Н.РЫБКИИ
ПРЯМОЛИНЕЙНАЯ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
£ ' i		.	,	.	 
Й.	УЧЕБНИК
ДЛЯ 9 и 10 КЛАССОВ
,	СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
!
S
шпаа» жпкжхжмааша№яммивавшпамтп»ммя1атаимвм*ш>" 
УЧПЕДГИЗ
1951

а Рыбкин
ПРЯМ0ЛИ11ЕЙНАЯ
ТРИГОНОМЕТРИЯ
УЧЕБНИК
ДЛЯ 9 и 10 КЛАССОВ
СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Утвержден
Министерством просвещения РСФСР
ИЗДАНИЕ ДВАДЦАТЬ ДЕВЯТОВ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
УЧЕБНО-ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
МИНИСТЕРСТВА ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
МОСКВА - WJ1
ВВЕДЕНИЕ.
§ 1.	Предмет тригонометрии. Слово тригонометрия
в переводе с греческого языка означает измерение тре-
угольников. Такое название она получила потому, что
первоначальной задачей этой науки было нахождение спо-
собов вычислять неизвестные элементы треугольников (углы
и стороны) по другим, известным их элементам (решение
треугольников). Эта задача и ныне остаётся одной из основ-
ных задач тригонометрии.
Для установления числовых зависимостей между сторо-
нами и углами треугольника в тригонометрии рассматри-
ваются особые вспомогательные величины, зависящие от
величины угла, называемые тригонометрическими функциями.
Но значение тригонометрических функций не ограничивается
их применением к решению треугольников — они находят
применение во многих других отделах математики, а также
в физике, механике и т. д. В связи с этим изучение триго-
нометрических функций сделалось не менее важной задачей,
чем решение треугольников.
Таким образом, тригонометрия распадается на две части:
гониометрию — учение о свойствах тригонометрических
функций, и тригонометрию в узком смысле слова—учение
о решении треугольников.
Тригонометрия имеет большое применение в практике:
при геодезических работах — определение высот и расстоя-
ний, съёмка планов, триангуляция; в астрономии — определе-
ние высот и азимутов светил, склонения и прямого восхож.
дения, вообще небесных координат, а знание небесных
координат ведёт к вычислению географических координат;
в механике — проектирование силы на' ось, направление
равнодействующей, законы периодического движения;
в машиноведении — расчёт нарезок, зубчатых колёс и т. п.
Возникла тригонометрия в Греции в связи с астрономией;
астрономия в свою, очередь развивалась под влиянием
потребностей мореплавания и земледелия; для безопасности
3
морских путешествий требовалось определять по^звёзд^
правильный курс корабля; для земледелия требовался* точный'
календарь, который могла дать астрономия, основанная на
математике и в частности на тригонометрии.
Автором первых /Тригонометрических таблиц считается
Гиппарх, живший во II в. до нашей эры. Таблицы Гиппарха
содержали длины хорд для различных центральных углов.
За 100 лет до нашей $ры учёныЬ Менелай открыл
основы сферической тригонометрии. Клавдий Птоломей,
знаменитый автор доксперниксвской геоцентрической системы
мира, в своей книге „Syntaxis Mathematica" поместил таблицы
длины хорд круга, радиус которого равен единице. Радиус
он делил на 60 частей, каждую из частей — ещё раз на
60 частей и ещё раз на 'бО частей; эти части назывались
partes minutae primae и partes minutae secundae, откуда
и произошли наши названия: минуты („первые уменьшенные
части*) и секунды („вторые уменьшенные части"). Таблицы
Птоломея содержали величины хорд для центральных углов
1°	1°
в 1°, 1 У, 2°, 2 ~	.
В средние века тригонометрия развивалась в Индии.
Индусы употребляли половину хорды, т. е. линию синуса;
они же ввели косинус. Индусам были известны таблицы
синусов, формула sin2a-|~cos2a= 1 (которую, впрочем, они
писали не с помощью математических символов, а словами)
и приведение синуса и косинуса тупого угла к функциям
острого угла.
В IX и X вв. арабские учёные ввели тангенс и составили
’бЬлее точные таблицы синусов. Развитие тригонометрии
у арабов объясняется тоже потребностями астрономии и
мореплавания, так как арабы вели большую торговлю по
Средиземноморскому побережью.
В Европе первым писателем по тригонометрии был
английский учёный Б р а д в а р д и н (ХШ и XiV вв.). Первый
систематический курс тригонометрии написал в XV в. немец-
кий учёный Иоган Мюллер, писавший под именем Регио-
монтана. В книге „О треугольниках всех видов" он приводит
^решение плоских и сферических треугольников. Региомонтан
Излагает тригонометрию уже как самостоятельную науку,
независимую от астрономии.
С XVI в., после введения Виета буквенных обозначений,
формулы тригонометрии принимают современный характер.
Из других учёных работали в области тригонометрии
Непер (изобретатель логарифмов), Потенот и член Петер-
бургской академии наук гениальный Эйлер. Эйлера можно
считать основателем современного учения о тригонометри-
ческих функциях.
§ 2.	Понятие о функции. Существуют переменные вели-
чины, связанные между собою так, что каждому значению
одной из. них соответствует определённое значение
другой. Таковы, например, переменные величины у и х
в следующих равенствах:
у = y = x*;y=i/rx и т. д.,
таковы же: сторона квадрата и. его площадь, радиус шара
и его объём и т. д.
Переменная величина, значения которой соответст-
вуют значениям другой переменной величины, называется
функцией этой второй велйчины. Так, например, можно
сказать, что площадь круга есть функция его радиуса;
действительно* с изменением длины радиуса изменяется
и площадь круга, и при этом каждому значению радиуса
.со-ответствует определённое значение площади круга
(и наоборот: радиус круга мы назовём функцией его пло-
щади, если будем назначать Площадь и по ней определять
радиус).
Та величина, в зависимости от которой изменяется функ-
ция, называется аргументом функции. Так, если равен-
ство у = х3 служит для спределения у по данному х, то х
есть аргумент, а у — функция; также в равенстве y=lg2V
имеем: N есть аргумент, у — функция.
§ 3.	Измерение дуг и углов. Как известно из геометрий,
угЛы измеряются с помощью дуг.
Если дуга служит для измерения угла, то её выражают
или в долях окружности, или в долях радиуса1).
Первый способ даёт для дуги и угла градусное выра-
жение, известное из геометрии.
Второй способ состоит в том, что дугу выражают числом,
показывающим её отношение к радиусу; если, нгпри-
мер, сказано: „величина дуги равна 2,43“, то это значит,
что выпрямленная дуга содержит 2,43 радиуса; полуокруж-
*) Первый способ нагляднее и применяется в практических
измерениях (на угломерных инструментах), второй предпочитает
в теоретических вопросах.	• *
5
ность по этому способу измеряется отношением тс/?: /?, т. е.
''	те
числом тс, а четверть окружности — числом у и т. п.
Такое измерение дуги мы будем называть радианным.
Чтобы при этом способе центральный угол измерялся
тем же числом, что и его дуга, надо, чтобы угловая единица
соответствовала дуге, длина которой равна радиусу. Такая
угловая единица называется радианом.
Таким образом, мы можем сказать: радианная мера угла
есть его отношение к радиану; например, выражение «угол,
3	3
равный у тс“ понимается как «угол, равный у тс радианов*.
Так как в длине окружности радиус содержится 2тс раз,
то градусная мера радиана (и дуги, равной радиусу) есть
это равно 57°17'44,8" (с точностью до 0,05").
Полезно запомнить ещё следующее. Радианная мера всей
окружности есть 2тс/?: /?, т. е. число 2тс, а её градусная
мера есть 360°; отсюда получаются следующие соответствия:
360°	180°	90°	270°	^60°	45°	30°	18°
2тс	те	те *2	Зте 2“	со] я	те т	те “6	тс Тб
Выведем теперь формулы для перехода от гра-
дусной меры к радианной и обратно.
Обозначим градусную меру какой-нибудь дуги или угла
через а, а радианную — через а. Так как градусная мера
полной окружности есть 360°, а радианная 2®, то получим
пропорцию:	а 	 а	а 	 а ф 360°	2®’ ИЛИШГ ТГ ’
отсюда:	а==тс'18б°
и	а = 180°.-~.	(2)
6
Пример. Найти радианную меру угла 67э30\
По формуле (1), заменяя а через 67°30', найдем:
_	67° 30'_3
Х— * 180° — 8
если же подставить сюда приближённое значение тс, равное
3,14159, то получим х— 1,17810, с точностью до половины
одной стотысячной.
Без применения формулы можно получить х из следую-
щих соответствий:
360°...2гс; 1°...^; 67°30'= 67,5°...
□□и
2те 1	3
• • • 3(50 ‘ 67 2 — 8
§ За. Длина дуги. Если обозначить через г радиус
окружности, через I — длину дуги, а через а — радианную
меру соответствующего центддльного угла, то согласно
определению радианной меры получим:
Z	г
а = у, откуда 1=га,
т. е. длина дуги равна радиусу, умноженному на радиан-
нук> меру дуги.
Эта формула часто употребляется в физике *и телике.
Для вычислений, связанных с радианной мерой, следует
пользоваться таблицами для перевода градусов в радианы
и обратно. (В таблицах Брадиса — таблица VIII, в таблицах
Пржевальского — XI.)
О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЯХ.
(ГОНИОМЕТРИЯ.)
I. Тригонометрические функции острого угла.
§ 4. Названия и обозначения. Тригонометрические
функции угла следующие: синус, косинус, тангенс,
котангес, секанс, косеканс,
Они имеют следующие обозначения: sin, cos, tg, ctg,
sec, cosec. При этом рядом co знаком функции записывается
7
значение аргумента (угла), которому соответствует рассма-
триваемое значение функции, так что, например, синус угла а
пишется: sin а.
§ 5. Определение тригонометрических функций острого
угла. Возьмём какой нибудь острый угол а и сделаем его
центральным, — для этого проведём окружность произволь-
ного радиуса, приняв вершину угла за центр окружности.
Длину радиуса обозначим через /?. Чтобы различать между
собой радиусы, образующие угол,
будем представлять себе, что при
изменении утла а (черт. 1) радиус
ОА сохраняет своё положение, а
радиус ОВ вращается; в этом смысле
будем назьпать радиус ОВ по-
движным радиусом угла, а радиус
О А неподвижным. Обращаясь
теперь к определениям тригоно-
метрических функций, скажем сна-
чала вообще, что они представляют
радиусу особых линий в круге, про-
угла как для центрального. Для постро-
к
собой отношения
водимых для данного
ения этих линий, креме дуги АВ, пользуются ещё её про-
должением и радиусом ОМ, проведённым под прямым
углом к О А.
Определения тригонометрических линий и функций для
острого угла следующие:
1)	Перпендикуляр (ВС), опущенный из конца подвижного
радиуса на неподвижный, называется линией синуса,
а отношение этой линии к радиусу есть синус данного
/ • ВС\
угла I sin а =
2)	Перпендикуляр (ОС) из центра на линию синуса
называется линией косинуса, а отношение этой линии
/ ОС\
к радиусу есть косинус данного угла (cos а =
3)	Отрезок касательной (AD), проведённой из конца
неподвижного радиуса до встречи с продолжением подвиж-
ного радиуса, называется линией тангенса, а её отноше-
Л AD\
ние к радиусу есть тангенс данного угла (tga=-^-j
4)	Отрезок касательной (ME), проведённой из конца
радиуса, перпендикулярного к неподвижному, до встречи
8
с продолжением подвижного радиуса, называется линией
котангенса, а её отношение к радиусу есть котангенс
f 4. ' МЕ\
данного угла (ctg а = —].
5)	Расстояние (OD) от центра до конца линии тангенса
называется линией секанса, а отношение этой линии
/	OD\
к радиусу есть секанс данного угла (seca=—
\	** /
6)	Расстояние (ОЕ) от центра до конца лйнии котангенса
называется линией косеканса, а отношение этой линии
/	ОЕ\
«радиусу есть косеканс данного угла coseca = -H~).
\ /
Так, например, если радиус равен 9 см, а линия синуса
2
равна 6 см, то для синуса получим число
§	6. Теорема. Значения тригонометрических функций
9ависят только от величины угла и не зависят от радиуса
круга, в котором рассматривается угол.
Пусть на чертежах 2 и 3 углы АОВ и АХОХВХ равны
данному углу а, а радиусы ОА и ОХАХ дуг АВ и не
равны. Нам нужно доказать, что одноимённые функции
углов АОВ и AiOlBt равны.
Значения тригонометрических функций при радиусе R
обозначим через sin a, cos а, ...» а при радиусе
через sinf a, cos, а, ... ; требуется доказать, что sinA а = sin а,
cosxa = cos« и т. д.
9
Доказательство. Треугольники	OiDlAl
и OiMiE1 соответственно подобны треугольникам ОВС,
ODA и ОМЕ; поэтому:
BiCt _ ВС О±С\ ОС A^Di ___ АО
-RT~~R> 7>Г —7Г’ ~rT~'r
и т. д., т. е. sin1a = sina, cos1a = cosa, tg1a = tga и т. д.
Итак, для одного и того же угла тригонометрическая
функция при всяком радиусе имеет одно и то же значение.
§ 7.	В предыдущем параграфе было доказано, что с изме-
нением длины радиуса тригонометрические функции данного
угла це меняются; но если мы изменим величину угла, то,
как видно по чертежу, каждая из тригонометрических функ-
ций изменит своё значение.
§ 8.	Так как центральный угол и его дуга выражаются
одним и тем же числом, то тригонометрические функции
угла суть в то же самое время и тригонометрические функ-
ции дуги, понимая под словом
дуга её градусную, или радиан-
ную, меру. Ввиду этого мы будем иногда, для удобства,
вместо углов пользоваться дугами; иногда же будем рас-
сматривать угол и дугу под общим названием аргумент.
§ 9.	Изменение тригонометрических функций с измене-
нием угла от 0° до 90°. Если на чертеже 4 угол а будет
возрастать от 0° до 90°, то отношения	и 0^-
будут увеличиваться, а отношения	и
R К R
будут уменьшаться (на черт. 5 показано изменение синуса
и косинуса); таким образом, с возрастанием острого угла
10
его синус, тангенс и секанс возрастают, а косинус, котангенс
и косеканс убывают. Когда угол а достигает 90°, то
обращается в
, ОС п AD ME п OD
1, -н- в 0, -g- воо, —g- в 0, -g- в оо
'V	К	/\	*х
ОЕ
и
в 1; таким образом:
sin 90° = 1, cos 90° = 0, tg 90° = оо, сtg 90° = 0,
sec90°=oo и cosec 90° = 1.
Г*Г	АЛО АО ВС AD	OD
При уменьшении угла х от 90 до 0 -к-, и
К	К	к
.	ОС ME ОЕ	„	л
убывают, а	и -н- возрастают. Если угол а обра-
щается в нуль, то обращается в 0, в 1, 4г в 0,
к	к к
ME	OD	. ОЕ	*
в оо, -ту- в 1 и ‘о- в оо; таким образом:
К	К	ix
sin0° = ©, cosO°=l, tgO° = O, ctgO° = oo,
sec 0° = 1 и cosec 0° = oo.
Равенства, содержащие знак бесконечности (оо), надо ‘
понимать условно; так, равенство tg90° = oo имеет лишь
тот смысл, что с приближением угла к 90° тангенс неогра-
ниченно возрастает.
Итак, если а возрастает от 0° до 90°, то
sin а возрастает от 0 до 1; ctg а убывает от оо до 0;
cos а убывает от 1 до 0; sec а возрастает от 1 до оо;
tga возрастает от 0 до оо; cosec а убывает of оо др 1.
Так как 0° и 90° суть крайние значения острого угла,
то полученный вывод показывает также, какие значения
вообще способна принимать каждая из тригонометрических
функций острого угла; так, например, мы видим, что число
3 может быть значением тангенса, котангенса, секанса
и косеканса, но не может быть значением ни синуса, ни
косинуса^
"§1 Построение острого угла по данной тригономе-
трической функции. Из § 6 и 9 видно, что каждому значе-
нию угла а соответствует определённое значение каждой из
тригонометрических функций. Но и обратно, каждому зна-
П
чению какой-либо тригонометрической функции соответ-
ствует острый угол определённой величины. Ниже будут
показаны способы построения острого угла по данному зна-
чению одной из его тригонометрических функций. Восполь-
зуемся для этого примерами построения.
Пример 1. Построить угол, зная, что его синус равен
2
•j- (черт. 6).
Решение. Проведя произвольную прямую 04, примем
точку О за центр дуги,
О А — за неподвижный радиус
искомого угла и опишем этим
радиусом дугу АВ, Чтобы
.	2
синус был равен у, конец
дуги АВ должен быть удалён
от ОА на расстояние, которое
относилось бы к радиусу, как
2: 3. Поэтому поступаем так:
восставив перпендикуляр ОМ>
2
равный у ОА> проведём из
точки М параллель к ОА и
точку В её пересечения с дутой АВ соединим с центром
2
: 3 •
так
мы получим треугольник,
а
дуги О; угол АОВ есть искомый, так как sin ЛОВ =
Заметим, что этот угол не зависит от длины радиуса,
как при всяком другом радиусе
подобный треугольнику ОВС, и,
следовательно,
же величины.
Пример 2. Построить угол,
если известно,
равен 2 (черт. 7).
Решение. Приняв вершину
прямого угла АОЛ1 за центр, опи-
шем дугу AM произвольного ра-
диуса; пусть Л4 — точка пересе-
чения этой дуги со стороной ОМ прямого угла. Из точки М
проведём касательную ME, равную двум радиусам, и точку Е
соединим с центром; угол АОВ есть искомый, так как
ctg ДОЯ = -’£=2.? = 2.
К к
с углами такой
что его котангенс
12
Пример 3. Построить угол, секанс которого равен j
Решение. Опишем какую-нибудь дугу AD (чертЛ 8)
и, приняв один из её радиусов (ОА) за Неподвижный, про-
ведём иа его конца касательную. Так	с
> 4	/К.
как секанс равен то конец касатель-	д/ \
4	/ \ Ч
ной должен отстоять от центра на	/	\	\
'	s \ V
радиуса. Чтобы достигнуть этого, возь- у	\	|
4	-ZxS______________I,
мём отрезок ОЕ> равный — О А, и они- О	А Е
„ '	6	Черт. 8.
шем дугу ЕС радиусом ОЕ с центром
в О до пересечения с касательной АС. Точку пересечения С
дуги ЕС с касательной АС соединяем с О; угол АОС будет
искомый. Как и в двух предыдущих
примерах, результат не зависит от
длины, радиуса.
Предлагаем теперь самому учаще-
муся сделать построения острыхуглов
3
по следующим данным: cosx = -y,
tgx = y и cosesх = 2.
§ 11. Итак, для каждого значения
тригонометрической функции ,полу-
чается определённый острый угол, а раньше мы видели,
что каждому_ углу соответствует определённое значение
тригонометрической функции. Таким образом, можно сказать,
что острый угол и его тригонометрическая функция
егроме определяют друг друга.
12. Зависимость между тригонометрическими функ-
циями одного и того же угла. Между тригонометрическими
функциями одного и того же угла легко обнаружить весьма
простые зависимости (черт. 9).
1)	Из прямоугольного треугольника ОВС имеем:
ВС24-ОС2 = ОВ*.
Разделив здесь обе части на /?2, получим:
. (ОС\*_(ОВ\*
, я) ) ~\к) >
13
или:
sin2 а-|-cosa а = 1.
2)	Из подобия треугольников ODA и ОВС имеем:
AD ВС
ОА~ ОС'
(»
отсюда, заменяя ОА через R и разделив на R оба члена
второго отношения, найдем:
или:
. sin а
tga =--------
* cos а
(II)
3)	Из подобия треугольников ЕОМ и ОВС находим:
/ОС\
ME ОС	ME \R )
OM~~.BC’ 0ТКуда я — (всу
или:
ctga=-^—.	(Ill)
°	sin a	J
4)	Из подобия треугольников ODA и ОВС находим:
/О£\
OD ОВ	OD \ R)
О А ~~ ОС’ отсюда # — {ОС} •
или:
откуда:
(1V1
sec a • cosa= L
14
Q) Из подобия треугольников ЕОМ и ОВС имеем;
/05'
ОЕ OB	ОЕ \R )
ОМ~~ВС' 0ТКуда R—(BC\'
W
или:
cosec а = —,
sin а 9
откуда:
cosec а • sina=^l.	(V)
§13. Между тригонометрическими функциями
одного и того же угла существуют только пять
независимых соотношений. Чтобы убедиться в этом,
начнём с построения.
Действительно, достаточно знать значение одной функции, чтобы
построить угол (§ 10), а полученный угол определит собой значения
остальных пяти функций; таким образом, если известно значение
одной функции, то по нему можно найти значения остальных пяти.
Но для определения пяти неизвестных мы должны иметь и пять
уравнений, независимых друг от друга. Если бы таких уравнений
было шесть, то для всех шести функций получились бы определён-
ные постоянные значения, между тем как они изменяются вместе
с изменением угла.
§ 14* Кроме пяти основных формул, полученных
в § 12 полезно запомнить ещё следующий три, которые
можно уже вывести из основных.
" 1) Перемножая соответственные части равенств (II) и
(III), будем иметь:
tg а • ctg а = 1.	(VI)
2) Деля равенство (I) на cos2 а и применяя формулы
(II) и (IV), получим (если переставим слагаемые левой
части):
1 tg2 а = sec2 а.	(VII)
3) Деля равенство (I) на sin2 а и применяя формулы (III)
и (V), найдём:
1 ctg2 а = cosec2 а.	(VIII)
Замечание 1. Формула (VI) может быть получена непосред-
ственно из подобия треугольников OAD и а формулы (VII)
и (VIII) — при помощи теоремы Пифагора из тех же треугольников.
Замечание 2. Заметим для памяти, что в обычном ряде синус,
косинус, тангенс, котангенс, секанс и косеканс функции, равноуда-
15
ленные от концов этого ряда, дают в произведении единицу (см.
формулы (IV), (V) и (Vl)|.
Основными функциями мы будем считать сипус, косинус и
ташенс, а остальные три но величине обратны им:
4 11 1
Ctga== —, бсса =-- cosec а =В--—
* tga’	cos а «	sin а
С помощью формул, полученных в § 12 и 14,
легко, зная значение одной функции некоторого угла, найти
значения всех остальных функций этого угла. Так, например,
если tga = -p то будем иметь последовательно:
1	4
tga.ctga=l;	ctga = —;	ctga =	-;
бес’ a = 1 -|- tg9 a;	sec’a = ^;	seca = '|-;
1	4
seca*ccsa=l;	cosa =-----;	cosa = -=-;
9	sec a’	59
sin a .	,	.	,	3
cosa~tga; sin a = tga >cosa; slna = y;
,	1	5
cosec a • sin a = 1;	cosec a = -—;	cosec a = t.
9	sin a9	3
С помощью тех же формул можно все функции* какого-
либо угла выразить через одну из них. Например, выражая
все функции угла а через sin а, получим;
/~----г-т- .	sin а
cos а = у 1 — ьнг a; tg а = —======;
у 1 — sin* а
. 1Л 1~ sins а	_____J_____	1
ctga=~-------------; seca = /7:—	cosec а = —,
ь	sin а ' 9	у 1 — sin*а’	6Ша*
I § 16. Из подобия треугольников ОВС, ODA и ЕОМ (черт. 9)
видно, между прочим, что шесть тригонометрических функций
острого угла представляют собой не что иное, как шесть различ-
ных отношений, возможных между сторонами одного прям^голь-
ного треу« ольника, взятыми попарно.
Действительно, из сторон треугольника ОВС можно Оставить
ьс ос . вс ос оВ' ов
следующие шесть отношений:
16
Но, описав дугу АВМ и построив треугольники ODA и EOMt мы
t	„	ВС ОС AD
заменяем указанный ряд отношении следующим: -к- ,	» "о,
А К *\
ME OD ОЕ
"Ъ” и Такая замена представляет значительные преиму-
щества, одно из которых состоит, например, в том, что отношения
Принимают при этом вид дробей, приведённых к общему знамена-
телю, чем рблегчается их сравнение между собой.
