Интегральные представления функций и теоремы вложения - Никольский С.М., Ильин В.П., Бесов О.В.

Глава II. Интегральные представления дифференцируемых функций
§ 7. Интегральные представления дифференцируемых функций
Глава III. Анизотропные пространства С. Л. Соболева и теоремы вложения
§ 13. О неравенствах между $L_p$-нормами смешанных производных
§ 15. Мультипликативные неравенства для $L_p$-норм производных
Глава IV. Пространства функций с дифференциально-разностными характеристиками
§ 17. Теоремы вложения н продолжения для обобщенных гёльдеровых пространств
$§ 18. Пространства $B_{p,\theta}^l$ и их связь с пространствами $W_p^l$$
Глава V. Следы функций из изотропных пространств на многообразиях
§ 21. Лемма об инвариантности классов при замене переменных
§ 23. Классы функций на дифференцируемом многообразии
§ 24. След функции на дифференцируемом многообразии. Прямая теорема вложения о следах
§ 29. Мультипликативная оценка смешанного интегрального модуля гладкости
Автор: Никольский С.М. Ильин В.П. Бесов О.В.
Теги: анализ математика дифференциальные уравнения естественные науки точные науки
Год: 1975
Похожие
Пространства С.Л. Соболева
Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка
Методы современной математической физики. Том 2. Гармонический анализ
Анализ на действительных и комплексных многообразиях
Текст
                    О. В. БЕСОВ, В. П. ИЛЬИН, С. М. НИКОЛЬСКИЙ
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ФУНКЦИЙ
И ТЕОРЕМЫ
ВЛОЖЕНИЯ
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Москва 1975

Ь Oil
Интегральные представления функций и теоремы вложения.
Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М,
Главная редакция физико-математической литературы изд-ва
«Наука», 1975.
Теория вложения пространств дифференцируемых
функций многих действительных переменных сложилась как
новое направление математики в 30-е годы в работах
академика С. Л. Соболева и интенсивно разрабатывалась на
протяжении последних двух десятилетий многими
математиками. В книге устанавливаются различные связи и
соотношения между дифференциально-разностными свойствами
функций в различных метриках, неравенства между
различными производными, возможность продолжения функций с
сохранением свойств за пределы областей их определения,
свойства следов функций на границе области определения,
теоремы о компактности и т. д.
Основным аппаратом служат интегральные предстанле-
ния функций и оценки различных интегральных операторов.
Изложенные результаты и методы имеют применение в
математической физике.
Книга рассчитана на студентов, знакомых с интегралом
Лебега, аспирантов, научных сотрудников, интересующихся
теорией дифференцируемых функций многих
действительных переменных и ее приложениями.
Рис. 14. Библ. 194 назв.
Олег Владимирович Бесов
Валентин Петрович Ильин
Сергей Михайлович Никольский
Интегральные представления функций
и теоремы вложения
М., 1975 г., 480 стр. с илл.
Редактор В. И. Буренков
Техн. редактор И. Ш. Аксельров
Корректоры Т. С. Плетнева, Н. Б. Румянцева
Сдано в набор 22/VIII 1974 г. Подписано к
печати I4/IV 1975 г. Бумага 60Х90'/ц. Физ. печ. л, 30.
Усл. печ. л. 30. Уч.-изд. л. 29,81. Тираж 6000 экз.
Т-06552. Цена книги 2 р. 12 к. Заказ № 311.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071, Москва, B-7I, Ленинский проспект, 15
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография NS 2
имени Евгении Соколовой Союзполиграфпрома
при Государственном комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии и книжной торговли,
198052, Ленинград, Л-52, Измайловский проспект, 29
© Главная редакция
физико-математической литературы
издательства «Наука», 1975 г,
20203-069
Б 053@2)-75 384

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 5
Глава I. Интегральные неравенства 8
§ 1. Пространства Lp 8
§ 2. Основные интегральные неравенства . .' 17
§ 3. Ограниченность свертки в i. 40
§ 4. Сингулярные интегралы в I, 54
Глава II. Интегральные представления дифференцируемых функций 69
§ 5. Усреднение функций 70
§ 6. Обобщенные производные 74
§ 7. Интегральные представления дифференцируемых функций ... 79
§ 8. Области определения функций 117
Глава III. Анизотропные пространства С. Л. Соболева и теоремы
вложения 123
§ 9. Свойства анизотропных пространств W„(G) 126
§ 10. Вложение Wlp(G) в Lq(G), в С (G) и в класс Орлича.
Оценки для следа функции 137
§ 11. Коэрцитивность в пространстве Wp(G) 158
§ 12. Вложение Wp(G) при несоответствии / типу области G . . . 170
§ 13. О неравенствах между /.„-нормами смешанных производных . . 184
§ 14. Поведение на оо функций из W и плотность С~ в W1 . . . 221
§ 15. Мультипликативные неравенства для /.„-норм производных . . 236
Глава IV. Пространства функций с дифференциально-разностными
характеристиками 250
§ 16. Оценки модулей непрерывности в Lp -нормах 251
§ 17. Теоремы вложения н продолжения для обобщенных гёльдеро-
вых пространств 281
§ 18. Пространства В1 е и их связь с пространствами W1 . . . . 293
§ 19. Плотность гладких функций в Wlp(G) и В1 e(G) 314
Глава V. Следы функций из изотропных пространств на многообразиях 326
§ 20. О следах функций из пространств tt7'' на липшицевой
поверхности 326

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 21. Лемма об инвариантности классов при замене переменных . . 349
§ 22. Дифференцируемые многообразия 368
§ 23. Классы функций на дифференцируемом многообразии .... 376
§ 24. След функции на дифференцируемом многообразии. Прямая
теорема вложения о следах 380
§ 25. Обратные теоремы о следах 396
Глава VI. Некоторые дополнения 405
§ 26. Компактность множеств в пространствах дифференцируемых
функций . 405
§ 27. Функциональные пространства w' arA{G) 420
§ 28. Функциональные пространства i?,/pje*(G) 437
§ 29. Мультипликативная оценка смешанного интегрального модуля
гладкости 463
Литература 470
Предметный указатель 479

ВВЕДЕНИЕ
Теория вложения пространств дифференцируемых функций
многих действительных переменных сложилась как новое
направление математики в 30-е годы в результате работ С. Л.
Соболева, оформленных им позднее A950 г.) в виде монографии [2].
Эта теория изучает важные связи и соотношения
дифференциальных свойств функций в различных метриках. Кроме
самостоятельного интереса с точки зрения теории функций, она имеет
также многочисленные и эффективные применения в теории
дифференциальных уравнений с частными производными. Такие
применения даны С. Л. Соболевым в той же монографии.
С. Л. Соболев изучал изотропные пространства W{p](G)
функций f (х), определенных на области Gc?"c нормой
|о|</
где / — натуральное, р > 1, \\f \\р, а = | J | f (х) \" dx
Им были получены первые теоремы вложения для областей
и-мериых пространств, именно теоремы о суммируемости в
степени q производных D®f по области или принадлежащим ей мно*
гообразиям меньшей размерности.
В последующие годы теория вложения интенсивно
развивалась в различных направлениях силами многих математиков и
получила новые интересные и важные применения.
С. М. Никольский построил теорию вложения пространств
Н1Р{Е% / = (/, /„), 1<Р<оо,
функции из которых характеризуются, во-первых,
дифференциальными показателями как целого, так и нецелого порядка
(условия Гёльдера) и, во-вторых, имеют, вообще говоря,
различные свойства по разным переменным. С. М. Никольский получил
впервые обращение тех теорем вложения, которые относятся к
переходу к многообразиям меньшего числа измерений.
Использованный им метод базировался на аппроксимации функций
Ч1>

6
ВВЕДЕНИЕ
тригонометрическими полиномами или целыми функциями
экспоненциального типа, см. [1], [9].
Первые окончательные результаты по проблеме следов
функций из пространств С. Л. Соболева были получены при
р = 2 Ароншайном [1] и независимо от него В. М. Бабичем и
Л. Н. Слободецким [1], Фройдом и Краликом [1]. Л. Н. Слобо-
децким [2] построена при р = 2 полная теория анизотропных
пространств С. Л. Соболева Wl2(En), 1 = {1\ /„), с целыми
и дробными показателями дифференцируемое™ функций. Галь-
ярдо [1] охарактеризовал при 1 ^ р < оо следы функций из
пространства С. Л. Соболева W{p{En) на (п— 1)-мерном
сечении Еп.
О. В. Бесов [3] построил методами аппроксимации теорию
пространств Sp, е (f1), интересных тем, что они, подобно Яр-
пространствам, образуют замкнутую систему относительно
теорем вложения, а с другой стороны, они имеют тесную связь с
пространствами С. Л. Соболева (и Л. Н. Слободецкого), совпадая
при соответствующем выборе параметров с W2 (Еп), а также с
пространствами следов на Ет (т < п) функций из Wp{En)>
1 < р < оо.
С. Л. Соболев установил свои теоремы вложения с помощью
интегральных представлений функций через их производные.
Этот метод интегральных представлений получил затем
развитие в работах В. П. Ильина и, в частности, был перенесен на
случаи представления через разности. Одно из существенных
преимуществ метода интегральных представлений состоит в том,
что представление функции в данной точке х строится по
значениям этой функции в точках ограниченного конуса (рога) с
вершиной в точке х. Тем самым создается возможность для
изучения функциональных пространств функций, заданных на
открытом множестве достаточно общего вида (области, звездной
относительно шара, открытого множества с условием конуса,
с условием /-рога и т. п.).
В развитие различных аспектов теории вложения
функциональных пространств, представленных в данной книге, внесен
вклад и другими математиками: П. И. Лизоркиным, С. В.
Успенским, К. К. Головкиным, В. А. Солонниковым, В. И. Буренковым
и другими. Соответствующие ссылки даются по ходу изложения.
В 1969 г. вышла в свет монография С. М. Никольского [9],
которая наряду с другими вопросами освещает определенный
аспект теории вложения пространств дифференцируемых
функций. Эта монография посвящена в основном изучению функций
и функциональных пространств, заданных на всем n-мерном
евклидовом пространстве. При этом инструментом изучения яп-

ВВЕДЕНИЕ
7
ляется аппарат приближения функций посредством целых
функций экспоненциального типа.
Настоящая книга и упомянутая монография С. М.
Никольского могут рассматриваться как две части одного труда, под-
водящего итоги развития за многолетний период основных
направлений теории вложения *).
Отличие этой книги от монографии С. М. Никольского
заключается как в подходе, так и в предмете изучения. Основным
аппаратом здесь являются интегральные представления
функций; предметом изучения — функции, определенные на областях
евклидова пространства. В книге рассматриваются
неизотропные пространства С. Л. Соболева и теоремы вложения для них,
различные семейства пространств функций, характеризуемых
разностными отношениями, поведение на бесконечности
дифференцируемых функций определенных классов, оценки
смешанных производных через дифференциальные операторы;
исследуется зависимость теорем вложения от структуры области,
обобщается теория Зигмунда — Кальдерона оценок сингулярных
интегралов с последующим применением, изучаются следы
функций на многообразиях, вопросы компактности множеств
функций, классы типа Морри и Кампанато.
§§ 3, 4, 8—11, 14—20, 29 написаны О. В. Бесовым; §§ 1, 2,
5—7, 12, 13, 26—28 и часть § 10 о вложении в класс Орлича—
В. П. Ильиным; §§ 21—25 — С. М. Никольским.
Материал книги не содержит теории вложения весовых
функциональных пространств. Отметим лишь, что изложенные идеи
и методы имеют в этой теории непосредственные и широкие
применения. Книга рассчитана на читателей, знакомых с
интегралом Лебега.
Нумерация формул в тексте сплошная в каждом параграфе.
Ссылка на формулу из данного параграфа дается номером в
скобках, например: C9); ссылка на формулу из другого
параграфа — номером параграфа и затем в скобках номером
формулы в нем, например: 2A7). Номера теорем, лемм и т. д.
совпадают с номерами пунктов, где они помещены; ссылки на них
даются указанием номера пункта.
В заключение авторы считают приятным долгом выразить
глубокую благодарность Виктору Ивановичу Буренкову и Петру
Ивановичу Лизоркину, прочитавшим книгу в рукописи и
сделавшим ряд ценных замечаний. Многие из них были учтены и
способствовали улучшению книги.
*) Чтение данной книги не предполагает знакомства с монографией
С М.' Никольского,

ГЛАВА1
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Важной составной частью применяемого в настоящей книге
аппарата исследования являются оценки различного типа
интегральных операторов. Эти оценки опираются в основном на
классические интегральные неравенства, такие, как неравенства
Гёльдера и Минковского, обобщенное неравенство Минковского,
неравенство Харди, неравенство Харди — Литтлвуда для
дробных интегралов, неравенство Михлина — Кальдерона —
Зигмунда для сингулярных интегралов, а также на различные их
обобщения.
В настоящей главе приводятся основные интегральные
неравенства, используемые в дальнейшем, а также излагаются
необходимые сведения о пространствах Lp вещественных функций.
§ 1. Пространства Lp
1.1. В этом параграфе формулируются некоторые свойства
пространств LP(G) вещественных функций f{x), определенных
на измеримом, не обязательно ограниченном множестве G а Еп,
где Еп обозначает и-мерное евклидово пространство точек х =
= (хи ..., хп). Здесь и всюду в дальнейшем измеримость
множеств мы будем понимать в смысле Лебега.
Пусть р— вещественное число, 1 ^ р < оо. Через LP(G)
будем обозначать пространство измеримых на G функций f(x),
для которых функция |f(.x:)|p интегрируема в смысле Лебега
на G.
Число
\а
называется нормой элемента f е LP(G).
Введем также пространство Loo (С)—пространство измери*
мых и ограниченных в существенном функций с нормой
II f IL l0} = ll/L,0==esssup|/(*H
те *e(J
чу

I И
ПРОСТРАНСТВА L,
Обозначение LM оправдано тем, что для ограниченного G
WflL.a— l'm II/IU о» см-> например, книгу С. М. Никольского [9],
СТр. 14.
Важным подпространством пространства i-oo(G) является
пространство C(G) равномерно непрерывных на G функций
){х) с нормой
||f||c =sup|/W|.
Таким образом, пространства LP(G) определены для всех
вещественных р, для которых 1 ^ р ^ СО.
Пусть р = (рь ..., рп) — вектор с компонентами, удовлет-
иоряющими неравенствам 1<<рг<<оо (t= 1, ..., п).
Через Lp(En) будем обозначать пространство измеримых на
/:'" функций f(x), для которых конечна норма
7
'р, в"
7l
'('.
Рп)-*"
71
'р,, а:, "Р2. *2
II -{J Jifw
1Е> L IE1 \E'
.P. J \/Pl J ^"з/Р2
1 ax, ax*
"Pn- xn
pn/pn-,
dxn
up*
A)
Отметим, что порядок, в котором берутся нормы по отдельным
переменным, является существенным, так как, вообще говоря *),
f dxj J|f(*lt x2)fidx]
"i1 \в'
P2/P1
i/p,
fd*,( fl/fa, je2)|p,d*.
?' \E'
P1/P2 П
I/p,
Если G — произвольное измеримое множество в Еп, a f —
измеримая функция на G, то положим
7 Ир, G = ll/Пр. Е*>
B)
где f (x) = f {х) при х еG и / (х) — 0 при х^Еп \G. При
конечности [| f || а мы пишем / е Lp (G).
Ради простоты при G — Еп мы часто вместо ||/|| „ будем
писать ||/||р.
Заметим, что если р — (р, ..., р), то
II / Пр. о = И /Ир, о-
*) Если pi^pq, то II / ll(Pll р2). ?2 ^
11^11(Р,. Р,).«!> см- ииже ?Л1-

10 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. 1
Условимся в дальнейшем писать p^q или p>q, где
р=(р\, ..., рп), ? = (9i. •••. <?п). если соответственно Pi^qt
(i = 1, .. ., и) или Pi> qi (/ = 1, ..., n); в частности, 1 < p < oo
n n
A=A 1), oo = (oo, ..., oo)) означает, что 1<р,^оо
(i= 1, ..., я).
Приведем ряд нужных нам фактов, касающихся свойств
пространств LP(G)*).
Прежде всего, пространство LP{G), l^ps^oo является
банаховым функциональным пространством с указанным выше
определением нормы. В данном случае это означает, что
справедливы следующие свойства:
1) 11/11 G — ® эквивалентно'f{x) = 0 почти для всех xeG.
2)ik4,c = iciimiPi0.
4) Пространство LAG) является полным, т. е. из того, что
fk^Lp(G) F=1,2,...), llf*-Mp,G->0 (*, /-oo), C)
следует существование функции f е LP{G), для которой
11/*-Л1р.с-0 (*-оо).
Свойства 1) и 2) очевидны. Неравенство 3) носит название
неравенства Минковского (оно будет доказано в 2.7 следующего
параграфа). Докажем полноту пространства LP{G).
Мы можем, очевидно, ограничиться случаем G = Еп. Пусть
1ЫГ — сходящаяся в себе последовательность функций из
LP{G), т. е. такая, для которой имеет место соотношение C).
Воспользуемся для доказательства утверждения формулой,
которая будет доказана в 2.6 (следствие из предложения 2.6).
Согласно этой формуле для любой измеримой функции ф и
любого р, 1 ^ р ^ оо, справедливо равенство
||ф|| = sup | \(f(x)g(x)\dx, D)
где р' = (р', ..., р'п), г-—=1 (/=1, .... я).
Pi Pi
. Пусть, далее, (/т}"— семейство ограниченных измеримых
множеств такое, что \\lm = E'1, а %, —характеристическая
I m
функция множества /„,.
*) Изучению свойств пространств L посвящена работа Бенадека и
Панцоне [1].

§ 1]
ПРОСТРАНСТВА Lp
И
Тогда на основании D) имеем
и/*-Н= *и,р=, .Пь-/г1и1^>||х/тц;; J'i/fc-f,i*f.
Е !tn
В силу C) и полноты пространства L\ из этого неравенства
вытекает существование функции /, определенной на Еп, такой,
что для каждого т [|(f — fk)%i {jt —*-0. С помощью
диагонального процесса из последовательности {/&)" выделим
подпоследовательность {fki}i=v которая сходится к / почти всюду
в Еп. Применяя к последовательности {\fk{—ffe.llgfl} {kl=^ki,
ftiM, ...), ||g|| =1, теорему Фату, а затем пользуясь
соотношением D), получаем
j\fki-f\\g\dx^swp $\fkt-fk,\\g\dx^ sup lfhi-f„i
Поскольку это неравенство справедливо при любом g^LP',
||gip,= l, отсюда следует, что (f — fk.)^LP. А тогда и
функция / = (/ — /*,•) + /*(• е LP (по неравенству Минковского). При
этом из последнего неравенства на основании C) вытекает,
что H/ft — /|1р->0 (&-*оо). Свойство 4) доказано.
В дальнейшем две эквивалентные функции, т. е.
совпадающие почти всюду на G и, следовательно, имеющие одну и ту же
норму в смысле LP(G), мы будем отождествлять, считая их
одним и тем же элементом пространства Lp (С?).
Замечание. Пусть f е Lp, так что II flip < °°. и пусть р = (р, р), гд*
Р = (Рь ¦ •, Pi),P = (Pi+ , pn), 1 < / < n— 1. Тогда норма ||/(-, *)||р,
как функция точки х = (*j+i, ..., Хп), является измеримой и почти всюду
конечной. Это нетрудно получить, последовательно при ; = 1, 2, ..., п — 1
используя теорему Фубинн, а для номеров бесконечных компонент вектора р
еще соотношение (см., например, С. М. Никольский [9], стр. 14)
6 . щ
\<f{t)\qdt\ = esssup]cp| F —а<оо) E)
lim ( [
\а
и тот факт, что поточечный предел измеримых функций является измеримой
функцией.
В дальнейшем нам придется воспользоваться полнотой пространства Lp,
р — (pi рп), с нормой, отличающейся от нормы Lp A) лишь тем, что по
некоторым (или всем) из переменных хи соответствующих бесконечным
компонентам pi = оо, вместо существенной верхней грани ess sup берется
верхняя грань sup.

12
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
It Л. I
Само пространство L будем считать содержащим те и только те
измеримые функции f(x), для которых измеримы также и || / (•, ~х) \\i_,
_ = Р
р — (pi, ..., pf), как функции х = (дг/+1, ..., лгД при всех /' = 1, 2, ..., п — 1.
Таким образом, априори пространство Lp уже соответствующего
пространства Lp. Однако нетрудно показать, что всякую функцию feL
можно так изменить на множестве n-мерной меры нуль, что полученная
функция J уже будет принадлежать Lp. Для этого достаточно сравнить
две нормы Lp и /._, отличающиеся лишь тем, что при некотором / A ^ i ^ п)
в первом случае по х, берется ess sup, а во втором — sup. Будем считать
для определенности, что 1<г<гс (случаи г'=1 И(' = л проще),
*=(*,,..
р = (/>,,.
' •' xi-\
¦¦>Pi-:
• xv xi + v
r Pr Pt + v
., xn) = (*', X.. x"),
¦- Pn) = iP'- PvP"\
Пусть ||/1]^ < со. Следовательно, для почти всех точек х"
ess sup llf ( •, х., х") II = М (х") < со,
где норма L , совпадает с соответствующей «внутренней частью» норм Lp
и Lp. Для каждой фиксированной точки х" с М (х") < со неравенство
|| ft-, xt, х") || t> М (х") возможно лишь на множестве точек х{ пулевой
одномерной меры.
Заменим функцию f (х) функцией f (х), положив
f 0, если || f ( •, х{, х") \]р, > М (х"),
[ f (х), если || / ( ¦. х,. х") \\р, < М (х").
Функции {(х) и f (х) отличаются между собой на множестве нулевой
я-мерной меры. В самом деле, функции <г (х{, х") = || f (•, х{, х") \\ , и М (х")
измеримы, как функции точек (х{, х"\. Следовательно, по свойству
измеримых функций измеримо множество точек
{(х,, х"): <f(xv х")-М(х")>0),
а вместе с ним, очевидно, и множество точек xsE", на котором различаются
функции f(x) и ?(*). Поскольку это последнее множество пересекается почти
с каждой прямой, параллельной оси хи по множеству точек нулевой
одномерной меры, заключаем с помощью теоремы Фубини, что mes{x: f(x) ф{(х)} = 0.
Из построения ? следует, что
sup || f (•, xv х") ||v = ess sup|| f (•, xv x") ||^
для всех x", следовательно, \\f\\i =||f|i?. < что и требовалось доказать.
Полнота пространства ?_ следует очевидным образом из полноты
пространства L с помощью только что установленной связи между элементами
этих пространств.

* !] ПРОСТРАНСТВА Lp 13
1.2. Приведем без доказательства следующее утверждение,
обобщающее известную теорему Лебега:
Если 1<р<со, fk<=Lp{G), \fk\^ge=Lp(G) (? = 1,...),
fk-*f (k-> оо) почти везде на G, то f ^ LP(G) и \im \\fk — /|| 6.=0.
Отсюда, например, следует, что если fet,(G) A < р <
< со), {Gh}T — расширяющаяся последовательность
ограниченных измеримых множеств таких, что GhczG (k = 1, ...) и
(jGfc = G, а %а —характеристическая функция множества Gh,
!
ТО
;imj4-fiu=°- (в)
Пели некоторые компоненты вектора р равны бесконечности, то
последнее соотношение может оказаться неверным. Однако при
любом р, 1 ^ р ^ со,
ll?Jto>\»a = MVo G)
независимо от того, является ли ||/|| 0 конечной или нет.
1.3. Пусть /, fk^Lp(G) {k=l, 2, ...) и
lim || /fc — f И o = 0 A<р<«).
Тогда существует подпоследовательность {&,•} натуральных
чисел такая, что
l\mfk(x) = f(x) (8)
почти для всех х е G (см. доказательство полноты LP(G)).
Отсюда следует, что если наряду с (8) для некоторой
функции }*(х) при некотором q, 1 ^ q ^ со, также имеет место
соотношение
lim 11/* —ГН- о = 0.
то функции f (х) и f*(x) эквивалентны на G.
Указанный факт допускает обобщение. Пусть G = G' X G"—
прямое произведение двух измеримых множеств G'czEm A ^
<&пг<п) и G" cz Еп~т, так что каждая точка х = (хи ...
,.., хп) е G может быть представлена в виде х = (х', х"), где
х' = (хи ..., хт) (= G', х" — (xm+i хп) <= G". Тогда
можно считать, что f(x) = f(x', х").
Пусть <7 = (<7i, ..., qm), 1<<7<со. Положим
llf(• > Oil,. о<=Ш • • *'U. в—И -• IIF(• - х")\.*, • • • H,m. v
где j {х', х") = f {х\ х") при х' е= С, / (л:', *") = 0 при х' е= Я'" \ G'.

14 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. I
Справедлива следующая теорема.
1.4. Теорема *). Пусть G==G'XG"i Р — (Р\> •••> Рп)
A <р< со), f, fk<=LP(G) (k=l,...)u
litn H /fc — f П- o = 0.
Пусть, кроме того, для некоторого q = {q{, .. ., qm) A ^<7^со)
и некоторой функции f*(x) выполняется равенство
Пт\\Ы-,х-)-Г(-,х")\\ ,^0
для почти всех х" е G".
Тогда f = /*, т. е. функции f(x) и f*(x) эквивалентны на G.
1.5. Пусть f(x) определена на измеримом множестве G.
Доопределим ее нулем на множестве En\G, сохраняя за ней
прежнее обозначение.
Функция / е LP(G) называется непрерывной (в целом) в
LP(G), если для любого е > О найдется 6 "> 0 такое, что
\\f(- + y)-f\\PtEn<s,
I п V/,
как только \у\<&, где |y| = (St/^| .
Теорема**). Всякая функция f s= LP(G), 1<р<оо,
непрерывна в целом в LP(G).
Отметим, что указанное утверждение становится неверным,
если некоторые компоненты вектора р равны бесконечности.
1.6. Пусть G — открытое множество в Еп. Функция ср(х)
называется финитной в G, если она определена на G и имеет
компактный носитель, лежащий в G. Носителем функции
называется замыкание множества всех точек, где она не равна нулю.
Носитель функции ф обозначается supp ф. Если supp фС G, то
говорят также, что функция ср(х) сосредоточена в G.
Введем следующие обозначения. Через C°°(G) будем
обозначать множество бесконечно дифференцируемых функций на G,
а через C™(G) —подмножество таких функций из C°°(G), кото-
О
рые финитны в G. Обозначим еще через Lco(G) множество
измеримых, существенно ограниченных и финитных в G функций.
*) Для р = (р, ..., р) и q — (q, ..., q) теорема доказана в книге [9]
С. М. Никольского (см. § 1.3). Для произвольных р и q доказательство
аналогичное.
**) Для р — (р р) теорема доказана, например, в книге [2] С Л.
Соболева. Для произвольного р доказательство ничем существенным не
отличается.

Ill
ПРОСТРАНСТВА Lp
15
Множество S пространства Lp (G) называется плотным в Lp (G),
rein для каждого f^Lp(G) и любого е>0 найдется элемент
И',!_: S такой, что
Иф*-Л1Р,о<е-
Теорема. Множество Со (G) плотно в LP(G), если 1<!р < со.
Таким образом, для каждой функции f^Lp(G) A <!р < со)
существует последовательность функций q>k^ С™(G) такая, что
Пт ||<p*-f|lPiO = 0.
Нам удобнее привести доказательство этой теоремы в § 5, хотя
пользоваться ею мы будем и раньше.
1.7. Существенную роль при обосновании метода
интегральных представлений функций будет играть одна теорема из тео-
ши дифференцирования кратных интегралов, принадлежащая
1сссену — Марцинкевичу— Зигмунду [1] (теорема 6).
Пусть G — открытое множество в Еп. Будем говорить, что
функция f(x), заданная на G, принадлежит классу Lpc (G), если
/ е LP(F) на любом компакте F с: G. Если р = 1 = A, ..., 1),
то будем писать просто Lloc(G) Теорема, о которой идет речь,
гласит следующее.
Теорема. Пусть ^, (v) (i•= 1, ..., п) — произвольные
положительные неубывающие функции, определенные для v > О,
Пптфг (и) = 0.
в-*0
*-Пусть, далее, /„ = {х : а, ^ xi ^ Ьи Ь{ — а{ = гр*(и) (i =
== 1, ..., /г)} — прямоугольный параллелепипед, \IV\—его
объем.
Если feLloc(G), параллелепипеды Iv (при всех v ">'0)
содержат точку х, то
KmJTJ \\f(y)-f(x)\dy = 0 (9)
V
и тем более
1!ттгт \f(y)d,J = f(x) (Ю)
V
для почти каждой точки х е G *).
*) В цитировавшейся работе трех авторов предполагалось, что feL(A),
еде А — замкнутый куб. Справедливость утверждений для f eil0i(G)
следует из того, что G есть сумма счетного числа кубов, замыкание которых
содержится в G. Относительно этой теоремы и ее усилений см. также работу
Ривьере [1].

16
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
ГГЛ. I
Легко видеть, что соотношения (9) и A0) справедливы и в
том случае, когда параллелепипеды /„ не содержат х, но
существуют параллелепипеды l'v и число N > 0 такие, что \j\ <-
< N при любом v > 0, где /?—наименьший параллелепипед
с ребрами, параллельными осям координат, имеющий точку х
своим центром и содержащий /„.
Замечание. Положим
l — [x\ cti^Xi^bi (/=1, ..., п).
Будем говорить, что 1 -* х, если 1 содержит х и все его
измерения b{ — at стремятся к нулю. Оказывается, соотношения (9) и
A0) при замене /„ на / и при / -» х для функции feLl0C(G),
вообще говоря, не имеют места. Однако справедливо следующее
утверждение: если f eLpC(G), р > 1, то для почти всех x^G
Hm-rir \)}(y)~f(x)\dy = 0 (90
l-*x I ' I у
и
^xjT\jf(y)dy = fM. A0')
Если / — куб {bi — at = v (/= 1, ..., я)), то (90 и A00
справедливы и для /е Ll0C(G), что следует непосредственно из
приведенной выше теоремы*).
1.8. В дальнейшем нам придется опираться на известную
теорему Банаха — Штейнгауза о сходимости последовательности
линейных операций. Мы сформулируем здесь лишь то частное
следствие из этой теоремы, которым фактически только и будем
пользоваться.
Пусть [Ki(x, y)}f — последовательность измеримых функций
на Ех X ?"> гДе Е" и Епу— «-мерные евклидовы пространства
соответственно точек х--=(х1 хп) и y-~(yir ..., уп). Пусть
f «= Lp (Я"). Положим
Ft(f)(x)*= jf(y)Kt(x. y)dy (i = l, ...), (И)
ЕП
Теорема**). Пустьр = (pu...,pn), 1 <p < со, q = (qu%„, qn),
p^<7^oo, и последовательность интегральных операций A1),
рассматриваемых как операции из LP(En) в Lq(E"),
удовлетворяет условиям:
*) Эти результаты можно найти в указанной выше статье трех авторов,
а также в книге [11 А. Зигмунда и частично в книге [1] Н. Данфорда и
Дж. Шварца
**) См. например, книгу [1] Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова,

I 21 ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 17
1) для каждой функции f<^Lp(En) справедлива оценка*)
\\Fi(f)\\q<M\\f\\p {1=1,...),
еде М — константа, не зависящая от f и i;
2) для любой функции ср е Со {Е")
lim \\Ft(<f>)-F,to)L = 0-
Тогда, какова бы ни была функция f^Lp (Еп), существует
функция F(f)^Lq(En) такая, что
пт||Л(я-^(/I=о. и/чпн^ллт
§ 2. Основные интегральные неравенства
2.1. Условимся о некоторых обозначениях, применяемых
п дальнейшем.
Если задано число р, 1<р<оо, то через р' будем обо-
значать число, сопряженное р, т. е. такое, что —|-—=1,
в частности, при р = 1 р/ = оо, а при р = оо р' = 1.
Если p = (Pi, ..., р„) A<рг<оо, г'=1, ..., «), то р' =
= (pi Рп)> — ==GГ' ••" ~pj' П°Д СУММ0Й векТ0Р°в Р и
q = (qu ..., qn) мы, как обычно, понимаем вектор p-\-q =
= (Pi + <7i. ..-, Р«+ </«)•
Напомним, что неравенства р^<7 или р > q (см. 1.1)
означают соответственно, что Pi^-Qi (i=l. • ••> я) или Pi> qt
(t = l, ..., n). Будем пользоваться также введенными в 1.1
п п
обозначениями: 1=A, ..., 1), оо = (оо об).
Все приводимые ниже неравенства, за исключением тех
случаев, в которых это вызывается существом дела, формулируются
для функций, заданных на всем пространстве Еп. Ради простоты
мы вместо записи ||/|| Еп будем применять запись \\fl\p, а также
иногда вместо f(x)dx будем писать | f{x)dx.
*) Мы применяем запись ||г|)||. вместо ||г|)[! п.

18 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. I
2.2. Неравенство Гёльдера. Пусть l^p=S^°o, f\<=.Lp(En),
f2s= LP'{E). Тогда функция f, {x)f2(x) интегрируема no En и
имеет место неравенство Гёльдера
U
М*)М*)Л<Ш1„Ш1,,- (О
Е
Доказательство. При р = 1 и р = оо неравенство A)
очевидно. Пусть 1 < р < оо. Рассмотрим функцию ф(<) =
= ¦] — .Так как ее производная положительна при t> 1
и отрицательна при 0 < ^ < 1, то при t = 1 она принимает
минимальное значение фA) = 1. Положим t = aVpb" /р, где а и
Ь — любые, положительные числа. Тогда из неравенства ф(^) ^
^г 1 (t > 0) следует, что
ао^ -,
р Р
причем знак равенства будет иметь место лишь тогда, когда
ар = Ь°' (при t = \).
Считая в дальнейшем, что ни одна из норм, стоящих в
правой части A), не равна нулю (иначе неравенство A)
тривиально), положим в последнем неравенстве
Тогда получим
„ _ 1 f ¦ (*) 1 «, _ I h (х) I
\\h\\p ' МЛ?
\U(x)ft(x)\ ^ \ \h(x)\p , 1 IM*)!°' m
hWJhb ^ p WhE p' \\l
i'p и ' i "p
p
Так как правая часть интегрируема, то интегрируема левая
часть и интеграл от левой части не превосходит интеграла от
правой части, т. е. не превосходит
± + 4 = 1.
Р Р
Интегрируя и умножая обе части B) на llfi ||р|[ /г Нр» получим
неравенство A).
Заметим, что равенство в A) возможно лишь тогда, когда
существует постоянная С такая, что Jf, (я) f = С\ f2 (х) f почти
для всех х е Еп.
Методом индукции легко доказывается следующее более
общее неравенство.
2.3. Неравенство Гёльдера для нескольких функций. Пусть
1 </>*<«> (i = i m)>j;+ ...+-^ = i,ft^LPt{En){i =

I 2] ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 19
«=1, ..., т). Тогда произведение f\(x) ... fm(x) интегрируемо
по Еп и имеет место неравенство
Jlf,(*)...fmWld*<||M| ...И/т|| C)
Б"
2.4. Последовательным применением неравенства A) по
каждой переменной в отдельности получается неравенствоТёльдера
для векторных р = (р\, ..., р„):
/|М*)М*I**<Ш1,Ш1Р,. <4>
где 1<р<оо, — + -^7- = 1.
2.5. Если в неравенстве A) считать f\(x) и f2(x) конечно-
.чначными функциями, то интегралы можно заменить суммами,
и мы получим неравенство Гёльдера для сумм:
N I N \'/Р / N \ЧР'
Slfl^K^SUjK'J {2\bif) (К/><°°), {5)
где N — натуральное число. Неравенство E) верно и при
iV = оо.
2.6. Сформулируем теперь предложение, утверждающее
результат, обратный неравенству Гёльдера:
Если 1 ^ р ^ оо и измеримая на Еп функция f(x) такова,
что
\f(x)g(x)dx^M\\g\\p, F)
для любой функции g^L^ (Еп) *), то f <= L„ (?") и || f ||„ < М.
Доказательство. Примем для определенности, что s
компонент вектора р равны бесконечности, O^s^n, а
остальные являются конечными числами.
Предположим теперь, что наше утверждение неверно, т. е.
что при некотором е > О
A+вГ*ИЛ1,>М,
где под ||/||р мы понимаем правую'часть 1A), не считая при
этом, что она конечна.
*) Определение класса Loe(?re) см. в 1.6.

20 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. I
Тогда, на основании соотношения 1G), существует
параллелепипед / = /i X ... X/„, /j = {Xi\ а, < Xi < bi] (i — I, ...
...,«) и натуральное число k такие, что для функции
| f (х) |, если | /(х) |< к и х е /,
ц>(х)= к, если \f(x)\^k и л: е/,
0, если х<=Еп\1,
принадлежащей Lp(En), справедливо неравенство
A + вГ'||ф||,>М.
Введем, далее, п, функций i|)j (г = 1, ..., п) следующим
образом.
При pi < <х> положим
tyiiXi, ...,*„) =
==(ll(Pll(Pi pj_,)./,x... х^^НфИЙ р,-)- ', X...XI,) '
(при /=1 мы принимаем ||ф||(Р| р,_,)=|ф1)> причем будем
считать, что % = 0, если ||ф||(Р1 р^) — ®-
При pi = оо положим
ХР (*,,.... *„)
-ie ' '- если яггР,-8 ф 0,
0, если тг/7^ =0,
где
^в = {(*« *»)•' ИфН(р, р,_,)./,х...х/?_,>
>A + е)-11| ф ||(Pi,..., Ply /, х ... х /,)»
mjFie — мера одномерного сечения множества Fje по
переменной xt при фиксированных хг+1 хп, Xfie —
характеристическая функция множества Fls.
п
Положим теперь g(xx хп) = (sign f) Д Фг- Нетрудно про-
верить, что gsi.in || гII,-=1 и f | Ф§1^>A + ер||Ф||р.
Тогда
[ tgdx= \\fg\dx^ \\yg\dx>{\ +гГЫ\р\\\\ё\\р,> M\\g\\p„
что противоречит неравенству F). Утверждение 2.6 доказано.
о .
Заметим, что поскольку Lm (Еп) с Lp, (Еп) при любом р,
1 ^р'^00» утверждаемый в приведенном предложении резуль-

I ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 21
н тем более будет иметь место, если под g понимать любую
Функцию из Lp,(En).
Из доказанного предложения вытекает следующее
Следствие. Если f — измеримая функция на Еп, то
IIЛ1р = sup \\f(x)g(x)\dx = sup | f(x)g(x)dx.
Bgiip-i J, iigiip-=i Ei
Действительно, с одной стороны, в силу неравенства
! Г'льдера
sup \\f(x)g(x)\dx^f\\p.
<', другой стороны, на основании предложения 2.6 имеем
\\f\\p<: sup [ f{x)g(x)dx,
iigliP'=i J
поскольку в качестве М в неравенстве F) можно взять правую
чисть последнего неравенства. Приведенные неравенства дока-
• ынают утверждение.
2.7. Неравенство Минковского. Пусть 1 </?<; <х>, /г<= Lp(En)
|/-=1,..., т). Тогда {fi + ... -f fm\ е Lp (Еп) и справедливо
неравенство Минковского
m II m
Sfi ^Sllf.llp. G)
1=1 lip i=\
Доказательство. При ,0=1 и p=oo неравенство G)
m
очевидно. Пусть 1<р<оо. Положим S (х)= ^ ft(x). Приме-
ния неравенство Гёльдера для сумм E), получим
|S|<mW Si/г|р .
отк
ткуда следует, что S^Lp(En) и, так как р' (р—1)=*/?,
Интегрируя обе части неравенства | S \" <; 2 I ft I IS |р_ и
г=1
применяя затем к каждому слагаемому в правой части
неравенство Гёльдера, получим
m m
II S \fp < || S С 2 || f, ||p, или || S ||p < S || f«||p>
ЧТО и доказывает неравенство G).

22
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ.
2.8. Последовательным применением неравенства G) по кг
ждой переменной получается следующее неравенство для вектор
ного р:
Если 1 <р< оо, fi se /-(?") (г = 1, ..., in), то
<Sll//
/»•
(8
2.9. Отметим также неравенство Минковского для сумм
являющееся частным случаем наравенства G):
N
S
1=1
m
2а„
/=i
j=i \j=i
(9
где m и JV— натуральные числа.
В дальнейшем нам часто придется пользоваться
неравенством, которое носит название обобщенного неравенства Мин-
ковского и отличается от G) тем, что операции суммирования е
обеих частях неравенства G) заменены на операцию
интегрирования.
Через Ех обозначим n-мерное пространство точек х, через
Еу — m-мерное пространство точек у, а через Ех X Еу — их
прямое произведение.
2.10. Обобщенное неравенство Минковского. Если
1 ^ р ^ оо, ср(х, у) — измеримая функция, заданная на Ех X
X Еу, то имеет место неравенство
{ ф (• , y)dy < J II ф ( •, у)
\р, Е.
dy.
(Ю)
р, Ех
Замечание. В формулировке предложения 2.10 мы не
предполагаем заранее конечность правой части неравенства
A0). Поэтому неравенство A0) нужно понимать так, что если
имеет смысл правая часть его, то имеет смысл левая часть и
соотношение A0) справедливо.
В аналогичной форме будут формулироваться почти все
неравенства, приводимые в этой книге.
Доказательство. При р = 1 неравенство A0) является
следствием теоремы Фубини, а при р = оо оно очевидно. Пусть
1 < р < оо. Положим
S{x) = ||ф(х, y)\dy.

м
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
23
I tyCTb g{x)— произвольная функция из LP>(EX). Тогда
| $(x)g(x)dx^ JUW|/ J|«p(*, y)\dy\dx =
Ex \Ey I
= \ dy j \g(x)\\<p(x, y)\dx^\\g\\p> |||ф(-, y)ipdy.
Отметим, что равенство повторных интегралов вытекает из
праведливости теоремы Фубини для неотрицательной функции,
• i»i которой один из повторных интегралов существует.
Из полученного неравенства и результата 2.6, обратного
неравенству Гёльдсра, следует, что S е LP(EX) и
S |1, <
1ф(-> y)\\pdy.
Неравенство A0) доказано.
2.11. Если в A0) заменить ц>(х, у) на |ф(х, y)f и положить
/| ¦——, то получим следующее более общее утверждение:
М-
Если 0<}i^v^oo, а (р(х, у) — измеримая функция на
/:'.« X Еу, то
J7 J I Ф(*. у)\ ^dyV'» dxV'v < Г j / { | Ф(х, у)
ЯХ \Еу I J Iеу \ЕХ
H/v
| dx\ dy
1/ц
(П)
Если l^n-s^v^oo, то A1) можно записать в форме
II Ф ||(ц. V), Еу X Ех < II ф l!(v, ц). Ех X Еу. A Г)
2.12. Мы часто будем пользоваться следующим очевидным
обобщением неравенства A0) на случай векторного р =
-•(/?!, . . ., рп), 1 <р<оо:
J Ф ( • . У) dy
P. Er Е
f II ф ( ¦ . 0) Пр. ?х d#-
A2)
При т = п справедливо также неравенство
{ф(-
«,
. y)dy
j ^^2
<
р, ?х
j dyn
_[ Ф ( ¦ . У) dyx
Е1
PV 4,
A3)
Pn> Ex

24 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА. ]ГЛ. I
2.13. Неравенство Юнга. Пусть р, д, г — вещественные числа,
удовлетворяющие условиям
1<р<<7<оо, l_-L+-L = l. (Н)
Пусть f{x) и К{х) — функции одной переменной, заданные
на Е\ причем f е Lp(El), /CeL,.^1),
^W= lf(y)K(y-x)dy.
E1
Тогда
II31, <ШШИР. A5)
Доказательство. Прежде всего заметим, что если
q = оо, то неравенство A5) является следствием неравенства
Гёльдера, поскольку в этом случае г = р'. Поэтому в
дальнейшем будем считать, что q < оо.
Из A4) следует, что возможны следующие три случая
соотношений между параметрами р, q и г:
1) \ <р < q, г <q;
2) 1 = р < q, r = q;
3) p = q, r=l.
Предположим сначала, что имеет место случай 1).
Представим | f К I в виде
Pl = q, р2 = р =
Тогда получим
Г
я
m\=(ifHKiviKi 9\f\ q (i6)
играла, стоящего под знаком норм
во Гёльдера для трех функций пр
Р^-^~ (J-+-L + J—Л
, _ Р \Pi Рг Рг I
и применим для оценки интеграла, стоящего под знаком нормы
в левой частиA5), неравенство Гёльдера для трех функций при
\y(x)\<(\\f(y)\p\K(y-x)\rdyy \\K\i «\ifi~o.
Отсюда
II 341, < II Я III'' II flli « (J dx J |f (y)f \K(y- x)\r dy)q =
= 11 /СIII"II fi~^( j I f (y) r° Idy J | /С (*) Г d*)T = ll Kll ,11 f llP>
что и доказывает неравенство A5).
В случаях 2) и 3) доказательство аналогичное. Отметим
лишь, что правая часть A6) в этих случаях будет представлять
собой произведение двух множителей и оценка интеграла 9'(х)

I j| основные интегральные неравенства 25
осуществляется с помощью неравенства Гёльдера для двух
функций.
2.14. С помощью неравенства A3) и га-кратного применения
Неравенства A5) получается следующее обобщение неравенства
AГ>) на многомерный случай:
Пусть р = (ри ..., рп), q = (glt ..., д„), г = (ги ..., гп),
1<Р<«7<со, 1—J- + yeT- <17>
34*) = \f(y)K{y-x)dy.
е"
Тогда
l|3%<l|/CIUIfll,. A8)
В частности, при q=p
Ш„< 11*11, II fll„. A9)
2.15. Обобщенное неравенство Харди. В этом пункте мы
докажем важное неравенство Харди для функций одной пере*
менной, рассматриваемых на полуоси Е+ = @, оо). Как обычно,
мы полагаем
ипи^н Лм*Iр«ч • Bо)
Пусть 1<р<9<оо, а # О, у>0, / se Lp(?+).
Если
У
х 1_
Ра. у (*) = f f (У) У "' +ady при а > 0, B1)
6
Pa. у(х)= \ f {у) у р' а dy при а < О, B2)
то
Х~ Ч~^ F«A.E\<:4~ ЛЫ^-^ B3)
еде u.= l--i-+i-*).
*) При /г = 1, q = с» считаем, что (т^т) = 1.

26
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ.
Доказательство. Предположим сначала, что 1<р^
^.q < оо. Пусть число 6 такое, что 0 < 6 < | а |. На основани)
неравенства Гёльдера имеем
/ ху \'/р / хУ \'//>'
I Fa, у (X) | < ( j | f (у) Г УвР dyj ( J j,-» +<«-« Р' dyj <,
/ХУ \UP
< Сдс«в-в> W j I Ш lV р dyj , если а > 0, B4
/0° \1/Р
|Fa,vWKC2^^v n\f(y)\py-6pdy\ , если а < 0, B5
где Cl = [(a-6)pTllP\ С2 = [-(а + 6)р'Г1/р'.
Отсюда, применяя обобщенное неравенство Минковского A1)
получаем
я
av „
X 1 Fa,
q. е\ < Cj
oo/xV , , . \р -]1/<7
О ч0
<С,
—¦ CV
~Т tVp
dx\ dy
<C,C3llfll „i (a>0),
P.?+
fa.-
* *4 < C2C3 || f II . (a<0),
Щ?
где С3 = Fу9)"
Полагая в С,, С2 и С3 6 = '"'F , получим, как нетрудно
подсчитать, неравенство B3).
Если l=p4iq<oo A/р' = 0), то неравенство B3)
получается сразу применением обобщенного неравенства
Минковского, а если 1 sg: р ^ q = оо, то оно следует из оценок B4) и
B5) при 6 = 0.
Придадим предложению 2.15 несколько иную форму. Для
этого введем следующее обозначение, которым будем
пользоваться и в дальнейшем. Положим
[a]i = min {a, 1}.
Тогда, как нетрудно усмотреть, предложение 2.15 можно
перефразировать следующим образом:

HI
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
27
2.15'. Пусть 1<р<9<°°> <*>0, Y>0, ц, = t — - + —,
Тоеда
1 i
г—« l-av
h{y, х)=у " х "
m.
J f{y)h(y, -)dy
q.E\
<y-^fwf\
P.E+
B3')
2.16. Следующее неравенство может быть получено из B3)
путем переобозначения параметров, однако мы, ввиду простоты,
приведем его прямое доказательство.
Если 1 <; р < оо, р ф 1/р,
/' {х) = j f {у) dy при
о
то
Р>у. P(*)=\f(y)dy при р<1
i*-viU«.<
p-7l
l*-p+»fll pi.
P. E-f
B6)
Доказательство. Пусть р > 1/р. Делая под
интегралом замену у = xt и применяя обобщенное неравенство Минков-
ского A0), получим
"ж I 1 1
*~в j f 0/Ы</ = J f И X-P+1 Л < J || je-P+4f (д*) ||p л =
0 I p 0 p 0
1 1
= |Y ' 7||х-Р + 7||рЛ==__l |U-p+1/||
P--
Аналогично, если |i < 1/р, то
*~3 \ f{y)dy = J f (**) ^-p+! dt < J || jc—e+» f (xt) ||p d* =
*-PHfllp.
= I *P ' p\\x-Wf\\pdt = -r±-
2.17. Для доказательства неравенства Харди— Литтлвуда
для дробных интегралов и некоторых его аналогов нам
понадобится одна лемма о перестановках функций в убывающем

28
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. I
порядке, представляющая собой частный случай хорошо
известной теоремы Ф. Рисса *) о перестановке трех функций.
Пусть f(x) —неотрицательная измеримая функция одной
переменной х, заданная на всей вещественной оси. Через f*(x)
обозначим симметрично убывающую относительно начала
координат функцию, равноизмеримую с f(x), т. е. такую, что для
всех jg?' f*(—x) = f*(x) и для всех у mes {х: /*(*)>#} =
= mes {х: /(#)>{/}, где mes {х: f{x)^y} — мера множества
точек х, для которых f (х) ^ у.
Лемма. Пусть f(x), g(x), h(x) —неотрицательные функции
одной переменной, заданные на Е1, причем f е Lv(El) (р ^ 1),
g^Lq(El) (q^\), h^D°c(El) и, кроме того, п(х)
симметрично убывает относительно точки х = 0.
Пусть f*(x) и g*(x) — соответствующие равноизмеримые
симметрично убывающие функции. Тогда
У=\ lf(y)g(x)h(y-x)dydx^
В' Е'
< j" J Г {У) g* {х) h(y-x) dy dx = Г. B7)
?' ?'
Доказательство. Докажем сначала неравенство B7)
для того случая, когда функции f(x) и g(x) принимают только
значения 0 и 1, причем, в силу предположений о суммируемости
функций, мы можем считать, что множества, на которых они
принимают значение 1, имеют конечную меру. Эти множества
можно представить в виде суммы конечной системы
непересекающихся полуинтервалов типа а ^ х < Ъ и множеств
произвольно малой меры. Так как f и g не превосходят единицы, то
множества произвольно малой меры дают малую поправку к
интегралам & и 3f*. Поэтому мы можем предположить, что
множества, на которых f = 1 и g = 1, представляют собой
конечные системы полуинтервалов.
Далее, по тем же самым соображениям мы можем считать,
что концы всех этих интервалов — рациональные числа;
подходящими заменами переменных мы можем их сделать целыми
числами.
Итак, достаточно установить неравенство B7) для функций
t,
f (х) = 2 % (х) (nit <nt< ml+l) B8)
1=1 * l
и
/о
*(*)=2x*.,((*) (*/<//<*/+,), B9)
*) См. книгу Г. Г. Харди, Д. Е Литтлвуда, Г. Полна [1] (гл. X).

§ 2] ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 29
где Хт.„.(*) и Xk.i (*) — характеристические функции
полуинтервалов [ть /tj), [kj, lj) с концами в целочисленных точках.
Заметим, что
/ jf(y)g(x)h(y-x)dydx= f(Sxm. (У))BХ», fo)W
C0)
где функция
хм,(у) = IЧ'/(х) h (у ~х) rf*
симметрично убывает относительно середины [fy, /у). Отсюда
следует, что если г0 = /0=1, т.е. если f(y) = Xmn(y), а #(*) =
= Хы(-'<:)> то неравенство B7) справедливо, поскольку середины
носителей функций %"тп(х) и %ы{х) совпадают.
Предположим теперь, что в B8) и B9) t'o + /о > 2. Если
середины носителей в последних слагаемых в B8) и B9)
совпадают, то сдвинем их графики на единицу влево, точнее, заменим
функции % п (х) и Xft i, (х) соответственно функциями
У (*) и у*. ,/, , (х). Если же середины носителей в
этих слагаемых не совпадают, то сдвинем на единицу влево
график той функции, середина носителя которой правее. Ясно, что
При таком преобразовании функций f и g интеграл C0) не
уменьшится, а г'о и /о в представлениях B8) и B9) разве лишь
уменьшайся. После конечного числа таких преобразований мы придем
к случаю io = /о = 1, для которого, как уже отмечалось,
неравенство B7) справедливо.
Таким образом, для функций fug, принимающих лишь
значения 0 и 1, неравенство B7) доказано.
Предположим теперь, что fug принимают лишь
конечное число значений. Пусть, например, / принимает значения
«о, он, • • ¦. ап, причем 0 = а0 < cci < ... < а„. Тогда f(x)
можно представить в виде
п
f(x)=1iCtft(x), с{ = щ — аг_, > 0 (/=1 п),
t=\
где fi принимает только значения 0 и 1 и
supp fi => supp f{+l (/ = Г, .... n— 1).
Легко видеть, что

30 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. !
Если таким же образом представить функцию g, то
неравенство B7) для рассматриваемых f и g будет следовать из
линейной комбинации аналогичных неравенств, содержащих ft и g{.
Переход от рассмотренного случая к общему осуществляется
путем приближения функций f и g функциями, принимающими
лишь конечное число значений. Например, функцию f
приближаем функциями fn, где
Тогда fn^-.f и f*n< f*. Аналогично приближаем g функциями gn.
Поскольку для fn и gn неравенство B7) доказано, имеем
Sfn= \ \U{y)gn{x)h{y-x)dydx^Tn^r,
Е' Е>
а следовательно, У = \\т Уп^.У*. Лемма доказана.
В дальнейшем мы будем пользоваться также следующим
неравенством Чебышева.
2.18. Неравенство Чебышева. Если f(x)—неубывающая, а
g(x)—невозрастающая суммируемые функции, заданные на
[а, Ь], то
ь ь ь
j f(x) g(x)dx^j~\ f(x)dx [ g(x)dx. C1)
a a a
Доказательство*). Положим
ь
(f(x) = f(x)-T^J]f(t)dt.
a
В силу монотонности f(x) существует точка с, a4ic*?b, для
которой
ф(л:)^0, если а^х<с, (p(x)^Q, если с<х^.Ь.
Поэтому
ь - ь -
\е{*) f^—^laodt dx =
а _ й _
в Ь Ь
= \ g(xL>(x) dx+ J g{x)y{x)dx^g(c) j" q>(x)dx = 0,
а с a
откуда и следует неравенство C1).
*) Приводимое доказательство принадлежит Н. А. Сапогову [1].

121
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
31
2.19. Неравенство Харди — Литтлвуда. Пусть 1 < р< q < <х>,
р я
^=1-тг + т. f^LP(E%
2(x)=\f(y)\y-xrdy.
Тогда справедливо неравенство
||Я1,<Я(р, <7)||/1!р. C2)
Доказательство. В силу результата 2.6, обратного
неравенству Гёльдера, достаточно доказать, что для любой
функции geL^(?t) (—1—7= 1J имеет место неравенство
/= { \ е{х)Цу)\у-*Г*<1уAх<,к{р,ч)МЫе1г.
?' ?'
Очевидно, можно считать, что функции / и g неотрицательны и,
на основании леммы 2.17, симметрично убывают относительно
точки х — 0.
Таким образом, неравенство C2) достаточно установить для
неотрицательной и симметрично убывающей функции f(x). Для
такой функции
1
f(*)<|2*| "( ) fp(y)dy) <|2*f'llfll,,
•-1*1
/1*1 \~
1 \ fP(y)dy)
4-l*l J
V{*)<\Vi {у)\Ц\~^"^\\1\\р'^\у~х\-Ыу.
= 2^' ||/ |(,~i \ft(y)\y-x Г | уГ] dy =
= 2^-,||/("* \f'(tx)\t-irU?~
Л dt.

32
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
(ГЛ. t
С помощью обобщенного неравенства Минковского A0) имеем
теперь
щ<
д-1
<2*-'||f
„1-
ft, (tx)\t-\r\tt
ldt\ dxV
<
<
г"-1 и f С' 5 и -1 г к r Y s r (**) dx\q dt <
Таким образом, неравенство C2) доказано с константой
1 1
K(p,d) = 2i Р J|f _ ЦР ч '\t\ г> dt.
Е'
C3)
2.20. Настоящий пункт посвящен обобщению неравенства C2)
на многомерный случай. Для нас окажется полезным
следующее простое неравенство:
Если а > 0, X > 0, ц > 0, 1 ^С г < оо, го
(¦
1,-и—
+1*1
г,Я-<С« .
C4)
где С не зависит от а.
При г = оо неравенство очевидно. Если г < оо, то, делая
подстановку / = ахх, имеем
1 \-и—
а+1Г
= а
(l+|T|M
¦¦СаГ*.
Теорема. Пусть р = (/?,, .... р„), q = (qv ..., <?„), 1 <р<
^^^со, причем
Kpn<qn<oo. C5)
Рг
Яусгб А< > 0 (/=1 п), ц = '?х1[1— — +
р(^)=
i=i
ЗЧ*) = I Н</)[р(</-*)Р^,
где /еу?л).

§2)
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
33
Тогда
l|34L<C||f|L,
C6)
где С — константа, не зависящая от f.
Доказательство. В дальнейшем для любого вектора
s = (s,, ..., sn) мы положим s'n> = (s,, ..., s„_,), s = (s(rtl, s„).
Применяя последовательно обобщенное неравенство Мин-
ковского A2) и неравенство Юнга A8), получаем
i34i,=imi(,(re),0<
< II J dyn || J f (</«>, yn) p-^ (*/<«> - *<»>, yn - xn) dy^ [|?u, || <
El Б"'1
< II | II / ( • . Уп) Ир(Я| II P_;t ( • , i/rt — X„) ||r(rt) flt(/„ ||,n,
где r = (r, r„), — = 1 — — + —• (i = I, .... и).
2 ri ч i
Норму ядра р-^ оценим с помощью (п—1)-кратного
применения неравенства C4). Имеем
\\р-Ч-,Уп)\\г^=\\...\\р-*\\гг..\\г .
I ill«_1
Замечая, в силу определения чисел гь что ц— V —. и при-
меняя указанное неравенство, будем иметь
I ?-» Ilr, =
2ы*'+|0,1
Vi ^i л
<
<с У|^|"'
1=2
-J&
Отсюда видно, что после п — 1 аналогичных шагов мы придем
к оценке
|р-^(-,г/пIи»<С11^1 Гр ^СЛУп

34
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. I
Используя эту оценку и применяя неравенство C2) Харди —
— Литтлвуда (по условию 1 < рп<Яп.< °°), окончательно
получим
|ЗЧ1,<С,
1Ъ(->Уп)
\Уп-
nJdyn
,((t)
<
<С2ц/!|(р(п, Pn) = c2||f!!p.
Теорема доказана.
Следствие. Пусть \^.пг <п и в условиях теоремы
/ = ЦйЫф(г/,
m+l>
., уп), где b(yt) — Ь~функция, а р =
A, .... 1, Р,
m+l>
.,рп). Тогда ||/L В« = ||Ф
и неравенство C6) примет вид *)
|^11,,Е«<С||ф||
•."„). *"
>m + v
C7)
Замечание. Применение обобщенного неравенства Мин-
ковского (И'), позволяющего (при опредленных соотношениях
между компонентами вектора) менять порядок взятия частных
норм, дает возможность несколько обобщить формулировку
теоремы, заменив условие C5) более общим: при некотором пг,
1 ^ m sg; п,
l<Pm<9m<°°, Я1>Чт, Pl<Pm (/ = m + 1,
n). C5')
Действительно, применяя n — m раз неравенство A1') (qt ^ qm,
i = m -\- 1, ..., л), доказанную теорему и снова п — m раз
неравенство AГ) (Pi s?[ pm, i = m-\-I n), последовательно
получаем
i^-im^.
^"^(V
4m-v 4m+i'
««• «mi
<
<сЩр, Pm.,pm+ *vPm)<c"^, pm p„)=c»/«p-
Основной целью последующей части настоящего параграфа
является доказательство лемм 2.22 и 2.24. Предварительно
докажем вспомогательную лемму.
2.21. Лемма. Пусть а > 0, 0 < ц < 1, 1 <г < оо, цг' > 1.
Пусть ф(х) — положительная невозрастающая функция на
?+ = @, оо) и q>e=Lf(?+).
*) Строго говоря, обоснование (^равенства C7) должно проводиться с
помощью предельного перехода по 6-образной последовательности функций.
Оно, впрочем, не будет использоваться в дальнейшем,

§ 2] ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 35
Тогда
7 —
Э = J ф (х) | jc — а\~'лйх^Са д + '' || ф ||л, ?, , C8)
где С — константа, не зависящая от а и ср.
Доказательство. Таккакф(х)не возрастает на @, оо),
то
а 2а
Г q>(*)|je — аГдЛс> J ф(*)| х — а J—^с/дг.
а а
Поэтому
а оо
#<2 J <р(*)|* —ар* dx+ J Ф(*I* — а Г* d* = 2#, + #2.
О 2а
Применяя последовательно неравенства Чебышева и Гёль-
дера, получим
а а а
Sfl=z j (p^ix — ar^dx^j j y{x)dx f {x — aCdx^
Далее,
00 ~" оо
32 = j ф (jc) (jc — ap dx < || ф ||r f x~^' dx
<-nhr«~M + r'iMir.
<Ga~w+HMIr.
Из сопоставления полученных неравенств следует лемма.
2.22. Лемма. Пусть 1 < р < q < оо, 1 < 6 < д, И =
= 1 . _|—. f ^(^ ?) ы h(y, t) —измеримые функции,
определенные в Е2, причем \р е LCP?6)(?'2), a h(y, t) неотрицательна и
симметрично убывает по переменной у относительно точки у = О
при почти всех t е Е1.
Пусть, кроме того, для функции h(y, t) справедливы
следующие две оценки:
h(y,t)^\yr-™\t\-^ + a' (! + ! = !), C9)
где щ > 0, у > 0, ц + аху < 1, и
i
i
где а2 > 0, 0 < а2у <
м</,о<1</Г+алчп в' . D0)

00
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. I
Тогда
{ { ty (У, t) h {у — л;, t) dy dt
Е' Е'
<С|Щр>вI
D1)
где С — константа, не зависящая от ty.
Доказательство. На основании результата, обратного
неравенству Гёльдера, для доказательства неравенства D1)
достаточно установить, что для любой функции geL ,(?')(—Н
+ —7=1) имеет место неравенство
1 = \ \ j 8Ш(у, t)h(y-х, t)dy dtdx^C\\g||J| ф !|(p, 0l. D2)
E1 E1 ?'
При доказательстве этого неравенства, очевидно, можно считать
функции g и \|) неотрицательными.
Пусть g*(x) равноизмерима с g(x) и симметрично убывает
относительно точки х = О, а ф*(г/, t) при почти всех
фиксированных /, как функция от у, равноизмерима с ty(y, t) и
симметрично убывает относительно точки у = 0. Тогда на основании
леммы 2.17
\ \ g (х) Ф (У>t)h(y — х, t) dydx^
< J J S* (x) ty* (y, t)h(y — x, t) dydx.
E1 E1
Поэтому можно считать, что в интеграле / функции g(x) и
ty(y, t) симметрично убывают соответственно по х и по у.
Разобьем интеграл / на восемь частей, соответствующих
восьми октантам пространства. Достаточно получить оценку лишь
для того интеграла, который соответствует октанту у > 0, t > О,
х > 0, так как остальные оцениваются аналогично.
Следовательно, нужно только установить, что
оо оо оо
Э=*\ \ I S(x)^(y,t)h(y-x,t)dydtdx^C\\g\\q,\\^\{pt,r D3)
?' Е>
Оценивая интеграл & с помощью неравенств Гёльдера и Мин-
ковского, получаем
V<\g\
\ \^(y,t)h{y — x,t)dydt
о о
D4)

§21
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
37
где
&к (х) = J dt j ф (г/, О Л (^ — х, 0 <*#,
о о
оо оо
Э% (х) = J Л J * (г/, О Л (г/ —х, t) dy.
ху о
Оценим функцию h(у — х, t) под интегралом в У\(х) с помощью
неравенства C9), а в ^(j;) —с помощью неравенства D0).
Тогда будем иметь
&х (*) < \ t~w + "' dt J $(у, t)\y-xr*-a"dy,
о о
ОО I оо
^2{x)<i\f^~'x'dt \ q(y,t)\y-xr+aiydy.
Внутренние интегралы в обоих случаях можно оценить с
помощью неравенства C8). Условия леммы 2.21, при которых это
неравенство доказано, в силу условий на параметры р, q, а,и «2
и у выполнены.
Применяя указанное неравенство, а затем неравенство B3)
Харди, в котором р нужно заменить на 0, получим
_1 *v
¦II 5^1 II, < С, х о~а" \ Ч>( -, О
t~*+aidt
,<С2ЩР,8).
II^IL^Ca
x~q+™ lh(;t)\\p-t-v-a>dt\\n^CAH
'(р. в)»
ХУ
где Сч и С4 не зависят от ф.
Последние два неравенства вместе с D4) доказывают
неравенство D3). Лемма доказана.
2.23. Замечание. Приведем примеры функций h(y,t),
удовлетворяющих условиям предыдущей леммы. Положим
(параметры р, q, ц, 0 такие же, как и в лемме)
1 / 1 [ \—ФЛ+Мч)
My, OHyr^Vf7 llyF+ШЧ
где р, > 0, р2 > О, А,, > О, Х2 > О,
где Р > 0, y>°- а [a]i = min(a, 1).

8 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. I
Проверим, что hi(y, t) и hi{y, t) удовлетворяют неравенствам
C9) и D0). С одной стороны, имеем
*,<y,o=iyr-B,vi'f^+0,x
/ /11 \-1&Л. + ЗА:)\ J
если 0<ai^p2> Y —W При этом можно считать, что
\i +щу < 1, так как ц —1 — — + _^< * ^> Р^ с ДРУг°й
стороны,
(/ 1 1 \ — <0iAi+{M>t)\ 1
I г/ f'-ед U f2+a'll г/ F + \t F) / <| у ru+aiV tf Г ^ " °\
если 0<a2Y^Pi» Y = W^i (ПРИ этом можно считать, что
a2Y < 1/<7 (<7 < «>))•
Аналогично
h2(y, t)=\yr-™\ ^Г^ + а{^Т'"Щ]^<
если 0<а^р (можно считать, что (х+а^< 1), и
.YN-|a2+P)r Yn2P
л2(^о=1^г+адмГГ"аг(-^) [J^fJ
<
1
1
<|г/Р+вд,Ш в'
если 0 < а2 < р (при этом a2Y < — {q < «>)).
К функциям типа h^{y,t) относятся, например,
h3(y, t)=*\tf[\y\^ +\t\*>) , p>0, D5)
M^) = (l
l i \ — \iK— -sr^.
J у |*' +| < Iх* J . если 9' < oo (9 > 1). D6)
Функция h3 получается из hx при fr = (x > 0 и p2 = -gr + P > 0, а
/г4 получается из /г, при 0, = ц > 0, p2=7F > 0, если.9'<«> F>1).

§2]
ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
39
Из сказанного следует, что неравенство D1) будет иметь
место при замене функции h (у, t) на функции ht (у, t) (i = 1, 2,
3,4).
2.24. Лемма. Пусть 1 < р <<7<оо, р<о< оо, ц = 1 —
~ + V. f^LpiP),
'- + +
КЛу,ч) = \уГ1+*1\ч rT + *i\ у\~ +\т\ъ)
(р, > о, р2 > О, Я,, > 0, 12 > 0),
1 \-(РЛ. + РД21
ад.-он^г-^т
Тогда
J f («/) Яг (</ — *> t) dy
2Р
'о.Е
, Р > О, Y> 0.
< С ||/||р, D7)
где С — константа, не зависящая от f.
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что
для любой функцииф(х, x)^L{Q',a'){E2) (— + — = I, — -{-^ = П
имеет место неравенство
| J J / (</) Ф (*, т) Я, (у - х, т) йг/ rfr dx < С || f ||р || ф Ц,,,, oV D8)
?' Е' Е'
Поскольку левая часть этого неравенства на основании
неравенства Гёльдера оценивается через
II fllp U l^(x,r)Ki(y-x,x)dxdx\\r (JL + J-^l),
Е1 Е1 Р
то D8) будет доказано, если мы покажем, что
| J J ф (х, т) Я, (х - у, т) dx dx || < С || ф 1^ аГ D9)
Е' ?' Р'
Последнее же неравенство непосредственно вытекает из
предыдущей леммы. Чтобы в этом убедиться, заметим, что параметры
р', q', а', ц удовлетворяют условиям
1<<//<р,<оо,. 1<о'<р',
а для функций /Сг-(л;, т) справедливы'оценки C9) и D0), в
которых р нужно заменить на q', q на р', а 0' на а. Справедливость

40
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. I
таких оценок доказана в замечании 2.23, поскольку при
указанных значениях параметров Кг(у, т) = Ы(уу т) (t = 1, 2). Таким
образом, условия леммы 2.22 выполнены и неравенство D9)
следует из неравенства D1). Лемма доказана.
§ 3. Ограниченность свертки в Lp
В этом параграфе решается вопрос об ограниченности в
норме Lp оператора свертки K*f при выполнении некоторых
специальных анизотропных условий для К(х). Будет показано, что
ограниченность свертки в Lr при некотором г A < г < оо)
влечет ее ограниченность в Lp при всех р A < р < оо), а также
в Lp при всех р A < р <оо).
Основной результат для несмешанной Lp-нормы содержится
в теореме 3.4 при т = 0, его обобщение на смешанную Lp-нор-
му — в теореме 3.5.
Изложение проводится по плану, близкому к принятому для
изотропного случая в работе Бенедека, Кальдерона, Панцоне [1].
Здесь содержится, в частности, обобщение соответствующих
результатов Крэ [1], относящееся к анизотропному случаю и
пространствам Lp.
3.1. Квазилинейные операторы слабого и сильного типа. Для
измеримой функции f(x), определенной на Еп, через n(f; t)
обозначим меру множества точек х, для которых \f(х) | > t:
H(f; 0 = mes{x: |/(x)|>f}.
Функция ц = (x(f; /) называется функцией распределения
для \1{х)\.
При 1 -<Ср < оо
оо
J|/(*)!"<**= J ix{\f\p;t)dt =
е" °
= J H(\f\;tup)dt = pj tp-lii(f;t)dt*),
о о
так что
{ОО ч I/P
pj *"-'ц(МЛ • A)
*) Обоснование первого равенства для финитных функций со значениями
из [а, Ь] с@, оо) следует из совпадения аппроксимирующих сумм первого и
второго интегралов. Общий случай получается с помощью монотонных
предельных переходов.

93| ОГРАНИЧЕННОСТЬ СВЕРТКИ В Lp 41
Обозначим через Мр совокупность всех функций }(х), для
которых конечна
ll/Loo = ll/IiLoo = esssup|/(x)|. ' B)
Е
Уменьшив интервал интегрирования в A) до @, h) и
учитывая монотонность \i(f, t), получаем, что
1шц,<иа. кр<оо.
Обратное не имеет места, как показывает пример функции
f(x) = \х\-"р.
Оператор А, действующий из одного функционального
пространства в другое, называется квазилинейным, если область
его определения вместе с каждыми двумя функциями /ь /г
содержит и их сумму f\ 4- /2 и если для модулей значений
оператора выполнено неравенство
|Л(/, + ^Жх(|ЛЫ + |ЛЫ),
где я — постоянная, не зависящая от /i и /г- Если я = 1, то
назовем Л сублинейным (т. е. выпуклым вниз).
Будем говорить, что квазилинейный оператор А имеет тип
(сильный тип) (р, q), если он определен на Lp(En), имеет
значения из Lq(Em) и
MflU«<K||fllPiB», Vfe=Lp(?"),
с постоянной К, не зависящей от f.
Если же вместо последнего неравенства выполняется более
слабое
\\Af\\Mq<K\\f\\p,En, Vf<=Lp(En),
оператор А будем называть оператором слабого типа (р, q).
Наименьшее значение для К может быть названо в этом случае
слабой (р, q)-нормой А.
3.2. Теорема Марцинкевича |1]. Пусть 1 ^ рг ^ qt ^ оо
(/=1, 2), q^q%, 0<т<1, 1 = 1^ + ^ , 1 = 1^1+-J .
Если квазилинейный оператор А имеет одновременно слабый
тип (р\, q{) и (рг, q%) с нормами К\ и К% соответственно, то
оператор А имеет сильный тип (р, q) и
\\Af\.Em<MK\-xKl\\f%,Er4
где М = М(т, х, р\, q\, рг, qz) не зависит от f и при
фиксированных ри q\, р?, q%, е > 0 ограничено, когда те[е, 1 — е].

42 ' ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. I
Доказательство (Зигмунд [1]). Мы будем
систематически пользоваться обозначениями
1 l l ft l ft 1 о 1
а==Т' ai=77- a2 = 77' рв=Т' Pl = ^7' Р2 = ^7-
В координатной плоскости (а, р) отрезок, соединяющий
точки (ai, Pi) и (а2. Рг), лежит в треугольнике 0 <; р <; а <; 1,
причем Pi Ф Рг. Утверждение теоремы означает, что оператор А
имеет сильный тип I —, -g-l, соответствующий любой внутренней
точке (а, р) этого отрезка.
Ограничимся доказательством теоремы для случая, когда
<7i Ф со, q2 ф оо, и пусть для определенности 0 < Pi < Рг ^ 1.
Случай ai < аг (лишь этот случай при р\ = q\, р% = q<i
будет применяться в дальнейшем). Пусть f е Ьца. Для
фиксированного с > О рассмотрим разложение f = /]-(- /2, в котором
/i = f, когда |f <; с, fi = e'ars'c в остальных точках. Отсюда
\h\=mm(\f\,c), |f| = |f,| + |f2|.
Так как f е L\/a, то f, е L1/0, f2 s LI/a/ Следовательно, по
предположению существуют g, = Afl, g2 = Af2, g= Af, \g\^
<k(I*iI+1&I).
Из последнего неравенства и условий слабого типа имеем
»(g; 2*0 <ц(*,; 0 + 1*(ft; 0<<'Г7'1^ГР', + *?<""*№? C)
Правая часть C) зависит от с, и идея доказательства
состоит в том, чтобы выбрать с > 0 наилучшим образом.
Замечая, что
й (А; 0 = и (f; 0 для о < ^ < с,
М- (f i; 0 = 0 ДЛЯ *> С,
Ц (fa*. 0 = 1* (f *. * + с) для t > 0,
получаем в силу C) и A), что

S3]
ОГРАНИЧЕННОСТЬ СВЕРТКИ В Lp
43
t VII
Беря с = ( —) , где а > О, ? ф 0, получаем в силу A) и
последней оценки, что
оо оо
|| g\fq = q j Г,* (g; О Л = Bк)"q j* ^"'ц (g; 2yd) dt <
Г №»1/E
Bx)« 9 Of'"" j ''"'"" J Ар'-'ц (f; Л) rf/г
<7i/Pi
Л +
+ tf*pfрг J *«-'-"
J /ip'-V(/; A)dA
¦<Wft
<ft/Pz
Л
Оценим правую часть с помощью неравенства Минковского
для интегралов 2A0):
/
,<?-!-¦/
itla)Ul
Г AP'"V (/; A) dh
4ilP\ ] Р,/<Л
dh =
0 (aft*
-! -Hi
«/aI'5
<7i/P« ¦> Pj/<7i
dt
( акЛ
J Ap,~V(f; A)dA
1/5
°° f ah
J Ap'"V(f; A) J ^"'"^rf/l . dA<
о | о J
1 \Pilq, Pi±^Z- 7 р-\+ъРгЯ=2±
) а я, j ft я, p(f.t h)dh. E)
<?-<?2
Выберем ? так, чтобы показатели при h в обоих последних
интегралах D), E) были равны р— 1. Это выполняется при
ь _ Р (« - «i) __ р (a - ct2) _ <?i (pi - p) </„ (p2 - p)
a(p-p,) a(p-p2) p. (<?,-<?) p2(<?2-<?)*

44
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. I
Собирая результаты, получаем, что
llglC<Bx)^{^(-^)^(-^r7)fl'-<"||f||pP^ +
<7i Ч-г Рг Pj
При a — Kf~bKp~q,\\ f lip7-- в обоих слагаемых правой части F)
показатели степеней при К\, Дг> II flip соответственно
совпадают, и мы получаем утверждение теоремы с
\ > ч \ q,—q q — q2
Случай а, > а2 рассматривается аналогично, и мы
приходим к утверждению теоремы с той же постоянной М, что
и для СЦ < а2.
Случай <Xj = а2.
{С °» ,
О с '
{С оо .
(II g Им J* J ''"*"' Л.+ (II 8 Им J' { г'-"-1 Л =
О с '
- W я{~и Kq, ""* + ^- Iff С„ ^ }•
При c = (||g|[M(?^,-(?2(||g||jMJ<72-7, получаем утверждение
теоремы с
Mq = Bx)qq{—1- 1 !—1.
Тем самым доказательство завершено.
3.3. Замечание. Везде в 3.1, 3.2 можно считать, что
оператор А определение на всем пространстве Lp(En), а лишь на
О
пространстве Ьх (Еп) измеримых, в существенном ограниченных
и финитных функций. При этом следует изменить определения
оператора сильного и слабого типов, считая оператор заданным
на L (?"), а соответствующие неравенства выполненными для
О
Vf <= L^ (?"). Теорема Марцинкевича 3.2 при этом сохранит
силу, так как при ее доказательстве используются лишь разложе-

§ 3] ОГРАНИЧЕННОСТЬ СВЕРТКИ в 1р 45
ние / = U 4- h, которое имеет смысл и bLm (?"), и оценки для
Ah, Ah-
3.4. Далее в этом параграфе везде будем использовать
следующие обозначения и условия:
Х = {Х1, ..., Хп) = (Х, X) S Ь , Х = уХ\, ..., хт),
х = (хт+и ..., хп), 0<т<« —1,
1 < р = (Pl рт) < 00, 1<р<0О.
Для /(?, х) положим
llflli;.P = {Jllf(-.^l^}1/P.
соответствующее пространство функций обозначим через L- .
В случае m = 0 ||f(-, х)||- = | f (х) |, а II f 11^. р = || f ||р
совпадает с обычной нормой в Lp{En).
о
Будем считать также, что свертка задается лишь на Loa{En),
= о
так что рассматриваемые функции f(x) = f(x, л;)<= L<x>(En), т. е.
измеримы, в существенном ограничены и финитны. Положим
еще для g = g (х)
\i(g\t) = mes{x:\g(x)\>t}, я[х\= max \xlf\i.t>0.
Теорема. Пусть для
Af^l\K(x-y,x-y)f(y, y)dy dy, K(x) = K (x, x) s Lloc (En)
выполняются условия:
1°. При некотором г, 1 < г < оо,
\\Af\\p,r<cr\\f\^r.
2°. Яри некотором N > О и всех f > О
Г Г | К (х, ~х — у) — /С (je, л;) | dx die < с, если n[y]<t.
я [Sj > ЛК
Гог<5а мри всех р, 1 < р < оо,
Mflfc.P<*,||/|?p
с постоянной ср — Ср(сп с, N, г, р). .
Доказательство теоремы основывается на ряде лемм и
будет приведено ниже.

46 интегральные неравенства [гл. 1
3.5. Теорема. Пусть для
Af=\K(x-y)f(y)dy, K(x)GLl0C{En)
выполняются условия:
1°. При некотором г, 1 < г < оо,
2°. При некотором N > 0 и всех t > О
\ | К{х — у) — K(x)\dx^.c, если n[y]<t.
л \х] > Nt
Тогда при всех р, 1 < р < оо,
МЛ1,<с,Ш1,.
Доказательство теоремы 3.5 просто вытекает из
теоремы 3.4. Заметим, что из условия 2° следует прихс[</] < t оценка
f I | К (х, х — у) — К (х, х) | dx dx <
П[Щ> Nt _ _
< J \К(х, х — у) — К(х, je)|dx<c,. G)
я [jc] > №
В силу теоремы 3.4 утверждение теоремы 3.5 верно для р =
= (Рь •••, Pi)- В силу G) и теоремы 3.4 (при m = 1)
утверждение теоремы 3.5 верно для р = (р\, рч, ..., р2). В силу G)
и теоремы 3.4 (при m = 2) утверждение теоремы 3.5 верно для
р= (pi, р2, рз, ¦•¦, Рз)- Продолжая так и далее, приходим к
утверждению теоремы 3.5 в общем случае.
3.6. Лемма о накрытии*). Пусть
и(х)?=Ц(Еп), /» = (l! Ц ?1;>0, *>0.
Тогда существует число Кй~~?> 1 (зависящее лишь от Х\, ..., Хп)
и последовательность неперекрывающихся параллелепипедов Qh
вида
{х: \х( — x*\<bv 0< а*< < &г < (у*)Ч » = 1, ..., п)
таких, что
*<IQ*r' )|«WI^<2IM^^ l\x\ = ^i)
|и(л;)К^ почти всюду вне UQh
*) Ф. Рисе — одномерный случай, Зигмунд и Кальдерон [1] — изотропный
случай, Джоупс [1] — специальный анизотропный случай.

§31
ОГРАНИЧЕННОСТЬ СВЕРТКИ В Lp
47
Доказательство. При заданном к— (?ч, ..., кп)
будем называть правильным параллелепипед вида
[х: |*, — *J| < а*' (» = 1 п)} = {х: п[х — х°] < а}.
Разобьем пространство Е" на сеть равных (правильных)
параллелепипедов нулевого ранга {Q0j} с полудлиной ребер a%i (i =
= 1, ..., п). Каждый из них разобьем на Sn ... sin
параллелепипедов первого ранга, поделив г'-е ребро на S\t равных частей
при*) Sli = l24<2\
Каждый из новых параллелепипедов разобьем на S21 ... s2n
параллелепипедов второго ранга и т. д. Мы получаем, таким
образом, параллелепипеды &-го ранга с полудлиной ребер
а
где sfti =
S\iS2i ••• Ski
2 •
SU
2 t l 1
Поскольку ^1, то sft+1 i^\2 l\^\ и имеются сколь
su ••• sh
угодно большие k с shi > 1, так что процесс деления определен.
Для полудлин ребер очевидны следующие оценки:
2я
Л., Л.
(i)'»<(».i)'. «-!"»."-»¦
Таким образом, каждый параллелепипед Q /г-го ранга
содержит концентрический правильный параллелепипед Q* объема
2ге (a/2fe)' ^' и содержится в концентрическом правильном
параллелепипеде Q** объема | Q** | = l[l' Q* |.
Будем считать теперь, что а > О выбрано из условия 2V >
> f-1 | \u\dx, так что среднее значение|и|в каждом
параллелепипеде нулевого ранга меньше t. Выделим параллелепипеды
Qib Q12, Qi3. ••• первого ранга, в которых среднее значение |и|
не меньше t.
*) Для дальнейших приложений важен, случай рациональных >Л Тогда
вместо 2 ' можно взять целые b 1>\, что приводит к упрощению
дальнейших построений.

41
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
(ГЛ. I
Выделим далее параллелепипеды Q21, Q22, Q23, • ¦ • второго
рянгй со средним значением \и\, не меньшим t, не покрытые
ныдолониыми ранее. Продолжая процесс, выделим
параллелепипеды Q/(i, Qh2, Qk3, ••• ранга k со средним значением |и|, не
меньшим /, не покрытые выделенными ранее.
Пусть Qhj содержится в (невыделенном) параллелепипеде
Qh-m ранга k — 1. Тогда
t\Qk,\ < J l"lrf*< J \u\dx^t\Qk_l(n\^
</J^li|QwK^12'fc||Qw|.
\Qki\
Перенумеруем выделенные параллелепипеды в
последовательность {Qh}- Для почти всех хф \J Qu существуют
содержащие х параллелепипеды всех рангов со средним значением |и|,
меньшим t. Поскольку и(х) е L\ cz Lloc, отсюда следует по
теореме L7, что |«(*)| ^/ в каждой точке Лебега множества
Еп \ U Qk, т. е. почти всюду на этом множестве. Этим
доказательство леммы завершено. _
3.7. Лемма. Пусть для К{х, х) е Lloc (?") выполнено
условие 2° теоремы 3.4. Тогда неравенство
/ \\Af\\-pdx^c\\f\\-pA
я fx—i»] > Nt
справедливо для тех функций f(x, х), которые сосредоточены
в я[х — i5] < / и для которых J f(x, x)dx — Q при всех х; при
этом постоянная с та же, что и в условии 2° теоремы 3.4.
Доказательство.
J \\Af\\-pdx =
я {T—x*i > Nt
= f If J *(' ~ У>~х~ ~y)f(y>~y)dyd~y\_dx =
л U"-x»| > Nt
= J \HlK(--y>*--'y)-K(--9,x)]f(g,y-'x°)dgJyl_<G*z
я \x] > Nt
< J \\f(-,y-x°)\\p / \K(x,l-y)-K(x,x)\dxdxdy^
n W\ < t я |*j > Nt

§ 3] ОГРАНИЧЕННОСТЬ СВЕРТКИ В Lp 49
3.8. Теорем а. Пусть при всех t > 0:
1°. ' n(M/lfc;9<crrim?.r
при некотором г% 1 < г < оо.
2°. Для f(x, х), сосредоточенной в zt[x — x°]<t и с
интегралом J f (х, х) dx — 0 при всех х, выполняется неравенство
_[ II Af ||- dx < Cl J || f (•, J) ||- rfx = ct ||f Ц-,,.
я fx—T«l > JW
Тогда для каждого р, 1 < р < г,
Ill/lkpOpllflfc.,,
с постоянной Ср — ср(с, с,, W, г, р).
Доказательство. Зафиксируем s > 0, и пусть Q^ cz
с Qkcz Q' (k = 1, 2, . . . ) —параллелепипеды, построенные
в E"~m для ||/(•, х) ||- в соответствии с леммой 3.6 о
накрытии. Тогда
оо
f = g + h = g+'2ihk,
где
g(x, * = /(*, х) при х е= ?"~m \ U Qb
» g(x, *)=|Q*r' jf(x, ~y)d~y при SteQt,
hk(x, x) = f(x, x) — g(x, x) при x<=Qk,
hk (x, x) = 0 при x^Qftc Q".
Отметим еще, что так как f имеет компактный носитель, то
носители g и всех hk содержатся в некотором фиксированном
компактном множестве.
Таким образом,
II ё (•. *) II- < 21 fc {lil'/ почти для всех х,
р
'йЬЛ<ЛП
SAj
<2||f||?>1.
p. i
Имеем, далее (используя первое условие теоремы),
1*( Mg Ifc, {)<с2ЛГ'|| g |?_ г<с2гГг |B! *!4Л '/)'"' || g (•, х) ||- rfJ<
<c'r,||g||?il<C;r1||f||jjil.

50
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. I
Поскольку 2^fc->/? (/("-> оо) в норме || • ||- т, то в силу
условия 1° теоремы заключаем, что
Ah — AlZh
0
по мере в Еп~т, откуда для почти всех х
оо
\\Ah{-, *)[|-<2||ЛМ-, Щ.
Для параллелепипеда Qk={x:n[x — л:0] < s) обозначим
через Qk параллелепипед Qk = {x: я[х — х°] < Ms].
В силу 2°
{ Uh\\-pdx^Yi J
?"-¦•" \ U Q*'
\\ Ahk\\-pdx ¦¦
ел—«\ио
<S J И ^Л* lf? dx < с, 2II Л* It., = с, || Л (Ij. f.
?"-¦* \Q**
Следовательно,
n(l|i4Alt. |)<|иОГ| + 2Г
I
4A||~dx'<
E'l—«\UQ
;^-;л4м|ир;| + 2г'С1||/11Ьл-
Так как || A lb ,<2||f[|- и
IUQ)l<^IQ/ll<Sr' fllH-.^lt^^r'llflt,,,
получаем, что
Следовательно,
^ (II Л/ If-, t) = v(\\Ag + Ah\\-p,t)^
< И ( Mg Пр. у) + ц (|| ЛА II-, |) < СзГ' || f Ну,,,
где постоянная с3 = Сз(с, си Л', г).
Из этого неравенства и условия Г теоремы получаем
утверждение теоремы в силу следующей леммы;

§ 3J ОГРАНИЧЕННОСТЬ СВЕРТКИ 6 Lp 51
3.9. Лемм а. Пусть для линейного оператора Af выполнены
при некотором г, 1 <; г < оо, и всех t ~> 0 условия:
»{\\Af\\-, 9 <*!*-'|| Л^,,
^AИ/11-, t)<crr\\f\\^r.
Тогда при всех р, \ < р < г,
\\А!\\-р,р<ср\\П\-р,р,
где Ср = ср(с1, с, р).
Доказательство. Положим
Ф(*) = /(*Ш(-. *)HJ' при ll/(-, x)|U^0,
<р(*) = 0 при ||/(-, 7I^ = 0.
Рассмотрим оператор
(Bg)(x) = \\A[g(x')<t(-, хЩ,
определенный на функциях g(x) ^ Loa(En~n). Ясно, что
оператор В сублинейный (см. 3.1, 3.3) и
ц (Bg, t) < с{Г11| g ||„ fi (Bg, t) < сГг || g \[r.
По теореме Марцинкевича 3.2 с учетом замечания 3.3
\\Bg\\p^cp\\g\\p
с прстоянной Ср, зависящей лишь от си с, р.
Взяв g {х) = \\f (• , х) Ц-, приходим к утверждению леммы.
3.10. Доказательство теоремы 3.4. Пусть оператор
Af=l j K(x-y,x-y*)f(y, ddydy1, fe=Ln{En),
удовлетворяет условиям теоремы 3.4. Введем еще оператор
A*g=\i К(У~*> И— ~х)ё(У> y)dydy, g^LOB(En).
Поскольку из неравенства
j f(x)g (х) dx < С || /1|- г,
справедливого для всех f е Lx(En), следует (см. 2.6), что gei-,r,,
II ? lb г'^с (гДе — + -=-=1. г-— = Ч> т0 легко видеть,
р' \ Р Р г г' J
что двойственные неравенства
И/ h г <сг II/ Ир, г' \\А'ц%..г.<,сг\\в?р:.т.
имеют место одновременно.

S2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. t
В самом деле, если, например, || Л/Ц- г<сг||/|^ r, gel-^ г„
то
\lfA*gdx\ = \jgAfdx\^\\Af\\-ptr\\e\\-p,,r <cr||/||-,r|lgll^^,
откуда и следует утверждение.
Оператор Л* удовлетворяет, таким образом, условиям
теоремы 3.4 с заменой р, г на р', г'.
В силу леммы 3.7 оператор Л удовлетворяет условиям
теоремы_3.8, а оператор Л* — условиям теоремы 3.8 с заменой
р, г на р', г'. Поэтому
II A'g |^_ q < cq || g II-,, e при всех <?, 1< <? < /.
В силу двойственности и затем теоремы 3.8
\\Af ||-_ t < cj| /1^ , при всех s, 1 < s < <?'.
Так как q' можно взять сколь угодно большим, то
последнее неравенство совпадает с утверждением теоремы 3.4.
3.11. В § 15 будет использован результат об ограниченности
в LP{E% р = (р{ Рп-и Р«) = (р> Ра), оператора свертки
вида
оо
A J = \К (ха - уп) f (х, уа) dyn, К (и) е= Lloc (?')> (8)
— ОО
где х = (хи ..., хп-и хп) = (х, х„), к изложению которого мы
приступаем. Поскольку доказательство во многих моментах
повторяет вышеприведенные, в ряде мест мы ограничимся лишь
ссылками на аналоги. _ _
Лемма. Пусть при некоторых р A<р<оо),г A < г <;
< оо), N > 0 и всех t > О выполняются условия:
Nt
2°. | \K{u — v) — K(u)\du^c, ecAu\v\<t.
-Nt
Тогда при всех pn, 1 < pn< r,
1М„Л1,<г,11П1„ (9)
с постоянной Cp — cp(c, p, r, N).
Доказательство. Из условия 2° следует, что для всех t
и всех f(x, хп), сосредоточенных в полосе \ха — *^|<* и та-

§3| ОГРАНИЧЕННОСТЬ СВЕРТКИ В 1р §3
ких, что J / (х, ха) dxn = 0 для почти всех х, выполняется
неравенство
{ \\Anf\\-pdxn^c\\f\\~t , A0)
\*п-*п\>т
с той же постоянной, что и в 2°. В самом деле,
J \\Anf\\-dxn =
\хп-х°п\>Ш
= f | Д' (хп — уп) f (•, уп) dya I dxa =
\xa\>Nt P
Из условия 1° и из A0) следует теперь в силу теоремы 3.8,
что неравенство (9) имеет место, если 1 < рп < г.
3.12. Лемма. Пусть для оператора свертки Aaf (8)
выполняется условие 2° леммы 3.11 и при некотором (р, г),
1 < (р, г) < ОО,
МЛ^г<с||/ц-(Г.
Тогда при всех рп, 1 < рп< оо,
НЛ.Л1р<г,Ш,
с постоянной ср — Ср(р, с, N, г).
Доказательство проводится переходом к сопряженному
оператору аналогично тому, как это проделано в 3.10 при
доказательстве теоремы 3.4.
3.13. Теорема. Пусть ядро К(и) оператора (8) таково,
что:
Г. При некотором г, 1 <г < оо, и п= 1
M^IKcJcpIL ФеД(П
2°. /7/ш некотором N > 0 и всех t > 0
J | /С (и — а) — /С(u) |d«^c, если \v\<t.
-Nt

54
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. 1
Тогда при всех р, 1 < р < со, и всех п=\, 2, ...
MJII, <cni ,||/||,, feljn A1)
где с п. р = сп, Р [г, N).
Доказательство будем вести методом математической
индукции по размерности п пространства. При п = 1
утверждение теоремы справедливо в силу теорем 3.4, 3.5. Пусть теорема
доказана для Еп~х (п > 1). Тогда оценка A1) верна в случае
Еп для тех р, у которых рп = рп-\- В самом деле, для этого
достаточно неравенство A1) для ?n_I применить к функции
f(x) при каждом фиксированном хп, а затем взять от обеих
его частей LPn- нормы по хп.
Теперь остается лишь сослаться на лемму 3.12.
§ 4. Сингулярные интегралы в Lp
В этом параграфе результаты § 3 будут использованы для
получения в анизотропном случае оценок в Lp типа оценок Мих-
лина — Зигмунда — Кальдерона сингулярных интегралов и
оценок предельных операторов для сверток*). Начнем с некоторых
вспомогательных рассмотрений.
4.1. Обобщенные сферические координаты.
Определение. Пусть X = (Х\, ..., Хп) — вектор с поло-
it
жительными **) координатами, |А.|=2^<> а — вещественное
число. Функцию Ф{х) = Ф(Х1 хп) назовем Х-однородной
степени а, если для любого (>0и любого х Ф О
Ф(А-) = Ф (/'*!, ...,' t*-"Xa) = t п аф(х).
Функцию р{х), непрерывную, Х-однородную первой степени
и положительную для х Ф 0, назовем Х-расстоянием (точки х от
начала координат).
В случае, когда Xi = ... = Х„, ^.-однородная степени а
функция является (в обычном смысле) однородной степени а.
Примерами Х-расстояний могут служить
л(х)=гаах|^Г1№г, l/"si*if|fcJ/"\ (?|*|Г')|Х1,\
Ki<a ' I V I /
*) Здесь обобщаются, в частности, результаты Льюиса [1], относящиеся
к анизотропному случаю и пространству Lp.
**) Определение ^-однородности можно ввести и для произвольных ве-
п
щественных ?.j, полагая, например, |Я|= 2 I ^ !•
1

5 4]
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В Lp
55
положительная при х ф 0 функция р{х), заданная неявно
равенством
24р-^|Я! = 1. A)
2=1
Для простоты записи в дальнейшем будем применять
обозначения:
^max = max Я;, Ят1„ = min Xt, hm = пХЦ % |.
При |Я,| = п имеем л{х) = л[х] (см. § 3).
Каждое Х-расстояние р(х) определяет единичную р-сферу
{х:р{х) = 1}.
Кривую xt = tKili (t=l, ..., п\ 0 < t < оо) назовем
Х-траекторией, считая при этом, что не все ?* равны нулю.
Единичной п-сферой является поверхность куба {х : \хг\ ^ 1
(i = 1, ..., п)}, единичная р-сфера для р(х) из A) совпадает
с обычной сферой {х : \х\ = 1}.
В дальнейшем вместо «Х-расстояние», «р-сфера» и т. п. будем
часто писать просто «расстояние», «сфера» и т. п.
Очевидно, единичная сфера пересекается каждой
траекторией в одной точке. Так как различные траектории не
пересекаются и заполняют все пространство, единичная сфера
охватывает начало координат. Верно и обратное: всякая замкнутая
поверхность, охватывающая начало координат и пересекаемая
каждой ^-траекторией в единственной точке, является единичной
сферой для некоторого А.-расстояния.
Пусть р(х)—произвольное Я-расстояние. Точку g = %х,
р(|)= 1, лежащую на одной /^-траектории с точкой х ф 0,
будем называть (криволинейной) проекцией точки х на единичную
сферу р(|) = 1. В этом случаех = Г% р(х) = tlKUnp(l) = t]Uln,
nhl\ К | с. i @) t
т. е. х = р 'I — рл ?.
Любое Х-расстояпие р(х) эквивалентно л-расстоянию п{х),
т. е. при некоторых положительных с', с"
c'jt(x)<p(x)<c"jt(A:). , B)
Достаточно убедиться в этом для точек сферы л(х) = 1. Но
на ней указанные неравенства следуют из положительности и
непрерывности функции р{х).
Для л(х) справедливо следующее неравенство, которое мы
будем называть обобщенным неравенством треугольника:
л (х + у)< max | 2xt {lm' + max | 2у( fк]1пХ> <
1<г^« ... i<(<n
^2|Л,'^ш1п(д(х) + л(^)). C)

56 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 1ГЛ. I
Вследствие B), C) обобщенное неравенство треугольника
справедливо для произвольного А-расстояния в виде
Р(х + у)<с*р(х) + с*р {у).
В дальнейшем будут употребляться А-расстояния п(х),
( Si xt \' ч и р(х) из A), хотя многие предложения имеют
место и аналогично формулируются для более о'бщих ?>,-расстоя-
ний.
Наряду с декартовыми координатами (Х[, ..., хп) точки х
удобно пользоваться также и обобщенными сферическими
координатами (р, |), где р = р(х) определено в A), g = \х —
криволинейная проекция точки х на единичную сферу р(х) = |х| = 1.
Очевидно, соответствие между координатами х =р ? =
= р^ | взаимно однозначно на Еп \ {0}.
Выразим одну из координат |, ||| = 1 (для определенности
|„), через остальные и перейдем от переменных х к переменным
(I,,.... ея_„ р). s?+ •¦• +r„_,<i, р>о.
При этом якобиан преобразования имеет вид
д(х Хп-и Хп) |я,@)|-' д(Хи •••¦ *п-1. хп) „| л.<°*| —Ч Л |
д(Ь Е»-ь Р) Р HI ln-u Р) p-i Р |Л|*
где элементы матрицы А суть
а-ц = Ьц A<1<п—1, 1</<м— 1),
«<•«== Л (г=1 п),
_ din
П1
Вычитая из последнего столбца линейную комбинацию
предшествующих с коэффициентами lf%, получим столбец из
нулей, за исключением последнего элемента, равного кп |п —
-S^lr- 0тсюда '
д(Хи ¦•¦> Хп-и хп) ПЦ,0Ч-1 I il0)s Vi<Q)^ din |
*я'вж (/ = 1, ¦••• n~1}l
a F,. .... *«-,. P) _p ^«^-l^Sz-^j-
V /=1
Таким образом,
n
д(х , x„-u xn)
d(l ie-i, P)
-p-ibr'S^m
l=s\

§ 41 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В Lp 57
Замечая, что элемент поверхности сферы ||1=1 есть
di = liJ-ld&i ••• din-и
получаем следующую полезную формулу:
J K(x)dx=j J /((pn)(i^Adgp-dp. D)
8<PW<V 8 I4|=l 4 = 1 /
Пусть теперь л(х)= max] xt\ '1п1'. Тогда
1<*<я
х = я(х)'ЛП}'1Ъ = пт1, n(l)=l.
Найдем якобиан преобразования переменных х = (х, ха)
в переменные (^ \п), л, где глах|?г|=1.
Пусть точка | находится на тон стороне единичного куба
max | gj |= 1, уравнение которой |» = 1 (или ?» = — 1). Легко
видеть, что якобиан преобразования при этом
да 6/-,.6,+ и,*) -±к>п
о
4.2. Пусть функция %{х) е L^ (Еп), т. е. измерима, в
существенном ограничена и финитна,
JxWdx=0, E)
\\%{x + y)-x{x)\dx^6(\y\), F)
где 6{t) — неотрицательная неубывающая функция, заданная
на [0, оо) и удовлетворяющая условию Дини 6(t)—r-<oo.
о
При к = (к1 кп), bt>0 (t=l, ..., п), 0<e<v<oo
положим
v
Kev(x)=jx(xh-h)h-[h{-ldh,
е
f ev (X) = j KRV (X — y)f (У) dy,
где f^Lp(En), 1<р< со.
Покажем, что для /C8V выполнены условия теоремы 3.5.
Так как при любом q, 1 < q < op,
h(-h-% = hil--^\\x\\q<oo, где |Л: *1—? + ¦¦¦ + ?.

58
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. I
ТО
Kev<=Lq(En), ||/Ceoe-/Cevl|, = ||/Cv<X)||,->0-npH v->oo. G)
4.3. Лемма. Пусть
&v(S) = J e~2lxi '*' l)K*v (x)dx, 0 < e < v < oo.
Тогда \KtAl)\<C,
где С не зависит от е, v, | е Еп.
Доказательство. В силу E) Kev@) = 0. Заметим, что
при / > О
A'ev (I) = J / в'3*'[х- \ (xh~x) /Г1 А м dh dx -
V/*
Поэтому оценку леммы достаточно установить для
произвольных^ е, v@<e<v<oo) и 111 = 1. Так как RRV (?) = #Е(а (?) +
+ ^iiv(i)» то достаточно рассмотреть два случая: 0<e<v^l,
1 <!е < v < оо.
При 0 < е < v< 1, | ? |= 1 в силу E) и финитности х(*)
J J (е-^< <*. S» _ !) х (xft-*) A-l * I-' dA dx
\К,Л)\*=
С
<
Ct J J I x ||Cx (xA""x) I A"'A MdJe dh sj
<
<C2J J \hKx\h~ldxdh^C3
0 supp x
При l<e< v<oo, |||==1, j/ = -|
2|K,vE)l==l^ev(S)[l-ea,"»'S,]l-
8
V
<с4//|хМ-х(*-й"хIа"'^йа<
e
oo oo 1/2
<C5j6(l^-M)A-IrfA<C5J,6(-^)A-,dA<C6j^
<

} 41 СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В 1р 59
4.4. Покажем, что для /(EV@ < е < v < <х>) выполнены
условия 1°, 2° теоремы „3.5. Поскольку преобразование Фурье
свертки равно произведению преобразований Фурье, то из
леммы 4.3 следует, что
Hfevll2<C||f||2, f^l^.
Проверим условие 2° теоремы 3.5. При t > 0, n[y]<t,
*УС\ п[В]< 1
{ 1К„(*-0) —Kev(*)ld*<
t
V
v/t
= f J \%((x-y)h'l)-x{xh-l)\h-lKl~[dxdh^
n [x] > Nt
V
Ш n[x[>N
b{N>
\b{yh~^ <С^Ур- dt,
a(JV|
где a(N)>0 (в силу финитности %)> если inf [ Jc — t/1 > О,
jt[Jt]>./V, л[г/]<1, т. е. при всех достаточно больших N.
При N-+°o b{N)->0.
Таким образом, для /Cev, 0 < е < v < °о, выполнены
условия теоремы 3.5, в силу которой при всех р, 1 < р < сю,
о
||/(ev*/ll„<c„||f||,t (8)
где ср не зависит от е, v, f. Покажем, что эта оценка остается
в силе для f ен Lp, О < е < v ^ <».
Ввиду плотности множества L^ в Lp неравенство (8) остается
справедливым для |eLpc той же постоянной ср.
Пусть / е Lp, I < р < со. Из (8) с помощью неравенства
Юнга 2 A8) следует, что при 1 < р < q^co
l|/Cev*f||?<C(e, р, q)\\f\\p, 0<e<v<oo,
где
оо
С (г, р, q) = U\_ul_[ tiK-- q]-]K- р{~' dh-*Q
Pie
при e->oo. В частности, сходимость /Cev* /-> КВоо* f (v->oo)
равномерная на Еп, так что в неравенстве
ll*.v*/ll,.UK*<M|/||p,

60 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. I
см. (8), можно перейти к пределу сначала при v->oo, затем
при R->oo._ Мы получаем, таким образом, что оценка (8)
справедлива при f е Lp, 0 < е < v ^ оо.
4.5. Теорема. Пусть 1 < р < оо, 0<e<v<oo, f <= Lp.
Тогда при e-r>0 fev сходится в Lp к некоторой функции f0v и
\\hv\\p<cp\\f\\P, (9)
где ср не зависит от f и v.
Доказательство. Предположим сначала, что / е Со°.
Тогда
\\f(--y)~f(-)\\P<Mf\y\.
Пользуясь свойством E) ядра, при 0 <С е: <С е2 получаем
= J { [f (* - у) - f (*)] г {yh~K) лн *'-' dy dh.
Отсюда при e!->0, e2->0 имеем
|fe,v-fe2v|P<J ^\f(--y)-f(-)l\Ph(yh~")\h-lXl-{dydh^
8,
«SMf { j|x(j/)l \yhx\h~]dydh-*Q.
Отсюда и из оценки (8) получаем утверждение теоремы для
/ е С0°°.
Пусть теперь / — произвольная функция из Lp, 1 < р < оо,
б > 0. Ввиду плотности Со° в Lp найдется q>eCo° такая, что
II/ — фИ/><б. Воспользовавшись оценкой (8), получаем при
0<e,<e2<v<°o
I U* ~ Lv I -1! UI < II if - Ф).,... II, + II ф. A I < <>6+II ф..... IU
Правая часть неравенства может быть сделана сколь угодно
малой за счет выбора б, функции ср (по б) и малости последнего
слагаемого при фиксированной функции ср и всех достаточно
малых еь е2. Отсюда (и в силу полноты Lp) следует сходимость
fev При Е-»0К НеКОТОрОЙ фуНКЦИИ /qv е Lp.
Теперь из оценки (8) с v = оо предельным переходом по
е -> 0 получаем неравенство (9).
4.6. Мы перейдем теперь к выводу аналога теоремы 4.5 для
другого ядра. Этот аналог является обобщением на
анизотропный случай соответствующего классического результата

i 4] СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В Lp 61
С. Г. Михлина [1] (р = 2) и Зигмунда — Кальдерона [1] A <
< р •< оо). Полученный результат не будет, однако,
использоваться в дальнейшем. Займемся некоторой подготовкой.
Пусть К(х) eLlM(?"\ {0}) и при некоторых постоянных
М > 0, /V>-1 и всех t > 0, |л > 0, е > 0, v>e выполнены
следующие условия:
J |/C(JC — 0)--/C(*)|rfx<M, если я[0]</, A0)
J |/С(х)|Ас<М, A1)
л |*] > т
J /C(*)d*
uv\ue
t<nlx]<2t
<Af, если 0<e<v<oo, A2)
существует конечный предел
lim f K(x)dx A3)
''I Ve
У|\У-
при некоторой системе расширяющихся окрестностей нуля Uv
со свойством
|х: п[х] < jf}czUvcz {х: п[х] < v). A4)
Рассмотрим для К (х) срезки Ке, Ке @ < е < v < оо), где
К(х) при x^En\Us,
*eW \ 0 при ieJ/„
/(?(*) =/Се (*) —ffv (я),
и проверим для /Се условия теоремы 3.5.
Для проверки условия 2° теоремы 3.5 для срезки К?
оценим интеграл
л [х] > Ntt
J \Ke(x — y)~Kt(x)\dx^
<j\K(x — y) — K(x)\dx+ f \K(x)\dx = 3f + 3f',
Q QxUQ,
где
Q= \x: n[x]> N{t, x — y<= Uf\,
Q, = {x: n\x]>Nit, x<?UE, x — y^Ue, n[y]<t],
Q2={x: n[x]>N{t, x^Ue, x — y<?,Us, n[y]<t).

62 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. I
Оценка 3 следует из A0). Из определения Us A4)
получаем, что
Q{c:Q\ — [х: л[х]>ЛУ, л[х]>е/Ы, л[х — у]<е, n[y]<t},
Q2dQ'2= {х: п[х]> NJ, л[х]<е, л[х —- у\ > e/N, n[y\<t\a:
cz [х: л[х]<е, л[х — у]> e/N, л;[г/] < е/ЛГ,}.
С помощью неравенства C) заключаем, что при достаточно
большом числе N[ = Nl{N, к) найдется число d > 0 такое, что
Q{ cz Q'( ={ х: ^Г < л W < 2'Am'n (e + '> }•
Q? cz Q'{ = {x: d& < л[x] < e}.
Теперь для оценки Sf' остается увеличить область
интегрирования до Qf'UQ^' и применить A1).
Проверим при г = 2 условие 1° теоремы 3.5 для Кв(х). Для
этого достаточно показать, что
\К1A)}<СМ, 0<e<v<oo, |е?»,
где С не зависит от е, v, |. В самом деле, для | *!<!/?< оо,
о
f е /.м и достаточно большого v = v(#, f)
(tfe •/)(*) = (/(?*/)(*),
oткvдa
ll^*/ll2«|,|<«,<SUp|Ke(i)|||/l]2<CM||f||2,
и остается перейти к пределу при /? -»• оо.
Таким образом, проверка условия 1° теоремы 3.5 сводится
к следующей лемме.
4.7. Лемма. Пусть для К(х) е Li(En) выполнены условия
A0), A1), A2); тогда
где С не зависит от К{х).
Доказательство. Оценка леммы в точке | = 0 следует
из непрерывности R(l) как преобразования Фурье суммируемой
функции или из A2) предельным переходом по е-*0, v-»oo.
Рассмотрим наряду с функцией К(х) функцию
/("¦)(jc) = /-IMk(/*x) (г>0).
Очевидно, К{г)(х) обладает свойствами A0), A1), A2) с заменой
8, v, t на г/г, v/r, t/r. Воспользовавшись заменой х на гкх,
получаем
К {%) = j е-2пг <*• Щ (х) dx = J e-2ni b%*> %(r> (*) ^ = R{n (rxl).

