I HE БОЛЕЕ f И КНИГИ В
\ ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ }
КОЯОХЗА
ОСКОР^А

ETUDES MATHEMATIQUES
COLLECTION DJRIGEE PAR P. LE LO N О
Professeur a la Faculte des Sciences de Paris
Quelques methodes de resolution
des problemes aux limites поп lineaire
j. l. lions
Professeur к la Faculte des Sciences de Paris
Professeur i l'Ecole Polytechnique
DUNOD GAUTHIER-VILLARS
Paris
1969

ж.-л. лионс
Некоторые методы
решения
нелинейных
краевых задач
Перевод с французского
Л. Р. ВОЛЕВИЧА
Под редакцией
О. А. ОЛЕЙНИК
НЕ БОЛЕЕ 1И КНИГИ В
ОДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ
klJ
КОЛОХЗА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
МОСКВА 1972

УДК 517.»
Автор книги — известный французский математик, труды
которого уже знакомы советскому читателю по их переводам
(Латтес Р., Лионе Ж.-Л., «Метод квазиобращеиия и его при-
приложения», «Мир», 1970; Лионе Ж.-Л., Мадженес Э., «Неодно-
«Неоднородные граничные задачи и их приложения», «Мир», 1971). Его
новая монография посвящена некоторым методам решения нели-
нелинейных уравнений' в частных производных. Эти методы приме-
применяются для решения уравнений гидродииамикя, теории упругости,
квантовой механики, теории оптимального управления и т. д.
Ряд уравнений математической физики рассматривается в моно-
монографической литературе впервые.
Методичность и ясность изложения делают книгу интересной
и доступной для широкого круга читателей — математиков, физи-
физиков, специалистов в области механики и теории управлении,
а также аспирантов и студентов старших курсов этих специаль-
специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Автор этой книги — выдающийся французский математик
Д. Лионе возглавляет лабораторию численного анализа в Па-
Парижском университете и математический отдел научно-исследо-
научно-исследовательского Института информатики и автоматики. Он внес
большой вклад в решение прикладных задач, связанных с урав-
уравнениями с частными производными и вопросами оптимального
управления.
Книга посвящена двум важным разделам теории уравнений
с частными производными — методам решения нелинейных за-
задач и теории вариационных неравенств. Значительная часть из-
изложенных результатов принадлежит автору и его ученикам.
Методы решения нелинейных задач автор демонстрирует на
конкретных примерах уравнений, взятых из гидромеханики,
теории пластичности и других разделов механики сплошной
среды, av также квантовой механики и физики. Общая схема
исследования такова: строятся приближенные решения задачи,
для этих решений устанавливаются априорные оценки, на
основе которых доказывается существование последовательно,-
сти приближенных решений, сходящейся к точному решению
задачи. Для некоторых задач с помощью дополнительных ап-
априорных оценок устанавливаются свойства гладкости .решения
при наличии достаточной гладкости данных. Заметим, что ре-
результаты, полученные таким путем для конкретных уравнений
математической физики, служат не только для демонстрации
того или иного метода, но и представляют интерес для прило-
приложений.
Многие важные прикладные задачи приводят к так назы-
называемым задачам с односторонними граничными условиями или
к вариационным неравенствам. Простейшим примером такого
рода является следующая задача: в области Q с границей Г
найти решение уравнения Лн = f, такое, что на Г выполняются
условия и ^ 0, -~ ^ 0, и-^^0. Обобщенное решение этой
-
задачи удовлетворяет не интегральному тождеству (как, ска

Предисловие редактора перевода
жем, в случае задачи Дирихле), а некоторому интегральному
неравенству, которое и называют вариационным неравенством.
Новый раздел теории уравнений с частными производными —
теория вариационных неравенств, возник в последние десять лет
и еще не освещался в монографической литературе. Источником
для создания этой теории послужила задача из теории упруго-
упругости (задача Синьорини), впервые полностью изученная в работе
Г. Фикеры [1], где были заложены основы теории вариационных
неравенств. Затем исследование вариационных неравенств про-
продолжалось в работах Ж. Лионса, Г. Стампаккьи и их учеников.
В частности, ими рассматривалась абстрактная постановка за-
задач, приводящих к таким неравенствам.
Хотя применение тех или иных методов в книге демонстри-
демонстрируется в большинстве случаев на отдельных примерах, эти
методы обладают большой общностью и применимы к широ-
широким классам нелинейных задач.
В задачах, исследованных в гл. 1 (уравнения, возникаю-
возникающие в релятивистской квантовой механике, уравнение нелиней-
нелинейных колебаний, уравнения Навье — Стокса, уравнение Шре-
дингера, уравнения нестационарной фильтрации и другие),
приближенные решения строятся по методу Галёркина или
в нестационарном случае по методу Фаэдо — Галёркина. Затем
для них устанавливаются априорные оценки типа энергетиче-
энергетических неравенств и с помощью теорем вложения С. Л. Соболева
на основе этих оценок доказывается компактность полученного
семейства приближенных решений.
Во второй главе сходимость последовательности прибли-
приближенных решений доказывается на основе свойства монотонно-
монотонности или псевдомонотонности соответствующего оператора. При
наличии этого свойства удается доказать сходимость прибли-
приближенных решений при более слабых априорных оценках, чем
это требует применение теорем вложения. В этой главе дока-
доказаны также теоремы существования для абстрактных опера-
операторных уравнений, обладающих свойством монотонности, и
даны приложения этих теорем к конкретным уравнениям ма-
математической физики (в частности, к задачам со свободной
границей).
Метод регуляризации, многочисленные примеры примене-
применения которого даны в главе 3s состоит в том, что в уравнение

Предисловие редактора перевода
или в граничные условия дописывают операторы с малым мно-
множителем е, причем так, что при е > О получаем хорошо изу-
изученную разрешимую задачу. Далее устанавливаются равно-
равномерные по е оценки решений этих задач, на основе которых
совершается предельный переход при е—>0. Метод регуляри-
регуляризации иногда называют методом введения искусственной вяз-
вязкости. Значительным толчком к использованию этого метода
послужила работа Дж. фон Неймана и Рихтмайера [1], где ис-
искусственная малая вязкость вводилась в систему газовой ди-
динамики для численного решения этой системы. Важное значе-
значение метод регуляризации имеет для построения решений вы-
вырожденных уравнений (см., например, Олейник О. А. и Рад-
кевич Е. В., «Уравнения второго порядка с неотрицательной
характеристической формой», Итоги Науки, ВИНИТИ, 1971 г.),
а также для построения разрывных решений нелинейных ги-
гиперболических уравнений (см. Олейник О. А. [1]).
Метод штрафа, введенный Р. Курантом в задачах класси-
классической} вариационного исчисления, позволяет свести задачи
для вариационных неравенств к задачам для дифференциаль-
дифференциальных уравнений. Он состоит в добавлении к функционалу та-
таких членов с параметром, что задача на минимум функцио-
функционала, рассматриваемого на замкнутом выпуклом множестве,
переходит в задачу на минимум нового функционала, рассма-
рассматриваемого во всем пространстве.
В гл. 4 метод конечных разностей, метод Роте (полудис-
(полудискретизация) изложены в применении к ряду конкретных задач,
а также для некоторых классов операторных уравнений. Метод
расщепления, или метод дробных шагов, изложен на примере
решения системы уравнений Карлемана. Некоторые задачи,
как, например, задачи для уравнений Навье — Стокса, рассма-
рассматриваются во всех главах.
В конце каждой главы имеются список нерешенных задач,
близких к рассмотренным в книге, а также комментарии, где
даны библиографические ссылки и указаны использованные
в книге источники.
Нужно отметить, что изложение в книге очень четкое: все
основные идеи подчеркнуты, принципиальные шаги в доказа-
доказательствах теорем выделены в отдельные пункты. Язык книги
крайне лаконичный, иногда конспективный. Для книги харак-

8 Предисловие редактора перевода
терны необычайная широта охвата материала и большое раз-
разнообразие изложенных в ней идей.
От читателя требуется владение основными понятиями
функционального анализа, а также знание теории вложения
пространств С. Л. Соболева. С теоремами вложения можно по-
познакомиться по книгам С. Л. Соболева [1] и С. М. Никольского
(Приближение функций многих переменных и теоремы вложе-
вложения, «Наука», М., 1969), а также по недавно переведенной на
русский язык книге Ж. Лионса и Э. Мадженеса [1].
Настоящая книга окажется очень полезной математикам,
работающим в области теории уравнений, с частными произ-
производными, и математикам, занимающимся прикладными зада-
задачами, а также численным решением задач, связанных с урав-
уравнениями с частными производными. Несомненный интерес она
может представлять также для механиков и физиков.
Выход в свет русского перевода будет способствовать даль-
дальнейшему продвижению в изучении трудной и важной для при-
приложений области математики — теории нелинейных краевых
задач.
О. А. Олейник

ПРЕДИСЛОВИЕ
1. В этой работе мы развиваем некоторые методы решения
краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений
в частных производных.
Изучаемые здесь методы (ни в коей мере не являющиеся
исчерпывающими) вводятся в связи с конкретными примерами,
из которых главными являются:
1° классические нелинейные краевые задачи, возникающие
в механике и физике: уравнения Навье — Стокса, нелинейные
уравнения колебаний пластин, уравнения, встречающиеся
в квантовой механике, и т. д.;
2° нелинейные краевые задачи, соответствующие вариаци-
вариационным задачам с ограничениями; сюда относятся задачи для
вариационных неравенств, встречающихся в механике (плас-
(пластичность, односторонние связи и т. д.), или задачи оптималь-
оптимального управления.
Основными этапами решения этих задач являются:
a) вывод априорных оценок;
b) использование этих оценок. .
2. В настоящее время не существует никакого общего ме-
метода вывода априорных оценок (в частности, за невозмож-
невозможностью использовать преобразование Фурье в нелинейных за-
задачах).
Наиболее простые априорные оценки проистекают из физи-
физических соображений. Как правило, они устанавливаются по-
посредством умножения уравнений, которые мы решаем, на ли-
линейные комбинации неизвестных функций и подходящего инте-
интегрирования по частям.
При выводе «дополнительных» априорных оценок можно
умножать уравнения на нелинейные выражения от неизвестных
функций; см., например, уравнения Кортвега — де Фриса
в § 4 гл. 3.
Можно также получать довольно точные априорные оценки
методом расщепления (подсказанным численным анализом);
см. уравнение Карлемана в § 2 гл. 4.
Вообще, в вопросе об априорных оценках (или, что в той
или иной степени к нему сводится, в вопросе о выборе функ-
функциональных пространств, в которых мы пытаемся ч решать
нашу задачу) линейные и нелинейные краевые задачи суще-

10 ¦ . Предисловие
ственно различаются. В то время как в первых в подавляющем
большинстве известных случаев имеется бесконечное множе-
множество априорных оценок1), в нелинейных задачах, как правило,
удается установить «очень мало» априорных оценок2).
Эта трудность в равной мере связана с вопросом о глад-
гладкости: если удается доказать, что рассматриваемая (нелиней-
(нелинейная) задача является корректной в некотором функциональ-
функциональном классе, то, как правило, неверно, что решение будет очень
гладким, коль скоро этим свойством обладают данные задачи.
Итак, выбор функциональных пространств, в которых ре-
решается задача, играет абсолютно решающую роль3).
3. Коль скоро функциональные рамки выбраны, для реше-
решения задачи необходимо использовать оценки.
Мы будем различать следующие методы:
(i) метод компактности;
(и) метод монотонности;
(iii) метод регуляризации;
(iv) метод штрафа;
(v) итерационные методы аппроксимации.
Естественно, что в некоторых случаях могут одновременно
применяться несколько указанных выше методов.
Метод (i) (глава 1)
Метод, называемый методом компактности, применяется
наиболее прямым образом.
1) Мы строим приближенные решения (или по крайней
мере то, что, как мы надеемся, будет приближенным реше-
решением), редуцируя задачу к конечномерному случаю, например
с помощью метода Галёркина (в стационарном случае) или
Фаэдо — Галёркина (в эволюционном случае); существование
приближенных решений доказывается с помощью
теоремы о неподвижной точке (в стационарном случае),
теоремы существования решения для системы обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений (в эволюционном случае).
2) Далее мы переходим к пределу, устремляя к бесконечности
') Отметим, что теория интерполяции линейных топологических про-
пространств в линейных задачах доставляет нам бесконечную серию оценок, если
в нашем распоряжении уже имеются две оценки.
2) В настоящее время в нелинейных задачах мы не имеем возможности
применять интерполяцию, за исключением лишь достаточно специальных слу-
случаев. Быть может, следует развить теорию нелинейной интерполяции нелиней-
нелинейных функциональных классов.
8) Естественно, что нет никаких причин ограничиваться векторными про-
пространствами; в § 12 гл. 1, в п. 3.2 гл. 2 и в. п. 1,3 гл. 4 нам встретятся при-
примеры, в -которых мы фактически работаем в нелинейных функциональных
классах.

Предисловие 11
размерность пространства. При этом мы должны преодолеть
основную трудность, состоящую в том, что мы имеем
дело с нелинейными операторами, которые, как правило, не
являются слабо непрерывными и, следовательно, нужно дока-
доказывать (вообще говоря; по этому поводу см. метод (и)), что
семейство приближенных решений компактно (благодаря
априорным оценкам) в подходящей сильной топологии (в кото-
которой наш оператор непрерывен). Основным используемым здесь
средством являются теоремы о компактности вложения про-
пространства Соболева порядка а в пространство Соболева по-
порядка <а, а также более специальные результаты подобного
типа, приведенные в § 5 и в п. 12.2 гл. 1.
Метод (п) (глава 2)
Когда оператор обладает свойством монотонности (анало-
(аналогичным свойству дифференциалов дифференцируемых выпук-
выпуклых функций в банаховом пространстве), можно переходить
к пределу по размерности при наличии априорных оценок «ме-
«менее сильных», чем те, которые нужны для метода компакт-
компактности.
Таким образом, работать методом монотонности, коль скоро
он применим, проще, чем методом компактности.
С другой стороны, именно в рамках этого метода можно
изучать «вариационные неравенства» (см. 1B°)), на которые
удается распространить (быть может, несколько неожиданным
образом) большое число свойств, установленных для уравнений.
Метод (iii) (глава 3)
В методах (i) и (И) приближенные решения находятся оди-
одинаковым образом (в основном, с помощью метода Галёркина),
а далее мы переходим к пределу, пользуясь либо компакт-
компактностью, либо монотонностью (либо смесью того и другого ме-
методов; см., например, § 5 гл. 2).
В методах (iii), (iv), (v) меняется способ аппроксимации,
после чего соображения компактности или (и) монотонности
опять используются для предельного перехода.
В методе (iii) мы «регуляризуем» уравнения, «приближая»
их «лучшими» и .уже решенными уравнениями.
Сюда включаются методы вязкости, эллиптической регуля-
регуляризации и параболической регуляризации.
При этом мы, очевидно, сталкиваемся здесь с другой труд-
трудностью, присущей нелинейным задачам: ярко выраженной тен-
тенденцией к неустойчивости; члены, считающиеся «малыми», мо-
могут радикально изменить ситуацию. Таким образом, надо об-
обращать внимание на правильный выбор регуляризующих чле-
членов; достаточно общие примеры приведены в гл. 3.

12 Предисловие
Метод (iv) (глава 3)
Метод штрафа (обязанный своим происхождением вариа-
вариационному исчислению и связанный с методом регуляризации)
сводится к тому, что мы приближаем вариационные неравен-
неравенства уравнениями (нелинейными) более классического харак-
характера и уже решенными другими методами. Метод штрафа по-
полезен также при решении эволюционных задач в нецилиндри-
нецилиндрических областях.
Метод (v) (глава 4)
Итерационные методы аппроксимации происходят главным
образом из численного анализа1). Отметим следующие из них:
1) метод последовательных приближений, метод Ньютона;
при этом опять выбор пространства играет решающую роль;
2) методы дискретизации (конечных разностей);
3) методы расщепления.
Мы приводим примеры, в которых эти методы позволяют
решать задачи, не поддающиеся решению (как нам кажется)
изложенными выше методами.
4. Следует непременно подчеркнуть, что указанные методы
аппроксимации не эквивалентны друг другу.
В самом деле, априорные оценки устанавливаются для за-
заданных уравнений, и надо выбрать такой способ аппроксима-
аппроксимации, который позволяет для приближенных уравнений полу-
получить по крайней мере столько же2) априорных оценок, сколько
для исходной задачи3).
Резюмируя, можно сказать, что для решения исходной за-
задачи мы должны
1) выбрать функциональные пространства,
2) выбрать метод аппроксимации, .
,3) перейти к пределу.
5. Указанные выше методы приспособлены для доказатель-
доказательства существования решений. Доказательство единственности
решений (если она имеет место) связано с довольно специаль-
специальной техникой, несколько примеров которой мы приводим.
В хороших случаях, когда мы имеем дело с корректной за-
задачей, возникает еще ряд вопросов, и особенно вопрос о глад-
гладкости: увеличивается ли «гладкость» решения при увеличении
«гладкости» данных задачи?
') Мы здесь не делаем попытки систематического изучения этих вопросов.
8) В некоторых случаях (см. метод расщепления в § 2 гл. 4) с помощью
приближенной системы можно получить и больше оценок.
3) Отметим, что это заставляет применять специальные средства даже
внутри заданного метода; см., например, «специальные базисы» в методе
Фаэдо — Галёркнна (гл. 1).

Предисловие 13
Как мы уже отмечали, вообще говоря, неверно, что глад-
гладкость С°° данных задачи ведет к гладкости С°° решения (од-
(однако в тексте имеется несколько примеров, когда это так).
Тем не менее во многих случаях, коль скоро нелинейная за-
задача решена в функциональном классе X для данных из функ-
функционального класса Y, существует семейство Xs, Ys «соседних»
классов, таких, что наша задача корректна в Xs при данных
из Ys. В этой связи при весьма частных обстоятельствах
удается применить теорию интерполяции. Вероятно, в этом на-
направлении можно продвинуться гораздо дальше.
Для эволюционных уравнений некоторые свойства гладко-
гладкости могут быть установлены с помощью теории нелинейных по-
полугрупп.
Среди качественных задач, связанных с эволюционными
уравнениями, мы рассматриваем
исследование решений, периодических по времени (п. 7.4
гл. 2; § 6 и 7 гл. 4);
исследование решений, ограниченных на всей временной
оси (§ 8 гл. 4); этот вопрос, впрочем, связан с изучением почти
периодических решений (по поводу этой теории мы отсылаем
к книге Америо — Прузе [1]).
6. Естественно, что многочисленные аспекты этого огром-
огромного круга вопросов здесь не изучаются, а лишь упоминаются
в комментариях с целью сопоставления их с вопросами, рас-
рассматриваемыми в книге.
В частности, отметим
тонкое изучение задач вариационного исчисления и клас-
классическую теорию Лере — Шаудера эллиптических уравнений
в пространствах Гёльдера (можно обратиться к книгам Ла-
Ладыженской и Уральцевой [1], К. Миранды [1], Морри [1] и
к приведенной там литературе);
нелинейные гиперболические уравнения и теорию ударных
волн (см. Рождественский и Яненко [1] и приведенную там ли-
литературу) ;
применение «глобального» анализа, в частности к нелиней-
нелинейным задачам о собственных значениях (см. Браудер [9]);
вопросы устойчивости, относительно которых (в ожидании
массированной атаки с помощью топологических методов) пока
имеются лишь разрозненные результаты.
Мы не рассматриваем (за исключением нескольких очень
специальных случаев) приложения к многозначным операто-
операторам. В этой связи мы отсылаем к Браудеру [7].
Очень краткие замечания посвящены (§ 9 гл. 4) нелиней-
нелинейным задачам оптимального управления.

14 Предисловие
7. Приложения (механика жидкости и твердого тела, опти-
оптимальное управление и т. д.) являются источником задач, кото-
который подчас кажется неистощимым и даже расширяющимся
(в частности, благодаря возможности изучать с помощью вы-
вычислительных машин все более и более сложные модели);
среди этих задач имеется очень большое число нерешенных,
некоторые из них приводятся в конце каждой из глав.
Ввиду разнообразия применений и огромного множества
различных встречающихся задач, а также ввиду неустойчи-
неустойчивости этих задач относительно «малых» изменений, классифи-
классификация по типам уравнений нам представляется иллюзорной;
вот почему мы придерживаемся классификации по методам.
В конце мы добавили указатель типов уравнений, в кото-
котором отмечены те места из книги, где различными методами изу-
изучаются соответствующие типы уравнений.
8. Эта книга возникла в связи с курсом лекций 3-го цикла,
которые я читал на Парижском факультете естественных наук
в течение 1968/69 учебного года. Я горячо благодарю С. Бар-
доса, X. Брезиса, П. Равьяра, Л. Тартара и Р. Темама, которые
помогли мне улучшить изложение ряда вопросов как по форме,
так и по содержанию.
Я благодарен также Ф. Бутану и Ф. Мюра, которые соста-
составили записи лекций, и слушателям, которые своим интересом,
.проявленным во время лекций, побудили меня взяться за под-
подготовку записей к печати.
Я особенно благодарен П. Лелону, который любезно со-
согласился включить "эту книгу в серию, издаваемую под его
руководством.
Я горячо благодарю секретариат математического отдела
Института А. Пуанкаре и издательство Дюно за их замеча-
замечательную работу.
9. В конце книги мы приводим список основных обозначе-
обозначений, указатель типов уравнений и подробное оглавление.
Каждая глава начинается с нескольких общих указаний
для ориентации, которые могут быть опущены при первом
чтении.
Литературные указания, как правило, приводятся в ком-
комментариях, которыми заканчивается каждая глава.

Глава 1
МЕТОД КОМПАКТНОСТИ
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
1) В этой главе (равно как и в последующих) мы посто-
постоянно используем, пространства Соболева. Наиболее существен-
существенное из того, что надо знать об этих пространствах, напоми-
напоминается по мере надобности.
Важным рабочим инструментом являются пространства Со-
Соболева нецелого порядка (главным образом в гильбертовом
случае). В этой связи используются результаты, приведенные
в книге Лионса — Мадженеса [1], гл. 1, и результаты о погруже-
погружении Петре [1]. Читатель, не знакомый с этой теорией, может
пропустить все результаты этой главы, использующие простран-
пространства Соболева нецелого порядка.
2) Основными результатами о компактности являются:
(i) классический результат о компактности вложения про-
пространства Соболева порядка 1 в ограниченной области в про-
пространство L2; этого результата достаточно в примерах, приве-
приведенных в § 1, 2, 3, 4;
(п) более специальные результаты о компактности, приве-
приведенные в § 5; они используются во всех последующих приме-
примерах.
3) Вся рассматриваемая нами теория сводится к тому,
чтобы вывести некоторое количество априорных неравенств и
«ими воспользоваться». Не существует сколько-нибудь систе-
систематического метода вывода априорных оценок в тех ситуа-
ситуациях, когда нельзя воспользоваться преобразованием Фурье.
Поэтому излагаемые нами результаты можно рассматривать
как примеры априорных неравенств, получающихся энергети-
энергетическим, методом путем «умножения» на различные функцио-
функционалы. Что касается использования априорных неравенств, то,
грубо говоря, имеются два возможных способа:
(i) мы имеем дело непосредственно с заданными уравне-
уравнениями, т. е. с бесконечной размерностью, и пытаемся приме-
применить теорему о неподвижной точке (в следующих главах нам
встретятся примеры подобной ситуации; мы отсылаем также
к Браудеру [7\)\
(и) мы приближаем заданное уравнение «более простыми»
уравнениями — в настоящей главе это делается методом Фа-
эдо — Галёркина; при этом для приближенных уравнений при-
приходится выводить оценки, «аналогичные» тем, которые были

16 Гл. 1. Метод компактности
получены в бесконечномерном случае1); в связи с этим прихо-
приходится использовать специальные базисы, многочислен-
многочисленные примеры которых имеются в этой главе. Далее мы пере-
переходим к пределу, используя теоремы о компактности2),
4) Теоремы единственности можно читать независимо от
остального, они опираются на несколько иную технику.
5) В п. 6.9 (метод вязкости) также используется несколько
отличающаяся техника.
6) Из всей этой главы для чтения гл. 2 необходимо лишь
знакомство с § 1 и 3 и с началом § 8 (к которому можно вер-
вернуться после чтения гл. 2).
Г. ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ
УРАВНЕНИИ, ВОЗНИКАЮЩЕМ В РЕЛЯТИВИСТСКОЙ
КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ
1.1. Постановка задачи
Следующие ниже обозначения будут использоваться на
протяжении всей книги.
Через Q будем обозначать область в пространстве R* точек
* = {*,, .... *„}. Пусть Г —граница- Q. Мы всегда будем счи-
считать, что граница Г «достаточно регулярна»; по мере надоб-
надобности предположения будут уточняться.
Будем обозначать через Q цилиндр в R
Q = QX]0, T[, T конечно,
а через 2 — его боковую границу
Первым примером нелинейного уравнения в частных произ-
производных, который мы рассмотрим, будет уравнение, возникающее
в релятивистской квантовой механике (см. Шифф [I], Юргенс [I],
Сиг.ал [1], [2]). Ищется вещественная функция и = и (х, t), x e Q,
/е]0, Т[, являющаяся решением уравнения
^-_Д„+|„|Р„ = Д x&Q, ,s]Ol Т[, A,1)
где
При этом нам задано р > 0 (можно предполагать только, что
р > — 1), и функция f задана в QX]0, T[; искомая функция и
') Эта задача является одной из основных в численном анализе.
2) С другими методами мы встретимся в последующих главах.

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 17
должна дополнительно удовлетворять краевым и начальным
условиям:
« = 0 на 2, A.2)
и(х, 0) = ио\х), «ей,
где «ои ui~ заданные функции ')»
Рассматриваемая задача является нелинейной из-за члена
| и f и.
Для того чтобы более точно сформулировать нашу задачу,
а также найти средства для ее решения, мы должны ввести
несколько функциональных пространств, которые будут исполь-
использоваться на протяжении всей книги.
1.2. Функциональные пространства
Мы будем постоянно пользоваться обычными простран-
пространствами ?"(?2), 1 ^ps^ оо; рассматриваемые функции мы будем
считать вещественными, если только специально не оговорено
противное.
Обозначим через (f, g) скалярное произведение в L2(Q), т. е.
dx; ' A.4)
аналогично будем обозначать скалярное произведение элементрв
fe^'(Q) (пространство распределений в Q, см. Л. Шварц [I])
и ge2)(Q) (пространство функций класса С°° в Q, имеющих
компактный носитель в Q). Там, где не может возникнуть
недоразумение, мы будем писать
A.5)
в противных случаях мы будем пользоваться обозначением || f ||i2 ,a)
(вообще, через ||f ||^ мы будем обозначать норму f в банаховом
пространстве Х)ф
Мы будем постоянно пользоваться пространствами Соболева
(см. Соболев |1]). Обозначим
.. n J A.6)
') Символом ф отмечается конец логически завершенного куска текста.

18 Гл. 1. Метод компактности
и снабдим это пространство нормой
"Я1 (Q)»
Я1 (Q) является гильбертовым пространством.
Мы введем также
Ho(Q) = замыкание 2D[Q) в Я (Q) = подпространство функций
(из Я1 (?2)), «равных нулю» на Г. A.7)
Поскольку (по определению) ?D (Q) плотно в Яо (Q), мы можем
отождествить пространство Я (Q), сопряженное к Яо (Q),
с некоторым пространством распределений в Q:
A 8)
Яо (Q) <= L2 (Q) <= Я (Q) с ?>' (Q).
Элементами Я (Q) являются суммы производных первого
порядка от функций из L2(Q).
По мере надобности мы будем напоминать основные свойства
«-пространств Соболева, равно как и других пространств
такого же типа, вводимых ниже. Что касается систематического
изложения теории пространств HS[Q), то см. Лионе — Мадже-
нес [1], гл. 1 ф
Для изучения задачи A.1), A.2), A.3) необходимо ввести
пространство
V = Hlo(Q)OLp(Q),. A.9)
где
р = р + 2. A.10)
Пространство V снабжается нормой
превращающей его в пространство Банаха.
В силу теорем вложения Соболева (Соболев [1]) имеем
так что
V-tfJ(O) при
Нам понадобится
') Вообще, через X' будем обозначать пространство, сопряженное к X.

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 19
Лемма 1.1. Пространство V, определенное формулой A.9),
сепарабельно (т. е. в нем существует счетное всюду плотное
множество).
Доказательство. В самом деле, с помощью отображе-
отображения v-*¦ {v, dvjdxu .... dv/dxn} пространство V можно отожде-
отождествить с замкнутым подпространством в пространстве L"(Q)X
XL2(Q)X ••• XL2(Q), которое сепарабельно и равномерно
выпукло, так что счетное всюду плотное множество можно
спроектировать на это подпространство ф
Теперь нам надо ввести пространства функций от х и t.
Если х, t-*-<$(x, t) — функция, определенная в Q, то положим
и будем рассматривать <р как функцию (или распределение) от t
со значениями в пространстве функций (или распределений) от х.
В общем случае, если X — банахово пространство, то обо-
обозначим через L"(Q, T; X) пространство (классов) функций
'~*f@: ]0> Т[-*Х\ измеримых, принимающих значения из X
и таких, что
/ т у/р
[j\\f(t)fxdtj =imiL,(O2, ,,<«>; A.12)
если р = оо, то норма A.12) заменяется нормой
sup ess !| f (/) Ц = II / ILoo m _, „.; - A.13)
is]0,. П t @, Г; Л)
нормированное пространство V (О, Т; X) является полным
(см. Бурбаки [1]).
Очевидно, имеем
L*@, T;LP(Q)) = L>(Q)9
Мы будем искать (и найдем), решение и задачи A.1), A.2),
A.3) в пространстве L°°@, T; V). Но тогда нам надо определить
производную du/dt в этом пространстве. Сейчас мы определим
ее в более общем случае для f&L"{Q, T; X).
Обозначим через ЗУ{Ь, Т; X) пространство распределений
на интервале ]0, Т[ со значениями в X, определенное как
(см. Л. Шварц [2])
, Т[);ХУ). A.14)
') В общем случае через 2! (Ф; W) мы будем обозначать пространство
линейных непрерывных отображений Ф в W.

20 Гл. 1. Метод компактности
Если f<=0'(O, T; X), то производная в смысле распределе-
распределений определяется из равенства
,r[). A.15)
Каждому элементу f^L"{0, T; X) можно сопоставить рас-
распределение (также обозначаемое через f) на ]0, Т[ со значе-
значениями в X по формуле
т
f(<p)=jf(t)<f(t)dt, фв2>(]6,Г[),
0
где интеграл принимает значение в X; мы, кроме того, можем
с помощью A.15) определить df/dt как элемент 0'(О, Т; X).
Без труда проверяется
Лемма 1.2. Если f е= V @, Т\ X) и df/dt e= L" @, Т; X)
A ^р^оо), то f, после, быть может, изменения на множестве
меры нуль {из отрезка @, Т)), будет непрерывным отображе-
отображением [0, Т]-+Х.
Теперь мы в состоянии точно сформулировать задачу A.1),
A.2), A.3).
1 1.3. Первая теорема существования
Следующий ниже результат точно указывает, в каком смысле
может быть решена задача A.1), A.2), A.3); он является первой
теоремой существования решения.
Теорема 1.1. Предположим, что Q — ограниченная') об-
область. Пусть заданы функции f, u0, щ, причем
A.16)
\{Q) П L"{Q), p = p + 2, A.17)
A.18)
Тогда существует функция и, удовлетворяющая следующим
условиям:
и е= Г°@, Т; Яi(Q) fl L".(Q)), A.19)
~feL~@, T; L*(Q)), A.20)
?L-Au + \ufu = f b.Q, A.21)
') Это обстоятельство, впрочем, не очень существенно.

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 21
и(О) = иО) A.22)
¦Ц-@)=«,. О-23)
Замечание 1.1. Из включений A.19), A.20) и леммы 1.2,
в частности, следует, что и: [0, Т] -> 1} (Q) является непрерыв-
непрерывной функцией, так что A.22) имеет смысл (на самом деле'и
обладает большей гладкостью, см., например, Лионе — Мад-
женес [1], т. 1, гл. 1).
Для того чтобы проверить, что условие A.23) имеет смысл,
надо использовать уравнение A.21), которое записывается в виде
g «-|«lV A.24)
Поскольку
Ае=2{н1(п); Я (Q)),
имеем
Д«е=Г°@, T; tf-'
а так как f->\fff порождает отображение If (Q) -> V' (Q),
—|—г = 1, то без труда проверяется, что
Но тогда из A.24) следует, что
-g-e=L2@, Т; L2 (О)) + Г° @, Г; Я (Q) + if (О))') A.25)
и, в частности,
-g- s L2@, Г; Я (Q) + L"'(Q)). A.26)
Это включение вместе с A.20) показывает, что благодаря
лемме 1.2 функция du/dt: [0, Т] ->Я~' (Q) + LP'(Q) непрерывна
и A.23) имеет смысл»
Замечание 1.2. Неизвестно, будет ли решение един*
ственным в условиях теоремы 1.1. Ниже, в п. 1.5, мы покажем,
что единственность имеет место, коль скоро р «не очень велико» •
Замечание 1.3. В силу A.7) и A.9) « = 0 на 2, т. е.
условие A.2) включено в A.19)»
') Я" (Q) + V (Q) наделяется сильной топологией пространства, сопря-
сопряженного к /

22 Гл. 1. Метод компактности
1.4. Доказательство теоремы I.I
План доказательства (с этим планом или его вариантами,
отличающимися лишь техническими деталями, мы будем часто
встречаться на протяжении всей главы) будет следующим:
(i) методом Фаэдо — Галёркина строим «приближенные»
решения;
(ii) для приближенного решения выводим априорные оценки;
(ш) переходим к пределу, опираясь на свойства компакт-
компактности (они нужны для перехода к пределу в нелинейных членах).
Этап (i): «приближенные"» решения.
Чтобы упростить запись, положим
, dv
v
Рассмотрим последовательность W\, ..., wm, ..., обладаю-
обладающую следующими свойствами:
Lp{Q) Vi;
Vm wu ..., wm линейно независимы; A-27)
линейные комбинации wt плотны в Ho(u)[)lf (п).
Такая последовательность существует в силу леммы 1.1.
Мы будем искать «приближенное» решение um = um (t)
нашей задачи в виде
т
um(t) = ^g{m(t)wt, A.28)
где gim определяются из условий
(иХ.@,ю/) + а(и«@> w,) + {\um(t)fum(t), ©/) = (f@, wj), A.29)
1 < j < m,
где
Система A.29) нелинейных обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений пополняется начальными условиями
-> «о в
при /п->оо, A.31)
в Z.2(Q) при т-»оо. A.32)

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 23
Общие результаты о нелинейных системах гарантируют
существование решения задачи A.29), A.31), A.32) на интер-
интервале [0, tm]\ априорные оценки показывают, что tm = T (заметим,
что det(wt, Wj)=?0 в силу линейной независимости до, o;m)#
Этап (ii): априорные оценки.
Умножим уравнение A.29), отвечающее индексу у, на g'im{t)
и просуммируем по у. Тогда получим
К@, *M(t» + a(um(t), u'm(t)) + (\um(t)\pum(t), u'm(t)) =
= (f{t), и'тЩ, A.33)
откуда
I \< WI2 + а К W. «. @)J + 7 i- (f I««(*. О I" ^) -
Т 4t I \< WI + а К W. «. @)J + 7 (
= (/@. ««(О). A-34)
Положим
|| о ||= Va(v> v) (= норма в Но(п), эквивалентная 1|о||Д1B)).
В силу A.34)
(l«l2 + ll«IP) + }ll«(O)ll^+ J|f()|eU)|rfor. A.340
о
В силу (Ь31), A.32) правая часть последнего неравенства не
превосходит С -f J | f (a) | u'm (a) | da (буквой С обозначаются
о
различные константы, не зависящие от т), откуда
j{\Um{t)? + \\Um{t)f) + U\u
t
о
В силу A.16)
t
\f (о) \z do ^ const
о
Из A.35), в частности, следует, что
t
A.36)

24 Гл. /. Метод компактности
откуда вытекает, что
I u'm(t) |s^ константа (не Зависящая от т). A.37)
Возвращаясь снова к A.35), получим
II ит @11 + II umWHi/'(Q)^ константа (не зависящая от т). A.38)
Отсюда следует, что tm = T (см. конец этапа (i); неравен*
ства A.38), A.37) означают, что при т-+<х>
ит ограничены (т. е. принадлежат ограниченному
множеству) в Г°@, Т; Но (?2) Л Lp {Q)), A.39)
а и'т ограничены в L°°@, T; L2(Q)H
Этап (ш): предельный' переход.
Согласно теореме Данфорда — Петтиса (см., например,
Иосида[1]), пространство
L~@, T; Hl{Q)(]Lp(Q)) (соответственно L~(o, T; L2(Q)))
является сопряженным к
L'@, Т; Н~] (Q) + L"'(Q)) (соответственно" к L'(o, T; L2(Q)),
и поэтому из последовательности нот можно выделить такую
последовательность ый, что «
и»-*и ¦-слабо1) в Г°@, Г; //i(Q)ПЬр(Q)), A.40)
«;->«' *-слабо в 1°°@, Г; L2(Q)J). A.41)
г г
1) Т. е. J (в„(О,вг(О)Л-*/ (я(О.«Г(О)Л VgsL'^.r^-^Qi+LP'fQ)).
о о
[Здесь идет речь о слабой сходимости в пространстве
L°° (О, Т; Яц (Q) fl ip (Q)). которое рассматривается как сопряженное про-
пространство к I1 (о, Н, Н~] (Q) + LP'(Q)). Эта сходимость, вообще говоря,
слабее обычной слабой сходимости, при которой можно брать любые
g<=(L°°@,T;H]Q(Q)(\L>>(Q)))'.
Такую сходимость автор называет weak star или faible etoile. В русском
переводе книг Н. Бурбаки принят термин ослабленная сходимость. По по-
поводу «-слабой сходимости см. Иосида [1] и А. Н. Колмогоров,
С. В. Фомин, «Элементы теории функций и функционального анализа»,
издание второе, М., «Наука», 1968. — Прим. перев.]
8) В силу A.40) и^-ж' в 3>'@, T;H]0(Q)nLp(Q)) и, следовательно,
¦-слабый предел последовательности и'9 обязательно совпадает с ц'.

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 25
Кроме, того, из A.39), в частности, следует, что ит ограничены
в L (О, Т; Ho(Q)), a um — в L (о, Т; L2(Q)), откуда, в частности,
вытекает, что ит принадлежат ограниченному множеству
в W4Q)-
Однако, как известно (теорема Реллиха — Кондрашова, см.,
например, Лионе — Мадженес [1], теорема 16.1, гл. 1),
вложение //'(Q) в L?(Q) компактно. A-42)
Итак, мы можем считать, что подпоследовательность «ц,
выбранная из последовательности ит, удовлетворяет, кроме
A.40), A.41), условию
«й->« сильно в L2(Q) и почти всюду (п. в.) A.43)
и, наконец, поскольку | um f ит ограничены в L°° (О, 7"; W (Q)),
то можно еще предположить, что
I «и Г «,х-> ^ *-слабо в L~(o, T; L"'(Q)). A.44)
Существенно важный момент — здесь мы сталкиваемся
с одной из наиболее типичных трудностей нелинейных за-
задач ') — доказательство того, что
w = \ufu. A.45)
Равенство A.45) вытекает из A.43), A.44) и из следующей
леммы.
Лемма 1.3. Пусть О — ограниченная область в
8и и ё ~~ такие функции из L4 {б), 1 < q < оо, что
в»-*g п. в. в а.
Тогда g^-tg слабо в L".
(Мы применим эту лемму в случае, когда
в силу A.43) ?ц->| и р и = g п. в., а в силу A.44) g^-tw слабо
в L4(О). Но тогда, согласно лемме, до = ? = |ирн.)
Доказательство леммы 1.3. Пусть N — возрастаю-
возрастающая последовательность чисел, стремящихся к + оо; поло-
положим2)
?„ = {*!*«=<?, \gu(x)-g(x))^l для \i>N}.
') Ср. с методами, предлагаемыми в работе Да Прато J2].
*} Точки О мы обозначаем через х (вместо {х, t}).

26 Гл. 1. Метод компактности-
Множества (измеримые) EN растут с ростом N и mes
->mes<? при N-+oo.
Пусть Фд, — множество функций ф из L4'@)[— + -р-= 1]
с носителем в EN, и пусть Ф= (J Ф^; Ф плотно в L4' (О).
Если мы возьмем феФ, то в силу теоремы Лебега
J ф(&ц — g)dx-*-0 при ц-*°° A-46)
(действительно, феф^ и если взять \i^sN0, то
^ | Ф | и левая часть этого неравенства —> 0 почти всюду). Так
как Ф плотно в V (О), то A.46) доказывает лемму»
Таким образом, равенство A.45) доказано, и можно перейти
к пределу в A.29), полагая /п = ц.
Пусть / фиксировано и ц> j; тогда в силу A.29)
^и„., o»/) = (f, в»/). A.47)
Но в силу A.40)
а(«й, да/)->а(«, wt) *-слабо в L°° @, Т'),
(«;, te)y)r->(V, дау) *-слабо в //"(О, Т),
и, следовательно,
кроме того, в силу A.44), A.45)
(I и,» Г «ц, в»/) -> (| и Г «, w,) *-слабо в L00 (О, Т).
Из A.47) мы выводим, что
(«
причем последнее равенство выполнено для любого фиксиро-
фиксированного /. Отсюда, ввиду плотности «базиса» до,, ..., wm, ...
(см. A.27)), следует, что
-§¦(«, i>)+a(«,i>)+(|«|p«, t>) = (/, v) Vve=H!>(Q)(\Lp(Q), A.48)
а отсюда уже вытекает, что и удовлетворяет A.21), а также
A.19), A.20).
Нам остается показать, что имеют место A.22), A.23). Со-
Согласно A.40), A.41) и лемме 1.2, мы, в частности, имеем:
М0)-»н@) слабо в L2(Q); но (см. A.31)) н„@) = н0D-*¦ «о
в Яо@)П^Р(^), откуда следует A.22).

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 27
Далее, в силу A.40)
(н?, w^-+(u?r, wj) *-слабо в L°°@, 7")
и, следовательно (например, в силу леммы 1.2 с X = R),
K(o).»/)-(«/.»/)L-(«'(o).»/).
а поскольку (см. A.32)) (н^@), до;) -»¦(«,, w^, то имеем
(и'@), ш/) = («„ wj) V/,
откуда вытекает A.23H
1.5. Теорема единственности
Как мы уже отмечали, неизвестно; гарантируют ли условия
теоремы 1.1 единственность решения. Сейчас мы приведем один
частный результат в этом направлении.
Теорема 1.2. Пусть в условиях теоремы 1.1
р ^ п_„ {р. произвольно и конечно при п = 2)'). A.49)
Тогда решение и, полученное в теореме 1.1, единственно.
Доказательство. Мы проведем доказательство для слу-
случая я^З (в более простом случае я = 2 доказательство полу-
получается тем же путем).
Пусть и и v — два решения в смысле теоремы 1.1; тогда для
разности w = u — v имеем:
w" — kw=\vfv—\ufu, A.50)
да@) = 0, ш'@) = 0, A.51)
шеГ @, Т; Hi (Q.) (] Lp (Q)), A.52)
да'е=Г°@, Г; L2(Q)). ' A.53)
Прежде всего формально умножим обе части равенства
A.50) на w'; тогда найдем (все написанное ниже корректно,
коль скоро интегралы имеют смысл)
o|pt;-|«|p«)^dAr. A.54)
') Отметим, что при п «= 3 можно взять р = 2, что соответствует резуль-
результатам Шиффа [1].

28 Гл. 1. Метод компактности
Правая часть A.54) по абсолютной величине не превосходит
sup{\uf,\vf)\w\\w'\dx',
последнее выражение с помощью неравенства Гёльдера можно
оценить через
где
q + n + 2 ~-
Однако, согласно A.49), pn^q, а тогда, ввиду A.11),
dx <
I j{\vfv-\ufu)w'
с(II и @ f +1| v (t) |Г)|| w @ III W@1„ A.55)
и, поскольку и, ое^(о, 7"; Яо(?2)), окончательно имеем
v f v — | и f и) w' dx
Тогда A.54) приводит к неравенству
с 11^@111^@ I. A-56)
t
I W @12 + II w (t) If < 2с J (|| w (or) IP +1 w' (or) P) rfor, A.57)
0
откуда w = 0.
Чтобы обосновать сделанное выше заключение, мы исполь-
используем классическую процедуру, применяемую в теории линей-
линейных гиперболических уравнений. Пусть sg]0, T[. Положим
!— f w(a)da, f<s; 0 при t> si,
\ t 1
wi @ = I w (°r) do, так что ф @ = Wi (t) — до, (s), если f ^ s.
о.
Возьмем скалярное произведение обеих частей равенства
A.50) сл|з@; тогда все интегрирования законны, и мы получим
- I (W, V)dt+ J a(w, ^)dt =

Л Об одном нелинейном гиперболическом уравнении , 29
а поскольку $' = w, т|)@)=* — w{ (s), имеем
s
-11 w (s) p - i-|| w, (s) If = J ((| о |p о -1 и f «X *) di\
0
отсюда (ср. с A.55), A.56))
s
<|ll w, (s)If + c2 J (I w@12 + II w,
0
и, следовательно,
i (*)If <c3j (I MO P + ll «
что и приводит к нужному нам результату«
Замечание 1.4. В случае теоремы 1.2 последовательность
приближенных решений ит (а не только некоторая ее подпо-
подпоследовательность) сходится (в смысле п. 1.4) к и.
Возникает естественный вопрос о гладкости решения в том
случае, когда на данные задачи налагаются дополнительные
условия гладкости; этому вопросу посвящены п. 1.6, 1.7.
1.6. Один результат о Гладкости
Мы уже ввели и использовали пространство Соболева (по-
(порядка 1) #'(Q); теперь нам понадобится пространство Соболева
Ят(й) порядка пг:
Hm(Q) = {v\Dav(=L2(a), laKm}1), A.58)
снабженное нормой
aj, |e|-a,+ ... +aa, Dt-dfdxt.

Z0 Гл. 1. Метод компактности
Это пространство является гильбертовым.
Нами будет доказана
Теорема 1.3. Пусть в условиях теоремы 1.1
|f A.59)
A.60)
«,еЯ'(й), A.61)
о
—1Г5"(Р произвольно и конечно при п = 2) (условие A.49)).
A.62)
Тогда существует решение, и притом единственное, задачи
A.21), A.22), A.23), удовлетворяющее условиям
uezL°° @, Т; Hi (Q) Г) И2 (О)), A.63)
«'еГ@, Г; tfJ(Q)), A.64)
«"еГ@, Г; L2(Q)). A.65)
Замечание 1.5. Согласно теореме вложения Соболева,
имеем | v f v e L2 (Q), если oeffJ(Q) и выполнено условие A.62)
(см. A.11); если я = 2, то Но (Q) cr L4 (й), где G произвольно и
конечно). Легко видеть также, что если «eL°°@, Г; Н0(О)), то
т. е. в утверждении теоремы 1.3 в качестве частного случая
содержится утверждение теоремы 1.1 #
Доказательство теоремы 1.3. Существование. Пред-
Предлагаемый ниже метод доказательства очень прост. Мы отпра-
отправляемся от приближенных решений ит, доставляемых соотно-
соотношениями A.29), A.31), A.32). В этом случае W/ образуют
«базис» (в смысле, аналогичном A.27)) в пространстве #о(й)П
ПЯ2(О). Предполагается, что (в усиление A.31) и A.32))
A.66)
Мы установим (этап (i)) дополнительную априорную оценку,
которая обеспечит существование решения, удовлетворяющего
A.64), A.65); далее, на этапе (ii) мы установим A-63), используя
уравнение A.21).
Этап (i). Из A.29) следует, что

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 31
Отметим, что в силу A.59) и леммы 1.2 /@)eL2(Q),
в силу A.66) |A«0mKconst, а в силу A.62) функции \uOmfuOm
принадлежат ограниченному множеству в L2(Q). Отсюда мы
установим, умножая A.68) на gJm{0) и суммируя по /, что
откуда
|@)|<С A.6.9)
л Дифференцируя A.29) по t (что законно), получим
«'(О, w,) + a(urm(f), w,) + (p+ 1)(|«Ж(ОГЧ(О. w/)s-
=(f@, в»/). 1</<«; A-70)
умножая A.70) на g"m@ и суммируя по /, получим
(
В силу неравенства Гёльдера имеем
j KW|tf .
A.72)
где ^ (как и в теореме вложения Соболева) определяется из
равенства
1+1+1.1
п ^ q ^ 2 1
(более простой случай п = 2 изучается аналогичными методами).
Поскольку, согласно A.62), pn^q, имеем
Hi «m @ li^ (Q) < II и«@1Р< const .(в силу A.38)),
так что ввиду A.72)
I (I «« @ Г "т @- «« @) I < СII «« @ III "m @ I. A -73)
а тогда из A.71) вытекает, что
A.74)
откуда мы можем заключить, используя A.67), A.69), что
o). A.75)

32 Гл. 1. Метод компактности
Следовательно,
«т принадлежат ограниченному .множеству в L°°@, T; Ho(Q))>
A.76)
u"m принадлежат ограниченному множеству в L°°@, T; L2(Q)).
Более того, можно, как и при доказательстве теоремы ,1.1,
выделить такую подпоследовательность «ц, что и, кроме того,
будет удовлетворять еще и условию A.64), A.65).
Итак, мы уже доказали теорему, за исключением утвер-
утверждения A.63). Для доказательства A.63) нам осталось устано-
установить, что
иеГ@, Г, H2(Q)). A.77)
Этап (и). Доказательство A.77). Из A.21) следует, что
Au = u" + \ufu-f. A.78)
Однако (см. замечание 1.5) | и |р« е L°°@, T; L2(Q)); в силу
A.16) и A.59) feL^O, T; L2(Q)), и, таким образом, используя
A.65), мы выводим из A.78), что
Дне=/,~@, T; L2(Q)). A.79)
Положим
Д« = Л; A.80)
Л является изоморфизмом //o(Q) на //~'(Q); пусть G — обрат-
обратный оператор. Тогда (поскольку «eL°°@, T; Ho(Q)) имеем
u(t) = Gh (t) почти всюду. A-81)
В силу теорем о гладкости решений линейных эллиптиче)
ских уравнений1) (см. Ниренберг [1] или, например, Лионе —
Мадженес [1], т. 1, гл. 2) мы имеем
Q); Н2(п)), • A.82)
и A.77) следует из A.81), A.82)#
Доказательство теоремы 1.3. Единственность. Мы
будем поступать таким же образом, как и в формальной части
(теперь уже обоснованной) доказательства теоремы 1.2. Мы
получим (в обозначениях указанного выше доказательства)
и (t) |"|L»(Q) + ll v (t) \%{Q)\) w (t) Wj(Q)|| w'(t) }yiQ)>
') Здесь мы учитываем то, что граница Q достаточно гладкая, — до сих
пор предположение о гладкости границы, не использовалось.

Е БОЛЕЕ 1M КНИГИ В
ДНИ РУКИ И 2ХВДВЕ
Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 33
а поскольку
III и @ P L" pi) +11 ° @ P Hi" (В) < с (так как рп < 9),
то имеем
откуда и следует единственность *
Замечание 1.6. Мы можем продолжить дифференциро*"
вание по t (налагая дополнительные условия на /, и0, щ).
В случае п = 3, р = 2 мы отсылаем к работе Сазера [2]
1.7. Другой результат о гладкости. Специальные базисы.
В этом пункте мы собираемся доказать результат такого же-
типа, как в п.у 1.6, но при других предположениях на / и ме-
методом, в котором используется «специальный базис» из функ-
функций Wf.
Теорема 1.4. Пусть п==3 ы р = 2. Пусть
0, T; Hlo(Q)), A.83)
а функции «о и и\ удовлетворяют условиям теоремы 1.3 (т. е.
A.60), A.61)). Тогда существует единственная функция и,
являющаяся решением задачи A.21), A.22), A.23) и удовлетво-
удовлетворяющая условиям A.63), A.64) и (вместо A.65)) условию
и" €= L2 @, Т; L2 (Q)) = L2 (Q). A.84)
Замечание 1.7. Мы получаем A.65), если
fe=Lm(O, T;
Доказательство теоремы 1.4. Ввиду теоремы 1.2
мы будем заниматься только существованием. Более того, как
и всегда, речь будет идти только о выводе априорных оценок.
Мы будем действовать в два этапа: (i) сначала будет по-
показано, каким образом можно получить априорное неравенство,
предполагая, что и — гладкое решение задачи; (И) затем мы
увидим, как при помощи подходящего выбора «базиса» {w/}
методом Фаэдо — Галёркина можно фактически построить
решение с нужными априорными оценками.
Этап (i). Предположим, что функция и достаточно гладкая,
удовлетворяет A.21), A.22)» A.23) и ы = 0 на S. Умножим A.21)

34
Гл. 1. Метод компактности
на —Аи'. Найдем (напомним, что р = 2)
га
а (и", и') + (Аи, А«') + 2 J ~dT(u3)Tx~dx = a(f, и'), A.85)
откуда .
(II "' @ IP +1 Ли @ P) <ll / @ ЦП u' (t) || +
i«=i a
dx, dxt
Ho
а так как
A.86)
{и3) ди'
dxt dxt
X
du'
dx,
du
dx
, то q = 6 и, следовательно,
^-dx
A.87)
Однако в силу A.82)
const, то, подставляя
(II и' @ IP +1 Аи @ Р) <11 / @1111 и' @1| + с|| и' @1|| Ди @1,
а так как мы уже знаем, что ||ы
A.87) в A.86), находим, что
откуда
и, наконец,
\\\f{a)\fda\. A.88)
Этап (ii). Теперь наша задача состоит в том, чтобы пра-
правильно использовать A.88) (в дальнейшем мы будем
часто сталкиваться с подобными вопросами). Операцию умно-
умножения на — Аи (основную на этапе (i)) удается «воспроизвести»
в A.29) только в том случае, когда
на Г.
A.89)

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 35
Итак, в качестве Wj выберем собственные функции, опре-
определенные в A.89), которые, в частности, принадлежат Я2(й).
Мы можем применить результаты п. 1.4. Покажем, что если
функции Wj удовлетворяют A.89), то
|| «4 (/) |р +1 A«m (t) Р < const. A.90)
В самом деле, заменяя в A.29) wt на —1/KjAwf, получим
(«4@, -Да>/) + (Ди«@, \w,) + (um(t)\ -До,,) = (/(<), -Да»/),
. A.91)
Умножив /-е уравнение A.91) на g'jm{t) и просуммировав по /,
найдем
a(ul(t), ^ 2/^^
«4@). A-92)
Уравнение A.92) есть не что иное, как частный случай
уравнения A.85) применительно к функции ит, принадлежащей
пространству, порожденному функциями wlt w2, ..., wm.
Тогда выкладки, проведенные на этапе (i), оказываются закон-
законными и приводят к аналогу неравенства A.88) —оценке A.90)
(если мы позаботимся о том, чтобы иОт и и1т удовлетворяли
A.66) и A.67)).
Используя A.90) таким же образом, как A.76), мы докажем
существование функции и, удовлетворяющей A.63) и A.64).
В силу A.21) имеем
откуда следует A!84).
1.8. Энергетическое неравенство и равенство
В этом пункте мы установим следующие результаты:
Теорема 1.5. В условиях теоремы 1.1 выполнено энергети-
энергетическое неравенство
J (и (<), и' @) < / К. «i) + J (/ (<*). "' (<*)) da п. в. not, A.93)
о
где
| ±$ ± A,94)

36 ¦ Гл. 1. Метод компактности
Теорема 1.6. В условиях теоремы 1.2 имеет место энер-
энергетическое равенство
/(«(/), u'(t)) = Jiu0, «0+ J {f {а), и'{a)) da п. в. по t. A,95)
о
Доказательство теоремы 1.5. Из A.34) следует, что
t
'K.W. <С(')) = >(«о.- »,„)+/ (№. «»)*»¦ A.96)
о
Мы рассматриваем A.96) для /п = ц, где последователь-
последовательность «ц выбрана таким образом, что имеют место A.40), A.41),
A.43), A.44).
Пусть 9 — функция из С°([0, Т]), 9>0. Из A.96) следует, что
т т
J / {% it). «; it)) e (/) л = / / (v и1м) е (о dt +
о о
т t
+ j.Q(t)dt l(fia), u'vioVdo. A.97)
о о
Правая часть последнего равенства стремится к
т т .t
J / (и0, и,) 9 (*) Л + | 9 @ dt J (f (а), и' (а)) Лт.
0 0 0
Перепишем еще раз левую часть:
т т
0-98)
Каждое выражение в A.98) полунепрерывно снизу в слабой
топологии относительно и^ в L2@, f; Я^(Q)), «^ в L2F, T; L2(Q))
и Мц в Lp@, Г; V (Я)), следовательно,
г г
• т т
О

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 37
Из A.97) вытекает, что
т
т т t
J / («0) щ) 9 @ dt+j.Q (t) dt J. (f (a), u' (a)) do.
Так как это неравенство справедливо для любого 0^0, то мы
приходим к A.93) %
Прежде чем переходить к доказательству теоремы 1.6,
отметим следующий вспомогательный результат:
В условиях теоремы 1.1 можно найти такое реше-
решение t —>u(t) (соответственно t-*-ur(t)), что отве-
отвечающее ему отображение [0, Т] -> #о (Q) П LP (Q) A.99)
слабо непрерывно (соответственно отображение
[0, Г]->?2(й) слабо непрерывно). •
Действительно, в силу A.19), A.20) и есть непрерывное ото-
отображение [0, T]->L2(Q) и принадлежит 1°°@, Т; Но (Q) f) L" (Q)),
следовательно, ы является слабо непрерывным отобра-
отображением [0, Т] -*¦ Но (Q) П V (Q). согласно лемме 8.1 гл. 3
книги Лионса — Мадженеса ([1], т. 1). Доказательство для и'
аналогично %
Доказательство теоремы 1.6. Пусть 0 < s < t < Т,
пусть 9„— непрерывная кусочно линейная функция, равная 1
на отрезке [s, t] и 0 при a < s — 1/п или а > t -f 1/я, пусть
r\k — регуляризующая последовательность четных функций из С°°,
носители которых принадлежат [— l/k, l/k].
Умножим обе части A.21) на
где символом * обозначена свертка по t.
Отметим, что
= е„ ((е„«/ * ти * ти) - е„ ((е;«) * ъ * ти), (l.ioi)

Гл. 1. Метод компактности
чем оправдано проведенное ниже интегрирование по частям.
Имеем
J (9„ы", @„«') * щ * щ) dt+ J а@„н, @„и') * цк *
о о
+ J J | и f «9„ ((9„н') * T]ft * r\k) dx dt =
г
= $Qn(f,(QnU')*r\k*r\k)dt. A.102)
о а
т
Первый интеграл в A.102) равен
т т \
J ((е„«')' * ль (вп«0 * т]6) л - J ((е>о * щ, (е„«о *
о
J
о
и при й -> оо стремится к
г
Аналогично, второй интеграл в A.102) равен
г , г
J а(@„н) * ти, (9„и)' * r\k).dt - J a(Qnu) * цк, (Q'nu) * щ) dt
о о
г
и при &->оо стремится к
г
— f QnQna(u, u)dt.
о
Таким образом, из A.102) мы выводим, что
т т
о а
«J JeSfu'rf**; A.103)
о a

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 39
последнее имеет место потому, что | и ри е L°° (О, Т; L2 (Q))
в силу A.62).
Однако, если /tsl1 (О, Т), то
Г t+1/n
— [QnQ'nhda = n \ A — п(а — \
о t
ft J (l+n(a-s))/t(a)dff,
и, следоватёлЬнб, в билу теоремы Лебега при п -> об
г
(Эля почты всех s и t.
Тогда из AЛ 03) следует» чтб
t
s a
t
| '(s)|2)+ J(/(a)>u>(a))da A.104)
Дли йочтй всех s н1, Однако мы мбжем проинтегрировать по
частям в интеграле
¦J j\u\puufdxda
И выйеСти из A.104) равенство
/ (и (/), и' (t)) = / (и (s), и' (s)) +j(f (a), W (a)) da
s (
Для почти всех s и /.
Теперь в равенстве A.105) устремим s к 0. В силу A.99)
lim inf / (и (s), W (s))> / («0( «,),
5->oe
и поэтому из A.105) следует неравенство
t
/(«(«), uf(t))>j(u0, щ)+ J (Да), и'((т))^а п, в. по /;
о
отсюда, учитывая A.93), получим A.95)^

40 Гл. 1. Метод компактности
В условиях теоремы 1.2 мы можем рассмотреть отображение
(нелинейное)
if, Щ, Щ}— *и ( = решение). A.106)
Положим
W (Q) = {ф| Ф s U° @, Т; Hi (Q)), Ф' г 1°°@, Г; I2 (Q))}. A.107)
Это пространство можно сделать банаховым, введя норму
И Ф Иг (Q) = II Ф llLco@> Г; «I (В)) + " * «?-(о. Г; L»(Q))-
Имеет место
Теорема 1.7. 5 условиях теоремы 1.2 отображение п,
определенное в A.106), непрерывно как отображение
L2{Q)XH1o(Q)XL2(Q)-*W(Q). '
Доказательство. Пусть о = п({g, v0, oj), и предполо*
жим, что
Тогда v принадлежат ограниченному множеству в W (Q) (это
верно даже в условиях.теоремы 1.1; в этом случае мы можем
выбирать v таким образом, чтобы они принадлежали ограни-
ограниченному множеству в W(Q)).
Пусть w = и — v. Тогда w удовлетворяет уравнению
откуда
у(|а
* t
f-g, w')da - J j(\ufu — \vfv)w'dxdo.
0 0 Q
Отсюда мы выводим, используя оценки, аналогичные A.55),
A.56), и принадлежность v ограниченному множеству в W[Q),
что
P + IMOIP^IWi-o.F + llwo-
t t

/. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении 41
и, следовательно,
^с(и, v) Ни,- о, |2 + 11 «о- vo\?+f\f-g?da\. A.108)
где с (и, о) —функция от и и v, ограниченная на ограниченных
множествах в W{Q). Теорема доказана *
1.9. Различные замечания
Во всех приведенных выше рассмотрениях мы можем за-
заменить (не меняя существенно доказательств) оператор — А опе-
оператором А: . , -l
A.109)
Д ati(x, 0M;>a(S«f ... +?*), a>0, EjSR,
поставив на 2 краевые условия Дирихле или Неймана').
Аналогично, можно взять в качестве А эллиптический опе-
оператор порядка 2т (причем такой, что А* = А). Тогда мы най-
найдем (например, для задачи Дирихле), что
ые=1°°@, Т;Н?(п)J)- A.110)
Можно доказать (таким же образом, как в теореме 1.2) един-
единственность решения, доставляемого аналогом теоремы 1.1, если
r^»-*m' A.111)
p произвольно и конечно при п < 2т
(отметим, что при т=1, я = 3 мы возвращаемся к A.49)).
Аналогичным образом можно рассмотреть гиперболические
системы или системы, корректные в смысле Петровского,
с иелинейностями типа тех, которые были здесь рассмотрены *
') Следует отметить, что в случае смешанных задач (т. е. когда иа одном
куске границы заданы условия Дирихле, а на остальной частя — Неймаиа)
включение, аналогичное A.82), неверно. Если функции пц зависят от t, то
возникает трудность при выборе специального базиса, поскольку собствен-
собственные функции зависят от t.
г) Н$ (Q) = замыкание SO (Q) в Hm (Q).

42 Гл. 1. Метод компактности
Замечание 1.9. Мы можем также немного обобщить
характер нелинейности, заменив \ufu членом F(u), где функ-
функция k-+F{k) обладает подходящими свойствами (см. работу
Юргенса [1], квторый рассматривал F вида F (А.) = A.G' (А,2)).
При этом методы не меняются %
Замечание 1.10. Мы предполагали, что Q — ограничен'
пая область. В случае неограниченной области Q можно по-
получить те же самые результаты со следующими модифика-
модификациями:
(i) норма Va{v, v) в случае неограниченной области Q не
эквивалентна норме И»||Й1(?2) на Hl0(Q), и тогда надо исполь-
использовать следующее неравенство:
"@ йча) - 2* J | в' (а) ? da - 2| и0 ?.
(И) В случае неограниченной области Q нельзя непосред-
непосредственно применить метод теоремы 1.4 (так как в общем слу-
случае спектр А будет непрерывным')). Тем не менее пусть
QR = Qf]{x\ \x\<R};
применяя метод теоремы 1.4 в QR, мы получим оценки, не
зависящие от R\ далее~ можно R устремить к бесконечности
(мы при этом покажем также, что решение «непрерывно зави-
зависит от
Замечание 1.11. Задачи, аналогичные рассмотренным
в этом параграфе, в случае нецилиндрических областей будут
изучены (частично) в § 8 гл. Ъ%
' 2. ПРИМЕРЫ И КОНТРПРИМЕРЫ В ТОМ СЛУЧАЕ,
КОГДА НЕТ ГЛОБАЛЬНЫХ АПРИОРНЫХ ОЦЕНОК
2.1. Гиперболическое уравнение без. глобальных
априорных оценок
В обозначениях § 1 будем искать функцию и, являющуюся
решением уравнения
ы"-А« + ы2 = 0> x<=Q, t<=]0, T[ B.1)
') См. Лионе — Штраусе [1], стр. 62.

2. Примеры и контрпримеры 43
при условиях
ы = 0 на Б, B.2)
и (х, 0) = щ (х), и' (х, 0) (= -|f (х, 0)) = ы, (х), х е= Q. B.3)
Если мы умножим B.1) на ы' и проинтегрируем по частям
по х, то, считая все возникающие интегралы сходящимися,
найдем
lf 4 B.4)
где мы положили
/(Ф) = 4«(Ф) + ^(Ф). B-5)
а(ф) = а(ф, ф), а(ф, ф)= J grad ф • grad фйл;, B.6)
B.7)
Однако в этом случае функционал 6(ф) не обязательно
положительный, и из равенства B.4) не следует априорная
оценка.
В двух последующих пунктах мы покажем, как тем не
менее можно получить глобальное решение (по t) для частных
значений и0, щ.
В этой связи мы введем специальное подмножество Ж
в пространстве Яо(й)$
2.2. Множество Ж
Предположим, что
м<6. B.8)
Тогда #i(Q)c:L3(Q) и, следовательно, v-+J(v) является
непрерывным функционалом на Яо(й). Отметим, что если вы-
выполнено B.8), то
|6(«)^.<со(«)* V«etfJ(Q), B.9)
где с — константа, зависящая от Q.
Положим
d = inf(sup/(A,u)),
и я,>о
B.10)

44 Гл. 1. Метод компактности
Лемма 2.1. Если выполнено'условие B.8), то d > 0.
Доказательство. Очевидно,
/(*«)«-? а («) + -? 6 (и). B.11)
Если й(и)>0, то sup/(X«) = + оо. Если й(н)<0, то
и, следовательно, в силу B.9)
откуда
Теперь мы определим множество устойчивости УР:
7ST=:{v\v<=Hl{Q), 0</(/U>)<d УЯе[0, 1]}. B.12)
Проверим прежде всего, что множество W не пусто.
Лемма 2.2. Множество W содержит шар &:
& = lv[v^Ho{Q), a(v)<p, где р >0 — любое число, удовлет-
удовлетворяющее неравенствам p^jr> -^- Ч- -%- p8/l < d >. B.13)
Доказательство. Согласно B.9), имеем
и, следовательно,
7(Яо)>0 УЯе[0, 1], если 4---^-a(o)Vt>0 УЯе[0, 1],
т. е. если
в силу второго условия на р в B.13) имеем
Далее (в п. 2.3) мы покажем, что существует глобальное
решение задачи B.1), B.2), B.3), если и<6, hosF и, кроме
того,

й. Примеры и контрпримеры 45
Сначала мы выясним некоторые простые свойства мно-
множества Ж.
Лемма 2.3. Множество Ж {определенное в B.12)) является
звездным относительно начала (т. е. v е Ж =ф 0» е Ж V6 е
е[0, 1]).
Лемма непосредственно следует из определения B.12).
Лемма 2.4. Имеет место равенство .
Ж = Ж
где & — шар B.13) и
Доказательство. Мы покажем, что в действительности
последнее эквивалентно B.14) в силу леммы 2.2.
1) Предположим сначала, что oeF, v ф 0.
Если 6(о)>0, то a(tO + 6(f)>0 и 7(o)<rf.
Если b(v)<0, то sup/(Xo) = /( —y^|-i;J>rf, но тогда
с необходимостью — a (v)/b (v) > 1 (так что a(v)-\- b (v) > 0)
и J(v)<d.
2) Наоборот, пусть v e Ж,.
Если й(о)>0, то sup J{kv) = J{v)<d и nejf.
^ е |tf. и
Если й (v) < 0, то из — -гт^у> 1 следует, что
sup
Л е [0, 1]
откуда и получается требуемый результат.
Следствие 2.1. Множество W, определенное в B.12),
открыто.
Следствие 2.2. Множество Ж ограничено в #о(Я).
Доказательство. В самом деле, если й(о)^0, to
уа(о), и, следовательно, a(v)<2d. Если b(v)<Q, то
b(v)>— a(v), следовательно, / (v) > -g- a (v) и a(v)<bd. Таким
образом, Ж содержится в шаре {o|oe//o(Q), a(v) <Ьй}ф

46 Гл. 1. Метод компактности
2.3. Теорема устойчивости
Теперь мы в состоянии .доказать следующую теорему об
устойчивости:
Теорема 2.1. Пусть выполнено условие B.8). Пусть Ж —
множество B.12). Пусть заданы функции и0, щ, удовлетво-
удовлетворяющие условиям
B.17)
4-1 "i 12 + -Ч"о) = <2 (d определено с помощью B.10)). B.18)
Тогда существует функция и, такая, что
иеГ@,Г; Я» (О)), B.19)
и'е=Г°@, Г; L2(Q)), B.20)
ц"-Дц + и2 = 0, B.21)
u@) = uo, и'@) = в,. B.22)
Более того,
u{t)<=T (замыкание Ж в Яо(Й))- B.23)
.Замечание 2.1. Условия B.22) интерпретируются таким
же образом, как в замечании 1.1 ф ¦
Замечание 2.2. Для доказательства единственности
можно получить оценки, аналогичные тем, которые были по-
получены для уравнения и" — Аы + | и\и = 0, т. е. в случае § 1
с р=1; тогда теорема 1.2 показывает, что решение из тео-
теоремы 2.1 единственно, если ^4
Доказательство теоремы 2.1. 1) Как и в § 1, мы
построим приближенное решение um(t); при этом надо проявить
некоторую осторожность при выборе иОт и иш.
Для заданных функций и0, щ, удовлетворяющих B.17),
B.18), можно найти такие последовательности ыОт, иш («базис»
W\ wm, ... еще не выбран), что
иОт<=Ж, u0m->«o в Hl0(Q),
ulmeHlQ{Q), иш-»щ в L2(Q), B.24)
(Например, можно взять иОт = ио и u!me н1(О), где иХт~*щ
в L2(Q); тогда -^1 и!т Р-+ / (и©) < d, если т достаточно велико.)

2. Примеры и контрпримеры 47
Затем выбираем последовательность функций wu ..., wm,...
из #o(Q) так, чтобы они образовывали «базис» в смысле A.27)
(в #o(Q)) и чтобы
«от. «l/n e [ш„ .... дат] = (пространство,
порожденное w{ wm, при m^2). B.25)
(Например, если UOm = и0, то возьмем адг = и0 и выберем дато
таким образом, чтобы ulm^[wi, ..., twm].j
Теперь мы определим «приближенное» решение um{t) мето-
методом Фаэдо — Галёркина:
um(t)^[wl wm],
J , B.26)
Решение um@ существует локально на интервале [0, fmj,
fm > 0, и на этом интервале (см. 2,4))
j I «4 (О Р + / («* (/)) = {I иш р + / (и0J. B,27)
2) Теперь мы проверим, что
Mfle* V^ B.28)
(тем самым будет показано, что ^„,= 7").
Предположим, что включение B.28) не выполнено, и пусть
/j — наименьшее t, для которого um (fj) ф. Ж. Тогда ит (tj e <Эй^ —
границе Ж, а поскольку множество Ж звездное (лемма 2.3),
имеем
ввт^)еГ V9<=[0, If.
Следовательно,
I{Qum{tA))<d V9s[0, 1[, B.29)
и, устремляя 8->1, найдем
I(um{U))<d. B.30)
Если I {um(t{)) < d, то в силу B.29) и определения Ж мы
получаем, что и.т{$^^Ж, а это противоречит сделанному
предположению. Таким образом, из B.30) следует, что
/(«*№))=-Л B,31)
Однако B.27) показывает, что
/ (ит (/,)) < 41 иш I2 + / (О < d (в силу B.24)),

48 Гл. 1. Метод компактности
что противоречит B.31). Таким образом, включение B.28) до-
доказано. *
3) Из условия B.28) и следствия 2.2 вытекает, что
ит ограничены в Г°@, Г; Н\{п)). B.32)
Более того, поскольку в силу B.32) функционал J(um(f)) огра-
ограничен (по абсолютной величине), из B.27) следует, что
и'т. принадлежат ограничендому множеству в /."(О, Т; L?(Q)).
B.33)
Доказательство заканчивается таким же образом, как
В теореме 1.1 ф
Замечание 2.3. Если мы предположим, что «^4, ы0 е
eJfTl#2(Q), "i^#i(Q) и выполнено равенство B.18), то
тогда, как и в теореме 2.1, существует решение, дополнительно
удовлетворяющее включениям
ые=Г°@, Т; #2(Q)),
ы'е=Г°@, Т; #'(Q)),
ы"е=Г°@, Г; L2(Q)).
Для доказательства надо дифференцировать B.26) по t и рас-
рассуждать таким, же образом, как в теореме 1.3 ф
2.4. Одна теорема о несуществовании
Теперь мы, следуя Фужите [1], [2], рассмотрим нелинейное
параболическое уравнение, у которого не существует глобаль-
глобального решения по t (т. е. для всех t).
Положим
ф(Я) = {0, если КО; Я1+а, если Я>0}, B.34)
а > 0 — заданное число.
Рассмотрим уравнение
и'-Ди-<р(ы) = 0, xe=Rn, t>0, B.35)
с начальными данными
u(x,O) = uo(x), xz=Rn B.36)
(здесь рассматривается задача Коши).
Предположим, что
M0e=Z.I+a(Rn), ыо> 0 почти всюду, ио#О. B.37)
Тогда имеет место следующий отрицательный результат:

2. Примеры и контрпримеры 49
Теорема 2.2. Предположим, что
ап<2 B.38)
и начальная функция и0 удовлетворяет B.37). Тогда не суще-
существует такого решения и задачи B.35), B.36), что
и е= Ll+a(o, T\ LI+a(R")) Vr > 0. B.39)
Замечание 2.4. Если
UetI+a@,r;LI+a(R")),
то
в1+ве^@, Г; Lx{Rn)) и Дме L1+a(o, T; W-2A+a(Rn)), .
где '
Ц7-2."(К«) = (Г2'Р'(К")У, 7 + Т = 1> B>40)
B.41)
W2'p (R") — банахово пространство с нормой
I ' <?2° II
Таким образом, если и удовлетворяет B.35), то имеем
в'е?|+в@, Г; Г-2>1+в(^)) + ^@, Г; Ll(R%
Поэтому мы можем определить и@), т. е. условие B.36) имеет
СМЫСЛ 0
Доказательство теоремы 2.2. Пусть рей)(R"), при-
причем
р > 0, р четно, | р {х) dx = 1. B.42)
Рассмотрим «0*Р- Поскольку наша задача инвариантна отно-
относительно сдвигов по х, можно предполагать, что
«о*р(О)>О.
Так как функция и0 * р непрерывна, то можно найти такие р
и у > 0, что
«о*рМ>Р>О при |'х|<у. B.43)
Предположим, что и — решение задачи B.35), B.36), B.39).
Отметим, что при этом непременно ы^О почти всюду.

80 Гл. 1. Метод компактности
Рассмотрим vT — решение задачи
-v'T-bvT = 0, t<T, xe=Rn, vT{T) = f>. B.44)
Положим также
YT(t) = (u(t), vT(t)), 0</<7\ B.45)
где скобки означают скалярное произведение между элемен-
элементами L1+a(R't) и, например, пространства 91 быстро убываю-
убывающих функций класса С°° (функция t-*vT{f) является отобра-
отображением t^T-*-^ класса С°°).
Мы можем продифференцировать B.45). Тогда
-|- YT (t) = («' (t), vT (/)) + (и {t), v'T (t)), B.46)
где первая (соответственно вторая) скобка обозначает скаляр-
скалярное произведение между элементами пространств
и 9> (соответственно между элементами L1+"(R't) и 91). Исполь-
Используя B.35) и B.44), мы выведем из B.46), что
Л- YT (t) = (Ли {t) + ср (и (t)), vT (t)) -h (u (t), - AvT (t)) =
=«(ф(и@), vT(t)). B.4*)
Однако
»r @ > 0, \vT (t) dx=l, рщ
и функция А,->ф(А,) выпуклая: Следовательно, в силу нера-
неравенства Иенсена (см., например, Харди— Литлвуд — Полна [1])
(Ф (ц (*)), vT it)) > ф {(и @, vT (f))) = Ф {YT @), B.49)
и ввиду B.47) получаем
¦ЗГуг@>фAгг@)» B-50)
а поскольку YT (t) ^ 0, это неравенство можно переписать в виде
¦^YT{t)^YT{tf+a. B.50')
Отсюда следует, что
— У @)~а - Кг (t)~a > t
откуда
1Кг@)~">Г. B.61)
С другой стороны,
Кг@) = (ы@), ог@)) = (ы0, йуг*р),

i. Примеры и контрпримеры • 51
где
Следовательно (ввиду четности р),
YT @) = («о * р, nur),
и из B.43), B.52) мы выводим, что
I (f) B.53)
Используя B.53) н B.51), получим
и это неравенство должно выполняться для любого Т, что не-
невозможно при 1 — ап/2 > 0, т. е. при условии B.38). Таким
образом, B.39) не может выполняться ф
2.5. Замечание
В стационарных нелинейных задачах, как правило, не имеет
места существование, если нет априорной оценки. Например,
так обстоит дело для нелинейной задачи
— Аи — \иГ = ! в Q,
u = g „ Т,
рассмотренной Похожаевым [4] (пример 3, § 3). Последний по-
показал, что задача B.54) (и другие более общие задачи) является
нормальной в следующем общем смысле. Нелинейное диффе-
дифференцируемое отображение А банахова пространства X в бана-
банахово пространство У называется нормальным, если
(i) Vy&Y функция х-*\\ Ах — у \\у достигает точной нижней
грани на X;
(ii) если (у — А (х0), <р) = 0 для всех таких <р е У, что
Л'(*о)*Ф = О, то у = А{х0).
(В случае рефлексивных банаховых пространств мы приходим
к обобщению понятия нормальности для линейных операторов —
замкнутости области значений.)

62 Гл. I. Метод компактности
3. ДРУГОЙ ПРИМЕР НЕЛИНЕЙНОГО
ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
3.1. Постановка задачи
В этом параграфе мы изучим уравнение .
ц"-Дц + | и' fV = /, *e=Q, *<=]0, T[ C.1)
(р > 0 — заданное число и, как в предыдущих параграфах,
и' = du/dt, и"= д2и/дР) с граничными и начальными условиями
ц=*0 на 2, C.2)
и (х, 0) = «о (*). и' (х, 0) = и, (х), * е= Q # C.3)
Таким образом, речь идет о задаче, в каком-то смысле ана-
аналогичной той, которую мы рассмотрели в § 1, причем член
\и' f и' заменяет \uf и.
Здесь нелинейность «более сильная», поскольку нелинейный
член является функцией от и', а не от и. Тем не менее на-
настоящая задача решается проще, чем задача из § 1; последнее
связано с двумя обстоятельствами:
(i) как и в § 1, можно получить априорную оценку, позво-
позволяющую воспользоваться соображениями компактности (этому
посвящен п. 3.2);
(и) можно воспользоваться методами, основанными на мо-
монотонности, см. гл. 2, § 6»
3.2. Теорема существования и единственности
Теорема 3.1. Пусть заданы функции f, u0, щ, причем
f € L2 @, Т; Hi (Q)), f e L2 (О, Г; L2 (Q)) = L2 (Q), C.4)
C.5)
C.6)
Предположим, что Q — ограниченная область с гладкой
ницей.
Тогда существует функция и, являющаяся единственным
решением задачи C.1), C.2), C.3) и такая, что
«sL°°@, T; #2(Q)n#J(Q)), C-7)
u'eL"@, Г; #o(Q)), C.8).
u"e=L°°@, T; L2(Q)), C.9)
u'sLp+2(Q). C.10)

3. Другой пример нелинейного уравнения 63
Доказательство теоремы 3.1. Единственность до-
доказывается непосредственно'). Если и и v — два решения, то
w—u — v удовлетворяет уравнению
w"-kw + \u'fu' — \v'fv' = 0. C.11)
Взяв скалярное произведение обеих частей равенства C.11)
с w'(t), получим
Т W(I w'- О |2+" w
@1Р)+ J A"' I""Ч а' IV) («'-»')dx=0' C.12)
где
IIЧР IF — J (grad фJ dx. C.13)
Однако (это первый пример монотонности, с которым мы
встречаемся)
J (| и' |р и' -1 v' f v')(«' - v') dx > 0,
C.1.4)
и из C.12) следует, что -^-(| w' (t) \2 + \\w (t) |p) < 0, и, значит,
ш=0»
Доказательство теоремы 3.1. Существование.
1° Приближенное решение. Как и в п. 1.7, мы восполь-
воспользуемся методом Фаэдо — Галёркина с выбором специального
базиса. Пусть Wj — собственные функции задачи Дирихле для
оператора — Д:
— Дш/=Я/Ш/, / = 1, ..., До/=О на Г. C.15)
Мы предполагаем, что граница Г области Q достаточно
гладкая, так что
wie=H2(U) и wit=L2ip+l)(Q). , C.16)
Выберем uOm, uXm^[w\, ..., wm] таким образом, чтобы
uom->«o в H2(Q) П Hlo(Q), C.17)
щт->щ в tfJ(Q)fU2<P+1)(Q). C.18)
Такой выбор возможен. Определим далее um{t) как решение
задачи
•)+^ця(о •)+(kwk(q «Hfw. */). C19)
') И имеет место при более общих условиях, см. гл. 2, § 6.

54 Гл. 1. Метод компактности
и @) = ип , и' @) = и C 20\
Система C.19), C.20) разрешима локально на некотором
интервале [0, *„,]. -
Как и в § 1, мы выведем априорные оценки, из которых .
будет следовать, что tm = T. - '.
т .*
2° Априорная оценка (I). Если um(t)=* 2 gim{t)wh то, ум-
/¦=1 *
ножая C.19) на g'lm(t) и суммируя по./, найдем
dx = (f(t), u'n(t)),
Q
откуда
/
2 VI
0 Q
J 4 omlP). C.21)
о
и, следовательно,
C.22)
J C.23)
Q
Из этих оценок уже вытекает, что tm = T Vm.
3° Априорная оценка (II). Благодаря C.15) мы можем за-
заменить в C.19) W] на —Awf, опять умножая C.19) на g'lm(t)
и суммируя по /, находим
а (ий @,- и» W) + (Д«т @. Да» @) +
(" ) Й1 tf " W). C.24)
J
а
Член из C.24), не являющийся билинейным, можно переписать
в виде

3. Другой пример нелинейного уравнения 55
и в силу C,24) мы получим
t п
- j (II«.« Г +1 Диоп, I2) + J a (/ (а), и'т (а)) da. C.25)
о
Используя C.17), C,18), мы заключаем, что
и'т ограничены в Г°@, Т; ЩЩ, C.26)
ип ограничены в L°°@, T; Я2(Q))I), C.27)
-gj-(| «» P*u?, i — 1, ..., п, ограничены в L2 (Q), C.28)
4° Априорная оценка (III). Из C.19) следует, что
| и"т @) |2 = (Л«От, u'U @)) + (f @), и"т @)) - (| «,„ f ulm, ifm @)),
откуда вытекает, что
l««(O)l<|A«o«l + |f<O)| + y |«Im| dxj
и, следовательно, ввиду C.17), C.18)
|и?@)|<С. C.29)
Продифференцировав C.19) по t, найдем
{.*? {t), wj) + а (и'п (t), wt) + (р + 1) (| и'т (t) P u'k @. w,) =
= (f'(t), to,). C.30)
Умножая на g"m{t) и суммируя по /, получаем
1 d
,и«@)- C.31)
Член в C.31), не являющийся билинейным, равен
') Мы здесь воспользовались неравенством | Лф|^С || <р Идо до. где
Ф е //q (Q), Дф е L2 (Q), которое выполнено в случае достаточно регулярной
границы Г.

56 Гл. 1. Метод компактности
Следовательно, из C.31) вытекает, что
t
= j I til @)> + \ II ulm |p + J (f' (a), uTm (a)) da. C.32)
о
Отсюда, благодаря C.29) мы можем еще раз получить C.26)
и, кроме того, получаем, что
и"т ограничены в Г°@, Т; JL2(Q)), C.33)
jfdu'mfuQ ограничены в Л2(Q). C.34)
5° Предельный переход. Благодаря C.22), C.23), C.26), C.27),
C.28), C.33), C.34) мы можем из последовательности ит вы-
выделить такую подпоследовательность Ыц, что
«n-^u *-слабо в Г°@, Т; Н2 (Q) f) Но (Q)), C.35)
«^ы' *-слабо в L°°{0, T; Hl0(Q)), C.36)
и'^и" *-слабо в /,«,@, Т; L2(Q)), C.37)
и'р-*и' сильно в JL2(Q) и почти всюду на Q, C.38)
141Р<->Ф слабо в Z-(p+2)/(p+I)(Q), C.39)
К Г «?->% слабо в Я1 (Q). C.40)
Согласно лемме 1.3,
Наша теорема теперь доказывается без труда (таким же
образом, как теорема 1.1 в § 1, но при этом проще, поскольку
мы получаем «более сильное» решение)%
Замечание 3.1. Мы одновременно получили, что
|«'f/2«'etf4Q)# C.41)
Замечание 3.2. Теорема распространяется на случай
неограниченной области Q с помощью «аппроксимации» Q по-
последовательностью ограниченных областей %
Замечание 3.3. Используя более специальную, чем A.42),
теорему о компактности, можно получить (см. § 5) решение
(более слабое) при более общих условиях; дальше в гл. 2 мы
покажем, что методы монотонности позволяют получать реше-
решения (более слабые) при еще более общих условиях щ .

4. Задачи о нелинейных колебаниях 57
Замечание 3,4. Естественно, что предыдущие результаты
распространяются на операторы
и" + A (t) и + \и' Г и' — U C.42)
где A (t) — эллиптический оператор второго порядка, A (t)'—A (t).
Ср. Лионе — Штраусе [1]
Замечание 3.5. Мы снова отсылаем к цитированной
выше (см. п. 1.9) работе Лионса—Штраусса в связи с уравнением
и" — Аи + | ufu' = fm C.43)
Замечание 3.6. Все сказанное выше распространяется
на случай других краевых условий.
4. ЗАДАЧИ О НЕЛИНЕЙНЫХ КОЛЕБАНИЯХ
4.1. Эволюционные уравнения
Мы рассматриваем ограниченную область G в R2 (Q —коле-
—колеблющаяся пластина); если и и v — две функции, заданные в Q,
то в этом пункте мы будем полагать
[и, v] = D\u • Dh + D\u • D\v — 2DiD2u • DiD2v, D.1)
где D
Обозначим через Д2 = Д-Д итерированный лапласиан (по
переменной х). Мы ищем пару функций щ, и2, определенных
в QX]0» T[ и удовлетворяющих уравнениям
и'[ + й,Л2м, - [и„ и2] = f в Q X ]0, Ц, D.2)
й2Д2«2+[«1. «,] = 0 в QX]0, Г[ D.3)
(й| — положительные константы), краевым условиям
щ, -^ = 0 на S1),
и2> -д-1 == 0 на i
и начальным условиям
Щ(Х, 0) = «01 (ЛГ),
и\ (*, 0) = и„ (д:), д: е Q ф D.5)
(По поводу «механического» происхождения задачи см. ком-
комментарии и соответствующую литературу.)
') д/дп — производная по нормали к Г. '

58 Гл. 1. Метод компактности
— - - ¦ т
Замечание 4.1. Начальные условия для и2 не ставятся;
это связано с тем ')> что система D,2), D.3) не содержит .
Производных «2 по t. Система D.2), D.3) не является си-
системой типа Коши — Ковалевской2); ее можно превратить
в систему такого типа следующим Способом, использующим
исключение и2. Обозначим через G2 «оператор Грина», т. е.
оператор, обратный к Л2 в Q при условиях Дирихле; тогда D.3)
эквивалентно
и2-=--^О2([«1( и,]), D,6)
а D.2) примет вид
и» + а, ЛЧ + -^ [",- G2 ([uv «J)] = f# D.7)
Для того чтобы сформулировать наш первый результат
о задаче D.2), D.3), D.4), D.5), необходимо ввести пространство
#o(Q) = замыкание 3> (Q) в Н2(Щ. D,8)
Имеем
|ce= H2(Q), o = 0, -§J = 0 наГ}. D,9)
Имеет место
Теорема 4.1. Пусть заданы f, иОи ип, причем
f&L*(Q), D.10)
«neZ,2(Q). D.11)
' Тогда существуют щ и и2, удовлетворяющие D-2), D.3), D.4),
D.5), причем
и,б=Г°@, Г; Ho(Q))> D.12)
ttIs?"@, T\ L\u))> D.13)
(USi'fe T; #02(Q)). D.14)
Замечание 4.2. Из D.12), D,14) и определения D.1) сле-
• Дует, что
[и,, и»]е/.*(О, Т; L»(Q)),
') Безусловно, это обстоятельство допускав* физическую интерпретацию.
*) В дальнейшем мы приведем другие примеры подобных ситуаций
причем 6 них (в отличие от D.7)) нельзя перейти к системе Коши — Кова-
Ковалевской. [Здесь под системами Коши — Ковалевской подразумеваются си-
системы, разрешимые относительно старших производных по времени. Обычно
принято требовать также, чтобы порядок этих производных совпадал с по-
порядком системы. — Прим. ред.

4. Задачи о нелинейных колебаниях 59
и уравнение D.2) приводит к включению
«Г е Г9 @, Т;Н~\п)У), D.15)
так что условия D.5) имеют смысл %
Замечание 4.3.2). Для функции и2 из теоремы 4.1 вы-
выполнено включение
а2еГ (О, Т; Я3"8 (Q)) Ve > 0. D.16)
В самом деле, пусть задано достаточно малое в > 0. Тогда
Ll(Q)czH-l-*(Q,), D.17)
так как если f e Ll (Q), то
(поскольку #o+e(Q) с: L°°(Q), если п = 2 и в > 0, см. Петре AJ3)).
Так как [ии u.JsZ-00^, Т\ Я"'-е(?2)) и fl2A2u2= -[uu щ],
то мы получаем D.16) (используя решение задачи Дирихле
в пространствах H"(Q), s — нецелое; см. Лионе — Мадженес [1],
гл. 24)).
Замечание 4.4. В теореме 4.1 мы не рассматриваем
вопрос о единственности решения ф
Прежде чем переходить собственно к доказательству тео-
теоремы 4.1, разберем несколько простых свойств скобки [и, о].
Лемма 4.1. Отображение и, v->[u, о] является непрерыв-
непрерывным билинейным отображением
S
(см. замечание 4.2).
Следствие 4.1. Форма и, о, w->{[u, о], w) является не-
непрерывной трилинейной формой на #о(Я).
Лемма 4.2. Трилинейная форма и, v, w-*([u, v], w) сим-
симметрична на Ho(Q).
') Так как L1 (Q) с: Н~2 (Q); действительно, при f e L1 (Q) имеем
г) В этом замечании мы пользуемся пространствами Hs (Q) для неце-
нецелых s; по поводу этих пространств см. Лионе — Маджеиес [1].
3) Вообще, Hs (Q) с: L4 (Q), если — =- > 0, ff (Q) <= С0 (Q), если
Щ S I*
— — — < 0, Hs (Q) c= L4 (Q) для всех конечных q, если ^"<
<} Оператор (д2)"' переводит HS(Q) в Hs+A (Q) ПHi (Q), s>°-

60 Гл. 1. Метод компактности
Доказательство. Поскольку [и, v] = [v, и], достаточно
проверить, что
{[u,v\,w)=-{[w,u],v), D.18)
и в силу следствия 4.1 достаточно доказать D.18) для и, v,
0(
Легко проверить, что
[и, v] = D2l(Dtwv) — 2DiD2(DiD2h- v) + dI{D*u- v). D.19)
Интегрируя по частям, получим
([и, v], w)=4p\u ¦ v, D2iw)—2(DiD2u ¦ v, D{D2w)-\-{d\u • v, D\w)=
= (D,oy ¦ D\u — 2DiD2w • DiD2u + D\w ¦ D\u, v),
откуда следует D.18)ф
Доказательство теоремы 4.1.
1° Построение приближенного решения. Пусть wb ...
.... ьоЛ, •" —«базис» (в смысле, аналогичном A.27)) в tfo(Q),
образованный, например, функциями из iZ5(Q).
Пусть uim(t) удовлетворяет следующим условиям:
, т. е. ulm(t) = 2 gim(O в»». D.20)
w/) = (f{t), w,),
D.21)
(мы здесь пользуемся обозначениями из D.6), D.7)), и
I, .... wm], uoim-^но! в Яо(О), D.22)
I, ..., wm], Hum->иц в L2(Q). D.23)
Если мы определим «2т@ соотношением
«2« W = - -^ G2 ([иш (t), иш (/)]), . D.24)
т. е. если
Г» М » Г/м — п
D.24)
(О),
то D.21) запишется в виде
-(f(<),»/), !</<m. D.25)

4. Задачи о нелинейных колебаниях 61
Естественно, что «2т @ не принадлежит (вообще говоря)
[wu .... wm].
Итак, мы можем быть уверены в существовании ulm(t),
а следовательно, и u2m(t) в некотором интервале [0, tm], tm>0.
2° Априорные оценки. Умножим D.25) на g'jm (t) и просум-
просуммируем по /. Получим
=-(f @, «im@). D-26)
Однако, согласно лемме 4.2,
([«1л, @.
и в силу D.24') это выражение равно
+ -f (ДП&. @, «2m @) = х 4
Тогда, D.26) можно переписать в виде
T4F 0 "'
= (/@. «U0)> D-27)
и, следовательно,
J(f(a), «L(a))rfa.
D.28)
Однако в силу D.22)
|u1Im|2 + a,|A«01m|2< const,
и в силу определения D.24) имеем
«2т@) = - -j- G2([u0lm, u0lm]). D.29)
Однако [иош, иош] принадлежат ограниченному множеству
в L'(Q), а следовательно, и в H~2(Q); тогда «2т@) принадлежат
ограниченному множеству в #o(Q), и поэтому в D.28)
Итак, из D.28) вытекает, что tm — Т и
«im. «2m ограничены в ?°°@, Г; #<i(Q)), D.30)
и{т ограничены в Г°@, Г; L2(Q)). D.31)

62 Гл. 1. Метод компактности
3е Предельный переход. В силу D.30), D.31) мы можем
выделить такую последовательность ulfl, «2|1, что -
uitl->Ui *-слабо в /^(О, Т; tfo(Q)), * = 1, 2,
u^->«i *-слабо в L°°@, T; I2(Q)), D.32)
uin~*"wi сильно в L2(Q).
Пусть функции ф/, 1^/^/of принадлежат
Ф/(Г) —0 и
о»/. D.33)
Из D.25) следует, что при т =
г. г
о -
-J(f, *)Л + («,1|4@). 1>@)). D.34)
о
Однако в силу леммы 2.2
г г
J ([«!„, «J, *) dt = J (№, «2J, u
J J
о о
[^ «2ц]-*¦[$> и2\> скажем, слабо в L2(Q), и так как «1A->«j
сильно в L2(Q), то мы видим, что
г г г
/ ([«и», и»„], *)*-¦ J (N>, я.], й,)Л= J ({«„ и,],
о о о
и D.34) в пределе переходит в соотношение
г г г
- J («I, V) dt + й, J (А«„ Дф) Л - J ([«„ и2], ф) Л =
0
О
г
D.35)
которое справедливо для всех ^ вида D.33). :
Предельным переходом мы устанавливаем, что D.35) выпол-
выполнено для всех ф <= L2@, T; #o(Q)), таких, что \|/<=L2@, T; L2(Q)) "
и а()(Г) = О.
Тем самым показано, что «, и «2 удовлетворяют D.2) и
что «(@) = ии.

4. Задачи о нелинейных колебаниях 63
Нам осталось только установить D.3). Мы можем непосред-
непосредственно перейти к пределу в D.24') (при т = ц), заметив, что
[«in» И1ц]-*¦[«!, Щ]> например, в ЗУ (Q); действительно, если
q><=0(Q), то
г г
J ([«in, «ij. ф)rff = J ([bI|W ф], «i^df
о о
и мы можем перейти здесь к пределу-так же, как и выше$
4.2. Модифицированное эволюционное уравнение
Общее указание. Как мы уже отметили, вопрос о един-
единственности в теореме 4.1 остался открытым. Мы ниже увидим,
что если модифицировать D.2), добавив «вязкий член» (см.
Морозов [1]), то мы придем к теореме.существования и един-
единственности ф
Модифицированные уравнения. Пусть а > 0. Мы
ищем пару функций и,,' «2, удовлетворяющих уравнениям
- [«,, «J =f, D.36)
и1, «i] = 0 (совпадает с D.3)) D.37)
и начальным и граничным условиям D.4), D.5) ф
Для этих уравнений будет доказана
Теорема 4.2. Пусть заданы f, и01, ип, функции f и «0,
удовлетворяют условиям теоремы 4.1 и
ии<вЩ(п). D.38)
Тогда существует единственное решение щ, и2 задачи D.36),
D.37), D.4), D.5), причем
ии «2sL"@, T; Hl(Q)), D.39)
«{е=Г°@, T; Hl{Q)). D.40)
Доказательство существо в.а ни я. Схема доказа*
тельства такая же, как в теореме 4.1. Вязкий член — tt Aa'i при-
приводит к дополнительной априорной оценке, отвечающей D.40) ф
Следовательно, мы получим решение «более Сильное», чем
в теореме 4.1: вместо D.13) выполнено D.40); благодаря этому
обстоятельству можно установить теорему единственности.

64 ' Гл. 1. Метод компактности
Доказательство единственности.
1° Алгебраические соотношения. Пусть {щ, и^, {и\, из} — два ..
решения. Положим
vl=u1 — u\, v2 = u2 — u'2. D.41)
Тогда . :
1 1 I I 1 ' |_ 1 * 2J I I 1* 2J' \fx»^?t)
a2A2f2 = [fi, щ] — 2[«i, oj]; D.43)
при этом, очевидно,
t),@) = 0, ol@)=-0. D.44)
2° Оценки для v2. Здесь мы используем замечание 4.3.
В силу D.17) и D.43) имеем
II V2 11дЗ-е(П) < Ci || [UU V\] \\Ll (Q) + С, || [t»,, t),] ||Li (Q). D.45) -
Но
II[U1» Ol]|li«(O)^C2llul Ид2(ЙI1 °1 Ия2(В)'
it
и так как щ, t)asL°°@, 71; Яo(Q)), то имеем
II V211Я3-е j0) < С31| О, ||Я2@). D.46) ¦
Заметим, что на Щ(п) нормы | Ло, | и || о, ||H2(Q) эквивалентны, ~
так что D.46) эквивалентно оценке
llo2|ltf3-e(Q)<c4|Aoi|. D.47)
Если D2 = D2i или DiDi, то имеем
e=L°°@, T; W'(
а так как (см. Петре [1]) Я1"8 (Q) с: L2/e (Q), то
D2t>2, /?2ы2 е L00 (О, Г; L2/e (Q)), D.48)
и в силу D.47)
II^I^OslAo.l. D.49)
В D.42) положим
Проверим, что
Fe-L~@,T;H-l(Q)) и ||^Ця-.(В)<с6| Ао, |. D.51)
В самом деле, пусть q)eЯo(Q). Тогда ввиду теоремы вложе-
вложения Соболева (см. Петре [1]) имеем (е>0 и фиксировано)
w) 1| Ф ll^i «• D.52)

4. Задачи о нелинейных колебаниях 65
Но
I ( К, О2]. ф) К <?8 II «1 11Я2 (О) (, ST II ^?>/»2 BL»» (Q)J II Ф IIL2/A-E) (П) <
(в силу D.49), D.52) и включения и, е=/,°°@, Г; //o(Q)))
<св|Ло1|||ф||я1(О).
Далее,
I (bi, и5], ф) I < с81| о, ||Я2 @)^ 2>iII D|D/tt5 Ид 1» @)J
откуда следует D.51).
3° Энергетическое равенство. Из D.42), D.50), D.51), по-
полагая
получим N
i(I v'i @ P + all v\ (t) |F + a, | До, @ |2) = J (F, v\) do п. в. D.53)
о
Действительно, метод теоремы 1.6 приводит к равенству
4"(I v\ @ Р + all o{ @IF + a, I До, @ I2) =
. t
- 4- (I * № I2 + a || rf E) |p + fll | До, (s) p) + J (F, v\) do, D.54)
аналогичному A.104) и справедливому для почти всех s и t.
Однако в силу D.44) мы можем продолжить о, нулем
при f<0; равным образом F продолжается нулем при t<0,
так что D.54) также выполняется при s<0. Но тогда мы
получим D.53).
4° Единственность. Доказательство нетрудно провести,
исходя из D.53) и D.51). В самом деле,
t
t
J (F, v[) do < c6 J | At», (a) 11| v\ (a) ||д1 do <
о °

Гл. 1. Метод компактности
- и из D.53) следует, что
|| v\ (t) IF +1 At», (t) |2 < cla J (|| v\ (a) |p +1 До, (a) |2) do, ^D.55)
о
откуда вытекает, что
t», = 0,
а из уравнения D.43) получаем, что о2 = 0ф
4.3. Стационарный случай
Сейчас мы сделаем несколько указаний, касающихся стацио-
стационарной задачи, соответствующей D.2), D.3), — эта задача важна
для приложений.
Ищется такая пара функций ы,, ы2, что
— lui, u2] = f, D.56)
а2А2ы2 + [ы„ Ы[] = 0, D.57)
и,е=А#(О), /=1, 2# D.58)
Мы установим теорему существования решения этой задачи
с помощью одного варианта теоремы Брауэра о неподвижной
точке — последний результат играет в высшей степени важную
роль во всем дальнейшем.
Лемма 4.3. Пусть | -> Р (I) — такое непрерывное отобра-
отображение Rm в себя, что для подходящего р>0
(Р &),%)> О Щ из.сферы |11 = р, D.59)
где для % = {? J, т) = {т) J e Rm ль^ полагаем
m
(I, TD = Sii4i.Jil = (i. Ю'/2. D.60)
Гог<3а найдется такое |, Ш^р, чго Р(|) = 0.
Доказательство. Будем рассуждать от противного.
Если />(?)?= 0 в шаре /С = {11Ш^р}. то мы можем рассмо-
рассмотреть отображение
^ D.61)
которое в этом случае будет непрерывным. Тогда из теоремы
Брауэра о неподвижной точке следует существование такого |,
что

4. Задачи о нелинейных колебаниях 67
Но тогда | Ц = р, и, умножая скалярно обе части равенства D.62)
на |, получим
что противоречит D.59)«
С помощью этой леммы будет доказана
Теорема 4.3. Для заданной правой части f e H~2 (Q)
задача D.56), D.57), D.58) имеет единственное решение.
Доказательство.
1° Приближенное решение. Пусть wu ..., wm, ... — «базис»
в #o(Q), образованный, например, как и выше, функциями
из g>(Q).
Мы ищем такую функцию и1те[да,, ..., wm], чтобы
+ ~ [«л.. Оч ([«л.. «iml) ]. »i) — (f, »i)i D.63)
Если мы определим и2т соотношением
^ttiJ), D.64)
то D.63) будет эквивалентно
(a,A2«rm — [ulm, Mam]. u>t) = (/» и>г). 1 < t < «г, D.65)
fl2A2«2m + [«lm, «lj = 0. D.66)
Мы собираемся показать, что D.63) имеет хотя бы одно
решение. В этих целях мы следующим образом используем
лемму 4.3')• Вектору l — {tt) Сопоставим ulm=-^ltwi и по-
положим
т)г = (aA2ulm - [ulm, «2ml. mi) — (f, wt), D.67)
РA) = Ы- . D-68)
Тогда
т
(Я (I). S) = S 4*6» = (fll A2«im - [«,», «2ml. «1«) - (f, Щт) =
= а, | Ди1т |2 - ([и1т, «а,,], и, J - (/, и1т). D.69)
В силу D.66) и леммы 4.2
( ["lm. т], «1т) = ( [«lm» «lml. «2т) = — «21 А«2т ?,
') Эта лемма в стационарном случае «заменяет» теорему о локальной
разрешимости системы нелинейных дифференциальных уравнений, которую
мы использовали в нестационарном случае.

68 Гл. 1. Метод компактности
и равенство D.69) принимает вид
(Р(|), I) = а, | Ли1т I2 + а21 Лы2т |2 - (f, иш). D.70)
Имеем
2 (В)|| иш |1Я2(П) < С, | Ди,т |.
Следовательно,
D.71)
и, значит, (Р(?), ?)г^0, если \\ulm\^ctfalt причем последнее
условие выполняется при ||| = р, где р достаточно велико.
Итак, мы можем воспользоваться леммой 4.3, и, следова-
следовательно, существует функция ulm^[wu ..., wm\, удовлетворяю-
удовлетворяющая равенствам D.63), или эквивалентным им равенствам D.65),
D.66).
Более того, если ы1т — решение D.63), то РA) = 0, и
в силу D.70), D.71)
а, | Ли1т р + а21 Аы2т |2 = (f, ulm) < с, | Аы1т |. D.72)
2° Предельный переход. Из D.72) следует, что
и{т ограничены в Но@), i = \, 2. D.73)
Следовательно, мы можем выбрать такую последователь-
последовательность Щр, что
utli-*ut слабо в #2(Q), D.74)
а так как вложение #о (Q) -> Z-2 (Q) компактно, то
"гц-»-"г сильно в L2(Q)'). D.75)
Пусть t фиксировано, ц > /. Имеем
(а, А2ы,„, w{) — ([и1A, ы2ц], а>г) = (f, t»t);
так как
([«1ц. «2ц]> И>г) = ([«2ц. И>г]. «2ц)
и [ы1ц, шг] -+•[«,, w{] слабо в Z-2(Q), то, учитывая D.75), полу-
получаем, что
([«in, wt], u2il)-*([uu wt], и2)
и, следовательно, для всех i
(а, А2ы, - [и„ ы2], wt) = (f, wt).
Отсюда получаем D.56). Аналогично можно перейти к пределу
в D.66)«
¦) Кроме того, ulVk -> ut сильно в Нхй (Q).

4. Задачи о нелинейных колебаниях
4.4. Стационарный случай; гладкость
Напомним определение пространств Соболева, строящихся
над L'(Q):
Wт"р (Q) = [v | v е Lp (Q), Dao е Lp (Q), | a | < т). D.76)
Это пространство является банаховым с нормой
Нами будет доказана
Теорема 4.4. При f е= V (Q), р > 1 существует решение щ,
и2 задачи D.56), D.57), D.58), причем
и,.е1Р*'@), D.77)
u2 e IF4-" (Q) 5ля любого конечного q. D.78)
Д ока зате льетв-о. Более точно, мы докажем, что
при / е Lp (Q) всякое решение задачи D.56), D.57),
D.58) обладает свойствами D.77), D.78). D.79)
В самом деле, поскольку [щ, и{] и [щ, и2] принадлежат
1'(?2)сгЯ~1~8^) (см. D.17)), из уравнений
а, Л2и, = [и,, и2] + f, u, e Я^ (Q), D.80)
а2Л2«2 =-[«„«,], «2e//02(Q) D.81)
следует (см. Лионе — Мадженес [1], гл. 2), что
«,e=//3-e(Q)# D.82)
Тогда
' D% e Я1"8 (Q) с Z,2'e (Q) (Петре [1]) D.83)
и, следовательно, поскольку е > 0 и произвольно,
[щ, щ], [щ, и2] 6=L"(Q) для любого конечного q~^ 1.
Но тогда правая часть D.80) (соответственно D.81)) принад-
принадлежит V (Q) (соответственно L" (Q) для всех конечных q), и
с помощью результатов о задаче Дирихле в L" {п) (см. Агмон [1],
Агмон — Дуг лис — Ниренберг [1]) мы получаем D.77), D.78) %
Замечание 4.5. В приведенном выше доказательстве
предполагается, что граница Г достаточно гладкая ф
За меч а ние 4.6. Если f^Lq(Q), q произвольно и конечно,
то предыдущее доказательство приводит к включению
и, е WA~ р (Q), р— любое конечное числоф

70 Гл. 1. Метод компактности
Замечание 4.7. «Итерируя» предыдущее доказательство,
мы получим, что если f<=k>(Q), то ut^k>(Q), г = 1, 2*
5. ЛЕММЫ О КОМПАКТНОСТИ
5.1. Общие указания
Мы уже несколько раз существенно пользовались компакт-
компактностью вложения Я1 @) -»¦ L2 @), где 0 — ограниченная область
с достаточно гладкой границей.
Этого результата «о компактности вложения» недостаточно
для приложений.
Мы приведем (в п. 5.2) две достаточно общие леммы!);
далее в п. 5.3 мы сначала воспользуемся этими леммами
в ситуации, с которой мы уже встречались в § 3; другие при-
приложения, в частности к уравнениям Навье — Стокса, будут
даны дальше.
5.2. Леммы о компактности
Мы будем пользоваться следующими обозначениями: Во, В,
Bi—три банаховых пространства, причем
ВоаВczBi2), Bt> i = 0, 1, рефлексивны, E.1)
' вложение Во-*-В компактно. E.2)
Пусть
W = { v | v б= Lp° @, Т; Во), v' = ? е I/' @, Т; В,)}, E.3)
где Т конечно и 1 < pt < «э, / = 0, 1. Снабдив W нормой
получим пространство Банаха. Очевидно, что W с: Lp°@, T; В).
Им«ет место следующий результат:
Теорема 5.1. В условиях E.1), E.2) при l<pi<°ox
/ = 0, 1, вложение W в Lp°@, Г; В) компактно.
Доказательство. Если подпоследовательность vn огра-
ограничена в W, то можно выделить3) подпоследовательность Оц,
¦) «Нелинейный вариант» этих утверждений в одной конкретной ситуа-
ситуации будет приведен в § 12.
*) Знаком с= обозначается алгебраическое и топологическое включение.
') Мы здесь пользуемся тем, что пространство Lp' @, Г; Bt) рефлексивно,
если 1 < р{ < оо и В( рефлексивно.

5. Леммы о KoMnaKtHOctu 7\
такую, что Vp-^v слабо в W.Таким образом, нам надо доказать
(изменив обозначения) следующее утверждение: пусть vn — такая
последовательность в W, что
vn->0 слабо в W.
Тогда vn->0 сильно в L"'@, T; В).
Имеет место следующая хорошо известная лемма (далее
для удобства читателя мы напомним ее доказательство):
Лемма 5.1. В предположении E.2) Vtj > 0 найдется такая
константа cv, что
\\v\\B^T)\\v\\B, + cJv\\Bt. E.4)
Таким образом, Vt]>0 существует такое dw что
II Vn \\LP° @. Г; В) ^ Л И °" к"' @, Т; В,) + dr\ И V" к"' @, Т; BJ- E*5)
Пусть задано е>0. Поскольку
имеем
¦' И °» кР« @, Г; В) < е/2 + dV II V" к* @, Г; BJ,
коль скоро i\ выбрано таким образом, что т)С^е/2.
Теперь остается показать, что
0„-+О сильно в Lp°@, T; В,). E.6)
Так как W сгС°([0, Г]; В,), то || vn (t) \\Bi < const, так что,
согласно теореме Лебега, E.6) будет выполнено, если мы по-
покажем, что
о„E)-*0 сильно в В, Vs<=[0, T].
Поскольку s не играет никакой специальной роли, нам остается
только показать, что ' :
vn @) ->.О сильно в В\, E.7)
Если мы определим ш„ равенством
Я,>0 фиксировано, E.8)
то
o,,@)=-w»@).
№. г; в., < ^f> 1»- L", (о. т: в,, < ^/А ( "

72 Гл. 1. Метод компактности
Если функция <р принадлежит С на отрезке [О, Т], <р@) = — 1,
G-) = 0, то т
о
г
Из E.9) следует, что
n||fll. E.10)
Если е > 0, то выберем А. таким образом, чтобы с3М~11р<
мы придем к E.7), если покажем, что
у„->0 сильно в 5,. E.11)
Но #>„->() слабо в Z/°@, Т; Во) (А. фиксировано, и мы всегда
можем считать, что А.^1), и, следовательно, \„-*0 слабо в Во.
Так как вложение В0-*В\ компактно, мы получаем E.11) и
утверждение теоремы 1)ф
Доказательство леммы 5.1. Предположим, что E.4)
не выполнено. Тогда Vt] > 0 существуют t»nefl0 и cn->-f oo,
такие, что
Полагая wn = vn/[\ vn ||flii) мы получим
n\\Wn\\Bt E.12)
|| wn % < const • || wn |iBi < const.
Но тогда из E.12) следует, что
\\wn\L-*Q. E.13)
') Другое доказательство (Р. Темам): имеем о„ @) = а„ + Ъп,
S S
О О
Если задано е>0, то выберем 5 таким образом, что
S
II Ьп\\в, </
О
Далее, если s фиксировано, то ап -> 0 слабо в Во и, следовательно, сильно в В1ш

5. Леммы о компактности 73
Далее, ||ш„||в =1, а поскольку вложение В0-*В компактно,
из последовательности wn можно выделить подпоследователь-
подпоследовательность Шц, сильно сходящуюся в В; в силу E.13) || w^ \\B -*¦ О,
что противоречит E.12)^
Замечание 5.1. В приложениях первая априорная оценка
получается в пространстве типа Lpt (О, Т\ Во), где Во — про-
пространство Соболева типа
B0 = Wm-"(Q). E.14)
Чтобы установить сходимость почти всюду (см. лемму 1.3),
нам нужно утверждение теоремы 5.1, например, для случая
B = Z.P(Q). E.15)
Предположение E.2) имеет место в силу теоремы Кондра-
шова [1], если Q — ограниченная область с достаточно гладкой
границей.
«Практический» вывод из теоремы 5.1 состоит в том, что
требуемый результат получается из априорной оценки v'
в Lp'@, T; В,), где Bt может быть выбрано «сколь угодно
большим».
Именно это замечание позволяет (в последующих пара-
параграфах) решить вопрос о существовании решения уравнений
Навье— Стокса в пространстве произвольной размерности щ
Теперь мы приведем другую лемму о компактности, исполь-
использующую понятие дробной производной.
Мы ограничимся функциями со значениями в гильбертовом
пространстве').
Мы будем считать, что выполнены предположения E.1),
E.2) и, кроме того,
пространства Во, В, Bt гильбертовы. E.16)
Для заданного у > 0 положим
. 2T(R; Во, B,)={a|asL2(R; Bo), |tf 0e=Z.2(R; В,)}, E.17)
где
& (т) — преобразование Фурье по t функции о,
00
б(т)= Г e-inttx v (t) dt.
') Если пространство не является гильбертовым то нужно предполагать
известной теорию интерполяции. Приведенные ниже результаты достаточны
для наших целей.

74 ., Гл. 1. Метод компактности
Определив норму
мы превратим Жу (R; Во, #i) B пространство Гильберта.
Введем также
2%у(О, Т; Во, fij)— пространство сужений на (О, Т)
функций из 5?r(R; Во, В,). E.19)
Это пространство будет гильбертовым с «нормой факторпро-
странства»:
U^w^W.fc.J E>20)
где w = о почти всюду в (О, Г).
Пространство 5#г@, 7*; Во. #i) состоит из таких функций
bgL2@, Т; Во), у которых (по определению) дробная произ'
водная порядка у принадлежит L2@, T; В{).
(В приложениях, как правило, 0<у< 1.)
Будет доказана
Теорема 5.2. Предположим, что выполнены условия E.1),
E.2), E.16). Тогда вложение 2ву {Ъ, Т; Во, Bi)-*L2{0, T; В)
будет компактным.
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 5.1;
нам достаточно показать, что если vn -» 0 слабо в 5#г@, Т; Во, fii),
то оп-»-0 сильно в L2@, T; В,).
Можно считать, что vn является сужением на (О, Т) функ-
функции wa^2@y(R] Bo, В,), причем носитель ш„ принадлежит
[—1, Т-\- 1], wn-*0 слабо в 5#V(R; Bo, Bi). Нам надо показать,
что ш„-+0 в L2(R; B{) или что
/„= J И|,(тIЬ,Л-*0. E.21)
—оо
Имеем:
/.= J H^n(T)|FBidT+ J (l+|
Для заданного е > 0 можно выбрать М таким образом,
чтобы
С ^ е

б. Леммы о компактности 75
Условие E.21) будет выполнено, если мы покажем, что
J I! te>n Ы fBi dx -> 0, М фиксировано. E.22)
|т|<М
Если $> — непрерывная функция с компактным носителем,
равная 1 на [— 1, Т + 1], то цу„ = фш„ и
п \ ) J "
— сю
Следовательно, $„ (т) -»¦ 0 слабо в Во, а тогда сильно в В и
a fortiori сильно в Вх, поскольку
и E.22) следует из теоремы Лебега«
5.3. Применение теоремы, 5.1
Мы вернемся здесь к ситуации § 3, где рассматривается
уравнение
ы"-Лы+!ы'|р«' = / в Q = QX]0, T[, E.23)
A = 0 на J, E.24)
и@) = и0, и'(Р)«в|. E.25)
Будет доказана
Теорема 5.3. Пусть заданы f, u0, щ, причем
E.26)
E-27)
и,еЯ^@). E.28)
Предполагается, что Q — ограниченная область с гладкой гра-
границей.
Тогда существует одна и только одна ') функция и, являю-
щаяся решением задачи E.23), E.24), E.25), причем
u<=L°° @, Т; Н2 (Q) П Я о (Q)), E.29)
и' е L00 @, Г; Я* (Q)) П Lp+2 (Q). E.30)
') Мы здесь не доказываем единственность и отсылаем читателя к более
общему результату из §. 6 гл. 2.

76 Гл. 1. Метод компактности
Замечание 5.2. Условия на /, ы0, щ менее сильные по
сравнению с теоремой 3.1, а полученное решение и (как и сле-
следовало ожидать) — более слабое »
Доказательство теоремы -5.3. 1) Как и в доказатель-
доказательстве теоремы 3.1, строится приближенное решение ит (см. C.19)),
причем
«от->«о в
«,„->«, в tfJ(Q),
и в качестве Wj, как и в C.15), выбираются собственные функ-
функции оператора — А.
2) Априорные оценки A), (II) из доказательства теоремы 3.1
остаются в силе, следовательно,
ит ограничены в Г°@, Т; Я2(Q) П #о(Q)), E.31)
и'т ограничены в L°° (О, Т; Я A (Q)) fUp (Q), р = р + 2- E.32)
Наоборот, априорные оценки (III) не справедливы (в них пред-
предполагается, что f'eL2(Q)); мы постараемся их заменить оцен-
оценками «менее сильными», но достаточными для применения
теоремы 5.1 и перехода к пределу.
3) Обозначим теперь через А неограниченный оператор
в L2(Q), определенный равенством
= (область определения А) = Я2 (Q) П #о (Q). E.33)
Тогда, если граница Q достаточно гладкая, то
и поскольку hPN (Q) с V (Q) при подходящем N, мы видим, что
D (AN) с: L" (Q), N достаточно велико. E.34)
Оператор Рт проектирования L2(Q) на [шь ..., wm]:
2(f,{)t E.35)
-удовлетворяет условиям
Pm<=Z{D(A«); D(А»)); IIРтЦ, {D{Ащ,DШ) <с,
и, следовательно, в силу E.34)
переходя к сопряженному оператору, ввиду равенства Р*т = Рт
получим
I ^11 <с- ' E'36)

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 77
Однако из приближенного уравнения C.19) следует, что
t& (<) = A um (/) - Рт (| и'т (t) f u'm (t)) + Pmf, E.37)
и в силу E.32) функции / ->| и'т (t) | pu'm (t) ограничены
в L"'@, T; L"(Q)) и, следовательно, в силу E.36)
Pm{\u'mfu'm) ограничены в L"'(О, Т; D(AN)').
Таким образом, из E.37) (вместе с E.31)) следует, что
<4 ограничены в Lp'F, T; D(AN)'). E.38)
4) Теперь мы применим теорему 5.1 о компактности к по-
последовательности ит, где
Во = Яо (Q), /зо = 2 (например), „ 3Q
Bi=D{A»Y, Pl=p',
и где
B = L2{Q) (что законно ввиду компактности
вложения Hlo{Q)->L2{Q)). E.40)
Из сказанного выше следует, что можно выбрать такую
последовательность ы?, что
и'^-^и' в L2@, T; L2(Q)) и почти всюду в Q. E.41)
Таким образом, мы можем считать, что
¦«„->« *-слабо в Г°@, Т; Я2(Й)ПЯо(Й)), E.42)
«;->«' слабо в L"(Q) и *-слабо в Г°@, Т; ЩЩ E.43)
?''Ю). ' E-44)
Однако в силу E.41) и леммы 1.3 % = \u'fur, и мы можем
закончить доказательство таким же образом, как в тео-
теореме 3.1 е
6. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ —СТОКСА
(ЭВОЛЮЦИОННЫЙ СЛУЧАЙ)
6.1. Постановка задачи
Пусть О, — ограниченная область в R" с границей Г (глад-
(гладкость Г сначала не играет роли).
Обозначим через и вектор (вектор скорости)
и = {щ, .... иа}, F.1)

78 Гл. 1. Метод компактности
определенный в Q = QX]0, T[. Положим
Уравнения Навье — Стокса в эволюционном случае имеют
следующий вид:
п
-g- _ v Ли + 2 utDtu = f - grad р (v > 0), F.2)
div« = O т. е. 2 DiUt = 0 , F.3)
V i=i I
а начальные и граничные условия таковы:
ы = 0 на S (т. е. и{=0 на 2, /=1, .... п), F.4)
и(х, О) = ио(х) на Q (т. е. щ(х, 0) = uol(x), jceQ)e F.5)
Задача состоит в том, чтобы найти и и р (очевидно, р опре-
определено с точностью до аддитивной постоянной), удовлетворяю-
удовлетворяющие F.2) - F.5).
Замечание 6.1. Уравнения F.2), F.3) не являются урав-
уравнениями типа Коши — Ковалевской (поскольку отсутствует
производная dpjdt; в § 4 мы уже встречались с примером подоб-
подобной ситуации); они становятся уравнениями типа Коши — Ко-
Ковалевской, если их записать в факторпространстве простран-
пространства распределений — в пространстве V, определенном ниже ')^
Мы теперь определим так называемое слабое решение или,
согласно Лере [1], [2], турбулентное решение задачи F.2) — F.5).
Для этого нам понадобятся следующие обозначения: положим
Г = {ф]ф<=0(О)", divq> = 0}, F.6)
Я = замыкание Т в (L2(Q)f. F.7)
Для f, g из Н положим
fieidx, \f\ = {f,fj'\ F.8)
/«=1 Q
Далее мы рассмотрим пространства HS(Q), s^O, причем
5 может быть как целым, так и нецелым (см. Лионе —Мад-
') См. примечание редактора на стр. 58. — Прим. ред.

