацио-
стационарных точек ф1, фг (т- е. выражений вида A2)) и слагаемого
порядка ОA/а;), т. е.
х^ + оо. []
3. Формула суммирования Пуассона. Эта формула позволя-
оо
ет заменить ряд вида 2 f(n) другим рядом, а именно
71^ — оо
оо со °°
2 /<») = 2
п=—оо й=—о
Формула A3) справедлива, если
а) функция f(x) непрерывно дифференцируема при — оо <
< X < оо;
оо
б) ряд 2 f(n) сходится;
П= — оо
оо
в) ряд 2 /' (п + х) сходится равномерно при 0 < х < 1.
Доказательство формулы A3) при этих и при других усло-
условиях см. в [7]. Мы ограничимся формальным выводом форму-
оо
лы A3). Рассмотрим функцию ф(я) = 2 f(x+n); эта функ-
77—=—"О
ция периодична с периодом 1. Разложим функцию ц>(х) в ряд
Фурье:
Ф (х) = S Ч
fc=-oo

§ 44. МЕТОД СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ 409
откуда
2 %= 2 №. A4)
Покажем, что из формулы A4) вытекает формула суммирова-
суммирования Пуассона. Имеем ,
\ i °°
<р = е-2ягй*ф ф dx = ) 2 / (» + *)
= 2 У/(*)<Г2яШсс& = f
и подставляя <рд в A4), получаем A3).
Формулой A3) удобно пользоваться в том случае, когда ип-
тегралы
<Рп =
убывают при п -*¦ оо быстрее, чем f{n) (т. е. если преобразова-
преобразование Фурье функции f(x) убывает при Ы -*¦ °° быстрее, чем
f(x)). В частности, этот факт имеет место для быстро осцилли-
осциллирующих функций f(x).
оо
Пример 3. Рассмотрим ряд F (t) — jLl ,/ 2 F и вы~
числим асимптотику функции F(t) при t ->¦ ±°°. В данном при-
примере f(x, t) = еЫх/Ухг + f. Применим формулу суммирования Пу-
Пуассона. Условия а), б) теоремы выполнены, проверим условие в)
(при фиксированном t>0). Имеем
Рассмотрим ряд
5Х = 2 (- 1L, ak = [(х + feJ + *2Г1/2.
ft=i
Так как функции ah(x) монотонно убывают по к при каждом
оо
фиксированном х е [О, 1], а частичные суммы ряда 2 (— 1)
ограничены, то ряд St сходится равномерно на отрезке [О, 1] по
признаку Дирихле [9]. Аналогично доказывается равномерная
сходимость при х е [О, 1] ряда
s, = 2 (- *)*(* + к) К* + АJ + '*Г"/2,

410 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
а также рядов вида iS\, Sz, где суммирование производится от
—оо до —1. Следовательно, условия а), б), в) выполнены. При-
мепяя формулу A3), получаем
F (t) = 1 % (t), Фй (t) = J e-™ikx+»ix (x* + tr1/2 dx.
Делая замену x = ty, получаем
Ф*(')= j e-U*2h-1)y (У2 + I)'* dy,
так что (pk(t) = 2K0(Bk — l)nt) (§ 43, пример З). В примере
показано, что Ка{Ъ)— четная функция и что
Следовательно, при IЫ > 1
где С не зависит от Ь, и
< 4С 2 \к* (Bк -1)я*) I < Ас 2 e-B/J-')Ilf«
Й=2 fc=2
Окончательно получаем, что
§ 45. Метод перевала
1. Предварительные соображения. Рассмотрим интеграл вида
v
где ^ — кусочно гладкая кривая в комплексной плоскости z,
функции /(z), 5(z) регулярны в некоторой области Д содержа-
содержащей кривую у. Нас интересует асимптотика функции F(h) при
X -*¦ +°о. Тривиальные случаи /(z)=0 или 5(г)^ const не рас-
рассматриваются.
В § 43 было показано, что если f — отрезок, а функция S(z)
принимает на i действительные значения, то асимптотику инте-
интеграла A) можно вычислить с помощью метода Лапласа. Попы-
Попытаемся преобразовать интеграл A) так, чтобы к полученному
интегралу можно было бы применить метод Лапласа. Так как
функции f(z), S(z) регулярны в области D, то можно деформи-

• § 45. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 411
ровать контур f в области D (оставляя концы контура непо-
неподвижными), не меняя значения интеграла F(%). Допустим, что
контур y можно продеформировать в контур у такой, что
1) max | e^sB> | достигается только в одной точке z0 e Y (z° —
впутренняя точка контура),
2) ImS(z) = const при zey в^окрестности точки z0.
Пусть Yo — малая дуга кривой у, содержащая точку z0; тог-
тогда ReS(z)< Re S(z0) — б, где б > 0, при гШ-у0, ге^, Это сле-
следует из того, что max Re S (z) достигается только в точке z0 в
силу условия 1). Поэтому интеграл по дуге у — у0 имеет поря-
порядок О( |e4sBo)-6) | ) jipn я ->- +<*> (§ 43, лемма 1). Рассмотрим
интеграл по дуге ^0; пусть z = <p(?), — ?o^?s??o, cp(O) = z0,—
уравнение этой дуги. На ^о в силу условия 2) имеем Im5(z)^
= ImS(z0), так что интеграл по этой дуге равен
F1 (X) = eiKlmS(zo) j J(t) e^«) clt,
где /(«)==/(ф(О)ф'(О. 5(i)=Re5(9(i)). В интеграле F,(l)
функция S(t) принимает только действительные значения, сле-
следовательно, интеграл F,_(X) принадлежит к рассмотренному в
§ 43 классу, и его асимптотику можно вычислить с помощью
метода Лапласа.
Заметим еще, что S' (zo)~ 0. Действительно,-г- Im S (z) =0
в силу условия 2), а так как max Re S(z) достигается в точке z.
'0
d
d
(условие 1), то -тг Re S (z) = 0. Следовательно, -=- S (z)
t=0
= 0,
так что 5' (z0) = 0.
Точка z0 такая, что S' (z0) = 0, называется точкой перевала
функции S(z). Контур, удовлетворяющий условиям 1), 2), обя-
обязан проходить через точку перевала функции S(z).
Точно так же вычисляется асимптотика иатеграла A) в слу-
случае, когда max Re S (z) достигается только в одной точке z0, ко-
v
v
торая является концом контура f. В этом случае z0 не обяза-
обязательно является точкой перевала.
Итак, если на контуре ^ функция Re S (z) достигает макси-
максимума только в конечном числе точек, которые являются либо
точками перевала, либо концами контура (такой контур будем
называть перевальным), то асимптотика интеграла A) вычис-
вычисляется с помощью метода Лапласа. Наиболее трудной задачей
при применении метода перевала является задача об отыскании

412 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
перевального контура ч, эквивалентного исходному контуру y
(эквивалентность контуров у, у означает, что интегралы вида
A) по этим контурам равны). С помощью метода перевала ре-
решено много конкретных задач [7], [10], [12], [21], [22], но сколь-
сколько-нибудь общие рецепты, позволяющие по данным функциям
/(z), S(z) и по данному контуру у найти эквивалентный пере-
перевальный контур y, отсутствуют.
Перейдем к строгому выводу асимптотических формул для
интеграла A) по перевальному контуру. Предварительно иссле-
исследуем локальную структуру линий уровня
Re S(z) — const, Im S(z) = const.
2. Структура линий уровня гармонических функций. Пусть
функция S(z) регулярна в окрестности точки z0. Исследуем
структуру линий уровня ReS(z) = Re S(zo) + e, Im5(z) =
= lmS(zo)+ e при малых е, в окрестности точки z0.
Лемма 1. Пусть •S"(zo)=^0. Тогда в малой окрестности
точки z0 линии уровня Re S (z) = const, Im S(z) = const являют-
являются гладкими кривыми.
Доказательство. Функция S(z) однолистна в точке z0,
так как S'(zo)^O. Поэтому функция w — S(z) взаимно одно-
однозначно и конформно отображает малую окрестность U точки z»
на малую окрестность V точки wo = S(zo). Выберем U так, что-
чтобы область V была квадратом \и — щ\ < 8, \v — i>ol<6, где
w = и + iv, wo — Uo + iv0. При этом отображении линии уровня
функций ReS(z), lmS(z), лежащие в U, переходят в отрезки
прямых и = const, v = const,
лежащие в V. Эти отрезки,
Re S(z)=ReS(zg) очевидно, являются гладкими
кривыми, их прообразы так-
также являются гладкими кривы-
кривыми, так как функция z = S~l (w)r
обратная к функции S, ре-
регулярна в точке w0 (тео-
Рис. 159 рема 1 § 13). Лемма дока-
доказана.
Таким образом, локальная структура линий уровня функций
Re5(z), Im5(z) в окрестности точки, которая не является точ-
точкой перевала, точно такая же, как и структура этих линий для
функции S(z) = z (рис. 159).
Исследуем структуру линий уровня функций ReS(z), ImiS(z)
в окрестности точки перевала. Предварительно рассмотрим про-
простейший случай.
Пример 1. Исследуем линии уровня действительной и мни-
мнимой частей функции .S(z) = — z2. Точка z = 0 является точкой
перевала. Полагая z = x + iy, S = u + iv, получаем и = уг —х2.

§ 45. МЕТОД ПЕРЕВАЛА
-2ху, и семейство линий уровня имеет вид
413
где Си Сг — постоянные. Если С^ФО, С2^0, то каждая из
кривых Re S = Ci, Im S = Сг является гиперболой, кривая и = О
0 + 0 О
= 0, кривая v — 0 со-
(рис. 160). Линии уровня
Рис. 160
р ,
состоит из двух прямых х— г/= 0,
стоит из двух прямых х — 0, у
ReS(z) = ReS@) (т. е. прямые
х ± у = 0) делят плоскость на 4
сектора; знаки ReE(z)—5@)) в
соседних секторах (рис. 160) раз-
различны. Пусть Z)o — сектор I arg z I <
< я/4, Di — сектор larg(—z)i<
< я/4; в этих секторах Re(—z2)<
< 0. Через точку перевала
z = 0 проходит линия уровня
lmS(z) = ImS@), а именно, пря-
прямая I: у = 0. Вдоль этой линии
имеем Re5*(z) = — xz, т. е. функ-
функция Re S(z) строго монотонно убы-
убывает при удалении точки z вдоль I от точки перевала z = 0. Ли-
Линия I называется линией наибыстрейшего спуска. Ц
Рассмотрим трехмерное пространство с координатами (х, у,
Re 5) и поверхность ReS = Re(—z2), т. е. Re S = у2 — хг. Эта
поверхность — гиперболический параболоид (рис. 161), а начало
координат — седловая точка. Точно так же устроен перевал в го-
горах, отсюда и происходит название «точка перевала». Линия
наиболее крутого спуска с перевала проектируется на плоскость
(х, у) в линию наибыстрейшего спуска I.
Покажем теперь, что если z0— простая точка перевала
функции S(z) (т. е. если S" (z»)^ 0), то в окрестности этой
точки линии уровня функций ReS(z), ImS(z) устроены точно
так же, как и в случае S(z)= ~z2.
Лемма 2. Пусть z0 — простая точка перевала функции
S(z), т. е. •S"(zo) = O, S"(zo)?=Q. Тогда в малой окрестности U
линия уровня Re 5(z)== Re5(z0) состоит из двух гладких кри-
кривых 1и 1г, которые ортогональны в точке z0 и разбивают U на
4 сектора. Знаки функции T\e(S(z) — S(z0)) в соседних секторах
различны.
Соответствующая картина изображена на рис. 162.
., Доказательство. Пусть U — достаточно малая окрест-
окрестность точки z0. Тогда существует функция <р(?)> регулярная в.
окрестности V точки ? = 0 и такая, что
S(y(%))~S(zo)-?, l^V B)
(следствие 2 § 32). Кроме того, ^'@)^0, и функция z =

414
ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
взаимно однозначно отображает V на U. Линии уровня функ-
функций Re S(z), ImS(z) переходят при отображении ^=<p~1(z) в
линии Re t,2 = const, Im t,2 = const, структура которых была ис-
исследована выше. Возвращаясь к переменной z, получаем утвер-
утверждение леммы.
Следствие 1. Через секторы, в которых Re S(z) <
<Re5(z0), проходит гладкая кривая Z, такая, что Im5(z) =
= Im5(z0) при z^l. Функция ReS(z) строго монотонно убы-
убывает вдоль I при удалении z от точки z0.
Линия I является линией наибыстрейшего спуска (рис. 162
пунктир).
Рис. 161
Рис. 162
3. Вклад от конца контура интегрирования. Всюду в даль-
дальнейшем предполагается, что i — конечная кривая и что функ-
функции /(z), S(z) регулярны в некоторой области D, содержащей
контур f.
Теорема 1. Пусть max Re S (z) достигается только в на-
zev
чальной точке а контура ^, и S' (а) ФО. Тогда при X -*- +°°
справедливо асимптотическое разложение
F (Ц = f / (z) exs(z)dz
cnl~
и=0
C)
Это разложение можно почленно дифференцировать по % любое
число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
Коэффициенты с„ разложения C) вычисляются по формуле
сп = (-1)пМпШ)\ , M = J±r±. E)
Заметим, что формулы C) — E) полностью совпадают с фор-
формулами (8), (9) для интегралов Лапласа (§ 43). Доказатель-
Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы 1 § 43.