I 4]
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В I,
63
Отсюда следует, что для доказательства леммы достаточно
оценить | K}r) (?) | при |||=1 и всевозможных г > 0.
Опуская в обозначениях индекс (г), получаем, что лемму
достаточно установить для |?|=1. Имеем, далее,
/С E) К
j (e-M^b — \)K(x)dx + j К(х)
dx
я [ж] < I
я[х]<1
+
+
J e-2ni[x-^K{x)dx
я[х]>1
^ll + l^l + l^l-
Из A1), A2) следует, очевидно, что I^KC^M.
Оценку | Sfx I получаем с помощью неравенства! 1 —eib\ ^| Ъ |
и очевидной оценки | х |<! \Гпл[х] т1п при я[х]^1, 1т1п =
= min Аг:
|ЗЧ<С2 |UI |tf(x)|rfx<
я[*]<1
< С2 Vп J) 2-Amm | /C(x)Jrfjc< С3М.
2-/_|<я!х1<2-/
/=0
Оценим, наконец, | У31 при |||=1. Выберем б из. условий
0<6<у, я[б|]<тт(^, 2^п,т J. Пусть г/= б|. Тогда
|1_е-2я**».б»|>у = у(в)>0, я[«/]<^-.
С помощью сдвига переменных интегрирования получаем
A_е-2яг (</,!)) уъ _
= J e-*'<*.«)[/(W-^(jf-y)]dJf + 5'B + ^6 = ^4 + 5'e + ^e,
*M>i
где
"М>1 я1х+у1>1
nlJt—jf]<l ii[x]<t
l^eK j \K{x-y)\dy= j* \K(x)\dx.
n\x] < I
n[x-y]>i
я[х+у]<1
я[х]> J

64 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА [ГЛ. I
В силу A0) | &А |<М. и остается оценить &ь, &ь. С помощью C)
и в силу выбора у имеем
Я [*] < 2'Amln [Я [X + 0] + Я [ - Jfl < 2,/4»1» Л [х + «/] + 1,
2,А™'«я[х]>л[х+г/]—21А«»пл[г/]>л[х+г/] —у.
Увеличивая области интегрирования, получаем, что
\ЭЬ К J |/C(x)|dx, |^6|< J |/((x)|rfx.
2 Km'n<nW<l 1<яИ<2 Xmln
Отсюда и из A1) находим, что | У5 \ +1 З^1<C4Af, и
следовательно,
\Уя\<\-1A + С4)М.
Лемма доказана.
4.8. Теорема. Пусть для К{х) е= Lloc (Еп \ {0}) выполнены
условия A0), A1), A2).
7огда при 1 < р < 00
\\Ks*f\\p<Cp\\f\\p, f^L,
где ср не зависит от г и /.
Доказательство состоит в проведенной только что проверке
условий теоремы 3.5 для /Се(х).
4.9. Теорема. Пусть для К (х) е L,oc (?" \ @)) выполнены
условия A0), A1), A2), A3), 1<р<оо, f(x)<=Lp, 0<e<v<oo,
Тогда /J(x) сходится к некоторой функции f0(x) при е->0,
v->oo в Lp{\ x\^.R) на каждом компакте \x\i^.R. При этом
\\foWp<Cp\\f\\p,
где ср не зависит от f.
Доказательство. В силу теоремы 4.8
Достаточно убедиться в справедливости доказываемой теоремы
на функциях множества Со", плотного в Lp. Для /еС^°, | х |<!/?
функции /J(x) не зависят от v при всех достаточно больших v,
откуда следует заключение теоремы для v-*oo. Теперь
достаточно показать, что
ll/eWrJHI/It-O при 0<ei<e2-*0, /еС"

S 4) СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Й Lp 65
Имеем
/:;w= J K(y)f(x-y)dy=
= J ^(y)[f(*-y)-fW]^ + /W J K(y)dy.
Так как | f (x — y) — f (x) |<ф{x)| у |, где ф(л:)еС", то из A1),
A3) получаем желаемое.
4.10. Замечание. Условие A3) не вытекает из условий
A0), A1), A2). Так для л=1, K(x)=llx,
UK = [x: -е<х<2т) при 27,-,<е<2'п,
условия A0), A1), A2) выполнены, в то время как A3) не имеет
места. В том же примере ситуация меняется, если в качестве
окрестностей нуля взять иг= [х; | х |< е}.
4.11. Теорема. Яг/сгб А, = (А,,, ..., АД Xt > 0 (I = 1, ..., л)
ы для /((*)<= Lloc(?" \ @)) выполняются условия:
1°. /С(х) К-однородно степени —п, т. е. при любых t>0,
Хф0 K{tlx)=rlMK{x).
п
2° J Ш2М/^ = 0-
16l=i /=i
1
з°. |»тл<оо,
о
ede ©@ = sUp|K(!) —Ml «Р11 = 1 Ч 1= L IbriK^.
Яг/сгь еы<е 1<р<оо, f^Lp и при е > 0
M*) = (/(.«f)(*)= J K(x-y)f{y)dy.
Тогда при е->0 /е сходится в Lp к некоторой функции f0 и
\\h\\p<cp\\f\\p, е>0,
?(> с? «е зависит от е и f.
Доказательство. Заметим прежде всего, что в силу
2° ш@ -> 0 при t->0, т. е. К(х) непрерывна на сфере \х\ = 1
н, следовательно, в силу 1° К{х) непрерывна в Еп \ {0}.
Свертка (Ks*f) (*)> /<=^-р. существует для каждой точки х,
что следует с помощью неравенства Гёльдера из принадлежно*

66
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. t
сти Ke ei, (e > 0) при любом q > 1. Установим эту
принадлежность.
Ядро К(х) мажорируется функцией Cf Si xi С 'J - что
вытекает из их Х-однородности и ограниченности | /С (л:) | на
единичной п-сфере. Следовательно,
tf.MKc.li + Sixir1
—I А. |
Е\
так что достаточно убедиться в конечности L^-нормы правой
части последнего неравенства:
Jv-lMff, ч —
<
J i + Ei*
-со \ 1
xt\h
IM
dx,
<C,
i+Si
*!*<
<c2 i+Si
x, |fc'
n
_|_\-2л1
Оценивая далее тем же образом Lq, -норму по х2 и т. д.,
получим, очевидно, желаемое.
Доказательство сводится теперь к теореме 4.9. Покажем, что
ее условия A0), A1), A2), A3) выполнены в рассматриваемом
случае. В качестве окрестностей нуля возьмем Ue = {х; р(х) <•
<. е}, где функция р(х) ^ 0 определяется соотношением A).
Условие A1) устанавливается с помощью 1° заменой
переменных х на fix':
J" )K(x)\dx= J \K(x')\dx'.
t<n\x.<2t 1<л[х|<2
Для проверки условий A2), A3) перейдем от переменных х
к переменным (р, ?), р >0, |?| = 1, * = р* |, р (х) = р, А,'01 =»
= -|4тЯ. Будем считать для простоты записи, что j Х| = п, т. е.
Л<°> = К; этим мы не снижаем общности.
В соответствии с D) и 1° получаем, что
J" K{x)dx= J* K{x)dx*=\ J a)S^}^-o
-~<p<v
e ISM
в силу условия 2°

«41
СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В Lp
67
Займемся, наконец, проверкой условия A0). В силу
эквивалентности я- и р-расстояний и условия 1° достаточно
проверить A0) с заменой я на р из A) и при t = \jN, т. е.
оценить для р(г/) < 1/N:
P(x)> 1
< j \K(z)-K{x)\dx+ j" \K{x-y)-K{z)\dz = V{ + 2f2.
pix)> I
p(x)> 1
Мы ввели точку z — [9(X (х\У)) *> находящуюся на пересечении
^-траектории точки х и р-сферы точки х—у, т. е. p(z) = р(х—г/).
Переходя к обобщенным сферическим координатам, получаем
&
i = { lff(g)l]?a,,g?rfg {
p(li=lli=i
pU)>l
1
X
PIM(z) р[М(х)
Хрш~Чх)с1р(х)-
Так как р(г/)< 1/W, а /V можно считать достаточно
большим, то р (г) = р (* — у) — р (х) при р(х)>1.
Точнее говоря, при l = p(x)~hx, |Ц=1, Л = Р (х)"* # ввиду
гладкости р(х)
\р{х) — р(х — у)\ = р{х)\р{1) — p(S —т01<С,р(дс)|г11 =
ч-\
|—»-„
= С,р (*) | р (х)"Л г/1 < С2р-^«« (х) рЛ™'« (г/) <
<C2yV"lm,np,"i™,n(x). A5)
Отсюда по теореме о конечных приращениях
1 1
р|Л|(г) Р|Л|(*)
14
1p'M(*)-pim(z)
р|л|(г)р|л|и)
М,
<
так что ^[<С5. Оценим Уг:
п
ггг= j j \K(lx.y)-K(lx)\Yi42xidlxp-^(x-y)X
р(х)>1 |5x|=i i
XpIM-'WdpW<Ce J J ©(l&i-,, —!*1)<*!*Р"Ч*)<*Р(*).
p(*i>i |^|=i
Заметим, что
i ъх-у -ix\=\ $x-y - tz i<c6;™ (ix-y - у < c7p^i.. dx_ - у.

68
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
[ГЛ. I
В свою очередь ввиду равенства р(х— y) = p{z) и
обобщенного неравенства треугольника имеем
р(Б.-.-^-рG^"ЭТг)вр",(*--у)р(*-у-2)<
< СУ' (х - ч) [р (х - г) + р (- у)] < Ср~1 (х) [р {х - г) + ЛГ1].
Но
р (х — z) =
^С"С'р(х) max l-(P<*Zl?lf'
< \ рМ
1Д,
1Д,
1**Г'<
= СС max | рл< (*) — р*' (х — у) |"Ч
i
По теореме о конечных приращениях и в силу A5) имеемt
далее,
р(х —2)<C8maxp'~*' W|p(jf) —p(jf —у)|^<
"•mln
^ Cgp(x) maxp(x)
C9p {x)
I —
mln
Собирая оценки, получаем, что
I lx-y —lx\< C,oP*-"'» &_„ ~ У <
mln
< Cup~l™*n (x) [p (x—z) + ЛГ' f «m» < Cup (x) *max
Отсюда
43 j
^<c13 | ю\с12р *™«;p-ldp<c,
P>1 0
в силу 3°, что и требовалось установить.
¦и
U)
dt <оо

ГЛАВА II
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
Основной целью настоящей главы является получение раз*
личных интегральных представлений функций многих
действительных переменных. Они выражают значение функции в
произвольной точке некоторой области через интегралы от самой
функции и от некоторых ее производных или конечных
разностей функции.
В дальнейшем каждому классу функций, определяемому теми
или иными дифференциальными или
дифференциально-разностными свойствами, будет приведено в соответствие свое,
специфичное для данного класса, интегральное представление.
Существенно при этом отметить, что если вид представления
определяется характером рассматриваемого класса функций, то
«носитель» представления, т. е. вид области, по которой проводится
интегрирование в представлении, определяется параметрами
рассматриваемого класса областей задания функций. Это позволяет
исследовать связи между свойствами рассматриваемого класса
функций и свойствами области их задания. Интегральные
представления функций лежат в основе методов исследования
данной книги.
В этой главе также рассматривается вопрос о приближении
функций средними, вводится понятие и формулируются
некоторые свойства обобщенной производной по С. Л. Соболеву,
даются определения основных классов областей,
рассматриваемых в дальнейшем.
Отметим, что все рассматриваемые здесь вопросы,
связанные с методом интегральных представлений функций, берут
свое начало от хорошо известных работ С. Л. Соболева [1], [2].
В дальнейшем мы будем придерживаться следующих
обозначений.
Для любого вектора k = (k{, .... kn) с неотрицательными
п
компонентами положим | k \= S &ь k — \=\k{—\,...,.kn — \),

70 ПЛЮРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
где 1=-A, .... 1), k\ = k{\ ... kn\, если kt {i=\ п) —
целые. Если * = (*,, ..., хп)^ Еп, то xk — x*' ... xknn, (— x)k =
=( — 1)'*'х4 (fe,-> 0 — целые), х'г'=(лг1, .... х,_,, хг+1, ..., хп).
Пусть Я, = (Я,1, ..., А,„), А,; > 0 (г=1, ...,«)> и > 0. Тогда
Vх*= (/> Л), xvK = (х,Л •.., х„Л),
х: о* = Мг "Х-) = U»""'. • • •, *^~Ч
Положим также
(&, Л) = 2 к{кь
^я(а) = {дг: | х, — а, |<иЛ< (* = 1, ..., /г)} (a==(flv, .... а„)),
/гх = /,л@) @=@ 0)),
ег = @ 0, 1, 0, .... 0)
(единичный вектор, направленный по оси хг),
1ГЧ-1Н-
Через DX{ будем обозначать производную по хь а через Dt —
производную по г'-му аргументу. Так,
DX(K(x vK) = ^rK(x: vl) = DtK(x: vx)v~^.
Положим, далее,
D* = (D*. \)> D% - Ы1 - ijr • D* = D*I • • • ^
Очевидно, Д^(х) = 0,7(х), D*/ (x) = D*/ (x).
Арифметическую сумму (разность) множеств QyCEn и й2с?"*
будем обозначать через Й, + G2 (Й[ — Й2)- Аналогичный смысл
будут иметь обозначения x + Q и х — Q, где х— точка Еп, а
Q — некоторое множество.
§ 5. Усреднение функций
5.1. Мы введем некоторый процесс усреднения данной
функции /, который приведет к последовательности бесконечно
дифференцируемых функций, стремящихся в известном смысле к
функции ?

§ 5] УСРЕДНЕНИЕ ФУНКЦИЙ 71
Пусть К{х)—бесконечно дифференцируемая, финитная в
Еп {К е= Сд (Еп)) функция, удовлетворяющая условию
\K{x)dx=\. A)
Еп
Исключительно в целях простоты будем в дальнейшем считать,
что supp К — S(K) а /ь
Примером такой функции может служить функция
!р;(х, а\
ае?Нх,а)-г' при 0 < р (X, а) < Г,
| 0 при р (х, а) ^ г,
где а — (аи ..., ап), р(х, а) = B| х( — ас р] , а константа ц
подобрана так, чтобы выполнялось равенство A). Заметим, что
supp К совпадает с шаром радиуса г с центром в точке а. При
соответствующем выборе г и а можно добиться, например, чтобы
supp К содержался в одном из координатных углов. Функции с
такого рода носителями будут применяться в дальнейшем.
Пусть К = (Яи ..., Я„), Л,, > 0 (/ = 1, ..., я), v > 0. Функция
Kbx{x) = v-wK{x:vx) B)
бесконечно дифференцируема на Еп, ее носителем является
множество Svi (К) cz Ivk, где
Svb{K) = [x: [x:v*-)e S(/()}, C)
и в силу A)
j Kvi(x)dx= j v~wK;{x:v*)dx= j K{x)dx=l. D)
e" e" e"
Пусть G —измеримое множество пространства En, a f
—функция, определенная на G. Положим f = 0 на En\G и
предположим, что таким образом определенная на Еп функция
feL,oc(?").
Определим среднюю функцию для функции f с ядром
усреднения К и параметром усреднения Vх по формуле
Ы*) = иЧМ lf{x + y)K(y:v^)dy= ¦
е"
= iH4 ff{y)(K((y-x):v>-)dy. E)

72 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ (ГЛ. II
Легко проверить, что fvk(x) непрерывна, имеет непрерывные
производные любого порядка на Е" и для любого а = (а,, ..., а„)
(а/ ^ 0 — целые)
/>;;Ы*)=(-1)|в|оН*|-!а,М J f{y)D-K({y-x):vK)dy. F)
в"
5.2. Лемма. Если f^Lp(G) (р —(р,, ..., рп)), то
IMIp^mumip (i<p^oo), G)
lirn|f^-f|p = 0 A<р<оо). (8)
Доказательство. Неравенство G) сразу следует из E)
с помощью неравенства Юнга 2A9):
|f0b|p<»-iMiiK(. ^umipHi/cujn,. ¦ ¦
Для доказательства соотношения (8) заметим, что в силу D)
U W -f(x) = v~iKi jlf(x + y)-f (х)} К (у: »*) dy.
в"
Отсюда на основании обобщенного неравенства Минковского
2A2) имеем
|f^-/l<y"lM J \K(y:v^)\\\f(. +y)-f\)pdy^
< sup ||f(. +y)-f || p\\ К \\v
Применяя теперь теорему 1.5 о непрерывности в целом
функции f^Lp(G) A ^ р < оо), получаем соотношение (8).
Замечание. Если f е L}°"(G), 1<!р<оо, то fvK->f
в смысле Lpc(G).
Действительно, если компакт F cz G, то при достаточно
малых v множество F -{- 1 к содержится в некотором компакте
Т a G; замечая, что f е Lp (Т), из неравенства
\\fvK-f\\p,F<: Snp\\f(- +y)-f\\ptF\\K\\1
на основании теоремы о непрерывности в среднем получаем*
что |f0*-^.,-0(о-0).
Следствие. Соотношение (8) показывает, что множество
бесконечно дифференцируемых на Еп функций плотно в LP(G),
если 1 ^ р < с».
Свойство (8), вообще говоря, не имеет места, если некоторые
компоненты вектора р равны бесконечности.

§ 5] УСРЕДНЕНИЕ ФУНКЦИЙ 73
Однако справедливо следующее утверждение:
Если f равномерно непрерывна на открытом множестве G, то
где U — {х: х'<= G, х + Sv\ {К) <= G, 0 < v < 6} — множество тех х
'из G, для которых х + SB^ (К) cr G при любом'v, 0<о<6.
Действительно, аналогично предыдущему мы получаем
!^-flLi/< sup li/('¦+»-fiLit/и^и,.
Из этой оценки и равномерной непрерывности f на G
вытекает (9).
5.3. Лемма. Если G—открытое множество пространства Еп,
e/J0C(G), Р>\, то
¦ttmfvK(x) = f(x) A0)
i>-»0
почти для всех хеС
Доказательство. Пусть леС Тогда для достаточно
малых v > 0 множество л: + / j, cr G и на основании E) и D) .
справедлива оценка
If „*(*)-/М|
»~1М Jlf(»)-fWU((y-*):^)^
<
<II*IL»HM | \f(y)-f(x)\dy. (II)
Vw
Замечая, что v = 2" |/^ (x) | , и применяя теорему 1.7
(Иессена—Марцинкевича — Зигмунда) при -ф^ (v) = 2y*» (i =
= 1, ..., я), убеждаемся, что правая часть A1) стремится
к нулю при и-*¦ 0 для почти всех xeG. Это и доказывает
наше утверждение.
Замечание. Если f непрерывна на G, то f к(х)->f{х)
(о-*0) в каждой точке xeG. Это следует непосредственно
из неравенства A1).
5.4. Целью настоящего пункта является доказательство
теоремы 1.6. Напомним ее формулировку. Пусть G — открытое
множество пространства Еп.
Множество Со° (G) плотно в LP(G), если 1 ^р<оо.
Доказательство. Пусть f <= LP(G), и пусть задано
число е > 0. В силу свойства 1 F) функций из пространства Lp (G)

74 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
существует ограниченное открытое множество й, Q с Q с О,
такое, что
\\l ~~ Iq \р. а "^ ~2 •
где fQ = f%a, Хл — характеристическая функция множества Q.
Обозначим через б расстояние от Q до границы множества G.
Очевидно, б > 0. Для функции fa составим среднюю функцию
fa.„1= fa.о {xi=l (* = 1. •••> «)). считая v < —=-. Ясно, что
f-atieC™(G). На основании соотношения (8) при достаточно
малых v будет
И f f || <• —
I' U I Q, о ||p, G ^ 2 '
следовательно,
If-fi,uLa<lf-f,|p,G+!f,-f,.HIp.0<|- + i==e-
Утверждение доказано.
§ 6. Обобщенные производные
Мы введем сейчас понятие обобщенной производной в смысле
С. Л. Соболева, которое будет играть важнейшую роль в
дальнейшем. В частности, с помощью этого понятия будут
определены основные классы функций, изучаемые в этой книге.
6.1. Пусть функции f и 1 локально суммируемы на открытом
множестве G а Еп. Если для любой бесконечно
дифференцируемой финитной в G функции ф выполняется равенство
l%(x)cp(x)dx=(-iy^lf(x)^(x)dx, A)
а а
где k= (ku ..., kn) (kt ^ 0 — целые), то x называется обоб-
dl*if
щенной производной функции f вида f^=Dkf = —^———%- в G.
\J Jv * * • * С/Л I*
1 п
Легко видеть, что у заданной функции f может существовать
только одна производная данного вида. Действительно, если % и
Хо — две обобщенные производные, то для хо также справедливо
A). Вычитая почленно, получим
\ {% — Xo)q>d* = 0,
откуда, ввиду произвольности финитной функции ф, следует, что
X и хо эквивалентны на G.

§ 61 ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ?5
Если f(x) имеет в G непрерывные производные до порядка
\k\ включительно, то, применяя формулу интегрирования по
частям, мы получаем для нее равенство A); следовательно,
обобщенная производная совпадает с непрерывной производной.
Из определения непосредственно следует также, что
обобщенная производная р> не зависит от того, в каком порядке
записано дифференцирование, так как в формуле A) можно
произвольно переставлять дифференцирование у функции ф, имеющей
непрерывные производные.
Отметим еще ряд свойств обобщенной производной. Если fi
и f2 имеют обобщенные производные f(*> и f,k\ то Cifi -f С2/г
имеет обобщенную производную CJ\k) -f C2f{2k) (Ci и C2 —
постоянные).
Если / имеет обобщенную производную -^-:=Х и у имеет
обобщенную производную —-, то f имеет обобщенную произ-
водную -Q—g—==~дх' Аналогично и для производных других
df
видов. Далее, если f имеет обобщенные производные -^- и
<?2/ <32/ Л - df
-х—к—, то -д—к— есть обобщенная производная от -=~- по х,.
ОХ\ 0X2 ОХ\ ОХч ОХ%
Из определения обобщенной производной легко следует
также, что если /W есть обобщенная производная f в G, то она
будет обобщенной производной f на любом открытом
подмножестве G' a G.
«Следующее утверждение является в некотором смысле
обратным к предыдущему: если для f\ существует обобщенная
производная f\k) в области Gb для f2 существует обобщенная произ
водная f2k) в области G2 и fi ss f2 в G\ Л G2, то
I h в g„
имеет в G\ U G2 обобщенную производную /<ft> *).
Заметим, что под областью мы понимаем открытое связное
множество пространства Еп.
Сформулированным предложением, как и приводимой ниже
леммой, мы будем в дальнейшем часто пользоваться.
6.2. Лемма. Пусть в области G заданы функция f е L[°c (G),
последовательность функций fj^Li°c(G) (/=1, ...), имеющих
обобщенные производные f^'e Ll°Q (G) (/= 1,...), где 1 <р^оо,
1<?<00.
*) Этот результат, обобщающий известный результат С. Л. Соболева,
получен в работе [1] М. А. Галахова. См. также, работу [2] В. И. Буренкова.

76 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Если fi-+f (/'-*•<») в смысле L[°c(G) и (ff' — f\k))-+0
(/, г'->оо) в смысле IJ°C(G), то функция f имеет на G
обобщенную производную f,ft) е L'oc (G) и f{f] -*¦ f(ft) (/-*¦<») в смысле
L^(G).
Доказательство. Из того, что (ff' — ^*')->0 (г, j-*¦ оо)
в Ll°c(G), вытекает существование функции %, определенной
на G, такой, что %e=Ll?c(G) и f'f-^% в Ll°c (G).
Поскольку fj имеет обобщенную производную f;ft в G, для
любой функции ф е С^° (G) имеем
J"f<*>q>dx = (-l)i*l JfjV««dx (/=1, ...).
о о
причем ввиду финитности ф в G фактическое интегрирование в
обеих частях равенства проводится лишь по некоторому
компакту, содержащемуся в G.
Далее, используя тот факт, что f{-*f в Ll°c (G), a fj,fe'->x
в Ll°c (G), и переходя в приведенном равенстве к пределу при
/ -> оо, получим
j %(?dx^(- 1I*1 J fcptk>dx.
a a
что означает, что % = flft>. Лемма доказана.
Замечание. Если в условиях леммы f{fk) <= Lq (G) (/ = 1,...)
и If/'-ftU.G-*0 <<¦' /'^°°)-т0 /"leL,(G)и №*'-И,.о-*0
(/->оо).
6.3. Остановимся на связи между обобщенным
дифференцированием и операцией усреднения.
Пусть feL0C(?re) на открытом множестве G имеет
обобщенную производную fikK Составим среднюю функцию
¦fc(*)*=»-|M J f(y)K((y-x):v^)dy
и найдем DJvk (x) (поскольку fv\ e C°° (?"), эта производная
обычная). Имеем
DkJvK (х) = o-l *' / / (у) D\K ((у - х): сЛ) А/ =
в(-1)'*'0-"М |^)/)^((y_x):^)dy.

§ 6] ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ 77
Функция К((у — х) : vK), рассматриваемая как функция у,
обращается в нуль вне замкнутого множества x-\-Svi(K) Если это
множество содержится в G, то К ((у — х) : vK) можно принять
в качестве финитной в G функции ф в формуле A). Тогда,
поскольку / имеет обобщенную производную /W, на основании
формулы A) имеем
/>2Ы*) = 0-т j °kf(y) -К{(у-х): v^)dy,
Dk(fvx(x)) = (D>*f)vK(x). B)
Последнее равенство означает, что средняя функция от
обобщенной производной совпадает с производной того же вида от
средней функции на множестве V = {х:х е G, х + Svx (К) с: G}.
6.4. Существуют другие, эквивалентные данному выше,
определения обобщенной производной. Мы не будем на всех этих
определениях останавливаться*), а отметим лишь полезную в
дальнейшем связь между существованием обобщенной
производной по С. Л. Соболеву и абсолютной непрерывностью функции.
Мы приведем лишь сам результат, отсылая читателя за
доказательством к монографии [9] С. М. Никольского.
Если f имеет на открытом множестве G обобщенную произ-
водную Dkj\ = —¦?-, то существует эквивалентная ей на G
функция ф такая, что она имеет по х\ обычные производные до
порядка ki почти всюду на G, причем ф, —— , ..., —-^~- при
dxt dxtl
почти всех фиксированных №=(х\, ..., Xi-\,Xi+\, ..., х„)е№
(G<»> — ортогональная проекция G на гиперплоскость х, = 0)
являются абсолютно непрерывными функциями на любом
замкнутом отрезке [а, Ь] изменения переменной хи содержащемся
в G.
Отсюда, в частности, следует, что если существует D*lf
(будем считать, что f уже видоизменена на множестве я-мерной
меры нуль так, как это указано выше), q> е=: Co°(G) и
пересечение прямой xto = const с носителем ср содержится в [а, Ь], то
* ь
J//tyd*, = (-l)*'J(p*jf)q>dx,, C)
о о
т. е. законно интегрирование по частям.
*) Об этом см., например, книгу [9] С. М. Никольского, § 4.1.

78 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. 11
Отметим также, что если отрезок [х{, xt -4- ktt] X *(i) cr G, то
для любой производной порядка su 0 ^ s< ^ k{—1,
справедливо равенство
Дг (О D*</(х) = D\if (х -f tet) - D't*f (х) = J Ds.'+lf (x + xet) dx.
о
Последовательным применением этого равенства получается
формула
^——
t t
Af'40fW= j ... j Dj*f(x + (T,+ ... +x,{)et)dxl ...dxk.,
о 0
D)
где
Д?< @ / (x) = д"(о7ГГд^) f (x) = i Cj[? (-1)*'"' f (x + jte{). E)
Из D) вытекает следующее полезное неравенство:
V
| А?' @ / (*) | < **'"' J | fl?'f (* + tef) | dx, t> 0. F)
о
Формула D) и неравенство F) понадобятся нам в дальнейшем.
6.5. Можно вводить понятие на отдельной обобщенной
производной локально суммируемой функции f(x), а обобщенного
линейного дифференциального оператора.
Пусть а = (аь ..., ап) — вектор с неотрицательными
целочисленными координатами, Di = -x—, D = (D,, ..., DJ, Da =
= Z>«' ... /A, (- Z))a == (- lI a| /Д P(D) = | caZ)a - дифферен-
циальный многочлен с постоянными вещественными или
комплексными коэффициентами.
Будем говорить, что локально суммируемая на открытом
множестве G функция f допускает применение обобщенного
линейного дифференциального оператора P{D) в G, если существует
локально суммируемая в G функция % такая, что для любой
функции ф еСо° (G) справедливо равенство
| %{x)y{x)dx = J f(x)P(—D)<f{x)dx.
а а

§7]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
79
В этом случае мы полагаем P(D)f = %. В соответствии с этим
предыдущее равенство можно записать в виде
J P(D)f (х) ¦ ф(*)их = J /(х)Р{- D)q> (х) их. G)
а а
Отметим, что существование отдельных производных, входящих
в P{D)f, при этом не предполагается.
§ 7. Интегральные представления
дифференцируемых функций
Вывод приводимых в настоящем параграфе интегральных
представлений функций основан на следующей простой идее.
Для заданной локально суммируемой функции f мы строим
ее среднюю функцию /л. {х) = f (х, v) с некоторым ядром Q и
параметром усреднения Vх, где X — фиксированный вектор.
Усреднение f(x, v) можно рассматривать также как функцию
параметра v, непрерывно дифференцируемую по v при v > 0.
Поэтому на основании формулы Ньютона — Лейбница при
любых е и h, 0 < е < h, справедливо равенство
л
hUx) = fhK{x)-\-^fvx{x)dv. A)
в
Это равенство является исходным при выводе всех
рассматриваемых здесь представлений.
При определенном выборе ядра усреднения Q последнее
слагаемое в A) удается выразить через интегралы или от
обобщенных производных функции f, или от конечных разностей
функции. Поэтому весьма существенным для получения топ-
или иного представления является построение соответствующе
ядра Q.
Если функция f удовлетворяет условиям леммы 5.2 или 5.3,
то при е—>0 Дд в том или ином смысле стремится к f.
Устремляя в равенстве A) е к нулю, получаем нужное интегральное
представление функции.
7.1. Ядро ?2(х). Прежде всего мы построим ядро усреднения
Q{x), которое окажется удобным при получении интегрального
представления функции через производные.
Пусть К(х)—функция, удовлетворяющая условиям п. 5.1,
т. е. пусть К е С~ (?"),
j K(x)dx=l. B)

80
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Относительно множества S(K) = supp/C мы пока не делаем ни^
каких предположений, хотя в дальнейшем выбор носителя К
будет играть существенную роль.
По заданной функции К(х) мы построим функцию Q(x),
которая обладает указанными свойствами функции К, а также
некоторыми новыми важными для нас свойствами. Положим
Q (х) = D
'^L f K(z)Q(x~z)dz
(А-1I J
C)
где k = (ku ..., kn), k{ — достаточно большие натуральные
числа, 1 = A 1),
е(*) = Пе(*/).
/-1
е {xj) — функция Хевисайда, т. е. 8@=1 при t > 0, 9@ = 0
при / < 0. Легко видеть, что QsCj'H и supp Q cr S(K).
Покажем, что
D)
j" Q{x)dx = 1.
Прежде всего заметим, что на основании формулы
Лейбница для производной произведения
Dkr'
где
(*<
ki~l !• 1
^—щ J K(z)Q(x-z)dz = J K(z)Q(x — z)dz + Tl(x),
k.-l
', (jf) = ? Csx\DsXl П K(z)Q{x-z) dz\ =
= 2 С$хЖ-{ J /C (z) в(xt - z,)/JJ " 0 {x, -zj))dz
?"-
6@ — б-функция.

§7J
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
81
Так как supp/<c/a при некотором а, то Г,-(дс)=0 при
\xf\ > а;. Поэтому
а,-
№
(ft,-1I J
|/С(г)9(л: —2)^2
/
dx{ =
¦^B)9(jc —г)Л+7-,(*)
J/c^fn'^^/-^^.
E)
Представляя теперь интеграл, стоящий в левой части D),
в виде повторных интегралов и применяя последовательно п раз
формулу E), получаем
J Q{x)dx = J K(x)dx=l.
Таким образом, функция Q удовлетворяет всем условиям,
наложенным на ядро усреднения в § 5, и, следовательно, может быть
принята за такое ядро.
Пусть 7, = {h, ¦¦-, К), h> 0 (/ = 1, . . ., п), v > 0.
Функция
Q0\(x) = v-^iQ{x:vK), F)
очевидно, бесконечно дифференцируема по х на Еп и по v при
у"> 0, причем supp Qoic Svi(K), где Svt, (К) определено
соотношениями 5C).
Отметим также, что
[ Qoa(х) dx = [ u-l ьIQ (х : vK)dx= J Q(jc)dx=l. G)
.?" En E*
Найдем производную от Qvx(x) по параметру v. Имеем
= D*
(ft-
^ J" W^e (*:«"¦-*)<**
-У;,,-'-^
i=i
r^jp J"/t-(z) в foif^-z^X
x (Д0e(xiv~K' - zi">)dz = - % liv~'~lxlDki'&i (* '•y")-
(8)

82
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
СГЛ, II
где
gi(x)=Dk-k'e'
х Г
rrjyr J Ktei *i 2„)X
gn—l
(9)
Из формулы (8) видно, что производная по у от Q к (х)
представляется в виде суммы п функций, каждая из которых
обладает нулевыми моментами до порядка kt—1 по
соответствующей переменной х,. Чаще всего это свойство будет
использоваться в следующей ситуации.
Пусть функция / определена в области G, содержащей
носитель функции 2>i(x), и имеет на G обобщенную производную
D^f. Тогда справедливо следующее равенство:
J f(x)Dkx^l(x)dx=(- !)'« J Dlij{x)Dkrlig.{x)dx (/,<?.), A0)
вытекающее из определения 6A) обобщенной производной,если
за функцию ф принять 0^~1{^((х).
Это свойство функции Qv\ (х) и является основанием для
рассмотрения в последующем усреднений с ядром Q.
7.2. Интегральное представление функций через
производные. В дальнейшем будем считать, что функция / определена
в той области G n-мерного пространства ?>, в которой это
необходимо по смыслу последующих преобразований. Под
областью, как уже указывалось, мы понимаем открытое связное
множество.
Кроме того, будем предполагать, что f е Ll0C(G) имеет на G
все те обобщенные производные, которые войдут в
рассмотрение.
Рассмотрим усреднение функции f, приняв за ядро
усреднения введенную выше функцию Q, а за параметр усреднения Vх,
т. е. рассмотрим функцию
fvx(x) = v-\b\ \f(x + y)Q(y. v>>)dy, A1)
где & = (&„ .... К). h>° (* = 1 «)• о>0.

§ 71 йнтегральпьш представления Функций 83
Применим к этой функции формулу A). Замечая при этом,
что в силу (8)
Х-// W = J f (* + У) -g^ [iHMqq,: ^)Ы</ =
в"
= -VM""HM //(* + у)Д^(*/:^,
1=1 Е
получим следующее равенство:
h п
f^(x) = fhK(x)+ j^ktv-t-Wdv lf(x + y)Dkii2>.(y.vx)dy. A2)
г 1=1 в'"
Пусть U (i = 1, ..., п) —произвольные целые неотрицательные
числа. Можно считать, что /г- ^ k{ (i = 1, . . ., /г), так как числа
ki, входящие в ядро Q, мы можем выбирать сколь угодно
большими. Преобразуем интеграл по переменной у в A2) с помощью
равенства A0). Для этого заметим, что
D\&i {у: vx) = vVw'jpIt-1^ (у: Vх).
Тогда получим
f.*(*) = '
ft п
^fhx(x)+ \%v-]-^l+l^dv $ Dlif(x + yJ?i(y:vK)dy, A3)
где
г(м = (-1);аХг^М (t = i n). A4)
• Равенство A3) можно рассматривать как представление
разности значений средних функций с параметрами гк и hx в точке х
через интегралы от обобщенных производных функции / по
координатным направлениям.
Устремляя в A3) е к нулю, получаем следующее тождество:
ft п
f(x) = fhK(x)+\^v-^u+lil'dv \Dliif(x+y)^t(y:vl)dy, A5)
0 1=1 ?«
справедливое для почти каждого х из того множества, для
которого имеет смысл правая часть формулы A5).

84 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ 1ГЛ. II
Поясним сказанное. Прежде всего заметим, что, так как
supp Si с= S(K), фактическое интегрирование в правой части A5)
проводится по точкам y<=S(K, л., h), где
S(K, К h)= (J Svx{K) A6)
0<o<ft
— теоретико-множественная сумма множеств S % (К),
определенных соотношениями 5C). Следовательно, в правой части A5)
используются значения функции / и ее производных в точках
множества х + S(/(, л., /г)*), которое естественно называть
носителем представления A5).
Пусть, как обычно, G— область задания функции f.
Положим
U={x: x<=G, x-\-S{K,Kh)<=G}. A7)
Тогда, по крайней мере формально, правая часть A5) имеет
смысл для всех х из множества U. Далее, поскольку мы
предполагаем, что /е Ll0C(G) на основании леммы 5.3 (при р = 1),
можно утверждать, что / \ {х) -> / (х) при е->0 почти везде на G,
а следовательно, почти везде на U. Из сказанного следует, что
тождество A5), получающееся из A3) при е.-»-О, справедливо
для почти всех точек х введенного множества U.
В приложениях тождества A5) мы, как правило, будем
предполагать, что носитель функции К содержится в одном из
координатных углов.
Пусть Ь > 0, at ф О (i = 1, ..., п),
S(K)cz{x: ^->0, 1<{~)' ' <1 + Ь (i=l, .... «)}. A8)
Тогда
= U \х:тг>°- v<1т) '<A+*)М'=1 я)}.A9)
Область V (-г-) будем называть -у- рогом радиуса h и
раствора Ь.
В важнейших случаях применения формулы A5) мы будем
считать, что X =— (к( ==-т-, /=1, ..., п\. Тогда носителем
представления A5) будет служить сдвинутый l-рог x+V(l),
Очевидно, в случае 1\ = ...=/„ l-рот V(l) является конусом.
*) Напомним, что х + S(K,h, К) обозначает арифметическую сумму х и
множества S(K,X, К) (см. обозначения в начале главы II).

§ П ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ 85
Относительно формулы A5) заметим еще, что правая часть
ее для всех эквивалентных функций f(x) одна и та же в каждой
точке х. Поэтому ее можно рассматривать в качестве
представителя всего класса эквивалентных функций.
Наконец, отметим, что тождество A5) является аналогом
хорошо известного тождества С. Л. Соболева (см. [1], [2]),
дающего представление функции через интегралы от самой функции
и всех ее производных данного порядка *).
7.3. Формулы A3) и A5) можно обобщить. Пусть а =
= (аь ..., ап), ll = {l\, ..., In) (i = 1, .. •, п) — векторы с
неотрицательными целочисленными компонентами,
удовлетворяющими условиям
//<«/ (/=1, .... и; 1Ф1), /*<a,-f ki {i=\, ..., п), B0)
где ki — числа, фигурирующие в формуле A2).
Предположим, что f имеет на G обобщенные производные
Dl'f<^ Lloc (G) (/=1, ..., и). Применяя к обеим частям A2)
дифференцирование Z)"» будем иметь
DaJ,K(x)^DaJ^(x) +
ft п
+ f SV"MMrf0 lf(y)DaxDkii2>i{(y-x):vK)dy. B1)
Далее,
lfly)DaxDkii2>i((y-x):vl)dy =
= (-1I a'iT,a'l) J f (x + y) Da+kiei$t{y : vh)dy =
En
e(_1)i«i+|j'l0-a.n+(iM) jD'if(x + y)D^^i-'i2>i(y:^)dy,
En
Отметим, что последнее из приведенных равенств вытекает
из определения 6A) обобщенной производной D f, если за
функцию <р принять ?)a+V(-' &t{y'. v ). В силу последнего
преобразования равенству B1) можно придать вид
h п
DaJex (х) = DaJbK (х) + \ ? «''""' dv J" D'f{x + у) Mi (у : vx) dy,
e (=1 En
_________ " B2)
*) См. также Л. В. Канторович [1].

86
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
где
X! = 1 Я. | + (а, *,) — (/', X),
М((х) = (-1)|а'+|'\оа+^г-<'^(х) (/_!_..,„). B3)
Заметим, что множество точек у, в которых используется
значение функции / и ее производных в правой части B2) (при
любом е > 0, 0<е</г), содержится в множестве х -f- S(K,X, /г),
тле S(К, К, h) введено формулой A6).
Покажем теперь, что если выполнены неравенства
ц* = (/', X) - (а, Я,) > 0 (i = 1 п), B4)
то на G существует обобщенная производная Daf <= Lloe(G), и
получим для нее интегральное представление.
Установим сначала, что Dafe\ — Dnfhx —*¦ О при 0 < е < h -> О
в смысле Ll0C(G). Пусть компакт F cG. Тогда при всех
достаточно малых h > О множество F + S(K, к, h) = F -\- S
содержится в некотором компакте из G. В силу B2), обобщенного
неравенства Минковского 2A2) и оценки 2A9) для свертки имеем
|| ДЪ - Dlh, \\UF< / ЗУ'" Х' k'f l, F+s 1?{ ft) l dv <
о (=1
n „
Поскольку [ii > 0 (/=1, ..., n), отсюда вытекает, что при
0<е</г-*0 D"fs>, — Dttfhi->0 в L (F), а следовательно, и
в Ll'(G).
Кроме того, в силу замечания к лемме 5.2 fe\—»f в D0C(G)
при е->0. На основании леммы 6.2 отсюда заключаем, что
существует Daf е Lloc(G). Пусть {/ — множество точек х,
определенных соотношениями A7). Формула 6B) показывает, что на
множестве U справедливо равенство
D%,(x)=(Daf\k(x).
Из этого равенства на основании леммы 5.3 вытекает, что при
е->- 0 DaJsk (х) -* Daf (х) почти везде на U.
Поэтому, устремляя в B2) е к нулю, получаем формулу
h п
Daf (х) = DafhK (х) + J J] v~l-*t dv f D1' f(x + y) Ml {y : ofc)d*/, B5)
о ;=i
?"

§ 7J
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
87
справедливую для почти всех х е U. Отметим, что
интегральное представление B5) получено нами в предположении, что
выполнены неравенства B4).
Существенным для последующих оценок является то, что
ядра Si и Mi в формулах A3), A5), B2) и B5) можно
считать удовлетворяющими условиям
J &2% (х) dx = 0, J D^Mt (x)dx = Q (i = 1, ..., n) B6)
для любого P = (Pi, ..., P„), Pi> 0 (i= 1, ..., n).
Из A4) и B3) вытекает, что B6) будет иметь место, если
U <; к( или, соответственно, U<ki\ надлежащим выбором
чисел к, мы всегда можем добиться выполнения этих неравенств.
7.4. Представление функции через дифференциальные
многочлены. Из равенства A2) с помощью теоремы Гильберта о
корнях многочленов можно получить более общие формулы, чем
A3) и A5). Напомним некоторые обозначения. Если а =
= (аь .... ап) — вектор с неотрицательными целочисленными
компонентами, | = (|ь ..., |п), Ь, — производная по аргументу
с номером /, D = (О, Dn), то f = 1} ... |°», (- |)а =
==(-1)|а1|а, Da = Dn^ ... ZA.
Приведем формулировку указанной теоремы Гильберта
(см. Ван-дер-Варден [1]):
Если Q (|) — многочлен, обращающийся в нуль во всех
общих (комплексных) корнях многочленов Pi(l), ..., PnA), то
существуют многочлены a^g), • • •. a.\'E) такие, что для
некоторого натурального m
Qm(Z)=Iia,(l)P!(l).
i=i
Пусть задан вектор / = (/ь • • • . ^п) с положительными
целочисленными компонентами. Положим Xi = -r- (г'=1, ..., п),
'i
Я| = (А,| Хп).
Многочлен
p(d- s ^a (i«:/i=if
| a : / ]=1 \ i=l '
назовем l-многочленом. В случае, когда все /, равны пг,
многочлен Р(|) будет, очевидно, однородным многочленом степени пг.
Пусть Pj(|) (/ = 1, ..., N) —набор /-многочленов с
постоянными (комплексными) коэффициентами. Предположим, что
Pj(%) не имеют общего комплексного корня, отличного от § = О,

88 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Тогда по теореме Гильберта для достаточно большого
натурального т существуют многочлены а^(|) (i = 1, ..., п; / =
= 1 JV) такие, что
tfn = Ъ atj F) Р, (- S) (i = 1, • • •, я). B7)
Так как одночлены |J'm, входящие в левые части равенств B7),
являются т/-многочлепами, то можно считать, что a,j(?) будут
(т—1)/-многочленами. В самом деле, если а,-Д|)
удовлетворяют тождествам B7), то их (т — 1)/-многочленные части
также удовлетворяют этим тождествам.
Положим теперь в формуле A2) ft; = mh (i = 1, ..., п) и
предположим, что функция / допускает применение обобщенных
дифференциальных операторов Pj{D) (/= 1, ..., я) в G.
В силу тождеств B7) интеграл по переменной у в правой
части A2) можно записать в виде
$f(x + y)Dktt&t(y:vx)dy =
N
= 2 jf(x + y)P,(-D) at, (D) &t (у : о*) dy.
Замечая, что
P,(-D)= 2 cJa'X){-Dy)a = vPt{-Dy),
la, k)=\
и применяя формулу 6 G), получаем
\f{x + y)Dkit&t(y:v*)dy =
N
= S о \ P,{D)f{x + y) atl (D) &t (у : о*) dy.
Подставляя полученное выражение в формулу A2) и вводя
обозначение
Tj(x)=thail(D)^i(x), B8)
будем иметь
h N
fe* (*) = f k* W + J S t,_' "' rf° J P' (D) * (* + У) Ti {У '¦ VX) dy- B9)
e /=I En
Формула B9), очевидно, обобщает формулу A3), которая
следует из B9) при N = n и Р/(|) = ^/ (/== 1, .,., п).

$i\~ интегральные представления Функций 89
Применяя к обеим частям B9) оператор D\, находим
ft N
+ (_ 1I v I J 2 o-i * i-'v. *> dv J Я, (D)f(x + у) Dvf/ (г/: vx) dy. C0)
Отсюда в пределе при е->-0 и в предположении, что
существует Dv|eLloc(G), вытекает представление D"f(x) через
P,(Z))f(*).
Поскольку supp Tj cz supp /С (/= 1, ..., N), носителем
представления C0) также является множество x + S(K,K h) или
сдвинутый рог х + V(l) (Я = -j-J.
Для ядер Т} можно считать справедливым следующее
свойство:
J DaTj(х)их = 0. (/=1,..., АО C1)
для любого вектора а с неотрицательными целочисленными
компонентами.
Отметим, что вопрос об интегральных представлениях
функций через результат применения к ним некоторых
дифференциальных операторов рассматривался в работах
Смита [1], О. В. Бесова [8], С. В. Успенского [5], Ю. Г.
Решетника [1].
7.5. Другое представление функций через производные.
В этом пункте мы покажем, что всякая функция f, имеющая
обобщенные производные вида Dtlf (i=l,..., п),
представляется в виде суммы некоторого многочлена степени не выше
U — 1 по Xi (i = 1 п) и интегралов от производных ?)|'/.
Забегая несколько вперед, скажем, что это представление можно
также трактовать как разложение функций из пространства
Wp{G) (определение см. в § 9) с помощью проекционного
оператора, переводящего WP(G) в пространство указанных выше
многочленов. Для изотропных пространств такое представление
было впервые получено С. Л. Соболевым [1], [2].
Пусть К(х) и 9(д;) —функции, введенные в 7.1, причем будем
считать, что S(K) = supp К сг /, *). Пусть I = Aи ..., 1п) —
вектор с положительными целочисленными компонентами.
*) Напомним, что /j = {х: \xt\ ^ 1 (i =? 1, .,., п)}.

90 интетральные представления Функций
Положим
Q(*. y) = Dly
jlLL- J K(x + z)Q(y-z)dz
[ГЛ. II
C2)
Легко видеть, что Q(x, у) является бесконечно
дифференцируемой функцией своих аргументов в Еп X Еп и при
фиксированном х, как функция от у, она финитна в Еп и supp Q(x, •) cr
с supp К(х-\- •).
Как и при установлении равенства D), проверяется, что
JQ(*, y)dy=* f K(x + y)dy=*\.
C3)
1
Пусть f удовлетворяет условиям п. 7.2, А, = (А,[ Хп), \t = -j
(t=l,..., /г), у > 0. Положим
/(д:, о)=ю-1Ы J f{x + y)Q{x, y\v*)dy =
" = о-'л' J f (?) Q (*, (y — x): v*-) dy. C4)
Функция f(x, v) является бесконечно дифференцируемой
функцией х и v при V > 0.
Пусть 0 < е < 1. Тогда
1
f(x, &) = f(x, l)—)-§^f{x, v)dv.
C5)
Первое слагаемое в правой части является многочленом степени
не выше U — 1 по хх (i = 1, .... п). Действительно,
f(x, 1)= lf(x + y)Q(x, y)dy =
Еп
= lf(x + y)Dly -JLL. ^ K(x + z)Q(y-z)dz dy =
e" _ e"
= J f (У) D'g iy{r_i^ j" K(z)d(y- г) dz dy = P,_, (f; x). C6)
Отметим, что коэффициенты многочлена Pi-i выражаются через
интегралы от функции / по множеству S(/().

§ 7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ 91
Рассмотрим второй член в правой части C5). Прежде всего
заметим, что, аналогично формуле (8),
^[тГ1 *'?*(*, у:^)\ = - ^v—^+'Wjfrix, y:S).
где
S%(х, у) = D1-1*I ~r.§- J K(xx+zt, ..., х{ + у{, ...
L En-\
..., xn + zn)mi)Q(yl-zj)\dz(l
Поэтому, учитывая еще, что 1{Х{ = 1 (/ = 1, ..., я), имеем
• C7)
'-fix, v)= f f(x + y)-±-[v-"V(x, y:v>-)]dy =
En
= - S V~' Л ' \П* + У) Dy^i (*• У : ^ аУ =
= -Su" J ?>!'f(* + y)^(*> yV)rfz/, C8)
где
<?,(*> #) = M-1)'#*(*. У)- C9)
Формула C5), в силу C6) и C8), примет вид
1 " ' Г
f (х, е) = />,_, (/; х) + J 2 с/4 М civ J DJ'f (у) 5>г (*, (» - *) Г о*) rfy.
D0)
Покажем, что если fe40C(G), р>1, то f(x, oW(x) при
и->0 почти везде на G. На основании C4) и C3) имеем
f (х, v) = о-1 Ч J [f (г/) - f (х)] Q (х, (у-х): сЛ) rfy +
+ /(*)J o-IHQ(x, (y-A;):^)di/ = ^W + fW, D1)
En
где
|^(*)|<o-iM J I / (y) — f (jc) I |'Q (jc, (y-x):v*)\dy.

92 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Из определения функции Q(x, у) непосредственно вытекает, что
интегрирование в правой части последнего неравенства в
действительности проводится по множеству тех у, для которых
К{х + (у — х): vK) ф 0. Обозначая, как и ранее,
арифметическую сумму (разность) двух множеств знаком + (—) и полагая
S(K) = supp#,
(S(K)-x)v* = {y: y = gvx = {yxvxi $„оЧ y<=S(K)-x),
легко заключаем, что интегрирование проводится по множеству
S(K, К о; х)=[у: y^x + (S(K) — x)vl). D2)
В силу того, что S(/C)c:/i, множество S(K, К v; х)
содержится в прямоугольном параллелепипеде
/**(*) = {»: |»,-*,|<A + |*,|)о*' (i==l, .... «)}•
Пусть G' — ограниченная подобласть области G, точнее, пусть
G'={x: xeG,|je,KR(i=l л), /?>0}.
Тогда при любом x^G' множество S(K, К v; х) а /\(х)с
czlvx{x), где
Т^(х) = {у: \yi-xi\^(\+R)vKi A = 1 «)}.
Очевидно, l7vl(x)\=2n(l + R)nvn] = Cl(R)vnK
Пользуясь, далее, оценкой
\Щх, (у-х): о*)|<С2(/?),
справедливой для у е /^(х), имеем при ^еС
I^Wl^o-'^CjW J \f(y)-f(x)\dy^
^ТГТТГ f \fiy)-f(x>№>
I , ix)
„A
^ I 7.1X)
где C(R) = Cl(R)C2{R).
Отсюда на основании теоремы 1.7 получаем, что | 2fv\ (х) \ -*¦ 0
при и->0 почти везде на С. Это, в силу равенства D1) и
произвольности подобласти G', доказывает наше утверждение.
Устремляя теперь в D0) е к нулю, получаем равенство
1 п '¦'¦':'¦
/W = ^_1(f;^) + j Yiv~]Xl ^ i Dtiif(y)Si{x,(y-x):.vl)dy, D3)
0 *=.! sn

§71
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
93
справедливое для почти всех х того множества, для которого
имеет смысл правая часть.
Получение тождества D3) и явилось основной целью
настоящего пункта.
Поскольку supp 9? t(x, •)<= supp Q(*, •) иА,=у, легко
заключить, что носителем представления, т. е. множеством тех у,
по которому проводится интегрирование в правой части D3),
является множество
V(l; Х)= (J s(k, |, о; х), D4)
0<ч<1 v '
гд,е S (К, X, v; х) определено формулой D2).
Так как при v=\ S(K,X, 1; x)=S(K), а при о->0
S(K,k, v. х)->х, множество V(l\x), форма которого зависит от
S(K) и вектора /, простирается от точки х до множества S(K).
Естественным поэтому является следующее определение.
Область G гз S(K) называется l-звездной относительно S(K),
если для каждой точки x^G множество V(l\x)a G.
Таким образом, тождество D3) имеет место для почти
каждой точки х /-звездной относительно S(K) области G. Если f
непрерывна на G, то оно справедливо в каждой точке области G.
Мы подчеркнем, наконец, что оператор
&f = Pi-l(f;x)=$f(y)Q(x,y — x)dy
обладает тем свойством, что переводит любой многочлен степени
не выше /; — 1 по xt (t = 1, ..., п) в себя. Это следует из
формулы D3), так как при подстановке в нее такого многочлена
второе слагавмое исчезает.
В заключение этого пункта отметим, что интегральные
представления A5) и D3) приспособлены для исследования свойств
функций классов Wp С. Л. Соболева, характеризуемых
векторами / с положительными целочисленными компонентами. В
следующем пункте мы получим интегральные представления,
характерные для классов Wр и Lp при произвольных
неотрицательных значениях компонент вектора /. Эти классы при целых
значениях компонент вектора / совпадают с классами С. Л.
Соболева.
7.6. Обобщение интегрального представления A5). Прежде
всего построим соответствующее ядро усреднения. Мы будем
исходить из функции Q, построенной в .7.1, однако будем считать
для,простоты, что она представляется в виде произведения
функций одной переменной.

94 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Пусть Kt^Co(E]),
| Kt(t)dt=l {1=1, .... л). D5)
е"
Положим
Q, @ = я,'
f^i- |^(xH(/-T)rfx
(i = l л). D6)
Легко проверить, что Qi е Со° (?'), suppQ* с supp /С; и
j Q, (О Л = j Ki(t)dt=l (i = 1 л). D7)
Е1 Е1
Пусть W(?) — неотрицательная функция одной переменной,
заданная на ?', supp Ч* а [1, 1 + о], о > 0, и
J>(g)d?=l. D8)
Е1
Введем функции Q4 @ по формулам
Q, @ = J Ч' (|) Q, (/Г'О Г"' dg (/ - 1, ..., n), D9)
Е1
где, как обычно, kt > 0 A=1, .,., л).
Положим теперь
QI (/) = J Q< (/ — т) Q{ (т) dx (i=l,..., л). E0)
Е1
Очевидно, QleCo0^1) и, в силу D7) — E0),
J q; (о dt=(\ui (t) dtf=f J v (i) dg J Qi ($-**) r*' dO2 = i.
fi1
E1)
Таким образом, функции QJ(/) можно в дальнейшем принять за
усредняющие ядра.
Предположим, далее, что функция f удовлетворяет условиям,
наложенным на нее в 7.2, т. е. будем считать, что она определена
в той области G пространства Еп, в которой потребуется в
дальнейшем, локально суммируема на G и имеет все те обобщенные
производные, которые войдут в рассмотрение.
Рассмотрим усреднение
п
/;* (х) = J f (* + у) П v~K'Q] fco"*0 <fc- E2')

I я
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
95
Имея в виду применение тождества A) к функции /*\(л;),
найдем -fof'v\(x).
Из E2) следует, что
i=\ еп \ J J
Xlfrlv~Kitii{yiv~4)]dy, E3)
где, в силу E0) и D9),
д
dv
{ ft»~liU{ {{у, -1) iTv0l [o"fc'Q* (/о"Л')| Л =
?¦
= 2 Jo->Q,((^-/)o"-^-[o~fc'Q,(/o-fc0]d/, E4)
VFN0f'
й1
ft,-I
г^та-{^Мтагв(^@6)"х,-т)Л
(*«-•)« J
V(gN '^4(f(o6)-*')dS. E5)
E1
^@
*/«
(*,-!)!
K,@.
E6)
Формула E3) на основании E4) и E5) и замены в правой
части переменной z/< на yt + t примет вид
? fr (*) 2 J гГ1*1 * '**' J V (|) Г"' dl J Q, fct»^') <*</* X
J-I E' E'
X I f (* + if + tet) (Т\_иq; fco^O)D№ ('(°S)"^'' Л, E7)
где | X \— 2 К dyn = dyx ... dyt.{ dyi+l ... dyn.

96 интегральные представления Функций [гл. п
Преобразуя внутренний интеграл в E7) на основании
определения 6A) обобщенной производной, получаем для -g-f'vx{x)
следующее представление:
1,'. /„ч —_ Vc-'-im+V1
где
Vi = v~4 J* j* \ D,t'f(x + y + tet)m,,Q](ylv-xl))x
i
X Q, (yiV~"<) V, (|) St {t (vl)-ki) dy dl dt, E9)
2',@ = 2(-l),'D*'-'^/@. F0)
v, a)=v (?) r*<+^ a = i,.... n), Fi)
/, (j = 1, ..., n)—некоторые натуральные числа, /,• ^-kt.
Заметим, что если l{ < &,-, то функции 2?i(t) удовлетворяют
условию
f &t(t)dt = 0 (г=1, ..., л). F2)
Учитывая особенности нормировки вводимых в дальнейшем
пространств Wp и Lp при целых и нецелых значениях координат
вектора /, представим Эг в двух различных видах.
Первое из этих представлений получается просто. Положим
в E9) г/i + t = Wu а затем заменим до* на yi\ тогда получим
*,= \D,/f(x + y)Ml(y:vl-)dy, F3)
ЕП
где
м» м=ITqj &/> J J ui (yi - о ^ te~4/) ^ ®d^ *• <64>
Отметим, что в силу F2)
$ DaM,(y)dy = 0, - (i = l n) F5)
для любого a = (<xi, ..., an), а4>0 (i = 1, ..., л).
Несколько сложнее получается другое представление для .9V
Пусть Ш{ — натуральное число. Можно считать, что /( + "*г<!
< ku где ki — число, фигурирующее в определении ядра Q,-@-
Положим
Si(t) = 2{-\)tiDk-li-migi(t), gi{t)=zDmiSi(f) F6)

§ 71 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУПкЦИЙ 97
и перепишем &t в следующем виде:
5г<=°-'' f jfn,"°;(^"fc/)L'i(?)«^',x
Еп-\ ЕЛ I I
X J J D['f (x + y) &f ((г/. - r) iTx/) Dm<S. {t №)-*¦*) dyt dt. F7)
Двойной интеграл по переменным yt и / преобразуем с
помощью следующей леммы.
Лемма. Пусть ф(т) — локально суммируемуя функция
на Е\ Q(t) и S(x) — функции класса С™ (Б1), и > 0, tj > О,
m — натуральное число. Тогда
Е' Е1
- { J Ди F0 Ф (т) (? ^ F) тГ'Я'-'О (^) D'S Ш) dt dx,
F8)
где m
Am (б/) ф (т) = 2 С; (- 1)т-гф (г + г 60, F9)
г=0
0=^=6— любое число, Л;F) — коэффициенты, определяемые
ниже.
Доказательство. Пусть 6^=0. Справедливо равенство
1=-^1(б+1)-1]1Bб+1)-1]... [(m6+l)-t] =
т
-Ur5*-SC/<6>' G0)
•/=о
где
т т
СоF) == П(/6 + о, с,F)-- s 1Г"(й+ о,...,ст(б)=(-1)«.
i=i s=i ;
Легко видеть, что для любого г, l^r^m, существуют числа
В;,г С/ = 0> 1» •••> /п—1)> удовлетворяющие условиям
— В0,Дг6+1) = С0,
fl0.r —Я|.г(гб+1) = С„
В,.г-В2.г(гб+1)«С2, G1)
Впг-2,г — fim-l, г (г6 +0 — Сщ-И
где Су = Су F) — числа, определенные выше.

98 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Замечая, далее, что при любом /', 0 г^/'^ш, имеет место
равенство
?¦ Е'
и используя представление единицы по формуле G0), мы можем
интеграл 3, стоящий в левой части F8), записать в виде
Э= {
i т \
J J ф (х) S с, <*) />-'а (^) d's(JL) „»-' л *
Е1 я v;=o
G2)
Покажем, что при любом г, \^.г^.т,
Jr= j j9(T + r60E]C/F)D'"-/Q(^-)x
E1 E' 4=0
Xi>/s(-^-)Ti'»-')rf/rfT = 0. G3)
Действительно, полагая х-\-гЫ==т', заменяя затем т' на т и
используя равенства G1), получаем
jr= j Ф(т)Л J J fl/.r[-H+lHm-fQ(T~(rftB+t)')x
E> /=0
XO/s(^L"-4/)m4/+,,QA=i^)o/+,s(^)ii-'-'/+,']*=s
m—\
/=0 E* E1
так как Q и S — функции класса Co°(?').
На основании F9) и G3) равенство G2) можно записать
в виде
Б' ?' v=o
^ = ^] {A'"F09(x)(^C/F)D'"-/Q(V)X
XD'S^xF-ijdtdt.
Последнее равенство совпадает с равенством F8) при At(b) =
( \\m
= , 6п, Су F) (/ = 0, I, ..., m). Лемма доказана.
Преобразуем теперь двойной интеграл по yt и / в F7) с
помощью равенства F8) и сделаем подстановку yt — t = и)?,

§ 71 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ 99
а затем заменим wt на yt. Тогда получим
| J Dltf (х + у) Q. ((у, - t) о"*') D^S, 0 (об)""') djf, Л -
Е1 ?'
-S^/W^^' I J *?'(*) Di'f(* + tf + fe,)X
/=0 Я1 Я1
XDmi~' Qt (yfi-1') D!S{ (t (og)-*') rf^rf*. G4)
Положим
Ф?/ (у) = A, F) D^-'Q, (yt) IV1) Ql(«,,), G5)
V// (I) = 4', F) 6l< С"'"') = V (Ю ^ ("•«+'/-'-»), G6)
^@ = ^@. G7)
Тогда из F7), G4) — G7) вытекает, что
&t=2 °' I 1 J АГ'W D''f (* + ^ + 'e0ф</ fr: °fc) x
/=o En e1 e1
X lF;/ (I) Nti [t (vl)-1') dy dl dt. G8)
Заметим, что мы можем считать функции Nit{t)
удовлетворяющими условию
JNtj(t)dt = 0 (/=1, .... т{). G9)
Е1
Это следует из G7) и F6), если &г > /,- + Щ-
Применяя теперь формулу A), а также равенства E8), F3)
и G8), получаем следующее тождество:
h п
и (*)=/;*(*)+! ]>>-'-'м+'^-(*, v)dv, (so
е 2=1
где З^Ск, v) = 3fi может быть представлено либо в форме F3),
либо в форме G8).
Если fe=LpC(G), р>\, то в силу E2), E4) и леммы 5.о,
fе*.(х)-+ f (х) при е-*0 почти везде на G. Поэтому при е->0
из (80) вытекает равенство
h п
f{x)=fo{x) + \ ^lv-l-lM+t^Sfl{x,v)dv, (81)
О 1=1

100 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. П
справедливое для почти всех тех ieG, для которых носитель
представления (81) содержится в G.
Выясним теперь, какое множество является носителем этого
представления, т. е. на каком множестве значения функции f и
ее производных используются в правой части (81).
Предположим, как и в случае формулы A5), что
:|С(> ' "^'
5(/C*) = supp/C,c:W:-^->0, K^j <l+b\
(i = 1 «),
гц.е b > 0, at ф 0 (t = I, ..., п).
Так как S(Q,)crS(/Q, в силу D9), E0) и определения
функции lF(g) имеем
S (&)<={*:-?> 0, l<(J-y/l'<(i+6)(i+a)Ji
S(Qi)c=b:-?>0, 2'^<(^уАг<2,/лЧ1 + 6)(Ц-а)|
{i=l га).
Отсюда на основании F4) заключаем, что
supp М{ (•: о*) с {г/: -J- > 0, 2llKi v <
<
(т-)' ^^/(l + ftXl+a)» (/=!,...,„)}.
Заметим, что в представлении &t{x, v) формулой F3)
используются значения функции f и ее производных лишь в точках
множества х + suppМ{(-: vl).
Далее, из G5) — G7), F6), F5) и определения функции Ч',; (|)
вытекают следующие оценки для носителей функций Фг/ (у. vk),
2"*'° <("?-) '<2I/fc*(l + 6)(l+o)o (s==1 п;$ф1),
V<\a) <V + b)(l+o)v,
vs < (-fp <o + *) °^ i^i^i + ^

§7]
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
101
Из этих оценок легко следует, что в представлении 3fi{x, v)
формулой G8) используются значения функции / в точках
множества, содержащегося в х -f- Fv\, где
,,1 = |^>о,Л<@й'<
< 21А/A + 6)(Г+а)A + /пуб),/% (/=1 «)}. б>0.
Замечая, что М{ (•: vl) с: Fv\, легко заключить, что носителем
представления (81) является сдвинутый рог x-f-Kf-r-) —
= х + U f„\ (см. A9)), причем раствор рога W-r-l за счет
выбора параметров аг, 6 > 0, а > 0, б > 0 может быть сделан
сколь угодно малым.
Пусть U — множество тех j;eG, для которых х -f- V (у) с G.
Тогда можно утверждать, что тождество (81) справедливо для
почти всех х е U, а при непрерывности /на G — в каждой точке
xceU.
Отметим, что если функции 9',•(*, v) при каждом i (i = Г, ...
..., п) представить формулой F3), то тождество (81)
обратится в тождество A5), а если все 3fi(x,v) представить
формулой G8), то получим представление функции f через интегралы
от f и от конечных разностей производных f по координатным
направлениям. В частном случае, когда все U = 0 (t=l, ..., п),
в правой части (81) будут фигурировать только f и конечные
разность функции /.
Как уже отмечалось во введении к главе II, различные ин-^
тегральные представления функций соответствуют различным
нормировкам тех классов функций, которые рассматриваются.
Приведем отдельно представление, являющееся частным
случаем представления (81), соответствующее основной норме
пространства Lp.
Пусть задан вектору = (/ь ...,_/„) с положительными
компонентами. Положим U [/,], /, = /, +ос;, 0<а;<1 (t=l, ...
..., п).
Если U = U — целое, то представим 9 \{х, v) по формуле F3),
а если U>U, то представим & \{х, v) по формуле G8), считая
1Ш = 1 и заменяя в этой формуле всюду U на U. Тогда получим
h п
t(x)=fHb(x)+ ] 2ТММ+''^М< {х, V)dv, (82)
О <==1

102
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. И
где
Эи h (х, v) = f D'.if (х + у) М( {у: v*) dy, (83)
вп
если /,- — целое, или
3r,.,l{x,v)=,2lv-x'(l+ai) | I JA.Ft)D7Jf(x + y + te{)X
/=0 е" Е1 Е1
X ФG {у- vK) Vti (I) Ntl (t (о|Гч0 dy dl dt, (84)
если /; = /;+«г— нецелое.
В заключение этого пункта отметим, что если во всех
предыдущих формулах положить \|з(?) = б(|— 1), где б(|—1) —
сдвинутая 6-функция, что равносильно тому, что Q; = Qj (/ =
= 1, .... п), то формула (82) сохранит свой вид, причем 3i
в случае целого /,• записывается в форме (83), а в случае
нецелого /,• принимает следующий более простой вид:
1
9i. i, (х, v) = J v~li (l+ai) j J A, F0 D\4{x + у + tet) X
M> ЁП El
X Фч (у: о*) Nt, {tv-x') dy dt. (84')
Представление, характеризуемое формулами (82), (83) и (84'),
применяется для исследования свойств функций классов Wlp.
Нетрудно показать, что для функций из Llp и Wp
тождество (82) всегда имеет место (см. по этому поводу
замечание 7.8.1).
7.7. Остановимся еще на одном тождестве, непосредственно
вытекающем из формулы A2).
Для его вывода применим к обеим частям A2)
дифференцирование ?>", а = (сц, ..., ап), О^а* — целые; тогда получим
+ (-ir^^^v-l~ia'X'-n{dv I f{y)DaDkl^i((y~-x):v")dy,
е ;=i Еп
(850
где параметры е, АД = (А,| К), функции f(x), f0\{x) и 3?i{x)
имеют тот же смысл, что и в 7.2.

§7] Интегральные представления функций ЮЗ
Пусть Ь — заданное положительное число, /= (/ь ..., /„)
обозначает вектор с целочисленными неотрицательными
координатами. Положим
0<(/, А|<6
где Aj(x,v) —произвольные измеримые функции от х и а,
определенные в той области, в которой потребуется. Таким образом,
Рь,\(У'< x>v) —полином относительно у, содержащий степени yi,
характеризуемые неравенством (уД) ^ Ь; с коэффициентами,
зависящими от х и и.
Легко видеть, что если числа kt (i — 1 га) достаточно
большие, то при любом а ^ О
f Pb_, (у; х, v) DaD)^l {у :vK)dy = 0 (i = 1, ..., га).
Еп
Поэтому формулу (85') можно переписать в виде
DafE,(x) = Dafh,(x) +
h
+ (_l)l«l J0-!-:a.M-|Mrf0 J[f(y)_pbjy_x;x) ц)]><
Е ЬП
XDaM{(y-x):vK)dy, (85)
M(y)=iillDk^i(y).
Полученная формула и является главной целью настоящего
пункта. Кроме тождества (85) нам понадобится еще следующее
его видоизменение:
ЯаЫ*) = /)аЫ*) + (-I)'"' J ir'-".*HMd0 X
Е
X I DaQ(iy-x):vK)dy \[f{z)-~PbtX(z~y,y,v)]X
ЕП En
XM{{z — y):vK)dz, (86)
где
ДвЫ*) = (-1)|0,гГ!п'*-|Ч J f(y)DaU({y-x):vK)dy,
e"
Q (y) = | Q (y — w)il (да) dw, '

104 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Q и М — те же функции, что и в формуле (85). Формула (86)
также получается из формулы A2), если в ней всюду функцию
й(у) заменить на &(у).
Если существует Daf <= Ll0C(G), то при е -> 0 из полученных
формул вытекают соответствующие интегральные
представления для Daf.
Считая, что supp К, где К — функция, входящая в
определение Q, характеризуется соотношением A8), легко заключить,
что при любом е, 0 < е < h, в правых частях формул (85) и
(86) используются значения функции / лишь на некотором роге
Указанные тождества будут в дальнейшем применены для
исследования свойств таких классов функций, которые
характеризуются определенного типа интегральными оценками для
|/ — Рь, х\. Кроме приведенных тождеств, мы будем
пользоваться также представлением коэффициентов произвольного
полинома через интегралы от самого полинома. Эти формулы легко
следуют из формулы (85').
Пусть
pw= Е ifxJ
0</<fc-l
— полином относительно Х\, ..., хп степени не выше kt — 1 по
Хг (t = 1, ..., п). Положим в (85') f(x) = P(x).
Интегрированием по частям легко убедиться, что второе слагаемое в этой
формуле будет равно нулю. Поэтому при любом а ^ 0 будет
иметь место равенство
DaP^(x) = DaPhx(x).
Отсюда при е-* 0 получим
DaP (х) = (-1I а > /Г,а' *1-1 м J Р (у) Da Q ((у - х): hl) dy.
Еп
Это равенство справедливо в каждой точке х^Еп. Полагая
здесь х = 0, а = /, будем иметь
Л/ = (-1)|/|/Г(/,мнм J P{y)DJQ{y:№)dy @</<fc— 1).
Еп
Заменим в этой формуле Р(у) на полином Рь, \{у,х, v),
введенный выше. Тогда получим следующее представление коэффи-

§7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ |05
циентов полинома /\ %(у\ х, и):
Aj(x, о) = (-1)т/Г"д-т \Ръ.Ау\ х, v)DJQ(y.h>)dy (87)
@<(/, Л)<6).
Отметим, что формула (87) справедлива при любом /г > О
и любом v, в частности при а = /г.
7.8. Интегральное представление функций через разности.
Как уже отмечалось, формула (81) в частном случае дает
представление функции f через интегралы от / и ее разностей
покоординатным направлениям. Мы, однако, укажем здесь более
простой способ получения такого представления, основанный на
другом выборе усредняющих ядер Q;.
Пусть Ki{t) (i = 1, ..., п)—те же функции, что и в 7.6,
т. е. Ki^C™(El) и удовлетворяют равенствам D5).
Положим
^^^t+w^Mttw) (/=1, ••••rt)- (88)
/=0
где &,- — некоторые натуральные числа, 0<6< 1,
kt 1
^ = (-1)*' S4tFc^ = t-D*' j A -*в)*' d/=* 0.
/=0 0
Очевидно, Ц,еС(?') и
?' /=0 Е'
-^i^rirck-^ a=i.....n). (89)
/=о
Введем, далее, функции ili(t) по формулам-
Га; @ = f й< (/ — т) Qi (т) dt (t = 1 л). (90)
к'
Ясно также, что Q.-eC"^1) и, в силу (89),
[ Q,@d*=l (t=l, ..., n). (91)
Следовательно, ili(t) можно принять за усредняющие ядр^.

106 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Пусть %t > 0 (t=l, .... га), К — {Хи ..., Хп). Положим
п
f „л (*) = J / (* + У) П °~^ ^°~^ *У- О2)
Отсюда имеем
*=i в" V / /
где
^ lo-*'Q, (г/,у-л0] =» ^ \ о-"'й, (^о-"' - О Q, @ rf/ -
я*
<= - 2А(-и-!~иг J ftT*'Q, (fiT*0 ЯД ((у, — 0 v~xi) dt,
D{ — производная по t-му аргументу.
Подставляя найденную произчодную в формулу (93) и делая
замену yt = #•+/, а затем повторную замену у' = ух, получаем
= -?а"'~;М"*' litijr-v^dy Ifix + y + tedtv-^&iitv^dt,
где
# (у) = 2Л,Я Д Ы П(i) Q/ ty). .(94)

§7] Интегральные представления функций 107
Интеграл по переменной t на основании (88) можно
преобразовать к виду
J f (х + У + ted tv~^Qi (tv~'-t) dt =
E'
-xJ S <-'>""'<*,»' + » + W тЙ-*.(¦??)TTF-
= J Aj' F0 / (x + у + tet) Mi (tv~Kt) dt,
где
Mi(t) = ^tKi(t). (95)
Используя полученное выражение для -g-fv\(x), на основании
формулы A) будем иметь
h п
X J J А-' № f(x + y + tet) Xl {у ¦ vl) Mt (tv~Ki) dy dt. (96)
E1 En
Если / e Lloc (С), то на основании леммы 5.3 при е->0 из (96)
вытекает тождество
h а
0 (=1
X J \b1i{bt)j{x + y + tel)%i{y\v%)Mi{tv-^)dydt. (97)
В1 ?"
Чтобы выяснить, на каком множестве U точек х из области Q
определения функции f(x) справедливо тождество (97),
охарактеризуем сначала носитель представления (97).
Предположим опять, что Ь > 0, at Ф 0,
S (Кд = supp К, с Ь: -? > 0, К (-^-)'Аг < 1 + Ь }
(/ = 1, ..., п\

108 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ (ГЛ. II
Тогда, в силу (88) и (90),
S (&)<={*: -L>0, 1 <^'А'< A + &)A+ М)'А<} >
S(Q,)c{f: ± >0, 2,А< < f±^' < 2,А'A +6)A +М)'/Х'}
A=1 п).
Отсюда и из формул (94) и (95) в спою очередь следует, что
для носителей ядер Xi (у- v) и Mt(tv~ ') справедливы оценки
2!А/у < f-J-j ' < 2"л/A + 6) A + kfiL%! v A < / < я; / =*= 0,
0<(-М '<A + 6)о.
На основании полученных оценок легко заключить, что
носителем представления (97) является сдвинутый рог х -\- Vi — \, где
У(т)~ U {y.%->0,№v<
v л ' о < и < ft I а/
<(-?-) /<2,A/(l+&)(l + fe/6)!A/u, / = 1 я]. (98)
При надлежащем выборе параметров at ф 0, b > 0, б > 0
раствор рога Vf-r-j можно, очевидно, сделать сколь угодно
малым.
Теперь ясно, что при указанных выше предположениях
относительно f тождество (97) справедливо для почти всех х того
множества U а С, для которого C/ + v(y)c:G.
Применим к обеим частям тождества (96)
дифференцирование D", причем в правой части перенесем его на
соответствующие ядра. Тогда получим
^.х(*)=я-ы*)+(-п|в| i i>-'-x<^x
Е (=1
X J J Л J' (б/) f (х + у + Ц) DaXi [у : о*) М, (Го"*0 dy dt, (99)
где
KiH Л | +*,, + (<*, Л). (ЮО)

§ 7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ Ю9
Пусть существует Daf е Lloc (С). Тогда на множестве U,
определенном выше, справедлива формула 6B), в силу которой
DafeK (x) = (Daf)eK(x). Отсюда на основании леммы 5.3
вытекает, что при е->0 Daf к{х)-> Daf{x) почти везде на U.
Поэтому, устремляя в (99) е к нулю, получаем для почти всех
х^О следующее равенство:
DafW = D^(*) + (~l)|a| j j^v-^'dvX
О i=l
Xj \^JFt)f(x + y + tei)Dax{y:vK)Mi(tv-Ki)dydt. A01)
e1 я"
Поскольку в DaJhx (х)дифференцирование также можно
перенести на ядро, тождество A01) дает представление смешанной
производной функции f через интегралы от f и от ее конечных
разностей по координатным направлениям. Носителем этого
представления также является множество х + V (-г ).
7.8.1. Замечание. Формула A01) в основном будет
применяться для исследования свойств функций классов Вр, о (G) (см.
гл. IV). Поскольку для функций этих классов существование
смешанных производных априори не предполагается, а
формула A01) получена в предположении, что / имеет производную
Daf е Lloc (С), мы укажем здесь некоторые условия,
гарантирующие существование обобщенной производной Daf у функций
классов BF, а (С) (и несколько более общих).
Для произвольного множества Та G положим
Д?'С; T)f(y) = b*4t)f{y),
если разность строится по точкам, содержащимся в Т вместе
с соединяющим их отрезком,
^(f,T)f(y) = 0
в противном случае.
Пусть f <= Ll0C (G) и при некоторых р==(р!, ..., рп), 0 =
= (9„ .... 9„) и / = (/„...,/„), 1<рь 0*<оо, 0</;<оо
(t=l, ..., п), для произвольного компакта TcG справедливы
неравенства
nrl-l^\\^(t;T)f('Tdt\ <Лг(Г) (i = l, .... п), A02)
где А{(Т) —константы, вообще говоря, зависящие от Т.

110 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. I!
Покажем, что если функция / удовлетворяет условиям A02),
а вектор а =¦ (ось . . ., ап) удовлетворяет неравенствам
ц,=/Д,— (а, Л)>0 (/=1 п), A03)
то существует производная Daf е Lpoc (G) и, следовательно,
справедливо тождество A01).
Прежде всего установим, что Dnfex—Drtfft^->0 при 0<е<
</i->0 в смысле сходимости в Lpoc (С).
Пусть компакт F cz G. Тогда при всех достаточно малых
h > 0 множество F+Mt содержится в некотором компакте
.я.
TczG. На основании (99), обобщенного неравенства Минков-
ского 2A2), неравенства Юнга 2A8) и неравенства Гёльдера
последовательно получаем
1№-даыи
<
!
.oi -J-+1-Q'.
х(/"г:-|Л|А?'(/;Г)/Сгл)в'<
<^Cl\\Da%il\\Ml\\e'Al(T)h\
i=\
где x,- определяются равенствами A00), a |.i,- —
соотношениями A03).
Отсюда следует, что \Daf&%~ Oafh%\ -»0 при 0 < e</i-»0.
Так как, кроме того, f Л (х)-*¦ f {х) при е—>0 в смысле
сходимости в L ос (С), на основании леммы 6.2 заключаем, что
существует Daf е LlpC (С), что и требовалось.
Отметим еще, что неравенства A02) для функций из Blp,e{G)
выполняются в силу определения класса (см. гл. IV).

ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ Щ
7.8.2. Замечание. Пусть К <= С~(?"),
\ K(x)dx=l,
л Й (,+'6>"+ V 1 -Ь /6 \+jb
где fe — натуральное число, 0<6< 1,
Пусть
1=0
Q(i/)= ) Q(y — z)U(z)dz,
ЕП
bW = «HM \fix + y)Q(y:v*)dy. A04)
Тогда, повторяя предыдущие рассуждения и вводя обозначение
п
N(y,z) = yi^zlK(z)DiQ(y),
получаем тождество
f(x) = fhK(x) +
h
-f- [o-!-2iX|do f f Ak(bz)f(x + y + z)N{y:vb,z:vl)dydz, A05)
o'' e" e»
справедливое для почти всех тех jgG, для которых носитель
представления содержится в G.
При соответствующем выборе носителя функции К(х)
носителем представления A05) будет некоторый рог.
7.9. Общее замечание. Во всех полученных выше
интегральных представлениях функций и их производных, в
частности в представлениях A5), B5), D3), (81), (82), (97) и A01),
правые части формул совпадают с левыми частями почти везде
на множестве
?/ = ji:xe(?,jt+ K(j)cO|.
Легко видеть, что для всех, эквивалентных на G функций f(x)
правые части этих формул одни и те же в каждой точке хе? V,

112
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
[ГЛ. II
Поэтому их можно рассматривать в качестве представителей
всего класса эквивалентных функций.
В дальнейшем мы часто будем считать, что указанные
интегральные представления справедливы для каждой точки ig[/
(и даже для точек х «= dG, если х -f- V \j\czG). Принимая это,
мы, возможно, лишь заменяем функцию / на ту эквивалентную
ей на G функцию, которая совпадает с правой частью
соответствующего интегрального представления везде на U.
7.10. Многопараметрические усреднения и интегральные
представления. Как мы видели, в основе метода получения
приведенных выше интегральных представлений функций лежало
рассмотрение усреднений типа fv\, где vK— параметр
усреднения. Такие усреднения будем называть однопараметрическимн.
Основной целью получения этих представлений является
использование их для установления неравенств между различными
нормами частных производных функций многих переменных
Однако многие неравенства, как, например, неравенство вида
дг1
дх, дх0
<С
df
дХ:
+ \
д{
дх,
+
d'f
дх: дх:,
2 \\Р
не могут быть получены с помощью приведенных представлений.
Это объясняется тем, что, исходя из однопарамстрических
усреднений, мы получаем представление какой-либо смешанной
производной лишь через производные определенного типа. Говоря
точнее, производная Daf может быть представлена через
производные Dl f (г = 0, 1, ..., я),если характеризующие их векторы
а = (аь . . . , а„) и
виям B0):
/"<<*, (/=1, ..., и);
/'' = (/!
/;<«,
(/=i,
0=1.
..,«).
удовлетворяют усло-
/ Ф г), 1\ > аг
Значительно расширяет наши возможности в указанном смысле
привлечение представлений, основанных на рассмотрении много-
параметрических усреднений, т. е. усреднений с разными
параметрами по разным переменным или группам переменных. Здесь
мы приведем лишь одно простейшее интегральное
представление такого рода, используемое в дальнейшем.
Для этой цели введем обозначения. Пусть е"={1, ..., п) —
множество натуральных чисел, е — произвольное (в том числе
и пустое) подмножество множества е", е' — ё1\е (е [) е' = еп);
Iе = (б?, . .., 6J0,
/=1
где
6]=\
при / е е.
¦ 0 при /ее

§7] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ Ш
Если 1 = A[, ..., 1п), то под Iе мы будем понимать либо
я-мерный вектор Iе — (/f, ..., /J0, у которого //=// при /ее,
// == 0 при /ее, либо вектор размерности |le| с
компонентами lj, где / пробегает множество е. Будем также писать
Аналогичный смысл имеют обозначения
х', Vе, he, ге, х^{хе,хс\ v = {ve,ve'\ h = (h',he'),
где
х = (хх,..., хп), v = {vx, ..., vn), h = (hu ..., hn), e = (e1; ..., e„).
Поло ким также
uve dv: ••• a», '
\ Fdv'=~ j dVii... j Fdv,=lJ[ j dvtAF,
где 0 < e,- < hi (i = 1, ..., n), 1/,, ..., j.sl = e.
Пусть f — локально суммируемая функция, определенная
в той области G пространства Еп, для которой имеют смысл все
последующие преобразования.
Рассмотрим усреднение
п
F(x;v) = F(x;vl vn)= f f(x + y)|[ o-'Q(y/0/-') dy, A06)
я» /=i
где Oj > 0 (/= 1, ..., n), Qj@ определены равенствами D6).
Очевидно, F(x\ vu ..., vn) является непрерывно
дифференцируемой функцией Vj при Vj > 0 (/* = 1, ..., п).
Пусть е = (ei, . .., е„), /г = (fti, . .. , hn), 0 < ej < Aj (/ =
= 1, ..., n). Па основании формулы Ньютона — Лейбница
справедливо равенство
F{x; е, е„) =
==/=¦(*; /г,, е2 е„)— j Fj,, (л:; vu е2, ..., е„) of?,.

114 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. II
Применяя к правой части снова такое же равенство, но по
переменной v2, будем иметь
F(x; е, е„) =
ft,
= F{x; hu h2, ..., e„)— J F'Dl(x; v\, h2, ..., zn)dvi —
— J F'v (x; hi, v2, ..., e„)ofwL. + [ | F'itVi(x; vi,v2, .... en)dvldv2.
Продолжая указанные преобразования, на п-м шаге получим
F(x;e) = У^ (-l)|,e| j DjFU; we, A8') do*. A07)
Формула A07) в рассматриваемом случае играет такую же роль,
какую играла формула A) при выводе представлений,
рассмотренных ранее.
Далее, из A06) и D6) следует, что
D'>(x; ve, he') =
= \f(* + *> (П ~L КЧ Ow'W П *7,Q/ (^7'))d^
(_1I.»10-1 j /(x + ^fn^'^/^^^W
xfnv^feOV^ A08>
где
0-я = О ...С" (« = («,. •••. «„))•
^/W = -^7=1)F^@. (Ю9)
Подставляя A08) в A07), получаем
he
F(x;e)= V J и-,еф(л;; we, /гг')Ле, (ПО)
— я „g
где
Ф(х; ие, Лв#) =
= .1 / (* + 0) (П. "Г1 d'iz, (у^;1)) ( J\ h'% (ytf)) dy. A11)
Vs? / Vsв'

5 71
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
11S
Для нас важное значение имеет тот факт, что для усреднений
вида A06) справедливо замечание к лемме 5.2, из которого
следует, что если fsLJ,or(G), 1 <р < оо, и е,-->0 (/=1, ..., п),
то F(x; е) -*¦ f (х) в смысле сходимости в LpC (G); кроме того,
при р > 1 на основании результата, приведенного в замечании
к теореме 1.7 (Иессена — Марципкевича — Зигмунда), F(x; е) -н-
->/(х) почти для всех х е G (при et = ... = е„ = е последнее
утверждение верно и при р = 1). Следовательно, если/<=/,рС (G),
то из A10) при е,-> 0 (/ = 1 , . . . , п) вытекает соответствующее
интегральное представление для функции f(x).
Применим к обеим частям тождества A10) операцию D",
причем в слагаемых, стоящих справа, дифференцирование
перенесем на ядра. Тогда получим
. he
DaxF(x;s)--= J] (-1)|а| { о-,вф'а,(*;ов, he')dve, A12)
где
Ф<«> U; ve, he') = J f (х + у) (]| v-xD^DkiS?i {у^)\ X
е" \1^ё ' /
х(ПлгЧ;М^г')К (,13)
Предположим, что f имеет обобщенные производные вида
Dtef('Veczen), где компоненты вектора 1е = {1е,и ..., /,,,„)
удовлетворяют условиям
К,! < а, + к, (у s= е), 1Сш, < а, (/ (= е').
Тогда функцию Ф (х; Vе, he) можно представить в виде
Ф{а){х-ю\ he') =
= (~1)|ге| J ^/(^^(П^'^^^^^'^/^Л'ЯХ
Еп Уев /
xfПлГ!"в/+,,'/двг/"ЧMr')W A14>
Тождество, характеризуемое формулами A12) и A14), а также
вытекающее из него интегральное представление для Daf могут
быть применены, например, для изучения свойств функций
классов SpW, рассматривавшихся в работах С. М. Никольского.
Нам же в дальнейшем понадобятся тождества, вытекающие из

UG ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ [ГЛ. И
A12), A13) при некоторых специальных преобразованиях,
которые мы рассмотрим в § 13.
Пусть 0 < Ь < 1, 0j = -)-l или-—1. Если при построении
ядер i~lj(t) (см. D6)) предположить, что
supp
K,<=:\t: \-b<~< l} (/=1, ..., я),
то легко заключить, что при любых ej, 0 < ej <h j (/ = 1, ..., п),
в правых частях формул (ПО) и A12) используются значения
функции f лишь в точках прямоугольного параллелепипеда с
вершиной в точке х и ребрами, параллельными осям координат,
точнее, в точках множества х + Q (А), где
U(h) = {y, 0<^<h, (/=1, .... я)}. A15)
Замечание. Отметим одно следствие, вытекающее из
формулы (ПО).
Пусть / s= Lp (Еп), 1 < р < оо, 8i = ... = е„ = е, «I = ...
... — hn = h. Для общего члена 9е в правой части (ПО) па
основании неравенства Гёльдера получается следующая оценка:
/е=ее / \/
r I < 1Ш °7'"р rf0/j ч ^и" (П ВDSi?/ НИ х
Wc=o' /
Wee'
где С — константа, не зависящая от /, е и А.
Если е' ф 0 (е Ф е"), то Уе~>0 при А-»оо. Поэтому
из (ПО) следует, что
h h „
/=¦(*; e)=lim f ... ["У'*?1 f Г(*+ »)П 0*^(^7') rfy-
ft-»oo •' •' О, . . . 0„ -' f *- 1 \ I I /
1/е 1/е „
= lim j ... I du, ... dun \ f (х + y)J\_ DkJ^j (r//U/) dy.
h~*°° i/ft i/a E" /=i
Отсюда, замечая, что при е->0 F(a:; е) -*f (х) почти везде
на ?"\ и заменяя 1/А на е, а 1/е на А, получаем
h h п
f(x) = lim lim f ... f rf«, ... dun \f(x + y)J\ Dkig (yu) dy,
ее E" y=l
Эта формула аналогична известной формуле Фурье.

5 8)
ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
117
§ 8. Области определения функций
8.1. Пусть /= (/ь ..., /„) — вектор с положительными
компонентами, 0 < h ^ оо, е > 0, а, ф 0 (/=1, ..., п). Назовем
l-рогом (радиуса h и раствора е) множество
V(l)=V{l, А) =
= U \х:^->0, 0<Ш'<A+8H (/=1, .... п)\. A)
0<v<h( ai \al I I
Пусть для открытого множества G cz Еп существует конечное
число К открытых множеств G/, и /-рогов Vh(/) = Vk(l, h)
вида A) (с коэффициентами а,, зависящими от k), так что при
этом
К к
G=UG*=U(G*+^(/,A)). B)
fe=i fe=i
Будем говорить в таком случае, что открытое множество G
удовлетворяет слабому условию l-рога, и писать G^A(l,h).
Будем говорить, что открытое множество G удовлетворяет
условию l-рога, и писать G^A(l.h), если для G выполнено
условие B) и
к
G=(jGfe) при некотором 6 > 0, C)
где
Gi6) = {х: х е= G*. р {х, dGk \ dG) > 6}.
Будем говорить, что открытое множество G удовлетворяет
сильному условию l-рога, и писать Gel(/,/!), если для G
выполнено условие B) и
к
G=(jGlfc' при некотором б > 0, D)
где
Gf = {x: x^Gk, р(дс, G\Gfe)>6}.
Введем еще классы
Л(/) = (J Л(/,Л), Л(/) = (J Л(/, А),
0< Й<°° 0 < Й<оо
А@= (J A(l,'h).
Очевидно, что
Л (/, h) Z3 Л (/, /г) гэ Л (/, /г), Л (/) р А{1)рА (/).

118 ИНТСГРЛЛЫ1ЫП ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИИ [ГЛ. II
Очевидно также, что при увеличении h каждый из классов
A_{l,h), A(l,h), A(l,h) сужается.
В случае 1\ = ... — l„ Z-рог V(l) A) является конусом, и
мы будем говорить, что открытое множество G^A(l) (A(l),
АA)) удовлетворяет (слабому, сильному) условию конуса*).
Определение открытого множества G, удовлетворяющего
слабому условию конуса, можно дать и в другой эквивалентной
форме.
Будем говорить, что открытое множество G с Еп
удовлетворяет слабому условию конуса, если
x+V(e(x),H) czG, VxeC,
тгде V(e(x),H)— прямой круговой конус, с вершиной в начале
координат, фиксированного раствора и высоты И @ < И ^ оо)
:И с зависящим от х вектором е(х) направления оси.
Для доказательства эквивалентности достаточно заметить,
что из приведенного условия вытекает аналогичное, в котором
е(х) принимает лишь конечное число различных значений, а
раствор конуса, быть может, уменьшен.
Приведем при п = 2 некоторые примеры.
Все евклидово пространство С2еД(/) при любом I.
Прямоугольный параллелепипед
0= 1(*1, %)•• I *i К а, I х2 |< Ь(а > 0, Ь > 0)) е АA)
При любом I.
Круг Q = {(*,, х2): х\-\- х\< 1}е АA) только при -g-/, ^/2^2/,;
Q е Л (!) при /i = Z2'> Q не удовлетворяет условию /-рога, если
Кольцо R — {(л;,, *2): 1 < xj + х2 < 4} удовлетворяет сильному
условию конуса. Кольцо с выброшенным радиусом
/Г =={(*,, *2): 1 <х\ + х] <4, дс, <0 при л:2 = 0} E)
удовлетворяет условию конуса, но не удовлетворяет сильному
условию конуса.
Мы будем рассматривать еще классы открытых множеств
Л(П) = (J ^(П./г), ^(Q) = U Л(П,А),
0< Й<оо 0 < Й<оо
Л(П) = (J Л(П,А),
0 < h < оо
*) Области, удовлетворяющие слабому условию конуса и близкие к ним,
•впервые рассматривались в связи с интегральными представлениями функций
in теоремами вложения С. Л. Соболевым []], [2]. Области, удовлетворяющие
тому или иному условию рога, были введены в работах О. В. Бесова и
В. П. Ильина, см., например, их совместную работу [1J.

§ 8]
ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИИ
11.»
построенные так же, как АA), АA), АA), но с заменой
исходного /-рога V (I, п) A) кубом
? {К) = {х: 0<xt<h (i = 1, . . ., ft)].
Будем говорить при этом, что открытое множество СеУ) (?)
(А (О), /1(D)) удовлетворяет (слабому, сильному) условию куба.
Очевидно, что при любом I
Л(/)сЛ(П), ЛA)сА(а), АA)<=А(П).
Круг Q == {(л:,, х2у. xj-\-х?, < Ц не -удовлетворяет слабому
условию куба. «Усеченный» круг
Q' = {(*i'*2): *,+4< l> |*i| < ! —е- Ы < 1—е (е>о)}
удовлетворяет сильному условию куба.
В § 13 будут рассмотрены также открытые множества,
удовлетворяющие слабому условию прямоугольника. Это условие
формулируется в 13.2 аналогично слабому условию куба, но
с заменой куба па прямоугольный параллелепипед с ребрами,
параллельными координатным осям. При этом будут
учитываться длины ребер, которые могут быть и бесконечными.
В дальнейшем окажется полезным следующее простое
соотношение выделенных классов открытых множеств: при любом
с>0
A (l,.h) = A {cl, hc), A (I, h) = A {cl, hc), A(l, h) = A {pi, hc). F)
В качестве обоснования достаточно заметить, что, как видно
из A), при данном с > 0 в любом роге V(l, h) содержится
некоторый рог V(cl, h°).
Заметим, наконец, что получатся, по существу, те же классы
открытых множеств A(l,h), A(l,h), A(l,h), если при их
построении рог 1/(/, /г) A) заменить на тело (которое также естественно
называть /-рогом)
Г </. h) = {*: Ц: > О, (¦?)'' < A + Ь){^)' < h;
г= 1, .... я; /==1, .... я|, G)
тде'&^О (/ = 1, . .... п),б>0.
В самом деле, для всякого /-рога T(l,h) с параметрами Ьи6
существует /-рог V(l,h) с параметрами а,-, е и положительные
.постоянные сь с2 такие, что для всех h > О
УЦ, CjAJ с Г (/, h) с У.A; c2h),

120 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ [ГЛ. И
Теперь остается отметить, что при рассмотрении классов A(l,h),
A(l,h), A(l,h) для нас не будет играть большой роли точное
значение постоянной h.
Геометрически /-рог G) выделен в «-мерном пространстве
поверхностями с простыми уравнениями
Ш1={1+6)Ш' {1фи /=1' '•" п' /==1 "••¦п)-
8.2. Продолжимое разложение единицы. Пусть открытое
к
множество (п-мерпого евклидова пространства) G == (jGfe, где
Gh — открытые множества, удовлетворяющие условию D) при
6>0.
Совокупность \ek\^ функций будем называть (продолжимым)
разложением единицы для открытого множества G
(соответствующим покрытию {Gk}l множества G), если выполнены
следующие условия:
а) 0 < ek (х) < 1 на Еп\
б) ek(x) = 0 на G \Gk;
к
в) Zi ek(x)~ 1 на G;
ft=i
г) | ?>%(*) | < С0 < Ьо на Еп (|а|>0).
Укажем способ построения разложения единицы. Пусть
| < 6, < б2 < 6,
G0={x: *е=?", р(лг, G) > 6,].
Возьмем функцию
у{х) = \е~^ при |х|<1,
\ 0 при |*|>1.
Обозначив через %к(х) характеристические функции
множеств Go (fe = 0), Glk' (k^ 1), рассмотрим функции
\ (*) = *Г" J ф {(у—*): 6i) ^о (У) аУ<
щ(х) = Ь-п j y((y-x):b2)xk(y)dy, fe=l, .... К.
Очевидно, что при fe = 0, 1, ..., К т^ е С°° (?") и
\p\{x)\^2]a'b-,all\p\(x)\4x^^.

§61
ОБЛАСТИ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ
121
Отметим еще, что ца(х) = 0 на G, ^(л:)=0 на G \Gk
к,
(Л=1, .... К), 2,уь{х)>0 на Еп.
Легко проверить теперь, что система функций
к
ек(х) = 1ь(х): 2 ч/W (*=1 К)
1=0
образует продолжимое разложение единицы. Оно может быть
продолжено до разложения единицы для Е" добавлением еа(х).
В частности, для открытого множества G, удовлетворяющего
сильному условию l-рога, построено разложение единицы,
соответствующее покрытию {Gft} из B), D).
Отметим еще, что в силу построения eh(x) =0 вне (б —бг)-
окрестности Gh (k—\, .... К).
8.3. Разложение единицы на открытом множестве. Пусть те-
к
перь n-мерное открытое множество G = (J Gk, где Gh — откры-
тые множества, удовлетворяющие условию C) при б > 0.
Совокупность [ek}f функций будем называть разложением
единицы на открытом множестве G (соответствующим покрытию
{Gfc),), если выполнены следующие условия:
а) 0<eft(*)<l на G;
б) ek (х) = 0 на G \ Gft;
г) | Daek (х) | < Са < оо на G. (| а |> 0).
Ясно, что разложение единицы 8.2 задает и разложение
единицы на открытом множестве. Обратное же не всегда имеет
место, в чем можно убедиться на примере (п — 2) кольца с
разрезом по радиусу E). Более того, для кольца с разрезом по
радиусу невозможно построить разложение единицы (в смысле 8.2);
в то же время разложение единицы на кольце с разрезом по
радиусу существует, в чем мы сейчас убедимся.
Покажем, что на открытом множестве G, удовлетворяющем
условию l-рога, существует разложение единицы.
к
Итак, пусть для G = {jGk выполнены условия B), C) при
fc=i
некоторых h > 0, 6 > 0. ¦
Будем считать /г>0 столь малым, что Vk(l, h)czl х: \ х | < -к [,
откуда, в силу B), C),
Gt}+Vky, A)czGf2). (8)

122 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ФУНКЦИЙ !ГЛ. 11
Обозначив через %к{х) характеристическую функцию
множества Ok6', положим для x^Gk
¦П& (•«) = J Lk(y — x)Xk{y)dy =
= j Lk(y)%k(x + y)dy = j" Lk(y)%k(x + y)dy,
где
Lk(x)>0, UWeC 0e= supple Vk(l, h).
Отсюда следует, что \\t (x) s C°°(Gft), Tife(x)>0 для jgC1'1
Ввиду (8) функция Tifti(jr) = 0 на Gfe \ Gf2). Доопределив ч\к{х)
нулем на G \ Gk и сохранив за ней прежнее обозначение,
получаем, что
\(х)>® Для xeGft', ^JTli;(^)>0 для igG.
Разложение единицы на открытом множестве G построим
теперь в виде
к
ek(х) = цк{х) "¦ 1i Щ (х) (» = 1, ..., К).
«=1

ГЛАВА III
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА
И ТЕОРЕМЫ ВЛОЖЕНИЯ
Теория вложения функциональных пространств
дифференцируемых функций возникла в работах С. Л. Соболева [1], [2] в
связи с решением ряда задач математической физики. Ее
развитие в последующие годы определялось как теорией краевых
задач, так и собственной внутренней проблематикой.
Рассматриваемая теория представляет собой раздел теории функций многих
действительных переменных, примыкающий по тематике и
терминологии к функциональному анализу. Характерная ситуация
такова: на достаточно широкой совокупности функций вводится
семейство норм, зависящих от одного или нескольких
параметров, так или иначе характеризующих свойства гладкости и
свойства суммируемости функций. Задача состоит в том, чтобы
из принадлежности функции к одному из порождаемых
рассматриваемыми нормами функциональных пространств вывести
принадлежность ее к другим. Таким образом, функция
рассматривается как элемент по крайней мере пары функциональных
пространств и речь идет (с точки зрения функционального анализа)
об изучении оператора вложения одного нормированного
пространства в другое. Обычно интересуются ограниченностью этого
оператора (или его полной непрерывностью). Соответствующие
утверждения называют теоремами вложения (компактности).
Пусть Е — нормированное функциональное пространство,
элементы которого определены с точностью до эквивалентности
относительно лебеговой меры (иначе говоря, элементами Е
являются классы эквивалентных, т. е. почти всюду совпадающих,
функций). В записи / <= Е под / будем понимать либо класс
эквивалентных функций, либо некоторую функцию
(представителя) этого класса.
Для функции / е ?, определенной на множестве Gc:En,
mes G > О, сужением f на С* cr G называется функция /*=/ |0„
определенная на G* равенством f*(x) = f(x) Vx е G*. Если
mes G* > 0, то под сужением класса / эквивалентных функций

124 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
(/ е Е) понимается класс (очевидно, эквивалентных на G*)
сужений каждой функции на G*. Для некоторых множеств G*czG,
mcs G* = 0 (например, для сечения G плоскостью), под
сужением на G* элемента (функции) f cz Е понимается след на G*
этого элемента (совпадающий со следом па G* любой функции,
входящей в данный класс эквивалентных функций, см. 10.8).
Пусть Е и F — два нормированных функциональных
пространства. Будем говорить, что Е вложено в F, и писать E<=-*F,
если, во-первых, все элементы Е (или их сужения на область
определения элементов F) содержатся в F и, во-вторых,
существует не зависящая от f постоянная С такая, что
\\f\\E<C\\f\\F, V/s?.
В эту схему включается и случай, когда роль пространства F
играет пространство С непрерывных функций (или вообще
нормированное пространство, элементами которого являются
функции, а не классы эквивалентных функций). Для этого
достаточно под С понимать пространство классов функций,
эквивалентных непрерывным, с нормой, равной супремуму модуля
непрерывного представителя класса. Учитывая сказанное,
вложение fci»C можно понимать как утверждение, что любую
функцию /* е Е можно так изменить на множестве нулевой лебеговой
меры, что она станет непрерывной и для последней будет
выполняться неравенство Ц/|1с ^ CI1/1U с постоянной С, не зависящей
от /<= Е,
Приведенное определение показывает, что вложение E<=+F
равносильно ограниченности тождественного оператора, либо
оператора сужения, действующего из Е в F. Для простоты
формулировок утверждение об ограниченности оператора
обобщенного дифференцирования Da, действующего из Е в F:
\\Daf\\F^C\\f\\E, V/e?,
также будем называть теоремой вложения и записывать в виде
D*Ec^F,
Если G и G* — соответственно области определения
элементов Е и F, причем GczG*, G*\G Ф 0, то запись E<=^F будет
означать существование ограниченного оператора
распространения (продолжения) функций, действующего из Е в F.
Две различные нормы Ц f ||^ и Ц / \(*\ определенные на одном
и том же функциональном пространстве Е, будем называть
эквивалентными, если существуют такие две положительные
постоянные с2 &t Ci > 0, что
Cllflfi^llflff^c.llfe Vfe=E<

АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА
125
В своих исследованиях [1], [2] С. Л. Соболев изучил свойства
пространств Wp* (G) (для областей G с условием конуса) с
нормой
II f lUfljo)™ 21 1°а/1. о (/ — натуральное*))
Р |а|</
(и более общей) и получил теоремы вложения этих пространств
в пространства C(G), Lq(G) (q^-p), а также в пространства Lq
на многообразиях различных размерностей из G. Эти
исследования были дополнены затем результатами В. И. Кодрашова [1] и
В. П. Ильина [1].
Настоящая глава посвящена обобщениям упомянутых
результатов С. Л. Соболева и некоторым другим смежным
вопросам. Эти обобщения состоят, прежде всего, в том, что изучаются
анизотропные пространства Wp (G), функции из которых имеют
различные дифференциальные свойства по разным
направлениям. В соответствии с этим естественно рассматривать
области G более общего вида (удовлетворяющие тому или иному
условию рога). Использование смешанной Lp-нормы, кроме
очевидной общности, позволяет получить оценку L^-нормы функции
(точнее, ее следа) на многообразии как специальный случай
оценки нормы в Lq(G).
Теоремы вложения этой главы ыеулучшаемы в терминах
рассматриваемых в ней пространств**).
В этой главе будут получены оценки норм производных
через нормы заданного набора производных, а также через нормы
дифференциальных операторов (оценки коэрцитивности),
установлены мультипликативные неравенства для норм
производных, исследованы поведение функций из Wp (G) на
бесконечности и возможность их аппроксимации гладкими финитными
функциями.
Анизотропные пространства дифференцируемых функций
(пространства Нр, 1 = {1\, ..., /„)) в связи с теоремами
вложения впервые стал изучать С. М. Никольский [1], показав, что они
образуют замкнутую систему относительно теорем вложения и
получив обращение тех из них, которые касались перехода к
многообразиям меньших размерностей без изменения метрики р.
*) Параметр / в обозначениях пространств Wy (О), W'(G) (и т. п.)
является числовым, когда он взят в скобки, и векторным, т. е. /= Aи ..., /„),
при отсутствии скобок.
**) В следующей главе будет показано, в частности, как усиливаются эти
теоремы при включении в рассмотрения пространств функций с дробными
показателями дифференциальных свойств. Эти пространства будут строиться
на основе разностных характеристик. В их терминах будет получено
обращение теоремы о следах функций из Wp(G).

126 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ш
Изучение с этой же точки зрения анизотропных
функциональных пространств Wp, 1 = {1\, ..., /„), обобщающих
пространства С. Л. Соболева, было начато Л. Н. Слободецким [1] и
развивалось в работах различных авторов: О. В. Бесова,
В. П. Ильина, П. И. Лизоркииа, С. В. Успенского и других.
Позднее теоремы вложения стали переноситься на случай
смешанной Lp-нормы. Первые результаты в этом направлении
принадлежат С. М. Никольскому [6], А. X. Гудиеву [1], А. С. Джа-
фарову [2].
§ 9. Свойства анизотропных пространств Wlp{G)
9.1. Пусть G — открытое множество «-мерного евклидова
пространства Еп, I = (/i, . . . , 1п) — вектор с натуральными
компонентами 1 ^ р ^ оо. Обозначим через Wp (G) пространство
локально суммируемых на G функций /, имеющих на G
обобщенные производные ^/((х) (t = l, ..., п) и конечную норму
\\fKhG)-\\fK, а + ^}Щр, G = \\fK, a + \\fkUar (О
Теорема. Пространство WP(G), 1<р<со, является
полным нормированным пространством, т. е. пространством
Банаха.
Доказательство. Пусть последовательность функций
{fj(x)}°° удовлетворяет условию Кош и в Wlp{G), т. е.
II fl~ fk\\wl (G)->0 При /, &->00.
Р
В силу полноты LP{G) существует функция fix), для которой
Hf*-/Up>o-*0 (Л-оо).
Поскольку у нас
№,--Д*гУ .-*0 a,k-+oo\t = \ п),
II ь / * ' к \\pt Q
то на основании леммы 6.2 заключаем, что существует D;'fe
^LP{G) и
\\Dttlfk-Dtilf\\p,a~>0 ^->°0; /==1' ••" П)-
Таким образом, |[ fk— f \\wt (G) ~*-^ ПРИ k-*°°> т. е. простран-
, р
ство Wp (G) полное.