§ 17. Зависимость между тригонометрическими функ-
циями дополнительных углов. Дополнительными углами
называют такие два угла, сумма которых равна прямому
углу. Например, дополнительными углами являются углы а
и 90° — а; а и ~ — а; 29° и 64°.
На чертеже 10 построены £* АОВ = а, а также его
ВС	ОС
линии синуса и косинуса, так что sina=-^-; cosa = -^-.
Черт. 10.	Черт. 11.
На чертеже 11 (дуга на черт. 11 имеет тот же радиус,
как и на черт. 10) построены £ ЛОР=90°— а и его ли-
PN
нии синуса и косинуса, так что sin (90° — =
cos (90° — а) = ^.
Так как треугольники ОВС и N0P равны, то NP=0C‘,
ON=BC, а следовательно:
sin (90° — а) = cos а;	(1)
cos (90° — а) = sin а.	(2)
2 Тригонометрия
17
Для остальных функций, чтобы не осложнять чертежа
новыми линиями, получим аналогичные формулы из формул
(1) и (2) и формул § 12.
4. /лло \ sin (90° — a) cos а .
tg (90° — а) — -—— = ctg а;	(3)
ь v 7 cos (90 — а) sin а &	v 7
= = <«>
sec (90° — а) =-------------г = -J— = cosec а; (5)
v 7 cos (90° — а) sin а	’	47
cosec (90° — —	_—- = seca.	(6)
v 7 sin (90й —a) cos a	v 7
Замечаем следующее: для дополнительных углов функ-
ции одного угла соответственно равны сходным *) функ-
циям другого.
Так, tg63° = ctg27°; sec-£- = cosec	т. e.
°	07 b	\ 2	6 ' *
cosec и т. n.
о
§ 18. Другой вывод. Отложлм (черт. 12)	— а иа
построим все его тригонометрические линии. Тогда для £.М0В~
= 90° — а неподвижным радиусом будет ОМ, подвижным ОВ. При-
меняя теперь определения тригонометри-
ческих функций, данных в § 5, найдё.м:
ВС	OF /пло	ч
z sin а = —5- =	= cos (90° — а);
ОС	FB	. п 0	\
cos а = -т- == — — sin (90° — а);
J\
АО
tga = -7r=ctg(so°—а);
ctg а = ^"== tg (90° — “)•
§ 19. Примеры вычисления значений тригонометриче-
ских функций данного угла. Не касаясь общего приёма,
разберём здесь несколько случаев, легко решаемых с по-
мощью геометрии.
1)	Дан угол в 30° (черт.* 13). Вычислим значения
тригонометрических функций этого угла.
*) Т. е. сходным по названию.
18
Дополнив линию синуса до хорды, получим сторону
правильного вписанного шестиугольника; она равна радиусу»
Таким образом,
и, следовательно,
sin 30° = 1.
Остальные пять функций найдём пб формулам (I), (II), (III):
cos30”= /1 -.m<30»=lpAg30’=^g=i
^30°=жда(™"^) = ,<3-
2)	Дан угол в 60° /у к Дополнив линию синуса до
хорды, получим сторону правильного вписанного треуголь-
ника; она равна а3 = /?}/3, где
/?—радиус круга. Следовательно:
далее, поступая, как и в первом
примере, найдём:
cos60° = l tg60°=/3, ctg60°=-L.
z	1/ о
3)	Возьмём угол в 45° Применяя формулы § 17,
будем иметь: sin 45° = cos 45°, tg 45° = etg 45°. Если
sin 45° = cos 45°, то
tg45°=SS=1>
1»
а следовательно, и ctg 45°= 1. Далее получим:
Sin 45° —---~-Q — —r======z----7Z= ,
cosec 4э°	1 + ctg2 а У 2
._o 1
а следовательно, и cos45 =~—.
V 2
4)	Если угол равен 18°	, то линия синуса равна
половине стороны правильного вписанного десятиугольника,
а так как сторона десятиугольника равна у у 5— 1), то
\
линия синуса будет равна у 5—lj, и потому sin 18° —
=5(1/5-1).
§ 20. Зависимость между сторонами и углами в пря-
моугольном треугольнике. Покажем теперь, как посред-
ством тригонометрических функций уста-
навливается зависимость между сто-
ронами и углами прямоугольного тре-
угольника.
Условимся скачала об обозначениях,
будем обозначать длину сторон тре-
угольника буквами а, b и с, а величину
противолежащих им углов соответственно
буквами А, В и С; принтом будем пред-
полагать, что все стороны измерены одной
и той же единицей. В прямоугольном треугольнике прямой
угол будем обозначать буквой С.
Обратимся теперь к выводу формул.
I. Описав (черт. 14) радиусом с дугу BD, будем иметь
по § 5:
7 =sin А	(1)
и
А — собД,	(2)
т. е. отношение катета к гипотенузе есть: 1) синус острого
угла, есчи катет противолежит острому углу, и 2) косинус
острого угла, если катет служит стороной этого угла.
A b С D
Черт. 14.
20
II. Деля равенство (1) на равенство (2), а затем обратно,
найдём:
| =	.	(3)
-^ = ctgA,	(4)
т. е. отношение катетов прямоугольного треугольника есть:
1) тангенс острого угла, если первый катет противолежит
этому острому углу, или 2) котангенс острого угла, если
первый катет служит стороной этого острого угла. *
§ 21JH3 равенства (1) § 20 следует: a = c»sinA, но
sin Л "Можно заменить, по § 17, через cojsZ?, так как
Л 4“^ — 90°; тогда будем иметь: а —с • cos В
Таким образом: катет равен гипотенузе, умноженной
на синус противолежащего катету угла или на косинус
прилежащего.
Из равенства (3) § 20 следует: а = Ь • tg А, а заменяя
tg А через ctg В, получим ещё а = b • ctg В.
' Таким образом: катет равен другому катету, умно-
женному на тангенс угла, противолежащего первому ка-
тету, или на котангенс угла, прилежащего к первому
катету.
С помощью равенства: — = sin А и sin А = cos В полу-
чим:
'	а а
£------ -- ---
sin A cos В*
Таким образом: гипотенуза равна катету, разделён-
ному на синус противолежащего ему угла или на косинус
прилежащего.
§ 22. Примеры, поясняющие решение треугольникрв.
Понятие о таблицах. Для решения треугольников, кроме
тригонометрических формул, необходимо иметь ещё таб-
лицы, чтобы по данному углу находить значение тригоно-
метрической функции этого угла, и обратно, по данному
значению тригонометрической функции находить соответ-
ствующий угол. Наиболее известны „Четырёхзначные мате-
матические таблицы" В. Брадиса и „Пятизначные таблицы"
Е. Пржевальского. В примерах этого параграфа мы будем
пользоваться трёхзначными таблицами, помещёнными в конце
задачника по тригонометрии Рыбкина.
21
Пример L Положим, что в прямоугольном треугольнике
AJ3C дано: AZ? = 5 см и £А = 24°; требуется решить
треугольник, т. е. вычислить ВС, АС и / В,
Решение. Имеем В = 90° — А = 66°. Далее находим по
§ 21 : а = с • sin А = 5 • sin 24° и b — c-cos А = 5 • cos 24°; под-
ставляя теперь из трёхзначной таблицы *) значения для
sin 24° и cos 24°, получим: а = 5 • 0,407 = 2,035 и Ь —
= 5*0,914 = 4,57. Таким образом, ВС= 2,035 см и АС =
= 4,57 см.
Сделаем проверку: а2 = 2,0352 = 4,1412; 62 = 4,572 =
= 20,8849; следовательно, а2-|-£>2 = 25,0261, а должно
быть 25. Это несовпадение объясняется тем, что взятые
нами значения функций были только приближённые.
Пример 2. Положим, что в прямоугольном треугольнике
даны катеты: а =14 и Ь = 15; требуется определить гипо-
тенузу и углы.
а 14
Решение. По § 20 имеем: 1£А = -т- = те I вычислив
это отношение с тремя десятичными знаками, получим
tg А = 0,933; этому значению тангенса в таблице соответ-
ствует угол в 43°; таким образом, А = 43°, а следовательно,
2? = 90° — А = 47°. Найдём теперь гипотенузу, причём сде-
лаем это тригонометрическим способом; по § 21 имеем:
с = ~а—А = .	-; йодставляя из таблицы sin 43°, найдём
sin A sin 43^
с= 14:0,682 = 20,528.
Сделаем проверку; по теореме Пифагора найдём:
с = /14< + 152 = 20,518.
Проверка показывает, что произведённые вычисления не
имеот значительной точности. Чтобы достигнуть большей
точности, надо взять более подробные таблицы и с боль-
шим числом десятичных знаков; но тогда вычисления ста-
новятся уже затруднительными, и потому предпочитают
производить эти вычисления при помощи логарифмов; а
в таком случае и в таблицах выгоднее иметь не значения
тригонометрических функций, а логарифмы этих значений.
Так в действительности и составлено большинство таблиц.
Таблицы же натуральных значений тригонометрических
функций (т. е. значений самих функций) употребляются
сравнительно редко.
0 Н. Рыбкин, Сборник задач по тригонометрии, стр. 65.
22
В предыдущих примерах мы вовсе не касались косо-
угольных треугольников. Их решение легко сводится к ре-
шению прямоугольных треугольников. Для этого достаточно,
проведя высоту в треугольнике, разбить его на два прямо-
угольных треугольника. Однако, как увидим дальше, для
косоугольных треугольников существуют и другие способы
решения.
II. Тригонометрические функции углов
от 90° до 360°.
диаметры разде
М
О с
р
Черт. 15.
считаем положитель-
§ 23. Предварительные замечания. Вместо четверти
круга, как было раньше (черт. 1, стр. 8), возьмём теперь
полный круг (черт. 15) и проведём в нём горизонтальный
и вертикальный диаметры NA и РМ,
лят круг на четыре четверти
(квадранта): АОМ — первая чет-
верть; M0N—вторая четверть;
NOP — третья четверть; РОА—	/
четвёртая четверть. Как и преж- [
де, радиус ОА считаем непо-	Г
движным радиусом, от которого	\
начинается отсчёт углов; его ко-
нец А считаем началом отсчёта
дуг. Углы, образованные враще-
нием подвижного радиуса ОВ
в направлении, обратном напра-
влению движения часовой стрелки,
ними; углы, образованные вращением подвижного радиуса
в обп^гном направлении, считаем отрицательными.
§ 24. Построение тригонометрических линий. Те опре-
деления тригонометрических линий, которые даны в § 5
для острого угла, распространим теперь и на углы, большие
прямого.
Возьмём тупой угол АОВ (черт. 16). Линией синуса
для него будет перпендикуляр ВС, опущенный из конца
подвижного радиуса на продолжение неподвижного;
линией косинуса будет ОС. Линию тангенса получйм, если
из точки А проведём касательную и продолжим радиус ОВ
так, чтобы они пересеклись; для этого придётся касатель-
ную направить вниз от точки А, а радиус ОВ продолжить
за ценвр до пересечения с касательной; линией тангенса
23
будет тогда AD. Для получения линии котангенса надо из
точки М провести касательную до пересечения с продол-
жением радиуса ОВ, т. е. влево от точки М. Линией ко-
тангенса будет отрезок ME. Линиями секанса и косеканса
будут OD и ОЕ.
Точно так же строятся тригонометрические линии и
в том случае, когда подвижный
радиус находится в HI или IV чет-
верти (черт. 17 и 18).
Сравнивая чертёж 15 с черте-
жами 16, 17 и 18, мы замечаем, что
одноимённые тригонометрические
линии имеют на них различные на-
правления, а именно:
1) линия синуса (ВС) в I и II
четвертях направлена вверх от го-
ризонтального диаметра, а в III и
IV — вниз от него;
2)	линия косинуса (ОС) в I и IV четвертях направлена
направо от центра, а во II и III — налево от него;
Черт. 17.	Черт. 18.
3)	линия тангенса (AD) в I и III четвертях направлена
от точки касания вверх, во II и IV — вниз;
4)	линия котангенса (ME) в I и III четвертях направлена
от точки касанця вправо, а во II и IV — влево;
5)	линия секанса (OD) в I и IV четвертях идёт
от центра в направлении подвижного радиуса, а- во II
и III — в направлении, противоположном подвижному ра-
диусу;
24
6)	линия косеканса (ОЕ) в I и II четвертях идет от
центра в направлении подвижного радиуса, а в III и IV«—
в направлении, противоположном подвижному радиусу.
Таким образом, для любого 7гла каждая тригонометри-
ческая линия имеет одно из двух направлений: или такое,
ка^ в I четверти, или противоположное ему.
§ 25. Таблица тригонометрических функций. В пре-
дыдущем параграфе было сказано, что каждая тригономет-
рическая линия может иметь одно из двух противоположных
направлений: прямое (т. е. такое, как в I четверти) или
противоположное ему. Для .указания направлений тригоно-
метрических линий пользуются знаками плюс и минус.
Именно линии, имеющие прямое направление, считают поло-
жительными, а линии, имеющие противоположное напра-
вление, — отрицательными.
синус и
косеканс
косинус и
секанс
Так как тригонометрические функции представляют собой1
отношения тригонометрических линий к радиусу, а радиус
мы будем, всегда считать положительным, то знак всякой
тригонометрической функции всегда совпадает со знаком
первого члена отношения, т. е. со знаком соответствующей
тригонометрической линии.
Ёсли учесть это замечание, то для углов различных чет-
вертей получим следующие знаки тригонометрических функ-
ций (см. черт. 19 и таблицу на стр. 26; угол считается при-
надлежащим той четверти, в которой лежит подвижный
радиус, образующий сторону угла).
Таким образом-, значения тригонометрических функций
для углов от 0° до 360° состоят из двух элементов: знака
и абсолютной величины, и, следовательно, это алгебраиче-
ские числа. Так, если на чертеже 17 £ АОВ = а> R— 1,2 см
25
и ВС = 0,9 см, то sina = — Наконец, что касается
обобщённого определения тригонометрических функций, то
его можно выразить так: значения тригонометрических
функций суть положительные или отрицательные числа,
показывающие отношение тригонометрических линий
к радиусу и направление этих линий.
На чертеже 19 показаны знаки тригонометрических
функций по четвертям.
	I	II	III	. iv
sin	, BC "+ R	. BC R	BC R	_ BC R
cos	,OC R	ОС R	ОС R	i ОС ‘ A?
tg	,AD *" R	AD R	। AD + R	AD R
Ctg	.ME 1 R	ME R	, ME 1 R	ME R
sec	\OD 1 R	OD R	, OD R	. OD .	1 R
cosec	, OE + R	OE R	OE R	OE R
§ 26. Построение угла по данному значению триго-
нометрической функции. Значение функции может быть
как положительным, так и отрицательным.
Для построения мы будем теперь пользоваться полным
кругом (произвольного радиуса) с двумя главными диамет-
рами; знак функции укажет нам направление тригонометри-
ческой линии, а абсолютная величина функции — её отно-
шение к радиусу.
Обратимся к примерам.
Пример 1. Построить угол х, если sinx = y.
26
Решение. Так как значение синуса положительно, то
линия синуса должна быть в верхнем полукруге, а её длина
должна составлять половину радиуса. Поэтому поступаем
так (черт. 20): выше горизонтального диаметра проводим
-параллель к нему на расстоянии 03 = -!-/?; она пересечёт
окружность в д в у х точках (С и D). Соединяя центр круга
О с точками С и D, получим два угла:
Xi = X АОС и ха = £ A0D.
Эти два угла удовлетворяют
как:
* D
CF 2	1
= = =
i\ К &

3
Пример 2. Построить угол х, если cosx =—у.
Решение. Значение косинуса дано отрицательное,
следовательно, линия косинуса должна быть направлена
влево: в ней должно быть три таких части, каких в радиусе
пять. Поэтому отложим (черт. 21) OE=-^R, после чего
через Е проведём прямую CF, перпендикулярную к гори-
зонтальному диаметру. Прямая CF пересекает окружность
в двух точках (F и С). Искомые углы: хк = 2, AOF и
х2 = 2. АОС (>180°).
'Пример 3. Построить угол х, если tgx=l.
Решение. Сначала построим линию тангенса: она
должна идти ввррх от точки А (так как данное значение
тангенса положительно), а её длина должна быть равна
27
радиусу; проводим поэтому касательную AB = R. Через
точку В должно проходить продолжение подвижного радиуса;
проводим поэтому из В через центр окружности секущую
BCOD (черт. 22). Она пересекает окружность в двух точках
С и D. Углы xt = Z, АОС и х2= AOD Q> 180°) удов-
летворяют поставленному условию.
4
Пример 4. Построить угол х, если cosecх = — у.
Решение. Линия косеканса должна иметь начало
в центре круга, конец — на касательной Л’А, а её длина
4	4
равна у/?; Поэтому из центра О радиусом Оф = у/?(черт.23)
описываем дугу, которая пересечёт KL в точках В и С;
Р
Черт. 23.
положения линии косеканса.
ОВ и ОС — два возможных
Так как данное значение косеканса отрицательно, то направ-
ления ОВ и ОС должны быть противоположны направле-
нию подвижного радиуса. Поэтому подвижный радиус должен
иметь положение OD или ОЕ, а угол х есть или угол
ЛОТ) (>180°), или угол АОЕ (>270°).
Предоставляем самому учащемуся проделать построение
/	.	3
и в других случаях !взяв, например, sinx = — у; cosx=
3	7
= у; tgx = — 2; ctgx=y ; ctg х = — 3; secx = 2;
5\
cosec х = у 1.
Что касается результатов построения, то важно заметить,
что ответов теперь получается не один, а два, что соответ-
ствует тому, что в таблице § 25 у каждой функции каждый
знак встречается в двух четвертях.
28
§ 27. Распространение формул § 12. Покажем, что
соотношения между функциями одного угла, выведенные
нами для I четверти, будут верны и для других четвертей.
Подобие прямоугольных треугольников ОВС, ODA и
ЕОМ, которыми мы пользовались в § 12, существует не
только в I четверти, но и в остальных четвертях (черт. 15 —
18), а потому геометрические соотношения, получен-
ные нами в § 12, останутся в силе и теперь. Таким образом,
во всех четвертях:
. R)		(О
АР Я	ВС .ОС . К  R ’	(2)
МЕ_ R "	_ОС.ВС. ~ R * /? ’	(3)
OD R	ОС R	’	(4)
ОЕ R	ВС , ' R	•	(5)
Здесь не приняты во внимание направления отрезков,
т. е. их знаки. Но, просматривая таблицу § 25 по отдель-
ным четвертям, видим, что от присоединения требуемых
знаков равенства (1)—(5) не нарушатся. Действительно:
в равенстве (1) можно в скобках приписывать любые знаки
благодаря чётности показателей; равенства (2) и (3) не
нарушатся вследствие того, что, как видно на чертежах
15—18, отрезки AD и ME положительны тогда, когда угол
принадлежит I и III четвертям; линии же СВ и ОС имеют
в этих четвертях одинаковые знаки (в I четверти они обе
положительны; в III четверти — обе отрицательны). Отрезки
AD и ME отрицательны во II и IV четвертях, когда отрезки
СВ и ОС имеют разные знаки. Точно так же знаки отрезков
OD и ОС в равенстве (4), а также отрезков ОЕ и ВС
в равенстве (5) не нарушают этих равенств, так как (что
видно из чертежей 15—18) отрезки OD и ОС, а также
ОЕ и ВС всегда имеют одинаковые знаки, так что их про-
изведение всегда положительно *).
х) Можно было также воспользоваться таблицей §» 25, из кото-
рой видно, что там, где синус и косинус имеют одинаковые знаки
(в I и III четвертях), тангенс и котангенс положительны, а где
синус и косинус имеют разные знаки (во 11 и IV четвертях), там
тангенс и котангенс отрицательны.
29
Теперь мы вправе заменить отношения
ВС ОС AD ME OD
R ’ R 9 R 9 R 9 R 9
обозначениями соответствующих функций
ctg a, sec a, cosec a. Мы получим формулы (I) — (V) (§ 12),
но теперь уже для углов любой величины оъ 0° до 360°.
Итак, формулы (I) —(V) (§ 12) распространяются и на
прямого; это будет верно и для формул
(VI) — (VIII) (§ 14), потому что они
получаются из формул (I) и (V) как
их следствия.
Пример. Для наглядности разберём
хотя бы один случай более под-'
робно. Выведем, например, формулу
ctga = ^Y для IV четверти.
По чертежу 24:
,	ME
ctga = —
ОЕ
R
sin a, cos а, tga,
углы, большие
М
N
А
Черт. 24.
ОС
R
и
ВС
sin a =--------g- .
л.
(а)
Так как Д OMEzk & О ВС,
ME ОС
Т0 ОМ=ВС> a 0ТСЮда:
ME
R
(Ь)
Припишем здесь нужные нам знаки: они таковы, что
равенство от этого не нарушится [см* (а)], получим;
ОС
R
ВС
R
ME (+
R ~~ {
т. е.
. cos a
ctg a — -—
sin a
§ 28. Применение формул (I) — (VIII). Это применение
несколько отличается от сделанного в § 15, как покажут
примеры.
Пример 1. Найти cosec а, зная, что a — угол IV чет-
верти1) и ctga = — у .
*) Т. е. подвижный радиус угла а находится в IV четверти.
30
Решение.. По формуле (VIII) имеем:
о 2	1 । х 2	/15?	289
cosec2 а = 1 /- ctg2 а = 1 -Ц- (у] =	.
Так как косеканс в IV четверти отрицателен, то далее
напишем:
1/289	17
coseca = -|/^-=-y.
Пример 2. Выразить cos а через sin a.
Р е life н и e.z Из формулы (I) находим cos2 a = 1 — sin2 a,
и так как косинус может иметь и положительные и отри*
цательные значения, а данных для выбора знака у нас нет,
то принимаем
cosa = ± у/1—sin* a.
з У
Пример 3. Зная, что tga = — у, найти значения осталь-
ных функций этого угла.
Решение. Вычисляем по тому же плану, как в § 15,
но, определяя sec а, при извлечении корнягсохраняем оба
знака, потому что при отрицательном значении тангенса
значение секанса может быть как положительным (IV чет-
верть), так и отрицательным (II четверть); отсюда уже полу-
чим соответственно по два значения и для остальных
функций угла а (за исключением котангенса, знак которого
всегда совпадает со знаком тангенса).
Окончательно будем иметь:
'	4	.5	. 4	3
ctga =---х-; sec а = ±-т-; cos a — ±T; sina = nz-y;
®	о	4	О	1 О
5
cosec a =	-у ,
о
или, выписывая каждый ответ отдельно:
1Ч .	4	.5	। 4	.	3 .
1) ctga=—у; seca = -["'4'J cosa= -g-; sina = — у,
5
cosec a = — ;
о
.	4	5	4	.	. 3
2) ctga=—-5-; seca=—cosa=--------sin a=4--=-;
О	4	О	1 О
। 5
cosec a = 4-у.
(Первый ответ относится к IV четверти, а второй —
ко II четверти.)
31
§ 29. Изменение тригонометрических функций с воз*
рас:; угла от 0° до 360°. Изменение функций при
во ^метании угла от 0° до 90° было уже рассмотрено раньше,
в § 9. Для изменения угла от 90° до 180°, от 180° до 270°
и от 270° до 360° воспользуемся соответственно чертежами
16, 17 и 18 (§ 24), а именно: определив сначала знак
функции, будем относительно абсолютной величины её зна-
чения соображать так же, как и в § 9. Окончательные
результаты представлены ниже в таблице, в которой как
для аргумента, так и для функции показаны только крайние
значения в каждой четверти; между ними функция или<
только растёт, или только убывает.