§ 45. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 415
\. Вклад от простой точки перевала. Вычислим асимптотику
интеграла A) в случае, когда max Re S (z) достигается во виут-
репней точке контура. Именно, пусть выполнены следующие-
условия:
а) max Re S (z) достигается только в точке z0, которая яв-
zev
ляется внутренней точкой контура и простой точкой перевала
(т. е. S'(zo) = O, S"(za)^0);
б) в окрестности точки z0 контур ^ проходит через оба сек-
сектора, в которых Re •Sr(z)<Re5(z0) (рис. 162).
Теорема 2. Пусть условия а), б) выполнены. Тогда при
% -*¦ +оо справедливо асимптотическое разложение
=\f (z) elSMdz ~ /S(Zu) ? сп%-п-*/2. F)

"=0
Это разложение можно почленно дифференцировать по % любое
число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
Выбор ветви корня в формуле G), а также формулы для
коэффициентов разложения F) будут указаны ниже.
Доказательство теоремы 2. Пусть U — малая ок-
окрестность точки z0, fo = t П U и f 1, ^2 — оставшиеся дуги кон-
контура f. Разобьем интеграл F(X) на три: F{%,) = F0(A,) + Fl(k) +
+ F2(l), где Fai(Я) — интеграл вида A) по дуге ъ, / = О, 1, 2.
Так как max Re S (z) достигается только в точке z0 e у0, то точ-
zev
но так же, как и в доказательстве теоремы 2 § 43, можно по-
показать, что для интегралов Fl(K), F2(X) имеет место оценка
)-6)|, %>0, / = 1,2, (8)
где с, б > 0 — постоянные.
Получим асимптотическое разложение для интеграла Fo(k).
Если область U мала, то существуют окрестность V точки % = О
и функция z = <р(?) такие, что
а) %Ш) = 5(го)-?2,^7;
б) функция <р(?) регулярна в области V и взаимно одно-
однозначно отображает V на U, ф(О) = го.
, Это вытекает из следствия 2 § 32. Делая в интеграле Fo{%)
замену переменной г = ф(?), получаем
(9)
v
Здесь ?(?)=/(фE))ф'($)| a f — образ контура f0- В качестве

416 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
V можно взять круг |?| <р малого радиуса р>0; можно так-
также считать, что функция <р(?) регулярна в замкнутом круге
l?l*sp.
Линия уровня Re(—?2) = 0 состоит из двух прямых: | ± т) =
= 0 (? = ! + iTi) и разбивает V на 4 сектора. Пусть D4—сек-
D4—сектор, содержащий интервал h: (О, р), ZJ — сектор, содержащий
интервал h: (—р, 0). Кривая ^0, по условию, состоит из двух
кривых foi, "fo2 (с общей начальной точкой z0); эти кривые ле-
лежат в разных секторах, в которых Re S(z)< ReS(z0). Следова-
Следовательно, точка 5 = 0 разбивает кривую у на две кривые fi, y2,
лежащие в секторах Di, D2 соответственно. Пусть d — дуга
окружности |?| = р, которая лежит в секторе Z),, и соединяет
концы кривых lit 'Yl По теореме Коши
р
f e-«V @ dl = f e-^g (t) dl + f e-K'g (Q d?. A0)
Так как Re(—?2)<0 на d, то существует постоянная Й4>О
такая, что Re(—?2)<i— 64 на С4, и интеграл по кривой ^4 равен
сумме интеграла по отрезку [0, р] и слагаемого порядка
О (е~ i), A,-> + оо. Применяя те же рассуждения к интегралу
но дуге ^2, получаем, что
р
e-xs(zo)Fo(X)= j e-^(Qd? + O(e-«'). Jv-^ + oo, A1)
-p
тде б'> 0 — постоянная. В правой части формулы A1) стоит
интеграл по отрезку, т. е. интеграл Лапласа (§ 43, A)), где
S = —t?. Далее, max S (?) достигается только в точке ? = О,
причем S" @)Ф0. Применяя теорему 2 § 43, получаем разло-
разложение F). Теорема доказана.
Укажем выбор ветви корня в формуле G) (который, оче-
очевидно, зависит от ориентации контура «()• В доказательстве тео-
теоремы 2 было показано, что контур у можно продеформировать
в контур ч', который в окрестности точки перевала z0 совпадает
с линией наибыстрейшего спуска I: Ira S (z) — Im S (z0) на I,
ReS(z)< ReS(z0) при z^l, z=?z0. Покажем, что
где фо — угол между направлением касательной к I в точке z0
и положительным направлением действительной оси.
Достаточно ограничиться случаем /(г)=1, S(z) =-j aza,
так как главный член асимптотики выражается только через
значения f(z), S(z), S" (z) в точке перевала. Линия наибы-

g 45. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 417
стрейшего спуска I, проходящая через точку перевала z = 0 —
это прямая (см. п. 2), на которой Im5(z) = 0, а ReS(z)<0
при z Ф 0. Запишем ее уравнение в виде z = егф°р, — оо <;
< р< с»; тогда S (z) = ^~ j <х | р2 при z^l. Интеграл по линии I
равен
= e*p.
и формула A2) доказана.
Из доказательства теоремы 2 вытекает
Теорема 3. Пусть max Re S (z) достигается только в на-
чалъной точке а контура у, причем S'(a) = 0, S" (а)Ф0. Тогда
при X -*¦ +°° справедливо асимптотическое разложение
^J/(z),
™ 2 «Д 2 • A3)
n=0
разложение можно дифференцировать по К любое число раз.
Главный член асимптотики имеет вид
(a) + 0(k~1^ Х-^+оо. A4)
Выбор ветви корня тот же, что и в A0).
Следствие 2. Пусть max Re S (z) достигается в конечном
числе точек zu z2, .. ., zm, которые либо являются концами кон-
контура, либо точками перевала и внутренними точками контура,
удовлетворяющими условию б) теоремы 2. Тогда асимптотика
интеграла A) при X -*¦ +°° равна сумме вкладов от точек
Zi, . . ., Zm.
Замечание 1. Если все точки z,-, в которых 5'(z3)=0,
являются простыми точками перевала, то асимптотика интегра-
интеграла A) вычисляется с помощью формул C), F), A3) (глав-
(главный член асимптотики — с помощью формул D), G), A4)).
Можно вычислить асимптотику и в том случае, когда среди то-
точек есть кратные точки перевала (см. [7], [10], [22]).
5. Примеры.
< Пример 2. Вычислим асимптотику при х -*¦ +°° функции
Эйри — Фока
оо
Ai (а:) = -1 j" CoS (-?¦ + ta) dt.
о
27 ю. в. Сидоров и др.

418 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Прежде всего преобразуем этот интеграл. Имеем
= 2^ J
ft3 \
(функция sin(-=- + tx\ нечетна, и потому интеграл от нее по
действительной оси равен нулю). Интеграл A5) является услов-
условно сходящимся; преобразуем его в абсолютно сходящийся ин-
интеграл.
Рассмотрим прямую 1^. —оо-<?<оо, п = гH в комплекс-
комплексной плоскости ? = | +it], параллельную действительной оси.
На прямой Zri имеем
ri
Re S (?, х) = - \\0 + ^ - хц0, A6)
где S(t,, x) = i(-^- + xlA. Следовательно, \ es<^'x)d\ сходится
и
абсолютно, если тH >• 0. Можно показать, что интеграл A5) равен
интегралу по прямой 1п , при любом тH > 0, т. е.
Ai (х) = J-
Функция S(t,, x) при каждом фиксированном х>0 имеет
ровно две точки перевала %±(х) = il'x, %z(x) = —Vlx. Выберем
в качестве 1Ц прямую, проходящую через точку перевала ?i(#),
т. е. положим t^o = Va;. Сделаем замену переменной | = УхЪ,
в интеграле A7), чтобы привести его к виду A). Тогда
Ai {х) = Т? f
—00
На контуре интегрирования лежит точка перевала ? = 0 функ-
функции •$(?). Далее, при действительных g имеем
Re S(%)=-?-№, A9)
так что max Re 5(|) на контуре интегрирования достигается
только в точке перевала ? = 0. Эта точка перевала — простая,
так как?"@) = -2?=0.
Таким образом, для интеграла A8) все условия теоремы 2
выполнены, за исключением одного: контур интегрирования —
бесконечная прямая. Разобьем участок интегрирования на три:

§ 45. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 419
лучи (—0°, —1), A, °°) и отрезок [—1, 1]. В силу A9) имеем
J
В силу леммы 1 § 43 последний интеграл есть О (e~x3/i)
(х ~*-+°°), так как —?2<—1 при ?>1, так что интеграл по
лучу 1 ==! | < оо экспоненциально мал по сравнению с функцией
о
е 3 при х -*¦ +°°. Точно так же оценивается интеграл по лу-
лучу — оо < g ^ 1.
Асимптотика интеграла по отрезку [—1, 1] вычисляется с по-
помощью теоремы 2; главный член асимптотики вычисляется по
формуле G). Имеем 5@) = — 2/3, S" @)= —2, и остается указать
выбор ветви корня в формуле G). Имеем
где ? = | + щ. Поэтому линия наибыстрейшего спуска I, прохо-
проходящая через точку перевала 5 = 0 функции S{t,), имеет в точ-
точке t = О ТУ же касательную, что и линия наибыстрейшего спу-
спуска 10, отвечающая функции — ?2. Уравнение /0 имеет вид ? = р,
—оо<р<оо5 т. е. <р0 = 0 в формуле A2). Окончательно полу-
получаем следующую асимптотическую формулу:
4 _ 2-е 3/2
i s-i/*e 3 [1 + О (ж-»/*)], ж-> + оо. B0)
В данном случае можно вычислить все коэффициенты асимп-
асимптотического ряда (см. [22]). Асимптотика функции Эйри — Фока
при х -*¦ —оо будет вычислена в примере 4. П
Пример 3. Вычислим асимптотику при действительных
х -*¦ оо интеграла
00 ^2И
Р (д.\ I g 2n
— 00
где п> 1 — целое число. Так как
при действительных х, то достаточно вычислить асимптотику ин-
интеграла B1) при «-*-+«>. G помощью замены переменной
х~и{2п~1Ч-+ t приведем интеграл F(x) к виду A):
со
F (х) = х1К2п - г)ф (Я), Ф (К) = j exs(t) dt, B3)
—со
27*

420 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
где
Точки перевала функции S(t) определяются из уравнения t2n~i
= !И имеют вид
k lT 2. B5)
Следовательно,
(^) (^)m9ft. B6)
Поэтому ReS(th)<0, если точка th лежит в верхней полуплоско-
полуплоскости комплексной плоскости t, и Re S (th) > 0, если точка tk лежит
в нижней полуплоскости.
Интеграл B1) стремится к нулю при х -*¦ +°° в силу леммы
Римана —г Лебега (§ 44). Следовательно, точки 1к, лежащие в
нижней полуплоскости, не могут давать вклада в асимптотику
интеграла Ф(Л), так как значение модуля подынтегральной
функции I e*"s('fe) | = 0*ReS('ft) B такой точке перевала экспонен-
экспоненциально растет при х -*¦ +оо. Поэтому асимптотика интеграла
Ф(А,) должна определяться точками перевала th, лежащими в
верхней полуплоскости Im t > 0.
Так как на контуре интегрирования нет точек перевала
функции S(t), то необходимо продеформировать этот контур в
перевальный. При \t\ -»- °° имеем 5(?)~ — tZnJBn), т. е. Re ?(?)->-
-*¦ — °°, когда UI -*¦ °° в секторах I argil < я/Bга), larg< —я1<
< п/Bп), содержащих действительную ось. Кроме того, на
каждой прямой Im t = с (с — постоянная) имеем Re5(f)~
л
~ — -7r-(Ret) (Re i-v ± °°); следовательно, интеграл вида B3),
взятый по прямой Im t = с, сходится абсолютно. Нетрудно по-
показать, что
Ф(Ь)= J emt)dt
Imt=c
при любом с. Конечно, кроме прямых Im t = с существуют и
другие контуры f, эквивалентные действительной оси; например,
в качестве у можно взять любую простую бесконечную кривую,
которая имеет своими асимптотами лучи argt — a, \a\<C-^, и
arg(— t) = р, |Р|< -х-¦ Однако перевальный контур содержится
среди прямых, параллельных действительной оси.
Заменим контур интегрирования в интеграле Ф(А,) прямой
lmt==Imt0, проходящей через точку перевала t0 = е<л/B<2""'>>.
На этой прямой лежит еще одна точка перевала, а именно, t =

§ 45. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 421
= —10. Покажем, что max Re S (t) на прямой Z: Jmt = lmt0 до-
достигается только в точках перевала t0, —t0. Имеем г = ^ + щ0,
rjo = Imfo на прямой I, так что Re(i?) = — rH = const. Точки
экстремума функции Re[(? +гп0J"] определяются из уравнения
О = -± Re [(I + Щ0Г] = 2п Re (& + Щ0Jп-\
следовательно,
Ц + ЩоУ^-гу B7)
в точке экстремума, где у — действительное число. Пусть у > 0;
тогда
Отсюда находим, что в точках экстремума
<1Пф 1 ^о"
L(sin(Pft)
так как elB"~1)<p'i = i. Поскольку тк — ,
max(sin(pft)~2™+1 достигается при к = 0. Этому значению А;
VI
отвечает точка экстремума | + trj0 = —г-^— егф° = t0.
51Пф0
Если г/ < 0, то этот случай сводится к случаю у > 0, так как
и точка —| + ir\o лежит на прямой I. Точно так же как и выше,
доказывается, что max Re S U) достигается также в точке — ta.
t<=i
Итак, мы установили, что max Re S (t) достигается только
в точках перевала t0, —to- Как и в примере 1, нетрудно показать,
что асимптотика Ф(А,) равна сумме вкладов от этих точек пере-
перевала, несмотря на то, что контур интегрирования бесконечен.
Имеем из B5), B6)
B8)
Интеграл Ф(А,) асимптотически равен сумме выражений вида
G); остается найти ветви корня У—1/5" (t) в этих формулах.