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 79
женес [1], гл. 1); пространство (Hs(Q))n мы снабдим гильбер-
гильбертовым скалярным произведением
п
Далее мы определим
Vs= замыкание Г в (tfs(Q))", || и \ = {(и, и))*. F.10)
В частности, мы положим
V^V, Цы^^ЦыЦ. F.11)
Тогда
VscVcH, если s>l, - F.12)
причем каждое из этих пространств плотно в последующем.
Мы отождествляем Н с его сопряженным: Н' — Н. Мы
можем также при «том же самом» отождествлении отожде-
отождествить V, V's с надпространствами Н и, следовательно, по-
пополнить F.12) включениями
VsczV czH cV czVid F.13)
Замечание 6.2. Пространство V (а также V's) является
факторпространством пространства iZ5'(Q)"a
Замечание 6.3. Если v^Vs, то а*е#о (Щ и, следовательно
(при s >'/г)> о/ = 0 на Г. Таким образом, мы можем понимать
F.3), F.4) как условия принадлежности и к V для почти всех t%
Теперь положим
а{и, v)= ^ \Trjrdx> "' оеК« FЛ4)
Ь(и, о,ю) = _2 Ja4p*oi)i»idx F-15)
для тройки таких векторов ы, и, да, для которых сходятся
соответствующие интегралы; в этой связи отметим такую
лемму:
Лемма 6.1. Трилинейная фбрма и, v, w-*b{u, v, w)
непрерывна на V X V X {V Л {L* (Q) П2).
') Читатель, который желает избежать употребления Hs (Q) • для не-
нецелых s, может при чтении пп. 6.3, 6.4 в качестве s брать наименьшее целое
число ^ п/2.
2) Заметим, что Vfl(A"(Q))"«=V, если п

80 Гл. 1. Метод компактности
Доказательство. В самом деле, если ыеК, то ы^еЯо (Q)
и, следовательно, в силу теоремы Соболева
U/eL*(Q), - = -т (<7 конечно и произвольно при п = 2).
О JL ft
F.16)
Заметив, что
II
uk (Dkvt) wt dx
мы получим наш результат1). Для га = 2 отметим, например,
что
I/
(DkVi) Wt dx
a
uk ||L4(Q) || Dkvt ||L, (Q)|| wt |
Теперь может быть сформулирована
Задача 6.1. Пусть заданы
ff=L2@,T;(H-l(Q))ay F.17)
иое=Я. F.18)
Ищутся такие и и р, р&ЗУ (Q), что
«ei2@, Т; V)ПГЧО, Г; Я), F.19)
п
и' — v Аи + 2 «fDf« = / — grad p (совпадает с F^2)), F.20)
ы@) = ы0." F.21)
Замечание 6.4. В F.19) условие принадлежности и
к L°°@, T; Н) может показаться искусственным, и оно на самом
деле не существенно для постановки задачи; однако мы дока-
докажем существование именно в классе F.19). Как уже было
отмечено (в замечании 6.3), условие «gL2@, Г; V) в неко-
некотором смысле содержит в себе условия F.3) и F.4).
Следует отметить, что можно дать два определения прост-
пространства V, которые a priori в равной мере естественны:
первое определение: V = замыкание Т в (Я1 (Q))";
второе определение: V = {v | us (Яо (Q))", div v = О}.
Эти определения эквивалентны. В са.мом деле, обозначим
на минуту пространство из второго определения через V. Ясно,
что Vc:V; установим обратное включение. Пусть L — непре-
') На самом деле установлена непрерывность иа (?» (Q))" X V X (?" (Q))",

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 81
рывная линейная форма на V, равная нулю на V; в силу
теоремы Хана — Банаха L можно представить (не единствен-
единственным образом) в виде
%
Так как L равна нулю на V, а тем более на У, то по теореме
двойственности де Рама (см. де Рам [1])
Однако можно показать (см. Мадженес — Стампаккья [1], при-
примечание С27) на стр. 320), что тогда SsL2(Q), и в этих усло-
условиях
откуда следует наш результат«
Замечание 6.5. Несмотря на кажущуюся точность,
формулировка задачи F.1) содержит одну двусмысленность:
у нас нет никаких сведеннй относительно и' и р, лишь только
соотношение
и' + grad р = v Аы - 2 u{D{u + f на Q, F.22)
вследствие чего не очевиден смысл условия F.21).
Если мы возьмем феЗ*°, то
(gradp, <р) = 0 (в ИХ (О, 7У),
и F.22) приводит к равенству
(«'. Ф) = —va (ы, ф) — 6 (ы, ы, ф) + (/, Ф). F.23)
Без труда можно проверить, что
b (ы, и, ф) = — 6 (ы, ф, ы), F.24)
так что F.23) эквивалентно ¦
{и', ф) = -va (u, ф) + Ь (и, ф, и) + (/, Ф). F.25)
Пусть X — замыкание Т в (HP''n/2(Q))n; имеем:
п
\Ь{и, ф, «

82 . Гл. 1. Метод компактности
и, следовательно,
Ь{й, Ф, «) = (?. Ф), И ? It < 41 и IP,
откуда g^L1 @, Т; Х'). i.
Далее, из F.25) следует, что -
и' е= L2@, Т; V) + V (О, Т\ Xе), F.26) |
так что F.21) имеет смысл (например, в X').
В дальнейшем мы все это будем уточнять, и, как будет i
видно, указанная выше интерпретация существенно упро- ;'
щается при п = 2 * ^
Замечание 6.5 естественным образом приводит к другой w
формулировке задачи 6.1. . 'Л
Задача 6.2. Пусть заданы
/eL2@, T; V'), F.27)
ыое# (совпадает с F.18)). F.28) :
Ищется такое и, что
ue=L2@, T; V)()L°°(O, T; H) (совпадает с F.19)), F.29)
(u',v) + va(u, v) + b(u, и, v) = (f, v) Vt> eK (](Ln(Q))n, F.30) ^
ы(о)=ыо. - F.31) :
Замечание 6.6. Условие F.31) интерпретируется таким i
же образом; как в замечании 6.5; лемма 6.1 используется для /•
того, чтобы придать смысл форме Ь(и, и, о)^ i
Замечание 6.7. Докажем эквивалентность двух приве- ;
денных выше формулировок.
Если и —решение задачи 6.1, то F.25) выполнено для всех ?
Ф е= Т, откуда F.30) следует с помощью предельного переходя *=
в V[)(Ln(Q))"; таким образом, и является решением задачи 6.2ЛJ
Обратно, пусть и — решение уравнения F.30). Тогда, если %
мы положим
и' - v Аы + S UiDtu - / = S, F.32) ,;
то S будет принадлежать BУ(О))п и
(S, ф) = 0 в (ЗУ @, Т))п Уф е= Т. F.33)
Отсюда следует, что 5 имеет вид
5=—gradp, ре<2У@)# - F,34)
Будут доказаны следующие результаты;

б. Уравнения Навье — Стокса (эволЮциЬняый случай) 83
Теорема 6.1. Существует решение и задачи 6.2 (при про-
произвольном конечном Т > 0).
Вопрос о единственности открыт; в этой связи доказана
Теорема 6.2. Если размерность п равна 2, то задача 6.2
допускает единственное решение.
Будет доказана также
Теорема 6.3. Если размерность п = 2, то решение за-
задачи 6.2 после, быть может, исправления на множестве мери
нуль будет непрерывно как функция [0, Т] -> Н; при этом
u(t)->u0 в Н, когда ^->0»
Чтобы лучше продемонстрировать важную роль размерности,
мы начнем с доказательства теорем 6.2 и 6.3 (п. 6.2); далее
мы дадим два доказательства теоремы 6.1, первое (п. 6.4) для
любых п, второе (п. 6.5) для п4
6.2. Случай пространства размерности 2. Единственность
Нам понадобятся несколько лемм.
Лемма 6.2. Если га = 2, то существует такая константа
с (п), что
\\v \\L. (a) < с (Q) || v (J, (а)|| о ||? (а) V« e Hi (Q). F.35)
Доказательство. Достаточно доказать F.35) для
ae0(Q); продолжим v нулем вне Q, и неравенство F.35)
будет следовать из неравенства
(,j • F.36)
Мы будем исходить из равенства
v*(x) = 2 J v(Dtv)dx{,
откуда
«2(*)<2М*2) и v2(x)^2v2(xl),
где .
+ 00 +00
\v\\D2v\dx2.

84 Гл. 1. Метод компактности
Следовательно,
J v* {х) dx < 4 J о, (*2) dx2 J i>2 (*,) Лг, <
R» R R
| о. 1^,(RJ) || Я,о ||у m || о ||i8(R1) || D2v \\L,(R>),
откуда, в qacTHocTH, следует F.36)«
Лемма 6.3. Ясли « = 2а tteL2@, T-; V){]L°°(Q, T; H), то
2
2«iD|»eL2@, Г; V0- F.37)
fc=i
Доказательство. Если<peV(напомним,что||ф|| — норма
в V), то имеем
откуда
| (|1 и,0,и, Ф) | < с, || ы |fi4 (Q))J || Ф || < с21| ы || | и
(в силу F.35))
и, следовательно,
откуда вытекает F.37), поскольку функция *-*||и@11 принад-
принадлежит L2@, T), а функция /->|ы(/)| принадлежит ^"(О, Т)ф
Из F.30) следует, что d'eL2@, T; V) при п = 2; таким
образом, доказана
Теорема 6.4. Всякое решение и задачи 6.2 при га —2
удовлетворяет включению
«'eL2@,r;F')# F.38)
Теорема 6.3 следует из включения «et2@, Т; V), F.38) и
теорем о следах; см. Лионе — Мадженес [1], гл. 1«
Доказательство теоремы 6.2. Пусть ы и о* —два
решения, и пусть w = ы — о*. Тогда
+ 6(ш, и,y) + b(u, w, v) — b(w, w, v) = 0
Vve=V (так как V cz(L2 {Q)f!). F.39)

6. Уравнения Навье—Стокса (эволюционный случай) 85
Поскольку ввиду F.38) нам известно, что а»' е L? (О, Т; V),
то в F.39) мы можем положить v = w (/) и проинтегрировать
по t; получим '):
t
j I w @12 + v J а (ш, ву) </<х +
о
+ J [b(w, и, w) + b(u, w, w) — b(w, w, w)]—0. F.40)
0
Однако b(u, w, ay) = 0, b(w, w, w) = 0 и F.40) примет вид
t t
\w(t)\2 + v j\\w(o)\Uo = - $ b(w,u, w)da. F.41)
о
Отсюда
t
t
J b (w, u, w) da < c3 J || w (a) |fL, (Q))J || и (a) || da <
о
(в силу F.35))
< v J || w {a) |p da + c511 w {a) f\\ и (а) |р da.
о о
Из F.41) следует, что
| w (t) |2 < 2c8 J || и (a) If | w (a) |2 da, F.42)
о
откуда w = 0 «
6.3. Специальный базис
В дальнейшем мы будем иметь дело с пространством Vs,
где
s = n/2% F.43)
Мы будем пользоваться следующими леммами:
•) Если »eL!(I), Т; V), »'ei!@, Г; V), то почти всюду
^2
2) Следовательно, при и = 2 существование доказывается с использо-
использованием только пространства Vi = К.

86 Гл. 1. Метод компактности
Лемма &.4. При условии F.43) если v e Vs, то D^t <= Lrt (Q).
Доказательство. В самом деле1), D(Vj е Н"~* (й),
a «'"'(QlcriQ), где -1=1-1^1 = 1 (согласно Петре [1])#
Лемма 6.5. При ыеУ, oel',
&(и, ы, v) = -b(u, v, и). F.44)
Доказательство. Этот результат очевиден для и, oef,
затем надо перейти к пределу ф
Лемма 6.6. При «eV линейная форма v->b(u, и, о) не-
непрерывна на Vs;
b(u,u,v) = (g(u),v), .g{u)s=V's, F.45)
причем
\\g(u)\\v's<c6\\uf{LP{Q))n, F.46)
где
7 = ^~i (Л <<7. где /7 из F.16)). F.47)
Доказательство.
п
\b\u, u,v)\ = \-b{u, v, и)Кс7II" 11(\рB))»Д^|Д^Не-
11(\рB))»Д^|Д^Неоткуда ввиду леммы 6.4 следует F.46)«
Лемма 6.7. Пусть ue=L2@, T; V)(]L°°{0, T; Н). Тогда
ms=L4@, T\ (Lp(Q))n), p определено в F.47). F.48)
Доказательство. Пусть и = {и{}. Имеем
Ui&L2{0, T; hUQ))(]L°°{0, T; L2 (Q)). F.49)
Рассмотрим отдельно два случая.
Первый случай: и = 2. Согласно лемме 6.2,
.11 и, (*) ||L4 B) < с (Q) || щ (t) ||^ (й) || щ (t) |g B>j< с || ы< (f) ||?, (й),
откуда
«^eLMO, T; L4(Q)),
т. е. F.48) доказано (jo = 4 при п = 2).
Второй, случай: п^З. Согласно теореме Соболева, Я0(Р)с:
cL'(Q), \/q = 1/2—l/n, и из F.49) следует, что
и, е L2 (О, Т; L" (Q)) П Iе" (О, Г; L2 (Q)). F.50)
') См. Лионе — Мадженес [1], предложение 12.1 гл. 1.

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 87
В силу неравенства Гёльдера
(Q) 'I
откуда a,sL«@, Г; L'(Q)),
т. е. прнходнм к F.48) *
Лемма 6.8. Вложение Vs-+H компактно.
Доказательство очевидно, так как VscVl***.V и
вложение V\-*H компактно ввиду компактности вложения
H]0(Q)->L2(Q)m
Следствие 6.1. Спектральная задана (в обозначенияхF.9))
((ю, о)),=-Я.(ю, о) VoeFs F.51)
допускает последовательность ненулевых решений wjt отвечаю-
отвечающих последовательности собственных значений kf.
((»/, «О). —*/ (ю„ о) Vi> e V,, Я., > 0. F.52)
Мы используем функции Ш/ в качестве «специального
базиса» в методе Фаэдо — Галёркнна в следующем ниже пунктещ
Можно также использовать пространство Vs для доказа-
доказательства следующего утверждения:
Теорема 6.5. Для любого решения задачи 6.2 имеет место
включение
ur<=L2@,T;V's), s = n/2'). F.53)
Доказательство. Действительно,
а (и, v) = (Аи, v), Ле^(У; V), F.54)
и используя F.45), мы выведем нз F.30), что
u' = -vAu — g (и) + f. F.55)
Согласно F.46) н F.48), g (и) е= L2 @, Т; V's); так как Ли е=
e=Z.2@, Т; V), f s L2 @, Т; V) и V'czV'a, то нз F.55) сле-
следует F.53) ф
Следствие 6.2. Всякое решение задачи 6.2 после, быть
может, изменения на множестве меры нуль, будет непрерывно
как функция [Q, T]-+V(s-\)/22).
.. ') Если я = 2, то мы снова получаем теорему 6.4 (и притом с тем же
самым доказательством!).
2) А также слабо непрерывно, как функции [0, Т]-*Н (см., напримерр
Лиоис — Мадженес AJ, лемма 8.2, гл. 3). .

88 Гл. 1. Метод компактности
Доказательство1). Мы воспользуемся здесь теоремой
интерполяции; согласно Лнонсу — Мадженесу [1] гл. 1, и не-
непрерывно как функция [0, T]-*[V,Vs],li=Vu-])i2^
6.4. Доказательство теоремы существования 6.1;
первый метод
6.4.1. Приближенное, решение. Мы воспользуемся «базисом»
до, wm, ..., введенным посредством F.52).
Мы определим «приближенное» решение um(t) порядка m
следующим образом:
m
ыт(*)е=[ю, wm], um(t) = ^glm(t)wi,
(u'm @, w,) + va («m (t), w,)+b (um (t), um (t), w,) =
= (f(t), w,), Kj<m, F.56)
«m@)=«0m. «0HiS[t»1f .... t»m], «0m->«0 В Н. F.57)
Эта система дифференциальных уравнений (относительно
ilm(t)) позволяет определить um(t) в интервале [0, tm]; мы сей-
час увидим, что можно взять tm = T.
6.4.2, Априорная оценка (I). Умножим F.56) на gjm(t) н про-
просуммируем по /; так как (см. лемму 6.5) b{um, um,um)=0, то
получим:
Т -sr I «m (О F + va (um (t), um (/)) = (/ (t), um (t)), F.58)
откуда
откуда
t t
I UmV)? + V J ll«m(») IP^<I «te P+ 2C J || f (<r)|prf<r. F.59)
0 0 ,
Используя F.57), мы получим, что tm = Т и что
ит ограничены в L2@, Т; V) П L°° (О, Т; Н). F.60)
6.4.3. Априорная оценка (II). Мы теперь собираемся пока-
показать — и это центральное место доказательства, — что
и'т ограничены в L2@, T; V's). F.6I)
') Этот результат не необходим для дальнейшего.

6. Уравнения Навье — Стоках (эволюционный случай) 89
В самом деле, пусть Рт — проектор Н-*[wu ..., wm], так что
т
/\.A—S(A, Ю|)в>|.
В обозначениях F.54) и F.45) мы выведем из F.56), что
(um)) - vPmAum + PJ. F.62)
Однако || Рт \\у (^. v^ < 1 (благодаря нашему выбору w^;
тогда из соображений двойственности (поскольку Р"т = Рт)'
\\Pmh(V'iV')<i- F.63)
\ S $/
Из F".6О), F.46) и F.48) следует, что g(u,^ ограничены
в L2@, T; V's), и, следовательно, Pm(g(um)) ограничены
в L2@, Г; V's).
Далее, так как Аит ограничены в I? (О, Г; V), а тогда и
в L2@, Г; V's), то F.61) следует из F.62).
6.4.4. Предельный переход. Мы воспользуемся теоремой
о компактности 5.1, полагая
Тогда из последовательности ит можно выделить такую под-
подпоследовательность «ц, что
tip-*и слабо в L2(О, Г; V), F.64)
и„ -* и *-слабо в Г9 (О, Г; Я), F.65)
и^-*и сильно в L2@, Г; Я) и почти всюду в Q, F.66)
и'р-+и' слабо в L2@, Г; Ki). F.67)
Из F.64), F.67) следует, что и„@)-»и@) в К, слабо (на-
(например) и что и@)=«0.
Согласно лемме 6.7, и^и^ ограничены в L2@, T; LPl2(Q)),
и, следовательно, можно считать, что
4i%i-*tn слабо в L2@,r;Lp/2(Q)). F,68)
Однако благодаря F.66) мы имеем:
F.69)

90 Гл. 1. Метод компактности
(чтобы это.установить, можно использовать лемму 1.3 или за-
заметить, что «Й|«Й/->Ы|«/ в ЗУ (Q); действительно,
J Иц<Иц/фdxdt-> J. «|Ы/фdxdt Уфей)(Q),
. q ....<?._ ..
поскольку Иц| —> «г слабо в L?(Q), а «^/ф-^Иуф сильно в L2(Q)).
Из F.68), F.69) следует, что
b(ull,u]Xtwl)-+b(u,u,w,) слабо в L2@, 71). F.70)
В самом деле, если iJ?eL2@, 71), то
J г> («ц, «ц, ©у) ф rf/ = — J г» («ц, wh Иц) ф rf/,
о о
и можно перейти к пределу, используя F.68).
Между тем
К' WD -*("'• wt)> CKa«eM, в ЗУ @, Т),
й, таким' образом, равенство F.56) (при /п=ц.) в пределе дает
равенство ч
{и', w,) + va (и, wj) + Ь (и, и, wj) = (/, w,),
выполненное для всех /. Отсюда вытекает справедливость F.30)
V» s Vs н далее Vo <= У П (^" (О)Г •
6.5. Доказательство теоремы существования;
второй метод
Предлагаемый ниже метод проходит лишь в предполо-
предположении, что
п-<4. F.71)
С. другой стороны, в этом методе не предполагается, что в ка-
качестве Wj выбран какой-нибудь специальный базис«
- Пусть w\, ,.., wm, ... — «произвольный» базис в Fs!) и
ит — при олиженное решение, определенное с помощью F.56)*:
F.57). В этом случае опять выполнена оценка F.60).
С другой стороны, оценка F.61) не выполнена, и ее следует
заменить оценкой производной дробного порядка по t функ-
функции ит (ср. с теоремой 5.2); для любого е > 0
D\h~eum ограничены в L?(O,T; Н), .. (б.72)
'-¦ ') Точнее, в V[\{Ln{Q))n.

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) ЙГ
где
О'/'~еи = сужение на (О, Г) обратного преобразования
Фурье по т от | т ||/ч~в й, где й — преобразование F.73)
Фурье по t функции й, которая получается при
продолжении и нулем вне (О, Г).
Действительно, пусть йт получается из ит путем продолже-
продолжения нулем вне (О, Г);- из F.56) следует, что
|М (йт, йя, »/) =
-(Г, w,) - (ит(Т), w,NT¦+ \иш, ш/)бо, F.74)
где f — продолжение f нулем вне (О, Г) и где б0 (соответ-
(соответственно бг) — мера Дирака, сосредоточенная в 0 (соответ-
(соответственно в rf = 7*).
Теперь мы используем F.45), но с другой оценкой, спра-
справедливой при п ^4; имеем:
(g (и), о) = — Ь {и, v, и).
Следовательно, . \(g(u), v)\^C\\u\fL4(Q))n\\v\\,
а так как #i(Q)cL4(Q) при п ^4, то имеем:
Ш«IКс||м!р. - F.75)
Положим gm= g (um), gm — преобразование Фурье gm,
f — преобразование Фурье f, и т. д.; в силу F.74) имеем
2шт (йт (т), w,) + va (flm, ш,) + (^m. »/)='¦
= (f,W/)-(««(n.»/)e-2ll'tr + («(vn.»/). F-76)
Однако йт(т)е[ш1, ..., шт]; поэтому из F.76) следует, что
2шт | йт (т) Р + va (йт (т), йт (т)) + «;„ (т), йт (т)) =
- (f (т), й» (т)) - (ит (Г), йт (т)) е-2"'^ + («от. и» (г)). F.77)
Взяв мнимую часть F.77) и оценив правую часть сверху, мы
получим:
йт{хП- F.78)
Однако в силу F.75) -
+» ¦ т L ,-.
—ее
и, следовательно, 11

92 Гл. 1. Метод компактности
В силу F.60) \um(T)\^ca, sl так как |ы0т1<с3, то из F.78) .
следует, что
[
Пусть о произвольно и 2<т> 1. Тогда
I ¦' dx ^^ лт ~ л*** -4~ ^т» (о»79)
где
+оо
---e> J l+|T
ОО
— ОО
+ ОО
Отметим, что — е L2 (Rt) и в силу F.60) йт ограничены
+ ОО
в L2(RT; F); следовательно, Хт^с. Так как Km< J || f \\y || flm ||dr,
то Кт<с. Наконец, из включения —- е L?(RX) и из F.60)
следует, что Zm^c. Таким образом, из неравенства F.79)
(при <т> !/г) следует F.72)»
Теперь мы применим теорему о компактности 5.2, полагая
B V BH Y e B H
Из этой теоремы мы выведем, что из последовательности ит
можно выделить такую подпоследовательность ии, что
и^-*и слабо в L2@, Г; V), *-слабо в L~@, Г; Я), F.80)
и в силу теоремы 5.2
utl->u сильно в L2@, Г; Я) и почти всюду в Q. F.81)
Как и в п. 6.4, отсюда выводится, что и — решение задачи 6.2 *
6.6. Теорема о гладкости
Сейчас мы покажем, что 'если данные задачи «более глад-
гладкие» и если размерность равна 2, то и решение будет более
гладким. Точнее, имеет место

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 93
Теорема 6.6. Предположим, что п = 2 и
f, f'eL2@J;n f(O)sff, F.82)
Я'(Й), «oeF F.83)
(эти условия не являются наилучшими из возможных).
Тогда для решения задачи 6.2, доставляемого теоремой 6.1,
выполнено включение
и' е V- (О, Г; V) (] Vю (О, Г; Я). F.84)
Доказательство. Мы отправляемся от ит — решения
F.56), F.57), где Wj — базис в V[\{H*{Q))n и и^ выбрано таким
образом, что
«от-*«о в Vn(№(Q))". F.85)
Из F.56) мы выведем, что
| <С @) |2 - (f @), «; @)) - va («„,, и'т Щ - Ь (иот, иОт, и'т Щ,
откуда
поскольку
и последовательность /?<(ыот)/ ограничена в Н10(О), а следова-
следовательно, в L4(Q).
Продифференцируем F.56) по U
К W. •,) + va(«; (о, в/) + i («m (о, wm (о, в/)
+ * К @. "т @. ю;) = f @. Ю/)- F-86)
Умножим F.86) на gJm(O и просуммируем по /. Заметив,
что
получим:
- (Г w.«; @) - & к о.««о."; щ. F.87)
Имеем
К @, «m W. «; (О) | -1 - Ь К, @,«; (/), ия Щ <

94 - Гл. 1. Метод компактности
(согласно лемме 6.2)
Положим
<f>m(t}=\\umi))
Имеем
jr I u'm w I2+v I«»w f < I no l-1«; (o 1+<vPm it) |«;w|2- F.89)
Из F.89), в частности, следует, что
к 2< I«; <°> f+«J Ifwfr d°+сз J ф«(«о I.«;wГ^ < i
о
Следовательно,
I«; (о I2 < с5 ехР ^з J Фт w <*°). F.90)
и так как ит ограничены в L2@, T;V)(]L°°@, T; Н), то они
(лемма 6.2) ограничены и в L4@, Г; (L4(Q)J), так что
г
J фт(<х) da < const,
и неравенство F.90) показывает, что
и^ ограничены в L°°@, T; Н). F.91)
Тогда из F.89) следует, что
и'т ограничены в L2@, Г; V). F.92)
Как мы знаем,, и^-уи (например, слабо в I2@, T; V)), и F.84)
следует из F.91) и F.92)«
Теперь мы приведем один результат, дополняющий тео-
теорему 6.6 и дающий добавочную информацию о гладкости по х.
Теорема 6.7. Пусть выполнены условия теоремы 6.6 и,
кроме того, /e=L2@, Т; Н). Тогда U(=L2@, T;(H2{Q)J).
Если fel"@, Г; Я), roue L°°@, Т; (Я2(Й)J).

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 95
Доказательство. В самом деле,
va (и @, v) - (/ (О, ») - («' @. »)-*(« @, «@. о)
и
| 6 (и @, и @, о) I < с |! и (О \\L, (Q)), [ S (II DiUl (t) \\Lt (Q)) | о |,
а поскольку кеГ(О, Г; V), то
й (и @, и @, о) = (ff @, v), g @ е L00 (О, Г; Я).
Так как и' е L00 (О, Г; Я), то имеем:
а(и@, w) = (F(/), о), FeL2@, Г; Я) (соответственно Г°@, Г, Я)),
коль скоро /eL2@, Г; Я) (соответственно f(=L°°(Q, T; Я)).
Теорема 6.7 получается отсюда применением теоремы
Катабриги [1]*
6.7. Теорема о существовании глобального сильного решения
До сих пор, за исключением теоремы о гладкости преды-
предыдущего пункта, мы интересовались «слабыми» решениями,
отвечающими относительно общим данным f, u0.
Теперь мы покажем, что если размерность п<14, то можно
получить для очень специальных данных теорему существова-
существования глобального (по t) «сильного» решения. Справедлива
Теорема 6.8. Предположим, что л
uo<=V(\(fP(Q))n = W, F.93)
причем
II «о Ww достаточно мала'). F.94)
Тогда существует единственное2) решение и задачи 6.2, причем
uf e L2 @, Г; V) Л L00 @, Т; Я). F.95)
Доказательство, Как и при доказательстве теоремы 6.6,
мы исходим из приближенного решения ит. Тогда имеем
(поскольку Но (Q) с L4 (Q) при п < 4): :
Отметим также, что
| Ъ(и, v, w) | <с21|и !!(L«(Q))»|| te»||a«(Q))»|| v \\<с3\\и\\\] w\\\\ v||. F.97)
') Это условие будет уточнено в процессе доказательства.
2) Единственность следует из более общей теоремы, которая будет
доказана в п. 6.8.

96 Гл. 1. Метод компактности ^
Мы докажем наше предложение при условии (уточняющем F.94))
v - ]/~с1 с3-~ KkJ|| и0 \\w > 0.- F.98) |
Из F.87) следует (при f = 0), что %
Т 1 I "m @ Г + V | U'm (t) f = - b («; (t), Um (t), U'm (t)), 'l
а так как ввиду F.97) $
(u'm{t), um{t), и
то
т 11 в« (^> I2+(v" сз II««(f)!)»«« W Р
В силу F.59) |«m(OKI«omKI«ol (мы имеем право вы-
брать «от Так, что |иОт|<|ио|), и, поскольку
имеем:
v || «т (о ц2 < | «т (о 11«; сою «о ||«; (о |. №. км»
Следовательно,
v - call ит @1|> v - сз ^=- 1/|"М /I «м@1. F.101)
Из F.101) и F.96) следует, что
v-c3||«m@)||>p>0
^если v - ]/с7с3 у=- /КГ II «о Ihr — p) •
Предположим, что существуют такие t, для которых
v — с3|| t*m@11 = 0, и пусть ^ — наименьшее из таких t. Тогда
V —с3||ит@11>0 в интервале [0, Ц,
и из F.99) следует, что
•|"|«m@F<0, откуда |г4@1<| «4@I,
а из F.101) следует, что
v - с3II ит @1|> v - сз-=т= /|йй /|"«4@Г|> Р, * е [0, «•
Таким образом, равенство v — Сз1|ит(^0)|| = 0 невозможно и
v-c8ll«*@ll>p.
Тогда из F.99) вытекает, что
i F.102)

6. Уравнения Навьё—Стокса (эволюционный случай) 97
и, таким образом,
и'т ограничены в L2@, T; V)(]L°°@, T; Я), F.103)
откуда и следует теорема ф
6.8. Теорема единственности
Общие указания. Как мы уже отметили, вопрос о един-
единственности в теореме 6.1 остается открытым, когда п^З.
Возникает естественный вопрос: нам известно, что сущест-
существует решение в L2 @, Г; V) (] L°° @, Г; Я); какие дополнительные
свойства решения гарантируют его единственность?
В этом направлении доказана
Теорема 6.9. Предположим, что п^З. Пусть и— реше-
решение задачи 6.2, удовлетворяющее, 'кроме того, условиям
»e=L'@, Г; (I'(Q))"). F.104)
где
4 + Т<1' г>п- (
Тогда это решение, коль скоро оно существует'), единственно
в классе
D @, Т; V) П L00 @, Г; Я) Л L* @, Т; (Z/ (Q))n).
Доказательство. 1) Предварительные оценки. Займемся
наиболее интересным случаем из F.105), в котором j"^"'
Имеем
| Ь (U, v, w) |< с, || и || } J v ЦП w ||ар )п, если 1 + 1-1.
F.106)
Однако для скалярной функции и
II « \\LP (D) < II « ©О, II " lC^A»-2) (О,'
поскольку 1 - ^- + 2w/(l2) , а так как я4 @) с L2n/(n-2) (Q), то
а тогда из F.106) следует, что
| й (и, v, w) |< с8||«||ar(Q))n|| о HI ш f/s|| ш |Г/Г# F.107)
') Вопрос о существовании на сегодня является открытым.
4 Зм. 40

98 Л*. 1. Метод компактности
Применение:
если и — решение задачи 6.2, удовлетво-
удовлетворяющее F.104), то u'e=L2@, Г; V'I). F.108)
В самом деле, в силу F.107)-
\Ь(и, и, v)\ = \-b(u, v, иJ/яГ/г
Так как функция t-*-\\u(t)\\. r ,„ принадлежит Ls@, T), а
t -Ч| и (t) f принадлежит L2r/n @, Г), то t -*|| и (t) |^г (Q))J| и (t) fr
принадлежит L2@, Г) и, следовательно,
Ь(и, и, v) = (g, v), g<=L2@,T;V),
откуда следует F.108)#
2) Доказательство единственности. Пусть и и и* — два ре-
решения задачи 6.2, удовлетворяющие F.104). Пусть w=u — и*.
Тогда имеем:
(wf, v)-\-va(w, v)-\-b(w, и, v)-\-b{u, w, v) — b{w, w, a) = 0;
полагая v = w (что законно в силу F.108)), получим
jjfl-w (t) |2 -f v|| w @ |f = -b (w (t), и (t), w (t)) =
= b(w(t), w(t), u(t)). F.109)
Используя один из вариантов неравенства F.107), найдем:
\b(w{t), w(t), »
Полагая
получим:
| Ъ {w (t), w (t), и @) | < сгМ (t)lls\ w (t) Г || w (t) ||1+n/r <
(здесь мы воспользовались F.105)), и из F.109) (благодаря
F.104)), вытекает, что
Me=Ll(O, T) F.111)
Следовательно, w = CL^
') Следовательно, а: {О, Т] ->Н непрерывно.

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 99
Замечание 6.8. Теорема 6.9 показывает, что решение из
теоремы 6.8 единственно при n<!4; в самом деле, если п < 4,
то имеем и <= Г°@, Г; V), следовательно, и <= L°°@, T; (Lq{Q))n),
1 = 1-1, следовательно, «e=Z/@, T; (L'(Q))n), -^-- = 1,
Q 2, Tl S Ц
q> п, поскольку п < 4.
Если я = 4, то будем рассуждать следующим образом
(Л. Тартар): из F.109) выведем, что
jjf iwV), w{t), «@)
(в силу F.97));
из доказательства теоремы 6.8 следует, что v —
а тогда неравенство
показывает, что
w (t) |2 < 0, откуда w — 0
6.9. Зависимость от вязкости
Обратимся к двумерному случаю. Чтобы несколько упро-
упростить запись, будем обозначать переменные через {х, у} вместо
Считая область Q односвязной, введем функцию тока, опре-
определенную с точностью до аддитивной постоянной уравнениями
Тогда ф удовлетворяет уравнению
а ,
= ?, F.113)
где
Если « = 0 на Г, то функции д^/дх и 5ф/5у обращаются
в нуль на Г, а следовательно, д$/дп = 0 и ф = const; мы фик-
фиксируем выбор ф, полагая
¦ф = 0 на Г.

100 Гл. 1, Метод компактности
Тогда граничные условия примут вид:
ф = 0, |*- = 0 на Г. F.116)
Из теоремы 6.7 мы можем вывести, что если
ge=L2@, Т; #''@)), g'eL2@, Г; Я(О)) и ф@) = фо,
где начальная функция % соответствует F.83), то существует,
и притом единственное, решение ф задачи F.113)— F.116), удо-
удовлетворяющее условиям ф(О) = фо, и
ф е= L2 (О, Г; Я3 (Q) Л Я2, (Q)) П L°° (О, Г; Но (Q)), F.117)
i|/e=L2(O, Г; Я2(О)). F.118)
Замечание 6.9. Естественно, можно так «трансформиро-
«трансформировать» теорему 6.2, чтобы получить «слабое» решение фф
Для каждого v > 0 решение задачи 6.2 (я ¦= 2), очевидно,
зависит от v; запишем
» = »*, ф = ф\ F.119)
Проблема поведения фг при v—>0 является абсолютно от-
открытой.
В этом пункте мы изучим поведение при v—*0 решения
одной задачи, аналогичной F.11,3) — F.116), но с другими
граничными условиями. Точнее, нами будет рассмотрена
Задача 6.3. Найти функцию t|> = i|>v, являющуюся реше-
решением уравнения F.113) при следующих начальных и граничных
условиях:
$ = 0, Дф = О на Г, F.120)
Ф(О) = Фо# F-121)
Ввиду замены F.116) на F.120) задача 6.3 не эквивалентна
задаче 6.2, так что надо заново доказывать существование и
единственность решения ф задачи 6.3. Мы коротко наметим
доказательство, сосредоточив внимание в основном на «допол-
«дополнительном» (по сравнению с F.117) и F.118)) результате, до-
доставляемом включением F.126) (см. ниже).
Теорема 6.10. Пусть заданы g и ф0, причем
, T[, F.122)
'(?2), ^%<=L^»{Q). F.123)
Для любого фиксированного v > 0 существует, и притом
одна, функция ф = i|)v, удовлетворяющая условиям
ф е L00 @, Т; Н2 (Q) П Hi (Q)), F.124)

6. Уравнения Навье—Стокса (эволюционный случай) 101
Дф е L2 @, Т; Hi (Q)), -|- (-Дф) <=¦ Z,2 (О, Г; Я (Q)), F.125)
Дф<==Г°(С2), " F.126)
а также F.113), F.120), F.121).
Более того, при V-+-0
"^t°° @. Г; Яг(В)П^(й)) + Ydt ^ [ш^ т. „-1 (В)) +
¦+ V^ll A*vt*(o.r: Him) + lA*vL-w»< c' <6-127)
Доказательство. 1) Существование функции ф—i|)v,
удовлетворяющей F.124), F.125). Эта часть уже является стан-
стандартной; мы отправляемся от «специального базиса» из соб-
собственных функций:
(следовательно, Лау/ = О на Г)
и определяем «приближенное» решение фт нашей задачи
из уравнений
Фт@ег[ю ют],
~ (-Лфт, юД+ v (Лфт, Aay;) + р (фт, фт, ау;) = (g (f), wj),
1</<т, F.128)
где
р(и, V, .) = J (?<Ао) ^--^(Ао) ^-)rfxrfy, F.129)
Q
и начальных условий
К »J, Фот~>Фо в H2(Q)f]Hl(Q). F.130)
б^ «ока «е принимаем во внимание условие Лф0 е Z,°° (Q).)
Замечая, что Р(фт, i|)w i|)m)=0, мы выводим из F.128), что
откуда следует существование фт на интервале [0, Т] и оценка
О г у/,
"l|A««(Olt*@)<«J <c. F.131)
Заменяя ш/ на —1/А,/Лау/ в F.128), мы получаем
F.132)

102 Гл. 1. Метод компактности
Однако при w=-Wj имеем:
Q
т Ижcos (n> 0> —§srcos ("'x)](AayJ & = °'
поскольку тангенциальная производная да на Г равна нулю.
Поэтому из F.132) легко следует, что
О г
<c. F.133)
К оценкам F.131), F.133) необходимо добавить оценку
производной d/dt(—Лфт). Обозначая через с различные кон-
сганты, получим
*@. ¦*(<). о) |<
(согласно лемме F.2))
(в силу F.133))
где &т ограничены в L4@, 7^. Однако
и, следовательно,
Р(Фт@» Фт@. v) = (hm(t), a), Am ограничены
в L4@, Т; /Г'(О)) и, значит, в L2@, Г; Я (Q)). "
Обозначим' через Рт оператор проектирования L2(Q) на
[twi, ..., дат]; тогда из F.128) следует, что
jf (-A*J + vA2*,» + Pmhm =

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 103
и благодаря F.134) мы, в частности, можем заключить, что
-^-(-Дфт) ограничены в L2@, Т; tf~'(Q)). F.135)
Используя теорему 5.1 о компактности, мы получим, что
из последовательности фт можно выделить такую подпоследо-
подпоследовательность фц, что
%-+$ *-слабо в L°°@, Г; Я2(Q) Г) Но(Q)),
Дф^Аф-слабо в L2@, Г; #о(й)),
-|.(-Дфт)-* А(_Дф) слабо в L2@, Г; H~l(Q)),
Дф^-^-Дф сильно в L2(Q) и почти всюду.
Отсюда мы можем вывести существование функции ф, удовле-
удовлетворяющей всем' условиям теоремы, за исключением (пока)
F.126).
2) Доказательство F.126). Полагая
— Дф = со, F.136)
мы видим, что со удовлетворяет уравнению
dm А
W JfU—^-di^8 FЛ37)
и условиям
@) (
F.138)
coe=L2@, T; Hl{Q)), ^^Ф, T; H~l(Q)). F.139)
Мы рассматриваем F.137), F.138), F.139) как линейное
параболическое уравнение относительно со с «коэффициентами»
дфу, дфу, принадлежащими L2@, T; H2(Q))(]L°°@, T; Ц1(п)).
Теперь F.126), а также (ввиду F.133)) F.127) будут следо-
следовать из неравенства, которое мы собираемся доказать:
г
IN У*- «г, < II «о It-(Q) + J II8 @ It-(O)dt F-140>
о
Доказательство неравенства F.140) проводится в три этапа:
(i) F.140) доказывается для «гладких» фи g (т. е. в пред-
предположении, что со является гладким решением);
(Н) доказывается единственность функции о», удовлетворяю-
удовлетворяющей F.137), F.138), F.139);
(ш) со приближается гладкими решениями.

104 Гл. 1. Метод компактности
Этап (i). Пусть k — произвольное положительное целое число.
Умножим обе части уравнения F.137) на ©2*~' и проинтегри-
проинтегрируем:
[^^] . F.141)
Q , Q
Но третий интеграл в F.141) равен
1 Г (д$ d<a2k д
Q
Q
и, поскольку второй интеграл ^0, мы заключаем, что
откуда
и, следовательно,
t
У к @ < II °>о It» (ц, + J If g (о) \\L2k (D) da;
о
устремляя k к бесконечности, мы получим {6.140)').
Этап (и). Эта часть является стандартной; достаточно про-
проверить, что
и что
да дф да
Последнее имеет место, если, например, ifsL00^, Г; fP(Q)).
Этап (Hi). Приблизим ip «гладкими» функциями фу; точнее,
пусть
ty->tl> сильно в L2@, Г; Я'(?2)),
1|>/->1|> *-слабо в L°°@, T;
') Можно также использовать срезки.

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 105
Пусть также gi — последовательность функций, gi->-g *-слабо
B.r(Q),
г т
JI
Пусть, далее, ©/ — решение задачи
©у@) = а0, F.142)
ю/еЛ2@, Г; Я5(ев)).
Тогда, согласно этапу (i), мы имеем
г
J II 8i ^) llL
откуда будет следовать F.140), если мы покажем, что ©/—><в
*-слабо в L°°(Q).
Согласно F.142), ©/ ограничены в L2@, Г; Яо(О))')- Следо-
Следовательно, мы можем выделить такую подпоследовательность
(будем ее также обозначать через ©Д что а>/ -*¦ со* слабо
в L2@, T; #o(Q)), а поскольку %->ф сильно в L2@, Г; Я1 (Q)),
то мы можем заключить, что со* является решением F.137),
F.138), F.139) и, следовательно, согласно этапу (И), © = ©*,
откуда и следует F.140)ф
3) Единственность. Доказательство единственности вполне
аналогично доказательству теоремы 6.2. Пусть ip, и ф2 — два
решения; тогда, полагая 9=ф[— ty2> получим
а (9', o) +
F.143)
Подставляя в F.143) о = 9 (что законно), мы заключим, что
8«е)- FЛ44)
¦) Чтобы это проверить, надо скалярно умножить первое уравне-
уравнение F.142) на а,.

106 Гл. 1. Метод компактности
С другой стороны,
(согласно лемме F.2))
<v||A9(
и из F.144) следует, что
Отсюда вытекает нужный нам результат %
Теперь мы в состоянии изучить поведение \|)v при v->0.
Чтобы упростить запись, введем пространство1)
<У = { Ч> | Ч> е Г°<0, Т; Н2 (Q) Л Н\ (Q)), Лф <= L°° (Q),
)} F.145)
Теорема 6.11. Пусть выполнены предположения тео-
теоремы 6.10. Тогда существует, и притом одна, такая функ-
функция ф, чго
фе<у, . F.146)
¦^•(-A*) + /?(t) = g (т. е. F.113) с v = 0), F.147)
*@) = Ф0. F-148)
Если $у — решение из теоремы 6.10, го при v-*0
i|5v->i|) слабо в ^. F.149)
Доказательство существования и условия F.149).
Мы исходим из функции tyv, доставляемой теоремой 6.10;
для нее известны оценки F.127). Используя теорему 5.1 о ком-
компактности, мы сможем выделить такую подпоследователь-
подпоследовательность тр, что
¦ф** —»- ч^> слабо в *У,
D^-*D^ сильно в L2(Q) и почти всюду, F.150)
D = -д— и -5— ¦
дх ду
') Снабженное банаховой нормой графика.

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 107
Теперь мы можем перейти к пределу в уравнении
4- (- А**)'+ ц л V + /г (**)=g.
откуда будет видно, что -ф удовлетворяет F.147).
Доказательство единственности. 1) Предвари-
тельные оценки. Так как
Ла|> е L°° (Q) = L°° @, Г; L°° (Q)j с: Г" @, Г; IP (Q)),
/* произвольно и конечно, и (согласно Агмону [1], Агмону —
Дуг лису — Ниренбергу [1]) А является изоморфизмом
то мы можем заключить, что любое решение -ф нашей задачи
обладает следующим свойством:
i|>€=L"@, T; W2'"(Q)) для всех конечных, р. F.151)
Более того, для почти любого фиксированного t
p-*oo. F.152)
Это неравенство, принадлежащее Юдовичу [1], получается
путем
(i) решения задачи Дирихле с помощью ядра Пуассона (что
позволяет использовать сингулярные интегралы);
(И) оценки норм в интерполяционной теореме Марцинке-
вича (см. Котлар [1], стр. 289).
2) Пусть г|51( \2 — Два решения рассматриваемой задачи.
Полагая 0=^i— а|>2, найдем:
а (9', о) + Р(в, ф„ о) + Р(ф„ 9, о)-Р(9, б, о)=0. F.153)
Беря и = 9(/) и полагая
2@=lie@lfHi(Q)=a(e(f)> в@), F.154)
мы получим, что
Обозначая 9@ просто через 0 и т. д., имеем:

108 Гл. 1. Метод компактности
Интегрируя по частям, мы получим, что
где
Ф, дв а^, дв \ 1 дв
Так как grad \|)( и grad 0 ортогональны к Г, то
-?ii.i!_ii_i!?_ — о Ня г-
ду дх дх ду ~и на 1'
кроме того, обращается в нуль тангенциальная производная
дв , дв п тч
--~arCOSttJ' + lty~COStt*==0 Ha '
откуда мы заключаем, что / = 0.
Следовательно, F.156) примет вид
откуда, применяя неравенства Гёльдера, получим
IР (Ь, Э, в) | <с\\ 4»t 11^2. i/e (Q) ( J I grad 9 |2/A"е) rfxY"*, е > 0.
F.157)
Однако, согласно F.151),
%еГ@, Г; W2-"(QJ) для всех конечных р, t = l, 2.
Следовательно, | grad 6 | s L°° (Q) и существует такая кои-
станта М, что
[ grad в (лг, /)|<М; F.158)
из F.157) мы получим, используя F.152),
i, в, ejKce-^^-^fJlgradeprfxY"". F.159)

6. Уравнения Навье — Стокса (эволюционный случай) 109
Подстановка этой оценки в F.155) приводит к неравенству
откуда
z(t)^M2(ctf\ • F.160)
Пусть теперь tQ фиксировано и cto< 1. Из F.160) мы вы-
выведем, устремляя е-»-0, что
z@ = 0 в [0, t0];
аналогичное утверждение справедливо в интервалах [tQ, 2t0]
и т. д. Отсюда следует наше утверждение *
Замечание 6.10. Что касается метода доказательства
существования -ф в теореме 6.11, то отметим следующие обстоя-
обстоятельства: (i) уравнение F.113) с v>0 вводится при помощи
добавления вязкого члена vA2^; (ii) решается уравнение с вяз-
вязкостью; (Hi) v устремляется к нулю после того, как получены
оценки, не зависящие от v.
Этот метод называется методом вязкости (см. библиогра-
библиографические указания в комментариях)^
Замечание 6.1 Г. Оставаясь в круге идей предыдущего
замечания, можно также доказать теорему 6.1; к уравнениям
Навье — Стокса дописывается . член искусственной вязкости
(—l)me\mu, и, следовательно, решается система
-?,«ie"iue—, -в.в-,,, F161)
div мЕ = 0 ' ,
с граничными условиями ;
. ¦"•• ^•••••¦^L-0 H3S FЛ62)
м начальным условием us @) = «0-
Доказывается существование решения ие предыдущей за-
задачи:
«е е= L2 @, Г; К П (Яот (О)Л П L°° @, Г; Я), F.163)
а также единственность, когда
m>JLr^-1). F.164)
') Следовательно, когда п растет, «повышая искусственную вязкость»,
мы получим едииствеиность; если я = 2, то ввиду F.164) m^l, следова-
следовательно, мы можем взять и = 1 и вязкость (реальная) — v Ди окажется до-
достаточной; в этом и состоит теорема 6.2.

1 tO Гл. 1. Метод компактности
Что касается единственности, то в тех же обозначениях,
что и в теореме 6.2, мы получим (е фиксировано; мы больше
не будем указывать зависимость от е):
4f mc\b(w, и, w)\, F.165)
где
[|ф||т = норма ф в (Я™(Й)Г.
Далее,
\b(w,u, w)\^cJw\^(Q))n\\u\\y F.166)
Имеем (мы здесь пользуемся интерполяцией, как в книге
Лионса — Мадженеса [1], гл. 1; можно также обратиться к Бат-
церу — Беренсу [1]):
L2(D, Т; Ят(Й))лГ°@, Т; L2(Q))cL2;A-9l)@, T; Я('
F.167)
и (Петре [1])
//(|-fl)ffl(Q)cL«e(Q), ^- = l-A-ra9)w(>0).
Если мы выберем Э таким образом, чтобы A — 4
то <7е^4 и из F.166) следует, что
| Ь (w, и, w) | < с, || w t(I-9)[ w Iм|| и ||, <1|| w t + с2\ w |2|| и f .
Следовательно, F.165) приводит к неравенству
-^[w (t)\2^c3\w(t)f\\u (t)\\\ie. F.168)
Взяв в F.167) такое Э1( что A —01)т = 1, мы получим:
MeL2m@, T; Я1 (Q)). . F.169)
Это включение вместе с F.168) приводит к требуемому результату,
если 1/0^2т; последнее согласуется с условием (l—Q)m/n'^t
~^XU, коль скоро выполнено F.164)^
Далее доказывается, что
ие-+и слабо в L2@, Т.; V) и *-слабо в L°°@, Т\ Я) при е-*0.
F.170)

7. Уравнения Навье — Стокса (стационарный случай) _ 111
7. УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ-СТОКСА (СТАЦИОНАРНЫЙ
СЛУЧАЙ)
7.1. Однородная задача
Стационарная задача, отвечающая эволюционной задаче,
изученной в предыдущем параграфе, состоит в том, что ищутся
« = {«!, ..., н„} и р, удовлетворяющие уравнениям
п
— v Дм + 2 UiD{u =/ — grad р в Q G,1)
и условиям
div« = O в Q, G.2)
а = 0 на Г. G.3)
В обозначениях § 6 можно сформулировать (в «слабой»
форме) предыдущую'задачу в следующем виде:
Задача 7.1. Для заданного f из V нужно найти решение
«sF (см. F.10), F.11)), такое, что
va (в, v) + Ь (и, и, v) = (/, v) Vo e V Л (/Л^))" »), G.4)
где обозначения объясняются в F.14), F.15); эта задача имеет
смысл в силу леммы 6.1 #
Будет доказана
Теорема 7.1. Для любого заданного f из V существует
решение и задачи G-4), принадлежащее V.
Доказательство. 1° Вводится пространство
W = L\v<=V, ^GL"'2(Q)j G.5)
и снабжается нормой
Заметим, что
(j.) W = V при
(ii) ое^4оеA"(й))я в силу теоремы Соболева.
Наконец, выбирается «базис» wu ..., ют, ,.. в W, и рас-
рассматривается следующая приближенная задача: ищется, um e
е[и)!, ..., wm], удовлетворяющая уравнениям
va(um, wi) + b(um, um, Wj) = (f, w,), l</<m. G.6)
') То есть V» 6= V при п

112 Гл. 1. Метод компактности '
Заметим, что
va (um, um) + b (um, um, um) = va (um, um) = v || mJ|2, G.7)
так что можно применить лемму 4.3, как в доказательстве
теоремы 4.3. Тогда существует решение ит уравнений G.6),
и благодаря G.7) мы можем заключить, что
Следовательно,
II и» II < 7 Ч'"г'- <7-8>
2° Мы можем теперь выбрать такую подпоследователь-
подпоследовательность Мц, ЧТО
, и„,-+и слабо в V, G.9)
сильно в Я и почти всюду. G.10)
Кроме того, umiumi ограничены в L"n{п) A = 1 — 1),
)
причем q — произвольное конечное число при п = 2 и, следо-
следовательно, можно предположить, что
слабо в L"/2(Q) V/,/. G.11)
Используя лемму 1.3, мы сможем заключить, что
%il = uiul. G.12)
Зафиксируем теперь / и покажем, что при ц > j
^, Иц, Wj)-*b(u, и, Wj). G.13)
В самом деле,
п
OW
k k
I, k=\ Q k
слаб° B L<7'2(Q) в СИЛУ
l.i ,
откуда вытекает наш результат, так как . . . -|-, /9- = 1.
Следовательно, справедливо G.13) и, таким образом,
\а(и, Wj) + b(u, и, Wj) = (f, Wj)
для всех /; но тогда, переходя к пределу, мы установим G.4)
для всех ogF, а затем для всех v е V П (Ln (Q)) ф
Замечание 7.1. Случай «неограниченной области Q»,

7. Уравнения Навье — Стокса (стационарный случай) 113
Задача для неограниченной области, аналогичная 7.1, за-
заставляет провести некоторые изменения при выборе прост-
пространств •). Рассмотрим
3>х (Q) = пополнение 3> (Q) по- норме (j | grad <p p dx\''; G.14)
\й /
§5'(й) можно отождествить с подпространством в ЗУ (Q) при
п^З, а при га = 2 это можно сделать, когда емкость CQ строго
положительна (см. Дени — Лионе [1]; пространства ?Z5m(Q) изу-
изучены в работе Хёрмандера — Лионса [1]).
Пусть для простоты «j>3. Тогда
|[>e^(Q),^SL2(QI 1»|_1J. G.15)
Далее, положим
V~{v\v^ {2)x (Q))n, div v = 0}; G.16)
V совпадает (см. замечание 6.4, которое нетрудно приспособить
к нашему случаю) с замыканием Т в пространстве таких
os(L«(Q))"i что
Имеет место
Теорема 7.2. Для праёой части f e (V)' существует такое
решение u^V, что
va (и, v) + b (и, и; v) = (/, v) Vo e V (] (Ln (Q))n. G.40
Доказательство. Мы будем доказывать теорему «стан-
«стандартным» методом; рассмотрим
Мы решим G.4) в QR; таким образом (в очевидных обозначе-
обозначениях), существует такое и{еУ(йд), что
v%("/?' °)
Далее,
можно
предполагать,
II UR II/ (QR)
оH Vo
что
< const.
- V-17)
G.18)
') Эволюционный случай в этом отношении проще, а результаты § б
на случай «неограниченной области Q» распространяются без заметных из-
изменений.

114 Гл. 1. Метод компактности
Обозначим через uR вектор-функцию uR в Q, продолженную
нулем вне QR; в силу G.18) uR принадлежит ограниченному
множеству в V.
На этот раз вложение V в Н не компактно, но мы
можем выделить такую подпоследовательность, что
(UR){ -*¦ U{ СИЛЬНО В Lloc,
т. е. {uR)i-*Ui сильно в L2(9) для любой ограниченной под-
подобласти 0 с: Я.
Теперь можно перейти к пределу; сначала берется оёУ
и доказывается G.4') Vw e У, а далее по непрерывности G.4')
распространяется на все v е V Л {Ln (Я))" •
7.2. Неоднородная задача
Возьмем вектор ф, обладающий следующими свойствами
•¦ .. *,е//*@), J^-^eL"(Q), t,eL-(Q). G.19)
(Заметим, что при «^3 из первого условия G.19) следуют
два других.) Далее рассмотрим
F = rotV). G.20)
Из G.19) следует, что
F<=(Ln(Q))nr\(Hlmn. G-21)
Ищется такой вектор LJ-={Ult ..., ?/„}, что
— vA?/+2 f/,D,f/=f-gradp в Q, . G.22)
div f/ = 0, G.23)
U-F^{Hl0(Q))nm G.24)
Замечание 7.2. Условие G.24) означает, что
f/, = F, на Г, / = 1 п. G.24')
Такие граничные условия называются неоднородными %
Будет доказана
Теорема 7.3. Пусть заданы векторы f = {fi, ..., /»}>
ft е Я (Q) V/, « F в«<5а G.20), где $ удовлетворяет G.19).
') Здесь rot иа самом, деле является такой однородной системой диф-
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, что div (rot i|>)=0.

7. Уравнения Навье — Стокса (стационарный случай) 115
Тогда существуют вектор ?/е(/7' (Q))n и распределение p^ZD' (Q),
удовлетворяющие G.22)—G.24).
Доказательство. 1° Пусть G — некоторый вектор со сле-
следующими свойствами:
Ce(ff'(Q))»n(f(Q))e, divG = 0, .
G=fHar. G>25)
Положим . . '
u = U-G. G.26)
Замечание 7.3. A priori можно взять G = F; далее мы
увидим, что на самом деле самое важное — это не брать G = F
(в отличие от линейного случая); вся трудность задачи как раз
и состоит в выборе С§
Итак, U = и + G, и, подставляя в G.22), найдем:
2i ii=f — gradp, G.27)
i=l i=\ l=\
где
f = / + vAG-2G(-D(-G; G.28)
отметим, что
fe(r'(Q))". G.29)
Кроме того,
divM = 0,
и G.24) эквивалентно включению иеК.
Следовательно, задача свелась к отысканию такого и е V, что
va (и, v) + Ъ (и, и, v)+b (и, G, v) + Ъ (G, н, о) =
= (f, 0) VoeVn(Ln(Q))". G.30)
2° Из доказательства теоремы 7.1 видно, что решение «
задачи G.30) будет существовать, если нам удастся выбрать G
таким образом, чтобы
va(v, v) + b{v, v, v) + b{v,G, v) + b(G, v, o) = Jf>a|| vtf, a>0
Итак, ¦
X = va(v, v) + b(v, G, o)=v|[o|p + ft(o, G, v),
и теорема вытекает из следующей леммы:
Лемма 7.1. Для любого р > 0 можно выбрать вектор G,
удовлетворяющий G.25), таким образом, чтобы
|6(w, G, t»)|<p||o|p. G.31)

116
Гл. /. Метод компактности
3° Прежде чем доказывать лемму 7.1, установим две другие
леммы.
Лемма 7.2. Положим
р (х) = расстояние от х до Г.
Тогда для любого_ (достаточно малого) г > О существует такая
функция 0е <= С2 (Я), что
8е = 1 в окрестности Г (зависящей от е), G.32)
9Е(л:) = 0 при р (л:) > 6 (е), 6(е) = ехр(— 1/е), G.33)
V*. G.34)
Доказательство (Хопф [2]). Прежде всего мы опре-
определим функцию Я —> ^е (А,) при А,>0:
1 при Я,<б(еJ,
) при 6(еJ<А,<6(е), G.35)
О при А,>6(е),
а затем определим %е соотношением
Хе(*) = !е(р(*))- G-36)
Поскольку граница Г регулярна, функция хе удовлетворяет
G.32), G.33), G.34), и 0е получается путем сглаживания Хвф
Лемма 7.3. Существует такая константа си что
G.37)
Доказательство. Переходя с помощью разбиения еди-
единицы к локальным картам, мы сведем лемму к доказательству
неравенства
f I j ф(лг) 2 dx < 2 J | <р' (х) I2dx, <р е- ?>(]0, оо[), G.38)
о о
которое тривиально следует из неравенства Харди, поскольку
4° Доказательство леммы 7.1. Рассмотрим (в обозна-
обозначениях леммы 7.2)
С = rot (8еф); G.39)

7. Уравнения Навье — Стокса (стационарный случай) 117
этот вектор удовлетворяет G.25), и мы покажем, что е можно
выбрать таким образом, чтобы выполнялось G.31).
Из свойств 0е следует, что
V/ при р(*)<а(е), G.40)
где
и G/ = 0 при р (л) > б (е).
Так как мы предположили, что \h<=L°°(Q), то из G.40)
следует, что
(^ ) V/, р(*)<б(е), G.41)
а поэтому
I II v. « \ / <• \V-
. G.42)
р<в(8) /
Положим
ф (е) = ( J ' | ?)ф |" dx\ln G.43)
\р<6(е) /
(ф(е)-»-0 при е-»-0 ввиду предположения dySpJdx/ e Ln(Q)).
Из G.42) и леммы 7.3 следует, что
/ ч 1 1 1
и, следовательно,
Теперь легко получается G.31); действительно,
(v, G, v)
(согласно G.44))
Замечание 7.4. Аналогичным образом можно решить
неоднородную задачу и в случае эволюционных уравнений (§ 6)»
Замечание 7.5. Если v е (Я1 (Q))" и div о == 0, то Vj \г -е
еЯ'А(Г) и
п
J div о cfjc = 0#-^ J о/ cos nf dT == 0.

118 Гл. 1, Метод компактности
Наоборот, если gu ..., gn суть заданные функции из Я'/г(Г) и
g/ cos tij dr = О,
/=i г
то существует такое о е (Я1 (Q))", что div о = 0 и о7- = g/ на Г,
см. Катабрига [\]ф
Замечание 7.6. Если п<3, то имеет место единствен-
единственность решения, когда величина || / \\v, «достаточно мала». В самом
деле, пусть и и и* суть два решения; для разности до = и —и*
имеем:
va(w, v)-\-c(w, и, v)-\-b(u, w, v) — b(w, w, o) = 0. G.45)
При единственном предположении / e V решения и и и*
принадлежат V, но не обладают дополнительными свойствами
гладкости, и то же верно для разности до. Поэтому мы имеем
право полагать в G.45) v = до, только если выполнено условие
п<^3 (поскольку в этом случае трилинейная форма и, v, w-+
-+b(u, v,w) непрерывна на V). Итак, полагая в G.45) v = w,
найдем, что
v || до |р = — b(w, и, w).
Следовательно,
v||a>|f<c||«||||iB|p,
а поскольку
v||«|P = (f,
то окончательно
и, следовательно, w = 0, коль скоро
v2>c|l/IV-; G.46)
последнее условие означает, что \\f\\v, «достаточно мало» или
v «достаточно велико»! ф
8. ПРИМЕР ОДНОГО СИЛЬНО НЕЛИНЕЙНОГО
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
8.1. Постановка задачи
" В этом пункте мы_ рассмотрим следующую задачу: ищется
функция и, удовлетворяющая уравнению
Н в «ХЛ11 (8Л>

8. Пример одного параболического уравнения 119
где р> 2 — заданное число, граничным условиям :
ы = 0 на 2 (8.2)
и начальному .условию
, и (х, 0) = и0 (х), JtGQt (8.3)
Замечание 8.1. В § 1 гл. 2 мы приведем решение этой
задачи «методом монотонности» — решение более простое по
сравнению с предлагаемым ниже. Тем не менее настоящий
метод (принадлежащий Вишику[1]) содержит несколько идей,
которые, как нам кажется, полезно осветить»
Замечание 8.2. Уравнение (8.1) выбрано здесь в качестве
«модельного уравнения» с целью выявить основное без посто-
посторонних технических осложнений. На самом деле предлагаемый
метод распространяется на гораздо более общие уравнения
(см. цитированную работу Вишика и гл. 2). В частности, то
обстоятельство, что рассматривается уравнение второго порядка,
не играет существенной роли»
Замечание 8.3. В рассматриваемом нами случае мы имеем
дело с нелинейными членами вида
ди
дх
P-2
дх
2 »
для того чтобы перейти к пределу в этих членах в ситуации,
когда используется метод компактности, необходимо получить
«более сильные» априорные оценка по сравнению со случаем
уравнений Навье — Стокса (§ 6); после этого еще остается
вопрос: как воспользоваться этими оценками ф
8.2. Априорные оценки. Общие замечания
8.2.1. Обозначения. Мы будем рассматривать пространства
W1>p(Q)=*{v\ve=Lp(Q), D,psLp(Q); /=»-l п],
которые являются банаховыми с нормой
Иv IU Р(И) =11 v Wl"(Q) + SII D,v \\lp{Q)\ (8.4)
Wl"(Q) = замыкание 0(Q) в Wup(Q), или
Wkp(Q) = {v\v<=WUp(Q), o = 0 на Г); (8.5)
W~l'"'(Q)=- сопряженное пространство к Wo P(Q).

120 Гл. 1. Метод компактности
Имеем:
П
Положим
Оператор ф-*Л(ф) отображает Wlp(Q) в W~l>'(Q).
Для ф, \f>eVFo'p(Q) имеем:
И(ф), Ф) = а(Ф, ¦), (8.8)
где
•fc«-i/l^r^fc (8-9)
В этом пункте мы будем писать
I*IHI*IIL,{B)#_ (8.10)
8.2.2. Оценки (I). Умножив (8.1) на и, получим
i- ± | и (/) |2 + а (и @, и @) = (f @. «@). (8-И)
Таким образом, если предположить, что
feLp'@, Г; Г-1>р'(Й)), «o€=L2(Q), (8.12)
то, поскольку ввиду неравенства Пуанкаре норма
(a(v, <0I/PHMI (8.13)
эквивалентна норме ||o||^i,p(B) на U^o'p(Q), получим:
yl«@P+ Jll«(ff)ll"rfff<Yl«oP+ fllf(ff)ll*-i.P'{0)ll«(tf)ll<fa.
о о
откуда
J J^a. (8.14)
8.2.3. Оценки (II). Теперь мы формально (точные предпо-
предположения будут сделаны дальше) продифференцируем (8.1)

8. Пример одного параболического уравнения 121
по / и умножим на и'; тогда получим:
'dx = (f', «О- (8.15)
«Нелинейный» член в (8.15) запишется в виде
откуда
I п
= jl«'(O)P+ I if', u')do. (8.16)
о
Ясно (впрочем, это будет показано), что из равенства (8.16)
можно получить (при подходящих условиях на / и и0) априор-
априорные оценки для ы' и, что особенно важно, для "^(Pf'^T"))» гДе
|Л|(р-2)/2Л. (8.17)
Чтобы применять-метод компактности, нам еще понадобятся
оценки для ^L(^))
8.2.4. Оценки (III). Естественная идея состоит в том, чтобы
обе части (8.1) умножить на (— Аы) (ср. с п. 1.7, где исполь-
используется аналогичная идея). Однако возникает следующая труд-
трудность: интегрирование по частям в интеграле Г A[u)(ts.u)dx
а
приводит к ненулевым поверхностным интегралам #
Нами будут использованы следующие два наблюдения:
(i) в методе компактности необходимо установить сходи-
сходимость почти всюду (см. лемму 1.3), и в этой связи достаточно
иметь оценки внутри Q;
(ii) можно ликвидировать интегралы по границе, умножив
на функцию, равную Аы внутри и вырождающуюся на гра-
границе Г*
Таким образом, мы сталкиваемся с необходимостью ввести
функцию if со следующими свойствами (предполагается, что

122 Гл. 1. Метод компактности
Q — ограниченная область с границей класса С00):
г|з = О на Г и -^ = 0 на Г1).
Если мы теперь умножим обе части (8.1) на (— г|зДи), не-
нелинейный член примет вид
))
J Л(ы)(-т|зАы
4(р
¦—
на. ! '
. VI Г ди д (\ ди "~2 ди\ 5г|з . (о |гл
Дна последних члена имеют «более низкий порядок», так
что можно также получить оценки для
8.3. Применение оценок
Если функция w (x, t) определена в Q, то положим
+^w, . (8.20)
где Л > 0 будет выбрано ниже (достаточно большим).
Ниже (в п. 8.5) будет установлена
Лемма 8.1. Существует такой «-базис-» из функций
wu ..:, wm, достаточно гладких в Q, что функции {Вы)]} обра-
образуют «базис-» в пространстве V @, Г; Wo " (Q)).
Мы используем метод Фаэдо — Галёркина в следующем
виде: .
ищутся такие ыт€=[ау„ ..., wm], что
т т (о.Л)
J (u'm + A (um), Bw,) dt = j (f, Bw,) dt, 1 < / < m «
') Полезность этого условия проявится ниже.

8. Пример одного параболического уравнения 123
Замечание 8.4. Заметим, что эволюционную задачу мы
трактуем как стационарную. Мы встретимся (в гл. 2 и 3) с дру-
другими способами «аппроксимации» эволюционного уравнения ста-
стационарными уравнениями (см., в частности, эллиптическую
регуляризацию) щ
Замечание 8.5. Так как Bwt образуют «базис»
в L" (О, Т; Wo " (Q)), то отсюда следует, что если в (8.21)
ит—>и, то функция и удовлетворяет предельному Уравнению
(8.1).
Замечание 8.6. Как мы увидим в п. 8.6, «умножение
иа Ви» позволит нам по существу снова получить, и притом
в один этап, все три типа оценок, полученных в п. 8.2.
Можно предложить другой способ использования оценок
(I) и (III); вводится функция p^C'(Q), р(л:)>0 в Q и р(Х)
равно расстоянию от х до Г, если точка х достаточно близка
к Г, и затем оператор Др, определенный равенством
п
д
Оценки (III) из п. 8.2 получаются еще раз путем умножения
на Ары.
Как известно (Бауенди — Гулауик [I]), если существует
такая последовательность-собственных значений и собственных
функций оператора Ар:
Ар»/—ty K0 /^
что Wj гладкие в Q, то можно пытаться использовать метод
Фаэдо — Галёркииа в обычной форме, выбирая о>/ в качестве
«специального базиса»; однако в том случае, когда функции wt
не обращаются в нуль на Г, эта процедура приводит к реше-
решению задачи (8.1), (8.2) с краевыми условиями Неймана:
Р—2 а„
ди ___/_ „ч__0 (8>22)
(вместо краевых условий Дирихле) ф
8.4. Формулировка теоремы
Теорема 8.1. Предположим, что
U %. V* -g-ei'(Q), Q-QXJO, П,
iM-t ' (8-23)

124 Гл. 1. Метод компактности
где г|з удовлетворяет условиям (8.18). Предположим также,
что')
«о —0. (8.24)
Тогда существует, и притом единственная, функция ы, об-
обладающая следующими свойствами:
, Т; rJlP(Q)), (8.25)
<=L2(Q), (8.26)
<8-27>
и удовлетворяющая (8.1), (8.2) ы (8.3) (с «о^О)*
План доказательства:
(i) доказательство леммы 8.1 (п. 8.5);
(И) решение уравнений (8.21), оценки, а затем переход
к пределу (п. 8.6);
(Ш) доказательство единственности (п. 8.7)«
8.5. Доказательство леммы 8.1
Мы будем исходить из последовательности функций gk,
определенных на отрезке [0, Г] и таких, что
0> ff*@ ограничено, когда t-*T\
при этом собственные значения цА > 0, а собственные функ-
функции gft нормированы условием
о
Пусть, далее,
|т, т = 1, 2, ..., —некоторый «базис» в U?o'p(Q);
причем |me=S)(Q) (для определенности; на самом
деле достаточно, чтобы функции |т были доста-
достаточно гладкими).
') Это предположение делается для некоторого упрощения, и оно ни
в коей мере не существенно. См., кроме того, гл. 2, § 1.

8. Пример одного параболического уравнения
125
Далее мы определим oftm как решение задачи
— ф Дс>Ат + (Л. + \lk)Vkm — tm> Pftm—O Яа Г. (8.31)
Будет доказана
Лемма 8.2. Для достаточно большого X > 0 задача (8.31)
имеет единственное решение, гладкое в Q.
Временно считая этот результат установленным, заметим, что
В (vkm ®gk) = B {vkm (x) gk (<)) = ln ® gk, ' (8.32)
так что функции В(х)кт<8 gk) образуют «базис» в пространстве
L? (О, Г; U?o' p (Q)). Следовательно, в качестве wt (при подходя-
подходящем выборе индексов) мы можем взять
^ аи,- = vkm ® gk, (8.33)
что и доказывает лемму 8.1 в предположении, что лемма 8.2
уже доказана.
Доказательство леммы 8.2. Более точно, мы пока-
покажем, что если правая часть / принадлежит Hq(Q), to при до-
достаточно большом \i существует единственное решение и задачи
ца-f.
(8t34)
Чтобы доказать (8.34), мы еще раз используем метод Фа-
эдо — Галёркина и еще раз выберем специальный базис. Опре-
Определим собственные функции
Будем исходить из ы
л , (8.35)
[ф,, ..., фт] —решения уравнений
= (f, Ф/).-
; (8.36)
такое решение ит существует. В самом деле, из (8.36) мы вы-
выводим, что
п п
дит
*/
J -Й-§?-««Л~0. «J. (8-37)
Однако
л
дх,
Sir"***
I «ml.

126
Гл. 1. Метод компактности
поскольку
< const. Тогда левая часть больше или равна
'да.
дх,
dx+ U—2- |«mp.
Отсюда следует существование функции ит, удовлетворяющей
(8.36),' если мы возьмем ц^с^/2. Теперь мы покажем, что,
выбрав ц достаточно большим, можно получить дополнитель-
дополнительные оценки:
1 ит П..» ,„. < const, . (8.38)
(О)
(8.39)
где Dru означает произвольную производную порядка г. Оче-
Очевидно, что из (8.38) и (8.39) следует нужный нам результат.
Благодаря (8.35) мы можем в (8.36) заменить ф/ на (—1)*Д*Ф/
и вывести, что
ft (Q)ll«mMB)- (8-40)
Имеем
Положим
Тогда
(D (ф D«m) -
), D»«J =
К с II um Яя* @)|| ит ||я*-1 (fl).
') Отегнм, что -(Dfe+I (^Da^, Dft«m) = (D* (ф Di^), Dft+1«m), так
как D*(i|>Dum) = 0 на Г; последнее справедливо в силу того, что -ф = О
на Г, д$/дп = 0 на Г и ume=H$(Q)()Hk+*(Q).

8. Пример одного параболического уравнения B?
Так как Dif/y^ e L°° (Q), то мы заключаем, что
| ит |||2 — с21 ит ||| || ит \fHk (а) — с31| ит \fHk (Q) >
Тогда из {8.40) следует, что
т III в II2 + (^
т III в« II ¦+ (^ - т ci - ()
откуда вытекают (8.38) и (8.39).
8.6. Доказательство существования в теореме 8.1
8.6.1. Существование «приближенного решения». Прежде
всего мы покажем, что действительно существует функция ит,
удовлетворяющая (8.21).
С помощью леммы 4.3 можно вывести существование ит
из основного неравенства:
т г
J («4 + A (Um), Bum) dt>c\\ U'm f dt +
i=l Q
$\D,umfdxdt
n
I, /-1 Q
где c>0 и р(А,) определяются с помощью (8.17).
Действительно, как нетрудно проверить, при сделанных
предположениях о правой части f
г ¦ / т I п \ \'/«
J(/, Bujdt <c,( f\u'm?dt+ J I J] -ijf-jdxdt] , (8.42)
так что, в частности,
г
J {u'm + А (ит) - /, Вит) dt > 0,
о
/Г П \
когда выражение I J | и'т f dt + J) J I ^/ит Jp rfjc Л j достаточно
\0 HO I -
велико.

128 Гл. 1. Метод компактности
8.6.2. Доказательство неравенства (8.41). Имеем:
г
J («4 + A (um), Bum) dt = /,+ ...+ /6, (8.43)
о
где
г
о
Т
J(«m, -$Aum)dt,
о
г
(u'm, Um)dt,
О
г
о
г
6 — л I \n \umh um) ***•
О
Имеем:
г г г
h = JI«« W J2 * - J -^i1^ -^ i B« 012 >4 JI "'"• W i2 л <8-44)
0. . 0 . 0
Далее,
n T n T
О *=1 О Q ¦
/ n \ п Г
\ l / l О
J J /
OQ \ i=l / i=l О О
и, следовательно,
/ T \ V. /
-c[\\u'm(t)?dt\ J
\0 / \<j
\0

8. Пример одного параболического уравнения
129
так что (буквой с мы обозначаем различные константы)
Т П
J* > ~ 7 J I В« I" Л - С J S (Di"mJ rfjC Л- (8>45)
Далее,
и "
откуда
Оценим теперь /5. Имеем2):
п Т
/=1 О
(8.46)
-^L dxdt. (8.47)
откуда
Здс,
Р-2
/-« Q
/Л(«я
') Выкладки аналогичны проведенным в п. 8.1, оценки (II).
*) Выкладки аналогичны проведенным в п. 8.2, оценки (III).
Б Зак. 46

130
Гл. 1. Метод компактности
откуда
-<?
откуда
i. /=1 Q '
J
Q /=1
Наконец,
Ввиду (8.44) — (8.49) из (8.43) получим
г г
i**l Q
i=l Q
Ho
dxdt,
(8.49)
. (8.50)
и из (8.50) получается неравенство (8.41), если мы выберем
8.6.3. Оценки для ит. Предельный переход. Из (8.41) выте-
вытекает, что при т -> оо
ит (соответственно и'т) ограничены в
Lp@, T; Wo-"(Q)) (соответственно в L2(Q)),
ограничены в L2{Q) V/, /'.
(8.51)
(8.52)

8. Пример одного параболического уравнения
131
Отсюда следует, что ит ограничены в Lp@, T; Wl'p(Q)),
так что
ди„
дх,
&- ограничены в IP'(Q).
(8.53)
Пусть С? — произвольная область, такая, что С^сй; из (8.52)
следует, что Ve>0
¦р(г") ограничены в Н1@Х]О, Т-е[). (8.54)
Поскольку вложение
#Ч<?Х]0, Т-е[)-+Щ0Х]О, Т-в[)
компактно, мы можем из последовательности ит выделить
такую подпоследовательность и^, что
(8.55)
(8.56)
(8.57)
« слабо в L"@, T; «^l
и' слабо в L2(Q),
сходятся почти всюду в Q !);
>tt слабо в LHQ),
слаб°в
дип
дх,
Р-2
Ei слабо в LP'(Q).
(8.59)
Но, поскольку функция А,->р(А,) монотонна, из (8.56) следует,
что последовательность dujdxi сходится почти всюду. Тогда
в силу леммы 1.3 имеем:
р-2
Тогда А (ит)-*А(и) в Z/@, T; W~ltp/(Q)) и, следовательно,
равенства (8.21) приводят к соотношениям
г г
J («' + Л (и), В»,) dt = J (f, flW/) V/. (8.60)
') Поскольку в (8.54) ?7 и в произвольны (диагональный процесс).

132 Гл. 1. Метод компактности
Поскольку {Bwf) образуют «базис» в Lp@, T; Wl0' "(Q)), то
из (8.60) мы можем вывести, что и удовлетворяет (8.1).
Тем самым доказано существование в теореме 8.1.
8.7. Доказательство единственности в теореме 8.1
Что касается единственности, то справедлив более Сильный
результат по сравнению со сформулированным в теореме 8.1'):
уравнение (8.1) имеет не более одного решения, удовлетворяю-
удовлетворяющего лишь условию (8.25).
В самом деле, если и удовлетворяет (8.1) и (8.25), то
u'=f-A(u)<=Lp'@, T; Rr-''P'(Q)), (8.61)
откуда следует, что
«e=L-@, Т; L2(Q))
(более того, t-*u(t) является непрерывным отображением
[D, T]-+L»(Q)).
Пусть, далее, и и и* —два решения; если w = и — и*, то
имеем
да'+ Л (и)-Л (и*) =0. (8.62)
. . Без труда проверяется, что
{А (и) - А (о), и - о) > 0 % (8.63)
и из (8.62) следует, что
откуда w = 0 ф
Замечание" 8.6. Стационарный случай. Методами
подобного типа можнр изучать Стационарные задачи для опе-
оператора А (см. Вишик [2]). В гл. 2 мы увидим, каким образом
можно использовать монотонность Ащ
9. ЗАДАЧИ О СОПРЯЖЕНИИ И ПАРНЫЕ ЗАДАЧИ
0.1. Одна параболико-гнперболнческая задача о сопряжении
Задачи, подобные тем, которые здесь рассмотрены, возни-
возникают в биологии, см. Коэн и Рубинов [1].
') В гл. 2 мы встретимся с более систематическим изложением подоб-
подобных вопросов.
2) Это свойство оператора называется монотонностью; систематически
мы будем использовать это свойство в гл. 2.

9. Задачи о сопряжении и парные задачи • 133
Рассматриваются две области Q, и Q2 в R", ограниченные
и расположенные так, как указано на рис. 1.
Нормаль п') к Г, ориентирована таким образом, что она
направлена вне Q( (следовательно, внутрь Q2).
Рис. 1.
Ищутся векторы
« = {«,, .... «„}, определенный в QiX]0, П —Qi.
w—{wt wn), определенный в Q2X]0, r[=Q2,
и скалярная функция р, удовлетворяющие следующим урав-
уравнениям:
в
в QIf (9.1)
div« = 0 в Q,, (9.2)
-Aw==g в Q2, (9.3)
с условиями сопряжения на Г, Х]0» T'l^S,:
и = ^- на S,, (9.4)
ди, 1 [^ \ dw,
--pcosn, -j ^«icosn, Х« = -аГ Ha 2i«
\J=1 I
(9.5)
/ =* 1 ft,
с условием на 22вГ2Х]0> Т[:
да=0 на
') Не следует это обозначение смешивать с размерностью.

134 Гл. 1. Метод компактности
и с начальными условиями:
и@) —«о. на QI(
w{0) = w0, а>'@) = а>, на Q« l '¦
Другая формулировка задачи. Положим
Ф = ш'. (9.8)
Тогда уравнение (9.3) примет вид
(Г/-AM Q>do)*=g + bw0. (9.9)
Мы будем пользоваться следующими обозначениями:
(Л *)„,-/te<**. *-l. 2, (9.10)
/. ft—l a
n
ba, (и, v, w) = ^ J uiiDtVf) w, dx, (9.12)
F, = {o | о s (#' (Q,))n, div о — 0}, (9.13)
о*0на TJ. (9.14)
Теперь мы хотим проверить, что поставленную выше задачу
можно сформулировать в следующем виде:
Задача 9.1. Ищутся такие и, Ф, что
и s L2 @, Г; Vt) П L- @, Г; (L2 (Q,))n), (9Л5)
Фе= L°°@, Г; (L2(Q2))n), J OdasLM@, T; И2), (9.16)
о
(«'. о)о, + (Ф7. ФJ| + v«Ql(и, о) + аа>М Фda, ф) + bQi{u, и, о)-
S J
Ф)а, + fl^(Wo. Ф) Vo еУ„ ф s Ka; (9.17)

9. Задачи о соНрядкекии и парные задачи 136
при этом
о=ф на Ги (9.18)
и(О) = Ио» (9.19)
Ф@) = а>, (9.20)
и = Фна2,# (9.21)
Проверим, например, что если {«, Ф} является решением
Задачи 9.1, то функции
t
удовлетворяют (в слабом смысле) условиям (9.1) —(9.7).
Прежде всего, взяв в (9.17) функцию v с компактным но-
носителем в Q, и ф = 0 (а затем наоборот v = 0 и ф с компакт-
компактным носителем в Q2), мы убедимся, что функции и и Ф удовле-
удовлетворяют (9.1) и (9.9).
Наиболее существенным моментом является проверка усло-
условия (9.5). Если мы умножим (9.1) на о и (9.9) на ф, то полу-
получим '):
(и', оH, + vaQl («. °) + йа, («> «. °) + (^» Ф)а,'+ «а, ( J )
ass(f> °)a, ~b (g> ф)о, + aa,(wo> ф) — J
r,
и принимая во внимание (9.17), найдем:
Г ( * ^
г j)u_ , д_ |
г, L м
dTl = 0. (9.22)
Ti 1 J
Так как divf^O, то имеем:
j ^O (9,23)
г,
') Учитывая, что в-»ф на Г,.

136 Гл. 1. Метод компактности
и наоборот, если к, е (нЧг (Г[))л и выполнено (9.23), то суще-
существует такое v^Vu что к = о, на Г! (см. замечание 7.5). Сле-
Следовательно, равенство (9.22) эквивалентно равенству
(9-24)
и заменяя р на р — Я (что законно), мы установим условие (9.5)
р р (
J поскольку J Ф (a) da + w0 = w I
\ о /
Теперь мы укажем наиболее существенные моменты дока-
доказательства следующей теоремы:
Теорема 9.1. Существует решение {и, Ф} задачи 9.1.
Доказательство. 1) Применяется метод Фаэдо — Га-
лёркина (как в § 6) со «специальным базисом» (как в п. 6.3).
Положим
Ws = {w\w^(Hs0(Q)Y, Q = Q,UQ2. divuy=0 на Q,}; (9.25)
через (и, v)w$ обозначим скалярное произведение в Ws; выбе-
выберем далее (как и в F.43))s=n/2 и обозначим через ws соб-
собственные функции
(w,, v)Ws = Я/ (ш/( t») = Я/ J w}v dy Vt» e Ws. (9.26)
Q
Далее к (9.17) применяется метод Фаэдо — Галёркина
с «базисом»
{к/, ф/}, Vj = wt на Q,, 'ф/ = Wj на Q2. (9.27)
Пусть {ит, Фт} — соответствующее «приближенное» решение
порядка т.
2) Отметим, что
п
Ьа,(и, и, и) — у ^ J ututuicosnldTl= О,
поэтому без труда проверяется, что
ит ограничены в L2@, T; VJuIfiQ, T; (L2(Qi)D,
Фт ограничены в L°°@, T; (L2(Q>2))n),
t (9,28)
J 0>mdo ограничены в L°°@, T; V2).

. 9. Задачи о сопряжении и парные задачи 137
3) Наконец, как и в п. 6.4, проверяется, что
[ит< %] ограничены в L2@, T\ UQ. (9.29)
4) Далее применяется теорема 5.1 о компактности в сле-
следующей ситуации: рассматривается последовательность {«ж,
из пространства
L2@, T; Vx Х{Ь2Шп), так что ро = 2,
производную по / оценим с помощью (9.29), следовательно,
pl = 2, Bl = W's; наконец, выбираем1)
B = (HldTy(Qi)Tx{fi-e(Q2)T, o<e< Vi. (9.30)
Как известно (см. Лионе — Мадженес [1], теорема 16.1 гл. I),
вложение Я1 (Q,) -> Я1"8 (Q^ компактно, и тем же свойством
обладает вложение Z,2(Q2)-*#~e(Q2).
Следовательно, мы можем выделить такую последователь-
последовательность «„, что
«„->и сильно в L2@, T; (Я1-е(Q,))"J). (9.31)
Далее, так как е < у2» то отображение
является непрерывным отображением Hl~e (Q{) -> L2 (Г{K) и,
следовательно,
MJr,-*"lr, сильно в L2@, T; L2^)). (9.32)
Благодаря (9.31) (соответственно (9.32)) мы можем перейти
к пределу в членах
Иц. "д, Vj) /соответственно ^ J u^u^Vj cos nt dTx J
' \ r, /
и таким образом получить решение {и, Ф) нашей задачи«
Вопрос о единственности остается открытым, исключение
составляет случай п = 2.
') №в (ПО)" -Нее (ff«- (В,))", div 0 - 0}.
2) Аналогичные рассуждения, очевидно, применимы и в'ситуации §6, ио
там они бесполезны.
3) На самом деле Я1"» (В,)-*#'/»-« (Г,).

138 Гл. I. Метод компактности
Теорема 9.2. Если п=^2, то задача 9.1 допускает един-
единственное решение.
Доказательство. Пусть {«, Ф} и {и,, Ф,} — два решения.
Положим
%=и-и„ ^ = Ф-Ф„
п
у (и, v, w) = y 2 J «jf/Ш/ cos n,rfT,. (9.33)
'./=i г,
Имеем:
(X'. v)a, + (W> Ф)и, + vao, (X. f) + «a, I J W da> Ф I +
+ 6a, («, X» o) + *a, (X, «, f) — 6a, (x, %,v) —
— Y («. X, о) — Y (X, «. о) + Y (X, X. o) = 0, (9.34)
причем это выполнено для всех oeF|, <peFfi, к = ф иа Г,.
Ввиду наличия «гиперболических» членов В (9.34) нельзя
взять q>=W(t), а так как необходимо, чтобы о равнялось <р
на Pi, то нам приходится воспользоваться методом, более
трудным в техническом отношении. ч
Пусть s e ]0, Т[; положим
Bm(t) = непрерывная кусочно линейная функция на [0, Т\;
6т@=1 при '<« — ¦!¦. в/п@=0 при t>s — -^-,
р„ — регуляризующая последовательность функ-
функций из &>(Rt), рп@ = Рп(— 0. носитель р„ при- (9.36)
оо
надлежит [——, —j и J р„(/)Л=1.
Положим при п>2ш
-tia ш\ * л ^ л \q (У.а7)
(9.35)
(где * означает свертку по t, причем х н ^ неявно продолжены
нулем вне [0, 7"]).
Так как % = х? на 2,, то и v(t) = q>(i) на S,, и, таким обра-
образом, в (9.34) мы можем положить v=v(f), ф = ф(/) и проин-
проинтегрировать от 0 до Т. Получим:
сщт + Km + *пт + U + ё\т + g\m + ё\щ =0, (9.38)

9. Задачи о сопряжении и парные задачи 139
где
г
= J в'» (втХ) * Р» * РпH,6т Л.
О
Г
- J (*'. (еjf) • Pn * Р„H|етл,
о
Г
= V J До, (X, FтХ) * Р» * Р») 6т Л,
О
J
О
[ ^ dor, (втТ)* р„ * ря) 0тЛ,
о \о /
т ¦
J *о,(и. X, @тХ)*Р„*Рп)втЛ-
г
г
- — J ? («. X. @тХ) * Ря * Р») 9т А.
О
= J К (X, И, (9тХ) * Р„ * Р„) К dt -
О
г
— J Y (ЗС. «. (9тХ) * Рп * Р») 0ra Л,
о
г г
= J *а, (X, X. (ВшХ) * Р» * Р«) вт dt - J у (X. X, @тХ) * Р« * Р«) ©т dt.
о
J J
о о
Мы хотим устремить п к бесконечности. Заметим, что
г
C»m= J ((втХ)' - в'тХ, (в.х) * Р» * Р»H, * =
О
г г
- J ((втХ)' * Рп. (втХ) * Pjfl, dt- JB'm (x, @mX) * Р„ * Pn)fli
О О
Т
"= — J 0m (X» (9mX) * Р» * Р»)о, dt,
О
я, следовательно,
т
твтЫо.Л При П-+ОО. (9.39)

140 Гл. 1. Метод компактности
Аналогично,
dnm-*
Очевидно, что
епт-*
dm =
о —
Т
-1
0
т
=v f e;
9m9m 1 ^г Ij;
L^Q. (Х. X) «
(9.40)
(9.41)
J
о
Для того чтобы вычислить fnm, положим
t
тогда
т
fnm = J aQ, (BmF, @mP) * р„ * р„) dt =
0
T T
= J oq, ((e»f) * Р„, (9mF)' * р„) Л - J до, (QmF, (B'mF) * р„ • р„) dt =
о о
T
= - J ao, (em/s (9'm/7) * р„ * р„) dt,
0
откуда
г
fnm-+L J 6m0^aQ2(F, F)dt. (9.42)
0 .
Нам осталось рассмотреть выражения g'nm. На минуту до-
допустим, что доказана
Лемма 9.1. Пусть оеЛ'(й) (Q<=R2), и пусть Г —гра-
—граница области Q; тогда
о|ге?3(Г)
и (9.43)
Отсюда следует, что
если v е I2 @, Г; Я1 (Q)) П L°° @, Т; L* (Q)),
то t»|reZ,3@, Г;!3(Г))., ( 44)
Следствие: ы, xs ?3@i T; ^,3(Г[)), и потому мы можем
устремить п к бесконечности в интегралах glnifi:
т
8\ш ~* J fb°. ("- X, X) - Y («, X. X)] 9m dt = 0,

9. Задачи о сопряжении и парные задачи 141
т
elm -* J [Ьог (х> «. X) - Y (X. и, X)] ^ * = С
о
т
Sim ~* J [*о. (X, X. X) - Y (X, X. X)] OS, Л - О.
о .
Из (9.39) — (9.42) и (9.38) мы выведем, что
(9.45)
Теперь мы можем устремить m к бесконечности. Отметим,
что в силу теоремы Лебега
т
— j ет9т | х Iq, dt -+ y | x (s) |q, для почти всех s.
о
Следовательно, мы имеем:
S
i (I X (в) Iq, +1 ^ (s) g, + aQ!(F (s), F (s))) + v J «,, (X, x) Л +
0
s
+ J [&q,(X. ". X) — Y(X. ". X)]dt = O для почти всех s. (9.46)
о
Чтобы упростить запись, обозначим через |/| норму в (L2(Qi))n,
а через || f \\ норму в VV, отметим, что aQ, (f, f) =»|| f |p — | f p; тогда
из (9.46) мы выведем, что
. (9.47)
(Х, и, X)-Y(X.
Однако (ср. п. 6.2)
I Ьа,(х, «, X) I = 1 6а,(X, %,«)!<с, IIXf'l X Pll«&<№
<v||Xlf + c2|xfll«lt(Ql))» (9.48)
и по лемме 9.1 имеем:
|Y(X. «, и(Г1,)<
f f\l. (9.49)

142 Гл. 1. Метод компактности
Подставляя (9.48), (9.49) в (9.47), получим:
S S S
xJ
0
где
М (t) -2v + с,К и @1^^ + ej «@1^,. (9.60)
Следовательно, М (t) <= I1 @, 7") и
s
I X (s) P < J Af (/) | х @ Р * почти, всюду,
о
откуда х = 0.
Но тогда из равенства (9.46), следует, что W = 0.
Итак, чтобы закончить доказательство теоремы, надо дока-
доказать лемму.
Доказательство леммы 9.1. Отображение t»-*t»|r
переводит tfv'(Q) в н'1г'1''(Г) = н''1 (Г) (см. Лионе - Мадженес
[1], гл. 1), а согласно Петре [1], Н4' (Г) с: L3 (Г) (Г имеет размер-
размерность 1), и, таким образом, мы имеем:
Замечание 9.1. В рассматриваемой нами задаче нели-
нелинейность возникает в граничных условиях (9.5). При изучении
задач такого типа фундаментальную роль играют следующие
два замечания:
(i) взятие «следа» v-+ v\r является компактным отобра-
отображением
при е>'/«;
(И) для следа выполнены оценки типа (9.43) ф
9.2. Парные уравнения
Опишем коротко два примера парных уравнений.
Пример 9.1 (см. Черняков [1]). Ищутся вектор и и Ска-
Скалярные функции р и w, удовлетворяющие уравнениям
п
g - vA« + J] utD(u + Zw=f-gr ad p, (9.61)
div« = 0, (9.62)
^- - Aw + « ' grad w — 0, (9.53)

9. Задачи о сопряжении и парные задачи 143
граничным условиям
и=0, ш=0 на S (9.54)
и начальным условиям
и @) = «о, ад @) =s w0 («о, ад0 — заданные функции), (9.55)
причем в (9.51) ? — заданный вектор в R".
Методы, использованные в § б при изучении уравнений
Навье — Стокса, нетрудно приспособить к рассматриваемому
здесь случаю; в самом деле, заметим, что
J (« grad ш) w dx = — -^ J (div и) w2 dx «¦ 0.
о а
Таким образом, мы установим существование решения {и, ад},
а е Z,2 @, Т; V) (V определено так же, как в § б),
и <= /."@, Т; (L2(Q)T), w & Z,2@, T; Hl0(Q))П Z,°°(o, Г; L2(Q)).
Можно доказать единственность при « = 2»
Предыдущий пример относился к «параболико-параболи-
ческому спариванию», и мы имели дело с вариантом уравне-
уравнений Навье — Стокса. Приведем теперь другой пример, отвечаю-
отвечающий ъпараболико-гиперболическому спариванию»').
Пример 9.2. Ищутся вектор и и функции р и w, удовле-
удовлетворяющие уравнениям
л
-§? - v Д« + ? utDtu + %w =f - grad p, (9.56)
div«=0, (9.57)
^ ^ (9.58)
краевым условиям (9.54) и начальным условиям
«(О) = «о, ш@) = ш0. «'(О) — »,. (9.59)
Заметьте — все, что надо для этого, уже сделано! После
умножения (9.58) на w' пропадет член
J (« • grad w') w' dx — - у J (div «) (ад'J Ле — 0.
') Мы не знаем, имеет лн этот пример физический смысл.
г) Мы, естественно, можем увеличить число примеров, «подходящим
Образом спарнвая> задачи, рассмотренные в предыдущнх параграфах.

144 Гл. I. Метод компактности
Комбинируя методы § 1 и 6, можно доказать существование
решения {и, w) (и pe2)'(Q)), удовлетворяющего условиям
«et2 (О, Т\ V) П V (О, Т\ (Z,2 (О))"), (9.60)
w <= L°° @, Г; Яо (Q)), w <= Z,°°(о, Г; Z,2(Q)), (9.61)
(9.62)
Можно также доказать единственность при « = 2 (р произ-
произвольно) *
10. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ШРЕДИНГЕРА
10.1. Постановка задачи
В этом параграфе мы будем рассматривать функции, при-
принимающие комплексные значения.
Ищется решение и уравнения
u'-*Au + |«lp«=f в Q A0.1)
(р —заданное положительное число,-Л—У—1, f — функция,
определенная в Q), удовлетворяющее краевым и начальным
условиям
ы=0 на 2, . . A0.2)
и(х, О) = ио(х), JceQ. A0.3)
Мы коротко наметим, каким образом методы § 1 можно
приспособить к рассматриваемой ситуации«
10.2. Теорема существования и единственности
Будет доказана
Теорема 10.1. Предположим, что
f s С @, Т; Hi (Q)), /' <= 1} (Q), A0.4)
u0stfi(Q)fU2(p+1)(Q). (Ю.5)
Тогда существует единственная функция и, удовлетворяю-
щая A0.1), A0.3), причем
u'^L^iO.TyL^Q)). , A0.7)
Доказательство. 1) Выберем «специальный базис»
в методе Фаэдо — Галёркина, т. е. возьмем собственные функ-
функции
/ = 1, t2>#G#o'(Q). A0*8)

10. Нелинейное уравнение типа Шредингера 145
«Приближенное» решение ит определим из уравнений
Kit), »,) +to(«„(/). wt + {\um(t)\»um{t), »,)-
= (f{t),w,), !</<«, A0.9)
где
(f,g)=jfgdx,
Q
причем
A0.10)
2) Умножая A0.9) на glm(f)' [гдр um{t)= 2 g,m(f)w,] и
\ /=i /
суммируя по /, найдем:
К @. «„ @)+m («m (t), uM (o)+(| «m (о Г «„ (o.««w) -
= {f(t), um{f)), A0.11)
откуда, взяв вещественную часть от обеих частей A0.11), по- >
лучим:
j4r\um(t)\*+ j\um(t)fdx = (f(t),um(t)) A0.12)
а
|fP—/Л
Q /
Отсюда следует, что
ит ограничены в /."(О, Г; L2(Q)) и в L"(Q). A0.13)
3) Благодаря A0.8) мы можем в соотношениях A0.9) заме-
заменить Wj на Дш>/ и, следовательно, записать A0.9) в виде
A0.14)
(поскольку f удовлетворяет A0.4)).
Из A0.14) следует, что
a(u'n(t), u

146 Гл. 1. Метод компактности
*
Для того чтобы использовать A0.15), вычислим (Re = ве-
вещественная часть):
2Re(|o|V -A»)=2Re2 J ^0 ¦ Г *)-fr * -
«-=1 S ' • '
i«-1 а
г-=1 а
Отсюда, в частности'), имеем
M\um(t)fum(t), ^Аиж@)>0 A0.16)
и, следовательно, взяв вещественную часть A0.15), получим:
II а («»@. «т @) < Re а (/ (*), ит @),
откуда мы сможем заключить, что
ит ограничены в L°°(o, T; #o(Q)). A0.17)
4) Нам осталось оценить и'т.
Прежде всего проверим, что | и'т @) I ^ const2).
Далее продифференцируем A0.9) по /. С помощью выкла-
выкладок того же типа, как те, которые были использованы при
выводе A0.16), мы установим, что
) т) A0.18)
откуда мы сможем заключить, что
ит ограничены в Г°@, Т; L2(Q)). A0.19)
5) Далее без труда можно перейти к пределу; законность
предельного перехода доказывается методами предыдущих
параграфов.
6) Единственность доказывается непосредственно: достаточно
заметить, что
A0.20)
') Здесь мы можем получить дополнительные оценки.
2) Здесь используется предположение щ е L2*+'> (Q).

//. Нелинейные уравнения ни многообразии 147
11. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ НА МНОГООБРАЗИИ
БЕЗ КРАЯ И С КРАЕМ
11.1. Постановка задачи
Пусть, как всегда, Q — ограниченная область в R" с грани-
границей Г и
Задача 11.1. Ищется функция w = w (x, t), определенная
в Q н удовлетворяющая уравнению
д„,=0 (Д_^+ ... +?)¦> в Q (П..)
с граничным условием
Т5Г + -?+1«1"«*-/ «а 2 A1.2)
(здесь р> 0 —заданное число, функция f определена на 2, д/дп —
нормальная производная, направленная вне Q) н начальным
условием
w(x,O) = wo(x), хеГ, A1.3)
Замечание 1111. Производная по t входит только в ус-
условие (П.2)«
Замечание 11.2. Мы покажем ниже (п. 11.2), каким обра-
образом задачу 11.1 можно сформулировать в виде нелинейной
эволюционной задачи на многообразии Г«
Сформулируем еще две задачи подобного типа, только на
этот раз они будут «гиперболическими» (как мы увидим, за-
задача 11.1 — «параболическая»).
Задача 11.2. Ищется функция w, которая опять удо-
удовлетворяет уравнению A1.1), но на этот раз с краевым усло-
условием
lSL + lF + la'lPa'=/ на s О1-4)
и начальным условием
ш(*. О) = «>о(*)> ЦгЬ, 0) = wl(x), jeer. A1.5)
') В наш дифференциальный оператор не входят производные по t.

148 Гл. 1. Метод компактности
Задача 11.3. Ищется функция w, удовлетворяющая A1.1),
краевому условию
d2w | dw
dt2 •" dn
и условиям A1.5).
dw
^2—/ на 2 A1.6)
11.2. Задача на многообразии Г
11.2.1. Оператор «s?. Каждой функции феЯ''!(Г) сопоста-
сопоставим решение Ф задачи
ДФ = 0 в Q,
Ф = Ф на Г. (П-7>
При этом ФеЯ'(Й)'и (см. Лионе — Мадженес [1]) можно
определить дФ/дп е Н~у' (Г). Далее положим
Цг A1.8)
Обозначим через (ф, ф)г скалярное произведение на Г.
Имеем: для произвольного К > 0 существует такое а > 0, что
(д*р, ф)г + Лйф|?,(г)>оЦф|^(Г, УФеЯ'л(Г). A1.9)
В самом деле,
J(—ДФ)Ф^ = 0 = —(^ф, ф)г+ J | gradФ|2сГд:
a q
и, следовательно,
, Ф)г 4-А.Цф |, {Г) - J" | grad Ф Р d* + Я J
11.2.2. Задача на Г. Если в любой из задач п. 11.1 мы
положим
w(t)\r = u{t), A1.10)
то -j~- {t) = зФи (t) и, следовательно, задача 11.1 переходит
в следующую задачу: ищется такая функция u(t), что
+\ufu = f на 2 =
(wo — заданная функция на Г). A1.12)

11. Нелинейные уравнения на многообразии 149
Аналогично, задача 11.2 примет следующий вид: ищется
такая функция u(t), что
¦^¦+stu + \ufu=f на 2, A1.J3)
Задача 11.3 переходит в аналогичную задачу, только A1.13)
заменяется на
ди р ди t /ч ifv
Замечание 11.3. Таким образом, речь идет о задачах
на многообразии Г, причем $Ф является псевдодифференциаль-
псевдодифференциальным оператором на Тщ
11.3. Результаты
Имеют место следующие три результата:
Теорема 11.1. Пусть заданы f из L2@, Т; Н~У'{Г)) и w0
из L2(T). Тогда существует единственное решение
u<=L2 (О, Т; Н'1' (Г)) П L°° (О, Т; L2 (Г)) Л Lp+2 (S), A1.16)
удовлетворяющее A1.11) и A1.12).
Теорема 11.2. Пусть заданы f из L2(S), луо<=#1/1(Г) и
w1^L2{F). Тогда задача (П.13), A1.14) имеет решение и, удо-
удовлетворяющее включениям
аеГ (О, Г; #''' (Г)) П L°° (О, Т; Lp+2 (Г)), A1.17)
«'еГ@, Г;/,2(Г)). A1.18)
Теорема 11.3. Предположим, что
f e L2 (О, Т; Н4' (Г)), f e L2 (S), A1.19)
wo<=Hl{r), A1.20)
). A1.21)
Тогда существует функция и, которая является единствен-
единственным решением задачи A1.15), A1.14), причем
u<=L°°@, T; Я1 (Г)), A1.22)
»'еГ@, Т;Н'1'{Г)), A1.23)
и"е=Г°@, Т; L2{F))9 A1.24)

150 Гл. 1. Метод компактности
Мы ограничимся тем, что приведем наиболее важные мо-
меиты доказательства теоремы 11.1. Другое доказательство
этой теоремы можно получить методом монотонности, кото-
который изучается в гл. 2 (более того, в § 4 1Л. 2 мы встретимся
с более общей ситуацией).
Доказательство теоремы 11.1. 1) Выберем s таким
образом, чтобы
Я*(Г)с=1р(Г), р = р + 2, s>l A1.25)
(достаточно выбрать s из условий -j'—ZT^~ и s^ Ч' Далее
выберем специальный базис wt с помощью уравнений
(а>„ v)Hs {Г) = Х, (wt, v)L, (Г) V» s Я* (Г), (l 1.26)
2) Приближеииое решение ит определим следующим образом:
«mWe[*l. •••. wm]>
= (/@. ю/)г, !</<«, (И.27)
[ю„ .... а;т]->а;о в 12(Г). A1.28)
Доказывается существование ит в интервале [0, Т] с оценками
ит ограничены в LP(S),
«т ограничены в L2@, Г; Я'/г(Г))A L°°@, Г; 12(Г)).
3) Теперь мы получим оценку для и'т, используя то обстоя-
обстоятельство, что базис {wt} — «специальный». Обозначим через Рт
оператор проектирования
тогда
Ит= Pm&Um - Рт(\ Um f Um) + PJ, A1.30)
Рт является ограниченным оператором из H~s (Г) в Н~'(Г),
а, следовательно, из Я"'А(Г) в Я"'(Г) и из 1Р'(Г) в Я (Г)
(поскольку выполнено условие A1.25)). Так как яФит (соответ-
(соответственно | ит fum) ограничены в L2@, T; Н~'1г(Г)) (соответственно
в L"'@, T; 1Р'(Г))), то из A1.30) следует, что
и'т ограничены в Lp'(o, T; Я (Г)). A1.31)
Мы применим теорему 5.1 с

11. Нелинейные уравнения на многообразии 151
(вложение Я*'1 (Г) -> L2 (Г) компактно).
Отсюда мы выведем, что можно выбрать такую последова-
последовательность иц, что
и^-+и слабо в L"B) н в L2@, T\ НУг(Т)),
а также *-слабо в Iе" (О, T\ L2(F)), сильно в L2B) и почти
всюду.
Обычным образом можно перейти к пределу.
4) Единственность доказывается непосредственно *
Замечание 11.4. Имеет место один результат о глад-
гладкости по «пространственным переменным» на Г.
Если в задаче 11.1 feL2@, T; Н'1г(О,)), то для решения и
справедливо включение
«еГ(О, Т; Н4'(Г))Г)L2(О, Т; Я1 (Г)). A1.32)
Отметим, что (для достаточно гладких функций)
Ыи, |«f«)r>0. A1.33)
Действительно, используя определение зФи, мы введем Ф
как решение задачи
— ДФ = 0, Ф|г = «;
тогда
(-ДФ, |ФрФ) = 0 = -(^«,|ир«)г
Следовательно,
P) 2 |фр/-^-J^, A1.34)
откуда, в частности, следует A1.33).
Если функции Wj в A1.27) мы выберем таким образом,
чтобы
. A1.35)
(эти функции, вообще говоря, будут отличаться от wt, опре-
определенных с помощью A1.26)), то получим:
К' *«*)r + II ^т @ t (F)
откуда мы можем заключить благодаря A1.33), что
um ограничены в L~@, Г; Ну'{Г)) {] L2 {О, Г, Я1 (Г)).

162 Гл. 1. Метод компактности
У нас нет (вообще говоря) оценки для и'т '), но мы можем
перейти к пределу, используя метод монотонности (гл. 2)%
Замечание 11.5. С помощью методов того же типа, что
и в теореме 1.2, можно показать, что если р удовлетворяет
условию
р^—з^ (Р произвольно при я = 2), A1.36)
то решение из теоремы 11.2 единственно2).
В доказательстве основную роль играет следующее обстоя-
обстоятельство. Если и и v — два решения и до = ы — о, Ф = (| ы f ы —•'
— I » Р о) -ЕГ=Т ' то
откуда
| (Ф», w\ f<с|| w'(О |Ь (Г)|| w (t) \\нЧ, (Г) X
а так как в силу A1.36) рг = 2р(я— 1)<<7м т0
11.4. Случай многообразия с краем
Оператором «той же самой природы», что и A1.8), является
оператор
п-1
И Т х -г 'ТГ
(интегралы понимаются в смысле главных значений), действую-
действующий на функции и, определенные в Г = ] — 1, 1 [""'.
*) Можно получить оценку производной дробного порядка по / от ит
(как в п. 6.5), если р не «слишком велико».
2) Если условие A1.36) ие выполнено, то вопрос о единственности
в теореме 11.2 остается открытым.
3) Мы берем п — 1 вместо л и Г вместо Q, чтобы сделать более явной
аналогию с предыдущими рассуждениями.

12. Нелинейные вырождающиеся эволюционные уравнения 153
Это эллиптический оператор порядка 1. Результаты, анало-
аналогичные предыдущим, имеют место для уравнения
2L+stu+\ufu = l и т. д.,
только надо НЧ'(Г) заменить на Я$(Г) (см. Лионе —Мадже-
нес [1], теорема 11.7 гл. 1)«
12. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВЫРОЖДАЮЩИЕСЯ
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
.12.1. Постановка задачи (см. также гл. 2 § 3)
Ищется такая функция и, что
dt
*>0 A2.1)
(где р > 2 задано) и выполнены краевые и начальные условия:
и = 0 на 2, A2.2)
и(х, 0) =«„(*). xe=Q. A2.3)
Замечание 12.1. Задачи указанного выше типа возникают
.во многих приложениях: теория распространения тепла, диф-
диффузия газа, и т. д. Уравнение A2.1) вырождается при и = 0,
откуда и берется терминология, принятая в этом пункте ф
Априорная оценка. Если обе части A2.1) мы умножим
на и и проинтегрируем по частям, то получим
Т 4т I «(О I2 + М (и (t))p = (f @, и @), A2.4)
где мы положили
М(о) = 1
. Функция о-»-М(о) не 'Является нормой, в связи с чем
использование априорных оценок типа' A2.4) требует дополни-
дополнительных рассмотрений, главное из которых связано с обобще-
обобщением теоремы 5.1 о компактности.
Замечание 12.2. Естественно, что уравнение A2.1) выбрано
в качестве «модельного». Излагаемый ниже метод работает во
многих других ситуациях. По этому поводу мы отсылаем
к работам Дубинского [1], [2].

164 Гл. 1. Метод компактности
12.2. Один дополнительный результат о компактности
В условия теоремы 5.1 входили следующие пространства:
(i) банаховы пространства BocficВ1г причем вложение
В0-*В компактно;
(и) пространство таких v e=Lp0(О, Т; Во), что dv/dt(= L"'@, T; В,).
В рассматриваемой ситуации мы заменяем пространство Ба-
Банаха Во множеством S, снабженным функцией v->M(v): S-*-R+,
причем
SczBczBlt М(»)>0 на S, M(Jlp) =U |M(о), A2.6)
множество {v \v e S, М(о)^ 1} относительно компактно в В.
A2.7)
Далее рассматривается множество &~ (которое «заменяет»
ограниченные множества в пространстве из (и)):
iF = {ir|» локально суммируемая функция в интер-
т
вале ]0, Т[ со значениями в Ви f M(v(t))p°dt^.clt
о
v' принадлежат ограниченному множеству
в Lp'@, Г; В,)}- A2.8)
Имеет место следующий результат (Дубинский [2]):
Теорема 12.1. Предположим, что выполнены условия A2.6)ч
и A2.7) и 1 < р{< оо, / = 0, 1, где р{ взяты из определения
A2.8). Тогда #*crLp'(O, Г; В) и &~ относительно компактно
в L"'@, T; В).
Замечание 12.3. Если положить S=Bi и M(v)=\\v\\g,
то теорема 12.1 перейдет в теорему 5.1. Нам кажется полезным
разделить эти два результата; отметим также, что излагаемый
ниже метод в* одном пункте отличается от метода § 5.
Доказательство теоремы 12.1. Предположим на
минуту, что уже доказана следующая ниже лемма (вариант
леммы 5.1).
Лемма 12.1. Пусть выполнено предположение A2.7) и \fr\ >
> 0. Тогда существует такая константа сц, что
ll«-oJIB<n[M(«) + M(o)] + Ctl||«-o||Bi V«,oeS. A2.9)
Пусть ип — последовательность из ?F. Мы хотим показать*
что из этой последовательности можно выделить подпоследова-
подпоследовательность Коши в Lp"@, T; В). В силу A2.9) для этого доста-
достаточно показать, что можно выделить подпоследовательность

12. Нелинейные вырождающиеся эволюционные уравнения 155
Коши в Lp'@, T; В{). В самом деле, благодаря A2.9) Уц суще-
существует такое сч, что
т т
JIIun+m(t) - ип(t)?dt <т, J И(«n+m(*))» + M(щ,(t))p\dt +
о о
T
¦ +crij\\un+m(t)-un(t)\fB'dt,
0
откуда и следует наш результат.
Мы докажем несколько больше, а именно:
можно выбрать такую подпоследовательность ыц, что
и^-*и в-'С°([0, Tljfl,). A2.10)
Действительно:
1) для почти всех t (другими словами, для t ф Z, где
mes(Z) = 0) можно выделить такую подпоследовательность
(зависящую от t), что
M(ufc(*))<*,< оо A2.11)
(это доказывается от противного: если существует,такое множе-
множество Е положительной меры, что
М (ип (t))"' -*¦ оо V/ <= Е,
то
т
J М («„ @)р0 Л > J М (ип (ОГ Л -> «о,
О ?
что противоречит A2.8));
2) в силу A2.7), A2.11) (и однородности M(v)) можно для
любого tqkZ выделить такую (зависящую от /) подпоследова-
подпоследовательность, что
uk(t)-*u(t) сильно в В,; A2.12)
3) пусть последовательность {tlt t2, ...} плотна на отрезке
[О, Т] HttqkZ; ввиду A2.12) с помощью диагонального процесса
можно выделить такую последовательность ыц, что
Up.(tt)-*u(tt) сильно в Bt Vi; A2.13)
4) однако V/ е [О, Г]:
11 ft 1

156 ¦ Гл. 1. Метод компактности
а так как последовательность tt плотна и выполнено A2.13),
то Ыц сходятся в Bt равномерно на всем отрезке [О, Г], откуда
и следует утверждение A2.10).
Итак, чтобы закончить доказательство теоремы, мы должны
доказать лемму.
Доказательство леммы 12.1. Мы будем рассуждать
таким же образом, как в лемме 5.1. Если неравенство A2.9)
не справедливо, то существует % и две такие последователь-
последовательности ип, vn e S, что
(«„) + М (с„
Положим
я-
««
Л1 («„) + м (о„) ' и"
Тогда
Цйп-бп||в>т1о + «||йп-бп||В1, A2.14)
М(й„)<1, М@Я)<1. A2.15)
В силу A2.15) и предположения A2.7) можно выделить две
такие последовательности йц, v^, что
«,,->«, бц->о сильно в В. A2.16)
Но из A2.14) следует, что
и, следовательно, u=v. Поэтому йц —б„-*0 сильно в В, что
противоречит A2.14)ф
Пример применения теоремы 12.1. При использо-
использовании теоремы 12.1 нам понадобится
Предложение 12.1. Пусть
S = {v\\vf)l2ve=Hl(Q)}, A2.17)
и пусть функция M(v) определена в A2.5). Тогда выполнено
условие A2.7), если в качестве В взято
B = Z/(Q)'). A2.18)
Доказательство. Отметим прежде всего, что
(п \1/р
SJ(-4r<i»r*t) • A2Л9>
') Это условие можно улучшить, см. следующее ниже доказательство.

12. Нелинейные вырождающиеся эволюционные уравнения 157
Положим P(t>) —| v f~2)l2v. Если vn — последовательность из S,
то P(wn) ограничены в #o(Q), а, следовательно, и в. L4(Q),
— = -г- — — (где q произвольно и конечно при п = 2). Но тогда vn
ограничены в Lpq'2 (Q), а так как вложение #o(Q)->-L2(Q) ком-
компактно, можно выделить такую подпоследовательность v^, что
v^v слабо в Lpql2(Q), A2.20)
Р(ац)^'ОС сильно в L?(Q) и почти всюду. A2.21)
Из монотонности Я->-Р(А,) и A2.21) вытекает, что
Оц^-Р~'(х) почти всюду,
следовательно (лемма 1.3), у11^-р~'(ос)слабов LP412 (Q) ир~'(ос)=о.
Поэтому w^^-w слабо в Lpql2 (Щ и почти всюду. Отсюда выте-
вытекает, что у„ ->¦ у сильно в Z/ (Q) Vs < p<7/2 (и, в частности,
для s=p); действительно, согласно теореме Егорова, Ve > 0
существует такое множество Е cr Q, что mes(?)^e и сходи-
сходимость «ц—>¦« равномерна в С?; тогда
< j\vll-v\idx+.(j\vli-vf'dx\\l-\ e = Ji-,
ев \? I
откуда и следует наше утверждение %
12.3. Решение задачи
Теперь мы в состоянии доказать следующее утверждение:
Теорема 12.2. Пусть f принадлежит Lp (Q), —|--г=1,
а и0 принадлежит L2(Q). Тогда существует, и притом одна,
функция и, удовлетворяющая A2.1), A2.3) и включениям
M6=L°°@, T; L2(Q)), A2.22)
| и fp-2)l2u 6= L2@, T; Яо(?2)), A2.23)
и е if (О, Т; W~u "' (Q)). A2.24)
Доказательство существования. 1) Мы хотим
использовать метод Фаэдо — Галёркина с выбором специального
базцса. Выберем г таким обр азом,'чтобы
-f%-e=Lp(Q). A2.25)

158 Гл. 1. Метод компактности
Возьмем
г = (-^)у+2; A2.26)
тогда
и включения A2.25) будут выполнены, см. Петре [1]. Возьмем
в качестве wt собственные функции
(wh tO^-M»/. «О Vk etfor(Q) A2.27)
и определим um(t) условиями
п
(«4@, в>/)+2 {|«mr
'='u A2.28)
2) Из A2.28) следует, что
), ««@).
mq
A2.29)
откуда
um ограничены в L~@, T; L2(Q)), A2.30)
\ujp'mum ограничены в L2@, T; tfo(Q)). A2.31)
3) Оценка для u'm. Форма
л
S J I "
i=l Q
записывается в виде
a(u,v) = (g(u),v), IU(«)Oa-r(Q)<c||«|g?;Q). A2.32)
Действительно,

12. Нелинейные вырождающиеся эволюционные уравнении 159
и, следовательно,
(в силу A2.25))
откуда следует A2.32).
Далее, соотношения A2.28) можно записать в виде
{u'm(t)-g(um(t))-f{t), w,) = 0, 1</<т, A2.33)
где
\\g{um(t))\\H-rw<c\\um{t)\f-liQ).
Из этой оценки в силу A2.31) следует, что
g(um(t)) ограничены в //(О, Т; H~r{Q)) A2.34)
(это утверждение не оптимально, но его хватает для наших
дальнейших целей).
Пусть Рт—ортогональный проектор (в L2(Q)) на [ш, wm]\
Рт является ограниченным оператором из 3?(Hq(Q); Ho(Q))
и 9?{H~t(Q); tf~r(Q)), и поэтому из соотношений A2.33), запи-
записанных в виде ит = Рт (g (u'm) + f), и из A2.34) следует, что
и'т ограничены в if@, T; H~T (Q)). . A2.35)
4) Теперь мы можем применить теорему 12.1, где S опре-
определено с помощью A2.17), M(v) с помощью A2.5) (так что
т
A2.31) эквивалентно тому, что f M(um(t)f dt^.c), В, =
о
= Я~Г(Й), Pi=p' и, наконец, B = LP(Q) (последнее законно
в силу предложения 12.1). Следовательно, мы можем выде-
выделить такую последовательность «ц, что
и№-*и слабо в L°°@, T\ L2(Q)), A2.36)
«„->¦« сильно в Lp@, T; L" (Q)) и почти всюду, A2.37)
1«ЛР)/Ч-^0С слабо в L2@, T; tfJ(Q)). A2.38)
Благодаря A2.34) имеем: % = \ и |<р~2)/2«, и с помощью обыч-
обычных рассуждений можно показать, что и является решением
рассматриваемой задачи.
Далее, из A2.23) следует, что
-^г (I и Г и) - (р - 1) (| и Г)/2 ?L) | и Г в If (Q),

160 Гл. I. Метод компактности
и поэтому
uf = f-j^-^^ur2u)^Lp'@, T; W-l-9
Доказательство единственности (Равьяр [2]).
Пусть «1 и «2 суть два решения и до —м,— и2. Имеем:
^'^уЛA« Г«1«Г«) = о
Умножив скалярно на (— Д)~ до и проверив, что это скалярное
произведение имеет смысл, найдем:
(ш', ш)я_, m + -^гту (I и, Г «1 -1 «2 Г2 «2, и, - «2) = О
(где (/, g)w-i(a) = (f, (-ЛГ'г)).
Так как (ввиду монотонности А.->¦ | А. |р"*2 А.)
то из A2.39) следует, что
откуда до = 0ф
Замечание 12.4. Мы встретимся с другим доказатель-
доказательством этой теоремы (в немного более общей ситуации) в п. 3.2
гл. 2«
13. ПРОБЛЕМЫ
13.1. Можно ли освободиться от условия A.49) в тео-
теореме 1.2?
13.2. Справедлив ли результат, аналогичный теореме 2.2,
для уравнений типа
a/
3!L\ _ „1+а _
(Без члена — «1+а эти уравнения изучены в § 8 гл. 2.)
13.3. Справедливы ли для уравнения (например)
результаты, аналогичные тем, которые коротко указаны для
уравнения и" — Л« + «3==/ в замечании 1.6?
13.4. Имеет ли место единственность в теореме 4.1?

14. Комментарии 161
13.5. Рассмотрим систему типа Коши — Ковалевской '), «при-
«привязанную» к системе D.2), D.3):
8,+е2>0,
и дополним эту систему начальными данными для и2. Будет ли
полученная задача корректной, а ее решение (если оно суще-
существует) будет ли аппроксимацией для системы D.2), D.3)? Что
касается положительных результатов этого типа, то см. гл. 4, § 4.
13.6. Имеет ли место единственность в теореме 6.1?
13.7. Если в методе п. 6.4 взять в качестве wt произволь-
произвольный базис (а не специально выбранный), то будет ли процесс
Фаэдо — Галёркина тем не менее сходящимся? (Аналогичный
вопрос возникает каждый раз, когда используется «специаль-
«специальный базис».)
13.8. Что происходит в ситуации п. 6.9 при v->0, если не
менять граничные условия?
13.9. «Задачи назад» (получающиеся при изменении напра-
направления времени), как правило, «некорректны» (или по меньшей
мере считается, что сгни «некорректны».) Можно ли
(i) показать, что они некорректны;
(И) получить свойство, заменяющее единственность назад
для линейных параболических уравнений?
13.10. (Как и предыдущая проблема, эта проблема касается
всех примеров, рассмотренных как в этой главе, так и во всех
последующих.) Рассматривается нелинейная задача, которую
символически можно записать в виде
где м@) = м0. Когда и0 пробегает пространство начальных дан-
данных, что можно сказать о множестве, которое пробегает мG)?
13.11. Можно ли изучить природу (например, метрическую
энтропию) множества начальных условий, для которых рассма-
рассматриваемая задача «корректна»?
14. КОММЕНТАРИИ
Как отмечено в тексте, уравнение A.1) возникает в релятивистской
квантовой механике. Сверх библиографических указаний, сделанных в тексте,
отметим работу Юргенса [1], который для задачи Кошн установил теорему
') По поводу такой терминологии см. примечание редактора на стр. 58. —
Прим. ред.
6 Зак. 48

162 Гл. /. Метод компактности
существованиями единственности более еильную, чем теорема 1.2; этот ре-
результат получен путем сведения (с использованием элементарного решения
волнового оператора) исходной задачи к эквивалентному интегральному
уравнению. Отметим работы Снгала [1], [2], [3], Бродского [1J и Штра-
усса [2], [4]. ,
Отметим также работу. Браудера [2J. Теорема 1.3 принадлежит Са-
зеру [1], [2]; к этим работам мы отсылаем по поводу дополнительных свойств
гладкости.
Метод аппроксимации с помощью дифференциальных уравнений, исполь-
используемый на протяжении всей главы, для линейных эволюционных гипербо-
гиперболических задач был введен Фаэдо [1], для линейных эволюционных пара-
параболических задач —Грином [1], а для нелинейных задач (где этот метод
играет фундаментальную роль) Хопфом [1] в связи с уравнениями Навье —
Стокса (см. § 6). Этот метод (в соединении с дискретизацией по времеинбму
переменному) используется в численных приложениях (см. Дуглас — Дю-
пон Ш).
Результаты п. 1.8, по-видимому, новые. Один результат, аналогичный
теореме 1.6, но с более сильными предположениями о гладкости f, «о. «i
имеется в работе Сазера [1] (теорема 5.1). В доказательстве теоремы 1.6
используется тот.же метод, что в работе Лионса — Штраусса [1] для дока-
доказательства леммы 2.1; ои является адаптацией метода Лионса — Продн [1]
для уравнений Навье — Стокса.
Теорема 2.1 принадлежит Саттингеру [2] (см. также его работу [1]
и работу Келлера [1] в связи с результатом о несуществовании). При изло-
изложении теоремы 2.1 мы использовали одно замечание Фужнты (личное со-
сообщение).
Теорема 2.2 принадлежит Фужите (см. [1], [2], где можно найти допол-
дополнительные результаты); нм доказано несуществование обычных решений;
мы слегка обобщили этот результат иа случая слабых решений.
Другой результат о несуществовании для нелинейных, параболических
уравнений (использующий, кроме того, выпуклость) имеется в работе Кап-
лаиа [1], § 6.
По поводу результатов б несуществовании для нелинейных гиперболи-
гиперболических уравнений см. работы Забуского [2J, Лакса [2], Мак-Ками—Мизела [1].
Результаты § 3 принадлежат Лиоису — Штрауссу [1], там же можно
найтн дополнительные результаты (в этом направлении см. также работы
Мндзохаты — Ямагути [1], [2], Аримы — Хасегавы [1]).
С точностью до технических деталей результаты п. 4.1 принадлежат Мо-
Морозову [1] н Воровичу [1J. Стационарному случаю (пп. 4.3, 4.4) посвящены
многочисленные работы; в тексте изложены лишь самые элементарные
сведения по этому поводу. Рассматриваемые уравнения (уравнения Кар-
Кармана), изученные, в частности, в работах Бергера [3], [4], [5J, Бергера —
Файфа [1], Файфа [1], приводят к задаче на собственные значения для не-
нелинейных операторов (см. Бергер [1], [2]; общее изложение имеется у Брау-
Браудера [1], [7]); в этой связи применяется техника бесконечномерных много-
многообразий (мы отсылаем к Пале [1]) и теория Люстериика — Шнирельмана
(см. Браудер [1], Пале [1], Дж. Шварц [1]), см. также Базлн —Цвален [1].
Другие результаты о гладкости (по сравнению с теоремой 4.4) имеются
у Найтли {2]. Отметим также, что уравнения параболического типа
и\ + а, Д2«, - [и,, u2]*=fu
«2 + а2 Д2«2 + [«1. «i] = h
изучаются проще, чем системы в тексте; в этой связи мы отсылаем к работе
Дубннского [4].