	I 0°... 90°	II 90° ... 180°	III 180°?..27(F ! з \ у “ * *2* /	IV 270°... 360?
sin	0,..,+ l	4-1...0 .	0... — 1	— 1 ...0
cos	4-1.,.o	0...—1	— 1 ...0	0...+ 1
‘g	0... + oo	— oo... 0	0... + oo	—oo...0
Ctg	+ oo... 0	0... — co	-f- oo... 0	0... — oo
sec	4-1 ...4-co	— oo... — 1	— 1 ... — ook	+ 00...4- Г
cosec	4-co...4-1	+ 1... + OO	— oo... — 1	— 1 ... — oo
Так как тригонометрические функции выражаются теперь
относительными числами, то увеличение и уменьшение
функции надо отличать от увеличения и уменьшения её
абсолютной величины; например, с возрастанием аргумента
от 90° до 180° абсолютная величина косинуса увеличивается,
но сам косинус, будучи здесь числом отрицательным, с уве-
личениехМ абсолютной величины, наоборот, уменьшается.
Точно так же с возрастанием аргумента в алгебраиче-
ском смысле тангенс всегда увеличивается, а котангенс
уменьшается.
32
К полученному выше добавим еще несколько указаний
I. Из таблицы видно, в каких границах изменяется1
каждая функция; отметим это:
1)	синус и косинус изменяются от — 1 до -J- 1 (так что
их абсолютная величина никогда не превышает единицы);
2)	тангенс и котангенс изменяются между —оо и 4~°О
(поэтому любое число может быть значением тангенса и
котангенса);	v
3)	секанс и косеканс изменяются от Ц-1 до -|-оо и от
— 1 до —оо (следовательно, их абсолютная величина не
бывает менее единицы).
II. Обратим внимание на двойственность некото-
рых результатов. Так, мы видим, что tg90° = -|-oo, если 90°
получено увеличением острого угла, и tg90°=— оо, если
90° получено уменьшением тупого угла; если неизвестно,*
каким образом угол достигает 90°, то придется написать
tg90° = z±oo. Точно так же будем иметь ctg 180° = ztoo
и т. п.	4
Замечание. Освоившись по чертежу с изменениями синуса я
косинуса, изменения остальных функций легко проследить и без
чертежа —по их зависимости от синуса и косинуса. Так, например,
.	'	.	sin а
изменения tga можно рассматривать как изменение дроби ,
х I t
изменения sec a — как изменение дроби-*и т. п.
r cos a
§ 30. Формулы приведения. Тригонометрические функции
углов, ббльших прямого, легко приводятся к функциям
острого угла. Для этой цели служат
те два острых угла, которые под-
вижный радиус образует с гори-
зонтальным и вертикальным диамет-
рами (эти углы в сумме составляют
90°)* так, ' если на чертеже 25
Z kcfe=143°, то указанные ост-
рые углы суть: ^BON=31Q и
МОЗ = 53°, и можно перейти
к функциям любого из них. Как
это делается, рассмотрим сначала на	Черт 25.
примерах.
Пример 1. Функции тупого угла привести к функциям
острого угла, дополняющего тупой угол до 180°. На чер-
теже 25 для тупого угла АО В дополнением до 180° служит
острый угол BON> величину которого обозначим через
8 Тригонометрия
Тогда £АОВ=1806— а. Чтобы для угла а построить
тригонометрические линии, мы должны сперва (^тложить его
от общего начала ОА; пусть АОС=а.. Проведя линии
синуса BD и СЕ, получим: sin (180° — = и sina =
, СЕ “= + 7Г’	так как BD = СЕ, то:	
	sin (180° — a) = sin a.	(a)
Далее,	cos (180° — a) = —	(1)
и	। OE cosa = -|--^-;	(2)
здесь правые части, имея равные абсолютные величины (так
как OD — ОЕ), различаются знаками; чтЪбы уравнять их
вполне, не изменяя равенства (1), умцожим обе части равен-
ства (2) на — 1, отчего получим:
— cosa = —(3) •
В равенствах (1) и (3) правые части равны; следова-
тельно:
cos (180° — а) = — cos а.	(Ь)
С помощью формул (а) и (Ь) нахрдим для остальных
функций (по § 27 и 12):
tg(180°—a) = sin;118^-a; = -^in-^ = -	= - tga;
7	cos (180^ — a)	—cosa cos a & ’
ctg(180°-a) = co\(;^-tt-; = ^^ = -^ = -ctgg;
7 sin (180— a)	sin a	sin a	& ’
sec (180° — a) = —--------4 =—-— =----------— = — sec a;
v	7 *cos(180°— a) —cos a cos a	’
cosec (180 — a) = —------------=-Д- = cosec a.
v	7 sin (180° —a) sin a
Пример 2. Функции тупого угла привести к функциям
острого угла. На чертеже 26 угол АОВ можно рассмагри-
34
вать как 90°-{-я, обозначая через а величину угла МО В.
Отложив от общего начала ^АОС — а и проведя линии
синуса BF и CG, будем иметь:
sin (90° + а) = + ~;	(1)		4
cos (90°4-а) = — ^5	(2)	/	\а	
। CG sma = +-^-;	(3) . Д	F 0	
. OQ			
cosa = +-^-.	(4)		
Так как BF=OG, то		Г Черт. 26.	
sin (90° а) = cos а. (а)
Так как OF = CG, то, умножив обе
части равенства (3)
на—1, увидим, что
cos (90° а) = — sin а.
(Ь)

Из равенств (а) и (Ь) можно сделать вывод для осталь-
тем же путём, как в примере 1; получится:
tg (90°4-а) = — ctg а;
sec (90° — а) = — cosec а;
ctg (90° - - а) = — tg а;
cosec (90° — а) = sec а.
Пример 3. Привести ctg (90°а)
функции угла а (не сводя котан-
к другим функциям того же
ных функций
Черт. 27.
к
гене
угла) (черт. 27). Проведя для угла
АОС линию котангенса МС, получим
треугольник МОС. Потом отложим
угол а от общего начала и построим
тре> гольник, равный полученному; таким будет треуголь-
ник AOD, Тогда имеем:
ctg (90° + а) = -	;	(1)
MC=AD\	(2)
' .	। AD	(3)
,	AD -tg«=—Я-.	(4)
85
Из равенств (1), (2) и (4) следует:
ctg (90° + а) = — tg а.
Пример 4. Привести sec (180°-|~ а) к функциям угла а.
Из чертежа 28 имеем:
sec (180°4-а) = —  OD seca = + -^-; OD — sec а =	 Из равенств (1) и (3) следует:	(1) (2) (3)
sec (180° а) = — sec а.
Правила и примеры. Разбор всех случаев (90°zpa,
180°qza, 270°qza, 360° — а) дал бы нам 42 формулы
приведения1), но все они сводятся
к следующему простому правилу:
1) если приводимая функция имеет
отрицательное значение, то надо
функцию острого угла умножить на
— 1;
2) название приводимой функции
сохраняется, если острый угол взят
при горизонтальном диаметре, и
меняется на сходное, если острый
Черт. 28. угол взят при вертикальном диа-
метре.
Приложим это правило к примерам:
1)	Привести к функциям острого угла tgl30°. Так как
130°= 180° — 50° — 90° 4" 40°, то tg 130° можно привести
и к функции угла 50° и к функции угла 40°. Зная, что
tg 130° отрицателен, и помня, что угол 50° отсчитывается от
горизонтального диаметра, а угол 40° — от вертикального,
напишем:
tg 130° = —tg 50° и tg 130°= —ctg 40°.
2)	Привести sec 295° к функции острого угла, не пре-
вышающего 45°. Имеем:' 295° = 360° — 65° = 270° 4- 25°;
следовательно, требуемый угол есть 25°. Так как sec 295°
имеет положительное значение и угол 25° отсчитывается от
9 Это название употребляется и по отношению к формулам *
§ 17.
36
вертикального диаметра, то по правилу получим: sec 296° =
= cosec 25°.
3)	Ещё примеры:
ч	/Зтс \
a)	cos (у — а) = — sin а;
b)	tg 1,2я = tg (тс 0>2тс) = tg 0,2тс;
с)	sin 240° = sin (180°+60°) = —sin 60°-У3
2 *
М
Черт. 29.
функций соответственно равны
§ 31. Другой вывод формул приведения. 1) Предварительно
обратим внимание на то, что отношение тригонометрической линии
к радиусу представляет собой
для первой четверти всегда
значение функции, а для осталь-
ных четвертей иногда только
абсолютную величину значения
функциих). Обратимся теперь
к чертежу 29. Сравнивая триго-
нометрические линии дуг АМС,
AMND, AMNDE с тригоно-
метрическими линиями дуги АВ,
видим, что они или одни и те
же, или соответственно равны.
Отсюда заключаем, что для
дуг 180° — а, 180° -f- а и 360° — а
абсолютные величины
функциям дуги а.
2) Так как выражения: 180° — а, 180°+ а и 360° — а можно
заменить через: 90° + 3, 270° — 270° + £, а функции дуги а равны
сходным функциям дуги £ (как дополнительной), то на основании
п. I заключаем, что для дуг: 90°-|-& 270° — р и 270° + ^ абсо-
лютные величины функций равны сходным функциям дуги р.
3) Из 1) и 2) вместе следует: чтобы составить какую-нибудь
формулу приведения, надо для приводимой функции определить
знак и абсолютную величину, взяв за абсолютную величину функ-
цию острого угла; при этом название приводимой функции следует
сохранить, если её аргумент содержит в своём составе 180° или
360°, и изменить на сходное, если аргумент содержит 90° или
270°. Так, получим: sin (180° — а) = sin a; tg(350u — а)==— tga;
cos (270° —^) = — sin £ и т. д.
§ 32. Вычисление угла по данному значению тригоно-
метрической функции (в пределах от 0° до 360°). Мы
уже видели в § 26, что при построении угла, соответствую-
щего данному значению тригонометрической функции, полу-
чаются два угла, принадлежащие каким-нибудь двум четвер-
тям. Величину этих углов можно определить по формулам
приведения, пользуясь этими формулами в обратном смысле.
х) Когда эта функция отрицательна.
37
Пдясним это на примерах:
1)	sinx = y; найти угол х. Первый ответ: Xj = 30°;
второй угол, имеющий данный синус, это угол II четверти:
180° —30°= 150°;	''
второй ответ: х2=150°.
2)	cosx = 0,974; найти угол х. Из таблиц имеем: х{— 13°;
кроме того, положительное значение косинуса имеется ещё
в IV четверти:
х2 = 360° — 13° = 347°.
3)	tg х = 1; найти угол х. Соответствующий острый угол
есть 45°; xt = 45°. По чертежу 22 (стр. 28) видно, что
х2=180° -|-45о = 225°.
4)	sinx = — найти угол х. Отрицательные значения
синуса имеются в III и IV четвертях; зная, что sin 30° = -|-у,
заключаем, что искомый угол xt — 180°-|-30° = 210°;
х2 = 360° — 30° =330°.
III. Углы отрицательные. Углы, большие 360°.
и
§ 33.	Об отрицательных углах. Если рассматривают не
только величину угла, но и направление, в котором
он отсчитывается, то величину угла, образованного враще-
нием, обратным обычному, выражают отрицатель-
ным числом1).
Отрицательным углам будут соответствовать и отрица-
тельные дуги: такими должны считаться дуги, описываемые
концом В подвижного радиуса при вращении его по напра-
влению движения часовой стрелки.
Тригонометрические функции для отрицательного угла
определяются точно так же, как для примыкающего к нему
положительного угла. Так, по чертежу 30 получится:
• г \	ч ME , ч i OD
Sin(—a) =----ctg(—a)=---------sec(—a) = -]--£-
и T. Д.
*) Для краткости мы будем называть такие углы просто
отрицательными углами.
38
§ 34. Найдём зависимость между функциями отрицатель-
ного угла и такого же по абсолютной величине положи-
тельного.	1 * *
По чертежу 31 имеем:
sin(—а) = —~ и sina = -|-^);
Черт. 30.
Черт. 31.
замечая, что CD = BD, и умножая обе части второго ра
венства на —1, получим: sin(—a) = — sin а. Далее:
cos(—a) = 4* 7^ и cosa = 4-“£-;
следовательно, cos (— a) = cos a.
Итак,
sin (— a) = — sin a и cos (— a) = cos a.
Отсюда найдём:
° v 7 cos (— a) cos a cos a ®
и тем же способом:
ctg(— a) = — ctg a.
Правило. В случае косинуса и секанса минус в аргу~
меЧте можно опустить, а в остальных случаях минус
у аргумента можно вынести за знак функции1).
1) По аналогии с возведением отрицательного числа в чётную
или нечётную степень, синус, тангенс, котангенс и косеканс назы-
ваются нечётными функциями, а косинус и секанс — чётными.
39
Примеры:
Sin (— 50°) = — sin 50°; cos (— 50°) = cos 50°;
tg (— 300°) = — tg 300°; sec (— 300°) = sec 300°;
sin (a — 90°) = sin [—(90°—a)] =—sin (90°—a)—— cos a.
§ 35. Об углах, превышающих 360°. Периодичность
тригонометрических функций. В теории тригонометриче-
ских функций рассматриваются также углы, превышаю-
щие 360°1).х
С введением отрицательных углов и »углов, превышаю-
щих 360°, угол является уже такой переменной величиной,
которая может принимать всевозможные значения от —оо
до -}-оо.	*	.
В § 29 было показано, как изменяются тригонометри-
ческие функции с возрастанием угла от 0° до 360°, т. е.
при одном полном обороте подвижного радиуса. При даль-
нейшем возрастании угла подвижный радиус будет прини-
мать положения, которые уже были пройдены им при пер-
вом вращении, а потому тригонометрические функции будут
получать свои прежние значения в прежнем порядке. В слу-
чае отрицательных углов от —360° до 0°, от —720° до
— 360° и т. д. функции пробегают те же значения, какие
они пробегают при изменении угла от 0° до 360°.
Таким образом, при изменении угла от —сю до 4“00
значения тригонометрических функций периодически повто
ряются. Наименьшее положительное значение аргумента, на-
чиная с которого ход изменения функции повторяется, на-
зывается периодом этой функции. Предыдущее рассу-
ждение показывает, что после того, как угол достигает 360°,
значения всех тригонометрических функций повторяются;
остаётся только решить, будет ли этот промежуток наи-
меньшим. Обращаясь для этого к таблице § 29, видим, что
он не будет наименьшим только для тангенса и котангенса,
у которых первое повторение наступает, начиная с угла
в 180°; у остальных же функций до окончания полного обо-
рота ход изменения не повторяется. Итак, тригонометри-
ческие функции — периодические, причём период синуса,
косинуса, секанса и косеканса равен 360°, или 2тг, а перйод
тангенса и котангенса равен 180°, или w.
. 9 С такими углами приходится иметь дело и в практике, на-
пример, при вращении зубчатых колёс, при кручении и пр.
40
§ 86. Если к аргументу периодической функции мы при-
бавим период, то, каково бы ни было значение аргумента,
значение функции не изменится; обратно, если для данной
функции существует такое постоянное количество, кото-
рое можно прибавлять ко всякому значению аргумента,
не изменяя этим значения функции, то эта функция есть
периодическая. На основании этого периодичность тригоно-
метрических функций можно выразить следующими форму-
лами, в которых а может иметь какое угодно значение
от —оо до Ц-оо:
sin (а 4~ 360°) = sin а;
tg(«4- 180°) = tga;
sec (а 360°) = sec а;
cos (а 360°) = cos а;
Gt&(a+ 180°) = ctg а;
cosec (а 4" 360°) = cosec а.
Примеры: 1) Упростить ztt = tg(a— я). Прибавив к аргу-
менту период тангенса, т. е. тс, получим: zra = tga.
z 19
2) Упростить п = ctg -g- тс. Так как тс есть период котан-
генса, то отнимем тс от аргумента три раза; тогда
/z = ctglft= /3.	Л
§ 37. Приведение тригонометрической функции любого
угла к функциям наименьшего положительного аргу-
мента. Тригонометрические функции любого угла, каковы
бы ни были его знак и абсолютная величина, легко приво-
дятся к функциям положительного угла, не превышаю-
щего 45°.
а) Пусть будет дан положительный угол (больший 45°).
Если он менее 360°, то применяем формулы § 17 и 30;
если же он более 360°, то сначала исключаем из него все
полные обороты, заменяя данный угол остатком от деления
его на 360°. .
Например:
1)	sin 63° = cos (90° — 63°) = cos 27°;
2)	cos 145° = cos (180° — 35°) = — cos 35°;
3)	tg2085o=tg(180°.114-105o)=tgl05o=tg(90o-]-15o)=
= — ctg 15°.
б) Если дан отрииательный угол, то сначала переходим
к такому же по абсолютной величине положительному углу,
4J
с которым- и поступаем, как указано выше. Возьмём, на-
пример, sin(— 1596°). Применяя формулы § 34, получим:
sin (— 1596°) = — sin 1596°.
Преобразуем теперь sin 1596°. Разделив 1596 на 360,
получим в остатке 156; следовательно, sin 1596° = sin 156°.
Цо sin 156°= sin (180° — 24°) — sin 24°.
Таким образом, окончательно:
sin (— 1596°) = — sin 24°.
§ 38.	Общность формул приведения. В § 17, 30 и 34 было
показано, как приводятся к углу а тригонометрические функции
следующих аргументов: — а; 90° йй а; 180° =й а; 270° =й а и Зо0° — а;
при этом предпола алось, что угол а — положительный острый.
Покажем теперь, что полученные формулы обладают общно-
стью, т. е. что они верны и в том случае, если под а будем пони-
мать какой угодно угол, от —оо до 4-°°« Достаточно обнаружить
это для синуса и косинуса, потому что остальное получится как
следствие.
При доказательстве мы воспользуемся, между прочим, тем, что
линия косинуса есть проекция подвижного радиуса на горизонталь-
ный диаметр, а линия синуса равна проекции подвижного радиуса
на вертикальный диаметр.
Переходим к самому доказательству.
§ 39.	1. Пусть а означает какой угодно угол, тогда — а будет
означать угол, равный углу а по абсолютной величине, но противо-
положный ему по знаку. Углы а и — а лежат по разные стороны
от неподвижного радиуса, линии синуса у них по длине равны, но
направлены противоположно, а линии косинуса совпадают; отсюда
заключаем, что sin (— а) — — sin а и cos (— а) =; cos а.
§ 40.	2. а) Представим 90° + а в виде а + 90°. Если к какому-
нибудь углу прибавить 90°, то подвижный радиус перейдёт в сле-
дующую четверть и составит с вертикальным диаметром такой же
острый угол, какой раньше составлял с горизонтальным диаметром,
и наоборот; поэтому его новая вертикальная проекция будет равна
прежней горизонтальной, а новая горизонтальная проекция будет
равна прежней вертикальной. Отсюда следует, что sin (а + 90°)
и cos (а*-|-90°) имеют соответственно такую же абсолютную вели-
чину, как cos а и sin а. Что же касается знаков, то они будут опре-
деляться четвертью, к которой принадлежит угол а:
а+ 90°	sin (а 4-90°)	cos а	а
II	+	+	I
III			II
IV	—	—	Ш
I	 +	+	IV
а+ 90°	sin (а + 90°)	sin а	а
II *		+	I
III		+	11
IV	+		III
I	+	—	IV
42
Видим, что sin (а 4- 90°) и cos а имеют всегда одинаковые знаки,
a cos (а + 90°) и sin а — всегда противоположные.
Таким образом:
sin (90° + а) = cos а;
cos (90° + а) = — sin а.
б) Применяя только что полученные формулы к углу —а и
пользуясь § 39, найдём:
sin (90° — а) = cos (— а) = cos а;
cos (90° — а) == — sin (— а) = sin а.
§ 41. 3. а) Представим 180° -|- а в виде а 4s 180°. Если к какому-
нибудь углу прибавить 180°, то подвижный радиус перейдёт в противо-
положную четверть и составит одну прямую со своим прежним
положениемх), следовательно, синус и косинус сохраняют свою
абсолютную величину, а их знаки изменяются на противоположные;
поэтому:
sin (180° 4- а) = — sin а;
cos (180° + а) = — cos а.
б) Применяя эти формулы к углу —а, получим:
sin (180° — а) = — sin (— а) == sin а;
в	cos (180° — а) =— cos(—а) = — cos а.
§ 42. 4. а) Представим 270° + а в виде а 4- 270°. Если к какому-
нибудь углу прибавить 270°, то подвижный радиус изменит своё
положение так же, как от поворота на — 90°. Рассуждая, как в § 40,
придём к заключению, что проекция подвижного радиуса угла
а 4- 270° на вертикальный диаметр по длине равна проекции подвиж-
ного радиуса угла а на горизонтальный диаметр. Точно так же
проекция подвижного радиуса угла а 4- 270° на горизонтальный
диаметр равна по длине проекции подвижного радиуса угла а на
вертикальный диаметр. Поэтому абсолютные величины sin (а 4“ 270°)
и cos (а 4- 270°) соответственно равны абсолютным величинам cos а
и sin а.
Для сравнения знаков этих функций для углов разных четвер-
тей составим таблички по образцу таблицы § 40:
а 4- 270°	sin (а + 270°)	cos а	а
IV				+	I
I	+		II
II	+	—	III
III		+	IV
а 4- 270°	cos (а + 270°)	sin а	а
IV	4"	+	I
I	+	+	II
II			III
III	—	—	IV
Видим, *что sin (а 4" 270°) и cos а имеют всегда противополож-
ные знаки, a cos (а 4- 270°) и sin а — одинаковые.
х) Или: конец дуги перейдёт в диаметрально противоположную
точку.	-
43
Таким образом:
sin (270° + а) = — cos а;
cos (270° + а) = sin а.
б)	Применяя эти формулы к углу — а, найдём:
sin (270° — а) = — cos (— а) = — cos а;
cos (270° — а) = sin (-^g) = — sin а.
§ 43.	5. Представим 360° — а в виде — а+ 360°. Если к какому-
нибудь углу прибавить 360°, то окончательное положение подвиж-
ного радиуса не изменится; поэтому:
sin (360° — а) = sin (— а) = — sin а;
cos (360° —- а) = cos (— а) = cos а.
§ 44.	В § 39 — 43 для угла а любой величины доказаны все те
формулы, которые ранее, в § 17, 30, 34, были доказаны для поло-
жительного угла а, не превышающего 90е. Этим самым общность
формул приведения доказана.
В задачах, если требуется только припомнить формулу, надо
представить себе величину а заключённой между 0° и 90° и приме-
нить правило, данное в § 30.
§ 45.	Общий вид дуг, имеющих конец в данной точке
окружности. Пусть на чертеже 32 дуга АСВ содержит 64°.
Очевидно, что все дуги, которые от-
/ \ г личаются от 64° на полное число
/	/ V окружностей, оканчиваются также в
/	/	\ точке В (предполагается, что началом
|------- l------д Всех дуг служит точка А).
\ U I Отсюда найдём, что дуги, имеющие
\	/ конец в точке В, суть следующие:
X.	64°, 424°, 784°, 1144° и т. д., а также:
— 296°, — 656°, — 1016° и т. д. Все эти
Черт. 32.	дуги можно выразить одной и той же
формулой 64° -J- 360° • /г, в которой
п есть произвольное целое число (оно может быть как
положительным, так и отрицательным, а также нулём).
Вообще, если а есть одна из дуг, имеющих данные
начало и конец, то общий вид всех дуг, имеющих те же
самые начало и конец, есть а-|-360о*п (иначе
Мы говорили о дугах, но полученные формулы можно
отнести и к углам, у которых начальный и конечный ра-
диусы одни и те же.
§ 46. Графики тригонометрических функций. Измене-
ния тригонометрических функций с изменением аргумента от
0° до 360° представлены в таблице § 29, но эта таблица
содержит только ряд отдельных значений и поэтому не
даёт полного представления о ходе непрерывного изменения
44
функций с изменением аргумента. Чтобы получить предста-
вление о непрерывном' изменении функций, прибегают к гра-
фическому изображению их изменения.
С этой целью возьмём две взаимно перпендикулярные
прямые линии ОХ и ОУ, называемые осями координат
(черт. 33). Вдоль оси ОХ будем откладывать отрезки, изо-
бражающие в произвольном масштабе числовые значения
аргумента, а вдоль оси ОУ — отрезки, изображающие в том
же или в другом произвольном масштабе числовые значения
функции. При откладывании отрезков будем соблюдать
правило знаков: положительные значения откладываются
от начальной точки О вправо и вверх, отрицательные —
влево и вниз (положительные направления осей на чертежах
отмечены стрелками).
