Текст
                    DIFFERENCE METHODS
FOR
INITIAL-VALUE PROBLEMS
Second Edition
ROBERT D. RICHTMYER
University of Colorado, Boulder, Colorado
K. W. MORTON
United Kingdom Atomic Energy Authority,
Culham Laboratory, Abingdon, England
INTERSCIENCE PUBLISHERS
a division of John Wiley & Sons
NEW YORK • LONDON . SYDNEY • 1967


Р. Рихтмайер, К. Мортоп РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Перевод со второго английского издания Б. М. БУДАКА, А. Д. ГОРБУНОВА, В. Е. КОНДРАШОВА и В. Е. ТРОЩИЕВА Под редакцией Б. М. БУДАКА и А. Д. ГОРБУНОВА ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» Москва 1972
УДК 517.9; 518.6 Второе, существенно расширенное и переработанное издание одноименной книги первого из авторов. Первое издание также было переведено на русский язык (ИЛ, 1960). Книга посвящена разностным методам решения задачи Коши и смешанной задачи для уравнений в частных производных. В ней рассматриваются не только вопросы теории, но и боль- большое количество конкретных задач, имеющих важное практиче- практическое значение (уравнение теплопроводности, волновое уравнение, уравнения газовой динамики, уравнение переноса и др.). Книга интересна для математиков, занимающихся теорети- теоретическими вопросами вычислительной математики, для специали- специалистов по дифференциальным уравнениям, для механиков, физиков и инженеров, занимающихся приложениями разностных методов к решению конкретных задач. Доступна студентам старших кур- курсов и аспирантам указанных специальностей. Редакция литературы по математическим наукам 2-2-3
ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА Разностные методы решения краевых задач уже давно при- привлекают внимание математиков как в Советском Союзе, так и за рубежом; в разработке и приложении этих методов немалую роль сыграли труды советских ученых. В последнее время в связи с развитием новых областей тех- техники и появлением быстродействующих электронных цифровых машин эти методы развиваются особенно быстро, публикуется большое количество работ, целиком или частично посвященных разностным методам. В этой связи следует упомянуть книги О. А. Ладыженской «Смешанная задача для гиперболического уравнения», В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова «Об устойчи- устойчивости разностных уравнений», С. К. Годунова и В. С. Рябенького «Введение в теорию разностных схем», А. А. Самарского «Вве- «Введение в теорию разностных схем», Н. Н. Яненко «Метод дробных шагов для решения многомерных задач математической физики», И. С. Березина и Н. П. Жидкова «Методы вычислений», а так- также ряд важных статей, посвященных разностным методам реше- ния краевых задач. В обширной литературе о разностных методах книга Рихт- майера и Мортона занимает несколько своеобразное место. В ее первой, теоретической части излагается общая теория разностных методов решения уравнений в частных производ- производных— устойчивости и сходимости соответствующих разностных схем. Во второй части полученные результаты применяются к конкретным физическим задачам. Это — задачи переноса (ней- (нейтронов и фотонов), одномерные и многомерные задачи газо- газодинамики, задачи теплопроводности и диффузии, а также задачи о колебаниях струн и стержней. За годы, прошедшие после выхода первого издания, были созданы новые вычислительные машины и разработаны но- новые методы численного решения задач. В связи с этим при подготовке нового издания книги текст ее был существенно дополнен и несколько переработан. Так, в первой ее части чита- читатель найдет новые главы, посвященные уравнениям с перемен- переменными коэффициентами и общей теории смешанных краевых задач; во второй части значительно расширена глава о числен-
ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА ном решении одномерных задач газовой динамики и добавлена глава о расчете многомерных течений. Новые главы и параграфы книги переведены В. Е. Кондра- шовым и В. Е. Трощиевым. В основу русского текста остальных глав, мало измененных в оригинале, положен перевод первого издания, выполненный авторами этих строк. Расширенная по сравнению с первым изданием библиография все же недостаточно отражала работы советских ученых; чтобы восполнить этот пробел, для настоящего издания специально со- составлена дополнительная библиография. Мы надеемся, что эта книга, как и первое ее издание, заинте- заинтересует широкий круг читателей — от студентов до научных ра- работников и окажется полезным дополнением к отечественной литературе по численным методам решения краевых задач. Б. М. Будак, Л. Д. Горбунов
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ За десять лет, прошедшие со времени выхода в свет первого издания этой книги, число работ, посвященных теории разно- разностных методов для уравнений с частными производными, воз- возросло на несколько порядков, и читатель мог бы предположить, что основная цель переиздания книги состоит в изложении новых разделов теории (или той их части, которая относится к реше- решению краевых задач), однако это не было для нас главной целью. Хотя в некоторых главах, особенно в гл. 4—6, весьма подробно излагается ряд важных теоретических результатов, книга пред- предназначена прежде всего для тех, кто занимается решением кон-, "кретных прикладных задач, а не для специалистов по числен- численному анализу. Как и в других частях математики, абстрактная теория и приложения имеют здесь тенденцию развиваться неза- независимо друг от друга, и в результате этого развития в чистой математике создалось новое направление. Хотя это новое напра- направление уже привело к многочисленным результатам и понятиям, имеющим значение для прикладников, практические^ задачи физики в большинстве своем остаются пока в том или ином отношении слишком сложными и не покрываются доказанными теоремами. При проведении практических расчетов все так же необходимо сочетать физическую интуицию с соображениями эвристического характера и численными экспериментами, как это было и четверть века назад, когда Дж. фон Нейман положил начало развитию этого направления. Мы включили в книгу некоторые разделы теории, которые по нашему мнению находят применение или имеют значение для практических приложений, но постарались также сохранить тот практический подход, который был характерен для первого изда- издания. Основные теоретические достижения таковы: 1) завершено создание теории для однородных краевых задач с постоянными коэффициентами, а именно Баченаном и Крайсом для таких за- задач общего вида получены достаточные условия устойчивости, и 2) построена строгая теория устойчивости для определенных классов задач с переменными коэффициентами, смешанных краевых задач и квазилинейных задач. Для лиц, занимающихся решением практических задач, на наш взгляд представляет ин-
§ ЙРЕДИСЛОВИЕ КО bfoPoMy ИЗДАНИЮ терес следующее: 1) понятие диссипативных разностных схем; 2) метод Лакса — Вендроффа для систем уравнений с законами сохранения; 3) методы чередующихся направлений для много- многомерных параболических задач; 4) практические критерии устой- устойчивости для тех случаев, когда полученных обычным путем условий устойчивости оказывается недостаточно, и 5) примене- применение энергетических методов для анализа устойчивости. В современных теоретических исследованиях обычно исполь- используются такие математические понятия и методы, которые мало знакомы либо вообще недоступны для лиц, не являющихся спе- специалистами по численному анализу; поэтому для нас было труд- трудной проблемой изложение нового материала —- многим читателям доказательства все же покажутся сложными, несмотря на все наши попытки упростить их. Насколько мы понимаем, это неиз- неизбежно, но по нашему мнению включение доказательств оправды- оправдывается важностью результатов. Мы хотим выразить особую признательность Хайнцу Крайсу, стимулировавшему нашу работу, и Питеру • Лаксу, Гильберту Стрэнгу, Бересфорду Парлетту и Сэму Шехтеру за полезные обсуждения. Мы благодарны также Валери Бриз и Дженни Эйпленд за большую помощь в сложном деле оформления мате- математической рукописи.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Совершенно очевидно, что появление современных вычисли- вычислительных машин должно привести к своего рода революции в области численных методов. Сейчас численные методы приме- применяются там, где лет пятнадцать назад об их применении и не помышляли. Хотя электронные вычислительные машины выпол- выполняют в основном те же операции, которые производились при ручном счете, однако скорость и емкость этих машин позволяют им осуществлять процедуры, совершенно недоступные для руч* ного счета. Конечноразностные методы решения уравнений в частных производных были предложены еще в 1928 г. в знаменитой статье Куранта, Фридрихса и Леви, но на практике эти методы стали применяться лишь 15 лет спустя, и стимулом к их прак- практическому использованию послужило быстрое развитие техники во время войны, а также возможность применения первых авто- автоматических вычислительных машин. В Лос-Аламосе, например, в работе лаборатории в военное время существенное место за- занимали расчеты некоторых нестационарных течений; этим рас- расчетам, производившимся на существовавших тогда машинах с перфокартами, уделялось много времени и усилий. Сразу после войны члены Лос-Аламосского персонала в Абердине численно решили на машине ЭНИАК еще более сложные задачи, отно- относящиеся к системам уравнений в частных производных, а затем в разных местах США были решены многие задачи, связанные с движением жидкостей и газов, диффузией и переносом ней- нейтронов, переносом лучистой энергии, термоядерными реак- реакциями и т. п. Однако ожидаемая революция в численных методах проис- происходит довольно медленно. Появились некоторые новые идеи, но основные методы по существу остались теми же, что и много лет назад. Гауссов метод исключения (в той или иной форме) все еще остается одним из лучших методов решения систем ли- линейных уравнений, а метод Рунге — Кутта — одним из лучших для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. По- Похоже на то, что эти основные методы классического численного в течение некоторого времени останутся наиболее ходд-
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ вы ми и, быть может, они скорее будут включены в методы, ко- которые появятся в будущем, нежели заменены ими. Однако совершенно ясно, что быстродействующим вычислительным ма- машинам с большой памятью по самой их природе присуща спо- способность совершать такие необычайно разнообразные дела, о ко- которых раньше нельзя было и мечтать. Вероятно, в будущем откроются многие мощные методы как для тех задач, которые мы сейчас умеем решать, так и для тех, которые пока предста- представляются неразрешимыми. Методы, которыми мы располагаем в настоящее время, по большей части представляют собой про- простое объединение методов, придуманных для ручного счета и задач с малым объемом вычислений. Мы, безусловно, даже еще и близко не подошли к использованию всех огромных возмож- возможностей вычислительных машин. В численном анализе наибольшие изменения претерпели, по- пожалуй, разностные методы решения дифференциальных урав- уравнений в частных производных, особенно уравнений, связанных с нестационарными физическими процессами — они и являются основным предметом данной книги. Эти уравнения для реальных физических задач зачастую оказываются весьма сложными; они имеют переменные коэффициенты и в ряде случаев нелинейны. Часто встречаются смешанные системы (состоящие, скажем, из уравнений гиперболического и параболического типов), задачи с несколькими пространственными переменными и задачи, вклю- включающие интегро-дифференциальные уравнения. Число новых алгоритмов для решения таких задач быстро возрастает. Развитие численных методов, предназначенных для работы на автоматических вычислительных машинах, в одном важном отношении отличается от предшествующего развития численных методов для ручного счета. Новое направление численных ме- методов основывается в первую очередь на эмпирических данных и интуитивных соображениях и в меньшей мере (по сравнению с классическими методами численного анализа) обосновано ма- математически. Это вызвано усложнением решаемых задач и бы- быстрым накоплением алгоритмов для их решения, а также тем обстоятельством, что люди, работающие на электронных вы- вычислительных машинах, вообще говоря, не являются специали- специалистами по классическому численному анализу. Но не следует осуждать за это новое направление в развитии численных ме- методов: ожидание доказательств сходимости и получения оценки погрешности для новых методов надолго задержало бы внедре- внедрение большинства вычислительных устройств, используемых сей- сейчас техникой и промышленностью. Ведь по мере того, как усложняются решаемые задачи, трудность доказательств сходи- сходимости и определения оценки погрешности быстро возрастает. Поэтому в новом направлении существует известный разрыв
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ \\ между математиками, занимающимися данными вопросами, и теми, кто практически использует эти методы (например, физи- физиками). В то же время я убежден, что революция, которой мы ждем, осуществится только при совместной работе математиков и практиков. Для уменьшения разрыва между ними нужно, чтобы математики не проявляли излишней ортодоксальности в принятии эмпирического интуитивного подхода к вопросу и чтобы практики придавали большее значение действительному пониманию существа используемых ими методов. Осенью 1953 г. доктор Лесли Пек и автор настоящей книги, посетившие Институт математических наук Нью-Йоркского уни- университета, по просьбе проф. Куранта организовали семинар, посвященный тем разделам численного анализа, которые пред- представляют интерес как для математиков, так и для вычислителей. В работе семинара участвовали многие сотрудники и гости Института: Дж. Кёртис, Дж. Франклин, У. Гивенс, Е. Изаксон, Ф. Джон, П. Лаке, М. Роуз и другие. Затем в Нью-Йоркском университете были организованы аналогичные семинары и кур- курсы, в которых работали многие новые участники: большая часть профессорско-преподавательского состава Института и персо- персонала входящего в него вычислительного центра, а также некото- некоторые лица, прикомандированные к нему, в частности Дж. Тодд, О. Тодд и Дж. Форсайт. Настоящая книга содержит часть тех сведений по числен- численному анализу, которые были получены за последнее десятилетие в Лос-Аламосе и ряде других мест и соответственно модифи- модифицированы на вышеупомянутых семинарах и курсах. Теорети- Теоретическая часть построена на идеях Дж. фон Неймана, П. Лакса и отчасти автора этой книги, однако ясно, что при другом подходе к вопросу вклад других исследователей был бы представлен более рельефно. Книга представляет собой попытку объединить математический и практический подходы, и хотя революция в области численных методов по-видимому остается столь же далекой, как и ранее, можно надеяться, что в действительности мы медленно, но верно приближаемся к знанию того, что сле- следует делать с современными вычислительными машинами и как понимать получаемые на них результаты. Р. Д. Рихтмайер Нью-Йоркский университет
ЧАСТЬ I Общая теория Глава 1 ВВЕДЕНИЕ § 1.1. Краевые задачи В этой книге рассматриваются краевые задачи, возникающие в различных разделах физики сплошных сред, таких, как тео- теория теплопроводности, диффузия, гидродинамика, магнитная гидродинамика, акустика, электромагнетизм, волновая механи- механика, перенос лучистой энергии, диффузия нейтронов, упругие колебания. Описываемые этими теориями процессы нестацио- нестационарны и приводят к уравнениям в частных производных или интегро-дифференциальным уравнениям, в которых одна из не- независимых переменных, обозначаемая через /, играет роль вре- времени. Природа этих уравнений такова, что если произвольно задано состояние физической системы в некоторый начальный момент времени t = U, то решение существует при t ^ U и опре- определяется единственным образом граничными или какими-нибудь другими дополнительными условиями. Непосредственно темой этой книги являются конечноразно- стные методы для получения численного решения задач такого рода. Первая часть посвящена общему обсуждению этих мето- методов для линейных задач в рамках теории линейных операторов; цель этого обсуждения — выкристаллизовать основные понятия, связанные с устойчивостью и сходимостью. Для однородных краевых задач с постоянными коэффициентами выводятся ре- результаты общего характера; в последующих главах приводится ряд результатов для некоторых специальных типов уравнений с переменными коэффициентами и для некоторых смешанных краевых задач. Во второй части описываются основные конечноразностные методы, применяемые для решения краевых задач из различных областей прикладной физики на цифровых вычислительных ма- машинах. Насколько возможно изложение базируется на теорети- теоретическом материале первой части и на некоторых опубликованных работах, но поскольку существующая математическая теория пока еще несовершенна (в основном потому, что не охватывает нелинейных уравнений), то мы также призываем на^ помощь интуицию и эксперимент.
|4 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. I § 1.2. Уравнение теплопроводности В этой главе основные идеи иллюстрируются на общеизве- общеизвестном примере линейной задачи одномерной теплопроводности или диффузии. Если х обозначает координату вдоль тонкого изолированного стержня, по которому может распространяться тепло, или координату, перпендикулярную широкой плите, у ко- которой все точки каждой из ее сторон имеют одинаковую темпе- температуру, и если u = u(x,t) обозначает температуру в точке х в момент времени /, то эта температура удовлетворяет дифферен- дифференциальному уравнению ди д („ ди где а = а(х) или a(x,t)—удельная теплоемкость материала (на единицу объема), а К=К(х) или K(x,t)—коэффициент теплопроводности. Это уравнение является линейным, хотя оно было бы нели- нелинейным, если бы мы допустили, что величины а и /С, характери- характеризующие свойства материала, зависят не только от х и /, но и от температуры и. В этой главе мы ограничимся случаем однород- однородной среды, когда а и К постоянны, и положим К/а = а > 0. Дифференциальное уравнение A.1) надо дополнить гранич- граничными условиями, скажем в точках х = 0 и х = L, соответствую- соответствующих концам стержня или сторонам плиты; например, и = и0 при х = 0, если этот конец стержня находится в контакте с большим тепловым резервуаром температуры и0, или ди/дх=0 при х = 0, если этот конец теплоизолирован. В общем случае рассматриваемая задача включает в себя одно или несколько уравнений в частных производных или интегро-дифференциальных уравнений вместе с граничными и начальными условиями. Возможны также внутренние граничные условия; например, если К = К{х) имеет разрыв первого рода на границе двух сред в указанной выше задаче, то из физиче- физических соображений требуется непрерывность и и Кди/дх на этой границе. Аналогично на поверхности разрыва в потоке сжимае- сжимаемой жидкости дифференциальные уравнения гидродинамики за- заменяются условиями Ренкина—Гюгонио (см. гл. 12). Мы не будем входить в подробное обсуждение важных, но трудных вопросов существования и единственности решений; задачи, с которыми нам придется иметь дело, будут обычно сформулированы с самого начала в таком виде, чтобы были обеспечены существование и единственность решения при физи- физически приемлемых допущениях (таких, как кусочная гладкость коэффициентов и начальных данных). При численном решении краевых задач возникают вопросы о построении системы конечноразностных уравнений, о мето-
§ 1.2. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 15 дах ее решения,, о ее устойчивости и ее точности. В нескольких ближайших параграфах настоящей главы эти вопросы будут рассмотрены на примере простейшей задачи теплопроводности, поставленной выше. При этом мы сделаем следующие дополни- дополнительные упрощающие предположения: выберем единицу длины так, чтобы L = я, и будем считать, что граничные условия имеют вид и = 0 на концах и что начальная функция <р(#) обладает столь высокой гладкостью, какая нам только будет удобна. Наша краевая задача запишется в виде и = и{х9 t), да дЧ р л or = const > О, и{х, O) = qp(*) (заданная функция) при 0<лг<я, A.3) и @, t) = u(n, 0 = 0 при />0. A.4) Для иллюстрации можно представить себе тонкий плоский горизонтальный электропроводящий слой, заключенный между двумя толстыми плоскими слоями обычного покрытия и нагре- нагреваемый проходящим через него электрическим током. При этом предполагается, что нижняя поверхность нижнего покрытия и верхняя поверхность верхнего покрытия имеют комнатную тем- температуру, которую при соответствующем выборе начала отсчета можно считать равной нулю. Если после установления стацио- стационарного распределения температур электропроводящий слой внезапно удалить, мы получим для слоев покрытия упомянутую выше задачу с начальной функцией Сх при 0 <*<-?-, •(я —л;) при -тр^л:<л;, где х—вертикальная координата, а С — некоторая постоянная. Эта функция и типичные распределения температуры и(х, t) в последующие моменты времени изображены на рис. 1.1 сплош- сплошными линиями. Для сравнения с результатами вычислений, производимых при помощи разностных уравнений, заметим, что точное реше- решение рассматриваемой краевой задачи может быть получено изве- известным методом рядов Фурье. Его можно записать в виде ряда по синусам. Если положить ф(л;) = -— ф(—х) на отрезке —я ^ х ^ 0, то точное решение нашей задачи нэ отрезке
16 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. I —п ^ х ^ л можно представить в виде ряда оо и(х, t)= 2 Amexp{imx — m2ef), где я "=~k Jф (х) ехр (~/mx A.6) A.7) Иногда ряд A.6) рассматривают как обобщенное решение за- задачи, если этот ряд сходится лишь при / > 0; однако в этой главе мы предположим, что сходится и ряд Фурье для функции (p(jt), и притом абсолютно. Рис. 1.1. Решение одномерной задачи теплопроводности. Кривые соответ- соответствуют точному решению, а точки — решению конечноразностных уравне- уравнений A.9)—A.11). Поскольку все кривые симметричны, на чертеже приве- приведены только половины их» Для начальной функции A.5), соответствующей задаче с электропроводящим слоем, мы имеем О при четном т, 1=*\ 2/С , п(я1+1)/2 0-8) цт? (-1)" при нечетном т. § 1.3. Конечноразностные уравнения Очевидно, метод рядов Фурье применим только к весьма ограниченному классу задач. Действительно, успех его приме- применения, по крайней мере в изложенном выше виде, связан с ли- линейностью дифференциальных уравнений, постоянством их коэф- коэффициентов и тем фактом, что граничные условия эквивалентны условиям нечетности и периодичности начальных данных.
§ 1.3. КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 17 Это справедливо также и для других уравнений в частных производных, которые мы будем рассматривать, и для задач с большим числом зависимых и независимых переменных. На- Напротив, применение методов конечных разностей нисколько не связано такими ограничениями, хотя анализ их устойчивости и сходимости, который приводится ниже, строго говоря, справед- справедлив лишь при высказанных ограничениях. Пусть Да: и Д/— приращения переменных х и t, причем Дл: = я//, где / — натуральное число. Множество точек плос- плоскости (х, /) с координатами х = /А*, / = /гД/, / = 0, 1, 2, ..., / и п = О, 1, 2, ..., будем называть сеткой с размерами ячеек Дл: и Д/; Да: и Д/ считаются малыми положительными прираще- приращениями, и в дальнейшем мы будем рассматривать предельные про- процессы, при которых они стремятся к нулю. Приближенное значе- значение величины u(j&x9 яД/) будем обозначать через ипг Одной из простейших аппроксимаций дифференциального уравнения A.2) является кончноразностное уравнение А/ "~~а (Ал:J > /=1,2, ..., /-1, A.9) /2 = 0, 1,2, ..., с граничными и начальными условиями и$ = 0, ыу = О, /1 = 0,1,2,..., A.10) , / = 0, 1,2, ..., /, A.11) которыми заменяются условия A.4) и A.3). Ясно, что эти урав- уравнения дают возможность последовательно определить все зна- значения «у, 0 <!/<!/, л^О. Результаты вычислений, выполненных при помощи этих уравнений для рассматриваемой задачи с начальной функцией A.5), показаны на рис. 1.1 и 1.2. Вычисления выполнялись при J = 20 и, следовательно, при Дх = я/20, но при различных, хотя и не очень сильно отличающихся одно от другого значе- значениях Д/, а именно полагалось _аД/_ ( 5/п Для рис. 1.1, (Дл:J~\ 5/э для рис 1#2. Сплошными линиями изображено точное решение A.6) с коэф- коэффициентами A.8), а точками — численное решение1) конечно- 1) Как и в большинстве иллюстративных примеров этой книги, эти чис- численные значения были получены в процессе учебных занятий на вычислитель- вычислительных машинах УНИВАК и ИБМ 7090 в вычислительном центре Нью-Йорк-
18 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. разностных уравнений A.9) — A.11). Сравнение результатов по- показывает, что вычисления с меньшим значением Д/ вполне удовлетворительны, тогда как во втором случае погрешность быстро накапливается и после сравнительно малого числа ша- шагов увеличивается до неприемлемой величины. Явление, возни- возникающее во втором случае, называется неустойчивостью. Оно не _5 ~ 9 Рис. 1.2. Решение той же задачи, что и на рис. 1.1, полученное при вы- вычислениях с несколько большим значением Д/. Графики а, б и в соответ- соответствуют второй, третьей и четвертой (сверху) кривым на рис. 1.1. связано с ошибками округления, которые в приведенном при- примере совершенно незначительны, но является внутренним свой- свойством самой системы разностных уравнений A.9) — A.11). От- ского университета. В этом примере, который, конечно, очень прост, задача была запрограммирована так, что ее приближенное и точное решение печа- печатались машиной в виде двух параллельных столбцов для избранных значе- значений п. Точное решение находилось посредством суммирования ряда Фурье с точностью до восьми десятичных знаков,
§ 1.4 УСТОЙЧИВОСТЬ метим также, что при уменьшении Ах погрешность только уве- увеличивается, если не уменьшать соответственно Д/. Эти факты были отмечены Курантом, Фридрихсом и Леви [1928]]). Одной из основных целей исследований, представленных в этой книге, является анализ и предупреждение неустойчивости. § 1.4. Устойчивость Если и (jc, t) — точное решение краевой задачи, а ип, — точное решение конечноразностных уравнений, то погрешность метода —это разность и*] — u(jДа:, n&t). Возникают два во- вопроса: 1) Как ведет себя \и* — и (/Да:, яД/)| при «->оо и фикси- фиксированных Да: и Д/? 2) Как ведет себя |«" — "(/Да:, лД/)|, когда ячейки сетки из- измельчаются (т. е. Дх, Д/ -> 0) при фиксированном значении n&t? Мы увидим, что ответ на второй вопрос зависит от отноше- отношения скоростей, с которыми Дх и Д/ стремятся к нулю. Мы счи- считаем второй вопрос более существенным, потому что основная задача приближенных вычислений — указать способ, посред- посредством которого погрешность можно сделать сколь угодно ма- малой, так чтобы в пределе она стремилась к нулю. В обоих вопросах число шагов вычислений становится в пре- пределе бесконечным и возможен безграничный рост погрешности. Для однородных краевых задач малость погрешности в обоих случаях обеспечивается совершенно аналогичными условиями на разностные уравнения, но для других краевых задач результаты могут существенно различаться. Чтобы найти ответы на наши вопросы в случае задачи теп- теплопроводности, заметим, что точное решение разностных урав- уравнений также может быть представлено в виде ряда Фурье. Дей- Действительно, пусть A, g и m — некоторые константы, причем m — целое число. Подставим в разностное уравнение A.9) вы- выражение Alnexp(imjAx) вместо ипг Выбирая g так, чтобы урав- уравнение A.9) при этом удовлетворялось, получим l = t(m)=l-j^-(l-cosmAx). A.12) Следовательно, выражение оо W}= 2 Am(.l(m))nexp(imjAx), A.13) /П=— оо где Am определяются формулой A.7), является точным реше- решением разностного уравнения A.9) с граничными условиями 1) Список оригинальных работ помещен в конце книги; работы обозна- обозначаются фамилией их автора с указанием года выхода в свет.
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. I A.10) и начальными условиями A.11). В самом деле, (а) ряд A.13) абсолютно сходится, ибо ряд для ф(л:) абсолютно схо- сходится и 1(т) является ограниченной функцией от т\ (б) каж- каждый член ряда A.13) удовлетворяет разностным уравнениям A.9), а значит, и его сумма удовлетворяет этим уравнениям; (в) при лг = О ряд A.13) совпадает с рядом для ср(/Дх) и, сле- следовательно, удовлетворяет начальным условиям; (г) справед- справедливость граничных условий для функции и^ и ее нечетность по / следуют из того, что А-т = Ат в силу нечетности ф(л:), равенства ?(—т)=%(т) и формулы Эйлера для экспонент. Таким образом, uf удовлетворяет всем уравнениям A.9) — A.11). Отметим между прочим, что так как функция, представлен- представленная рядом Фурье A.13), определяется лишь для последователь- последовательности точек х = /Д*, то в выборе коэффициентов имеется боль- большой произвол. Выбор, сделанный выше, является вполне подхо- подходящим, но с таким же успехом uf можно представить и по-дру- по-другому, полагая например *}= 2 Ят(?(т))лехр(/т/Дл;), /71=—/ где Вт находятся из начальных условий, рассматриваемых как 2/+1 линейных уравнений1) относительно 2/+ 1 неизвестных 5-/,..., Bj. Формула A.13) означает следующее: вследствие того что в рассматриваемой задаче переменные разделяются, каждая гармоника с ростом времени растет (или затухает) независимо от других; множитель перехода ?>(т) является коэффициентом роста (или затухания) амплитуды m-й гармоники для времен- временного интервала Д/. В точном решении A.6) все гармоники за- затухают и коэффициент затухания амплитуды m-й гармоники равен ехр(—т2аД/). Если эту экспоненту и косинус в A.12) разложить в степенные ряды, то обнаружится, что оба множи- множителя перехода совпадают с точностью до членов, содержа- содержащих т2: ехр (—т2о Д/) = 1 — т2а Ы + ± т4а2 (МJ — .... A.14) Для любой гармоники эти два множителя перехода могут быть сделаны сколь угодно близкими посредством соответствующего уменьшения Ах и Д/, и поэтому возникает надежда, что реше- 1) Начальная функция (p(jt) продолжена на отрезок [—я,0], так что / теперь изменяется от —/ до /.
§ 1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ нием разностного уравнения можно хорошо аппроксимировать решение дифференциального уравнения. С другой стороны, из A.12) следует, что независимо от малости Дд: и Д/ всегда имеются некоторые гармоники с достаточно большими номе- номерами т, для которых эти множители значительно различаются. Данное обстоятельство либо лишает законной силы численное решение, либо нет. Ряд Фурье для начальной функции у(х) предполагается абсолютно сходящимся, так что ряд A.6) для точного решения абсолютно сходится для всех неотрицатель- неотрицательных Л Следовательно, когда имеется некоторая надежная сте- степень точности вычислений, то в точном решении все гармоники достаточно высокого порядка, скажем с т > /п0, при всяком />0 пренебрежимо малы. Искажение, которое вносят эти гармоники высшего по- порядка в аппроксимирующее решение, не приносят вреда, если только они не возрастают до величины, которая не является уже пренебрежимо малой. Интуитивно ясно, следовательно, что условием устойчивости является неравенство max|s(m)|<l. A.15) т Если это условие выполнено, то ни одна из гармоник не возрас- возрастает, если же оно нарушено, то имеются гармоники, неограни- неограниченно возрастающие при возрастании п. Конечно, может случиться, что при специальном выборе на- начальной функции начальные амплитуды Ат гармоник высших порядков (т > т0) равны нулю. В этом случае они останутся равными нулю и при любой степени усиления в предположении, что арифметические операции при решении разностных уравне- уравнений выполняются абсолютно точно (т. е. без всяких округлений). Однако на практике условие A.15) должно рассматриваться как необходимое. Мы теперь в состоянии ответить на первый вопрос, подня- поднятый в начале этого параграфа. Погрешность и*} — и (/Да;, пМ) остается ограниченной при п-+оо для фиксированных Дх и At и для произвольной начальной функции с абсолютно сходя- сходящимся рядом Фурье тогда и только тогда, когда выполняется условие A.15). Для доказательства заметим сначала, что по- поскольку точное решение u(x,t) ограничено при t—юо, то по- погрешность метода может быть ограниченной1) тогда и только тогда, когда и*] ограничено. Но оо \и.Ч\— 2 Ат (| (т))" exp (imj A.v) у m м=—оо х) Мы здесь не делаем никакой попытки доказать, что погрешность ме- метода в этом случае в некотором смысле мала.
22 гл. i. введение ч. i так что если выполнено условие A.15), то wkJ.ia.i- т. е. uf ограничено в силу предположенной в самом начале абсолютной сходимости ряда Фурье для ф(лг). С другой сто- стороны, если |?(ап)|> 1 для некоторого т, то достаточно взять cp(jt) = sinmjc, чтобы получить неограниченное решение «у, ибо в этом случае uf равно {%(т))п sin m/Да:. Чтобы применить условие A.15) к задаче теплопроводно- теплопроводности, заметим, что в силу формулы A.12) множитель перехода g(m) действителен для всех действительных т и никогда не превосходит +1. Условие A.15) означает, следовательно, что g(m) не может быть меньше —1. Наименьшее значение 1(т) достигается тогда, когда т является нечетным кратным /. Условие \{т)^ —1 для таких знчений т состоит в том, что 1, (Мб) и это есть условие устойчивости для системы разностных урав- уравнений A.9) —A.11). В рассматриваемом примере достаточность условия A.16) можно доказать более элементарно. Действительно, замечая, что разностные уравнения A.9) могут быть переписаны в виде Аиппх + Ви<} + Си*}_{, ° Д/ Р — 1 2g А/ где (так что если условие A.16) выполнено, то Л, Б, С положи- положительны и их сумма равна единице), получаем max I «7+1 К (А + В + С) max \u« I = max I w»| < ^ max I и1}1 < max I u°, I, I i / i i i /i и решение, таким образом, ограничено. Это доказательство имеет то достоинство, что оно приме- применимо в слегка измененном виде даже в том случае, когда коэф- коэффициенты дифференциального уравнения переменны; но метод анализа^ устойчивости при помощи рядов Фурье, введенный фон Нейманом, может быть применен к более широкому классу дифференциальных уравнений, где элементарные методы те- теряют силу. Кроме того он дает возможность проникнуть в сущ- сущность явлений, происходящих на практике, например иллюстри-
§ 1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ 23 рованных рис. 1.1 и 1.2, где видно, что когда возникает неустой- неустойчивость, то те гармоники, длина волны которых сравнима с удвоенным шагом пространственной сетки, неприемлемым об- образом усиливаются. Еще один метод, который мы детально рассмотрим в гл. 6, расположен по области применимости где-то между указан- указанными двумя методами. Это так называемый энергетический ме- метод, обязанный своим названием принципу сохранения энергии физической системы, описываемой дифференциальным уравне- уравнением. Во избежании возможных недоразумений следует сразу отметить, что во многих случаях сохраняющаяся величина не является физической энергией. Хорошим примером в этом смысле является рассматриваемая задача теплопроводности: здесь физическая энергия пропорциональна величине 4Ь J и dx\ мы однако рассмотрим вместо нее1) \иЧх. —Я Умножим обе части уравнения A.2) на и и проинтегрируем получившееся равенство по х от —я до я. Интегрируя правую часть по частям и замечая, что внеинтегральные члены равны нулю в силу граничных условий A.4), получаем —я —я Аналогично для разностной схемы A.9) положим и постараемся показать, что эта величина остается ограничен- ограниченной при я->оо, если выполнено условие A.16). Для этого умножим A.9) на (ыу+1 + uf)Ax и просуммируем по /, исполь- используя формулу суммирования по частям — 2 ("/ + 1 — «/)(*>/+1 — vf). 1) Потому что предыдущий интеграл ввиду нечетности и равен нулю. -* Прим. перед.
24 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ Ч. Учитывая еще граничные условия A.10), находим —1| и» |р — I7 1 (и« + ii»+>) Щ ^x + || Д+и* |р + Дх 2 A+ii» A+wn+i § A.17) где L = 2а Д*/(Дл;J, а через Д+и(л:) обозначена „разность впе- вперед" г/ (jc + Ajc) — и (х). В силу неравенства Шварца | |р + и д+ Далее, положив „ = || и" IP - -j L [(^J Дд: +1| Д+г/« |р], A.18) найдем, что - Sn = - 1L Ш» + « , A.19) т. е. Sn не возрастает с ростом /г. Ясно, что So ^ ||и°||2, и соглас- согласно A.19) Sn <; ll«°ll2. Для завершения доказательства нужно установить, что ||ып||2 ^ cS,t, где с — некоторая константа. Так как ^ = 0, то <, ), то Sn>||aII|p-(l-e)||aII|p = e|Ull|pl т. е. || ия |р и, следовательно, uj ограничены при ^г-»-оо. ролее важным, чем вопрос об ограниченности решения раз- разностных уравнений, является второй вопрос, поставленный в на- начале этого параграфа, — вопрос о поведении погрешности в дан- данной точке (x,t)y когда ячейки сетки безгранично измельчаются; мы хотим, чтобы при этом погрешность в пределе стремилась к нулю. Предположим, что (x,t) — это точка сетки со сторонам^ ячеек Ai*, Д^, для которой выполняются вычисления по конечно- разностной схеме, и что для улучшения полученного приближе- приближения вычисления повторяют, измельчая эту сетку. Значение я, со- соответствующее фиксированному моменту времени t, при этом, ]) Здесь приходится исключить случай равенства в A.16). — Прим. перец.
§ 1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ 25 конечно, неограниченно возрастает, и интуитивно ясно, что нуж- нужно избегать случая, когда множитель перехода по абсолютной величине превышает 1, по тем же соображениям, что и выше. Поэтому, рассматривая другую сетку со сторонами ячеек Ал; = = Ai*//C, A/= A1///C2 (К — натуральное число), предположим, &\Х и Ai/ таковы, что величина . 2<у М 2а At/ L~ (Ад:)» ~ ке превышает 1, так что \1(т) |^ 1 для всех tn. Пусть ип(ху t) обозначает приближенное значение и(х, t) в данной точке (x9t)i где / = пД/, являющееся решением конечноразностных уравне- уравнений. Мы утверждаем, что при высказанных предположениях un{xJ)—u{xJ)-+Q при К-*™. Доказательство. Пусть т0 — натуральное число (пока произвольное). Для данного К имеем \ип-и1=* If I L S + S 1Лшехр(/т^)и//А/-(ехр(-.т2(та0)//А/] ||т||<то |m|>moJ где через 2i и 2г обозначены суммы, соответствующие |т| ^ т0 и |m|>mo. Вторая сумма удовлетворяет неравенству |2|< 2 \\ |m|>m0 так как |||<1 и ехр(—т2оА/) |<1; следовательно, ^2 можно сделать сколь угодно малой за счет выбора достаточно боль- большого т0, ибо ряд Фурье для ф(х) абсолютно сходится. Для оценки первой суммы заметим, что выражение во вто- второй квадратной скобке в A.20) имеет вид 1п — т]п, где ^ и tj — множители перехода. Оно может быть записано в виде произве* дения (? — л) (Ъп~{ + 5ПЛ + --- + ЛП~1)> второй множитель ко- которого не превосходит /г, поскольку каждый из п его членов не превосходит 1. Далее, выражение 6 — ехр (—т2а М) ш4 (Д/J йбляется аналитической функцией от т2Д/ в некоторой окрест- окрестности нуля в силу свойств рядов A.14) и, очевидно, ограничено для всех действительных /п2Д/, больших некоторого фиксирован- фиксированного е > 0; отсюда следует, что оно ограничено для всех неотри- неотрицательных т2Д/. Пусть модуль этого выражения не превы-
26 ___ ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. 1. шает В. Тогда Выбрав т0 столь большим, чтобы 2г сделалась достаточно ма- малой, выберем затем Д/ столь малым, чтобы сделалась достаточ- достаточно малой и 2i- Таким образом, погрешность метода можно сделать сколь угодно малой путем выбора достаточно боль- большого /С, и сходимость доказана. Подобное доказательство было предложено Хилдебрандом [1952]. Итак, нами были представлены две точки зрения на устойчи- устойчивость. Независимо от того, какая из них имеется в виду: / не- неограниченно возрастает при фиксированном Д/ или Д/ стремится к нулю при фиксированном / (или, как в данном случае, имеет место и то и другое), необходимо соблюдение условия A.16), чтобы погрешности (аппроксимации, округления. или любого другого рода) не могли достигать величины, при которой всякие вычисления теряют смысл. На практике, конечно, делается толь- только конечное число шагов вычислений с конечной ячейкой, однако признаки неустойчивости появляются уже при сравнительно малом числе шагов, если условие A.16) не выполнено. Всякий раз, когда для приближенного решения краевой задачи приме- применяются конечноразностные уравнения, следует установить усло- условия, при которых они являются устойчивыми. Такого рода усло- условия обычно представляют собой ограничения, налагаемые на допустимую величину Д/, выраженную через величины других приращений. Однако существуют примеры как безусловно устой- устойчивых, так и безусловно неустойчивых разностных уравнений. § 1.5. Неявные разностные уравнения Условие устойчивости A.16), полученное для простейшей разностной схемы в предыдущем параграфе, приводит к небла- неблагоприятным выводам: если в интересах повышения точности Дя выбирается достаточно малым, то Д/ в свою очередь может ока- оказаться столь малым, что для завершения процесса решения за- задачи потребуется огромное число шагов по времени, ибо наи- наибольшее допустимое для Д/ значение пропорционально квадрату Да:. Ситуация существенно меняется при переходе к системе А/ ( ] которая совпадает с A.9), за исключением верхних индексов в правой части. Говорят, что системы A.9) и A.21) используют разности по времени соответственно вперед и назад (относи-
§ 1.5. НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 27 тельно того момента времени /, для которого составлены про- пространственные разности). Мы увидим, что система A.21) безусловно устойчива, однако гораздо поучительнее рассмотреть целое семейство разностных систем, правые части которых получаются путем усреднения правых частей уравнений A.9) и A.21), взятых с некоторыми весами. Сначала введем некоторые обозначения. Для всякой функции / от х положим где / — целое число или целое число плюс 1/2, так что F2/O =/ ((/ + 1) Дл;) — 2/ (/ Ах) + / ((/ — 1) Ах) и т. д.; если f зависит и от /, то употребляются также и верхние индексы я, п + 1 и т. д. Используя эти обозначения, напишем систему разностных уравнений, которую мы собираемся рассма- рассматривать: где 8 — действительная постоянная, выбираемая обычно на от- отрезке 0<8< 1. Если 8 = 0, как это было в предыдущем параграфе, то си- система называется явной. В этом случае неизвестное ип^х непо- непосредственно находится из соответствующего уравнения по из- известным величинам ипг Если 8 отлично от нуля, то для получе- получения и7]*1 необходимо решить всю систему линейных уравнений A.22) совместно, в связи с чем ее называют неявной. Подстановка выражения Л|п exp (/m/Ax) вместо и*} в A.22) показывает, что для данного т множитель перехода имеет вид где L, как и прежде, обозначает величину 2аД//(Дл:J. И в этом случае имеет силу тот вывод, что функция 1(т) действительна для всякого действительного т и никогда не превышает +1. На рис. 1.3 представлена зависимость величины Цт) от аргу- аргумента r/ = L(l—cosmAJc) для различных значений 8. При воз- возрастании у от 0 до +оо значение 1(т) монотонно убывает от 1 до —A—8)/8. Если 1/2^8^ 1, то это предельное значение лежит не ниже прямой g = — 1 и, следовательно, система A.22) безусловно устойчива. Но если 0-^8< 1/2, то для обеспечения устойчивости нужно ограничить у тем его значением, при кото- котором график функции 1(т). пересекается с прямой | = —1.
28 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ Ч. I В соответствии с этим условие устойчивости формулируется так: 1 —— Jo 2» никаких ограничений при y A.24) Достаточность этого условия для устойчивости можно без труда установить также и энергетическим методом. Преобразуя 5 кг 1 10 i ——- — ^- i 15 i , — ¦- -в>Уг -7 - y = LA-cos Рис. 1.3. Множитель перехода для неявного разностного уравнения A.22); см. также формулу A.23). A.22) аналогично тому, как это было сделано для A.9), мы по- получим для ||wn+1|l2—11ип112 выражение, сходное с A.17). Далее, для величины Sn = II и* IF - 4 A - 26) L [(и*J A.25) получается такое же условие A.19), как и при 8 = 0. Следова- Следовательно, ||ып||2 < const Sn < const So < const lfw°||2, если только выполнено условие A—28) L <. 1, которое, за исключением пре- предельного случая точного равенства, совпадает с A.24). Наиболее ходовыми значениями 8 являются 0, 1/2, 1. Первое значение дает явное уравнение A.9), другие два дают неявные уравнения, которые безусловно устойчивы. При 6 = 1 полу- получается уравнение A.21). Используя неявные схемы, приводящие к решению совместных систем уравнений (практически это ока- оказывается не слишком сложным, см. гл. 8), можно обойти все затруднения, связанные с устойчивостью, и выбирать значения Д/ исключительно из соображений желаемой точности. В § 8.6 приводится численный пример, в котором разностная схема A.22) применяется к нелинейному уравнению ди _ д2 (и5) dt ~ дх2 *
§ 1.6. ПОГРЕШНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ 29 Здесь переменная величина 5и4 играет роль а. Результаты по- показывают, что условие A.24) при замене о на ЪиА по-прежнему обеспечивает устойчивость, как и следовало ожидать. § 1.6. Погрешность аппроксимации Согласно сказанному в § 1.4 решение явной разностной си- системы A.9) — A.П) сходится к точному решению краевой за- задачи, если Да: и А/ стремятся к нулю так, что выполняется усло- условие устойчивости A.16). Соответствующее утверждение спра- справедливо и для неявных систем. Для практических целей определение скорости сходимости также имеет большой интерес; в этом параграфе вопрос о скорости сходимости будет рассмо- рассмотрен в связи с вопросом о погрешности аппроксимации. Пусть п(ху t)—точное решение уравнения A.2) с непрерыв- непрерывными частными производными всех встречающихся ниже поряд- порядков. Обозначим п(/Лх, nAt) через ппг допуская, что / и п могут принимать и нецелые значения. Запишем разложения в ряд Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа: -а?+Ш Ш, аналогичное разложение имеет место и для Щ_^ Q{ и 82 за- заключены между 0 и 1. Так как дп/dt = од2п1дх2, то or (д*п\п 1 At ° А (хJ l(d2u\n+QiA, о = Т W/ ^ - 24" Коэффициенты при А/ и (Ад:J в правой части этого равенства ограничены в силу непрерывности соответствующих частных производных, так что щ+1 д« ^|20 ((Д;сJ) при д^ ьх->0. A.26) Отсюда видно, что существуют такие две зависящие от и поло- положительные постоянные К\ и /С2, что абсолютная величина левой части не превосходит /CiA/ + /Сг(Ал:J для всех достаточно ма- малых А* и Ajc. В тех случаях, когда не может возникнуть недора- недоразумения, слова «при А/, А*;-»0» опускаются
30 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. I Выражение в левой части равенства A.26) мы будем назы- называть погрешностью аппроксимации разностной схемы A.9), хотя некоторые авторы называют его так только после умно- умножения на Д/. Равенство A.26) показывает, насколько хорошо решение дифференциального уравнения удовлетворяет разностным урав- уравнениям при безграничном измельчании ячеек сетки. С его по- помощью удается иногда определить и скорость сходимости ре- решения разностной системы к решению дифференциального урав- уравнения. Особенно просто это делается для явной схемы. А именно, если мы обозначим через е* разность uf — Щ> то после вычита- вычитания A.26) из A.9) получим е»*1 = | Le»_, + A - L) в» +1 Le?+| + О ((Л*J) + О ((ДхJ М). Следовательно, если выполнено условие устойчивости L^ 1, то max | e?+11 < max | е? | + Ki (Ы? + /С2 (Ал:J Д*. Поэтому при яД/ ^ t т. е. |еу| всего лишь в / раз может превысить оценку для по- погрешности аппроксимации на одном шаге. Отсюда при фиксиро- фиксированном L и Дх—>О и следует сходимость. Включая в A.26) члены более высокого порядка малости, чем At и (Да:J, и учитывая, что функция п как решение урав- уравнения теплопроводности удовлетворяет также уравнению д2п 2 д*й *^2~==ог ~дхг> получаем для главного члена погрешности аппроксимации вы- выражение (а2 М _ a (AjcJ \ д'п \ 2 12 ) дх* ' Если предположить, что Д? и Да: стремятся к нулю таким обра- образом, что а М _ 1 (AjcJ ~ 6 ' то этот главный член обращается в нуль и погрешность аппрок- аппроксимации в данном случае1) не превосходит О((Д/J), или, что то же самое, О ((Да:L). В этом частном случае погрешность ап- ]) Заметим также, что в этом случае разложения A.14) совпадают с точностью до членов, содержащих т4.
§ 1.7. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ 31 проксимации стремится к нулю даже быстрее, чем утверждает равенство A.26), и можно ожидать, что решение разностного уравнения приближается к решению дифференциального урав- уравнения особенно быстро. Это действительно имеет место, и неко- некоторые авторы воспользовались данным обстоятельством для по- повышения точности численного решения простейшей задачи теп- теплопроводности. К сожалению, пока не существует достаточно простого обобщения этого приема на общую задачу теплопро- теплопроводности или диффузии с переменными коэффициентами. Одна- Однако можно построить некоторые другие обобщенные схемы по- повышенной точности. Две такие схемы для задачи теплопровод- теплопроводности даны в § 8.3. Вообще говоря, чем меньше погрешность аппроксимации, тем быстрее численное решение сходится к точному. Но следует заметить, что соотношение A.26) остается в силе и тогда, когда условие устойчивости нарушается; фактически сущность не- неустойчивости можно охарактеризовать в следующей на первый взгляд парадоксальной форме: если ячейки сетки безгранично измельчаются при нарушении условия устойчивости, то точное решение дифференциального уравнения все лучше и лучше удо- удовлетворяет разностным уравнениям, в то время как точное ре- решение разностных уравнений в общем случае все больше и больше отклоняется от точного решения дифференциального уравнения. § 1.7. Скорость сходимости Оценку скорости сходимости для разностного уравнения A.9) можно получить с помощью изучения вспомогательных сумм 2i и 2г, на которые была разбита погрешность метода при доказательстве сходимости в § 1.4 (см. равенство A.20)). Погрешность метода была определена как разность между ре- решением щ разностного уравнения A.9) и решением и диффе- дифференциального уравнения A.2) в некоторой фиксированной точке (х, г), принадлежащей бесконечной последовательности сеток с безгранично уменьшающимися ячейками; мы хотим более подробно, чем в предыдущем параграфе, исследовать скорость убывания этой погрешности при соответствующей последова- последовательности вычислений. Покажем, что результат зависит от асимптотического поведения коэффициентов Фурье начальной функции ф(х), которое в свою очередь определяется гладкостью этой функции, в соответстви со следующей леммой 1): если функ- 1) См. Зигмунд [1952], где приведено доказательство для случая р = 0; для р > 0 результат получается р-кратным интегрированием по ча- частям.
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. 1 ция ф(х) и ее производные до (р— 1)-го порядка включительно непрерывны, а р-я производная имеет ограниченную вариацию, то асимптотическое поведение коэффициентов Фурье для ц>(х) характеризуется равенством Ат=о(—+Г) при т->оо. A.27) Ограниченность 22 сразу следует из этой леммы: при р > О A.28) |m|>m0 Применяя A.27) к полученной в § 1.4 оценке для Si, находим l<|m|<m0 При р ^ 3 последнее слагаемое в этой сумме является наиболь- наибольшим и по нему можно оценить всю сумму; при р = 4 сумма воз- возрастает с ростом т0 лишь логарифмически, а • при р > 4 она ограничена. Поэтому С{т*-рЫ, если р<3, I 2i I = С2 (In m0) Д/, если р = 4, С3Д/, если р > 4, где Сь С2, С3 — константы, зависящие от х, t, p, а и т. д., но не зависящие от At и т0. Выберем теперь т0 таким образом, чтобы минимизировать оценку для |Si| + |22|. Как оказывается, при р<4 такое т0 должно быть пропорционально величине (Д0~'\ так что окончательная оценка для погрешности метода имеет следующий вид: О((Д/)р/4) = О((Д;сГ/2), если р<3, ) = О((Д*J1пДх), если р = 4, A.29) О(Д/) = О((Дл;J), если р > 4. Если начальная функция ф(лс) кусочно линейна, как напри- например функция A.5), то р=\ и погрешность метода стремится к нулю как (Дх)|/2 при Д*-*0; в другом крайнем случае, когда ф(лс) является аналитической функцией, погрешность убывает как (Да:J. Если, как и раньше, Д/, Ах стремятся к нулю таким образом, что аД//(ДхJ= 1/6, то О((Д0Р/3), если р<5, О((Д/J1пД/), если р = 6, О((Д/J), если р>6.
§ 1.8. ЗАМЕЧАНИЯ О ФОРМУЛАХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 33 Опуская доказательство, которое в этом случае усложняется, отметим лишь, что для гладких начальных данных (р > 6) бо- более точное разностное уравнение дает соответственно более высокую скорость сходимости, в то время как для негладких дан- данных {р = 1) скорость сходимости увеличивается лишь незначи- незначительно ((Д/)|/з вместо (Д/)|/4), причем даже такое незначитель- незначительное увеличение возможно только потому, что решение уравне- уравнения теплопроводности с любыми начальными данными является аналитической функцией при всех t > 0. Для гиперболических задач с негладкими начальными данными применение более точных разностных уравнений вообще не дает улучшения схо- сходимости. Если предположить, что точное решение и(х, t) нашей задачи имеет непрерывные производные по х до четвертого порядка включительно, то, как показывает полученная в § 1.6 более про- простая оценка для погрешности метода, погрешность при этом стремится к нулю не медленнее, чем А/. § 1.8. Замечания о формулах высших порядков и погрешностях округления Хорошо известно, что при решении дифференциальных урав- уравнений в частных производных конечноразностные формулы, обеспечивающие высокий порядок точности, например имеющие погрешность аппроксимации порядка О((Д?L), обычно весьма неудобны на практике. Противоположная картина имеет место для обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых такие методы, как метод Рунге—Кутта, часто обеспечивают высокий порядок точности при малой затрате труда; эти методы не имеют аналогов для уравнений в частных производных. При- Причина этого различия лежит в самой сущности вещей. Для обык- обыкновенного дифференциального уравнения с независимой пере- переменной / задания конечного (и обычно совсем небольшого) числа величин в момент времени t = t0 достаточно (по крайней мере в принципе) для полного и точного определения решения в любой момент t > tOi и точность приближенного решения для / = t0 -f- Д/ зависит только от искусства, с которым используется при вычислениях имеющаяся информация. Для уравнения в частных производных, в котором одной из независимых пере- переменных является t, необходимо задать при / = t0 значения бес- бесконечного числа величин (или какой-нибудь их эквивалент), чтобы определить решение для / > /0, и потому точность при- приближенного решения для / = /о + Д/ ограничивается не только возможными недостатками метода вычислений, но и недостатком нужной информации, 2 Зак. 1300
34 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч I Если помимо самих значений начальных функций в точках сетки известно, скажем, что они непрерывно дифференцируемы определенное число раз, то это будет дополнительной информа- информацией. Поэтому для задач с достаточно гладкими начальными функциями можно несколько увеличить точность расчета за счет применения более точных разностных формул, при том од- однако условии, что все граничные значения, особенности, скачки на внутренних границах и т. д. будут аппроксимироваться с со- соответствующей точностью. Мы вернемся к этому вопросу в гл. 13. В любом случае, однако, при решении уравнений в частных производных конечноразностными методами обычно достигается более чем скромная точность. По мнению авторов погрешности округления при этом вообще не имеют большого значения. При использовании устойчивой разностной схемы погрешности округ- округления не усиливаются с течением времени; они просто накапли- накапливаются примерно пропорционально корню квадратному из числа шагов вычислений, если округление случайно и если забо- заботиться о том, чтобы значения рассматриваемых величин не выходили за определенные границы. Конечно, современные быст- быстродействующие автоматические вычислительные машины спо- способны производить вычисления с очень большим числом шагов, что часто и делается, так что ошибки округления могут заметно накапливаться. Но эти машины обычно имеют разрядную сетку с достаточно большим числом десятичных или двоичных разря- разрядов, и увеличение быстродействия машин примерно в миллион раз может быть компенсировано, с точки зрения накопления случайных погрешностей округления, просто введением трех до- дополнительных десятичных знаков. Кроме того, предусмотренное на многих машинах выполнение арифметических операций с пе- переменным числом значащих цифр (см. Эшенхорст и Метропо- лис, 1959) позволяет регулировать влияние погрешностей округ- округления более или менее автоматически, тогда как влияние по- погрешностей аппроксимации можно оценить только теоретически. § 1.9. Содержание следующих глав Как видно из предыдущего, основные вопросы при исполь- использовании разностных методов типа описанных в этой главе это: A) сходимость к точному решению при безграничном измельче- измельчении сетки (в рассмотренном примере все зависело от устойчи- устойчивости и от порядка малости погрешности аппроксимации); B) скорость сходимости; C) построение устойчивых разностных схем с быстрой сходимостью; D) методы решения неявных разностных систем. Для более сложных задач возникают допол- дополнительные вопросы: E) влияние переменных коэффициентов и нелинейностей на устойчивость; F) аппроксимация внешних
§ 1.9. СОДЕРЖАНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ГЛАВ 35 и внутренних граничных условий и их влияние на устойчивость; G) отыскание практических критериев устойчивости в тех слу- случаях, для которых формальная теория либо слишком сложна, либо вообще неприменима. В первой части этой книги вопросы A) — F) рассматриваются с теоретической точки зрения, во второй части рассмотрены с точки зрения практики различные приложения теории к решению краевых задач математической физики. Общая теория для линейных задач изложена во второй и третьей главах. Основные понятия определяются в терминах теории линейных операторов в банаховом пространстве и при- приводят к теореме Лакса об эквивалентности устойчивости и схо- сходимости. А именно, вводится понятие корректно поставленной краевой задачи и рассматривается конечноразностная аппрокси- аппроксимация для нее; формулируется условие согласованности, кото- которое служит для проверки того, что разностная система аппрок- аппроксимирует именно данную, а не какую-либо другую краевую задачу; после этого устойчивость аппроксимации определяется как равномерная ограниченность некоторого множества опера- операторов. Теорема Лакса утверждает тогда, что если для корректно поставленной краевой задачи выполнено условие согласован- согласованности, то устойчивость является необходимым и достаточным условием сходимости решения разностных уравнений к точному решению краевой задачи при произвольных начальных данных. Другие возможные определения устойчивости кратко рассмотре- рассмотрены в § 5.2 (см. также § 3.9). В гл. 4 эта теория применяется к линейным задачам с по- постоянными коэффициентами и однородными граничными усло- условиями. Как было отмечено много лет назад еще фон Нейманом (см. О'Брайен, Хайман, Каплан [1951]), в этом случае исследо- исследование можно провести при помощи преобразования Фурье в особенно простой и удобной форме, которая позволяет сразу получить необходимое условие устойчивости фон Неймана. По- После выхода в свет первого издания этой книги в работах Като, Баченана и Крайса были получены общие достаточные условия устойчивости для таких задач; эти результаты излагаются по- подробно с упрощенными по возможности доказательствами. Глава 5 посвящена задачам с переменными коэффициентами (в основном параболическим и гиперболическим); в последнем параграфе кратко рассмотрены некоторые нелинейные (квази- (квазилинейные) задачи. Вводится важное понятие диссипативной разностной схемы, принадлежащее Крайсу. Для таких схем полностью оправдала себя идея фон Неймана рассматривать устойчивость локально. По-видимому, на практике можно все- всегда (без всякой потери точности) пользоваться диссипатив- ными схемами для решения гиперболических и других задач,
36 ГЛ. !. ВВЕДЕНИЕ Ч. I дифференциальная форма которых не является диссипативнон. Наконец, в последнем параграфе показано, на основании опыт- опытных данных, что введение диссипативных членов надлежащего вида часто является хорошим средством против неустойчивости в нелинейных задачах. В гл. 6 рассматривается вопрос о влиянии граничных усло- условий на устойчивость в основном для задач с одной простран- пространственной переменной. При этом используются оба основных метода для исследования устойчивости в задачах такого рода: энергетический метод и спектральный метод Годунова и Рябень- Рябенького; эти методы часто дополняют друг друга. Глава 7 является своего рода дополнением к первой части книги. В ней результаты гл. 3 для линейных задач обобщаются на случай многослойных разностных систем. Вторая часть посвящена конкретным практическим особен- особенностям использования методов, уже нашедших широкое приме- применение при решении прикладных задач или находящихся еще в стадии экспериментальной проверки (примером последних являются методы многомерной гидродинамики). При этом ино- иногда полученные в первой части теоретические условия устойчи- устойчивости, характеризующие поведение вычислительного процесса в случае стремления к нулю приращений аргументов, прихо- приходится заменять практическими критериями устойчивости, учи- учитывающими конечность этих приращений (см., например, § 10.5). В заключение следует отметить, что изложенные в этой кни- книге исследования тесно примыкают к целому ряду превосходных исследований советских математиков в этой области. Например, Ладыженская [1952] доказала устойчивость и сходимость неяв- неявной схемы типа Кранка — Николсона для общих гиперболиче- гиперболических систем. Общим вопросам конечноразностных методов посвящены работа Ладыженской [1957а] и книга Годунова и Ря- Рябенького [1962]. Разрывные решения гиперболических уравнений, с которыми мы будем иметь дело в гл. 13, были рассмотрены в работах Ладыженской [19576], Олейник и Введенской [1957], Рождественского [1960] и Яненко [1964].