§ 91 СВОЙСТВА АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ W' (О) 127
Пусть G— открытое множество «-мерного евклидова
пространства Е'\ /==(/], ..., /„) — вектор с натуральными
компонентами, 1 ^ р1 ^ оо (г = О, 1,..., «). Обозначим через
W'o. i рп(Р) пространство локально суммируемых на G
функций /, имеющих на G обобщенные производные 01Я{х)
(i = \ п) и конечную норму
р ;р р '-'
Полнота пространства W^po. it п устанавливается так же,
как это сделано для Wlp (G).
9.2. Теорема. Пространство WP(G), 1^р<оо, сепара*
бельно.
Доказательство. Введем пространство вектор-функций
f (х) = (fo (х), /, (х), ..., fn{x)), определенных на G, с нормой
imu=iiiMi,i0. B)
Его подпространство, состоящее из вектор-функций вида
(f(x), D,'/(*), ••-, D^f{xfj, изоморфно и изометрично
пространству Wp (G). Таким образом, достаточно установить
сепарабельность вновь введенного пространства вектор-функций с нормой
B). Для этого в свою очередь, очевидно, достаточно установить
сепарабельность LP(G).
Итак, докажем сепарабельность пространства LP(G), 1 ^
^ р < оо. Так как пространство LP(G) можно считать
подпространством Lp(En), содержащим функции, равные нулю на
/s"\G, то достаточно доказать сепарабельность Lp(En), 1 =gi
ч?. р <; оо. Укажем в последнем счетное плотное множество.
Так как множество Со°(?) плотно в Ер(Еп) по теореме 1.6,
то нужно показать лишь, что каждую функциюф е Co'iE'1)
можно с любой точностью аппроксимировать в Lp(En) функциями
из некоторого счетного множества. В качестве последнего
возьмем множество функций %,V)(x) вида
Ъш){х) = %к(х)Р(х),
где Р(х)—многочлен с рациональными коэффициентами, %N —
характеристическая функция куба On = {х: xt\ ^ N, i = 1, ...
. . . , п), N— натуральное число.
Очевидно, функций вида ^(N) счетное число. С другой
стороны, всякую функцию ф(ЛГ) е С"( сосредоточенную в кубе Пл<,
можно с любой точностью приблизить многочленом в норме

128 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. 111
C(Djv) (теорема Вейерштрасса), а значит, и многочленом с
рациональными коэффициентами. Неравенство
Цф(лм — ХЛ Еп==^ш)-рК ? <И * LuMmax\(f(N)(x)-P(x)\
приводит теперь к завершению доказательства.
9.3. Пространство WP(G, Q). Пусть 1 = A\, ..., 1п) —
вектор с натуральными компонентами, l^p^oo, G— область
евклидова пространства Еп, ?—открытый n-мерный куб с
ребрами, параллельными координатным осям, Dc С Обозначим
через Wlp(G, П) пространство локально суммируемых на G
функций, имеющих на G обобщенные производные D^f (i =
= 1, ..., п) и конечную норму
Заметим, что если G* — открытое ограниченное множество и
G* с= G, то
ll/!l„,G,<C(G*)|/ll^@,D). D)
р
В самом деле, рассмотрим в одномерном случае
представление 7A5). Пусть носитель ядра усреднения находится по одну
сторону и удален от начала координат. Тогда 7A5) дает
представление функции f(x) па некотором отрезке [а, Ь] через
значения производной D|'/ на [а, Ь] и значения функции f
(участвующие в построении усреднения) из некоторого меньшего отрезка
[с, d] а [а, Ь]. Обобщенное неравенство Мииковского приводит
теперь к оценке
Аналогичное рассуждение применимо и в многомерном
случае с заменой отрезков на прямоугольные параллелепипеды и с
использованием одномерного представления 7A5) по какому-
либо переменному Х\. Многократное последовательное
осуществление этого приема и приводит, очевидно, к D).
Теперь легко показать, что пространство WP(G, ?) является
полным. В самом деле, последовательность {//(*))»
фундаментальная в Wlp(G, ?), является в силу D) фундаментальной и
в Wlp{G ) для каждой ограниченно:! _области G*, содержащейся
в G вместе со своим замыканием G*. В силу полноты WP{G)

§ S] СВОЙСТВА АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ Wp (G) 1§§
существует такая функция f(x), определенная на UG* = G, что
для каждого G* при /-><х>.
Поскольку последовательность {^,'//}/=1 сходится йв1р (G),
то ||?>('f, — Di'fl Л->0 при /->оо (i=l, ..., п), чем и завер-
II ь j * lip, G
шается доказательство.
Пространство WP(G, О), 1<1р<оо, сепарабельно.
Доказательство отличается от доказательства теоремы 9.2 лишь тем, что
в качестве компоненты fo(x) в подпространстве
вспомогательного пространства вектор-функций следует брать fo(x) =
= x(?3',x)f{x), гДе %@;х)—характеристическая функция
множества П.
9.4. Будем обозначать через x(G) = %{G;x)
характеристическую функцию множества G. Пусть UcEn — открытое
множество и функция f(x) определена на множестве U -{- V(l), где
V(l) = V(l,h) = V — /-рог (см. 8.1), и имеет на этом
множестве обобщенные производные Ztyf (i = 1, ..., п). Здесь и
далее до конца параграфа будем считатьА = -г = (-j-, ..., -7—).
' \ /] In I
В силу 7A5) почти всюду на U
h п
J to = fhx to -f J* ? 0-1Л' dv j D\if (x -f y) <?, (y : 1Л) Л/, E)
0 (=1
где ядро усреднения и 2\- принадлежат Со° (?"*), а их носители
таковы, что носителем представления E) служит рог х + V(l).
Рассмотрим еще функцию
l(x) = (x(U + V)f)hi{x) +
h п
+ J* y2iv~Wdvjx(U + V;x + y)Dbf(x + yJ>i(y:v*-)dy. (б)
о «=1
Функция f(x) определена правой частью F) для всех хе?л.
С помощью обобщенного неравенства Минковского 2A2) и
неравенства Юнга легко устанавливается, 4Tof ё Ll0C(En) (и даже
f е LpOC(?") при /?> 1, — > 1 — | А Г1). Так как для ие(/
правые части E) и F) совпадают, то почти всюду на Uj(x)— f(x).
Таким образом, функция J является распространением функции /

130 Анизотропные ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. 1!\
за пределы U на ?". Конечно, f {х) не обязана совпадать с f(x)
вне U (т. е. на (U + V)\U)*).
Лемма. При |а :/1< 1, 1 <р<со и при | а "./1= 1, 1 <
< р < ао имеет место неравенство
I^U?-<C*IHe!l,|IlD!'1,.i,+v + CA"|e:/,»'llP.''+v. G)
где С не зависит от f и h.
Доказательство. Пусть сначала |а:/|<1. Положим
при е > О
f(x;e) = (X({/ + V)/)ft.(x) +
h п
-f \ %v-^\dv lx(U+V;x + y)Dliif(x + y)?i(y:vx)dy. (8)
е *=1
В силу обобщенного неравенства Минковского 2A2) и
неравенства Юнга 2A9) из D) получаем, что
llf(-;e)-f(.)llp<e|l^|I||^f|/,i?;+v.
Из (8) при 0 < б < ц < h тем же образом получаем, что
•||Daf(-;e)-Daf(-;Ti)j|p<
<V f irla:"lDn2M iDf'fl ^Ст^'^'У»^» .(9)
^^ J II lHi» * ' Up,U+V^ ' -J» ll«p,U+V v '
i=l e i=l
В силу леммы 6.2 отсюда вытекает существование Daf е Lp(En)
и равенство |Daf | =lim|?>af ( ¦ ; е)|
Дифференцируя (8) и применяя неравенство Юнга 2A9),
получаем, что
ll^aF(-;e)!p<CA-,a: 1/11,-.,;^+ •
(=1 о
Откуда и получаем G) в случае |а ; /| < 1.
*) В случае такого несовпадения естественно считать, что функции }(х),
~1(х) определены на различных экземплярах (листах) евклидова л-мерного
пространства, склеенных по множеству U; см. 9.8, а также О. В. Бесов,
В. П. Ильин [I], О. В. Бесов [9].

I 0] СВОЙСТВА АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ Wl (С) 131
Для доказательства по тому же плану оценки G) при
|а:/| = 1 достаточно, очевидно, убедиться в сходимости в Lp
при е—*0 интегралов
h
.'7,(х; е)= | v-'^-'dv l%(U+V;x + y)Dli'f(x+y)Daa?i(y:vX)dy
8
i! получить для них не зависящие от е > 0, ft > е оценки
|^(-;e)lp<c,||^flp>[/+v (/==1 »).
Но сходимость этих интегралов и последняя оценка
обосновываются ссылкой па теорему 4.5, условие 4E) которой
выполняется в силу 7B6). Тем самым доказательство леммы
завершено.
9.5. Теорема*). Пусть открытое множество G
удовлетворяет слабому условию l-рога. Тогда при 1 <: р <: со, | а : /1 < 1
и при 1<р<со, | а Г /1= -1 имеет место вложение DaWlp (G)<=*
d» Lp (G) и для fe Wp (G)
l^efU0<Cfc'-|e!/,i|D{'fl +C/r|a:"||f[UG<
<C(A)||f||yl@), A0)
p
где при некотором ft0 = ft0(G) > 0, 0 < ft < ft0> С не зависит
or f и ft/
, 'Доказательство. Для множества G выполняется
условие 8B), так что достаточно оценить ||^af [|Pi G . Так как для
соответствующего /-рога Vh(l, ft), Gft + Vh(l,h) с: G, нужная
оценка следует из леммы 9.4.
Отметим еще, что при этом в качестве ft0 > 0 можно взять
радиус /-рогов Vk{l, ft), удовлетворяющих условию 8B). В
частности, для некоторых открытых множеств G (всего пространства
Еп, полупространства и др.) можно считать hQ = + оо.
В случае | a '. /1= 1 строгое неравенство 1 < р < со
существенно для справедливости утверждения. Так, при р= 1 Орнштей-
ном [ 1] показано, что для feCo°(?2) норма J | DA,1){(хих2) \dxxdx2
не оценивается через С J (| ?>B,0>f 1 + 1 ?@-2>f |)dx,d*2.
*), Изотропный случай этой теоремы принадлежит Смиту [1], общий
случай— О. В. Бесову [5] и В. П. Ильину [8], см. также их совместную
работу [1]. Различные частные случаи (главным образом для О = ?п) были
получены ранее в работах разных математиков (см. об этом С. М.
Никольский [9]).

132 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
При р = оо даже непрерывность вторых несмешанных
производных D&°tf(xux2), D<°. 2)f(xbx2) и функции f(xux2) не влечет
ограниченности в существенном обобщенной смешанной
производной DC lif(xu х2) (Б. С. Митягин [1]). Известен и более
простой пример такого рода функции:
f (*i, х2) = xfy In In 2 2 ,
X1 —p Хп
рассматриваемой в окрестности точки @,0) (принадлежащий
В. И. Юдовичу).
Для роста смешанной производной справедлива следующая
оценка. Пусть функция f(xux2) финитна, сосредоточена в
квадрате
и
ess sup (| ?><2-°>/| +1 ?>@-2>/|} < 1.
Тогда при некоторых постоянных \i > 0, М (не зависящих
от/)
J ехр [ц | /*•¦ »/ (дс„ *2) |) djc, <2х2 < М.
п
Если же при этом D<2> °'f и Di¦0^ 2>f непрерывны, то для
любого (л > 0
f ехр {ц\ D{]'i]f{x{, хг) |) dxxdx% < оо
п
(см. В. И. Юдович [1], где имеются также обобщения на случай
эллиптического оператора; обобщение на анизотропный случай
и др. имеется в работе О. В. Бесова [15]).
9.6. Теорема*). Пусть открытое множество G
удовлетворяет сильному условию 1-рога, 1 < р < со. Тогда пространство
W1p(g) совпадает с сужением пространства Wlp{En) на G. При
этом существует линейный ограниченный оператор
распространения функций из WP{G) в Wp{En)
Wp(G)=>f->\<=BWP{E% f|0 = f. (И)
*) Возможность распространения функций пространства С. Л. Соболева
Wp(G) за пределы области G с негладкой границей, удовлетворяющей лишь
сильному условию конуса, установлена Кальдероном [1]. С лучаи 1\ — ... — In
приводимой теоремы содержится в результатах Кальдерона [1] и Смита [1].
Общий случай см. в работах О. В. Бесова [5] и В. П. Ильина [8], а также
в их совместной работе [11.

t 9) СВОЙСТВА АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ ЯГ (С) 133
Доказательство. Построим требуемый оператор
распространения методом Кальдерона, который можно
охарактеризовать как метод распространения представления. Пусть система
открытых множеств [Gk}f образует покрытие G,
удовлетворяющее вместе с /-рогами Vk{l,h) условиям 8B) и 8D). Пусть
l^ftlf— разложение единицы, соответствующее покрытию {Gk)f
(см. 8.2).
Пусть / е Wp (G). Обозначим через fk (х) функцию,
построенную в соответствии с формулой F) по функции /, множеству
U = Gu, /-рогу V = Vk(l,h). Функция f (х) определена на Еп
и является, таким образом, продолжением для f(x) за
пределы Gfe.
Покажем теперь, что функция
к
f(x)=Iiek(x)fk(x), х€=Е\ A2)
ь=1
осуществляет распространение f(x) за пределы G, причем
отображение f->/ является линейным и ограниченным в смысле A1).
В силу свойств б), в) разложения единицы для хеС
К К
f (*) = 2 ek (х) fk (х) =Ъек (х) f (дс) = f (х).
В силу свойств а), г) разложения единицы и леммы 9.4
\\J\\p,Bn<Z\\h\\p,En<c\\f\\wl{Gy
*=i
< с, ? i i о?, |р Е„ < с, л ? iir, m,
что и требовалось установить.
Отметим еще, что все функции eh(x) построенного в 8.2
разложения единицы сосредоточены в б-окрестности G. Отсюда
f (х) = О вне б-окрестности G.
Значение доказанной теоремы состоит, в частности, в том, что
изучение ряда свойств функций из Wlp(G) она позволяет свести
к изучению соответствующих свойств функций из пространства
Wlp(En), аппарат исследования которого проще и разработан
полнее.
9.7. В теореме 9.6 условие сильного /-рога для открытого
множества G нельзя заменить более общим условием /-рога. В этом

134 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
МОЖНО убедиться, взяв в качестве G двумерное кольцо с
разрезом по радиусу 8E)
R~ = {(хи х2): 1 < х\ + х\ < 4, х\ < 0 при х2 = О},
удовлетворяющее условию конуса, но не сильному условию
конуса. Пусть функция \|з(х) бесконечно дифференцируема вне
интервала {1 •< xt < 2, хг = 0} и равна нулю в нижней
полуокрестности этого интервала и единице — в верхней. Покажем, что
пи при каком продолжении на этот интервал функция т|з(х) не
будет иметь производной -з—ф (х) в окрестности любой его
точки (а, 0). Предположим, наоборот, что существует функция %(х) s
eLloc(l < х\ -f- «г < 4), для которой в соответствии с
определением обобщенной производной 6A) выполняется равенство
J %{x)q>{x)dx = — J t(x)-^jtp(x)fifx
для всех ф е Со° (l < *? -j-^ < 4), сосредоточенных в
достаточно малой окрестности точки (а, 0). Интегрированием по частям
получаем,что
J J % (х\> х2) ф (х{, х2) dxx dx2 = J ф {хи 0) dxy. A3)
Возьмем теперь в качестве ф(х) = ф(Х|,Хг) функцию
(*i-af 4
ф (jc) = е(х>-аJ_б2 в 'Ь^ (| дс, — а |< в, | х, |< в),
доопределенную на всё Е2 нулем. При фиксированном б и е->0
получаем, что правая часть A3) положительна и не меняется,
в то время как левая часть A3) не превосходит по модулю
интеграла
е а+6
| | I X(*i> х2) | dxx dx2->0 (е->0).
«—е а—б
Тем самым мы пришли к противоречию.
В теореме 9.5 слабое условие /-рога для G нельзя отбросить
или заменить слабым условием s-pora с вектором s = (s\, ...
..., s„), не коллинеарным /. Этот вопрос будет подробно
рассмотрен в 12.2, 12.3.
9.8. Теорема 9.5 об оценке производных на области и
теорема 9.6 о распространении функций из Wp (G) доказаны для
открытых множеств G, удовлетворяющих соответственно слабому
и сильному условию /-рога. Эти классы областей определения

§ 0) СВОЙСТВА АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ №р «3> 135
функций, для которых справедливы теоремы 9.5 и 9.6, можно
несколько расширить, применяя предварительно один раз или
многократно лемму 9.4. Поясним этот прием на примере круга
G = {х = {х\, х2): x2\-\-X2<l) и пространства Wp (G), где / =
= ('i,2/i), 1 <. р <. оо. Круг G не удовлетворяет условию /-рога,
поэтому мы не можем воспользоваться теоремой 9.6 для
распространения функций на Е2. Применим лемму 9.4, взяв в качестве
множества U четверть круга, лежащую в открытом первом
квадранте &\. В результате получим частичное распространение
функций на G U Ь\. Применим лемму 9.4 еще раз к области
G U &\ и множеству U, представляющему четверть круга G из
пторого квадранта &ч. Получим распространение функций на
G U &\ U &1- После третьего применения леммы 9.4 получаем
распространение функций с G U 3\ U &ч на G U 3MJ Зч U &г,
где &ь — третий открытый квадрант. Теперь область
G U У\ U ?/2 U &ъ удовлетворяет условию /-рога, и мы можем
воспользоваться теоремой 9.5 для распространения функций
па Е2.
В качестве второго примера рассмотрим двумерный A,2)-рог
G = {(х\, х2): ах2 < х2 < Ьх\, 0 < х\ < оо}, Ь > а > 0.
Область G не удовлетворяет (в окрестности точки х = 0)
слабому условию A,2)-рога, но при Ь>2а функции WP{G),
l = (i\, li)==(l\, 2/t), можно распространить в соответствии с
леммой 9.4 и соотношением 9F) на область
6 = [(хих2): х2>0,}/'^ >х{)
со слабым условием /-рога. Оценки леммы 9.4 и теоремы 9.5 для
области О приводят к справедливости теоремы 9.5 для G.
Указанный прием вспомогательного распространения
функций оказывается полезным не только для расширения класса
областей в теоремах 9.5, 9.6, но и в ряде других вопросов (в
теоремах вложения, оценках коэрцитивности и др.), которые будут
изучаться в дальнейшем. Следует еще учесть, что при таком
вспомогательном распространении иногда удобно рассматривать
получающиеся многозначные функции и соответствующие им
«многолистные евклидовы пространства» (см. сноску перед
леммой 9.4).
9.9. Метод Хестенса, метод Кальдерона и метод Стейна
распространения функций. Рассмотрим вопрос о
распространении функций функционального, пространства Wlp\EX).,
заданных на
?+ = [х: х = (xv ..., хп) <= Еп, хп > О},

136 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ш
на все пространство Еп с сохранением свойств. Линейный
ограниченный оператор распространения
Wl„ {El) =э / - f е В^ (?"), f | = f
можно построить в данном случае методом Хестенса:
т
f {Xi *„_„ хп) = 2 lkf {х\> • • •. Jfft-l, — -jf), хп<0.
ft=l
При этом следует взять т "^ /„, а коэффициенты Xh найти из
системы
т
E4~i)'el (s = 0, 1,..., m-l).
Такой выбор коэффициентов а* для функций f (х), непрерывных на
?+ вместе со своими производными —Т f{x) (/ = 0, 1, ..., m — 1),
дхк
гарантирует сохранение непрерывности этих производных для
продолженной функции /.Метод Хестенса применим в случаях
продолжения через плоскую границу (кусок плоской границы)
или в тех случаях, когда граница (часть границы) может быть
«распрямлена» достаточно гладким преобразованием области
задания функций, инвариантным относительно свойств функций
заданного функционального пространства.
Примененный в 9.6 метод распространения Кальдерона
(метод распространения представления), значительно более общий
в отношении структуры области задания функций, не
охватывает, однако, всех случаев применимости метода Хестенса. Так,
например, при распространении WP{E+) методом Кальдерона
необходимы ограничения 1 < р <; сю, в то время как метод
Хестенса проходит при 1 <1р-<оо.
Как метод Кальдерона, так и метод Хестенса применяются и
при распространении других функциональных пространств,
характеризуемых интегро-дифференциально-разностными
свойствами функций.
Стейном [1] предложен еще один метод распространения
функций изотропного пространства Wpl) (G) с нормой 2 II Daf\ а,
где I — натуральное число, 1 ^ р ^ оо, область G удов-
• летворяет сильному условию конуса. С помощью разложения
единицы вопрос сводится к случаю простейшей области G вида
G = {x = (x„ ..., хп): хп>у{хх, ..., .*„_,)),

f 10] ВЛОЖЕНИЕ Wlp(G), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 137
где функция ф(хь ..., xn-i) = ф(*') определена на?п~' и
удовлетворяет условию Липшица. В этом случае оператор
продолжения задается формулами
f (*'» хп) = /(/, хп), хп>ц{х%
1 (*', хп) = J f (х', хп + /б (л/, хп)) ф (/) <й, *я < ф {х% A4)
1
где бесконечно дифференцируемая и эквивалентная расстоянию
функция 5(х',хп) >2(Ф(х') — xn),|6a(x',x„)|<Ca[5(x',xn)]-iai,
а определенная и непрерывная на [1, оо) функция tf@ = 0(^m)
при ^ -> оо для любого т и удовлетворяет условиям
оо оо
|ф@<# = 1, 1*4@^=0 (fe = i,2,...).
1 I
Для оператора продолжения, определенного равенствами A4)
на функциях f е G°°(G), ограниченных и непрерывно продолжи-
мых вместе со всеми своими производными на G,
устанавливается оценка
II f ilf <*) (?*) < Л J f Hf(')(G)- A5)
p p
Определение оператора распространения и последняя оценка
расширяются затем па произвольные функции f^Wp\G) с
помощью предельного перехода по последовательности
подходящих усреднений fj(x) (/= 1, 2, ...), см., например, 19B). Так
как fj-^f (/-*°о) b^p"(G) при 1<р<оо и в Wvl~u(G) при
/^ 1, 1 ^р^оо, то f/ образуют фундаментальную
последовательность в #1,AИA<р<<х>) и ^'-"(Я") A<р<оо, />1)
п для предельной функции 7 сохраняется оценка A5).
Интересно отметить, что вид оператора распространения A4)
не зависит ни от р A ^ р ^ оо), ни от показателя / гладкости
функций.
§ 10. Вложение Wlp(G) в Lq(G), в C(G) ив класс
Орлича. Оценки для следа функции
В этом параграфе будут получены-теоремы вложения
анизотропных пространств WP (G), 1 = {1\ 1п), в Lq (G) и в C(G),
обобщающие соответствующие классические теоремы вложения
С. Л. Соболева [2]. Будут рассмотрены некоторые следствия этих
теорем, в частности поведение функций из li^G) на сечениях G

х =
138 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
многообразиями различных размерностей. Везде в этом
параграфе будем считать ^ = у ===\Т"' • • •> ~)'
Основным показателем в формулировке теорем вложения
будет величина
(° + W):<
имеющая простую геометрическую интерпретацию. Условие
х = 1 означает, что точка а-| в n-мерном пространстве
(«пространстве показателей») находится на гиперплоскости,
проходящей через п точек (U, О, ..., 0), ..., @, ..., 0, /„). При
х^1 величина 1—х пропорциональна расстоянию от точки
,11
a -j- до упомянутой гиперплоскости.
10.1. Будем предполагать, что открытое множество UczEn,
функция f(x) определена на множестве U-\-V(l), где V(l) =
= V(l, h) = V—/-рог (см. 8.1), и имеет на этом множестве
обобщенные производные Dl,lf (i = 1, ..., и).
а+±_1):/
' Р я '
<1
Лемма. Пусть l^p^g^oo, к =
и при х = 1 либо 1 < р = q < оо, либо 1 < рп < qn < оо, либо
l=Pn<Qn=°°-
Тогда DaWlP (U + V) <=~ Lq (С/) и для f е= WlP (U -f V)
S Iff I и < С1Л,-Ж 11 D[if I и+у + C2h-* || f ||p, u+v, A)
причем Cj « C2 не зависят от f и h, a C2 не зависит также
от q. В левой части (I) Daf можно заменить на Dafe при
любом ее @, h].
При х < 1
Г _/->/( 1 \ р<г '» / 1 \«п
Cl-C,IT^) UJ •
ит от
Л Ь CT 1
где С\ не зависит от q.
Доказательство. Рассмотрим равенство 7B2):
Н п
+ J ^ *н к |-(а' м do J D\'f (х + у) Mt {у : о*) <fc, B)
где 0 < e < /г, ядро усреднения и Мг принадлежат Co'iE'1), а их
носители таковы, что носителем представления B) служит
рог V{1).

§ 101 ВЛОЖЕНИЕ Wl (О), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 139
Пусть сначала х < 1. При 0< е < ri </г, 1 =
г р q
в силу обобщенного неравенства Минковского 2A2) и
неравенства Юнга 2A8) из B) получаем, что
< ? J "-" *> II Mt 11 Ml u+v < Ы- SI D\if l u+Y. C)
i—\ e J=l
Таким образом, при e->0 Dafe\ сходится в себе в L (U).
С другой стороны, при е-*0 fei-+f в Lp[U), как показано при
доказательстве леммы 9.3. На основании леммы 6.2 заключаем
отсюда, что на U существует обобщенная производная
Daf е Lq (С/), || Daf - D\k |?i y -> 0 (е -> 0).
Отсюда и из B) и C) получаем
i^l^I^^IU+^'^lii^.iu,,.
Оценивая с помощью 2A8) первое слагаемое правой части:
II^^IU<^a+7-7)||f|U[/+v,( D)
завершаем доказательство неравенства A) при х < 1. Легко
видеть при этом, что постоянную С2 можно взять
пропорциональной максимуму модуля производной порядка а ядра
усреднения с коэффициентом, не зависящим от q.
Пусть теперь х=1; случай \<p = q< со рассмотрен
в лемме 9.4, так что будем считать, что 1 < рп < qn < оо либо
l=Pn <qn = °°.
Полагая
х = (х, хя), у = (у, уп), р = (р, рп), q = {q, qn),
1—7=7~7' r=s(r'r'»)' и\хп=[х: {х, xn)e=U),
с помощью обобщенного неравенства Минковского 2A2)

140 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ill
и неравенства Юнга 2A8) получаем из B) при 0 < е < r\ < h
\\DafA->xn)-DafA->xn)lnl <
п х\
\.и\х
<
" Ч / 1 \
2 J v~["V7'Чл 111м,(у: vK)Dft(.+g, xn+ya)\dyl
i=\ e
<
"к
га t)
< S I y" r* do j M (ул : Л)|| f, (•, x„ -f #,) ll„ dy„, E)
t'=l e
где
M (*/„) = max ||M, (',#») lb
ft (x) = Dj'f (x) (*e=t/ + V), f,(x)-=0 (вне ?/ + 7).
Ввиду финитности M(yn) и удаленности носителя Af от
начала координат (последнее важно лишь при г„ = оо)
#«„ (Уп) = J о г« М (#, : Л) Л < Ыйц (уп) < С, | уя Г г« = N (уп).
е
Кроме того, если suppAf с:[а, b], 0 < a<b< оо, то ЛГ0,,(у„) = 0
при уп>Ьцп. С помощью неравенства Харди — Литтлвуда
2C2) при 1 < рп < qn < оо или неравенства Юнга 2A8) при
1 = рп < Qn = °° получаем теперь из E)
п
<2{ J Г \ N^(yn)\\U{-, хп + уп)\^с1у,Хп dxA ""<
га
1=1 (E' L?' J J
<C Si/J ==C2IJZ).''7|| . F)
Поскольку при rn •< оо Ы0ц{уп) -*• 0 при т|->0 для каж;
дого yn, Nor\lyn) ^ N(yn), то по теореме Лебега о предельном
переходе под знаком интеграла для функций с суммируемой
мажорантой получаем из F)
I D\, - Daf# \[ ц-*0 @ < в < л, Л - 0).
G)

I 101 ВЛОЖЕНИЕ Wl iQ), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ . 14l
Утверждение G) справедливо и при г„ = оо. В этом случае
п Ьц п
\D<Xf^~ °%*-1д jy ^ ^esssup J Non(yn)\\fi( ¦ ,xn + yn)\\^dyn,
i=l xn о
и остается воспользоваться абсолютной непрерывностью
интеграла Лебега.
Продолжая так же, как при доказательстве неравенства A)
мри х <С 1, завершаем доказательство A) и в случае и= 1.
Заметим, что доказательство последнего случая нера-
пепства A) при q <; оо можно получить и на ином пути (см.
С. Л. Соболев [2], стр. 43). Именно, вместо G) нужно учесть
ограниченность в Lq(U) множества Dafex(x) при всех
достаточно малых е, которая следует из B), D) и F). Далее следует
иоспользоваться слабой компактностью ограниченного
множества для существования обобщенной производной Daf^.Lq(U)
и оценкой для слабого предела
|Z)-fU<Hm|Z>bU
Нам остается показать, что в условиях леммы при х < 1
постоянную С\ в неравенстве A) можно представить в виде
С' = с'(т^)"^+^.
еде С\ не зависит от f, h и q. Этот факт будет использован при
изучении сложения Wp в класс Орлича. Из доказательства
предшествующей части леммы следует, что достаточно
получить оценку для ||3^ (¦, ft) ||?, Ut
h
Sfx (х, ft) = J он * '-(a> M dv J | Dltf {x + y) Mt (y : v*-) | dy,
0 ?ra
и которой константа имела бы требуемый вид. Как и при
доказательстве леммы в случае, когда х = 1, мы получаем
h -х--^
II 3ft (•. хя, h) ||- и ]х < J v r" dv J ср, (хп + уп) М (ynv-^) dy <
< f Фг (*» + 0») #а Ы rfy„,

142 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
где
Ф*(*»)=НМ -,ха)^,
fi(x) = Dliif(x) при x<=U + V, ft(x)=0 при xmU + V,
M(yn)*=msLx\\Mt(-, ya)^r,
h -x_-^
Nh(yn)=^v r«M{ynv-K«)dv.
0
Так как носитель финитной функции М(уп) удален от начала
координат, т. е. supp М а[а, b], О < а < Ь < оо, и
*pi+J__l<0,
будем иметь следующую оценку для Nh{yn):
1-Х 1_ * х—1 1
NniynXlynl^ Гп j-n J М(и)их* +r« с?и<
а
1-х [_ Х-1 { 1 j 1-х Ь
где С — константа, не зависящая от q. Функция Nh{yn) также
является финитной, так как Nh(уп) = 0 при \ уп\> bhKn.
Используя полученную оценку для Nh (уп) и полагая
1-*=:е — = 1 L+J_ = J_4- —
К гп Рп ' <?га Рп ' Яп
получаем
Wt(-,Xn,h)\\;tin <>С' \ %(хп + уп)\Уп\ К"п "Jdyn.
Предположим сначала, что 1 < рп < qn < оо, и оценим интеграл,
стоящий в правой части, с помощью неравенства Гёльдера
для трех множителей с показателями ат РпЧп , р'\ Ь
qn- Рп ^п\Яп

% 10] ВЛОЖЕНИЕ Wlp (G), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 143
|- Цп~Рп +' — = А. Мы будем иметь
г / Is. _J_+±\
II ** (•,*». Л)||-„u <С J \|ф,(*„ + 0„)|"Чги "n VX
1%1<»Л
:\1ф*(*» + ^I «»)U»i "" 2
'+•
X VI Ф* (*» + У») I Чп)\\Уп\ п Jdyn^
С"( J I Ф, (*» + &) И 0»1 2 dya\ X
Рп \ 8р« I
2
Отсюда вытекает, что
-«(т^Г'(тг4ггГ'*,-|о!';|л„1,
Где С' не зависит от f, h и q.
Аналогическая оценка получается и при других
соотношениях между параметрами рп и qn A ^ рп ^ qn ^ °°).
Отметим, что в этих случаях оценка основана на неравенстве Гёль-
дера для двух множителей. Полученное неравенство доказывает
наше утверждение.
10.2. Теорема. Пусть открытое множество G удовлетворяет
слабому условию l-рога, \^.p^.q^.co, х= а-| ):/ <11
и при к = 1 либо 1 < р == q < со, либо 1 < рп < qn < оо, либо
Гогда DaWp (G) <=^- L?; точнее говоря, для fefj, (G) суа^е-
ствует на G обобщенная производная Baf е L?(G) и существуют
числа h0 > 0, С > 0 такие, что
п
IДЧI а < С/г'-'4 S | /){'/1^ а + СА"Х || / !!,, в, (8)

144 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. '
где постоянная С не зависит от f и h е @, /г0). В частност
при а = 0 Wp(G)=»L,(G).
Доказательство. Для G выполняется условие 8B
так что достаточно оценить | Da/1 Q (k = 1, ..., К)- Так как aj
соответствующего /-рога Vk(l,h) Gh + Vu(l, h) a G, то нужш
оценка следует из леммы 10.1.
Отметим, что основной случай теоремы (р>1, и<1) пр
надлежит С.Л.Соболеву[1],[2];случай 1 < р < <7 < оо, х = 1 -
Харди и Литтлвуду (при п = 1) и С. Л. Соболеву (при /г > 1
случай р = \, q = оо, х = 1 — С. Л. Соболеву [1]; случай 1 =
= р < <7 < оо, х=1 (доказательство которого мы не приводил
и случай р = 1, ^ = A, ..., 1, оо, ..., оо), х = 1 (см. 18.14) -
Гальярдо [2], [1]; случай 1 < р < q < оо, q = (q, ..., q, оо, .
..., оо),х= 1— В. П. Ильину [1].
10.3. Замечание. В условиях теоремы 10.2 для случая, ю
гда некоторые из компонент q бесконечны, в левой части оцени
(8) ??-норму |D™f|| 0 можно заменить видоизмененной Lq-no\
мой, отличающейся лишь тем, что существенная верхняя граь
по переменным, соответствующим бесконечным компонентам .
заменяется обычной верхней гранью по этим переменным.
Обоснование состоит в том, что в лемме 10.1 мы получае
Daf как предел непрерывных (даже бесконечно дифференцируй
мых) функций Dafex, а для непрерывных функций /-?-норма
L^-норма совпадают. Таким образом, сходимость в себе в эти
двух нормах одновременная, и остается лишь сослаться на noj
ноту пространства с ??-нормой (см. замечание в 1.1).
Заметим в связи со сказанным, что в условиях теорем
при р = (р,...,р), q — (q,...,q, оо,..., оо), 1 < р < q < с
п
и, например, G = En, вместо известной оценки при и = \,-г--
1 <
п m
(=1 ' ?=1 '
SUp \\Daf(.,X")\\L {Bm)<C\\f\\wl{Bn),
. х" s En~m 1 P
мы получаем более сильную оценку
| sup | Da/(•,*") 11 <C||f|]y/(BB).'
Аналогичную оценку можно написать и для f е Wp (G).

§ 10] ВЛОЖЕНИЕ W (G), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 145
10.4. Теорема. Пусть открытое множество G удовлетворяет
слабому условию l-рога, l^p^oo, %= ia-\—):/ <1 либо
и = 1» рп — 1 •
Тогда DaWlp{G)c^C(G), точнее говоря, для fe=WlP(G)
производная Daf непрерывна в G и
sup | D71 < СЛ'-Х S I Dj'f 1 0 + С/Г*||Л1„а. (9)
где 0 < /г < h0 и постоянная С не зависит от f и h.
Доказательство. Поскольку Daf определена лишь с
точностью до эквивалентности, то на самом деле в теореме
утверждается эквивалентность Daf непрерывной функции, что мы и
будем иметь в виду. Достаточно установить непрерывность Daf(x)
на G, так как оценка (9) тогда будет представлять частный
случай оценки (8) (при ^ = о°) ¦
к
Пусть G = (J Gkn для открытых множеств G/, выполнено усло-
1
вие 8B). Как было установлено при доказательстве леммы 10.1,
\Daf-Daf*L,ak-+° ПрИ е^0>
Поскольку Dafei непрерывна на Gu, то сходимость в L^iGk)
совпадает в данном случае с равномерной, так что предельная
функция Daf непрерывна на каждом Gh и, следовательно, на
к
G= (jGfc. Этим и завершается доказательство теоремы.
k=\
Отметим, что эта теорема доказана С. Л. Соболевым [1], [2]
для изотропного случая при р\ — ... = р„.
10.5. Вложение Wlp в класс Орлича. Остановимся несколько
подробнее на свойствах производной Daf функции f^Wp{G),
1 ^р^ с»,в том случае, когда выполнено соотношение
(•+*
I
= 1. (Ю)
Из теоремы 10.2 следует, что если имеет место A0) и при этом
/»„= 1, то Daf е= /-„(G) (точнее, в силу теоремы 10.4 Daf е= C(G)),
и если рп> 1, то Daf^Lq(G), где р<9<°° и хотя бы одна
компонента qt < °о (в этом случае введенное в теореме число
к<1). Покажем, что при 1 < рп < оо этот результат можно
несколько усилить,

146
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА
[ГЛ. II
Введем необходимые обозначения и определения. Положш
р = (ри ...,p„_i). <7 = (<7i <7»_i), * = (*,, .... xn-i), р = (р, рп)
q — (Ч, Яп), х = (х, хп), G \Хп = {х: (х, xn)e=G), nnG = [хп: G |%=? 0
(IlnG — проекция G на ось хп)-
Пусть Ф(/)— вещественная непрерывная, выпуклая четна?
функция вещественной переменной /, удовлетворяющая уело
виям
Ф(()
nm-
f-»oo t
Функция Ф(^) с указанными свойствами называется Л/-функцией
Будем говорить, что функция /, определенная на G, при
надлежит классу L - ф (G), если II /(•»*„) ||- 0, . как функция
Р< Р< >хп
от хп, принадлежит классу Орлича с Af-функцией Ф, т. е. есл*
J ®{\\f(',xn)\\-G[x)dxn
< оо.
Теорема. Пусть G удовлетворяет слабому условию 1-рога.
f<=Wp(G), 1<р<схэ, причем 1<р„<оо, а = (а,,
(О <! аг — целые),
"+}):'
= 1.
(Ю)
Тогда на G существует обобщенная производная Daf и при
любом q, p^q^co, Daf е L{-0)(G) {в частности, Daf е
Ч°°,ф)
(G)).
т. е.
\ф(\оа!{-,хп)\-охихп<А,
(П)
где
„«—..г-- s ^„fl* (й-^.).
постоя««ая
^<[е(С*||/|Ц@))Р«] .
С* — постоянная, не зависящая от f, а А — константа,
зависящая от \\f\\wi{Q) (см. ниже A2)).
р
Доказательство. Существование производной Daf
вытекает из теоремы 10.2, а поэтому достаточно доказать лишь A1).

IOJ ВЛОЖЕНИЕ W'p (G), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ
14?
Имеем
,7= Гф (\\Daf{.,xn)^^\dxn= J
ГТ П * ^ ГТ /Г!
H|oef(-*„)lt:",
'«.01
0<fe <р„—1
С-
fen
dxn^
< v ill IID«f/. x\tpn dx _ v ^1||д«нг«
где flf<*> = (?,#>)• <tn=kP'n> 1 < Pn<€] < °°-
Норму, стоящую под знаком суммы, оценим с помощью
неравенства A) (лемма 10.1). Прежде чем применить это
неравенство, заметим, что в силу A0)
a+J~lF]:l
: /
< 1
i
Чп 're
< 1.
Поэтому в неравенстве A) константу С, можно взять в форме
Отсюда, ввиду оценки
1— и(*>>-
а{кЧ '
Чге га
имеем
с, < с; («"Ч"" <cjk<.
С'{ не зависит от k.
На основании неравенства A) теперь получаем
где
|/)a/l^.1o<C'ft,/P»||f||ir,@,,
р
С = С* (h) = sup {C{hl-4{k) + С2/Г*'6))
не зависит от k.
Таким образом,
*< S irUfC*ll/IU@)lP'^ = ^ A2)

148 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. 1
Легко видеть, что при указанном в теореме условии относител.
но \i ряд сходится. Обозначая сумму ряда через А, получае
оценку A1). Теорема доказана.
10.6. Замечание. Пусть в условиях теоремы р = (р, ..
.,., р), 1 < р < оо, функция Ф@ определена той же форм;
лой, что и в теореме. Тогда
^G>{\Dnf{x)\)dx<co.
Доказательство этого неравенства аналогично доказательств
неравенства A1). В приложениях чаще применяется именно это
результат.
Отметим, что теоремы вложения изотропных классов Wp} (С
в классы Орлича рассматривались в работах Е. П. Калугиной [1
М. А. Красносельского и Я. Б. Рутицкого [1], В. И. Юдовича [1
С. И. Похожаева [1] и Трудингера [1]. Для анизотропных кла<
сов Hlp{G), Wp(G) и Bp,b(G) аналогичные результаты получг
лись Е. П. Калугиной [2], А. Ахметжановым [1] и Ю. А. Брух
ным [1].
10.7. В случае вложения, когда 1 = рп <С qn <. °°, не охва
чепном теоремой 10.2, имеются следующие результаты.
Гальярдо [2] получена оценка
imu<m><cia2J|?aflU
где 1^<7^°°, I — /г + —=0, открытое множество G с Е
ч
удовлетворяет условию конуса, G<m>— сечение множества (
любой гиперплоскостью размерности т, параллельной коорди
натиой, 0 ^ т ^ п (случай т = п рассмотрен ранее С. Л. Сс
болевым [1].)
В. А. Солонпиковым [4] доказано вложение
DaW\{En)^Lq(En),
где / = (/[, ..., /„), 1 < q < со,
l-1+a):/
= 1, aft=0 при qk=\.
10.8. След функции. Для функции f(x), определенной на от
крытом множестве G с Еп, здесь будет введено понятие след
на сечениях G плоскостью размерности т < п и установлены не
которые его свойства. Этим понятием мы будем пользоватьс:
в ряде следующих параграфов. Более общее понятие следа н;
липшицевом многообразии и его свойства будут изучаться в§2С
а понятие следа и его свойства на достаточно гладком многооб
разии —в §§24—25.

» 10] ВЛОЖЕНИЕ fiH:<G), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 149
Р
Функция f(x), принадлежащая функциональному прострап-
i гну Wlp(En) или другим изучаемым в книге пространствам,
определена на Еп лишь с точностью до множества я-мерной меры
нуль. Поэтому след функции /
f\Em = (p(x') = <f(xl,...,xm), 0<т</г,
на каком-либо подпространстве EmczEn не имеет смысла, если
его понимать буквально. Ниже мы даем, в частности,
определение следа функции / на Ет, приводящее к единственной
функции на Ет с точностью до множества из Ет m-мерной меры пуль.
След функции / естественным и «устойчивым» образом (по
отношению к изменению / на множестве /^мерной меры нуль) свя-
:iaii с / и, в частности, для непрерывной функции совпадает с ее
сужением. Приводимое ниже определение мало отличается от
данного в книге С. М. Никольского [9].
Введем теперь следующие определения и обозначения,
которыми будем пользоваться до конца параграфа.
Определение следа. Пусть открытое множество G с Еп,
I ^ 171 \ tl, X = \Х , X ), X = \Х\, . . ., Хт), X = \Хт+\, • • .» Хп),
/)/, — ограниченное открытое множество в Ет,
\\*={х = (х', х")\ х' €= Dk, х" = х" = const} <=G (k = 1, 2,...).
функцию f (x', x") — f {x') e Lloc ( (J DkJ будем называть еле-
oo
дом на Г = (J Гй функции F(x) з Lloc (G), если для каждого
ь=1
& = 1,2, ... существует функция Fk(x), x^GUFk, такая, что
а) Fk(x) = F(x) почти для каждого JteG;
б) Fk(x', x") = f{x',x") для всех (/,/)еГ6;
в) \\f(x')\dx' <*>;
г) J | A (z; G) Fk (x', x") | d/ -+ О при z = @, z") -* 0, где
\Ф(х-{-г) — Ф(х), если x + z<=E,
Д (z; Е) Ф = { „ ' , — с
{ 0 если x-\-z<=.E.
Определение следа сформулировано здесь для сечения G
О
плоскостью xi = xt (i = m + 1, ..., п). Аналогично оно вводится

1ГH АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. М
и для сечений плоскостью, параллельной какой-либо друго
координатной плоскости:
х,-1 = х1{ (/ = m+l п; 1 </„+,< ... <]а<п).
Его формулировка отличается от приведенной лишь тем, чт>
в обозначение х = (х', х") следует вложить иной смысл. Имение
х" = {xim+l */„)> соответственно х' = {х!{, ..., xQ, гд
1 </, < ... < }т<п, }кф ]s при k ф s.
Заметим, что так определенное множество Г является откры
тым множеством в сечении G плоскостью х" = х". Более тоге
в виде Г= (Jrft представимо всякое открытое в указанном се
чении множество. При заданном Г будем считать заданным en
оо
представление в виде Г= (Jrft. Так, например, в случае, когд
G совпадает с пространством Еп или с его подпространство.»
Е+ = {х: х^ Еп, хп > О}, а Г является m-мерной плоскостьк
под Dh естественно понимать m-мерные кубы с ребрами длины ?
параллельными координатным осям, и с центрами в узлах целс
численной решетки.
Если функция F(x) непрерывна, (непрерывно продолжима
о
на G U Г, то ее значения на Г образуют функцию f(x',x"), яв
ляющуюся, очевидно, следом F(x) на Г.
Рассмотрим случай, когда функция F(x) = F(x',x'r) опреде
лена на Еп = ?т X Еп~т = Г X Еп-т и принадлежит Lq (?")
где
q={q', со) = (<7„ ..., qm, оо, ..., оо).
Одного этого условия недостаточно для существования следг
Потребуем дополнительно, чтобы была конечна норм
sup ||F( •, х")\\ ,и чтобы F(x) была непрерывна по сдвигу н
вектор 2 = @, z") в ней. Пространство таких функций с указан
ной нормой естественно обозначить через Lq>C(Em X Еп~т). Оче
видно, что для F (х', х'') е= Lq'C (е X Еп~т) ее значения F{x', О
образуют функцию, являющуюся следом для F(x) на Г = Ет.
Аналогичная ситуация возникает и в том случае, когд
F{x',x") принадлежит Lq>C лишь локально, в окрестности каж
дой точки Г (мы не даем здесь точного определения локально
принадлежности F к Lq>C). Отметим, что в простейшей геометрг
ческой ситуации существование следа для F(x) равносильно тг
кой локальной принадлежности функции F (или ей эквивалент
ной) к LXC.

I lll| ВЛОЖЕНИЕ Wp(G), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 151
Введенный указанным способом след функции определен
лишь с точностью до эквивалентности относительно т-мерной
меры на D= [J Dk. В самом деле, если функция f(x', х") яв-
о
лмется следом функции F(x) на Г и для f*(x, х")
f \I(x', x")-f*{x', °х") \йх' = Ъ (k= 1, 2, ...),
го f*(xr,x") также, очевидно, является следом F(x) на Г. С дру-
toft стороны, при достаточно общих предположениях о струк-
1 уре G в окрестности Г любые два следа функции F(x) на Г
отличаются лишь на множестве m-мерной меры нуль, как это
покрывается в следующей теореме.
10.9. Теорема о единственности следа. Пусть
о °
каждая из функций f (х , х") = f (х'), f (х!, х") •= f* (х') является
следом функции F (х), j;eGc Е", на m-мерном плоском мно-
оо
— о
Г&, открытом в сечении G плоскостью х" = х".
о о
Пусть для любого k и любой точки {х', х") ^ Г^ существуют
открытое в Г& множество Tk э (х', х") и открытое в Еп~т
множество VT, VT^O, такие, что гГх^'сС
Тогда
J [ / (х', х") - Г (х', х" \dx' = Q (k = 1, 2, ...).
Доказательство. Пусть Fk(x), F\(x)— видоизменения
/•' (х) на множестве «-мерной меры нуль, соответствующие
функциям f{x', х"), f*(x', х") в их определении в качестве следа
я F(x). Через Dk0) <=. Dk обо:
тную плоскость х" = 0. Топ
\}{х', х") — Г{х',х")\йх'^
для F{x). Через D(A0) с: Dk обозначим проекцию Г^' на
координатную плоскость х" = 0. Тогда при г" е Уц
<40)
<
J | Fk{x\ х" + z") - f (x', °x") \dx' +
V
+ j1 Fl (xf, x" + z") - f (x\ x") | dx' + Vk (z"),
of

152 f АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА (ГЛ. III
где
9k {z") = J | Fk (*', x" + z") - П (x', °x" + z") I dx'.
Первый и второй интегралы правой части неравенства стре-
мятся к нулю при Vk эг —>0в силу определения следа и
условий теоремы. Покажем, что последний интеграл правой части
(О
&k(z") равен нулю на некоторой последовательности точек z",
10) (i)
V\ эг"-+0 (i-> оо), откуда и будет следовать равенство нулю
интеграла в левой части неравенства, а следовательно, и
утверждение теоремы.
Положим Ф (х) = Ф (*', х") = | Fk (x)—F% (х) \, так что Ф (х) = 0
почти всюду на Г1*' X Vf. Следовательно,
^ 2fk{z")dz"= \ \<$>(x',x" + z")dx'dz"= \ Ф{х)йх = Ъ.
Vi0) ;Ф) D@) гдах^о)
Отсюда 2fk(z")=*Q для почти всех /eFf, так что требуемая
W ,0) С)
последовательность точек z", Vj эг"-*0, существует, чем
и завершается доказательство теоремы.
10.10. При изучении следа на плоском сечении функций
из тех или иных функциональных пространств часто
оказывается полезной следующая *)
Теорема о существовании следа. Пусть открытое
оо
множество G<=.En, 1 < m < п, Г = (J Гк с: G П {х = (*', х")\,
fe=i
для каждого k — l, 2, ... существует открытое ограниченное
множество Gk с: G, Gfe гэ Г&, G \ G^. [~| 1\ = 0.
Пусть на G задана функция F (х) и для каждого k и s
выполняются следующие условия (в которых Г^ = Г& П Г,,
а) Существуют последовательности {Fkj}T=, функций,
непрерывных на Gh. такие, что
ess sup f |F(/,^" + z',)-/rfe/(/J"+z")|dx'->0 (/-*..«>).
/efl
'ft
(д:', r+JleO,
*) Близкая по характеру лемме 6.10.3 С. М. Никольского [9].

I Iftl ВЛОЖЕНИЕ wi (G), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 153
Р
р) Для всякой непрерывной на Gks функции Ф(х)
| \Ф{х', х") | dx' = llm f [ Ф (х', х" + г") \ dx'.
, „ z"-»0 , о
{x',x"+z")<=aks
Тогда для функции F(x) существует на Г след f(x', х")=±
p-f(x')^L(Dk) (k=l, 2, .. .)> совпадающий с пределом в L(Dk)
следов на Г& непрерывных функций Fkj (/-*оо; k=\, 2, ...).
Отметим, что проверка условия р) во многих случаях
не представляет затруднений. Так, например, условие Р) оче-
нидным образом выполняется, если при
G^ (z") = [х = (х\ х" + z"): х е= Gfe, /eDfe)
(»)
для некоторой последовательности точек г"-*0 последователь-
ность мер mes Gks (z") -> mes Dfa (г -> oo). Это последнее условие
иыполняется в достаточно общей для нас ситуации:
Р') для каждого k=l, 2, ... существует такой (открытый)
l-рог Vk, что \\ + Vk <- G.
Доказательство. Из условий а) и р) следует
фундаментальность, а значит, и сходимость последовательности
(Ffey). , к некоторой функции Fk(x) в метрике
вир J |^(/, ^' + 2")-П/(^Л" + 2'/)|^'-^0 (/-*оо)
г" . о *'^Dft A3)
(х'. S"+z")^akurk
(см. замечание 1.1 о полноте соответствующего пространства).
При этом
sup f I Fk (*', x" + z") I dx' < 00, A4)
(*'. °"+z")eGftUrfe
^(x) = F(x) для почти всех x^Gk. A5)
Для доказательства равенства A5) положим при
фиксированном k
Ф(*) = Ф(*', х") = \Fk(x) — F{x)\ при хsGfe
и доопределим Ф(#) нулем на En\Gk. В силу условий а)
теоремы и A3)
ess sup f Ф(дс', x'.' + z")dx' = Q.
(л;', i42*)eC4

154 анизотропные пространства с. л. Соболева [f л. щ
Отсюда с помощью теоремы Фубини получаем
0={ J Ф(/, х")dx'dx" =-| f Ф(/, x")dx"dx',
En-m Dk Dk En-m
так что Ф(#) = 0 почти всюду на Dky^En~m, что и приводит
к утверждению A5).
Положим для х' е Dk
fk/ (*') = h, (*'- х") = Fkj (xf, х"), fk (*') = fk {x', x") = Fk {x\ x").
Из A3) и A4), в частности, следует, что
[\h{x')-fki{x')\dx'->V (/-*«>), A6)
J I Ы*') I <**'<«>, A7)
Dk
Функции fk(x') и fs(x') для пересекающихся Dk и Ds
согласованы в том смысле, что для любых k и s
JlM*,)-M*/)ld*'='0, A8)
Dks
т. е.
fk{x') = fs{x') для почти всех /eflb. A9)
Покажем это. В силу условия а) и непрерывности Fkj, Fsj
sup f I Fhl (x', x" + z")-Fsi (xr, x" + г") \ dx' -* 0 (/ -* oo),
(X',x"+z")^aks
откуда в силу условия f$)
[\fk,{x')-fsl{x')\dx'->0 (/-*oo),
Dks
что и приводит к A8) ввиду A6).
.. Определим теперь функцию f {х') = f (х\ х") {{х', х") е Г)
формулой
f{x') = fk(x'), где k = k{x')^mmW. Ts=b{x',x")\, B0)
о
и покажем, что f(x',x") является следом F(x) на Г. Поскольку
функции fh(x') с самого начала определены с точностью до
эквивалентности, то будем теперь считать, что в качестве fk (х')
взята только что построенная функция f(x'). Таким образом,
/*(*') = / (*') • Для вСех х' s Dk и всех k = l, 2, ...

I lfl| ВЛОЖЕНИЕ WpIO), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 155
Проверим теперь, что f(x) удовлетворяет всем условиям 10.8
¦ми следа функции F(x).
Условие а) выполнено для функций Fh(x) ввиду A5). Усло-
piiio б) выполнено в силу построений. Условие в) установлено
и A7). Проверим, наконец, условие г). При г= @,z"), \z\ <
|>(Гь, G\Gk) имеем
\\\{z;Gk)Fk{x',°x")\dx'^
'•»
< J | A (z; Gk) Fki (xf, x") | dx' + J | fk (xf) - fkj (x') \ dx' +
Dk ~ Dk
+ sup J" [ Fk (xf, °x" + z")- Fkj {xf, x" + z") | dx'.
(x\ x"+z")<^Ok\)Tk
Второе и третье слагаемые правой части этого неравенства
произвольно малы при всех достаточно больших / в силу A6),
(\'Л). При фиксированном / первое слагаемое правой части
стремится к нулю при z= @, z")->0 ввиду непрерывности Fhi(x)
НИ ограниченном замкнутом множестве GftdV Следовательно,
Ясная часть последнего неравенства стремится к нулю при
* — @, г") -> 0, что и требовалось установить. Тем самым
теорема доказана.
Доказанная теорема показывает, что если к функции F(x),
xeG, сходятся некоторые последовательности {Fki(x)}j=l
(fc=M,2, ...) непрерывных на Gft функций (сходимость
понимается в смысле условия а)), то следы этих непрерывных
функций сходятся на Г (в смысле A6)) к некоторой функции f(x)
(см. B0)), являющейся следом F(x). В качестве функции Fu(x)
часто бывает удобным брать то или иное интегральное
представление функции F(x), совпадающее с F(x) почти всюду (на
О и a G). В качестве Fkj(x) при этом естественно брать
усреднения F(x), порождающие соответствующие представления, со
стремящимися к нулю параметрами усреднения. Функции Fki(x)
будут представимы, таким образом, в том же виде, что и F(x),
но с заменой нуля на ej > 0 в нижнем пределе внешнего
интеграла основной части представления.
Отметим еще, что существенность условия теоремы
(i\Gh П Гг, = 0 видна на примере двумерной области G,
представляющей кольцо с выброшенным 'горизонтальным
радиусом 8E). Ясно, что для существования следа функции на
выброшенном радиусе необходимо совпадение на нем (с точностью до
эквивалентности) следов функции, рассматриваемой отдельно на
порхнем и нижнем полукольце.

156 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
10.11. Рассмотрим типичную геометрическую ситуацию, в
которой будут изучаться свойства следов функций. Пусть открытое
множество G удовлетворяет слабому условию /-рога 8B), т. е.
К к
где Vk(l)—(открытый /-рог.
со
Пусть снова Г= (J Г5сёП [х: хт+1 = хт+ хп = °хп)
то же, что в определении следа 10.8, и выполняется условие:
у) Для каждого s = 1, 2, ... существует такое натуральное
k = k(s)^.K, что
T5c:G,w, G\GMi)nr,= 0.
Напомним, что здесь множества Г,, — ограниченные, в то время
как Сад не обязательно ограничены. Можно устранить это
несоответствие, введя ограниченные открытые множества
GS = Gk,„n{*: Р(дс, Г,)<р,}, 0<р5<оо,
для которых при любом s = 1, 2, ... выполняется условие;
у') Г5с«, GvGJniWo, Gi+Vkis)(l)czG
(последнее включение обосновывается тем, что арифметическая
сумма двух открытых множеств сохраняется, если одно из
слагаемых заменить его замыканием).
Покажем, что условия установленной в этом параграфе
теоремы вложения 10.2 в случае перехода к q с некоторыми
бесконечными компонентами обеспечивают существование следа Daf
и его оценку в соответствующей норме.
Пусть выполняются условия теоремы 10.2 при q = (qu .. .
.. •, qm, °о оо), 1 <т<л и Г удовлетворяет условию у),
следовательно, и условию у'). Тогда выполняется условие ($),
а значит, и условие р) теоремы 10.10 о существовании следа.
Покажем, что для функции Daf е Lq(G) выполняется и
°° к
условие а) теоремы 10.10. Представим Г = (J Г5 в виде r = (J Г(й),
s=l й=1
где Г(*> = (J Г„ Г, = {х «¦ (х\ х"): х' е= Ds\, Ds — открытое
k (s)=fc
в Em ограниченное множество, D(ft)= (J Ds. В лемме 10.1
k (s)=ft
для функции / с конечной правой частью A) доказана
сходимость
DaftK->Daf в Lq(Gk) при е-*0. B1)

|101 ВЛОЖЕНИЕ Wlp (G), ОЦЕНКИ ДЛЯ СЛЕДА ФУНКЦИИ 157
Отсюда при k(s) = k в силу неравенства Гёльдера
l)%x->Daf в Lq*{G's) при е-*О, q' = {l, •••. 1. °°. •••> °°). B2)
Из последнего свойства вытекает условие а) теоремы 10.10,
поскольку Daf&-K непрерывны на G's (даже продолжимы в Со° (?"*),
см. 9(8)). Таким образом, по теореме 10.10 Daf имеет след
на Г, причем этот след совпадает на Г5 с пределом
lim Dafc (*', х") в U (Ds). B3)
Из B1) ввиду непрерывности Dafe},(x) на Gk следует
сходимость в себе D^f^ix', х") в Lq'(Dik>), q' = (q, qm)\ предел
при этом, очевидно, совпадает на Ds с пределом B3), т. е.
является следом Daf.
Из леммы 10.1 имеем также
№(->*%,^<1И4,
ч.а
k
п
^- И" <¦ ' h, Ou+vk(i) ' " i "p. Gk+vk(D
Я" * "/>. ak+vk{t)
Переходя к пределу по е->0 и суммируя оценки по k =
• 1, ..., К, получаем окончательно в условиях теоремы 10.2
l\Daf(.,?)\\ к <CA,-xSlD['fl г + С/Г* ||f II . B4)
fc=I
Нетрудно проследить, что постоянная О не зависит от выбора
о
точки х", т. е. от параллельного смещения плоскости,
производящей сечение (с сохранением условия у)). Поэтому в левой
части B4) можно взять верхнюю грань по всем таким сечениям.
Интересно отметить, что, хотя оценка B4) нормы следа
получена при условиях, когда конечна норма || ?)af || G> q = (ql) ...,
...»<7m> °°» •••> °°)> одной конечности этой последней было бы
недостаточно даже для существования следа. При
доказательстве B4) было использовано более сильное свойство —
возможность аппроксимации Daf непрерывными функциями в норме
lq{Gk), вытекающая из принадлежности / е WP(G) (по условию
теоремы 10.2). Возможность такой аппроксимации тесно связана
с непрерывностью в целом данной функции (Daf) в L, и будет
рассмотрена далее, в § 19.

158 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА ГГЛ. Н!
До сих пор обсуждался вопрос о свойствах следа функцш
штт О О
на сечениях G m-мерной плоскостью *m+i=*m+i» •••> xn==xn
Рассмотрим теперь случай сечения G m-мерной плоскостьк
Л:'т+1==^т+1 *<в=*'» A<т<л, Kim+l<W2< ••
¦.. <in^.n). Как уже отмечалось, само определение следг
формулируется аналогично (отличаясь лишь переобозначениел*
переменных)/то же, очевидно, справедливо по отношению к
теоремам единственности и существования следа. Легко проследить,
что в соответствующих переобозначениях сохраняется и
оценка B4).
§ 11. Коэрцитивность в пространстве Wlp(G)
Начало ряду работ по проблеме коэрцитивное™ было
положено Ароншайном [1]. Его результаты развивали затем Агмон[1],
Шехтер [1], Хермандер, Смит [1], Фигуэйредо [1], Нечас [1]. Этот
параграф посвящен дальнейшему изучению проблемы в
направлении последних трех работ и охватывает анизотропные
пространства С. Л. Соболева и смешанную Lp -норму. В случае
несмешанной Lp-нормы соответствующие результаты изложены в
работе О. В. Бесова [8]. Везде в этом параграфе будем
придерживаться следующих обозначений: /= A\, ..., 1п)—вектор
с натуральными компонентами, s = 1, ..., S, ms— натуральные
числа, /№ = mj = (mslu ..., msln), л.<8> = МР\ f(x) =
= (h(x), .... fs(x)), \<p<oo, l<p<oo, D=(D1, ...
..., D„) = (д/дхи ..., djdxn),
P, (D) f = P, (x, D) f = S 2 c/,p (*) D% (x),
Pis(D)fs — главная часть соответствующего слагаемого из
P,{D)f,T.e.
Pfs (D)fs = Pls (x, D) fs = S cls& (x) D*f, (x),
cjSQ — комплексные числа.
Через Yl Wlp {G)=J\ Wlp (G) будем обозначать
пространство вектор-функций f = (fh .... fs) с нормой
s
SiiMI ...) .
S=l Wlp (G)

I III КОЭРЦИТИВНОСТЬ 6 ПРОСТРАНСТВЕ Vp (О) 159
11.1. Определение. Система дифференциальных опера-
wpott [Pj{x, Z))}^ называется коэрцитивной в JJwlp (G), если
для мех fe=]I^S)(G)
2 2 lDefJp.Q<CS||P/(D)f||,t0 + ci||fJ| A)
с постоянной С) не зависящей от f.
11.2. Теорема. Пусть l-многочлены с постоянными
коэффициентами
Р/(&)= S c/p|f» (/=1 iV)
|3:/|=I Р
мэ имеют общего комплексного корня, отличного от | = 0,
область Q удовлетворяет слабому условию 1-рога.
Тогда при | a :/1^ 1
II Daf I,, fl < CftM a:' | ? || Р, (D) f ||p, 0 + C/t a:'' || f ||Л 0, B)
^fle 0 < /г < /г0(О), постоянная С не зависит от функции f и h.
Доказательство базируется на представлениях 7B9),
7C0) и проводится так же, как доказательство леммы 9.4 и
теоремы 9.5.
Заметим еще, что при |а:/| <1 можно считать в B)
1 <; р ^оо.
Отсутствие общего комплексного корня \ ф 0 у
многочленов /'j(i) является также и необходимым условием
справедливости оценки B), как мы увидим из приводимых ниже примеров.
Из доказанной теоремы следует, что
\\ik\{o~\\f%.e + %\\Pi(D)f\\ptQ.
11.3. Теорема. Пусть область G удовлетворяет слабому
условию l-рога. Система дифференциальных операторов с
постоянными коэффициентами
S S
1>, (D) f = S 2 clSfiD% = 2 Pjs (D) fs, / = 1 ff, C)
s=1||W,s)i=I s=1
коэрцитивна в П Wlp (G) Toeda « (во всяком случае для
ограниченной области G) только тогда, когда ранг матрицы (PjS(?))
равен S для любого комплексного | Ф 0.
Доказательство. Д ост а то'ч н ость. Обозначим
через ДГ = ДГ(|) (г=1, ..., #) миноры порядка 5 матрицы
(Pjs(i))> Arjs = Arjs(?)—алгебраическое дополнение элемента

160 Анизотропные Пространства с. л. Соболева |гл. II
Pjs(%) в квадратной матрице, соответствующей минору Ат
если Pjs(E) является элементом этой матрицы, и Arjs = 0 в про
тивном случае.
По свойствам определителей получаем из C), что npi-
г = 1, ..., R и s = I S
M?) = 2A^(i)^(i)> o = %KIS(t)P,k(t) (k^s). D;
Так как |т|/-многочлены Дг(|) (г = 1 R) не имеют общегс
комплексного корня | ф О, то в соответствии с теоремой
Гильберта при достаточно большом М > О имеют место
тождества 7B7):
(s) я
i!'M=S6,„(i)Ar(-E) (/=1 «)»"
/¦=1
где 6irs (|) — (msM —| m |) /-многочлены.
Учитывая D), получаем, что
(S) w
6{'M«Sfl,/e(DP/,(-?).
V E)
o = 2a,„(&)P/lk(-l) (fe=^s).
y'=i
где (M—1) т5/-многочлены
R
ai/.G)=2fc„(!)Ar/,(-D.
В силу 7B7), 7B8), 7C0) получаем из тождеств E)
представление
Da9 ,,.,(*) = DV(s)(*) + (-l)|e|X
X S I yJ' *'" Wa> "(S,) dy J T?° (» • «O P/. Ф) Ф (X + «/) dy F)
при
Tls(x)^Iil{,s)ai!s(D)^i(x). G)
Заметим, что при k Ф s
jj J r?> (</: о*'") P!k (D) h (x + y)dy =
= w-"* J S (^Z* (~ -0) r/>) Of: ^(S>) /* (* + y)dy = 0, (8)

I 11] КОЭРЦИТИВПОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ V1 (G) 161
поскольку в силу G) и E)
2 Р,к (- D) T,s (х) = S ^s) S P/fc (- Д) atJs (D) &, (х) = 0.
/=! (=1 /=1
Применяя представление F) Кф(х) =/s(x) и добавляя впра-
пую часть равные нулю в силу (8) интегралы, приходим к
представлению
Oe(/IIi.iW = oe(fII(.)W +
N h
.И_ ,I а I ? j V-\ х"> 1-(а, *<«>) J TTJ [у . /*>) Я/ (D) ; (х+^. (9)
/=I E
Отсюда так же, как при доказательстве леммы 9.4 и
теоремы 9.5, получаем оценку A), а также при произвольном б,
()<6<6o(G), оценку
? 2 IoafJPi0<eSl|P/(^)/llPl0 + c(e)SnMil,i0. (Ю)
Тем самым доказательство достаточности условий теоремы
получено.
Необходимость. Пусть теперь для некоторого | ф 0 ранг
матрицы {PjS{V\) меньше S. Тогда существует неотрицательное
решение системы
ZP]s(t)bs = 0 (/==1 N). A1)
s=l
Положим при t > 0
2 t I \,х.
fs(x,t) = bsei " (s = l, .... S). A2)
Так как коэрцитивность имеет место, из A)' получаем, в
частности (для ограниченной области G),
S ге I ,(s) I]
2 s|D'fs(-.o|L0==
S n {s) S
= *2 2 IE/1'' IIM-,flllp 0<cSiif,c.Ollp o.
s=l /=! ¦ S=I H'
что невозможно при достаточно больших t.

162 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ill
Заметим, что в теореме на самом деле доказано, что
оценка A) в случае C) справедлива не только дляДлс) е \[ Wlp (G)
(коэрцитивность), по и для всякой вектор-функции f(x) с
конечной правой частью A).
11.4. Теорема. Пусть ограниченная область G
удовлетворяет слабому условию l-рога. Система дифференциальных
операторов
P,(D)f=2, 2 c,^(x)D»fs (/=1 N),
где cjK$(x) измеримы и ограничены, а при |f$:/<s>| == 1 непре-
тт i(s)
рывны на G, коэрцитивна в \\WP (G) тогда (а при постоянных
для ] р : №\ = 1 коэффициентах c;sp и только тогда), когда ранг
матрицы (PjS(x, ?)) равен S для любых комплексных !• ф О и
любого х е G.
Доказательство. Необходимость показывается так же,
как в теореме 11.3. Установим достаточность. Разобьем
пространство Еп гиперплоскостями, параллельными координатным,
на сеть открытых кубов. Каждый куб разобьем на 2П открытых
кубов и обозначим через Q*n, ..., Q*^ те из них, которые
пересекаются с G. Каждый из кубов Q*; разобьем на 2п открытых
кубов и обозначим через Q*!( . .., Q*2h те из них, которые
пересекаются с G. Продолжая процесс, получим счетную систему
кубов {Q*;}, где /=1, 2 \и i—l, 2,... Для каждого
куба Q*lf обозначим через Q;/ открытый куб с тем же центром,
параллельными ребрами и втрое большим диаметром.
Система кубов {Qij} образует, очевидно, покрытие замкнутой
области G.
По условию теоремы для области G имеется покрытие \G^,
для которого выполняется условие 8B). Отберем для каждого k
(l^k^K) подсистему [Q\k)] (i=l, 2, ...) системы {Q^},
состоящую из кубов Qn, имеющих непустое пересечение с Gh.
Будем считать, что кубы подсистемы занумерованны в порядке
невозрастания диаметра. _
Пусть точка xw е Gk. Поставим ей в соответствие
покрывающий ее куб Q(k) (х@)) = Q^» @). достаточно малого диаметра
по правилу, которое мы сейчас, укажем.
nycTb^O^OcGfcflQ'V). В wj\y%B)Uk{x^) + Vk{l, h)czG
при всех h, 0 < h < ha(G). В силу непрерывности «главных»
коэффициентов cjsa(x) (т. е. тех, для которых |p:/,s)]=l) для

<t 111 КОЭРЦИТИВНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ V1 Ю) 163
исякого е > 0 существует h (б) > 0 такое, что
к(-, 0)/-2Я/Д*О), ДO|
6—1
M/»(x«»)+V»
<eIJ( ID^l.^(^)+,ft +
+ C'S|,„ S. J'^Mp.^fx'O.)^
при любом кубе Q(ft>(x(°>) с достаточно малым (зависящим от е)
диаметром. Какой-нибудь из этих кубов мы и поставим в
соответствие точке х(-°>. Последнее неравенство верно при любом
значении е > 0; оно будет использовано при одном конкретном
значении е > 0, которое мы укажем ниже.
Из последнего неравенства с помощью теоремы 11.3 для
постоянных коэффициентов (точнее говоря, промежуточной оценки
правой части представления (9) при ее доказательстве,
аналогичной лемме 9.3) имеем
-4a:»,s,Ul
w*,o»:
<С(*<°>J
2М*<°>, D)/J +
s=i \\р,ик(хЩ+Ук-
/=1
s
2
s=l
лг
<C(JC»0Sl|P/(-.D)f||,t,ikWo,)+Vjk+ .
Теперь выберем e из условия C(x@))e < 9, где 0—достаточно
малое число, не зависящее ни от х(°> е Gft, ни от ?. Точное
значение для 6 будет указано ниже. Таким образом, каждой
точке лс<°> е Gft поставлен в соответствие покрывающий ее
куб Q№>(x<°>). Выделим для каждого k=\, ..., К из
покрытия Gk кубами Qw{x), xeffi, конечное покрытие {Q(fel (*(r))}r=r
Ilycibd—наименьший из диаметров кубов QW(xW), 1 ^ г ^r(k),

164 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
1 ^ ft ^ К. Разобьем каждый из кубов QW(x^) на открытые
кубы Q'*)(x(r)) диаметра d и оставим в системе [Q[k) {xtn)\,
i=\ i{k,r), г = 1, ..., r(k), лишь различные и
пересекающиеся с Gft кубы. Заметим, что точка Жг) не обязана
содержаться в Q\k). После переобозначения получим для каждого k
систему открытых непересекающихся кубов ^к>у^> и таких,
1(h)
что Gk сг у <?ife).
Пусть Ukl = Gk{\qf\ В силу A3) при r = r(i)
2 2 1 Да/Х и», < С3 (р) С (*М) 2 || Я,- (•, D) f \fp, Uki+vk +
+ c3(p)ei 2 ||л3/Л1^,+^ +
«="' l|3:i<s>l=l
+ c3 (p) с2(*ч h) 2 2 II ?>3fs I', y,,+v
Будем считать радиус h /-рога Vh = Vk(l,h) столь малым,
что рог Vk(l,h) содержится в кубе диаметра d. Учитывая, что
каждая точка области G покрывается множествами Uhi + Fft
(t = 1, .. ., i{k); k = 1, ..., К) не более чем С4 раз, где С4 не
зависит от d, положим 0 < 2с С ( ) и пР0СУммиРУем по i и ft
последнее неравенство:
Ii-c4c3(p)e]2 2 IaefX.o<
s==l |a:*(s>|=l
<C32llP/(-,D)fll?.o + Cei 2 №C.G. (H)
Оценивая еще последнюю сумму по теореме 9.5 с достаточно
малым h и перенося слагаемые, содержащие нормы
производных (с достаточно малыми коэффициентами), из правой части
в левую, приходим к оценке A), которую и требовалось
получить. ,
11.5. Функцию Ф(?) называют мультипликатором из Lp(En)
в LP(E"), если оператор F~l[OF(f)] является ограниченным
оператором из LP{En) в Lp{En), где F(/) = / — преобразование
Фурье функции f.
Теорема о мультипликаторах. Пусть функция Ф (?)
непрерывна и ограничена на множестве
?: = {|: Ъ<=ЕЯ,1,Ф0 (/ = 1 я)}

I II] КОЭРЦИТИВНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Wl (G) 165
имеете со всеми произведениями |аО°Ф(|), где аг = 0 или 1
(/ = 1, ..., п).
Тогда Ф (I) является мультипликатором из Lp (Еп) в LP (Еп)
при 1 <р < со.
При этом норма оператора F~'[*l>F(f)] не превосходит СРМ,
где
М = sup 11аОаФ (|) | (| е= ЕЧ, 0 < щ < 1, I = 1, ..., п). A5)
Эта теорема установлена П. И. Лизоркиным [1].
11.6. Обозначим через WP{G) замыкание по норме
пространства WlP(G) множества бесконечно дифференцируемых функций
!(х) с компактным носителем в G. Заметим, что пространству
WP(G)принадлежит всякая функция f(x)<= WP(G) с компактным
носителем в G, т. к. она аппроксимируется с любой точностью в
Wp (G) бесконечно дифференцируемыми функциями с
компактным носителем в G. В качестве аппроксимирующих функций
можно взять, например, усреднения, см. лемму 5.2 и равенство 6 F).
Будем обозначать через Ц v^s| (G) замыкание по норме
пространства \[ Wlp{s) (G) вектор-функций f(x) с компактным
носителем в G.
Теорема. Система дифференциальных операторов C)
с постоянными коэффициентами коэрцитивна в Ц Wp{s) (G),
г.,е. имеет место оценка A) для всех f^\\wp (G), тогда
и только тогда, когда ранг матрицы (PjS{iQ) равен S для
любого действительного I Ф 0.
Доказательство. Достаточность. Поскольку
Dafs(I) = (iQafs (g), преобразованием Фурье получаем из C)
S=I
В силу D)
S Дг/,№мЬ)Ш = S Kis№p,s№fs(I) = Ar№ fs(E).
Отсюда следует, что
2 2)Дг('6)А|-/я('1)Р/Ф)/(8)
fs@=r='j=1 . ¦ 7—.

166 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ill
так что для оценки норм Dafs при |а : /<s) |= 1 в левой части A)
достаточно показать, что
Ф(ё)= ^ , |а:/ 1=1, A6)
J3 I 'V (ШI2
является мультипликатором из Lp(En) в Lp(?"')• Проверка этого
факта легко производится с помощью теоре?лы 11.5 о
мультипликаторах.
Нормы производных Dnfs при |ос: №°| < 1 оцениваются с по-
мощью теоремы 9.5 через нормы Dtl /s (/= 1, ..., п) и норму
функции /.,. При этом можно считать G = Еп, так как все
рассматриваемые здесь функции допускают продолжение нулем на
En\G с сохранением дифференциальных свойств. Этим
достаточность условий теоремы установлена.
Необходимость. Допустим, что для некоторого
действительного ? ?= О ранг матрицы (Я,к(;'|)) меньше S. Тогда
существует нетривиальное решение системы
|ру.,(г|N. = 0 (/=1, .... N).
5=1
Пусть t > 0, функция ф ф 0 бесконечно дифференцируема
и имеет компактный носитель в G. Положим
tiiK'lS)llxi
fAx,t) = q>(x)rlbse ' . A7)
При t-*¦-{-оо левая часть в A) для fs(xj) стремится к
положительной постоянной, в то время как правая — к нулю. Таким
образом, данная система дифференциальных операторов иекоэр-
цитивна.
11.7. Лемма. Пусть G — ограниченная область, G0 —
открытое множество, G0 cz G, коэффициенты системы
дифференциальных операторов
S S
Ps (х, D) f = S S cls„ (x) tffs - S P,s (*. Й fs (/=!,..., N)
s=I |p.jW|=l '' »=1
непрерывны на G.
Если ранг матрицы (Pjs(x,il)) равен S для любых
действительных I Ф 0 и любых х е G, то система {Pj{x, D} коэрцитивна
в П^Г (Go).
Доказательство. Рассмотрим на Е" кубическую
решетку с шагом б, и пусть а(г) (г = 1, 2, .. ., R) — узлы этой решет-

I III КОЭРЦПТПВПОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ IP iG> lfO
кii, оказавшиеся в б-окрестности G0. Будем считать при этом б
столь малым, что p(?"\G, а^) > б для всех г = \ R.
Пусть
i
е~к=ГГ7 при |A-|<6j
О при |*|>6,
Чг [х) = Ф6 (* — а'г)) 12 ф6 (* — а,г>)) .
Ясно что suppTir совпадает с замкнутой б-окрестностью а(г),
r\r <= С°° (G0),
R
2 <(*)=! на G0. A8)
Пусть fWeIl^ (Go)- Очевидно, что
где е зависит от б и модулей непрерывности коэффициентов
cjso(x) и мало при малых б.
-Отсюда с помощью теоремы 11.6 (для постоянных
коэффициентов) получаем, что
2 2 ID* ЫЛ |р, Со < С2 2 2II P/s (аЧ D) Ыя) II. Сл +
«-I |о: f(s> |=1 /=• S=I
S N
+ С2 2 II 4rf, Ир. Go < С2 2 || ЦГР, (• , D) /1| +
s=l /=1
+ с2е| 2 ^(гШ^+са!' 2 l^/JU0.
«1 |р:*М|=.1 *=' |В:/<*>|<1
Подчеркнем, что при этом С2 не зависит от аМ. В самом деле,
как следует из доказательства теоремы 11.6, постоянная С2
оценивается через постоянные М A5) для мультипликаторов Ф(?)
из A6). Поскольку Ф(|) из A6) является рациональной
функцией от g с коэффициентами, (в данном случае) непрерывно за-
иисящими or точки а<г) области G, то соответствующее 'М
непрерывно па G и, следовательно, ограничено на любом компакте
из С.
Фб(*)=

168 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ill
Будем считать, что С2е < 1/2. Перенося в последней цепочке
неравенств слагаемые с множителем е в левую часть, получаем
*=> |а:*<*)|=:1
<c3Sihrp,(-,o)nu. + c3S 2 !№1Ц-
у=1 ' s=l | р . ,(s) | < !
Ввиду конечности числа слагаемых то же неравенство (с
другой постоянной) верно и после возведения каждого слагаемого
в степень р. Просуммировав затем по г, с учетом A8) получаем
S 2 \\Dahl,ca<
s=I | a : J(sl [=1
< c4 2IIP/ (•. 0) / llpp G. + cA 2 2 II />V, Ip. o*.
Оценивая последнюю двойную сумму по теореме 9.5 с достаточно
малым h и перенося слагаемые с множителем h в левую часть
неравенства, завершаем доказательство леммы.
11.8. Теорема. Пусть ограниченная область G
удовлетворяет слабому условию l-рога, коэффициенты системы
дифференциальных операторов
Pl(x,D)f=Il 2 c,s.(x)D*fs (; = 1, .... ЛО
S=! |0:f(s4<l
измеримы и ограничены, а при |р : №\ = 1 непрерывны на G.
Для коэрцитивности в TlWpS)(G) системы {Pj(x,D)}
достаточно, чтобы ранг матрицы (Pis(x,i?)) был равен S для
любых действительных ?, ф О при х е G и любых комплексных
g ф 0 при х ен dG = G\G.
Эти же условия для внутренних точек G, а при постоянных
для |р : Ая>| = 1 коэффициентах и для граничных точек dG
являются необходимыми условиями коэрцитивности системы.
Доказательство. Необходимость в случае
постоянных «главных» коэффициентов Cj,«p, |р: #*>| = 1,
установлена уже в теореме 11.4. Пусть теперь для некоторого
действительного | Ф 0 и лс<°> е G ранг (Pjs(x^l, f|)) меньше S. В этом
случае, также как при доказательстве необходимости в теореме 11.6,
вопрос решается рассмотрением функций fs{x,t) A7), при этом
лишь нужно брать в A7) функции ц>{х), сосредоточенные в
достаточно малой окрестности точки ;tf0>.
Достаточность. Пусть G = G0 U G*, где G0 и G*—
открытые множества, G0cz G, G* содержится чз достаточно малой

» II] КОЭРЦИТИВНОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ W' (G) 169
окрестности 0G. Пусть еще tyo{x), $*(х) —неотрицательные
бесконечно дифференцируемые на Еп функции, ф0(х) -f-i|)*(x) = 1,
причем ^о(х) сосредоточена в G0, ty*(x) — 0 па G\G*.
Построение для G по множеству G* такого множества G0 и
функций \|}0, i|)i легко осуществимо.
При \а:№\ = 1
\\Dafs\la<hoDafs\l Ga + htDafs\l в^
<\\оаш*I,ал1°ашА.о,+с 2 |№IU- A9)
Второе слагаемое правой части A9) оценим с помощью
построений, использованных при доказательстве теоремы 11.4.
Именно, каждой точке границы х(°> е dG П dGk поставим в
соответствие покрывающий ее куб Q(ft'(x@)) по тому же правилу (и
в тех же обозначениях), что при доказательстве теоремы 11.4.
Таким образом, выполняется оценка A3) при С (х(°>) е < 6, где 0
не зависит ни от х(°) е dG, ни от к. Выделим для каждого k
конечное покрытие {QW(xC')} и рассмотрим открытые множества
к
Gk = Gk[) UCPOt"''). Gt = U GL Пусть d— наименьший из диа-
метров кубов Q(ft)(xM). Разобъем каждый из кубов Q(ft>(x(r>) на
открытые кубы Q{/1) {х(п) диаметра d и оставим в системе {Q[fe) (х,г')}
лишь различные пересекающиеся с G\ кубы. После
переобозначения получим для каждого k конечную систему
открытых непересекающихся кубов [<?J*>} и таких, что G* с: (J <^fe) .
Аналогично выводу A4) получаем с учетом того, что ij>*(x) = О
' на G \G*,
s=! |a: lis) Ы
N S
/=I s=l |p:/(s)|<i
Отсюда при | a : /<s> | = 1 ,
II Da Ш,) I o. < C6 S || Я, (•, D) f || &> + C6 S ? I Dp/5 ||p, o..
/=»i s=1 | з: *<s> I < 1
B0)

170 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Первое слагаемое правой части A9) оценим с помощью
леммы 11.7:
li Da (Us) I. с» < С7 2 II Pi (¦. D) Ш) ||Р( Go + С7 2 |! fs ||р_ Со <'
< С7 2 ||Р, ( • , D) f || Go + С8 | S 1015/, I. а..
/=! S=l | р . [(S) | < ,
Отсюда и из A9) и B0)
Теперь остается лишь оценить последнюю двойную сумму
по теореме 9.5 с достаточно малым h и перенести в левую
часть слагаемые, содержащие множитель h.
§ 12. Вложение WP(G) при несоответствии t
типу области G
В § 10 были получены теоремы вложения для
функциональных пространств Wp (G) в предположении, что открытое
множество G удовлетворяет слабому условию i-рога, т. е. что G
является областью класса A(l, Н). Совпадение параметра I,
характеризующего класс областей, с дифференциальным параметром
функционального пространства отражало определенное
согласование свойств области определения функций G со свойствами
рассматриваемого па G класса функций. При таком
согласовании теоремы вложения для пространств WP(G) справедливы в
той же формулировке, что и в случае G — Еп. В 12.3 будет
показано, что для справедливости именно таких теорем условия,
накладываемые на открытое множество G, являются в
определенном смысле и необходимыми*).
Основной целью настоящего параграфа является получение
теорем вложения для пространств WP(G) в предположении, что
открытое множество G удовлетворяет слабому условию s-pora,
где, вообще говоря, 5 Ф I, s = (s\, ..., sn). Мы увидим, что при
несовпадении параметра s класса A(s, Н) областей G определения
функций с дифференциальным параметром / класса
рассматриваемых на G функций будут иметь место другие результаты,
*) По крайней мере в терминах рассматриваемых классов областей.

i I2| ВЛОЖЕНИЕ Wl :C,: И ТИП ОБЛАСТИ 171
отличные от случая G = Еп. Отсюда, в частности, следует, что
даже для областей с достаточно гладкими границами не всегда
можно гарантировать существование таких теорем вложения,
которые справедливы для всего пространства.
Отмстим, что в случае изотропных Wp' (G) вопрос о
зависимости свойств функций от геометрических свойств областей их
.чндаиия изучался в работах В. Г. Мазьи [1], [2], И. Г. Глобенко [1],
Камианато [2]. В работах В. Г. Мазьи, например, в ряде случаев
получены необходимые и достаточные условия, которым должна
удовлетворять область G, чтобы для нее имели место те или иные
теоремы вложения. Однако мы не имеем возможности
останавливаться здесь подробнее на этих исследованиях.
Поскольку методика доказательства теорем вложения для
пространств W'p (G) в случае, когда G е A (s, h), s ф I, ничем
существенным не отличается от методики, применявшейся в
случае s = /, мы ограничимся лишь доказательством одной
теоремы, аналогичной теореме 10.2, и рассмотрением ряда
вытекающих из нее следствий и примеров, вполне выясняющих суть
вопроса.
12.1. Теорема. Пусть f^Wlp{G), G^A{s, Н), 1<р<«7<оо,
ц = (а,, ..., а„) — вектор с целочисленными неотрицательными
компонентами,
ft?=iL_(a+i-_-L,i) (/=1, ..., „), o = rninft,>0 A)
и при 6 = 0 либо 1 < рп < qn < оо, либо 1 =/?„ < qn = со, либо
1 < р = <7 < со.
Тогда DnWlP{G)c+Lq{G), точнее говоря, для fe=W'p(G) на
U существует обобщенная производная D^f е Lq(G) и
1 °af Iа <С (Л°II f «p.а + % h&i 1 D'if |р. G) , B)
где 6а'—(а -\ , —), h — произвольное число из @, Н],
а С — константа, не зависящая от f и h.
Доказательство, Пусть \Gk}^=]—совокупность
открытых множеств, образующих покрытие- G согласно определению
класса A{s, //). Как и при доказательстве теоремы 10.2, нам
достаточно установить существование Daf па Gk и получить
оценку для \\Dafl при произвольном фиксированном k, 1<1&<Д.
Зафиксируем k.

172
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА
[ГЛ. III-
Положим А, = — U; = — (/ = 1, ..., п)\ и запишем
соотношения A) в виде
б,- = UK,
а^7
1
, X) (/ = !,..., п), 6 = min6j
= 0.
A)
Будем в дальнейшем различать два случая:
1) б > 0 или 6 = 0 и \ <рп< qn< °° или 6 = 0 и 1 = рп <
< qn=°°;
2) 6 = 0 и 1 <p = q < оо.
Пусть сначала имеет место случай 1). Из соотношений A)
тогда легко получаются неравенства
(а, к)<1,к( (/=1 п). C)
Полагая I1 = (О, . . . , Ц 0) (г = 1, .. . , п) и учитывая
соотношения C), мы видим, что для векторов а и I' выполнены
соотношения 7B0) и 7B4) п. 7.3, a Dl'f<=Lp(G) (i = 1, ..., я).
Ha основании результатов этого пункта можно заключить, что
на Gft существует обобщенная производная Daf и для почти всех
^е Gft справедливо равенство 7B5):
h п
Daf (х) = Dafh, (х) + J 2 о":"х' Л> j ^ f (* + 0) Af, (г/: о*) dy, D)
О ( = 1 ?га
гдеО</г<Я,Л = 1 ц = (l —1 + 1 , й,), Xr=(l+ct, А,)-/|Л/=
s \ Р Я ' .
=A-1+1, я)-[/^-(а+1-1,я)]=ц-бг(/==1 «),
ядро усреднения и функции Mt являются функциями класса
С™{Еп), причем такими, что носитель представления содержится
в сдвинутом роге х + Vit(s)cz G.
Из D) следует, что
W
\q,Gk
<I^VL,G. + 2^(«).
ft ' i=I
E)
где
ЗД) =
ft
J iT1"^ Vi; J D\if (¦ + y)Mi(y: v*) dy
«•ak
Первое слагаемое в правой части E) оценивается с помощью
неравенства Юнга 2A8) следующим образом:
\Wh
Ц, ak
<А
-0+аД)
<
jf(- + y)Q(y-hl)dy
<C0/i-°'||f||piGfe+v F)
Ч-вк
-в»

« 12]
где
ВЛОЖЕНИЕ Wl. (G) И ТИП ОБЛАСТИ
Jo = (a+ — — —, Я),
173
Р я
п С0 ие зависит от / и h.
Чтобы оцепить Э\(h) при б» > 0, применим последовательно
обобщенное неравенство Минковского 2A2) и неравенство Юнга
2A8), тогда получим
h
°
<С*ЬЩЧ\,.вк+ук> G)
где Сг — константа, не зависящая от f и h.
Пусть теперь бг = 0 и при этом 1 < рп < qn < °о _либо
1==Р«<^=°°. Полагая * = (*, хп), у = (у,уп), q = {q,qn),
оценим сначала при фиксированном хп норму
h
2?i (А; ха) = J o-'-urf» J Dl}f (.+g, xn + yn) Mt (y : v*-) dy ,
0 En k
применив no v и по yn обобщенное неравенство Минковского
2A2). Получим
h _i -Л
Sfi(h\ XnX J v r"dvj j\Mi(y:vK)ft(- + y, xn + yn) \dy
о
где j- = l—?- + y, Ы*) = я','/(*) на G, + F, Ы*) = 0 вне
G* + V
Положив p = (p, pn), r = (r,rn), с помощью неравенства
Юнга 2A8) имеем
^ (h; *») < J и r" d» J Af (y„ : Л) || /, (•, xn + #,) |^ ^„,
О В*
где Af {yn) = max || M, ( • , */„) ||7.
i
Дальнейшие оценки проводятся с помощью неравенства Хар-
ди — Литтлвуда 2C2) при 1 < рп < qn < оо и неравенства
Юнга 2A8) при 1 = рп < qn = °° (с учетом положения
носителя Mi) и не отличаются от оценок правой части 10E). В
результате для 3ft(ti) = \\&t(h; •) || получаем и в этом случае
оценку G). Из E) — G) вытекает оценка
I D°f I ок < С0/Г6° || / ||р, Gk+Vk + | С,/Л || D\41 ч+ч.

174 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛПВЛ [ГЛ. Ill
В силу произвольности k, 1 ^ k ^ К, отсюда следует оценка B)
и, следовательно, заключение теоремы в случае !).
Пусть теперь имеет место случай 2), т. е. пусть 6 = 0 и
1 < р = q < оо. В этом случае воспользуемся для
доказательства утверждения теоремы тождеством 7B2), справедливым для
каждой точки х <= Gk. Из пего вытекает, что
№+-*>я1н4.„ .<
"•Rk
<У
г=1
f o-'-a+e'do |' D['f {' + y) Mt{y : v*-)dy
p, ak *=i
где ji =! A, |, 6j = lt%i — (a, X) {i — 1, ..., «).
Если 6г > 0, то, как и при оценке Эr{(h) (см. G)), получаем
^(e.A)<ClAe'|D|'L0ik+^. (9)
Если 6( = 0, то, на основании леммы 9.4,
*,<«.*)< Cf lD|'f|,i0ik+v A0)
причем ^г —> 0 при 0 < е < /г -> 0.
Следовательно, при е->0 Dafei сходится в себе в Lp(Gk)
Так как, кроме того, feK-*f в Lp(Gk} (е-*0), то, в силу
замечания к лемме 6.2, существует Daf <=Lp(Gk) и
ml. ak= limf D%, I Gk <|| D%4p, % + limj D^-D^l^
На основании неравенств F)—A0) отсюда получаем
I! Dnf I Gk < С0/Г8о|| f ||p, Gk+Vk + I C|Ae« | Dl/fl G^Vk.
Теорема полностью доказана.
Замечание. Если условия теоремы выполнены для
вектора s, то они будут выполнены также для вектора cs, где с—
произвольное положительное число. Это следует, во-первых, из
того, что если G е_Л (s, //), то G е A (cs, Нс) при любом с > О
(см. 8F)), и, во-вторых, из того, что неравенство A)
сохраняется при умножении s на положительное число, так как 8j
(/= 0, 1, ..., п) являются однородными функциями
относительно Si (i = 1, .... я).
Отсюда вытекает, что можно рассматривать только такие
классы областей, которые характеризуются векторами s,
нормированными тем или иным способом. Можно, например, считать,

<* 12]
ВЛ0ЖКНПЕ Wl (G| И ТИП ОБЛАСТИ
175
ЧТО
У-
vt=I
1/2
1 или что некоторая компонента
рассматриваемых векторов s равна фиксированному числу.
12.2. О необходимости неравенства A) в теореме 12.1
Покажем на простом примере для двумерного случая (п = 2), что
выполнение неравенства A), которое нам сейчас удобнее
записать в виде
является в определенном смысле необходимым для
справедливости неравенства B). Точнее, покажем, что, каковы бы ни были
векторы s=(sbs2) (Sj > 0) и l = (l\,h) (/; —целые
положительные числа), существует область G
класса A(s, Н) такая, что неравенство
B) для произвольной функции из
WP (G) может иметь место только
тогда, когда выполнено неравенство (Г).
Пусть заданы векторы s и I.
Предположим для определенности, что
А.<А
6") s2
Рассмотрим плоскую область G,
ограниченную кривой xf = | х2 |S2 и
прямыми х2 = -J. лгг = —2"» л'1 === 1 (Рис- ')•
Нетрудно убедиться в том, что G
а И
Рис. 1.
A{s, Н), где s — is^ s2),
некоторое положительное число (см. § 8). Очевидно
также, что Ge=A(s', Н'), s' = (sv s'2), если 0<s^<s2, и
ПшЛ (s', f-Г), если s'2 > s2.
На области G определим последовательность функций
fn(xv x2) = x2>-ie-«x' (п=1, ...),
принадлежащих пространству Wp (G), p = (pi, Р2) A ^Pt ^ °°;
/=1, 2). Элементарные вычисления показывают, что
IM.r0("*vn I!^f*^L.о=о(«—'^>+^о, l№ILG=o,
где
v(P) = 4"+^+(A-l)-|7
Pi
S2P2
Следовательно,
f.ll , =0(n-viPi+^).
ln"WlpiG) ^Vl - >•
A1)

176 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Пусть а = (а1; а2) @<аг — целые, а2 < /2), <7~(<7i> Я?.) A<^<°°>
t = l, 2). Тогда
I^Mfl0-o(«-vW+W-). A2)
Из A1) и A2) вытекает, что неравенство B):
\I^'h\q,G^C\\h\\wi {G),
с константой С, не зависящей от fn, возможно лишь тогда,
когда — v(g) + a1 + a24L< —v(p)+ /,, т. е. когда
Так как — <Ц~, это неравенство совпадает с неравенством
Sj s2
(Г), что и доказывает наше утверждение.
Заметим, что если -j-^-r-, то область G удовлетворяет
слабому условию /-рога. Действительно, пусть s' = (slt sQ, где
s'2^.s2 и такое, что — = -%-. Как отмечалось выше, беЛE', Я),
S[ s2
а поэтому G^A(cs', Нс) при любом с > 0. Полагая с = —=-?-,
получаем, что cs' = l и, следовательно, беЛ(/, Яс). Отсюда
следует, что при — ^— справедлива теорема 10.2.
Si S2
Нетрудно построить аналогичный пример и при и > 2.
12.3. Следствия из теоремы 12.1. Рассмотрим некоторые
следствия, вытекающие из доказанной теоремы и построенного
примера.
12.3.1. Предположим, что при условиях теоремы 12.1
mm t- = -l
i=\ n Si sl
и вектор s нормирован так, что sl = li (см. замечание к
теореме 12.1), т. е., что выполнены соотношения
*! = /„ s,</, (/ = 2, .... п). A3)
Тогда неравенство A) примет следующий вид:
Таким образом, для произвольной функции класса Wlp(G), где
G е A(s, Н), s = (l\, s2, ..., sn), а вектор / удовлетворяет соот-

i 12] ВЛОЖЕНИЕ Wl (О) И ТИП ОБЛАСТИ 177
ношениям A3), неравенство B) можно гарантировать лишь для
таких а и q, для которых справедливо неравенство A4) *).
Из неравенства A4) видно, что множества векторов а и q,
для которых имеет место неравенство B), существенно зависят
от вектора s = (/bS2, ..., sn) и не зависят от того, каким
является вектор /, лишь бы он удовлетворял условиям A3).
Предположим для простоты, что компоненты вектора s =
^=(/i,s2, ..., sn) являются целыми положительными числами.
Поскольку при замене вектора / на вектор s соотношения A3)
выполнены, можно утверждать, что для функций класса WSP(G)
неравенство B) (при / = s) будет иметь место также для тех
а и q, для которых справедливо A4).
Из сказанного вытекает, что если G е A(s, Н), s = (si, ...
..., sn), то при любом I, удовлетворяющем условиям A3), для
функций класса Wp (G) неравенство B) можно гарантировать
лишь для таких векторов а и q, для которых оно справедливо
для функций класса Wp (G). Иными словами, при возрастании
векторного индекса /, удовлетворяющего условиям A3),
свойства функций классов Wp (G), утверждаемые теоремой 12.1,
вообще говоря, не улучшаются. Этот результат согласуется с
примером 12.2, который показывает, что для любого s > О
существует область G класса A (s, Н) такая, что при любом /,
удовлетворяющем условиям A3), неравенство B) для
произвольной функции класса W р (G) справедливо лишь для векторов а и
q, удовлетворяющих соотношению A4).
-12.3.2. Сравним теперь свойства функций из Wlp(G) (I и р
фиксированы) на областях G, принадлежащих классам A(s, Н),
определяемым различными векторами s > 0.
При заданном / множество всех векторов s разобьем на п
групп S1, ... , Sn, где
S' = \s: min -/"==T"f (i=l, .... я).
Рассмотрим сначала классы областей, определяемые векторами
s е S1. Поскольку нас будут интересовать лишь такие свойства
функций из WP(G), которые утверждаются в теореме 12.1, на
основании замечания к ней мы можем ограничиться
рассмотрением векторов s е S\ для которых S\ — 1\. Следовательно,
можно считать, что компоненты рассматриваемых векторов s
удовлетворяют соотношениям A3).
*) При (а + — , уK31 векторы р и q, согласно теореме 12.1,
должны удовлетворять дополнительным условиям.

178 АНИЗОТРОПНЫЙ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА ггл. III
Будем в дальнейшем говорить, что функции, принадлежащие
W!{G),ua открытых множествах класса A{sl, И),s] = (/,,sj,.,., sH,
обладают лучшими свойствами, чем на открытых множествах
класса A(s2, Н), s2 —G,, s^, ..., s^), если множества
векторов а и q, для которых справедливо неравенство B), являются
при s — sl более широкими, чем при s = s2.
Указанные множества векторов а и q при выполнении
условий A3) определяются неравенством A4). Из вида левой части
A4) видно, что чем больше компоненты вектора s = (l\, s2, ...
. . ., s„), тем более широкие множества векторов а и q (а ^ О,
Я ^ Р) удовлетворяют этому неравенству. Из всех векторов s,
удовлетворяющих условиям A3), в этом смысле наилучшим
является вектор s = /. Очевидно, такой же результат получается
при рассмотрении других групп векторов.
Отсюда следует, что функции пространства Wp (G) обладают
наилучшими (в смысле данного выше определения) свойствами
на открытых множествах класса Л(/, Я), т. е. на открытых
множествах, удовлетворяющих слабому условию l-рога. Такие
свойства, например, будут наблюдаться в том случае, когда G = Еп,
так как Еп е А (/, Н) при любом /.
Замечая, далее, что класс A(s, Н) открытых множеств,
характеризуемых вектором s, совпадает с классом Л(/, Н)
открытых множеств, характеризуемых вектором /, в том и только в том
случае, когда существует число с > 0 такое, чю cs — /, т. е.
когда
мы можем перефразировать полученный результат в следующей
несколько более общей форме: функции пространства Wlp (G)
обладают наилучшими свойствами на открытых множествах G
любого класса A(s, Н), характеризуемого вектором s,
удовлетворяющим соотношениям A5).
Предположим, что условия A5) не выполнены, т. е. что
// ij
min — < max —.
/=! п */ ;'=!, .... п. si
Пусть, например, mm—= —, причем можно считать, что
si si
Si = /ь Тогда справедливы соотношения A3) и хотя бы для
одного /, 1 ^ / «s; п, s-j < /j. Отсюда, имея в виду пример 12.2,
заключаем, что найдется область G класса A (s, //), на которой
свойства функций из Wp (G) будут хуже, чем на областях класса
А{1, Н). Все сказанное приводит нас к следующему выводу: для

» 1'Л ВЛОЖЕНИЕ Wlp (G) И ТИП ОБЛАСТИ 179
н)|?о чтобы для любого открытого множества G класса A(s,H)
<>ыла справедлива такая же теорема вложения типа 12.1, что и
|'1Я G = Еп, необходимо и достаточно, чтобы компоненты век-
юра s удовлетворяли соотношениям A5).
12.3.3. Приведем ряд примеров. Именно, рассмотрим
несколько плоских областей G, и выясним на основании соотношений
х,,,
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
A5), каким условиям в случае каждой области должны
удовлетворять параметры /] и /2, чтобы для функционального
пространства Wlp(Gi), /— (l\,k), теорема вложения 12.1 совпадала с
ппалогичной теоремой для G = Еп.
Пусть d — треугольник (рис. 2); G2 — трапеция,
ограничениям прямыми хч = kX] (k > 0), Х2 = h (h > 0), х% = 0, х\ = d
Ь
Рис. 5.
Рис. 6.
(рис. 3); Gz—круг (рис. 4); G4 — область, ограниченная
полуокружностями радиуса h и отрезками прямых х2 = ±h (рис. 5);
0'5 ограничена отрезками прямых Xi = 0, х\ = d, х2 = ±h и
выпуклыми дугами (рис. 6).
Прежде всего выясним, какими векторами s = (si,s2)
характеризуются те классы A(s, Н), к которым принадлежат области
G*. Так как такие векторы определяются с точностью до
постоянного множителя с > 0, то для определенности будем
считать их нормированными так, что S\ = 1-(ири умножении s па с

180 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ill
меняется значение второго параметра Н, но оно нас здесь не
интересует). Таким образом, классы областей будут
характеризоваться векторами вида s = (l,s2).
На основании определения классов A(s, Н) (см. § 8) легко
установить, что:
1) Gte А{\, И), 1=A, 1) и Gt=A(s, И), если s- = (l, s2)^l;
2) G2 е A(s, Н), s = (l, s2) в том и только в том случае,
когда 0 < s2<! 1;
3) G3<=A{s, Н), s = (l, s2) тогда и только тогда, когда
<s2<2;
2
4) G4e A(s, H), s = (l, s2), если и только если 0<s2^2;
5) G5^A(s, Н), s = (l, s2) при 0 < s2 < oo.
Из указанных здесь границ для параметра s2, при которых
G,Gj4(s, Я), и соотношений A5), которые в нашем случае,
поскольку п = 2 и Si = 1, можно записать в виде
/¦=7*-. A5')
легко вытекают соотношения между 1\ и 1%, при которых теорема
вложения 12.1 для Wp(Gt) будет такой, как и для G = Еп. Для
Gi эти соотношения имеют вид U = 12,
для G2 /, ~^12,
для G3 2/2>/,>2-/2,
для G4 /j > j /2.
для Gr0 /!>0, /а>0.
Нетрудно показать примерами, что приведенные соотношения
являются также необходимыми для справедливости указанной
теоремы вложения.
Заметим, что, например, для круга теорема 12.1 принимает
такой же вид, как и для G = Еп, тогда и только тогда, когда
дифференциальные параметры рассматриваемого класса
функций удовлетворяют соотношениям 2/2^/1^-2-/2. Это
подтверждает высказанное во введении к параграфу утверждение о том,
что даже для областей с достаточно гладкими границами не
всегда имеют место такие теоремы вложения, которые
справедливы для всего пространства.

I I2| ВЛОЖЕНИЕ W' (С) И ТИП ОБЛАСТИ 181
12.4. Сравнение результатов для пространств WP\G) и Wp\G).
,\'словимся в этом пункте, в отличие от ранее принятого
обозначения, считать / не вектором, а целым положительным числом.
Основной целью настоящего пункта является сравнение ре-
|ультатов типа теоремы 12.1 для класса функций, обладающих
иссми несмешанными производными порядка /, т. е.
производными вида Dif (i=\, ..., п), с соответствующими результа-
1ИМИ для класса функций, обладающих всевозможными произ-
иодными порядка /.
п
Пусть, как обычно, 1 = A, . . . , 1); тогда И = (I, . .. , I) и,
следовательно, Wp (G) — функциональное пространство
рассматривавшегося выше типа и характеризующееся лишь тем, что
1К'е координаты вектора /1 равны I. Наряду с W р (G) мы будем
риссматривать также функциональное пространство Wp] (G),
введенное С. Л.. Соболевым/
Через WP\G) обозначается пространство функций f е LP(G),
имеющих на G все обобщенные производные порядка I (как
несмешанные, так и смешанные), с конечной нормой
imUio.Hinip.c+.s «лили (p=(Pi м- A6)
(Сравним результаты типа теоремы 12.1 для функций,
принадлежащих функциональным пространствам WlJ (G) и W{p(G).
Очевидно, для f<= Wp (G) справедлива теорема 12.1.
Применяя- ее к рассматриваемому случаю, мы можем написать пера-
ненство A), гарантирующее существование Daf е Lq (G) и
оценку B), в следующем виде:
6 = (а+-~-, -)>0. A7)
max s, \ р q s J — у '
1=1 п '
Отметим также, что если A7) не выполнено, то, как следует из
п. 12.2, существует область G класса A(s, И) такая, что для
некоторой f е Wp (G) неравенство B) не будет иметь места.
Приведем теперь теорему, характеризующую аналогичные
свойства функций класса Wpl)(G).
Теорема. Пусть f^Wpl)(G), G е= A(s, Н), 1<р<<7<оо,
<x = (ai, ..., a«), щ^О — целые (/=1, ..., п),
*=н—м_!>)>0. A8)
max st \р q " s
г=1 п
причем при 6 = 0 и | а | < I мы предполагаем, что 1 < рп <
<<7„<оо.

182 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л СОБОЛЕВА (ГЛ. II
Тогда DaW(p (G)<=~ Lq(G), точнее говоря, на G существув!
Dafz=L4(G) и
\\DllG<C^\\fla + hbZjD%tG), A9;
где 60 = (аН •""")' ^ е @> ^]> С— константа, не
зависящая от f и h.
Доказательство этой теоремы проводится так же, как
и доказательство торемы 12.1 *). Единственное существенное
отличие, благодаря которому неравенство A7) заменяется на
неравенство A8), состоит в том, что в данном случае мы
пользуемся интегральными представлениями 7B2) и 7B5), в
правые части которых входят смешанные производные Dltf(i=l, ...
..., п) (вместо несмешанных производных Dtlf (/=1, ..., п)
в случае теоремы 12.1), где
li = ll{a) = (av ..., аг_,, 1[{а), at+l, ..., а„), \1'\ = 1
(*'= 1 п).
Справедливость таких представлений вытекает из того, что
компоненты векторов /' удовлетворяют условиям 7B0).
Следуя доказательству теоремы 12.1, мы убеждаемся в том,
что неравенство A9) будет иметь место, если
min (r-a-i + l, I)>0. B0)
?=1 п \ Р 1 S I
Но, так как
. / . 1\ . /?-<хг . /-|а| /-|а|
minu —а, — l = mm = rrun-
51 i si i si mfxs«
неравенство B0) совпадает с неравенством A8).
Таким образом, если /e№p(G), то условие,
гарантирующее существование Daf <= Lq(G) и оценку для lDaf\q,a через
норму / в пространстве WlJ (G), определяется неравенством A7),
а если f^Wp(G), то аналогичное условие определяется
неравенством A8).
Легко видеть, что в том случае, когда все компоненты
вектора s равны, т. е. когда G е А (Л, Я), будут равны также
левые части неравенств A7) и A8) F=6) при любых а и q.
Следовательно, в этом случае множества векторов а и q, для кото-
*) Рассматривавшийся при доказательстве теоремы 12.1 отдельно случай
6 = 0, Я = р здесь является тривиальным, так как тогда |<х|=/.

1121 ВЛОЖЕНИЕ wlp(G)\\ ТИП ОБЛАСТИ 183
рых справедливо неравенство B) или неравенство A9),
совпадают (по крайней мере при 1 < р < оо) *).
Если же не все компоненты вектора s равны, то числа 6 и 6>
тюбще говоря, различны, причем
6 — 6 = V /- ) а, > О
4J \ s. max s, I "^
\\ частном случае, когда q = p, и r предположении, что
вектор s нормирован так, что maxs; = 1 **), неравенства A7) и A8)
i
примут вид
l-(a, |)>0 @<s,<l, sit = l), A7')
/ —|а|>0. A80
Из последних неравенств вытекает, что для некоторых классов
областей G множество векторов а, для которых справедливо
неравенство B) (при /,• = / (? = 1, . . . , л) и q = р), может
весьма существенно отличаться от того множества векторов а, для
которых справедливо неравенство A9).
Пусть, например, G e/l(s, //), где s = (l, / + е , • • •. / + е ),
v. > 0, по G ш A(s', Н), s' = (l, s'v ..., s'^j, если хотя бы одна
координата s[ > -т-т— B ^ i ^ п).
•Очевидно, неравенству A70 при s = (l,-rz—¦ •••» ТХ—
могут удовлетворять только векторы а вида
а = (а1; 0, ..., 0), 0<а,<*. B1)
Поэтому на данной области G можно гарантировать
существование оценок вида B) только для производных Daf,
характеризуемых векторами а вида B1). В частности, ни для какой
смешанной частной производной гарантировать оценку вида B)
нельзя. Лишний раз мы можем убедиться в этом, если в
примере, приведенном в 12.2, положим 1{=12 = 1, sl = l, s2 =
= 7+—¦• С другой стороны, из неравенства A80 следует, что,
к какому бы классу A (s, Н) ни принадлежала область G, любая
*) Высказанное утверждение следует также из того, что в этом случае
нормы в Wj (G) и W ) (G) оказываются эквивалентными (см. теорему 10.2).
**) Замечание, сделанное к теореме 12.1, справедливо и по отношению
ь теореме, сформулированной в настоящем пункте.

184 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. II
функция f е Wf (G) имеет на G все обобщенные производные д<
порядка / включительно и для них справедливо неравенство A9]
(при^г = р).
Все сказанное в настоящем параграфе показывает, какое су
щественное влияние могут оказать свойства области задами?
функций на теоремы вложения, причем это влияние на функци*
различных классов может проявляться различно.
§ 13. О неравенствах между Lp-нормами
смешанных производных
Настоящий параграф посвящен, грубо говоря, рассмотрении:
вопроса о том, какие частные производные функций многих
переменных могут быть оценены в норме Lp через сумму
аналогичных норм заданного множества частных производных. Более
точная постановка вопроса состоит в следующем.
Пусть <8 — заданное конечное множество векторов 1 — A\, ...
..., /„) <= Etc неотрицательными целочисленными компонентами,
G — область пространства ?", 1 ^р^ оо *).
Обозначим через Ж{р} (G) множество функций [eiloc(G),
имеющих в G обобщенные производные вида Dlf, I <= &, с
конечной полунормой
Slia'flU ¦
Ставится вопрос о нахождении множества SD (зависящего от
заданного множества &, свойств области G и параметра р)
таких векторов а = (ось ..., ап) (а, ^ 0, а, —целые), что для
любой функции f<=WlP(G) существует Da{ «= LV(G) и
справедливо неравенство
lDafl,a<C S \Dlfl,a, A)
где С— константа, не зависящая от f.
Заметим, что функциональные классы WP(G), изучавшиеся
выше, можно рассматривать также как классы Ж*р (G),
характеризуемые множеством &, состоящим из (п -f- 1) векторов вида
f' = @, .... О, lt, 0 0) (/=1, ..., п), /° = @, .... 0).
Для функций этих классов неравенства вида A) были получены
в § 10 (в предположении, что G удовлетворяет слабому условию
Z-рога) и § 12 (в предположении, что G удовлетворяет слабому
условию s-pora). Из результатов § 10, например, вытекает, что
*) В настоящем параграфе р будет обозначать число.