14. Комментарии 163
Нелинейные краевые задачи зависят от области, и нх изучение связано
с теорией собственных значений нелинейных задач н теорией устойчивости.
См. Гельфаид [1], Фужита. [3];по поводу обыкновенных (нелинейных) урав-
уравнений см. Бейли и Уолтмен [1], Бейли, Шампии и Уолтмен [1], Келлер [1],
Лясота — Опиль [1], Шампии [1].
Результата § 5 далеки от оптимальных, но достаточны для наших целей.
Более полные теоремы, принадлежащие .Обэну [1], используют результаты
о компактности Лионса —Петре [1]. Теорема 5.2 приведена у Лионса [14]
A-е издание, гл. 4). Метод оценок п. 5.3 был предложен Лионсом [3] в связи
с уравнениями Навье—Стокса и использован в работе Лионса—Штраусса [1]
(где содержится также случай неограниченной области Q). Здесь следует
отметить результаты де Джорджи [3] и Флеминга [6] о компактности в L1,
использующие работу Чезари [3]. Эти результаты играют важную роль
в теории гиперболических систем законов сохранения.
В § 6, 7 рассматриваются уравнения Навье — Стокса. В этих парагра-
параграфах мы ни в коей мере не ставили своей задачей дать полное изложение
вопроса, мы только старались выделить некоторые важные результаты; дру-
другие результаты для различных «моделей» будут даны в гл. 2, и еще другие
результаты, свизаииые с другкми методами, будут даны в гл. 3, 4. Осново-
Основополагающие результаты этой теории содержатся в классических работах
Лере [1], [2], [3]. Общее изложение этих вопросов можно иайти в книге
Ладыженской [1]; мы пошли по несколько другому пути и получили
в некоторых случаях лучшие результаты. Теорема 6.1 по существу принад-
принадлежит Хопфу [1J; приведенное здесь доказательство, как нам кажется, проще
и явлиетси более общим; в этом доказательстве. мы используем метод, пред-
предложенный Лнонсом [3] (метод п. 6.4); метод п. 6.4, использующий дробные
производные, принадлежит автору, см. Лионе [1], [2]. Теорема 6.2 принад-
принадлежит Проди и автору, см. Лионе — Проди [П; см. также Ладыженская [4],
где рассмотрена иная ситуация (двумерный случай с особенностью). Тео-
Теорема 6.7 принадлежит Ладыженской [1]. Теорема 6.8 принадлежит Проди [1]
и Серрину [1], где можно найти другие результаты. Имеется множество ре-
результатов о существовании локальных по i сильных решений; см. Фужита—
Като [1], Фужита — Масуда [1], Ито [1], Шинброт—Каииель [1], Каииель—
Шииброт [1], Соболевский [1]. Свойства гладкости установлены Фойяшем
и Проди [1], Масудой [1], Кахан [1], Серрином [2]. См. также обзор Сн-
багаки — Рикимару [1].
Доказательство единственности в теореме 6.11 принадлежит Юдовичу [2].
Существование «классических» решений уравнения Эйлера (случай v = 0)
доказано Като [1].
Доказательство F.140) приведено для удобства читатели. Имеется и
другой подход, использующий операцию срезки (см. теорему 7.1 § 7 гл. 3
книги Ладыженской, Уральцевой, Солонникова [1]; при этом существенно
используется теорема 6.1 § 6 гл. 2 этой книги).
По поводу задачи Коши и обобщения иа уравнения Навье — Стокса
теоремы Тихонова для уравнении теплопроводности (поведение на бесконеч-
бесконечности по х) см. Мустата [1].
По поводу изучения уравнений Навье — Стокса (в эволюционном случае)
с помощью нелинейных полугрупп (которые могут быть и многозначными
при я ^ 3): «о -> решение в момент t (при / = 0) см. Фоиш — Проди [2]
(эта работа связана с турбулентностью).
Проблема предельного перехода при v->0 (в п. 6.9) часто встречается
в различных ситуациях; см., например, Олейник [1] — [4]; в указанных ра-
работах [1], [2], [3] использован «метод вязкости* (см. замечание 6.10 в п. 6.9)
для доказательства существовании решений специального типа для нелиней-
нелинейных гиперболических уравнений первого порядка. По поводу дополнительных
результатов в этом направлении можно обратиться к работам Глимма [1],

164 Гл. 1. Метод компактности
Глимма — Лакса [1], Конвея и Хопфа [1], Конвея и Смита [1], Коивея и
Смоллера" [1], [2J, Джонсона [1], Джонсона и Смоллера [1], [2]. По поводу
локальных результатов для общих гиперболических систем см. Лере [7],
Гординг [1]. Можно также использовать методы вариационного исчисления.
Приложения к теории стохастического управлении см. Флеминг [1], [5], к тео-
теории игр —Кружков [1].
Естественно, что многие уравнения гидродинамики изучаются при по-
помощи аналогичных методов. Отметим, в частности, уравнения магнитной гид-
гидродинамики, по поводу которых мы отсылаем к работам Дайера и Эдмундса [1],
Ладыженской и Солонникова [1J, Солонникова [1], Санчес-Паленсиа [1],
[2] (см. также литературу в этих работах; мы здесь имеем в виду как эво-
эволюционный, так и стационарный случай).
Уравнения Навье — Стокса в стационарном случае изучаются довольно
бегло в § 7. По поводу изучения «сильных» решений (т, е. решений из более
узких пространств, чем V) мы отсылаем, например, к работам Финна [1J—[5],
Финна — Смита [1], Фужиты [4], Каниеля [1].
Что касается единственности, то гораздо более полные результаты (по
сравнению с замечанием 7.6) можно найти у Пейна [1].
По поводу различных вопросов устойчивости следует обратиться к ра-
работам Брембла и Пейна [1], Пейна [3], Серрина [6], Рабиновича [2],
Вельте [1], [2] и к обзору Темама [5].
Как указано в тексте, результаты § 8 принадлежат Вишику [1], [2]. Мы
снова получим эти результаты в гл. 2 более простыми методами. Однако
метод Вишика содержит несколько идей, которые, как нам кажется, полезно
осветить; эти идеи могут быть использованы в других задачах.
Уравнения, рассмотренные в п. 9.1, встречаются в биологии (Коэн и Ру-
Рубинов [1]); на самом деле в этой работе вместо уравнения (9.3) фигурирует
общее уравнение упругости, но оно не приводит ни к каким дополнительным
трудностям, кроме технических. Прн доказательстве единственности исполь-
используется одна идея Лионса —Проди [1].
В п. 9.2 мы приводим два примера парных задач (второй пример, по-
видимому, искусственный). Множество более трудных парных задач встре-
встречается в приложениях; отметим парные уравнения Максвелла — Дирака
(Гросс [1]) и многочисленные задачи метеорологии (см., например, Марчук [1J).
Изучение стационарного случая, отвечающего примеру 9.1 из п. 9.2, можно
найти у. Зарубина [1J.
Другой метод решения нелинейных уравнений Шредингера (изученных
в § 10) мы дадим в п. 2.5 гл. 3. Множество других результатов, касающихся
уравнений Шредингера, имеется у Поцци [1].
Линейные задачи типа тех, которые рассмотрены в § 11, возникают
в гидродинамике и изучались Фридманом — Шинбротом [1], Гариповым [1],
Лионсом — Мадженесом [1], т. 2. (В связи с нелинейными уравнениями на
многообразии отметим работу Дурича [1]; посвященную уравнениям Навье—
Стокса на римановой поверхности.)
Теоремы 12.1 и 12.2 принадлежат Дубинскому [2]; у Дубинского [1]
можно найти соответствующий стационарный случай; см. также результаты
о гладкости (для второго порядка) у Уральцевой [1]. Единственность в тео-
теореме 12.2 доказана Равьяром [2]. Другой метод решения будет дан в п. 3.2
гл. 2.» Вырождающиеся задачи такого типа изучались Олейник, Калашнико-
Калашниковым и Чжоу Юй-лннем [1] и Аронсоном [1]. Задача
«'--1д(«2) = 0.
и = 0 на 2, 04.1)
и@) = и0, «о>О,

14. Комментарии 165
также может быть рассмотрена; сначала решается задача
=0' Й = ° На 2> н
далее путем применения «слабого* принципа максимума доказывается, что
й>0, следовательно, и = й удовлетворяет A4.1). (Задача A4.1) также воз-
возникает в приложениях, см. Баклановская и Хаипова [1].)
Приведем еще один пример задачи, которая . может быть решена мето-
методами этой главы (Гринберг [1], Гринберг, Мак-Ками и Мизел [1]):
и (О, Г) = «A,0 = 0,
и (*.0) = и0 (*) = *. —¦ (х, 0) = и, (х),
Е > 0 — непрерывная функция.
(Для получения интегралов энергии следует умножить на du/dt, д*и/дхг,
d2u/dt2; после умножении на du/dt получим, что
Г в(ди\д*и ви
И
где a((i)= I ?(|)rf(|); можно использовать базис из собственных функций
1
оператора —d2/dx2 с данными Дирихле в 0 и 1 '). См. также Дафермрс [1]-
Все результаты этой главы получены в пространствах Соболева, пост-
построенных над L (Q). Можно также использовать пространства Соболева,
построенные над пространствами Орлича. Мы отсылаем к работам Вяшика [3],
Бергера [6], Браудера [8], Дубинского [6]; см. также исследование
О'Нейла [1] о пространствах Орлича.
В приложениях встречаются также уравнения с «запаздывающими коэф-
коэффициентами» (явление гистерезиса); мы отсылаем к работе Артола [1], где,
в частности, исследованы варианты уравнений, рассмотренных Левиным и
Ноэлом [1]; см., в частности, оценки, использующие функции Ляпунова
(в этой связи укажем на работы Сеге, см. литературу, по «численному по-
построению» функций Ляпунова).
Мы ие развили теорию Лере и Шаудера, несмотря на то, что оиа свя-
связана с компактностью: ср. Лере и Шаудер [1], Браудер [7], Браудер и
Петришин [1], [2], [3], Кронин [1], [2], Дж. Шварц [2]; см. также приложе-
приложения в работах Лере [6], [8], Г. Миранда [1], Ниренберг [3], Роте [1]. Можно
также обратиться к работе:.Бергер и Бергер [1].
•) Гринберг [1] применяет метод конечных разностей.

Глава 2
МЕТОД МОНОТОННОСТИ И МЕТОД
монотонности и компактности
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
1) Для чтения этой главы -(кроме § 5) от читателя пред-
предполагается знакомство как минимум с § 1 и 3 и началом
§ 8 гл. 1. ¦
2) Самые существенные черты метода монотонности ') пока-
показаны в § 1 и в начале § 2. Теория псевдомонбтонных опера-
операторов (п. 2.4) необходима для чтения вариационных неравенств
(§ 8 и 9).
3) Независимо от всей остальной главы можно читать § 2
(опуская в случае необходимости п.п. 2.5 и 2.6) и § 8.
4) Примеры § 3 и 4 важны для понимания возможностей
метода монотонности.
5) § 5 при желании можно опустить; в нем мы предпола-
предполагаем известным § 6 гл. 1; в этом параграфе показано на при-
примерах (варианты уравнений Навье — Стокса), как можно одно-
одновременно применять методы монотонности и компактности.
1. МОНОТОННЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
1.1. Примеры. Случай р>2
Здесь снова берется пример, разобранный в § 8 гл. 1.
Ищется функция
ы = u (х, t), лей, Q- ограниченная область в R", t е] О, Т [,
являющаяся решением уравнения
du vi д (\ ди р~2 du
где р > 2 2), удовлетворяющим условиям
« = 0 на 2 = FX]0, T[, ¦ A.2)
и(х, О) = ио(х), щ — заданная функция. A.3)
') Не смешивать с методами, в которых используется то обстоятельство,
что некоторые операторы сохраняют отношение порядка.
2) Случай р = 2 отвечает классическому линейному уравнению тепло-
теплопроводности. Случай 1 < р < 2 связ'ан с небольшими техническими осложне-
осложнениями; он изучается ниже в п. 1.5.2.

'. Монотонные параболические уравнения 167
В обозначениях, введенных в (8.5), (8.6) гл. 1, мы соби-
собираемся доказать следующий результат, делая ударение на ме-
методе (монотонности), который мы используем (и затем обобщаем).
Теорема 1.1. Пусть заданы функции f и и0, удовлетво-
удовлетворяющие условиям
f€=L"'(o,T;W-hp'{Q)), ±+±=1, A,4)
A.5)
Тогда существует, и притом только одна, функция и,
u<=Lp{o,T;Wlo"(Q)), A.6)
удовлетворяющая A.1) и A.3).
Замечание 1.1. Положим
Без труда проверяется, что А отображает W1' P(Q) в W~x' P'(Q),
и если и удовлетворяет A.6), то
Л («)«=//(О, Т; H?-'-p'(Q)).
Тогда из A.4) и уравнения A.1) следует, что
«'=¦^€=//@, Г; У'Р'(О)). A.8)
Из A.8), в частности, следует, что функция и (после, быть
может, изменения на множестве меры нуль) является непре-
непрерывным отображением [0, T]-*W~i>p (Q), так что условие A.3)
имеет смысл ф
Замечание 1.2. Можно уточнить предыдущее замечание.
Пусть V — рефлексивное пространство Банаха, содержащееся
в пространстве Гильберта Я, V С Я, причем соответствующее
вложение непрерывно и V плотно в Н. Отождествляя Я с его
сопряженным и обозначая через V сопряженное к V, мы,.
таким образом, можем отождествить Я с подпространством
в V:
VcHcV.
Если задана такая функция и е//@, Т; V), что ы'е L"' @, Т; V),
то функция и: [0, Т]-*Н непрерывна (после, быть может, изме-
изменения на множестве меры нуль), и отображение ы->ы@)
является сюръективным отображением на Н%
Замечание 1.3. Свойство A.2) «содержится» в свойстве
принадлежности (почти всюду) u(t) к Wo'p(Q)m

168 /"л. 2. Метод монотонности
1.2. Доказательство существования
1.2.1. Аксиоматические свойства А. Мы собираемся выде-
выделить те основные свойства ') оператора А, определенного ра-
равенством A.7), на которых основан метод монотонности.
(i) Положим V = Wop{Q); тогда А отображает V в
V'(= W~l'p (Q)), переводит ограниченные множества изУ в огра-
ограниченные множества из V 2) и обладает следующим свой-
свойством непрерывности:
V«, и, шеГ функция X-*¦ (А(и + Xv), w)
непрерывна как функция из R в Й. * ' '
Свойство A.9) проверяется непосредственно. Это свойство
в дальнейшем будет часто появляться, и .мы дадим следующее
определение:
Определение 1.1. Всякий оператор Л: V-+V, обладаю-
обладающий свойством A.9), называется семинепрерывным (hemicontinu).
(ii) Оператор А обладает следующим свойством:
V«, oeV (A(u)-A(v), и-»)>0. A.10)
Дадим .
Определение 1.2. Всякий оператор „Л из У в V, обла-
обладающий свойством A.10), называется монотонным.
Свойство A.10) доказывается исходя непосредственно из
определения A.7) оператора Аф
Можно связать свойства A.9), A.10) оператора А с одним
более общим свойством. :
Определим функционал на V: .
^dx, Dt = -?-.. A.11)
Этот функционал дифференцируем в смысле Гатд при всех.
и е V, т. е. существует такое непрерывное линейное отобра-
отображение V-*-]'{и)' V пространства V в R, что
lim j-{J (и-г Xv) -/(«)) = /' (и) -V A.12)
Х-»-0
') В_ дальнейшем они будут обобщены.
*) В этом случае оператор А называется ограниченным. Точнее,
IIЛ (и)||, ^с || и||р~1. (Напомним, что || ||, || ||, обозначают соответственно
нормы в V и V.) '

'. Монотонные параболические уравнения 169
и, как нетрудно проверить,
J'{u) = A{u). ' A.13)
Свойство A.10) теперь вытекает из следующего утверждения'):
Предложение 1.1. Если функционал и->/(и) дифферен-
дифференцируем по Гато на V и выпуклый, то отображение u-+J'(u)
пространства V в V монотонно и семинепрерывно:
.Доказательство. В силу выпуклости
/(A — е)м
Следовательно,
откуда
')()<()-/(a); A.14)
меняя ролями и и v и складывая, найдем:
(J'(u)-J'(v))-(u-v)>Om
Замечание 1.4. Справедливо и обратное утверждение:
если функционал / дифференцируем по Гато и если и -*¦ Г'.(и) —
монотонный семинепрерывный оператор из К в V, то функ-
функционал / выпуклыйф
1.2.2. Доказательство существования. Воспользуемся мето-
методом Фаэдо — Галёркина. Пусть wu ..., wm, ... — «базис» в V;
определим «приближенное решение» um(t) нашей задачи:
йп (t) e [wu ..., wm] (= пространство, натянутое на ш, wm);
{u'm (t), wt) + (A (um @), a»,) = (f @. ™,)> K/<«. (I 15)
tim@) = u?m<z=[w , wj, uOm-*uo в L?(Q).
Из этих уравнений um(t) определяется на интервале [0, tm],
tm > 0. Однако отметим, что
(А(и), а)>а||и|f, a>0. A.16)
Тогда в силу A.15J):
Очевидно, что функционал /(о), определенный в A.11), выпуклцД,
Здесь | | означает норму в L2(Q).

170 Гл. 2. Метод монотонности
откуда следует, что tm = Т и что
ия ограничены в L~@, T; L4Q))()Lp@, T; V). A.18)
Следовательно, мы можем выделить такую подпоследователь-
подпоследовательность Иц, ЧТО
и^и в Г°@, Т; L2{Q)) *-слабо, • A.19)
ыд->ы в Z/@, Г; V) слабо, A.20)
ир{Т)-+Ъ в L2(Q) слабо, A.21)
A{"J-*X B ^'@. ^ ^0 слабо A.22)
(поскольку || Л (ы) 11,^ с || и if) н, следовательно1), А(ит) ограни-
ограничены в Z/'@, T; V).
Продолжим um(t), A(um{t)), ... на R нулем вне [0, ^^соот-
^^соответствующие продолжения обозначим через um{t), A(um(t))~,....
Из A.15) следует, что
(-J- «„(/),
+ (Л (ит (/))", wt) =
- (f @, «»/) + («от, «»/) б (/ - 0) - (ат (Г), шу) б (t - Т). A.23)
Теперь мы можем перейти к пределу в A.23) при т = ц и
фиксированном /, откуда мы выведем, "что
± u,wt)
wt) = Q, »,) + («о. »/) б (*-0)-(?, »/) * С-Г) У/
и, следовательно,
^ Г). 0-24)
Сужая A.24) на ]0, Т[, мы получим, что
a' + X-f. A.25)
') Необходимо также проверить, что оператор А переводит измеримые
функции о: [0, Г] -> V в измеримые функции [0, Г] -> К'. Все рассматри-
рассматриваемые пространства предполагаются сепарабельными, и, следовательно, до-
достаточно показать, что / -> (A (w (t)), w) — измеримая функция Vai s V. Как
мы увидим ниже (примечание к определению 2.1 на стр. 190), оператор А
(ипрочем. при более общих предположениях) иепрерыиен как оператор из V
(в сильной топологии) в V (в слабой топологии), откуда и следует резуль-
результат, ролее того, X. Брезис показал, что всякий непрерывный оператор из
одного произвольного банахова пространства F в другое банахово про"страв?
ство G, снабженное слабой топологией, переводит измеримые функции со
значениями в F в измеримые функции со значениями в (?,

'. Монотонные параболические уравнения 171
откуда a'eL''@, Т; V), следовательно, и@) и и(Т) имеют
смысл, и, сравнивая с A.24), мы получим, что и@) = ы0 и
Итак, мы докажем существование решения, если покажем
(и это решающее место доказательства), .что
% = А(и). A.26)
Из свойства A.Ю) следует, что
т
Х„ = J (А(и»(t)) -A(v(t)), ЫAЩ - v{t))dt^O
Vv<=Lp@,T;V).
Согласно A.15),
T- T
J (Л (Ыц), и») dt= J (f, ыц) dt + у | ы0A p —1| UyL (T) P
oo
и, следовательно,
T T
X» = J (f, Up) dt + ^\u0J-\\Up (T) p - | {A (Up), v) dt -
о
т
о
откуда (поскольку liminf | ы^(Г) р>( ы(Г) р):
- J (X. о).* ~ J (Л (о), и - v) dt. A.28)
о о
Из A.25) мы можем заключить, так как интегрирование
по частям законно, что
т т
j(f, u)dt + ±\uo\*-j\u(T)r=l(%, u)dt.
о о
Сопоставляя это равенство с A.27), A.28), получим
т
. A.29)

172 Гл. 2. Метод монотонности
Теперь мы используем семинепрерывность для доказатель-
доказательства того, что из A.29) следует A.26). Положим v = u—Xw,
Л > 0, w e Lp@, T; V) и произвольно; тогда из A.29) следует, что
Х — А(и — Л»),
о
откуда
т
/(Х-Л(и-Лю), ю)Л>0; A.30)
о
устремляя А,—>0 в A.30)'), мы получим, что
т
J(X —4(и), ю)Л>0 Vw.
о
Следовательно,
Х=А{и)ф
Замечание 1.5. Необходимо подчеркнуть, что благодаря
'монотонности и семинепрерывности предельный переход удалось
осуществить при минимальном количестве априорных оценок
(ер. с § 8 гл. 1, где для обоснования предельного перехода
с помощью компактности понадобились дополнительные априор-
априорные оценки)ф
Замечание 1.6. Довольно легко можно получить априор-
априорную оценку для и'т, беря в качестве Wj специальный базис
{см. гл. 1, п. 6.3); сначала s выбирается так, чтобы
Hso{®)^Wl-p{Q) (т. е. l=J->i_l). A.31)
Далее проверяется (с помощью той же техники, что и
в гл. 1, п. 6.3), что если в качестве базиса {wj} выбрать базис
в #o(Q), образованный собственными функциями
0»/. 0)*j(o)eMw/' °) Vue#os(Q), • A.32)
то ¦
и'т ограничены в Z/@, T; H~S{Q)). A.33)
Однако, как мы уже видели в § 8 гл. 1, эта дополнитель-
дополнительная оценка недостаточна для применения метода компактности.
Следует отметить, что если выбирать указанный специальный
базис, то нет необходимости переходить к A.23), A.24); мы
непосредственно имеем: ы@) = ы0 И ч(Т) = \.
') Это законно в силу теоремы Лебега.

'. Монотонные параболические уравнения 173
Замечание 1.7. То обстоятельство, что метод Фаэдо —
Галёркина сходится при любом базисе, важно для приложе-
приложений, поскольку «специальные базисы» на практике, как правило,
не достижимы.
1.3. Доказательство единственности
Пусть щ и ы2 СУТЬ Два решения задачи. Тогда разность
w = ul — u2 удовлетворяет уравнению
ш' + Л(ы,)-Л(ы2)=0, ш@)=0,
откуда
(»', w) + (Л (и,) - А (и2), щ - и2) = О
и благодаря монотонности(w', w)=^-^-^\w(tJ\^,0, откуда w = Оф
1.4. Один общий результат
В предыдущих доказательствах мы выделили использован-
использованные в них предположения. Неявно мы доказали следующий
результат:
Теорема 1.2. Пусть пространства V и Н такие же, как
в замечании 1.2, причем V сепарабельно'). Пусть оператор
(нелинейный) A: V.-+V обладает следующими свойствами:
А: V -*¦ V — семинепрерывный оператор
и || Л (v) I <c|| v |ГЧ A.34)
А: V ~*V — монотонный оператор, A.35)
(Л (о), о) > а В о И", а>0, VosK A</><оо). A.36)
Пусть f и и0 — заданные функции, причем
f e= L"'(О, Т; V), ыоеЯ. A.37)
Тогда существует единственная функция иг такая, что
u<=Lp@,T;V), A.38)
u' + A{u)=f, A.39)
"(О) = «о3)# A-40)
') Это предположение ие является необходимым. В несепарабельиом
случае в рассуждениях будет участвовать упорядоченный возрастающий
фильтр конечномерных подпространств в V.
2) См. примечание иа стр. 170.
3) Следует отметить, что из A.38) и A.39) вытекает' включение
к' ё ip' @, Т; V), и потому условие A.40) имеет смысл (см. замечание 1.2).

174 Гл. 2. Метод монотонности
В приложениях (как мы увидим ниже в примерах 1.5.1
и 1.5.2) условие A.36) может оказаться слишком сильным.
В этой связи полезно ввести следующий вариант этого условия:
на V задана такая полунорма [о], что
существуют такие Я, > 0 и р > 0, что
\\ VosF1). A.41)
и предполагается, что
(A(v), о) ><*[<. 1<р<оо. A.42)
Тогда имеет место
Теорема 1.2'. Пусть выполнены предположения тео-
теоремы 1.2, причем A.36) заменено на A.42), A.41). Тогда спра-
справедливы утверждения теоремы 1.2.
Для доказательства достаточно несколько модифицировать
A.17) и A.18). Мы придем к неравенству
t ' t
i-| um(t) p + a J [«m(c)]'da<l| uom p + J ||/(o)U um(a)\\do.
о о
A.43)
Согласно A.41), правая часть A.43) мажорируется выра-
выражением
" II f (or) If da! X
< c2+| J [um (
Г/ ' \2/p 1
M|«m(a)|"da +1 <
I f | «m(a)рda) '+ 1 ,
}[Mm(a)]pdaJ +М|ат(о)|Мо) < c2+| J [um (o
I/P' Г/ ' \2/p
|«m(a)|"da
f )
о
и из A.43) вытекает, что
l«m(QF+J [и„(с)]Ма<св + с6( f|am(c)|Ma| . A.44)
о \о /
') I I означает норму в Н, || || — норму в V,

'. Монотонные параболические уравнения. 175
Из A.44) видно, что
и, следовательно,
t
откуда
. I ««(')!<<* A.45)
Учитывая эту оценку, из A.44) получим:
о
и в силу A.41) мы, следовательно, будем иметь:
t
J II «m (or) 1Г rfor < const.
о
Доказательство завершается таким же образом, как в тео-
теореме 1.1«
Замечание 1.8. Дальше мы встретимся с обобщениями
теорем 1.2 и 1.2', которые, в частности, покрывают случай
оператора А, зависящего от t1)^
1.5. Приложения общих результатов
1.5.1. Оператор A.1) с краевыми условиями типа Неймана.
Рассмотрим оператор А, заданный с помощью равенства
п ,
(А (и), v)= 2 11 Dtu f^DtuDtvdx^aiu, v), p>2% A.46)
для и, tisV = fllP(Q). Взяв H = L2{Q), можно проверить, что
выполнены условия A.41), A.42), где
)
Следовательно, можно применить теорему 1.2'.
') Нетрудно проверить, что теоремы 1.2 и \Х распространяются с теми
же самыми доказательствами на случай операторов А, измеримых по t
и удовлетворяющих предположениям, аналогичным A.36), A.42), «равно-
«равномерно по t>.
2) Условие 1 < р < 2 связано с тем случаем, когда ие обязательи9
WX'?{Q)<=H — L2{Q); см. следующий п. 1.5.2 н § 1 гл. 3,

!76" Гл. 2. Метод монотонности
Выберем /eZ,p'(O, T; V') следующим образом:
(f @, v) = { /0(*. О Р (*) dx + J g (ж, t) v (x) dT, ' A.47)
в' г
где v
/о е Lp' (О, Г; L"' (Q)) = Lp' (Q) A.48)
и
Я s L"' (О, Г; IF'"''"' (Г)). A.49)
В A.49) фигурирует пространство (по поводу этих пространств
см. Лионе — Мадженес [3])
W-W. tf (г) _ сопряженное к Ww' р (Г), A.50)
где
Wfp'p(T) — пространство, пробегаемое следами v\r,
когда v пробегает Wup(Q).
Уравнение A.39) эквивалентно уравнению
(и' (t), v) + a(u (t), v) = (f (t), v) Vv e V, A.52)
и, следовательно, существует единственная функция и е
eLp@, T; Wx'v(Q)), удовлетворяющая A.1) (с заменой f на fQ),
A.3) и условию
A-51)
Ju
т—2 л
-g%-cos(n, xt)=g на 2; A.53)
A.53) является условием типа Неймана«
Замечание 1.9. На самом деле надо придать смысл
условию A.53). Это можно сделать методами, аналогичными
тем, которые использованы Лионсом — Мадженесом [1]')#
Замечание 1.10. В задаче, рассмотренной в п. 1.1, можно
заменить «однородное» условие A.2) условием
u = g на 2, A.54)
где функция g, определенная на 2, такова, что найдется функ-
функция w, удовлетворяющая условиям2):
w
Lp@, Г; Wl p(О)), w' e L"'@, Т; W~u "'(Q)),
') См. также § 4 этой главы.
2) По поводу явдых условий на §, при которых это возможно, см. Гри-
[1]. [2].

'. Монотонные параболические уравнения 177
Если мы положим 1|} = ы — w, то задача сведется к разы-
разысканию функции я|>, являющейся решением задачи
ф' + А (ф + w) = f - w' = f, (е Lp' @, Г; Г'"' (Q))),
я|>е=1р(О, Г; Кр(й)), A.56)
Соображения, использованные при доказательстве тео-
теоремы 1.1, приспосабливаются к этой ситуации 2)ф
Замечание 1Л1. Аналогичным образом решается задача
в том случае, когда задано условие Дирихле на Г! X] О, Т[ и
условие типа Неймана (т. е. типа A.53)) на Г2Х]0, Т[,
г^г,иг2#
1.5.2. Случай примера 1.1 при 1 < р < 2. Тогда не обяза-
обязательно Wo p (Q) cr L2 (Q) (вложение может быть только при
1/р—1//г^1/2), и в этой связи приходится ввести пространство
V = Wlop(Q)(]L2(Q), H = L2(Q) A.57)
(и тогда V' = W~u "' (Q) + L2(Q)).
Если ввести полунорму на V:
то оператор А, определенный с помощью A.7), удовлетворяет
A.41), A.42). Следовательно, применима теорема 1.2', и, таким
образом, утверждения . теоремы 1.1 сохраняют силу при
1<р<2ф
1.5.3. Операторы порядка > 2. Рассмотрим простой пример
нелинейного оператора порядка 4. Вообще, положим
Wm-"{Q) = {v \!>avs=Lp(Q), |a|<m}. A.58)
Это пространство будет банаховым с нормой
и
Для и,
Wo
t»s
¦р (Q) =
W2op(Q)
а(и,
замыкание
положим
v)=j\Au\
в
&>{п) в Wm-
\°-2AuAvdx.
P(Q).
A.59)
A.60)
') Можно показать, что B@)si!(Q).
2) Отметим, что «новый оператор» А в A.56) зависит от t

178 Гл. 2. Метод монотонности
>
Тем самым определяется оператор А: V = Wo'" (й) -*¦ V', где
Л(ы)=А(|Аи|рАи). A.61)
. Этот оператор равен Г {и), если
и, следовательно, можно применить теорему 1.2. Тем самым
мы получим существование и единственность функции us
&Lp@, T; Wl'"(Q)), удовлетворяющей уравнению
¦^- + Д(|ДыГ2Лы)=/ A.62)
и условиям A.3)ф
Замечание 1.12. Можно также рассматривать системы
монотонных операторов«
1.6. Результаты о гладкости
Естественно, что в тех случаях, когда применим метод мо-
монотонности, всякая дополнительная априорная оценка приводит
к некоторому результату о гладкости. Вот пример такого ре-
результата (ср. с § 8 гл. 1).
Теорема 1.3. Пусть в условиях теоремы 1.1
f, ?е= Lp'(Q), /@)e=Lz(Q), «oeFolP(Q), A(uo)<=L2(Q). A.63)
Тогда решение и из теоремы 1.1 дополнительно удовлетворяет
условиям
ы'е=Г°@, Г; L2(Q)), A.64)
\Dtu(p-2)'2Dtu'e=L2{Q) V/. • A.65)
Доказательство. Мы будем исходить из уравнений
A.15)'), которые мы продифференцируем по t. Предполагая,
что Л («от) ограничены в L?(Q), применим к ит оценки, анало-
аналогичные оценкам п. 8.2.3 гл. 1.. Отсюда мы выведем, что ит
(соответственно \Dlumfp~2)l2Diu'm) ограничены в 1°°@, Г; L2(Q))
(соответственно L2(Q)), а поскольку нам известно (из доказа-
доказательства теоремы 1.1), что ит-*-и слабо в Lp@, T; W1>P(Q)),
то мы приходим к A.64), A.65)z)e
') При подходящем выборе «базяса» Wj.
2) Используя теорию нелинейных полугрупп, можно получить б<?лее
Точные результаты (X. Брезис).

/. Монотонные параболические уравнения ' 179
1.7. Сумма монотонных операторов
Пусть Я — гильбертово пространство над R (для простоты')),
Vt (t = l, ..., q) — рефлексивные пространства Банаха, причем
Vt с: Я, Vt плотно в Я.
Пусть || ||< — норма в Vt. Положим
V = f]V{, \\v ||= 2 II v \\,. A.66)
i=I i=l
Предположим, что V плотно в Я и сепарабельно. Имеем
V<=H<=V, Vf<=H<=V'i.
Пусть At'. Vi-*-V'i — такие нелинейные операторы, что
Ai'. Vi-*-V'i — семинепрерывный ограниченный
оператор и || At {v) ^, < с Ц v if, A.67)
Ai'. Vt -*¦ V'i — монотонный оператор, A.68)
{At{v), t»)>ail|o|f«, аг>0, УоеКДили Кг), 1<Л<оо. A.69)
Положим
Л(г)=2^(»). A.70)
Можно доказать, как в теореме 1.2 (т. е. как в теореме 1.1),
•следующий результат:
Теорема 1.4. Предположим, что выполнены условия A.67),
A.68) и A.69). Пусть заданы f и и0, причем ио^Н и
A.71)
Тогда Ьуществует единственная функция и, такая, что
и e:f| № @, Т; Vt), u<=L°° @, Г; Я), A.72)
u' + Au=f, A,73)
u(O)-Uo» A.74)
') В комплексном случае A.10) следует заменить условием
Re(A(u)-A(v), и-о)>0.

180 Гл. -2. Метод монотонности
Замечание 1.13. Можно указать вариант теоремы 1.4,
подобный теореме 1.2'. Если [ ]{ —такая полунорма на Vt,
что при подходящем Xt
\щ]-\- h\ v\ эквивалентно || ||/ A.75)
и вместо A.69) выполнено неравенство
(At(v), v^advp, A.76)
то справедливо утверждение теоремы 1.4 щ
Пример 1.7.1. Рассмотрим оператор А вида
¦?¦), I <pt<oo. A.77)
Введем пространства
{И ^} A.78)
которые являются пространствами Банаха с нормой
Определим также
Vt = замыкание S>(Q) в W]l"'(Qi), A.79)
*i
A.80)
(следовательно, q = n). A.82)
Тогда A(v)= 2 Ai(v)> и мы сможем применить теорему 1.4
(в действительности мы сможем применить замечание 1.13).
Следовательно, мы установили существование и единствен-
единственность и, удовлетворяющего уравнению
at
dx

'. Монотонные параболические уравнения 181
И условиям
и = 0 на 2, • A.84)
и(х, О) = ыо(х), xeQ,
Пример 1.7.2. Возьмем1)
V={v\v<=Wlp(Q), У|геЬ?(Г)}; A.85)
для и, v^V положим
п
а (и, v) = 2 /|^"~2^"Ду^д: + р||ы|'7-2ыуйГ, р>0. A.86)
fc=l Q Г •
Применим теорему 1.4 н замечание 1.13 в следующей
ситуации:
(Л, (и), v) = а, (и, v) = 2 J | Дгы I" Z>f
(Л2 (и), v) = а2 (и, с) = р J | и Г uo rfT,
Можно определить / (удовлетворяющее A.71)) с помощью
равенства
{l',v)=[hvdx+]gvdY,
or A.87)
') Условие о|ге^*(Г) вытекает из условия v^W1'p(Q) тогда и
только тогда, когда
1 1-1/Р<1
р n—l^q'
2) Вообще, можно брать g е V' @, 7"; W~1/р' (Г)) + L"' B).

182 Гл. 2. Метод монотонности
Тогда мы докажем существование единственной функции и,
являющейся решением задачи
ди
дх,
Р-2 ди
дх,
¦ =g на Б, A.89)
1
u(x,O) = uo(x),xe=Qm A.90)
Замечание 1.14. Все определенные выше пространства
на Q и Г сепарабельныщ
§ 2. СТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ
2.1. Первый общий результат
Теорема 2.1. Пусть V — рефлексивное сепарабельноё ')
банахово пространство. Пусть оператор А: V -*¦ V' обладает
следующими свойствами:
оператор А ограничен и семинепрерывен (ср. с п. 1.2.1); B.1)
оператор А монотонный; B.2)
{AV) ^И-*00- ¦ B-3)
Тогда отображение А: V ->• V сюръективно, т. е. для вся-
всякого /еГ существует такое «el/, что
A.(u) = f. B.4)
Доказательство. 1) Пусть a»,,..., wm, ...— «базис»
в V; ищется функция «me[sy, wm], удовлетворяющая
равенствам
'(A («J, w/) = {f, w,), 1</</п. B.5)
Существование ип следует из леммы 4.3 гл. 1, если заме-
заметить, что
(i). (А (О. ««) ~ (f, ««) > (A («J, uJ - с || «m ||
и, следовательно, в силу B.3) (Л(«т), ыт) — с||«т||>0, когда
| ит | = р и р достаточно велико;
(ii) функция у->(Л(у), у) непрерывна на [йу, wm]2).
') В несепарабелыюм случае вместо пространств [ю wm] следует
рассмотреть упорядоченный возрастающий фильтр подпространств конечной
размерности.
2) Из предположений B.1), B.2) следует, что оператор А непрерывен
как оператор из V (в сильной топологии) в V (в слабой топологии). См."
более общее свойство в примечании 1 к определению 2.1 из п. 2.4.

2. Стационарные задачи 183
Согласно B.5), получим
(A(um), um) =
откуда в силу B.3) имеем
Так как оператор А ограничен, то отсюда следует, что
()||<С
2) Итак, мы можем выделить такую последовательность иц, что
цц->ы слабо в V,
Л(«Ц)->Х слабо в V. B>6)
Переходя к пределу в B.5) (при т—р, j фиксировано),
мы увидим, что
(X, »/) = (/, Щ) V/,
и, следовательно,
Х = Л B-7)
С другой стороны, в силу B.5) {А(и„), «,») = (/, и^) -»¦(/, и) и,
следовательно, в силу B.7)
(MuJ, uj-^ix, и). B.8)
Мы увидим, что из B.6), B.8) и предположений B.1), B.2)
следует, что
% = А(и). B.9)
Это .равенство вместе с B.7) доказывает теорему.
3) Имеем
(Л(ыц)-Л(о), a|l-o)>0 Vt»el^. B.10)
Воспользовавшись B.6), B.8), мы сможем перейти к пре-
пределу в B.10) и получить
Vv<=V. B.11)
Будем рассуждать, как в конце доказательства существования
в теореме 1.1.
Взяв 1>=ы — kw, к > 0, w^V, мы из B.11) получим
— А (и — kw),
Следовательно,
(X-A(u-Xw), w)>0,
и, устремляя Л. к 0, найдем (% — А {и), w)^0 Vw s V, откуда
Следует B.9) ф

184 • Гл. 2. Метод монотонности
Замечание .2.1. Можно «аксиоматизировать» предыду-
предыдущее доказательство (это будет полезным для дальнейшего).
Мы скажем, что оператор А обладает свойством (М), если
<Шц-*-и слабо в V, АХи^-^х слабо в У и
Hm sup (Л (и,»), м^ХОс, ф=#х = Л(м). B.12)
Теорема 2.1 будет справедлива, если мы заменим усло-
условие B.2) условием {2.12) (действительно, тогда B.9) будет
следовать из B.8) по определению)«
2.2. Теорема единственности. Отображения двойственности
Очевидно, что уравнение B.5) допускает единственное реше-
решение, если
(Л(м)-Л(у), u — v)>0 Vu, v<=V, u^v. B.13)
Приведем более тонкий результат в этом направлении.
Теорема 2.2. Пусть выполнены предположения теоремы 2.1
и, кроме того, предположим, что
норма || у || строго выпукла на единичной сфере в V, B.14)
Л(«) = Л(У)=Н|ы||=||У||. B.15)
Тогда уравнение B.4) допускает единственное решение.
Доказательство. 1) Сначала проверим1), что и удовле-
удовлетворяет B.4) тогда и только тогда, когда
(A(v)-f, о —и)>0 " VOeV. B.16)
Действительно, если выполнено уравнение B.4), то
(A(v)-f,v-u) = (A(u)-f, v-u) + (A(v)-A(u), о-в)-
= (Л (i>) — Л (и), I» — и) > G.
Наоборот, если в B.16) мы возьмем v = u + Xw, Я>0, mef,
то (после деления на X) получим:
(Л (и + Xw) - /,- id) > О,
и, устремляя А, к 0, мы заключим, что (Л («) — /, w) > 0 Vo» e К,
откуда следует B.4).
2) Множество решений уравнения A(u)=f замкнуто и йы-
пукло. Пусть Е — множество решений указанного уравнения.
') Это замечание играет основополагающую роль при изучении «ep8t
венстч, СМ. п. 8,9. - ,:

. 2. Стационарные задачи 185
Для каждого «ef обозначим через SD множество таких aeV,
что {A(v) — f, v — и)>0; в силу B.16)
а так как So — замкнутое полупространство в V, то мы полу-
получаем наше утверждение.
3) Если выполнено условие B.15), то множество Е решений
уравнения B.4) принадлежит сфере ||и|| = р с подходящим р,
а так как Е, согласно 2), замкнуто, выпукло и так как по
предположению норма o-HJ-оЦ строго выпукла, то мы получаем,
что Е состоит из одной точки«
Указанные выше методы очень близки к методам, исполь*
зованным при изучении отображений двойственности; в этой
связи мы кратко изучим отображения двойственности').
Пусть F — пространство' Банаха над R с нормой || ||,
пусть || II, — дуальная норма в банаховом (сопряженном) про-
пространстве F', и пусть (,) —скалярное произведение между
F и F'.
Пусть г ->Ф (г) — непрерывная строго монотонно возрастаю-
возрастающая функция, Ф: R+->R+, Ф@) = 0, Ф(г)-+°о при г-*с».
Отображение /: F-+F' называется отображением двой-
двойственности относительно Ф, если выполнены следующие
условия:
(/(и), в)-Я/(«НИ «II VjisF. B.17)
||/(иI1=Ф(||а||) Vu*=F. B18)
Естественно, что это определение зависит от выбранной
нормы на F%
Примеры. 1) Если F = LP(U), \\u\\ = ( J \u f Ux^IP =¦
-B«V(e)' ф('-)='-Р • то /(и) = |и|Р "•
/ \Чр
2) Если F = Wlo"(Q), NI [SJ
Прежде чем доказывать, чтр оператор двойственности всегда
существует, . проверим простые свойства /, вытекающие из
B.17), B.18).
') Которые будут очень полезны в дальнейшем.

186 Гл. 2. Метод монотонности
Предложение 2.1. Всякое отображение двойственности
монотонно.
Доказательство. В силу B.17) имеем:
(J(u)-J(v),u- v) =
=111 (и) IUI «II + III (v) ILII v || - (/(и), vj- (/(v), и). B.19)
Далее воспользуемся B.18); полагая ||ы|| = а, \\v\\=b, из B.19)
получаем
(J{u)-J{v), u-v)>{<P{a)-<P(b)){a-b), B.20)
откуда и следует наше утверждение«
Предложение 2.2. Если пространство F строго выпукло,
то оператор J строго монотонный.
Доказательство. Нам надо показать, что если (/(ы) —
— /(о), ы —о) —0» то ы = о. Из B.20) следует, что ||н|| = ||о||.
Заметим, что если g^F', g?*0, то || g \l = sup {g, v), и
поскольку пространство F строго выпукло, supremum дости-
достигается в единственной точке единичной сферы; действительно,
supremum достигается на выпуклом множестве единичной
сферы.
Выведем отсюда, что и = о. Действительно, если и Ф v')»
то -j^y Ф -j^ij- (поскольку || и 11 = 11 v \\) и, следовательно,
(«) IL
откуда
(/(и), о)<(/(«), и),
а также
Но тогда
0 = (/(«)-/(о), й-о)>
> (/ («), н) + (/ (v), v) - (J {и), и) - (J {v), v) = 0,
что абсурдно»
Докажем теперь существование.
Предложение 2.3. Всегда существует отображение
двойственности относительно Ф. Это отображение однозначно
определено, если пространство F' строго выпукло.
') Мы можем считать, что и и о отличны от нули. Бели, например,
v = 0, то тогда и и = 0.

2. Стационарные задачи 187
Доказательство. 1) Пусть S — единичная сфера в F.
Для каждого aeS, согласно теореме Хана —Банаха, суще-
существует единственный элемент и* е R', такой, что
И «4-1, («Л«)«1.
2) Определим теперь / на F равенством
*, Я>0, не 5, и* выбрано, как в I). B.21)
Оператор, определенный в B.21), отвечает на наш вопрос.
Единственность следует из строгой выпуклости F' (от против-
противного) ф
Предложение 2.4. Пусть F — рефлексивное банахово
пространство со строго выпуклым сопряженным. Тогда ото-
отображение двойственности 7 относительно Ф семинепрерывно.
Доказательство. На самом деле имеет место более
сильное утверждение: /: F—>F' — слабо непрерывное отобра-
отображение.
Ввиду конструкции B.21) достаточно проверить, что если
ttffleS, «т->н0 {uo<=S), то 7(нт)->/(и0) слабо в F'.
Однако \\1(ит)\1=*ФA); можно выделить такую последова-
последовательность Ыц, что 7(wll)->x слабо в F'. Тогда G(«ц), «ц)->(х> «о)
и, следовательно,
IIXII >(%. «о) = Нт (ЛН), Ч) = Нт || 7 (ИA) И, > || % I,
откуда
()
таким образом, хг==7(н0), откуда и следует наше утвер-
утверждение ф
Так как оператор 7 ограничен (в силу B.18)) и коэрцитивен
(условие B.3) выполнено, поскольку Ф(г)->оо при г->оо), то
используя теорему 2.1 (и предложение 2.3 о существовании)^
мы получим следующее утверждение:
Теоре.ма 2.3. Пусть F — рефлексивное банахово про-
пространство, строго выпуклое вместе со своим сопряженным^
Пусть 7: F-*-F' — отображение двойственности относительно Ф.
Тогда для заданного /si7' существует единственное u^F,
такое, что
/(«) = /• B.22)
Теорему 2.3 можно дополнить следующим утверждением:

188 Гл. 2. Метод монотонности
• Теорема 2.4. Пусть F — рефлексивное банахово про-
пространство, строго выпуклое вместе со своим сопряженным.
Тогда отображение /е/¦"'-> и = /"'(/) {где и —решение B.22))
определяет отображение двойственности F' -> F относи-
относительно Ф~\
Доказательство. Достаточно заменить и на /~ (/)
в равенствах B.17), B.18) в
Теорема 2.4 естественным образом приводит к простран-
пространствам, которые «рефлексивны» и «строго выпуклы вместе
с сопряженным». В действительности второе предположение не
является существенным ограничением, как это видно из сле-
следующего ниже результата Асплунда [1] (по поводу доказатель-
доказательства мы отсылаем читателя к указанной работе; см. также
Линденштраусс [1]).
Теорема 2.5. Пусть F — рефлексивное банахово простран-
пространство с нормой || ||. Тогда существует такая эквивалентная
норма ||| |||, в которой пространство F и сопряженное к нему
строго выпуклы (в сопряженном вводится норма, двойствен-
ная к ||| ЛПГ.
Этот результат можно несколько пополнить.
Теорем а 2.6(см. Брезис—Кранделл—Пази [1]). Пусть F—ре-
F—рефлексивное банахово пространство с нормой || ||. Для любого
а > 1 существует такая норма II ||а на F, что
(i) Fu сопряженное пространство (снабженное нормой || Ik,.,
двойственной к || У строго выпуклы,
00 4"
2.3. Примеры
2.3.1. Задача Дирихле для оператора А, определенного в A.7),
1 < р < оо. Ввиду результатов предыдущего параграфа (и только
что установленных результатов для отображений двойствен-
двойственности) теорема 2.1 показывает: для заданного f из W~i>pf (Q)
существует такое и е W\'" (Q), что
и имеет место единственность (в силу теоремы 2.2 или 2.3)«
2.3.2. Неоднородная задача Дирихле. Пусть А — оператор,
определенный в п. 2.3.1. Существует единственная функция

2. Стационарные задачи 189
u^W''p(Q), такая, что
«1г = ?> g^W}'P''P(T) (см. A.51)).
Действительно, рассмотрим такую функцию w e W1'р (Я),
что w |г = g (функция w существует в силу наших предполо-
предположений относительно g). Полагая я|> = и — w, мы придем к урав-
уравнению
т. е. мы получили задачу, аналогичную 2.3.1, в которой опе-
оператор Л заменен оператором А\.
Л, (ф) = Л(ф + w), w — фиксированная функция из W1' р (Я).
Без труда проверяется, что оператор Л,: Wx0'p(Q) -> W~1' ^(Q)
удовлетворяет условиям теоремы 2.1, откуда следует суще-
существование решения.
Пусть н, и н2 —два возможных решения. Тогда
и, следовательно,
(А(щ)-А(щ), «,-н2)=0 =
л
диг
р
dxt)\dXi dxj
откуда вытекает, что
дх, дх, '
а так как щ — и2 = 0 на Г, то щ = и2«
2.3.3. Задача Неймана. Возьмем теперь
и для «.iigF положим
п
а (и, v) = 2 J | Dtu |p DiuDiV dx + J* | и |р~2 uv dx. B.23)
Определим fe'V с помощью равенства
(f,t»)-f/ot»rf*+JgorfT,
иг B.24)

190 Гл. 2. Метод монотонности
Теперь можем применить теорему 2.1; из этой теоремы
вытекает существование функции и из Wup{Q), такой, что
" 2jtLcos(n,Xi) = g на Г1). B.26)
Более того, это решение единственно (ввиду теоремы 2.3) ф
Замечание 2.3. Остальные примеры § 1 также можно
адаптировать к стационарному случаю «
Общее указание. Как мы увидим в п. 2.5, условия
теоремы 2.1 недостаточны для «операторов вариационного ис-
исчисления»; с другой стороны, предположение B.12) достаточно
для этих операторов, но для фактической проверки этого пред-
предположения целесообразно ввести «промежуточный класс» между
классами операторов, удовлетворяющих.условиям теоремы 2.1,
и операторов, удовлетворяющих условию B.12); это и будут
псевдомонотонные операторы «
2.4. Псевдомонотоиные операторы
Определение 2.1. Оператор А: V-*V называется псевдо-
псевдомонотонным, если
(i) А — ограниченный оператор;
(ii) из условия и/ -> и слабо в V и lim sup (А (мД ut — ы) ^ 0,
вытекает, что
liminf{А(и,), «/ — о) >(А(и), и — о) VoeF2), B.27)
') Условию B.26) можно придать смысл с помощью методов Лионса —
Мадженеса [I], гл. 2; см. также § 4 этой главы.
2) На самом деле из предположений (i) (без семинепрерывиости) и (и)
следует, что А является непрерывным оператором из V (с сильной топо-
топологией) в V' (со слабой топологией). Действительно, предположим, что
существует такая последовательность ип, что ип-+и сильно в V, а А(ип)
не стремятся к А (и) слабо в V. Так как А (ип) ограничены в V, то можно
выделить такую подпоследовательность Иц, что А (и^) -> f слабо в V- и
f?-A(u). Тогда
lim sup (A (ajj), ajj — и) = 0.
Следовательно,
lim inf (А (иц), Иц — о) = (f, u — v)>(A (и), и — о) Vo s F,
и потому f = А (и), что противоречит нашему предположению.

2. Стационарные задачи 191
Прежде всего проверим, что введенный,нами класс является
«промежуточным».
Предложение 2.5. Имеют место следующие импликации:
«Л — ограниченный семинепрерывный монотонный оператор» =Ф
=Ф «Л — псевдомонотонный оператор» =Ф «оператор А удовлетво-
удовлетворяет условию B.12)» {т. е. «А —оператор типа (М)»).
Доказательство первой импликации. 1) Если
последовательность н/ удовлетворяет условию (ii) определения
2.1 и Л—монотонный оператор, то
(A(ut),Ui-u)^0. B.28)
В самом деле, из монотонности вытекает, что
(А(иД и,-и)>(А(и), и, -и)->0.
2) Пусть ш = A— 6)м +6», 6е=]0, 1[; имеем:
(A(u,)-A{w), u,-w)>0.
Следовательно,
8 {А (и,), и - v) > - (А (и,), и, - и) +
+ {A (w), иг - и) - 6 (Л {w), v - и),
откуда благодаря B.28)
8 lim inf (Л (н/), и — v) > — 6 (Л (w), v — н).
Разделим обе части на 8; принимая во внимание B.28),
получим
lim inf (Л (м;), и, - v) > (Л (w), и - v),
о,=A_8)н + 8о, Уве]0, 1[. ( }
Устремляя 8->0 в B.29), получим B.27)«
Доказательство второй импликации. Пусть ut->и
слабо в V, A{ut)->% слабо в V и lira sup (Л (н/), «/)<(/, и).
Тогда lim sup {А (ну), н/ -и)<0, и, следовательно (в силу B.27)),
(Л (и), н — у)< lim sup (Л {и,), и, - w)< (х, н — о) Vy s V;
таким образом,
Из замечания 2.1 и предложения 2.5 вытекает
Теорема 2.7. Пусть А — псевдомонотонный оператор,
удовлетворяющий B.3). Тогда Vf e V уравнение B.4) имеет по
крайней мере одно решение«

192 Гл. 2. Метод монотонности
Все, что мы до сих пор делали, пока было лишь «игрой
в абстракции», целесообразность которой проявится в пп. 2.5, 2.6
и дальше при изучении неравенствф
2.5. Операторы вариационного исчисления.
Аксиоматическое изучение
Определение 2.2. Пусть (всюду) V — сепарабельиое
рефлективное банахово пространство. Оператор А: У->V
называется оператором «вариационного исчисления», если он
ограничен и может быть представлен в виде
A (v) = A (v, v), B.30)
где оператор и, v->A(u, о), рассматриваемый как оператор из
V X V в V, обладает следующими свойствами:
\fueV v->A(u,v) — семинепрерывный ограниченный
оператор из V в V и (Л (и, и) — А(и, о), н —о)>0; B.31)
VoeV «-> А (и, v)~ семинепрерывный ограниченный
оператор из V в V; B.32)
если Ыц -> м слабо в V и (А («„,, «„) — А (и„, и), и^ — и)-> 0, _
то Vo е= V А («ц, v) -> А (н, о) слабо в V; ™ '
если Иц->н слабо в К и Л^, о)-?ф слабо в V,
T0{A(uVL,v),uVL)^^,Uy)9 B'34)
Пример подобной ситуации приведен в п. 2.6.
Предложение 2.6. Имеет место импликация «Л — опе-
оператор вариационного исчисления» =^ «Л — псевдомонотонный
оператор».
Доказательство. Пусть ut-*u слабо в V, причем
Iimsup(i4(«,),|«/'—и)<0. , B.35)
1) Прежде всего мы покажем, что можно выделить такую
последовательность uk, что ч
Xk = (А (нь uk) - А (нь и), uk-u)^ 0. B.36)
Действительно, можно выделить такую последовательность uk,
что Л (ыь й)-> х в V' слабо (поскольку последовательность Л («/, и)
ограничена в V), а тогда в силу B.34) (Л {uk, и), «*)-*" (Х> «) и»
следовательно, {A(Uk, и), uk — н)->0. • •
*) Из предположений B.30) — B.34) следует семннепрерывность Д -

2. Стационарные задачи . 193
Сопоставляя последнее утверждение с B.35), мы получим,
что limsupXft^O, а поскольку Is>0 в силу B.31), то мы по-
получим B.36).
2) Теперь мы можем воспользоваться B.33); получим:
А (и*, v) -> А (и, v) слабо в V Vv e V B.37)
и, используя B.34), найдем:
{А (и*, v), uk - и) -> 0 VoeK. B.38)
Так как Xk~^0, то имеем
{A («ft), «ft — н) > (Л (Hft) н), ^ — н) -> 0 (согласно B.38)),
и принимая во внимание B.35), получим
(А(ик),ик-и)-*0. . B.39)
3) Воспользуемся теперь тем, что
(A(uk) — A{uk, w), «ft — ш)>0 Vay,
где ш = A — 6) и + 6а, 6 е ] 0, 1 [; отсюда
6 {A («ft), н - v) > - (Л (и*), ^ - и) + (Л («ъ ш), ^ — н) +
-I- 6 (A («ft, ш), н — v),
и, используя B.39), B.38), B.37), получим
б lim inf {A (Hft), н — и) > 6 lim inf (A (uk, w), u — v) =
= Q{A{u,w), u-v).
Разделив обе части на 6 и воспользовавшись B.39), найдем
lim inf {А (и*), uk — 1>)>(Л(ы, A — е)н + 6и), u — v).
Устремляя 6->0, получим B.27) ф
Из предложения 2.6 и теоремы 2.7 вытекает
Следствие 2.1/ Пусть А — оператор вариационного исчи-
исчисления {в смысле определения 2.2). Тогда уравнение B.4) имеет
(по крайней мере одно) решение ф
2.6. Операторы вариациоииого исчисления. Примеры
2.6.1. Построение оператора А.
Обозначения. Рассматривается ограниченная область Q
в R" с достаточно гладкой границей. Через JV, (соответ-
(соответственно N2) обозначается число дифференцирований по х по-
порядка <т — 1 (соответственно порядка =т). Пусть Аа(х, tj; ?) —

194 Гл. 2. Метод монотонности
семейство вещественных функций (|а|^т), определенных
в Q X Rw' X RWl и удовлетворяющих условию:
для почти всех х е Q функция ц, I -> А^ (х, ц, |)
непрерывна в RWl X RN\ и У/г\, ? функция
х-+Аа(х, ц, I) измерима. B.40)
Положим
6и={и, Du,..., Dm-*u},
Аа (х, бы, Dmv): х-+Аа (х, Ьи (х), Dm v (x)).
Предполагается, что
существует такая функция feeZ/(Q), что
Kp<oo)l + -ir=l. B.41)
Можно проверить, что
если выполнено B.41), то У/и, ve=Wm'"{Q)
функция Аа{х, 5и, Dmv) принадлежит LP'(Q)» B.42)
Замечание 2.4. Используя теорему Соболева, можно,
сохранив B.42), улучшить (т. е. увеличить) показатель степени | ц \
(при этом производным разных порядков могут отвечать разные
степени) ф
В предположении B.41) благодаря B.42) ы.ц можем сопо-
сопоставить У/и, w e= Wm'p (Q)
a(u,w)= 2 I Aa{x, 6u, Dmu)Daw dx. B.43)
1<х|<п» а
Теперь введем
V — замкнутое векторное подпространство
в Wm'p(Q), содержащее Wo'"(Q). B.44)
Форма w->a(u,w) линейна и непрерывна на V, следовав
тельно, она записывается в виде
a{u,w) = (A(u),w), /t(«)sV"). B.45)
Для «e0(Q) оператор А (и) имеет вид
А(и)= 2 (-lfalua(Aa(x,bu,Dmu)). B.46)
|a|<m
) Где (х> °) обозначает скалярное произведение между х е У и о

2. Стационарные задачи 195
Замечание 2.5. Возникшая ситуация аналогична, с точки
зрения краевых условий, линейным вариационным задачам:
«основные» краевые условия состоят в принадлежности к под-
подпространству V, дополнительные краевые условия возникают
при (формальном) применении формулы Грина в B.45).
•Случай F = WolpP(Q) отвечает задаче Дирихле, а случай
V = Wm-p(Q) — задаче Неймана»
2.6.2. Примеры, в которых выполнены предположения опре-
определения 2.2. Сейчас будет доказана
Теорема 2.8. Пусть выполнены B.40), B.41) и следующие
предположения:
?l^I_^+oo при ||0||->оо; B.47)
5 I "I" I 6
Л,(*,ц,Е)?, ' -,->°° при Ш->оо B.48)
I 5 I I I 6 I
При доказательстве нам понадобятся две следующие ниже
леммы.
|a|=m
для почти всех х е Q и ограниченных | ц |;
2 (Aa(x,ihQ-Aa(x,rul*)){la'-Q>0 при 1Ф1' B.49)
I o|=m
почти всюду в Q и для всех ц.
Пусть V определено в B.44), а оператор V -> V определен
в B.45).
Тогда V| e У существует такое и из V, что
А («)=/. - B.50)
« понадобятся две следующие ниже
Лемма 2.1. Если и„ -* и сильно в Wm~h "(Q)mbg Wm> p (Q),
то
Aa{x,bu^Dmv)-+Aa{x,bu,Dmv) сильное LP'(Q). B.51)
Доказательство. Эта лемма является частным случаем
более общего результата: рассмотрим функцию х, K->f{x, Я): Q X
XR"*->R типа Каратеодори, т. е.
¦ функция Я —> f (л:, Я): Rd->R непрерывна для почти
всех j;eQ, а функция x->f(x, Я) измерима для
всех Я е R1*.
Если ф = {ф„ ..., q>d) — набор функций ф;: Q -> R, то положим
F {х, ф): х ->/ (х, (ф, (х) Ф(, {х)}).

196 Гл. 2. Метод монотонности
Мы будем говорить, что / преобразует
"i(Q) в L'(Q)(l<p,-, <7<oo),
d
если функция F{x, <р) принадлежит Lq(Q) для всех <реД LP{ (Q).
Известно (см. Красносельский [1], теорема 2.1, стр. 35), что
d
оператор qp -> F {х, ф): Ц if1 (Q) ->¦ L17 (Q) непрерывен.
Отсюда вытекает наша лемма, если положить
d = Nl и f (jc, Я) = Ла (jc, Я, ZI"» (jc)) «
Лемма 2.2. Предположим, что выполнены условия B.41),
B.48), B.49). Пусть
«й, и е= Wm'"(п), причем и^-+и слабо в Wm-"(Q).
Полагая
^и= 2 {Aa{x,bu,,Dmu^-Aa{x, б«й, Dmu)){Dau.-Dau) B.52)
¦ |a|=m
(зал<ег«л<, чго F^ e L1 (Q)), предположим, что
j Fli(x)dx-^0. B.53)
Ла(х, б«й, ?>тмй)-^Ла(л:, б«, ?>т«) слабо в L"'(Q). B.54)
Доказательство. В силу B.49) F^ ^ 0; тогда, поскольку
и„-»« с«лб«о в Wm~up{u) (вложение Wm-P(Q)-+Wm~u " (Q>
компактно '))> из любой последовательности {w^} можно выде-
выделить такую подпоследовательность {«v}; что
6uv(x)-+6u(x), Fv(jc)-*O почти всюду в Q,
скажем для хф1, mes (Z) = 0. B.55)
Зафиксируем х ф. Z, причем так, чтобы А: (дг) < оо Va (где
к — функция, фигурирующая в B-41)). Положим t|v = 6«v (лг),
т) = б« (х), I = Dmu (jc), и пусть I*— один из пределов DmUy,(x) = |v.
') Как всегда, предполагается, что граница Q достаточно регулярна; это
предположение излишне, если V = W™' р (й). Следует отметить, что наш
результат распространяется на случай «неограниченной области п», так как-
мы хотим иметь дело со сходимостью почти всюду и поэтому достаточно
проверить рассуждения «для любого компакта». ¦

2. Стационарные задачи 197
Имеем
1П<«>. B.56)
В самом деле, если gv = {gva}, то
/\,(*)> 2 Aa(x, Л* 6vNv«-c(|6vr4llvl+O, B-57)
|a|=m
и, следовательно, ввиду B.48) Fv(x)-+°o, коль скоро ||*| = оо,
а так как, согласно B.55), Fv (#)-»¦ О, to имеет место B.56).
Но тогда из B.55), B.56) и непрерывности Аа по r\, | выте-
вытекает, что
S (А»(х, п, V)-Aa(x, л, |))(!;-!„) = О
|a|=m ч '
и, следовательно, в силу B.49)
Таким образом,
Аа(х, бму(лг), Dmuv(х))-+ Аа(х, 6и(х), Dmu(x)) почти всюду в Q,
а так как Ла(лг, 6«v, Dm«v) ограничены в LP'(Q), то из леммы
3.1 гл. 1 следует, что
Аа{х, 6mV) Dmuv)-+Aa(x, бм, Dmu) слабо в L"'{Q),
и поскольку предел не зависит от выбора подпоследователь-
подпоследовательности, мы приходим к B.54) 0
Доказательство теоремы 2.8. 1) Нам надо показать,
что А — оператор вариационного исчисления в смысле опреде-
определения 2.2; тогда теорема будет вытекать из следствия 2.1.
Построение оператора А (и, у). Положим
а, (и, v, »)=» 2 J A*(x, 6u, Dmv)'Dawdx,
|a|=m Q
a2(u, w)= 2 J ла U, 6«. 0m«) Oaa> rfx.
|a|<m-l Q
Форма w-*-ai(u, v, ш) + «2(«1 ®>) непрерывна на V, следова-
следовательно, • .
щ(и, v, w) -f О2(м, w)=a(u, v, w) = (A{u, v), w), A(u, »)еГ,
B.58)
и, очевидно, имеем: А (и, и) = А (и).
Без труда проверяется, что А — ограниченный семинепре-
рывный оператор; чтобы придти к требуемому результату, нам
надо проверить,ччто выполнены условия B.31)—B.34).
2) Проверка B.31) и B.32). Имеем:
{А{и, и) —А (и, v), и — о) = а,(м, и, u — v)—al{u, v, u — v),
и правая часть >0 в силу B.49).

198 , Гл. 2. Метод монотонности '
Отображение о->Л(м, о): V-+V ограничено и семинепре-
рывно; например, для проверки семинепрерывности надо уста-
установить, что
а(и, Vi-\-Kv2, а»)-»-а(м, vu w) при А,->-0, и, v{, »sV,
Это в свою очередь следует из того, что
Аа(х, б«, Dm(о, + Я,о2))-^ Аа(х, Ьи, DmVl)
слабо в LP'(Q) (и даже сильно в if' (Q)).
С помощью аналогичных ^замечаний проверяется B.32).
3) Проверка B.33). В обозначениях леммы 2.2 имеем:
(А (мй, «д) — Л («й, «), «й — «) = J F» (x)'dx
Q
и, следовательно, в предположении B.33) имеет место B.54).
С другой стороны, так как
Аа(х, вий, Dmv)-+Aa(x, б«, Dmv) в LP'(Q)
слабо (и даже сильно), то имеем
а(мй, v, w)->d(u, v, w) Vw^V,
и, следовательно, А{и^, v)-+A(u, v) слабо в К'.
4) Проверка B.34). Пусть и^-^и слабо в V и Л(мй, о)->ар
слабб в V. Тогда (лемма 2.1)
Аа{х, бмй, Ото)-*Ла(л:, бм, Z)mo) сильно в Z."' (Q),
следовательно,
аЛ%, v, uj^-aiiu, v, и).
С другой стороны,
— и) |<с S | Da(ий - и)||лр (Q);
так как вложение Wm'p{Q)-*Wm~l> "{Q) компактно, то
Мид, «!»-«)-¦ 0. B.59)
Однако
02 («|». «) = (^(«ц. »), «) —а,(«й, о, и)-*(Ч>, и) —с,(«, о, и).
Поэтому в силу B.59) Og (ид, «ц)-*^, и) —аДи, о, м) и, следо-
следовательно,
{А (ие v), Uf) = с, (в„, V, и,») + Ог («л» ил) -¦ (*» ") t

2. Стационарные задачи 199
Замечание 2.6. Если элемент «si/ минимизирует на V
функционал вида
/ (о) = J F (х, 6v, Dmv) dx, B.60)
а
то и (при подходящих предположениях на F) удовлетворяет
уравнению
2 I Т[^ГТ^,6и, Dmu)Dawdx = 0, B.61)
|a|<m a * "'
чем и оправдывается термин «оператор вариационного исчис-
исчисления» для оператора А, введенного в этом пункте. По поводу
систематического изучения этих вопросов мы отсылаем к книге
Морри [1]. Здесь нам хочется подчеркнуть, что в частном слу-
случае т = 1 в вопросе о «порядке нелинейностей» можно пойти
дальше по сравнению с теоремой 2.8 (см, A.10. 8") на стр. 33
и комментарии на стр. 207, 208 цитированной выше книги
Морри) 0
Замечание 2.7. В доказательстве теоремы 2.7 одновре-
одновременно используется метод монотонности и метод компактности.
На эвристическом уровне мы можем сказать, что 'когда
в нашем распоряжении имеются минимальные априорные оценки
энергии, можно установить существование, используя:
(i) монотонность (если она имеет место!) в терминах стар-
старших производных (в вариационной формулировке),
(и) компактность в других терминах (не обязательно свя-
связанных с монотонностью).
В тех ситуациях, когда «отсутствует свойство монотон-
монотонности», нужны дополнительные априорные оценки ф
Замечание 2.8. Приведем условия, достаточные для
справедливости B.47). Предположим, что •
2 - Аа(х> Ъ I) la > с 11|" для достаточно больших 111; B.62)
|a|=m
Для подобласти а с Q положим
«о(»> о») — X f А*(х> б«.' °m«)Dawdx, и, we Wm>'(а).
- |a|<»>a B.
63)
При этих условиях B.47) выполняется для форм аЛ», °) и
V = Wo1'p (от), если область от «достаточно мала». Действительно,
ПОЛОЖИМ

200 Рл. 2. Метод монотонности
Можно взять [«]т.о в качестве нормы на V; отметим, что
["Ц ва< се ["L-,, № < с62 [и]т_2 ш <...,
так что в случае достаточно малой области а член [«]„,, 0 суще-
существенно больше членов
[«к о. k < т — 1 ф
Замечание 2.9. При условиях теоремы 2.4, единствен-
единственность, как правило, не имеет места. Приведем контрпример,
принцип построения которого принадлежит Дубинскому [5].
Пусть Q —ограниченная область, ФеС°°@), Ф^О, Ф = 0
на Г, 6^1— целое число. Рассмотрим оператор А:
2\ B.64)
Можно проверить, что оператор А, определенный в B.64),
удовлетворяет условиям теоремы при V =Wlo'p (Q) и р==2F+1).
Имеем Л(Ф) = 0, так что задача
Л(м)=0, м = 0 на Г B.65)
допускает по крайней мере два решения: « = 0 и н^=Ф'H
Замечание 2.10. В § 3 гл. 4 имеются примеры, в кото-
которых А не является коэрцитивным отображением V в V, но,
тем не менее, удается установить сюръективность этого отобра-
отображения щ
Замечание 2.11. Приведенные результаты относятся
только к тому случаю, когда коэффициенты уравнения являются
функциями степенного роста от производных. Тем самым они
не применимы к задаче о нахождении функции «.являющейся
решением задачи
— A« + wexp(«)=f, «=0 на Г. B.66)
В этой задаче надо использовать пространства типа соболев-
ских, в которых Lp'(Q) заменяется пространствами Орлича.
В этой связи мы отсылаем к работам Вишика [3J, Дубинского [6],
Бергера [6] и Браудера Щ
') Контрпримеры другого рода см. у Мейерса [1], а результаты о един-
единственности, использующие принцип максимума, — у Дугласа, Дюпона и
Серрина [1].

2. Стационарные задачи 201
Замечание 2.12. Имеем:
сумма псевдомонотонного оператора Л и огра-
ограниченного семинепрерывного монотонного опера- B.67)
тора М есть псевдомонотонный оператор ')•
Положим В = А-\-М; пусть «/->« слабо в V, причем
lim sup (В («/), ut — и)^. 0.
Тогда имеем:
(А («/), «/ — «) = E («/), и, —и) — {M.(Uj), «/ — «)="
= E (и,), и,-и)- {М (и,) - М (и), и, - и) - (М (и), «/-«)<
<(Я(мД иу —ы) —(Af(a), «/—и).
Следовательно,
lim sup (Л (м;), «/ — «)< 0.
Тогда
lim inf {A {Uj), «/ — о) > (Л (м), м — о) и lim (Л («/), «/—«) = 0.
Следовательно,
lim sup(Af (г</), ut — и)^. 0,
а поскольку Af — псевдомонотонный оператор (в силу предложе-
предложения 2.5), отсюда вытекает, что
lin inf (Af («/), и, - v) > (М (и), м - о),
и, таким образом,
lim inf (В («/), «/ — с)>(й(й), « —»)#
Замечание 2.13. Мы всюду предполагали, что выполнено
условие B.3). В действительности все утверждение сохраняется
в предположений: существует такое о0 е V, что
-»>_» + oo при || 0II-. со. B.68)
В самом деле, достаточно ввести А{ (о) = А (о + vQ) ф
Замечание 2.14. Можно построить монотонные коэрци-
коэрцитивные операторы (в действительности, операторы двойственно-
двойственности), которые будут дифференциальными операторами беско-
бесконечного порядка. Для этого достаточно рассмотреть простран-
пространство V типа Жеврея (см. также п. 5.3 гл. 4), состоящее из
функций v, определенных в Q, таких, что oeU7oIlP(Q) Vm и
?1
(kil...kn\y Ilp{Q)
') Гораздо более обшие результаты (и, в частности, для многозначных
операторов) имеются в работе Брезиса — Краиделла — Пази [1].

202 ГА. 2. Метод монотонности
(L — Заданная константа, s>l фиксировано). В качестве А
берется оператор
3. ЗАМЕНА ОСНОВНОГО ПРОСТРАНСТВА.
ПРИЛОЖЕНИЯ
3.1. Общие замечания
Рассматривается (см. замечание 1.2) банахово простран-
пространство V, содержащееся в гильбертовом пространстве Н, которое
отождествляется со своим сопряженным, так что
VczH<=V; C.1)
Н является основным пространством.
Во всех до сих лор рассмотренных примерах
H = L2(Q) (или произведение (L2(Q))N). C.2)
Мы увидим, что полезно в качестве Н брать различные
пространства; это позволяет «тривиализовать» некоторые слу-
случаи, которые оказываются нетривиальными при другом выборе
функциональных пространств ')$
Замечание 3.1. В связи с предшествующими рассмотре-
рассмотрениями стоит отметить, что свойство монотонности (в ряде слу-
случаев) зависит от выбора скалярного произведения: если мы
рассмотрим в области Q = ]0, 1[ оператор
• (з.з)
то нетрудно проверить, что не выполнено неравенство
Уф, ap
С другой стороны, если в качестве скалярного произведения
мы возьмем
') Мы непрестанно будем подчеркивать исключительную роль выбора
функциональных пространств в нелинейных задачах.
2) То есть скалярное произведение (гильбертовр) в //~ (Q),

3. Замена основного пространства. Приложения 203
(где ijj = (—"тт) Ф является решением краевой задачи
= *(l) = o). то
3.2. Пример. Нелинейная задача о диффузии
Рассмотрим задачу, уже изученную в § 12 гл. 1: ищется
такая функция и, что .
^) f, х = п, /е]0,Г[, C.4)
где р > 1')» причем
u = g на 2, C.5)
*e=Q# C.6)
Замечание 3.2. Возьмем р = 3, Q=]0, °о[, / = 0, т.е.
уравнение
dt дх \' ' дх ) У. • >
с условиями
' м@, t) = g(t) = лго+ t, х0 > 0 фиксировано,
хо — х при 0 < л: < лг0,
О при л: > х0.
Тогда решением будет
t-{- хо — х при 0 < л: < лг0 + t,
О при х <хо-\-1.
Таким образом, мы здесь сталкиваемся с «распространением
возмущений», характерным для гиперболических уравнений.
Последнее связано с множителем | и |. Говорят, что C.4) — вы-
вырождающееся параболическое уравнение *
м(дг, O) = Mo(*) = j
') Эта задача более общая, чем в § 12 гл. 1, где мы ограничились слу»
чаем р > 2.

204 Гл. 2. Метод монотонности
Теперь мы установим теорему существования и единствен-
единственности «очень слабого» решения.
Теорема 3.1. Пусть заданы f, g, щ, причем
f е= Lp' (О, Т; W~l-р' (Q) + Я (Q))'), C.8)
C.9)
«os^~'(Q). C.10)
Существует единственная функция u^Lp (Q) 0 Lp (о, Т; Н~ (Q)J),
удовлетворяющая C.4), C.5), C.6)г)щ
Доказательство. 1) Мы увидим, что нужный нам
результат следует из теоремы 1.2 или теоремы 1.2', если только
мы подходящим образом подберем данные в этих теоремах.
Возьмем
H = H~1(Q), (и, »)„ = («, (-A) v), C.11)
где (—А) о = б — решение задачи
— Д5=о, 5 = 0 на Г (следовательно, v e Hl(Q)) C.12)
и где (и, (—А) о) обозначает скалярное произведение между
элементами #~'(Q) и Hq(Q).
Возьмем далее
V ' C.13)
Заметим, что Z/(Q)cz Я~'(О) при р^2п/(п-{-2), поскольку
в этом случае в силу теоремы Соболева Но (Q) cz Lp (Q); таким
образом,
V=L"(Q) при P>-~j. C.13')
Отождествим Н с его сопряженным. Поскольку V плотно
в Я, то
Необходимо обратить внимание на то, что теперь равенство
V' = -Lp (Q) + Hl(Q) не имеет места. Вот пример формы LeV':
пусть заданы /, Л, причем
/ s W~x- p' (Q) + Я (Q) и h e= W~Wl"' (Г).
', Г' "' (Й) + Я (Й) = Г- "' (Й), если р> 2.
г) Это пространство переходит в Lp (Q) прн р>2и/(и + 2).
3) Ниже мы будем уточнять, в каком смысле удовлетворяются эти
условия.

3. Замена основного пространства. Приложения 205
Тогда в обозначениях C.12) возьмем
L(v)=(f,v)-jh^dT; C.14)
г
C.14) определяет LeV. В самом деле, если ceL'fQ), то
v e= W2'" (Q) П Wo" (п), а так как v e= Я"' (Q), то также
оеЯо(й); следовательно, форма v-+(f, S) непрерывна на V;
далее,
dn^W (l >'
и поскольку h^(Wl!P''"(r))', то форма -
непрерывна на У, а следовательно, isF,
Введем, наконец,
а (и, v) = 7-Чт f I « Г2 w0 rfjc Vu- ° e ^- C-1
Им.еем:
а(«, « —у) —а(о, « —о)>0. C.17)
Теперь мы можем применить теорему 1.2 при р !> 2л/(л-j-2)
(V = Lp(Qj) и теорему 1.2' при 1 < р < 2п/(п + 2) (взяв
Следовательно, если задано L(t)^.Lp @, Г; V). т0 суще-
существует единственная функция и из Lp @, Г; V), такая, что
• («'@, v)H + a(u(f), о) = М0 (о) Vwe=F, C.18)
и(О) = «о. C.19)
2) Теперь мы покажем, что в слабом смысле решение
задачи C.18), C.19) будет решением исходной задачи, коль
скоро МО выбрано подходящим образом. Определим
М0=-^Ьу1г@Г2§@; C.20)
имеем:
, Т; /,^М^)(Г)) = Г'(о, Т; 1
в силу теоремы Соболева для дробных показателей (см. Петре [1])

206 ' Гл. 2. Метод монотонности
Таким образом, мы имеем право взять L(t) в виде
(t)~dr. C.21)
Q Г
Вводя v в C.18), получим:
а г
причем 5=0 на Г1). Следовательно, формально
а г
откуда вытекает, что и является «решением» уравнения C.4J) и
(р.-1)|"' - —"•
отсюда получается условие C.5), если h определить с по-
помощью C.20). Наконец, функция и: [0, Т]-+ Н непрерывна,
так что C.6) имеет смысл о
Замечание 3.3. Теорему 12.3 гл. 1 мы можем рассма-
рассматривать как тео.рему о гладкости. Теперь мы можем снова
установить этот результат«
Теорема 3.2. Предположим, что в обозначениях тео-
теоремы 3.1
f<=L"'(Q), C.22)
g = 0, C.23)
C.24)
') Это можно обосновать с помощью методов, аналогичных методам
Лионса — Мадженеса [1].
2) Это можно обосновать с помощью методов, аналогичных методам
Лионса — Мадженеса [1].

3. Замена основного пространства. Приложения 207
Тогда, если и —решение задачи C.4), C.5), C.6), то
иеГ@, Г; L2(Q)), C.25)
| и |(р~2)/2 u<=L2 (О, Г; Но (Q)). C.26)
Доказательство. Используются пространства V, Я, V
и форма а(и, v), как и при доказательстве теоремы 3.1;
L{t) определяется с помощью C.21), причем Л = 0.
Далее нужно повторить доказательство теоремы 1.2 (или 1.2'),
выбрав специальный базис из собственных функций:
// C.27)
Тогда
1 </<«.' C.28)
причем
"m@)=«0m^K. •••> Ют]. «От ^ "о В L2(Q). C.29)
Но (— Л) Wj = Wj!Xj, и из C.28) мы можем вывести, что
(«ш. «m) + (i «т |Р~2 «т, — А«ш) = (f, "m)
и, следовательно,
Таким образом,
a x 1 о.
J - C.30)
Нам уже известно, что um ограничены в LP(Q), следова-
следовательно, правая часть C.30) ограничена, когда выполнено вклю-
включение C.22). Отсюда выводим, что ит ограничены в L°°(Q) и что
ограничены в L?(Q). Но нам,заранее известно, что ищ-+ц слабо
в L2(Q); отсюда мы выводим C.25), C.26) щ

208
Гл. 2. Метод монотонности
3.3. Задача со свободной границей
3.3.1. Постановка задачи. Пусть задана функция Л-»-?(Я):
R—>R, обладающая следующими свойствами:
кция k
C.31)
[ku k2], 0 < ky < k2 < оо, функция k
непрерывна при X Ф %0, а в точке Яо имеет
скачок, причем k (Хо + 0) — k (Яо — 0) > 0.
Рассматривается процесс с двумя фазами1), состояние /-й
фазы (/=1, 2) характеризуется функцией и({х, t), где
ii (\» ^\ ^* \ ii (%* /\ >^s. 1 • - (О. *ХО\
предполагается, что х принадлежит области Q с: R* и t е ] О, Т[.
Для определенности будем предполагать, что граница Q, со-
стеит из частей FY, Г2 (см. рис. 2), причем фазе ut отвечает
окрестность Г{.
Р и с. 2,
Через T(t) обозначается поверхность, разделяющая фазы
в момент t.
Уравнения, описывающие эволюцию, имеют вид
ди2
~дТ
где функция f определена в Q = QX]0, T[.
C.33)
•) Изложенные ниже методы можно без труда адаптироиать примени-
применительно к случаю нескольких фаз.

3. Замена основного пространства. Приложения 209
Имеются граничные условия двух типов:
(i) условия на неподвижной границе:
ut = gi на Е,=Г,Х]0, Т[,
Я, (х, 0 < А-о, ga(x, t)>l0; C>34>
(ii) условия на «.свободной границе»:
Обозначим через S «свободную границу»:
S= (J Г((т) (рассматривается в плоскости t = a) C.35)
а <= (О, Г]
(которая a priori не задана и является одним из неизвестных
задачи!); предполагается, что на S выполнены следующие усло-
условия:
И]=«2(=^о). C.36)
Ьcos(n, t)-^k(Xo+0)^-cos(n, xt
п
. C.37)
<=]
где Ь — заданная положительная константа, а через п обозна-
обозначена нормаль к Y{t), направленная, для определенности, «внутрь
второй фазы».
Начальные условия таковы:
щ {х, 0) = и0! {х), и01 {х) < Хо,
и2(х, 0) = а<п(х), иа2(х)>Х0 ^' '
(поверхность Г@) предполагается заданной) щ
3.3.2. Преобразование задачи. Рассмотрим функцию К-
C.39)
о
и введем новые неизвестные функции
?* = №), / = 1,2. C.40)
Тогда уравнения C.33) примут вид
^L__^-A,,.=f, /-1.2, bQ, C.41)
причем
h n0. C.42)

210 Гл. 2. Метод монотонности
Условия C.34) примут вид
0| = *Ы на 2,, / = 1,2, C.43)
& условия C.36), C.37) примут вид
0i = M=Ho) на S, C.44)
Ьcos(n, 0 + -^--|~ = 0на5 C.45)
(где д/дп — нормальная производная к S, направленная «внутрь
второй фазы»)ф
Эти уравнения можно записать в гораздо более сжатой
форме. Для этого вводится функция Р (Я), которая опреде-
определяется с точностью до аддитивной постоянной из соотношений
C.46)
Функцию р (впрочем, как и функцию k) можно рассматривать
как многозначную, если
Р(Ио)е[Р(цо-О), Р(Ио-
Введем функцию v, определенную в Q (если задача допу-
допускает решение!) равенством
( v, (x, t) в фазе 1,
v(x,t) = \ ' * _ C.47)
v ' [ v2(x, t) в фазе 2, v '
и v (x, t) = ц0 на S.
Теперь мы можем определить Р(о) почти всюду в Q, если
мы предположим, что S имеет меру нуль в Q.
Будет доказана
Лемма 3.1. Пусть v — функция, определенная в C.47).
Тогда
— fHv) — ^v^=f в Ф'Ш C.48)
v = K(g) задана на S = SiU22 (причем К (g) = Ki {gi) на 24),
C.49)
v (х, 0) = v0 (х), где vo{x) = K{uo{x)) C.50)
„ (jc) в первой фазе при t = 0,
' и^(х) во второй фазе при

3. Замена основного пространства. Приложения ' 211
Доказательство. Условия C.49), C.50) очевидны. Чтобы
проверить C.48), возьмем fe^(Q) и вычислим
^P(v)-Av, Ф) (р@),-|?.)-<0, Лф), C.51)
где скобками обозначается двойственность между ?D'(Q) и
3>{Q). Имеем:
-<Р (">.-?)-г- J Р(*,)|Н*Л- I PC.)
о, < Но »г>A0
Гг > Цо
+ J (±
О| < |1<
= ft J<pcos(n, QdS+ J (-^-
с другой стороны,
— J (Avi)(fdxdt— \ (kv
Pi < Цо Vi > Ц»
так что в силу C.44), C.45)
^Л = </, Ф>
(в последний момент мы использовали C.41)) о
Теперь мы можем изучить задачу C.48), C.49), C.50), пред-
предварительно немного обобщив ее. Мы a priori не исключаем,
что v принимает значение ц0 на множестве положительной
меры. Теперь (J(o) является многозначной функцией, и мы
можем говорить о функции до
шер(о) C.52)
(т. е. w (x, t) e p (v (x, /)); последнее эквивалентно тому, что
w(x, 0=P(»(*i 0). если v(x, /)=/=ц0. И и'С*. 0<=
[Р() (Р(О)б] если о(лг, /)=Ио)-

212 Гл. 2. Метод монотонности
Мы будем искать такую функцию о, что
-?f — Ao = f, ш удовлетворяет C.52);. C.53)
условия C.49), C.50) остаются без изменений«
Теперь естественно ввести обратную функцию
C.54)
которая будет однозначной. Тогда задача сведется к отыска-
отысканию такой функции да, что
—ai &B(w)=f в Q,
на Б,
на Qi
До сих пор мы занимались «формальными преобразова-
преобразованиями», нигде не уточняя, каким функциональным простран-
пространствам должны принадлежать неизвестные функции. Теперь мы
изучим этот вопрос.
3.3.3. Определение решений. Теорема существования и един-
единственности. «Решением» рассматриваемой задачи мы будем назы-
называть любую функцию v, удовлетворяющую следующим условиям:
i><=L2@, T; tf!(Q)),
v=K(g) на 2,
существует такая функция даер(о), что a>eL2(Q), C.56)
4^-ДЯИ = / bQ,
w(x, О) =
(Решение исходной задачи определяется с помощью C.40).)
Теперь будет доказана
Теорема 3.3. Пусть задано f^L2(Q). Пусть заданы
g, < Я,о на 2,, g2 > Яо на 22, ы0 на Q, иофХо почти всюду;
') Функция P(^T(g)) определена одио'зиачио, поскольку/((g{ (л:, 0) = t*o.
2) Функция Р (^Г («о (^))) определена однозначно, поскольку «о М ?= Я-о
почти всюду.
3) Как будет следовать из приведенного ниже доказательства, это усло-
условие имеет смысл.

5. Замена основного пространства. Приложения 213
предположим, что
существует такая функция до, е Я1 (Q)'), что
на 2, до, (х, 0) = р (К (н0 (*))) на Q 2). C-57)
задача C.56) млеет и притом единственное решение.
Доказательство. 1) Воспользовавшись функцией до,,
удовлетворяющей условиям C.57), введем новую неизвестную
функцию
ф=до —до,. C.58)
Тогда мы получим:
^--bB(O+wl) = fl, h=f—^-<=L2(Q). C.59)
2) Мы применим теорему 1.2 в следующей ситуации. Возь-
Возьмем H=H~l(Q), V = L?{Q); для <р, i|>e=L2(Q) мы положим3)
. • C.60)
Прежде всего отметим, что, поскольку k(k)<=[kit k2],
откуда следует, что
B'(KJ^k2B'(k). C.61)
Формаг|з—> а(ф, г|з) определяет функционал Л (ф)еУ (поскольку Н
отождествлено со своим сопряженным) с помощью равенства
а (ф, ф) = (Л (Ф), ф) = (Л (/; ф), ф). C.62)
') Это условие может быть ослаблено.
2) Этому предположению можно придать более явный вид с помощью
условий на «о и g, а именно, необходимо и достаточно, чтобы
причем в угловых точках должны выполняться интегральные условия согла-
согласования, по поводу которых мы отсылаем к работе Гривара [2].
3) Отметим, что рассматриваемая намя нелинейная задача целиком укла-
укладывается в рамки гильбертовых пространств.
4) На самом деле а зависит от t:
Г В (ф + wt) tj> dx — a (t\ ф,
Q
и надо воспользоваться примечанием 1 к замечанию 1.8, п. 1.4.

214 Гл. 2. Метод монотонности
Оператор А коэрцитивен. Имеем:
1) — A ((fe), ф1 — (fe) = J (В (ф, + да,) - 5 (Ф2 + ш,)) (ф,
= | E (¦¦) -
следовательно,
(А (ф,) - А (ф2), Ф, - <ь) > -?¦ J | 5 (ф,) - 5 (гр2) |2 Gfjtr > 0. C.63)
Таким образом, с помощью теоремы 1.2 и замечания 1.8
мы можем установить существование и единственность функ-
функции Ф, такой, что
ФеL2(О, Т; V>= L2(Q), ФеГ(О, Т; Н),
(Ф', у) + (А (Ф), о) = "(f,, о) Vo e К, C.64)
Ф@) = 0.
3) Теперь остается показать, что Ф — «более сильное»')
"решение задачи. В этой связи поступим таким же образом,
как в предыдущем п. 3.2. Заменим в C.64) v на —Ли; эта
замена законна в методе Фаэдо — Галёркина, когда мы имеем
дело с конечной размерностью; в качестве wt берется «спе-
«специальный базис» из собственных функций оператора — Л при
граничных условиях Дирихле. Мы получим2):
откуда следует, что
i=\ Q
или
') Отметим, что здесь мы неявно получаем едянственность решений
«более слабых», чем те, которые фигурируют в формулировке теоремы.
2) Мы пишем оценки в общем случае; для их обоснования надо написать
соответствующие оценки для галеркинских приближений, а затем перейти
к пределу.

4. Нелинейные эволюционные задачи на Многообразии 215
ввиду C.61) имеем
п
2 \ {В> (Ф + wx)f (-f^-J dx dt < k2C
Q
и, следовательно,
Щ V/.
Однако, поскольку В' ограничено,
B'(O + w)-^t=L*(Q) V/
и, следовательно,
а тогда
^-B(©+ffl|)eL2(Q) V/.
т. е.
v = B(w)<=L2@,T;Hl(Q)),
что и доказывает теорему«'
4. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ
НА МНОГООБРАЗИИ
4.1. Постановка задачи
Пусть Q — ограниченная область в R" с границей Г, являю-
являющейся многообразием класса С2; мы предполагаем, что локальной
лежит по одну сторону от Г.
Положим
Рассматривается следующая задача: ищется такая функция
w {х, t), что
A{w)=0 в QX]O, T[ = Q, D.2)
Р~2 _dw_c ' . , _dw_ _c „ ц дч
I
w{х, 0) = w0(x), хеГ, D.4)

216 Гл. 2. Метод монотонности
В D.3) п обозначает нормаль к Г, которая (для определен-
определенности) направлена вне Q^
Замечание 4.1. Уравнение D.2) не содержит производ-
производной по t.
Здесь мы имеем дело с задачей «такого же типа», как в § 11
гл. 1; очевидно, можно построить пример, который будет под-
подходить к обеим ситуациям, но более целесообразно разделить
эти два случая, чтобы лучше разграничить использование метода
компактности (в § 11 гл. 1) и метода монотонности, который
сейчас будет применен«
Мы преобразуем задачу D.2), D.3), D.4) в" эквивалентную
задачу на многообразии Г.
4.2. Оператор s?
Сейчас мы распространим на нелинейный случай построения
п. 11.2 гл. 1.
Пусть g e Wllp' р (Г), и пусть w — единственная функция
из Wl'"(Q) (см. п. 2.3.2), такая, что
A{w)=0, o»|r = g. D.5)
Будет доказано
Предложение 4.1. Для функции w e№I>p(Q), удовле-
удовлетворяющей уравнению A(w) = 0, можно так определить W~(w)<^
<=W-W-P'(T), что
Г*!?D.6)
. Доказательство. Для заданной функции <р
существует такая функция OelT^tQ), что
и, более того, это «продолжение» Ф можно выбрать таким
образом, что отображение <р-»-Ф будет линейным непрерывным
отображением W4p'' "(Г)-*Wl'"{U) (см. Гальярдо [1]).
Положим, вообще,
"С. ••-i-JI-^-Г^-* »• .«^'A* D.7)
Можно проверить, что a(w, Ф) не зависит от выбора продолже-
продолжения; действительно, если Ф, е Wl'"(Q) и Ф! 1г = ф, то Ф — Ф1 s

4. Нелинейные эволюционные задачи на многообразии 217
и поэтому существует 'такая последовательность
что ?/-*Ф — Ф, в W1'P(Q). Тогда
a (w, Ф) — а (ш, Ф,) = lim a (w, Ч}) — lim (Л (w), ?,) = 0.
Итак, форма q>->-a(w, Ф) является непрерывной линейной
формой на Wtp' " (Г) и, следовательно,
a (w, Ф) = {Т (w), ф)г, Т (w) e ^/р'-"' (Г), D.8)
где (ф, ф)г обозначает скалярное произведение между элемен-
элементами ИГ-1/р''р'(Г)_и Wllp'-P(T).
Если buc:C2(Q), то равенство D.5) следует из D.8) и фор-
формулы Гринаф
Замечание 4.2^ Проведенные выше рассуждения вполне
аналогичны рассуждениям из главы 2 книги Лионса — Мадже-
неса [1], касающимся линейных операторов. Единственное раз-
различие связано с плотностью. В настоящем случае можно пока-
показать, что функции из C2(Q), удовлетворяющие уравнению
Л(ву) = О, плотны в множестве решений этого уравнения
из W1'" (Q), так что оператор &~(w) определен однозначно.
Однако мы не знаем, как все это распространяется на более
общие операторы вариационного исчисления, изученные
в п. 2.6 ф
Оператор ?Ф. Для g e W11"''" (Г) положим
T{w), D.9)
где w определяется из задачи D.5), a T{w) — с помощью
предложения 4.1.
Имеет место
Предложение 4.2. Оператор s?, определенный в D.9),
является ограниченным семинепрерывным монотонным опе-
оператором
зФ: Wilp'-" (Г) -^ IF"""''"' (Г) (== Wup'-" (Г))'),
и имеет место оценка
II ^ (g) \\w- Up', p' (d < с IIS С/р'. р (г)-
Доказательство. Если gu g2^ Wvp''"(Г) и wt связаны
с gi соотношениями D.5), то имеем
), gx - g2)r = (Г {wx)-T (a»j), gl - g2)r =
= a(w\, Wy — w2) — a (w2, w{ — w2) ^ 0.
(в силу D.8))

218 . Гл. 2. Метод монотонности
Для доказательства семинепрерывности заметим, что
+ 8г), ?з)г-«(»! + Щ> Ч»з)•
Предложение 4.3. Для любого А >0 существует такое
а> О, чго
){ 4g, D.10)
при P>^j, D.11)
Доказательство. Заметим, что Wilp'" (Г) с: L2 (Г) тогда
и только тогда, когда р^2я/Bя+ 1) (в силу теоремы Соболева
для дробных показателей). Имеем:
i=l Q /
Можно проверить, что правая часть D.13) (возведенная в сте-
степень 1/р) является нормой Ha.UPllP(Q) (или на пространстве
[v\v^Wh р{0), и |г е Z,2(Г)}), которое является полным про-
пространством, так что во всех случаях
О* (Я), *)г + Ц S t(n >аЛ«> fv\. р ,Q),
откуда следует D.10)ф
4.3. Эквивалентная задача на Г
Если мы положим
ю|г = и, D.14)
то задача D.2), D.3), D.4) будет эквивалентна задаче
-|- + ^(ы) = /, D.15)
ы@) = да0. D.16)
В силу предложений 4.2 и 4.3 в ситуации D.15), D.16) можно
применить теоремы 1.2 и 1.2'. Из них выводится
Теорема 4.1. Пусть заданы f и w0, причем
. D.17)
D.18)

5. Один класс модификаций уравнений Навье—Стокса 219
Тогда существует и притом единственная функция w из
L"@, T; r'"(Q)), удовлетворяющая D.2), D.3), D.4).
Доказательство. В самом деле, из теорем 1.2 и 1.2'
вытекает существование и единственность решения и е
<=Lp@, Т; Wvp''p{T)) задачи D.15), D.16). Построим теперь w
как решение задачи
A(w(t)) = 0, w(t)]r = u(t),
D.19)
t играет роль параметра.' Далее можно проверить, что
w*=Lp{0, T; Wup(Q)),
откуда и следует теорема ф
5. ОДИН КЛАСС МОДИФИКАЦИИ УРАВНЕНИИ
НАВЬЕ —СТОКСА. МЕТОД КОМПАКТНОСТИ
И МОНОТОННОСТИ
5.1. Общие соображения. Постановки задач ¦•
Как мы уже подче ркивали в § 2 (замечание 2.7), в случае
стационарных уравнений нами одновременно были использованы
метод компактности и метод монотонности.
Сейчас мы увидим, что такое одновременное использование
этих методов существенно для случая эволюционных параболи-
параболических уравнений.
Мы продемонстрируем метод на одном классе примеров,
интересных самих по себе: речь идет о модификациях уравне-
уравнений Навье — Стокса, изученных в § 6 гл. 1.
Обозначения и формулировки задач. Для вектора и = {ии ...
..., ы„}, где щ — вещественная функция, определенная в Q,
ПОЛОЖИМ
= 2 \Diulf, 0, = ^-; E.1)
<6-2>
Нами будет рассмотрена

220 Гл. 2. Метод монотонности
Задача 5.1. Ищутся и = и(х, {) = {щ(х, t), ..., ип(х, t)},
лей, te=]0, 7*[, и р, =?=р, (*. /), являющиеся решением за-
задачи
п
-дт- -f- хА (и) + 2j «гОгы = / — grad p, (v > 0), E.3)
div ы = 0, E.4)
ы = 0 на S, E.5)
и (х, 0) = ы0 (*)> а: е й. E.6)
Замечание 5.1. В случае р = 2 мы снова приходим
к задаче Навье — Стокса, изученной в § 6 гл. 1«
Вариантом задачи 5.1. является
Задача 5.2. Ищутся и и р„ являющиеся решением си-
системы
п
. (v,va>0); E.7)
условия E.4), {5.5), E.6) остаются без изменения«
Вот еще один вариант, который будет нами изучен^
Задача 5.3. Ищутся и и р., являющиеся решением си-
системы
п
-qI— (v<> + Vi || ы {t) |p) A« + 2j uiDtu = f~ Srad P. (vo. vi > 0).
E.8)
где
n
|| ф ip = \ Г (DiCp/J dx = J | Уф Р djf, E.9)
I, /=1 Q Si
условия E.4), E.5), E.6) остаются без изменения«
Функциональные пространства. Как и в § 6 гл. 1,
введем
Г = {ф|Ф = {ф„ .... Фп}, Ф(е2)(Й), dh^ = O}. E.10)
Пусть
V = замыкание Г в (^-"(Й))". . E.11)
Можно проверить, что
()n = 0}. E.12)

5. Один класс модификаций уравнений Навье—Стокса 221
Как и в § 6 гл. 1, введем
Vs = замыкание Т в (Hs(Q))n, E.13)
и
Н = замыкание Т в (Z.2 (Q))" (= Vo) » E.14)
5.2. Теорема существования для задачи 5.1
Теорема 5.1. Предположим, что f е V (О, Т; V'), ио^Н
и что
Тогда задача 5.1 имеет такое решение и, р„, что
ue=Lp (О, Г; К) Л L°° (О, Г; Я). E.16)
Замечание 5.2. Из приведенного ниже, доказательства
будет следовать, что ы@) имеет смысл, а тем самым имеет
смысл условие E.6)«
Доказательство. 1) Выбор специального базиса. Выбе-
Выберем s таким образом, чтобы
«>1+-~. E.17)
Тогда если оеЯ'(й), то
D,i» <= Hs~l (Q) с: L°° (Й), поскольку 4" — i—— < О-
Отсюда, в частности, следует, что Dtv e Lp (й) и, следова-
следовательно,
VsCzVaHcV'cV's ¦ E.18)
(Я отождествляется со своим сопряженным).
Рассмотрим теперь собственные функции w/i
(whv)v=l,(w,,v) VoeV, E.19)
S
(где (,) —скалярное произведение в ЯI).
Теперь мы применим метод Фаэдо — Галёркина с базисом {w/}.
Этот метод аналогичен уже использованному в § 6 гл. 1, ио ,
предельный переход здесь будет более деликатным.
') 'Предполагается, что Q — ограниченная область. Можно получить
результат для неограниченной области Q, «аппроксимируя» ее ограниченными
областями.

222 Гл. 2. Метод монотонности
2) Метод Фаэдо — Галёркина. Определим um{t)^[wx, ..., wm]
как решение уравнений
(<4 @, »/) + v (Л (иж @), »/) + Ь (um (/), um (t), Wj) =
= {f(t),w,), I</<m, E.20)
где
n
6(н, у, ш)= 2] $ UtiDtv^Wjdx, E.21)
г, /=i q
удовлетворяющее условиям
• «m@) —«o»sI«»i. •••' «"ml. «om-^"o в Я. E.22)
Тем самым ыт@ определяется на отрезке [0, tfm], ^m > 0.
3) Априорные оценки (I). Заметим, что
п
(Л (и), о) = 2 J | V« I" D^/Djoy ^; E.23)
следовательно,
(A(v),.v)= \\Vvfdx. E.24)
В качестве нормы на V можно взять
. E.25)
С другой стороны, b(u, v, v) = 0 на Vs (в частности) и из E.20)
следует, что
у jf\ um (t) P + *|| иж @ f = (f (t), um @) <II f @ И„, II «„ @II. E-26)
а поскольку feLp'@, Г; V')> из E.26) следует, что tm = T
и что
иж ограничены в V @, Г; y)nL°°@, Г; Я). E.27)
4) Априорные оценки (II). Заметим, что для ще^
(так как если да е Vs, то D^y e L°° (Q)), и, следовательно,
b(um(t), um(f), w) = (gm(t), w), где
gm ограничены в L°°@, Г; V's).
Пусть Pm — оператор ортогонального проектирования Н на
!, ..., wm]. Операторы Рт равномерно ограничены (единицей)
2{Н\ Н), Z(Vi,-V,) и &(V't; V',).

5. Один класс модификаций уравнений Навье—Стокса 223
Из E.20) вытекает, что
u'm + vPmA{um) + Pmgm = Pj. ^ E.29)
В силу E.27) А(и„) ограничены в L" @, Т; V'), а потому
в L" (О, Т; Vi), и, следовательно, РтА (ит) ограничены в .
//@, Т; V's).
Аналогично в силу E.28) Pmgm ограничены в L°°@, T; V',)
и, наконец, РЛ ограничены в L" (О, Т; Vs)- Таким образом,
из E.29) следует, что
Ит ограничены в V @, Т; V's). E.30)
5) Предельный переход (I). Использование компактности.
Мы применим теорему 5.1 с Bo — V, B = H, Bl = V's, po = p,
pi=p'; вложение V—>H компактно. Следовательно, мы можем
выделить такую подпоследовательность и^, что
Ыц-^и слабо в L"@, T; V), *-слабо в L°f(O, T; Н), E.31)
Ыц-»-и сильно в Lp@, T; Н) и почти всюду в Q, E.32)
и^и слабо в L"{0, T; V's), E.33)
А(и„)^>% слабо в Lp'@, T; V'). E.34)
Зафиксируем /; заметим, что
Ь(иц, и^.ш,)^Ь{и, и, w,) в ЗУ(]0,Т[) (например!). E.35)
Действительно, если <ре0(]О, Т[), то имеем:
т т ¦ .
J &(«ц, «ц,
о о
п
J «цг«цб (Dkwti) qidxdt-y
i, A=l Q
T
-*— ^] | UtUk{Dkwn)qdxdt= j b{u, u, wficpdt,
так как и^и^^-ЩЩ в Ll{Q) (заметим, что р > 2). Таким
образом, из E.20) следует, что для всех /
(«', w,) + v (x, wt) + & (и, ы, W[) = (/, да/). E.36) •
Отсюда мы выводим, что
(«', к) + v (х, <0 + & («, и, v) - tf, D) Ур е У4. E.37)

224 Гл. 2. Метод монотонности
Однако в силу теоремы Соболева
r'-p(Q)c:L<(Q), ~ = j-± E.38)
(где q конечно и произвольно при ^ 0] и форма b (и, v, w)
непрерывна на V при—(—^ 1, т. е. р^ ¦ ?2 , что выпол-
выполняется при условии E.15). Следовательно, по непрерывности
равенство E.37) справедливо Va e V.
6) Предельный переход (II). Использование монотонности.
В силу E.31), E.33) Ыц@)->ы@) в V'S (в частности), поэтому
.и@) = и0;
мы докажем теорему, если проверим, что
% = А(и). E.39)
Прежде всего мы проверим следующее:
если и, ое^@, Г; V)f\L°°@, T; Н), и если имеет
место E.15)'), то функция /->b(u-(t), u{t), v@) E.40)
принадлежит V @, Г).
Действительно, если перейти к слагаемым суммы E.21), то
нам надо показать, что когда
и,
функция
, T; ^"(Q^n^CO, T; L2{Q)),
/-> J uvDiudx принадлежит L'@, T).
J
а
В силу E.38) (мы можем ограничиться случаем ~х~~^>^'>
другие случаи проще):
L"{0, T; W!o "(Q)) П L™(о, Г; L2(Q)) с:
cLp@, Т; L?(Q))nL°°(O, Г; L2 (Q)) с: LP (О, Г; La(Q)),
где
1 _ 1-е е _ 1 -е i _ 1-е . е
') Именно в этом месте существенво, по-видимому, используется пред-
предположение E.15).

5. Один класс модификаций уравнений Навье—Стокса 225
Мы выберем 9 таким образом, чтобы р = сг, т. е. пусть
2/(я + 2); тогда
V (О, Т; Wk " (Q)) П L™ (О, Т; L2 (Q)) с Lp (Q), E.41)
1
2 1
Мы получим требуемый результат, если —|—s^l, т. е. если
E.15) имеет место.
Теперь мы собираемся вывести неравенство
S S
¦i-1 и (s) P+v J (х, и) Л > J (/, и) Л + -| | «о I2 почти всюду'). E.43)
о о
Зафиксируем s0, sg]0, T[, so<s; пусть 9от — непрерывная
кусочно линейная функция на [О, Т], Qm(t) = l, если sQ +
+ |- < ' < « - |-. 6т (/) = 0 при / > s - -1 или при f < s0 + -± .
Пусть рт — регуляризующая последовательность в 3)(R), PnW^1
= Р„(-0.
J pn{t)dt = \, носитель р„ принадлежит Г— —, —1.
При п > 1т (ср. с доказательством теоремы 9.2, § 9 гл. 1)
положим
v = ((8ти) * р„ * р„) 9т E.44)
и подставим функцию v = v{t), определенную с помощью E.44),
в E.37) (что законно).
Заметим, что
т т
J (и', v) dt= J (9ти', (9ти) * р„ * р„) dt =
о о . ¦
г • г
= J ((W * Р». (8ти) * pn) dt - J (9'ти, (8тй) * р„ * р„) dt =
о о
т т
= - { (9U (9ти) * р„ * р„) dt -^z* - { 9т9^ \ufdt.
') Мы не знаем, имеет ли место равенство в E.43).
8 Зак. 46

226 - Гл. 2. Метод монотонности
В силу E.40)
г- ¦ . г ¦
Т Ъ {и, и, v) dt —¦-> f Q2mb (и, и, и) dt = О
(поскольку b(u, u,u) = 0 Vh e К),
и мы, следовательно, получим:
т j; т
J(-еХ)|иfdt + v Je2m(x, u)dt=je2m(f, «)dt. E.45)
о о о .
Теперь мы можем устремить m к бесконечности; заме-
заметим, что
г . - _
J (- Bm#m)\ U?dt'-*±\ U(S)?-J\U (So) F
• 0
для почти всех s') и s0,
и, следовательно,
s s
. 11 «(s) p + v J (x, u) dt = 11 и(s0)J2 + J (f, u\dt E.46) .
So so
для почти всех s и s0.
Однако, поскольку и е L°° (О, Г; Я), можно найти последо-
последовательность sm -> 0, не исключительную для E.46) и такун\, что
u(son) слабо сходятся в Я; так как и (s) -> и @) = ы0 в К{, то
"(^onJ-^Wo слабо в Я. E.47)
Зафиксируем теперь значение s, не исключительное для E.46),
и возьмем «о —*оя- В силу E.47) мы получим E.43).
Теперь мы можем доказать E.39), используя монотонность А2).
Положим для <peLp-@, T; V) * ¦
^ = v J (Л (В|1) - А (ф), ый - ф) rf/ + -g-1 «и E) Р. E-48)
о ,
где s не принадлежит исключительному множеству для E.43).
') Не путать с s, введенным н E.17I ,:
2) Нетрудно проверить монотонность оператора А: он является градиен-
градиентом функционала
-j J|Vd|p<**.

5. Один класс модификаций уравнений Навье—Стокса 227
Выбирая подпоследовательность (если это необходимо), мы
можем считать, что
uli(s)-*u(s) слабо в Я,
и, следовательно, используя, кроме того, монотонность А, мы
из E.48) выведем, что
>i-|«(s)|2. E.49)
Однако в силу E.20)
К = J V. Щ) dt + т!«ой Р - v J (А(«Д ф) dt -
о
где .
S
X°=j(f, u)dt+
о ¦ о
Таким образом, учитывая E.49), найдем:
s s s
Из этого неравенства с учетом E.43) получим, что
v J (х — А (ф), и — ф) dt > 0 для почти всех 5. E.50)
о - - -
Отсюда выводится E.39) с помощью стандартной процедуры ф
Замечание 5.3. Вопрос о единственности решения из
теоремы 5.1 является открытым. В этой связи см. частичный
результат о единственности в следующем ниже п. 5.3ф
Замечание 5.4. Утверждение теоремы 5.1 справедливой
в случае задачи 5.2".
Более того, можно показать, что при фиксированном v > 0
можно найти последовательность, чисел vo-> 0 и решений {иУ\ р?)
задачи 5.2, таких, что «V|l-> и слабо в Lp@, T; V) и при этом и
является решением задачи 5Л «

228 Гл. 2. Метод монотонности
Замечание 5.5. Стационарный случай. Стационарная за-
задача, соответствующая задаче 5.1, сводится к нахождению и
и р„ таких, что
2
diy« = O, ы = 0 на Г.
Можно применить теорему 2.4, из которой следует существо-
вание решения из Whp(Q) при .
В самом деле, поскольку оператор А: V-+V монотонный,
семинепрерывный и коэрцитивный, то единственное, что надо
выяснить: в каком случае оператор
и -> 2
отображает V в V I поскольку тогда У\ \ ul(Diuj)u1dx = o\.
Последнее имеет место при условии E.52); все сводится
к изучению интеграла
J uv{Dtu)dx, и, tie W\'" (й),
Q
который сходится при 2/<7+1/р^1, где l/q=l/p — l/n, что
приводит к E.52)«
5.3. Одна теорема единственности
то следующий частичный р
я задачи 5.2:
Теорема 5.2. Предположим, что1)
Имеет место следующий частичный результат о единствен-
единственности решения задачи 5.2:
E.53)
Тогда задача 5.2 имеет и притом единственное решение
u<=Lp@,T;V)nL°°@,T;H).
Доказательство. Мы можем остановиться на случае
п > 2. Случай я = 2 более простой. Покажем, что наша теорема
') Это предположение более ограничительное, чем E.16).

5. Один класс модификаций уравнений Навье—Стокса 229
следует из теоремы 6.8 гл. 1. В самом деле, если и -я и* суть
два решения, то
г • .
v J (А (и) - А («'), и - и*) dt > 0, E.54)
о
и мы можем рассуждать таким же образом, как в теореме 6.8
гл. 1, не учитывая член E.54)')•
Из доказательства теоремы 5.1 (см. п. 6)) мы знаем, что
E.55)
Мы выведем наш результат из теоремы 6.9 гл. 1, если нам
удастся так подобрать 0, чтобы
т. е.
E.56)
Итак, должно выполняться неравенство 1 — 9^1, которое
согласуется с E.56), если выполнено E.53)»
5.4. Изучение задачи 5.3
Что касается задачи 5.3, то для нее справедливы следующие
результаты. Обозначим:
V = замыкание Г в (Яо(Й)))- E.57)
Тогда имеет место
Теорема 5.3. Предположим, что
п<4. E.58)
Тогда существует функция и, являющаяся решением задачи 5.3
и удовлетворяющая включению
ue=L* (О, Т; V) Л L™ (О, Г; Я). E.59)
') Вероятно, существуют не использованные нами возможности улучше-
результатов.
. 2) Предполагается, что р< п. Случай р р> п более простой.
ния результатов.
~\ Предполагается, что р< п. случай р -Э> я более прос
8) В § 6 гл. 1 это пространство обозначается через V,

230 Гл. 2. Метод монотонности
Теорема 5.4. Если предположить, что
п<3, E.60)
то будет существовать единственное решение задачи 5.3, удо-
удовлетворяющее E.59).
Замечание 5.6.'Проблема существования и единствен-
единственности является _ открытой для я>4; для я > 5 открытым
является и вопрос о существовании«
Доказательство теоремы 5.3. 1) Заметим, что опе-
оператор
и-* —1| и|РЛи
является монотонным оператором из V в V, поскольку он от-
отвечает градиенту функционала
2) Далее используется тот же самый метод, что и при до-
доказательстве теоремы 5.1. Заметим, что благодаря условию
v, > 0 можно получить оценку
ит ограничены в L4@, T; V). E.61)
Метод доказательства теоремы 5.1 будет применим к нашей
ситуации, если мы установим аналог утверждения E.40),
а именно:
если и, ogL4@, Т; V)()L°°(O, Т; Н) и если я<4,
то функция t-+b(u{t), u{t), v{t)) принадлежит E.62)
Ll @, Т).
Переходя к слагаемым, мы должны будем проверить, что
если
и, «6=L4@, T; tfJ(Q))nr°(O, T; L2 (Q)),
то
Последнее верно при единственном предположении, что
«,se L4@, Г; Яо(й)), когдап<4, поскольку тогда Яо(Q) с L4(Q)
и, следовательно, и, oei4(Q)(
Доказательство теоремы 5.4. Как и при доказатель-
доказательстве теоремы 5.2, применим теорему 6.9 гл. 1. Если и удовле-
удовлетворяет E.59), и даже если только
ие^@, Г; У),
то
щ s I4 (О, Г; Hi (Q)) с L4 (о, Г; Г (Q)), j = j - ± .

5. Один класс модификаций уравнений Навье—Стокса 231
(при /г>2; случай п = 2 более легкий) и -J + — ^ 1, если имеет
место E.60)»
Замечание 5.7. Мы доказали несколько больше, чем
утверждалось: имеет место единственность в классе функций,
принадлежащих L2@, Т\ \)щ.
Замечание 5.8. При фиксированном v0 > 0 пусть «Vi —
решение задачи 5.3 (единственное при /г^ 3). Тогда, если п <[4,
то можно найти такую последовательность v, -> 0, что
и^-+и *-слабо в L2@, T; V)fH°°@, Т; Н), ' ¦
где и является одним из решений задачи для уравнений
Навье — Стокса, изученной в § 6 гл. 1. В случае и = 2 схо-
сходится вся последовательность «V| (в той же самой топологии)
к единственному решению и задачи для уравнений Навье—
Стокса ф
Замечание 5.9. Можно установить одно свойство глад-
гладкости решений задачи 5.3, используя предположения о глад-
гладкости данных:
Теорема 5.5. Рассмотрим задачу 5.3 при п^.3. Предпо*
ложим, что
f,f e=L2@, Г; V), /@)еЯ, E.63)
и что
» I
функционал v-+ V J DiUol • DiVjdx непрерывен
'. i-ia E.64)
на V в топологии, индуцированной Н.
Тогда решение и задачи 5.3 из класса E.59) удовлетворяет
включению
и' е L2 @, Г; V) П L~ @, Т; Я). E.65)
Доказательство. Предположим, что п = 3 (случай я = 2
более легкий). Чтобы упростить запись, для н, sgV положим
_ . Щ-Щ**- E-66)
Тогда • '
а(о, о) = 11 о IP, E.67)

232 Гл. 2. Метод монотонности
и мы имеем:
(и'(t), v) + voa(u(t), о)+ v, || «(Q |р а (и @, о)+ 6 (и (<),«(*), о) =
= (f@, ») VoeV. E.68)
Дифференцируя по t ^формально; все это можно обосно-
обосновать, применяя, например, метод Фаэдо—Галёркина), получаем:
(и" (О, v) + (v0 + v, ||«{t) |p) а (и' @, v) + 2v,a(«'@. «@) а («@, »)+
+ 6 («' @, «@, о) + Ь {и (/), и' @, о) = (F @. о) V» e V. E.69)
Полагая о = «'(/) в E.69), получим:
ъ4г I «' @ I2 + (vo + v, II и (/) IP) а («' @, и' @) +
+ 2v,a («' @, «(ОJ + 6 (и' @, и (/), «' (/)) = (Г @, «' (/))• E.70)
Имеем:
\Ь(и, v, и)|<с,Ии|Е,(О)||о||. E.71)
Нам понадобится
Лемма 5.1. Если я = 3, то справедливо неравенство
;^ l ' E.72)
Тогда из E.71) следует, что
b(u'(t), и@, и/@I<Сз11
и подставляя в E.70), получим:
jf I «' (О I2 + vo II и' @ |р < 2с41| и (О |Г> | и' (О Р +
+ 21| ПО У «'(О II E.73)
(где || IL обозначает норму, дуальную норме || ||).
Ввиду предположений E.63), E.64) «'(О)еЯ, и E.73) при-
приводит к оценке
t t
I "' (О Р + vo J II и' (a) ||2 rfa < 2c4 J || ы (a) ||* | «' (a) P rfa +
о о
_ t
4- 2 j* || Г (cr) IU !|«' (or) И rfcr -f-! «' @) P,
0
t
2 { IIV (a) IL || u' (a) \\da <-^ J ||«' (a) tfdo + c5,
о
а поскольку
t t

6. Метод монотонности и гиперболические уравнения 233
то окончательно получим:
t t
I «' (О Р + vo JII«' (a) IP rfa < с6 J || ы (a) ||« |'«' (a) p da + c7. E.74)
о ' о
Мы можем применить лемму Гронуола, поскольку мы уже
знаем, что «Gi((О, Т; V). Тогда мы получим требуемые
априорные оценки
| ы' (/) р < с7 exp U J II «(а) II1 da] < с8)
\ о /
t
Доказательство леммы 5.1. Имеем: Я (Q) с: L (Q),
1 1-е 1
2 3
если -^ о—^х» случай 0 = lU является предельным. Сле-
Следовательно, Vf <= Я1 (Q)
откуда и следует E.72)«
6. МЕТОД МОНОТОННОСТИ И НЕЛИНЕЙНЫЕ
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
6.1. Постановка задачи. Теорема существования
и единственности
До сих пор мы применяли метод монотонности к эллипти-
эллиптическим и параболическим задачам. Естественно спросить, при-
применим ли этот метод к монотонным нелинейным гиперболиче-
гиперболическим задачам.
Этот вопрос еще-далек от решения, в полной мере удовле-
удовлетворительного; см., например, проблему 11.9. В этом пункте
мы приведем простой пример, где этот метод применим; мы
обратимся вновь к ситуации, уже рассмотренной в § 3 гл. 1,
на этот раз принимая во внимание монотонность. Волее общие
ситуации изучены на основе тех же самых принципов в работе
Лионса — Штраусса [1] гл. 2.
Замечание 6.1. Другие нелинейные гиперболические за-
задачи изучены в п. 2.3, 2.4 гл. Зф

234 Гл. 2. Метод монотонности
Мы вновь обращаемся к задаче, поставленной в п. 3.1 гл. 1.
Речь пойдет о нахождении функции и, являющейся решением
задачи
«"-A« + |«T2«' = f в Q = QX]0,n A<р<оо), F.1)
ы = 0 на 2, . F.2)
и(х,0) = ио(х), и'(х,0) = щ{х), *ей; F.3)
здесь р заменено на р — 2. Будет доказана
Теорема 6.1. Предположим, что заданы такие /, и0, щ,
что
feEL2(Q) + Z/"(Q)'). F.4)
«,e^(Q), «,eL2(Q). F.5)
Тогда существует, и притом одна, функция и, удовлетворяю-
щая включениям
и € Г°@, Т; #J(Q)), W e L°° (о, Т; L2 (Q)), F.6)
a'eL"(Q) F.7)
и условиям F.1), F.2), F.3).
Замечание 6.2. 1) Условие F.2) в действительности сле-
следует из принадлежности и к L°°@, Г; #o(Q)).
2) Условие F.7), очевидно, бесполезно при р < 2.
3) Как следует из F.1) и F.6), F.7^,
ы" € L2 (О, Г; Я (Q)) + Lp' (Q), F.8)
так что определено м'@) и второе условие F.3) имеет смысл ф
Замечание 6.3. Предположения о данных задачи здесь
менее сильные, чем в теореме 3.1 гл. 1, и (естественно) полу-
полученное решение более слабое. Здесь мы встречаемся еще раз
' с общим явлением: метод монотонности (если он вообще при-
применим!) позволяет переходить к пределу при меньшем числе
априорных оценок по сравнению с методом компактности и по-
получать более слабое решение при меньших ограничениях на
данныеф • •
Теорема 6.1 будет доказана в двух последующих пунктах.
') Как обычно, 1/р+ 1/р'=\. Очевидно, что в случае ограниченной об-
области Q включение F.4) эквивалентно включению /e?mln( lP'(Q).