Глава 2 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ § 2.1. Краевые задачи и функциональные пространства При решении краевых задач временная переменная / играет особую роль. На любой стадии процесса приходится иметь дело с одной или несколькими функциями некоторых других пере- переменных, которые мы назовем пространственными переменными; эти функции описывают мгновенное состояние физической си- системы. В случае применения вычислительных машин затабули- рованные значения этих функций хранятся в ячейках памяти машины. С течением времени состояние физической системы меняется в соответствии с дифференциальными уравнениями, и функции принимают новые значения. Удобно истолковывать эти функции для фиксированного / как точки функционального про- пространства и обозначать их одним символом ы. При такой интер- интерпретации состояние физической системы изображается точкой функционального пространства, а изменение ее состояния во времени представляется движением изображающей точки в этом пространстве. Для изучения свойств приближений и погрешностей необхо- необходимо ввести меру различия между двумя состояниями физиче- физической системы; эту меру можно интерпретировать как расстоя- расстояние между двумя представляющими эти состояния точками. Если два состояния физической системы почти одинаковы, то расстояние между изображающими их точками должно быть очень малым, и обратно. Например, если и— непрерывная функ- функция некоторых пространственных переменных, скажем темпера- температура в задаче теплопроводности, то в качестве меры различия между двумя состояниями системы можно взять максимум модуля разности соответствующих функций wi(x) и ы2(х), т. е. максимум функции | Wi (х)— w2(x) |. Другой часто используемый выбор меры различия —это среднеквадратичное отклонение [(l/V) J jwi(x) — u2(x) \2dv]l/\ где интеграл берется по некоторой области объема V. В настоящей главе и следующих пяти главах мы ограни- ограничимся рассмотрением линейных задач. В этом случае за меру различия двух состояний и и v всегда можно принять некото- некоторую характеристику разности w = u — v, которую можно ис- истолковать как абсолютную величину элемента w. Эта величина
38 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. 1 называется нормой элемента w и обозначается символом Ясно, что норма w должна быть положительным числом, если и и v изображают различные состояния системы, и должна быть равна нулю, если они изображают одинаковые ее состояния, потому что норма представляет собой как раз меру различия состояний. Интерпретация меры различия как расстояния под- подсказывает в качестве следующего требования выполнение не- неравенства треугольника, т. е. требование, чтобы норма суммы двух элементов u + v не превышала суммы норм этих элемен- элементов и и и, в соответствии с тем геометрическим фактом, что длина стороньГ треугольника не превышает суммы длин двух других его сторон. Может показаться не очевидным, что это тре- требование диктуется физическими соображениями, но в действи- действительности неравенство треугольника удовлетворяется при лю- любом выборе нормы, возможном на практике. Предположение о том, что это неравенство выполняется, упрощает теорию опе- операторов, так же как и некоторые другие предположения, кото- которые будут формально введены в следующем параграфе. Если, как и прежде, и представляет собой некоторую непре- непрерывную функцию, норма которой определяется как максимум ее модуля, то сходимости1) последовательности точек в функ- функциональном пространстве отвечает равномерная сходимость со- соответствующих функций. С другой стороны, если и представляет собой измеримую интегрируемую с квадратом функцию, норма которой определяется как среднеквадратичное значение, то схо- сходимости последовательности точек отвечает сходимость в сред- среднем 2) соответствующих функций. Под суммой и разностью двух элементов и и v подразуме- подразумевают, конечно, функцию (или систему функций), получаемую при сложении или вычитании функций (или систем функций), обозначенных через и и v, причем предполагается, что сумма и разность и и v снова являются элементами функционального пространства. При этом мы можем получить элементы, которые не интерпретируются непосредственно как состояния физиче- физической системы. Например, если задачу, разобранную в первой главе, рассматривать как задачу о диффузии газа через некото- некоторую проницаемую среду, то отрицательные значения функции будут лишены реального смысла, так как число молекул не мо- может быть отрицательным. Но несмотря на это целесообразно включать такие функции в функциональное пространство, счи- считая, что они представляют в некотором смысле обобщенные со- состояния системы; тогда, например, отдельные члены и частные !) Под которой понимается тот факт, что расстояние между переменной точкой и предельной точкой стремится к нулю. 2) См. Курант и Гильберт [1951], т. I, стр. 50.
§ 2.2. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА $9 суммы ряда Фурье будут представляться точками функциональ- функционального пространства. Удобно пойти еще дальше и включить в функциональное пространство комплексные функции в соответ- соответствии с определенными правилами, характеризующими линейное пространство. В силу этих соображений ясно, что аксиомы теории банахо- банаховых пространств как раз пригодны для характеризации функ- функциональных пространств, возникающих при решении линейных краевых задач. Необходимые сведения из теории линейных опе- операторов в банаховых пространствах будут изложены в следую- следующих параграфах настоящей главы. Значения функции, определяемые в результате вычислений по конечноразностным формулам, не дают, конечно, полного представления этой функции. Но тем не менее такие совокуп- совокупности значений функции могут быть представлены определен- определенными точками функционального пространства, если указан ка- какой-либо линейный закон или правило, при помощи которого можно найти значения функции в точках, не совпадающих с точками сетки. Например, можно определить промежуточные значения функ- функции с помощью линейной интерполяции. Другой простой прием, полезный при решении краевых задач типа рассматриваемых в гл. 4, это допустить, что разностные уравнения сохраняют силу при всех значениях пространственных переменных. Так, при решении задачи о теплопроводности уравнение A.9) при этом нужно записать в виде _ ип (х + Ад:) - 2ип (х) + ип(х- Ьх) . А/ ~° (А*J тогда если начальная функция ф(лг) задана для всех значений х, то из этого уравнения ип(х) последовательно (п = 0, 1, 2, ...) определяется для всех х\ в действительности, конечно, ип(х) вычисляется только для конечного множества значений х. Некоторые авторы рассматривают и точные, и приближен- приближенные функции как сеточные, т. е. определенные только в точках сетки, а норму для них обычно определяют как максимум мо- модуля функции. На наш взгляд, это в меньшей степени соответ- соответствует физическим представлениям о численных значениях как о точках, через которые проходят кривые или поверхности, при- приближенно описывающие поведение функции во всей рассматри- рассматриваемой области пространства. § 2.2. Банаховы пространства Функциональные пространства, используемые в дальнейшем при решении линейных краевых задач, являются по предполо- предположению абстрактными пространствами Банаха [1932].
40 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. 1 Банахово пространство & — это, во-первых, линейное {век- {векторное) пространство; это значит, что оно состоит из элементов, для которых определены действия сложения и умножения на число (действительное или комплексное); эти действия подчи- подчинены следующим правилам. Если w, и, w — элементы (называемые также точками) про- пространства ,$, а а, 6, с — некоторые числа, то и + v — элемент пространства $, аи — элемент пространства $, a(bu) = (ab)u, (а + Ь)и = аи + Ьи, и + (v + w) = (и + v) + w, a(u + v)=au + avl). Очевидно, что функциональные пространства, встречающие- встречающиеся при решении линейных краевых задач, удовлетворяют этим аксиомам, если, как указывалось выше, сложение двух элемен- элементов определять естественным образом как сложение соответ- соответствующих значений функций, а умножение на а — как умноже- умножение значений функции на а. Во-вторых, $$ — нормированное пространство; это значит, что каждому элементу и пространства к сопоставлено конечное не- неотрицательное число, обозначаемое через ||«||, такое, что ||« — г>Ц = 0 тогда и только тогда, когда и = v („ы — Vй — сокращенное обозначение для „и + (—1)у"). Наконец, & — полное пространтво; это значит, что если по- последовательность ии , ... элементов из & такова, что \\ип — — мто||-*0, когда /г, т->оо независимо друг от друга (такие последовательности называются фундаментальными), то в ^ существует элемент и, называемый пределом этой последова- последовательности, такой, что ||ип — ы||->0 при Аг-*оо. Обычным примером функционального банахова простран- пространства является следующий: пусть {% — класс непрерывных функ- функций /(*), определенных на отрезке а^х^Ь, и пусть норма элемента f(x) определяется как максимум |/(л;)| на этом от- отрезке. Легко проверить, что все перечисленные выше аксиомы выполняются. Сходимость в 9$ соответствует равномерной схо- сходимости функций, а полнота $ устанавливается следующим об- ]) В определении линейного пространства надо, кроме того, требовать, чтобы существовал нулевой элемент и чтобы для каждого элемента существо- существовал обратный (противоположный), а также чтобы выпонялось условие 1-й = и, —Прим. ред.
§ 2.2. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 41 разом: последовательность /п(*)» фундаментальная в ^?, сходит- сходится в каждой точке х отрезка [а, Ь] в силу критерия Коши, при- причем предельная функция является элементом .$, ибо предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функ- функций есть непрерывная функция. Это функциональное простран- пространство и его обобщения очень часто встречаются в численном ана- анализе, но для целей, поставленных в этой книге, более подходя- подходящим является пространство с гильбертовой нормой Ъ 1Чш (см. гл. 4). Теперь мы сформулируем некоторые простые следствия из приведенных выше аксиом (читателю, интересующемуся аксио- аксиоматическим подходом, стоит вывести их из аксиом !), однако для целей этой книги достаточно заметить, что они верны в линей- линейных функциональных пространствах). Эти следствия таковы: u — u = v — v = w — w и т. д. (тем самым определяется элемент 0 = н — н, называемый нуле- нулевым элементом пространства ,$), ||0|| = О, (Ьи = 0, а0 = 0, Если последовательность элементов пространства $ имеет предел, то этот предел единствен. Определим некоторые понятия, относящиеся к множествам элементов пространства &. Элемент и называется предельной точкой множества 9*, если сколь угодно близко от точки и имеются точки множества 9, т. е. если и является пределом некоторой последовательности, содержащейся в 9*. Множество элементов называется замкнутым, если оно со- содержит все свои предельные точки. Замыканием данного мно- множества называется множество, получающееся присоединением к нему (если оно уже не является замкнутым) всех его предель- предельных точек. Множество 9 называется плотным в <%, если произ- произвольный элемент пространства $ можно аппроксимировать сколь угодно точно элементами множества 9>, т. е. если замыка- замыкание 9> совпадает с $. Например, если & — класс непрерывных функций от х с нормой максимум модуля, то множество поли- полиномов от х плотно в $, ибо функцию, непрерывную на отрезке, 1) На самом деле вывести их из приведенных выше аксиом нельзя; см. подстрочное примечание на стр. 40. — Прим. перев.
42 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. I можно сколь угодно точно аппроксимировать подходящим обра- образом выбранным полиномом. Плотность одного множества в дру- другом определяется аналогично; каждый элемент второго мно- множества является пределом некоторой последовательности элементов первого множества. Если и — точка пространства .$, а 9*—некоторое множество точек пространства 9&> то расстоя- расстояние (и, 9>) от и до 9* определяется как точная нижняя грань чисел ||и— v\\, где v принадлежит 9. Можно показать, что если 9> замкнуто и и не принадлежит 9*, то расстояние от и до 9> больше нуля (допущение, что оно равно нулю, приводит к про- противоречию). Если н0 — элемент пространства $ и г — положи- положительное число, то множество точек н, удовлетворяющих условию И« — «oil -^г, называется шаром с центром в точке и0 радиуса г; это замкнутое множество. § 2.3. Линейные операторы в банаховом пространстве Действия, выполняемые над функцией при решении краевой задачи, такие, как дифференцирование, интегрирование, соста- составление конечных разностей и умножение на данную функцию, приводят к замене одной функции (или системы функций) другой. В результате происходит преобразование банахова про- пространства в себя или одной части банахова пространства в дру- другую его часть. Вообще под преобразованием Т в пространстве <% понимают однозначное сопоставление элементам множества 3) = 2)(Т), называемого областью определения Т, элементов множества 52 = 52(Г), называемого областью значений преоб- преобразования Г. Иногда рассматриваются преобразования одного пространства в другое, но нас интересует тот случай, когда 91 и 3) — множества элементов одного и того же пространства $. Преобразования Т и V называются идентичными или равными тогда и только тогда, когда совпадают области их определения и когда для каждого и из этой общей области определения Ти = Г и. Оператор, или операция, — это то же самое, что преобразова- преобразование; эти три термина являются равноправными, хотя часто ис- используют термин «преобразование», если речь идет об абстракт- абстрактном банаховом пространстве, а термин «оператор» — если речь идет о том функциональном пространстве, которое представ- представляет это банахово пространство. Подчеркнем, что при опреде- определении оператора необходимо указывать область его определе- определения. Так, нельзя считать оператор d/dx, рассматриваемый на совокупности всех дифференцируемых функций, идентичным с оператором d/dx, область определения которого ограничена, скажем, дважды дифференцируемыми функциями или диффе-
§ 2.4. ТЕОРЕМА О РАСШИРЕНИИ ОПЕРАТОРА 43 ренцируемыми функциями, обращающимися в нуль при х = 0. (Излишне говорить, что символ «d/dx» нельзя использовать, если не указано, какой из этих операторов имеется в виду.) Тем не менее первый из указанных дифференциальных операторов является так называемым расширением двух других. Преобра- Преобразование V называется расширением преобразования Т, если 2)(Т) содержится в 3){Т') и Ти= Т'и для всякого и, принадле- принадлежащего 3)(Т). Расширенный оператор производит то же дей- действие, что и исходный, в тех случаях, когда последний может быть применен, но расширенный оператор может быть приме- применен к более широкому классу функций. Преобразование Т называется линейным тогда и только тогда, когда при произвольных и и и, принадлежащих 3)(Т), и произвольных комплексных числах а и b величина аи + bv принадлежит 3)(Т) и Т(аи + bv) = aTu + bTv. Это значит, что не только результат выполнения операции линейно зависит ог элемента, над которым выполняется операция, но и область определения преобразования является линейным многообразием. Линейное преобразование Т называется ограниченным тогда и только тогда, когда существует такое действительное число /С, что 1174*11^ К\\и\\ для всех ы, принадлежащих 2)(Т). Наи- Наименьшее значение /С, для которого это условие выполняется, называется нормой преобразования Т и обозначается симво- символом ||ГЦ. (Использование такого обозначения основывается на том, что при некоторых условиях множество операторов можно рассматривать как множество элементов некоторого другого ба- банахова пространства, в котором норма элемента определяется как норма соответствующего оператора.) Заметим, что для норм операторов справедливо неравенство треугольника ll^7'||||Г|| + || Г!! § 2.4. Теорема о расширении оператора Ограниченный линейный оператор Т, область определения которого плотна в <%}, имеет единственное линейное ограничен- ограниченное расширение Т\ область определения которого совпадает с <%, такое, что ||Г|| = ||Л|. Действительно, пусть и — произвольный элемент простран- пространства &. По предположению существует последовательность при- принадлежащих области определения Т элементов ии и2, ..., схо- сходящаяся к и. Следовательно, || Тип - Тит || = || Т (ип - ит) || <|| ГIHI ип - им Ц-» 0 при п, т-> оо. Поэтому последовательность элементов Тии Ти2, ... фундамен- фундаментальна и в силу аксиомы о полноте имеет предел. Мы примем
44 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. I по определению этот предел в качестве значения Т'и. Читатель без особых затруднений сможет проверить, что A) этот предел совпадает с Ти, если и^2)(Т), B) этот предел не зависит от выбора последовательности ии u2j ... для данного и, C) этот предел линейно зависит от и и D) ||7*х|| = I1Z"||. Тем самым тео- теорема доказана. § 2.5. Принцип равномерной ограниченности Класс С линейных преобразований Г, определенных на всем пространстве, называется равномерно ограниченным, если су- существует такое действительное число К, что ||Гн||^: K\\u\\ для всех «G^ и всех ГеС. Ясно, что в этом случае все преобра- преобразования класса С являются ограниченными. Но не всякий класс С ограниченных преобразований равномерно ограничен (если только он не является конечным). Одно условие, обеспечиваю- обеспечивающее равномерную ограниченность, дается следующей теоремой. Если С — некоторый класс ограниченных линейных преоб- преобразований, определенных всюду в 38, и если для каждого эле- элемента «б! существует такое действительное число К\(и), что \\Ти\\^. К\(и) для всех ГеС, то класс С равномерно ограничен. Доказательство. Пусть Ко{Т) обозначает норму ||Г|| оператора Г. Нужно доказать, что из неравенств Г" В </Со (Л II и У следует существование постоянной /Сг> не зависящей ни от и, ни от Т, такой, что II Ти || < К2II «II, причем каждое неравенство удовлетворяется для всех «Gj? и всех ГеС. Рассмотрим последовательность множеств М\у М2, ..., где Мр определяется как множество всех таких и^3$, для которых ||Ги||^/7||а|| при всяком Т&С. Наша цель —по- —показать, что одно из этих множеств заполняет все простран- пространство $. Доказательство проведем в несколько шагов. 1. Каждый элемент «el принадлежит хотя бы одному из множеств Мр, так как и = 0 принадлежит всем Мр, а и Ф О принадлежит тем Мр, для которых р ^ К\(и)/\\и\\. 2. Каждое из множеств Мр замкнуто. Действительно, если Щ> и2, ... — последовательность элементов из Мр, для которой и является пределом, и если е — произвольное положительное число, то мы можем выбрать п столь большое, что ||ы — ып||< е, так что \\Ти — Тип\\ < Л0(Г)е. Следовательно, в силу неравен-
§ 2.5. ПРИНЦИП РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ 45 ства треугольника Так как е произвольно, то отсюда следует, что ||77/||^ р\\и\\ и, значит, «gMp; тем самым Мр представляет собой замкну- замкнутое множество. 3. По меньшей мере одно из множеств Мр содержит шар. Допустим противное. Пусть S\ — шар, содержащий все и с ||и||^ 1. По предположению М{ не содержит Sb поэтому в Si существует точка, которая не принадлежит М{. Эту точку можно считать лежащей внутри Si. В самом деле, если множе- множество М{ содержит все внутренние точки Si,- то оно содержит и границу Si, ибо М\ —замкнутое множество. Вокруг одной из таких точек построим шар S2 радиуса не большего 7г и столь малого, что S2 целиком лежит в Si и не содержит точек из М\\ это возможно потому, что избранная точка находится на поло- положительном расстоянии как от замкнутого множества Мь так и от поверхности шара Si, точки которой также образуют замкну- замкнутое множество (в соответствии со сказанным в § 2.2). Анало- Аналогично построим шар S3 радиуса не большего 7<ь лежащий в S2 и вне Мг, и т. д. Так построим для каждого п шар Sn радиуса не большего 2-(п~1\ лежащий в Sn_i и вне Mn_i. Центры этих шаров образуют фундаментальную последовательность, и легко видеть, что предел этой последовательности принадлежит всем шарам Si, S2, ... и поэтому не может принадлежать ни одному из множеств Мр. Но это противоречит первому пункту доказа- доказательства; следовательно, наше допущение ложно. 4. Пусть натуральное число р таково, что Мр содержит шар, и пусть н0 и г—соответственно центр и радиус этого шара. Если и ф 0 — произвольная точка пространства В, то точка «—-от ||u|| " принадлежит поверхности указанного шара и, следовательно, множеству Мр. Поэтому \\Tg\\<p\\g\\<p(\\u0 Но так что
46 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. 1 Это неравенство (ясно, что оно имеет место и для и = 0) со- совпадает с тем, которое входит в формулировку теоремы, если положить тем самым теорема доказана. Нужно заметить следующее. В начале доказательства мы говорили о том, что наша цель — показать, что одно из мно- множеств Мр совпадает со всем банаховым пространством. Вместо того чтобы доказать это непосредственно, мы доказали сна- сначала, что одно из множеств Мр содержит шар, хотя быть может и весьма малый. Это было наиболее трудной частью нашего до- доказательства. После этого уже легко было доказать без допол- дополнительного применения аксиомы о полноте, что каждое из множеств Мр, начиная с достаточно больших /?, совпадает со всем банаховым пространством. Это имеет место для всякого Мр с р > /B. § 2.6. Основная теорема о сходимости Следующая теорема, принадлежащая Канторовичу [1948], является абстрактным прототипом всех теорем, устанавливаю- устанавливающих эквивалентность устойчивости и сходимости. Пусть $' и $" — два банахова пространства с нормами || ||7 и || И", и пусть Т и Тш (т = 1,2,3, ...) — линейные опера- операторы, отображающие $' на $". Предположим, что A) для лю- любого f е $" уравнение Ти = f имеет единственное решение и е $'\ B) каждый оператор Тт имеет ограниченный обратный оператор Г^1 и аппроксимирует Т в том смысле, что \\Ти — — Гт^||->0 при т->оо для любого и^<%'. Тогда решение ит уравнения Ттит = / сходится к реше- решению и уравнения Ти = f в том и только в том случае, когда аппроксимация устойчива, т. е. обратные операторы Т^1 рав- равномерно ограничены. Доказательство. Если ЦГт^^М, где М не зависит от /гс, то IlK-ttmir =\TmXTm{u-Um)\<M\\Tm(u-Um)\\". Но при m->oo по предположению. С другой стороны, если для любого / \\и — um\Y -> 0 при m -> оо, то последовательность ||«т 1Г = ||71т1/1Г ограничена. В силу принципа равномерной
§ 2.7. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ 47 ограниченности отсюда следует равномерная ограниченность норм операторов Г^1. При применении этой теоремы к краевым задачам элемен- элементами пространств &' и &" должны были бы быть функции от пространственных переменных и времени, однако в данном случае оказывается более удобным учитывать их зависимость только от пространственных переменных, используя соответст- соответствующую модификацию основной теоремы. Преимуществом та- такого подхода является также возможность несколько ослабить предположение A) этой теоремы. § 2.7. Замкнутые операторы Хотя операторы, которые мы будем рассматривать, не яв- являются в общем случае ограниченными (в частности это отно- относится к дифференциальным операторам), они часто обладают свойством замкнутости. Оператор Т с областью определения &)(Т) называется замкнутым, если для любой последователь- последовательности {Uj}^2)(T), сходящейся к некоторому и* и такой, что {TUj} также сходится к некоторому w*, и*^2)(Т) и Ти* = w*. Все рассматриваемые в дальнейшем операторы можно счи- считать замкнутыми: это будет доказано в § 3.6. Грубо говоря, каждый оператор можно сделать замкнутым путем выбора под- подходящей области определения. В качестве примера рассмотрим оператор Т = d/dx, дей- действующий на функции и(х) из банахова пространства ^? = = L2[0,1], т. е. пространства функций, интегрируемых с квад- квадратом на отрезке [0, 1]. Если в качестве области определения 2)(Т) взять множество абсолютно непрерывных функций и(х), O^at^I (абсолютно непрерывная функция имеет производ- производную почти всюду и равна интегралу Лебега от своей производ- производной; см. Шилов, 1961, стр. 287), то Т будет замкнутым опера- оператором. Это верно потому, что если функции последовательности {Uj(x)} абсолютно непрерывны, а Ти^(х), ф(л:) и ty{x) принад- принадлежат L2[0,1] и таковы, что 11«/-ф11->о, Ц-aj-tt/- то функция ф(х) абсолютно непрерывна и dy/dx = \|э всюду, где производная существует.
Глава 3 ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ В этой главе мы изложим несколько упрощенный вариант разработанной Питером Лаксом общей теории аппроксимации линейных краевых задач с помощью конечноразностных урав- уравнений. § 3.1. Корректно поставленные краевые задачи Задачи, которые мы будем рассматривать, можно предста- представить в абстрактной форме, используя терминологию банаховых пространств. Пусть требуется найти однопараметрическое се- семейство элементов u(t) из банахова пространства <8 (t — дей- действительный параметр), таких, что Jt-u(t) = Au(t), 0</<7\ C.1) и@) = и0, C.2) где Л —линейный оператор, а и0 — заданный элемент из .$, ха- характеризующий начальное состояние физической системы. Опре- Определение производной du(t)/dt будет дано ниже. Граничные условия, если они существуют, предполагаются линейными и однородными; кроме того, предполагается, что область определения оператора А состоит из функций, удов- удовлетворяющих этим граничным условиям. Применение изложенной схемы не ограничивается уравне- уравнениями первого порядка, так как системы более высокого по- порядка могут быть сведены к системам первого порядка путем соответственного увеличения числа зависимых переменных и числа дифференциальных уравнений. Однако способ понижения порядка является существенным: будет показано, что задача может быть корректно поставленной в указанном ниже смысле при одном выборе функционального пространства и не обла- обладать этим свойством при другом его выборе. Применение этой схемы не ограничивается также системами дифференциальных уравнений. Излагаемая здесь теория при- применима, например, к некоторым интегро-дифференциальным уравнениям.
§ 3.1. КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 49 У самого Лакса (в докладе на семинаре Нью-Йоркского университета, 1953 г.) допускалось, что оператор А может явно зависеть от параметра /, как в случае, когда скажем коэффи- коэффициенты дифференциального уравнения зависят от времени. Эта теория почти идентична представленной здесь, но требует не- несколько более громоздкой записи. Уточняя постановку задачи C.1), C.2), определим точное решение этой задачи как такое однопараметрическое семейство u{t), что u(t) принадлежит области определения оператора А при любом t из отрезка 0 ¦< / •< Г, и @) = и0 и при Д*-*0, 0</<7\ C.3) Задача C.1), C.2) считается корректно поставленной, если сово-- купность ее точных решений достаточно обширна и если эти решения в некотором смысле однозначно и непрерывно зависят от начальных значений. (Вопрос о том, является ли некоторый заданный оператор А таким, что соответствующая краевая за- задача корректно поставлена в сформулированном выше смысле, будет рассматриваться не в плане общей теории, а лишь в связи с конкретными примерами.) Пусть 3) — множество таких элементов и0 из $, для каждого из которых существует единственное точное решение задачи C.1), C.2) с u(O) = Uoj причем сходимость в C.3) равномерна по L (Ниже мы увидим, что эта сходимость автоматически оказы- оказывается равномерной для любого точного решения рассматривае- рассматриваемых в этой главе корректно поставленных задач. Однако при проверке корректности постановки конкретной задачи необхо- необходимо выяснять вопрос о единственности ее точного решения для достаточно представительного множества начальных значений, решение которого значительно упрощается, если заранее счи- считать эту сходимость равномерной.) Для каждого фиксирован- фиксированного t соответствие между Uq и u(t) определяет преобразование в^с областью определения 3). Легко проверить, что это пре- преобразование линейно и что, если обозначить его через E0(t)y формула (t) E{t) для «oG® даст решение задачи C.1), C.2) для тех начальных состояний, для которых точное решение существует. В некоторых случаях можно написать явную формулу для E0(t) (например, интеграль- интегральное выражение для решения линейной задачи теплопроводности, но это не является необходимым для наших рассуждений. Задача C.1), C.2), определяемая линейным оператором Л, называется корректно поставленной (это понятие принадлежит
50 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. 1 Адамару; впоследствии появилось несколько его вариантов, слегка различающихся между собой), если выполнены следую- следующие два условия: 1. Область определения SD преобразования E0(t) плотна в &. 2. Семейство преобразований E0(t) равномерно ограничено, т. е. существует такое К, что ||?о(ОИ^/С при 0 ^ / ^ Т. Второе из этих условий в действительности означает, что решение задачи C.1), C.2) непрерывно зависит от начальных значений: в самом деле, если u(t) и v(t) — точные решения, соответствующие начальным элементам и0 и v0, то \\u(t) — — у(/)||^ К\\и0 — vo\\, так что если начальные состояния мало отличаются одно от другого, то и последующие состояния, взя- взятые в один и тот же момент времени, близки другу к другу. Первое же условие утверждает, что если для некоторого на- начального элемента и0 точное решение не существует, то мы можем аппроксимировать этот начальный элемент сколь угодно точно посредством таких начальных элементов, для которых точные решения существуют. В качестве примера можно снова рассмотреть задачу теплопроводности: если начальная темпера- температура распределена разрывно, то мы аппроксимируем ее сходя- сходящейся к ней последовательностью непрерывных (и даже дважды дифференцируемых) начальных температур; последовательность построенных таким образом решений сходится к функции, кото- которая может быть интерпретирована как решение задачи тепло- теплопроводности с разрывным распределением начальной темпе- температуры. В соответствии с теоремой о расширении из § 2.4 ограни- ограниченное линейное преобразование E0(t) с плотной в <% областью определения имеет расширение E(t)t называемое обобщенным разрешающим оператором, определенное на всем <% и ограни- ограниченное по норме тем же К, что и E0(t). Равенство и @ = Е(*)|1о дает обобщенное решение задачи C.1), C.2) для произвольного начального элемента и0 е <%. Семейство разрешающих операторов является полугруппой: E(s + t) = E(s)E(t) при s ^ 0, t ^ 0. Хотя этот факт уже неверен в более общем случае, когда А зависит от /, и несуществен для излагаемой теории, мы будем использовать его всякий раз, когда это может упростить доказательство. Для того чтобы краевая задача для уравнения в частных производных в ограниченной области была корректно постав- поставлена, нужно, чтобы граничные условия были подходящими, ибо
§ 3.2. КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ 51 от них зависит область определения оператора А и, следова- следовательно, операторов E0(t). Рассмотрим для примера простейшую задачу теплопроводности на отрезке а ^ х ^ Ь. Если гранич- граничных условий слишком много,скажем и(х, /) = 0и (д/дх)и(х, t) = = 0 при х = а и х = 6, то вообще не существует точных решений, кроме тождественного нуля, и потому 3) не плотно в й?. С другой стороны, если граничных условий слишком мало, например их нет совсем, то ни для одного начального значения нет единствен- единственности точного решения, и 2) снова неплотно в 3$. Из C.3) следует, что точное решение является непрерывной функцией от t в смысле нормы пространства 9&\ \\u(t + At) — — u(t)\\->0 при Д/^0, 0</<Г; применяя неравенство тре- треугольника, можно установить непрерывность и обобщенного решения для 0 ^ / ^ Т. Если «ое2), то A/6)[?F) — 1]и0 аппроксимирует Аио\ учи- учитывая перестановочность E(t) с ?F), получаем отсюда после перехода к пределу, что E(t)Auo = AE(t)uo. В силу этого равенства левую часть соотношения C.3) можно переписать в виде поскольку ||?@1| ¦</( при ()"</¦< Г, отсюда следует, что для всякого точного решения корректно поставленной задачи сходи- сходимость в C.3) равномерна по /. В случае когда оператор А зависит явным образом от вре- времени, обобщенный разрешающий оператор становится функ- функцией двух переменных; действительно, если в момент времени t0 задано начальное состояние н0, то u(t) = E(ttto)uOi причем в силу полугруппового свойства E(t2, t0) = E(t2, t[)E(tu t0) при t<t< § 3.2,Конечноразностные аппроксимации Согласно замечанию, сделанному в конце § 2.1, аппроксима- аппроксимации, получаемые посредством конечноразностных уравнений, также можно представлять точками пространства $. При этом однопараметрическое семейство u(t) заменяется последователь- последовательностью точек и0, и1, и2, ..., причем ип по предположению есть приближенное значение u(nkt)t а А/ обозначает малое прира- приращение. Соответствующие конечноразностные уравнения можно за- записать в виде \ C.4)
52 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I где Во = #о(Д/, Д*ь Д*2, • ••) и Вх = B\(kt, Дл;ь Ах2,...)—линей- Ах2,...)—линейные конечноразностные операторы, зависящие, как это видно из обозначений, от величин конечных приращений Д/, Дл:ь Длгг, ..., а также возможно от пространственных переменных. Предполо- Предположим, что Во и Ви как и оператор Л, не зависят от /. В каждой точке пространства обе части уравнения C.4) являются линей- линейными комбинациями значений функции и на некотором множе- множестве близких друг другу точек. Мы предположим, что всегда имеется некоторый способ для вычисления ип+1 при любом wn, причем ип+1 однозначно и непрерывно зависит от ип. Таким образом, мы предполагаем, что оператор ВТ1 существует, опе- оператор ВТ Во ограничен и оба они определены на всем про- пространстве <%. Эти предположения будут очевидным образом вы- выполнены для любой разумной разностной схемы. Формулы вида C.4) называются двухслойными, так как они содержат всего два «временных слоя» f и tn+l. Нужно заме- заметить, однако, что применение формул такого рода не означает сужения класса решаемых задач до систем дифференциальных уравнений первого порядка по времени. Как отмечалось выше, системы дифференциальных уравнений высшего порядка могут быть сведены к системам первого порядка путем введения но- новых зависимых переменных. Введение этих новых переменных сведет соответствующую конечноразностную систему к двух- двухслойной, если число входящих в нее слоев не превышает по- порядка по t первоначальной системы дифференциальных урав- уравнений. (Некоторые трехслойные формулы для уравнения диф- диффузии обсуждаются в гл. 8; см. схемы 7—11 и 13 из табл. 8.1.) Многослойные формулы будут рассмотрены в гл. 7. Иногда используются термины «одношаговый» и «многошаговый». Понятия устойчивости и сходимости, с которыми мы имеем дело, предполагают бесконечную последовательность вычисле- вычислений при безграничном измельчении ячеек сетки. Пусть выпол- выполнены соотношения A** = g«(A*). i=U 2, ..., d, где d — размерность пространства, показывающие, как стре- стремятся к нулю пространственные приращения при приближении к нулю временного приращения. Положим в?{ы,gx№>g2№* '..)B0(M9gx№9g2w9 ...)=С(Д/), так что п. C.5)
§ з.з. сходимость 53 Мы приходим теперь к условию согласованности. Так как отношение и п+1 — Д/ является приближенным значением производной по времени, то отношение С(Л/) и м должно в некотором смысле аппроксимировать величину Аи. Мы не можем ожидать того, что это условие имеет место для всех «6^, хотя бы потому, что в общем случае оператор А определен не на всем ,$. Но мы хотим, чтобы оно выполнялось почти для всех н, соответствующих точным решениям нашей задачи. Будем говорить, что семейство операторов С (At) согла- согласованно аппроксимирует краевую задачу C.1), C.2), если для любого u(t) из некоторого класса °Ы точных решений, началь- начальные элементы которых образуют в $ плотное множество, выпол- выполняется предельное соотношение С(АА/~~7 —Л}ц(*)|-»О при A*->0, 0<*<7\ C.6а) называемое условием согласованности. Здесь / обозначает еди- единичный оператор. Поскольку это условие относится к точным решениям, то, комбинируя его с C.3), получаем эквивалентное C.6а) соотно- соотношение *Т. C.6b) | |^0 Стоящая здесь под знаком нормы величина, называемая по- погрешностью аппроксимации, показывает, насколько хорошо точ- точное решение краевой задачи удовлетворяет конечноразностным уравнениям. Предположим, что сходимость в C.6а) и C.6b) равномерна по /; тогда для любого е > 0 существует такое б > О, что \\{С(Ы)-Е(М)}и(()\\<гЫ при 0<*<7\ 0<A*<6. C.6с) § 3.3. Сходимость Применив п раз оператор С (At) к uOi получим величину ип =* = С(Д/)пм0, которая по предположению аппроксимирует и(пМ). Так как u(t) = E(t)uo, то мы введем следующее определение. Семейство операторов С (At) обеспечивает сходящуюся аппрок- аппроксимацию задачи C.1), C.2), если при любом фиксированном / из отрезка 0 ^ / ^ Т для каждого Uq^SS и для каждой
54 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I сходящейся к нулю последовательности положительных прира- приращений времени Д^, Дг^, ..., Aj/, ... имеет место предельное соотношение || С (ДУ0п/ uo-E{t) щ !->0 при /-*оо, C.7) где tij — целое число, близкое к t/Ajt в том смысле, что /ijAj/ —> t при /->оо. § 3.4. Устойчивость Если в последовательности вычислений при Д;/-^0 каждое вычисление проводится от t = 0 до / = Г, то каждый из беско- бесконечного множества операторов ,2:, «V C-8) / 1, Z, О, . . ., применяется к Wo- Суть устойчивости состоит в том, что суще- существуют пределы, которых не могут превзойти компоненты на- начальной функции, преобразующиеся в процессе вычислений. По- Поэтому аппроксимацию C(Ajt) называют устойчивой, если при некотором т > 0 бесконечное множество операторов равномерно ограничено. Будем считать в дальнейшем, что конечноразностный опера- оператор непрерывно зависит от А/, если At положительно, и не пре- превосходит некоторого т > 0. В силу этого предположения коэф- коэффициенты разностного оператора, так же как и его норма, будут непрерывными функциями от А/. В этом случае множество опе- операторов C.9) автоматически будет равномерно ограниченным на любом отрезке т' ^ А/ ^ т, где т' > 0; существо данного здесь определения устойчивости состоит в том, что это множе- множество операторов остается равномерно ограниченным, когда т'-+0. Понятие устойчивости не имеет никакого отношения к диф- дифференциальным уравнениям, подлежащим численному интегри- интегрированию, и является исключительно свойством системы разно- разностных уравнений. § 3.5. Теорема Лакса об эквивалентности Пусть дана корректно поставленная задача C.1), C.2), и пусть ее конечноразностная аппроксимация удовлетворяет усло- условию согласованности; тогда устойчивость необходима и доста- достаточна для сходимости.
§ 3.5. ТЕОРЕМА ЛАКСА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 55 В соответствии с определением, данным в § 3.3, здесь имеется в виду сходимость при произвольном начальном элементе и$. Как замечено в первой главе (см. рассуждения по поводу нера- неравенства A.15)), и неустойчивая схема может иногда обеспечи- обеспечивать сходимость при специально подобранных начальных эле- элементах. Сначала мы покажем, что сходящаяся схема необходимо яв- является устойчивой. Мы утверждаем, что для всякой сходящейся схемы и для произвольного начального фиксированного элемен- элемента но е 9$ величины IС ДОЧЬ ограничены при некотором т > 0. Действительно, если это не так, то найдутся две последовательности Aj/, Дг/, ..., Ajf, ... и пи /г2, ..., tij, ..., для которых нормы элементов С (Д^) Щ> C(A20w0, ..., C(kjt)nfuo, ..., неограниченно возрастают (при этом Aj/ должны стремиться к нулю в силу предположения о не- непрерывной зависимости С (At) от положительных значений А/); из этих элементов мы можем выбрать подпоследовательность, для которой величины tij&jt сходятся к некоторому t из отрезка 0 ^ t ^ Г; но это противоречит предположению о сходимости схемы, поскольку при наличии сходимости нормы элементов этой подпоследовательности должны были бы стремиться к конеч- конечному пределу \\E(t)uo\\. Следовательно, существует такая функ- функция К\(и), что неравенство \\C(kt)nu\\ ^ К\ (и) выполняется для всех операторов из множества C.9) и всех me! Но тогда в силу принципа равномерной ограниченности множество C.9) равномерно ограничено. Таким образом, аппроксимация устой- устойчива в смысле определения § 3.4. Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что u(t) = E(t)u0 является точным решением, принадлежащим клас- классу °Ы, о котором шла речь при определении согласованности. Пусть е и б те же, что и в условии согласованности в форме C.6с), tij и Aj/ выбраны так же, как и при определении сходи- сходимости, а г|);- обозначает разность между вычисленным и точным значением и в момент времени azjAj/, т. е. пг\ - Е (nfijt)] и0 = С(ДУ/)* [С (АуО - Е (Д7*)] E((n!-\-k) ДУО щ. C.10) Третья часть этого равенства, как легко видеть, совпадает со второй: после приведения подобных остаются только первый
56 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I и последний члены. Норму величины \|)j можно оценить с по- помощью C.6с) и неравенства треугольника: если 0 < Д;/ < б, то II Фу II < /С2 2 еДу* = /С^ПуДу/ < К&Т, C.11) где /Сг обозначает равномерную границу множества C.9). Так как е произвольно, то ||t|>/||->0 при Ду/-*О, /гуДу/-И. Для доказательства сходимости покажем, что в пределе при /->оо в C.10) можно заменить ?(ПуДуО на E(t). Если s = |/ — яуДуЦ // = min{/,/гуДу/}, то в силу полугруппового свойства семей- семейства Е (t) имеем Е (s + t') = E (s) E (/'), так что Е (луДу/) — E{t) = = ± [Е (s) — I]E (f), причем знак определяется знаком раз- разности t — ЛуДу/. В любом случае || [Е (/I/A/0 - Е (*)] ио || < Кв II [Б (s) - /] м0 ||, где Ке обозначает границу для ||?(/)|| при 0 ^ t ^ Т. Но пра- правая часть последнего неравенства стремится к нулю, если 5-^0, т. е. если /->оо. Следовательно, величина \\[С(kjt)nl — Е(t)]u0 может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно малых Ajf и \t — /ijAj/|. Это справедливо для любого щу являю- являющегося начальным элементом точного решения из класса °U: но такие элементы плотны в .$, так что для любого ue^ из них можно выбрать последовательность ии «2, ..., сходящуюся к w. Поэтому [С (АУ0я/ - Е (t)]u = [С (Ду/)*/ - Е (t)] um + + С (Ду/р (и -Unb-E (t) (и - um). C.12) Здесь два последних члена в правой части могут быть сделаны сколь угодно малыми посредством выбора достаточно боль- большого т, поскольку класс C.9) и множество операторов E(t) равномерно ограничены, а малость первого члена может быть обеспечена, как уже отмечалось выше, за счет выбора достаточ- достаточно малых Aj/ и |f — /ijAj/|. Так как и — произвольный элемент из 3$, то тем самым сходимость установлена и теорема об экви- эквивалентности доказана. Отметим в качестве естественного следствия этой теоремы, что для данного начального элемента щ сходимость равномерна по t на отрезке 0</<Гв том смысле, что ограничения, кото- которые нужно налагать на Д;7 и на \t — n^t\, чтобы сделать C.12) произвольно малым, не зависят ни от выбора /, ни от выбора последовательности Д^. Это обстоятельство имеет большое прак- практическое значение, так как позволяет при численном интегриро-
§ 3.5. ТЕОРЕМА ЛАКСА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 57 вании находить такой шаг Д/, при котором приближенное реше- решение оказывается достаточно точным на всем отрезке 0 ^ / ^ Т сразу. Часто для достижения нужной точности А/ варьируют в процессе вычислений, но существует такое предельное положи- положительное значение Д/, ниже которого заходить нет смысла. Изложенную теорему Лакса можно очень просто применить к неявному разностному уравнению A.21) для одномерной за- задачи диффузии М ~° (АхJ Прежде всего покажем, что решение этого уравнения удовле- удовлетворяет следующему принципу максимума1). Предположим, что уравнение рассматривается в прямоугольнике 0 ^ х ^ а, 0^ ^/^Г и что Да; выбирается равным а//, где / — натуральное число. Тогда максимальное значение М\, достигаемое величиной ип} внутри этого прямоугольника, не может превышать макси- максимального значения М2, достигаемого начальными и граничными значениями (т. е. значениями на отрезках прямых t = 0, х = 0> х = а). Действительно, допустим противное, а именно что Mi > М2, и пусть (n,j) — первая внутренняя точка сетки, в кото- которой uTj = Ml (первая в том смысле, что индексы п и / имеют наименьшие значения). Тогда непосредственно ясно, что в этой точке сетки левая часть приведенного выше уравнения должна быть положительна, а правая отрицательна, ибо uj по пред- предположению превосходит соседнее значение wj?_, слева и сосед- соседнее значение ипгх снизу и по меньшей мере равно соседнему зна- значению ыу+1 справа. Следовательно, наше предположение ложно, и принцип максимума установлен. Очевидно, что эти соображе- соображения можно применить и к — unf и тем самым установить, что \ип}\ ограничены при любом выборе сетки, т. е., другими слова- словами, что рассматриваемое разностное уравнение устойчиво. Эти соображения могут быть применены также при доказа- доказательстве устойчивости определенного аналогичным образом раз- разностного уравнения для более общей задачи ж=а^-ш[ь{х)-Ш' а{х)>0> 6(*)>0 (проведение доказательства предоставляется читателю). Усло- Условие согласованности в этом случае также выполнено и сходи- сходимость тем самым обеспечена независимо от того, каким образом Д/->0 и &X-+Q. ]) Дж. Франклин, частное сообщение [1954]; Дж» Дуглас мл. [1955} П. Лаасонен [1949].
gg ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. 1 § 3.6. Замкнутый оператор А' В этом параграфе будет показано, что если оператор А в C.1) определяет корректно поставленную краевую задачу, то существует замкнутый оператор А', который также определяет корректно поставленную краевую задачу, причем каждое точное решение первой задачи является также точным решением второй задачи и обе задачи имеют один и тот же обобщенный разре- разрешающий оператор E(t), так что с практической точки зрения они эквивалентны. Оператор А' будет играть важную роль в следую- следующем параграфе, посвященном неоднородным задачам. Грубо говоря, А' определяется как производная по t от E(t) при / = 0. Будем считать, что 3)(А') состоит из таких элементов и^&у для которых в <8 существует предел 01= lim -lr[E(M)-I]u; для таких и положим А'и = w. Ясно, что 3){А') есть линейное многообразие в1, а А' — линейный оператор. Сравнивая при- приведенное в этом определении равенство с C.3), находим, что А'и = Аи для любого н, соответствующего точному решению исходной задачи. В соответствии с терминологией теории линейных операторов (см. Данфорд и Шварц, т. 1, 1962), А' называется инфинитези- мальным оператором семейства операторов E(t), которое яв- является сильно непрерывной полугруппой. Так как E(t) — ограниченный оператор, перестановочный с ?(ДО,то Е (О A/ДО [Е (ДО - /] щ = A/ДО [Е (ДО - /] Е (t) u0; при ио^З)(А') существует предел левой части при Д/->-0, от- откуда в силу определения оператора А' следует, что ?(/)ное <=Ф{А') и ?(/)Л'но = A'E(t)uoy т. е. А' и E(t) перестановочны на элементе ы0. Таким образом, функция u(t) = E(t)u0 удовле- удовлетворяет предельному соотношению _.лв@|_»0 при т. е. является решением краевой задачи -§[ti(t)=:A'u(t), ы(О) = «о- C.13) Покажем, что и обратно, единственным решением задачи C.13) является функция u(t) = E(t)uo. Если u(t) — решение
§ 3.6. ЗАМКНУТЫЙ ОПЕРАТОР А1 59 этой задачи, то при фиксированном t > О функция g(s) = E(t-s)u(s)9 постоянна. Действительно, d =-Z-E(t-s)u(s0) ds первое слагаемое в правой части можно переписать в виде d dw -*E(w)u(sQ)\ =-A'E(t-sJu(sJ, потому что функция E(t)u(s0) удовлетворяет дифференциаль- дифференциальному уравнению C.13); для второго слагаемого имеем E(t-so)-?-u(s)\ =E{t- sQ) A'u(s0), поскольку E(t — so) является ограниченным оператором. Так как Л' и E(t — So) перестановочны, то dg(s)/ds = 0 и потому g(s) является константой. Следовательно, g(t) = g{0), или и (l) = E(t) Wo, что и требовалось доказать. Отсюда следует, что C.13)—корректно поставленная задача. Покажем теперь, что А' — замкнутый оператор в смысле определения, данного в § 2.7. Сначала напомним некоторые све- сведения об интегрировании в банаховом пространстве. Пусть со- совокупность элементов w(s) из 3$ непрерывно зависит от пара- параметра s. Тогда интеграл Римана 1= \ w (s)ds Si определяется как предел интегральных сумм 2 аналогично тому, как это делается для непрерывной функции действительного переменного. Предлагаем читателю в качестве упражнения проверить с помощью неравенства треугольника, что этот предел единствен и что определенный таким образом интеграл обладает всеми обычными свойствами, например что Si ^|s2 —Si I max
60 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Проверим, что если щ^З)(А'), то t 'и (s) ds, C.14) о где u(t) = E(t)uo\ это согласуется с уравнением du/dt = А'и. Уравнение C.13) показывает, что для данного е > 0 существует такое б > 0, что или, после применения оператора ?(/б), IIЕ ((/ + 1) б) щ - Е (/б) щ - б? (/б) А% || < вб/С, где К = max ||?(/) ||. Полагая мб = ty суммируя по / выражения, стоящие под знаком нормы в левой части последнего неравен- неравенства и оценивая затем эту сумму по норме с помощью неравен- неравенства треугольника, получаем 1л—1 Ц Е@«o-«o-SS?(/б) А% <etK. /==о II Так как функция E(s)A'u0 непрерывна, то сумма в левой части этого неравенства аппроксимирует интеграл из правой части ра- равенства C.14). В силу произвольности е отсюда следует справед- справедливость равенств C.14). Предположим теперь, что последовательность и\, , ..., Wj, ... элементов из &{АГ) сходится к некоторому w*e^f, a {A'tij} сходится к некоторому w* из <%, и покажем, что и* е^5(Л') и до* = А'и*, т. е. что оп оператор А' замкнут. В самом деле, Е (б) и* — и*= lim [Е (б) tit - uj] = lim f A'E (s) ut ds = /->oo /->oo ^ 0 0 = lim J E(s)A'ujds= J ?E) lim Л'и7 ds о о (предельный переход перестановочен с интегрированием, потому что сходимость здесь равномерна в силу равномерной ограни- ограниченности E(s) no s). Следовательно, i [E(s)w'ds,
§ 37 НЕОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ 61 причем правая часть этого равенства стремится к E@)w* = w* при б-*0, так как операция интегрирования непрерывна. Таким образом, замкнутость оператора А' доказана. Методом, предложенным Гельфандом и Гордингом (Лионе, частное сообщение), можно показать, что области определения оператора А' и всех его степеней плотны в $. Пусть ф(/)—бес- ф(/)—бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне интер- интервала 0 < t < tо (в частности, эта функция обращается в нуль при ? = 0 вместе со всеми своими производными). Для произ- произвольного элемента we^f положим оо Г(ф)и= J E{t)ucf(t)dt. о Это равенство определяет для каждой допустимой функции ф оператор Г(ф), заданный на всем пространстве $. Покажем, что Г(ф)н всегда принадлежат множеству 3)(А'). Действительно, оо оо Е(s) Т (ф)ы = J E(s + t)ыф@dt = J E(t)ыф (/ — s) dt, о о и потому при s-*-0 Ец)и S J S о где ф/ = с?ф/Л. Следовательно, в силу определения А\ Г(ф)ие ей)^7) и ЛТ(ф)ы = Г(—ф')и. Повторяя рассуждения q—1 раз, находим, что (Л^яГ^ы также существует и равняется Г((—1)Яф^>)н. Обозначим через $ъ множество элементов вида Г(ф)н для всех допустимых функций ф и всех мб! Если {фт} является б-образной последовательностью 1) допустимых функций, т. е. сходится в смысле обобщенных функций к дельта-функции Дирака 6@> то для произвольного и^$ в силу непрерывности E(t)u будем иметь Т(цт)и-*и при т-*оо. Следовательно, ^0 плотно в @. Но так как (Л/)«7ч(ф)мей)((Л/)«), то &оа 3){{A/)(i) при любом натуральном q\ поэтому множества {{Af)^) также плотны в 98. § 3.7. Неоднородные задачи Основной целью этого параграфа является решение следую- следующей краевой задачи: и @) См., например, Гельфанд и Шилов* [1958], гл. l — Прим. перев.
62 гл- 3- ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I где и0 и g(t) заданы, причем функция g(t)\t равномерно непре- непрерывна по / на отрезке 0 ^ / ^ Т в смысле нормы простран- пространства $. Достаточно было бы и кусочной равномерной непрерыв- непрерывности g(t)\ провести доказательство для этого случая мы предо- предоставляем читателю. Мы предполагаем, что определяющий кор- корректную однородную краевую задачу оператор А замкнут и что области определения всех его степеней плотны в 81 (как было показано в предыдущем параграфе, это предположение не яв- является ограничением). Мы покажем, что решение задачи C.15) имеет вид ds C.16) о при следующих дополнительных ограничениях: A) UoHg(t) при- принадлежат S)(Л); B) g(t)ez3)(A*)\ C) функции Ag(t) и A2g(t) непрерывны. Функция C.16) называется точным решением за- задачи C.15). Если на и0 и g(t) не наложено никаких ограниче- ограничений, кроме непрерывности g(t) или даже только существования интеграла в C.16), то функция C.16) называется обобщенным решением задачи C.15). Относящиеся сюда результаты были получены Р. Дж. Томпсоном [1964]; он рассмотрел также квази- квазилинейный случай, для которого g = g(t,u(t)). Из ограниченности E(t) и непрерывности g(t) и E(t)u при любом и следует в силу неравенства треугольника, что функция E(t — s)g(s) непрерывна по s и, значит, интегрируема. Наше утверждение относительно функции C.16) будет доказано, если мы покажем, что t t ±1 E(t-s)g(s)ds^E(O)g(f)+ j jrE(t-s)g(s)ds. C.17) dt о о Интеграл в правой части этого равенства существует, потому что подынтегральное выражение равно AE(t — s)g(s) = = ?(/ — s)Ag(s) и непрерывно в силу непрерывности Ag(s) и равномерной ограниченности E(t — 5). Для внесения производ- производной под знак интеграла, как и для функций действительного аргумента, достаточно, чтобы соответствующее разностное отно- отношение равномерно по s сходилось к производной, т. е. чтобы E(t-s)g(s)-AE(t-s)g(s)\\->0 C.18) равномерно по 5 при 6-^0. В силу равномерной ограниченности E(t — s) и перестановочности E(t — 5) с Л это равносильно тому, что
$ 3.7. НЕОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ 63 равномерно по s при 6-^0. При фиксированном s функция h(t) = E(t)g(s) удовлетворяет не только уравнению dh/dt = Ah, но по предположению также и уравнению d2h/dt2 = A2h. По- Поэтому, используя дважды C.14), получаем t \\\ \\ \ E{w) A2g (s) dw, 0 0 0 0 так что 46 max \\E(w)A2g(s)\\. Но максимум здесь ограничен в силу непрерывности A2g(s) и равномерной ограниченности E(w). Этим доказана равномер- равномерность сходимости в C.18) и тем самым справедливость равен- равенства C.17). Равенство C.17) принимает теперь вид t t -J- J E(t-s)g(s)ds = g(t)+ J AE(t-s)g(s)ds. 0 0 Так как в любой интегральной сумме, аппроксимирующей инте- интеграл в правой части этого равенства, оператор А можно вы- вынести за знак суммы и интеграл t JE(t-s)g(s)ds о существует, то в силу замкнутости оператора А его можно вы- вынести также и за знак интеграла. Следовательно, t t ± J E(t-s)g(s)ds = g(t) + A J E(t-s)g(s)ds, о о откуда видно, что функция C.16) является решением краевой задачи C.15). Единственность этого решения следует из единственности ре- решения соответствующей однородной задачи, которая по пред- предположению является корректно поставленной. При рассмотрении обобщенных решений без ограничения общности можно считать, что и0 = 0, поскольку первое слагае- слагаемое в C.16) есть просто обобщенное решение соответствующей однородной задачи. Обозначим через <%}' вспомогательное .банахово пространство, элементами которого являются всевоз-
64 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. 1 можные непрерывные кривые и(/)ей(, определенные при О ^ t ^ Г, с нормой И о С - > IU- — max ||u Отображение есть ограниченное линейное преобразование, определенное на всем $'; обозначим через Fo сужение F на множество тех эле- элементов g(') из <%}'> для которых существует определенное выше точное решение задачи C.15), и покажем, что множество 2){F0) плотно в ЗВ'. Пусть g(-)—произвольный элемент простран- пространства 33'. Разобьем отрезок [0, Т] на N отрезков длины б и в каждой точке разбиения аппроксимируем g(n8) элементом gn^2)(A2). После этого определим g{t) как кусочно линейную функцию, построенную по gn. Очевидно, g(t)^3)(A2) при 0</<Г и функции g(t)y Ag(t) и A2g(t) непрерывны. Далее И#@—g(t)W можно сделать равномерно малым на всем отрезке 0 ^ t ^ Т за счет выбора достаточно малых б и gn, достаточно близких к g(n&). Но это и означает, что множество S)(F0) плог- но в &'. Поэтому для любых по^38 и g(-)^<%' определим об- обобщенное решение задачи C.15) формулой C.16), обосновывая это, как и в случае однородных задач, тем, что оно является пределом аппроксимирующих его подлинных решений и един- единственно, так как F есть единственное ограниченное расширение преобразования Fo. Система конечноразностных уравнений для задачи C.15) имеет вид = gn+l, uQ = u0, C.19) где Bi и Во — разностные операторы, рассмотренные в § 3.2, а gn или g\t аппроксимируют g(nkt) или g((n—1/2)Д/). Мы предположим просто, что |g\t — g (n A/) || может быть сделано произвольно малым равномерно по п при 0 ^ nkt ^ T за счет подходящего выбора Д/. Как и в § 3.2, эти разностные уравне- уравнения можно переписать в виде ип+* - С (A/) un = D (M) g»+*f где операторы C(kt) = BTlBo и /)(Д/) = ВГ1 ограничены и за- зависят только от Д/, ибо по предположению все Дх, Ду и т. д. вы- выражаются через Д/. Для явной схемы D(kt) есть просто Д//, где / — тождественный оператор. Во всяком случае мы считаем, что элементы gn, определяемые равенством D(kt)gn = Д/?п, аппроксимируют gn равномерно по п при достаточно малых Д/,
§ 3.7. НЕОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ 65 После многократного применения рассматриваемой разно- разностной схемы получим ип = С (М)п Но + Д* 2 С (A/)" g!. C.20) Покажем, что если выполнены условия теоремы Лакса, то сумма в C.20) аппроксимирует интеграл из C.16), откуда и будет сле- следовать сходимость приближенного решения к точному. Из равно- равномерной непрерывности g(s) и равномерной ограниченности опе- операторов E(t) и С(Д/) (см. C.9)) следует, что если при фикси- фиксированном V последовательности значений Д/ и т выбираются таким образом, что Д/->0 и тД/-*-/', то величина \\[E(mM)-C(M)m]g(s)\\ стремится к нулю равномерно относительно 5 для 0 ^ s ^ Т. (Мы уже показали в § 3.5, что эта сходимость равномерна по ? при фиксированном 5.) Поэтому для данного е > 0 можно подобрать столь малое Д/, что интегральная сумма вида /=0 где t = n&t, будет аппроксимировать с точностью е интеграл из C.16) и в свою очередь с той же точностью будет аппроксими- аппроксимироваться суммой д/2 с (до11 которую с точностью е можно уже аппроксимировать суммой из равенства C.20). Таким образом, сходимость доказана. Отсюда следует, что теорема Лакса об эквивалентности спра- справедлива также и для неоднородных краевых задач. В дальнейшем мы будем обычно считать граничные условия однородными, так как от неоднородности можно избавиться, су- сузив область определения оператора А. Действительно, рассмо- рассмотрим краевую задачу с неоднородными граничными условиями. Alu(t) = h(t), и@) = щ. Во втором уравнении этой системы, задающей граничные усло- условия, Ах — некоторый линейный оператор, a h(t)—заданная функция; этот оператор выводит нас из банахова пространства $ в некоторое другое пространство функций, определенных 3 Зак. 1300
66 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I лишь на границе, и h(t) является именно такой функцией. Пусть до(/)— некоторая гладкая функция из &, значения которой принадлежат областям определения операторов А и Аи такая, что A{w(t) = h(t)\ функцию w(t) можно выбирать с большим произволом, поскольку она должна удовлетворять только гра- граничным условиям. Теперь нашу задачу можно свести к преды- предыдущей следующим хорошо известным способом. Пусть функция v(t)= u(t) — w(t) удовлетворяет системе уравнений ?v (t) -Av (t) = g(t) -^w(t)-Aw(t)9 A{v{t) = O, i>@) = H0-oi@)f правые части которых известны. Граничные условия здесь снова однородны, так что если теперь заменить оператор А его суже- сужением Ао на такие элементы v из &, для которых Aiv = Q, то мы получим задачу типа C.15), к которой применимы все пре- предыдущие рассуждения этого параграфа. Р. Дж. Томпсон [1964] распространил большую часть приве- приведенных здесь результатов на квазилинейный случай, в котором g(t) заменяется на g(t,u(t))y где g(t,u)—функция, определен- определенная при О^Г/^Г и ms^, непрерывная по / при каждом и и удовлетворяющая равномерно по / условию Липшица относи- относительно и в том смысле, что \\g(t,и) —-g(ty v)||^ M\\u — v\\ при любых м, v и t (M — константа). § 3.8. Изменение нормы Хотя выбор подходящей нормы в пространстве & является частью постановки задачи, и задача может быть корректно по- поставленной в одной норме и не обладать этим свойством в дру- другой, тем не менее при выборе нормы имеется много произвола. Предположим, что наряду с нормой \\u\\ для всех U&.3S определена еще одна неотрицательная функция \\u\\', обладаю- обладающая всеми свойствами нормы, указанными во второй главе. Нормы ||н|| и Hwll7 называются эквивалентными, если сущест- существуют такие положительные постоянные К\ и /Сг, что для лю- любого и^$ ffil|tt||<IMr<ff2l|ali. C.21) Все топологические свойства пространства остаются неизмен- неизменными при замене данной нормы эквивалентной ей нормой. В частности, свойства сходимости последовательности элемен- элементов, ограниченности множества элементов, ограниченности ли- линейного оператора и равномерной ограниченности семейства операторов инвариантны относительно такой замены.