I Ml ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 185
гели 1 < р < оо, G е АA, Н), то множество 2D, сооответствую-
|цсе классу Wlp(G), состоит из всех точек (векторов) с
неотрицательными целочисленными координатами, принадлежащих
замкнутому выпуклому многограннику, натянутому на точки ll (i =
'О, 1 п).
Как мы увидим в дальнейшем, в случае произвольного
множества & результаты типа неравенства A) могут весьма суще-
i тненно отличается от упомянутых результатов для классов
Wn(G) даже, например, в том случае, когда G есть
прямоугольный параллелепипед с гранями, параллельными координатным
гиперплоскостям (прямоугольный параллелепипед
удовлетворяет условию любого /-рога).
В рассматриваемом вопросе важное значение имеют
геометрические свойства множества & точек /.
На объем множества SD оказывает также влияние значение
параметра р (это имело место и в случае классов WP(G)).
В этом смысле достаточно различать случаи р= 1, 1 < р < оо
и р = оо. Мы будем, однако, в дальнейшем считать, что
I < р < оо.
Отметим, что вопрос, рассматриваемый в настоящем
параграфе, изучался в статьях Н. С. Бахвалова [1], С. М.
Никольского [7], К. К. Головкина [7], В. П. Ильина [9]. В недавно
появившейся работе Бомана [1] достаточно просто получены усло-
иня справедливости неравенства A) для /е СоЧ-Е") A < р < оо
II р= оо).
13.1. Классы рассматриваемых областей G. Пусть
« = № Я»), Я;>0, е, = +1или-1 (г =- 1, ..., п),
Q(tf) = {x: 0<^<Hh г = 1, ..., п) B)
•--прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными
координатным осям. В дальнейшем U(H) будем называть /г-мер-
пым прямоугольником. Очевидно, при данном Н существует
всего 2П различных прямоугольников вида B), получающихся при
различных способах выбора чисел 6j.
Будем говорить, что область G с Еп удовлетворяет слабому
условию прямоугольника, и писать Ge-4(D ,#), если
существует конечное число Л открытых множеств Gx и
прямоугольников U).(H) вида B), так что при этом
л л
G=UG*=U(G*+t№))-
Пели G<=A(\], Н), где у вектора Н первые k A<&<л)
компонент можно выбрать сколь угодно большими, то будем

Igg АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
писать Gs=A{\}, Нп~'~), Нп~: = (Hk+i, ..., Нп), если k < п, или
СеЛ(Ц), если k = п. Например, полоса 0< х{ <оо (/ == 1, .,., k),
0<xt<R (/ = fe-f 1, ...,«) является областью класса A('j, /7 """*),
а все пространство Е" — областью класса А (['.).
13.2. Обозначения. Прежде всего напомним ряд
обозначении, введенных в 7.10.
Через е мы обозначим произвольное (в том числе и пустое)
подмножество множества натуральных чисел еп — {1, ..., п},
е —еп \е {е\}е' = еп), Iе = (б?, ..., бЦ), где'6/ — 1 при jee,
6*=0 при /ее', | Iе !=?«/¦
Если r={rv ..., г „) —«-мерный вектор, то под ге мы будем
понимать либо также «-мерный вектор ге = (г\ г*), у
которого re/ = r/ при /ее, г| = 0 при /ее', либо вектор
размерности I Iе | с компонентами г/( где / пробегает множество е.
Будем также писать г = (ге, ге').
Пусть е = (в, в„), h = (hv ..., hn), v = (vx, ..., о„), где
0 <Bj < hh Vj>0 (/ = 1, ..., «), а = (аи ..., «„). Тогда
О =0,' ... V„n, D„eF = -r ... -3 F,
I n v Qv do,
h h
\Fdv°= \ dvti ... f Fdv,~[Jl j dvAp, .
где F — некоторая функция, a {Д, ..., /s}=e.
Введем также следующие обозначения. Пусть & — заданное
конечное множество векторов (точек) / = (/i, ..., /«)
пространства El, a a = (ai a») — некоторый вектор.
Через &е (а) обозначим множество всех тех векторов /edf,
у которых Ij^aj при всех /ее', а через Р&е(а) — проекцию
множества &е (а) на координатную плоскость Iе = 0 (/^ = .. .
••• = ^ = 0> f/i. •••• 'h)=e'), т. е.
Р«Г(а) = [/е: /е«Г(а)).
В частности, ^e"(a)== P^e"(a) = g>(e/ = 0), а сГ0(а) состоит
из тех точек / е &, у которых //^а, (/=1, ..., л); очевидно,
Р^ (а) — либо пустое множество, либо состоит из единственной
точки — начала координат.

• I.1| ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 187
Через Ме (а) обозначим замкнутый выпуклый многогранник,
натянутый на точки lesPfe(a), т. е.
/W»=ire: гй = 2и./Л fxv>0, 2fxv=l, /МЁРГ(аI
I V Y I
М''(а) может оказаться многогранником любой размерности, не
превосходящей |1е|, в частности точкой или даже пустым
множеством.
13.3. Основное интегральное тождество. В основе
применяемого в этом параграфе метода исследования лежит
интегральное тождество 7A12). Считая в дальнейшем, что в — (е, .. . , е)
(нее компоненты вектора в равны), A = (h\, . . . , h„), 0 < е < Л,-
(/ = 1, ..., л), f (= D°°(G), имеем согласно 7A12)
DaF(x; в)= 2 (-1)^ЗГв{х; в, А), C)
eseB
где
П
.F{x; в)= j f(x + y)П^-'ОД^в-'))^, D)
ЕП /='
У(х; в, h)= \ ю~'еф{х; ve, he')dve, E)
Ф(х; v% Ле') =
Отметим, что My- (г/,) = D*!/'9S) (z/;) {j = \, ¦¦¦, n), ki — достаточно
большие натуральные числа, а SBf(y}) и Ц-(г//)— функции
класса С~(?') с носителями, удовлетворяющими условиям
и. 7.10.
Если Ge-4(u, //), то равенство C) при hj^CHj (/ = 1, ...
..., п) справедливо для каждой точки ieG. Необходимо,
однако, отметить, что функции Qj и 3? -3 , вообще говоря, зависят от
X, хотя этот факт и не подчеркнут в обозначениях. Говоря
точнее, для точек х, принадлежащих одному и тому же
подмножеству Gi, входящему в покрытие G согласно определению класса
Л ( D, Н), ядра Qj и 9?$ можно считать не зависящими от х; для
точек же х, принадлежащих разным Gx, эти ядра, вообще го-
норя, разные, причем при переходе с ' Ga, на Gi, они не
обладают непрерывной зависимостью от х. Поскольку в дальнейшем
все рассмотрения будут проводиться для х е= G^ при
фиксированном X, факт зависимости указанных ядер от х можно не
подчеркивать.

188
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Основная формула C) обладает той особенностью, что в
правую часть ее входят параметры hj, от которых левая часть не
зависит. Возможные значения hj определяются неравенствами
B<.hj^Hj (/'= 1, ..., ti), где Hj — компоненты вектора Н,
входящего в определение класса A\U,H), к которому
принадлежит область G.
Покажем, что при некоторых предположениях относительно
функции f и области G формулу C) можно упростить (число
слагаемых в правой части можно сократить), варьируя
значения hj.
Пусть 1 <4<я, Ge^ (D, //*-*), а функция f имеет в G
обобщенную производную Drf^Lq(G), 1 ^ q ^ оо, причем
— + a.j — г, >0 (/==1, ..., п) (т. е. г,<а, (/'= 1, .... л) при
1 ^ q < оо или Tj < а,- (j = 1, ... , п) при q = оо). При
указанном предположении относительно G параметры /гь ..., я&
в формулах C) — F) могут принимать любые значения из
интервала (е, оо).
Пусть eh = {1, ..., Щ. Убедимся теперь в том, что те
слагаемые в правой части C), которые соответствуют множествам е,
для которых eh П е' ф 0 (е' = еп\е), будут стремиться к нулю
при h\, ..., hk -> оо.
Действительно, из формул E) — F) и определения
обобщенной производной вытекает, что 3f'e(x;e,h) можно представить
в виде
5" = (-l),r|(]I \'v-l-i+ridv) lDrf(x + y)X
\/<=е е / Еп
Оценивая интеграл по у с помощью неравенства Гёльдера для
показателя q и учитывая, что Qj и Mj — функции класса Со,
получаем
ГI < || Drf I а (Ц I! Dar'iMl \\Л (][ I Dar't Q, |U X
x(ni/yr'"^a/+r/^/)(n^"a/+r/)
<c(b)||D7II„0( П A^"e/+r/)f II h'i
-T-a/+r/>

I l,1| ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 189
Пслие'[\екФ&, - + а, — г, > 0 Q'< = 1, ..., л), a hx, ..., hk-*oo,
то последний множитель в правой части неравенства стремится
к пулю, а другие множители при фиксированных е > 0 и h, (/ =
« ft + 1, ..., п) ограничены. Отсюда и следует наше
утверждение.
Таким образом, в правой части C) (при /гь ..., hh—»¦ оо)
остаются лишь слагаемые, соответствующие таким е, для
которых е' 0 eh = 0, т. е. для которых eh s е.
Поэтому формула C) в рассматриваемом случае принимает
нид
DaF(x;b)= lim 2 (-1)|а| Г {х; в, К). G)
В частности, если k = n, G <= A (D), то
DaF(x;s) = lim (-1)|а| У"(х; в, h). (8)
Отметим, что формулу C) также можно рассматривать как
Частный случай формулы G), соответствующий & = 0 (eh = 0).
13.4. Преобразование функций 3 е {х\ е, h). Функции .У"(а;; е, h),
входящие в правую часть формулы G), преобразуем к более
удобному для нас виду.
13.4.1. Пусть заданы множество ё? точек / = A\, ..., 1п) и
точка а= («1, ..., ап). Пусть е — произвольное непустое
подмножество множества еп = {1, ..., п}, Ме(а) —замкнутый
выпуклый многогранник, натянутый на точки Iе е Р&е(а). Не
умаляя * общности, можно считать, что е = ет = {1, ..., т}, 1 ^
«^ m sg: п. Тогда Iе = (/f, ..., Iе,,).
Предположим, далее, что ае = (аи ... , ат) е Ме(а).
Выделим симплекс наименьшей размерности s, 0 ^ s ^ т, с
вершинами в точках Iе е Рё?е(а), содержащий точку ае (s — О
означает, что ар совпадает с некоторой точкой Iе е Р(!Ге(а)).
Обозначим вершины этого симплекса через lel (i = 1, ..., s + 1).
Тогда существуют числа ц* > О (г = 1 s -f 1) такие, что
S+1
2ц,-=1 (9)
t=\
И
s+l
Ц^(Г' —а*) = 0. A0)
Заметим, что из условия па размерность симплекса,
содержащего точку ае, следует, что любые s векторов из совокупности
[I —а }{=] являются линейно независимыми.

190 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ.
Каждой точке Iе • \ 1 ^ i ^ s + 1, приведем в соответет
определенную точку /'=(/', ..., lln) eJTe (а), проекция которой t
плоскость 1т+\ — ... — 1п = 0 совпадает с Iе-1 (если таких т
чек несколько, мы выберем одну из них). Следовательно, l\ -
^lcfl (/ = 1, ..., m; » = 1 s + 1).
Равенство A0) запишем теперь в виде равносильной ему г
стемы равенств:
Sli^-a^O (/ =
где l' — компоненты векторов V (/=1,
Введем матрицу
.., т),
А =
А -«2
/' -а
,./.Г' -а.,
/?+'-«.
A
соответствующую системе A1). В силу сказанного выше pai
этой матрицы равен s. Для определенности будем считать, чт
Дс =
/f-a,
Ч - «5 • • • %~ a3
Ф0.
(к
Подвергнем матрицу A s последовательным иреобразованиял
приводящим ее к некоторому специальному виду. С этой
последовательностью преобразований будет тесно связана послед<
вательность преобразований, осуществляемых в дальнейшем на
функцией 3е.
Введем s квадратных матриц порядка т следующего вида:
В* =
1
0
0
0
0
0
0 .
] .
0 .
0 .
0 .
0 .
. 0
. 0
. 1
. 0
. 0
. 0
аи
а21
ai-\A
1
ai+\,l
aml
0 .
0 .
0 .
0 .
1 .
0 .
. 0
. 0
. 0
. 0
. 0
. 1
(' = 1 s),
(Ь
где atl — числа, определяемые ниже.

I l.'l] ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 191
Очевидно,
11оложим
|В«1 =
{1=1, ..., s).
В,
(« =
., s).
A5)
A3)
Матрица б' имеет следующий вид:
В1-
ап
1
"П
Л1)
ат\
а\2
2
а{2
ati]
"? + 1,2
а{1)
a{i)
•• "И
.. о'.'.»
а@
a{i)
0 .
0 .
0 .
1 .
0 .
. 0
• 0
. 0
. 0
. 1
A7)
Заметим, что элементы t-го столбца матрицы В' совпадают с
элементами г-го столбца матрицы Ви т. е. a{fi) = ajl (/= 1, ..., т).
Элементы матриц Вг (числа ац) можно подобрать таким об-
)азом, чтобы матрицы BiA (i = 1, ..., s) были матрицами вида
В1 А-
ьп
0
0
0
0
0
612
622
0
0
0
0
6,з-
&23-
*аэ ¦
0 .
0 .
0 .
• \i
¦ bn
¦ bM
¦ bu
. 0
. 0
с1.ш ¦
C2.i + \
°i,i+l
Ci,i + \
cs+i,;+i ¦
Cm,i + \
•¦ C\.s+\
•- C2,s + \
•• Ci,s+\
•- Ci,s + \
•- Ci + l,s+l
- * Cm, 5+1 _
(t"=l s), A8)
•де bjk?=0 (/-<fe-<i), причем при любом фиксированном /
«пела bjk (/ -j- 1 ^ k ^ i) имеют одинаковые знаки,
противоположные знаку bjj, и, кроме того,
И/1 Ь
и
s + l
*=/ + !
(/ + 1<л<0.
A9)
.'казанных свойств матрицы В{А мы добиваемся следующим об-
>азом.
Прежде всего, в силу A3) можно снитать, что в матрице А
:лемент bn=l\ — а,=^=0. Тогда, умножая А слева на В1 = Вх
¦ло преобразование фактически состоит в том, что к строкам
• номерами / = 2, . .., т прибавляется первая строка,
умножении! соответственно на числа а^), мы определенным выбором

192 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА (ГЛ. II
чисел а$\ (/= 1, ..., т) добиваемся того, чтобы все элементь
первого столбца матрицы В1 А, кроме Ьц, были равны нулю.
В матрице В1А элемент Ь22 (элемент второй строки и
второго столбца) в силу A3) и характера преобразования Вх так
же можно считать отличным от нуля. Умножая В1 А слева на Ь±
в которой числа а.р подобраны соответствующим образом, мь
добиваемся того, чтобы все элементы второго столбца,
находящиеся ниже &22, были равны нулю, а элемент Ь\% имел зна:.
противоположный знаку Ь\\, и удовлетворял неравенству A9).
Продолжая аналогичным образом, после t-ro шага процесс*,
придем к матрице A8). Заметим, что при умножении матрииь
Bi_lA слева на В{ первые i—1 столбцов матрицы Вг_,Л не м*
няются.
("¦' \
Равенства A1) говорят о том, что вектор I • I является
решением системы А\ • = 0- Поскольку при преобразовг
.Xs + l 1
нии матрицы А матрицей Bi исходная система переходит в экви
валентную ей систему, тем же решением будет обладать и а-
(Х- \
стема (В'ЛI ; )~®- Подробная запись этого факта (с И'_
\*S + l/
пользованием представления В1А по формуле A8)) приводи"
к следующим равенствам:
l s+\
2ibjk\ik+ 2 сдцй = 0 (/=1 /),
fc=/ k=i+\
s+\
2 cjknk = 0 (/ = i+l, ..., п.
k=l+\
Окончательная матрица BSA будет иметь вид
b\\ bi2 ... b\s b , s+i
BSA:
0
J2S w2, S+I
0 0 ... bss bs, S+I
0 0 ... о 0
о 0 ... о 0
Тот факт, что на пересечении строк с номерами s -+- i, ..., т .
столбцов с номерами 1, .. ,s стоят одни нули, вытекает из ха
рактера описанных выше преобразований. А то, что последние
элементы этих строк также равны нулю, вытекает из того, чп

II 131
ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
193
ранг матрицы BSA равен s, так как введенные преобразования
не меняют ранга.
Элементы Ь3-,s+i (/ = 1, ¦••, s) последнего столбца матрицы,
как и элементы bih (к = / + 1, . . . , s) предыдущих столбцов,
отличны от нуля и имеют знаки, противоположные знакам Ьц (/ =
1, ..., s). Это вытекает из соотношений B0) при i = s и
неравенств A9).
Непосредственно из определения произведения матрицы В'
на матрицу А для элементов i-ro столбца матрицы В'А
получаем равенства
2flM-«/) = *« (ft = i,.... 0.
(*=1 s). B2)
2«(i)(^-«/) + (/l-aft) = 0 (k = i+l,..., m).
Аналогично для элементов (s+l)-ro столбца матрицы BSA
имеем
S а» (/Г*-«/) = *
к, s + l
(k=l, ..., S),
B3)
(k = s-\- 1, ..., m).
/-i
13.4.2. Перейдем теперь к преобразованию функции ^ =
—*Уе{х; е, /?). Сначала введем некоторые обозначения.
Через х, @ и х_, @ обозначим функции, определенные на Е1
@ <t < оо) равенствами
f 1 при 0 <t < 1,
j при /=1,
0 при < > 1,
х_,@ = 1 —х, @. о <*<«>.
Пусть е и /г — положительные числа, 0 < е </г. Тогда
1 при t е (е, /г),
х,@:
B4)
tf*@ = X, 7-Х-. 7 -
-т при ^ = 8 = /г,
Положим
9/г ==sign Ь/?,
Х/|@==хв/,@
где bji — элементы матрицы BSA (см. B1)).
0 при t& [е, /г].
(/=1, ..., s; i = l, ..., s+ 1),
B5)
B6)

194 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С, Л. СОЁОЛЁЙА (ГЛ. Ill
В силу свойств этой матрицы
9// = —9/г (/ = /+1 S+1; /=1, .... s).
Поэтому при любом t, 0 <. t <С оо.справедливы равенства
v m_v (A ('.*«/ + ! s+1; /=l,...,s). 27)
Пусть <i, ..., ?s— произвольные положительные числа. На
основании формул B7) мы имеем
1 = Хп ft) + Х12С1) = Xu Ci) + X12C1HX22C2) + X23&)] =
= Хп (*i) + X12 (*i) X22 &) + X13 if\) X23 fo) [Хзз (*з) + Хм (*зI-
Продолжая эту цепочку равенств, приходим к следующему
тождеству (относительно t\ ts) :
1 — Хи (*i) + X12 (/1) X22 (*8) + X13 (/1) X23 (tt) Хзз @ + • • •
• • • + Xu (h) %2S (*z) • • • X» fo) + X.i. .+1 (* 1) X2, .+1 ('2) • • • X,, 5+1 (У • B8)
Используя введенные обозначения, запишем теперь функцию
2fet определяемую формулами E) и F), в виде
Г "А П \ V~1%e' *' (°/)rfy/ Г ^; °» Vm' h^' B9)
\/-' Е'+ J
где
Ф(х; с»! vm, he) =
-Jf(*+»)(n°r,^!/a'/0'/O)f П ^pfeOW
?« \/=1 / \/=m+l /
C0)
При записи этих формул мы учли, что е = ет = {1, ..., т], а
е' = {т + 1, ..., «}.
Домножим подынтегральную функцию в B9) на правую
часть B8), приняв tl = vlv~a^1 ... v~3,n+l, где а([ — элементы
первого столбца матрицы ?, (см. A4)), t2 = t~a^v2v~aM ... и-""",
где а/2 — элементы второго столбца матрицы В2, и т. д.,
наконец, ts = t~a**t~a'* ... О-1' *»,»7+f+l,e • • • "Г8' гДе я/5 —
элементы матрицы Bs. В соответствии с разложением B8) получаем
представление 2ff в виде суммы интегралов
Г~Ъ11 C1)

* 13] ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 195
И каждом из этих интегралов проведем свою замену
переменных. При j-^S в /? положим
vl =ttv2^ . . . V,
ml
V2 t, l2V3 . . . Vm ,
у —fufii ft-l. If Vai + L I vami C2)
Vm ^m»
где а3-9 — элементы <7-го столбца матрицы Bq. В /f+i сделаем
ту же замену, что и в It. Преобразование C2) представляет,
очевидно, произведение i элементарных преобразований, в
первом из которых заменяется лишь V\, во втором — лишь и2 и т. д.,
в i-u— лишь vf, якобианы этих преобразований равны соответ-
ственно -7^- т-. •••> -г-
Заметим, что на первом шаге переменная о, заменяется
на ^) = tlv°21 ... i>^ml> на втором шаге if/," и v2 заменяются
соответственно на г|)(,2) (поскольку в гр',1' входит и2) и г|)B2', где
af] — элементы матрицы В2, и т. д. После i-ro шага
переменные v{, ..., vt заменяется соответственно на ty[{), ..., г|)(/>, где
^-П***' П #' (/=1 О, (зз)»
ай) — элементы матрицы В'.
После указанных замен каждый из интегралов правой части
C1) приобретет вид
х (Цхе'h' (<")) ф (*; < <". v.. • • ¦. *„, **)• <34>
где
? —min(f, s) 0<*.<s + l) C5)

196
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ш
(q — i при 1</<s, q = s при i — s-\-l), -ф'^ (/=1, ..., q)
определяются по формулам C3).
Таким образом, 3е представлено в виде суммы s + 1
слагаемых. Заметим, что столько же векторов Iе-' участвует в
представлении <хе по формуле A0). В каждом слагаемом 1\
преобразуем функцию Ф так, чтобы под интегралом вместо f(x-\-y)
стояла производная D f (х + у), где /' = (/{, ..., 1'п) — вектор из
множества $е(а), соответствующий вектору Iе-' в том смысле,
в каком это было указано в 13.4.1.
Считая числа kj, фигурирующие в определении ядер Qj,
настолько большими, что
kf + a, — //>0 (/=1, ..., от; t = l, ..., s+ 1), C6)
и замечая, что
<*/ —//> 0 Ц — т + 1, .. ., п; i= 1, ..., s+ 1),
поскольку /' ^.&е(а), из равенства C0) на основании
определения 6A) обобщенной производной получаем
Ф(х\ ^\ ..., ф'/», »,+„ ..., v,„, hs') =
= J f (* + */) (П И?]'*" >+*^/ (^г)) X
х(Й °7l-a'W*k'z,(yi<))[TI V^Q/^r1))^-
9 i m . n
=(-1)|/'|П1*,Л гв/ п и'Н П hlr<x
x]tf'№+ri(jwr,p«(^r))x
X П °Г>/,(»,»/"))( П »"'Q,iMr') A/, C7)
где
Я/* (J//) - Ок1+аГ1*2, (У]), Q/t (у,) = j^-'/Q, (*/,). C8)

t 13] ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 197
Так как i?, е Со" (? ), при выполнении неравенств C6) функции
Pjiiyi) удовлетворяют условиям
$Рц(У1)с1у1=*0 (/=1. .... т\ t=l s+1). C9)
Е1
Равенства C9) существенно будут использованы в дальнейшем.
Множитель, стоящий перед интегралом в правой части C7),
на основании равенств C3) и B2) (при i ^ s) или B3) (при
i = s -\- 1) преобразуется к виду
1 * i т i п {
(-1)|||,П[*п/'-в' П °}'~\П н1Г'-
/=I /=<7+l /=m+l
-с,(оп пс п»?' п»;'-"'-
/=1 \ 6=1 А=<7+1 / /=<7+1
D0)
где Ьй4 — элементы t-ro столбца матрицы B1).
На основании C1), C4), C7) и D0) будем иметь
окончательно следующее представление для Ье:
2е(х;в,к)=±П(х;е,к), D1)
где
ll(x\ е, h) =
х(Дхе'W)W*; V.* <> vq+l,.... 0m, he'), D2)
Q/==Jz)"/(, + ,)(niV/rP,(|r))x
X П иТ1Ра(тЩ П ^r'Q/, (у/АГ1)) d^, D3)
4/^+I / 4/«/M+I

198 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
число q зависит от i и определяется формулой C5), a s, т. е.
число слагаемых в D1), зависит от е.
В заключение этого пункта отметим, что справедливы
неравенства
J '/""'хл ('/)#/< °° (/=1, ...,?; t = l, .... s+1). D4)
Действительно, если Ьп > 0, то 8yi = signb/i = 1, Х/< (*/) — Xi (*/)
и
i
K',«('/)*/s=.K/<~4<~.
а если Ьп<0, то 6/г = — 1, X/*('/) = X-i ('/) и
оо
13.5. Оценки основных интегралов. В дальнейшем мы будем
рассматривать основные тождества G) и D1) отдельно на
каждом Gx, 1 ^ X ^ Л. Как указывалось в 13.3, это дает то
преимущество, что входящие в эти тождества ядра можно считать
не зависящими от х, что имеет немаловажное значение при
различных оценках.
Основной целью этого пункта является получение оценок
для 1/г ( • , е, /г)|„ г , е Ф 0, 1 <р < оо, и для аналогичных
up, и^
норм выражений, получающихся из /?(#; е, И.) при предельных
значениях параметров hj и е (Aj->oo, е ->0).
Для удобства в дальнейшем мы распространим функцию
lf(x; е, h) с Gk на все пространство Еп. Положим
<F,(x)=(D'V(*). *eG' D5)
I 0, x<=En\G.
Очевидно,
11^11р=11^г!1р,?« = 1^1р,с. D6)
Заменяя в формулах D3) и D2) функцию D f на ^",, получим
функции Фг и /f (л;; е, /г), которые можно считать
определенными (по тем же формулам) уже для всех х е Еп и
совпадающими соответственно с Ф,- и \\(х; е, К) при х е Gv Таким
образом, задача сводится к получению соответствующих оценок
для /f в норме Lp (Еп).

I 131 ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 199
Зафиксируем е^0; не умаляя общности, мы опять можем
считать, что е = ет = {1, . . ., т}, 1 ^ т ^ п. Имея в виду
получение оценок для функций/f, входящих, в силу D1), в основную
формулу G), будем считать (в соответствии с этой формулой)
заданными число k, О -< ?-< т, и множество ек = {\, ..., k)
(если k = О, то eh = 0).
В целях сокращения записи предположим, что в формулах
C), G), (8) и D1) вектор h имеет следующий вид: h =
п—к
— (ц У], I, ..., 0, т. е. что hj = т] (/' = 1, ..., k), hj =
= С (/ = *+!. ¦••.«)•
Поскольку в дальнейшем индексы е, t, G и параметр ?
считаются фиксированными (переменными параметрами могут быть
лишь е и г|), целесообразно ввести более простые обозначения.
Положим
П 1 '?'"'»*/0/)Л/)( П J "Г'^Ь^^Ф^ и, 5), D7)
/=i Ei / у'^+'я1,
где
Ц/ С/) = Х/< (*/), Р/ = &/.( (/ = 1 q), D8)
причем в силу D4)
J *J/~Vy ('/)#/<«> (/ = 1 <?), D9)
я1
4% (и) = Цхе-*'(«,), E0)
Л/*=Л (/ = 1, ...• A), A/ = g (/ = /е+1 я),
и = A|>„ .... -ф^., vq+u ..., цт), E1)
7 т
а/; — некоторые вещественные числа,
Ф (х; и, L) = JV (х - у) М (?/; и, t) dy, E2)
М
т ' п
(»; «. 0s=n«rlp/(^ur1) И r'Q/^r1). E3)

200
Анизотропные пространства с. л. соёолевА
[гл. tit
Pj (#/) = — Рц (— ///), Q/ (#/) = — Qn (— lli) — функция класса,
Cq'(E) и, кроме того, функции Pt удовлетворяют условиям C9):
j Pj(yj)dyi = 0 (/=1, .... /л).
E4)
Легко видеть, что функция 1е1]{х) имеет тот же вид, что и
7f (г, е; /г) (в интеграле, определяющем функцию Ф,, мы
заменили у на —«/). Поэтому достаточно получить оценки для /е^
Положим еще
Ч',(и)=Ч'евв(«) = 1Ь,(еиГ1) П X-,(?«r') E5)
И определим функцию 1е(х) формулой D7), в которой yV^(u)
следует заменить на ^?e(u). Отметим, что если k = 0, то
13.5.1. Лемма. Если f gLp(?°), 1</><оо, го «рн
любых фиксированных е и т], 0 < е < ц, функции 1щ{х) и 1е(х)
существуют и
lim sup \Ie(x)~/е (х)| = 0.
E6)
Доказательство. Покажем сначала, что 1еГ\{х) и /е(х)
ограничены константой, не зависящей от х.
Оценим функцию Ф, входящую в правую часть D7), с
помощью неравенства Гёльдера, учитывая при этом, что Pj и Qj
финитны и ограничены; тогда на основании E2) и E3)
получим
т —.ч т 1
Далее, в силу неравенств
и pXi(e«~')
<е р
E7)
E8)
имеем
? Ци~Р
/=1
ч'ЕП«Гр <Пх,К>,"
/=1
J_ га 1_
II *7 " Xi ИГ') П ", " %1 (е^Г')
<7
L
/=1
:е р
П Oi ''Xifeor1)
E9)

§ 13] ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 201
Из D7), E7), E9) и D9) следует, что
IW*H |/е(*Ж
< С2|| Г \\р C^e'tl Ц J /Jr' lij (t,) dtj | X
П J4 ^.k-1)^/ <
+
m—n m
<C3||<F||P? "e p |[ J Vj' edvA^C^PWpt » e p,
\/=<7+le /
Где C4 — константа, не зависящая от х, 3F, ?, т) и е.
Докажем теперь соотношение E6). При & = 0 оно очевидно,
так как тогда /еТ)(*) = /е(jc). Пусть k^\. Рассмотрим разность
m m Г к
ч,е-^еч = Пх1(ви/-') II x_,(?V) 1-Пх_,(л"Г') • F°)
Очевидно,
1-1-Дх_1(л"г1)в=[1-Х-1(ли7,)] + х-.(т1иГ1)[1~х_М-|)]+---
• •• +Х_, (ЛИГ') ¦-- Х_, (лмГ-|I! — 5С_, (-ЛИГ1)] =
к
= .23 х_, (л"Г') • • • х_,{wrl^ti (л"Г'). F1)
так как в силу B4)
1—Х_,(Л«Г1)==Х1(Л«Г')> 0<ы,.<оо.
Из F0) и F1) на основании первого из неравенств E8) и
соотношения
^i(8«r'MCi(Tl"r1) = ^1 (П"Г')' 0<6<П. 0<Ы;<ОО,
получаем *)
к т
/=1

202 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Представляя теперь разность 1г{х) — /ЕТ) (л;) с помощью
формулы D7) и используя оценки E7) и F2), будем иметь
т — ч k
I h W - /«„ WI < с5ц sr \\p СУ S #*, F3)
где
1=1 pi / \ /=<? + ! д!
'"'.<*> 1
pi / \ J=«TI p'
X a, p x, (л«г') П "/ "x' (еи"') •
/=i
Если I^q, то в силу второго из неравенств E8)
__L -Л-"'' _-L _1 _г=1 -Л- --
ui pXiOi"r')ll X, (е«7')и/ р ^ *1 "8 Р 11 °/ рХ.(еиГ')-
У=1 /=? + !
Поэтому, применяя еще неравенства D9), имеем
1 q—\ I1 _JH_ 1_ \ l_ __m —I
Если г > q, то и,- = и? и
1_ т [I) 1__
"Г р X, (ли4) 1J и, р X, (ей-1) <
q 1 m lil I
< 8 " V~ » Xl (tio-1) П 0/~Xl (eo-1);
следовательно,
/ « О , _J_ \ _J_ _m-l
X 11 J °7 ^.(e^-1)^, <С9П pe P .
{'-*« b\ )
Из оценок для Nt и неравенства F3) вытекает, что
I /е (х) - /е„(*) К С,0|| <Г ||, S-Te—Гп""^,
где Сю не зависит от 3F, х, г, I и г\. Отсюда и следует
соотношение E6). Лемма доказана.

§ 131
Оценки через нормы смешанных производных
203
Для доказательства основной теоремы нам понадобится
еще одна лемма.
13.5.2. Лемма. Пусть 5*~ <= С™ (?"), 1 < р < оо, 0 < е, <
< е2 < 1.¦Тогда
II/е, — hJP<Ays2, F4)
где Ад. константа, зависящая от 3F, но не зависящая от е{
и е2.
Доказательство. Представим разность /Е, (л;) — /Сг (л;) по
формуле D7), заменив в ней, согласно определению /е(л;),
функцию xFeT1(«) на 4fe(u). Тогда с помощью обобщенного
неравенства Минковского 2A0) получим
X I ][ j «"' *Л Vei (и) - Ч^ (и)\ || Ф (•, и, О \\р. F5)
/=</+' р1
Оценим сначала |ЧГЕ, (и)— Ч;82(и)|. На основании E5) и первого
из неравенств E8) имеем
|*е-чд=
/=&-ь i v ' ' L/=i /"i
<
Пх^в.м-О-Пх^е^-1)
S [X, (W) - X, (e2aj"')] П X.Ce,"-1) Д1, X, (e2«-;)
<
<
(*)
<2|х1(в1иГ|)-х1(в8иг,)|П1 X,(<W), F6)
«•=1
где e/( = e, при /= 1, ..., /— 1, eyi = e2 при / = i + 1, ..., m.
Пусть em(') = {1, ..., ('—1, (+1, ..., m), a — произвольное
(в том числе, возможно, и пустое) подмножество множества
em(i)} 0' = ет^\а. Справедлива формула
й * {vr)".ЛЖ*е»ч>' И(Д-*- («-'))•<67)
которая получается, если каждый множитель слева
представить в виде
2С1F/»мГ') = ^(е/гмГ')^->(мГ') + ^(мГ')' 0 < е/г < I-

204 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. itl
На основании F5)—F7) теперь будем иметь
II/е,-/*,«,< 2 S 3fl.0, F8)
где
^-(Й J/?/"''i/('/)*/Vn J0r,^/V'-l,,a,(:'B'a'
F9)
X,. a = IX, (е.""') -X, (Ь-Г1)] (Д X. («л»,-1) *-. ("Г')) (Д, X, ("/"'))•
G0)
Для доказательства леммы, очевидно, достаточно получить
оценку для Э'{<0 при произвольных, но фиксированных / и а,
Зафиксируем г и о и оценим сначала ||Ф||Р. При этой оценке
мы будем пользоваться обозначением х = (х{, х°, х°\ х-'), где
е' = {т + 1 я}, а о и а' — введенные только что
множества.
Представим функцию М (у; и, ?), фигурирующую в
определении функции Ф(х; и, ?) (см. E2) и E3)), в виде
М(у; и, S)=Af,(y„ у0, уе'\ и, QM2(y0'; и),
где
Mx(yit у°, уе'\ и, й =
- <pt (W)(Д. «Г'Л- (W)) (Д,г'q,fer1)),
М2(у0'; и)= П ufPi{yiuT])'
Положим
А|!,аФ (х) = Д..,, • • • A_yr Ф (*). A_y/ ф (*) = Ф (х — у7еу) — ф (х),
если о== (г,, ..., rj.
Используя свойство E4) ядер Р/, мы можем функцию Ф
(см. E2)) записать следующим образом:
Ф(х\ и, ?) =
= f & (xt — yt, х° — у°, у0', Xе' — у"') Му (yt, у°, if; и, ?) X
еп
. X М2(лга'~г/0'; u)dy= [ Д_„( Л^а У (х„ л;", у0', xs' - if') X
XAJi(^, У0, Уе'\ и, QM2(x°' — у0'; u)dy.

ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
201
Отсюда с помощью обобщенного неравенства Минковского
получаем
IIФ (•; и, 01|, < J | Af» (у{, у°, f; и, ft | dyt dy° df X
X J dy°' ( J | Л_,. Л'ДаЙГ (Xt, X°, f, Xе' - у*') \" X
X dXi dx" dxs' J | M2 (xa' — г/0'; и) f dx°')Vp .
Очевидно,
J | M2 (tf; u) f dif = Д ИГ' I I pi (W') \" dh < C< П u\" •
leo' ?' |eo'
где С, не зависит от ну.
Далее, поскольку iF— бесконечно дифференцируемая
функция с компактным носителем, существует константа N& такая,
что
| df (j | A_V( A^0 #" (*„ x°, f, xe' — ye') I" dXi dx" dxs')llP<
<ЛЫ</(|Ц|У/|.
Следовательно,
|Ф||Р<
i-p
< C,^^ Д uf~ J | г/, | Д | y, || M, (&, f, ye'; u, I) | dyt dtf df <
/eo' |eo
I—p
<C2/V^-«,- Д «/Дм/ J | y, || P, Ы | Д | y, || P, \(у,) i x
/ea/eo' /eo
1-p
X Д I Q (<//) I dyt df df < СзЛ^-и, Д u, J|hT, G1)
/ee'
/eo /eo'
где C3 не зависит от #" и ну.
Теперь из G0) и G1) следует, что
|Х<1„|1|Ф||Р<Сз^|и,(х1(в1иГ,)-Х1(в2иГ,))|Х
х/ П tyxiMr'h-i(*/"'))( П, v^ (*"')) ><
/ео
/ео'
^1</<Т
1-Р
Х( .П ^.(б^х,,(«/-')) ' П, Vx.^r1), <72>
\<7+1</<т / Ч+К/<т '
так как и,- = г|э/ при /= 1, ..., q, u, = v, при у = 9 + 1. • • •> m
(см. E1)).

506
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С Л СОБОЛЕВА
ГГЛ. III
, Р-1
G3)
Из определения функций Xi и X-i непосредственно вытекают
неравенства
|«t(Xi(e,«r') — Xi(e2«r'))Ke2' °<6. <е2>
1 4>/Xi (eyi+r1) X-i (ФГ') 1^1,
i-P
Ф/р Xifo/"') <i (р> О-
На основании F9), G2) и G3) мы теперь имеем
х П K'"'x.(erV0/ *'•
где при г ^ q
2 = J ^-V,(g|+i[xI(+r1)-Xi(«.+r1)]l*'<CA
в силу первого из неравенств G3) и неравенства D9), а при /> q
si= J fa (е1°Г') - Xi (W')ld0* = J do» < V
Замечая еще, что
i
j X, (e^-1) X_, (o) dv, < J do, == 1,
Jo/ " X,(oj-')do,<J °~
" Л;,=
/ p- l •
окончательно получаем
^.0<СЛ^е2, G4)
где С не зависит от ei и 62- Из неравенств F8) и G4) следует
утверждение леммы.

* 13] ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 207
Доказательство следующей теоремы является основной целью
и. 13.5.
13.5.3. Теорема. Пусть &~<=Ьр(Еп), 1 < р < оо. Тогда
1) ll/enlKCplliTllp, 0<е<п<оо, G5)
\\IJP<CP\\$~\}P, 8>0, G6)
где Ср — константа, не зависящая от 8F', е и ц;
2) существует функция I (х) такая, что
lim||/E-/||p = 0, || / ||р <СР || Я-||р. G7)
е-»0
Доказательство. Прежде всего докажем неравенство
G5). Положим
G8)
Из доказательства леммы 13.5.1 следует, что подынтегральная
функция в D7) является абсолютно интегрируемой; поэтому, ме-.
няя на основании теоремы Фубини порядок интегрирования, мы
можем /en(*) записать в виде свертки
W*)= \9~(x-y)Kn(y)dy. G9)
Воспользуемся, далее, следующей теоремой П. И. Лизоркина
(см. [1]) о (Lp —» Lp) -мультипликаторах интегралов Фурье.
Приведем ее без доказательства.
Теорема (П. И. Лизоркин [1]). Пусть функция Т(х) не-
дпТ (х)
прерывна вместе с производной -, 4— и всеми предшествую-
щими ей производными вне координатных плоскостей (т. е. при
|a;j|>0, /= 1, ..., п) и, кроме того, для упомянутых
производных
*'>...*'« dU[T{x)
1 '" п дх1?...дх1*
< В, (80)
где1, = 0, 1 (/=1 п), 0 <| 11 = '2 h ^п> В— некоторая
7=1
постоянная.
Тогда, если f eLp(Еп), функция Т(х)?Г(х) (@~ —
преобразование Фурье функции &") является образом Фурье некоторой

208 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ш
функции & {х) из Lp(En) и справедливо неравенство
\\У\\Р<Ар,пВ{\$-\\р, 1<р<°°,
где Ар_ п — константа, зависящая лишь от р и п.
Обозначим через Кеп(х) преобразование Фурье функции
Кеп(х).
На основании теоремы о преобразовании Фурье свертки и
теоремы Лизоркипа для доказательства неравенства G5) нам
достаточно показать, что функция Т(к) = Кег\(х) удовлетворяет
условиям приведенной теоремы с константой В, не зависящей от
6 И Г).
Согласно G8) имеем
II 1 </'" Ъ ('/) dt){ П 1 vrdv)xv*. <"> х
X J М(у; и, Oe-:ni{x-«}dy. (81)
/=' fi )\l=q+* pi
Осуществленная здесь перестановка порядка интегрирования
законна в силу абсолютной суммируемости подынтегральной
функции (это легко следует из определения функций Ч^т, и М).
Внутренний интеграл на основании формулы E3) перепишем
в виде
f М(у; и, Qe-2*l^y4y =
m
/=1 V ?' I
x П fr1/С/(уЛ)в-8я"^^/)-Пй'/- <82)
/=m+l\ E' I /=1
Покажем, что справедливы неравенства
Сi min f | u,x, |, ц x . j при / = 1, ..., m,
C; при / = m + 1, ..., n,
(83)
где Cj (/'=1, ..., и) — константы, не зависящие от х,, и^ и ?.
I 2, |,
dSE,
X,
 dXj
<

131
ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
209
Пусть сначала ls^/s^m. Имеем
2, = ujl [РД^и^е-2""/»/<*«// = J Pj{Zj)e-^lx^!uidz.l. (84)
?' ?'
Если х,- = 0, то, в силу свойства E4) ядра Р/; 2'1 = 0. Пусть
Xj ф 0. Тогда, с одной стороны, используя снова E4) и
замечая, что PjSCj1^1), имеем
#,1 =
JP/(z/)[e-a,lV/«/--ll<fc/
<
<
2я| Xjti, | J | Р, (z;) zy | dzy < Cj | x7u;!
С другой стороны,
f P; B/) e^'V/"/ d2,
1
2ж'х
\ С d
71T\ J ~dI7P/N
Г1 ?, -I
<
dz,^
¦I ^ | x/B/ | *
Из полученных неравенств вытекает оценка (83) для | Si |.
Далее, из (84) следует, что
д2>1 = - 2niu, \ Ps (г}) zie-2nixiziai dzt. (85)
дх.
Е'
dse,
ait j
Если Xj = 0, то, очевидно, Xj-^- = 0. Пусть xs ф 0.
С одной стороны, в силу (85)
^- < 2я| и;*; I J I Р/ (z;) z, |dz, < С/1 И/*, |. (86)
У ?'
С другой стороны, с помощью двукратного интегрирования по
частям из (85) получаем
' 2пи,х, Р, (г,) г,е~'2тх1г1и1 dz,
Ч дх,
1
2я| ufx{ |
\?{Р,(г,)г,)е
-2mXjzjUj .
<
1 2л I u.x,
. ' ' ' ?
d2 I с/
~гт(Р, (z,) z,) \йг: < i
dz2 v ' , ' 'I Iй/*/
(87)
Из (86) и (87) вытекает оценка (83) для
dS,

210
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА
[ГЛ. III
Пусть теперь т + 1 ^ /; ^ п. Замечая опять, что Qt е С" {Е),
имеем
1^/1 = 1 JQtiz^e-^'i'fidz, < j\Q,(z,)\dz,^Cl
as,
2nlx, [Qi{zj)zje-2nixiztdzj
l-?-(Qj(zi)zj)e-2ntxJ*i4z1 < J
l^(Qt(zi)zi)
йг, < Cs.
Таким образом, неравенства (83) доказаны. Из этих не-
завенств сразу вытекают оценки (80). Оценим, например,
Xi-..xs-j q— . Из (81) и (82) на основании неравенств D9)
и (83), а также очевидной оценки
I^MKi
получаем
дкгп (х)
Х\ ... xs
дх\ ... дх,
<
<1
fl J<?y~'MwYn Svf ^Ai^wix
/=i pi
/=7+ 1 Ei
X
OS,
/=1 ' /=s+l
<
<c
ППт'
о I I I IV mm Ю/*/I, ПГГТ)ис;/
do* <
„r/
^C0| I и 'min (и, a [)du | = B,
где В не зависит от е и ц.
Легко видеть также, что требуемые в теореме П. И. Лизор-
кина производные функции Ке1)(х) непрерывны. Следовательно,
все условия этой теоремы относительно Т(х) = ЯщМ
выполнены. Отсюда, как отмечалось выше, вытекает неравенство G5).

f 131 ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 211
Чтобы доказать неравенство G6), заметим, что, в силу
леммы 13.5.1, ISX](x) —*¦ Ie(x) при т] —»¦ схз равномерно на Еп.
Поэтому, переходя в неравенстве
l|/e4IUui<R<Cp||S-||p
к пределу сначала при ц -> °о, а затем при R -> схз,
получаем G6).
Докажем теперь утверждение 2) теоремы. В силу G6) мы
можем рассматривать /е при различных е, 0 < е < 1, как
операции, отображающие пространство Lp(En) в себя, причем
нормы этих операций ограничены в совокупности. Кроме того, из
леммы 13.5.2 вытекает, что если ST е Со" \Еп), то справедливо
соотношение
lim ||/е,(;Г)-/е2(<Щ|/, = 0,
е„ е2->0
т. е. что операции /е сходятся в себе на плотном в Lv(En)
множестве функций. На основании теоремы 1.8 (Банаха — Штейн-
гауза) отсюда заключаем, что для любой функции ЯГ е Lp(En)
существует функция 1{5Г)е. Lp(En) такая, что
Нт||/е0Г)-/0Г)Н„ = О
е->0
И
\\ I ($-)%< с р\\&-\\р,
где Ср — константа из неравенства G6).
Теорема 13.5.3 полностью доказана.
13.5.4. Следствия из результатов пункта 13.5. Рассмотрим
для х е= Gx A ^ X ^ Л) формулу G), где k ^ 1,A=(ti\ t,n~k) =
к л—"г
= (ti, ..., ц, ?, ..., ?). Предположим, что aee,We(a) Ve:
ei< с g g е*. Тогда каждая функция 3е, входящая в тождество
G), может быть представлена формулами D1) — D3). Для
функции /;> определенной на Еп и совпадающей с 1\ на Gy,,
справедливы все результаты, полученные для функции 1ЕГ\(х) в
предыдущих пунктах. В частности, на основании'леммы 13.5.1 для
x^G% (при h = (ту\ Zn~h)) справедливо соотношение *)
lim /?(*;в, А)=7?(*;в), (88)
где lt(x; е) получается из If(x; е, Ъ) подстановкой в нее
А,= ... = hk = x\ = oo.
*) В обозначении функции 7| мы опускаем параметр ?, так как считаем
его фиксированным.

gi2 анизотропные пространства с. л. Соболева [гл. н1
В силу D1) и (88) основную формулу G) теперь можно
записать в виде
DnF(x;e) = У, (-1)|а| 9е {х; в), (89)
где
S+1
Ве (х; е) = S / * (*; в). (90)
i=i
Теорема 13.5.3 позволяет получить из формул (89) и (90)
важные для дальнейшего следствия.
На основании утверждения 2) указанной теоремы для
каждой функции /f (г, е) существует функция Tet{x),
определенная по крайней мере на Gx, такая, что
Пт||7?(.,е)-Г?1р> =0 (91)
и, в силу G7), D5) и D6),
1ПI. ок < С'р || Pt \\р = С; I Dl'f I, о, ll е <Г (а), (92)
где С'р — константа, не зависящая от /.
Положим
Т(х)= 2 S%\-\)]a]Ti(x)
(число s в формуле (90), вообще говоря, зависит от е, что мы
отмечаем записью se). Тогда из (89)—(92) следует, что
lim||Z>aF(-,e)-7i,Gx = 0 (93)
е-»0
И
I! ТIU а < b 2 С'р 2 || Dlf I, о < С; S IIД'f IL о, (94)
где С'р не зависит от f.
Предположим теперь, что DaF(x; е) представляется на Gk
формулой C), т. е. что fc = 0 (efc = 0), А = (?, ..., С). ?
—фиксированное число. Предположим еще, что aeeMe(a) Ve^e"
(включая е —0). Запишем формулу C) в виде
DaF (х; е) = (-1I a' &* (х) + R (х; е), (95)

I 131 ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2i3
где
П
Эа (х) = J f (х + у) Л (Г'№/ fcr')) dy,
#(х;е) = (-1)|а| ? Г(*;е),
е ^ е
еф<2
У (х; е) = Г {х; е, /г) (Ve s е").
Как и выше, доказывается, что существует функция Т(х),
определенная на Gk, такая, что
lim||/?(-,e)-f||p.o.=0 (96)
е-»0 Л
И
II 74L оК<СР ^\\Dlf%,G. (97)
Далее, поскольку а0еМ0(а), существует вектор /e^f такой,
что //^а/ (/=1, ..., п). Поэтому на основании определения
обобщенной производной У0 (х) можно преобразовать к виду
^W-(-lI11 f tfnx + ufLk-^i+'lD'r'lQ^cydy.
Отсюда легко следует, что
\\3r0i.GK<C\\Dlf\l 1^8. (98)
Положим теперь
Т{х) = {-1)*а1&а(х) + Т(х).
Нетрудно убедиться на основании (95) — (98), что функция Т(х)
удовлетворяет соотношению (93) и неравенству (94).
Объединяя все сказанное, приходим к следующему
результату:
Если DaF(x; е) представляется формулой G) (формулой
C)) и ае <= Ме(а) Ye: е'сес еп, (V<? s е"), то для каждого К,
1 ^ Я. ^ Л, существует функция 7\(я), определенная на G>_, (Зля
которой справедливы соотношение (93) и неравенство (94).
13.6. Основные результаты. В этом пункте мы сформулируем
основные результаты настоящего параграфа. Сначала докажем
теоремы, дающие достаточные условия существования
обобщенной производной Daf и справедливости неравенства A) для
произвольной функции f^Wf(G) при различных предположениях
относительно области G. Затем покажем, что условия, наклады-

214 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА (ГЛ. ill
ваемые в этих теоремах на вектор а, являются в определенном
смысле и необходимыми.
13.6.1. Теорема. Пусть 1 < р < оо, Ge=A(U,H), а =
= (ось • • •, а„) — вектор с неотрицательными целочисленными
компонентами, удовлетворяющий условию
аее=ЛГ(а) Ve<=en (включая е = 0). (99)
Тогда ?>а.Грг) (G) <=> Lp (G), т. е. (Зля f^yf.f](G) существует
на G обобщенная производная Daf е. LP(G) и справедливо не-
оавенство A):
|flVl.e<c 2 11^'flU
/a g
где С — константа, не зависящая от f.
Доказательство. Пусть [Gk}f — совокупность открытых
множеств, образующих покрытие G согласно определению
класса -4@, И). Для доказательства теоремы нам, очевидно,
достаточно доказать существование Daf на каждом Gx (см. 6.1) и
оценить lDafi,ax (Я, = 1, .... Л).
Зафиксируем X. Воспользуемся теперь тождеством C) для
функции f, справедливым для всех JteGi, Так как ае^Ме(а)
Ve s еп на основании результата, сформулированного в 13.5.4,
существует функция 7\(лг), определенная по G^,
удовлетворяющая соотношению (93) и неравенству (94), т. е. такая, что
lim||?»aF(.;e)-rJ|P.Gx = 0
и
l|7\IUo.<C S \\Dlf\\„,a, A00)
где С — константа, не зависящая от /.
Таким образом, DaF {х; е) -> Тк (х) (е->0) в LP(GX). С
другой стороны, поскольку f е L,oc (G) в силу замечания к лемме 5.2
/*¦ (х; е)-*¦ f (х) (е->0) в смысле сходимости в Lloc(Gj,).
Отсюда на основании леммы 6.2 вытекает, что на Gk
существует обобщенная производная Daf — Tx и, в силу A00),
Так как последнее утверждение верно при любом А., 1 е^А^Л,
теорема доказана.
13.6.2. Теорема. Пусть fe=yW(G), 1 < р < «>, Ge
еД@,Ям), 1<&<п, a = (a„ ..., a„) @ < a, — целые
0=1, .... ")) удовлетворяет условию:
ае^Ме(а) Ye: ek<=es=en ^ = [1 k}). A01)

I 13) ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 215
Пусть, кроме того, существует Drf ен Lq (G), где О ^ г, ^ at
(/'= 1, ..., и), 1 <<?< оо.
Тогда функция f имеет на G обобщенную производную
Daf е LP(G) и для нее справедливо неравенство A) с
константой С, не зависящей от f.
Доказательство этой теоремы отличается от
доказательства теоремы 13.6.1 только тем, что вместо тождества C)
для функции f мы здесь применяем тождество G). В силу
результатов п. 13.3 для обоснования этого тождества достаточно
заметить, что G^A(], Hn~k), на G существует Drf <= Lq(G) и,
так как г sg: a, q < оо, выполнены неравенства \-а/ — г1 > О
(/=1, ...,«).
Отметим особо частный случай теоремы 13.6.2,
соответствующий k = п.
13.6.2'. Теорем а. Пусть f е= 7ff{G), 1 < р < оо, G е А @),
аеМе и, кроме того, существует Drf е Lq(G), причем г ^ а,
1 sg; q < оо.
Тогда функция f имеет на G производную Daf и для нее
справедливо неравенство A).
13.6.3. Замечание. В отличие от теоремы 13.6.1 в теореме
13.6.2 мы дополнительно предполагаем существование у
функции f производной Drj ^ Lq(G), хотя в правую часть
неравенства A) \\Drf\\qiG не входит. Простые примеры показывают, что
предположения такого рода необходимы.
Заметим, что если для заданного вектора а существует
вектор./0 sg: <У такой, что /° г=: а, то роль производной Drf в теореме
13.6.2 может играть Dl°f (при q = p), и тогда относительно /
достаточно требовать только, чтобы / е Wp (G).
13.6.4. О необходимости условий (99) и A01) в теоремах
13.6.1 и 13.6.2. Покажем, что условия (99) и A01) являются
существенными для справедливости теорем.
Пусть 0 •< k < п. Через UW(R) обозначим полосу в
пространстве ?", характеризуемую неравенствами 0 < xt < оо
(i = 1, ..., k), 0 < xt < R (i = k + 1 n). В частности,
D@) (/?)— прямоугольный параллелепипед с вершиной в начале
координат.
Лемма. Пусть $ — заданное конечное множество векто~
ров I е El с неотрицательными целочисленными компонентами,
а — вектор с такими же компонентами. Если для некоторого
е, eh s еее", а? Щ Ме (а), то, какую бы ни взять константу С > 0,
найдется функция f е= Wf (йщ (R)) (} С°° ({}(k) (RJ) такая, что
DrfeLq{Q(li){R)), г<а, 1<<?< °°> для которой неравенство A)
(при G — {]{k}(R)) с этой константой не имеет местд,.

216 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Доказательство. Не умаляя общности, мы можем
считать, что е — ет — {\, ..., т), где k^.rn^n. Так как
о*ЁМе(а), существует плоскость размерности т—1, которая
отделяет точку ае от Ме(а). Пусть она имеет уравнение
{Iе, ке) = le\v.\ + ... + lemy.m = d, d^O.
Положим
(ае, %е) = 6.
Тогда либо
min (Г, xe)>d>6, A02)
Iе'евМ*'mi
либо
max (Iе, %е) < d < 6. A03)
Iе <= Ме [а;
П едположим, что имеют место неравенства A02). Рассмотрим
на П(*'(/?) следующую последовательность функций класса
С°° (D,w (/?)):
Ы*) = « p e ч m)xmm+V ... *„"
(s=l, 2, ...).
Оценим полунормы этих функций в 'M°p{U'k] (R)). Для этого
представим <§ в виде суммы двух множеств:
# = «Г(а)иС<Г.(а),
где С??е(а) — дополнение множества <Ве (а) до «Г.
Если 1<^С$е (а), то по крайней мере одна из его
координат ljt m-J-l^/^n, больше соответствующей координаты at
вектора а. Поэтому
Dtfs(x) = 0 при !еСГ(а) (s = l, 2, ...).
Пусть /<=<2?е(а), l = {le,le). Простой подсчет показывает, что
тогда
iD'fsl пш =*-«>¦ ^С^р) ft (l-*-*""T<
/>. U (л) г=*+1
<*-"С,(/?, р) П ll-e-R"s ') - E=1,2,...),
где С,(/?, /;) — константа, зависящая от R и р, но не
зависящая от s,

§ 13) бЦННКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 2t7
Из сказанного следует, что
т I —х..\'/Р
ZWfX.Qtow^'CAR'P) П (l-r-^ ') A04)
(s=l, 2, ...)•
Ясно также, что при любом г^О и любом 9^1 ^7* е
Таким образом, функции fs (s=l, 2, ...) удовлетворяют
всем условиям леммы.
С другой стороны, легко подсчитать, что
т i —ил'/Р
Р%\Р. D<*>(«> = 5_бсз(Я> Р), JI+1ll -e-?p' 'J A05)
(s=l, 2, ...),
где С3 (Я, р) > 0 и не зависит от s.
Поскольку 6 < й, из A04) и A05) следует, что, какую бы
ни взять константу С > 0, найдется номер s0 такой, что при
s ^ s0 для fs неравенство A) с этой константой не имеет места.
При условиях A02) утверждение леммы доказано.
Если выполнены неравенства A03), то мы приходим к
аналогичному результату, рассматривая следующую
последовательность функций:
ШГз ' е'< "' + - +S Я'">х№ • • • # (S = 1, 2, ...).
13.7. Примеры. Прежде всего приведем простой пример на
применение теоремы 13.6.1 и покажем на нем, что условие
принадлежности области G классу A (G, Н) в этой теореме является
существенным.
Пусть п = 2, множество & состоит из трех векторов:
/' = A,0), /2=@, 1), /3 = B,2), а а = A, 1).
Пусть ео=0, е, ===== {1}, е2=={2), е:) == {1, 2) — подмножества
множества е2 = {1, 2}. Тогда (см. 13.2) Se'{а) = {l\ 1% «Г'(а) =
= {/',/2}, Г'(а) = {/',/2}, Г, = гГ = {/',/2,П, Ме»(а) состоит из
точки 0 — начала координат, Ме'(а) = [0, /'] представляет собой
отрезок на оси /,, соединяющий точки 0 и Z1, Ме*(а) = [0, I2\ —
отрезок на оси 12, Ме'(а) = Ме —замкнутый треугольник с
вершинами в точках /' (г = 1, 2, 3).
Легко видеть, что ас е Ме (a) Ve.^e2, т. е. что вектор а
удовлетворяет условиям (99) теоремы 13.6.1. Из этой теоремы
следует, что если Ое=Л@, Я), H = {HUH2), a feFf'}(G),

218 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Hi
\<р<оо, то существует D f — -g j ¦ на G и справедливо
неравенство *)
I 3*/ | ^п(\ df\\ ,| <5f
дх, dxD
<С
\р, о
дх
+
i Ир. о
дх
+
:2 fe, а
d*f
дх\дх\
р. а
, (Ю6)
где С — константа, не зависящая от /.
Рассмотрим теперь область G, ограниченную прямыми # = 0,
у = г, х = I и кривой * = #й, 1 <а < оо. Очевидно, Gsi(Q, Я)
ни при каких Н{> 0 (i = 1, 2).
Пусть
М*п%> = *^-"' (s = 1, 2, ...)
—последовательность функций, заданных на G. Ясно, что
f efl8i(G) (s = l, 2, ...) и, как нетрудно подсчитать,
р
dfs
дх
+
1р. о
В то же время
дх
+
2 ||р, О
d2h
<Э'Ь
d*i дх\ цр> 0
, J L _L
I = о U р а"
-).
их, <Эдг2 Цр, g
1 _L _L
= 0\s р ар
).
Сравнивая эти соотношения, видим, что ме существует единой
константы С>0 такой, чтобы неравенство A06) выполнялось
для всех fs (s = 1, 2, ...). Этот пример показывает, что для
справедливости неравенства A06) условие принадлежности
области G классу Л ( D, Н) является в определенном смысле
необходимым.
Приведем еще несколько примеров на применение теорем
п. 13.6 для случая п = 2.
На рис. 7—13 точками V- обозначены точки соответствующих
множеств &.
Обозначим через Q,(^) множество точек а @<а,— целые
(у'=1, 2, ..., п)) замкнутого многогранника М, натянутого на
точки множества «Г, удовлетворяющих условиям (99) теоремы
13.6.1, т. е. таких, что аееМе(а) Ve^e2={l, 2}.
Через Q2(<ff) обозначим множество точек аеМ,
удовлетворяющих условиям теоремы 13.6.2 при е*=A) и ге^, т. е.
таких, что: 1) ае е Ме (a) Ve: jl)g«s(l,2j (такими е являются
*) Неравенство A06) упоминалось в 7.10.

S IЛ] ОЦЕНКИ ЧЕРЕЗ НОРМЫ СМЕШАННЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 219
<"={11 и е=[1,2)); 2) для каждой точки aeQ2(^)
существует точка /"„=»=/' ^ $\ для которой //^а/ (/ = 1, 2).
Через Q2'(in обозначим множество точек а,
удовлетворяющих, условиям теоремы 13.6.2' при ге^, т. е. множество
точек аеМ, для каждой из которых существует точка г'а —
= /;бЕ<Г такая, что //<а, (/=1, 2).
Заметим, что Qi (IB) s Q2(<^) s Q2>{$). Второе включение
очевидно, а первое следует из того, что для каждой точки
и е Q, (^) множество Sz (а) не пусто (в противном случае
u0eAfa(o)), а любая точка /е<^0(а) может быть принята
за га в определении точек множества 9.2(<$), так как
координаты ее удовлетворяют неравенствам Ij^a,- (/=1, 2).
На каждом из рис. 7—10 множество Qi заштриховано
вертикальными линиями, дополнительная к Qi часть множества
ii2— горизонтальными линиями, а дополнительная к Q2 часть
множества Q2- — наклонными линиями. Отметим, что на рис. 9
Q\ состоит из точек а, находящихся на отрезках VN и /V/3, а
также точки I2, а па рис. 10 Qi состоит только из точек /', /2 и /3.
Все остальные множества ясны из рисунков.
На рис. 11 —13 множества <S состоят из двух точек, а
соответствующие многогранники М являются вырожденными и
представляют собой отрезки. На рис. 11 отрезок 1Ч2 параллелен оси
1\. В этом случае Qi = Q2 = ih' и все точки отрезка 1Ч2 с
целочисленными координатами входят в эти множества. На рис. 12
Qi и Q2 состоят только из точек /' и I2, а Q2 состоит из всех
точек а отрезка VI2, причем для каждой из них в качестве га
может быть принята точка /'. На рис. 13 все три множества
Hi, й2 и й2' состоят только из точек /' и /2.
Пусть f^Wp(G). Тогда на основании теорем 13.6.1, 13.6.2
заключаем, что если GeA(U, Н), Н— (ИиН2), то
неравенство A) будет иметь место при ae!Ji(l); если G<=A(U, И2),
то A) справедливо при aeQ2(l), а если G е А (Q), то A)
имеет место при a е Q2< {<?).
Заметим еще, что в случае множества <В, приведенного на
рис. 13, неравенство A) для функций класса W[p (G) (с
константой С, не зависящей от f) не имеет места ни при каком а,
отличном от /' и Z2, даже если G еД@). Однако если
рассматривать класс функций f е Ff' (G), Имеющих производную
Drf(=Lg{G), где г<1\ I2, 1<^<оо, то при GeA(O)
неравенство A) будет иметь место при любом а, принадлежащем
отрезку 1Ч2, хотя ||D''/||(/iG в эту оценку и не входит. В этом
случае выполнены условия теоремы 13.6.2'.

220 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ill
Z,n
lti>
Рис. 7.
Рис. 8.
Wl
Рис. 9.
Рис. 10.
IЛ
1Л
чг ЦЛ
Рис. U.
Рис. 13.
Рис. 13,

I 14] ПОВЕДЕНИЕ НА °° И ПЛОТНОСТЬ С™ В Wlp 221
§ 14. Поведение на оо функций из Wp
и плотность CJT в Wp
В этом параграфе будет показано, что функции из WP(E")
при определенных соотношениях параметров /, р, п на
бесконечности выходят на многочлены (точнее говоря, аппроксимируются
й некотором смысле многочленами).
п
Для функции f(x) с конечной полунормой V -з—/ ,
t=l " ' 'Р. Е
/) < п, С. В. Успенским [3] было установлено существование
постоянной с = c(f), к которой стремится f(x) почти по всем
лучам, и для f(x) —с дана оценка через производные -g—f.
С. Л. Соболев [3] изучил общий случай, связанный с
полунормой 2 |^а/|„ ?"• В этом же случае В. Н. Седов [1] установил
I а \=т
затем свойство функций выходить на многочлены в терминах
оценок их норм в Lq на Еп и плоскостях различных
размерностей.
С этими свойствами функций связана возможность их
аппроксимации бесконечно дифференцируемыми финитными
функциями, см. С. Л. Соболев [3].
Здесь будет изучено поведение в бесконечности функций с
различными дифференциальными свойствами по разным
направлениям и их аппроксимация функциями из Со°.
В _этом параграфе мы будем рассматривать неограниченную
область G, OgGc Еп, для которой существует такой
неограниченный /-рог V= V(l, оо), что G + У(/, оо) = G. Везде в
дальнейших оценках будем считать, что 1 ^ р ^ q ^ оо.
14.1. Пусть снова WP(G, ?) — функциональное
пространство с нормой 9 C) (куб п с: G),
/ib(G,m=iifiUn+ii/iu(G), A)
,p.-.w, -р
где полунорма
f!U@l-S|Dji/| о. B)
Разобьем пространство WP(G, ?) на классы функций, считая
дпе функции принадлежащими одному классу в том и только
том случае, когда их разность почти всюду на G совпадает с
многочленом Pi-i(x) степеней /, — 1 сортветственно по xt.
Пространство этих классов с нормой B) (вычисленной по любому
представителю) будем обозначать через l'p{G). Пространство

222 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Llp(G) является, таким образом, фактор-пространством
пространства WP(G) (по пространству многочленов Pi-\) и,
следовательно, банаховым пространством (см. Л. В. Канторович и
Г. П. Лкилов [1]).
п
Пусть также Яг = —, | к | = | 1 : /1= \яг. При |а:/|^1,
0<е</г<оо в силу 7A3), 7B2), 7A1)
й%ь(х)-й%ь(х) =
h п
= _ (_ 1I а | J ^ v~>К '-(а'l) dv | Dlif (X + у) 2!f {у : vk) dy =
8 ( = 1 ?'«
*=*>"/«.*(*). C)
где
Гоя(х) = оНМ Jf(x + y)Q(«/:/)^. D)
Еп
При этом будем считать, что в C), D) jteG, ядра Q (г/) е С^°,
S?i (у) е СЦ° и сосредоточены в роге V (I), так что носитель
представления C), D) содержится в сдвинутом роге х -4- V (/).
В силу 7B6)
l&a)(y)dy = 0 (i = l n). E)
В связи с приведенным представлением C), D) изучим
свойства интеграла
h
V*. *(*)=/ J о Л '",а"" ? (* + У) &? {У = «") ^ Л. F)
8
0<e</i< оо,
для g(x)e=Lp(E"), g(x) = 0 на ?"\G.
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями (д^р):
( ' 1 i
Р <7 Г '
~ + а, Я). G)
Лемма. При х00> 1, h->oo интеграл F) сходится
равномерно на Еп.
Пусть х= 1. ?слм 1 < p = q < оо, или 1 < р« < <7п < °°. или
1 =р„ < qn=oo, то при е->0 интеграл Уе,1,{х) F) сходится

$ 14] ГГбЁЕДЁЙИЕ IU °° Й ПЛОТНОСТЬ cJ°R №p ЙЗ
Доказательство. В силу обобщенного неравенства
Минковского 2A2) и неравенства Юнга 2A8) при ^ = 00,
—1— = 1 получаем, что
ll^.ftllc0<Illgll^-|M-,a,MI^a,(.,/)it^<
е
г -D-+°' *)
е
при е-» оо, /г—> оо.
Второе утверждение леммы в случае 1<р = <7<оо
следует из теоремы 4.5. В случаях 1 < рп < qn < оо, 1 *=р„ < qn-=oo
оно фактически содержится в доказательстве леммы 10.1.
14.2. Лемма. Пусть f <= ГР(С, D), х^, > 1.
При h—>°oDafhx (х) сходится равномерно на G.
Если же при этом Uj^l/ для некоторого /, то Daf i(x)—>0.
Доказательство первого утверждения леммы следует
из представления C) и из сходимости Da fBth(x), h-> оо,
которая вытекает' из леммы 14.1 при g(x) = Dtlf(х) для ieG,
g(x) == 0 для хе Еп \ G.
Докажем вторую часть леммы. Положим a = @, ..., 0, lj,
0 0) + р. Тогда
~DX^x)~(-irh-^-^JDl/f(x + y)Q^(y:h*)dy,
и неравенство Гёльдера приводит к оценке
«р, о и / ' iip, а
откуда и следует утверждение леммы.
14.3. Лемма. Для всякой функции fе.Wlp(G, ?)
существует многочлен
Q,_,(*;f)=-Q,_, (*;/;/>)= 2 V, (8)
со = 0 npw (у+а,я)<1, (9)
такой, что при кх > 1 равномерно на G
D\x (х) -> zr<2;_, (х, /) (h-* оо). (ю)

224 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Доказательство. Положим
Са = lira тт^аО) при х^Ж A1)
Эти пределы существуют по лемме 14.2.
Разложим Dafhi(x) при хоо = (— + а, к) > 1 в точке х = 0
по формуле Тейлора по степеням х до достаточно высокого
порядка. В силу A1) все коэффициенты разложения при /г —>• оо
стремятся к предельным значениям. При а, не меньших /, по
лемме 14.2 ?)а/л^ (х) равномерно на G стремится к нулю. Отсюда
следует, очевидно, что остаточный член формулы Тейлора
стремится к нулю равномерно на каждом ограниченном
подмножестве области G.
Таким образом, A0) выполняется равномерно на каждом
ограниченном подмножестве области G. В силу леммы 14.2 A0)
выполняется также равномерно и на G.
14.4. Теорема. Пусть f {х) е= W'P(G, О), х=1 и 1 < р =
= q < оо, или 1 < рп < qn < оо, или \=рп< qn = oo.
Тогда для многочлена Q,_. (х; f) из (8), (9), A1) следует,
что
lDa[f-Q^(-: П\1.а<с\\П^Ш) A2)
и при любом е > О
К[^-Р,-,(-;/)]|и<С|1Л1,/@), A3)
р
где постоянная С не зависит ни от f, ни от е.
Если же к> I, \ ^.p^.q^.co, то при любом е > О
|]JDU[^-Q/_I(-;f)]||?,G<C(e,a)||/||^(G), A4)
где постоянная С (е, а) не зависит от f.
Доказательство. Из C) при х=1 с помощью
теоремы 4.5 и из 10F) получаем оценку
|| D«fh% - Dafel \l с<с| I D\41 0 @<e<h<oo),
в которой С не зависит ни от е, ни от h. Перейдя в левой части
этой оценки к пределу при h—* оо на основании леммы 14.3,
получаем неравенство A3). Для получения оценки A2) теперь до-
' статочно перейти к пределу при е-»0 с учетом того, что
D\^Daf (е-0) в L>° (G).

$ И) поведение на °° и плотность с* в wp 225
Последнее обосновывается ссылкой на лемму 6.2, условия
которой выполняются. В самом деле, fe\-*-f в смысле Lpc (G) по
свойству усреднений. В то же время в Z.'90C(G) Daf % — Daffta,-»-0
при е-> 0, /г->0в силу представления C) и леммы 14.1. Оценка
A4) устанавливается аналогично оценке A3). Вместо теоремы
4.5 и оценки 10F) нужно лишь применить обобщенное
неравенство Минковского 2A2) и неравенство Юнга 2A8).
Доказанная теорема показывает, что определенные
производные функции }(х) или f к{х) близки «в бесконечности»
соответствующим производным многочлена Qi~\ (х\ f) в смысле
конечности левых частей A2), A4). При этом будем говорить для
краткости, что функция f(x) в бесконечности выходит на
многочлен Qi-\(x; f).
Заметим, что для данной функции f(x) существует не более
одного многочлена вида
Qi-i(x)=* ]? саха, са = 0 при ^ + а,я)<1,
для которого конечны левые части A2), A4), если даже
считать, что в них q = <7<0) — некоторая однозначная функция а,
1
определенная при | a : /1> 1 —
а</ — 1.
: I
р
В самом деле,- в предположении, что существуют два таких
многочлена Qt_{ (х) и Q*_, (х), выполняется включение
Da[Q!_l(x)-Qtl_l(x)]^Lq{a)(G),
а это возможно лишь в случае равенства их коэффициентов
Ca = Ca при всех а ^ /—1.
14.5. Рассмотрим множество WlP(G, П) функций из WlP(G, О),
выходящих на нуль в бесконечности. Покажем, что оно является
подпространством пространства WP(G, П) с конечной нормой
\\fhi,, „~imo,„ „.+ 2. 1даЫ1 „. е>о. 05)
где
грШ,П) "Wp'G.D) а<НрИ 'е IU, а
ЛР = {а: а</ —1,!а:/|>1-|^-:/|}
(при некоторых значениях р, I множество Ар пусто; е — какое-
либо положительное число, можно считать, например, е = 1).
В самом деле, для всякой функции f^Wp(G, ?),
выходящей в бесконечности на многочлен, в силу A4) конечна норма
A5). Обратно, всякая функция f с конечной нормой A5), как
функция из WP(G, ?), выходит в бесконечности на многочлен

226 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ш
Qi-\(x;f). Ввиду единственности такого многочлена он обязан
совпадать с нулем, поскольку для Q;_t=s 0 конечна левая часть
A4) в силу конечности нормы A5).
* i /
Таким образом, множество WP(G, ?) функций из WP(G, ?)»
выходящих на нуль в бесконечности, является банаховым
пространством с нормой A5) (полнота его очевидна). В силу A4)
на множестве WP(G, ?) нормы A) и A5) эквивалентны, так что
WP(G, ?) является подпространством пространства WP(G, ?)•
Заметим кстати, что вместо нормы A5) можно было бы с тем
же успехом ввести на WP(G, ?) норму
llfll<(G,ai + ra2J|DV|?DG, в>0, A6)
где qw — некоторая однозначная функция ае/1;, для которой
^(а'>р, х> 1 и выполнены оценки A3), A4). Если же при
некоторых ае/lp для 0(а> выполняется оценка A2), то в
соответствующих слагаемых нормы A6) можно считать е = 0.
Заметим еще, что число слагаемых в сумме 2 в норме
а*=Ар
A5) или A6) в некоторых случаях можно уменьшить, если при
этом сохранится существенное для нас свойство единственности:
если для многочлена Pi-\ |] Pi~\ \\*i ,а а < °°, то он имеет вид
Р;-.(%)= S сах«.
|a:Z|<I-| 2-:/ |
Так как финитная функция ф (х) е С^ (?") выходит на нуль
в бесконечности, то с помощью предельного перехода в A4)
заключаем, что всякая функция f(x), аппроксимируемая с
любой точностью в норме Wlp(G, ?) функциями Со°(?"), также
выходит на нуль, т. е. принадлежит WP(G, ?)• Мы покажем
далее, что, и наоборот, всякая функция f(x)(=Wlp(G, Q),
1 < р < оо, аппроксимируется с любой точностью в
норме WP(G, ?) функциями из Со"(Я"). Будет установлено
тем самым, что WP(G, Q) совпадает с замыканием в WP(G, ?)
множества функций С™(Е") при 1 < р < оо.
14.6. Лемма. Всякий одночлен ха при | a : /1 ^ 1 —
1 < рп < °°, аппроксимируется функциями Со°(?") с любой
точностью в WP(G, и).
±11
Р

§ 14]
ПОВЕДЕНИЕ НА м И ПЛОТНОСТЬ С^° В W1
227
Доказательство. Пусть бесконечно дифференцируемая
функция переменного t^E1
[ 1, /<1,
Покажем, что при i\~> + оо норма в Wlp(E4, п) разности
g„ (х) = ха — ха$
стремится к нулю. Этим лемма будет доказана.
Для достаточно больших ц || g4 \\Рш п = 0, так что нужно
п
оценить лишь слагаемые 2 UVgJ „ нормы A), B). Отметим
при этом, что Dbx1 = 0- В силу формулы Лейбница
дифференцирования произведения и свойств функции ty(t) имеем
при Ti > 2
D\i
,а...1 ln2*f'
*>
In т}
<С\-1Г
S
fe=0
J,-к
xati~k
дх
l,-k
Ф
in 2*
1п T)
2'/'
<
<<
;c,iil^s|v'.->№)
In 1,2*?' *=°
I '
Учитывая, что последняя часть неравенства может быть от-
п
лична от нуля лишь при ц <! 2 xf' ^ Ч> оценим ее при этом
соотношении через
2la:'l"
<с.
2*2/' + ч
1,«:П-1
Ь 2'/
in 2 *,
In (л:2/" + п)
= #„(*)•
Оценка нормы \\?ц\\ Еп проводится с помощью замены *,• =
= 'П ^ У/ (/= 1, • • •, п) и последовательного вычисления
интегралов по у{> ..., уп, сходящихся в условиях леммы. Последний

иле nru^iFAHCTBA С. Л. СОБОЛЕВА
[ГЛ. Ill
из них сходится ввиду того, что рп > 1. Получаем окончательно,
что при X] ->¦ +00
_2И^1Р)?«<«11ад,?*<
Нв+Т-А)-5-
У„+1
т^п
.ln G»n + 0 +1п ч
<fy»
i//>„
•О.
Мы доказали тем самым возможность аппроксимации
одночлена ха с любой точностью в Wlp(G, О), 1 < рп < оо. По-
скольку нормы WP(G, ?) и WP(G, П) эквивалентны на финит-
Wlp(G, U).
И
ных функциях, то же имеет место и в
Заметим, что при |а : /1 < 1 -
в качестве срезываю-
±Jf'
щей функции можно было бы взять более простую функцию
14.7. Лемма. Пусть 1<р<оо, р Ф 1, g(x) е Lp(En).
Тогда \\ghi\\ >?П-*0 при h->+oo.
Доказательство. Ввиду плотности множества С™
в Lp(En) (теорема 1.6) и оценки 7(8) можно считать, что
\g(x)\<tN на Еп, g{x) = 0 при |x|>#.
Но в этом случае
j gAi (х) | < С/гн л' / | g (х + у) \dy < ^/Г1 л'/?",
gA7u W = 0 вне параллелепипеда {х: | xt | < /? + ah l, i = 1, ...,«},
где постоянная а > 0 определяется положением носителя ядра
усреднения Q.
Отсюда непосредственным вычислением получаем, что
1 S*l<С. А~>х'/?" Д B/? + 2аА^ "< <
^tC(R)h~(X~T'i)-+o (л-*+оо),
что и требовалось установить.
14.8. Лемма. Для достаточно гладкой функции f(x),
заданной на кубе
D
{х: ai^Xt^ai -f б, /=!,..., я],

I I4J / ПОВЕДЕНИЕ НА oo И ПЛОТНОСТЬ С™ В Wlp 229
существует многочлен
Р(х; /)= 2 сах\ A7)
I а: / ]^l_|-L : /1
линейно зависящий от f(x) и такой, что
\\f-P(-; П\\р,а<С 2 max|Daf(*)[. A8)
,<|(«+±):2|<2-°
Доказательство. Для Р(х\ /), удовлетворяющего A7),
A8), оператор
(Ш) (*) = />(*; f)
является проекционным на пространстве заданных на ? функ-
н
ций f (х) с непрерывными производными D f, \ а \ 11^ 2-
Можно добиться при этом (как будет видно из построения),
чтобы оператор П/ отображал, например, пространство ^i(D)
в себя. Впрочем, последнее требование не будет играть роли в
этом параграфе.
Пусть функция g(t) имеет суммируемую на (а, Ь)
обобщенную производную порядка s + 1. Тогда предшествующие
производные непрерывны на (а, Ь) и справедлива формула Тейлора
с остаточным членом в интегральной форме (ie(a,J), #0>е
е(а,6)):
fe=0
+ ('(ГГ' \v-l)sds+X){tm + {t-nt)dt. A9)
о
Домножим это равенство на функцию y\(tm) <= Со°(?')>. Для
которой supple (а, 6), Г tj (/@)) *#@) = 1, и проинтегрируем
по /@). Получим, очевидно, что
g(t) = Ps(t; g) + Rs{t; g{s+l)), B0)
где Ps(t; g) — многочлен по степеням t порядка s, имеющий
вид
P*(t; ё) = %~ j eit^—^W-twfMt^W», B1)
i
«-5f ^l y\(t^)(t-tw)s+i (i-lf g^s+^(ti0) + (t-tw)l)dldt^. B2)

230
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Как формула A9), так и B0) задают в одномерном случае
разложение функции g(t) с помощью проекционного оператора.
В разложении B0) проекционный оператор B1) определен на
Lt(a,b).
Для функции f (х) = f(x х„) п переменных разложение
B0) можно провести по одной из них, считая другие
параметрами. Полученное таким образом «элементарное» разложение
с помощью «элементарного» проекционного оператора дает
возможность строить и более сложные проекционные операторы в
многомерном случае, см. С. Л. Соболева [2], [3], О. В. Бесов [5],
[8], В. П. Ильин [14], В. Р. Портов [1], [2], а также 7.5.
Мы, однако, пойдем по другому пути, используя гладкость
заданной в лемме функции и основываясь на более простом
разложении A9).
Итак, пусть заданная в кубе ? функция f(x) — f(xi, ..., хп)
обладает непрерывными в ? производными Daf(x) всех
требуемых в дальнейшем порядков. Пустьх'0»^^01, ...,
л^0))еП.'Применим по переменной х, разложение A9) по степеням (х, —х(,0))а'
с показателями ait пробегающими все значения, для которых
/,<1 —
1:/
В коэффициентах полученного многочлена
применим разложение A9) по степеням (х2 — x^)Sf" так, чтобы
в итоговом разложении по степеням (х,—xf)S)a* (^2 — ^f)^
показатели аь аг пробегали всевозможные значения, удовле-
а, . а2
1
творяющие неравенству -.—I—— =^ 1 — — :/ . В
коэффициентах полученного разложения применим разложение A9) по
степеням (х3 — х^)а и т. д. В итоге получим разложение вида
f(x) = P(x; f)+ 2 Ra(x; D% B3)
1<:1(а+т):/|<2
где полином Р(х\ f) линейно зависит от f, имеет вид A7) и
для него, очевидно, выполняется оценка A8).
14.9. Теорема. Функции Со°(?"') образуют плотное мно-
жество в пространстве WP(G, Q), 1<!р<оо, рп> \.
Доказательство. Пусть f<=WlP(G, П), т. е. fefJ,(G, ?)
и выходит на нуль в бесконечности. Так как на функциях из
W1p(G, П) нормы в смысле Wlp(G, ?) и WlP(G, П)
эквивалентны, то достаточно функцию / аппроксимировать в норме
пространства W'p(G, ?). В силу 5(9) /„?.(*) аппроксимирует
функцию f(x) в норме Wlp{G, ?) с наперед заданной точностью

§ 14] ПОВЕДЕНИЕ НЛ » И ПЛОТНОСТЬ С* В W1 231
при достаточно малых е > 0. Таким образом, достаточно
решить вопрос аппроксимации функции fs\ в норме Wl (G, ?).
В силу C) /ея = fhh — /е> h. Покажем, что для /е_ h такая
аппроксимация возможна. Пусть fl?lh (х) <= С^° (?"*) отличается
от fe.h(x) лишь заменой D}f{x) под интегралами на
доопределенную на ?"* нулем функцию %R(x) D\lf(x), где хл(*) —
характеристическая функция пересечения области G и шара | л; |< R.
С помощью обобщенного неравенства Минковского 2A2) и
неравенства Юнга 2A8) получаем, что
\U n~ff}h\\wtp(a, п,<С(е> h) %\^-lR)D\4\p, с->0 при *->«,.
Таким образом, остается показать, что fh\(x) с любой
точностью аппроксимируется в Wp(G, ?) функциями из С™ (Еп)
при достаточно большом h.
Пусть Р(х; fhx) — проекционный многочлен A7),
соответствующий функции fhx. В силу A8), A0) и леммы 14.7
< S 10{'f Д о+с 2 max I Z)afft„ (x)Uo при/г->оо.
Таким образом, разность /йа.(х)— Р[х\ fh\) хорошо
аппроксимируется нулем, и задача свелась к аппроксимации
многочлена Р[х; fhx), которая возможна в силу леммы 14.6. Этим
теорема доказана.
14.10. Подобные вопросы поведения функций в
бесконечности и их аппроксимации бесконечно дифференцируемыми
финитными функциями аналогичным образом можно решать и в более
общем случае, когда вместо пространства Wp(G, ?)
рассматривается пространство с нормой
Hfl|p.n + 2l|P/(D)flUo,
где /-многочлены Pj{l) не имеют общего комплексного корня,
отличного от |=0 (ср. с § 11). Мы ограничимся, однако, частным
случаем — пространством W^ifi, ?) С Л. Соболева с нормой
HfU»)@ n,=ll/IUn+, S \\Dafi,G = \\f\\P. n+\\f\\Lm,0), B4)
где m — натуральное число, 1 < p < oo.Случай скалярных /?> 1
рассмотрен С. Л. Соболевым [3].

232 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Рассуждая аналогично предшествующему и полагая / =
= (т, ..., т), убеждаемся, что при | а | > m DafftA (х)->О
(/г->оо) равномерно на G. Отсюда следует существование
многочлена Qm_! (х; f)= 2 сН*а> Для которого при
т—\ — <| а|<т—1
1 Р I
h -*¦ -f- °° равномерно на G
Р
оценка
Def^ (д) -> DaQm_, (*; f), | « | > т -1
Для этого многочлена выполняется при [ а | > т —
\\Da[ft-Qm_x(-\ f)L0<C||ni^)(G). е>0,
которая показывает, что функция f{x) в бесконечности выходит
на многочлен Qm_i(x; f). Множество функций из Wupn)(G, П),
выходящих на нуль в бесконечности, совпадает с
пространством W{p\G, ?) с нормой
Шчт> = Ш ,т, + 2 \\DafeK
wfUo, Р) <"><G, О) III , ,^ ' 6 -
Р Р т— — <|a|<m—I
е>0, -у =1={щ, ..., т).
14.11. Лемма. На пространстве Wlp(G, Q), 1<р<оэ, су~
ществует линейный проекционный оператор
(II/)W = ^-i(x; f)~ 2 <Uf)*a
такой, что
\\f-Pi-i(-; f)\\p,K<C(K)\\f\\Lt{G),
где К — произвольный компакт из G.
Доказательство. Запишем в виде
К*)=»(Ш)(*) + (Ш)(*) B6)
разложение A7), примененное по переменной xt на (аь &,-) при
s = /j— 1, таким образом, Пг/ и XJ?/ вычисляются
соответственно по формулам B1), B2). Применяя разложение B5) по
хи затем в миргочленеП^ по х2, затем в многочлене ibllif по
х3 и т. д., получим в результате
/=11,.. Л1*/+ IL ••• IL-iIfrf+
+ III. • • ПП-2П;-./ + ... + П./. B6)

§ 14] ПОВЕДЕНИЕ НА оо И ПЛОТНОСТЬ С^° В W1 233
Первое слагаемое правой части представляет собой много-
IL-..Ш = *-.(*;/).
остальные слагаемые содержат Dl}f под знаком интеграла.
Из разложения B6) получаем теперь оценку
|| f - />,-, (¦ ; f) \\Р, п < С || f \\li (Q) < С || f |Ц @)| B7)
где
? = [х: at< xt <bt\ i= 1, ..., п), ПсС
Утверждение леммы следует теперь из оценки 9D),
примененной к функции /* = / — Pl-\.
14.12. Теорема. Пространство Wlp(G, ?), 1 < р < оо,
допускает линейное ограниченное распространение в
пространство Wlp(En, ?).
Доказательство. Требуется построить линейный
ограниченный оператор, действующий из W'P{G, Q) в Wlp(En, п):
WlP(G, П)э/->|е^(?», d), Ua = f-
Рассмотрим интегральный оператор
h п
Fe. * (*) = | J] »-' М^ J fl (^ + У) #i (У ¦ »*) dy,
где fi{x) = D'if(x) для neG, М*) = 0 вне G, так что
По лемме 14.1 D^f^ h(x) (i=l, ..., га) сходятся при 8-» О,
/г-» оо в смысле Lp(Dn), On — [х: \ хь \ < N; i = 1 га] для
каждого N. При этом в силу C), 5(9) и леммы 14.7
D!'Fе, А (*) "* *>','/ (*) В ^р (G) (» = 1, • • ¦, Я). .
В силу леммы 14.11 разность
fe. л (х) - Р/_, (*; fв, н) -> Г (х) в Г, (П w)
для каждого N.
Так как Z)|</(х) = DJT(x) Ha G, то
/(х) = Г(х) + РГ_,(х), xe=G.
Определенная на Е" функция f (х) = f* (х) -f Р|_| (х)
удовлетворяет всем утверждениям теоремы, если учесть, что в силу
теоремы 4.5
?№1.?"<n sup ii^fe,,!P.?"<ci|D^iiPiG.
1 " "Р- Е 0 < 8 < ft < оо 1 р.' 1=1 " *"

234 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ill
14.13. Установим ряд предложений, которыми воспользуемся
в § 15. Пусть / = (/[, ..., /„) — вектор с натуральными
компонентами. Будем рассматривать пространства определенных на
Еп функций L'pu) pin), ^pioijpdi уж соответственно с
полунормой и нормой
V1» »<"> /=' V"
рк%> р"
B8)
fib «Hfll^+SlD^I
%@);рA) pin) Р /=l" ' V>
Обозначим через ?«!, я, @<б/<Я/<оо; /=1, 2 п)
оператор, ставящий в соответствие бесконечно дифференцируемой
функции {(х), х = (хь ..., х„), разность ее усреднений по
переменной Xj с параметром 6j и параметром Ну.
В{1], Hjf (х) = j* Qy @ / (x + 6;^;) d/ - J Q, (/) / (x + #,/ey) dt =
= j J о'Г2^ A) Z)z/f (x + /в/) Л do, B9)
где Qy (t) s Co° {E ), i?y (/) e Co {E ) взяты из одномерного
представления 7A3).
Введем еще оператор Вв, н, б = F,, ..., б„), # = (#,, ...,Нп),
О < б; < Н{ < оо, определенный на функциях Z7 (х) е С°°(?"*)
равенством
В*.нР(х) = \ ...\ \ J[ А!Г2^/ (Чг1) F {У) dy dh'-'- dhn' C0)
fil fin ЯЛ >
так что если F(x) = Dlf(x), то в силу B9)
яв.*я7(*) = Щ я!/;. *,)/(*). C1)
Лемма. Пусть 1 < р(/) < оо,
Dlf^Lpth (/ = 0, 1, .... я), fe^(I) ^,ПС°°
«ли fmWpv)ipii) pin)(]C°°.
Тогда f сколь угодно точно аппроксимируется в L1 н> _ _ лп)
или соответственно в W1®). а» .... _(«» функциями В6> HDlf и
функциями В&_ HxRDlf е Со° яри надлежащем выборе б, Я, /?,
где х#(*) — характеристическая функция шара | х | </?.

$ и! поведение на <» и плотность cf в wp 235
Доказательство. Остановимся лишь на одном случае
/е№уо). рщ р{П), так как случай f е= L^U) р(п)
рассматривается аналогично и проще. Покажем, что для /=1, ..., п
И^-^^Цо,^,...v„,->0 при 6,-0, //,->00. C2)
Уменьшаемое в средней части B9) стремится к / в
W«л. рA) уп)» что следует из перестановочности
дифференцирования и усреднения и из непрерывности в целом в /у/, (см.
теорему 1.5, ср. с леммой 5.2). Таким образом, остается показать,
что для g^Lp (Еп), 1 < р < со,
| JQl(t)g{- + Htel)dt\ -»0 при Я-» оо, C3)
и воспользоваться этим утверждением для g = f, р = р<0>, а
также для g — Dlif, p — pU). Доказательство C3) почти не
отличается от доказательства леммы 14.7, поэтому мы не будем на
нем останавливаться. Таким образом, установлена
справедливость C2).
Применяя последовательно соотношение C2) при /=1, 2 п,
убеждаемся, что каждая функция f<^Wp{0).p{\) рЫ){\С°°
аппроксимируется с любой точностью в Wp@). A) („, функциями
вида BSiHDlf.
. В силу 1 F)
%RDlf->Dlf в Lp{i) при /?->оо (/ = 0,1 я),
откуда при R-+ оо
@); p(D р(П)>
что и приводит к завершению доказательства леммы.
14.14. Теорема. Множество С™ (Еп) плотно в простран*
стве №^@). p(i) ^п). г^е 1 = {1\, • •-, 1п) — вектор с
натуральными компонентами, 1 < р(/) < оо (/ = 0, 1, ..., п).
Доказательство. Произвольную функцию f из
№р@); р<1) р(л)В норме этого пространства можно
аппроксимировать с любой точностью функцией /е'— её усреднением с ядром
Соо
о и достаточно малым параметром
усреднения е, см. лемму 5.2. Для функции /е выполняются, очевидно,
все условия леммы 14.13, и остается лишь воспользоваться ее
утверждением.

236 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
§ 15. Мультипликативные неравенства
для Lp-норм производных
Мультипликативным оценкам для норм производных
функции одной переменной посвящены работы Адамара, Г. Е.
Шилова, А. Н. Колмогорова, А. Родова и других математиков,
относящиеся к случаю одной и той же метрики С во всех
множителях. Для случая многих неременных Гальярдо [3] и Ниренбер-
гом [2] была получена оценка
2»DaflUcn/t9( 2|DU)e (О
|a|=r Pl \|e|=/ /
при надлежащих соотношениях между числовыми параметрами
п, г, I, р, р\, р2, 9, о которых будет сказано ниже.
Отметим, что при некоторых частных предположениях
относительно рь р2, р, например при pi = р2 или р\ < р, Рг^Р,
неравенство A) и его аналог для специального случая
смешанной Lp-нормы устанавливались В. П. Ильиным (канд. дисс.
1951 г., результат опубликован в 1957 г. и в 1959 г. }2]), Эрлин-
гом A954 г., р = 2), Ниренбергом A955 г.). Недавно В. А. Со-
лонпиковым [4] был получен аналог неравенства A) для
анизотропного случая задания дифференциальных свойств
функции в ЬРг.
Мультипликативное неравенство A) эквивалентно соответствующему
аддитивному с произвольным параметром е > 0:
2 11опЛ1в<С(е~Т=5"Шр, + вТ 2 IIOafU Ve>0. A')
|о|=г и \ |a|=r /
В самом деле, неравенство (Г) получается внесением множителей 1/е и
е в правую часть A) и рассмотрением двух случаев, когда одно из
слагаемых правой части (Г) больше другого Неравенство A) следует из (Г) при
выборе е, уравнивающем оба слагаемых правой части (Г). Заметим, что
неравенство (Г) эквивалентно своему частному случаю (в=1) и
получается применением последнего к функции /е (х) = Цех).
Аналогичные связи имеются и в анизотропном случае. При этом
аддитивное неравенство с произвольным параметром типа A') следует из
соответствующего аддитивного неравенства применением последнего к /(еРх), где
е х = (е 'jCi, ..., е пхп) прн соответственно подобранных положительных
Рь ¦••, Pre-
Ниже будут установлены оценки, обобщающие и
уточняющие оценки типа A). Вместо сумм норм производных будут
стоять нормы отдельных производных, что позволяет, например,
обобщить оценку A) на анизотропный случай. В правой части
получаемого ниже мультипликативного неравенства будет
содержаться произвольное число Af>2 множителей. Само
неравенство будет выведено для смешанных L^-норм. Для
используемого метода существенны, однако, ограничения типа 1 <р < со,

§ 15]
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
237
1 <р<оо, хотя в ряде случаев неравенство сохраняет силу и
без этих ограничений (см., например, упомянутые работы Галь-
ярдо, Ниренберга, В. А. Солонникова).
15.1. Приведем (без доказательства) результат Гальярдо —
Ниренберга.
Теорема. Неравенство A) справедливо при соотношениях
параметров 1 ^ р\ ^ оо, 1 ^ р2 ^ оо, 0 ^ г < /,
П ,, п\ П , п П ,\ Г
— — r = (i — в)— + е — — / , т<е<!
со следующими исключениями:
а) если г = 0, /<—, р, = оо, го дополнительно
предполагается, что либо f —* 0 «ри х —> оо, либо f <s Lq для некоторого
конечного q > 0;
б) если 1 < р2 < оо, / — г неотрицательное целое
число, то A) не млеет места при 0=1.
При этом отмечается, что ограничение снизу для 0(у-^0)
устанавливается на примере функций
f (x) = q>(x)sinkxl, где ф е Со", А,->•<»,
и что для ограниченной области G с достаточно гладкой
границей справедливо неравенство, подобное A), с добавлением в
правую часть слагаемого ||/||,, о при некотором q > 0.
. 15.2. Для дальнейшего нам понадобятся некоторые
обозначения и вспомогательные предложения.
Для 2я-периодической по всем переменным функции f(x),
х = (х\, ...,хп), обозначим через ||/|!*, где 1г=;рг=:оо, ее
р
Lp-норщ по кубу периодов @, 2п)п. Для вектора k=(kx, ...
..., kn) с целочисленными координатами обозначим через СЦ
прямоугольный параллелепипед с ребрами, параллельными
координатным осям, проекцией которого на /-ю координатную ось
является отрезок с концами в
^/l sign ft,, Bl*/l-l)sign ft; (/ = 1, .... я).
Параллелепипед ?&, в общем случае «-мерный, вырождается в
параллелепипед меньшей размерности, если некоторые из ftj
равны нулю.
Для векторов m = (ть ..., mn), k'= {k\, ..., ftn) с
целочисленными координатами и кратной последовательности ст
положим
\ ст при теп»,
Cm,k = [ а „„„ „,- т. ' B)
при т е П
ft-

238 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. Ш
Для
f{x)=^cmeimx^L*
C)
и вектора г = (г,, ..., г„) с неотрицательными компонентами
положим
где
(ims)ri = | m, f/ exp | у я/г, sign my >,
e*(/)=-2CmV",
*<Л
«'(f) =
2 б* (f) при supp & :э supp r,
О при supp k ф suppr,
где k = (\k\\, ..., \kn\), а под носителем (supp) вектора
понимается множество номеров его ненулевых компонент.
Для / (х) = ^ сте"пх положим еще
11П1>=|(||бГ(/)|2)|/2
Лемм а*). При 1 < р < оо
1 <р <00.
Ilf(r)lf*~lini*
р р
D)
Доказательство. Поясним прежде всего, что
эквивалентность D) понимается в том смысле, что из конечности какой-
либо части D) следует конечность другой ее части и
существование двух положительных постоянных (зависящих от р, г, но
не от /), между которыми заключено отношение двух частей из
D). Пусть сначала г = 0. Этот случай для обычной Ц,-нормы
составляет содержание теоремы Литтлвуда — Пэли,
многомерный вариант которой имеется в книге С. М. Никольского [9],
стр. 65. Обобщение теоремы Литтлвуда — Пэли на случай
смешанной L^-нормы можно провести в плане изложенного там
доказательства, со следующими дополнениями.
Неравенства 1.5.2(8) для векторного р получаются последовательным
n-кратиым применением своего одномерного случая. Вместо цепочки нера-
*) Для г Ф 0 и р = (р, .,,, р) установлена Н. С. Никольской.

* 15]
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
239
венств 1.5.2A0) с использованием дополнительно обобщенного неравенства
Минковского, имеем при
Pmin= min p., pmax= max p,, Q={e=F,, ..., 6„): 0<9<<1 (y=l n)}
К/<л ' К/<л
l
= f J(ll/i!p*)Pmax^e|'
l/ll» =.
pmax =^
<c,
<c.
dO
<C3
:(/)
/ f I VI lPmax \ pi
(Л1ш*(°)в*(/)| de
pmln
<c«
где постоянные Ci, ..., C6 зависят лишь от p.
Доказательство неравенства 1.5.2A3) для векторного р отличается от
приведенного С. М. Никольским [9] доказательства для скалярного р лишь
тем, что рассуждение, связанное с индукцией, следует заменить га-кратным
применением соответствующего одномерного неравенства.
. Пусть теперь г ф 0. Соотношение D) устанавливается с
помощью того же неравенства Литтлвуда — Пэли для векторного
р и следующей теоремы Марцинкевича о множителях рядов
Фурье.
15.3. Теорема Марцинкевича. Пусть для кратной
последовательности {К,„} существует число М такое, что
SlAi ••• AAn.iKM V*.
E)
где Km,h построены по Хт с помощью формулы B), разность
ДДт, ft = km+ef, k — hm.h, в} — /"" ОрТ, Ai ... ДДт.Л — СООТввТСТ-
венно определенная кратная разность.
Тогда для f(*)=]? cmelmx et« A < р < оо) функция
L*, \\F.\\* <C„M||f||*
где Ср не зависит от f.
Доказательство для скалярного р можно найти,
например, в книге С. М. Никольского [9], стр. 67. Покажем, как
обобщить его на случай векторного р.

240
АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА
[ГЛ. Ill
Следуя приведенному в книге Зигмунда [I] доказательству (т. 11, гл. XV,
теорема 4.14), обобщим сначала лемму 2.10 (Зигмунд [1], т. II, стр. 336) на
случай многих переменных и векторного р, 1 =^ р < оо. Для этого приведем
вывод (ослабленного) неравенства B.11) (см. Зигмунд [1], т. II, стр. 336),
переносимый очевидным образом на случай смешанной нормы для функций
многих переменных. При этом вместо М в B.11) придется поставить АрМ,
где Ар, 1 ^ р < оо, не зависит от числа п.
п п Г п
При ф(х)=2фй(х)г^, Ц(х) = ^kWzk, z<=En, Ф(х) = ]/ ^\(х),
1 1 '1
гт
Т (ж) = 1/ ^j^M имеем, используя дополнительно к обозначениям и
рассуждениям Зигмунда ([1], т. II, стр. 336) еще неравенства Гёльдера и
Минковского:
1 1
Ь \~ ( Ъ
\г \< 1
| |z,|<*z I J" | Т (*) |Р Ас 1 = И Г j \${x)\dzYdxl <
la J la l|z|<I J J
J I ||1Кдс)|"?/* I dz^M j \ j\<p{x)\Pdx\
l<l I a j |z|<l l о J
— I Гь
< ( \ dz у \ f \U(x)\Pdx
\|z|<l J ¦
dz<
<
{ I
4zl<l
|z|<l U
b Г
dz}"'
J j" |q>(*)|«dz
a _|z| <1
dx
= &x (n) &г (л) j I I Ф (*) |* dx ,
I a J
где 1<р<^ = 2А+1<оо, й- натуральное, — -\ у = 1,
1«Г<1 |Z|<1
Для завершения доказательства остается показать, что
Зх (п) &г («)< Ар Г | 2,1^2, « = 2,4,6,..,
|2|<1
Рассмотрим каждый из этих трех интегралов.
1
3f(n)= J \Zl\dz
lz|<I О
: = 2 f *,,„_, (l-г?) "»'
^Z| = С. i ;—Г
J n_1 « + 1

§ 15) МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 241
где сп-\ — объем единичного шара в Еп~1.
л
Г ^ г
Э\ (л) = 2с„_, 1A- И) 2 <*г = 2с„_; sin"./ Л =
о о
_„. (л-1)!!_ лс„я!
ге!! о* IV МП2
Теперь с помощью формулы Стирлиига ге!=}/Г2лл (—) еп, ега-> 1 п
при
/г -> + оо) имеем
ЭХ („) = С"-' ^2Я В*, в„->1 ПРИ Л->00.
у л
Я/2
Для /„, .J = sin" t cos' t dt, q = 2k+[, с помощью формул понижения
о
порядка имеем
/ (?-1)(<7-3) ... 2 1
"¦« (л +(?)(л + ?-2) ... (л + 3) 1п,и "' |==л+1"
Отсюда
1
^ («) = 2с„_, J И, ГО - г?)" <**, = 2cB_,/ni
<
Следовательно,
<С„_12(?-1I!-1- = с„_12((?-1)!!.
л т
i i 1 i i
Ji («) *.(«)<*„_, Bл) ^ [2 (?-1)!!]« (lJ*' (|J 2,ё„ =
1 J_ _ _i_ j_
= с-, Bл) 2q' [2 fo - 1)!!] ' -^ < Bл) V [2 (q - 1)!!] « ё„<У (л),
что и требовалось показать.
Нам остается теперь обобщить лемму 2.15 из книги Зигмунда [1], т. II,
гл. XV, на случай смешанной i-p-нормы, 1 < р < оо. Отметим, что на самом
деле это обобщение понадобится лишь для тригонометрических полиномов,
т. е. для функций f (х) = ~^\ стеШх с конечным числом ненулевых
слагаемых. Следуя доказательству леммы 2.15 и учитывая, что сверка no х, с
cos6jJCj является (равномерно по kj) ограниченным оператором в L»,сводим
доказательство леммы 2.15 с векторным р к оценке (представляющей в
одномерном случае теорему Рисса)
Of/II» <ЛрШ/> 1<Р<°°.

242 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С, Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
где/j(x) строится по f(x) переходом к тригонометрически сопряженной
функции по переменной Xj\
Достаточно, очевидно, считать, что п — j. В этом случае функция
(тригонометрический полином) f(x)=f(x',xn), х' = (xi хп-[), может
рассматриваться как (абстрактная) функция переменной хп со значениями в
пространстве L*,, р' — (ри Pn-i)- Так как разность е (i) = г
2tgl
непрерывна на @, л) и непрерывно иродолжима на [0, л], то, с учетом оценки
в L» СЕертки, наша задача сводится к оценке
\hn)\\p<BpMh> »<Р<».
где
л
f /*\— 1 Г f(x + te„) —f(x — ten) Jt_
o
_ • Mm Г f(*+*<>n) M
= nm at.
П 8->0 J t .
e<H|<n
При n = 1 эта оценка содержится в теореме 4.9. Случай п > 1 и
скалярного р, 1 < р < °°, является очевидным следствием одномерного. Общий
случай п ^ 1, 1 < р < °°, вытекает из теоремы 3.13, из которой следует
равномерная по е ограниченность оператора с ядром
— при 0<е<1 и I <я,
*.(«) = ] "
[О при | и | е (е, я).
Предельный переход при е -> 0 элементарен и проводится так же, как в
доказательстве теоремы 4.9.
В нашем случае теорема Марцинкевича применяется к множителям {Ят},
п и л I т1 Г' • • • I тп (П
которые при всех meDj, supp д zd suppr равны Km<k= —
7>kT
и Am к — ~r • Условие E) легко проверяется с учетом мо-
l/ml ' ... |/«n|r"
нотонности.
15.4. Лемма. Пусть при /==1, ..., N г, riJ) — п-мерные
векторы с неотрицательными компонентами, 1 ^ р(/) ^ ао,
q<h,<i, |>y = i, r-S^. "НЕ^тт-
1 1 1 р

$ 15] МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА ^43
Тогда
|1№<П!/(И/,)Г?. F)
р(/>
Доказательство. Поскольку supp г гэ supp г{1) при всех
/=*1, .... iV, то
откуда в силу неравенства Гёльдера *) имеем
si6(fer4nf<ii(S|6^)(/)|2f.
Отсюда в силу неравенства Гёльдера для интеграла от
произведения N функций **) получаем:
IIГII/ =1B1 bV (/) if L < ft B1 ^ (/) IT *' II * <
^ i\ * /lip /=i\ & у iip
<П|B|б(/(/,)(/)|2^
/=i ii \ * /
чЛ и/
\2 ||
* »
l|p</>
что равносильно оценке F).
15.5. Лемма. Пусть I <ps^q < со, s^O, s ==r .
Тогда
ИРЧ1д*<ср,,||р>||* G)
для всех функций f(x) вида
Цх)= 2 стеШх, (8)
supp m => supp г
г. е. функций f(x) с нулевыми средними значениями по тем Xj
(при почти каждом наборе остальных), для которых г, >» 0.
Доказательство достаточно провести для случая,
когда р и q отличаются лишь одной (/-и) компонентой и когда при
этом s = 0, rv = 0 при чф }, г.- = > 0.
г 'ii D п.
Рассмотрим
Ки)(-
р, я,
Xl) = K{H _, (*,) = S —1~еш1х1,
*) См. неравенство 2C), в котором m = N, a ft fm конечно-
значны, ср. вывод 2 E).
**) Для скалярных р"> см. 2 C), обобщение 2 C) на случай смешанных
норм достигается последовательным применением неравенства 2 C) по
каждой переменной.

244 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
так что fs) — К['} * fn, где свертка применена лишь по
переменной X/. Таким образом, достаточно показать, что
1П АГ(/>1 * ф|| * <ср.,||фИр*. _ (9)
Так как Pj+i = <?;+ь ..., рп = qn, то оценка (9) следует из
своего частного случая п = f = 1, которым мы далее и займемся.
Оценку K(i){t) нетрудно получить с помощью преобразования
Абеля ряда. Она, впроче-м, известна (см. Зигмунд [1], т. I,
стр. 119) и имеет вид
так что для получения (9) при п = 1 достаточно воспользоваться
неравенством Харди — Литтлвуда 2C2). Этим доказательство
леммы завершено.
15.6. Теорема. Пусть при / = 1, ..., N I, rW>— п-мерные
векторы с неотрицательными компонентами,
N
1<р(Л<оо, 1<<7<оо, 0<ц/<1, SfX/ = l»
Тогда для 2п-периодических по всем переменным функций с
нулевыми средними по тем xv, для которых lv > 0, справедлива
оценка
if%<cf[UrU%. A0)
я j=i рч>
Доказательство в с-илу леммы 15.2 следует из оценок F) и G).
15.7. Теорема. Пусть при ] = 1, .... N р, a(j> — п-мерные
мультииндексы с целыми неотрицательными компонентами,
N
1<р</><оо, 1<<7<ао, 0<ц,<1, 2^ = 1,
Тогда для / (х) е= С~ (?")
I/)p/IUcnI/)Q(/,/C!/, (id

* 15]
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
245
Доказательство. Пусть сначала f(x) сосредоточена в
кубе
? i={0 <xv<n (v=="l, ..., п)}.
Продолжим ее с куба П i на куб ? = {| xv \ < я (v = 1, ..., п)}
таким образом, чтобы она оказалась нечетной по каждой
переменной jcv, и затем с П на все Еп периодическим образом с
периодом 2я по каждой переменной. Ясно, что для полученной
таким образом функции f*(x) норма
,-+...+-1
Dafh=2P> - "-iD-fl
"/»
Оценка A1) следует теперь из оценки A0) для /*.
Пусть теперь f(x) = f(x\, ..., хп)—произвольная функция
из Со"(?"), тогда при любом достаточно малом е>0 функция
я я
2 2 1
fn(x) — f\ > •••> ё / сосредоточена в Пь
Подставляя /в в A1) и переходя к нормам производных от /, после
сокращения на степень параметра е получаем утверждение
теоремы в общем случае.
15.8. В силу замкнутости оператора обобщенного
дифференцирования оценка A1) переносится на те локально суммируемые
функции f(x), которые аппроксимируются с любой точностью
последовательностями функций из С™(Е"), сходящимися
одновременно в смысле Lioc(En) и в смысле полунорм, произведение
степеней которых стоит в правой части A1). В качестве
примера установим следующую теорему.
Теорема *). Пусть вектор l = (lv ..., ln) имеет
натуральные компоненты, 1 < р(/) < с» (/ = 0, 1, ..., п), l<q<co,
п
0<ц0< 1, 0< ц, < 1 (/ = 1, ..., я), 2ц/= 1. а = (а, а„),
a.j — целые неотрицательные числа,
. п .п.
еде ц/= ([*,/], ..., nJn).
4 t=o И ч !=о И
*) Случаи скалярных р(/|, q и строгого неравенства — < V —~ имеется
4 !=о н
у А. Д. Джабраилова [1]; случай скалярных р'", q, рA) = ... = р' = р,
ц0 > 9 — у В. А. Солонникова [4], причем для р, q, р( ' не исключаются
значения, равные единице, при дополнительных условиях | а: / | +
\р я
< 1, р<Я-

246 Анизотропные пространства с. Я. Соболева [гл. Ш
Тогда для f е L т>
|^|,<с»^о»Й1^С/»- A2)
Доказательство. Неравенство A2) выполняется для
всех функций /е С™ (Еп) по условиям теоремы 15.7. Ввиду
замкнутости оператора обобщенного дифференцирования Da (см.
лемму 6.2) достаточно убедиться, что произвольная функция
с конечной нормой
m^ + ^Wfl^uK^,^h^m A3)
аппроксимируется с любой точностью в этой норме функциями
из Со° (?"). Но этот факт установлен в теореме 14.14.
15.9. Наша цель теперь — показать, что условие / е L (щ в
теореме 15.8 при ц0 = О можно снять, если вместо функции f(x)
брать разность f (х) — Р (f; х), где P(f; х) — некоторый
многочлен.
Теорема. Пусть 1~A{, ..., 1п)—вектор с натуральными
компонентами, 1 < р(" < ао, 1 < q < ао, 0 < цг < 1 (/ = 1, ..., я),
п
2и/=1> а —(а,, .... а„), а,— целые,
i п
а = !^~2j~' 2(Эе ^^W Ш
' /=i р
Пусть еще для некоторого вектора X = (kl, ..., Я„) > О
(а, X) > V/ - (*. 4г) (/ = ! ")• (И)
Тогда существует многочлен P/_i(x;f) степеней не выше
lj— 1 по Х], линейно зависящий от f и такой, что
\\Da(f-Pl-i(-;f))\\q<:cf[\\Dl>ff' A5)
Доказательство. Отметим прежде всего, что условие
A4) в ряде случаев вытекает из предшествующих, и тогда его
можно опустить при формулировке теоремы. Так, например, в
случае скалярных p{i) = (pj, ..., Pj), j = 1, ,.., п, в качестве К

5 15] МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 247
можно взять вектор с компонентами (при условии их
положительности)
*/--^(i-s-sr-+-s-i;-ri>o (/=i «).
п п \
Эти значения Я,- легко находятся из условия независимости от /
правых частей A4). При этом К является нормальным
вектором к плоскости, проходящей через точки ail) = ljel ^
(/ = 1, ..., п). В данном случае выбор осуществлен вне
зависимости от а.
п
В другом интересном случае, когда \,-j-=U в качестве %
1 '
МОЖНО ВЗЯТЬ % = {-—> •••> Т}'
Положим
иль -SK'fL,.
Для feZyn („) справедливы при 0<е<р<оо следующие
соотношения (см! 7A1), 7A3), 7B2)):
Daf р (*) = (-1)'а' J Р-1 к {~{а- V (у : рх) f(x + y) dy, A6)
- Daf,е. р) W = Dafe (*) - Dafp (*) =
"=(-l)'Q| S J J А-'-^'+'Л/^ V/'G/ : Afc)D'/f (* + *)<fe«tt. A7)
I E
где Q, ^eCol?") (/=1, 2, .... n).
Для f e L ,ii p(rt) с помощью неравенства Гёльдера из A7)
получаем
sup|Da/E(*)-Dafp(x)l<
X
<csfA-,-,B-*'-|fcs',/,,+,^|/);//L(/,<ttf
I е
откуда следует, что при р-»-оо Dafp(x) равномерно по х^Еп
стремится к пределу во всяком случае для всех тех а, для.
которых выполнено условие A4).