6. Метод монотонности и гиперболические уравнения 235
6.2. Доказательство существования
Обозначения:
<1 Q
p(o) = | v Г2 v, (f, g)=jfgdx, |/ | = (/, /)Vj, || о || =a(», vf.
и
1) Применим метод Фаэдо — Галёркина с «базисом» wu ...
..., wm, ... в пространстве V[)LP(Q).
Тогда um(t)^ [ay,, ..., tom] определяется (локально по i)
из задачи
(С »/) +а («-. »/)+(Р К
F.9)
ыт(О)=ыОте[ау„ ..., wm], uOm-^uo в V, F.10)
<(°) = И1-,еК ••-аУт]. ",т->", В Я. F.11)
Из гея же сал<ь« априорных оценок, что и в п. 3.2 гл. 1,
следует, что
ит ограничены в L°° (О, Т; V),
^ I ||"| 1/1 Н П Ч Г~ М |-ъ| 1-4 Г. Ill Ш fllllf~ II II
и' ограничены в L°°@, Г; H)(]LP(Q).
Мы сейчас покажем, что этих оценок и монотонности до~
статочно для перехода к пределу.
2) В силу F.12) можно выделить такую подпоследователь-
подпоследовательность ы^, что
tip-*и *-слабо в L°°@, Г; V), F.13)
«;->«' *-слабо в L°°@, T;H) и слабо в V (Q),
Р(«О-»Х слабо в L"'(Q). F.14)
В силу F.13) ЫрДО)-» ы@) слабо в Я (например) и, следо-
следовательно, и@) = ы0. Применяя F.9) для /п = ц при фиксиро-
фиксированном /, мы получим, что
(и", wt) + а (и, Wj) + (Х, Wj) -= (f, w,) Vay/.
Тогда
(и", v) + a (и, v) + (х, v) = (/, v) Vv<=V()Lp @)
и, следовательно,
и" + Лы + х = / (Л = —А). F.15)

236 Гл. 2. Метод монотонности
Таким образом, мы установили F.8). Кроме того, мы по-
получили, что
¦^-«, Wj)-*(f, w,)-a(u, в»/) —fa, ау/) = -^-(ы') w,)
слабо в L2@, Г)+1р'@, Т), следовательно,
« »/) 1<=о = («in. W/t* («' (°). а»/)
и, таким образом,
(«!, w/)==(«' @), tei/) V/, следовательно, и'@) = щ.
Итак, для доказательства существования нам остается про-
проверить, что
Х = Р(«')- F-16)
3) Ниже будет доказана
Лемма 6.1. Пусть функция w такова, что
w<=L°° @, Т; V), w' е Vя @, Т; Н) [\ L" @, Т; L" (Q)), F.17)
w» + Aw = g, geL2@, Г; Я) + Lp'(О, Г; Lp' (Q)), Jg)
да@) = и0. »/@) = и,.
ГоеЗа йля почгы всел: / s [0, Г] ыл<еел<'):
t
a (w (/), w (/)) +1 в»' @ Р > а («о. «о) +1«. Р + 2 J (g, w')do. F.19)
о
Теперь мы хотим вывести, что
t t
l!m inf J (p K) - р(ф), «a - Ф) da < | (x - P (ф), и' - Ф) da F.20)
о . о
для всех /, не исключительных для F.19), и VfsLp(Q).
Ha самом деле для .доказательства F.20) достаточно про-
проверить, что
lim inf J (p (ul), wd) da^j (%, W) da. F.21)
0 0
С другой стороны, из F.9) следует, что
t
i- a (B|l (t), ч @) + у 14 @ F + { (Р (и«, «У da =
i
{й(иод, иод) + у! и, J + { (/, иу rfa. F.22)
') В F.19) имеет место равенство, если ио = О, и, = 0; ср. с п. 6.3.

6. Метод монотонности и гиперболические уравнения 237
Однако при фиксированном t можно считать (в противном
случае ввиду F.12) мы из и^ выделим новую подпоследова-
подпоследовательность), что
uti(t)-*ibo слабо в V, «Ji@-*i|>! слабо в Н.
Рассуждая таким же образом, как в конце п. 2), мы про-
проверим, что
Фо =«(*), 1>1 = «'(*).
Далее из F.22) мы заключаем, что
t
\а{и @, и (/)) + j I и' @ р + lim inf J ф (at), at) rfff <
о
< у а («о. «о) + у I «. f + J (/. «') rf<r. F.23)
о
Однако благодаря F.15) мы можем к функции и применить
лемму 6.1, полагая g = f — %. Тогда из F.23) мы выведем, что
t t t
lim inf | (p (at), at) rfa < J (f, «') rfa + \ (% - f, W) da,
0 0 0. .
откуда следуют F.21) и F.20).
Из монотонности р вытекает, что
t
и, таким образом, F.20) приводит к неравенству
t
J (X — Э (ф). и' — Ф) rf
для всех t, не исключительных для F.19); беря t=tk-*T, где tk
пробегает не исключительные значения, мы сможем заклю-
заключить, что
т
/ V<peZ/(Q), F.24)
откуда F.16) выводится с помощью обычной процедуры.
Таким образом, для доказательства существования нам оста-
осталось установить лемму 6.1.
Доказательство леммы 6.1. Мы воспользуемся прие-
приемом, который уже применялся в п. 6) доказательства

238 Гл. 2. Метод монотонности
теоремы 5.1. В обозначениях § 5 положим
v = ((Qmw')*Pn*pn)Bm. F.25)
Это выражение можно переписать в виде
(Fшш>)' * р„ * р„) 6m — ((Q'mw) * р„ * р„) 9т,
что позволяет скалярно умножить обе части F.18) на v(t) и
проинтегрировать. Получим:
Xam+Ynn=j{g,o)dt, F.26).
о
т
Хпт = { 6m {W, (Bmw') * Р„ * Р„) Л,
О
Т
Упт = J бтй (», (8тВ»') * Р„ * Р„) dt.
О
Но
Т
о
Далее,
)' * р„, (ema»0 * Р„) dt -
- {((в'тюо * р», (emw0 * р„) л=
о
т
= - J (F'ma»0 * р„, (вта»') * р„) Л -*
о
т
-*— { Sm&m\w'?dt при «->оо.
о
г
т
з((8шш>) * р„, Fшш>)' * р„) dt —
о
т
— | а((9ти>)*р„, (ЭтйУ)*
о
г
= - J а ((втю) * ря, (втй.) * ря) Л -»-
о
г
-*¦ — ( BmQ'ma{w,w)dt при л-*-оо.

7. Метод аппроксимации эволюционных операторов 239
Тогда из F.26) следует, что
т т т
- { QmQ'm \w f dt - | QmQ'ma (w, w)dt=\ (g, (9^0) dt,
0 0 0
и, устремляя m к бесконечности, получим:
уI »'(912 + 4а(^@, a» @) = у I a»' (s)\2 + ja(w(s), w(s)) +
t
+ J (g, w') da для почти всех s и t. F.27)
s
Однако ввиду F.17) мы можем считать, что w(s)-*Q0 слабо
в V, когда s->0 и w'(s)~j>-Ql слабо в Я, а поскольку w(s)—>
-*w@)=u0 в Я и w' {s) ->• ш' @) = ы, слабо в y' + Lp(Q), to
мы видим, что90 = ы0, 8] = «j. Следовательно, при s—»0 имеем:
w(s)-+u0 слабо в V, ffii'(s)-*ui слабо в Я; с помощью F.27)
получаем F.19)ф
6.3. Доказательство единственности
Прежде всего покажем, что в F.19) при ио = О, щ=0 имеет
место равенство, т. е.
a (w @, а» @) +1 а»' (/) Р = 2 J (g, W) da. F.28)
о
Действительно, продолжив w и g нулем при ^ < 0, мы при-
придем к F.27) для почти всех s, t<^ ] — оо, 7"[. Выбирая не исклю-
исключительное s < 0, мы получим F.28).
Пусть, далее, ы, и ы2 суть два решения рассматриваемой
задачи. Полагая щ — u2 — w, получим:
ввиду равенства F.28)
а (хю @, о» @) +1 "а»' @ Р = - 2 J (р (и() - р (о5), «i - ui) da < 0
о
(здесь использована монотонность р), откуда а> = 0ф
7. МЕТОД АППРОКСИМАЦИИ ЭВОЛЮЦИОННЫХ
ОПЕРАТОРОВ СТАЦИОНАРНЫМИ
7.1. Общие соображения
До сих пор мы изучали эволюционные уравнения, используя
метод Фаэдо — Г алёркина (иногда со «специальными базисами»)
и переходя к пределу по «компактности» или по «монотонности».

240 Гл. 2. Метод монотонности
Возможны и другие «отправные точки», об одной из которых
мы собираемся здесь говорить, другие методы указаны в по-
последующих главахф
Основная идея приведенного здесь метода состоит в том,
чтобы просто «заменить» оператор djdt разностным отношением
(I — rh)/h, где тА — сдвиг вправо по t на h, т. е. «приблизить»
уравнение
4L+A(u) = f - G.1)
уравнениями вида
LzpLUh + A(utl) = f. G.2)
Уравнение G.2) по своему характеру эллиптическое (оче-
(очевидно, что мы все это будем дальше уточнять). Таким образом,
«достаточно» решить G.2), а затем устремить h—>Q.
Заметим, что в этом контексте естественно ввести полу-
полугруппу s—>-ts; ее инфинитезимальным производящим операто-
оператором является оператор — d/dt, определенный на функциях, рав-
равных 0 при t = 0. Мы заменим ts «общей» полугруппой G(s),
что приведет к новым приложениям ф
7.2. Теорема существования для абстрактных
эволюционных уравнений
7.2.1. Данные. Пусть задано линейное топологическое ло-
локально выпуклое сепарабельное пространство Ф, пусть Ф' — со-
сопряженное пространство и (ф, f) — скалярное произведение
феФ и f <=Ф'.
Пусть заданы три пространства У, Ж, У, причем
ФсГсФ', Фс^сФ', ФсГс^;
все вложения непрерывны, и каждое пространство
плотно в объемлющем; G.3)
Ж—гильбертово пространство (со скалярным произ-
произведением (ht, h2)sc и соответствующей нормой || h ||да); G.4)
У — сепарабельное рефлексивное банахово про-
пространство с нормой || \\г, G.5)
V — сопряженное пространство к У с дуальной
нормой || |^. G.6)

7. Метод аппроксимации эволюционных операторов 241
Если ф, i|) s Ф, то имеем:
(ф, ^) — (ф. "$)эс ~ скалярное произведение ф (рас-
(рассматриваемого как элемент У) и г|) (рассматривае-
(рассматриваемого как элемент У). G.7)
Предположим еще, что
Ф плотно в Т(]Тп). G.8)
Далее мы сделаем более детальное предположение щ
Замечание 7.1. Из G.8) следует, что
У^У'аЖ. G.9)
В самом деле, если (реФ, то имеем:
откуда ввиду G.8) следует G:9) щ
Замечание 7.2. Если У с Ж, то можно не вводить Ф;
отождествляя Ж с его сопряженным, будем иметь:
У^Ж<=.У'щ G.10)
Пример 7.1. Пусть V, Н, V — такие же, как в п. 1.4 и
замечании 1.2; тогда
VczHczV. G.11)
Вводя
F = Lp@, Т; V), Ж = L2@, Т; Н), Г' = L"'@, Т; V), G.12)
мы придем к ситуации G.10), если р^2. При 1 < р < 2 будет
иметь место «общя.я» ситуация, если мы возьмем
Ф = 0ЦО, f]\V)9
Пример 7.2. Возьмем теперь
V = Wo'p(Q), H — L2(Q), V = W~ 'р (Q) G.13)
и предположим, что
Тогда V не содержится в Я. Если мы определим У, Ж
таким же образом, как в G.12), то мы придем к «общей» си-
ситуации, выбирая
Ф 0ЦО Т]&@)) G.15)
') Снабженном нормой || о ||у +1 о

242 Гл. 2. Метод монотонности
Мы должны проверить G.8). Для этой цели введем-после-
введем-последовательность функций ф„ <= Ф (Q), где ф„ = 1 при d (х, Г) > 2/га'),
Ф„ = 0 при d(x, Г)<[ 1/« и функция ф„ гладко подходит к нулю
при l/n<d(x,T)<2ln.
Тогда q>nv-+v в L^O, Т; Wo4(Q)) для всех о из этого про-
пространства, l^q < оо. Из соображений двойственности фЛа-* о
в L" (О, Т; W~ '" (О,)) для всех о из этого пространства. Таким
образом, установлено, что
Vi>e=mF' VnV^-v в FflF' G.16)
и, кроме того, при каждом п носитель q>nv принадлежит
К X [0. Л. гДе К — компакт в Q. Следовательно, мы можем
рассматривать ф„о=гг) как элемент пространства
L" @, Т; W1'р (R")) П L"' @, Т; W~l>"'(R")). G.17)
Пусть рт — регуляризующая последовательность и рт, ска-
скажем, четные функции из 0(R"); если * означает свертку по х,
то будем иметь
pm*w-+w в L"@, Г; W'-
для всех да из этого пространства; из соображений двойствен-
ности мы также получим, что
Рт * w -* w в L* @, Г; W' ^ (R"))
для всех w из этого пространства и, следовательно,
pm*w->w-B пространстве, определенном в G.17),
для всех w из этого пространства. G.18)
"Более того, используя продолжение нулем на все R* и ре-
регуляризацию, по t, мы увидим, что ?> ([0, Т]; W1" (Q) A W~x'p' (Q))
плотно в УПГ, и, комбинируя эти замечания, мы придем
к G.8). Более точно:
можно найти последовательность таких операторов
то^о в Г
(соответственно в У") Vnef (соответственно
cef), G.19)
Замечание 7.3. Из предыдущего примера и G.9) сле-
следует, что
Wlo"(Q)(]W~up'{Q)c:L2{Q), G.20)
d (х, Г) — расстояние qt х до Г.

7. Метод аппроксимации эволюционных операторов 243
Это вложение не вытекает из теоремы Соболева при усло-
условии G.14)ф
Теперь мы определим операторы Ani, которые являются
соответственными обобщениями djdt и «ы->/4(ы(.))»ф
Оператор Л. Пусть задано семейство операторов G(s),
таких, что
G (s) — непрерывная полугруппа в У, Ж, Г1), G.21)
G (s) — сжимающая полугруппа в Ж, т. е.
Пусть, далее,
— Л есть инфинитезимальный производящий опе-
оператор полугруппы G (s) с областью определения
D{A;T) (соответственно D(A; Ж) или D(A; У))
в У (соответственно в Ж или У). • G.23)
Пусть G* (s) — полугруппа, сопряженная к G(s), также дей-
действующая (соответственно) в У, Ж и У. Пусть — А* есть инфи-
инфинитезимальный производящий оператор G* (s) с областью опре-
определения D(A'; У) в Г, D(A'; Ж) в X, и т. д. Оператор Л* в Ж
(соответственно в Т или У") является сопряженным (в смысле
теории неограниченных операторов) к оператору А в Ж (соот-
(соответственно в У" или в У).
Имеем:
D (Л; Т') П Т (соответственно D (Л*; У) П У) плотно в F2). G.23')
Теперь мы хотим определить Л как неограниченный опера-
оператор из У" в У" с областью определения D(A; Т, Тг).
Положим
D (Л; Т, У) =. {v | v e У и v таково, что линейная
форма w-*(v, A*w) непрерывна на D{A*;Y')fly
в топологии, индуцированной топологией в Т). G.24)
Тогда существует единственный такой элемент |0 е У, что
(v,A'w) = (lv, w). G.25)
') То есть имеются три непрерывные полугруппы, совпадающие на Ф.
2) Для uef и заданного е выберем <р е Ф так, чтобы || и — <р |
и заметим, что
при п -*¦ оо.

244 Гл. 2. Метод монотонности
Если v ¦<= D (Л; V) П Т, то |о = Ло, и тем самым в общем
случае мы имеем право положить |0 = Лу, откуда
(о, Л*ш) = (Ло, ш) Уш<=О(Л*;Г')П^. G.26)
Снабдив D(A;T,T') нормой || v \\y -\-1| Aw Ц^.,, мы получим
пространство Банаха (проверка очевидна). Аналогично опре-
определим пространство D (Л*; Т, У')щ
Замечание 7.4. Имеем:
если Г с Ж, то D (Л; Г, Г') = Г П D (Л; Т')
и D (Л*; Г, П = Г Л D (Л*; У") в G.27)
В том случае, когда Т не содержится в Ж, мы предпо-
предположим, что
Г Л D (Л; У") (соответственно Г Л D (Л*; У)) плотно
в О(Л; У, У") (соответственно в О(Л*; Г, Г1). G.28)
Замечание 7.5. Имеем:
(Ао, о)>0 VoeD(A;r, ГО- G.29)
Действительно, в силу G.28) достаточно доказать G.29) для
всех v из У Л D (Л; У). Рассмотрим
(pn) = JG(s)pn(s)ds,
где р„ — регуляризующая последовательность из &>(]0, оо[).
Пусть »еГПО(А; У")- Тогда G(pn)y->y в T[\D(A; У), когда
р„ стремится к мере Дирака, сосредоточенной в начале, и
а, следовательно, в силу G.2) ш = 0(р„)ое?>(Л; Ж). Однако
(Лш, ш)>Ов силу G.22), откуда и следует наш результат«
Замечание 7.6. Аналогично,
(А'о, о)>0 У0€=О(Л';Г, *")• G.30)
Оператор ^. Рассмотрим нелинейный оператор st:
Y_~*W, удовлетворяющий следующим условиям:
s&\ T -> У — ограниченный семинепрерывныи оператор, G.31)
•Я0 —оператор типа (М) (см. замечание 2.1), т. е.
если иц->и слабо в Т и ^(«ц)-*-Х слабо в Y? и
если limsup(^(ы„), «!»)<(x. "). то х = ^(ы), G.32)

7. Метод аппроксимации эволюционных операторов 245
7.2.2. Теорема
Теорема 7.1. Пусть заданы операторы Л и бФ, удовлет-
удовлетворяющие G.21), G.22), G.23), G.28) и G.31), G.32), G.33).
Тогда для заданного f из У" существует такое и, что
u<=D{br,V), G.34)
Au-{-st(u) = f. G.35)
Замечание 7.7. Если У с Ж, то включение G.34) озна-
означает (см. G.27)), что
u(=TnD(A;T')9 G.34')
Доказательство теоремы мы разобьем на два этапа.
7.2.3. Приближенное решение. В свете того, что было ска-
сказано по поводу G.1), G.2), «естественной» аппроксимацией
уравнения G.35) служит уравнение
7GW)-f (A>0). G.36)
Однако если Т не содержится в Ж, то G.36), вообще го-
говоря, не имеет решения, и необходимо подходящим образом
модифицировать это уравнение. Выберем такую последова-
последовательность Эй е ] 0, 1 [, что
1 о
—?-*-> 0 при Л->0. G.37)
(Полагаем 8А=1 при Та Ж.) Положим далее
и заменим G.36) уравнением
= /. G.39)
Сейчас будет доказана
Лемма 7.1. Уравнение G.39) имеет решение ин
Доказательство. Рассмотрим оператор
Оператор $ ограниченный и семинепрерывный, а поскольку
G.40)
имеем:

246 Гл. 2. Метод монотонности
Следовательно, в силу замечания 2.1 лемма будет доказана,
если мы проверим, что $1 — оператор типа (М).
Итак, пусть и^-*и слабо в Т{\Ж, при этом
#("n)-*g слабо вГ + 1
и
lim sup (#(«„), u^Xte, и). G.41)
Так как Аки^-*ЛАы слабо в 36, то имеем:
а (Иц) = # («ц) - ЛАы„ ->x = g — Ahu слабо вГ + Ж. G.42)
Поскольку оператор si ограниченный, мы можем считать,
что ^(«ц) слабо сходится в Т', и в силу G.42)
•^(Иц)-*Х = ? — ЛАы слабо в F'. G.43)
Но
С* К), «„) = (J* ("„), и) + (Л (ы„) - ЛАы, «„-«)-
- (ла(« - «ц). и — Иц)<№(Ыц), и) + (Jf(Иц) - ЛАы, U|t - ы).
(так как ЛА>0 в Т{Эв; Ж))
Поэтому
limsup(j/(«Д Ыц)<(х, ы),
а поскольку ^ — оператор типа (М), t = s4-\u) и, следовательно,
7.2.4. Предельный переход, по h. Из G.39) и G.40) следует,
что
(st{tih), «АХ(/, ид),
откуда вытекает, что
ин ограничены в У при h-*Q. G.44)
Следствие: ввиду ограниченности s4- можно выделить
такую- подпоследовательность (мы ее опять будем обозначать uh),
что
uh-*u слабо в Т, st(uh)-*x слабо в F'. G.45)
Возьмем теперь о из T{\D(A'; У). Из G.39) следует, что
К. Л» + (^ ("*)>") = (/.")• G.46)
Однако
л;о~-^^ + -Ц?с(АГ*. G-47)
и в силу G.37) Л*о-*Л*о в У; следовательно, из G.46) в пре-
пределе получим:
(и, A'v) + (х, v) = (f, о). Vt» е Г П О (А*; Г'), G.48)

7. Метод аппроксимации эволюционных операторов 247
а тогда (в силу G.25), G.26)) ые=О(Л; Г, Г') и
Au + x = f, G.49)
и теорема будет доказана, если мы покажем, что
X = s*(u). G.50)
С другой стороны, в силу G.39) для v ^T{] D(A.\ У) (тем
самым для v е Яв) имеем:
St(tlh), Вд —p)=(f, "А— О) — (Лд0, Ид—О)-(ЛД(ЦА—О), ИА —О)<
<(f, ыА - о) - (Лд у, ид - о), G.51)
(так как Л4>0 в f(^; Щ
откуда
lim sup (si (uA), ыА) < (x, о) + (f, « — v) — (Ло, ц — v)
VoefflQ(A; У). G.52)
Однако ввиду G.28) то же самое неравенство выполнено
VoeD(A; У, У'), и можно взять w = «; тогда
lim sup (^(«A), ид)<(х, и),
откуда следует G.50), поскольку зФ является оператором
типа (М)ф
Замечание 7.8. В теореме 7.1 имеет место единствен-
единственность, если, например,
{и) - s4 (о), u-t))<04« = ot G.53)
7.3. Приложения (I). Параболические уравнения
Обратимся к ситуации примера 7.1. Пусть задан оператор
si: V-+V, удовлетворяющий A.34), A.35), A.36). Тогда, если
оператор si определен равенством
(siv)(t) = A(v{t)) почти всюду, oef, G.54)
то будут выполнены предположения G.31), G.32), G.33).
Определим полугруппу G (s), полагая
0 при 0</<s,
ф(,_я) при s<t<T. G.55)
Тогда Л = djdt и, например,
0(Л;Г) = {о|оеГ,"-|т-еГ, и(О) = о}. G.56)
Тогда

248 Гл. 2. Метод монотонности
и без труда проверяется, что функции феС°°([0, Г]; V), ф@)=0,
плотны в D(A; T, У), откуда, в частности, следует G.28).
Таким образом, мы находимся в условиях применимости
теоремы 7.1, в силу которой существует решение u = u{t) за-
задачи
*L + A(u(t)) = f, u@) = 0.
Обратимся теперь к ситуации примера 7.2 при усло-
условии G.14), и пусть Л — тот же самый оператор, что и выше.
Тогда
. D(A;r,r') = {v\vt= L"(О, Т; Wo'"(Q)),
Проверим, что имеет место G.28). Пусть yeD(A; T, У).
Используя операторы умножения на ф„ и свертки с р„ (все
это операторы только по переменной х),- введенные в при-
примере 7.2, мы увидим, что v в ?)(Л; Т, У) можно приблизить
функциями w, удовлетворяющими, в частности, включениям
ws=L"@, T; Wo-p{®)(\W-Up'(Q)),
4J- е 1/ (О, Г; Wh " (Q) П ^"!i"' (Q)), G.58)
w @) = 0.
Однако w можно приблизить функциями ф?
щ С°° ([0, Г]; Wo'" (Q) П й7"'1"' (Q)), Ф @) = 0, откуда следует G.28).
Поэтому мы можем опять применить теорему 7.1ф
Замечание 7.9. Если »gL"@, Т; Wl0-"(Q)) и одновре-
одновременно tf'e=Z/'(O, T; W~Up'(Q)), то, как и в случае G.14), функ-
функция V. [0, T]-+L?(Q) непрерывна (после, быть может, испра-
исправления на множестве меры нуль из [0, Г]) и
т
J (v, v')dt =±\\v(T)fL,{Q)-±\\v(O)tfL,{Q)9
о
Приведём теперь приложения теоремы 7.1 к задачам, кото-
которые не включаются в рассмотренные нами раньше.
7.4. Приложения (II). Периодические задачи
Пространства Т, Ж, У определяются таким же образом,
как в п. 7.3.

7. Метод аппроксимации эволюционных операторов 249
Рассматривается полугруппа1) О (я) «поворотов окружности»:
-s+T) при -0<*<5,
Тогда A = d/dt,
D (Л; Г) = {а | о s F, o'eF.o @) = v (T)}. G.60)
Таким же образом, как в п. 7.3, проверяется, что выпол-
выполнено предположение G.28). Следовательно, в силу теоремы 7.1
существует функция ы, такая, что
«eLp @, Т; V), и' е L"'@, Г; F'). G-61)
и@)=-и(Г).
Здесь речь идет о решении, периодическом по t%
Таким образом, мы устанавливаем существование (а также,
в силу замечания 7.8, и единственность) решения и = и(х, t)
задачи
Y (I
2\
dt 2лдхг\\дх{
~Up'
u<=L" @, T; Wl" (Q)), u' e L"' @, T; W~u "' (Q)), G.62)
и@) = и(Г).
где p —заданное число, 1 < p < oo.
Если мы применим п. 3.1, взяв
те же Т, Ж, Т', что и выше, и оператор А, определенный
в C.15), то получим «периодический аналог» теоремы 3.1: су-
существует единственная функция и — и{х, t), являющаяся реше-
решением задачи
и- <= V (Q) П L" @, Т; Я (Q)), -|f e L"' (°- ^ F').
f „— а ня S^ G-63)
'V ""« на 2, ),
"ЗГ Ldx, (|ы|
и (ж, 0) =-«(*, Г).
') В действительности группа.
2) / и g удовлетворяют тем же условиям, что в теореме 3.1.

250 tA. i. Метод MonotOHHOctU
7.5. Приложения (III)
Рассмотрим два рефлексивных банаховых пространства Vlt
V2, где
V(c H czV'{, "Я —заданное гильбертово пространство,
1 = 1, 2, Vt плотно в Я- и вложение непрерывно; G.64)
и пусть заданы такие операторы А{, что
At: V{-*V't, i=\, 2, — монотонные ограниченные
семинепрерывные операторы,
.M.HIIy'^cllollJr1, 2<ft<oo, G.65)
(At(v), о)>||?||,
Определим далее
T = Lp'@, T; F,)XZ-Pl@, T;V2),
2<e = L2{0, T; H)XL2@, T; H) .
И ДЛЯ U = {«i, U2}^T ПОЛОЖИМ
{Ai(uAt))-u2(t), A2(u2(t))-{-u1(t)}. G.66)
Далее определим оператор зФ: У-+У, который будет огра-
ограниченным, семинепрерывным'и монотонным:
т
и), u)=j [(Л, (и, (*)), щ @) + (А2 (и2 (t)), u2 @)] dt; G.67) [
следовательно, s4- — коэрцитивный оператор.
Определим, наконец, полугруппу G (s) для f = {fi,f2), по-
полагая
О при 0 < t < s, fj(t — s) при s <t < Т,
) при 0<t<T — s, 0 при Т — s<t < Т.
. G.68)
') (ф. ^) — скалярное произведение q> e Fj, г|> s F(, i = 1, 2.

7. Метод аппроксимации эволюционных Операторов 251
Можно применить теорему 7.1 (мы имеем дело с «простым»
случаем, когда Тс Ж) и доказать существование*) пары
функций {«!, ы2}> удовлетворяющих условиям
- и'г + А2 (и2) + и, - f2, f2 s /Л @, T; V0,
u,eL"«@, 7"; К,), / = 1,2, G.69)
uJeL"'@,' Г; VJ), /=1, 2,
и,@) = 0,
7.6. Приложения (IV)
Пусть О — ограниченная область в Rm, причем граница дО
является (пг—1)-мерным один раз непрерывно дифференци-
дифференцируемым многообразием, и локально область О расположена
по одну сторону от дО.
Пусть а{, 1 = 1, .... пг, суть m вещественных функций
в С (д).
m
Рассмотрим оператор 2 сц(у)д/ду1 при следующих гранич-
ных условиях. Определим
дО, = { V | У е аС, Д а, (г/) cos («, у,) < О,
« — нормаль к д(?, направленная вне О\. G.70)
Определим далее
D(A) = (y|ye^(^), 0 = 0 иа <5С_}.
,,«.¦ G-71)
Л — замыкание Л (как неограниченного оператора в L2(O)). G.72)
Можно показать (см. Бардос [1]), что —Л есть инфинитези-
мальный производящий оператор полугруппы в V{О), 1^р<оо,
которая является сжимающей в L2{0).
Рассмотрим далее
Г = L" (О\ W<f " (Q)), Ж = L2 (О; L2 (Q)),
') И единственность в том случае, когда, например, Ai строго моно-
монотонны.

252 Гл. 2. Метод монотонности
и тогда
T' = LP'{O\ riy(Q)).
Оператор Л на векторных функциях определяется таким же
образом, как на скалярных.
Пусть далее s4- имеет вид
(у играет роль параметра, если и = и(х, у)).
Если предположить, что р > 2'), то мы окажемся в ситуа-
ситуации «FezЖ», и будет применима теорема 7.1. Тогда мы полу-
получим существование и единственность функции и = и(х, у), 'ъ
такой, что
G-74) \
f — заданный элемент У",
о
^)-fBQX^ G.75) ^
причем граничные условия «содержатся» в G.74); принадлеж-
принадлежность и к Т означает, что
и = 0, если х е Г, у^О, G.76)
а принадлежность и к ?)(Л; F') означает, что (в «слабом
смысле», см. Бардос {1])
ы = 0, если jceQ, i/efl(?.( G.77)
Замечание 7.10. Аналогично можно решить такую за-
задачу:
п
(-Пт1>Г+1и-У — (I— " — | = f G78)
ы = 0 при хеГ,/е]0, Г[, G.79)
ы (*, 0) = Dtu (х, 0) = ... = Dfu (х, 0) = 0, л: s Q,
(х л== =o?m«(A: Л = 0 же-"" G<80)
') В противном случае надо доказывать аналог G.28), который нам
представляется верным, но который мы не доказали.
2) Можно взять любой набор условий-, который гарантирует, что — Л есть
инфныитезимальный производящий оператор некоторой полугруппы в Lp (t), Г).

7. Метод аппроксимации эволюционных операторов 253
7.7. Различные замечания
Замечание 7.11. В теореме 7.1 мы предполагали, что
семейство G {s) является полугруппой в дв, Т и W. Встречаются
примеры, в которых G (s) является полугруппой в Ж и не яв-
является полугруппой в F, .
Пример 7.3. Рассмотрим Q = ] —1, + 1 [, Т =
= LP@, T; WoUp{Q)), ^=L2@, T; L2(Q)) и оператор Л,
Л0=*-^, G.81)
с областью определения
?>(Л; M)={v\v, х^<=Ж, v(x,0) = 0, если *>0,
v(x, Г)=0, если *<о}. G.82)
Тогда — Л есть инфинитезимальный производящий оператор
сжимающей полугруппы G (s) в Ж, причем О {s) не является полу-
полугруппой в Т; мы детально разберем этот пример в п. 2.6 гл. Ъщ
Замечание 7.12. Задача с ненулевыми начальными дан-
данными. Рассмотрим задачу
= f, н@) = н0, и0е=Н, и0ф0, G.83)
G-84)
Z/@, Т; V'), оператор А определяется, как в п. 7.3.
Если предположить, что Vf
то случай G.83) моментально сводится к (уже рассмотренному)
случаю ыо = О.
Действительно, введем такую функцию B)oef, что w'^T'
и оH@) = «о (такая функция ш0 существует), и далее положим
и — шо==а). Тогда G.83) будет эквивалентно задаче
откуда и следует наше утверждение«
Замечание 7.13. Гладкость. В ситуации теоремы 7.1
можно получить результаты о гладкости типа «ы е D (Л; У)»
(используя дополнительные предположения). В этой связи см.
результаты п. 9.6 (касающиеся вариационных неравенств)«

254 Гл. 2. Метод монотонности
8. ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
8.1. Примеры и общие указания
Эллиптические краевые задачи, например те, которые изу-
изучены в § 2, отвечают (когда речь идет о задачах вариацион-
вариационного исчисления) экстремальным задачам без ограничений.
Экстремальные задачи с ограничениями приводят к вариацион-
вариационным неравенствам, которые мы собираемся изучать ф
Начнем с самого простого примера. Пусть V — гильбертово
пространство над R, и пусть задана квадратичная форма I (v):
J(v) = a(v,v)~2L(v), (8.1)
где а (и, v) — непрерывная билинейная форма на V, удовле-
удовлетворяющая условиям
a(u,v)=-a{v,u) V«,bg7, (8.2)
a(v, v)>a\\vfv, a>0, VoeV, (8.3)
и где L(v).— непрерывная линейная форма на V.
Далее рассматривается замкнутое выпуклое множество К
в V (К — выпуклое множество ограничений) и ищется
inf / (v). . (8.4)
Тогда, как хорошо известно, при условиях (8.2), (8.3) существует
единственный элемент и е К, такой, что
/(и)</(о) Vwetf. . (8.5)
Этот элемент и характеризуется вариационным неравенством
a(u,v~u)^L(v-u) Vog/(# (8.6)
Замечание 8.1. Пусть V — сопряженное к V простран-
пространство, и пусть A^3?{V\ V) — оператор, отвечающий форме
а (и, v), т. е.
а(и, v) = (Au, v), Au<=V, v^V. (8.7)
Тогда неравенство (8.6), очевидно, эквивалентно неравенству
(Аи, о-и)>1(о-и) Voetf» (8.8)
Замечание 8.2. Если K=V, то неравенство (8.8) пере-
переходит в уравнение
Au = L
(если L(v)=(L, v), L<=V')m

8. Эллиптические вариационные неравенства 255
Замечание 8.3. Если К — замкнутый выпуклый конус
с вершиной {0}, то неравенство (8.6) эквивалентно условиям
a(u,v)>L(v) Voetf,
Замечание 8.4. Задача (8.6) будет нелинейной (если
К не является линейным подпространством в V) даже в случае
линейного оператора Ащ
Общее указание. Задача (8.4), сформулированная
в форме (8.8), допускает многочисленные обобщения {вообще
говоря, не отвечающие задачам вариационного исчисления).
Например, можно задаться банаховым пространством V, сопря-
сопряженным пространством V, нелинейным оператором A: V-+V,
замкнутым выпуклым множеством К в V и искать такое
и^К, что
(А(и), о _ И) >(f, о - и) Vo е= К, (8.10)
для заданного / в V. Это является абстрактной формулировкой
задач об эллиптических вариационных неравенствах.
В п. 8.2 мы приведем довольно общее достаточное условие
существования решения неравенства (8.10).
Предварительно мы приведем примеры применения нера-
неравенства (8.6)ф
Пример 8.1. Возьмем V = Hl(Q),
j (8.11)
i, 1=1 Q l l a
где
ао» ail = ali^.Vc{Q), ао(*)>ао>О почти всюду в Q,
" (8 12)
2_ аи(х)Ы1>а\Ц2, а>0 почти всюду в Q V|€=R",
и пусть
K = {v\v<=Hl(Q), y>0 почти всюду на Г}. (8.13)
Множество К. является замкнутым выпуклым конусом
в Я1 (Q) с вершиной в начале. Если мы возьмем
L(v)=$fvdx,
то сможем воспользоваться условиями (8.9). Мы теперь хотим
проверить, что соответствующий единственный элемент и из К.

256 Гл. 2. Метод монотонности
характеризуется ') следующими условиями:
/ п
Au = f в Q (где Аи=- У -^г{аи~
и>0 на Г,
ди V^ ~ «« /.. .. \— п „„ г
па X ,
= 0 на Г;
точнее, когда aeff'(Q) и выполнено включение «Лы е L'2 (Q)»,
можно определить (см. Лионе — Мадженес [1], гл. 2)
^^"''¦(п (8.15)
и произведение udu/dvA имеет смысл.
Докажем (8.14). Полагая в первом неравенстве (8.9) v = ±<р,
^)(Q мы получим, что
а (и, ф) = J /ф d* . Уф
откуда Au = f. Тогда имеет место (8.15) (если коэффициенты atl
являются достаточно гладкими в Q) и можно применить фор-
мулу Грина
a q г А
а поскольку I fvdx^a(u, v) (и равенство имеет место при
Q
о =i и), то мы видим, что для и выполнено неравенство
Г/У^-) о с7Г > 0 Voetf и равенство при v = u. (8.16)
Однако из (8.16) прежде всего следует, что
Т (-т-^-) и dT = 0. А так как u-j-^-^О, то мы получаем, что
¦п \ А ' ¦ А
г
ди _0
') По крайней мере в_том случае, когда коэффициенты a(J суть доста*
точно гладкие функции в й.

8. Эллиптические вариационные неравенства 257
Замечание 8.5. Из последнего условия (8.14) тривиально
следует, что либо и, либо du/dvA равняется нулю на Г; однако
та часть Г, где обращается в нуль функция и, является одним
из неизвестных задачи\
Задача (8.14) (и другие задачи такого типа) называется
«односторонней задачей»%
Пример 8.2. Возьмем V = Ho(Q) и такую же форму а(и, о),
как в примере 8.1, только теперь ао^0 (что, впрочем, можно
еще ослабить) и
K = {v\v^Ho(Qi), »>0 почти всюду в Q}. (8.17)
Множество К опять будет замкнутым выпуклым конусом
с вершиной в начале.
Форму L(v) выберем таким же образом, как в примере 8.1.
Мы можем опять применить (8.9), но интерпретация таким
образом решенной задачи оказывается куда более трудной.
Формально можно разбить О, на две части Q+, Qo, определен-
определенные условиями
ы>0 на Q+, ы = 0 на Qq.
В Q+, полагая у = еф, <peiZ5(Q+), [e| достаточно мал, мы
получим Au=f. Ниже мы увидим (п. 8.5), что Лые/,2(й),
так что (формально) и характеризуется условиями:
ы>0 в Q+, ы=0 в Qo,
Au = f в Q+, (8.18)
« = 0, -^- = 0 на dQ+ (dQ+ — граница Q+).
Таким образом, речь идет о задаче со свободной границей:
граница dQ+ не задана a priori, и на ней заданы данные Коши
(ср. с эволюционным случаем, изученным в п. 3.3)«
Замечание 8-6. Соображения, изложенные выше, можно
развить применительно к случаю
К = {» | v е Щ (Q), i^ < v < т|J почти всюду в Q,
¦ф; — заданные функции} « (8.19)
Пример 8.3. Возьмем опять V = Яо(й), форму а (и, о),
как в примере 8.2, и
K = {v\v<=Ho(Q), | grad v(x) |< 1 почти всюду в Q}. (8.20)
9 Зак, 46

258 Гл. 2. Метод монотонности
Тогда К будет замкнутым выпуклым множеством в Но(Оь),
и если мы возьмем
то сможем применить (8.6).
Интерпретация неравенства (8.6) является весьма деликат-
деликатным вопросом. Формально можно разбить Q на две части Q_
и Qlt «определяемые» условиями
Тогда решение и «характеризуется» условиями
Au = f в Q_* ¦
I grad и | = 1 в Q,, (8.21)
ди • <
и и -5—, 1 = 1, п, «непрерывны» на поверхности,
axi
разделяющей Q_ и Q,.
Здесь мы имеем дело с задачей упруго-пластичностщ
Q- (соответственно Q{) является областью упругости (соответ-
(соответственно пластичности).
Отметим, что в Q_ и Qt выполняются два разных по своему
характеру уравненияф
8.2. Теоремы существования для эллиптических
вариационных неравенств
Пусть V — сепарабельное ') рефлексивное банахово простран-
пространство, и пусть К — замкнутое выпуклое множество в V.
. Задан оператор А, определенный только, на К:
A: K-+V. (8.22)
Мы будем различать два случая, отвечающие ограниченным
и неограниченным множествам К- Начнем с ограниченного
случая.
Теорема 8.1. Предположим, что К — выпуклое замкнутое
ограниченное непустое множество. Пусть Ах К~*У' — псевдо-
') Это предположение, впрочем, не нужно.

8. Эллиптические вариационные неравенства 259
монотонный оператор'). Тогда для заданного f из V существует
такое и из К, что выполнено (8.10).
(Заметим, что мы не требуем коэрцитивное™ А, поскольку
К ограничено.)
Доказательство. 1) Рассмотрим возрастающую после-
последовательность множеств Кт, таких, что
... с: Кт с: Km+\ c • • • с К',
Km — замкнутое выпуклое множество, содержащееся (8.23)
в подпространстве конечной размерности ^т;
\J Km ПЛОТНО В К-
т
Мы начнем с решения «.приближенного неравенства»2) и
покажем, что существует такой элемент ит е Кт> чт°
(А (ит), o-um)>(f,o-uj Vo е Кп. (8.24)
В связи с этим рассмотрим пространство Vm размер-
размерности ^ т, содержащее Кт- Это пространство мы наделим
структурой гильбертова пространства, определив скалярное
произведение [ , ] (зависящее от т). Если g^V, то форма
w-*-(g, w) непрерывна на Vm и, следовательно,
(g, w) - [ng, w], ng<=Vm, ne=2 (V; Vm).
В этих обозначениях (8.24) эквивалентно неравенству
[пА (ит), v-um]> [nf, v - ит] Vo s Km, (8.25)
иЛи
[Um, V-Um\> [Um + 4 - nA(um), О — Um] V» S Km- (8-26)
Однако если Рт — оператор проектирования Vm на выпуклое
множество Km относительно скалярного произведения [ , ], то
(8.26) эквивалентно равенству
um = Pm(un + nf-nA(um)), {8.27)
и существование ит, удовлетворяющего (8.27), следует из тео-
теоремы Брауэра о неподвижной точке, примененной к оператору
о -> Рт (о + nf — пА (о)): Кт ~* Кт> ПРИ условии, что мы докажем
непрерывность этого оператора.
¦) Пункт (И) определения 2.1 из п. 2.4 примет следующий вид: если
Uj -> и в V слабо, и., не К н lim sup (Л (и Л, «, — «)< 0, то
llmM(A(u,),ul-v)>(A(u),u-v) WvsV. (*)
Впрочем, можно предполагать, что неравенство (*) имеет место только для
всех v s К (Брезис).
2) Излагаемый ниже подход является аналогом метода Гадёркина дд,я
неравенств,

260 Гл. 2. Метод монотонности
Для этого достаточно установить слабую непрерывность
этого отображения, рассматриваемого как отображение из Кт
в V. Пусть ип-»ы в Кт'' тогда А(ип) ограничены в V, и,
следовательно, можно допустить, что Л («„)->% в V слабо
(в противном случае выбирается подпоследовательность). Тогда
lim sup (Л (ы„), ы„ — «X 0,
и, следовательно (в силу псевдомонотонности),
(А(и), и — »)<liminf(А(ы„), ы„ — v) = (%, и — v).
Поэтому (% — А (и), и — о) > 0 VoeF, откуда % = А (и), и
тем самым непрерывность доказана.
2) Поскольку ТС ограничено и Ктс^К, все ыт ограничены
в К. Далее, А(ит) ограничены в V'. Следовательно, можно
выделить такую подпоследовательность ы^, что
и^^и в V слабо и ые/(, (поскольку ТС слабо замкнуто). (8.28)
Мы покажем, что
lim sup (Л (ыД и» — ы)<0. ' (8.29)
В самом деле, так как \jKm плотно в К, можно найти
т
в U Кт такой элемент ы0, что
т
|| ы — ы0 \\v ^ е, е > 0 — произвольное заданное число. (8.30)
Тогда (Л(Ыц), Ыц—ыо)<(/, Ыц—ы0) для достаточно больших ц
(в силу (8.24)) и, поскольку (Л(Ыц), ио~и)^.сг (в силу (8.30)),
мы получим, что
lim sup (А (Ыц), Ыц—ы) = lim sup [(Л (Ыц), «ц—«О) + И("ц). "о~")]<
f, и — и0) < Cje,
откуда следует (8.29).
Далее, в силу псевдомонотонности
lim inf (Л («„), ы„ - у) > (Л (и), и - о) VogV. (8.31)
Однако если v e [JК,т, то для достаточно большого ц
(в силу (8.24))
откуда
lim inf (Л (ыц), ы^ — о)<(/, ы — о)

8. Эллиптические вариационные неравенства 261
и, следовательно,
(A (U), И - О)< (f, И - О) V» €= U Km.
m
а поскольку {jKm плотно в К, мы получаем (8.10)»
m
Замечание 8.7. Как мы уже отмечали в § 2, понятие
псевдомонотонного оператора не является необходимым при
решении уравнений; с другой стороны, это понятие очень хорошо
приспособлено к решению неравенств щ
Теперь мы переходим к случаю неограниченного множе-
множества К.
Теорема 8.2. Пусть К — выпуклое замкнутое неограничен-
неограниченное множество в V. Пусть А: К->V — псевдомонотонный опе-
оператор, коэрцитивный в следующем смысле:
существует такое vo^K, что
Тогда для заданного f цз V существует us К, для которого
справедливо (8.10).
Первое доказательство. Пусть BR={v |оеУ, || v
Kr = K f\ BR. Поскольку множество Kr выпукло, замкнуто и
ограничено, по теореме 8.1 существует такое ur^Kr, что
(А(иЛ), v-uR)>(f, v ^ uR) Vo eKR. (8.33)
Выберем R > RQ, где Ro таково, что || v01| < Ro. Тогда в (8.33)
можно взять v = v0, откуда в силу (8.32) следует, что
II и* II < С.
Тогда A(uR) ограничены в V, и можно указать такую после-
последовательность /?->оо, что
uR->u в V слабо, A(uR)->% в V слабо.
Так как К слабо замкнуто, то иеЛ'.
С другой стороны, (Л(«р), uR — u)^.(f, uR — u), когда
Rs^Wu ||, так что lim sup (A (ur), ur — u)^.O и, следовательно,;
в силу псевдомонотонности
liminf (A(uR), uR-v)>(А(и), и - о), (8.34)
а так как
(Л (ил), ч -v)^(f,uR-^v)->(f,. ц-rv) Ve e/С,

262 ' Гл. 2. Метод монотонности
то из (8.34) мы выводим, что
(Л(ы), «-o)<(f, и-о) Voetf,
т. е. (8.10)«
Второе доказательство. На самом деле имеет место
более точный результат, чем в только что приведенном пер-
первом доказательстве. Действительно, если uR — решение нера-
неравенства (8.33), то ||ый|1^с, и если мы выберем R>c, то uR
будет решением неравенства (8.10). В самом деле, если
k — произвольная точка К, то имеем (благодаря тому, что
!! "я IK R) v = (l —Q)uR + Bks=KR при достаточно малом 8 > 0;
при таком выборе v в (8.33) получим
), k-uR)>Q(f, k-uR),
и, следовательно,
(A(uR),k-uR)>{f,k-uR) Vke=Km
8.3. Совокупность решений
Что касается возможной единственности решения (8.10), то
легко доказывается следующий результат;
Теорема 8.3. Если предположить, что
(А (щ) — А (ы2), щ — и2) > 0 при ихфи2, «!, и2^К, (8.35)
то (8.10) будет допускать не более одного решения.
Доказательство. Мы фактически предположили то, что
нужно: если и и и* суть два решения, то
(А(и), o-u)>(f,o-u) Vo e= К,
(А (и*), v - иГ) > (f, v - и*) V» ез К;
полагая v = ы* (соответственно v = и) в первом (соответственно
во втором) неравенстве и складывая, получим
(А(и)-А(и*), ы-ы*)<0,
откуда и = и* в силу (8.35) %
Когда оператор А является монотонным, одно интересное
свойство совокупности решений вытекает из следующей тео-
теоремы:
Теорема 8.4. Если А: К->V — монотонный семинепре-
рывный оператор, то неравенство (8.10) эквивалентно неравен-
неравенству
{A{ti),v-u)^if,v-u) Veetf. (8,36)

8. Эллиптические вариационные неравенства 263
Доказательство1). 1) Предположим, что и удовлетво-
удовлетворяет (8.10). Тогда имеет место (8.36). В самом деле,
, o-u) + (A(v)-A(u), v-u)>
(в силу монотонности)
Xf,O- U).
(в силу (8.10))
2) Наоборот, предположим, что и удовлетворяет (8.36). Возь»
мем произвольное w e К, и пусть
0 = A _ е) ы + Ода е= tf V6<=]0, 1];
подставляя это v в (8.36), мы после деления на 0 найдем
(А (и + 6 (да - и)), w - и) >(/, w - и);
устремляя 8 к нулю и пользуясь семинепрерывностью, получим:
{А{и), w-u)>(f, w-u) Уда еК, т. е. (8.10)#
Следствие 8.1. 5 условиях теоремы 8.4 совокупность
решений (8.10) является замкнутым выпуклым множеством*
8.4. Приложения
Теперь мы в состоянии привести новые примеры, не укла-
укладывающиеся в элементарные рамки неравенства (8.6).
Пример 8.4. Пусть сначала V — гильбертово пространство,
а оператору Ae3?(V; V) отвечает несимметрическая форма:
{Аи, v) Ф {и, Av) (вообще- говоря). Тогда если
(Av, v) > a|| v |p, a > 0, V» s V, (8.37)
то в силу теорем 8.2 и 8.3 существует единственный элемент и
из К, такой, что
Пример 8.5. Пусть Л: Wm'" (Q) -> W~m-"' (Q) - оператор
из теоремы 2.8. Мы видели, что этот оператор псевдомонотон-
псевдомонотонный. Следовательно, к нему применима теорема 8.2«
Пример 8.6. Конкретизируем пример 8.5, взяв опера-
оператор А вида
|4(|^Г^) Ф, (8.38)
¦) Ср. с доказательством B.16).

264
Гл. 2. Метод монотонности
где 1 <р<оо. Возьмем V = Wl'p(Q) и положим
(=1
Предположим, что
а0 е Z,°° (Q), а0 (х) > а0 > 0. (8.40)
Если К — выпуклое замкнутое множество в И7'-р(?2) и ао>О,
то существует и притом один такой элемент bgК, что
а(и, v — u)^(f, v— и) Vwe/C. (8-41)
Если /С — выпуклое замкнутое множество в Wo p (Q), то
можно взять а0 = 0. Выберем, например,
K = {v\ve=W^P{Q), o>0 на Г}. (8.42)
Тогда можно проверить (с помощью рассуждений, аналогичных
проведенным в примере 8.1), что решение и неравенства (8.41)
характеризуется условиями
A(u) = f на Q,
н>0 на Г,
п
ди
дх,
Р-2
ди
дх
cos (я, *г)Х) на Г,
(8.43)
-2
P-^-cos(«, xf)j=O на Г.
В (8.43) ^У'-""(Г) и (ср. § 5)
Г-1/р'р(Г),
так что произведение и-&~(и) имеет смысл«
8.5. Варианты
Другая запись вариационных неравенств
Мы сформулируем немного в другой форме неравенства
(8.10), используя индикаторную функцию tyK выпуклого множе-
множества К, определяемую следующим образом:
(t))=-foo ПрИ V€=K,
= 0 при "-" <8'44>

8. Эллиптические вариационные неравенства 265
Далее, считая, что оператор А определен на всем простран-
пространстве V, причем обладает на V теми же свойствами, что и
на К1), мы получим, что решение неравенства (8.10) эквива-
эквивалентно разысканию такого иеК, что
(А (и) -f,v-u) + tyK (v) - tyK (и) > 0 V» e= V. (8.45)
Действительно, если и является решением (8.45), то непре-
непременно не К. и (8.45) сводится к (8.10); наоборот, если и удо-
удовлетворяет (8.10), то имеет место (8.45)«
Вообще, собственно выпуклой функцией на V будем назы-
называть любую функцию, обладающую следующими свойствами:
Ф определена на V и принимает значения из ] — оо, + оо],
<р выпукла, (8.46)
<р не равна тождественно -f оо.
Свойство выпуклости <р эквивалентно следующему условию:
надграфик <р в V X R — выпуклое множество (8.47)
(надграфик <р = {», a\v^V, oeR, a^<p(o)}).
Функция ф полунепрерывна снизу тогда и только тогда,
когда ее надграфик замкнут, так что понятие выпуклости функ-
функции ф не зависит от того, в какой топологии рассматривается
V — сильной или слабой.
Отметим, что ^>к является собственно выпуклой полунепре-
полунепрерывной снизу функцией (п. н. с).
Тогда задача (8.45) (идентичная (8.10)), очевидно, является
частным случаем следующей задачи:
для заданного нелинейного оператора А: V -> V и собственно
выпуклой функции ф найти такой элемент aeV, что
(A(u)-f, о-и) + ф(о)-ф(и)>0 Voe=F# (8.48)
Имеет место
Теорема 8.5. Пусть А: V -*¦ V — псевдомонотонный опе-
оператор, а ф—-^собственно выпуклая п. к. с. функция. Предполо-
Предположим, что
существует такой элемент v0, что ф (о0) < оо и
(А (и), и - о0) + Ф (и) „ „ (8.49)
IMI при И1"*00'
Тогда для заданного f из V существует решение u&V не-
неравенства (8.48).
') Это связано с задачей (нетривиальной) о продолжении операторов;
здесь мы ее не будем касаться, поскольку, как нам кажется, эти вопросы
ве возникают в связи с операторами, рассматриваемыми в этой книге.

266 Гл. 2. Метод монотонности
Замечание 8.8. Очевидно, что всегда можно полагать
/ = 0: для этого достаточно заменить <р(и) на <р(и) — (/, v).
Однако задача «естественно» возникает в форме (8.48) с / ф Оф
Доказательство. Мы увидим (следуя Моско [1]), что
теорему 8.5 можно свести к теореме 8.1, используя надграфик
в качестве основного выпуклого множества.
Итак, определим
V = V X R» К — надграфик <р,
A(v) = {A(v), 0} для 5 = {v, 1}еV.
Оператор А является псевдомонотонным. Проверим, что
(8.48) эквивалентно разысканию такого й^К, что
(-Ь б-й)>0 Vve=K, (8.50)
где f = {f, -1}еГ.
Действительно, подробно расписывая неравенство (8.50),
мы увидим, что оно сводится к нахождению такого й = {и, а}, что
@.51)
, следовательно, а ^ <р (и).
Однако (8.51) эквивалентно неравенству
—f, о—
и полагая v = u, мы найдем, что а^<р(н), следовательно,
а = ф(«), откуда вытекает (8.48).
Таким образом, нам остается решить (8.50). Определим
тогда Kr ограничено в V, и в силу теоремы 8.1 существует
такой элемент uR e I(R, что
(Л (йд) - f, v - йя) > 0 V5 е ^л. (8.52)
Согласно определению iCR, мы можем взять в (8.52)
v = vo = {vo, ф(и0)}.
Тогда (8.52) при uR={uR, aR} примет вид
(A (uR), uR - v0) + aR < (f, hr - t»0) + Ф (f o), (8.53)
и поскольку aR^q>(uR), мы заключаем, что
(Л (uR), uR - v0) + ф(И/г)< (/, йд-1»о)+фA»о)<сA+|| ия |1); (8.54)

5. Эллиптические вариационные неравенства 267.
отсюда ввиду (8.49) следует, что || иЛ||^ const. Но тогда из (8.53)
вытекает, что aR^ const. Так как, с другой стороны,
а*> Ф(иЛ) > - с\\ uR || (в силу (8.49)),
то мы видим, что || uR || +1 aR [| ^ сх = const, где постоянная не
зависит от R.
Теперь мы получаем
R — ф(»о)|<с2,
и отсюда выводится (как во втором доказательстве тео-
теоремы 8.2), что uR при R > с2 является решением нашей за-
задачи ф
Замечание 8.9. Пример, который мы только что разо-
разобрали, не включается непосредственно ни в теорему 8.1 (по-
(поскольку множество К неограничено), ни в теорему 8.2 (не вы-
выполнено условие коэрцитивности); решить эту задачу было бы
невозможно, если бы не специальный вид вектора J, второй
составляющей которого является — 1.
Другие примеры этой ситуации (полезные для приложений)
можно найти в работе Лионе —Стампаккья [1]«
Замечание 8.10. Можно также дать «прямое» доказа-
доказательство теоремы 8.5, основанное на тех же принципах, что и
доказательства теорем 8.1, 8.2; см. Брезис [1]«
.8.6. Интерпретация вариационных неравенств
с помощью субдифференциалов
Пусть -V-*-<р (о) — собственно выпуклая функция на V; эле-
элемент х из V называется субградиентом <р в точке и, если
<р(v) - ф(и)>(х, v - и) Vt» 6= V. (8.65)
Обозначим через dq>(u) множество субградиентов ф в точке и;
отображение н-хЭф(н) называется субдифференциалом ф; таким
образом, (Эф, как правило, является многозначным отображе-
отображением V в 2V'.
Мы будем писать
Ф (о) - ф (и) > («Эф (и), v-u) VogK (8.56)
(это означает, что ф(о) — ф(м)>(х. о —и) Vf eF, каково бы
ни было х s дф (и)).
Сравнивая (8.48) и (8.56), мы увидим, что решение вариа-
вариационного неравенства (8.48) эквивалентно разысканию такого и
из F, что
, (8.57)

268 Гл. 2. Метод монотонности
ИЛИ
. ОеЛ(и)-/ + д<р(и), (8.57')
т. е. и удовлетворяет уравнению с многозначными операторами *
Отметим следующее
Предложение 8.1. Пусть V — банахово пространство
со строго выпуклой нормой, и пусть сопряженное пространство
также обладает этим свойством. Пусть J — отображение двой-
двойственности относительно Ф (см. B.17), B.18)), и пусть ЧГ(г) =
г
*= \ Ф(о)с1о. Тогда
4(\\v\\)-4(\\u\\)>(J(u), о-и) VueF,
и наоборот, если | е V удовлетворяет неравенству
то 6 =/(иI).
Доказательство. Имеем
N1
Ч'(IIоII) -ЧЧИи||)= J Ф
П«11
в=Ф(||и||I1о||-(/(и), «)>(/(«), о-и).
Наоборот, пусть 1 принадлежит субдифференциалу функции
?(||«||), т. е.
, о-и) VosK.
Возьмем такое-о, что || о |1 = II и ||; тогда (?, и —н)^0, следова-
следовательно, (|, и) =||ill,II иII- Положим теперь u = sw, [|ву||=1,
s>0h возьмем o = /a», /eR+ и произвольно. Тогда
«)F, w) = ±=±(l, н) =
откуда нетрудно вывести, что
') В том случае, когда отображение / многозначное, этот результат
обобщается следующим образом: субдифференциал функции v->4! (||о||)
в точке и равен J (и); см. Асплунд [2].

5. Эллиптические вариационные неравенства 269
8.7. Гладкость
8.7.1. Задача. Контрпримеры. Вернемся к примеру 8.1, рас-
рассматривая его в качестве «модельной задачи». Предположим,
что Г является многообразием класса С°°, а коэффициенты а{/
принадлежат 0@).
Для случая уравнений и обычных краевых задач известно,
что если /еЯ'(О), то иеЯ6+2(Й), и это имеет место для лю-
любого k (^ 0)'). Но в случае вариационных неравенств подобные
результаты справедливы только для «достаточно малых» k. Вот
контрпример:
Контрпример 8.1. Пусть в ситуации примера 8.1 Q cr R2:
Q = {x\xs=R2, х2>0}
и Л = — Д + /. Пусть функция Я->6(Я) принадлежит С°° при
Л>0, причем 6(Л)=1 при Л'е= [0, 1]; 6(Л) = 0 при Л>2 и
е (Я) > о va, . ;
Следуя Шамиру [1], [2], положим
и (х) = 9 (г2) Re (z%), r2 = *2 + 4, ¦ z = xl + ixr (8.58)
Легко проверить, что
— Ди + и = /, /еС'(й), / имеет компактный носитель,
откуда, в частности,
/eff'(Q). (8.59)
Далее,
и > 0 на Г (и = 0 при Xi < 0),
?--&-4°И1т(.*)>0 на Г
|й" = 0 при *,>0)
и, следовательно, ы-^- = 0 на Г.
Таким образом, функция и из (8.58) является решением
задачи из примера 8.1.
Если речь идет об «обычной» краевой задаче, то из (8.59)
следует, что ие#3(й), но в нашей ситуации это не такф
Вот контрпример к ситуации примера 8.3:
Контрпример 8.2. Пусть в ситуации примера 8.3
Q = ]0, 1[, A = -d2ldx\ f = 4.
') Результаты такого типа называются «теоремами о гладкости>.

270 Гл. 2. Метод монотонности
Таким образом, /еЯ'(й) У/k. Сейчас мы увидим, что
соответствующее решение и (х) не принадлежит Н3 (Q). В самом
деле,
х при 0 < х < 'Д.
«(*) =
- 2л8 + 2* - 7в при" %<:х<% (8.60)
1 —х при 3/4<х< 1-
[При выводе формулы (8.60) можно рассуждать следующим
образом. В неизвестной нам a priori части Q выполнено урав-
уравнение — и" = / = 4, так что
и(х)=-2х2 + ах + Ь,
а поскольку рассматриваемое решение симметрично относи-
относительно '/г. то
и(х)=-2х2 + 2х + Ь.
Функция и «должна» как можно лучше «сопрягаться»
с кривыми и (х) = расстояние от х до Г, т. е. и(х) = х и
н(я)=1— х. Следовательно, должно выполняться равенство
н' (я) = 1 при и (х) = х, откуда следует (8.60). Теперь остается
проверить, что функция и из (8.60) является решением задачи.] ф
Общее указание. Теперь мы приведем положительные
результаты о гладкости; используемые методы зависят не только
от оператора, но также и от рассматриваемой выпуклой об-
области ').
Мы изложим два метода2):
(i) метод сдвигов, являющийся простым вариантом обычных
методов в теории эллиптических уравнений (п. 8.7.2);
(И) метод аппроксимации, приспособленный к неравенствам
(пп. 8.7.3 и 8.7.4),#
8.7.2. Один результат о гладкости, устанавливаемый
МЕТОДОМ СДВИГОВ
Теорема 8.6. Предположим, что Q = {x\xn> 0}. Пусть
eL2(Q), и пусть и является решением в K~{v\v^Hl(Q),
Q на Г} неравенства
о (и, t/-K)>(f, о-м) Vue=/C (8.61)
[г
\
где а(и, t>) = J? \тГ1Гйх + juvdx).. Тогда и<=Я2(?2).
') С другой стороны, легко показать, чтс если в качестве К взять шар
в #0 (О), то будут справедливы «естественные* теоремы с гладкости.
*) С другим методом мы встретимся в п. 5.5 гл. 3.

8. Эллиптические вариационные неравенства 271
Доказательство. 1) Воспользуемся методом сдвигов
параллельно границе. Этим методом мы установим, что если
и — решение (8.61), то
-§±e=H4Q), f-=l я-1. (8.62)
Достаточно ограничиться случаем i=l. Вообще, положим
ghM = g(*i — h, x2, ..., хп).
Так как К инвариантно относительно операции и->кЛ V/г, то
из (8.61) следует, что
а(и, иЛ —н)>(/, vh — u),
откуда
a (u_h, v)-a (и, и) > (f_h, v) - if, u) 4h. (8.63)
Но
a(u, u) = a(uh, uh) Vh,
(f. «) = (fA. uh) VA,
и, таким образом, из (8.63) мы выводим (заменяя h на — К),
что
а{щ, v-uh)>(fh, v ~uh). (8.64)
Подставляя v==uh в (8.61) (соответственно и = н в (8.64))
и складывая, мы получим, что
а (нЛ — и, uh — и) > (fA — f,uh — и). (8.65)
Заметим теперь, что вообще
| (ф,
t (о, со; я> (r
а тогда из (8.65) следует, что
II «А - U |Р < || fh - / ||LI (Of „,. H-l (gn-ij) || И* - И II,
и, таким образом,
Однако если feL2(Q), то
" 7&-/>-—&
при А->0, и, таким образом, из (8.66) следует, что
j-(uh — u) ограничены в Я1 (Q).

272 Гл. 2. Метод монотонности
Следовательно, мы можем считать, что j («л ~~ и)-* X
в Я1 (Q) слабо, а поскольку
j (иА — и) -*¦ — -qj- в L? (Q),
то мы видим, что
JlL=-%s=L2(Q), откуда следует (8.62).
2) Для доказательства теоремы нам остается показать, что
?fe=L2(Q).
С этой целью мы используем уравнение (вытекающее из
(8.61) при нашем выборе К)
откуда
п-1
К
в силу (8.62).
Замечание 8.11. Первая часть приведенного выше до-
доказательства существенно связана с тем, что выпуклая область К.
устойчива относительно операции v-+vh (по крайней мере для
достаточно малых А); во второй части доказательства, наоборот,
используется только то, что К"@{&)
8.7.3. Один «абстрактный» результат о гладкости. Теперь
поставим следующую общую задачу: пусть и является реше-
решением общего неравенства (8.10); предположим, что f принад-
принадлежит подпространству X пространства V; будет ли при этом
выполняться включение
А{и)<=Х?
Мы приведем достаточное условие, при котором оно выпол-
выполняется.
Предположим, что X — рефлексивное банахово пространство,
причем
XaV, вложение X-+V непрерывно,
X плотно в V. (8>67)
Пусть / — некоторое отображение двойственности Х-+Х',
где X' — сопряженное пространство к X (если это необходимо,
мы перенормируем X til X' таким образом, чтобы они стали
строго выпуклыми; см. теорему 2.5), и / удовлетворяет усло-
условиям, аналогичным B.17) и B.18).

5. Эллиптические вариационные неравенства 273
Далее сделаем следующее предположение:
можно найти такое отображение двойственности
/: Х--+Х', что Уне=/С, Ve> О существует такое (8.68)
мее/С, что A(uR)^X и при этом
8 +
Имеет место
Теорема 8.7. Допустим, что выполнены предположения
(8.67) и (8.68). Предположим, что А: V -*-У — монотонный
се-минепрерывный ограниченный оператор, такой, что для под-
подходящего v0 e К имеем ')
ГД°)-* + 00 пРи И"!!-^00. и^К. (8.69)
Тогда если f принадлежит X, то для любого решения и не-
неравенства (8.10) выполнено включение
А{и)<=Х. (8.70)
Доказательство. 1) Так как А — монотонный оператор,
то в силу теоремы 8.4 можно заменить (8.10) на (8.36).
2) Подставим в (8.36) v = иг, где цг определено в (8.68).
Тогда получим
- е (А (не), / (А (ие))) > - г (f, J (А (и,))),
откуда
используя аналоги B.17), B.18), найдем, что
ФAИ(не)У1|Л(
Следовательно,
(8.71)
Далее, из (8.6S) выводим, что
II «8 - и \\х. = еФ (|| Л (иг) У < вФ (|| / у,
откуда
не-*и в X'. (8.72)
В силу (8.71) и (8.72) имеем
(Л(и8), и8-и) = с(е)-*0 при e-vO. (8.73)
Но
(А (не), и8 - v0) = с (е) + (Л (не), н - v0), (8.74)
') Это предположение ее имеет смысла в случае ограниченного /С.

274 Гл. 2. Метод монотонности
, и поскольку А (ие) ограничены в X, а следовательно, в V, из
(8,74) вытекает, что
(А(ие), ые —»о)<const,
что вместе с (8.69) доказывает, что
ые ограничены в V. (8.75)
Теперь можно предположить (выделяя подпоследователь-
подпоследовательность, если нужно), что
ые->« слабо в V, (8.76)
Л(ые)->х слабо в X (следовательно, слабо в V). (8.77)
Теорема будет доказана, если мы покажем, что % = Л(м).
Ввиду монотонности А
Полагая w = (l — 8) и + 8р> где у — произвольный фиксирован-
фиксированный элемент V, получим
~(А(ие), ые-ы) + (Л(A-9)ы + 8»), ые-ы-6(»-ы))<
< 6 (Л («J, ы - о).
Устремляя е-»-0, с помощью (8.73), (8.76), (8.77) получим
в(Л(A-в)ы + 9о), и-»)<е(х, u-v).
Деля на 8 и устремляя 8->0, мы получим, что
откуда х=^(«)#
8.7.4. Приложения
Приложение 8.1. Рассмотрим оператор А'
<Sia//(*N,6/>o(S?+ ... +SJ), a>0, V|eR».
Пусть задана функция 1|з, удовлетворяющая условиям
на Г, Лф<0 (как элемент
&>'(&), а следовательно, как мера в Q). '
Выпуклое множество К определяется условием
/С={о|оеЯо(?2), »>1|> почти всюду в Q}. (8.80)

8. Эллиптические вариационные неравенства 278
Тогда имеет место существование и единственность такого
и^К, что
(Ли, v - и)>(/, v - и) V»еtf, (8.81)
когда f принадлежит #~'(Q).
Сейчас из теоремы 8.7 будет выведена
Теорема 8.8. Пусть А и К определяются с помощью
(8.78), (8.80), где г|э — заданная функция, удовлетворяющая (8.79L
Если f из (8.81) принадлежит
то
«e=#J(Q)n№2'p(Q). (8.82)
Доказательство. 1) Достаточно показать, что Au^Lp(Q);
тогда нз теории краевых задач в If(Q) следует (см. Агмон[1],
Агмон — Дуглис — Ниренберг [1]), что если йеЯо(й) и Две
e=Lp(Q), то «<=№2lp(Q).
2) Теперь мы применим теорему 8.7 с X = LP[Q), V = #o(Q),
F' = #~i(QI). В качестве отображения двойственности возьмем
Все сводится к проверке (8.68). Таким образом, нам задано
и из К, и мы ищем элемент ие, являющийся решением урав-
уравнения
ые + е/(Л(ие)) = и, (8.83)
откуда
1(^) (8.84)
Полагая ие — u = wt, найдем, что
Аи.
Отображение v->Av-\- /~'(у/е) является монотонным семине-
прерывным ограниченным и коэрцитивным отображением
Hi (Q) Л V (Q) -> Я (Q) + L" (Q),
и, следовательно, существует wt (а тогда и ие), являющееся
единственным решением (8.84); при этом
') Вложение X<=.V имеет место только при «достаточно больших»
р (р^2п/(п+ 2)), что мы и должны предполагать в общем случае, см. Бре-
зис — Стампаккья [1], замечание 1.6.

276 Гл. 2. Метод монотонности
Итак, мы придем к (8.68), если покажем (и это является
наиболее существенным моментом), что
«ее/С, т. е. «е^'Ф почти всюду.
С этой целью введем
гг = sup {ф - и„ 0}, (8.85)
и нам остается показать, что ze = 0.
Из (8.84) следует, что
Л № - и.) - А* = /"' (i^piL). (8.86)
Замечая, что
(Abb-ue),ze) = (Aze,
мы выводим из (8.86), что
а так как по предположению — Лф^О, а по построению
^0, то отсюда вытекает, что
т. е. что
Е
Но, так как и^К, то и ^ г|з и, следовательно, и ^ иг на ?,
откуда
/~' ( "8 ~ " J < 0 на Е.
Тогда
?
и, следовательно,
J *~l\7U)Zt(*x==® почти всюду,
а потому ие = и, или ze=0 почти всюду на Е, и, следова-
следовательно, во всех случаях ze = 0%
Замечание 8.12. Предположение «Лф<10» можно заме-
заменить предположением «Л^ф является мерой на Q и sup{Ai|), 0}e
g Lp (Q)», введя аппроксимацию несколько более общего типа,
чем в (8.68). В этой связи мы отсылаем к работе Брезиса и
Стампаккьи [1]«

8. Эллиптические вариационные неравенства 277
Приложение 8.2. Что касается теорем о гладкости в при-
примере 8.3, то мы отсылаем к работе Брезиса и Стампаккьи [1],
в которой эти теоремы доказаны с помощью методов, анало-
аналогичных изложенным выше. Можно также показать, что если
/gLp (Q), то решение и принадлежит W2'p(Q), 1 <р < оо #
8.8. Теоремы о сравнении
Мы приведем пример (теорема 8.10), в котором решением
вариационного неравенства б_удет верхняя огибающая семейства
решений обычных краевых задач. Этот результат (принадле-
(принадлежащий Огазо [1], [2]) является простым следствием такого
«абстрактного» результата:
Теорема 8.9. Пусть V — гильбертово пространство,
А^.З?(У; V) — коэрцитивный оператор, и пусть К и К* суть
два замкнутых выпуклых множества в V. Пусть и (соответ-
(соответственно и*) является решением из К (соответственно из К*)
неравенства
(Аи, v — u)^t(f, v — u) Vfetf (f принадлежит V) (8.87)
(соответственно (Аи, у* —«*)>(/, v* — и*) Vf*eК*). (8.88)
Предположим, что можно подобрать такую пару {w, ш'}е
еГХГ, что
w + w' = u + u\ (8.89)
(A (w - и*), w - и) = 0. (8.90)
Тогда имеем
w = u (»• = «•)• (8.91)
Доказате чьство. Возьмем v — w (соответственно v*=w*)
в (8.87) (соответственно' в (8.88)) и сложим полученные нера-
неравенства; учитывая (8.89), найдем, что
(Аи, w-u) + (Аи*, w* - и') > 0;
кроме того (опять в силу (8.89)),
(Аи — Аи*, w — и) > 0;
следовательно,
(А (и — w), w — u) + (A (w — и*), w — и) > 0.
В силу этого неравенства и (8.90) — (A(w — и), w — «)>0,
а поскольку оператор А коэрцитивный, мы приходим к (8.91) щ
Приложение. Рассмотрим ситуацию примера 8.1.

278 Гл. 2. Метод монотонности
Пусть Г, — множество (емкости ^0) на Г, и пусть «г, является
решением задачи
AuTl = f в Q,
ди (8-92)
«г, = 0 на Г„ -д^- — 0 на Г —Г,.
Говоря точнее, положим
K* = {v\ve=Hl(Q), о1г, = 0}; (8.93)
тогда uTi e К* и
(Л«Г|, »*) = (f, v') Vo'sT
или (поскольку здесь /С* является векторным пространством)
(ЛиГ1, о* - иг) > (/, о* - uF) Vo* e Г. (8.94)
Теперь может быть установлена
Теорема 8.10. Пусть и —решение задачи (8.14). Имеем
Fi. (8.95)
Доказательство. Поскольку и = ыГ| яры подходящем
выборе Г,, то- мы получим наш результат, если покажем, что,
каково бы ни было множество Г^
«г <!м почти всюду в Q. (8.96)
В этой связи применим теорему 8>9; положим иг=и* и
определим
te; = sup(«, и*), w* = inf (и, и'). - (8.97)
Можно проверить, что w e К, w*^ К*; очевидно, что имеет
место (8.89). Проверим теперь (8.90). Если ф = « — «*, то
w — и* = i|>+, w — и = ф"
и, следовательно,
(Л(ш — и), w~u) = (Л-ф+, ф~) = 0,
откуда вытекает (8.91), и тем самым (8.96) ')•
¦) Брезис показал, что отображение f->u является «возрастающим»:
если \х, f2eL*(Q), /i>/2 почтн ВСК>ДУ> то и\^и% («/ — Решение, отве-
отвечающее fty

8. Эллиптические вариационные неравенства 279
8.9. Другой тип примеров
Как мы уже отметили в конце примера 8.3, решение
«эллиптического» вариационного неравенства может привести
к «многофазовой» задаче с двумя уравнениями разной природы
в двух частях области Q. Вот другая серия примеров подоб*
ного типа.
Пусть V = Я1 (Q),
п
a(u, v)= 2 J an-§TllrdxJt~ J aouvdx> an и ao<=L°°(Q),
i, /=i q l l а
n
2 a^Ml^/^alil2, a>0, ao(*)>ao>O почти всюду в Q.
Пусть Р — произвольный дифференциальный оператор,
^е^^'Й^Й). (8.98)
Определим
К = {» I о е Я1 (Q), Ро > 0 в Q] ')• (8.99)
Тогда существует единственное и^К, такое, что а(и, v— u)~^
^(f,v — u) Vo eК(f — заданная функция из/,2(Q)). «Разобьем»
формально Q на
О+={*|Ри(*)>0} 'и Оо = {
Тогда получим
Л«=/ на Q+, (8.100)
Ри = 0 на QO>
' ^v, = 0 на Г, (
и на границе раздела Q+ и Qo выполнены условия сопряжения.
Поскольку Р—оператор произвольного типа, то мы полу-
получаем два уравнения (8.100) и (8.101), которые могут иметь
различную природуф
Замечание 8.13. Можно изучать односторонние,задачи
(или вариационные неравенства) для псевдодифференциальных
операторов. Например, возьмем (см. п. 1.1.4 гл. 1)
Au=v. p.
-l
' = {d|bgF, o^O почти всюду в Q}.
3)'(Q), следовательно, Pv является положительной мерой.

280 Гл. 2. Метод монотонности
Существует единственное и из К, удовлетворяющее нера-
неравенству
(Аи, v — и) >(/, v — и) V» е К
для заданного f из V ф
9. ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
9.1. Постановки задач
Пример 9.1. Рассмотрим одну из простейших задач, изу-
изученных в § 8: в области Q с Rn ищется функция и — решение
задачи
-Au=f в Q,
«>0 на Г, -^->0 на Г, и-^- = 0 на Г,
где А — эллиптический оператор второго порядка.
По аналогии с уравнениями, естественно связать с задачей
(9.1) нестационарную задачу, «параболическую» по своей
. природе:
Д?- + Аи = / в QX]0, r[=Q,
и>0 на 2 = ГХ]0, Г[, ^->0 на S, и~ = 0 на S, (9.2)
«(я, О) = ио(*) задано в Q|
Попытаемся сформулировать (9.2) в более точной форме.
Введем выпуклое множество
В привычных обозначениях (9.2) можно записать в виде
(и'@, v - и @) + (Аи @, v - и (/)) >(f, v - и @) V» е= ff,
u(t)<=K, (9.3)
и @) = «о. «о задано в L2 (Q).
Здесь возникает одна трудность: формулировка (9.3) имеет
смысл только тогда, когда u'(t)^V почти всюду (чтобы выра-
выражение (и'(t), v — и (t)) имело смысл). Как нам кажется, это
условие не всегда можно реализовать, и поэтому нужно еще
ослабить формулировку (9.3).
Для этой цели рассмотрим такое семейство элементов
v (t) e Д", что
г/ = ^- е= / 2 сп т- 1/Л
v — .. t= l, \\>, i, v ),

9. Эволюционные параболические неравенства 281
и пусть
г
X=j[(v', v-u) + {Au, »-«)-(/, v-u)]dt.
о
Тогда имеем
т
Х= J[(«', v-u) + (Au, v-u)-(f, v-u)]dt +
о
т т
+ | {v'-uf, v-u)dt^ J {v'-u',v-u)dt
о о
(в силу (9.3))
и, следовательно,
Если мы предположим, что v @) = и0, то получим
т т
| [(vf, v - и) + (Лы, о - «)] dt > J (/, о - и) dt; (9.4)
о о
это неравенство имеет смысл при единственном условии на и:
ue=L2@,T;V) (9.5)
(и предполагается, что u(t)<^K почти всюду).
Мы дальше будем изучать задачи в форме (9.4) (в более
общей ситуации, которую мы опишем); Несмотря на «очень
слабый» характер разыскиваемого решения, как мы дальше
увидим, при разумных предположениях имеет место единствен-
единственность. Дальнейшая проблема — это вопрос о гладкости: когда
«слабые» решения (9.4) являются сильными решениями в смысле
(93)')?
') Если мы уравнение и' + Au = f, и @) = «0 проинтегрируем по t, то
получим эквивалентное уравнение:
t t
и @ + J Аи (a) da= J f (a) da + и0,
о о
с которым можно связать неравенство, не эквивалентное (9.4):
(«(О, v — ы@) + I J Au(a) da- j f(a)da, v -u{t) I >(«<,, v -a{t))
\o о /
Voe/C.
Это неравенство можно изучать отдельно, но это здесь не делается,
см. Дюво —Лионе [1] н Брезис [5].

282 Гл. 2. Метод монотонности
Замечание 9.1. В отличие от уравнений, для неравенств
случай «0=^0 приводит к дополнительным серьезным техни-
техническим трудностям по сравнению со случаем мо = О; мы сделаем
только несколько простых замечаний (в частности, в гл. 3)
для случая ш0 Ф 0, отсылая читателя к работе Брезиса [5] щ
Общая формулировка задач о «параболических» неравен-
неравенствах'1)
Пусть имеет место ситуация § 7; чтобы немного упростить
изложение, мы начнем со случая, когда Y cz Ж Итак, нам
задано рефлексивное банахово пространство Y и гильбертово
пространство Ж, причем
TczMczT'. (9.6)
В случае примера 9.1 мы возьмем Y=*L?@, T] V), V = #'*(Q)
и Ж = 1*@, Т; Н), # = L2(Q).
Рассмотрим далее, как и в § 7, такой оператор Л, что
— Л есть инфинитезимальныи производящий оператор
полугруппы s-+G(s) в Y, Ж, Y', являющейся (9.7)
сжимающей полугруппой в Ж.
Кроме того, рассмотрим нелинейный оператор S4-, такой, что
Ф. Y-*Y'— псевдомонотонный оператор2), (9.8)
и (как в G.15)) предположим, что $Ф — коэрцитивный оператор:
существует такой элемент v0 e Ж, что
Наконец, пусть задано множество Ж'.
Ж — выпуклое замкнутое множество в Y. (9.10)
В случае примера 9.1 мы возьмем
Ж — {v \ v e= Z,2 @, Г, V), v(f)t=K почти всюду}, (9.11)
где Кг= {о I v e H1 (Q), о^О на Г}; нетрудно проверить, что Ж
удовлетворяет (9.10)ф
Используя введенные выше операторы, выпуклые множества,
пространства и т. д., можно поставить задачи для вариацион-
') «Гиперболический» случай будет изучен в § 7 гл. 3. Термины «пара-
«параболический» или «гиперболический» используются только для общих указа-
указаний на характер задай
2) См. определение 2.1. Это предположение более сильное по сравне-
сравнению с G.31), G.32): как мы уже указывали, псевдомоиотонность является
«хорошим» понятием при решении вариационных неравенств. Можно также
предполагать, что оператор определен только на Ж

9. Эволюционные параболические неравенства 283
ных неравенств, содержащие в качестве весьма частных слу-
случаев «сильную» постановку (9.3) и «слабую» постановку (9.4)
(берется A = d/dt, а оператор si определяется формулой
(slv) (f) = A (v (t)) почти всюду) ф
«Сильная» постановка (обобщение (9.3)). Ищется функция и,
такая, что
и*=Ж, (9.12)
ы е= ? (Л; У)', (9.13)
(Аи, v — u) + (sl(и), v —и)>(f, v — u) V» е= JST (9.14)
(где / задано в Т')щ
«Слабая» постановка (обобщение (9.4)). Предположим, что и
удовлетворяет (9.12), (9.13), (9.14); тогда если DGjiffl D(A; Г), то
(Av, v — и) + (si- (и), v — u) — (f, v — и) =
= (Л«, v — и) + (si (и), v — «) — (/, v — и) +
+ (A(v-u), v-u)XA(v-u), v-u). (9.15)
(в силу (9.14))
С помощью предположений (9.7) (см. § 7) без труда про-
проверяется, что
(Лф, ф)>0 Уфе=ГГ)?>(Л; У). (9.16)
Тогда из (9.15) следует, что
(Av,v-u) + (st(u),v-u)Xf,v-u) V» е= Жf| D(А; Г1). (9.17)
«Слабая» формулировка такова: найти и^Ж, удовлетво-
удовлетворяющее (9.17)ф
9.2. Условия согласования. Примеры
Теперь мы введем «условие согласования»2) для Л и Ж:
V» е Ж существует некоторая «регуляризующая» после-
последовательность V], удовлетворяющая условиям:
(i) vjt=Ж[\D(A•,r'),
(Щ v,-+v в Г, /-оо, . (9Л8)
(Hi) HmsuptA»/, Vj — »)<0ф
/-»оо
Приведем примеры.
Пример 9.2. Пусть V — рефлексивное банахово простран-
пространство, Н — гильбертово пространство, V плотно в H,V сгЯсгУ,
В примере 9.1 это соответствует условию и@) = 0.
Условие ле необходимое, во достаточное для ндщих целей.

284 Гл. 2. Метод монотонности
и К является выпуклым замкнутым подмножеством в V*
Возьмем
Г = L" (О, Т; V), 2 < р < ооJ),
Ж = {v\v ^T, v(t)^K почти всюду},
Л == d/dt, D (Л; F) = {v \ v e F, V е F, а @) = 0}2).
Следовательно, -^Л является инфинитезимальным производя-
производящим оператором полугруппы G (s) из G.36). Заметим также, .что
если Ое/С, то G(s)Же:Ж Vs>0. (9.19)
В этой ситуации выполняется условие (9.18), как будет
видно из следующей теоремы:
Теорема 9.1. Если выпуклое множество Ж и полугруппа
G(s) связаны условием
0{8)Ж<=:Ж Vs>0, (9.20)
то выполнено условие (9.18).
Доказательство. 1) Прежде всего' заметим, что Ve > 0:
оо
(/ + еЛ)-1 = J ± ехр (- f) G (s) ds, (9.21)
о
/оо \
так что { поскольку Г — ехр(—-.) ds= 1 в силу (9.20)
\ j е \ в/ j
(I + еЛ) Ж с: Ж. (9.22)
2) Для заданного v из Ж определим оЕ из уравнения
ve + еЛае = v3). (9.23)
Имеем: ve е Ж П D (Л; Т) и wE->a в Т при е->0, так что
нам остается только проверить (iii) в (9.18); в силу (9.23)
(Лае, ае — v) = — е | Лае ||^ ^ 0 ф
Замечание 9.2. При доказательстве мы использовали (9.22);
(t \—tn
I-\ Л) ф, из (9.22)
вытекает (9.20) (и, следовательно, эти условия эквивалентны)щ
') Далее мы будем рассматривать случай 1<р<оо.
*) И аналогичным образом определим D (Л; Ж), D (Л; У").
8) Отметим аналогию с уравнением, введенным в (8.68).

9. Эволюционные параболические неравенства 285
Замечание 9.3. Можно получить тот же результат, если
заменить (9.20) условием:
существует такое aeR, что ехр (— as) G(s)y? <=.Ж Vs > 0. (9.24)
Дейстрительно, имеем
оо
A - ое) (/ + еЛ) = | Фе (s) e~asG (s) ds,
так что
A - as) (/ + еЛ) Ж с Ж, ' (9.25)
и тогда положим ае = A — ае) (/+ бЛ)" х)щ'
Пример 9.3. Пусть К@ — семейство выпуклых замкнутых
подмножеств V, удовлетворяющих условиям
K{t)c:K(t') при W, (9.26)
0е=.К@). (9.27)
Пусть, далее,
l = {o|oeLf@, T; V), v(t)s=K{t) почти всюду}. (9.28)
Множество Ж (не пустое, поскольку 0 е Ж) замкнуто и вы-
выпукло в Т. Без труда проверяется, что благодаря (9.26), (9.27)
мы опять получим (9.20), если оператор Л взять таким же,
как в примере 9.2«
9.3. Теорема существования «слабого» решения
Теорема 9.2. Предположим, что выполнены условия (9.6),
(9.7), (9.8), а также условие коэрцитивности (9.9) с аое
?=ЖГ\О(А;Т') и условие согласования. (9.18). Тогда Vf ef
существует решение и е Ж вариационного эволюционного не-
неравенства (9.17).
Доказательство. Мы используем тот же принцип, что
и в теореме 7.1, сводя нашу задачу к эллиптическим неравен-
неравенствам (вместо эллиптических уравнений в теореме 7.1).
. 1) Прежде всего нам надо найти такую функцию uh e Ж, что
~^W Щ, v-uh) + №(uh), v - uh)>{f, v - Uh) VoeX. (9.29)
Покажем, что существует и^еХ, удовлетворяющая (9.29).

286 Гл. 2. Метод монотонности
Для этой цели применим теорему 8.2, взяв У и Ж вместо V
и К, и заменим оператор А оператором
Без труда проверяется, что & — псевдомонотонный опера-
оператор, а поскольку
имеем
, v-vQ) = {a(v), v-vo) + G~^(/г) (о - о„), о - о0)
(у), а - v0) + A=Р& «о, о -
), а - о0) - с [| а || (так как v0 e D (Л; F'))
и, следовательно, в силу (9.9)-
НоП-^.оо- (9.30)
2) Из (9.30) следует, что
uk ограничены в Т. (9.31)
Итак, поскольку бФ — ограниченный оператор, можно пред-
предположить, выделяя подпоследовательность; которую опять будем
обозначать через uh, что при й-*О
uh-+u в У слабо,
л/ ч к./ ^ (9.32)
Л (ий) -> % в F' слабо. v '
Из (9.29) выводим, что
('~°{к) о. о - «а) + (^Ы, о - Вй)>(f, о - Ва) VosX. (9.33)
Действительно, левая часть (9.33) равна
^GW (о_ Ца)> о_Uhj + (i^|I*IВд, v-uh) + {зФ(«а), о - Ва),
и нужное нам равенство следует из (9.29) и неравенства
I-G(h)
(
Из (9.33) выводим, беря о <= X П D (Л; У"), что
lim sup (^ (uft), uft) < (Лс, о - «) + (x. о) - (f, о - и),

Р. Эволюционные параболические неравенства 287
откуда
limsup(.stf (ид), «а—«Х(х —f, v — и) + (Л, а —и)
А-»0
VaeXfl^(A; У")- (9.34)
С другой стороны,
in!- {(% -f,v — u) + (Ли, о — «)] <
litn inf [(% — f,u, — u) + (ЛИ/) и, - «)] < 0 (в силу (9.18))
(здесь iij — регуляризующая последовательность, как в (9.18)).
Далее из,(9.34) следует, что
lim sup (a (uA), щ — uXt 0. (9.35)
й0
Так как оператор si- псевдомонотонный, то получим
lim in! (^ (uA), uA-a)X^(u), u-v) VoeJ. (9.36)
А0
Однако в силу (9.33) имеем
lim sup (si- («a), «a — w)<
А-»0
<(Ло, v-u)-(f, v-u) VasXn^(A;F'). (9.37)
Сравнивая (9.36) и (9.37), мы получим, что и удовлетворяет
9.17)#
Случай, когда Т не содержится в Ж
Рассмотрим теперь ситуацию § 7, когда пространства Т, Ж,
У" «заключены» между Ф и Ф', и не предполагается, что У
содержится в Ж.
Выпуклое множество Ж рассматривается такое же, как и
выше (замкнутое в У)\ «условие согласования» (9.18) должно
быть модифицировано следующим образом:
Vws Ж существует «регуляризующая» последовательность V/,
удовлетворяющая условиям
(I) v,f=X(\DiA;rtrf)(\X,
(ii) vj->v в У при /->оо, (9.18')
(Hi) lim sup (Avj, Vj — a)< 0;
условия (ii), (Ш), таким образом, в (9.18) и (9.180 совпадают.
Имеет место
Теорема 9.3. Пусть для пространств У, Ж, У выполнены
предположения § 7, и пусть выполнены условия G.23) и G.28).
Предположим, что выполнено также условие (9.18'), а остальные

288 Гл. 2. Метод монотонности
условия теоремы, 9.2 оставлены без изменения. Тогда для за-
заданного f из У существует решение и е Ж неравенства
(Ли, v — и) + («я/ («). v — и) :>
>(f,v — u) Уу<=ХПД(Л;Г, FOfl^. (9.17')
Доказательство. Нам понадобится следующее утвер-
утверждение:
если лей (Л; F, Г'), то о — G (А) о е= У VA > О
и -J-(o —О(Л)о)-»-Ло в У при А-^01). (9>38)
Докажем (9.38). Имеем:
в частности, это равенство выполняется Уф gD (Л; У") П У- Однако
в силу G.28) для заданного v из D(A; У, У) можно подобрать
такую последовательность <р„ е D (Л; У) (] У, что ф„ -> v
в D{h.\t, У). Тогда G (s)ф„-> G(s) у в C°(s>0; У) и, в част-
частности, -jj- G (s) ф„ -> -^- G (s) у в ^5'(]0, оо[; F), а следовательно,
и в ?>'(]0, оо[;Ф').
С другой стороны, G (s) Лф„ -> G (s) Лу в С0 (s >0; У)
C°(^0; Ф') и, следовательно,
^-G(s)u + G(s)Ay = 0. (9.39)
Отсюда вытекает, что «s-> G(s)»еС'(«>0; F + F'), и
из (9.39) мы выводим
о
откуда следует (9.38).
Теперь мы докажем теорему с помощью двойного предель-
предельного перехода. Введем е > 0 (е < 1).
Отметим, что в силу-(9.18') множество Ж\\<№ (являющееся
выпуклым замкнутым подмножеством в У П <№) не пусто (и даже
плотно в Ж).
Тогда Ve > О, VA > 0 существует такая последовательность
и^еХОД что
~ "fte)
PITO л /-(l-e)G(A) (9.40)
где ЛЛе = ^ .
') Верно и обратное.

9. Эволюционные параболические неравенства. 289
Положим в (9.40) v = v0; тогда
, Uhe - D0) + (ЛЛе («to - Vo)> "he — O0) <
< if, '«A. — »o) - (ЛАе% «Ле ~ »о)-
Однако Л
откуда
IIЛле«оIU <| *-в<*>* L +1|| G (A) Oot-;
отсюда (используя (9.38)) получаем, что ||ЛЛео0||^с при
Следовательно,
(а (иЛв), иЛе — с0) < с (|| ufe Н^. + I),
ы, таким образом, «Ле ограничены в Т, когда е, А -> 0, е < А.
Теперь устремим е к 0, оставив h фиксированным. Мы
можем считать, выделяя подпоследовательность, чтоикг->щ
в Т слабо, <я? («йе)-> )Са в V слабо. Из (9.40) следует, что
lim sup (sf («йе), uhB) < (хЛ, о) — (/, a - uh) - (ЛАо, а - Ыд),
»0
(поскольку Ahev -> ЛЛа в У + 5^). Итак,
lim sup(s4-(uhe), uhz — «A)<(xa — f — Лло, a —
0
Однако, взяв в качестве v регуляризующую последователь-
последовательность, связанную с uh (ввиду (9.18')), мы сможем заключить, что
lim sup {а (ыЛе), Uhe - uh) < 0
е»о
и, следовательно,
lim inf (^ (ыЛе), ыЛе — о) Х^ («), и — о),
откуда выводится (как в теореме 9.2), что
(ЛАа, о —в*)+ (•$*(«*). о —и*)>(f, о-ыд)
VoeJffl^(A;F, Г')П^, и4е1 ( }
С другой стороны, нам известно, что uh ограничены в Т при
A->0. Следовательно, мы можем предположить (выделяя под-
подпоследовательность), что
«Л->и в У слабо, и^Ж,
•^ («л)-*¦ ЗС -в У слабо.
Ю Зак. 46

290 Гл. 2. Метод монотонности
Из (9.41) выводим (используя (9.38)), что
lim sup (a (Uft), Uft) < fa, v) 4- (Ли, T-u)-Q,v-u)
Следовательно,
lim sup (^ (uA), uA — u) < fa — f + Av, v — u),
и взяв в качестве v регуляризующую последовательность,
связанную с и (ввиду (9.38')), мы выведем, что
lim sup (s& (Ый), uh — ы)<0.
"¦я
Доказательство заканчивается таким же. образом, как
в теореме 9.2«
9.4. Теорема единственности «слабого» решения
Теорема 9.4. Пусть выполнены условия теоремы 9.2 или 9.3.
Предположим, что, кроме того, V«, oel: ¦„
(^(а)-^(о),«-оХ0#«=[|. (9.42) ;
Тогда неравенство (9.17) допускает единственное решение.
Доказательство. Пусть щ и ы2 суть два решения; тогда
для всех v е= ЛТП D(Л; F'I) t
(^(и,), о — и,) 4- (Ло, v — tn)Xf,v — «,);
(^(ы2)»у — «2L"(Лг), а — u2)^(f,v — и2). '
Положим
и рассмотрим «регуляризующую» последовательность ш/, связан-
связанную с w ввиду (9.18J). Возьмем v=w/ в (9.43) и сложим:
w, — «О 4- (^(«2)» w,—u2) 4- 2(Лш/( ш,—
откуда
lim sup [(.^ («,), Ui — ш;) 4- (^ («2). «2 — wi)] <
^2 lim sup [(Лш/, о»/ — ад) — (/, да/ —
и, следовательно,
, «i — ад) 4- (^ («г)» «2 —
') Кроме того, ve% в условиях теоремы 9.3.
2) Или ввиду (9.18').

9. Эволюционные параболические неравенства 291
т. е. (sf (ы,) — sf (и2), к, — «2)<0, откуда в силу (9.42) следует
наше утверждение «
9.5. Приложения
9.5.1. Случай гильбертова пространства. Предположим, что
в области QcR" задано семейство операторов A(t):
А (О Ф = ~ ? 4г К <*• Ъ -Зг) + а° <*' 9 Ф. < <= ] О, Г [,. (9.44)
оц (х, 0 111/ > a 11 Р почти всюду, а > 0, ,g 4g.
где
а0>
а0 (дс, t) > а0 > 0 (или > 0 в соответствующих
случаях) почти всюду в Q.
Рассмотрим подпространство V, замкнутое в Я1 (Q) и такое, что
ffi(fl)cFcff'(Q). (9.46)
Далее, пусть •
Рассмотрим оператор s&, определенный равенством
(s4-u) (t) = A(t)u (t) почти всюду, (9.47)
или, более аккуратно,
{$tu,v)=ja(t;u(t),v(t))dt Vu.v^T, (9.47')
о
где
i, /—1 Q I 1 О
Возьмем Л = d/dt, G (s) ф (t) = {<f(t — s) при t > s; 0 при f < s}.
Если J?—замкнутое выпуклое подмножество Т, т. е. Ж удовлет-
удовлетворяет (9.10), то из теорем 9.2 и 9.4 следует существование
и единственность такого us Ж, что
{аи, v~u) + (vr, v-u)>(f,v~u) (f задано в Г') (9.48)
для любого v, удовлетворяющего условиям
v s Ж, v' € L2 @, Г; V) = Г', е @) — 0 ф (9.49)

292 Гл. 2. Метод монотонности
Пример 9.4. Возьмем
V = Я1 (Q), Ж = {v | v е= Г', v (t) e= К почти всюду},
K = {v\v<=W(Q), o>0 на Г}"). (9-50)
(/, о) - J /o« dxdt+l gv d2, (9.51)
где f0GL2(Q}, g^)
: Решение неравенства (9.48) будет «слабым» решением задачи
-|- + Л« = /0 хв Q,
u(jc, 0) = 0, jceQ,
ы>0 на 2, -^~>g на 2,
<9-52)
-е)=0 йа
Пример 9.5. Возьмем
, X—iv\ve=r,.v(f)e=K почти всюду}, ,g g
K = {v\veV, Igrad a(jc)|< 1 почти всюду в Q},
¦ (f, о) =¦ J fо dx Л, / e L2 (О, Г; Я (Q)j. " (9.54)
Решение неравенства (9.48) будет «слабым» решением задачи
-?--\-Au — f в области, где | gradx u(x, t) |< 1,
| grad, и (л:, t) |= 1 в оставшейся части Q,
и (Х) 0) = 0, и= 0 на 2, (9.55)
ди . .
и и ~-fa-> *=1» •••» «, «непрерывны»
на границе раздела двух областей щ
Пример 9.6. Возьмем
V = Ho(Q), W = {v\v<=T, v(f)e=K почти всюду},
/С = {о|оеУ, о (д:)>ф(д:) почти всюду в Q}, (9.56)
ф задано в Я1 (Q), ф<0 на Q, .
и функция f такая же, как в (9.54).
') Следовательно, X = {v | v е I2 @, Г; Я1 (Q)), р > 0 почти всюду на 2}.
') Можно ослабить это условие, потребовав, например, чтобы ge

9. Эволюционные параболические неравенства 293
Решение неравенства (9.48) будет «слабым» решением
задачи1)
. -щ- 4- Аи — f - в той области! где и (х, t) > ф (х),
« = ф в оставшейся части Q,
и(*,0) = 0, и = 0 на S, (9.57)
и и -т—, i — \ п, «непрерывны»
0Х1
на границе раздела двух областей«
Пример 9.7 (ср. п. 8.9).
V = Я1 (Q), J^r = {а | v е= Г, v(t)s=K почти всюду},
(9<58)
(f,v)= jfvdxdt, f s Z.2 (Q). (9.59)
Q
Решение неравенства (9.48) будет «слабым» решением задачи
-щ--\-Аи — 1 в той области, где -? АЖ'И >' О,
-^—ЛЖ'И = О в оставшейся части,
(9.60)
«условия сопряжения» на границе раздела
Пример 9.8. Пусть Г, (t) — семейство подмножеств Г (обла-
(обладающих емкостью), причем
Г, (t)=> Гх (Г), если t^t'. (9.61)
Возьмем
Г -ЬЦО, Т; Н>№), ¦
на Г, (<)}. { '
Благодаря (9.61) выполнено условие (9.20) и, следовательно,
мы имеем неравенство (9.48); соответствующее решение и
') Приведенная ниже интерпретация hqqht совершенно формальный
характер.
*) Ср. с проблемой 11.19.

294 Гл. 2. Метод монотонности
является- «слабым» решением задачи (/ берется, как в (9.59))
^- + Au = f в Q,
на 2,=с{х, ;|x€=r,(Q},
^7>0 на Еь
1 п
"•¦^7=° на
• = 0 на So = 2 —
"VAU)
и(х,0) = 0ш
9.5.2. Аналогичные задачи в Lp, 2 < р < оо '). Имеется целая
серия приложений, аналогичных приведенным выше, когда
в качестве si берется, например, оператор2), определенный
равенством (stu) (t) = А (и (t)), где
Нф1р~2Ф- (9.64)
На этот раз в качестве V выбирается замкнутое подпрост-
подпространство в Whp(Q), такое, что
Wo' p(Q)cFc Wu p (Q), (9.65)
и
Т = V @, Т; У), Ж = Ь2 @, Т; L2 (Q)) = L2 (Q).
Говоря более точно, оператор si определяется равенствами
т
(stu,v)=ja(u(t),v(t))dt,
(9-66)
Г
г=1 а
Как и в п. 9.5.1, возьмем A = d/dt с областью определения,
состоящей из функций, равных 0 при < = 0. Как и выше, из
теорем 9.2, 9.4 будет следовать существование и единственность
') В случае 1<р<2 можно пытаться использовать теорему 9.2, однако
при этом возникают дополнительные трудности, которые преодолены в работе
Брезиса [5]. ' ч
2) Используя примеры псевдомонотоиных операторов, введенных в § 2,
МЫ очевидным образом получим массу возможных <?б<?бщенцй,

9. Эволюционные параболические неравенства 295
функции и^Ж, удовлетворяющей (9.48), если Ж удовлетво-
удовлетворяет (9.20)« " •
Ограничимся примером, аналогичным примеру 9.4. Подоб»
ным образом можно рассматривать ситуации, соответствующие
примерам 9.5—9.8.
Пример 9.9.
y = WliP(Q), ЯГ =*{о |оеГ, v(t)^K почти всюду},
К = {v | v е= W1'p (Q), v > 0 на Г).
Решается (в «слабом» смысле) следующая задача:
ди \} д (I ди
f—1 •
ы>0 на 2,
р~2 ди \ , . ,р-2
,р-2
-2 ди 0.67)
cos (n, xt) ^ О иа 2,
дх.
дх,
u «/ \Wj — и на ^j,
9.5.3. Периодические решения. Пространство Т, оператор si
и выпуклое множество Ж мы возьмем такими же, как в преды-
предыдущих примерах.
Мы опять возьмем A = d/dt, но с другой областью опре-
определения, отвечающей периодическим решениям; таким образом,
полугруппа G (s) определяется с помощью G.55), причем
D (Л; Г) ={ v | v е Г', |f <= Г', v @) = о (Г)}. (9.68)
Предыдущие примеры применимы, если G (s) JSfСЖ, что
выполняется во всех предшествующих случаях, за исключением
примера 9.8.
Общая теория применительно к примеру, аналогичному 9.9,
дает следующее:
Пример 9.10. Существует единственное «слабое» решение
задачи
п
'
"~2
ы>0 на 2, ^"(ы)>0 на 2, и>Т{и) = 0 на Б,
м(х, 0) == u (jc, Г), *eQ.
(9.69)

296 Гл. 2. Метод монотонности
9.5.4.- Парные задачи. Рассмотрим ситуацию п. 7.5 с
Vt = Wl-p{Q) = V, 2<p<oo, H=L2(Q),
0'2 <ЭФ\ . . ,„2 . , о (9-70)
Возьмем
Г = V (О, Т; V) X L" (О, Г; К),
" .*« - {А (щ) - и2, А (и2) + щ} (9>71)
и полугруппу G (s), определенную с помощью G.59).
Возьмем далее выпуклое множество Ж, определяемое усло-
условиями
Ж = {о\х}и у2>0 на 2}. (9.72)
Тогда выполнено условие (9.20), а следовательно, к (9.48) при-
применимы теоремы 9.2 и 9.4. Из них следует существование един-
единственного ^слабого» решения следующих неравенств:
2
(9.73)
Щ>0, ы>0 Г(щ)>0 ^-(м)>01)
) = 0 на 2,
«1 (а:, 0) = 0, щ (х, Т) = 0, xz=Q9
Замечание 9.4. Естественно, что для той же самой си-
системы операторов можно, наряду с (9.72), рассматривать и дру-
другие системы выпуклых множеств!«
Замечание 9.5. Теми же методами можно конструиро-
конструировать задачи для неравенств, связанных с операторами, введен-
введенными в п. 7.6ф
9.5.5. Односторонние задачи на многообразии. Пусть теперь
мы находимся в условиях § 4. Возьмем
V = wVp'-p(V), H = L2(T), Vе = W~llp'- "' (Г),
Г = L"@, Т; V), ^ = L2@, Т; Я) = 12BJ), 2<р<оо,
и определим S4- следующим ниже способом.
') *Г определяется так же, как В (9.67).
Не обязательно Та,

9. Эволюционные параболические неравенства 297
Положим, чтобы избежать недоразумений в обозначениях,
'-* (9-74)
Для ge=WWiP(r) = V решим задачу
B(w) = Q, w\r = g, we=WUp(Q), (9.75)
и далее положим
I
(«о = ? I Ir
If
C0S («• *>: <9-76>
Как и в § 4, можно проверить, что А: V -+V является семи-
непрерывным монотонным оператором и, кроме того,
a\\g\fv, <z>0. (9.77)
Теперь в качестве si возьмем оператор, определяемый
равенством ¦
и возьмем Л = d/dt с областью определения, состоящей из
функций, равных 0 при / = 0.
Пусть далее
X=*{v\v(^Y, 0>O почти всюду на 2}. (9.78)
Можно применить теоремы 9.2, 9.4. Мы получим существо-
существование и единственность «слабого» решения задачи
a(u)-f)^0 на 2,
-и (х, 0) = 0, х е Г.
Заменив ^ его выражением с помощью #", мы уви-
увидим, что получили существование и единственность «слабого»

298
Гл. 2. Метод монотонности
решения задачи
л
д /I dw
р-1
4^+|доГ2до-0 в Q,
до>0 на 2,
на
(9.80)
на
w (х, 0) = 0,
Замечание 9.6. Таким же образом решается «периоди-
«периодический» случай, в котором последнее из условий (9.80) заме-
заменяется условием до (а:, 0) = w (x, T), х е Г©
9.5.6. Вырождающиеся параболические неравенства. После
всех приведенных выше примеров естественно поставить вопрос
о том, какие имеются задачи для неравенств, связанных с не-
нелинейными операторами, изученными в предыдущих парагра-
параграфах (см. проблемы 11.17, 11.20, 11.21, 11.22). Здесь мы при-
приведем примеры2) задач для неравенств, связанных с операто-
оператором (см. п. 3.2)
<оо.
Мы используем методы п. 3.2 (замена основного простран-
пространства). Возьмем
fl("' v) = 1j±1j j\u\"-2uvdx,
r = Lp@, T; V), M=L2@, T; H),
т
J a(u (t), v @) dt = (M (и), v) Vm, v e T3).
2) Мы ие касаемся вопроса о том, возникают ли эти примеры в прило-
приложениях.
3) Где через (бФ (и), о) обозначено скалярное произведение между
Si- (и) е Т' и оеГ, причем пространство 3$ отождествляется со своим
сопрященщм.

9. Эволюционные параболические неравенства 299
Чтобы упростить запись, положим
(Q) является изоморфи
(9.81)
G<p = (— Д) ' ф, —A: #o(Q)->// ' (Q) является изоморфизмом.
Теперь мы введем следующие выпуклые множества:
Жх = {v | у е= Г, G(v (/)) > 0 почти всюду}, (9.82)
Х2 = {v.\ v<==T, v (t) > 0 почти всюду}'), (9.83)
которые являются выпуклыми замкнутыми конусами в Т.
Взяв Л, как в п. 9.5.5, мы, следовательно, установим суще-
существование и единственность таких ut e Жi, что
(о', v-ut) + (M(щ), v-ut)>if, v - vt) Чи<=Ж1{\й(Л; >),
(9.84)
где / принадлежит Т' и определяется равенством
(f, 0) = J / (Go) rf* d/,. / е= Lp' (Q). (9.85)
9
Неравенство (9.84) можно записать в более явном виде:
. j ^-Giv-uddxdt + j-Ljr j\utr2ut(v-ut)dxdt^
Q Q
> J /G (о - щ) dx dt. (9.84')
Q
Формально 2) эти неравенства можно трактовать как
J (^jf- Gv + Y^i)' "г |P~2 "iW -fGv)dxdt>° Voe ЛГ„ (9.86)
причем равенство достигается при о = иц
Случай выпуклого множества Жх. Перепишем (9.86) в виде
') Очевидно, что, исходя из этих двух примеров, можно сконструиро-'
вать бесконечное множество вариантов.
2) Все это можно обосновать при более сильных условиях на /, исполь-
используя результаты следующего п. 9.6.

Гл. 3. Метод монотонности
откуда следует существование и единственность «слабого» ре-
решения задачи
G (щ @) ^ 0 почти всюду в Q,
п
(9-87)
«i = 0 на 2 и при /^Оф
Случай выпуклого множества Ж2. Перепишем (9.86) в виде
Q
откуда следует существование и единственность «слабого»
решения задачи
и2>0 в Q,
ы2 = 0 на 2 и при < — 0«
9.6. Теоремы о гладкости
Результаты п. 9.3 доставляют нам условия существования
«слабого» решения неравенства (9.17).
Теперь наша задача состоит в том, чтобы выяснить, при
каких условиях можно с помощью теорем о гладкости перейти
к «сильным» решениям в смысле (9.12), (9.13), (9.14)ф
9.6.1. Теорема о гладкости; первый метод. Сначала мы рас-
рассмотрим гильбертов случай: У является гильбертовым про-
пространством, а оператор Ф. У-*-У линейным и коэрцитивным.
Сделаем следующее предположение (ср. с (8.68))'):
для заданного и via Ж можно выбрать такое ge3e,
что Ve>0 найдется ий^Ж{\D{К; У), удовлетво-
удовлетворяющее уравнению е (Л«е + ^ые) + «е = и + её- (9.89)
') Член g, который мы здесь «вставляем» (по сравнению с (8.68)), можно
ввести также в условие (8.68); см. более общий случай у Брезиса — Стам-
паккьи [1].

9. Эволюционные параболические неравенства 301
Ёудет доказана
Теорема 9.5. Предположим, что Т — гильбертово про-
пространство, ТсД a s&: T->У" — линейный коэрцитивный
оператор. Предположим, что выполнено условие (9.89). Тогда
решение и неравенства (9.17) удовлетворяет включению
^1), (9.90)
если f принадлежит Ж
Доказательство. Из (9.17) следует, что
(Ло + slv-f,v — u) = (Ло + ^ц-f, у—и) + (л* (о—и), о—и)>0.
(>0 в силу (9.17)) (>0)
(9.91)
Подставляя в (9.91) функцию о = ие из (9.89), получим
е (Л«е + s*ue - f, g - (Ли, + s*ue)) > 0,
откуда (обозначая через | | норму в Ж) имеем
| Л«е +'^«е р < {f + g, Л«е + ^Mg) - (f, g).
и, следовательно,
Лц„ + ^ые ограничены в Ж (9.92)
Далее, из (9.89) вытекает, что
|и,-и|<в(|Л«в + .*ив| + |«1)<св, (9.93)
и, следовательно,
ме-»м в Ж (9.94)
Однако, так как A'g^(D(Л*; Ж); Ж), то Ле&{Ж; D(Л*; Ж)')
и из (9.94) вытекает, что
Лме-»ЛМ в О (Л*; Щ. (9.95)
С другой стороны, если D (зФ*; Ж) — область определения
оператора s&* (сопряженного к s4) в Ж то имеем: .stf'e
е^(О(^*; Ж); Ж), следовательно, ^е^(Ж ?(.s*'; Ж)'), и
из (9.94) вытекает, что
s4-ub-*s4-u в О(Л*;Ж^- (9.96)
Итак, Лме + ^ме -* Л« + ^ввО (Л*; Ж)' + ?> (^*; Ж)', и в силу
(9.92) можно выделить такую подпоследовательность (мы со-
сохраним для нее обозначение ие), что
Лме + s4-ut -*¦ % в Ж слабо
') Поскольку A's^(D (Л'; Г'); Г), то Л е 5s (Г; О (Л*; У')'), так
что включение (9.90) имеет смысл.

302 Гл. 2. Метод монотонности
и, следовательно,
Аи + sfu = % е Шщ
Следствие 9.1. В условиях теоремы 9.5 «слабое» реше-
решение неравенства (9.17) является «сильным» решением в смысле
(9.12), (9.13), (9.14).
Доказательство. 1) Из (9.90) следует, что Аи принад-
принадлежит Т' (при этом Л понимается как элемент 3! (Т; D (Лг; Т')')\
тогда «ей(Л; У). Действительно, если р„(s) — регуляризую-
щая последовательность функций с компактными носителями
в ]0, оо[ и если
G(Pn)=JG(s)Pn(s)ds,
о
G (р„) и -> и в Т, G (р„) «еД(Л; Т') (и даже D (Л~;
и
AG(pn)u=G(pn)Au->Au в Г',
откуда следует наше утверждение.
2) Для произвольного w из ХГ)?(Л; Т') можно в (9.17)
рзять
0 = A_8)ы + еш, 8g]0, 1[
(поскольку ие1"ПО(Л; Т')), и из (9.17) после деления на 8
следует, что
(Л(A — 8)ы + 6ад), ш —ы) + (^ы, ш — и)>(/, ш —ы).
Устремляя 8 к нулю, получим
(Лы + Лм-/, ш-ы)>0 Уше^ПО(Л; ^0- (9.97)
Однако, в силу предположения о согласовании (9.18), пере-
пересечение Ж П D (А; Т ) плотно в Ж, следовательно, из неравен-
неравенства (9.97) вытекает (9.14)#
Приложение. Приведем пример, в котором выполняется
предположение (9.89). Рассмотрим ситуацию п. 9.5.1; пусть
заданы
1>е=//2(О), 1><0 на Q,
/?={o|i>;^i|) почти всюду в Q, t)e//J(Q)),
и пусть
F = //J(Q), T=L2@, T; V),
Ж = {о\у*=Т, v@еК почти всюду}.

9. Эволюционные параболические неравенства 303
Далее предположим, что
Л (9=-А (9.99)
(это предположение не существенно и сделано только для
упрощения).
Тогда имеет место условие (9.89)').
Действительно, возьмем
g = — Дф. (9.100)
Нам нужно решить параболическое уравнение
«8 = 0 на 2, (
«,(*; 0) = 0,
и показать, что ие е Ж, т. е. иг ^ Ф почти всюду. С этой целью
рассмотрим2)
ze = sup (ф — ме, 0). (9.102)
Мы можем записать (9.101) в виде (поскольку diJ>/d/ = O)
ме-м. (9.103)
Умножив обе части (9.103) скалярно на ге, найдем (возмож-
(возможность интегрирования по частям будет обоснована ниже):
о /.«. ч | V о I, ч azK I j. jj / v
И, Zz).
)
Q \ i=\ l 4
(9.104)
Однако можно проверить, что
(9.105)
') Что касается более систематического изучения ситуаций, в которых
выполнены условия такого рода, см. Брезис — Пази [1].
2) Приводимое доказательство аналогично доказательству принципа
максимума для слабых решении параболических уравнений.

304 Гл. 2. Метод монотонности
и из (9.104) следует, что
(we-u, zE)= J {uB-u)
Но если ^>ыЕ, то ые<^<«, так что ые — ы<0 и, следова-
следовательно,
Г (ие — ы) ге dx dt < 0, откуда J («e — u)zBdxdt = 0,
Ф>«
и потому
.(и, — и) (ф — ыЕ) = 0 почти всюду, если
Таким образом, либо г{> = не, либо ие = ы^ф, так что
ые = ф во всех случаях, и тем самым доказан требуемый ре-
результат (в предположении, что обоснованы равенства (9.104)
и (9.105)). .
Положим ф — ые = g\ тогда
W состоит из таких ge=L2@, Г; Ho(Q)\ (9.106)
что g' e L2@, Г; Я (О)), g @) =« 0;
zB = g+, так что g+ s L2@, Г; Я' (Q)).
Интеграл в левой части (9.104) можно записать в виде (g', g+)—
скалярного произведения между L2 @, Т; H~l (Q)) и L2 (О, Г; Яо (Q)).
Тогда неравенства (9.105) будут следствиями неравенства
<g', g+)>Q VgszW. (9.107)
Предположим на минуту, что
g-*g+ порождает (нелинейное) непрерывное
отображение W->L2@, T; я?(О))пС°([0, Т\; L2(Q)). (9.108)
Возьмем далее g, s С1 (Q), ^ = 0на2и при / = 0, gt -*¦ g
в W. Тогда имеем:
<g',. g/+>= J ^-g,dxdt = ± J gt(x,Tfdx>0,
Q
Q
gj(X.T)>0
а поскольку /g' gf)-*^', g+y (в СИЛу (9.108)), то приходим
к (9.1Q7).
Итак, нам осталось доказать (9.108) или эквивалентнр^
утверждение '

9. Эволюционные параболические неравенства 305
g -Ч g I (здесь | g | — абсолютное значение g)
является непрерывным отображением
W-*L2@, Т; Н10(п))Г\С°{[0, T]; L2(Q)). (9.109)
Как хорошо известно, g-+\g\ является непрерывным ото-
отображением L2@, Т; #o(Q)) в себя, и нам достаточно проверить,
что
a) \g\ принадлежит С°([0, Т]; L2(Q));
b) g~*\g\ является непрерывным отображением W->
->С»@, T;L2(Q)).
Ввиду неравенства
I \g(x, t)\-\g(x, to)\ \<\g(x, t)-g(x, tQ)\,
имеем || | g (t) | -1 g (f0) | \J(Q) <|| g (<) - g 0?o) ||iJ(Q), откуда выте-
вытекает а) (поскольку fcC°([0, T\\ L2(Q))); далее, для g, hesW
II I g @ I ~ IA @ I llt.,0,<II Я@ - Л @ ||LW
откуда
II. I g I — I h I llc»([o, r];L'(G)) ^11 S — h llp^ri;t2(Q)) <c|| ^ — A11^,
т. е. приходим к Ь)ф
Теперь нами будет доказана
Теорема 9.6. Предположим, что имеют место (9.98) и
(9.99), где Q — открытая ограниченная область с достаточно
гладкой границей. Для заданного f из L2 (Q) существует, и при-
том единственная, функция и, удовлетворяющая следующим
условиям:
§ t^2(Q> ^.Л. (9.110)
и = 0 на 1 и при ^ = 0. (9.112)
Доказательство. Мы используем теорему 9.5; воз-
возможность ее применения будет следовать из приведенных ниже
рассуждений. Полагая
<—ie

306 Гл. 2. Метод монотонности
мы получим существование и единственность функции
а-Е Ж П D (Л; У), удовлетворяющей неравенству
т
ja(u,v-u)dt^{f,v-u) Чое=Ж. (9.113)
о
В силу (9.90) мы получим, что
это включение вместе с условиями и|2 = 0 и и(х, 0) = 0 при-
приводит к (9.110).
Далее перепишем (9.13) в виде
|(^/)()> X т. е.
О
откуда легко следует (9.111)^
9.6.2. Теорема о гладкости; второй метод. Мы рассмотрим
ситуацию теоремы 9.2 и сделаем следующие предположения
(соответствующие примеры будут приведены ниже):
-sf(v), я —о)>с||я —о|Р У/и, v^T, (9.114)
G(s)st(v) = st{G{s)v) Voef, Vs>0, (9.115)
существует такое р > 0, что
G {s) v + G' (s) v — G'(s) G (s) v +
(9.116)
Очевидно, что из (9.114) вытекает (9.42) и, следовательно,
неравенство (9.17) допускает единственное решение. Имеет
место
Теорема 9.7. Пусть выполнены условия теоремы 9.2 и,
кроме того, условия (9.114), (9.115), (9.116). При этих условиях
для f e D (Л; У") существует единственное решение неравен-
неравенства (9.17), сильное в смысле (9.12), (9.13), (9.14). Более того,
Л. (9.117)
Доказательство. Вернемся к доказательству теоремы
9.2. Мы будем исходить из функции uh — решения (9.29) (един-
(единственного в рассматриваемом нами слуяае) и попытаемся для ин
установить более сильные оценки, чем при доказательстве тео-
теоремы 9.2,

9. Эволюционные параболические неравенства 307
Из (9.29) мы выведем после умножения на р (это р берется
из условия (9.116)), что
Выберем v из равенства
ро = G (s) uh + G* (s) uh - G' (s) G(s)uh + (P-l)uh =
= puk-(G'(s)-I)(G(s)-I).uh,
что законно ввиду (9.116). Из (9.118) следует, что
<0. (9.119)
Используя (9.115), мы из (9.119) выведем, что
(л*(G (s)uh) - St (uk), G (s)uh-uh) +
+ C~hih) (° (s) "* - "*)' C (s) "* - "*) <
<(G(s)f-f, G{s)uh-uh). (9.120)
Второй член в левой части (9.120) ^ 0, поскольку G (А) является
сжимающей полугруппой в Ж, так что с помощью (9.114) мы
выведем из (9.120) неравенство
с\\ G (s) uh - «ft|§,< (G (s)f- f, G (s) uh - uh),
откуда
± (9.121)
Но так как /eZ)(A; V"), то в силу (9.121)
|С(')и*"и*| < const VA,s>0, (9.122)
откуда следует включение иеD(A; T)\ доказательство закан-
заканчивается таким же образом, как в теореме 9.5щ
Замечание 9.7. Можно ослабить (довольно просто) пред-
предположения (9.115), (9.116), не меняя утверждение теоремы.
Можно заменить (9.115) условием
V» s Ж существует такое т ^ 0, что
\{&{G(s)v)-G(s)(sf(v)), G(s)o-o)|< (9.123)

308 Гл. 2. Метод монотонности
а (9.116) условием
существует такое р > 0, что
G (s) v + G* (s) v - G* (s) G(s)v
Vs>0, где |8(s)|<Cs2.
См. Брезис [l]m
Приложение. Рассмотрим ситуацию п. 9.5.1, причем
пусть
A (t) = А не зависит от t'),
а полугруппа G (s) определяется из равенства
G (s) ф (t) = {q>(t — s) при / > s; 0 при / < s].
Тогда имеют место (9.114) и (9.115).
Рассмотрим случай примера 9.4 (п. 9.5.1). Проверим далее,
что условие (9.116) выполняется при р = 2, т. е. что
G(s)v + G*(s)v-G*(s)G(s)v + v e= 2Ж = Ж2). (9.125)
Но G(s)v еЖ; G*(s) определяется равенством
G*{s)q>(t) = {(f(t + s) при /<Г — s, 0 при t^T — s],
следовательно, G*(s) v e Ж и
G* (s) G {s)v {t) = {v {t)t если /e[s, T — s], 0 для остальных f},
так что 5-G'(s)(?(s)iie3f, откуда следует (9.125).
Таким образом, мы можем применить теорему 9.7 и вы-
вывести следующее утверждение:
Теорема 9.8. Пусть функция f принадлежит L2 (Q), при-
причем df/dt^L?(Q) и f(x, 0) = 0. Тогда существует, и притом
только одна, функция и, удовлетворяющая условиям
^*L2M V/, (9.126)
~ + Au = f, (9.127)
А А
и{х, 0) = 0# (9.129)
') Предположение (9.123) «сделано» ради тех случаев, в которых A(t)
заввсит от t регулярно.
2) Здесь X — конус с вершиной в начале координат; впрочем, это свой-
свойство не существенно для применения теоремы 9.7.