§ 3.9. УСТОЙЧИВОСТЬ И ВОЗМУЩЕНИЯ 67 § 3.9. Устойчивость и возмущения Следующая теорема (Крайс [1962], Стрэнг [1964]) показы- показывает, что устойчивость не нарушается малыми возмущениями. Если разностная схема ип+]=С(Ы)ип C.22) устойчива, а семейство операторов Q(M) ограничено, то раз- разностная схема ип+\ = [с (Д/) + MQ (Щ ип C.23) также устойчива. По определению, устойчивость схемы C.22) означает суще- существование такой константы К, что 1С (до-ц<к при {о<^д1<г C'24) Согласно условию теоремы существует такая константа Я, что ||Q(At) ||<Н при 0<Д/<т. C.25) Выражение (C + ktQ)n содержит 2П слагаемых, причем для каждого / = 0, 1, 2, ..., п имеется 1пЛ слагаемых, состоящих из / множителей Д/Q и n — j множителей С, расположенных в определенном порядке. В каждом таком слагаемом множи- множители С образуют не более чем / + 1 групп, поскольку их раз- разделяет только / множителей Д/Q, и норма каждой группы не превосходит К. Поэтому /==о = /СA + МКН)п^Кеп^И^Кет^н9 C.26) откуда, и следует устойчивость возмущенной системы. Стоит отметить, что при некоторых других определениях устойчивости она более чувствительна к возмущениям. В одном из таких определений, которого придерживается ряд авторов, вместо равномерной ограниченности множества операторов C.24) требуется лишь, чтобы они росли по норме не быстрее некоторой степени 1/Д/ при Д/->0. Тогда, как было показано Крайсом на различных примерах, один из которых приведен в § 5.2, совсем простое возмущение может привести к экспо- экспоненциальному росту норм соответствующего множества опера- операторов, причем в показатель экспоненты будет входить множи- множитель (l/A/I-1^, где р — число компонент вектора-решения и.
68 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I Если краевая задача поставлена некорректно в том смысле, что хотя область определения E0(t) и плотна в ,$, но семейство E0(t) не ограничено ни на одном интервале 0 ^ t < т, то не существует разностной схемы, которая была бы согласована с этой задачей и в то же время устойчива. Действительно, из неограниченности E0(t) следует, что существует такая последо- последовательность точных решений uj(t) = EQ(t)u°j (/=1, 2, ...)> нор- нормированных, скажем, условием ||^||=1 для каждого /, и такая сходящаяся к нулю последовательность tj > 0, что Пусть задано е > 0. Тогда для любого точного решения Uj(t) существует согласно условию согласованности C.6с) такое Ajt = t/rij (где rij — некоторое натуральное число), что ||[С(Д;^) — — E(bjt)]Uj(t)\\<. eAj/. Если допустить теперь, что схема устой- устойчива, то это приведет к противочерию. В самом деле из C.10) и C.11) следует, что где /Сг определяется условием устойчивости, так что ||C(A/)n/||>||C(A/)rl/«j|-^oo в силу C.27) и того факта, что м°||=1. Таким образом, бесполезно искать устойчивые разностные схемы для таких, например, краевых задач, как задача Коши для уравнения Лапласа d2u/dt2 + д2и/дх2 = 0 или для уравне- уравнения теплопроводности с обратным ходом времени1). 1) Приведенные задачи, равно как и многие другие некорректные задачи, могут быть численно решены разностным методом с применением надлежа- надлежащей регуляризации, например по Тихонову. — Прим. ред.
Глава 4 ЛИНЕЙНЫЕ ВТ ЛЕВЫЕ ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ § 4.1. Класс задач В этой главе мы будем рассматривать линейные задачи с постоянными коэффициентами и с простыми граничными условиями, так что для представления их решений можно бу- будет применять ряды или интегралы Фурье. В этом случае, как будет видно, понятия, введенные в предыдущей главе, прини- принимают особенно простой вид. В частности, преобразование Фурье приводит условие устойчивости к такой форме, которая дает возможность получить целый ряд пригодных для практики при- признаков устойчивости. Простейшим из них и исторически первым является необходимое условие фон Неймана; в первом издании этой книги было приведено несколько достаточных условий для специальных случаев. Благодаря работам Като [1960], Крайса [1962] и Баченана [1963а, Ь] они были существенно улучшены и в конце концов сведены к одному простому алгебраическому условию устойчивости, которое позволяет в принципе решить вопрос об устойчивости любой разностной схемы с постоянными коэффициентами; получение этого общего условия является од- одним из основных вопросов данной главы. Будет рассмотрен ряд частных случаев с целью упростить исследование устойчивости на практике. Работа Крайса положила начало другому направ- направлению в вопросе исследования устойчивости конкретных схем, так называемому энергетическому методу, с которым мы позна- познакомимся подробнее в шестой главе. Чтобы иметь возможность применять метод преобразования Фурье, мы предположим, что либо граничные условия могут быть заменены условиями периодичности, как в случае простей- простейшей задачи теплопроводности в первой главе, либо рассматри- рассматриваемые функции интегрируемы с квадратом во всем простран- пространстве, как в квантовой механике. Для представления функций с помощью рядов или интегралов Фурье используются соответ- соответственно теоремы Рисса — Фишера и Планшереля, в которых фигурирует норма пространства L2. Поэтому банахово про- пространство & определяется однозначно выбором функциональ- функциональных элементов и. Последовательность коэффициентов Фурье или результат преобразования Фурье задают точку во втором ба- банаховом пространстве #', причем это соответствие является
70 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I взаимно однозначным и сохраняет норму, так что пространства 38 и 3$' изоморфны между собой. Поэтому все рассуждения пре- предыдущей главы применимы к пространству $' точно так же, как и к пространству .$. Это весьма полезное обстоятельство обязано специальному выбору нормы пространства L2 и не имеет места при другом выборе нормы, например в том случае, когда используется норма пространства С (т. е. максимум мо- модуля функции), которая иногда считается наиболее естествен- естественной нормой численного анализа. Указанные банаховы пространства $ и &' являются гиль- гильбертовыми пространствами. Каждой паре элементов и и v из пространства 3S сопоставлено комплексное число, обозначаемое через (и, v) и называемое скалярным произведением и и v. Если и, v и w — произвольные элементы из 3S, а а и р— ком- комплексные числа, то (и, av + $w) = a(u, v) + $(u, w)9 (v9 u) = {u, v), («, и)>0, (и, н) = 0 тогда и только тогда, когда н = 0. Первое равенство показывает, что функция (н, v) линейна относительно второго аргумента; в сочетании со вторым ра- равенством это значит, что она антилинейна по первому аргу- аргументу в том смысле, что (аи + pa, w) = a (ut w)+ J3(u, w), где черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Скалярное произведение связано с нормой соотношением (и,и) = \\и\\2. § 4.2. Ряды и интегралы Фурье Если имеется р функций от d пространственных переменных, то для функций, соответствующих данной точке банахова про- пространства, используется векторное обозначение и(х), где и — вектор с р компонентами, а х — вектор с d компонентами. Ре- Решение краевой задачи будет обозначаться через и(х,/). Если вектор-функция и(х) периодична по каждому аргу- аргументу Xi с периодом Lu то ее ряд Фурье имеет вид Здесь к есть d-мерный вектор, который при суммировании про- пробегает решетку 3?, состоящую из векторов, компоненты kt кото- которых независимо друг от друга принимают всевозможные значе- значения вида 2nri/Lu где г{ — произвольное целое число. Векторный коэффициент Фурье и (к), рассматриваемый как функция аргу-,
§ 4.2. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 71 мента к на множестве 2\ определяет точку в банаховом про- пространстве Я'. Обращение соотношения D.1а) таково: о где для сокращения записи введено обозначение L h Ld J dx= J dxx ... J dxd. 0 0 0 Имеет место так называемое равенство- Парсеваля L J I u (х) |2 rfx = ^ | G (k) |2, D.3а) 0 где |иР21|и/Р; для функции и(х) из $ норма и определяется как корень ква- квадратный из левой части равенства D.3а), а для функции й(к) из <%'— как корень квадратный из правой его части. Таким обра- образом, соотношения D.1а) и D.2а) устанавливают сохраняющее норму взаимно однозначное соответствие между элементами пространств & и <%'. Если же вектор-функция и(х) интегрируема с квадратом во всем пространстве, то ее можно представить с помощью инте- интеграла Фурье в следующем виде: JSdk, D.1b) где интегрирование теперь ведется по всему пространству пере- переменных k\, &2, ..., kdj а заданная в этом пространстве функция u(k) определяется равенством ^k'XdX* D'2Ь) В этом случае равенство Парсеваля имеет вид J | и (х) |2 rfx = J | u (k) |2 rfk. D.3b) Для достаточно хороших функций все эти равенства можно понимать буквально, но если запас элементов $ и ЗУ ограничить только такими функциями, то эти пространства не будут пол- полными. Поэтому для соблюдения необходимого уровня строгости
72 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I следует принять все положения теории пространства L2 и, в ча- частности, считать две функции равными, если они отличаются друг от друга лишь на множестве меры нуль, интегралы пони- понимать в смысле Лебега, а пределы в D.1а), D.1Ь) и в D.2Ь) — в смысле сходимости в среднем, т. е. по норме соответствующего банахова пространства. Так, если un(x)—последовательность частичных сумм ряда D.1а), для которых, например, каждое гг изменяется от —п до м, то равенство D.1а) понимается в том смысле, что ||u —urt||->0 при /г->оо. Аналогично, если Uh(x) есть интеграл типа D.1Ь), для которого каждая переменная интегрирования k\ пробегает интервал —К ^ &г ^ К, то равенство D.1Ь) означает, что ||и —ил||->0 при /С->оо. Теперь пространства $ и Я' полны. Преобразование D.2а) отображает все пространство $ в $' и в силу теоремы Фурье является обратным по отношению к D.1а). По теореме Рисса — Фишера преобразование D.1а) переводит все пространство &' в Я, так что любая определенная на 3? последовательность й(к), для которой сходится сумма из правой части равенства D.3а), представляет собой последовательность коэффициентов Фурье некоторой функции и(х)е^?. Аналогично D.1b) в силу теоремы Планшереля является взаимно однозначным отображением про- пространства 9И' на пространство .$, а D.2Ь) — обратным к нему. В дальнейшем все это будет неявно предполагаться, если при- применяются соотношения типа D.1а) — D.3Ь). Обычно в обоих случаях мы будем использовать обозначения D.1Ь) — D.3Ь), под- подразумевая под 3? либо все пространство переменных kiyk2, ... ..., kdy либо описанную выше бесконечную дискретную решетку. § 4.3. Корректно поставленные краевые задачи Общий линейный дифференциальный оператор с постоянны- постоянными коэффициентами, действующий на функцию из ,$, можно формально определить так: надо взять функцию P(q), или P{qu ...» Qd), являющуюся р X р-матрицей, элементы которой суть полиномы относительно ЦиЦг, ..., qd, и затем заменить q\ на dldxu Я2 на д/дх2 и т.д. Если Л—такой оператор и мы применяем его к элементу uelk'x, где и — постоянный вектор, то результатом будет произведение этого элемента на матрицу P(ik). Следовательно, если решение краевой задачи выражается интегралом Фурье и(х, 0 = BяГ"/2 f u(k,
§ 4.3. КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 73 то преобразование Фурье и (к,/) должно удовлетворять урав- уравнению ±? (к, о = />(*)? (к. о, которое служит эквивалентом в пространстве $' исходного диф- дифференциального уравнения -^•u(x, t) = Au(x, t). Поэтому u (k, t) = eipWu{k, 0), где u (k, 0) — преобразование Фурье для начального элемента и(х, 0). Возвращаясь к $, получаем где и (х, t) = BпГа12 j eiP™u (k, 0) е*-* dk, D.4) u (k, 0) = Bп)'а/2 J u (x, 0) e-'k-« dx. Известно, что функция ем от р X /г-матрицы М определяется степенным рядом который поточечно абсолютно сходится и обладает тем свой- свойством, что Первое требование корректной постановки краевых задач, а именно что область определения разрешающего оператора E0(t) плотна в & (см. гл. 3), автоматически выполняется для рассматриваемых в этой главе задач. Это объясняется тем, что решения такого рода законны всякий раз, когда суммирование или интегрирование в D.4) является конечным, т. е. когда на- начальный элемент и(х, 0) есть тригонометрический полином или же и(х, 0) имеет преобразование Фурье с компактным носите- носителем1), но такие элементы в обоих случаях плотны в <%. Второе требование корректной постановки краевых задач состоит в том, что ||е'р(<к>|| должны быть равномерно ограничены по к; тогда D.5) ksif 1) Носителем функции называется замыкание множества тех точек, в которых эта функция отлична от нуля. Говорят, что функция имеет компакт- компактный носитель, если ее носитель является компактным множеством.
74 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I Выполнение этого условия должно проверяться отдельно в ка- каждом данном случае. В качестве простого примера рассмотрим уравнение теплопроводности, для которого А = од2/дх2. Тогда величина ||e'*wk)|l = ехр(—otk2) ограничена единицей, если ot^-О. Но если ot < О, то ее можно сделать сколь угодно боль- большой за счет выбора достаточно большого к; поэтому задача теплопроводности, решаемая назад по времени, не является кор- корректно поставленной. Однако цель этой книги — в изучении решений задач, а не их постановок, поэтому мы будем включать свойство корректности в постановку краевых задач, другими словами, мы будем пред- предполагать, что нам заданы только корректно поставленные за- задачи. Следует подчеркнуть, что в таком случае выбор банахова пространства является частью постановки задачи: как мы ви- видели выше, выбор среднеквадратичной нормы определяется же- желанием использовать аппарат преобразования Фурье, но для са- самого вектора и, норма которого определена таким образом, еще часто остается некоторая свобода выбора. Это, в частности, от- относится к тому случаю, когда перед применением общей теории дифференциальное уравнение высокого порядка сводится к си- системе уравнений первого порядка. Чтобы проиллюстрировать это, мы покажем в гл. 10, что задача о волновом движении яв- является корректно поставленной при одном простом выборе ба- банахова пространства и не является таковой при другом столь же простом его выборе. В этих простейших случаях проверка корректности обычно сравнительно несложна; в других случаях, вроде задачи о многомерном движении жидких сред, в настоя- настоящее время не ясно, как ставить корректные задачи, не привлекая дополнительных физических принципов. § 4.4. Конечноразностные уравнения Мы предполагаем, что разностные уравнения даны в виде двухслойных формул. Многослойные формулы будут рассмотре- рассмотрены в гл. 7. Пусть ип = un(x) — приближение для и(х, пМ)у полученное из системы разностных уравнений. Обозначим через ГР опера- оператор, заменяющий значение функции в точке х = (хи х2, ..., ха) ее значением в соседней точке (Jti + PiAjti, x2 + ^x2i ..., xd + + PdA*d) пространственной сетки, где компоненты рь р2, ..., Pd векторного индекса р принимают целые значения. Каждое раз- разностное уравнение в точке х обращает в нуль определенную ли- линейную комбинацию компонент векторов un и un+1 на некоторой группе таких соседних точек. Таким образом, систему разност- разностных уравнений
§ 4.4. КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 75 можно записать в виде 2 fi?7V+1- 2 B?7V = 0, D.6) где суммирование ведется по конечным множествам N\ и Wo точек, соседних4) с точкой х. Для каждого Р Во и В? суть р X р-матрицы с постоянными элементами; последнее означает, что элементы этих матриц могут зависеть от А/, Алч и т. д., но не могут зависеть от х или от /. Для явной системы разностных уравнений множество Ni сводится к единственной точке р = 0; тогда матрица В? обычно диагональна и во всяком случае не- невырождена. Если уравнения неявные, то мы предположим, что они всегда разрешимы для периодического un и что решение un+1 однозначно определяется уравнениями и условием перио- периодичности. При вычислениях уравнения D.6) используются только в точках сетки, но их с таким же успехом можно применять и в других точках, так что если вектор un(x) задан для всех х = = (хи ..., ха), то un+1(x) определяется для всех х уравнением D.5) и условием периодичности. Если в уравнения D.6) подставить интегралы Фурье для un(x) и un+1(x), то типичный член будет содержать множитель ехр{/[й, (*, + р, Ал:,) + ... + kd{xd + foД*„)]}, и мы можем сократить на величину ехр{Лс-х} все члены урав- уравнения. То, что останется после сокращения, можно записать в виде Hxvn+l (к) - tfov* (к) = 0, D.7) где Hi обозначает матрицу Я, = 2В?ехр [t[kfoЬхх+ ...+ *А4f]b D-8) а Но определяется аналогично. Как и в предыдущей главе, мы предположим, что способ измельчения ячеек сетки должен быть установлен заранее, так что A*i, ..., &Xd стремятся к нулю вме- вместе с А/ по определенным законам А*! = 8\ (д0 и т- Д- D.9) При этих условиях матрицы #i и Но зависят только от А/ и к. Предположение о разрешимости, сделанное в предыдущем абзаце, равносильно требованию, что матрица #4 имеет обрат- обратную. Следовательно, можно написать V+1 (к) = G (М, к) vn (к), D.10) 1) Сама точк* (jci, ..., Xd), конечно, также вообще говоря включается в множество N\.
76 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. 1 где G(A/, к) = ЯГ!Я0. D.11) Ясно, что G(Af,к) — это представление в пространстве 9ЬГ разно- разностного оператора C(kt), фигурирующего в теореме Лакса, а уравнение D.10) — это не что иное, как форма, которую прини- принимает уравнение C.5) при отображении в пространство преобра- преобразований Фурье ЗВ'. Матрица G(A/, k) называется матрицей перехода1). § 4.5. Порядок точности и условие согласованности В уравнении D.6) имеется очевидная неопределенность, со- состоящая в том, что оно может быть умножено на произвольную невырожденную матрицу, и в результате получится уравнение, эквивалентное исходному. В случае явной системы уравнений этим произволом можно иногда воспользоваться для того, чтобы представить ее в виде, разрешенном относительно un+1 (напри- (например, при решении простейшей задачи теплопроводиности умно- умножение конечноразностного уравнения на Atf приводит к замене отношения (и**+[ — u^/At разностью и^+{ — "/)• Однако в на- настоящей главе-мы должны избегать этой неопределенности; бу- будем предполагать, что левая часть уравнения D.6) получается непосредственно из выражения du/dt — Ли в результате замены производных разделенными разностями, а других величин — их значениями в узлах, полученными путем интерполяции или экс- экстраполяции. Это означает, что разностный оператор в левой части уравнения D.6) при применении к любой гладкой функ- функции должен давать приближенно тот же самый эффект, что и оператор d/dt — А. Как и прежде, способ измельчения ячеек сетки предполагается заранее фиксированным соотношениями типа D.9J). Определим порядок точности разностной системы как наибольшее действительное число р, для которого \\B{u{t + M)-B0u(t)\\ = O[(M)Q] при Д/->0 D.12) для всех достаточно гладких точных решений дифференциаль- дифференциального уравнения du/dt = Ли. Согласно нашему предположению о разрешимости разностной системы относительно un+1 опе- оператор Bi должен иметь обратный, ЯГ1. Исходя из того что разностная схема получена непосредственно из дифференциаль- 1) В случае р = 1, когда матрица перехода состоит из единственного элемента, G(A/, к) называют также множителем перехода. 2) На практике формулы D.9) утверждают обычно, что &х{ пропорцио- пропорциональны некоторым положительным рациональным степеням Д/. Тогда р легко находится и также является положительным рациональным числом.
§ 4.6. УСТОЙЧИВОСТЬ 77 ного уравнения, нетрудно убедиться, что главный член в разло- разложении fii по возрастающим (возможно, дробным) степеням Д/ пропорционален (ДО. Таким образом, ЦВГ11 = 0 (Д/) (см. §7.4, где более подробно рассматривается общая многослойная разно- разностная схема), и потому соотношение D.12) можно переписать в виде -(B{rl B0u(t)\\=O[(Mf+l] при М->0. D.12а) Сравнивая D.12а) с условием согласованности C.6с) и учи- учитывая, что С = ВГ1В0, мы видим, что условие согласованности и положительность порядка точности разностной системы экви- эквивалентны между собой. Очень часто р является натуральным числом; в этом случае согласованность означает, что разно- разностные уравнения имеют по меньшей мере первый порядок точ- точности. Применяя преобразование Фурье к выражению, стоящему под знаком нормы в D.12а), можно дать двойственное опреде- определение порядка точности, использующее матрицу перехода G. Действительно, из D.4), D.7) и D.8) следует, что WeWW-GW, к)||=О[(Д/)р+1] при Д*->0. D.13) Выражение под знаком нормы в D.12) было названо в пер- первой главе погрешностью аппроксимации. Ее легко можно оце- оценить, представив функцию и(х,/) в виде ряда Тэйлора с оста- остаточным членом. Гладкость функции и, которую мы предполагали выше, фактически определяется числом производных, необходи- необходимых для такого представления. Мы будем предполагать, что ре- решения с нужной нам гладкостью плотны в классе всех точных решений дифференциального уравнения. § 4.6. Устойчивость Мы уже указывали в § 4.5, что уравнение D.10) соответ- соответствует уравнению un+1 = C(A/)un общей теории, изложенной в гл. 3, и что это уравнение, следовательно, определяет некоторый оператор в <В'Ч эквивалентный оператору С (ДО- Этот оператор сводится к умножению вектора vn на матрицу б(Д/, к) (куда к входит только как параметр). Очевидно поэтому, что условие устойчивости касается матриц О(Д*.кГ при и фактически означает, что операторы, отвечающие этим ма- матрицам, равномерно ограничены.
78 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЧМ Если L — оператор в <%\ задаваемый матрицей F(k), т.е. равенством w(k) = F(k)v(k), то || L || = max || F (к) ||, D.14) keif где при заданном к норма матрицы F(k) определяется фор- формулой max|F(k)v| = max^fel. D.15) |v|=l 1у1 Здесь, как и в § 4.2, под длиной |v| р-мерного вектора v под- под[l|2+ +|^р|2]72. Т б l|F(k)|| д, § , д д || рр р разумевается [l^i|2+ ... +|^р|2]72. Таким образом, есть норма матрицы F(k), рассматриваемой как преобразование р-мерного евклидова пространства векторов v, w, ... . Условие устойчивости означает, что для некоторого положи- положительного т матрицы 0<Д/<т, G (Л/, к)п при О < п М < Т D.16) и всех равномерно ограничены. Пусть F — матрица размера рХр й Х\, ...» hp — ее соб- собственные значения; тогда максимум |Яг-| (/=1,...,/?) назы- называется ее спектральным радиусом (или радиусом спектра). Если R— спектральный радиус матрицы F, то, очевидно, \\F\\^-R, по- потому что максимум значений отношения |fv|/|v| не меньше, чем значение, получающееся при замене в этом отношении вектора v собственным вектором матрицы F, соответствующим наиболь- наибольшему по модулю собственному значению. Спектральным радиу- радиусом матрицы Fn является Rn, так как собственными значениями матрицы Fn являются /г-е степени собственных значений матри- матрицы F. Кроме того, и аналогично ||Fn|| < ||F||n. В дальнейшем мы будем обозначать через /?(Д^, к) спек- спектральный радиус матрицы G(A/, к). В общем случае имеем1) R (A/, k)n <|| G (Л/, к)л || < || О (Ы, к) |Г. D.17) 1) Если матрица G(M,к) нормальна, то соотношение D.17) превра- превращается в двойное равенство. Нормальной называется матрица, перестановоч- перестановочная со своей сопряженной (т. е. с эрмитово сопряженной). Для существова- существования у матрицы полной -системы ортогональных собственных векторов необ- необходимо и достаточно, чтобы она была нормальна. Нормальная матрица мо- может быть записана в виде Л + iB, где А и В — перестановочные эрмитовы матрицы. Матрица перехода G(A/,k) весьма часто не является нормальной
§ 4.7. УСЛОВИЕ ФОН НЕЙМАНА 79 § 4.7. Условие фон Неймана Необходимым условием устойчивости является существова- существование такой постоянной Сь что R(At9 k)n<d при и всех Не уменьшая общности, мы можем считать, что С\ ^ 1. Следо- Следовательно, R(At, k)<Cl/rt, 0<n<-^-, и в частности Для At из интервала 0 < At < т величина Cf'/г ограничена линейным выражением вида 1 + C2At (верхней линией на Рис. 4.1. Граница для части экс- экспоненциальной кривой. О т рис. 4.1). Вспоминая определение спектрального радиуса, полу- получаем условие при /= 1, 2, ..., р и всех кЕ^, D.18) где Ль ta, •••, ^р СУТЬ собственные значения матрицы перехода G(At9 k). Условие D.18) а является необходимым условием устойчивости фон Неймана. В простейшей задаче теплопроводности (гл. 1) мы применяли условие устойчивости в виде 1*,|<1. D.19) Но в некоторых задачах бывает так, что компоненты точного решения с ростом времени возрастают экспоненциально, а усло- условие D.19) но допускает такого роста (и фактически совсем не может быть удовлетворено без нарушения согласованности).
gO ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I В таких случаях нужно использовать условие D.18), которое является более общим, чем D.19), и допускает экспоненциаль- экспоненциальный рост компонент решения. В качестве примера рассмотрим модифицированную задачу теплопроводности ^L = a^!L+bu, cr>0, Ь>0, получающуюся из простейшей добавлением источников тепла. Для явной разностной схемы множитель перехода имеет вид G (A*, k) = 1 - 4g^-sin2-^ + b At, и ясно, что условие Неймана D.18) выполняется, если = const < 1/2, как было установлено для немодифицированного уравнения. Следует заметить, что множители перехода (собственные чис- числа матрицы G) можно получить, если подставить uoexp(/k-x) и Auoexp(tk-x) вместо un и un+1 непосредственно в разностные уравнения D.6); это даст р линейных уравнений относительно р компонент вектора и0 и К определяется условием равенства нулю определителя из коэффициентов этой системы. Такой подход мо- может оказаться полезным для неявных разностных схем. § 4.8. Одно простое достаточное условие В § 4.6 было отмечено, что для нормальной матрицы спек- спектральный радиус равен ее норме. Следовательно, если матрица G(A/, k) нормальна, то условие фон Неймана является не только необходимым, но и достаточным условием устойчивости. Это имеет место, в частности, в случае р = 1, потому что все матрицы первого порядка перестановочны. Мы приходим таким образом к выводу: для двухслойных разностных уравнений с одной зависимой переменной условие фон Неймана является не только необходимым, но и достаточным условием устойчивости. Это зерно и для двухслойных разностных уравнений в задаче теплопроводности с произвольным числом независимых пере- переменных. В качестве дальнейшего примера упомянем разностные урав- уравнения для одномерных звуковых волн, рассматриваемые в гл. 10.
§ 4.9. ТЕОРЕМА КРАЙСА О МАТРИЦАХ 81 Волновое уравнение имеет второй порядок по времени, так что /7 = 2. Для простейшего явного разностного уравнения матрица перехода равна G = L j ^а2 > D.20) где а = BсД//Дл;) sin (&Дл72); легко видеть, что G не является нормальной матрицей, потому что G*G — GG* Ф 0. Для простей- простейшего неявного уравнения матрица перехода равна 1 1 1 4 + { ia + | а2 а2 а2 1 + 1 1 + ia j 1 4 Т а2 а2 а2 и, очевидно, унитарна, а значит нормальна. Поэтому условие фон Неймана достаточно для устойчивости такого неявного уравнения. Несколько более общее достаточное условие можно получить из правого неравенства D.17). А именно если для некоторого М и некоторого т > 0 || G(Af, k)||<l+MA* при 0<Дг<т, то разностные уравнения устойчивы, так как в этом случае II G |Г < ехр (МТ) при 0 < п М < Т. Во многих практических задачах ни одно из этих условий не выполняется. Поэтому необходимо иметь более совершенные критерии устойчивости. § 4.9. Теорема Крайса о матрицах Прежде чем отыскивать дальнейшие условия, достаточные при определенных обстоятельствах для устойчивости, полезно сейчас изложить теорию устойчивых семейств матриц. Это по- позволит нам получить некоторые необходимые и достаточные кри- критерии устойчивости, которые хотя и являются весьма громоздки- громоздкими, но зато дают возможность без труда найти ряд достаточных условий. Кроме того, позже нам потребуется новое определение устойчивости, а именно такое: разностная система устойчива, если существует некоторая норма || ||н, эквивалентная данной и такая,что Ч1^[1 +
82 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I Один из результатов этого параграфа состоит в том, что для рассматриваемых задач с постоянными коэффициентами это но- новое определение эквивалентно принятому ранее. Прежде всего удобно избавиться от ограничения на я, фигу- фигурирующего в D.16). Назовем семейство ST матриц А размера РУ\Р устойчивым, если справедливо следующее утверждение: (А) Существует такая постоянная С, что для любой матрицы А^Ф и любого натурального числа v IUV||<C. D.21) Ясно, что если степени матрицы G из D.16) равномерно ограни- ограничены числом /С, то семейство матриц {e~aA'G(A/, k)}, где а = = Г-1 In /С, устойчиво в смысле данного определения. Действи- Действительно, любое натуральное число v можно представить в виде1) где так что || (е-° *<G)V || < || (е-° **Q)mt f \\ (*-<* "G)n \\ < К. Обратно, если для некоторой постоянной а семейство матриц {e~aAtG(Att k)} удовлетворяет условию D.21), то при О-^СпМ^СТ ||Gi<C??ar = const. Следовательно, такое употребление термина «устойчиво» согла- согласуется с уже изложенным. Далее, для справедливости утвер- утверждения (А) необходимо, чтобы все собственные значения и* ма- матрицы А лежали внутри или на границе единичного круга. Это значит, что собственные значения Xi матрицы G должны при не- некоторой постоянной а удовлетворять неравенству I Л* I <*"*'. что эквивалентно условию фон Неймана D.18). Следующая теорема Крайса [1962] дает три важных критерия устойчивости семейства матриц. Устойчивость семейства SF матриц А эквивалентна каждому из следующих утверждений: (R) Существует такая постоянная CRi что для любой матри- матрицы А ^&~ и любого комплексного числа z с \z\> \ существует резольвента (А — г/)-1 1^ D.22) ') Очевидно, без ограничения общности можно считать, что Т есть целое кратное ДЛ
§ 4.9. ТЕОРЕМА КРАЙСЛ О МАТРИЦАХ 83 (S) Существуют такие постоянные Cs и С в и для каждой матрицы А^&~ такая невырожденная матрица 5, что \\S\\, \\S-{\\ < Cs и матрица В = SAS~l есть верхняя треугольная ма- матрица, внедиагональные элементы которой удовлетворяют не- неравенству -|х,|, 1-|к,|}, D.23) где >а — диагональные элементы матрицы В, т. е. собственные значения как для В, так и для А (заметим, что отсюда следуету что | та | ^ 1): К\ В[2 В[3 ... В{р U К2 &23 • • • &2р О О к, ... В,о _О О' О кр (Н) Существует такая постоянная Сн > О и для каждой ма- матрицы Ле^" такая положительно определенная эрмитова ма- матрица Я, что1) Сн{1^Н^Сн1, D.24) Л*#Л<Я. D.25) Все известные для матриц общего вида достаточные усло- условия устойчивости, формулируемые в виде некоторых ограниче- ограничений на матричные элементы, основаны на приведении этих ма- матриц к треугольному виду. При этом собственные значения пред- представляются как диагональные элементы, и условие фон Неймана для них дополняется некоторыми неравенствами относительно внедиагональных элементов. Утверждение (S) служит примером условия такого типа; другие примеры появятся ниже. Наше первое утверждение устанавливает верхнюю допусти- допустимую границу роста нормы резольвенты (А—г/)-1 при |г|-М; поэтому это условие называется резольвентным. Оно оказывает- оказывается чрезвычайно полезным в теоретических исследованиях и, в частности, будет для нас основным при доказательстве утвер- утверждения (S). Наконец, условие (Н) обеспечивает существование новой нормы || ||н: в пространстве 38' преобразований Фурье положим ]) Говоря о двух матрицах Л и Я, что Л и*Аи ^и*Ни для любого вектора и. ; Н, мы имеем в виду, что
84 ГЛ 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I так что если G = еаЛ'Л, то в силу D.25) || у«+» \fH = е2* д< (v*)* A*HAvn < [ 1 + О {М)] || v* fH. Теперь нетрудно доказать справедливость аналогичного неравен- неравенства в исходном пространстве <%. Другая формулировка этого утверждения состоит в том, что векторное пространство, в котором действует оператор Л, можно преобразовать таким образом, что норма преобразованного опе- оператора А будет ограничена единицей. Действительно, для ка- каждой матрицы Н можно найти такую матрицу Г, что Т*Т = Н и || Г ||, (Г Ц^Ся2. Тогда в пространстве векторов w = 7V матрица А заменится на ГЛГ, и || тАТ~[ ||2 = max uT М*ГTAT~lu < Iu|=l <max иГТ-{тГТТ-1и = 1. |u|=l Для доказательства теоремы Крайса мы покажем, что из условия (А) вытекает условие (R), из условия (R)—усло- (R)—условие (S), из условия (S) — условие (Н) и, наконец, что из усло- условия (Н) вытекает условие (А). Наиболее трудным является вто- второй шаг, поэтому мы оставим его на самый конец. Как мы уже отмечали, если выполнено (А), то собственные значения щ матрицы А по модулю не превосходят единицы, по- поэтому (А — z/) существует для |z|> 1. Кроме того, так что выполняется (R), причем Cr ^ С. Чтобы вывести (Н) из (S), введем вспомогательную диаго- диагональную матрицу ~А О А2 _0 А" _ где А > 1. Покажем, что при достаточно больших значениях Д D-B*Z)fi>0, D.26) т. е. М = / - (D-l/*B*Dl/2) (Dl/2BD'if2) > 0. Для доказательства воспользуемся теоремой Гершгорина, кото- которая утверждает, что если вокруг каждой точки Мц (/=1,2, ...
§ 4.9. ТЕОРЕМА КРАЙСА О МАТРИЦАХ 85 ..., р) в комплексной плоскости описан круг радиуса 2 1^*Л> то все собственные значения М лежат в объединении этих кру- кругов1). Так как */-й элемент матрицы D'^fiZ)-1^ равен Д(г'-^2В,-;, то i-й диагональный элемент матрицы М равен где |е*|<СвA — |иНJ/(Л— 1) в силу неравенства D.23); сумма же внедиагональных элементов равна Поскольку матрица В треугольна, во внутренней сумме могут быть отличными от нуля только те слагаемые, для которых ?<*' и 6</. Так как гф], то 2k — i — /<— 1, и после не- несложных преобразований получаем 6f<C|(l—|хНJ(р— 1)/(А1/2— 1). Выберем теперь А так, чтобы б,-+ |е,| ^ 1 — Wi\2 для всех I. Это можно сделать, поскольку и коэффициент при 1 —\щ\2 не превосходит единицы для доста- достаточно больших Д. Так как матрица М эрмитова, то при указан- указанном выборе Д в силу теоремы Гершгорина все ее собственные значения неотрицательны, т. е. М ^ 0. Отсюда следует, что для таких Д выполняется неравенство D.26), что мы и хотели дока- доказать. Таким образом, ') Пусть А, — собственное значение, a v= (vly ..., vp) —соответствую- —соответствующий собственный вектор матрицы Л1, и пусть наибольшей по модулю компо- компонентой v будет Vi. Тогда поэтому это собственное значение к лежит в i-м круге, что и требовалось доказать. Ср. Гершгорин [1931].
86 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I т. е Л7/Л-#<0, где матрица Н = S*DSt очевидно, удовлетворяет всем требова- требованиям утверждения (Н). В частности, Ся^ДрС$. Предположим теперь, что выполнено (Н), и рассмотрим век- векторы wv = Awv-i = Avwq. Имеем так что в силу D.24) | wv |2 < Сн\ wo |2, т. е. \\А»\\ < Сн. Нам осталось вывести (S) из (R). Доказательство будет основано на приводимой ниже лемме. Отметим прежде всего, что любую матрицу А можно привести к верхней треугольной фор- форме О*A U с помощью унитарного преобразования f/1). Так как резольвентное условие при этом не нарушается, можно считать, что каждая матрица А задана именно в такой форме. Теперь займемся построением преобразования подобия 5, ко- которое позволит нам получить требуемый результат последова- последовательно для каждой из верхних диагоналей матрицы Л, т. е. установить неравенство D.23) поочередно для значений / — i = = 1,2, ...-, р-1. В качестве первого шага заметим, что каждый угловой глав- главный минор (левый верхний или правый нижний) матрицы А удовлетворяет условию (R) с той же константой CR2). Далее, каждый элемент первой верхней диагонали матрицы А принад- принадлежит некоторому минору второго порядка, входящему в один из таких миноров, так что мы можем применить к этому минору второго порядка неравенство D.22). Но внедиагональный эле- 1) Это теорема Шура (см. Беллман [1969], стр. 231). В дальнейшем нам потребуется более сильное утверждение, а именно что приведение к треуголь- треугольному виду можно всегда осуществить таким образом, чтобы собственные зна- значения при этом расположились на диагонали в любом наперед заданном порядке. В самом деле, если / = S~lAS — жорданова каноническая форма матрицы Л, то для нее желаемое расположение собственных значений на диагонали можно получить с помощью преобразования Р перенумерации осей, приводящего к матрице Р~ЧР в (SP)~lASP. Применяя теперь процесс ортогонализации Грама — Шмидта к столбцам матрицы SP, получаем уни- унитарную матрицу U = SPT, где Г —верхняя треугольная матрица. Поэтому матрица U*AU = Т-1Р~ЧРТ имеет требуемый вид. 2) Это следует из треугольности матрицы А: если для всех vr v2, то при v2 = 0 получаем | A~lvx \ <а| v{ |.
§ 4.9. ТЕОРЕМА КРАЙСА О МАТРИЦАХ 87 мент матрицы "и* —г Ai9t+i О равен — Л/>|+1/[(х, —г)(хж —г)], поэтому \л \<С I яи t+\ I ^^я |г I — l Чтобы установить более полезную оценку I Лм+i К 16СР max {ylt ж, | и, - кж1}, D.28) где покажем сначала, что |Л,>ж|<16СЛтах{1-|хж|, |х*-иж|}, D.28а) воспользовавшись для этого свободой в выборе 2. Полагая 2 = 3, получаем |Лг-, f+i|^ 8Сд, так что неравенство D.28а) вы- выполняется при |^i+i|^ V2. Далее, если |xi+i|> V2, то положим 2 = //й1+1, где <>1. Подставляя это значение z в D.27), на- находим При /->1 получаем отсюда, что | Л;> ;+1 |^ЗСд| 1 — х/й/+11- Но I2 + й,+1 (xi+I — Hi) К max {I — I кж Их, — так что неравенство D.28а) справедливо также и в этом случае. Неравенство D.28) следует из D.28а) в силу симметрии послед- последнего относительно щ и m+i. Мы можем теперь доказать справедливость оценки D.23) для каждого элемента В<, *+i первой верхней диагонали при Св<: 16Сд. Если vu+i^1 [и* —Ki+i|i то оценка D.23) верна уже для Aiti+\ и никакого дополнительного преобразования не тре- требуется; в противном случае элемент Aiti+i можно обратить в нуль с помощью ограниченного преобразования подобия. Дей- Действительно, в общем случае элемент Ац при / > i аннулируется преобразованием Sij (т. е. [SijASTj )*/ = 0)> где S^ = /+rt-j, a Tij—матрица, у которой i,j-u элемент равен Ац/(уц — щ)у а все остальные элементы равны нулю. Если есть надобность в пре- преобразовании Si, 1+ь то в силу D.28) оно и обратное к нему 5^+1=/— Ti,i+\ будут ограничены по норме одной и той же для рсех 4G?" константой. Применяя не более чем р—I таких
88 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I преобразований, мы обеспечим выполнение условия (S) для эле- элементов первой верхней диагонали при Cs-^l + 16СН. Для продолжения этого процесса нам и нужна следующая ключевая лемма: Если семейство матриц А размера my^m, имеющих верх- верхнюю треугольную форму, удовлетворяет резольвентному усло- условию с константой С\ и если все их внедиагональные элементы, кроме Airny удовлетворяют неравенству \Ац\ ^С2уц, to flm, |x,-xm|}. D.29) Для случая т = 2, когда единственным внедиагональным эле- элементом является Л12, доказательство уже имеется. Для общего случая оно получается сведением его к случаю т = 2. Для этого переставим в матрице А—zl столбцы и строки с номерами 2 и т и запишем результат Е в следующем виде: ^13 • • • Аит-\ А\2 о с, о Е = m О А О Ат.и, ОД **2т здесь & = Hi — г; выписывать Еь в явном виде нет необходи- необходимости. Такая перестановка не нарушает условия резольвент- ности. Очевидно, что Е$Е2 = 0 и потому ЕзЕГ]Е2 = 0. Следова- Следовательно, если представить Е в виде произведения двух треу- треугольных матриц, Е = LU, то 0 0 ~lE3Erl /Г 0 Поэтому из резольвентного условия следует, что для любого вектора и | ?"'и |2 = и (L-1)* (?/-)' и-11Гхи < (С,/?J1 и |2, где ? = \z\— 1. Полагая и = Lv, где все компоненты вектора v, кроме первых двух, равны нулю (обозначим вектор, соответ- соответствующий этим двум компонентам, через vt), получаем ?rVi|2<(C,/?J|Lv|2. Но т-\ S
§ 4.10. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ БАЧЕНАНА 89 так что Е{ удовлетворяет неравенству D.22), в котором CR за- заменено на Сх[\ + (т — 2)CiJ1/a; тем самым общий случай све- сведен к случаю т = 2. Теперь для проверки выполнения условия (S) осталось сде- сделать совсем немногое. Если оценка D.23) уже установлена для k-й верхней диагонали, то каждый элемент (k + 1)-й диагонали является верхним правым элементом одной из матриц, к кото- которым может быть применена лемма. Далее, используя преобразо- преобразования подобия Sii+h+i аналогично тому, как это делалось выше, распространим оценку D.23) на эту верхнюю диагональ. То, что такой процесс приводит к нужному результату, связано, конеч- конечно, с тем обстоятельством, что эти преобразования помимо обра- обращения в нуль наперед заданного элемента изменяют только те элементы, которые лежат на более высоких диагоналях. Отметим также, что в случае каждого применения такого преобразования константа в резольвентном условии умножается на квадрат его нормы. Этим завершается доказательство теоремы Крайса о матри- матрицах. Ключевая часть доказательства, а именно то, что из (R) следует (S), основана на результатах Мортона и Шехтера [1965]. Дальнейшее обсуждение теоремы и в частности резоль- резольвентного условия (R) можно найти у Мортона [1964] и у Мил- Миллера и Стрэнга [1965]. § 4.10. Критерий устойчивости Баченана Теорема предыдущего параграфа еще не дает непосредствен- непосредственно пригодных для практики критериев устойчивости. Условие (S) обеспечивает лишь существование преобразования подобия, при- приводящего А к такой форме, которая позволяет судить об устой- устойчивости, и хотя при доказательстве это преобразование опреде- определялось конструктивным образом, такой процесс в общем случае невозможно осуществить на практике ввиду его сложности. Сле- Следующий наш шаг состоит в том, чтобы научиться решать вопрос об устойчивости семейства матриц, используя только унитарные преобразования, приводящие к треугольной форме. Наилучший результат в этом направлении принадлежит Баченану [19636], который показал, что если подходящим образом расположить собственные значения на диагонали матрицы, приведенной к треугольной форме, то неравенства типа D.28) или D.29) бу- будут как необходимыми, так и достаточными условиями устой- устойчивости. Назовем последовательность комплексных чисел ки иг, ... ..., иР кучной с константой кучности К, если / —*ml Для /<r<s<m.
90 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ t^I Нетрудно показать, что любое множество из р чисел можно упо- упорядочить таким образом, что оно станет кучным с константой К ^ 2р. Действительно, выберем первое число произвольно, вто- вторым назовем ближайшее к первому, третьим — ближайшее из оставшихся чисел к первым двум и т. д. Тогда ^ f-i — K/l при />/. Так как I *г — И* KI Иг — * ТО ПрИ /<Г<5</П Аналогично \щ — хт|<2н|х/ — ит|, и потому Теперь покажем, что справедлива следующая теорема. Яг/сгь #"— семейство матриц А, имеющих верхнюю треуголь- треугольную форму, причем собственные значения каждой из них распо- расположены кучно с константой К\. Это семейство устойчиво тогда и только тогда, когда для собственных значений уц выполняется условие фон Неймана |и* |-^ 1, а для недиагональных элементов справедлива оценка |к,-х/|} D.30) с некоторой константой /Сг, не зависящей от А. Эта теорема почти сразу следует из теоремы Крайса. Нам нужно лишь показать, что при условии кучности внедиагональ- ные элементы матриц StjASTi1 и STilASij (j>i) удовлетворяют неравенствам D.30), быть может с другой константой. Действи- Действительно, если семейство устойчиво, то в результате применения преобразования Бц получим для преобразованного семейства матриц оценку D.23) и, следовательно, D.30), так что условия теоремы необходимы для устойчивости. С другой стороны, мы имеем неравенство 1 — I и/ К 1 — | X/1 +1 щ — х/1, которое симметрично относительно i и /, так что если обозна- обозначить через I\-j максимум в правой части неравенства D.30), то Следовательно, если выполняется D.30), то |Л0| ^ 2/С2тах |иг — Xj|}, и последовательное применение преобразований
§ 4.10. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ БАЧЕНАНА 91 изменяющих верхние диагонали матрицы Л, позволит получить D.23) и тем самым доказать устойчивость. Поэтому условия теоремы достаточны для устойчивости. Итак, предположим, что для элементов матрицы А справед- справедлива оценка D.30). Тогда элементы матрицы SijASy отличаются от элементов матрицы А только в i-й строке правее //-го эле- элемента, где они равны Aiv = Aiv + tijAjVi и в /-м столбце выше этого элемента, где они равны Allj = Allj — UjA^u a \Uj\ огра- ограничены постоянной, не зависящей от А. Поскольку (х ^ / ^ / ^ ^ v, то I Ah |<#2r/v<2/C2max{Y/v| иу - xv I) < <2/C2max{l-|*vl, Kx |к, -*V|}<2/C2A +Kx)Tiv9 так что Аналогично оцениваются ЛД1- и Лц;-. Следовательно, для элемен- элементов матрицы SijASTj1 оценка D.30) снова выполянется, если заменить /С2 коэффициентом при I\v из последнего неравенства. Для матриц S7ilASn изменится только знак у % Теорема доказана. Как уже отмечалось выше, любое множество из р чисел мо- может быть сделано кучным и любая матрица может быть приве- приведена к верхней треугольной форме с заданным расположением собственных значений при помощи некоторого унитарного пре- преобразования, так что в принципе можно считать, что любое се- семейство матриц задано в требуемом в теореме виде, и иссле- исследовать его на устойчивость, проверяя, выполнены ли условие фон Неймана и оценка D.30). В конце следующего параграфа мы проиллюстрируем этот подход на примере разностной схемы для волнового уравнения. Может возникнуть сомнение, не являются ли неравенства D.30) необходимыми или достаточными для устойчивости без каких-либо дополнительных условий. Следующие два контр- контрпримера показывают, что это не так. Рассмотрим сначала матрицу- 1 1 0 0 0 1 L0 0 1 J которая удовлетворяет условию D.30); п-я степень этой матри- матрицы совпадает с ней в каждом элементе, за исключением верх- верхнего правого, который равен п—1, поэтому степени этой ма- матрицы неограничецы,
"а 0 .0 1 — а 0 -Bа) 1 а 92 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ . Ч. I В качестве второго примера рассмотрим однопараметриче- ское семейство матриц , 1/2<а<1. Верхний правый элемент не удовлетворяет условию D.30) при а->1, однако, как нетрудно проверить, резольвентное условие в данном случае выполняется, так что это семейство устойчиво. § 4.11. Дальнейшие примеры достаточных условий Применение критерия Баченана требует предварительно весь- весьма сложного в общем случае приведения матриц к треугольной форме специального вида, и поэтому мы рассмотрим в этом параграфе ряд более слабых достаточных условий, которые проще применять на практике. Для этой цели мы снова обра- обратимся к матрицам перехода G, не забывая однако о связи ме- между устойчивостью матриц G и устойчивостью семейства матриц {e~aA/G}, установленной в начале § 4.9. Сначала сделаем одно замечание общего характера. Пред- Предположим, что функция G(A/, k) равномерно по к удовлетворяет условию Липшица при А/= 0 в том смысле, что G(Atf, k) = = G@, к) + О(Д/) при Д/->0, где О(Д/) не зависит от к. Тогда устойчивость разностной схемы можно определить, рассматривая только G@, к). Это следует из теоремы о малых возмущениях, изложенной в § 3.9. Заметим однако, что это не следует лишь из сравнения G@, k) и e~aA/G (Д/, к), аналогичного тому, которое проводилось выше для G(A/, к), так как G(A/, к) в общем слу- случае не ограничено величиной eaA/G@, к) ни при каком вы- выборе а. Если в дополнение к условию Липшица удается еще показать, что ||G@, k) || ^ 1, то отсюда сразу следует устойчивость. В этой связи полезно отметить, что норма произвольной матрицы G равняется корню квадратному из спектрального радиуса ма- матрицы G*G. Действительно, так как || О |р = max | Gv |2 = max v*G*Gv |v| = i |v| = l и матрица G^G нормальна, то, разлагая v по системе ее соб- собственных векторов, получаем, что указанный максимум дости- достигается тогда, когда v является нормированным собственным век- вектором G*G9 отвечающим ее наибольшему собственному значению. В гл. 9 даны приложения этих результатов к уравнению пере- переноса и, в частности, к его аппроксимации, получаемой так назы-
§ 4.11. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 93 ваемым методом сферических гармоник. Например, для одного разностного уравнения, предложенного Фридрихсом, матрица перехода имеет вид G (A/, k) = (/ + А М) cos k^2 + iB sin k Az, где А и В— фиксированные эрмитовы матрицы, порядок кото- которых равен порядку сферических гармоник, используемых в дан- данном приближении. Из этого примера видно, между прочим, что иногда может оказаться полезной замена переменной к на новую переменную g = (^i Ал:ь k2kx2, ..., kdkXd). В самом деле, если Az = cA/, то функция G(A/, k) в этом примере не удовлетворяет условию Липшица при А/ = О равномерно по к, но если рассма- рассматривать ее как функцию G(Д/, §) от А/ и §, то она будет обла- обладать этим свойством. Более того, матрица ?(Д/, §) не является нормальной при А/ Ф О, поскольку А и В не перестановочны ме- между собой, но матрица #@, §) нормальна, так что условие фон Неймана в этом случае не только необходимо, но и достаточно для устойчивости. Может случиться, что G (А/, к) вообще не удо- удовлетворяет условию Липшица при А/ = 0, в то время как G*(A/, k)G(A/, k) удовлетворяет ему. В гл. 9 имеется пример, где G(Af, к)— полином от |/Д/ и тем не менее вопрос об устой- устойчивости G(A/, к) удается свести к исследованию на устойчивость только матриц G@, k). Рассмотрим ряд достаточных условий устойчивости. Первое достаточное условие. После нормальных матриц G наиболее простыми являются так называемые равномерно диа- гонализуемые матрицы G; это означает, что для матрицы G су- существует такая матрица Г, что матрица Л = T-^GT диагональна, а матрицы Т и Т~] ограничены по норме постоянной, не завися- зависящей от к и от достаточно малых А/; таким образом, = T о о = ТА. Ясно, что условие фон Неймана в этом случае достаточно для устойчивости, так как Gn = ТАпТ~{. Чтобы проверить, обладает ли G указанным свойством, мы должны найти все ее собствен- собственные векторы; последние образуют столбцы матрицы Г, как это видно из равенства GT = ТА. Предположим, что они нормиро- нормированы, так что ||ГЦ ^ р> поскольку норма любой рХр-матрицы не превосходит р раз взятого наибольшего абсолютного
94 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I значения ее элементов1). Далее, если Д2 — определитель мат- матрицы Г*Г, т. е. определитель Грама для системы нормированных собственных векторов, то В самом деле, по правилу Крамера (Т~{)^ равняется отношению алгебраического дополнени элемента Тн к определителю ма- матрицы Г, а абсолютное значение любого определителя не пре- превосходит произведения длин векторов, образующих его столбцы (или строки). Из последнего неравенства следует, что ||У—*|| ^ ^ р/А, и мы приходим к следующему выводу. Если матрица G имеет полную систему собственных векторов и существует такая постоянная б, что А > б > 0, где А2 — опре- определитель Грама для системы нормированных собственных век- векторов, то условие фон Неймана не только необходимо, но и до- статочно для устойчивости. Для сравнения с критерием Баченана заметим, что если се- семейство матриц А имеет верхнюю треугольную форму с кучно расположенными собственными значениями, то для их равно- равномерной диагнолизуемости необходимо и достаточно, чтобы \Аи\<,С\Аи-А„\, где С не зависит от А. Достаточность этого условия следует из приведенного при доказательстве теоремы Крайса построения преобразования подобия 5 с помощью операторов Sih аннули- аннулирующих элементы Л1;-, а также из того факта, что это условие инвариантно относительно преобразований Sij> если собствен- собственные значения расположены кучно. Необходимость доказать не- несколько сложнее, и мы не будем здесь на этом останавливаться. Эта теорема может быть применена к явному разностному уравнению для задачи о звуковых волнах. Как мы упоминали в § 4.8, матрица перехода G, имеющая вид D.20), для этой за- задачи не является нормальной; но если vW и v<2>— нормирован- 1) Если М — наибольший по модулю элемент р X /^-матрицы А и v — про- произвольный вектор, то в силу неравенства Шварца Поэтому Мы могли бы, конечно, использовать здесь более точный результат, что норма п X /^-матрицы ограничена произведением рЧ2 на максимум норм ее столбцов (или строк); доказательство аналогично.
§ 4.11. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 95 ные собственные векторы матрицы G (которые легко вычис- вычисляются), то ,det(va. (при условии что выполнено условие фон Неймана сД//Дл; ^ 1). Модуль этого определителя ограничен снизу положительной константой, если ~ = const <1 D.31) при Д/ —>0 и Дх->0. Таким образом, мы приходим к хорошо известному выводу о том, что если выполнено неравенство D.31), то рассматриваемые разностные уравнения устойчивы. Второе достаточное условие. Часто найти собственные век- векторы матрицы G, что требуется в предыдущем условии, — дело весьма затруднительное. На практике проще всего применять такие условия, которые требуют лишь знания собственных зна- значений. Простейшим из них является следующее: Если элементы матриц G(kt,k) равномерно ограничены при всех 0 < Д/ < т и всех ia^SS и все их собственные значения %it за исключением быть может одного, принадлежат некото- некоторому кругу, лежащему внутри единичного круга, т. е. IК I < Y < 1 при то условие фон Неймана не только необходимо, но и достаточ- достаточно для устойчивости. Это немедленно следует из критерия Баченана. В самом деле, если матрица G приведена к верхней треугольной форме с кучным расположением собственных значений, то все ее вне- диагональные элементы не превосходят по модулю некоторого М. Далее, не нарушая общности, можно считать исключитель- исключительное собственное значение .первым. Поэтому неравенства D.30) удовлетворяются с /С2^М/A—y)> и условие фон Неймана, сво- сводящееся к условию \%\\ ^ 1 + О(Д?) на это собственное зна- значение, оказывается достаточным для устойчивости. Применим для примера эту теорему к пятиточечному раз- разностному уравнению 3 ц* 1 и _ 2 2 At 2 Д/ (Д*J (схема 9 из таблицы гл. 8), которое применяется для решения одномерного уравнения теплопроводности. Это трехслойная
96 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I формула, но ее можно свести к двухслойной системе1) при помощи подстановки «у"! = иу. Эта система имеет вид 3 иу+'-ц? 1 и?-iff _ u'}+l-2u'}+l+uf±[l А* дГ (SI? vi ~ur Ее матрица перехода равна la sin2 P 3 + 8a sin 1 0 ,„.,]_ D.33) D.34) где для краткости положено a A/ Собственные значения этой матрицы суть « у _ 2 ± У\ ~- 8а sin2 p и легко видеть, что условие фон Неймана выполняется для про- произвольных значений а. На рис. 4.2 помещены графики, показы- Уг a sin2/ Рис. 4.2. Собственные значения матрицы перехода системы разност- разностных уравнений D.33). вающие зависимость \%\\ и JA2I от a sin2 р. Собственные век- векторы матрицы G равны фA), фB) = 4 1) Мы еще вернемся к этому примеру в начале гл. 7, где исследуются многослойные формулы общего вида. Как мы увидим если уравнения сво- сводятся к эквивалентной двухслойной системе, то исследование устойчивости проводится точно так же, как в настоящей главе.