248 АНИЗОТРОПНЫЕ ПРОСТРАНСТВА С. Л. СОБОЛЕВА [ГЛ. III
Из A6) легко получаем, что равномерно по jce?" Daf(>-+0
(р->оо), если a^lj хотя бы при одном /.
Положим х = тах Я,/у—(к, -^\ ,
ca=Um^rDafp(Q), (a, X) > «, '
так что са = 0, если при некотором / а^Ц,
Рассмотрим теперь многочлен
P,_i(x;f)= Ъ сах* (Щ
(а, Я,) > к
mln (Z,—а,)>1
порядка не выше lt— 1 соответственно по переменным xt.
Из формулы Тейлора следует, что для всякого компакта
K^z Еп равномерно по х е К
?>7р (*)-*№_,(*; f) (р->°о) при (йД)>и. A9)
Далее будет показано, что неравенство A5) выполняется
с многочленом P/_i (х; f), определяемым именно формулой A9).
Для доказательства теоремы достаточно показать, что
|fle(fe-/p)IU<C||fe-fp||L, B0)
/>Ш pin)
с постоянной С, не зависящей от /, К, е, р, где компакт /Ccf",
0<е<р<оо.
В самом деле, из B0) при е->0, р-»-0 получаем
сходимость Dafe (е->-0) в Lg(K), откуда в силу леммы 6.2 Оа/е/.^с
и в B0) можно перейти к пределу по е->0. Предельный
переход в B0) еще и по р-> °о в силу A9) и леммы 14.7 приводит
к оценке
\\Da(f-Pl^(-;f))\\qK^C\\f\\i
в которой С не зависит от компакта К с: Еп и которая в силу
1G) равносильна утверждению теоремы.
Установим неравенство B0). Переходя в случае
необходимости от функции / к ее усреднению с достаточно малым
параметром, без ограничения общности можем считать, что B0)
достаточно установить для функций / со свойствами:
¦ f е СЩ F, = Dl/f е WlpU,piU pW, | DlF, \\pii) < оо
(/=1, .... я; t = l tt).
Заменим функцию f на B&ilID'f из 14C0). Так как разность
fe — /р в силу A7) представляет сумму сверток Fj с ядрами из

I ГС]
МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
249
Co° (/= 1, ..., /г), то наша замена равносильна замене каждой
функции Fj соответственно наВ6 ffD'F,. Как следует из
леммы 14.13,
max \\Fl~B<i,HDlFl\\ ,
достаточно мал при надлежащем выборе б, Н, откуда вытекает,
что разность
[fe-fp]-[(Be.*0'/)e-(Se.«0'f)p]
достаточно мала в L m _ in), равно как и ее производная Da
и С (?") (в силу неравенства Юнга 2A8) норма в С (Еп) этой
производной оценивается через 2 IIЛ — В& HDlf\\ {!)). Таким
/=i ' р I
образом, для доказательства теоремы достаточно установить
неравенство
<с||(вв,яя7)е-(вв.яягПр11'
V> рЫ)
п.
для произвольной функции /еС°° (?"), Sll^'fllpi/) < °°> с по-
стоянной С, не зависящей от /, К, е, р, б, Н.
Так как D'f аппроксимируется с любой точностью в L г/,
(/^ 1 п) функцией %RDlf при достаточно большом R (где
Хд — характеристическая функция шара |*| <.R), то
достаточно установить неравенство, отличающееся от предшествующего
лишь заменой D'f на 1яЩ с постоянной С, не зависящей от /, К,
е, р, б, Н, R. Но такое неравенство является неравенством для
бесконечно дифференцируемых финитных функций и потому
имеет место в силу теоремы 15.7. Тем самым доказательство
теоремы 15.9 завершено.

ГЛАВА IV
ПРОСТРАНСТВА ФУНКЦИЙ С ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-
РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
В настоящей главе будут изучаться функциональные
пространства, для функций из которых или для их производных
выполняются некоторые разностные условия типа условия Гёль-
дера в метрике Lp:
\\Г(- + У)-Г{-I<М\у\1, 0</<1.
В данном примере естественно считать, что функция f(x)
имеет показатель гладкости |а| + I в метрике Lv. Таким
образом, теперь вводятся в рассмотрение пространства функций с
более точной и подробной характеристикой гладкости, показатель
которой может принимать дробные значения. Для таких
пространств будут получены теоремы вложения и продолжения и
изучены другие их свойства.
Пространства функций с дробными показателями гладкости
самым тесным образом связаны с пространствами С. Л.
Соболева, рассмотренными в предыдущей главе. Так, например,
точная (обратимая) характеристика следа функций из
пространства С. Л. Соболева Wpl) (G), G сг Еп (I — натуральное), на
сечении плоскостью размерности т <С п дается именно в терминах
пространств с дробным показателем гладкости в Lp, да и сами
пространства Wp] могут быть охарактеризованы разностными
отношениями.
Изучение функциональных пространств дифференцируемых
функций многих переменных с дробным показателем гладкости
было начато С. М. Никольским [1], [2], рассмотревшим
пространства Нр, I = (h, ..., /„), с условиями Гёльдера в Lv для
разностей производных различных порядков. Принадлежность
функций этим пространствам к тому же определяется различными
дифференциально-разностными свойствами по разным
переменным. Для таких пространств С. М. Никольский получил теоремы
вложения и (также впервые) точные обращения тех из них,
которые касались оценки следа функций на сечениях плоскостями
различных размерностей.

I 16] ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В Lp НОРМАХ 251
§ 16. Оценки модулей непрерывности в Lp-нормах
Здесь будут изучаться функции, заданные па области с усло-
пием рога. Для них будут установлены оценки, связывающие
модули непрерывности (или разности) функций и их производных
п различных нормах Lp. Эти оценки впоследствии будут
использованы для получения теорем вложения и продолжения
анизотропных функциональных пространств с дробными показателями
гладкости.
Отметим, что для заданных во всем пространстве Еп
функций результаты разных авторов по оценкам модулей
непрерывности в обычных Lp-нормах обобщены в книге А. Ф. Тимана [1]
(см., например, стр. 378 и др.). Недавно П. Л. Ульяновым
получены в одномерном случае оценки для модулей непрерывности в
различных нормах [2], [3], имеющие окончательный характер (см.
также работу В. А. Андриенко [1]). Ниже будет приведено, в
частности, обобщение таких неравенств на случай функций
многих переменных, заданных в области, и смешанных норм.
16.1. Конечные разности на множестве. Будем пользоваться
в дальнейшем следующими обозначениями конечных разностей:
для х 6Е Еп, г 6Е Еп, t 6Е Е1, натурального т>1 и
координатного вектора et положим
Al(t)f(x) = f(x + tel)-f(x),
т
Д?(t) f (х) = Ы (t) [ЛГ' {t) f (х)} = S {~\)m4C'mf (x + jtet\
/=o
Mz)f(x) = f(x + z)-f(x),
m
Am (г) f (x) = Л (г) [A'""' (г) f {x)] = 2 (~ D™-' Ф (x + jz).
!=o
Введем также понятие конечных разностей на множестве
G а Еп, полагая
&T{t)f(x) при [х, х -f mtei] cz G,
О при [х, х-{-mte^^G,
A?(t; G)f(x) =
*m/ ^r/x'/Am^)^W при [x> x + m*]<=G.
Am {z; G) f (x) = . r , , _
' 1 0 при [x, x -f mz] s G.
A)
Отметим, что это определение имеет смысл и при m = 0.
Модулем непрерывности функции f(x) порядка m в метрике LP(G)
по направлению z будем называть величину

252 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
в случае z — et положим
т F; G; f)P = v?t(b\ G; f) = sup |АГ(/; G)/t. C)
В дальнейшем мы получим ряд оценок, связывающих
разности функций в различных метриках. Если перейти в них к
верхним граням по шагам разностей, то получатся соответствующие
оценки для модулей непрерывности. Во многих случаях мы
такого перехода делать не будем.
Для конечных разностей на множестве выполняется ряд
свойств обычных конечных разностей. Нам понадобится, в
частности, следующая оценка в смешанной Lp-норме при
натуральном N для открытого множества G:
fA7(M;G)fi<NmU?(t;G)fl- D)
Она следует из равенства
А" № f (*) = 2 2 АГ (/) / (х + kfa + ... + kntet), E)
fe,=0 fem-0
которое очевидно при т = 1, а в общем случае легко выводится
индукцией по т.
Аналогично устанавливается и оценка
|| Ат (Nz; G) f ||р < Nm || Am (z; G) f ||p. - F)
Нам понадобится в дальнейшем выражение разности с шагом
произвольного направления через разности с шагами
координатных направлений и через интегралы от производных (для
достаточно гладких функций). Приведем его. Пусть z = Ziei -f-...
... -f znen. Тогда, очевидно,
А (г) f (x) = A (zi^O f (x) + A (z2e2) f {x + z^) + ...
... + A (znen) f {x + гхех + ... +z„_1e„_,) =
i i
. = J" *iDJ (x -f unz{ex) duu + J z2D2f (x + zfr + «2Iz2e2) du2I -f- ...
о 0
I
... + J znDnf (x + z,e, + ... + + unlznen) dunl.
о
Многократное применение этой формулы дает, очевидно,
следующее выражение для разности высшего порядка

f 16] ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В Lp-HOPMAX 253
|P| = Pi+ ... +Р«:
\M(z)f(x) =
- s f---fcAflf(*+s^vi+si"«/vi)nndB«-or)
IР J=M О О V 4=1 i=\ /=1 J i=\ /=l
Аналогично устанавливается формула (m^O, k~^l)
\?+k(t)!(x) =
i i
.= **{ ... { a™ (OaJ/(* + '(?,+ ... +ye,)diI...^( (8)
о 0
из которой применением обобщенного неравенства Минковского
получаем оценку
lAr+*(*;G)/|p<|/llAr(/;G)Z>frk. (9)
Выведем теперь следующую одномерную оценку для
разности от производной через разность соответствующего порядка:
тх I
|Ат(т)Гм|<С^/ j\Am+k(Hy)f(x + 1-)\dydt +
Н
(m + k)H
О О
+ с J" ||л-*-»|ду(_т)ч^(.?)
X
О ?' Е
X
?(т
, т + ?
Аш+Я @ f (л; + у + 01 rfy dt dh, A0)
где t > 0, Я > 0 — целые числа, m ^ 1, & ^ 0, Vi и ?
бесконечно дифференцируемы и сосредоточены на @, 1)), функция
f(x) определена на отрезке [х, х -f {т -{- k -\-2) {т -\- k) Н + т%\
и для нее конечна правая часть A0).
Нам понадобится для этого одномерное представление 7(97):
/(*)=-!- ^Ajf)f^ + y)dy +
Е1
Н
+ J l lh-^\±)i[±)br+k{t)f{x + y + t)dydtdh, A1)
0 Е' ?'
где V; 6= Со (Ех) (/ = 0, 1), ? е CS" (Я1)." функции ?„ ?
сосредоточены в интервале @, 1), m^l, &^0 — целые числа.

254 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ 1ГЛ. IV
Из вида A1) ясно, что носителем представления служит
интервал
х + @,(т + k + 2) Я).
Перепишем представление A1) в компактном виде:
f(*)=№) + f@,H,M;
отсюда получаем при n = m-\-k представление
1
/=i
используя соотношение
К*)~5Г ^(-^-VcXW + f^Cv)), A2)
х=1
?(-irVc!:=(-i)"E(-i)'cif*'
= (-1Г(^) О-*)"
--п\.
Благодаря выбору коэффициентов при получении последнего
представления A2) имеем
п
л
*-;?(-1Г'л#/я(г)=
. =%(-\)! ГХС'пН-п-х \^on)(-jr)f(x + y)dy =
= Н~п V (-1)/ С'п J Ч'Г (У) f (х + /Яу) rfy =
= (-1)» //-« j <> (у) А" (Яг/) f (х) dy.
С помощью последнего равенства и формулы (8) получаем
из A2) при т > 0 оценку A0).
Положим в A0) т = Я. Тогда разность Am(H)fh(x),
построенная по значениям f на отрезке [х, х -}- тН], оценивается
с помощью значений f на большем отрезке
[a:, x + (m + k-\-2){m + k)H + Н] = [х, х + тН].
Для устранения этого недостатка будем оценивать разность

I Ifil ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В ?р-НОРМЛХ 255
\m{NH)fM(x), построенную по значениям f на [х, х + mNH], при
достаточно большом N = N(m,k). С помощью E) эта разность
представляется через разности
Am(H)fk)(x + sH) (s = 0, 1, .... m(N-l)),
построенные соответственно по значениям / на отрезках
[х + sH, х + sH + тН] с: [а:, х + mNH].
Оценим теперь
А'" (Я) fk) (х + sH)
для
8=o,i,...,[*yf»]
с помощью неравенства A0) при т = Н, а при
s = [^f^-},...,tn(N-l)
по тому же неравенству, но с противоположным направлением
числовой оси.
Получаем тогда
\bm(NH)fk){x)\<
' ^ClH-k-1 | \\Am+k(Hy;[x, x + NH])f(x + l)\dyc% +
-NH -I
N [т+к)Н h h
s=0 0 -Л —Л
Х|-Лт+*(*; [л:, * + #//])/(* +г/+ ^ + stf)|dy<tf<ta.
Если теперь считать х 6Е ?п и применить полученную оценку
по /-й координате х}, то для открытого множества G а Еп
получим
|A/m(tftf;G)Z>/*f(*)l<
NH I
< 'СЯ-*-' { J | Af+k № G) / (* + ge,) | rfri d? +
-NH -I
W (m+fc) tf h h
s=0 0 -ft -ft
A3)

256
ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
(ГЛ. rv
Отсюда, заменив Н на HjN и совершив в последнем
интеграле A3) подстановки t = hr, r| = /i?, получаем с помощью
обобщенного неравенства Минковского
i
tAT{H;G)Dtil<:C2H
-ft
J|Ar*(^ri;G)f|d4
+
я I
+ С2{ jA-*-'|Ar»(AT;C)^dtdft.
о -I
Изменив в последнем интеграле порядок интегрирования и
заменив /г на т]/т, получаем окончательно
н
\\АГ(Н; G)D)fl <С3 j л-*-' II A?+*(ti; G) f\\p d4. A4)
о
При 6 = 0 справедлива более сильная оценка:
|ДГ(Я; G)/L<C4| J |АГ(Яп; 0)/Ш| <
в<|Щ<з-
н
r-1 Г II *m
< C4tf- J IАГ (n; G) f ||p dn; e > 0. A4')
Она выводится аналогичными, но более простыми
выкладками, если вместо A1) воспользоваться представлением
f(x) = fH(x) + (~l)m lt(y)^m(Hy)f(x)dy A1')
при
т f г
!и (*)=? (-I)'"' Cm \t(y)f (x+iHy) dy=~ J K(jr)f (х+У) dy,
где S(y) = CS°(^). suppgcCe, -L)H<3e<^, Jg(y)dy = l.
Воспользовавшись приемом A2), аналогично неравенству
A0) получаем неравенство
тх 1
|Ат(т)/(*)|<С-^ J ^\Am(Hy)f(x + l)\dydl +
0 38
-fCJ*|Am(T)Am(tfy)/(*)|dy. AС)
зв

I mi оценки Модулей непрерывности в 1р нормах -i5?
Взяв в A0') т = Н и продолжая рассуждать таким же об-
рн.чом, как при выводе A4), получаем при N = 3 аналог оценки
A.4), из которого следует A4').
16.2. В этом пункте будут приведены оценки интегрального
оператора
ф(Х)= Г <f{x + y)\yn\'dy <
р(у)
п.
где 1<р<<7<со, <?„ = оо, х = (х, х„)>0, p(^) = S|y,|l/y»,
г > 0 *).
Теорема. Оценка || Ф || ^ С || ф || с постоянной С, не зави-
снщей от ф, имеет место в следующих случаях:
а) Рп= 1;
б) 1 </>„ <<?»-!, 1 <Ря-1 <<?«-! < °°-
Доказательство. Пусть п > 2. Применим одномерное
неравенство Юнга 2A5) по переменной х\. Этим наша задача
енодится к такой же задаче, но для меньшей на единицу
размерности. В самом деле, полагая —= 1 1 , имеем сле-
ri Pi я{
дующую оценку нормы в Lr, ядра (при г\ < <х>):
—оо Н —1
ПЕ|*Ч
_L\~riIj7:-ri,t»e
dy{
<
<cA J
г=2
1 «
<
<C2 Г?|у;
?=2
ч
Та же оценка нормы ядра выполняется, очевидно, и при гу = оо.
Применяя далее (при п > 3) неравенство Юнга 2A5)
последовательно по переменным х2,..., хп-2,: сводим утверждение
теоремы к случаю размерности п = 2. Остается заметить, что
утверждение теоремы для п. = 2 в случае б) содержится в лемме 2.22,
*) Соответствующая оценка для случая е = 0 дана в 2C6),

2t>« ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
а утверждение теоремы в случае а) сводится тем же образом к
размерности п = 1, когда становится тривиальным.
В качестве следствия получим для интегрального оператора
ш i у\ _ Г Г Р(гN -ф (дг + У. z)dydz
Е Е
оценку
imi,<cnH>e>
где 1<р<?<оо, (р, в)=(р|, .... />„, б, ..., 9), v = (x, 1-1+1)+
+ |x|(l—-g-j, 6 > 0, в следующих случаях:
а') 9=1;
б') 1<9<9„, 1<р„<9„< оо.
Перейдем в выражении VY (х) под интегралом от
переменных г„ ..., г„ к обобщенным сферическим координатам (ty |),
где 2 zit~nv~l^ ' = 1, ?—х-расстояние, |—криволинейная проек-
ция точки г на единичную сферу | л: I == 1 (см. 4.1). Ввиду
эквивалентности различных %-расстояний (см. 4.1) t = t{z) — р(,г)'и .
В соответствии с формулой 4D) в новых переменных при
х|0) = тс/| х | имеем
V(x)= J J [ f ХГ?3 •
E» о /si-> lP(y) + H»'J
Представляя v в виде
и показатель л — 1 при t в числителе в виде п—1 =
= (п—1)A—"е") + ~§—> применяем только что доказанную
теорему по п+1 переменным, взяв в качестве в
е = -^-(я-1)A-1) + в>0*);
*) Отсюда видно, что условие б >¦ 0 можно заменить более широким
условием е > 0.

I 161 ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В I^HOPMAX 259
тогда
ч^<с J IJM-.rdt^dtY^x*
Е. |=] v О I 1=]
Применяя, далее, неравенство Гёльдера по | и возвращаясь
но 4D) к переменным z = (zu ..., zn), имеем
4 51=' 1 ' ^ О |Е |=:
X \^fl\]dltn-'dt =^11*
Up, e»
\ i / • i
что и требовалось.
16.3. Напомним представление 7 (97):
/(*) = /*-'0| _|>0(у:Яа)/(х + у)^ +
+ .f 5>"М01' J J>/fo:A)C,(//To0X
Xb?4bt)fi.x + y + tet)dydtdh, A5)
где Т,еС;И (/ = 0, 1, ..'., п), 5(еС0"(?') (/ = 1, .... п),
причем число бе @, 1) и носители функций yYu ?, таковы, что
носителем представления служит наперед заданный рог х +
+ V(\/a,H). Будем для конкретности считать, что Ч*,-, ?,-
сосредоточены соответственно в кубе {х: 0<а:<1} и в интервале
@,1), тогда все координаты точек рога V положительны. В
некоторых оценках нам будет удобно считать, что параметр Н
представления меняется в пределах 0<Н^.Н0. Поэтому будем
следить в дальнейшем за зависимостью постоянных от Н.
Пусть функция f(x) определена на множестве U -f- V, где
U — открытое множество из Еп. Положим для 1 ^ 0 ^ со,
rt 2з О
I
yl(x,t) = t е< riA^Ft,U+V)f(x + tei),
fo(x) — продолжение f (х) нулем за U -(- V. Тогда определенная

260 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
на Еп функция
f(*) = tf-|a| ^W0(y;Ha)fQ(x + y)dy +
+ J2ft-,He,-e' I j4^:*4Ei(tt-0^+r'x
0 t=\ El En
X<Pi(x + y + t)dydtdh A6)
совпадает с f(x) на U.
Лемма*). Пусть 1<р'<<7<оо (/ = 0, 1, ..., п) и для
каждого i=l, ..., п либо 9?=1, либо l^.B{^.qn, l^pln < qn < °о.
Пусть еще a > 0, [a]1 = min[a, 1],
а,г|=/с,-!г-1 + а)>0 (i = l, .... л). A7)
7Ъгда при x > 0, 0 < Г < Я, 0 < N < M, 0 < р < a, 1 < / < л
для открытого множества Uс Еп и рога V = V(—, Я)
I Af (т Def |, < С [т : Я]^ Я-(°- ^7+а) || f ||„0, „^ +
/=1 I о r J
+
+ c%°iM J /?,(т, я), (is)
< С [т : Я]°/" Я-^' ^"Т+е) || Af-N (%°!; u + V) Da~*f J,, +
/ 1 In I
ft
+ Ст0/м5;/?г(Г> Я), A8')
г=1 (о
г=1
*) Для дальнейших приложений в книге параметр Н можно считать
фиксированным и не выявлять зависимости от него постоянной в
неравенстве A8). Тем самым первое слагаемое правой части A8) можно записать
в более простом виде: Cit I || flip», u+V Аналогичное замечание относится
и к последующим леммам и теоремам § 16.

I 16] ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В Др-НОРМАХ
где в общем случае
я
dt
261
а при asM> Oi{mt — г{), т<Г /^(Т*. Щ = 0.
Доказательство. Ограничимся доказательством
неравенства A8), так как доказательство A8') связано с
незначительными и очевидными изменениями. Обозначив через %(z),
z е Eh, характеристическую функцию куба {х = {х\, ..., Xh):
О < х, < 1 (?=1, .... k)}, оценим предварительно при т > О,
О < Т ^. Н, у ^0 величины
А (у, t) = { /Г'н ° '^-(а- <\ (у : h°) | S» (й^О | dh,
В (у, t)^x°iM)h-
¦1—1 о |— сь— (а, 0|—т .М
'MxG/:/*a)U*(*/TV)k/*.
Так как supp?j ограничен и удален от начала координат, то
А (у, t) = 0 при t> ГЧ
B{y,t) = 0 при *>tfa< и при t<efi (е > 0).
Отсюда
ЛО/, <)<C,x(<:7*') J- /r,H0|-ar-(a'a,d/*<
max|_|!/1|0,.-.|%|a't' 'Ч
<
cAf.f')
21»,1''+'в|
jol+a^+ia, a) •
Аналогично
Я@, fl<
Сз[осО:ЯаО-ОсО:еГстО]га/
a,M
2l»,le' + 'e'+"r
L/=i
I ai+a^+la, a)+a,M •
Внесем операцию взятия производной Da и разности Л/ (т"')
в A6) под интеграл, заменив при Т ^t ^ И разность интегра-

262
ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ 1ГЛ. IV
лом от производной соответствующего ядра. С учетом оценок
для А (у, t), В (у, t) получаем при М ^ О
|Af(t0/)ZOWl<
< н
j//-""-"-e,|A2;(-Te/)^e,0/://,0|l/o(JC + i/)ldi/ +
+c4yf г i*t+rtWba')*nx+y.»Uy
rii»/^+^11
dt
(=1 0 p»
./=¦!
+
rf/
«T l b
I I
2н(Г' + (°' + г
./=i
Aj+ayAf
= Л0 (*, //) + C4 ^ Л, (x, 7") + CA J fi, (x, Г, //), A9)
i=i
<=»!
Для оценки ?9-нормы левой части неравенства A9) оценим А0,
Bt с помощью неравенства Юнга 2A8), неравенств Минков-
ского 2A2) и Гёльдера:
е7+л<
\ва9<С^1м J ||Ф|(..о^ LL_fL
<
еГ
(га'+,) °'
в-'н°<
< Сйт°/
,о,.М
f H«Pi(-.*)ILr
«7 '„
t ' d<
¦ +
— 1 о.
в 'г <
1+.J- M+rt
+ сЛ
в-'Л
J ||ф4(-.01|)^[ .
I гТ 1

4 l(!) ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В Lp-НОРМАХ 263
Для оценки Ai (?= 1, ..., п) применим (п -f- 1)-мерное
неравенство п. 16.2, что возможно но условиям леммы на векторы
(Р{. •• •> Р1п> в,), (9i Яп, оо):
л,||,<с8 J ||Ф<(., ои)^
Собирая оценки и заменив в интегралах / на б-/"', полу-
члем неравенство A8) леммы со слагаемыми /?,-G\/У) общего
вида. В случае же OjM > ai(mt — г,-), т ¦< Г слагаемое Ri(T,H)
н неравенстве A8) может быть опущено, так как оно оцени-
нается соответствующим слагаемым предшествующей суммы.
В самом деле, в силу D)
°imr{ (т,н)< ГIм J | л;»' (t\ u + v)f I ]+rtfi+aiM
<
2а'г
<7*,м? J" |Дт,(^ у^.
ft=0 ft—1
Л
¦' I+г^а^+ОуЛ!
<
m ,-f. M
ft=0 i
d/
1+ггог+ауЛ
¦<
<cQ
i j»
г
\ \bp{f*.tv + v)f$-^\l
I 2 'Г
Лемма доказана.
16.4. Теорема. Пусть открытое ^.множество G а Еп
удовлетворяет условию —-рога, 1 < р1 < q < со (/ = О п) и для
каждого i=\ п либо Q,= l, либо 1<94<^, 1<р^<^„<оо.
Пусть еще выполняются условия. A7).

264 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. (V
Тогда при О < т < Н (G), 0<Г<Я<//(О), 0<JV<M,
О < р < а, 1 < j < я
|aJV/;0)dH<
< С [т : H}°iNH-(°- ^~Т+е) | Af-» (т«/; G) О"/ ||р. +
+ с?{ \\Ф(Ъ е)/Стп?л Г' + c*e'MS*«<7'. ">. B0)
г=1 I о ' j г=|
й<5е и общем случае
н
(Хллг. H)<J\K*{f*i ohb^rfw
а при alM>ol{ml — rl), т<Г Rt(T, //) —0.
Доказательство. Непосредственно следует из леммы 16.3.
При этом число Н (G) нужно взять столь малым, что при
0 < т < Н (G)
\\Af(^;G)Dafi<hAi(^Gk)Daflq,
где открытые множества Gk образуют покрытие G,
удовлетворяющего условию —-рога (см. 8B)). Такое H{G) найдется
ввиду того, что при некотором б>0 множества Gi> также
образуют покрытие G, см. 8C).
16.5. Замечание. При М = 0 условия на G в теореме 16.4
можно ослабить, считая, что G удовлетворяет слабому усло-
1
вию —рога.
16.6. Следствие. В условиях теоремы 16.4 справедлива
оценка
обобщающая соответствующую одномерную оценку П. Л.
Ульянова [2] и [3], стр. 672. Для доказательства следствия достаточно
в B0) взять Н = Т, М = nij, N = 0, а = р, р° = р' и оценить
первое слагаемое правой части с помощью неравенства A4').

* 16] ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В Lp НОРМАХ 265
16.7. Разностные оценки для продолженной функции.
Изучим теперь вопросы распространения функций за пределы
области их определения с оценкой разностных свойств. Формула
A6) задает продолжение функции }(х) за пределы множества
U, оценки такого продолжения содержатся в A8). Ограничимся
случаем q = р1'¦ = р ^ р°, 9, = I (/=!,...,«). Для «склейки»
таких продолжений воспользуемся разбиением единицы.
Лемма. Пусть открытое множество U с Еп, функция ц(х) е
<=С°°{Еп) имеет все ограниченные производные до достаточно
высокого порядка. Пусть функция f (х) задана на U-\-V (—),
функция f (х) определена формулой A6),
airl={a,a) {i = 1 п), 1<рп <р<со.
Тогда при О < т < Н0, О < Т < Н < Н0, М > О
II Af (V/) Da (л/) ||р < С^Н-^<°' ±-7 +а) || f Цл и+у +
т
+ С% \\ф(р; U+ V)f\\p-y^ + CSlMj?iRl(T, Н), B1)
еде е общем случае
н
0^Rt(T, //)< J |АГ'(<"'; t/ + V)/L , +,/' м.
о при OjM > агтг — (а, а), т < Т R^T, Н) = 0.
Доказательство. Пусть функции v)(t), g(t) определены
для t^E1. Непосредственной проверкой устанавливается
.равенство
Д (A)h@ g(t)] = r\(t + h)b(h)g(t) + [A(А) ц@1 g(t). B2)
Последовательное применение B2) дает выражение для
Ам(h)[\](t)g(t)], аналогичное формуле Лейбница
дифференцирования произведения двух функций. Легко видеть, что
м
Ал(А)[т| (/)?(/)] =2 aNAM-N(h)r)(t + kh)^(h)g(t). B3)
В силу B3) и свойств функции ц(х) из условий леммы
получаем оценку
м
||Af(x0/)(Da-VPf)lp<C 2 Ta<m-N>\\A?(T°>)D*fl.
JV=0
Левая часть B1) в силу формулы Лейбница
дифференцирования произведения оценивается суммой по р ^ а правых частей

т°
266 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
последнего неравенства. Произвольное слагаемое правой части
последнего неравенства оценим с помощью A8):
/ '*-"'| А? (т"/) D*f I < CT0/Mtf-n'V-@' ^">}„ / |U и+у +
.+ Ст"у '*-"' S J | А?'«"'; и + Ю / L T^i +
1=1 о
+ Ст*/ J ЦАГКЛ; Е/+У)/Др " .
Заменив в правой части р на а и x<*^m-n\ на постоянную (с
учетом ограниченности Я ^ Я0, т =$ Я0), получаем оценку B1).
16.8. Теорема. Пусть открытое множество G с Еп
удовлетворяет сильному условию —рога, 1 ^ р° =$ р ^ со Тогда
существует линейная операция распространения функций на Еп:
f(x) — }(х) такая, что при О < т < //(G), 0 s? Г < Я < Н (G)
для всех функций f(x) с конечной правой частью
II Af (т*/) DaF ||р < ctW'"-^ ^-^+а) || f цл 0 +
г
+ С J J || А»« (f i; G) /||„ -п^р + Сх°/М J ** (У. Я). B4)
i=l о (=1
где в общем случае
и
dt
о<^(г, //)< |a;A-;G)/
II"/ ч» > "/ / ||р 1+(о. а)+о,М •
у f
а при Ма, > Otnii — (а, а), т^Г Ri(T, Я) = 0.
Яри этол f(x) — f(x) на G, f(x) — 0 вне наперед заданной
е-окрестности G, М = 0, 1, .. ., С = C(G, е, М, р, рп, а).
Доказательство. Рассмотрим систему бесконечно
дифференцируемых функций \ek(x)}K, образующих разложение
единицы для открытого множества G и соответствующих
покрытию (Gftjf, см. § 8:
а) 0 < ek (х) < 1 для х <= Еп;
б) ek(x) = 0 на G \ Gk;
в) 2^W=' Для x^G;
г) | ?>°еА (х) | < С для х е= ?"\ | а | ^ 4-

t, 161 ОПЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В Lp НОРМАХ 267
Положим
» к
f(x) = 1iek{x)h(x),
где Jk(x) — распространение функции f (х), JteGt+ ^^{ — ) с G,
в соответствии с леммой 16.7, в которой вместо U и V взяты
соответственно Gk и Vk(—) из требований сильного условия
— -рога (см. § 8).
В силу леммы 16.7 и свойств функций eh(x) приходим к
доказательству теоремы.
Отметим еще, что для построенного продолжения J(х)
функции f(x) тем же путем, что и в теореме 16.8, может быть
установлена оценка более общая, чем A4), аналогичная оценке B0)
при р = 0, N = М.
16.9. Оценки с разностями переменного направления.
Представляют интерес также оценки в различных метриках для
разностей с шагом не координатного, а произвольного направления.
Для подобных разностей можно было бы провести
рассмотрения, аналогичные вышеприведенным.
Мы ограничимся некоторыми из иих, подводящими к вопросам
эквивалентности классов функций, характеризуемых разностными свойствами
различных типов Напомним представление 7A05):
К*) = А/~101 \ vAy-H&)Hx+y)dy +
Н п
+ 15 I I/г'~2lff'*'(г/:ft0)tl(г:h<,)лт(б2)f(*+y+z)аУdzdh> <25>
0 i=\ Еп Еп
где У, е= С™ (/•") (I = 0, 1, ..., п), ?, е= С^° (Е") (/ = 1 п), причем число
6 е=_ @. t) и носители функций Ч';, ?< таковы, что носителем представления
п B5) служит наперед заданный рог х + VI—, Я). Будем для конкретности
считать, что Ч*,-, ?f сосредоточены в кубе {х: 0 < х < 1}, тогда и все
координаты точек рога V положительны.
Пусть открытое множество U <= Еп и функция f (х) задана на U + V,
1^9^оо. Введем обозначения:
. 'а1
п J-\~
p(Z)= У | г. |а' , ф (х, 2) = р (г) 6 Дш (fiz; t/+ F) / (х + z), ц^О
Л-п

268 Функции с разностными характеристиками [Гл. IV
f0 (х) — продолжение } (х) нулем за U + V. Тогда определенная на Еп
функция f (*):
f(x)=,H-\°\ jy0(y.Ha)f0(x + y)dy +
И п п
+ J51 I JA"'~2|0|^(y:A°)?(U:A0)p(Z)e % (*+„, г) rfz rft/ dA, B6)
совпадает с Д*) на ?/.
В дальнейшем будем пользоваться обозначениями am]n~mina.,
amax = max <V ^1 = min (а- ')•
Лемма. Пусть I ^ р° ^ q ^ оо, 1 <[ р ^ q> ^ оо и либо 6 = 1, либо
1 < 6 <;<?„, 1 < рга < </л < оо. Пусть еще а>0,
1?|, = (а>1_1 + а)>0.
Тогда при vt>Q, 0<Г<Я, 0<JV<Af, 0<Р<а
|| Д^ (оа) ДаГ II, < С Ц о |: Я]Г">1ПЯ"^ "^"^+а) | f 1|р0 и+у +
+ с{ J |Awfefy + y)/|fi ./luR И +
I 0<2<
B7)
+ C|0|Mff,nln J |Дт(?;^ + ЮД
|AM(o°;t/)Da/IL<
i *»г**я р(г)
B8)
я
¦ [ I v I: #]f amln#4ff' P° ~ ? +P) || дМ-ЛГ („a. у + у) да-f^ (^ .
+ c( J ||д-(г;[/ + Ю/11«-—^)'/6 +
+ C|t,lMOmIn J ||Дт(г;^ + П/||р d2nMgmin . B8')
Г°<г<я* p (г)"+^+ ' ""l "
При этом ami n можно заменить на О), если шаг разности v = ttjej.
Доказательство проведем лишь для неравенства B8), так как
доказательство неравенства B8') проводится аналогично с незначительными
и очевидными изменениями.

I 1й] ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ Г. /.^-НОРМАХ 269
Пусть x(z)—характеристическая функция куба {х: 0 •< х < 1}. Оценим
предварительно при 0 ^ v\ ^ Т ^ Я величины
т
A(y,z) + Jft-!-2|oi-|a'a'x(rA0)U*(z:Aa)ldA,
о
н
В (у, z) = J А  ' ° l-,a- а> | fa: А0 Г х (у ¦ h°)I Е, (г: A0) I dA <
т
<; , „ ,"»».. J /г-210 '--• «"""'ml^ (^ . йа) | ?г (г . А») | ,А.
Так как носитель ?< ограничен и удален от координатных плоскостей, то
Л (у, г) может отличаться от нуля лишь при 0 ^ z sg Та, B(y,z) может
отличаться от нуля лишь при еГ° s? z < Н" (е > 0). Поэтому при у > 0, г > 0
A{y.z)<ClX{z:T°) \ /Г "'' «'-«*• a» dA <
<С2
 г ft п |2|a|+(a. a) •
Аналогично
Г _2_ " I2
Lp(yI01 +р(гI°1]
„,„ ,,^ С,[Х(г:^)-х(г:в7-")]|НМ°т1п
flW.zj*. ^ ^ -.21 a |+(a. a)+Mamln '
U(t/)|a| + р(*)'а| +Т\
Оценим км (v°) Daf для функции f (х) из B6). При Af>0, перенося
операцию взятия разности под знак интеграла иа ядро и оценив ее через
производные в соответствии с формулой G), получаем
| дм@°)Daf (х) |< J я-10|-,а- * |f0(* + у) д* (- *а)<> (г/: #а) |dy +
+ с,
•И
п
г (г: Га) р (z) ° " I Д* (t,0) Ф (х + V, г) I dy dz
Г _2_ _2_"Г
Lp(t/)la| + p(*)|a|J
":+»..,
,Мл .А^шш Г Г р(г)е Ф*и + У, Л z)dydz
+ С4'01 J J Г _»_ _п_ Г+^тШ
= Л„ (х, Г, Я) + СА (*, Г) + САВХ (х, Т, Я), B9)

270 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
где ц^О, 1^р<<7<оо,
v-(c. l--? + -i) + |c|(l+?)«2|c| + (a,a).
(ГЛ. IV
ф U,
о°, г) ¦¦
2 Ы
13 1=мо
п Зг
г=|
ПД *.„.<*»
<=| /=i
Функция ф* возникла в результате применения формулы G) к ядру
4rt((y — х): h°) с последующим перенесением интегрирования на ф благодаря
линейной замене переменной и оценке возникающих в G) множителей
(t>a)e
«,«J. 3)
№е
^]^п
:А°
|Л
В силу неравенства Минсковского 2A2)
Иф*(-.о°.г)||р<С|ф(..2)^
При AJ = О верна, очевидно, та же оценка B9), но с |ф(* + //, z)\ вместо
<р*(х + у, аа, г).
Для оценки ?~-иормы левой части неравенства B9) оценим Ао, Si с
помощью неравенств Юнга 2A8), Минковского 2A2) и Гёльдера:
IA.L<c,[|
Мп —Iff,—т:— Ю)
v\:H]f°^H V "° * }\\fo\U
3i|-<C,|0|Ma«n«n
I
-+я
|l9(.,2)LpB)D dz
гГ<'<г<Яа
P(*)
I о I
\""('Hr)
+ Ma.
<
mhi
+ n
<Ce\v\M°^
J
-+u
Цф(-,гI]рр(г)" rfz
P (z)l ° ' + Г.
+
+ C,
l еТG<г<5-17'(т
(•.*)ll^
Оценку f. -нормы Л( при 0 = 1 можно провести тем же образом. В
общем же случае воспользуемся оценкой для II^FIL из 16.2, в силу которой
I
'{ J
l<p(-.Z)fid2
yd
Собирая оценки слагаемых правой части B9) и заменяя в интегралах z
на 6~'г, получаем неравенство B8) леммы. Утверждение леммы о
возможной замене amm на Oj легко проследить по ходу доказательства.

f 16] ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В /.^-НОРМАХ 271
16.10. Теорема. Пусть открытое множество G cz Еп
удовлетворяет условию —рога, 1 =^р° <[ 9^» °°> l^P^S 9^ °°>
для \х^0 выполняется условие (-27) и либо 8 = 1, либо 1^
<е<^„, 1 </?„ < qn < оо.
Тогда при vt > 0, 0< Г < Я < Я (G), 0<ЛГ<М, 0<p<<x
JAM(v°; G)D%^
<C[| v |: //]>in//-("• ^г-Т+р) | a«-v@". G)Da/||p. +
+ С|оГг„.п J ||Дт(г;С)/||р ^жгу-. C1)
г«<г<я« рB)П+ц+-Т^Г-
///?« этом amin можно заменить на ajt если шаг разности
v = vtet.
Доказательст во непосредственно следует из леммы 16.9. При этом
число H(G) нужно взять столь малым, что при 0 < t>( ;=: H(G)
11лм(оп;с)^/||,<2|Д)м(»0;с*)^/1.
где открытые множества Gft образуют покрытие G в соответствии с условием
—рога (см. 8 C)).
16.11. Замечание. При М = 0 условия на G в теореме 16.10 можно
ослабить, считая, что G удовлетворяет слабому условию —рога.
I<i I
п ±\ —
16.12. В оценке C1) вместо функции р (г) = I ^ I z{ | ' I можно
взять любую, ей эквивалентную, в частности
я B) = max I г. l1 ° l'noi = max 1 z/ |1/0<', ff,0) = J2L
Тогда
-? = л(гГоЧ. max|C/l= 1,

272 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
и, переходя к новым переменным в оценке C1) (см. конец п. 4.1), получаем
в предположениях теоремы 16.10 оценку
II Ам (va; G) Dai \\q <
< С | v \"°™ln H~°mla~(°' "^"+3) || ..\«--V @«; о) Dn-3/ ||„0 +
па
>|0|S;g)
ds (?) d.T ] e
p „i+ne
+
Г n <n<H » '<'<B
i?i _ maxjt^l л |al
C1')
При этом Omin можно заменить на Oj, если шаг разности и = a,-ej.
Отметим еще, что в условиях теоремы 16.10 справедлива оценка
I ' )'/8
sup \\bm(v;G)D«f\\q<C Г sup |UmB;G)/ll9p-1^r} ,
Р(с)« Ч 1 J Р(г)<т р Ti+tlH 1
обобщающая соответствующую одномерную оценку П. Л. Ульянова [3], стр.672.
Для доказательства достаточно в C1') взять Н = Т = tn''a\ М — т, N = 0,
й = р и перейти справа и слева к верхней грани соответственно по г и v.
После этого остается объединить оба слагаемых правой части.
16.13. Займемся теперь оценкой разностей переменного
направления через разности координатных направлений.
Теорема. Пусть omln = min а,-, открытое множество GczEn
удовлетворяет условию —рога, l^pl^.q^co (/==0, 1, ..., п)
и для каждого / = 1 п либо 8,= 1, либо 1<|6г<[<7„,
1<Р'п<Aп<00-
Пусть еще выполняются условия A7).
Тогда при 0<z2 < Г<Я <tf(G) (i = 1 п), 0<#<M
< С [I z |: Я]>>"Я"(°' ^~Т+Р) || Ам~» (z«; G) О"/ J,. +
я
+ С|гГ-J" |АГ'(<*: С)/(^7^теГ- C2)

«161
ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В 1р-НОРМАХ
273
При М = 0 можно считать, что G удовлетворяет слабому ус-
1
ловию —рога.
Доказательство проводится аналогично доказательству лемм 16.3,
16.9 и теоремы 16.4. Воспользуемся представлением A5) н рассмотрим
функцию {(х) из A6).
С помощью тех же оценок, что и при доказательстве леммы 16.3,
получаем, очевидно, что при 0 ^ zt < Т sg; Я, М ^ О (и для простоты записи
N = м, а = р)
< J Н-\ о На, о) | ДМ (_ 2а) уШ) (у . #a) /q {х + y)\df, +
+ с,
Si J
В' ri\bM(za)b(x + y,t)\dydt
21 »/' + <''
+c,5)i'
,Л1а,
mln
i=I
О, Рп
7* * с
-+/-,
f ' щ{х+у, г°, <)<fyЛ
li + Mamln
М
га га
= Л0 (г. Г, Я) + С, ^] At (г, Г) + С, JJ 5< (*. Г, Я), C3)
где Xt = (a, 1—т + 7) + а'A-"ег) + а'("е7 + г')' 'И*.*0.')-»
-"|Ф?(*. 0| 'фи Af = 0, ф*(г, z°, <) задается равенством C0) при М > 1,
так что при М>0 || <р) ( •, za, t)\\p < С|| <ft (•, 0 lip-
Повторяя соответствующие рассуждения из доказательства леммы 16.3 и
теоремы 16.4, получаем доказательство теоремы 16.13.
16.14. Оценка для следа функции. В предположениях тео-
ремы16.4 (леммы 16.3), в том числе конечности правой части
B0), в случае, когда некоторые компоненты вектора q
бесконечны (qim+i = ¦¦¦ =Qin = °°)> существует след Daf на Геб,
где Г — открытое множество m-мерной плоскостиxim+1=xtm+l, ...
it-) xt =xt .удовлетворяющее условию у) из 10.11.
Доказательство этого почти не отличается'от приведенного в 10.11
доказательства в аналогичном случае. Поэтому мы укажем лишь,
как получить аналог 10B1). Воспользуемся для этого представ-

274 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
лением A5), в котором возьмем U = GA. Обозначив через fHn{x)
первое слагаемое правой части A5), заметим, что при 0 < е ^
^ Н f о(х) определена на U и продолжима в С°°@), даже в
С°°(?п), см. A6). Разность Dafe<,{x) — Daf (х) равна в силу A5)
производной Da от второго слагаемого правой части A5) при
Н — е. В силу оценок леммы 16.3 (см. вывод оценки A8')) при
/И = 0, 7"=# = е имеем неравенство
t=i I о ' J
правая часть которого стремится к нулю при е—*0 ввиду
конечности правой части B0). Следовательно,
Dafeo-+Du[ в Lq{U) при е-* 0,
т. е. аналог 10B1) установлен. Проводя те же рассуждения, что
в 10.11, получаем в соответствии с B0) оценку
\\W(r\G)D%. _о_ I
'те+1 'm + l
через правую часть неравенства B0), где q' — (<fix, •.., <7гт),
1 <л') < ... </от^га, 1 <J/m+| <...</„ ^ л, Сцф^ при k?=s.
16.15. Построение функции по заданному следу. В левой
части неравенства B0) некоторые координатыg, (& = m-f 1, ...
* к
..., п) вектора q могут быть бесконечными. В этом случае,
как мы видели в 16.14, оценка B0) порождает оценку свойств
следа функции f(x), jceG, на сечении (точнее, на его ча-
о
сти Г) замыкания открытого множества G плоскостью х. ~х,
' k ' *
(k = m + l, ..., п.).
Изучим обратную задачу, т. е. задачу построения по
функции, заданной в m-мерном подпространстве, ее распространения
в «-мерное пространство с возможно лучшими
дифференциально-разностными свойствами. Подобный вопрос был впервые
поставлен и решен С. М. Никольским [1] для //-классов. Здесь
используется его метод с соответствующими видоизмениями.
Пусть х = {х1 хп), *'=(*„+,, .... ха+т), а=(а , ап) > 0,
О' ={on + i, ..-, 0„ + т)> 0, р = (р[ /?„), р' = (рп + 1, • • ., Рп+т),
<х = (а„ .... <х„), а' = (а„+„ ..., ап+т). Пусть функция f(x)
определена на U-\-V\ — \. где U — открытое множество из Еп,
та.к что для нее на U имеют место представления A5), A6),

* i6| Оценки модулей непрерывности й tp нормах 275
Построим на основе A6) функцию
п+т "* I \ Г / \
I*/]- п ш»Ш$н-'°'Ч-?)'•(»+*>*+
*=г.+1 х ' б"
о г=1 Е« о t=n+i \« / \я /
X ф< (* + У> 0 * dy dh, C4)
где ,u@eCS°(?'), ц@ = 1 при | /1< е, ц(/) = 0 при Ш > 2а
(я > 0).
Из последующих оценок будет видно, что при
соответствующих условиях «гладкости» функции j(х) существует след
функции Da f (х, х') при х' = 0 (хе?У). При этом из построения
функции f(x,x') вытекает, 4ToDaf{x, 0) = 0 (х е?/) при а'ф$',
D^'f{x, 0) = /(х) (xet/) (последнее — ввиду того, что пра-
иая часть C4) обращается в этом случае в представление A5) и
A6)). Эти утверждения для функции f{x), имеющей
достаточное количество непрерывных производных, непосредственно
вытекают из вида C4).
Оценим b.f{tai)D'a'a^(xt xf) для (х, хГ) е= Еп X Ет при
0<т<#„, 0< Г< Я <#0< оо, /=1, ..., п + т.
Ход рассуждений будет почти повторять вывод оценки A8).
Перенесем операцию Л/ (та/) D" на ядра под знаками
интегралов в C4). Оценив разности для ядер через производные при
Т ^ h ^ Н и просто суммой модулей при 0 < /г ^ Т, найдем
оценку для интегралов по h:
А (у, х', t) =
о
я
В (г/, *', /) = %°fM J /Г1 ° |_0'~,а' 0)-(a'• а'ж3'' 0',_0/M X
т
xxix'-.-hnxiy.h^hM-^ldh,
Где %(х)— характеристическая функция куба {х = (хи ..., хп):
0<х<1}, х(х') — характеристическая функция куба
{х = (хп+и ..., Хп+т): |*.|<2а (i = п + 1 tt + m)}.

2?fi
функции с Разностными характеристиками
[ГЛ. р
Учитывая положение носителя ?<, получаем отсюда так жъ
как при выводе A8), что при достаточно малом а
i i
Л (г/, *',/)<
, п+т / —\
| о |+о(-+(а. в)+(а', а')-(Э'. ст'
21*/'+ 2 1*/'+'°'
В (г/, *',*)<
C1IxO:»e')-xO:ere')lx0/M "ff X (| *» ^: ^)
<
i 1
_L _L
.о, . а,
I а|+аг+(а,а1+(а', а')-(Р', а')+а,Л'
Таким образом,
X
xU':^') Jtf-|aW(r.tfa)fo(*+</)Uy
+
(p. p'i
1 II
n+m / —— —\ -g-+''j
Tr' г П X |*J * :* ' И ' l^x + y.^ldydt
fe=n+i \ {_
1 1 I -lA..
X %, n — n+m — — «
2l*,l°' + .2 l^i0/ + ^ff'
/=i
+c,5X/
i=\
/=n+l
i 1 I
I p. p'
яа<
n+m / — —\ ¦K-+rl
, , IT x Kl°':<°' ' ' |»|(»+».')К»л
гТ ' ?
1 I 1
n — n+m — —
Ki , , a, . v. , , a, . ,<J,
A.j+cbM
(P. P')
2|*/' + 2 |*>4e' + 'r
n
= Л0 + ^Лг + 5]В«' <35
где нормы берутся по переменным
(JC, Х)'==\Х\, . .., Хп, Хп + \, . .., Хп+т)>
h = 1 о | + Oi + <v, + (о', y) •

I 16) ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В /.^'НОРМАХ 2??
п Г{ определяется условием
o(rt = (а, а) + (а', а')-(р', а')-(о*, у) V = 1. • • •, л). C6)
Напомним, что фг (х, t) имеет вид
j
<?{ (х, t) = Г °< ''д™' F/; U+V)f{x + tet). C7)
Получим сначала более простую оценку правой части C5).
Возьмем G; = 1 {i = 1, ..., п), заменим в Л* и Bt множители
п+т
11 xd^fel -^'"О единицами, вынесем интегрирование по t
h-n + i
;iii знак нормы и будем последовательно оценивать нормы по
Х\, .. ., х„, применяя каждый раз одномерное неравенство Юнга
2A9), затем нормы по хп+\, •••, хп+т, каждый раз
непосредственно оценивая интегралы. Аналогично поступим и при оценке
И». В результате получим оценку при р°*Ср:
+ с2^J \\<Pi(->t)\\pdt +
<=i о
+ С2%т°1м J ||ф,(-,*)И,
ti+ridt
"Р о.
Упрощая вид правой части последнего неравенства так же,
как при доказательстве леммы 16.3, получаем
+ сS IIIАГ< (<а<; ^+v)/||„-j$^ + cx°iM ^{т, н),
1=\ 0 ( 1=1
где в общем случае
я
C8)
0<*,B\ Я)<] ||АГКЛ; U + V)f\\ , " .
а при ауМ > а,(т, — г,), т < Г /?,(Г, #) = 0.

278
функции с разностными характеристиками
(ГЛ. IV
Приведем теперь другую оценку правой части C5) в случае
1 < Рп+т < °°> М = О, Т = И. Возьмем в C5) 9< = рп+пг
п + т
(i=l п). Заменив в Аь и В{ множители XJ x(l xk l'/0ft : '""О
на x(l Xn+m I /<T"+m : ?/0(). вынесем интегрирование по ^ за чнак
норм по хи ..., xn+m_, и оценим эти нормы так же, как
в предшествующем случае. Получим, очевидно, что
^Рз
I
о
X \|жп + я
' 7< ' || Ф? ( ' . О ||р Л
!
i\(,i+Vi+-
un + m
"п+т
п + т
dx„
Продолжим оценку, считая дополнительно, что
Gn+m
Г, > - 1 -
аАн
(i = l, ..., л).
C6')
Первое слагаемое в скобках, стоящих в знаменателе, не
превосходит второго, так что его можно отбросить ввиду C6') за
счет увеличения С3. Проведем после этого замену переменных t
на С1, хп+т на |а«+т. Получим
Л? + В,<
<с4
!*№*(:'¦
1I,1
-1 +¦
Ч~"п+т
Рп+т at
"п+т
'dl
\"пл
Применяя неравенство Харди 2B3), получаем отсюда, что
1
Собирая оценки, получаем, что при 1 < рп+т < °°, р°^р
+ cf\\№l(f'yu + v)f\
fn+n
dt_
J+rl°lp>
i
"n+m
(=! I 0
i"ii'n+m
C9)
Покажем теперь, что если для функции f(x) конечная пра
вая часть C8) и выполнены соотношения C6) при р' = сю,

I I6J ОЦЕНКИ МОДУЛЕЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ В ?р-НОРМАХ 279
г, > — 1 (i = 1, ..., п), то для построенной в C4) функции
f(x, х') производная Da'a'f(x, х') имеет след при х' = О
(xeU). В самом деле, в силу C8) при р'==со, М = 0 функция
l){a'n)f(x, х') е LPilX). При этом, как видно из вывода C8),
J)m'a)f(x, х') совпадает с пределом в LPi от бесконечно
дифференцируемых функций Da'L'^(х, х'),гд.с fe(x, х') отличается
от f(x, х') из C4) только тем, что интеграл по h в C4) берется
но (е, //), е > 0 вместо (О, Н). Теперь остается воспользоваться
лишь теоремой 10.10 о существовании следа.
Заметим, что при а ф |3' Da"a)fe(x, 0) = 0, так что в этом
случае и след D{n'a]f{x, 0) = 0. Если же <х' = Р', то предельным
переходом при е—>0 получаем, что D f(x, 0) совпадает
(на U) с интегральным представлением функции f{x), т. е.
If f(x, 0) = /(*).
Отметим еще, что если для некоторой функции f(x) правая
часть C8) коиечда при некоторых г* (i = 1, ..., п), то она
останется конечной после замены чисел г, на не большие.
Отметим также, что в случае конечности нормы ||f|| u+v будут,
очевидно, конечны те слагаемые сумм правой части C8), для
которых г,- < 0.
16.16. Замечание. Можно обобщить постановку задачи,
считая, что требуется продолжить в пространство Е,,+гп точек
(х\, ..., хп+т) функцию, заданную па /г-мерном
подпространств точек
(**, хкп), где 1 <fe, < ... < ft„<ra-f- m.
Нам важно фиксировать номера перменных, так как вычисление
смешанной нормы проводится последовательно по Х\, .. . , хп+т
и этот порядок, вообще говоря, нельзя изменить. В этом случае
будет иметь место оценка, аналогичная оценке C8), причем ее
иывод фактически остается тем же.
Так же легко проследить, что в случае k„ < т + п будет
справедлива оценка, аналогичная оценке C9.), с прежним (по
существу) выводом.
Если же kn = п + т, то вывод оценки, подобной C9), не
проходит, так как при нашем рассуждении по последней паре
переменных (хт+п, t) — (xk, f) следовало бы применить
двумерное неравенство п. 16.2, но его можно применить лишь для пар
Р = (рп+т, 0), 0 = (8, оо), где 1 </?„+т < 6 < оо.
Таким образом, в этом случае можно получить оценку для
разности Д'и (т0').Л'а'а'/ в норме,, j$ .которойпоказатель суммируе-

D0)
280 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
мости по последней координате xn+m = xkfi выше, чем у
исходной нормы по той же координате.
Отметим еще, что этими же методами могут быть получены
и более общие оценки, т. е. оценки в норме L{q, ,», через нормы
Lp. Разобранный случай q = р является наиболее интересным.
16.17. Теорема. Пусть открытое множествоGczEn
удовлетворяет условию --рога, <т=(<т,, ..., оп)>0, а' = (а„+ а„+т)>0,
и выполнены условия C6). Тогда каждой функции f (х) {с
конечной правой частью нижеследующих неравенств для норм
разностей) линейным образом ставится в соответствие
функция fp-(x, х'), {х, /)gGX?", такая, что D' 'а)/р'(х, 0) = 0 при
аф$', D|0,i3'7y(x, 0) = f(x) и при 0<т<Я(О, 0<Г<Я<
<//(G), /=1, ..., п + пг, р°^р
т
+ с ? ||АГ'(^'; O/L-tSst + Ct0^ i>(?\ Я),
dde в обидел случае
н
0<Rt(T, Я)< J ||АГ'(Л G)/L ,+,*+,.м.
а при OjM > Oiim,. — г;) /?г(Г, Н) — 0.
Если же 1 < pn+m < оо, то
i
г, ( и \~z
+ с? J!Ar'(^G)ff-—|^_| . D1)
/=i I о ' )
Оценка типа D0) сохраняется, если исходную функцию
считать заданной на области подпространства точек (хц , ..., xk\
пространства ?"+т A ^ k\ < ... < kn ^ п -f т). При этом
оценка типа D1) также сохраняется, если kn < п + т.
Заметим, что вид функции f^ зависит от Я.
Доказательство. Пусть U — открытое множество в Еп,
функция r\(x) е С°°(Еп) имеет ограниченные производные до
достаточно высокого порядка. Тогда оценки C8), C9) справед-

«1*1
ОБОБЩЕННЫЕ ГЙЛЬДЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА
i&\
ливы и при замене в их левых частях функции f(x, х') на
функцию ц(х)}(х, х'). В самом деле, так же как в лемме 16.7,
устанавливается оценка
A/M(T0/)[D,-e',(Ttf)]|l,>^<
м
< С 2 2 V/'*-"» | Л? (V/) D'p' а'11 ру D2)
8<a №=0 ти'и '
К каждому слагаемому правой части применяем теперь оценку
C8) или C9) и получаем желаемое. .
Пусть теперь функции {e*(*)l*=i образуют разложение
единицы, соответствующее покрытию {Gh} открытого множества G.
Построим по Gh, Vh и заданной функции \{х) функцию fk(x, х')
по формуле C4) либо переходящей в нее изменением
направлении некоторых (или всех) координатных осей на
противоположные так, чтобы носителем соответствующего представления
служил рог Vh- Тогда функция
к
h'{x, 0) = 2 ** (*) М*. х'),
р й=1
й силу приведенных выше соображений удовлетворяет всем ус-
уювиям теоремы.
§ 17. Теоремы вложения и продолжения
для обобщенных гёльдеровых пространств
В качестве следствия оценок разностей функции и ее
производных в различных метриках можно получить теоремы
вложения, продолжения и эквивалентности норм для различных
функциональных пространств, дифференциально-разностные свойства
щ которых задаются условиями Гёльдера или более общими.
17.1. Ж-функционалы. Назовем ^-функционалом
неотрицательный функционал Щ§\ = ЗЩ$(И)], определенный на
неотрицательных измеримых функциях ij)(A), 0 ¦< h < hQ < оо, и
удовлетворяющий следующим условиям при любых а ^ 0, b ^
> 0, 6 > 0:
1°. Ж [m|>, (h) + М|>2 (А)] < СаЖ [г|з, (А)] + СЬЖ [$., (Л)].
2°. 3»[ф?(Л)]<СЗ»[ф2(А)] при 0<ф,:(А)<ф2(Л).
30 л(/>
6 dt
Г г
J *(А0 1+/м
<С,F)ЭД(А)].

282 еЬУНКПИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ (ГЛ. IV
4°.
1 + hib
< оо.
5°. J ЪЦ)рЦ-<С{Н,Ь)аЮ[ЪШ, 0<H<ho.
о
В дальнейшем параметр /го Ж функционала будет браться
конечным и достаточно малым, хотя данное определение можно
рассматривать и применять и при /г0 = +<х>.
Приведем некоторые примеры ^-функционалов:
5»»1Ф(Л)]= sup ф(А), A)
О < К < k:
( л, ]1/е
3»в[Ф(А)]= { tWe-f-[ , 1<0<оо. B)
I о I
Эти ^-функционалы A), B) являются наиболее
употребительными в приложениях.
Примером ^-функционала является также
SUD tW _ а')
0<ft<ft /. l\ei/. . 1 \s2 (, , \\sm ' v ;
С помощью каждого ^-функционала вводится, как будет
показано ниже, семейство функциональных пространств
функций многих перменных с определенными
дифференциально-разностными свойствами, для которого устанавливается
замкнутость относительно теорем вложения и продолжения. Впервые
это было обнаружено СМ. Никольским для <Ж-функционала A).
Теоремы вложения и продолжения для семейств пространств,
определяемых с помощью ^-функционалов типа (]'), были
получены А. С. Джафаровым [1]. Затем О. В. Бесовым были
получены теоремы вложения и продолжения в терминах
^-функционала B). Тем самым теория вложения была распространена
на семейства функциональных пространств, порождаемых
произвольными функционалами Зёъ однопараметрического
семейства A ^ 0 ^ оо).
Дальнейшее обобщение принадлежит К. К. Головкину (см.,
например, [3], [6]), обнаружившему, что семейство «конкретных»
функционалов Зё% в теоремы вложения можно расширить до
некоторого класса функционалов, названных им функционалами
типа максимизации, так что для порождаемых ими семейств
функциональных пространств справедливы так же
формулируемые теоремы вложения и продолжения. Функционалы типа
максимизации &\^\ определяются К. К. Головкиным на функциях,

f 17]
ОБОБЩЕННЫЕ ГЁЛЬДЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА
283
ладанных на положительной полуоси, неотрицательных и уда-
нлетворяющих следующим требованиям:
а) 3 [Ь (A) + ^ (А)] < Э \% (А)] + 3 [гр2 (А)];
б) 3[a^(h)\ = \a\3[^(h)]^\a\3[\^(h)\];
в) 3 №(h)\ — 0 влечет -ф(А) = 0 почти всюду на @, -|- °°)>
г) 3[^(h)]^3[^,(h)} при 0<ф,(А)<фг(Л);
д) 3 [ip (АА)] = ^[-ф (АI при k > 0;
е) ^!ф(А1")|-~У[11)(А)] при ц^О.
^-функционалы, по существу, общее функционалов типа
максимизации 3[ty]. Примером ^-функционала, не
являющегося функционалом 3[ty], служит функционал
ft» \ 1/9
dh_
А
ls^6<oo, OO < S < OO, 5=5^=0.
Очевидно, что для этого ^-функционала не выполняется
свойство д), а при 0 < А0 < оо, А0 ф 1 также и свойство е)
Д'-функционала *).
17.2. Для более полного сравнения .^-функционала и ^-функционала
убедимся в наличии у У-функционала свойств 1°, 2е, 3° З^-функнионала с h0 = оо.
Проверке подлежит, очевидно, лишь свойство 3°. Вынося интегрирование по
t из-под знака St-функционала (этим свойством .^-функционала неоднократно
-пользовался К. К. Головкии, оставляя, впрочем, без разъяснения, вытекает ли
оно из свойств а)—е) или для его выполнения требуется сузить класс
3 функционалов), имеем
Wl= J lip (А) Iе In* (-^)-
at
ОО -| оо
Г ф(А/)_J!—^. < Г StW(ht)\
t° dt
\+t26 t
Ввиду д) правая часть последнего неравенства равна
I
о
где
St \ ф (А)] —-Цу — = С, (б) 9 [ф (А)].
\ + t t
CiF, = 1tt^t< + 00-
*) Упомянутые исследования относились к случаю обычной ?р-нормы,
О ¦= ?"; в них были получены теоремы вложения и продолжения и
пространства одноименного семейства, теоремы об эквивалентности норм при
изменении порядков разностей или производных. Полученные результаты
обобщались в различных направлениях: разные /.„-нормы по разным переменным и
достаточная общность G (В. П. Ильин), смешанная /.„-норма (С. М.
Никольский, А. X. Гудиев и др.) и т. п. Последующие ссылки будут относиться лишь
к случаям, не охваченным этим замечанием.

284 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Отметим еще, что требование 4°, налагаемое па 5#-функционал, связано
со спецификой области определения функций из рассматриваемых
функциональных пространств. Оно применяется лишь при оценках «неглавных»
слагаемых, возникающих при интегральных представлениях функций (см.,
например, первое слагаемое правой части 16A5) и первое слагаемое правой
части 16B0)). Если область определения такова, что в оценке типа 16B0)
можно брать Н = оо, и если при этом «неглавные» слагаемые (в пределе)
исчезают (т. е. налицо ситуация, в которой К. К. Головкиным
устанавливались теоремы вложения в терминах .^-функционалов), то требование 4° не
участвует в выводе оценок и его можно опустить.
Требование 5" позволяет оценить ?_-норму Daf через значения 5^-функ-
ционалов от разностных характеристик функции }; таким образом,
требование 5° можно снять, если мы оцениваем лишь разностные свойства функции
в терминах ^-функционала.
Как мы увидим далее, введение ^-функционалов удобно и
естественно при классификации функций заданием свойств норм
их разностей и при получении теорем вложения
соответствующих функциональных пространств.
17.3. Определение. Обобщенным гёльдеровым
пространством Ж о i _ п (G; —) назовем линейное пространство
функций, определенных на открытом множестве G а Еп с конечной
величиной
И^чА (п- *\~
№ а. „I «10; —)
р ; р р \ о j
=llflUG+ 25е[л-°'<'<-*<>|дГ'(л0'; <?)/>?'/у, C)
где пг{> 1{ — k{ > 0 (i = 1 и).
Выражение C) будем для удобства называть квазинормой,
которая не является, вообще говоря, нормой, хотя мы
сохраняем за ней обозначение нормы. Квазинорма будет нормой в
том случае, когда для функционала Ж\§{К)\ выполнены
свойства полунормы, в частности, это так для функционалов A), B).
В случаях р' = ... =рп = р и рй = р] = ... — рп = р вместо
5^о.р. y.(G; 1) будем писать просто ^о.р@; 1)и Ж1Р@; 1).
Для функций f(x) с конечной квазинормой C) естественно
говорить, что они обладают гладкостью порядка lt > 0 по
переменной хх в норме /, i (G),Показатели о, > 0 введены для
удобства выкладок и не оказывают решающего влияния на существо
дела. В основных случаях правая часть C) остается
эквивалентной при замене одних о, > 0 другими, например при
использовании ^-функционалов A), B), что проверяется элементарно.
В функционалах типа максимизации 3f[ty{h)] это обеспечивается
аксиоматически.

« 171 ОБОБЩЕННЫЕ ГЁЛЬДЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА 285
Ниже будет приведена, в частности, теорема об
эквивалентности квазинорм C) при различных ти ki, удовлетворяющих
условию тг ~> U — ki > 0. Заметим по этому поводу уже сейчас,
что среди квазинорм C) более слабыми являются те, у которых
ki = 0, так как ввиду 16D) они могут быть оценены через
соответствующие квазинормы с &, ^ 0. Поэтому в правых частях
получаемых ниже оценок можно ограничиться квазинормами C)
с ki = 0.
17.4. Теорема. Пусть открытое множество G а Еп
удовлетворяет условию —рога, l^.pl ^q^.co (i = 0, 1, ..., п),
V-it = aJi — [о, -г Ь а) — Ojl'i > 0, // > 0 (/, / = 1, ..., п),
\ \ 11 D)
Тогда
причем для произвольной функции fe^o i ф я (G; —) при
0 <l'i < М, достаточно малом 6 > 0, 0 < Н < hQ (G)
справедливы неравенства
Mh-°il'l sup |Af(Ta/; G)Daf||J<
0<т<л •*
<CH^I*[[^ilM(±p',]m,.a +
n
+ С ? mm [/Га*'< |AJ"' {h°'; G) f | ,], E)
\Dafla<CH-(°-^~T+a)llf^G +
+ С Jj C(H, ц,) 5» [A'1' )A™' (A0'; G) f|pi]. F)
Доказательство. Положим в правой части неравенства
10B0) е, = 1, N**M, 0<ЖАо, Г = min [/г, Я]. Перейдем в
обеих частях к верхней грани по т, 0<x^.h, и домножим обе
чисти на ti~ ' I при 0 < l'j < М. Получаем с учетом 16A7), что

286 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
при 0 < А-< А0
A''/ sup l\?(T°t;G)Daf\ <
о < т < л ч
< С.А-"^ [А : нрм И0' ^_Т+а) || f црв с +
n , /mln [ft. Я| Я \
i=l \ О mln [ft, Я '
< Cyh-0'1' [h : Я]"/" н'^ ^+а) || f ||р, 0 +
+С, J #*" ( / + / Г°/М ) /0''/'~1 (Л*Г°''' | A,m; ((АО0'; G) f | , Л.
г=1 \а i ¦ /
Применяя к обеим частям неравенства ^-функционал, в силу
его свойств (см. 17.1) получаем оценку E).
Для получения оценки F) достаточно положить в
неравенства 16B0) М = 0, 0, = 1, Г=Яи оценить его правую часть
с помощью простого применения свойства 5° при 6 = ц, к
каждому слагаемому суммы, стоящей в правой части 16B0).
Имеем
+ с ? J||л:"<(Л; G)f\ -4^< сн<°' ^-т+а)цf ||р, fl +
п
+ С J] С (A/, ^)^[A-a^||Af<(Aa<-; G)f| ,].
1=1
Оценка E) показывает, что Daf по переменной х,- имеет в L,
гладкость порядка //, если f имеет по переменным х,- (г = 1, ...
..., п) соответственно bL л гладкость порядков /, и
выполняется неравенство D).
Пусть открытое множество G удовлетворяет условию —-рога
при любом о, как, например, прямоугольный параллелепипед
с ребрами, параллельными координатным осям, или все
пространство ?". Тогда при фиксированных /, р°, р\ .. . , рп, q
можно взять такой вектор о, при котором /' будет иметь
максимально возможные компоненты, т. е. указать обобщенное гёль-
дерово пространство Шч (G; — ] с наилучшей гладкое! ью в Lq

» 1Я
ОБОБЩЕННЫЕ ГЁЛЬДЁРОГШ ПРОСТРАНСТВА
28?
по каждой переменной, содержащее DlMlo i «(С; —]. Из D)
при этом следует, что все ц,, = 0, о,/г— (о, —: 1-а) и о{1'(
не зависят от /. В частности, для скалярных р* = (р1, . . ., р')
получаем, что а* (»" = 1, ..., п) определяются равенствами
о, \ 1 А/ 1 1 \ 1
•••— = - — \ — г — и, далее, /, равенствами цг/ = 0.
|ст| '*. /,- |™ \ р1 р' I //
Мы не будем в ряде следующих теорем явно выделять
зависимость от Н в константах неравенств. Эту зависимость просто
выявить таким же образом, как и при выводе оценок E), F).
17.5. Следствие. Пусть открытое множество G cz Еп
удовлетворяет условию 1-рога, 1 ^ р° ^ р ^ со. Тогда квазинормы
Mp'-tP(G\ I) C) эквивалентны при различных m,-, ku
удовлетворяющих условию rrii-\- ki> /4 > ki ^ 0.
Доказательство следует из оценок теоремы 17.4 и
неравенства 16(9).
17.6. Теорема. Квазинорма Ж1ро. i pn(G; — j C) для
произвольного открытого множества G а Еа остается
эквивалентной, если числа mt, k{ заменить числами m\, k'{ при
m< + ki = tn'i+ k\, mi + ki>li>ki>0, l^k'^0 (i=l, ...,«).
Доказательство. Мы докажем большее, а именно экви-
, вилентность для каждого фиксированного i = 1, ..., п
выражений
5»[A-0'<''_i')|A^(A°';G)Df'fI]
И
5»[A-°'''|A7'+*'(A°'; G)f\\p] {mt + k{ > lt > kt > 0).
Оценка в одну сторону следует из неравенства 16(9). Для
оценки в другую сторону воспользуемся неравенством 16A4),
ич которого получаем с учетом свойства 3° ^-функционала
<С^
<сж
J Н > lip Т)
о
|(ля«п)"'|АГ,+*'(Ав|ч:е)г|1,л''-*'-^]
^C^jA-^'lA^+^CA0'; G)fjl.

ФУНКЦИЙ С Р-АЗНОСТЙЫМИ кА^АкТЕРИСТМКАМЙ
|ГЛ. tV
(ао-'1аГ'((ло0'; o)f\dt
17.7. Теорема. Пусть открытое множество Сс?»
удовлетворяет сильному условию l-рога. Тогда обобщенное гёльдерово
пространство MP{G\ I) можно линейным и ограниченным
образом продолжить до Ж1Р {Еп; /).
Доказательство почти не отличается от
доказательства соответствующего частного случая теоремы 17.4.
Рассмотрим функцию J, построенную в теореме 16.8, ]{х) — f(x) на G.
Положим в неравенстве 16B4) Н = /г0, т = Т = /г, а = О, до-
множим обе его части на h~"l'i = h~l и при М >¦ lt применим
^-функционал. Получаем
^[л-,||АГ(л"/)Лу<с1||/цр_0 +
По свойству 3° ^-функционала имеем отсюда
*[А-'|А7(Ав0?1]<
<с1||/||р,0 + с22^[/г-'|лГ'(ла'; G)f\\p]. G)
Так же, как при доказательстве теоремы 17.4,
устанавливается и вторая оценка:
ll|llp<C3||/||pjG + C4i^[A-l||A(miUa'; С)/|J. (8)
Ограниченность, упомянутая в формулировке теоремы, как
раз и состоит в наличии неравенств G), (8). Заметим еще, что
функцию f(x) можно считать равной нулю вне наперед заданной
е-окрестности G, как это следует из ее построения.
17.8. Теорема. Пусть открытое множество G с Еп
удовлетворяет условию —'рога, 1 ^р° ^q^co, 1 ^p^.q^co,
Тогда
о,
+ а) > 0, 0 < I] < М.
[h-"'1'' sup \\Af(vr,G)Daf\\g}^C\\f\\ G +
0 < e, < ft
+ C3»
—aill—!—L M
\ \\Am{hX;G)f\\pds(t)
max | ?. [=>l
(9)

I 17)
ОБОБЩЕННЫЕ ГЁЛЬДЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА
289
Доказательство. Положим в неравенстве 16CГ) v =
= = vfij. Тогда по замечанию, следующему за 16C1'), (Tmin можно
наменить на в). Положим, далее, 0^/г = Г-^// = /г0 и
перейдем к верхней грани по о,- е [0, к]. Заменив еще в интегралах
правой части яга/1а|на t, домножим обе части на h~al1', О <//<
< М, и применим ^-функционал:
Ж[к~а^ sup \\AUvr,G)Daf\\q\^Cl3>e[h°'(M-l'ih\f\\p,G] +
О < t^ < ft
+ с,
|g[ / ' *
(A0"ff//~^",l^-,H+J rVai)x
X J lbm{{ht)a;G)flpds(Z)dt
max |S(|=I
откуда и получаем (9).
Доказанная теорема при Я = р, <х = 0, jj, ^= 0 о,/{= ...
,.. =0^/^ дает оценку координатных разностей через разности
с шагом переменного направления в одной и той же Lp-норме в
-терминах ^-функционала.
Приведем обратную оценку.
17.9. Теорема. Пусть открытое множество G с: Еп
удовлетворяет условию —-рога, 1<р'<<7<оо (i = 0, 1, ..., п) и
Oiri=(o,— r-a)>0 (i = l п).
Тогда при О < о^ < Мат]п
2$[h-°il'i sup UM(hX;G)Daf{]^C\\f\\p,G +
+ с 25»[аЛ~0<г'|а™'(л°'; G)f\\i]. (Ю)
(=i
Доказательство. Положим в неравенстве 16C2) Т = h,
Н «ее /г0, 0i = 1, перейдем к верхней грани по всем z*, |2j| s=I h,
и домножим обе его части на h ! '. Применяя затем к обеим

290 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
частям Ж-функциопал, получаем
X {h-°il'i sup J А'и(А°Е; G) Daf j|J < СХЖ \hm^~^ || f || J +
| Sj |< l
+ c,S«
г=1 l- no
J+ J r-MOm,n l|A"«(A0'/°'; G)f\ t(hfTlrlflrr*dt
откуда в силу свойств ^-функционала следует A0).
Отметим, что при р< = q = р (i = 1, ..., п), а = 0, ах1\ = ...
• •• —vjn теорема дает оценку разностей произвольного
направления через разности координатных направлений в терминах
^-функционала и тем самым обращает соответствующий случай
теоремы 17.8. Таким образом, из теорем 17.8, 17.9 мы в данном
случае получаем эквивалентность квазинорм пространства
Mlp\p\G; —), определенных с помощью разностей координатных
направлений и разности переменного направления.
17.10. Теорема. Пусть открытое множество G а Еп удо-
1
влетворяет условию —рога,
в = (о,, ..., о„) > 0, о' = (оп+„ .... ап+т) > 0,
a = (ai> •••> о„), а =(а„+|, .;., ап+т),
(а, а) + (а', о) — @', о') — (о', -г) > — min о„
¦ Р ' 1 < I < п
Iflt > />/ + (а, а) + (а', а') - ®', а') - (а', ±.)
(/=1 п + т; i = l, ..., л).
fWs^0iP(G;l), р°<р.
Тогда существует функция
такая, что
ZI0' 0''/р, (*, 0) = 0 при а' ^ §', D,0> р% (х, 0) = / (*)

* 171
ОБОБЩЕННЫЕ ГСЛЬДЕРОВЫ ПРОСТРАНСТВА
291
и при Mj > lj
ЪЩп-°?1 sup \\bp(r°i;GXEm)D^a'%,\\ l<C||f||p0C +
+ C ^^\h-aili\\^(ha'; G)f\\ 1, A1)
+ с||Ж[/.-°'''1дГ'(л'';0)?у. A2)
Оценки типа A1), A2) сохранятся, если функцию f(x)
считать заданной на открытом множестве подпространства точек
(х^, ..., Xkn) пространства Еп+т A ^ kx < ... < kn ^ n+m)-
Доказательство. Рассмотрим функцию fp,(лг, х%
построенную в теореме 16.17. В неравенстве 16D0) положим
Н = h0, Т = h, М = Mj и перейдем к верхней грани по т,
0 < т ^ h. Затем домножим обе его части на h~aili и
применим ^-функционал. Учитывая 16C6), в силу свойств
^-функционала, используемых так же, как при доказательстве
теоремы 17.4, получаем оценку A1). Аналогично оценке F)
получаем из 16D0) при М = 0 оценку A2).
17.11. Теорема. Пусть открытое множество Gc:En,
г\ {х) е С°° (?"), р (supp ц, ?n \ G) = 26 > 0,
| Dj'n (ж) | < М < оо (jce?n; гг<А/г; t = 1 я),
iVj достаточно велики, h0 ^ /г0 (б).
Тогда, если f{x)€=2elp(G; I), то r\{x)f(x)<=2elp{G; I) и
вде т)/ — продолжение нулем функции r\f за пределы G, С не
заиисит от f.
Доказательство. Пусть (?„ — б-окрестность supp ii,
0^А^/г0, где h0 достаточно мало, — = //, 0<j&/ <l/< kj+Mj,
lt<m{. Тогда в силу 16B1) при U = Gtn столь малом Н = п0,

292 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
что G, + V cz G,
II Af/ (h°i; G) D)i (rtf) I = I Af/ (h°i; G.) D)i (itf) jp < С A0 A || / ||p> 0 +
i=l 0 '
+ Ch*lul%$\b?t<fi;Q)f\ _**M.
г=1 л til'1
Домножим обе части последнего неравенства на /г-0/С/-*/)
и применим ^-функционал. Получаем в силу его свойств
«[/Г1/<'/-';> |Д;"/(/Л; ОH,"|«)у <С,Ш,.<,+
+C.S.
i=l
Г°А tl-aiki {ht)-x Af«((^)af; G) /I 2»
<
< C,|| f II,, 0 + C2 ^5if [A-1 J A, (A0*; G) f Ц,
i=i
что и требовалось установить.
17.12, Сравним теперь обобщенные гёльдеровы пространства,
построенные с помощью каких-либо двух различных
^-функционалов Щ\рAг)] и Ж{$(И.)]. Покажем, что различие в
^-функционалах меньше влияет на запас функций пространства, чем
изменение показателя гладкости / на сколь угодно малое е.
Точнее говоря, имеет место следующая
Теорема. Для произвольных Ж-функционалов Щ$] и М{^\
при любом е = (еь ..., гп), 0 < е;: < U (i = 1 п)
справедливо вложение
*KV A* ib4v AG' ^b^v AG- t\
A3)
Доказательство. Достаточно считать, очевидно, что
$>[¦$] —Ж „[$] = sup гр(А). Установим первое вложение.
О < h < ft0
Полагая ф(А) = А"°'(''""*')|Д|я,'(Л°|; G) Dktf\ ,, в силу свойств 1°
и 4° Ж-функционала имеем
58[<р(А)]<С sup А-0'Е'ф(Л)^фаЛ]<С, sup А-°Аф(А),
О < h< h0 0<h<h,
чем и устанавливается левое вложение A3).

§ I Я] ПРОСТРАНСТВА в1р0 293
Правое вложение A3) устанавливается с помощью оценок
16A4) или 16A4') и свойства 5° «^-функционала:
«о
sup /г°'е'ф(/г)<С sup f Ф (л) ч°Л — <
0< ft < ft. 0< ft < fto ^ 'П
А
2
<С, ГФ(г1)г1а^^-<С2^[ф(/г)];
тем самым теорема доказана.
Отметим, что для 5^-функционалов эта теорема впервые была
получена К. К. Головкиным [8].
§ 18. Пространства Blp, е и их связь с пространствами Wp
18.1. Определение. Пусть mt — натуральные, kt — целые
неотрицательные числа, mi>lt — kt > О (t = l, ..., п),
открытое множество GczEn, 1<р'<оо (г' = 0, 1, ..., п), 1<6<оо.
Пространством Blo i «. 9(G) назовем линейное
нормированное пространство функций f(x), определенных на G с нормой
ИЛЬ @) =
р ;р р ; 9
fll,.o + S
k, л ne 11/е
Пространство В^о. pi p";e(G) является, таким образом,
обобщенным гёльдеровым пространством, функционал Ж в
котором имеем специальный вид Ж§ 17B), а квазинорма 17C)
соответственно становится нормой A).
При 6 = оо пространство Bpoipi рп.^(G) будем обозначать
еще через я'о.р\ pn{G); норма в нем определяется с помощью
функционала ^ (см. 17A), 17B)):
ИЛЬ ,01 = НЛЬ @ =
VV pre,G) V:p' р";~
"дГЧА; G)D^f[b
¦ «11/llp.o + S SUP ' *,-», • <2)
В случае p1 = ... = pn = p введенные пространства будем
обозначать соответственно через Bp«,p,e(G), HP»;P(G), а если при

294 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
этом и р° — р, то через Blp, e(G), tf?(G).B случаях, когда
смешанная Lp-норма является обычной, т. е. р = (р р), в
обозначениях пространств на месте р будем писать р. При этом
в случае 6 = р будем вместо Blp,%{G) писать Вр (G).
Обозначение G иногда будем опускать.
Среди обобщенных гёльдеровых пространств впервые были
исследованы С. М. Никольским [1] пространства Нр(Еп),
получившим для них систему теорем вложения и продолжения и
исследовавшим другие их свойства. Пространства В1 о. л рп.в
и вообще^ о. 1 _ п являются прямым обобщением пространств
#р и обладают рядом тех же самых свойств. В частности,
формулировки теорем вложения и продолжения, полученные в § 17,
одинаковы для всех 5^-функционалов.
Пространства fijU р,о интересны, с одной стороны, тем,
что для них имеет место система теорем вложения и
продолжения та же, что и для обобщенных гёльдеровых пространств.
С другой стороны, они тесно связаны с пространствами Wp.
Именно, при р = B, ..., 2), 6 = 2 пространства Wi (Еп) и В1,, 2 (Еп)
совпадают, а при 1 < р < °о следы функций из Wp{En) на Ет
обратимо характеризуются в терминах пространств ВР,Р{Е).
Первые окончательные результаты по проблеме следов
функций из пространств С. Л. Соболева были получены при р = 2
Ароншайном [1] и независимо от него В.М.Бабичем и Л.Н.Сло-
бодецким [1], Фройдом и Краликом [1]. Гальярдо
[1].охарактеризовал следы функций из пространства С. Л. Соболева WPU (?"),
1 <С/? < оо, на (п— 1)-мерном сечении Еп. О. В. Бесов [3], [16]
решил ту же задачу для анизотропных пространств С. Л.
Соболева и сечения произвольной размерности m<n — 1.
18.2. Теорема. Для произвольного открытого множества
G cz Еп при различных /г0, 0 <С ho <С оо, нормы A) эквивалентны.
Нормы пространства Во \ «. 0(G) эквивалентны для
произвольного открытого множества G а Еп при различных mh
ku связанных условиями: Шг + k{ > /{ > kt ^ 0, для каясдого
фиксированного i; m, -f k{ = const.
Пусть 1 ^р°^р^сю, открытое множество G
удовлетворяет условию l-рога. Тогда нормы пространства Вр«, р, о (G)
эквивалентны при различных mu ku связанных условием m{ + kt>
> /,• > ^ ^ 0.
Доказательство первого предложения следует из
возможности оценить норму разности с большим шагом через
норму разности с малым шагом при помощи неравенства 16D).
Доказательства второго и третьего предложений содержатся в
более общих следствии 17.5 и теореме 17.6.

§ 181 ПРОСТРАНСТВА в1рв 295
Заметим еще, что при сравнении норм Во .„!_... „". е(^) в
общем случае при различных ть fe, оценка в одну сторону
проводится с помощью неравенства 16D) и тривиальной оценки
Lp-нормы разности большего порядка через Lp-норму разности
меньшего порядка. Так что «слабейшей» в So. 1 _ ».e(G)
будет та норма, в которой kt = 0, а т{ велики.
18.3. Теорема. Пространство В1 о ;_if... _«. e(G) является
полным.
Доказательство. Будем считать пока, что 1 ^ 6 < оо.
Пусть
ИЬ-'Л'. , . (о)-0 (v,,->oo). C)
р 1 р р ; о
В силу полноты Lpo(G) (см. 1.1) существует функция
f е Lpo (G) такая, что
Hfv-flUo-O (v->oo). D)
Пусть Q, Q* — открытые re-мерные кубы, Q cz Q*, Q* a G.
С помощью неравенства Гсльдера и приводимой далее оценки
(9) заключаем, что имеют место вложения
В1А ,. ,» е (G) =- < е (О «=* < (Q) E)
и выполняются соответствующие неравенства для норм (здесь
k = (&i kn) — то же, что в норме A); в случае k = 0
вложение E) не применяется).
Из E) и полноты W\ (Q) заключаем, что
В силу полноты Lp\ 9 (G X @, А0)) существуют функции F? (х, h)
та'кие, что
\h'!^-TKl (А. 0)DJlfv(x) _f|(X| А)|(Лв)>Охи>ад-0 F)
(v-> оо).
Но тогда для некоторой подпоследовательности (Д, }, /=1,
2, ..., почти для каждого xeQ и почти для каждого Ае@, А0)
^'fV/ W-* ^' / (*) У- °°> * = 1 - • • • > п),
h-'i+ki-TAp (А. G) D*tf^ {x)_>pi {Xt h) (/_^ ^

296 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Отсюда следует, что
Ft (х, h) = h~li+ki~A?i (A; G) Dktif(x)
для почти всех (х, /i)eQX @, п0), а ввиду произвольности Q,
Q с= G, и для почти всех {х, h) е G X @, h0). Из D) и F)
следует теперь, что
II/v — /II»/ im"*0 ПРИ v->oo,
что и требовалось установить.
Рассмотрим теперь случай 6 = оо. В этом случае
доказательство проводится аналогично. Нужно лишь вместо
Lpi_0(GX(O, А0)) рассмотреть пространство с нормой
sup ||<р(-, Л)|| 1 0
О < ft < fto и '
и воспользоваться его полнотой (см. замечание 1.1) и
возможностью выделения для каждого /ге@, /г0)
подпоследовательности, сходящейся к Ft(x, К) для почти всех xeQ.
18.4. Теорема. Пусть открытое множество G аЕп
удовлетворяет условию —рога, l^p'^^^oo (г' = 0, 1 п),
Ptl = lt°t — (o,-r г- а) — I'm>0, // > 0 (г,/=1,..., и), G)
^=°/;+(°.-^~jq-+a)' vi=iiOi-(o,7--7+о)-
Тогда
*>%W pn,e(G)c^Blq_e(G),
причем при О < // < М, О < Н ^ п0 справедливы неравенства
f sup |Af(T;
« 0 < x < ft
/г ' '
<CS^/ Г|АГ'(A; GJ/t,-^-Г, (8)
г=1 l о A J
Da/IU<CW-(O'^+a)||/||p0iO +
+ cS^' Г|ДГ'(Л;0)^-Д-|в. (9)

§ 18]
ПРОСТРАНСТВА Вр_ е
297
Эта теорема является следствием теоремы 17.4, если
заметить, что постоянная С (Я, б) в определении «^-функционала для
функционала Ж§ легко подсчитывается с помощью неравенства
Гёльдера и равна с(б, 6)Я6.
18.5. Теорема. Пусть открытое множество G cz Еп
удовлетворяет сильному условию l-рога. Тогда пространство Bp,o(G)
можно линейным и ограниченным образом продолжить до
в1рЛеп).
Эта теорема является частным случаем теоремы 17.7.
Напомним, что построенный при этом оператор продолжения f(x)-*f(x)
таков, что f (х) = О вне наперед заданной е-окрестности G.
Ограниченность продолжения состоит в наличии оценки
/Нв/ (En)<C]\f\\Bl
р,е
Р,е
(ОС
18.6. Можно рассматривать пространства функций,
построенные с помощью функционала Же и разностей с шагом
переменного направления. Связи между этими пространствами и
пространствами Вр\ р, е содержатся в теоремах 17.8 и 17.9,
относящихся к произвольным ^-функционалам. Мы сформулируем
здесь лишь следствие этих теорем, касающееся эквивалентности
нормировки Bp\p,e(G).
Теорема. Пусть открытое множество G удовлетворяет
условию 1-рога, 1 ^ р° ^ р ^ оо. Тогда норма A) пространства
Bp\p,o{G) эквивалентна при М> max U нормам
II/IL..O +
J
max|t{|=l
,М
1 < i < п
- \ II
*'& 0)f\
ds{&
\f\
ip», а
+
о _
sup
maxj?.|<l
vM
\A*C; Gjf
dh
h
dh \
A0)
Xi l)
18.7. Теорема. Пусть
X = \X , X ), X = \X\, . . . , Xm), X = \Xm + i, . . ., Xn),
a = (a', a"), p = (p', p") = (p pm, pm+l, ..., pn),
ч=(в'.«"). /=(/,, .'..,/„, /m+1,..., g, /'=(/; g>o,

•2У8
ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
[ГЛ. IV
Пусть открытое множество G' cz Em удовлетворяет условию
—рога, G=G'XEn-n,
<>il't > °ili + (а> °) — °"> Р" + ~уг > oL — min о,
0'=1 п; f=l, ..., т).
Тогда каждой функции f(x)^Bp\P',e(G'), р°^.р', линейным
образом ставится в соответствие функция f&„{x', х")^ В1 e(G)
такая, что
,<о. p"i{
/Г'а 7р. (*', 0) = 0 при а" ф Г, D[U-р %„ (х, 0) = / {х')
D%1 .0,<cnniBl.
Р.р.е
р".р'
/ й<°'>
A2)
Утверждение теоремы переносится и на более общий случай
задания функции f(x) на открытом множестве из
подпространства точек (хи, ..., xk ) пространства Еп A ^Cfej < ... < km ^С
<я).
Эта теорема является частным случаем теоремы 17.10.
18.8. Теорема. При 1 ^ 6, < 62 ^ оо справедливо вложение
В „о „1 п. в (G)<=* В „о. „i п. fl (G),
причем при е > 0, i = 1, ..., re
fto
[аГ№ Q) ft
/г8
-1 «с
К
\b?(h;G)f\\p
dh
A3)
Доказательство. Воспользуемся неравенством Йенсена:
s=i
fe=-i
Sa2'Г< Sag' '. a*>0, 1<е,<62<оо.
Для его доказательства достаточно предположить, что
правая часть равна единице. Тогда 0^aft^l, а%<^а^, откуда
следует, что левая часть меньше единицы.
Введем обозначение: ср (h) = J Af (/г; G)f\pM3 16A4') (с тем
же успехом можно исходить и из 16A4)) имеем
А/3
ф (А) < ¦%¦ ) Ф (л) Аь
О

I 181
ПРОСТРАНСТВА Blp в
fto
со 2-*ft,
Разбивая интеграл j на сумму интегралов 2j J
О ft=0 2-*-"ft,
соображений монотонности оценим левую часть A3):
299
из
\т
Ф (h) 10. ^i 12 <- с.
2
/г~:_3 J ф(т1)с?т1
о
<
<С21
<с9
2-4
-02
2 2*+** j" ф(ц)Л)
А=1 О
2k+ke j ф(г))с?Г|
к=\ _ О
2
о,
1 <
<С,
= са
<с.
. К~ ft
lo о
о _
ft.
h
1
0 _
1 i К
L г Г Iе'
h 9l I ф(/гт1)с?т1 I d/г \ <
о ч
1 / ьл
dh\ d\\ =
h Й1 ф(/гт1)
что и требовалось установить.
Поскольку в A3) постоянная С не зависит от h0 (как это
видно из доказательства), то, в частности, при 62 = оо из
*) Для дальнейшего достаточно было бы также воспользоваться при
0( > 1 неравенством Харди 2A5), а при 6i = 1 изменением порядка интегри«
рования.

300 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
конечности правой части A3) следует, что при А->0
\\AT(k;G)f\\P = o{hli).
Следствием доказанной теоремы является вложение
К°:Р1 рп;Л°)^В1Ар> Ae(G)c^BlAp> Ax{G)~
= ^о;р, pn{G), A3')
верное при любом 0е[1, оо].
Это вложение обобщается в отношении замены
функционала Ж$ в его средней части на «специальный функционал типа
максимизации» 9', см. К. К. Головкин [5], стр. 32, [9], стр. 18
(т. е. на функционал типа максимизации (см. 17.1),
удовлетворяющий дополнительному условию, что ^[грAп h)) не зависит от
перестановки функции гр(/г) = гр(In /г)). Точнее говоря, для
любого специального функционала типа максимизации З^ф]
справедливо неравенство
о <Sup ^ А"'' 1 Af t (A; G) f \\pi < C,& \h-'t | Af< (A; G) f Ц <
oo
<с,|а-,'|аГ'(А;0)|,-?..
0
Левое из этих неравенств установлено К. К- Головкиным [5]
в случае, когда G совпадает с Еп или с прямым произведением
прямых и полупрямых, для rtii =1,2, а также для
произвольного rtii ^ 1 {rtii > /j > 0) при условии конечности || f || ^ с,
обеспечивающем эквивалентность ¦Зг [A ' J Am'(A; G)f|j] при
различных rtii. Тот же способ рассуждения переносится,
однако, н.ч общий случай левого неравенства, если привлечь
оценку 16A4').
Правое из обсуждаемых неравенств является следствием
оценки ЗЗД < СЖЩ + СШХЩ, см. К. К. Головкин [9], стр. 18.
Заметим еще следующее. Можно было бы ввести обобщение
пространств Sp0.pi pn-,e(G) на тот случай, когда по разным
переменным xt берутся различные Ж%-функционалы. Такое
пространство, однако, вкладывается в силу A3) в Blpo. pi .,_«. 0(G),
где 6= max Q{. Этим путем теоремы вложения для указан-
ных обобщенных пространств сводятся к теоремам вложения
-для пространств Вро.pi pnt(,(G).

4 181 ПРОСТРАНСТВА в'рв 301
18.9. Теорема. Пусть I = (lu ..., /„), где lt — натуральные
числа {I = 1, ..., п).
Тогда
W[ {Еп) <=> В12.2 (Ея) ^ W 2 (Е% A4)
^.рИ^^И^^мИ A<р<2), A5)
я?. 2 (Я") ^* Гр (?") ^* 4. р (^) B < р < оо), A5')
BpA{G)^+Wp{G)^~BlPt0a{G) = Hp{G) A<р<оо), A6)
еде открытое множество G удовлетворяет условию l-рога для
первого и произвольно для второго вложения A6).
Доказательство. Эквивалентность норм в A4)
доказывается сравнением норм fl^CE) и В%z{En) с помощью
преобразования Фурье функций и равенства Парсеваля. Пусть
сначала /г=1, х^Е1, ^е?'. Положим
тогда при натуральном 1Х,
оо
imU„=llflUv IHlU,= /!1Г'1ГШ12е
— 00
С другой стороны,
Д-. (А) е«* = <,'** («,«* - if = e«V6h "^ B0"" (sinЩ"".
Отсюда при тх + &, > /, > kx ^ О
Г llA"Wi.W<*.)||2 ^л
A"' (A) f
|?2(?'| ^l+2(/,-ft,)
а F. A0) = J
J J(sln^)8m,|6ltt'|f(E)PA-I-,"'-»',d6dA-
I a(t,h0)\lfl\f(l)Ul,
( ¦ ?м2
О —оо
где
\2m,
|2 (*,-*,( ^l+2C,-*il
\2ш. / „ v2mi
(Sln2") dtl f isin2") dT)
_ Г ^inTj Дц л ^smt| at)
J T}2Ul-Al) + l 5^ J ^C-ftO + l <°°-

302 ФУНКЦИЙ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Так как
оо
— оо
оо
II f &. ,в\~ f О + о A, Ао) I ii ГО I f (S) f dl,
2, 2 ^ l) J
—GO
TO
11/11^1(е1)~11ЛЦ;2(е1)-
Доказательство в случае п >• 1 проводится аналогично. При
сравнении норм нужно перейти к преобразованию Фурье только
по одной координате xh придавая затем / значения 1, 2, ..., п.
Тем самым A4) установлено. Доказательство вложений A5) и
A5') можно найти в книге С. М. Никольского [9], стр. 390—393,
см. также О. В. Бесов [1], П. И. Лизоркин [2].
Отметим, что вложения A4), A5), A5') остаются
справедливыми при замене Еп на открытое множество G,
удовлетворяющее сильному условию /-рога, поскольку при этом для
пространств Wlp{G), Bp,e(G) существуют ограниченные операторы
продолжения за пределы G соответственно в Wp(?"*), ВР,о(Еп).
Отметим еще, что вложения A4), A5), A5') остаются
справедливыми и при произвольных положительных U (i = 1, ..., п).
При этом в случае дробного /г- место обычной производной
занимает лиувиллевская производная (С. М. Никольский [9],
П. И. Лизоркин [2]).
Доказательство вложений A6) значительно проще, чем A5),
A5')- Второе вложение в A6) доказывается оценкой старших
разностей младшими, а последних — производными, см. 16(9).
Первое из вложений A6) устанавливается*) элементарно с
помощью представления 7A01). Отметим, что теорема 18.9
допускает обобщения в отношении индексов функциональных
пространств, на которых мы не будем останавливаться.
18.10. Теорема. Пусть открытое множество G cz Еп
удовлетворяет условию —рога, l^p'^^^co (/ = 0, 1, ..., п), и
либо 0=1, либо
1<в<?„, 1<^<<7ге<оо.
Пусть еще
aih > Ofi — (о, — — — + а] A — \,...,п).
*) Частный случай его имеется у К. К. Головкина [5].

t 181
ПРОСТРАНСТВА В'
303
Гогда
DaB'Apl pn,e(G)^Lq(G),
причем при 0 < Ж. п0 справедливы неравенства
\\DafLa<cH-(°^-i+a)ufiLQ +
+ cy#-r'»°i
г=1
.¦/в
I \№(*>С)^-Пщ\ • A7)
о ' J
еде С не зависит от f и Н.
В отличие от теоремы 18.4 здесь рассматривается случай
равенства /г- = г,-, при котором устанавливается вложение в
пространство Lq функций «нулевой» гладкости.
При 0 > qn теорема 18.10 не имеет места, см. К. К.
Головкин [4].
Эта теорема является следствием теоремы 16.4. Для ее
получения достаточно положить в 16B0) М = 0, Т = Н. Заметим,
что из неравенства 16B0) вытекает более общая теорема,
соответствующая различным О, для разных координатных направлений.
Отметим, что оценка A7) для гладких финитных функций /
и случае обычных (несмешанных) Lp-, Ьч-норш при U = г{,
II = оо, 1 < р1 = ... = pn < q < оо получена К. К.
Головкиным [8], а в периодическом одномерном случае, р ^ 1,
независимо от него П. Л. Ульяновым [2], [3]. Для смешанных норм она
имеется в работе О. В. Бесова и В. П. Ильина [2].
18.11. Теорема. Пусть открытое множество G а Еп
удовлетворяет условию —рога, 1 ^ р' ^ со (/ = 0, 1, ..., п),
OiU > osi = (а, — + а) (/ == 1, .... «).
Тогда DaBpo.pi п., (G) <=* С (G), т. е. для произвольной
функции fefi». 1 p"i(^) после возможного ее
видоизменения на множестве n-мерной меры нуль производная Daf
равномерно непрерывна на G, причем при 0 < Н ^ hQ, 0 < т < А0»
М = 0, 1, 2, ...
IA?V/; 0)DefL<CTe/^-e/A,-(e-?+e)||/|L 0 +
Hui
о,.
+ С ? Ж'«-''>'« Г Цд^О/Ц,-^-, A8)
*¦ J. " "р t т «
.=1 п- " t
$Qe С не зависит от ^ Н, т.

304 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Доказательство. В одномерном периодическом случае
при 1 < р < оо вложение Bp'fi <=» С установлено Я. Л. Герони-
мусом [1]. Оценка A8) установлена в теореме 16.4. Так что
необходимо установить лишь непрерывность функции Daf на G.
Вернемся для этого к доказательству теоремы 16.4 и леммы 16.3.
Равенство 16A5) (т. е. 7(97)) выполняется почти всюду на U,
так что правая часть 16A5) является, возможно, некоторым
видоизменением функции }(х) на множестве нулевой «-мерной
меры. Достаточно показать теперь, что производная Da правой
части 16A5) или 16A6) является непрерывной функцией. Но
это следует из равномерной сходимости на нижнем пределе
(в условиях доказываемой теоремы) продифференцированного
н
интеграла вида DaF(x, h) dh из правой части 16A6). Послед-
о
нее же вытекает из оценки 16A8) при М = N = 0, Т = Н, из
которой видно, что
sup
и
[ DaF (х, h) dh < С J { | Л?« (Л; U + V) f
dt
1=1 о
при Я-»0.
tl+ri°i
18.12. Напомним, что для вектора /= Aи ..., 1п) с
натуральными компонентами Wo. \ ...„"(G) обозначает
пространство функций с нормой
р ;/> р '-'
Теорема*). Пусть открытое множество G cz Еп
удовлетворяет условию —рога, lt — натуральные числа (г = 1, ..., п),
1 </>'<<?< оо A = 0, 1, .... п),
^a = liai — (а> ~т Ьо)-/)о,>0. /)>0 (/, / = 1 п),
Пусть еще
1- < р\ < qn < оо, р{п < 6 < оо, если при некотором } цг, — 0. A9)
') Установлена В- П. Ильиным.

§ 181 ПРОСТРАНСТВА в1 9 305
Тогда DaWpo. pi рп (G) <=» Blq< е (G), причем для
произвольной функции f^W'o.pi pn(G) при 0<l's<M, 0 < Н< /г3
справедливы неравенства *)
] sup JAf(T;G)D°/|;^0 <
п
<СЯ^о/||/||р010 + с2я^|о^! « G> B0)
2=1
\Dafl0< СН- (°- ^-»|| f ||p„G +С± H^\\Dhf\^Q. B1)
Доказательство. Воспользуемся интегральным
представлением 7A5) функции через производные:
f(x) = H-ia{ \f{x + y)&{y.H°)dy +
+ JSA"",",0,"''°' $2t(y:h<)Dltif{x + y)dydh, B2)
0 2=0 Bi
где Q e С™, Si s C^. При этом можно считать, что ядра Q(x),
S'i(x) сосредоточены в наперед заданном кубе, удаленном от
координатных плоскостей, так что носителем представления
служит наперед заданный рог х-\- Vi —, Н\.
Пусть функция f(x) определена на множестве U + V =
= U-\-V(—, Я], где U—открытое множество из Еп. Тогда
определенная на Еп функция
Р(х)=ЯНо1 \k(x + y)Q{y:H°)dy +
Н п.
+ \ ? /Г,н ° |+'<°< \S-Xy- h°) U (х + у) dydh B3)
0 2=1 Еп
(где f0(x) — продолжение f(x) нулем за U + V, fc(x) —
продолжение ?>•'/(*) нулем за U + V) совпадает с f(x) на U.
Оценим A?{x°i)Daj при т>0, М>0. Внесем операцию
Л/ (т0/) Da под интегралы в правой части B3), заменив при
*) При различных скалярных р1 неравенство B1) независимо от
В. П. Ильина получено Б. Л. Файном.

306
ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ
[ГЛ. IV
<=10 pi
T^.h^H разность интегралом от производной
соответствующего ядра. Получаем
\Af(xai)Daf{x)\^lH-^[-^0Yyhx°l)Q^:H^f^ + y)ldy +
+ C.SJ jA":Hel+,|e|Me,1^V"*e)llA?,MM* + y)|^^ +
п н
+ Cj2 r°tM J j A-1 ° |+'Л-|а' a»-*0/ x
1
о
п п
*=А0(х, Щ + С^Мх, T) + Cxx°lM^iBi{x, Т, Н),
где
С помощью 16(9) при т< Н и неравенства Юнга получаем
II 4, II, < С2 [т : Нрм Н~(°- ^~Т+а) || fo
f о ib-
Для оценки норм Аи В{ оценим предварительно внутренние
интегралы по А, учитывая положение носителя 2\(jc). Пусть
(для определенности) он содержится в {х: 0 < е < я4 < 1
(г = 1 /г)}; тогда подынтегральная функция равна нулю
для А, не принадлежащих интервалу
и, Vat
max| Hi |,/0' < А < min
#г
откуда, положив
/=i /
имеем
114 К T)\\q^c3
||Bf(-,7\tf)|l <С3
I
M-+iO|<ty
p^^xnTpJ'-'-^r+Tj-'/V^
1
[(tf-rMpM + ni.lM.+jOlrfjr
р1й<й, Т1г1+т)+^"^0/"'1'/
1р(*) + П

5 181
ПРОСТРАНСТВА Blp е
30?
Положим т ^ h, Т = min [h, Я].
В случае, когда \1ц > О, нужная для утверждения теоремы
оценка получается применением к двум последним неравенствам
неравенства Юнга и элементарными подсчетами. Рассмотрим
поэтому лишь более трудный случай \ьц ^ 0 при наличии
ограничения A9). В этом случае npnf .(xn) = \\f.(-, jg|_„ р< = {р1,р'п)
на основании неравенства Юнга имеем
\\М-> тI<с<н»ч
I lux
t,(-+y)\dy
<
<С//^/Г'Л Е
I
~fi(-+yn)dyn
1-L+-L-L-
I »я I «»г> " | »п | Р" '» °»
где O<e<0„fl V + —V'
сън^т11а1~емт),
|В,(., Г, Я)Ц9<С5Я^7
I
^('+%)d%
I»« Iя+гJ
4-t+t)+(M-';b
= С5Я^В,(Г, Я).
Собирая оценки, получаем, что
I
sup |Uf (Ta/)Daf
о < t < ft" '
o.l'f
ft"
M(^Oi\naf\\ —6 )-g"
dh
h
<
<
to _
Л, (Л)
т!+ +
с6я-^ II fiip„iG + c6 J я^П
+ c6%H^\]lha^-%l{T,H)\d-f Г-
f=i I о i
= С6Я-^о/1| / ||p0i 0 + C6 2 Я^М, + C6 ? tf^5,.

308 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
По лемме 2.24 с у—1/вп, Р = е и с учетом соотношения
y^^nh в области интегрирования получаем
л,<с7цМ1Рв = с7||71|р.
Для оценки Bt применим ту же лемму 2.24, полагая
е<0„A г Ц ) = 0пм.
и учитывая следующие оценки ядра: при 0 < yl^h
(_i_ \-v-(M-'/h ,м n„_i_
Ь(уа, h) = [y°"+h) hS ~ I) I e <
при 0 < h^yl
, -n-^-(M-l') (M_,'\a.—L
\yni .
В результате
^<C8||ff|iP„ = C8||/||p.
Подставляя эти оценки Л,-, Вг- в предыдущее неравенство,
получаем оценку B0) с заменой в левой ее части G па U, а в
правой G па U + К.
Взяв в полученной оценке ?/ = G/<, V = Vu из условия —рога
для G с покрытием {Gft}*, получаем утверждение B0) теоремы,
если h0 считать столь малым, что при |т| ¦< /i0
|| Af (т°1; G)D7L<I K(V; G4) Z)af|,.
Такое h0 найдется, если учесть, что при некотором б > 0
множества Gu' также образуют покрытие G, см. 8C).
V 1

§ 18) ПРОСТРАНСТВА BlpQ 309
Неравенство B1) теоремы установлено в теореме 12.1. Тем
самым теорема 18.12 доказана.
Отметим важный частный случай теоремы 18.12, когда
р1 = р (i = о, 1,..., п), 1<р„ = е<оо,
<7 = (/?,, ..., рт, оо, ..., оо).
В этом случае теорема 18.12 дает, в частности, характеристику
следа функции на сечении G плоскостьюхт+1 = х{®+1, ..., хп =
= х№|. В таком виде теорема допускает обращение, которое
приводится в следующем пункте.
18.13. Теорема. Пусть х~{х', х"),
X = \X[i • . •, Х/п)> х = \Xm + i, . . ., Хп), о = (о , о ),
р = (/?,, ..., pm, pm-ru •••> Рп) = (р', Р"), а=(а', а"),
1 <Рга=е< оо, r=(i; g.
Пусть открытое множество G' с: Ет удовлетворяет условию
~т-рога, G = G'XEn~m,
\
Р
Тогда каждой функции f {х) е Вр>, р>, о (С) линейным, образом,
приводится в соответствие функция /„„ (х, х"), (xr, х") е G,
такая, что
?><0, "%(*', 0) = 0 при а"^Р", D{0-r%„(x',0) = f(x')
Теорема обобщается на случай задания исходной функции на
области из подпространства точек (xki, ..., xkm) пространства
Е", где К k\ < ... <km<n.
Эта теорема содержится в теореме 16.17.
Отметим, что функция /р„ строится здесь тем же способом,
что и в теореме 18.7, т. е. построенная в условиях теоремы 18.12
функция fp,(x', х") удовлетворяет требованиям как
теоремы 18.12 (конечность норм соответствующих производных), так
и теоремы 18.7 (принадлежность пространству Blp,P,e{G)).
Подчеркнем еще, что в теореме 18.13 ох1\= ... =aj'm, т. е.
геометрические свойства области G' с,Ет согласованы с
дифференциальными свойствами Функций заданного функционального
пространства.
<т^ = (о', «') + (а", а") - а", Р" + -^г) > 0 (/ = 1, ..., т). B4)

310 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Предположим, что условия B4) удовлетворяются, если в
качестве а = (а', а") взять @, ..., lj, ..., 0), где I, = lj($") —
натуральные числа, / — 1, ..., п. Тогда теорема 18.13
утверждает принадлежность построенных функций f$»{x', х")
соответствующим пространствам Wlp(G), где/ = ЦР").
Пусть /= A\, ..., /„), lj — натуральные числа, o\li = ...
... = anln. Тогда правая часть B4) остается неизменной при
подстановке в нее вместо а векторов @, ..., 0, lj, 0, ..., 0) (/ =
= 1, ..., п). Пусть при этом в равенстве B4) l't — l't($")>0.
В таком виде теорема 18.13 представляет обращение
соответствующего случая теоремы 18.12.
18.14. Приведем один результат Гальярдо [1], дающий
точную (обратимую) характеристику следа на хп — 0 функции из
функционального пространства w\u(U), ? = {х = (jti, ..., х„):
0 < xi < 1 (i — 1, ..., п)}. Положим D' = {х: 0 < xt < 1
(i = 1, .... п— 1), хп = 0}.
Теорема. Условие <p(x;,) = 4)(*i> ..., *n-i) ^ Lt (О')необхо-
димо и достаточно для того, чтобы функция у(х') являлась
следом некоторой функции
f(x) = f(x', xje^'fn).
Доказательство. Если f {х) е W\) {П), то по
теореме 10.2 и в силу 10.11 след f(xr,xn) при хп = 0 существует и
принадлежит LS(D')- Впрочем, тут очевидно и непосредственное
доказательство этого факта, основанное, например, на
аппроксимации функции f(x',xn) гладкими по хп функциями и
справедливости для последних оценки
р
j\f(x', e)-f(/,p)U/<J |
D' e D'
Интересно отметить, что при этом условие /^^''(П) можно
заменить на более общее:
{ (I fix', *„) 1 + | JL(*', ха) \)dx < oo.
D
Покажем теперь, что, и наоборот, для всякой функции
qp(*') е L\ (П') можно построить функцию f(xr, xn) е WiU(D),
для которой ф(*') являлась бы следом при х„ = 0. Попутно
будет установлена и ограниченность соответствующего
оператора продолжения. Пусть |ф/}^о— последовательность
бесконечно дифференцируемых функций, сходящаяся при / -> оо к
ф(*') в ?i(D') (а также почти всюду на ?'). Такую
последовательность {ф/ljl,! можно построить, беря, например, усреднения
дхп
(х', t) dx'dt, 0<е<р<1.