9. Эволюционные параболические неравенства 309
Замечание 9.8. Применяя метод п. 8.7.2, можно вывести
(по крайней мере в том. случае, когда Q — полупространство),
что
^ V/,/. (9.130)
В самом деле, в силу (9.127): Au = f — du/dt = g, и надо
рассуждать таким же образом, как в п. 8.7.2, считая / фикси-
фиксированным ф
9.7. Различные замечания
Замечание 9.9. Ненулевые начальные данные.
Рассмотрим задачу (9.3) при и0ф0.
Если «0 задается из К, то наша задача моментально сво-
сводится к случаю ««0 = 0»; действительно, полагая «* = « —«0
и К' = К — «о. мы тотчас получаем аналогичную задачу для и*,
причем и*@) = 0.
Это замечание является общим для задач "для неравенств,
связанных с оператором ф-> дф/d/ -f «я? (ф), если У = LP @, Т; V),
Ж = {v | v e T, v (t) e К почти всюду},
К — выпуклое замкнутое множество в V.
Однако предположение «и0 е К», как легко видеть, слишком
ограничительно: в самом деле, в случае уравнений это соот-
соответствует тому, что йоеК, в то время как «естественно» брать
начальные данные иое Н. По аналогии со случаем уравнений
следует брать
«о е/Ся = замыкание К в Я. (9.131)
На этом пути возникают очень серьезные технические труд-
трудности, по поводу которых мы отсылаем к работе Брезиса [5] о
Замечание 9.10. Другие свойства гладкости (и без допол-
дополнительных предположений) установлены другими методами
в п. 6.2 гл. 3. См. также цитированную выше работу Брезиса ф
Замечание 9.11. Предположение о том, что — Л является
инфинитезимальным производящим оператором некоторой полу-
полугруппы в У, Ж, У", не является необходимым. Более общие
примеры можно найти ниже в § 10 о
Замечание 9.12. Задачи для неравенств, связанных
с гиперболическими или корректными по Петровскому опера-
операторами, будут изучены в § 3 и 7 гл. 3*

310 Гл. 2. Метод монотонности
Замечание 9.13. Мы все время рассматривали прост-
пространства над R. В случае векторных пространств над С сле-
следует заменить неравенство
(a(u)-f, v-u)>0 Voe/C
неравенством
(a)-f, о-и)>0 Voe=/C.
Можно также изучать, например, неравенства, связанные
с уравнением Шредингера©
Замечание 9.14. Приведем частичное обобщение на слу-
случай эволюционных неравенств результатов п. 8.8. Мы ограни-
ограничимся одним примером.
Рассмотрим ситуацию примера 9.6 из п. 9.5.1, причем пусть
ф = 0, так что
K={v\ve=Ho{Q), o>0 почти всюду в Q}, (9.132)
и предположим, что коэффициенты оператора A(t) = A не за-
зависят от t'); следовательно, ч
п
а{и, о) = ? f п1,(х) ¦§*--?. dx = (Аи, v), и, oe#S(Q).
i, /=i a i '
(9.133)
Пусть f принадлежит L2@, T\ H~l(Q)), а Ж определяется
условиями
X={v\ve=L2@, T; Н\{Щ), v(t)e=.K почти всюду}.
Согласно теоремам 9.2 и 9.4, существует единственное и^Ж,
такое, что¦
г
f \(v', v -и) + a(u,v-u)-(f,v- и)] Л>0
о ¦ (9.134)
Vo e Ж, v' e= L2 (О, Т\ H~l (Q)), о @) = 0.
Мы собираемся сравнивать и с решением соответствующего
уравнения. В этой связи пусть Qj — произвольная подобласть Q,
пусть иа — решение задачи
1 ') Это предположение не существенно и сделано исключительно для.
простоты изложения,

9. Эволюционные параболические неравенства 311
дип
а/ а, 'о, /> 1. j (9.135)
«„, е L2 (О, Г; Я' (Q,)), uQi (х, О) = О,* s О„
и пусть
f uo при * gQ.,
йа = Р ' (9.136)
а' I О при х е= Q, л; ^ Q,.
Имеет место
Теорема 9.9. Если и (соответственно йа), удовлетворяет
(9.134) (соответственно (9.135) и (9.136)), го
и>йа почти всюду в Q = QX]0, Г[. (9.137)
Доказательство. 1) Пусть /„ — последовательность
функций, таких, что
/п» Г„ е L2 (О, Г; Я (Q)), /„ (х, 0) - О,
/„->/ в L2@, T;H-K(Q)), n-oo;
такая последовательность существует.
Пусть ия и ы„, q, — соответствующие решения.
Поскольку ип -* и (соответственно ы„. а, -*• йо,) в L2@, Г; Яо (Q))
при п-+оо, мы придем к (9.137), если покажем, что ип^йп, а,.
Таким образом, достаточно доказать (9.137) для f, удовле-
удовлетворяющих условиям
f,fe L2@, Г; Я (Q)), f(x, 0) = 0. (9.138)
2) Однако если выполнено (9.138), то в этой ситуации при-
применима теорема 9.7, и решение и неравенства (9.134) удовле-
удовлетворяет условиям
u^L2 @, Т; V), и' <= L2 @, Т; V), V = Я' (Q),
и@) = 0, (9.139)
т v
/[(и', o-u) + a(u, o-u)-(f, о-
о
Чтобы упростить запись, положим
') Через /8( обозначено сужение / на Qi X 10, f (,

312 Гл. 2. Метод монотонности .
имеем:
г
J [(«:,. о.) + a(«., о.) - (/. о.)] * = 0 Vo. <= Ж„
, т. „w«« (9-140)
Ф=0 почти всюду вне QiXJO, T[\
3) Поступим таким же образом, как в п. 8.8. Положим
да = sup (и, «,), до, = inf(«, и.)
И заметим, что
хю(=Ж, и>,е=Ж„ w + wt = u + u,. (9.141)
Полагая v = w (соответственно о, = ДО, — и.) в (9.139) (соот-
(соответственно в (9.140)) и складывая, мы ввиду (9.141) получим
т
о .
откуда
г
f [{w' — и', до — и) + а (до — и, © — и)
о
г
< J [(до' - и'„ до - и) + а (до - «., ш - и)] Л. (9.142)
о
Если положить и — и, = ф, то правая часть (9.142) будет
не чем иным, как
о
а поскольку
о
(9.142) приводит к неравенству
г
J а (до — и, до — u) dt < 0;
о
доэтому
ш = м, ?• e."uf<«, откуда следует (9.137)$

10. Различные дополнении 313
Можно дальше распространить предыдущие результаты:
пусть Q] — подобласть в Q, не обязательно цилиндрическая,
и пусть «q, — решение (которое существует и единственно, если
область Qi «достаточно регулярна») задачи
= f в
uq, = 0 при / = 0 и на боковой границе Q,,
и пусть «q, — продолжение uQl нулём вне Q,.
Далее, имеет место неравенство (это доказывается подобным
же образом)
u>uQl. (9.144)
Весьма вероятно, что
Qi, (9.145)
и трудность состоит в том, чтобы показать, что и является
функцией типа u = uq1, где Q, — «достаточно регулярная»
область, в которой можно решить задачу (9.143) ф
10. РАЗЛИЧНЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
В этом параграфе мы приведем некоторые дополнения
к предыдущим результатам, отсылая за доказательствами
к оригинальным статьям. .
10.1. Эволюционные уравнения
Во всем предшествующем изложении мы старались связать
с заданным нелинейным эллиптическим оператором А такое
банахово пространство V, чтобы А отображал V в сопряжен-
ное пространство V (в § 3 гл. 4 мы встретимся с вариантом
этой ситуации, в котором «главная часть» А будет отобра-
отображать V в V). Однако существует и другая точка зрения (под-
(подчас неизбежная, см. § 1 гл. 3), принятая при изучении неогра-
неограниченных линейных операторов: для заданного оператора А
и выбранного пространства X (мы уже много раз подчерки-
подчеркивали, как важен этот выбор) рассматривается область опреде-
определения D (А) (в действительности, одна из возможных областей
определения) оператора А в X; D{A) является таким подмно-
подмножеством в X (подпространством — в линейном случае), что А
отображает D(A) в Х +
Эта точка зрения, естественная для «неограниченных опе-
операторов», возникает и в случае нелинейных полугрупп в X.
Говоря несколько точнее, если задано подмножество К в X,

314 Гл. 2. Метод монотонности
то нелинейной полугруппой в К называется семейство таких
операторов (нелинейных) G(t): K-+K (t^sQ), что
V& е К t -*G{t) (k) является непрерывным
отображением t^0-*-X, A0.1)
G (s) (G (t) (k)) = G(s + t) (k) Vs, t > 0, VA e /(, A0.2)
G@){k) = k Vfce=tf. A0.3)
Мы назовем областью определения инфинитезимального
производящего оператора полугруппы G (/) множество D таких
элементов к е К,- что
h~l{G(h)(k)-k) сходятся в X при Л->0, A0.4)
а инфинитезимальным производящим оператором полугруппы
будем называть оператор В, определенный «a D формулой
В (k) = lim Л (G (Л) (fe) — fe). A0.5)
ft»0
Мы будем также рассматривать оператор В: D(B) = п-*Хф
Пример 10.1. Применим теорему 1.2 при /==0. Для за-
заданного «о из Н определим и (t)= G (t) (u0) = значение в мо-
момент t решения задачи A.38), A.39), A.40).
Можно также рассмотреть нелинейную полугруппу в гиль-
гильбертовом пространстве Н. Ее инфинитезимальным производя-
производящим, оператором будет оператор В = — А, рассматриваемый
на DglV%
Пример 10.2. Можно использовать результаты § 9 о ва-
вариационных неравенствах с нулевой правой частью и ненуле-
ненулевыми начальными данными. Таким образом мы введем в рас-
рассмотрение нелинейную полугруппу, определенную на выпуклом
подмножестве гильбертова пространства«
Замечание 10.1. В действительности (см., например,
Кранделл и Пази [1]) можно определить инфинитезимальный
производящий оператор как многозначный оператор«
Основной проблемой в этом направлении является обоб*
щение теоремы Хилле -=- Иосиды (см. Хилле — Филлипс [1],
Иосида [1]) для линейных полугрупп на нелинейный случай.
Приведем один частный результат, касающийся сжимающих
полугрупп. Полугруппа G (t) в банаховом пространстве X
(с нормой || ||) называется сжимающей, если
\\G(t)(u)-G(t)(v)\\^\\u-v\\ Va,oe/C, W>0. A0.6)
Тогда оператор —В (инфинитезимальный производящий
оператор G (t)) будет аккретивным оператором, т. е. если / —

10. Различные дополнения 315
оператор двойственности относительно функции Ф (см. § 2), то
для А = — В выполнено неравенство
(А (и) - A (v), J (и - v)) > 0 Vu,oeD = /) (Л). A0.7)
г
В самом деле, как следует из A0.6), если 4f(r) = J Ф[р)йо
о
(ср. с предложением 8.1), то
ЧЧНфШХЧЧИ" —°11). если q>(t) = G(t)(u) — G(t)(v), A0.8)
откуда
A0.9)
Однако в силу предложения 8.1 и равенства
получим
^| ), B(u)-B(v)),
и наше утверждение будет следовать из A0.9).
Что касается «обратного» утверждения, важного для при-
приложений, то имеет место
Теорема 10.1. Пусть X—банахово пространство, причем
сопряженное пространство X' равномерно выпукло. Пусть
A: D (А) -*¦ X — аккретивный оператор (т. е. удовлетворяющий
A0.7)) и
оператор Л-f/: D(A)-*-X сюръективный. A0.10)
Тогда для заданного щ из D(A) существует, и притом
только одна, непрерывная функция и: t^O—*-X, которая слабо
непрерывно дифференцируема по t и является решением за-
задачи
%(t) + Au(t) = O, u@) = u0. A0.11)
(Оператор —А является тогда ннфинитезимальным произ-
производящим оператором полугруппы uo-+u(t).)
Доказательство см. у Браудера [7].
Что касается всей теории нелинейных полугрупп и ее при-
приложений, см. Брезис и Пази [1], Брезис, Кранделл и Пази [1],
Браудер [7], [9], Кранделл и Пази [1|, Като [2], [3], [4], К
МУра [1], [2], [3J.

316 Гл. 2. Метод монотонности
10.2. Эволюционные неравенства
В теоремах 9.2 и 9.3 можно обойтись без предположения
о согласовании; имеет место следующая теорема существова-
существования (весьма вероятно, без единственности, как в теореме 9.3):
Теорема 10.2. Пусть У — рефлексивное банахово про-
пространство, а Ж — замкнутое выпуклое подмножество У. Пусть
L: 3) (L) с У -> У — монотонный оператор (не обязательно ли-
линейный). Пусть si: Ж'-*У —ограниченный и коэрцитивный
псевдомонотонный оператор. Тогда существует такое и е Ж,
что для заданного f из У:
'{st(u) + Lv-f, о-и)>0 Vve=XnD[L). A0.12)
Этот результат принадлежит Брезису [3]; в указанной ра-
работе можно найти доказательство (в котором используется
лемма Дебруннера и Флора [1] и в котором вводится макси-
максимальное монотонное продолжение сужения L на Ж по отно-
отношению к Ж X У ~~ это продолжение существует согласно лемме
Цорна"). Обобщение этого результата на многозначные опера-
операторы имеется у Браудера [7].
11. ПРОБЛЕМЫ
11.1. Решение вопросов, поставленных в замечании 4.2. Си-
Систематическое изучение неоднородных задач (т. е. задач с «нену-
«ненулевыми» начальными и граничными условиями) остается не-
несделанным. Одним из наиболее тонких моментов является
вопрос о плотности, встретившийся в замечании 4.2.
11.2. Аналогичные задачи можно поставить для нелинейных
эволюционных уравнений.
11.3. Возможно, будет интересным более тщательно изучить
структуру оператора (нелинейного) Л, введенного в D.9). Опе-
Оператор А отображает Ww-P{r) в W~Up'-"' (Г), т. е. речь идет
об «.эллиптическом» операторе порядка 2/р'. Можно ли все это
более точно определить применительно к некоторому классу
нелинейных псевдодифференциальных операторов?
11.4. В линейном случае многочисленные работы посвящены
изучению «всех» расширений, скажем, оператора —А, опре-
определенного на 0(Q), обладающих теми или иными свойствами,
как, например:
(i) соответствующая краевая задача корректна;
(И) —А является инфинитезимальным производящим опе-
оператором некоторой полугруппы.,

//. Проблемы . 317
Благодаря теории нелинейных полугрупп можно ставить
аналогичные вопросы для оператора
S3 /1 да, "~2
Ы
(«заменяющего» — Л). Что касается линейного случая, то мы
отсылаем читателя к работе Лионса — Мадженеса [1], прило-
приложение к тому 1, и к соответствующей библиографии, в част-
частности, к работе Грубба [1]. Нелинейный случай остается от-
открытым ').
11.5. Есть основания предполагать, что теорема 5.1 остается
справедливой без условия E.15), но это не доказано.
11.6. Более полное изучение вопроса о единственности во
всех примерах § 5.
11.7. Решение стационарной задачи, отвечающей задаче 5.1,
без предположения E.52).
11.8. Аналогичные вопросы в связи с задачей 5.3.
11.9. Можно ли решить глобально по t в подходящем сла-
слабом смысле уравнение
д2и тр д (\ ди
с «естественными» краевыми и начальными условиями?
11.10. Аналогичный вопрос для уравнения
') Как нам кажется, было бы иитересным рассмотреть с точки зрении
теории нелинейных полугрупп обобщении работы Бонн, Куррежа и Приуре [1].
2) В этой свизи следует указать иа работу С. Н. Бернштейна «Об одном
классе функциональных уравнений) (С. Н. Бернштейи, Собрание сочи-
сочинений, т. III стр. 323—331), в которой рассмотрена смешанная задача
д*и
-•(/(¦?)¦*)?-*
и @, 1)ш* и (/, /) = О,
и (xt 0) — F (х), ^ — F, (х)
и доказано существование глобального решения в предполощенця об
- — F(x) в F|W«"" Прим.

318 Гл. 2. Метод монотонности
11.11. Мы не пробовали в ситуации § 9 гл. 1 заменять
— vA« монотонным оператором, как это сделано в § 5 настоя-
настоящей главы. (Эта задача, безусловно, более доступная, чем
другие.)
11.12. Как известно, для решения уравнения теплопровод-
теплопроводности
при feLp@, T; I? (Q)), р ф о, можно указать «оптимальный»
класс (и е Lp (Ь, Т; W2'" (Q))). Можно ли получить аналогичные
результаты для уравнения
ди VI д (\ ди "~2 ди
2[\
11.13. Для нелинейных уравнений пока не удалось выйти
за пределы производных второго порядка по t. С другой сто-
стороны, известно (см. Агранович — Вишик [1], Гривар [3]), что
можно решать краевые задачи (скажем, с начальными данными
и данными Дирихле) для оператора
Можно ли заменить (— А)"' нелинейными операторами (и
какими? ')), так чтобы задача оставалась корректной?
11.14; В случае примера 8.1 (аналогичная проблема возни-
возникает в связи со всеми односторонними задачами) можно ли
указать такой класс для f, чтобы соответствующие решения и
принадлежали
11.15. Изучить гладкость решений в примерах, рассмотрен-
рассмотренных в п. 8.9. Например, если
п-1
то имеют ли место результаты о гладкости, аналогичные ре-
результатам п. 8.7 2)?
') Не ограничиваясь при "этом «достаточно малыми> нелвнейными воз-
возмущениями оператора Д.
2) В этом направлении имеются результаты Брезиса, полученные с ис-
использованием двойственности.

//. Проблемы 3l9
11.16. Систематическое изучение односторонних задач (или
вариационных неравенств) для псевдодифференцнальных опе-
операторов.
11.17. Пусть заданы эллиптический оператор А порядка 2т
и система {В}}, 0^/^т— 1, граничных операторов, «накры-
«накрывающая А»; пусть {S/}, 0^/^т— 1, — «дополнительная» си-
система граничных операторов (в том смысле, что {В/, Sj} является
системой Дирихле (см., например, Лионе — Мадженес [1],
гл. 2)). Какие существуют соответствующие корректные одно-
односторонние задачи (т. е. Au = f в Q, а на границе Г выпол-
выполняются 2т неравенств и т нелинейных равенств, неравенства
и равенства конструируются посредством Btu и Stu)? См. также
Лионе [25].
11.18. Изучение задач, связанных с неравенствами для
операторов, эллиптико-параболических в некоторой области
(что касается таких уравнений, то см. Фикера [2], Олейник [7],
Кон — Ниренберг [1]).
11.19. Уточнить условия сопряжения в примерах 9.7, 9.5.
11.20. Перечислить «все» задачи для неравенств, связанных
с оператором d/dt — A.
11.21. Обобщение на эволюционный случай задачи 11.17.
11.22. Можно ли указать другие «корректные» задачи для
неравенств.типа задач из п. 9.5.6 для вырождающихся парабо-
параболических операторов?
11.23. Мы привели достаточно большое количество приме-
примеров, в которых при двух различных типах условий на данные
задачи удается получить информацию двух типов о гладкости
решения (см., например, теоремы 3.1 и 3.2).
Было бы интересно изучить возможности получения «про-
«промежуточных результатов о гладкости» посредством нелинейной
интерполяции. Приведем один результат о нелинейной интер-
интерполяции, который может оказаться полезным для этих целей.
Пусть AoczAi, BoczB1—две пары банаховых пространств
с непрерывными вложениями, причем Вх предполагается ре-
рефлексивным '). Пусть G — нелинейный оператор, действующий
из Ai в Bi, i = 0, 1, и обладающий следующими свойствами:
оператор G непрерывен и
') Впрочем, как отметили Кальдерой и Фоиш, от -этого предположения
можно освободиться ценой нескольких технических осложнений.

320 Гл. 2. Метод монотонности
||О(а)||Ва<С.||а||л, Vae=A0, A1.1)
||G(a)-G(a')llBi<c||a-a'IU, Va, a'e=A, A1.2)
Если Ха<=.Хх — пара банаховых пространств, то обозначим
Т (Хо, Xt) = (пространство следов) пространство, порождаемое
значениями н@) функций и, удовлетворяющих условию
где I/pj + a<^[0, 1]. Пространство Т (Хо, Я,) снабжается нор-
нормой
Тогда еслы выполнены условия A1.1) ы A1.2), то О отобра-
отображает Т(А0, А,) в.Т(Ва, В{) (доказательство и приложения см.
у Лионса [18]).
Укажем другой результат о нелинейной интерполяции (см.
Браудер [II]): если заменить A1.1) предположением, анало-
аналогичным A1.2), только для Ао, Во, то G будет отображать
Ф(А0, Ai) в Ф(В0, В,) для любого функтора линейной интер-
интерполяции Ф.
Более ранние результаты о нелинейной интерполяции (уста-
(установленные в совершенио ином "контексте) принадлежат Каль-
дерону — Зигмунду [1] и Гальярдо [4].
11.24. Изучение задач типа рассмотренных в § 5, но
с вырождениями:
^) ?^ dh.-O.
12. КОММЕНТАРИИ
Результаты § 1 о параболических монотонных операторах в разных на-
направлениях обобщаются в этой и последующих главах. Оии включены глав-
главным образом ради того, чтобы доставить иесколько примеров.
Монотонность была введена в вариационное исчисление и смежные во-
вопросы Вайнбергом и Качуровским [1], Качуровским [I], [2], Миити [1], Цараи^
тоиелло [1], [2] и другими авторами (см. обзоры Качуровского [3] и. Минтр[6]).
Первые приложения монотонности к некоторым нелинейным эллиптическим
задачам имеются у Браудера (см. работы этого автора, приведенные в
списке литературы, в частности общий обзор Браудер [7]). Если иметь в виду
«конкретные» эллиптические операторы вариационного исчисления порядка
> 2, то общие результаты ранее были получены Вишиком [2] (который ис-
использовал методы компактности типа тех, которые изложены в § 8 гл. 1
в случае эволюционных уравнений; эти результаты были получены без
явного использования монотонности). По-видимому, наиболее общие резуль-
результаты в атом направлении для операторов порядка > 2 были получены Лере

№. KoMMehtdpuu
и автором (см. работу Лере —Лиоиса [1]); эти результаты сформулированы
в теореме 2.8. Прежде чем пытаться выявить самое существенное, цы начи-
начинаем с простого «чисто монотонного» случая (теорема 2.1), который затем
«аксиоматизируется», и мы приходим, следуя Брезису [1], к понятию
псевдомонотонного оператора. Тогда все трудности сводятся к проверке того,
что операторы, введенные Лере и автором, являются псевдомонотонными.
Псевдомонотонные операторы не являются необходимыми в § 2, но они ста-
становятся в высшей степени необходимыми для цельного изложения теории
эллиптических вариационных неравенств (§ 8).
Теорема 2.2 принадлежит Брезису н Сибоин [I]; в ней используются рас-
рассуждения, очень близкие тем, которые были использованы в связи с опера-
операторами двойственности, введенными в п. 2.2. Операторы двойственности были
введены Бёрлингом и Лнвингстоном [1] при изучении рядов Фурье в LP;
далее оии были вновь применены Браудером [10], и теперь превратились в
часть стандартной техники; операторы двойственности будут широко исполь-
использованы в гл. 3.
В § 2 всюду можно без труда освободиться от сделанных нами пред-
предположений о сепарабельности. Мы не стремились к минимальному числу
условий иа рассматриваемые операторы; в частности, это касается свойства
быть «ограниченными», т. е. переводить ограниченные множества в ограни-
ограниченные. Следует отметить, что монотонные семинепрерывные коэрцитивные
операторы, действующие из рефлексивного банахова пространства в его
сопряженное, сюръективны без предположения об «ограниченности»').
С другой стороны, существуют монотонные семинепрерывные коэрцитив-
коэрцитивные и неограниченные операторы. Пример такого оператора2) имеется у Ро-
кафеллара [4], где встречается свойство -локальной ограниченности.
Теория монотонных операторов в равной мере полезна при решении инте-
интегральных уравнений (именно к ним она впервые была применена); мы отсы-
отсылаем к работам Вайнберга [I], Дольфа и Минти [1] (и к работам, указанным
в этой статье), Фнгерендо и Гупты [1], Гловинского [1]; см. также Кэррол [1].
Результаты де Джорджи [1] о гладкости решений эллиптических уравне-
уравнений второго порядка не распространяются на уравнения вариационного ис-
исчисления порядка больше 2; см. де Джорджи [2], Джусти и М. Миранда [1],
Мазья [1], Морри [1], [2]. См. также Гилбарг [1], Джусти [1], Ладыженская
и Уральцева [1], Мозер [2], Нэш [1], Серрин [4], Стампаккья [4].
По поводу монотонных задач «с весом» см. Диас [1], монотонных «на гра-
границе» см. Клингельхофер [1], [2], да Коста-Кабрал [1]; некоторые вырождаю-
вырождающиеся задачи см. у Деррнджа [1].
По поводу аппроксимации решений монотонных задач решениями анало-
аналогичных задач в конечномерном случае см. Обэн [3], Брезнс и Снбонн [1],
Сиарле, Шульц н Варга [1].
Монотонные операторы возникают также в теорнн игр; см., например,
Рокафеллар [2], Бенсусан [8], Лемэр [1].
«Замена основного пространства» применялась Лионсом [12] (это заме-
замечание в равной мере полезно в линейных задачах; см. Лионе — Мадженес [1]).
') Прн доказательстве, как и в сепарабельном случае, надо использовать
направленное по возрастанию множество подпространств конечной размер-
размерности.
2) В пространстве Р интегрируемых с квадратом последовательностей
{ttm\m = 1, 2, ...} рассматривается оператор, являющийся градиентом функ-
сю
циоиала V («)== Л. —Т~г1 um\m+1> этот оператор ие является ограничен-
i
ным на ограниченном множестве последовательностей /j={0, ..., 0, 2, 0, ...},
где 2 стоит на /-м месте.
11 Зак. 46

322 Гл. 2. Метод монотонности
Теорема 3.1 содержится в цитированной выше работе Лионса для
2я/(я -f- 2) и у Брезиса [2] для р ^ 2. Другое доказательство теоремы 3.2
приведено в цитированной работе Брезиса. При изложении' преобразований,
проведенных в п. 3.3, мы следуем работе Олейник [8]'); см. также работу Ка-
меномостской [I] (где используется метод конечных разностей) и книгу Лады-
Ладыженской— Солонникова — Уральцевой [I] (в которой функция k «сглажи-
«сглаживается:», а далее переходят к пределу, используя специальные оценки для
параболических операторов второго порядка; аналогичному методу следует
Фридман [4]). Доказательство теоремы 3.3 и идея использовать Р принад-
принадлежит Брезису [2]. Дополнения для случая одномерного пространства см.
у Дугласа — Кеинона — Хилла [1], Фридмана [5], Нгуена [1].
(В § 8, 9 можно найти другие примеры задач со свободной границей,
рассмотренные другими методами.) См. другие задачи у Лере [8], Гарабе-
дяна и Спеисера [1], Гилбарга [2].
Задача 5.1 была введена Лионсом [9], а задачи 5.2, 5.3 — Ладыжен-
Ладыженской [2]. Результаты о. существовании были получены в цитированных ра-
работах Лионса и Ладыженской при более сильных предположениях на р.
Приведенные здесь результаты получены Брезисом и автором. Резуль-
Результаты о единственности являются простыми вариантами результатов, уста-
установленных в главе 1 дли уравнений Навье — Стокса. Теорема 5.5 при-
принадлежит Ладыженской [2].-Близкие модели независимо изучались Каниелем
[2]. См. также работу Головкина [1]. Результаты § 6 являются частными слу-
случаями результатов Лионса — Штраусса [I]. Решение аналогичной задачи с
«многозначными разрывами» имеется у Америо [1].
Теорема 7.2 принадлежит Бардосу — Брезису [I]. Введение множителя 9л
в G.2), по-видимому, ивляется новым моментом.
Идея, близкая к использованным в § 7, состоит в том, чтобы приближать
уравнение G.1) уравнением с запаздыванием
где «е определено на отрезке [0, е]. Отсюда можно шаг за шагом определять
ие на отрезках [е, 2е], [2е, Зе], и т. д., а далее устремить е -> 0; см. Браудер [7].
См. еще другой метод в § 1 гл. 3.
Вариационные неравенства, изученные в § 8, в «абстрактной» форме
возникают всякий раз, когда «хорошая> выпуклая функция минимизируется
по выпуклому множеству.
Аналогичные конкретные ситуации, связанные с дифференциальными опе-
операторами, встречаются в механике: задачи теории упругости с односторон-
односторонними связями (Синьорини Щ Дюво [1]), задачи теории пластичности (см.
принцип минимума Прагера—Ходжа [1]; см. сочинения Прагера [1], Гудьер
и Ходж [1], Мандел [1] и Handbuch der Physik, В. VI, 1958). Полное мате-
математическое исследование задачи Снньорини было проведено Фикерой [I];
далее началось систематическое изучение задач для неравенств (односторон-
(односторонних задач), связанных с дифференциальными уравнениями в частных произ-
производных: после работы Стампаккьи [1] в работе Лионса и Стампаккьи [1]
были изучены некоэрцитивные задачи и были поставлены (впервые) задачи
для эволюционных вариационных неравенств (§ 9 и § 3, 5, 6, 7 глазы 3).
В этой работе основной оператор был линейным. Далее перешли (Хартман —
Стампаккья [1]) к тому случаю, когда основной оператор более не является
линейным; весьма общее изложейие этих вопросов (которому мы здесь сле-
следуем) принадлежит Брезису [I]. Другие примеры были изучены Моро [3],
') См. работу О. А. Олейник «Об одном методе решения общей задачи.
Стефана>, ДАН СССР, 135:5 A960), 1054—1057, где задача решена путем
«сглаживания> коэффициентов. — Прим. ред.

12. Комментарии 323
Лекарре [1]. Другие общие результаты были получены (в частности, для
многозначных операторов) Браудером [7], Рокафелларом [5]. Доказательство
теоремы 8.6 принадлежит автору (см. также Лионе [10]). Результаты, п. 8.7.3
и 8.7.4 принадлежат Брезису — Стампаккье [1] (где можно найти дополни-
дополнительные результаты о гладкости). Что касается других результатов о гладко-
гладкости, то см. Леви [1], Леви — Стампаккья [1J, а также а 5.5 гл. 3 н работы
де Вейги [1], Шиаффино [1]. По поводу задачи об упруго-пластичном кручении
стержня можно обратиться к работам Аннина [1], Ходжа — Хераковича —
Стаута [1], Ланшона — Дюво [1], Тинга [1].
Задачи такого же типа возникают в механике для операторов четвертого
порядка (Зарка [1]). По поводу устойчивости решения вариационного не-
неравенства относительно изменения выпуклого множества К см. работы
Моско [4] и Жоли [1]. По поводу сингулярных возмущений в вариационных
неравенствах см. Юэ [1]. По поводу задач с трением см. Дюво — Лионе [2].
Результаты п. 8.8 принадлежат Огазо [1], [2].
Может случиться, что при некоторых правых частях f решения двух ва-
вариационных неравенств, связанных с одним и тем же дифференциальным
оператором, ио с двумя различными выпуклыми множествами, совпадают;
подобный пример (в связи с задачей об упруго-пластичном кручении) имеется
у Брезиса [4].
Указания на характер тех частей Г, где и — 0 (в случае примера 8.1),
имеются у Фридмана [6].
Как мы уже говорили, вариационные неравенства соответствуют задаче
о минимизации выпуклой функции / на выпуклом множестве (и обобщают,
ее). Если в качестве / взять площадь поверхности, то мы придем к задачам
для «минимальных поверхностей со связями», см. М. Миранда [1] и Нитше[1].
Изучение вариационных эволюционных неравенств1) началось в цитиро-
цитированной выше работе Стампаккьи и автора; более простое и более общее
изложение, которому мы здесь следуем, принадлежит Брезису [1]; ему при-
принадлежат теоремы 9.1—9.4.
Теорема 9.5 является вариантом результатов о гладкости § 8; другие
варианты можно иайти у Брезиса [3], которому мы обязаны теоремой 9.6
(метод доказательства этой теоремы является адаптацией метода сдвигов
применительно к эволюционным неравенствам). Изложенный нами метод
обоснования (9.104), (9.105) был нам указан Темамом. Используемые здесь
рассуждения очень похожи на те, с помощью которых устанавливается .сла-
.слабый принцип максимума (что касается принципа максимума для нелинейных
уравнений, то здесь имеются и другие методы; см. Аронсон и Серрин [1], [2]).
Можно решать задачи для вариационных неравенств, связанных с опе-
операторами других типов (по сравнению с § 8, 9), например для операторов
Навье — Стокса; см. Лионе [16], Брезис — Кранделл — Пази [1] и резуль-
результаты § 6 гл. 3.
Другие семейства задач для неравенств можно найти в теории опти-
оптимального управления систем, описываемых уравнениями в частных произ-
производных; см. Лионе [15].
Вариационные неравенства типа рассмотренных в § 9 возникают в во-
вопросах стохастического управления; см. Стратонович [17] (дополнение,
стр. 318—341).
В § 10 имеется несколько общих указаний относительно нелинейных полу-
полугрупп, углубленное изучение которых было начато Комурой (см. литературу
в тексте). Здесь речь идет о вопросах, которые сейчас находятся в станов-
становлении н которые должны иметь многочисленные приложения: гладкость ре-
решений нелинейных эволюционных ураниеиин, нелинейная интерполяция, не-
нелинейная теория потенциала, и т. д.
') Не путать с эволюционными неравенствами вида
\\duldt + А @ и (/)|| < Ф (<, ||и (/)||); см. Агмон - Ниренберг [2J.
II»

Глава 3
МЕТОД РЕГУЛЯРИЗАЦИИ И МЕТОД ШТРАФА
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
Как мы уже говорили во введении, метод компактности и
метод монотонности (или тот и другой одновременно) позво-
позволяют переходить к пределу, исходя из априорных оценок (более
или менее «сильных»), устанавливаемых (как правило) для
«приближенных уравнений».
До сих пор приближенные уравнения конструировались
с помощью метода Галёркина (или вариантов этого метода) и
в некоторых случаях (§ 7 гл. 2) с помощью «конечных разно-
разностей» '). Однако существуют и другие методы, которые будут
изучаться в этой главе:
1) Можно приближать параболические эволюционные урав-
уравнения (неравенства) эллиптическими уравнениями (неравенст-
(неравенствами); это называется эллиптической регуляризацией.
2) Можно приближать гиперболические эволюционные урав-
уравнения (неравенства) параболическими уравнениями (неравенст-
(неравенствами); это называется параболической регуляризацией.
3) Можно приближать неравенства уравнениями с помощью
метода штрафов2).
1. ЭЛЛИПТИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ УРАВНЕНИЯ
1.1. Общие указания
Мы опять займемся изучением уравнения Ли + st(u) = f,
с которым мы встречались несколько раз, в частности в § 7 гл. 2.
Начнем с нескольких замечаний, касающихся (а) методов
и (Ь) предположений.
(а) Методы. В использованных нами методах (метод Фаэдо—
Галёркина или метод аппроксимации Л оператором (/—8AG (А))/Л;
см. § 7 гл. 2) роли операторов Л и s? весьма1 различались.
Метод эллиптической регуляризации, который мы сейчас
собираемся изложить, позволяет воспользоваться предположе-
') К этому методу мы вернемся в § 1 гл. 4. •
2) Другие методы будут, кроме того, приведены в § 1 гл. 4.

1. Эллиптическая регуляризация и эволюционные уравнения 325
ниями, в которых одновременно принимают участие как Л,
так и st- (один результат в этом направлении см. ниже в п. 1.4).
Общая идея эллиптической регуляризации такова: пусть нам
надо решить классическое уравнение теплопроводности
|f—Aa = f в Q A.1)
с условиями и(х, 0) = 0, м = 0 на 2.
Мы приближаем уравнение A.1) эллиптическим уравнением
-^--A«e = f bQ, 8>0, A.2)
при этом сохраняем старые краевые условия и добавляем
краевое условие при t=T.
Сначала решается задача A.2) («эллиптическими методами»),
а затем делается предельный переход (е->0).
Формально в уравнении A.2) все переменные равноправны,
откуда (все это, безусловно, надо еще точно сформулировать!)
возникает возможность использовать предположения, в которых,
вообще говоря, одновременно участвуют Л и зФ. Аналогом
(пока еще. формальным) уравнения A.2) для уравнения
A«
будет уравнение.
Естественно, что возможны многочисленные варианты.
Например, вместо A.2) можно рассмотреть уравнение
^(«e) + -^-AWe = f, A.3)
где оператор |>0 в нашем распоряжении.
В A.3) можно, например, брать $ = (— А);.в дальнейшем
мы существенно воспользуемся возможностью подобного вы-
выбора ф
(Ь) Предположения. За исключением § 10 гл. 2, мы* как
правило, предполагаем, что — А является инфинитезимальным
производящим оператором полугруппы, действующей в У, Ж
и У и являющейся сжимающей в Ж.
Если мы положим
D (А)= Г Г) D (A; T% D (А*) = Г f) D (А'; Г'),
то А будет неограниченным оператором с областью опреде-
определения D(A.)czV и областью значений в Т'; далее, Л будет
замкнутым оператором с плотной областью определения, при-
причем Л>0, Л*>0 в D{A) и«?>(А*) соответственно,

326
Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Мы увидим, что на самом деле лишь эти последние условия
играют роль в теоремах существования').
Теперь мы сделаем следующее предположение, заменяя Л
на L во избежание недоразумений:
L — неограниченный линейный оператор с областью
определения D(L)czT и областью значений в У",
на области определения в Т оператор L замкнут и
(Lv, и)>0 Vi>eD(L), (L'v, u)>0 Vi>e=D(L*J).. A.4)
Мы собираемся изучать нелинейные уравнения вида
Lu + a («)=/> us=D(L)i A.5)
Наш план будет таким: в п. 1.2 прежде всего будет до-
доказана
Лемма 1.1. Предположим, что пространство У рефлек-
рефлексивно и строго выпукло вместе со своим сопряженным. Тогда
предположение A.4) для оператора L эквивалентно предполо-
предположению
L: D(L)-+y — максимальный монотонный линей-
линейный оператор с плотной областью определения. A.6)
Далее мы решим (п. 1.3) уравнение A.5) в предположениях,
в которые отдельно входят L и S4-, и, наконец, в п. 1.4 мы
рассмотрим случай таких предположений, в которых одновре-
одновременно принимают участие L и i.
Новые приложения приведены в § 2.
1.2. Леммы о максимальности
Прежде чем доказывать лемму 1.1, мы приведем одну
очень полезную техническую лемму.
Лемма 1.2. Пусть L — линейный оператор, действующий
из D(L) (подпространства Т) в 7" и монотонный. Тогда сле-
следующие условия эквивалентны:
L — максимальный монотонный3) оператор
с плотной областью определения; A.7)
') Это не лишает интереса методы, использующие полугруппу G (s).
2) L* является сопряженным к оператору L, рассматриваемому как не-
неограниченный оператор из У в У.
3) В следующем смысле: не существует линейного монотонного опера-
оператора, который являлся бы строгим продолжением L.

1. Эллиптическая регуляризация и эволюционные уравнения 32?
для любой пары {и, /} е Т X У", такой, что
(Lv — f, v — ы)>0 Vv(=D(L), имеем A.8)
ue=D(L) и f = Lul).
Доказательство. 1) Из A.7) следует A.8).
Предположим, что A.8) не выполнено; тогда u&D(L), и
мы построим строгое продолжение L оператора L, которое
также будет монотонным; тогда мы придем к противоречию
(поскольку оператор L является максимальным). С этой целью
сначала определим
D (L) = D (L) 4- {«} (пространство, натянутое на D(L) и и),
и на D(L) определим L следующим образом:
l(v + Xu) = Lv + Xf, v<=D(L), A,e=R. A.9)
Нетрудно проверить, что" оператор L монотонный (т. е.
I ^ 0); действительно, если положить — т- v = w (случай Я, = 0
очевиден), то имеем
Таким образом, мы доказали, что u^D(L), и остается по-
показать, что f = Lu. Для этого Подставим в A.8) v = u + Bw,
Э > 0, w e D (L) (что законно); после деления на Э получим:
(Lu + QLw—f, ©)>0;
устремляя Э->0, найдем
(Lu—f,w)>0 VwesD (L)
и, следовательно, Lu = f, поскольку D(L) плотно в F|
2) Из A.8) следует A.7). Опять будем р'ассуждать от про-
противного. Если L ие является максимальным монотонным опе-
оператором, то существует строгое продолжение L оператора L,
являющееся монотонным. Пусть «s D(L), и и ^ D(L) и Lu = f.
Так как (L (v — и), o-«)>0VosD (L), то для всех oe D(L)
имеем
(Lv-f, ы-и)>0 Vvs
') Иногда (следуя Миити и Браудеру) L называют максимальным моно-
монотонным оператором, если ие существует никакого графика (линейного или
нелинейного), являющегося строгим продолжением L. Лемма 1.2 показывает,
что это определение эквивалентно первому и плотности области опреде-
определения.

528 Ля. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
и в силу нашего предположения
u<=D(L) и Lu=f,
т. е. мы пришли к противоречию. Нам осталось убедиться
в том, что D (L) плотно в Т; действительно, пусть g е У,
причем
(g, v) = 0 Vvs=D(L).
Тогда
(Lv-g, u-0) = (Lv, v)>0 VoaD(L)
и, следовательно, в силу нашего предположения ? = /,0 = 0ф
Теперь можно перейти к доказательству леммы 1.1.
Доказательство леммы 1.1. 1) Из A.6) следует A.4).
Прежде всего покажем, что оператор L замкнут. Пусть
un(=D(L), ип-*и в F, L«n->/ в Г. Так как (Lv-Lun, и-и„)>О,
то в пределе-получим
(Lw-f, w-m)>0 VwsD(L)
и, следовательно, в силу A.8) aeD(I) и Lu = f.
-Нам осталось показать, что L*^0.
Если и е= D (V) Г) D (L), то (L'u, u) = (u, Lw)>0. Следова-
Следовательно, достаточно рассмотреть такие ы, что
aeO(L'), u&D(L). A.10)
Мы покажем, что тогда
(Гм,«)>0. ' A.11)
Применим предположение A.8) к паре {и, —L"u). Поскольку
D(), существует такой элемент vo^D(L), что
(Lv0+L*u,v0-u)<0,
г. е.
(Lv0, v0) < (Lv0, и) - (L% v0) + (L% и) = (L% и),
откуда следует A.11), поскольку (LvQ, vo)^
2) Из A.4) следует A.6). В силу леммы 1.2 достаточно уста-
установить A.8). Мы будем исходить из такой пары {и, fj^Ty.T',
что
(Lv-f, w-«)>0 VueD(?). A.12)
Мы покажем, что u<^D{L) и Lu — f. Идея доказательства
состоит в том, чтобы рассмотреть функционал t>-><p(i>), опре-
определенный иа D(L) и достигающий минимума на элементе и

/. Эллиптическая регуляризация и эволюционные уравнения 329
(следовательно, на D(L)). Обозначая через || ||,_|| ||, нормы
в У и У. соответственно!), положим
q>(o)=-(Lo-/, v- u) + j || о -«|f +l||Lo-/|f. A.13)
Функция v -> ф (v) является непрерывной выпуклой функцией
на D(L) и ф(о)-> + оо, когда || о||дA)-^ + оо. Следовательно,
Ф достигает своего минимума в точке vo^D(L), характеризуе-
характеризуемой условием
т. е. (/ обозначает отображение двойственности Y-+Y' отно-
относительно Ф(г) = г; см. § 2 и 10 гл. 2)
(Lv, vQ — u) + (LvQ — f,v) + {I {v0 — u), v) +
+ (Lv,rl{LvQ-f)) = 0 Vve
Полагая vQ — u = w, LvQ — f — g, получим
A.14)
Следовательно, функция v -> (Lv, w + J~lg) непрерывна в D (L)
в топологии, индуцированной топологией в Т, следовательно,
» + /"'geD(O и L{w + r1g) + Jw + g = 0. A.15)
Так как L*^0, то из A.15) выводим, что
{lw + g,w + rlg)^0. A.16)
С другой стороны, применяя неравенство A.12) к vQ, мы
получим, что (g, до)^0, и из A.16) следует, что
(Iw, w) + {g, rlg) + (lw, r]g)^0. A.17)
Однако
L
и из A.17) вытекает, что
следовательно..^ = 0, g=0, т. е. u = vo^D(L) н LvQ = Lu — f%
1.3. Первая теорема существования, доказываемая
с помощью эллиптической регуляризации
Теорема 1.1. Пусть Т — рефлексивное банахово пространг
ство, причем нормы в Т и в сопряженном пространстве У"
строго выпуклы. Пусть L — линейный оператор, определенный
') Эти нормы предполагаются строго выпуклыми; в этой связи см. тео-
теорему 2.5 rjj. i.

330 Гл. S, Метод регуляризации и метод штрафа
на D(L) (подпространстве, плотным в Т) и принимающий
значения в Т'\ пусть, далее, L является максимальным моно-
монотонным оператором^). Пусть s4>; Y-+T' — псевдомонотонный2)
коэрцитивный оператор, так что
^У-»00 пРи II о 0-оо. A.18)
Тогда для любого f е У" существует решение ы е D(L)
уравнения
Lu + st{u) = f. A.19)
Доказательство. 1) Эллиптическая регуляризация. Рас-
Рассмотрим оператор двойственности /: Т->7" относительно
Ф(г) = г (следовательно, || / (v) Ц, = || v \\). Мы «приблизим» урав-
уравнение A.19) уравнением
' )*=ft в > 0. A.20)
Разрешимость уравнения A.20). Снабдив D(L) нормой гра-
графика: || v || -f || Lv II,, мы превратим его в рефлексивное банахово
пространство. Для к, »eD(L) положим
яе(ы, v) = B(ri(Lu), Lv) + (Lu, v) + {st(u), v). A.21)
Форма v-+ne(u, v) непрерывна на D(L), следовательно,
я,(и, о) = <Лв(и). о). %t(u)s='D(L)'3). A.22) •
Проверим, что оператор ^е: D(L)-+ D(L)' является псевдо-
псевдомонотонным. Ограниченность &г очевидна. Если мы определим
оператор Ме с помощью равенства
e{rl(Lu), Lv) + (Lu,v) = (Me(u),v), MR(u)^D(L)r, A.23)
то /Ме: D(L)—>D(L)' будет ограниченным семинепрерывным
и монотонным оператором. Далее, Д, (и) = зФ (и) -f Me (и), так
что &е является суммой оператора s$>, являющегося псевдомо-
псевдомонотонным оператором из D(L) в D(L)' (поскольку st — псёвдо-
монотонный оператор из Т в У) и монотонного ограниченного
семинепрерывного оператора Ме< Следовательно (замечание 2.12
гл. 2), Д, является псевдомонотонным оператором.
') Можно считать, не обращаясь к лемме 1.1, что
2) Н ( § 2 2)
) , рщ , ^, ^
2) Напомним еще раз определение (см. § 2 гл. 2): (i) s& — ограниченный
оператор, (ii) если а(->(|в У слабо и lim sup (J# (и^), uf — u)<0, то
lim inf (J# (U/), u, — v) > {st (и), и - v) Voef
3) Следует заметить, что,, поскольку D (L) плотно в У", простран-
пространство D (L)' можно отождествить с цадпространством пространства У",

/. Эллиптическая регуляризация и эволюционные уравнения 331
С другой стороны, так как L^O, то
(<0»> v)>{st(v), v) + s\\Lv( A.24)
и, следовательно,
Таким образом, в силу теоремы 2.7 гл. 2 существует такая
функция и„ е D (Z.), что
Ле(вв) = /. A.25)
Но A.25) эквивалентно тому, что
яв(ив> o) = (f, о) Vv<=D(L),
и, следовательно, отображение
у -> е (/-' (/.ме)> Ы = {f-s4- (иЕ) - Lut, v)
непрерывно на D{L), снабженном топологией, индуцированной
топологией Т. Таким образом,
/-'a«e)sD(O - A.26)
и уравнение A.25) эквивалентно уравнению A.20).
Таким образом, мы доказали при всех г > 0 существование
элемента uR^D(L), удовлетворяющего A.26) и A.20).
2) Оценки для ие. Прежде всего заметим, что в силу A.24)
можно выбрать м„ таким образом, что
ие ограничены в У при е->0. A-27)
Мы собираемся показать, что
Lue ограничены в У" при е->0!). A.28)
Действительно, умножим скалярно обе части A.20) на эле-
элемент /~! (L«e) (принадлежащий D(L*) в силу A.26)). Тогда
A.29)
') Обратим внимание на это свойство; аналогичный результат нешмеет
места, когда применяется аппроксимация Фаэдо — Галёркниа (и мы вынуж-
вынуждены пользоваться «специальными базисами», чтобы получать менее точные
свойства, «заменяющие» A.28)); аналогичный результат не имеет места для
аппроксимации, используемой в § 7 гл. 2. Следовательно, с этой точки
зрения аппроксимация с помощью эллиптической регуляризации обладает
бесспорным преимуществом. И именно это свойство позволяет использовать
предположения, в которых одновременно участвуют Л и S&.

332 Гл. 3. Метод регуляризации и Метод штрафа
а поскольку (в силу леммы 1.1) оператор L удовлетворяет A.4),
то L*^0, и из A.29) следует неравенство
|| Lue |f + (а (ue), У (LuJ) < {f, Г1 {LuS). A.30)
В силу A.27) и ограниченности зФ получим, что || st (иг) \l ^
< const, и ввиду A.30) ||L«E|f <С||/.ыД, откуда следует A.28).
3) Предельный переход по е. Поскольку в силу A.27) по-
последовательность s&(ue) ограничена, а оператор L замкнут, мы
можем так выделить подпоследовательность, обозначаемую
также через ы8, чтобы
м„-»• и в Т слабо, ueD(L),
Lu,,-+Lu в/' слабо, A.31)
•&Ыг)-+% в У слабо.
Покажем, что
(«e),. ив —и)<0. . A.32)
Действительно, согласно A.20),
(нв), и, - и) = (/ - Lut, ие - и) -е(/-! (L«e), Lut - Luj; A.33)
в силу A.28) \(j~l(Lue), Lue — L«)|<C, и из A.33) вытекает
оценка
{S4-(ие), ие — и)<(/ — ?«> «в — и) — (L(«e — и), ие — и) + Се<
< (f — L«, ие — и) + Се.
С ее помощью мы приходим к A.32).
Далее, поскольку оператор st псевдомонотонный, то
lim inf (si- (ие), ut — v) > (^ (и), и — и). A.34)
Однако в силу A.20) 4ve=D(L) имеем
{S4- (ы8). ие — ») = (f — ^-и> «е — и) — (?ие — Lv, ut — v) —
—sir1 (Lue), LuE - Lo) < (f - Lo, ие - и) + C,e,
откуда, сравнивая с A.34), получим
(f — Lv, н —о)Х^(и), и-и) Vv<=D(L). A.35)
Полагая в A.35) v — u — Qw, 6 > 0, we=D(L), найдем, после
деления на Э:
(f- L(и-9ю), »)>(.$*(н),ю).
откуда, устремляя Э к нулю, получим
(f — Lu-st(u),
и, следовательно, L«

/. Эллиптическая регуляризация и эволюционные уравнения 333
1.4. Вторая теорема существования, доказываемая
с помощью эллиптической регуляризации
Если мы проанализируем предыдущее доказательство, то
увидим, что в двух узловых пунктах (i), (ii) мы не пользова-
пользовались оптимальными предположениями:
Пункт (i): доказательство разрешимости уравнения A.2Q).
Мы пользовались тем, что оператор si- является псевдо-
псевдомонотонным на У; на самом деле достаточно псевдомонотон-
псевдомонотонности на D(L), что приводит к следующему ниже предполо-
предположению A.36).
Пункт (ii): оценка A.28).
Мы использовали неравенство A.30) в очень грубой форме;
небольшое усовершенствование приводит к следующему ниже
предположению A.37)ф
Теперь мы установим такое утверждение '):
Теорема 1.2. Пусть Т — рефлексивное банахово про-
пространство, причем норма как в нем, так и в сопряженном
пространстве строго выпукла. Пусть линейный оператор L,
действующий из D (L) в У {где D (L) — плотное линейное под-
подпространство в Т), является максимальным монотонным.
Пусть для оператора si>: D{L)-*Tr {s4- не определен на всем Т)
выполнены следующие предположения:
если Uj->u в Т слабо, и/ е= D (L),
u<=D (L), LUj ->Lu в У слабо
' и если limsup(^(«/), и, — и)^.0, то ' '
liminf {st(Uj), и, — и)>(^(ы), и — v);
существует функция A,->t|)(A,): +
ограниченная на любом компакте, и
такое число Э, 0<6< 1, что С-3')
Предположим, что выполнено условие A.18). Тогда для
любого fe=Tr существует решение u^D{L) уравнения A.19).
Доказательство. 1) Прежде всего, как н в части 1)
доказательства теоремы 1.1, мы решаем уравнение A.20). Это
можно сделать, поскольку в A.36) предполагается именно то,
что фактически используется в теореме 1.1. Опять имеет место
включение A.26).
') Являющееся «нелинейным» обобщением теоремы о возмущении в гиль-
гильбертовом пространстве (см. Като [6], гл. IX, § 3).

334 A*. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
2) Оценки для ые. Как и выше, имеет место A.27), и надо
показать, что опять выполняется A.28). Для этого устанавли-
устанавливается неравенство A.30), откуда, используя A.37), получаем,
что
|| Lut IE < || Ьиг I [ф (|| ut ||) + 91| Lut Ц, + И f II,];
поэтому благодаря предположениям на ф и 0, сделанным
в A.37),
(le)U
что приводит к A.28).
3) Предельный переход при е-*-0. Часть 3) доказательства
теоремы 1.1 проходит без измененияф
Замечание 1.1. Теорема. 1.2 содержит теорему 1.1,
однако мы разделили эти два результата,- чтобы лучше про-
проанализировать доказательствоф
Замечание 1.2. Пусть М — монотонный линейный опера-
оператор, действующий из D(M) (плотного подпространства в Т)
в У" я не обязательно максимальный.
Тогда для оператора s4-, удовлетворяющего предположе-
предположениям, теоремы 1.1'), существует такое и^Т, что
(и, Mv) + {st (и), v) = (f, v) Vu sZ) (M). A.38)
В самом деле, пусть М — максимальное монотонное линей-
линейное расширение М (оно существует в силу леммы Цорна);
согласно лемме 1.1, оператор L = {M)* является максимальным
монотонным и, следовательно, в силу теоремы 1.1 суще-
существует решение u^D(L) уравнения Lu-\- s4>{u) = f, откуда
следует A.38)ф
Замечание 1.3. Следующий этап — к этому сводятся
многие еще не решенные задачи — научиться решать при под-
подходящих предположениях уравнение
L(u) + a(u)=rf, A.39)
где L и зФ являются нелинейными операторами. При этом
должен покрываться случай A.38), который по существу и воз-
возникает в приложениях.
') Сходное замечание имеет место в том случае, когда оператор s4-
определен только на D(M*), псевдомонотонен и коэрцнтивен.

2. Приложения 335
2. ПРИЛОЖЕНИЯ
2.1. Общие параболические задачи
Мы собираемся применить теорему 1.2 к тому случаю, когда
r=-Lp@,T;V), B.1)
где 1<р<оо, V — замкнутое векторное подпространство
в Wm-P(Q), причем
Wo' рB)сУс Wт-" (Q). B.2)
Возьмем
D(L)={v\ve=r, -g-e=Z.p@, T;V), о@)«0}
(заметим, что если v е= Т и при этом dv/dt e= L" (О, Г; К'), то
функция / -> w (/): [О, Г] -> L2 (Q) является непрерывной, после,
быть может, исправления на множестве меры нуль). Используя
равенство
справедливое для всех -таких u,iief, что
dv/dt e ^", можно проверить, что
,* d_
dt '
B 4)
D (Г) = { v\ v s Г, ¦§¦ e F',-о(Г) = 0}.
Таким образом, Z-^0, L*^0, и мы находимся в условиях
теоремы 1.2«
Определение оператора s4-.
Будем пользоваться теми же обозначениями, как в п. 2.6.1
гл. 2; пусть N{ (соответственно N2) — число дифференцирований
по х порядка ^пг — i (соответственно ш), и пусть Аа(х, t, ц, %) —
семейство вещественных функций (|а|^т), определенных
в Q X RNl X RN' и удовлетворяющих условиям
для почти всех x,t^Q функция т), I-*¦ Аа(х,t,r\, 1)
непрерывна на R^1 X Rw' и Vr|, g функция B.5)
х^ t-*Aq(x, t, т), |) измерима на 9-

336 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Положим
Dfcu = {D^u, IР | = k] (дифференцирования по х),
бы = {ы, Du, ..., Dm~lu),
Aa(x, t, бы, Dmv): x, t^Ai(x, t, bu(x, t), Dmv(x, t)).
Предполагается, что
У/и, y<=Z,p(O, Г; Wm-P(Q)) (или Уы, osf) справедливы
включения Аа (х, t, бы, Dmu)s=L"'(QI). B>6)
Тогда форма w->a(u, w), где
а (и, w)= Y \ Aa{x,t,6u,-Dmu)Dawdxdt, B.7)
|a|<m Q
непрерывна на Т и, следовательно,
а (и, w) = (л* (ы), да), J/ (ы) ef, B.8)
Условия на s4-. Запишем (ср. п.п. 2.5 и 2.6 гл. 2)
^(ы) = ^(ы, ы), ¦
^ (ы, у) = л/, (ы, у) + ^2 (ы),
где
(ы, у), ш)=2 J Л„(х, f, бы, Dmv)Dawdxdt,' B.9)
l Q
j Ля(дс, ^, 6tt, Dmu)Dawdxdt. B.10)
m-I Q
Будем предполагать выполненными следующие условия:
Н, (ы, ы), ы - v) - (л*, (ы, о), в — о) > 0 \/и, v^T; B.11)
если и<-* и в ^° слабо, —т.—> -jr в У" слабо
л л . Bл2)
и если (^, (ыу, uj) — s?x (uh и), Uj — ы) -> 0, то
Лв(дс, f, быу, ОтЫу)-*Ла(л;, t, бы, Дщы) в L'(Q) слабо;
(коэрцитивность) {а \о)' о) -> + оо при I! у |Н ». B.13)
') Мы можем, как в B.41) (гл. 2), указать достаточное алгебраическое
условие справедливости B.6), например:
Ид («. *, ij, |) | < с[ 11) |р-' + | II"—1 +'* (ж, 0]. * е L"' (Q).

2. Приложения 337
Замечание 2.1. Можно указать, как и в теореме 2.8
гл. 2, достаточные условия справедливости B.11), B.12):
S АЛ*, t, t), ?)?«..,¦ L.-1--»00 ПРИ Ш^00 B-14)
|ctf=m • 161 + 161
для почти всех фиксированных х, t из Q и ограниченных т],
2 (АЛ*.'. л. I) - А*(х, и л, бО)(Б« - 1а) > о
1»И» B.15)
если | =т^= |*, для почти всех х, ieQ и Vtj.
Доказательства будут такими же, как в п. 2.6.2 гл 2, при-
причем при доказательстве аналога леммы 2.2 надо воспользо-
воспользоваться следующим результатом:
du/
если «/->« в Т слабо и если ы^ = -^р-->м' в Т' ,„ ...
слабо, то «;->« в Lp@, Г; Wm~Up{Q)) сильно.
Это утверждение вытекает из теоремы 5.1 гл. 1, если по-
положить
Во = Wm'" (Q), В, = W~m-"' (Q) и В = Г'р (Q), ро=р, р,=р'«
Мы собираемся показать, что в предположениях B.11), B.12),
B.13)
оператор •& является псевдомонотонным на D(L), ,_ ._,
т. е. удовлетворяет A.36). к*-1')
Как нетрудно видеть; условие A.37) выполнено с 8 = 0, от-
откуда выводится
Теорема 2.1. Пусть оператор si-{и) задается с помощью
B.8), и выполнены предположения B.5),<2.6), B.11), B.12), B.13).
Пусть Т определяется из B.1), причем выполнены включения
B.2). Тогда для заданного f из Т' существует такое uesY,
что duldt<=Y' и
¦g- + ^(«) = f, B.18)
«(*, 0) = 0# B.19)
Если мы возьмем V = lFot>p(Q), то установим разрешимость
следующей задачи:
(- irlDa(Aa(x, t, te, Dmu)) = f,
fe=L"'@, T;W-m'"'(Q)), B.20)
"м = 0на2, | a
u{x, 0) = 0, jc

338 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
¦ Доказательство условия B.17). Поскольку s4- пред-
представляется в виде суммы операторов B.9), B.10), то можно
показать, как в п. 2.6 гл. 2, что B.17) вытекает из следующих
двух условий (коль скоро мы уже проверили, что наш оператор
семинепрерывен и отображает ограниченные множества в огра-
ограниченные):
если uf->u в Т слабо, м^->ы' в У" слабо и если
{$f(uj, uj)—sd{uh и), и,—н)-*0, то sf («/ v)->sf(u, v) B.21)
в Г' слабо Vo е= Г;
если «/->« в У слабо, «/->«' в У слабо и если (е> „„.
s/(uh a)->i|) в Т', то {si-{и,, о), U/)-*(il>, ы)#
Проверка условия B.21). Согласно определению опе-
операторов stf-i и J^2« и3 B-21) вытекает, что
(s4-x {и,, и,) — sf-i (и/, и), ы/ — и) ->0,
и, следовательно, можно применить B.12). Тогда
А,(*. t, Ьи,, Dmui)-*Aa(x, t, 6и, Dmu) в LP'(Q) слабо,
и, таким образом,
(st, {и,), w) -* {а2 (и), w) Va» e= Т.
С другой стороны, согласно B.16),
Аа(х, t,6u,, Dmv)-*Aa(x, t, Ьи, Dmv) в V(Q) сильно,
откуда, в частности,
{s/-i (и,, v), w) -> (stx (и, о), w)
Проверка условия B.22). Благодаря B.16) s^i(ut, v)-*
s4\ (и, v) в У" сильно и, следовательно,
(.*, (вЛ о), В/) -> (rf, (u, о), й), B.23)
(«/) = ^(ы/, a) — Jtf, («/, о)->ф—^ («, о) в f" слабо. B.24)
С другой стороны,
2 («/), «,-«)= ^] J Д« (х, /, би/, DMU/) Dn (и, - «) rfx dt,
-l Q
и ввиду B.16)
B-25)
Далее, из равенства
«/. о). «/)=(^,(«/, о), «

2. Приложения 339
используя B.23), B.24)* .B.25), получим
t, о), и,)-»>(.яМи, v) + ty-<&i(u, у), и) =
Замечание 2.2. Метод доказательства теоремы 1.2 при-
применительно к рассматриваемой нами ситуаций состоит в том,
что уравнение B.18) приближается уравнением
где /: Т->Т' — отображение двойственности относительно
¦ф(г) = г. Если взять пространство V = W"'p (Q), снабженное
нормой
то оператор / ' будет обратным к оператору
Ф^(-1Г 2 Da(\D\\"-2D\).
\a\=m
Таким образом, B.26) является интегродифференциальным
уравнением, и можно поставить вопрос о том, в каком смысле
оно эллиптическое! Однако B.18) можно также приблизить
уравнением
(-l)me-Jr«e+^- + ^(«?) = f. B.27)
с m краевыми условиями при t=T, — и на этот раз B.27)
будет действительно эллиптическим уравнением.
Более того, можно приближать B.18) уравнением
^ г + $± + а (ие) - f, B.28)
где <?!> 1 — произвольное фиксированное число. Доказательство
сходимости этой процедуры при <7 = 1 можно найти в работе
Лионса [9]ф
Замечание 2.3. Выше мы всегда использовали теорему 1.2
для случая 8 = 0. Теперь мы приведем пример, в котором
можно получить больше, беря 0 < 9 < 1. Рассмотрим ситуацию
из п. 5.2 гл. 2. Другими словами, рассмотрим уравнение
-f-gradР,
ivM = 0, н = 0 на 2, и(х,0) = 0.-'
Возьмем
T = Lp@, T; V),

340 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
где V определено в E.12) (см. гл. 2), и возьмем оператор st>,
определенный с помощью равенства
п г
(.*(«), o) = v 2 j\Vur2-?-^dxdt+lb(u,u,v)dt,
1=1, /=I Q 0
где
n
b(u, v, w)= ^ J ui(DiVj)Wjdx.
i, t-\ a
В качестве области определения D (L) возьмем
D(L) = {v\ve=y, о'с=Г', о@) = 0},
так что
йA)сГ@, Г; (L2(Q))n). B.30)
Посмотрим теперь, при каких условиях можно применить
теорему 1.2'); главное состоит в том, чтобы выяснить, когда
оператор «s# отображает D(L) вГи при этом выполнено усло-
условие A.37).
Мы покажем, что это произойдет в случае
+ тт2' B.3.1)
и тем самым мы получим новое доказательство теоремы 5.1
гл. 2 (основанное на другом методе).
Ограничимся случаем (наиболее важным)
п>2, 1+-^<р<„. B.32)
Имеем
(и), v) = v Yi J I v" I"
i. /¦=! Q
Г
(и), V) = J 6 («, Ы, У) Л.
Так как оператор «s^j отображает F в У, то все сводится
к проверке нужного нам свойства для оператора s4-2 (в дейст-
') Попутно мы увидим, что, вообще говоря, мы не всегда будем нахо-
находиться в условиях применимости теоремы 1.1.

2. Приложения 341
вительности для «s#2 имеет место некоторое условие монотон-
монотонности). Имеем (обозначая через || v || норму в Т)
т
(и), о) К \\Ь(и, v, ы)|Л<с,||у||||и||р(С), если
| 1.
B.33)
Однако, согласно теореме Соболева,
и в силу B.30)
D (L) с L' @, Т; L< (Q)") П ?°° @, Г;_ L2 (Q)"), B.34)
а тогда посредством интерполяции получим
L'@, Г; LJ(Q)"), B.35)
где
± 2
0<о<1.
г ~~ р ' s q ' 2
Мы подберем а таким образом, чтобы r = s. Пусть
п
Тогда
«^11 1
и г>р' если
т. е. если выполнено неравенство B.31). С другой стороны,
в силу неравенств выпуклости
ll«llLr(Q)<c2||Miri|«C. B.36)
Тогда из B.33) следует, что Ж2{и)^Т' и
(и) \[ <с3\\и \П\ и |^"а) < с4|| и IF + с4|| и Г || Lu |f('-а).
Но 2A — а) < 1 (поскольку п > 2) и, следовательно, Ve > 0
существует такое сг, что
II и Г|| L« If*1"»' < е || Lu II. + се || и If0*20-",
и тогда Ve > 0 существует такая ограниченная на любом ком-
компакте функция г|)е, что
Итак, мы можем применить теорему 1.2 9
Замечание 2.4. Мы решили задачу для и0 = 0. Метод
Фаэдо — Галёркнна более легко (в принципе) приспосабливается

342 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
к случаю ы0 ф 0; однако случай щ ф 0 можно разобрать с по-
помощью вариантов методов § 1; мы отсылаем к работе Бре-
зиса [6]e
2.2 Общие параболические задачи.
Периодические решения
Мы рассматриваем тот же самый оператор si, что и в п. 2.1,
но на этот раз возьмем
L~ dt'
B 37)
\v^T, .^Lp'{0,T;V')=r, v@)=v(T)}.
Имеем
V= — L, B.38)
(Lv, v) = 0 VoeD(t). B.39)
. Таким образом, можно применить теоремы 1.1 и 1.2. Если
все это применить к ситуации замечания 2.3, то мы получим
существование решения (и, р) задачи.
w - 4 М v» Г &) +1 «А-=I -
div« = 0, и = 0 на 2, и(х, 0) = и\х, Т), х<=п,
коль скоро выполнено неравенство B.31).
Таким образом, доказано существование периодического
решения ф
Замечание 2.5. Имеет, место существование (и, кроме
того, единственность) решения задачи
ди_ _ Y JL_ _?
dt Zl dxt \\ dxt
_
dxt
f принадлежит Lp'@; T; r~I>
) B.41)

2. Приложения 343
В том случае, когда р^2, мы можем приблизить задачу
B.41) задачей: ¦—.
dt* "*¦ dt
duE\_t
дх{1~1'
дх{1~1' B.42)
В том случае, когда 1 < р < 2, мы приближаем B.41) задачей
_ р ±. (I iffs. Р'~2 ifft} j. i«e _ V J- (I iff»
3MI ^ dt 1^ dt 2j. dxt \\ dxt
ые@) = ы8(Г), ыЕ@) = ы8(Г).
B.43)
Таким образом, мы уже второй раз видим, что в приложе-
приложениях «эллиптическую регуляризацию» можно проводить мно-
многими различными способами ф
2.3. Нелинейные гиперболические системы первого
порядка
В цилиндре Q = QX]0, T[ рассмотрим п+ 1 матриц
Во {х, t), В, (х, /),..., Вп (х, t)sS {RN; R"), B.44)
обладающих такими свойствами:-
элементы матрицы В{ и все их первые производные ,„ .р.
по х принадлежат L°°(Q); \1-^)
Bi = Bi, /—1 я. B.46)
Для вектора Ф = {ф1, ..., (fN}< где функции % определены
в Q, положим
B.47)
Предположим, что
п
В0(х, t) + B'0{x, f) — ^-^- В, (л:, 0>0 почти всюду в Q. B.48)
Тогда
Теперь мы хотим определить максимальное монотонное
расширение оператора В, определенного на @{Q) и рассма-
рассматриваемого как неограниченный оператор в L2(Q) (см. Агранович

344 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
[1], Фридрихе [1], Фридрихе и Лаке [1], Лаке и Филлипс [1]).
Положим
п
Bv (x, t) = 2 Bt (x, t) cos (я, х{) на 2,
л — нормаль к Г,
и будем считать, что
матрица Bv(x, f) обратима V*, /eS. B.50)
Зададим далее на 2
POcQeS^RO, <?<#, _ B.51)
rangр(л:, t) = q, элементы р принадлежат ^'B).
Далее, определим (см. цитированные выше работы)
D (В; U (Q)) = {v | v e (L2 (Q))^, By e (L2 (Q))",
Р (л:, /) у (*, t) = 0 почти всюду на 2}'). B.52)
Можно показать, что если выполнены следующие предпо-
предположения:
(i) (Bv(x, t)%, |)>0 \/l^RN, когда р(дс, 01 = 0;
(ii) в любом подпространстве RN, строго содержа-
содержащем подпространство таких |, что Р(л:, /)' ^ = 0, най- B.53)
дется такое г\, что (Bv (x, t) ц, г\) < 0,
то оператор В будет максимальнымф'
Определим теперь пространство
F = (LP(Q))W B.54)
и оператор
с областью определения
$(x,t)v = 0 почти всюду на S,
v (х, 0) = 0 почти всюду в Q} ^. B.56)
Далее можно показать (см. Бардос — Брезис [1]), что таким
образом определенный оператор L максимален и !> 0.
Если далее мы возьмем (например!) в качестве si- оператор
st(v)=*\vf-2v, B.57)
') Это определение имеет смысл.
2) Эти условия имеют смысл.

2. Приложения 346
то из теоремы 1.1 будет следовать существование (а поскольку
s4- — строго монотонный оператор, то одновременно и един-
единственность) решения «Efl(L) системы
!, (х, t) -р^- + Во (х, t) и +1 и \"~г u = f, B.58)
где f принадлежит (Lp
Замечание 2.6. Можно получить другое максимальное
расширение оператора L, определенного на S)(Q) с помощью
B.55), рассмотрев
D(L) = {v\v(=T, Ld'sF, $(x,t)v = 0
почти всюду на 2, v (х, 0) = о {х, Т), х <= Q}. B.59)
Применяя опять теорему 1.1, мы получим существование
(и единственность) периодического (по t) решения системы
B.58)')•
2.4. Нелинейные гиперболические уравнения первого порядка
и нелинейные уравнения переноса
Сейчас мы рассмотрим случай, аналогичный рассмотрен-
рассмотренному в предыдущем пункте, только теперь N=1. На этот
раз Bi будут скалярными вещественными функциями, и мы
предположим, что (подобно B.48))
- 2В0(х, f) — ^ -^-Bi(x, t)^0 почти всюду в-Q. B.60)
В отличие от предыдущего мы не налагаем условие, ана-
аналогичное B-50). Определив опять функцию Bv (x, t) с помощью
B.49), мы будем допускать, что она может обращаться в нуль
на 2. Определим далее
2-={x,t\x, /€=2, Bv(x, 0<0}. B.61)
Полагая
п
L(f = ¦«¦ + S Bl {Xt f) it + B°{x't] ф' B-62)
i=i '
сначала определим
D(Ц) ='{v \v<=L"(Q) = T, Lv e V"(Q) = T',
o = 0 на L, о (x, 0) = 0}, ' B.63)
') Краевые условии по х остаются без изменения.

346 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
а затем положим Lv = Lov, если ие
L = замыкание Ц. B.64)
Можно доказать (см. Бардос [1]), что L>0 и L является
максимальным оператором.
Если s4-: Т'->У" — псевдомонотонный коэрцитивный опера-
оператор, то мы докажем существование функции u^D(L), удо-
удовлетворяющей уравнению
itx,t)-?- + B0(x,t)u + st(u) = fm B.65)
Методами такого типа можно решать нелинейные задачи
для уравнения переноса.
Пусть © — локально компактное пространство в R", снаб-
снабженное мерой Радона дц (со), © е ©.
Мы сейчас покажем, как можно решать следующую задачу:
требуется найти функцию и = и (х, со, t), определенную в Q X **
и удовлетворяющую уравнению ,
+ | и |р~2 и = f, f принадлежит Lp' (Q X «>) '). B.66) -
и условиям
weZ/(QX4 B.67) ?
и(х, со, f) = 0, если {х, OgS'X® 'соЧ ;
B.68)
и если 2 ^icos (и> xt) < 0,
и(х, ©,0) = 0. B.69)
Ядро К (х, t, со, ©') в B.66) таково, что
и -> J /С (дс, f, со, ©') ы (х, ©', 0 rfjx (©') = /См
есть линейный непрерывный оператор, переводящий Lp (Q~X.ei)=T '
в себя.
Линейная часть оператора B.66) является оператором пере- =
«оса (который, кроме всего прочего, описывает распределение ?
нейтронов; при этом © обозначает пространство скоростей).
') Q X и снабжается мерой dx dt d\i (w).

2. Приложения 347
Мы применим теорему 1.1 к Т = L" (Q X <•>). s4-{u) = \u\" 2u
и оператору L, задаваемому выражением
Область определения D(L) определяется следующим образом:
сначала вводится
если
D(L0)=lv\v^T, tosr, o = 0,
2 ©гcos(я, xt)< 0, х,/е2, а(д:, 0) = 0|,
и далее L определяется как замыкание Lo.
Тогда оператор L^O и максимальный1) (см. Бардос [1]),
так что можно, применив теорему 1.1, решить поставленную
задачу (условия B.68) принимаются в подходящем смысле) ф
Замечание 2.7. Можно также решать аналогичную за-
задачу в пространстве
2.5. Нелинейные уравнения Шредингера
Чтобы лучше выявить идеи, мы ограничимся довольно
простым случаем, отсылая по поводу более общей ситуации
к работе Бардоса — Брезиса [1].
Ищется комплекснозначная функция и, удовлетворяющая
уравнению
-§--гД« + |«Г2Ы=/ B.70)
(где f принадлежит V (Q)) и условиям
и = 0 на 2, ы(х,0) = 0 в Q. ' B.71)
Чтобы перейти к вещественному случаю, положим
и = Mi + iu2 («i, ы2 — вещественные функции);
тогда получится система:
«2 —Д«1+|ыГ 4 = h-
') Если /С^О. Мы можем также «включить К в si-», т. е. положить
si- (и) = | и \"~2 и + Ки.

348 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Мы собираемся применить теорему 1.1, считая
j i \ f i iP—2 i >P—2 1
^(o) = H or »i» I or v2],
Lv — {v'i + Л02, 02 — Afib
D(L) = {o|oe=F, LogF, o, @) = o2 @) = 0,
t), = o2 = 0 на 2 ')}¦ B.73)
Применение теоремы 1.1 будет законным, если мы покажем,
что оператор L максимален и L^Of
Положим
Do (L) = {v I v, s С00 ([0, П; ^2>"' (Q) П ^P (Q)),
0/ = 0 на 2, о/ @) = 0} B.74)
и снабдим D(L) нормой графика. Имеет место
Лемма 2.1. Пространство D0(L) плотно в D(L).
Доказательство. Полагая о = О| + /о2, мы должны
показать, что если о удовлетворяет условиям
tieL' (Q), о' - / Ло е= Z.p' (Q), о = 0 на 2, о (л;, 0) = 0, B.75)
то по норме
о можно приблизить последовательностью функций из
с-([0, П; iF2>p'(Q)rup(Q)),
равных нулю на 2 и при / = 0.
Положим при h > 0
о (х, t — h), если
0, если
функции vh опять будут удовлетворять B.75) и vh->v при
А-*0 в нужной нам норме.
Следовательно, мы можем считать, что в B.75) о s=0
в окрестности плоскости f = 0. Далее мы можем сгладить v
по t и, таким образом, считать, что
П; L'(Q)), o'-ZAoeC-dO, T]; L"'(Q)),
на 2 и при ^ = 0. . B.76)
') Эти условия имеют смысл.

2. Приложения 349
Таким образом, нам осталось показать, что из B.76) выте-
вытекает включение
о <= С°°([0, Т]; W%'"' (Q)). B.77)
Если р^р' (т. ef. p^2), то о' принадлежит
С°° ([О, Т]; L" (Q)) с С°° ([О, Т]; V" (О))
и, следовательно, Awe С°°([0, Г]; Z/'(Q)), а поскольку о=0
на 2, то (согласно Агмону [1]) мы получим B.77).
Если р<р', то До е= С00 ([О, Л". ?"(&)) (поскольку о' е
(=С°°([0, Т]; Lp (п)) и Lp/ (Q) cz Lp (Q)); поэтому, согласно Агмо-
Агмону [1], оеС°°([0, Т); W2-p(Q)), так что oeC°°([0, Г]; ?,«¦ (Q)),
1 12/
где — = и где о, — произвольное конечное число,
если — ^ 0|.
Следовательно, о'е С°° ([0, 71]; Z.?i(Q)). Если <7i^p', то
»'еСю([0,Г]; ^'(Q)), и мы получим включение B.77) таким
же образом, как и выше. Если qx < р', то До s С°° ([0, 71]; Z,?> (Q)),
и, следовательно,
п <= ^°°ГГП TV W2'
us— и ци, i j, w
112 14
где — = = ¦— и где q2 — произвольное конечное
14
число, если ^0, и т. д. ф
Теперь положим
= {v\v<=T, LosJT, и, (Т) = v2 (Т) = 0,
у, = у2 = 0 на 2}, B.78)
Mv = — Lv для ogD (M).
Мы определим D0(M) таким же образом, как выше опре-
определяли D0(L), и опять D0(M) будет плотно в D{M) (по норме
графика). Тогда
(Lv,w) = (v,Mw) VoeD(L), toeD(M). B.79)
Действительно, как нетрудно проверить, равенство B.79)
выполняется для o>s D0(L) и aiG D0(M), а далее надо восполь-
зораться плотностью ©
Требуемый результат теперь получится с помощью следую-
следующих замечаний:
L — замкнутый оператор с плотной
. - областью определения в Т, B.80)
?>0, М>0, B.81)
L* = M. ¦ B.82)
Итак, нам осталось проверить эти свойства.

350 Гл. 3, Метод регуляризации и метод штрафа
Проверка B.80). Если u = t»i + iv2, то все сводится к, дока-
доказательству следующего утверждения: пусть »nGf(Q), vn-+v
в L"(Q),
v'n — /Ли„ -> v — i Aw в if (Q),
vn = 0 на 2 и при t = 0; тогда w = 0 на 2 и при f = 0. .
Но va-*v в Lp@, Г; W~2'p (Q)) + Z.p'@, Г; Z/(Q)), так что
(в. частности!) о„@)->о@) в W~2'р (Q) + Z."'(Q) и, следова-
следовательно, и @) = 0.
Аналогично Ло„->Ло в Z.P'(Q) + IT"'1 p@, 71; Z.P(Q)), так что,
в частности, и„->и в смысле распределений на 2 (см. Лионе—
Мадженес [1]). Следовательнъ, и = 0 на 2*
Проверка B.81). На D0(Z.) и D0(M) эти условия очевидны,
далее надо перейти к пределу©
Проверка B.82). Пусть шеО([*); тогда форма v-*(Lv, w)
непрерывна на D(L) в топологии, индуцированной топологией Т,
и {Lv, w) — (v, L*w), L'weV. Беря »e2)(Q), получим
(Lv, w) = (v, Mw),
следовательно,
Mw = L*we=T'. B.83)
Итак,
), ve=D(L), w<=D(L'). B.84)
Подставим в B.84) функцию ue^5(Q), равную ^улю в окре- 3
стности 2 и t = 0. Тогда -..
(Lv, w)= J vi (x, T) да, (x, T) dx -f J a> (jc, f) w% (x, T) dx + {v, Mw) .
a a
(где интегралами обозначена двойственность, скажем, между
0@) и 2У(О?)), откуда следует, что \
Wl(x,T) = w2(x,T) = 0. B.85) I
Подставляя далее в B.84) функцию »e^)(Q), равную нулю
в окрестности f = 0 и t = T и равную нулю на 2, получим
откуда следует, что
ш| = ш2 = 0 на 2. • B.86)
Таким образом, ввиду B.85), B.86), w^D(M) и, следова-
следовательно, D(L*)<=.D(M). Но из B.79) следует обратное включение
и, таким образом, D (/.*) = D (М), откуда следует наш резуль-
результат ©'

2. Приложения 351
Окончательный результат получается путем применения
теоремы 1.1: существует и притом только одна ') функция и,
удовлетворяющая B.70), B.71).
Замечание 2.8. Методы подобного типа применимы
к уравнению
f--A« + |«r2« = / B.87)
с условиями
ы = 0 на 2, и{х, 0) = 0 при *e=Q, B.88)
если .рзять
D (L) = { v\ v <= If (Q), -§^ - Ли <= Z/' (Q)> з = 0 на 2, B.89)
v(x,0) = 0, a;s
В самом деле, оператор Z., определенный с помощью B.89),
максимален и ?^0. Результат, получаемый путем применения
теоремы 1.1, гораздо проще в этом случае получить методом
компактности или монотонности; для этого надо взять
, ди
= 0 при
Это замечание показывает, что могут существовать не-
несколько возможных способов представления оператора в виде
L + fi
2.6. Одно нелинейное^уравнение, меняющее тип
В этом пункте мы рассмотрим следующую задачу:
B.90)
(где р — заданное число и 1 < р < оо),
от-1, B.91)
и (л;, 0) = 0 при х > 0,
и(*,Г) = 0 прил:<0. B>92)
') В силу строгой монотоииости si-.

352. Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Мы покажем, применяя теорему 1.1, что сформулированная
выше задача имеет и притом только одно решение (в про-
пространстве, которое будет введено ниже).
Замечание 2.10. Отметим, что ось л: = 0 является осо-
особой для уравнения B.90); фигурирующий в B.90) оператор
является «параболическим в направлении роста /» (соответ-
(соответственно убывания /) при х > 0 (соответственно при х < 0); это
изменение типа приводит к условиям B.92): при х > 0 «на-
«начальное» условие задается при / = 0, тогда как при х < 0 оно
задается при t=T^
Обозначения. Положим
дт /I дти
дти \ B.93)
дхп
соответствующее отображение Т-+Т' будет монотонным (и
даже строго монотонным, что приводит к единственности),
а также ограниченным и семинепрерывным, так что оно, кроме
того, будет отображением двойственности.
Далее, определим
°, х |^ <= Т', v (х, 0) = 0 при х > 0,
v (х, Т) = 0 при х < 0 ')}, B.94)
где
и
Lv = x%. B.95)
Мы покажем, что
оператор L, определенный с помощью B.94), B.95),
замкнут, имеет плотную область определения, ^0 B.96)
и максимален.
Тогда мы сможем применить теорему 1.1 и получить наше
утверждение, при этом решение и(х, t) задачи B.90), B.91),
B.92) будет принадлежать D(L)q
Доказательство B.96) основано на следующем ниже резуль-
результате, который представляет и некоторый самостоятельный инте-
интерес. Рассмотрим пространство
-|g Г'}, B.97)
') Как мы покажем, эти условия имеют смысл.

2. Приложения 353
которое будет банаховым с нормой графика
Тогда имеет место
Предложение 2.1. 1) Для любой функции cgF можно
единственным образом ') определить следы v (х, 0) и v {x, T),
так что
| х |Vj v (х, 0), | х f' v (х% Т) е= L2 (О), B.98)
и указанные выражения непрерывно зависят от oef e L2(Q).
2) Для всел: к, tieF ылеег лесто формула Грина
I dv \ , I dw\
\x-m> w) + {v>xnr) =
= j xv (дг, 7") да (x, T)dx— J *o (ж, 0) w (*, 0) dx « B.99)
a a
Проверим сначала, что из этого предложения следует B.96).
Замкнутость L вытекает из 1). Далее, если oefl(jL), то, под-
подставляя в B.99) w = v, получим
2(Lv, o)= J xv(x, Tfdx— J xv{x,
X>0 X<0
Пусть, далее, w^D(L'); тогда форма v-*-(Lv, w) непре-
непрерывна в области определения D(L), снабженной топологией,
индуцированной топологией Т, и (Lv, w) = (v, L'w).
Беря v^S)(Q), мы выведем, что
L-w = -x^<=T' B.100)
и, следовательно,-w e W. Далее мы можем применить B.99J
так что включение w e D (L*) эквивалентно тому, что ше^и
J xv (х, Т) w (x, T)dx— J xv (x, 0) w (x, 0)dx = 0
а а
Отсюда выводится, что
', х -jfi- е Г', w (х, 0) = 0 при
ьр{х, Г) = 0 при х>'0\, B.101)
') С помощью продолжения по непрерывности.
12 Зак. 46

354 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Нам остается только проверить (согласно лемме 1.1 о «макси-
«максимальности»), что L'^0. Но из B.99) следует, что
2{L"w, w) = - Г J xw(x, Tfdx- J xw{x,
Lx<0 x>0 ¦
Доказательство предложения 2.1. Нам надо
установить
A) плотность «гладких» функций в W;
B) свойство B.98).
Тогда мы получим равенство B.99), которое для «гладких» v, w
очевидно и которое можно продолжить по непрерывности, ис-
используя B.98).
Что касается вопроса о плотности, то мы сейчас прове-
проверим, что
функции из С00([О, Т]; W^P(Q)) плотны в Ж. B.102)
(Заметим, что W™>P(Q) с: W~m-P'{&), поскольку область Q
одномерна.) Для доказательства B.102) продолжим функции
из Ж на все t^Rt (с помощью отражения), а далее регуляри-
зируем их по t. .
Итак, все свелось к доказательству B.98).
Нашу задачу мы редуцируем к аналогичному утверждению
на всей прямой. Если 6e^)(Q), 0 = 0 в окрестности лс = 0
и 6=1 в окрестности лс=±1, то v-*-Qv является непрерыв-
непрерывным отображением Ж-*Ж. Однако если 0 = 0, скажем, в ин-
интервале ] — х0, хо[ (хо< 1), то имеем
Qv<=Lp@,T; W?'p(]x0, ![)),
(Qv)'<=Lp'@,T;W-m-p'(]x0,l[j) (
(поскольку (Qv)' = ^{QXxv') + Q'v, a — является мультшгли-
катором в W™'p{]xQ, l[)j- Согласно обычным теоремам о сле-
следах (см. Лионе —Петре [1]),
•(ео)(*. о)е=г»(*о, 1);
аналогичный результат, очевидно, имеет место и в интервале
Таким образом, все свелось к доказательству B.98) для
функций фо.тде \t>e0(Q), ф= 1 в окрестности х = 0. Но тогда
мы можем работать в R вместо Q. В этой связи положим .
, Г, Wm-)
B.104)

2. Приложения 355
и наша задача сводится к доказательству того, что1)
«гладкие» функции плотны в Ж(R), и VoeF(R)
\xt''v(x0)^L2(R) и 1\х\ч'о(х0I^с\\О\^ BЛ05)
Плотность доказывается таким же образом, как в слу-
случае B.102).
Доказательство остальных утверждений B.105) основано
на двух следующих замечаниях:
(i) результат, аналогичный B.105), легко доказывается, если
мы в определении JP(R) заменим xv' на |х|о';
(И) наш случай сводится к случаю (i)$
Замечание (i). Положим
Ж — [v | v е L" @, Т; W'р (R)), | х \ v е L"' (о, Т; W~m'"' (R))}.
B.106)
С помощью умножения на срезающую функцию и регуля-
регуляризации по t проверяется, что функции v из 3@, принадлежа-
принадлежащие С°°([0, Т]; Wm'p(R)),H имеющие компактный носитель
в RX[0, T], плотны в Щ. При доказательстве неравенства
из B.105) можно (после умножения на срезающую функцию)
считать, что функция v равна нулю в окрестности t=T; тогда
имеем
=-\^[ J \x\\v{x,t)fdx\dt =
\\LP @, T.,
откуда следует нужный нам результат.
Замечание (ii). Здесь мы сталкиваемся с основным
техническим моментом доказательства. Мы будем пользоваться
следующей леммой о продолжении (Бауенди — Гривар [1]):
Лемма 2.2. Пусть ш —целое число и w^l. Тогда суще-
существуют такие операторы Pi, P2, что
Л <= 3: {Wm-" @, оо); Wm- " (R)) V?, B.107)
Р2 e=&{W-m- "(О, оо); W~m' 9(R)) Vq, B-108)
. ') Очевидно, что аналогичным образом тот же самки результат можно
доказать для следов при ?«=Г.
12*

356
Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
на ]0, оо[ Уф, /=1,2, B.109)
P2(xu) V«eU7m'«@, oo). B.110)
Доказательство. Положим
1и (х) при х > О,
2т
2jOft«(— **) при х<0,
где аА —вещественные числа, подлежащие определению. Усло-
Условие B.107) будет выполняться (У/g), если
2т
*—1
Далее заметим, что
\х ,«*-
хи(х)
2т
Ь-1
откуда следует B.110), если
я* М-
2т
u(-kx)
при
kx) при
при *>0,
при х < 0,
АГ>0,
л:<0.
B.111)
Таким образом, мы придем к нужному нам результату,
если сумеем подобрать ak таким образом, чтобы выполнялось
условие B.108) или, после транспонирования '),
Р5 е 3 (Wm- "' (R); W? "' @, оо)) (V?')- B.112)
Так как РЗ задается равенством
2т
то включение B.112) эквивалентно равенствам
2т
B.113)
') См. примечание переводчика на стр. 191 книги Лиоиса — Мадже-
веса [1]. — Прим. перев.

2. Приложения 357
Выбирая ak таким образом, чтобы удовлетворить равен-
равенствам B.111), B.113) (что возможно), мы придем к требуемому
результату0
Окончание доказательства B.105). Пусть oef(R)
и v+— сужение v на полупрямую х>0. Положим
w==Pv = Pi(v+) (т. е. Pv {i) — Pi (v+ {i)) для почти всех t);
Р\ (и Pi) определяются таким же образом, как в лемме 2.2.
Имеем
fflsi"@, T; Wm-p(R)),
(B снлу B.110)),
и, таким образом, согласно B.108),
и, следовательно, w^.36. Далее, согласно (i),
11 х |v' w (х, 0) \L, @> те) < Cl || w \\m < c21| 0
а поскольку о» = о при х > 0, имеем
Аналогичный результат получается после замены х на — *,
откуда следует B.105)о
2.7. Нелинейные параболические задачи в иецилиндрических
областях
Пусть Q — нецилиндрическая область в R2XR<; предпо-
предположим, что Q ограничена, содержится в полосе 0 < t < Т, ее
боковая граница 2 регулярна, сечение Qs = Qf\{t = s) «непре-
«непрерывно зависит» от s и не пусто (более точно используемые
предположения сформулированы у Лионса [20]).
Ищется функция и = и(х, t), определенная в Q и удовле-
удовлетворяющая уравнению
4г + (-1У" S Da{\Daur'Dau)^fl), B.114)
|а|«чп
!) Через Da обозначаются дифференцирования по *>

358 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
где / задано в Q, и условиям
?>|и = 0 на 2, |р|<от —1, B.115)
и{х, 0) = 0, хЕб„| B.116)
Мы собираемся опять применить теорему 1.1 при следующих
ниже условиях. Сначала определим
T={v\Dlve-Lp{Q), |p|<m, Dlv = Q на 2 при IpKm-l1)}.
B.117)
Далее мы определим $Ф:
(ы), v) = 2 J I Я"" I" Лв«Лв0
|o|-m Q
|а|т
Теперь положим
= {v\v<=T, к'еГ, о(*, 0) = 0*)},
. Оператор L замкнут, имеет плотную область определения,
и мы покажем, что он ^0 и максимален. Тогда из теоремы 1.1
следует, что
задача B.114), B.115), B.116) имеет единственное
решение из области D(L), определенной посред- B.120)
ством B.119)
(единственность является следствием строгой монотонности s4) ф
Замечание 2.11. Естественно, что в приведенном ре-
результате содержится случай цилиндрической области Q»
Замечание 2.12. Можно изучать такими же.методами,
как в п. 2.6, аналогичные краевые задачи для уравнения B.90)
в. нецилиндрической области в Q, когда 2 состоит из двух
гладких кривых, расположенных соответственно в областях
*~>0 и *<О0
Положительность и максимальность L.
Вводится (исходя из тех же самых, соображений, что и
в п. 2.6) пространство
{ g} B.121)
') Эти условия имеют смысл.
") Это условие имеет смысл.

2. Приложения
и показывается (см. Лионе [20]; там доказательство проведено
для случая р = 2, но оно без изменения проходит в случае
1 < р < то), что Уы, ogF справедливо равенство
B.122)
Подставляя « = iiefl(L) в B.122), найдем, что
2 Aы, и) = J и (х, Tf dx > 0.
Используя B.122), мы далее проверим, что
D(L') = {v\vs=T, о'еУ, и(л:O1) = 0, jcsQr},
о_ вв. B.123)
тогда B.122) приводит к неравенству
2{L'v, v)= j v{x, 0
и наш результат следует из леммы 1.10
2.8. Нелинейные задачи смешанного типа
Рассмотрим цилиндрическую область Q-=QX]0» T[, и
пусть
Бо — множество положительной меры, ЕосгЕ. B.124)
Ищется функция и — и{х, t), x, t^Q, удовлетворяющая1)
уравнению
и условиям
л
V 1
~ш
п
& дх, \ дх,
р-
и = 0 на
v — нормаль
и(х, 0) = 0,
к
2 , \
So,
= 0 на
г,
B.126)
B.128)
') В подходящем смысле, который ниже будет уточнен.
2) Можно таким же образом рассматривать оператор типа B.114) и даже
более общие операторы типа рассмотренных в п. 2.1.

360 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Мы собираемся доказать существование решения и, исполь-
используя замечание 1.2. Рассмотрим пространство
T = lv\v, -|2-eL'(Q), /=1 п, t> = 0 почти всюду на So}
B.129)
и определим s4- равенством
Л?Г?? BЛ30)
Определенный таким образом оператор Ф. Т ->У" будет
монотонным, а благодаря тому, что функции неУ обращаются
в нуль на Eq,
||t,|?, a>0.
Далее мы рассмотрим
); v(x, Г) = 0, tsQ 2)} B.131)
Мц = --^. B.132)
Тогда М^О, поскольку для sefl (M), справедливо равенство
2(Mv, v)= J v(x, Ofdx.
a
Пользуясь равенством A.28), из замечания 1.2 мы выведем,
что существует такое и из Т, что
{и, Mv) + (^ (и), v) = (f, v) Vw e D (М). B.133)
Эта функция и является {слабым) решением задачи B.125)—
B.128), что можно проверить формальной выкладкой 0
3. ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
3.1. Постановка задач
В § 1 мы «приближали» параболические уравнения эллип-
эллиптическими; следующий «естественный» шаг состоит в том,
чтобы попытаться приближать гиперболические уравнения
') И не принадлежит Т', так что оператор М безусловно не макси-
максимальный.
2) Это условие имеет смысл.

3. Параболическая регуляризация и вариационные неравенства 361
параболическими. В этом и состоит параболическая регуляри-
регуляризация, полезность которой мы собираемся продемонстрировать 0
Мы будем применять этот метод к эволюционным неравен-
неравенствам гиперболического типа ') (до сих пор, в § 8 и 9 гл. 2,
мы рассматривали только эллиптические и параболические не-
неравенства).
Другие приложения параболической регуляризации будут
даны в § 4ф
3.2. Один общий результат
Обозначения и предположения. Рассмотрим пару
гильбертовых пространств V и Я, таких, что
V а Я, V плотно в Я, вложение К-»-Я непрерывно. C.1)
Мы отождествим Я с его сопряженным; тогда
V<=H<=V.
Чтобы упростить запись, положим
L2 (О, Т\ V) = L2 (V), L2 (О, Т; Н) = 1> (Я) и т. д. C.2)"
Положим, кроме того,
r = L2@, T; VXV)
26 = 1} (О, Т; V X Н) = L2 (V} X L2 (Я). {6'6)
Отождествляя Ж с его сопряженным, получим
TczZBczT, T' = L2{V)X L2(V)• C.4)
Оператор А. Пусть задан оператор А:
А<=9ИУ\У), А' = А, C.5)
причем существуют такие с и а, что
(Av, v) + с || v |ря > а|| v %, а > О, V» е= V C.6)
(где (Av, v) обозначает скалярное произведение между V
и V)9
Скалярное произведение на V. Мы снабдим V скалярным
произведением (что возможно ввиду C.5), C.6))
((и, о)) = ((A + c)u,v), и, v S V ф C.7)
Оператор А на L2(V). Чтобы не увеличивать число обозна-
обозначений, мы опять обозначим через А оператор, действующий
') Или к неравенствам, связанным с корректными по Петровскому опе-
операторами.

362 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
из L2{V) в L?{V) и определенный равенством
{Av) {t) = A {v (t)) почти всюду.
Оператор S4-. Пусть k > 0. Положим
Если t> = {t>i, v^^T, то
Если в V выбрано скалярное произведение C.7), то в каче-
качестве скалярного произведения в Ж возьмем
т
(ц, о) =/[((«„ о,))+ («2, оя)]Л.-
о
Далее,
т
{stv, v)= J [((/jwj — o2, о,)) + (Л»! + kv2, v2)]dt =
0
г
= I [k ({A + c) vh Vl) - ((Л + c) v2, Vl) + {Avlt v2) + fe (o2, o2)Jdf >
0
> J [fea|| o, |FK + A|| w2 fH - с|| о, ||д|| о2 ||Д|Л.
о
Однако
C.9)
и коль скоро
k>-f=r, (ЗЛО)
мы можем заключить, что-
существует такое а0 > 0, что
Полугруппы G (s) и g(s). Рассмотрим теперь полугруппу G (s),
непрерывную в L?{V),. L2(H) и L2(V') и являющуюся сжимаю-
сжимающей в L2(H). Мы обозначим через —Л инфинитезимальный
производящий оператор G(s), а через D (A; L2 (Я)) — область
определения Л в L2(H) и т. д.
С G (s) мы свяжем полугруппу, действующую в У, Ж, У\
G{s) О
О G(s

3. Параболическая регуляризация и вариационные неравенства ЗбЗ
и обозначим через — L инфинитезимальный производящий
оператор полугруппы g(s); тогда
'Л (Г
Л,
C.13)
Выпуклые множества Ж{. Рассмотрим два выпуклых множе-
множества Ж и i= 1, 2, таких, что
Ж{ — выпуклое замкнутое подмножество L?(V),
0<=Ж{, f=l,2, (ЗЛ4)
и предположим, что
существуют такие а>0 и wo&L2(V), что
аЯГ, + о>о с #V C.15)
Замечание 3.1. Для приложений, по-видимому, интерес
представляет только случай
в котором условие C.15) выполняется при любом Ж2%
Согласование (ср. с § 9 гл. 2, в частности, с п.п. 9.2 и
9.6.2). Сделаем следующие предположения:
G(s)Av = AG(s)v Vs>0, \fve=L2{V), C.16)
¦ G(s)Xt<=.Xt Vs>0, t= 1, 2, C.17)
существует такое р > 0, что Vs^O, Vi>eJ{?(, /=1, 2,
G (s) о + G* (s) о - G* (s) G (s) о + (p - 1) v e= рЖ4 « C# I8^
Будет доказана
Теорема 3.1. Пусть задан оператор А, удовлетворяющий
C.5), C.6), и пусть оператор s4- определен с помощью C.8),
причем выполнено условие C.10). Предположим, что выпол-
выполнены условия C.14)—C.18) и, кроме того,
т
$ ({А + с)Ащ, Vl)dt^O Vi>, €= D (Л; L2 (V)). C.19)
о
Зададим /ей(Л; /,2(Я)) и положим F = {0, /} (е5ё).
Тогда существует и притом единственный элемент и, удо-
удовлетворяющий включениям
и^ЖхУ^Ж2-=Ж, и^ПA;Ж) C.20)
и неравенству
{Lu, v - и) + (аи, v-u)^{F,v-u) V» s#. C.21)

364 Гл. 3. Метод регуляризации и. метод штрафа
Замечание 3.2. Вариационное неравенство C.21) не
является неравенством типа тех, с которыми мы встречались
в § 9 гл. 2, поскольку st- не является коэрцитивным операто-
оператором на Т, а только на Ж (эта ситуация типична для гипербо-
гиперболических или корректных по Петровскому операторов)^
Замечание 3.3. Прежде чем приводить примеры (см.
п. 3.3), расшифруем неравенство C.21). Так как
то C.21) распадается на два неравенства»
B,e=Z)(A;L»a0), и,е1„
J [((Аи,, о, - и,)) + ((Аи, - u2K v, - и,))] Л>0 Vo, e Хи C>22)
«2 <= D (Л; D (Я)) П L2 (V), «2 е Ж2,
Г [(Лы2, о2 — щ) + (Ли, + ku2, v2 — «j)] Л >
oJ C.23)
г
>j(f,v2-u2)dt Vv2<=X2.
о
Частный случай: Жх = L2 (V). Тогда C.22) сводится к урав-
уравнению
A«, + fe«,-u2 = 0# C.24)
Доказательство теоремы 3.1. Единственность. Пусть
и и и* суть два решения; подставляя v = и* (соответственно
v =¦ ы) в неравенство для ы (соответственно для «*) и склады-
складывая, мы получим
(L (и — и*), и — и) + {а (и - и), « — «*)< 0. C.25)
Однако, поскольку полугруппа G (s) является сжимающей
в L?(H), то Л>0 на D(A; L2(//)), а в силу C.19) Л>0 на
D(A; I2(V)); мы получаем
(L(u-u), u-u')>0;
благодаря C.11) из C.25) следует неравенство
Оо|и-
откуда « = «*ф
') Впрочем, таким же методом, как следующий ниже, можно рассмот-
рассмотреть несколько более общий случай.

S. Параболическая регуляризация и вариационные неравенства 365
Доказательство теоремы 3.1. Существование,
1) Параболическая регуляризация. Рассмотрим оператор
О 0 \
,0 А + с] <3-26>
и «заменим» ^ на rf + е^> е > 0. Отметим, что
т
v||, + е J ((A + c)v2, v2)dt, C.27)
и, в частности, оператор st- -\- еЯ коэрцитивен на У-1).
Теперь мы сможем применить результаты § 9 гл. 2. Мы
находимся в условиях применимости теоремы 9.7 гл. 2. Сс
гласно этой теореме, существует единственный элемент ые, удо-
удовлетворяющий включению
«.еЛГ.Х^. ueeD{L;T), C.28)
и неравенству
(Lus, v-us) + {{a +¦ еЯ) и,, о - «8) > (F, о - ие) Vt» e ^. C.29)
Задача C.28), C.29) называется параболической регуляри-
регуляризацией исходной задачи.
2) Оценки для ие.
Первая оценка. Подставим о = 0 в C.29) (поскольку 0^Ж()-
Тогда
т
{Luei ue) + ((а + вЯ) «8, «8)<(Л «е) = J (/, »82) Л <с\\ ил\\L,(H),
о
а так как {Lue, «e)>0, то в силу C.27)
«8 ограничены в Ж при в-»-0. C.30)
Вторая оценка. Теперь мы воспользуемся методом доказа-
доказательства теоремы 9.7. Умножим обе части C.29) на р> 0 (фигу-
(фигурирующее в C.18)) и определим v из равенства (что возможно
ввиду C.18))
Р« = [g (s) + g' (s) - g' (s) g (s) + (Р - 1)] «е-
Получим
)«., - (g* (s) - /) (g (в) -/)«.)>
> (Л - (Я* (s) - /) (g (s) -1) ut).
)
на Т.
') Мы добавили к ?Ф имеиио то, чего не хватало для коэрцитивиости

366 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Однако, благодаря C.16) имеем
(L(g(s)-I)us,{g(s)-I)ue) +
е#) (g (s) - /) u8, (g (s) - /) us) <
-I)us), C.31)
и поскольку L^O, мы выведем отсюда, используя C.27), что
IIS (s) - /) ие I&, < с, || (G (s) - /) / \\L1 (Я) || (g (s) -1) ие ||да,
откуда
l^bil |?Ii±| .. (з.32)
(Я)
Поскольку по предположению f^D(A; L?(H)), то из C.32)
мы выведем, устремляя s->¦(), что
|| Lus Цд^ < const.
Эта оценка вместе с C.30) показывает, что
«е ограничены в D(L', Ж) при е-*0. C.33)
Третья оценка. Теперь в C.29) подставим
v = {аие2 + w0, uj,
что законно ввиду C.15). Тогда C.29) перейдет в неравенство
т
J ((Л + с) (Auei + ku6i — ые2), <ше2 4- w0 — usl) dt > 0,
о
откуда
т
a J ((Л 4- с) ые2, ue2) dt <
0
< J ({А 4- с) (л«81 4- ku8i), аие2 4- ю0 — ые1) Л —
о
г
— J ((Л 4- с) ие2, w0 — ие1) dt,
о
и потому
СЮII "е2 Щш (V) < С2\\ Аие1 4" *Ив1 ||Li {v) (II "е2 Hi» (И) + II W0 - "el \\L, (v)) 4"
4-(c2ll«e2lliMV)lla'o-«8illi4V))- C-34)
Однако благодаря C.33)
II "si Цу G) 4- II Ли,, \\L2 iV) < с3,

3. Параболическая регуляризация и вариационные неравенства 367
и из C.34) следует неравенство
1|Ий1?.(|0<С4A+1|Ий1|Ь.(п)'-
откуда
ие2 ограничены в L2(V), C.35)
а потому (благодаря C.33))
«„ ограничены в Т. C.36)
3) Предельный переход.
Мы можем выделить такую подпоследовательность (для
которой мы сохраним обозначение ие), что
ие-+и в D(L; Ж){\Т слабо, аеГ
Тогда е(#ие. v — us)-+0, и из C.29) следует C.21)«
Замечание 3.4. Можно рассмотреть случай оператора Af
зависящего от t. См. Брезис — Лионе [1], замечание 2°ф
Замечание 3.5. Третья оценка в доказательстве, оче-
очевидно, теряет смысл, когда
Ж2 является ограниченной областью в L2(V). C.37)
В этом случае условие C.15) является излишним«
Замечание 3.6. Предположим, что оператор ?Ф задается
с помощью C.8), где is =0, т. е.
0 -/'
о,
и пусть выполнено следующее предположение: Ж1 = I2 (V),
Ж2 — ограниченная область в L2 (V), и если Uj e D (Л; I2 (V)),
a (A-f-e)t>/ ограничены в L2(V) »(V/; e-*0), tov} ограничены
в L2(V).
При этих условиях теорема 3.1 остается в силе1). Действи-
Действительно, в этом случае возьмем
{ А + с
так чтобы
((st + еЯ) v, v) = е CSv, v) > е || v |g..
Тогда существует такой элемент ы8 из Ж\У^Ж2 и из
что выполнено неравенство C.29), откуда
((Д + О (Аи,, - и82 + ей.,), о, - и,,) > 0 ¦ ¦ Vo,
') В той части, которая касается существования. Единственность надо
доказывать в каждом случае непосредственно, см. следующий ниже при-
пример о.4.

368 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
и, следовательно,
(Л + е) ие1 = ие2.
Однако ut2 принадлежат Ж% — ограниченной области
в L2(V), и, следовательно, uti ограничены в L?(V) (а также
в D(A; L?(V))). Таким образом, мы уже получили те резуль-
результаты, которые вытекают из первой и третьей оценок (в доказа-
доказательстве теоремы 3.1). Вторая оценка проходит без изменения,
откуда следует наша теорема ф
Замечание 3.7. Мы можем заменить C.17), C.18) сле-
следующими предположениями:
существует такое Р е R, что Vs > 0: exp (ps) G (s) Ж1 cz
cJ?,, /=1, 2, C.170
существует такое р>0, что Vs^O, VosJif,, /—1, 2,
exp(Ps)G(s)t»+exp(-ps)G'(s)t»= . C.180
= G' (s) G (s) v + (p - 1) v e= pJSTt.
3.3. Приложения
Пример 3.1. Пусть Q — ограниченная область в R" с регу-
регулярной границей Г. В качестве нриложения общей теоремы 3.1
нами будет доказана
Теорема 3.2. Пусть задана функция f = f(x, t), причем
f, -|-eZ-2(Q), f(x, 0) = 0. C.38)
Тогда существует и притом только одна такая функция и, что
и'~дх[' 1Г1 dxtdt ' ~W^L ^' I==1» "•» п> C-39)
-jg--Au = f в Q, C.40)
и(х, 0) = 0, jjj-(x, 0) = 0 «a Q, C.41)
-|->0 на S, -|^->0 на 21),
f a drt C.42)
') д/дп — производная по нормали к Г, направленнаи вне Q. В силу
C.39)
так что ди/дп имеет смысл, согласно Лионсу — Мадженесу AJ.

S. Параболическая регуляризация и вариационные неравенства 369
Доказательство. Мы применим теорему 3.1, считая, что
V = &(<&),
а '' '
^, = L2(F) = L2@, T;V),
X2 = {v\v&L?(V), t»>0 почти всюду на 2},
G (s) <p (t) = {<р (t — s) при *>s, 0 при t <s}.
Можно проверить, что выполнены все условия теоремы 3.1').
Оператором Л здесь будет оператор A = d/dt, определенный
на функциях, равных нулю при t = 0. Можно использовать
уравнение C.24). Таким образом, мы получаем существование
и единственность пары функций щ, и2, удовлетворяющих усло-
условиям
«,<=?>(Л; L2(V)), т. е. «,e=Z,2(F), u[^L2(V), u,@) = 0, C.43)
и2 е D (Л; L? (Я)), и2 е= Жъ C.44)
Л,2 (^
г
J (и; + i4M| + ku2 -f,v2- u2) dt > 0 Vo2 e ^2. C.46)
о
Поскольку Ж2 является конусом с вершиной в начале, не-
неравенство C.46) эквивалентно неравенству
г
J (и'2 + Аих + ku2 - f, v2) dt > 0 Vo2 s X2, C.47)
о
причем ^0 заменяется на =0, если v2 = u2.
Используя определение Ж2, мы выведем, что
uJ-A^ + ftu, —/ в Q. _ C.48)
Если мы умножим C.48) на о2 и проинтегрируем по частям,
то получим2)
г
J "IT °2 <Я = J («2+ Л«| + *«1-/•",)<* C-49)
? 0
') Выбирается *>0.
*) Напомним, что

370 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
и, следовательно,
J^g6 Vv2<=W2, C.50)
2
причем ^0 заменяется на =0, если о2 = и2- Таким образом,
Теперь положим
wt = ektut, i=\, 2.
Из C.45) и C.50) мы выведем, что
o»J-Аи», =-«»*/ = Г. ' C.52)
на 2, ^- = 0 на 2, а>2-^ = 0 на 2.
Тогда и = в»] удовлетворяет различным условиям теоремы,
в которых f следует заменить на f\
Поскольку задачи о нахождении «, {o>i, о>2} и ("ь щ) экви-
эквивалентны, то имеет место также и единственность«
Пример 3.2. Теперь мы рассмотрим задачу о периоди-
периодических по t решениях неравенств типа C.40), C.42). Необхо-
Необходимо обратить внимание на то, что замена ы>{ = еыщ нару-
нарушает периодичность по t. Мы проверим следующее утверждение.
Пусть задана функция f, такая, что
L'&ezL'iQ). f(x,O) = f(x,T), *e=Q, C.53)
и пусть k > 0.
Тогда существует и притом только одна функция и, удо-
удовлетворяющая C.39), уравнению
g |^ = / в Q, C.54)
условиям
х 0) = и (х Т) ¦$¦
и (х, 0) = и (х, Т), ¦$¦ (х, 0) = -f; (х, Т), х е Q, C.55)
« условиям C.42).
Мы применим теорему 3.1 при тех же условиях, что в пре-
предыдущем примере, только на этот раз полугруппа G (s) пусть
задается следующим образом:
{(p(/-s-J-T) при *<s, «р(/ — s) при

3. Параболическая регуляризация и вариационные неравенства 371
Мы найдем такие {ии и2], что
u, e D (Л; 12(Ю), т. е. и, s L2(l0, «J e L2(l0, и, (х, 0)-и, (х, Г),
C.56)
и выполняются C.45), C.46). Мы можем интерпретировать нера-
неравенство C.46) таким же образом, как в примере 3.1, и мы
увидим, что функция и = щ отвечает поставленной задаче ф
Пример 3.3. Если f — заданная функция, удовлетворяю-
удовлетворяющая C.38), то существует единственная функция и, удовлетво-
удовлетворяющая включениям C.39) и условиям
4f>° в Q, м = 0 на 2, C.57)
(-р-—Аи—f)>0 в Q, C.58)
и(х, 0) = 0, ^(х, 0) = 0, лгеа1). C.60)
Применим теорему 3.1 с K = #J(Q),
Д = -Д, ^, = L2@, Г; К),
Х2 = {о| о>0 почти всюду bQ, t)
и в качестве полугруппы возьмем полугруппу сдвигов. Можно
далее взять (как в примере 3.1) и = (У)
Пример 3.4. Пусть опять задана функция f, удовлетво-
удовлетворяющая C.38). Существует и притом только одна функция и,
удовлетворяющая C.39), условиям
« = 0 на S, grad* -|j- (x, t) < 1 почти всюду в Q, C.61)
¦§? - Аи = /, если | grad, ^L(x,t)\<\ C.62),
(этой формальной интерпретации2) ниже, в.C.66), будет придан
точный смысл) и начальному условию C.60).
') Аналогичный результат для периодических решений (как в при-
примере 3.2) получается при замене д*/дР — Дна д*/дР + 2kd/dt + k? — Д.
2) В действительности надо добавить условия сопряжения на границе
раздела «области пластичности», где | grad* <?u/d/1*= 1, и «области упру-
упругости», где | grad^ ди/dt \ < 1.

372 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Воспользуемся замечанием 3.6, считая, что V == НЦй), Л= — А,
С (s) — полугруппа правых сдвигов; тогда A = d/dt, а область
определения состоит из функций, равных нулю при f = 0,
и пусть
'О -А
0> Xl =
Ж2 = {v | v e L2(V), | grad* v (x, t) | < 1 почти всюду}. C.63)
Таким образом, мы находимся в условиях применимости
замечания 3.6. Следовательно, существует такая пара функций
{щ, uj s Ж\ X У?г> чт0
щ s Z) (Л; L2 (У)), ы, е Z) (Л; L2 (Я)),
uf - и, = 0 (ср. C.24) при k = 0) C.64)
и
т т
J (и'2 + Ли,, v2 - и2) dt^\ (f, v2 - и2)dt Vw2 e ЛГ2. C.65)
о о
Полагая
« = «,,
мы увидим, что и удовлетворяет C.39), C.60), C.61) и нера-
неравенству
т т
J (и" - Аи, v2 - и') dt^jif, v2- и') dt Vo2 e X* C.66)
о о
Нам осталось установить единственность.
Пусть t0 > 0 — произвольное фиксированное число. Под-
Подставим в C.65) функцию
v2 = и2 при < > t0.
Тогда C.65) примет вид
и и
,j(u'2 + Auv v2-u2)dt^j(f, o2-o2)d/ (
Vw2 таких, что | grad^ v2 {x, t)\^l при t < t0.

3. Параболическая регуляризация и вариационные неравенства 373
Поскольку t0 произвольно, можно рассмотреть эквивалент-
эквивалентное неравенство
t t
(" (и' -\- •sttiy v — u)dt^ \ (f, v — u)dt для почти всех t,
00 ' C.68)
V»i e L2@, t; V), v2 e L2@, t; V), | grad, o2(*, /) |< 1 п. в.
Пусть и* — второе возможное решение. Полагая в C.68)
v = и' (что законно) и v = и в аналогичном уравнении для и*,
мы получим (поскольку в этом случае (st-v, о) = 0)
t
т. е.
| и @ — и* (t) р ^ 0 почти всюду, откуда и* = и ф
Пример 3.5. Теперь мы собираемся решить на много-
многообразии вариационное неравенство со вторыми производными
по t, аналогичное уже рассмотренному в п. 9.5.5 гл. 2 (для
случая первых производных по t).
(В этом пункте мы рассмотрим случай р = 2; случай рф2
не изучен.) Что касается уравнений, то см. § 11 гл. 1 и § 4
гл. 2.
Мы хотим установить существование и единственность функ-
функции Ф(*, t), удовлетворяющей уравнению
Д,Ф=0 в Q C.69)
и условиям
4г>0 на 2, 2 = ГХ]0, Т[,
= 0, -!?-(*, 0) = 0, хеГ, C.71)
0, T; ()
^O, Т; Я'(О)), C.72)
Ф"е=/,2@, Т; Я'Л(О))
(эта задача не является гиперболической).
') 5/d/t является производной по внешней нормали к Г; / принадлежит
ta B), причем dt/dt s Ls B) и / (х, 0) = 0.

374 Гл. S. Метод регуляризации и метод штрафа
Для того чтобы решить эту задачу, сначала введем опера-
оператор А. Для ф е #''* (Г) решим задачу
— Лг|) = 0 в Й, ф = ф на Г, ф <=#'(?), C.73)
и положим
Ар = -§?. C.74)
Тогда имеем (см. A1.9), гл. 1)
А & 2{НЪ (Г); Н~Чг (Г)), А* = А; •
Vc > 0 существует такое а > 0, что C.75)
(Лф, Ф) + с || ф |?2 (Г) > а || ф ||д,/, (Г)..
Мы применим теорему 3.1 в следующей ситуации:
у = #1/8(Г), # = L2(T), Л из C.74),
= {w|weL2@, Г; F), t»>0 почти всюду на 2},
1 k>0'
и в качестве G(s) берется полугруппа правых сдвигов.
Мы получим существование и единственность пары функ-
функций ¦{«!, Uj}, удовлетворяющих следующим условиям:
ы,(дс,0) = 0, ы2(дс, 0) = 0,
«; + fe«, — иг=о,
т т
f («5 + Ащ + ?и2, о, - щ) dt^j (e-«/, о8 - «2) Л Vo2 e Ж2.
о о C.76)
Из C.76) следует, что
ы^+^«, + ^«2-е-*'/>0 на 2,
ы2>0, «i(«5+i4«, + Att8-e-wf)—0 на 2.
Если положить wt = ektul, i=\, 2, то последнее эквива-
эквивалентно соотношениям
w\ — о>,= 0,
C 77)
, -f >0, ш2(^+Лш,-/) = 0 на 2.

4. Параболическая регуляризация и уравнение Кортвега — де Фриса 375
Пусть, далее, функция Ф для почти всех t определяется
как решение задачи
ЛХФ = О, Ф|г = ш,. C.78)
Можно проверить, что
так что условия C.70) вытекают из условий C.77) (а следова-
следовательно, и эквивалентны им).
Наконец, включения C.72) вытекают из свойств решений
задачи Дирихле C.78) и того обстоятельства, что ю,, w[ e L?(V),
Замечание 3.8. Основываясь на тех же самых сообра-
соображениях, можно указать множество других примеров; в част-
частности, отметим следующие случаи:
А является эллиптической системой (например* система
уравнений упругости);
порядок оператора А выше 2; тогда оператор d2Jdt2-{-A
уже не будет гиперболическим 1)ф
4. ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ РЕГУЛЯРИЗАЦИЯ И УРАВНЕНИЕ
КОРТВЕГА —ДЕ ФРИСА
4.1. Постановка задачи. Интегралы энергии
Ищется функция u = u{x,t), удовлетворяющая уравнению
-Ж- + «1г + а-?Н0' 0<*<1. 0<*<Г. D.1)
с начальным условием
и(х, 0) = ио(х), 0 < х < 1, D.2)
и с условиями периодичности по'х в качестве краевых усдо-
вий, т. е.
«@,0 = и A,0, D.3)
число условий в D.3') зависит от гладкости того решения, ко-
которое мы строим ф
') Приведенный выше пример 3.5 отвечает тому случаю, когда А—псевдо-
Дифференциальный эллиптический оператор порядка U

376 Гл. 8. Метод регуляризации и метод штрафа
Уравнение D.1) было введено Кортвегом и >де Фрисом;
см. литературу, приведенную в комментариях щ
Одним из наиболее замечательных фактов, связанных
с уравнением D.1), является существование бесконечного мно-
множества интегралов энергии. Мы приведем наиболее простые
из них. (Как всегда, задача будет состоять в том, чтобы суметь
ими воспользоваться.)ф
. Первый интеграл энергии. Этот интеграл моментально по-
получается путем умножения на и. При условиях периодичности
D.3) и D.3') имеем
! = ]0, 1[, V/. D.4)
D.5)
о ""
откуда
= 0')# D.6)
Второй интеграл энергии. Умножим D.1) на нелинейное
выражение, содержащее и:
а|?. D.7)
Благодаря условиям периодичности мы получим
J
а
действительно,
а каждый из оставшихся интегралов, получающихся при рас-
раскрытии скобок в D.8), равен нулю. Следовательно,
откуда
' •¦¦• •- " * D.10)
•) I Гобоэначает норму (Jf'd*Y' в L*(Q), а ( , )-связанное с этой
нормой скалярное произведение.