§ 4.11. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 07 где А — нормирующий множитель. Определитель матрицы нор- нормированных собственных векторов равен Если а > 1/8, то Д может обращаться в нуль при некоторых значениях Р; следовательно, мы не можем воспользоваться пер- первым достаточным условием устойчивости. Однако второе усло- условие применимо, так как \%2\ ^ 7г для всех положительных а и всех р (это видно из рис. 4.2). Таким образом, система D.33) всегда устойчива. Достаточное условие Като. Оба предыдущих условия явля- являются частными случаями следующего условия, принадлежащего Като [1960]. Предположим, что нормы матриц G(At,k) равномерно огра- ограничены и выполнено условие фон Неймана. Предположим так- также, что для каждой матрицы G можно построить внутри круга \k\^R, где R — спектральный радиус G, такую замкнутую спрямляемую крувую Г, что ее длина равномерно ограничена, а ее расстояние до спектра G не меньше некоторой положитель- положительной константы, одной и той же для всех G. Тогда разностная схема будет устойчивой, если существует такая не зависящая от tit и к постоянная б > 0, что каждое из различных собствен- собственных значений Хи i = 1, 2, ..., q, лежащих вне Г, имеет индекс1) 1 и либо (\)г расстояние от fa до всех других собственных зна- значений больше б, B) либо для множества собственных значений fa, не удовлетворяющих условию A), полная система соответ- соответствующих нормированных собственных векторов имеет опреде- определитель Грама Д2, для которого Д > б. В большинстве практически важных случаев Г будет просто окружностью. Этого всегда достаточно, если рассматривается отдельная матрица; в то же время при исследовании семейства матриц можно получить более тонкие результаты, используя кривые более общего вида. Основные моменты доказательства ясны. Приводим каждую матрицу G к верхней треугольной форме с кучным расположе- расположением собственных значений, причем по предположению можно расположить сначала те fa, которые удовлетворяют условию B). ]) Если h — собственное число матрицы А, то множество векторов v, для которых (Л — X) пу = 0 при некотором натуральном п, образует так назы- называемое инвариантное подпространство, соответствующее собственному значе- значению К. Наименьшее значение п, при котором это уравнение удовлетворяется для всех векторов инвариантного подпространства, называется индексом соб- собственного значения X. Если индекс равен единице, то в инвариантном подпро* странстве можно выбрать базис из собственных векторов. 4 Зак. 1300
98 гл. 4. задачи с постоянными коэффициентами ч. i Тогда, как нетрудно видеть, все элементы, находящиеся выше прочих собственных значений, удовлетворяют неравен- неравенству D.30). Оставшийся квадратный минор можно диагонали- зовать с помощью равномерно ограниченных преобразований подобия аналогично тому, как это делалось гГри выводе первого достаточного условия. Часто оказывается полезным следующее достаточное усло- условие, предложенное Лаксом и Вендроффом [1964]. Если матрицы G(kt,k) таковы, что для любого вектора v то соответствующая разностная схема устойчива. Доказательство состоит просто в применении теоремы Край- са в форме резольвентного условия D.22). Выбирая а так, что- чтобы для Л = ехр(—aA/)G выполнялось условие |v*Av|-<|v|2, мы видим, что все собственные значения А лежат в замкнутом единичном круге. Следовательно, (A — zl)~x существует при |z|> 1, и если w — произвольный вектор и v = (А — zl)-{w, то т. е. Поэтому семейство матриц А удовлетворяет резольвентному условию и устойчивость следует из теоремы Крайса о матрицах. Положим р(А) = max{|v*Av\ |v|=l}. Ясно, что р(Л)< ^ ||Л||. Равенство здесь имеет место для нормальных матриц Л. Поэтому, разлагая в общем случае матрицу А на эрмитову и косоэрмитову, мы видим, что ||Л||^2р(Л). Далее, можно по- показать (см. Пирси [1966]), что если р(Л)< 1, то р(Лп)< 1 для любого натурального п. Таким образом, если удовлетворяется условие Лакса — Вендроффа, то соответствующее семейство матриц А не просто ограничено, а ограничено числом 2. Если ни одно из достаточных условий типа приведенных выше не работает, то можно попытаться использовать критерий Баченана. Рассмотрим в качестве примера предельный случаи сД/ = Ад: для явной разностной схемы, аппроксимирующей вол- волновое уравнение. Поскольку матрица G в этом случае дается формулой D.20), то ее собственные значения равны К ^2=1-|а2±|ш/4-а2,
§ 4.11. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 99 где а = Bckt/Ax)sin(k&x/2)\ им срответствуют нормированные собственные векторы 1 Г 1 1 „ 1 Г-У2(/4^^+шI TL(/J I J' Матрица G приводится к верхней треугольной форме U*GU с помощью унитарного преобразования откуда 0 1 Абсолютная величина собственных значений равна 1, а расстоя- расстояние между ними а |/4— а2 стремится к нулю, когда а2-»4. Но абсолютное значение недиагонального элемента при этом равно 4, так что система в этом случае оказывается неустой- неустойчивой. Стоит отметить, что Курант, Фридрихе и Леви [1928] дока- доказали, что в этом случае имеет место устойчивость, однако при этом они допускали только гладкие" начальные данные. В гл. 10 приводится пример неограниченного решения разностных урав- уравнений (для доказательства неустойчивости обычно бывает про- проще построить такой пример, чем применять критерий Бачена- на); начальные значения в этом примере сильно осциллируют при Да:—»0. На этом мы закончим изучение разностных схем для общих дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и периодическими граничными условиями. Изложенная здесь теория является основой для всего дальнейшего, и мы будем часто на нее ссылаться. В частности, на теореме Крайса о мат- матрицах основано обсуждение в следующей главе задач с пере- переменными коэффициентами, в то время как условие фон Ней- Неймана окажется существенным с практической точки зрения при исследовании разностных схем во второй части книги. В случае когда известно, что разностная схема условно устойчива (т. е. устойчива лишь при некоторых значениях Д^/Длс или при каких- нибудь аналогичных условиях), то условие фон Неймана почти всегда правильно описывает область устойчивости, и специаль- специальное исследование обычно бывает необходимо только на границе этой области, как например в случае явной схемы для волно- волнового уравнения. Имеется однако ряд случаев, когда наше опре- определение устойчивости оказывается недостаточным с практиче- практической точки зрения. Один такой случай встретится нам в § 10.4 при изучении совместного распространения звука и тепла, дру- другие приведены в § 9,7, 11.6 и 12.16. 4*
Глава S ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ С НЕРЕМЕННЫМИ КО ЭФ ФИЦИЕНТАМИ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ § 5.1. Введение В предыдущей главе мы подробно рассмотрели вопрос об устойчивости конечноразностных аппроксимаций для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Но в практических задачах коэффициенты редко бывают посто- постоянными, а уравнения очень часто бывают нелинейными. В та- таких случаях фактически проверяется «локальная» устойчивость линеаризованных уравнений, полученных из исходных нелиней- нелинейных уравнений, при этом постоянно используется теория для случая постоянных коэффициентов. Вот как это делается. Из нелинейных разностных уравнений относительно функции un(x), аппроксимирующей решение u(x, nAt) дифференциальной за- задачи, получают уравнения первой вариации, производя подста- подстановку un(x) = u(x, яД/) + vn(x), где vn(x) рассматривается как величина первого порядка малости, и отбрасывая члены второго и более высоких порядков малости. Получающиеся для vn(x) уравнения линейны, и их коэффициенты зависят от функции u(x, t)y которая является величиной нулевого порядка. Затем в каждой точке (х, t) рассматривают систему уравнений, кото- которая получается, если положить коэффициенты постоянными, а именно равными значениями переменных коэффициентов, вы- вычисленным в этой точке, и исследуют ее на устойчивость мето- методами теории для случая постоянных коэффициентов. Успех та- такого подхода определяется тем, насколько локальная устойчи- устойчивость в каждой точке пространства переменных х, t связана со сходимостью un(x) к решению и(х,/). Практика показывает, что неустойчивость обычно начинается как локальное явление; это наводит на мысль, что указанная связь очень тесная; пред- предположение о такой связи было одной из причин, побудивших фон Неймана разрабатывать теорию устойчивости с использо- использованием преобразования Фурье. Ясно, что в первую очередь следует рассмотреть линейные уравнения с переменными коэффициентами, и в настоящей гла- главе мы уделим этому вопросу главное внимание. Кроме того мы ограничимся рассмотрением только таких случаев, когда коэф- коэффициенты зависят лишь от пространственной переменной х. Основная наша цель состоит в том, чтобы показать, что для не-
§ 5.1. ВВЕДЕНИЕ |01 скольких важных классов уравнений незначительное усиление условий локальной устойчивости оказывается достаточным для обеспечения устойчивости в целом. Однако эти локальные усло- условия не всегда являются даже необходимыми, и стоит вначале потратить немного времени, чтобы разобраться в этом вопросе. Прежде всего рассмотрим взаимосвязь между корректностью постановки задач для соответствующих дифференциальных уравнений. Крайс [1962] дал пример уравнения, для которого задача с переменными коэффициентами поставлена корректно, хотя все соответствующие задачи с постоянными коэффициен- коэффициентами поставлены некорректно1), с другой стороны, он построил пример, в котором все задачи с постоянными коэффициентами поставлены корректно, в то время как задача с переменными коэффициентами не является таковой. Как мы уже отмечали в § 3.9, для некорректно поставленной задачи не существует разностной схемы, которая одновременно была бы согласован- согласованной и устойчивой. Поэтому примеры Крайса показывают, что для задач с переменными коэффициентами локальная устой- устойчивость в общем случае не является ни необходимой, ни до- достаточной для устойчивости в целом. Однако, как выяснил Стрэнг [1966], если для уравнения du/dt = Аи задача постав- поставлена корректно, то после замены оператора А его главной частью (т. е. суммой членов, содержащих производные наивыс- наивысшего порядка) для получившегося уравнения все задали с по- постоянными коэффициентами будут также корректно постав- поставленными. Поэтому, в частности, задачи для систем первого по- порядка должны быть локально корректно поставленными. Стрэнг доказал также аналогичный результат для явных разностных схем. Предположим, что дифференциальное урав- уравнение du/dt = Ли, где А—дифференциальный оператор т-го порядка, аппроксимируется явной схемой un+1 = С(At) un. Тогда наивысшая степень отношения 1/Дх, встречающаяся в С (At) и соответствующая главной части оператора Л, равна т. Вели- Величину A/Ajc)m надо умножить на Д/, и если выполняется усло- условие At = const (Да:) ж, которое обычно бывает необходимо для устойчивости, то при At-* 0 С (At) будет иметь предел С@), 1) Следующий аналогичный, но несколько более простой пример принад- принадлежит Стрэнгу [1966]: где 4 = При х = 0 получаем du/dt = idu/dx; ясно, что задача для этого уравнения поставлена некорректно. С другой стороны, для любого решения и основной задачи с помощью интегрирования по частям находим -gj- (и, и) = (м, Аи) + + (Ли, и) =ss 0, так что основная задача поставлена корректно.
102 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I соответствующий аппроксимации одной главной части опера- оператора А\ поэтому С@) называется главной частью оператора С (АО- Справедлива следующая теорема. Предположим, что явная разностная схема u«+1 (х) = (С (ДО пп) (х) ^ 2 Ср (х, Ы) ип (х + Р Ад:) E.1) имеет одинаковое по всем пространственным координатам при- приращение Да;, которое связано с Д/ соотношением типа D.9). Предположим также, что она устойчива и что при Д/ —> 0 каж- каждый коэффициент СР(х, Д/) сходится к ограниченной функции СР(х, 0). Тогда для каждой внутренней точки а, принадлежа- принадлежащей множеству, на котором эта сходимость равномерна и Ср(х, 0) непрерывны, разностная схема U*+1 (х) = (С. @) Urt) (х) в 2 Ср (а, 0) (/" (х + Р А*) E.2) является устойчивой. Докажем эту теорему. Предположим, что она неверна в не- некоторой точке а. Пусть непрерывность и равномерная сходи- сходимость имеют место в шаре So с центром в точке а. Тогда для любого, сколь угодно большого, М существуют такие вектор V, гармоника ft, приращение Да: и натуральное число Л/, что 1) для х = а и N&t < 1 \r(x)"V\>M\V\9 E.3) где Г(х)- 2 ср(х,0)е/к'рд*. По непрерывности это неравенство справедливо для всех х из некоторого шара S\ с центром в точке а, радиус которого мы будем считать строго меньшим, чем радиус шара 50; если мы зафиксируем § = ЛДа;, то неравенство останется справедливым при Д/—>0 и Да:-*0 и фиксированном N. Пусть теперь р(х) — гладкая функция, равная нулю вне S\ и единице в точке а, и пусть v (x) = Vp (x) eik'x. Тогда (Cv)(x)= где ei при достаточно малых Д/ обращается в нуль вне неко- некоторого множества, целиком лежащего внутри So, и равномерно ]) Как и в предыдущей главе, в дальнейшем мы будем, если специально не оговорено иное, использовать символ | | для обозначения евклидовой нормы вектора, а символ || || для обозначения нормы в пространстве L*
§ 5.1. ВВЕДЕНИЕ стремится к нулю на этом множестве при Д/ —>0. Последова- Последовательно применяя оператор С, мы получим где eN обладает теми же свойствами, что и еь поскольку /V фиксировано независимо от Д/. Используя далее E.3) и выби- выбирая At достаточно малым, находим, что ||С^||>М, а значит, схема E.1) неустойчива вопреки нашему предположению. Используя соображения, аналогичные приведенным, мы рассмотрим в этой главе два класса уравнений, для которых ситуация относительно ясна, а именно, симметричные гипербо- гиперболические системы и параболические уравнения. Ими охваты- охватывается значительная часть важных для физики краевых задач; как хорошо известно, в обоих случаях корректность постановки линейных задач с переменными коэффициентами обеспечи- обеспечивается теоремами чисто локального характера. Кроме того, мы ограничимся только явными разностными схемами, хотя не- нетрудно понять, как полученные ниже результаты можно рас- распространить на неявные схемы. Как мы увидим ниже в этой главе и в гл. 8, в критерии устойчивости для параболических уравнений по существу входит лишь главная часть оператора. Следовательно, теорема Стрэнга показывает, что локальная устойчивость является необходимой в обоих рассматриваемых случаях. Эти необходимые критерии устойчивости нужно лишь не- незначительно усилить, чтобы получить условия, достаточные для устойчивости задачи с переменными коэффициентами. Непо- Непосредственно видно, что если а(х) изменяется, то уже первая разность Д[а(л;)и(л;)] содержит дополнительный член (Да) и, который может вызвать неустойчивость, если Ах Ф О (At) и а(х) не удовлетворяет условию Липшица, так что дополнительный член оценивается величиной О(Д/)||и||. Для разностей более вы- высокого порядка, например для Д(аДи), получается дополнитель- дополнительный член (Да)(Ди), который может привести к неприятностям, даже при Да: = О (At). Подобные члены вызывают перемешивание компонент Фурье функции и, аналогичное описанному для слу- случая нелинейных задач у Н. Филлипса [1959], хотя и несколько менее ярко выраженное; хороший пример такого рода имеется у Робертса и Вайса [1966]. Последовательный рост высокочастот- высокочастотных компонент можно устранить введением в разностные схемы некоторой «диссипации». При этом получается схема, у которой собственные значения Xv матрицы перехода удовлетворяют не- неравенству вида при |АД*|<я E.4)
104 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ t|. \ для некоторого б > 0 и некоторого натурального г. Такое условие впервые ввел Фриц Джон [1952] для одного параболи- параболического уравнения, где это условие вполне естественно возни- возникает в явных схемах (см. § 5.3); он показал, что оно доста- fo4HO для устойчивости в случае достаточно гладких коэффи- коэффициентов. Затем Лаке [1961] и Лаке и Вендрофф [1962] нашли для симметричных гиперболических систем достаточное условие устойчивости, в котором существенную роль играют неравен- неравенства вида E.4) для собственных значений матрицы перехода. В недавней статье Крайса [1964] оно было сведено к одному лишь условию на собственные значения; этот результат обра- образует ядро § 5.4. Но прежде чем приступить ко всему этому, посмотрим сна- сначала, как еще можно было бы определить устойчивость. Это особенно уместно сделать здесь, так как именно при рассмот- рассмотрении задач с переменными коэффициентами различия в опре- определениях, которых придерживаются разные авторы, становятся существенными. § 5.2. Другие определения устойчивости Если оставить в стороне различия в используемых нормах, Существуют два широко распространенных определения устой- устойчивости, отличных от того, которое использовалось в нашем изложении, — одно более слабое, а другое более сильное. В первом из них требуется, чтобы разрешающий оператор С (t) устойчивой разностной схемы удовлетворял неравенству || С (A/)rt II < const (Д*Г°< const п" при {о^Д<<Г (б>5) Для Некоторого фиксированного конечного a ^ 0, в то время как дли устойчивости в нашем смысле требуется, чтобы приве- приведенное неравенство было выполнено для a = 0. Это определе- определение согласуется с тем экспериментальным фактом, что неустой- неустойчивость обычно отличается от устойчивости экспоненциальным, а не полиномиальным ростом ошибок; его использовали мно- многие авторы, в том числе Стрэнг [1960], Вазов и Форсайт [1960], Рябенький и Филиппов [1956]. По сути дела это понятие «слабой» устойчивости порож- порождается более общим определением корректности. Действи- Действительно, предполагая, что и(х, /) имеет непрерывные производ- производные по х до порядка р включительно, определим Норму |||L равенством
§ 5.2. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ 105 где |v| = vi + V2 + ... + Vd обозначает порядок производной, среднеквадратичная норма которой стоит под знаком суммы. Назовем задачу корректно поставленной, если ее решение и начальный элемент удовлетворяют следующему условию: ||и(х, /)||<const||и(х, 0||р, 0<*<7\ E.7) для некоторого фиксированного конечного р и для плотного множества начальных элементов; это соответствует понятию непрерывной зависимости порядка р от начальных данных, вве- введенному Адамаром [1923]. Исходя из этих определений кор- корректности и слабой устойчивости, можно построить аналогии* ную изложенной в гл. 3 теорию, снова приводящую к теореме об эквивалентности сходимости и устойчивости. Доказатель- Доказательства несколько усложняются, поскольку используются другие нормы; интересующегося подробностями читателя мы отсы- отсылаем к упомянутым выше работам. Связь между аир, фигу- фигурирующими в неравенствах E.5) и E.7) соответственно, легко установить следующим образом. Из соображений, основанных на принципе равномерной ограниченности, ясно, что для схо- сходимости необходимо, чтобы ||C(A0rlu(x,0)||<const||u(x,0)||p для любого элемента и(х, 0), имеющего р непрерывных произ- производных, при условии что задача корректно поставлена в ука- указанном выше смысле. Но левая часть этого неравенства зави- зависит только от значений и(х, 0) в точках сетки. Для любого и(х, 0) мы всегда можем построить имеющий в этих точках те же значения гладкий начальный элемент и(х, 0), к которому мы уже можем применить указанное выше неравенство. Да- Далее, легко показать, что ||u(x,0)||p ^ const(A/)~^||u(x,0||, где q зависит от р и от размерности d. Следовательно, должно вы- выполняться условие устойчивости вида E.5). Если применить эту теорию к задачам с постоянными ко- коэффициентами, рассмотренным в предыдущей главе, то можно получить замечательный по простоте результат, принадлежа- принадлежащий Крайсу [1962], а именно: если матрицы перехода G рав- равномерно ограничены, то условие фон Неймана D.18) необхо- необходимо и достаточно для слабой устойчивости. Достаточность легко доказать. Преобразуя G с помощью унитарной матрицы U к верхней треугольной форме, мы получим UGU*=D-\-Sy где о 0 Sp-l, p
106 ГЛ 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I Следовательно, S 2 'b^*1 Но произведение 52) имеет тот же вид, что и 5, а произведе- произведение р матриц вида S обращается в нуль. Поэтому в правой части этого равенства содержится лишь конечное число нену- ненулевых сумм. В то же время ||5|| ограничены, и поскольку | Xj | < 1 + const А/, то и \\D\\n ограничены при n&t<^T. Таким образом, для п ^ р — 1 имеем 11 °п н < 2 A)"D ir '" s "' < const *""~1- E-8) /=о Доказать необходимость условия фон Неймана значительно труднее, и мы отсылаем читателя к статье Крайса. Применяя это простое алгебраическое условие устойчиво- устойчивости, нетрудно выяснить, как связаны между собой локальная устойчивость и устойчивость в целом. Результат получается неутешительный. В отличие от того, что было доказано для нашего определения устойчивости в § 3.9, добавление опера- оператора порядка О(Д/) может сделать слабо устойчивый оператор неустойчивым. Вот простой пример. Предположим, что разно- разностная схема используется для аппроксимации уравнения du/dt = 0, где век- вектор и имеет две компоненты, a S — постоянная матрица, у ко- которой только один верхний правый элемент отличен от нуля, а именно равен единице. Тогда собственные значения соответ- соответствующей матрицы перехода G = I + {eik Ах — IJ S равны единице, так что схема слабо устойчива. Но если положить в 5 левый нижний элемент равным Д/, то, как нетрудно про- проверить, собственные значения соответствующей матрицы пере- перехода будут равны 1/(^д02 Следовательно, схема не будет больше устойчивой. То, как возникают подобные возмущения в задаче с пере- переменными коэффициентами, видно на следующем примере, при- принадлежащем Крайсу [1962]. Возьмем дифференциальное урав- уравнение du/dt = ди/дх\ пусть у вектора и две компоненты, Дл: = = Д/ и разностная аппроксимация имеет вид U"+I (х) = [/ + Д+ + V (х) SV'1 (х) Д2+] пп (*),
§ 5.2. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ[07 где А+ — оператор разности вперед, а sin cos* рд, in х 1 os*J' S= В случае когда функция V(x) заменяется ее значением V(xq) в некоторой фиксированной точке х0, матрица перехода нашей схемы равна и очевидным образом удовлетворяет условию фон Неймана при любом х0. Рассмотрим теперь случай переменных коэффи- коэффициентов. Для этого введем зависимое переменное v(jc, /) = = V-l(x)u(x, /), для которого v"+1 (*) = v* (х) + [V~l (х) Д+ + SV-1 (х) Д2+] V (x)vn(x). Но А + [V (х) v (а:)] = V (х + Да:) A+v (х) + [Д+7 (.v)] v {x) и cos v A* sin v Ал: 1 — sinv Ал: cos v Ад: J ' Поэтому, выделяя члены порядка (Да:J и выше, мы получим для v уравнение с постоянными коэффициентами вида v»+> (x) = (А + (Да:J В) vn (x), где оператор В равномерно ограничен и Да: 1 Г 1 2 Да: 0 Ах 1 Дл;1 ,ч -А* 1 J ]' Обозначая преобразование Фурье матричной функции В через Ву получим матрицу перехода где = 2te * *к ** sin j k Ьх, Ч = \е~ Характеристическое уравнение матрицы из первого слагаемого в выражении для G записывается так: A - |i) A - |i - 2 (а + Р + Y) Д*) + Д*(Д* + а + 2Y) = 0. х) Здесь и далее последний член был упущен авторами. — Прим. перев.
108 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 Оно дает такие собственные значения: Но собственные значения матрицы G равны X=eikAx\x+O[(Axf]. Вспоминая, что At = Але, мы видим, что условие фон Ней- Неймана не удовлетворяется, и потому разностные- уравнения для v(x) не являются даже слабо устойчивыми. Вывод из этих примеров тот, что хотя слабая устойчивость и может быть полезна для задач с постоянными коэффициен- коэффициентами или для случая, когда и является скалярной переменной, она не является достаточно эффективным критерием для систем разностных уравнений с переменными коэффициентами. Даже наше определение устойчивости не всегда оказывается удовле- удовлетворительным, когда оно применяется локально, как это было показано Видлундом [1966] на примере, сходном с предыдущим, но несколько более сложном. Определим теперь «сильную» устойчивость. Разностная схема называется сильно устойчивой, если выпол- выполнены следующие условия: A) при каждом фиксированном Д/ оператор H(At) определен всюду и таков, что если (и, Ни) обо- обозначить через || u\fHy то K^x\\vi\f <ll«l^</CIl|u|f, B) решение разностной схемы удовлетворяет условию 1|и«+Ч1я<A+^2А/I|и'г||//, E.9) где /Ci и Кг — некоторые фиксированные положительные посто- постоянные. Как мы видели в § 4.9, это определение устойчивости экви- эквивалентно нашему в случае постоянных коэффициентов. Нетруд- Нетрудно убедиться, что в общем случае оно по меньшей мере не сла- слабее, так как если схема сильно устойчива, то при nAt^T II и" 1 < К*! и" ||я < A + К, Mf К? || и0 |„ < KxeK'T || и01. Это определение устойчивости по-прежнему весьма тесно связано с формой, в которой условие корректности применяется к задаче для дифференциального уравнения. Действительно, если построена норма, в которой решение этой задачи удовле- удовлетворяет условию E.9), то при определенных условиях гладкости ее можно использовать и для разностной задачи. Однако эти условия гладкости трудно проверять, и одним из существенных достоинств изложенного в § 5.4 подхода Крайса к разностной задаче является то, что там эти трудности обходятся путем не- непосредственного исследования разностной задачи.
§ 5.3, ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 109 Наконец, остановимся вкратце на возможности использова- использования в качестве основной не среднеквадратичной нормы, а какой- нибудь другой, в частности максимума модуля, нормы, очень привлекательной для вычислительных работ. В гл. 1 мы привели пример, показывающий, как она используется в одном простом случае, и можно было бы ожидать, что она особенно подходит для параболических уравнений, рассматриваемых в следующем параграфе. Однако получающееся при этом условие на множи- множитель перехода может быть также применено к явной разностной схеме для любого уравнения вида du/dt = дти/дхт. Достаточ- Достаточность этого условия для устойчивости в норме максимум мо- модуля была установлена Стрэнгом [1962], а необходимость позднее доказал Томи [1965а], который также обобщил эти результаты на неявные уравнения и на произвольную Lp-норму с р Ф 2 [1965b]. (Lp-норма ||u||p определяется равенством ||и||? = = J | u f dx). Исходя из этого условия, Томи показывает, что при т = 1, т. е. в гиперболическом случае, любая устойчивая схема должна иметь нечетный порядок точности. Следовательно, все широко применяемые схемы второго порядка точности оказы- оказываются неустойчивыми во всех нормах, кроме среднеквадратич- среднеквадратичной. Возможный порядок роста весьма незначителен; Томи по- показывает, что если ||СП||= 1, то ||СП||Р < (Кп) ч>-1/р, где /(—не- /(—некоторая постоянная. Но этого уже достаточно, чтобы считать эти нормы не подходящими для таких случаев. § 5.3. Параболические уравнения Для параболического уравнения с одной пространственной переменной общая явная разностная схема имеет вид ип+\ до = (Си") (х) в S с*и» (х + р Дх), E.11) где суммирование ведется по некоторым фиксированным значе- значениям р. Здесь пг \\ ср могут быть функциями от х, а с& кроме того зависит от At и Дд:.
110 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 Если представить ип(х + рДдс) в виде ряда Тэйлора, то усло- условие согласованности приводит к соотношениям где символ Кронекера б' = 0 при 1ф\ и =1 при / = /. В случае когда коэффициенты а\ постоянны, устойчивость схемы E.11) определяется множителем перехода G = 2cV« E.13) э который в данном случае является тригонометрическим полино- полиномом конечной степени от \ = kkx. Поэтому ясно, что для устой- устойчивости коэффициенты с$ должны быть ограничены при Д/-^0. Так как по > 0, то в силу последнего из соотношений E.12) д/ = О ((Дл:J) при Д/->0. Положим М/(Да:J = const; без по- потери общности эту постоянную можно считать равной единице. Наряду с этим предположим, что коэффиценты с& могут быть представлены в виде с*(х, ДО = с%(х) + (ДО72 с?(х) + Мс\{ху ДО, E.14) где все с\ равномерно ограничены и с\ (лс, Д/)-> с\(х, 0) при Д/->0 равномерно по х. Тогда условие согласованности можно переписать в виде 2*8=1, 2Рсо = О, 2с? = 0, V2P eg = ao> 2j pcf = fli, 2j c\ = «2. Э Э 3 Прежде всего мы обоснуем сделанное ранее утверждение о том, что в большинстве случаев для задач с постоянными коэффи- коэффициентами устойчивость определяется главной частью разно- разностного оператора, т. е. значением G при Д/ = 0. Подставляя раз- разложения E.14) в E.13), получаем G (А*, I) = Go (I) + (Д*O' С, (Ю + MG2 (A/, 6), E.16) где G/ = 2<VP*, / = 0, 1,2.
§ 53 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ш Следовательно, значение G@, g)=G0(?) соответствует аппрок- аппроксимации дифференциального оператора, у которого в силу E.15) #i = #2 = 0. Теперь предположим, что главная часть устойчива, т. е. что |Go(?)|^l. При доказательстве устойчивости схемы E.11) член с G2 очевидно несуществен. Используя E.15), на- находим Go(l)=l-a?* + 0(V). E.17) Gl(l) = ialt + O№. E.18) Для наиболее простых аппроксимаций Go принимает действи- действительные, a Gi — мнимые значения; это справедливо также и во многих других случаях, и отсюда вытекает, что | Go + (Д0* G11 = (| Go P + М| G, I2I'* < 1 + О (ДО, откуда и следует устойчивость. В общем случае, однако, для до- доказательства нашего утверждения мы должны предположить, что |G0(?)|< 1 всюду на отрезке [—я, я], за исключением точ- точки g = 0. Тогда в силу E.17) ^ l-6?2 Для |g|<* E.19) при некотором б > 0. Обозначая действительную и мнимую части Gj через Ej и Fj соответственно, получаем | Go + (ДО* О, |2 = [Ео + (ДО7' Ei]2 + [Fo + №>!> Fxf = = | Go |2 + 2 (ДО* (ВД + W + О (М). Но Е0Е\ + FqF\ = O(g2), и поэтому при достаточно малых Д? второй член не превосходит 6?2, откуда и следует устойчи- устойчивость. Подробное обсуждение частных случаев этого резуль- результата проводится в § 8.4. Стоит также отметить, что для любой разностной схемы, аппроксимирующей уравнение E.10) с а\ = а2 = 0 и постоян- постоянным а0, как показал Стрэнг [1962], для устойчивости в норме максимум модуля множитель перехода должен удовлетворять одному из условий A) G(%) = се%№, где |с|=1 и р действи- действительно, или B) |G(|)|<1 при |^|<я, за исключением быть может конечного числа точек gj, где |G(g)|=l, причем для каждой такой точки существуют такие постоянные aj, Yi» vi> где aj действительно, ReYj>0 и Vj — четное натуральное число, что G&j + D^G&tiexpUajl-ytfl[1 + оA)]] при ?->0. Стрэнг доказал достаточность этих условий, а затем Томи [1965а] доказал их необходимость для устойчивости в норме максимум модуля. Поскольку условие A) непременимо к рас- рассматриваемой нами задаче, то надо думать, что условие E.19)
112 ГЛ.5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I не является чрезмерно ограничительным даже для случая по- постоянных коэффициентов, если мы хотим иметь устойчивость не только в L2-HopMe, но и в норме максимум модуля. Более того, Видлунд [1966] дал пример неустойчивой разностной схемы для системы из двух параболических уравнений с пере- переменными коэффициентами, где собственные значения главной части матрицы перехода удовлетворяют условию B), которое не сводится к E.19). Схема оказывается неустойчивой даже в /^-норме, так что E.19), по-видимому, вообще наилучшее достаточное условие, на которое мы можем рассчитывать. Возвращаясь к задаче с переменными коэффициентами, мы для простоты рассмотрим случай одного уравнения которое аппроксимируется разностной схемой E.11) с коэф- коэффициентами fP, не зависящими от Д/. Все основные идеи от- отчетливо видны уже в этом случае. Хотя с& теперь зависит от х, мы все же можем ввести локальный множитель перехода G (х, I) = 2 с? (х) е*К = 1 - а (х) g2 + О (g3), E.20) Р который будем называть символом оператора С. Теперь мы докажем, что если коэффициент а(х) удовлетворяет условию Липшица и \G(x, l)\<l для всех х и всех I Ф 0 из интервала [—я, я], E.21) a G(x,0)=l (согласованность), то разностная схема устой- устойчива. Из сделанных предположений вытекает, что при некотором 6>0 \G(xy g)|2^l_6?2 для |?|<я и всех х. E.22) Мы начнем с того, что рассмотрим устойчивость в окре- окрестности произвольной точки, которую для удобства примем равной нулю. Итак, мы сосредоточим свое внимание на функ- функциях и, для которых «WsO при |*|>?>0. E.23) Обозначая через Со разностный оператор (с постоянными ко- коэффициентами)^, получающийся при замене $(х) в E.11) на сР(О), а через и — преобразование Фурье от ы, имеем \\Сои\?= J|G(Of ?)|2| 1-*B sin У,а2] | flpdft= || iip-в || и |ff E.24)
§ 5.3. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1»3 здесь положено II и % = J B sin ^f \ufdk=\\Ь%и||2 = ||^-иI2 (последние два равенства следуют из того, что преобразова- преобразование Фурье от оператора разности вперед (назад) Д± равно 2/в±|/а'6 sin V26); ясно также, что \\u\\p^2p-q\\u\\q при p^q. E.25) Поэтому для того, чтобы доказать устойчивость оператора С, положим и покажем, что последний член оценивается величиной Ь\\иЦ2 + + 0(ДОИи|р. Используя согласованность в форме E.20), напишем С = / + а(х)Д+Д- + <2, E.26) где Q — разностный оператор по меньшей мере третьего по- порядка, равный сумме конечного числа членов, каждый из ко- которых представляет собой произведение расположенных в определенном порядке разностных операторов Д+ или Д_ и коэффициентов а(х)\ например, следующим членом в этом представлении может быть 72яД+Д-яД+Д— Таким образом, || Си |р = || и |р + 2 Re (и, аД+Д_и) +1| аД+Д-и |р + + 2 Re (и, Qu) + 2 Re (аД+Д_н, Qu) + \\ Qu |p. E.27) Но из элементарного тождества \j\Z\ — даь ^ У\ (z\ — z2) + + z2(y\ — У2) следует, что в выражении вида (u,&(av)) разно- разностный оператор можно поставить после а за счет вычитания дополнительного члена, не превосходящего ?Дх||и|НМ1, где L — постоянная из условия Липшица для функции а = а(х)\ этот член обозначим через ф(ы, v). Поэтому для второго члена из приведенного выше для ||Сы||2 представления мы имеем (ы, аД+Д-н) = {и, Д+ {ак-и)) + ф (ы, Д_«) = = — (Д_м, aA-ti) + ф {и, Д_«) (справедливость последнего равенства устанавливается сум- суммированием по частям, см. § 6.2). Если сравнить это с тем, что должно получиться для ||С0ы||2, то для разности получится выражение - (Д-и, [а - а @)] Д_и) + <р (и, Д_и). Далее, поскольку и(х) обращается в нуль при |х|>?, то &-и{х) равняется нулю при |л:|>2^, если Дл: < g. Поэтому по- полученная выше разность не превосходит 2Ц||||^ + 1Д||||||||
114 ГЛ.5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I Члены более общего вида можно оценить аналогично. А именно, рассмотрим разностный оператор общего вида R = а^агАг • • .ЯгДгЯг+1, где п{ — равномерно ограниченные и удовлетворяющие условию Липшица коэффициенты, а А,-— элементарные разностные операторы. Последовательно пере- переставляя at с Aj, получим операторы Ai0i/?i, где R{ = а2Д2 ... Агаг+1, ИЛИ S3A3a4/?3, где S3 = AlaIa2a3A2, где Srt_, = A1aI ... ап /?„_, = Д3 ... Аг, /?л = A,fl,fl2 ... ar+1A2A3 ... Аг. Следовательно, - (и, Rnu) |<| (и, /?и) - (и, (н, S2A2a3/?2«) — (w. !/?^,^ - (и, Rnti) \ где L — постоянная Липшица для au a S] — оператор, сопря- сопряженный с S(. Так как каждый из этих операторов ограничен, то выражение в фигурных скобках не превосходит const ||н||2, но здесь нам нужна более точная оценка. Каждый оператор S*i оканчивается оператором Аь так что все члены, кроме первого, не превосходят const \\u\\ \\u\\\ если г ^ 2, то в резуль- результате перестановки двух последних множителей в операторе R\ =sSiArtfr+i получим Следовательно, Поэтому мы можем сказать, что если оператор R имеет по крайней мере второй порядок, то \(u,Ru)-(u9Rnu)\ <constAjc||w||(||«||1 + Ajc||w||). E.28) Приведя таким путем все члены в E.27) к виду мы, очевидно, получим, что при Дл: <
§ 5.3. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 115 где М(?)->0 при ?->0, а К\ и /Сг — некоторые постоянные. Возьмем ? столь малое, скажем ? = ?0, что М(^о) < 6/4. Кроме того, мы имеем \\? + \\\? Сопоставляя эти оценки с E.24), получаем, что при Д/ = (Дл;J и Л/<?о II Си ||2 < [ 1 + (/С2 + /Ci/Л) М\ || и ||2 - V261| и |jj, E.29) откуда и следует устойчивость для функций ы, удовлетворяю- удовлетворяющих условию E.23). Чтобы распространить этог результат на функции и общего вида, применим метод, предложенный Гордингом [1953]. Пусть 2й!/(л;)н=1 есть гладкое разложение единицы, в котором каждый член dj(x)—гладкая функция от х, принимающая на некотором интервале /;- значения, заключенные между 0 и 1, и обращающаяся в нуль вне этого интервала, причем в каждой точке х лишь равномерно ограниченное число функций dj(x) от- отлично от нуля1). Каждый интервал /;- выберем столь малым, чтобы оценка E.29) была справедлива для всех и, носители ко- которых лежат в /;; при этом все длины /j могут быть взяты мень- меньшими, чем 2?0 (величина ?о была выбрана независимо от поло- положения интервала и от А/). Теперь мы можем, применив E.29) к каждой функции dj(x)u(x) получить оценку суммы 2l|Cd/w|p и сравнить это с ||Си|р = 2||^/Си|р. Для этого надо оценить результат перестановки разностных операторов с умножением на гладкие функции dy Рассуждая аналогично предыдущему, на- находим, что 11| dju Щ —1| djk+u IP | = О (Ал:) || и11| (|| d/A+и || + II A+d/M || )< < 4 (И dl^u IP + II b+dju |p) + О (А/) || и |р, откуда В каждой точке х лишь конечное число функций dj вносит вклад в последний член. Поэтому, меняя местами интегриро- интегрирование и суммирование (после суммирования по /), получаем I dtu II? > -j 2"d/A+"|Р + ° (Л°"и |р = Т" * "• + ° (°Р ]) По поводу построения такого разложения см., например, Гельфанд и Шилов [1959], стр. 182. — Прим. перев.
Нб ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 Следовательно, применяя к членам, возникающим при рас- рассмотрении оператора С, аналогичные рассуждения и исполь- используя E.29), мы получим IIСи|р «Slid/Си|р< < 2 II Cd/и IP + О (А*) || и ЦК и ||, + О (АО II и |р < < [1 + О (At)] SII d,H IP - «Д* 2II d/и Этим завершается доказательство теоремы. Этот несколько ограниченный результат легко обобщается з различных направлениях. Например, в дифференциальное уравнение могут быть включены такие же младшие члены, как и в E.10), для этого нужно лишь применить условие E.21) к множителю перехода при А/ = 0, следуя рассуждениям, при- приведенным в начале этого параграфа. Такого рода результат был впервые доказан Фрицем Джоном [1952], использовавшим норму максимум модуля и предполагавшим, что функции а0, дао/дх, д2а0/дх2, ах, dajdx и а2 непрерывны и равномерно огра- ограничены; помимо того, что Джон доказал устойчивость в этой норме, он не делал каких бы то ни было предположений о кор- корректности постановки краевой задачи для дифференциального уравнения, а выводил существование, единственность и другие свойства решения из свойств разностного уравнения. Он по- пошел даже еще дальше, заменив в E.10) член а2и нелинейным членом d(x,t,u), равномерно удовлетворяющим условию Лип- Липшица по и. В следующем параграфе будет показано, что обобщение на случай нескольких пространственных переменных осущест- осуществляется непосредственно. Этот результат содержится в статье Лакса и Вендроффа [1962], которым принадлежат основные идеи изложенного нами подхода к задачам с переменными коэффициентами. Однако в деталях наше изложение ближе к трактовке Крайса [1964] и Видлунда [1965]; последнему при- принадлежит дальнейшее обобщение результатов на системы па- параболических уравнений общего вида, для решения которых используется широкий класс неявных многослойных методов. Впоследствии Видлунд [1966] распространил эти общие тео- теоремы на случай нормы максимум модуля, обобщив таким об- образом результаты Джона, Аронсона [1963] и других. Во всех случаях существенную роль играет условие E.22), применен-
§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Ц7 ное к собственным значениям символа главной части разно- разностного оператора, поэтому Видлунд называет разностные схемы, удовлетворяющие этому условию, параболическими. § 5.4. Диссипативные разностные схемы для симметричных гиперболических уравнений Рассмотрим краевую задачу для гиперболической системы 1, E.30) где вектор и = и(х, /) имеет р компонент и р X р-матрицы Aj(x) гладко зависят от ху но не зависят от t. Будем предполагать, если специально не оговорено противное, что матрицы Aj эрмитовы. Введем матрицу t'P(x, к), где S E.31) в случае постоянных коэффициентов эта матрица представ- представляет собой преобразование Фурье от оператора из правой части уравнения E.30) (см. § 4.3). Предположение о гипербо- гиперболичности состоит в том, что существует такая невырожденная матрица Г= Г(х, к), что ТРТ'1 = о о E.32) где Hv=lAv(x, к) действительны, а Г и Г равномерно огра- ограничены по х и к, т. е. IIТ (х, к) ||, Иг^Чх, к)||^/С0. Если матрицы Aj эрмитовы, то матрица Т унитарна, и указан- указанные условия очевидным образом выполнены. Будем считать для удобства, что в аппроксимирующих раз- разностных схемах Дх;- = Ы при всех /. Кроме того, будем рас- рассматривать только явные схемы un+l=C(At)un, E.33)
118 ГЛ.5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 где С (А/)—конечная сумма операторов сдвига с матричными коэффициентами: (С(А/) и) (х) = 2 с? (х, А/) и (х + Р АО- E.34) р Будем предполагать, что матрицы ср(х, А/) эрмитовы, если эр- эрмитовы Aj(x). Локальная матрица перехода, или символ G, имеет вид G (х, А/, I) = 2 с' (х, АО е^К E.35) р где | = А/к. Обозначим собственные значения матрицы G че- через Xv и введем следующее определение. Разностная схема E.33) называется диссипативной порядка 2г, где г — натуральное число, если существует такое б > О, что для всех §, удовлетворяющих условию max||j| ^ я, .всех х и всех А/, меньших некоторого т > О, 1Мх,Д*,§)|<1-6|§|2', E.36) где ||| —евклидова норма вектора |. Вспоминая определение порядка точности D.12а) или D.13), мы можем сформулировать следующую теорему, при- принадлежащую Крайсу [1964]. Предположим, что матрицы, входящие в дифференциальное уравнение E.30) и в аппроксимирующее его разностное урав- уравнение E.33), эрмитовы, равномерно ограничены и равномерно удовлетворяют условию Липшица по х. Тогда, если схема E.33) является диссипативной порядка 2г и имеет порядок точности 2г — 1 при некотором натуральном г, то она устой- устойчива. Доказательство теоремы весьма длинно, но в общем есте- естественно; некоторые упрощения в первоначальное доказатель- доказательство Крайса были внесены Парлеттом [1966]. Имеются три основных этапа. Сначала мы покажем, что сделанные предпо- предположения достаточны для устойчивости в случае постоянных коэффициентов, т. е. достаточны для локальной устойчивости. Как мы видели в § 4.9, это равносильно тому, что для каждого фиксированного х существует такая положительно определен- определенная эрмитова матрица Н = #(х, А/, §), что G*HGKH и для некоторой константы /С2 > 0 E.37) Если бы Я достаточно гладко зависело от х, то последующие рассуждения соответственно упростились бы (см. следующий параграф), но чаще всего это не так и во всяком случае это
§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Ц9 трудно доказать. Мы построим матрицу Н так, что она будет пригодна для целой окрестности точки х; она будет иметь пе- период 2я по каждой компоненте вектора |, и нам легко будет удовлетворить неравенству G*HG < A - V26)l I |2г) Я, E.38) но нам потребуется дополнительно, чтобы матрица Н имела специальный вид # = / + Я2г_1(х,Дг, S), где lltf^lKconstlgl2'-1, max|g/|<«. ' E.39) Заключительный этап доказательства состоит в том, что с по- помощью Н строится норма || ||я, в которой решение уравнения E.33) удовлетворяет сильному условию устойчивости II *n+l \?н < [1 + О (Л/)] || и* 1РЯ. E.40) Заметим прежде всего, что зависимость С и тем самым G и Я от А/ осуществляется через матрицы ср(х, Д/), вычислен- вычисленные для значений Aj в точках, соседних с х. Так как Aj удов- удовлетворяют условию Липшица, то величина ||С(Д/)—- — С@)||(Д/)~1 ограничена и потому свойства устойчивости оператора С(Д/) и его главной части С@) одинаковы. По- Поэтому мы рассмотрим только эту последнюю и будем считать в дальнейшем, что С, G, Н и X не зависят от Д/. На первом этапе доказательства мы опустим предположе- предположение о том, что матрицы Aj эрмитовы. Это уведет нас несколько в сторону от намеченной цели, но будет полезно для выясне- выяснения роли различных предположений. В силу двойственного опре- определения порядка точности D.13) имеем E.41) где ||Q||< const |||2r при тах|^|<я. Далее, в силу гипербо- гиперболичности это соотношение можно с помощью матрицы Т из E.32) преобразовать к виду TGT~l = М + #, где матрица- М = exp(iTPT~l) диагональна и ||Р||<const|||2г. Если теперь перейти к верхней треугольной форме с помощью унитарного преобразования U, то мы получим G = UTGT~lU* = UMU* + или* = Л + N> E.42) где Л—диагональная матрица из собственных значений Kj матрицы G, a N — нильпотентная матрица, у которой Nij = 6 при i^u причем важно отметить, что ||#||< К\Ц|2г для неко- некоторой постоянной К\ > 1. Это устанавливается следующим об- образом. Элементы матрицы URU* ограничены скалярным
120 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I кратным величины |g|2r, и поскольку ? имеет верхнюю треуголь- треугольную форму, то так же ограничены элементы матрицы UMU*, лежащие ниже диагонали. Но UMU* — нормальная матрица; и потому ее наддиагональные элементы ограничены скалярным кратным оценки для поддиагональных элементов1), откуда и следует наше утверждение. Теперь непосредственной проверкой легко убедиться в том, что степени G ограничены. Действительно, как и в § 5.2, /=о У=0 b)p-1 при Менее очевидным является построение матрицы # = //(g), аналогичное тому построению, которое проводилось при дока- доказательстве матричной теоремы Крайса в предыдущей главе. Вводя диагольную матрицу D = А2 о о с Д > 1, выберем А столь большим, чтобы т. е. !) Имеем Предположим, что | a{k |</C при i>k. Тогда р р и т. д. По индукции находим, что при i<k
§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ \$\ где через Rd обозначено Dil2RD~lf*. Ясно, что это возможно, так как в силу E.42) GD = (Л + N) D = Л + ND, а поскольку (j9k)-элементматрицы^ равен /s!/2iI~k)Njk9 TO||tfl/ Г4* | 5 |2г. Следовательно, Л*Л|| + 21|ND || +1| WD |p< <1 ~6| g|2r + const A"I/2lil2r<l-V26|i|2r для достаточно больших Л. Таким образом, для достаточно больших Д неравенство E.38) удовлетворяется при Н = = T*U*DUT, причем Н удовлетворяет соотношению E.37) при Чтобы построить Н с дополнительным свойством E.39), применим другой подход. Будем считать матрицы Aj и с& эр- эрмитовыми и предположим, что матрица Р предварительно при: ведена к диагональному виду при помощи унитарного преоб- преобразования. Положим также § = а|о, где |о—некоторый фик- фиксированный единичный вектор, так что G=M + o*rR + o(o2% E.43) где матрица М = exp(iaP(go)) диагональна и унитарна, а мат- матрица R = R(%o) эрмитова. Теперь предположим, что два соб- собственных значения \ij и \хи матрицы Р равны. Тогда имеется некоторый произвол в выборе унитарного преобразования, диагонализирующего Р, а именно это преобразование опреде- определяется с точностью до любого унитарного преобразования в двумерном подпространстве, отвечающем этим двум собствен- собственным значениям. Так как матрица R эрмитова, то указанный произвол можно использовать для обращения в нуль элемен- элемента /?#. Предполагая это выполненным, определим с помощью R эрмитову матрицу Н' формулой f 0 При JAy—H'fc» l- (М4) -^) при и Затем построим эрмитову матрицу Н = 1 + о*г^Н'. E.46) Проверим выполнение условия E.38). Разлагая М по степе- степеням а, получаем G*HG *= Н + О2г [2/? + i (Н'Р - РН')] + о {а2г). E.46) В силу определения Н' внедиагональные элементы матрицы в квадратных скобках равны нулю. Кроме того, справедлива
|22 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. ! следующая лемма, доказательство которой будет приведено несколько позже. Лемма. Если матрица G диссипативной разностной схемы имеет вид E.43), то /?//< — 6 + оA) при сг->0. E.471 Поэтому для | = а|о имеем 2R + i{H'P - РН') < - 26/ + оA), причем матрицы Я/ = Я/(|0) ограничены, хотя и не равно- равномерно по |о- Таким образом, для каждого направления |0 су- существует целый отрезок О^а^ао(|о), на котором выпол- выполнены соотношения E.38) и E.39). Далее, так как Р и R не- непрерывно зависят от |, то найдется такое е > 0, что при ||о — — Si|<e и |Ы=1 2R «,) +1 [Н' (Ы р (8i) - р (8i) н' (8оI < - */; поэтому при | = a|i, 0 < a < о\ (|о) условия E.38) и E.39) также выполнены. Но по лемме Гейне — Бореля весь шар |||-<1 можно покрыть конечным числом таких окрестностей, в каждой из которых //' можно считать постоянной. Поэтому мы можем построить #(§) в некоторой окрестности нуля |||^ ^ Q2 так, чтобы выполнялись все три требования E.37) — E.39). Вне этой окрестности соотношение E.39) не имеет ме- места, и можно использовать только матрицу /?, построенную на первом этапе. Для доказательства леммы покажем, что при а->0 собствен- собственные значения матрицы G равны ее диагональным элементам с точностью до членов порядка a2r. Это следует из уточненной тео- теоремы Гершгорина (см. примечание на стр. 85), утверждающей, что если s гершгоринских кругов матрицы М отделены от осталь- остальных, то их объединение содержит в точности s собственных значений М\ эта теорема легко следует из соображений непре- непрерывности, так как собственные значения матрицы непрерывно зависят от ее элементов. Предположим теперь, что \ik — простое собственное значение матрицы Р, и умножим k-ю строку матри- матрицы G на а1/а, а ее ^-столбец разделим на а1/а. Это преобразование подобия не изменяет собственных значений Xj матрицы G, но делает радиус &-го гершгоринского круга равным О (а2г+|/2) а остальные радиусы равными О (о2г~Ц. Так как центрами этих кругов являются точки Gn = ei0lil + o2rRn + 0(o2r+l) и V>k Ф VI ПРИ / Ф К то k-й круг отделен от остальных при до- достаточно малых а. Поэтому матрица G имеет собственное
§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 123 значение Но в силу E.36) |Я|^ 1 — 6а2г, так что 1 - 2 6а2' > 1 + 2o2rRkk + о (а2'), т. е. Rkk<— 6 + 0A) при а->0. Если \ih не является простым собственным значением Р, то все строки и столбцы G, соответствующие \ik, преобразуем так же, как и выше. Так как Rjk = 0 при \ij = \ik и / ф К то радиу- радиусы соответствующих кругов снова равны O(o2r+l/*). Поэтому по крайней мере один из них содержит собственное значение ма- матрицы G, так что E.47) выполняется для соответствующего /?,-j. С другой стороны, если бы для некоторых из оставшихся кру- кругов Rn> — б + оA), то они были бы отделены от тех кругов, для которых Rjj-^— б + оA) при а->0, и мы пришли бы к противоречию с тем фактом, что тогда они содержали бы соб- собственное значение G. Переходя к заключительному этапу доказательства нашей основной теоремы, вернемся к рассмотрению задачи с перемен- переменными коэффициентами, определяемой уравнениями E.30), E.33) и E.34), с эрмитовыми матрицами Aj и с&. Эта часть доказатель- доказательства по форме аналогична тому доказательству, которое было проведено для более простой задачи, рассмотренной в предыду- предыдущем параграфе, за исключением того, что матрица Н не равна теперь тождественно единичной матрице. Начнем снова с рас- рассмотрения устойчивости в окрестности произвольной точки, ко- которую для удобства будем считать нулем, и сперва ограничимся такими функциями и, для которых и(л;)н=0 при |х|>?>0. E.48) В этом случае разностному оператору Со с коэффициентами с? @) соответствует локальная матрица перехода G = G@,|), получаемая с помощью E.35)^ Далее, как мы уже показали, су- существует эрмитова матрица Я@, g) вида Н = 1 + Н2г-Л0> 5) с H^-JK/talSI2'-1, E.49) удовлетворяющая условиям E.37) и E.38). С ее помощью опре- определим оператор Н следующим образом: Ни (х) = BпГа12 { Н(О, Д/k) и (к) в""* rfk, E.50) где и — преобразование Фурье функции и. Аналогично опреде- определим #2r-i и обозначив {(и,Яи)}/з через ||и||я. Очевидно, что
124 гл- 5- ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕПНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 в силу свойств Н эта величина действительно будет нормой, и || Си |ря = (Си, [/ + Я*-,] Си) = Е + F = = (?о + ^о) + (Е- Ео) + (Р- Ро), E.51) где Е = || Си |р, F = (Си, Яаг^Си), а Ео и Fo получаются из них заменой С на Со. Наша основная цель —оценить каждый из трех членов в правой части E.51), чтобы установить неравенство E.40). Имеем = II Соп |ря = J u*G*^Gu dk < J u* A - V26 2 B sin 72|/Jг) Ни dk = = llu4-V2&Olu|?, E.52) где, как и в § 5.3, d S E.53) /=1 /=1 так что ||u||p<2p-a||u||, при р>9. E.54) Для того чтобы оценить остальные члены, необходимо по- подробнее рассмотреть структуру оператора С. Так как этот опе- оператор является представлением дифференциального оператора с точностью до членов порядка 2г — 1, то он однозначно опреде- определяется с точностью до членов этого порядка. Следовательно, мы можем записать (ср. с выражением E.41) для матрицы (?) 2г-1 т=0 где
§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 125 а Д/2г"|) обозначает усеченное разложение оператора &t(d/dXj) по степеням оператора центральной разности Д0/=-о-(Д+/ + Д_/): где Y2m+i — некоторые действительные постоянные. Остаточный член QA также есть конечная сумма произведений Ц ЛДР' раз- разностных операторов, где каждое А представляет соббй одну из матриц Aj(x), а каждое Д — один из операторов Д+j или Д_;-; при этом 2r ^2p*^const, так как наша разностная схема по i предположению является явной схемой Bг—1)-го порядка точности. Как уже отмечалось, в выражении (u, AAv) разностный опе- оператор можно переставить с Л за счет добавления дополнитель- дополнительного слагаемого, не превосходящего по норме LAf ||u||-||v||, где L — постоянная Липшица для Л; в дальнейшем мы будем обо- обозначать это слагаемое через ф(и, v). Поэтому, используя про- простейшую формулу суммирования по частям (и, Д0Лу) = = —(Дои, Лу) и тот факт, что матрица Л эрмитова, получаем (и, ЛДоУ) = — (ЛДои, v) + Ф (и> v)- E.57) Аналогичные формулы справедливы для каждого из конечного числа разностных операторов нечетного порядка, образующих Рд, и тем самым для самого Рд. Поэтому / 2г-1 /2г-1 = || u IP + (u, R\x) + Ф (u, u). E.58) Из этого выражения видно, что R является разностным опера- оператором того же вида, что и <2д, т. е. порядка не меньшего, чем 2г. Чтобы оценить члены, содержащие такие операторы, будем рас- рассуждать так же, как и при получении неравенства E.28) в § 5.3: переставляя некоторые А и Д, получаем (u, Rv) = (Аги, 5Дгу) + Ф (и, v), где S — ограниченный разностный оператор порядка на 2г мень- меньшего, чем /?, а Дг обозначает произведение г множителей A
126 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I Следовательно, II /2г-1 = || u IP + (A2u, S'tfu) + Ф (u, u), E.59) где S\ как и 5, является ограниченным разностным оператором. Но Е — Ео = ||Си||2— ||Сои||2, так что главным в этой разности будет член, соответствующий оператору S'— S'q. Поскольку но- носитель функции и содержится в шаре радиуса ?, то С можно за- заменить на C0 + g(x) (С— Со), где g(x)— гладкая функция, удо- о влетворяющая условиям g(x)=l для IxK-jg и g(x) = 0 для |х| > 2? при условии, что Да: достаточно мало. Поэтому для вычисления разности ||Cu||2 —||C0u||2 при достаточно малых Дх достаточно интегрировать по шару радиуса 2?; следовательно, \Е-Е0\^М{(О\\п\?г + К4Щп\?9 E.60) где Mi(?)->0 при ?-*0, а Кь—некоторая постоянная. Для оценки последнего члена используем специальный вид матрицы Н (см. E.49)): ^JC-Colu)! E.61) (оператор С ограничен). Теперь представим #2r-i в виде #2r-t = = #i#2, где Н\ и #2 определяются преобразованиями Фурье r/2 j Имеем Следовательно, [С + Со] и, Я2Г_, [С - С0]и) | <|| Я, [С + Со] и ИИ Н2[С - Со] и <II [С + Со] и ||г || [С - Со] и ||,_, < const || u 11| [С - Со] и Ц._,. Рассуждая обычным образом и используя E.53) и E.54), по- получаем II [С - CJ и Ц._, < S IД+1' [С - Со] и < d < S I [С - Со] A+1'u | + const A* • || и |
§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 127 где М2(?)-+0 при ?-*-0, так как оператор С—Со имеет по мень- меньшей мере первый порядок по ?. Применяя E.60) и еще раз E.54), находим, что где Л4(?)->0 при ?->0, а Ке—некоторая постоянная. Таким образом, при ? ^ ?0 для некоторого ?о > 0 первый член в пра- правой части будет меньше вычитаемого из правой части E.52); поэтому |ип+1|^<||ип| + а7С2-|Д/»и1Г<A+аЛО||иХ, E.62) где a = КчК%. Чтобы получить этот результат для функций ип общего вида, мы снова применим метод Гординга [1953]. Пусть ^d2t(x) = е=5 1 — гладкое разложение единицы, в котором каждый член di(x) есть гладкая неотрицательная функция от х, равная нулю вне некоторого шара 5г-, причем в каждой фиксированной точ- точке х лишь равномерно ограниченное число членов отлично от нуля. Возьмем каждый шар Si столь малым, чтобы оценка E.62) выполнялась для всех функций un, носители которых принадле- принадлежат Si\ из предыдущего ясно, что радиусы шаров St можно счи- считать большими, чем ?0. Теперь определим оператор Н{ в центре шара S,-, как и выше, и положим II и 1РЯ = 21| dtn |рЯ/ = 2 (dp, H{ dtu); ясно, что эта норма по-прежнему удовлетворяет неравенствам, общим для всех Яг-. Далее, II и»+> 1Ь — 21 (^«Сия, //f d^Cu"). Замечая, что в каждой точке х при перестановке d\ и С лишь конечное число функций d\ даст ненулевой вклад, находим II u*+1 \?н <2 (Cdv", HiCdtXx11) + const Л/1| и* |р < тем самым устойчивость разностной схемы установлена, чем и завершается доказательство теоремы Крайса. Мы привели столь подробное доказательство как по причине важности результата, так и ввиду общей ценности проведенных
128 гл. о. переменные коэффициенты, нелинейные задачи ч. i рассуждений. Всегда полезно иметь результат, зависящий толь- только от собственных значений матрицы перехода или символа G, но особенно важным оказалось понятие диссипативной разност- разностной схемы для нелинейных задач (см., например, Рихтмаейр и Мортон [1964]). Важно еще и то, что тем же путем можно полу- получить целый ряд аналогичных результатов. В частности, саму нашу теорему нельзя непосредственно применить к схемам Лак- са — Вендроффа (см. § 12.7), имеющим четвертый порядок дис- сипативности, но только второй порядок точности. Этот и ряд других случаев можно свести к предыдущему заменой перемен- переменных |. А именно предположим, что где HQH ^ const|||2r, а векторная функция g(g) аналитична и такова, что gj = gj + о(|||) при §->0. (Для схем Лакса —Вен- —Вендроффа gj = sin gj.) Тогда переход к переменным g дает воз- возможность применить изложенные выше соображения. Нетрудно убедиться, что для символа G такого вида разностная схема может иметь только первый порядок точности. Оказывается, что в общем случае, однако, условие порядка точности 2г—1 не может быть ослаблено такими методами, хотя Парлетт [1966] и доказал, что порядка 2г — 2 достаточно, если Р имеет различные собственные значения, т. е. если система дифференциальных уравнений строго гиперболична. § 5.5. Дальнейшие разультаты для симметричных гиперболических уравнений Имеется ряд теорем о разностных схемах для гиперболиче- гиперболических уравнений, аналогичных теореме, доказанной в предыду- предыдущем параграфе. Если сделать о символе G предположения, в не- некотором смысле более сильные (хотя и не включающие в себя никаких условий диссипативности), то нет нужды в столь тща- тщательном анализе информации о разностной схеме. Тогда оказы- оказывается более удобным использовать операторы сдвига 7*и(х)== = и(х + РА*), а не разностные операторы А±. Одна из наиболее ранних таких теорем принадлежит Фрид- рихсу [1954]: Предположим, что при А? = Ах{ разностная схема vr+l = Cvr-[2c*(x)TY E.63) такова, что A) матрицы с(Р) (х) эрмитовы, не зависят от М и удо- удовлетворяют условию Липшица по х и B) матрицы ст (х), кроме того, неотрицательны, тогда эта схема устойчива.