I IS]
ПРОСТРАНСТВА В
I
7>,9
311 •
ф(лг') с параметрами /jj-*0 при /->оо. Переходя, если нужно,
к подпоследовательности, можно добиться, очевидно, чтобы
ОО
2 /|ф/--Фл.11^<2 /|ф| dx',
/=0 П' ?'
где <р0 (*')е= 0.
Пусть {^/}I0 — некоторая строго монотонно убывающая
к нулю последовательность чисел, меньших единицы. Построим
функцию f (х', хп), положив
f(x', хп) = 0 при *0<*п<1>
f(x,,t1) = ff,(x') (/ = 0, 1, ...)
f(x', Ц+| +A ~А)/,)=»Аф/+1(дО + A -А)Ф/(*')
@<Л<1; / = 0, 1, ...)•
Покажем, что при подходящем выборе последовательности
IM/Lo построенная функция f(x',x„) удовлетворяет
утверждению теоремы. Очевидно, что следом функции f(x',xn) на хп = 0
является ср(л:')- На основании определения обобщенной про-
df(x' х )
изводной легко видеть, что иа П существуют ,'——
(i = 1 п) и справедливы оценки
Of
дхп
ОО
Лс = 2 J I Ф/ — Фу+i \dx'^2 ^ \q\dx',
HP'
<5f (*', xn)
dx.
i=\ n
<C/-wS J 1ф/|+1ф/+11+№¦
eta' dx„ ^
dtp,
+
Зфу
+ 1
5 л;,
w.
Правая часть последнего неравенства может быть сделана сколь
угодно малой за счет малости t, — tj+i, так что при подходящем
выборе последовательности {tj} имеем
fi+SI
а/
дх,
i=l
<ix<3
Ф | dx',
что и требовалось установить. Подчеркнем, что оператор ф —> f
распространения функции q>(x') функцией f(x',xn) на область ?
(больщего, чем П, числа измерений) не является в данном

312 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ГГЛ. IV
случае линейным. Во всех же ранее рассмотренных случаях
подобного распространения вопрос решался построением
линейного оператора.
Отметим еще, что тем же методом распространения решается
и более общая задача о распространении функций (И. Соу-
чек): построить функцию f(x', х„) по заданным следам
нормальных производных
д%ПхдУп) 1 =ф*(*')^<~,~й,(п/) (fc = 0, 1 1-Х)
с соответствующими оценками (натуральное 1^1).
18.15. Пусть / = (/„ ..., U, где /, > 0 (i=l п), [/,] —
целая часть l4, 4i=h — [/;]. Таким образом, для нецелого lt
0<Yt<l. Обозначим здесь через WBlpo.p\ pa;e(G)
функциональное пространство с нормой
h, ч 1/9
{'¦• V,= 0}
+ ? {f|MA;Q)D|'«]/fc " } . B5)
{i: \{>0) l 0 ft J
Таким образом, по одним переменным (с целыми lt)
пространство WB о. 1 „ n.0(G) имеет характер пространства
С. Л. Соболева Wp, в то время как по другим переменным
(с нецелыми U) — характер пространства Вр, о. Подобное
семейство пространств ввел в рассмотрение Л. Н. Слободецкий[1], [4].
Ряд теорем вложения для них был получен Гальярдо, Л. Н. Сло-
бодецким, С. В. Успенским и другими авторами. В основном
случае р4 = B, ..., 2) (г = 0, 1, ..., п), 8 = 2 с этими
пространствами совпадают (например, для G = Еп или для G,
удовлетворяющего условию /-рога) пространства В2 (G), а при
натуральных l{ (i = 1 п) они обращаются в пространства
W\ (G). Во всех случаях норма пространства WBlpo.i ,,"¦, t,(G)
отличается простотой записи, так как она строится по разностям
не выше первого порядка.
Однако семейство этих пространств не является замкнутым
по отношению к теоремам вложения и их обращению. Так,
например, при рг' = (р, ..., р) (i = 0, 1, .... л), 1 < 6 = р < оо,
li== l + l (j=i, ..., п) нет вложения fi'p(?B) в W% и(Еп~1)
(р > 2), а при I < р < 2 такое вложение имеется, но нет его
обращения. Это следует из справедливости теоремы вложения

§ 18]
Пространства в'
313
В\ (?")<=* В(р " (?"""') и ее обращения (см. теоремы 18.4 и 18.7)
и неэквивалентности при рф2 В(р' 1){Еп~1) и W$ 1){Еп~1)
(см., например, С. М. Никольский [9], стр. 438—440). Для
получения теорем вложения пространства WB о i рп-e(G)
следует воспользоваться представлением 7(81),
приспособленным для функций этого пространства. Одни слагаемые этого
представления содержат производные D\{f (при натуральном 1^,
другие—разности A{(t)D\l^f (при нецелых /;)• Таким
образом, одни слагаемые — те же, что в представлении 7A5),
соответствующем пространству Wlpo. р\ pn(G)> а другие
слагаемые — те же, что в представлении 7(97), соответствующем
пространству Вро. р\ п. e(G). Поскольку вывод теорем вложения
сводится к оценке каждого такого слагаемого в отдельности, то
теоремы вложения пространства WBpo._pi pn-o(G) требуют
при нашем изложении не специального вывода, а лишь
комбинирования оценок, полученных при выводе теорем вложения
пространств Wj.j p«(G) и Blpo. pi P".,Q{G).
18.16. В § 21 будет введена новая нормировка изотропных
пространств B{?,e(G), H{?(G), см. 21.1. Нормы H(?{G) 21C),
B{p!b{G) 21F) эквивалентны соответственно нормам B) и A)
при р° = р1 = ... = рп, U = ... = /„ = г для открытого
множества G, удовлетворяющего условию конуса. Убедимся в этом.
Оценка норм 21C), 21F) через норму A) следует из теорем
18.4 и 18.6.
Для получения обратной оценки обратимся к представлению
Hi B5) в изотропном случае <ц = ... = а„, в котором значение
j (х) в точке х выражается через разности f порядка m в точках
иида х -\- у -)- z с шагом 8г. При надлежащем выборе положений
носителей ядер Wu U и достаточно малых б > 0, Н > 0 можно
Добиться, очевидно, того, чтобы векторы у -\- г, у -\- z -\- mbz
лежали внутри наперед заданного конуса V0 и при наперед
заданном М ^ 1 выполнялась оценка \m 8г\ ^ \у + г\/М-.
Отсюда следует, что если открытое множество U сг Еп, V —
некоторый конус, N ^ I, то для x^U представление 16B5)
фактически не изменится, еслиАтFг)f {х + у + z) заменить в нем
на %(х; (U + V)m^)bm(bz)f(x + y + z), где %(х; G) -
характеристическая функция множества G.-
Учитывая это и проводя те же выкладки, что и при выводе
1(>B8'), получаем уточненное утверждение теоремы 16.10 в том
отношении, что в правой части 16C1) вместо ||Ат(г; G)f\\p стоит
H'V"B)/IUowul, где Ge = {x:x^G,p(x,dG) > е}.

314 функций с разностными характеристиками |гл. tv
Неравенство 16C1) служило основой для получения оценки
нормы НЛ1вР|в@1 О) чеРез норму A0). Исходя из упомянутого
уточненного неравенства 16C1) и повторяя те же выкладки,
придем к оценке нормы A) через 21C) при G = оо или через
21F) при 1 ^ G < оо.
18.17. Поведение функций из пространств В1Р, в на оо и
условия их выхода на многочлены (ср. § 14) изучены Ю. С.
Никольским [1].
§ 19. Плотность гладких функций в WP(G) и Вр,e(G)
Здесь будут изложены в основном вопросы плотности
множества функций C°°(G) в пространствах Wlp(G), ВР, e(G). При этом
будем говорить, что определенная на G функция f^C°°(G)
(множеству бесконечно дифференцируемых на G функций), если
в некоторой окрестности G существует бесконечно
дифференцируемая функция, совпадающая с f(x) на G.
Близким вопросам аппроксимации функций из изотропных
пространств Wpl){G), Bpl),e(G) функциями класса C<-li(G)
(непрерывными на G вместе со всеми производными до порядка I
включительно) посвящен ряд работ. Если G — Еп, то такая
аппроксимация fe w'p'(?") осуществляется с любой степенью
точности при помощи средних функций, см. С. Л. Соболев [2];
так же просто решается этот вопрос и для Вр.ц(Еп), 1 ^ р < оо,
l^G<oo, см. О. В. Бесов [3]. Для случая, когда граница
области G принадлежит классу №, возможность такой
аппроксимации для функции f^Wpi](G) была доказана С. М.
Никольским, см. об этом в [4], [9], а для Вр'(G) при нецелом / —
Л. Н. Слободецким [2]. В предположении, что G —
ограниченная область с границей, локально удовлетворяющей условию
Липшица, этот вопрос для /е WP](G) решен Гальярдо [2]. Он
предложил метод, связанный с «усреднением со сдвигом»,
послуживший основой дальнейших обобщений. В частности, в
книге В. И. Смирнова [1] возможность такой аппроксимации
функций f е Wp'(G) установлена для ограниченной области G,
звездной относительно некоторой внутренней точки. В работах
В. П. Ильина [5], [6] при несколько иных предположениях
относительно области G эти вопросы рассматривались также для
анизотропных пространств Wlp (G) и Вр, в (G). Отметим еще, что
при аппроксимации функций из изотропных пространств Wpl>(G)
К. К. Головкин {10] использовал предварительное локальное
отображение области, инвариантное относительно Wpl\ на не*
которые канонические области.

I 19)
ПЛОТНОСТЬ ГЛАДКИХ ФУНКЦИИ
315
19.1. Определение. Будем говорить, что открытое
множество G удовлетворяет условию локальных сдвигов, если для
него существует конечное покрытие открытыми множествами Gh
{k = 1, ..., К) и К последовательностей векторов
Оля которых при некоторых е > О, ву > О выполняются условия:
а) G=\jGk=\jGV,
fe=! ft=l
где Gf = [x: xs=Gk, p(x, G \ Gk) > e};
б) pfo + z'*1", ?"\G)>e,>0 {k=l,...,K\ /=1,2,...).
Ясно, что открытое множество G, удовлетворяющее сильному
i/словию l-рога, удовлетворяет также и условию локальных
сдвигов. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно в качестве
г<л- я взять сходящиеся к нулю последовательности точек 2<ft- л е
е V* (*= 1 К).
Другой пример доставляет ограниченное открытое множество
G с локально непрерывной границей dG, т. е. такой, что часть
<)G, содержащаяся в некоторой окрестности произвольной точки
х° е dG, представляет собой график непрерывной функции
х'п ~ Ух> (х\> •••' х'п-\)> заДанной в подходящим образом
повернутой декартовой системе координат, и окрестность разбивается
»тим графиком на две полуокрестности, одна из которых лежит
[| G, а другая вне G.
Двумерное кольцо с разрезом по радиусу не удовлетворяет
условию локальных сдвигов, так как для него не существует
конечного покрытия, удовлетворяющего условию а).
19.2. Рассмотрим функциональное пространство Wl\ #>- "(G),
/«=(/,, ..., 1п), 1 <р1 < со, с нормой
И*',, ^-iSltffUer (О
Пусть f^.Wpi P"(G), где открытое множество G
удовлетворяет условию локальных сдвигов. Тогда на Gk определено
«усреднение со сдвигом»
h. / (*) - J ? (У) f (* + **•" + *,у) dy, B)
где ? (х) е С~ (?") сосредоточена в единичном шаре {*: | х | < 1}
и f t,(x)dx = \.

316 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Ясно, что fkt j «= С00 (Gfe) и
Wf-h,iWpio =||4(y)[f (•)-/(• + **•'»+e,y)]dfJ <
<J|Efo)|dy sup ||/(-)-f(- +*k'»+B,y)\U Q.
Правая часть последнего неравенства стремится к нулю при
/ -^ оо в силу непрерывности в целом в Lpi (Gft) функции
f{x)z=Lpi(G) A<р«<оо), см. 1.5.
Аналогично доказывается, что при 0^s^/?
№-о;/мцСй-о и-оо). C)
Пусть теперь |е/г(х)}&=1 — разложение единицы для
открытого множества С, соответствующее покрытию {Gft}j=1 (см. 8.2),
к
так что 0^efe(je)^l на ?", efe(*) = 0 на G\Gk, ^i ek(x) = \
на G, | ?>%(*) | < Са (|о|>0) на Еп.
Рассмотрим функции
M*) = 2M*)f/u(*)- D)
В силу свойств разложения единицы {ek}f и C) получаем
к п h
\\f — fi\\~t <СЦ Ц ЦЦ/)!/ —Z>!f, J, -+0
при /—>oo.
Следовательно, C°° (G) плотно в U? i "(G).
Тем же способом доказывается плотность множества C°°(G),
например, в пространстве с нормой
|а:1|<1 р'
или в более общих, нормой в которых является сумма норм
определенных производных (каких именно — ясно из метода
доказательства).
19.3. При р = оо функции из Loo(G) уже не являются,
вообще говоря, непрерывными в целом, и, следовательно,
множество C°°(G) не плотно в LTC(G). Соответственно C°°(G) не плотно
и в WL (G).

I 19]
ПЛОТНОСТЬ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
317
19.4. Перейдем к изучению плотности множества C°°(G)
в пространстве Blp\ ^,tP"tti(G) с нормой
Р •¦¦, р ; в
„ т{ , ft, \Щ
(=1 s=o I 0 п >
E)
где т{ + kis>l{> /e/s>0, 1<р!<со (i= 1, ..., п), 1<0<оо.
Из доказательства теоремы 17.6 следует, что норма E)
эквивалентна такой, в которой все kis = 0; это мы в дальнейшем и
будем предполагать.
В некоторых случаях слагаемые в E), соответствующие
номерам s = 1, ..., т{г — 1, оцениваются через остальные, и,
таким образом, при р1 = ... = р" = р норма E) эквивалентна
норме Вр, о (G). Такая эквивалентность имеет место, например,
в случае, когда G удовлетворяет условию /-рога, см.
теорему 18.4.
Теорема. Пусть открытое множество G удовлетворяет
сильному условию l-рога, 1^р<оо,1^0<оо. Тогда в
пространстве Bp,v(G) функции C°°(G) образуют плотное множество.
Доказательство сводится к случаю G = Еп
благодаря теореме 18.5 о распространении функций пространства
lip,e{G). В этом случае каждая функция f е В1р,в(Еп)
аппроксимируется с любой точностью в Вр,0{Еп) последовательностью
своих усреднений f, (х) = J ? (у) f (х + е,у) dy, где ? <= С~ (?"),
t сосредоточена в шаре \у\<1, \ ?,(y)dy—l, ej->0 при
/ -> оо. Соответствующие выкладки мы здесь не приводим, так
как аналогичные им встретятся в начале доказательства
следующей (более общей) теоремы.
19.5. Теорема. Пусть открытое множество G
удовлетворяет условию локальных сдвигов, 1 г?С рг < со (г = 1, ..., п),
1 ^ 9 < оо. Тогда в пространстве Blp\_ pn.%{G) функции
CX(G) образуют плотное множество.
Доказательство. Для произвольной функции
feB^i л. е(С) определим для каждого k = \, ..., К
усреднение со сдвигом fk,i(x) формулой B) и локажем, что при всех
k=l К
\\f-fk,i\\~Bi ,..->0 'при /->«>. F)
V рп; 9@)

318 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Для этого достаточно, очевидно, оценить выражение
0 °
ha
+ cf sup |f (.)-/(• +**¦'> +e/i,)|{,i0,-Дг.
Первое слагаемое правой части может быть сделано сколь
угодно малым, если б е @, /го) взять достаточно малым, вследствие
абсолютной непрерывности интеграла Лебега. При
фиксированном б е @, h0) второе слагаемое правой части стремится к нулю
при / -* оо ввиду непрерывности в целом функций из Lpl (G),
1 ^ р1 < оо, см. 1.5. Этим утверждение F) доказано.
Построим теперь с помощью разложения единицы функции f3-
по формуле D) и оценим разность
"-''Ч „.^^"""-''"'Ч *.№>•
что имеет место при выполнении требования а) условия
локальных сдвигов. В силу F) теперь остается показать, что для
любой функции /efljl рП;в(°к)
p , ...,/>; 61 R> p , .... p ; 9* «/
где Ck не зависит от f.
Но оценка G) является простым следствием формулы 16B3).
19.6. Замечание. Не все функции пространства Hlp(G)
обладают непрерывностью по сдвигу в HP(G), и множество
С00 (G) не является плотным в HP(G). Покажем это для случая
п=1, 0<1< 1, G = @, 1).
'-- 1
Пусть f(x) — x р {х > 0), 1Ф-- Легко подсчитать, что
J~j при 0 < х < h < 1,
A(A)f(*)~A р
A(/Of(*)~/u'"^"! ПРИ 0<А<*<1.
Отсюда
|| А (Л; @, l))fllp~fc'. (8)
Следовательно, [еЯ,@, 1).

§ 19] Плотность гладких Функций 319
Пусть О < а < 1. Тогда при 0 < х < h < а
\b(h)[f(x + a)-f{x)]\>\b(h)f(x)\-\A(h)f(x + a)\^
i--L z-1-i
>с,/г р —c2ha р , сх > О,
откуда при всех достаточно малых h > О
||Д(А;@, 1))[/(. +a)-f(-)]\\p>±-hl,
так что при всех а > О
Ш- +а)-/(')Ц@,1)>-т7*0,
т. е. /(л;) не является функцией, непрерывной по сдвигу.
Та же функция f(x) не может быть аппроксимирована с любой
точностью в Яр@, 1) функциями феС°°@, 1), так как при
А> О
|А(А)[/(*)-ф(*)]1>|А(А)/(х)|-|А(А)ф(*)|>|Л(А)/(*)|-СзА,
откуда в силу (8) при h-*-0
IIЛ (A) [/-q>] ||„ DMA) flip ,,-;
hl ^ А'
19.7. Замечание. Легко проследить, что теорема 19.5
переносится на случай обобщенных гёльдеровых пространств,
построенных с помощью такого <Ж-функционала, для которого из
ЖЩ < оо следует Щ%\о, 6]^] ~* 0 пРи & ->0, где х[0,6] —
характеристическая функция отрезка [0, б].
19.8. Пусть область G = {(х, у): 1 < х2 + у2 < 4, у ф 0 при
х >¦ 0} а Е2 является кольцом с разрезом по радиусу. В таком
случае множество C°°(G) не является плотным в Wpl)(G) при
2
/ > 0. В самом деле, в силу теоремы вложения 10.4 эта
плотность влекла бы возможность аппроксимировать с любой
точностью в норме C(G) произвольную функцию f<=Wp]{G)
функциями из C°o(G). Но это неверно для
fo{x, y) = i\{x)s\gny,
где^еС", ч\{х) = 0 (*<—1), ti(x)=1 (* >0).
Аналогичные замечания относятся и к пространствам Wlp(G),
/<jLe(G),
19.9. (В. И. Буренков). Перейдем к вопросу об
аппроксимации функций из пространств Wpt pn(G) и Bli, рп e(G)
(функциями феСи(С.), т. е. бесконечно дифференцируемыми
на G функциями.

320 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Оказывается, что множество C°°(G) плотно в пространствах
^р' .. в"(^) и ^я1. . /'о(^) для любого открытого множества
G A ^ pi < оо, 9 < оо) *). Это следует из доказываемой теоремы.
Пусть для открытого множества G а Еп, а также для его
открытых подмножеств Q (Q a G) определено банахово
пространство функций Z (?2), причем СЦ° (Q) с: Z (?2) с Lloc (Q).
Предположим также, что пространство Z таково, что для него
ll/llz,ni,<imiz(a„ при ?llC:fi2c=G
и справедливо неравенство Минковского
Ф(- ,y)dy
<1»Ф(-. y)\lzia>dy (9)
z<a>
для любой функции от л; Ф(л:, j/)eZ(Q) при фиксированном
j/g/Ic ?"", суммируемой по совокупности переменных х, у
на ?1] ХЛ, ?2[ с Й, с Q.
Проверим, что неравенство (9) справедливо для пространств
с нормами A), E). Для этого достаточно убедиться в том, что
на Q
Da j Ф (х, y)dy^ \ Da® (х, у) dy A0)
А А
(?)а=?) ... ?)"п — обобщенная производная по я),
ДГ(Л;С) |Ф(*. y)dy= j" ДГ (Л; G) Ф (*, */)dy, A1)
Л А
и воспользоваться неравенством Минковского для
пространств Lp. Равенство A1) очевидно; равенство A0) вытекает
из следующей цепочки равенств (qp е Со° (?1)):
J Da(\ Ф(х, y)dy\cf(x)dx = (-\)w j [ j" Ф(л;, y)dy\D\{x)dx=*
а \а I а \а )
= (-1)'а| J7J<D(*. y)D\(x)dx\dy=*
а \а 1
= J7 J DaO (х, у) Ф (х) dx\ dy= П J ?>аФ (*, у) dy] <р (*) dx
(здесь мы дважды воспользовались теоремой Фубини).
*) Для пространств w этот результат получен-Депп и Лиопсом [1],
теорема 2.3.

§ 19] ПЛОТНОСТЬ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ 321
Теорема. Пусть
1) функции из Z(G) непрерывны относительно сдвига по
норме пространства Z(Q) для любого ограниченного открытого
множества Q с Q с G, т. е. для любого е > О существует б > О
такое, что при \ h | < б
llf(-+A)-f(-)llz(fl,ft|)<e, A2)
где Q|h| = {х: х е Q, р(х, дО.) > | /г| };
2) (Зля любых f^Z{G) и ф se С~(Q), Q с= G,
ПфЛ1г@)^С„Ш2(а), A3)
где Сф'не зависит от f.
Тогда множество C°°(G) плотно в пространстве Z(G).
Доказательство. Рассмотрим последовательность
ограниченных открытых множеств Qit Q2, ... такую, что
оо
Q,c=Qi cQ2cQ2c...cG, (J Qfe = G,
и построим разложение единицы
оо
2Ы*) = 1, x^G, A4)
такое, что функции tyk (х) е С" (G), & = 1, 2, ..., и
supp%c=Qfe+I \ Qfe_i, ?=1,2,... (Qo=0). A5)
Пусть f^Z(G). Построим, ее «усреднение с переменным
шагом»
оо
Mx) = S^Wi ®(^~)f(y)dy, A6)
где б = {6i, б2, ...}, са (л:) е С~ (?ге), и (х) = 0 при ] х |> 1 и
|<в(*)Лс=1, A7)
а числа 6k, 0 < 6& < p(Qfe+i, En\G), будут выбраны в
дальнейшем.
В силу свойства A5) в некоторой окрестности каждой точки
х S G не более трех слагаемых суммы A6) отличны от
тождественного нуля. Поэтому функция f§ (х) определена равенством
A6) для ieG и ряд A6) можно почленно дифференцировать
любое число раз, т. е. /5 (х) е С°° (G).

322 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
Далее, в силу A4) и A7)
00
h{x)-f{x)^^k(x)-^ j J^fA[f[y)-f(x)]dy =
со
= ? ** W J ® B) If (* ~ z6*) - / (*)J dz-
Воспользовавшись неравенствами (9) и A3), получим
<
Sc*|i«wm/(--^-/(-)ik[(afc+lLd^
при 6fe < p (Qft+i, E \ Qft+2).
Пусть теперь e > 0. При фиксированном & и заданном Си
выберем согласно A2) 6^ > 0 настолько малым, чтобы при |zl^l
„д . -z6k)-f( ¦ )\\2[{%+2)&к] < B*с* J I <» (z) 1*)"'е;
тогда
l!f«-nU<e>
что и требовалось доказать.
Для пространств с нормами A), E) условия теоремы
выполняются: условие 2) доказывается аналогично теореме 17.11
(при этом можно считать, что область удовлетворяет сильному
условию куба, и опираться на одномерное представление),
условие 1) следует из 2) и теоремы о непрерывности относительно
сдвига для случая G = Еп (см. ниже доказательство
теоремы 26.1.4).
19.10. Для изотропного пространства Wpl)(G) с нормой
2 \\Daf\p а A<р<оо) в работе В. И. Буренкова [6] рас-
смотрен линейный оператор приближения f (х) -> fs (х),
получаемый из формулы A6), если Qfe = G;,_% = {x eG: р(х, dG)> 2~к),
6а = б2- (б < У8) и если функция и (х) удовлетворяет
дополнительно условию
J со (х)ха dx = 0, 0<|а|</ — 1.

« 191
ПЛОТНОСТЬ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
323
Им доказано, что для произвольного открытого
множества G при 6->0
\\h—f L(/> ,G, ~* О,
р '
причем при | а|>I
1р|а|-^г1Р,0<^гипц/»@),
где (при б < Ув) са зависит только от а, р и /, а р(х) = р(х, dG).
19.11. Изучим теперь вопрос об аппроксимации функций
fefj (G) функциями (peC0°° (G), т. е. бесконечно
дифференцируемыми и имеющими компактный носитель в G.
Для случая, когда G = Еп, эти вопросы рассмотрены в § 14
н в конце § 15.
Для случая G ф Еп мы должны предполагать, что функция /
п соответствующие ее производные в определенном смысле
«обращаются в нуль на границе dG открытого множества G». Для
достаточно регулярной границы dG подобные вопросы решены
в разных случаях в работах С. Л. Соболева [2], С. М.
Никольского [7] и других авторов. В случае, когда граница dG имеет
произвольную структуру, это предположение естественно
сформулировать в виде возможности распространения функции
нулем за пределы G с сохранением дифференциальных свойств.
Итак, введем в рассмотрение функциональное пространство
WP{G) функций f(x), определенных на Еп, равных нулю вне
области G cz Еп и принадлежащих пространству WlP{E"). За норму
B.W'p(G) примем норму
"v-iii1*!"- (i8)
Приводимые ниже построения опираются на возможность
локальных сдвигов графика функции, направленных, однако, в
данном случае внутрь G, см. Г. Г. Казарян [1]. Им соответствуют
локальные сдвиги G, направленные вне G.
Определение. Будем говорить, что открытое множество G
удовлетворяет условию внешних локальных сдвигов, если для
него существует конечное покрытие открытыми множествами Gh
(k = 1, ..., К) и К последовательностей векторов
{*<*•/>};!„ **•'>-> 0 (/->оо; k=l, .... К)
такие, что при некоторых е > 2е, > 0 выполняются условия:
a) G=\jGk=\jGt\

324 ФУНКЦИИ С РАЗНОСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ [ГЛ. IV
где
Gf = {х: ie Gk, р(х, G \ Gk) > е};
б) 'p(dG[}dGk + z^>\G)>2e/>0
(fc=l, .... /С; /=1, 2, ...)•
°/
Пусть feU7p(G), 1^р<оо, а открытое множество G
удовлетворяет условию внешних локальных сдвигов. Считая, что
f(x) доопределена нулем на En\G, рассмотрим
fh,j(x)—усреднение со сдвигом B), где г<й-я, Ej взяты из условия внешних
локальных сдвигов. Рассмотрим функцию
к
f/{x)= ^jek(x)fkij(x),
определенную равенством D), где {ек(х))к={ —разложение
единицы для открытого множества G, соответствующее покрытию
{Gfc}?=1. Покажем, что каждое слагаемое ek(x)fh,j(x)
бесконечно дифференцируемо в G и равно нулю в точках G, близких
к границе dG. Бесконечная дифференцируемость ekjh.j на G
вытекает, очевидно, из того, что fh 3- является усреднением с ядром
из С?(ЕЯ).
Покажем, что ek(x)fk,Дх) = 0 вблизи границы dG.
Воспользуемся для этого условием внешних локальных сдвигов: в силу
б) fk,j(x) = 0 в Ej-окрестности dGu Л dG, в силу а) и свойств
разложения единицы для открытого множества (см. конец 8.2)
можно считать, что eh(x)—0 в (у — еИ окрестности G П dGk,
откуда и следует желаемое.
Таким образом, функция /,(х) бесконечно дифференцируема
в G и равна нулю вблизи границы dG. В силу свойств
разложения единицы [ek\f и непрерывности в целом в Lp при 1 -<р <оо
имеем
В случае неограниченного открытого множества G для дока-
зательства плотности С™ (G) в WP(G), 1^р<оо. остается
показать, что каждую из построенных функций /, (х) можно
с любой точностью аппроксимировать в Wp (G), 1^р<оо,
функцией ф е Со° (G). Пусть
т) (х) е= С0°° (?"), п (х) = 1 при | х |< 1, ц (х) = 0 при | х | > 2.
По данной функции f,- (х) построим
Фл (*) = Ч (у) // (*) е со° (G).

* 19]
ПЛОТНОСТЬ ГЛАДКИХ ФУНКЦИЙ
325
Считая fj(x) доопределенной нулем вне G и R > 1, /?->оо,
имеем, очевидно, с помощью формулы Лейбница
дифференцирования произведения 1—л("Б"Ш/(*) = //(*) — Фя (х|:
ъ-**^<с%&№Л,.м>*-+° при *-*°°' A9)
что и завершает доказательство плотности множества С™ (G)
n Wlp(G), 1<р<оо.
19.12. Приведенное доказательство переносится без измене-
иия на несколько более общий случай пространства W \ р« (G),
1^р'< со (/= 1, ..., п), определение которого отличается
О 1
от определения пространства WP(G) рассмотрением более общей
нормы A) вместо A8).
Аналогичное доказательство решает положительно вопрос
о плотности С™ (G) в пространстве «продолжимых нулем»
функций с нормой 2 lDafi„ а, 1^р<оо, вместо A8) и по-
добных случаях.
Отметим еще, что приведенные результаты но аппроксимации
функции f и построения сохраняются и при 1 <^р<оо, если
дополнительно предположить, что функция f непрерывна по сдвигу
в норме соответствующего пространства и что правая часть
неравенства A9) стремится к нулю при /?~»-оо.
. 19.13. В. И. Буренковым [4] найдены необходимые и
достаточные условия на функцию / из пространства Cm(G) (функций,
имеющих непрерывные в G производные порядков а, \а\ ^т),
при которых ее можно с любой точностью аппроксимировать в
Cm(G) функциями из С^° (G). При этом G — произвольное откры
тое множество из Еп.
Подобные вопросы решения В. И. Буренковым [5] также для
пространства С. Л. Соболева Wp'(G) для произвольного
открытого множества G при р> п, ¦

ГЛАВА V
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ ИЗ ИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВ
НА МНОГООБРАЗИЯХ
Основным содержанием главы являются §§ 21—25, в которых
изучается инвариантность различных изотропных пространств
дифференцируемых функций при замене переменных, вводятся
и изучаются пространства функций, определенных на
дифференцируемом многообразии, устанавливаются теоремы о следах
функций на дифференцируемом многообразии и их обращения.
В § 20 изучаются не в такой полноте и в иных терминах
следы изотропных пространств С. Л. Соболева на липшицевом
многообразии. Для них дается точная (обратимая) характеристика.
§ 20. О следах функций из пространств WP
на липшицевой поверхности
В этом параграфе будут рассматриваться изотропные
пространства С. Л. Соболева WP](G), где / — натуральное число,
1 < р < оо, область G с Еп.
При этом
где
II f Н0 =11 f К. о - { J I f (*) \" dxX'P, \<P<oc.
Поскольку везде на протяжении этого параграфа значение р
будет фиксированным, 1 < р < оо, оно не будет включаться в
обозначение Lp-нормы.
Здесь будет получена точная (обратимая) характеристика
для следов функций из W^iG), I— 1, 2, 3, ..., на сечениях
области (или ее границе), являющихся липшицевым
многообразием. Такая обратимая характеристика для 1=1, т =¦¦ п—1
была получена Гальярдо [1]. В этом случае можно распрямить
сечение с помощью преобразования, удовлетворяющего на
области Q условию Липшица и, следовательно, сохраняющего при-

§201
СЛЕДЫ НА ЛИПШИЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
327
иадлежность функций к W^ {G). Этот же прием распрямления
применялся различными авторами (Л. Н. Слободецким, В. А. Со-
лонниковым, С. В. Успенским) для пространств W{p{G) и
сечений гладкости I. С помощью интегральных представлений
теоремы (вложения) о свойствах следа получаются и для сечения
гладкости / 1- 8, е > 0.
Результаты этого параграфа основаны на способе
нормировки следов, не связанном с распрямление?! сечения. При / = 1
они совпадают с результатами Гальярдо [1].
20.1. Начнем с определения понятий липшицева многообразия
и следа функции на липшицевом многообразии. В частном
случае, когда липшицево многообразие является плоским и
параллельным координатной плоскости (той же размерности),
приводимое определение следа совпадает с данным в 10.5; то же
относится и к свойствам следа.
DO
Определение. Пусть 1 < m < п. Множество Г= (J Tkcz Еп
будем называть m-мерным липшицевым многообразием, если
для каждого k— 1,2, ... задано ортогональное преобразование
7'fe." Еп-+Еу, при котором
TkTk = {у = (у', у"): у" = yk{у\ yr^Dkcz Е$, A)
где Dk — ограниченное открытое множество в m-мерном под-
прЬстранстве точек уг = {у\ ут) пространства Еп, \k{y') —
вектор-функция со значениями.у" — (у m+l, ..., уп) из
ортогонального подпространства Е^""*1, удовлетворяющая с некоторой
постоянной Mk условию Липшица:
I Vk 0/0 - Чи (*0 I < Mk | у' - z' |, у', z' g= Dk. B)
При этом, если Г = Г, то Г будем называть m-мерным
липшицевым многообразием без края.
Пусть открытое множество G cz Еп. Введем для любых
натуральных k, s следующие обозначения: Tks = Гй П Ts, в частности,
Fftft = Г&; Tks может быть и пустым; Gk — такое открытое
ограниченное множество, что Gh cz G, Gh => Ун, G\Gk Л \\ = 0.
Пусть, далее, GkS = Gk[\Gs, Dks — проекция TkYks на Е^, так
что DksczDk, Dkk = Dk.
Заметим, что множество точек r&s = TSh (k ф s) в силу A)
поставлено во взаимно однозначное соответствие как с Dks, так
и с DSh. Тем самым определено взаимно однозначное
соответствие точек Dhs и DSh, при котором, очевидно, множествам

328
следы Функций на многообразиях
[ГЛ. v
m-мернои меры нуль соответствуют множества m-мернои меры
нуль.
Положим еще
Ji'
фЬЛ1*/'= |1ф(/. iMMdy1. C)
D
ks
20.2. Здесь будет введено понятие следа на m-мерном лип-
шицевом многообразии для функций, заданных на открытом
n-мерном (т < п) множестве, замыкание которого содержит
данное липшицево многообразие. Это понятие обобщает
введенное в 10.8 для частного случая, когда m-мерное липшицево
многообразие являлось m-мерпым координатным подпространством.
В изучаемом более общем случае также необходимо
подчеркнуть, что след функции f нельзя понимать буквально, как
сужение f на данное липшицево многообразие: ведь функция f(x)
принадлежащая, например, пространству W(P\G) С. Л.
Соболева, определена лишь с точностью до множества га-мерной меры
нуль, каковым и является данное липшицево многообразие.
Здесь будет введено понятие следа, приводящее к единственной
(с точностью до множества нулевой m-мерной меры) функции,
заданной на данном липшицевом многообразии. След фунции
/ «устойчивым» образом (по отношению к изменению / на
множестве нулевой n-мерной меры) связывается с самой функцией
/, а для непрерывной функции f совпадает с ее сужением.
Определение следа. Пусть функция F(x) задана на
открытом множестве GczEn, а функция f(x)—на m-мерном
со
липшицевом многообразии Г = (J Г&с= G.
fe=i
Будем говорить, что f(x) является следом функции F(x) на
Г, если для каждого k= 1, 2, ... существуют открытое
множество Gh^G, Oh => Г/г, G\Gh П Th = 0, и функция Fh(x),
^gGjU Tk, такие что
а) Fk(x) = F(x) почти для каждого jteGs;
б) Fk(x) — f(x) для всех иёГ4;
в) J \f(T7ly)\dy'<oo;
r) J | А B; TkGk) Fk {П'у) \ dy' -+ 0 при z = @, z") -> 0,
еде
l (г; ?)Ф (?/) = ¦
Ф(У + 2)-
o,
-Ф(у),
если у -f- z е Е,
если у-{гШЕ.

() 20] СЛЕДЫ МЛ ЛИПШИЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 329
Таким образом, понятие следа функции в данном определе-
00
нии связано с выбором представления Г в виде Г = (J Г*, и с
ft=i
определенным для каждого k = 1,2, ... ортогональным
преобразованием Tk пространства. Это представление и преобразования
мы будем считать фиксированными и заданными вместе с Г.
Если функция F (х) непрерывна на G U Г, то ее значения на
Г образуют функцию /(х), являющуюся, очевидно, следом F(x)
на Г.
Введенный указанным способом след функции определен
лишь с точностью до эквивалентности относительно т-мерной
меры на множествах Dh. Точнее говоря, если функция f(x)
является следом функции F(x) на Г и для /*(х), х е Г,
j{T-*y)-r{T7]y)\dy' = 0 (* = 1, 2, ...),
Ть?ь
'kLk
го /*(х) также является следом F(x) на Г.
Следующая теорема дает простые достаточные условия
единственности (с точностью до эквивалентности относительно т-мер-
пой меры на D/,) следа функции F(x).
20.3. Теорема единственности следа. Пусть
каждая из функций f(x) и /*(х) является следом функции F(x),
x^.GczEn, на m-мерном липшицевом многообразии Г =
сю
= [JrkczG. Пусть для любого k и любой точки х° е Tk суще-
ствуют множества Tk кп с Ец» со следующими свойствами:
хт е ГГ cz Гк, проекция TkVf cz El на Е™ является открытым
в Еу' множеством Df, у{0)' = {Tkxl0))' е= Df cz Dk, Vf открыто
в Eny7m, П0)эО, Tkrf] + Vf cz TkGk.
Тогда
j \f(n'y)-f*(niy)\dy' = 0 F=1,2,3, ...).
TkTk
Доказательство. Пусть Fk(x), Fl{x)— видоизменения
F(x) на множествах n-мерной меры нуль, отвечающие следам
f(x), Г(х). Тогда при z = @, г")е1/?
J* \f(Tk'y)-r{Ti;'y)\dy'^ { \Fk{T-'(y + z))-f(n'y)\dy'+
rkrT
+ J \Fl(Ti;\y + z))-r{T7ly)\dy'+ &*{?"),
vP
ТьТи

330
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ ИЛ МНОГООБРАЗИЯХ
[ГЛ. V
где
Vk{z")= J \Fk{n[(y + zj)-Fl(T-](y+z))\dy', z = @,z").
Первый и второй интегралы правой части неравенства
стремятся к нулю при zeVf, z->0 в силу определения следа и
условий теоремы.
Покажем, что последний интеграл правой части неравенства
(<)
равен нулю на некоторой последовательности точек г"—>-(),
откуда и будет следовать равенство нулю левой части
неравенства.
Положим
Ф(У)=Ф(У', y") = \Fk{TTy)-F\{T^y)\ при y^TbYf+Vf,
Ф(у) = 0 при уШТь\Т + Vf\
так что почти всюду на TkGk Ф(г/) = 0.
Рассмотрим интеграл
J Vn B") dz" = j' f Ф (y\ y (/) + z") dy' dz" =
j f Ф (/, Y (У') + *") dz" dy' = J" Ф (y) dy = 0.
v? v? Df»
Отсюда .З^ (z") = 0 для почти всех /'eFi', так что
<0 til
существует последовательность z"->0, для которой &k(z") — §,
что и требовалось установить. Итак, левая часть последнего
неравенства равна нулю. Ввиду произвольности k и точки #)еГ/1
приходим к утверждению теоремы.
20.4. Теорема о существовании следа. Пусть
открытое множество GaEn, m-мерное (l^m<n) липшицево
со
многообразие Г = (Jr&czG, для каждого k=\,2, ... суще-
ствует открытое ограниченное множество GkczG, Gk =э Г\,
G\GAnrfe=0.
¦Пусть на G задана функция F(x) и для каждых k и s
выполняются следующие условия:
а) существуют последовательности {Fkl(x)}JLi функций,
непрерывных на Gk, такие, что
ess sup j }F(Tuly)-Ffj{n]y)\dy,-*Q .(Ь»-°°);

§ 20] СЛЕДЫ НА ЛИПШИЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ" 331
Р) для всякой непрерывной на Gks функции Ф(х)
J \ф{Пху)\йу'= _Ш j \ф{п'у)\йу'-
VfcS Z""<0,Z",">0(^ftrfes)nrftGfes
Тогда для функции F(x) существует след на Г.
Отметим, что условие р) очевидным образом выполняется,
(О (О
если для некоторой последовательности точек 2 = @, z")->0
(i)
последовательность мер проекций на Ет множеств (z + TkTks) П
П rfeGfts стремится к мере проекции на Ет множества TkTks.
Последнее условие выполняется, если
р') для каждого k = 1,2, ... существует такой (открытый)
n-мерный (ограниченный) конус Vk, что Tk-\-Vkc Q.
Доказательство. Из а) и р) следует
фундаментальность последовательности [Fk!}^v x^.Gk\]Yk, и, следовательно,
сходимость ее к некоторой функции Fk(x) в метрике
sup^ ) ] \Fk{n]y)-Fk!(TU,y)\dy'-+0 (/->оо), D)
*-№s") (z+Tkvk)nTk(okurk)
так что
_sup J \rk(nly)\dy<oo. E)
При этом
Ffe (x) = F (x) для почти всех x<=Gk. F)
В самом деле, положим при фиксированном k
Ф{У) = Ф(«/', Л = I^(Г*»)-F(П1у)| при js rfeGft,
Ф(г/) = 0 вне ГА- *
В силу а) при s — k и D)
ess sup f Ф (у', z" + yk (г/')) dy' = О.
г=@, z"l nJ
Отсюда с помощью теоремы Фубини получаем
О = j J Ф (/, z" + yk (г/0) dy' dz" = J J Ф (у', y") dy" dy',
En-m Dk Dk En-m
так что Ф(г/) = 0 почти всюду на Dky,En~m, и мы приходим
к F).
Положим
fki{x) = Fkl{x), fk(x)=°=Fk{x) для х(=Гь.

832 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
Из D), E), в частности, следует, что
11h(т?у)-fu(т:1у)\dy'-+° и-><*>)> G)
f \hiT:ly)W<oo. (8)
Функции fk(x) и fs(x) для пересекающихся Гй, Г,
согласованы в том смысле, что для любых k, s
\ \hD]y)-L{4ly)\dy' = 0, (9)
TkTks
т. е.
^(rr'.'/)==/s(:rrV) для почти всех у' е= D^. A0)
В самом деле, в силу а)
_sup^ | \Fki(TT]y) — Fsl{n,y)\dy,-*0 (/->оо),
откуда в силу Р)
f \fki(T:,y)-fsi{T:'y)\dy'-+o (/_>оо). сю
Заметим теперь, что из G) следует, что для некоторой
подпоследовательности {/j}Jl,, при i->oo
fkji{TI1y)-+fk(T~]y) Для почти всех у'<= Dks,
fsil{T7ly)-^fs(T7'y) Для почти всех y'^Dsk,
откуда
/»/, (Г^) "* k (ГГ^) Для почти всех г/' е= DftJ.
Отсюда и из A1) получаем (9) и A0).
Определим теперь функцию f(x) на Г формулой
f(x) = fk(x), где fc = fc(*) = min{s: Г,эх], A2)
и покажем, что f{x) является следом F (х) на Г.
В силу определения A2) и свойства A0) функций fk(x)
fk{TkXy):=:f{T'k{y) для почти всех г/'е= Dfe.
Поскольку с самого начала функции fk(x) определены
с точностью до эквивалентности fb {j^y) на ^>к э у', в каче-

5 20]
СЛЕДЫ ПА ЛИПШИЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
333
стве fk{x) возьмем f(x), «еГц k = l, 2, 3, ... Таким
образом, будем считать далее, что
h{T~kly) = t{T~k]y) для всех /6= Я*. A3)
Проверим теперь, что f(x) удовлетворяет всем условиям для
следа функции F(x). Условие а) выполнено для функций Fh(x)
ввиду F). Условие б) выполнено в силу построений. Условие
в) установлено в (8). Проверим, наконец, условие г). При
г = @, z")
J U(z; TkGk)Fk{n]y)\dy'^
< J |X(z; TkGk)Flil(niy)\dy,+ f \fk(T-k1y)-fkl(T-1y)\dy' +
Tkvk \ Tkvk
4- _sup J \Fk(niy)-Fkl(Tkiy)\dy\
г~ф,г"] e+TkPbWtph
Второе и третье слагаемые правой части этого неравенства
произвольно малы при всех достаточно больших / в силу G) и
D). При фиксированном / первое слагаемое правой части
стремится к нулю при 2= @, z")->0 ввиду непрерывности Fhj(x)
на ограниченном замкнутом множестве Gh =э Г&. Следовательно,
левая часть последнего неравенства стремится к пулю при
z= (О, z") ->-0, что и требовалось установить. Тем самым
теорема доказана.
Доказанная теорема показывает, что если к функции F(x),
геб, сходятся некоторые последовательности {Fkj (*)}/li (& —
= 1,2, ...) непрерывных на Gh функций (сходимость понимается
в смысле условия а)), то следы этих непрерывных функций на Г
сходятся (в смысле G)) к некоторой функции f(x) (см. A3)),
являющейся следом F(x).
В качестве функций Fh(x) часто бывает удобным брать то
или иное интегральное представление функции F(x),
совпадающее с Г(х) почти всюду (на GhCzG). В качестве Fhi(x) ПРИ
этом естественно брать усреднения F(x), порождающие
соответствующие представления со стремящимися к нулю параметрами
усреднения. Функции Fhj(x) будут представимы, таким образом,
в том же виде, что и F(x), но с заменой нуля на е, > О в
нижнем пределе внешнего интеграла основной части представления.
20.5. Обратимся теперь к вопросу существования и свойств
следов функций из пространства С. Л. Соболева W{p (G) (см.
введение к этому параграфу). Рассмотрим прежде всего

334 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
основной случай, когда m-мерное липшицево многообразие Г
имеет вид
х" = v (*')> х = (*', х") е=Еп, х' е= D с ?те, х" е= ?"-¦"",
Iy(*') —YDOI<M0|jc' —Л. *'eD, г/'еД A4)
где D — открытое множество в Ет, |-| — евклидово расстояние
в соответствующем пространстве или подпространстве.
Положим для /е/)с?¦'"
я (я) = | jc" — y (*') I при т<п— 1,
я(х) = л:" — y (л:') = л:п — "V (*i> • • •> *n-i) при m = «—1.
Очевидно, что | я (л:) | эквивалентно расстоянию р(д:) = р(л;, Г)
от точки х до Г.
Обозначим при некотором М{ > М0 через Т (открытое) тело:
Т = {х: | х" | > М, | л:' |}, если m < л — 1;
Т — {х:хп>М1\х'\}, если т — п—\.
Из A4) следует, что при jgT пересечение Г Л {у-\-Т) пусто.
Введем еще при d > О, б > 0 *)
yd = rn{*: I *!<<*}, Г(х) = ГП(* — П A5)
f = f (?/) = !*: Г(Х) Не пусто, Г (х) = Г П(* — Тй)}, A6)
f==f(rf)=|x: xef(d), (дс — Г) Л (Г\ Г) = 0}, A7)
D6={x: * = (*', 0)еД р(*, ?те \ ?>) > б),
Г6={х: х = (х', f)er, /efls!,
Bfllr=llfllP.r = {JlfWIP^},"'s={ JI И*'. Y(*'))!pd*'\UP.
Пусть fe(d), fe(d), Гв (jc), НЛ1„,гв строятся по Г6 так же,
как f(d), T(d), Г(х), ||f|lp,r по Г.
Для системы функций {/„}, |a|^s, положим
Ps(w\y) = Ps(w;{fa{y)})= ? ^ша- <18>
|a|<s
В случае /„ (у) = f(a| (г/) многочлен Ps(a>; {f(a)(#)i) обращается
в многочлен Тейлора функции f(x):
Ps(w, y) = Ps(w; f («/))= J] -^r1^". A9)
lo|<s
*) Основную идею можцо проследить и на простейшем случае D = Ет,
d = оо.

20]
СЛЕДЫ НА ЛИПШИЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
335
Везде в дальнейшем s — целое неотрицательное число,
п — т
0<s<l
<s+l, \<р< оо.
B0)
При этих соотношениях будет установлена теорема вложения
SIJJJ
Р I < 5 I Г Г U) Г (х)
э(Р)
Пр'(^-г/;г/)-Р'5р,(^-г;г)
.(Р>/
/+2—-I
Р (*. Г) "
с?г/' dz' dx
Чр
<
| р|
7») i
<C J ||f<»>||* B1)
|a|</
и ее обращение.
20.6. Лемма. При т^.п — 2 пространство Ц7р"(Г)
совпадает с пространством W{p] (У" [} Г).
Доказательство. Достаточно установить, что всякая
функция feU7p'(f) (произвольным образом доопределенная
на Г) имеет обобщенные производные Daf, \а\ <; /, в некоторой
«-мерной окрестности каждой точки Г. Покажем, например, что
Г 4^Lv(x)rfx-(-l)' f f(x)^-dx, B2)
где ф(л:)—произвольная бесконечно дифференцируемая
функция, сосредоточенная в шаровой окрестности данной точки Г,
дЧ
—Л обобщенная производная в Г, произвольным образом до-
дха
определенная на Г. Пусть tij(jc') = iij(*i, ..., хп-\)
—бесконечно дифференцируемая функция, равная единице вне 2//-окрест-
пости проекции Г на Еп~1 и пулю в 1 //-окрестности этой
проекции, |tjj(x')|^1 в Еп~1. Тогда по определению обобщенной
производной на Г
Г d'f А I ,4/ Г « d'(^i) А / ,Ч1 Г « ^ J
Из этого равенства при j-*• оо получаем B2).
d'f
Отметим, что существование обобщенной производной —-г
дхп
на TUT следует также из эквивалентности двух определений
обобщенной производной, см. С. М. Никольский [9]. стр. 172.
¦" дЧ
Итак, в ГУГ существует обобщенная производная
дЧ
dxl
совпадающая на Г с исходной производной —j-. Пусть теперь
dxi

336
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ
ГГЛ. 1
/г-мерный вектор е таков, что для единичного координатной
вектора еп (е,еп)>A—е)|е| при достаточно малом е>0
дЧ i v
Производная по направлению е —r-s=Lp0C(r) по теореме вло
де'
жения 10.2. Так же, как для е — еп, доказывается, что прр
дЧ i "
любом доопределении на Г —-е L„c(Г U Г). Отсюда по той же
де1
теореме вложения 10.2 заключаем, что на Г|_1Г существуют
все производные Daf, |а|^/, совпадающие на Г с исходными.
Следовательно, ^(Г) совпадает с ^"(ГиГ).
20.7. Лемма. Для функции /еЦ7р'(Г) производные fm{x),
|p|^s</ , имеют след на Г, причем
\ 2 П.г<С I\ШрЛ. B3)
IPKs |а|</
Многочлены Тейлора Ps(w; f(x)) также имеют следы при
хеГ.
Доказательство. Последнее утверждение леммы
следует из первой ее части.
Существование следа на Г производных f<p,(x), |p|^s,
вытекает из теоремы 20.4, в которой в качестве ортогонального
преобразования Th берется тождественное преобразование. При
этом условие р) теоремы 20.4 выполняется в силу р'), а
последнее, очевидно, имеет место, если в качестве конуса Vk взять
подходящий конус 1/A, Я) со столь малым H<H(d), что
Г + V (I, 2Н) сг Г. Пусть fe(x)—усреднения функции f(x),
связанные с этим конусом (т. е. взятые из интегрального
представления 7B2) через производные d\\ (х) с носителем представления
х-\- 1/A, Я)). Тогда D®fe (e = efe->0) как раз образуют
непрерывные функции, удовлетворяющие условию а) теоремы 20.4.
В самом деле, разность fi&) — /^выражается через интегралы от
производных в силу 7B2), оценка нормы этой разности на
Г+ 1/A, Я)
( ess sup | f№ — f<f> ] )p dxi ... dxny>P
xm+\ xn
(где f(C>— ff] считаем нулем вне Г+ 1/A, Я)) через
п
Се1-" 2 ll^iflL г получена в 10C). Из этой оценки вытекает,
?=1
во-первых, что выполнено условие а) теоремы 20.4, так что fPl
имеет след на Г; во-вторых, из этой же оценки следует и
неравенство B3), если учесть, что при фиксированном е, 0 < е < Я,
|ftP,ip.r+v<i.m^C"f"«>.F В СИЛУ ЮD)' Лемма Д°казаНа-
U-S

I JO] СЛЕДЫ НА ЛИПШИЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
п — т
20.8. Выведем оценку B1) для случая
337
< 1. Пусть
сначала функция f (х) бесконечно дифференцируема на Т. Для
х<=Г\ уеГ, х — уе=Т, |p|<s
f*\x)-Pf](x-y; у) =
i
f)S-IBI (js-IPI + 1
J (i
(s-IPI)! dt!
-mTfm[y + t(x-y)]dt =
= {(As_|)p|)!' S СаГ[0 + '(*-0)К*-0)аН1Я. B4)
la|=s+I
Учитывая это равенство, проведем при s = l— 1 следующую
оценку, добавляя и вычитая под модулем подынтегрального
иыражения f^(xy.
Pf (х - у; у) - Pf (х - г; г)
I + 2-S.-|PI
pW "
dy' dz' dx
If Г(х)Т(*)
<Ct S {J |р(хГ jif(a)[*/ + '(*-*/)]l^
|a| = / I f V(x) Lo
I
^C* S \{\ \\™rm\eAy + tw]\Pdwdy'\'dt,
p \ up
dy' dx \ ^
|al = / 0 1Г if
c(a)
где &*W = f (*) ПРИ хеГ, ga(x) = 0 при x ф. Г.
Проведем замену tw = v, затем и'==ы'| и" | (так что
|и'|<
Af,
и, наконец, х'= у'-\- и'\ v" |, лс" = ф (г/') -f v".
Последнее отображение является липшицевым, откуда, как
показано Радемахером (см. С. Сакс [1], стр. 449—451), следует
д(х' х")
его дифференцируемость почти всюду. Якобиан его / —'—
почти в каждой точке удовлетворяет неравенству
1 +
мо -^ ,~^ , М0 >0>
Af,
1
Af,
д (у', v")
B5)
В самом деле, якобиан /, существующий почти в каждой
Точке (у', v") еДх Еп-т, является определителем матрицы с

338 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
элементами ац, где ац = 6ц A ^Ci^Cm; 1 -C/^Cm),
dij =dij (m -f 1 < i < /г; m -f 1 < / < /г),
аг/ = "i-rprp (К i < m; m + 1 < /' < /г),
а// — -^- Y> (/) (от + 1< i < л; 1 < / < m),
Yi — координата вектора y-
Очевидно, / = 1, если и' = 0. Пусть и' ф0 и, для
определенности, и\ Ф 0. Вычтем из i-й строки первую, помноженную на
и,
— (/ = 2, 3, ..., т). Разлагая полученный определитель в
соответствии с теоремой Лапласа по минорам порядка п — т из
последних п— т столбцов, получим, очевидно, что при
некотором выборе знаков ±
/=1 + 2 S ±u'vh
. . dVi
Y/.
В силу дважды применяемого неравенства Коши — Шварца
в точках, где все yj дифференцируемы,
(=1 /=m + l ' -I l=\ 1=m+\ l '
откуда и следует B5).
Для обоснования последней замены переменных привлечем
следующее предложение, являющееся частным случаем теоремы
Л. Д. Кудрявцева [2], стр. 92:
Пусть y = f(x)—взаимно однозначное, непрерывное, почти
всюду дифференцируемое отображение области G cz Еп на
область G* = f(G)czEn, переводящее любое множество меры нуль
во множество меры нуль. Тогда для любой измеримой на G*
функции g(y)
\ smx)]\^^\dx^ \ g(y)dy.
а о*
причем из существования одного из этих интегралов следует
существование другого.
Впрочем, нам понадобится не сам результат замены
переменных в интеграле, а лишь являющееся его следствием
неравенство между интегралами, которое может быть получено и
непосредственно следующим образом. Поскольку последнее
отображение является липшицевым в обе стороны, а
подынтегральная функция непрерывна, получение такого неравенства

« 201
Следы на липшицевой поверхности
339
сводится к случаю интеграла Римапа и может быть проведено
по обычной схеме замены переменного, излагаемой в курсах
математического анализа.
Итак, в результате указанных замен переменных получаем,
что
^-1<С2? J t~~f~\\ \\vrm\ga[y + v\fdvdy'\ d/<
|a|=/ 0 \V r J
<Сз 2 I J" J" I \SaW + u'\v"\, y(y') + v"]fX
Xdv"dy'du'\'"^C J] ||p> |lr- B6)
J |al=/
В этом случае установлена, таким образом, оценка B1),
причем даже без нулевого слагаемого правой части.
Пусть теперь f (х)— произвольная функция из W{pl) (Y).
Применяя B6) к f6 вместо Г, Гв вместо Г и усреднению (см. 20.7)
/»(*) вместо f(x), где 0 < б < е(б), и учитывая лемму 20.6,
получим неравенство, отличающееся от B1) лишь заменой в его
левой части f на fe, Г на Гв, Г (л:) на Гв(л:), причем постоянная
С не зависит от f, 8, в < в (8). Перейдем в левой части к пределу
при 8->0 (предварительно заменив Г6 на произвольный компакт
п.) Г6 \ Г, а затем по расширяющейся последовательности таких
компактов, исчерпывающей Г6\Г). В силу сходимости следов
усреднений ff] к следу f(P> в норме Lp(re) (как это видно из
доказательства леммы 20.7) получаем неравенство B1) с заменой
и его левой части Г на Г6. Переходя к пределу при 6-»-0,
получаем неравенство B1) для произвольной функции f eH?p'(f).
Отметим, что в оценках этого пункта везде можно заменить
Г на Г.
20.9. Выведем оценку B1) для случая > 1. Нам
понадобится интегральное представление 7A5) для функции одного
переменного через производную заданного порядка. Приведем
для удобства его вывод.
Пусть
K(t)s=CZ(E'), supp/Cc(i, {),
d\l
1 p, I •

340
откуда
следы Функций на многообразиях
[ГЛ. v
Ф(|N=С"(?'). supPOc(l, |), j"<p(Dd?=l.
г lOC
Для g = g(t)^L {t>Q), ц>0 рассмотрим усреднение
В силу формулы Лейбница — Ньютона для почти всех t > О
(точнее, в точках Лебега функции #@> так что для всех t > О,
если g(t) непрерывна) справедливо равенство
h
g(t) = gAi)~\-^Sn(t)dr\ (А>0).
Заметим, что
д
{1фA
д1 д
^— [ K{t)Ct
dll di\
^JL\ il I-±)K(IX\ = -±L«>(L)
5'
где HD^jfi^Kd).
Теперь при / > s + 1 > 1 (см. B0))
«(*) = «»(')+J" J ?(' + ?) ^"G)^^ =
0
ft
-в*@+ J f в"—"© V—^,+,,(^>*|. B7)
о
Заметим, что если функция g@ определена на @, оо) и
равна нулю при t > Т, a supp /(с (у, у), то при /г>ЗГ ?й(?)
обращается в нуль на @, °о).
Приступим к оценкам для f<=№p'(f), f = f (d). Будем
считать при этом, что feC™ (Г); общий случай сведется к этому
так же, как в предыдущем пункте.
Пусть сначала f(x) — Q на f(d)\f(|-). При |p|<s<
</- ——< s + 1 (см. B0)) подставим в правую часть B4)

¦ ?<»
СЛЕДЫ ПА ЛИПШЙЦЁВОЙ ПОВЕРХНОСТИ
341
«место /(|5) \y-\-t{x— y)] = g(t) представление B7), считая, что
х — у^Т, учитывая, что
f[y + t{x — y)] = 0 при t\x — yfe±.
и взяв h =
d
\х-у\
¦. Тогда
м\.
ф),
\Г(х)-РТ(х-у;у)\^
со ] со
(а|=г 0 0 0
XI'
сГт! <# d%,
где g« (*) = I/№ (*) I при леев Г, га(*) = 0 при х^Г.
Проведем в правой части следующую оценку интегралов
по л и по /. При 0 < t < |
J lt<->(l=i)lv—*,<
<XE —0'—'J
^,+,)(|)К"~,*1«<<б-<Г"'.
Вводя обозначение [a], = min {a, 1}, имеем, далее,
}1'сй-о,-'-1л<(*/--2[а1.
о
Собирая оценки, получаем, что
1<»(Х)-РГ(х-у; у)|<
оо
< С2 ^ I *~У I'"'&ij Sa[y + Ux~y)) tl~s-2 [?], dfi. B8)
|a| = Z 0
Оценим теперь при |fi[ ^s величину .З^, добавляя и вычи-
тия под модулем подынтегрального выражения f^(x). Заменим
9» соответственно суммой двух слагаемых, к каждому из
которых применим оценку B8). Получаем
9,<
<С3 2 j {pW-™ J ff«[У + l(Jc —V)]g'"*[111dE
l«l-Ucrw Lo
dy'' dx

342 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. <
Применим обобщенное неравенство Минковского по |, изме
ним порядок интегрирования по у' и х и положим х — y = v/Z
Тогда
°° га~т > '
|а|=/ О 1 Г 5С
Интеграл по | конечен ввиду B0), а интеграл, стоящий в фи
гурной скобке, был уже оценен при получении неравенства B6)
Таким образом, в случае, когда f(x) =0 при yef(rf) ^-Пу),
«с5 2 1Г1г-
В общем случае введем срезывающую функцию r\(x), isf
обладающую непрерывными и ограниченными производными дс
порядка I включительно, равную нулю на f(d)\f (у) и еди
нице на Г(е), где е = e(d, Т) > 0 достаточно мало. Из последнее
оценки получаем ^3<С5 2 ШТ% < С6 2 |П|?.
|а|=г |а|<г
Таким образом, отсюда и из B6) в общем случае B0)
получаем неравенство B1).
20.10. Рассмотрим обратную задачу о продолжении заданное
на Г системы функций {fa(#)}, |a| ^ s, в открытое множестве
Т = T(d) (обозначения те же, что и в п. 20.5).
Построим прежде всего на Г функцию г(х) ~ р(х) = р(х, Г)
такую, что
|Dar(x)|<cap(x),Ha|, |a|</. B9]
Это построение можно осуществить, например, следующим
стгособом *). Возьмем не равную тождественно нулю функцию
pi(x) со свойствами:
,1(д) = ц* (-!?/-). ц(дс)>0, A(х)бСв(|х|>0),
ц (х) = 0 при | х' | > е [ х |, где е > 0 достаточно мало.
Положим теперь
*) Конструкция регуляризовашюго расстояния до произвольного
замкнутого множества приведена в книге Стейна [1], стр. 203. В нашей частной
ситуации построенная здесь функция г(х) имеет более простой вид.

I JO) СЛЕДЫ НА ЛИПШИЦЕВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 343
Эквивалентность г(х)~р(х) следует из очевидного равенства
Ы^т), V-°^L q>0'
и условия B9) проверяются дифференцированием под знаком
интеграла.
Пусть со (х') с= С~ (Я), J со (*') dx' = 1 и со (*') сосредоточена
II столь малой окрестности нуля (в Ет), что
(о(-^=р) = 0 для xef, 1/еГ\ГD
Пусть на Г задана система функций [fa(y)\, \a\^.s, такая,
что fa(z/)e=/.|ос(Г). По многочлену Ps(w; y) = Ps(w; [fa(y)})
(см. A8)) построимте Г функцию
f (*) = { Ps (х - у; у) у^п со D^r) йУ'- C°)
Оценим нормы в Lp(r) производных функции f{x) и покажем, что
Г'(*) = /«(*). хег, |a |<s.
В" силу свойств со (х') при геГ, | a | ^ /
/(*) = Р,(*-2;г) +
+ j\Ps(x-y, y)-Ps(x-z; z))T^F^y^L)dy', C1)
r
f{a)(x) = PT(x-z; z) +
+ Sc p J"D* tp* (*-#; f) ~ p* (*-*; 2I яГp [г (х)~т со (?=?)] d/,
Г (*) - I Ma' (* - г; г) г (х)'т со (^f) dz' =
r
= J c^\\pf{x-y; y)-pf{x-z; z)]x
3<a Г Г

344
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ МЛ МНОГООБРАЗИЯХ
[ГЛ. V
С помощью B9) и неравенства Гёльдера получаем отсюда,
что при | а КI
fa)(x)-jP{sa)(x~z;z)r(x)
Р<а { Т(х) Т[х
mal^=4-)dz'
г(х)
pf {х -у; у)- Pf (х - г; г
<
| а | + 2—-1
р(х,Г) р
р \ЧР
dy dz
C2)
откуда (при | а | = 0
IIГ
<с
lf<
C<а [
И f
f ГЩ Г|1)
Pf (x -у; у)- Pf (x-z;z)p )l'»
dy dz x\ . C3)
|al + 2_-lPI
P (X. Г) »
Непосредственно из C0) следует также оценка
ll/llf<C S \j\f&(y)\pdy'\l'P. C4)
Покажем теперь, что при условии конечности при всех а,
|а|^С/, правых частей C3) для функции f(x), построенной в
C0), производные f(p)(x). *^Г, |р| ^ s, имеют следы на Г,
совпадающие соответственно с /е(х).
Существование следа сразу вытекает из леммы 20.7 и оценки
C3), так что остается установить равенство /(Р)(х) = f$(x),
хеГ, \а\ ^ s.
Пусть Г. — {х: х — {хг, у(х')), х'<= D, cz D), где Д,—
ограниченное открытое в Ет множество, содержащееся в
некотором D6,
Gh = T. + {x:x = @,x"); 0 <| х" \ < h; хп > 0 при т = п — \}<=.Ть.
С помощью неравенства Гёльдера из C2) получаем при
|a|<s, ft-*0
j" f\x)-\^{x-z;z)r(x)
""«(¦^Md/
r(x)
dx <
<C ^ (mesGft)~pftMa|X
!<a
X
[Gn T{x)T{x)
э(Р)
P{f' (x -у; у)- РГ (х — г; z
№,
1+2-^-н
Р {х, Г) »
dy'dz'dxV =o(hn-m).

« 20] СЛЕДЫ НА ЛИГШИЦЁВОЙ ПОВЕРХНОСТИ 345
Заменяя в левой части последнего равенства P{sai (х — z; z)
на fa{z), а затем усреднение
\fMr{x)-m^{^~L)dz' на /в(*',у(дО)
г
и учитывая, что возникающая при этом погрешность равна,
как легко видеть, o(hn~m), получаем, что npH|<x|^s, h-*Q
J J IГ (*'. У (*') + z")-k (*'. V (*')) | dx' dz" = о (ft"--"). C5)
| *" I < ft D,
По определению следа выполняется равенство, отличающееся
от C5) заменой в его левой части fa на f<4 Сравнивая это
последнее с C5), получаем, что при |a|-^s
/(a> (хг, у {х')) — fa (х', у (х')) для почти всех х' <= Dt.
Ввиду произвольности Г* получаем, что fa(x), х е Г, является
следом f(a)(#) на Г при любом а, \а\ ^ s.
20.11. Перенесем полученные результаты на случай липшице-
оых многообразий более общего вида. Пусть m-мерное липши-
цсво многообразие в ?"A s^m<n) имеет вид Г(т,= (J Г*т)»
для каждого k= 1, ..., km (&т<оо) задано ортогональное
преобразование Tmik: Еп->Еу, при котором
Тт,*1Г • = [У = (У'. У")- У" = Y&(Л /еО»с?*,),
где Dft — открытое (не обязательно ограниченное*)) множество
и m-мерном подпространстве точек пространства Епу, ук(у')—
исктор-функция со значениями у" = (ут+\, ..., уп) из ортого-
иального подпространства ?у» , удовлетворяющая условию
Липшица
I У к (У') - ук (*') I < М*| / - z' |, У', * s D*.
Потребуем, чтобы для многообразия Г(т) выполнялось при
некоторых б > 0, х\ > 0 условие
r(m,===yr(m)==yr(m)) C6)
k=\ fc=] ¦
О, (ГЙ>) Л (Г<т) \ Г,*я,)) = 0 .(* = !,..., fem), C7)
*) Этим мы не расширяем данного ранее определения липшицева т-мер-
вого многообразия, так как неограниченное открытое множество Dn предста-
Вимо в виде счетной суммы ограниченных открытых множеств.

346
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ
[гл. v
где
ГЙ' = Тп! к {у: у = (у\ yk (у% р (у', Е? \ D*) > б};
здесь и далее Ое — «-мерная е-окрестность.
Из C6) следует, в частности, что многообразие Пт> является
многообразием без края.
Пусть теперь задано открытое множество G, граница
которого dG является объединением находящихся на положительном
расстоянии друг от друга липшицевых многообразий,
удовлетворяющих условиям C6), C7):
<3G= (J Г,т),
9R = Ш (/, п, р), C8)
где / — некоторое натуральное число, 1 < р < оо, множество
натуральных чисел Ш (I, п, р) содержится в полуинтервале
/in m — П.
(п — 1р, п — 1J и не содержит m с целыми .
При п— 1 е ШA, п, р) будем предполагать, что
Г!?""" -h TnU kVk (H)c:G (k = 1, 2, ..., *„_,)
и что совпадают пересечения множеств Гк""" + T„L\, %V (Н) и Q
с достаточно малой га-мерной окрестностью произвольной точки
г1Г), где Vh(H)— конус вида
Vk(H)={y = (y', уп): Уп>Мк\у'\,\У\<Н], Я >0,
Mk — постоянная Липшица для Г1^-'1, & = ], 2,..., kn_{.
Введем еще следующие обозначения:
J ф(х)с/гГ'- J ч(т?ку)йу', C9)
Гкт) (х) = Т~] k \{Тт, kT[m)) П (Тт, к{х - Г))], см. A5),
G«.fc(e) = GnOe(r(*ra)). е>0.
20.12. Теорема. Пусть открытое множество G cz Еп с
границей dG вида C8) удовлетворяет в окрестности П™-1*
вышеприведенным условиям. Тогда для f (х) е= Wf (G) на всех П' cz dG

I Ml
СЛЕДЫ НА ЛИПШИЦЕВОИ ПОВЕРХНОСТИ
347
существуют следы производных /<а\ |a|<s = s (m) < / ¦
B0), для которых справедливо неравенство
fem k„
Up
п — m
wraajj ft=l IPKs(m) 1 r(m) J m «? эд &=1 115 l<s
{ J M
<m>
Jm, *
(e> r<m>(x) r'm|(r
^m)(*-»;»)-p,/(m)(JC-2:z)P
рМгГ^'
X
X Vr^rT dx У < С ? I fla» ||p, G, D0)
I а к г
#f?<? Ps{w; у)— многочлен Тейлора A9), построенный по f(x),
i> 0 достаточно мало, постоянная С не зависит от f(x).
Обратно, пуст), на каждом многообразии П», m е ЭК, заданы
системы функций {/m,a}, |a|-^s = s(m), ы для многочлена
l\{w)(w; у) = PS(m)(w; {fm:a(y)}), определенного равенством A8),
конечна левая часть D0). Тогда можно построить функцию
f е; W7'/' (G), для которой существуют следы производных
Г(х) = Uа(х) (х е Г(т), | а |< s(m), m е 3W)
и S lf(ai|p g оценивается левой частью D0), помноженной на
l«l<f '
постоянную С, не зависящую от jfm>a|.
Доказательство. Пусть / е WP](G). В силу леммы 20.6
пространство Wp](G) совпадает с WP'(G), где G представляет
объединение G и всех Г(т) при теЗИ, m < п—1. В силу
леммы 20.7 получаем существование следа f(a> на многообразии
Г*"'. Существование следа в целом на каждом Пт> вытекает из
Теоремы 20.4 о существовании следа, проверка условий которой
проводится в плане доказательства леммы 20.7. Оценка же D0)
получается применением оценок B1) и B3).
Для доказательства второй части теоремы воспользуемся
условиями C6), C7). Зафиксируем m е Wl, т<п—1.
Семенит
стно функций {/та}, заданных на Г(т| = (Jгкт), продолжим
с каждого многообразия Yk] (k = l, 2, ..., km) в некоторую
«•мерную 2е-окрестность Гю Bе < г\), так что полученные
функции
и(*)^П'Ч°*№))-

348 гЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
Пусть теперь [ek{x)\k^ — множество функций, определенных
на G и удовлетворяющих условиям: ek(x) = 0 вне ОгвСгЙ1),
2 eft(*) = l на иОеСГйб'), производные ZJaeft (х), | а |< /, непре-
рывны и ограничены. Тогда
mk
/«WeS e*(*)Lk(*) D1)
является продолжением заданного на Г'' семейства функций
{/т,а} в Еп. Производные f(|>, | fS |^ s == s (т) имеют следы на Г(т),
причем /„'= /т. а на Г(т>, что вытекает из теоремы 20.4 о
существовании следа и свойств fmh(x) и ей(х).
В случае т = п — 1 е 9К то же рассуждение сохраняется с
заменой 02г(ГЙ') на G Л 02г(Г«Г")| и мы получаем
продолжающую функцию fn-i(*) также в виде D1) при т = п— 1.
Учитывая, что многообразия Г'', т е Ш, находятся друг от
друга на положительном расстоянии, строим f(x) в виде
fW= 2 ?m(*)M*), D2)
me fj
где {emWlmesB,— семейство определенных в G функций
ёт(х) со свойствами: ёт(х) = 1 в некоторой га-мерной
окрестности Г(т>; ёт(х)— 0 в некоторых я-мерьых окрестностях IW при
всех йеЗИ, k ф т; Daem(x), \а\ ^1, непрерывны и
ограничены на G.
Оценка, обратная к D0), для функции f(x) D2) следует из
того, что подобная оценка справедлива для каждой функции
fmk{x) (k = 1, ..., ши; т е Ш) согласно неравенствам C3),
C4). Теорема доказана.
20.13. Замечание. Везде в этом параграфе исключался
случай, когда число является целым, см. B0). Это
связано с тем, что характеристика следа функций изЦ7(р,(?'т) на
г-п п — т ^
т-мерном сечении пространства Ь имеет при целых
более сложный вид, чем при нецелых. Так, уже при изучении следа
на m-мерном подпространстве пространства Еп приходится
вводить в рассмотрение при целом разности второго (или
более высокого) порядка от производных. Аналогичное услож-
. нение должно возникать и при изучении следа на т-мерных
липшицевых многообразиях при целом . Точная
характеристика свойств следа в этом случае пока не получена,

I 21] ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ 349
20.14. Замечание. Исследования этого параграфа были
посвящены лишь свойствам следов функций из изотропных
пространств С. Л. Соболева Wp\ Ап алогичные вопросы изучены
для пространств Яр', Вр.'еИ их обобщений (см. О. В. Бесов [14]).
§ 21. Лемма об инвариантности классов
при замене переменных
21.1. Пусть Еп = Е и Еп* = Е* — n-мерные пространства
соответственно точек гний Се?, G*c?*— ограниченные
области. Допустим, что на некоторой области G\czE*, G* cz G\,
задана функция f (и) е Bp7e(Gt). Основной целью этого
параграфа будет доказательство леммы 21.2, утверждающей, что при
достаточно гладком преобразовании и = ц>(х) G на G* преобра-
•юванная функция F (х) =f[q>{x)] принадлежит тому же классу
ftp.'u(G) функций от х, определенных на G. В 21.9 приводится
подобная лемма для классов Wp] (/= 1,2, ...),
доказательство которой, впрочем, значительно проще.
Мы будем считать, что Gl — Е*, и это не нарушает общности,
потому что функцию f(u) можно продолжить за пределы G* на
/:'* так, что продолженная функция f (и) е Вр!в(Е*) или /(и)е
i " Wp](Е*) {f(u) = f(u), аеС)и выполняется неравенство
llf(")llB(?e(fi,)<C!!/(«)|!B,?e(Gr)
или
llf(«)llru,(?.)<C||/(«)||ru,fGn,
р р \ 1/
где константа С не зависит от /. Это продолжение можно,
например, осуществить*), полагая J (и) = х\ (и) f (и), где х\(и) —
финитная в G\> бесконечно дифференцируемая функция, равная 1 на G*.
Мы будем рассматривать в этой главе только изотропные
клпссы функций ?р?е {&?<» = Н1?, г > 0, 1 </><<», 1<9<оо)
и W{pl), 1=1, 2, ...
Пусть r = f + a, где г —целое и 0<а^1, и Fw = F{h)—
производная от F порядка р = г по направлению вектора h.
I (усть еще k — натуральное число, удовлетворяющее неравен-
i тиу k > г — р. Таким образом, k > 0 при нецелом г и k > 1 при
целом г. Положим
^-Q^^^Q*^, t\ ia~ sup \&Ж(х)Ьакщ. A)
*) См. 17.il, для классов Н{р, W^ см. С. М. Никольский [2].

350 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ ПА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
где верхняя грань при данном t ^ 0 распространена на
всевозможные указанные векторы h, a G& означает множество точек
х е G, отстоящих от границы G больше чем на б.
По определению функция*) F е Яр'(G), если она
принадлежит LP(G), имеет на G частные производные порядка р = г по
любому направлению, причем при заданном натуральном
k > а = г — г = г — р и любом t > 0 выполняется неравенство
Q<u)(F{p),t)^Mta, B)
где константа М не зависит от t.
Если М = М (f) = \\f || (г) а есть наименьшая константа, для
которой выполняется B) для всех / >¦ 0, то полагаем
11ЛЦп(С)=11П1р,с + м(Л. C)
На самом деле это определение, вообще говоря, зависит от
выбранного натурального k, так что в обозначение Hp(G) надо
было бы включить, кроме риг, еще параметр k. Но мы будем
считать в этом параграфе, что класс Hp\G) определен для
минимального допустимого k. Таким образом, при г нецелом k = \,
а при г целом k = 2.
Доказав, что некая функция F (х) принадлежит классу
ЯР (G), определенному для минимального k, мы тем самым
докажем принадлежность ее классу Hpr)(G), определенному для
любого k' > k. Это следует из очевидного неравенства, которое
при k = 1, k' — 2 выглядит так:
<lffliW(x+m~rtp4x+h)iG2lh{ +
+ |SupJ(Fr(, + ft)-FkP»(x)||p,G2|fti<
< 2 sup I FT (x + h) - F{hp) (x) | = 2Q"> (*).
|ft|<< '""l ftl
Отметим все же, что если класс Н{р (G) введен при некотором
k и область G такова, что каждую функцию F е Я(рг) (G) можно
*) В случае, если G удовлетворяет условию конуса, это определение
(изотропного) класса Ну (G), так же как приведенное дальше (см. F))
определение класса Bf'g (G)> эквивалентно определению этих классов,
введенному в 18.1 (см. 18.16). Отметим, что ограниченная область с гладкой
границей удовлетворяет условию конуса.

I 21] ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ 351
продолжить па все пространство Еп так, что продолженная
функция F <= Н{р' (Еп) при том же k и выполняется неравенство
\\F\\H<r)(En)<C\\F\\H{;)[G),
где константа С не зависит от F, то все классы Hpn(G),
определенные для разных k, эквивалентны, потому что, как известно
(см. С. М. Никольский [9], 5.6), эквивалентны между собой
определенные для разных k классы НРГ)(Е"). Эти замечания верны и
для классов Bpr^(G), определение которых тоже зависит от
к > а.
Произвольную функцию F^Hp]{En) (G = Еп) можно
разложить в сходящийся к ней в Lp{En) ряд (см. С. М.
Никольский [9], 5.5.3 F))
оо
F(x)=2Q,(x), D)
где Qj{x)—функции экспоненциального сферического типа*)
Ф (а > 1), для которых
llQ/IKAa-'/ (/ = 0, 1, ...). E)
Где константа Л пе зависит от /.
* Наименьшая константа Л, для которой выполняется неравен-
стио E), т. е.
Л =- Л (F) = sup ar/1| Qy ||р, C')
эквивалентна норме C). Но, как обычно в этой теории, мы
будем позволять себе писать
Л(/)Н|/1д(„(еВ),
Сознавая, что на самом деле
CA(F)^\\F\\Hir){E)<ClA(F), '
где С и С\ — константы не зависящие от F.
*) Принадлежащая Lp(En) функция Q(х) =г= Q(хь ..., х„) экспонен-
циильного сферического типа v > 0 может быть определена как аналитически
Иродолжимая до целой функции Q(z)=Q(zi, ..., zn) от п комплексных
Переменных (zit ..., z„), удовлетворяющей неравенству | Q (г) | < Cev' у ',
Где Zj = X] + lyjt \у\= Vу\ + •¦•+У2п (см- С. М. Никольский [9], 3.2.6., в
Местности 3.2.6D)).

352 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
По определению*) функция Fefip,'e(G) A^8<оо), если
для нее имеет смысл конечная норма (см. A))
( ' \1/8 F)
Если G = ?", то можно дать еще следующее эквивалентное
определение (см. С. М. Никольский [9], 5.6F)).
Функция Fe=B'?o{Ea), если ее можно представить в виде
сходящегося к ней в Lp(En) ряда D) целых функций Qj(x)
экспоненциального сферического типа а' (а > 1), для которых
I оо N1/8
\\Р\\в^(ЕП=[Ъа^а«) <оо, «,-IQ^. F')
Формула F') охватывает не только конечные (9), но и
0 = оо, потому что в последнем случае F') понимается обычно
как верхняя грань C').
Конечно, нормы F) и F') (при G = Еп), вообще говоря, не
равны, а только эквивалентны.
Общие свойства функции Q )(Flp,> i)L {0 от t аналогичны
соответствующим свойствам этой функции при р = О, когда она
обращается в обычный модуль непрерывности F в метрике
LP(G).
Ниже мы получаем неравенство**), доказательство которого
основано на монотонности QW(/7(p), t)L (G).
Имеем (а>1, 1 ^ 9 < оо, сс = г — г— г — р)
1 оо
||F||° = Гг,-а9О(*,@вЛ = 1па (aah0Qlk){a-h)edh =
»P.e<°> J 0J
оо JV + I оо
= 1па J] J fl^Q'^a-YdKC^fl^WHN, G)
JV=0 JV JV=0
где С не зависит от F.
Условимся считать, что С<г> = С<"(E)_, где /X) — целое, есть
класс функций ty{x), непрерывных на G вместе со своими
частными производными до порядка / включительно, а при нецелом
/ = [/]-)-Р CW есть класс функций г()(л:) е СИ), имеющих произ-
*) См. сноску на стр. 350.
**) См. книгу С. М. Никольского [9], 5.6A6), где это неравенство
выведено в случае G = Еп. Оно имеется в статье О. В. Бесова [3], стр. 50.

ц 2il инвариантность Классов при замене переменных 353
йодные порядки [/], удовлетворяющие на G условию Липшица
степени р.
Положим, как обычно,
|| if ||с = max | ф (x) |
II для произвольной функции i|) s О" при целом / ^ 1 определим
ее полунорму
Hbh = S П"Ф,5Ч1с
С K|s|</
где сумма распространена на все частные производные от ф до
порядка / включительно (исключая самоё ф!). При нецелом же
/ в [/] + Р полагаем
HIU.^HIU/n + M,
гдеМ — наименьшая константа, с которой все частные
производные от if порядка [/] удовлетворяют условию Липшица порядка р.
Введем еще норму
1Жи=11Ф11с + 11Н<<>-
Будем еще говорить, что вектор <р(х) = (((>1(х), ..., ф„ (х)),
A'ieG, принадлежит С(/», если ф, е С1'», г' = 1, ..., п, и считать
п п
II Ф lie») = 2 II Ф< 11с»). II Ф 11с«1 = S II Фг ИС(Г)-
<=| (=1
21.2. Лемма*). Пусть r>0 и замыкание О ограниченной
области G пространства Еп = Е точек х = (х\, ..., хп) взаимно
однозначно отображается на замыкание G* области G*
пространства Еп* = Е* точек и — (ии ..., ип) при помощи
отображения и = ф(*), определяемого функциями
«г = ФгМ = ф;(*1> •••> Хп), t = l, •••. ",
принадлежащими классам С{ ) — C(lr)(G), где
/r = max(l, г) при нецелом г,
/г = г + е при г целом, ¦
с
якобианом
Z\::::uXn)>K>0> (9)
еОе К не зависит от xeG. Пусть еще f (и) е Яр'(?*). Тогда:
1) Функция
F(x) = f (ф (*)) = f (ф1 (*) ф„ (*))
*) С. М. Никольский [2], [11], [14].

354 следы функций на многообразиях (гл. v
от х интегрируема в р-й степени на G (при р = оо ограничена)
и имеет частные производные по х, порядков р < г, вычисляемые
почти всюду на G по тем же правилам, как если бы f(u) имела
непрерывные частные производные по и.
При этом
ll^(*)lUo<-j^-ll/(«)llp. (Ю)
2) Функция F (х) е Hl? (G) и
II^WHflw,0)<C||f(u)||^)(B.), A1)
где С — константа, зависящая от г, полунормы || ф ||сс| и К, а
I = 1(г) — число, определяемое в (8).
В этом утверждении можно всюду заменить IIР на Вря
A^0<оо), однако в предположении, что ф( s С' г\ где
{вместо (8))
/,. —max(l, r + е), е > 0. (8')
Доказательство. Мы будем писать <СЛ вместо ^ С А,
где С — константа, зависящая в этой лемме от г, || <р И^ (/— 1Г) и К-
Функцию f(u) представим в виде сходящегося к ней в LV(E*)
ряда
оо
f(u) = ^Qi(u) (а>1) A2)
о
целых функций экспоненциального типа а1, так что A^0^оо)
/ оо \1/6
llf(")llB(r)e(?*)==A = ^ga^aej <оо, at = Ц Q,(u) \)р. A3)
Из A3) следует неравенство
а1га, < Л.
Но тогда ряд A2) можно почленно дифференцировать s
(\s\<r) раз:
со
/=0
(ведь |Q(.s>(u)L ^.а1 1*1а/^Лдг'(,'-1*1>). Поэтому (доказательство
см. в книге С. М. Никольского [9], 4.4.9) функция F = f(q>lt ...
..., фп) имеет на G обобщенные частные производные порядков
р ¦< г, вычисляемые по обычным классическим правилам, как
если бы функция } имела непрерывные частные производные.

I 21] ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ 355
Таким образом, почти для всех х е G имеет место равенство
1 п 1<I s |<р 1
где Ks — непрерывные функции, не зависящие от f. Справедливо
равенство (доказательство см. в книге С. М. Никольского [9],
4.4.9)
а о*
н.ч которого в силу (9) получим неравенство A0), верное, оче-
нндно, и при р = оо. Тем самым доказано утверждение 1) леммы.
В дальнейшем мы будем пользоваться равенством
i
f (У) ~ f (х) =\ у-х | { -g- (* +1 (у-х)) dt, A5)
о
где х, у— точки евклидова n-мерного пространства, / —
определенная на нем непрерывно дифференцируемая функция и d/dv —
операция производной по направлению от х к у.
Имеем
II^WIIp. 0 = llf[?M]llp,G<ll/(")llp<llf(")[lB(r) (*•). A6)
р, 8
Во втором соотношении в этой цепи произведена замена х
на и — (f(x) в кратном интеграле, и возникающий при этом
якобиан оценен мажорирующей его константой (равной /С-1).
Запишем какую-либо частную производную Ftp)(x) от F(x)
порядка р = г в виде конечной суммы:
лр>(*)= 2 М*)Р №(*)], " A7)
1<|«кр
где ks(x)—функции (выражаемые через производные ф(.*>, где
1<С|?|-<р), не зависящие от f, a р*Ци)— частные производные
по и порядка s. При 0 < г ¦< 1 будет р = 0, и тогда
F(o){x)==F{x)==Ka{x)f[cp{x)l М*)^1- A7')
Из доказываемых ниже лемм 21.3, 21.4 и вложения
B{plo(E*)^~Blps,[+a(E*) (см. книгу С. М. Никольского [9], 6.2A2))
следует:
II К (*) Р> [Ф (*)] 11»(а,о @, < II Р> (И) Ив(а) (Е«) <
< II/(")Ив<п (Я*). <x = r-f, 0<|s|<p. A8)
р. в

356 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
Но тогда для любой частной производной порядка р по какому-
либо направлению h имеет место неравенство
WUo@,<llf(")IU>o(E*)'
Р. В р, в
которое вместе с A6) дает утверждение леммы:
11^(*)НВ(г) ,0)<Ши)ИВ1г, (в*), 1<е<оо.
р, 8 р, 9
Лемма 21.3 применяется в случае нецелого г, г — г = сс< 1,
где надо считать X{x) = Xs(x), g(x) = f{S)(x). Так как f(u)e
еВр'в^) и lsl<r> то заведомо g(«) <= Вра?в(Е*) и (см.
книгу С. М. Никольского [9], 6.2A2))
llg(«)llB(a) (E*)<Cr\\f(u)\\B(r) (g*),
где Сг зависит от г. С другой стороны,
где е = 0, е > 0 соответственно для классов //, В, в чём можно
убедиться, рассуждая по индукции.
Лемма 21.4 применяется в случае целого г при g(u) =
= fl(«)GBj1,e(?'),p = f=r-l,
II ?(") Hb<|)q (е*)<СШ") IW> (?*)
р, о р,и
и при k(x) = Xs(x). В этом случае из условия леммы (ф е С!',
lr = r-\-e) очевидно, что Х{х) еC<i+E). Надо еще учесть, что
константы || Я ||с, ||A/||C,MV, ||ф'11с, Мф, оцениваются полунормой
Цф||с(/|-
21.3. Лемма. Пусть, как в лемме 21.2, непрерывно
дифференцируемая операция и = ф (х) отображает взаимно однозначно
замыкание ограниченной области G а Еп на замыкание
ограниченной области G* с Еп* = Е* с якобианом, ограниченным, снизу
положительной константой.
Пусть, далее, 0<сс<1, <р(лс) е= С<!>= CA>(G), А (х) <= С(а>,
g(u)<=H{pa)(E*).
Тогда F{x) = l (х) g [<р (*)] е= НРа) (G) и
\\Р(х)\\^а){а)<\\§(и)\\нЮ{Е> A9)
Р Р
где константа в < зависит от К, II ф llc(i), || К \\с и липшицевой
(в смысле С(а|) константы М функции К.

t »IJ ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ 357
В этом утверждении Яра) можно заменить на В^'е A <^0 < оо),
но тогда надо считать
I (х) е С,а+8) = С{а+е) (G) (е > 0).
Доказательство. Исходим из представления
оо
g (и) = S Q, (и), \\ Q, (и) ||р = а,, B0)
/=о
где Q/(u) — целые функции экспоненциального типа а' (а > 1), и
/ о° \1/6
Л=||^(«)Нв(а, (в.}= Ha'V <оо, 1<9<оо. B1)
Тогда
оо
F(x)=2M*)Q/[<p(*)]> ^еС, B2)
/=о
И
ОО
F(x + h)-F(x)=%{[l(x + h)-k(x)]Q1[<p(x+h)} +
+ МлО (Qy[<P (* +ft)]-Q/[<P (*)])}. B3)
НоЩх)КЛ1, | Я (л; + Л) — ?,(л;)|<М|/гГ+8(прие = оо 8 = 0,
п при 0 < оо е > 0) и потому (пояснения ниже)
. || [А (х + h) - А (*)] Q, [Ф (х + Л)] llp, 0 <
l ft I
<U|a+e||Q/(«)||p = |/I|a+ea/( B4)
|| X {х) (Q, [Ф (х + h)] - Q, [ф (x)}) ||p> G <
| Л [
l I
< |ф(х + /0^М|/С/(ф(*) + *[ф(* + Л)-ф(*I)Л
1 n
<\\h\\j%\\Qiui(<S>(x) + t[<t(x + h)-c?(x)])\\ dt<
0 i=I ' Iftl
n
«|Al2||Q/.«|(")lp<lAla/fl/ AЛ|<Л), B5)
IIM* + A)Q/k(* + A)]-M*)Q,kW]lMh <
< 21| Я, (x) Q, [Ф (x)] IU 0 < || Q, (u) Up = a,. B6)
Ограничимся пояснениями к B5).,Здесь Q] есть производная
от Qj по направлению вектора (f(x-\-h) —<р{х), а Q/, Н;—
частная производная от Qj по цг. В первом соотношении B5)
р-°\н\

358 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
применена формула A5), во втором — тот факт, что фе сС, и
обобщенное неравенство Минковского. В третьем — произведена
замена х на и = ф(х) + t[q>(x + h) — ф(х)] и возникающий при
этом якобиан заменен мажорирующей константой, что законно
при |А|<т}, где х\ достаточно мало, как это следует из
доказываемой ниже леммы 21.5. Наконец, в последнем соотношении
B5) применено неравенство || Qj (и) \\р ^.а'!\\ Q, (и) ||р, верное для
функций экспоненциального типа a.i (см. книгу С. М.
Никольского [9], 3.2.6 C)). Оценкой B6) мы будем пользоваться для
j>N.
Теперь имеем
II F (х) ]\L < 2 || Я (*) Q, [Ф (х)] || «Sa;<
Ведь из B1) следует, что
a;a'a
Далее, в силу B3) —B7)
< Л 2 а~>а =* СЛ = С || / (и) ||в(в) (Е.}. B7)
i/e
aya/a < ( 2 a?a'0a) == Л.
N-\ N-\
\\F(x + h)-F(x)\\L .<l/z|a+ES ay + IAlS a,a' +
p\\h\) 0 0
OO N — I oo
+ 2 «/ < Л| /г |a+E +1 A | S a,aJ + 2 a,. B8)
JV ' 0 ' N
Зададим h и подберем зависящее от него натуральное N так,
что
а-|*+ч<|А|<ч"*
Если 9 = оо (е = 0, щ ^ Ва~'а), то из B8) следует:
/ JV-1 оо \
\\F(x + h)-F(x)\L а «Л lAP + IAlS а-»» + 2 а-'° <
^' I ft I \ О N I
< Л О А |а +1 А |a""-a) + a~Wa) < Л | Л f
Это неравенство, доказанное пока для |А| < х\, вместе с B7)
приводит к такому же неравенству для всех h и доказывает A9).
При 1 < 0 < оо из A) при k—l, G) и B8) следует
(пояснения ниже):
оо
IIР(х) 11% <<Л92а^,а-(а+е))9 +
ьр, е(«> я=о
<ю [N— 1 \6 оо / оо 49
+ За'—'ЮТ 2 а,а' + 2 aaW 2 а, < Ле. B9)

I 2Ц ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ 359
Мы здесь воспользовались двумя числовыми неравенствами
(см. книгу С. М. Никольского [9], 5.6A9), B0) и статью О. В.
Бесова [3]):
оо / N \0 оо
оо / оо \в оо V3"/
w=o \/=jv / г=о
верными при любых a > 1, 6; ^ 0, 1 ^ 9 < оо.
Из B7) и B9) следует утверждение леммы при 1 ^ 0 < оо:
Н^(*I1д(а) @) <l|g(u)llB(a) (?*).
р, 6 р, 6
21.4. Лемма. Пусть, как в лемме 21.2, непрерывно
дифференцируемая операция и = ф(дс) отображает взаимно
однозначно замыкание ограниченной области G = Еп на замыкание
ограниченной области G* а Еп* = Е* с якобианом,
ограниченным снизу положительной константой К-
Пусть, далее, <р(дс), Я,(*) е C(l+E> (G), g(u) е 4%(?*).
Гогда F (дс) = К (х) g [<р (*)] е= В^е (G) и
\\F(x)WB0) ,о, <llg(")llB0) (F)- C1)
р, в р, в
еде константа в <С зависит от К, llq/llc, IWIc, ИЯ'Ис и от констант
Липшица Mi', Мр' степени г соответственно функций %', ф'.
Доказательство. Как в предыдущей лемме, исходим из
представления B0), B1), где на этот раз надо считать a = 1.
Тогда
оо
F(x)=%l(x)QAx), 'Q,*(x) = Q,[v(x)], xeG.
Условимся, только для функций \)р(х)— Х(х), Qj*(x), что
ty'{x) и {ty(x))' обозначают производную от ф в точке х по
направлению h. Для Q'j (и) в дальнейшем будет другое
соглашение. Тогда (ЛЕбгщ)
1
A2ft (А (дс) Qr (х)) = | Л | АА J" (Я. (jc -+- th) Q,t {х + th))f dt =
о
i
= 1 h | J {%' {x + Л + th) AAQy. (* + <A) + Qy (дс + й) ДЛА,' (* + «О +
о . ¦
+ Я, (дс + h + th) AAQJ. (дс + th) + Qr {x + th) Ад Я, (* + th)} dt.

360
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НЛ МНОГООБРАЗИЯХ
tt-л. V
Учитывая, что 1(х) и h'{x) ограничены, и применяя
обобщенное неравенство Минковского, получим
Ai (* (х) Q,. М) L 0,, « I * I J | А А [Ф (* + Щ] | dt +
»Р. 02 | ft |
V- G2\h\
+ \h\l+fl\\Q,te(x + th)nPt02l dt +
0
1
+ \h\\\\AhQ'r(x + th)\\Pi02]hidt +
о
i
о
Но (пояснения ниже)
in
ffx=\h\ f | ДаФ (* + *Л) | X
о II
l
X f QH<p(* + «i) + TAAq>(je + fA)]dT л<
0 P. °2|ft|
<|AF||QH«)Hp<|APa/o/.
Здесь Q'j — производная по и в направлении вектора
&h<f>(х -{• th). К интегралу по т применено обобщенное
неравенство Минковского, и в кратном интеграле, определяющем норму,
сделана замена х на и = ф(х + th) + тДдф(л; + М), что при
достаточно малых h законно (см. лемму 21.5). Далее,
,1+Е
|1+г
^2<\hrs\\Q,(u)\\p<\hf^a1.
При дальнейших оценках учтем, что производная по
направлению h вычисляется по формуле
Qi- = SS
ft=i ;=-i
duk dxt
P„ рг = cos (/г, л;,),

«211
ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ
361
где р,- при данном А — постоянные коэффициенты, не
превышающие единицу. Поэтому (мы опускаем 22^
k i I
AaQ/- (x + /A) = —- д- Aft —Чп; P/ +
dx.
+ -^(* + й)|Алср(* + й)|Х
x{
d2Qi [<p (* + <A) + тААф (л: + <A)]
dt ди.
dx • рг) C2)
d*Q, dQ,
где -^т-з— обозначает производную от -s— по направлению
& ft
пектора l = kh<p(x-\-th). Отсюда, учитывая, что ф6еС<+Ь|,
и применяя, как выше, лемму 21.5 и обобщенное неравенство
Минковского, получим [снова здесь и ниже опущены 2 2)
0Q/
|A*Q/'(* + <A)llPi02lh|«|Ar
+ |А
<32Q/ (и)
а/а«ь
+
<|АраЦ + |А1а2^ C3)
- и, следовательно,
3r3<\hrea'a, + |A|Va,
Наконец,
^,<|АР
5Q/ «^
duk дх{
Iftl'
I АР
dQ,(u
I II ^мь
P.  I ft 11 " "p
<| ApaV
Для /^yV мы будем пользоваться более простыми оценками
{М>\к(х)\):
||A2(AWQ;.,W)| 0 <4Af|Q/.(x)| <|Q/(«)| ==a/.
11 х ' -1 Up. G2 | ft | И ' Up, 02 I ft | " ' "P
Итак, имеем
/ лг-i w-i \
« |A|22 a'o, + |A|1+'So, +
\ о 0 /
A№)
I]p. O21 a i
ЛГ-1
ЛГ-1
+1 A |I+8 2 a'a, + I'A f 2 as4 + 2 a/, C4)
где слагаемые в скобках можно, не принимать во внимание,
потому что они оцениваются остальными членами правой части
неравенства.

362 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
Пусть 9 = 00 (е > 0!, a.j*^.Ba~!), тогда
№рм1. о2Ш «ih i'+8yv+ih №+a'N < Ih I-
Задаем теперь ft и подбираем зависящее от него
натуральное N так, что а-<"+"<| A|<a-;V.
Тогда при 6 = оо (е>0!, a; <: 5а_/). очевидно,
l^Wl. о21м < В^1 h l'+8lnft +| ft |V + 0 < fi| ft |, C5)
и так как
II P (x) lip. a < II f (Ф (*)) IU о < II / (") Up < B, C6)
то верно C1) при 0 = oo.
Если теперь 6 конечно, то (af s?^ Ва~>, 0 < е{ < е)
w—: оо
IA*f wt o2lk,« В] hi1+e'+iлi2 2 «2Ч + 2«/«
Л'-l оо
< Sa-V (,+е') + a-'-v 2 a2''a,- + 2 a,-,
О N
и потому в силу G)
оо оо /w-i \е
||Л|%) <Ве 2«Л/0а-Л'A+е')е+ 2a-v0(S a2;a, +
йр, е<°> лг=о лг=о V о /
оо / оо \6
+ SaiVe 2«/ <В°, C7)
Л>=0 \ N /
где вторая и третья суммы второго члена цепи оцениваются с
помощью числовых неравенств C0). Из C6) и C7) следует C1).
21.5*). Лемм-а. Пусть, как в лемме 21.2, непрерывно
дифференцируемая операция и = ц>(х) с якобианом, ограниченным
снизу константой К > 0, отображает взаимно однозначно О на
G*, где G с Е, G* cz Е* — ограниченные области.
Пусть еще при натуральном k на компакте
Ж={{х, h, t): |ft|<6, ^ еа, is6»|»|),
где б > 0, со е Ет при некотором m — замкнутое ограниченное
множество, заданы функции ai(x,h,t), непрерывные на 2R
вместе со своими частными производными по х первого порядка,
причем
да,
a,{x,0,f) = 0, ^(лг, 0,0 = 0 (/, /=1, ..., п) C8)
для всех х е G и t е со.
*) СМ. Никольский [2] и [12], § 7.2?>.

I 21) ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПТИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ 363
Тогда найдется достаточно малое а > О такое, что при
О *C\h\^Co, (ей операция y(x,h,t), определяемая
равенствами
vi = (9i(x) + ai(x, ft, t) (г=1, ...,«; л: eGftui), C9)
цстанавливает непрерывно дифференцируемое в обе стороны
соответствие i+ts между точками множества Gh(h) и точками его
образа.
Доказательство. В силу C8) и (9) и равномерной
непрерывности частных производных -з-1 (х, ft, t) на компакте 2R,
найдется достаточно малое ц > 0 такое, что
D(oi, ..., vn) „ п
та хп) >к>0
для |ft|<Tj, х е Gft(ft), ^ е со. Это показывает на основании
классической теоремы о неявных функциях, что операция
(f(x,h,t) при любых фиксированных ft, f (|ft|-^r), /е=со)
отображает х в и локально одно-однозначно. Однако надо показать,
что это соответствие глобально, т. е. имеет место между точками
*eGfe|h| и точками образа Ць\н\по крайней мере для
достаточно малых ft.
В самом деле, если это не так, то найдутся
последовательности h'->0, Р'<=а, х1, xv е= Gk | ht |, x> Ф x1' такие, что
Ф'(дс', ft/, t>) = ф (*'', h,,ti) = v', /=1,2,...
Выбирая, если нужно, подпоследо^тельность, можно считать
что х!->х°, х''->х0', где х°, дс°'е=С, ^-><0е=со, и тогда
автоматически и; -> и0, ф (х°, О, f) = ф (л:0', 0, i°') = v° или ф (х°) =
= ф(дс°') = а. Последнее равенство показывает, что х° = х0',
потому что операция ц>{х) устанавливает одно-однозначное
соответствие. На основании теоремы о неявных функциях найдутся
такие б, а, К > 0, что уравнения C9) устанавливают
одно-однозначное соответствие х ^^ v для всех х, удовлетворяющих нера-
ненству \х — х°\<6, и каковы бы ни были ft, t, где |ft|<o,
|/—1°\<Х, /есо. Но мы получили противоречие, потому что
при / > /°, где /° достаточно велико, | х1 — х° | < б, | дс'" — х° | < б,
| /' — tf° | < К, | ft' | < а и в то же время две разные точки л:' и дс''
переходят при помощи операции ф(дс, W, Щ в одну.
21.6. Ниже даются примеры, показывающие в ряде случаев,
что условия, налагаемые на гладкость (принадлежность к с№)
операции и = ф(дс) в лемме 21.2, являются точными или
точными с точностью до произвольно малого е > 0.

364
слпды Функций на многообразиях
[ГЛ. v
1. Пусть 0 < г < 1 и
[ 0> «<0,
/(«)=«', 0< и<1,
I 1, 1 < и.
Очевидно, f(u)^H{?. Замена и = ха,а<1, ухудшает класс.
Этого не будет, если ф(х)е dl\ т. е. лемма 21.2 для класса Я»
при указанных г неулучшаема.
2. Пусть г > 1 — нецелое и G*=@, 1). Функцию /(«)=«
от одной переменной можно продолжить на действительную
ось Е* (точек и) за пределы G* так, чтобы продолженная
функция принадлежала Н^(Е*) (см. сноску па стр. 349). Но тогда,
чтобы выполнялась лемма, необходимо, чтобы и = ф(х)е
e/7«(G), где G = (а, Ь) есть некоторый конечный интервал.
Так как ф(х) и ф(р)(*) равномерно непрерывны на [а, Ь], то этим
же свойством обладают и все промежуточные производные
ф', ..., ф<р-'> и феСМ(б). Этим доказано, что для классов ЯЙ
при указанных г лемма 21.2 неулучшаема.
3. Следующий пример *) показывает, что при г = 1 лемма
21.2 для класса Я» неулучшаема, во всяком случае с точностью
до е > 0.
Функция f (и) = и\пи на отрезке [0, е-1] строго убывает.
Кроме того, она принадлежит #« @, е-1). В самом деле
(о<и< u + h <u + 2h<e-\ -? —')•
Д2Л/ («) = /(« + 2А)- 2f (а + A) + f (и) =
= и [In (и + 2А) — 2 In (и -f A) -f In и] +•
+ /г [2 In (и + 2А) — 2 In (и + А)] = A -J- In ('} + ^2 + 2А In -Ш*-.
Поэтому легко видеть, что
|A°ftf(H)|<MA,
где А4 не зависит от /г.
Функция ф(х) = д;| In х |, ф @) = 0, также принадлежит
Я» (О. е-1)- Однако это уже не имеет места для функции
F(x) = fW(x)].
*) Этот пример возник в результате беседы автора с Е. А. Волковым.

§ 21] ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ 365
В самом деле (F @) = 0, ft = х),
FBx)~2F(x)+F@) вцп2;с|1пB*|1п2*])—|ln*|ln(*|lnxD =
2х
= 1п-
(*!'"*!)
|ПХ/0„| 1„ о„1 \1
Bх | In 2х | )ш х Bх \ In 2х |)
в1п{(^|?р*Bх| 1п2х|Г1п2}~1п {1 2"* B*|1п2х|Г,п2}=
= ln-^ — In л: In 2 — In 2 In B* | In 2*|)-» + °°, *->0.
(Учесть, что (^f) . ~1, * -> 0.)
Так как функцию /(и) = «1пи можно продолжить за
пределы [О, е-1] с сохранением класса Я», то мы доказали, что
при помощи и = ф (я) е Я» функция /(и)еЯ^ вообще не
преобразовывается в функцию f(y(x)) класса Н^. Далее,
С,1+8)е=»Я00е=»С( ~г\ поэтому условия леммы 21.2 для класса Я(^
точны с точностью Д0 8 > 0.
4. Будем считать*), что /р(ц)— финитная непрерывно
дифференцируемая на (у, оо) функция, подчиняющаяся условию
Г 0, и<0,
fpW —\UP, 0<и<1.
Тогда fl<p<oo, 0<р + — <1, пояснения ниже)
/ °° \'/р' / ° \чр
[\\f(i(u + h)-ffi(u)\pdu\ <М(и + А)ВМи1 +
j* [(u + tip-utydu) +( { \f^u + h)-f^u)\pdu\ «
0 / ^1-ft /
i i / "° y/p i
< ftP+T + ftp+7 M [(l + *)P _ fi]p dt\ + /z < /гР+"р" (ft > 0).
Второе слагаемое второго члена цепи равно нулю при р = 0.
При остальных указанных р введена подстановка и = fit. В
результате выносится за знак интеграла ftp+~p~ а сам интеграл
оценивается несобственным интегралом по t, сходящимся при
*) Этот пример принадлежит В. И. Буренкову.

366 Следы функций на многообразиях \тл. v
указанных условиях на р. Третье слагаемое второго члена цепи
имеет порядок h, потому что функция /р(и) финитна и
непрерывно дифференцируема на (у, оо). С другой стороны, при
указанных условиях на р
I J \f^x + h)-f^x)\pdx\ >(JzP"dzj >Ch^+P,
где С не зависит от h > 0.
Мы доказали, что / i (и) е Нар{Е*) (\ < р < оо, 0 < а < 1)
а—
Р
и при этом f 1 (и) е Я™' (? ) (а' > а).
а—
Пусть теперь 0 < р < 1; тогда
0<Р(«-|) + }<1.
и если а > —, то
Поэтому
Р
- Ка-7) + 7<а-
и=/Нея!К)+7@,1)
/Н)ёя;(о,1).
Этим доказано, что при выполнении неравенств — < г < 1
для класса Нгр условие леммы 21.2 (<р(х)е С<4>) неулучшаемо.
Для дальнейшего нам понадобятся еще следующие леммы.
21.7. Лемма. Пусть F <= Нрг) (Еп) и О < г' < г. Тогда, каково
бы ни было е > О, найдется целая функция g(x) = Lp(En)
экспоненциального типа такая, что
\\F — г11дИ(В»)<в.
р
Доказательство. Представляем F в виде ряда D)
целых функций Qv экспоненциального типа с нормой Ц f ||Н(Г) (?tt),
р
определяемой равенством C'), и полагаем
g (х) = 2 Qv (х), f{x)-g (х) - i Qv (x).
О ц

§21] ИНВАРИАНТНОСТЬ КЛАССОВ ПРИ ЗАМЕНЕ ПЕРЕМЕННЫХ 367
Тогда
11/-?Ня<П(?я)= sup 2"'||Q,||<
Р И < / < °°
< ^пЬо ^ sup ^ 2>'|| Q, II, <^ГТ7=7Т " / IU (*») < е>
где последнее неравенство верно при достаточно большом ц.
Это доказывает лемму, так как g есть целая функция
экспоненциального типа.
21.8. Лемм а. Пусть F е= Яр> (G), гае G с Еп —
ограниченная область и О < г' < г, б > 0. 7ог<За (Эля любого е > 0
наймется целая функция g(x) экспоненциального типа такая, что
Это следует из того, что f можно продолжить с Ge на Еп с
сохранением класса, т. е. так, что для продолженной функции F
(F(x) = F(x), h<=Gb) будет иметь смысл конечная норма
II ^ 11я(п (Еи) (см. сноску на стр. 349). Тогда в силу предыдущей
р
леммы найдется целая функция g(x) экспоненциального типа,
аппроксимирующая F в метрике Нр)(Еп) с точностью до
наперед заданного е, и потому
IIР ~ §\W) (ол <\\P — g ИяИ (в») < е.
р К 6) р
•21.9. Л е м м а. Пусть область G с Е точек х отображается
взаимно однозначно при помощи преобразования
и; = Фг(л:), xeG, г' = 1 п,
на область G* с Е* точек и = (иь ..., ип). При этом
функции фг имеют непрерывные ограниченные на О частные
производные до порядка I включительно и якобиан
U \Х\, . . ., Хп)
где К не зависит от х.
Тогда, если / (и) е= Г," (?*)» то
F(x) = f(%, .... Ф„)е^>@)
и
H/7WIU),o,<C||/(U)IU(e.), D0)
р р
где С не зависит от f.