422 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
При малых \t-tol имеем
S(t)-S(to)~±S'(to)(t-to)>,
так что уравнение линии наибыстрейшего спуска 1а, которая про-
проходит через точку t0, имеет вид
что следует из B8). Следовательно, в формуле G) должно быть
1 =- 1 лъ*
так что вклад от точки t0 в интеграл Ф(К) равен
Аналогичные рассуждения можно провести для точки перевала
—ta, но проще воспользоваться тем обстоятельством, что функ-
функция F (х) принимает действительные значения при действитель-
действительных х. В самом деле, функция e-*2n'Bn)Sm tx — нечетная, и ин-
интеграл от нее, взятый по действительной оси, равен нулю. Сле-
Следовательно,
00
F(x)= J e-*2n/B«) cos txdt
при действительных х.
Главный член асимптотики имеет вид Ф(Х,)« V(to)+ V(—10),
я так как значения Ф(Х) действительны, то V(—tc) ~V(t0). Сле-
Следовательно, вклад от точки перевала —10 в асимптотику инте-
интеграла Ф(Х) равен
Окончательно получаем, что при х-*- +°°
F(x) = Лв-<ис2п/Bя-1)г-(п-1)/Bп-1) rcosfba;« J
"-O)j. B9)
Здесь А^Ъу^-j, а = (l --^-J sin Фо, Ъ = [l - -^j созф0,
Сро~2Bи — 1)'
Таким образом, интеграл B1) экспоненциально убывает при
х -*¦ ±°о и имеет бесконечно много действительных нулей. Q

§ 45. МЕТОД ПЕРЕВАЛА 423
6. Метод перевала и метод стационарной фазы. В § 44 рас-
рассматривались интегралы вида
по конечному отрезку [а, Ь], на котором функция S (х) прини-
принимает только действительные значения. Был вычислен главный
член асимптотики в случае, когда фаза S (х) имеет единствен-
единственную стационарную точку х0, а< хо< Ъ и S" (х0)^ 0.
Пусть, кроме того, функции f(x), S(x) являются значениями
функций f(z), S(z), которые регулярны в окрестности отрезка
[а, Ь]. Тогда можно показать, что справедливо асимптотическое
разложение
() ^ (Щ 2 ()
тг=о п=о
-n-i
+ eiXS(x») % спК \ А.-»-+оо. C0)
Здесь коэффициенты а„, Ъп определяются по формуле E) § 44.
Иными словами, асимптотика интеграла F(ik) при А, -»- +°° равна
сумме вкладов от точки перевала и от концов а, Ъ контура ин-
интегрирования.
Чтобы доказать это, достаточно продеформировать контур
интегрирования — отрезок [а, Щ — в контур f такой, что
max Re IS B)) достигается только в точках z== a, z = Ъ и 2 =
ifeV
= х0. Асимптотика интеграла по контуру f имеет вид C0)
в силу следствия 2 и теорем 1, 2.
Ограничимся случаем квадратичной фазы: S(x) = x2; общий
случай исследуется аналогично. Имеем Re(i22)<0 в первом и
третьем квадрантах. Заменим кон-
контур интегрирования контуром у,
изображенным на рис. 163. Тогда
Re(i22)<0 всюду на у, кроме
концов контура а, Ъ и точки пере-
перевала 2 = 0; этот контур удовлет- рис ^дз
воряет условиям следствия 2.
Таким образом, метод стационарной фазы является частным
случаем метода перевала, если подынтегральная функция ре-
регулярна.
Замечание 2. Формула C0) справедлива и в том случае,
когда функции f(x), S(x) бесконечно дифференцируемы на от-
отрезке [а, Ь] (см. [22]).

424
ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Пример 4. Вычислим асимптотику при х -»—°° функции
Эйри — Фока A5). Делая замену l/\x\t-*-1, получаем
Ai (*) =
= I e
dt,
I i3 \
где Х= \x\3/z, S(t) = i (-g tj. Точки перевала tit,
C1)
±l функ-
функции S(t) лежат на контуре интегрирования. Продеформируем
контур интегрирования так, чтобы max Re S (t) достигался толь-
только в точках перевала tu 2.
На действительной оси в комплексной плоскости t имеем
ReS(t) — O. Выясним, в каких областях функция Re/S(f) отри-
отрицательна. Полагая t == | + ir\, получаем, что уравнение Re S (t) =
= 0 имеет вид ц 112—|—11=0. Поэтому кривая ReiS(f) = O
состоит из действительной оси (rj = 0) и гиперболы |2 —g— 1=0.
Эта кривая изображена на рис. 164 (области, в которых
Re5(i)<0, заштрихованы). Заменим контур интегрирования
контуром f (рис. 164). Так как t ~ \t\ ein"* на контуре i при
Re?-> +оо, то J\eS(t) ~ g— 1413 и функция |evs<<)| экспонен-
экспоненциально убывает при Re t ->- +.<», t^y; то же самое верно и
Рис. 164
при Re t -*¦ — оо, ?е*у. Можно показать, что интеграл C1) равен
интегралу по контуру у:
На контуре у имеем Re5(f)<0 всюду, кроме точек перевала
it, 2, в которых Re>Sr(f) = O. В силу следствия 2 асимптотика ин-
интеграла F(X) равна сумме вкладов от точек перевала ttii.

§ 46. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛАПЛАСА 425
2
Имеем S (tlt2) = T -g- i, S" (tlt 2) = ±2i, и окончательно получаем
x-+— oo. ?
§ 46. Метод контурного интегрирования Лапласа
1. Контурное преобразование Лапласа. Рассмотрим линейное
однородное дифференциальное уравнение второго порядка с ли-
линейными коэффициентами
l)w = O, A)
где uj, bh с, — постоянные. Будем искать решение этого уравне-
уравнения в виде
u;(z) = JeC*i7(?)d?f B)
с
где i>(?) — неизвестная функция, С — некоторый контур инте-
интегрирования, не зависящий от z. Проведем прежде всего фор-
формальные выкладки. Дифференцируя под знаком интеграла, по-
получаем
w' (z) = f ?%v @ dl, w" (z) = f el%4 (S) d%.
с с
Интегрируя по частям, получаем
- f eW g) dt,,
е
zw (z) = \v (S) de& = v
с
f
ее
где внеинтегральная подстановка берется на концах контура С.
Аналогично доказывается, что
' (z) = tv Ц) е1г \с - J e& (Si;
с
" (z) = ^2i; (S) J> \c - f
с
Пусть контур С и функция i?(S) выбраны так, что равна нулю
внеинтегральная подстановка:
(a0t,2+b0t + co)v(t)et*\c = Q. C)
Тогда уравнение A) примет вид
J eb [(atf + Ъ? + cjv® - aQ {%Ъ (Q)'-b0 (&; (g))' _ coi;' (?)] d$ = 0.

426 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Выберем функцию у(?) так, чтобы она удовлетворяла урав-
уравнению
± (aj+v (Б) + Ъо& (Б) + cov @) - (atf + b1t + c1)v (Q = 0, D)
тогда функция w(z) будет решением уравнения A).
Уравнение D) — линейное однородное уравнение первого по-
порядка, и оно легко интегрируется. Имеем из D)
Разложим правую часть этого уравнения на простейшие
дроби. Рассмотрим два варианта.
1. а„?=0. Будем считать, что ао = 1, ai = 0; к этому виду
уравнение A) легко приводится с помощью линейной замены
переменной. Пусть уравнение
?2+ЬоЕ + со = О E)
имеет два различных корня ?i» ?2, тогда
+ (>
Р —
? _
Интегрируя уравнение F), находим
так что
w{z)=a\{1- ЬГ1 (Б - Б.)9^. G)
с
Здесь Л — произвольная постоянная, и должно выполняться
условие
(t-?.)»<?-Ь)*ес'1с = 0. (8)
2. а0 = 0. Будем считать, что а, = 1 и Ьо ^ 0. Тогда
V

§ 46. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛАПЛАСА 427
\ai4bi I с у
Интегрируя, получаем v (с,) = се I Z, + -г2- I , так что
\ о /
J
с
Если же ao = fco = O, al = l, то аналогично находим, что
w (z) = с JexpfV1 (
где с — произвольная постоянная.
Чтобы полностью решить уравнение A), необходимо указать
выбор контура С. Два линейно независимых решения уравнения
A) строятся с помощью выбора двух разных контуров С. Пред-
Предварительно мы рассмотрим одно из простейших уравнении
вида A).
2. Уравнение Эйри. Так называется уравнение
w"-zw = 0. (И)
Его решение, в силу A0), имеет вид u?(z)=JeSz~^ dt,, еслиобра-
с
щается в нуль внеинтегральная подстановка
е^-?3/з|с = 0. A2)
Очевидно, что в качестве С необходимо взять незамкнутый кон-
контур интегрирования, так как в противном случае u;(z) = 0. Да-
Далее, контур С должен быть бесконечным, иначе подстановка A2)
не будет равна нулю при всех z. Исследуем поведение функции
— Г3/
е fe Зпри ?-»-оо. Эта функция стремится к нулю вдоль любого
луча с началом в точке ? = 0, лежащего в одном из секторов
So: |arg?l <п/6, 5,: л/2 < arg ? < 5я/6,
5_,: -5я/6 < arg ? < -я/2.
Пусть 1а, 1±1 — лучи arg Z, = 0, arg t, = ±2я/3. Рассмотрим кон-
контуры Ci = li~ /_ь C2 = l0 — h, C3 = l-i — la. Любой из них удов-
удовлетворяет условию A2), и мы получаем три решения уравне-
уравнения A1):
i3
\lz~^dt,, j = 1,2,3. A3)
Эти решения, конечно, не являются линейно независимыми; из
построения контуров Cj следует, что
wl(z)+w2(z)+w3(z)^0. A4).

428
ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Любые же два из этих решений, как будет показано ниже, ли-
линейно независимы.
Наибольший интерес для многих приложений представляет
решение Wi (z). Преобразуем его к стандартному виду. С по-
помощью леммы Жордана можно показать, что контур С, можно
при Im z > 0 продеформировать в мнимую ось, так что
~i J
A5)
Решение Wi(z) отличается от функции Эйри Ai(z) (§ 41) лишь
постоянным множителем.
Решения w2,$(z) можно выразить через Wi(z). Так как кон-
контуры С2(С3) получаются из контура Ct поворотом на угол
-2я/3(+2я/3) и так как (?е±;2л/3K = ?3, то
м>2 (z) = e-2i^wt (e~2ni/3z), ws (z) = егы/3ш1 (eZnt/3z).
3. Уравнение A) в случае «o^O. Рассмотрим уравнение
cl)w=-0. A6)
Пусть корни ?i, ?2 уравнения E) различны, тогда интеграл G)
есть решение уравнения A6), если выполнено условие (8). Вы-
Выберем контур С так, чтобы это условие выполнялось. Точки %,и
?г являются точками ветвления подынтегральной функции, если
р, q — нецелые. Фиксируем точку ?0, отлич-
отличную от точек ?i, ?2, и совершим следующие
обходы: 1) вокруг ?4 в положительном па-
правлении; 2) вокруг ?2 в положитель-
положительном направлении; 3) вокруг ?i в отрица-
отрицательном направлении; 4) вокруг ?2 в отри-
отрицательном направлении. Тогда получим
Со замкнутый контур С (рис. 165). После пер-
первого обхода исходное значение функции
E — ?i)p~1E-52)*-i в точке' 5о умножится
на е2я1р, после второго — на е2я1*, после
третьего — на e~2nip, после четвертого — на
е~гп<ч, так что эта функция однозначна на
контуре С.
Напомним, что одно из решений уравне-
уравнения A6) регулярно в точке z = 0 (| 27),
его мы и построили. Второе линейно неза-
независимое решение придется строить с по-
помощью другого выбора контура С. Проведем разрезы lu h вдоль
лучей, идущих из точек ?и %г налево параллельно вещественной
оси (рис. 166). Пусть для простоты Imfci^Imgs. Выберем в ка-
качестве Си С2 контуры, которые обходят разрезы в положитель-
положительном направлении (рис. 166). По теореме о монодромии в плос-
Рис. 165

§ 46. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛАПЛАСА 429
кости с разрезами 1и 12 функция E - ?0р~'(? - U)"'1 распа-
распадается на регулярные ветви; фиксируем одну из этих ветвей.
Положим
Щ (*) = 1 E - У (Е - ^ГleU dt, / = 1, 2. A7)
Покажем, что при Re z > 0 эти интегралы сходятся, и условие
(8) выполняется. На контуре С\ имеем ? = ?i — t, 0<?<°°,
так что | е& | = | e~lZ| e~mez, и потому |еСг| экспоненциально убы-
убывает при ?->+оо. Функция 1(? — ?0р~'(? - ^г)9! может при
t ->- +оо расти лишь степенным образом, ci
откуда следует сходимость интеграла -j,,/,,j,,,,w/j,,,,,
для u>i(z) при Re2>0. Нетрудно *. .
показать, что этот интеграл сходится
равномерно в любой полуплоскости ви- ^
да Re гЗг а >0. Следовательно (§ 16, .,„„„„„„„„»„.
следствие 1), функция Wi(z) (и соот- *
ветственно wz(z)) регулярна в полу- рпс ^gg
плоскости Re z > 0.
В § 27 показано, что всякое решение уравнения A6) есть
аналитическая функция в комплексной плоскости z с выколоты-
выколотыми точками %,, ?2. Мы же доказали аналитичность функций
wui(z) только в правой полуплоскости. Поворачивая контур ин-
интегрирования С2 так же, как и в § 16 (теорема 6), можно пока-
показать, что решение wx(z) (w2(z)) можно аналитически продол-
продолжить на плоскость с разрезом по лучу, вершина которого нахо-
находится в точке ?1(^2) и который проходит через точку ?2(?i).
4. Асимптотика решений. Ограничимся случаем, когда пока-
показатели р, q — действительные и нецелые. Ветви функций (? —
— ti)p~\ (? —^г)9"' выберем так, чтобы они были положительны
при 5 — ?i > 0, ? — ?г > 0, т. е. на продолжениях разрезов. По-
Покажем, что при действительных х ->• +°° справедливы асимпто-
асимптотические разложения
Y (x) ~ e^xx~P sin яр
Г A8)
и'2 (х) ~ еЪхх~4 sin щ 2 Ьпх~п.
Коэффициенты ап, Ъп имеют вид
a» = 2t(- if г (п + 9 (g1)
fc;
A9)
Ъп - 2i (- 1)- Г (» + g) (С, - С,I^-1 ^V-^
Выбор ветвей следующий: larg(?i — ?2) I <я в первой из формул
A9) и I arg (?2 — ti) I < л во второй.

430 гл- VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Для вычисления асимптотики решений воспользуемся лем-
леммой Ватсона (§ 43). Рассмотрим решение и?1(х). Сделаем в ин-
интеграле A7) замену переменной ? — t,i = t, тогда
 (t + Si - У9~Vf d*.
Контур интегрирования обходит разрез (—°°, 0) в положитель-
положительном направлении. Пусть р > 0, тогда контур интегрирования
можно продеформировать в контур, идущий по берегам разреза.
В силу выбора ветви имеем tp~l— ein(p~l)\t\p~i на верхнем и
tp~l = e~i7l{p~l)\t\p~1 на нижнем берегах разреза. Следовательно,
wx (х) = 2t
Асимптотика интеграла 1(х) при о; -»- +°о вычисляется с помощью
леммы Ватсона (здесь а = 1, $ = р, /@ = (?i ~ ?г —?)*"'), и мы
получаем A8), A9).
Пусть р < 0. Проинтегрируем по частям
(f)dip = --i- j" tp<?'(t)dt,
()
Если j? > —1, то асимптотику полученного интеграла можно
вычислить тем же методом, что и при р > 0. Если же р > —т,
где т>1 целое, то проинтегрируем по частям еще (т—1) раз,
тогда получим интеграл
w1(x)^e^x(-i)n , ,,, V , тг Г ip+m-u9(m>(f)di,
1V ' v ' Р(Р+ 1) ... (Р+ m— 1) J T w '
(о+)
асимптотика которого вычисляется тем же способом, что и при
/?>0. Остается показать, что формулы A8), A9) сохраняются
и при р < 0. Пусть р > 0; тогда также можно проинтегрировать
по частям т раз. Для полученного интеграла справедливо асимп-
асимптотическое разложение A8), так как он совпадает с исходным,
а асимптотическое разложение единственно. Следовательно, при
р<0 формулы A8), A9) сохраняются. Асимптотика решения
w2(z) вычисляется точно так же.
Замечание 1. Формулы A8), A9) справедливы не только
при х -*¦ +°о, но и при \z\ ->¦ оо, Re 2 > 0, равномерно по argz
в любом секторе вида largzl < я/2 — е, е > 0. Это следует из
леммы Ватсона.
Замечание 2. Асимптотические разложения A8) можно
дифференцировать почленно любое число раз.