По оси- ОХ отложим несколько равных отрезков, напри-
мер 12; пусть каждый из них изображает угол в 30°
^или таким образом, все 12 отрезков, или расстояние
АО, изображают угол в 360°, или 2т:. Чтобы на оси ОУ
отложить числовые значения тригонометрической функции,
например синуса, начертим вспомогательную окружность
с центром О,, лежащим где-нибудь на оси ОХ. Радиус
окружности 0{MQ выберем равным отрезку, принятому за
единицу масштаба на оси ОУ.
Начиная с точки Л40, делим окружность на 12 равных -
частей (по числу делений на оси ОХ), соответствующих
углу в 360°. Для найденных точек делений М„,
строим линии синуса MiPl, М.гР^,..., MnPv Так как
радиус окружности равен единице, то длины построенных
45
тригонометрических линий будут в принятом нами масштабе
изображать числовые значения синуса. При помощи ряда
прямых линий, параллельных оси ОХ, перенесём значение
синуса на ось ОУ.
В каждой точке деления на оси ОХ восставим перпенди-
куляры к оси ОХ и на этих перпендикулярах отложим от-
резки, выражающие соответствующие числовые значения
синуса. Когда требуемые длины перпендикуляров будут
построены, надо через полученные концы их провести кри-
вую линию. Эта линия, проходящая через концы отрезков,
изображающих на чертеже числовые значения синуса, будет
изображать изменение функции синуса с изменением аргу-
мента (дуги). Такая линия называется графиком функ-
ции.
На чертеже 33 представлен график синуса для полного
периода этой функции.
Чехм больше точек деления мы возьмём, чем на большее
число частей мы разделим отрезок ОА и вспомогательную
окружность, тем больше точек графика мы получим и тем
точнее его построим с помощью лекала.
Значение синуса можно находить не геометрическим
построением, а взять из таблицы.
График синуса, представляет собой кривую линию, назы-
ваемую синусоидой.
46
График синуса, построенный для положительных углов
в пределах одной окружности, можно распространить на
любые значения углов как положительных, так и отрица-
тельных. По образцу графика синуса можно построить
график косинуса, тангенса, котангенса. На чертежах 34, 35,
36 представлены синусоида, косинусоида и тангенсоида для
значений аргумента, заключённых между — Зтс и Ц- Зтс.
§ 47. Общий вид углов, соответствующих данному
значению тригонометрической функции. В § 26 было
указано, что данный тригонометрической функции соответ-
ствуют: два положения подвижного радиуса; в § 32 им со-
ответствовали два положительных угла хг и х2, мень-
шие 360°. Но после введения углов любой величины ясно,
что каждому положению радиуса будет соответствовать не
один угол, а бесконечный ряд углов, положительных
и отрицательных; таким образом, теперь данному значению
функции будут соответствовать углы, составляющие два
бесконечных ряда. Все эти углы можно выразить, по § 45,
с помощью хг и х2, а именно: общий вид углов одного
ряда с Xi есть xt 4“ 360° • п, а общий вид углов другого
ряда: х2 360° • п.
Мы получили общее решение в виде двух формул с двумя
основными углами. Покажем, что дтя каждой функции вместо
этих двух формул может быть дана одна формула, в кото-
рую будет входить один основной угол; но при этом для
различных функций мы получим различные формулы.
Перейдём к отдельным функциям (для простоты возьмём
примеры с числовыми данными).
1. a) sin.K = 4,
47
Искомый угол равен или 30°, или 150й; следовательно,
будем иметь:
х1 = 30°4-360° • п и х2= 150° 4-360° п.
~ Эти выражения преобразуем так:
= 180°. 2л4-30°;
х2 =180°— 30°+ 180° • 2л = 180° • (2л + 1) —30°.
Здесь знак перед 30° зависит от чётности (2л) или* не-
чётности (2л 4“ 1) множителя при 180°, а эту зависимость
можно выразить с помощью степени отрицательной единицы;
тогда вместо двух формул получим одну следующую:
х = 180° . /л 4- 30° . (— 1)т,
где т означает произвольное целое число, безразлично —
чётное или нечётное. При т чётном эта формула даёт х^
а при т нечётном х2.
б) sinx ——у;	х1 = 210°4-360°« Л' и х2 = 330°4*
4-360°. л.
Можно уменьшить абсолютную величину основных углов,
взяв для них отрицательные значения; тогда будем иметь:
Х1 = — 150°4-360°.Л и х2 = — 30°4-360°.А,
или в другом виде:
Xj = — 150° 4- 180° • 2А = — 150° 4- 180° — 180° 4-
4- 180° • 2А = 30° 4- 180° • (2А — 1)
и
х2= 180° * 2А —30°,
а эти две формулы можно соединить в одну следующую:
х=180°./л — 30°. (— 1)т,
которая при т чётном даёт х2, а при т нечётном
2.	a) cosx = -~; xt = 60°-f-360° • л и х2 = 300°4~
4- 360°. л.
Если же воспользуемся в качестве основных также отри-
цательными углами, то получим:
Xt = 60°4-360° . т и х2 = —60°4-360°. лг,
что можно написать слитно в виде:
х = 360° • т 60°
48
6)	cosx= —-i-; х1 = 120°4-360°./г и х2 = 240°+
-|-360о.л.
Можно выразить хг и х2 ещё следующими формулами:
х± = 120° + 360°. т и х2 = —120°+ 360°./и,
а их можно написать слитно в виде:
х = 360°./л±120°
3.	a) tgx=l; = 45° 4-360°-л и х2 = 225° + 360°. л,
что можно представить в виде:
Х1 = 45°4- 180° . 2п и х2 = 45° 4-180°. (2л 4-1);
а последние две формулы можно заменить одной следующей:
х = 45°4-180° •/л,
которая при т чётном даёт х19 а при т нечётном х2.
Формулы х = 45°4- 180° • т легко получить ещё из сле-
дующего: чертёж 22 (стр. 28), в котором точки Q и D ле-
жат на одном диаметре, показывает, что в ряде дуг всевоз-
можной величины, от —оо до 4~оо, дуги, имеющие один
и тот же тангенс, встречаются через каждые 180°; таким
образом, искомые дуги составят арифметическую прогрессию
с разностью 180°; общим членом этой прогрессии и будет
х= 45° 4- 180°./л.
. б) tgx = — 1.
Рассуждая так же, как в п. а), получим:
Xi = 135° 4- 360°. п и х2 = 315°4-360°. л,
или:
х= 135°4~ 180° •/л,
или ещё:
х = —45°4-180°.
4.	a) ctgx=/3.
Вопрос решается совершенно так же, как и в случае
тангенса.
Получим:
Xi = 30° 4-360°. п и х2 = 210°4“360° • л,
или:
х = 30° 4- 180°. т.
4 Тригонометрия
49
6) ctgx=— 3.
Рассуждая, как и в случае тангенса, найдем:
х1 = 150° + 360°. п и ха = 330°4-360°. л;
или:
х = 150°4- 180°. т,
а также х = — 30°4-180°*A
5 и 6. Если даны секанс и косеканс, то сначала пере-
ходим соответственно к косинусу или синусу.
§ 48. Обратные круговые функции. Если мы имеем
одно уравнение с двумя неизвестными, то из него, вообще
говоря, можно определить любое неизвестное через другое.
Например, если имеем: 2х 4~ Зу = 6, то:
a) j/ = 2 — -j-x; б)х = 3—
Первое уравнение даёт выражение у в функции х. Вто-
рое, наоборот, даёт выражение х в функции у. В общем
все три уравнения выражают одну и ту же зависимость
между переменными х и у, но только форма выражения
этой зависимости, разная: первое уравнение не решено ни
относительно х, ни относительно у; в следующем за функ-
цию принято у, за аргумент х, в последнем, за функцию
принято х, за аргумент у.
Такие две функции, которые выражают одну и ту же
зависимость между переменными х и у, но в одной за функ-
цию принято у, а в другой за функцию принято х, назы-
ваются взаимно обратными. Любую из них можно'
принять за прямую; тогда другая будет обратная.
Примеры взаимно обратных функций:
_У = 5х-|-3;
у = 2х;	x =
у = х2;	х = -и т/ у\
J'=V'x;
Понятие обратности можно применить и к тригономе-
трическим функциям.
Например, мы употребляем равенство: y = sinx; это зна-
чит, что у есть синус дуги х. Очевидно, обратно, х есть
50 ,
дуга, Синус которой равен у. Точно так же: у = sin 80°,
т. е. половина есть синус дуги в 30°. Наоборот, 30° есть
дуга, синус которой равен половине.
Вместо того чтобы объяснить обратную зависимость
словами, употребляют особый знак, обозначающий слово
„дуга*: аге [читается „арк*; сокращённое латинское слово
arcus (дуга)].
Таким образом, можно написать:
~ = sin 30°; 30° — arc sin ;
А- = cos 60°;	60° = arc cos ~;
1 = tg 45°;	45° = arc tg 1;
sin 16° = 0,276;	16° = arc sin 0,276;
cos £ = 0,707;	4 = arc cos 0,707;
1 = sin 90°;	90° = arc sin 1;
1 = cos 0°;	0° = arc cos 1;
— 1 = cos tv;	tv = arc cos (— 1);
, тс	тс .
tg У = оо;	у=arc tg oo;
sin = cos= y/2;
~ = arc sin 77}/ 2 = arc cos-^-}/ 2.
4	Z	Z
На чертеже 37 (радиус равен единице) мера дуги обо-
значена через х, её синус через т, её тангенс через р. Зна-
чит, х есть дуга, синус которой т,
а тангенс р; или:
x = arc sin m\ x=arctg/7.
Пользуясь тригонометрическими
таблицами, мы решаем две задачи:
1) если дана дуга (или угол), то мы
отыскиваем тригонометрическую функ-
цию; 2) если дана тригонометрическая
функция, то мы отыскиваем величину
дуги (угла). Последнее есть не что
иное, как нахождение значения обратной
ческой функции по значению её аргумента.
Черт. 37.
тригонометри-
51
Из § 47 мы знаем, что одной и той же тригонометри-
ческой функции соответствует бесчисленное множество дуг,
имеющих одно и то же начало. Например, синусу, равному
•^•/соответствуют дуги в 30°, 150°, 390°, 510°,...; основ-
ные из них, дуги в 30° и 150°, имеют синус, равный поло-
вине, но если прибавить к каждой по 360°, то и новые
дуги будут иметь тот же синус. Следовательно, обратные
тригонометрические функции — функции мно-
гозначные.
§ 49. В предыдущих примерах мы ограничивались наи-
меньшей дугой, соответствующей данной тригонометриче-
ской функции, но можно было дать и общее выражение всех
дуг, имеющих данный синус, косинус, тангенс. Если имеют
в виду не наименьшее, а общее выражение всех дуг, име-
ющих данный синус, то обозначение дуги пишут с большой
буквы; например:
arc sin ~ = 30°; но Arc sin ~ = 180° • т (— 1)т • 30°,
или: arc tg 1 == 45°; но Arc tg 1 = 45°-|- 180° • т.
Эти формулы взяты из § 47 (общий вид углов, соответ-
ствующих данному значению тригонометрической функции),
но там ещё не употреблялись обозначения обратных триго-
нометрических функций.
Если воспользоваться формулами § 47 и обобщить их,
заменив числовые значения буквенными, то получим следую-
щую таблицу прямых и обратных тригонометрических функ-
ций:	у — sinx;
y = cosx;
y = tgx;
y = ctg x;
Arc sin у	— 1)ГЛ -x;
Arc cosy = -ь x;
Arctgy = тъ-\-х',
Arc ctg у = тк -j- x-
Большей частью, однако, по данной тригонометрической
функции отыскивают наименьшую по абсолютной ве-
личине дугу (аге). При этом для положительных значений
всех тригонометрических функций берут дугу в I четверти
(от 0 до для отрицательных значений синуса, тангенса
и косеканса берут дугу в I отрицательной четверти (от 0 до
— yj; для отрицательных значений косинуса, котангенса и
секанса берут дугу во II четверти (от-^-ДО я).
Таким образом, для всех возможных значений синуса,
52
тангенса и косеканса дугу берут в пределах от —у до
+ у, а для косинуса, котангенса и секанса в пределах от
О до тс.
Обратные тригонометрические функции назы-
ваются также обратными круговыми вследствие их связи
с кругом.
OD.
R ’
IV. Выражение синуса, косинуса и тангенса
суммы и разности углов, двойного угла
и половины угла.
§ 50. Синус и косинус суммы и разности двух углов.
Пусть а и р — положительные острые углы, составляю-
щие в сумме менее 90°.
Отложим в тригонометрическом круге угол а-|- р
(черт. 38).
Построим линии синусов углов а, 0 и а-|-0- Из чертежа
видим, что:
sin а =	; cos а =	; sin р =	; cos р =
sin (а Р) = ™; cos(a-{-p)=^.
§ 51.fa) Синус суммы. Чтобы выразить sin (а Р) через
'функции углов аир, построим треугольники, связывающие
тригонометрические линии этих уг-
лов. Для этого проведём DE || О А
и DK Н ВС.
Из чертежа получаем, что
FM = ME + EF = KD 4- EF.
Чтобы вычислить KD, рассмот-
рим прямоугольные треугольники
ODK и ОВС\ они подобны, так как
имеют общий острый угол а. Выра-
зим пропорциональность сторон:
DK=BC-^ = ME.
Отрезок EF вычислим из прямоугольных треугольников FED
и ОВС, которые подобны вследствие перпендикулярности
сторон; получим:
EF—OC —
ОС~ОВ’ — ов-
О
М КС А
Черт. 38.
Складывая результаты и заметив, что OB — OF, получим:
FM = ME-{- EF= ВС.	ОС-
Разделим обе части равенства на радиус, чтобы получить
отношение отрезков и перейти к тригонометрическим функ-
циям:	'
FM_BC OD.OC FD.
К ~ 8 OF* R * OB'
переходя к тригонометрическим функциям, получим:
sin (a -j“ Р) = sin а • cos 0 4~ cos а • sin р.
4*6) Косинус суммы. Чтобы выразить косинус суммы двух
углов через функции этих углов, обратимся опять к чер-
тежу 38. Из чертежа видим, что
cos(a-H) = -^p.
Ho
ОМ = OK— МК— OK—ED-,
следовательно:
r i OK ED
cos(a + ₽) = u?-u?.
Разделив и умножив в правой части последнего равенства
первый член на OD, а второй член на FD, получим:
, . D4 OK OD ED FD
cos (а 4- Р) — 0D * qF pD • 0F.
Из треугольника ODfa
OK
OD~ с08 a’
из треугольника EFD*
ED
ив треугольника OFD\
OD D
Qp---C°S
из треугольника OFD:
FD . q
07?=sm ₽.
Следовательно:
cos (а 4~ Р) — cos а • cos р — sin а • sin р.
§ 62-^ ,а) Синус разности. Формулы для синуса разности
мижно вывести из формул для синуса и косинуса суммы
двух углов, опираясь при этом на формулы приведения.
54
Имеем:
sin(a — ₽) = cos [90° — (a — P)] = cos [(90° — a) + p] =
= cos (90° — a) cos p — sin (90° — a) sin p =
= sin a • cos p — cos a • sin p.
б) К	осинус разности. Аналогично предыдущему для
косинуса разности двух углов имеем:
cos (a — Р) = sin [90° — (a — р)] = sin [(90° — a) 4~ P] =
= sin (90° — a) cos p 4" cos (90° — a) sin P =
= cos a • cos p sin a • sin p.
§ 53.	Итак, мы получили следующие четыре формулы:
sin (a -J- Р) = sin a • cos 8 4" cos a	•	sin p;	(I)
cos (a 4~ P) = cos a • cos p — sin a	•	sin p;	(II)
sin (a — P) = sin a • cos P — cos a	•	sin P;	(III)
cos (a — P) = cos a • cos p 4" sin a	•	sin p.	(IV)
При выводе этих формул мы предполагали, что а^>{1
и что аЦ-р<^90°; в следующем параграфе будет доказано,
что полученные формулы обладают общностью, т. е.
что они справедливы и для каких угодно значений аир.
§ 54.	Доказательство общности формул § 53. Рассмотрим
сначала формулы для суммы, а из них уже легко будет получить
формулы для разности. При выводе мы будем пользоваться, между
прочим, и формулами приведения, общность которых уже доказана
(§ 38). Переходим к самому доказательству.
I.	а) Оба слагаемых угла положительны.
1)	Для a + р < 90° формулы доказаны.
2)	Пусть a <90° и р<90°; но а + р>90°; тогда, полагая
a = 90°~ и р = 90° — ръ будем иметь:
sin (a р) = sin [180° — (04 + р,)] = sin (ax + pi);
cos (a + fl) = cos [ 180° — (aj +	= — cos (<4 -|- ^).
.Так как ®i + Pi < 90°, то, применяя к этой сумме доказанные
формулы и пользуясь свойством дополнительных углов, получим:
sin (a + р) = sin ax • cos pt + cos 04 • sin px = cos a • sin p + sin a • cos p;
cos (a 4- p) = — cos ax • cos p! + sin • sin px ₽= — sin a • sin p +
4- cos a • cos p.
Получилось то же самое, что и в § 53.
Из пп. 1) и 2) вместе следует, что формулы (I) и (II) верны
для всех положительных острых углов.
3)	Докажем теперь, что если формулы (I) и .-(II) справедливы
для каких-нибудь двух углов, то они останутся справедли-
выми и тогда, когда к одному из этих углов прибавим 90°.
55
Обозначим через аир два таких угла, для которых формулы
верны, и положим, что а + 90° = ох, тогда:
sin (ах + Р) = sin [90° + (а + Р)] = cos (а + р);
COS (ах + р) = cos [90° + (а + р)] = — sin (а + Р).
Разлагая здесь cos (a-f-p) и sin (а + Р) на основании допуще-
ния, сделанного относительно аир, получим:
sin (а! + Р) = cos а • cos р — sin а • sin р;	П)
cos (ах + р) = — (sin а • cos р + cos а • sin Р).	(2)
В правых частях равенства перейдём от а к ai. Так как
а -|- 90° = ах, то а = ах— 90°, или а = — (90° — ах), а отсюда:
sin а = — (sin 90° — ах) = — cos ах.
cos о = cos (90° — ах) == sin ax.
Заменяя теперь в равенствах (1) и (2) sin а через — cos ax и
cos a через sinax, получим:
sin (ax + P) = sin ax • cos p — (— cos at) • sin p ==
= sin ax • cos p + cos ax • sin p;
cos (a^ + p) = — [(— cos otx) • cos p + sin ax • sin p] =
= cos ax • cos p — sin ax • sin p.
Мы получили формулы (I) и (И) предыдущего параграфа для
углов ax = a4-90° и р.
4)	Каждый положительный угол, превышающий 90°, можно
получить через последовательное присоединение 90° к ос т-
р о м у углу; формулы (I) и (II) для острых углов уже доказаны,
а присоединение 90° к тому или другому углу не нарушает соотно-
шения, как мы только что видели, поэтому формулы будут верны
для положительных углов любой величины.
I. б) Один из слагаемых углов или оба отрица-
тель^ ы. Отрицательный угол может быть получен через после-
довательное присоединение — 360° к положительному углу. Для
положительных углов формулы (I) и (II) доказаны; присоедине-
ние,— 360° к а или р или к тому и другому не изменяет ни синуса
и косинуса суммы, ни синусов и косинусов отдельных углов,
поэтому формулы будут верны и тогда, если один из углов или
оба будут отрицательны.
Из пп. I а) и I б) следует, что формулы (I) и (II) верны при
любом значении аир.
II. Случай разности двух углов.
Заменяя в формулах суммы р через — р, найдём;
sin (a — Р) = sin a • cos (— P) -f- cos a • sin (— p) =
= sin a • cos p — cos a • sin P;
cos (a — p) = cos a • cos (— p) — sin a • sin (— p) = cos a . cos P +
+ sin a • sin p.
Эти формулы доказаны теперь для углов аир любой величины.
Итак, общность формул (I)—(IV) доказана.
56
cosg
tg(«+p)=-
1
§ 55. Тангенс суммы и разности двух угловл!) Имеем:
t , [ оч sin (а + g) sing - cos ft + cos а - sing
81 i r J	cos (a g)	cos a • cos g — sin a • sin g *
Чтобы перейти к tga и tgP, разделим числитель и зна-
менатель второй дроби почленно на cos a • cos р; получим:
sing
cosa_____
sin a sing ’
cosa ’ cosg
teC+₽)=T^S|F-	(V)
t2) Повторяя тот же самый приём, найдём:
tgt«—•	<V1)
§ 56. От суммы и разности двух углов можно Перейти
к сумме каково угодно числа положительных и отрицатель-
ных углов; например:
sin (a — р 4" l) = sin [(a— Р) -}- у] =
= sin (a — P) • cos у 4" cos (a — P) • sin y;
далее применяем формулы (III) и (IV).
§ ^7 Синус, косинус и тангенс двойного угла. В фор-
мулах для суммы двух углов полагаем р = а; получим:
sin 2а = 2 sin cl • cos а;	(VII)
cos 2а = cos2a — sin2a;	(VIII)
<“>
§ 58. Чтобы разложить тригонометрические функции
углов За и 4а^представляем эти углы в виде^ 2а 4“ аи
2 • (2а). Например:
1) sin За = sin (2а 4~ а) = sin 2а • cos а 4~ cos 2а • sin а =
= (2 sin а • cos а) • cos а 4~ (cos2 а — sin2a)« sin а =
= sin а (3 cos2a — sin2a) = 3 sin а — 4 sin3a;
2) sin 4a = sin 2 • (2a) = 2 sin 2a • cos 2a =
= 4 sin a • cos a • (cos2a — sin2a).
§ 59. Нередко бывает необходимо функции данного угла
выразить посредством функций его половины; для этого
рассматриваем данный угол как удвоенную его половину
и применяем § 57.
Например:
b) cos а = cos 2 ^yj = cos3 у — sin3 у .
§ 60.	Синус, косинус и тангенс половины угла. По
§ 12 и 59 имеем следующие равенства:
cos3 + sin3 у — 1; cos3 у — sin3 у = cos а.
)Складывая и вычитая их, найдём:
2 cos3 у — 1 4“ cos а и 2 sin3 у = 1—cos а,
а ютсюда:
(X)
(XI)
Разделив равенство (X) на (XI), получим:
(XII)
В следующем параграфе будет дана более удобная фор-
мула.
Применяя полученные формулы, следует сохранять перед
корнем оба знака только тогда, когда нет данных для
выбора между ними; в противном случае берём один тре-
буемый знак.
Пример. Найти tg у, если а содержится между 270° и 360°
и cos а = 0,5. Так как 270°<а<360°, то 135°< у< 180°;
58
таким образом, угол у — тупой, и tg у имеет отрицательное
значение. Поэтому мы должны взять
g 2 Г 1 +0,6	2 •
§ 61.	О двойных знаках в формулах (X) и (XI). Если дано
значение cos а и значения а ничем другим не ограничены, то опре-
деление функций дуг ~ равносильно их определению для всех
значений а, соответствующих данному значению косинуса. Пусть
будет из них ср наименьшее положительное; тогда а = нн + 360°*«,
(X	Ф	ср	ср
а следовательно, у = ± + 180° • п. Концы дуг +	и —~ нахо-
дятся в I и IV четвертях; присоединяя 180° • п, мы получим при п
чётном те же самые концы дуг (т. е. в I и IV четвертях), а при п
нечётном — диаметрально противоположные им (т. е. в III и II чет-
а
вертях). Таким образом, концы дуг распределятся по всем
четырём четвертям, а потому значения функций дуг ~ будут как
положительными, так и отрицательными.