§ 5.5. Дальнейшие резул^аТЫ 129 Как было отмечено Лаксом [1961], условие B) весьма стес- стеснительно— ему удовлетворяют только разностные схемы пер- первого порядка,—но зато оно позволяет очень просто доказать теорему. Заметим прежде всего, что из него следует, что норма символа разностной схемы не превосходит единицы: l|G(x,g)|| = |Sc(W(x)e'M|<l при всех х и |. E.64) Действительно, в силу условия согласованности 2 с(^(х) есть единичная матрица; поэтому если ар— любые комплексные чис- числа, по модулю равные единице, то из предположения B) выте- вытекает, что 2 <« Jj < 1 ^ (у полагая v = 2 dp?(p)u, получаем нужный результат | v |2 ^ | u |2. Далее, |(v, Си)ИI S J v* <х) *(Р) (х) и (х + Р Л/) dx ИI S J v* Полагая v = Си, получаем окончательно E.65) Мы уже упоминали первую работу Лакса, посвященную теоре- теоремам такого типа. Позднее Лаке и Ниренберг [1966] доказали теорему, устанавливающую прямую связь между локальным условием устойчивости E.64) и условием устойчивости E.65) в целом: Предположим, что действительные симметричные матрич- матричные коэффициенты с(р)(х) не зависят от М и имеют ограничен- ные вторые производные по х, а условие E.64) выполнено всюду. Тогда для действительных векторных функций ип разностная схема E.63) устойчива. 5 Зак. 1300
130 ГЛ.5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I Первоначальное доказательство годилось лишь для скаляр- скалярного случая, и было основано на использовании разложения единицы, зависящего от А/. Доказательство для векторного слу- случая даже более изящно. Сначала введем эрмитову матрицу /?(x,g) = /-G*(x,g)G(x,g) E.66) и построим соответствующий разностный оператор /?д. Из усло- условия Липшица для коэффициентов с<Р> следует, что /?Д = /-<ГС+О(Д/). E.67) Поэтому нам надо, исходя из предположения E.64), т. е. из того, что R (х, g) > 0 для всех х и g, E.68) доказать, что для некоторой константы М (и,/?ди)>-МД/||и|р. E.69) Для этого нам потребуются две леммы. Лемма 1. Если символ R эрмитов и ф(х) — гладкая действи- действительная скалярная функция, для которой |ф(х) | ^ 1, то для дей- стивтельных и | (Фи, RA Фи) - (Фи, ф#ди) | < К (L + L2) (АО2 II и||2, E.70) еде постоянная К зависит только от /?, a L — постоянная Лип- Липшица для ф. Так как символ R эрмитов, то оператор /?д есть сумма членов вида г(х)[Р±Г~0], где матрица г эрмитова в случае положи* тельного знака и косоэрмитова в противном случае. Рассмотрим, к примеру, первый случай. Используя индекс р для обозначения сдвига х-^х + РА^, левую часть неравенства E.70) для рассма- рассматриваемого члена можно оценить так: | J (ФР ~ Ф) фиггир rfx - J (<р - Ф_р) фи^ги_р dx | = = | J (Фр - ф) (фиггир - Фрирггри) dx < < L | Р | М J | (Ф - Фр) urrup + Фр (u^rUp - ufou) | dx, где uT — матрица, транспонированная к и. Первый член в под- интегральном выражении в правой части не превосходит ||r||L|p|||u||2A/, а второй ограничен произведением постоянной Липшица для г (а:) на |Р| ||и||2Д/, так как urrup = u^ru; отсюда и следует нужный результат.
§ 5.5. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 131 Лемма 2. Если матрицы А и В эрмитовы, А + В > 0 и А — fi ^ О, то для любого действительного числа М |лГ2(у, Ау). E.71) Для доказательства достаточно заметить, что g ((g) ()(g) = 2 (f, 4f) + 2 (g, 4g) + 2 (f, fig) + 2 (g, fif) > 0, положить f = Mu, g = AfVev и выбрать подходящее 8. Для доказательства нашей теоремы возьмем теперь некото- некоторое основное разбиение единицы, 2^НХ)—*> и рассмотрим семейство функций е,(х) = с?г((Д/)-1/2х). Функции ег-(х) имеют носитель порядка (Д/)'/а и удовлетворяют условию Липшица: |ег-(х) — ^г(у) |<const(Д/)"'/2|х — у|. Мы утверждаем, что | (и, /?Д11) - 2 ер, R^etu) \ < const Л/1| и |р. i В самом деле каждый член г(х)Т оператора /?д приводит к раз- разности J u'rup Л - 2 в| (х) в| (х + Р Л0^ ^х = = J u^rup 2 4 [в, (х) - е,(х + Э ДО]2 dx. i Разность в квадратных скобках в последнем выражении при каждом фиксированном значении х отлична от нуля только для конечного числа значений /, поэтому вся сумма является величи- величиной порядка О[(Д/)|/з], откуда и следует справедливость сделан- сделанного выше утверждения. Таким образом, нам осталось получить неравенство E.69) для функции v = ?iU, имеющей носитель порядка (Д/I/а. Пред- Предполагая, что* начало координат принадлежит этому носителю, представим на нем R в виде ряда Тэйлора R (х, g) = R @, g) + 2 XjRu) (g) + О (ДО, E.72) где Ru)($) = dXlR(x, S)|x=0; если теперь положить то ясно, что наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что
132 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I т. е. что (v, /&0)v) + 2 (w/, /?ky)v) > —ЛГД/Hv ||2, где Wj = JCjV, а значок Д употребляется для обозначения раз- разностного оператора, отвечающего соответствующему символу. Далее, так как /?(х, |)^0, то должна существовать такая по- постоянная Ми что R^H^ + XjR^^ + M.MI^O при |jc7|<(A/I/2. Таким образом, мы можем применить лемму 2 к А = RW (g) + Мх Ml, В = (M)ll2RW (g) и получить оценку «трудных» членов в RU\ Так как теперь все операторы суть операторы с постоянными коэффициентами, то эта оценка непосредственно переносится в исходное веществен- вещественное пространство. В результате получаем Если взять М2 = (А01/2/^ и заметить, что I|wj||2<O(A/)||v||2, to мы придем к неравенству I (w/t Rb) I < ^ (v, ^k0)v) + ^ (w,. /?k0)w/) + О (АО || v If, так что остается доказать, что » «21 wy) > - О (АО || v ||2. Используя теперь лемму 1 с ф = ху9 находим I (w/f /?!?w,) | - (*Jv, /ИМ I < iC (АО2 II v ||2, где К зависит только от /?д)#, поэтому нужный результат будет следовать из того факта, что ([ 1 - (dIM) | х |2] v, /?k0)v) > - О (Л/) || v |f, если мы докажем, что носитель функции v содержится в шаре |x|<(Af/2d)!/a Чтобы убедиться в последнем, положим г|)(х) = = A — (d/At) |x|2)'/2 внутри этого шара и продолжим \f> вне шара как гладкую положительную функцию. Постоянная Лип-
§ 5.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ 133 шица для нее равна (d/Д/)^ и в силу той же леммы 1 I (*2v, /?k°V) - fov, /?(д°Ч v) | < 2/С (АО2 (d/M) || v ||2, в то время как § 5.6. Нелинейные уравнения с гладкими решениями Для нелинейных уравнений пока еще не существует методов исследования достаточно общих классов разностных схем. За исключением отдельных частных случаев, совсем немного дока- доказано относительно разностных схем, аппроксимирующих разрыв- разрывные решения, которые часто возникают при решении таких урав- уравнений. Только в случае достаточно гладких решений возможен подход с помощью уравнений первой вариации. В гидродинамике, например, это означает, что для аппроксимации ударных волн пока нет строгой теории. Однако, хотя предположение о гладкости решения дифферен- дифференциального уравнения и исключает из рассмотрения многие физи- физически интересные' Случаи, оно все-таки позволяет придать тео- теории, развиваемой в последних трех главах, сколько-нибудь за- законченный вид. Хотя понятие устойчивости как ограниченности решений разностных уравнений остается в силе, теорема Лакса об эквивалентности становится, конечно, неприменимой, поэтому доказывать сходимость приходится непосредственно. Это можно сделать различными способами. Весьма простой способ рассу- рассуждений, изложенный здесь, принадлежит Стрэнгу [1964а]. Рассмотрим гиперболическую краевую задачу для квазили- квазилинейной системы d лу(и,х)-^, -оо<*,<+оо, 0</<1, E.73) где u = u(x, t). есть р-мерная векторная функция с начальным значением и(х, 0) = ио(х). Аппроксимирующую эту задачу раз- разностную схему запишем в виде пп+\ = ф (ип, х> д;), ио (х> дг) ^ Uo (х)) E.74) где правая часть является нелинейной функцией от значений ип(х + [Ш) функции un в конечном числе точек, соседних с х. Как и в предыдущем параграфе, выберем все пространственные приращения равными At. Тогда в силу согласованности для лю- любой гладкой функции v имеем d ср (v, х, М) = v + А* 2 А, (у, *)ш + о (АО; E-75)
134 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I порядок точности схемы равен q, если для решения уравнения E.73) || и (х, t + М) - ф (и, х, ДО ||= О [(Д0*+1]. E.76) Предположим теперь, что мы подставили разложение U (х, /, ДО = и (х, 0 + 2 (A0m Um (х,0 E.77) 771 в равенство U(x, / + А*, А/) = cp(U(x, ty Д/),х, А/), разложим его левую часть в ряд Тэйлора и приравняем нулю коэффициенты при каждой степени Af, используя при этом E.75). Первое из полученных таким образом уравнений в точности совпадает с дифференциальным уравнением E.73) для функции и, а осталь- остальные будут линейными уравнениями относительно Um: Um(x,0) = 0, т=1, 2, Здесь коэффициент а зависит от первых производных функции и и первых производных по и от функций Aj, а рт зависит от про- производных до порядка т + 1 от и, ф и А-2 и до порядка т + 1 —/ от Uj для / < т. Далее, вследствие гиперболичности уравне- уравнения E.73) решения уравнений E.78) существуют и непрерывно зависят от неоднородных членов рт и их производных до неко- некоторого порядка го. Поэтому в предположении, что и, ф и Aj имеют го + /*+1 производных, все Um, m=l,2, ..., г, суще- существуют; они называются главными членами ошибки *) и функция U (х, U M) =u (х, *) + 2 (A/)mUm (х, t) E.79) удовлетворяет соотношению U (х, / + А*, АО = Ф (U (х, U А/), х, М) + о [(M)r+l]. E.80) Основная идея Стрэнга состоит в том, чтобы сравнивать с раз- разностной аппроксимацией un функцию U вместо и. Преимущество этого подхода в том, что за счет выбора достаточно большого г возмущение разностного уравнения E.74) можно сделать сколь угодно малым. Это нужно потому, что при оценке разности ме- >кду ф и ее первой вариацией нам придется переходить от сред- среднеквадратичной нормы к норме максимум модуля. ») Заметим, что эти члены ошибки не зависят от Д/; следовательно, то же верно и для оценок их производнцх, которые потребуются ниже.
§ 5.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ 135 Итак, обозначим через Еп разность U(n&t)—un и вычтем уравнение E.74) из E.80) при / = пМ; для каждого р обозна- обозначим через с (v) якобиан функции cp(v, x, Д/) относительно соот- соответствующих переменных, отвечающих v(x + рД/) и, используя теорему о среднем значении, получим E»+1 (х) = 2 с* (U (п М) - QEn) Еп (х + Р М) + о [(M)r+l], E.81) гдеб лежит между 0 и 1 и зависит от я, р и х. Линейный разно- разностный оператор Сп = С(яД/, Д/), соответствующий коэффициент там с*, вычисленным в точке u(x, nAt), называется первой вариа- вариацией оператора ф. Предположим, что он устойчив, т. е. что ПС </С при Докажем по индукции, что если порядок точности операто- оператора <р равен q и г взято равным q + [(d-\- l)/2], где [5] обозначает целую часть действительного числа 5, то max\En(x,kt)\^n{M)q+l при лД/<1. E.82) Очевидно, это верно для п = 0; предположим, что это справед- справедливо для n<.N. Перепишем E.81) в виде Из E.79) и того факта, что q^-l, следует, что для всех п<М E.83) где \х — некоторая константа. Следовательно, вспоминая рас- рассуждения из § 3.9, получаем E.84) Это произведение при i = 1 представляет собой матрицу беско- бесконечного порядка, у которой в каждой строке имеется O(Nd) от- отличных от нуля элементов, «связывающих» значение Е^ в не- некоторой точке N-ro временного слоя с ошибками аппроксимации в O(Nd) точках первого временного слоя. Это — оценка в /^-нор- /^-норме. Оценка соответствующей нормы максимум модуля получает-
136 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I ся умножением на О(Л^^), так что max | Е" | < NK<P* О {Nm) X при А/ < б, где б не зависит от N. Этим завершаются индукция и доказательство сходимости un(x) к u(x, nkt) при А/-^0. Сфор- Сформулируем- результат в виде теоремы. Предположим, что оператор ф из уравнения E.74) является согласованным и его первая вариация устойчива в L2. Тогда если u, Aj и <р имеют непрерывные производные до порядка [(d+ 1)/2] + го +2, то при Ы-+0 разностная аппроксимация un сходится к решению уравнения E.73). Рассматривая порядок величины членов рт, можно показать, что если <р имет порядок точности q и предполагается существо- существование [(d+l)/2]+ro+<7+l производных, то и^х) — и(х, пМ) = О[()] Несмотря на общность этой теоремы, мы должны предосте- предостеречь читателя от мысли, что относительно нелинейных уравне- уравнений с достаточно гладкими решениями все ясно. О том, что это не так, свидетельствуют серьезные ограничения, с которыми при- приходится сталкиваться при применении идей устойчивости и схо- сходимости в практических вычислениях. Одна из причин здесь та, что влияние граничных условий пока никак не учитывалось. Сле- Следующий пример, принадлежащий Рихтмайеру [1963], показы- показывает, какого рода неприятности могут возникнуть даже в самых простых случаях. Дифференциальное уравнение = 0, 0<jc<1, />0, E.85) с начальными и граничными условиями 1 и @,0-0. *>of E-86) имеет точное решение и(х, t) = x/(l + t). E.87) Предположим, что мы пытаемся решить эту задачу, используя «петлеобразное» разностное уравнение «Г - «Г1 + т [("жJ - К-.J] - ° 0.88) при Д/ = АДл:. Можно показать, что это уравнение имеет реше- решения, которые для фиксированного t возрастают как exp (const/A/) при Д/-^0, даже если для линеаризованного уравнения выпол-
§ 5.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ 137 нено условие фон Неймана Действительно, рассмотрим решение вида и*] = Сп cos -S(. + Sn sin Ц- + Un cos nj + V. E.90) Подстановка его в уравнение приводит к рекуррентным соотно- соотношениям Cn+l-Cn-l=2XSn(Un-V), Sn+l - Sn~l =2XCn{Un + V), E.91) Un+] — Un~l = 0. Согласно третьему из них Un принимает два циклически повто- повторяющихся постоянных значения, скажем А и В. Поэтому пер- первые два соотношения дают уравнение и аналогичное уравнение для 5П. Если коэффициент в правой части заключен между —4 и 0, то все решения будут ограниче- ограничены; в противном случае всегда найдется такое решение Сп, что \Сп\ будет расти как экспонента от пу т. е. от t/At. Чтобы увидеть, когда может появиться такое экспоненци- экспоненциально возрастающее решение, заметим, что в силу условия фон Неймана E.89) страведливо неравенство — тах(|Л|, которое показывает, что коэффициент при О в правой части E.92) не может быть меньше —4. Если кроме того \A\<\V\ и \B\<\V\, E.93) то этот коэффициент не может быть больше нуля. Поэтому если мы будем рассматривать постоянный член V в E.90) как глад- гладкое решение, для которого другие члены являются возмущением, и если амплитуда этого возмущения не превосходит предельного значения, или порога, указанного в E.93), то оно не будет воз- возрастать; но если первоначальное возмущение больше этого nor рога, то можно ожидать его экспоненциального роста. Контрольные расчеты, проведенные для задачи E.85), E.86) Рихтмайером и Мортоном [1964], а также Стеттером [1965], под- подтверждают наличие этого и ряда других сходных явлений. Ис- Использование петлеобразной схемы E.88) в некоторых случаях приводит к решениям, которые сильно возрастают, в то время как схема для соответствующей линеаризованной задачи
138 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I оказывается либо устойчивой, либо приводит лишь к очень не- незначительному возрастанию ошибки. Выводы из этих примеров не совсем ясны, отчасти из-за влияния граничных условий. Воз- Возможное объяснение состоит в том, что в обоих случаях петлеоб- петлеобразная схема обеспечивает сходимость аппроксимации при до- достаточно малых А/, т. е. тогда, когда ошибка аппроксимации в разностной схеме порождает достаточно малые возмущения. Но для нелинейной задачи поведение решения существенно за- зависит от относительной величины возмущений, что не имеет места для линейной задачи. Во всяком случае практическое различие между этими за- задачами весьма велико. Из последующих глав будет видно, что во многих случаях наличия устойчивости при Д/->0 отнюдь не достаточно для практических целей. Следует отметить, что даже после линеаризации петлеобраз- петлеобразная схема находится только «на грани» устойчивости, так как собственные значения ее матрицы перехода по модулю равны единице. Поэтому к ней невозможно применить изложенные выше теоремы Крайса. Однако в E.88) можно ввести дополни- дополнительные разностные члены таким образом, что схема станет диссипативной в указанном выше смысле без изменения поряд- порядка точности. Рихтмайер и Мортон показали, что коэффициенты этих членов можно выбрать так, чтобы обеспечить устойчивость даже для нелинейной задачи. Нужно также отметить, что хотя здесь рассматривается только случай скалярного переменного, но теорема Лакса и Ниренберга неприменима даже к линеари- линеаризованной системе. Петлеобразная схема двухслойна, и если ее привести к однослойной схеме (см. гл. 7), то вектор решения будет иметь две компоненты; матрица перехода для такой си- системы не удовлетворяет условию теоремы Лакса и Ниренберга.
Глава б СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ § 6.1. Введение Специалист по численному анализу, перед которым поставле- поставлена проблема выбора устойчивых конечноразностных схем, может идти двумя существенно различными путями: попытаться полу- получить такой критерий, который был бы пригоден для определения устойчивости любой из предложенных ему разностных схем, или же использовать те методы, устойчивость которых уже установлена. Первый путь более удовлетворяет честолюбию ма- математика, и до сих пор при исследовании устойчивости мы шли именно по этому пути. Однако из последней главы видно, что встречающиеся при этом трудности непрерывно возрастают. Так, для линейных гиперболических уравнений в теоремах об- общего характера надо предполагать либо большую гладкость коэффициентов плюс выполнение локального условия устойчи- устойчивости, либо наличие диссипативности. В обоих случаях дока- доказательства теорем достаточно сложны. По-видимому при фак- фактическом исследовании линеаризованных задач для нелинейных уравнений условие диссипативности является более подходя- подходящим, поскольку численные эксперименты, типа упомянутых в § 5.6, наводят на мысль, что оно весьма желательно, даже если и не является строго необходимым. Но для многих имею- имеющих практическое значение линейных разностных схем условия этих общих теорем оказываются слишком стеснительными: дей- действительно, во многих случаях было бы удивительно, если бы условие Липшица для коэффициентов давало в смысле устой- устойчивости что-либо другое по сравнению с случаем постоянных коэффициентов. Таким образом, как это часто бывает, выигры- выигрывая в общности, мы проигрываем в точности для конкретных частных случаев. Поэтому в этой главе мы уделим больше внимания изуче- изучению конкретных типов разностных схем. На этом пути мы смо- сможем кроме того начать рассмотрение задач с непериодическими граничными условиями для ограниченных областей и изучить влияние этих граничных условий на устойчивость. Ввведение границ помимо необходимости использовать дополнительный аналитический аппарат приводит еще к двум новым затрудне- затруднениям при исследовании устойчивости. Во-первых, для того что-
240 гл- 6- СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I бы показать, что для разностного уравнения не существует соб- собственных колебаний, возрастающих от шага к шагу, нужно теперь рассматривать колебания, отличные от колебаний с по- постоянной амплитудой, т. е. от компонент Фурье для задач с по- постоянными коэффициентами; действительно, среди колебаний, которые убывают при удалении от границы, также могут быть собственные колебания, разумеется, если они удовлетворяют граничным условиям. В действительности этими последними условиями исключаются все колебания, возрастающие со вре- временем, в предположении, что устойчивость (или корректная по- постановка задачи) обеспечена. Во-вторых, многие разностные схемы требуют для своей реализации большего числа гранич- граничных условий, чем это необходимо при решении соответствую- соответствующей задачи для дифференциального уравнения. Поэтому возни- возникает задача научиться выбирать эти дополнительные условия таким образом, чтобы при этом не ухудшить устойчивость. § 6.2. Основные идеи энергетического метода Начнем рассмотрение наших задач с несколько более по- подробного, чем до сих пор, изучения так называемого энергети- энергетического метода. Это несколько странное название относится к широкому кругу технических приемов, основанных на понятии сильной устойчивости, о которой говорилось в конце § 5.2. Ос- Основная идея состоит в том, чтобы построить для вектора реше- решения такую норму, в которой он возрастал бы за каждый шаг на множитель, не превосходящий 1 + О(Д/). Это означает устойчивость в такой норме, и все дальнейшие рассуждения обычно сводятся к тому, чтобы установить эквивалентность этой нормы и ?2-нормы. Причиной указанного названия является то, что в некоторых наиболее простых случаях в качестве такой нормы можно взять физическую энергию системы. Подобные методы уже давно применяются в теории диффе- дифференциальных уравнений для доказательства существования и единственности решений (см., например, работы Фридрихса [1954, 1958] и Р. Филлипса [1957, 1959], в которых имеются ссыл- ссылки на более ранние публикации). Их применение к разностным уравнениям также имеет долгую историю, начинающуюся с ра- работы Куранта, Фридрихса и Леви [1928]. Затем они использова- использовались многими авторами, в том числе Фридрихсом [1954], Лисом [1960], Лаксом [1961] и Крайсом [1963]. Иногда с помощью этих методов можно получать совершенно общие результаты; мы уже делали это в предыдущей главе. В начале своих исследований по задачам с переменными коэф- коэффициентами Лаке [1960] рассмотрел вопрос о границах приме- применимости энергетического метода и показал, что при определен-
§ 6.2. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА 141 ных условиях норма с нужными свойствами всегда существует и может быть выражена в явном виде через решение и опре- определенное число разностей от него. Однако условия, при которых это возможно, довольно ограничительны. Из теоремы Крайса о матрицах мы знаем, что такие нормы существуют по крайней мере для задач с постоянными коэффициентами; трудность за- заключается в их точном представлении с помощью решения и разностей от него. Поэтому мы будем рассматривать энергетический метод ско- скорее как совокупность приемов, применяемых к каждой разност- разностной схеме (или классу разностных схем) индивидуально для получения нормы с нужными свойствами для этой конкретной схемы. Так, для одного уравнения B\un+l = Воип с одной про- пространственной переменной весь процесс состоит по существу из двух этапов. Сначала, возводя в квадрат обе части уравнения и суммируя по всем точкам сетки, т. е. выбирая подходящее скалярное произведение, мы стремимся получить соотношение вида 1 F.1) где Sn = S(un) — некоторая квадратичная форма от решения ип и его разностей. Затем мы должны показать, что форма Sn является положительно определенной и эквивалентна квадрату 12-нормы ип\ именно здесь в качестве условия устойчивости по- появляется некоторое ограничение на шаг по времени. Заметим, что при рассмотрении разности между ип и решением диффе- дифференциального уравнения можно с помощью этого метода непо- непосредственно получить оценку роста ошибки и скорость сходи- сходимости. Ясно, что получаемое таким образом условие устойчивости в общем случае будет только достаточным. Можно не получить действительных границ устойчивости метода либо вследствие недостаточной изобретательности при построении нормы, либо вследствие ограничений, присущих самому энергетическому ме- методу. Таким образом, этот метод до некоторой степени допол- дополняет анализ на собственные значения, который обычно дает не- необходимые условия устойчивости. Компенсацией за эти ограни- ограничения служит главным образом та простота, с которой можно учесть переменность коэффициентов и граничные условия. По- Помимо этого, ниже будут построены примеры, показывающие, что понятие устойчивости, определенной до сих пор как свой- свойство, проявляющееся в пределе при Д/->0, может быть причи- причиной недоразумений на практике. Энергетический метод позво- позволяет ответить на весьма важный практический вопрос — для каких значений Д/ при данном конечном Лл: норма решения возрастает не быстрее экспоненты от времени /?
142 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч^ В соответствии с общим принципом тщательной подгонки нормы к каждому рассматриваемому методу указанные поло- положения лучше всего проверить на конкретных примерах, часть которых приводится в следующем параграфе. Эти примеры иллюстрируют также еще одну особенность энергетического ме- метода, а именно что разностную схему можно (и часто нужно) выбирать так, чтобы облегчить применение метода. В особен- особенности это относится к многомерным задачам. Прежде всего введем некоторые обозначения и получим не- несколько основных неравенств и тождеств. Для простоты огра- ограничимся здесь задачами лишь с одним пространственным пере- переменным ху для которого возьмем в качестве стандартной обла- области отрезок 0^л:^1; если одна или обе границы находятся в бесконечности, то обычно это приводит только к упроще- упрощениям, и необходимые при этом изменения в приводимых ниже утверждениях очевидны. Покроем область изменения х равно- равномерной сеткой с шагом Ajc, положение которой относительно границ выбрано и фиксировано, и будем считать, что решение ип(х) ищется только в узлах сетки, где оно обозначается через и"; / пробегает значения от 0 до /. Выбор сетки в крайних точ- точках в значительной степени определяется заданными гранич- граничными условиями, и мы рассмотрим здесь только две возможно- возможности1): либо крайняя точка является точкой сетки, называемой в этом случае граничной точкой, что обычно бывает тогда, ко- когда в качестве граничного условия задано само значение функ- функции; либо она лежит посредине между двумя точками сетки, что чаще всего бывает тогда, когда в качестве граничного усло- условия задается производная от неизвестной функции. Точки сетки внутри области называются внутренними точками. Во втором случае иногда удобно ввести фиктивные точки вне области из- изменения х, называемые внешними точками. Отметим, что значе- значения, которые может принимать Ах, ограничены выбором сетки на границах: например, если обе крайние точки являются гра- граничными, то должно быть (Ajc) = /. В литературе существует большой разнобой в обозначениях для конечных разностей. Для наших целей удобнее обозначать разности с помощью явного оператора, а не с помощью, ска- скажем, дополнительного нижнего индекса у функции, от которой берется разность. Кроме того, мы предпочитаем использовать для неразделенных разностей обозначения, близкие к тем, ко- которые применялись в старых руководствах по данному пред- 1) В практических задачах для различных компонент вектора и7} сетки могут значительно отличаться друг от друга; их выбор зависит от удобства аппроксимации дифференциальных уравнений и граничных условий; здесь подобные усложнения не будут рассматриваться.
§ 6.2. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА 143 мету. Хотя большая часть обозначений уже была введена в раз- различных местах книги, стоит собрать их все вместе: И/, Д-И^Му-М/-!, F.2) = j (Д+ + Д_)и у —^ (и/+1 - «/_,), F.3) 62Wy = Д+ Л-Wy = Д_ Л+Wy = «у+1 — 2uj + Wy_j. F.4) Если имеется несколько пространственных переменных, то они различаются введением у разностных операторов нижних ин- индексов. Кроме того, мы иногда будем использовать операторы сдвига Т+щ = щ+х, Т-и, = и,-и F.5) как, например, в тождествах для разностей от произведения: Д+ (аи) = аД+« + (Д+а) Т+и = Т+ (аД_и) + (Д+а) и, F.6) Д_ (аи) = аД_ы + (Д_а) Г_ы = Г- (аД+м) + (Д_а) а, F.7) До (аи) = аДон + (Доа) г/ + 72Д- [(Д+fl) (Д+м)]. F.8) Хотя эти тождества приведены лишь в скалярной форме, ясно, что они справедливы также и в том случае, когда а является матрицей, а и — вектором. Для функции un, не определенной в каждой точке х-про- странства, мы не можем использовать обычное интегральное определение ?2-нормы. Вместо этого возьмем в качестве нормы следующую сумму: (и, у)д = Да: 2 ujvy, || и \\2А = (и, и)д, F.9) где суммирование распространяется только на внутренние точ- точки сетки; если нет опасности спутать эту норму с обычной 12-нормой, то индекс Д опускается. Может показаться, что это не согласуется с принципом гл. 2 вложения сеточных функций un в функциональное пространство дифференциальной задачи. Но в действительности это не так. Например, в случае когда у сетки нет граничных точек, т. е. граница находится в беско- бесконечности или проходит посредине между двумя точками сетки, то в качестве результата такого вложения функции un можно взять ступенчатую функцию со значением uf на каждой поло- половине отрезка сетки по обе стороны от ее /-го узла; тогда норма F.9) совпадает с 12-нормой. С другой стороны, если точки х = 0 и х= 1 являются граничными и в каждой из них задано однородное условие ип = 0, то формула F.9) эквивалентна аппроксимации соответствующих интегралов по правилу трапе- трапеции. Но если функция un продолжена на весь отрезок с по- помощью линейной интерполяции, то вклад /-го отрезку
144 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I в интеграл, определяющий ?2-норму, равен III «у+К. -и?)* II2 dt - Ч IIй" II2+1К-и I2 + Re <«ж) о и заключен между одной шестой и половиной от ||иу ||2 + -f- ||и* II2. Следовательно, в этом случае обе нормы также экви- эквивалентны. Можно показать, что они эквивалентны и в проме- промежуточных случаях. Все, что надо делать, —это видоизменять способ вложения в соответствии с рассматриваемой задачей таким образом, чтобы норма F.9) была эквивалентна ?2-норме. В случае когда в скалярных произведениях встречаются раз- разности от и, может возникнуть надобность в изменении пределов суммирования, поэтому удобно ввести обозначения («.у),,,-**!^. (бло) Для примера легко доказать, что ||Л5.и||Ь<4п||и|^5+п> ||/?« II». < 4-mi* ( " тогда как Далее если А — матрица, то в силу F.6) и F.7) справедливы следующие неравенства: Kit, А+ (Av))r s - (и, ЛД+у)Г| S\^M+ Ьх\\ и||Г| J v\\r+h 5+1, F.13) |(u, А-(Лу))л 5-(u, ЛЛ_у)Г( 5|<М_Лх||ц||г> s\\v\\r_u Яшт1, F.14) | (u, Ao (Av)\ s - (u, A Aov)r> 51 < Mo Лх|| u ||л а\\ v ||r_lt 5+1, F.15) где М с соответствующим индексом есть наибольшее значение нормы матрицы дА/дх на отрезке, содержащем все точки сетки, входящие в рассматриваемую формулу. Однако наиболее важными для применений энергетического метода являются формулы суммирования по частям, соответ- соответствующие формулам интегрирования по частям в задаче для дифференциального уравнения. Мы уже широко применяли их в тех случаях, когда можно было пренебрегать граничными чле- членами, но теперь мы должны быть более точными. Удобно вве- ввести еще одно обозначение
§ 6.3. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 145 Эти формулы могут иметь несколько разновидностей, каждая из которых получается просто суммированием одного из тож- тождеств F.6) — F.8); основными являются следующие две фор- формулы: («. Мл . - - (Д-«. 4+1. *+. + Л* • ">о Г1. F-17) (и, Д_У)Г> , = - (Д+и, v)r_,, s_, + Л* • ujvo l^,; F.18) объединяя их вместе, получаем (и, Д„у)г, ,: (Дои, у)Л s + V, Л* (u;, v0 + <v,) |.. F.19) После несложных преобразований приходим к соотношениям («• ЛЛ. = " <Л+и- v), s - (А+«. A+v)r. . + А« • «Х Г' F-20) («• Л- A s = ~ (А-«. v), . + (А_«. Д-V),, $ + Ьх- u;v01?_,. F.21) § 6.3. Простейшие примеры применения энергетического метода: выбор устойчивых аппроксимаций граничных условий и нелинейных членов В качестве первого примера рассмотрим смешанную краевую задачу для действительной функции и(х, t) Ж+а(*)-Ж = 0' 0<*<оо, 0</<1, F.22) с начальными и граничными условиями и(х, O) = f(x), 0<л:<оо, где Л^а(л:)^а>0. Будем аппроксимировать это уравнение четырехточечной разностной схемой (ср. Томи [1962]) tty+l + M/n+,l+fl/-./iA^Jf+Is= = и?+ ttJL,—<*/_¦/• А-ИГ л = 0» 1, 2, ..., /=1, 2, ... , F.23) где положено Ад: = Д/, что не уменьшает общности. Чтобы при- применить энергетический метод, возведем обе части в квадрат и просуммируем по всем /. Полагая Sn = | № + «/-О2 + aU («? - «/-.Л - = ST1 + т~)"" II2 + II а-ч?-и° 1Г' F-24) где aJf, используется для обозначения G"_) '/«а, получаем Sn+1_Sn=-2([l + r_]«n, а_./2А-«п)- - 3 ([1 + Г_] ип+\ а-,/, Д-«п+1)- F.25)
J4Q ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ясно, что () [ + Г-] wj = w) — w)-\ = Д- поэтому - Sn = - 2 (Л- [(и"J + (ип+П а_,Л). Отсюда после суммирования по частям, используя формулу F.18) и граничные условия, находим - Sn = 2 (И2 + 0г»+1J, Д+а-*) < 2L Д* (|| гГ | F.26) где L — постоянная Липшица для коэффициента а(х). Следо- Следовательно, при постоянном а величина Sn также постоянна, а с другой стороны, она возрастает не более, чем экспоненциаль- экспоненциально,— во всяком случае это будет так, если мы сможем пока- показать, что определяемая с помощью 5П норма эквивалентна Z-2-норме, но это действительно так, ибо в силу F.24) 4min(l, a2)||^|p<Sn<4max(l, Л2)||^|р. F.27) Отсюда следует, что 4min(l, a2)|| т. е. m==0 ГДе K\ = max(l,/!2)/min(l,a2) и /С2 = L/min(l,a2). Поэтому II un |f < (Kx +/C2Aa:)A— K2 АхГп \\ u° ||2 < const || ifi f при nkx = nM ^ 1 и достаточно малых Д?. Таким образом, нам удалось доказать безусловную устой- устойчивость разностной схемы, у которой имеется переменный ко- коэффициент и которая не является диссипативной в смысле дан- данного в предыдущей главе определения. Более того, это было сделано для области, ограниченной слева, и доказательство легко можно распространить на случай конечного интервала 0^*г^1, для которого не нужно ставить граничных условий на правом конце ни для дифференциального, ни для разност- разностного уравнений. Если /Да: = 1, то суммирование при вычисле- вычислении Sn в F.24) ведется по /= 1, 2, ...,/, и такие же пределы суммирования берутся для нормы. Неравенства F.27) не из- изменяются, за исключением того, что нижняя граница умень-
§ 6.3. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 147 шается вдвое, так что 5п>2т1пA,а2)[|1|«/п|ч'||«/Г]>2ттA>а2)||«п||2; далее, неравенство F.26) сохраняется, потому что а не меняет знака1): Sn+l - S, - 2 ((un Последующие рассуждения проходят без всяких изменений. Для удобства ссылок стоит сформулировать эту заключитель- заключительную часть доказательства в виде отдельной леммы: Если существуют последовательность действительных чисел Sn и две положительные постоянные К\ и /С2 такие, что /СГ1 Ik II2 <S«</С, || и11 IP F.28) ), я = 0, 1, 2, ..., F.29) то II ип f < Кх {Кх + 2К2 АО A - 2/С,/С2 Д0~" II«° IP < < const || if |р при n&t ^T и достаточно малых Д/. В качестве второго примера применим к уравнению F.22) петлеобразную схему ип+\ _ tt»-i = __ 2а} Д^, /=1,2,.... F.30) Это трехслойный или двухшаговый метод, общую теорию кото- которого мы отложим до следующей главы, а пока рассмотрим этот простой пример ad hoc. Должны быть заданы начальные зна- значения и0 и м1; умножив F.30) на ип^х + uj и просуммировав по / = 1, 2, ..., получим для п ^ 1 || ип+\ |р __ || ип-\ |р = — 2 {ип+] + ип~\ а №). Положив Sn = \\un\f + \\u»+l\? + 2(un+l, аДоИ»), F.31) получим Sn - Sn-, = - 2 (г/", а До*/*) - 2 (г/Л 1) Отметим, что это отвечает физической интуиции. Если бы мы имели а(\) < 0, то ясно, что нужно было бы ввести граничное условие и* =0.
148 ГЛ. в. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 В силу F.6), F.7) и F.19) 2 (и1»-1, а Д0и«)=2 («""', До (оия))—(«""'. (Т+ип) Д+а+(Г_ып) Д_а)= = — 2(Ь<ря-1, аи") -(«"-', (?'+и«)Д+й + (Г-И'1)Д-11). Следовательно, +и») Д+а (Г-и«) Д.а < F.32) < LA* (II и"-1 IP+ 11 и" IF). Далее, 2|(ип+1, а^и")\^А(\\ип+1\? + \\ипП F.33) поэтому если Л < 1 (в действительности это не что иное, как условие Куранта, Фридрихса и Леви ЛД//Дл; < 1), то мы имеем n+l\^ F.34) при некотором К > 0. Устойчивость в форме неравенства Цип112 ^ const (l|w°ll2 + II!!2) следует поэтому из рассуждений, аналогичных приведенным выше. Заметим, что в этом случае устойчивость определяется условием, вытекающим из требова- требования положительной определенности 5П. Если эта разностная схема применяется для конечного ин- интервала 0^x^:1, то необходимо поставить дополнительное граничное условие при х= 1, чтобы иметь возможность решить систему разностных уравнений F.30). Чтобы понять, как следует выбрать это граничное условие, проделаем пройденный выше путь в обратном направлении, считая, что /Дл: = 1 и F.30) вы- выполняется для / = 1,2, ..., / — 1; по этим же значениям / бу- будет проводиться суммирование для норм и скалярных произ- произведений. Теперь неравенство F.33) больше ие выполняется из-за наличия в левой части члена, содержащего ипр и, чтобы сохранить F.34), положим Sn = || ип ||2 + || ип+{ ||2 + 2 (ип+\ а Донп) - aj-,unjt\un^x. Далее, мы видим, что вклад членов, содержащих Uj в выра- выражении 2(ип~1, а\ип) + 2(ип, аДо^), равен aj_x{unjZ\unj + W]_xunj-X)ts,x. Поэтому вместо F.32) будем иметь Sn - 5„_, < L Л* (|| и"-11|2+ ||м" И2)-*»,.,»? (и?-.1 +«?}) Д*. F.35) Ясно, что если положить
§ б.з. пЕосГейШйе пеимёрЫ 149 то это не только позволит решить систему разностных уравне- уравнений, но также обеспечит и устойчивость: для последней точки сетки получается уравнение *}±\ =(l +i.e/_1)"'[(l -?«,_,)«# +a,_I«y_2]. F.37) которое обладает желательным свойством— имеет положитель- положительные коэффициенты, сумма которых равна единице. Стоит отметить, что более непосредственный способ полу- получения unj экстраполяцией по / мог бы привести к неустойчиво- неустойчивости. В этом случае вместо уравнения F.37) мы имели бы u]t\ = tt?l! - 2a/_1 (!*»_, - и-_2). F.38) Следовательно, бели бы а(х)=\ и начальные данные имели вид ^ = (-1)/+", лг = О, 1, / = 0, 1, ...,/-1, то вблизи правой границы решение можно было бы записать так: где f (k + J) = 0 при k ^ 0; подстановка этого выражения в F.38) дает /) = (- \)k~x2k{k+ 1) при k>0. Энергетический метод может быть исключительно полезен для устранения неприятностей такого рода. Прежде чем закончить рассмотрение простой задачи этого параграфа, следует заметить, что при замене а(х) в уравнении F.22) на и(ху t) получается очень распространенный нелиней- нелинейный оператор. Для аппроксимации иди/дх можно использовать как 72(Л*) До*/2, так и №х)-]икои, что с точки зрения точно- точности одинаково хорошо. Однако с помощью энергетического ме- метода иногда удается найти такую линейную комбинацию этих разностных операторов, которая является более предпочтитель- предпочтительной. Например, рассмотрим схему Кранка — Николсона иТх + ъ Q K+I)=и? - т Q К)' <6-39) где Q(и)— разностная аппроксимация для (Дл:)иди/дх. После возведения обеих частей уравнения F.39) в квадрат и после- дующего суммирования получим = - (ип+1, Q (мп+1)) - (и", Q («"))•
150 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 Если Q(u)= 1/2&ои2 и граничными членами можно прене- пренебречь, то (и, 1д0к2) = -|(к2, Дои), тогда как при Q(u) = (и, ик0и) = (и2, Следовательно, полагая Q (и) = 1 (Д0^2 + и Дои) = ±(и + Т+и + Т-и) Дон, F.40) получаем, что (м, Q(m)) = 0, и величина ||нп||2 + 74llQ(«n)ll2 остается постоянной, но это и означает устойчивость. § 6.4. Одновременное распространение звука и тепла Чтобы у читателя не создалось впечатления о чрезмерной простоте применения энергетического метода, рассмотрим сей- сейчас более сложную систему уравнений. При этом временно бу- будем пренебрегать эффектами, связанными с наличием конеч- конечных границ, и возьмем в качестве пространственного интервала всю действительную ось —оо < х < +оо. Постараемся также придать нашему изложению характер действительного прово- проводимого на практике исследования, для чего используем вна- вначале самые очевидные соображения и только позднее будем уточнять их по мере надобности. Распространение звука (малых возмущений) в газе с теп- теплопроводностью а, изотермической скоростью звука с и адиа- адиабатической постоянной у > 1 описывается системой уравнений ди д г , 1\1 -w = c-5r[w-(y-l)e], dw ди 1A ,1Ч де д2е ди dt дх2 дх Рассмотрим разностную аппроксимацию этой системы un+l — ип = v [k+wn — (y — 1) Л+?Л]> wn+l — wn = vA_w'l+1, F.42) где v = сД//Дл;, \х = аД//(Дл;J. Достаточно подробное изучение устойчивости этой схемы будет проведено в гл. 10, в основном с помощью метода рядов Фурье. Там будет показано, что при о Ф 0 условием устойчивости является неравенство v < 1, то-
§ 6.4. ОДНОВРЕМЕННОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА И ТЕПЛА 151 гда как при о = О оно, как легко видеть, заменяется более сильным ограничением v < v"l/a. Это неожиданное изменение указывает на практическую ограниченность использовавшегося нами до сих пор понятия устойчивости, согласно которому влия* ние условия устойчивости на поведение решения рассматри- рассматривается только в пределе при Д/ —>0. Мы еще вернемся к этому вопросу ниже при обсуждении энергетического метода, которое послужит дополнением к тому, что сказано по этому поводу в гл. 10. В качестве первого шага при применении энергетического метода образуем скалярные произведения каждого разностного уравнения с суммой двух членов, стоящих в соответствующей левой части; в результате получим l, Д+ш*) — v(y- l)(un + un+l9 Д+е"), +wn+l) = — v(un+l, \\еп+[\? — \\en\\2 = ii(k-k+en+l, en + en+l) — v(b- 1, Д+ (en + ?*+>)) + v (un+l, Д+ Умножая последнее из этих соотношений на у — 1 и складывая затем их вместе, получим после приведения подобных членов соотношение, которое наводит на мысль определить Sn так: (^, Д+(шл-(у-1)О). F.43) В этом случае F.44) Действительные трудности начинаются при попытке доказать, что 5„ в самом деле определяет норму, когда v< 1, т.е. когда Да: задается соотношением v = const, так что \i = const (Д*). Очевидно, что \(ип, b+wn)\<2\\unUwn\\^\\un\? + \\wn\? F.45) и при любом а > 0 F.46) Следовательно, F.47)
152 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I Последний член наводит на мысль положить а = v/jiA* = с/а, в этом случае он обращается в нуль. Однако, для того чтобы иметь положительный коэффициент при ||нп||2, необходимо взять A*<[2a/cv(v- 1)]A - v). F.48) Таким образом, мы можем доказать устойчивость для произ- произвольно малого отличного от нуля о и для произвольно близких к 1 значений v, но только при условии соответствующей малости интервала Да:. Поскольку 5„ ^ Sn_i ^ ... ^ S\ ^ So, то для завершения доказательства стандартным способом нужно было бы пока- показать, что величина 50 ограничена произведением некоторой по- постоянной на сумму (||н°||2 + ||ад°||2 + lk°||2)." Но сделать это нам мешает член (Длг^УД+е0!!2. Поэтому вместо So мы рассмотрим Si. Последнее из разностных уравнений F.42) при п = 1 дает || ех - цД-Д+е1 |р = || е° - vA^1 |p, т. е. || el IP + 2ц || А+е! ||2 + ц21| А.Д+е1 |р = = \\е° - vA_«! |р < 21| е° |,2 + 8v21| и1 |р. Так как \х = (ov/c) (Ад:), то это означает ограниченность члена (AjtJ'HIA+e1!!2; поэтому величина S\ ограничена некоторой ком- комбинацией квадратов 1г-норм при п = 0 и п = 1. Теперь устой- устойчивость получается обычным путем из оценки ?2-нормы с по- помощью Sn. С практической точки зрения эти рассуждения не имеют особой ценности, когда а мало или когда требуется взять v близким к 1, так как тогда условие F.48) налагает слишком сильное ограничение на Ад:. Что требуется на самом деле, так это точно оценить при любом заданном Ад: то значение Д/, для кото- которого скорость роста некоторой подходящей нормы решения оста- остается ограниченной. В нашем счучае последовательность Sn ни- никогда не возрастает, и здесь необходимы более тонкие рассужде- рассуждения для оценки ее нижней границы. Поэтому мы заменим F.45) неравенством где р > 0 будет выбрано позднее, и линейно скомбинируем F.46) с аналогичной оценкой |(и», A+^)|<6||«f + б-11|^|f в отношении A—g) :g где g и б также будут выбраны позже. Теперь попытаемся получить оценку вида Sn > ах || ип |р + а21| тп |р + аъ || еп |р + ^ || А+еп |р, F.49)
§ 6.5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 153 где Q\% а2 и аз строго положительны, а а4 неотрицательно. Из предыдущего ясно, что (lE)( fl4 = Y (Y - 1) [|i - A - I) vcr1 (Ax)]. Для положительности последних трех выражений необходимо и достаточно, чтобы выполнялись неравенства P>v, 6>vg и a>c(l—g)/a. При сопоставлении этих неравенств с выражением для а\ ста- становится ясным, что нужная нам оценка F.49) имеет место в том случае, когда выполнено неравенство левая часть которого имеет минимум при g = (l+2|i)-1. Сле- Следовательно, практическим критерием устойчивости является условие v < V(l + 2|x)(v + 2|i), F.50) которое подтверждается численными экспериментами, описанны- описанными в гл. 10. § 6.5. Смешанные задачи для симметричных гиперболических систем Чтобы проиллюстрировать применение энергетического мето- метода в более общей ситуации, рассмотрим смешанную задачу для симметричной гиперболической системы, решение которой удо- удовлетворяет некоторому энергетическому неравенству. Предполо- Предположим, что комплекснозначный р-мерный вектор u = u(x, /) есть решение системы ^ 1, F.51) где матрица Р представлена в виде Р(х, д/дх)п^[^{А(х)и)+А(х)^и] + В(х)и. F.52) Здесь А(х) и В(х)—квадратные матрицы порядка р, гладко за- зависящие от jc, но не зависящие от /, причем матрица А(х) яв- является эрмитовой. В качестве начального условия возьмем lf F.53)
154 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I а граничные условия пусть заданы в виде L(jc)u(jc, 0 = 0, Jt = O, I, 0<*<l, F.54) Содержащем jj, (л:) линейно независимых однородных уравнений относительно компонент вектора и. Предположим далее, что существует такая не зависящая от и постоянная /С, для которой выполняется следующее энергетиче- энергетическое неравенство: 4fW"(x> OlP<ffllu(*, ОН2. 0</<l. F.55) Такое соотношение, включающее как частный случай закон со- сохранения энергии (равенство при /( = 0), часто имеет место в физических задачах. Если решение и дифференцируемо, то из F.55) следует, что -fp || u IP = (u, -|f) -Ь ("Ir' «) = 2 Re (и, ,Р«) ^ /С II«IP- F.56) Но так как 2 Re (и, Pu) = uMu|* + 2Re(u, Bu), то F.56) сводится к условию в граничных точках uMu|*< const || all2., F.57) Крайс [I960, 1963] назвал оператор, определяемый равен- равенством W = P(*, d/dx)v Дли всех бесконечно дифференцируемых функций v = v(jc), удовлетворяющих граничным условиям F.54), полу ограничен- нымь если выполнено неравенство 2Re(v, PvX/CI|V|p. F.58) Предположим, что имеется несколько таких операторов, соот- Ёетствующих одной и той же матрице Р и различным наборам граничных условий. Тогда те из них, для которых полное число Граничных условий ji(O)+n(l) минимально, называются мини- минимально полуограниченными операторами. Крайс показал, что 6 случае, когда матрица Р и граничные условия F.54) опреде- определяют такой оператор, задача F.51) — F.54) поставлена коррект- корректно. Кроме того, граничные условия при этом должны удовле- удовлетворять следующим требованиям: 1) число строк \х@) матрицы L@) должно быть равно чис- числу отрицательных собственных значений матрицы Л@); 2) число строк цA) матрицы L(l) должно быть равно чис- числу положительных собственных значений матрицы ЛA);
§ 6.5, СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 155 3) при х = 0 и х = 1 должно быть (— l)x+1 v\4v^0 для каждого вектора v, такого, что L(x)v = 0. F.59) Если матрица А(х) имеет диагональную форму, к которой она может быть приведена с помощью унитарного преобразования й = ?/и, то эти требования можно сформулировать более явным образом. Предположим, что А(х) и п(х) при х = 0 и х = 1 представлены в виде "Л^л;) Ф Ф~~ ~" Ui (л:) " Ф — Л2(л;)Ф , и(л;) = щ{х) , F.60) ф ф ф _ _ и3 (х) „ где матрицы А\(х) и Лг(л;) диагональны, причем диагональные элементы положительны, Ф — нулевые матрицы и размерности всех матриц зависят от х. Тогда допустимые граничные условия имеют вид F.61) где матрицы S@) и S(l) удовлетворяют неравенствам - Л, @) + S* @) Л2 @) 5 @) < 0, F.62) — Л2A) + 5*A)Л,AMA)<0. F.63) Теперь рассмотрим неявную разностную аппроксимацию урав- уравнения F.51) (/ — а Д^д) tij+1 = (/ + A — а) Д^д) и?, /=1,2,...,/ — 1, F.64) где 1/2 sg а ^ 1, а через Рд обозначен разностный оператор, аппроксимирующий Р(х>д/дх). Зададим граничные условия в виде М@)иЛ=2ш,@, Да;)и? = 0, F.65) где матричные коэффициенты т,(ху Дх) предполагаются подхо- подходящим образом нормированными. Напомним, что согласно об- общей теории, изложенной в гл. 3, граничные условия для задачи в дифференциальной форме учитываются при выборе того бана- банахова пространства, которое используется в дальнейшем. Таким образом, для обеспечения согласованности приведенной выше аппроксимации мы потребуем, чтобы для любого решения Ц
156 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I дифференциального уравнения выполнялась импликация L(x)n = 0 влечет ||М(*)u||->0 при Дл;->0, для л; = 0, I. F.66) Поэтому мы предположим, что число строк матрицы М (х) мень- меньше или равно числу строк матрицы L(x). Упрощение возникает в том случае, когда отображение сеточной функции un в функ- функцию и банахова пространства устроено так, что если сеточная функция удовлетворяет условию M(*)un = 0, то ее образ удо- удовлетворяет условию L(jt)u = O. Например, когда точка х = О лежит посредине между точками сетки / = 0,1, то граничное условие и@)= 0 обычно аппроксимируют равенством u|J + u* = = 0; тогда отображение un в и с помощью линейной интерпо- интерполяции обладает требуемым свойством. Предположим дополнительно, что для любой последователь- последовательности значений сеточной функции иу во внутренних точках зна- значения uj и \xnj можно определить так, чтобы удовлетворялись граничные условия F.65). Таким образом, последние не могут включать в себя никакого уравнения, содержащего лишь значе- значения функции иу во внутренних точках сетки. Мы можем также дополнить эти уравнения рядом других аналогичных им урав- уравнений таким образом, чтобы и* и и* можно было однозначно вычислить по иу, / = 1, 2, ..., /— 1. Аналогичные дополнитель- дополнительные уравнения могут быть использованы для всех других внеш- внешних точек сетки, которые входят в Яди;-, где / соответствует вну- внутренней точке сетки. Обозначим через Jf класс сеточных функций w, которые удо- удовлетворяют граничным условиям F.65) и этим дополнительным соотношениям. Тогда для устойчивости разностных уравнений можно получить условие, весьма близкое к тому, которое обес- обеспечивает корректность постановки задачи в дифференциальной форме. А именно, если существует такая постоянная К, что для всех достаточно малых Длс справедливо неравенство Re(w, Paw)a</C||w|||, когда w<=./r, F.67) то при таких Дл; и при 4КМ < 1 функции un, п = 1,2, ..., по- получаемые с помощью уравнения F.64), однозначно определяют- определяются в классе JC начальными условиями и разностная схема устойчива. Следует заметить, что норма II ||д строится только по внутренним точкам сетки. Доказательство этого утверждения сводится к простому сопо- сопоставлению сделанных ранее предположений. Рассмотрим си- систему уравнений = fy, /=i, 2, ..., /— 1, F.68)
§ 6.5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 157 с произвольными правыми частями fj. Если функция w<= JC, то согласно сказанному выше ее значения во внешних точках сетки можно исключить, после чего система F.68) сведется к p(J—1) линейным уравнениям относительно p(J—1) неизвестных ком- компонент функции w во внутренних точках. Далее, если weJft 1/2<а< 1 и 4/Ш< 1, то II f 1РД = II (/ - а А* Яд) w |рд > || w |рд - 2а Д< Re (w, Яд w)A > >( 1 - 2аКМ)II w |рд > V2II w |рд. F.69) Отсюда следует, что система F.68) определяет единственную функцию w e JF. Следовательно, для любой начальной сеточ- сеточной функции и°б/ разностная схема F.64) дает единствен- единственную последовательность un e JP, лг = 1,2, ... . Чтобы доказать устойчивость, умножим скалярно обе части уравнения F.64) на w = aun+1 +A —a)un, что приводит к со- соотношению Re (w, и»*1 - и*)д = A/ Re (w, Рдw)A < К А/ II w |рд, для левой части которого имеем un+I, и«)д -A - a)||u»|?> >[a-V2Ba-l)]||u»+4PA-[l-a+V2Ba-l)]||u»PA = Но Нш^О^+ЧРд + Ии'ЧРд, так что II и»+| 1Гд -II и" 1РД <2КМ(|| и«+' |рд +1| и"|рд), откуда "II и0 ||i; F.70) значит, разностная схема устойчива. В качестве простого примера использования этих результа- результатов применим схему Кранка — Николсона к изучавшейся в § 6.3 задаче 4f l F.71) a @, 0 = 0, и{х, 0) = F(x), где функци и и а действительны и а(х)>0. Сетка выбирается так, что точки х = 0,1 отвечают значениям / = 0, / соответ- соответственно, и схема Кранка — Николсона получается, если поло- положить a = V2 и Яд —-(Ах) a (jc) До. При х = 1 никакого граничного условия нет, а при х = 0
158 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I Класс JF характеризуется этим условием и теми дополнитель- дополнительными соотношениями, которые необходимы для получения не- неравенства F.67). В силу F.15) для любой сеточной функции w имеем где L — постоянная Липшица для функции а(х). Далее, из то- тождества F.19) следует что (ш, До (aw)) = — (Доиу, aw) + !/г Поэтому определим Jf равенством 0, Wj=Wj-\ И W/ = 0 ПрИ /<0 ИЛИ F.72) так что Re {w, P*w) < L || w |p - V4 (a/ + fl/-i) (^/-iJ A< LII tai IP для w Поэтому однозначная разрешимость и устойчивость рассматри- рассматриваемой разностной схемы при 4?Д* < 1 следуют из приведен- приведенной выше теоремы. § 6.6. Спектральный анализ и критерий устойчивости Годунова — Рябенького В этом параграфе мы вернемся к исследованию локальных собственных колебаний как средству определения устойчивости. В случае переменных коэффициентов и граничных условий, не сводящихся к периодичности решения, мы не можем, конечно, непосредственно применить преобразование Фурье и свести дело к алгебраической задаче, изучавшейся в гл. 4. Даже когда про- пространство дейсхвительно, использование конечноразностной ап- аппроксимации для вычислений на каждом шаге по времени во всех тех случаях, которые мы до сих пор рассматривали, сво- сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений; эта система уравнений должна обладать всеми свойствами, не- необходимыми для выяснения вопроса об устойчивости соответ- соответствующей разностной схемы. Основная трудность состоит в том, что при Д/-^0 порядок этой системы возрастает. Вследствие этого, например, может оказаться, что собственные значения со- соответствующих матриц могут только ввести в заблуждение при изучении устойчивости. К примеру, возьмем такую аппроксимацию нашей модельной задачи F.71): ul+[ = il ~ г/)и] + riu1-v r\== (А'/А*) аг F.73)
§ 6.6. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГОДУНОЁА - РЯБЕНЬКОГО 159 Тогда, если рассматривать [ип^ / = 0, 1, ..., /} как вектор, то переход к следующему временному слою будет описываться матрицей "О О — г2 о П F.74) Ее собственные значения равны 0 и 1—г;-, / = 1,2, ...,/, и ле- лежат внутри единичной окружности при 0<г;<2; таким обра- образом, при каждом фиксированном А/ ошибки в конце концов зату- затухают (некоторые авторы берут это свойство в качестве определе- определения устойчивости). Однако собственно устойчивость определяется хорошо известным условием Куранта — Фридрихса — Леви 0<г,<1; вне этого интервала сходимости при Д/->0 нет. Имеется различие между тем, что происходит при п-^оо и фик- фиксированном А/, и требуемым поведением при п-^оо и фиксиро- фиксированном значении n&t. Например, если все г,- = 3/2 и u°f лишь меняет знак от точки к точке, то значение |w^| в каждой точке сетки сначала возрастает в соответствии с формулой utj=(—2)nu(ji до тех пор пока до этой точки не дойдет влияние граничного условия, которое является единственной причиной окончательного затухания; но при Д/->0 этот начальный рост оказывается бесконечным (по поводу дальнейших примеров та* кого рода см. Партер [1962]). Значительно лучше характеризуется устойчивость ?2-нормой матрицы С. Рассматривая векторы с знакочередующимися ком* понентами, легко показать, что если все г,- = г, то действительно, спектральный радиус бесконечной матрицы вида F.74) равен г+ |1— г\. Соображения такого рода побудили Годунова и Рябенького [1963а] ввести понятие спектра семейства операторов. Пусть ЯГ = {С (Д/) | А/ > 0} — однопараметрическое семей- семейство линейных операторов в банаховом пространстве <%. Ком- Комплексное число К называется точкой спектра семейства (Г, если существуют такие последовательности A#J) и uW^&, что ||ис>|| = 1, Д#О-*0 и (/)||->0 при /->оо. F.75)
F0 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕЬЫЁ ЗАДАЧИ ЧЛ Если семейство состоит из одного оператора, то это определение совпадает с обычным. Пример семейства F.74) показывает, что это определение является нетривиальным обобщением; действи- действительно, как доказали Годунов и Рябенький, в том случае, когда все г, = г, спектр семейства представляет собой замкнутый круг радиуса г с центром в точке A —г, 0). Для того чтобы убедить- убедиться в этом, достаточно рассмотреть при К=1—r + s и |s|^r векторы, компоненты которых получаются усечением и после- последующей нормировкой последовательности (s/r)-i> / = 0,1, ... , Ясно, что необходимое условие устойчивости семейства разно- разностных операторов состоит в том, что его спектр должен лежать в замкнутом единичном круге. Это требование мы будем назы- называть критерием устойчивости Годунова — Рябенького. Очевидна его аналогия с условием фон Неймана. При применении критерия Годунова — Рябенького в качестве uW в F.75) подстав- подставляются все локальные собственные колебания с целью прове- проверить, удовлетворяют ли они этому критерию. Так, при рассмо- рассмотрении локальных колебаний Фурье получается условие на соб- собственные значения К матрицы перехода; в пределе при А/—>0 они будут, очевидно, принадлежать спектру семейства и, следо- следовательно, должно выполняться условие |А| ^ 1 + 0A). Это условие значительно слабее условия фон Неймана |Л|^1 + + О(ДО. Но с другой стороны, критерий Годунова —Рябенького является более сильным в том смысле, что при этом рассматри- рассматривается более широкий класс собственных колебаний. Например, вблизи границы вполне могут существовать колебания, которые затухают вдали от нее и оказывают влияние на устойчивость разностной схемы. Простым примером может служить волновое уравнение на полуоси 0 ^ х < оо, которое мы запишем в виде системы ди_ _ dv dv_ _ ди_ ,fi fi. Ж — с~дх~> ~df — c дх (bJb) и аппроксимируем разностной схемой u'}+4* — u«-4* = rb.vt} ,,, /fi 77^ 7)п+\ 7)п гд tjn+Чг in — О J 9 \Р*и) где г = сМ/kx; рассмотрение матрицы перехода для этой схемы приводит к условию устойчивости г < 1 (см. гл. 10). В качестве начальных условий задаются значения ufl/* и v^ и необходимо лишь одно граничное условие при х = 0, общий вид которого (с учетом того, что и и v могут меняться ролями) дается равен- равенством ^ + сш*+'/>==0, F.78) где а—некоторая постоянная.