4. Параболическая регуляризация и уравнение Кортеега — де Фриса 377
Замечание 4.1. Можно получить другой интеграл энер-
энергии, умножив D.1) иа
?)Ч|? + -?<*4?; D.11)
см. Лаке [3], Миура [I], Миура, Гарднер и Крускал [1]ф
Теперь мы покажем, следуя Темаму [7], как с помощью
первых двух интегралов энергии можно получить теорему су-
существования.
4.2. Теорема существования. Параболическая регуляризация
Теорема 4.1. Предположим, что asR и а Ф 0. Пусть
задана функция и& причем
uoe=Hl(Q), ио(О) = иоA). D.12)
Тогда существует функция и,
иеГ@, Т; Hl{Q)), D.13)
удовлетворяющая D.1), D.2), D.3).
Замечание 4.1. Из D.13) и D.1) следует, что (отметим,
что Н1 (й) <= Vя (Q), когда й = ] 0, 1{)
-g-e Г @, Т;Н-2(п)\ ' D.14)
так что условие D.2) имеет смысл»
Замечание 4.2. Мы не знаем, единственно или нет реше-
решение и, удовлетворяющее D.13). В п. 4.3 мы приведем резуль-
результаты о существовании и единственности при более сильных
предположениях относительно ио«
Доказательство теоремы 4.1. 1) Параболическая
регуляризация.
Зададим е > 0 и «приблизим» уравнение D.1) параболи-
параболическим уравнением
Условия D.2), D.3), D.3') остаются «без изменения»-:
«.(*. 0)=«0(х), D.16)
^@, 0—^-(Ь 0, /-0. 1. 2, 3. D.17)

378 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Легко получить с помощью методов компактности (гл. 1)
существование функции ые, удовлетворяющей включению
и, еГ@, Г; L2(О)) П L2(О, Г; Я2(Q)). D.18)
Тогда
«e^eL2@, T; L2(Q)),
и из уравнения D.15) следует, что
дие , . д'иг , _ д3ие
о/ их их
отсюда и из граничных условий следует (ввиду теорем о глад-
гладкости для решений линейных параболических задач), что
и. е L2(О, Т; Н* (Q)), ^-gL2(Q). D.19)
(Повторяя эти рассуждения, можно показать, что ые — беско-
бесконечно дифференцируемая функция в Q, но этот факт нам
в дальнейшем не понадобится.)
Задача D.15), D.16), D.17) называется «параболической ре-
регуляризацией» исходной задачиф
2) Априорные оценки (I). Будем поступать таким же обра-
образом, как в п. 4.1 при выводе первого интеграла энергии;
получим
откуда (поскольку, в частности, «ogL!(Q))
Иив^-(о.г.^@))<с« . D-20)
где через с обозначаются различные константы, не зависящие
ОТ Вф
3) Априорные оценки (II). Будем поступать таким же обра-
образом, как при выводе второго интеграла в п. 4.1. Итак, умно*
жим D.15) на tf, (ые). При этом член
е
а

4. Параболическая регуляризация и уравнение Кортвега — де Фриса 379
приводит к выражениям, которые необходимо «компенси-
«компенсировать» аналогичными выражениями, отвечающими второму
интегралу энергии в случае е = 0. Для этого мы используем
следующие ниже интерполяционные неравенства.
Лемма 4.1. Для любой функции v e Я3 (Q) имеем
D.22)
- D-23)
Доказательство. В обозначениях Лионса — Маджё-
иеса [Ц, гл. 1, имеем
[Я3(й), Я°/в
и, согласно Петре [1], Н4' (й) с: L* (Q), следовательно,
II V \\Li m < С || V ||я./4(Ы) < С || V |jjjjo, || V ||^'(а),
откуда вытекает D.22).
Аналогично,
[я3(й), я°(й)]г/1>=яе/Чй)
и ¦ ¦ ч ¦
|"dl| « о ^с||у||я8/<(а)' откУДа следует D.23)«
Вернемся теперь к уравнению D.15), умноженному на ijj, (ия)\
учитывая выкладки, проведенные в п. 4.1, получим
4J
ИЛИ
|(^)Л-0. D.24)
а .. .
Отсюда выводится, что
D.25)

380
Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Интегрируя D.25) по t, получим после деления на а
t
дие
дх
¦-4 И *
О Й
Однако
\h
\(f)dx
(в силу D.20))
(в силу D.20)) •
^ , 3 I а I
дх
Далее (мы временно опускаем индекс е),
ди
17
(согласно D.22) и D.23))
(согласно D.20))
-&(о|2.
>) Vo e Я1 (Q) имеем
(надо воспользоваться тем обстоятельством, что Vy

4. Параболическая регуляризация и уравнение Кортвега — де Фриса 381
Учитывая эти последние неравенства, мы выведем из D.26),
что
1 I диг
2 I dx
откуда
Следовательно,
'?' (Q)
Используя теперь уравнение D.15), мы выведем
дие диг д3ие д*ие
dt ~ е дх дх3 дх* '
' (О, Т; L1 (И))
D.27)
D.28)
D.29)
откуда следует, ввиду D.28), D.29), что
'4^- ограничены в L2@, Г; Я~2(О)) при е-^Оф D.30)
4) Предельный переход. В силу D.20), D.21), D.28), D.29),
D.30) можно выделить такую последовательность ы8, что
ие-*и, -^"""ё" в L°°@> T' L2(Q)) *"слабо,
-gf-^-gf в L @, Г; Я (Q)) (гл. 1),
ие-+и в L2(Q) сильно и почти всюду.
Тогда иедие/дх-+иди/дх, например, в &>'(Q), и, следова-
следовательно, можно перейти к пределу в уравнении D.15); мы видим,
что и является решением D.1). Условия D.2), D.3) выполнены,
откуда и следует теорема«
4.3. Различные замечания
На основе той же техники (но с помощью более сложных
оценок и «интерполяционных неравенств») доказывается (см.

382 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Теорема 4.2. Предположим, что oeR, аФ О, и пусть
функция ы0 удовлетворяет условиям
), ./ = 0,1. D.31)
,A@)=A
Тогда существует и притом единственная функция и, удовле-
удовлетворяющая D.1), D.2) и такая, что
«,-§?, ~eL<X4°> T;L4Q)), D.32)
-^(О, 0 = ^0.0, / = 0, 1. D.33)
Замечание 4.3. Если, кроме того,
Uot=H4Q) и ^.@)=^-A), / = 0,1,2, D.34)
то, дифференцируя по / регуляризирующее параболическое
уравнение, мы покажем, что
-§?, -|-eLTO@, T;L2(Q)). D.35)
Представляется вероятным, что если ы0 принадлежит C°°(Q),
причем
то "и ы принадлежит С°° (Q)«
5. МЕТОД ШТРАФА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ
ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
5.1. Общие указания
Пусть V — рефлексивное банахово пространство. Мы всегда
будем предполагать, что
нормы в V и в сопряженном пространстве V
строго выпуклы. E.1)
Пусть v -*¦} (v) — выпуклая функция на V, и пусть /( — вы-
выпуклое замкнутое подмножество V. Предположим, что суще-
существует такое и, что
/(«)= inf j(v). E.2)
ое/С

5. Метод штрафа и эллиптические неравенства 383
Если мы введем функцию
/(о), когда we/(,
+ оо, когда w<j?/(, * " '
то E.2) будет эквивалентно неравенству
Ф(и)<Ф(о) VwseK, E.4)
т. е., согласно определению субдифференциала (см. гл. 2, п. 8.6),
получим:
О г «Эф (и), E.5)
что можно рассматривать как вариационное неравенство.
Наоборот, если элемент и удовлетворяет неравенству E.5),
то он удовлетворяет E.4) и, следовательно, E.2).
Таким образом, мы видим, что некоторые эллиптические
вариационные неравенства эквивалентны задаче о минимизации
типа E.2).
Один из классических методов, применяемый в приложе-
приложениях, состоит в том, что задача E.2) «приближается» задачей
со штрафом без ограничений: вводится некоторая выпуклая
функция w-* g (w), такая, что
g (w) = 0 на К, g (w) > 0, если w ф. К, E.6)
и для «малых» е > 0 рассматривается задача о разыскании
E.7)
Член — g(v) называется штрафом: если v ф /С, a —g(v)
ограничено, то g(v) «мало»; таким образом, мы избавимся
от ограничения, т. е. заменим задачу минимизации на К1)
некоторой задачей минимизации во всем пространстве F2)#
Отметим, что введению ф по формуле E.3) отвечает «бес-
«бесконечный штраф»ф
Теперь мы собираемся показать, что указанный подход
можно применить ко всем вариационным неравенствам (см.
п. 5.3); для этого мы используем аппарат операторов штрафа
(см. 5.2) и затем приведем примеры и приложения«
') Принадлежность к К трактуется как «ограничение».
*) То есть задачей чбез ограничений».

384 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
5.2. Операторы штрафа
Пусть пространство V удовлетворяет условию E.1), и пусть
К—замкнутое выпуклое подмножество в V. Оператором штрафа
(связанным с К) называется любой оператор р: V-+V, обла-
обладающий следующими свойствами:
р: V-*-V является монотонным ограниченным
семинепрерывным оператором; E.8)
{v\vs=V, Э(о) = 0} = АГ. E.9)
Следующая ниже теорема показывает, что всегда суще-
существуют такие операторы.
Теорема 5.1. Предположим, что выполнено условие E.1),
и пусть J — оператор двойственности V -> V относительно Ф').
Тогда если через Рк обозначить оператор проектирования
V-+K2), то оператор р\ определенный равенством
р («) = /.(«-/>*«), E.10)
будет оператором штрафа *
В доказательстве используется один простой результат,
позволяющий охарактеризовать проекцию Рки с помощью /:
если Рки = до, то до характеризуется следующими
условиями: доеК» (J(u — w), k — ш)<0 Vke/f. E.11)
Действительно, по определению
||и-ю||<||в —(l-8)o>-8*|f Vk<=K, 9«=[0, 1]. E.12)
. Если мы, как в п. 8.6 гл. 2, введём Ч':
о
то неравенство E.12) будет эквивалентно неравенству
-ю-в(Л-ю)||). E.13)
Однако (предложение 8.1 гл. 2)
>(J(u-w-Q(k- w)), Q(k - до)),
') Двойственность понимается в смысле п. 2.2 гл. 2: выполнены ра-
равенства
(/())«= Л /(и) Ц. Л и |,
где I II, — норма в V, дуальная к норме || |.
*) То есть Рки для и е V есть единственный элемент из К, для которого
Ци-^«||<||и-А|| VAe/C.

5. Метод штрафа и эллиптические неравенства 385
откуда, учитывая E.13), после деления на 8 > 0 получаем
(J(u-w-Q(k-w)), k-
устремляя 6 к 0, мы получаем E.11).
Обратно, если w удовлетворяет E.11), то VosJ(
(согласно п. 8.6 гл.'2)
>(/(ы — о»), ю —*)>0,
(согласно E.11))
откуда || и — w |1 г^|| и — k ||, что и требовалось доказать «
Доказательство' теоремы 5.1. Монотонность р.
Сначала мы проверим, что Vu, neV .
(l(u-PKu)-J(v-PKv), PKu-PKv)>0. E.14)
В самом деле, в силу E.11)
(J(u-PKu),k-PKu)^0,
и аналогичное неравенство можно написать для PKv\ полагая
соответственно k=PKv и k=PKu и складывая, мы получим E.14).
Теперь, полагая й = и — Рки и 6 = v — PKv, получим
(Р(и)-р(о), и-о) = (Р(и)-р(о), й-
и - Р^и) - / (v - PKv), PKu - PKv). E.15)
Первый член в правой части E.15) >0в силу монотонности /,
а второй >0 в силу E.14).
Таким образом, р — монотонный оператор. Можно проверить,
что оператор р ограниченный и семинепрерывный.
Наконец, равенство /_(ы — Рки) = 0 эквивалентно тому, что
и — Рки = 0, а следовательно,
и = Рки е /f 0
5.3. Применение метода штрафа
Теперь мы собираемся доказать с помощью операторов
штрафа следующий результат, уже доказанный (другими ме-
методами и при чуть более общих предположениях) в теореме
8.2 § 8 гл. 2.
Теорема 5.2. Предположим, что пространство V удовле-
удовлетворяет условию E.1). Пусть оператор А: V-+V псевдомоно-
13 Зак. 48

386 Гл. 3.. Метод регуляризации и метод штрафа
тонный и коэрцитивный в том смысле, что
существует такой элемент о0еД", что
<'<«*;-*> ^ + оо при „„„__. E.16)
Тогда для всех f e V существует такое и е К, что
(А(и), о — и)>(f, о - и) Vo e Л". E.17)
Доказательство. 1) Ассоциированная задача со штрафом.
Пусть р— оператор штрафа, связанный с /С. т. е. удовле-
удовлетворяющий условиям E.8), E.9). Мы собираемся показать,
что Ve > 0 существует такое ие е V, что
A(ue) + ±$(ue) = f. E.18)
В этой связи мы воспользуемся следующими замечаниями:
(i) оператор v~>A(v)-\-— р(») будет псевдомонотонным
в силу замечания 2.12 гл. 2;
(И) (А (о), v - о0) +1 (р (о), о - о0) =
= (Л (о), о - оо) + 7 (Р_(о) - Р (о0). о - о0) >
(так как о0е/С)
> (Ло, о — v0)
(в силу монотонности р),
и, следовательно,
т(Р(о). о-Оо)]-*'+оо при 1М|-*оо.
Таким образом, в силу замечания 2.13 гл. 2 и теоремы 2.7
гл. 2 существует решение ие задачи E.18) (которая называется
«задачей со штрафом, ассоциированной с задачей E.17)»).
2) Согласно приведенному выше замечанию (ii), можно так
выбрать решения ие уравнения E.18), чтобы .
ие были ограничены в V при e~»0. E.19)
Так как оператор А ограничен, то А(ие) ограничены в V и
Р («О = в (f-Л (««))-> 0 в V;
к
более того, мы имеем
C|8. E.20)

5. Метод штрафа и эллиптические неравенства . 387
Далее мы можем так выделить подпоследовательность (будем
опять обозначать ее через ие), что
ие->и в V слабо,
Л(ие)~*Х в V слабо. E-21)
Проверим, что
Р(и) = О. E.22)
Действительно, оператор р обладает свойством (М) (см.
предложение 2.1 н замечание 2.1 гл. 2), откуда и следует
нужный нам результат1).
Далее в силу E.9) мы получим, что ие/С-
Взяв we/С» мы из уравнения E.18) выведем (поскольку
p(w) = O), что
(A(uK)-f, 1»-ие) = 1(РA»)-р(иЕ),Ъ-ие)>0. E.23)
Далее мы сможем заключить, что
limsup (А(ие), ие — и)<limsup(/, ые — и) = О,
е->0 е->0
а поскольку оператор А псевдомонотонный, то отсюда сле-
следует, что
lim inf (А (ие), ие — v) > (А (и), и — v),
е-»0
откуда в силу E.23)
(f,u-v)>(A(u), u-v) Vwe/C,
т. е. выполнено неравенство E.17)ф
Замечание 5.1. Проведенное выше доказательство доста-
доставляет нам метод аппроксимации и посредством иЕ. По правде
говоря, этот метод не будет конструктивным, если и и ые
не будут определяться единственным образом; последнее имеет
место, например, когда оператор А является строго моно-
монотонным ф
Замечание 5.2. Пусть W — банахово пространство, при-
причем норма в нем, равно как н в сопряженном, строго выпукла.
Пусть
вложение V czW непрерывно, V плотно в W
(следовательно, W czVy, E.24)
¦) Из неравенства @ (ие) — 0 (ф), иг — ф) > 0 Уф мы выводим, что
— (Р(ф), и — ф) >0 Уф; полагая <р = и — W, А,>0, ?еК, мы найдем, что
№ (и — KV), У) < 0; устремляя А -> 0, мы, таким . образом, получим, что
(Р(«), ?)<0 У^, откуда следует E.22).
13*

388 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
К является замкнутым выпуклым подмножеством
в V и в W. E.25)
Тогда можно рассмотреть оператор штрафа, связанный с К
и действующий в пространстве W, т. е.
р: W-*¦ W — монотонный ограниченный и се ми-
непрерывный оператор; E.26)
{w\we=W, $(w) = 0} = K. E.27)
(Такой оператор существует согласно теореме 5.1.)
Можно опять рассмотреть уравнение E.18), а поскольку р,
в частности, является оператором штрафа в V, связанным с К,
то у уравнения E.18) существует решение ие, и можно найти
такую последовательность иг, что ие-»-и в V слабо, и
функция и является решением E.17)')ф
Замечание 5.3. Пусть W — рефлексивное банахово про-
пространство, как и в предыдущем замечании, однако имзет место
включение, обратное E.24):
WczV, W плотно в К и вложение непрерывно
(следовательно, V cz W'). E,28)
Мы предполагаем, что
К является выпуклым замкнутым подмножеством
в W и V. E.29)
Опять возьмем оператор р со свойствами E.26), E.27) и
рассмотрим уравнение E.18) в W. Но это уравнение не обязано
иметь решение в W (поскольку оператор А коэрцитивен на V,
а не на W). Добавим следующее условие:
Можно найти такой элемент v0 e /С» что
(i) для него выполнено E.16), E.30)
(И) (HVH~Vo) ->+«>. когда ||v%,-+ °°-
При этих условиях существует решение иг уравнения E.18),
и можно выделить такую подпоследозательность ие, что
ие->и в W слабо, и является решением E.17)« E.31)
Эти два замечания полезны в приложениях, поскольку они
позволяют выбирать р «наилучшим образом»©
¦) Отметим еще одни вариант: пусть A"i — выпуклое замкнутое под-
подмножество W, причем К\ П V = К; если р, — оператор штрафа в W, свя-
связанный с /С„ то в качестве 0 можно взять еуженне Pi на V.

5. Метод штрафа и эллиптические неравенства 389
Замечание о сходимости. Следует отметить, что
доказательство теоремы 5.2 дает нам также метод аппрокси-
аппроксимации и — решения E.17) посредством ие —решений E.18).
Кроме того,
(А(ие)-А(и), ив-и)->0.
, 5.4. Примеры
Пример 5.1. Возьмем F = #o(Q) и определим А:
+ ... +|»), а>0, Vi^eR, E.32)
почти всюду в Q, ао(х)'^ао почти всюду в Q.
Пусть
К = {v | w е Яо (G), w > 0 почти всюду в &}• E.33)
Следовательно, мы можем воспользоваться замечанием 5.2
(примечание 1), взяв W = L2(Q) и Ki = {v | v e L2(Q), о>0
почти всюду в Q}; выберем p(o) = /(w — PKv), где
/ — единичный оператор,
PKv = v+ (т. е. /)a-w = w(a;), если v(x)^0, и
PKv = 0, если ой<0)').
Соответствующее уравнение, следовательно, имеет вид2)
Ли--Т«-"-Л E.34)
Замечание 5.4. Естественно, что можно также использо-
использовать оператор штрафа со значениями в #о(Й)> но это слишком
СЛОЖНО ф
Пример 5.2. ВозьмемУ = Wo p(Q) A<р<«>) и оператор
K = {v\v<= wltp(Q), w>0 почти всюду в Q). E.36)
') Этот оператор проектирует в L2(Q).
2, _ . Г 0, если o(Jt)>0,
') итметим. итп п — от = — п— гле п— irl = ^ . . .
Отметим, что ,-*+ = -,-, где ¦

390 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Тогда мы опять можем воспользоваться замечанием 5.2
(примечание 1), считая, что W = LP(Q). Далее выберем /, пола-
полагая / (о) = | v \"~2 v; получим
Р @) = / (v - PKv) = -1 v- Г2 v-.
Соответствующее уравнение со штрафом примет вид
д К)-± к-Г'«-"-л
Eз7)
Пример 5.3. Возьмем оператор А таким же, как в при-
примере 5.1, но на этот раз
и
/С = {«|»^ #'(&)> о>0 почти всюду на Г}. E.38)
Далее определим оператор р: V -> V, полагая
(р (и), у) = - | u-vdT, и, v е= V; E.39)
г
линейная форма »-*( u~vdT непрерывна на V н, следова-
г
тельно, определяет функционал р(ы)еК'. Определенный таким
образом оператор р является монотонным, ограниченным, семи-
непрерывным, и
Ассоциированное уравнение со штрафом примет вид1)
а (ие, v) - -i- J u7v dT = J f v dx Vo e Я1 (Q). E.40)
Г Q
Задача E.40) допускает следующую интерпретацию:
Aue = f в Q,
диг l - п „ E.41)
-^---ив=0 на Г.
') Предполагается?, что / принадлежит L2(Q), н, как обычно, мы
полагаем
п
, . V Г &и до л i f j
в(«. о)= Л | ai( -зз-^Г-«**+ I ao«»rf-«.
a

5. Метод штрафа и эллиптические неравенства 391
Пример 5.4. Пусть Q — ограниченная область. Возьмем А
и V, как. в примере 5.1, и пусть К задается условием
/С = {о|оеК, | grad o(;e)|s^ 1 почти всюду в Q}. E.42)
Как нам кажется, проще всего р можно выбрать следующим
образом. Возьмем
U7 = U7o'4(Q) E.43)
и выпуклое замкнутое множество K<=W; для «eF форма
v -> Г A — | grad и р)~ grad и • grado dx
непрерывна на W; следовательно, существует такой функцио-
функционал р(и)е W, что
J A — | grad и F)" grad и • grad v dx = (р (и), о). E.44)
а
Можно проверить, что и-*р(и) будет монотонным, ограни-
ограниченным и семинепрерывным отображением W-*W. Кроме того,
о), v)= { [|grado|4-|grado|2]dA; =
|grado|>l
| grad v |4dx — J | grad о |4d;e— J |grado|2dje>
I
J J
I grade IK I |grad»l>I
и, следовательно,
(P И, o)>|| v \fw - (с, + с,|| о |f)> E.45)
так что условие E.30) выполняется для о0 = 0.
Наконец, если ие/С, то р(и) = 0, и наоборот, если р(и) = О,
то (р(и), и) = 0; следовательно,
A — | grad и |2)~ | grad и |2 = 0 почти всюду,
так что ue/f.
Мы можем применить замечание 5.3. Соответствующее урав-
уравнение со штрафом имеет вид
на

392 /"¦*.' 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Пример 5.5. Пусть V — гильбертово пространство, и пусть
К определяется условиями
;=1, ..., q, ittsV}1)- E.47)
Далее определим р, полагая
р@) 2(//,оГ//. E.48)
Тогда имеем
(Р (и) - р (о), и - v) = - 2 ((//, и)" - (/„ о)") ((/„ и) - (//, о)) > О,
отображение р ограничено, семинепрерывно, и имеет место
условие E.9).
Если A^Z(V;V), причем (Av, v)^a\\v\f, a>0, то реше-
решение ие/С неравенства
(Аи, v — и) Xf, v — и) Voe/C (f задано в V)
будет пределом при е-*-0 решений «8eF уравнений
Аи8--!]?С/, «)"// = /• E.49)
5.5. Результаты о гладкости
Теперь мы покажем на двух примерах, каким образом
уравнения со штрафом приводят к результатам о гладкости
(решения и вариационного неравенства) типа тех, которые были
приведены в п. 8.7 гл. 2щ
Мы будем считать, что коэффициенты рассматриваемых
операторов принадлежат C'(Q).
Пример 5.6. Пусть выполнены условия примера 5.3. Тогда
если /st2(Q), то решение ие/С неравенства
а (и, v — и) > (f, v — u) Vw e К (К определяется E.50)
посредством E.38)) принадлежит #2(Q).
Для этого достаточно установить, что иг, будучи реше-
решением E.41), принадлежит #2(Q) и остается в ограниченной
области этого пространства'при е->0.
В этой связи прежде всего заметим, что u~e#'(Q); тогда
иГ|г^Я1А(Г) и, следовательно, функция ые, рассматриваемая
') Функционалы U могут н не быть линейно независимыми в V.

б. Метод штрафа и эллиптические неравенства 393
как решение задачи Неймана
принадлежит H2(Q). Далее, повторяя доказательство гладкости
решений методом сдвигов, мы установим, что если ие является
решением E.41), то тангенциальные производные1) иг при-
принадлежат ограниченному множеству в #'(Q) (при е->0); далее,
используя уравнение Aue = f, мы выведем (как в случае обыч-
обычных краевых задач), что ие принадлежат ограниченному мно-
множеству в Н*(п)ф
Замечание 5.4. (Вариант примера 5.6.) Пусть задана
функция g из ?2(Г), и пусть функция и является решением
из К (последнее всегда определяется с помощью E.38)) нера-
венства
а{и, v-u)> jg(v-u)dr Voetf. E.51)
г
Без труда проверяется, что
Ли = 0,
и>0, 4т-
А
Мы собираемся показать, что
«еЯ'''(й). E.53)
Рассмотрим уравнение со штрафом:
gvdr Vv(=lP(Q). E.54)
г г
Подставим в E.54) v = —u7] поскольку
а(ие, —иГ)^ а(иГ,
из E.54) после деления на г найдем
)
и, таким образом,
— иГ ограничены в ?2(Г), E.55)
') В локальных координатам

394 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Однако функция иг является решением задачи
А
откуда, учитывая E.55), мы из результатов Лионса — Мадже-
неса [1], гл. 2 выведем, что
ме принадлежат ограниченному множеству в ff''(Q), E.56)
т. е. имеет место E.53)ф
Пример 5.7 (X. Брезис). Пусть выполнены условия при-
примера 5.1. Тогда
если fe=L2(Q), то решение и принадлежит #2(Q). E.57)
Рассмотрим уравнение со штрафом E.34); тогда
j uvdx= j fvdx V»e^(Q).
a a
Полагая у = «Г и рассуждая таким же образом, как в заме-
замечании 5.4 (при этом вместо Г будет фигурировать Q), мы
увидим, что
— «Г ограничены в L2(Q).-
Далее, из E.34) следует, что
Аиг ограничены в L2(Q),
откуда, учитывая включение ые^ #о(й), мы получим, что
ие ограничены в Я2(?2), т. е. имеет место E.57)«
Замечание 5.5. Аналогично можно показать, что если
/gLp(Q), to решение и принадлежит W2"P{Q) (для доказатель-
,ства надо умножить на —\и~\р~2и~У (См. Брезис [5].)ф
5.6. Различные замечания
Замечание 5.6. Вернемся к общей ситуации п. 5.3 и
предположим, что
,У, " E.58)
Kt — выпуклое замкнутое подмножество Vu
ч
V = (") V{, где Fj — банахово пространство, причем норма
е нем, равно как и в сопряженном, строго выпукла.

6. Метод штрафа и параболические неравенства 335
Пусть Рг — оператор штрафа, связанный с /Сг.
В качестве задачи со штрафом, связанной с вариационным
неравенством E.17), мы можем взять следующую задачу:
А (не) + S ¦? Pi (и.) = /, «I > 0 (е = {в,, ..., вД E.59)
Можно найти последовательность ие—>и в V слабо при
Замечание 5.7. Можно, кроме того, для решения за-
задачи E.59) искать приближения (в . Случае единственности)
методами разложения (или дробных шагов).
(Здесь речь идет о распространении на неравенства мето-
методов, очень полезных при численной аппроксимации уравнений
в частных производных; мы отсылаем к Яненко [1], Темаму [1]
и к приведенной в этих работах литературе; по поводу нера-
неравенств см. Лионе — Темам [11-)#
Замечание 5.8. Рассмотрим снова задачу, изученную
в примере 5.6 и в замечании 5.4. Тогда
если g «= Н~Чг (Г), то «еЯ1 (Й); если g е= Н'1' (Г),
то H6=tf2(Q), и если ge=L2(r), то aG«''!(Q).
Последний результат можно получить с помощью нелинейной
интерполяции (см. проблему 11.23 гл. 2 и работу Лионса [18]);
нелинейная интерполяция позволяет доказать и более общий
результат:
если g е= Я* (Г), то и е= Hs+Vt (Q), - % < s <_'/, •
6. МЕТОД ШТРАФА И ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
6.1. Общий метод
Теперь мы постараемся к «абстрактному» эволюционному
уравнению приспособить метод штрафа, введенный в предыду-
предыдущем параграфе для эллиптического случая ф
Пусть У — банахово пространство, а Ж— гильбертово про-
пространство (как в § 9 гл. 2):
с; J& cz у , . (о-!)
и предположим, что
норма в У и дуальная норма в У строго выпуклы. F.2)

396 Гл. 3. Метод регуляризации w метод штрафа
Рассмотрим операторы L, $$> и выпуклое множество Ж,
такие, что
оператор L, удовлетворяет условиям A.4) и, в част-
частности 1>0, L*>0; F.3)
Ж является замкнутым выпуклым подмножеством
в У и V» е Ж существует такая последователь-
последовательность V] е Ж П ^ (?). что (см. условие согласова-
согласования (9.18) гл. 2)
Vj -> V В F,
lim sup (Lo/, о/ — о)< 0;
оператор J^: Т-*У" является псевдомонотонным,
и существует такой элемент уо^Жf\D(L), что
Будет доказана следующая теорема:
Теорема 6.1 '). Предположим, что выполнены условия
F.1) — F.5). Тогда для всякого f из У' существует такое и^Ж,
что
(Lv,v-u) + (a(u),u-u)>{J,v-u) \/0^Ж(]0Щ. F.6)
Доказательство. 1) С помощью сдвига v —>v — vQ мы
сведем нашу задачу к аналогичной, но при этом
о0=0е=ЯГ. F.7)
2) Эволюционное уравнение со штрафом. Рассмотрим опе-
оператор штрафа р, связанный с Ж, иными словами, удовлетво-
удовлетворяющий E.8) (где К, V, V заменены на Ж, У, У')', такой
оператор существует согласно условию F.2) и теореме 5.1.
Рассмотрим далее уравнение со штрафом:
LMe + ^(«e) + -ip(Me) = f, e>0,
uz^D(L).
Оператор
будет псевдомонотонным и
) _> + оо при ||и|-*оо; . F.9)
¦) Эта теорема содержится в § 9 гл. 2, но здесь она доказывается со-
совершенно иным (конструктивным) методом.

6. Метод штрафа и параболические неравенства 397
действительно, v
(Р(о),"о) = (Р(о)-Р@), и-0)>0.
Тогда, согласно теореме 1.1, существует решение иг задачи
F.8) и, более того, иг можно выбрать таким образом, чтобы
ие были ограничены в Т при е->0. F.10)
Тогда st{ue) ограничены в У, а поскольку
К=2(У; D(LJ),
то мы выводим из F.8), что*
р(ие)->0 в D(Ly, e->0. F.11)
3) Предельный переход. В силу F.10) можно выделить такую
последовательность, обозначаемую .опять через ме, что
ие—>и в V слабо,
р(ие)->0 в Г'слабо1), F.12)
&(иг)-*% в F'слабо.
Из F.8) следует, что
0<(Р(«е). «е) = е(/ — ^(ие), ие) —e(L«e, ие)<
<e(f-^(«e), ме)<Се.
Следовательно,
Ф(и8). «е)-^0,
откуда
Р(ц) = 0, так что и*=Ж. F.13)
Взяв теперь v e Jjf f) D (L), получим
— ut), v — ие) =
(поскольку P(») = 0)
= 7(P@)-P(«s)» f-Me) + a(»-«e). O-«e)>0, F.14)
и, следовательно,
(st (ue), ме) < (si (ue), v) + (Lv-f,v- иг), (б. 15)
откуда в силу F.12)
lim sup (si- (иг), ие) < (x, v) + (Lv—f, v — u). F.16)
') P («e) сходятся в У слабо и, согласно F.11), предел равен 0,

398 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Однако в силу F.4) можно выбрать ы/S D(L)(]X так, что
tij-^u в F и lim sup (Lu}, ut — м)^0; полагая в F.16) о = «/,
получим
lim sup {si (ме), ме)<(х, м) = Иш(^(ме), и).
е-»0
Следовательно,
lim sup (^ («е), ие— м)<0. F.17)
Тогда ввиду псевдомоното'нности
lim inf И (ме), ие — о)Х^(м), м — v) VogF. F.18)
С другрй стороны, в силу F.14)
(si- (ие), ие - »)<(Lo - /, v - ме)-* (Lv - f, v - и), v е= Ж П D (L),
откуда, учитывая F.18), мы получим, что и удовлетворяет F.6)«
Замечание 6.1 (ср. с замечанием 5.2). Предположим,
что Ж является выпуклым замкнутым подмножеством Ж,
причем
TczW, Ж — банахово пространство, и норма
в нем, равно- как и в сопряженном W", строго F.19)
выпукла.
Тогда можно рассмотреть отвечающий Ж оператор штрафа
в пространстве Ж, и для уравнения F.8) мы получим такой же,
как и выше, результат: ие—>и в Т слабо. Можно также полу-
получить вариант, отмеченный в примечании 1 к замечанию 5.2ф
Замечание 6.2 (ср. с замечанием 5.3). Предположим,
что Ж является выпуклым замкнутым подмножеством Ж,
причем
ЖczT, Ж — рефлексивное банахово пространство,
и норма в нем, равно как и в сопряженном, строго F.20)
выпукла, Ж плотно в У, а вложение непрерывно.
Далее, добавим следующее условие:
Можно указать элемент v0 е Ж Г) D (L), для кото-
которого выполнено F.5) и . .
Нам еще понадобится дополнительное предположение:
D(L)fir и D(Г)ПЖ плотны в Ж, так что .суже-
.сужение оператора L на О(Ц{\Ж имеет замыкание (L) ¦, д.
ъ ЖХЖ'; если Ц-сужение L на О(Ь)(\Ж, то { >
предполагается, что ?^>

б. Метод штрафа и параболические неравенства 399
В предположениях F.21), F.22) для любого е>0 суще-
существует такой элемент иг из Ь(Ц), что
Loue + а (и.) +1 р (и.) = /. F.23)
Чтобы перейти к пределу, мы усилим предположение F.4):
У/Ж существует такая последовательность
/?(?)> что vf-*-v в Ж,
lim sup (Lovj, vj —
-/¦+00
Далее можно выделить подпоследовательность (опять обо-
обозначаемую через иЕ) таким образом, чтобы
иг-*и в У слабо.
Можно проверить, как при доказательстве теоремы 6.1, что
Однако D (Lo) f) Ж id D (L) f) Ж и L0=L на О(Ц(]Ж, откуда
выводится, что и является решением F.6). Следовательно,
если выполнены предположения F.21), F.22), F.24)
и если ие (соответственно и) является решением
F.23) (соответственно F.6)), то можно так выделить F.25)
подпоследовательность, обозначаемую опять через
иг, чтобы ме->и в У слабо ф
Замечание 6.3. Из F.17) следует, что
lim sup {si- (ue) — si- (и), иг — и)^. 0.
Следовательно,
если существует такая строго монотонная функция
А, —*ф(А,)>0, что (s4-(u)—s4-(v),и—о)^\|)(||м—of) F.26)
У/и, сеУ, то иЕ-*и в У (сильно)ф
6.2. Примеры и приложения к вопросам гладкости
Пример 6Л. (Аналог примера 5.1.) Возьмем
и оператор s4-, определенный равенством
п
9 '" ' "I?")+ *о(*.Оф.во. а,уе?-@).
г*
^atl{x, 0lil/>e(li+ ••• + in) почти всюду в Q, F.27)
й>0, V|/ sR; aQ(x, t) имеет произвольный знак.

400 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Пусть Ж определяется условием
X = {v\ve=T, »>0 почти всюду в Q}. F.28)
Далее возьмем
D (L) = { v | v е Г, -g- е Г' = L2 (о. Г; Я (О)), о @) = 0 }. F'29)
Мы можем применить замечание 6.1 (ср. с примером 5.1)
с W — L2(Q)', тогда задачей со штрафом будет
«,(*, 0) = 0, F>30)
ме==0 на S.
Далее мы получим, применяя теорему 6.1 и замечание 6.3,
что ие-+и в Т при 8->0, и является «слабым» решением
вариационного неравенства, отвечающего si-, Ж и Ьф
Можно получить один результат, касающийся гладкости и.
Сначала мы покажем, что
— и~ ограничены в L2 (Q). F.31)
Действительно, задача F.30) записывается в виде
(и'Е @, v) + а (<; иг @, v) -1./ «Го ^ =
а
= (f@, о) УсеЯ^Й), F.32)
где
п
а (<; и, v) = ^ J af/ [x,f)?--jg- их. F.33)
Подставляя o'=b(/)eL2@, 7"; #o(Q)), получим
г г
J «, о) Л + J а (<; ме (/), о @) Л -1 J u~v dxdt=*\ fv dx dt.
oo q q F.34)
Теперь, подставив в F.34) » = — «-, найдем (см. (9.107),
гл. 2)
г

6. Метод штрафа и параболические неравенства 401
С другой стороны,
т ' т
J a(t; и,, -и~)dt=ja(t; u~, u~)dt>0;
о о •
тогда после деления на е получим из F.34)г
откуда следует F.31).
В качестве следствия мы получим, что решение соответ-
соответствующего вариационного неравенства удовлетворяет условиям
F35)
и(х, 0) = 0, м = 0 на S.
Следствие. Если дополнительно предположить, что коэф-
коэффициенты ац достаточно гладкие, то можно вывести (следуя
Аграновичу — Вишику [1]; см. также Лионе — Мадженес [1],
гл. 4), что
Таким образом, мы другим методом получаем результат
теоремы 9.6 гл. 2ф
Пример 6.2. Рассмотрим ситуацию, аналогичную той,
которая имела место в примере 6.1, причем пусть
ао(х, 0^0 почти всюду в Q. F.37)
Рассматривается периодическая задача:
L = d/dt,
Тогда F.30) заменяется задачей
ue(x,0) = ue(x,T),x<=Q,
мв = 0 на S.
Краевые условия здесь такие же, как в примере .6.1

402 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Пример 6.3. Рассмотрим такие же si и L, как в при-
примере 6.1, но на этот раз
X = {v\v<^r,v>b почти всюду на 2}. F>40)
Ассоциированной задачей со штрафом будет следующая
задача (см. пример 5.3):
(и'е, v) + a(t; «,(<), v)-
г
= jf(t)vdx+jg(t)vdr, F.41)
Q Г
где a(t; и, v) определяется посредством F.33) и где
f<=L2(Q), gGL2(S). F.42)
Согласно теореме 6.1 и замечанию 6.3, если и является
решением соответствующего вариационного неравенства, то
ие->и в У9 F.43)
Предположим теперь, что / = 0. Подставляя в F.41) v = — и~
и рассуждая таким же образом, как в примере 6.1, мы полу-
получим, что
и, следовательно,
— и~ ограничены в L2(S). F.44)
В качестве следствия мы получим, что решение соответ-
соответствующего вариационного неравенства является решением задачи
4j- + ^« = Ob Q,
F.45)
и (х, 0) = 0.
Отсюда выводится, если коэффициенты оператора si- доста-
достаточно гладкие, что (согласно Лионсу — Мадженесу [1], гл. 4)
M<=L2@, T; H'''(Q)) F.46)
') К тому же самому утверждению можно прийти, если /^0 почти
всюду в Q.

6. Метод штрафа и параболические неравенства 403
И1)
dNsL2(Q)# F.47)
Пример 6.4. Пусть в условиях примера 6.1
Ж — {v \\gTadxv(x, OK1 почти всюду в Q}. F.48)
Ассоциированной задачей со штрафом будет (ср. пример 5.4)
'=' ¦ F.49)
ие(х, 0) = 0,
ие = 0 на S.
Действительно, можно применить замечание 6.2, взяв
Jf=L4@, Г; lFol4
о> = 0 в Q (Л = Дх),
до>0 на S, J^ +Jg->/ на S,
Согласно замечаниям 6.2, 6.3 в том случае, когда дополни-
дополнительно имеет место единственность,
ие-*и в Т при е-*0ф
Пример 6.5. Пусть до является решением «односторонней»
задачи (см. п. 9.5.5 гл. 2)
F-5°)
Ассоциированной задачей со штрафом будет
в Q,
Т = /.на2, F.51)
до8(х, 0) = 0, хеГ.
Имеем: е>8->о> в I2@, T; Н'1' (Г)) (иа S) при е->0, откуда
вытекает, что дое-*до в L2@, Г; #'(Q))#
').Производная по / порядка 3/4 определяется с помощью преобразо-
преобразования Фурье по t после продолжении функции на R<.
2) Можно брать / из I2 (о, Т; Я* (Г)).

404 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Здесь также можно получить один результат о гладкости.
Заметим, что задача F.51) эквивалентна задаче
J ^.vdT + a{w&, v)--jjw--vdT = jfvdr V» s Я1 (Q),
г г г
F.52)
где
л
а (и, v) = % l.*L*Ldx+ J uvdx.
следовательно,
г
J^t>rfS + ja(we, v)dt-^\w-vdL=ljvdL. F.53)
2 0 2 2
Подставляя в F.53) о —— де~, мы получим, как и в преды-
предыдущих примерах, что если feL2(J), то
— w~ ограничены в L2(S).
Таким образом, решение w задачи F.50) является решением
задачи
? ? F.54)
да (jc, 0) = 0, jc e Г.
Отсюда выведем (используя методы Лионса — Мадженеса [1],
гл. 4), что
a»e=L2@, T; #v'(Q))# F.55)
6.3. Ненулевые начальные данные
Общие указания. До сих пор мы всегда рассматривали
эволюционные вариационные неравенства в том случае, когда
L = d/dt, а начальные данные были нулевыми (ио = О) (см. за-
замечание 9.1 гл. 2). Теперь мы собираемся коротко изучить
некоторые случаи, в которых начальные данные не являются
нулевыми. Для этого мы используем метод штрафа. При изу-
изучении этой задачи возможны и другие методы:
(i) методы, «аналогичные» использованным в § 9, 10 гл. 2 ');
(а) методы аппроксимации, основанные на частичной дискре-
дискретизации; несколько указаний на эти методы имеется в п. 1.2
гл. 4#
') Полное изучение этой задачи читатель найдет в работе Брезиса [5],
результаты которой гораздо полнее тех, которые приведены ниже.

6. Метод штрафа и параболические неравенства 405
Пусть V — гильбертово ') пространство, содержащееся в гиль-
гильбертовом пространстве Я, причем V cz Я с: V, V плотно в Я
и Я отождествляется со своим сопряженным.
Рассмотрим семейство операторов A(t), fe[0, Т], таких, что
' A(t)e=&{V; V), функция t-*(A(t)u, о) измерима
и ограничена Vm, oeK, F.56)
(A(t)v, о)>а||о||2, а>0, V» е= V, We[0, T];
что касается множества К, то
К — выпуклое замкнутое множество в V. F.57)
Будет доказана
Теорема 6.2. Пусть выполнены условия F.56), F.57).
Пусть заданы / и и0, причем
T\ V), F.58)
иое=К. F.59)
Тогда существует и притом только одна функция и, обла-
обладающая следующими свойствами:
u<=L2@,T;V), ' F.60)
«6=C°([0, T]; Я), , F.61)
u(t)^K почти всюду, F.62)
u(t)-*u0 в Я при t^-0, F.63)
s
/*
-> _ i p /s\ ц /s\ p - I о @) и Р F 64)
V» е- L2 @, Г; V), V s L2 @, Г, F').
о (<) е К почти всюду; V? е [0, Т].
Замечание 6.4. Поскольку и является непрерывным ото- .
бражением [0, Г] в Я (а не в V), то было бы естественным
брать «о из Н, а не из V. Поскольку, с другой стороны, имеется
условие F.62), «естественным» предположением является то,
что
«о принадлежит замыканию К в Н.
По поводу обсуждения этого случая мы отсылаем к Бре-
зису [5]#
') Изложенный ниже метод распространяется на тот случай, когда
V — рефлексивное банахово пространство, снабженное вместе со своим
сопряженным строго выпуклой нормой. •

406 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Замечание 6.5. Вернемся к (9.3) (см. гл. 2). Тогда мы
найдем, что
(о' (о, v (о - и @) + (А (о и (о, о @ - «@) - (/ @. о @ - «@) >
. Хо'Ю-и'Ю, о@-и@),
и интегрируя от 0 до s, мы получим F.64H
Замечание 6.6. Даже применительно к случаю ио = О
в теореме 6.2 содержится дополнительное уточнение F.61) (по
сравнению с уже известными нам результатами)«
Доказательство. 1) Пусть р: V ->V — оператор штрафа
(в смысле § 5), связанный с К. Рассмотрим уравнение со штрафом:
и* + /4@«в + 7Р(М0) Л
ив@) = ио.
Задача имеет единственное решение из L2@, T; V), причем
u'e<=L?(Q, T; V), согласно (например) § 1 гл. 2.
Из F.65) следует, что ')
t t
l«WP+ l(A(a\ue, и.)Л + т J(P(«e(a))t «e(a)jrfa =
a + -|-i«of. F.66)
о
Можно всегда считать, сдвигая соответствующее множество,
что 0е/С и при этом р@) = 0. Тогда (Р(о), о)^0, и равенство
F.66) вместе с F.56) показывает, что
и, ограничены в L2@, Г; 7)П^°°@, Г; Я), F.67)
t
J(P(u,), «8)rfa<ce. -F.68)
- о
Следовательно, можно выделить такую подпоследовательность,
опять обозначаемую через и^, что
ые->ы в L2@, Г, F) слабо,
ые->ы в Г°@, Г; Я) *-слабо,
Э(и(f)) = 0 почти всюду, следовательно, u(t)^K почти всюду.
2) Теперь мы можем показать, что для почти всех s выпол-
выполняется неравенство F.64). Возьмем о таким же, как в F.64).
') Через | [ обозначается норна в Н.

б. Метод штрафа и параболические неравенства 407
Тогда p(o(f)) = 0, и из F.65) следует, что
s
F.69)
Пусть Ч1" — множество функций ф<=С°([0, Т]), ф(*)^0
V*e=[0, Т]. Из F.69) выводится, что Vijief
г s
J фE) ds J [(»' + Л @ «е - /. «О ~ (О' - f. «еI <# >
о о
> J ¦(«) ds Г J (Л @ «,, м8)Л + у| о (в) - ие (в) р] -
о Lo J
. F.70)
Однако
7"
lim inf J
о Lo
т
r- s
J
Lo
о
и, таким образом, из F.70) вытекает неравенство
Т s
j${s)ds j(v' + A(t)u-f, v~u)
о о
т
J t(«)[yl o(s) -«(s)l2-j| o@) -
которое, будучи справедливым Уфе4?, показывает, что функ-
функция и удовлетворяет неравенству F.64) для почти всех se[0, 7"].
3) Теперь мы покажем, что включение F.61) вытекает из
остальных свойств. Действительно, пусть ич является решением
задачи
+ и = « и(О) = И Л>0. F.71)
Тогда «n(/)e/f, и в F.64) можно подставить v = uv Имеем

408 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
откуда
S
| F.72)
а поскольку правая часть F.72) стремится к нулю равномерно
по s при т)-*0, отсюда вытекает, что «,,-*¦« в Я равномерно
по se[0, T]; таким образом мы приходим к F.61).
4) Если мы подставим в F.64) и, удовлетворяющее условию
о@) = «0. то
s
\v(s) — u(s)p<2 $(v' + A(t)u—f, v-u)dt-+O при s-*0,
о
откуда следует F.63).
5) Единственность. Доказательство единственности является
простым вариантом доказательства теоремы 9.4 гл. 2. Если щ
и «2 суть два решения, то рассмотрим w = (и, + «г)/2» далее
определим шч как решение задачи
X\w'i\ + Шт, = W, Ш„ @) == «0
и в каждое из уравнений подставим v = wv После сложения
получим
2 | (о»ч. «"и —«") dt + J [(Ли,, ш„ — «,) + (Л«2, ш„ — и2)] Л —
о о
S
-2 J (f, ю„- w)dt>±\ »4(s) - «,(s) p + 1| »4(s) - «2(s
о
откуда
s
J [(Auv шч — «i) -f- (Аи2, шч — и2)] dt^2 Г (f, шч — w
о о
при tj-*¦ О получим
S
/(Л@(«,-«г), «1-«2)Л<0,
о
откуда «

6. Метод штрафа и параболические неравенства 409
6.4. Односторонние задачи (или неравенства) для операторов
Навье — Стокса (I)
Мы будем пользоваться обозначениями § 6 гл. 1.
Предположим, что Q — ограниченная область в R2 ').
Пространства V и Н определяются посредством F.11), F.7),
гл. 1, а формы а(и, v) и b{u, v, ay).посредством F.14), F.15),
гл. 1;
Далее мы рассмотрим множество К, удовлетворяющее сле-
следующему (довольно ограничительному) условию:
/( — замкнутое выпуклое подмножество в V, со- , „.
держащее начало и такое, что а (о, v)-\-b (v, <р, о) ^ 0 F.73)
Пример множества К., удовлетворяющего условию F.73).
Имеем
J | grad w?dx>c j\w?dx Уих=Щ (Q). " F.74)
й а .
Пусть заданы числа а и Ь, причем
0<6<с-а, F.75)
и пусть К — выпуклое замкнутое множество в V, содержащееся
в множестве К (которое само является замкнутым выпуклым
подмножеством V), определяемом условиями
1'
- <6-76>
Тогда выполняется условие F.73), поскольку ввиду F.74) ^
а(о,о) + А(о,«р, о)>(с-а)(| о, P + losP)-2*1 о, Ц о,|,
откуда в силу F.75) следует иаш результат ф
Замечание 6.7. Из предположения F.73) вытекает, что К.
ограничено в V. Действительно, если бы последнее не имело
места, то нашлись бы такие ф, ф е К,, что ф -|- Лф е К
и при этом
/) Ф,
') По поводу произвольного п см. следующее ниже замечание 6.8.
*) I о/1 — норма v( в L* (С).

410 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
откуда Ь (о, ip, »)^0 V»; но последнее невозможно (ввиду
условия divip —0)#
Теперь будет доказана
Т е о р е м а 6.3. Предположим, что выполнено условие F.73).
Пусть f принадлежит L2@, T; V). Тогда существует такая
функция и, что
«eL2@, T; V)fU"@, T;H), F.77)
u(t)^K почти всюду, F.78)
J [(чЛ Ф — «) + а(и> Ф — «) + b (и, «, ф — «
т
> jtf.cp-w)^1) F.79)
о
Уф <= L2 @, Т; V), <р' s L2 @, Г; V).
ф@) = 0, f(f)s/( почти всюду.
Доказательство. 1) Возьмем такой оператор штрафа
Р: V->V, связанный с К, чтобы р L2@, Г; F)->L2@, Г; F')
было монотонным и семинепрерывным отображением. Согласно
замечанию 2*3 (надо в формуле B.31) положить я = 2; тогда
мы увидим, что случай р = 2, отвечающий рассматриваемой
нами ситуации, является допустимым), существует такая функ-
функция «е2), ЧТО
(Ut, «e, v) + -J- @ (ие), о) = (f, о)
BteL2@,r;7), «ee= L2@, Г; F'). F-80)
МО)=о.
Подставляя о = «е в F.80) (что законно), мы получим:
ие ограничены в L2@, T; V)[)L°°@, Т; Н) при е-*0. F.81)
Более того, из F.80) следует, что
F.82)
') Из соображений симметрии мы добавлием в левую часть равный нулю
т
член — J * (и, и, и) dU
о
*) Более того, эта функция единственна; для доказательства единствен'
Ности можно приспособить п. 6.2 гл. 1.

б. Метод штрафа и параболические неравенства 411
где А и В определяются равенствами
(Аи, v)=*a(и, о),
{В (и), v) = b(u,u,v) Vu,v<=V.
Из F.81) и F.82) следует, что, например,
р(ые)-*0 в 0'(]О, Т[; V). F.83)
2) Предельный переход при е->0. Согласно F.81), р(ме)
ограничены в L2@, T; V) и, следовательно, можно выделить
такую последовательность (обозначаемую опять через ие), что
иг-*и в L?@, T; V) слабо и в L°°@, T; Н) *-слабо, F.84)
р(ые)->0 в Х2@, Т; V) слабо (надо воспользоваться
F.83), чтобы показать, что слабый предел равен 0). F.85)
С другой стороны, из F.80) следует, что
т т т
1"|(Р(«е). ut)dt + J a(ut, ue)dt + ^\Ult(T)? = j(f, ut)dt,
0 0 0
0 0
откуда
т
0
Благодаря монотонности р, мы получим, что р(и) = 0, и,
следовательно, и удовлетворяет включениям F.77), F.78).
Возьмем функцию ф, удовлетворяющую F.79), и рассмот-
рассмотрим интеграл
г
*е= / 1(Ф'. Ф - «е) + а («е. Ф — «е) +
, 0
+ Ь (Ые, «е, ф — Ые) — (f, ф — Ue)] (It.
В силу F.80) имеем (поскольку Р(<р) = О)
т т
о о
F.86)
Однако
Ь(иг, ые, ые) = 0,
следовательно,
г
хг= / 1(ф'. ф - ие) + а (ые, ф -г ые) - Ъ (ые, ф, «е) - (f, ф - «8)| <#,

412 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
и из F.86) вытекает, что
г
J [(Ф'. Ф - «е) + а (и,, Ф) - (f. ф - «еI dt > У„ F.87)
о
где
7"
Г.-./И".. «.) + *(«•. Ф. «•)]*•
о
Теперь мы используем условие F.73) для v=;u — ые. Тогда
получим
г
^е = J [О («8 — И, «е — U) + 6 (Ые — Ы, ф, «в — «)] dt +
О
т
о
+ j[a(и, ие—и) + а(и,, и) + 6(и, ф, в,'— и) + Ь(и„ ф, и)]Л>
[а (и, ие — и) + а (ые, ы) + Ь (и, ф, ые — и) + Ь (ые, ф, «)] dt.
о
Отсюда следует, что
т
liminf YB^i j [а(и, и) + Ь(и, ф, и)]Л.
о
Это неравенство вместе с F.87) показывает, что и удовле-
удовлетворяет F.79) ')#
Замечание 6.8. Можно решить задачу F.80) в прост-
пространстве произвольной размерности. Дал.ее можно перейти
к пределу для таких ф, которые, например, удовлетворяют
включениям
6.5. Односторонние задачи (или неравенства) для операторов
Навье — Стокса (II)
Обычно при условии F.73) можно легко получить теорему
существования и единственности для произвольного выпуклого К,
но при дополнительных предположениях на правую часть /;
с другой стороны, при этом можно брать ненулевые началь-
начальные данные.
•) Из приведенного выше доказательства можно вывести (X. Брезис),
что и «= С» ([0, Т]; Я) и « @) = 0.

б. Метод штрафа и параболические неравенства 413
Теорема 6.4. Предположим, что размерность пространства
равна 2. Пусть К — замкнутое выпуклое множество в V, содер-
содержащее начало. Пусть f, и0 удовлетворяют следующим условиям:
f, f'e=L2@, Г; Я), F.88)
«о е К, F.89)
существует такая функция и, е Я, что
(f @), о) - а (и0, и) - Ь (и„, и0. и) = (и„ о) Vo е V. F.90)
В этих условиях существует и притом только одна такая
функция и, что
и s L2@, Т; V), и' е L2@, Г; К)П ^°°@, 71;. Я), F.91)
и @ € /С V* е [0, Г], F.92)
>(f@, о —и@) Vue/C и для почти всех t, F.93)
и @) = «о- F-94)
Доказательство существования. 1) Мы будем ис-
исходить из ые — решения задачи F.80) с начальным условием
«е@) = И0-
Продифференцируем формально F.80) по t; получим
(u'l, V) + a (и'г, V) + b (Ие, Ив, V) + Ь (ив, И^, о) +
+ 7 (?(«.)'• °)«=<Р. °). F-95)
причем
ue@) = u0) «i@) = «. ')• F-96)
С другой стороны, можно непосредственно решить задачу F.95),
F.96). В этой связи отметим, что
если <р «= L2 @, Т; V), <tf <=L2 @, Т; V), то
/(Р(фГ,
F>97)
Действительно,
(р (Ф (* + А)) - р (Ф @), Ф (/ + А) - ф @) > 0;
тогда (р (ф (/'))', ф' (f)) > 0 почти всюду, откуда следует F.97J).
') Надо положить ( = 0 в F.80) и, заметив, что Р(ао)=0, воспользо-
воспользоваться F.90).
2) Мы считаем, что оператор р определяется равенством р» = 1{о — -Р^-о);
этот оператор удовлетворяет условию Липшица, когда V — гильбертово
пространство.

414 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Теперь мы получим существование ие — решения задачи
F.95), удовлетворяющего условиям')
иг г L2 (О, Т; V), ui € L2 (О, Т; V) П ?~ (О, Т; Н).
Наконец, интегрируя F.95) от 0 до t, мы получим, что иг
удовлетворяет F.80); тем самым дифференцирование по t
оправдано.
2) Априорные оценки. Прежде всего заметам, что опять
имеет место F.81). Далее, полагая v = u'e в F.95) (что законно),
мы выведем (| | —норма в Я), что
\4W? + a («4 @. ui (/)) + b К (t), иг (t), ui @) +
+ Z<fi(u(t))
откуда, учитывая F.97), найдем
4-1 ui (t) P + fa («e (a), ui (a)) da < -^ \ и
о '
t t
+ J I b (ui, Щ, ui) |da + J I (f (a), u? (a)) |da. F.98)
о о
Однако, обозначая через || ||L< (соответственно || ||) норму
в (Z,4(Q)J (соответственно в V), найдем
|6 (ui, Ue, Ui)\ = \b (ui, Ui, Ue) | < С, || Щ \\L.\\ ui \\Ll\\ ui
(в силу неравенства F.35) гл. 1)
и из F.98) следует, что
, t
\ul(t)\*+ l\\ui(o)\?do^
о
+ JIV (a) P da + J | ui (or) p da. F.99)
о о
i
') Надо воспользоваться методамв компактности, изученными в гл. 1.

6. Метод штрафа и параболические неравенства 415
Отсюда, в частности, выводим, что
I и?@ Р< (| и, Р+ J IГ (а) ?do) ехр(/ + 2с3 J|| в, \[<йо). F.100)
\ о / V о /
Однако, согласно неравенству F.35) гл. 1 и F.81), ие огра-
ограничены в L*@, T; (L*(Q)f), и нз оценки F.100) следует, что
ие ограничены в L°° @, Т; Н). F.101)
Возвращаясь опять к F.99), мы получим, что
ui ограничены в L2@, T; V). F.102)
3) Мы можем считать, выделяя подпоследовательность, обо-
обозначаемую опять через ые, что
иг-*и в L2@, T;V) слабо,
ul-щ' в L2@, Г; У) слабо ив L~@, T; Н) *-слабо.
Как и при доказательстве теоремы 6.3, получим Р(и) = 0,
следовательно, и удовлетворяет F.91), F.92), F.94).
Покажем, что имеет место F.93). Из F.80) следует, что
где
XI =» U@. о - и. @) + с.(и. @. v) +
; ¦ + 6 (и. W, «е @. о) - (/, о - «в @).
Если через F обозначено множество функций феС°([0, Т]),
^O, то имеем
т т
ад Л > J i|w (в„ и.) Л. F.103)
о
Однако иг-*и в L2@, Г; Я) сильно (в силу теоремы 5.1
гл. 1), так что
г г
J(aJ, и.) ¦*-*/(«',«)¦ Л.
о о
Отсюда также следует, что
т т
J 6 (м8, ме, о)фЛ-> J Ь (и, и, v)фШ,

416 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
I T
и из F.103) вытекает (поскольку liminf J т|>а(ug, ue)dt>
Л о
>Ji|>a(u, u)dt\, что
о ' / ¦ .
г
J [(и', v - и) + а (и, v) + b (и, и, v) ~(f,v- и)
о
г
u, и)Л V4>e?,
о
откуда следует F.93)«
Доказательство единственности. Пусть ы и ы, суть
два решения нашей задачи. Подставляя v = ut (соответственно
v — u) в уравнение для и (соответственно для и,), складывая
эти уравнения и полагая w==u — u., получим
— (wf, w) — a (w, w) — b (и, u,w) + b (ы„ ы„ w) > 0,
откуда
(до', w) + а (до, a;) ^ — 6 (a;, u,, a;).
Из этого неравенства выводится, как при доказательстве
теоремы 6.2 п. 6.2 гл. 1, что а> = 0щ
Пример 6.6. Рассмотрим функцию тока ф, отвечающую и
(как в п. 6.9 гл. 1), и возьмем
={t)|o1=-g,o2 = -|j.ee Hl(Q), в>0 почти всюду в q}.
F.104)
Далее, в обозначениях п. 6.9 гл. 1 получим')
(-Af + vA8*+ *(¦) + *,е)>о ve>o . F.Ю5)
почти всюду в Q, причем имеет место «=0», если в = ф,
Ч> € L2 @, Т; Hi (Q)), ф' s L2 (о, Т; Hi (Q)) П L°° (О, Г; ЯЙ (Q)).
F.106)
') Здесь используется тот факт, что К является выпуклым конусом
с вершиной в 0. Кроме того, теорема 6.4, очевидно, остается справедливой,
когда а заменяется на va, где v>G.

7. Метод штрафа и гиперболические неравенства . А\1
Таким образом, существует и притом только одна функ-
функция ф, удовлетворяющая F.106) и такая, что
¦ф^О почти всюду в Q,
— Да|/+ vA2o|3-f Я (Ф) — g>0 почти всюду в Q, F.107)
ф (— Л-ф' + vA2o|) + R (Ф) — g) =* 0 почти всюду в Q,
Ч>(*.0) = Ч>0(*), xe=Q# F.108)
Замечание 6.9. Вот еще один вариант рассмотренных
выше примеров.
Рассмотрим опять ограниченную открытую область Q в R2
и возьмем
У = (Н*0(а)Т, H = (L2{QJf, F.109)
K = {v\v^V, divt»>0 почти всюду в Q}. F.ПО)
Опять доложим
dui doi
и рассмотрим формы
Ь (и, v, w)—b (и, v, w) + с (и, v, w),
2 F.111)
с (и, о, а») = ~ 2 J bir) viwidx-
i /=ia v "
Заметим, что В (и, v, t») = 0 Vw e V (и что Ь(и, v,w) =
= й (ы, v, до), если div ы = 0).
Методом, сходным с использованным, при доказательстве
теоремы 6.4, можно далее показать, что если f e L? @, Т; Я),
f'eL2@, Т; Н), и0щК и если выполнено условие типа F.90)
с заменой Ь на 5, то существует и притом только одна функ~
ция и, удовлетворяющая F.91), F.92), F.93) (с Ь вместо Ь) и
F.94) #
7. МЕТОД ШТРАФА И ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ
ЭВОЛЮЦИОННЫЕ ВАРИАЦИОННЫЕ НЕРАВЕНСТВА
7.1. Линейные операторы
Сейчас мы собираемся рассмотреть задачу, аналогичную
изученной в п. 3.3 (но несколько более общую).
Пусть заданы пространства V, Н, удовлетворяющие C.1),
н семейство операторов A(t), f e[0, T\, удовлетворяющих
14 Зак. 46

418 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
условиям
A*(t) = A(t) V/, A{t)€zZ{V;V), G.1)
t-*(A(f)u, v) принадлежит С2([О, Г]) Vu, vsV и
(A'(t)v, o)<0 Voel"), G.2)
(i4@o,o)>o||o|p, a>0, Vv&V, V/e[0, Г].
Пусть, далее, задано множество К, причем
К является выпуклым замкнутым подмно-
подмножеством V, содержащим начало. G.3)
Имеет место
Теорема 7.1. Предположим, что выполнены условия G.1),
G.2), G.3). Пусть заданы функции f, u0, щ, причем
f е L2 (О, Т; Н), f e L2 (О, Т; Н), G.4)
uoe=V, Л^аобЯ2), G.5)
«,е/С. G.6)
Тогда существует и притом только одна такая функция и, что
u^LT (О, Т\ V), и' е U° (О, Г$ К), и" е LT (О, Г; Я), G.7)
u'(t)<sK почти всюду, G.8)
т -
j(u"(t) + A(t)u(t)-f{t)t v(t)-u'(t))dt>Q
Vo € L2 @, Г; К), v(t)<=K почти всюду,
и@)-ис ы/@) = «1. G.10)
Замечание 7.1. Если пользоваться обозначениями §3,
то A = d/dt; мы здесь рассматриваем случай, когда А зависит
от t, а начальные условия и0, щ не обязательно являются ну-
нулевыми; условия на / аналогичны соответствующим условиям
в теореме 3.1 * ,
Доказательство существования. 1) Уравнение
со штрафом.
Мы вводим оператор штрафа р, связанный с К и действую-
действующий в V, и рассматриваем уравнение со штрафом
jV№))=f(t),
И| GЛ1)
¦) От этого предположения можно избавиться с помощью замены пере*
менных, как в случае уравнений (Байокки [2], Льёто (не опубликовано));
см. Лионе — Мадженес [2], гл. 9, п. 2.3.1.
*) На самом деле достаточно предположить (Брезис [5]), что суще-
существует такое феН, что (<р — А @)ий, v — «j)<0 Voe К.

7. Метод штрафа и гиперболические неравенства 419
Формально из G.11) следует, что
Л(О)ио—ИавЯ G.12)
(поскольку р(Ы]) = 0 при щ е/С). Далее, рассмотрим уравнение,
получающееся из G.11) после формального дифференцирова-
дифференцирования по t:
«о, «4@)-и,, «?@) = и2. GЛЗ)
Замечая, что (ср. 6.97))
мы видим, что задача G.13) имеет такое решение (един-
(единственное), что
ые, ui е= L°° (О, Т; V), u'l e L°° (О, Т; Н).
2) Априорные оценки. Умножив G.11) на ы», получим
j(A'(t)u
откуда (поскольку (A'{t)v, i>)<0)
t
{[ | u'e (t) f + (A (t) ue (t), ue (t))] + i- J (P (ui {a)), ui (a)) da <
о
t
< j 11«. I2 + (^ @) «o. "o)l + J (/ (a), «^ (a)) da. G.14)
о
Отсюда, устремляя е->•(), мы выведем, что
ue (соответственно ui) ограничены
в Г°@, Г; у) (соответственно в L°°@, T\ H)), G.15)
$ G.16)
о
14»

420 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Умножим теперь скалярно обе части уравнения G.13) на u'l (t).
Тогда получим
t
j[I и?@ I2 + (А@ui(t), ui(*))] - у J (Л'(a)ui, ui)da +
. о
t t
• + J (А' (а).в„ иЦа)) da +1 J (p («J)', и?) Ar =
о о
- у [ I «212 + (Л @)".,".)]+ J if. «2) At.
о
Учитывая, что (A'(t)о, о)^0и выполнено неравенство F.97),
мы получим
¦1 [ | ulit) |2 + (А @ ui @, ui (t))] + (A' (t) и, (О, «J @) -
— | {A' (a) ui, Ые) da — f (A" (a) ue, и'г) da <
о о
t
< у [ I «212 + (Л @) и„ и,)] + (Л' @) «о, и,) + J (/, и?) Ат,
о
откуда »
у 11 «е (О Р + ОII "* (О И < С, + С21| И._@ НУ u? (О II +
+ с3 J || и. (a) IIII «J(a)||Ar+ J | f(a) || и?(a) |rfa,
о о
а так как уже установлено G.15), то мы получим, что при е->0
ufe (соответственно и'?) ограничены
в L°°(O,,r; V) (соответственно в Vю@, Т; Я)). G.17)
3) Предельный переход. В силу G.15), G.17) можно выде-
выделить такую подпоследовательность, обозначаемую опять через ы8,
что
ие-*и, и'е-+и' в L°°@, T;V) *-слабо,
u'l—*и" в L°°@, Г; Н) *-слабо,
так что функция и удовлетворяет G.7), G.10).
Согласно G.11),
е) = б [f - u'l - Л @ и.] -> 0 в D @, Г; V), G.19)

7. Метод штрафа и гиперболические неравенства 421
и ввиду G.16) и монотонности р
Р(«') = 0,
откуда следует G.8).
Пусть теперь v удовлетворяет условиям G.9); следовательно,
Р(у(/)) = О почти всюду, и из G.11) вытекает, что
(и? (О + A (t) ие @ - f @, с (*) - ui @) =
= 1 (р (U @) - Р (Ив @), О @ - "е @) > 0 ПОЧТИ ВСЮДУ,
и потому
о
Далее,
т .
J (И?
Ив,
о о
> j [ I «е (Г) Р + {А (Т) ие (Т), ие (Т))] -1 [ | u, F + (Л @) «о, «о)] -
г
—i-J (Л'(9 «..«•) Л. G.20)
о
Однако нижний предел правой части
о
и неравенство G.20) в пределе приводит к неравенству
т
{u" + A(t)u,v)dt-]q,v-u')dt>
о
о
>
т т
- 1 J (А' @ и, и) Л = J (и" + Л @ и, и') Л,
о о
так что и удовлетворяет G.9) *
Доказательство единственности. Пусть щ и ы3
суть два возможных решения; возьмем
i> = «2 при /е[0, s], w = 0 при /e]s, Г],
v = u\ при fe[0, s], t» = Q при fe.Js, 71]

422 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
и подставим (что законно) в неравенство для их (соответственно
для ы2); тогда, полагая w = ux — u2, получим
s
- .J [(да" @, да' @) + {А @ ^ @, да' @I Л > 0,
о
т. е.
S
4" 11 *>' (s) I2 + (A (s) да (s), да (s))] - у J (Л' @ да, да) Л < о.
о
Так как это неравенство выполнено Vse[0, T], то да=0ф
Замечание 7.2. Доказательство существования с помощью
G.11) разъясняет (в некоторой мере) предположения, сделан-
сделанные в § 3; на и мы налагаем два типа ограничений:
и (t) e Ко (Ко выпукло и замкнуто в V)
и и<=К (т. е. G.8)). G.21)
В этом случае, если Ро — оператор штрафа, связанный с Kq>
то G.11) следовало бы заменить уравнением
и? + Л@и. + -^Ми,@У+7-Р(и*@)=/@. е = {80>81}, 8|>0.
G.22)
Однако получить априорные оценки для задачи G.22) гораздо
труднее, чем для G.11) (и, вообще говоря, этих оценок нет).
Этим «объясняются» условия § 3, которые сводятся к предпо-
предположению, что Ко «велико», т. е. р0 «мало» (в частности, Ко = У
отвечает случаю Ро О)
Замечание 7.3. Можно сделать два замечания, анало-
аналогичные замечаниям 6.1 и 6.2.
1) Если К является выпуклым замкнутым подмножеством ре-
рефлексивного банахова пространства W '), причем V с W с Н
(допускается, что W =* Н), то в G.11) можно ввести связанный
с К оператор штрафа р, являющийся оператором из f в W.
2) Если К является выпуклым замкнутым подмножеством
рефлексивного банахова пространства W, причем WczK.to
в G.11) можно ввести связанный с К оператор штрафа р, ко-
который действует в W н который предполагается коэрцитивным
в W9
') Норма в котором, равно как н в сопряженном, строго выпукла.

7. Метод штрафа и гиперболические неравенства 428
7.2. Примеры
Пример 7.1 (ср. с примером 3.3). Рассмотрим оператор A{f):
Возьмем
= ап V/, /, а//( а0 «= С2 (Q),
а„ (*, О М,> «(I? + • • • + Ц), « > 0, G.23)
V{x,0sQ, VgisR;
, О>ао>О в Q.
У=-ЯА(О),
/<С = {о|о>0 почти всюду в Q}. •¦
Теорема 7.1 дает нам существование и единственность такой
функции и, что >
-fif^O в Q,
^L + A(t)u-f>0 в Q,
и(х,0) = ио, -?(х,0) = ии и*=0 на 2;
при этом предполагается, что
и0 «= Я2 (Q) П Н\ (Q), ы, е Я^ (Q), ы, > 0 почти всюду в Q.
Уравнение со штрафом, из которого определяется приближе-
приближение для ы, имеет вид')
¦?g- + A(t)ut—l-(d?.Y = f0 G.25)
Замечание 7.4. Аналогичные примеры можно построить,
беря в качестве A(t) эллиптический оператор (по х) произволь-
произвольного порядка; другими словами, гиперболичность здесь не
играет решающей роли»
1) Здесь мы пользуемся замечанием 7.3, 1).

424 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Пример 7.2. Оператор A (t) определяется посредством G.23),
и мы берем V — H^Q),
К = {v Iv е Н1 (О), о ^ О почти всюду на Г}.
Тогда теорема 7.1 позволяет установить существование и
единственность решения и, как в теореме 3.1, только —Л надо
заменить на Ait) и и{х, О) = ио(х),
-зг(*,о) = «,(*), *еа.
Задача со штрафом, из которой определяется приближение
для и, имеет вид
«, v) + a (t; ые (t), с) ~ 7 J ("I?")" ° dV = <f W« °) Vo s Я' (Q)»
G.26)
где
a(t; и, v)= J] J ^/(л:, *)-$?--—- dx+ J ao
г, /=i в ^ ' q
г, /=i в
Пример 7.3. Оператор Л(^) берется из G.23), F = #o(Q) и
/С= {» I v е Яо (Q), | grad о (а:) |< 1 почти всюду в Q,}.
Соответствующая задача со штрафом имеет вид1)
Пример 7.4. Задачей со штрафом, отвечающей примеру 3.5,
будет задача
ДлФе = 0 в Q,
Замечание 7.5. С помощью штрафов можно также при-
приближать периодические задачи для неравенств типа рассмотрен-
рассмотренных в примере 3.2 щ
') Мы здесь пользуемся замечанием 7.3, 2).

7. Метод штрафа иг гиперболические неравенства 425
7.3. Примеры неравенств для нелинейных
гиперболических операторов
Мы рассмотрим одностороннюю задачу, связанную с опера-
оператором, изученным в § 1 гл. 1:
и -> и" — Лы +1 и f и.
Будет доказана
Теорема 7.2. Пусть Q — ограниченная область в R", и
пусть задано число р > 0, такое, что
2
P^s rt — о (Р конечно и произвольно при п = 2). G.29)
Пусть
К — выпуклое замкнутое подмножество в Но (Q), 0 е /С- G.30)
Пусть заданы функции f, u0, щ, причем
f, f'e=L2(Q), G.31)
u0etfJ(Q)ntf2(Q), G.32)
щ^К. G.33)
Тогда существует и притом только одна такая функция и, что
иеГ@,Г; Яо(Q)), и s L00(О, Г; Яо(Q)), u" s L00 (о, T; L2(Q)),
G.34)
о G-35).
Vo s L2 @, T; Ho (Q)), v(t)e=K почти всюду,
ы@) = ы0, u'(O) = u,. G.36)
Доказательство существования. 1) Пусть Р — опе-
оператор штрафа, связанный с К и действующий из V = Но (Q)
в У'(=Н~1{п)). Рассмотрим задачу со штрафом
иг иг \иг\ иг е (ые) — ' ^ ^
и @) = и0, и' @) = и .
Точно так же, как в теореме 1.3 § 1 гл. 1, можно доказать
существование функции ие, ив е L°° @, Г; V), ие е L00 @, Г; V),
и" е Z.°°@, Г; Z.2 (Q)), являющейся решением задачи G.37); можно

426 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
продифференцировать G.37) по t:
)|еГ< + (РК))/
G.38)
К @) = f (°) + А«о -1 «оГ «о=и2 е &(Q) (так как Р(и,)=О).
Умножив G.37) на ы?, получим
ые (соответственно и'г) при в~»-0 ограннчены
в Z-°°@, Т; V) (соответственно в L°°(o, T\ L2 (Q))), G.39)
т
J>K), «0<#<Ce. G.40)
о
Умножив G.38) на ы?', получим (пользуясь F.97))')
о а
/ J
о а
откуда с помощью таких же оценок, как в § 1 гл. 1 (см. A.71),
A.72)), можно вывести, что
ые(соответственно ife) ограннчены в 1/*@, T\V)
2
(соответственно в L™@, Г; L (Q))) при е-»-0.
2) Мы можем считать, выделяя (в случае необходимости)
подпоследовательность, которая опять обозначается через ы'е, что
ие-*• и, иЦ->и' в L00 @, Т; V) *чУ1або,
»-слабо;
так как P(uQ-»-O, скажем, в 2D'(Q) (в силу G.37)), то P(mQ-»-0
в 1"@, Г; У) слабо, и в силу G.40), как и в п. 7.1, получаем
Р(и/(<)) = 0 почти всюду, следовательно, и'(<)е/С почти всюду.
Таким образом, функция и удовлетворяет G.34), G*36).
Пусть далее v такое же, как в G.35); поскольку р (о (*)) = 0
почти всюду, из G^7) следует, что
(и* - Аи8 -f | ы8 |р ие - /, v (f) ~ u't (t)) > 0 почти всюду,
') J { -йорм. ¦ 1.ЦЩ, lfi*= f (g«d

7. Метод штрафа и гиперболические неравенства ¦ - 427
откуда
о
г.
= р + 2. G.43)
Но «в(Т)-+и{Т) в Hl(Q) и в LP(Q) слабо, ие(Т)->и'(Т)
L2(Q) слабо (в частности) и, таким образом, нижний предел
равой части G.43) .
т
Отсюда следует G.35), если в правой части G.43) перейти
к пределу «по компактности», как в случае уравнений (гл. 1, § 1)«
Доказательство единственности. Пусть и,.и и2
суть два возможных решения. Соответственно подставляя
в уравнение для щ (и2) ¦
v = «2 при fe{0, $], о = 0 прн fe]s, Г], -
v = и[ прн t е [0, s], v — 0 прн ^ е ] s, I]
я полагая w=*ux— u2, получим
* S S
- \{w", w')dt-I a(w, w')dt- J (|и, fux -\u2 fu2, w')dt>0
о о о ..
[где a(<p, ^>j =» f grad ф • grad$dx\, откуда
V a ./

428 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
т. е. мы пришли к той же самой оценке, что и в случае уравне-
уравнений, а тогда наш результат получается таким же образом, как
в теореме 1.3 (единственность) гл. 1 ф
Замечание 7.6. С помощью методов того же типа можно
решать неравенства, связанные с операторами (см. гл. 1, § 3,
гл. 2, § 6)
Замечание 7.7. Можно теми же методами рассматривать
неравенства, связанные с оператором
а д2и
ы->Л0-^г~ "
где Ао и Л] — два линейных коэрцитивных оператора«
Замечание 7.8. Случай периодических по t решений
гиперболических неравенств будет изучен в гл. 4«
Замечание 7.9. Можно заменить G.9) неравенством
(ы" @ + A (t) и {t) — f (t), v-u' (t)) > 0 Vos/(, для почти всех t.
G.44)
Действительно, пусть s является точкой Лебега функций
t -> и" (t) + A (t) u(t)-f(t) и t -> (и" (t) + A(t)u (t) - f (t), u' it)).
Пусть (Уi — последовательность окрестностей точки s (на
отрезке [О, Т\), стремящихся к s, и пусть о — произвольный
элемент К.- Определим
v в О,,
u'(t) в [О,Т]-0,.
Подставляя v = Vf в G.9) (что законно), получим
J («" @ + A (t) и (t), v - и' @) dt > 0.
о,
Деля на mesC/ и пользуясь тем, что s является точкой
Лебега, мы получим, что неравенство G.44) выполняется для
t = s, откуда и следует наш результат.
Обратное утверждение о том, что из G.44) следует G.9),
очевидноф

8. Метод штрафа'в нецилиндрических областях
8. МЕТОД ШТРАФА И НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБЛАСТЯХ
8.1. Один гиперболический пример
Во всех рассмотренных выше примерах мы для эволюцион-
эволюционных операторов всегда решали задачи в цилиндрических обла-
областях: Q = QX]0. T[- Теперь мы собираемся рассмотреть слу-
случай нецилиндрической области Q»
Обозначения:
точнее QcRSXJO, Г[,
= s], 0<s<T (dQ — граница Q),
2 = U Ts, так что dQ = QoU2UQr-
se|O,n
Задача. В области Q ищется функция и, являющаяся
решением (ниже будет уточнено, в каком смысле понимается
решение) задачи
-g--A«+|«|p«=f, (8.1)
ы = 0 на 2, (8.2)
ы(х,0) = «„(*)> ¦^¦(x,0)^ul(x), *<=Q0# (8.3)
Замечание 8.1. Здесь речь идет о задаче, аналогичной
уже рассмотренной в § 1 гл. 1, но в нецилиндрической области.
Последнее обстоятельство полностью не исключает возможность
применения метода Фаэдо — Галёркина, но в этом случае сле-
следует выбирать зависящие от t «базисы», и делать это надо
весьма осторожно (пример применения таких базисов для уравне-
уравнения Навье — Стокса в нецилиндрической области имеется
у Сазера [3]). Сейчас мы увидим, как идея штрафа приводит
к достаточно простому методу решения указанных выше задачу
Функциональные пространства и предположения.
Пусть О — область в R", причем
QdOX]0,T[. (8.4)
Чтобы несколько упростить изложение (хотя это и не играет
существенной роли), мы предположим, что
область Q ограничена, и область О в R2
выбирается ограниченной. (8.5)

430 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Пространства L2 (Qt) (соответственно Н\ (Qt)) Vf s [0, Т] ото-
отождествляются с замкнутыми подпространствами в L?{(T) (соот-
(соответственно в Но((У)); далее определяется
Lp(o, T; L2(Qt))— пространство таких функций
f<=L"(O,T;L2@J), что f(t)(=L2(Qt) почти всюду A <р< оо);.
аналогично определяется Lp@, T; Ho(Qi)).
Мы сделаем следующие предположения:
Qt «растет» с ростом t, т. е. если QJ — проекция
Qt на гиперплоскость t = 0, то QjcrQJ- при *<?'; (8.6)
W е ] 0, Т[ если вейо((У), v = 0 почти всюду
в O-Qt, то oetfSfQ,I). (8-7)
Теперь будет доказана
Теорема 8.1. Предположим, что выполнены условия (8.6),
(8.7). Пусть заданы такие f, u0, ии что
(8.8)
(8.9)
(8.10)
Тогда существует2) функция и, удовлетворяющая включе-
включениям
u<=L°°{0,T;Hl(Qt)), иеГЧо, 7и'(О,)), (8.11)
и'еГ@,Г;^(ад, (8.12)
уравнению (8.1) ы условиям (8.3).
Замечание 8.2. Условие (8.2) содержится в условии при-
принадлежности и к L°°@, Г; #o(Q<)). Второе условие (8.3) имеет
смысл, поскольку (ср. с замечанием 1.1 гл. 1) из (8.11), (8.12)
и (8.1)" следует (когда Qt «растет» с ростом /)» что
- u"^L2@,T;H-1(Q0) + Lp'(Qo))s), (8.13)
а из этого включения и (8.12) следует, в частности, что. и'
является непрерывным отображением
') Здесь и в дальнейшем мы отождествляем функцию о и ее сужение
на Qt.
2) Проблема единственности не решена, см. проблему 11.9.
8) Здесь речь идет о сужении и на Qo X ] 0, Т [.

8. Метод штрафа в нецилиндрических областях 431
Доказательство теоремы 8.1. 1) Выберем произволь-
произвольную область О, удовлетворяющую условиям (8.4), (8.5). Пусть
Ме=Г°((?Х]0, Т[), причем
,0 на Q,
М- '
¦{!
в ОХ\0, T[-Q.
В цилиндре <?Х10» Т[ рассмотрим задачу
ыв = 0 на дОХ\0,Т[, (8Л4)
Эта задача имеет решение (Ve > 0); как видно из доказа-
доказательства теоремы 1.1 гл. 1,. умножив (8.14) на и'е, можно
получить оценку, ввиду которой можно выбрать ые таким обра-
образом, чтобы при е-»-0
и. были ограничены в L"(o, Т; Н\, (О)) П LT @, Г; L@),
< были ограничены в L°° @, Т; L2 (О)) * '
и
J ЛГ(ид?АеЛ<Се. (8.16)
0 X I О, ГI
Замечание 8.3. Член — Ми'е играет роль, аналогичную
роли члена — P(«g). введенного в § 7щ
2) Можно считать, выделяя подпоследовательность, что
ые-»ш в L°°@, T; Hl(O)f[L"{O)) *-слабо,
u?-*w' в • L"@, T;L2(O)) *-слабо, (8.17)
ые->ш в Lz(CX]0. Г[) сильно и почти всюду,
а тогда в силу (8.16) мы получим
Mw' = 0, (8.18)
откуда ш' = 0 почти всюду в <?Х10, Т[ — Q. Так как w(jc, 0) =
=»йо(*), то w (х, 0) = 0 в О — Оо; следовательно, благодаря (8.6)
оу = О почти всюду в ОХ]0, T[ — Q. (8.19)
') F — продолжение / на О X ] 0, Т [ нулем вне Q.
2) п продолжение ut на С? нулем вне й0-
') F — п
2) п; —

432 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Последнее условие вместе с (8.7) показывает, что
если через и обозначено сужение w на Q, то
Итак, функция и удовлетворяет включениям (8.11), (8.12).
Однако, переходя к сужениям на Q, мы получим из (8.14)
(через йе обозначается сужение ые на Q)
^-йе-Лые + |йе|рйе = / на Q, (8.21)
и благодаря (8.17) (как в теореме 1.1 гл. 1) можно перейти
к пределу в уравнении (8.21) и показать, что и удовлетворяет
уравнению (8.1). j
Тогда и будет решением поставленной задачи, поскольку
в силу (8.17) ые @) ->• w @) в Ь2((У) слабо, следовательно,
() = «о-^«(О), поэтому н@) = ы0, и в Силу (8.17) и (8.21)
Olio / / — 1 !>'
~-щ- @) = «1 -> и @) в Н (Qo) т L ("о) слабо,
откуда и' @) = щ ф
8.2. Различные замечания
Замечание 8.4. Изложенный выше метод пригоден и
для других примеров. С его помощью можно рассмотреть
уравнение Навье — Стокса в нецилиндрической области Q; для
этого в О рассматривается приближенная задача (обозначения
те же, что в п. 8.1)
1=1 ' (8.22)
¦ div«e = 0 в ОХ]0, Т[,
которая позволяет доказать существование решения (слабого
или турбулентного) в пространстве произвольной размерности
(как в § 6 гл. 1)ф
Замечание 8.5. Другой возможный подход к эволюцион-
эволюционным задачам в нецилиндрических областях — прямое приме-
применение эллиптической регуляризации (§ 1) в Q. Для уравнения
Навье — Стокса это сделано в работе Лионса

9. Другие типы приближений, 433
9. ДРУГИЕ ТИПЫ ПРИБЛИЖЕНИЙ
9.1. Приближение эллиптических неравенств параболическими
Рассмотрим ситуацию § 5 и предположим, что
оператор А удовлетворяет E.16) и, кроме того,
является строго монотонным.
Тогда для заданного / из Vе существует единственный эле-
элемент ыое#, такой, что
(А(ы0), v - н0)>(f, v - «о) V» еК. - (9.2)
Наша цель состоит в том, чтобы выяснить, можно ли
искать ы0 как предел решений эволюционных неравенств пара-
параболического типа.
Сделаем следующее предположение'):
существует такое р > 0, что || A (o)||r<Cil|o||^. Vo<=K. (9.3)
Положим далее р = р+ 1, так что (9.3) будет эквивалентно
неравенству
;v ( ) (9.4)
Определим
T = Lp@, T;V),
{s?{v))(t) = A(v(t)) почти всюду, os?",
Ж = {v | v e= T\ v @ €= К почти всюду}, (9.6)
L = d/dt, D{L) = {v\ve=T, Lv = v'e=T', o@) = 0}. (9.7)
Тогда, согласно теореме 6.1, Ve > 0 существует такой эле-
элемент иг^Ж, что
e(Lo, v - ые) + (^ (ые), v - ие) > (F, v - ие) Vo s X П D Щ, (9.8)
где
F{t) — f почти всюду2). (9.9)
Более того, согласно (9.1), оператор s& строго монотонный
и, следовательно, решение иъ единственно.
') Эта гипотеза, по-видимому, не нужна, если в том, что следует ниже,
заменить, пространства Lp пространствами Орлича.
2) В (9.8) (F, о) обозначает скалярное произведение между 7" и У,
а в (9.2) (f, v) обозначает скалярное произведение между V и V.

434 Гл. З.^Метод регуляризации и метод штрафа
Теперь будет доказана
Теорема 9.1. Предположим, что выполнены условия (9.1),
(9.3). Пусть ие — решение (9.8). Тогда при е-»-О
-т
ue=Y fuB(f)dt-*uo в V слабо. (9.10)
о
Доказательство. 1) Определим С/Ое^, полагая С/0 = м0
на отрезке [0, Т]. Поскольку s4- (ы0) = А (и0) 4t, из (9.2) выте-
вытекает, что
(а (С/о). о - U0) > (F, v - С/о) Vo s Ж. (9.11)
. Мы покажем, что
ue-^U0 в Г слабо, (9.12)
откуда будет следовать (9.10).
2) Из (9.8) выводится, что ие ограничены в У, следова-
следовательно, s&(ue) ограничены Т', и поэтому можно выделить
такую подпоследовательность, опять обозначаемую через иг, что
ие-^*-и в У слабо,
)-»-% в Г' слабо. (9ЛЗ*
Из (9.8) вытекает, что
(а (Ы8), Ы8) < в (LV, О - М8) + (Д* («е). V) ~(F,V- Me),
откуда
lim sup (s4- (ые), и8) < (X. о) — (^t v — и),
О
так что
lim sup (rf (ы8)> и, - и) < (х - P. v - и) Vo s X Л Д (L). (9.14)
е»0
Однако по определениям (9.6), (9.7) пересечение 3!Cf\D(L)
плотно в Ж, откуда inf (y-F,ii-«) = 0h, следовательно,
a-nc<L>
limsup(^(«e), «e — «)<0. (9.15)
Отсюда вытекает, что
lim inf (s4-(ые). ue — v)^(s4-(и), и — о),
а поскольку в силу (9.8)
lim inf {s4- (ы8), ме — о)< (F, и — о),
мы получаем, что и удовлетворяет неравенству
(м), v - и) >(/=•, v - и) Vo s X П ?> (L), «el. (9.16)

9. Другие типы приближений 435
Так как неравенство (9.16) выполнено VoeX, то, следо-
следовательно, и — Uo, поскольку С/о. является единственной функ-
функцией, удовлетворяющей (9.11). Отсюда следует (9.12) !)#
Замечание 9.1. Из (9.15) и монотонности s4- следует, что
(•*(«.)-.*(«), и.-и)-*0. (9.17)
Таким образом, если норма (Л (о), оI'* равномерно выпукла
на V, то из сходимости (^(ы8). «е) -*• (^ («)» «) вытекает, что
ие-*и в L*@, Г; F) сильно и, следовательно, имеет место (9.10),
причем сходимость в V будет сильной *
9.2. Новые односторонние задачи
Обратимся теперь к ситуации-п. 7.1. Пусть выполнены те же
самые предположения, что и в теореме 7.1, и, кроме того,
A{Q)uo = f(G). (9.18)
Согласно теореме 7.1, Ve>0 существует единственная
функция ые, такая, что
m s L~ @, Г; F), и; е L~ (Q, Г; F), «f e LTO @, Г; Я), (9.19)
u'e(t)e=K почти всюду, (9.20)
J (ей? + Л (/) ив - f (/), о @ - «J (/)) Л > 0
VoeL2@, /; F), o(/)g=K почти всюду, (9-21)
Ио, Ив@) = И1. • (9.22)
Более того, вернувшись к доказательству теоремы 7.1, мы
увидим, что
ы8, «е ограничены в 1°°@, Г, УJ),
. (9.23)
Уги'? ограничены в Г°@, Т; Н).
Отсюда видно, что можно так выделить подпоследователь-
подпоследовательность, обозначаемую опять через ые, что
ивт+и (соответственно и'в-*-иг) в L°°@, T; V) *-слабо (9.24)
') Другое доказательство (Р. Темам): из (9.8) выводим, что
е (Lv, v - иг) + (& (о), v - иг) > (F, v - иг).
Выберем v, не зависищее от t; беря среднее, получим
8 (Lv, v-uB) + (A (v), v - fie) > (f, v - й8),
и переходя к пределу, мы найдем, что (А(о), v — и)>(/, о — и) VoeК,
следовательно, и => и0.
г) Мы здесь воспользовались тем, что выполнено равенство (9.18).

436 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
и функция и удовлетворяет условиям
т
J (A (t) u(t)-f (t), v (t) - и' (/)) dt > 0 VoeL2 (О, T; V),
о
v (t) s К почти всюду, и' {t) e К почти всюду, " *
ы@) = ы„- (9.26)
Однако (9.25) эквивалентно неравенству
(Л (t) u(t) — f (t), k-u' (t)) > 0 V* e К почти всюду иа [О, Т]. (9.27)
Отсюда выводится, что задача (9.25), (9.26) имеет един-
единственное решение.
Таким образом, мы установили следующий результат1):
Теорема 9.2. Допустим, что выполнены предположе-
предположения G.1), G.2), G.3), и пусть заданы f и и0, удовлетворяющие
G.4), G.5) и (9.18). Тогда существует и притом только одна
функция и,
и <= L°° @, >; V), ы'<=.Г°@, Т; V), (9.28)
u'(f)^K почти, всюду, (9.29)
удовлетворяющая (9.26), (9.27).
Теорема 9.3. Пусть выполнены предположения теоремы9.2.
Произвольно выберем щ из К- Тогда Ve > 0 существует един-
единственная функция ые, удовлетворяющая (9.19), (9.20), (9.21), (9.22).
При е-»-0 имеет место (9.24), где и —решение, полученное
в теореме 9.2 ф
Пример 9.1. В условиях примера 7.1 для решения и мы
получаем
^Q почти всюду в Q,
A (t) и. — f ^ 0 почти всюду в Q,
а (9.30)
-Qf{A(t)u — /) = 0 почти всюду в Q,
и(х, 0) =
!) Дополнительные результаты о гладкости были получены X. Брезисом.

10. Приближение многозначных операторов 437
Пример 9.2. В условиях примера 7.2 для решения и мы
получаем
A(t)u=f в Q,
да - " на z,,
на 2, (9.31)
— ди —0 ня S
Замечание 9.2. Когда оператор A(t) = A и функция
f(t) = f не зависят от t, для решения задачи (9.26) — (9.29) мы
сразу получаем, что
«(/) = «„•
10. ПРИБЛИЖЕНИЕ МНОГОЗНАЧНЫХ ОПЕРАТОРОВ
С ПОМОЩЬЮ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ
ЮЛ. Многозначные гиперболические уравнения
Пусть М: R->-2R — многозначная функция, обладающая сле-
следующими свойствами'):
М — монотонная функция (т. е. если AeM(s), цеМ(<),
то (A,-(i)(s-0>0) и ОеУИ(О), *10'^
существует такая последовательность функций Mk e С1 (R),
что Мк @) = 0, M'k(t) > 0, Мк {± оо) = ± оо, A0-2)
Л!* = J(k->M~l = j? равномерно на любом компакте2). A0.3)
Сейчас будет доказана
Теорема 10.1. Пусть Q — ограниченная область в R"
с гладкой границей. Пусть М — заданная многозначная функ-
функция, удовлетворяющая A0.1), A0.2), A0.3). Пусть заданы f,
«о» «ii причем
fe=L2@, T; tfJ(Q)), -§<=L2(Q), A0.4)
), Mk(ux) ограничены eL2(Q) при А;-»-оо. A0.6)
') Пример общего вида, в котором выполнены все эти условия, см.
У Америо — Прузе [1].
г) Следовательно, М — максимальная монотонная функция; на самом
деле этого предположения достаточно (X. Брезис).

438 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Тогда существует и притом только одна такая функ-
функция и, что ¦
«еГ (О, Т; Я2 (Q) П Яо (Q)), A0.7)
e'eL"@, Г; Яо@)), A0.8)
Wet"(О, Т; L2(Q)), A0.9)
— {и"{х, f) — Ды(лг, t) — f(x, t))(=M(u'(x, t)) почти всюду в Q,
A0.10)
и(х, О) = ио(х), -§?(*. 0) = "iW, xeQ1). A0.11)
Замечание 10.1. Включение A0.10) переходите обычное
уравнение, когда функция М однозначна.
Более того, в том случае, когда функция М однозначна,
причем уИ(±оо)=±оо и выполнено условие A0.1), теорема
существования и единственности является простым вариантом
теоремы 3.1 гл. 1 (в которой рассматривается случай
Замечание 10.2. Предлагаемый ниже метод состоит
в том, что мы «приближаем» (в смысле A0.2), A0.3)) много-
многозначное отображение М регулярными функциями Мк — это
еще один способ регуляризации уравнений •
Доказательство существования. 1) Как было от-
отмечено в приведенном выше замечании 10.1, V& существует
единственная функция uk, обладающая следующими свойствами:
и, более того, при k—*-<х>
ик (соответственно и'к или и?) ограничены
в 1~-@, Т; Н2(п)Г\Н10(п)) (соответственно в A0.14)
L°°@, T; Ho(Q)) или в L°°@, T; L2(Q))).
2) Теперь можно так выделить подпоследовательность, обо-
обозначаемую опять через uk, что
"*"*¦" (соответственно и'к-+и', и'к'-*•«") в
- L°°@, T; H2(Q)flHlo(Q)) (соответственно в (ю 15)
L°°@, Т; Hl(Q) или в ^(о, Т; L2(Q)))
¦-слабо.
') Можно показать, используя нелинейные полугруппы (X. Брезис), что
t)H3(Q) VI .

10. Приближение многозначных операторов 439
Согласно уравнению A0.12), мы также имеем
к \ к) к -г (Ш 1б)
в Lr(Q) слабо (например).
Итак, u'k = Жк (oj), и если мы покажем, что
A0.17)
то v^M(u') и, следовательно,
f-v» + Au^M(u'),
т. е. выполнено A0.10). Поскольку функция и очевидным об-
образом удовлетворяет остальным условиям теоремы, нам остается
только доказать равенство A0.17).
3) Теперь мы используем монотонность; при этом возникает
одно техническое осложнение, связанное с тем, что a priori
неизвестно, имеет ли место включение J?(o)eL2(Q). С этой
целью мы используем срезки ')• Для любого R > 0 положим
Ж(Х), если \ Ж {%)]<, R,
Ж*{%)= R, если Ж(\)>R, A0.18)
— R, если Ж (А)< — R.
Пусть <pe^5(Q); тогда, обозначая через ( , ) скалярное
произведение в L?(Q), получим
Однако в силу A0.15)
•^k (°*)== u'k~*и' в L2(Q) сильно (и почти всюду) при &-»-оо,
A0.20)
так что
Atf(o*)-*(«0* в L2(Q) сильно, Jfe-*oo, A0.21)
а так как М? (q>) -*• MR (ф) в L?(Q) сильно, то из A0.19) мы вы-
выводим, что
((иГ-^(ф),о-Ф)>0 V<pe=0(Q). A0.22)
Но неравенство A0.22) одновременно выполняется Vq>sL2(Q);
подставляя
<р = о-Я1|>, Я>0, tJ)eL2(Q),
мы получим после деления на Я
(о-ЛЧ>)> *)>0 Vt|>€=L2(Q). .
') С этим методом мы встретимся в § 3 гл. 4 (впрочем, и там он воз-
возникает в связи с причинами того же порядка).

440 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
Устремляя К-*-0, найдем, что
((«0* - Л* (v), ф) > 0 Щ е U (Q),
откуда {ur)R'=J[R{v). Поскольку это равенство выполняется
для произвольного R, мы приходим к A0.17)ф
Доказательство единственности проводится та-
таким же методом, как в случае «однозначных уравнений» (ср.
§ 6 гл. 2). Пусть ы1( «2 суть два решения; тогда
ы['-А«1 + а,=Д ff,sAf(«Q, A0.23)
<-Аы2 + ст2 = /, о2<=М(и?). A0.24)
Таким образом, если хю=щ — ы2> то
w" - Ада + а, - а2 = 0, A0.25)
и умножая A0.25) на w', мы установим единственность, заме-
замечая, что
( [0
10.2. Многозначные гиперболические неравенства
Методами такого же типа можно изучить случай много-
многозначных монотонных неравенств.
Рассмотрим ситуацию п. 10.1, и пусть К —замкнутое вы-
выпуклое подмножество в Я1 (Q), Q&K. Рассмотрим f, u0, щ,
удовлетворяющие таким же условиям, как в теореме 10.1; пусть,
кроме того,
«,€=/(. A0.26)
Тогда существует и притом только одна функция и, удо-
удовлетворяющая A0.7), (Г0.8), A0.9), A0.11), и такая, что для
почти всех t е [0, Т]
(и" @ - Аи (t) + o(t)-f (t), v - и' (t)) > 0 Vo e К,
u'(t)c=K, A0.27)
П. ПРОБЛЕМЫ
11.1. Для задачи, решенной в п. 2.6, изучить (возможную)
гладкость решения в окрестности особой линии х = 0.
11.2. Когда единственно решение задачи, изученной в п. 2.8
(эта задача не тривиальна даже в случае линейных операторов
и решена Байокки [1])?

11. Проблемы 441
П.З. Задача об «искусственной вязкости». Можно лн
в области Q X ]0, Т[, Q с: R2, при е > 0 решить задачу
2
д
7
div и = О, ы = 0 на 2, м (*, 0) задано,
и можно ли устремить е->0?
(Вопросы такого рода возникают в связи с введением искус-
искусственной вязкости (по фон Нейману — Рихтмайеру [1]) для числен-
численного интегрирования задач гидродинамики; по поводу преды-
предыдущего примера см. Харлоу [1].)
11.4. Имеются ли теоремы о гладкости, аналогичные F.35),
для того случая, когда s4-—эллиптический оператор порядка > 2?
(Использованные методы не распространяются на этот случай.)
11.5. Можно ли на тот случай, когда К является произ-
произвольным выпуклым замкнутым подмножеством У, распростра-
распространить результаты п. 6.4 о неравенствах, связанных с операто-
операторами Навье — Стокса (и без предположений о гладкости данных
задачи, сделанных в п. 6.5)?
11.6. Имеет ли место единственность в теореме 6.3?
11.7. Гиперболические вариационные неравенства с особен-
особенностью. Можно ли решить неравенство
т т
[(и", v-u') + (Au(t), v-u') + ±(W, v-u')
о ¦ о
где Я, < О, Я, ф —2п— 1, я = 0, 1, ...?
11.8. Имеет ли место единственность в теореме 8.1?
11.9. Условие «Q, растет» в теореме 8.1 представляется
слишком ограничительным. Сохраняется . ли справедливым
результат, когда S локально содержится в конусе распростра-
распространения волн, исходящем из любой точки S?
11.10. Можно ли решать уравнение
в нецилиндрической области (при подходящих начальных и
краевых условиях)?
11.11. Можно ли решать эволюционные неравенства пара-
параболического н гиперболического типов в нецилиндрических
областях?
т
J [(и

442 Гл. 3. Метод регуляризации и метод штрафа
12. КОММЕНТАРИИ
Эллиптическая регуляризация для линейных параболических задач была
предложена автором в[19]и применена к нелинейным задачам в [6], [8], [9].
Аналогичная идея независимо была предложена и применена О. А. Олейиик,
например, в работе Олейиик [7].
В § 1 этот метод излагается в общем виде '). Леммй 1.1 о максимально-
максимальности принадлежит Брезису [2], [6], приведенное в тексте доказательство
этой леммы принадлежит Л. Ниреибергу. Теоремы 1.1 и 1.2 принадлежат
Брезису [6].
Теорема 2.1 имеется в работе автора [9], где эллиптическая регуляри-
регуляризация использовалась непосредственно; результаты п. п. 2.3 и 2.52) принад-
принадлежат Бардосу—Брезису [1], а результаты п. 2.4—Бардосу [1].
Доказательство максимальности L, приведенное в п. 2.6, принадлежит
Бауеиди—Гривару [1] и повторено Бардосом—Брезисом.
Задачи для «гиперболических вариационных неравенств» были введены
автором в [21] в связи с примером 3.1. Результат п. 3.1 принадлежит Брезису
и автору [1]; дополнительные результаты можно найти у Брезиса [5]. Метод
параболической регуляризации был использован в многочисленных работах
.^и-(часто) назывался методом вязкости.
Результаты § 4 об уравнении Кортвега—де Фриса [1] принадлежат
Темаму [7]. Функциональные инварианты для этого уравнения были получены
несколькими авторами; Миура, Гарднер и Крускал [1] построили бесконеч-
бесконечную серию таких инвариантов; общий метод отыскания таких инвариантов
принадлежит Лаксу [3]. Все перечисленные выше авторы изучали распро-
распространение воли для уравнений этого типа. Задача о существовании (и един-
единственности) решения (с условиями периодичности в качестве краевых усло-
условий) была решена Шёбергом [1] (при более сильных предположеииих, чем
у Темама) с помощью метода конечных разностей. Случай а = 0 отвечает
уравнению Бюргерса [1], для которого метод параболической регуляризации
(или вязкости) является классическим (см. Хопф [3], Олейиик [1], [2]; можно
также обратиться к книге Рождественского и Яиеико [1]). Общие резуль-
результаты о методе вязкости приведены у Бахвалова [1].
Метод штрафа в вариационное исчисление был введен Кураитом [1] и
породил бесчисленное множество работ; по поводу приложений, в частности,
численных, см. Балакришиаи [1], Бельтрами [1], Сеа [1], Ивой [1]. Имеет
место «двойственность» между методами штрафа и регуляризации; в этой
связи мы отсылаем к работам Беисусаиа—Кеннета [1] и Боссавита [1]. Си-
Систематическое применение штрафов к неравенствам нам представляется
. удобным. Пример 5.5 возникает в задачах о распознавании образов, а в ме-
методе, связанном с уравнением E.49), имеется несколько аналогий с работой
Барбозы—Воига [1]; последняя имеет аналогии с Брауиом—фон Нейманом [1]
(интересно расщепить E.49) с помощью метода дробных шагов из числен-
численного анализа).
Что касается результатов о гладкости, отличных от результатов такого
типа из п. 5,5 и устанавливаемых методом штрафа, то см. Лионе [18] (там,
в частности, можно найти результаты о гладкости для некоторых задач по-
порядка > 2).
Метод штрафа начал систематически использоваться в эволюционных не-
неравенствах Лиоисом [16], [17]. Условие непрерывности F.61) было установлено
Брезисом [5], Темамом и автором. Неравенства, связанные с операторами
!) Так что его можно распространить иа многозначные операторы.
2) Случай, рассмотренный в п. 2.5, может быть также изучен методом
Компактности, см. § 10 гл. 1.

12. Комментарии 443
Навье—Стокса, были введены Лиоисом [16]; другие результаты в этом круге
вопросов (с помощью многозначных операторов) были получены Брезисом
и Пази [1]. Другие (по отношению к § 6, 7) результаты имеются у Бре-
зиса [5].
Метод штрафа для нелинейных эволюционных задач в нецилиидрических
областях был предложен автором в [6], [7], а затем независимо Фужитой
и Зауером [1]; численные применения методов такого типа к линейным опе-
операторам имеются у Мииьо [1].
В § 9 показано, каким образом можно приближать (при определенных
условиях) решения эллиптических неравенств посредством решений эволю-
эволюционных неравенств ').
Возможны и другие аппроксимации:
1) например, Штраусе [5], лекция 3.10, приближает уравнение
(«параболическое» по своей природе) гиперболическим уравнением
2) можно приближать эллиптические уравнения «еще более эллиптиче-
эллиптическими» уравнениями (например, уравнениями более высокого порядка); этот
метод используется для получения оценок погрешности в численных аппро-
аппроксимациях линейных эллиптических задач в работах Обэиа [2], Обэна—Ли-'
оиса [2]; указанному подходу посвящена работа Браудера — Аи Тона [1].
Результаты § 10 принадлежат Америо и Прузе [2], где, впрочем, изучена
более общая ситуация.
В приложениях к механике встречаются задачи типа (ср. G.44)): (и" (/) +
+ Аи (t) — f (t), v — vl (/)) > 0 yv^V, где f—выпуклый иедиффереициру-
емый функционал, f > 0; см. Дюво—Лионе [3].
') Это может представлять интерес для численных приложений.

Глава 4
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ.
ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ
ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ
До сих пор при построении приближенного решения использо-
использовались следующие методы:
1) метод Фаэдо — Галёркина (гл. 1 и 2),
2) эллиптическая или параболическая регуляризация (гл. 3),
3) метод штрафа (для неравенств) (гл. 3).
В этой главе мы изучим другие методы:
Г метод конечных разностей (§ II);
2° метод расщепления (splitting up), применяемый в числен-
численном анализе и приводящий здесь к новым априорным оценкам
(см. § 2);
3° метод аппроксимации с помощью срезок (§ 3);
4° классический метод последовательных приближений; при
условии хорошего выбора функционального пространства,
в котором проводятся итерации, он дает интересные резуль-
результаты (см. § 5).
Далее изучаются (§ 6, 7,'8) решения периодические и
ограниченные по t.
§ 9 носит особый характер: большинство выкладок в нем
проводится формально. В этих направлениях еще предстоит
проделать огромную работу.
1. АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ МЕТОДОВ
КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
1.1. Общие указания
В вопросе (основном) о применении априорных оценок
(а подчас и при выводе априорных оценок) метод конечных
разностей является весьма важным. Главное значение этого
метода состоит в том, что структура приближенных уравнений,
получающихся после дискретизации (перехода к конечным
разностям), «очень близка»2) к структуре уравнений, которые
мы хотим решать, и, следовательно, не «теряются» априорные
оценки. Главное неудобство метода конечных разностей (как
') Нашей задачей не является систематическое изучение этой огромной
области.
2) При разумном выборе дискретизации.

/. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей 445
мы дальше увидим) связано с технически тяжелыми выклад-
выкладками, которые неизбежны при работе с ним.
Вообще говоря, имеются три возможных способа дискрети-
дискретизации в эволюционных задачах:
(i) полная дискретизация, т. е. дискретизация как по про-
пространственным переменным, так и по времени; этот метод глав-
главным образом используется в численном анализе; мы не будем
им здесь пользоваться, чтобы сверх меры не усложнять изло-
изложение;
(ii) дискретизация только по временной переменной (мы
будем называть ее семидискретизацией); близкая идея уже
была использована в § 7 и 9 гл. 2, где оператор Л прибли-
приближался оператором ~А ; в п. 1.2 мы применим этот метод
к параболическим неравенствам с ненулевыми начальными
данными;
(ш) дискретизация только по пространственным переменным
(будем называть ее семидискретизацией по пространственным
переменным); в п. 1.3 мы применим этот метод к одному при-
примеру (принадлежащему Равьяру [3]) вырождающегося нелиней-
нелинейного параболического уравнения.
1.2. Семидискретизация и вариационные неравенства
Рассмотрим ситуацию п. 6.3 гл. 3 (теорема 6.2). Таким
образом, нам заданы гильбертовы '). пространства
VczHczV A.1)
и оператор А2):
A<=3?(V; V),
(Av, o)>a||o|L a>0, »eK. K '
«Конструктивным» методом семидискретизации мы сейчас
докажем следующую теорему:
Теорема 1.1. Пусть имеют место A.1), A.2). Пусть
К — выпуклое замкнутое множество в V. Пусть заданы
f<=L2@,T;V), A.3)
ио(=К. A.4)
') Это предположение делается исключительно ради простоты изложения.
2) Методы подобного типа позволяют рассматривать тот случай, кргда
оператор А зависит от t; мы ограничились случаем, когда А ие зависит от t,
ради простоты изложения.

446 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Тогда существует и притом только одна такая функция и, что
ue=L2@, Г; WfU"(O, T; Н), A.5)
u(t)^K почти всюду, A.6)
г
Au(t)-f{t), v(t)-u(t))dt + ±\v(O)-
A.7)
Voe=L2@, T; V), o'gL!@, Т; V), v(t)e=Kno4Tu всюду#
Замечание 1.1. Сформулированная выше теорема не-
несколько менее точна по сравнению с теоремой 6.2 гл. 3; впро-
впрочем, всю информацию, содержащуюся в теореме 6.2, можно
получить и при помощи теоремы 1.1. Однако для нас наиболее
существен сам метод доказательства«
Семидискретизация. Положим
k = M=T/N A.8)
и обозначим через ип «приближенное значение»') и в момент nk.
Рассмотрим:
(п+1) к
f = l f f(a)da, л>1. A.9)
nk
Полагая
и° = и0, A.10)
мы шаг за шагом определим «", решая задачи
«"<=# (l<n<JV-l).
В A.11) мы имеем дело с задачей для эллиптического
вариационного неравенства, которое имеет единственное реше-
решение; в самом деле, задача A.11) эквивалентна неравенству
[Аи11 +1 и", о - и") > (Г + j ип~\ v - и j Vo <= /С,
к которому применима теорема 8.2 гл. 2, поскольку оператор
А + -г- / является коэрцитивным.
Мы будем говорить, что неравенства A.11) образуют семи-
дискретную аппроксимацию неравенства [\.7)% ¦
') В действительности нужно еще доказать, что ип на самом деле
является приближенным значением!

/. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей 447
Доказательство существования в теореме 1.1.
Естественно, что все сводится к априорной оценке последова-
последовательности {«"}. Положим
uk(t)=:un, t<=[nk,(n+l)k[, 0<ft<tf-l. A.12)
Сейчас будет доказана
Лемма 1.1. При k->0
ик ограничены в L2@, Т\ 10(U"@, Т; Н). A.13)
Доказательство. Возьмем (произвольно) о0 из /С. Под-
Подставим в A.11) v = v0 и положим
ЙУП = ИП —0О.
Отсюда выведем, что
¦ ~ (wn —a»"-1, wn) + (Awn, wn) < (f - Av0, wn),
откуда лосле умножения на k получим (через || ||, | |, || Ц, обо-
обозначаются, соответственно, нормы в V, HnV (дуальная норма))
w"-1 П +
+ ka\\ wn IP< ft|| Г - ЛооН» ®п II. 0.14)
у [| wn Р -1 wn~l Р +1 wn -
поэтому, в частности,
j(\wn?-\wn-1?)+ka\\wn\f^k±\\wntf + ±\\r-Avoi
и, следовательно,
|ffi)»p_|ffi,«-ip + b||<|p<4lir-^olf. l<»<iV-l. A.15)
Суммируя по п, получим
2
Однако, так как f<=L2@, Г; V), то, согласно определе-
определению A.9), имеем
k S II f" — Avo II» ^ С (константа С не зависит от k),
«7=1
и, таким образом, неравенство A.16) приводит к оценкам
] 174

448 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Отсюда также следует (поскольку kN = Т), что
(U8)
Согласно определению (см. A.12)), эти оценки эквивалентны
условию A.13)ф
Предельный переход по k. Теперь мы собираемся устре-
устремить k к нулю; из A.13) следует, что можно выделить под-
подпоследовательность, обозначаемую опять через ик, такую, что
ик->и в L2@, T\ V) слабо, в L°°@, T; Н) *-слабо. A.19)
Если через Ж обозначено выпуклое замкнутое множество
таких функций об/,2@,-Г; V), что v(t)^K почти всюду, то
имеем: ик^Ж V&; поскольку Ж слабо замкнуто в L?@, T; V), то
и<=Ж. A.20)
Следовательно, функция и удовлетворяет A.5), A.6), и
остается установить A.7).
Рассмотрим «функцию о, удовлетворяющую включениям
os С ([О, Г]; V), v(t)e=K W. A.21)
Положим,
vn = v{nk), n = 0, .... N— 1,
Vk — ступенчатая функция, определенная равенствами
vk(t) = vn в интервале ]nk, (n+ l)k[, A.22)
Vk~кусочно линейная функция, непрерывная на отрезке
[0, Т], причем vk{nk) = vn-1, и =1,2, ..., и уй@) = Л
¦ Заметим, что
Т . ,. > Н-\ (п+1) к
n=0 nk
N-l
= ^(vn-vn-1, vn-un), A.23)
а также
г ¦ jv-i
J (Аик, vk -uk)dt = k^ (Ли", vn - un). A.24)
0 n=0
Аналогично, если мы определим
fk = fn при t^[nk, (»+ 1)k[, n = 0 N —I, A.25)

/. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей 449
то получим
Т ¦ N-1
О я>=0
Подставим теперь v = vn в A.11); тогда, умножая на k,
получим
{ип — ип~\ vn-un) + k(Aun-fn, о"-нп)>0, A,27)
откуда
/у» _ у»-1, у» -Un) + k (Аиа - /", О" - И") =
= («" - и"-1, о" - ы") + ^ (Ли" - Г, о* - и") +
+ | (I vn - и" |2 -1 у"-1-^-11 + | vn - и" - (о" - «"-
и, суммируя "по п, найдем, чта
[(t)n —t»"-', »"-«">+А (Л«п-г, »"-«
>||о^-'-и^-'|2-]-|«0-и012>-^|«@)-ы0|2. A.28)
Однако, пользуясь A.23), A.24), A.26), мы выведем из
A.28), что
т т
( )
т
• Vk - Uft) dt + J (Ли* ~
о
о
1
A,29)
Но при k->0 имеем: dvk/dt->v' в .L2@, Г; У) сильно,
vk-*v в L2@, Г; F) сильно, fk-+f в L2@, T; V), а поскольку
г г
г г
J {Auk, uk) dt^[
о о
г г
lim inf J {Auk, uk) dt^[ (Аи, и) dt
и, наконец, fcf°->0 в У при ft-*0, то из A.29) мы выведем
неравенство
т
J . 2,
о
справедливое для всех v, удовлетворяющих A.21).
1 К Зак 48 '

450 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Однако, если функция v удовлетворяет условиям из A.7),
то существует последовательность функций v}, удовлетворяю-
удовлетворяющих условиям, типа A.21), причем v,->v в L2@, T; V) слабо,
;'L2@Jn
;
Подставляя v = vt в A.30) и переходя к пределу, мы полу-
получим A.7).
»
Доказательство единственности в теореме 1.1
аналогично доказательству единственности в теореме 6.2
гл. 3. Пусть и{ и ы2 суть два возможных решения; опре-
определим w = -^{ul + u2), а затем вул(т1>0), решая задачу
Подставим в каждое из неравенств v = w1]; складывая, мы
получим
т т
2 J (a/, w4 — w) dt + J [(Ли,, оу,, — ы,) -f (Ли2, w4 — ы2)]dt —
о о
г
-2 J(/, w^-
о
Однако
н, следовательно,
т т
[{Аии w^ - и{) + {Аи2, да,, - ы2)] dt - 2 J (f, ш,, -
Устремляя tj к 0, мы получим, что
г
— J (Л (ы, — ы2), ы, — ы2) dt > О,
о
откуда И1 =
Замечание 1.2. Ввиду единственности не нужно выде-
выделять подпоследовательность; таким образом, мы показали, что
если *-» 0, то
ик->и.в L?@, Т; V) слдбо и в /.°°@, Т; Н) *-слабо.

/. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей 451
1.3. Пространственная семидискретизация; применение
к одному параболическому уравнению
1.3.1. Постановка задачи. Пусть Q — интервал ]0, 1[<=R;
ищется функция и = и{х, t), xgQ, t<= ]0, Т[, удовлетворяю-
удовлетворяющая уравнению
и условиям
и@, t) = u(l, 0 = 0, A.32)
и (х, 0) = и0 (х), х е= Q. A.33)
Предполагается, что в A.31)
<х>2, р>2. A.34)
Уравнение A.31) можно еще переписать в виде
а
т. е. мы имеем дело с оператором, «эллиптическая часть»
которого монотонна (относительно скалярного произведения
Г ффЛе) и вырождается.
Сейчас мы увидим, как пространственная семидискретиза-
семидискретизация позволяет установить следующую теорему существования:
Теорема 1.2. Пусть заданы f, и0, причем
f, J- е= If' (О, Г; W~x'"' (Q)), A.35)
aoeia(Q), \uo\a-2uo<=Wl-"{Q). A.36)
Тогда существует функция и, удовлетворяющая условиям
u<=L°°(О, Т; La(Q)), | и\а~гиеГ(О, Т; W\i"(Q)), A.37)
A ЗР
и являющаяся решением задачи A.31) —A.33)')ф
Вопрос о единственности является открытым.
') Условия A.32) неявно содержатся в A.37).
15*

452 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Замечание 1.3. Умножим (формально) A.31) на|и|а~2и;
тогда получим равенство
)B)\Plf\ur2udx, A.39)
из которого «выводятся» оценки типа A.37).
Теперь встает основной вопрос: как же воспользоваться
оценкой A.39)? (Мы уже часто встречались с вопросами такого
типа; см., например, § 4 гл. 3.) Используемые до сих пор
методы сводились к следующим:
галёркинская аппроксимация с выбором специального базиса;
аппроксимация посредством регуляризации.
Теперь мы изложим другой метод; его осуществление при-
приводит к серьезным техническим трудностям, которые искупаются
большой общностью этого метода«
Замечание 1.4. Предыдущее замечание 1.3 делает есте-
естественной подстановку у=|и|а~2ы, однако тогда для о полу-
получится «дважды нелинейное» уравнение типа
где р и s4- нелинейны; для уравнений такого типа в настоящее
время не имеется никаких достаточно общих результатов' (см.
также замечание 1.5) ф
1.3.2. Пространственная дискретизация.
Обозначения. Положим
, / , - п-2 з \ (\ Л.С\\
л О I \ OV OV \ ¦ V* •"*-'/
А (О) = gj ^ I -^- -0^г),
тогда уравнение A.31) запишется в виде
^L + A{<((u)) = f. A.41)
Дискретизация по х. Положим h = м , ., М — целое число
(которое будет стремиться к + оо),
Vh — пространство последовательностей
. A-42)
Пространство Vh очевидно изоморфно RM, однако мы будем
снабжать его различными нормами, зависящими от h и являю-

/. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей 453
щимися аппроксимациями норм в L2(Q), La(Q), .... Точнее,
ДЛЯ «ft, Oft ^ Fft ПОЛОЖИМ
м
(«а» «а)а = А2 uiV{> I Ift — соответствующая норма, A.43)
A.44)
|| уд |Ц k — норма, дуальная || \ "относи-
"относительно скалярного произведения A.43), A.45)
т. e. || oft I], h = sup IV* p ,
и, наконец,
' M \ I/a
A-46)
Мы встретимся с аппроксимациями норм в
L2(Q), Wlo"{Q), W-Up'{Q) и La(Q)9
Дискретные нелинейные операторы. Для vh e Fft определим:
-I о,-о,-, Г2 (о,-о,-,)], 1</<М. A.48)
1.3.3. Семидискретизированная задача. Ищется такая функ-
функция «д€= С1 ([О, Г]; Уй), что
и;Ю + Л*(я>КЮ)) = М<). ^>0, A.49)
«ft @)= «Oft, A.50)
где fft и «од суть «.аппроксимации» функций f и «0. Говоря
точнее, введем операторы продолжения ph и qh, полагая
f непрерывная функция, линейная на каждом интервале
= 1 [ih, (/ + 1) Л], такая, что pftoft {ih) = vhi = 0 M + 1,
A.51)
ступенчатая функция, такая, что qhvh(x) = vi B
О'/в0 M+L (L52)

454 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения ,
Далее /А и ы0А строятся таким образом, чтобы выполнялись
следующие условия:
J[IMOCfc+|ftWtfc]<tf<c'). A.53)
о
г г
J (f*. о*)* Л-* J(f, о) Л Vc e Z/ (О, Г; W\-p (Q)), A.54)
о о
где кА( •) ~ произвольная последовательность таких функций из
С0([О, Г]; Vh), что ло*(•)-*» в Lp@, T; Wlo"(Q)).
Что касается ыОа> т0 будем предполагать выполненными
следующие условия:
IIФ («о*) Ik < С, [«Oft]A<C, A.55)
qhuOh^uo в L°(Q). A.56)
Такой выбор возможен.
Система нелинейных уравнений A.49), A.50) имеет един-
единственное решение в интервале [0, Th]; приведенные ниже апри-
априорные оценки показывают, что Тк=Тщ
1.3.4. Априорные оценки (I). Мы можем в пространстве Vh
(снабженном скалярным произведением A.43)) скалярно умно-
умножить обе части уравнения A.49) на q>(uh(t)) — это является
первым существенным моментом нашего доказательства. Инте-
Интегрируя по t, получим (ср. A.39))
t
Ъ I"* @1* + J И* (Ф («А (*)))» Ф («А М))* do =
о
= ~Ы}1+ j(fh(o), <f>(uh(o)))kdo. A.57)
о
Но
(Ah(vh), оуА) = аА(«А, wh),
м
SI v «i \"~2
так что
k (Ф («а)). Ф («а)) = «а (Ф К), Ф («/,)) =11Ф («a) If. A.68)
') Через С обозначаются константу, не зависящие от А,

1. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей 455
Второй член в правой части A.57) оценивается следующим
образом:
t
(!н (<*), Ф (и* (or)))* do < J || fk (в) ||,_ h || Ф (uh (a)) \\h do <
>а. A.59)
Выбирая в A.59) г\<\ и подставляя в A.57), мы получим:
t
\Ч Щ + J IIФ («л (о)) \Ц da < С. A,60)
Отсюда следует, что Th=T.
Теперь из A.49) мы можем вывести, что
, h
(Ф (vh
, h
| fh (t) IL.
откуда
1.3.5. Априорные оценки (II). Априорных оценок п. 1.3.4 не
достаточно для предельного перехода. Однако — и это является
вторым существенным моментом — можно скалярно умножить
в Vh обе части A.49) на -тт-ф («ft (/)):
Но
(чги" @.1 ф (
= л 2 4iи' W 4
4 (а -
,(а-2)/2
\
откуда
A-63)

456 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
С другой стороны,
м
-MO r2(tfi+1 @-oi @)|(fi+i (O-oi @) =
(=0
м
d
php dt
откуда
«*(ф(М0). -|ф(«Л0))=71|1ф(«Л0)С 0.64)
Наконец,
- J (-fa f» v")h da + tf* W. o* @)* ~ ifk @), о * @))*
о
vh (t) \l + 4\\vh @) ||? +
о
t
откуда следует, что
t . *
о о
-4- Till ф (иА @)) 11^ + С, (tj), A.65)
а поскольку
IIФ ("а @)) 11а = IIФ («оа) lift < С,
то из A.62), A.63), A.64), A.65) мы выведем (выбирая в A.65)
подходящее tj), что
« о

1. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей 457
Отсюда выводится вторая группа априорных оценок:
И Ф (МО) II» < С A.67)
-ЗГ *(«*(*))[**< С.
A.68)
1.3.6. Оценки для pkuh, qhuh. Теперь мы используем опера-
операторы ph и <7а» введенные в A.51), A.52). Из оценок A.60), A.61),
A.67), A.68) без труда заключаем, что
phuh и qhuh ограничены в L°°@, T; La{Q)), A.69)
% ограничены в //(О, T; RT>P'(Q)), A.70)
/>*(«*).
ограничены в L°°@, T;
ограничены в Г°(о, Г; Z
ограничены в Lp'@, Г; r"llP'
ограничены в L°°@, Г; L2(Q)),
ограничены в L2@, T; L2{Q)),
ограничены в La(Q).
A.71)
A.72)
A.73)
A.74)
A.75)
A-76)
Отсюда следует, что можно так выбрать подпоследователь-
подпоследовательность, опять обозначаемую через ыА, что
в Г°@, Т; La{QJ) *-слабо,
в L°°@, Г, Z.a(Q)) *-слабо,
) слабо,
*-слабо,
*-слабо,
¦ЗГЛи*—5Г в L"'@, Г;
5Г
/>аФ("а)-»-01 в ^°°@, Г;
Ф (/>*«*)-¦«>« в L°°@, Г;
Ф (?»«»
0, T; LP(Q)) *-слабо,
в Lp'@, Г; r-llP'(Q)) слабо,
в L°°@, Г; L2(Q)) *-слабо,
слабо>
слабо.
-*4гв L2(°-Г;
*5 в L°(Q)
Отметим, наконец, что обязательно
«1 = «, tK=t),.

