Разностные методы решения краевых задач - Рихтмайер Р., Мортон К.

Автор: Рихтмайер Р. Мортон К.

Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ вычислительная математика

Год: 1972

Похожие

Методы решения задач по функциональному анализу

Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент

Методы исследовании нелинейных эллиптических граничных задач

Методы решения нелинелинейных уравнений математической физики и механики

Текст

DIFFERENCE METHODS
FOR
INITIAL-VALUE PROBLEMS
Second Edition
ROBERT D. RICHTMYER
University of Colorado, Boulder, Colorado
K. W. MORTON
United Kingdom Atomic Energy Authority,
Culham Laboratory, Abingdon, England
INTERSCIENCE PUBLISHERS
a division of John Wiley & Sons
NEW YORK • LONDON . SYDNEY • 1967

Р. Рихтмайер,
К. Мортоп
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Перевод со второго английского издания
Б. М. БУДАКА, А. Д. ГОРБУНОВА,
В. Е. КОНДРАШОВА и В. Е. ТРОЩИЕВА
Под редакцией
Б. М. БУДАКА и А. Д. ГОРБУНОВА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва 1972

УДК 517.9; 518.6
Второе, существенно расширенное и переработанное издание
одноименной книги первого из авторов. Первое издание также
было переведено на русский язык (ИЛ, 1960).
Книга посвящена разностным методам решения задачи Коши
и смешанной задачи для уравнений в частных производных.
В ней рассматриваются не только вопросы теории, но и боль-
большое количество конкретных задач, имеющих важное практиче-
практическое значение (уравнение теплопроводности, волновое уравнение,
уравнения газовой динамики, уравнение переноса и др.).
Книга интересна для математиков, занимающихся теорети-
теоретическими вопросами вычислительной математики, для специали-
специалистов по дифференциальным уравнениям, для механиков, физиков
и инженеров, занимающихся приложениями разностных методов
к решению конкретных задач. Доступна студентам старших кур-
курсов и аспирантам указанных специальностей.
Редакция литературы по математическим наукам
2-2-3

ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
Разностные методы решения краевых задач уже давно при-
привлекают внимание математиков как в Советском Союзе, так и
за рубежом; в разработке и приложении этих методов немалую
роль сыграли труды советских ученых.
В последнее время в связи с развитием новых областей тех-
техники и появлением быстродействующих электронных цифровых
машин эти методы развиваются особенно быстро, публикуется
большое количество работ, целиком или частично посвященных
разностным методам. В этой связи следует упомянуть книги
О. А. Ладыженской «Смешанная задача для гиперболического
уравнения», В. С. Рябенького и А. Ф. Филиппова «Об устойчи-
устойчивости разностных уравнений», С. К. Годунова и В. С. Рябенького
«Введение в теорию разностных схем», А. А. Самарского «Вве-
«Введение в теорию разностных схем», Н. Н. Яненко «Метод дробных
шагов для решения многомерных задач математической физики»,
И. С. Березина и Н. П. Жидкова «Методы вычислений», а так-
также ряд важных статей, посвященных разностным методам реше-
ния краевых задач.
В обширной литературе о разностных методах книга Рихт-
майера и Мортона занимает несколько своеобразное место.
В ее первой, теоретической части излагается общая теория
разностных методов решения уравнений в частных производ-
производных— устойчивости и сходимости соответствующих разностных
схем. Во второй части полученные результаты применяются
к конкретным физическим задачам. Это — задачи переноса (ней-
(нейтронов и фотонов), одномерные и многомерные задачи газо-
газодинамики, задачи теплопроводности и диффузии, а также задачи
о колебаниях струн и стержней.
За годы, прошедшие после выхода первого издания, были
созданы новые вычислительные машины и разработаны но-
новые методы численного решения задач. В связи с этим при
подготовке нового издания книги текст ее был существенно
дополнен и несколько переработан. Так, в первой ее части чита-
читатель найдет новые главы, посвященные уравнениям с перемен-
переменными коэффициентами и общей теории смешанных краевых
задач; во второй части значительно расширена глава о числен-

ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
ном решении одномерных задач газовой динамики и добавлена
глава о расчете многомерных течений.
Новые главы и параграфы книги переведены В. Е. Кондра-
шовым и В. Е. Трощиевым. В основу русского текста остальных
глав, мало измененных в оригинале, положен перевод первого
издания, выполненный авторами этих строк.
Расширенная по сравнению с первым изданием библиография
все же недостаточно отражала работы советских ученых; чтобы
восполнить этот пробел, для настоящего издания специально со-
составлена дополнительная библиография.
Мы надеемся, что эта книга, как и первое ее издание, заинте-
заинтересует широкий круг читателей — от студентов до научных ра-
работников и окажется полезным дополнением к отечественной
литературе по численным методам решения краевых задач.
Б. М. Будак, Л. Д. Горбунов

ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
За десять лет, прошедшие со времени выхода в свет первого
издания этой книги, число работ, посвященных теории разно-
разностных методов для уравнений с частными производными, воз-
возросло на несколько порядков, и читатель мог бы предположить,
что основная цель переиздания книги состоит в изложении новых
разделов теории (или той их части, которая относится к реше-
решению краевых задач), однако это не было для нас главной целью.
Хотя в некоторых главах, особенно в гл. 4—6, весьма подробно
излагается ряд важных теоретических результатов, книга пред-
предназначена прежде всего для тех, кто занимается решением кон-,
"кретных прикладных задач, а не для специалистов по числен-
численному анализу. Как и в других частях математики, абстрактная
теория и приложения имеют здесь тенденцию развиваться неза-
независимо друг от друга, и в результате этого развития в чистой
математике создалось новое направление. Хотя это новое напра-
направление уже привело к многочисленным результатам и понятиям,
имеющим значение для прикладников, практические^ задачи
физики в большинстве своем остаются пока в том или ином
отношении слишком сложными и не покрываются доказанными
теоремами. При проведении практических расчетов все так же
необходимо сочетать физическую интуицию с соображениями
эвристического характера и численными экспериментами, как
это было и четверть века назад, когда Дж. фон Нейман положил
начало развитию этого направления.
Мы включили в книгу некоторые разделы теории, которые по
нашему мнению находят применение или имеют значение для
практических приложений, но постарались также сохранить тот
практический подход, который был характерен для первого изда-
издания. Основные теоретические достижения таковы: 1) завершено
создание теории для однородных краевых задач с постоянными
коэффициентами, а именно Баченаном и Крайсом для таких за-
задач общего вида получены достаточные условия устойчивости,
и 2) построена строгая теория устойчивости для определенных
классов задач с переменными коэффициентами, смешанных
краевых задач и квазилинейных задач. Для лиц, занимающихся
решением практических задач, на наш взгляд представляет ин-

§ ЙРЕДИСЛОВИЕ КО bfoPoMy ИЗДАНИЮ
терес следующее: 1) понятие диссипативных разностных схем;
2) метод Лакса — Вендроффа для систем уравнений с законами
сохранения; 3) методы чередующихся направлений для много-
многомерных параболических задач; 4) практические критерии устой-
устойчивости для тех случаев, когда полученных обычным путем
условий устойчивости оказывается недостаточно, и 5) примене-
применение энергетических методов для анализа устойчивости.
В современных теоретических исследованиях обычно исполь-
используются такие математические понятия и методы, которые мало
знакомы либо вообще недоступны для лиц, не являющихся спе-
специалистами по численному анализу; поэтому для нас было труд-
трудной проблемой изложение нового материала —- многим читателям
доказательства все же покажутся сложными, несмотря на все
наши попытки упростить их. Насколько мы понимаем, это неиз-
неизбежно, но по нашему мнению включение доказательств оправды-
оправдывается важностью результатов.
Мы хотим выразить особую признательность Хайнцу Крайсу,
стимулировавшему нашу работу, и Питеру • Лаксу, Гильберту
Стрэнгу, Бересфорду Парлетту и Сэму Шехтеру за полезные
обсуждения. Мы благодарны также Валери Бриз и Дженни
Эйпленд за большую помощь в сложном деле оформления мате-
математической рукописи.

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Совершенно очевидно, что появление современных вычисли-
вычислительных машин должно привести к своего рода революции
в области численных методов. Сейчас численные методы приме-
применяются там, где лет пятнадцать назад об их применении и не
помышляли. Хотя электронные вычислительные машины выпол-
выполняют в основном те же операции, которые производились при
ручном счете, однако скорость и емкость этих машин позволяют
им осуществлять процедуры, совершенно недоступные для руч*
ного счета.
Конечноразностные методы решения уравнений в частных
производных были предложены еще в 1928 г. в знаменитой
статье Куранта, Фридрихса и Леви, но на практике эти методы
стали применяться лишь 15 лет спустя, и стимулом к их прак-
практическому использованию послужило быстрое развитие техники
во время войны, а также возможность применения первых авто-
автоматических вычислительных машин. В Лос-Аламосе, например,
в работе лаборатории в военное время существенное место за-
занимали расчеты некоторых нестационарных течений; этим рас-
расчетам, производившимся на существовавших тогда машинах с
перфокартами, уделялось много времени и усилий. Сразу после
войны члены Лос-Аламосского персонала в Абердине численно
решили на машине ЭНИАК еще более сложные задачи, отно-
относящиеся к системам уравнений в частных производных, а затем
в разных местах США были решены многие задачи, связанные
с движением жидкостей и газов, диффузией и переносом ней-
нейтронов, переносом лучистой энергии, термоядерными реак-
реакциями и т. п.
Однако ожидаемая революция в численных методах проис-
происходит довольно медленно. Появились некоторые новые идеи, но
основные методы по существу остались теми же, что и много
лет назад. Гауссов метод исключения (в той или иной форме)
все еще остается одним из лучших методов решения систем ли-
линейных уравнений, а метод Рунге — Кутта — одним из лучших
для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. По-
Похоже на то, что эти основные методы классического численного
в течение некоторого времени останутся наиболее ходд-

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
вы ми и, быть может, они скорее будут включены в методы, ко-
которые появятся в будущем, нежели заменены ими. Однако
совершенно ясно, что быстродействующим вычислительным ма-
машинам с большой памятью по самой их природе присуща спо-
способность совершать такие необычайно разнообразные дела, о ко-
которых раньше нельзя было и мечтать. Вероятно, в будущем
откроются многие мощные методы как для тех задач, которые
мы сейчас умеем решать, так и для тех, которые пока предста-
представляются неразрешимыми. Методы, которыми мы располагаем
в настоящее время, по большей части представляют собой про-
простое объединение методов, придуманных для ручного счета и
задач с малым объемом вычислений. Мы, безусловно, даже еще
и близко не подошли к использованию всех огромных возмож-
возможностей вычислительных машин.
В численном анализе наибольшие изменения претерпели, по-
пожалуй, разностные методы решения дифференциальных урав-
уравнений в частных производных, особенно уравнений, связанных
с нестационарными физическими процессами — они и являются
основным предметом данной книги. Эти уравнения для реальных
физических задач зачастую оказываются весьма сложными; они
имеют переменные коэффициенты и в ряде случаев нелинейны.
Часто встречаются смешанные системы (состоящие, скажем, из
уравнений гиперболического и параболического типов), задачи
с несколькими пространственными переменными и задачи, вклю-
включающие интегро-дифференциальные уравнения. Число новых
алгоритмов для решения таких задач быстро возрастает.
Развитие численных методов, предназначенных для работы
на автоматических вычислительных машинах, в одном важном
отношении отличается от предшествующего развития численных
методов для ручного счета. Новое направление численных ме-
методов основывается в первую очередь на эмпирических данных
и интуитивных соображениях и в меньшей мере (по сравнению
с классическими методами численного анализа) обосновано ма-
математически. Это вызвано усложнением решаемых задач и бы-
быстрым накоплением алгоритмов для их решения, а также тем
обстоятельством, что люди, работающие на электронных вы-
вычислительных машинах, вообще говоря, не являются специали-
специалистами по классическому численному анализу. Но не следует
осуждать за это новое направление в развитии численных ме-
методов: ожидание доказательств сходимости и получения оценки
погрешности для новых методов надолго задержало бы внедре-
внедрение большинства вычислительных устройств, используемых сей-
сейчас техникой и промышленностью. Ведь по мере того, как
усложняются решаемые задачи, трудность доказательств сходи-
сходимости и определения оценки погрешности быстро возрастает.
Поэтому в новом направлении существует известный разрыв

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ \\
между математиками, занимающимися данными вопросами, и
теми, кто практически использует эти методы (например, физи-
физиками). В то же время я убежден, что революция, которой мы
ждем, осуществится только при совместной работе математиков
и практиков. Для уменьшения разрыва между ними нужно,
чтобы математики не проявляли излишней ортодоксальности
в принятии эмпирического интуитивного подхода к вопросу и
чтобы практики придавали большее значение действительному
пониманию существа используемых ими методов.
Осенью 1953 г. доктор Лесли Пек и автор настоящей книги,
посетившие Институт математических наук Нью-Йоркского уни-
университета, по просьбе проф. Куранта организовали семинар,
посвященный тем разделам численного анализа, которые пред-
представляют интерес как для математиков, так и для вычислителей.
В работе семинара участвовали многие сотрудники и гости
Института: Дж. Кёртис, Дж. Франклин, У. Гивенс, Е. Изаксон,
Ф. Джон, П. Лаке, М. Роуз и другие. Затем в Нью-Йоркском
университете были организованы аналогичные семинары и кур-
курсы, в которых работали многие новые участники: большая часть
профессорско-преподавательского состава Института и персо-
персонала входящего в него вычислительного центра, а также некото-
некоторые лица, прикомандированные к нему, в частности Дж. Тодд,
О. Тодд и Дж. Форсайт.
Настоящая книга содержит часть тех сведений по числен-
численному анализу, которые были получены за последнее десятилетие
в Лос-Аламосе и ряде других мест и соответственно модифи-
модифицированы на вышеупомянутых семинарах и курсах. Теорети-
Теоретическая часть построена на идеях Дж. фон Неймана, П. Лакса и
отчасти автора этой книги, однако ясно, что при другом подходе
к вопросу вклад других исследователей был бы представлен
более рельефно. Книга представляет собой попытку объединить
математический и практический подходы, и хотя революция
в области численных методов по-видимому остается столь же
далекой, как и ранее, можно надеяться, что в действительности
мы медленно, но верно приближаемся к знанию того, что сле-
следует делать с современными вычислительными машинами и как
понимать получаемые на них результаты.
Р. Д. Рихтмайер
Нью-Йоркский университет

ЧАСТЬ I
Общая теория
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
§ 1.1. Краевые задачи
В этой книге рассматриваются краевые задачи, возникающие
в различных разделах физики сплошных сред, таких, как тео-
теория теплопроводности, диффузия, гидродинамика, магнитная
гидродинамика, акустика, электромагнетизм, волновая механи-
механика, перенос лучистой энергии, диффузия нейтронов, упругие
колебания. Описываемые этими теориями процессы нестацио-
нестационарны и приводят к уравнениям в частных производных или
интегро-дифференциальным уравнениям, в которых одна из не-
независимых переменных, обозначаемая через /, играет роль вре-
времени. Природа этих уравнений такова, что если произвольно
задано состояние физической системы в некоторый начальный
момент времени t = U, то решение существует при t ^ U и опре-
определяется единственным образом граничными или какими-нибудь
другими дополнительными условиями.
Непосредственно темой этой книги являются конечноразно-
стные методы для получения численного решения задач такого
рода. Первая часть посвящена общему обсуждению этих мето-
методов для линейных задач в рамках теории линейных операторов;
цель этого обсуждения — выкристаллизовать основные понятия,
связанные с устойчивостью и сходимостью. Для однородных
краевых задач с постоянными коэффициентами выводятся ре-
результаты общего характера; в последующих главах приводится
ряд результатов для некоторых специальных типов уравнений
с переменными коэффициентами и для некоторых смешанных
краевых задач.
Во второй части описываются основные конечноразностные
методы, применяемые для решения краевых задач из различных
областей прикладной физики на цифровых вычислительных ма-
машинах. Насколько возможно изложение базируется на теорети-
теоретическом материале первой части и на некоторых опубликованных
работах, но поскольку существующая математическая теория
пока еще несовершенна (в основном потому, что не охватывает
нелинейных уравнений), то мы также призываем на^ помощь
интуицию и эксперимент.

|4 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. I
§ 1.2. Уравнение теплопроводности
В этой главе основные идеи иллюстрируются на общеизве-
общеизвестном примере линейной задачи одномерной теплопроводности
или диффузии. Если х обозначает координату вдоль тонкого
изолированного стержня, по которому может распространяться
тепло, или координату, перпендикулярную широкой плите, у ко-
которой все точки каждой из ее сторон имеют одинаковую темпе-
температуру, и если u = u(x,t) обозначает температуру в точке х в
момент времени /, то эта температура удовлетворяет дифферен-
дифференциальному уравнению
ди д („ ди
где а = а(х) или a(x,t)—удельная теплоемкость материала
(на единицу объема), а К=К(х) или K(x,t)—коэффициент
теплопроводности.
Это уравнение является линейным, хотя оно было бы нели-
нелинейным, если бы мы допустили, что величины а и /С, характери-
характеризующие свойства материала, зависят не только от х и /, но и от
температуры и. В этой главе мы ограничимся случаем однород-
однородной среды, когда а и К постоянны, и положим К/а = а > 0.
Дифференциальное уравнение A.1) надо дополнить гранич-
граничными условиями, скажем в точках х = 0 и х = L, соответствую-
соответствующих концам стержня или сторонам плиты; например, и = и0
при х = 0, если этот конец стержня находится в контакте
с большим тепловым резервуаром температуры и0, или ди/дх=0
при х = 0, если этот конец теплоизолирован.
В общем случае рассматриваемая задача включает в себя
одно или несколько уравнений в частных производных или
интегро-дифференциальных уравнений вместе с граничными и
начальными условиями. Возможны также внутренние граничные
условия; например, если К = К{х) имеет разрыв первого рода
на границе двух сред в указанной выше задаче, то из физиче-
физических соображений требуется непрерывность и и Кди/дх на этой
границе. Аналогично на поверхности разрыва в потоке сжимае-
сжимаемой жидкости дифференциальные уравнения гидродинамики за-
заменяются условиями Ренкина—Гюгонио (см. гл. 12).
Мы не будем входить в подробное обсуждение важных, но
трудных вопросов существования и единственности решений;
задачи, с которыми нам придется иметь дело, будут обычно
сформулированы с самого начала в таком виде, чтобы были
обеспечены существование и единственность решения при физи-
физически приемлемых допущениях (таких, как кусочная гладкость
коэффициентов и начальных данных).
При численном решении краевых задач возникают вопросы
о построении системы конечноразностных уравнений, о мето-