§ 46. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛАПЛАСА 431
В качестве примера рассмотрим уравнение Бесселя
zzw" +zw' + (z2-n2)w = 0. B0)
Сделаем подстановку
w = znu, B1)
тогда для функции u{z) получим уравнение вида A)
zn
В этом случае ?i,2 = ±i, p = q = n+ 1/2, и мы получаем два ли-
линейно независимых решения уравнения Бесселя
U>x (Z) = Z
СГ , г B2>
„;a (Z) = Zn j (?2 + l)"-1^^.
Контуры Си С2 имеют вид, изображенный на рис. 166, где
Асимптотические формулы A8), A9) припимают вид
i2 «V 5Jl A + e^nni) 2 2X
X2 , )T(n +к + 1/2) (i/2z)\
w2 (z) ~ —-= e~ize~m ~ A + e2Iini) 2"~1/2 X
re —1/2
Эти асимптотические разложения пригодны при Ы->-«\
largzl «S л/2-е (е>0).
Метод контурного интегрирования Лапласа позволяет решить
обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с линей-
линейными коэффициентами любого порядка. Решение уравнения
ищется в виде B), и для неизвестной функции vE) получается
линейное однородное уравнение первого порядка, которое легко
интегрируется.
5. Разностные уравнения с линейными коэффициентами. Рас-
Рассмотрим однородное разностное уравнение второго порядка
Апуп+2 + Впуп+1 + Спуп = 0, п = 0, 1, 2, ... B3)

432 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
где А„, В„, Сп — заданные числа. Числа у0, у4 считаются задан-
заданными, так что из рекуррентных соотношений B3) можно после-
последовательно найти у», уз, ... Задача, которую мы рассматриваем,
состоит в отыскании явной формулы для общего члена уп после-
последовательности. Такие формулы известны, если Ап, Вп, Сп — по-
постоянные, т. е. не зависят от номера п [18]. Оказывается, что
явные формулы, хотя и не столь простые, можно получить и
в том случае, когда коэффициенты уравнения B3) линейные,
т. е. для уравнений вида
[во (га + 2) + а,] у,+1 + [ft, (i* + 1) + ftj yn+i + (соп + с,) уп = 0. B4)
Здесь <Zj, bh Cj — комплексные постоянные и (я0, а^Ф^, 0).
Простейший пример уравнения вида B4)— двучленное урав-
уравнение.
[а0 (п + 2) + аД уп+2 + (соп + с,) уп = 0. B5)
Положим yt = 0, у„ Ф 0, тогда все члены последовательности {уп}
с нечетными номерами обратятся в нуль y2m+i = 0, т = 0, 1, 2, ...
Bл — 2) с + с
Имеем из B5) yin = 2па °—1у2„_2, откуда находим
0 "т" 1
(- 1)" [Bи - 2) сп + Cl| fBB - 4) С„ + elT ... с%
Преобразуем знаменатель этой дроби. Имеем
Bпа0 + ах) ... Bа0 + ах) =
2ae / ч "
I 2ao/
Аналогично преобразуется числитель, и мы получаем
Эта формула получена в предположении, что а0 ^ 0, с0 ^ 0 и
а. с
что 5J-, 5^- + 1 не являются целыми отрицательными числами.
Положив у0 = 0, у^Ф0, получим последовательность, в которой
отличны от нуля только члены с нечетными номерами, и для
них можно получить формулу, аналогичную B6). Если {улп} —
последовательность B6), где yo = i, 2/1 = 0, а {yl\ —последо-
—последовательность, у которой г/о = 0, i/i = l, то всякое решение урав-

§ 46. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛАПЛАСА 433
нения B5) имеет вид [с^Уп + сгу%), где ch с2— произвольные по-
постоянные*
Используя формулу B6), можно найти асимптотику у2п при
п -*¦ оо. Воспользуемся формулой Стирлинга для гамма-функции
(§ 43)
/ а\ / а \n+ai/iao
Г и + 1 + ¦— I -~ у2пп е п °^2ао п + гг- , п —v оо.
\ 2%'
Последний сомножитель равен
п
и окончательно получаем
V\ оо.
Аналогично получаем
2С
и + ^i-) ~ Ушгп
так что
Отсюда следует, что yin растут (или убывают) при п -*¦ °° как
экспонента.
Вернемся к уравнению B4). Введем производящую функцию
w(z) последовательности {уп}:
Иг)=Ь/ B8)
Если ряд B8) Сходится в некотором круге \z\ < г, то уп мож-
можно выразить через функцию w(z):
Уп = Ы J z-»-i«;(Z)dz, B9)
|г|=р
где 0 < р < г.
28 ю. В. Сидоров и др.

434 ГЛ. VII. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ
Выведем дифференциальное уравнение для производящей
функции. Умножим п-в уравнение B4) на ъп и просуммируем.
Так как
во
2 (соп + <а) Упгп = cozw' (z) + с^{?),
n=o
оо
2 [\ (» + !) + Ь,] yn+izn = bow' (z) + btz-1 (w (z) - j/0),
oo
2 [ao(n+ 2) + a1}yn+izn =
= aoz~i (w' (z) — i/j) + a^-2 (iv (z) — y0 — yxz),
то для w(z) получаем обыкновенное линейное неоднородное
дифференциальное уравнение первого порядка
z (coz2 + boz + а0) w' + (c,z2 + 64z + a,) w =
= /(«)s («i + M)?o + («o + e1)ay1. C0)
Пусть zu Zi — корни уравнения
c0z2 + b0z + a0 = 0. C1)
Будем предполагать, что эти корни различны и отличны от нуля,
тогда
V? + V + tti __ r-\ р-1 g-l r = 1_^i C2)
Однородное уравнение C0) (при у0 = 0, у, — 0) имеет решение
C3)
и потому всякое решение уравнения C0) имеет вид
Здесь с — постоянная, которую необходимо выбирать так, чтобы
функция u> (z) была регулярна в точке z = 0 в соответствии
с B8). Ветви функций A — z/z1)p-1, (I — z/z2)q~l выбираем так,
чтобы при z = 0 они были равны единице.
Ограничимся случаем, когда отпошение ajao — действитель-
действительное число, и пусть
/ > 0, C5)
так что г < 1. Положим z0 = 0 в C4) и заметим, что
fit) =

§ 46. МЕТОД КОНТУРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ ЛАПЛАСА 43S
где g(t)—регулярная в точке t = 0 функция, g@) = a1a^ly0..
Поэтому
г
где h(z)—регулярная в точке z = 0 функция, А@)=уо- В этом:
можно убедиться, разложив функцию g(t) в ряд Тейлора по сте-
степеням t и проинтегрировав ряд почленно. Положим с = О в C4)
и окончательно получим
= f
d
где функция wo(z) определяется формулой C3). По доказанно-
доказанному выше функция w(z) регулярна в точке z = 0.
Таким образом, отыскание общего члена последовательности
уп приводится к двум квадратурам (см. B9), C6)). К тому же
интеграл C6), вообще говоря, не берется и выражается через
гипергеометрическую функцию. Разумеется, если необходимо
найти не очень большое число первых членов последовательности
{уп), то проще вычислять их непосредственно из рекуррентных
соотношений. Формулы B9), C6) интересны главным образом
тем, что они позволяют исследовать поведение уп при п -^ °°.
Конечными особыми точками функции w(z) могут быть
только точки z, и z2, и потому ряд B8) сходится в круге Ы <
< R, где R = min (IzJ, |z2l). Следовательно,
в силу формулы Коши — Адамара. Если же числа р, q нецелые,
то функция w(z) будет иметь особенности в точках гь z2, и в
этом случае
C7)
та-» оо
В частности, всегда справедлива оценка
» = 0, 1, 2, ...
при любом е таком, что 0 < е < R~l с некоторой постоянной
Qs, так что решения уравнения B4) не могут расти быстрее
членов некоторой геометрической прогрессии.
28*

Глава VIII
ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Одним из важных приложений теории функций комплексного
переменного является метод интегрирования линейных диффе-
дифференциальных уравнений, основанный на интегральном преобра-
преобразовании Лапласа (операционный метод). Преобразование Лап-
Лапласа ставит в соответствие функции действительного перемен-
переменного ее изображение — функцию комплексного переменного. При
этом операции над изображениями оказываются значительно бо-
более простыми, чем операции над исходными функциями (ориги-
(оригиналами) . Так, например, линейное обыкновенное дифференциаль-
дифференциальное уравнение для оригинала заменяется алгебраическим урав-
уравнением для его изображения. Решив полученное для изображе-
изображения уравнение, восстанавливают по изображению его оригинал,
который и является искомым решением заданного дифференци-
дифференциального уравнения.
§ 47. Основные свойства преобразования Лапласа
1. Преобразование Лапласа. Оригинал и изображение. Пусть
функция f(t) действительного переменного определена на полу-
полуоси t > 0. Ее преобразованием Лапласа называется функция
комплексного переменного
F(j>) = \e-ptf(t)dt. A)
о
Будем рассматривать комплекснозначные функции f(t), за-
заданные на всей действительной оси t и удовлетворяющие усло-
условиям:
1. На любом конечном интервале оси t функция f(t) непре-
непрерывна кроме, быть может, конечного числа точек разрыва перво-
первого рода.
2. /@ = 0 при t<0.
3. Существуют такие постоянные С и а, что для всех t > 0
выполняется неравенство
1/@1 <Ceat. B)

§ 47. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 437
Функцию f(t), удовлетворяющую условиям 1—3, будем на-
называть оригиналом, а ее преобразование Лапласа, т. е. функцию
F(р) — изображением функции f(t). Связь между изображением
и соответствующим оригиналом будем обозначать так:
или F{p)r*f(t).
Отметим, что, как правило, для функций, с помощью которых
описываются физические процессы, условия 1—3 выполняются.
Пример 1. Рассмотрим функцию Хевисайда
Функция F (р) = \e~pt dt определена в области Rep>0 и F(p)=
о
= — e~pt/p \™ = 1/р. Следовательно,
j-U C)
Заметим, что если для функции g(t), удовлетворяющей усло-
условиям 1 и 3, не выполняется условие 2, то для функции
условие 2 выполняется, рг, следовательно, эта функция является
оригиналом. Например, функции Q(t)t, Q{t)e*, 0 (t) cos t — ориги-
оригиналы.
Условимся в дальнейшем опускать множитель 9(?) в записи
функций, считая эти функции равными нулю при t < 0. Напри-
Например, вместо 0@, ®(t)t2, Q{t)sint будем писать соответственно
1, f2, sin t. Тогда формула C) примет вид
1 = -. D)
р v ;
Пример 2. Найдем изображение функции еи, где Я — ком-
комплексная постоянная. Интеграл
F(p) =
о
Сходится в области Rep>ReA, и F(p) = . . Следовательно,
**7±Х- П E)
Покажем, что преобразование Лапласа есть регулярная в не-
некоторой полуплоскости функция, если f(t)—оригинал. В § 16

438 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
было доказано (теорема 3), что если функция f(t) непрерывна
на полуоси t > О и удовлетворяет условию B), то функция
оо
F (р) = | e~ptf (t) dt регулярна в полуплоскости Re p > а. Это
о
утверждение остается в силе и в случае, когда функция f(t)
имеет конечное число точек разрыва первого рода. Назовем точ-
точную нижнюю грань тех значений а, при которых для функции
f(t) выполняется условие B), показателем роста функции /(?)•
Тогда справедлива следующая
Теорема. Для всякого оригинала f(t) его изображение
F(p) является регулярной функцией в полуплоскости Rep>a0»
где (Хо — показатель роста функции f(t).
Следствие. Если /(t) — оригинал, то
lim F (р) = 0. F)
Rep->+oo
Действительно, если а0 — показатель роста функции f(t) и
s = Rep, то |/@l<V(e°+8)l. где сх>0, е>0 и
Откуда следует соотношение F).
2. Свойства преобразования Лапласа.
1. Линейность. Если f(t)^F(p), g(t) =G(p), то для лю-
любых комплексных Яиц
Это свойство следует из определения преобразования Лапласа
и линейности интеграла.
Пример 3. Найдем изображения тригонометрических и ги-
гиперболических функций sin at, cos at, sh at, ch at. Из равенства
eiat _ e-iat
sincoi = y- и формулы E) следует, что
J /11\ со
так что
_^__.
еш 4- е~ш
Из равенства cos at = -? получаем
cos at = *р „. (8>

g 47. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 439
Аналогично, используя формулы sh to?= -«¦ (еш* — e~at) и ch cof =
— -j (е°" + е~ш(), находим
sh (о? = -=-^—j, ch coi = -=-2—г- П
р — со р — ш
2. Подобие. Если f(t)=-F(p), то для любого а>0
/(a*)
у v ; а
Действительно, полагая at = т, получаем
W
Дифференцирование оригинала. Если f(t),
/' (г), ..., /(п) @ — оригиналы и @ ^ F (р), то
- Рп~2Г @) - ... - pfn'2) @) - /п-х> @), (9)
где /(ft)@) = lim fh)(t), к = 0, 1, .. ., и- 1.
В самом деле, интегрируя по частям, получаем
' @ e~ptdt = [/ @ е-"] |0°° + Р J
Если Rep>ao, где а0 — показатель роста /(?), то подстановка
при t = оо дает нуль, и поэтому
A0)
Справедливость формулы (9) при любом п устанавливается с по-
помощью индукции.
Формула (9) упрощается, если /@) =/'@)= ... =/(п~1)@) =
= 0. В этом случае fn) (t) = p"F (р) и, в частности, /' (t) ф pF (p),
т. е. дифференцированию оригинала соответствует умножение
на р его изображения. Это одно из важнейших свойств преобра-
преобразования Лапласа.
* 4. Дифференцирование изображения. Если
F{p)*f{t), то
F{n)(p)^(-t)nf(t). (И)
Действительно, так как функция F(p) регулярна в полуплоскости
Rep>a0, где а0 — показатель роста функции /(?), то по