458 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Мы покажем, что
vi = Щ = «j = Ф (и), ш = ф(ы). A-77)
Применим теорему о компактности 12.1 гл. 1, выбирая
Мы находимся в условиях теоремы 12.1 гЛ. 1, поскольку
(ввиду варианта предложения 12.1 гл. 1) множество таких о,
для которых М(у)^ 1, является относительно компактным'в В.
Мы применим этот результат к последовательности phuh (это
возможно ввиду A.70) и A.71)); следовательно, можно счи-
считать, что
phuh-*u сильно в Lia~i)p(Q) и почти всюду. A.78)
Мы уже показали, что w = ty(u) и что о2 = ф(и).
Таким образом, равенства A.77) будут доказаны, если мы
покажем, что
A.79)
Нельзя непосредственно применить результат о компакт-
компактности к последовательности q^u^, однако мы проверим, что qhuh
«достаточно близки» к phuh. Говоря более аккуратно, мы про-
проверим следующее утверждение (см. Равьяр [6]): существует
такая константа С, что VuAeFA справедлива оценка
|| phvh - qhvh ||L(a->"(Q) < С*'«-'»| Ф fort*-». A-80)
Из A.80) и A.78) следует, что
Phuh - qhUh -> 0 в L0-" p (Q) сильно,
поэтому мы можем считать, что
qhuh—>u сильно в L(a~1)p(Q)« почти всюду, A.81)
откуда следует A.79).
1.3.7. Предельный переход. 1) Из A.49) и предыдущих
результатов моментально следует, что
"' + г=/> ' пап
¦и[х,0) = и9(х), и(х, Т) = 1D V'0 >

/. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей 459
Поскольку и, кроме того, удовлетворяет включениям A.37),
A.38), нам остается только показать, что
). A.83)
2) Для доказательства A.83) мы воспользуемся методом
монотонности. Можно умножить обе части A.82) на \и\а~2и;
тогда получим ')
J («', | и Г2и) da -1 J [± (| и Г^ и), | и Г2I2 u)da -
откуда
т
^-11 И
т т
J (ё, Ф(И» rf/==T»lfa(Q)+J (f. Ф(И
О О
Для произвольного 8 H3.Lp@, Г; Wo "(Q)) рассмотрим
т
Хн = J (А (рм (Ч)) - А (в), РаФ (uh) - в) Л > 0.
о
Из A.57) следует, что
г
ТII qn4 (T) If в + J (Л (РаФ (иА)), рйФ (uh)) dt -
о
о
и благодаря A.54) мы получим, переходя к нижним пре-
пределам, что
т
lim inf J (Л (Р*Ф («/.)). РАФ (и
Т"и
откуда
г
- Jfe. в)Л-J(i4(9), Ф(«)-в)Л= J (gr — Л (в),
¦) См. работу Равьяра [6], где все это детально обосновано.

460 Fj\. 4. Итерационные методы. Частные решения
(в силу A.84)), поэтому
г
J (8 ~ А (9), Ф (и) - в) Л > 0 V9 е= // (О, Г; rj-p (Q)).
о
Отсюда обычным методом (см. § 1 гл. 2) выводится равен-
равенство A.83)#
Замечание 1.5 (Равьяр [6]). Можно решить задачу A.31),
A.32), A.33) другим способом, сводя ее к дважды нелинейному
уравнению (см. замечание 1.4 и проблему 10.2).
После замены неизвестной функции и-*\и\а~2и уравне-
уравнение A.31) примет вид1)
-gj(\u
—2 \ тЬ д (\ ди
р~2
ди
A-85)
а условия A.32), A.33) останутся без изменения (только и0 ста-
станет другим). Эта задача решена Равьяром в цитированной выше
работе посредством полной дискретизации по неявной схеме;
если через Ah обозначена (подходящая) конечно-разностная
аппроксимация оператора
( "~2
д (\ дер
с краевыми условиями Дирихле, то указанная схема имеет вид
(где uj — приближенное значение и на дискретной сетке с ша-
шагом Л (по пространству) в момент я/г).
1 Показана (см. Равьяр [б]) сходимость этой схемы в подхо-
подходящей топологии к функции и, являющейся решением задачи,
так что существование доказывается заново.
Этот метод дискретизации интересен тем, что (как мы
уже видел.и в случае метода семидискретизации) можно умно-
умножать A.S6) на нелинейные выражения от и.% (см. также [§ 4
гл.3)#
') Через п мы обозначаем число пространственных переменных. Все,
что мы до енх пор делали (для я=»1), распространяется на случай п>~\.

2. Аппроксимация посредством расщепления 461
2. АППРОКСИМАЦИЯ ПОСРЕДСТВОМ РАСЩЕПЛЕНИЯ
2.1. Одна задача Т. Карлемана. Формулировка теоремы
В связи со своими исследованиями по кинетической теории
газа К-арлеман [1] поставил следующую задачу: в области
Q = QX]0, T[, где
]1 MXJ» hi
ищутся функции и(х, t), v(х, t), xeQ, te ]О, Т[, удовлетво-
удовлетворяющие уравнениям
ди . ди . о о .
краевым условиям
и(а,, «j, 0 = 0, v(xua2,t) = 0 B.2)
и начальным условиям
и(х, 0), w(jc, 0) равны заданным функциям ио(х) и vo(x). B.3)
Для этой системы мы докажем следующий результат, при-
принадлежащий Темаму [4]:
Теорема 2.1. Пусть щ и v0 — заданные функции, причем
и0, 00 <=
(Q),
«o(«i. *2) = °» °о(*н а2) = 0.
«о. wo^O яочги всюду в Q. B.5)
Тогда существует и притом только одна пара функций и, у,
ие=Г°@, Г; Я1 (Q) П
оеГ@, Г; Я1 (Q)ПL°°(Q)), l )
и ^ 0, w ^ 0 яочги всюду в Q, B.7)
удовлетворяющих B.1), B.2), B.3) ф
Замечание 2.1. Из B.6) и B.1) следует, что
так что ы@), w@) имеют смысл (в частности, в Ь2{п))ф
Сначала мы докажем единственность (для этого нам не
понадобятся никакие новые идеи по сравнению с уже имею-
имеющимися в предыдущих главах), далее для доказательства су-
существования мы введем метод расщепления.

462 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
2.2. Доказательство единствеииости
Пусть {«!, к,} и {%, kJ суть два решения задачи. Полагая
U — И] — Ы2. V = Vj— V2,
получим
Умножим B.8) на и и проинтегрируем по Q; положим
(ф, ф) = Г фф d*. | ф | = (ф, ф)'/а.
в ^
Заметим, что
и
та!
с что
Однако
и,
то
II
-щ) = (и
следовательно, если
(°|-°я)(и1-
max (||i
-u2)dX
a
Щ,
«2)(«i
K-
°°(Q)' 1
lJ|M(
°9(«i-«*)
^°°(Q).
^11^=»^=
*. ОНо(ДС,
благодаря B.7),
dx. B.11)
0l^<2|i|«||o|,
и B.11) приводит к неравенству
-ft\u(t)?^.4\i\u{f)\\vi1)\. B.12)
Аналогично, исходя из" B.9), получим
-^-| w@P<4(x|«@||w@|. B.13)
Складывая B.12) и B.13), получим
и, следовательно, в силу леммы Гронуолла | и (t) f -f-1 v {t) p = 0 <

2. Аппроксимация посредством расщепления 463
2.3. Метод расщепления
2.3.1. Общие соображения. Начнем с общей формальной
схемы. Рассмотрим систему (и может быть вектором)
~ +Al(u) + A2{u) = f, . " B.14)
где Ах и А2 суть два1) линейных или нелинейных оператора.
Пусть
— шаг по времени, и предположим, что нам известно
ип — «приближенное значение» и в момент nk.
Теперь мы определим un+i («приближенное значение» и
в момент (о+ l)k) в два этапа.
Первый этап: рассматривается уравнение
о>1 удовлетворяет краевым условиям, «отвечающим Ах», B.15)
yi!i (nk) = ип;
с его помощью «вычисляем»2)
B.16)
Второй этап: рассматривается «вторая часть» уравнения
B.14):
w2 удовлетворяет краевым условиям, «отвечающим А2», '*•*')
здесь
Далее берем
и«+' = w2 {{п + 1) k). B.18)
При «интегрировании» B.15), B.17) естественно ограни-
ограничиться какой-нибудь аппроксимацией уравнения B.15) (или
B.17)) (поскольку даже после точного интегрирования мы по-
получим лишь приближенное значение). Таким образом, мы
') Излагаемый нами метод распространяется на случай любого конечного
расщепления.
2) Здесь мы рассуждаем формально. На самом деле необходимо, чтобы
задача B.15) имела рещение на интервале {nk, (n+ \)k\.

464 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
приходим, например, к схеме с расщеплением (или- с дробными
шагами')).
2.3.2. Приложение к задаче Карлемана. Мы отсылаем чи-
читателя к литературе в Комментариях по поводу полезности
метода, который мы сейчас вкратце изложим, для численных
расчетов. Мы же сейчас продемонстрируем полезность этого
метода для полунения новых априорных оценок2)ф
Вернемся к системе B.1). Ввиду замечаний п. 2.3.1 попы-
попытаемся «расщепить» ее на две системы
1 B-20)
д» , ди _ Q
* dXi B 21)
Это расщепление интересно тем, что каждую из систем B.20),
B.21) можно явно проинтегрировать; последнее дает надежду
на получение «более точных» априорных оценок по сравнению
с теми, которые можно получить непосредственно (без расще-
расщепления) ф
Семидискретизация типа B.19) в конце концов приводит
к следующей аппроксимации задачи: пусть известна пара функ-
функций {ип, о"}—аппроксимация в момент nk; мы определи-м
{«"+'/*, i>B+l/«} и {ип+\ vn+1} из уравнений
= 0,
= 0,
„п+1 _ vn+4, + k ~- = 0, vn+i (л:,, а2) = 0.
(а,, х2) - 0,
B-23)
') Здесь речь идет только о семидискретизированной схеме, поскольку
«пространственные» операторы Л, н А2 мы не аппроксимируем конечными
разностями.
2) Отметим, что мы находим аппроксимацию для решения, удовлетво-
удовлетворяющего «ограничениям» B.7). С аналогичным свойством (существенным)
мы встречаемся в работах Темама [8], [9], где метод подобного типа при-
применяется к уравнениям Риккати (см. также § 9).

2. Аппроксимация посредством расщепления 465
Эту систему можно решить; в самом деле, система B.22)
имеет единственное решение, которое задается явными форму-
формулами:
2kan
l+2kan '
где
a»=un + vn. B.25)
Аналогично система B.23) имеет единственное решение,
которое задается явными формулами:
/' "В+/!& ^) exp
B-26)
Эти формулы полностью определяют последовательность
{и", vn}, коль скоро выбраны {и0, о0}; естественно, что мы по-
полагаем
B.27).
2.4. Априорные оценки
Возьмем k вида
k = T/N, N- целое, B.28)
рассмотрим функции
'1.2,
при t&[nk,(n+l)k[, « = 0,1 iV-1, l> '
и функции
й*@» б*@» линейные на отрезке
[nk,{n + l)k], ,0<«<JV-l, . B.30)
Сейчас будет доказана
Лемма 2.1. Функции ulk, v{k {1=1, 2), «ft, 6ft при /г->0
ограничены в U*{0, T-, Я1 (Q) f] L°° (Q)) ы принимают положи-
положительные значения (почти всюду)»

466 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Мы разобьем доказательство леммы на несколько этапов;
сначала мы покажем, что uik, ... являются функциями от t
со значениями в ?-°°(?2)
Лемма 2.2. Положим
<?о = II и0 It- (Ц) -+¦ [| о0 И^- да; B.31)
тогда
II "n+'/aIL-m, + IIvn+ Ht-(Q)< со Vn = 0,.... iV - 1, f = 1, 2, B.32)
u
un+, vn+w^Q почти всюду Vn и i=l,2. B.33)
Доказательство. Свойство B.33) следует из формул
B.24), B.26). Чтобы упростить запись, положим
V<> Ч-д. B-34)
В силу формул B.26)
и, таким образом, оценка B.32) будет установлена, если мы
покажем, что
%п+Ч, + уП+Ч, ^ %п + ^п> B щ
Для этого заметим, что поскольку hn-\-\хп ^ ап, а функция
возрастает, по крайней мере при о^а, то (в силу B.24))
J П0ЧТИ ВСЮДУ«
J
почти всюду'
откуда следуют неравенства
1+ 2k (Лп + ц") "
Складывая эти неравенства, мы получим B.36) ф
Из леммы 2.2 также следует, что uik, vik (/==1, 2), uft и
й4 ограничены в Х°°@, Т; L°° (Q)).
Итак, нам остается показать, что совокупность этих функ-
функций ограничена в L°°@, T\ Н^Щ)

2. Аппроксимация посредством расщепления
467
Будет доказана
Лемма 2.3. Если k < 4с0, то существует такая константа си
ЧТО1)
дип+Щ
дх,
t
dvn+i'2
дх,
<с„ /,/=1,2,
—1. B.38)
Замечание 2.2. Ясно, что неравенства B.38) приводят
нас к требуемому результату, и их доказательством заканчи-
заканчивается доказательство леммы 2.1ф
Доказательство леммы 2.3. 1) Покажем сначала, что
B.39)
сЭии+1
дх2
dvn+l
дх.
/л /л
дх2
дх.
B.40)
Из первого уравнения B.23) после дифференцирования
по х22) получим
дип
дх2
дх2
дх2
Это дифференцирование будет оправдано, если, скажем,
_—h«+'/i e L2 (Q). Тогда, умножая скалярно это уравнение
в L2(Q) на дип+[/дх2 и пользуясь тем, что
дх2
дх-.
дх.
дх,
дх.
мы получим B.39). Аналогичным образом мы установим B.40),
дифференцируя по Х\ второе уравнение B.23).
2) Временно предположим, что уже доказаны неравенства
Р
6 = -
Р < I (| Dtun
—к> '-1.2.
B.42)
а*,
dvn+1
дх.
A
¦) Через | | обозначается норма в L2 (Q).
2) Сначала формального.

468 Гл. 4. Итерационные методы.' Частные решения
Покажем, что из них следует лемма. Положим
fW = I Diun+m I2 + I D^n+m | + | DiVn+i/212 + | D2v»+«21«, B.44)
/ = 1,2.
Из неравенств B.39), B.40), B.43) следует, что
A+,<^2+fW B-45)
а из B.42) получим (складывая неравенства для /=1, 2)
Следовательно,
откуда
Далее, воспользовавшись B.46), мы окончательно получим, что
Р„> Р„+1/ ^ const, так что для доказательства леммы осталось
установить неравенства B.42) и B.43).
3) Проверка B.42). Из B.22) следует, что
Dtun+'>> = Dtun —
откуда
| рги"+Ч> | < | Dtun | + 2kc0 (| Dtun+l/> | +1 Dtvn+4> |) B.47)
и аналогично
| ?>,ря+* | < | Dtvn | + 2kc0 (| ?),«»+'* | +1 Dtv"+l'> |). B.48)
Для упрощения записи временно положим
\Dtu»+li>\ = x, \DiVn+4'\ = y, \Dtu"\^a, \D,v"\ = b, 2kco=y.
Тогда неравенства B.47), B.48) примут вид
а после сложения
откуда
и, следовательно,
(а + 6)<а + 6+
откуда вытекает B.42).

2. Аппроксимация посредством расщепления
469
4) Проверка B.43). Продифференцируем (сначала формально)
первое уравнение B.23) по х{, получим
dun+1 ди"+Ч> h д (dun+l\Q
и из уравнения B.23) следует, что
B.49)
B.50)
Взяв скалярное произведение B.49) и дип+1/дх{, получим
дип+1
дип+1 ) ^ & (\ дип
^ J [
дх,
откуда в силу B.50)
дип+1
дхг
и потому
dun+i
дип+1
дх{ 11 d*i
Jun+i I2
~dx7-\ '
дх.
Ъг
* С2-51)
Однако в силу B.24)
ип+Ч,(а, х.,\=
k (vn (glt
(i 2)
(в силу леммы 2.2)
и, следовательно,
так что B.51) приводит к неравенству
-«2К B-52)
Исходя из второго уравнения B.23) (которое следует диф-
дифференцировать по х2) мы выведем неравенство, аналогичное
B.52), в котором вместо и и хх фигурируют о и х2; отсюда
будет следовать B.43) ф
2.5. Предельный переход. Доказательство теоремы
существования
Согласно лемме 2.1, можно выделить подпоследователь-
подпоследовательности, опять обозначаемые через ulk, vik, й*, t>k, таким обра-
образом, чтобы
«**-*«*, vlk-*v{, йк-*й, vk-*v .
в L°° @, Т; Я1 (Q) П L°° (Q)) *-слабо. { 'Ь6) ¦

470 Тл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Сходимости такого типа недостаточно для перехода к пределу
в нелинейных членах, однако для н4 и vk имеет место допол-
дополнительная оценка.
Лемма 2.4. При k-+0
-gf-, -gj- ограничены в L00^, T; L?{Q)). B.54)
Доказательство. Складывая соответствующие равен-
равенства из B.22), B.23), получим
ып+1 — ип _|_ fc -JL 1_ fc [(«л+'/2J — (#«+'/2J] _; 0? B.55)
что эквивалентно уравнению
дй^ ди
-^T + -^- + («iftJ-(WiftJ = 0. B.56)
Аналогично
dv и . dvau
Отсюда в силу леммы 2.1 следует B.54)ф
Теперь, благодаря оценкам для uk, vk и компактности вло-
вложения Я1 (Q) -*¦ L2 (Q), мы можем считать, что
йк-*й, у*->5 сильно в L2(Q) и почти всюду. B.58)
Однако, согласно определению функций. йк и u2k, имеем
И«* —ftllL»(o,r;L2(Q))< SUP 1«П+1-«"|,
0 ^ п ^ N—I
и, учитывая B.55) и лемму 2.1, мы получаем
II «* - ft Hi00 @, Т; L2 (В)) < kC* B-59)
Таким же образом
II vk - v2k ||L« @> r. L2 (Q)) < kc3. B.60)
Следовательно, ввиду этих оценок и B.58) мы можем за-
заключить, что
Ujft->H, v2k-*v сильно в L?(Q) и почти всюду. B.61)
Однако первое равенство B.23) записывается в виде
откуда, ввиду леммы 2.1,
II «2ft — «lft It- (о, Т; L2 (О)) < kci> B-62)

3. Аппроксимация посредством срезки 471
и аналогично
II v2k - Pi* I|L« (о, т, L* (a)) < kc4. B.63)
Следовательно, ввиду B.61) мы можем считать, что
uik->u, v[k->v сильно в L2(Q) и почти всюду, B.64)
Тогда (в обозначениях B.53))
Щ — й (=ы), Vi — v {—v),
и мы получаем, что
(ulkf->u2 в L2(Q) слабо,
и аналогично (vikJ->v2. Таким образом, можно перейти к пре-
пределу в уравнениях B.56), B.57); мы увидим, что ни» удовле-
удовлетворяют системе B.1).
Поскольку ввиду леммы 2.4 мы можем также считать, что
то имеем
Hft@)-*«@), vk @)-» у @) в L2(Q) слабо,
и, следовательно,
и@) = и0, о@)=о0#
Замечание 2.3. Аналогичные задачи можно решать
в пространстве произвольной размерности, см. Темам [4]ф
Замечание 2.4. Изложенный метод является конструк-
конструктивным (поскольку в силу единственности на самом деле имеет
место сходимость, и нет нужды выбирать подпоследователь-
подпоследовательность) ф
Замечание 2.5. Используя один метод расщепления,
подобный изложенному выше, и гильбертовы пространства
операторов, Темам [8] решил уравнения в частных производных,
возникающие в теории оптимального управления (см. § 9)ф
3. АППРОКСИМАЦИЯ ПОСРЕДСТВОМ СРЕЗКИ
3.1. Постановка задачи. Формулировка результата
До сих пор в стационарном случае мы изучали (в част-
частности, см. § 2 гл. 2) нелинейные коэрцитивные операторы,
отображающие V в V,

472 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Теперь на простом примере ') мы рассмотрим случай нели-
нелинейного оператора, который не отображает коэрцитивио V -+V щ
Замечание 3.1. В случае эволюционных уравнений
нам удалось рассмотреть ситуации, когда si не отображает
коэрцитивно У в У, используя одновременно Л и si (см.
п. 1.4 гл. 3)#
Пример. Возьмем
V = Wlo"(Q,) A<р<оо), QcR", C.1)
и оператор Ао, такой, что
Ао: V -> V — ограниченный семинепрерывный опе-
оператор, обладающий свойством (М) (см. замеча-
замечание 2.1 гл. 2). C.2)
Далее рассмотрим оператор В, где
Я(ы) = Ы
и пусть
А(и)*=А0(и) + В(и). C.4)
Предположим, что
тогда оператор В не отображает V в V; действительно, если
ре/, то peLf(Q),- = — (это оптимальный результат)
и, следовательно, н(у^-)о eL'(Q) Vu, v только тогда, когда
- + -^1, т. е. р^1Гу2-
Если мы определим
W^V{\LS{Q), 1<^±1_|-, C.6)
то
В(к)еГ 4u<=V. , C.7)
Действительно, если <peLs(Q), то и (-^Мфе?'(?2), когда
""|"' так что
B{u)<={L'{u))'czW'.
') Можно построить, следуя тем же принципам, очень большое число
примеров.

S. Аппроксимация посредством срезки 473
Таким образом,
А отображает V в W (=> V). C.8)
Тем не менее будет доказана
Теорема 3.1. Пусть оператор А имеет вид C.4), причем
имеют место C.2) и C.3), и пусть также выполнено условие
C.5). Предположим, что Ао коэрцитивно отображает V в V.
При этих условиях для f eV существует такое ие7, что
A(u) = f. C.9)
Замечание 3.2. Из C.9) следует, что
B(u) = f-A0(u)<=V9 C.10)
3.2. Метод срезки
Основным моментом в доказательстве (которое приведено
в п. 3.3) является
Лемма 3.1. Пусть иеК и при этом B(u)^V. Тогда
(Я(и), и) = 0. C.11)
Доказательство. 1) Укажем сначала, в чем состоит
трудность. Ясно, что если, скажем, <peiZ)(Q), то
о
Однако если <р^>и в V, то нет никаких оснований для
того, чтобы
(((и), и),
поскольку В не отображает V'-+V и функции fl(q>) не обязаны
стремиться к В (и) в V.
2) Таким образом, речь идет о том, чтобы найти специаль-
специальную аппроксимацию для и; для.этого мы используем метод
срезки. Для заданного /И > 0 положим (Vw e У)
При М-*- оо
и, следовательно,
м =
и(*)>
м,
-М,
(В («),«) =
если | v (х) К М,
если v {х) ^ М,
если v (х) ^ — М.
-»-н в 1^
lim (В (и), им).
C.12)
C.13)
C.14)

474 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Однако аппроксимация посредством им является специаль-
специальной в том смысле, что
(В(и),им) = 0 VM C.15)
(отсюда и из C.14) следует нужный нам результат).
3) Доказательство C.15). При фиксированном М функцио-
функционал и ->(В(и), им) уже будет непрерывным на V (так как
ujMeL*(Q), то тем более им^ LS{Q)) и, следовательно, доста-
достаточно показать, что
(Я(Я>). Фж) = 0 Vq>e0(Q). C.16)
Однако
3.3. Доказательство теоремы 3.1
1) Строим «приближенные решения» ит с помощью метода
Галёркина: берем «базис» wu ..., wm, ... из Vf\Ls(Q) и опре-
определяем ume[a>|, ..., wm] посредством равенств
(Ло(«т) + Д(ит)-/, wt) = 0, 1</<т. C.17)
Замечаем, что поскольку wj^V f]Ls(Q) V/, то
(В(ит), ит) = 0, , C.18)
и существование решения ит системы C.17) следует из леммы
4.3 гл. 1.
Из C.17), C.18) следует, что
Mo(«m). «m) = (f. ««). C.19)
поэтому
ит ограничены в V. C.20)
2) Таким образом можно выделить такую последователь-
последовательность нм, что
Нц->н в V слабо, C.21)
Ыц->н в LP(Q) сильно, C.22)
А0{и^)->х в V слабо, C.23)
^ («и) -* Л в №" слабо. C.24)
Однако благодаря C.22) т) = 5(н), и из C.17) можно вы-
вывести (полагая m = |i), что
% + B(tt) = f.' C.25)

3. Аппроксимация посредством срезки 475
откуда следует, что B(u)^V, и тем самым выполнено C.11),
а тогда (/, и) = (х. «)• Далее, из C.19) следует, что
), н|Х) = (х, и),
откуда ввиду свойства (М) (см. замечание 2.1 гл. 2) вытекает,
что зс = Ло(ы). н> следовательно, ввиду C.25) и является реше-
решением уравнения C.9)«
3.4. Пример одного неравенства
Мы рассмотрим ту же ситуацию, что и выше, только пусть
А: V—>V — псевдомонотонный оператор. C.26)
Далее зададимся таким множеством К, что
К выпукло и замкнуто в V н 0 е К- C.27)
Будем дополнительно предполагать, что •
v-*vM является отображением К в себя VAf
(vM определено в C.12)). C.28)
Будет доказана
Теорема 3.2. Допустим, что выполнены предположения
теоремы 3.1 ') и, кроме того, имеет место C.26). Пусть задано
множество К, удовлетворяющее C.27), C.28). Пусть задано f
из V. Тогда существует такое и е К, что
(Ао (и), v - и) + (В (и), v) > (/, v - и) V» е= К П W. C.29)
Замечание 3.3. Множество Kf\W плотно в К', действи-
действительно, если v&K, то vM^Kf\W и vM-*v в V при М-
Замечание 3.4. Нам неизвестно, имеет ли место вклю-
включение б(н)еГ, так что выражение {В (и), и) a priori не имеет
смысла о
Доказательство. 1) С помощью метода штрафа мы
сначала сведем наше утверждение к теореме 3.1: если Р —опе-
—оператор штрафа, связанный с К (см. п. 5.2 гл. 3), то применим
теорему 3.1 к оператору Ао-\—р вместо Ло; тогда мы увидим,
что существует такое и,еИ, что ;
A,(«8) + B(«8) + ip(«8) = f. C.30)
') Предположение о коэрцитивности состоит в том, что -—„ '.. > +
при |( v |'

476 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Из C.30) следует, что ?(ие)еУ и, следовательно, в силу
леммы 3.1
(Д(«Е),иЕ) = 0, C.31)
что вместе с C.30) приводит к равенству
(А0 («Е), «е) + 7 (Р («е). «е) = (f > «e)- C^32)
Отсюда следует, что при е-*0
мЕ ограничены в V, C.33)
(Р(«Е), иЕ)<Се. C.34)
Далее можно так выделить подпоследовательность, опять
обозначаемую через ые, что (как при доказательстве теоремы 3.1)
ие-+и в V слабо,
Л(«в)-»'х в У слабо,
В(ие)^В{и) в Г' слабо, ( '
P(«e)-^3Ci в V" слабо.
Однако из C.30) вытекает, что
fi(uR) = e(f-A0(ue)-B(ue)),
и, следовательно, ввиду C.35) р(мЕ)-*0 в W «лабо, откуда
3Ci = 0; C.36)
последнее вместе с C.34) показывает, что |3(м)=0, поэтому и^К>
2) Из C.30) выводится (как в п. 5.3 гл. 3), что
(Ло (иг), v-ue) + (В (и,), о - ые) - (/, о - ие) > 0 Vo e /С,
и опять в силу C.31)
(Д, (ие), v - иг) + (В («в), о) - (f, v - ие) > 0 Vo e /С. C.37)
Отсюда получается, что
lim-sup(Ло(ыЕ), иг)<(х, о) + (В(и), v)-(f,v-u) Vvz=K()W,
Е->0
поэтому
C.38)
Благодаря C.28) мы можем подставить v = uM в C.38);
в силу C.15) мы получим, что
Urn sup (Ло (ые), ые - ы) < (х - /, ыл - и) -+ 0 при М -> оо,

3. Аппроксимация посредством срезки ATI
следовательно,
lim sup(Ло(ыЕ), ыЕ - ы)<0. C.39)
е-*о
Однако ввиду псевдомонотонности из C.39) вытекает, что
lim inf (Ло (и,), и, - «).> (Ло (и), и - о) Va е К
и, следовательно, это неравенство выполнено для всех we/CD IF»
откуда благодаря C.37)
(В(и), v)-(f, и-ы)>(Ло(ы), u-v) Vvs=K(]W;
поэтому и удовлетворяет C.29)«
Замечание 3.5. Можно при некоторых предположениях
доказать, что B(«)eF', и тогда записать C.29) в «симметрич-
«симметричной» форме
(А, (и) + В (и), v - и) >(/, v - и) Vvs=K. C.40)
Например, если мы предположим, что
1=1 C.41)
/С = {и|а^0 почти всюду в Q},
fsLp'(Q),
то
(u) + B(u)z=Lp'(Q), C.42)
откуда следует, что В (и) е V.
Действительно, в качестве уравнения со штрафом возьмем
ЛК) + Я(«Е)-!К-ГЧ = /. C.43)
Умножим это уравнение скалярно на — и~. Заметим, что
(Л0(«Е), -«.-)> 0,
(В(ие), -«Г)=-Ji?«A" ** = ¦
откуда
следовательно,

478 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Тогда C.42) следует из C.43) l)m
Замечание 3.6. Приведенный выше метод срезки можно
приспособить к эволюционным задачам, связанным с рассмот-
рассмотренными здесь' стационарными задачами «
4. АППРОКСИМАЦИЯ С ПОМОЩЬЮ СИСТЕМ
ТИПА КОШИ—КОВАЛЕВСКОЙ2)
4.1. Общие указания
Мы уже встречались с несколькими примерами нелинейных
систем, которые не являлись системами Коши — Ковалевской;
это были, в частности:
уравнения Навье — Стокса (§ 6 гл. 1) и их варианты, изу-
изученные в § 4 гл. 2;
уравнения на многообразиях, изученные в § 11 гл. 1 и
в § 5 гл. 2.
На этих примерах мы теперь покажем, каким образом со-
соответствующие задачи можно аппроксимировать «близкими»,
которые уже являются задачами типа Коши — Ковалевской«
Замечание 4.1. Методы подобного типа годятся и для
уравнений магнитной гидродинамики«
Замечание 4.2. Можно применить ту же самую технику
к вариационным неравенствам, ие являющимся «типа Коши —
Ковалевской», ио мы не будем здесь касаться этих вопросов«
4.2. Уравнения Навье — Стокса
Будем пользоваться обозначениями § 6 гл. 1.
Ищутся мир, являющиеся решением задачи
п
^ , D.1).
div« = 0, D.2)
ы = 0 на 2, D.3)
и(х, О) = ио{х), м0 принадлежит Н. D.4)
') Здесь используются методы п. 5.5 гл. 3.
2) См. примечание редактора на стр. 58. — Прим. ред.

4. Аппроксимация с помощью систем типа Коши — Ковалевской 479
Эта система не содержит производную dpldt, так что она
не является системой типа Коши — Ковалевской.
Естественный способ «приближения» написанной выше си-
системы посредством системы Коши — Ковалевской состоит в том,
чтобы заменить D.2) уравнением вида
e-^- + div« = 0, e>0. D.5)
Но нам неизвестно, будет ли задача D.1), D.5), D.3), D.4)
корректной, даже при п = 2. Таким образом, мы приходим
к тому, что D.1) надо также подправлять, добавляя члены, ко-
которые будут равны нулю, когда div« = 0.
Итак, мы приходим к следующей задаче1):
п
Д - v Д«Е + 5Х,Я|И, + y (div«.)«. + &rad ft = /. D-6)
e^- + div«e = 0, . D.7)
ые = 0 на 2, D.8)
ыЕ@) = ы0 на Q, D.9)
Ре@) — Ро> Ро произвольно выбирается из L2(Q). D.10)
Система D.6) —D.10) является системой типа Коши —Ко-
—Ковалевской. Мы докажем следующие теоремы:
Теорема 4.1. Для любого е>0 существуют {иг, pj, удо-
удовлетворяющие включениям
иг е L2 @, f; {Hi (Q)f) П L00 (О, Т; {L2 (Q))n), D.11)
D.12)
и уравнениям D.6) — D.10J).
В случае п = 2 решение {иг, рг} определяется единственным
образом3).
Теорема 4.2. Предположим, что п*С.4. Тогда при е->0
можно так выделить подпоследовательность, обозначаемую
опять через {ие, ре}, что
ив~*и в L2@, T; {Hl(Q)f) слабо, а в
L°°@, T; (L2(Q))n) *-слабо, { '
') «е = {«е «ел}-
2) Из включений D.11), D.12) и уравнений D.6), D.7) следует, что усло-
условия D.9) и D.10) имеют смысл.
8) Вопрос о единственности при я > 3 является открытым.

480 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Здесь и является решением системы Навье—Стокса D.1)—D.4),
а рг-+р в ^(Q)/R {факторпространстве ЗУ (Q) no R).
В случае п = 2 выделять подпоследовательность не нужно.
Доказательство теоремы 4.1. Техника доказательства
такая же, как в § 6 гл. 1. Поэтому мы остановимся только на
наиболее существенных моментах.
1) Введем пространство
W = (Ho(Q))nXL2(Q), D.14)
«общие точки» которого будем обозначать через {и, р), {о, q}
Напомним, что
Va.BG (Hi (Q))\ w s (Hlo (Q))n П (Ln (Q))n')
мы полагаем
n
b («, v, w) = ^ J ui (Dp/) wt dx. "D.15)
i, /=1 Q
Кроме того, рассмотрим
n
bx (и, v, w) = j ^ J u{ (div v) wt dx, D.16)
5(«, v, w) — b(u, v, w)-\-bi(u, v, w). D.17)
Задачу D.6) —D.10) мы теперь сформулируем следующим
образом (ср. с задачей 6.2 гл. 1): ищутся {ыЕ, ре), удовлетво-
ряющие D.11), D.12) и такие, что2)
(и'г, v) + va (иЕ, v) + b (ые, ыЕ, v) - (ре, div v) = (f, v) '
Vve=(Hl0(Q))n(){Ln(Q)Y,
e(pi, q) + (div«E, q) = 0 V^e=L2(Q),
«e(O) = «o, РгФ) = Ро. ( }
2) Далее, таким же образом, как в п. 6.4 гл. 1, доказы-
доказывается существование {ыЕ, рг}, удовлетворяющих написанным
выше уравнениям.
Прежде всего заметим, что Vo e (Но (Q))n f) (Ln {О)У мы имеем
iol 2
') См. лемму 6.1 гл. 1. •
2) Через (ф, ^) мы обозначаем скалярное произведение в (L2 (Q))" и
| <р | = (ф, ф)Ч .

4. Аппроксимация с помощью систем типа Коши — Кбвалевской 481
поскольку (очевидно!)
- (q, div v) + (div v, q) = 0 V»e (Hi (Q))", q&L2 (Q).
Тогда из D.18), D.19) формально будет следовать, что
4i @, «.(<)) = № «.('))• D-20)
Чтобы воспользоваться этим равенством, мы возьмем «спе-
«специальный базис», образованный собственными функциями wj
задачи
«О V^(^o(Q))n. D.21)
где s выбирается таким же образом, как в условии F.43) гл. 1
(s = n/2).
Далее будем-применять метод Фаэдо — Галёркина; благо-
благодаря специальному выбору базиса мы получим оценки, анало-
аналогичные D.20), для приближенных решений {игт, рет} и оценку
'.ДЛЯ .и'г. ': .
Далее перейдем к пределу, используя компактность,.как
в п. 6.4 гл. 1. ......
3) Единственность (при п = 2) устанавливается таким же
образом, как в п. 6.2 гл. 1«
Доказательствотеоремы 4.2. 1) Из равенства, ана-
аналогичного D.20), для приближенных решений {игт, рЕт} мы вы-
выведем, что при е->0 • ...
и, ограничены в L2@, Г; (Hi(Q))")П L°° (О, Т; (L2(Q))"),' D.22)
У~грг ограничены в L°°@, T; L2(Q)). D.23)
2) Теперь Мы собираемся получить оценки для производных
дробного порядка по t от ы8 (методом п.,6,5 гл. 1). Положим
va («E, V) + 5 («Е, «Е, t»j = (gE (*), t»), " ' D.24)
,где^ .-
ge
причем .
D.25)
где || ||-норма в (Я01(О))". '
В самом деле, последнее следует из того, что при п
форма и, v, ш-*5(ы, v, w) непрерывна на ()
1Й Зак. 4в

482 /"л. 4. Итерационные методы. Частные решения
Продолжая иг, ре нулем вне [О, Т], а далее применяя пре-
преобразование Фурье по /, мы выведем из D.18), D.19), D.24),
что
ix (йе (т), v) + /те (ре (т), q) - (fi, (т), div v) +
+ (diva.(T), <?) = (f, *)-(?.. o) + («o, »)-
- (и, (T), v) е-**«т + e (p0, 7) - e (pe (T), q) e-*"™. D.26)
Подставляя в D.26) v — ue(x), q — pe{T){), получим •
ix I й. (т) P + /те | fiB (t) P = (f - &, й, (т)) +
+ («0. Й. W) - (и. (Г), й, (т)) e-2"'Tr + e (p0. ^e (Г)) -
-
откуда
(т)р + |т|е|^е(т)Р<
[ ^ - (Q))n + " *• (t) "(я- (Q,)"
1в|М*Н D-27)
В силу D.25) и D.22)
г
/
о
Следовательно,
Выбирая такое а, что 2а > 1, мы из 'D.27) получим
+00
Г !—— []х||йе(т)р + |т||8|^е
+00
Так как функция т-^- —-у принадлежит L2(R) (поскольку
2а > 1), то из D.22), D.23) следует, что каждый интеграл в пра-
') Все это можно обосновать, производи те же самые операции в ко-
конечномерном пространстве для приближений u^m, pm (как в п. 6.5 гл. 1).

4. Аппроксимация с помощью систем типа Коши — Ковалевской 483
вой части D.28) ^с4! таким образом, неравенство D.28) пока-
показывает, что (ср. F.72) гл. 1)
Ул> 0: D'tu~\e ограничены в L2@, Г; (L2(Q))"), D.29)
Ул> 0: Dt''~nps ограничены в L2@, T; L2(Q)). D.30)
3) Предельный переход. Благодаря D.22), D.23) можно так
выделить подпоследовательность, опять обозначаемую через ие,
что
иг-+и в L2@, Г; (//J(Q))n) слабо,
ие-+и в L°°@, T; (L2(Q))n) *-слабо, •
«„-»¦« сильно в L2@, Г; (L2(Q))n) и почти всюду D.32)
(это следует из теоремы 5.2 гл. 1).
, В силу D.23) ер?-»-0 в ЗУ (Q) (в частности), поэтому diwu —
s= — epg-^-0 в ^'(Q), что вместе с D.31) приводит к равенству
div« = 0. D.33)
.В силу D.31), D.32), взяв в D.18) такое о, у которого
div0 = O, получим
(«', v)+ya(u, v)+h{u, и, о) = (/, о);
ввиду D.33) 5(ы, и, v) = b(u, и, о), и, следовательно, и является
решением задачи
(и', v) + va (и, v) + b (и, и, v) = (/, о) Vo e= (#o (Q))", div о = 0,
и теорема доказана «
Замечание 4.3. Кроме замены системы D.1) на D.6)
возможны другие модификации (уравнение D.5) остается без
изменения): вместо у (div и) и можно добавлять выражения
Замечание 4.4. Исходя из D.18) можно получить оценку
для вектор-функции и'г, рассматривая последнюю как функцию
со значениями в пространстве Vs (так что надо брать v^Vs,
div 0 = 0); однако надо учитывать, что «естественное» отобра-
отображение (#o(Q))" в V's не является взаимно однозначным. Мы
не знаем, вереи ли результат, аналогичный теореме 4.2, при
п>4т
16*

484,
Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Замечание 4.5. Естественно, что приведенный выше ме-
метод позволяет передоказать теорему 6.1 гл. 1 при «^4, т. е.
установить существование решения задачи Навье — Стокса ф
4.3. Уравнения на многообразии
Вернемся к задаче из § 4 гл. 2, сохранив имеющиеся там
обозначения. Ищется функция w, являющаяся решением задачи
= 0 BQ=QX]0,r[.
D.34)
где
причем
dw
dw
Р—2
л
дх{
i
w(x, 0) = wo(x),
на S,
D.35)
D.36)
¦ Мы собираемся «приблизить» эту задачу (не являющуюся
задачей типа Коши — Ковалевской) следующей: ищется функция
иЛх> 0» удовлетворяющая уравнению (при е>0)
и условиям
due
ue(x, 0) = uo
-^¦cos(n, xt)=f на 2,
D.37)
D.38)
D.39)
Эта задача относится к типу задач Коши — Ковалевской «
Сформулируем теперь задачу D.37), D.38), D.39) более точна.
Введем
р~2 ди до
dx
и" напомним, что y («оператор следа на Г») отображает ^'""(Q)
в (и даже «а) Г'/р>" (Г).
. Чтобы упростить изложение, мы предположим, что р > 2
(это не играет никакой существенной, роли).

4. Аппроксимация с помощью систем типа Коши — Ковалевской 485
Положим
(f,g)Q=jfgdx, (Ф, -ф)г = J ф-ф^Г.
Q Г
Мы будем искать такую функцию ые, что
uet=L"@, T;V), , D.40)
u'eS=Lp'{0, Т; W~x'"'(&)), D.41)
Y«e €= if @, T; W~w~"' (Г)), . D.42)
e («e, v)a + (Y«e, Y")г + а (ые, v) = (f, Y«)r Vi> s K, D.43)
где f принадлежит Lp'@, f; R7~I/p/l"' (Г)), и выполнены началь-
начальные условия ;
ые @) = «о, «о принадлежит L2 (Q), D.44)
yue(Q) = w0, w0 принадлежит L2(F), как в D.36)« D.45)
Замечание 4.6. Начальные условия ы0 и w0 «незави-
«независимы»; последнее возможно ввиду того, что ищется «слабое»
решение иЁф
Сейчас мы докажем следующие теоремы:
Теорема 4.3. Задача D.40)—D.45) при любом е > 0 имеет
единственное решение.
Теорема 4.4. При е-*0 имеем
¦ ; ые-^ш 0 L"{0, T; V) слабо, D.46)
где w является решением задачи D.34),' D.35), D.36) 1)ф
Доказательство теоремы 4.3 является простым ва-
вариантом доказательства теоремы 1.1 или теоремы 1.2 гл. 2
(при условиях 1 <р<2 следует применить теорему 1.2')ф
Доказательство теоремы 4.4. 1) Из D.43) легко вы-
выводится, что при е-»-0
ыЕ ограничены в Lp@, T; V), D.47)
Y«e ограничены в Lp'@, Т; Г~1/р''"' (Г)), D.48)
'¦¦ е«е ограничена в L"'@, T; W~u "'(Q)), •
Угиг ограничены в L°°@, T; L2(Q)).
') Мы получаем такие новое .доказательство существования решения
в теореме 4.1 гл. 2.

486 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
2) Положим
Г-1/@. T;V),
т
(а(и), v)=\a(u@,-v{t))dt V«, геГ,
о
где ( , ) обозначает скалярное произведение между У и У.
В силу D.47), D.48) можно выделить такую последователь-
последовательность ие, что
ие->и в У слабо,
Y«e->Y«V в Lp'@, Г; Г/р'' Р'(Г)) слабо, D.50)
•s^(ue)~>X B ^°' слабо;
тогда Yue @) -*¦ Yu @) в ^2(П слабо и, следовательно,
Y«@) = av D.51)
Благодаря D.50), D.49) можно перейти к пределу в D.43);
получим
(Y«*. Yo)r + (X. t»H = (f, yo)r Vo e К, D.52)
и, следовательно, равенство u = w (ас ним и теорема) будет
доказано, если мы покажем, что
1 = s4-{u). D.53)
3) Для этого мы используем монотонность si-. Положим
г
Применяя D.43) (для » = ие), мы увидим, что
т
. а.-о).
г
Из D.49) и D.50) мы выведем, что
г
*е-> / (f. У«)ГЛ + у /1 »о ?dT - (х, о) - (Д*(о). « - о).
о , г
С другой стороны, так как оператор si- монотонный, то

5. Последовательные приближения 487
откуда
и потому
Г
, yu)rdt +
о г
>jl\u(T)fdT. D.55)
г
Однако из D.52) следует, что
т
J (/, Y«)r<tt + T J I «ЮРrfT-y J I «ЮР<Т = (Х. и),
о . г г
и D.55) приводит к неравенству
из которого D.53) получается обычным способом.
5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ
5.1. Общие замечания
Метод последовательных приближений a priori може* быть
применен к любой нелинейной задаче. При использовании этого
метода наиболее существенным моментом является выбор нор-
нормированного функционального пространства, в котором про-
проводятся оценки1).
Мы собираемся привести два примера.
(i) В п. 5.2 мы изучим Задачу Коши для нелинейного пара-
параболического уравнения в том случае, когда нет интеграла энер-
энергии (см. также § 2 гл. 1).
(И) В п. 5.3 мы изучим нелинейное интегро-дифференциаль-
ное уравнение«
5.2. Уравнение -~- — Д« — ui+a = О
Пусть задано а > 0. Ищется функция и (х, i), удовлетворяю*
щая уравнению
') Впрочем, мы уже неоднократно по разным поводам подчеркивали, что
в нелинейных задачах выбор «функциональных пространств» играет решаю*
щую роль.

488 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
И условиям
«(*,/)> 0, E.2)
и(х, 0) = «(,(*)» x^Rn, ио>О —заданная функция, E.3)
функция и непрерывна при xsR*, f>0. E.4)
Если функция и существует для всех t^O, то она назы-
называется глобальным решением задачи E.1)—E.4).
- Теперь будет установлена
Теорема 5.1. Предположим, что
па > 2. E.5)
Тогда для любого заданного % > 0 существует такое а, что
если щ является непрерывной функцией, удовлетворяющей
условию
(^) E.6)
то существует глобальное решение задачи E.1)—E.4), для ко-,
торого выполнена оценка')
Замечание 5.1. В случае, «противоположном» к E.5),
т! е. йри net <2, как мы уже видели (в п. 2.4 гл. 1), не суще-
существует (в некотором смысле) решения задачи E.1)—E.4).
С другой стороны, если выполнено условие E.5), то суще-
существует «много» 'допустимых начальных данных щ, для которых
существует глобальное решение«
Доказательство теоремы 5.1. 1) Сведение к инте-
гральному уравнению.
Рассмотрим «элементарное решение» оператора теплопро-
теплопроводности:
Положим -
$и0 {х, t)= \U (X, у, t) и0 (У) dy, E.9)
• ' '¦¦ R" ¦ ¦ " • . . ..
(i ,} К (и) (х, 0.- J do J U {х,у, t-a\u {у, аI+лс1у. E.10)
0 n
...;>) Мозкио, кроме того, показать, что функция к «гладкая», см..
Фужита [1]. ! ' , ¦ . s

5. Последовательные приближения " 489
Тогда рассматриваемая задача эквивалентна задаче о. ра-
разыскании решения и нелинейного интегрального уравнения
и = Нио + К{и). E.11)
Мы применим метод последовательных приближений, рекур-
рентно определяя
«1 = Я«0, E.12)
и„+, = Яи0+ #(«„). E.13)
Основным моментом является выбор нормы.
2) Выбор нормы. Рассматриваемые функции естественно
«сравнивать» с образом функции exp ( — -^- \ х f ) (которая воз-
возникает в E.6)) при отображении Я. В этой связи положим
р(х, 0^Р = я(ехр(-^-|*р)) = [/(*, 0, / + х). E.14)
Эта функция >0 и непрерывна в R2X[0, + оо [. Далее вве-
введем норму
¦ Ф|—вир Jjg^l-. E.15)
3) Оценка оператора К по норме ||| |||. Имеем
существует такая константа с,, что
ПК (о) III <c, I v Ц|1+а для любой непрерывной E.16)
функции v ^0, 1 v ||| < оо.
В самом деле, согласно определению E.15), имеем
0(*, 01+а<|1М1Гар(*>01+а,
откуда по определению К
1+a{1+a). E.17)
Однако р(*. s)'+a<c2 ,\na/2 p{x, s), откуда
Is + %)
¦x)"
t
J—^-й- J t/(«, y,t-S)P{y,s)dy =
0J (s + x) RJB
(здееь мы воспользовались условием E.5)).

490 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Далее из E.17) следует, что
К (у) (*, 0 - -I+.
р(х,0 ^сзП|0Ц| .
откуда получается E.16) (причем с, = с3).
Так как |ЦрЦ| = 1, то из E.16) следует, что
Ci. EЛ8)
Докажем теперь следующее утверждение:
пусть задано М > 0; каковы бы ни были непре-
непрерывные функции и, v^tO, такие, что ЩиЩ^М, _ 1Л.
||| v HI < М, всегда ||| *(«)-* (v) || < E-19>
а
<1(+)||||||
Действительно,
\и(у, sI+a-o(i/(S)I+a|<
<A + a)max {и(у, s)a, v(у, s)a] \u(y, s) — v(у, s)\ <
aa , s),
Откуда
\K(u)(x,t)-K(v)(x,t)\<:
t
da | i/(Ar, у, t-a)\u{y, aI+a-v(y, orI+
+ a) Ma HI ы - t; HI/С (Р);
отсюда в силу E.18) следует E.19).
4) Сходимость процесса E.13). Очевидно, что E.6) эквива-
эквивалентно неравенствам
, 0, х) (б = огDяХ)"/2), E.20)
и речь идет о доказательстве сходимости E.13) по норме | |
для «достаточно малых» б.
Доказательство состоит из двух этапов:
(i) из E.13) и E.16) следует, что
JIhJI1^ E.21)
(поскольку E.20) приводит к неравенству о^р)
Таким образом, ||«яКу»» где Yi == Ш "i И1 и
Отсюда следует, что для достаточно малых б
Щи„|||<Л4(б), где ОД)-*О при б-*0. E.22)

-5. Последовательные приближения ' 491
(ii) Из определения E.13), а также из E.19) и E.22) выво-
выводим, что
III un+l-un I = IK (un)-K («„-,) III < с, A+ а)М(б)° |1 «„-«„_, 1,
откуда получается наш результат, коль скоро б выбрано так,
что выполняется неравенство
с,(Г+а)М(б)а<1. E.23)
5.3. Одно нелинейное иитегро-дифференциальное уравнение
в пространстве типа Жеврея
5.3.1. Одна лемма. Пусть Е — пространство Банаха над R
с нормой || ||, Е' — дуальное пространство с нормой || ||,, а через
( , ) обозначается скалярное произведение между Е и Е'.
Возьмем
E) E.24)
и для ие? положим
A(u) = g + [a + (e', u)]Bu. E.25)
Лемма 5.1. Пусть Р = ||В||-?(?.ЕУ Предположим, что
Р|а|<1, 4p||g||||e'li<(l-Pla|J. E.26)
Тогда существует решение и^Е уравнения
А(и) = и. ^ E.27)
Доказательство. Мы используем очень простой метод.
Проверим, что найдется такое р, что если
вр = {е[ее?,|
то
i) А отображает Вр в себя,
|и-оИ Vh, o
Для этого заметим, что
. 1И(«)||<1Ы1+(|а|
и, следовательно, если и е Вр, то
И(и)И<ИгИ + Р(|а
коль скоро р выбрано таким образом, что
E.28)
выбор такого р возможен в силу E.26).
Далее, для и, иеВр имеем

492 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
откуда следует (п), коль скоро
1. E.29)
Мы получаем нужный нам результат, выбирая р таким
образом, чтобы оно одновременно удовлетворяло E.28) и E.29)
(что возможно) ф
5.3.2. Применение. Теперь мы попытаемся решить одно
нелинейное интегро-дифференциальное уравнение (введенное
Таленти [1] в связи с изучением задачи Коши). Пусть
С = {х, t\xe=]O, 1[,/€=]-l, 1[},
и пусть s^ 0 —заданное число, т> 0 — заданное целое число.
Ищется функция и, которая определена в С и является
решением уравнения
u = g+ \a+b \dx \{\-f)u{x,t)dt X
L о —i J
В E.30) а и b являются заданными числами из R, a g — за-
заданной функцией (немного ниже мы уточним условия на g).
Мы собираемся доказать существование решения (при под-
подходящих предположениях) в банаховом пространстве Е типа
пространств Жевреяф
Пространства GPl r
Пусть заданы числа р ^ 0 и г > 0. Мы определим GPl г
как пространство функций и, определенных в С и таких, что
A - I'l )kp+1 -^ «(х. t) ев L" {О) V* > 0, E.31)
Без труда проверяется, что Gp'г является банаховым про-
пространством (не сводящимся к одной точке {0}) ')•
') Gp> г является пространством типа Жеврея по переменным х (гово-
(говорят, что функция ф над R имеет жевреевскнй порядок а, если для любого
компакта К существуют такие с и L, что
I фF) (х) I < cLkT (ka + 1) Vft, V* е К).

5. Последовательные приближения
493
Положим в E.30)
Наиболее важным моментом является следующая лемма —
именно в ней проявляется выбор пространства Gp%''.
Лемма 5.2. Если В — оператор, определенный в E.33), то
'r; Gslm'r) E.34)
E.35)
Доказательство. 1) В силу свойств интеграла Римана —
Лиувилля
где С определяется из равенства
и достаточно показать, что
'r; Gslm'r),
E.36)
E.37)
2) Положим s/m = р и предположим, что s > 0 (так что
и р > 0). Тогда
F.38)
Нам надо оценить
(i-mf
J Г(Р) (i-|r
Полагая
т ==
J
t )t]-a
М 1-<т '
\t-r\"-i(l-\t\)kp+1

494 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
мы получим, что написанный выше интеграл мажорируется
интегралом
1
, < ' \ap-x(\-cfp.da=-
¦ г (р) J
о
и, следовательно,
откуда
!|Сн||р,г<г|!и||р,г#
Теперь легко доказывается
Теорема 5.2. Пусть г > 0 выбрано так, что
\a\rm<l. E.39)
Предположим, что g e Gs/m> г и чго
16|6|11г1(,/Л.-гг1"<A-|а|гя)!|. E.40)
Тогда существует функция и е Gs/m> г, удовлетворяющая
уравнению E.30).
Доказательство. Применим лемму 5.1 для E = Gslm'r
и оператора В, .определенного с помощью E.33); так как форма
11
u->b f dx $ (l-t2)u(x,t)dt
0-1
непрерывна на Е, то
11
Ъ \dx \{\-F)u{x,t)dt = {e, и), е'е=?'. E.41)
-1
В силу леммы 5.2 Р^г, и ввиду E.39) выполнено первое
условие E.26). Нам осталось оценить || е' Ц. Имеем
\dx J (l-t2)u{x,t)dt
-1
откуда
Таким образом, второе условие E.26) следует из E.40)

б. Периодические решения. Параболический случай 495
6. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.
ПАРАБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАИ
6.1. Общие указания
Рассмотрим нелинейный параболический оператор вида
Ищется функция и, удовлетворяющая уравнению
¦f+ rf(«) = f F.1)
и условию
и@) = и(Т). F.2)
Тогда и называется периодическим решением ').
Схематически можно представить себе два метода изучения
периодических решений:
Метод 1. Рассматривается оператор L = d/dt, а в качестве
области определения L берутся, например, функции о, удо-
удовлетворяющие условию v@) = v{T). Тогда задача F.1), F.2)
запишется в виде
L« + st(u) = f, и принадлежит области определения L. F.3)
Тогда при подходящих условиях на si можно применить
теорему 1.2 гл. 3.
Мы привели соответствующий пример в п. 2.2 гл. Зф
Метод 2. Рассматривается задача Коши
F.4)
и@) = и0
и рассматривается отображение
). F-5)
Теперь «ничего другого не остается» как искать неподвижные
точкиф
Замечание 6.1. «Глобальный» подход метода 1 не дает
оценки ugL"(О, Т\ Н), с которой мы часто встречались.
(Впрочем, с этой же самой трудностью мы сталкиваемся и
в задаче с начальными условиями, что приводит к весьма
') Если / задана на R( и имеет период Т, то и будет сужением на
отрезок [О, Т] решения с периодом Т цо t.

496 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
сложной формулировке теоремы 1.2 гл. 3.) Метод 2 иногда
позволяет обойти эту трудностьф
Мы' приведем пример применения метода 2 к уравнениям
Навье —-Стокса.
6.2. Периодические решения уравиений Навье — Стокса
Мы будем пользоваться обозначениями § 6 гл. 1.
Сейчас будет доказана
Теорема 6.1. Пусть задана функция f е 1}(О, Т; V). Тогда
существует такая функция и, что
u<=L2 (О, Т; V) П L00 (О, Т; Н), F.6)
(u',v) + va(u,v) + b(u,u,v) = (f,v) Vi> € V Л (Iя (Q))n, F.7)
и{0) = и{Т). F.8)
Замечание 6.2. В точности таким же образом, как в тео-
теореме 6.5 гл. 1 (фактически граничные условия не участвуют
в этом результате), можно показать, что
всякое решение и задачи F.6), F.7) удовлетворяет
условию W e=L2(D,T;V's), s«=n/2. F.9)
Тогда условие F.8) имеет смысл ф
Доказательство. Мы применим метод 2 в конечно-
конечномерном случае, а потом перейдем к пределу.
1) Приближенное решение. Как и в § 6 гл. 1, мы восполь-
воспользуемся «специальным базисом» из функций wt, которые при-
принадлежат Vs и определяются условиями F.52) гл. 1, т. е.
») Vt>e=Vs. F.10)
Рассмотрим задачу Коши
(«4. 8У/) + va{um,wj) + b{um,um,w,) = (f,wj), l</<m, F.11)
««lOsh. •••» t»J, F.12)
ига(О)==ыо) "о~произвольный элемент из [до,, ..., wm]. F.13)
Как известно (см. п. 6.4 гл. 1), решение um(t) существует
иа отрезке [0, Г]. Мы покажем, что
существует такое R, не зависящее от ш, что
I««(Г) К/?, коль скоро | «о К Я1)- F.14)
. ') Через | I обозначается норма в [wu .... wm], индуцированная нор-
нормой в П.

6. Периодические решения. Параболический случай 497
В самом деле, поскольку Ь(ит, ит, ыт)===0> Т0 из F.11)
следует, что
а так как, в частности,
a(t
то получим (c3 = vc2)
-|-|Ит@Р + Сз|ит@Р<2с1||/(/Iе. F.15)
Отсюда получим ,
Т
J 4. F.16)
Из последнего неравенства следует F.14), если выбрать R
таким образом, чтобы
Итак, отображение
переводит в себя 5Л (шар с центром в начале и радиуса R
в пространстве [wlt..., wm], снабженном нормой | |); по-
поскольку это отображение непрерывно,
существует такая точка uOm^BR, что &~m{uOm) = uOm. F.18)
Отныне мы будем обозначать'через ит решение задачи F.11),
удовлетворяющее условию
и«@)-н*г F.19)
2) Оценки для ит. Далее, поскольку ввиду F.14) иОт огра-
ограничены в Я, мы получим в точности те же самые оценки, что
и в случае уравнений с начальными условиями. Следовательно
(см. гл. 1, F.60) и F.61)),
ит ограничены в L2@, Г;УIН"@, Т; Н), F.20)
и'т ограничены в L2@, T; VJ). F.21)
3) Предельный переход. Из F.20), F.21) следует, что можно
выделить такую подпоследовательность и^, что
' и^-+и в L2@, 7"; V) слабо, а в L°° @, Т; Н) *-слабо,
• «д-> и' в L2@, T; Т9) слабо,

498 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
откуда, в частности,
"и (°) -»1«(°)> «и (Л -»¦«(Л елабо в 1^.
Однако, так как ы„ @) == ыц (Л, то отсюда выводим, что
«@)-«(Г).
В F.11) можно перейти к пределу (полагая т = ц) таким же
образом, как в случае начальных данных (гл. 1, п. 6.4). Сле-
Следовательно, и удовлетворяет F.6), F.7) и F.8) *
Замечание 6.3. Мы применили метод 2 (метод непод-
неподвижной точки) в конечномерном пространстве. Что касается
непосредственного применения этого метода в бесконечномер-
бесконечномерном случае, то пусть и — некоторое решение F.7), удовлетво-
удовлетворяющее F.6), и пусть и @) = «о-
Тогда и(Т) можно определить в Я1); пусть и(Т) = &~(и0).
При п — 2 можно непосредственно проверить, что &~ — слабо
непрерывное отображение Н^>Н, переводящее в себя некото-
некоторый шар в Я. Тогда существует такое и0, что &~(u0) — Uo,
откуда опять следует теорема 6.1 при п = 2 (см. Проди [2]).
В случае п^З нам пришлось бы иметь дело с теоремой о не-
неподвижной точке для {быть может) многозначных отображений,
и приведенный выше способ доказательства безусловно является
более простым «
Замечание 6.4. Мы не знаем, имеет ли место единствен-
единственность периодического решения (даже при п = 2) в условиях
теоремы 6.1« .. '
Замечание 6.5, Можно, следуя Каниелю и Шинброту [2],
получить в размерностях • 2 или 3 теорему существования и
единственности периодического решения при дополнительном
предположении, что || f ||L«> Я) берутся из «.достаточно малого»
множества щ
6.3. Замечания об односторонних задачах
' В случае односторонних задач (или неравенств), связанных
с уравнениями Навье — Стокса, для периодических решений
будет доказана
Теорема 6.2. Пусть размерность п — 2, и пусть задано
выпуклое множество К, замкнутое в V и удовлетворяющее
условию F.73) п. 6.4 гл. 3. Тогда2) для заданного f из
') Так как и^1°°@, Т; Н) и /eL2(o, Г; V's), тб, следовательно, и
является слабо непрерывным отображением [0, Т]->Н.
2) Ср. с теоремой 6.3 гл. 3.

6. Периодические решения. Параболический случай 499
?2@, Т; V) существует и, такое, что
и s L2 (О, Т; V) П V (О, Т; Н), F.22)
и {t) e К. для почти всех t e ]О, Т[, F.23)
т т
J Кф', ф —и)+ а(«, ф —«) + *(«, и, ф — u)]dt^j (f,q>>-u)dt
о о
F.24)
для всех ф е= L2 (О, Г; К), ф' е L2 (О, Т; V), Ф (/) е= К, Ф @) = ф G1)-
Доказательство. Мы одновременно используем тех-
технику, применявшуюся при доказательстве теоремы 6.1, и ме-
метод штрафа из § 6 гл. 3.
1) Итак, пусть р: V -*• V — оператор штрафа, связанный с К
(см. § 5 гл. 3). Рассмотрим задачу Коши (ср. F.11), F.12),
F.13)) (мы полагаем v = 1, что, очевидно, не играет никакой
роли);,
(u'm, w,) + a{um, Wj) + b (um, u№ wj) + - (p (u J, w,) =
= (/, w,), 1 </</«, F.25)
«в@б1ю„ ;.., шт], F.26)
и«@) = «0. F.27)
Поскольку — (р(мот), н„)^0, то таким же образом, как при
доказательстве утверждения F.14), получим:
существует такое R, не зависящее от m и е,
что |ыт(ЛК#> коль скоро |ыо|<#. F.28)
Следовательно, существует решение иш задачи
{u'm, voj) + a {um, w,) + b (ume, u^, w,) +
+ 7(P(O.w/)-(f.w/). l</<m, F.29)
«m» @) = ume (Г), | «„ @) | < *. F.30)
2) Из F.29), F.30) мы выведем, используя, по-прежнему,
положительность (р(о), о), что
иш ограничены в L2@, T; lOfU°°@, Т; Н)
при /п-»-оо, е-*-0. F.31)
В противоположность этому из F.29) не удается вывести
оценки для и'ш, которые бы не зависели от г {причем последнее

500 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
не связано с выбором базиса)'). Мы перейдем к пределу в чле-
членах b(ume, ume, Wj), используя соображения монотонности, — это
возможно лишь для очень специальных выпуклых множеств К.
(в этом и состоит условие F.73) гл. 3).
Итак, мы поступим следующим образом. Перейдем к пре-
пределу по m при фиксированном е; тогда (поскольку ге = 2) и'тв
принадлежат ограниченному множеству, зависящему от е,
в L2 @, Т; V), и можно выделить такую последовательность и^е,
что
*V->He в L2@, T- V) слабо _
ивГ @, Т; Н) *-слабо, ( '
u'^-^ui в L2@, Т; V) слабо; F.33)
при этом получим
ие{0) = ие(Т). F.34)
С другой стороны, из F.29) и F.30) следует, что
т
I ^ft /*/ \ it \ /У/ ^ Со 1(\ V\\
I \JJ \»/од/> /716/ ^^ ОС \\JtOxJf
о
Можно считать, что
Р(М-^5Се в L2@, Г; КО слабо, F.36)
и из F.29) для т = ц мы выведем (как в теореме 6.1), что
Далее получим, заменяя о на иг (что законно):
г г
J [а («,, ig +1 (хе, ig] dt = J (/, ut) dt. F.38)
о о ,
Теперь мы покажем, что '
Хе=Р(«е)- ' F-39)
Мы будем исходить из неравенства
т ¦ ¦
J [a («me - Ф» иш — Ф) + 7 <Р ("те) ~ Р (ф). «т. ~ Ф>] *> 0,
;.у(о.чю.- <б-4о)
') Нам не удалось применительно к «периодическому» случаю адапти-
адаптировать метод, аспользоаанный в п. 6.5 гл. 3.

6. Периодические решения. Параболический случай 501
Однако ввиду F.29) левая часть F.40) равна
г
J [if, «me) — а (Ф. «me ~ ф) ~ а («те. ф) ~ 1" (Р (ф). «те — ф) —
а при m = ii она стремится к
т
j [if, «г) — а (Ф. «г — ф) — а (ыг, ф) —
о
— 7^(ф)' "г" Ф) —Т^1'
Теперь, используя F.38), мы получим, что F.40) эквива-
эквивалентно неравенству
т
Г Г • 1 -I
о "¦ ' е ф ' г J ^ F>41)
). Т; V),
откуда следует F.39) (надо взять ф = нг — Хф, % > 0, разделить
на Я и устремить Л-»-0).
Поскольку
л л
J (P («me), «те) Л > J (P («е). «те ~ «,) Л +
(Р(«те).«е)<#->-/ (Р(«г),«е)^
J
0 0
Г Г
J
о о
то из F.35), следует, что
т
|(Р(«е). и,)Л<Св. F.42)
о
Резюмируя сказанное, мы получаем существование после-
последовательности ыг, такой, что
ые ограничены в L2@, T; V)(\Leo{0, Т; Н) при е-*0, F.43)
К о) + а К, с) + & (а„ а„ v) +1 ф(«Д с)—(f, v) \fv e И, F.44)
и ыг удовлетворяют F.34) и F.42). '
Теперь можно перейти к пределу по е в точности таким же
образом, как в п. 2 теоремы 6.3 гл. Зф

502 ¦ Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
7. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ.
ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ
7.1. Общие указания
В качестве типичного примера рассмотрим задачу о разы-
разыскании периодического по t решения уравнения
d2w ,
-Р--Дш-
1Г = Г в Q = QX]0, T[ G.1)
= 0 на
и (условие периодичности w no t)
при условиях '
ад = 0 на Z1) . G.2)
w(x,0) = w(x,T), ^-(х.О)—^-(х, Т), xeQ. G.3)
Основная трудность состоит в следующем. Умножим G.1)
на dw/dt и проинтегрируем по Q; поскольку (в силу G.3))
d2w dw
Q
а в силу G.2) и G.3)
Q
то мы получим, что
lffldxa-jf?dx*. G.4)
Q Q
Таким образом, посредством' подходящего метода аппрокси-
аппроксимации можно получить априорную оценку для || dw/dt \\lp{Q),
но этой оценки недостаточно.
Ситуация существенно улучшается, если работать с такими
т
функциями ф, у которых Г tf>dt = O. По идее Проди [3] будем
о
искать w в виде
w = и + и0,
и0 не зависит от t, G.5)
J u4t = 0.
') Это условие взято для определенности. Предлагаемый ниже метод
годится для «всех» граничных условий.

г
7. Периодические решения. Гиперболический случай 503
Сначала, исходя из G.5), проведем формальные преобразо-
преобразования. Подставляя в G.1), найдем (мы пишем q/, q>", ... вместо
дф1, d2q>/dt\ ...), что
ы"-Дн-Ни'|р-2«' = / + Аы0. G.6)
Чтобы «исключить» н0, продифференцируем G.6) по t, откуда
получим
J*("_AH+,H^-V) = -g-, гG.7)
udt = O, н@) = ы(Г), ит{0) = и'{Т). G.8)
о
Затем, если нам удастся найти функцию и, являющуюся
решением (в некотором подходящем смысле) задачи G.7), G.8),
то ы0 мы определим следующим образом. Из G.7) вытекает, что
н"_Лн + 1«'Г2«'-/ = ?о. G>9)
g0 не зависит от /,
и тогда в качестве и0 возьмем решение задачи
Ано = ?о. «о1г = О. G.10)
При этом w = и -\- и0 будет решением исходной задачи ф
Теперь мы придадим точный смысл предшествующим рас-
рассуждениям.
-^ 7.2. Решение гиперболической задачи G.7), G.8)
с помощью эллиптической регуляризации
Будет доказана
Теорема 7.1. Предположим, что Q — ограниченная область
в R" и что р > 2. Рассмотрим f e if (Q). Тогда существует
единственная функция w,
w = u + u0, uo^Hl(Q) + W2'P'(Q)uWyiQ), G.11)
" «e=L2@, Т;ЩЩ, G.12)
u'<=Lp{Q), G.13)
удовлетворяющая G.1), G.3)').
) Условие G.2) является следствием включения и0 е Н\ (Q) + W2' * (Q) П
>р'^) и включения G.12). Условия G.3) имеют смысл (ср. G.16)).

504 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Доказательство. 1) Обозначения. Чтобы упростить
запись, положим
л
j^-^-dx, G.14)
У(ф)=1фГ2ф- G.15)
Заметим, что если w является решением нашей задачи, то
w" e= L2 @, Г; Я (Q)) + L"' (Q). G.16)
2) Доказательство единственности. Пусть wu w2 суть два
возможных решения, i|? = twj — до2; тогда
ф" + Ла|> + у (»0 - Y И) = 0. G.17)
Пусть р„ — регуляризующая последовательность периодиче-
периодических четных по t функций с периодом Т; обозначим через *
свертку по окружности; рассмотрим
Так как в силу G.11), G.12)
%<=L2@,T;V),
то функция
принадлежит С°°([0, T];V) и периодична,
G.20)
а поскольку, с другой стороны, ф'е1"((Э) (в силу G.13)), то
функция
Ф'*Р»*Р» принадлежит С°°([0, Т]; L"(Q)) и периодична. G.21)
Согласно G.16),
Ъ" е L2@, T; V') + I?@, Т; I? (Q)).
Это включение вместе с G.20), G.21)'показывает, что интеграл
т
\ W» Ф' * Рл * Рп) ^ имеет смысл и равен нулю,
о
С другой стороны,
ЛЦ) е {L2 @, Г; КО + функция из V' (О)}»

7. Периодические решения. Гиперболический случай 505
и, следовательно, интеграл
т
J (Aty, о|/ * р„ * р„) dt имеет смысл и равен нулю.
Таким образом, из G.17) следует, что
г
J (Y (»i) - Y (»?). ¦' • ря • Р») Л = 0, G.22)
о
и можно перейти к пределу в G.22); тогда получим
т
0, G.23)
откуда
w'i = wr2. G.24)
Тогда t|> = wi — w2 = 6 и
г
QT= j {wl — w^dt — T(um—uOi), если а^ = иг +им;
' ."- '" ¦ о' .
таким образом (ср. G.11)),
ee=#J(Q) + r2>p'(Q)nWoIp/(Q). G.25)
Однако из G.17) следует, что ,
Л9 = 0. G.26)
Это равенство вместе с G.25) показывает, что в = 0, откуда
следует единстаенность.
3) Эллиптическая регуляризация. Теперь мы собираемся
решить задачу G.7), G.8) с помощью эллиптической регуляри-
регуляризации. Рассмотрим пространство
W = { v \v s L2@, Г; V), V е L2 (б, f;
т
. ;.;, /. •; J V @ Ш = 0, v @) = о;G), с' @) = v' (T)}, G.27)
о
являющееся банаховым пространством с нормой -
.- И р Ирг —11 vy,{0, Ti V) + II V ||L2@>T. „ +1| v' у (<й +1| о? I|l«<o. г: «.
Пусть Tj > 0 (потом мы устремим ti к нулю). •.,.',

Гл. 4. Итерационное методы. Частные решения
Для и, v ^W положим
яч(и, v) = л J [(«". с") + И«', о')] do+'
о
г
(и" + Аи + у («'). »0 Л*. G.28)
о
Форма v->n^(u,v) непрерывна на W, следовательно,
л„ (и, v) = ($„ (ы), у), $„(«) е= W, G.29)
и, как нетрудно проверить, ы->-^„(ы) является семинепрерыв-
ным ограниченным отображением W-+ W. Проверим, что
оператор ^ч: W—>¦ IF' коэрцитивный, G.30)
оператор $„: W-+W (строго) монотонный. G.31)
Действительно, имеем')
г г
(^„ (у), у) = т] f (| о" Р +1| у' |р) Л + f (y (V), V) dt; G.32)
о о
HO
г
0
г
и поскольку J о Л = 0, то
о
И ° IL» @, Г; V) ^ СII О' lit1 @. Г; V)'
так что из G.32) следует G.30).
Далее,
т
о
+ J (Y («О - V (о'), и' ~ «') dt, G.33)
о
откуда приходим к G.31).
') Через I | (соответственно || 0) обозначается норма в L2(Q) (соответ»
ственно в kl0(Q), причем тогда ||o|| = a(ci, v)>/l).

7. Периодические решения. Гиперболический случай 507
Таким образом, в силу теоремы 2.1 гл. 2 существует (един-
(единственное) ыч из W, такое, что
G.34)
Задача G.34) называется «эллиптической регуляризацией»
задачи G.7), G.8).
4) Априорные оценки. Из G.32) мы также выведем, что
«ч ограничены & LP(Q) при т]->0, G.35)
г
G,36)
а поскольку J u^dt = 0, то из G.35), G.36) следует, что
о
ы„ ограничены в Lp (Q), G.37)
G.38)
Теперь мы собираемся получить другие априорные оценки,
беря в качестве v в G.34) функцию
t т
v(t)= J«4(ff)dff — j- J" (Г-cr) «„(*)</*. G.39)
0 . 0
Можно проверить, что
г
Тогда G.34) примет вид
г
о
т т
+ J [К. Urd + II «„ IP + (Y К)> «*>)] Л - J <f, «,) Л С7'40)

508
Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Однако в силу G.36), G.38)
л/[К. «4
< const при -л—> 0. G.41)
.. другой стороны,
г
и благодаря тому, что р > 2, из G.35) следует, что
т
Г (и'ц, u-^dt ^ const при -л —>- 0.
о
Наконец (в силу G.35) и G.37)),
G.42)
< IIV К) %у (Q) II «г, It р (Q) < Ca. G.43)
Используя.G.40), G.41), G.42), G.43), мы получим, что
г
G.44)
5) Предельный переход. В силу G.35), G.44) можно выде-
выделить подпоследовательность, обозначаемую опять через ыч, так,
чтобы
«„-»•« в L2@, T; V) слабо,
ы{|-»ы' в LP{Q) слабо, G.45)
v(«0-"X в LP'(Q) слабо. G.46)
г
Поскольку [«„??/ = 0 и «„(()) = «,, (Г), имеем
G.47)
Переходя к пределу в G.34), найдем, что
г г
/ {(- и', о") + (Ли, t»0 + (х, о')] Л = J (/, у') Л V» е 1Г.. G.48)

7. Периодические решения. Гиперболический случай 509
Применяя технику п. 2) (доказательства единственности),
подставим в G.48)
v = и * р„ * р„, G.49)
что законно, поскольку »еГ([0, Т]; V), v'z=C*{\Q, T\; V(Щ,
v — периодическая функция по t. Поскольку тогда
г г
J (и', v") dt = 0, J (Аи, v') dt = 0,
то получим
откуда
Покажем
0
т
0
теперь
* Prt * Prt]
г
0
, что
0
г
0
г
0
')<#. G.50)
G.51)
Для ф е Lp (Q) положим
г г
*„ = / (V К) - Y (Ф), К - Ф) Л + Л / (I < Р + II«; IP) Л. G-52)
о о
Имеем
т т т
*„ = J (/, «л) ^ - J (Y (ф). «'л - Ф) Л - J (Y («п)> Ф) dt,
О 0.0
откуда . .¦'¦¦¦
т т т
Х^ | (f, «О Л-J (у(Ф), «'-ф)Л- J (X, Ф)Л=»^.
о о о
Пользуясь G.50), мы увидим, что
г
?-J(x-V(q>).«'-<p)<ff; G-53)
о
Так как Хп^0, то, следовательно, Х^0 Уфе!/7^); отсюда
выводится G.51).
Возьмем теперь такую функцию ф, что
г
O, . к .
о G.54)
периодична по /, .

510 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
и подставим в G.48) функцию о вида (ср. G.39))
t т
о$ = J ^da — y- J (T —о) $ (о) do. G.55)
о о
Тогда, учитывая G.51), найдем, что
г
/ [~ («'. V) + (Аи, ¦) + (у («О, *) - (/, *)] dt = 0, G.56)
о
откуда
и" + Ли + ylu^ — f—go, go не зависит от f. G.57)
Если фе^(]0,Г[), то имеем
г
И"(Ф)--/в'ф'Ле=1'@),
о
г
V(«О(Ф) = / V(«О?Ле Lp'(Q), f (ф) = / /фЛе= Lp'(Q),
о о
откуда
о
и, следовательно,
g0GK' + Lp'(Q). G.58)
Тогда из уравнения G.57) следует, что для u/f = g0
— Аи— у («О выполнено включение
ы" s L2 (О, Г; И') + Lp' (Q). G.59)
Далее из G.57) мы выведем (считая, что ф удовлетворяет
G.54)), что
г
(и'(Л. ¦(*•))-(«'@),
г
J [- («', *0 + (Ли, ф) + (Y («0.

7. Периодические решения. Гиперболический случай 611
откуда, учитывая G.56),
(и'@),Ч>@)) = (ы'(Г).Ч>(Г))
и, следовательно,
ы'@) = ы'(Г). G.60)
Определим теперь ы0 как решение задачи
Дыо = ?о. Ио1г = °; G.61)
тогда, согласно G.58) и Агмону [1],
tiQe=V. + W2'p'(Q)r\Wlop'(Q)
и w = и + «о является решением задачи «
. 7.3. Периодические решения гиперболических
неравенств
Естественно посмотреть, в какой мере результаты типа из-
изложенных в предыдущем пункте обобщаются на гиперболиче-
гиперболические неравенства (в смысле § 7 гл. 3). На этом пути возникают
очень большие технические трудности, и мы приведем один
очень частный результат m
Теорема 7.2. Предположим, что Q — ограниченная область
в Rn и что р>2. Пусть задана функция
f<=L2{0,T;Hl(Q)), f'e=L2(Q), f(x,O) = f(x,T), G.62)
и выпуклое замкнутое множество К в L2(Q); предположим, что
существует оператор штрафа1) р: Н-*Н, H = L2(Q),
связанный с К, причем Р отображает Hl0(Q) в Я^(?2) G.63)
и (р(о),-До)>0 VuetfJ(Q).
Тогда существует функция и, такая, что
u&L2 @, Т; Hi (Q)), к' е L2 @, Г; Hl0 (Q)) П If (Q), G.64)
u"<=L2{Q), G.65)
и(*, 0) = и(*," Г), и'(*, 0) = и'(х, Т), xeQ, G.66)
и' (/) е /С яочги всюду, G.67)
7"
G.68)
') В смысле п. 5.2 гл. 3.

812 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
(Yo > 0 — заданное число) для любой такоц функции <р, что
?eL2@J;^(Q)), q>'e=L2(O, Г; Я* (Q)) IUP (Q),
G б9)
q>(*,O) = q>(*, Г), ф'@е*. :'
Более того, если и является одним из решений, то все решения
имеют вид
u + g, ?еЯо(й) не зависит от /» G.70)
Приведем примеры, в которых выполнено условие G.63).
Пример 7.1.
7С=Ф |yeL2(Q); y>0 почти всюду в Q}. G.71)
Здесь можно взять
р(Ф—о-, .
и если ve Н10 (Q), то .
Пример 7.2.
K = {v \v gL2(Q), Я0<»(ж)<^ почти всюду в Q}. G.72)
Здесь можно взять 5 ¦>
• o(jc) —Ло> если о)
Р (»)(*)= 0, если
у (х) — Ai, если у(
и опять будем иметь
Доказательство G.70). .Пусть «i и ы2 суть два решения.
Пользуясь регуляризацией по окружности (как в G.18)), мы
ПодСтавим
' q/ = ы? * р„ * prt (соответственно ф' = и\ * prt * prt)
в неравенство для щ (соответственно для ы2). Замечая^ что
л - ¦ * •

7. Периодические решения. Гиперболический случай 513
мы после сложения получим
г т
J (YK). «2 * Р„* Р„ ~«0Л+ / (Y(«2> "i * Р» * Р» - «
о о
откуда после перехода к пределу
и, следовательно,
Таким образом,
ut — u2 = g не зависит от t и ge #o(Q)#
Доказательствосуществования. 1) Приближенное
решение задачи со штрафом. Мы применим метод штрафа
в конечномерном случае (как в § 7 гл. 3). Итак, пусть V '== #o(Q), a
wu ..., wm, ...— «базис» в F П 1Р (й). G.73)
Согласно теореме 7.1 (в которой следует у заменить на
у-|—Р, е > 0, a F заменить на Vm — пространство [wlt ..., jdJ,
порожденное tw, wm), существует единственная функция
ume-L4Q,T;Vm),
такая, что2)
// \ е // G.74)
« @) = и (Т), и' @) = и' (Г) G.75)
и
|wm| p ^С (константа, не зависящая от t и е), G.76)
г -
j (
НО- U'm)dt
') Мы положили у(ф) = |ф|р Ф + ?оф. Yo>O-
2) Поскольку значения функций принадлежат Vm, в этом случае аналог
члена «о из G.11) также принадлежит Vm. На самом деле ит=^иш, т. е.
этот член зависит также от е.
'/«16 Зак. 46

514 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
2) Специальный базис и дополнительные априорные оценки.
Выберем специальный базис из собственных функций Wj\
Aw, = X,w,, WjfsHKQ). G.78)
Если граница Г области Q достаточно регулярна (что неявно
предполагается), то
w, s Lp (Q) V/.
Благодаря G.78) мы можем в G.74) заменить Ш/ на Awj:
(«;, Aw,) + (Aum, Aw,) + (у К), Aw,) +1 (Р (u'm), Aw,) -
= (f. Да»/), 1</"<1я. G.79)
Отсюда мы выводим, что
К' Л"т * Р« * Р») + (Л"т- ^"^ * Р» * Р„) + (V К)' Аи'ш * Р« * Р»)
откуда
Т (Р (О' Л«- * Р» * Р») = (f> AU'm * Р» * Р«).
о
и, переходя к
т
J(vK).
пределу
Au'm)dt-{
по
1
п,
т
!(
получаем
$(u'm), Au'm)d
0
Т
G-80)
Пользуясь теперь условием G.63), найдем
т гт
о . о
откуда
г т т
О Q" . О О
Поскольку для любой достаточно гладкой в Q функции ф,
равной нулю на границе,

7. Периодические решения. Гиперболический случай 515
мы получаем
г
Г | ыМ2 dt ^ (константа, не зависящая от т и е). G.83)
о
Теперь мы покажем, что
г
{ | ит |2 & < (константа, не зависящая от m и е). G.84)
о
В этой связи пусть тА — оператор сдвига на окружности;
тогда
Ж'-й+Г), если 0<t<h,
\ f(t-h), если h<t<T.
Чтобы упростить запись, положим
Из G.74) следует, что
1 </<от,
откуда, полагая
<PAm = Vm — «m. G.86)
найдем
= (V-/'a'/)- G-87)
Теперь мы можем вывести, что
(ЧС« <Pftm * Р» * РЛ) + п (Ф*т. Фк * Р» * РЛ) +
J (ч ко - ч «). v: - о л < J (V - f. ^А«; - о *.
откуда
Yo J | Ф;т Г dt + j (I rh«; Г2 xym - I <f-2 <, ,hu'm - и'я) dt +
о о
+71 (P КО - P Ю- v? - О л < IЫ - и ф;,) dt,
о о
«Л16*

516 . Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
поэтому
г г
!jf-f,<i>fhm)dt- G-88)
Отсюда благодаря условию G.62) мы можем заключить, что
'^(константа, не зависящая от т и е),
' I '
Г -5*2-
J I h
о
откуда следует G.84).
3) Предельный переход по m (при фиксированном е).
Из оценок G.76), G.83), G.84) следует, что можно выделить
подпоследовательность, обозначаемую опять через ит, таким
образом, что
существует такая последовательность |msV
что «m + |m-^«8 в L2@, T; V) слабо, G>89)
и'т->и'г в L2(О, Т; V) слабо и в L"(Q) слабо, G.90)
<->< в L2(Q) слабо, G.91)
Ч (««)"*%. в L"'^ слаб0' G-92>
«е@) = «8(Г), и'в@) = и'в{Т), G.94)
«Г + ^е + Хв-/- G.95)
Таким же образом, как G.51), доказывается равенство
Хе = К(К)- G.96)
Кроме того, имеем
G.97)
(Для доказательства надо умножить G.95) на «е*Р„*Р„ и,
учитывая G.96), перейти к пределу по п.)

7. Периодические решения. Гиперболический случай
517
4) Предельный переход по е. В силу оценки G.93) мы можем
так выделить подпоследовательность, обозначаемую опять
через ие, что
существуют такие |е е V, что
в L2@, Т; V) слабо,
«,-¦ и' в L2@, Г; K)fUP(
«*->«" в L2@,T;H)
Y(«e)-^5C в LP'(Q)
Р(и,)->Х, в L2(Q)
Однако из G.95), G.96) следует, что
слабо>
слабо,
слабо,
слабо.
G.99)
G.100)
G.101)
откуда 5Ci = 0> и ввиду G.97) мы получим, используя монотон-
монотонность р, что
р(«') = 0. G.102)
Таким образом, u'(t)^I( почти всюду; кроме того, мы уже
знаем, что функция и удовлетворяет G.64), G.65), G.66), G.67).
Итак, нам осталось показать, что
X = Y(«0 G.103)
и что имеет место G.68).
Пусть ф удовлетворяет G.69). Тогда из G.95), G.96) мы
выведем, что
откуда
J [(«Г. фО+04. ф') + (y «) - f. ф' - К * р„ * р„)]
о
г
7
уг17 Зак. 46

518 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
и, переходя к пределу по п, получаем
г
J [{и';, Ф') + (Аие, ф') + (у «) - f, Ф' - u't)] dt > 0 G.104)
о
/ Т Т \
так как - J (P(«J), ф' - K)dt = J (Р(ф') - Р«), ф' - <)^>0
V о о /'
Однако из G.104) следует, что
г г
limsup J (Y«), <)^< J [(«"+Д«+Х, ф')-(/> ф'-и'ИЛ- G.105)
Как мы уже знаем, u'(t)^K, и мы имеем право подста-
подставить в G.105) функцию
ф' = U' * р„ * р„,,
откуда мы выведем, что
г г
limsup f(vK), <)^< f(x, и')dt. . . G.106)
Е->0 о о •
Однако y (в частности) является оператором типа (М) (см.
замечание 2.1 гл. 2), откуда следует G.103).
Докажем теперь G.68). Из G.104) следует, что
г
J [(<> Ф') + (Аи,, Ф') + (v К). Ф') - (f, Ф' - «0] dt >
о
т т
> J (Y «)' <) dt = J (Y («в) - Y («'). «в - «') Л + ¦
о о
г г
+ J (у («о.«; - «')Л + J (v («в)' «О л >
о о
г г
> J (Y («О. К ~ «') * + J (Y К), «') Л.
о о ,
откуда с помощью предельного перехода получается G.68) щ
Замечание 7.1. Изучение возможных периодических
решений уравнения
2

8. Поведение при больших t 519
представляется трудной задачей, a fortiori то же самое имеет
место для соответствующих неравенств (см. проблему 10.13) ^
В работе Рабиновича [1] изучаются периодические решения
(по t) уравнения
jg--|? + eF(*,&,«) = 0 G.107)
и, в частности, доказано существование периодического реше-
решения для достаточно малых е (см. тякже проблему 10.15) ф
8. ПОВЕДЕНИЕ ПРИ БОЛЬШИХ t
8.1. Общие указания
В «большинстве рассмотренных до сих пор случаев мы изу-
изучали эволюционные задачи на интервале [0, Т], где Г —задан-
—заданное конечное число.
В многочисленных приложениях, где можно решить задачу
для произвольного конечного Т, важно знать поведение u(t)
при /-*¦ + оо.
Другой' вопрос—найти решение (если оно существует),
имеющее заданное поведение при / —> + оо и t —> — оо, например
ограниченное по t (в подходящем пространстве по х).
Как всегда, все сводится к тому, чтобы получить новые
априорные оценки. В этом параграфе мы Приведем несколько
примеров таких оценокщ
8.2. Ограниченные на R* решения эволюционных уравнений
с монотонными параболическими операторами
Сначала мы установим один результат-о поведении реше-
решения при /-> + оо.
Пусть V — банахово пространство (с нормой || ||), являющееся
плотным множеством в гильбертовом пространстве Н (со ска-
скалярным произведением ( , ¦) и нормой | |), причем вложение
непрерывно, и пусть V — сопряженное к V пространство (с нор-
нормой || II):
VcH<=V. (8.1)
Рассмотрим оператор v-+A(v): V-+V, такой, что1)
А: V—>V является монотонным семинепрерывным
оператором, (A (v), o)>q|| v\f, а>0, 1<р<оо, (8.2)
VoeF, II Л (и) IL< с || о If'.
') Эти предположения можно существенно ослабить.

520 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Возьмем
f<=Z.foC@, со;/I). (8.3) \
причем пусть
f \\f (a)|p'dff<C, W>0. (8.4)
Тогда для любого конечного Г>0, согласно § 1 гл. 2, най-
найдется единственная функция и, являющаяся решением задачи
ue=L"@,T;V), (8.5) ¦
u' + A(u) = f в ]0, Т[, (8.6) ;
ы@) = 0. (8.7) ;
Так как Т — произвольное конечное число, то *
uGifoc@,oo;F). (8.8) г
Теперь будет доказана
Теорема 8.1. Предположим, что выполнены условия -
(8.1) —(8.4). Пусть и —решение задачи (8.5) —(8.7). Тогда су- -.
ществует такая константа с2, что
| и (t) | <; с2 при t -> + со, (8.9)
J И а (о) f rfcx<c2 W>0. (8.10)
Доказательство. Функция ?->-ы@: {t^0)-+H непре-
непрерывна. Разобьем полупрямую [0, + с» [ на интервалы [/ — 1, /],
/= 1, 2, ..., и пусть
'/е[/-1.Л, |a(f/)|= sup |«@l, /=1,2 (8.11)
<s[/-l. /J
Из (8.6) следует, что для произвольных 5 и ^ > 0, s <t:
t t
(A(u), u)do= $ if, u)do,
s s
откуда, учитывая (8.2), получаем
t
1/Р' / t v lip
I t ч 1/Р' / t v lip
<[\\\f(o)\( da\ j"||«(a)|frfcx . (8.12)
') Lfoc @, oo; X) — пространство таких функций g, что g & Lp {Q, T; X)
при любом конечном Т.

8. Поведение при больших I 521
Идея доказательства состоит в том, что мы применим не-
неравенства (8.12) к точкам tt и tk; поскольку не исключается
равенство ti+l = tjt мы будем применять его к t/ и tl+2.
Положим
где d является «константой вложейия» V -*¦ Н, | v | ^ d || v ||.
Мы покажем, что
I« С/+я) Г< шах A« (/,) |, А1). (8.14)
Проведем доказательство для /=1; оно годится для лю*
бого /. Если
то доказательство закончено! Поэтому предположим, - что
|л(*зI>|и('|I- (8.15)
В силу (8.12) для t = t3, s = ti:
и
t,
/ ч \ W / U \ l/P
<^!"^l)|2 + (J^lir<to) Mll"lN<4 . (8-16)
откуда, сравнивая (8.15) и (8.16), получим
/ U \Чр' , U xl/p'
Однако ?3 — ^1^3, а тогда в силу (8.4)
ч
и
и (8.17) приводит к оценке
U\ufda<^r. (8.18)
17

522 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Так как tz — t^\, то ввиду (8.18) существует такое те
<=[*,, t3], что
Н«(т)||<(-^-I/Р = Сз, (8.19)
откуда
I и (т) К c3d. (8.20)
Применим теперь (8.12) для t = t3 и s = x; получим (исполь-
(используя (8.18))
откуда, учитывая (8.20), найдем
Эта оценка доказывает (8.14), откуда
| и @1 < max ( max | и (t) |, M) = с2; (8.21)
<€=[0.2]
отсюда следует (8.9).
Применяя теперь (8.12) к {?+ 1, t), мы получим, что
<+i /<+i \i/p
а{ Wufde^^cl+cl^n \\u\fdo) ,
откуда следует (8.10) о
Теперь мы установим существование решений, ограничен-
ных на Ht:
Теорема 8.2. Пусть выполнены условия теоремы 8.1
и дополнительно') предположим, что
вложение V —> Н компактно. (8.22)
Рассмотрим функцию U определенную на Rt и такую, что
f<=Z,f0'c(-oo, +оо; V), (8.23)
f WgR. (8.24)
t
Тогда существует такая функция и, что
и' + А{и) = f при — оо < t < оо, (8.25)
ttGr(-oo,+ оо; Н), (8.26)
V/eR. (8.27)
') См. проблему 10.17.

8. Поведение при больших t 523
Доказательство. 1) По теореме 8.1 для любого целого
п > 0 существует и притом только одна такая функция «„, что
Un + A(un) = f на ]-«. +°°Ь (8.28)
«„(-«) = 0, . - (8.29)
1«Л0Ю2 W>-«, (8.30)
причем константа с2 такая же, как в теореме 8.1, и
J \\un(o)\fda^c2 Vt^-n. (8.31)
t
2) Теперь мы переформулируем (8.31). Для. этого продол-
продолжим ип на R нулем при f < — я; теперь «„ всюду будет обоз-
обозначать продолженную функцию. Далее, если X — банахово
пространство и g принадлежит Lpoc(R<; X), то через &~g обоз-
обозначим функцию, определенную равенством
rg{t) = «a-*g(t + e)»: [0, 1]-+Х; (8.32)
таким образом, Tg является функцией на Rt со значениями
в L"@, 1; X) и
1 'ГР /<+1 \1/Р
)
(8.33)
Тогда (8.31) эквивалентно тому, что
функции ^"«„sL°°(R<; Lp@, 1; V)) принадлежат
ограниченному множеству в этом пространстве
при ra->-og, ' n (8.34)
3) ш®?рш мы можем так выделить подпоследовательность,
обозначаемую опять через «„, чтобы
иЛ-+и в L°°(R<; Я) *-слабо (в силу (8.30)), (8.35)
Тип-*Ти в Г°(^; Z/40, 1; К)) *-слабо (в силу (8.34))'), (8.36)
Л(«„)->Х в LrJc(R<; К') слабо2). (8.37)
Из (8.28) мы также выводим, что
«' + X = f (8.38)
и, следовательно,
«'sLfo'ctR,; К')- (8.39)
') Следует отметить, что если выполнено (8.35), то, например, Тип -*¦ Ти
в смысле распределений на R< со значениями в L2(Q, 1; Я).
2) То есть А (и„) ->% в Lp' (s, /; V) слабо для всех конечных s и t.
17*

524 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Итак, теорема будет доказана, коль скоро мы проверим, что
Х = А{и). (8.40)
Для этого возьмем 9eS)(R(), 6@>0, ф е= Z,foc (R,; V)
и положим
+ ОО
Хп= J е(Л(и„)-Л(ф),и„-ф)Л (*„>0). (8.41)
— оо
Продолжая уравнение (8.28) на все R:
f при t > — п,
/ t<_n (8.42)
мы найдем, что
+ 0О +00 +ОО
+ + +
' J е (л («„),«„) л = J (fn, Qun)dt- J e («;,«„) л =
—оо —оо —оо
4-оо +сх)
= J (fn, В«„) Л +1 . J 9' | ип |2 Л. (8.43)
Однако, согласно (8.42) и (8.38),
и'п -* f - X = «' в Lfoc (R; V), (8.44)
и благодаря предположению (8.22) и теореме о компакт-
компактности 5.1 гл. I получаем
«„-»•« в L?(s, t; H) сильно для всех конечных s, t. (8.45)
Теперь мы можем перейти к пределу в (8.43). Имеем
+ ОО +0О ^ +°О
lim J 9(А(«„),«„)dt = J (/, Qu)dt + j J Qf\ufdt-,
—OO - — 00 —OQ
в силу (8.38) правая часть равна
4-оо
j (X. u)dt
— оо
и, таким образом,
*«-> J е(Х-Л(ф), н-ф)Л. (8.46)
—оо
Поскольку АГ„ > 0, из (8.46) следует, что
Уф е Lfoc (R; V). (8.47)

8. Поведение при больших t 525
Подставляя в (8.47)
Ф = и - Яд|>, *s Lfoc (R«; V), Я > О,
мы после деления на Я найдем, что
J 9 (х - Л (и - Яд>), ф) Л > 0 . Vt s ?foC (R,; 10,
и устремляя Я—* О, выведем, что
J 8(х-Д(в),
—оо
откуда
а поскольку последнее имеет место V0s^)(R<), 8^0, то мы
приходим к (8.40) ф
Мы можем дополнить теорему 8.2 одним результатом
о единственности.
Теорема 8.3. Пусть выполнены предположения тео-
теоремы 8.2. Допустим, что
(A{u)-A{v),u-v)>y\u-v\\ y>0, V«, tisF. (8.48)
Тогда задача (8.25), (8.26), (8.27) допускает не более одного
решения.
Доказательство. Пусть и и v суть два возможных ре-
решения и w (t) = и (t) — v (t). Имеем
откуда, учитывая (8.48),
т. е.
но тогда, например, exp2yt\w(t)fi'^s\w@)f при f < 0, что воз-
возможно только тогда, когда w = 0 (в силу (8.26) w (t)&L°° (R,; Я)) *
8.3. Случай параболических неравенств
Постановка задачи. Пусть теперь дополнительно за-
задано ,
К — выпуклое замкнутое множество в К, Q&K. (8.49)

526 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Мы желаем узнать, существует ли функция и, обладающая
свойствами (8.26), (8.27) и такая, что
и (/) s К почти всюду,
(«' @, v - и (*)) + (Л (в @). о-" @) > (f @. о-в @) Voe=/e.(8-50)
A priori можно представить себе два подхода:
(i) решить неравенство (8.50) при t^—n с начальным
условием «„(—«) = 0 (как в случае уравнений, ср. (8.28)
и (8.29)) и попытаться получить оценки, аналогичные тем, ко-
которые были получены для уравнений;
(и) применить метод штрафа (§ 6 гл. 3).
Мы будем следовать методу (и); на этом пути нам не уда-
удалось получить ничего большего, чем одно весьма частное обоб-
обобщение теоремы 8.2.
Теорема 8.4. Предположим, что V — гильбертово про-
пространство и
Ae-&(V;V),
причем
(До, о» а|| о |р, a>0, Voef. (8.51)
Пусть задано множество К, удовлетворяющее (8.49). Пред-
Предположим, что имеет место (8.22). Пусть задана функция f,
причем
f. F 00 /IQ , rr\ f и ?/ / \ l|2 # ^> »»* Г} /q CO\
s L (Kf, n), к f (o) if do ^ c4 vie к. (o.o2)
Тогда существует единственная функция и, обладающая
следующими свойствами:
и, u's=L°°(Rt, H), (8.53)
ж
J (llHlp-Htt'lP^aOs WeR, (8.54)
u(t)s=K Vt, (8.55)
(в' @, о - в @) + (Ли @, о - в @) > (f @. о - в @) _
W V >Ji г- D - (8-56)
Доказательство. 1) Пусть р —оператор штрафа (гл. 3,
§ 5), связанный с К,- Из доказательства теоремы 8.2 видно,

6. Поведение при больших t 527
что Ve > 0 существует ыЕ, удовлетворяющее следующим усло-
условиям:
«eeL°°(R<; Я), ий ограничены в //"(R,; Я) при е->0, (8.57)
[ II "е (т) IP ^ сб (константа не зависит от е), (8.58)
t
K + Au, + \4u^f Ha R,. (8.59)
Теперь нам надо устремить е к 0.
Для того чтобы проходило доказательство типа приведен-
приведенного в теореме 8.2, нужна сильная сходимость последователь-
последовательности ыЕ в L?(s, t; Я). Однако из (8.59) прямо не получается
оценка для и'г; мы получим эту оценку, налагая дополнитель-
дополнительное условие (8.52) на f.
2) Мы покажем, что
Ые ограничены в 1°°(Р(; Я) при е-*¦(), (8.60)
J ||bJ(t)IP</t<c7. (8.61)
t
Действительно, вернемся к доказательству теоремы 8.2.
Функция иг получается как предел при п-*оо решений иея="я
(е — фиксировано) задачи
«:+*..+±р<«.)-/. о-* (8.62)
вя(-я)-=0.
Можно цродиффереицировать (8.62) по t:
< + Au>+i(H»n))' = f>, (863)
"я(-«) = °> К(-") = /(~я) (так как р@) = 0).
Замечая, что
t
("»)'. un)>°
мы сможем заключить, что
(константа, не зависящая от п и е)'
(8.64)
(поскольку, как и выше, \f(t)|<const),
t+i
I Iй „ (о) f da ^(константа, не зависящая от и и е). (8.65)
t

628 /Vt. 4. Итерационные методы. Чайные решения
Теперь (8.60) и (8.61) будут следовать из (8.64) и (8.65).
3) В силу (8.57), (8.58), (8.60), (8.61) можно выделить под-
Последовательность, обозначаемую опять через ые, так, чтобы
и,-»и, и'в-+и' в L"(R«; H) *-слабо, (8.66)
й в обозначении (8.32)
Гиг-+Ги, Ти'ь-*Ти' в L°°(Rt;<L2(O, 1; V)) *-слабо. (8.67)
Мы можем также считать, что Р(иЕ)->? в L?(Rt; V). Однако
6 силу (8.59) р (ые) = е (/— Ые — Л"е)-> 0, скажем, в &>'(Rt; V)
и, следовательно,
Р(«Е)-*Ов Llc(Rt;W), е->0. (8.68)
С другой стороны, если 9e^(R(), 6^0, то из (8.59) сле-
следует, что
J 6(р(Ие), ые)^->0. (8.69)
—оо
Тогда Р(ы) = О и, следовательно, функция и удовлетворяет
(8.53), (8.54), (8.55). Для v е= К и ee^(R(), 6>0, мы выве-
выведем из (8.59), что ч
J QM,v-
+ 00
(так как Р(о) = 0)
и, кроме того,
J в [(*4 v) + (Аи,, V) - (/, v - и,)] dt +
--оо
+4 j e'|«eM> j е(Лые, в,)Л. (8.70)
Однако, поскольку вложение V-+H компактно, то
иг-*и в L?(s, t; H) сильно для всех конечных s, t, (8.71)
й, Следовательно, в левой части (8.70)
+ 00 +ОО
/ +± J е'|ирл.

8. Поведение при больших t 529
Поскольку, с другой стороны,
4-оо +оо
liminf J 6(Лые, ые)^> J В (Аи, u)dt,
— СО
мы получим, что
+ 00 +00
] е[("', о) + (Аи, v-u)-(f, v-u)\dt + \ j (
— 00 —OP
и, кроме того,
+ 00
J вЦи' + Au-f, v—u)]dt^O,
—ОО
причем последнее имеет место V8 е ЗЬ (Rt), 8 ^ 0; следова-
следовательно,
(и' + Аи — /, v — и) > 0 Va e К.
Тем самым существование решения доказано.
• 4) Единственность. Пусть щ и ы2 СУТЬ Два возможных ре-
решения и w = их — «2. Подставляя о =ч= м2 (соответственно Mj)
в соответствующие неравенства (8.56), получим
2 Л ' '
откуда
Доказательство заканчивается таким же. образом, как
в теореме 8.3 %
8.4. Различные замечания
Замечание 8.1. У Прузе [2] можно найти оценки, ана-
аналогичные оценкам из п. 8.2, для гиперболических уравнений
где, например,
Y («О = I "' f~ u'> если п
Замечание 8.2. Вопрос о поведении на бесконечности
решений задачи с начальными условиями очевидным образом
связан с вопросом об устойчивости решений этой задачи; мы
уже отмечали в комментариях к гл. 1, как в этих вопросах
можно использовать функцию Ляпунова.. В этой связи мы от-
отсылаем к книге Зубова [1] (гл. 5); что касается приближен*

530 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
ного построения (в конечномерном случае) функций Ляпунова,
то см. Бхатия и Сеге [1], Сеге [1], Сеге, Ариенти и Сутти [1].
Невозможно перечислить все практические задачи, связан-
связанные с устойчивостью; в этой связи мы отсылаем к Чандрасе-
кару [1]#
Замечание 8.3. Задача о поведении при ^->оо решений
нелинейных гиперболических задач встречается в теоретической
физике: см. Сигал [1], [2], Штраусе [4], [5] и литературу, ука-
указанную в этих работахф
9. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ, СВЯЗАННЫХ С ТЕОРИЕЙ
ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
9.1. Общие указания
Как мы уже говорили, по своему характеру этот параграф
отличается от остальной книги. Несмотря на полные доказа-
доказательства (по крайней мере мы надеемся, что они таковыми
являются!), наше изложение будет в большой степени эвристи-
эвристическим; мы докажем существование некоторых операторов (или
некоторых функционалов), «ядра» которых удовлетворяют не-
нелинейным уравнениям в частных производных с некоторыми
граничными условиями. Вопросы единственности здесь не рас-
рассматриваются; результаты о единственности известны для неко-
некоторых встречающихся здесь уравнений в частных производных,
однако в весьма специальных классах (в которых, впрочем,
имеется и существование); эти результаты желательно было бы
обобщить.
9.2. Задачи об управлении без ограничений
Пусть Ж — гильбертово пространство над R.
Рассмотрим в Ж неограниченный оператор L с областью
определения D (L), плотной в Ж; предполагается, что L — зам-
замкнутый оператор. Снабдив D(L) нормой
мы будем предполагать, что
L является изоморфизмом D(L) и Ж, причем
(L<p, ф)>0 Уф«=1>(?). (9.1)
') Через | | обозначается норма в^, а через ( , ) — соответствующее
скалярное произведение.

9. Некоторые примеры из теории оптимального управления 531
Пусть <U — гильбертово пространство управлений. Рассмо-
Рассмотрим
В^2(Ш\Щ. (9.2)
Тогда для заданного управления v^'U состоянием y(v)
системы будет (по определению) принадлежащее D(L) решение
уравнения
Ly(v) = f + Bv, f задано в Ж. (9.3)
Для а е ф/ соответствующая стоимость задается функцио-
функционалом2)
7(tO = |*/(t>)|2-f 1М|^-. (9.4)
Очевидно, что существует и притом только один такой элемент
аеЩ, что
/(«)</(о)- Voe=^. (9.5)
Мы будем говорить, что и является оптимальным управле-
управлением задачи; здесь на управление а не налагается никаких
ограничений (а пробегает все пространство 41).
Как легко видеть, и характеризуется тем, что
(У («), У (v) - у @)) + (в, v\u = 0 Vo e <U. (9.6)
Если мы введем сопряженное состояние р (а):
p(v)eD(L% L*p(v) = y(v), (9.7)
то (9.6) будет эквивалентно уравнению >
(L'p (и), y(v)-y @)) + (в, ъ)щ = 0 Vw s <U,
откуда
(р (и), L (у (v) - у @))) + («, v)v - 0
и далее
(р (и), Bv) + (в, o)v = 0 Vw «= <U,
так что окончательно
В'р(и) + и=-0. (9.8)
Мы можем исключить и, и окончательно получить следую-
следующее утверждение:
Предложение 9.1. Оптимальное управление имеет вид
в = - В'р, (9.9х
2) Описанная схема ни в коей мере не покрывает «все» ситуации, кото-
которые могут встретиться на практике. Более систематически эти вопросы
изучены, например, у Лионса [15].

532 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
где р задается решением {у, p}efl(t)X5(L*) системы
9.3. Аппроксимация посредством искусственной
эволюционной задачи
Введем переменное г, которое будет играть роль искус-
искусственного времени'). Мы будем считать, что
0<г<1; (9.11)
введем пространства L2@, 1; Ж), L2@, I; <U) и т. д.; для
»eL2@, 1; °U) мы определим Bv, полагая Ва (г) = В (о (г))
почти всюду на интервале @, 1).
Пусть е > О.„ Для oSL2@, 1;<2/). ЙЫ определим состояние
(искусственное) ye(v) как решение задачи
* v, (9.12)
(9.13)
f(r) = f Vre[0,_l]. (9.14)
Эта задача безусловно имеет единственное решение, поскольку
(согласно (9.1)) — L является инфинитезимальным производя-
производящим оператором (сжимающей) полугруппы в Ж.
Далее мы определим .новую функцию стоимости
|^@,1:^r (9.15)
Опять мы получим существование и единственность опти-
оптимального управления ые:
•U«e)</e(o) Voe=L2@, \\<М), (9.16)
которое (как н в предложении 9.1) имеет вид
«,= -В>. (т.е. «е(г) В* (Р. (г))), (9.17)
где рг определяется из решения {уе, р? задачи
_ e M. + l>8 - ул = 0, (9.18)
у.@) = 0, р.A)«-0#
') Следует отметить, что оператор L уже сам может содержать время.

9. Некоторые примеры из теории оптимального управления 533
Более того, при условиях общего вида на L можно прове-
проверить, что при е->0
У,-*У. Рг^Р в L2@, U3*), (9.19)
где через у (соответственно через р) обозначена функция, рав-
равная у (соответственно р) во всех точках отрезка [0, 1]«
9.4. Расцепление искусственной эволюционной задачи
Теперь мы используем возможность «расцепления» задачи
(9.18). Мы наметим здесь только основные линии рассуждений
(см. Лионе [15]).
Для se]0, 1[ рассмотрим задачу (ср. (9.18))
(9.20)
Эта задача допускает единственное решение, так что ty(s)
однозначно определяет отображение
являющееся непрерывным отображением Ж в 3*.- Следова-
Следовательно, существует такое QE(s), что
«), (9.21)
(9.22)
Можно проверить (см. Лионе [15], гл. 3 п. 4.2, где прове-
проверяются аналогичные свойства), что
QAs)' = QAs), (9-23)
(Qs{s)h,h)^O VhtsS*. (9.24)
Пусть, с другой стороны, {ае, PJ является решением задачи
= / в ]5, 1[,
+ Гре-ае = 0 в ]s, 1 [, (9.25)
0, РеA) = 0.
Положим далее
Ре (*) = Ре (S). ¦ (9.26)

534 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Отсюда выводится тождество
e(s) Vse[0, 1]# (9.27)
Теперь проделаем формальные вычисления; подставляя то-
тождество (9.27) во втррое уравнение (9.18), получим (штрих озна-
означает производную по г)
- eQX - QE К) - ер; -f V (QE*/E + рЕ) - ув = 0;
заменяя ъу'г его выражением из первого уравнения (9.18), найдем
(-eQE + Q;L +¦ VQ& + QtBB*Qt - /) */E +
+ (- ep? + L\ + QBBB\ - QJ) = 0,
откуда мы можем заключить, что
~zQ'&^'QtL^L'Qt^QtBBtQt = l> (9.28)
- ер; + ГрЕ + QtBB\ = QJ. (9.29)
(Что касается интерпретации (9.28), то см. Лионе [15], гл. 3,
где встречается аналогичная ситуация.)
Поскольку рЕA) = 0, уравнения (9.28), (9.29) можно допол-
дополнить «начальными» условиями
QeO) = O, (9.30)
реA) = 0# (9.31)
Таким образом, мы получили следующее «расцепление»
задачи (9.18):
(i) мы решаем уравнение (9.28) при условии (9.30), что одно-
однозначно определяет Qt{f), 0<><jl; далее мы решаем задачу
(9.29), (9.31);
(И) оптимальное управление задается равенствами
ие = - В* (рЕ) = - В' {Q,yB + ре)«
9.5. Расцепление исходной задачи управления
Из (9.19) следует, что при е->0 мы получим
P = Q# + P, (9.32)
где
QL + L'Q + QBB'Q = /, (9.33)
L*p-\-QBB*p = Qf. (9.34)
В частности, получается

9. Некоторые примеры из теории оптимального управления 535
Предложение 9.2. Существует такой оператор Qs
e^(J; Ж), что
Q* = Q, (9.35)
. (Qh, A)>0 V/ieJ, (9.36)
и Q удовлетворяет (9.33)')«
В приложениях L является уравнением в частных произ-
производных, а Ж — функциональным пространством. Следовательно
(согласно теореме о ядре Л. Шварца [3]), Q выражается обоб-
обобщенным ядром; в этом случае (9.33) будет нелинейным урав-
уравнением в частных производных; примеры таких уравнений мы
сейчас приведем.
9.6. Примеры
Пример 9.1. Пусть Q — область в R" с границей Г. Возьмем
L = -A, 3% = L2(Q), D(L) = H2(Q) П Hl0(Q). (9.37)
Тогда QeS"^; Ж) выражается с помощью ядра Q(x, |),
являющегося распределением в QXX^|. Поскольку 6(х — |)
является ядром оператора /, то, считая для простоты, что
11 = Ж, В — тождественный оператор,
получим
- A,Q- A|Q + J Q{x, I,)Q(I,, I)d\x = 6{x-1), (9.38)
Q(x, I) = Q(|, x), (9.39)
Q(x, |) является ядром, отображающим L2(Q) в
D(L), и (Q<p, <p)>0, (9.40)
Q(x, t) = 0 при хеГ, IsQ# (9.41)
Замечание 9.1. Отметим, что таким образом мы полу-
получили существование решения Q(x, |) в очень специальном
классе, отвечающем тому обстоятельству, что Q(x, |) является
ядром отображения 5$ = L2(Q) ъ D(L)%
Пример 9.2. Возьмем теперь
L = -qi—^ в Цилиндре QXJO, Т[,
н D(L) определим из условия #@) = 0.
') Естественно, что нужно уточнить области определения, поскольку L
является неограниченным оператором. При некоторых условиях на L мжно
показать, что Q отображает 26 в D(L').

Б36 . Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Тогда Q опять выражается посредством ядра Q(x, |, t, т),
так что
Q<P (*,*)«= J QC*. 6. *. т)фF. *)<*№ (9.42)
а х [о. т]
При этом Q должно удовлетворять (мы везде берем °U = M,
В — тождественный оператор) уравнению
Q(x, |„ *, t,)Q(|,, 1, т„ x)d|i dx, =
а х [о, т]
= 6(x-lN(t-x), (9.43)
причем
Q(l,t,x) = Q(l,x,x,t), (9.44)
Q является ядром отображения Ж ъ Ж> (Q<p, ф)^0, (9.45)
Q(jc, |, Г, т) = 0, Q(x, 1, /, 7*) = 0, (9.46)
Q(x, I, t, т) = 0, если хеГ, ?eQ
(и, следовательно, если jcgQ, |sГ). (9.47)
В этом случае решение имеет очень специальную струк-
структуру:
Q (x, I, t, т) = Р (х, I, tN(t- x), (9.48)
. где Р(х, |, f) удовлетворяет следующим условиям:
(*, |„ 0-Р(|„ g,i)d|, = 6(x-E), (9.49)
•Р(х, Ь *) = ^F, *.0. (9.50)
P(x, I, t)Ф(|)Ф(*)dxd%>0 УфеL2(Q), (9.51)
Р(х, 1, Г) = 0. (9.52)
Система (9.49)—(9.52) и системы такого типа очень важны
для приложений; Р(х, |, /) является ядром некоторого
«фильтра» (см. литературу, приведенную в комментариях) ф
Замечание 9.2. Что касается полного обоснования при-
приведенных выше эвристических замечаний и других примеров
такого типа, то см. Бенсусан [1], [2], Лионе [15], гл. 3.

9. Некоторые примеры из теории оптимального управления 537
Пример 9.3. Возьмем оператор L таким же, как в при-
примере 9.2, но область определения зададим условиями перио-
периодичности по U .
у@)=у(Т).
Тогда Q будет выражаться через ядро (как в (9.42)), являю-
являющееся решением задачи (9.43), (9.44), (9.45), (9.47); граничные
условия (9.46) надо заменить условиями
Q{x, I, 0, t) = Q(x, I, T, т),
Q{x,l,t;6) = Q{x.l.t,T). (9'53)
Носитель (по {t, т}) решения не сводится к диагонали t = x
(как в случае примера 9.2), и, следовательно, нет аналога пред-
представления (9.48) ф
9.7. Различные замечания
Замечание 9.3. Идея «расцепления» задачи (9.18) путем
введения семейства задач (9.20) может быть- применена в дру-
других ситуациях, не связанных с оптимальным управлением.
Вот один простой пример. Рассмотрим уравнение тепло-
теплопроводности
ff--|?=O, f>0, O<jc<*o, (9.54)
с начальным условием
и (х, 0) = 0,- 0 < х < х0, (9.55)
и граничными условиями
и(х0, t) = g(t) — заданная функция (f>0). \ • J
. Не уточняя предположений, налагаемых на различные
введенные функции, рассмотрим семейство краевых задач
(Ь играет роль параметра):
-f-0 = O, <>0. 0<x<b,
Ф(х, 0) = 0, 0<х<Ь,
ф (о,о = о, . (9'57)
&(*.<) = А (О-
Эта задача имеет единственное решение, тем самым одно-
однозначно определена функция q>F, t) и линейное отображение
Л-»<р(Ь,/). . (9.58)

538 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Продолжая все известные и неизвестные функции нулем
при КО и замечая, что прямая t = Q не играет никакой спе-
специальной роли, мы. проверим, что отображение (9.58) является
непрерывным отображением, переводящим &'+{Rt) в себя1) и
коммутирующим со сдвигами. Следовательно (Л. Шварц [1]),
"> ' * (9.59)
, 0F) = 0 при
Подставляя в (9.57) h(t) = -^-(b, t), мы найдем, что <р = и
при 0 < х < b, t>0, откуда
и(Ь, t) = G(b)*^(b,t),
а так как Ь произвольно, то тем самым мы доказали сущест-
существование 3) семейства таких распределений G (х) е &'+ (R,),
G (х) = 0 при t < 0, что
u(x,t) = G(x)*-^(x,t). (9.60)
Покажем, что
G @, /) = 0. (9.62)
Из (9.60) следует, что
ди д „- . ди , „, ч дги
и, учитывая (9.54), найдем, что
ди _ дО (х) ди . дО(х)
дх ~ дх (*( дх + dt
откуда
') 20+ (R<) — пространство распределений на R с ограниченным слева
носителем.
2) Символом • обозначается свертка по /.
(О
8) Ясно, что в этом частном случае мы можем вычислить О (х); однако
приведенные здесь рассуждения являются общими,

9. Некоторые примеры из теории оптимального управления 539
Теперь заменим в (9.63) функцию и ее выражением (9.60) и
подставим в (9.54):
Мы можем зафиксировать х в (9,64); тогда функция --г-{х, t)
может быть произвольной, следовательно,
дх1 т
или
д F0 (х) . 6G (х) п , Л Л . „_
-т—I—¦^-L- -\ ^i-L- * О (х) ] — 0. (9.65)
дх \ дх dt 1
Однако из условия ы@, 0 = 0 следует (9.62) и далее из ра-
равенства
следует, что
4? @,0=6@;
вместе с (9.65) это приводит к (9.61) ф
С помощью преобразования Лапласа по t (которое законно)
можно проверить, что если
оо
H(t,p)=j-G(x,f)e-*dt, Re/?>0, (9.66)
о
то из (9.61), (9.62) следует, что
ig- + p#2=l, Я@, р) = 0, (9.67)
откуда
Н (jc, р) = р-'А th (хрЦ • (9.68)
Замечание 9.4. Мы изучали задачи без ограничений, т. е.
управление v могло пробегать все пространство 41. Если за-
заранее предписано, чтобы управление v принадлежало некото-
некоторому подмножеству 4iad в 41 (множеству допустимых упра-
управлений), то также возможно некоторое разбиение, аналогичное
приведенному выше, но с «нелинейным ядром», которое при-
приводит к уравнениям в частных или функциональных производ-
производных (см. Лионе [15], гл. 3, § 14).
Другая возможность состоит в использовании динамического
программирования, по поводу которого мы отсылаем к работам
Беллмана, указанным в литературе (см. также Тартар

540 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
10. ПРОБЛЕМЫ
10.1. Можно ли получить какой-нибудь результат о сущест-
существовании и единственности для задачи, изученной в п. 1.3?
10.2. Для многочисленных приложений было бы весьма
интересно систематически изучить «дважды» нелинейные эво-
эволюционные задачи
где Р и si нелинейны (См. замечания 1.4 и 1.5.)
10.3. Можно ли решить задачи для неравенств, рассмотрен-
рассмотренных в п. 3.4, в том случае, когда множество К, не переводится
в"себя отображением v-*vM?
10.4. Пусть V = Wl"p(Q), а Ао: V -> V — псевдомонотонный
и коэрцитивный оператор. Пусть оператор В имеет вид
ди д2и
Этот оператор не отображает V в V, если р < Зл/(л -f 3). Если,
например, не0(?2), то
("M..0-J ?(*$)*-«.
Можно ли для заданного f из W~2'p (Q) решить уравнение
A0(u) + B(u) = f? A0.1)
Аналогичный вопрос можно поставить для неравенств (мы уже
не можем пользоваться срезками, поскольку они не переводят
V в себя).
Задачи такого типа имеются и для эволюционных уравне-
уравнений.
10.5. Остается ли в силе теорема 4.2 при п > 4? (Напом-
(Напомним также задачу 13.5 гл. 1, которая связана с аппроксима-
аппроксимацией посредством систем типа Коши — Ковалевской.)
10.6. Нелинейная задача о следах. Пусть н пробегает мно-
множество таких функций, что
u'(=Lp'@, T; №-1>
Какое множество пробегает и @)?

10. Проблемы 541
10.7. Имеет ли место единственность для периодических ре-
решений уравнений Навье — Стокса (ср. с теоремой 6.1)?
10.8. Можно ли распространить теорему 6.2 на случай
л>2?
10.9. Можно ли распространить теорему 6.2 (й]>2) на
произвольные выпуклые множества К?
10.10. Имеет ли место существование (и единственность)
периодических по* решений системы Карлемана, изученной в §2?
10.11. Остается ли в силе теорема 7.1 при 1 <р <2?
10.12. Можно ли найти сильные периодические решения
в теореме 7.1 (при дополнительных предположениях на /)?
(Один подобный результат получен Прузе [6] для р^.2 + jj-^-j,
rt<5.)
10.13. Существуют ли периодические решения у уравнения
10.14. Сохраняется ли в силе теорема 7.2, если 1) Yo = O»
или 2) К — выпуклое замкнутое множество, вообще говоря, не
удовлетворяющее G.63), или 3) р < 2?
10.15. Можно ли обобщить результаты Рабиновича [1]
на неравенства?
10.16. Изучение периодических по t решений парных задач
типа тех, которые были рассмотрены в п. 9.1 гл. 1.
10.17." Остается ли в силе теорема 8.2 без предположения
(8.22)?
10.18. Имеет ли место существование (слабого) ограничен-
ограниченного решения вариационного неравенства (как в теореме 8.4)
без предположения (8.52), а только при условиях (8.3), (8.4)?
10.19. Агмон и Ниренберг {1], [2] установили логарифмиче-
логарифмическую выпуклость нормы решения уравнения
Кнопс и Пени [1] распространили это свойство на уравне-
уравнения Навье — Стокса, применяя его к вопросу об устойчивости
«задачи назад». (Эти свойства выпуклости используются при
изучении некорректных задач, см. Дуглас [1], Лаврентьев [1],

542 • Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
Пейн [2].) Обладают ли свойствами такого типа решения пара-
параболических вариационных неравенств?
(В этой связи отметим, что можно распространить на нера-
неравенства метод квазиобращения (см. Латтес и Лионе [1]),
правда с довольно большими техническими трудностями.)
10.20. Можно ли распространить теорему 8.4 на некоторые
нелинейные операторы А (например, монотонные)?
10.21. Можно ли изучить непосредственно (не обращаясь
к управлению) задачу (9.43), (9.44), (9.45), (9.47), (9.53)?
11. КОММЕНТАРИИ
Метод конечных разностей часто используется для доказательства су-
существования решения нелинейной задачи; он играет существенную роль в ра-
работе С. Л. Каменомостской [1] и в нескольких работах О. А. Олейннк, см.,
в частности, [1].
Возможность аппроксимации эволюционных параболических неравенств
с • помощью конечных разностей (дискретизация по всем переменным) была
установлена автором [22] (в этой работе рассматривались явные схемы н
изучалась их устойчивость). Р. Темам применил метод семнднекретнзацнн
к изучению задач для неравенств с ненулевыми начальными данными (устное
сообщение).
Результаты п. 1.3, равно как н метод доказательства, принадлежат
Равьяру [3], [6].
Задача, рассмотренная в § 2, поставлена Карлеманом в [1]; эта задача
уже изучалась Колоднером [2], Овсянниковым [1], а с численной точки зре-
ння — Султангазнным [1]. Приведенные в тексте результаты принадлежат Те-
маму [4]. Метод расщепления постоянно используется в численном анализе;
ограничимся ссылками на Марчука [1], Яненко [1], Темама [1] и литературу,
приведенную в этих работах (см. также Троттер [1]). Доказательство теоремы
существования (для системы уравненяй, возникающей в метеорологии),
использующее метод расщепления, анонсировано Демидовым н Марчуком [1].
Другое применение метода расщепления к прямому изучению уравнений Рнк-
катн принадлежит Темаму [8], [9].
Аппроксимация задач типа Навье— Стокса (которые не являются зада-
задачами Кошн — Ковалевской) с помощью систем типа Коши — Ковалевской
была дана автором [23]. Здесь возможны различные варианты. Например,
можно трактовать условие div и = 0 как ограничение, «оштрафовав» которое,
мы придем к системе
|^ + (div«)«
которая принадлежит к типу систем Кошн — Ковалевской и для которой
имеются результаты, аналогичные теоремам 4.1 и 4.2. Этн модификации по-
полезны для численных аппроксимаций уравнений Навье — Стокса; см. Темам
[2], [3], Шорин [1], [2].
Что касается других методов, то можно обратиться к Жаме, Ласк о и
Равьяру [1], Грннспану [1]. По поводу других уравненяй, которые можно
приближать системами типа Кошн — Ковалевской, см. Лионе [11].
Другой метод аппроксимации (мультипликативные интегралы) развит
Ароишанном [1].