§ 1.2. УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 15
дах ее решения,, о ее устойчивости и ее точности. В нескольких
ближайших параграфах настоящей главы эти вопросы будут
рассмотрены на примере простейшей задачи теплопроводности,
поставленной выше. При этом мы сделаем следующие дополни-
дополнительные упрощающие предположения: выберем единицу длины
так, чтобы L = я, и будем считать, что граничные условия
имеют вид и = 0 на концах и что начальная функция <р(#)
обладает столь высокой гладкостью, какая нам только будет
удобна. Наша краевая задача запишется в виде
и = и{х9 t),
да дЧ р л or = const > О,
и{х, O) = qp(*) (заданная функция) при 0<лг<я, A.3)
и @, t) = u(n, 0 = 0 при />0. A.4)
Для иллюстрации можно представить себе тонкий плоский
горизонтальный электропроводящий слой, заключенный между
двумя толстыми плоскими слоями обычного покрытия и нагре-
нагреваемый проходящим через него электрическим током. При этом
предполагается, что нижняя поверхность нижнего покрытия и
верхняя поверхность верхнего покрытия имеют комнатную тем-
температуру, которую при соответствующем выборе начала отсчета
можно считать равной нулю. Если после установления стацио-
стационарного распределения температур электропроводящий слой
внезапно удалить, мы получим для слоев покрытия упомянутую
выше задачу с начальной функцией
Сх при 0 <*<-?-,
•(я —л;) при -тр^л:<л;,
где х—вертикальная координата, а С — некоторая постоянная.
Эта функция и типичные распределения температуры и(х, t) в
последующие моменты времени изображены на рис. 1.1 сплош-
сплошными линиями.
Для сравнения с результатами вычислений, производимых
при помощи разностных уравнений, заметим, что точное реше-
решение рассматриваемой краевой задачи может быть получено изве-
известным методом рядов Фурье. Его можно записать в виде ряда
по синусам. Если положить ф(л;) = -— ф(—х) на отрезке
—я ^ х ^ 0, то точное решение нашей задачи нэ отрезке

16
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Ч. I
—п ^ х ^ л можно представить в виде ряда
оо
и(х, t)= 2 Amexp{imx — m2ef),
где
я
"=~k Jф (х) ехр (~/mx
A.6)
A.7)
Иногда ряд A.6) рассматривают как обобщенное решение за-
задачи, если этот ряд сходится лишь при / > 0; однако в этой
главе мы предположим, что сходится и ряд Фурье для функции
(p(jt), и притом абсолютно.
Рис. 1.1. Решение одномерной задачи теплопроводности. Кривые соответ-
соответствуют точному решению, а точки — решению конечноразностных уравне-
уравнений A.9)—A.11). Поскольку все кривые симметричны, на чертеже приве-
приведены только половины их»
Для начальной функции A.5), соответствующей задаче с
электропроводящим слоем, мы имеем
О при четном т,
1=*\ 2/С , п(я1+1)/2 0-8)
цт?
(-1)"
при нечетном т.
§ 1.3. Конечноразностные уравнения
Очевидно, метод рядов Фурье применим только к весьма
ограниченному классу задач. Действительно, успех его приме-
применения, по крайней мере в изложенном выше виде, связан с ли-
линейностью дифференциальных уравнений, постоянством их коэф-
коэффициентов и тем фактом, что граничные условия эквивалентны
условиям нечетности и периодичности начальных данных.

§ 1.3. КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 17
Это справедливо также и для других уравнений в частных
производных, которые мы будем рассматривать, и для задач
с большим числом зависимых и независимых переменных. На-
Напротив, применение методов конечных разностей нисколько не
связано такими ограничениями, хотя анализ их устойчивости и
сходимости, который приводится ниже, строго говоря, справед-
справедлив лишь при высказанных ограничениях.
Пусть Да: и Д/— приращения переменных х и t, причем
Дл: = я//, где / — натуральное число. Множество точек плос-
плоскости (х, /) с координатами х = /А*, / = /гД/, / = 0, 1, 2, ..., /
и п = О, 1, 2, ..., будем называть сеткой с размерами ячеек
Дл: и Д/; Да: и Д/ считаются малыми положительными прираще-
приращениями, и в дальнейшем мы будем рассматривать предельные про-
процессы, при которых они стремятся к нулю. Приближенное значе-
значение величины u(j&x9 яД/) будем обозначать через ипг Одной из
простейших аппроксимаций дифференциального уравнения A.2)
является кончноразностное уравнение
А/ "~~а (Ал:J >
/=1,2, ..., /-1, A.9)
/2 = 0, 1,2, ...,
с граничными и начальными условиями
и$ = 0, ыу = О, /1 = 0,1,2,..., A.10)
, / = 0, 1,2, ..., /, A.11)
которыми заменяются условия A.4) и A.3). Ясно, что эти урав-
уравнения дают возможность последовательно определить все зна-
значения «у, 0 <!/<!/, л^О.
Результаты вычислений, выполненных при помощи этих
уравнений для рассматриваемой задачи с начальной функцией
A.5), показаны на рис. 1.1 и 1.2. Вычисления выполнялись при
J = 20 и, следовательно, при Дх = я/20, но при различных,
хотя и не очень сильно отличающихся одно от другого значе-
значениях Д/, а именно полагалось
_аД/_ ( 5/п Для рис. 1.1,
(Дл:J~\ 5/э для рис 1#2.
Сплошными линиями изображено точное решение A.6) с коэф-
коэффициентами A.8), а точками — численное решение1) конечно-
1) Как и в большинстве иллюстративных примеров этой книги, эти чис-
численные значения были получены в процессе учебных занятий на вычислитель-
вычислительных машинах УНИВАК и ИБМ 7090 в вычислительном центре Нью-Йорк-

18
ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Ч.
разностных уравнений A.9) — A.11). Сравнение результатов по-
показывает, что вычисления с меньшим значением Д/ вполне
удовлетворительны, тогда как во втором случае погрешность
быстро накапливается и после сравнительно малого числа ша-
шагов увеличивается до неприемлемой величины. Явление, возни-
возникающее во втором случае, называется неустойчивостью. Оно не
_5
~ 9
Рис. 1.2. Решение той же задачи, что и на рис. 1.1, полученное при вы-
вычислениях с несколько большим значением Д/. Графики а, б и в соответ-
соответствуют второй, третьей и четвертой (сверху) кривым на рис. 1.1.
связано с ошибками округления, которые в приведенном при-
примере совершенно незначительны, но является внутренним свой-
свойством самой системы разностных уравнений A.9) — A.11). От-
ского университета. В этом примере, который, конечно, очень прост, задача
была запрограммирована так, что ее приближенное и точное решение печа-
печатались машиной в виде двух параллельных столбцов для избранных значе-
значений п. Точное решение находилось посредством суммирования ряда Фурье
с точностью до восьми десятичных знаков,

§ 1.4 УСТОЙЧИВОСТЬ
метим также, что при уменьшении Ах погрешность только уве-
увеличивается, если не уменьшать соответственно Д/. Эти факты
были отмечены Курантом, Фридрихсом и Леви [1928]]). Одной
из основных целей исследований, представленных в этой книге,
является анализ и предупреждение неустойчивости.
§ 1.4. Устойчивость
Если и (jc, t) — точное решение краевой задачи, а ип, —
точное решение конечноразностных уравнений, то погрешность
метода —это разность и*] — u(jДа:, n&t). Возникают два во-
вопроса:
1) Как ведет себя \и* — и (/Да:, яД/)| при «->оо и фикси-
фиксированных Да: и Д/?
2) Как ведет себя |«" — "(/Да:, лД/)|, когда ячейки сетки из-
измельчаются (т. е. Дх, Д/ -> 0) при фиксированном значении n&t?
Мы увидим, что ответ на второй вопрос зависит от отноше-
отношения скоростей, с которыми Дх и Д/ стремятся к нулю. Мы счи-
считаем второй вопрос более существенным, потому что основная
задача приближенных вычислений — указать способ, посред-
посредством которого погрешность можно сделать сколь угодно ма-
малой, так чтобы в пределе она стремилась к нулю.
В обоих вопросах число шагов вычислений становится в пре-
пределе бесконечным и возможен безграничный рост погрешности.
Для однородных краевых задач малость погрешности в обоих
случаях обеспечивается совершенно аналогичными условиями на
разностные уравнения, но для других краевых задач результаты
могут существенно различаться.
Чтобы найти ответы на наши вопросы в случае задачи теп-
теплопроводности, заметим, что точное решение разностных урав-
уравнений также может быть представлено в виде ряда Фурье. Дей-
Действительно, пусть A, g и m — некоторые константы, причем
m — целое число. Подставим в разностное уравнение A.9) вы-
выражение Alnexp(imjAx) вместо ипг Выбирая g так, чтобы урав-
уравнение A.9) при этом удовлетворялось, получим
l = t(m)=l-j^-(l-cosmAx). A.12)
Следовательно, выражение
оо
W}= 2 Am(.l(m))nexp(imjAx), A.13)
/П=— оо
где Am определяются формулой A.7), является точным реше-
решением разностного уравнения A.9) с граничными условиями
1) Список оригинальных работ помещен в конце книги; работы обозна-
обозначаются фамилией их автора с указанием года выхода в свет.

ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. I
A.10) и начальными условиями A.11). В самом деле, (а) ряд
A.13) абсолютно сходится, ибо ряд для ф(л:) абсолютно схо-
сходится и 1(т) является ограниченной функцией от т\ (б) каж-
каждый член ряда A.13) удовлетворяет разностным уравнениям
A.9), а значит, и его сумма удовлетворяет этим уравнениям;
(в) при лг = О ряд A.13) совпадает с рядом для ср(/Дх) и, сле-
следовательно, удовлетворяет начальным условиям; (г) справед-
справедливость граничных условий для функции и^ и ее нечетность
по / следуют из того, что А-т = Ат в силу нечетности ф(л:),
равенства ?(—т)=%(т) и формулы Эйлера для экспонент.
Таким образом, uf удовлетворяет всем уравнениям A.9) —
A.11).
Отметим между прочим, что так как функция, представлен-
представленная рядом Фурье A.13), определяется лишь для последователь-
последовательности точек х = /Д*, то в выборе коэффициентов имеется боль-
большой произвол. Выбор, сделанный выше, является вполне подхо-
подходящим, но с таким же успехом uf можно представить и по-дру-
по-другому, полагая например
*}= 2 Ят(?(т))лехр(/т/Дл;),
/71=—/
где Вт находятся из начальных условий, рассматриваемых как
2/+1 линейных уравнений1) относительно 2/+ 1 неизвестных
5-/,..., Bj.
Формула A.13) означает следующее: вследствие того что
в рассматриваемой задаче переменные разделяются, каждая
гармоника с ростом времени растет (или затухает) независимо
от других; множитель перехода ?>(т) является коэффициентом
роста (или затухания) амплитуды m-й гармоники для времен-
временного интервала Д/. В точном решении A.6) все гармоники за-
затухают и коэффициент затухания амплитуды m-й гармоники
равен ехр(—т2аД/). Если эту экспоненту и косинус в A.12)
разложить в степенные ряды, то обнаружится, что оба множи-
множителя перехода совпадают с точностью до членов, содержа-
содержащих т2:
ехр (—т2о Д/) = 1 — т2а Ы + ± т4а2 (МJ — .... A.14)
Для любой гармоники эти два множителя перехода могут быть
сделаны сколь угодно близкими посредством соответствующего
уменьшения Ах и Д/, и поэтому возникает надежда, что реше-
1) Начальная функция (p(jt) продолжена на отрезок [—я,0], так что /
теперь изменяется от —/ до /.

§ 1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ
нием разностного уравнения можно хорошо аппроксимировать
решение дифференциального уравнения. С другой стороны, из
A.12) следует, что независимо от малости Дд: и Д/ всегда
имеются некоторые гармоники с достаточно большими номе-
номерами т, для которых эти множители значительно различаются.
Данное обстоятельство либо лишает законной силы численное
решение, либо нет. Ряд Фурье для начальной функции у(х)
предполагается абсолютно сходящимся, так что ряд A.6) для
точного решения абсолютно сходится для всех неотрицатель-
неотрицательных Л Следовательно, когда имеется некоторая надежная сте-
степень точности вычислений, то в точном решении все гармоники
достаточно высокого порядка, скажем с т > /п0, при всяком
/>0 пренебрежимо малы.
Искажение, которое вносят эти гармоники высшего по-
порядка в аппроксимирующее решение, не приносят вреда, если
только они не возрастают до величины, которая не является
уже пренебрежимо малой. Интуитивно ясно, следовательно, что
условием устойчивости является неравенство
max|s(m)|<l. A.15)
т
Если это условие выполнено, то ни одна из гармоник не возрас-
возрастает, если же оно нарушено, то имеются гармоники, неограни-
неограниченно возрастающие при возрастании п.
Конечно, может случиться, что при специальном выборе на-
начальной функции начальные амплитуды Ат гармоник высших
порядков (т > т0) равны нулю. В этом случае они останутся
равными нулю и при любой степени усиления в предположении,
что арифметические операции при решении разностных уравне-
уравнений выполняются абсолютно точно (т. е. без всяких округлений).
Однако на практике условие A.15) должно рассматриваться как
необходимое.
Мы теперь в состоянии ответить на первый вопрос, подня-
поднятый в начале этого параграфа. Погрешность и*} — и (/Да;, пМ)
остается ограниченной при п-+оо для фиксированных Дх и At
и для произвольной начальной функции с абсолютно сходя-
сходящимся рядом Фурье тогда и только тогда, когда выполняется
условие A.15). Для доказательства заметим сначала, что по-
поскольку точное решение u(x,t) ограничено при t—юо, то по-
погрешность метода может быть ограниченной1) тогда и только
тогда, когда и*] ограничено. Но
оо
\и.Ч\— 2 Ат (| (т))" exp (imj A.v)
у
m
м=—оо
х) Мы здесь не делаем никакой попытки доказать, что погрешность ме-
метода в этом случае в некотором смысле мала.

22 гл. i. введение ч. i
так что если выполнено условие A.15), то
wkJ.ia.i-
т. е. uf ограничено в силу предположенной в самом начале
абсолютной сходимости ряда Фурье для ф(лг). С другой сто-
стороны, если |?(ап)|> 1 для некоторого т, то достаточно взять
cp(jt) = sinmjc, чтобы получить неограниченное решение «у, ибо
в этом случае uf равно {%(т))п sin m/Да:.
Чтобы применить условие A.15) к задаче теплопроводно-
теплопроводности, заметим, что в силу формулы A.12) множитель перехода
g(m) действителен для всех действительных т и никогда не
превосходит +1. Условие A.15) означает, следовательно, что
g(m) не может быть меньше —1. Наименьшее значение 1(т)
достигается тогда, когда т является нечетным кратным /.
Условие \{т)^ —1 для таких знчений т состоит в том, что
1, (Мб)
и это есть условие устойчивости для системы разностных урав-
уравнений A.9) —A.11).
В рассматриваемом примере достаточность условия A.16)
можно доказать более элементарно. Действительно, замечая,
что разностные уравнения A.9) могут быть переписаны в виде
Аиппх + Ви<} + Си*}_{,
° Д/ Р — 1 2g А/
где
(так что если условие A.16) выполнено, то Л, Б, С положи-
положительны и их сумма равна единице), получаем
max I «7+1 К (А + В + С) max \u« I = max I w»| <
^ max I и1}1 < max I u°, I,
I i / i i i /i
и решение, таким образом, ограничено.
Это доказательство имеет то достоинство, что оно приме-
применимо в слегка измененном виде даже в том случае, когда коэф-
коэффициенты дифференциального уравнения переменны; но метод
анализа^ устойчивости при помощи рядов Фурье, введенный
фон Нейманом, может быть применен к более широкому классу
дифференциальных уравнений, где элементарные методы те-
теряют силу. Кроме того он дает возможность проникнуть в сущ-
сущность явлений, происходящих на практике, например иллюстри-

§ 1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ 23
рованных рис. 1.1 и 1.2, где видно, что когда возникает неустой-
неустойчивость, то те гармоники, длина волны которых сравнима
с удвоенным шагом пространственной сетки, неприемлемым об-
образом усиливаются.
Еще один метод, который мы детально рассмотрим в гл. 6,
расположен по области применимости где-то между указан-
указанными двумя методами. Это так называемый энергетический ме-
метод, обязанный своим названием принципу сохранения энергии
физической системы, описываемой дифференциальным уравне-
уравнением. Во избежании возможных недоразумений следует сразу
отметить, что во многих случаях сохраняющаяся величина не
является физической энергией. Хорошим примером в этом
смысле является рассматриваемая задача теплопроводности:
здесь физическая энергия пропорциональна величине
4Ь
J и dx\
мы однако рассмотрим вместо нее1)
\иЧх.
—Я
Умножим обе части уравнения A.2) на и и проинтегрируем
получившееся равенство по х от —я до я. Интегрируя правую
часть по частям и замечая, что внеинтегральные члены равны
нулю в силу граничных условий A.4), получаем
—я —я
Аналогично для разностной схемы A.9) положим
и постараемся показать, что эта величина остается ограничен-
ограниченной при я->оо, если выполнено условие A.16). Для этого
умножим A.9) на (ыу+1 + uf)Ax и просуммируем по /, исполь-
используя формулу суммирования по частям
— 2 ("/ + 1 — «/)(*>/+1 — vf).
1) Потому что предыдущий интеграл ввиду нечетности и равен нулю. -*
Прим. перед.