440 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
теореме 2 § 16
00 оо
F' {Р) = \тр («""/(')) dt = J e~pt (- */ (t)) dt.
о о
Следовательно, F' (р) ^ (— t) f(t). Общая формула A1) доказыва-
доказывается по индукции.
Пример 4. Найдем изображение функций tn, t"eu, tn sin <atT
tn cos <o?. Из формул D), E), G) и (8) следует, что
О О
• sin со* = . „ у 2Ч„, i cos cot ^ .* _ 2.9
Полагая в A2) Я = ioo, получаем
,п гф* га!
(р — ёш)п+1
откуда находим
(при р действительном). []
5. Интегрирование оригинала. Если /(t) =F(p), т»
t
j/(T)dT^^M. A3)
0
Действительно, если f{t) — оригинал, то легко проверить, что
функция g (t) = J / (т) dx также является оригиналом, причем
о
g'(t)=f{t), g@) = 0. Если g(t)^G(p), то по формуле A0) по-
получаем
т.е. F(p) = pG(p),
откуда следует формула A3).
6. Интегрирование изображения. Если /(t) =
= F(p) и если f(t)/t — оригинал, то

§ 47. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 441
В самом деле, пусть / (t)/t^O(p). Дифференцируя функцию
, регулярную в полуплоскости Re p > а, получаем
откуда
ОО
Ф (р) — Ф (оо) = j F (Q dt,, A5)
р
где путь интегрирования (р, °°) лежит в полуплоскости Rep>a.
Так как Ф(°°) = 0 в силу F), то из A5) следует формула A4).
Пример 5. Найдем изображение интегрального синуса
о
Используя формулы G) и A4), получаем
откуда в силу A3) находим
7. Запаздывание оригинала. Если f (t)=- F (р) и
= 0 при ^ < т, где т > 0, то
/(*_ г)-«-*"*». A6)
Действительно, полагая t — т = ?, получаем
оо оо
=J / а)
откуда следует формула A6).
Пример 6. Найдем изображение ступенчатой функции
\
\(п+ l)h, m<t<(n+1)т, п = 0, 1,2, ...,
где т > 0, h = const, /i > 0.
Заметив, что f(t)=>h[Q(t)+ 9 (i- т) + ... + Q(t- kx) + ...], где
i)—функция Хевисайда, по свойству запаздывания оригинала

442 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
получаем
оо
Пусть Re p>0, тогда |е~рт| <1 и ряд 2 e~ftpT сходится, а его
сумма равна 1/A — е~"*).
Следовательно, / (t) т^ —-; —^ или
р (i. e )
Пример 7. Найдем изображение периодической при ОО
функции f(t) с периодом Г>0. Рассмотрим функцию
Тогда
П. A7)
Если f(t) = F(p), <p(t) = Ф(р), то из равенства A7) в силу свой-
свойства запаздывания оригинала получаем
откуда
т
(" e~ptf (t) dt
F(P)=° 1_-Тр- A8>
Найдем по формуле A8) изображение периодической функции
/(?)= Isin^l с периодом Т = я. Имеем
я
—pt
Je p sin t dt = —5 (— р sin t — cos i
'+1
я
1
0 1 + p2 '
Следовательно,
8. Смещение изображения. Если /(t) = F(p), то для
любого комплексного %
ОО
В самом деле, euf (t) = J / (*) e~(v~Mtdt = F(p — X).

§ 47. ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА 443
Пример 8. Найдем изображение функций еи cos co? и
еи sin at.
, р „, sin at — ¦ , m
р2 + со" р2 + со
щения изображений
Так как cos at** , р „, sin at — ¦ , m —, то по правилу сме-
р2 + со" р2 + со2
9. Изображение свертки. Сверткой функций fug
называется функция, которая обозначается / * g и определяется
t
t
(f*g) (t) = j / (|) ?(*•—
равенством
о
Докажем, что при свертывании оригиналов их изображения
перемножаются, т. е. если f(t) = F(pO g(t)^-G(p), то
(f*g)(t)^F(p)G(p). A9)
Покажем сначала, что ср (?) = (/* g) (t) — оригинал. В самом
деле, функция ф(?) удовлетворяет условиям 1 и 2, так как j(t)
и g(t)— оригиналы. Пусть ч = тах(а, [}), где a, JJ — показатели
роста функций /(г) и g(?). Тогда
1/@1
где О 0, е > 0, поэтому
Ф (t) | < С2 J
Фиксируя б > 0, найдем число С, > 0 такое, что С2? < С4е** при
/ ^ 0. Следовательно, [ф(?) I ^ С1е(т+**+*)', т.е. ф@— оригинал.
Заметим, что показатель роста функции ф@ не превосходит
наибольшего из показателей роста функций дО и g(t), так как
в и б можно взять сколь угодно малыми.
Найдем изображение Ф{р) функции ф(?)- По определению
изображения
)
/
Так как двойной интеграл абсолютно сходится при Re p > -у, то,
меняя порядок интегрирования, получаем

444 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полагая t — | = т во внутреннем интеграле, имеем
оо оо
Ф (Р) = J е~р|/ Ш й\ \ e~pxg (т) dx = F (р) G (р).
0 о
Формула A9) доказана.
В заключение приведем таблицу оригиналов и изображений,
часто встречающихся в приложениях.
Оригинал Изображение
1 —
COS (Of
Sin (Of
eu cos (Oi
eu sin (Of
f sin (Of
t cos (of
ch (Of
sh (Of
§ 48. Восстановление оригинала по изображению
1. Формула обращения преобразования Лапласа.
Теорема 1. Пусть f(t) — оригинал, a F(p) — его изображе-
изображение. Если функция f(t) непрерывна в точке t и имеет в этой
точке конечные односторонние производные, то
Ь+кю
1
1
р~
п\
(р — К
р
Р2 +
@
р —
(Р— ЯJ
@
1
А,
)П + 1
со2
+ @2
(р — х)а + (о'
2ир
Р2-
Р
Р2-
ю
(О2
со2J
со2

§ 48. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 445
Интеграл A) берется вдоль любой прямой Rep = b>a0, где
а„ — показатель роста функции /(?), и понимается в смысле
главного значения.
Доказательство. Рассмотрим функцию g(t) — e~bif(t),
где Ь>и0. Функция F(b + iu) является преобразованием Фурье
функции g(t), так как
оо оо
F (b + iu) = j' f(t) e~(b+iu)tdt = j g(t) e'iutdt.
0 — <x>
В силу условий теоремы 1 функция g(t) абсолютно интегри-
интегрируема на всей прямой, непрерывна в точке t и имеет в этой точ-
точке конечные односторонние производные. По теореме об обра-
обращении преобразования Фурье [9]
где интеграл понимается в смысле главного значения. Следо-
Следовательно,
j F(p)eptdp.
Формула A) доказана. Ее называют формулой обращения пре-
преобразования Лапласа или формулой Меллина.
Следствие. Оригинал }(t) однозначно определяется по его
изображению F(р) во всех точках, где функция f(t) дифферен-
дифференцируема.
2. Условия существования оригинала.
Теорема 2. Пусть функция F(р) регулярна в полуплоско-
полуплоскости Re/?>a и удовлетворяет условиям:
со
1. Интеграл J | F (а -\- io) | do сходится при любом а > а;
—оо
2. М (R) = max \F(p)\-+0 при R -> °о( где TR — дуга окруж-
ности: |р|=/?, Rep> a>a.
Тогда F(p) — изображение функции
a+iao
/(O = aSi j ePtp(P)dP> B)
a—ioo
где а > а, интеграл понимается в смысле главного значения.
Доказательство. Покажем сначала, что интеграл B) не
зависит от выбора а(а>а). В самом деле, интеграл от функции
eptF(p) по границе прямоугольника с вершинами в точках a±ibr

446 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
¦ау ± ib (a>a, at>a, Ь>0) равен нулю по интегральной теоре-
теореме Коши. Интегралы по горизонтальным сторонам этого прямо-
прямоугольника стремятся к нулю при Ъ -*¦ °° в силу условия 2. Сле-
Следовательно,
a+ib a!+ib
lim f eptF(p) dp = lim J eptF(p)dp,
b->°°a-ib b-*ooa^_ib
т. е. интеграл B) не зависит от а и является функцией одной
переменной t.
Докажем, что интеграл B) является оригиналом заданной
функции F{p), т. е. удовлетворяет условиям 1—3 § 47.
Этот интеграл сходится в силу условия 1 и имеет место не-
неравенство
оо
j \F(a + io)Ida = Ceut- C)
Из C) следует равномерная сходимость интеграла B) по пара-
параметру t на любом конечном промежутке [О, Т] и непрерывность
функции /(?) при {^0.
Покажем, что /(?) = 0 при t < 0. Рассмотрим замкнутый кон-
контур Yh, состоящий из отрезка [а —Ш, а + Ш] и дуги окружности
Гк: \p\=R, Rep>a. По интегральной теореме Коши интеграл
от функции eF'F(p) по контуру *(я равен нулю, а интеграл по
Гя стремится к нулю при R ->• °° (i < 0) в силу леммы Жордана
((§ 29). Поэтому
a+iR a+ioo
/(t)=lim J epiF(p)dp= J eptF(p)dp = 0, t<0.
R->°°a-iR o-ioo
Покажем, что для любого Jp0(ReJp0>a) изображение функции
j(t) равно F(p0). Имеем
оо оо a+ioo
2HijVP'>' J eptF(p)dpdt. D)
0 0 a—ioo
Так как |^(p)e(P~Po)i| = |F(a + ia)|e~(Rep°~a)', причем интегралы
ОО ОО
J | F (а + ia) da и j е ^ ер° "' dt сходятся, а внутренний интег-
— оо 0
рал в D) сходится равномерно, то можно изменить порядок ин-
интегрирования, т. е.
*оо a+ioo оо a+ioo
a—ioo

§ 48. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 447
Выберем R>0 так, чтобы точка р = р0 оказалась внутри
контура Yh- По теореме о вычетах
Заметим, что
LR
Поэтому, переходя к пределу при R -*¦ °° в равенстве
Т
a-iR
и используя E), получаем
Так как /H — произвольная точка области Rep>a, то f (t)-= F (р)~
Отметим, что формула B) совпадает с формулой обращения A).
Пример 1. Найдем с помощью формулы обращения ориги-
оригинал функции
Пусть D — плоскость р с разрезом вдоль отрицательной части
действительной оси. Функция F (р), где Ур — регулярная в D
ветвь корня, принимающая положительные значения при lmp =
= 0, Rep>0, удовлетворяет при Re p >0 условиям теоремы 2.
Рассмотрим контур Гн, состоящий из дуги окружности Св:
IрI — Д, Reр<а(а >0), хорды этой окружности lR: Rep = ar
—УЛ2 — a2«? Imp < IB2 — а2, окружности Ср: 1р|=р<Л и от-
отрезков, лежащих на берегах разреза у: Imp = 0, —i?<Rep<—p.
В силу интегральной теоремы Коши
\ F(p)eptdp = 0. F>
Пусть р = ге'", тогда на верхнем берегу разреза ф = я, р = —гг
Ур = И/г, а на нижнем берегу ср = — я, р = —г, Ур — —il/r. Из F)

448 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
имеем
1
0 = 2tJ eF О») *Р + Ш
Ср
Так как eptF(p)dp-*-0 при Д-voo, f>0 (лемма Жордана),
а+{Ун-а
=-т I eptF(p)dp-^-f(t) при Я->оо (формула обращения).
при р->0,
то переходя в равенстве G) к пределу при р -*¦ О, R-*- °°, по-
получим
^Ldr + i. (8)
Полагая в (8) Уг = х, получаем
^^^+l. (9)
Для вычисления интеграла (9) воспользуемся известным инте-
интегралом (§ 29, пример 17)
Обозначим
cos ах их = у у -г е 4i. A0)
о
¦ —tx sin ат ,
= \ е dx.
Тогда из A0) имеем
г/ / ч 1 ,/ л — a/4i

§ 48. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 449
откуда
о о
так как /@) = 0. Поэтому формулу (9) можно записать в виде
а/2 У*
/
где
erf (x) = Ф (х) =
— функция ошибок (интеграл вероятностей). Полагая 1 —
— erf (х) — Erf (x), окончательно получаем
3. Теоремы разложения. Оригинал /(?) по заданному отобра-
отображению F(p) легко найти, если функция F(p) регулярна в бес-
бесконечно удаленной точке. В этом случае функцию F (р) можно
разложить в ряд Лорана в окрестности точки р = °°:
Заметим, что С0 = 0, так как F(p)-+0 при Rep-^-oo (§ 47, F)).
Теорема 3. Пусть функция регулярна в точке р = °°,
F(°°) = 0 и пусть ее ряд Лорана в окрестности точки р = °° имеет
вид
Тогда оригиналом функции F(p) является функция
71=0
Доказательство. Выберем Ro столь большим, чтобы мно-
множество \p\>R0 не содержало особых точек функции F(p). Так
как р — оо — нуль функции F(p), то существуют М >0,
такие, что
\F(p) I ^ M/R при \р\ = j
29 ю. В. Сидоров и др.