^ § 6.6. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГбДУНоЁА - РЯБЕНЬКОГО 161 Для нахождения собственных колебаний ищем решение в виде u? = (*m'w, F.79) где через w* обозначен вектор (ay-1*, ^у-'лГ' a w = B, 3)г — постоянный вектор. Подставляя такое решение в F.77), полу- получаем (А,— 1)й — г(ц— 1M = 0, приравнивание нулю определителя этой системы из двух урав- уравнений дает Формула F.79) дает надлежащее решение при \\х\*С 1, а не- неустойчивость возникает лишь при |Х|> 1. Но если г< 1, что мы и будем предполагать, то решения с \\х\= 1 имеют \i\= 1 и потому устойчивы. Таким образом, в области |А,|> 1 решение уравнения F.81), а именно 2гЧ ±У распадается на две ветви, для одной из которых |ц|> 1, а для другой |ц|< 1. Нас интересует последняя, поэтому мы возьмем в F.82) знак минус и ту ветвь корня, которая положительна при скажем X > 1. Подстановка этого значения \х в уравнение F.80) показы- показывает, что можно взять, например, Й=(Я— 1)— 1^1-1J + 4Лг, Тогда из граничного условия г; + аи = 0 получаем Л = (<х + г<х2)(<х + г). F.84) Теперь нетрудно убедиться, что задача в дифференциальной форме поставлена корректно, если аф 14). Поведение функции 1) Стоит отметить, что приведенные в § 6.5 достаточные для корректно- корректности постановки дифференциальной задачи условия сводятся в силу соотно- соотношения F.59) к неравенству йд^О при х = 0; это означает, что при а<0 задача поставлена корректно. Чтобы получить весь набор возможных гра- граничных условий, нужно взять в качестве аналога энергии другую величину, или, что то же самое, перейти к новым переменным. Так, полагая й = и + v и б = Р(й — v) при 0 < Р < «>, мы приведем допустимые граничные усло- условия к виду б = уй при х = 0, где \у\^ 1. Это охватывает все случаи ра- равенства v + ай= 0 за исключением а = 1. 6 Зак. 1300
162 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 F.84) схематически изображено на рис. 6.1. Из рисунка видно, что F.79) представляет собой неустойчивое колебание за ис- исключением тех случаев, когда 1>а>— ^T3 или — значения а вне этих интервалов приводят к неустойчивости. От- Отметим, что обычное граничное условие й — v — O является пре- предельным случаем допустимых граничных условий. В нашем примере (С — М)и действительно обращается в нуль для рассмотренных выше колебаний, но в случае конечного Рис. 6.1. График функции F.84). интервала 0 ^ х ^ 1 может оказаться, что и будет удовлетво- удовлетворять граничному условию в точке х = 1 лишь в пределе при Д/->0, т. е. при /->оо; например, это имеет место для той мо- модельной задачи, которая приводится в начале данного парагра- параграфа. Далее, если уравнение F.81) имеет кратные корни, то не- необходимо рассматривать колебания более сложного по Сравне- Сравнению с 6.79) вида, содержащие полиномы относительно /. § 6.7. Применение критерия Годунова — Рябенького к смешанным задачам Рассмотрим на интервале 0 < х < 1 общую двухслойную си- стему разностных уравнений вида F.85) здесь и* — это, как обычно, р-мерный вектор, a Ak и Bh — ква- квадратные матрицы порядка р. На двух концах интервала заданы
§ 6.7. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГОДУНОВА - РЯБЕНЬКОГО ]63 граничные условия 22 F.86) -2 aiftttj-fc. F.87) где a,ih и pift — прямоугольные матрицы. Чтобы продемонстрировать применение критерия Годунова — Рябенького к этой системе уравнений, удобно (хотя в данном конкретном случае и не обязательно) привести ее к такому спе- специальному виду, когда К = 1 и ко = к\ = 0. Это можно сделать следующим образом. Возьмем интервал /0 на оси х, который начинается в самой левой точке сетки и идет вправо до 1-й точ- точки сетки, где /> maxF0 + I, &i+ 1, К). Затем построим ин- интервалы /i, /2, ..., последовательно перемещая/0 вправо на одну точку сетки до тех пор, пока не покроем все точки сетки. Теперь все компоненты векторов и?, нижние индексы которых соответ- соответствуют интервалу /w, объединим в новый вектор U^, который тем самым будет иметь pi компонент. В результате система F.86) преобразуется в систему однородных уравнений относи- относительно Uo и Uo+1 и аналогично преобразуется система F.87). Компоненты векторов U^, Ujt+i, Um+1 и UmVi связаны систе- системой pi скалярных уравнений, получающейся путем объединения р уравнений F.85) при каждом из / возможных значений /, и системой рA—1) тождественных соотношений, характеризую- характеризующих тот факт, что интервалы 1т и /m+i имеют /— 1 общих точек. Однако поскольку в общем случае число возможных значений т меньше числа значений /, для которых выполняется F.85), то часть уравнений останется неиспользованной; эти уравнения от- относятся к последним интервалам и должны быть присоединены к граничным условиям. Как читатель заметит в следующей главе, способ сведения многослойной схемы к двухслойной очень напо- напоминает то, что было сделано выше. При рассмотрении много- многослойного варианта данной задачи можно одновременно осуще- осуществить две редукции, используя вместо интервалов 1т прямо- прямоугольники в плоскости х, L Предположим теперь, что эта редукция выполнена, и рассмо- рассмотрим задачу F.85) —F.87) с К = 1 и k0 = к{ = 0. Годунов и Ря- Рябенький [1963а] предполагали, что матричные коэффициенты Ah и Ви кусочно непрерывны по х и непрерывны по Да: в некотором интервале 0^Дл:^т. Однако для простоты мы рассмотрим только случай постоянных матриц; зависимость от Да: можно учесть очень легко, а на вопросе о влиянии зависимости от х мы остановимся в конце параграфа. 6*
ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Предположим, что при заданных \хп} (/ = 0f 1, ..., /) значе- значения u?+1 однозначно определяются с помощью наших уравнений. Таким образом, сумма числа ненулевых строк матриц рОо и Рю равна р и существует такая матрица Cj порядка /?(/ + 1), что К этому семейству разностных операторов {Cj} мы и хотим при- применить критерий Годунова — Рябенького. Точка Л комплексной плоскости, не принадлежащая спектру семейства, называется регулярной. Ясно, что для каждой такой точки при всех достаточно больших / существуют резольвенты (С7 — Л/), нормы которых ограничены константой, не завися- зависящей от /. Ввиду приведенного выше уравнения это означает, что если мы положим Dt = kBt-Ait i = 0, I, 6/ = ЯР/0 — (Х/о, / = 0, 1, то для достаточно больших / система уравнений 0, 1, ..., / — 1, при любых правых частях имеет единственное решение, для ко- которого справедлива оценка max | и/1 < М max (max | f/+>/, |, | Ф |, Ж )> F.90) где М не зависит от f/+y2, ф, г|> и /; в этом случае система F.89) называется хорошо обусловленной. Таким образом, мы можем сказать, что разностная схема удовлетворяет критерию Годунова — Рябенького, который необходим для устойчивости, если для всех точек %, лежащих вне единичного круга, уравне- уравнения F.89) хорошо обусловлены. Для получения признаков того, что данные уравнения хоро- хорошо обусловлены, нам потребуется следующая лемма, принадле- принадлежащая Рябенькому [1964]. Пусть Do и Di — такие квадратные матрицы порядка р, что det(A) + |i/)i)=?0 при всех \л с ||х|= 1, к пусть цо есть k-крат- ный нуль для det(ZH + H^i)> причем |цо|< 1. Тогда существует такое k-мерное подпространство Я{\ю) р-мерного векторного пространства, что если V0^3Z(\i0)t то уравнения A,V/ + ?iV/+1 = 0, / = 0, 1, 2, ..., F.91) имеют единственное решение {V;}, для которого | Vj | —> 0 при /->оо; кроме того найдется такое а > 0, что \ Vy |<conste~al при j = 0,1,2, ....
§ 6.7. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГОДУНОВА - РЯБЕНЬКОГО 165 Доказательство. По предположению матрица Do + D\ не вырождена, так что можно написать Do + 11Я1 = (Do + Dt) [/ + Ox - 1) Щ, где Е = (Do-\-D\)-lD\. Если, далее, Q — жорданова канониче- каноническая форма матрицы Е и Е = PQP-1, то Z)o + |i/>, = (Do + Dx) P [I + Oi - 1) Q] P-1 F.92) и цо есть ^-кратный нуль для det[/ + (jx—1)Q]. Матрица этого определителя имеет верхнюю треугольную форму, так что опре- определитель равен П [1 + 0* — 1) vj, где v* — собственные значе- значения матрицы Е. В точности k из этих множителей должны быть пропорциональны \х — \хо\ это значит, что 1 + (\х—l)v* = = Vi(\i — р,о) и, следовательно, vt= A — цо)~! при k значениях L Поэтому мы можем считать, что строки и столбцы матрицы Q упорядочены таким образом, что первые k ее диагональных элементов равны A — м-о)- Теперь возьмем первые k столбцов матрицы Р в качестве базиса подпространства 52(|ю) и запи- запишем нужную нам последовательность векторов этого подпро- подпространства в виде V7 = Pa/, F.93) где Sij — векторы-столбцы, все компоненты которых кроме пер- первых k равны нулю. Из тождества F.92) относительно \х сле- следует, что DoP^iDo + DJiP-PQ) и D{P = (DO + DX)PQ; поэтому уравнения F.91) принимают вид = 0, / = 0,1,2,.... F.94) При любом начальном векторе Voe5?(jio), порождаемом на- начальным вектором а0, эти уравнения могут быть решены отно- относительно последовательности а;-, так как в них входит только левый верхний минор порядка^ матрицы Q, который отличен от нуля. Обозначая его через Q и используя аналогичные обо- обозначения для / и а;-, получаем ау = [Q-'(Q-/)]'?<,. Матрица в квадратных скобках имеет верхнюю треугольную форму, и ее диагональные элементы равны jx0; следовательно, элементы /-й степени этой матрицы ограничены модулем про- произведения \xl на полином степени k от /, т. е. величиной const е-а/, где | ji0 К е~а < 1 • Очевидно, таким же образом ограничены и компоненты векторов Vj, определяемых равен^ ством F.93).
165 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I Обозначим через 91 прямую сумму всех подпространств типа 9t(\io), т. е. «=Ze{0(|i,)|det(Do + |iA)==O, ||х,|<1}. F.95) Аналогично предыдущему существуют подпространства 9>(щ), соответствующие таким корням т|* уравнения det(r\Do+D\) = О, для которых |T|f| < 1. Последовательность решений уравнения F.91), начальный вектор которой принадлежит одному из этих подпространств, стремится к нулю при /->—оо; обозначим прямую сумму таких подпространств через ^, т. е. ^ = Se{^(%)|det(^D0 + ^i) = 0, Ы<1}. F.96) Так как в силу равенства F.92) уравнение det(D0 + \iD{) = = 0 эквивалентно уравнению det то для перехода от \х к ц можно воспользоваться матрицей I-\-(li—1)Q. Отсюда ясно, что если det/)i = O, то уравнение det {r\Do + Di) = О должно иметь внутри единичного круга по- помимо отличных от нуля корней г\и соответствующих большим единицы по модулю корням уравнения det (D0 + nDi) = 0, так- также и нулевые корни, причем сумма числа таких корней и сте- степени мйогочлена det (Do-\- [iD\) должна быть равна р. По- Поскольку по предположению det (Do + \iD\) не обращается в нуль при ||i| = 1, то полное число корней щ- и у\г внутри еди- единичного круга также равно р. Это означает, что прямая сумма подпространств 91 и & совпадает со всем р-мерным простран- пространством. Мы уже убедились в том, что при Voe5?(jio) решение урав- уравнения F.91) единственно в 9i(\i0). Ясно также, что единствен- единственность имеет место для всего подпространства 52, так как глав- главный минор матрицы Q, соответствующий всем корням \хи также отличен от нуля. Однако если матрица D\ вырождена, то к лю- любому вектору Vj+i можно добавить такой вектор We^, для которого DiW = 0. Но последовательность решений уравнения F.91) с таким начальным вектором либо перестает быть не- непрерывной после конечного числа шагов, либо экспоненциально возрастает; поэтому найденное выше убывающее решение яв- является единственным во всем пространстве и лемма Рябень- Рябенького доказана. Теперь мы можем сформулировать и доказать основной ре- результат Годунова и Рябенького: Для того чтобы система уравнений F.89) была хорошо обу- обусловлена, необходимо и достаточно выполнение следующих условий: A) det(D
^ § 6.7, Применение Критерий Годунова - рябенького 16? Bа) размерность подпространства Я равна числу строк матрицы бо, и для v е 91 из равенства бо^ = 0 следует, что а = 0; BЬ) размерность подпространства 9* равна числу строк матрицы 6i, и для w е ^ из равенства 6iW = 0 следует, что w = 0. Здесь 91 и 9> — подпространства, определенные выше1). Докажем сначала необходимость этих условий. Для этого мы покажем, что если какое-либо из них не выполняется, то можно найти последовательность таких векторов Uy с fnax| Uy |=* = 1, что правые части уравнений F.89) могут быть сделаны сколь угодно малыми при достаточно больших /, и таким образом получим противоречие с условием F.90). Прежде все- всего, если det (Д> + \iqD\) = 0 при |ио| = 1, то можно найти такой вектор v, что (Ьо + \iD[)v = 0 и |v|=l, и положить uy = 4/(/ — /)/"VoV. Тогда ф = г|э = 0 и f/+./, = О A//). Да- Далее, если размерность 91 больше числа строк матрицы бо, то найдется такой вектор иое52, что |ио| = 1 и боЩ = 0. Тогда последовательность решений уравнений DqUj + DiUj+i = 0, / = 0, 1, ...,/—1, дает ф = 0, f/+i/2 = 0, и г|) = О(е"а/) для некоторого а > 0. Наконец, если размерность 91 меньше числа строк матрицы бо, то размерность 9* должна быть больше чис- числа строк матрицы 6i и потому не выполняется условие BЬ). Для доказательства достаточности этих условий нужно най- найти соответствующим образом ограниченное решение системы уравнений F.89) в каждом из следующих случаев: (a) <р = 0, г|) = 0 и f J+i/2 = 0 при / ф /0; (b) ф = 0, все f/+./2 = 0; (c) 1|) = 0, все f/+«/, = 0. В случае (а) заметим сначала, что существуют единствен- единственные векторы vg^ и wei?7, такие, что Dow + D\V = fj9+i/t. Действительно, fy0+i/, = fo + fb где fos5? и fiei?7, причем это разложение единственно; v и w суть единственные решения (каждое в соответствующем подпространстве) уравнений Dxv = f0 и A)W = fi. Теперь построим последовательность nJ9 взяв в качестве начального вектора U/o сперва w, а затем v и решая уравнение D0Uj-\- DiUJ+i = 0 соответственно при /</о и при />/о- В результате получим, что для />/0+1 щ е 91 и |uj| убывает при возрастании /, а для /</о и;е^ и |iij| убывает при убывании /. Эта последовательность удовлетворяет основным уравне- уравнениям системы F.89), но не удовлетворяет граничным условиям. ]) Напомним, что по предположению Do и D\ не зависят от /, так что Я, 9> и используемая ниже постоянная а также не зависят от /.
|<58 fjt. 6, СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ЧА Чтобы удовлетворить им, добавим сходящийся ряд поправок, т. е. представим полное решение в виде U/ + V(i) + W(D + vw + wf + .... F.97) Здесь вектор v^ из 9t выбирается таким образом, чтобы 60(u0 + v[I)) = 0; и этот выбор единствен в силу предположения Bа); аналогично w^ ^ 9 выбирается так, чтобы б1 (и; + -^wy>) = 0, а вектор v$<=9l так, чтобы 60 (w</ > + vjf>) = 0, и т. д. Далее, векторы v{p e Ж выбираются так, чтобы /)ОУ(Я + D\V{/li = 0» а векторы wj0 e <?> так, чтобы удовлетворя- удовлетворялось то же соотношение DQw^ + ^w^, = 0. Так как |v(y°|< < const е"а/1V501 и |w<,°|< const в"а/ j wy> |9 то ясно, что при до- достаточно больших / ряд поправок сходится и тем самым гра- граничные условия будут удовлетворены. Решения системы уравнений F.89) в оставшихся случаях (Ь) и (с) получаются аналогичным образом. Нам остается по- показать, что общее решение, являющееся линейной комбинацией этих фундаментальных решений, удовлетворяет условию огра- ограниченности F.90), несмотря на то, что число членов в этой комбинации возрастает с ростом /. Искомую постоянную М можно найти, поскольку сильно отличающиеся друг от друга значения / мало влияют друг на друга. Фундаментальное реше- решение экспоненциально убывает при удалении / от /0, так что ре- решение в точке сетки /о, получающееся при учете всех правых частей fj+i/2, ограничено величиной оо const 2 ехр(—а|/ —/0|), а этот ряд сходится. Мы определили хорошую обусловленность системы F.89) й сформулировали определяющие это свойство условия, исполь- Зуя в качестве нормы максимум модуля, потому что она, по-ви- по-видимому, является наиболее удобной и подходящей. Однако стоит отметить, что приведенные выше рассуждения остаются в силе и при использовании ?2-нормы ||и|| = ГA//) 2 I U/ |2]Ч В этом случае F.90) заменяется неравенством || и ||<max{|| f ||, |ф|, Ж), F.98) где М снова не зависит от /. При доказательстве необходи- необходимости условий теоремы построение последовательности векто- векторов в случае корня ц0 с единичным модулем опять приводит к противоречию с F.98); если же размерность 91 больше числа строк матрицы б0, то, выбирая в качестве начального такой век- вектор ио<=#, для которого |ио|=1 и 6ouo = 0, получим, что
§ 6.7. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГОДУНОВА - РЯБЕНЬКОГО 16& Hull >/-''«, llf||=0, |ф| = 0 и |г|)|= O(e-aJ), и потому нера- неравенство F.98) опять не выполняется. При доказательстве до- достаточности необходимые изменения также почти очевидны. Этим завершается доказательство теоремы. При практиче- практическом применении критерия Годунова — Рябенького можно ра- работать непосредственно с уравнениями в общем виде F.85), рассматривая например корни уравнения det(Do + цХ>1 + ... ... + [ihDh) = О, где Dk = XBh — Ah. Подпространства к и У обычно зависят не только от X, но также от А/ или Ах. Однакр если заранее известно, что матрицы Аи и Bh непрерывно зави- зависят от А/, то условия теоремы достаточно проверять только при А* = 0. Такая проверка^осуществляется вкратце следующим об- образом. Подставим цД,пи вместо U/ в F.85) с At = 0, где и — постоянный вектор; это дает возможность найти нетривиальное решение уравнения det [М(X, jj,)] = 0 (здесь М = Do + + \iDt + ...+ \ihDh). Если найдутся такие корни ц,г(А), что |[хг.(Х)|= 1 и |А,|> 1, то уравнения будут неустойчивыми, по- потому что не выполняется условие A) основной теоремы. С дру- другой стороны, ести имеется корень \хо(Х) кратности k с |jio(^)|< < 1, то найдем те векторы и, для которых М (X, цо (X)) и = 0. Если среди них нет k линейно независимых, то дополним их векторами и, для которых М2и = 0, и т. д., пока не получим k линейно независимых векторов. Они образуют подпространство ЫМ) Этот процесс повторяется для всех корней \а(Х) с iHi(A)|< 1, и таким образом строится все подпространство 91. [алее смотрим, совпадает ли размерность этого подпростран- подпространства с числом граничных условий на левой границе; если это так, то применяем эти условия к произвольной линейной ком- комбинации векторов, образующих базис в 91. Условие существо- существования нетривиального решения соответствующей системы урав- уравнений дает уравнение относительно X. У этого последнего не должно быть решений с \Х\> 1. Если все это выполнено для обеих границ, то задача удовлетворяет критерию Годунова — Рябенького. Отметим, что хотя подпространство 91 и зависит от Я, его размерность для устойчивой системы не зависит от X при |Л|>1. В самом деле, корни щ{Х) непрерывно зависят от X, а размерность 91 может изменяться лишь при переходе некото- некоторого Цг из области ||хг-|< 1 в область |цг|> 1; но такой пере- переход невозможен, потому что \\ц\ никогда не равняется единице при \Х\ > 1. Из приведенных выше рассуждений о хорошей обусловлен- обусловленности можно теперь видеть, какова структура спектра семей- семейства разностных операторов {Cj}. Он состоит из трех частей, порождаемых соответственно основными разностными уравне- уравнениями F.85) и граничными условиями F.86) и F.87) слева и
170 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч_1 справа и проявляющихся в нарушении соответственно условий A), Bа) и BЬ) основной теоремы. Первая часть состоит из корней Я уравнения det[M(X,\i)] = 0 с |ц|= 1 и совпадает со спектром семейства F.85), где / пробегает значения от —оо до + оо и граничные условия отсутствуют. Таким образом, эти точки К совпадают с собственными значениями соответствую- соответствующих матриц перехода (при Д/ = 0) и образуют р замкнутых кривых в комплексной плоскости, когда \х пробегает (не более р раз) единичную окружность. Вторую часть спектра образуют такие значения А, для которых разностные уравнения F.85) при / = 0, 1, 2,... совместно с граничными условиями F.86) при / = 0 имеют решение вида ил = Хпи при ненулевом гра- граничном значении и. Это возможно в случае, когда размерность 9t не равняется числу строк системы F.86); рассматривая раз- различные связные области, на которые комплексная плоскость разбивается кривыми, составляющими первую часть спектра, мы видим, что если это неравенство имеет место в какой-ни- какой-нибудь одной точке такой области, то оно выполняется и всюду в этой области, и вся эта область добавляется к спектру се- семейства. Например, для задачи, приведенной в начале § 6.6, при дополнении ее левым граничным условием к спектру доба- добавится вся область, лежащая внутри окружности \\ — A—г) | = г. Кроме того, к спектру может добавиться еще рял точек, если граничный оператор (ХРоо + аоо) + ... ... +(A,poko+ ao/tj), соответствующий условию F.86), переводит базис подпространства 91 в систему линейно зависимых векто- векторов. Такая потеря размерности имеет место либо тождественно по X — и тогда разностная схема не может быть устойчивой,— либо не более чем в конечном числе точек. Наконец, третья часть спектра получается при аналогичном рассмотрении пра- правого граничного условия. Теперь можно сказать несколько слов о том, что изменяется, когда матричные коэффициенты Ah и Bh являются кусочно не- непрерывными функциями от х (для детального ознакомления с этим вопросом мы отсылам читателя к статьям Годунова и Рябенького). В спектр будут входить: 1) в каждой точке х отрезка 0 ^ х ^ 1 те корни уравнения det[M(x,X, ц)] = 0, для которых |ji|= 1, причем в точках раз- разрыва нужно рассматривать как М(лс+0Д, ji), так и M(x — 0,Kv)\ 2) точки, возникающие при учете граничных условий; 3) на разрывах те точки А, для которых dim 9i(x + 0Д) + + d\m9>(x — 0,Х)ф р или эти два подпространства не являются линейно независимыми
§ 6.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ Критерий Годунова — Рябенького будет выполнен, если по- полученный таким образом полный спектр будет лежать в замк- замкнутом единичном круге. § 6.8. Заключение В настоящее время теория смешанных краевых задач еще не получила такого широкого развития, как теория однородных краевых задач. Причина такого различия заключается в том, что использовать методы Фурье для исследования уравнений с постоянными коэффициентами просто в одном случае и слож- сложно в другом. Тем не менее последние достижения в этой об- области можно считать фрагментами той теории, которую еще предстоит построить. Энергетический метод является мощным инструментом для исследования конкретных уравнений или конкретных классов уравнений. Хотя его применение подчас является довольно сложным, он дает возможность эффективно учитывать гранич- граничные условия и переменность коэффициентов. Кроме того, его можно использовать не только для доказательства устойчивости данного разностного метода, но также и для правильного вы- выбора самого метода. Однако энергетический метод позволяет получать только достаточные условия устойчивости, которые могут сильно отличаться от необходимых (особенно в том слу- случае, когда учитываются граничные условия). Простой пример волнового уравнения дает некоторое представление о том, как за счет подходящего выбора энергии можно сократить этот разрыв. Дополнением энергетического метода служит спектральная теория Годунова — Рябенького. Хотя ее применение в любом практическом случае является исключительно сложным, она имеет совершенно общий характер и хорошо помогает понять внутреннюю сущность неустойчивости. Но с помощью этой тео- теории получаются только необходимые условия устойчивости, ко- которые, к сожалению, также могут быть слишком слабыми, как это показывает сравнение с условием фон Неймана для крае- краевых задач с периодическими решениями. С другой стороны, Крайс [1965] показал, что для нашей простой модельной зада- задачи F.22) эти условия достаточны для устойчивости. Больше того, при несколько более сильных предположениях он распро- распространил затем этот результат на системы гиперболических уравнений. Существует еще один метод для исследования смешанных задач, который мы пока не рассматривали, а именно метод Ви- Винера— Хопфа. Этот метод вслед за Крейном [1958] использо-
172 ГЛ 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1 вал Стрэнг [1964b]. Его достоинством является то, что он при- применим к неявным разностным схемам. Рассмотрим на всей действительной прямой систему скалярных уравнений с посто- постоянными коэффициентами 2ik)bk*}+l = Z aktf}+k, F.99) —А ~Д которую мы запишем в виде Вип+1 = Аип. F.100) Сужение этих операторов А и В на положительную полуось, для которого ^ = 0 при /^0, обозначим через А+ и В+. Тог- Тогда устойчивость смешанной задачи на этой полуоси определяет- определяется тем, будет ли |(В+М+)Я| < const при яД/-<1. Если обозна- обозначить ^akem через а F), 2 Ькет через 6F), а а F)/Ь (9) че- k k рез г(8), то метод Фурье показывает, что ||(В-*Л)|| = = supe|r(8)|; поэтому условием фон Неймана будет неравен- неравенство |г(8)|^1. Вот теорема, доказанная Стрэнгом1). Тогда и только тогда оператор В+ обратим и имеет место устойчивость, когда A) Ь(в) Ф 0 для действительных 0, B) индекс (b)^Bn)~l J d[arg b @)] = 0, —Я C) |г(9) |^ 1 для действительных 0. Условия A) и B) являются условиями того, что дискрет- дискретный оператор Винера — Хопфа ?+ обратим; они эквивалентны предположению о том, что полином zk$(z) = ]>jbkZK+k имеет в точности К нулей в открытом круге |г|< 1 и К в его внеш- внешности |г|> 1. Тогда этот полином может быть разложен на множители следующим образом: где s Ф 0 при |z| ^ 1 и t Ф 0 при |z| > 1; 5 и / в отдельности также удовлетворяют условиям A) и B). Это разложение иг- играет основную роль при доказательстве теоремы. В самом деле, J) Стрэнг рассматривает также тот случай, когда коэффициенты ah и bh непрерывно зависят от х и Да:.
§ 6.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 173 точно так же, как полиномы а и b отвечают определенным на всей оси матричным операторам А и В с элементами Ац = = dj-i и Bij = 6j_i, так и полиномы s и t отвечают матрицам, имеющим соответственно верхнюю и нижнюю треугольную фор- форму. Таким образом, В = S7, В+ = S+T+ и Далее, так как матрицы 5+1 и Г+1 имеют треугольную форму, то S+lA+T+l = {S~lAT~l)+ ]), а для определенных на всей оси операторов имеем S~lAT~l = S~lT~lA = 5~1Л. Следовательно, так что устойчивость определяется условием фон Неймана C). Отметим, что в этом случае условия теоремы Годунова — Рябенького на границе х = О выполняются тривиальным об- образом. Действительно, число нулей функции zh[k$(z)—а(г)] в единичном круге одно и то же для всех Ш> 1; значит, оно такое же, как и для самого р, т. е. равно л. Далее, поскольку в задаче на полуоси, для которой F.99) выполняется при /=1,2,..., никаких граничных условий справа не налагает- налагается, то должно быть bh = О при k ^ 1, и можно считать, что 6_к ф 0. Таким образом, нужно предположить, что на каждом временном шаге выполняются условия u0 = ti-\ = ,К. = w_K+i = = 0, которые препятствуют распространению любого из К за- затухающих колебаний внутрь рассматриваемой области. В этой главе мы сосредоточили внимание на задачах с од- одним пространственным переменным. Большинство методов и результатов можно легко распространить на задачи с многими переменными, если рассматриваемая область по-прежнему яв- является полупространством2); однако рассмотрение более слож- сложных границ, которые могут представиться в многомерном слу- случае, намного более трудно, и до сих пор мало что сделано в этом направлении. 1) Действительно, пусть Тогда матрица равняется U+V+, если с = 0 или / = 0, т. е. если U имеет верхнюю или V имеет нижнюю треугольную форму. 2) С этой задачей для дифференциальных уравнений читатель может по- познакомиться по работе Херша [1963].
Глава 7 МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 7.1. Обозначения Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, при построении разностных уравнений повышенной точности для уравнений с частными производными число используемых вре- временных слоев часто превышает минимальное их число, требуе- требуемое дифференциальными уравнениями. Например, улучшение полученного ранее простого двухслойного неявного уравнения для задачи теплопроводности получается переходом к трехслойному неявному уравнению |и?+1_2„«+ !„»-¦ ^ = д + В случае когда применяется это уравнение, нужны начальные данные для двух значений времени, скажем для t = О и t = = А/ (п = 0 и 1), чтобы можно было начать вычисления. Эти данные могут быть получены с помощью более простого урав- уравнения с, быть может, более мелкой сеткой, или разложением в степенные ряды, или каким-либо другим способом; в любом случае, если эти данные уже имеются, то решение шаг за ша- шагом можно построить по уравнению G.1) и соответствующим граничным условиям. Более общим образом, предположим, что краевая задача -ж=Аи> и=и® <7-2) аппроксимируется с помощью (q + 1)-слойной формулы Вяи«+я + Вя-{ип+я-1 + ... + Воип = 0, G.3) где Вду ..., Во обозначают конечноразностные операторы, а ип — некоторая аппроксимация и{пЫ). Предположим, что уравнение G.3) вместе с надлежащими граничными условиями
§ 7.2. ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО 175 единственным образом разрешимо относительно ип+ч и что это решение непрерывно зависит от мя+«-1> ..., ип. Это значит, что уравнение G.3) эквивалентно уравнению G.4) ¦С,., где /, / = 0, суть линейные ограниченные операторы. Как и в предыдущих рассмотрениях, мы предполагаем, что приращения простран- пространственных переменных Ал:, Д# и т. д. являются заданными функ- функциями от Af. § 7.2. Вспомогательное банахово пространство Будем рассматривать ^-мерный вектор-столбец, компоненты которого являются элементами пространства 3$, как элемент вспомогательного банахова пространства 93. Норму в нем мож- можно определить по-разному, например так: и V Если положить С = с,-, / 0 0 Сд-2 0 1 0 ... с, ... 0 ... 0 Со 0 0 0 = с №, G.5) Где / тождественный оператор, то уравнение G.4) запишется в виде ФЛ+1=С(А/)ф«. G.6а) Это равносильно введению новых зависимых переменных; имен- именно, если обозначить ип~* через vn, un'2 через wn и т. д., то
176 ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I уравнение G.4) можно заменить системой G.6b) И Т. Д. Таким образом, (q + 1)-слойную задачу можно свести к двух- двухслойной задаче (ибо верхние индексы, входящие в уравнения системы, принимают лишь значения п и п+ 1). Исходные начальные данные предполагаются заданными при t = 0; значения и при t = А/, 2А/,... (q—1)Д? должны быть определены по исходным начальным данным с помощью некоторой аппроксимации, что даст возможность начать вычис- вычисления с помощью уравнения G.3). Предположим сначала, что эти начальные данные вычислены точно (это требование позд- позднее будет ослаблено), т. е. что ф° задается равенством E((q-2)M)u° где исходные начальные данные определяются элементом и0 (пространства 9&)> a E(t)—разрешающий оператор для урав- уравнения G.2). Тогда можно написать где /0- а S — диагональная матрица "?((<7-0 А/) 5 = 0 0 G.7)
§ 7.2. ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО 177 Таким образом, приближенное решение краевой задачи G.2) дается формулой фп = C{kt)nSu°. Мы ожидаем, что это — ап- аппроксимация выражения -1) А/) и(пМ) = E(nM)Su°; поэтому нам интересно сравнить C(kt)nSuo с E(nkt)SU°. В. пределе при А/—>О мы придем к элементам пространства 9Ь, все q компонент которых равны между собой, а именно по- получим • u\t) = E(t) • что запишем в виде u(t) = E(t)u°. К этому пределу стремится также E(t)Su°, ибо 3—>/ при Д/->'0. Удобно обозначить через ЗВ° подпространство пространства Д состоящее из элементов, имеющих равные компоненты; другими словами, элемент Ф = и V W пространства & принадлежит подпространству # тогда и только тогда, когда и = v = w = ... . Элементы U(t) и п° лежат в подпространстве ^Э°, но их аппроксимации — нет, они лежат лишь поблизости от него. На практике начальные значения получают не с помощью точного вычисления <р° = Su°, а с помощью аппроксимации фО = ф. Мы будем требовать, чтобы приближенное решение сходилось к й(/), когда Д/->0 и гр->м° независимо друг от друга; мы не требуем, чтобы гр лежало в подпространстве ^, а только чтобы его предел принадлежал этому подпространству.
178 ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 7.3. Теорема об эквивалентности Многослойная разностная формула G.6а) называется устойчивой, если для некоторого положительного т операторы равномерно ограничены. Иными словами, эквивалентная двух- блойная система G.6Ь) должна быть устойчивой в смысле оп- определения, данного в гл 3. Условие согласованности состоит в том, что существует плотное в 9$ множество U0 возможных начальных элементов для точных решений, такое, что если и0 е U0 и е > 0 и если положить E(t)u° E{t)u° то || (С АО - Е (A/)) Su (t) \\<eM G.9) для достаточно малых Д/ и 0 ^ t ^ Г. Это не что иное, как двойственная формулировка согласован- согласованности, данная для двухслойных уравнений в ^З.бЬ). Все u(t)9 фигурирующие в настоящем условии, лежат в &°. Аппроксимация называется сходящейся, если для любых последовательностей Д;/ и пj, таких, что Д;/ > 0, &jt -> 0 и > t при / -> оо@ ^ t ^ Г), и любого и е ^° будет lim lC(b,tfi$-E(t)ul = O. G.10) Теорема об эквивалентности гласит, как и ранее, что Для корректно поставленной краевой задачи и аппроксима- аппроксимации, удовлетворяющей условию согласованности, устойчивость необходима и достаточна для сходимости. Доказательство аналогично приведенному в гл. 3; единствен- единственное существенное различие связано с различием между про- пространствами 9S и Л°. Для того чтобы доказать, что из сходи- сходимости следует устойчивость, допустим, что аппроксимация схо- сходится, и пусть ар — некоторый элемент пространства J?. Мы ут- утверждаем, что величины при
§ 7.3. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 179 ограничены; действительно, в противном случае мы выбрали бы из них такую подпоследовательность, что I ^(Д/О^фВ-^- °° при /->оо, а затем из нее выбрали бы такую подпоследовательность, для которой rijAjt имеет предел, скажем t (O^t-^T) при /->оо. Тогда элементы *'"* le стремились бы к нулевому элементу О " 2° = О лежащему в подпространстве 33°, и мы имели бы || С (Д//)я/фу |->оо при /->оо, в-то время как в силу сходимости иметь к мо мы должны были бы = 0 при Поэтому существует такая граница /Ci(ip), что 0< для и устойчивость следует из принципа равномерной ограничен- ограниченности. Для доказательства того, что из устойчивости в свою оче- очередь следует сходимость, возьмем ^d>0, lim Д,* = 0, lim n^tt = t, 0 < t < Г, /->оо /->оо и введем обозначение где we принадлежит множеству [У0, входящему в определение согласованности. Тогда u(t) = E(t)n° является точным реше- решением и пгх = S С - Л - 1) А/0
180 ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. 1 Далее, S перестановочно с E(t) (см. равенство G.7)); следова- следовательно, в соответствии с условием согласованности G.9) при е>0 || [С(ДУ0 - - k - 1) А//) 5й°||<еДу/ для достаточно малых положительных Д^. Если Кг — общая граница операторов G.8), то, применяя неравенство треуголь- треугольника, получаем, что для достаточно малых Д^ > 0 пГх \\Ы< 2 k=sO Значит, в силу произвольности е, в гл. 3, можно теперь показать, что пРи Как и где / является пределом nfijt. Поэтому (опять как в гл. 3), если и — произвольный элемент пространства д&, то мы можем найти такую последовательность {ит} элементов множества О0, что пщ-*и при т->оо, и если положить то [С (ДУ0л/ - Е (t)] 5й = [С (ДуО11/ - Е (/)] §йт + + С (А,/I1/ §(й -UJ-E (t) $(й- й„). Последние два члена этого равенства можно сделать сколь угодно малыми за счет выбора достаточно большого т в силу равномерной ограниченности1) операторов Cnj(&jt), E(t) и 5; первый член в правой части можно сделать сколь угодно малым за счет выбора достаточно большого /. Для завершения доказательства сходимости нужен еще один шаг, который не был необходим в гл. 3, а именно $ - Е @ и = [С (W)nJ - Е (/)] §й + + С (Ду/)*' (ф -§й)-Е (t) (й - SU). 1) Заметим, что оператор S является функцией от Л/, ограниченной при 0 ^ М < t; в самом деле, S -> / при А* -* 0.
§ 7.4. СОГЛАСОВАННОСТЬ И ПОРЯДОК ТОЧНОСТИ 181 При Д*->0 имеем 5->/; поэтому еслигр->й, то Игр— Зй\\ ->О, \\й — Зй\\ ->0, и мы видим, что | /->оо для произвольного и из ^°, что и требовалось доказать. § 7.4. Согласованность и порядок точности При исследовании согласованности и точности удобно иметь дело с разностными уравнениями в их простейшей форме G.3), не разрешенной относительно ип+(*. Неопределенность вследствие возможности умножения слева на любую невырожденную матрицу устраняется предположением о том, что для любой достаточно гладкой функции u(t) разностный оператор в левой части аппроксимирует оператор d/dt — Л, т. е. при Д/->0. G.11) Как и в гл. 4, определим порядок точности как наибольшее дей- действительное число р, для которого \\Bqu{t + qM) + ... +B0u(t)\\=O[(Mf] при Д/->0 G.12) для всех достаточно гладких точных решений дифференциаль- дифференциального уравнения du/dt = Аи. Выражение в левой части G.12) на- называется погрешностью аппроксимации и может быть оценено путем разложения и в ряд Тэйлора. Чтобы связать это с условием согласованности G.9), кото- которое выражается через операторы С/ = — B^lBj, мы уточним соответствующие рассуждения для краевых задач с постоянны- постоянными коэффициентами и условием периодичности решения, при- приведенные в гл. 4. Мы покажем ниже, что BJ1 = О (Ы). Это ут- утверждение следует из соотношения G.11) и ограниченности опе- операторов Си С2, ..., Cg-i, но доказать его труднее, чем в слу- случае двухслойных уравнений. Следовательно, если разностная схема устойчива и погрешность аппроксимации стремится к нулю при Д/-*0, то условие согласованности G.9) выпол- выполняется. Только первая компонента вектора [С(Д/) — — E(M)]Sii{t) отлична от нуля, так что нам нужно лишь пока- показать, что при любом е > О для любого элемента и@) из некоторого множества t/°, плот- плотного в &, и для всех достаточно малых Д/.
182 ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I Как и в гл. 4, банахово пространство $ есть гильбертово пространство функций и(х), удовлетворяющих условию перио- периодичности, причем за норму принята гильбертова норма. Пусть <8т— подпространство тригонометрических полиномов степени т. Если Wo представляет функцию ио(х) из подпространства <8т и если в равенстве G.11) положить u(t) = tuOi то Lu0 = o(l) при Д*->0, G.13) где + (q-l)Bq-l + ... + Я,) -/. G.14) Так как <8т имеет конечный базис, каждый элемент которого удовлетворяет соотношению G.13), то Ш|ш < ei для достаточ- достаточно малых А/, где ei — произвольно малое положительное чис- число, ||L||m—норма оператора L в подпространстве <%т. Поэтому оператор / + L имеет обратный в этом подпространстве, а именно где таким образом, [qBq+ ... +В1Г1 Из определения С/ = — B^lBj следует, что В71 = [ql - fa - 1) Cq-X - ... - CJ A/ (/ + M). G.16) Для рассматриваемой задачи решение u(t) лежит в 3&т, если «@) лежит в Jfw, потому что А в уравнении G.2) является дифференциальным оператором с постоянными коэффициента- коэффициентами. Кроме того, для этого решения будет du/dt — Аи = 0, так что в силу G.11) || [BqE (q А/) + Bq-XE ((q - 1) М) + ... + Во] и (t) || < е0 G.16) для любого ео > 0 и для всех достаточно малых At Умножая G.15) на G.16), получаем -l)^t- ... - Со] и (t) \\< е3 А/, G.17) где e3 = {o<maxJ|9/-(?~l)C,_1- ... - С, ||}ео||/ + М \\т. Входящий в последнее равенство максимум существует, по- поскольку мы предположили, что разностные уравнения устойчи- устойчивы, откуда вытекает, что операторы Cq-.t(M)t ..., С{(М) рав- равномерно ограничены при 0 < А/< т. Неравенство вида G.17)
§ 7.5. ПРИМЕР ДЮФОРТА И ФРАНКЕЛА 183 имеет место для любого решения «(/), принадлежащего <J3m (это, конечно, точное решение). Если принять во внимание все подпростраства й?т, то возможные начальные элементы и@) для этих решений образуют плотное множество в &у чем согласован- согласованность и доказана. § 7.5. Пример Дюфорта и Франкела Чтобы проиллюстрировать сказанное выше, исследуем со- согласованность предложенной Дюфортом и Франкелом [1953] раз- разностной схемы Ш — ° {Kxf <7Л8> для численного решения уравнения диффузии ^L = o-j?f cr=const>0. G.19) Как будет показано ниже, уравнение G.18) всегда устойчиво. Если члены уравнения G.18) заменить рядами Тэйлора " и т. д. и сравнить результат с G.19), то мы получим погрешность ап- аппроксимации порядка (At/АхJ. Точнее говоря, для каждой до- достаточное число раз дифференцируемой функции u(x,t) _ 2Д? ди Поэтому для согласованности требуется, чтобы Д//Дл;->0 при At -» 0. Таким образом, Уравнение G.18) согласовано с уравнением G.19) тогда и только тогда, когда At стремится к нулю быстрее, чем Ах\ если же At/Ax фиксировано, скажем равно р, то уравнение G.18) согласовано не с уравнением диффузии G.19), а с гипер- гиперболическим уравнением "аГ ° дх2 ^ар
184 ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ч. Можно показать, что разностное уравнение G.18) всегда устой- устойчиво. Для этого запишем эквивалентную двухслойную систему Рис. 7.1. Собственные значения матрицы перехода G.20) разностного урав- уравнения Дюфорта — Франкела для задачи диффузии при а>1. Рис. 7.2. То же, что и на рис. 7.1, но при а<1 Матрица перехода для этой системы имеет вид 2а [2а п 1 — а -| I» 1 О J G.20) где а = 2aArf/(A*J, Р = kAx; ее собственные значения равны Л a cos p ± V\ — a» sin2 ft А Им • Зависимость модулей этих собственных значений от cos p для типичных случаев a > 1 и a < 1 схематически изображена на рис. 7.1 и 7.2 соответственно. Условие 2 из § 4.11 достаточное
§ 7.6. РЕЗЮМЕ 18Й для устойчивости, здесь выполняется, так как одно собственное значение удовлетворяет неравенству а другое — неравенству Поэтому система Дюфорта — Франкела устойчива при любых значениях а. § 7.6. Резюме Для корректно поставленных задач с постоянными коэффи- коэффициентами условия сходимости для многослойных разностных уравнений практически те же, что и для двухслойных. Стремле- Стремление к нулю погрешности аппроксимации при А/-* О влечет за собой согласованность аппроксимации, если только разностные уравнения устойчивы1). Для исследования устойчивости просто пишут эквивалент- эквивалентную двухслойную схему, вводя новые зависимые переменные, а затем исследуют устойчивость этой схемы любым из описан- описанных в гл. 4 методов. Необходимые дополнительные начальные данные могут быть получены с помощью любой подходящей аппроксимации, имеющей силу при Д< —> 0. В частности, их можно взять просто равными соответствующим начальным дан- данным, н1 = и°> и2 = и0 и т. д., хотя чем лучше аппроксимация начальных данных, тем, вообще говоря, выше точность аппрок- аппроксимации решения при данном Д/. 1) Эта оговорка не является необходимой для двухслойных формул, но, по-видимому, согласованность не представляет интереса, если уравнения не- неустойчивы.
ЧАСТЬ II Приложения ПРЕДИСЛОВИЕ R ЧАСТИ II Эта часть книги посвящена приложению разностных мето- методов к некоторым краевым задачам, возникающим в физике. Материал систематизируется в соответствии с сущностью физи- физических задач, а не с типом описывающих их уравнений, потому что при детальном рассмотрении различных физических процес- процессов требуются, вообще говоря, совершенно различные подходы к уравнениям одного и того же типа. Например, для гиперболи- гиперболических систем, которые получаются в теории переноса нейтро- нейтронов, применяются методы, отличные от тех, которые нужны для гиперболических систем, возникающих в гидродинамике. Не- Несмотря на это, многие характерные особенности являются об- общими для задач из различных физических областей, и мы вкратце остановимся здесь на некоторых из них. Методы решения параболических задан обсуждаются глав- главным образом в гл. 8 в связи с диффузией и теплопроводностью, хотя уравнения упругих колебаний в гл. 11 и уравнения, опи- описывающие одновременное распространение звука и тепла в § 10.4, также по существу являются параболическими в том смысле, что для них скорость распространения сигнала беско- бесконечна. Методы решения линейных гиперболических систем подроб- подробно обсуждаются в гл. 9 в связи с уравнением переноса, осо- особенно в § 9.6—9.16; мы снова встретимся с ними в гл. 10 при рассмотрении звуковых волн; уравнения колебаний продольно- напряженного стержня или струны, рассматриваемые в § 11.6, очень близки к гиперболическим. В гл. 12 и 13 изучаются нелинейные гиперболические систе- системы, получающиеся в гидродинамике. Вследствие нелинейности методы решения этих систем являются более сложными и более тесно связанными со спецификой гидродинамических задач. Мы не делаем попыток предложить какие-либо универсальные ме- методы, применимые к общим нелинейным гиперболическим си- системам, отличным от тех систем, которые описывают законы сохранения. Методы решения систем линейных уравнений, получающих- получающихся для неявных схем, рассматриваются в § 8.5 для простого
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧАСТИ II 187 трехдиагонального случая и в § 11.5 для многодиагонального случая. Неявные схемы для различных задач приводятся в § 8.2, 8.5 и 8.6 (параболические с одним пространственным переменным), в § 8.8 и 8.9 (параболические с несколькими пространственными переменными — методы чередующихся направлений и дробных шагов) в § 9.9 и 10.3 (гиперболические), в § 11.3—11.5 (упругие колебания). Как показано в § 11.4, неявная схема является осо- особенно подходящей для задач динамической теории упругости. Практические критерии устойчивости в случаях, для которых обычной теории недостаточно, обсуждаются в § 9.7, 10.4, 10.5, 11.6 и 12.16. Это те случаи, в которых ограничение, налагаемое на Д/ обычной теорией (при заданных Д*г), обеспечивает ограни- ограниченность роста ошибки в пределе при Д/ -> 0, но несмотря на это, рост ошибки (если не наложить дополнительных ограничений) может оказаться неприемлемым для практически используемых значений ДЛ
Глава 8 ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ § 8.1. Примеры диффузии В качестве примера диффузионного процесса мы рассмотрим распространение тепла в неподвижной изотропной среде (см. книгу Карслоу [1945]). Начальное распределение температуры известно; источники тепла, если они имеются, известны; тре- требуется найти распределение температуры в последующие мо- моменты времени. Если распределение температуры в некоторый момент вре- времени / обозначить через T=T(x,t), где Т означает темпера- температуру, а х — вектор, характеризующий положение точки в про- пространстве, то закон распространения тепла можно сформулиро- сформулировать следующим образом: существует положительная скаляр- скалярная величина к = и(х, Г), называемая коэффициентом тепло- теплопроводности материала и такая, что для любого распределения тепла плотность потока тепла равна F(x, *) = -x(xf Г(х, t))VT(x, /), что мы запишем кратко в следующем виде: F = -kV7\ (8.1) Физический смысл векторного поля F состоит в том, что инте- интеграл от нормальной составляющей вектора F по какой-либо по- поверхности равен потоку тепла через эту поверхность в единицу времени. Закон (8.1) гласит, что для заданной температуры Т и заданной точки х вектор плотности потока тепла пропорцио- пропорционален градиенту температуры в этой точке и имеет противопо- противоположное направление. Коэффициент пропорциональности и мо- может зависеть также и от времени, если происходят химические реакции, но мы будем предполагать, что это не имеет места. Пусть Е = E(x,t) и Q = Q(x, /) означают соответственно внутреннюю энергию, отнесенную к единице объема, и мощ- мощность тепловых источников в единице объема (количество теп- тепла, создаваемое за единицу времени в единице объема). Вклад в dE/dt от перетекания тепла равен дивергенции F, и поэтому в силу сохранения энергии мы имеем
§ 8.2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 189 Если а = а(ху Т) — удельная теплоемкость материала (отнесен- (отнесенная к единице объема), то для температуры получается уравне- уравнение в частных производных -[V.xVr + Q]. (8.2) Это уравнение с надлежащими начальными и граничными условиями дает смешанную краевую задачу рассматриваемого в этой главе типа. Конкретные примеры с исследованием устой- устойчивости будут приведены для весьма упрощенных вариантов этой задачи. Однако рассматриваемые при этом системы раз- разностных уравнений на практике могут быть легко обобщены и применены к самому общему виду уравнения (8.2). К уравнению этого типа приводят и другие явления. Напри- Например, это уравнение описывает диффузию вещества через про- проницаемую среду, если считать Т концентрацией вещества, к коэффициентом диффузии, а равным единице, a Q удельной мощностью образования вещества при химической реакции, если таковое имеет место. Следующим примером является распространение тепла в звезде, при котором энергия переносится как посредством из- излучения, так и посредством теплопроводности. Если среда не- неподвижна, то распространение тепла в звезде, за исключением очень тонкого поверхностного слоя, совершенно точно описы- описывается уравнением (8.2) при следующей интерпретации симво- символов: а .= Теплоемкость вещества на единицу объема + 4а0Р, х = Коэффициент теплопроводности вещества + 4а0С0Г3/3/Ср, где До — постоянная Стефана — Больцмана, с0 — скорость све- света, р — плотность вещества, К = К(р, Т) —среднее Росселанда (коэффициент непрозрачности звездной материи). Граничным условием на поверхности звезды при некоторых предположе- предположениях будет Т = 0. § 8.2. Простейшая задача теплопроводности Полагая, что Q = 0, а и и постоянны и рассматривая толь- только одно пространственное переменное (как в случае потока теп- тепла вдоль тонкого стержня), получаем ^-«0 = 0, a = const>0, и (х, 0) = и0 (х) (заданная функция). Предположим, как и в гл. 1, что граничные условия заменены условиями периодичности.
190 гл. 8. диффузия и теплопроводность ч. и Большинство обычных четырех- и шеститочечных разностных уравнений для уравнения (8.3) содержится в схеме где 8 является неотрицательной постоянной; значение 8 = 0 дает четырехточечную явную схему с взятой вперед разностью по времени. Другие значения 8 дают неявные схемы; 8 = 7г дает шеститочечную схему с центральной разностью по време- времени, а 8 = 1—четырехточечную схему с взятой назад разностью по времени. Как и в предыдущих главах, символ б означает центральную разность по пространственному переменному. Простой алгоритм для решения таких неявных уравнений при- приводится ниже (в § 8.5). Условие устойчивости для системы (8.4) было выведено в гл. 1 (см. неравенство A.24)), но оно может быть получено также из общей теории, изложенной в гл. 4. Матрица перехо- перехода G(A/, k) содержит в данном случае только один элемент (потому что имеется только одно зависимое переменное) и яв- является в действительности множителем перехода, обозначенным в гл. 1 через l(tn) и определенным формулой A.23). Необходи- Необходимое и достаточное условие для устойчивости, данное в гл. 4, совпадает и согласуется с условием, найденным в гл. 1, а имен- именно1) 2сгДг/(Д*2)<1/A-28) при 0<8<72, ограничений нет при 7г^6^1. В соответствии с результатами гл. 1 погрешность аппрокси- аппроксимации определяется формулой где и = и(х, t) есть точное решение дифференциального уравне- уравнения. Разлагая входящие в эту формулу функции в ряды Тейло- Тейлора в окрестности точки (л: = /Дл:, t = /гД/), находим, что е[и] = = О(Д/) + О[(Дл;J]. Так как эта величина стремится к нулю при неограниченном измельчении сетки, то из рассуждений гл.4 и 7 следует, что условие согласованности разностного уравнения (8.4) с уравнением теплопроводности выполнено. !) Условная устойчивость имеет место также при 9 < 0, а безусловная устойчивость — при 8 > 1, но, вообще говоря, эти значения 0 не представляют интереса.