24 ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ Ч.
Учитывая еще граничные условия A.10), находим
—1| и» |р —
I7 1
(и« + ii»+>) Щ ^x + || Д+и* |р + Дх 2 A+ii» A+wn+i §
A.17)
где L = 2а Д*/(Дл;J, а через Д+и(л:) обозначена „разность впе-
вперед" г/ (jc + Ajc) — и (х). В силу неравенства Шварца
| |р + и д+
Далее, положив
„ = || и" IP - -j L [(^J Дд: +1| Д+г/« |р], A.18)
найдем, что
- Sn = - 1L Ш» + «
, A.19)
т. е. Sn не возрастает с ростом /г. Ясно, что So ^ ||и°||2, и соглас-
согласно A.19) Sn <; ll«°ll2. Для завершения доказательства нужно
установить, что ||ып||2 ^ cS,t, где с — некоторая константа.
Так как ^ = 0, то
<, ), то Sn>||aII|p-(l-e)||aII|p = e|Ull|pl
т. е. || ия |р и, следовательно, uj ограничены при ^г-»-оо.
ролее важным, чем вопрос об ограниченности решения раз-
разностных уравнений, является второй вопрос, поставленный в на-
начале этого параграфа, — вопрос о поведении погрешности в дан-
данной точке (x,t)y когда ячейки сетки безгранично измельчаются;
мы хотим, чтобы при этом погрешность в пределе стремилась
к нулю. Предположим, что (x,t) — это точка сетки со сторонам^
ячеек Ai*, Д^, для которой выполняются вычисления по конечно-
разностной схеме, и что для улучшения полученного приближе-
приближения вычисления повторяют, измельчая эту сетку. Значение я, со-
соответствующее фиксированному моменту времени t, при этом,
]) Здесь приходится исключить случай равенства в A.16). — Прим. перец.

§ 1.4. УСТОЙЧИВОСТЬ 25
конечно, неограниченно возрастает, и интуитивно ясно, что нуж-
нужно избегать случая, когда множитель перехода по абсолютной
величине превышает 1, по тем же соображениям, что и выше.
Поэтому, рассматривая другую сетку со сторонами ячеек Ал; =
= Ai*//C, A/= A1///C2 (К — натуральное число), предположим,
&\Х и Ai/ таковы, что величина
. 2<у М 2а At/
L~ (Ад:)» ~
ке превышает 1, так что \1(т) |^ 1 для всех tn. Пусть ип(ху t)
обозначает приближенное значение и(х, t) в данной точке (x9t)i
где / = пД/, являющееся решением конечноразностных уравне-
уравнений. Мы утверждаем, что при высказанных предположениях
un{xJ)—u{xJ)-+Q при К-*™.
Доказательство. Пусть т0 — натуральное число (пока
произвольное). Для данного К имеем
\ип-и1=*
If
I L
S + S 1Лшехр(/т^)и//А/-(ехр(-.т2(та0)//А/]
||т||<то |m|>moJ
где через 2i и 2г обозначены суммы, соответствующие |т|
^ т0 и |m|>mo. Вторая сумма удовлетворяет неравенству
|2|< 2 \\
|m|>m0
так как |||<1 и ехр(—т2оА/) |<1; следовательно, ^2 можно
сделать сколь угодно малой за счет выбора достаточно боль-
большого т0, ибо ряд Фурье для ф(х) абсолютно сходится.
Для оценки первой суммы заметим, что выражение во вто-
второй квадратной скобке в A.20) имеет вид 1п — т]п, где ^ и tj —
множители перехода. Оно может быть записано в виде произве*
дения (? — л) (Ъп~{ + 5ПЛ + --- + ЛП~1)> второй множитель ко-
которого не превосходит /г, поскольку каждый из п его членов не
превосходит 1. Далее, выражение
6 — ехр (—т2а М)
ш4 (Д/J
йбляется аналитической функцией от т2Д/ в некоторой окрест-
окрестности нуля в силу свойств рядов A.14) и, очевидно, ограничено
для всех действительных /п2Д/, больших некоторого фиксирован-
фиксированного е > 0; отсюда следует, что оно ограничено для всех неотри-
неотрицательных т2Д/. Пусть модуль этого выражения не превы-

26 ___ ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. 1.
шает В. Тогда
Выбрав т0 столь большим, чтобы 2г сделалась достаточно ма-
малой, выберем затем Д/ столь малым, чтобы сделалась достаточ-
достаточно малой и 2i- Таким образом, погрешность метода можно
сделать сколь угодно малой путем выбора достаточно боль-
большого /С, и сходимость доказана. Подобное доказательство было
предложено Хилдебрандом [1952].
Итак, нами были представлены две точки зрения на устойчи-
устойчивость. Независимо от того, какая из них имеется в виду: / не-
неограниченно возрастает при фиксированном Д/ или Д/ стремится
к нулю при фиксированном / (или, как в данном случае, имеет
место и то и другое), необходимо соблюдение условия A.16),
чтобы погрешности (аппроксимации, округления. или любого
другого рода) не могли достигать величины, при которой всякие
вычисления теряют смысл. На практике, конечно, делается толь-
только конечное число шагов вычислений с конечной ячейкой, однако
признаки неустойчивости появляются уже при сравнительно
малом числе шагов, если условие A.16) не выполнено. Всякий
раз, когда для приближенного решения краевой задачи приме-
применяются конечноразностные уравнения, следует установить усло-
условия, при которых они являются устойчивыми. Такого рода усло-
условия обычно представляют собой ограничения, налагаемые на
допустимую величину Д/, выраженную через величины других
приращений. Однако существуют примеры как безусловно устой-
устойчивых, так и безусловно неустойчивых разностных уравнений.
§ 1.5. Неявные разностные уравнения
Условие устойчивости A.16), полученное для простейшей
разностной схемы в предыдущем параграфе, приводит к небла-
неблагоприятным выводам: если в интересах повышения точности Дя
выбирается достаточно малым, то Д/ в свою очередь может ока-
оказаться столь малым, что для завершения процесса решения за-
задачи потребуется огромное число шагов по времени, ибо наи-
наибольшее допустимое для Д/ значение пропорционально квадрату
Да:. Ситуация существенно меняется при переходе к системе
А/
( ]
которая совпадает с A.9), за исключением верхних индексов
в правой части. Говорят, что системы A.9) и A.21) используют
разности по времени соответственно вперед и назад (относи-

§ 1.5. НЕЯВНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 27
тельно того момента времени /, для которого составлены про-
пространственные разности).
Мы увидим, что система A.21) безусловно устойчива, однако
гораздо поучительнее рассмотреть целое семейство разностных
систем, правые части которых получаются путем усреднения
правых частей уравнений A.9) и A.21), взятых с некоторыми
весами. Сначала введем некоторые обозначения. Для всякой
функции / от х положим
где / — целое число или целое число плюс 1/2, так что
F2/O =/ ((/ + 1) Дл;) — 2/ (/ Ах) + / ((/ — 1) Ах)
и т. д.; если f зависит и от /, то употребляются также и верхние
индексы я, п + 1 и т. д. Используя эти обозначения, напишем
систему разностных уравнений, которую мы собираемся рассма-
рассматривать:
где 8 — действительная постоянная, выбираемая обычно на от-
отрезке 0<8< 1.
Если 8 = 0, как это было в предыдущем параграфе, то си-
система называется явной. В этом случае неизвестное ип^х непо-
непосредственно находится из соответствующего уравнения по из-
известным величинам ипг Если 8 отлично от нуля, то для получе-
получения и7]*1 необходимо решить всю систему линейных уравнений
A.22) совместно, в связи с чем ее называют неявной.
Подстановка выражения Л|п exp (/m/Ax) вместо и*} в A.22)
показывает, что для данного т множитель перехода имеет вид
где L, как и прежде, обозначает величину 2аД//(Дл:J. И в этом
случае имеет силу тот вывод, что функция 1(т) действительна
для всякого действительного т и никогда не превышает +1.
На рис. 1.3 представлена зависимость величины Цт) от аргу-
аргумента r/ = L(l—cosmAJc) для различных значений 8. При воз-
возрастании у от 0 до +оо значение 1(т) монотонно убывает от
1 до —A—8)/8. Если 1/2^8^ 1, то это предельное значение
лежит не ниже прямой g = — 1 и, следовательно, система A.22)
безусловно устойчива. Но если 0-^8< 1/2, то для обеспечения
устойчивости нужно ограничить у тем его значением, при кото-
котором график функции 1(т). пересекается с прямой | = —1.

28
ГЛ. I. ВВЕДЕНИЕ
Ч. I
В соответствии с этим условие устойчивости формулируется так:
1 —— Jo 2»
никаких ограничений при y
A.24)
Достаточность этого условия для устойчивости можно без
труда установить также и энергетическим методом. Преобразуя
5
кг
1
10
i
——-
—
^-
i
15
i ,
— ¦-
-в>Уг
-7 -
y = LA-cos
Рис. 1.3. Множитель перехода для неявного разностного уравнения A.22);
см. также формулу A.23).
A.22) аналогично тому, как это было сделано для A.9), мы по-
получим для ||wn+1|l2—11ип112 выражение, сходное с A.17). Далее,
для величины
Sn = II и* IF - 4 A - 26) L [(и*J
A.25)
получается такое же условие A.19), как и при 8 = 0. Следова-
Следовательно, ||ып||2 < const Sn < const So < const lfw°||2, если только
выполнено условие A—28) L <. 1, которое, за исключением пре-
предельного случая точного равенства, совпадает с A.24).
Наиболее ходовыми значениями 8 являются 0, 1/2, 1. Первое
значение дает явное уравнение A.9), другие два дают неявные
уравнения, которые безусловно устойчивы. При 6 = 1 полу-
получается уравнение A.21). Используя неявные схемы, приводящие
к решению совместных систем уравнений (практически это ока-
оказывается не слишком сложным, см. гл. 8), можно обойти все
затруднения, связанные с устойчивостью, и выбирать значения
Д/ исключительно из соображений желаемой точности.
В § 8.6 приводится численный пример, в котором разностная
схема A.22) применяется к нелинейному уравнению
ди _ д2 (и5)
dt ~ дх2 *

§ 1.6. ПОГРЕШНОСТЬ АППРОКСИМАЦИИ 29
Здесь переменная величина 5и4 играет роль а. Результаты по-
показывают, что условие A.24) при замене о на ЪиА по-прежнему
обеспечивает устойчивость, как и следовало ожидать.
§ 1.6. Погрешность аппроксимации
Согласно сказанному в § 1.4 решение явной разностной си-
системы A.9) — A.П) сходится к точному решению краевой за-
задачи, если Да: и А/ стремятся к нулю так, что выполняется усло-
условие устойчивости A.16). Соответствующее утверждение спра-
справедливо и для неявных систем. Для практических целей
определение скорости сходимости также имеет большой интерес;
в этом параграфе вопрос о скорости сходимости будет рассмо-
рассмотрен в связи с вопросом о погрешности аппроксимации.
Пусть п(ху t)—точное решение уравнения A.2) с непрерыв-
непрерывными частными производными всех встречающихся ниже поряд-
порядков. Обозначим п(/Лх, nAt) через ппг допуская, что / и п могут
принимать и нецелые значения. Запишем разложения в ряд
Тэйлора с остаточным членом в форме Лагранжа:
-а?+Ш
Ш,
аналогичное разложение имеет место и для Щ_^ Q{ и 82 за-
заключены между 0 и 1. Так как дп/dt = од2п1дх2, то
or (д*п\п 1
At ° А (хJ
l(d2u\n+QiA, о
= Т W/ ^ - 24"
Коэффициенты при А/ и (Ад:J в правой части этого равенства
ограничены в силу непрерывности соответствующих частных
производных, так что
щ+1 д« ^|20 ((Д;сJ) при д^ ьх->0. A.26)
Отсюда видно, что существуют такие две зависящие от и поло-
положительные постоянные К\ и /С2, что абсолютная величина левой
части не превосходит /CiA/ + /Сг(Ал:J для всех достаточно ма-
малых А* и Ajc. В тех случаях, когда не может возникнуть недора-
недоразумения, слова «при А/, А*;-»0» опускаются

30 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч. I
Выражение в левой части равенства A.26) мы будем назы-
называть погрешностью аппроксимации разностной схемы A.9),
хотя некоторые авторы называют его так только после умно-
умножения на Д/.
Равенство A.26) показывает, насколько хорошо решение
дифференциального уравнения удовлетворяет разностным урав-
уравнениям при безграничном измельчании ячеек сетки. С его по-
помощью удается иногда определить и скорость сходимости ре-
решения разностной системы к решению дифференциального урав-
уравнения. Особенно просто это делается для явной схемы. А именно,
если мы обозначим через е* разность uf — Щ> то после вычита-
вычитания A.26) из A.9) получим
е»*1 = | Le»_, + A - L) в» +1 Le?+| + О ((Л*J) + О ((ДхJ М).
Следовательно, если выполнено условие устойчивости L^ 1, то
max | e?+11 < max | е? | + Ki (Ы? + /С2 (Ал:J Д*.
Поэтому при яД/ ^ t
т. е. |еу| всего лишь в / раз может превысить оценку для по-
погрешности аппроксимации на одном шаге. Отсюда при фиксиро-
фиксированном L и Дх—>О и следует сходимость.
Включая в A.26) члены более высокого порядка малости,
чем At и (Да:J, и учитывая, что функция п как решение урав-
уравнения теплопроводности удовлетворяет также уравнению
д2п 2 д*й
*^2~==ог ~дхг>
получаем для главного члена погрешности аппроксимации вы-
выражение
(а2 М _ a (AjcJ \ д'п
\ 2 12 ) дх* '
Если предположить, что Д? и Да: стремятся к нулю таким обра-
образом, что
а М _ 1
(AjcJ ~ 6 '
то этот главный член обращается в нуль и погрешность аппрок-
аппроксимации в данном случае1) не превосходит О((Д/J), или, что
то же самое, О ((Да:L). В этом частном случае погрешность ап-
]) Заметим также, что в этом случае разложения A.14) совпадают с
точностью до членов, содержащих т4.

§ 1.7. СКОРОСТЬ СХОДИМОСТИ 31
проксимации стремится к нулю даже быстрее, чем утверждает
равенство A.26), и можно ожидать, что решение разностного
уравнения приближается к решению дифференциального урав-
уравнения особенно быстро. Это действительно имеет место, и неко-
некоторые авторы воспользовались данным обстоятельством для по-
повышения точности численного решения простейшей задачи теп-
теплопроводности. К сожалению, пока не существует достаточно
простого обобщения этого приема на общую задачу теплопро-
теплопроводности или диффузии с переменными коэффициентами. Одна-
Однако можно построить некоторые другие обобщенные схемы по-
повышенной точности. Две такие схемы для задачи теплопровод-
теплопроводности даны в § 8.3.
Вообще говоря, чем меньше погрешность аппроксимации,
тем быстрее численное решение сходится к точному. Но следует
заметить, что соотношение A.26) остается в силе и тогда, когда
условие устойчивости нарушается; фактически сущность не-
неустойчивости можно охарактеризовать в следующей на первый
взгляд парадоксальной форме: если ячейки сетки безгранично
измельчаются при нарушении условия устойчивости, то точное
решение дифференциального уравнения все лучше и лучше удо-
удовлетворяет разностным уравнениям, в то время как точное ре-
решение разностных уравнений в общем случае все больше и
больше отклоняется от точного решения дифференциального
уравнения.
§ 1.7. Скорость сходимости
Оценку скорости сходимости для разностного уравнения
A.9) можно получить с помощью изучения вспомогательных
сумм 2i и 2г, на которые была разбита погрешность метода
при доказательстве сходимости в § 1.4 (см. равенство A.20)).
Погрешность метода была определена как разность между ре-
решением щ разностного уравнения A.9) и решением и диффе-
дифференциального уравнения A.2) в некоторой фиксированной точке
(х, г), принадлежащей бесконечной последовательности сеток
с безгранично уменьшающимися ячейками; мы хотим более
подробно, чем в предыдущем параграфе, исследовать скорость
убывания этой погрешности при соответствующей последова-
последовательности вычислений. Покажем, что результат зависит от
асимптотического поведения коэффициентов Фурье начальной
функции ф(х), которое в свою очередь определяется гладкостью
этой функции, в соответстви со следующей леммой 1): если функ-
1) См. Зигмунд [1952], где приведено доказательство для случая
р = 0; для р > 0 результат получается р-кратным интегрированием по ча-
частям.

ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ
Ч. 1
ция ф(х) и ее производные до (р— 1)-го порядка включительно
непрерывны, а р-я производная имеет ограниченную вариацию,
то асимптотическое поведение коэффициентов Фурье для ц>(х)
характеризуется равенством
Ат=о(—+Г) при т->оо. A.27)
Ограниченность 22 сразу следует из этой леммы: при р > О
A.28)
|m|>m0
Применяя A.27) к полученной в § 1.4 оценке для Si, находим
l<|m|<m0
При р ^ 3 последнее слагаемое в этой сумме является наиболь-
наибольшим и по нему можно оценить всю сумму; при р = 4 сумма воз-
возрастает с ростом т0 лишь логарифмически, а • при р > 4 она
ограничена. Поэтому
С{т*-рЫ, если р<3,
I 2i I = С2 (In m0) Д/, если р = 4,
С3Д/, если р > 4,
где Сь С2, С3 — константы, зависящие от х, t, p, а и т. д., но не
зависящие от At и т0. Выберем теперь т0 таким образом, чтобы
минимизировать оценку для |Si| + |22|. Как оказывается, при
р<4 такое т0 должно быть пропорционально величине (Д0~'\
так что окончательная оценка для погрешности метода имеет
следующий вид:
О((Д/)р/4) = О((Д;сГ/2), если р<3,
) = О((Д*J1пДх), если р = 4, A.29)
О(Д/) = О((Дл;J), если р > 4.
Если начальная функция ф(лс) кусочно линейна, как напри-
например функция A.5), то р=\ и погрешность метода стремится
к нулю как (Дх)|/2 при Д*-*0; в другом крайнем случае, когда
ф(лс) является аналитической функцией, погрешность убывает
как (Да:J.
Если, как и раньше, Д/, Ах стремятся к нулю таким образом,
что аД//(ДхJ= 1/6, то
О((Д0Р/3), если р<5,
О((Д/J1пД/), если р = 6,
О((Д/J), если р>6.