450 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из неравенств Коши (§17) следует, что
|с„| sSMR"-1. A4)
Из A3) и A4) получаем
п\
71=0
В силу A5) ряд A3) сходится во всей плоскости, а его сумма
f(t)—целая функция. Ее называют целой функцией экспонен-
экспоненциального типа.
Умножим ряд A3) на e~pi и проинтегрируем почленно по t
от 0 до °°. Используя соотношения tn *±п\/рп+1 и линейность
преобразования Лапласа, получаем
n=o '
Теорему 3 называют первой теоремой разложения.
Замечание. Справедлива теорема, обратная теореме 3:
если f(t) = Q(t)g(t) — оригинал, причем g(t) — целая функция
экспоненциального типа, то ее изображение F(p) есть функция,
регулярная в бесконечно удаленной точке.
Пример 2. Найдем оригинал f(t) для изображения
P
где п — натуральное число.
oo
По теореме 3 f(t) = z-i ,T, Используя формулу для
^^^ /с! {it ~\~ nj\
я==0
бесселевой функции tn/'iJnB]/rt) = 2 L (ra_i &)"]"' п0ЛУчаем
-1/р. A6)
(/)
В частности,
J0BVt)^±e-^. ? A7)
Теорема 4. Пусть мероморфная функция F(p) регулярна
в полуплоскости Re/)>a it удовлетворяет условиям:
1. Существует система окружностей
С„: \р\ = Д„, Д4 < Л2 < ..., Д„ -*- о» (и -»¦ ~)
такал, что max\F(p)\-*-0 (w->oo);

§ 48. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 451
оо
2. При любом а>а интеграл J \F(a + io)\da сходится. Тог-
—00
да F(p)— изображение, оригиналом для которого служит функция
= 2 res [F(p)evt], A8)
()
где сумма берется по всем полюсам функции F(p).
Доказательство. Функция F(р) удовлетворяет условиям
теоремы 2 и, в силу этой теоремы, F (р) — изображение функции
а+гчо
= 2Й< I eptF(p)dp. A9)
Пусть Г„ — дуга окружности Сп, расположенная слева от
прямой Re р = a, a±ibn — точки пересечения Сп с этой прямой,
fn — замкнутый контур, состоящий из отрезка [a — ibn; a + ibn]
я дуги Гп.
Так как интеграл A9) понимается в смысле главного значе-
значения и Ъп ->- °° при п -»- оо7 то
a+ibn
f(t) = \im± Г evtF{p)dp. B0)
а—гЪп
При i > 0 по лемме Жордана lira evtF (p) dp = 0. Поэтому
формулу B0) можно записать в виде
B1)
Уп
Применяя к интегралу B1) теорему о вычетах, получаем
формулу A8). Теорему 4 называют второй теоремой разложения.
Следствие. Если F(p) = An(p)/Bm(p), где А„, Вт — мно-
многочлены степени пит соответственно, не имеющие общих ну-
нулей, и если п<тп, то
1«Г} U B2)
2 7S«T ТЧ=
fe=l^ ^ '¦)• dp R
где ри ..., Pi — различные нули многочлена Bm(p), mk —крат-
—кратность нуля pk.
Формула B2) получается из A8), если воспользоваться пра-
правилом вычисления вычета в полюсе кратности mk (§ 28). В част-
частности, если все полюсы функции F(p) простые, то формула B2)
29*

452 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
принимает вид
"*" " V' -eVhi. B2')
Пример 3. Найдем оригинал f(t) по его изображению
Так как функция F(р) = -—__ <\ id-l-2) имеет простые полюсы
Pi = 1, р2 = —2, то по формуле B2') находим
+ f P + 8 ept)
Следовательно, f(t)=3e* — 2e~2(. Этот же результат можно по-
получить, разложив F(p) на элементарные дроби f (р) = __ v —
Ро и используя формулу г- = е^*. Г)
Р -~г~ 6 р ~— Л —
Пример 4. Найдем оригинал f(t), если его изображение
Функция F (р) = -t о имеет полюсы второго порядка
(Pi) (P+i)
(P-i) (P+i)
ф
() (+)
Pi = i, P2 = — f. Применив формулу A8) и правило вычисления
вычета в кратном полюсе (§ 28), получаем
p=i l(p — i) Jp=-{
1 3
Отсюда находим / (t) = -^ t cos t -f- ysin t. Этот же результат сле-
следует из равенства
1+2/ 1 Р2 — 1 ,3 1
+ -*¦
A + /J 2(/ + 1J 2 /+1
И формул т"з Га ^ * C0S ^' 2 ^ Й1П ^' LJ
Пример 5. Найдем оригинал f(t) по его изображению
Функция ^(i?) имеет полюсы третьего порядка Pi = i; P2 = —i.
По формуле A8) в силу правила вычисления вычета в кратном

§ 48. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 453
полюсе получаем /(«) = у [^q-prj^ + т[^Г7Р]р=_4' 0ТКуДа
находим
-|sm*--|*cos*-J-*2sinf. Q
4. Изображение некоторых элементарных и специальных
функций.
1. Степенная функция. Рассмотрим функцию f(t) = tB.
Если — 1 < {$ < 0, то /@)=°°, и поэтому функция /(<) не удов-
удовлетворяет условиям, наложенным на оригиналы в § 47. Однако
при ?} > — 1 и Re jo > 0 интеграл
о
^ B3)
сходится и представляет функцию, регулярную в области Re p >
> 0. Вычислим этот интеграл.
Пусть р действительно и положительно. Полагая в B3) pt =
= т, получаем
Следовательно,
Т* Id I Л\
B4)
Продолжая аналитически функцию F (р) с полуоси @, +°°) в
область Re р > 0, получаем, что формула B4) верна при Re p >
> 0, так что
B5)
Отметим важный частный случай {$ = —1/2 формулы B5).
Так как ГA/2)= Уэх7 то
1/ /яг = 1/ /р. B6)
2. Импульсные функции. Рассмотрим функцию
D, 0<?<Л,
а*(9= * B7)
I 0, *<0 /
Эту функцию при малых h можно физически истолковать
как силу постоянной величины 1/h, действующую на малом

454 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
промежутке 0 < t < h с импульсом, равным единице:
h
J
B8)
Введем условную функцию, которую будем считать пределом при
Л-*-0 семейства функций dh(t). Обозначим эту функцию d(t)
и назовем импульсной функцией нулевого порядка или 8-функ-
цией Дирака.
В силу B7) и B8) эта функция должна удовлетворять ус-
условиям
которые для обычных функций не могут одновременно выпол-
выполняться. Тем не менее 6-функция используется как условное со-
сокращенное обозначение для предельного физического процесса,
в котором рассматривается бесконечно большая величина (на-
(например сила), действующая в бесконечно малый промежуток
времени с суммарным эффектом, равным единице.
Заметим, что
h(t) = ±[Q(t)-Q(t-h)], B9)
где 0(?)—функция Хевисайда. Условимся считать, что изобра-
изображение 6-функции является пределом при h-*-Q изображения
функции dh(t). Так как Sh (t) e (l — e~ph)/ph, то
6(*)i*l. C0)
Отметим еще, что в силу B9) функцию d(t) можно формально
рассматривать как производную от. функции Q(t), т. е.
е'(«). C1)
Поэтому формулу C0) можно получить из формулы 6 (t) = 1/р
по правилу дифференцирования оригинала.
Иэ C0) по свойству запаздывания оригинала находим
S (t — х) * е~рх, х > 0.
Аналогично вводятся импульсные функции 6(п'(?) для тг5=2 и
получаются формулы
6{n)(t) = pn. C2)

§ 48. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛА ПО ИЗОБРАЖЕНИЮ 455
Обоснование формул C2) можно дать на основе теории обобщен-
обобщенных функций [2].
3. Бесселевы функции. Функция
1 ^~1/2 У ( -П
регулярна в бесконечности и F(°°) = 0. По первой теореме раз-
разложения
Таким образом, доказана формула
/„(*),*¦ 1 C3)
V / +1
Заменяя в формуле C3) ? на i$t, в силу свойства подобия по-
л
лучаем /0 (ф^) = , -, откуда по правилу смещения изобра-
У*Р2
жения находим
е~а% №) = \ C4)
Формулу C4) можно записать так:
К (J» + «) - Р
где h (t) — бесселева функция от чисто мнимого аргумента.
Используя формулу C3), докажем методом индукции, что
Л(Ч,.02Ь? да
У р +i
При га = О формула C5) совпадает с формулой C3). Так как
Ji(t) = -J'o(th /o@) = l, C6)
то по правилу дифференцирования оригинала из C6) и C3) на-
находим Jx (t) ?*( Yрг + 1— p)/Vp2 + 1, т. е. формула C5) верна
при п = 1. Пусть эта формула справедлива для всех номеров,
меньших п (п !> 2). :
Используя формулу /п (t) = /«-г @ — 2Jn~i (t) и соотношение
Л*-1@) = 0, находим
Окончательно получаем /п (*)**— Р ~ Р '

456 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. Функции, связанные с интегралом вероят-
вероятностей. Рассмотрим функции
t
У я
Эти функции являются оригиналами, причем
* C7)
Пусть f(t)^F(p). Тогда из C7), используя формулу /i
¦?* 1/ у р и правило дифференцирования оригинала, получаем
C8)
pF (p) = F(p) + -±=, откуда F(p)= J—^, т. е.
Ур (p-i)Vp
Из C8) по правилу смещения изображения находим
C9)
Рассмотрим функцию
g{t)=*e* Erf (V7) = e* - е* erf A/1). D0)
Из D0) и C9) следует, что
Следовательно, е* Erf( Yt) ¦=> —г=, откуда получаем
Р + У р
Далее, из равенства
~|/р 4- а 1
Р ~ -|/р_[.а
1 1
и формулы —= =¦ ; следует, что
~" ynt
р V«T J
или
П/" ' " ' г^?)> a>o. D2)

§ 49. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 457
§ 49. Применение преобразования Лапласа
к решению линейных уравнений
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Рассмотрим
линейное дифференциальное уравнение п-то порядка с постоян-
постоянными коэффициентами
Lx = *<"> (t)+ avz(n-" (t)+ ... + a^x'(t) + a7.x{t) = f(t), A)
Поставим задачу Коши: найти решение уравнения A), удо-
удовлетворяющее условиям
х@) = х0, х'@) = хь ..., г'"-1'@)-ж»-., B)
где ха, Xi, ..., жп-1 — заданные постоянные. Предполагая, что
/(?) —оригинал, будем искать решение x(t) задачи A) —B) та-
такое, что *@~0 при t<0. Пусть x(f) + X(p), f(t)*F(p).
По правилу дифференцирования оригинала и свойству линейно-
линейности, переходя к изображениям в уравнении A), в силу условий
B) получаем
рпХ{р) - рп~1Хъ - ... - рхп-г - xn-i +
+ а, (рп~1Х(р) - Рп-2х<> - ... - рхп-3 - ж„_2) + ...
... + а»-, (РХ(р)-х0)+ anX(p) = F(p)
или
A{p)X(p)-B{p) = F(p),
где А (р) = рп + uiPn~l + ... + an-iP + ап — характеристический
многочлен уравнения Lx = 0,
В (р) = *„ (р»-1 + а,/)" +... + ап-4) +
+ «i {Рп~г + а>Рп~а + • • • + «„_,) +•...
... + хп-2(р + а4)+ a;n-i.
Отсюда Z(p) = E(jo) + /r(p))M(p). Для нахождения искомого
решения x(t) задачи A) — B) нужно восстановить по изображе-
изображению Х(р) его оригинал x(t). Это можно сделать с помощью
формулы обращения. При практическом применении операцион-
операционного метода вместо формулы обращения обычно используются
таблицы оригиналов и их изображений. В частности, если /(?) —
квазимногочлен (линейная комбинация функций вида feM), то
>Х(р) — рациональная функция. Для нахождения оригинала эту
функцию часто бывает удобно представить в виде суммы эле-
элементарных дробей.
Для обоснования возможности применения операционного
метода к задаче A)^-B) достаточно убедиться в том, что x(t),
x'(t), ..., ж(п) (t) — оригиналы. Воспользуемся представлением
x(t) в виде x(t) = oc(t)+ xo(t), где x(t) — решение однородного

458 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
уравнения
Ьх = О C)
с заданными начальными условиями B), a xo(t)— решение урав-
уравнения A) с нулевыми начальными условиями. Заметим, что
х (t) есть линейная комбинация функций вида ?еи (г > О — цб-
лое), и поэтому все производные функции x{t)—оригиналы.
Функцию xo(t) можно представить в виде свертки
(*-E)#, D)
где z(t) — решение уравнения C), удовлетворяющее условиям
z@) = z'@)=... = z<"-2>@) = 0, z<--1)(O) = l. E)
Из формулы D) и условий E) следует, что
W(O), k = l,2,...,n. F)
Так как изображение функции z(t) есть функция Z(p)= i/A(p),
регулярная в бесконечности, и i(°°) = 0, то z(t)~ целая функ-
функция экспоненциального типа (§ 48, теорема 3) и в силу D) и
F) функции x<,(t), x'o(t), • • .,a;(on>(f)— оригиналы. Следовательно,
x(t), x'(t), ..., x(n>(t)— оригиналы.
Функцию z(t) часто называют функцией единичного точеч-
точечного источника для уравнения Lz = O, ft функцию e(f) =
= Q(t)z(t) — фундаментальным решением оператора L, т. е. ре-
решением уравнения
где б (t) — 6-функция Дирака.
Замечание. Если начальные условия B) задаются не при
t — О, а при t — tQ, то заменой x = t —10 задача A) —B) приво-
приводится к решению уравнения
с начальными условиями при т = 0.
Пример 1. Решим задачу Копта для уравнения
с начальными условиями ж@) = 2, ж'@) = 0. Пусть z(t) ^ Х(р),
тогда
x'(t)*pX(p)-x@)=pX(p)-2,
х" (f) - /X (р) - рх @) - х' @) - р*Х (р) - 2р.

§ 49. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 459
Переходя к изображениям в уравнении, получаем
р*Х (р) - 2р - 3 (рХ (р) - 2) + 2Х (р) = JL, X (р) = -^?-j,
откуда x(t) = 2 ch f. [J
Пример 2. Найдем решение уравнения
при начальных условиях ж@) = 0, ж'@) = — 2, ж"@) = 0. Пусть
*(*)»* ВД, тогда *'(*).*рХ(р), ж'" (i) = р3Х (р) + 2^.
Переходя к изображениям в уравнении, получаем (ps -f p)X
X ВД + 2р = —?-|, откуда X (р) = — * + 2^ . Следовательно,
(§ 48, пример 4)
21 3 1
Х(п)- 1 Р-1 ,
ж(<) = —i-icosf — |-sini. Q
Пример 3. Решим уравнение
при нулевых начальных условиях. Если x(t) -=* X (р), то
(^ + /+)(р) ^,
откуда Х(р) = а чз- Поэтому (§ 48, пример 5)
s(*) = -I-sini — ^-tcost— 4 t2siiU. П
о о о
Аналогично применяется операционный метод к решению си-
систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами.
Пример 4. Решим задачу Коши для системы уравнений
х" (t)+ агу{1)= 0, у" («)+ b2x(t) = 0,
где а>0, Ь>0 — постоянные, с начальными условиями х@) =
0 0'@ '
у() ,() у()
Пусть x(t)*=X(p), y(t) = Y(p), тогда
P2X(p)-l + a*Y(P) = 0,
Решая эту систему, находим
X (п\ =
~ а
— а2 а —6 1
26 р2_а6+ 2Й
—6 1 а +
2а /_а6+ 2fc

460 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
следовательно,
2. Интегральные уравнения Вольтерра. Рассмотрим линейное
интегральное уравнение Вольтерра второго рода с ядром К, за-
зависящим от разности аргументов, т. е. уравнение вида
E)q>(&)#, G)
где K{t), f(t) — заданные функции, <р(?) — искомая.
Пусть ф(г)=Ф(/>), f(t) = F(p), K(t) = G(p). Переходя в урав-
уравнении G) к изображениям и используя изображение свертки,
получаем O(p) — F(p)+G(p)F(p), откуда
Оригинал для Ф(р) есть искомое-решение уравнения G).
Пример 5. Решим интегральное уравнение
о
Переходя в уравнении к изображениям, получаем
откуда
Рассмотрим линейное интегральное уравнение Вольтерра пер-
первого рода с ядром К, зависящим только от разности аргументов,
т. е. уравнение вида
t
j?(*-E)q>(E) Я = /(<). (8)
о
где / — заданная, ф — искомая функция. Пусть f(t)^F (p),
K(t)=^G(p), ф(г) = Ф(р). Тогда из уравнения (8) получаем
Ф(р) = ?-рг. Оригинал для Ф(р) есть искомое решение урав-
уравнения (8).