§ 8.2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 191 Если функция u(Xyt) — точное решение уравнения теплопро- теплопроводности — является достаточно гладкой, то, учитывая, что d2u/dt2 = о2д4и/дх4, погрешность аппроксимации можно записать в виде е [и] = о -0 [а Ы (i/2 - 9) - % (А*J] + О [(А*J] + О [(Д*)<]. (8.5) Поэтому, если постоянные 8, А/ и Длс выбраны так, что величи- величина, стоящая в квадратных скобках в правой части равенства (8.5), равна нулю, то аппроксимация достигает более высокого порядка точности, чем в других случаях. При 0 ^ 8 < 7г это имеет место, когда А/ взято равным одной трети максимального значения, допускаемого условием устойчивости. Очевидно так- также, что высшая степень точности получается, вообще говоря, не при центрировании разности по времени, т. е. при 8 = 7г> а при 6 = 72—(Ал;J/12аД/ (для этого значения 8 аппроксимация устойчива). Саульев [1958] показал, что в частном случае, когда (ДлсJ/ог А/ = ]/20, погрешность аппроксимации уменьшается до О[(Д)Ч Для задач с переменными коэффициентами этот метод по- получения повышенной точности может быть несколько обобщен. Если о=о(х, t) изменяется при изменении х и ty го оценка (8.5) для погрешности аппроксимации уже не является строго корректной, но если функция о(х, t) меняется медленно, то за- заметное повышение точности может быть по-прежнему получено при В этом случае более удобно переписать разностное уравнение в эквивалентной форме (включенной в табл. 8.1 под номе- номером 12), из которой 8 исключено, а далее преобразовать ее, как указано в § 3 гл. 8. Таблица 8.1 содержит различные разностные схемы для про- простого уравнения диффузии. На расположенных слева мнемони- мнемонических диаграммах, указывающих способ образования разно- разностей, отмечены точки сетки на плоскости х, t, используемые при применении формулы; ось t направлена вертикально вверх, а ось х — горизонтально вправо. Если три узла связаны гори- горизонтальной прямой, то они используются для образования вто- второй пространственной разности; если два узла связаны верти- вертикальной прямой, то они используются для образования разности по времени. Если имеются два или несколько множеств точек того и другого рода, то используемые веса указаны справа или снизу.
152 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. 11 Таблица 8.1 Конечноразностные аппроксимации для уравнения Расположение узлов разностной схемы Разностные уравнения и погрешность аппроксимации Г-+У2 (Частный случай) 1. tty+i-.tty (б2«); Д/ ^а (Ал:J • в=О(Д/) + О[(Дл:J], явная схема, устойчива, если а Ы/(АхJ = const < V2 при Д/, Д*->0. 2. Д/ 0 2(Дл:J (Кранк и Николсон [1947]), е = О[(д<J] + о[(Д*J]. неявная схема, всегда устойчива. 3. и7+1-иу (Л)"+| д/ r"a (д^J (Лаасонен [1940] ), *=»О(Д/) + О[(Дх)Ч, неявная схема, всегда устойчива. 4. Разностное уравнение такое же, как в случае 1, но аД//(Д^J=1/6, е = О[(Д/J] = О[(Д*)Ч, частный вариант случая 1; схема устойчива.
§ 8.2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 193 Продолжение Расположение узлов разностной схемы — в —•1-е > . • '/2-(Дх?/12аМ + 1-Й Разностные уравнения и погрешность аппроксимации 5. «7+|-«? e(a2^+1 + (i~e)(a2«); А/ а (АхJ где 9 = const, 0<9<1, е = О(Д/) + О[(Ал:J], при 0 < 9 < Уг устойчива, если а А//(Ал:J = consf < < 1/B — 49), при у <9< 1 всегда устойчива,вклю- устойчива,включает схемы 1 — 4 как частные случаи. 6. Разностное уравнение такое же, как в случае 5, НО 9=:72-(Ал:J/12аД/, е = О[(А02]=О[(А*)<], схема устойчива. 7. 2 At a (Ал:J ' схема всегда неустойчива. 8. и*}+{ - и] и?+1 - му+1 - и]'1 + н?_, 2 A/ a (AxJ где А//Ал:->0 при А/, Ал:->0, е == О (А/) + О [(АхJ] + О (A//AjcJ (Дюфорт и Франкел [1953] ), явная схема, всегда устойчива. 9. з и?+1-«? 1 «у-г1 F4+l 2 А/ 2 А/ ~° (Ад:J ' в = О[(А/J] + О[(Ал:J], схема всегда устойчива. 7 Зак. 1300
194 гл. 8. Диффузия и теплопроводность ч. и Продолжение Расположение узлов разностной схемы Разностные уравнения и погрешность аппроксимации 10. A+в) >f+8 где 9 = const >0, о Д//(Дл:J = const, (А*J схема всегда устойчива, включает схемы 3 и 9 как частные случаи. 11. Разностное уравнение такое же, как в случае 10, но при 9 = 72 -f/i+(AxJ/f2<sAt схема всегда устойчива. 12. ui+\ - % Ytz 12 Д/ 5 и?+1-и? T Д? + 12 Д/ ""Q 2(Дл:J е = О[(Д/J] + О[(Д^], схема всегда устойчива, совпадает со схемой 6. 13. 2 % -'Л to % У* 12 схема всегда устойчива. 5 2/ 6 о д^ Д/ -г + 1
§ 8.2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 195 Продолжение Расположение узлов разностной схемы г** 14а. и 146. У где а = Разностные уравнения и погрешность У """" У "~ = О At/(;\xY (Саульев [1957] - аппроксимации = а («у+1 — "у ~" л = а (иу+,2 — у+2 - см. текст). / + l+«7-i)' . и«+| + и7±,!). Возможны некоторые сравнения. Схемы 2 и 9 формально имеют одинаковый порядок точности; однако для гладких на- начальных функций предпочтительнее схема 2, потому что коэф- коэффициент при (Л/J в ее погрешности аппроксимации меньше, тогда как для быстро меняющихся или разрывных начальных данных предпочтительнее схема 9, так как она быстрее гасит коротковолновые компоненты, для которых k&x « я. Аналогич- Аналогичное соотношение имеет место между схемами 6 и 11 и между схемами 12 и 13. В методе Саульева [1957] для двух последовательных шагов по времени применяются различные уравнения, как это показа- показано в схеме 14 табл. 8.1. По существу эта схема является явной: каждое уравнение системы содержит две из неизвестных величин wj+1, ..., W}±\9 но находится из левого граничного условия, так что уравнения мо- могут быть последовательно решены для / = 1, ..., / — 1. Анало- Аналогично из второй системы уравнений можно последовательно по- получить uni+2 для / = / — 1, / — 2, ..., 1. Для такой двухшаго- вой по времени схемы легко находится множитель перехода, равный V [1 — а A -cosP)]2 + ( где а = oAti(AxJ, Р = kAx\ так как 1 — cos p ^ 0, множитель g принадлежит отрезку [—1,1], и поэтому схема безусловно устойчива. Оценку порядка точности можно получить путем ис- исключения ипЛх\ это дает вполне неявное уравнение ип+2 _ (а + а2) 6 V+2 = и» + (а - а2) Ь2и\
195 гл. 8. диффузия и теплопроводность ч. п Если пренебречь величиной а2, то получится схема Кранка и Ни- колсона, погрешность аппроксимации которой равна О[(Д/J] + + О[(Да;J]; вклад членов, содержащих а2, в (ип+2 — ип)/BЫ) равен dx*dt)m При любом фиксированном а погрешность аппроксимации рав- равна О(Д/); если же А/ и Длс изменяются независимо, то схема Саульева, подобно схеме Дюфорта и Франкела, будет согласо- согласована с уравнением теплопроводности лишь тогда, когда Д//Д*->0 при измельчении сетки. § 8.3. Переменные коэффициенты Большинство схем, указанных в табл. 8.1, может быть обоб- обобщено на случай переменных коэффициентов1). Если обоб- обобщаются схемы, обладающие повышенной точностью, то следует заботиться о том, чтобы не произошло потери точности, за ис- исключением тех случаев, когда коэффициенты близки к постоян- постоянным. Для иллюстрации покажем, как обобщается схема 12. Сна- Сначала рассмотрим уравнение ? (8.6) и допустим, что о(х) является дважды непрерывно дифферен- дифференцируемой функцией. Удобно сначала ввести пространственные разностные отношения (АхJ дх2 ' 12 дх4 откуда J) Схема 4 не может быть обобщена таким образом, поскольку специаль- специальное условие аД//(Дл:J= 1/6-требует, чтобы а было постоянным.
§ 8.3. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 197 Разностные отношения по времени теперь образуются так же, как и раньше, и мы получаем в результате формулу '6 GfM '12 12 ay+iA/ '6 GfM '12 a/-j Д/ *]. (8.7) Для уравнения более общего вида ifL= A. i!L j ц = |i(*)>fli >0, dt Р дх v дх • где \ v = v (jc) > а2 > О, формулы несколько усложняются, и мы их не будем выписы- выписывать. Заметим только, что такие формулы можно легко полу- получить заменой переменных 1 dx, после которой уравнение принимает вид ди \х д2и dt ~ v ~ду* ' т. е. имеет такую же форму, как уравнение (8.6), и может решаться таким же образом. Для исходного переменного х эта схема имеет неравномерную сетку. Формулы такого типа использовались в вычислениях с диф- диффузионно-возрастным уравнением Ферми для ядерных реакто- реакторов и дали возможность получить точные результаты с мень- меньшим объемом вычислений, чем требуется при более простых формулах. Что касается устойчивости этих разностных схем с перемен- переменными коэффициентами, удовлетворяющими условию Липшица, то в § 5.3 было показано, что она имеет место для явных схем, множитель перехода которых удовлетворяет условию E.22), а именно \G(x9 g)l<l-fiisl2 при всех х и |6|<я, где g = k&x и постоянная б > 0; там же вкратце говорилось о некоторых результатах для неявных схем. Чтобы понять, что означает это условие, рассмотрим схему 5 из табл. 8.1, для ко- которой 1- 4а A-8) sin2 F/2) и — 1 + 4а9 sin2 (g/2) где а(х, Ы) = о(х)Ы№хJ. Следовательно, . 2-4аA -28) sin2 F/2) р , _ 4а sin2 E/2) ~~ А + 1 + 4а sin2 (Ц2) 1 + 4а9 sin2 A/2)
198 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II и указанное условие выполняется, если i) величина а(х, Д/) равномерно по х ограничена снизу положительной постоянной при Д/-*0 и п) 2а(*,Д/) A — 28) < у < 1. Так как у может быть взято сколь угодно близким к единице, то это практически не накладывает ограничения на шаг Д/, с которым можно про- проводить вычисления (сравните со сказанным в следующем пара- параграфе). Здесь стоит также отметить, что доказательство устойчиво- устойчивости для схем с переменными коэффициентами, приведенное в § 5.3, использует явность схемы лишь в незначительной сте- степени. Если в сумме ип+{(х) = 2C)С%П (х + РА*) абсолютно схо- сходятся как сР, так и их постоянные Липшица, то доказательство не будет существенно отличаться от того, которое приведено в § 3 гл. 5. § 8.4. Влияние на устойчивость членов низшего порядка Теперь мы рассмотрим уравнение ди д2и , ди . . /й йч где а, а и Ь постоянны, причем а > 0. При построении конечно- разностного уравнения каждый член уравнения (8.8) может быть заменен разностными отношениями различным образом, и возможные комбинации этих способов весьма многочисленны. Мы дадим два примера. Эти (и другие) примеры подтверждают вывод о том, что по крайней мере для задач диффузии устой- устойчивость практически не зависит от членов низшего порядка. Сло- Слово «практически» имеет тот смысл, что в некоторых случаях ограничение Д/ ^ ... должно быть заменено ограничением М < ... без каких-либо других изменений. (В § 5.3 это было показано для самых общих явных схем, аппроксимирующих уравнение (8.8), с помощью тех же по существу рассуждений, которые применяются в приводимых ниже примерах.) Однако наличие членов низшего порядка может явиться причиной уменьшения Д/: например, большое значение Ь в уравнении (8.8) приводит к быстрому изменению решения и, даже если и не зависит от х, и тогда малость Д/ необходима точно также, как и для конечноразностной аппроксимации обыкновенного дифференциального уравнения du/dt = bu. В качестве первого примера рассмотрим пространственно центрированную схему uj+l - «у е(б2ц);+1-Н1 - 9) (б2и)? и?+1 - и? ,
§ 8.4. ВЛИЯНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЧЛЕНОВ НИЗШЕГО ПОРЯДКА 199 где 8 = const, 0<8<1. Пусть а = дД//(Ал;J остается по- стоянным при Ы—>О и Дл;->0, так что kx—- Yo&tfa. Множи- Множитель перехода G = G(A/, k) равен г _ 1 — 4а A — 6) sin2 р + ia У а М/а sin 2P + Ь А/ а 1 + 4а9 sin2 p где р = ЛДх/2. Поэтому , г , У [1 - 4а A - 8) sin2 р + Ь А/]2 + а2 (а М/а) sin2 2p" |U| l+4a6sin2p что мы перепишем в следующем виде: I G 1= ]/ШГ- где функции /о(р), /i(P) и /2(Р) ограничены. Очевидно, нужно потребовать, чтобы |/о(Р) |^ 1, и это приводит к тому же самому условию, что и в случае а = Ь = 0, а именно a< 1/B-48) при 0<8<72, ,я im ограничений на Д/ нет при \ Если это условие выполняется и если т4 и т2 суть максималь- максимальные значения IMP) | и |Ь(Р)| при изменении р, то мы имеем |С |< /I + /л, Д* + /и2(А/J =1 + 0 (АО, и поэтому условие устойчивости оказывается таким же, как и ранее. В качестве второго примера, быть может, менее удовлетво- удовлетворительного с точки зрения погрешности аппроксимации, рас- рассмотрим (нецентрированную) схему с нецентрированной первой разностью по пространству «у*-у ае(бЧ"+1 + A-е)(бНя а-ц» 5 — * (J + a +0ИРЛ1' (Ал:J + a Ал: где, как и в предыдущих главах, Д__^ = «^ — и*_р и снова предположим, что аД//(Дл:J = а имеет фиксированное значение при Д/-+0 и Дл;-*О. Сначала рассмотрим случай a ^ 0. Теперь мы имеем _ 4а A — 9) sin2 Р + а 1/ -^- B sin2 Р + / sin 2P) + Ь А/ ( 0 = Пвр • (8Л2> Снова ясно, что (8.10) является по меньшей мере необходимым условием устойчивости. Покажем, что оно является также и достаточным.
200 ^л- 8- ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. It Устойчивость связана только с тем, что происходит в преде- пределе при Д/, Длс—>0. Таким образом, необходимо рассматривать лишь малые Д/. Допустим поэтому, что 2а ]/а Д//(т < 4а, т. е. Да: < 2а/а. Если условие (8.10) выполнено, то мы имеем 1<: l-4a(l-8)sin2p ^ ^ 1 + 4а9 sin2 p ^ l+4a9sin2p Обозначив третий член в этом неравенстве через Л, получим I Г 12 — (а 4- Y Л- (^Jij^ I a I — \л -г j + 4a9 sin2 p J -ту 1 + 4а9 sin2 р / ' и поэтому I G |2 ^ 1 + О (ДО равномерно относительно р, что и доказывает устойчивость. Рассмотрим теперь противоположный случай а ^ 0. Мно- Множитель перехода G по-прежнему дается соотношением (8.12), но так как а ^ 0, знак неравенства между вторым и третьим членами неравенства (8.13) нужно заменить противоположным, и поэтому существует опасение, что может оказаться А <—1. Во избежание этого нужно изменить первую строку условия (8.10) и потребовать, чтобы a< 1/B-49) при 0<е<72. ограничений на а нет при 72^9 < 1. ' ' (Это отличается от (8.10) только тем, что теперь не допу- допускается равенства a =1/B — 48).) В каждом случае для за- заданных а и 8 существует такая постоянная Б, что — 1 ^ р^ l-4a(l-8)sin2p ^ D ^ 1 + 4a8 sin2 p ' Так как А отличается от этой последней величины только на отрицательное слагаемое, пропорциональное 1/А^~> то ясно, что, выбирая Д/ достаточно малым, можно добиться того,- чтобы 1 ^ А. Тогда —1 ^Л ^ 1, а отсюда дальнейшие выводы де- делаются точно так же, как и в случае а ^ 0. Если в схеме (8.11) мы возьмем разность вперед Д+^ вместо Д_^, то результат будет тем же самым, за исключе- исключением того, что случаи а ^> 0 и а ^ 0 поменяются ролями.
§ 8.5. РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ 201 § 8.5. Решение неявных уравнений Если уравнение (мы берем типичный случай) аппроксимируется конечноразно- стной схемой иу+' -иу 6 [6 (o6u)]]+l + A -9) М ~ (Дд:J ' аналогичной схеме 5 табл. 8.1, то уравнения, которые нужно ре- решать на каждом шагу по времени, будут иметь вид ~ в wfti1 + 0 + 9а/-н/, + 6а/-'/Х+1 - ea/-rf! • /=1, 2, ..., где черточки в правой части равенства означают известные ве- величины, а а = а(л:) стоит вместо а (л:) А//(Ал:J. Эти уравнения должны быть решены при некоторых граничных условиях, соот- соответствующих, например, / = 0 и / = /. Перепишем эти уравне- уравнения в виде - CjUj-t = Dh (8.15) где Aj, Bj, Cj — сокращенные обозначения коэффициентов, при- причем верхний индекс п + 1 опущен. Для уравнения du/dt = = од2и/дх2 коэффициенты будут несколько иными. В качестве второго примера рассмотрим аппроксимацию этого уравнения разностным уравнением (8.7) (схема 12 табл. 8.1), которое экви- эквивалентно тому случаю, когда 8 в первом примере будет пере- переменным и в каждой точке сетки будет принимать значение 9 == i/2— (Дл;J/12аА/, характеризующее схему 6 табл. 8.1; то- тогда Д/=1+5/Fа/), Лу = 72-1/A2аж), Су = 72 - Если предположить, что 8 > 0 в первом примере и as > 1/6 для всех / во втором, то для обоих примеров Лу>0, В/>0, С/>0 (8.16) и, кроме того, неравенство B^Aj + Cj (8.17) выполняется с некоторым запасом.
202 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II Чтобы проиллюстрировать метод решения рекуррентной си- системы вида (8.15), предположим, что гранчиные условия имеют вид г/0 = 0, (8.18) tij = O. (8.19) Читатель заметит, что при небольших изменениях метод может быть приспособлен и к другим граничным условиям. Уравнения, подлежащие решению, линейны, и можно было бы применить один из стандартных методов решения линейных систем. Но эта система уравнений имеет весьма специальный вид, так как все элементы соответствующей матрицы (за ис- исключением элементов, расположенных на трех диагоналях) об- обращаются в нуль, а для этих последних выполняются неравен- неравенства (8.16) и (8.17). Метод, который мы опишем для таких си- систем, является весьма эффективным и очень удобным для машинных вычислений1). Заметим сначала, что не является хорошим следующий (ино- (иногда применяемый) метод. Берут некоторое решение и^ уравне- уравнений (8.15), удовлетворяющее левому граничному условию (8.18), и некоторое решение uS2) соответствующих однородных уравнений (т. е. системы (8.15) при Dj = O), также удовлетво- удовлетворяющее левому граничному условию, а затем составляют их ли- линейную комбинацию, так, чтобы удовлетворить и правому гра- граничному условию. Причина, по которой этот метод плох2), со- состоит в том, что в общем случае и^ и и& растут очень быстро, приблизительно по экспонентам, когда / возрастает от 0 до /, и поэтому истинное решение должно получаться как разность двух очень больших и почти одинаковых величин. Это требует не только использования плавающей запятой, но и многократ- многократного повышения точности счета. В методе, описываемом ниже, все величины остаются в разумных границах. При описании метода мы тем не менее рассмотрим множе- множество С решений разностного уравнения (8.15), удовлетворяю- удовлетворяющих левому граничному условию (8.18): С является однопара- метрическим семейством решений, потому что каждым значе- значением Uj при / = 1 такое решение определяется однозначно. Действительно, найдем два множества величин Ej и Fj, таких, что для каждого элемента множества С /> (8.20) 1) Насколько нам известно, этот метод был применен независимо мно- многими авторами; конечно, он является лишь специальной формой процесса исключения Гаусса. 2) Подробно этот вопрос рассмотрен, например, з книге Годунова и Ря- Рябенького [1962], стр. 164—171. — Прим. перев. *
§ 8.5. РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ 203 В частности, если это должно выполняться для каждого члена данного семейства, то граничное условие (8.18) показывает, что должно быть ?0 = 0, FQ = 0. (8.21) Позже мы увидим, что Ej > 0 для / > 0. Поэтому система (8.20) также имеет однопараметрическое семейство решений, так как Mi может быть выбрано произвольно, а тогда система (8.20) однозначно определяет все Uj при / > 1. Наша задача состоит в таком определении Ej и Fj, чтобы это семейство совпало с се- семейством С. Чтобы этого достигнуть, подставим Ej-iUj + Fj-i вместо tij-[ в уравнение (8.15). В результате получим соотношение между Uj и Uj+ii которое можно записать так: Если мы приравняем правую часть этого равенства правой ча- части равенства (8.20) и вспомним, что этот результат должен быть справедлив для однопараметрического семейства величин tij+u то станет очевидным, что для этого должны выполняться соотношения С помощью равенств (8.21) —(8.23) можно вычислить Ej и Fj по индукции в направлении возрастания / (/ = 0,1,2, .. ..., /—1). Так как Uj+i для / = / —1 дается с помощью пра- правого граничного условия (8.19), мы можем теперь с помощью (8.20) вычислить Uj по индукции в направлении убывания / (/ = /— 1, / — 2, ..., 1). Этим вычисление завершается. Чтобы показать, что Ej и Fj хорошо расположены в шкале чисел, заметим сначала, что если Ej^{ ^ 1, то в силу равенства (8.22) и неравенства (8.17) Так как Ео = 0, то это означает, что Ej лежит между 0 и 1 для -всех /. Кроме того, как заметил Муссман, если Ej и искомое решение Uj должным образом ограничены, то из равенств (8.20) очевидным образом следует, что и Fj соответственно ограни- ограничены. Чтобы показать эффективность этого метода, заметим, что, помимо вычисления коэффициентов, требуется только три умно-
204 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. И жения и два деления для каждой точки пространства на ка- каждом шагу по времени. Это может быть противопоставлено про- процессу, рассмотренному для задач, в которых коэффициенты не зависят от времени, а именно обращению раз и навсегда матри- матрицы системы уравнений (8.15), (8.18) и (8.19) и последующему применению этой матрицы для получения решения на каждом шагу по времени. Кроме этой работы по обращению матрицы требуется еще умножение матрицы на вектор, т. е. / умноже- умножений, для каждой точки пространства на каждом шагу по вре- времени. § 8.6. Нелинейные задачи Применение вышеизложенных идей к нелинейным задачам проиллюстрируем исследованием уравнения ?-¦?<«¦>. (8.24) для которого были выполнены некоторые пробные расчеты на машине УНИВАК. Решение выбранной нами смешанной краевой задачи извест- известно в аналитической форме, так что точность решения, получен- полученного численным методом, можно оценить сравнением. Решение уравнения (8.24) в виде распространяющейся волны может быть получено как решение, в котором и зависит от х и / только в комбинации х — vt, где v постоянно. Общее решение этого типа неявно дается уравнением + 20и* (и - и0) + bul In (и -uo) = v(vt-x + x0), (8.25) где Wo, Хо и v постоянны. Это — волна, распространяющаяся вправо при v > 0; ее форма показана на рис. 8.1. Слева реше- решение и близко к кривой четвертого порядвд, а справа прибли- приближается к и0 при возрастании х примерно по экспоненте, потому что при и — и0 -С Wo логарифм является преобладающим членом в левой части равенства (8.25). Без потери общности мы мо- можем взять ио = 1. Обозначим через \|)(?) обратную функцию для левой части уравнения (8.25); тогда решением в виде распро- распространяющейся волны является а функция t|)(g) может быть получена графически или с по- помощью метода Ньюгона — Рафсона из уравнения (8.25). На-
§ 8.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ 205 чальные и граничные значения возьмем из этого решения, т. е, начальное условие и(х, О) = г|з(и (х0 — х)), *о)) (8.26) граничные условия: { ,/ ,, . . , , , r J { и (L, t) = if (v (vt — L He нарушая общности, можно взять длину интервала L == I, В силу единственности решения уравнения (8.24) численный ме- метод, если он имеет некоторую точность, должен воспроизводить 10 J 15 Рис. 8.1. Решение нелинейного уравнения du/dt = d2(u5)/dx2, имеющее вид распространяющейся волны. Сплошной линией изображено точное решение, найденное из уравнения (8.25), а штрихо- штриховой—решение разностного уравнения (8.27) при 6=0,4 и при At и Ах, выбранных так, что v Д*/Дх=0,075 и 5mqA*/(AxJ=0,005. Числа п показывают номера шагов по времени. решение в виде распространяющейся волны при 0 ^ х ^ 1, />0. В качестве конечноразностной системы возьмем обобщение общей неявной системы 5 табл. 8.1, так чтобы можно было изу- изучать точность и устойчивость для различных значений 0. Непо- Непосредственное обобщение разностного уравнения [6* + A - е) [У (и* (Да:J было бы неуместным, потому что для него система уравнений, подлежащая решению, была бы нелинейной. Линеаризованный вариант уравнения может быть получен различными способами;
206 гл. 8. диффузия и теплопроводность ч. и удобным для рассматриваемой задачи является вариант, полу- получающийся аппроксимацией и;+1 - и; + 5 и; Положив и^ —wy+1 —unr мы получим уравнения -2 К */+ — (SO5 вместе с граничными условиями wo = в которых члены, стоящие в правой части, известны. Эти урав- уравнения могут быть решены методом, изложенным в предыдущем параграфе; применение после этого уравнения и*}+1 = Wj + w j завершает вычисления для данного шага по времени. Задача была запрограммирована так, что начальные и гра- граничные значения получались путем решения уравнения (8.25) методом Ньютона — Рафсона, а решение конечноразностных уравнений получалось, как указано выше. После каждых два- двадцати шагов по времени машина печатала столбцом получен- полученные таким путем для / = 0, 1, ..., / значения и", а рядом — параллельным столбцом — точные значения, полученные путем решения уравнения (8.25) методом Ньютона —Рафсона. Обра- Образец такой записи воспроизводится в виде табл. 8. II. Из этой таблицы видно, что совпадение, вообще говоря, ока- оказывается хорошим. На рис. 8.1 графически показано несколько множеств таких значений для одной из подобных задач; они по- получены при Д//(Да:) 2 = 0,001, 8 = 0,4. Решение в виде распро- распространяющейся волны получается весьма точно, за исключением двух участков, а именно: 1) имеются слабые расхождения вблизи основания каждой волны, где точное решение меняется наиболее" быстро; 2) на верхнем левом участке последние две кривые имеют колебания, свидетельствующие о появлении неустойчивости. Скорость движения волны вправо, оцененная с помощью гра- графика в точках с абсциссой, соответствующей примерно полови- половине пути, совпадает с точным значением с точностью до долей процента. В общем, принимая во внимание грубость сетки, ре- результат можно считать совершенно удовлетворительным. Эвристически к вопросу об устойчивости можно подойти сле- следующим образом: эффективным коэффициентом диффузии а
§ 8.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ 207 Таблица 8. II Часть численного решения / 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Теория 04,9885291 04,8892890 04,7840560 04,6722668 04,5525326 04,4235425 04,2835565 04,1300680 03,9594097 03,7667231 03,5437619 03,2767332 02,9386536 02,4614235 01,5669351 01,0000000 01,0000000 01,0000000 01,0000000 01,0000000 01,0000000 Эксперимент 04,9885812 04,8892689 04,7841171 04,6722014 04,5524622 04,4234839 04,2833949 04,1297196 03,9589363 03,7658970 03,5423956 03,2745918 02,9355146 02,4580572 01,4850563 01,0122755 01,0000249 01,0000000 01,0000000 01,0000000 01,0000000 Критерий устойчивости 00,0000000 01,1428989 01,0477001 00,9530582 00,8590384 00,7657584 00,6732604 00,5817199 00,4912986 00,4022574 00,3149394 00,2299584 00,1485191 00,0730170 00,0097235 00,0020943 00,0020000 00,0020000 00,0020000 00,0020000 00,0020000 для этой задачи является 5«4, что можно усмотреть, переписав дифференциальное уравнение в виде ди _ д 5 4 ди дх дх и поэтому а зависит от х и /. Замечая, что неустойчивость, ко- когда она возникает, проявляется в быстрых колебаниях локаль- локального характера, можно ожидать, что метод будет устойчивым до момента t = U тогда и только тогда, когда (8,28) и при всех ограничений нет при Уг ^ 6 ^ |.
208 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II Заметим, что для нелинейных задач устойчивость зависит не только от структуры конечноразностной системы, но также, во- вообще говоря, и от получаемого решения; при данном решении система может быть устойчивой для некоторых значений t и не быть таковой для других. Это утверждение можно сравнить с результатом Ф. Джона [1952] для явных схем, описанным в § 5.3. В данной задаче при 8 = 0,4 и Д//(Да;) 2 = 0,001 мы ожи- ожидаем, что устойчивость будет иметь место до тех пор, пока и (которое постоянно возрастает всюду в случае решения в виде распространяющейся волны) не достигнет значения и = E00)!/« « 4,7, и что вскоре после этого будет развиваться не- неустойчивость. Именно это имело место при пробных вычисле- вычислениях, что можно увидеть на рис. 8.1. Отметим, что для этой задачи при выбранной сетке явная система приводила бы к не- неустойчивости уже на 40-м шагу по времени вместо 250-го. Позд- Позднее были еделаны пробные расчеты с разными 8 и Д/. Во всех случаях предсказания, полученные с помощью эвристического подхода к устойчивости подтвердились. При практическом решении нелинейных дифференциальных уравнений необходимо, или по крайней мере в высшей степени желательно, чтобы машина постоянно следила бы за устойчиво- устойчивостью (если разностные уравнения не являются безусловно устойчивыми), проверяя, например, выполнение неравенства для Д? в условии (8.28) и либо останавливала счет, когда условие устойчивости не выполняется, либо автоматически меняла шаг Д/, чтобы восстановить устойчивость. § 8.7. Задачи с несколькими пространственными переменными В качестве первого примера рассмотрим параболическое ура- уравнение для функции и = и(х, у, t) где Л>0, С>0, ЛС-В2>0. (8.30) Неравенства (8.30) обеспечивают параболичность уравнения; если они выполнены, то краевая задача для уравнения (8.29) поставлена корректно.
§ 8.7. ЗАДАЧИ С НЕСКОЛЬКИМИ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 209 Для записи разностных уравнении введем сокращенные обо- обозначения пЫ), (8.31) п у ("/+1. м-' ~ "/-I. /+1 ~~ "ли. '-1 + "/-1. <-i) ¦*" К. /+. " 2ы/.«+ "/. /-.)• (8-32> Взяв постоянную 8 @-<9-<1), напишем разностную аппрокси- аппроксимацию для уравнения (8.29) в виде п = 9Ф?/+1 + A - В) Ф?,. (8.33) Если 0 > 0, то эти уравнения неявны; для каждого п нужно решить систему уравнений, аналогичную системе, получающейся при численном решении эллиптической краевой задачи для функ- функции и(х,у). Не существует простого обобщения алгоритма § 8.5 для решения этих уравнений, и, вообще говоря, приходится об- обращаться к методу релаксации. Раз это так, то может возник- возникнуть мысль, что выгоднее было бы применять явные уравнения (9 = 0) и брать Л/ достаточно малым, чтобы эти уравнения были устойчивы. Однако разработаны очень эффективные ре- релаксационные методы1), и uft обычно обеспечивает превосход- превосходное первое приближение для uff1. При численных расчетах ядерных реакторов2) было найдено, что неявные схемы целе- целесообразно применять для решения двумерного диффузионно- возрастного уравнения, которое сходно по форме с уравнением (8.29). Подстановка exp [ikyx + ik2y] вместо ип(х,у) в выражение Ф?/, определяемое формулой (8.32), после умножения на Д/ дает f j Их + где (8.34) !) См. Шортли и Уэллер [1938], Д. Янг [1950], Дж. Дуглас [1955], Писмэн и Ракфорд [1955], С. Франкел [1950], Либман [1918], Шортли [1952], Старк [1956]. 2) Основы таких вычислений изложены в работе Эрлиха и Гурвица [1954].
210 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II Поэтому множитель перехода для системы (8.33) равен O(M.*)-I+1%9)*. (8.35) Чтобы найти условие устойчивости, нужно знать максимум и минимум г|) как функции действительных переменных k\kx и 62Д#. Эта функция является аналитической и периодической, и, следовательно, ее экстремумы достигаются при x) ~ d(k2Mj) Непосредственный подсчет показывает, что если выполнены не- неравенства (8.30), то эти экстремумы могут иметь место только тогда, когда sin k\&x = sin &2Л*/ = 0. Поэтому мы должны ис- исследовать только четыре возможности: cos &iAa; = ± 1 и = ±1. Таким путем мы легко устанавливаем, что Равенство (8.35) тогда показывает, что 1) G действительно, 2) в любом случае G < 1, 3) если 8 ^ 7г, то G ^ — 1; 4) если 0 ^ 8 < 7г, то требование устойчивости G ^ —1 налагает не- некоторое ограничение на Д/. Таким образом, мы приходим к сле- следующему условию устойчивости: ограничений нет при 72^9^1» AM . СМ ^ 1 л^л^|/ (8.36) Это — естественное обобщение условия устойчивости, найден- найденного для соответствующей одномерной задачи (8.4). Для дальнейших примеров рассмотрим теперь обобщения не- некоторых схем повышенной точности табл. 8.1 на случай двумер- двумерного уравнения диффузии Чтобы получить точное выражение1) для лапласиана, мы ис- используем в плоскости jc, у сетку, ячейками которой являются равносторонние треугольники, как указано на рис. 8.2. Шесть ближайших точек к точке (x, у) суть (х±Н,у), (х ± 72А, у± 72 УЗ Л), где h — расстояние между соседними точками. Если узлы сетки обозначать индексами / и / так, что лг/ = /Л, У1 = 1/2 \/olhy то ближайшими соседями точки (/,/) 1) Ср. с книгой Коллатца [1953], стр. 307,
S 8.7. задачи с несколькими пространственными переменными 211 будут точки (/±1,/) и 0±V2, ^±1). Обозначим через B и) и сумму значений и в этих шести соседних точках, т. е. Используя разложения в ряды Тейлора, легко усмотреть, что B и)п = 6ип + *l2ti> (V2u)n + 3/32Л4 {Vu)n + О (Л6). (Если использовать четыре соседние точки прямоугольной сетки, то получится аналогичная формула, но член четвертого поряд- Р и с. 8.2. Гексагональная сетка в плоскости (а:, у), используемая в системах (8.38)—(8.40). ка будет lf\2h4(d4u/dx4 + дАи/ду4) и не может быть представлен через лапласиан от и). Поэтому Следовательно, если и удовлетворяет уравнению (du/dt)=oV2u, то мы имеем at !ц + 16 dt Веса 3Д и V24 соответствуют весам 5/в и Vi2 в примерах 12 и 13 табл. 8.1 для одномерного уравнения диффузии.
; ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. И Аналогами уравнений 12 и 13 табл. 8.1 являются 24 Д/ 24 А/ + + Т д/ ~a Ч&2 . 1».да; Мы будем называть их 14-точечной и 21-точечной формулами соответственно (в любом из этих случаев в каждой плоскости t = const берется семь точек). Погрешность аппроксимации в обоих случаях равна О[(Д/J]+ О (Л4). Аналогом менее точного уравнения 9 табл. 8.1 является 9-то- 9-точечная формула C64+1 f (HC-64+ для которой погрешность аппроксимации равна О[(Д/J]+О(Л2). Эти формулы согласуются с уравнением (8.37) и безусловно устойчивы при Д/—>0 и h —> 0. Существует соответствие между 14-точечной формулой (8.38) и 21-точечной формулой (8.39), ко- которое аналогично отмеченному ранее соотношению между схе- схемами 12 и 13 табл. 8.1: первая несколько предпочтительнее для гладких начальных данных, а вторая —для быстро меняю- меняющихся или разрывных начальных данных. Многочисленные пробные расчеты подтвердили, что эти фор- формулы весьма точны. При этом неявные уравнения на каждом шагу по времени решались релаксационными методами. В сле- следующем параграфе будет показано, как для этих уравнений мо- можно использовать методы чередующихся направлений. Следует отметить, что 21-точечная формула несколько более точна, чем 9-точечная, но, возможно, не настолько, насколько можно было бы ожидать. Нужны более точные формулы для таких приложений, как интегрирование диффузионно-возраст- диффузионно-возрастного уравнения для ядерного реактора в случае двух или трех пространственных переменных. Практические соображения, свя- связанные со скоростью и объемом оперативной памяти вычисли- вычислительных машин, требуют применения для таких вычислений весьма крупней сетки, и поэтому уменьшение погрешности ап- аппроксимации является в высшей степени желательным. Для про-
§ 8.8. МЕТОДЫ ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ НАПРАВЛЕНИЙ 213 стого уравнения диффузии с постоянным коэффициентом диф- диффузии очень точное разностное уравнение может быть получено из точного решения • с <+до - (-dsT Ш - (у. в «ф [- ^] "у путем аппроксимации интеграла с помощью подходящей чис- численной квадратуры, однако обобщение такого подхода на прак- практические задачи с переменными коэффициентами представляется весьма трудным. § 8.8. Методы чередующихся направлений Метод решения многомерных задач теплопроводности и диф- диффузии, предложенный Писмэном и Ракфордом [1955] и Дугла- Дугласом [1955], сочетает безусловную устойчивость и простоту чис- численной реализации. Сейчас уже имеются многочисленные вари- варианты этого метода, применяемые для решения эллиптических и гиперболических задач точно так же, как и для решения систем параболических уравнений (см. работу Дугласа и Ганна [1964] и статьи, на которые они ссылаются). Для простого уравнения диффузии (8.37) при расчете на квадратной сетке, у которой Да; = Дг/, в последовательные пе- периоды времени с шагом Д//2 попеременно применяются две раз- разностные аппроксимации: б2^д (8#41 а) ( 62ип+^ (8.416) где ип стоит вместо г/у/и т. д., 6хи — вместо iij+\ti — 2tiji + «j_i,j, 62уи — вместо Ujti+\ — 2uji + Ujj-i и а —вместо аД//(Дл:J. Пред- Предполагая для простоты, что граничные значения заданы на сторо- сторонах некоторого прямоугольника в плоскости х, у, уравнения (8.41) можно решить методом, изложенным в § 8.5: для любого фикси- фиксированного / матрица коэффициентов при неизвестных tilf4* в (8.41а) является трехдиагональной, а для фиксированного / точно такой же будет матрица коэффициентов при неизвестных ufx в (8.416). Два таких последовательных временных шага образуют за- законченный цикл вычислений, и множитель перехода g при этом равен произведению g'g" двух множителей, соответствующих каждому из уравнений. Если Pi и р2 обозначают k\kx и k где h и k2— частоты компоненты Фурье exp [i(k{x + k2y)], то [1 + а A - cos p,)] g* = 1 - а A - cos p2)
214 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II так что [1 — а A -cosPQin -a(l-cosp2)]. g [1 +оA -cosp,)] [1 +аA -cosp2)]' поскольку аA—cos pi, 2)^ 0, то g лежит между —1 и 1, а это означает безусловную устойчивость схемы (8.41). Для нахождения порядка точности вычтем (8.416) из (8.41а) и получим 2un+l/> = un+l +un- V2a62, {ип+[ - ип)\ подстановка этого результата в сумму тех же уравнений дает для достаточно гладкой функции u(x,y,t) последний член ра- равен О[(Д/J], а остальные члены центрированы так же, как и в уравнении Кранка — Николсона; следовательно, е = О[(Д/J] + О[(J] [()] В наиболее очевидном обобщении на случай трех перемен- переменных с помощью трех уравнений, содержащих соответственно только ип и ип+ч>, ип+ч* и ип+2/*, un+7/i и ип+{ и идентичных с точностью до циклической перестановки производных по х, у и z в неявном члене, безусловная устойчивость теряется и по- погрешность аппроксимации становится равной О(Д/) + О[(Дл:J]. Поэтому был разработан другой алгоритм, который является частным случаем очень общего метода для получения схем с че- чередующимися направлениями из вполне неявных схем, предло- предложенного Дугласом и Ганном [1964]. Лучше всего этот алгоритм описывается с помощью последовательности аппроксимирующих решений и* n+1, и** n+i и т. д. уравнения Кранка — Николсона. Последнее из них /Д** n+i в случае трех переменных отождеств- отождествляется с un+i и используется на следующем шаге по времени. Разностные уравнения имеют вид f ? Bип) + 61 Bи% u"n+i - и" = f [6* (u'n+i + «-) + б2, («"n+1 + «-) + + ЫBи% (8.44) «"+'-«« = | [61 („•»+• + „•) + б2 („•«+¦ + ип) + + б2 («п+1 + «•)]. Очевидное обобщение оказывается эффективным при любой размерности пространства; в случае двух переменных х и у
§ 8.8. МЕТОДЫ ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ НАПРАВЛЕНИЙ 216 снова получается схема (8.41), хотя это совпадение и не яв- является очевидным. Множитель перехода для полного шага легко вычисляется: п 1 — а — Ь — с + ab + ас + be + abc ,Q ,-v 8 (\+a)(\+b)(\+c) ' (*-45> где а, Ь и с стоят вместо аA —cos&,Aa;), /= 1,2,3. Знамена- Знаменатель в (8.45) после выполнения умножений содержит в точности те же члены, что и числитель, но все члены знаменателя имеют знак плюс, и поэтому снова — 1 sg: g ^ 1, откуда следует безус- безусловная устойчивость. Интересно отметить, что если в третьем из уравнений (8.44) в члене, соответствующем второй производной по jc, заменить и* n+1 на и** n+l (можно подумать, что аппрокси- аппроксимация при этом всегда будет лучше), то безусловная устойчи- устойчивость снова утрачивается (g может быть меньше, чем —1). Нахождение uliV из системы (8.44) снова сводится к реше- решению последовательности трехдиагональных линейных систем. Вычисления несколько упрощаются, если вычесть второе уравне- уравнение из первого и третье из второго и затем использовать полу- полученные уравнения вместо двух последних уравнений системы (8.44). Погрешность аппроксимации может быть найдена путем ис- исключения и* n+1 и u**n+l из (8.44), которое проводится так же, как и исключение «п+1/а из (8.41). Окончательный результат имеет вид ип+{-ип _ (б^+б^ + б^-н + ц") Д/ ~ ° 2 (Да:J и показывает, что в этом случае снова е = О[(Д/J] + О[(Да:J]. В общей формулировке алгоритма чередующихся направле- направлений разностное уравнение C.4) записывается в виде A + А)ип+] + Вип = 0, (8.47) где и каждый разностный оператор А( (такой, какб?, б? и т. д.) выбирается так, чтобы оператор / + А{ можно было всегда лег- легко обратить путем решения трехдиагональной линейной систе- системы. Обозначим последовательные приближения к un+i через
216 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II Kn+i(/)> где / соответствует числу звездочек у функций из си- системы (8.44). Тогда обобщением системы (8.44) будет система un+l A) + A{un+l A) + Ц Atun + Вип = О, i2 / Q un+i (у) + ^ Atun+l @ + 2 AiUn + Вип = 0, (8.48) un+l (q) + 2 Л^+! @ + Вип = О, в которой un+i(q) отождествляется с un+i и используется на следующем шаге по времени. В /-м уравнении системы (8.48) неизвестные входят только в первый член и в член, для кото- которого / = /. Дальнейшие обобщения были построены Дугласом и Ганном [1964] для слабо нелинейных уравнений (у которых не- нелинейным является только недифференциальный член) и для многослойных схем вида, описанного в гл. 7. Было потрачено много усилий для выяснения влияния гра- граничных условий и переменных коэффициентов на устойчивость и точность. При очень общих предположениях можно показать, что схема (8.48) согласована с дифференциальным уравнением, если с ним согласована исходная схема (8.47). Если q = 2 (это ограничивает нас двумя пространственными переменными, хотя нужно заметить, что даже для двух пространственных перемен- переменных иногда необходимо выбирать q > 2, как это будет видно из приводимого ниже примера), то для довольно широкого класса параболических задач из устойчивости схемы (8.47) при любом фиксированном значении величины Д/[(Дх)-2 + (ку)'2] следует устойчивость схемы (8.48). Если q и размерность про- пространства больше двух, то устойчивость схемы (8.48) следует из устойчивости схемы (8.47) при весьма частных предположениях (предполагается, что разностные операторы А\ и В коммута- коммутативны и эрмитовы, а А\ к тому же положительно определен- определенные—это практически сводится к простой задаче теплопровод- теплопроводности для прямоугольника). При тех же предположениях мож- можно также доказать, что потеря точности при переходе от (8.47) К (8.48) не превышает О[(Д/J]. При несколько более общих предположениях можно показать, что существует такая функ- функция g, что схема (8.48) будет устойчивой при Д/<?(Дл:) (при этом предполагается, что Кх = Д# и т. д.), или что устойчивость схемы (8.48) имеет место при достаточно малом фиксированном значении величины Д//(Дл;L. Обсуждение этих результатов и при- приложения изложенного метода содержатся в работе Дугласа и
§ 8.8. Методы чередующихся направлений 21? Ганна [1964]. Интуиция подсказывает, что этот метод обладает устойчивостью и точностью при более широких предположениях, чем те, для которых были получены строгие доказательства. В качестве иллюстрации применим общий алгоритм к неяв- неявному уравнению (8.38), сетка для которого изображена на рис. 8.2. Определим вторые разности по пространству б2, 62, бз следующим образом: 62iu = u(x + ht y) — 2u(x, y) + u(x — h, у), б! Зи=и(х + 72Л, у ± V2 /ЗЛ) -2и(х, у) + (8.49) + u(x-42h, у+42 VZh). Тогда уравнение (8.38) может быть представлено в виде и*+1 — ип = <х62 {Qun+l + A - 6) ип), (8.50) где б2 = б? + 62 + бз, а = 2аД//3 (ДхJ, a 6 = V2 — '/ма. Те- Теперь эти уравнения совпадают с уравнениями (8.44) за исклю- исключением того, что разностные операторы 8Х, бу и б2 заменены на бь бг и бз, а среднее значение {/2un+l + {/2ип заменено на взве- взвешенное среднее Qun+i + A—Q)un. Иначе говоря, в (8.48) мы теперь имеем <7=3, А{ = — абб? (/=1,2,3) и В = — /аA— 6)б2. Заметим, что q, равное трем, превосходит размерность простран- пространства, которая равна двум. Для нахождения множителя перехода мы используем метод, применимый в скалярном случае к системе (8.48) общего вида, если операторы А\ являются положительно определенными. (На- (Напомним читателю, что здесь, как и всегда в рамках теории фон Неймана, мы рассматриваем краевую задачу без граничных услодий и с постоянными коэффициентами. Как было отмечено Биркгофом и Варгой [1959], граничные условия, заданные на гра- границе области, отличной от прямоугольника, приводят к неком- некоммутативности Аи если А\ рассматриваются как операторы, обла- области определения которых состоят из функций, удовлетворяющих граничным условиям; таким образом, для задач с переменными коэффициентами введенный выше множитель перехода является локальным свойством системы, определенным для внутренних точек физической области, где коэффициенты меняются медлен- медленно. Иначе говоря, состояние общей теории, как уже отмечалось выше, пока что нельзя считать удовлетворительным с точки зре- зрения практических приложений.) В результате применения опе- оператора А\ к функции exp [ikix + &гу\ она умножается на 2<х8A —cosрг), где Pi = kxh, Р2,з = 72 kxh ± V2 1/3 k2h\
218 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II так как этот множитель неотрицателен, оператор Aj является положительно определенным. Промежуточные величины un+l(j) (/= 1, ...,<7—1) могут быть исключены из системы (8.48) В результате для q = 3 получим (/ + А) ип+{ + Вип + (АХА2 + А2А3 +АХА3+А{А2АЪ) (ип+1 - ил) (8.51) Если в этом уравнении обозначить через а = а(к), b = b(k) и А = А(к) множители, на которые будет умножаться exp(ik-x) при применении операторов А, В и (АХА2 + ... + АХА2А3), то множитель перехода запишется в виде (8.52) В силу (8.47) множитель перехода исходной схемы —в нашем случае схемы (8.38) —равен go = —b/(l +а). Так как Л ^ О, из условия —1 ^ gо ^ 1 следует, что —1 ^ g ^ 1; следова- следовательно, метод чередующихся направлений для схемы (8.38) все- всегда устойчив. § 8.9. Методы расщепления и дробных шагов Методы, тесно связанные (а в некоторых случаях и совпа- совпадающие) с методами чередующихся направлений, были пример- примерно в то же время разработаны советскими математиками1) и известны теперь, как методы расщепления или методы дробных шагов. Основная идея, выдвинутая Багриновским и Годуновым [1957] и обобщенная затем Яненко [1964], состоит в следующем: пусть для решения уравнения du/dt = Аи, где А = АХ+ ... ... + Aq, выбрана некоторая разностная схема; тогда оператор А в ней последовательно заменяется на qA\,qA2, ..., qAq, причем продвижение по времени при каждой такой замене происходит на часть &t/q временного шага Д/. Таким образом, можно заме- заменить сложную (например, многомерную) задачу последователь- последовательностью более простых (например, одномерных) задач. Например, схема Кранка — Николсона для многомерного уравнения теплопроводности А/ ~° 2 (АхJ — (л м мл \А\+ ... + A ¦) Багриновский и Годунов [1957], Яненко [1959], Дьяконов [1962, 1964], Софронов [1962], Коновалов [1964], Самарский [1964], Марчук и Яненко [1966]; обширная библиография приводится в последней из этих работ и в книге Яненко [19671
§ 8.9, МЕТОДЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ И ДРОБНЫХ ШАГОВ 219 где А{ = — (сг/(Дл;J6* и т. д., Д* = Дг/ = ..., а 6*, 6^ и т. д. обозначают, как обычно, вторые разности по соответствующему переменному, заменится последовательностью уравнений « Л. = -Л^ ±| (/=1,2 <7).(8.53) Отличие от схемы Дугласа (8.48) состоит в том, что в разно- разностном операторе члены Aj при / Ф i полностью опущены. По- Поэтому в данном случае, как и для любого скалярного уравнения, множитель перехода просто равен произведению множителей перехода для одномерных уравнений (8.53). Так как они яв- являются уравнениями типа Кранка — Николсона, это означает безусловную устойчивость схемы (8.53). Чтобы найти погреш- погрешность аппроксимации, заметим, что так как в нашем примере операторы А( коммутативны, мы имеем После выполнения умножений получим так как un+i — ап = О(Д/), а левая часть представляет схему Кранка — Николсона, то мы видим (после деления на Д/), что погрешность аппроксимации равна О[ШJ] + О[(Дл:J].
Глава 9 УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА § 9.1. Физические основы Задачи рассматриваемого в этой главе типа возникают глав- главным образом в двух областях: диффузия нейтронов и перенос лучистой энергии. Термин «диффузия нейтронов» часто (и не- неудачно) применяется для описания миграции и размножения нейтронов даже в том случае, когда приближение диффузии не- неприменимо. Основное интегро-дифференциальное уравнение для этих процессов называется уравнением переноса. Иногда исполь- используется неправильный термин «уравнение Больцмана». Уравнение переноса описывает движение частиц (нейтронов, протонов и т. п.), которые между соударениями перемещаются прямолинейно с постоянной скоростью, но при прохождении че- через вещество постоянно испытывают с определенной вероятно- вероятностью соударения с ядрами или атомами и отклоняются от пер- первоначального направления, замедляются, поглощаются или раз- размножаются. Уравнение описывает настолько большой ансамбль частиц, что его можно рассматривать как континуум, пренебре- пренебрегая статистическими флуктуациями. В уравнении Больцмана из статистической механики рассеивающие частицы таковы же, как и рассеиваемые, в то время как в уравнении переноса распре- распределение и свойства рассеивающих центров предполагаются за- заданными; поэтому уравнение переноса является линейным, тогда как уравнение Больцмана квадратично. В любой момент времени движение нейтрона может быть представлено точкой шестимерного фазового пространства, ко- координаты которой являются компонентами радиуса-вектора и вектора скорости нейтрона. Весь ансамбль в целом описывается своим распределением в этом пространстве. Краевая задача со- состоит в том, чтобы найти изменение этого распределения со вре- временем, если в начальный момент оно задано. Аналогичное положение имеет место и в задачах о переносе лучистой энергии с той лишь разницей, что координатами фазо- фазового пространства являются компоненты радиуса-вектора и век- вектора импульса (это можно было бы сделать также и в случае нейтронов), так как скорость фотона в этих задачах не зависит от его энергии /iv. В астрофизике основной интерес представ-
§ 9.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ 221 ляют задачи, связанные с равновесным состоянием, однако для пульсирующих и иных переменных звезд возникают задачи, учи- учитывающие зависимость от времени. § 9.2. Общее уравнение переноса нейтронов Предположим, что система, в которой происходят нейтрон- нейтронные реакции, находится в выпуклой области 91, ограниченной поверхностью 9*. Пусть х = (лс, у, z) и v = (vx, vyy vz) обозначают радиус-вектор и вектор скорости, и пусть для хеЙ г|з(х, v, t)dxdv — число нейтронов в интервале (х,х + dx), (у, у + dy), ... ..., (vZj vz + dvz) в момент времени /, причем dx — краткое обо- обозначение dxdydz, a dy аналогично означает dvxdvydvz. Предположим (как это делается в обычной статистической механике), что dx и dv можно рыбрать так, чтобы они были малы по сравнению с областями, в которых условия заметно ме- меняются, и в то же время достаточно велики для того, чтобы •tydxdv представляло большое число нейтронов. Флуктуационные явления нас здесь не интересуют. Для наших целей достаточно предположить, что нейтроны являются классическими точечными частицами, соударения ко- которых с ядрами происходят по статистическим законам, так что мы будем иметь дело со средними значениями и вероятно- вероятностями. Пусть y<j(v, x) означает вероятность столкновения за еди- единицу времени нейтрона, обладающего скоростью v(v — абсо- абсолютное значение v). Величина a(v, х) является полным попереч- поперечным сечением ядра, отнесенным к единице объема в точке х. Если вещество изотропно, то а не зависит от направления v, а если оно однородно, то а не зависит от х; поэтому вместо a(v, х) мы будем писать о (у), хотя во многих интересных зада- задачах а зависит от х по крайней мере в том смысле, что система состоит из нескольких областей, в которых a(v) имеет разные значения. Если соударяющийся нейтрон имеет скорость v', то через K(v\ v)dv мы будем обозначать вероятность того, что он после соударения будет иметь компоненты скорости в интервалах (vx,vx + dvx), {vy, Vy + dvy), ivz,vz + dvz). В случае изотроп- изотропной среды К может зависеть от скоростей v' и v и от угла ме- между ними, но не от самих направлений v' и v. При заданных v' и х интеграл J/Wv, взятый по всем скоростям испускаемого в процессе соударения нейтрона, дает среднее число нейтронов, испускаемых при соударении. Обозначим этот интеграл через 1 _|« f-t тогда при f = 0 среда только рассеивает нейтроны, при f < 0 она может их поглащать, а / > 0 соответствует среде,
222 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. И в которой нейтроны могут размножаться. В поледнем случае рассматривают такие процессы, как деление и (п,2п) -реакция, следствием которых является испускание двух и более нейтро- нейтронов. В этом случае слово «он» в данном выше определении К должно быть заменено словом «нейтрон», который не обяза- обязательно окажется начальным нейтроном. Поведение г|)(х, v, /) описывается уравнением переноса v, /) = -шт(у)г|)(х, v, t) + + J y'cr (о') Л' (v', v) г|) (х, v', 0 dv', (9.1) где v • V означает vxd/dx + vyd/dy + vzd/dz, a J ... dsr означает I J J...а**;** — oo — oo —oo Граничное условие заключается в том, что нейтроны извне не попадают в систему. Предположим, что область 91 выпукла (иначе мы должны были бы учитывать нейтроны, вылетающие из системы в одном месте и возвращающиеся в нее в другом) и что поверхность 9* почти везде имеет нормаль. Если эти пред- предположения не выполняются в данной области 91, то можно за- заменить ее большей областью, удовлетворяющей поставленным требованиям, положив при этом в дополнительно присоединен- присоединенном пространстве сечение равным нулю. В качестве такой но- новой области 91 мы можем выбрать сферу. Если п(х) —внешняя по отношению к 9> нормаль в точке х, то граничное условие примет вид г|5(х, v, /) = 0 при хеУ и vn(x)<0. (9.2) Интерпретация уравнения переноса (или, вернее, физиче- физическая картина, на основании которой оно обычно выводится) следующая: ансамбль нейтронов можно представлять себе как суперпозицию очень большого числа (в действительности пяти- параметрического семейства) узких пучков движущихся вместе нейтронов. Функция \|)(х, v, /) представляет интенсивность в точ- точке х одного из таких пучков, а левая часть уравнения (9.1) — изменение этой интенсивности в зависимости от времени, кото- которое мы будем наблюдать, двигаясь вместе с частицей. Первый член правой части описывает выбывание частиц из пучка вслед- вследствие соударений, а последний член (интеграл) соответствует приходу частиц в рассматриваемый пучок вследствие других соударений. Если функция \|^(x,v, 0) задана, то уравнения (9.1) и (9.2) приводят к линейной краевой задаче. Можно написать d/d
§ 9.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ 223 = Л\|), где А — линейный оператор, который дается уравнением (9.1) и область определения которого состоит из функций, удовлетворяющих граничному условию (9.2). Так как число независимых переменных велико, то мы не можем применять численные методы непосредственно к пол- полному уравнению переноса. Вместо этого, сделав упрощающие предположения, рассмотрим несколько частных случаев. Мы уже предположили, что o(v) и /C(v', v) не зависят от времени, а наши обозначения соответствуют предположению изотроп- изотропности и однородности вещества. Можно сделать дополнительные предположения (не все одновременно): 1) число групп нейтронов конечно, 2) имеет место симметрия слоя, 3) имеет место сферическая симметрия, 4) имеет место цилиндрическая симметрия, 5) имеет место осевая симметрия, 6) зависимость от координат отсутствует, 7) 1/а очень мало, 8) испускаемые при столкновении нейтроны распределены изотропно. Предположение 1) означает, что скорость v не менятся не- непрерывно, а принимает конечное число значений vu v2, ... ... ug и что интегрирование по v заменяется суммированием по группам нейтронов. В частности, если предположить, что все нейтроны деления имеют, грубо говоря, одну и ту же энергию (и, следовательно, одну и ту же скорость) и что при рассеянии энергия не меняется, то имеется только одна группа. Предпо- Предположение 2) означает, во-первых, что все величины не зависят от двух декартовых координат, скажем х и у, и, во-вторых, что распределение скоростей симметрично по отношению к направле- направлению z\ другими словами, система и ансамбль нейтронов в ней инвариантны по отношению к переносам и вращениям в пло- плоскости х, у. Предположение 3) означает инвариантность по от- ношению к вращениям вокруг точки; предположение 4) — ин- инвариантность по отношению к переносам параллельно оси; предположение 5) — инвариантность относительно вращений вокруг оси; предположение 6)—инвариантность относительно всех переносов и вращений в пространстве. Предположение 7) означает, что средний свободный пробег 1/а мал по сравнению со всеми характерными длинами, относящимися к системе или к распределению в ней нейтронов (это соответствует предель- предельному случаю теории диффузии). Наконец, предположение 8) оз- означает, что K(v\v) не зависит от направления v, а потому и от угла между v' и v.