§ 62.	Выразим tg у ещё через sin а и cos а. Для этого
а Siny
заменим tg через----------~ и дополним сначала числитель, а
COS-Tj-
• Л . а а	,
потом знаменатель до sin a = 2sin «cos-^; получим (по
§ 59 и 60):
•	а Л	®
„ sin-у 2 cos v
a) ^2^--------a-T------Г’
cos-^- • Scos-^-
•	a Л j a
sin тг • 2 sin тг
. 4 . a 2	2
b) tgTT =-----------------
' & 2 a Л . a
COS -y • 2 Sin 7Г
, a ____ sin a
g 2	1 + cos a ’
, a 1 — cos a
tg -77 =-----:-----•
2 sin a
Пример. Применим формулы а) и b) к примеру из § 60.
Имеем: 270° a <^360° и cos a = 0,6; отсюда:
sin a = — /1 — (0,6)* = — 0,8.
59
Таким образом:
Л— ~0’8 _ —°,8_ 1 .
2	14-0,6	1,6 Т’
b) tg|
1— 0,6 _ 0,4
— 0,8	—0,8
1
2 ’
V. Приведение выражений к виду, удобному
для логарифмирования.
§ 63. Общее замечание. Чтобы значение выражения
удобно было вычислить с помощью логарифмов, это выра-
жение не должно содержать ни сумм, ни разностей, кроме
таких, которые легко найти непосредственно.
Если это условие не выполнено, то следует данное выра-
жение преобразовать, насколько это возможно и выгодно.
Главные из таких преобразований мы и рассмотрим теперь.
§ 64. Преобразование суммы и разности двух сину-
сов или косинусов.
Преобразуем sin а -|- sin р. Для этого положим
a = x-|-J	(1)
И
₽ = х — у	Г21
и применим формулы (I) и (III) § 53; будем иметь:
sin а = sin (х -J-J7) = sin х • cosy-]-cos х • siny;	(3)
sin p = sin (x—y) = sinA; • cosy— cosx «siny;	(4)
отсюда:
sin a -J- sin p — 2 sin x • cosy\
но из уравнений (1) и (2) следует:
х—~г- и у —	>
таким образом,
sin а -|- sin р = 2 sin а • cos °-•	(XIII)
Вычитая почленно равенство (4) из (3), получим:
sin а — sin Р = 2 cos х • sin у = 2 cos —5— sin —,
во
или
sin а — sin р = 2 cos-^y sin yy.	(XIV)
Воспользуемся теперь формулами
cos (х -|-.У) = cos x cos у — sin x sin y,	(5)
cos (x—y) — cos x cos у 4~ sin x sin y,	(6)
считая опять
а—х-}-у и fi — x—у.
Сложив почленно равенства (5) и (6), получим:
cos (х	+ cos (х—у) — 2 cos х cos у	(XV)
или
I О п « + & а— 3
cos а cos р = 2 cos —%— cos —у.
Вычтя почленно равенство (6) из (5), получим:
cos а — cos р =—2 sin <4у sin ^у=
= 2sin^^sin^—\	(XVI)’
Примеры.
П . 1АПО ‘ 1ДО Q 100* *+ 16°	. 100°— 16°
1)	sin 100° — sin 16° = 2 cos--- • sin------------=
= 2 cos 58° • sin 42°.
2)	cos 12°— cos 60°= 2 sin 36° • sin 24°.
3)	cos 50° 4“ sin 70° = cos 50°Ц- cos 20° = 2 cos35°«cos 15°.
4)	sin а 4“ cos a = sin a4~sin (90° — a) = 2 sin 45a X
X cos (a — 45°) = j/2 • cos (a — 45°).
§	65. Преобразуем ещё следующие выражения, содер-
жащие синус и косинус.
а — 8	/	8 — а\	8 — а
*) sin —у = sin ( —	—) = “~sin —у . Формула (XVI)
читается так: разность двух косинусов равна удвоенному произ-
ведению синуса полусуммы углов на синус обратной полураз-
ности их.
61
а)	Деля равенство (ХШ) на (XIV), получим:
« + ₽ а — 3	: а + 3
sina+sinp = 2 sin—-cos— = sin-у-
2 cos	• sin ° 2 - cos —
a —p
sin 2
•a-p 5
cos—F"
sin a — sin p
следовательно,
tg “+J
.sing + sinA = _t2	(XVII)
sin a — sinp ct — p	v '
2 2
б)	По § 60 имеем:
1 -(-cosa = 2 cos8-J;	(XVIII)
. 1— cos a = 2 sin8 .	(XIX)
Примеры.
35°+14°
sin 35° + sin 14° _tg 2	_ tg 24°30'
sin 35° — sin 14° ~	35° — 14° — tg 10°30' ’
tg——
2) I-}-cos 10o23' = 2cos85°U'30".
3) 1—sin 40° =1 —cos 50°=2 sin8 25°.
§ 66. Преобразование суммы и разности двух танген*
сов или котангенсов. Чтобы преобразовать выражения:
tg a ± tg р, ctg a ± ctg р, tg a zb ctg p и ctg a zt tg p, надо
сначала перейти к синусу и косинусу, например:
а)	tga+tgp=^+^4==^+^-
' Ь I or COS a * COS р COSa-COSp’
6)	ctga-ctgp = ^--^i = ^fc^-
7	& &r sin a snip
4	.	x о sin a cos 8
в)	tga — ctg 8 =--r—£- =
7 &	r cos a sin P
sin а • sin Ji ’
cos (<х-Н)
cosa - sinp ’
§ 67. Введение вспомогательного угла. Приводя выра-
жение к удобному для логарифмирования виду, иногда
бывает выгодно некоторые числа рассматривать как значе-
62
ния тригонометрических функций углов. Вот несколько
таких случаев:
1)	]/ у 5 — 1 = /4 sin 18°== 2 /sin 18°.
2)	1-4-tga = tg45o4~tga= sin^f
7 i 6	6	» ° cos 4o • cos a
3)	sin a -|- cos a = /2 • ^sin a •	-|- cos a * "py) =
= /2 • (sin a • cos 45° -f- cos a • sin 45°) = /2 • sin (a -|- 45°).
4)	12 sin 50°== 2sin 50°) =
= 2 • (sin 30° sin 50°) = 4 sin 40° • cos 10°.
§	68. В § 67 преобразование удавалось с помощью неко-
торых простейших углов. Рассмотрим теперь общий слу-
чай, а именно: введём вспомогательный угол для А-\-В и
А — В, обозначая через А и В какие угодно выражения:
1)	Имеем А-\-В^=А (1 +	; здесь принимаем ~ за
тангенс некоторого угла, что возможно, так как значением
тангенса может быть любое число. Полагая = tg 9, получим:
4-|-S = H(14-tg<p); но по § 67 1 +^9 = ^”^°^;
таким образом:
л + в=л.""1У+т>.
1	cos 45 «cos<?
Для вычисления второй части надо, конечно, сначала
найти вспомогательный угол 9 (с помощью таблиц).
2)	Тем же самым способом получим:
Д-В=А-.sinlg-y>.
cos 45° * cos у
3)	Еще получим:
^ = ffiK = tS(45” + ?>.
§ 69. Выражения А^-В и А — В преобразуются проще,
чем в § 68, если известно, что А и В имеют положи-
тельные значения.
63
(В \	в
1 4~	; так как положи*
тельно, то принимаем -^- = tg2q?; тогда:
А -|- В = А (1 -f- tg2 <р) = A sec® <р — 73^.
2) Для разности А — В, если А^>В, возьмём А — В —
= А(1—-д\ и положим sin29; это возможно, так
g
как -д- положительно и менее единицы. Тогда:
А — В = А(1 — sin29) = А • cos29.
Если А<^В, то берём сначала А — В =— (В — А),
после чего В — А преобразуем, как раньше.
VI. О тригонометрических уравнениях.
§ 70. Общие замечания. Уравнение называется триго-
нометрическим, если содержит неизвестное под зна-
ком тригонометрической функции; таковы, например, урав-
нения:
2sin2JV—3cosx= 0; sin5х = sin4х* tg(a-]-x) = /ntgx
(в первом уравнении неизвестное служит аргументом, во
втором — входит в состав аргумента, в третьем — то и
другое).
От тригонометрических уравнений следует отличать
тригонометрические тождества: так называются те равен-
ства, которые справедливы при всех значениях аргумента.
Например, в равенстве sin2 х Ц- cos2 х = 1 правая часть
всегда равна левой, — оно есть тождество; равенство
sin2.г—cos2x=l верно только для некоторых значе-
ний аргумента ’), — оно есть уравнение.
Решить тригонометрическое уравнение — значит опре-
делить те углы, которые удовлетворяют ему, т. е.
делают обе его части равными (эти углы называются кор-
нями уравнения). Для решения надо сначала определить
какую-нибудь функцию неизвестного угла, а по ней опре-
делить аргумент (обыкновенно с помощью таблиц). Но из
§ 47 мы знаем, что данному значению функции соответ-
1) Например при х = 45и левая часть не равна правой.
64
> ствует бесконечный ряд углов; таким образом, тригоно-
метрическое уравнение (если оно разрешимо) имеет беско-
нечное число корней; обыкновенно находят их общий
вид. Пусть, Например, решая какое-нибудь тригонометриче-
ское уравнение, мы получили tg3x=l. Этому значению
тангенса соответствует аргумент такого состава: 45°-4-180° • л,
где п — произвольное целое число. Следовательно, Зх =
=45°-|-180о«л, откуда определяем х; деля обе части равенства
на 3, получим: х= 15°.60° • п. Этой будет общий вид
корней данного уравнения. (Примером неразрешимого урав-'
нения может служить 5sinx = 7; из него sinx — а это
невозможно, так как - абсолютная величина синуса должна
быть не более единицы.)
Что касается самих приёмов решения, то большей
частью выгодно^ приводить уравнение к одной функции,
преимущественно к синусу или косинусу, и к одному аргу-
менту; тогда, приняв эту функцию за особое неизвестное,
решаем уравнение как алгебраическое и отбрасываем те
корни его, которые не могут служить значением определяе-
мой функции. Иногда бывает также выгодно приводить
вопрос к обращению в нуль произведения или дроби. Всё
сказанное поясним на примерах.
§ 71. Примеры.. I. Решить уравнение: 2sin2x = 3sinх*
Решение. Приведя уравнение к виду
sin х* (2 sin х — 3) = 0, получим:
sinx=0; 2sinx—3 = 0, откуда sinx = -g-.
Второе значение sinx невозможно (так как превышает
единицу), а первому значению соответствует х=180°*л
(или х — ъп).
II. Решить уравнение: 2sin2x-|~3cosx = 0.
Решение. Заменяя sin2x через 1—cos2x, получим:
2 • (1 —cos2x)-|-3cosx = 0
и затем:
COS2X — -g-COSX—1=0,
откуда:
3 , 1Л9 । -	1
COS X — -J- zt у 16 I1’ COSXt = 2 И COS4^2 = — 2".
5 Тригонометрия	65
Первое значение для cosx невозможно, а взяв cosx==— у,
получим:
х=360°* п± 120°(или х=2я/г±^
III.	Решить уравнение: ctg (270° — x) = 3 ctgx.
Решение. Заменяя ctg (270° — х) и ctg х соответственно
•	1	3
через tgx и будем иметь tg.x=^y, откуда tgx =
==rt j/З. Оба полученные значения для tgx пригодны:
если tg xt = 4- j/З, то xt = 60°	180° • tv, если tg х2 =
= — j/З, то х2==— 60° 4* 180° п. Таким образом, вообще:
х = 180° • п ± 60°, или х=ял±4-.
О
IV.	Решить уравнение: tg (аЦ-х) — т • tg х, где а и т
предполагаются известными.
Решение. Разложив tg(a4~x), находим последова-
тельно:
= т tg х — т- tg a tg2 х;
от» tga tg2x—(от — 1) • tgx4-tga = 0;
от — 1 ± j/ (от — I)3 — 4от
2т • tg а
tg2a
V.	Решить уравнение: sinx—cosx=J/ у.
Решение. Здесь выгодно заменить левую часть произ-
ведением (ср. в § 64 пример 4):
sinx—sin (90°—x) = j/^-;
2 cos 45° • sin (x — 45°) = j/”у;
/2sin(x—45o) = j/y; sin(x—45°) = -j.
66
Отсюда:
х — 45° = 30° + 360° • п и х— 45°= 150° -f- 360°. я, .
а следовательно, x=75°-J-360°« п и х= 195°-|-360° • п,
или
5	13
х =	-f-2я • п и х—	п.
VI.	Решить уравнение: sin2x— 2 sin х • cos х — 3 cos® х.
Решение. Разделив обе части на cos2 х, получим:
tg2 х — 2 tg х — 3,
откуда для tgx получим два значения: —1 и 3; соответ-
ственно этим значениям tgx найдём: xt — 135° -j- 180° • п,
или Xj = — 45° 4-180°-л и х2 = 71°33'54" +180°. л.
VII.	Решить уравнение: sin 5х = sin 4х.
Решение, sin 5х — sin4x=0; 2 sin-у • cosy = 0.
Далее: sin-y = 0, откуда у = 180° • п и, следовательно,
х = 360°-л; cos у = 0, откуда у = 90° -f- 180° • п и,
следовательно:
лг = 20°4-40°. п.
Итак,
х = 360°.л; х=20°4-40°. п.
VIII.	Решить уравнение: а • sinx = 6 • cos2 у.
Решение.
а • 2 sin у • cos у = b • cos2 у;
cos у • (2а • sin -у — b • cos = 0,
отсюда:
1) cos4- = 0; 2) 2a>sin-^- — 6-cos4г«=0, откуда
tgA = ±
8 2 2а *
67
IX. Решить уравнение: tg5x = tg2x.
Решение. Приведя уравнение к виду tg 5х — tg 2х = О
и применяя § 67, получим:	'^os^x = это даёт
sin Зх = О, откуда Зх = 180° • п и, следовательно, х = 60° • п.
X. Решить уравнение: а» sinx-|-Z? • cosx = c.
Решение. 1-й способ. Так как sinх и cosx выра-
жаются друг через друга иррационально, то, сначала
уединив a -sinx (или b cosx), возводим обе части в ква-
драт и тогда заменяем уже sin2x (или cos2x).
2-й способ. Воспользуемся тем, что sin а и cos а выра-
। а
жаются рационально через tgy, а именно:
2tg^-
sin а =-------- и cos а —--------J).
1 + tg2|	l+tg3^
Если сделать такую замену в нашем уравнении, то по-
лучим уравнение квадратное относительно tg-у, из кото-
рого и найдём:
х _ а ± У я2 + ь* — с2
tg 2 ~ Ь + с
Отсюда, между прочим, видно, что условие возможности
решения задачи есть: a2 -4-£2^с2.
Если для функции искомого угла получается выражение
буквенное, как, например, в данном случае, то оно и счи-
тается окончательным ответом; необходимо только исследо-
вать, при каких значениях входящих в ответ букв получен-
ное для тригонометрической функции значение возможно.
3-й способ. При многозначных числах предыдущий спо-
соб затруднителен, и тогда решают данное уравнение по-
средством вспомогательного угла следующим обра-
1) Взяв sin а = 2 sin -% • cos у и cos а = cos- — sin >
делим празые части на cos2 у + sin2 ~ (что равно 1), а затеь( чи-
о а
слитель и знаменатель делим на cos--^-.
68
зом: разделив обе части уравнения на Ь и полагая y = tg<p,
будем иметь:
е	tg ср • sin х + cos х — -j;
умножая теперь обе части на cos ср, получим:
ccs (х —	• cos 9-
Отсюда находим сначала х — ср, а затем х.
§ 72. Примеры этого параграфа будут касаться вопроса о по-
терекорней в уравнении и о получении посторонних
корней, причём предполагается, что общая теория этого вопроса
уже известна учащемуся из алгебры.
I. Когда приравнивается нулю один из множителей произведе-
ния с целью обратить в нуль самое произведение, то необходимо
следить, не обращается ли при этом другой множитель в оо
Возьмём, например, уравнение sin х • ctg 2х = 0. Приравнивая
нулю отдельные множители, получим:
1) sinx = 0, х= 180° • п; 2) ctg2x==0, 2х = 90°-|- 180° • п,
и, следовательно, х = 45° -|- 90° • п.
Сделаем теперь проверку.
Подставляя в данное уравнение корень х=180°«п, получим
в первой части: sin (180° • п) • ctg (360° • п), что равно 0 • оо.
Чтобы раскрыть эту неопределённость, преобразуем произ-
ведение sin х • ctg 2х; при всяком х имеем:
х о . cos 2х cos 2х
sin х • ctg 2х = sin х • - х - == я-;
ь	sin 2х 2 cos х
подставляя сюда х = 180° п, получим:
cos (360° • п)	1	1 f
2 cos (180° • п) 2 • (— 1)д ~ 2 ‘	*
Таким образом, корень х=180°« п не удовлетворяет данному
уравнению, так как обращает левую часть его не в нуль, ав + ^
1
или —2 •
Подставляем в данное уравнение корень х = 45° + 90° • я. Так
как sin х никогда не обращается в оо, то в произведении получим
нуль, и, следовательно, испытуемый корень пригоден.
Итак, после исследования остаётся только х = 45° + 90° • п.
тт ~	sin2x cos2x
II.	Решить уравнение:—•.---=--------.
smx cosx
Решение. Освобождаясь от знаменателей, получим sin 2х X
X cos х = cos 2х • sin х, или sin 2х cos х — cos 2х • sin х = 0; здесь
в левой части мы имеем разложенный синус разности; таким обра-
зом, получим sinx = 0, откуда х = 180° • п. Так как при sinx = 0

общий знаменатель sin х • cos х обращается в нуль, то полученный
корень сомнительный.
Подставив х = 180° • п в данное уравнение, будем иметь:
sin (360° • п) ____ cos (360° • п) 0 _____	1
sin (180% п) ~ cos (180° • п) > ИЛИ О’ ~ (— 1)" '
Чтобы раскрыть неопределённость в левой части, заметим,
sin 2%	2sinx-cosx п
что —;----тождественно равно-------------------,или2cosх;следо-
sinx	sinx* ’	’
вательно, истинное значение левой части есть 2 cos (180°** п), или
2-(-О".
Таким образом, х = 180° • п не удовлетворяет данному уравне-
нию.
Вообще, если в уравнении есть знаменатели, то более надёж-
ный приём решения будет следующий: переносим все члены в одну
часть и соединяем все члены в одну дробь; эту дробь сокращаем,
если возможно, и затем определяем, какими способами можно
обратить её в нуль.
Поступая так с данным уравнением, мы заменили бы его по-
степенно следующими:
sin 2х - cos х — cos 2х « sin х __ sin (2х — х) __	1 __ р.
sinx* cosx	’• sinx «cosx 9 cosx ’
sec x = 0.
Но секанс никогда не может быть нулём, и потому данное
уравнение не имеет решений.
III.	Если бы в примере I мы разделили обе части на sinx, то
потеряли бы корень sinx = 0.
В примере VI, § 71, мы разделили обе части уравнения на
cos3x, но cosx —0 не удовлетворяет данному уравнению; следова-
тельно, потери корней здесь не произошло.
IV.	Решить уравнение: sinx+ 7 cosx = 5... (а).
Ре	шение. Взяв sinx = 5 — 7 cosx...(b), возвышаем здесь
обе части в квадрат; получаем:
sin2 х = 25 — 70 cos х + 49 cos2 х.
Далее найдём:
7	12
50 cos2 х — 70 cos х + 24 = 0;	cos2 х —F cos х + ~ = 0;
'	о	25
7	1/49	12	7 _ 1
C°sx— ю± у 100	25“ 10-10’
Таким образом:
1) cos xt = 0,8, откуда Xi = 360° • п ± 36°52'12";
2) cos х3 = 0,6, откуда х2 = 3 50° • п ± 53°07'48”.
Вспомним, что в нашем решении имеется возвышение обеих
частей уравнения в квадрат, а от этого могли получиться посторон-
ние корни. Такие корни будут, как известно, принадлежать уравне-
нию, которое отличается от возведённого в квадрат только знаком
одной части, т. е. уравнению sin х = — (5—7 cos х); следовательно,
у них будет не тот знак синуса, какой требуется. Определим по-
70
этому, какой должен быть знак синуса, чтобы угол удовлетворял
данному уравнению. Подстановка значений cosx в уравнение (Ь)
даёт:
1) sin Xi = 5 — 7 • 0,8 < 0;	2) sin х3 = 5 — 7 • 0,6 > 0.
Таким образом, в полученном у нас решении должны быть
исключены углы: х1 = 360° • zz —36°52'12", как имеющие положитель-
ный синус, и х2 = 360° • п — 53°0?Ч8", как имеющие отрицательный
синус.
Итак, окончательное решение уравнения (а) выразится форму-
лами:	?
Xl = 360 . п — 36°52'12" и х2 = 360° • п + 53°07'48".
Решая для сравнения данное уравнение ещё переходом
* *
к tgу, мы получим:
1) tg у = у; Y = 26°33'54” + 180° . я; х = 53°07'48" + 360° • я;
2) tg -£ = — 4; 4 = ~18°26'6" +180° • я; х = — 36°52'12" +
4-360°. п.
О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ТАБЛИЦАХ.
VII. Понятие о составлении тригонометриче-
ских таблиц.
§ 73. Покажем, как для всякого угла могут быть най-
дены приближённые значения его тригонометрических
функций.
Тригонометрические функции любого угла приводятся,
как мы знаем, к функциям положительного угла, не превы-
шающего 45°; значения всех тригонометрических функций
можно вычислить по значению одной из них, например си-
нуса; из этого следует, что для нашей цели достаточно
указать способ, каким можно было бы вычислить синус
каждого из углов, содержащихся между 0° и 45°.
Один из способов основан на том, что при очень
малом угле можно без значительной погрешности линию
синуса заменить дугой.
Пусть, например, на чертеже 39 £ AOB—lQf (на чер-
теже величина угла искажена ввиду невозможности начер-
тить столь малый угол). По определению синуса должна
быть sin 10'а указанный способ состоит в том,
71
что вместо мы берём —. Для вычисления этого от-
J\
ношения мы имеем:
-о  2тс7? • 10   тс/?
Ats	3S0 • 60	1080’
откуда:
АВ  тс
7?	1080 ’
подставляя сюда значения z, получим:
^5—= 0,002908882...
Это число и послужит приближённым значением sin 10'.
гр	I j АВ к
Так как величина отношения — есЧъ радианная мера
дуги, можно сказать, что синус очень малого угла мы заме-
(измеренной в радианах), а
няем радианной мерой соот-
ветствующей дуги.
По этому способу мы
начнём вычисление с доста-
точно малой доли дан-
ного угла и будем увеличи-
вать угол постепенно, применяя
формулы, относящиеся к двой-
ному углу и к сумме углов.
В § 74—76 будут доказа-
ны три теоремы; из них вто-
рая оправдывает замену синуса
очень малой дуги этой дугой
третья позволяет судить о по-
грешности при такой замене.
$ 74. Теорема. Радианная мера дуги (меньшей
более синуса этой дуги и менее её тангенса.
Пусть имеем: 0<^а<^^-,
где а есть радианная мера
угла; требуется доказать, что sin ааtga.
Доказательство. По чертежу 39, проведя вспомо-
гательную хорду АВ, имеем:
площадь Д ОВА площади сектора О АВ	площади
Л ODA, или, взяв выражения этих площадей,
-i- ОА • ВС< 1ОА • А5<у ОА • AD.
72
Отсюда:
ВС<^ AB<AD
и, деля каждую часть на R:
ВС	и АВ	AD
R R	R ’
т. е.
sin а < а tg а.
$ 75. Теорема. Если угол стремится к нулю, то
отношение синуса к радианной мере угла имеет пределом
единицу.
тт	.. sin а .
Нам надо доказать, что lim --= 1, где а есть радиан-
а->0 а
ная мера угла.
Доказательство. По § 74 имеем:
sin а а tg а.	(1)
Разделив sin а
лучим:
на каждую часть этого неравенства, по-
>sin а \
----3>cosa.
а
(2)
стремится к нулю, то cos а стремится
образом, в неравенстве (2) третья и первая
Если угол а
к единице; таким
части неограниченно сближаются по величине, а следова-
тельно, неограниченно сближается и вторая часть с первой,
sin а
т. е. предел отношения -- есть единица.