§ 1.8. ЗАМЕЧАНИЯ О ФОРМУЛАХ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 33
Опуская доказательство, которое в этом случае усложняется,
отметим лишь, что для гладких начальных данных (р > 6) бо-
более точное разностное уравнение дает соответственно более
высокую скорость сходимости, в то время как для негладких дан-
данных {р = 1) скорость сходимости увеличивается лишь незначи-
незначительно ((Д/)|/з вместо (Д/)|/4), причем даже такое незначитель-
незначительное увеличение возможно только потому, что решение уравне-
уравнения теплопроводности с любыми начальными данными является
аналитической функцией при всех t > 0. Для гиперболических
задач с негладкими начальными данными применение более
точных разностных уравнений вообще не дает улучшения схо-
сходимости.
Если предположить, что точное решение и(х, t) нашей задачи
имеет непрерывные производные по х до четвертого порядка
включительно, то, как показывает полученная в § 1.6 более про-
простая оценка для погрешности метода, погрешность при этом
стремится к нулю не медленнее, чем А/.
§ 1.8. Замечания о формулах высших порядков
и погрешностях округления
Хорошо известно, что при решении дифференциальных урав-
уравнений в частных производных конечноразностные формулы,
обеспечивающие высокий порядок точности, например имеющие
погрешность аппроксимации порядка О((Д?L), обычно весьма
неудобны на практике. Противоположная картина имеет место
для обыкновенных дифференциальных уравнений, для которых
такие методы, как метод Рунге—Кутта, часто обеспечивают
высокий порядок точности при малой затрате труда; эти методы
не имеют аналогов для уравнений в частных производных. При-
Причина этого различия лежит в самой сущности вещей. Для обык-
обыкновенного дифференциального уравнения с независимой пере-
переменной / задания конечного (и обычно совсем небольшого)
числа величин в момент времени t = t0 достаточно (по крайней
мере в принципе) для полного и точного определения решения
в любой момент t > tOi и точность приближенного решения для
/ = t0 -f- Д/ зависит только от искусства, с которым используется
при вычислениях имеющаяся информация. Для уравнения
в частных производных, в котором одной из независимых пере-
переменных является t, необходимо задать при / = t0 значения бес-
бесконечного числа величин (или какой-нибудь их эквивалент),
чтобы определить решение для / > /0, и потому точность при-
приближенного решения для / = /о + Д/ ограничивается не только
возможными недостатками метода вычислений, но и недостатком
нужной информации,
2 Зак. 1300

34 ГЛ. 1. ВВЕДЕНИЕ Ч I
Если помимо самих значений начальных функций в точках
сетки известно, скажем, что они непрерывно дифференцируемы
определенное число раз, то это будет дополнительной информа-
информацией. Поэтому для задач с достаточно гладкими начальными
функциями можно несколько увеличить точность расчета за
счет применения более точных разностных формул, при том од-
однако условии, что все граничные значения, особенности, скачки
на внутренних границах и т. д. будут аппроксимироваться с со-
соответствующей точностью. Мы вернемся к этому вопросу в гл. 13.
В любом случае, однако, при решении уравнений в частных
производных конечноразностными методами обычно достигается
более чем скромная точность. По мнению авторов погрешности
округления при этом вообще не имеют большого значения. При
использовании устойчивой разностной схемы погрешности округ-
округления не усиливаются с течением времени; они просто накапли-
накапливаются примерно пропорционально корню квадратному из
числа шагов вычислений, если округление случайно и если забо-
заботиться о том, чтобы значения рассматриваемых величин не
выходили за определенные границы. Конечно, современные быст-
быстродействующие автоматические вычислительные машины спо-
способны производить вычисления с очень большим числом шагов,
что часто и делается, так что ошибки округления могут заметно
накапливаться. Но эти машины обычно имеют разрядную сетку
с достаточно большим числом десятичных или двоичных разря-
разрядов, и увеличение быстродействия машин примерно в миллион
раз может быть компенсировано, с точки зрения накопления
случайных погрешностей округления, просто введением трех до-
дополнительных десятичных знаков. Кроме того, предусмотренное
на многих машинах выполнение арифметических операций с пе-
переменным числом значащих цифр (см. Эшенхорст и Метропо-
лис, 1959) позволяет регулировать влияние погрешностей округ-
округления более или менее автоматически, тогда как влияние по-
погрешностей аппроксимации можно оценить только теоретически.
§ 1.9. Содержание следующих глав
Как видно из предыдущего, основные вопросы при исполь-
использовании разностных методов типа описанных в этой главе это:
A) сходимость к точному решению при безграничном измельче-
измельчении сетки (в рассмотренном примере все зависело от устойчи-
устойчивости и от порядка малости погрешности аппроксимации); B)
скорость сходимости; C) построение устойчивых разностных
схем с быстрой сходимостью; D) методы решения неявных
разностных систем. Для более сложных задач возникают допол-
дополнительные вопросы: E) влияние переменных коэффициентов
и нелинейностей на устойчивость; F) аппроксимация внешних

§ 1.9. СОДЕРЖАНИЕ СЛЕДУЮЩИХ ГЛАВ 35
и внутренних граничных условий и их влияние на устойчивость;
G) отыскание практических критериев устойчивости в тех слу-
случаях, для которых формальная теория либо слишком сложна,
либо вообще неприменима. В первой части этой книги вопросы
A) — F) рассматриваются с теоретической точки зрения, во
второй части рассмотрены с точки зрения практики различные
приложения теории к решению краевых задач математической
физики.
Общая теория для линейных задач изложена во второй и
третьей главах. Основные понятия определяются в терминах
теории линейных операторов в банаховом пространстве и при-
приводят к теореме Лакса об эквивалентности устойчивости и схо-
сходимости. А именно, вводится понятие корректно поставленной
краевой задачи и рассматривается конечноразностная аппрокси-
аппроксимация для нее; формулируется условие согласованности, кото-
которое служит для проверки того, что разностная система аппрок-
аппроксимирует именно данную, а не какую-либо другую краевую
задачу; после этого устойчивость аппроксимации определяется
как равномерная ограниченность некоторого множества опера-
операторов. Теорема Лакса утверждает тогда, что если для корректно
поставленной краевой задачи выполнено условие согласован-
согласованности, то устойчивость является необходимым и достаточным
условием сходимости решения разностных уравнений к точному
решению краевой задачи при произвольных начальных данных.
Другие возможные определения устойчивости кратко рассмотре-
рассмотрены в § 5.2 (см. также § 3.9).
В гл. 4 эта теория применяется к линейным задачам с по-
постоянными коэффициентами и однородными граничными усло-
условиями. Как было отмечено много лет назад еще фон Нейманом
(см. О'Брайен, Хайман, Каплан [1951]), в этом случае исследо-
исследование можно провести при помощи преобразования Фурье
в особенно простой и удобной форме, которая позволяет сразу
получить необходимое условие устойчивости фон Неймана. По-
После выхода в свет первого издания этой книги в работах Като,
Баченана и Крайса были получены общие достаточные условия
устойчивости для таких задач; эти результаты излагаются по-
подробно с упрощенными по возможности доказательствами.
Глава 5 посвящена задачам с переменными коэффициентами
(в основном параболическим и гиперболическим); в последнем
параграфе кратко рассмотрены некоторые нелинейные (квази-
(квазилинейные) задачи. Вводится важное понятие диссипативной
разностной схемы, принадлежащее Крайсу. Для таких схем
полностью оправдала себя идея фон Неймана рассматривать
устойчивость локально. По-видимому, на практике можно все-
всегда (без всякой потери точности) пользоваться диссипатив-
ными схемами для решения гиперболических и других задач,

36 ГЛ. !. ВВЕДЕНИЕ Ч. I
дифференциальная форма которых не является диссипативнон.
Наконец, в последнем параграфе показано, на основании опыт-
опытных данных, что введение диссипативных членов надлежащего
вида часто является хорошим средством против неустойчивости
в нелинейных задачах.
В гл. 6 рассматривается вопрос о влиянии граничных усло-
условий на устойчивость в основном для задач с одной простран-
пространственной переменной. При этом используются оба основных
метода для исследования устойчивости в задачах такого рода:
энергетический метод и спектральный метод Годунова и Рябень-
Рябенького; эти методы часто дополняют друг друга.
Глава 7 является своего рода дополнением к первой части
книги. В ней результаты гл. 3 для линейных задач обобщаются
на случай многослойных разностных систем.
Вторая часть посвящена конкретным практическим особен-
особенностям использования методов, уже нашедших широкое приме-
применение при решении прикладных задач или находящихся еще
в стадии экспериментальной проверки (примером последних
являются методы многомерной гидродинамики). При этом ино-
иногда полученные в первой части теоретические условия устойчи-
устойчивости, характеризующие поведение вычислительного процесса
в случае стремления к нулю приращений аргументов, прихо-
приходится заменять практическими критериями устойчивости, учи-
учитывающими конечность этих приращений (см., например, § 10.5).
В заключение следует отметить, что изложенные в этой кни-
книге исследования тесно примыкают к целому ряду превосходных
исследований советских математиков в этой области. Например,
Ладыженская [1952] доказала устойчивость и сходимость неяв-
неявной схемы типа Кранка — Николсона для общих гиперболиче-
гиперболических систем. Общим вопросам конечноразностных методов
посвящены работа Ладыженской [1957а] и книга Годунова и Ря-
Рябенького [1962]. Разрывные решения гиперболических уравнений,
с которыми мы будем иметь дело в гл. 13, были рассмотрены
в работах Ладыженской [19576], Олейник и Введенской [1957],
Рождественского [1960] и Яненко [1964].

Глава 2
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
§ 2.1. Краевые задачи и функциональные
пространства
При решении краевых задач временная переменная / играет
особую роль. На любой стадии процесса приходится иметь дело
с одной или несколькими функциями некоторых других пере-
переменных, которые мы назовем пространственными переменными;
эти функции описывают мгновенное состояние физической си-
системы. В случае применения вычислительных машин затабули-
рованные значения этих функций хранятся в ячейках памяти
машины. С течением времени состояние физической системы
меняется в соответствии с дифференциальными уравнениями, и
функции принимают новые значения. Удобно истолковывать эти
функции для фиксированного / как точки функционального про-
пространства и обозначать их одним символом ы. При такой интер-
интерпретации состояние физической системы изображается точкой
функционального пространства, а изменение ее состояния во
времени представляется движением изображающей точки в этом
пространстве.
Для изучения свойств приближений и погрешностей необхо-
необходимо ввести меру различия между двумя состояниями физиче-
физической системы; эту меру можно интерпретировать как расстоя-
расстояние между двумя представляющими эти состояния точками.
Если два состояния физической системы почти одинаковы,
то расстояние между изображающими их точками должно быть
очень малым, и обратно. Например, если и— непрерывная функ-
функция некоторых пространственных переменных, скажем темпера-
температура в задаче теплопроводности, то в качестве меры различия
между двумя состояниями системы можно взять максимум
модуля разности соответствующих функций wi(x) и ы2(х), т. е.
максимум функции | Wi (х)— w2(x) |. Другой часто используемый
выбор меры различия —это среднеквадратичное отклонение
[(l/V) J jwi(x) — u2(x) \2dv]l/\ где интеграл берется по некоторой
области объема V.
В настоящей главе и следующих пяти главах мы ограни-
ограничимся рассмотрением линейных задач. В этом случае за меру
различия двух состояний и и v всегда можно принять некото-
некоторую характеристику разности w = u — v, которую можно ис-
истолковать как абсолютную величину элемента w. Эта величина

38 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. 1
называется нормой элемента w и обозначается символом
Ясно, что норма w должна быть положительным числом, если
и и v изображают различные состояния системы, и должна быть
равна нулю, если они изображают одинаковые ее состояния,
потому что норма представляет собой как раз меру различия
состояний. Интерпретация меры различия как расстояния под-
подсказывает в качестве следующего требования выполнение не-
неравенства треугольника, т. е. требование, чтобы норма суммы
двух элементов u + v не превышала суммы норм этих элемен-
элементов и и и, в соответствии с тем геометрическим фактом, что
длина стороньГ треугольника не превышает суммы длин двух
других его сторон. Может показаться не очевидным, что это тре-
требование диктуется физическими соображениями, но в действи-
действительности неравенство треугольника удовлетворяется при лю-
любом выборе нормы, возможном на практике. Предположение
о том, что это неравенство выполняется, упрощает теорию опе-
операторов, так же как и некоторые другие предположения, кото-
которые будут формально введены в следующем параграфе.
Если, как и прежде, и представляет собой некоторую непре-
непрерывную функцию, норма которой определяется как максимум
ее модуля, то сходимости1) последовательности точек в функ-
функциональном пространстве отвечает равномерная сходимость со-
соответствующих функций. С другой стороны, если и представляет
собой измеримую интегрируемую с квадратом функцию, норма
которой определяется как среднеквадратичное значение, то схо-
сходимости последовательности точек отвечает сходимость в сред-
среднем 2) соответствующих функций.
Под суммой и разностью двух элементов и и v подразуме-
подразумевают, конечно, функцию (или систему функций), получаемую
при сложении или вычитании функций (или систем функций),
обозначенных через и и v, причем предполагается, что сумма и
разность и и v снова являются элементами функционального
пространства. При этом мы можем получить элементы, которые
не интерпретируются непосредственно как состояния физиче-
физической системы. Например, если задачу, разобранную в первой
главе, рассматривать как задачу о диффузии газа через некото-
некоторую проницаемую среду, то отрицательные значения функции
будут лишены реального смысла, так как число молекул не мо-
может быть отрицательным. Но несмотря на это целесообразно
включать такие функции в функциональное пространство, счи-
считая, что они представляют в некотором смысле обобщенные со-
состояния системы; тогда, например, отдельные члены и частные
!) Под которой понимается тот факт, что расстояние между переменной
точкой и предельной точкой стремится к нулю.
2) См. Курант и Гильберт [1951], т. I, стр. 50.

§ 2.2. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА $9
суммы ряда Фурье будут представляться точками функциональ-
функционального пространства. Удобно пойти еще дальше и включить в
функциональное пространство комплексные функции в соответ-
соответствии с определенными правилами, характеризующими линейное
пространство.
В силу этих соображений ясно, что аксиомы теории банахо-
банаховых пространств как раз пригодны для характеризации функ-
функциональных пространств, возникающих при решении линейных
краевых задач. Необходимые сведения из теории линейных опе-
операторов в банаховых пространствах будут изложены в следую-
следующих параграфах настоящей главы.
Значения функции, определяемые в результате вычислений
по конечноразностным формулам, не дают, конечно, полного
представления этой функции. Но тем не менее такие совокуп-
совокупности значений функции могут быть представлены определен-
определенными точками функционального пространства, если указан ка-
какой-либо линейный закон или правило, при помощи которого
можно найти значения функции в точках, не совпадающих
с точками сетки.
Например, можно определить промежуточные значения функ-
функции с помощью линейной интерполяции. Другой простой прием,
полезный при решении краевых задач типа рассматриваемых
в гл. 4, это допустить, что разностные уравнения сохраняют
силу при всех значениях пространственных переменных. Так,
при решении задачи о теплопроводности уравнение A.9) при
этом нужно записать в виде
_ ип (х + Ад:) - 2ип (х) + ип(х- Ьх) .
А/ ~° (А*J
тогда если начальная функция ф(лг) задана для всех значений
х, то из этого уравнения ип(х) последовательно (п = 0, 1, 2, ...)
определяется для всех х\ в действительности, конечно, ип(х)
вычисляется только для конечного множества значений х.
Некоторые авторы рассматривают и точные, и приближен-
приближенные функции как сеточные, т. е. определенные только в точках
сетки, а норму для них обычно определяют как максимум мо-
модуля функции. На наш взгляд, это в меньшей степени соответ-
соответствует физическим представлениям о численных значениях как
о точках, через которые проходят кривые или поверхности, при-
приближенно описывающие поведение функции во всей рассматри-
рассматриваемой области пространства.
§ 2.2. Банаховы пространства
Функциональные пространства, используемые в дальнейшем
при решении линейных краевых задач, являются по предполо-
предположению абстрактными пространствами Банаха [1932].

40 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. 1
Банахово пространство & — это, во-первых, линейное {век-
{векторное) пространство; это значит, что оно состоит из элементов,
для которых определены действия сложения и умножения на
число (действительное или комплексное); эти действия подчи-
подчинены следующим правилам.
Если w, и, w — элементы (называемые также точками) про-
пространства ,$, а а, 6, с — некоторые числа, то
и + v — элемент пространства $, аи — элемент пространства $,
a(bu) = (ab)u,
(а + Ь)и = аи + Ьи,
и + (v + w) = (и + v) + w, a(u + v)=au + avl).
Очевидно, что функциональные пространства, встречающие-
встречающиеся при решении линейных краевых задач, удовлетворяют этим
аксиомам, если, как указывалось выше, сложение двух элемен-
элементов определять естественным образом как сложение соответ-
соответствующих значений функций, а умножение на а — как умноже-
умножение значений функции на а.
Во-вторых, $$ — нормированное пространство; это значит, что
каждому элементу и пространства к сопоставлено конечное не-
неотрицательное число, обозначаемое через ||«||, такое, что
||« — г>Ц = 0 тогда и только тогда, когда и = v
(„ы — Vй — сокращенное обозначение для „и + (—1)у").
Наконец, & — полное пространтво; это значит, что если по-
последовательность ии , ... элементов из & такова, что \\ип —
— мто||-*0, когда /г, т->оо независимо друг от друга (такие
последовательности называются фундаментальными), то в ^
существует элемент и, называемый пределом этой последова-
последовательности, такой, что ||ип — ы||->0 при Аг-*оо.
Обычным примером функционального банахова простран-
пространства является следующий: пусть {% — класс непрерывных функ-
функций /(*), определенных на отрезке а^х^Ь, и пусть норма
элемента f(x) определяется как максимум |/(л;)| на этом от-
отрезке. Легко проверить, что все перечисленные выше аксиомы
выполняются. Сходимость в 9$ соответствует равномерной схо-
сходимости функций, а полнота $ устанавливается следующим об-
]) В определении линейного пространства надо, кроме того, требовать,
чтобы существовал нулевой элемент и чтобы для каждого элемента существо-
существовал обратный (противоположный), а также чтобы выпонялось условие
1-й = и, —Прим. ред.

§ 2.2. БАНАХОВЫ ПРОСТРАНСТВА 41
разом: последовательность /п(*)» фундаментальная в ^?, сходит-
сходится в каждой точке х отрезка [а, Ь] в силу критерия Коши, при-
причем предельная функция является элементом .$, ибо предел
равномерно сходящейся последовательности непрерывных функ-
функций есть непрерывная функция. Это функциональное простран-
пространство и его обобщения очень часто встречаются в численном ана-
анализе, но для целей, поставленных в этой книге, более подходя-
подходящим является пространство с гильбертовой нормой
Ъ 1Чш
(см. гл. 4).
Теперь мы сформулируем некоторые простые следствия из
приведенных выше аксиом (читателю, интересующемуся аксио-
аксиоматическим подходом, стоит вывести их из аксиом !), однако для
целей этой книги достаточно заметить, что они верны в линей-
линейных функциональных пространствах). Эти следствия таковы:
u — u = v — v = w — w и т. д.
(тем самым определяется элемент 0 = н — н, называемый нуле-
нулевым элементом пространства ,$),
||0|| = О, (Ьи = 0, а0 = 0,
Если последовательность элементов пространства $ имеет
предел, то этот предел единствен.
Определим некоторые понятия, относящиеся к множествам
элементов пространства &. Элемент и называется предельной
точкой множества 9*, если сколь угодно близко от точки и
имеются точки множества 9, т. е. если и является пределом
некоторой последовательности, содержащейся в 9*.
Множество элементов называется замкнутым, если оно со-
содержит все свои предельные точки. Замыканием данного мно-
множества называется множество, получающееся присоединением
к нему (если оно уже не является замкнутым) всех его предель-
предельных точек. Множество 9 называется плотным в <%, если произ-
произвольный элемент пространства $ можно аппроксимировать
сколь угодно точно элементами множества 9>, т. е. если замыка-
замыкание 9> совпадает с $. Например, если & — класс непрерывных
функций от х с нормой максимум модуля, то множество поли-
полиномов от х плотно в $, ибо функцию, непрерывную на отрезке,
1) На самом деле вывести их из приведенных выше аксиом нельзя; см.
подстрочное примечание на стр. 40. — Прим. перев.