368 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
Доказательство. Пусть функция / (и) е Wpl) (?*) и f е (и),
е > 0, — ее е-усреднение по Соболеву. Так как
/е(«)—бесконечно дифференцируемая функция, то
Fe(x) = fe(<f>i Фп)
можно дифференцировать по классическим правилам. Таким
образом,
dx, ... dx„ о<|Я,|</
где а\(*)—непрерывные и ограниченные на G функции, не
зависящие от fe. Так как f(u) elfp(?), то (см. книгу С. М.
Никольского [9], 4.5.1)
\\f^(u)-/J*>(u) 1р> в,-+ 0, е-*0, 1<р<оо.
Поэтому после перехода к пределу при е^-0 в D1) в метрике
LP(G*), учитывая ограниченность коэффициентов ах(х),
получим равенство D1) с опущенным индексом е. Поэтому
II Г» (х) IU о < с S II Г (Ф. Ф») \\Р. о <
0<1М<1
i ^ НРЧ")«р0'<С,||/(и)||1га>(в.), D2)
0<|А|<
IIF (*) II < С, || f (и) || 0. < С, || / (и) IU) (B.)t
р
откуда следует D0).
Здесь мы воспользовались заменой переменных и оценили
константой возникающий при этом якобиан.
§ 22. Дифференцируемые многообразия *)
т-мерным дифференцируемым многообразием @ < т < я)
называется множество Sc?" такое, что, какова бы ни была его
точка *°, найдутся положительные б, а и перестановка ]\, ..., /„
натуральных чисел 1, .... п такая,что прямоугольник
Д==||л:. — x°i I < 6, s= 1, ..., т\ \Xj —хй. | < a, s = m + l, ..., п}
вырезает из 5 кусок 5А, описываемый уравнениями
\ = k (*/,•••" */J' s = m + .l,..., л, (х/])..., xjei', A)
Л' = f 1лг. —л;1] | <б, s = l, ..., m],
где fs — непрерывно дифференцируемые на А' функции.
*) Подробнее о вопросах, изложенных в § 22, см. книгу С. М.
Никольского [13], гл. 17.

t 221
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
369
n-мерным (дифференцируемым) многообразием называется
произвольное открытое множество 5 сг Еп.
Если число б > 0, как требуется в определении, найдено, то
его, очевидно, можно как угодно уменьшить с сохранением
сформулированного свойства. Можно, например, в качестве А взять
прямоугольник
A = (U, — х°; I <б„ s= 1,..., т; |х, — х] I < a, s = m+ 1, ..., п)
Ч 's 'S I ' \ 's 'si '»
где 6j <! б. Можно еще задать любое число ао ^ а и подобрать,
носпользовавшись непрерывностью fs, бо ^ б так, чтобы для
\х, —х°. |< б s=L-^.., т, функции h отличались соответ-
I 'S ^.9 I Q'
ственно от Xй, менее чем на оо, и тогда, очевидно, прямоугольник
Л°={|дс/ —х?| < б0, s= 1, ..., т; \х} — л:° I < о0, s=m+ I» •••, «}
тоже будет удовлетворять сформулированным в определении
(для Л) свойствам.
Таким образом, в данном определении выражение «возможно
подобрать прямоугольник А» можно заменить выражением «для
любого е > 0 возможно подобрать прямоугольник А диаметра
меньшего, чем е», и все равно определение останется
эквивалентным.
Система уравнений A) есть частный случай системы
xi = Fi{u) = Fi(ul, ..., ит), иещ, /=!,..., п, B)
где со — открытое множество в m-мерном пространстве точек
и = (и\ tim) и функции Fi непрерывно дифференцируемы
1 ранга т. Когда точка и пробегает со,
на со с матрицей
ди.
точка х пробегает некоторое множество 5 cr Еп, которое
естественно назвать m-мерной поверхностью. При этом соответствие
B) предполагается взаимно однозначным:
(коротко: u<i х или co??S).
Краткости ради будем говорить о поверхности S,
определяемой функциями или уравнениями B), не перечисляя каждый
раз указанные их свойства.
Пусть « = («,,..., «т) связано с «' = («{,..., и'т) при
помощи взаимно однозначного непрерывно дифференцируемого
отображения
ы^фДм,, .... ит), и е со +? со''^ и', /=1, .... т, C)
имеющего на со не равный нулю якобиан. В таких случаях мы
будем говорить, что отображение C) непрерывно дифференцц-

370 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
руемо в обе стороны, считая, что эти слова включают взаимную
однозначность (или еще одно-однозначность) и неравенство
нулю якобиана: ведь равный 1 якобиан перехода от и к и есть
произведение якобианов перехода от и к и' и от и' к и, которые,
таким образом, не равны нулю.
Решая уравнения C):
"/= Ф/ ("р • •' > ит)> "'s ы'>
и подставляя Uj в B), получим новое описание 5:
*. = Фг(«') = Фг«>.... U'm) = Ft{%..;*n),
и' е со', i = 1, ..., п,
где Ф удовлетворяют свойствам, подобным свойствам F,.
Определяемая уравнениями B) поверхность S не всегда
есть m-мерное дифференцируемое многообразие, как оно
определено в начале параграфа (см. примеры в конце 22.1). Но, с
другой стороны, следующая лемма дает достаточное условие
того, что S есть m-мерное дифференцируемое многообразие.
22.1. Лемма. Если множество S описано функциями B) с
указанными там свойствами, непрерывными на замыкании со
ограниченной области со, и притом так, что имеет место одно-
однозначное соответствие 5+±®, то поверхность Х+*й
(соответствующая области со) есть m-мерное дифференцируемое
многообразие.
Доказательство. Пусть точка j°eS соответствует
значению и=и°, тогда в со существует достаточно малый открытый
куб X с центром в и0 такой, что на нем один из определителей
dFi
m-vo порядка матрицы
ди.
D (х\, ¦ .., хт)
ПУСТЬ WTti ПТ- не равен
и\Г\ ит)
нулю и разрешимы первые т уравнений B):
us = Чг, (*,, ..., хт), (*,, ..., х,„) с= ц ^ К.
Таким образом, некоторый кусок 5' с: 5 описывается
непрерывно дифференцируемыми функциями
Xi = Q>i(xu ..., хт), {хх хт)(=\у, i = tn-\-\, ..., п, D)
которые мы получим, подставив «,- = Ч*"* в B).
В силу того, что имеется одно-однозначное непрерывное
соответствие S ^со, множество 5\ 5' замкнуто и не содержит в
себе точку х°, а вместе с пей не содержит некоторый
прямоугольник А с центром в л:0 и сторонами, параллельными осям.
В силу непрерывности функций Ф; проекцию А'
прямоугольника А на подпространство хи ..., хт можно уменьшить
(сохранив обозначение А) так, что для всех {хи ..., хт) с= А' с р,

S 22]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
371
точки (*i, ..., хт, Фт+1, ..., Ф„) будут принадлежать А. Но
тогда 5Д описывается уравнениями
*< = Фг(*1 хт), (х, 1я)еА', i = m + 1, ..., т.
Ведь описываемые ими точки х принадлежат 5А, других же
точек 5 в А нет потому, что либо это точки вида D), где
(дгь ..., хт)е [х\Д', либо точки S\S'.
Примеры. Пусть-^
* = ф@. # = Ф@. a<t<b, ф/2(о + V2@>О,
— гладкая плоская кривая Г (непрерывно дифференцируемая),
изображенная на рис. 14. Когда
параметр t непрерывно возра- .Ц |
стает от а до 6, точка (х, у)
плоскости ?2 движется непрерывно
но Г от точки А через точку В и
при t-+b стремится снова к В.
Кривая V не есть одномерное
дифференцируемое многообразие в
Л?2, потому что любой прямо-
J?
^А
угольник с центром в точке ВО X
иырезает из Г часть ГА, которая
пс проектируется одно-однознач- Рис- 14-
по на одну из осей координат.
Однако, как это следует^ из леммы 22.1, если у гладкой само-
пепересекающейся кривой Г
х = Ф@. 0 = ф(О. ф'2 + ^'2>0, а<*<6
(t пробегает отрезок !) выбросить ее концевые точки, то
полученная кривая Г будет одномерным многообразием.
Поверхность шара и эллипсоида, эллиптический и
гиперболический параболоиды могут служить примерами двумерных
дифференцируемых многообразий в трехмерном пространстве.
22.2. Лемма. Пусть поверхность S, описываемая функциями
B) (с указанными там свойствами), содержит в себе
поверхность а, описываемую функциями
хг = Ф,A>), i» = (i»„ ..., wm)<=G, г = 1,...,л, E)
(с подобными свойствами).
Тогда определенное системами B), E) очевидное одно-одно-
иначное соответствие
Сэо^аев'св F)
непрерывно дифференцируемо в обе стороны, и, таким образом,
о описывается функциями B):
xl==Fi(u), и е со', г* = 1,..., от,
еде со'— открытое множество; но область, если G — область.

372
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ
[ГЛ. V
Кроме того, если S есть гп-мерное дифференцируемое
многообразие, то и а есть гп-мерное дифференцируемое многообразие.
Доказательство. Произвольной точке »еC
посредством E) соответствует определенная точка х = (дгь ..., х„)е
eocS, которой в силу B) по условию соответствует едииич-
/ u I dFi II
ная точка и е со . Но для нее ранг матрицы -^— равен пг, и
потому для некоторых различных номеров i = ?*4 im
уравнения B) разрешимы относительно щ, ..., ит. В результате мы
получим два следующих друг за другом непрерывно
дифференцируемых отображения:
бзц-^ (xtx, ..., xi/n) -> и е со',
где со' обозначает образ суммарного отображения, тоже,
очевидно, непрерывно дифференцируемого.
Таким же рассуждением обнаружим, что полученной точке
и е со' при помощи двух следующих друг за другом непрерывно
дифференцируемых отображений соответствует исходная точка
веб.
Мы доказали непрерывную дифференцируемость
соответствия F) в обе стороны, и так как по условию G открыто, то
и о/ открыто. Если же G — область, то и со' — область.
Пусть теперь 5 есть m-мерное дифференцируемое
многообразие HJt°ea. Как сказано в определении S, можно заново
перенумеровать координаты и подобрать открытый прямоугольник Д
с центром в х° так, что SA описывается некоторыми непрерывно
дифференцируемыми функциями
xi = fi(xl, ..., хт), i = m -f 1, ..., п, (*!, ..., хт)<= А', G)
где А' — проекция А на координатное подпространство
(xi, ..., хт). На основании уже доказапнного имеется
непрерывно дифференцируемое в обе стороны соответствие
А' => (*,, ..., хт) ?иеа"С(о,
где со" — некоторая область. Пересечение со'со" есть открытое
множество, содержащее точку ы°, соответствующую посредством
B) точке х°. Поэтому куб А', очевидно, можно заменить ему
концентрическим меньшим кубом с сохранением обозначения А',
так что теперь область со" будет принадлежать о/. Но функции
G) теперь уже описывают оА = 5Л, и доказано, что а есть
многообразие.
22.3. Лемма. Пересечение двух т-мерных
(дифференцируемых) многообразий
а, = {х: Xi = <Pi (и), г = 1, ..., п, «е(/|,
а2 = {х: Xi = ipi(v), i— 1 п, иеК),

*22]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
375
принадлежащих т-мерному многообразию
S = {x: Xi = ft(w), i= 1, ..., п, w<=W\,
есть m-мерное многообразие
ст,а2 = {х: Xi — fi (w), i == 1, ..., п, w^W,}, W, cz W,
где W*, вообще говоря, открытое множество, даже если U, V,
W — области.
. Доказательство. Так как аь а2 с: S, то по лемме 22.2
ах = {х: xt = f{(w), г'= 1, ..., п, йу е Wx\, W{ cz W,
ст2 = \x: xt = fi(w), г = 1,..., n, ше W2\, W^cz W,
где Wu Wz вместе с U, V, W — области. Но тогда верна лемма,
,-дс Ц7* = WiW2.
Покажем, что наряду с введенным определением т-мерного
дифференцируемого многообразия можно дать и следующее, ему
эквивалентное, определение. Это такое множество S е Еп, что,
какова бы ни была его точка х° и каково бы ни было г > 0,
найдется ее n-мерная окрестность Q диаметра d(Q)<e такая, что
Sil описывается функциями B) с указанными там свойствами,
где со — область и S надо заменить на SQ.
В самом деле, если в первом определении положить Д = Q,
Д' = (о,
Xis — us = Fis(ult ...,um), s= 1, ..., m,
- x,s = fis{ux, ..., um) = F,s{ux um), s = m+ 1, ..., n,
где, как мы знаем, можно считать d(A)<< е для любого е > О,
то получим систему функций Fi с указанными во втором
определении свойствами.
Пусть теперь 5 подчиняется второму определению и точка
x°eS. Тогда найдется ее окрестность Q диаметра d(Q)< 1
такая, что SQ описывается функциями B) с указанными там
свойствами. Будем считать, что точка х° соответствует точке ы° есо,
и подберем б > 0 настолько малым, чтобы шар \и — ы°| < б
принадлежал w. Шаровая поверхность \и — ы°| = б отображается
при помощи уравнений B) на множество TczS, замкнутое и
ограниченное. Так как оно не содержит точку х°, то
min \х — х° \ = q> 0.
Определим теперь, пользуясь вторым определением, вторую
окрестность Qi точки х° диаметра d(Qi) < q/2 так, что SQX
описывается функциями
Xi = Ф;(и), oeG, / = !,..., п,

374 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
где G — область. На основании леммы 22.2 5Qi описывается
также при помощи уравнений
xi = Fi(u), иесо'сш, (8)
где со' — область. Важно отметить, что на самом деле
со' с ш' с Q, (9)
но тогда равенства (8) устанавливают одно-однозначное
соответствие SQj^q, а это указывает, вследствие леммы 22.1, на то,
что SQi есть m-мерное дифференцируемое многообразие (в
смысле первого определения!). Можно, таким образом, указать
прямоугольник Лей) с центром в л:0, для которого выполняются
свойства, фигурирующие в первом определении, для SQ{
(вместо S), но тогда и для S, потому что 5Д = SQiA.
Что касается свойства (9), то оно следует из того, что <в'
принадлежит замкнутому шару \и— и°|=^6, который по
определению принадлежит со. Ведь если допустить, что в области со'
имеется точка и* с \и? — и°|> б, то ее можно было бы
соединить с и0 непрерывной кривой y с го', которая необходимо
пересекала бы поверхность \и — и°|=8 в некоторой точке и**. Но
образ и** при помощи уравнений (8) принадлежит Г, и мы
пришли к противоречию, потому что SQj заведомо не содержит
точки Г.
Заметим, что второе определение m-мерного
дифференцируемого многообразия нельзя (не в пример первому)
формулировать так: «Какова бы ни была точка х° е S, найдется ее
«-мерная окрестность такая, что...», без упоминания, что должна
существовать указанная окрестность как угодно малого диаметра.
Ведь если, например, функции F{(u), определяющие
посредством B) поверхность S, ограничены на со, S можно поместить
в некоторый куб Д, и тогда 5Д = 5, между тем S может и не
быть m-мерным дифференцируемым многообразием.
Наконец, отметим, что из эквивалентности двух указанных
определений следует, что если множество 5 подчиняется первому
определению в одной прямоугольной системе координат, то и во
всякой другой.
22.4. Лемма. Непустое персечение пг-мерных
дифференцируемых многообразий
ах — {х: xi — yi(u), и^со},
ст2={х: Xi = api{v), v<=g},
принадлежащих m-мерному же дифференцированному
многообразию S, есть пг-мерно дифференцируемое многообразие о\в2.

J 22]
ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ МНОГООБРАЗИЯ
375
Между его параметрами и и v имеет место непрерывно
дифференцируемая в обе стороны зависимость
еде U0, V0 — открытые множества.
Доказательство. Пусть /еи,, а2. Таким образом,
^ = ф(. (м°) = 'фг(а0) (г=1,..., п). Существует «-мерная
окрестность А точки х° такая, что
5А = {д:: xt = ft(w), w<=W}. A0)
Существуют та^ке n-мерные прямоугольники Qi, Q2 с
центром вх°с достаточно малым диаметром такие, что
aiQl = {x: д;г=фг(ы), «еУ,с«>), A1)
<r2Q2 = {*: xt — Mv), се К, с: g). A2)
Но тогда G\Qi, СТ2Й2 с: SA и в силу леммы 22.2 имеют место
непрерывно дифференцируемые в обе стороны соответствия
Ui^U'ic:W, ViZZV'iCzW.
Пусть W* — U'iV\ (открытое множество). Указанные
соответствия индуцируют соответствия
где ?/», К* — открытые множества.
Заметим еще, что уравнения
Xt == фг (и), и е ?/„
так же как уравнения
xt = $t(v), teV„
описывают кусок a^QiSib, что показывает ввиду
произвольности точки х° е aiG2, что aiG2 есть m-мерное многообразие. Мы
доказали также, что, какова бы ни была точка лг°е=ст;G2, х] =
=Фг(ы°)='фг (w°) (г=1, ...,«),можно указать открытые множества
{/* э и0, V* cz V0, между точками u, v которых имеет место
непрерывно дифференцируемое в обе стороны соответствие. Но
тогда, очевидно, все и, v, которым соответствуют точки о\02 и
между которыми в силу тривиальных соображений имеется
одно-однозначное соответствие, на самом деле находятся в
непрерывно дифференцируемой в обе стороны связи и, кроме того,
их множества открытые.
22.5. Лемма. Если oi, cr2, S-—произвольные ш-мерные
(дифференцируемые) многообразия и сть ©2 <= S, то непустое
пересечение 0\0% есть тоже m-мерное многообразие.

376
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ
[ГЛ. V
Доказательство. Пусть х° е а^г. Рассуждая, как при
доказательстве предыдущей леммы, определим многообразия
GiQi, 02Q2 cz 5А (см. A0), A1), A2)), и тогда, как там
объяснено, окажется, что 01O2Q1Q2 есть m-мерное многообразие, а
вместе с ним и 0i02.
22.6. Лемма. Если а, аи S — т-мерные дифференцируемые
многообразия, а, а\ с S и а описывается уравнениями
#< = <P/(«)i t = l,..., п, и е СО, A3)
где со — открытое множество, то непустое пересечение ао\
описывается теми же уравнениями, где и е со' с: со и со' открыто.
Доказательство. Пусть х° е оо\ и х} ¦— ср* (и0), I — 1, ...
..., п, и0 е со. Так как aai есть m-мерное многообразие
(лемма 22.5), описываемое уравнениями A3), где месо' и со' —
некоторое множество, то найдется n-мерная окрестность Q точки х°
такая, что кусок Qoo\ описывается теми же уравнениями, когда и
пробегает некоторую область К с со, но тогда К с со' и в силу
произвольности точки х° е ост' множество со' открыто.
22.7. Примечание. Будем говорить, что m-мерное
многообразие S класса С(г), />1 (S е С®), если существуют
описывающие его согласно первому определению функции fs (см. A))
или согласно второму определению функции F, (см. B)) —
класса С® (см. в конце 21.1).
Если в лемме 22.2 многообразия S, о^С® (I ^ 1), то
нетрудно видеть, что соответствие »+*«, отмеченное в
соотношении F), тоже класса С©. Соответственно в леммах 22.3, 22.4
многообразие g\G2 s С®, если ab а2 ^ С").
§ 23. Классы функций на дифференцируемом многообразии
Пусть WlczE — En есть m-мерное A<!т<«)
дифференцируемое многообразие. В этом параграфе мы ставим себе задачу
определить классы W(? (Ж), 1=1,2, ..., и В(РР\(Ж) (б'Д, (ЗЯ)=
= Яр'(Э)с)) функций, заданных на 2К A sg^p, 9 <! 00). При этом
мы будем предполагать, что Wl е С(/> (класса С<"), что /
определяется как / = /р (см. 21.2(8) для Н^СШ) и 21.2(8') для В^'е,
1 < 9 < оо).
Каждую точку х° е Эй можно покрыть «-мерным
прямоугольником А и перенумеровать координаты так, что кусок a = АЗЭТ
будет описываться функциями класса С<!> = С<!>(Д')
*г = Ф<(*1 *m). (^i, ..., хт)е A', i = m-\-I, ..., п,
где А' есть проекция А на координатное подпространство
Х\, . •., хт.

*»]
клАссы Функции на многообразий
37?
Если на Ш задана функция F, то ее на куске сг = 33?Д можно
рассматривать как функцию F (хи ..., хт), {хи ..., хт) е А'.
Если при этом F(xx хга)еВ%(А') или ^'(А'), какова бы
ни была точка x°e3Ji, то по определению feBj,p,'o(l),
соответственно f с= Wf (ЗЯ).
Отметим, что замена переменных и = (х\, ..., хт) в
некоторой окрестности о/ точки (х\, ..., х^) на другие переменные
и = («1,..., ит) при помощи непрерывно дифференцируемого в
обе стороны преобразования класса СA> (ш'эх^иеоо)
приводит к новому локальному описанию Эй через параметр и,
определяемому функциями Xi — fi(u) (i = 1, ..., я), и е q, тоже
класса СО. Более того, нашу, определенную на Эй, функцию У7
локально в окрестности точки (rf х°\ можно теперь
рассматривать как функцию F(u), и е со, которая заведомо
принадлежит классу В1р?e((oi), Wpl) (<о\), ©i с: ©i с: ©, где, конечно,
и случае В*'о надо считать / = /р (см. лемму 21.2).
Пусть теперь S есть ограниченное m-мерное
(дифференцируемое) многообразие такое, что S с: S с: Эй. В частности, это
свойство соблюдается для произвольного m-мерного замкнутого
ограниченного многообразия S, если положить Ш = S, потому
что тогда S = S = Ш.
Ниже мы определяем норму F в смысле BP1'e(S) или Wpl) (S).
Каждую точку х° е Ш покроем двумя прямоугольниками
Л с А с Д,. с центром в х° так, что ЯКА* и ЗИЛ описываются
после соответствующей перенумерации координат функциями
класса СО:
xl=(ft(x1, ..., х„), A)
где соответственно (*,, ..., 1я)еД|, А'. Тогда SA
описывается теми же функциями, но при (лгь ..., хт), пробегающем
некоторую область со е А'. Функция F на SWA* есть F(x\, .. . , хт).
По лемме Бореля существует конечное число указанных
прямоугольников А:
А1 Д"\ B)
покрывающих 5. Каждому прямоугольнику Aft соответствует, как
сказано выше, содержащий его прямоугольник А* (А* сД'с А*)
И функции класса С((>
xt = q>k(x к, .... х k), i?-iks, C)
\ 1 т' ¦
описывающие ЗЛА* 3JiAfe, SA\ когда (xk , . .., х) \ пробегает
соответственно А*', А4', ®к (А*'г> А4'±> А*' =э ©ft). Наша функция
на этих кусках есть Fk(x.k, ..., х .Л.

378 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
Полагаем теперь по определению
l|F|U(s)==|pft(xir..;^)L( D)
р
где (и ниже) можно W^ заменить на_ Вр.'е.
Норма D) зависит от покрытия S. Однако нормы,
соответствующие двум разным покрытиям, эквивалентны. Это вытекает
из доказываемого ниже неравенства
II ^(*i *^1Ы(в)<Сд||/%(о(«, E)
р р
верного для любого определенного выше А. Здесь Сд зависит
от А и покрытия 5, но не от F.
В самом делег на основании E) для любого другого какого-
либо покрытия 5 прямоугольниками АО, ..., A(vl,
определяющими множества со(^ точек (x^d, ..., хг</Л, имеет место
^ 1 т'
FWw^S) = ^yi{^ *'«/») UW/,)
р
< 2 Сд(/) || F || w{[) < С, || F \\wuHS),
l=i р р
и так как в этом неравенстве нормы v|| || и || || можно поменять
местами, то получим неравенства
с\ IIF Ww<lHs) ^ ill F K«hs) ^ C2ll F Wwih{S)>
p p p
выражающие эквивалентность рассматриваемых норм.. Здесь С{
и С2 зависят от взятых способов покрытия, но не от/7.
Переходим к доказательству E), где прямоугольник А и
множество со определены в связи с A). Зададим произвольную
точку [х\, ..., х^) ёйс А'. Ей при помощи уравнений A)
соответствует точка хг — {х\,..., х'т, х'т+1 jQeSA, x'i =
= ф,(*' х'т), « = т-т- 1, ..., п.
Найдется натуральное k такое, что х' е Aft, где кусок Aft
описывается функциями C), (xtk, ..., ^и|еА'', класса С<'>.
В силу свойств ф^ можно указать достаточно малый шар
т
г2
•который отображается при помощи преобразований A), C)
(класса С<'>) одно-однозначно на некоторое открытое
множество gcAr точек (xtk, ..., xtk\, но тогда в силу лем-
\ 1 т)

¦ 23]
КЛАССЫ ФУНКЦИЙ ПА МНОГООБРАЗИИ
379
мы 21.2 (л < ц')
\\F(xlt ..., xmyi\w{i).aV .<
< Сз\\Fk (xlk, .... *,*)\^,НиЧ <С(х'Ц F\\wuHs), F)
где С(х') зависит от х', но не от F.
Этим доказано, что, какова бы ни была точка (х[, ..., х'т) е
6= ш, найдется шар V\, с центром в ней и константа С(х'),
аависящая от х', но не от Ft такая, что выполняется неравенство
@). Но тогда согласно доказываемой ниже лемме выполняется
также неравенство E). Ведь со можно покрыть конечным
числом шаров вида Уц, которые мы обозначим через 1Л Vs, и
потому
s
\\F{XV, .... Xm)|| (/)( <CS II^(*i. ...» *т)П^)/»у \<
р \ р \ к)
s
< С 2 IIF (хи ..., хт) ||„,„ . < Сх || F || (/,
1 р \<& ) р
Первое неравенство в этой цепи следует из доказываемого
ниже неравенства G) в лемме 23.1, а последнее — из F).
Всюду в приведенных рассуждениях можно заменить Wpl) на
/}'рР)о (см. лемму 23.1).
23.1. Лемма*). Пусть на области g cr Е задана функция f
и каждой точке х е g можно привести в соответствие шар Vx
с центром в ней так, что / <= Bpr),e(gVx) (й/>?°° = Нрп). Если g не-
ограничена, то пусть существует шар V такой, что f^BPl e(g — V).
Тогда feBp7e(g). Кроме того, справедливо неравенство
mB%l„<chnaUlVt), <7)
еде С не зависит от f, а V\, ..., Vs, если g ограничена, —
открытые шары, покрывающие g, если же g неограничена, то это
открытые множества, покрывающие g, из коих первые s — 1 —
шары, а Vs — внешность некоторого замкнутого шара,
В этой лемме можно заменить В^'е на Wp.
Доказательство. Пусть пока g — ограниченная область.
Наряду с шарами 14, о которых говорится в лемме, введем еще
им соответственно концентрические, строго им принадлежащие
шары V'u ..., Vs, но такие, что они продолжают покрывать g.
Пусть б > 0 — число, меньшее разности радиусов Vs и V'k
для всех k = 1, ..., s.
*) С. М. Никольский [10].

380 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
Очевидно
\\fkpig)<hf\\Lp{gVky (8)
где можно еще заменить f на любую частную производную от /
порядка / (но поводу существования обобщенных производных
на g см. § 6.1). Но тогда лемма верна для Wp\
Далее, если |/г|<;6 и область g' с g сдвигается при
помощи h и —h в пределах g, то для частной производной fC от /
порядка г по направлению h
и при 9 = оо, т. е. для f<=H(p(Vk),
Si^wWd<l*l*f' <10)
где Afft = ||f ||д(г)(е7 j не зависит от h и f. Из (8), (9), A0) следует
лемма.
В случае же 1 <!0 < оо
II f \ „оо = (Jjh «—И "№{х) ?, ю d ^ <
S
S( 1 i*r^|A№wt(eV)^),/e<Siia«;)e(eV
так как области g'Vft сдвигаются векторами h и —/г
соответственно в пределах gVk- Таким образом, учитывая еще (8),
получаем, что f е В[р] о (g) и выполняется G).
Если g — неограниченное множество, то в качестве Vs и Vs
(V's cz Vs) можно взять внешности двух разных замкнутых
шаров, концентрических шару V (см. формулировку леммы) и
содержащих У, а в качестве Vt и V'k, k = 1, ..., s— 1, —
концентрические шары такие, что V\, ..., V's-\ покрывают, например
g-Vs.
§ 24. След функции на дифференцируемом многообразии.
Прямая теорема вложения о следах
Пусть Ет с Еп @ < m < п) есть m-мерное координатное
подпространство точек (х, хт)±=(хи ..., хт, 0, ..., 0) и
' на С" задана функция f(x) = f(x{ хп).
Будем говорить,что функция f имеет след/ \Ет=<$(хи ..., хт),
(*! хт)^.Ет, на Ет, если / можно изменить на множе-

I 24) СЛЕД ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ 381
етве n-мерной меры нуль так, что для измененной функции,
которую мы снова обозначим через /, выполняются при некотором
р A^.р^.оо) свойства
f(xu .... хт, 0 0) = <р(*!, ..., xm)(=Lp(Em), A)
W(Xi,.--,Xm,Xm+l,...,X„) — (((xl,...,Xm) ||р> Ет -+ 0 B)
\Хщ + \> • • • > Хп—> 0).
Это определение не зависит от р (доказательство см. в книге
С. М. Никольского [9], 6.4), т. е. если функцию f можно изменить
на множестве «-мерной меры нуль, вообще другим образом, так,
что для измененной функции f{ имеет место
IIM*i хт, хт+1, ..., xn) — ty(xu .... хп)\\рЕт-*0 (V)
(Хщ+у • • • > Хп > U)
при некотором р\ A *С pi^Coo), вообще отличном от р, то
Ф(х1; ..., хт) = 0р(х1 хт) на Ет
почти всюду в смысле m-мерной меры.
Отметим, что если ф есть след функции f в смысле
рассмотренного здесь определения, то ф также есть след в смысле
определения, введенного в § 10. В самом деле, какова бы ни
была ограниченная область со ег Ет, из A), B) следует, что
фе Z.p(co),
/ \Xi, ..., хт, хт+\, ..., хп) е= Lp (со) (о)
при любых достаточно малых хт+х хп и
|| / (Ху, . . ., Хт, Хт+\, . . ., Хп) ф \Х\, ... > хп) \\Pi и —>-U
\xm+l> ¦ • •> хп~ >0).
По тогда и
\\f(Xx, ..., Хт, Хт+1, ..., Xn) — (f(Xi, . ..,-JCm)ll|,B-*-0 D)
\хт+\> • • • i Хп —>0),
тик как со ограничено. Читатель сам убедится, что из свойств
C), D) следует, что ф есть след f на Е™ в смысле определения,
введенного в § 10.
В этом и следующем параграфе мы будем базироваться на
следующей теореме, доказанной в ¦§ 18 (см. также книгу
С. М. Никольского [9], 6.4—6.8, 9.5.1, 9.5.2 для г = тх= ... =
•« гп).

382 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
24.1. Пусть f<=B{?o{En), соответственно fG^H. 0<
< m < п, и для некоторого Я = (Ят+1, ..., %п) с
неотрицательными целочисленными координатами выполняется неравенство
Px = r-\X\-?-^->0, IM-5JA,,. E)
гт ел
m+l
Тогда существует след
яг m+l Лг "
0хт+\ ••••' °Хп
— Фх С*1> • • • > Хт) »
принадлежащий В^{Ет), соответственно В^{Ет), и
выполняется неравенство
11ф11в(Р,)(нт)<С!!/11( , F)
р, 6 °р, 9 \а I
соответственно
Р
где константа С не зависит от f.
С другой стороны, если задано г > 0 и всякому
(допустимому) вектору % с неотрицательными целыми координатами, для
которого выполняется неравенство E), приведена в соответствие
функция
Фл(*. *«)е *(#(?•"), (8)
соответственно
Фх(х„ ..., 0^?1,(П (9)
то можно построить на Е" функцию f е 5% (Еп),
соответственно fs=W{p(En) (линейно зависящую от q^), такую, что
"V.ort*0?"^^ <10)
соответственно
где константа С не зависит от ц>\, а сумма распространена на
всевозможные допустимые векторы Я и ф\ суть следы частных
производных функции f:

I Щ СЛЕД ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ 383
Отметим, что из F), G) при A, = 0 следует вложение
(p-r_2Lz»>0)
B[rPU{En)^B{MEm) A<А>,в<оо, ВР,Х = НР), A2)
W{p{En)c^Bf{Em), A3)
в из A0), A1), если считать, что cpa(#i> ,.., хт) ss 0 для всех Я
с |Х|> 0, следуют обратные вложения:
^А(?т)«=»Я{Г.>е(?"), A2')
5<,pl (?")«=, <>(?")• A3')
Отметим, что неравенства F), A0) доказаны в случае
tip, оо = Яр С. М. Никольским [1], [2], а в случае Вр> &
A <: 0<оо)— О. В. Бесовым [16], [3]. Неравенства же G), A1)
о следах для классов Wpn (г — натуральное) доказаны Арон-
шайном [1] (и независимо от него В. М. Бабичем и Л. Н. Слобо-
дсцким [1] и Фройдом и Краликом [1]), Л. Н. Слободецким [1],
Гальярдо [1], О. В. Бесовым [3], [16], П. И. Лизоркиным [5],
С. В. Успенским [1].
24.2. Перейдем теперь к основной цели этого параграфа —
понятию следа функции на дифференцируемом многообразии.
Мы будем пользоваться тем фактом, что если о есть кусок
m-мерного дифференцируемого многообразия класса С<г>, / ^ 1,
описываемый функциями
Xt = 4>t(xi, ..., хт), i —m-f-1, ..., п, (#„..., *m)e= и', A4)
где со' — m-мерная область, то, какова бы ни была ограниченная
область со с; й cz со', можно указать систему функций класса СО
щ = Ф1(х1, ..., хт, Ат+1 hn), i = l, ..., п, A5)
определенных на замыкании области
Л = {(*„ .,., xjeco, th*,<rf\
ti обладающих следующими свойствами:
1) отображение A5) устанавливает одно-однозначное соот-
иетствие класса СО:
Лэ(а:1, ..., хт, hm+l, ..., hn)^{uu ..., «„); A6)
таким образом, его якобиан, так же как ему обратный, не равен
нулю на Л;
2) при hm+\ = ... = А„ = О отображение A5) превращается
п A4), т. е.
<1\(*| хт, О, ..., 0) = ф<(^1, .... хт), (хи .... xm)sco.

384
сЛёды Функций на многообразиях
[ГЛ. V
Пример. Примером отображения A5) может служить
следующее:
щ = х1г 1 = 1, ..., т,
Щ = фг (хх, ..., хт) + hi, i = m + l п,
(х{, .. ., хт, hm+i, ..., hn) ?= Л,
где ф; класса С('> и Л определяется неравенствами
— p,<hi<yL, / = m + l п, (х хт)(=а A7)
при любом ц. > 0.
Пусть Ш ег Еп — Е есть m-мерное дифференцируемое
многообразие и на ? задана функция f (х) = f(xu ... ,хп)..Определим,
что мы будем называть следом f \ ее на УК.
Так как f\w есть некоторая функция, определенная на Ш, то
достаточно ее корректно определить на покрывающих любую
точку х° е Ш кусках оаШ, описываемых уравнениями вида
A4), т. е. определить следы f\a и убедиться в том, что на
перекрывающихся кусках это одна и та же функция почти всюду.
Итак, пусть а и а' (аегстса')—куски ffi, описываемые
уравнениями A4), где соответственно (хи ..., xm) е со, со'
(со егсо с: со'), и пусть система уравнений A5) удовлетворяет
указанным выше свойствам 1), 2). Таким образом, в некоторой
n-мерной окрестности о (пространства точек («i, ..., «„))
вводятся криволинейные координаты (хь ..., хт, hm+u ..., ftJeA
и наша функция может быть записана в виде
f(«) = f(cp!, ..., Oa) = F{xlt ..., хт, Am+„ ..., А„) =
== ^(й) \х1' • • •' хт)> (х1> • • • > xtni "m + l> • • • > "и) s Л. A8)
По определению функция f имеет след f\a, описываемый *)
функцией i|)(#i,..., Хт), {Х\,..., хт)е со, если определенную в
A8) функцию F можно видоизменить на множестве га-мерной
меры нуль (точек (хи ..., хт, hm+i hn) так, что после этого
для всех
/ п \1/2
где ц достаточно мало />) е LP(co) и
(J I/="(«-* l°^i ... ^тГ-rSPo*0- A9>
*) След /|с, есть функция, определенная на а. Эффективно она
описывается посредством переменных, с помощью которых описан кусок а.

I 24] СЛЕД ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ 385
Можно, очевидно, считать, не нарушая общности, что после
указанного видоизменения
Обычно говорят, что функция il)(xi,... ,хт) есть выраженный
на языке {х\, ..,, хт) след f\a, если для определенной
равенствами A8) функции F имеет место соотношение A9), хотя на
самом деле надо сказать, что соотношение A9) должно
выполняться для некоторой функции, эквивалентной (в смысле п-мер-
ной меры) функции F{h)(x] хп).
Можно еще сказать, что следом f на многообразии о назы-
нается след функции F{h) = F(xi хт, hm+l,... ,hn) на
области со, принадлежащей координатному подпространству Ет
точек (*,, . . . , Хт).
След Ffh) на со с; Ет единствен с точностью до
эквивалентности в том смысле, что если функция F^ изменена двумя
способами на множествах «-мерной меры нуль так, что после
изменения получаются две функции F{h) и F(h) такие, что для
некоторых функций -ф и i!p* от (хи . .., хт) и некоторых р и р*
A ^ р, р* ^ оо) выполняется свойство A9), то г|? = -ф* почти
всюду на со. Это доказывается так же, как в случае Ет (см.
С. М. Никольский [9], 6.4).
Однако вопрос о корректности нашего определения следа f\a
9тпм замечанием не решается. Возникает еще вопрос о
существовании следа и его независимости от введенных в окрестности а
криволинейных координат (х{ , хт, hm+i, ..., hn). В еле-
следующем параграфе будет доказано, что если функция
f^Ji{p(E) и
р==г_?^>0
Р
и если многообразие 3№ класса СAг\ где константа 1Г определена
в лемме 21.2, (8), то существует след f\w, не зависящий от
выбора криволинейных координат в любой окрестности каждого из
кусков а е 3№. Впрочем, будет доказано больше: будет дана
полная характеристика следа f\m произвольной функции/е Вр79
или fs=wf{E), 1=1, 2, ...
Замечание. В некоторых случаях определение следа f| щ
можно расширить и для функции f, заданной на некоторой
области G ег?. Например, если 3№ есть (п— 1)-мерное
дифференцируемое многообразие, представляющее собой границу G, то h
есть скаляр и функция F(h) определена только для
положительных (отрицательных) h. В этом случае естественно под
следом f|0 понимать функцию -ф, для которой выполняется
равенство A9), где предел берется только для положительных
(отрицательных) /г-vO.

386 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
Ниже мы будем рассматривать одновременно, с одной стороны,
функции/ е= Вр]о (Е) = в'Рп,ь и, с другой, / е= W Т (?) = Wpr). В
случае класса W[p параметр г будет предполагаться натуральным
(г = 1, 2, ...). Мы будем изучать следы этих функций на
т-мерном A ^ т < п) многообразии Ш е С<!> (класса С')).
При этом I должно быть достаточно большим. Именно, / по
меньшей мере есть константа, фигурирующая в леммах 21.2,
21.9. Таким образом, / = г для класса W{pn и / равно числу /г,
определяемому равенствами 21 (8') для в'Щв и 21(8) для Нрг\
24.3. Теорема*). Пусть f е= бр.'е или f е W1? (г = 1, 2,...)н
я ~ от > 0. B0)
Р
Тогда существует след f \ш е В'Д (:Щ соответственно f |эд е б'^1,
« если S — ограниченное многообразие, удовлетворяющее
условию SczSczTl (в частности, условию S = S = >ift), го
ll/Ulfl<P)(S1<cii/nB(;v
||ШЦр>E)<с^1Цп (^-в|р»р), {21)
где С не зависит от f.
Иначе говоря, данная теорема утверждает справедливость
вложений
в'Д (Щ «=. в'р% (S) (к р, е < оо), •
^(^cve^US) (r = l, 2, ...).
В 25.3 будет доказано, что в случае, если 5 ограничено и
замкнуто, то вложения B2) полностью обращаются. Поясним,
что след / | есть некоторая функция, определенная на Ш (почти
всюду). Что значит, что ф е Врпв{Щ, см. в начале § 23.
Доказательство. Зададим произвольную точку х° е 3№,
Существуют прямоугольники Д cz А ег Д, с: Л] ег Д2 с центром
в х° такие, что после соответствующей перенумерации координат
куски ША, ?ЙДь ША2 описываются функциями
xl = (pj(xl, .... xm), j = m + \, ..., п, B3)
класса С", где соответственно (xlt ..., JtJeA', Д', Д?.
Введем функцию
г (Л) = Р ih) \х1> •••> xm)> \Xi, ..., •tnj) Е U1,
*) С. М. Никольский 12], [11], [14].

Л = (*,, .... хт)еЛ', 2 h)<rf<ri
I 24) СЛЕД ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ 387
определяемую формулой A8), где предполагается, что
множество
Л, = {(*„..., х„)еД;; lh)<r?\
точек (хи ..., хт, hm+1, ..., А„) при достаточно малом щ
отображается преобразованием A5) класса С (заменить ш,
rj соответственно на A', ill)
(*i хт, hm+1 Нп)^(щ, ..., «„) B4)
на некоторую область.
Так как по условию /(«,,..., ип) е Wlp, B'^q, to Fw e
««^'(Л,), Spne(A,) и
ii^»ii^(Al)<ciifn^ l|/7-»4no(^)<Cil,f4v
где С,, так же как дальше С, С2 не зависит от / (см. леммы
21.2. 21.9).
Продолжим F(h) с сохранением класса с множества
т+\
на все пространство Е' точек (хх хт, hm+l, ..., hn) (см.
¦сноску на стр. 349) так, что для продолженной функции F{h)
иыполняется
II Fl?) 11С (е0 < С2|| 7>ш ||<)(Л), [| ?(Н ||<)о(/) < Ct|| F(h) ||в,?в(д. B5)
При условии B0) ее след (см. A2))
F(h)\Em = F(Xl хт)
на координатном подпространстве Ет принадлежит (см.
теорему 24.1) соответственно B(f'(Em), BfQ{Em) и
II F{xl *m)||B(p)(?m)<C3|| fll^ir),
\\F(xlt .... JCffl)|L(p, /рПл<С3Ш(г>. B6)
На множестве Л' с: ?"" функция F(xu ..., хт) есть след /1<,
на куске а = -№Л, описываемом уравнениями B3). Поэтому
н силу B6)
II f \а 1Ьр) =\\F(Xl, ..., Хт) || (р) (/) < С41| f || (г),
II/UL(p) ,„ =ll^(^i. •... *m)IL(p, (/)<с4Швм .

388 • СЛЕДЫ ФУНКЦИЯ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
и мы доказали ввиду произвольности точки х° е 5'
существование следа f\m и принадлежность его классу бр1 {Ш) = Врг\р (Ш),
соответственно В^в (Ш).
Среди определенных таким образом кусков а, покрывающих
любую точку х° е S, составим их конечное число
все еще покрывающих 5, и положим a'k = Sak. Тогда в силу
B7) и 23D)
II f Is ILp)(S. — SII f Is IL(p.(>\< C5\\ f || (r„
II/IsIUp) «SH/ULp. ('\<Cjf\\lT)
bp, els> l Bp.o\ak) Bp.&
и мы доказали B2).
Следующая лемма сформулирована и доказана для
классов Н'р, таким образом, и для классов Врг]ъ, W(p, потому что
они принадлежат Н[р\
24.4. Лемма. Пусть многообразие S в окрестности точки
х° е S описывается, наряду с B3), еще функциями класса С®
(/ = 1Г, см. 21(8))
Xi = $i(Xil, ..., xtm), 1ф13, s=\, ..., m, B9)
и на их основе введены криволинейные координаты(х1{, ..., xtm,
¦Hm+U ..., НЛ со свойствами, аналогичными свойствам 1),
2) (см. A6)).
Тогда определенные, как в A5), A8) для f е Н{р] (Е), функ-
{ п — m . Л
ции [р = г — > 0]
МЛ) \х1 хт) = Г {Х\> •••¦> хт> Пт+\> •••> "и)> ...
F'n)(xilt ..., Xtm) = F*(Xu ..., xim, Hm+l, ..., Нп)
имеют при h = 0 и Н — 0 соответственно следы, равные между
собой,
Ир (х{ ..., xm) = ^l(xil, ..., xim), C1)
почти всюду в некоторой окрестности со точки (д^, ..., х°Л
пространства (xi xm). Равенство C1) верно в силу
соответствия
оэ =э (*„ .... хт)^ (х^, .... XlJ €5 со*, C2)
вытекающего из C3) ы C3').

I 24] СЛЕД ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ 389
Доказательство. Из условия леммы следует, что в
декартовой системе («ь ..., н„) существует окрестность W точки
х" е 5 такая, что имеют место соответствия класса С<'>
W^(uu .... ип)^{х{, .... хт, hm+x hn)^
*^{xilt ..., xim, Hm+l Hm), C3)
W^U^U*. C30
При h = О или, что все равно, Я = О они обращаются в соот-
петствие C2).
Будем еще рассматривать уменьшенные окрестности точки х°
Wzd W^ ^pITjp ....
Wk^Uk^U%, k = 0, 1
И им соответствующие области
со :3 а)!, ..., со* гэ со*, ...
Зададим положительное число г' < г, удовлетворяющее все
же (см. B0)) неравенству
р'вг'_ « = ".><).
~Так как функция
^(А) (*1> •••• xm) — F(Xu •••> -^mi "m + l> •••> "п) е "р (^')>
то в силу 21.8 для всякого е>0 можно указать разложение
F\Ху хт, пт+\, ...» пп)== g\Xi, ..., хт, hm+i, ..., ««)-+*
А»), C4)
где g — целая функция экспоненциального типа и
ИИж>,„ <е. C5)
нр (yi)
В дальнейшем будем писать F{x{ xm,hm+], ..., hn) =
= Ft(^l, ..., хгт, tfm+1, .... Hn) (коротко F = FJ, если имеет
место соответствие C3).
Из C4) следует:
J7. *=& + !*»•

390 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
где (лемма 21.2)
,lM<W<Ce " C6)
и С не зависит от е.
Пусть (Fz=H{?(U), F,<=H?(Uy.)
\|)(*i, ..., хт), {х хт)<=а,
— следы функции f, выражаемые соответственно на языке
переменных (х1 хт) и (д:^, ..., jcj ). Существование их уже
доказано, но нужно доказать, что
•Ф1 = г|).
почти для всех (хг:, ..., Хгт)есо*.
Заметим, что в силу непрерывности g и gt их следы
соответственно при /г = 0 и Я = 0 есть функции
8{хи ..., хт, 0, ..., 0) и &(*•-,' ..., х1т, 0, .... 0).
Кроме того, след суммы двух функций, получаемый, исходя из
координат (хи ,.., хт, hm+l, ..., hn), равен сумме их следов.
Поэтому
ф(*1, •••» *m) = g(*l. •••> *m> 0, .... 0) + v(xu ..., Xm), C7)
где v —след ji при h — Q, и (см. B7), C5))
II v* К * J ||р. а. < С, И v (*, xm) ||р_ Шз <
< С, || v (х, х«) || (ро ,и < С2|| ц || r< < С3е. C8)
В первом неравенстве этой цепи надо учесть, что якобиан
перехода C2) ограничен на ©з.
Аналогично
*i К» • • • - *im) = 8* К xim, 0, ..., 0) + Я (xix, ..., xtj, C9)
где К — след функции ц» (полученный исходя из координат
(«».. ...I xim, Нт+1 Нп) при /У==0) и (см. C6))
14*. *0»р,Шз<с^Л^)<сс*е- D0)
¦ После замены переменных в C7) получим
Ыхи %) = &(*v ,.-.. х1щ, 0 0) + v,(xi, *<щ),

I 84| СЛЕД ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ 391
и так как ij>„— ^1 = 4, — А, то в силу C8) и D0)
( \\^-b\Pdxll...dxlXIP =
=(\\к К' • • •. *<„) г dxh • • • rf*'mY/p +
+ (I I V*K> • • •> *ОГ <**', • • • dxi\UP < C4e, D1)
где CA не зависит от б.
Так как е>0 произвольно, то из D1) следует, что \р* = i\>\
почти всюду на соз, но тогда и на со, потому что со3 —
произвольное множество вида соз с: из с: со.
Этим лемма доказана полностью.
Из доказанной леммы следует, что в предположениях
теоремы 24.3 след /|зп определен корректно: след на Ш существует и
lie зависит от введенных в окрестности отдельных кусков о,
криволинейных координат. На перекрывающихся кусках это почти
исюду одна и та же функция.
24.5. Пусть функция / <= б?>е (Е) = В<?>е или (для целых г)
/ <= W{j? (E) = W{p. Пусть еще Я = (Ят+1, ..., А„) — целочисленный
неотрицательный вектор и
p, = r-|A|-JL=^->0. D2)
Тогда частная производная /( ' есть функция класса Врг,~9 ,
соответственно W%~ , и
|| /W || (гН м, < С || f || (г) , || /<*> || (гЧ м, < С || /1| ю> D3)
вр, 9 вр, 9 и^р Wp
где С не зависит от f (см. книгу С. М. Никольского [9], 6.2A2)
и (Ю)).
Пусть еще ЗЯ — m-мерное многообразие класса С(/), где
| = г в случае класса W(p и / = /г, где 1Г определяется
равенствами 21(8') для Вро и 21(8) для Н(гр\
Из D2) следует на основании теоремы 24.3, что частичная
производная /( ' имеет на Ж след, принадлежащий В^ (Ш),
если f е= б^е, и flf*) {Ж), если f €= ЧР(рг). К тому же, если S
есть _ограниченное многообразие, удовлетворяющее условию
S с: S с 9W, то справедливы неравенства
II /*' Ь И^РО(S) < С«/ В,.гV 'I /*Н Ив(рх) и,< СII / И,"» •
Pi 9 />•» р р

392
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ
[ГЛ. 1
Условия теоремы 24.3 на гладкость ЯЛ здесь выполняют^
при к = О, тем более они выполняются при |Я| > О, потому чтс
faie<-eIM), W{rnh и г-| Я |< г.
Важно еще ввести понятие производной по направлению,
достаточно гладко меняющемуся вместе с х е Ш1. На самом дел*
здесь будет идти речь о производной, определенной, вообще
говоря, почти для всех х е 9W.
Пусть / зависит от г, как было сказано выше, и Ш1 а Е есть
m-мерное дифференцируемое многообразие класса Ol+x\
ориентированное в том смысле, что из каждой его точки х выпущено
п — т непрерывно зависящих от нее единичных нормальных к
Ш и друг к другу векторов
N,=*(a.{, ..., а!п), } = т + \ п, D4)
класса Ol\ ортогональных между собой.
Таким образом, Ш в окрестности произвольной точки х° е Ш
описывается функциями вида 22A) (л:^, ..., х/ ) класса С{1+1\
а компоненты соответствующих векторов Л/,- — функциями от
(л;/ Xj ) класса Ol\ Примеры таких ориентации см. ниже,
в 24.8, 24.9.т
Определим понятие частной производной
д\ь\
дМ^+1...дЫ^
А = (Ят+1, .... Хп), D5)
s
по направлению D4). Для этого достаточно ввести это понятие
для произвольного куска асШ, описываемого уравнениями
вида
*i=<Pi(*i» •••> хт), (х хт)<~®, i = m+l п, D6)
где <р,е=С<ч-1> = С<'+1>(а>).
Введем (уменьшая, если надо, ю) криволинейные координаты
Л-р. и э (¦*!» • • • > хт> "т+1> • • • > "«)<— \№и • • •> un)>
К.а = \(Х\ *m)e=©; 2й/<Р2|
I m+1 I
(P достаточно мало), находящиеся во взаимно однозначном
соответствии с декартовыми координатами («i, ..., «„) при
помощи преобразования (класса СЩ, которое можно еще записать
одним векторным равенством
N
и = х-\- 2 hjN1, х&а,
X =х (•*!> • • •» Хт> Ф/в + 1 \xi Хт), . . ., фя (Xj, . . ., Хп,)).

I !M| СЛЕД ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ
Введем также функцию
F^) = г \Х\, ..., хт, «m+i,
393
,hn) = f(x+ S A,tf,
Вр?о, lC. то f(WeB;,9(AM), W{?(A&,W)
Так как f е йр.'о, и/р', то г(л)
(леммы 21.2 и 21.9) и существует след
ч1М
/
"ш + 1
cwt"
ai*'f
0Пт + 1
dh%«
айы, bJ^m, D7)
л=о
Который естественно назвать производной от f по направлениям
/Vm+I Af„ на а. Первый член этой цепи есть обозначение
•той производной. При этом выполняются неравенства
1 а|Х|/
ддЛт + 1
мЛ
<C||f||B(r) ,
,(Ч)<
p, в
fllMf
ддАл+i
aNm+\
dN%„n
<C\\f\
з(р*.)<
о«В^-л,/(а)
P
p.e
p
D8)
Так как мы определили нормальную производную D7) на
любом куске а а Ш вида D6), то этим она определена на всем
многообразии Ш. Противоречий здесь нет, потому что если два
пересекающихся куска a, ai cr 9R описываются функциями вида
D6) через переменные соответственно (х хт), (х1{, ..., xt ),
то для некоторой окрестности какой-либо точки л;0 е аа^ имеет
место непрерывно дифференцируемое соответствие
(*„ ..., хт, hm+x, ..., hn)^(xil, ..., xim, hm+l, .... A„) D9)
и возникают две функции
F(h) (Xi, ..., xm) = Fth) (Xilt ..., xim) 6= Яр* (Лр, и)
(учесть, что SpVe. W^] с #рП)> которые вследствие леммы 24.4
имеют один и тот же след, выражаемый соответственно
функциями
г|>(*1, ..., xm)=--T\>l(xil XiJ,
равными между собой (в силу D9) при h = 0) почти всюду.
Отметим еще, что если из каждой точки х е Ш выпущена
другая, аналогичная D4), система нормальных векторов
N'm + N'n,'
то в окрестности любого куска а сЖ, описываемого функциями
вида D6), возникнут две системы криволинейных координат
\Х\> • • • > Хщ, hm+i, . . ., Пц) <— \XXt . . ., Хт, п m+i, • • •, П/i).

394 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. \
При этом соответствие
("m + l> • • •» "я) <— ("m+l! • • • > "п)
есть ортогональное преобразование
га
#; = S Y«^u. i = /n + l, .... п,
где yi* е С«>.
Из равенства
fi*, - /(* + ? A*#fc) = f fx + S HkNl) = РШ),
\ m + \ I V m + l /
X === (^i> • • • i tjii фт + l (.-"-I i • • • > ^u)i • • • > Фя \%\t • • • j Xm))>
тогда следует (О < | Я I < л — ¦" m \ равенство
iAi VI ° ML. ,„ , _
_ ж .. _
где jjisj = fia(xi, ..., xm)—не зависящие от f непрерывные
функции, явное выражение которых мы не выписываем.
После перехода к пределу в метрике Ьр(ш) получим
подобное соотношение
d\i\f
dNl™+Y ...dN*"
= 5] **a'
ala|f
a\[*am+i лмшп
между следами производных по направлениям.
Из сказанного непосредственно следует
24.6. Теорема*). Пусть функция f е Вр.'е = В"р\ (Е) или
f е tt^p1 = VS7p' (?) и TtczE = Еп — m-мерное многообразие класса
С('+1> (/ определено в начале п. 24.5, после D3)),
ориентированное в том смысле, что из каждой его точки х выпущено
п — m единичных нормальных к Ш векторов D4) класса Ol\
ортогональных между собой.
Пусть, кроме того, X — Cim+i Я„) — целочисленный
неотрицательный вектор, для которого
... п — m п
Рк=^г — \К\ — >0.
Тогда на Ш существует след
^-f ...ды\*
в^(Ш),в^Цщ
соответственно.
*) С М. Никольский 12], [11], [14J,

*зд
СЛЕД ФУНКЦИИ НА МНОГООБРАЗИИ
395
Если при этом S — ограниченное многообразие,
удовлетворяющее условию S czS аШ, то соответственно
dN%mV
dN„
в(Ч)(
n.vis>
<C||/IU
p, e
IMi
0Nm + \
dNln
<C\\f\
E0)
ir),
Mp3l)(Sl
P
следуют из того, что верны
S, описываемого функ-
еде С не зависит от f.
В частности, неравенства E0)
неравенства D8) для любого куска а
циями вида D6) (см. 23D)).
Отметим, что при к = 0 нам известен другой способ
определения следа f = f<°> на Ш (см. 24.2, 24.3) при условии, что Ш
класса Ol\ т. е. при условии, что гладкость Ш меньше на
единицу сравнительно с тем, как это требуется теоремой 24.6.
Отметим еще лемму, которая в дальнейшем нам понадобится.
24.7. Лемма. При условии теоремы 24.6, если и(х) есть
заданная на Е непрерывно дифференцируемая \Х\ раз функция,
имеет место формула Лейбница
(uf)
а> I
>ш
= 2 cuw
0<ц<Л
Ш
:(Л-Ц) I
E1)
еде tyiM обозначает (для краткости) производную от г|з порядка
д = (цт+ь ¦••. tin) по направлениям Nm+U ..., Nn и
м
а-
(\i\=\im+1\ ... ц„!).
|х1 (Л — |х)!
Доказательство формулы достаточно, вместо ЯЛ, провести для
куска aczTl, определяемого уравнениями D6). В окрестности
о вводим криволинейные координаты [х\,... ,xm, hm+u...,hn)
и отправляемся от очевидной формулы
(«/)>*> = 2 CSa"T~,l\
где производные г|)М понимаются по hm+\, ..., hn. Теперь в этом
равенстве переходим к пределу при \h\ ->0 в смысле Ьр(ш), что
приводит к E1) с а вместо Ш. Но тогда в силу произвольности
о с ЯЛ верно и E1).
24.8. Лемма. Если а есть кусок -m-мерного многообразия
ЯЛ е C<!+1> (класса СС+1', />0), описываемый функциями вида
D6), то с каждой точкой х^а возможно связать п — m
единичных нормальных к о векторов
N,
m+l>
N„
E2)

396
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ
1ГЛ. V
ортогональных между собой. Проекции этих векторов
Nt = (a[, ..., а'п), i = m+l,
п,
суть функции от {х лгт)есо класса С<'>. В частности, при
1 = 0 — непрерывные функции.
Чтобы получить одну из систем векторов E2), можно
отправляться от матрицы
1 ... О 0 ... О
О ... О 0 ... О
E3)
Столбцы ее
E4)
— независимы, потому что порождаемый ею определитель
равен 1. Первые пг векторов а1, ..., ат принадлежат линейному
касательному многообразию Lm и определяют его. Если к
системе E4) применить обычный ортогонализационный процесс,
то получим ортонормированную систему векторов
aM-i _ 2 (aft+', б/) 6/
ife+i
i=i
Ьп.
ak+]-^(ak+l,bl)b
/-i
Так как || а1 || > 0, то вектор Ь1 е С<г>, потому что а1 е СО.
Если теперь доказано, что Ь1, ..., bh е 0'\ то так как
aft+i е см и знаменатель в равенстве для bh+l положителен, то
и bft+i ge СО.
24.9. Отметим хорошо известный факт. Если трижды
дифференцируемая самонепересекающаяся кривая (в трехмерном
пространстве) f(t) = (p(t)i + ф(/)/ + x(t)k, a<t<b, которую мы
задали в векторной форме, удовлетворяет условию f{t)~X,r(t) ФО,
то она в каждой ее точке имеет главную нормаль и бинормаль.
Последние непрерывно дифференцируемы.
§ 25. Обратные теоремы о следах
В § 24 была сформулирована теорема 24.1 вложения о
следах на координатном подпространстве Emc:En и затем была
использована первая часть этой теоремы для получения ее

I 25] ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СЛЕДАХ 397
аналога — прямой теоремы вложения о следах на
дифференцируемом многообразии (теоремы 24.3). В этом параграфе мы
доказываем аналог второй части теоремы 24.1 —обратную теорему
вложения на дифференцируемом многообразии (см. 25.1, 25.3).
Пусть г "> 0 и X = (im+i, ¦ ¦ •, Хп) @ < m < п)—
всевозможные неотрицательные целые векторы, удовлетворяющие
неравенствам
Рь = г-\Х\-±^->0. A)
Их мы будем называть допустимыми векторами (для данных г,
р, п, т).
По-прежнему 1=г в случае W{p и 1 = 1Г, где 1Г определяется
равенствами 21(8') в случае #р?о и 2Ц8) в случае Нгр.
25.1. Теорема. Пусть на куске а многообразия S,
описываемого функциями класса С<1+1>
х* = Ф»(*1 хт), (*„ ..., хт)<=®, i = m+l,...,n, B)
ьаданы функции
/^(*„..., *т)еВ(%>(а>) C)
или FK{xv ..., xm) е BJ,P^ (w) при натуральных г,
соответствующие каждому допустимому вектору X.
Тогда, каков бы ни был кусок i/ca'c а, соответствующий
изменению (х хт)^ ы' а й' с ы, можно построить
определенную на всем пространстве Еп = Е функцию f е Вр.'о (Е),
соответственно / е W{P {Е), такую, что
iiflU) <C2\\FdB(H),.,. D)
соогвегсгвемно
II/IU<c|hfJb(P)i)m,
Р р
где суммы распространены на все допустимые векторы X, С не
зависит от Fh и выполняются равенства
Fk = . ° f j- • E)
™mm+V ¦¦¦Мпп о'
для всех допустимых X.
Здесь
N, = (а{, ..., а?), / = /п+1, ..., п, F)
— система выпущенных из каждой точки х е а единичных
векторов класса С((), нормальных к а (в х) и ортогональных между
собой.

398 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НЛ МНОГООБРАЗИЯХ {ГЛ. V
Доказательство. Введем открытые множества со' сг й' сг
с: со" сг й" с: о/" ей'" сг со. Продолжим все функции F\ за
пределы со'" на все пространство Ет точек (х\, ..., хт) с
сохранением классов (см. сноску на стр. 349), т. е. так, что для
продолженных функций Fk (F\ = Fx на со'") выполняются
неравенства
11^«в(Ря)(я'")<С'"/7я11в(р,)(й. G)
р, о р,е
соответственно
]1^К(»1)(Ет)<СЛР}>К@х)щ'
р, В р
где С,, и в дальнейшем С2, С3, не зависят от Fk.
Теперь, воспользовавшись теоремой 24.1, построим функцию
Ф = Ф(х^ ...» хт, hm+i hn), (#i, ..., хт, hm+l, ..., ftn)s?*
так, что
1|ФИ8<п <C2|llFJIB(P)(?m)) (8)
р» о р, 9
соответственно
11 Ф К{ГIЕ*) ^ С'2 ? " ^ "fiCty (ят)'
И
= Р% (9)
для всех допустимых Я.
Введем преобразование
Q э(И[, ..., ип)<— (jf|, ..., xm, hm+i, ..., /?„), (#i> ...> ^m)e©
A0)
2 Лу < tj], t]{ достаточно мало], определяемое равенствами
m+l
и,. = jf, + 2 «(ft/. « = 1 «г,
/=m + l
n
Ui = q>i+ 2j al/г/, г' = /п+1, ...,«,
/=m+l
где а{ класса C(l}.
Эти равенства можно обратить:
xi = ilpi(u], ..., u„), г'=1,...,т,
Лд = -ф( («1, ..-, ип), i = m -f 1, ..., п, (и, «B)sQA

I 2B1 ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СЛЕДАХ 399
Положим
L(u) = f(uu..., «„) = <!>№, i|>„), (и„ .... iiJeQ'",
Уменьшая, если нужно, Q'" (соответственно г\3 и о/"), получим
(см. 21.2, 21.9)
II f. Иа<г, ш», < Сз11 Ф 11й(г, (Я.,, II /, 11^п,й"') < С3|| Ф IU(?V A1)
р, 9 р, в р р
Наконец, продолжим f(uh...,un) с сохранением класса за
множество Q", соответствующее посредством A0) множеству ш"
п положительному числу тJ <С т)з, так, что для продолженной
функции f (f = f* на Q")
IflU (?l<c4|ifjiB(r) (aw,<cBSll^llB(Px)
p. в p, 9 л p, a
II f 11\г<П(?, ^C4||f, || < Cg 2j II /4 HB(PjO
(второе неравенство следует из A1) и (8)).
Так как
(СО)
^(а> = Л*+ 2 Л/W, = Ф(х„ .... хт, hmV\, ..., hn),
X = (JC|, . . ., Xm, фт4_1 (JCj, . . ., Xm) , . . . , фя (Xp • . . , Xm)j,
для точек (л:,, ..., xm, hm+l, ..., h„), соответствующих
посредством A0) множеству Q", и feS/'efi;), соответственно f e
c= Wp] (E), то существуют след
alM
ftKi^m + l ЛД/Лл
OJVm + I • • • ",vn
а'Мф
<"&#' •¦•м>
ft-0
для всех допустимых X. Теорема доказана.
Следующая теорема полностью обращает теорему 24.3 для
ограниченного замкнутого т-мерного @ < т < п)
многообразия S (S — S). По поводу случая, когда S есть существенная
часть Ш, будут сделаны замечания в 25.4.
Мы предполагаем, что S с= Ol+1\ где I = г для класса
W'P (г = 1, 2, ...) и / = 1Т, где 1Т определяется равенством 21 (8')
для Вр.'е и 21(8) для Яр'. При этом S ориентировано в том
смысле, что из каждой точки х с= S выпущена система
единичных нормальных к S векторов Nj, j = m -f- 1, . .., п, класса С<",
ортогональных между собой.
25.2. Теорема*). Пусть S cz Е'— т- мерное @ < т < п)
ограниченное и замкнутое многообразие класса С('+1>,
ориентированное в том смысле, что из каждой точки х с= S выпущена
*) С. М. Никольский [2], [11], [14],

400 СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
система нормальных к S единичных векторов класса ОТ,
ортогональных между собой. Пусть, далее, r>0, k= (km+i,..., Хп) —
всевозможные (допустимые) целые неотрицательные векторы,
для которых
Рл = г —|Я| — >0,
и каждому допустимому вектору К приведена в соответствие
определенная на S функция FA е Bj^y (S) или (при г
натуральном) Fx €= В(р*) (S).
Тогда на Е существует функция f е бр7е(?) = Вр7е, или
соответственно f е U?p'(?) = W{p\ такая, что выполняются
равенства
, /f Г" =^ A2)
Mmm+V ¦¦¦мп» s
одновременно для всех допустимых Я и
Шв«г, <C^||FHb(Px),S(, ll/Vn<CSllFJ|B(PJ A3)
р, 9 л р, 9 р л р
где суммы распространены на все допустимые X и С не
зависит от Fx.
Доказательство. Как было объяснено в связи с
формулами 23A), 23B), можно указать конечное число
прямоугольников
Aft с Д* с Д? с Л? <= Д2* (А = 1,2 ц) A4)
так, что Д^ покрывают S и куски SA> описываются функциями
вида 23A) класса С</+|), и, таким образом, заданные на S
функции F{M на SAk суть функции
Fk [Х) (х{к, ...,*,*) s Bft) (ДГ) или В^> (ДГ),
\ I ml
где А*'— проекции А* соответственно на координатные
подпространства xtk xtk. Но тогда согласно теореме 25.1 для
1 m
каждого & = 1, ..., (л существует функция fk(x)^Bp]%(E),
W{p (Е) такая, что

f 25] ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СЛЕДАХ 401
одновременно для всех допустимых Я и
11 fk W (*. <С 2II Ffc (X) 11й(рх)/д^ < Ci SII Fx HB(PX)(S)»
р. в p. е V i) л р. е
II ffe 11^г) < С SII Fk а) Ив(р„) ,д^ < С, SII ^ 11в(рх) ( .
р р \ 1 / р
где сумма распространена на все допустимые X и константы С,
d не зависят от функций Fx.
Из доказываемой ниже леммы 25.5 следует существование
финитных соответственно в Д?, дифференцируемых р раз (р > г)
функций щ(х) Иц(х) со свойствами:
2Mx)=lHaS, A7)
1
*\
aNm+\ ••• п
= 0 @<|Я|) A8)
для всех допустимых к (кроме А = 0).
Но тогда функция
и
f {х) = 2 Ык
1
удовлетворяет условиям теоремы. В самом деле, так как
и* е С(р) (?), р > г, f * е= Вр.'о (?), соответственно fk е ЦГ{,П (?), то
Ци*/*11в<п ,?)<C||f||B,r, , A9)
р, 0 р» 9
где С зависит от Uk и где Вр.'е можно заменить на Wp. Это
доказывается, как доказывалась теорема о продолжении (см. сноску
на стр. 349).
Из A9) и A6) следует A3).
Переходим к доказательству A2) (f(X)\s — Fx). Пусть aczS —
произвольное многообразие, описываемое функциями
*< = Ф;(*1> •••, хт), (*,, ..., хт)е=(й, i = m + 1, ..., п,
класса С<г+'>, где со — ограниченная область. Другие случаи,
когда роль (X], ..., х-т) играет какая-либо другая система из
т координат, рассматриваются аналогично. Для любого k =
= 1, ..., ц пересечение \h "= oak, если оно не пусто,
описывается теми же функциями ср,, но тогда (хь .. ., хт)е соь с со,
где cos — открытое множество (см. лемму 22.4). Чтобы доказать
A2), достаточно очевидно, доказать равенство
при любом натуральном 5 = 1, ..., ц, для которого ys не пусто.

402 СЛЕДЫ ФУНКЦИИ ПА МНОГООБРАЗИЯХ [ГЛ. V
fW
Имеем (пояснения ниже)
ys k=1
= 2j 2j ^«fe v /fc L =
ys
Fk{i) = 2j U/t
v ft=l
/4
v.,
= /7я,>
и мы доказали A2).
Во втором равенстве этой цепи применена формула 24E1),
в третьем надо учесть A8), в четвертом — A5) и в пятом —
тот факт, что FiX) — Fhm на а/г.
25.3. Если в теореме 25.2 положить все Fx — 0 с \к\ >0 и
р = г — — > 0, то получим, очевидно, вложения
В'Д (S) <=»<.'о (Е), В{рт (S) ^ W{;] (Е), B0)
обратные вложениям 24B2).
Кстати, вложения B0) и 24B2) справедливы для
многообразий S класса № (не обязательно С<г+1>), если определить следы
f|s, как в 24.2 (без помощи нормалей, ориентирующих S).
25.4. Пример. Отметим, что теорема 25.2 вообще перестает
быть верной при более общем условии ScSc2U, даже если
5 — ограниченное многообразие. Например, в плоскости Е2 точек
х.= (xit х2) прямую Х2 = 0 можно рассматривать как
одномерное многообразие Ш (п — 2, т = 1), а ограниченную область
оо
g=S<J/!i состоящую из непересекающихся попарно интервалов
i
ah = (ah < Xi < bh) а Ж длин 6ft = k~2, — как второе мпого-
х. — а.
образие ScScl. Пусть qp (*,)=——-—, к= 1, 2, ..., хх е ak.
Тогда, если -~- < а < 1, то
ИфИ^«в,<~. Ич^П^<в, = оо, 1|Ф1,р(?)=0
(см. С. М. Никольские [9], 4.3.2). Таким образом, функция
Ф (х{) е Wp' [g) ^* Н{р' (g), но ее нельзя продолжить на Ш с
сохранением класса, потому что у продолженной функции было
бы || ф' \\L < оо. Но тогда не существует функции f(x1,x2)&
2+-"
еЯр "(Я2) такой, что f |g = /(*,, 0) = ф (я,). Если бы такая
функция существовала, то необходимо f (хи 0) е Н{р Щ), и так

$25]
ОБРАТНЫЕ ТЕОРЕМЫ О СЛЕДАХ
403
как f(xit 0) = ф(х,) на g, то мы пришли бы к противоречию:
25.5. Лемма. Пусть выполняются условия теоремы 25.2 и
многообразие S покрыто конечным числом прямоугольников,
вложенных соответственно в другие прямоугольники:
Afcc=A*cAf c=Afc=A2fe, k=\ (х.
При этом соблюдаются свойства, которые отмечались в связи
с A4).
Тогда при любом натуральном р найдутся финитные в Ai
функции u\(x), ..., «^(х), непрерывно дифференцируемые р раз
и удовлетворяющие условию A7), так же как условиям A8),
для всех X, где 0 411К \ < р.
Доказательство. Пусть G— область, б > 0, Сб —
множество точек xeG, отстоящих до границы Г области G на
расстояние, большее чем 8, и G6 — множество, состоящее из
точек G и тех точек х Ш G, которые удалены от Г не более
чем на 6.
Зададим k. Чтобы не усложнять запись, k будем иногда
опускать. Например, вместо А < Ai, Аг будем писать
соответственно A, Ai, Аг. Проекции этих прямоугольников на плоскость
(х), ...,х\\ обозначим соответственно через A', A', A?.
\ ll ml
Зададим 6i > 0 достаточно малое, чтобы А ' е: A16i, и на
множестве
Л(в,) = Дв'и(?','\Д1в1)
определим функцию
( 1, хе=Дв',
* У) @, ^?ViV
и продолжим ее с множества А (б), 0 ¦< б < 6i, так, чтобы
продолженная функция, которую мы обозначим'через ^а(х), была
неотрицательной и р раз непрерывно дифференцируемой. Таким
образом,
1, хе=Дб,
0, х е-Д1в,
откуда, в частности, видно, что производные от фа по нормалям
Nm+i, . .., Nn на Oh = SA порядков не выше р равны нулю.
Ведь ifft = 1 на множестве А6, содержащем в себе А. Так как
Ч>* (*) =

404
СЛЕДЫ ФУНКЦИЙ НА МНОГООБРАЗИЯХ
[ГЛ. V
\|)й = 1 на Oh и вообще ^а > 0 и, кроме того, куски оа
покрывают 5, то
U(x)=Zi tyk (х) > 0 на S
1
и в силу непрерывности U и замкнутости и ограниченности S
можно указать область gi гэ S так, что ?У(х)>0 на g\. Пусть
g cz g cz g\—другая область, содержащая S. Определим
бесконечно дифференцируемую финитную в g\ функцию Х(х) (х е Е),
равную 1 на g, и положим
0, x^gv
Легко видеть, что uh(x) удовлетворяют требованиям леммы.
«*(*)=¦

ГЛАВА VI
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
§ 26. Компактность множеств в пространствах
дифференцируемых функций
В этом параграфе мы рассмотрим два вопроса. Сначала —
попрос о необходимых и достаточных условиях компактности
множеств в пространствах Wlp{G), Bp,q{G) и Hp(G). Эти усло-
ния при G = Еп были получены в работе П. И. Лизоркина и
С. М. Никольского [1], а затем перенесены на случай
произвольной области Gc?"b работе А. Ф. Кочарли [1]. Этому вопросу
посвящена также работа М. Отелбаева и Л. Ценда [1].
Во второй части параграфа изучается вопрос о том, когда
множество, ограниченное в некотором функциональном
пространстве, является компактным в том пространстве, в которое
данное пространство вложено, или, перефразируя,— когда
оператор вложения является вполне непрерывным. Результатам
подобного рода посвящены исследования Реллиха [1], И. Г.
Петровского и К- Н. Смирнова [1], В. И. Кондрашова [1], Греко [1].
Пиконе [1], Пуччи [1], С. М. Никольского [1], [3], Л. Д. Кудряв
цева [1], В. М. Бабича [1], О. В. Бесова [2], В. П. Ильина [6],
П. И. Лизоркина и С. М. Никольского [1].
26.1. Определения и вспомогательные предложения.
26.1.1. Прежде всего остановимся на определениях норм в
пространствах Wlp (G), Blp, е (G) и Hlp (G), принятых в настоящем
параграфе. Фиксирование нормировки является существенным,
поскольку в случае произвольной области GczEn не все
способы нормировки, рассмотренные в предыдущих главах,
являются эквивалентными.
Норму в пространстве Wlp(G), l^p^oo, t = (l\, ...,/„).
О < U — целые (/=1, .... п.), определим, как обычно, формулой
llfll^@) = llflU0 + |||^7|U- (О

406
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
1ГЛ. VI
Пространства Blp, е (G) и Ир (G), 1 ^ р < со, 1 < 9 < оо, / = (/,, . . .
..., /„), /(• > 0 (/ = 1 п), определим как пространства
функций feLp(G) с конечными соответственно нормами
о f \ е ,о,=|| f к, о + Щ j ^ (^..G) fI -fh j ' ^
II / II/// = Ш. о + S sup Г'' I A'' (tet, G) f I, C)
p,{0) P l=U>0
где || • П == || • || En, ml (t = l, ..., n) — целые положительные
числа, причем m* > U (i = 1, ..., п), а символ Am<(te{, G)f(x)
обозначает разность Am(tei)f (х) в точке х порядка Ш{ с
шагом tei, вх — единичный вектор, направленный по г'-й
координатной оси, если разность строится по точкам, принадлежащим G
вместе с соединяющим их отрезком, или Am'(teiy G) f (я) —0 в
противном случае.
В дальнейшем мы рассмотрим и другие определения
пространств Bp,e(G) и HP(G), сформулируем основные результаты
и для этих случаев.
26.1.2. Будем говорить, что область G а Еп локально
допускает сдвиг, и писать Gg5 (G принадлежит классу S), если
существуют конечное число К открытых множеств Gh (k = 1, ...
..., К) для каждого k, 1 ^ k ^ К, последовательность
векторов Л*'=(Л?', ..., hkj) (}= 1, 2, ...), "|А«| -v 0 при /->«,, и
последовательность чисел ej > О (/= 1, 2, ...), е^-^О при
;->оо, со следующими свойствами:
DG = (jGfc;
2) для каждого k и каждого / Ej-окрестность множества
Ga + hhi содержится в G *).
Из условия 2) следует, что если л;е G/„ у^Еп, |г/|<С1, то
при любом / (/ ^ 1) точка jc + й^ + е:-г/ е G.
Если GeS и выполнено еще условие:
3) при некотором б > 0 множества
Gfee' = [х: * е Gk, р (х, dGkldG) > б}
к
также образуют покрытие G, т. е. G= (J GV,
то будем говорить, что область G принадлежит классу S*,
и писать G е S*.
*) G. + А*' ~ арифметическая сумма Gfe и hk*.

*26]
КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ
407
Предполагая в дальнейшем, что G е S, мы будем считать
заданными множества Gk векторы hki, числа е; (й=1,...,/(,
/=1, 2, ...), а если G е S*, то также число 6>0 и
множества G{!\
Отметим два полезных в дальнейшем неравенства для
норм *).
Если G е S*, то
»»'- «с<вФ »<„«„. D)
"Вр. о ,0>
"р, 0(°ft) wp
w: {аку
E)
где С (б) и С—константы, не зависящие от /, а т = (т1, ..., т„)—
вектор, фигурирующий в определении нормы в пространстве
li'p.ii(G).
Неравенство D) становится очевидным, если заметить, что
к
«nij..a<S.11 fib. о,
ft=i
и при любом t, l<i<tt, имеют место оценки
Am<4^, О/И
dt
i/й
<
1/6
i/e
' ' J \e/m, <
<
<y
fblm.
1/8
J |A«i(tej,G)f|;ia»e,-r^r +С,(в)|^Ил0,в1
о ' у
д. |-,00 у/0
<С2(бJ J|Am'(^, G*)^-Si^ +
a=i L\n (J
<
Здесь мы воспользовались неравенством Минковского и
элементарными оценками для норм разностей.
Аналогично, применяя неравенство Минковского и используя
оценку
|Am'(<ei.°»)fL<rilDr'/U<y
получаем неравенство E).
*) Некоторые условия, при которых справедливо D), приведены
Э. И. Бурепковым в [3] (при этом свойство 3) иоЖет ие выполняться).

408 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ VI
26.1.3. Пусть G^S. Будем говорить, что функция f е LP(G)
непрерывна по последовательности сдвигов в LP(G), если
sup ]f-f{. + hkl + Ely)\p,ok-*0
при /—> оо для всех k—\, 2, ..., ft.
Здесь и в дальнейшем точка символизирует переменную, по
которой взята норма.
Теорема. Всякая функция feLP(G), 1 sg: р < со,
непрерывна по последовательности сдвигов в LP{G).
Эта теорема следует из теоремы 1.5 о непрерывности в целом
в LP(G). Отметим, что если некоторые компоненты вектора р
равны бесконечности, то функция f ^ LP(G), вообще говоря, не
обладает свойством непрерывности по сдвигу в норме LP{G).
26.1.4. Теорема. Пусть Ge5.
а) Если f е= WP (G), 1 < р < со, го
sup ||/ — f{- +hkt + B,y)\\> —0 при /-*00.
б) Если f е Вр. е (G), 1 < р < со, 1< 9 < со, го
sup ||f-f(- + Afc' + e,«/)llBi Лс^°
при j-+oo {k = 1, 2, . .., К).
Доказательство, а) Так как норма в Wp(Gk)
складывается из суммы норм f и Dff (t=l, ..., п) в Lp(Gk), то
утверждение а) вытекает из предыдущей теоремы.
б) Пользуясь выражением для нормы f, имеем
sup Wf-fi' + hU + e^Wt <
l»l<i
и/в
< SUp ||/_f(. + ft*/ + e,l,)||p 0 +
+ sup У f|(/-r(*4+e/y))Am'(fei.O»)/B-ie
где / — тождественный оператор, a T(hh? + e,i/)—оператор
сдвига в рассматриваемом функциональном пространстве, т. е.
/<р (х) = ф (х), Т (ft*/ + е,у) Ф (.v) =г ф (* + ft*/ + e/y).
Первое слагаемое в правой части стремится к нулю при j-*-og
по теореме 26.1.3, так как / е LP(G),

126] Компактность множеств в пространствах функций 409
Далее, в силу свойства 2) областей класса S любой отрезок
длины т{1 из Gfc после сдвига на hk' будет содержаться в G
вместе с е^-окрестностыо, поэтому
|(/-Г(А*/ + е/«/))А'"'(^,04)/1Р<
< || Л'' (tet; Gk) f I +1 T (hkl + г,у) Лт< (teit Gk) f Ц, <
<2\bMi(tehG)fl. F)
Рассмотрим
oo oo
J1 (/ - T (hkl + s,y)) ^ (ieh Gk)ll-^=\Adt =
0 t 0
1/Г T oo
= J A dt + J Л Л + I A dt r= #, + ^2 + ^3.
0 i/r f
Если принять во внимание F), то для f efij,.e(G) интегралы
5^1 и 5^3 будут меньше произвольно заданного е > 0 при
достаточно большом Т: первый — в силу абсолютной непрерывности
интеграла Лебега, второй — в силу конечности правой части B).
Для «5^2 при фиксированном Т справедлива оценка
^2<С(Г) jupi || f-f(- + A*/+ e,«/)||ei0ik.
Следовательно, 5^2-у0 при /->оо в силу теоремы 26.1.3.
Таким образом, по заданному е > 0 можно подобрать /0 так, что
sup ||f — f (• + Afe/+ 8/у) || i ,0ч<е при /¦>/„.
Теорема доказана.
Заметим, что для функций из Нр (G) непрерывность по
последовательности сдвигов, вообще говоря, не имеет места.
26.2. Теоремы о компактности. Прежде всего напомним, что
множество Ш нормированного пространства Е называется
компактным в пространстве Е, если из любой последовательности
{fm} элементов множества Ж можно выделить сходящуюся в
пространстве Е подпоследовательность {fm.}-
Сформулируем в удобных для дальнейшего терминах
известную теорему Ф. Рисса о компактности множеств в пространстве
LP{G).
26.2.1. Теорема*). Для того чтобы множество Ш функций
|е1р(С), 1 ^ р < со, Ge5, было компактным в LP(G),
необходимо и достаточно, чтобы оно было
*) Теорема справедлива и для произвольной области G с: Еп

410
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. Vt
1) ограничено в LP{G):
sup || f||P, о <N, G)
2) равностепенно непрерывно по последовательности
сдвигов в LP(G):
sup sup ||f_f(. + /^ + e/i/)||Pi0 -*0 (8)
при J-+QO (k—l,...,K),
и чтобы
3) функции f е ffi равномерно убывали на бесконечности по
норме Lp:
**ъМКцх\>м.хша>-+° пРи М-+оо. (9)
Доказательство теоремы при р = (р,..., р) можной найти в
книгах С. Л. Соболева [2] (гл. I, §§ 3, 4) и Данфорда и Шварца
[1] (гл. IV, 8.20). При произвольном р оно аналогично.
Заметим, что для ограниченных областей G условие 3)
отпадает.
Доказываемая ниже теорема представляет собой аналог
теоремы Рисса для пространств WP(G) и Bp,e{G).
26.2.2. Теорема. Пусть E{G)=*WlP(G), 1<р<оо, GeS,
или Е(G) = В1Ршо(G), 1<р<оо, 1<9<оо, G е= 5*.
Для того чтобы множество Ш функций f^E(G) было
компактным в E(G), необходимо и достаточно, чтобы оно было
компактно в LP(G) и равностепенно непрерывно по
последовательности сдвигов в E(G);
sup sup ||f-f(. + A*' + e^)HB(G .-*0 ' A0)
при j->oo (k=l K).
Иными словами, для компактности множества *№ в E(G)
необходимо и достаточно выполнение условий G), (9) и A0).
Доказательство. Сначала докажем необходимость
условий теоремы. Пусть Ш компактно в E(G). Тогда оно компактно
и в LP{G). Согласно общему критерию компактности множеств
в метрических пространствах (теорема Хаусдорфа), для любого
фиксированного е > 0 можно указать конечную систему
функций d (i = 1, ..., N) такую, что для любой функции fe9№
найдется номер i0 (зависящий от f), 1 <л0^Л/, для которого
II /-/folk «и < е.

I 26] КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИИ 4tt
I) силу теоремы 26.1.4 можно указать также такое /о, что при
/ > /о Для всех U (i = 1, .. ., /V) и всех k (i = 1 К)
sup \\fi-fi(-+h"l + eiy)\\ <е.
I у I < i l "
Тогда для любой / e Wl при соответствующем г\> и достаточно
большом /
нпр II f-f(- +А*'+ е,«/)||В@,
<
< II f - L Ив @fc) + , f |, II f'. - bo (• + A*' + e,j,) ||B @fc) +
+ sup |] ft.(. + h^ + e,y) -f{.+h*i+ e,y) ||? 0 < 3e
Ii/l<l v *'
(k=U ..., Ю-
Мы доказали A0), а вместе с тем и необходимость условий
Теоремы.
Пусть, наоборот, Ш компактно в LP(G) и выполнено
условие A0).
На каждом открытом множестве G*, определим процесс
усреднения для любой суммируемой функции f(x) следующим
образом:
(//>/(*) = ер \n(-*-)f(x + hk' + y)dy, A1)
в"
где ЙеСо°°И, Q(jc) = 0 при |х|> 1, [ Q(x)dx=*l.
ЕП
Заметим, что фактическое иптегрирование в A1) проводится
но шару радиуса е, с центром в точке х + hhK В силу свойства 2)
определения областей класса 5 этот шар содержится в G.
Рассмотрим для / е Ш разность
f (х) - uTf (х) = J Q (у) [f (x) -f(x + hk' + г,у)] dy.
En
С помощью обобщенного неравенства Минковского отсюда
получаем
11-иУПЕ{0к)< j\Q(y)\\\f-f(- + hk' + в1У)\\Е{аI)ау^
<||Q||,- sup || f_f (.+**/+8/у) || E(a)-
В силу условия A0) из этого неравенства следует, что
supf/-^ -*0 при /-*оо (k=\,...,K). A2)
f^m
'(%)

412 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
Пусть теперь задана последовательность {/s} функций из 9Я.
Так как 9Я компактно в LP(G), из нее можно выбрать
подпоследовательность, которую мы снова обозначим через {/s},
сходящуюся к некоторой функции f^Lp(G). Покажем, что при
любом фиксированном / и каждом k (k = 1, ..., К)
Для этого достаточно показать, что
\\UTfs-UTf\lrp{Gk)^0 (s~>oo), A4)
где г — любой вектор с положительными целочисленными
компонентами. Действительно, если E(G) — WP(G), то A4)
совпадает с A3) при г = I, а если?(С) = йр, о(С),то A3) следует из
A4) при г — т (см. B)), если при этом использовать еше
неравенство E).
Поскольку \\fs — f\\p в"*® ПРИ s-*°°> утверждение A4)
вытекает из следующих соотношений:
= 1 и?% - W l ak + 11 D[i [Uf>fs - Uf4] I v
\\Щк)!,-ЩкП,с =
= 1 {Q(y)[fs(- + h'll + *iy)-f(- + hb, + e,y)]dy\ <
<1|Й1И1^-П1р.а.
« вр I f DTtiQ (у) [Ц- + hk< + Bty) -f(- + hV + e,y)] dy I <
<ep||D^||i.|fs-f||piG.
Установим теперь, что последовательность {fs} сходится к /
в E{Gk) при любом k (k== 1, ..., К)-
Пусть задано е > 0. В силу A2) можно подобрать / такое,
что
SUP||/s-^f4(S)<8' .
а на основании A3) при достаточно больших s и s'
;(°fe)

I ani КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВ в ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ 413
< 'ледовательно, при достаточно больших s и s'
\\l-fAE{Gk)<\\f-urh\\E{ck) +
+ || Uffs - Uf%,\E (ч) + |ff. -Uf ЦЕ {Qk) < 3e,
i е. последовательность {fs} сходится в себе в смысле E(Gh).
Нинду полноты пространства E(Gh) и сходимости fs к f в LP(G),
отсюда следует, что fs сходится к f в Е (Gs). Так как это имеет
место при каждом k (k = 1, ..., К), мы получаем при E(G) =
—'Bp,e(G) на основании неравенства D), а при Е(G) — WP{G)
на основании неравенства
к
llfll^(G)<gllfVp(Gfe),
ЧТО fs сходится к f в E(G). Теорема доказана.
28.2.3. Замечание. Определим пространство Bp,q(G) как
Пространство функций со следующей нормой:
" ( г 11/6
II / 1Ц е - II f "p. а + ? J J I**< (Л,. G) DTtif l ^«_1)Ь J , B')
-Где st + rt — mt > /, > Ti >0, s, и r(-целые (г = 1, ..., n).
При таком определении пространства Bp,q(G) теорема 26.2.2
для• E(G) = BP,e(G) сохраняет силу, если относительно области
С! дополнительно предположить, что она удовлетворяет слабому
условию /-рога (G е_Л (/,/г)).
При этом условии можно показать, что если / е Bp,q(G),
то Drtlf <= L (G) и при любом k, 1</г<#,
II *?f II, «<«>< с <б> [II f ll, о4+Sy II а'' (^, О,) ^f [7^
где Gj?1 и Gfe —множества, фигурирующие в определении
условия 5*.' Эта оценка позволяет доказать неравенство D) при
норме B'), а тот факт, что D^f <= Lp(G) (г = 1, ..., п),
используется при доказательстве теоремы 26.1.4 в этом случае.
Доказательство самой теоремы 26.2.2 остается без изменения.
При указанном дополнительном условии относительно G
теорема 26.2.2 справедлива и для пространств E(G) = WP(G)
Л. Н. Слободецкого (см. 18.15), определяемых векторами / с
произвольными положительными компонентами.

414
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
26.2.4. Замечание. Теорема 26.2.2 остается верной и
доказывается в точности так же, если в ней положить E{G) — HP{G),
i^p<co, Ge5s, и дополнительно потребовать, чтобы для
каждой функции / е Ш имела место непрерывность по
последовательности сдвигов:
sup \]f-f(- + А*'+ e/f/) || , -*0 при /-юо (й=1, .... /С).
Это свойство, как,отмечалось выше, выполняется не для каждой
функции J из Нр (G), так что принятое ограничение существенно.
Если норму в HP(G) определить формулой
" f 1Ц @) = II f К. о + | «up Г(''-г') J] Д*< (fe?I G) Dfr Ц, C')
E/ + /-,>/,>г?>0 (/ = 1, .... я)),
то все сказанное останется справедливым при дополнительном
предположении, что G е A_(l, h).
Таким образом, мы выясним условия компактности множеств
в пространствах WP(G), Bp,o(G) и HP(G) в предположении, что
1 ^р<оо. Если среди компонент вектора р имеются равные
бесконечности, то на функции множества Ш нужно накладывать
дополнительные ограничения. На этом случае мы
останавливаться не будем.
26.3. О полной непрерывности оператора вложения.
Рассмотрим теперь вопрос о том, когда множество, ограниченное в
функциональном пространстве Е, является компактным в
пространстве F, в которое Е вложено.
В дальнейшем под Е = E(G) *), где G — область
определения функций из пространства ?, мы для определенности будем
понимать либо пространство WP(G), 1 <!р^ сю, / > 0, либо
пространство Bp,e(G), 1<;р<оо, 1 <0 < оо, / > 0. На основании
определения норм в пространствах W!p(G)(cm. 9A)) и Bp,e(G)
(см. 18A)) мы можем норму в E(G) записать в виде
ШЙ(С) = 1Ш1Р.0 + Ш,,01,
где llfllg@.— соответствующая полунорма, точное выражение
которой для нас сейчас не имеет существенного значения.
Обозначим через g область определения функций из
пространства F = F(g). Из характера теорем вложения вытекает,
*) В тех случаях, когда желательно будет подчеркнуть значение
параметра р, фигурирующего в определении пространства ?(G), мы вместо E(G),
будем писать Ep(G),

$261 Компактность множеств в пространствах Функций 415
что g с G (G —замыкание G). В частности, g может совпадать
с G или с G или являться множеством меньшей размерности,
чем G.
Если имеет место вложение E(G)<=~F(g) и функция feE(G)
рассматривается на множестве g как элемент пространства
F(g), то для нее мы сохраним прежнее обозначение /.
Пространство F(g) в дальнейшем мы всегда будем
предполагать полным.
26.3.1. При введенных обозначениях основные теоремы
вложения, доказанные в главах III и IV для пространств WP{G) и
/jp,e (G), можно кратко сформулировать следующим образом:
если функция f принадлежит пространству E(G), то при
соответствующих предположениях относительно области G она
принадлежит также пространству F(g) и при всех достаточно
малых h, О < h ^ Н (Н зависит от формы области G), имеет
место неравенство
II f \\P{g) < С,/г-6!| f \\рш 0 + C2he\\ f ||m < С,/г-6|| / ||р> G + С2/г8|| f ||Я@),
A5)
еде С] и Сг — константы, не зависящие от { и п, числа 6 и г
определяются через параметры пространств Е и F, причем 6^0,
е > 0, е + б > 0.
Перепишем неравенство A5) в более удобной для
дальнейшего форме. Положим
h=(!\f\\p,c-\\fUE\c^r если Шр.0-ИЛии<//8+6,
или h = H, если || f \\р> G • || f ||J('Gl > Не+ . Тогда, замечая еще,
что \\f\\Ei0)>\\!\\p,G> получим
Шлг,<СШЙ-1тЩ> A6)
где С — константа, не зависящая от f.
26.3.2. Лемма. Пусть вложение E(G) <^*-F(g)
характеризуется неравенством A5), где е > 0. Тогда последовательность
функций fm^E(G) (m = 1, ...), ограниченная в E(G)
(IIWIe(G)-4M [m = 1, ...)) и сходящаяся в LP(G), iKp^Cco,
сходится в пространстве F(g).
Доказательство. Так как е > 0, на основании
неравенства A6) последовательность {fm}, сходящаяся в LP(G) и
ограниченная в E(G), сходится в себе в пространстве F(g). В силу
полноты F(g) она сходится к некоторой функции f^F(g).
Замечание. В некоторых случаях имеет место более
сильное заключение. Именно, можно показать, что предельная
функция f^F(g) принадлежит тому множеству /V czF(g), па которое

416
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
оператор вложения переводит E(G), точнее, существует функция
fe?(G) такая, что |]fm —Л1п«)-*°-
Пусть, например, E(G) = WP(G), 1 < р < сю, G —
ограниченное множество. Пусть последовательность {fm} сходится в
LP(G) к функции f и
llfJI^@)<M (m = l, ...). A7)
Тогда f^Wlp(G). Действительно, в силу A7) при любом I,
1</<п,
H<UU<M (m = l, ...).
Из сходимости fm к f Lp(G) и слабой компактности
ограниченного в LP(G) (р > 1) множества {D//m}~=1 вытекает, что
на G существует Dl{lf и D/f е LP(G) (» = 1, ..., /г).
Следовательно, fe№p(G). Применяя теперь к разности fm — f
неравенство A6), получаем требуемое.
26.3.3. Покажем, что при определенных предположениях
относительно G ограниченное в E(G) множество 07? функций f
является компактным в LP(G).
Пусть при некотором s = (su ..., sn), s, > 0 (t=l, ..., я),
область G удовлетворяет слабому условию s-рога (G^A(s, Н)),
и пусть {Gk}K — совокупность открытых множеств, образующих
покрытие G согласно определению класс'а A(s, Н).
Для функций f е Ш cr E(G) определим на каждом Gk
средние функции fh\{x) по формуле
- U(х) = A-1Х| \f(x + y)Qk(y- Ах) dy, A8)
я"
где А, = (А,„..., АД А,< = — (i = U ••-, л), Qfc(f/) — функция
класса СГО?") такая, что при любом h, О <С /г ^ Я, и любом
xeGfc множество тех точек, в которых используется значение
функции f в правой части формулы, содержится в G.
Напомним, что если /е LP(G), 1 ^ р < оо, то на основании
леммы 5.2 || f — f*л ||р, 0ft -+ 0 при А->0.
Для доказательства высказанного выше утверждения нам
понадобится следующая теорема о компактности множеств в
LP{G), принадлежащая при р = (р, . . ., р) н р>\ —
А. Н. Колмогорову [1], а при р = 1 А. Н. Тулайкову [1]. Мы
сформулируем ее не при самых общих условиях, а в том виде,
в каком она нужна будет в дальнейшем.

I 26] КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ 417
Теорема. Пусть G—ограниченная область в Еп,
принадлежащая классу A(s, Н), s > 0.
Для того чтобы множество Ш cz LP(G), 1 «Ср < оо, было
компактно в LP(G), необходимо и достаточно, чтобы:
1) Ш было ограниченным:
supim!p0<M;
fesw
2) при каждом k, k = 1, ..,, К, средние функции fh\
сходились в Lp(Gh) к порождающим их функциям f равномерно
на Ш*):
sup Ijf — f*ji!l Ofc-*0 при h-*0 (k=l,...,K).
26.3.4. Лемма. Пусть G — ограниченная область в Еп,
принадлежащая классу A (s, Н) при некотором s > 0. Тогда всякое
ограниченное в ?(G) = ЕP(G), 1 ^ р < оо, множество 9И
функций f является компактным в LP(G).
Доказательство. Пусть Ер (G) = W lp (G) и Ж с= WlP (G).
Тогда Ш ограничено в LP(G). Докажем, что выполнено также
условие 2) предыдущей теоремы. Для этого воспользуемся
представлением 7A5) функций из WP(G), G^A(s, Н). Согласно
чтому представлению для каждой точки neGs справедливо
равенство
п. h
/(*) = &(*) + ЕМ f"MM+'^ dv J D!/f (x + yJ?Jy : v*-)dy,
где A,= — > 0, 0</г<Я, fhx{x) определена формулой A8),
а функции 3?ik^ Co (?") такие, что носитель представления при
любом xeGj содержится в G. Отсюда на основании
обобщенного неравенства Минковского получаем
fk I!
-IhHp,
п
<Е*.
(=]
**<
ft
.!' •"
0
-Ul+'^j
V
\\еп
Dfti-
• + УJ?и
t
Лу.
vK)dy\
lp,
<С^/г'^
do<
°*
Wl
i=\
*) Доказательство теоремы при p = {p,' ... ,p) можно найти, например,
в книге Л. В. Канторовича и Г. П. Акилова [1]. При произвольном р оно
аналогично.

418
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. V
Так как /Д* > О (? = 1, ..., п) и множество 07? ограничено i
WP(G), из этого неравенства следует, что при ft-»-0 функции fk
сходятся в Lp(Gh) к соответствующим функциям f равномерн
на Ш. В силу теоремы 26.3.3 множество Ш компактно в LP(G)
Аналогично, используя тождество 7(97), получаем утвержде
ние в случае, когда Ш cr Вр, е (G). Лемма доказана.
Из лемм 26.3.2 и 26.3.4 вытекает следующая теорема.
26.3.5. Теорема. Пусть G — ограниченная область в Еп
принадлежащая при некотором s>0 классу A(s,H). Пусть
имеет место вложение
Ep(G)c^F(g), 1<р<оо,
характеризуемое неравенством A5), где в > 0. Тогда всяко1
ограниченное в EP(G) множество Ш функций f является
компактным в пространстве F(g).
Доказательство. Из любой последовательности fm е Ш
(т = 1, ...) на основании леммы 26.3.4 можно выбрать
подпоследовательность {fmA> сходящуюся в Lp(G). На основании
леммы 26.3.2 эта подпоследовательность сходится в
пространстве F(g). Теорема доказана.
26.3.6. Замечание. Во всех теоремах вложения,
доказанных для пространств WP(G) и Bp,o(G), относительно области G
предполагалось, что она, по крайней мере, удовлетворяет
слабому условию s-pora при некотором s > 0. Чаще всего вектор s
совпадал с вектором /. Поэтому наложенное в теореме 26.3.5
условие принадлежности области G классу A(s,H) фактически
не является дополнительным ограничением, а уже содержится в
предположении, что имеет место вложение Ep(G)<=*F(g).
Отметим здесь же, что если множество g, а следовательно, и
область G являются неограниченными, то теорема остается
справедливой при дополнительном предположении, что функции
множества Ш равномерно убывают на бесконечности по норме
Lp, т. е. удовлетворяют условию (9).
26.3.7. Замечание. Теорема 26.3.5 справедлива и при
р= (оо, ..., оо). Действительно, в этом случае E(G)cz СF),
где C(G) — пространство непрерывных функций, определенных
на G (G — замыкание G), а множество 9Й, как нетрудно
доказать, компактно в C(G) и тем более в Lao(G). На основании
леммы 26.3.2 оно будет компактным и в пространстве F(g).
26.3.8. Покажем на простом примере, приведенном В. М.
Бабичем [1], что если вложение E(G)<=-»F(g) определяется
неравенством A5) при е = 0, то множество, ограниченное в
пространстве Е, не обязательно является компактным в прострап-

I 26] КОМПАКТНОСТЬ МНОЖЕСТВ В ПРОСТРАНСТВАХ ФУНКЦИЙ 419
стве F, т. е. что в теореме 26.3.5 условие е > 0 является
существенным. Пусть
ц{х) s= Со {Еп), у](х)Ф0, supple:/,,
/, = {х = (х1 хп): |дгг|<1 (г = 1 п)}.
Пусть 1 — A\, .... /«), 0</г —целые (г* = 1, ..., п), р —
•~{ри .... рп)> l<pi<°° (*'= 1, ..., «). Предположим, что
Hv-t)-'-??<»¦ о»
где
р \р, • •"*рп)' i U 'J*
Рассмотрим множество 9№ функций
Ы*) = и'~^7'ТМ*-,<'Т)>
зависящих от параметра и, 0<и<1. Очевидно, supp/Dc:/i.
Множество 2Й ограничено в Wlp{En), так как
II /„II, = v || л II, < II Л II,, || aft t = || DSI, (i = 1, ..., я),
и, следовательно, при любом о, 0 < а < 1,
/> р
Определим, далее, вектор ^ = (<7|,..., qn), удовлетворяющий
условиям
р<я<°°> i-(i-7>T) = °-
В силу неравенства A9) такой вектор q существует.
На основании теоремы 10.2 имеет место вложение Wlp (Еп)<=-~
<=-+Lq{En), определяемое неравенством вида A5) при е = 0:
llfll^C^llfll^ + C^ijDl'fl,.
Покажем теперь, что множество Ж не является компактным
в Lq{li). Для этого заметим, что
llfBD,./1-f,~^~,"^llnll,-NII,>o. B0)
ПМ1,..,,-о W «"^.ИчИ^о-ИИ,,, B1)
где а > 0, если q' <q.

чли НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. V
Рассмотрим последовательность функций / (k=l, 2, ...^
k
Vh—»0 (k-^-oo), принадлежащих множеству Ш. Легко видеть
что никакая подпоследовательность этой последовательности ш
может сходиться в смысле Lq на 1\ . Действительно, если бь
существовала подпоследовательность, сходящаяся к функцш
фе Lq{I\), то к той же функции она сходилась бы и в Lq{I\)
q' <q, а тогда на основании B1) <р == 0. Это противоречит
соотношению B0). Отсюда следует, что множество Щ
некомпактно В Lq(Il).
§ 27. Функциональные пространства Wp, а, я (G)
Пространства Wp,a,к, рассматриваемые в настоящем
параграфе, состоят из функций f, принадлежащих соответствующим
пространствам Wp (G) и характеризующихся, грубо говоря, тем,
д1Ч
что для интегралов от р-х степеней производных—т- (» = 1, ...
.,., п),1 = {1\, ..., In), по некоторым подобластям G' основной
области G имеют место оценки, зависящие от меры G'
(определяемые параметрами а и %).
Подобные функциональные пространства, построенные на
базе изотропных пространств Wpl) (G) С. Л. Соболева, при
некоторых частных значениях индексов впервые изучались в работах
Морри [1], [2], [3}. В частности, им было получено широко
известное условие гёльдеровости функций из этих пространств.
В дальнейшем результаты Морри развивались и обобщались
в работах Греко [1], Ниренберга [1], Кампанато [1], [3], Бароцци
[1], В. П. Ильина [4], [12].
В этом параграфе мы изучим с точки зрения теории
вложения некоторые свойства пространств W Р,«, *(G). Но прежде чем
перейти непосредственно к пространствам Wp. а, к (G), введем
пространства LPilltK(G) и рассмотрим ряд их свойств. Эти
последние играют здесь такую же роль, какую играют
пространства LP(G) в теории пространств WP(G).
21 Л. Пространства Lp,a,*.(G). Пусть G— область
пространства Еп, v > 0, х — (щ, ..., хп), Kj > 0 (/ = 1, ..., я). Положим
для любого х е Еп
/BxW = jy: 10/-*/|<10*' (/el ")}•
G„x(jc) = Gn/„*(*).
Очевидно,
n
mes Gv4 (x) < mes Ivx (x) = Ы x', | % | = 2 */•

I 27] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Wl fl_ и @1 421
Введем еще следующее обозначение:
[y]1 = min(y, 1).
Пусть заданы числа р и а, \ ^ р <. оо, 0 ^ а ^ 1, а также
ноктор у. = (у.\, .... "лп) с положительными компонентами.
Будем говорить, что измеримая на G функция f(x)
принадлежит множеству LVia,y.(G), если существует константа Mf
такая, что
:\ а
J \f(y)fdy^Mf[v][^
e»w
для любого jteC и любого v, О < v < оо.
На множестве LPi0iy((G) введем норму, полагая
/ _i i а
Ш/ @,—«f 1U«.«¦ 0= Лир К 7nnip.0xW
р- а, и ' р ' х е G; 0 < о < оо \ F 0 ,
= sup /ИГ1* J |f (у) Г dyV*l
^0;0<v<~y gJ{x) J
A)
Отметим ряд свойств нормированного пространства Lp а V(G).
1) LPtat1t(G)^Lp{G) и
Ш„>0<1Ши*:0 B)
при любых х > О и O^a^l.
Неравенство B) непосредственно следует из A).
2) Нормированное пространство Lp<ai>l(G) является полным.
Доказательство. Пусть \ft}T — сходящаяся в себе
последовательность в LPiaiK{G), т. е. такая, что
«/'-/* Ир. а. «О-*0 V.k-+«>). C)
В силу неравенства B) и полноты пространства LP{G)
существует функция f^Lp(G), для которой
И/*-Ли->0 (*->«>). D)
Зададим произвольное е > 0. На основании C) найдется
номер N такой, что при i, k^N
Ufi-MP,a,*;C.<e- E)
*) При G = Еп вместо ||/|| _n будем писать ||/||
p, a, x', Ь p, а, и

422 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ ГГЛ. V]
Из соотношения D) в- свою очередь следует, что для любогс
фиксированного v, 0<о<;1, найдется номер k^N, зависящий
от и и е, такой, что
^UPG(y-|Kl^||ffe-f||p,V(x))<8. F)
Тогда для i^M при любом v, 0<о^1, на основании F) и
E) имеем
sup («Г"" *||/- h\\p, а я J< suJv-]KlT]]f-M ) +
+ sup(ifIXI%fc-MUxJ<2e- G)
Так как ft <= Lp> а,я(G), из D) и G) вытекает, что f^Lp>atX(G)
и, кроме того, II ft — flip, <,, я; д-* 0 (г->оо). Утверждение 2)
доказано.
3) Для любого вещественного числа с > О
II Л!,.* w. о = ИЛи* о (« = (««1 ««»))• (8)
Действительно,
,'^~«-...,гг.<.(м"'*,*"'^.-«)-
= sup (ыТ{^чк.охи1)=т,.^,а-
x«=G:0<«<oo\ or /
Для дальнейшего отметим следующее неравенство:
1 J" 1Ш1^<0"Л1Л1р,Ох(..<
mes / .. (х) J ' ' vt" ' "¦» -^ " и / ир, о (ж)
^ о „<*) °
I X I
<ll/IUfl,«:Cy~(fl""". (9)
если 0 < v ^ 1.
4) При любом у, > 0 справедливы соотношения:
а)ИЛи*:С=11Ли;
б)Н/11р,,,н;0>11/1Ца.

f 27] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Wl t к (G) 423
Утверждение а) очевидно. Для доказательства б) заметим,
что в силу теоремы 1.7
iUmc,/K(x) I lf(y)^y=\f(x)) A0)
v О yJx)
v
почти для всех JteG. Поэтому, полагая в неравенстве (9)
а=\ и переходя в нем к пределу при у—>0, получаем
требуемое.
Из сопоставления (9) и A0) следует также, что
пространство Lp, i+e,x(G), е > 0, состоит из функций, эквивалентных
нулю на G.
5) Если G—ограниченная область, p^q, ^ -, то
I'q, Ь, к (G) *=* LP, а, у. (G).
Пусть 0<у^1. На основании неравенства Гёльдера имеем
\1Р<
fo-Uie J {f\Pdy
^0|и|(-Т?-_г)/'0-|х|б | |/MyY
и?
Если V > 1, то
J |/fdyY/P<(mesG)"H7 J IfNi/V".
Л*(х) J \°v*w J
Из приведенных неравенств вытекает утверждение.
В частности, из 5) следует,что если f е Lq(G) ( = Lg, о,ч {G))
q > р, то f е L р (G) при любом и>0*). Отметим, чт
р, 1—— , я
<7
обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Именно, из того,
что / е LP:a, v.{G), 0 < а < 1, вообще не следует, что f е Lg(G)
при некотором q > р. Однако при а = 1, как'показывает
утверждение 46), такое заключение имеет место.
6) Если область G представляет собой
теоретико-множественную сумму открытых множеств Gh (k = 1, ..., К),
к
G=\jGk,TO
*) Предполагается, что G — ограниченная область.