224 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. I! Мы не будем рассматривать все возможные комбинации этих предположений, а ограничимся лишь несколькими типич- типичными случаями. § 9.3. Однородный слой; одна группа Все нейтроны имеют скорость vt а слой заполняет об- область —a^CzKa. Вероятность того, что при рассеянии напра- направление вылета будет лежать в единице телесного угла и будет составлять угол а с первоначальным направлением, обозна- обозначается через ^p(cosa)— это выражение подставляется вместо ядра /C(v', v) в общее уравнение; случай изотропии соответствует равенству р (cos a) = 1. Пусть 8 — угол между вектором скорости v и осью 2, и пусть |и = cos 8; тогда функцию распределения можно записать в виде \|)(z, (I, t)\ такая запись соответствует числу нейтронов, от- отнесенному к единице объема пространства и единице телесного угла в направлении движения. После деления на v уравнение переноса запишется в виде 1 2ft = a ПЙГ I W J P(cosa)\|)(z, ii', /)dq> -1 0 при — a<z<a, />0, (9.3) где cos a = wi' + V(\-\x2){l -ц'2)cosФ- <9-4) Здесь a — угол между направлением скорости нейтрона до столкновения и после столкновения; полярные углы этих на- направлений можно записать как (8,0) и (8', ф), где n = cos8 и \х' = cos в7. Граничные условия выглядят так: iy t) = 0 при z = a, \x<0 и при z=—a, \i>0. (9.5) Это соответствует тому, что нейтроны не попадают на левую сторону слоя слева и на правую сторону — справа. Во многих случаях угловое распределение при рассеянии изотропно. Это означает отсутствие корреляции между началь- начальным и конечным направлениями, и поэтому p(cosa) = 1. Та- Такое утверждение справедливо, например, при рассеянии нейтро-
§ 9.4. ОДНОРОДНАЯ СФЕРА; ОДНА ГРУППА 225 нов малой энергии на тяжелых атомах. В этом случае имеем следующее уравнение переноса: Заметим, что изотропность рассеяния не приводит к изотроп- изотропности решения: г|э зависит от \х9 даже если p(cosa) постоянно. § 9.4. Однородная сфера; одна группа Пусть а — радиус сферы, г — полярный радиус, n = cos8, где 8 — угол между радиусом-вектором, проведенным к нейтро- нейтрону из начала координат, и вектором скорости нейтрона. Уравне- Уравнение переноса имеет вид 2я djx'J p(cosa)o|5(r, \i', t)dy -1 0 при 0<r<a, *>0, (9.7) где cos a определен, как и ранее, равенством (9.4); граничные условия таковы: i|) (г, \i, t) = О при г = a, \i < 0. (9.8) Можно было бы подумать, что необходимо задать граничное условие и в точке г = 0, как это часто делается при решении физических задач в полярных координатах, так как эта система координат имеет в данной точке особенность. Однако в нашем случае дело обстоит не так. Можно показать, что даже без та- такого условия решение является единственным, если оно вооб- вообще существует как решение в пространстве L2, за исключенном прямой |i= 1. Но эта прямая в пространстве скоростей имеет меру нуль, а две функции распределения, которые совпадают с точностью до множества меры нуль, представляют одно и то же физическое распределение. При этих рассуждениях предполагается, что г|э принимает конечные значения, и поэтому дельта-функция и ей подобные из рассмотрения исключаются. § 9.5. Метод сферических гармоник Метод, который носит это название (см. работу Чандрасек- хара [1944а]), мало применялся при решении задач, содержащих зависимость от времени, но так как он успешно использовался 8 Зак. 1300
22Q ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. Н в стационарных задачах нейтронной физики, мы рассмотрим ряд простых систем разностных уравнений для зависящих от времени уравнений в сферических гармониках и обсудим их устойчивость. Мы ограничимся задачами со сферической сим- симметрией и симметрией слоя (случаем одной группы), хотя обоб- обобщение на случай многих групп и осевой или цилиндрической симметрии, как и в стационарных задачах, можно сделать не- непосредственно. В;этом методе угловая зависимость распределения в дан- данной точке пространства представлена разложением !) функции г|)(г, [х, /) по полиномам Лежандра от \х с коэффициентами, за- зависящими от г и /. Подстановка этого разложения в уравнение переноса приводит к системам уравнений в частных производ- производных для коэффициентов. В частности, положим (9.9) р (cos a) = 2 рхРх (cos а). (9.10) Множитель У21+U входящий в разложение (9.9), носит со- совершенно произвольный характер — его вводят для удобства нормировки i|)/(r, t)\ коэффициенты pi в формуле для рассеяния (9.10) предполагаются известными (на основании физических измерений или из других источников) — это эквивалентно пред- предположению, что функция p(cosa) известна. Если cos a определяется равенством (9.4), то, согласно тео- теореме сложения полиномов Лежандра2), мы имеем Pt (cos a) = Pt (v) Pt OiO + 2 2 Pi Ox) P\ №^р?Щ cos *q>, (9.11) где Р\ — присоединенная функция Лежандра. Если это выраже- выражение для P/(cosa) подставить в разложение (9.10) для p(cosa) и проинтегрировать по ф, то мы увидим, что все члены, входя- входящие в сумму (9.11), взаимно уничтожатся, и останется только произведение Pi(\l)Pi(vl'). Таким образом, 2л оо J p (cos a) dq> = 2я]? PiPt Ox) Pt 0x0. (9.12) о ') См. Курант и Гильберт [1951], т. 1, стр. 423. Во время войны это раз- разложение было использовано для уравнения переноса несколькими исследова- исследователями. Первая опубликованная работа принадлежит Чандрасекхару [1944а]. 2) См. Уиттекер и Ватсон [1927], т. 2, стр. 145.
§ 9.6. МЕТОД СФЕРИЧЕСКИК ГАРМОНИК 227 Согласно уравнению (9.7), этот результат следует умножить на разложение \|)(г, \х\ /), которое можно записать в следующем виде (ср. с разложением (9.9)): ¦ (г, |1', 0=2 /2/ТТ ¦/ (г, t) Р, (|*0. /=о и проинтегрировать по jj/ от —1 до +1. Так как полиномы Лежандра удовлетворяют условиям орто- ортогональности и нормировки 1) 0 при 1Фи 2 -1 2/+1 при / = /, результат можно упростить. Следовательно, правая часть урав- уравнения (9.7) приводится к виду (9.13) Теперь желательно представить левую часть уравнения (9.7) также в виде суммы членов, каждый из которых представляет собой произведение полинома Лежандра от \х на функцию толь- только от г и / — тогда мы сможем приравнять коэффициенты при Pj{\i) и получить систему уравнений для 4>j(r,/). Чтобы проде- проделать это, мы используем разложение гр(г, ц, /), однако мы должны избавиться от входящих в уравнение (9.7) членов, со- содержащих [х и A—|12)д/д[г. Этого можно добиться, применяя некоторые рекуррентные соотношения2). Одно из них имеет вид 2/ Используя его, получаем м /v> ; /2ГП [т17^Т^ v^Ff ' ]/)> (9Л4) Последнее выражение получается в результате перегруппиров- перегруппировки членов суммы (предположим, что это возможно): в первом ») См. Уиттекер и Ватсон [1927], т. 2, стр. 113. 2) Эти соотношения подобны тем, которые указаны в книге Уиттекера и Ватсона [1927], т. 2, стр. 116, и могут быть выведены из них.
228 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II члене / равно /+ 1, а во втором равно /— 1; определяем, кро- кроме того, \|)_i(r, /) так, чтобы оно было равно нулю. Второе рекуррентное соотношение записывается так: использовав его аналогичным образом, получим . 0.15) Подставим теперь разложения (9.13) — (9.15) в уравнение переноса (9.7) и приравняем коэффициенты при Pj(\i) в пра- правой и левой частях. В результате для \|);(г,t) получится система дифференциальных уравнений в частных производных. Уравне- Уравнение, в которое входит производная от i|)j по времени, в силу разложения (9.14) и (9.15) содержит не только \|)j, но также \|)j+i и \|)j_i. Поэтому если уравнения записать последовательно, то каждое из них будет связано с предыдущим и последующим. Приближение по сферическим гармоникам порядка L яв- является результатом решения первых L + 1 уравнений для L + 1 неизвестных функций \|H, г|?ь ..., \|)L, причем в последнем из этих уравнений \pL+i полагается равной нулю. Многое в предыдущем изложении носит эвристический ха- характер. Необходимо обосновать использование соответствую- соответствующих разложений, а также доказать допустимость перегруппи- перегруппировки членов рядов и справедливость предположения о том, что приближение в сферических гармониках дает решение уравне- уравнения переноса при L->oo. Б. Карлсон [1946] дал это доказатель- доказательство для некоторых случаев, выразив приближение в сфери- сферических гармониках аналитически и изучив предельный переход при L->oo. Позднее Келлер и Вендрофф [1957] доказали схо- сходимость так называемых дискретно-ординатных методов. По- Поскольку один из них, а именно метод Вика — Чандоасекхара, эквивалентен между сферических гармоник, это означает схо- сходимость последнего (см. § 9.10 и 9.11"). Однако мы не считаем своей задачей исследование уравнений в сферических гармо- гармониках со строгостью, большей, чем строгость, с которой было выведено уравнение переноса, служащее для них основой. Поэтому, считая краевую задачу для этих уравнений коррект- корректно поставленной, мы рассмотрим ее приближенное решение с помощью численных методов. Чтобы записать уравнения в сферических гармониках в ком- компактном виде, положим, что и означает (L + 1)-мерный вектор-
§ 9.5. МЕТОД СФЕРИЧЕСКИК ГАРМОНИК 229 столбец, определяемый следующим образом: ь(г, 0 Тогда уравнения примут вид (9.16) где М, W и S —квадратные матрицы порядка L+ 1, а именно о 1 о о 1 о 2 О 2 /3-5 О 3 О о з О ... О ... О ... о ... Из уравнений (9.16) можно получить соответствующие урав- уравнения для слоя, заменив г на г и положив N равным нулю.
230 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II § 9.6. Слой; система разностных уравнений I для гиперболических уравнений Уравнения в сферических гармониках для слоя можно за- записать в векторно-матричной форме где М и 5 — квадратные матрицы порядка L+ 1, определенные в предыдущем параграфе, а и = и(г,/)—вектор с L+1 ком- компонентами. Поэтому мы имеем дело с системой L + 1 совмест- совместных дифференциальных уравнений в частных производных пер- первого порядка с независимыми переменными z и /. Уравнения линейны и имеют постоянные коэффициенты, так что для ис- исследования устойчивости и других свойств соответствующих разностных уравнений можно использовать методы, описанные в гл. 4. Эти уравнения образуют симметричную гиперболическую систему; результаты, которые будут получены в этом и в сле- следующих параграфах, применимы к любой такой системе. До сих пор граничные условия для уравнений в сферических гармониках не были даны. В случае конечного слоя настоящие граничные условия (9.5) заменяются L + 1 условием, налагае- налагаемым на L + 1 функций i|)/(r, t)\ половина этих условий задается при z = а, а остальные — при z = —а. Ниже (в § 9.12) будет по- показано, как можно получить такие условия, однако их приро- природа такова, что их нельзя заменить условием периодичности, по- позволяющим при анализе применять ряды Фурье. В нашем ис- исследовании мы поэтому ограничимся случаем бесконечного слоя, в котором плотность нейтронов является интегрируемой с квадратом функцией от z, позволяющей использовать инте- интегралы Фурье. Таким был бы, например, случай, если бы тонкий плоский источник нейтронов, помещенный в однородную среду, испускал нейтроны в течение малого времени и мы интересова- интересовались бы их последующим движением. Система конечноразностных уравнений, которую мы будем называть «системой I», имеет вид +m "k'aL"' +™? = °П +f)Suf. (9.18) При этом используется разность по времени вперед и центри- центрированная разность по пространству. Уравнения записаны в яв- явной форме, а погрешность аппроксимации е равна О(Д/) + + O((AzJ). Матрица перехода для коэффициентов Фурье при
§ 9.6. СЛОЙ; СИСТЕМА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ I 231 eikz такова: G (Д/, k) = (l-voM)I+vo{l+f)MS-i-^ [sin k Az] M, (9.19) где / — единичная матрица. При рассмотрении вопроса об устойчивости предполагается заданным поведение отношения величин А/ и Az при их стрем- стремлении к нулю. Мы рассмотрим два случая. Случай 1. Пусть ао = #A//Az остается постоянным при А/, Az->0. Легко видеть, что уравнения неустойчивы при лю- любом значении ао. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмот- рассмотреть выражение G (О, k) = I - /о,, [sin k Az] /И. (9.20) Матрица М симметрична и имеет действительные собственные значения, поэтому модуль наибольшего собственного значения G@, k) равен (здесь \io — наибольшее по абсолютной величине собственное значение М). Максимальное его значение при всех действитель- действительных k составляет и не зависит от А/, поэтому условие фон Неймана D.18) не выполняется. Таким образом, система I неустойчива при любом фиксированном A//Az при A/, Az -> 0. Случай 2. Пусть сы = уД/Да^ДгJ] фиксировано при А/, Дг->0. Покажем, что система I устойчива при любом фиксиро- фиксированном at. Для этой цели используем сокращенную запись тогда G = / + eF — / |/1sa! [sin k Az] M, G*G=I + 2eF + е2Я + ea{ [sin2 ? Az] M2 + + / V^ e8/' (MF - FM) sin ft Az, где Q — матрица перехода G(A/, k). Заметим, что одно из про- произведений матриц в выражении G*G выпадает вследствие того, что единичная матрица / перестановочна с любой матрицей и, в частности, с матрицей М. Следовательно, в произведении G*G не будет члена, содержащего просто |/е, и поэтому G*G равно / плюс матрица, каждый элемент которой есть О(е). Постоян- Постоянные, входящие в эти выражения О(е), являются ограниченными
232 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II функциями от k, так как k входит в G*G только через sink&z. Поэтому для всех действительных k норма *) G не превышает 1 + О(е) и, следовательно, не превышает 1 + 0(ДО- Итак, со- согласно выводам § 11 гл. 4, система I устойчива при любом фик- фиксированном Д//(ДгJ при Д/, Дг->0. § 9.7. Парадокс С точки зрения программиста, выполняющего расчет на вы- вычислительной машине, результаты, касающиеся системы I, ка- кажутся парадоксальными. Конечно, он не устремит Д/ и Дг к нулю, а просто использует наименьшие значения, которые со- соответствуют емкости и быстродействию машины и его собствен- собственным возможностям. Когда он спрашивает: «Устойчивы ли мои уравнения?», то можно только ответить, что они неустойчивы, если он рассматривает свои вычисления как часть бесконечной последовательности вычислений при фиксированном значении Д//Дг, и что они устойчивы, если он рассматривает те же вы- вычисления как часть бесконечной последовательности с фикси- фиксированным значением Д//(ДгJ. Этот пример, относящийся к любой гиперболической систе- системе, аппроксимация которой выбрана так же, как в (9.19), пока- показывает, что программисту нужна оценка реальной погрешности, а не только уверенность в том, что погрешность будет стре- стремиться к нулю в конце бесконечной последовательности вычис- вычислений на идеальной вычислительной машине. К сожалению, реальную (или хотя бы хорошую) оценку погрешности обычно трудно получить. Однако проведенное выше рассуждение об устойчивости вносит некую ясность в вопрос о погрешности. Это рассуждение для разностной системы I (уравнения (9.18)) показывает, что если программист по какой-либо причине не удовлетворен получаемой точностью и решает изменить сетку, уменьшая Дг в два раза, то он должен уменьшить Д/ не в два, а в четыре раза, иначе он может увеличить погрешность вместо того, чтобы уменьшить ее. Далее, практический критерий устойчивости можно получить следующим образом: члены ряда Фурье, в виде которого ищет- ищется численное решение, растут как е*\ причем для случая I мак- максимальное значение у приближенно равно для kbz**±9 также нормальна Норма G равна корню квадратному из нормы G*G, который является наибольшим собственным значением матрицы G*G, так как последняя 1ьна,
§ 9.8. СЛОЙ; СИСТЕМА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ II 233 т. е. достигается для коротковолновых компонент, в то время как максимальное значение у для истинного решения уравнения (9Л7) не может превышать vof. Так как \i0 лишь немного мень- меньше 1, а величина f вообще незначительно превышает 1, то в ка- качестве грубого критерия мы получим или (множитель 7г опущен, так как в грубом критерии он несу- несуществен). Для практических целей строгие ограничения были бы неудобны, и поэтому мы ищем более удовлетворительные конечноразностные приближения в сферических гармониках. (Аналогичный практический критерий устойчивости для задачи о совместном распространении звука и тепла приводится в сле- следующей главе; там также будет видна необходимость рассмат- рассматривать конечные значения kt и Az, с которыми производятся вычисления. Третий пример будет дан в § 6 гл. 11; он относится к задаче о колебаниях продольно напряженного стержня.) § 9.8. Слой; система разностных уравнений II (схема Фридрихса) Фридрихе [1954] исследовал класс симметричных линейных гиперболических систем, частным случаем которых являются уравнения в сферических гармониках, и указал общий метод получения устойчивой конечноразностной схемы. Для уравне- уравнений в сферических гармониках его схема получается из систе- системы I путем замены и* на (и^_, + и^+1)/2: (9.21) Это трехточечная формула, содержащая только одну точку сет- сетки, соответствующую моменту /n+1, и две точки, соответствую- соответствующие моменту времени tn. Для этой системы матрица перехода равна G (A/, &) = (/ + eF) cos kkz — iaQM sin k Az,
234 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II где, как и ранее, мы положили = е, A+/)S I = F9 <x0 = л . Как было показано в § 3.9 и 4.11, устойчивость не теряется при добавлении такого члена как eF cos k Az = О (A/). Остав- Оставшаяся часть G, в точности равная G@, k), является нормаль- нормальной, так что условие фон Неймана необходимо и достаточно для устойчивости. Кроме того, модули собственных значений G (О, k) paвны (cos2AAz + а\ |i2sin26Az) \ где \х — собственное значение матрицы М. Если \i0 снова обозначает максимум мо- модуля собственных значений матрицы М, то это означает, что условие аоцо ^ 1 является необходимым и достаточным для устойчивости; иначе говоря, схема Фридрихса в случае систе- системы II для слоя устойчива тогда и только тогда, когда |io(oA//Az)<l. (9.22) Конечно, этот вывод согласуется и с более общими выводами Фридрихса. Ниже будет показано, что \i0 немного меньше еди- единицы, и поэтому приведенное выше ограничение будет незна- незначительно слабее условия v A/ ^ Az. § 9.9. Неявные схемы Для уравнений в сферических гармониках можно построить множество неявных схем. Простейшей из них является четырех- четырехточечная схема, использующая две соседние пространственные точки в момент tn и те же пространственные точки в момент tn+l. Центрируя разности надлежащим образом, мы можем свести погрешность аппроксимации к О((Д/J) + O((AzJ), в то время как для систем I и II погрешность аппроксимации со- составляет О (ДО + O((AzJ). Получающаяся система является безусловно устойчивой. Другие безусловно устойчивые неявные схемы можно построить по аналогии с соответствующими схе- схемами для уравнения теплопроводности (см. табл. 8.1). Все эти схемы обладают тем недостатком, что они являются неявными по отношению к переменному z и индексу /, который обозна- обозначает компоненты.и (/ = 0, 1, 2, ..., L). Поэтому система урав- уравнений, которую нужно решать на каждом шагу по времени, довольно сложна, и по этой причине неявная схема, насколько известно авторам, не исследовалась. Оказывается, что только система II является подходящей для метода сферических гар- гармоник, но даже и эта система представляет собой худшую из всех схем, применимых для других аппроксимаций уравнения переноса, которые будут рассмотрены далее в этой главе.
§ 9.10. МЕТОД ВИКА-ЧАНДРАСЕКХАРА 235 § 9.10. Метод Вика — Чандрасекхара для слоя В случае симметрии слоя и изотропного рассеяния уравне- уравнение переноса принимает вид (9.6), а именно -1 Идея метода Вика — Чандрасекхара \) заключается в том, что выбирают определенную последовательность значений ц, на- например jio, \iu ..., Hl, и строят уравнения для L+ 1 функции \|?(z, jij, t), оценивая для этих L + 1 значений ц' интеграл в пра- правой части уравнения переноса по возможности более точно. Как известно, наиболее точной квадратурной формулой по L + 1 точкам является в некотором смысле формула Гаусса2); именно, для любой функции F(x) -1 /=0 где цо, \iu •••> *al — нули полинома Лежандра Pl+i(|i), а коэф- коэффициенты Cj определяются так: В этих обозначениях правая часть уравнения переноса прини- принимает вид 2 /=о Левую часть уравнения переноса для каждого из L + 1 значе- значений \х оставим неизменной. Полученную систему L + 1 диффе- дифференциальных уравнений в частных производных лучше всего представить в матрично-векторной форме, как это было сделано в методе сферических гармоник. Пусть u = u(z,/) есть (L + 1)-мерный вектор t)\ *) См. работы Вика [1943] и Чандрасекхара [1944b]. 2) По поводу вывода этой формулы и других возможных представлений для коэффициентов см. Хилдебранд [1956].
236 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II Тогда уравнения примут вид (9.23) где М — диагональная матрица _ о a S — матрица коэффициентов Со С, О ____ cL Со С! ... CL _ Мы увидим, что эти уравнения в случае задачи для слоя бо- более подходят для конечноразностных методов, чем соответ- соответствующие уравнения в сферических гармониках. Поэтому жела- желательно обобщить их на задачи со сферической симметрией и анизотропным рассеянием. Это можно сделать, если учесть за- замечание Дж. К. Марка (неопубликованное сообщение), что в случае задачи для слоя с изотропным рассеянием уравнения в сферических гармониках и уравнения Вика — Чандрасекхара эквивалентны. Последние можно получить из первых, применив к рассматриваемым матрицам некоторое преобразование подо- подобия; если это преобразование подобия применить к более об- общим уравнениям в сферических гармониках, то мы получим же- желаемый результат. Методы такого общего типа, включая описанный ниже 5П- метод Карлсона, использующие диагональную матрицу М> на- называются дискретно-ординатными методами. В серии статей Келлер и Вендрофф [1960] при разумных предположениях до- доказали сходимость этих методов при L—>оо. § 9.11. Эквивалентность двух методов Сначала установим (дадим только намек на доказатель- доказательство) некоторые замечательные свойства матрицы Му входящей в уравнения в сферических гармониках (§ 9.5). 1. Собственные значения матрицы М являются нулями поли- полинома Лежандра PL+iCk). Чтобы убедиться в этом, напишем
§ 9.11. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ МЕТОДОВ 237 Если детерминант разложить по элементам последней строки, то получатся два члена, соответствующие двум отличным от нуля элементам этой строки. Их можно выразить через ^(Я) и ^l-i(^), которые содержат главные миноры этого детерми- детерминанта. Мы получим таким образом рекуррентное соотношение для ^l(^), равноценное одному из обычных рекуррентных со- соотношений для полиномов Лежандра. Кроме того, легко видеть, что &i(K) = Pi(k) и 0>2(\) = Р2(Ъ). Поэтому ^l+i(X) = Pl+,(X), и утверждение доказано. 2. Так как матрица М симметрична, то ясно, что должно су- существовать ортогональное преобразование, связывающее М и М, поскольку матрица Я диагональна и имеет те же самые соб- собственные значения, что и М\ можно показать, что U~lMU=M, где Для этого заметим сначала, что вектор vft, компоненты которого равны У2] + 1 Pj{\ih) (/ = 0,..., L), удовлетворяет уравне- уравнению (\xhl — M)vh = 0 (вследствие рекуррентных соотношений для Pj{\i)- Таким образом получается система собственных век- векторов матрицы М, и остается только нормировать их1), чтобы получить матрицу U. Если метод сферических гармоник и метод Вика — Чандра- секхара эквивалентны, то, вспоминая определение \|)j(z,/), мы должны ожидать, что 2, t) или в матричной записи u = 74i, и = Г"!и, где Т — матрица, элементы которой имеют вид Tfk=V2kTlPk(Vi). (9.24) Если мы применим преобразование Т к уравнениям в сфериче- сферических гармониках, то получим и эквивалентность будет установлена, если доказать, что TMT~l=M, l 1) Выражение для Ch, данное в предыдущем параграфе, очевидно, яв- является условием нормирования для вектора v\ Используя тождество Дар- Дарбу — Кристоффеля, можно представить этот коэффициент в более привычном виде (этот вопрос рассмотрен у Хилдебранда [1956], стр. 322),
238 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II Чтобы доказать эти соотношения, заметим, что матрица Т тес- тесно связана с матрицей ?/; действительно, Т = V"lU'l9 7м = = UV, где V — диагональная матрица, для которой Vik = = VCj 6jk- Поэтому ТМТ'1 = F U'lMUV = К MV = M\ в этом результате последний знак равенства обусловливается тем, что матрицы V и М диагональны. Заметим, далее, что и что при изотропном рассеянии p(cosa)=l, Ро=\, Pi = 0 (I > 1), так что единственным ненулевым элементом S является Soo = 1. Потому {TST'% = TJQ (T~l)ok = С, = §!h. Этим завершается доказательство того, что для слоя при изотропном рассеянии уравнения Вика — Чандрасекхара и уравнения в сферических гармониках эквивалентны. В термино- терминологии, принятой в теории характеристик (см. § 12.7, а также книгу Куранта [1964]), уравнения Вика — Чандрасекхара будут уравнениями в сферических гармониках, выраженными в нор- нормальной или характеристической форме. § 9.12. Граничные условия В случае слоя, простирающегося от z = —а до z = a, гра- граничные условия (9.5) могут быть перенесены в метод Вика — Чандрасекхара без существенных изменений. Пусть \ij (нули функции PL+i([*>)) расположены так, что jio>M'i> ••• > Vl. (Заметим, что jio будет также наибольшим по модулю.) Если L + 1 четно, то в качестве граничных условий примем ¦ (-a, |i/, 0=0 при / = 0, 1, ..., (L-l)/2, 4>(at |x/f 0 = 0 при / = (L+l)/2, ..., L. Если L + 1 нечетно, то jiL/2 = 0, и граничные условия для г|з(г, \ioy t) на первый взгляд кажутся неясными. Однако к урав- уравнению для этой функции не требуется граничное условие, так как в нем отсутствует член с d/dz. Простота этих граничных ус- условий является преимуществом метода Вика — Чандрасекхара. Одним из путей получения граничных условий для метода сфе- сферических гармоник является преобразование приведенных выше уравнений к уравнениям в сферических гармониках; это преоб- преобразование определяется матрицей Т.
§ 9.14. СИСТЕМА III 239 § 9.13. Разностные системы I и II Конечноразностные уравнения системы I и II практически те же самые, что и в сферических гармониках, и могут быть получены формально из уравнений § 9.6 и 9.8, если символы и, М и 5 снабдить тильдой. Они имеют те же свойства: система I устойчива при любом фиксированном значении Д//(ДгJ, но не- неустойчива при любом фиксированном значении kt/Az и прак- практически в качестве условия устойчивости может быть принято неравенство v Д//[а(ДгJ] < 1; система II (схема Фридрихса) устойчива при иД/^Дг/цо. Помимо этого существуют некото- некоторые системы конечноразностных уравнений, которые не имеют аналогов в методе сферических гармоник. Рассмотрим теперь эти системы. § 9.14. Система III; пространственные разности вперед и назад {) Для выражения du/dz применим при \ij > О пространствен- пространственное разностное отношение назад, а при \ij < 0 — отношение вперед. (Если \ij = О, что может иметь место при четном L, то производная по пространству отсутствует.) Для этого разобьем М на две части: М = М\-{- Мг, где ~>о О" О 1) Ср. с работой Куранта, Изаксона и Риса [1952].
240 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II Здесь \х,[ и ji," являются последней положительной и первой отрицательной из величин \ij соответственно. Разностные урав- уравнения принимают вид (9.25) Эти уравнения легко исследовать на устойчивость применяв- применявшимися ранее методами. Для этой системы G представляет со- собой сумму диагональной матрицы и О(Д/). Следовательно, ус- условием фон Неймана для системы (9.25) является неравенство которое будет также и достаточным условием устойчивости. Погрешность аппроксимации для этой системы составляет О (At) +O(Az), т. е. формально данная система менее точна, чем система Фридрихса. Однако практически она не менее точ- точна, и, вероятно, несколько более точна по следующий причине: в системе Фридрихса при Д/, лежащем вблизи максимально до- допустимого значения Дг/jioV, первый из членов погрешности О(Д/) + Ol(AzJ] значительно больше второго, тогда как два члена погрешности системы III сравнимы и имеют разные зна- знаки, в результате чего они частично уничтожаются. Подходящий выбор пространственных разностей вперед и назад в зависи- зависимости от знака \х в известной мере позволяет следовать харак- характеристикам ближе, чем в схеме Фридрихса. Обе схемы имеют одинаковые условия устойчивости. § 9.15. Система IV (неявная) Исходя из опытов с уравнением теплопроводности, можно ожидать, что устойчивость системы (9.25) значительно возрас- возрастет, если мы используем разности по времени назад (или, что почти то же самое, заменим п на п + 1 в индексах простран- пространственных разностей). Для того чтобы следовать характеристи- характеристикам возможно ближе, мы также поменяем роли*) М{ и Л?2. В результате получим систему (9.26) !) Если М\ н М2 не менять ролями, то полученные уравнения окажутся 0езусловно устойчивыми, но совершенно не будут следовать характеристикам.
§ 9.16. СИСТЕМА V (СХЕМА КАРЛСОНА) 241 Матрица перехода для этой системы может быть легко вычис- вычислена. Вопреки ожиданию, данная система не является безус- безусловно устойчивой. В самом деле, условием устойчивости являет- является неравенство где [I* — наименьший положительный нуль PL+i([i). Отметим необычное свойство этой системы: именно условие устойчивости ограничивает At снизу, а не сверху. Вследствие малости \х* эта система практически не используется. § 9.16. Система V (схема Карлсона) В связи со своим Sn-методом, который будет кратко описан ниже и напоминает в некоторых отношениях метод Вика — Чандрасекхара, Б. Карлсон [1953] получил безусловно устойчи- устойчивую конечноразностную систему; эта схема сочетает лучшие свойства системы III (уравнение (9.25)) и системы IV (уравне- (уравнение (9.26)). Мы изложим несколько упрощенный вариант этой схемы в том виде, в каком она применяется в методе Вика — Чандрасекхара. Идея Карлсона заключается в рассмотрении компонент пу соответствующих схеме (9.25) для малых \х и схеме (9.26) для больших \i. Предположим, что величина v&t/kz является постоянной, и разобьем диагональную матрицу М на четыре слагаемых: М = М$ + Мь + Мъ + Мб, где М3 содержит те диагональные элементы Ми для которых \х> Дг/(иД0, Mk содержит те диагональные элементы Ми для которых \х ^ Az/ (v Д/), Мь содержит те диагональные элементы jBfet Для которых \i ^ —Дг/(v Д/), Me содержит те диагональ- диагональные элементы Мь для которых \i<—Az/(vkt); все прочие эле- элементы являются нулями в каждом случае. Разностные уравнения теперь примут следующий вид: + Ме ' Дг '"' + auy = (!+/) oSuf. (9.27) На рис. 9.1 изображена эта схема и дана ее связь с харак- характеристиками. Показаны шесть соседних точек сетки в плоскости z, t\ верхний ряд соответствует времени /n+1, а нижний ряд-— времени tn. Характеристиками являются L + 1 прямых; наклон /-и характеристики равен l/(\nv). В зависимости от величины этого наклона характеристика, проходящая через точку 1, мо- может лежать внутри одного из четырех треугольников, изобра- изображенных на рисунке. Для /-и компоненты вектора и дифферен- дифференциальный оператор в уравнении (9.23) имеет вид {\/v)d/dt +
242 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II + \цд/дг, т. е. является оператором дифференцирования вдоль 1-й характеристики. В схеме Карлсона производная выражается через значения функции в трех точках: в точке 1 и в одной из пар точек B,3), C,4), D,5) или E,6) соответственно тому, в каком из четырех треугольников лежит характеристика. Если одна из характеристик проходит через точку 3, то соответ- соответствующий конечноразностный оператор автоматически сводит- сводится к двухточечной формуле, использующей точки 1 и 3, и имеет вид (ип+х — unHX)jvM. В этом случае производная вдоль характеристики заменяется на разностное отношение вдоль нее. Это, конечно, лучше чем Рис. 9.1. Схема расположения шести точек сетки в плоскости (г, /), ил- иллюстрирующая метод Карлсона. Штриховой линией показана типич- типичная характеристика. менее прямой способ, в котором применяются частные произ- производные и используется третья точка. Подобное замечание от- относится, очевидно, и к характеристикам, проходящим через точки 4 или 5. Для характеристики, не проходящей ни через одну из этих точек, необходимо использовать (по меньшей мере) три точки для выражения дифференциального операто- оператора. Достоинство схемы Карлсона заключается в том, что для каждой компоненты и выбираются три точки, лежащие воз- возможно ближе к соответствующей характеристике. Как и в предыдущих схемах, матрица перехода G и условие устойчивости получаются без особого труда. В результате ока- оказывается, что схема Карлсона (9.27) устойчива при любом зна- значении величины v&t/Az. Хотя схема Карлсона представляет собой неявную схему, можно легко получить численное решение следующим обра- образом1). При |1/<0 некоторое значение (а именно нуль) \|)(z, \iu tn+]) задано граничным условием на правой стороне слоя при z= а. Разностные уравнения можно решать, уменьшая / 1) Для увеличения точности часто и? в недифференциальных членах за- заменяют на !А> (и" + и"+ J (это не влияет на устойчивость). Тогда неявные уравнения не удается решить так просто, и в общем случае возникает не- необходимость в итерационном процессе.
§ 9.17. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ВИКА-ЧАНДЕАСЕКХАрА 243 (уменьшая z) до тех пор, пока не будет достигнута левая гра- граница. Аналогично, при щ > 0 граничное значение задано при г = —а, и уравнения можно решать в порядке возрастания /. При щ = 0 (что имеет место при четном L) уравнения стано- становятся явными. Применение схемы Карлсона к более общим квазилинейным гиперболическим системам было рассмотрено Келлером [1956]. Так как в случае переменных коэффициентов наклон характе- характеристик может меняться от одной точки к другой, то в процессе интегрирования необходимо видоизменять схему в зависимости от положения характеристики (четыре положения). Тем не ме- менее возможно, следуя Келлеру, решать разностные уравнения при помощи несложного алгоритма. Келлер доказал также устойчивость и сходимость при разумных предположениях. Кел- Келлер и Вендрофф [1957] провели подробное исследование этой схемы для широкого класса дискретно-ординатных методов; они установили безусловную устойчивость этой схемы, а также схо- сходимость итерационного процесса, упомянутого в последнем под- подстрочном примечании. § 9.17. Обобщение метода Вика — Чандрасекхара В § 10 предполагалось, что имеет место изотропное рассея- рассеяние и симметрия слоя. Если рассеяние анизотропно, то матрицу S можно заменить матрицей TST'1, где S — общая матрица, данная в § 9.5 для метода сферических гармоник, а Г — матри- матрица преобразования, определенная в § 9.11. Таким образом, мат- матрица S берется в виде и является обобщением матрицы 5, рассмотренной в § 9.10. Множители pi являются коэффициентами в формуле рассеяния (9.10). Все упомянутые конечноразностные схемы применимы без всякого изменения устойчивости, так как при исследовании устойчивости не было сделано предположений о каком-либо специальном виде матрицы S. Для обобщения метода на задачи со сферической симмет- симметрией включим в левую часть уравнения (9.23) член (\/r)Nut где ft — соответственно преобразованная матрица Л/, входящая в уравнения сферических гармоник (см. § 9.5). Таким образом, = Ск J? (/ + 1) [(/ + 2) Р/ Giy) Рм Оц) - 1РХ Ы Рм Qiy)]. J?
244 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч, II При добавлении члена (\/r)Nu — наш критерий устойчивости не будет строго справедливым, так как теперь коэффициенты переменны. Но если следовать обычному эвристическому под- подходу, согласно которому устойчивость является локальным яв- явлением (так что при медленном изменении коэффициентов их можно считать постоянными в малой окрестности), то следует ожидать, что добавление таких членов не повлияет на устойчи- устойчивость, так как при г0, равном константе, добавление члена (\/ro)Nu оставляет условие устойчивости неизменным для всех рассмотренных выше конечноразностных схем. Насколько нам известно, этот метод не применялся для нестационарных задач, и мы предпочитаем воздержаться от суждения о том, что может происходить вблизи центра в связи с имеющейся там особен- особенностью. Однако практика работы с 5п-уравнениями, которые подобны рассматриваемым уравнениям, наводит на мысль о том, что здесь, вероятно, не возникают каких-либо трудно- трудностей. Снова может быть применена схема Карлсона с интегри- интегрированием от границы к центру при \i < 0, а затем от центра назад к границе при \х > 0. § 9.18 Sn-метод Карлсона [1953] Этот метод похож на метод Вика — Чандрасекхара, однако не эквивалентен ему. Он отличается тем, что производная по \х (которая фигурирует в задачах со сферической симметрией) аппроксимируется более прямым способом; кроме того, суще- существует определенное отличие в центрировании по \х9 приводящее к тому, что некоторые матрицы, диагональные в методе Вика — Чандрасекхара, здесь оказываются только треугольными. Разделим отрезок —1 ^ \i ^ 1 на п подинтервалов (не обя- обязательно равных): причем величины ^i0, ..., \in в общем случае не совпадают с величинами jio, • • •» I^l, введенными ранее; далее будут на- написаны п + 1 уравнений в частных производных для п + 1 функций No (г, t) = ф (г, jio, t), Ni (г, /) = ф (г, ць *),..., Nn (г, /) = = \|)(г, [1п, t). Каждое из этих уравнений, за исключением пер- первого, центрируется относительно средней точки одного из под- подинтервалов. Рассмотрим случай сферической симметричной системы с изотропным рассеянием. Уравнение переноса записывается (ср. с уравнением (9.7)) в следующем виде: j
i 9.18. 5Л-МЕТОД КАРЛСОНА [1953] 245 Пусть интеграл аппроксимируется следующим образом: 1 п -1 где коэффициенты А\ соответствуют принятой формуле при- приближенного интегрирования, например формуле трапеций. При ц=±1 производная по ц не входит в уравнение пе- переноса, и в качестве уравнения для N0(rtt), которое соответ- соответствует \х = —1, мы можем взять просто ,(r, f) = 2uA*Ni(r' t] ' (9'28) t=l Для уравнения, которое центрировано относительно средней точки подинтервала (рь №+i)t производная по времени и член аг|) заменяются простыми средними, а другие члены аппрокси- аппроксимируются более сложными выражениями: dNl+l\ . 1 Ч ApNp; (9.29) здесь \xf и ц^ — должным образом выбранные точки подин- подинтервала (\iu \ii+i) вблизи его левого и правого концов соответ- соответственно, а (м^)/+1/2 — надлежаще выбранное усреднение вели- величины \i2 в этом подинтервале. Для Sn-метода, кроме того, характерен специальный выбор значений ц+, Hf и С^+у,» а именно B^ + l*) ^Г = Этот выбор обосновывается Карлсоном отчасти эвристически и базируется на том обстоятельстве, что при таком выборе и при предположении линейной зависимости \|) от \х в пределах подинтервала мы получаем в уравнении (9.29) члены, совпа- совпадающие со средними по ц в этом подинтервале величинами
246 гЛ- 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. ti соответствующих членов уравнения переноса. Келлер и Венд- рофф [1957] выбирали эти значения несколько иначе, полагая jx+ = [i^p так что система (9.29) при этом записывается в нормальном или характеристическом виде; это дает возмож- возможность рассмотреть вопрос об устойчивости теоретически. Для функции Nn(r,t), соответствующей |i = 1, можно напи- написать уравнение, аналогичное уравнению (9.28). В этом уравне- уравнении нет необходимости, однако оно может быть использовано для проверки точности результатов. С точностью до центрирования недифференциальных вели- величин по времени конечноразностная схема по г, /, применяемая для решения этих уравнений, совпадает с той, которую ра- ранее в этой главе (§ 9.16 и 9.17) мы назвали схемой Карлсона. Расчет помогает определить, что дает замена таких величин средними: например, в разностных уравнениях, которые позво- позволяют продолжить решение от момента времени tv до момента tv+i, слагаемое l/2oN{(r9t) заменяется на lUo[Ni(r9 tv) + + Ni(r9tv+i)]. Нельзя формально оправдать такую замену, так как погрешность аппроксимации для схемы Карлсона в любом случае будет равна О(Д/)+О(Дг), однако так как схема Карлсона в определенном смысле следует характеристикам как можно ближе, то происходит частичное погашение членов О (At) и О(Дг), обусловленных производными. Поэтому кажет- кажется полезным задавать другие члены с точностью до О (AtJ. Центрирование по времени можно без труда осуществить во всех членах левой части уравнения (9.29). Для центрирова- центрирования же сумм правой части необходимо знать все неизвестные функции No (r, /v+1), ..., Nn(rytv+i) в каждом уравнении. Это препятствует нахождению решения путем простого интегриро- интегрирования от границы к центру при \х < 0 и затем от центра снова к границе при \х > 0. Поэтому используется следующий ите- итерационный процесс: сначала для получения предварительных значений неизвестных величин на момент времени tx+{ решаем уравнения с нецентрированной правой частью; затем подстав- подставляем результат в (центрированный) правый член и уточняем значения неизвестных и т. д. Подобный итерационный процесс будет описан более подробно в § 9.19 для метода прямого ин- интегрирования при решении уравнения переноса. Как было от- отмечено выше, Келлер и Вендрофф [1957] доказали сходимость этого итерационного процесса для своего варианта Sn-метода. Карлсон рассмотрел устойчивость своей схемы в примене- применении к Sn-уравнениям. Из его заключений и результатов боль- большого количества расчетов, проведенных по его методу, следует, что схема является безусловно устойчивой, так же как и для метода Вика — Чандрасекхара. При выборе коэффициентов в уравнении (9.29) по Карлсону аналог матриц М и М, кото-
§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 247 рые рассматривались в описанных выше методах, не будет нор- нормальной матрицей, так что исследование устойчивости является довольно сложным. На практике устойчивость этого метода не вызывает сомнений. § 9.19. Метод прямого интегрирования В ряде конечноразностных схем для интегрирования как стационарных, так и зависящих от времени задач переноса со сферической симметрией вместо гиб используются переменные х = г cos 8, у = г sin 8, предложенные одному из авторов Рис. 9.2. Область задания уравнения переноса вида (9.30) в плоскости х, у. фон Нейманом в 1948 г. В этом параграфе детально описы- описывается один таковой метод для иллюстрации некоторых основ- основных положений. Если в момент времени / нейтрон движется по прямой, то переменная у является кратчайшим расстоянием от начала ко- координат до этой прямой, а х—расстоянием от основания опу- опущенного на эту прямую из начала координат перпендикуляра до нейтрона, взятым со знаком, учитывающим направление движения нейтрона (см. рис. 9.2). Используя эти переменные и полагая Ч1" (*,*/,/) = \|)(r,cos8,/), получаем уравнение пере- переноса в виде 2Я ±±L \dx' J p (cos a) ? Of, Vr2-x'\ при , t>0, (9.30)
248 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II где г теперь обозначает |/jc2 + у2, а а определяется из равен- равенства хх' + у у г2 — х'2 cos Ф = ^ Граничные условия можно записать следующим образом: 4(x,y,t) при х2 + у2 = а2, у>0, х<0. (9.31) Уравнение переноса справедливо в области заштрихованного полукруга, изображенного на рис. 9.2, а путь интегрирования в уравнении (9.30) представляет собой дугу полуокружности, проходящую через точку (х, у). На этом рисунке точка изо- изображает нейтрон, движущийся горизонтально с постоянной ско- скоростью v в правую сторону до момента соударения. В момент соударения точка, изображающая нейтрон, переходит скачком в некоторую другую точку той же самой окружности (напри- (например, в точку (х\у'))у от которой затем продолжает движение горизонтально вправо со скоростью v. Если нейтрон уходит из системы, то он пересекает правую четверть граничной окруж- окружности, и граничное условие при отсутствии потока нейтронов извне состоит в том, что Ч* = 0 на левой четверти граничной окружности. Методы, основанные на применении этих перемен- переменных, иногда называются методами прямого интегрирования, хотя в действительности они являются не более прямыми, чем, например, 5п-метод. Иногда в плоскости х, у выбирается прямоугольная сетка точек, а иногда в качестве точек сетки берутся точки на пересе- пересечении семейства окружностей и семейства горизонтальных пря- прямых. Во всяком случае, точки располагаются в ряды парал- параллельно оси х, поскольку в уравнение входит производная по координате а; и не входит производная по координате у. Сле- Следовательно, интегрирование производится вдоль пути, по кото- которому нейтроны двигаются между соударениями. В методе, который здесь будет описан, эта идея получает дальнейшее развитие: производится интегрирование вдоль тра- траекторий нейтронов в пространстве координат-времени по ана- аналогии с методом характеристик для гидродинамических задач. Выберем трехмерную сетку следующим образом: i = — I, — (/- 1), ..., 0, 1, ..., /, / = 0, 1, ..., /, где v Д/ = А* и / Да: = / Ду = а.
§ 9.19 МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 249 Обозначим Ч'О'Дл;, /Дг/, n&t) через Ч1"?/. Ограничимся рас- рассмотрением случая изотропного рассеяния и обозначим правую часть уравнения (9.30) через Ф(г, t)y так что ф(г, /) = (T1±I ^{xr, Vr2-x'\ t)dx'. (9.32) Далее, будем обозначать Ф(г,/л) через Фп(г). Для табулиро- табулирования Ф выбирается интервал Дг и Ф(рДг, гсД/) обозначается через Фр. Удобно также для ]/"(/ Да;J + (/ ДуJ ввести обозна- обозначение Гц. Ввиду соотношения иД/ = Да; точка ((i + 1)Д*,/Д#, (я + 1)А/) пространства координат-времени находится на той же траекто- траектории (характеристике), что и точка (i Да;, / Д#, nAt). Аппроксими- Аппроксимируем члены с производными следующим образом: и, наконец, получим ), (9.33) где Фп+1/2(г) — приближенное значение Ф(г, /) в момент време- времени (я+72)Д/, которое должно быть получено при помощи итерационного процесса, описанного ниже. Если известны зна- значения Фп+1/\ то из уравнений (9.33) можно найти неизвестные цгп+i в0 всех точках сетки, за исключением точки (/+1,у), обозначающих самую левую точку внутри полукруга на /-й ли- линии (например, точка В{ на рис. 9.3), в которой величину Ф?/ нельзя вычислить. Однако согласно граничному условию функ- функция УР равна нулю в точке Р\ пространства координат-времени, в которой траектория, проходящая через точку (/+ 1,/,л+ 1), входит в систему при радиусе г = а. В этом случае мы заме- заменяем Да; в уравнениях (9.33) величиной 1 Ад:, являющейся расстоянием от точки (/+ 1, /) до границы вдоль линии у = j &у и t = const, и заменяем 4*7/ нулем; тогда уравнения (9.33) дают ^l+i /» как и для других точек сетки внутри системы. На рис. 9.3 показаны характерные особенности трехмерной сетки точек. Отрезки прямых ЛА52, А2В3, C{D2 и т. д. являются
250 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II характеристиками, соединяющими точки сетки для времени tn с точками для времени tn+i. Правая часть уравнения (9.33) является средним значением величины Ф(г, t) по такому отрез- отрезку и приравнивается среднему от значений Ф(г, t) на двух кон- концах отрезка. Для отрезка типа А\В2 используется значение Фп(г) на другом конце. Для коротких отрезков частного вида P\Bi и Р2Рз уравнение видоизменяется: значение Ф для ближ- ближнего конца получается интерполированием по времени между Рис. 9.3. Перспективное изображение части трехмерной сетки для уравне- уравнения (9.33). fn и /n+i# Таким образом, если рассматривать точки Л9, Р2 и В9, то значение Ф{Р2) получается интерполированием между Ф(Л9) и Ф(В9). Если значения Ч*?*1 известны во всех точках сетки, то мо- могут быть найдены Ф"+1- Уравнение (9.32) показывает, что Ф"+1 выражается криволинейным интегралом от ЧГп+1 по полуокруж- полуокружности радиуса /?Дг в плоскости х, у. Вообще говоря, эта полу- полуокружность может не пройти ни через одну точку сетки или пройти через небольшое число таких точек, и тогда возникает необходимость в интерполяции. Криволинейный интеграл про- проще всего берется при интегрировании по х' и использовании формулы трапеции; эта операция легко программируется для машин. При этом в качестве приращения х' используется Д# или Ajc/2, а значения подинтегральной функции в нужных точ- точках переменного xf получаются путем линейной интерполяции по х и у. (Шаг Длс/2 использовался в пробных вычислениях, описанных ниже.) Для нахождения Фп+1/* применяется следующий итерацион- итерационный процесс. В начала полного цикла вычислений 4*7/ изве- известны и имеется таблица для Ф% Вместо фГг+/1(г/+7,/) в пРа"
§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 251 вой части (9.33) берется сначала Ф^О+у*/)» полученное линей- линейной интерполяцией из таблицы Фр при r = ri+l/ij. Потом ре- решаются уравнения (9.33) и получаются предварительные зна- значения Ч?7/+1. С их помощью описанным выше способом полу- получаются предварительные значения для величин Фр+1. Затем выполняется вторая итерация, для которой Фп+1/* берется как среднее от Ф* и Фп+1. Эта итерация уточняет величины Ч'?/4, из которых получаются более точные значения Фр+1. Опыт показывает, что обычно дальнейшие итерации не имеют смысла, так как применение более мелкой сетки быст- быстрее приводит к цели. Напротив, первая итерация обычно при- приводит к более точному результату, чем это происходит в ре- результате такой же дополнительной затраты труда для дальней- дальнейшего дробления сетки. Вероятно, это происходит потому, что первая итерация уменьшает погрешность аппроксимации от О (At) до О (А/2), после чего не происходит дальнейшего из- изменения порядка величины погрешности. Этот метод иллюстрируется пробными вычислениями, вы- выполненными на машине УНИВАК. Решается одна из упрощен- упрощенных астрофизических задач, выбранная в основном для про- проверки метода. Она описывает движение фотонов, а не движе- движение нейтронов, и поэтому мы обозначим скорость через с, а не через v. В момент времени /=0 в центре большого однород- однородного сферического облака, состоящего из чисто рассеивающего вещества (/ = 0), происходит короткая вспышка света (как в переменных звездах). При этом предполагается, что рассея- рассеяние изотропно и поляризационные эффекты отсутствуют. Тре- Требуется найти интенсивность света, испускаемого поверхностью облака, в зависимости от времени. Было выполнено несколько расчетов для сферы с радиусом, равным удвоенной средней длине свободного пробега, и один расчет для сферы с радиусом, равным учетверенной средней длине свободного пробега. Некоторые результаты представле- представлены графически на рис. 9.4—9.7. Выбрав в качестве единиц длины и времени среднюю длину и среднее время свободного пробега, имеем случай I: сг=1, и = с=1, а = 2; случай II: сг=1, и = с=1, а = 4. В первых двух попытках просчитать случай I (/ = /=10, 162 внутренние точки сетки и / = / = 15, около 350 внутренних точек сетки) задача рассматривалась просто как задача с на- начальным условием: при п = 0 (/ = 0) функция 47/ была рав- равна нулю всюду, кроме центральной точки сетки i = j = 0, где
252 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II она была произвольно взята равной 0,1. Таким образом, фото- фотоны сначала концентрировались в непосредственной близости от источника, а затем начинали движение в соответствии с урав- уравнением переноса. Этот подход оказался неудачным и был при- пригодным лишь для грубого качественного исследования из-за разрывного характера распределения в начале движения. Была также предпринята попытка «размазать» начальное распреде- распределение по трем или четырем точкам сетки, но и это привело лишь к небольшому улучшению. Затем схема расчета была видоизменена следующим обра- образом: функция 4*7/ приравнивалась нулю при п = 0, а член, со- соответствующий источнику, включался в уравнение переноса в интервале времени 0 ^ / ^ а/с, в течение которого первона- первоначальный импульс проходил через сферу. В момент времени t источник занимал положение г = ct и представлял фотоны, из- излученные после первого рассеяния. Иначе говоря, первое рас- рассеяние было рассмотрено аналитически, а последующие — чис- численным способом. Первоначальный импульс расходился в виде расширяющейся сферической оболочки с количеством фотонов на единицу поверхности оболочки, пропорциональным е~аг/г2. Чтобы получить такую пропорциональность для оболочечного источника, необходимо добавить к ф?+1 величину Ае-ар*г/р* после цикла, для которого п + 1 = р. Перед этим первым цик- циклом величина Фо приближенно представляла фотоны, введен- введенные в систему оболочечным источником в течение интервала времени @, Д//2), а другие Ф°р были равны нулю. Постоянная А выбиралась пропорциональной /3, так чтобы при пересчете задачи с более мелкой сеткой полное количество фотонов, вве- введенных в систему в течение интервала @, а/с), оставалось по- постоянным. При такой модификации функции Ф и Ч1", которые нужно найти в результате вычислений, остаются разрывными в ин- интервале времени @, а/с), но они ограничены и для их выраже- выражения нет необходимости использовать б-функцию Дирака. Световой поток F при г = а получается путем вычисления по формуле трапеций интеграла я/2 F = 2jrJ ? (a cos9, a sine, /)sin9d9. Поток F изображен в логарифмическом масштабе как функция от / для случая I на рис. 9.4а и для случая II на рис. 9.46. В обоих случаях поток F практически равен нулю (как и должно^ быть) до момента времени / = а/с, когда приходит на- начальный импульс. Далее облако светится с интенсивностью,
§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 253 которая с течением времени меняется, как это показано на ри- рисунке. Сначала кривая F от t носит переходный характер, а за- 50 20 10 а=-0,4904 ± ±0,0003 Отрезок построен по точкам методом наименьших квадратов Рис. 9.4а. Зависимость от времени светового потока, излучаемого облаком, радиус которого равен удвоенной средней длине свободного пробега;/= 18, а = 2. 100 50- 20- 10 - - Gf--0,/5/5±x ±0,0001 Отрезок not no точкам наименьших i t i квадратов i i 8 Ю t 12 И Рис. 9.46. То же, что на рис. 9.4а, но для облака, радиус которого равен учетверенной средней длине свободного пробега; /==10, а = 4. тем становится очень близкой к экспоненте с отрицательным показателем. На рис. 9.5 показана для случая II объемная плотность ф = ф(г, t) как функция от г в различные моменты времени.
254 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II 500]- На трех первых кривых ясно виден разрывный фронт излуче- излучения при г = ct. Колебания позади фронта, по-видимому, не со- соответствуют действительности, а появляются в результате по- погрешности аппроксимации 1000 с i конечноразностных урав- уравнений. После / = а/с рас- распределение становится гладким и приближается к стационарному. Мы не имеем точных данных для сравнения с полученными результата- результатами, однако их точность можно оценить при помо- помощи различных косвенных методов. Во-первых, это различные проверки, свя- связанные с самим расче- расчетом. Например, общее число фотонов N в обла- Рис. 9.5. Плотность фотонов в облаке как функция радиуса в различные моменты времени. ке в момент времени t можно получить либо как интеграл по пространству от объемной плотности либо как интеграл в фазовом пространстве от плотности в нем последний интеграл берется по площади всего полукруга х2 + У2 ^ а2, У ^ 0. Значения N\ и Afo, конечно, должны быть равны. После каждого цикла машина вычисляла N\ и N2 (по формуле трапеций) и печатала их. В промежутке времени 0 ^ t ^ а/с, когда фронт разрыва двигался наружу, имелось очень большое различие между /Vi и N2, но далее согласование было лучше. Для расчета, показанного на рис. 9.4а, разница
§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 255 между N\ и N2 составляла приблизительно 15 о/о для t = a/Bc), 3% для t = a/c, 1,6% (в среднем) для a/c<t<2a/c. Если учесть, что количество точек сетки было невелико A8 на радиус), то такое расхождение не явится неожиданностью. Кроме того, есть некоторые основания считать, что даже это расхождение большей частью обусловлено неудачным масшта- масштабом (потерей значащих цифр), а не погрешностью аппроксима- аппроксимации, так как когда для участка 4 ^ t ^ 6 вычисления были проведены после смены масштабов, то среднее расхождение ме- между Ni и N2 на этом участке составило только 0,4%. Другая проверка, связанная с самим расчетом: величина = N+ J Fdt должна быть постоянной из-за сохранения числа фотонов при t ^ а/с, т. е. после того, как член с источником исключается из уравнения. Если для вычисления N в последнем равенстве ис- использовать N2, то величина Т окажется почти постоянной; для расчета, показанного на рис. 9.4а, среднее отклонение Т от ее среднего значения для а/с <. t <2а/с составило 0,11%. Это, между прочим, свидетельствует о том, что N2 (интеграл по фа- фазовому объему) обеспечивает более точную оценку N, чем Ni (интеграл по обычному объему). Вторым способом проверки точности вычислений является изменение пространственной сетки. Был сделан расчет с более грубой сеткой, чем сетка, использованная при получении резуль- результатов, показанных на рис. 9.4а: / = 12 вместо 18. Результаты везде хорошо согласуются с полученными ранее, за исключением непосредственной окрестности момента t = a/cy где внезапное начало