42 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. I
можно сколь угодно точно аппроксимировать подходящим обра-
образом выбранным полиномом. Плотность одного множества в дру-
другом определяется аналогично; каждый элемент второго мно-
множества является пределом некоторой последовательности
элементов первого множества. Если и — точка пространства .$,
а 9*—некоторое множество точек пространства 9&> то расстоя-
расстояние (и, 9>) от и до 9* определяется как точная нижняя грань
чисел ||и— v\\, где v принадлежит 9. Можно показать, что если
9> замкнуто и и не принадлежит 9*, то расстояние от и до 9>
больше нуля (допущение, что оно равно нулю, приводит к про-
противоречию). Если н0 — элемент пространства $ и г — положи-
положительное число, то множество точек н, удовлетворяющих условию
И« — «oil -^г, называется шаром с центром в точке и0 радиуса г;
это замкнутое множество.
§ 2.3. Линейные операторы в банаховом
пространстве
Действия, выполняемые над функцией при решении краевой
задачи, такие, как дифференцирование, интегрирование, соста-
составление конечных разностей и умножение на данную функцию,
приводят к замене одной функции (или системы функций)
другой. В результате происходит преобразование банахова про-
пространства в себя или одной части банахова пространства в дру-
другую его часть. Вообще под преобразованием Т в пространстве
<% понимают однозначное сопоставление элементам множества
3) = 2)(Т), называемого областью определения Т, элементов
множества 52 = 52(Г), называемого областью значений преоб-
преобразования Г. Иногда рассматриваются преобразования одного
пространства в другое, но нас интересует тот случай, когда 91
и 3) — множества элементов одного и того же пространства $.
Преобразования Т и V называются идентичными или равными
тогда и только тогда, когда совпадают области их определения
и когда для каждого и из этой общей области определения
Ти = Г и.
Оператор, или операция, — это то же самое, что преобразова-
преобразование; эти три термина являются равноправными, хотя часто ис-
используют термин «преобразование», если речь идет об абстракт-
абстрактном банаховом пространстве, а термин «оператор» — если речь
идет о том функциональном пространстве, которое представ-
представляет это банахово пространство. Подчеркнем, что при опреде-
определении оператора необходимо указывать область его определе-
определения. Так, нельзя считать оператор d/dx, рассматриваемый на
совокупности всех дифференцируемых функций, идентичным
с оператором d/dx, область определения которого ограничена,
скажем, дважды дифференцируемыми функциями или диффе-

§ 2.4. ТЕОРЕМА О РАСШИРЕНИИ ОПЕРАТОРА 43
ренцируемыми функциями, обращающимися в нуль при х = 0.
(Излишне говорить, что символ «d/dx» нельзя использовать,
если не указано, какой из этих операторов имеется в виду.) Тем
не менее первый из указанных дифференциальных операторов
является так называемым расширением двух других. Преобра-
Преобразование V называется расширением преобразования Т, если
2)(Т) содержится в 3){Т') и Ти= Т'и для всякого и, принадле-
принадлежащего 3)(Т). Расширенный оператор производит то же дей-
действие, что и исходный, в тех случаях, когда последний может
быть применен, но расширенный оператор может быть приме-
применен к более широкому классу функций.
Преобразование Т называется линейным тогда и только
тогда, когда при произвольных и и и, принадлежащих 3)(Т),
и произвольных комплексных числах а и b величина аи + bv
принадлежит 3)(Т) и Т(аи + bv) = aTu + bTv. Это значит, что
не только результат выполнения операции линейно зависит ог
элемента, над которым выполняется операция, но и область
определения преобразования является линейным многообразием.
Линейное преобразование Т называется ограниченным тогда
и только тогда, когда существует такое действительное число
/С, что 1174*11^ К\\и\\ для всех ы, принадлежащих 2)(Т). Наи-
Наименьшее значение /С, для которого это условие выполняется,
называется нормой преобразования Т и обозначается симво-
символом ||ГЦ. (Использование такого обозначения основывается на
том, что при некоторых условиях множество операторов можно
рассматривать как множество элементов некоторого другого ба-
банахова пространства, в котором норма элемента определяется
как норма соответствующего оператора.) Заметим, что для
норм операторов справедливо неравенство треугольника
ll^7'||||Г|| + || Г!!
§ 2.4. Теорема о расширении оператора
Ограниченный линейный оператор Т, область определения
которого плотна в <%}, имеет единственное линейное ограничен-
ограниченное расширение Т\ область определения которого совпадает
с <%, такое, что ||Г|| = ||Л|.
Действительно, пусть и — произвольный элемент простран-
пространства &. По предположению существует последовательность при-
принадлежащих области определения Т элементов ии и2, ..., схо-
сходящаяся к и. Следовательно,
|| Тип - Тит || = || Т (ип - ит) || <|| ГIHI ип - им Ц-» 0
при п, т-> оо.
Поэтому последовательность элементов Тии Ти2, ... фундамен-
фундаментальна и в силу аксиомы о полноте имеет предел. Мы примем

44 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. I
по определению этот предел в качестве значения Т'и. Читатель
без особых затруднений сможет проверить, что A) этот предел
совпадает с Ти, если и^2)(Т), B) этот предел не зависит от
выбора последовательности ии u2j ... для данного и, C) этот
предел линейно зависит от и и D) ||7*х|| = I1Z"||. Тем самым тео-
теорема доказана.
§ 2.5. Принцип равномерной ограниченности
Класс С линейных преобразований Г, определенных на всем
пространстве, называется равномерно ограниченным, если су-
существует такое действительное число К, что ||Гн||^: K\\u\\ для
всех «G^ и всех ГеС. Ясно, что в этом случае все преобра-
преобразования класса С являются ограниченными. Но не всякий класс
С ограниченных преобразований равномерно ограничен (если
только он не является конечным). Одно условие, обеспечиваю-
обеспечивающее равномерную ограниченность, дается следующей теоремой.
Если С — некоторый класс ограниченных линейных преоб-
преобразований, определенных всюду в 38, и если для каждого эле-
элемента «б! существует такое действительное число К\(и), что
\\Ти\\^. К\(и) для всех ГеС, то класс С равномерно ограничен.
Доказательство. Пусть Ко{Т) обозначает норму ||Г||
оператора Г. Нужно доказать, что из неравенств
Г" В </Со (Л II и У
следует существование постоянной /Сг> не зависящей ни от и, ни
от Т, такой, что
II Ти || < К2II «II,
причем каждое неравенство удовлетворяется для всех «Gj?
и всех ГеС. Рассмотрим последовательность множеств М\у
М2, ..., где Мр определяется как множество всех таких и^3$,
для которых ||Ги||^/7||а|| при всяком Т&С. Наша цель —по-
—показать, что одно из этих множеств заполняет все простран-
пространство $. Доказательство проведем в несколько шагов.
1. Каждый элемент «el принадлежит хотя бы одному из
множеств Мр, так как и = 0 принадлежит всем Мр, а и Ф О
принадлежит тем Мр, для которых р ^ К\(и)/\\и\\.
2. Каждое из множеств Мр замкнуто. Действительно, если
Щ> и2, ... — последовательность элементов из Мр, для которой
и является пределом, и если е — произвольное положительное
число, то мы можем выбрать п столь большое, что ||ы — ып||< е,
так что \\Ти — Тип\\ < Л0(Г)е. Следовательно, в силу неравен-

§ 2.5. ПРИНЦИП РАВНОМЕРНОЙ ОГРАНИЧЕННОСТИ 45
ства треугольника
Так как е произвольно, то отсюда следует, что ||77/||^ р\\и\\
и, значит, «gMp; тем самым Мр представляет собой замкну-
замкнутое множество.
3. По меньшей мере одно из множеств Мр содержит шар.
Допустим противное. Пусть S\ — шар, содержащий все и с
||и||^ 1. По предположению М{ не содержит Sb поэтому в Si
существует точка, которая не принадлежит М{. Эту точку
можно считать лежащей внутри Si. В самом деле, если множе-
множество М{ содержит все внутренние точки Si,- то оно содержит
и границу Si, ибо М\ —замкнутое множество. Вокруг одной из
таких точек построим шар S2 радиуса не большего 7г и столь
малого, что S2 целиком лежит в Si и не содержит точек из М\\
это возможно потому, что избранная точка находится на поло-
положительном расстоянии как от замкнутого множества Мь так и
от поверхности шара Si, точки которой также образуют замкну-
замкнутое множество (в соответствии со сказанным в § 2.2). Анало-
Аналогично построим шар S3 радиуса не большего 7<ь лежащий в S2
и вне Мг, и т. д. Так построим для каждого п шар Sn радиуса
не большего 2-(п~1\ лежащий в Sn_i и вне Mn_i. Центры этих
шаров образуют фундаментальную последовательность, и легко
видеть, что предел этой последовательности принадлежит всем
шарам Si, S2, ... и поэтому не может принадлежать ни одному
из множеств Мр. Но это противоречит первому пункту доказа-
доказательства; следовательно, наше допущение ложно.
4. Пусть натуральное число р таково, что Мр содержит шар,
и пусть н0 и г—соответственно центр и радиус этого шара.
Если и ф 0 — произвольная точка пространства В, то точка
«—-от ||u|| "
принадлежит поверхности указанного шара и, следовательно,
множеству Мр. Поэтому
\\Tg\\<p\\g\\<p(\\u0
Но
так что

46 ГЛ. 2. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Ч. 1
Это неравенство (ясно, что оно имеет место и для и = 0) со-
совпадает с тем, которое входит в формулировку теоремы, если
положить
тем самым теорема доказана.
Нужно заметить следующее. В начале доказательства мы
говорили о том, что наша цель — показать, что одно из мно-
множеств Мр совпадает со всем банаховым пространством. Вместо
того чтобы доказать это непосредственно, мы доказали сна-
сначала, что одно из множеств Мр содержит шар, хотя быть может
и весьма малый. Это было наиболее трудной частью нашего до-
доказательства. После этого уже легко было доказать без допол-
дополнительного применения аксиомы о полноте, что каждое из
множеств Мр, начиная с достаточно больших /?, совпадает со
всем банаховым пространством. Это имеет место для всякого
Мр с р > /B.
§ 2.6. Основная теорема о сходимости
Следующая теорема, принадлежащая Канторовичу [1948],
является абстрактным прототипом всех теорем, устанавливаю-
устанавливающих эквивалентность устойчивости и сходимости.
Пусть $' и $" — два банахова пространства с нормами
|| ||7 и || И", и пусть Т и Тш (т = 1,2,3, ...) — линейные опера-
операторы, отображающие $' на $". Предположим, что A) для лю-
любого f е $" уравнение Ти = f имеет единственное решение
и е $'\ B) каждый оператор Тт имеет ограниченный обратный
оператор Г^1 и аппроксимирует Т в том смысле, что \\Ти —
— Гт^||->0 при т->оо для любого и^<%'.
Тогда решение ит уравнения Ттит = / сходится к реше-
решению и уравнения Ти = f в том и только в том случае, когда
аппроксимация устойчива, т. е. обратные операторы Т^1 рав-
равномерно ограничены.
Доказательство. Если ЦГт^^М, где М не зависит
от /гс, то
IlK-ttmir =\TmXTm{u-Um)\<M\\Tm(u-Um)\\".
Но
при m->oo по предположению. С другой стороны, если для
любого / \\и — um\Y -> 0 при m -> оо, то последовательность
||«т 1Г = ||71т1/1Г ограничена. В силу принципа равномерной

§ 2.7. ЗАМКНУТЫЕ ОПЕРАТОРЫ 47
ограниченности отсюда следует равномерная ограниченность
норм операторов Г^1.
При применении этой теоремы к краевым задачам элемен-
элементами пространств &' и &" должны были бы быть функции от
пространственных переменных и времени, однако в данном
случае оказывается более удобным учитывать их зависимость
только от пространственных переменных, используя соответст-
соответствующую модификацию основной теоремы. Преимуществом та-
такого подхода является также возможность несколько ослабить
предположение A) этой теоремы.
§ 2.7. Замкнутые операторы
Хотя операторы, которые мы будем рассматривать, не яв-
являются в общем случае ограниченными (в частности это отно-
относится к дифференциальным операторам), они часто обладают
свойством замкнутости. Оператор Т с областью определения
&)(Т) называется замкнутым, если для любой последователь-
последовательности {Uj}^2)(T), сходящейся к некоторому и* и такой, что
{TUj} также сходится к некоторому w*, и*^2)(Т) и Ти* = w*.
Все рассматриваемые в дальнейшем операторы можно счи-
считать замкнутыми: это будет доказано в § 3.6. Грубо говоря,
каждый оператор можно сделать замкнутым путем выбора под-
подходящей области определения.
В качестве примера рассмотрим оператор Т = d/dx, дей-
действующий на функции и(х) из банахова пространства ^? =
= L2[0,1], т. е. пространства функций, интегрируемых с квад-
квадратом на отрезке [0, 1]. Если в качестве области определения
2)(Т) взять множество абсолютно непрерывных функций и(х),
O^at^I (абсолютно непрерывная функция имеет производ-
производную почти всюду и равна интегралу Лебега от своей производ-
производной; см. Шилов, 1961, стр. 287), то Т будет замкнутым опера-
оператором. Это верно потому, что если функции последовательности
{Uj(x)} абсолютно непрерывны, а Ти^(х), ф(л:) и ty{x) принад-
принадлежат L2[0,1] и таковы, что
11«/-ф11->о, Ц-aj-tt/-
то функция ф(х) абсолютно непрерывна и dy/dx = \|э всюду, где
производная существует.

Глава 3
ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В этой главе мы изложим несколько упрощенный вариант
разработанной Питером Лаксом общей теории аппроксимации
линейных краевых задач с помощью конечноразностных урав-
уравнений.
§ 3.1. Корректно поставленные краевые задачи
Задачи, которые мы будем рассматривать, можно предста-
представить в абстрактной форме, используя терминологию банаховых
пространств. Пусть требуется найти однопараметрическое се-
семейство элементов u(t) из банахова пространства <8 (t — дей-
действительный параметр), таких, что
Jt-u(t) = Au(t), 0</<7\ C.1)
и@) = и0, C.2)
где Л —линейный оператор, а и0 — заданный элемент из .$, ха-
характеризующий начальное состояние физической системы. Опре-
Определение производной du(t)/dt будет дано ниже.
Граничные условия, если они существуют, предполагаются
линейными и однородными; кроме того, предполагается, что
область определения оператора А состоит из функций, удов-
удовлетворяющих этим граничным условиям.
Применение изложенной схемы не ограничивается уравне-
уравнениями первого порядка, так как системы более высокого по-
порядка могут быть сведены к системам первого порядка путем
соответственного увеличения числа зависимых переменных и
числа дифференциальных уравнений. Однако способ понижения
порядка является существенным: будет показано, что задача
может быть корректно поставленной в указанном ниже смысле
при одном выборе функционального пространства и не обла-
обладать этим свойством при другом его выборе.
Применение этой схемы не ограничивается также системами
дифференциальных уравнений. Излагаемая здесь теория при-
применима, например, к некоторым интегро-дифференциальным
уравнениям.