§ 49. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 461
Пример 6. Решим интегральное уравнение
t
1 1
Переходя к изображениям, получаем _ .Ф (р) =-%, откуда Ф(р)=
?
3. Уравнения с частными производными. Рассмотрим задачу
о колебаниях струны 0 < х < I с закрепленными концами, пред-
предполагая, что начальные скорости точек струны и начальное от-
отклонение струны заданы. Эта задача [2] ставится так: найти
решение уравнения
^ = «2^ (9)
при нулевых краевых условиях
в|,_0 = в|_, = 0 A0)
и заданных начальных условиях
wlt-o = «o(a:). |г = М*)- (И)
Будем предполагать, что функции ио(х), Ui(x) являются до-
достаточно гладкими и удовлетворяют дополнительным условиям
в концах отрезка [0; Z], обеспечивающим существование достаточ-
достаточно гладкого решения задачи (9) — A1).
Пусть U(p, х) — изображение функции и (х, t). Тогда, считая
р параметром, получаем
l и И
о
аги
дх" dx2
В силу правила дифференцирования оригинала и условий A1)
находим
—г ?¦* pU (х, р) — ри0 (х) — их (х).
dt
Переходя в уравнении (9) к изображениям, получаем
а из условий A0) имеем
С/|'=0 = [/иг = 0. A3)

462
ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Решая задачу A2) —A3), находим изображение U(x, p), а затем
его оригинал и(х, t).
Пример 7. Решим задачу (9) —A1) при а = 1, 1 = 1,
щ (х) = sin лх, щ(х)=0.
В этом случае уравнение A2) примет вид
—2- — p2U = — р sin лх.
Ах
Решая это уравнение при условиях С/|х=о = ?Л*=1 = 0, получаем
i
р sin
, откуда и(х, t) = cosnf sin яж. LJ
и (х, р) = -s „
Пример 8. Решим уравнение
I ди
при нулевых начальных условиях и |t=0 = —
щих граничных условиях:
, Л ди
= 0 и следую-
= sin Ш.
2
Пусть u(x,t) =-U (х, р), тогда —§ ^ Р2—г* Переходя к изобра-
жениям в уравнении и учитывая начальные условия, получаем
2
—2 = p2U, откуда находим общее решение U (х, р) = Сх ch px +
. Так как sin со* = со/(ра + со2), то из граничных усло-
условий имеем
Следовательно,
CD
я=1 Р + Ш
77 (х р)-
р (р2 + в>) ch p
Функция U(х, р) имеет полюсы в точках ±i(o, ±Шк, где 4>h —
= lk—-)я; k = i, 2, ... В силу второй теоремы разложения
и (х, t) = res G (p) + res G (p) + 2 Г res G (p) + res
где ?„ = *©„, G(p)=U(x, p)ept.

§ 49. РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 463
Будем предполагать, что Iw 1=^@* (k = {, 2, ...), тогда все
полюсы функции G(p) являются простыми, причем
Р< sin хр\ г sin со хеш
i
Учитывая, что
iP=i<o(p2 + co%=io) 2COCOSCO «
. . i<Obt .
coe^sinsp \ _ , -.fc^ icoe я sin су:
res G (p) + res G (p) = 2 Re res G (p) =^ 8incuasinC0i,
p=i<0 ^ ' p=-t<0 p=t(D CD COS CD '
res G(P) = 2Re res G(„) = 2H 1
окончательно получаем
. ., sin соя sinco<
- ?
Рассмотрим применение операционного метода для решения
уравнения теплопроводности. Найдем распределение температу-
температуры в полубесконечном стержне 0 < х < °°, предполагая, что на-
начальная температура стержня равна нулю, а на его левом конце
поддерживается заданный температурный рентам.
Задача состоит в нахождении ограниченного при х ^ 0 реше-
решения и(х, t) уравнения
? = *•?, *>0, *>(), A4).
при условиях
| 0 |
A5)
Пусть fit) — оригинал и пусть и(х, t) = U (х, р). Тогда, учитывая
A5), имеем ~=-pU, —\ = —5. Переходя в уравнении A4)
о х dx
к изображениям, получим краевую задачу
^_4с/ = 0, A6)
dx a v '
1^(ж,РI<*, A7)
где F(p) = f(t). Решая задачу A6) —A7), находим
Искомое решение и (х, t) можно найти по его изображению

464 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
U(x, р) с помощью формулы обращения. Однако удобнее пред-
представить U (х, р) в виде
воспользоваться правилом изображения производной и свертки,
а также полученной в § 48 формулой
J Г „! ф (^) _ . j^
2ОЙТ
Имеем
t
U (р, х)~и (х, t) = ^f(x)-§TG (х, t - т) dx,
где ¦f~G(x,t — x) = —^т= (i — т)-3/2 е 4а2«-т)_ Следовательно,
"* 2а ул
§ 50. Колебания струны под действием мгновенных толчков
1. Полубесконечная струна. Малые свободные колебания од-
однородной струны описываются волновым уравнением
utt=a2uxx. A)
Здесь u(t, x)—отклонение струны от положения равновесия в
точке х в момент времени t, а > 0 — постоянная.
Пусть струна полу бесконечная @<х<°о); ее конец ж = 0
свободен и в начальный момент времени струна покоится, т. е.
данные Коши нулевые:
в|,_о-О, 11,1,-0 = 0. B)
В момент времени Т > 0 по концу х = 0 струны наносится мгно-
мгновенный удар, так что выполняется краевое условие
Г), C)
где б есть б-функция Дирака, V?=0 — постоянная.
Решим смешанную задачу A) —C) в области
. Перейдем к преобразованию Лапласа
D)

§ 50. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 465
Тогда для функции v получим обыкновенное дифференциальное
уравнение
2
%х—т-1> = 0, 0<ж<оо, E)
а
и краевое условие
У;|х=0 = уе-рг. F)
Поставим еще краевое условие на бесконечности:
v(p,x)-+0, Re/>->+°°. G)
ау -Ех-рТ
Тогда v(p, х) = е , и по формуле обращения на-
находим
с + гоо / х
С V ~
с + гоо
*v С 1
c—ioo
где с>0. Отсюда получаем (§ 48), что
или
u{t,x) = — aVQ\t — T — -^-\ (8)
где 0 — функция Хевисайда.
Таким образом, по струне после удара побежит плоская вол-
волна (прямоугольная ступенька высоты о IF!) со скоростью а.
Колебания струны при наличии трения описываются урав-
уравнением
utt = a2uxlc + aut, (9)
где а > 0, а>0 — постоянные. Начальные и граничные условия
снова возьмем в виде B), C). Для преобразования Лапласа
v(p, x) функции и получим уравнение
= 0 A0)
x
а
и краевые условия F), G). Отсюда находим
aV
У Р2 + ар
и по формуле обращения получаем
C + ioo р(|_Т)-|ЕУр!+вр
¦"¦•»—feX
30 ю. В. Сидоров и др.

466 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Функция 1/рг + ар имеет две точки ветвления: р = 0, р = —а.
Ее регулярная ветвь в правой полуплоскости Rep>0 выбрана
так, что Ур* + ар > 0 при действительных р > 0 с тем, чтобы
функция v(p, x) удовлетворяла условию G).
При р -*¦ оо показатель экспоненты в A1) равен
Подынтегральная функция в формуле A1) не имеет полюсов в
правой полуплоскости Rep>0, и по лемме Жордана u(t, #) = 0
при t — T — -f-<0.
При t — Т — ;>0 интеграл (И) не выражается через эле-
элементарные функции, и мы воспользуемся известной формулой
операционного исчисления [10]
c+ioo
c_i00
И Р —
где /0 — функция Бесселя мнимого аргумента. Интеграл A1)
приводится к такому виду с помощью замены р = р — а/2, так
что Ъ = а/2, х = х/а, и окончательно получаем
и (t, x) = - aVe->-T)I0 (-!- у (* _ Г)» - f? ) в (* - Г - -f).
A2)
При а = 0 эта формула переходит в (8). Решение A2) также
описывает волну, передний фронт которой — точка x = a(t — T) —
движется направо со скоростью а.
Фиксируем точку х > 0 и исследуем поведение u(t, x) при
t-*- +oo. Используя асимптотику
получаем из A2) u(t, х) ~— — (^-*"+°°), так что колеба-
у <xnt
ния в фиксированной точке со временем затухают в отличие от
(8). Это явление обусловлено наличием трения.
2. Конечная струна, колебания без трения. Пусть струна ко-
конечна @<x<Z), ее левый конец х = О свободен, а правый ко-
конец х = I закреплен, так что
k(O,Z) = O. A3)
Как и в п. 1, зададим нулевые данные Коши и условие, что при
t — T>0 происходит мгновенный удар. Тогда u(t, x) удовлетво-

§ 50. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 467
ряет уравнению A), данным Коши B) и краевым условиям
C), A3). Переходя к преобразованию Лапласа D), для функ-
функции v получаем уравнение E) и краевые условия
vLU^^VerPT, У|ж=/ = 0. A4)
Отсюда находим
и по формуле обращения получаем
c+ioo
IX X 1
где с>0. Вычислим зтот интеграл с помощью вычетов. Особые
точки подынтегральной функции совпадают с нулями функции
ch— (точка р = 0 — неособая). Следовательно, подынтегральная
функция имеет полюсы в точках р = рп, где
Все эти полюсы простые и располагаются на мнимой оси, причем
res (eptv (p, x)) = ¦
\ 1
_2iaV(— 1)"+1 i?T
где
Фп (ж) = sin [i (n + ±j (ж _ Z)]. A7)
Покажем, что
00
u(t, х) = — ^ res (ep'y(jo, x)) A8)
при f > Т + Z/a. Так как а — скорость распространения возмуще-
возмущений, то за такое время возмущение успеет достигнуть правого
конца и отразиться от него. Если же t < Т + l/а, то нетрудно
показать, что решение имеет вид (8).
Рассмотрим интеграл
30*

468 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
где Тя — прямоугольник с вершинами в точках с ± iyN, ±iyx — у к,
yN = naN/l. Интеграл JN равен сумме вычетов по полюсам подын-
подынтегральной функции, лежащим внутри контура IV Интеграл по
отрезку [c — iyN, c + iyN] при N -*¦ °° стремится^ u(t, х), и оста-
остается показать, что интеграл по контуру IV, состоящему из
остальных трех отрезков, стремится к нулю при N -*¦ °о. Имеем
ch 4 = 4- е-рг/аф (р), ф (р) = 1 + ««*«/«.
Покажем, что \q(p)\ ^А>0 при ;еГ№, где постоянная А не
зависит от N. На отрезке [—г/*г + iyN, с + й/^] имеем
так что 1ф(рI^*1. Такая же оценка имеет место на отрезке
-р
[—уц — iyN, c — iyN], а на оставшемся отрезке функция е° экспо-
экспоненциально убывает при N -*¦ °о. Поэтому подынтегральная функ-
функция из A5) равна
Первый сомножитель имеет порядок ОA/р) на контурах Тп при
/V-*-oo} а показатели экспонент строго положительны, так как
t^> Т + —, 0<a:<Z. По лемме Жор дана интеграл по контуру
TN стремится к нулю при N -*¦ °°.
Из (8), F) находим
? 2 (-о"^
И=— 00
Объединяя попарно слагаемые с номерами гс, — п — 1 (га = О, 1,
2, ...) и учитывая, что ф-п-1 (х) = — ф„(х), окончательно получаем
? ^[^ B0)
где
а>п = ^(п+4)- B1)
Каждое слагаемое в этой сумме — это собственное колебание
струны, у которой конец х = 0 свободен, а конец х = I закреплен.
Собственные частоты зтих колебаний равны <о„.
Как видно из B0), толчок возбуждает все собственные коле-
колебания струны. Их амплитуды убывают как 1/п с ростом часто-
частоты, но энергия Еп каждого из собственных колебаний примерно

§ 50. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 469
одинакова. Действительно, пусть р — плотность массы струны,
Т — натяжение, а? = Tip. Тогда энергия Еп собственного колеба-
колебания с номером п равна
i
¦ [pa2 cos2 (con (t— T)) + T sin2 (о„ (t — Т))]. B2)
Рассмотрим результат воздействия на струну серии из N пе-
периодических толчков. Пусть они имеют одинаковую величину и
совершаются в моменты времени Т, 2Т, ..., NT. Это означает,
что краевое условие C) заменяется условием
N
Очевидно, что при t > NT + I/a
N
uN (t, x)^ 2 u^t — im — 1) T, x),
где Mi (t, x) — решение, имеющее вид B0). Имеем (§ 1, при-
пример 6)
" sin (со^Г/2) sin (con (t - (N + 1)/2)Г)
т(со(/тГ)) =
Окончательно получаем
t,x) - —
' / /re
II хг к л\ \ ил
¦ B3)
Амплитуда n-го колебания Ап равна
4aF(-l)"sin(conJVr/2)
Л«— я B» + 1) sin (шпГ/2) #
Рассмотрим резонансный случай: период толчков Т совпадает
с одной из собственных частот, т. е. Т = 2л/ю„. Тогда из B4)
^ получаем
. _iaVN(-l)n
Л
так что \Ап\ принимает наибольшее возможное значение и не-
неограниченно возрастает с ростом N.