§ 76. Теорема. Для острого угла разность между
радианной мерой и синусом менее четверти куба радиан-
ной меры.
Пусть а — радианная мера угла, причём
&
аъ
требуется доказать, что а — sin а << -у-.
Доказательство. Начнём с неравенства ~tg-^
(применяя §74 к дуге . Умножив обе части на 2cos2-£,
\ " / "
о а с\ * и	a	(.	, а а \
получим: а • cos2 у << 2 sin у • cos у, откуда: а (1 — sin2 у )<^
sin а, а отсюда: а — sin а а • sin2 у. Заменяя теперь
73
sin у большей величиной у (§ 74), мы будем иметь окон-
. а’
чательно: а — sina<_ —.
§ 77. Применяя способ указанный выше (с некоторыми
упрощениями), можно составить так называемые таблицы
натуральных тригонометрических величин,
а взяв логарифмы найденных чисел, получим те лога-
рифмические таблицы, которыми .пользуются в тригономе-
трических вычислениях.
Замечание. В предыдущем доказана только возможность
составления тригонометрических таблиц. Что же касается того, как
они были состав 1ены на самом деле в первый раз, то заметим
лишь, что применённые тогда приёмы были весьма сложны.
VIII. Тригонометрические таблицы.
§ 7(Й Дадим краткое объяснение таблиц тригонометри-
ческих функций, помещённых в книге В. Брадиса „Четырёх-
значные математические таблицы", издания 1946 г.
Таблица IX содержит значения синуса и косинуса для
всех острых углов, содержащих целое число градусов и
минут. Для отыскания синуса надо найти слева данное число
градусов, а сверху — данное число минут; на пересечении
соответствующей строчки и столбца находится искомый
синус<
Примеры, sin 20°12' = 0,3453;
sin 75°48' = 0,9694.
Обратно, при отыскании угла по. синусу нужно найти
данное значение синуса и слева взять градусы, а сверху —
минуты:
sin х = 0,8949; х = 63°30'.
При отыскании косинуса надо градусы брать справа,
а минуты — снизу, например:
cos 35°42' = 0,8121.
Значения углов в этой таблице даны с интервалом в 6'.
Для вычисления функций промежуточных углов надо поль-
зоваться поправками на 1, 2 и 3 минуты в столбике справа.
Например:
sin 34°15'= 0,5628
(к* sin34°12' прибавлена поправка на 3', равная 7).
74
Так как в I четверти при увеличении угла синус растёт,
а косинус убывает, то для синуса поправка прибавляется,
а для косинуса — вычитается.
Таблица X содержит значения тангенсов для углов от 0°
до 76° и котангенсов для углов от 14° до 90°. Поль-
зоваться этой таблицей надо так же, как таблицей IX.
Таблица XI содержит значения тангенсов для углов от
76° до 90° и котангенсов для углов от 0° до 14°; в этих
интервалах тангенс и котангенс меняются особенно быстро.
В этой таблице углы отличаются на Г; поправок находить
не надо.
§ 79. Таблицы XII, XIII, XIV, XV и XVI содержат лога-
рифмы синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов. Поль-
зуются этими таблицами так же, как предыдущими.
Примеры. 1g sin 20° 18' = Г,5402; 1g tg 61 °54' = 0,2725;
lg cos 26°48' = Г,9506; 1g ctg 18°30' = 0,4755
§ 80. Употребление пятизначных таблиц логарифмов.
Опишем устройство таблиц Пржевальского.
В этих Таблицах на стр. 62—151 стереотипного издания
содержатся логарифмы синуса, косинуса, тангенса, котангенса
острых углов, причём углы идут через Г, а логарифмы даны
с точностью до % стотысячной.
Отрицательные характеристики для удобства при печа-i
тании увеличены на 10, так что характеристика 9 обозна-
чает 1, характеристика 8 обозначает 2 и т. д.
Числа градусов более 45 напечатаны внизу страницы;
когда берутся эти числа, то минуты берутся справа, а на-
звания функций — снизу.
Если угол содержит секунды, то к табличному лога-
рифму делается поправка. Эта поправка вычисляется с по-
мощью пропорции, так как небольшие изменения угла и неболь-
шие изменения логарифма приблизительно пропорциональны.
Пример 1. Найти lg sin 34° 16'43".
Решение. На стр. 130 находим:
lg sin 34°16' = 1,75054.
Выписываем табличную разность ^=19. Составляем
пропорцию:
х: 19 = 43": 60",
где х— искомая поправка логарифма, соответствующая 43".
75
Находим:
х 19 • 60^ 14.
Итак,
lg sin 34°16'43" = 1,75068.
Для нахождения поправки можно пользоваться таблич-
ками, помещёнными сбоку каждой страницы.
В приведённом примере по табличке сначала берём
поправку на 40" (получится 12,7) и потом на 3"(получится
0,95), вся поправка будет равна приблизительно. 14.
Действие надо располагать так:
lg sin 34°16' =1,75054 </=19.
__________4-43"	4-14
Igsin 34°16'43" =1,75068.
Пример 2. Найти lg cos 29°45'23".
Решение. Igcos29°45'	=1,93832 d = l.
_________4-23"	—3
lg COS'29°45'23"= 1,93859.
Поправку вычитаем, так как с увеличением угла косинус
уменьшается, его логарифм — также.
Пример 3. Найти lg tg 57°20'30".
Решение. lgtg57°20'	=0,19303 </ = 28.
4-30"	4-14
lg tg 57°20'30" = 0,19317’
Пример 4. Найти угол х, если lg sin X— 1,53623.
Решение. На стр. 113 находим ближайший меньший
угол и затем делаем поправку; действие располагаем так:
1,63610.., 25°38'	</ = 26.
4-13...	4-30"
1,63623... 25°38'30"
х = 25°38'30".
Поправку проще всего взять из столбика с заголовком
26, где на 3" приходится поправка 1,3, а поправка 13 при-
дётся на 30".
76
Пример 5. Дано: lg tgx = 2,95696; найти х.
Решение.	2,95627.. .5°10' d=140.
+ 69... +30”
2,95696.. .5°10'30”
Х=5°10'30”»
Пример в. Дано: lg ctg х = 1,07085; найти х.
Решение. 1,06984.. .4°52' </=150.
+101... —40”
1,07085...4°51'20”
Х=4°51'20”.
§ 81. Случай очень большой табличной разности. Отыскивая
поправку к табличному логарифму или табличному углу, мы прини-
мали, что изменения угла и изменения логарифма пропорциональны,
но на самом деле это справедливо только приблизительно; если бы
это было верно вполне, то для одной и той же функции все таб-
личные разности были бы равны между собой, чего, однако, нет,
хотя вообще они меняются очень медленно. Но на первых страни-
цах таблицы для синуса, тангенса и котангенса очень малых углов
(а следовательно, для косинуса, котангенса и тангенса углов, близ-
ких к 90°) логарифмические разности изменяются очень быстро,
а потому в этих случаях предыдущий способ вычисления поправки
ненадёжен. Приводим пример.
По обычному способу найдём:
lg sin 22'48'' = 7,80615 —10 + 0,01930 •	= 7,82159 — 10,
между тем как в более полных таблицах показано: lg sin 22'48" =
= 7,82166 — 10; так^м образом, обычный способ вычисления поправки
здесь оказывается грубым (разница достигает 7 стотысячных).
По указанной причине в случае очень большой табличной
разности (например для синуса и тангенса углов, меньших 2°)
употребляют другой приём, а именно: принимают, что синусы и
тангенсы очень малых углов пропорциональны
самим углам (а остальные случаи сводят на этот).
Покажем этот приём на примерах.
Пример 1. Мы находим lg sin 22'48" Применим новый способ.
Будем иметь:
sin 22'48" _ 22'48" sin 22'48" _ 22,8
sin 22' — 22' ’ или sin 22' — 22 ’
отсюда:
lg sin 22'48" = lg sin 22' (lg 22,8 — lg 22) =
= 7,80615 — 10 + (1,35793 — 1,34242) = 7,82166 — 10,
что согласно с более полными таблицами.,
77
Пример 2. Найти lg tg 88°56'20".
По обычному способу получается 1,73232, а должно быть (по
полным таблицам) 1,73231. Применим теперь новый способ.
Имеем: 1) tg 88’56'20" = ctg 1°03'4)" = |g	;
tg l°03'40"	1°03'40" tg 1°03'40'<	191
tg ГОЗ' ~ 1°03'	’ ИЛИ tg 1°03' — 189-
Произведя вычисление, получим:
a)	lg tg 1°03'40" = 8,26312 — 10 + (2,28103 — 2,27646) = 8,26769 —
б)	lg ctg 1°03'40" = lg 1 — lg tg l°03'40" = 1,73231,
что и должно быть (по полным таблицам).
Пример 3. Дано: lg ctg а = 2,20443; требуется найти а.
По обычному способу получим а = 21'29". Применим новый
способ.	4
Берём lg tga = lg 1 — lg ctg a = 7,79557 — 10; ближайший мень-
ший логарифм в таблице есть 7,78595, и ему соответствует угол
в 21'; составим пропорцию:
a _ tga #
21' tg 21"
полагая теперь а = х", получим:
х_ tgg
1260”“ tg 21'*
откуда:
lg х = lg 1260 + (lg tg a — lg tg 21') = 3,10999.
Найдя целое число, наиболее подходящее к этому логарифму,
будем иметь х — 1288. Итак, а = 1288" = 21'28". Тот же самый угол
получается и по более полным таблицам.
§ 82. Степень точности при определении угла по пяти-
значным таблицам. Для того чтобы два логарифма какой-
нибудь тригонометрической функции различались между собой
на 0,00001, надо, чтобы соответствующие*им углы отлича-
60"
лись один от другого на , где d означает величину таб-
личной разности (в стотысячных долях); если же разность
60"
двух углов будет меньше , то соответствующие логарифмы
будут различаться менее чем на 0,00001, и, следовательно,
при ограничении пятью десятичными знаками они окажутся
равными. Отсюда следует, что ошибка в определении угла
60"
по логарифму может доходить до -j-.
' В случае синуса для углов до 12° имеем d^>60, а сле-
60"
довательно, величина-т-менее Iм; затем она начинает воз-
fl
растать, при 85° достигает Г, а при углах, близких к 90°,
78
Один, и тот же. логарифм соответствует уже нескольким
углам, так что здесь колебание в угле может достигать
нескольких минут. Таким образом, по синусу, а следова-
тельно, и по косинусу углы определяются: с малой точно-
стью; особенно же неточно определяются: по синусу — углы,
близкие к прямому, а следовательно, по косинусу — углы,
близкие к нулю.
Логарифмы тангенса и котангенса дают большую степень
точности, потому что с изменением угла тангенс и котангенс
изменяются гораздо быстрее, чем синус и косинус, так что
табличная разность их логарифмов (общая) всегда более
соответствующей разности для синуса и косинуса. В случае
тангенса и котангенса всего хуже определяются углы, близ-
60°
кие к 45°, но и там возможная ошибка остаётся менее
т. е. менее 2,4".
О РЕШЕНИИ ТРЕУГОЛЬНИКОВ.
IX. Прямоугольные треугольники.
§ 83, Соотношения между элементами прямоугольного
треугольника, В § 20 были выведены тригонометрические
соотношения между элементами прямоугольного треуголь-
ника; а именно, изопределения тригонометрических функций
были выведены формулы (черт. 40):
sinA = ~; cosA = —; tgA = ~.
с ’	с ’	& b
Определяя из этих формул а, b и с,
найдём:
1) а = с • sin А; 2) Z> = c*cosA;
3)	a = b • tg А.
Словесные формулировки приведены в
§ 20—21. К этим формулам надо добавить
ещё три, известные из геометрии:
А4-В = 90о; c2 = a2-f-Z>2; S=^ab.
§ 84.	Между элементами всякого треугольника существуют
только три независимых соотношения. В состав треугольника
входят три стороны и три угла; но из этих шести элементов до-
статочно иметь три (исключая случай трёх .углов), чтобы можно
было построить треугольник и тем самым получить остальные три
элемента. Отсюда следует, что и при вычислении в треугольнике
можно определить три элемента по данным остальным; а для этого
79
число независимых уравнений между элементами треугольника
должно быть равно также трём. Если уравнений получено более
трёх, то некоторые из них будут уже следствием других.
. В прямоугольном треугольнике основными соотношениями счи-
таются обыкновенно следующие:
А + В = 90°; а = с • sin А; Ъ = с • cos А.
Остальные можно вывести из них.
§ 85.	Решение прямоугольных треугольников. Основ-
ными элементами треугольника считаются стороны и углы.
Поэтому при решении прямоугольного треугольника, в зави-
симости от того, какие элементы даны, могут представиться
4 случая, разобранные в следующих параграфах. При этом
в числе данных непременно должен быть один линейный
элемент, так как иначе нельзя узнать размеры треугольника;
по трём углам можно построить сколько угодно подобных
треугольников.
Решение треугольников (как и решение всяких матема-
тических задач) проводится сначала, по возможности, до
конца в общем виде; затем подставляются числовые данные
и производятся вычисления. Все нижеследующие примеры
решены с помощью таблиц Брадиса, сначала по натураль-
ным значениям тригонометрических функций, потом — при
помощи таблиц логарифмов.
На случай пользования пятизначными таблицами даны
примеры решения треугольников и по этим таблицам.
§ 86.	1-й случай. Даны гипотенуза и острый угол (с и А).
Найти другой острый угол, катеты и площадь (В, a, b9 S).
I. Решение в общем виде:
2? = 90° — A; a = c*sinA; £ = c«cosA;
1 с8	cz
S= у ab = у- • sin A • cos A = -j- «sin 2A.
II. Числовой пример: с =*=627; A = 23°30'.
Решение.
В = 90° — 23°30' = 66°30'; а = 627 • sin 23°30'.
По таблице IX Брадиса находим sin 23°30' = 0,3987; сле-
довательно:
а = 627 • 0,3987 = 249,9849;
а ^250 (лин. единиц);
b = 627 • cos 23°30' = 627 • 0,9171 = 575,0217;
/?^575 (лин. единиц);
s= 1.249,98.575,02 = 71 872 (кв. единиц).
80
§ 87. 2-й случай. Даны катет и острый угол (а и А).
Найти В, с, b, S.
I. Решение в общем виде:
В = 90"-Л; с=^-, » =	ctgA;
5=4= ctg Л.
П. Чис'ловой пример: а =18; А = 47°.
Решение.
В = 90° — 47° = 43°; е = -2|т5=521г;
с = 24,61 (лин. единиц);
Ь— 18 • ctg 47°= 18 • 0,9325;
b = 16,79 (лин. единиц);
1RS
5=-у • 0,9325 = 151,07 (кв. единиц).
§ 88. 3-й случай. Даны гипотенуза и катет (с и а).
Найти А, В, b, S.
I. Решение в общем виде:
sin А = —; cos В = —; b—Vc2 — а2; 5=4- /?—а8.
С	С	г	2 г
П. Числовой пример: с = 65; а=16.
Решение.
sin А = i| = 0,2461; А = 14°12' + 3' = 14°15';
В = 90° — 14° 15' = 75°45';
Ь— /б52— 162 = /(654-16). (65— 16)= /81 -49 = 9.7;
6 = 63 (лин. единиц);
5=^.63 = 504 (кв. единиц).
§ 89. 4-й случай. Даны оба катета (а и Ь). Найти Л,
Bt с, S.
I. Решение в общем виде:
tgA = у; tgB=^; с= ^аР^Ь2-, S=^.
II. Числовой пример: а = 25; # = 40.
Решение.
tg А = ^ = 0,625; А = 32°; В=58°;
с = /25* 4" 402 !=« 47,2; 5—500 (кв. единиц).
в Тригонометрия
81
Решение прямоугольных треугольников при помощи
четырёхзначных таблиц логарифмов.
§ 90. 1-й случай. Даны гипотенуза и острый угол:
с = 287,4; Д = 42°06'. Найти В, a, b, S.
Решение.
1) Я = 90° — 42°06' = 47°54'. 3) b = c cos Л;
2) а = с sin Д;	Ь = 287,4 cos42°0&';
а = 287,4 • sin 42°06'; lg b = 1g 287Д lg cos 42°06'.
lg а = lg 287,4 4- lg sin 42°06';
4- lg 287,4 = 2,4585	4~	lg 287,4 = 2,4585
lg sin 42°06' = 1,8264	lg cos 42°06' = 1,8704
lg а = 2,2849	lg b = 2,3289
a = 192,7.	6 = 213,2.
4)	5=la6; 5=0,5 «192,7.213,2;
lg 5= lg 0,5 4- lg 192,7 4- lg 213,2;
lg 0,5 = T,6990
4-lg 192,7 = 2,2849
lg 213,2 = 2,3289
lg 5=4,3128; 5=20 550 (кв. единиц). ~
§ 91.	2-й случай. Даны катет и острый угол: а = 797,9;
А = 66°36'. Найти В, с, Ь, 5.
Решение.
1)	В = 90° — 66°36' = 23°24'. 3) 6 = a- ctg А;
е —	с_- 797.9 .	6 = 797,9 • ctg 66°36';
с ~ sin А ’	sin66°35' ’	1g 6 = 1g 797,9	lg ctg 66°36’;
lg c = lg 797,9 — lg sin 66°36';	, lg 797,9 = 2,9020
_ lg 797,9 = 2,9020	lg ctg 66°36'= 1,6362
lg sin 66°36' = 1,9627	]g 6 = 2,5382
lgc = 2,9393	6 = 345,3.
c = 869,6.
• 4) 5= j a6;	5=у • 797,9.345,3;
lg 5 = lg 0,5 4- lg 797,9 4- lg 345,3;
lg 0,5 =1,6990
4- lg 797,9 = 2,9020
lg 345,3 = 2,5382
lg 5=5,1392;	5= 137 800 (кв. единиц).
82
§ 92. 3-й случай. Даны катет и гипотенуза: а = 35,47,
с 45,93. Найти А, В, b, S.
Решение.
В = 90° — 50°34' = 39°26';
b = a • ctg A;
b = 35,47- ctg 50°34';
lg b = lg 35,47 4- lgctg50°34';
 lg 35,47 = 1_,5499
"t’lg ctg50°34'= f,9151
lg 6=1,4650
6 = 29,17.
. . a . .	35,47 , 2)
1) sinA = 7; sinA = ^-gg; 3j
lg sin A = lg 35,47 — lg 45,93;
lg 35,47 =1,5499
~~lg 45,93=1,6621
lg sin A = T,8878
A = 50°34'.
S= 1 -35,47- 29,17;
4) S=±atr,
lg S= lg 0,5 4- lg 35,47 4- lg 29,17;
lg 0,5=1,6990
4-lg 35,47 =1,5499
. lg 29,17= 1,4650
: lg 6’=2,7139. ' S=517,5 (кв. единиц).
§ 93.	4-й случай. Даны оба катета: а =104; 6 = 20,49.
Найти А, В, с, S.	1
Решение.
,, ,	. а .	.	104 .
1) tgA = y; tgA = 2^g-;
lgtgA = lg 104 —lg 20,49;
lg 104 = 2,0170
lg 20,49= 1,3115
Igtg A = 0,7055
A = 78°51'.
2) B = 90° — 78°51'= 11°09'.
_______ a ,_________104	,
' C sin A’ C sin78u5i' ’
lg c = lg 104 — lg sin 78°51';
__ lg 104 = 2,0170
Igsin 78°51'= 1,9917
lgc= 2.0253
c=106.
4)	S= -J- ab\ S— -i- - 104 - 20,49;
lg S=lg 52 4~lg 20,49;
, lg 52 = 1,7160
~t~lg 20,49= 1,3115
lg 6 = 3,027 5; S=1065 (кв. единиц).
83
Примеры решения прямоугольных треугольников
с помощью пятизначных таблиц.
§ 94.	1-й случай. Даны гипотенуза и острый угол
(с и А)
Числовой пример: с = 457; А = 32°40'15".
Вычисление:
5 = 90° —А = 57°19'45".
а = с • sin А
, 1g с = 2,65992
Tig sin А = 9,73224 — 10
lga = 2,39216
а = 243,69
b — c • sin В
।	1g с = 2,65992
lg sin 5 = 9,92520—10
lg b = 2,58512
b — 384,7
lg 0,5 = 9,69897 —10.
5=0,5-a&. । lga = 2,39216
' ig b = 2,58512
lg5=4,67625 5= 47 451 (кв. единиц).
§ 95.	2-й случай. Даны катет и острый угол (а и А).
Числовой пример: a = 9,82; А = 63°2Г45".
Вычисление:
В = 90°—А = 26°38' 15".
С sin А
lg a = 0,99211
~~lg sin А = 9,95127 —10
lgc = 1,04084
c= 10,983
lg a = 0,99211
— lgtg A = 0,29966
lgb = 0,69245
b = 4,9255
Площадь вычислим по формуле: lg 5= lg 0,5	lg a lg b',
получим 5=24,184 (кв. единиц).
§ 96.	3-й случай. Даны гипотенуза и катет (с и а).
• Числовой пример: с = 58,5; а = 47,54.
Вычисление:
. . о
sin А = —
С
1g а = 1,67703
1g с= 1,73716
lg sin А = 9,90990 — 10
А = 54°21'20"
5 = 90’—А = 35°38'40"-
Ь = с • sin В
। lgc= 1,73716
"Tig sin В = 9,7 65 48 — 10
lg 5 = 1,53254
b = 34,091
84
Площадь 5=810,34 (кв. единиц).
4-й случай. Даны оба катета (а и Ь).
Числовой пример: а = 23 214; 6 = 38 947.
Вычисление:
, л а
^А=~ь
1g а = 4,36575
— lg b = 4,59048
lg tg Л = 9,77527—10
Л = 30°47'47"
В = 59°12'13"
а
с=-—г
sm А
1g а = 4,36575
lg sin А = 9,70923 — 1Q
1g с = 4,65349
с = 45 341
Для площади получим:
$= Ь • у = 38 947 • 11 607 = 452 057 829 (кв. единиц).
Замечание. Иногда для вычисления с удобна также формула
с = а2 4- #а. Пусть, например, а = 400 и Ь — 503; тогда легко найти
непосредственно: а2 = 160 000, 62 = 253 009 и, следовательно,
с = |/413009. Применяя теперь логарифмы, получим: 1g с = 2,80798;
с = 642,65.
X. Косоугольные треугольники.
§ 97.	Соотношения между элементами косоугольного
треугольника. Начнём с геометрического соотношения между
углами треугольника:
Л4-ВН-С=180°.
Заметим некоторые следствия из него.
а)	Так как сумма значений А и В-|"^Равна 180°, то
синусы их равны, а косинусы различаются знаками; поэтому
sin (В С) = sin A; cos (В-\-С) — — cos Л;
созЛ = — cos (В -С).
Точно так же: tg(B4"^) — —
б)	Так как сумма значений ~ и — равна 90°, то
сходные функции их соответственно равны (§ 17); например:
, В А-С А . А В + С
sin —у— = cos у; sin 2 = cos —у— и т. д.
«5
в)	Полезно запомнить ещё следующие соотношения
между углами треугольника:
Л 5 С
1) sin A -j- sin В 4-sin C = 4cos у • cos у • cos у;
2), tg А + tg В tg С = tg А • tg В • tg С;
3) ctg у 4- ctg -у- 4- ctg у- = ctg у . ctg у • ctg у.
Вывод этих формул предоставляется учащемуся.
§ 98. Лемма. Во всяком треугольнике сторона равна
диаметру описанного круга, умноженному на синус про-
тиволежащего угла.
Обозначая радиус описанного круга через 7?, докажем,
например, что а = 27?» sin А, где угол А есть острый или
тупой.
Доказательство. 1) Угол А острый (черт. 41).
В описанном круге из конца данной стороны проведём диа-
д метр и соединим другой конец этой
стороны и диаметра; получим прямо-
угольный треугольник. На чертеже 41
таким треугольником* будет BDC\ из
него, на основании § 21, находим:
BC = BD • sin D, или a=27?*sinD;
но £ D = £ А1); следовательно,
a = 2R • sin А.