§ 3.1. КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 49
У самого Лакса (в докладе на семинаре Нью-Йоркского
университета, 1953 г.) допускалось, что оператор А может явно
зависеть от параметра /, как в случае, когда скажем коэффи-
коэффициенты дифференциального уравнения зависят от времени. Эта
теория почти идентична представленной здесь, но требует не-
несколько более громоздкой записи.
Уточняя постановку задачи C.1), C.2), определим точное
решение этой задачи как такое однопараметрическое семейство
u{t), что u(t) принадлежит области определения оператора А
при любом t из отрезка 0 ¦< / •< Г, и @) = и0 и
при Д*-*0, 0</<7\ C.3)
Задача C.1), C.2) считается корректно поставленной, если сово--
купность ее точных решений достаточно обширна и если эти
решения в некотором смысле однозначно и непрерывно зависят
от начальных значений. (Вопрос о том, является ли некоторый
заданный оператор А таким, что соответствующая краевая за-
задача корректно поставлена в сформулированном выше смысле,
будет рассматриваться не в плане общей теории, а лишь в связи
с конкретными примерами.)
Пусть 3) — множество таких элементов и0 из $, для каждого
из которых существует единственное точное решение задачи C.1),
C.2) с u(O) = Uoj причем сходимость в C.3) равномерна по L
(Ниже мы увидим, что эта сходимость автоматически оказы-
оказывается равномерной для любого точного решения рассматривае-
рассматриваемых в этой главе корректно поставленных задач. Однако при
проверке корректности постановки конкретной задачи необхо-
необходимо выяснять вопрос о единственности ее точного решения для
достаточно представительного множества начальных значений,
решение которого значительно упрощается, если заранее счи-
считать эту сходимость равномерной.) Для каждого фиксирован-
фиксированного t соответствие между Uq и u(t) определяет преобразование
в^с областью определения 3). Легко проверить, что это пре-
преобразование линейно и что, если обозначить его через E0(t)y
формула
(t) E{t) для «oG®
даст решение задачи C.1), C.2) для тех начальных состояний,
для которых точное решение существует. В некоторых случаях
можно написать явную формулу для E0(t) (например, интеграль-
интегральное выражение для решения линейной задачи теплопроводности,
но это не является необходимым для наших рассуждений.
Задача C.1), C.2), определяемая линейным оператором Л,
называется корректно поставленной (это понятие принадлежит

50 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. 1
Адамару; впоследствии появилось несколько его вариантов,
слегка различающихся между собой), если выполнены следую-
следующие два условия:
1. Область определения SD преобразования E0(t) плотна
в &.
2. Семейство преобразований E0(t) равномерно ограничено,
т. е. существует такое К, что ||?о(ОИ^/С при 0 ^ / ^ Т.
Второе из этих условий в действительности означает, что
решение задачи C.1), C.2) непрерывно зависит от начальных
значений: в самом деле, если u(t) и v(t) — точные решения,
соответствующие начальным элементам и0 и v0, то \\u(t) —
— у(/)||^ К\\и0 — vo\\, так что если начальные состояния мало
отличаются одно от другого, то и последующие состояния, взя-
взятые в один и тот же момент времени, близки другу к другу.
Первое же условие утверждает, что если для некоторого на-
начального элемента и0 точное решение не существует, то мы
можем аппроксимировать этот начальный элемент сколь угодно
точно посредством таких начальных элементов, для которых
точные решения существуют. В качестве примера можно снова
рассмотреть задачу теплопроводности: если начальная темпера-
температура распределена разрывно, то мы аппроксимируем ее сходя-
сходящейся к ней последовательностью непрерывных (и даже дважды
дифференцируемых) начальных температур; последовательность
построенных таким образом решений сходится к функции, кото-
которая может быть интерпретирована как решение задачи тепло-
теплопроводности с разрывным распределением начальной темпе-
температуры.
В соответствии с теоремой о расширении из § 2.4 ограни-
ограниченное линейное преобразование E0(t) с плотной в <% областью
определения имеет расширение E(t)t называемое обобщенным
разрешающим оператором, определенное на всем <% и ограни-
ограниченное по норме тем же К, что и E0(t). Равенство
и @ = Е(*)|1о
дает обобщенное решение задачи C.1), C.2) для произвольного
начального элемента и0 е <%.
Семейство разрешающих операторов является полугруппой:
E(s + t) = E(s)E(t)
при s ^ 0, t ^ 0. Хотя этот факт уже неверен в более общем
случае, когда А зависит от /, и несуществен для излагаемой
теории, мы будем использовать его всякий раз, когда это может
упростить доказательство.
Для того чтобы краевая задача для уравнения в частных
производных в ограниченной области была корректно постав-
поставлена, нужно, чтобы граничные условия были подходящими, ибо

§ 3.2. КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ АППРОКСИМАЦИИ 51
от них зависит область определения оператора А и, следова-
следовательно, операторов E0(t). Рассмотрим для примера простейшую
задачу теплопроводности на отрезке а ^ х ^ Ь. Если гранич-
граничных условий слишком много,скажем и(х, /) = 0и (д/дх)и(х, t) =
= 0 при х = а и х = 6, то вообще не существует точных решений,
кроме тождественного нуля, и потому 3) не плотно в й?. С другой
стороны, если граничных условий слишком мало, например их
нет совсем, то ни для одного начального значения нет единствен-
единственности точного решения, и 2) снова неплотно в 3$.
Из C.3) следует, что точное решение является непрерывной
функцией от t в смысле нормы пространства 9&\ \\u(t + At) —
— u(t)\\->0 при Д/^0, 0</<Г; применяя неравенство тре-
треугольника, можно установить непрерывность и обобщенного
решения для 0 ^ / ^ Т.
Если «ое2), то A/6)[?F) — 1]и0 аппроксимирует Аио\ учи-
учитывая перестановочность E(t) с ?F), получаем отсюда после
перехода к пределу, что
E(t)Auo = AE(t)uo.
В силу этого равенства левую часть соотношения C.3) можно
переписать в виде
поскольку ||?@1| ¦</( при ()"</¦< Г, отсюда следует, что для
всякого точного решения корректно поставленной задачи сходи-
сходимость в C.3) равномерна по /.
В случае когда оператор А зависит явным образом от вре-
времени, обобщенный разрешающий оператор становится функ-
функцией двух переменных; действительно, если в момент времени
t0 задано начальное состояние н0, то u(t) = E(ttto)uOi причем
в силу полугруппового свойства E(t2, t0) = E(t2, t[)E(tu t0) при
t<t<
§ 3.2,Конечноразностные аппроксимации
Согласно замечанию, сделанному в конце § 2.1, аппроксима-
аппроксимации, получаемые посредством конечноразностных уравнений,
также можно представлять точками пространства $. При этом
однопараметрическое семейство u(t) заменяется последователь-
последовательностью точек и0, и1, и2, ..., причем ип по предположению есть
приближенное значение u(nkt)t а А/ обозначает малое прира-
приращение.
Соответствующие конечноразностные уравнения можно за-
записать в виде
\ C.4)

52 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I
где Во = #о(Д/, Д*ь Д*2, • ••) и Вх = B\(kt, Дл;ь Ах2,...)—линей-
Ах2,...)—линейные конечноразностные операторы, зависящие, как это видно из
обозначений, от величин конечных приращений Д/, Дл:ь Длгг, ...,
а также возможно от пространственных переменных. Предполо-
Предположим, что Во и Ви как и оператор Л, не зависят от /. В каждой
точке пространства обе части уравнения C.4) являются линей-
линейными комбинациями значений функции и на некотором множе-
множестве близких друг другу точек. Мы предположим, что всегда
имеется некоторый способ для вычисления ип+1 при любом wn,
причем ип+1 однозначно и непрерывно зависит от ип. Таким
образом, мы предполагаем, что оператор ВТ1 существует, опе-
оператор ВТ Во ограничен и оба они определены на всем про-
пространстве <%. Эти предположения будут очевидным образом вы-
выполнены для любой разумной разностной схемы.
Формулы вида C.4) называются двухслойными, так как они
содержат всего два «временных слоя» f и tn+l. Нужно заме-
заметить, однако, что применение формул такого рода не означает
сужения класса решаемых задач до систем дифференциальных
уравнений первого порядка по времени. Как отмечалось выше,
системы дифференциальных уравнений высшего порядка могут
быть сведены к системам первого порядка путем введения но-
новых зависимых переменных. Введение этих новых переменных
сведет соответствующую конечноразностную систему к двух-
двухслойной, если число входящих в нее слоев не превышает по-
порядка по t первоначальной системы дифференциальных урав-
уравнений. (Некоторые трехслойные формулы для уравнения диф-
диффузии обсуждаются в гл. 8; см. схемы 7—11 и 13 из табл. 8.1.)
Многослойные формулы будут рассмотрены в гл. 7. Иногда
используются термины «одношаговый» и «многошаговый».
Понятия устойчивости и сходимости, с которыми мы имеем
дело, предполагают бесконечную последовательность вычисле-
вычислений при безграничном измельчении ячеек сетки. Пусть выпол-
выполнены соотношения
A** = g«(A*). i=U 2, ..., d,
где d — размерность пространства, показывающие, как стре-
стремятся к нулю пространственные приращения при приближении
к нулю временного приращения. Положим
в?{ы,gx№>g2№* '..)B0(M9gx№9g2w9 ...)=С(Д/),
так что
п. C.5)

§ з.з. сходимость 53
Мы приходим теперь к условию согласованности. Так как
отношение
и
п+1 —
Д/
является приближенным значением производной по времени,
то отношение
С(Л/) и
м
должно в некотором смысле аппроксимировать величину Аи.
Мы не можем ожидать того, что это условие имеет место для
всех «6^, хотя бы потому, что в общем случае оператор А
определен не на всем ,$. Но мы хотим, чтобы оно выполнялось
почти для всех н, соответствующих точным решениям нашей
задачи. Будем говорить, что семейство операторов С (At) согла-
согласованно аппроксимирует краевую задачу C.1), C.2), если для
любого u(t) из некоторого класса °Ы точных решений, началь-
начальные элементы которых образуют в $ плотное множество, выпол-
выполняется предельное соотношение
С(АА/~~7 —Л}ц(*)|-»О при A*->0, 0<*<7\ C.6а)
называемое условием согласованности. Здесь / обозначает еди-
единичный оператор.
Поскольку это условие относится к точным решениям, то,
комбинируя его с C.3), получаем эквивалентное C.6а) соотно-
соотношение
*Т. C.6b)
| |^0
Стоящая здесь под знаком нормы величина, называемая по-
погрешностью аппроксимации, показывает, насколько хорошо точ-
точное решение краевой задачи удовлетворяет конечноразностным
уравнениям. Предположим, что сходимость в C.6а) и C.6b)
равномерна по /; тогда для любого е > 0 существует такое б > О,
что
\\{С(Ы)-Е(М)}и(()\\<гЫ при 0<*<7\ 0<A*<6. C.6с)
§ 3.3. Сходимость
Применив п раз оператор С (At) к uOi получим величину ип =*
= С(Д/)пм0, которая по предположению аппроксимирует и(пМ).
Так как u(t) = E(t)uo, то мы введем следующее определение.
Семейство операторов С (At) обеспечивает сходящуюся аппрок-
аппроксимацию задачи C.1), C.2), если при любом фиксированном /
из отрезка 0 ^ / ^ Т для каждого Uq^SS и для каждой

54 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I
сходящейся к нулю последовательности положительных прира-
приращений времени Д^, Дг^, ..., Aj/, ... имеет место предельное
соотношение
|| С (ДУ0п/ uo-E{t) щ !->0 при /-*оо, C.7)
где tij — целое число, близкое к t/Ajt в том смысле, что /ijAj/ —> t
при /->оо.
§ 3.4. Устойчивость
Если в последовательности вычислений при Д;/-^0 каждое
вычисление проводится от t = 0 до / = Г, то каждый из беско-
бесконечного множества операторов
,2:, «V C-8)
/ 1, Z, О, . . .,
применяется к Wo- Суть устойчивости состоит в том, что суще-
существуют пределы, которых не могут превзойти компоненты на-
начальной функции, преобразующиеся в процессе вычислений. По-
Поэтому аппроксимацию C(Ajt) называют устойчивой, если при
некотором т > 0 бесконечное множество операторов
равномерно ограничено.
Будем считать в дальнейшем, что конечноразностный опера-
оператор непрерывно зависит от А/, если At положительно, и не пре-
превосходит некоторого т > 0. В силу этого предположения коэф-
коэффициенты разностного оператора, так же как и его норма, будут
непрерывными функциями от А/. В этом случае множество опе-
операторов C.9) автоматически будет равномерно ограниченным
на любом отрезке т' ^ А/ ^ т, где т' > 0; существо данного
здесь определения устойчивости состоит в том, что это множе-
множество операторов остается равномерно ограниченным, когда
т'-+0.
Понятие устойчивости не имеет никакого отношения к диф-
дифференциальным уравнениям, подлежащим численному интегри-
интегрированию, и является исключительно свойством системы разно-
разностных уравнений.
§ 3.5. Теорема Лакса об эквивалентности
Пусть дана корректно поставленная задача C.1), C.2), и
пусть ее конечноразностная аппроксимация удовлетворяет усло-
условию согласованности; тогда устойчивость необходима и доста-
достаточна для сходимости.

§ 3.5. ТЕОРЕМА ЛАКСА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 55
В соответствии с определением, данным в § 3.3, здесь имеется
в виду сходимость при произвольном начальном элементе и$.
Как замечено в первой главе (см. рассуждения по поводу нера-
неравенства A.15)), и неустойчивая схема может иногда обеспечи-
обеспечивать сходимость при специально подобранных начальных эле-
элементах.
Сначала мы покажем, что сходящаяся схема необходимо яв-
является устойчивой. Мы утверждаем, что для всякой сходящейся
схемы и для произвольного начального фиксированного элемен-
элемента но е 9$ величины
IС ДОЧЬ
ограничены при некотором т > 0. Действительно, если это не
так, то найдутся две последовательности Aj/, Дг/, ..., Ajf, ... и
пи /г2, ..., tij, ..., для которых нормы элементов С (Д^) Щ>
C(A20w0, ..., C(kjt)nfuo, ..., неограниченно возрастают (при
этом Aj/ должны стремиться к нулю в силу предположения о не-
непрерывной зависимости С (At) от положительных значений А/);
из этих элементов мы можем выбрать подпоследовательность,
для которой величины tij&jt сходятся к некоторому t из отрезка
0 ^ t ^ Г; но это противоречит предположению о сходимости
схемы, поскольку при наличии сходимости нормы элементов этой
подпоследовательности должны были бы стремиться к конеч-
конечному пределу \\E(t)uo\\. Следовательно, существует такая функ-
функция К\(и), что неравенство \\C(kt)nu\\ ^ К\ (и) выполняется для
всех операторов из множества C.9) и всех me! Но тогда в
силу принципа равномерной ограниченности множество C.9)
равномерно ограничено. Таким образом, аппроксимация устой-
устойчива в смысле определения § 3.4.
Чтобы доказать обратное утверждение, предположим, что
u(t) = E(t)u0 является точным решением, принадлежащим клас-
классу °Ы, о котором шла речь при определении согласованности.
Пусть е и б те же, что и в условии согласованности в форме
C.6с), tij и Aj/ выбраны так же, как и при определении сходи-
сходимости, а г|);- обозначает разность между вычисленным и точным
значением и в момент времени azjAj/, т. е.
пг\
- Е (nfijt)] и0 =
С(ДУ/)* [С (АуО - Е (Д7*)] E((n!-\-k) ДУО щ. C.10)
Третья часть этого равенства, как легко видеть, совпадает со
второй: после приведения подобных остаются только первый

56 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I
и последний члены. Норму величины \|)j можно оценить с по-
помощью C.6с) и неравенства треугольника: если 0 < Д;/ < б, то
II Фу II < /С2 2 еДу* = /С^ПуДу/ < К&Т, C.11)
где /Сг обозначает равномерную границу множества C.9).
Так как е произвольно, то ||t|>/||->0 при Ду/-*О, /гуДу/-И. Для
доказательства сходимости покажем, что в пределе при /->оо
в C.10) можно заменить ?(ПуДуО на E(t). Если s = |/ — яуДуЦ
// = min{/,/гуДу/}, то в силу полугруппового свойства семей-
семейства Е (t) имеем Е (s + t') = E (s) E (/'), так что Е (луДу/) — E{t) =
= ± [Е (s) — I]E (f), причем знак определяется знаком раз-
разности t — ЛуДу/. В любом случае
|| [Е (/I/A/0 - Е (*)] ио || < Кв II [Б (s) - /] м0 ||,
где Ке обозначает границу для ||?(/)|| при 0 ^ t ^ Т. Но пра-
правая часть последнего неравенства стремится к нулю, если 5-^0,
т. е. если /->оо. Следовательно, величина \\[С(kjt)nl — Е(t)]u0
может быть сделана сколь угодно малой выбором достаточно
малых Ajf и \t — /ijAj/|. Это справедливо для любого щу являю-
являющегося начальным элементом точного решения из класса °U:
но такие элементы плотны в .$, так что для любого ue^ из
них можно выбрать последовательность ии «2, ..., сходящуюся
к w. Поэтому
[С (АУ0я/ - Е (t)]u = [С (Ду/)*/ - Е (t)] um +
+ С (Ду/р (и -Unb-E (t) (и - um). C.12)
Здесь два последних члена в правой части могут быть сделаны
сколь угодно малыми посредством выбора достаточно боль-
большого т, поскольку класс C.9) и множество операторов E(t)
равномерно ограничены, а малость первого члена может быть
обеспечена, как уже отмечалось выше, за счет выбора достаточ-
достаточно малых Aj/ и |f — /ijAj/|. Так как и — произвольный элемент
из 3$, то тем самым сходимость установлена и теорема об экви-
эквивалентности доказана.
Отметим в качестве естественного следствия этой теоремы,
что для данного начального элемента щ сходимость равномерна
по t на отрезке 0</<Гв том смысле, что ограничения, кото-
которые нужно налагать на Д;7 и на \t — n^t\, чтобы сделать C.12)
произвольно малым, не зависят ни от выбора /, ни от выбора
последовательности Д^. Это обстоятельство имеет большое прак-
практическое значение, так как позволяет при численном интегриро-

§ 3.5. ТЕОРЕМА ЛАКСА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ 57
вании находить такой шаг Д/, при котором приближенное реше-
решение оказывается достаточно точным на всем отрезке 0 ^ / ^ Т
сразу. Часто для достижения нужной точности А/ варьируют в
процессе вычислений, но существует такое предельное положи-
положительное значение Д/, ниже которого заходить нет смысла.
Изложенную теорему Лакса можно очень просто применить
к неявному разностному уравнению A.21) для одномерной за-
задачи диффузии
М ~° (АхJ
Прежде всего покажем, что решение этого уравнения удовле-
удовлетворяет следующему принципу максимума1). Предположим, что
уравнение рассматривается в прямоугольнике 0 ^ х ^ а, 0^
^/^Г и что Да; выбирается равным а//, где / — натуральное
число. Тогда максимальное значение М\, достигаемое величиной
ип} внутри этого прямоугольника, не может превышать макси-
максимального значения М2, достигаемого начальными и граничными
значениями (т. е. значениями на отрезках прямых t = 0, х = 0>
х = а). Действительно, допустим противное, а именно что
Mi > М2, и пусть (n,j) — первая внутренняя точка сетки, в кото-
которой uTj = Ml (первая в том смысле, что индексы п и / имеют
наименьшие значения). Тогда непосредственно ясно, что в этой
точке сетки левая часть приведенного выше уравнения должна
быть положительна, а правая отрицательна, ибо uj по пред-
предположению превосходит соседнее значение wj?_, слева и сосед-
соседнее значение ипгх снизу и по меньшей мере равно соседнему зна-
значению ыу+1 справа. Следовательно, наше предположение ложно,
и принцип максимума установлен. Очевидно, что эти соображе-
соображения можно применить и к — unf и тем самым установить, что
\ип}\ ограничены при любом выборе сетки, т. е., другими слова-
словами, что рассматриваемое разностное уравнение устойчиво.
Эти соображения могут быть применены также при доказа-
доказательстве устойчивости определенного аналогичным образом раз-
разностного уравнения для более общей задачи
ж=а^-ш[ь{х)-Ш' а{х)>0> 6(*)>0
(проведение доказательства предоставляется читателю). Усло-
Условие согласованности в этом случае также выполнено и сходи-
сходимость тем самым обеспечена независимо от того, каким образом
Д/->0 и &X-+Q.
]) Дж. Франклин, частное сообщение [1954]; Дж» Дуглас мл. [1955}
П. Лаасонен [1949].