424 некоторые дополнения [гл. vi
Доказательство. Пусть JteO, v > О, 8 = (8,, ..., 8„),
9; = + I или —1. В соответствии с числом различных
возможных векторов 8 введем 2" множеств
«о
На каждом множестве Avx{x) выберем произвольно по одной
точке из тех множеств Gk, которые пересекаются с АоК (х).
Обозначим их через xe,k. Образуем теперь множества
(G*)„* (х*- k)=Gkf] /оХ (*<»¦ *). Очевидно,
е к
Следовательно,
[*]г""в J* ifa/)r^<SSwr,x,e J" if(y)ip^,
V" 8 * @*Hх(*в-*)
откуда в силу произвольности ieG и у>0 вытекает A1).
27.2. Пространства W'p, а, «(G). Пусть G— область Еп,
I — {1Ь ...,/„) — вектор с натуральными компонентами, 1^р < оо,
О < а < 1, х = (хь ..., х„), х,- > 0 (/ = 1, ..., я).
Обозначим через Wp,a,v.{G) пространство локально
суммируемых на G функций f, имеющих на G обобщенные
производные О1/! (i = l, ..., я) с конечной нормой
р, а, х1 ' Р< е. я'"' ?=i" %, a,j«(G)
В силу неравенства B) Wlp. а, * (G) с» ГР (G) и
НЛ1^@)<11Л1^1в1х@).
Из полноты пространств ^(G) и Lp,a,K(G) легко следует, что
пространства IFp, а, x(G) также являются полными.
На основании равенства (8) мы заключаем, что при любом
wp, а, хс ' ' "р, а, н11"
Отметим также, что в силу 4а) и 46)
11/1Ц@)=11/11^о>;(С), 11/1^@)<ИЛЦ^@).
27.3. Леммы. Для доказательства основных теорем нам
понадобятся некоторые неравенства, приводимые в
формулируемых ниже леммах,

I 27] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА №'_ а_ „ (О) 425
Будем придерживаться в дальнейшем следующих
обозначений.
Через М(х) будем обозначать функцию класса Со° (-? такую,
что S(Af) = suppAf <=:/,={ х: | xt | < у (i = 1, ..., я)}.
Пусть /г — положительное число, 0 </г4^1, Л = {Ки ..., Ап),
^ > О (i = 1, ..., я). Положим
7= (J {х: (j:til)eS(M)J.
О < v < Л
Ясно, что V cz /ла = | х: | х,- | < -^ \i (i — 1, ...,«) J-. Обозначим
через [7 открытое множество, содержащееся в области G. Будем
в дальнейшем всегда считать, не оговаривая этого особо, что
U + V cz G, где U -\- V — арифметическая сумма множеств U
и V.
Пусть, далее, х = (х„ ..., и„), х( > 0 (/=1, ..., я),
GA*(U)= U Gftx(*) = (tf + /ft*)nG.
Заметим, что если 0<х^Я,, 0</г^1, то /fta,cz/ftX, и,
поскольку U -\- V czG,
U + VczGh*(U). A4)
27.3.1. Лемма. Пусть 1</е<9<г<00> 0 < и < Я,,
0<о<А<1, 0<р<оо, Фе[рвл(С4»A0),
Ф(х, о)= J ф(х+ y)M{y.vK)dy. A5)
в"
Тогда имеет место неравенство
sup||<l)(.,o)||?iVW<
< II М II, I! Ф IU а. х; OftX (?^ V " ' ^"^ [Р]Г^ "• A6)
гае 1=1-1 + 1 gr==|M_(|A,|_|x|fl)(l_l).
Доказательство. Прежде всего, в силу неравенства
Гёльдера {q^Cr) имеем
1|Ф(-> <0IUp1«(*<W-' «)lr,'v(J,p'"'^- A7)
Оценим теперь норму, стоящую в правой части. Пусть % —
характеристическая функция множества S(M)= supp М. Замечая,

426 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
что 1-^p^r-^oo, s ^ г, представим подынтегральную
функцию в A5) в виде
| ФМ | = (| Ф |р | М (У (| Ф ГXO (I М f)~~
и применим для оценки | Ф (неравенство Гёльдера (—\- ( -)+
+ (- Г J — 0* Тогда будем иметь
11 11
|Ф(*. v)\<($ \<t{x + y)f\M(y:vb)f dyY X
J _1_ _ _
X( j I q>(* + y) \"%(y: v^dyV гП\М(у:и*)Г dy\'~r
Используя эту оценку, получаем
_i i_
11Ф(*. °)IU„w< SUP (il4>(x + y)f%(y:v^)dy\p rx
P xm u v. W \ n J
L J.
XsupC J \tf{x + y)fdx\r({\M(y:v*-)fdy)'. A8)
» e v \ирЯ щ j \En J
Положим для простоты Gft>4(f/) = Т. Так как U + V cz Г (см. A4)),
Tvj,(x)cz TvK{x) при 0 < у < 1 и х^Д,, то для любого хе[/
имеем
||Ф(х + уIрх(г/:^)^< J 1фЫГ^<
Вп (E/+V) >,(х)
< J |Ф(УIР^< J !ф(г/)Г^<11ф1!рР>а,х;ГУ|5<1а. A9)
Т к (х) Т у (х)
о о
Далее, при у е V
J |q>(* + 0)r°d*< j |ф(*IР^<11ф1?.в,х;г[р]1'С|в. B°)
U я (х) ' Г к[х+у)
Р Р
J|M(y:^)fdj/=o^i||M|i:. B1)
Из A8) —B1) следует, что

I 27] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Wl (С! 427
р, а, и
Неравенства A7) и B2) приводят к оценке A6). Лемма
доказана.
Следствие. Неравенство A6) справедливо при любом г,
^¦^.г^оо. Полагая в этом неравенстве г = оо, если 0<р4^1,
или г — q, если р > 1, получаем
?ир||Ф(., оI1?>17хда<С||ф||/,1в>Х!0х(?,ДР]|1'<'/' .
или, что то же самое,
1|Ф(«. o)||,.6iX!t,<C||V||p>eiX;V(?„, B3)
где Ь — любое число из [0, 1], С — константа, зависящая от у к
функции М, но не зависящая от ср.
27.3.2. Лемма. Пусть выполнены условия леммы 27.3.1, и
пусть О < г} ^ п, у ^ О,
6 = l_Y-(U|-|K|a)(l--J-), B4)
/?ч (Х) = J o-lк l-vo (х, о) do, B5)
о
ft
F^h (x) = J o-lл 1-^Ф (л, t») do. B6)
Тогда
ip II /\, IU K w < C> II * "p. - * vw* tPli ^ " F > o);
- t/ рл ft
sup||/\,[|„.„ „. ^с-,||ф||„ ,«. л ..«mTlPJi4 (б>0); B7)
<
<С2|!ф||ра1И:0ди([/)[Р1] * aX\
h8, если 6 > О,
In—, если 6 = 0, B8)
. if, если б < О,
где С\ и Сч — константы, не зависящие от ф, р, ц и h.
Доказательство. Применяя последовательно
обобщенное неравенство Минковского и неравенство A6) при г = q,
получаем для любого 1е(/
Р о Р
<IIMIUMUX;0x(?/)[pr J о»"'do,
р
1*1 . 11

428 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
откуда при б > 0 вытекает неравенство B7). Аналогично
доказывается неравенство B8).
27.3.3. Лемма. Пусть 1</о<^<оо, 0 < х < Я,, 0</г^1,
0<а<1, y>0,
. в=1~у-(!Я,|-|к|а)A--1-)>0,
р q B9)
во = 1 —Y — (I Л.1 — Ixla) —.
функцияФ(x,v)определена формулойA5), гдефе Lp a x(GAx(iV)).
Гогда для функции Fh{x), определенной равенством B5),
справедлива оценка
WFb\\q,b,v,U<CMP.a,*.;GhVSVr C0)
где Ь — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам:
0 < Ь < 1, есл« б0 > 0;
0<Ь<1, если 60 = 0; C1)
°<к1 + |)Т^^=а + тЧ^' еслн бо<0;
С — константа, не зависящая от ср.
Доказательство. Оценим || Fh \\q< v m, x e U, 0 < p < oo.
Предположим сначала, что 0 < p < h. Тогда
II J ft »<7. U x (jc) C2)
В силу неравенства B7) (т) —p)
II ^P И,. UnK w, < Ci 'I Ф Up. a. ч: 0^(?/)р6+~ ". C3)
где С) не зависит от ф и р.
Далее, на основании обобщенного неравенства Минковского
и неравенства A6) имеем
h
ИЗД., kW< J о-|Х'^ВФ(-, toiu я№*><
p p p
<cjl?lUx;y^(p. л;г), C4)
где ф(р, /г; r) = p«w[»s,rH Л. ^^"^--^(l-a), 6(r)=
p
= 1—y~— (J.M— | к 1а)("Б" —f) * ^2 — константа, независящая
от ф и p.

§27] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Wl д> „ (С) 429
Оценка C4) справедлива при любом г, # ^ г ^ оо.
Подберем г из числа возможных таким, чтобы показатель степени у р
и этой оценке был максимальным. Для этого заметим, что е(г)
монотонно возрастает, а б (г) монотонно убывает на [q, оо],
причем 6(q) = 6, а б(оо)= бо.
Рассмотрим отдельно случаи: бо ~$z 0 и бо <С 0. Простой
анализ функции г|з показывает, что если бо ^ 0, то максимальный
показатель у р в оценке C4) мы получим при г = оо. При этом,
/ \ I *1
замечая, что е(оо) = -!—, имеем
*(р, h\ оо)
\У.\
р о {fib — рв»),
1*1
р ч
если б0 > 0,
если б0 = 0.
Пусть б0 < 0. Так как б(^)=б>0, а б(оо)=б0<0, то при
некотором го, q < г§ < оо, б(го) = 0. Вычислениями
убеждаемся, что наилучшая оценка в этом случае получается *), если в
г|г (р, h\ г) положить г = г0. Тогда
ф(р, h; r0) = pe(r»»ln
где
¦ ir\— |х1 (\ | ао?A-д)\_ 1*1 („ | б?A - а) \
(| Я, | — | х |а > 0, поскольку б > 0, а б0 < 0).
Уточняя на основании сказанного оценку C4) и замечая, что
¦ + •
а = (
>
|х|
при б0 > 0,
• + ^«>^(<>+#?*&)-•<"» -п» «•«>.
на основании C2)—C4) получаем
/4.V,„<C3ll<P
lp, а, х; О я (?/)
р о h&>,
|х|
р * .In
pe(rB)lnJ
если б0 > 0,
если б0 = 0, C5)
если б0 < 0.
*) Если х = X, то наилучшая оценка и в этом случае будет при г

430 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
Пусть теперь р^/г. Применяя снова оценку B7) (ц = п),
имеем
[l^U^<C4||<p|U,, e^vrl^Z"' 6СЛИ Л<Р<Чзб)
р h [ h6, если р > 1.
Из неравенств C5) и C6) следует, что при любом хе[/ и
любом р, 0 < р < оо,
n^ ft
Ь
Ч
где число Ь удовлетворяет условиям C1), a Cs — константа, не
зависящая от <р, р и х. Последнее неравенство равносильно
неравенству C0). Лемма доказана.
27.4. Теоремы вложения. Докажем две теоремы о
свойствах функций из пространств Wp,a,x{G).
21 АЛ. Теорема. Пусть область G удовлетворяет слабому ус-
ловию1-рога (Ge АA,Н)), l^p^q^ootx=CK,ade~ = max /гч/,
a = (ai, ..., a„) @<аг — целые (/==1, ..., «)),
с г=1 п
б=1-|а:Л-(|1:Л-|й|а)(^-|)>0,
\Р ч I C7)
б0=1— |а:Л — (|1:/1 — |й|а)-.
Тогда DnWlp, а.я(G) <=+ Lq, ь,х (G), точнее говоря, для-f <= №Р. а, X(G)
в области G существует обобщенная производная Daf, для
которой справедливы неравенства
II'
Daf I G < С, [h6-11| f II,, а, к 0 + h* 11 D{«/1 а> и; J, C8)
\\Daflb.M.,a<C2\\f\\w^a^{a) (/><<?< °°), C9)
где h — произвольное число из @, min(l,#)], b — любое число,
удовлетворяющее условиям:
0<й<1, если 60>0;
0<6<1, если б0 = 0; D0)
п ^ . ^ i I S0O A — а) , бд A — a) s ^ rv
Ci ы С2—константы, не зависящие от f, причем Сх не зависит
также от п.

§ 27] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА W д и IG) 431
В частности, если б0 > 0, то Daf непрерывна на G и
xsupc | Iff (х) | < С, (л*-11| f ||р> fl, и; G + Л* & || ^/f I e> Xi G) • D1)
Доказательство. Прежде всего отметим, что, поскольку
й = сх, с > 0 на основании соотношений (8) и A3) мы можем
считать, что f <= Wp,a,y,(G), и можем заменить всюду в
неравенствах C8) — D1) х на й. Именно такие неравенства мы и будем
доказывать. Переход от х к й объясняется следующими
свойствами вектора й: 1) й ^ у; 2) среди векторов вида dx, d > О,
удовлетворяющих неравенству dx^-т-, вектор й имеет
наибольший модуль. Важность первого свойства видна будет из
доказательства теоремы, а значимость второго свойства следует из
формулировки теоремы (чем больше |й|, тем больше б).
Теперь заметим, что существование обобщенной производной
Daf при условиях пашей теоремы вытекает из теоремы 10.2.
Действительно, если б > 0, то выполняется также неравенство
1— |а:/|>0, D2)
так как<7 "^ р, 0^а<1,|1:/|^ |й|. Поскольку f^Wp.a,x(G)<=±
c^Wp(G)j G е A(t, Н) и выполнено D2), на основании
теоремы 10.2 заключаем, что па G существует Daf е LP{G).
Докажем, далее, неравенства C8) и C9). Пусть [Gk}] —
совокупность открытых множеств, образующих покрытие G
согласно определению класса Л (/,#). В силу неравенства A1) и
аналогичного неравенства для нормы Lq нам, очевидно,
достаточно получить оценки для fl/)af|?iG и \\ Daf\\Qibf%.G при
каждом фиксированном k, 1 ^ k ^ К.
Зафиксируем k. Так как f «= Wlp (G), G «= А (I, Я), а Daf<=Lp (G),
на основании тождества 7B5) для почти каждой точки jeGj
имеет место равенство
Daf(x) = Dafk,(x) +
+ J 0-1 * 1-(«. М № J D|,f (jc + ^ д,((у ; /) rf^ do, D3)
где
Да^(*) = (-1)|в,А-|ХИв>Х) ff(^ + r/)Q,a,(y:^)dr/( D4)
0<A<min(l, Я), Я=-| Iх*= ^ ('= Ь .... ")).

432
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
функции Q"*' и NU являются функциями класса С™(Еп), а их
носители содержатся в 1\ и таковы, что носитель
представления D3) содержится в сдвинутом роге J( + F(i)cG,
Отсюда на основании неравенства Минковского имеем
« Daf I Gk < I DafhiI,, Gk + | II h. t %, ck> D5)
где
ft
Ph. < W = J o-i * !-'«¦ *' do J | Dl/f {x + y^M^y: vx) \ dy.
Для оценки норм, стоящих в правой части D5),
воспользуемся неравенствами, установленными в 27.3. Применяя их, мы
должны всюду заменить х на х, поскольку все неравенства
предыдущего пункта установлены в предположении, что х ^ А,.
Оценим первое слагаемое с помощью неравенства A6) при
U = Gft, v — h, р ->• оо, г = q, а остальные — с помощью
неравенства B7) (U = Gh, у = (а, Я), р-»- оо), которое применимо, так
как б > 0; тогда получим
11^Аой<С^11а,«.я,ойй(с,Г D7)
Из D5) — D7) вытекает оценка C8) с заменой в левой части G
на Gk-
Аналогичным образом на основании неравенств B3) и C0)
устанавливается оценка C9).
Пусть теперь бо > 0. Покажем, что тогда Daf непрерывна
на Gu (k=\, ..., К). Отсюда будет следовать непрерывность
к
Daf на G—[jGk и оценка D1), поскольку тогда она будет
представлять частный случай оценки C8) (при q = оо, б =
= бо > 0).
На основании тождества D3) и неравенства D7) при q=oo,
б = бо > 0 имеем
II Daf - DafhK I r < 2 I Fh Л < A8» i I D\tf I
U ' 'ft 11=0, Gk ^ /tl » ft' ' »-¦ Gk ^ Si « ' "P. а. Я; Gft* (Gfe)
Отсюда вытекает, что левая часть неравенства стремится к нулю
при /г-^-0. Так как Dafh\ непрерывна па Gj,, сходимость bL^G^)
совпадает в данном случае с равномерной, и, следовательно,
предельная функция Daf непрерывна на G^.
Теорема доказана.

I 27] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА \Г x (G) 433
Заметим, что для пространств Wlp, о, и (G) з= U7p (G)
неравенства C8) ы D1) приведены в теоремах 10.2 и 10.3.
Покажем, далее, что если в условиях предыдущей теоремы
потребовать, чтобы область G удовлетворяла условию /-рога, то
производная Daf будет удовлетворять условию Гёльдера в
метрике Lq.
Пусть t — n-мерный вектор,
Д (/) ф (х) — ф (х -\-1) — ф (л;).
Напомним, что
Д(*; G)<p(*) = A@<p(*),
если точки х и х + t содержатся в области G вместе с
соединяющим их отрезком,
A(*;G)<p(*) = 0
в противном случае.
27.4.2. Теорема. Пусть область G удовлетворяет условию
/-рога (беЛA, #)), функция f и параметры р, q, %, а, б, бо
удовлетворяют условиям теоремы 27АЛ.
Тогда при б > 0 производная Daf удовлетворяет на G
условию Гёльдера в метрике Lq с показателем е, точнее,
\b(t\G)D% G<C\\l\i \tf, D8)
ч' р, а, у.
где г — любое число, удовлетворяющее неравенствам:
0<е^1, если б/0>1,
О^е <1, если б/0= 1,
0<е<б/о, если б/0<1,
/0 — min lt, С — константа, не зависящая от f и \t\.
В частности, если б0 > 0, го
sup|A(/;G)Da/|<C||f||^ \tf. D9)
где го удовлетворяет тем же условиям,, что г, но с заменой б
на бо-
Доказательство. Достаточно доказать лишь неравенство
D8), так как в силу предыдущей теоремы при бо > 0 Daf
непрерывна на G, и поэтому неравенство D9) представляет
частный случай неравенства D8) (при q = оо).
Как и при доказательстве теоремы 27.4.1, мы можем в
дальнейших рассмотрениях заменить вектор х на й.
Пусть [Gk)K и {Gfea)}f— совокупности открытых множеств,
образующих покрытие G согласно определению класса областей,
удовлетворяющих условию /-рога.

434 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
Пусть t — n-мерный вектор. Предположим сначала, что
\t\<<3, где 0<о — число, фигурирующее в определении
множеств Gjs0). Для получения оценки D8) нам, очевидно,
достаточно получить оценку для || A (t; G) Dafl <а) при фиксированном
Обозначим через (G{k])t множество тех *еО?", для которых
отрезок, соединяющий точки х и х + t, содержится в G.
Поскольку |^|<о, этот отрезок будет содержаться в Gk- Следовательно,
для всех точек этого отрезка справедливо интегральное
представление D3) с одними и теми же ядрами Qa и М,. На
основании D3) и D4) мы получаем для любого д; е (G*")( следующее
неравенство:
| A (t- G) Daf(x)\ = \Daf(x + t)- Daf (x)| <
+ ?
/=i
[ ""О
h
X\Mi(y.v")\dy+ J v-^-v-^dv \\Dft(x + y)\X
X\Mi{{y-t):v^)-Mi{y:v^)\dy\ =
=^A(x,t) + ^l(&t(x,t) + 9-t(x,t)), E0)
где
Л—т» яо= max Д|д mLi = T» 0<A<min(l, H).
Мы также считаем, что | / ||/л« < /г; следовательно, 11\ < min (cr, hK«).
Если xeG/?' \(Gk% то по определению
Mt;G)Daf(x) = 0.
Таким образом, на основании E0) имеем
1A it; G) Daf I ф = IА @ Daf |?> да < || А (- , 01|?> (с<^ +
+ | (II *,(¦./) II, @(а))( + II *-,(-, 0 II, (<П) • E1)

«27]
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Wl л к (G)
435
Чтобы оценить первое слагаемое в правой части E1), заметим,
что
| с"» ((j-fl: hl) -Q'" ((,:»') |-
lVW(MT'nK)«
<
/=10 '
Поэтому
i4(x>*)<SA"V",M"",e,*,><
/=i
0 ?»
Аналогично получаем
n |*| ft
X J dS { I f (* + let + */) 11 DjQta)(y :hx)\ dy. E2)
/=i о
J_
X J | D{'f (* + let + y)\\ D^(y : vh)| dy. E3)
Учитывая, что \et -f- (G(fea)Y cr Gk, из неравенства E2) на
основании обобщенного неравенства Минковского и неравенства A6)
(при г = q, U = Gft, v = /г, р -> оо) получаем, что
\А{-,Щ,т<
<\t\%h^^*\l\n.+uDld«(y:hk)\dy\
<
/==i
к. оb
п
<CAt\%h*->-kl\\f\\ t E4)
/=1 Axl W
где б определено равенством C7), С\ — константа, не зависящая
от / и |/|.

436
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
Далее, из определения функции S{(x,t) и неравенства E3)
для &~i(x, t) следует, что
((••*)
ч°п
<
<2
Ч
j 0-1М-...Х, rf0 j\D'if(. + y)M{(y.vX)\dy
E5)
ч-аь
"*(-.0H,.№)(<
<i*iE
/=1
-x.-Ui-
^^doJlDJ'ft.+^D^ro1)!^
E6)
Функции, стоящие под знаками норм в правых частях последних
неравенств, имеют такой же вид, как и функции Fn(x) и Fnh{x),
введенные в лемме 27.3.2, причем в первом случае у = (а,Х),
а во втором у = («> к) + kj. Поэтому мы можем воспользоваться
для дальнейших оценок неравенствами B7) и B8), имея при
этом в виду, что при у = («> к) число б, введенное в лемме,
совпадает с числом б, введенным в теореме, а при у=(а,к)-{-к)
числу б в лемме соответствует число б — к} в теореме.
На основании указанных неравенств (при U = Gk, r\ = \t\l,\
р->-оо) получаем
\Ш-'\т<С^П^1а<^^ы E7)
\Г
+->%.т<с^птР,а,*.,с^
(ak)
E8)
где е — число, удовлетворяющее условиям теоремы, Сг и С3 —•
константы, не зависящие от / и \t\.
Из неравенств E1), E4), E7) и E8) вытекает, что
\^t;G)lffle,a)^C\tfUKt G G).
к р, а,к\ hK\ к))
Поскольку эта оценка справедлива при любых k, 1 ^ k ^ К,
отсюда следует неравенство D8).
Предположим теперь, что \t\^m'm(a, hx'). Тогда
||A(/;G)D7||(J.G<2||Daf|t,(J<C@,A)|^lDaf|UG.
Оценивая \\Daf\\q<G с помощью неравенства C8), получаем и
в этом случае оценку D8). Теорема доказана.

I Й| ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА <? 'т*' es (G) 437
27.4.3. Замечание. Если в предыдущих теоремах условие
/¦рога для области G заменить условием s-pora, точнее, если
предположить, что / <= Wр,а,у. (G), a G <= A(s, Н) или,
соответственно, G <= A(s, Н), то основное условие C7), гарантирующее
справедливость неравенств C8), C9) и D8), примет вид
6 = min -г 1 ct: s I —
i=\ п
S:
1 : s 1 — |x|f )al(---)>0. C7')
При этом в неравенствах, определяющих границы возможных
значений параметров b и е, всюду / нужно заменить на s.
Заметим еще, что для пространств W'P!а, * (G), / —
натуральное число, норма в которых определяется равенством
II/IU ,G)==ll/IUa,x;G + ,2/!|DP/|p.fl,Ji;G,
результаты типа теорем 27.4.1 и 27.4.2 имеют место в той же
формулировке, что и для пространств Wlp\a,y.{G), l\—(l, ..., /),
если область G удовлетворяет слабому условию конуса *)
(условию конуса). Если же G^A(s,H) (соответственно G^A(s, Н)),
то вместо C7') должно выполняться более слабое условие
¦ Г| 1: s |—| х | (—-—) «1 (---)> 0.
L \max s{*i 1 \\Р Я)
§ 28. Функциональные пространства 2?*'?! **(G)
В этом параграфе будут изучаться дифференциальные
свойства таких классов функций многих переменных, которые харак
теризуются наличием определенного типа интегральных оценок
для модуля разности между данной функцией и некоторыми
полиномами. Различные классы функций, обладающих свойствами
подобного рода, изучались в работах Зигмунда и Кальдерона [2],
[3], Иона и Ниренберга [1], Мейерса [1], Кампанато [4], Спанне
[1], Стампаккья [1], [2], В. П. Ильина [9], Пиччинини [1].
Основной нашей целью является выяснение характеристик
вводимых классов функций в терминах
дифференциально-разностных свойств, в частности выяснение соотношений между
этими классами и классами, изучавшимися выше.
Ь=±
*) При U = ... = /п = I условие /-рога совпадает с условием конуса
(слабое условие /-рога —со слабым условием конуса).

438 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
28.1. Определение рассматриваемых функциональных
пространств. Пусть X — (Х\, ..., к„)—заданный вектор с
положительными компонентами. Обозначим через f совокупность всех
векторов / = (/i, ..., /п) с целочисленными неотрицательными
компонентами. Каждому вектору / е f приведем в соответствие
п
число (/, А.)= 2j/jA.f. Множество всех значений (/, К)
упорядочим в порядке их возрастания и запишем в виде
последовательности чисел bs:
0 = b0<bi< ... <bs< ... A)
Таким образом, последовательность чисел bs удовлетворяет
условиям: 1) для каждого числа Ьа существует хотя бы один вектор
./ <= f такой, что (/Д)== bs; 2) для каждого вектора /е/
найдется номер s такой, что (/, А,) = bs.
В дальнейшем под bs мы всегда будем понимать число
последовательности A). Заметим, что если Х\= ... = Х„ = 1, то
последовательность A) совпадает с последовательностью целых
неотрицательных чисел.
Пусть G —область пространства Еп, v > 0, v =(v ' v п).
Для любого х^Еп положим
10ь{х) = {у: ye=En,\y{-Xl\<vli (i=l п)},
Gvx{x) = G(]Ivi{x).
Пусть, далее,
Pbs, я (У, М)= ? ? Ai{Х' V) (у' = Ж • ¦ • уп)' B)
т. е. Рь , \ (у, х, и)—полином относительности у, содержащий
степени у\ определяемые неравенством (/, X) ^ bs, с
коэффициентами Aj(x, v), являющимися измеримыми функциями от х и v
на GX@, 1).
Через Z?bs, к обозначим класс всех полиномов вида B)
(различающихся коэффициентами Aj(x, v)).
Пусть область G<=En, 1<г<р<оо, 1<9<оо, Х=(Ъи ..., %п),
Xi > 0 (i = 1, ..., п), a > 0, bs — некоторое число из
последовательности A).
Будем говорить, что функция f(x), определенная на G,
принадлежит классу 3?r'^Qs(G), если f е Lr(G) и существует
функция Pbs, к (у, х, о) вида B) такая, что конечна величина
rtilvif-Pbfb.G),

§ 28] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Sf/ les{G) 439
еде при 1 ^ 0 < oo
N>,lB(f-Pbs.i,G) =
i
= \lv-^\\M^f-Pbs,„G,.,V)lGdv
<¦ о
M){f-Pbs,uG,x,v) =
= (V>M / \f(y)-Pbe,b(y-x;x,v)\rdy\r,
а при Э = oo
Nr! l oo (f - Pbs, л, G) = л? ? (/ - Pbs. ъ G) =
= sup v-a\M)(f-Pbt,y,G, ..о)! .
0<o<l " v s '»P> 0
В классе 2,r'pi;6s(G) введем норму, полагая
llfli^.«», =ШГ. с + г^еЧ.с), О)
г, p. 6
Из последнего равенства вытекает, что если f е ^'"^(G),
то существует функция Рь$, %{у; х, v) вида B) такая, что
N):l е (f - Рь$, ь G) < 2Г*; pa; »* (f, G). E)
Если в правой части равенства C) заменить ||fllr,0 на II flip, о»
то соответствующее функциональное пространство мы будем
обозначать через 2xr'a'ls(G).
Заметим, что непосредственно из определения пространств
2?r' "I Is (G) следует, что при любом о > 0 пространства
^fp.T °'e(°) и 3?Xr',p'Js(G) совпадают и для соответствующих
полунорм выполняется соотношение
Г«А.«« obs {f} Q) = a-U*TK a; 6, (f > Q)
Для частных случаев пространств S ^' es(G) мы иногда
будем пользоваться также следующими обозначениями:
^!б*(С)«2*:?»'(С). Z)'a'b*{G)^Z)\Zbs{G)^2T~,b~(G)-

440 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
Введем теперь функциональные пространства, в терминах ко»
торых мы будем характеризовать дифференциальные свойства
функций из пространств S?r\ap\$s {G)-
Напомним, что если t — вещественное число, е,- — единичный
вектор, направленный по оси х,, G — область в Еп, то
Ak(tei,G)f(x) = Ak(tei)f(x)=%Cl(-l)k-lf(x + jtet)>
/=о
если точки х и х -\- ktei содержатся в G вместе с соединяющим
их отрезком,
A*(fe«,G)f(*) = 0
в противном случае.
Через а — (аь ..., ап) всегда будем обозначать вектор из
множества f, т. е. вектор с целочисленными неотрицательными
компонентами.
Пусть задан вектор 1 = {1\, •••> ln), h>0 (i = l, ..., п).
Положим т = \-г, ..., -т-|- Введем множество Щ векторов
' У h in *
ае/и совокупность /а индексов i, 1 <л <;«, соответствующих
данному а е 91г, по формулам
Я, = {а: ае/, 1— _max -i- <(а, -j-) < 1 ], F)
Ia = \i: 1</<я, (а, 1)>1—1-}, це?,. G)
Очевидно, при а е 51г множество /а не пусто.
Положим еще
'а == /а "г" *а>
где
/'. = {*: 1<»<я, (а, 1)=1--1-|, аеЯ„
/? = {*: 1<*"<п, (а, ¦})> 1-^г}, оеЯ,.
Таким образом, если а е 21/, то (а, у] < 1 и
(а + е,, у)>1 Vie=/a.
Определим, далее, числа sai г (a <= 51г> i е /а) из равенств
(a + sa,ieh -)—1. (8)
Ясно, что 0<sai,^l, причем если i <= /о, то sa,j —I, а если
{ б/;, то s„, г < 1.

(, 28) ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ifri'p_;9s (Й) 441
Определим теперь функциональные пространства Вр> е (G),
//P(G), WHP(G), Z'(G)hC'(G). Для пространств fiP.e(G) и Hlp(G),
уже определенных в главе IV, нам удобнее здесь в целях
единообразия обозначений ввести несколько иную нормировку.
Из результатов главы IV следует, что если область G
удовлетворяет условно /-рога, то вводимые здесь нормы эквивалентны
соответствующим нормам, введенным ранее.
Будем ниже считать, что /=(/[, ..., ln), h> 0 (/ = 1, ..., п),
1<р<оо, 1<0<оо. Через BP,o(G), Hlp{G) и WHlp{G) будем
обозначать пространства функций feZ,p(G), имеющих на G
обобщенные производные Daf (а е %t) с конечными
соответственно нормами:
иа« @,=иfiu0+11 fit» «о,-
р, 0 р, в
11ЛЦ@,==11Л1Р.0 + 11ЛЦ@,.
где
II f II. I ,. = 2 2 sup TV * IД' +На, /] (fef, G) Daf l
f > IT
ИЛЬ =2 2 sup r'«./lA(fe„ G)Daf\\p, (9)
"p (°) ae«j iz=ra 0<t<l
[sa,i]~целая часть числа sa,(-, || • ||p = || • ||p> En.
Легко видеть, что норма в WHP(G), вообще говоря, сильнее
нормы в HP{G) и, следовательно, WHP(G)<=+HP (G). В том случае,
когда числа sa,* при всех ae5I(fltefa меньше единицы, эти
пространства совпадают.
При 1 < р < оо можно дать другое определение нормы
в WHP{G), эквивалентное данному. Для этого заметим, что
справедлива следующая
Лемма. Если G — область в Еп, f е Lloc (G) и удовлетворяет
неравенству
sup rl\\A(teh G)/||P<M ' A</><оо),
о < t < to
то на G существует обобщенная производная Dif(x) = —^— и
\\ОЛ\р,а<М.

442 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
Доказательство этой леммы приведено в книге
С. М. Никольского [9] (стр. 213—215).
Определим теперь полунорму
||/Ц@)= 23 Ш\Р.а +
+ 23 23 sup г'«.'Цд(/в|,о)я7||р~
a6«(/S/J°<(<1
~23 ( 23 !яв+в'/1„.о+ 23 sup r'*.'lMtet,G)Dafl\.(W)
На основании леммы и неравенства 16(9)
\\A(tel,G)n\P<t\\Dif\\p,0
легко заключить, что полунормы (9) и A0) эквивалентны.
Поэтому в определении нормы в WHP (G) полунорму (9) можно
заменить на полунорму A0). Из вида этой полунормы следует,
что при некоторых / рассматриваемое пространство совпадает с
пространством WP{G), а при некоторых — с Нр (G). Этим
объясняется введенное обозначение для пространства.
Наконец, через Z!(G) и Cl{G) мы будем обозначать
пространства непрерывных функций, имеющих на G непрерывные
производные Daf(x) (а е $;) с конечными соответственно нормами:
ЦЛЬ, =sup|/(x)| +
2 \о\ х<=а
+ 23 23 sup suprVi|A1+[*a,*l(fe,,G)Def(*)li
ae?(j ls/a0<KUsQ
IJ/IU0=suPjH*)l +
С @| jsO
+ 23 23 sup sup fV' I A {teh G) D*f (x) |.
a e St, ls/o0<(<UeO
28.2. Вспомогательные тождества. Основным аппаратом
исследования в этом параграфе будут являться тождества,
полученные в 7.7. Для удобства читателя наиболее часто
употребляемые из них с необходимыми для дальнейшего разъяснениями
мы приведем в этом пункте.
Пусть область G с Еп удовлетворяет слабому условию
Т-рН0^(т-Л))-Т = AГ ?).*,>О0-1.....я).
\Gk)* — совокупность открытых множеств, образующих
покрытие G согласно определению класса А( —, h\. Пусть /е L °с (G),

§ 28] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 2r'°''es (G) 443
а = (а,, ..., ап) е /. Тогда при произвольном фиксированном k,
1 <! 6 <! /С, для каждой точки х е Gk справедливо интегральное
тождество 7(85):
D\, (*) = D\, (х) + (-1I а' J 0"'-,а' *»-' 1|ЛХ
е
X J ^ (У) - Рь, к(У-х; х, v)] DaM {(у - х): v") dy, A1)
где
?аЫ*) = (-1)|а|о-@'"!НМ ff(y)ZHQ((y-x):^)^, A2)
в"
О < е </г, Р^, д, (г/; х, о)— функция вида B), Q(y) и М(г/)
являются функциями класса С™ (Еп) и их носители таковы, что
множество тех точек у, в которых используется значение
функции / в этом тождестве, содержится в сдвинутом роге
х-{- Vy-r-j с: G. Заметим, что для всех точек xeCj, при
фиксированном k ядра Q и М в тождествах A1) и A2) одни и те же,
а для х, принадлежащих разным G&, они, вообще говоря, разные.
Если существует ?)а/е Lloc(G), то при е—>-0 из A1)
вытекает интегральное представление для Daf(x):
h
0aftx) = Dafhx(x) + (-1I a! J" o-1Ha' Л)-' 1|ЛХ
о
X J [f (У) - Рь3, к (У - x; x, v)\ DaM ((y - x) t v*) dy. A3)
Приведем еще следующее представление коэффициентов
полинома Pbs,\{y\ х> °) (см. B)), вытекающее из 7(87):
ЛЛх)У) = (-1I/,/г-,/'Л!-|Л'х
XJPbs,x(y-x;x, v)D'Q{(y-x):hK)dy A4)
ЕП
@<(/, *)<&,).
Формула A4) справедлива при любых' А>0 и о.
28.3. Свойства функций из пространств X^a^\s{G). Прежде
всего покажем, что если параметр а, входящий в определение
пространства 2?*[g\ls(G), достаточно велик по сравнению

444 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. V
с параметром bs, то это пространство функций состоит из одни:
полиномов.
28.3.1. Лемма. Пусть область GczE" удовлетворяет ела
бому условию —рога GsA у, A]], / <= i?*'^'0s (G), а>6
и существует вектор а0 е / такой, что
а > (а0, Я) > bs, если 1 < G < оо,
или
а > (а0, Я,) > bs, если 6 = оо.
Тогда для любого а ^ а0, а^. f, существует обобщенная
производная Daf на G и Daf(x) — 0 почти везде на G.
Доказательство. Докажем сначала, что на G
существует обобщенная производная Da°f{x) и Da°f(x) = 0 почти
везде на G. Для этого достаточно доказать это утверждение для
каждого множества GkC-G {]^k^K), фигурирующего в
определении класса ^(т-i h) областей G.
Воспользуемся для доказательства тождеством A1), в
котором заменим а на а0, и будем считать функцию Рь.л(У\ х, v)
такой, что для нее справедливо неравенство E). В формуле A1)
сначала преобразуем первый член в правой части, т. е. Dafh),(x).
Замечая, что если (/, К) ^ bs, j е f, то хотя бы одна
координата вектора а0 больше соответствующей координаты вектора /
(по условию (а0, %)">¦ bs), имеем
\Рь5,Лу\ х, h)Da°Q(y'.hh)dy =
Еп
- S ±&rL\ylD*QA,:h*)dy-0.
Поэтому Daflli,(x) можно записать в виде
?)%(х) = (-1)|а1|Л-,а°'Л)-,Л1Х
X J [/ (У) - Рья, л (у - х; х, A)] Z)tt°Q ((у - х): Лл) dy. A5)
Еп
Покажем теперь, что | Z5a"fe^ |р, 0. ~^ ° ПРИ е_>0- Из A1) и
A5) с помощью простых оценок, основанных на применении
неравенств Минковского (обычного и обобщенного) и неравенства

§28] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ifri'pi'9s (G) 445
Гёльдера, получаем
\\D%4P,ok<c^{a°-l)WMr(f-p^G> ¦. *)L+
ft
+ C2 j 0-'-«--fc' J^(f-P&s,b G, ., »)l,i0A>, A6)
+ C2e
<
где Cx и C2 — константы, не зависящие от s, ft и /.
Пусть 6 < оо. Возведем обе части этого неравенства в
степень 8, проинтегрируем по h от е до 2е и возведем затем в
степень 1/G. Тогда на основании неравенства Минковского будем
иметь
II СП* Ц. ok < С,в^ ( J А-'л *> 91 ^ (/ - Pbg. х, G, •, Л) ||°р> о ^Т+
2е /ft
Jrfft l\v-l-w-^lM^f-Pbs.*.,G, -,v)ltadv
в \e
/ 2e . _
где C3 не зависит от e и /.
Поскольку /e^'pa;^(G) и а>(а°, A,), ||^%|p,Ofe->0 при
е->0.
Если 6 = оо, то, полагая в A6) Л = 2е, получаем
llp.Ofe
Отсюда при а > (а0, Я,) также следует, что || Z>a /еяJJ„p0 ->О при
е->0.
С другой стороны, поскольку f^Lr(G) и, следовательно,
f^Ll°'c(G), 1 s^r' < оо, г'<>, в силу замечания к лемме 5.2
На основании леммы 6.2 заключаем, что на Gj, существует
производная Da f(x) и она равна нулю почти везде на Gj,. Ввиду
к
произвольности k, 1 ^ k ^ /(, и соотношения 2 Gk = G
аналогичное заключение верно и для всей области G.

446 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
Пусть теперь а ^ а0. Тогда
D%, (х) = e~u' / Da"f (у) DaxQ ((у - х): гк) dy,
е"
где а = а° + а', а'^0. По доказанному Daf(y) = 0 на G. По-
этому Dafek(x) = 0 при любом х е Gh и любом е, 0 < е ^ h
Отсюда, как и выше, получаем, что Daf(x) существует и равнг
нулю почти везде на Gk, а следовательно, и на G. Лемма
доказана.
Следствие 1. Если fе^^;*«(G), GgA({, л) и
а = 6s+i при 1 <! О < оо
«ли
а > &,+] при 6 = оо,
го все производные вида Da+af(x), где (a, X) = 6S+I, а'^0
равны нулю почти везде на G.
Утверждение непосредственно следует из леммы, поскольк]
для а0 выполнены все ее условия.
Следствие 2. Пусть f е #*; * |« (G), GeXJj, h),
a^bs-\- max к{, если 1 ^ G < оо,
г=1 п
a>bs-\- max А,г, если G = oo.
г=1 п
Тогда функция f(x) эквивалентна на G полиному вида
Pbs,x(x)= S V-
(/,м < ftj
Доказательство. При сделанных предположениях дл
любого вектора a^.f, для которого (а, %) > bs, найдется ве*
тор а0 ^ а, удовлетворяющий условиям леммы:
а > (а0, Я,) > 6, при 1 < 6 < оо.
а > (а0, %)>Ь при 6 = оо.
Поэтому на основании леммы заключаем, что функция
имеет на G производные любого порядка а, для KOTopoi
(а, %)> bs, и все они равны нулю на G. Отсюда следует, что
эквивалентна на G полиному вида Рь„л>

К а; Ь.
§ 28] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА &г> „ * (О) 447
Покажем теперь, что если параметр а меньше параметра bs,
то пространство 3?r'"p\s{G) совпадает с пространством,
характеризуемым меньшим значение параметра bs.
28.3.2. Лемма. Пусть область G удовлетворяет слабому
условию -j--poaa (Gs/lf-r-, An, m и s — целые
неотрицательные числа, причем m + 1 -Cs, а < bm+].
Тогда пространства 3? Г'"\ Qs ip) и 3?r'apum(G) совпадают и
нормы в них эквивалентны.
Доказательство. Поскольку m < s и, следовательно,
bm < bs, из определения пространств 3?r'ap\s{G) непосредственно
вытекает, что 3?r'pl'em{G)<=+.3?r'ipl'es{G) и справедливо
соответствующее неравенство для норм.
Докажем обратное включение, т. е. что
При доказательстве мы будем считать, что параметр G < оо *).
Пусть / е= 2?)\ ар\ е* (G) и Р^ fc (у; х, v) — функция вида B), для
которой выполняется неравенство E). Положим
Рьт, л (У, х, v) = Yi Ai (*' а) jf •
(/. м < ьт
где коэффициенты Aj(х, v) те же, что и у функции Рь ,%{у\ х, v).
Тогда
Pbm,t.(y,x,v) = Pbs,K(y,x,v)— ]? Aj(x, аL-. A7)
bm+1<U,V<bs
Для доказательства утверждения достаточно установить
существование константы С, не зависящей от /, такой, что
Mr.' I в (J - Pbm, K,G)^C || /-j|^, a; bs . A8)
*) При 9 = оо доказательство аналогично.

448
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
Исходя из формулы A7), на основании неравенства Минков-
ского и неравенства E) получаем
к, а
Nrl I е (/ - Рьт, *, G) < Nrl I о (f - Ръ, ь G) +
+
S If
,+1«/.М<», [о
-1-ав
daX
X
JWtHH J (.
0 \ Vx)
| A/ (x, v)
y—xu dy
2-M
\ <
<Wr;aJs(f, G) + d S j^X
6m+I <</.».)<»., fe=i
X J ь-*-<*«1-ьЧА,{., v)\rPt0kdv^ • A9)
где С| — константа, {Gfe}f— совокупность открытых множеств,
образующих покрытие G согласно определению класса М-^, h).
Оценим выражение, стоящее под знаком суммы в правой
части A9). Пусть Я = тшA, К), ху = —g—а + (/', Ц- Имеем
1 -L н —
| JV/9My(., v)tPt0kdvV <{ JV'V,(.'f v^^dvV +
+ { |»^||Л/(.,10|?,о/Лв=3'}* + ^*. B0)
Чтобы оценить З^, запишем Л/(х, у) в виде
А,(х, v) = D!fvl(x)-[Dif^(x)--Ai(x, v)}
и представим функцию D'fv\(x) по формуле A1) (заменив в ней
h на Я), а разность D!fv\{x) — А^х, v) — на основании
формул A2) и A4) (при h = v). Тогда будем иметь
Л, (х, v) = й%ь (х) + 9 (х; v, Н) - [D'fo (х) - А[ (х, о)}, B1)

$ 281 Функциональные пространства xr\ *\ 0 s Ю) 445
где
D'fexW = (-l)mff"IUHl1 \f(y)DiQ((y-x):HK)dy,
H
&{x\ v, /f) = (-l)m J u-'-w-^-IMduX
V
X J If (</) - Pbs. л (У - x\ x, и)] DfM {(у - x): uK) dy,
En
X J If (У) - Pbs. к (У - x; x, v)} D'Q ((y - x): vK) dy.
Из этих представлений с помощью простых оценок с
использованием неравенств Минковского и Гёльдера получаем
\\Dlfn4p,o<C^4^'^'4' MDf Wv4 (r<P)' B2)
ЦДЧ-; о, Я)||о0 <
B3)
|D'fr- A, (•, о)||p> Qk <C^'- *>|a? (f-Pijt „ G,+Vft, •, v)||p> .
B4)
где 0 < e < frm+i — а (по условию 6m+1 > a), Ct — константы,
не зависящие от v, Н и f, Vk — рог, соответствующий
множеству Gk в определении класса А[-^> А).
Используя представление B1), оценки B2) — B4) и замечая,
что (/', А) ^ bm+l > а -\- е, следовательно, ху-0 > — 1, (х/ — е) 0 ^

450 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
^ — 1 +[Ь,„М — а — e]G> — 1, будем иметь
ЗГ)к=*\ J v*iB\\A,{-,v)\fPw0kdv\ <
н — н -L
<{ I ^/9||^Vto/a}e +{ J *X'V(., *. «)|{.о4л}в +
¦ < С,(//)|| / 11г, 0ft+Ffe + С, ( J ,(и/-е) 9d, J a-"-*>e+" X
X1М) (f - Pbs, к, Gk + Vh,., и) f duf +
II v s /Hp,Ofc j
I H \T
+ CA\ v~l-a& \\M%r(f-Pbs.K, Gk+Vk, ., 0)?o/°) <
<Сб(Я)||/||г>04+^ + Сб Jo--a9X
j_
XI M%r (f - P&s, fc> Gft + K», •, o) f QdvV <
< C7 (//) || f 11^,0;» . B5
r,p, 9 ( ft+1fej
Заметим, что последнее неравенство имеет место в силу пре;
положения о выполнении неравенства E).
Оценим теперь Sfjk. Прежде всего, имеем
К (• . v) 10к < | D%, I Qk +1 D!fH, - A, (•, v) I Gk.
Для первого слагаемого справедлива оценка B2).
Чтобы оценить второе слагаемое, мы опять воспользуемс!
формулами A2) и A4), причем в последней положим h = H
Тогда
D%i {х) - А, (х, v) = (-I)' 'Я'"''fcH% I X
X { [f (У) - Рь,.к (У -х; х, v)\ D'Q ((у -х): Нх) dy

§28] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ^r'p!es (О) 451
Отсюда, замечая, что Н ^ v ^ 1 в 2?%, получаем
\D!f н% - А{ (•, v) \l Cft < С8 (Я) V-0-я> || М) (/ - P&s> „0...0) L flfc.
Используя полученные оценки, имеем
<С9(Я)||/|| *.«»„,.,. B6)
Из неравенств A9), B0), B5) и B6) вытекает оценка A8).
Лемма доказана.
Замечание. Из доказанной леммы при m = s—1
вытекает, что если a<bs, то пространство 2?*'°:ls(G) совпадает
Я. л* Л —
с пространством 2?r' 'es-1 (Р) A^9^°°)- Поэтому, принимая
во внимание еще следствия из леммы 28.3.1, мы получаем
следующие естественные ограничения для параметра а,
фигурирующего в определении пространств S'^'^iG):
bs^a<bs+l при 1<8<оо;
й5<а<й,+1 при 0 = оо.
При aP*bs+x A ^8 < оо) или, соответственно, а > bs+\ (8 = оо)
пространства Я?т' ар\ es (G) становятся менее содержательными
с точки зрения рассматриваемых здесь вопросов. Поэтому
в дальнейшем мы будем предполагать выполнение
соотношений B7).
Сформулируем теперь основную теорему настоящего
параграфа.
28.3.3. Теорема. Пусть область G czEn удовлетворяет
условию -j--poea ЮеЛ у, An,
l = (lu ..., ln), lt = -?- (i = l, ..., ft). B8)
Тогда: 1) при 1<8<оо, bs^a<bs+l
- КТь^^ВР^аУ' <29>

452 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI
2) при 9 = оо, соответственно при bs^.a^.bs+1 и a — bs+lt
справедливы, вложения
Э?)\ р bs (G) ^» П\ (G), S)\ « ь° (G) «=» WHlp (G); C0)
в частности, при 9 = р = оо, соответственно при bs^.a <bs+l
и a — bs+l, справедливы, вложения
?Kr-a-bs(G)^Zl(G), 2*r,Kb*(G)<=~Cl(G). C0')
Доказательство. Так как пространства 9?Kr'a'ls(G) и
¦к ь3 '"'
2!~а ,1: Т (G) совпадают и нормы в них эквивалентны, мы можем
г. р, о
при доказательстве считать, что параметр а—1. Таким
образом, предположим, что f е S'^' ]os(G)- Соответственно этому
равенства D6) примут вид
1^1Г (*=!.••.. л). C1)
Положим l = (li ln)> ~т~\~Г' •••» 7~)" ^° вектоРУ I оп"
ределим множество 91/ векторов а и совокупность /а индексов i
согласно формулам F) и G). Определим также числа sa%i
(ael|, i е /a) по формуле (8).
Прежде всего докажем, что при любом ае/,
удовлетворяющем условию
(а, у) —(а, Я,)<1, C2)
в частности при ae=9tb существует на G обобщенная
производная Dnf е Lp (G) и
\\Daf\lo<C\\f\\ >,.bs.G. C3)
Г, p. 6
Пусть Gft (k = 1, ..., К)—открытые множества,
покрывающие G и имеющие тот смысл, который им придан при
определении условия А(-г-, п\. Очевидно, нам достаточно доказать
существование Daf на Gft и справедливость неравенства C3) с
заменой в левой .части G на Gk.
Для этой цели воспользуемся интегральным тождеством A1),
справедливым для каждой точки х е Gk- Положим в нем к =у,
а под Рь ,ь(У' х> v) будем понимать функцию вида B), для
которой справедливо неравенство E).

§28] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА ^r_'p'6s (G) 453
Из формулы A1) на основании неравенств Минковского и
Гёльдера вытекает, что
I *>ъ - n* L Qk < с< Iw_2+v IIм' а - pbs. ь с ¦. о) i а dv <
Е
<C2hynv~'-°\\M^(f-Pbs,K, G, ., o)[ierfo) <
<C3hX:Zbe'{f,G). C4)
где у = 1 — (ос, Я,), С3 — постоянная, не зависящая от г, h и /.
Полученное неравенство, как легко убедиться, справедливо и
при 9 = оо.
Так как у > О, из C4) следует, что ||D"fej, — ^f/^f g ~* ®
при 0 < е <; /i -> 0. В силу полноты пространства Lv существует
функция ср е Lp(Gb), такая, что
1™1^-ф||,оА = 0.
С другой стороны, в силу замечания к лемме 5.2
где г' ^.г, 1 ^ г' < оо. Из последних двух соотношений на
основании леммы 6.2. заключаем, что существует Daf на Gh и
Da/.= ф е Lp(Gk), причем
I D*f I ok < II^ L ofe + ИII 1>Ъ ~ D%k 10k. C5)
Для второго слагаемого справедлива оценка C4), а для
первого, исходя из формулы A2) и учитывая, что г ^ р, имеем
jf(y)DaQ{(y~-):hK)dyl <
б" \\р,ак
Kcmti.o- C6)
-(а, \)~\ г.
ПД.0«л
Из C5), C4) и C6) вытекает требуемая оценка. Неравенство
C3) доказано. Из него, в частности, при a = 0 следует, что
IWU<C||flUi:* . C30
*г, р, в (а'
Это неравенство дает оценку для первых слагаемых норм,
стоящих в левых частях неравенств, соответствующих вложениям
B9) и C0).

454 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ [ГЛ. VI ;
Отметим, что если р — оо, т. е. если f е= 3!%т' ?: Ь?@).> то C3)
принимает вид
||fl°/Lc<C||flu.,s
яг, оо, е ,01
Покажем, что в этом случае все производные Daf, для которых
это неравенство доказано (т. е. определяемые векторами а,
удовлетворяющими условию C2)), являются непрерывными на G*
к
(k = 1, ..., К), а следовательно, и на G = \jGk.
Действительно, из неравенства C4) при р = оо вытекает,
что JD^f^ — D^f^l^ а ~>0 при /г->0. Так как DafhK
непрерывна на Gu, сходимость в Loo(Gfc) совпадает в данном случае с
равномерном и предельная функция Daf непрерывна на Gk.
Из непрерывности указанных производных следует, в
частности, что вложения C0'), относящиеся к пространствам
eg*- а- bs (G) = %*• °;^ iQ)t представляют собой частный случай
вложения C0) при р = оо. Поэтому мы должны доказать лишь
вложения B9) и C0).
Пусть, далее, G^ (k = l,..., К) — открытые множества,
покрывающие G согласно определению класса ^(т> М-
Поле
скольку ис!.6)=0,для доказательства неравенства B9) нам, оче-
k=\
видно, достаточно установить, что если bs^a=\<ibs+\, то
при любых а е *&[ и / е 1а и любом fe, 1 ^ k ^ /С, справедливо
неравенство
{jr'-'a.iefV+fa.iUfc,, G)Daff flF)^|6 <C5||f|| k.i;6j
10 fe ) *r, p, в
где C5—константа, не зависящая от f.
Замечая на основании C3), что
\\Ai+^A(tet,G)Daf\p 0F,<C6|Dafl|P.c<ai|f|| к,иь
и, следовательно,
(О)
<pV<°>
1 IT
i
¦¦е
Jr'-MA'+l'-'Ute,. G)Dafi Л <CF)||f|| *.„,,.
_e_ ' * I ¦ *r"p-6
где 0 ¦< б —параметр, входящий в определение множеств (/*в),

«28) ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА *г,'",'в5'°> 455
мы видим, что вложение B9) будет доказано, если установить,
что при произвольном k, 1 ^ k ^ К,
<Cr^;;;^(/,G), C7)
Jr1-*«e|A1^i](tef,0)D«/ffl(e)i«
где Сг— константа, не зависящая от f.
Аналогично убеждаемся, что для доказательства вложений
C0) необходимо установить, что если bs4ia= 1 < bs+u то при
любых ае51(И i'e/a и любом k, 1 <k-<К,
sup rV.jA'+IVd^, G)Dra/|| F)<C8r^:SS(f, С), C8)
' o<*<A *
а если bs< a=l — bs+l, то
sup Г*«.< \\ A (te;> G) ?>af J cF) < С97^ ;: b° (f, G). C9)
o<*<4 к • •
Поскольку входящая в левые части доказываемых неравенств
производная Da}^LP(G), для почти каждой точки x^Gk
справедливо интегральное представление A3) для Daf(x). Мы
будем в дальнейшем считать, что это представление
справедливо в каждой точке Gh, ибо это означает лишь возможную
замену данной функции на ей эквивалентную. Функцию
Рь ,\(У> х-> v) в A3) будем считать такой, что справедливо
неравенство E).
Обозначим через т порядок разности производной Daf в
левых частях C7) — C9). Таким образом, m = 1 + [sa, г] в C7) и
C8) и т= 1 в C9). Обозначим, далее, через (G{^mtej множество
тех л:е=ОАЛдля которых отрезок, соединяющий точки х и х-\- mteit
содержится в G. Поскольку t < -5- и т ^ 2, этот отрезок будет
содержаться в Gk. Следовательно, для точек этого отрезка
справедлива формула A3) с одними и теми же ядрами Q и М.
1
Пусть хе= {G{k)mte,- Положим u = tXi =tlK Тогда
имеем
| Дт {tet, G) Daf (х) I = I Am (tet) Daf (x) \ <
m ¦¦ ¦ _
< 2 C'm I Daf (x + jtei) - D%K (x + jtet) | +' I *и Ы Dafub (x) |.

456 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. VI
Если xef?f \(Glk)mte., то по определению
hm(teh G)Daf(x) = 0.
Следовательно,
||Дт(*ег, G)Draflp.c<6><
< С,о| D"/ - ДЪU 0fe +1 A™ (tei) ПлЦ, (c<Xei.
D0)
m
где C',o
Cio — 2j ^m
/=0
Считая б^/i ', где /г — параметр, входящий в определение
класса Л(у> h\, оценим первое слагаемое в правой части D0)
с помощью тождества A3), заменяя в нем h на u = t 1.
Замечая, далее, на основании определения чисел sa, г (см. (8)), что
1 —(а, Я,) = ва.,Я,„ D1)
и применяя неравенства Гёльдера и Минковского, получаем
И-лЧД.в4<с"/ '-"-"^ц-Рь^о..^)^
<
^Ci2r
.* .
J ¦,--t""v|i*(;-iv,uo>.,.)t-.A
D2)
если 1 ^8 < со, или
l^f-^Lo^d^^up^-'K^-P,..,, О. .,v)lQ<
<V-'7-r^s6*(f, G), D3)
если б = оо; С12 и С13 — константы, не зависящие от t и f.
Чтобы оценить второе слагаемое в правой части D0), мы
сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком нормы.
На основании определения функции Daf \{х) (см. A2)) имеем
Д" (te,)Daf „*(*) =
*(-f,«"teW4 lf(y)\ntei)DnQ({y-x):u")dy,

§ 28] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА <ег\ * qS (О) 457
где
= J ... [Du ... DtmDaQ([y-x-{U + ... +tm)et]: «Vi-. .rf/m =
о 0
= (-iru-mKij ... $ D«+meiQ([y~X-(tl+ ... +tm)ei]:ub)X
о 0
Xdti ... dtm.
Следовательно,
Am(^)?>tt^W =
==(_1)m+lalu_(aiM_IM_m,i j'_ j'^ _ ^ jf(j/)><
0 0 ?»"
X ?>™< Q ([y - x - (tt + ... +tje,]:u*) dy. D4)
Теперь заметим, что справедливо неравенство
(а + те,, k)>bs. D5)
Действительно, если рассматриваются неравенства C7) и C8),
то bs^a—l<bs+l, tn — 1 + [sa,»]• и> поскольку ае1(, имеем
(а.-f-me,, Я) = (а + A Н~tsa.<])е*. ^) > (а + «а. ге„ Я) = а=1>&5.
В случае же неравенства C9) т = 1, й5 < а= 1 = bs+i и,
следовательно,
(a + meit Я) = (а + et, Я) >(а + sa. гег. Я) = а = 1 = bs+l > ft,.
Пусть
да = (т + I)'% = (m + 1)"V4
Pbs,\(y'' х> а*) —Функция вида B), для которой справедливо
неравенство E). Так как Рь rK(y; х, w) — полином
относительно у, содержащий степени у1, определяемые неравенством
(/', Я) < bs, на основании D5) легко заключить, что
J Pbs, л (У ~ х; х, w) Da+meiQ ([y-x-it, + ...+М ei] • "л) dy=0.
Поэтому, заменяя в правой части D4) функцию f(y) на
разность f(y) — Pbr),(y — x'' х< w) и проводя элементарную оценку,

458.
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
получаем
< Сиш-<°- м-1 М | | f до _ p6s> , (у - х- х, W) | йу.
W
Отсюда
\ьт<!°1)*Ыт <cx,w-'a-^\\MXf-pbs^ о. -.»)L.0.
D6)
где С15 не зависит от ш и f,
,1Д.,1/1
Поскольку ш = (т + 1) '/ ', (a, k)=l—satlXt и
справедливо неравенство E), из D6) в свою очередь вытекает, что
1А>«)Пл1(оП
<
<С,/-.« sup ш-'Цл^-Р^.О, ., ш)| <
0<ш < 1
< С,/»-'7-J; ;;*«(/, G). D7)
Оценки D0), D3) и D7) доказывают неравенства C8) и C9).
Для получения неравенства C7) мы воспользуемся оценками
D0), D2), D6), связью между w и t, соотношением D1) и
неравенством E). Тогда будем иметь
,4 it
fr—«.ie|A1+I'..|](tef>0)D»fr dt
<
<C
1
-1 -к
~ i t < i
0 0
X\\M^(f~Pbs,%, Q, .,v)fpQdvY +
2
+ c,.
f г'-^оГ, *,e'»"A
K(f-P,,.x.O. ¦.»)?.<* *
<cJ JV'-«>||Afr4f-/\.x,G, ., 0)f flrfo e<c217-*;J;»'(G),
l о p' I
что и доказывает C7). Теорема доказана.

§28). ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА гг> p'es (О) 459
Замечание. Пусть Gs=A(j, ft), й, < а < bs+u 1 =
= (/р . ... ln)> ll==~J~ (t=='> •••» ге)«
Тогда ShT\ * ь° {G)^~WHlp{G) {при р = со S* а: b° {G)<=~& (G)).
При a = bs+i утверждение содержится в теореме. При
bs <а < bs+] утверждение также вытекает из теоремы,
поскольку в этом случае все числа sa, ,(ае=51г, je/J являются
нецелыми и, следовательно, пространства Hlp(G) и WHlp{G)
(Zl(G) и Cl{G)) совпадают.
Докажем теперь теорему, являющуюся обращением
результата, сформулированного в замечании, для G = En.
28.3.4. Теорема. Пусть / = (/,, ..., /„), lt > 0 (г* = 1, ..., и),
1<г<р<оо, Л = (Я„ ..., *,„), *,, = -?- (г=1, ..., n), 6S=S
= max (/, А,).
/е*;(/, М<1
ГогЭа ГЯр (G) ^* ^ р: ** (?") *),
llfl^:^s(?n)<C||f||^(fl), D8)
гд# С — константа, не зависящая от f.
Доказательство. Не умаляя общности, мы можем
.при доказательстве, считать, что и = 2, т. е. что f е WHlp{E2).
Неравенство D8), очевидно, будет доказано, если мы
покажем, что существует функция Рь„%(у\ х, v) вида
Рь8,ЛУ, х, v)= 2 тгЛ/(л' °)
такая, что
">.М-рь..ъ ?2) =
- sup »-'[ /<**[>'*< J \f(y + x)-Pbs,K(y,x,v)\rdy
0<o<1 \?! L V<0)
<C\\f\\.t ,, 'D9)
где HflLi._ определяется равенством (9), / fc@) = {у: | у, |<
ftp (с') »
< t/1' (' —1» 2)}, С — константа, не зависящая от f.
*) Напомним, что нормы в пространствах 3?^ ' s и 2?т\р s
отличаются лишь первыми слагаемыми. В первом случае это слагаемое состоит
из II / Пр. а во втором — из Ц / ||г.

460 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ 1ГЛ. VI
Прежде всего отметим, что, поскольку функция f <=
е= WHlp (??) =» Нр {Е% она имеет всевозможные обобщенные
производные Dnf е LP(E2), характеризуемые векторами а =
= (а,, а2), удовлетворяющими условию -^- + -г?-==а1Я,1 -)-а2Я2<1.
1 2
Положим ll=ll-\-sl, lx—целое, 0<s,^l. Каждому
целому i, О^г'^^1, приведем в соответствие наибольшее целое
неотрицательное число at такое, что iX{ -f- «А2 < 1
(следовательно, /Я, + («; + 1)^2^ !)• Таким образом, вектор (г, а,) е= 31,
(см. F)).
Представим функцию f(x) по формуле Тейлора по
переменной *,, которую запишем в виде
'г i
f (*i + уь х2 + у2) = J ?>'*' / (*„ x2 + у2) Ц- + /? (у, х), E0)
R(y, х)= ' f (^-//'"'[A^OD^'f^i, *2 + </2)R E1)
Формула E0) справедлива при почти всех у2 на любом
конечном промежутке изменения у{ *).
Каждую производную, входящую под знак суммы в
правой части E0), снова представим по формуле Тейлора по
переменной х2\
Die<f (*„ х2 + у2) = JDlet+ke'f (*„ х2)~ + Ri0/2, х), E2)
fc=0
&@2. Jc) == 7S7^rT)f J (f2 — О"» [Д (tea) D,et+a'e»f (jc„ x2)]dt. E3)
0
Полагая теперь
i=0 fe=0
получим на основании E0) — E3) следующее равенство,
справедливое для почти всех х е Е2 и всех у:
Гц
f{x + y) — Pbs,h(y> x)='EtclR{(y, x) + R(y, х), E4)
s i=0
*) Вопрос о представлении функции класса Н1 формулой Тейлора
подробно рассмотрен в книге [9] С. М. Никольского (см. 4.4).

§28] ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Xr'tP'i03 (О) 461
где
Ri(y,.x) — y\Rt{yit х).
Функция Ръч,к(у\ х), очевидно, является функцией
требуемого вида. Относительно у она является полиномом,
содержащим (по самому построению) степени у\у2, характеризуемые
неравенством
гА,, + &;Ц< max (/, K) = bs.
I/, М<1 ¦
Покажем теперь, что для разности / — Рь л справедливо
неравенство D9).
Из формулы E4) следует, что
NllW-Pb,.* ?2)< JJ^:P(^> E^ + CN^iR, ?2)- E5)
Все слагаемые правой части этого неравенства оцениваются
одинаково. Мы оценим одно из них, например последнее. На
основании E1) для любого г, l^r^p, имеем
J \R(y, x)\rdy^
I .(О)
. «л
^Co^tf'-1»»- j* dy[ j \b(tei)DJ'«f{xlt x2 + y)\dt\ <
/ , @) \_0Я.,
vx
<C2o^.'-*. J dy j \A(tel)D7^f(xl,x2 + y2)\rdt.
Отсюда, замечая, что r^.p, и применяя обобщенное
неравенство Минковского, получаем
Vim J \R(y, .)Uy
P. Л2
о*.
<C30A''' ' r [ \ dy JlA(/ei)?>r'e'flC.?,dM <
./,@1 _0Я,,
л,г,—-—
<C4o^> sup |A(fe,)D7'"f||p. ?2<C4u' sup Г5'1л(^)/)^./1р,?г>
0< <<»*¦! 0<<<1

462 НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ (ГЛ. VI
причем последнее неравенство имеет место в силу того, что
0W, ^ 0*.(h+s,)rs, = оч1Г„ = v\r,^ при 0 < t < оЧ
Следовательно,
NKr-l(R, Е2)= sup с-
'v 0<о<1
/V1*1 J \R(y, -)\rdy)r
\ V,0) J
lp, Л2
< C4 sup Г5' IA (fe,) ZO'*f I, P < C41| /1| ,
0<<<1 ftp'^1
Аналогичные оценки имеют другие слагаемые в правой части E5).
Отсюда вытекает неравенство D9). Теорема доказана.
Следствие.
С (?") =. &)'1: ь* (?») = ^ * "° (Е% || f J.X. I, >s (?в)< С ||f ||с, (вЯ),
где параметры I, г, X, bs определяются так же, как в теореме.
Для доказательства достаточно заметить, что С1 (?")<=*.
Замечание. Теорема 28.3.4 показывает, что
характеристика дифференциально-разностных свойств функций из
пространств <?*' * bs (G), данная теоремой 28.3.3 (см. также
замечание к ней), при bs < а ^ bs+\ является точной. Естественно,
встает вопрос о том, какого типа обратные результаты к
теореме 24.3.3 имеют место в других случаях.
Можно показать, что при любом е > 0 имеет место вложение
fl^e(^=-^ib' A<е<оо),
где 1 «SCrsglmMp, 0), К = -j-, Ь,= max (/, X).
(/. Я)<1
В том случае, когда координаты вектора I таковы, что не
существует / е ?, для которого (/', —1= 1 (на гиперплоскости
(j, y) — 1 нет точек с целочисленными координатами), можно
считать е равным нулю, т. е.
В1„. »{Еа)<=~ &%?$•№.
В этом случае, очевидно, bs < 1 = а < 6s+i.
Следовательно, дифференциально-разностная характеристика
функций из пространств 3?r\l\ls(G), данная теоремой 28.3.3,
является точной при bs <. а < bs+i, а если 0 = оо, то также и
при а = bs+i.

§ 29] МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ОЦЕНКА НОРМЫ РАЗНОСТИ 463
§ 29. Мультипликативная оценка смешанного
интегрального модуля гладкости
Здесь будет установлено мультипликативное неравенство
между нормами смешанных разностей функции в различных Lp-
пространствах.
Для функции f{x), хё?\ вектора h = {hb ..., hn), hi>0,
и мультииндекса <z = (<zi, .,., а„) (с целыми а;^0) обозначим
через A"' [h^ f [х) разность порядка а(. с шагом hi в направлении
координатного вектора е*. а через
Aa(A)f(x) = A?«(ft,)... A°»(AJfW
— смешанную разность. Пусть еще hx — (hxxx, ..., hnxn),
Аа = /г"' ... А"». Будем пользоваться и другими обозначениями,
принятыми в § 16.
29.1. Для формулировки основного результата введем еще
операторы 7\.о. (п^О, 1*?^8г<оо), действующие на функцию
одного переменного по формуле
ГгдФ (А,) = I { | ^ (hit) Iе' Г'Л-1'» '' dt\ &i ,
где signr;=l при rt > 0, sign 0 = 0.
Теорема. Пусть $, у и a{i) — мультииндексы с
неотрицательными компонентами, /=1, ..., N,
N
Кр'Чоо, 0 <>, < 1, Sn/=1.
N
Тогда для f (х) е|") ?,/)(?") справедливо неравенство
/=|
N а,
sup ||A0(A)D7l!,<CA ' ' rriei...rrAIl|Aa (Л> f l„</i, A)
о < ft <ft /=1
где п = — — + \i > 0, гг = 0 при р, = 0, 1 < 0,- <min qk при
Pi Ч[ , k>l
pi < Яь fy — l nPu Pi — li' постоянная С не зависит от f Ц h,>Q,

464
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
В частности, если 1^6^ minqk и pt <qi при 9 > 1, r{> 0),
го
sup lAp(?)Dvfl,<
<«-^"|/.../(nlA-f"(wft^n»r'"-«,f.
I о о \/=i J г=1 j
В частности, при у = 0, </ = р
sup |Лр(А)/||,<сГ ... f П||ла (MfIp(/) Ц.
Очевидно, неравенство A) достаточно установить лишь для
функций / (х) е С™ (Еп); только такие функции будут в
дальнейшем рассматриваться.
Мультипликативным неравенствам, связывающим
интегральные нормы различных смешанных разностей функции,
посвящены работы С. М. Никольского, П. И. Лизоркина и С. М.
Никольского, Грисварда, Т. И. Аманова, А. П. Унинского, К. К-
Головкина, А. Д. Джабраилова, О. В. Бесова и А. Д. Джабраи-
лова. В них, однако, выводятся оценки тех или иных
функционалов от норм смешанных разностей через значения
функционалов от норм других смешанных разностей. Тем самым получены
теоремы вложения для тех или иных функциональных
пространств с разностными характеристиками. В неравенстве же A)
мультипликативная оценка дается для нормы смешанной
разности при любом h. Из нее в качестве следствия может быть
получен ряд оценок для норм функциональных пространств,
характеризуемых поведением интегральных норм смешанных
разностей.
29.2. Замечание. В условиях теоремы 29.1 справедливо
аналогичное неравенству A) неравенство между производными:
. |1>,+71<СЦ1о',",/[!/., /€=Со"(П B)
см. 15A1). При доказательстве теоремы 29.1 мы будем
опираться на это неравенство. С другой стороны, неравенство B)
может быть получено из A) в качестве следствия делением
обеих частей A) на № и предельным переходом при /г->0.
29.3. Прежде чем приступить к доказательству теоремы,
приведем некоторые необходимые для дальнейшего представления
И оценки.

§ 29] МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ОЦЕНКА НОРМЫ РАЗНОСТИ 465
Пусть К\ (t) — характеристическая функция интервала @, 1),
Km+\(t) — {Km * K])(t), tn—l, 2,... По известному свойству
усреднения Стгклова непрерывной функции одного переменного
± { Кх (t) ф (и + Л0 dt = л-'А (Л) Ф (и)
имеем при всех т=1, 2, ..., М — 1:
-jgr J /См@ф(и + л0Л= J ^-и,@л"тД'"(л)ф(и+ ЛОЛ. C)
Рассмотрим следующее представление функции одного
переменного, аналогичное 16A Г):
Ф (и) = (-1)л J Км @ Дм W) Ф (") Л +
+ %ailKM(tL(u + tot)dt, D)
/=i
где Oj — биномиальные коэффициенты. Таким образом, в
некоторых слагаемых правой части D) стоят разности, усредненные
(с параметром ц) по шагу разности, а в других — усреднения
функций с параметрами jr\ (/ = 1, 2, .. . , М).
Возьмем разность A-m(t) от левой и правой частей D). Оценив
разность первого слагаемого правой части суммой и выразив
разность для каждого из последних слагаемых через М-кратный
интеграл от производной порядка М, в силу C), D) получаем:
м м
|Л^(т)ф(«)|<сУ| ||4дМф{« + /т)|й +
/=о о
м м
+ стм 2 (/Ti)-M J | Ам (]г\)ф + |т) | dk.
/=1 о
Так как левая часть последнего неравенства не зависит от ц,
то само неравенство сохранится после замены правой части ее
одГ» ~м\- Получаем окончательно
неравенство
м 1
I АЛ W ф(и) |< с, J] J | Л« (т0 Ф(и + /т) \dt +
/=о о
1 м
+ с, J |1л^(т0ф(« + Ы1^^. E)
о о

466
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
29.4. Лемма. Пусть 1^р<^<сю, rt = ~ hVi&zO,
"i 4i
ri — 0 при 6, = 0, 1 < 0; < min ?& при 1 <рг < qt < то, 8( = 1
в других случаях.
Пусть T°riei = Tr.ol при гi > О, Тов. —тождественный оператор.
Тогда
sup 1 Лр (Я) D*f I < С/ГТ^е, •.. Г°Г|Л 1 Лр (/г) / \\р, F)
й
где верхняя грань берется по множеству h=(hl, ..., hn) при
О < hi ^ /?ь если о > 0. и «pw Яг = /г*, если гг = 0, постоянная С
не зависит от f е Lp и h > 0.
Доказательство. В одномерном случае неравенство F)
получено в 16.6 на основании представления 16A6) и
последующих оценок интегральных операторов. Неравенство F) в
общем случае устанавливается тем же путем. Нужно лишь
одномерное представление применить по каждой из тех
переменных Хи для которых Гг > 0, а затем последовательно оценить
нормы по Х\, по х2 и т. д., используя одномерную оценку F),
если Г{ > 0. Вынесение операторов из-под знаков норм по
Х2, Хз, ... законно в силу обобщенного неравенства Минковского
2A1') и условия 1 -^8, ^Cqj при i < /.
29.5. Доказательство теоремы 29.1. Будем считать
для простоты записи, что все р*> 1; доказательство
незначительно меняется при отказе от этого требования. Пусть f(x)e
s Со° (Еп). Применим представление D) по хх. Затем к каждому
изМ + 1 слагаемых правой части представления применим
одномерное представление D) по х2, затем к каждому из
полученных слагаемых — представление по х3 и т. д. (В общем случае,
когда некоторые из р* = 0, такую суперпозицию представлений
нужно было бы строить только по тем Х{, для которых Pi > 0.)
В итоге получаем следующее представление для f(x):
нх)=2 Sbs'- * f (П км)ЛМе'{hy) f {x+lhye"] dy' G)
где h = (hi, ..., hn), j = (j\, ..., /«), e',e" — проекции
n-мерного вектора e = (l, ..., 1) соответственно на некоторое
координатное подпространство пространства Еп и его ортогональное
дополнение, так чтое' + е" = е, Ъе',\ — числовые коэффициенты.
Оценим теперь норму смешанной разности || ^(h)Dyf \q,
воспользовавшись представлением G), в котором М будем считать
достаточно большим. Поскольку все слагаемые правой части
оцениваются аналогично, проведем оценку лишь одного из них,

§ 29] МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ОЦЕНКА НОРМЫ РАЗНОСТИ 467
именно того, для которого / = 1, первые т компонент вектора е'
равны единице, а остальные нулю, 0^/л^и. Обозначим это
слагаемое через f\(x). Положим еще
р = р'4-Р" = ре' + Ре", р' = (р„ .... рт, 0, ..., 0),
Р" = @, ...,0, рт+1, .... р„), г = (гх г„),
ri = ^r--^-+yi>0, r' = (r„ .... rm, 0, .... 0),
{?'• ?") = (Pi, •.., рт, qm+\, ..., qn).
Выражая разности по последним п — т переменным через
интегралы от производных, с помощью обобщенного неравенства
Минковского получаем при 0 < h ^ h следующую оценку:
F = |AaWDvf1|,<C1Ap*|D,*+'f1|,<
<С2Ае* \ (f[/C, (yd)hMe'(hy)Dv'+%lqdy\ (8)
где
Ы*) = J (П^мЫ^/^ + ^е")^".
En_m\m"+i 7
Оценивая правую часть (8) по лемме 29.4 с г' в качестве г
и учитывая, что при rt > 0, 0 < yt^. 1 Гг^тН^^Х^е^С1*).
получаем
Em\l==l J
КСДГ-'Тгъ ...Trm*J^\h)D^\\p,tr). (9)
Оценивая теперь норму
l^'^fAw h(x) = bMe'(hy)h,
с помощью неравенства B), взяв в нем (р', q") в качестве q
и а(/» = 0 (/ = 1, ..., т; /=1, .... N), получаем из (9) оценку
/^С^'Г^е, ... TrmBmUhMe'(h)Da h\\pu). A0)
Оценивая, наконец, правую часть A0) с помощью C), получаем
Р<С4Г-г-2^/а ^...Г^Ц! **''(*)*" WflW (И)

468
НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
[ГЛ. VI
При этом показатель степени при h в силу условий теоремы
N
равен {5 — ]? ц/а(/>.
В правой части A1) норму разности по последним
переменным можно оценить согласно E) усреднением этой нормы по
шагу разности.
Учитывая еще, чтоМ^а'Д и снижая порядки разностей по
первым т переменным, получаем оценку
F^C^'^'Tr^ ... Tfm0mTWm+l ... Гоей П II batf\h) f [(/>. A2)
Правая часть A2) не уменьшится, если заменить в ней Го9г
на Trfit (i — m-\-\, •••> п)> что следует из неравенства Гель-
дера. Мы получаем тем самым оценку нормы разности одного
слагаемого правой части G). Для других слагаемых, как
отмечалось, оценки выводятся подобным же образом, что приводит
нас к неравенству A), т. е. к утверждению теоремы.
29.6. Замечание. Оценка для |Л13(h)Dvf|[? в случае, когда
при некоторых i 6, = 0, г,- > 0, может быть выведена из оценки
A) либо получена с помощью некоторых видоизменений
доказательства теоремы. Именно, если при 6* = 0 у, ^ 1, то можно
вместо \b?{h)Dyfl оценить ЛГ1 В Ае+"' (Л) ?)v~e*f J^ (где et — i-ti
базисный вектор) по неравенству A), а затем в обеих частях
неравенства перейти к пределу при А*->0, / е Со" (iT). Правая
часть полученного неравенства будет содержать тогда не только
разности, но и производные f по xt.
Если при В,- = 0 > 0, то можно провести доказатель-
Pt Qt
ство, аналогичное доказательству неравенства A), заменив при
этом оператор Trjel на Г^е(, действующий по формуле (п>0):
1
Т?Л* (Ai) = { J 11|> (htt) ft Г r'e'-' dt\ 8' .
Правая часть полученного неравенства также будет
содержать Гг^. К той же оценке в рассматриваемом случае
можно прийти, если предварительно оценить по неравенству A)
||Л( (Л() Л {h)Dyf\q, а затем перейти к пределу при /г,->оо.

§ 29] МУЛЬТИПЛИКАТИВНАЯ ОЦЕНКА НОРМЫ РАЗНОСТИ 469
29.7. Замечание. Имеющиеся в формулировке теоремы
29.1 ограничения 1<р(-»<оо, 1<^<оо вызваны методом
доказательства, точнее говоря, ограничениями, при которых
справедливо мультипликативное неравенство для производных B),
или, что то же, 15A1). Как видно из доказательства
теоремы 29.1, упомянутые ограничения могут быть сняты в той мере,
в какой это возможно для неравенства B). Неравенство же B)
для несмешанных норм и при некоторых других частных
предположениях установлено и в случаях, когда р№, q могут
совпадать с 1 и сю, см. результаты Гальярдо — Ниренберга 15.1 и
В. А. Солонникова 15.8.

ЛИТЕРАТУРА
Агмон (Agmon S.)
1. The coercivness problem for integro-differential forms, J. Anal. Math. 6
A958), 183—223.
Андриенко В. A.
1. О нЛбходимых условиях вложения классов функций Я™, Матем. сб. 78,
№2 A969), 280-300.
Ароншайн (Aronszajn N.)
I. On coercive integro-differential quadratic forms, Conference on Parti
Differential Equations, Univ. of Kansas, Report № 14 A954), 94—106.
Ахметжанов A.
1, Об одном случае в теоремах вложения, Тр. Ин-та матем. и механ. А
Каз. ССР 1 A970), 39—50.
Бабич В. М.
1. К вопросу о теоремах вложения в случае предельного показателя, Вестш
Ленингр. ун-та 19, вып. 4 A956), 186—188.
Бабич В. М., Слободецкий Л. Н.
1. Об ограниченности интеграла Дирихле, ДАН СССР 106, № 4 A956), 604
607.
Бароцци (Barozzi G. С.)
1. Su una generalizzazione degli spazi l}q' X) di Morrey, Ann. Scuola Norn
Sup. di Pisa, ser. Ill, 19, Fasc. IV A965), 609—626.
Бахвалов H. С
1. Теоремы вложения для классов функций с несколькими ограниченными
производными, Вестник Моск. ун-та, сер. I, № 3 A963), 7—16.
Бенедек, Кальдерон, Панцоне (Benedec A., Calderon А. P. and
Panzone,R.)
1. Convolution operators on Banach space valued functions, Proc. Nat. Acad.
Sci. USA 48, № 3 A962), 356—365.
Бенедек и Панцоне (Benedek A. and Panzone R.)
1. The spaces Lp with mixed norm, Duke Math. J. 28, K° 3 A961), 301—324.
Бесов О. В.
1. О некоторых условиях принадлежности к Lv производных периодических
функций, Научн. докл. высшей шк., Физ.-матем. науки 1 A959), 13—17.
2. О некоторых свойствах пространств HKl т1, Изв. вузон 1A4)
A960), 16—23.
3. Исследование одного семейства функциональных пространств в связи с
теоремами вложения и продолжения, Труды МИАН СССР 60 A961),
42—81.
4. Один пример к теории теорем вложения, ДАН СССР 143, № 5 A962),
1014—1016.
б. Продолжение функций из Llp и Wlp, Труды МИАН СССР 89 A967),
5—17.
6. О плотности финитных функций в S?Pi о и распространении функций,
Труды МИАН СССР 89 A967), 18—30.

ЛИТЕРАТУРА
471
7. Об условиях существования классического решения волнового уравнения,
Сиб. матем. жури. 8, № 2 A967), 243—256.
8. О коэрцитивное™ в неизотропном пространстве С. Л. Соболева, Матем.
сб. 73A15), № 4 A967), 585—599.
9. К теории вложения и продолжения классов дифференцируемых функций,
Матем. заметки 1, „4° 2 A967), 235—250.
10. К распространению функций за пределы области с сохранением модуля
гладкости в Lv, Proc. Conf. on Constructive Theory of Functions, Budapest,
1969 A971), 61—67.
11. Оценки производных в смешанной Z-p-норме на области и
распространение функций, Матем. заметки 7, № 2 A970), 147—154.
12. Оценки на областях модулей гладкости функций и теоремы вложения.
Труды МИАМ СССР 117 A972), 22—46.
13. Поведение дифференцируемых функций на негладкой поверхности, Труды
МИАН СССР 117 A972), 3—10.
14. О следах на негладкой поверхности классов дифференцируемых функций,
Труды МИАН СССР 117 A972), 11—21.
15. О росте смешанной производной функции из С '¦ , Матем. заметки 15.
№ 3 A974), 355—362.
16. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения
И продолжения, ДАН СССР 126, № 6 A959), 1163—1165.
Бесов О. В., Ильин В. П.
1. Естественное расширение класса областей в теоремах вложения, Матем. сб.
75A17), № 4 A968), 483—495.
2. Теорема вложения для предельного показателя, Матем. заметки 6, № 2
A969), 129—138.
Бесов О. В., Ильин В. П, Кудрявцев Л. Д., Лизоркин П. И.,
Никольский С. М.
1. Теория вложений классов дифференцируемых функций многих переменных.
Дифференциальные уравнения с частными производными. Ин-т матем. СО
АН СССР, Труды симпозиума, посвященного 60-летию акад. С. Л.
Соболева, М„ «Паука», 1970, 38—63.
Бесов О. В., Ильин В. П., Лизоркин П. И.
1. Z-p-оценки некоторого класса неизотроппо-сингулярных интегралов, ДАН
СССР 169, № 6 A966), 1250—1253.
Бесов О. В., Лизоркин П. И.
1 Сингулярные интегральные операторы и последовательности свёрток в
пространствах Lp, Матем. сб. 73A15), № 1 A967), 65—88.
Боман (Boman J.)
1, Supremum norm estimates for partial derivatives of functions of several
variables. Illinois J. of Math. 16, № 2 A972), 203—216.
Бpудный Ю. A.
1. Пространства, определяемые с помощью локальных приближений, Труды
Моск. матем. общества 24 A971), 69—132.
Брудный Ю. А., Шалашов В. К.
1. Липшицевы пространства функций, ДАН СССР 197, № 1 A971), 18—20.
Бугров Я. С.
1. Функциональные пространства со смешанной нормой, Изв. АН СССР, сер.
матем. 35, № 5 A971), 1137—1158.
Буренков В. И.
1. Теоремы вложения и продолжения для классов дифференцируемых функций
многих переменных, заданных во всем пространетве. Итоги науки.
Математический анализ, 1965, М., Изд-во ВИНИТИ АН СССР, 1966, 71—155.
2. Об аддитивности классов W^ (й), Труды МИАН СССР 89 A967), 31—55
3 Об аддитивности пространств Wrp и Вг„ и о теоремах вложения для
областей общего вида, Труды МИДН СССР 1Q5 A969), 30—45-

472
ЛИТЕРАТУРА
4. О приближении функций из пространства Cr(Q) финитными функциями
для произвольного открытого множества Q, Труды МИАН СССР 117
A972), 62—74.
5. О приближении функций из пространств Соболева финитными функциями
в случае произвольного открытого множества, ДАН СССР 202, № 2 A972),
259—262.
6. О плотности бесконечно дифференцируемых функций в пространствах
Соболева для произвольного открытого множества, Труды МИАН СССР 131
A974), 39—50.
Ван-дер-Варден
1. Современная алгебра, ч. 2, М.—Л., Гостехиздат, 1947.
Галахов М. А.
1. О суммируемых областях, Труды МИАН СССР 89 A967), 69.
Гальярдо (Gagliardo Е.)
1. Caratterizzazione delle trace sulla frontiera relative ad alcune classi di
funzioni in n variabili, Rend. Sem. Matem. univ. di Padova 27 A957).
2. Proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili, Ricerche di Mat. 7,
№ 1 A958), 102—137. Русский перевод: Математика 5:4 A961), 87—116.
3. Ulterori proprieta di alcune classi di funzioni in piu variabili, Ricerche di
Mat. 8, A959), 24—51.
Геронимус Я. Л.
1 О некоторых свойствах функции класса Lp, Изв. вузов 1B) A958), 24—32.
Глобенко И. Г.
1. Некоторые вопросы теории вложения для областей с особенностями на
границе, Матем. сб. 57(99): 2 A962), 201—224.
Головкин К. К
1. К теоремам вложения, ДАН СССР 134, Кз 1 (I960), 19—22.
2. Два класса неравенств для достаточно гладких функций п переменных
ДАН СССР 138, № 1 A961), 22—25.
3. Об эквивалентных нормировках дробных пространств, Труды МИЛН
СССР 66 A962), 364-383.
4. О невозможности некоторых неравенств между функциональными
нормами, Труды МИАН СССР 70 A964), 5—25
5. О приближении функций в произвольных нормах, Труды МИАН СССР
70 A964), 26—37.
6. Теоремы вложения для дробных пространств, Труды МИАН СССР 70
A964), 38—46.
7. Некоторые неравенства между нормами смешанных производных функций
многих переменных, ДАН СССР 159, № 5 A964), 965—967.
8. Об одном обобщении интерполяционной теоремы Марцинкевнча, Труды
МИАН СССР 102 A967), 5-28.
9. Параметрически нормированные пространства и нормированные массивы,
Труды МИАН СССР 106 A969), 1—135.
10. О приближении функций класса Wlp(Q), Труды МИЛН СССР 92 A966).
Головкин К. К., Солонников В. А.
1. Теоремы вложения для дробных пространств, ДАН СССР 143, № 4 A962).
Гординг (Garding L.)
1. Dirichlet's problem for linear elliptic partial differential equations, Math.
Scand. 1 A953), 55-72.
Греко (Greco D.)
1. Criteri di compattezza per insieme di funzioni in «n» variabili independent!.
Ricerche di Mat. Napoli 1 A952), 124—144.
Гудиев А. X.
1. Теорема вложения для следа в абстрактных функциях, ДАН СССР 147,
№ 4 A962), 764—767.
Данфорд Н. и Шварц Дж. Т.
1 Линейные операторы. Общая теория, ИЛ, 1962.

ЛИТЕРАТУРА 473
Дени, Лионс (Deny J., Lions J. L.)
1. Lcs espaces du type de Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier 5 A953- 1954), 305—
370.
Джабpаилов А. Д.
1. Исследование дифференциально-разностных свойств функций,
определенных на я-мерной области, Докторская диссертация, Баку, 1971.
ДжафаровА. С.
1 О некоторых свойствах функций многих переменных, ДАН Азерб. ССР,
№ 7 A958), 499—503.
2. Теоремы вложения для обобщенных классов С. М. Никольского, Учен,
записки Азерб. ун-та, сер. физ.-матем. наук, Кя 2 A963), 45—49.
Джоунс (Jones F.)
1. A class of singular integrals, Amer. J. Math. 86, № 2 A964), 441—462.
Зигмунд A.
1 Тригонометрические ряды, т. I, т. II, M., «Мир», 1965.
Зигмунд, Кальдерон (Calderon А. P. and Zygmund А.)
1. On the existence of certain singular integrals, Acta Math. 88 A952), 85—139.
2. A note on local properties of solutions of elliptic differential equations, Proc.
Nat. Acad. Sci. USA 46 A960), 1385—1389.
3. Local properties of solutions of elliptic partial differential equations, Studia
Math. 20, Fasc. 2 A961), 171—225.
Иессен, Марцинкевич, Зигмунд (Jessen В., Marcinkiewicz J.,
Zygmund A.)
1. Note on the differentiability of multiple integrals, Fundamenta Math. 25
A935), 217—234.
Ильин В. П.
1. О теореме вложения для предельного показателя, ДАН СССР 96, № 5
A954), 905—908.
2. Некоторые неравенства в функциональных пространствах и их
применение к исследованию сходимости вариационных процессов, Труды МИАН
СССР 53 A959), 64—127.
3. Об одной теореме Г. X. Харди и Дж. Е. Литтльвуда, Труды МИАН
СССР 53 A959), 128—144.
4. К. теоремам вложения, Труды МИАН СССР 53 A959), 359—386.
5. Об аппроксимации функций из пространств Wy (D) и Wy (D) непрерывно
дифференцируемыми функциями. Труды МИАН СССР 64 A961), 61—78.
6. Свойства некоторых классов дифференцируемых функций многих
переменных, заданных в гс-мерпой области, Труды МИАН СССР 66 A962).
7. О некоторых свойствах классов дифференцируемых функций, заданных в
области, Труды МИАН СССР 84 A965), 93—143.
8. Интегральные представления дифференцируемых функций и их
применение к вопросам продолжения функций классов Wp(G), Сиб. матем. журн.
8, № 3 A967), 573—586.
9. Об условиях справедливости неравенств между Lp-нормами частных
производных функций многих переменных, Труды МИАН СССР 96 A968),
205—242.
10. Некоторые интегральные неравенства и их применение к теоремам
вложения. Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР 18 A970), 101—216.
11. Интегральные представления функций классов Lp{G) и теоремы
вложения, Записки научных семинаров ЛОМИ АН СССР 19 A970), 95—155.
12.0 некоторых свойствах функций из пространств Wp> fl> ч (G), Записки
научных семинаров ЛОМИ АН СССР 23 A971), 33—40. '
13. Функциональные пространства 2?r\pfis (G), Записки научных семинаров
ЛОМИ АН СССР 30 A972), 51— 75.

474
ЛИТЕРАТУРА
14.0 разложении анизотропного пространства W*- "'(О) с помощью
специального проекционного оператора, Сиб. матем. журн. 1.0, № 1 A969),
212-216.
Ильин В. П., Солонников В. А.
1. О некоторых свойствах дифференцируемых функций многих переменных,
Труды МИАН СССР 66 A962), 205—206, Ион, Ниренберг (John F.,
Nireaberg L.)
1. On functions of bounded mean oscillation, Coram. Pure Appl. Math. 14
A961), 415—426.
Казарян Г. Г.
о
1. О плотности гладких финитных функций в Wp (Q), Матем. заметки 2,
№ 1 A967), 45—52.
Кальдерон (Calderon А. Р.)
1. Lebesgue spaces of differentiable functions and distributions, Proc. Sympos.
Pure Math. 4 A961) pp. 33—49.
Кампанато (Campanato S.)
1. Caratterizzazione delle tracce di funzioni appartenenti ad una classe di
Morrey insieme con le loro derivate prime, Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa,
ser. Ill, 15, Fasc. Ill A961), 263—281.
2. Il teorema di immersione di Sobolev per una classe di aparti non dotati della
proprieta di cono, Ricerche di Mat. 11, № 1 A962), 103—122.
3. Proprieta di inclusione per spazi di Morrey, Ricerche di Mat. 12, № 1 A963),
67—86.
4. Proprieta di una famiglia di spazi funzionali, Ann. Scuola Norm. Sup. di
Pisa, ser. Ill, 18, Fasc. I A964), 137—160.
Калугина E. П.
1. Выпуклые функциональные многообразия, диссертация, ЛГУ, 1952.
'2. О классах Я^1 Г"\ ДАН СССР 96 1 A954).
Канторович Л. В.
I. Об интегральных операторах, УМН 11, вып. 2 A956), 3—29.
Канторович Л. В., Акилов Г. П.
1. Функциональный анализ в нормированных пространствах, Физматгиз, 1959.
Колмогоров А. Н.
1. Ober Kompactheit der Functionenmengen bei der Konvergenz im Mittel,
Gott. Nachr. A931), 60—63.
.Кондратов В. И.
1. О некоторых свойствах функций из пространств L?p, ДАН СССР 48 A945).
Кочарли А. Ф.
1. О компактности множеств дифференцируемых функций, заданных в
области, ДАН Азерб. ССР 27, N° И—12 A971), 10—13.
Красносельский М. А., Рутицкий Я. Б.
1. Выпуклые функции и пространства Орлича, Физматгиз, 1958.
Крэ (Kree Р.)
. Sur les multiplicateurs dan FLV, Compt. Rend. Acad. Sci. 260, №. 17 A965).
Кудрявцев Л. Д.
1. Об одном обобщении теоремы С. М. Никольского о компактности классов
дифференцируемых функций, УМН 9, № 1 A954), 111—120.
2. О вариации отображений областей, сб. «Метрические вопросы теории
функций и отображений», вып. 1, Киев, «Наукова думка», 1969, 34—108.
Лизоркин П. И.
1. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование н функциональные
пространства Lrp(En). Теоремы вложения, Матем. сб. 60, № 3 A963), 325—353.
2. Обобщенные гёльдеровы пространства В*г'е и их соотношения с
пространствами Соболева L(rp\ Сиб. матем. журн. 9, № 5 A968), 1127—1152.

ЛИТЕРАТУРА
475
3. Обобщенное лиувиллевское дифференцирование и метод мультипликаторов
в теории вложений классов дифференцируемых функций, Труды МИАН
СССР 105 A969), 89—166.
4. Мультипликаторы интегралов Фурье и оценки сверток в пространствах со
смешанной нормой. Изв. АН СССР, сер. матем. 34, N° 1 A970), 218—247.
5. Граничные свойства функций из «весовых» классов, ДАН СССР 132, № 3
A960), 514—517.
Лизоркин П. И. и Никольский С. М.
1. Компактность множеств дифференцируемых функций, Труды МИАН СССР
105 A969), 168—177.
Льюис (Lewis J. Е.)
1. A class of singular operators, Notices Amer. Math. Soc. 12, № 5 A965), 548.
Mазья В. Г.
1. Классы областей и теоремы вложения функциональных пространств, ДАН
СССР 133, № 3 A960), 527—530.
2. «/?-проводимость» и теоремы вложения некоторых функциональных
пространств в пространство С, ДАН СССР 140, № 2 A961), 299—302.
3. Классы множеств и мер, связанные с теоремами вложения, сб. «Теоремы
вложения и их приложения» (Труды Всесоюзного симпозиума по теоремам
вложения, Баку, 1966), М., «Наука», 1970, 142—159.
Марцинкевич (Marcinkiewicz J.)
1. Sur l'inteprolation d'operateurs, С. R. Acad. Sci. 208 A939), 1272—1273.
Meйepс (Meyers C. N.)
1. Mean oscillation over cubes and Holder continuity, Proc. Amer. Math. Soc.
15 A964), 717—721.
Митягин Б. С.
1. О некоторых свойствах функций двух переменных, Вестник Моск. уи-та,
сер. матем., мех., астр., физ., хим., Кя 5 A959), 137—152.
Михлин С. Г.
1. Сведение сингулярного интегрального уравнения к эквивалентному урав-
нению Фредгольма, ДАН СССР 20, № 2—3 A938), 94—96.
Морри (Morrey С. В.)
1. Multiple integral problems in the calculus of variations and related topics,
Univ. California Publ. 1 A943).
2. Second order elliptic systems of differential equations, Ann. Math. Studies 3,
A954), Princeton Univ. Press.
3. Second order elliptic equations in several variables and Holder continuity,
Math. Zeit. 72, № 2 A959), 146—164.
Нечас (Necas J.)
1, Les methodes directes en theorie des equations elliptiques, Academia Tcheco-.
slovaque des Sciences, Prague, 1967.
Никольский С. M.
1. Неравенства для целых функций конечной степени н их применение в
теории дифференцируемых функций многих переменных, Труды МИАН СССР
38 A951), 244—278.
2. Свойства некоторых классов функций многих переменных на
дифференцируемых многообразиях, Матем. сб. 33G5), № 2 A953), 261—326.
3. Компактность классов Н^1 "' функций многих переменных, Изв.
АН СССР, сер. матем. 20 A956), 611—622.
4. О продолжении функций многих переменных с сохранением
дифференциальных свойств, Матем. сб. 40(82), № 2 A956), 244—268.
5. Граничные свойства функций, определенных на области с угловыми
точками, Матем. сб.: 1 — 40(82) № 3 A956), 303—318; 11 — 44(86), № 1
A957), 127—144; 111—45(87), № 2 A958), 181 — 194.
6. Об одной задаче С. Л. Соболева, Сиб. матем. ж. 3, № 6 A962), 845—851.
7. Об устойчивых граничных значениях дифференцируемых функций многих
переменных, Матем. сб. 61 (ЮЗ), Кя 2 A963), 224—252.

476
ЛИТЕРАТУРА
8. Функции с доминирующей. смешанной производной, удовлетворяющей
кратному условию Гёльдера, Сиб. матем. журн. 4, № 6 A963), 1342—1364.
9. Приближение функций многих неременных и теоремы вложения, М.,
«Наука», 1969.
10. Об одном свойстве классов Ярг|, Annales Universit. Sc. Budapest de
Rolando Eotvosnominatae, sectio math. Ill—IV A960/61), 205—206.
11. О сохранении класса при дифференцируемом отображении, Труды МИЛН
СССР 112 A971), 327—336.
12. Курс математического анализа, т. 1, М., «Наука», 1972.
13. Курс математического анализа, т. II, М., «Паука», 1973.
14. Nonlinear transformations with conservation of differential properties of
functions, ISNM 20 A972), 281—283.
Никольский Ю. С.
1. Поведение на бесконечности функций с заданными Lp дифференциально-
разностными свойствами, Труды МИАН СССР 131 A974), 182—198.
Ниренберг (Nirenberg L.)
1. Estimates and existence of solutions of elliptic equations, Comm. Pure Appl.
Math. 9, № 3 A956), 509—530.
2. On elliptic partial differential equations, Ann. Scuola Norm. Sup. di Pisa,
ser. HI, 13, Fasc. II A959), 115—162.
3. Remarks on strongly elliptic partial differential equations, Comm. Pure
Appl. Math. 8 A955), 648—674.
Орнштейн (Ornstein D.j
1. A non-inequality for differential operators in the Li-norm, Arch. Rat. Mech.
Anal. 2, № 1 A962), 40—49.
Отелбаев M., Ценд Л.
1. К теоремам компактности, Сиб. матем. журн. 13, № 4 A972), 817—822.
Петровский И. Г., Смирнов К. Н.
1. Об условиях равностепенной непрерывности семейств функций, Бюллетень
Моск. ун-та, секция А, вып. 10 A938), 1—15.
Пиконе (Picone М.)
1. Sulla derivazione parziale per serie, Pol.Un.Mat.lt., ser. Ill, 5A950), 24—33.
Пиччинини (Piccinini L.)
1. Su alcune disequaglianze di interpolazione, Atti Accad. Naz. Lincei Rend.,
CI. Sci. Fis., Mat., Natur. 17, Fasc. 3 A967), 341—346.
Портнов В. P.
1. О некоторых интегральных неравенстнах, сб. «Теоремы вложения и их
приложения» (Труды Всесоюзного симпозиума по теоремам вложения,
Баку, 1966), М., «Наука», 1970, 195—203.
2. Об одном проекционном операторе типа С. Л. Соболева, ДАН СССР 189,
№ 2 A969), 258—260.
Похожаев С. И.
1. О собственных функциях уравнения Аи + Xf (и) =¦¦ 0, ДАН СССР 165, № 1
A965), 36—39.
Пуччи (Pucci С.)
1. Compatezza du successione di funzioni e derivabilita delle funzioni limita,
Ann. di Mat. 36 A954), 1—25.
Pеллиx (Rellich F.)
1. Ein Satz iiber mittlere Konvergenz, Gott. Nachr. A930), 30—35.
Решетняк Ю. Г.
1. Некоторые интегральные представления дифференцируемых функций, Сиб.
матем. журн. 12, № 2 A971), 420—432.
Ривьере (Riviere N. М.)
1. Singular integrals and multiplier operators, Arkiv for matematik 9, № 2
A971), 243—278.
Сакс С.
1 Теория интеграла, М., ИЛ, 1949.

ЛИТЕРАТУРА 477
иапогов Н. А.
1. Об одном неравенстве Чебышева, УМН 2 A951), 157—159.
Седов В. Н.
1. О функциях, обращающихся на °° в полином, сб. «Теоремы вложения и их
приложения» (Труды Всесоюзного симпозиума по теоремам вложения,
Баку, 1966), М., «Наука», 1970, 204—212.
Слободецкий Л. Н.
1. Пространства С. Л. Соболева дробного порядка и их приложения к
краевым задачам для дифференциального уравнения в частных производных,
ДАН СССР 118, № 2 A958), 243—246
2. Обобщенные пространства С. Л. Соболева и их приложения к краевым
задачам в частных производных, Уч. зап. Ленингр. пед. ин-та им. А. И.
Герцена 197 A958), 54—112.
3. Оценки решений эллиптических и параболических систем, ДАН СССР 120,
№ 3 A958), 468—471.
4. Оценки в Lp решений эллиптических систем, ДАН СССР 123, № 4 A958),
. 616—619.
Смирнов В. И.
1. Курс высшей математики, т. V, М., Физматгиз, 1959.
Смит (Smith К. Т.)
1. Inequalities for formally positive integro-differential forms, Bull. Amer.
Math. Soc. 67 A961), 368—370.
2. Formulas to represent functions by their derivatives, Math. Ann. 188, № 1
A970), 53—77.
Соболев С. Л.
1. Об одной теореме функционального анализа, Матем. сб. 4D6): 3 A938),
471—497.
2. Некоторые применения функционального анализа в математической
физике, ЛГУ, 1950; Новосибирск, 1962.
3. Плотность финитных функций в пространстве L™, Сиб. матем. журн. 4,
№ 3 A963), 673—682.
Солонников В. А.
1. О некоторых свойствах пространств Ш„ дробного порядка, ДАН СССР
134, № 2 A960), 282—285.
2. Простое доказательство неравенства Харди — Литтлвуда для дробных
интегралов, Вестник Ленингр. ун-та 13, № 3 A962), 190—193.
3. Об оценках п Lp решений эллиптических и параболических систем, Труды
МИАН СССР 102 A967), 137—160.
4. О некоторых неравенствах для функций из классов Wv(Rn), Записки
научных семинаров ЛОМИ АН СССР 27 A972), 194—210.
Спанне (Spanne S.)
1. Some function spaces defined using the mean oscillation over cubes, Ann.
Scuola Norm. Sup. di Pisa, ser. Ill, 19, Fasc. 4 A965), 593—608.
Стампаккья (Stampacchia Q.)
1 g,(P. ^(-spaces and interpolation, Comm. Pure Appl. Math. 17 A964), 293—
' 306.
2. The spaces 8(p> л,), Ш{рЛ) and interpolation, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa,
ser. Ill, 19, Fasc. 3 A965), 443—462.
Стейн (Stein E. M.)
1. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций, М., «Мир»,
1973.
Темиргалиев Н.
1. О связи теорем вложения с равномерной сходимостью кратных рядов
Фурье, Матем. заметки 12, № 2 A972), 139—148.

478 ЛИТЕРАТУРА
Тиман А. Ф.
1. Теория приближения функций действительного переменного, М., Физмат-
гиз, 1960.
Трудингер (Trudinger N. S.)
1. On imbedings into Orlicz spaces and some applications, J. Math. Mech. 17,
№ 5 A967), 473—483.
Тулайков A. H.
1. Zur Kompactheit in Raum Lp fur p — 1, Gott. Nachr. A933), 167—170.
Ульянов П. Л.
1. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье, Матем. сб.
72A14), К» 2 A967), 193—224.
2 О вложении некоторых классов функций, Матем. заметки 1, Mi 4 A967),
405-414.
3. Вложение некоторых классов функций Я™, Изв АН СССР 32 A968),
649—686.
Успенский С. В.
1. Свойства классов Wrp с дробной производной на дифференцируемых
многообразиях, ДАН СССР 132, № 1 A960), 60—62.
2. Теорема о вложении классов С. Л. Соболева Wrp дробного порядка, ДАН
СССР 130, № 5 A960), 992—993.
3. О теоремах вложения для весовых классов, Труды МИАН СССР 60 A961),
282—303.
4. О теоремах вложения для обобщенных классов Wrp Соболева, Снб. матем.
жури. 3, № 3 A962), 418—445.
5. О дифференциальных свойствах решений квазиэллиптических уравнений в
неограниченных областях, ДАН СССР 181, № 3 A968), 562—564.
6. О суммируемости (ограниченности) решений одного класса гипоэллипти-
ческих уравнений в неограниченных областях, ДАН СССР 187, № 5
A969), 998—1001.
7. Дифференциальные свойства решений одного класса уравнений в частных
производных в неограниченных областях, ДАН СССР 196, № 1 A971),
61—64.
8. О следах функций класса И7.1 " Соболева на гладких поверхностях,
Сиб. матем. журн. 13, № 2 A972), 429—451.
Фигуэйредо (Figueiredo D. Q.)
1. The coercivness problem for forms over vector valued functions, Comm.
Pure Appl. Math. 16 A963), 63—94.
Фройд, Кралик (Freud G. und Kralik D.)
1. Ober die Anwendbarkeit des Dirichletschen Prinzips fur den Kreis, Acta
Math. Hung. 7, № 3—4 A956), 411—418.
Xapди Г. Г., Литтльвуд Д. Е., Полиа Г.
1. Неравенства, М„ ИЛ, 1948.
Хёрмандер (Hormander L.)
1. Оценки для операторов, инвариантных относительно сдвига, М., ИЛ, 1962.
Шехтер (Schechter М.)
1. Integral inequalities for partial differential operators and functions
satisfying general boundary conditions, Comm. Pure Appl. Math. 12 A959), 37—66.
Эpлинг (Ehrling Q.) ,
1. On a type of eigenvalue problems for certain elliptic differential operators,
Math. Scandinavica 2 A954), 267—285.
Юдович В. И.
1. О некоторых оценках, связанных с интегральными операторами и
решениями эллиптических уравнений, ДАН СССР 138, № 4 A961), 805—808.

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Арифметическая сумма множеств 70
Вложение пространств 124
Дифференцируемое многообразие 368
Квазинорма 284
Класс Орлича 146
Компактность 409
Конечная разность на множестве 251
Коэрцитивность 158
Лемма о накрытии 46
Липшицево многообразие 327
/-звездная область 93
/-рог 84 , 117 , 119
Х-однородная функция 54
Х-расстояние 54
Х-траекторня 55
Многопараметрическое интегральное
представление 112
Модуль непрерывности 251
Мультипликатор 164
Неравенство Гёльдера 18 , 19
для сумм 19
, обратный результат 19
— Минковского 21
обобщенное 22
— Харди обобщенное 25
— Харди — Литтлвуда 31
— Чебышева 30
— Юнга 24
Непрерывность в целом 14
— относительно сдвига 321
Носитель представления 84
— функции 14
Обобщенная производная 74
Обобщенное гёльдерово пространство
284
Обобщенные сферические координаты
54
Обобщенный дифференциальный
оператор 78
Х-однородная функция 54
Оператор вложения 123
— квазилинейный 41
— сильного, слабого типа 41
Перестановка функции 27 , 28
Плотность гладких функций 314 , 320
- множества 15
- С°° в Lp 72
Wli п 320
Р Р
В1, п 320
р1 рП; е
Z(G) 321
- С" в Lp 73
Wlp 230
*Jo;„i р» 235
^р (°) 325
Полная непрерывность 414
Полнота пространства В а , п
р;р Р
295
--Lp 10
Lp, а, у. 421
- " \ 12
№Р 126 , 128
w р, a, v. 424
Проекционный оператор (многочлен)
93 , 229 , 232

480 Предметный указатель
Пространство Вр_ е 294
-**,' Ле 293
'К' Р";O 317
-С 9
- Н1р 294
~НАрК ...,р" 293
-Ж'^'о -^'о 1 „л 284
" р ¦ Р Р • Р Р
- Lp 8 , 9
_LlocLk)C 15
-Lp, а, и 420
-Zp 11
-^со 14
-^•;;es437 , 439
- wf 125
- Wlp 126 , 128
" <, а. х 424
-#', « 315
Р Р
- Гр 165 , 323
- ЗГШ 184
- VBpo.pi р";е 312
- 1 (G) 320
Равностепенная непрерывность 410
Разложение единицы 120 , 121
Рог, /-рог 84 , 117 , 119
Сепарабельность пространства Lp
Wlp 127 , 129
Симметрично убывающая функция
След функции 148 , 273 , 274 , 328 ,
384
Смешанная Lp -норма 9
— разность 463
Сужение 124
Теорема Банаха — Штейнгауза 16
— вложения 124
— Гальярдо — Ниренберга 237
— Литтлвуда — Пэли 238
— Марцинкевича 41 , 239
— о мультипликаторах 164
Условие внешних локальных сдви
323
— конуса (слабое, сильное) 118
— куба 119
— локальных сдвигов 323
— прямоугольника 119 , 185
— /-рога (слабое, сильное) 118
Финитная функция 14
Функционал типа максимизации 281
— Ж 281
— 3 283
Функция распределения 40
Эквивалентность квазинорм 287
— норм 124 , 159 , 294 , 297 , 313
— функций 11