2) Угол А тупой. Сделаем такое же
вспомогательное построение, как раньше.
Из прямоугольного треугольника ВСЕ
(черт. 42) найдём: а = 27? • sin Е\ но Е-\-А = 180°, сле-
довательно, sin Е = sin А, поэтому а = 27? «sin А.
Итак, вообще:
a = 27?>sinX; Ь = 27? • sin В\ с = 27? «sin С.
Теорема. Во всяком треугольнике стороны про-
порциональны синусам противолежащих углов.
Требуется доказать, что —= -^-л = —.
r J	’	Rin A sin R sin
*) Тот и другой измеряются половиной дуги ВС.
8S.
Доказательство. По § 98 для всякого треуголь-
ника как остроугольного, так и тупоугольного, имеем:
a = 2R sin Д; b = 2R • sin В;	л
Таким образом, для одного и того Черт. 42.
же треугольника частное от деления
стороны на синус противолежащего угла есть величина по-
стоянная, равная диаметру описанного круга.
--	Q Ъ С
Из соотношения ---==-—н = -^—переставляя члены про-
sin A sin В sin С9 r	г
порции, получим:
а: Ъ: с = sin А : sin В: sin С,
т. е. во всяком треугольнике стороны относятся между собой,
как синусы противолежащих углов.
Пример. Определить отношение а: b : с, если А : В: С = 3 :4:5.
Так как А -V В + С== 180°, то сначала разделим 180° в отно-
шении 3:4:5; получим А = 45°, В = 60° и С = 75°. Теперь по до-
казанному будем иметь:
а: Ь\ с == sin 45°: sin 60° : sin 75°.
Подставляя сюда
sin 45° = К,-, sin 6QP == 1Х и sin 75° = cos = 4- /2 + /3,
получим, освободясь от знаменателей:
§ 100. Теорема. Сумма двух сторон треугольника
так относится к их разности, как тангенс полусуммы
противолежащих углов относится к тангенсу полураз-
ности тех же углов.
Доказательство. По § 98 находим:
а b = 2R • (sin А sin В) и а — b = 2R* (sin А—sinB);
отсюда:
а + Ъ__sin А + sin В
а — b' sin Д —sin В’

Применяя здесь ко второй части формулу (XVII) (§ 65),
получим:
(а 4- b): (а — b) = tg ^-±-^: tg .
4г	4г
§ 101. Формулы Мольвейде. Так называются следующие
две пропорции, которые содержат отношения суммы и раз-
ности двух сторон треугольника к третьей стороне:
А —В
I t COS
a-\-b__
с
a—b
с
2
. С
sm~2
. A — B
sm——
C~
C0ST
(1)
(2)
Доказательство: 1) По § 98:
a -J- b = 2R • (sin A 4- sin В) и c= 2R • sin C;
отсюда:
a + b_____sin A + sin В
c	sin C
(a)
Преобразуем вторую часть:
sin A + sin В
sinC
0 . A + B A — B
2 sin —g------cos ——
„ . C C
2 sin -к- • cos -x-
(b)
но sin -	= cos -у, так как - B -|- -y = 90°. По со-
кращении же дроби (b) будет окончательно:
А —В
. L COS--X--
а ____	2
с . С
sinV
2) Таким же образом получим:
а — Ь___sin Л — sin В_
с sin С
„	Л + В	. Л —В . Л —В
2 cos — sin —— sin
==	: С с~
2 sin-у • cos-j
т
с
C°sT
§ 102. Теорема. Квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон без удвоенного про-
изведения этих сторон на косинус угла между ними.
Черт. 43.	Черт. 44.
Требуется доказать, что а3 = 63-|-с3— 2Ьс • cos А (оди-
наково и в случае острого и в случае тупого угла).
Доказательство. 1) Если угол А острый, то на
основании теоремы геометрии о квадрате стороны, лежащей
против острого угла, имеем (черт. 43):
=	— 2b-AD,
но из прямоугольного треугольника ABD можно заменить
AD через с-cos Л; тогда получим:
а3 = Ь* с3 — 2bc . cos А.
2) Если угол А тупой, то применяем теорему о квадрате
стороны против тупого угла треугольника (черт. 44). Полу-
чаем:
а' = Ь3-}-с*-]-2Ь .АЕ.
Из треугольника АВЕ находим:
но так как
АЕ= с • cos а;
a— L ВАЕ= 180° — А,
89
то
cosa = cos(180° — A) =— cos Л;
поэтому
АЕ = — с • cos А.
Подставляя это выражение в геометрическую формулу,
получим: '
а* 2 = Ь* 4“ с2 — 2bc * cos А,
т. е. то же самое, что и в первом случае.
§ 103. Формулы для определения углов треугольника
по трём сторонам:
1) Из равенства а2 = 62-|“с2 — 2bc*cosA находим:
Но при многозначных числах эта формула .неудобна.
2) Следующие преобразования той же формулы приво-
дят к выражениям, пригодным для логарифмирования:
1 — cos А =
___2Ьс — #2 — с3Н-а2
— 2Ьс
а* — (Ь — с)*
2Ьс
__ (а + b — с) (а — b + с)
~	2Ъс
1 4-cos А =
_2^4-^фс2 —а2 _
2Ьс
_(^ + с)2 —а2_
2Ьс
__(Ь + с + а) (Ь 4- с — а)
2Ьс
Заменяя левые, части (по § 60) и полагая а-[-Ь-]-с = 2р,
получим далее:
2 Sin‘ 4=
(р-Ь)(р-с)
Ъс
(XX)
2гочз л _2Р-2(Р —Л)
ZC0S 2— 1Ьс
cos 4 = 1/^=^-.
2 F Ьс
(XXI)
Так как в треугольнике половина угла всегда менее 90°,
то sin 4 и cos 4 положительны, что и принято во внима-
ние при извлечении корня. Деля равенство (XX) на (XXI),
найдём:
21 — 1/ ~ W — с)
2 Г р(р — а)
(XXII)
90
Формулы для определения углов В и С можно написать
но аналогии с выведенными для угла А.
Формуле (XXII) можно придать другой вид, более удоб-
ный для вычисления в том случае, когда надо вычислить
все три угла; а именно: умножая под корнем числитель
и знаменатель на р — а, получим:
А _	1	I / (р —а) (р — Ь)(р — с)
2	р—а V	р
Подкоренное выражение здесь не зависит от того, какой
угол определяется, а потому, обозначая величину корня
через k, будем иметь:
. A k . В k . С k
tg 2 р — а ’ tg 2 ~ p — b ’ tg 2 р — с ’
где	_________________
k = yr (Р~а'>(Р~Ь^Р~с'>
(XXIII)
§ 104. Тангенс половины угла треугольника можно оп-
ределить также с помощью радиуса вписанного круга.
Пусть (черт. 45) будет: О—	q
центр вписанного круга; D, Е и
Е— точки	касания; г — длина
радиуса. Заметим, что линии ОД,
ОВ и ОС делят углы треуголь-	уч VzA
ника пополам и что отрезки сто- у^ v 7? х /V
рон при общей вершине равны	уч\ - "X и г у X
(например АЕ = AF).	4 А
Сначала определим эти от-	х F У В
резки. Обозначая их в порядке	Черт. 45.
вершин треугольника через х, у
и г, получим: х-\-у-}-г = р, но y-\-z = BC = a, следова-
тельно, х=р — а. Подобным же образом у = р — b иг =
=р— с. Теперь из прямоугольных треугольников найд^м^
tg-2	tgT = ^> tg-2=^- (XX1V)
Чтобы произвести вычисление по этим формулам, надо
сперва определить г (или только 1g г); для этого послужат
геометрические формулы:
5=г-^') и S= '/p(p — a)(j> — b)(p — c),
‘) SABC — SAOB + SAOC + SBOC ~	=
c4- b 4- a
91
откуда:
r=J.—1Z(р—w—
z	p Y	p
(Сравнивая последнее выражение с выражением k
в § 103, видим, что Л = г.)
§ 105. О независимых соотношениях между сторонами и
углами косоугольного треугольника. Этих соотношений должно
оыть три. Таковы соотношения:
Л + В + С=180°;	(а)
sin Л sin# sin С ''	'
Остальные можно вывести отсюда.
В § 100 и 101 образованы пропорции, производные от (Ь).
В § 102 мы ссылались на геометрическую теорему. Теперь
выведем то же самое из равенств (а) и (Ь).
Обозначая в равенстве (Ь) величину каждой части через т,
будем иметь:
а = т • sin А; Ь — т • sin В; с = т • sin С.	(с)
♦
Возьмём а = т • sin А. Так как по (а) А + (В + С) = 180°, то
sin Л = sin (В + С); таким образом: а = т • sin (В + С) и, следова-
тельно:
а* = т* • sin2(B + C).	(d)
Преобразуем:
sin2 (В + С) == (sin В • cos С + cos В • sin С)2
= sin2 В (1 — sin2 С) + (1 — sin2 В) sin2 С + 2 sin В-sin С-cos В-cos С=
= sin2 В + sin2 С + 2 sin В • sin С (cos В • cos С — sin В • sin С) =
= sin2 В + sin2 С + 2 sin В • sin С • cos (В + С);
но cos (В + С) = — cos Л; следовательно:
sin8 (В + С) = sin2 В + sin2 С — 2 sin В • sin С • cos А
( Подставляя это в равенство (d), получим:
а2 = т2 • sin2 В + т* • sin2 С — 2 (т • sin В) (т * sin С) cos А,
или по равенству (с):
а* — Ь2 + с2 — 2bc ♦ cos Л.
.ч	aba
1) Тут две независимыепропорции:	и
92
§ 106. Выражения для площади треугольника. Ms гео-
метрии мы имеем следующие формулы:
	(1)
5= VP(P — а)(р —	— с);	(2)
S—f’p.	(3)
Выведем теперь выражения, содержащие углы
§ 107. а) Возьмём S=^bhb. Для замены hb обратимся
к чертежам 43 и 44: если угол А острый, то hb = c * sin А;
если угол А тупой, то hb = c ♦ sina = c • sin (180°—А) —
= с sin А. В обоих случаях имеем hb = с • sin А, т. е_. во вся-
ком треугольнике высота равна боковой стороне, умно
женной на синус угла между этой стороной и основанием,
Подставляя hb = с ъ sin А в формулу S= ^bhb, получим:
S=^bc • sin А,
(XXV)
т. е. площадь треугольника равна половине произведения
двух сторон на синус угла между ними.
тл	а Ь с
б) Из соотношения -т—, = ^—бнаходим:
sin A sin В sin О
, а • sin В	а • sin С.
sin A	sin А 7
подставив эти выражения в S=~6c*sinA, получим:
о а3 • sin 2?« sin С
° —	2 sin А
Так как sin А = sin (В С), то вместо этой формулы
можно взять ещё такую:
о___ a3 sin В • sin С
д 2" ’ sin (В + Ср
§ 10S. а) Известное из геометрии выражение площади
треугольника по трём сторонам нетрудно получить и с по-
мощью тригонометрии.
93
1	A A
Мы имеем S=y^*sinX, но sin A = 2 sin -j- • cos y,
A A
а заменив sin -у и cos-у no § 103, получим:
5= beV (P-b)JP-.cl. l/PLP-J)»
r be f be
— Vp(p — a)(p — b)(j> — c).
б) По § 103 имеем:
to Л — 1/(P~^)(P —c) . to. В _ 1/ (p - a) (p — c) ,
ё 2~ F p(p — a) ’ lg 2 — V p(p — b) ’
io C _ 1/(p — o)(P~b)
g 2~ Г P(P-c) ‘
Перемножая соответственные части этих равенств, полу-
чим по сокращении под корнем:
ш 4  и f • tg f=-у? - °> <"- *>	=
__1 /р (Р — о) (Р — &) (р  S ,
г	р*	ра *
отсюда:
£==?’. tg^-tg-f-^g-у.	(XXVI)
(Между прочим, это формула полезна при решении тре-
угольников как контрольная.)
§ 109. Выражения для радиуса описанного круга.
1) По § 98 а = 2R • sin А; отсюда R = о ?—-? .
'	2 sin Л
2) Возьмём = ^пРеделяя sin^ из Равенства
1 .	. л	. л 2S	D abc
sx-^bc • sin А, получим sin А =	, а после подстановки: к ==»
§ ПО. Выражения для радиуса вписанного круга.
1)	Из формулы S = г • р следует: г =	.
А
2)	По чертежу 45 получим: г = х • *£*2"' HQ	СЛ^Д^.
вательно, г »(р — а) • tg .
94
3)	По чертежу 45 из &BOD и Л COD имеем: у со г «ctg
(j
и z no г. ctg у; складывая и заменяя у + z через а, получим:
отсюда:
. В . С
а • sin у sin
COS «у
Решение косоугольных треугольников по натуральным
таблицам.
§ 111. 1-й случай. Даны сторона и два угла (а, В, С).
Найти Л, Ь, с, S.
I. Решение в общем виде.
1) Для определения угла А возьмём формулу суммы
углов треугольника:
А + В + С= 180°; А=180° —(S-J-C).
2) Для определения сторон b и с воспользуемся теоре-
мой синусов:
а   b е _______а • sin В в _ а • sin В
sin Л sin В1 sin Л ’ sin(B+Q*
оч а ____ С .	___я-sin С в _ a* sin С
' sin Л sin С’ sin Л ’ sin(Z/+Q*
4) Площадь определяется по одной из формул:
о 1 .	. „ о «2 • sin В • sin С
S=-6-ab‘smC; »S=- 9-.--.д ,	.
2	^2 sin (£> -j- С)
П. Числовой пример: а = 37; В=86°03'; С=50°56'.
1) Л = 180° — (86°03' + 50°56 ) == 43°01
.	37-sin 86'03’	37 - 0,9976 .	,
2> ^= - sinV61^==-W2~; 6 = 54Д;
37 • sin 50°56'	37 - 0,7764	Л п t
8> Са°  0,6822-~==-W2-; С==42>1:
95
4) 5=у 37.54,1 • sin 50°56'; $=Ц - 37.54,1-0,7764;
5=777 (кв. единиц).
2-й случай. Даны две стороны и угол между ними
(a, b, С). Найти А, В, с, S.
I.	1) Сторона с найдётся по теореме косинусов:
с2 = as 4~ b* т- 2аЬ • cos С.
2)	Угол А теперь можно определить, пользуясь теоремой
синусов:
а . с . л в-sin С
81пЛ = —?Г~.
3)	Подобным образом:
а________________Ь . . о 61 • sin А
sin A	sin В ’	а *
4)	. Площадь определяется по формуле:
5= у • ab «sin С.
II.	Числовой пример. Дано: а=П0; 5=100;
С=50°. Найти с, А, В, S.
1) с8=110®+ 1002 — 2-ПО-100 cos50°;
с2 = 12 100 4- 10 000 — 22 000 - 0,6428;
с=89,21;
*2)^inA = -^^; sin А = 0,9445; А = 70’49' или
109’1 Г;
3)	sinB = ?°°^; sin В = 0,8586; 5 = 59’10'.
Проверка. A -f- В + С =ь 70°49' + 59°10' 4- 50° =
= 179’59'.
Проверка показывает, что наибольший угол А острый,
а.не тупой.
4)	5= у • ПО • 100 • sin 50° = 5500 • 0,766 = 4213 (кв.
единиц).
93
Задача. Дано: а = 50; с = 30; В=60°; найти b, А, С.
Отв. 6 = 43,59; Л = 83°21'; С = 36°35'.
Задача. Дано: 6= 12; с = 10; Л =54°. Найти площадь S.
Отв. 48,54.
Задача. Даны сторона треугольника а = 10 см и приле-
жащие углы В = 50° и С = 70°. Построить треугольник
с помощью линейки и транспортира; построить описанную
и вписанную окружности; вычислить A, b, с, R, S, г, про-
верить ответы измерением на чертеже.
Решение косоугольных треугольников с помощью
четырёхзначных логарифмических таблиц.
§ 112.	1-й случай. Даны сторона и два угла (а, В, С).
Найти А, Ь, с, S.
Решение производится по тому же плану, что и при
помощи натуральных таблиц, но при окончательном вычи-
слении формула логарифмируется и вычисляется по таблицам
логарифмов.
Числовой пример. Дано: а=1235; В=37°32';
С= 115°18'.
Решение.
1)	Л = 180° —(В + С);
А = 180° — (37°32' + 115°18') = 27°1 О’;
в ___ b . .____а-sinS, .____ 1235 • sin 37*32' ,
) sin A sin#’ sin Л ’	sin27°10'	’
lg b =lg 1235 + lg sin 37°32' — lg sin 27°10';
lg 1235 = 3,0917
lg sin 37°32' = 1,78 47 lg sin 27°10' = T.6595;
— lg sin 27°10' = 0,3405 —lgsin27°10'—='1,6595=0,3405.
Ig6 = 3,2169
6=1648;
q a _ c	_ 1235-sin U5e18\
* sin4 sinC’ C sinЛ ’ C sin27°10	’
lgc = lg 1235 +lg sin 115°18'—- lg sin 27°10’;
lg 1235 = 3,0917 sin 115°18' = sin(180° — 64°42')=
Igsin 115°18'= 1,9562	=sin64°42';
— Igsin 27° 10’= 0,3 405 lg sin 6 4°42' = 1,9562.
lgc = 3,3884
c = 2446;
7 Тригонометрия	07
4)	5=^-a6-sinC; S=~ • 1235 • 1648-sin 115’18';
5= у • 1235 • 1648 • sin 64°42’;'
lg S= lg 1235 4- lg 824 + lg sin 64°42';
lg 1235 = 3,0917
lg 824 = 2,9159
Igsin 64°42* = 7,9532
lg 5=5,9638; S= 920 000 (кв. единиц).
§ 113.	2-й случай. Даны две стороны и угол между
ними (a, b, С). Найти A, Bt ct S.
Числовой пример: а = 42,53; 6 = 29,81; С=47°14*.
1)	Прежде всего определим углы А и В. Воспользуемся
теоремой тангенсов:
в + ь_'8 2 . , А — в_}а ^’tg 2
a — b t А —В'18 2	а + Ь
tg-^-
Найдём требуемые величины:
а 4- 6 = 42,53	29,81 =72,34;
а — 6 = 42,53— 29,81 = 12,72;
44-5= 180° —47°14'= 132°43';
4 + В _ „ w	А - В _ 12,72 • tg 6У23'.
2 —	*£ 2 —	73,34	’
lg tg = lg 12,72 4- lg tg 63°23' — lg 72,34;
lg 12,72= 1,1045
lgtg63°23' = 0,3593	lg 72,34 = 1,8593;
— lg 72,34 = 2,1407	— lg 72,34 = — 1,8593 = 2,1407.
lgtg^=-^=f,6045.
Д__ R
Находим угол —9— по таблице логарифмов тангенсов:
4-^= 21°55’.
98
Теперь мы знаем полуразность углов А и В и их пол}
сумму, т. е. имеем систему двух уравнений с двумя неиз-
вестными; складывая обе части этих уравнений, находив:
1±1 = 66°23';
1=^=21°55'
Л = 88°18'
5 = 44°28'.
2)	Для определения стороны с воспользуемся теоремой
синусов:
а с	a* sin С	42,53 • sin 47° 14'
sin Л sin С’ sin Л ’	sin88°18'	’
lg с = 1g 42,53 + lg sin 47°14' — lg sin 88°18';
lg 42,53 =£,6287
lg sin 47°14' = 1,8657 lg sin 88°18'= 1,0998;
—lg sin 88°18'= 0,0002	— lg sin 88°18' = 0,0002.
lgc = 1,4946
c = 31,23;
3)	S=~ab-sinC; 5—1-42,53.29,81 -sin47°14';
lg 5= lg 0,5 lg 42,53 4- lg29,81 lg sin 47°14';
lg 0,5 = Г,6990;
lg 42,53=1,6287
tg 29,81 = £,4743
lg sin 47° 14'=1,8657
lg 5= 2,6677; 5 = 465,2.
§ 114. 3-й случай. Даны три стороны (а,	с). Найти А,
В, С и S.
Углы определяются по формулам тангенса половины угла
треугольника; площадь — по формуле Герона:
5= /р(р — а)(р — Ь)(р — с).
Числовой пример: а=15,37; & = 21,42; с = 13,83.
1) Пишем формулу для определения угла Л:
А _ 1 Лр1- (Р — Д).
g 2 г	р (р — а)	’
99
определяем p и производим все указанные формулой дей-
ствия:
а =15,37 р— а= 9,94
& = 21,42 р — Ь = 3,89
с— 13,83 р — с =11,48
2/> = 50,62
/> = 25,31
. А____3,89-11,48.
tg 2 V 25,31 • 9,94 ’
л 1
lg tg^-=y (lg 3,89 + lg 11,48 — lg 25,31 — lg 9,94);
lg 3,89 = 0,5899
lg 11,48 = £,0599
— lg 25,31 = 2,5967
— lg 9,94 = 1,0026
igtg4=T*r>2491;
^- = 22°51';
lg 25,31 = 1,4033
— lg 25,31 =2,5967
lg 9,94 = 0,9974
— lg 9,94=1,0026
igtg4=T>6246;
Л = 45°42'.
2) Определяем угол В:
11,48.
— V P(p — b) 9 Lg 2 “ Г 25,31 • 3,89’
lg tg 4 = 4 Cg 9>94 + ’8 11 >48 — lg 25,31 — lg 3,89);
lg 9,94 = 0,9974
lg 11,48 = 1,0599
— lg 25,31 =2,5967
— lg 3,89 = 1,4101
lgtg4 = 4'0’0841;
lg 3,89 = 0,5899
— lg 3,89=1,4101;
lg tg 4 = 0,0320; 4=47°°6'; jB = 94°12'.
100
'3) Определяем угол С:
gT Г Р(Р —С) ’ gT Г 25,31-11,48’
lg tg •£=| (lg 9,94 4- lg 3,89 — lg 25,31 — lg 11,48);
lg 9,94 = 0,9974 lg 11,48 = 1,0599;
lg 3,89 = 0,5899 —lg 11,48 = —1,0599 = 2,9401;
— lg 25,31=2,5967
— lg 11,48 = 2,9401____
lgtgy = y-1,1241; Igtg-y = 1,5621;
-y = 20°03'; C = 40°06'.
Проверка. A ВC = 45°42' -|- 94°12' -f-40°06' =
= 180° (однако небольшая погрешность в сумме углов воз-
можна вследствие приближённости вычислений).
4) Площадь определяем по формуле Герона:
5= Vp(p — a)(p — b)(p — c);
lg S= у [lg р -|- lg (р — а) -|- lg (р — b) + 1g (р — с)].
Подставляя все уже найденные логарифмы и вычисляя
юлучим:
1g 5=2,0252;	5=106 (кв. единиц).
§ 115. 4-й случай. Даны две стороны и угол, противо-
лежащий одной из них (а,	А).
Решение. Из пропорции	найдём sinB =
= —ft24, с помощью чего определим угол В. Далее будем
*меть:,
с= 180°-(Л + В);	sin С.
Обратим внимание на вычисление угла В (по sin В). Так
как в косоугольном треугольнике вообще угол может быть
м острым и тупым, то величину В надо искать между 0°
101
и 180°, а в этих границах одному и тому же синусу
соответствуют два угла: острый, находимый из таблиц,
и тупой, дополняющий его до 180°. Поэтому возникает
сомнение, будут * ли для треугольника пригодны оба
угла или же только один из них и какой именно. Этот
вопрос решается сравнением данные сторон, так
как в треугольнике тупой угол может быть только против
большей стороны.
Ввиду сказанного будет полезно сначала исследовать
задачу по сравнительной величине данных сторон. (Предпо-
лагается, что а и b различны: при а — Ь имеем В — А.)
Исследование. I. Случай а Ъ. При этом данный
угол Л, как лежащий против большей из известных сторон,
может быть острый и тупой.
~	„ Ъ • sin А
В равенстве sm2? = —-— рассмотрим правую часть.
Если b а, то и подавно b • sin А и, а поэтому получится
sinB<4 (или lgsinZ?<^0), и, следовательно, задача будет
иметь решение независимо от величины угла А. Определяе-
мый угол В в этом случае может быть только острым (но
не тупым), так как сторона против него не есть большая.