gg ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. 1
§ 3.6. Замкнутый оператор А'
В этом параграфе будет показано, что если оператор А
в C.1) определяет корректно поставленную краевую задачу, то
существует замкнутый оператор А', который также определяет
корректно поставленную краевую задачу, причем каждое точное
решение первой задачи является также точным решением второй
задачи и обе задачи имеют один и тот же обобщенный разре-
разрешающий оператор E(t), так что с практической точки зрения они
эквивалентны. Оператор А' будет играть важную роль в следую-
следующем параграфе, посвященном неоднородным задачам.
Грубо говоря, А' определяется как производная по t от E(t)
при / = 0. Будем считать, что 3)(А') состоит из таких элементов
и^&у для которых в <8 существует предел
01= lim -lr[E(M)-I]u;
для таких и положим А'и = w. Ясно, что 3){А') есть линейное
многообразие в1, а А' — линейный оператор. Сравнивая при-
приведенное в этом определении равенство с C.3), находим, что
А'и = Аи для любого н, соответствующего точному решению
исходной задачи.
В соответствии с терминологией теории линейных операторов
(см. Данфорд и Шварц, т. 1, 1962), А' называется инфинитези-
мальным оператором семейства операторов E(t), которое яв-
является сильно непрерывной полугруппой.
Так как E(t) — ограниченный оператор, перестановочный с
?(ДО,то
Е (О A/ДО [Е (ДО - /] щ = A/ДО [Е (ДО - /] Е (t) u0;
при ио^З)(А') существует предел левой части при Д/->-0, от-
откуда в силу определения оператора А' следует, что ?(/)ное
<=Ф{А') и ?(/)Л'но = A'E(t)uoy т. е. А' и E(t) перестановочны
на элементе ы0. Таким образом, функция u(t) = E(t)u0 удовле-
удовлетворяет предельному соотношению
_.лв@|_»0 при
т. е. является решением краевой задачи
-§[ti(t)=:A'u(t), ы(О) = «о- C.13)
Покажем, что и обратно, единственным решением задачи
C.13) является функция u(t) = E(t)uo. Если u(t) — решение

§ 3.6. ЗАМКНУТЫЙ ОПЕРАТОР А1 59
этой задачи, то при фиксированном t > О функция
g(s) = E(t-s)u(s)9
постоянна. Действительно,
d
=-Z-E(t-s)u(s0)
ds
первое слагаемое в правой части можно переписать в виде
d
dw
-*E(w)u(sQ)\ =-A'E(t-sJu(sJ,
потому что функция E(t)u(s0) удовлетворяет дифференциаль-
дифференциальному уравнению C.13); для второго слагаемого имеем
E(t-so)-?-u(s)\ =E{t- sQ) A'u(s0),
поскольку E(t — so) является ограниченным оператором. Так
как Л' и E(t — So) перестановочны, то dg(s)/ds = 0 и потому
g(s) является константой. Следовательно, g(t) = g{0), или
и (l) = E(t) Wo, что и требовалось доказать. Отсюда следует, что
C.13)—корректно поставленная задача.
Покажем теперь, что А' — замкнутый оператор в смысле
определения, данного в § 2.7. Сначала напомним некоторые све-
сведения об интегрировании в банаховом пространстве. Пусть со-
совокупность элементов w(s) из 3$ непрерывно зависит от пара-
параметра s. Тогда интеграл Римана
1= \ w (s)ds
Si
определяется как предел интегральных сумм
2
аналогично тому, как это делается для непрерывной функции
действительного переменного. Предлагаем читателю в качестве
упражнения проверить с помощью неравенства треугольника,
что этот предел единствен и что определенный таким образом
интеграл обладает всеми обычными свойствами, например что
Si
^|s2 —Si I max

60 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Проверим, что если щ^З)(А'), то
t
'и (s) ds, C.14)
о
где u(t) = E(t)uo\ это согласуется с уравнением du/dt = А'и.
Уравнение C.13) показывает, что для данного е > 0 существует
такое б > 0, что
или, после применения оператора ?(/б),
IIЕ ((/ + 1) б) щ - Е (/б) щ - б? (/б) А% || < вб/С,
где К = max ||?(/) ||. Полагая мб = ty суммируя по / выражения,
стоящие под знаком нормы в левой части последнего неравен-
неравенства и оценивая затем эту сумму по норме с помощью неравен-
неравенства треугольника, получаем
1л—1 Ц
Е@«o-«o-SS?(/б) А% <etK.
/==о II
Так как функция E(s)A'u0 непрерывна, то сумма в левой части
этого неравенства аппроксимирует интеграл из правой части ра-
равенства C.14). В силу произвольности е отсюда следует справед-
справедливость равенств C.14).
Предположим теперь, что последовательность и\, ,
..., Wj, ... элементов из &{АГ) сходится к некоторому w*e^f,
a {A'tij} сходится к некоторому w* из <%, и покажем, что и*
е^5(Л') и до* = А'и*, т. е. что оп
оператор А' замкнут. В самом
деле,
Е (б) и* — и*= lim [Е (б) tit - uj] = lim f A'E (s) ut ds =
/->oo /->oo ^
0 0
= lim J E(s)A'ujds= J ?E) lim Л'и7 ds
о о
(предельный переход перестановочен с интегрированием, потому
что сходимость здесь равномерна в силу равномерной ограни-
ограниченности E(s) no s). Следовательно,
i [E(s)w'ds,

§ 37 НЕОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ 61
причем правая часть этого равенства стремится к E@)w* = w*
при б-*0, так как операция интегрирования непрерывна. Таким
образом, замкнутость оператора А' доказана.
Методом, предложенным Гельфандом и Гордингом (Лионе,
частное сообщение), можно показать, что области определения
оператора А' и всех его степеней плотны в $. Пусть ф(/)—бес-
ф(/)—бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю вне интер-
интервала 0 < t < tо (в частности, эта функция обращается в нуль
при ? = 0 вместе со всеми своими производными). Для произ-
произвольного элемента we^f положим
оо
Г(ф)и= J E{t)ucf(t)dt.
о
Это равенство определяет для каждой допустимой функции ф
оператор Г(ф), заданный на всем пространстве $. Покажем, что
Г(ф)н всегда принадлежат множеству 3)(А'). Действительно,
оо оо
Е(s) Т (ф)ы = J E(s + t)ыф@dt = J E(t)ыф (/ — s) dt,
о о
и потому при s-*-0
Ец)и
S J S
о
где ф/ = с?ф/Л. Следовательно, в силу определения А\ Г(ф)ие
ей)^7) и ЛТ(ф)ы = Г(—ф')и. Повторяя рассуждения q—1
раз, находим, что (Л^яГ^ы также существует и равняется
Г((—1)Яф^>)н. Обозначим через $ъ множество элементов вида
Г(ф)н для всех допустимых функций ф и всех мб! Если {фт}
является б-образной последовательностью 1) допустимых функций,
т. е. сходится в смысле обобщенных функций к дельта-функции
Дирака 6@> то для произвольного и^$ в силу непрерывности
E(t)u будем иметь Т(цт)и-*и при т-*оо. Следовательно, ^0
плотно в @. Но так как (Л/)«7ч(ф)мей)((Л/)«), то &оа
3){{A/)(i) при любом натуральном q\ поэтому множества
{{Af)^) также плотны в 98.
§ 3.7. Неоднородные задачи
Основной целью этого параграфа является решение следую-
следующей краевой задачи:
и @)
См., например, Гельфанд и Шилов* [1958], гл. l — Прим. перев.

62 гл- 3- ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I
где и0 и g(t) заданы, причем функция g(t)\t равномерно непре-
непрерывна по / на отрезке 0 ^ / ^ Т в смысле нормы простран-
пространства $. Достаточно было бы и кусочной равномерной непрерыв-
непрерывности g(t)\ провести доказательство для этого случая мы предо-
предоставляем читателю. Мы предполагаем, что определяющий кор-
корректную однородную краевую задачу оператор А замкнут и что
области определения всех его степеней плотны в 81 (как было
показано в предыдущем параграфе, это предположение не яв-
является ограничением).
Мы покажем, что решение задачи C.15) имеет вид
ds C.16)
о
при следующих дополнительных ограничениях: A) UoHg(t) при-
принадлежат S)(Л); B) g(t)ez3)(A*)\ C) функции Ag(t) и A2g(t)
непрерывны. Функция C.16) называется точным решением за-
задачи C.15). Если на и0 и g(t) не наложено никаких ограниче-
ограничений, кроме непрерывности g(t) или даже только существования
интеграла в C.16), то функция C.16) называется обобщенным
решением задачи C.15). Относящиеся сюда результаты были
получены Р. Дж. Томпсоном [1964]; он рассмотрел также квази-
квазилинейный случай, для которого g = g(t,u(t)).
Из ограниченности E(t) и непрерывности g(t) и E(t)u при
любом и следует в силу неравенства треугольника, что функция
E(t — s)g(s) непрерывна по s и, значит, интегрируема. Наше
утверждение относительно функции C.16) будет доказано, если
мы покажем, что
t t
±1 E(t-s)g(s)ds^E(O)g(f)+ j jrE(t-s)g(s)ds. C.17)
dt о о
Интеграл в правой части этого равенства существует, потому
что подынтегральное выражение равно AE(t — s)g(s) =
= ?(/ — s)Ag(s) и непрерывно в силу непрерывности Ag(s) и
равномерной ограниченности E(t — 5). Для внесения производ-
производной под знак интеграла, как и для функций действительного
аргумента, достаточно, чтобы соответствующее разностное отно-
отношение равномерно по s сходилось к производной, т. е. чтобы
E(t-s)g(s)-AE(t-s)g(s)\\->0 C.18)
равномерно по 5 при 6-^0. В силу равномерной ограниченности
E(t — s) и перестановочности E(t — 5) с Л это равносильно
тому, что

$ 3.7. НЕОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ 63
равномерно по s при 6-^0. При фиксированном s функция
h(t) = E(t)g(s) удовлетворяет не только уравнению dh/dt = Ah,
но по предположению также и уравнению d2h/dt2 = A2h. По-
Поэтому, используя дважды C.14), получаем
t
\\\ \\ \ E{w) A2g (s) dw,
0 0 0 0
так что
46 max \\E(w)A2g(s)\\.
Но максимум здесь ограничен в силу непрерывности A2g(s) и
равномерной ограниченности E(w). Этим доказана равномер-
равномерность сходимости в C.18) и тем самым справедливость равен-
равенства C.17).
Равенство C.17) принимает теперь вид
t t
-J- J E(t-s)g(s)ds = g(t)+ J AE(t-s)g(s)ds.
0 0
Так как в любой интегральной сумме, аппроксимирующей инте-
интеграл в правой части этого равенства, оператор А можно вы-
вынести за знак суммы и интеграл
t
JE(t-s)g(s)ds
о
существует, то в силу замкнутости оператора А его можно вы-
вынести также и за знак интеграла. Следовательно,
t t
± J E(t-s)g(s)ds = g(t) + A J E(t-s)g(s)ds,
о о
откуда видно, что функция C.16) является решением краевой
задачи C.15).
Единственность этого решения следует из единственности ре-
решения соответствующей однородной задачи, которая по пред-
предположению является корректно поставленной.
При рассмотрении обобщенных решений без ограничения
общности можно считать, что и0 = 0, поскольку первое слагае-
слагаемое в C.16) есть просто обобщенное решение соответствующей
однородной задачи. Обозначим через <%}' вспомогательное
.банахово пространство, элементами которого являются всевоз-

64 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. 1
можные непрерывные кривые и(/)ей(, определенные при
О ^ t ^ Г, с нормой
И о С - > IU- — max ||u
Отображение
есть ограниченное линейное преобразование, определенное на
всем $'; обозначим через Fo сужение F на множество тех эле-
элементов g(') из <%}'> для которых существует определенное выше
точное решение задачи C.15), и покажем, что множество 2){F0)
плотно в ЗВ'. Пусть g(-)—произвольный элемент простран-
пространства 33'. Разобьем отрезок [0, Т] на N отрезков длины б и
в каждой точке разбиения аппроксимируем g(n8) элементом
gn^2)(A2). После этого определим g{t) как кусочно линейную
функцию, построенную по gn. Очевидно, g(t)^3)(A2) при
0</<Г и функции g(t)y Ag(t) и A2g(t) непрерывны. Далее
И#@—g(t)W можно сделать равномерно малым на всем отрезке
0 ^ t ^ Т за счет выбора достаточно малых б и gn, достаточно
близких к g(n&). Но это и означает, что множество S)(F0) плог-
но в &'. Поэтому для любых по^38 и g(-)^<%' определим об-
обобщенное решение задачи C.15) формулой C.16), обосновывая
это, как и в случае однородных задач, тем, что оно является
пределом аппроксимирующих его подлинных решений и един-
единственно, так как F есть единственное ограниченное расширение
преобразования Fo.
Система конечноразностных уравнений для задачи C.15)
имеет вид
= gn+l, uQ = u0, C.19)
где Bi и Во — разностные операторы, рассмотренные в § 3.2, а
gn или g\t аппроксимируют g(nkt) или g((n—1/2)Д/). Мы
предположим просто, что |g\t — g (n A/) || может быть сделано
произвольно малым равномерно по п при 0 ^ nkt ^ T за счет
подходящего выбора Д/. Как и в § 3.2, эти разностные уравне-
уравнения можно переписать в виде
ип+* - С (A/) un = D (M) g»+*f
где операторы C(kt) = BTlBo и /)(Д/) = ВГ1 ограничены и за-
зависят только от Д/, ибо по предположению все Дх, Ду и т. д. вы-
выражаются через Д/. Для явной схемы D(kt) есть просто Д//,
где / — тождественный оператор. Во всяком случае мы считаем,
что элементы gn, определяемые равенством D(kt)gn = Д/?п,
аппроксимируют gn равномерно по п при достаточно малых Д/,

§ 3.7. НЕОДНОРОДНЫЕ ЗАДАЧИ 65
После многократного применения рассматриваемой разно-
разностной схемы получим
ип = С (М)п Но + Д* 2 С (A/)" g!. C.20)
Покажем, что если выполнены условия теоремы Лакса, то сумма
в C.20) аппроксимирует интеграл из C.16), откуда и будет сле-
следовать сходимость приближенного решения к точному. Из равно-
равномерной непрерывности g(s) и равномерной ограниченности опе-
операторов E(t) и С(Д/) (см. C.9)) следует, что если при фикси-
фиксированном V последовательности значений Д/ и т выбираются
таким образом, что Д/->0 и тД/-*-/', то величина
\\[E(mM)-C(M)m]g(s)\\
стремится к нулю равномерно относительно 5 для 0 ^ s ^ Т.
(Мы уже показали в § 3.5, что эта сходимость равномерна по
? при фиксированном 5.) Поэтому для данного е > 0 можно
подобрать столь малое Д/, что интегральная сумма вида
/=0
где t = n&t, будет аппроксимировать с точностью е интеграл из
C.16) и в свою очередь с той же точностью будет аппроксими-
аппроксимироваться суммой
д/2 с (до11
которую с точностью е можно уже аппроксимировать суммой из
равенства C.20). Таким образом, сходимость доказана.
Отсюда следует, что теорема Лакса об эквивалентности спра-
справедлива также и для неоднородных краевых задач.
В дальнейшем мы будем обычно считать граничные условия
однородными, так как от неоднородности можно избавиться, су-
сузив область определения оператора А. Действительно, рассмо-
рассмотрим краевую задачу с неоднородными граничными условиями.
Alu(t) = h(t), и@) = щ.
Во втором уравнении этой системы, задающей граничные усло-
условия, Ах — некоторый линейный оператор, a h(t)—заданная
функция; этот оператор выводит нас из банахова пространства
$ в некоторое другое пространство функций, определенных
3 Зак. 1300

66 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I
лишь на границе, и h(t) является именно такой функцией.
Пусть до(/)— некоторая гладкая функция из &, значения которой
принадлежат областям определения операторов А и Аи такая,
что A{w(t) = h(t)\ функцию w(t) можно выбирать с большим
произволом, поскольку она должна удовлетворять только гра-
граничным условиям. Теперь нашу задачу можно свести к преды-
предыдущей следующим хорошо известным способом. Пусть функция
v(t)= u(t) — w(t) удовлетворяет системе уравнений
?v (t) -Av (t) = g(t) -^w(t)-Aw(t)9
A{v{t) = O, i>@) = H0-oi@)f
правые части которых известны. Граничные условия здесь снова
однородны, так что если теперь заменить оператор А его суже-
сужением Ао на такие элементы v из &, для которых Aiv = Q, то
мы получим задачу типа C.15), к которой применимы все пре-
предыдущие рассуждения этого параграфа.
Р. Дж. Томпсон [1964] распространил большую часть приве-
приведенных здесь результатов на квазилинейный случай, в котором
g(t) заменяется на g(t,u(t))y где g(t,u)—функция, определен-
определенная при О^Г/^Г и ms^, непрерывная по / при каждом и и
удовлетворяющая равномерно по / условию Липшица относи-
относительно и в том смысле, что \\g(t,и) —-g(ty v)||^ M\\u — v\\ при
любых м, v и t (M — константа).
§ 3.8. Изменение нормы
Хотя выбор подходящей нормы в пространстве & является
частью постановки задачи, и задача может быть корректно по-
поставленной в одной норме и не обладать этим свойством в дру-
другой, тем не менее при выборе нормы имеется много произвола.
Предположим, что наряду с нормой \\u\\ для всех U&.3S
определена еще одна неотрицательная функция \\u\\', обладаю-
обладающая всеми свойствами нормы, указанными во второй главе.
Нормы ||н|| и Hwll7 называются эквивалентными, если сущест-
существуют такие положительные постоянные К\ и /Сг, что для лю-
любого и^$
ffil|tt||<IMr<ff2l|ali. C.21)
Все топологические свойства пространства остаются неизмен-
неизменными при замене данной нормы эквивалентной ей нормой.
В частности, свойства сходимости последовательности элемен-
элементов, ограниченности множества элементов, ограниченности ли-
линейного оператора и равномерной ограниченности семейства
операторов инвариантны относительно такой замены.