И. Комментарии 543
Результаты п. 5.2 принадлежат Фужнте [1] (где можно найти множество
дополнительных свойств).
Результаты п. 5.3 принадлежат Талентн [1]. Пространства Жеврея и нх
варианты играют важную роль в теории уравнений в частных производных
(по тем же самым соображениям, что и в п. 5.3; при подходящей «под-
«подгонке» параметров, характеризующих этн пространства, можно получать ре-
результаты о сходимости в соответствующих топологиях); после работы Жеврея
[1] близкие идеи применялись в многочисленных работах; см. Лере — Ойя [1],
Фридман [7], Лионе — Мадженес [2], [4], Танабе [1] и т. д.
По поводу другого выбора пространств (но в том же круге идей) см.
Трев [1] (особенно гл. 1).
В доказательстве нз п: 5.2 неявно используется теория полугрупп. Можно
систематически применять теорию полугрупп и, в. частности, «дробные» сте-
степени полугрупп для решения нелинейных эволюционных уравнений. Послед-
Последнее очевидным образом связано с теорией интерполяции банаховых про-
пространств, поскольку н тут и там мы рассматриваем системы норм (в одном
случае онн получаются в результате интерполяции, в другом — прн переходе
к «дробным» степеням) с тем, чтобы выбрать «наилучшую» норму. По по-
поводу применения «интерполяции» к уравнениям Навье—Стокса см. Лионе
[3]; другая точка зрения развивалась многочисленными авторами, в частно-
частности, отметим работы Фужнты — Като [1], С, Крейна [1], Като — Фужиты J1],
Раскнна и Соболевского [1], Соболевского [1], [2], [3], Погореленко н Соболев-
Соболевского [1]. Комбинируя этот подход с последовательными приближениями, Фу-
жнта и Масуда [1] получили существование и единственность локального
по t решения уравнений Навье — Стокса, принадлежащего пространству V5/4
(в обозначениях § 6 гл. 1; размерность пространства равна, трем).
По поводу применения теории линейных полугрупп к одной нелинейной
задаче математической физики см. работу Гросса [1].
Отметим также работы Да Прато [1], касающиеся некоторых нелинейных
уравнений в частных производных в алгебрах (обобщение уравнений Рик-
кати, возникающее в теории оптимального управления; см. § 9 этой главы).
Естественно, что мы не изучили здесь все итерационные методы! В част-
частности, следует указать на метод Ньютона н его варианты (см. Антосевнч [1]
н литературу в этой работе); после линеаризации (посредством применения
дифференциалов) основная трудность (в который раз) состоит в таком вы-
выборе пространств, прн котором на каждой итерации не терялась бы гладкость;
см., например, как все это реализовано у Равьяра [5]; в более сложных слу-
случаях, когда, по-вндимому, невозможно выбрать пространство, «сохраняющее
гладкость», следует комбинировать каждую итерацию со «сглаживанием» —
в этом состоит метод Мозера [1]. Что касается других итеративных методов,
то см. работы Кошелева [1], Петрншнна [1] н Снбонн [1] (где можно найти
численные применения). По поводу общих результатов, использующих свой-
свойства дифференциалов, см., в частности, Похожаев [2], [4] (ср. с замечанием
2.5 гл. 1).
Теорема 6.1 прн п = 2 принадлежит Проди [2], на общий случай она
была распространена (методом, отличным от приведенного в тексте) Прузе
[4]. Исследованию периодических решений уравнений Навье — Стокса посвя-
посвящены многочисленные работы; отметим работы Серрнна [3], Юдовнча [3],
Каниеля н Шннброта [2] н автора [24], [8]. См. также Такешита [1].
По поводу изучения почти периодических решений уравнений Навье —
Стокса см. Амерно [2], Фояш [2] н Прузе [5]. По поводу изучения «квазн-
стацноиарных» решений в смысле Басса (см. Агостиин н Басе [1]) мы отсы-
отсылаем к работе Во Кхак [1].
Использование теорем о неподвижных Точках для разыскания периоди-
периодических решений является классической идеей Пуанкаре. Применения к другим
параболическим уравнениям, отличным от уравнений Навье — Стокса, можно
найти у Проди [4], [5], Браудера [12], [13] (см. также литературу в этих ра-

544 Гл. 4. Итерационные методы. Частные решения
ботах). Другие примевевия теоремы о веподвижной точке можно вайтн
у Аттена [1], Вайава [1].
Результат теоремы 7.1 (о периодических решевиях гиперболических урав-
уравнений) принадлежит Проди [3]. Метод эллиптической регуляризации гипербо-
гиперболических задач привадлежит Штрауссу [5]. Продн в цитироваввой выше
работе применяет не эллиптическую регуляризацию,, а метод Фаэдо— Галёр-
кииа; при этом существование периодического решения у приближенной си-
системы доказывается с помощью теории Лере — Шаудера. Задача о перио-
периодических решениях нелинейных гиперболических уравнений явилась предме-
предметом мвогочисленных работ; отметим, в частности, работы Браудера [12], [13],
Чезарн [1], Флейшмана и Фикева [1], Проди [3], [5], [6], Прузе [6], Раби-
Рабиновича [1] н приведенную в этих работах литературу.
Что касается периодических решений систем обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, то см. Америо [3J; указанный результат в комбинации
с методом Фаэдо — Галёркнна может быть полезен для уравнений в частных
производных.
Оцевки, приведенные в п. 8.2, опираются на методы Америо [2], Аме-
рно — Прузе [1], Прузе [3] (где можно вайти более общие результаты, чем
в п. 8.2).
Следуя цитироваввой выше работе Амерно — Прузе, можно, исходя нз'
результатов п. 8.2, изучить почти периодические решения рассматриваемых
уравиевий (аналогично результаты п. 8.3 позволяют изучать почти периодиче-
периодические решения эволюционных неравенств).
«Уравнения Риккати», приведенвые в примере 9.2, в конечномерном
случае (т. е. в том случае, когда L == d/dt + А, А — матрица) связавы с тео-
теорией фильтров Калмана — Бюси [1]; нм посвящена обширная литература.
По поводу бесконечномерного случая (с неограниченными операторами) см.
Бевсусан [1], Кушнер [1], Лионе [15]; приведенное здесь изложение, — равво
как и пример 9.3, — по-видимому, являются вовыми (здесь не приводятся
" весьма длинные технические подробности). Что касается прямого изучения за-
задач для уравнений в частных производных, возникающих в этой связи, то Да
Прато [1] получил общую локальную теорему существования; глобальный ре-
результат (см. замечание 2.5) имеется у Темама [8] (по поводу одного част-
частного случая см. работу Кушнера [1]) н Да Прато [3]. По поводу других "Точек
зрения н других примеров см. Флеминг [1], [3], Люкес н Рассел [1], Менрн
[1], Миттер и Фнллнпсон [1], Стратоиович [1], Уонхем [1], а по поводу аппро-
аппроксимации решений — Неделич [1].
Замечание 9.3 естественным образом приводит к «инвариантному вло-
вложению» (Invariant Imbedding), которое, если смотреть на него с более «фи-
«физической» точки зрения, непосредственно приводит к уравнениям нового типа
(и к которым можно опять прийти с помощью процедуры, указанной в заме-
замечании 9.3); см., например, Беллман.Калаба и Винг [1].
По поводу нелинейных уравнений в частных производных, встречаю-
встречающихся в динамическом программировании, см. приведенные в литературе
работы Беллмана, Беллмана и Калабы, Беллмана и Лемана, Кушнера и
Клейимана.
Естественно, что в (кратком) § 9 приведен только один круг задач для
уравнений в частных производных, возникающих в вариационном исчислении.
Здесь, в частности, мы не касались вопросов, связанных с минимальными
поверхностями; ограничимся по этому поводу ссылками на Бомбьери [1], '
Бомбьерн, де Джорджи, Джустн [1], Бомбьери, де Джорджи, Мираиду [1],
Финна [6], де Джорджи [1], [2], Дженкинса и Серрина [1], Морри [1],
Серрина [4], [5] н на литературу, приведенную в этих работах. Вообще, многие
задачи дифференциальной геометрии приводят к задачам для нелинейных
дифференциальных уравнений в частных производных. См., в частности, Ни-
ренберг [4].

il. Комментарии 546
Другие задачи для уравнений в частных производных возникают по
другим поводам; отметим нелинейное ннтегро-дифференцнальное уравнение
Больцмана (см. Грэд [1], Гнро [1] и литературу в этих работах) и задачи
математической экономики, которые приводят либо к уравнениям в частных
производных «нетрадиционных» типов (см. Бергер и Мейерс [1]), либо к не-
нелинейным задачам, уже изученным по другим поводам (см. работу Самуэль-
сона, Маккнна [1], связанную с задачами типа Стефана, которые атакуются
вероятностными методами; см. также Маккнн [1], [2], Григелноние и Ширяев
[1]). По поводу других задач со свободной границей см. Чернов [1]. В связи
с вероятностными методами укажем на работу Донскера [1], в которой ин-
интегралы в функциональных пространствах применялись к изучению решений
уравнения Бюргерса со стремящейся к нулю вязкостью. См. также Фле-
Флеминг [5].
В связи с задачей идентификации систем, описываемых уравнениями
в частных производных, мы приходим к задачам, называемым «обратными»,
в которых неизвестными являются коэффициенты системы уравнений в част-
частных производных, при этом известна структура системы и значения решений
(отвечающих подлежащим определению неизвестным коэффициентам); см.
Джойс [1], Дуглас и Джонс [1], М. М. Лаврентьев [1]. По поводу одной экс-
экстремальной задачи в этом круге вопросов см. Пуччн [1]. ч

БИБЛИОГРАФИЯ
А г а е в Г. Н.
[1] О разрешимости нелинейных операторных уравнений в пространствах Ба-
Банаха, ДАН СССР, 174:6 A967), 1239—1242.
Агм он (A gmo n S.)
[1] The Lp approach to the Dirichlet problem, I, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa,
13:4 A959), 405—448.
Агмон, Дуглис, Ниренберг (Agmon S., Douglis A., Niren-
b e r g L.)
[1] Estimates near boundary for solutions of elliptic partial differential equations
satisfying general boundary conditions, I, Comm. Pure Appl. Math., 12
A959), 623—727; II, id., 17 A964), 35—92. (Перевод: Оценки решений эл-
эллиптических уравнений вблизи границы, М., ИЛ, 1962.)
Агмон, Ниренберг (Agmon S., N iгenbergL.)
[1] Properties of solutions of ordinary differential equations in Banach spaces,
Comm. Pure Appl. Math., 16 A963), 121—239.
[2] Lower bounds and uniqueness theorems for solutions of differential equa-
equations in a Hilbert space, Comm. Pure Appl. Math., 20 A967), 207—229.
Агостиии, Басе (Agostini L., BassJ.)
[1] Les theories de la turbulence, Publ. Sc. et Tech. du Ministere de I'Air, 2e
. edition. Paris, 1960.
Агранович М. С
[1] К теории граничных задач для симметризуемых систем 1-го порядка, Ма~
тем.сб.,73:2 A967), 161—197.
Агранович М. С, ВишикМ. И.
[1] Эллиптические задачи с параметром и параболические задачи общего вида,
УМН, 19, Вып. 3 A964), 53—161.
Альбертони, Черчиньяни (Albertoni S., Cercigniani С.)
[1] Metodi Approssimati per la resoluzione dell'equazione di Boltzmann, As-
pette generali e loro applicazioni, Univ. Milano, 1966.
Америо (AmerioL)
[1] Expose Rome, mars 1968.
[2] Soluzioni quasi-periodiche di equazioni funzionali llneari e поп lineari, Trol-
si erne reunion des Math, d'expression iatine, Namur, 20—23 septembre 1965,
15—33.
[3] Soluzioni quasi-periodiche, о limitate, di sistemi differenzial non lineari
quasiperiodiche, о limitati, Annali Mat., 39 A955), 97—119.
Америо, Прузе (AmerioL., ProuseG.)
[1] Abstract almost periodic functions and functional equations, Van Nostrand,
New York.
[21 On the non-linear wave equation with dissipative term discontinuous with
respect to the velocity, Rend. Accad. Naz. Lincei, XLIV A968), note I,
iasc. 4, 491—492; note II, fasc. 5, 1—10,

Библиография 547
Ам ес (редактор) (AmesW. F.)
[1] Non linear partial differential equations, Acad. Press, 1967.
Аннин (Ann in B. D.)
[1] Existence and .uniqueness of the solution of the elastic-plastic torsion prob-
problem for a cylindrical bar of oval cross-section, P. J. Appl. Math. Mech., 29
A965), 1038—1047.
Ан Тон (An Топ В. А.)
[1] Non linear parabolic initial value problems, Indiana Univ. Math. J., 20
A970), 69-80.
[2] On strongly поп linear parabolic equations, /. Funct. Anal., 7:3 A971),
147—155.
Антосевич (AntosiewiczH. A.)
[I] Newton's Method and Boundary value problems, /. Computer and System
Sciences,^ A968), 177—202.
[2] Boundary value problems for non linear ordinary differential equations,
Pacific ]. Math., 17 A966), 191—197.
Арима, Хасегава (Arima R., Hasegawa Y.)
[1] On global solutions for mixe,d problem of a semi-linear differential equa-
equation, Proc. Japan Acad. Sc, 39 A963), 721—725.
АронсонГ. (AronssonG.)
[1] On the partial differential equation u\uxx + 2uxuyuxy + u^uyy = 0, Arkiv
Mat., 7 A968), 395—425.
A p о н с о н Д. (Aronson D. G.)
[1] Regularity properties of flows through porous media, SIAM J. Appl. Math.,
17:2 A969), 461—467.
Аронсои, Серрнн (Aronson D. G.,SerrinJ.)
[1] A maximum principle for non linear parabolic equations, Ann. Scuola Norm.
Sup. Pisa, XXI A967), 291-305.
[2] Local behavior of solutions of quasi linear parabolic equations, Archive Rat.
Mech. Anal., 25 A967), 81—122.
ApoHiuaftH(AronszajnN.)
[1] Notes on evolution equations, Univ. of Kansas (в печати).
Ароншайн, Гальирдо (Aronszajn N., Gagiiardo E.)
[1] Interpolation spaces and interpolation methods, Ann. Mat. Рига Appl., 68
A965), 51—i 18.
Ap-rofla(ArtoiaM.)
[1] Sur les perturbations des equations d'evolution. Application a des proble-
mes de retard, Ann. E.N.S., 2 A969), 137—253.
Асплунд, (AspIundE.) v !
[1] Averaged norms, Israel J. Math., 5 A967), 227—233.
[2] Positivity of duality mappings, Bull. Amer. Math. Soc, 73 A967), 200—203.
Асплунд, Рокафеллар (A splund E., RockafellarR. T.)
[1] Gradients of convex functions, Trans. Amer. Math. Soc, 139 A969),443—467.
Аттен (Atten P.)
[1] Existence, unicite et determination de la solution de l'equation des champs
electriques ionises, Sem. Analyse Numerique, Grenoble, 1968L

548 Библиография
Базли, Цвален(Ваг1еуЫ., ZwahlenB.)
[1] Remarks on the bifurcation of solutions of a non linear eigenvalue Problem.
Archive Rat. Mech. Anal., 28 A968), 51—58.
BauOKKH(BaiocchiC)
[1] Sul problema misto per l'equazione parabolica del tipo del calore, Rend. Sem.
Mat. Padova, 36 A966), 80—121.
[2] Teoremi di esistenza e regolarita per certe classi di equazioni differenziali
astratte, Ann. Mat. Рига AppL, 4, 72 A966), 365—418.
Баклановская В. Ф., Хаипова А. Н.
[1] Об одной двумерной задаче нелинейной фильтрации, сб. «Численные ме-
методы решения задач математической физики», М., 1966, стр. 237—241.
Балакришнаи'(Ва1акг!з11папА. V.)
[1] On a new computing technique in optimal control theory and the maximum
principle, Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A., 59:2 A968), 373—375.
Барбоза, Вонг (Barbosa L. С, WongE.)
[1] On a class of interative algorithms for linear inequalities with application to
pattern classification, Proc. 1st. Princeton Conf. on Information Sciences and
Systems, Princeton Univ., 1967, p. 86—89.
Бардос (BardosC.)
[1] Problemes aux limites pour les equations aux derivees partielles du premier
ordre, theoreme d'approximation et application al'equation de transport, Ann.
Sci. E.N.S., 3 A970), 185—233.
Бардос, Брезис (BardosC, BrezisH.)
[1] Sur une classe de problemes devolution поп lineaires, С R. Acad. Sc. Paris,
266 A968), 56—59; /. Diff. Equations, 6 A969), 345—394.
Батцер, Беренс (Butzer P. L.j Berens H.)
[1] Semi-groups of operators and approximation, Springer Verlag, 1967.
Бауенди, Гривар (Baouendi M. S., Grisvard P.)
[1] Sur une equation devolution changeant de type, /. Fund. Anal. AppL, 2:3
A968), 352—367.
Бауенди, Гулауик (Baouendi M. S., GoulaouicP.)
[1] Regularite et theorie spectrale pour une classe d'operateurs elliptiques dege-
tieres, Archive Rat. Mech. Anal., 34: 5 A969), 361—379.
Бахвалов H. C.
{1] О параболических системах с малыми параметрами при старших производ-
производных, ДАН СССР, 142 : 2 A967), 263—266.
Бейли, Уолтмен (Bailey P., Waltman P.)
[1] On the distance between consecutive zeros for second order differential
equations, /. Math. Anal. AppL, 14 A966), 23—30.
Бейли, Шампин, Уолтмеи (Bailey P., Shampine L., Walt-
man P.)
[1] Non linear two point boundary value problems, Acad. Press, 1968.
Беллман (Bellman R.)
[1] Динамическое программирование, М., ИЛ, 1960.
[2] Invariant Imbedding and Multipoint Boundary value Problems, /. Math. Anal.
AppL, 24 A968), 461—466.

Библиография 549
Беллман, Калаба (Bellman R., KalabaR.)
[1] _0п a new approach to the numerical solution of a class of partial diffe-
differential integral equations of transport theory, Proc. Nat. Acad. Sc, 54 A965),
1293—1296.
[2] Dynamic programming applied to control processes governed by general
functional equations, Proc. Nat. Acad. Sc, 48 A962), 1735—1737.
Беллман, Калаба, В и н г (Bellman R., К а 1 a b a R., W i n g G. М.)
[1] Invariant Imbedding and Mathematical Phy.sics, I. Particle Processes, /. Math.
Physics, I (I960), 280—308.
Беллмаи, Леман (Bellman R., L e h m a n R. S.)
[1] Functional equations in the theory of dynamic programming, XII. Complex
operators and min-max operations, Duke Math. I., 28 A961), 335—343.
Бельтрами (BeltramiE. J.)
[1] Methods of поп linear analysis and optimization, Acad. Press, 1969.
Бенсусан (BensoussanA.)
[1] Sur Identification et le filtrage de systemes gouvernes par des equations
aux derivees partielles, Cahiers IRIA, 1 A969), 1—233.
[2] Contr61e optimal stochastique de systemes gouvernes par des eqtiations aux
derivees partielles paraboliques, Rend. Mat. Appt. Ser. 6, 2:1—2 A969),
137—173.
[3] Filtrage optimal des systemes lineaires, Paris, Dunod, 1971.
Бенсусан, Кеинет (BensoussanA., Kenneth P.)
[1] Sur l'analogie entre les methodes de regularisation et de penalisation, Revue
. d'Informatique et de Recherche Operationnelte, nro 13 A969).
Б е р г e p (B e r g e r M. S.)
[1] An eigenvalue problem for поп linear elliptic partial differential equations,
Trans. Amer. Math. Soc, 120 A965), 145—184.
[2] A Sturm-Liouville theorem for rion linear elliptic partial differential equations,
Ann. Scuota Norm. Sup. Pisa, XX A966), 543—582.
[3] An application of the calculus of variations in the large to the equations
of поп linear elasticity, Butt. Amer. Math. Soc, 73 A967), 520—525.
[4] On von Karman's Equations and the Buckling of a thin elastic Plate (I),
Comm. Pure Appl. Math., 20 A967), 687—719.
[5] MultipJe solutions of non-linear operator equations arising from the calculus
of variations, Proc. Symp. Pure Maths. XVIII, Part I, A. M. S. Pub. 1970,
p. 10—27.
[6] Orlicz spaces and поп linear elliptic eigenvalue problems, Bull. Amer. Math.
Soc, 72 A965) ,-898—902.
Бергер, Бергер (BergerM. S., BergerM. S.)
[1] Perspectives in поп linearity, Benjamin, 1968.
Бергер, Мейерс (Berger M. S., Meyers N. G.)
[1] On a system of non linear partial differential equations arising in Mathema-
Mathematical Economics, Bull. Amer. Math. Soc, 72 A966), 954—958.
Б е р г e p, Ф а й ф (B e r g e r M. S., F i f e P. C.)
[1] On von Karman's equations and the buckling of a thin elastic plate, Bull.
Amer. Math. Soc, 72 A966), 1006—1011.
Берлин г, Ливингстон (Beurling A., Livingston A. E.)
[1] A theorem on duality mappings in Banach spaces, Ark. Mat., 4 A961),
405-411.

550 Библиография
Бомбьери (BombieriE.)
[1] Regularity des hypersurfaces minimales, Sem. Bourbaki, 21 A968—69), fev-
rier 1969.
Бомбьери, де Джорджи, Джусти (Bombieri E., de Giorgi E.,
GiustiE.)
[1] Minimal cones and the Bernstein problem, Invent Math., 7 A969), 243—268,
Бомбьери, де Джорджи, Мираида (Bombieri E., de Giorgi E.,
Miranda M.)
[1] Una maggiorazione a priori relativa alle ipersuperfici minimali non para-
metriche, Archive Rat. Mech. Anal., 32 A969), 255—267.
Боии, Курреж, Приуре (BonyJ. M., Courrege Ph., P r i о u r e t P.)
[1] Semi-groupes -de Feller sur une variete a bord compacte et problemes aux
limites integro-differentiels du second ordre donnant lieu au principe du
maximum, Ann. Inst. Fourier, 18 A968), 369—521.
Боссавит (BossavitA.)
[I] These, Paris, 1970.
Bpayflep(BrowderF. E.)
[1] Infinite dimensional manifolds and поп linear elliptic eigenvalue problems,
Ann. Math., 82.A965), 459—477.
. [2] On non linear wave equations, Math. Zeitschr., 80 A962), 249—264.
[3] Non linear elliptic boundary value problems, Bull. Amer. Math. Soc, 69
A963), 862—874.
[4] Non linear monotone operators and convex sets in Banach spaces, Bull.
Amer. Math. Soc, 71 A965>, 780—785.
[5] A new generalization of the Schauder fixed point theorem, Math. Ann., 174
. A967), 285—290.
[6] Non linear maximal monotone operators in Banach space, Math. Ann., 175
A968),.89-113.
[7] Non linear operators and поп linear .equations of evolution in Banach spaces,
Proc. Symposium on non linear Functional Analysis, Chicago, April 1968.
[8] Problemes non lineaires, Presses de l'Univ. de Montreal, 1966.
[9] Existence theorems for поп linear partial differential equations, Proc. Amer.
Math. Soc, 1968; Summer Institute in Global Analysis (в печати).
[10] On a theorem of Beurling and Livingston, Canad. I. Math., 17' A965),
367—372.
[II] Remarks on non linear interpolation in Banach spaces, /. Func. Anal.
4 A969), 390—403.
[12] Existence of periodic solutions for non linear equations of evolution, Proc.
Nat. Acad. Sci., 53 A965), li 00—1103.
[13] Periodic solutions of non linear equations of evolution in infinite dimen-
dimensional spaces, Lecture Series in Differential Equations, Univ. of Maryland,
March 1966.
[14] The fixed point theory of multivalued Mappings in Topological vector spa-
spaces, Math. Ann., 177 A968), 283—301.
Б р а у д e p, А н T о и (Br о w d e r F. E., A n T о п В.)
[1] Non linear Functional Equation in Banach Spaces and elliptic super regulari-
zation, Math. Zeitschr., 105 A968), 177—195.
Браудер, Петрвшии (BrowderF., PetryshynW. V.)
[1] Construction-of fixed points of поп linear mappings in Hilbert Space, J.Math.
Anal. Appl., 20 A967), 197—228.
[2] The topological degree and Galerkin approximations for non compact ope-
operators in Banach spaces, Bull, Amer, Math. Soc., 74 A968), 641—646.

Библиография 651
[3] Approximation Methods and the generalized topological degree for non linear
mappings in Banach spaces, /. Func. Anal., 3 A969), 217—245.
Браудер, де Фигейредо (Browder F. E., de Figueiredo D. G.)
[1] J-Monotone non linear operators in Banach spaces, Proc. Needer. Akad. Ams-
Amsterdam, 69, 28 A966), 412—420.
Браудер, Штраусе (Browder F. E., Strauss W.)
[1] Scattering for non linear wave equations, Pacific J. Math., 13 A963), 23—43.
Браун, фон Нейман (BrownG. W., vonNeumanJ.)
[1] Solutions of games by differential equations, in Contributions to the theory
of games, I, Princetori Univ. Press, Princeton, 1956, 73—79.
Брезис (Brezis H.)
[1] Equations et inequations non lineaires dans les espaces vectoriels en dualite,
Ann. Inst. Fourier, 18 A968), 115—175.
[2] On some degenerate non linear parabolic equations, Proc. Symposium on non
linear Functional Analysis, Chicago, avril 1968.
[3] Inequations variationnelles associees a des operateurs devolution, NATO
Summer School, Venise, Juin 1968.
[4] Sur l'equivalence de certaines inequations variationnelles. (См. Брезис, Си-'
бони [2]).
[5] Inequations variationnelles, I. Math. Pures. Appl., 1972 (в печати).
[6] Perturbation non lineaire d'operateurs maximaux monotones, С R. Acad. ScL
Paris, 269 A969), 566—569.
Брезис, Кран дел л, Пази (Brezis H., Cr'andall M., P.az'y A.)
[1] Perturbations of non linear maximal monotone sets in Banach space, Comm.
Pure Appl. Math., 23 : 11 A970), 123—144.
Б p e з и с, Л и о и с (В г ё г i s H., L i о n s J. L.)
[1] Sur certains problemes unilateraux hyperboliques, С R. Acad. Sc. Paris, 264
A967), 928—931.
Брезис, Пази (Brezis H., Pazy A.)
[1] Semi groups of non linear contractions on convex sets, /. Fund. Anal., 6:2
A970), 237—281.
Брезис, Сибони(Вгег1зН., SibonyM.)
[1] Methodes d'Approximation et d'lteration pour les operateurs monotones, Ar-
Archive Rat. Mech. Anal., 28 A968), 59—82.
[21 Equivalence' de deux inequations variationnelles et applications, Arch. Rat.
Mech. Anal., 41: 4 A971), 254—165.
Брезис, Стампаккья (Brezis H., Stampacchia G.)
[1] Sur la regularity de la solution d'inequations elllptiques, Bull. Soc. Math.
France, 96 A968), 153—180.
Б р е м б л, П е й н (В г a m bl e J. Н., Р а у n e L. Е.)
[1] On the approximation of steady state solutions of the Navier Stokes equa-
equations.
Бродский (Brodsky A. R.)
[1] Weak wave operators for the non linear wave equation, Trans. Amer. Math.
Soc, 137 A969), 237—244.
Б р ю а (В г u h a t Y.)
[1] Theoreme d'existence pour certains systemes d'equations aux derivees par-
tielles non lineaires, Ada Math., 88 A952), 141—225.

652 Библиография
[2] Theorimes d'existence en mecanique des fluides relativistes, Bull. Soc. Math.
France, 86 A958), 155—175.
Бурбаки Н.
[1] Интегрирование. (Меры, интегрирование мер), М., Наука, 1967.
Б х а т и я, С е г е (В h a t i а N. P., S z e g о G. Р.)
[1] Dynamical systems; stability theory and applications, Lecture Notes in Mathe-
Mathematics, nro 35, Springer, 1967.
Бюргере (Burgers J. M.) _
[1] Application of a model system to illustrate some points of the statistical
theory of free turbulence, Proc. Acad. Sci. Amsterdam, 43 A940), 2—12.
, Б ю с и, Д ж о з е ф (В и с у R. S., J о s e p h P. D.)
[1] Filtering for stochastic processes with applications to guidance, Interscience,
1968.
Вайан (Vail Ian t A.)
[1] Probleme des conditions initiales sur une variete complete (cas non stati-
que), /. Math. Pures Appl., 48: 3 A969), 173—305.
ВайнбергМ. М.'
[Ц Вариационные методы исследования нелинейных операторов, М., Физмат-
гиз, 1956.
ВайнбергМ. М., Качуровский Р. И.
[1] К вариационной теории -нелинейных операторов и уравнений, ДАН СССР,
129 A959), 1199—1202.
Вальтер (Walter W.)
[1] Ein Existenzbeweis fur nichtlineare parabolische Differentialgleichungen auf-
grund der Linienmethpde, Math. Zeitschr., 107 A968), 173—188.
fleBeflra(deVeiga)
[1] Sulla holderianita delle soluzioni di alcune disequationi variazionali con con-
dizieni unilatere al bordo, Ann. Mat. Рига Appl., 83 A969), 73—112.
В е л ь т e (V e 11 e W.)
[1] Stabilitatsverhalten und Verzweigung stationarer Losungen der Navier-
Stokesschen Gleichungen, Arch. Rat. Mech. Anal., 16 A964), 97—125.
[2] Stabilitats und Verzweigung stationarer Losungen der Navier-Stokesschen
Gleichungen beim Taylorproblem, Arch. Rat. Mech. Anal., 22 A966)', 1—14.
ВентцельТ. Д.
[1] Априорная оценка решений некоторых квазилинейных параболических си-
систем 1, Вестник МГУ, сер. матем., 3 A967), 27—31.
В и ш и к М. И.
[1] О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических урав-
уравнений высших порядков, Матем. сб. 59 (доп.) A962), 289—325.
[2] Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравне-
уравнений, имеющие дивергентную форму, Тр. Моск. матем. о-ва, 12 A963),
125—184.
[3] О разрешимости первой краевой задачи для квазилинейных уравнений с,
быстро растущими коэффициентами в классах Орлича, ДАН СССР, 151 :4
A963), 758—761.
Во К х а к (Vo - К h а с К.)
[1] Etude des fonctions quasi stationnaires et de leurs applications aux equa-
equations differentielles operationnelles, Butt. Soc. Math. France, Memoire 6
A965).

Библиография 553
ВоровнчП. И.
[1] О некоторых прямых методах в теории нелинейных колебаний пологих
оболочек, ИАН СССР, сер. матем., 21 A957) 747—784.
Гальярдо(Са?Паг<1оЕ.)
[1] Caratterizzazione delle tracce sulla frontiera relative ad alcune classi di
funzioni in n variabili, Rend. Sem Mat. Padova, 27 A957), 284—305.
[2] Interpolazioni di Spazi di Banach e applicazioni, Ricerche Mat., IX (I960),
58-81.
[3] Une struttura unitaria in diverse famiglie di spazi funzionali, Ricerche Mat.,
X A961), 244—281.
[4] Quasi linear interpolation spaces, Univ. of Kansas. Report, Octobre 1962.
Гарабедян, Спенсер (Garabedian P. R., Spencer D. C.)
[1] Extremal methods in Cavitational flow, /. Rat. Mech. Anal., 1 A952), 359—
409.
Гарипов (GaripovR. M.)
[1] On the linear theory of gravity waves: the theorem of existence and uni-
uniqueness, Archive Rat. Mech. Anal., 24 A967), 352—362.
Гельфанд И.М.
[1] Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, УМН, XIV: 2 A959),
87—158.
Гельфанд И. М., Зуева Н. М., Имшенник В. С, Локуциев-
с к и й О. В., Р я б е н ь к и й В. С, X а з н н Л. Г.
[1] К теории нелинейных колебаний электронной плазмы, Ж. В. М. и М. Ф.,
7 A967), 322—347.
Ti^6apr(GilbargD.)
[1] Boundary value problems for поп linear elliptic equations in n variables,
Proc. Symp. поп linear problems, Madison, Wise. A962).
[2] Jets and Cavities, Encyclopedia of Physics, 9, Springer Verlag, 1960.
Г и р о (<3 u i r a u d J. P.)
[1] Theorie Mathematique de l'equation de Boltzmann, Sixieme Symp. Int. Dyn.
Gaz Rarefies, M. I.T. Cambridge (Mass), 1968.
Глнмм (QlimmJ.)
[1] Solutions in the large for non-linear hyperbolic systems of equations, Comm.
Pure Appl. Math., 18 A965), 697—715.
Г л и м м, Л а к с (G1 i m m J., L a x P. D.)
[1] Decay of solutions of systems of hyperbolic conservation laws, Bull. Amer.
Math. Soc, 73 A967), 105; AEC Report, 1969.
Гловински (Glowinski)
[1] These, Paris, 1970.
Годунов С. К-, Султангазнн У. М.
[1] О дискретных моделях кинетического уравнения Больцмана, УМН, 26:3
A971), 3-52.
Головкин К- К. '
[1] Новые модельные уравнения движения вязкой жидкости и их однозначная
разрешимость, Труды матем. ин-та Стеклова, 102 A967), 29—50.
Горд ни г (Girding L.)
[1] Energy inequalities for hyperbolic systems, in Differential Analysis, Bombay
Coll., 1964, Oxford Univ. Press, 209—225.

554 Библиография
Г о с с е ц (G о s s e z J. Р.)
[i] Optimisation pour certains problemes aux limites non lineaires, Boll. Unio-
ne Mat. Italiana A969).
[2] Operateurs monotones non lineaires dans les espases de Banach non refle-
xifes, /. Math. Anal. Appl., 34 A971), 371—395.
[3] Ensembles virtuellement convexes et Operateurs monotones, Bull. Sd. Math.
Paris, 94 A970), 73—80.
Гривар (GrisvardP.)
[i] Commutativite de deux foncteurs d'interpolation et applications, J. Math.j
XLV A966), 19—290.
[2] Caracterisation de quelques espaces d'interpolation, Archive Rat. Mech. Anal.,
25 A967), 40—63.
[3] Equations differentielles abstraites, Ann. E.N.S., ser. 4, 2:3 A969), 311—
395.
Григелионис Б. И., Ширяев А. Н.
[1] О задаче Стефанд и оптимальных правилах остановки для марковских
процессов, Теория вероятн. и применен., 11 D) A966), 612—631.
Грин (G г е е n J. W.)
[1] An expansion method for parabolic partial differential operators, /. Res.
Nat. Bur. Stand., 51 A953), 127—132.
Гринберг (GreenbergJ. M.)
[1] On the existence, uniqueness and stability of solutions of the equation
poXtt = E(Xx)Xxx + XXxxt, J. Math. Anal. Appl., 25 A969), 575—591.
Гринберг, Мак-Ками, Мизел (Greenberg J. M., Mac Ca-
Cain у R. С, M i z e 1 V. J.)
[i] On the existence, uniqueness and stability of solutions of the equation
a'(ux)uxx + Xuxtx = poutt, J- Math. Mech., 17 A968), 707—728.
Гринспан (Greenspan D.)
[1] Numerical studies of prototype cavity flow problems, M. R. C. Technical Re-
Report 751, Univ. of Wisconsin, March 1967.
Гросс (Gr oss L.)
[1] The Cauchy problem for the coupled Maxwell and Dirac equations, Comm.
Pure Appl. Math., XIX A966), 1—15.
Грубб (Grubb G.)
[1] A characterization of the non local boundary value problems associated
with an elliptic operator, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa, XXI1 A968), 425—513.
Г р э д (G r a d H.)
[i] Asymptotic equivalence of the Navier-Stokes and non linear Boltzmann
equations, Proc. Symp. Appl. Math., XVII A965), 154—183.
Грюнбаум (Grunbaum B.)
[1] A generalization of theorems of Kirszbraun and Minty, Proc. Amer. Math.
Soc, 13 A962), 312—314.
Гудьер, Ходж (G о о d i« r J. N., Hodge P. G., Jr.)
[1] Elasticity and Plasticity, Wiley, 1956. [Перевод: Упругость и пластичность,
М., 1960]
Д а й е р, Э д м у н д с (D у е г R. H.-, E d m u n d s. D. E.)
[1] On the existence of solutions of the equations of Magnetoh'ydrodynamics,
Arch. Rat. Mech. Anal., 9 A962), 403—410.

Библиография 555
Д а Прато (Da Pr ato G.)
[1] Equations devolution dans des algebres d'operateurs et application a des
equations quasi lineaires, /. Math. Pures Appi, 48 A969), 59—107.
[2] Somme d'applications non lineaires dans des cones et equations devolution
dans des espases d'operateurs, /. Math. Pure Appl., 49 A970), 289—348.
[3] Somme d'applications non lineaires et solutions globales d'equations quasi
lineaires dans des espaces de Banach, Boll. U.M.J., 4 A969), 229—240.
Дафермос (DafermosC,M.)
[1] The mixed initial-boundary value problem for the equations of non linear
one-dimensional viscoelasticity, /. Fund. Anal., 6 A969), 71—86.
Дебруннер, Флор (DebrunnerH., FlorP.)
{1] Ein Erweiterungssatz fur monotone Mengen, Archiv Math., 15 A964), 445—
447.
деДжорджи (deGiorgiE.)
[1] Sulla differenziabilita e l'analiticita della estremali degli integrali multipli
regolari, Mem. Ace. Sci. Torino A957), 25—43.
[2] Maggiorazioni a priori relative alle iper superfici minimali, Istituto Naz.
di Alta Mat., Symposia Mathematica, vol. II, 1968.
[3] Nuovi teoremi relativi alle misure (n—1) dimensionale in uno spazio ad r
. dimensioni, Ricerche Mat., 36 A955), 95—113.
Д е м и д о в Г. В., М а р ч у к Г. И.
[1] Теоремы существования решения задачи краткосрочного прогноза погоды,
ДАН СССР, 170:5 A966), 1006—1008.
Дев и, Лионе (Deny J., Lions J. L.),
[1] Les espaces du typed de Beppo Levi, Ann. Inst. Fourier, 5 A953—54), 305—370.
Д e p p и д ж (D e r r i d j M.)
[1] Stir une classe d'operateurs hypoelliptiques, These, Paris, 1970.
Дженкиис, Серрин (Jenkins H., SerrinJ.)
[1] The Dirichlet problem for the minimal surface equation in higher dimensions,
/. Reine Angew. Math., 229 A968), 170—187.
Джонс (J о n e s В. F., Jr.)
[1] The determination of a coefficient in a parabolic differential equation,-Part I,
Existence and Uniqueness, /. Math. Mech., 11 A962), 907—918.
Джонсон (Johnson J. L.)
[1] Global continuous solutions of hyperbolic systems of quasi-linear equations,
Bull. Amer. Math. Soc, 73 A967), 639—641.
Д ж о н с о н, С м о л л e p (Johnson J. L., S m о 11 ё r J. A.)
[1] Global solutions of certain hyperbolic systems of quasi linear equations,
/. Math. Mech., 17 A967), 561—576.
[2] Global solutions of hyperbolic systems of conservation laws in two inde-
independent variables, Bull. Amer. Math. Soc, 74 A968), 915—918.
Джусти (G ius ti E.)
[1] Sulla regolarita parziale delle soluzioni di sistemi ellittici quasi-lineari di
ordine arbitrario, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, Ser. 3, 23: 1 A969), 115—
141.
Джусти, Миранда (GiustiE., Miranda M.)
[1] Sulla regolarita delle soluzioni deboli di una classe di Sistemi Ellittici
Quasi-lineari, Archive Rat. Mech. Anal., 31 A968), 173—184.

656 Библиография
Диас (Dias J. P.)
[1] La regularite L00 pour une classe d'equations et d'inequations поп lineaires
du type elliptique, C.R. Acad. Sc. Paris, 269 A969), 14—17.
Д и а с, С и б о н и (D i a s J. P., S i b о-п у М.)
[1] Methodes d'approximation pour certains problemes поп lineaires поп homo-
genes, /. Diff. Equations, 9 A971), 182—204.
Д о л ь ф, М и н т и (D о 1 р h С. L., M i п t у Q. J.)
[I] On поп linear Integral Equations of the Hammerstein Type. In Non
linear Integra! Equations, Univ. Wisconsin Press, Madison, 1964, Ed. An-
selone; 99—152.
floHCKep(DonskerM. D.)
[1] On Function space integrals. In Analysis in Function Space, ed. by Martin
and Segal, M. I. T. Press, 1964, 17—30.
Дубинский Ю. A.
[1] Некоторые интегральные неравенства и разрешимость вырождающихся
квазилинейных эллиптических систем дифференциальных уравнений, Ма-
Матем. сб., 64 A06), A964), 458—480.
[2] Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических урав-
уравнениях, Матем. сб., 67 A09), A965), 609—642.
[3] Нелинейные параболические уравнения на плоскости, Матем. сб., 69 A11),
A966), 470—496.
[4] Об одной операторной схеме и разрешимости ряда квазилинейных урав-
уравнений механики, ДАН СССР, 176 : 3 A967), 506—508.
[5] Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения любого по-
порядка, УМН, 23 : 1 A968), 45—90.
[6] Некоторые теоремы вложения в классах Орлича, ДАН СССР, 152 A963),
529—532.
[7] Квазилинейные эллиптнко-параболические уравнения, Матем. сб., 77:3
A968), 354—389.
Д у г л а с (D о u g I a s J. Jr.)
[1] Approximate continuation of harmonic and parabolic functions, in Numeri-
Numerical Solutions of Partial Differential Equations, Acad. Press, 1966, 353—364.
Дуглас, Джонс (Douglas J., Jr., J о n e s B. F., Jr.)
[1] The determination of a coefficient in a parabolic differential equation,
Part II, Numerical Approximation, /. Math. Mech., 11 A962), 919—926.
Дуглас, Дюпон (Douglas J., Jr., D u p о n t T.)
[1] The numerical solution of water flooding problems in Petroleum Engineer-
Engineering by variational methods, Studies in Numerical Analysis, 2 A968), 53—63.
Дуглас, Дюпон, Серрин (Douglas J., Jr., Dupont Т., S e r-
rinJ. B.)
[1] Uniqueness and comparison theorems for non linear elliptic equations in
divergence form, Arch. Rat. Mech. Anal., 42:3 A971), 157—168.
Дуглас, Кеннон, Хилл (Douglas J., Jr., Cannon J. R., Hill С D)
[1] A multi-boundary Stefan problem and the disappearance of phases, /. Math.
Mech., 17 A967), 21—34.
Дурич (DuricM. D.)
[1] On the interior regularity of weak solutions of non stationary Navier-Stokes
equations on a Riemannian Manifold, Rend. Serh. N\at. Univ. Padova, 42
A969), 267—297. .

Библиография 557
Д ю в о (D u v a u t С.)
[1] Le probleme de Signorini en visco-elasticite lineaire, С R. Acad. Sc. Paris,
269 A969), 1044—1046.
Дюво, Лионе (Duva u t С, L i о n s J. L.)
[1] Sur de nouveaux problemes d'inequations poses par la Mecanique I, II,
С R. Acad. Sc, 269 A969), 510—513, 570—572; Nouvelles .inequations en
thermique et thermoelasticite, С R. Acad. Sc, 269 A969), 1198—1201;
Ecoulement d'un fluide rigide visco plastique incompressible, С R. Acad.
Sc, 270 A970), 58—61; Sur les equations de Maxwell ..., C. R. Acad. Sc,
270 A970), 1600—1603.
[2] Les inequations en Physique et en Mecanique, Paris, Dunod, 1972.
[3] Un probleme d'elasticite avec frottement, /. 'Mecanique, 10 A971), 409—420.
[4] Inequations en thermoelasticite et magneto hydrodynamique, Arch. Rat.
Mech. Anal., 1972 (в печати).
f5] Transfert de chaleur dans un fluide de Bingham dont la viscosite depend
de la temperature, Leray Seminar, december 1971.
Жаме, Ласк о, Равьяр (Jamet P., Lascaux P., Raviart P. A.)
[1] Une methode de resolution numerique des equations de Navier-Stokes, Nu-
merische Math., 16:2 A970), 93—114.
Жеврей (GevreyM.)
[1] Sur la nature analytique des solutions des equations aux derivees partielles,
Ann. E. N. S., 35 A918), 129—190.
Жеймоиа, Гривар (GeymonatG., GrisvardP.)
[1] Problemes aux limites elliptiques dans Lt, Sum. Fac. Sc. Orsay, janvier-
mars 1964.
Жоли (Joly J. L.)
[1] Thesis, Grenoble, 1970 (в печати).
Забуский (ZabuskyN. J.)
[1] Exact solution for the Vibrations of a Non Linear continuous Mode String,
Math. Physics, 3 A962), 1028—1039.
[2] A Synergetic Approach to Problems of Non linear dispersive Wave Pro-
Propagation and Interaction, in Ames [1], p. 223—258. .
Забуский, Крускал (ZabuskyN. J., KruskalM. D.)
[1] Interaction of solutions in a collisionless Plasma and the Recurrence of
Initial States, Phys. Rev. Letters, 15 A965), 240—243.
3 а рка (Z ar k a J.)
[1] Устное сообщение.
Зарубии А. Г.
[1] О задаче стационарной свободной конвекции, Ж-В.М. и М. Ф., 8 A968),
1378—1383.
Зубов В. И.
[1] Методы А. М. Ляпунова и их применения, Л., 1957.
Ивой (Yvon J. Р.)
[1] Application de la penalisation h la resolution d'un probleme de controle op*
timal, IRIA, Hi 2 A970), 4—45.
18 Зак. 46

558 Библиография
И о с и д а К.
[1] Функциональный анализ, М., Мир, 1967.
И то (ft о S.)
[1] The existence and the uniqueness of regular solution of non stationnary.
Navier-Stokes equation, /. Fac. Sc. Univ. Tokyo, Sec. I, 9 A961), 103—140.
К а л м а и, Б ю с и (K a 1 m a n R. E., В u с у R. S.)
[1] New results in linear filtering and prediction theory, /. Basic Eng. ASME,
83 A961), 95—107.
К а л м а н, Ф а л б, А р б и б (К а 1 m a n R. E., F a 1 b P. L, А г b i b M. A.)
[1] Topics in Mathematical system theory, McGraw Hill, 1969. [Перевод: Очерки
no математической теории систем,. М., 1971.]
Кальдерой, Зигмунд (С а 1 d е г о n A. P., Zygmund A.)
[1] A. note on the interpolation of sublinear operators, Amer. J. Math., 78 A956),
282—288.
КаменомостскаяС. Л.
[1] О задачах Стефана, Матем. сб., 53:4 A961), 489—514.
Каниель (К a n i e I S.)
[1] Quasi compact non linear Operator in Banach Space and Applications, Ar-
Archive Rat. Mech. Anal., 20 A965), 259—278.
[2] On the motion of a viscous incompressible fluid (в печати).
Каниель, Шинброт (Kaniel S., Shinbrot,M.)
[1] Smoothness of weak solutions of the Navier-Stokes equations, Archive Rat.
Proc. Symp. of non linear Functional Analysis, Chicago, April 1968.
[3] A note on the differentiability of non linear semi-groups, Proc. Amer. Math.
Anal., 24 A967), 363—369.
Каплан (Kaplan S.)
[1] On the growth of solutions of quasi linear parabolic equations, Comm. Pure
Appl. Math., XVI A963), 305—330.
КарлемаиТ.
[1] Математические задачи кинетической теории газов, М., ИЛ, 1960.
Кастэн, Валадье (Castaing Ch., V a 1 a d i e r M.)
[I] Equations differentielles multivoques dans les espaces vectoriels localement
convexes, C.R. Acad. Sc. Paris, 266 A968), 985—987.
Катабрига (CattabrigaL.)
[1] Su un problema al contorno relativo al sistema di equazioni di Stokes,
Rend. Sent. Mat. Padova, 31 A961), 1—33.
KaTO(KatoT-)
[1] On classical solutions of the two dimensional non stationary Euler Equation,
Archive Rat. Mech. Anal., 25 A967), 188—200.
[2] Accretive operators and non linear evolution equations in Banach spaces,
Proc. Symp. of non linear Functional Analysis, Chicago, April 1968.
[3] A note on the differentiability of non linear semi-groups, Proc. Amer. Math.
Soc, 1968, Summer Institute in Global Analysis (в печати).

Библиография 559
[4] Non linear semi-groups and evolution equations, /. Math. Soc. Japan, 19
A967), 508—520.
[5] Non linear evolution equations in Banach spaces, Proc. Symp. Applied Math.,
XVII A965), 50—67.
[6] Perturbation theory for linear operators, Springer, 132, 1966. [Перевод: Тео-
Теория возмущений линейных операторов, М., 1972.]
К а т о, Ф у ж и т а (К a t о Т., F u j i t a M.)
[1] On the non stationary Navier-Stokes system, Rend. Sem. Mat. Univ. Padooa,
32 A962), 243—260.
Кахан (KahaneC.)
[1] On the Spatial analyticity of solutions of the-Navier-Stokes equations, Arch.
Rat. Mech. Anal., 33 A969), 386—405.
Качуровский Р. И.
[1] О монотонных операторах и выпуклых функционалах, УМН, 15:4 A960),
213—215.
[2] Нелинейные операторы с ограниченным изменением, монотонные и выпук-
выпуклые операторы в, банаховых пространствах. УМН, 21:5 A966), 256—257.
[3] Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах, УМН,
23:2 A968), 121—168.
Каччиополи (CacciopoliR.)
[1] CEuvres completes I, II, Cremonese, 1963.
Келлер Дж. (Keller J. В.)
[1] On solution of non linear wave equations, Cotntn. Pure Appl. Math., 10
A957), -523-530.
КеллерХ. (KellerH. B.)
[1] Numerical methods for two point boundary value problems, Blaisdell, 1968.
Клингельхофер (Klingelhof er К.)
[1] Ober nichtlineare Randwertaufgaben der Potential theorie, Mitt. Math. Sem.
Giessen., 76 A967).
[2] Non linear harmonic boundary value problems, I, Archive Rat. Mech. Anal.,
31 A968), 364—371.
К н о п с, П е й н (K n о p s R. J., P а у n e L. E.)
[1] On the stability of solutions of the Navier-Stokes equations backward in
.. time, Archive Rat. Mech. Anal, 29 A968), 331—335.
Колодиер (Kolodnerl. I.)
[1] Free boundary problem for the heat equation with applications to problems
of change of phase, Comm. Pure Appl. Math., IX A956), 1—31.
[2] On Carleman's model for the Boltzman equation, in Non linear problems,
Univ. of Wisconsin Press A963), 285—287.
Комура (KomuraY.)
[1] Non linear semi-groups in Hilbert space, /. Math. Soc. Japan, 19 A967),
493—507.
[2] Differentiability of non linear semi-groups, /. Math. Soc. Japan, 21:3 A969),
375—402.
[3] Non linear semi-groups in Hilbert spaces, Int. conference on Functional Ana-
Analysis, Tokyo, April 1969.
Кон, Ниреиберг (KohnJ. J., Nirenberg L.)
[1] Degenerate Elliptic-Parabolic equations of second Order, Comm. Pure Appl,
Math., XX A967), 797—872.
18»

560 - Библиография
К о н в е й, С м и т (С о n w а у Е. D., S m i t h D.)
[1] An ordering principle for discontinuous solutions of quasi linear equations,
/. Diff. Equations, 6 A969), 110—124.
Коивей, Смоллер (Conway E. D., Smoller J.)
[1] Global solutions of the Cauchy problem for quasi linear first order equa-
equations in several space variables, Comm. Pure Appl. Math., XIX A966), 95—
105.
[2] Uniqueness and stability theorem for the generalized solution of the Ini-
Initial value problem for a class of quasi linear equations in several space
variables, Arch. Rat. Mech. Anal, 23 A967), 399—408.
К о н в е й, X о п ф (С о n w а у Е. D., Н о р f E.)
[1] Hamilton's theory and generalized solutions of the Hamilton Jacobi equa-
equation, /. Math. Mech., 13 A964), 939—986.
КондрашовВ. И. •
[1] О некоторых свойствах функций из пространства Lp, ДАН СССР, 48
A945), 563—566.
Кортвег, де Фрис (KortewegD. J., de VriesG.)
[1] On the change of form of long waves advancing in a rectangular channel
and on a new type of long stationary wave, Phil. Mag., 39 A895), 422—443.
да Коста-Кабрал (da Costa-CabralD.)
[1] Sur les problemes aux limites non lineaires pour une equation parabolique,
С R. Acad. Sc. Paris, 268 A969); 320—322.
К о т л а р (С о 11 а г М.)
[1] Condiciones de continuidad de operadores potenciales у de Hilbert, Ciirsos
у seminarios de matematice, Fasc. 2, Univ. Buenos-Aires, 1959.
КошелевА. И.
[1] О сходимости одного приближенного метода для вырождающихся эллип-
эллиптических уравнений, Известия ВУЗов, Математика, 3 A965), 98—104.
К о эй (Cohen D. S.)
[1] Positive solutions of non linear eigen-value problems: applications to non
linear reactor dynamics, Archive Rat. Mech. Anal., 26 A967), 305—315.
Коэи, Рубинов (Cohen H., RubinowS. I.)
[1] Some mathematical topics in Biology, Proc. Symp. on System theory, Poly-
Polytechnic Press, New York A965), 321—337.
Краиделл, Пази (CrandallM. С, PazyA.)
[1] Semi-groups of non linear contractions and dissipative sets, Journal Fund.
Anal., 3 A969), 376-418.
Красносельский М. A.
[I] Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений, М.,
Физматгиз, 1956.
КрейиС. Г.
[I] Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, М.,
Наука, 1967.
KpoHHH(CroninJ.)
[1] Fixed points and topological' degree in non linear analysis, Amer. Math.
Soc. Surveys, 11, Providence, 1964.
B) Using Leray-Schauder theory, /, Math. Anal. Appl., 25 A969), Ш—424,

Библиография 561
Кружков С. Н.
[1] О минимаксном представлении решений нелинейных уравнений первого
порядка, Функц. анализ, 3:2 A969), 57—66.
Курант (СourantR.)
[1] Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibra-
vibrations, Bull. Amer. Math. Soc, 49 A943), 1—23.
Кушвер (KushnerH. J.)
[1] On the optimal control of a system governed by a linear parabolic equation
with «white noise» inputs, SIAM Journal Control, 6:4 A968), 596—614.
К ушне р, Клейнмаи (KushnerH. J., Kleinman A. J.)
[1] Numerical Methods for the solution of the degenerate non linear elliptic
equations arising in Optimal Stochastic Control Theory, IEEE Transactions
on Automatic Control, A.C.B. A968), 344—353.
Кш и ж а некий, Шаудер (Krzyzanski M., Schauder J.)
[1] Quasi lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung vom hyperbolischen
Typus, Studia Math., 6 A936), 162—189.
К э р р о л (С а г г о 11 R. W.)
[1] Abstract methods in Partial Differential Equations, Harper and Row, 1969.
Лаврентьев М. M.
[1] О некорректных задачах математической физики, Новосибирск, 1962.
Ладыженская О. А.
[1] Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости, М.,
1961, 2-е издание, М„ 1970.
[2] О новых уравнениях для описания движений вязких несжимаемых жидко-
жидкостей и разрешимости'в целом для них краевых задач, Тр. Матем. Ин-та
Стеклова, 102 A967), 85—104.
[3] О модификациях уравнений Навье-Стокса для больших градиентов ско-
скоростей, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 7 A968), 126—154.
[4] Об однозначной разрешимости в целом трехмерной задачи Коши для урав-
уравнения Навье-Стокса при наличии осевой симметрии, Зап. научн. сем.
ЛОМИ, 7 A968), 155—177.
Л адыженская О. А., СолонииковВ. А.
[1] Решение некоторых нестационарных задач магнитной гидродииании длд
вязкой несжимаемой жидкости, Тр. Матем. ин-та Стеклова, Ш 4Ш&&.
115-173. - ^"'
Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н.
[1] Линейные н квазилинейные уравнения эллиптического типа, М., Наука,
1964.
Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Солонннков В. А.
[1] Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, М., Наука,
1967.
Лаке (Lax P. D.)
[1] Hyperbolic systems of conservation laws, II, Comm. Pure Appt. Math., 10
A957), 537—566.
[2] Development of singularities of solutions of nan Hnear hyperbolic partial
differential equations, /. Math. Physics, 5 A9S4), SU—613.
[3] Integrals of non linear equations of Evolution and Solitary waves, A,B.C.
Report, N. Y. U., January 1968. [Перевод в at Математика, 13:5 A969).]
Л а к с, Ф и л л и п с (L a x P. D., P h i 11 i p s R. S.)
[1] Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential ope-
operators, Qomm. Pure Appt, Math.., 1.8 (i960), 427-455.,

662 Библиография
Ланшон, flK)Bo(LanchonH., DuvautC.)
[1] Sur la solution du probleme de la torsion elasto-plastique d'une barre cy-
lindrique de section quelconque, С R. Acad. Sc. Paris, 264 A967), 520—523.
ЛаттесР., Лионе Ж--Л.
[1] Метод квазиобращеиия, М., Мир, 1971.
Леви (Lewy H.)
[1] On a variational problem with inequalities on the boundary, /. Mdlh. Mech.,
17 A968), 861—884.
[2] On a minimum problem for superharmonic functions, Int. Conf. on Func-
Functional Analysis, Tokyo, April 1969.
Леви, Стампаккья (Le-wу Н., Stampacchia G.)
[1] On the regularity of a solution of a variational inequality. Comm. Pure
Appl. Math., 22 A969). 153—188.
[2] On the regularity of certain superharmonic functions, Journal d'analyse, 23
A970), 227—236.
Л е в и н, Н о э л (L e v i n J. J., N о h e 1 J. A.)
[lj The Integrodifferential Equations of a class of Nuclear Reactors with
Delayed Neutrons, Archive Rat. Mech. Anal., 31, 2 A968), 151—172.
Лекаре (LescarretC.)
[1] Cas d'addition des applications monotones maximales dans un espace de
Hilbert, С R. Acad. Sc. Paris, 261 A965), 1160—1163.
Лемэр (LemaireB.)
[1] Sur les jeux aux derivees partielles, Ann. Scuola Norm. Supp. Pisa A972)
(в печати).
Л ере (Ler ay J.)
[1] Etude de diverses equations integrates поп lineaires et de quelques prob-
lemes que posent lTiydrodynamique, /. Math. Pures Appl., XII A933),
1—82.
[2] Essai sur le mouvement plan d'un liquide visqueux que limitent des parois,
/. Math. Pures Appl., XIII A934), 331—418.
[3] Sur le mouvement d'un liquide visqueux emplissant l'espace, Ada Math.,
-63 A934), 193—248.
Г4] Les pxoblemes поп lineaires, Enseignement Math., 35 A936), 139—149.
[5] Discussion d'un probleme de Dirichlet, /. Math. Pures Appl, 17 A938),
89—104.
[6] La theorie des points fixes et ses applications en Analyse, Proc. Int. Cong-
¦ ress Math., 1950, vol. 2, 202—208, Amer. Math. Soc, 1952.
Hyperbolic differential equations, Inst. Adv. Study, Princeton, 1952.
Les problemes de representation conforme d'Helmholtz; theorie des sillages
et des proues, Comm: Math. Helv., 8 A935), 149—180; 250—263.
Лере, Лионе (L e г а у J., L i о n s J. L.)
[1] Quelques resultats de ViSik sur les problemes elliptiques поп lineaires par
les methodes de Minty-Browder, Butt. Soc. Math. France, 93 A965), 97—107.
Л e p e, О й я (L e г а у J., О h у a Y.)
[1] Systemes lineaires Jiyperboliques поп strlcts, Seminalre College de France,
1964. . .;
Л ере, HI а уд ер (Ler ay J., S chau der J.)
[1] Topologie et equations fonctlonnelles, Ann. E. N. S., 51 A934), 45—78. [Пе-
[Перевод: Топология и функциональные уравнения. УМН, 3—4 A3—14)
A946).] ~ '"

Библиография 563
Лиидеиштраусс (LindenstraussJ.)
[I] On non separable reflexive Banach spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 72 A966),
967—970.
Л и о и с (L i о n s J. L.)
[1] Sur l'existence des solutions des equations de Navier-Stokes, С R. Acad.
Sc. Paris, 248 A959), 2847—2849. '
[2] Quelques resultats d'existence dans les equations aux derivees partielles
non lineaires, Bull. Soc. Math. France, 87 A959), 245—273.
[3] Sur certains problemes differentiels non lineaires, С R. Acad. Sc. Paris,.
252 A961), 657—659.
[4] Espaces intermediaires entre espaces Hilbertiens et Applications, Bull. Acad.
R.P.R.,50 A958), 419—432.
[5] Sur certains systemes hyperboliques non lineaires, С R. Cad. Sc. Paris,
257 A963), 2057—2060.
[6] Singular perturbations and some non linear boundary value problems,
M.R. С -Report 421, October 1963.
[7] Une remarque sur les probl?mes devolution non lineaires dans des do-
maines non cylindriques, .Revue Roumaine de Math. Pures et Appliquies, 9
Й964), 11—18.
[8] Quelques remarques sur certains problemes devolution non lineaires, Atti
Simp. Int. Appl. Analisi alia Fisica Math. Cremonese, Rome, 107—116.
[9] Sur certaines equations paraboliques non lineaires, Bull. Soc. Math. France,
93 A965), 155-175.
{101 Remarks on evolution inevualities, /. Math. Soc. Japan, 18 A966), 331—342.
[II] On the numerical approximation of some equations arising in Hydro-
Hydrodynamics, Durham A: M. S. Symposium, April 1968.
[12] Sur quelques problemes de calcul des variations, Instituto Naz. di Alta Mat.
Symposia Maihematica, 22 A968), 125—144.
[13] On some non linear partial differential equations related to optimal control
theory, Proc. Symp. on non linear Functional Analysis, Chicago, April 1968.
[14] Equations differentielles operationnelles et problemes aiix limites, Springer,
111, 1961.
[15] Sur le contr61e optimal de syst&nes gouvernes par des equations aux
derivees partielles, Paris, Dunod, Gauthier-Villars, 1968.
[16] Sur quelques proprietes des solutions d'inequations variationnelles, С R.
Acad. Sc. Paris, 267 A968), 631—633.
[17] Sur quelques proprietes d'inequations relatives a certains operateurs hyper-
hyperboliques non lineaires, C.R. Acad. Sc. Paris, 267 A968),84—685.
[18] Some remarks on variational inequalities, Int. Conference on Functional
Analysis, Tokyo, April 1969. ' ,
[19] Equations differentielles operationnelles dans les espaces de Hilbert,
С I. M. E. Varenna, Juillet 1963.
[20] Sur les problemes mixtes pour certains systemes paraboliques dans deS
ouverts non cylindriques, Ann. Inst. Fourier, VII A957), 143—182.
[21] Sur un nouveau type de probleme non lineaire pour operateurs hyperbola
ques' du deuxieme ordre, Seminaire J. Leray, College de France, 1965—1966,
vol. II, 17—33.
[22] Sur l'approximation de la solution d'inequations d'evolution, C.R. Acad.
Sc. Paris, 263 A66); 55—57.
[23] Reduction a des problemes du type Cauchy-Kowalewska, C. I. M. E., Ispra,
juillet 1967.
[24] Sur la regularite et l'unicite des solutions turbulentes des equations de
Navier-Stokes, Rend. Sem. Mat. Padova, 30 A960), 16—23.
[25] Sur quelques nouveaux exemples de problemes unilateraux, /. Foe. Se, '¦
Univ. Tokyo, Sec. 1A, 17 A970), 1—9.

564 Библиография
Лионе, Маджеиес (Lions J. L., М'а genes E.)
[1] Problemes aux limites поп homogenes et applications, vol. 1 et 2, Paris,
Dunod, 1968. [Перевод тома 1: Неоднородные граничные задачи и их при-
приложения, М., Мир., 1971.]
[2] Idem, vol. 3, Dunod, 1969.
[3] Problemes aux limites non homogenes (IV), 15 A961), 311—326.
[4] Espaces de fonctions et distributions du type de Gevrey et problemes aux
limites paraboliques, Ann. Mat. Pures Appl, LXVIII A965), 341—418.
Л и о и с, П е т р е (L i о n s J. L, Р е е t г е J.)
[1] Sur une classe d'espaces d'interpolation, Inst. Hautes Etudes, nro 19, Paris
A964), 5—68.
Л и о и с, П р о д и (L i о n s J. L., Pr o d i G.)
[1] Un theoreme d'existence et unicite dans les equations de Navier-Stokes en
dimension 2, C.R. Acad. Sc. Paris, 248 A959), 3519—3521.
Лионе, Стампаккья (Lions J. L, Stampacchia G.)
[1] Variational Inequalities, Comtn. Pure Appl. Math., XX A967), 493—519.
Лионе, Темам (Lions J. L, TemamR.)
[1] Une methode d'eclatement des operateurs et des contraintes en calcul des
Variations, С R. Acad. Sc. Paris, 263 A966), 563—565.
Лионе, Штраусе (Lions J. L, Strauss W.)
[1] Some non linear evolution equations, Bull. Soc. Math. France, 93 A965),
43—96.
Лихиерович (LichnerowiczA.)
[1] Existence and uniqueness theorems in general relativity, Proc. Symp. Applied
Math., A.M.S., vol. XVII A965), 189—198.
Люкес, Рассел (Lukes D. L., Russell D. L.)
Il] The quadratic criterion for distributed systems, M. R. С Report 860, March
1968.
Лясота,Опяль (Lasota A., OpialZ.)
[1] On the existence and uniqueness of solutions of a boundary value problem
for an ordinary second-order differential equation, Chlloq. Math., 18 A967),
7—11.
Маджеиес, Стампаккья (Magenes E., Stampacchia G.)
[I] I problemi al contorno per le equazioni differenziali di tipo ellittico, Ann.
Scuola Norm. Sup. Pisa, XII A958), 247—358.
Мазья В. Г.
[1] Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических уравнений
с аналитическими коэффициентами, Функц. анализ, 2:3 A968), 53—57.
М а к - К а м и, М и з е л (М а с С a m у R. С, М i z e I V. J.)
[1] Existence and non existence in the Large of Solutions of Quasilinear wave
equations, Archive Rat. Mech. Anal., 25 D), A967), 298—320.
Маккии (М с К e a n H. P., Jr.)
[1] A class of Markov processes associated with non linear parabolic equations,
Proc. Nat. Acad. Sc, 56 A966), 1907—1911.
[2] Propagation of chaos for a class of non linear parabolic equations, in Lec-
Lecture Series in Differential Equations, Session 7 (Stochastic Differential
Equations), March 1967.

Библиография 565
Маккии, Самуэльсои (McKean H. P., Jr., Samuelson A.)
[1] Rational. Theory of Warrant Pricing, Appendix: A free Boundary Problem
for the Heat Equation Arising from a Problem in Mathematical Econo-
Economics, Industrial Management Review, 6 A965), 13—39.
Маидел (MandelJ.)
[1] Cours de Mecanique des Milieux continus, T. 2: Mecanique des solides,
Paris, Gauthier-Villars, 1966.
Мароии (MaroniP.)
[1] La resolution d'une equation des ondes avec une condition frontiere non
lineaire, Revue Roumaine de Math, pures Appl., 16 A971), 529—550.
M a p ч у к Г. И.
[1] Численные методы в прогнозе погоды, Л., Гидрометиздат, 1967.
Масуда (MasudaK-)
[1] On the Analyticity and the Unique continuation theorem for solutions of
the Navier-Stokes equation, Prot. Japan Acad., 43 A967), 827—832.
M e и р и (M e i г i A. Z.)
[1] A new approach to the general problem of optimal filtering and control
of stochastic systems, Ph. D. Thesis, Berkeley, 1967.
M e й е р с (М е у e r s N. Q.)
[1] An example of non uniqueness in the theory of quasi linear elliptic equa-
equations of second order, Archive Rat. Mech. Anal., 14. A963), 177—179.
Мидзохата, Ямагути (Mizohata S., Yama'guti M.)
[1] Mixed problem for some semi-linear wave equation, /. Math. Kyoto Univ.,
2 A) A962), 61—78.
M и н т н (M i n t у Q. J.)
[1] Monotone j(non linear) operators in Hilbert Space, Duke Math. J., 29 A962),
341—346.
[2] On a monotonicity method for the solution of non linear equations in Ba-
nach spaces, Proc. Nat. Acad. Sc. USA, 50 A963), 1038—1041.
[3] On the monotonicity of the gradient of a convex function, Pacific J. Math.,
14 A964), 243—247.
[4] A theorem on maximal monotonic sets in Hilbert spaces,. /. Math. Anal.
Appl., 11 A965), 434—439.
[5] On the generalization of the direct metlrod of the Calculus of variations,
Bull. Amer. Math. Soc, 73 A967), 315-321.
[6] Proc. Symp. on non linear Functional Analysis, Chicago, April, 1968.
M и н ь о (М i g п о t A. L.)
[1] Methodes d'approximation des solutions de certains probl&nes aux limites
lineaires, Rend. Sem. Mat. Padova, XL A968), 1—138.
МнраидаК. (Miranda C.)
[1] Уравнения с частными производными эллиптического типа, М., ИЛ, 1957,
М и р а и д а М. (М i г a n d a M.)
[1] Minimal boundaries with obstacles, Annali Univ. Ferrara, 16 A971), 29—37.
Миттер, Филлипсои (MitterS. К., PhilUpsonG. A.)
[1] The state identification of a class of distributed systems; см. книгу Филлип-
сона [1].
М и у р а (М i u r a R. M.)
[1] Korfeweg-de Vries Equation and Generalizations. I. A remarkable explicit
non linear {ransfprmation, /. Math. Physics, 9 (8) A968), 1202—1209,

566 Библиография
Миура, Гардиер, Крускал (Miura R. M., Gardner О. S., Кг us-
k a I M. D.)
[1] Existence of Conservation laws and constants of motion, Physical Rev. Let-
Letters A968).
M о з e p (M о s e r J.)
[1] A rapidly convergent iteration method and non linear partial differential
equations, I, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, XX A966), 226—315.
[2] A new proof of de Giorgi's theorem concerning the regularity problem for
elliptic differential equations, Comm. Pure Appl. Math., 13 (I960), 457—468.
Mopо (Moreau J. J.)
[1] Fonctionnelles sous differentiables, C. R. Acad. Sc. Paris, 257 A963),
4117—4119.
[2] Proximite et dualite dans un espace hilbertien, Bull. Soc. Math. France, 93
A965) 273—299.
[3] Principes extremaux pour le probleme de la naissance de la cavitation, /.
Mecanique, 5 A966), 439—470.
[4] La notion de sur-potentiel et les liaisons unilaterales en elastostatique. С R.
Acad. Sc. Paris, 267 A968), 954—957.
Морозов Н. Ф.
[1] О нелинейных колебаниях тонких пластин с учетом инерции вращения,
ДАН СССР, 176 : 3 A967), 622—625.
Морри (МоггеуС, В., Jr.)
[1] Multiple integrals in the Calculus of Variations, Springer, Grundlehren Math.
. Wiss., 130, 1966.
[2] The differentiability of weak solutions of elliptic systems, Int. Conf. on
Functional Analysis, Tokyo, April 1969.
Моек о (MoscoU.)
[1] A remark on a theorem of F. E. Browder, /. Math. Anal. Appl., 20 A967),
90—93.
[2] Approximation of the solutions of some variational inequalities, Ann. Scuola
Norm. Sup. Pisa, 21 A967), 373—394.
[3] Perturbation of variational inequalities, Proc. Symp. on non linear Func-
Functional Analysis, Chicago, April 1968.
[4] Convergence of convex sets and of solutions of variational inequalities,
Adv. Math., 3 D), A969), 510—585.
Мураками (Murakami H.)
[1] On non linear ordinary and evolution equation, Univ. of Kansas, Tech. Re-
Report, June 1966.
Мустата (MustataP.)
[1] Rend. Sem. Mat. Padova (в печати).
Найтли (Knightly G.H.)
[1] On a class of Global solutions of the Navier-Stokes equations, Archive Rat.
Mech. Anal., 21 A966), 211—245.
[2] An existence theorem for the von Karman Equations, Archive Rat. Mech.
Anal., Я A967), 233—242.
Нгуеи Д. Ч.
[1] Об одной задаче со свободной границей для параболического уравнения,
Вестник МГУ, сер. мат. и мех., № 2 A966), 40—54; № 5 A966), 51-62,
Недел ич (Nedelec)
[1] these, Paris, 197Q,

Библиография ' 567
фон Неймаи, Рихтмайер (von Neumann J., Richtmyer R. D.)
[1] A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks, /. Appl.
Physics, 21 A950), 232—237.
Ниреиберг (NirenbergL.)
[1] Remarks on strongly elliptic partial differential equations, Comm. Pure
Appl. Math,, 8 A955), 648—674.
[2] On non linear Elliptic Partial differential equations and Holder continuity,
Comm. Pure Appl. Math., 6 A953), 103—156.
[3] Some aspects of linear and non linear partial differential Equations, Proc.
Congress. Inter. Math., 1962, 147—162.
{4] Intrinsic norms on complex analytic manifolds, 1st. Naz. Alta Mat., II
A968), 227—234.
Нитше (Nitsche J. C.)
[1] Variational problems with inequalities as boundary conditions, Bull. Amer.
. Math. Soc, 75 A969), 450--452.
Нэш (Nash J.)
[1] Continuity of the solutions of parabolic arid elliptic equations, Amer. J.
Math., 80 A958), 931—954. [Перевод в сб. Математика 4:1 (I960).]
Обэн (Aubin J.P.)
[1] Un theoreme de compacite, C.R. Acad. Sc, 256 A963), 5042—5044.
[2] Approximation of non homogeneous Neumann problems. Regularity of the
convergence and estimates of errors in terms of я-width, M. R. С Report,
. August 1968.
[3] Approximation'des problemes aux limites non homogenes pour des opera-
- teurs non lineaires, /. Math. Anal, and Appl., 30:3 A970),~510— 521.
О б э н, Л и о н с (A u b i n J. P., L i b n s J. L.)
[i] Remarques sur l'approximation regularisee des problemes variationnels,
CIME, Ecole d'ete, juin 1967.
Овсянников Л. В.
[1] Об одной системе Карлемана, Механика жидкости и газа, 6 A968), 183.
О г а з о (HaugazeauY.)
[1] Sur des inequations variationnelles, С.R< Acad. Sc. Paris, 265 A967),
95-98. ' :
B] These, Paris, 1968.
О л е й и и к О. А.
[1] Разрывные решения нелинейных уравнений, УМН, 12:3 A957), 3—73.
[2] О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного
уравнения первого порядка путем введения «исчезающей вязкости>, УМН,
14:2 A959), 159-164.
[3] О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши
. для квазилинейного уравнения, УМН, 14:2 A959), 165—170.
[4] On the existence, uniqueness, stability and approximation of solutions of
Prandtl's system for the nonstationary boundary layer, Rend. Ace. Naz.
Lincei.il A966), 32-40.
[5] Математические задачи теории пограничного слоя, УМН, 23:3 A968),
3-65.
[6] Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации, ДАН СССР,
ИЗ A957), 1210-1213.
[7] О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характери-
характеристической формой, Матем. сб., 60:1 A966), 111—140.

568 Библиография
ОлейиикО. А., Калашиик-овА. С, ЧжоуЮй-лииь
[I] Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной филь-
фильтрации, И АН СССР, сер. матем., 22 : 5 A958), 667—704.
О'Нейл (O'Neil R.)
[1] Integral transforms and tensor products of Orlicz spaces and L(p, q) spa-
spaces, 7. d'Analyse Math. Israel, XXI A968), 1—276.
Пале (Palais R.)
[1] Foundations of global non linear analysis, Benjamin, 1968.
Пей и (Pay ne L. E.)
[1] Uniqueness criteria for steady state solutions of the Navier-Stokes equa-
equations, Simp. Int. Applicazioni dell'analisi alia Fisica Matematica, Ed. Cremo-
nese, Roma, 1965, 130—153.
[2] On some non well posed problems for partial differential equations, in Nu-
Numerical Solutions of Non linear differential equations, Wiley, 1964, 239—263.
[3] On the stability of solutions of the Navier-Stokes, equations and conver-
convergence to steady state, SI AM I. Appl. Math., 15 A967), 392—405.
П е т p e (P e e t r e J.)
[1] Espaces d'interpolation et theoreme de Sobolev, Ann. Inst. Fourier, 16
A966), 279—317.
Петришии (PetryshynW. V.)
[lj On the extension and the solution of non linear operator equations, III. J.
Math., 10 A966), 255—274.
[2] Construction of fixed points of demi compact mappings in Hubert space,
/. Math. Anal. Appl., 14 A966), 276—284.
[3] Non linear equations involving nori compact operators, Proc. Symp. Non
linear Functional Analysis, Chicago, April 1968.
[4] Invariance of domain theorem for locally Л-proper mappings and its im-
implications, /. Fund. Anal., 5 :1 A970), 137—159.
ПогорелеикоВ. А., Соболевский П. Е.
[1] Гиперболические уравнения в банаховом пространстве, УМН, 22: 1 A967),
170-М72.
ПохожаевС. И.
[1] О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операторами, Функц.
анализ, 1 :3 A967), 66—73.
[2] О нормальной разрешимости нелинейных уравнений, ДАН СССР, 184
A969), 40—43.
[31 О собственных функциях уравнения &u + kf(u)=0, ДАН СССР, 165:1
A965), 36—39.
[4] О нелинейных операторах, имеющих слабо замкнутую область значений и
квазилинейных эллиптических уравнениях, Матем. сб., 78 A969), 237—259.
П о ц ц и (Р о z z i G. А.)
[1] Problemi di Cauchy e problemi ai limiti per equazione del tipo di Schroe-
dinger lineari, Ann. Mat. Рига Appl., 78 A968), 197—258.
Прагер (PragerW.)
[1] Problems in Plasticity Theory, 1954.
[2] Unilateral constraints in Mechanics of continue, Atti del Simp. Lagrartgia"no
Accad. Sc. Torino, 1—11.
ПрагерДодж (PragerW., HodgeP.G, Jr.)
[1] Theory of Perfectly Plastic Solids, Wiley, New-York, 1951. [Перевод: Теория
идеально пластических тел, М., 1965.]

Библиография 569
Проди (Prodi Q.)
[1] Un teorema di unicita per le equazioni di Navier-Stokes, Ann. Mat., 48
A959), 173—182.
[2] Qualche risultato riguardo alle equazioni di Navier-Stokes nel cato bidimen-
sionale, Rend. Sem. Mat. Padova, 30 A960), 1—15.
[3] Soluzioni periodiche dell'equazione delle onde con termine dissipativo non
lineare,./tend. Sem. Mat. Padova, 35 A965).
[4] Soluzioni periodiche di equazioni alle derivate parziali di tipo parabolico
e non lineari, Riv. Mat. Univ. Parma, 3 A952), 265—290.
[5] Problemi al contorno non lineari per equazioni di tipo parabolico non li-
lineari in due variabili-soluzioni periodiche, Rend. Sem. Mat. Padova,' 23
A954), 25—85.
[6] Soluzioni periodiche di equazioni a derivate parziali di tipo iperbolico non
lineari, Ann. Mat., XLII A956), 25^-49.
Прузе (P rouse Q.)
[1] Problemi di propagazione per equazioni non lineari della fisica matematica,
Rend. Sem. Mat. e Fisico di Milano, XXXVI A966), 1—19.
[2] Soluzioni quasi-periodiche dell'equazione non omogenea delle onde con ter-
termine dissipativo non lineare, Rend. Accad. Naz. Lincei, I, XXXVIII A965),
804—807; II, III, IV, XXXIX A965), 11—18, 155—160, 240—244.
[3] Periodic or almost periodic solutions of a non linear functional equation,
Rend. Accad. Naz. Lincei, I, II, III, XL1II A967), 161—167, 281—287, 448—
452; IV, XL1V A968), 3-10.
[4] Soluzioni periodiche dell'equazione di Navier-Stokes, Rend. Accad. Naz. Lin-
Lincei, XXXV A963), 443—447.
[5] Soluzioni quazi-periodiche dell'equazione di Navier-Stokes in due dimensioni,
Rend. Sem. Mat. Padova, 33 A963), 186—212.
[6] Soluzioni periodiche dell'equazione delle onde non omogenea con termine
dissip,ativo quadratico, Ricerche Mat., 13 A964).
Пуччи (Pucci С.)
[1] Un problema variazionale per i coefficient! di equazioni differenziali di tipo
elHttico, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, XVI A962), 159—172.
Рабинович (R a b i n о w,i t z P. H.)
[1] Periodic solutions of non-linear hyperbolic partial differential equations,
Comm. Pure Appl. Math., 20 A967), 145-205.
[2] Exfstence and non uniqueness of rectangular solutions of the Benard Pro-
Problem, Archive Rat. Mech. Anal., 29 A968), 32—57.
[3] Periodic solutions of non linear hyperbolic partial differential equations, II,
Comm. Pure Appl. Math., 22 A969), 25—39.
Равьяр (Ra via rt P. A.)
[1] Sur l'approximation de certaines equations d'evolution lineaires et non line-
aires, /. Math. Pures Appl, 46 A967), 11—107; 109—183.
[2] Sur la resolution et l'approximation de certaines equations paraboliques non
lineaires degenerees, Archive Rat. Mech. Anal., 25 A967), 64—80.
[31 Sur une classe d'equations paraboliques non lineaires degenerees, С R. Acad.
Sc. Paris, 268 A969), 21-24.
Г41 Sur la resolution numerique de l'equation -г; + н ¦= e-r-l -r— -3— I = 0,
1 J . at ax ax\\ ox \ ox I
1. Diff. Equations, 8 :1 A970), 56-94.
[5] Methode de Newton dans les equations aux derivees partielles non lineaires,
Bull. Direction Etudes et Recherches, Electricite de France, nro 1 A968),
31-41.

570 библиография
[3]
[4]
[6] Sur la resolution de certaines equations paraboliques non lineaires, /, Func.
Anal., 5:2 A970), 299—328.
д е Р а м Ж.
[1] Дифференцируемые многообразия, М., ИЛ, 1956.
Раскии В. Г., Соболевский П. Е.
[1] Задача Кош и для дифференциальных уравнений второго порядка в бана-
банаховых пространствах, СМЖ, 8 :1 A967), 70—90.
Рождественский Б. Л.
[1] Построение разрывных решений систем квазилинейных уравнений I, II,
ЖВМ и МФ, 2 : 6 A962), 1019—1043;  : 1 A963), 79—98.
Рождественский Б. Л., Яиеико Н. Н.
[1] Системы квазилинейных уравнений и их приложение к газовой динамике,
М., Наука, 1968.
Р о з е н б л а т т (R о s e n b I a 11 M.)
[1] Remarks on the Burgers Equation, /. Math. Physics, 9 A968), 1129—1136.
Рокафеллар (Rockafellar R, T.)
[1] Characterization of the subdifferentials of convex functions, Pacific J. Math.,
17.A966), 497—509.
[2] Monotone operators associated with saddle-functions and minimax problems,
Proc. Symposium A. M. S. on non linear Functional Analysis, April 1968.
Convex Analysis, Princeton Univ. Press, 1969. [Готовится русский перевод.]
Local boundedness of non linear monotone operators, Michigan Math. J., 16
A969), 397—407.
[5] Convex functions, monotone operators and variational inequalities, Ecole
d'ete de l'O. T. A. N., Venise, Juin 1968.
[6] On the maximality of sums of non linear monotone'operators, Trans. Amer.
Math. Soc, .149 A970), 75-«8. _
Роте (Ro the E.)
[l]Sem. Non linear Problems, Univ. of Wisconsin Press, 1963, 233—256.
Py ж е (Rou gee P.)
[1] Equilibre des coques elastiques minces inhomogenes en theorie non lineaire,
These, Paris, 1969.
Сазер (Sather J.)
[1] The Initial Boundary value problem for a non linear hyperbolic equation in
relativistic quantum mechanics, /. Math. Mech., 16 A966), 27—50.
[2] The Existence of a global classical solution of the initial boundary value
problem for Q « + ur= f, Archive Rat. Mech. Anal., 22 A966), 292—307.
[3] The initial boundary value problem for the Navier-Stokes equations in re-
regions with moving boundaries, Univ. of Minnesota, 'January 1963.
CaH4ec-IlafleHCHfl(Sanchez-PalenciaE.)
[1] Existence des solutions de certains problemes aux limites en magnetohydro-
dynamique, /. Mechanique, 7 A968), 405—426.
[2] Quelques resultats d'existence et d'unicite pour [es ecoulements magneto-
hydrodynamiques non stationnaires, /.- Mecanique'S A969), 509—541.
CaTTHHrep(SattingerD. H.) *
[1] Stability of non linear hyperbolic equations, Archive Rat. Mech. Anal., 28
A968), 226—244.
[2] On global solution of non linear hyperbolic equations, Archive Rat. Mech.
Anal., 30 A968), 148—172.

Библиография 571
С е а (С е a J.)
[1] Соигз С. Е. А. —Е. D. R, juillet 1969.
Cere (Szeg6G.P.)
[1] Sulla construzione numerica delle funzioni di Liapunov, I. Teoria, Univ. di
Milano, 1967.
Cere, Ариеити, Сутти (Szeg6 G. P., Arienti G., Suttl C.)
[1] Sulla costruzione numerica delle funzioni di Liapunov, II. Calcolo, Univ. di
Milano, 1968.
CeppHH(SerrinJ.)
[1] The initial value problem for the Navier-Stokes Equations, In «Non linear
Problems», ed by R. E. Langer, 1963, 69—98.
[2] On the interior regularity of weak solution of the Navier-Stokes equations.
Arch. Rat. Mech. Anal., 9 A962), 187—195,
[3] A note on the existence of Periodic Solutions of the Navier-Stokes Equations,
Arch. Rat. Mech. Anal., 3 A959), 120—122.
[4] The problem of Dirichlet for quasi linear Elliptic Differential Equations with
many independent variables, Phil. Trans. Royal Soc. London, 264 A969),
413-496. '
[5] A priori estimates for solutions of the minimal surface equation, Arch. Rat.
Mech. Anal., 14 A963), 376-383.
[6] On the stability of viscous fluid flows, Arch. Rat. Mech. Anal., 3 A959),
1—13.
С и а р л е, Ш у л ь ц, Варга (С i а г 1 е t P. G., S с h u 11 г М. Н., V а г-
gaR. S.)
[1] Numerical methods of high-order accuracy for non linear boundary value
problems. V. Monotone operator theory, Numerlsche Math., 13, 1 A969),
51—77.
Сибагаки, Рикимару (SibagakiW., RikimaruH.)
[1] Ori the Hopf's weak solution of the Initial Value Problem for the Navier-
Stokes equations, Memoirs Fac. Sci. Kyushu Univ., XXI A967), 194—240.
Си бои и (Si bony M.)
[1] Sur l'approximation d'equations et Inequations aux derivees partielles non
lineaires du type monotone, /. Math. Anal. Appl., 34 A971), 502—564.
[2] Minimisation de fonctionnelles non differentialles, Israel J. Math., 8 A970),
105-126. -
Сига л (Segal I. E.)
[1] The global Cauchy Problem for a relativistic scalar field with power interac-
interaction, Bull. Soc. Math. France, 91 A963), 129—135.
[2] Non linear relativistic partial differential equations, Труды Международного
конгресса математиков, Москва, 1968, 681—690.
[3] Dispersion for non linear relativistic equations, II, Ann. E. N. S., 1 A968),
459-497.
Смоллер, Джонсон (Smoller J. A., Johnson J. L.)
[1] Global solutions for an extended class of hyperbolic systems of conservation
laws, Archive Rat. Mech. Anal., 32 A969), 169—189.
Соболеве. Л.
[1J Применения функционального анализа к математической физике, Л., 1950,

572 Библиография
Соболевский П. Б.
[1] О нестационарных уравнениях гидродинамики вязкой жидкости, ДАН
СССР, 128 A959), 45—48.
[2] Об уравнениях параболического типа в банаховом пространстве, Труды
Моск. матем. о-ва, 10 A961), 297—350.
[3] О квазилинейных уравнениях в банаховом пространстве, ДАН СССР, 183
A968), 1020—1023.
СолоиииковВ. А.
[1] О некоторых стационарных краевых задачах для уравнений магнитной
гидродинамики, Труды матем. ин-та Стеклова, 59 A960), 174—187.
Стампаккья (StampacchiaG.)
[1] Formes bilineaires coercitives sur les ensembles convexes, C. R. Acad. Sc.
Parts, 258 A964), 4413—4416.
[2] Regularity of solutions of some variational inequalities, Proc. Symp. non
linear Functional Analysis, Chicago, April 1968.
[3] On the regularity of solutions of vaiiational inequalities, Int. Conf. on Func-
Functional Analysis, Tokyo, April 1969.
[4] Equations elliptiques du second ordre a coefficients discontinue, Seminaire
Leray, College de France, 1963—64.
СтратоиовнчР. Л.
[1] Условные марковские процессы и их применения к теории оптимального
управления; М., 1966.
Султангазин У. М.
[1] О построении обобщенного решения одной модельной задачи для нелиней-
нелинейного уравнения Больцмана, Механика жидкости и газа, № 4 A969), 192.
Такесита (TakeshitaA.)
[1] On the reproductive property of 2-dimensional Navier-Stokes equations (в пе-
печати).
Талеити (TalentiG.)
[1] Etude d'une equation integro-differentielle non lineaire, Publ. dell'Istituto
di Mat., nr0 118, Universita di Genova A963—64), 1—16.
Танабе (TanabeH.)
[1] On regularity of solutions of abstract differential equations of parabolic
type in Banach space, /. Math. Soc. Japan., 19 A967), 521—542.
Тарта p (T a r t a r L.)
[1] Interpolation non lineaire et regularite, /. Fund. Anal. A972).
[2] Theoremes de traces non lineaires, Archive Rat. Mech. Anal. A972) (в пе-
печати) .
Teм а м (Тem am R.)
[1] Sur la stabilite et la convergence de la methode des pas fractionnaires,
Annali Mat. PuraAppl., LXXIX A968), 191—380.
[2] Sur l'approximation de la solution des equations de Navier-Stokes par la
methode des pas fractionnaires (I) (II), Archive Rat. Mech. Anal, 32 A969),
135-153; 33 A969), 377—385.
[3] Une methode d'approximation de la solution des equations de Navier-Stokes,
Bull. Soc. Math. France, 96 A968), 115—152.
[4] Sur la resolution exacte et approchee d'un probleme hyperbolique norr line-
lineaire de T. Carleman, Archive Rat. Mech. Anal., 35:5 A969), 351—362.
[5] Problemes de stabilite, Seminaire Lions-Schwartz, 1968/69.
щ Remarks on the Approximation of some non-linear Elliptic Equations,
/. Computers System Set., 4 A970), 250—259.

Библиография 573
[7] Sur un probleme non lineaire, /. Math. Pures Appl., 48:2 A969), 159—172.
[8] Etude directe de l'equation de Riccati en dimension infinie, C. R. Acad. Sc.
Paris, 268 A969), 1335—1338.
[9] Sur l'equation de Riccati en dimension infinie, /. Fund. Anal., 7 A971),
85-115.
[10] Solution generalisee des equations du type hypersurfaces minima, Archive
Rat. Mech. Anal. A971).
T и и г (T i n g Т. W.)
[1] Elastic-plastic torsion Problem, Archive Rat. Mech. Anal., 25 A967), 342—
366.
T p e в (Т г ё v e-s F.)
[1] The Ovciannikov theorem and applications, Inst. Naz. Alta Mat. Symp.
Math., 11 A968).
[2] Ovcyannikov theorem and hyperdifferential operators, Notas de Mat., 46,
Rio de Janeiro, 1968.
T ротте p. (Trotter H. F.)
[1] On the product of semi-groups of operators, Proc. Amer. Math. Soc, 10
A959), 545—551.
У о и х е м (W о n h a m W. M.)
[1] On a matrix Riccati equation of stochastic control, SIAM J. on control, 6
A968), 681—694.
УральцеваН. Н.
[1] Вырождающиеся квазилинейные эллиптические системы, Зам. научн. сем.
ЛОМИ, 7 A968), 184—222.
Файф (Fife P.)
[1] Non linear deflection of thin elastic plates under tension, Comm. Pure Appl
Math., 14 A961), 81—112.
Ф аэдо (Faedo S.)
[1] Un nuovo metodo per l'analisi esistenziale e quantitative dei problemi di
propagazione, Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa A949), 1—40.
Фигейредо, Гупта (de Figueiredo D. G., Gupta С. Р.)
[1] Solvability of non linear integral equations of Hammerstein type (в печати).
Фнкера (FicheraG.)
[1] Problemi elastostatici con vincoli unilateral]: il problema di Signorini con
ambigue condizioni al contorno, Mem. Accad. Naz. Lincei, Ser. 8, 7 A964),
91—140. .
[2] Sulle equazioni differenziali lineari ellittico-paraboliche del secondo ordine,
Mem. Atti. Accad. Naz. Lincei, Ser. 8, 5 A956), 1-^30.
Филипсом (FhillipsonG. A.)
[1] Identification of distributed systems, Elsevier, 1971.
Фили (Finn R.)
[1] On the exterior Stationary problem for the Navier-Stokes equations and
Associated perturbation problems, Archive Rat. Mech. Anal, 19 A965), 363—
406.
[2] On the steady state solutions of the Navier-Stokes equations 111, Acta. Math.,
105 A961), 197—244.
[3] Estimates at infinity for stationary solutions of the Navier-Stokes equations,
Bull. Math. Soc. Sci. Math, phys, R. P. Roumanie, 3 E1) A959), 387-418,

574 Библиография
[4] On steady state solutions of the Navier-Stokes partial differential equations,
Archive Rat. Mech. Anal., 3 A959), 381—396.
[5] Stationary solutions 6f the Navier-Stokes equations, Proc. Sump. Appl. Math.,
17 A965), 121-153.
[6] New estimates for equations of minimal surface type, Archive Rat. Mech,
Anal., 14 A963), 337—375.
Фили, Смит (Finn R., Smith D. R.)
[1] On the linearized Hydrodynamicai Equations in two dimensions, Archive
Rat. Mech. Anal. 25 A967), 1—25.
[2] On the stationary solution of the Navier-Stokes Equations in two dimen-
dimensions, Archive Rat. Mech. Anal., 25 A967), 26-т39.
Флейшман, Фикеи (Fleischman В. A., Ficken F. A.)
[1] Initial value and time periodic solutions for a non linear wave equation,
Comm. Pure Appl. Math., 10 A957), 331—356.
Флеминг'(Fleming W.)
[1] Some Markovian Optimization problems, /. Math. Mech., 12 A963), 131 —
140.
[2] The Cauchy- problem for degenerate parabolic equations, /. Math. Mech., 13
A964), 987—1008.
[3] Duality and a priori estimates in Markovian Optimization problems, /. Math.
Anal. Appl., 16 A966), 254—279.
[4] The Cauchy Problem for а поп linear first order partial differential equation,
/. Diff. Equations, 5 A969), 515-530.
[5] Optimal continuous parameter Stochastic control, SI AM Review, 11 A969),
¦470—509.
[6] Functions with generalized gradient and generalized surfaces, Ann. Mat,
Рига Appl., 44 A957), 93—104.
Ф о я ш (F о i a s C.)
[1] Essais dans l'etude des solutions' des equations de Navier-Stokes dans l'es-
pace. L'unicite et la presque periodicite des solutions petites, Rend. Sent.
Mat. Padova, XXXII A962), 261—294.
[2] Ergodic Problems in Functional spaces related to Navier-Stokes equations,
Int. Conference on Functional Analysis, Tokyo, April 1969.
Ф о я ш, П р о д и (F о i a s С, Р г о d i Q.)
[1] Sur le comportement global des solutions non stationaires des equations de
Navier-Stokes en dimension 2, Rend. Sent. Mat. Padova, XXXIX A967),
1-34.
[2] CIME Summer School, Varenna, Italy A970).
Фридман (Friedman A.)
[1] Free boundary problems for parabolic equations. I, Melting of solids, /. Math.
Mech., 9 A959), 499—518.
[2] Free boundary problems for parabolic equations II. Evaporation and conden-
condensation of a liquid drop, I. Math. Mech., 9 A960), 19—66.
[3] Remarks on non linear parabolic equations, Proc. Symposia in Applied Ma-
Mathematics XVII A965), 3—49.
[4] The Stefan problem in several space variables, Trans. Amer. Math. Society,
132 A968), 51—87.
[5] One dimensional Stefan problems with non monotone free boundary, Trans.
Amer. Math. Society, 132 A968) 89—114.
[6] Boundary behavior of solutions of variational inequalities for elliptic opera-
operators, Archive Rat. Mech. Anal., 27 A967), 95—107.
[7] Classes of solution of iinear systems of partial differential equations of
parabolic type, Duke Math., I., 24 A957), 433-442,

Библиография 575
Фридмаи, Шинброт (Friedman A., ShinbrotM.)
[1] The initial value problem for the linearized equations of water-waves.
/. Math. Mech., 17 A967), 107—180.
Фридрихе (Friedrichs K.O.)
[1] Symmetric hyperbolic linear differential equations, Comm. Pure Appl. Math.,
7 A954), 345—392.
Фридрнхс, Лаке (Friedrichs К. О., Lax P.).
[1] Boundary value problems for first order operators, Comm. Pure Appl. Math.,
18 A965), 355—388.
Ф у жита (Fu j i ta H.)
[1] On the blowing up.of solutions of the Cauchy Problem for u< = Au + uI+a,
/. Fac. Sc. Univ. Tokyo, Sect. 1, Part. 2, 13 A966), 109—124.
[2] On some non existence and non uniqueness theorems for non linear parabolic
equations, Proc. Amer. Math. Symposium on Non linear Functional Analysis,
Chicago, April 1968'
[3] On non linear equations Аи + eu = 0 .and dv/dt = Ди + e°, Bull. Amer.
Math. Soc, 75 A969), 132—135.
[4] On the existence and regularity of the steady-state solutions of the Navier-
Stokes equations, /. Fac. Sci. Univ. Tokyo, Section 1, 9 A961), 59—102.
Фужита, BaTaHa6e(FujitaH.,WatanabeS.)
[1] On the uniqueness and non uniqueness" of solutions of Initial value problems
for some quasi linear parabolic equation», Comm. Pure Appl. Math., 21
A968), 631—652.
Фужита, Зауер (Fu j i t a H., Sauer N.)
[1] Construction of weak solutions of the Navier-Stokes equation in a non
cylindrical domain, Bull. Amer. Math. Soc, 75 A969), 465—468.
Фужита, Като (FujitaH., KatoT.)
[1] On the Navier-Stokes initial value problem, I, Arch. Rat. Mech. Anal, 16
A964), 269—315.
Ф у ж itt a, M а с у д a (F u j i t a H., M a s u d a K)
[1] В печати.
Харди Г., Литлвуд Дж., Полна Г.
[1] Неравенства, М., ИЛ, 1948.
Харлоу (Harlow F. Н.)
[1] The particle in Cell Method for numerical solution of problems in fluid dy-
dynamics, Proc. Symp. in Applied Math. A. M. S., XV A963), 269—288.
Хартман, Стампаккья (Hartman Ph., Stampacchia G.)
[1] On some non linear elliptic differential functional equations, Ada Math.,
115 A966), 271—310.
Хёриаидер, Лионе (Hormander L., Lions J. L.)
[1] Sur la completion par rapport a une integrale de Dirichlet, Math. Scand.,
4 A956), 259—270.
ХиллеЭ., ФиллипсР.
¦ [1] Функциональный анализ и полугруппы, М., ИЛ, 1962.

576 . Библиография
Ход ж, Херакович, Стаут (Hodge P. G., Jr., Н е г а к о v i с h С. Т.,
Stout R. В.)
[1] On numerical comparisons in Elastic Plastic torsion, /. Appl. Mechanics,
Trans. ASME, sept. 1968, 454—459.
X о п ф (Н о р f E.)
[I] Ober die Anfangswertaufgabe fur die hydrodynamischen Grundgleichungen,
Math. Nachr., 4 A951), 213—231.
[2] On non-linear partial differential equations, Lecture Series of the Symposium
on Partial Differential Equations, Berkeley, 1955. Ed. The Univ. of Kansas
A957), 1—29.
[3] The partial differential equation и< + uux = Ци**. Сотт. Pure Appl. Math.,
3 A950), 201—230.
Цараитонелло (Zarantonello E. H.)
[1] Solving functional equations by contractive averaging, Tech. Report 160,
U. S. Army Research Center, Madison, Wisconsin A960).
[2] The closure of the numerical range contains the spectrum, Bull. Amer. Math.,
70 A964), 781—787.
Чаидрасекхар (ChandrasekharS.)
[1] Hydrodynamic and Hydromagnetic Stability, Oxford, Clarendon Press, 1961.
Чезари (CesariL.)
[1] Periodic solutions of hyperbolic partial differential equations, Sym. on Non
Linear Differential Equations and non linear Mechanics, Acad. Press, 1963,
33—57.
[2] Periodic solutions of non linear differential systems, Proc. Symp. Potytechn.
Inst. Brooklyn, 10 (I960), 549—560.
[3] Sulle funzioni a varazione limitata, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 5 A936),
299—313.
Чернов (ChernoffH.)
[1] Optimal Stochastic Control (в печати).
Ч е р н я к о и П. С.
[1] О нестационарной свободной кониекции в ограниченной области, ЖВМ и
МФ, 6 B), A966), 283—303.
Шамир (Shamir E.)
[1] Коитр-пример, приведенный Брезисом — Стампаккьей [1].
[2] Regularity of mixed second-order elliptic problems, Israel Math. I., 6 A968),
150—168.
Шампин (ShampineL. F.)
[1] Existence and uniqueness for non linear boundary value problems, /. Diff.
Equations, 5 A969), 346—351.
Шварц Дж. (S с h w a r t z J.)
[1] Generalizing the Ljusternik-Schnirelmann theory of .critical points, Comm.
Pure Appl. Math., 17 A964), 807—815.
[2] Lectures on non linear functional analysis, Lecture Notes, New York Uni-
University, 1964.
Шварц Л. (Sen wart z L.)
fl] Theorie des distributions, I, II. Hermann, Paris, 1950—1951 B« edition 1957).
[2] Distributions a valeurs vectorielles, I, II, Ann. Inst. Fourier, 7 A957), 1—
141; 8 A958), 1—209.
f3] Theorie des noyaux, Proceeding of the Int. Congress of Math., 1950, 1,
220—230.

Библиография 677
Шёберг (SjobergA.)
[1] On the Korteweg-de Vries equation, existence and uniqueness, Uppsala Uni-
University, Department of Computers A967).
Шиаффино (Schiaffino)
[1] Boll. U. M. I. (в печати).
Шииброт, KaHHeJbfShinbrotM., KanielS.)
[1] The initial value problem for Navier-Stokes equations. Archive Rat. Mech.
Anal, 21 A966), 270—285.
Ш и ф ф (S с h i f f L. I.)
[1] Non linear meson theory of nuclear forces, I, Physic. Rev., 84 A951), 1—9.
Ш о р и н (C h о г i n A. J.)
[1] Numerical solution of the Navier-Stokes equations, Math. Computation,
22 A968), 745—762.
[2] On the convergence of discrete approximations to the Navier-Stokes equa-
equations, Report NYU, Computing Genter, 1968.
Штраусе (Strauss W.)
[1] Evolution equations non linear in the time derivative, J. Math. Mech., 15
A966), 49—82.
[2] The initial value .problem for certain non linear evolution equations, Amer.
J. Math., 89 A967), 249—259.
[3] Further applications of monotone methods to partial differential equations,
Symp. in non linear functional Analysis, Amer. Math. Soc, Chicago, April
1968.
[4] Decay and asymptotics for Dn = F(u), J. Fund. Anal., 2 A968), 409—457.
[5] The energy method in non linear partial differential equations, Notas de
¦Matematica.
[6] Local exponential decay of a group of conservative non linear operators,
J. Func. Anal., 6 :1 A970), 152—156.
ЮдовичВ. И.
[1] Некоторые оценки решений эллиптических уравнений, Матем. сб., 59 (доп.)
A962), 229—244.
[21 Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости, ЖВМ и МФ
3:6 A963), 1032—1036.
[3] Периодические движения вязкой несжимаемой жидкости, ДАН СССР,
1Эв : 6 A960), 1214—1217.
K>prenc(J6rgensK.)
[1] Das Anfangswertproblem in Grossen fur eine Klasse nichtlinearer Wellen-
gleichungen, Math. Zeitschr., 77 A961), 295—308.
[2] Uber die nichtlineareh Wellengleichungen der Mathematischeri Physik, Math.
Annalen, 138 A959), 179—202.
K)s(HuetD.)
[1] Perturbations singulieres d'inequations variationnelles, С R. Acad. Sc. Paris,
267 A968), 932—934.
Ямагути (Yama guti M.)
[1] On the a priori estimate for solutions of the Cauchy problem for some non-
nonlinear wave equations, /. Math. Kyoto Univ., 2 A962), 55—60.
[2] The asymptotic Behaviour of the solution of a semi linear Partial Differen-
Differential Equation related to an active pulse transmission line, Proc. Japan Acad.,
39 A0) A963), 726—730.
Я и е и к о Н. Н.
[1] Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физи-
физики. Новосибирск, 1967.

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Геометрические объекты
Q —открытое множество в R"; x = {xlt ..., хп} — общая точка;
как правило предполагается, что граница Q «регулярна»
Г — граница Q, dT — мера на поверхности Г
Q QX]0 T[ t]OT[ (f-время)
«Абстрактные» функциональные пространства
Рассматриваемые пространства, как правило, вещественны
V (соответственно Т) — рефлексивное пространство Банаха
Н (соответственно Ж) — пространство Гильберта
V cz Н (соответственно Т с: Ж): V плогно в Н, сложение непре-
непрерывно
И (соответственно Ж) отождествляется со своим сопряженным;
тогда ^сЯсР, УаЖ<=.У, Иногда не предполагается,
Как правило, V, Н, V (соответственно Т, Ж, У") суть функ-
функциональные пространства над Q (соответственно над Q)
«Конкретные» функциональные пространства
), ... — пространства бесконечно дифференцируемых
функций с компактным носителем в Q, Q, ..., снабженные
топологией индуктивного предела Л. Шварца [1]
ЗУ(Q), ЗУ(Q) — пространства, сопряженные к 3>(Q), ЗУ@) —
пространства распределений в Q, Q, ...
LP(Q) — пространства функций, суммируемых с р-& степенью
в Q по мере dx = dxx ... dxn;
Wm-p(Q)^{v\Davs=Lp(Q),\a\^m}
... +<*„
') Обычное соглашение при р*=оо: ||/|| =supess \{(х) |.

Основные обозначения 579
Пространство Соболева Wm'p(Q) будет полным с нормой
W™'"(Qi) —замыкание 2>(Q) в
W~m'*(Q) — сопряженное к W™'"(Q)
2
H~m (Q) — (Н? (Q))' — W~m-2 (Q)
HS(Q) —пространство Соболева нецелого порядка s
Н (Т) — аналогичное пространство над Г
C*(Q) — пространство^ k раз непрерывно дифференцируемых
функций в Q
0(Q) =C°°(Q)
Если X — некоторое пространство Банаха, то
Lp@, T; X) = if\f — измеримое отображение [О, Т]->Х,
/ Т ч 1
n\\f(t)fxdt\
< оо при
sup ess II / @ \\х < оо при /з = оо}
< е (О, Г)
0, Т[',Х) — пространство С~-отображений ]
с компактным носителем в ]0, Т[
Ск([0,Т];Х) —k раз непрерывно дифференцируемые отобра-
отображения [О, Т]-*Х
9?{Х\ Y) — пространство непрерывных линейных отображе-
отображений X в Y (X и Y — топологические векторные
пространства)
ЗУ (] О, Т[; X) = <?(?>(] О, Т [); X) — пространство распределений
иа ]0, Т[ со значениями в X.

УКАЗАТЕЛЬ ТИПОВ УРАВНЕНИЙ
Стационарные уравнения
Уравнения Навье-Стокса стационарные гл. 1, § 7
Уравнения «монотонного» типа гл. 2, § 2
Неравенства вариационные эллиптические:
метод монотонности гл. 2, § 8
метод штрафа гл. 3, § 5
Частный пример гл. 4, § 3
Параболические уравнения
Уравнения Навье-Стокса гл. 1, § 6
модификации уравнений Навье-Стокса гл. 2, § 5
неравенства гл. 3, п. 6.4, 6.5
аппроксимация системами типа Каши — Ковалевской гл. 4, § 4
периодические решения гл. 4, § 6
Уравнения «монотонного типа» гл. 2, § 1, п. 7.3, 7.4
метод компактности гл. 1, § 8
эллиптическая регуляризация гл. 3, § 1 и п. 2.1
периодические решения гл. 3, п. 2.2
случай нецилиидрической области гл. 3, п. 2.7
смешанная задача гл. 3, п. 2.8
решения, ограниченные в Rf гл. 4, п. 8.2
Вырождающиеся уравнения
ди V — /1 u IP-2 -^-1 =» f
dt Lk dx,[' ' алг '
и ) ¦
метод монотонности гл. 1, п. 3.2
метод компактности гл. 1, § 12
Другие типы вырождающихся уравнений гл. 4, п. 1.3
Задачи типа Стефана гл. 1, п. 3.3
Уравнения иа многообразиях гл. 1, § 10; гл. 2, § 4
Уравнения с несколькими временными переменными гл. 2, п. 7.6
Эволюционные уравнения гл. 2, § 9 и 10
метод штрафа гл. 3, § 6
семидискретизация гл. 4, п. 1.2
периодические решения гл. 4, п. 6.2
ограниченные решения гл. 4, п. 8.3

Указатель типов уравнений 581
Гиперболические уравнения
Уравнение и" — Аи + |«|р« = / гл. 1, § 1
__ в иецнлиидрической области гл. 3, § 8
Уравнение и" — Аи + |«' IV = f
с использованием компактности гл. 1, § 3, п. 5.3
с использованием монотонности гл. 2, § 6
многозначный вариант гл. 3, § 10
периодические решения гл. 4, § 7
Нелинейные колебания гл. 1, § 4
Нелинейные гиперболические системы первого порядка гл. 3, п. 2.3 и 2.4
Уравнения Карлемана гл. 4, § 2
Вариационные неравенства гл. 3, § 3
метод штрафа гл. 3, § 7
периодические решения гл. 4, § 7
Уравнения без априорных оценок гл. 1, § 2
Парные уравнения гл. 1, § 2
Уравнения Шредиигера гл. 1, § 10; гл. 3, п. 2.5
Нелинейные эволюционные уравнения, меняющие тип гл. 3, п. 2.6
Уравнения Кортвега — де Фриса гл. 3, § 4
Уравнения, связанные с оптимальным управлением гл. 4, § 9

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
Предисловие 9
Глава 1. Метод компактности , . . . ¦ 15
1. Об одном нелинейном гиперболическом уравнении, возникающем
в релятивистской квантовой механике 16
1.1. Постановка задачи 16
1.2. Функциональные пространства 17
1.3. Первая теорема существования 20
1.4. Доказательство теоремы 1.1 22
1.5. Теорема едииствеииости 27
1.6. Один результат о гладкости 29
1.7. Другой результат о гладкости. Специальные базисы ... 33
1.8. Энергетическое неравенство н равенство ........ 35
1.9. Различные замечания 41
2. Примеры и контрпримеры в том случае, когда нет глобальных
априорных оценок . ' 42
2.1. Гиперболическое уравнение без'глобальных априорных оценок 42
22. Множество Ж 43
2.3. Теорема устойчивости 46
2.4. Одна теорема о несуществовании 48.
2.5. Замечание 51
3. Другой пример нелинейного гиперболического уравнения ...» 52
3.1. Постановка задачи 52
3.2. Теорема существования и едииствеииости 52
4. Задачи о нелинейных колебаниях 57
4.1. Эволюционные уравнения 57
4.2. Модифицированное эволюционное уравнение 63
4.3. Стационарный случай 66
4.4. Стационарный случай; гладкость 69
б. Леммы о компактности ,,,<•¦• .... 70
5.1. Общие указания 70
5.2. Леммы о компактности 70
5.3. Применение теоремы 5.1 75
6. Уравнения Нввье-Стокса (эволюционный случай) 77
6.1. Постановка задачи 77
6.2. Случай пространства размерности 2. Единственность ... 83
6.3. Специальный базис 85
6.4. Доказательство теоремы существования 6.1; первый метод 88
6.5. Доказательство теоремы существования; второй метод . . 90
6.6. Теорема о гладкости 92
6.7. Теорема о существовании глобального сильного решения . . 95
6.8. Теорема единственности 97
6.9. Зависимость от вязкости 99

Оглавление 583
7. Уравнение Навье^Стокса (стационарный случай) 111
7Л. Однородная задача 111
7.2. Неоднородная Задача . Г14
8. Пример одного сильно нелинейного параболического уравнения . .118
8.1. Постановка задачи 118
8.2. Априорные оценки. Общие замечания ......... 119
8.3. Применение оценок . 122
8.4. Формулировка теоремы 123
8.5. Доказательство леммы 8.1 124
8.6. Доказательство существования в теореме 8.1 127
8.7. Доказательство единственности в теореме 8.1 132
9. Задачи о сопряжении и парные задачи 132
9.1. Одна параболико-гиперболическая задача о сопряжении ¦ ¦ 132
9.2. Парные уравнения 142
10. Нелинейное уравнение типа Шредиигера . 144
10.1. Постановка задачи 144
10.2. Теорема существования и единственности 144
11. Нелинейные уравнения на многообразии без края и с краем . .147
10.1. Постановка задачи 147
11.2. Задача на многообразии Г . . 148
11.3. Результаты 149
11.4. Случай многообразия с краем 152
12. Нелинейные вырождающиеся эволюционные уравнения . . . «153
12.1. Постановка задачи . 153
12.2. Один дополнительный результат о компактности 154
12.3. Решение задачи 157
13. Проблемы 160
14. Комментарии L ...«..*.. 161
Глава 2. Метод монотонности и метод монотонности и.компактности 166
1. Монотонные параболические уравнения 166
1.1. Примеры. Случай р>2 166
1.2. Доказательство существования 168
1.3. Доказательство едииствеииости 173
1.4. Один общий результат 173
1.5. Приложения общих результатов , . . 175
1.6. Результаты о гладкости . ,....«.. 178
1.7. Сумма монотонных операторов 179
2. Стационарные задачи . . . . . . . . ... 182
2.1. Первый общий результат 182
2.2. Теорема единственности. Отображения двойственности . . 184
2.3. Примеры 188
2.4. Псевдомоиотоииые операторы 190
2.5. Операторы вариационного исчисления. Аксиоматическое изу-
изучение 192
2.6. Операторы вариационного исчисления. Примеры , , . , .193

584 Оглавление
3. Замена основного пространства. Приложения 202
3.1. Общие замечания 202
3.2. Пример. Нелинейная задача о диффузии 203
3.3. Задача со свободной границей . . . 208
4. Нелинейные эволюционные задачи на многообразии ...... 215
4.1. Постановка задачи 215
4.2. Оператор si 216
4.3. Эквивалентная задача'на Г 218
5. Одни класс модификаций уравнений Навье-Стокса. Метод ком-
компактности и моногенности 219
5.1. Общие соображения. Постановки задач 219
5.2. Теорема существования для задачи 5.1 221
5.3. Одна теорема единственности 228
5.4. Изучение задачи 5.3 229
6. Метод монотонности и нелинейные гиперболические уравнения . .,233
6.1. Постановка задачи. Теорема существования и единственности 233
6.2. Доказательство существования 235
6.3. Доказательство единственности 239
7. Метод аппроксимации эволюционных операторов стационарными 239
7.1. Общие соображения 239
7.2. Теорема существования для абстрактных эволюционных
уравнений 240
7.3. Приложения" (I). Параболические уравнения 247
7.4. Приложения (II). Периодические задачи 248
7.5. Приложения (III) 250
7.6. Приложения (IV) 251
7.7. Различные замечания 253
8. Эллиптические вариационные неравенства 254
8.1. Примеры и общие указания 254
8.2. Теоремы существования для эллиптических вариационных
неравенств • , . 258
8.3. Совокупность решений . 262
8.4. Приложения 263
8.5. Варианты 264
8.6. Интерпретация вариационных неравенств с помощью субдиф-
субдифференциалов 267
8.7. Гладкость 269
8.8. Теоремы о сравнении 277
8.9. Другой тип примеров 279
9. Эволюционные параболические неравенства 280
9.1. Постановки задач .280
9.2. Условия согласования. Примеры . '. 283
9.3. Теорема существования «слабого» решения 285
9.4. Теорема единственности «слабого» решения 290
9.5. Приложения 291
9.6. Теоремы о гладкости 300
9.7. Различные замечания ...,,,.,,..,,,. 309

Оглавление 585
10. Различные дополнения •* 313
10.1. Эволюционные уравнения . . 313
10.2. Эволюционные неравенства ' 316
11. Проблемы 316
12. Комментарии 320
Глава 3. Метод регуляризации и метод штрафа 324
1. Эллиптическая регуляризация и эволюционные уравнения . . .324
1.1. Общие указания 324
1.2. Леммы о максимальности 326
1.3. Первая теорема существования, доказываемая с помощью
эллиптической регуляризации 329
1.4. Вторая теорема существования, доказываемая с помощью
эллиптической регуляризации 333
2. Приложения 335
2.1. Общие параболические задачи 335
2.2. Общие параболические задачи. Периодические решения . . 342
2.3. Нелинейные гиперболические системы первого порядка . . 343
2.4. Нелинейные гиперболические уравнения первого порядка и
нелинейные уравнения переноса 345
2.5. Нелинейные уравнения Шредиигера 347
2.6. Одно нелинейное уравнение, меняющее тип 351
2.7. Нелинейные параболические задачи в нецилиндрических об-
областях . 357
2.8. Нелинейные задачи смешанного типа 359
3. Параболическая регуляризация и гиперболические вариационные
неравенства ,. 36Э
3.1. Постановка задач .360
3.2. Один общий результат 361
3.3. Приложения 368
4. Параболическая регуляризация и уравнение Кортвега—де Фриса 375
4.1. Постановка задачи. Интегралы энергии 378
4.2. Теорема существования. Параболическая регуляризации . . 377
4.3. Различные замечания 381
5. Метод штрафа и эллиптические вариационные неравенства . . . 382
5.1. Общие указания 382
5.2. Операторы штрафа 384
5.3. Применение метода штрафа 385
5.4. Примеры 389
5.5. Результаты' о гладкости , . 392
5.6. Различные замечания 394
6. Метод штрафа и параболические эволюционные вариационные
неравенства 395
6.1. Общий метод 395
6.2. Примеры и приложения к вопросам гладкости 399
6.3. Ненулевые начальные данные 404
6.4. Односторонние задачи (или неравенства) для операторов
Навье-Стокса (I) 409
6.5. Односторонние задачи (или неравенства) для операторов
Навье-Стокса (Ц) , , . 413

586 . Оглавление
7. Метод штрафа и гиперболические эволюционные вариационные не-
неравенства 417
7.1. Линейные операторы 417
7.2. Примеры 423
7.3. Примеры неравенств для нелинейных гиперболических опе-
операторов 425
8. Метод штрафа и нелинейные задачи в нецилиндрических областях 429
8.1. Один гиперболический пример 429
8.2. Различные замечания 432
9. Другие типы приближений ........ 433
9.1. Приближение эллиптических неравенств параболическими ¦ . 433
9.2. Новые односторонние задачи 435
10. Приближение многозначных операторов с помощью регуляризации 437
10.1. Многозначные гиперболические уравнения 437
10.2. Многозначные гиперболические неравенства ...'.... 440
11. Проблемы 440
12. Комментарии • ¦ • 442
Глава 4. Итерационные методы. Частные решения 444
1. Аппроксимация с помощью методов конечных разностей . . . . 444
1.1. Общие указания 444
1.2. Семидискретизация и вариационные неравенства 445
1.3. Пространственная семидискретизацня; применение к одному
параболическому уравнению 451
2. Аппроксимация посредством расщеплении 461
2.1. Одна задача Т. Карлемана. Формулировка теоремы .... 461
2.2. Доказательство единственности 462
2.3. Метод расщепления 463
2.4. Априорные оценки 465
2.5: Предельный переход. Доказательство теоремы существования 469
3. Аппроксимация посредством срезки .471
3.1. Постановка задачи. Формулировка результата 471
3.2. Метод срезки 473
3.3. Доказательство теоремы 3.1 474
3.4. Пример одного неравенства 475
4. Аппроксимация с помощью систем типа Коши—Ковалевской . . 478
4.1. Общие указания . . . . - 478
4.2. Уравнения Навье-Стокса 478
4.3. Уравнения на многообразии 484
5. Последовательные приближения 487
5.1. Общие замечания 487
5.2. Уравнение-^- — Д« — и1+а = 0 , . . 487
5.3. Одно нелинейное интегро-дифференциальное уравнение в про-
пространстве типа Жеврея 491

Оглавление 587
6. Периодические решения. Параболический случай ....... 495
6.1. Общие указания 495
6.2. Периодические решения уравнений Навье-Стокса 496
6.3. Замечания об односторонних задачах 498
7. Периодические решения. Гиперболический случай • . 502
7.1. Общие указания 502
. 7.2. Решение гиперболической задачи G.7), G.8) с помощью эл-
эллиптической регуляризации 503
7.3. Периодические решения гиперболических неравенств . . .511
8. Поведение при больших t 519
8.1. Общие указания 519
8.2. Ограниченные на Rt решения эволюционных уравнений с мо-
монотонными параболическими операторами 519
8.3. Случай параболических неравенств 525
8.4. Различные замечания 529
9. Некоторые примеры нелинейных уравнений в частных производных,
связанных с теорией оптимального управления . '. • . * . • • • 530
9.1. Общие указания 530
9.2..Задачи об управлении без ограничений 530
9.3. Аппроксимация, посредством искусственной .эволюционной
задачи - 532
9.4. Расцепление искусственной эволюционной задачи .... 533
9.5. Расцепление исходной задачи управления 534
9.6. Примеры 535
9.7. Различные замечания 537
10. Проблемы , 540
11. Комментарии 542
Библиография 546
Основные обозначения 578
Указатель типов уравнений 580

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, ка-
качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820,
Москва, И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
Ж--Л. Лионе
Некоторые методы решения
нелинейных краевых задач
Редактор Н. И. Плужникова
Художник О. С. Прийменко
Художественный редактор В. И. Шаповалов
Технический редактор В. П. Сизова •
Корректор Л. В. Байкова
Сдано в набор 26/1 1972 г.
Подписано к печати 25/VI1I 1972 г.
Бумага тип. № 2 60X90'/i«= 18.38 бум. л. 36,75 усл.
печ. л. Уч.-изд. л. 32.81. Изд. J* 1/5770. Цена 2 р. 47 к.
Зак. 46
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография №2
вмени Евгении Соколовой Главполиграфпроыа
Государственного Комитета Совета Министров
СССР но делам издательств, полиграфии
в книжной торговли. Измайловскнй проспект, 39