II. Случай а<^&. При этом данный угол А должен
быть острым, так как он лежит против стороны, которая
менее другой.
. о b'smA
Обращаясь к равенству sin В = —-— , заметим, что
если b а, то b • sin А либо более а, либо равно а, либо
менее а, в зависимости от величины угла А. Рассмотрим
каждое предложение отдельно.
1)	b • sin А а, тогда sin£^>l (или lg sin В ^>0), и
задача не будет иметь решения.
2)	b • sin А = а; тогда sin В = 1 (или lg sin*# = 0), и, сле-
довательно, Z? = 90°, т. е. треугольник оказывается прямо-
угольным.
3)	6 • sin Л < а; тогда sinZ?<^l (или lgsinZ?<^0),
и вопрос будет (как в п. 1) о двух углах, соответствующих
такому синусу. Для треугольника в настоящем случае
надо принять не только острый угол, но и тупой, потому
что сторона b более а, а сторона с не может влиять на
выбор угла В, так как сама определяется в зависимости от
него. Соответственно двум значенияхМ угла В получим также
по два значения для С, с и S.
102
Итак, на основании сделанного исследования заключаем
(относительно случая lg sin В 0): если определяемый
угол В лежит против меньшей
из данных сторон, то надо взять
только острый угол; если же он
лежит против большей стороны,
то задача допускает два решения.
Результаты предыдущего ис-
следования вполне совпадают с
тем, что даёт построение
треугольника по тем же самым
данным (заметим, что b • sin А	Черт. 46.
будет выражать высоту тре-
угольника относительно стороны с). Чертёж 46 соответствует
случаю II, п. 3): искомые треугольники суть А АСВ^ и
Л АСВ^ причём АВхС-\- 2. АВ^С= 180°. Предоставляем
самому учащемуся сделать построение в остальных случаях.
Числовой пример. I. Дано: а = 700; & = 650;
Д = 40°25'.
1)	Вычисляем угол В:
. „ Ь-ыпА . „	650*sin 40°25'
sin В =------; sin В =-------™;
a	/W
lg sin В = 1g 650 lg sin 40°25' — lg 700;
lg 650 = 2,8129	lg 700 = 2,8451;
lg sin 40°25' = £,8118	lg 700 = 3,1549.
— lg 700 = 3,1549
lg sin Z?=T,7796
В = 37°.
2)	Вычисляем угол С:
С = 180° — (40°25' 4- 37°) = 102°35'.
3)	Вычисляем сторону с:
а _____ с _a-sinC, ______________ 700-sin 102°35'.
sin Л sin С’ С sin Л ’ С sin40°25'	’
1g с = 1g 700 + lg sin 102°35' — lg sin 40°25';
lg 700 = 2,8451
Igsin 102°35'= 1,9894
— Igsin 40°25' = 0,1882
lgc = 3,0227
c=1054;
Igsin 40°25'= 1,8118;
— lg sin 40°25' = 0,1882;
sin 102°35' = sin 77°25';
Igsin 77°25'= 1,9894.
103
II. Дано: а = 4; £ = 7; Д = 30°.
1)	Вычисляем угол В\
. D £«sin«4	. о 7 «sin 30°
sinZ?=------- sin В——-л--------;
а ’	4	*
lg sin В = 1g 7 4" lg sin 30° — lg 4;
lg 7 = 0,8451 lg 4 = 0,6021;
lg sin 30° = T,6990	— lg 4 = — 0,6021 = T,3979.
— lg 4= 1,3979
Igsin B = T,9420;
51 = 61°03'; 5a=U8°57'.
2)	Угол С тоже может иметь два значения:
Ci = 180° — A — Bt; С2—180° — А — В2;
Ci = 180° — 30° — 61°03' = 88°57';
С2 = 180° — 30° — 118°57' = 31°03',
3)	Точно так же сторона с будет иметь два значения:
q = 7,999; с2 = 4,126.
Решение косоугольных треугольников с помощью
пятизначных таблиц.
§ 116. 1-й случай. Даны сторона и два угла (а, В, С).
Числовой пример: а = 253; В = 38°50'48”; С = 112°34'.
1)	Вычисление А.
В = 38°50'48"
С=П2°34'
В+С=151°24'48"
Д = 28°35'12".
2)	Вычисление Ь.
1g а = 2,40312
— lg sin Л = 9,67987— 10
, lg 2R = 2,72325
+ lgsin В = 9,79743— 10
lg£ = 2,52068
£ = 331,65.
3)	Вычисление с.
lg 2R = 2,72325
Igsin С = 9,96541 —10
lg c =2,68866
c = 488,27.
4)	Вычисление 8.
8 = 0,5 • be sin A
lg 0,5 = 9,69897—10
lg£ = 2,52068
lg c = 2,68866
lg sin A = 9,67987 - 10
lg 8 = 4,58818
8 = 38742 (кв. единиц).
Контрольное вычисление: a = (с + b)
sinT
C — B
cos—J-
104
с = 488,27
b = 331,65
c 4-0 = 819,92
C=U2°34'
B = 38°50'48"
C — B = 73°43'12"
£=^ = 36°51'36"
Y= 14°17'36''
lg(c + b) = 2,91377
+ lg sin -y = 9,39250 —10
2,30627
_ ig cos = 9,90315 — 10
“ lg a = 2,40312,
что совпадает с начальным
lge(cM. вычисление b).
§ 116а. 2-й случай. Даны две стороны и угол между ними (Ь, с, А).
Числовой прим ер: b == 1123; с = 2034; А = 72°15'19".
1)	Вычисление углов В и С.
С + 5 + Л=180°
Л = 72°15'19"
C + g= 107*44'41” '
^Ц-^ = 53°52'21"
±^Ц=-^ = 21°34'13"
С = 75°26'34"
й = 3248'08".
2)	Вычисление а.
lg А = 3,05038
+ lg sin A = 9,97883— 10
3,02921
— lg sin В = 9,72785 — 10
lg a = 3,30135
a = 2001,5
,C-B_c-J {C + B
tg 2 “"<? + £‘tg 2
c = 2034 | c — b = 911
£=1123 I c + £ = 3157 -
lg (c — £) = 2,95952
— lg (c + £) = 3,49927
9,46025—10
+ lg tg^±^ = 0,13671
lg tg C~B = 9,59696 — 10.
3)	Вычисление S.
S = (й • sin A) 
lg (b- sin Л) = 3,02921 ‘)
4-lg£= 3,00732
lg S = 6,03653
s = 1 087 750 (кв. единиц).
§ 116b. 3-й случай. Даны три стороны (а, Ь, с).
Числовой пример: a = 215; b = 500; с = 427.
а= 215 £= 500 с= 427 2о=П42’		Вычисление lg k. 1g О — в) = 2,55145 + lg(p — *) = 1,85126 lg(/> — с) = 2,15836
р =	571	6,56107
р — а =	356	“lgp = 2,75664
р — Ь =	71	3,80443
р— с =	144.	IgA =1,90222
*) Взято из вычисления а.
105
Вычисление А
lg k =1,90222
-lg(p — g) = 2,55145
Jgtg-^. = 9,35077—10
= 12°38' 26"
В — 2У 16'52".
Вычисление 5.
Вычисление В.
IgA; = 1,90222
-lg(p —/>)=!,85126
lg tg-y = 0,05096
= 48°21'14"
В = 96°42'28".
Вычисление С.
1g А? =1,90222
-lg(p — с) = 2,15836
lg tg-^-=9,74386—10
-^- = 29°22"
C = 58°44".
S = pr = pk,
lg s = lg p + lg k = 4,65886;
5 = 45 589 (кв. единиц).
Проверка. Л = 25°16'52"
4-£ = 96°42'28"
6 = 58° 44,J
180° 4"
Лишние 4" объясняются приближённостью вычисления.
XI. Об» измерениях на местности.
§ 117.	Общие замечания. При составлении землемерных
плановА а также в некоторых других случаях приходится
определять величину линий и углов, нанесённых на мест-
ности. Основные данные находят непосредственным
измерением — с помощью особых приборов, остальные —
посредством вычисления; в последнехм случае требуется
применение тригонометрии.
§ 118.	Измерение линий. Прямая линия на местности
указывается какими-нибудь хорошо заметными предметами,
помещёнными на её концах. Если длина измеряемой линии
значительна, то её надо сначала провешить, т. е. поста-
вить ряд вехf) по её направлению.
Для непосредственного измерения линий на местности
наиболее употребительны землемерная цепь и мерительная
лента.
Цепь, выходящая теперь из употребления, делается из
негибкой железной проволоки. Она имеет в длину 20 я и
состоит из 100 прямых звеньев, соединённых промежуточ-
ными кольцами.
Применяемая теперь мерительная лента изготовляется из
тонкой стальной полосы. Она имеет длину в 10—15 или
чаще всего 20 я и размечена на десятые доли метра.
При пользовании мерительной лентой длина линии вы-
ражается в меграх и десятичных долях метра.
*) Веха — длинный кол со значком.
106
§ 119.	Угломерные инструменты. Инструменты, служа-
щие для определения градусной величины угла, на-
зываются угломерными.
Одни из них служат для определения угла только в го-
ризонтальной плоскости, другие же измеряют угол и в го-
ризонтальной и в вертикальной плоскостях. (Углы в наклон-
ной плоскости определяются обыкновенно с помощью вы-
числения.)
Из угломерных инструментов чаще других употребляются
астролябияитеодолит.	'
§ 120.	Астролябия (черт. 47) состоит из л и м б а С,
алидады А и двух пар диоптров (а, Ь) и (ар 6t).
Лимбом называется круг, разделённый на градусы.
Алидадой называется линейка, которая вращается по
лимбу около его центра; при измерении какого-нибудь угла
она направляется по его сто-
роне — наводится — на какой-
либо предмет на этой стороне.
Для наведения алидады — для
визирования — служат д и-
о п т р ы: так называются две
пластинки, прикреплённые на кон-
цах алидады. В них сделаны про-
дольные прорезы — узкие и ши-
рокие; против узкого прореза в
одном диоптре приходится в дру-
гом диоптре широкий прорез с	Черт. 47.
натянутым вдоль него чёрным
конским волосом. Визируя на какую-либо точку, ставят али-
даду так, чтобы для глаза, смотрящего в узкий прорез
одного диоптра, точка была закрыта волоском другого
диоптра.	*
В астролябии — две пары диоптров; два диоптра при-
креплены к самому лимбу и называются неподвижными,
другие два помещаются на концах алидаДы и называются
подвижными.
Для ориентирования линий относительно стран света
к астролябии присоединяется ещё магнитная стрелка.
Астролябия помещается обыкновенно на раздвижном тре-
ножнике, но между треножником и инструментом вводится
ещё снаряд, позволяющий склонять плоскость лимба так или
иначе. Простейшее из таких приспособлений есть бакса;
это — особого рода сферические клещи, охватывающие шар,
107
которым внизу оканчивается ось лимба; таким образом лимб
может вращаться около оси, а самая ось может менять своё
направление.
Для установки лимба в горизонтальной плоскости служит
уровень, а в вертикальной плоскости — отвес.
§ 121.	Чтобы измерить горизонтальный угол, сначала
устанавливают лимб горизонтально, центром над вершиной
угла, что достигается с помощью отвеса с заострённой гирь-
кой; затем, сохраняя горизонтальность лимба, повёртывают
Черт. 48.
его около центра, пока сквозь
неподвижные диоптры не уви*
дят предмет на одной из сто-
рон угла; не изменяя теперь
положения лимба, ставят по-
движные диоптры по направле-
нию другой стороны угла; на-
конец, делают отсчёт по лимбу
между диоптрами.
§ 122.	Чтобы измерить угол
между прямой линией АВ и
горизонтальной плоскостью
(угол наклонения линии АВ),
устанавливают лимб в верти-
кальной плоскости, проходя-
щей через данную линию так*
чтобы его центр находился на
данной линии; затем, удержи-
вая лимб в той же плоскости,
повёртывают его около центра
до тех пор, пока диаметр
90°—270° не станет по отвесу;
тогда плоскость волосков в
неподвижных диоптрах будет
изменяя положения лимба, напра-
АВ и отсчитывают дугу между
горизонтальна; теперь, не
вляют алидаду по линии
диоптрами.
Современный угломерный прибор — теодолит (черт. 48).
Его главные части — горизонтальный и вертикальный
круги с точными делениями и зрительная труба с большим
увеличением.
§ 123.	Применение тригонометрии. Мы рассмотрим
здесь только простейшие задачи практической тригономет-
рии, а именно: 1) определение неприступные расстоя-
198
ний, 2) определение высот и 3) составление триангуля-
ции. При этом мы ограничимся случаем такой местности,
которая может считаться горизонтальной плоскостью или
по крайней мере позволяет проводить по некоторым напра-
влениям горизонтальные линии. Для решения указанных за-
дач необходимо сначала измерить некоторые линии и
углы. Непосредственное измерение линий на местности
представляет двоякую трудность: 1) затруднителен самый
процесс измерения и 2) -если взятая линия не есть прямая
и если она не горизонтальна, то приходится делать разного
рода поправочные измерения и вычисления. Углы же
измеряются и легче и несравненно точнее. Поэтому, стара-
ются измерение линий заменить, насколько возможно, изме-
рением углов; длину линий определяют преимущественно
посредством вычислений. Больщей частью даже ограни-
чиваются измерением только одной линии; её называют
тогда базисом (основанием).
§ 124.	Определение неприступных расстояний. Здесь
могут быть три случая: 1) обе конечные точки доступны,
2) доступна только одна из конечных точек и 3) обе ко-
нечные точки недоступны.
Рассмотрим каждый случай.
Точки, между которыми определяется расстояние, обо-
значим через А и В.
Черт. 49.	Черт. 50.
1-й случай. Точка А и В доступны (черт. 49).
Решение, а) Если точки А и-Вне видны одна из
другой, то выбирают такую точку С, из которой были бы
видны те две, и измеряют угол АСВ и линии СА и СВ;
по этим данным вычисляют расстояние АВ.
Ь) Если же точки А и В видны одна из другой, то из-
меряют линию АС и углы А и С; этих данных достаточно
для вычисления АВ.
109
Черт. 52.
2-й случай. Точка А доступна, a mo4ka В недо-
ступна (т. е. наблюдатель имеет возможность подойти
к точке Л, а от точки В отделён каким-либо препятствием).
Решение. Взяв точку С (черт. 50) так, чтобы из неё
были видны А и В, измеряют углы А и С и 'базис* АС.
Линию АВ тогда нетрудно вы-
числить, так как в треуголь-
нике АВС. будут известны сто-
рона и два угла.
3-й случай. Точки А и В
недоступны (черт. 51).
' Решение. Выбрав в доступ-
ной местности точки С и D так,
чтобы из них были видны А и В,
измеряют базис СР и углы а,
Y и 8. Из двух. треугольников,
содержащих CD, вычисляют СА
и СВ; угол между этими линиями равен а—р; таким
образом можно бу^ет вычислить АВ из • треуголь-
ника АС В,
Можно также начать вычисление с линий DA и DB,
заключающих угол у — 8, и определить
АВ из треугольника ADB. Этот второй
способ послужит для первого проверкой,
которая ^эсобейно полезна в настоящем
случае ввиду сложности вычисления.
§ 125. Определение высоты. Раз-
берём главные случаи этой задачи.
1-й случай. Основание доступно.
Положим, например, что измеряемая вы-
сота есть АВ (черт. 52), причём точка В
доступна.
Решение. Из точки В проводят на
местности какую-нибудь горизонтальнуюс
линию ВС и измеряют её длину; поло- #
жим, что эта длина есть а.
После этого при точке С ставят
астролябию с вертикальным лимбом так,
чтобы центр лимба D был над самой точкой С, и опреде-
ляет угол наклонения линии £>АХ(§ 122); пусть этот
угол равен а.
Измеряют ещё по отвесу расстояние DC; положим, что
получилось DC = b*
ПО
Зная а, а и Ь, будем иметь для вычисления высоты:
AB~AE-\-EB‘=atga-\-b,
2-й случай. Основание недоступно. Пусть на «гертеже 53
высота АВ представляет пример такого случая. Предполо-
жим ещё, что окружающая
местность горизонтальна.
Решение. Выбирают
на местности какую-нибудь
достаточно удалённую точку
С. Помещают над этой
точкой астролябию и, по-
ставив лимб вертикально,
измеряют угол наклонения
линии ЕА *). Затем, не из-
меняя положения лимба, с
помощью неподвижных ди-
оптров намечают на местно-
сти какую-нибудь линию CD
по направлению плоскости
лимба, а следовательно, в одной плоскости с АВ, Эту линию
измеряют как базис. Наконец, переносят в точку D астроля-
бию и, поставив её на такой же высоте,
определяют угол наклонения линии FA.
После .сделанных измерений нетрудно
пусть, например, получилось: CD —а,
2. AEG—а и 2,AFG = fi, Тогда
AB = AG^BG — AF-sin^Arb}
а из треугольника AFE найдём:
АГ— * S*» « .
“sin ф— а)’
G'------
	

О о"~ С
Черт. 53.
как в точке С9
вычислить АВ\
FD — EC—b.
таким образом:
sin (р — а) ’
§ 126. Триангуляция *). Чтобы снять план какого-нибудь
значительного участка земной поверхности, сначала
выбирают на нём лишь несколько точек, более удобных,
1)	Через Е обозначен центр лимба.
-) Триангуляция — способ составления плана многоуголь-
ной фигуры путём разбивки на треугольники. Название триан-
гуляция иногда прилагается к самому способу съёмки.
Ill
распределяя их по всему участку (например, точки A, Bt С,...
на чертеже 54). Соединив мысленно эти основные точки
прямыми линиями, получают сеть треугольников. В этих
треугольниках измеряют возможно точнее все углы и
одну из сторон, например АС, Осталь-
д	ные линии сети определяются уже по-
средством тригонометрического реше-
ния треугольников, причем начинают с
того треугольника, в котором нахо-
/s' /	дится базис; от него переходят к
I	I	смежному, от этого — к новому	смеж-
I	I	ному и т. д. (Получение одной	и той
же линии ДВУМЯ различными путями
£	D	служит проверкой вычисления.)
Черт. 54.	Каждая из линий главной триан-
гулянии может в свою очередь служить
. базисом для новой триангуляции, со-
ставленной уже из треугольников более мелких и т. д., чем
и определяется на плане положение какой угодно точки
участка, т. е. возможность снять весь участок.
Основные тригонометрические формулы.
1. Соотношения между тригонометриче-
скими функциями.
„	. q ।	«	1 п х sin а о	cos а
I. 8т’а + со8’аь=1. 2. tga=—. 3. ctga^^.
4. tga«ctga=L 5. I tg2a = sec3a.
6. I + ctg2 a = cosec2 a. 7. sec a — —y.
о	I
8. cosec a — -—.
sin a
II. Формулы суммы и разности углов.
I.	sin (а 4~ Р) = sin а • cos 3 -|- cos а • sin В.
2.	sin (а — Р) = sin а • cos р — cos а • sin 3.
3.	cos (а -[* р) = cos а • со^Р — sin а • sin 3.
4.	cos (а — Р) = cos а • cos р -|- sin а • sin р.
П2
Л1. Фу Й» о й д в о.й н ог о у г’л а.
1, sin 2а да 2 sin a* cos а. 2. cos2a =«»cos*a—-sin* a.
3.
IV. Функции половинного угл'а.

2. cosi = ±/l+i=-“.
8. 124=^° °-; tg.1^1-*?38
® 2 1-f-cosa’ 45 2 sma ’
V. Формулы приведения к логарифмиче-
скому виду.,
1. sina^-sbiP = 2sinMp--cos
’2k sina— sin₽==2cos?i4‘Sin^A.
41' cos a 4-. <Ю8 0 == 2 cos	*cos .
4* cosa—cosP= — 2sin^-i£«sin^£;
cos a — cos p да 2 sin	’tin
6. tga-tgB^gin<a-P .
COS a‘COS? •	45	COSa«COfg*
^^^<M^«ep:2cossy. 8. 1 — cosa=s2sin*^.
VI. Соотношения чв прямоугольном тре-
угольнике.
1. 4^ sin А; — = cosA; ^- = tgA.
с	’с	’ о ®
>
2. a = c-sinA\ 6 = e-cosA; a — b-tgA.
VII. Соотношения в косоугольном тре-
угольнике.	*
L ^=та=^с- Те°Рема синусов-
2.	a = 2/?-sinA.
3.	а2 = й2-{-с4 — 2bC’COsA. Теорема косинусов.
4.
а + Ь_
а — b
‘е~5~
. Теорема тангенсов.
А —В	. А — В
। *. cos q	\	. sm л
5 а-уо__________2 g а —о______	.2 Формулы
с	с гоч— * Мольвейде.
ОХ1Л 2	VVO 2
7 +„d — 1	(Р — с)
/•lg 2— У р(р-а)
—1/ (Р —Д)(Р~ Д)
Ig2— У p(p-b)
^=1/(Р — Д) <Р — ^)
2 г РЦ>~ с)
VIII. Площадь треугольника.
1. S=^aha. 2. 5= ^p(p — a)(p — b)(j> — c).
Л «	1 < . л о - о a8*sin Z?«sin С
3. «$—^ab*sinC. 4. 5—гр. 5« S 2 sin (С + В)
114
Тригонометрические функции основных углов.
sin	O’ 0	30°	45е	60е	90°	180°	270°	360°
		1 2	и		1	0	— 1	0
cos	1		4/2	1 2	0	— 1	0	1
tg	0	7?	1	/3	оо	0	оо	0
ctg	co		1	1 /3	0 *	оо	0	оо
Формулы приведения.
	a	90*—»j	90° a	180е-®	180" + « j 270* — a (270° 4. e|			360’ - a'360’4-3	
sin	sin a	cos a |	cos a	sin A	— Sin a /	— cos a	— cos a	— sin a j	। sin a
cos	cos a	I sifl *x	— sin a	1 — cos a	— cos a	— sin a	sin a	cos a	cos a
tg	tg«	I ctg a	— ctg®	— tga	tg a	ctg «	|- ctg “	— tg a	tg«
ctg	ctg a	tg a	— tg a	— ctg a	ctg a	tga '	— tga	— ctg a	ctg a
sec	sec a	cosec a	—cosec a	— sec a	— sec a	—cosec a	cose:a	sec a	' sec a I
cosec	coseca sec a		sec a	’ cose: a — cosec a		— sec a	— sec a	1 — coseca cosec a i 1 j	
ОГЛАВЛЕНИЕ.
Стр.
Введение..............................................  з
О тригонометрических функциях.
I. Тригонометрические функции острого угла ........ 7
П. Тригонометрические функции углов ст 90* до 350* ...	23
Ш. Углы отрицательные. Углы, большие 350°........... 38
IV.	Выражение синуса, косинуса и тангенса суммы и
разности углов, двойного угла и половины угла......	53
V.	Приведение выражений к виду, удобному для логариф-
мирования ...........................  4............ 60
VI.	О тригонометрических уравнениях................. 64
О тригонометрических таблицах.
VII.	Понятие о составлении тригонометрических таблиц ...	71
VIII.	Тригонометрические таблицы......................... 74
О решении треугольников.
IX.	Прямоугольные треугольники........................ 79
X.	Косоугольные треугольники......................... 85
XI.	Об измерениях на местности....................... 106
.Основные тригонометрические формулы............... 112
Редактор А. А. Борисов.
Техн, редактор Л!. Д. Петрова.
Подписано к печати 17/1 1951 г. А-01745. Бумага 84 X 1О8‘/эт. Бумажных л. 1,813.
Печатных л. 5.94. Учётнфизд. листов 5.79. Тираж 400 тыс. экз. Заказ № 932.
Цена без переплёта 85 к. Переплёт 50 к., мягкий переплёт 30 к.
Ошечатано с матриц типографии .Печатный явор* на 2-й фабрике детской книги
Детгиза Министерства Просвещения РСФСР. Ленинград, 2-я Советская, Т.
Зак. № 630.
 .