470 ГЛ. VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Особенно интересен случай, когда Т совпадает с периодом
первого собственного колебания, т. е.
Т = 2 л/со, = 41/а. B6)
В этом случае имеем
±^№) B7)
п=0
так что
uN(t, x) = Nut(t, х). B8)
Таким образом, колебание u4(t, х) после последующих
(N — 1)-го толчка с периодом вида B4) усиливается в N раз.
3. Конечная струна, колебания при наличии трения. В этом
случае функция u(t, x) удовлетворяет уравнению (9), а данные
Коши и краевые условия остаются теми же, что и в п. 2. Пере-
Переходя к преобразованию Лапласа, получаем для функции v урав-
уравнение A0) и краевые условия A4). Решив эту задачу, получим
v (р, х) = fir —[¦ B9)
Заметим, что v — однозначная функция р, так как функции
ch Vz, sh Vz/Vz—однозначные функции z (§22, примеры
18, 19). Особые точки функции v — корни уравнения
a
ch — Ур2 + оср) = 0, которые равны
^ = —J±^=, A^^V+D'-a*. C0)
Все они — простые полюсы и расположены на прямой Re p =
= —а/2, за исключением, быть может, конечного числа, так как
Дг > 0 при больших п. Если а > " при некотором
п, то корни Рп действительны и отрицательны.
Как и в предыдущем случае, интеграл u(t, x) равен сумме
вычетов по всем полюсам подынтегральной функции. При вы-
числении вычетов следует учесть, что выбор значения V/>2 + ар
безразличен — важно лишь, чтобы зто значение было одним и
тем же во всех содержащих его функциях. Вычисляя интеграл
00
= g|i J e*V (p, x) dp,

§ 50. КОЛЕБАНИЯ СТРУНЫ 471
получаем
и«,х)=Щг 2 (^-т>-^+
где ф„(ж)— те же, что и в A7). Преобразуем это выражение.
Имеем
- (i — 1) j.
Объединяя затем слагаемые с номерами п, — га — 1, находим
и (t, х) =
C1)
При а = 0 это выражение совпадает с B0). Из C1) следует,
что трение изменяет собственные частоты колебаний струны:
в данном случае
-T. C2)
Пусть а < па/1 для определенности, тогда VZ)n > 0 при всех п.
Решение u(t, х) = О\е ] при f-^+oo, т. е. экспоненциально
убывает, что обусловлено наличием трения. Рассмотрим резуль-
результат воздействия на струну N одинаковых толчков, которые со-
совершаются в моменты времени Т, 2Т, ..., NT. Суммируя эти
колебания, при t > NT + I/a получаем
, x) = -j- e 2d T7W— X
X sin (^^ (t-(N+ 1) T)J + e2 sin (-4~?(* - iV7-)j J X
X [ 1 - 2e~T cos (^2 7J + е-»' J . C3)
Пусть число толчков велико, т. е. N -*• <». Тогда величина
2 экспоненциально мала, и сумму C3) можно приближенно

472 Гл- VIII. ОПЕРАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
заменить выражением
идг (i, ж) « —т— е 7, —7—- фп (ж) X
I
X
1 - 2«
cos
Г ] + е
~аТ
где обозначено
= NT + т, т > If а.
, C4)
C5)
Рассмотрим случай, когда период толчков совпадает с пе-
периодом первого собственного колебания струны, т. е. Т = 2я/ю0 *=
= 4л/У/H. Тогда соотношение C4) примет вид
uN (t, х) «
4a2F ~^X~
е
i \
X
1-2* 2"cos
¦ C6)
В этом случае резонанс проявляется значительно слабее (ср.
A8)), поскольку при наличии трения собственные частоты On
не являются целыми кратными наименьшей частоты о»!.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций.— М.: Наука,
1984.
2. Владимиров В. С. Уравнения математической физики.— М.: Нау-
Наука, 1988.
3. Волковыский Л. И., Лунц Г. Л., Араманович И. Г. Сбор-
Сборник задач по теории функций комплексного переменного.— М.: Наука,
1975.
4. Голузин Г. М, Геометрическая теория функций комплексного пере-
переменного.—М.: Наука, 1966.
5. Гурвпц А., Курант Р. Теория функций.—М.: Наука, 1968.
6. Евграфов М. А. Аналитические функции,—М.: Наука, 1968.
7. Евграфов М. А. Асимптотические оценки и целые функции.—М.:
Наука, 1979.
8. Коппенфельс В., Штальман Ф. Практика конформных ото-
отображений.— М.: ИЛ, 1963.
9. Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.— М.: Высшая
школа, 1988.—Т. 1, 2.
10. Л а в р е н т ь е в М. А., Ш а б а т Б. В. Методы теории функций комп-
комплексного переменного,—М.: Наука, 1988.
11. Марку ше в ич А. И. Теория аналитических функций.— М.: Наука,
1967.— Т. 1; 1968.— Т. 2.
12. Моро Б. А.,Фешбах Б. Методы теоретической физики.—М.: ИЛ,
1958-Т. 1.
13. Никол ьски й С. М. Курс математического анализа.— М.: Наука,
1983 —Т. 1, 2.
14. Олвер Ф. Введение в асимптотические методы и специальные функ-
функции.—М.: Наука, 1978.
15. Привалов И. И. Введение в теорию функций комплексного пере-
переменного.— М.: Наука, 1984.
.16. Сборник задач по теории аналитических функций/Под редакцией Ев-
Евграфова М. А.— М.: Наука, 1972.
17. С в е ш н и к о в А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплекс-
комплексной переменной.— М.: Наука, 1979.
18. Смирнов В. И. Курс высшей математики.—М.: Наука, 1974.—Т. 3,
ч. 2,

474 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
19. Спрингер Дж. Введение в теорию римановых поверхностей.—М.:
ИЛ, 1960.
20. Титчмарш Е. Теория функций.— М.: Наука, 1980.
21. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа.—
М.: Наука, 1963-Т. 1, 2.
22. Федорюк М. В. Метод перевала.— М.: Наука, 1977.
23. Фукс Б. А., Шабат Б. В. Функции комплексного переменного и
некоторые их приложения.— М.: Физматгиз, 1959.
24. Ш а б а т Б. В. Введение в комплексный анализ,— М.: Наука, 1985.—
Ч. 1, 2.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля теорема 87
Аналитическое продолжение 109
вдоль кривой 141
— — — цепочки областей 140
— — гамма-функции 108
интегралов 116, 119, 120
— —, принципы 110
степенных рядов 142
Аргумент комплексного числа 12
—, принцип 252
—, приращение 51
— производной 71
Арксинус 166
Арктангенс 165
Асимптотическая оценка 36, 366
— последовательность 385
—, ряд 386
—, формула 386
Асимптотическое разложение 386
Беллеля функции 408
гамма-функции 401
— —, единственность 386
— — Макдолальда функции 397
Эйри — Фока функции 417
Бернулли формула 360
— числа 87
Бесконечное произведение 262
Бесконечно удаленная точка 21
Бесселя уравнение 215, 431
— функция 408
Бета-функция 329
Бурмана — Лагранжа ряд 266
Ватсопа лемма 395
Вебера уравнение 205
Вейерштрасса признак 38
— теоремы 20, 93, 94
Векторное поле 350
, вихрепсточник 352
-, вихрь 352, 357
гармоническое 354
, дивергенция 351
Векторное поле, диполь 357
-, источник 356
-— —, комплексный потенциал 355
, критическая точка 350
, линия тока 350
, мультиполь 358
потенциальное 354
, поток 351
— —, ротор 352
соленоидальное 353
, сток 356
, циркуляция 352
, эквипотенциальные линии 354
Ветвь функции 51
— аналитическая 192
— регулярная 169
Вольтерра интегральное уравненпе
460
Вычет 218
— в бесконечно удаленной точке
220
— в полюсе 219, 220
—, основная теорема 222, 223
Гамма функция 115, 401
Гармонлческая функция 61
, принцип максимума и мини-
минимума 273
— — сопряженная 62
Гипергеометрическое уравнение 213
Гомотопные кривые 34
Граница области 31
Граничная точка области 31
Грина функция 343
Дельта-функция Дирака 454
Дирихле задача 335
Длина кривой 29
Дуга 29
Жордана лемма 232
— теорема 33

476
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Жуковского профиль 312
— теорема 361
— функция 295
Изображение 437
Интеграл вероятностей 395
—, зависящий от параметра 111, 112
— Лапласа 390
— по кривой 44
— типа Коши 118
— Фурье 402
Комплексная плоскость 11
расширенная 21
Комплексные числа 7
— — в алгебраической форме 8
в показательной форме 15
в тригонометрической форме
13
, геометрическая интерпрета-
интерпретация 10
— — сопряженные 8
Коши — Адамара задача 203
— — интегральная теорема 75
интегральная формула 84
критерий 20, 24, 38
неравенства 125
формула 87
Коши — Римана условия 59
Кривая 27
— гладкая 30
— замкнутая 28
— кусочно гладкая 30
— неограниченная 30
—, параметрическое уравнение 27
— простая 28
— спрямляемая 29
Кристоффеля — Шварца интеграл
32о
теорема 324
формула 324
Лапласа интеграл 390
— метод асимптотических оценок
390
— метод контурного интегрирования
425
— преобразование 394, 436
— уравнение 61, 335
— формула обращения 444
Лежандра уравнение 216
— эллиптический интеграл 330
Линия наибыстрейшего спуска 413
— тока 350
— уровня 353
— — гармонической функции 412
Лиувплля теорема 137
Логарифм 41, 105, 145
Лорана ряд 121
, главная часть 127
, правильная часть 127
Луночка 292
Меллина преобразование 114
Метод Лапласа 390
— перевала 424
— стационарной фазы 402
Мероморфная функция 138
—, разложение на простейшие дро-
дроби 257, 259
Модуль комплексного числа 8
Монодромии теорема 169, 170
Морера теорема 93
Муавра формула 14
Неймана задача 345
Неравенства треугольника 12
Нули регулярной функции 100
Ньютона — Лейбница формула 26
Область 31
— многосвязная 79
— ограниченная 32
— односвязная 33
Окрестность 19
— бесконечно удаленной точки 21
Операционное исчисление (метод)
436
Определяющее уравнение 214
Оригинал 437
Основная теорема высшей алгебры
137
Особая точка 126
граничная 187
— — многозначного характера 192
однозначного характера 126
регулярная 211
, существенно особая 126
уравнения 207
• устранимая 126
Ось действительная 11
— мнимая И
Отображение 66
— взаимно однозначное 66
— дробно-линейное 279
— однолистное 66
— конформное 73, 274
Первообразная 80
Пикара теорема 138
Показатель роста функции 438

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
477
Полюс 126
Последовательность 18
— ограниченная 20
— равномерно сходящаяся 38
— сходящаяся 19
Предел последовательности 18
— функции 35
Преобразование Лапласа ИЗ, 116
— Me длина 114
— Фурье 113
Прингсхейма теорема 191
Принцип аргумента 252
— аналитического продолжения НО
— максимума модуля 272
и минимума гармонических
функций 273
— симметрии 314
— соответствия границ 276
— сохранения области 271
Производная 25
— высших порядков 91
—, геометрический смысл 71, 72
Производящая функция 433
Пуассона уравнение 345
— формула решения задачи Дирих-
Дирихле 338, 341
суммирования 408
Пюизо ряд 202 . л
Разностные уравнения 431
Радиус сходимости 87
Римана — Лебега лемма 403
Римана поверхность 152, 161, 202
— сфера 22
— теорема 276
Руше теорема 254
Ряд абсолютно сходящийся 23
— асимптотический 387
— равномерно сходящийся 38
— степенной 86
— сходящийся 23
Свергка функций 443
Симметрии принцип 314
Сохоцкого теорема 133
Стереографическая проекция 22
Стерлинга формула 401
Тейлора ряд 91
Теорема единственности 107
— об обратной функции 101, 263
— о среднем 85
— для гармонических функ-
функций 86
— разложения 450, 451
Точка потилошш I.V.)
— —• логарифмический НИ)
— перепала A11
Угол в бесконечно удаленном точно
274
Условие Коши — Римана Г>!)
— Чаплыгина 364
Формула обращения прообриаопн-
штя Лапласа 444
— Меллина 445
Френеля интеграл 236
Фундаментальное решен но 4Г>8
Функция аналитическая 142
— дифференцируемая 57
— гиперболическая 43
— дробно-линейная 279
— импульсная 453
— линейная 66
— логарифмическая 50, 145
— мероморфная 138
— многозначная 142
— непрерывная 25, 37, 39, 40
— обратная 66
— однолистная 65, 269
— показательная 41
— производная 57
— равномерно непрерывная 37
— рациональная 58
— регулярная 63, 64
¦— степенная 156
—, суперпозиция 58
— тригонометрическая 42
— фазовая 402
— целая НО
— эллиптическая 330
Фурье интеграл 402
— преобразование 402
Хевисайда функция 437
Чаплыгина формула 361
Шварца лемма 273
— формула 339
Эйлера уравнение 207
— формула 13, 14
Эйри уравнение 204, 427
— функция 205
Элемент 140
Якоби эллиптическая функция 330

Учебное издание
СИДОРОВ Юрий Викторович,
ФЕДОРЮК Михаил Васильевич,
Ц1АБУВИН Михаил Иванович
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
Заведующий редакцией А. Л. Баева
Редактор М. М. Горячая
Художественный редактор Г. М. Коровина
Технический редактор В. Н. Кондакова
Корректоры Г. Г. Егорова, М. II. Дропова
ИБ Л 12915
Сдано в набор 05.03.88, Подписано к печати 04.01.89.
Формат 60x90/16. Бумага книжно-журнальная. Гарниту-
Гарнитура обыкновенная новая. Печать высокая. Усл. печ. л.
30. Усл. кр.-отт. 30. Уч.-изд. л. 29,3. Тираж 18 500 экз.
Заказ № 85. Цена 1 р. 30 к.
Ордена Трудового Красного Знамени
издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Четвертая типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск 77, Станиславского, 25

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
117071 Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Готовится к печати в 1989 году:
Арнольд В. И. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук — первые
шаги математического анализа и теории катастроф от эволь-
эвольвент до квазикристаллов.— 8 л,— (Современная математика для
студсптов). (Томплан 1989 г., п. 56)
В книге, написанной на основе лекции для студентов, по-
посвященной трехсотлетию «Математических начал натуральной
философии» И. Ньютона, рассказывается о рождении современ-
современной математики и теоретической физики в трудах великих
ученых XVII века. Некоторые идеи Гюйгенса и Ньютона опе-
опередили свое время на несколько столетий и получили развитие
только в последние годы. Об этих идеях, включая несколько
новых результатов, также рассказано в книге.
Для студентов и преподавателей вузов, учителей матема-
математики средней школы и историков науки.
Заказы на книгу принимают все магазины Соювкниги и
Академкниги, занимающиеся распространением физико-матема-
физико-математической литературы.