§ 3.9. УСТОЙЧИВОСТЬ И ВОЗМУЩЕНИЯ 67
§ 3.9. Устойчивость и возмущения
Следующая теорема (Крайс [1962], Стрэнг [1964]) показы-
показывает, что устойчивость не нарушается малыми возмущениями.
Если разностная схема
ип+]=С(Ы)ип C.22)
устойчива, а семейство операторов Q(M) ограничено, то раз-
разностная схема
ип+\ = [с (Д/) + MQ (Щ ип C.23)
также устойчива.
По определению, устойчивость схемы C.22) означает суще-
существование такой константы К, что
1С (до-ц<к при {о<^д1<г C'24)
Согласно условию теоремы существует такая константа Я, что
||Q(At) ||<Н при 0<Д/<т. C.25)
Выражение (C + ktQ)n содержит 2П слагаемых, причем для
каждого / = 0, 1, 2, ..., п имеется 1пЛ слагаемых, состоящих
из / множителей Д/Q и n — j множителей С, расположенных
в определенном порядке. В каждом таком слагаемом множи-
множители С образуют не более чем / + 1 групп, поскольку их раз-
разделяет только / множителей Д/Q, и норма каждой группы не
превосходит К. Поэтому
/==о
= /СA + МКН)п^Кеп^И^Кет^н9 C.26)
откуда, и следует устойчивость возмущенной системы.
Стоит отметить, что при некоторых других определениях
устойчивости она более чувствительна к возмущениям. В одном
из таких определений, которого придерживается ряд авторов,
вместо равномерной ограниченности множества операторов
C.24) требуется лишь, чтобы они росли по норме не быстрее
некоторой степени 1/Д/ при Д/->0. Тогда, как было показано
Крайсом на различных примерах, один из которых приведен
в § 5.2, совсем простое возмущение может привести к экспо-
экспоненциальному росту норм соответствующего множества опера-
операторов, причем в показатель экспоненты будет входить множи-
множитель (l/A/I-1^, где р — число компонент вектора-решения и.

68 ГЛ. 3. ЛИНЕЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I
Если краевая задача поставлена некорректно в том смысле,
что хотя область определения E0(t) и плотна в ,$, но семейство
E0(t) не ограничено ни на одном интервале 0 ^ t < т, то не
существует разностной схемы, которая была бы согласована
с этой задачей и в то же время устойчива. Действительно, из
неограниченности E0(t) следует, что существует такая последо-
последовательность точных решений uj(t) = EQ(t)u°j (/=1, 2, ...)> нор-
нормированных, скажем, условием ||^||=1 для каждого /, и такая
сходящаяся к нулю последовательность tj > 0, что
Пусть задано е > 0. Тогда для любого точного решения Uj(t)
существует согласно условию согласованности C.6с) такое
Ajt = t/rij (где rij — некоторое натуральное число), что ||[С(Д;^) —
— E(bjt)]Uj(t)\\<. eAj/. Если допустить теперь, что схема устой-
устойчива, то это приведет к противочерию. В самом деле из C.10)
и C.11) следует, что
где /Сг определяется условием устойчивости, так что
||C(A/)n/||>||C(A/)rl/«j|-^oo в силу C.27) и того факта, что
м°||=1.
Таким образом, бесполезно искать устойчивые разностные
схемы для таких, например, краевых задач, как задача Коши
для уравнения Лапласа d2u/dt2 + д2и/дх2 = 0 или для уравне-
уравнения теплопроводности с обратным ходом времени1).
1) Приведенные задачи, равно как и многие другие некорректные задачи,
могут быть численно решены разностным методом с применением надлежа-
надлежащей регуляризации, например по Тихонову. — Прим. ред.

Глава 4
ЛИНЕЙНЫЕ ВТ ЛЕВЫЕ ЗАДАЧИ
С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
§ 4.1. Класс задач
В этой главе мы будем рассматривать линейные задачи
с постоянными коэффициентами и с простыми граничными
условиями, так что для представления их решений можно бу-
будет применять ряды или интегралы Фурье. В этом случае, как
будет видно, понятия, введенные в предыдущей главе, прини-
принимают особенно простой вид. В частности, преобразование Фурье
приводит условие устойчивости к такой форме, которая дает
возможность получить целый ряд пригодных для практики при-
признаков устойчивости. Простейшим из них и исторически первым
является необходимое условие фон Неймана; в первом издании
этой книги было приведено несколько достаточных условий для
специальных случаев. Благодаря работам Като [1960], Крайса
[1962] и Баченана [1963а, Ь] они были существенно улучшены и
в конце концов сведены к одному простому алгебраическому
условию устойчивости, которое позволяет в принципе решить
вопрос об устойчивости любой разностной схемы с постоянными
коэффициентами; получение этого общего условия является од-
одним из основных вопросов данной главы. Будет рассмотрен ряд
частных случаев с целью упростить исследование устойчивости
на практике. Работа Крайса положила начало другому направ-
направлению в вопросе исследования устойчивости конкретных схем,
так называемому энергетическому методу, с которым мы позна-
познакомимся подробнее в шестой главе.
Чтобы иметь возможность применять метод преобразования
Фурье, мы предположим, что либо граничные условия могут
быть заменены условиями периодичности, как в случае простей-
простейшей задачи теплопроводности в первой главе, либо рассматри-
рассматриваемые функции интегрируемы с квадратом во всем простран-
пространстве, как в квантовой механике. Для представления функций
с помощью рядов или интегралов Фурье используются соответ-
соответственно теоремы Рисса — Фишера и Планшереля, в которых
фигурирует норма пространства L2. Поэтому банахово про-
пространство & определяется однозначно выбором функциональ-
функциональных элементов и. Последовательность коэффициентов Фурье или
результат преобразования Фурье задают точку во втором ба-
банаховом пространстве #', причем это соответствие является

70 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I
взаимно однозначным и сохраняет норму, так что пространства
38 и 3$' изоморфны между собой. Поэтому все рассуждения пре-
предыдущей главы применимы к пространству $' точно так же,
как и к пространству .$. Это весьма полезное обстоятельство
обязано специальному выбору нормы пространства L2 и не
имеет места при другом выборе нормы, например в том случае,
когда используется норма пространства С (т. е. максимум мо-
модуля функции), которая иногда считается наиболее естествен-
естественной нормой численного анализа.
Указанные банаховы пространства $ и &' являются гиль-
гильбертовыми пространствами. Каждой паре элементов и и v из
пространства 3S сопоставлено комплексное число, обозначаемое
через (и, v) и называемое скалярным произведением и и v.
Если и, v и w — произвольные элементы из 3S, а а и р— ком-
комплексные числа, то
(и, av + $w) = a(u, v) + $(u, w)9
(v9 u) = {u, v),
(«, и)>0,
(и, н) = 0 тогда и только тогда, когда н = 0.
Первое равенство показывает, что функция (н, v) линейна
относительно второго аргумента; в сочетании со вторым ра-
равенством это значит, что она антилинейна по первому аргу-
аргументу в том смысле, что (аи + pa, w) = a (ut w)+ J3(u, w), где
черта сверху обозначает комплексное сопряжение. Скалярное
произведение связано с нормой соотношением (и,и) = \\и\\2.
§ 4.2. Ряды и интегралы Фурье
Если имеется р функций от d пространственных переменных,
то для функций, соответствующих данной точке банахова про-
пространства, используется векторное обозначение и(х), где и —
вектор с р компонентами, а х — вектор с d компонентами. Ре-
Решение краевой задачи будет обозначаться через и(х,/).
Если вектор-функция и(х) периодична по каждому аргу-
аргументу Xi с периодом Lu то ее ряд Фурье имеет вид
Здесь к есть d-мерный вектор, который при суммировании про-
пробегает решетку 3?, состоящую из векторов, компоненты kt кото-
которых независимо друг от друга принимают всевозможные значе-
значения вида 2nri/Lu где г{ — произвольное целое число. Векторный
коэффициент Фурье и (к), рассматриваемый как функция аргу-,

§ 4.2. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛЫ ФУРЬЕ 71
мента к на множестве 2\ определяет точку в банаховом про-
пространстве Я'. Обращение соотношения D.1а) таково:
о
где для сокращения записи введено обозначение
L h Ld
J dx= J dxx ... J dxd.
0 0 0
Имеет место так называемое равенство- Парсеваля
L
J I u (х) |2 rfx = ^ | G (k) |2, D.3а)
0
где
|иР21|и/Р;
для функции и(х) из $ норма и определяется как корень ква-
квадратный из левой части равенства D.3а), а для функции й(к) из
<%'— как корень квадратный из правой его части. Таким обра-
образом, соотношения D.1а) и D.2а) устанавливают сохраняющее
норму взаимно однозначное соответствие между элементами
пространств & и <%'.
Если же вектор-функция и(х) интегрируема с квадратом во
всем пространстве, то ее можно представить с помощью инте-
интеграла Фурье в следующем виде:
JSdk, D.1b)
где интегрирование теперь ведется по всему пространству пере-
переменных k\, &2, ..., kdj а заданная в этом пространстве функция
u(k) определяется равенством
^k'XdX* D'2Ь)
В этом случае равенство Парсеваля имеет вид
J | и (х) |2 rfx = J | u (k) |2 rfk. D.3b)
Для достаточно хороших функций все эти равенства можно
понимать буквально, но если запас элементов $ и ЗУ ограничить
только такими функциями, то эти пространства не будут пол-
полными. Поэтому для соблюдения необходимого уровня строгости

72 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I
следует принять все положения теории пространства L2 и, в ча-
частности, считать две функции равными, если они отличаются
друг от друга лишь на множестве меры нуль, интегралы пони-
понимать в смысле Лебега, а пределы в D.1а), D.1Ь) и в D.2Ь) —
в смысле сходимости в среднем, т. е. по норме соответствующего
банахова пространства. Так, если un(x)—последовательность
частичных сумм ряда D.1а), для которых, например, каждое гг
изменяется от —п до м, то равенство D.1а) понимается в том
смысле, что
||u —urt||->0 при /г->оо.
Аналогично, если Uh(x) есть интеграл типа D.1Ь), для которого
каждая переменная интегрирования k\ пробегает интервал
—К ^ &г ^ К, то равенство D.1Ь) означает, что
||и —ил||->0 при /С->оо.
Теперь пространства $ и Я' полны. Преобразование D.2а)
отображает все пространство $ в $' и в силу теоремы Фурье
является обратным по отношению к D.1а). По теореме Рисса —
Фишера преобразование D.1а) переводит все пространство &'
в Я, так что любая определенная на 3? последовательность й(к),
для которой сходится сумма из правой части равенства D.3а),
представляет собой последовательность коэффициентов Фурье
некоторой функции и(х)е^?. Аналогично D.1b) в силу теоремы
Планшереля является взаимно однозначным отображением про-
пространства 9И' на пространство .$, а D.2Ь) — обратным к нему.
В дальнейшем все это будет неявно предполагаться, если при-
применяются соотношения типа D.1а) — D.3Ь). Обычно в обоих
случаях мы будем использовать обозначения D.1Ь) — D.3Ь), под-
подразумевая под 3? либо все пространство переменных kiyk2, ...
..., kdy либо описанную выше бесконечную дискретную решетку.
§ 4.3. Корректно поставленные краевые задачи
Общий линейный дифференциальный оператор с постоянны-
постоянными коэффициентами, действующий на функцию из ,$, можно
формально определить так: надо взять функцию P(q), или
P{qu ...» Qd), являющуюся р X р-матрицей, элементы которой
суть полиномы относительно ЦиЦг, ..., qd, и затем заменить
q\ на dldxu Я2 на д/дх2 и т.д. Если Л—такой оператор и мы
применяем его к элементу uelk'x, где и — постоянный вектор,
то результатом будет произведение этого элемента на матрицу
P(ik). Следовательно, если решение краевой задачи выражается
интегралом Фурье
и(х, 0 = BяГ"/2 f u(k,

§ 4.3. КОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 73
то преобразование Фурье и (к,/) должно удовлетворять урав-
уравнению
±? (к, о = />(*)? (к. о,
которое служит эквивалентом в пространстве $' исходного диф-
дифференциального уравнения
-^•u(x, t) = Au(x, t).
Поэтому
u (k, t) = eipWu{k, 0),
где u (k, 0) — преобразование Фурье для начального элемента
и(х, 0). Возвращаясь к $, получаем
где
и (х, t) = BпГа12 j eiP™u (k, 0) е*-* dk, D.4)
u (k, 0) = Bп)'а/2 J u (x, 0) e-'k-« dx.
Известно, что функция ем от р X /г-матрицы М определяется
степенным рядом
который поточечно абсолютно сходится и обладает тем свой-
свойством, что
Первое требование корректной постановки краевых задач,
а именно что область определения разрешающего оператора
E0(t) плотна в & (см. гл. 3), автоматически выполняется для
рассматриваемых в этой главе задач. Это объясняется тем, что
решения такого рода законны всякий раз, когда суммирование
или интегрирование в D.4) является конечным, т. е. когда на-
начальный элемент и(х, 0) есть тригонометрический полином или
же и(х, 0) имеет преобразование Фурье с компактным носите-
носителем1), но такие элементы в обоих случаях плотны в <%. Второе
требование корректной постановки краевых задач состоит в том,
что ||е'р(<к>|| должны быть равномерно ограничены по к; тогда
D.5)
ksif
1) Носителем функции называется замыкание множества тех точек, в
которых эта функция отлична от нуля. Говорят, что функция имеет компакт-
компактный носитель, если ее носитель является компактным множеством.

74 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I
Выполнение этого условия должно проверяться отдельно в ка-
каждом данном случае. В качестве простого примера рассмотрим
уравнение теплопроводности, для которого А = од2/дх2. Тогда
величина ||e'*wk)|l = ехр(—otk2) ограничена единицей, если
ot^-О. Но если ot < О, то ее можно сделать сколь угодно боль-
большой за счет выбора достаточно большого к; поэтому задача
теплопроводности, решаемая назад по времени, не является кор-
корректно поставленной.
Однако цель этой книги — в изучении решений задач, а не их
постановок, поэтому мы будем включать свойство корректности
в постановку краевых задач, другими словами, мы будем пред-
предполагать, что нам заданы только корректно поставленные за-
задачи. Следует подчеркнуть, что в таком случае выбор банахова
пространства является частью постановки задачи: как мы ви-
видели выше, выбор среднеквадратичной нормы определяется же-
желанием использовать аппарат преобразования Фурье, но для са-
самого вектора и, норма которого определена таким образом, еще
часто остается некоторая свобода выбора. Это, в частности, от-
относится к тому случаю, когда перед применением общей теории
дифференциальное уравнение высокого порядка сводится к си-
системе уравнений первого порядка. Чтобы проиллюстрировать
это, мы покажем в гл. 10, что задача о волновом движении яв-
является корректно поставленной при одном простом выборе ба-
банахова пространства и не является таковой при другом столь
же простом его выборе. В этих простейших случаях проверка
корректности обычно сравнительно несложна; в других случаях,
вроде задачи о многомерном движении жидких сред, в настоя-
настоящее время не ясно, как ставить корректные задачи, не привлекая
дополнительных физических принципов.
§ 4.4. Конечноразностные уравнения
Мы предполагаем, что разностные уравнения даны в виде
двухслойных формул. Многослойные формулы будут рассмотре-
рассмотрены в гл. 7.
Пусть ип = un(x) — приближение для и(х, пМ)у полученное
из системы разностных уравнений. Обозначим через ГР опера-
оператор, заменяющий значение функции в точке х = (хи х2, ..., ха)
ее значением в соседней точке (Jti + PiAjti, x2 + ^x2i ..., xd +
+ PdA*d) пространственной сетки, где компоненты рь р2, ..., Pd
векторного индекса р принимают целые значения. Каждое раз-
разностное уравнение в точке х обращает в нуль определенную ли-
линейную комбинацию компонент векторов un и un+1 на некоторой
группе таких соседних точек. Таким образом, систему разност-
разностных уравнений

§ 4.4. КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 75
можно записать в виде
2 fi?7V+1- 2 B?7V = 0, D.6)
где суммирование ведется по конечным множествам N\ и Wo
точек, соседних4) с точкой х. Для каждого Р Во и В? суть
р X р-матрицы с постоянными элементами; последнее означает,
что элементы этих матриц могут зависеть от А/, Алч и т. д., но
не могут зависеть от х или от /. Для явной системы разностных
уравнений множество Ni сводится к единственной точке р = 0;
тогда матрица В? обычно диагональна и во всяком случае не-
невырождена. Если уравнения неявные, то мы предположим, что
они всегда разрешимы для периодического un и что решение
un+1 однозначно определяется уравнениями и условием перио-
периодичности.
При вычислениях уравнения D.6) используются только в
точках сетки, но их с таким же успехом можно применять и в
других точках, так что если вектор un(x) задан для всех х =
= (хи ..., ха), то un+1(x) определяется для всех х уравнением
D.5) и условием периодичности.
Если в уравнения D.6) подставить интегралы Фурье для
un(x) и un+1(x), то типичный член будет содержать множитель
ехр{/[й, (*, + р, Ал:,) + ... + kd{xd + foД*„)]},
и мы можем сократить на величину ехр{Лс-х} все члены урав-
уравнения. То, что останется после сокращения, можно записать в
виде
Hxvn+l (к) - tfov* (к) = 0, D.7)
где Hi обозначает матрицу
Я, = 2В?ехр [t[kfoЬхх+ ...+ *А4f]b D-8)
а Но определяется аналогично. Как и в предыдущей главе, мы
предположим, что способ измельчения ячеек сетки должен быть
установлен заранее, так что A*i, ..., &Xd стремятся к нулю вме-
вместе с А/ по определенным законам
А*! = 8\ (д0 и т- Д- D.9)
При этих условиях матрицы #i и Но зависят только от А/ и к.
Предположение о разрешимости, сделанное в предыдущем
абзаце, равносильно требованию, что матрица #4 имеет обрат-
обратную. Следовательно, можно написать
V+1 (к) = G (М, к) vn (к), D.10)
1) Сама точк* (jci, ..., Xd), конечно, также вообще говоря включается
в множество N\.

76 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. 1
где
G(A/, к) = ЯГ!Я0. D.11)
Ясно, что G(Af,к) — это представление в пространстве 9ЬГ разно-
разностного оператора C(kt), фигурирующего в теореме Лакса, а
уравнение D.10) — это не что иное, как форма, которую прини-
принимает уравнение C.5) при отображении в пространство преобра-
преобразований Фурье ЗВ'. Матрица G(A/, k) называется матрицей
перехода1).
§ 4.5. Порядок точности и условие согласованности
В уравнении D.6) имеется очевидная неопределенность, со-
состоящая в том, что оно может быть умножено на произвольную
невырожденную матрицу, и в результате получится уравнение,
эквивалентное исходному. В случае явной системы уравнений
этим произволом можно иногда воспользоваться для того, чтобы
представить ее в виде, разрешенном относительно un+1 (напри-
(например, при решении простейшей задачи теплопроводиности умно-
умножение конечноразностного уравнения на Atf приводит к замене
отношения (и**+[ — u^/At разностью и^+{ — "/)• Однако в на-
настоящей главе-мы должны избегать этой неопределенности; бу-
будем предполагать, что левая часть уравнения D.6) получается
непосредственно из выражения du/dt — Ли в результате замены
производных разделенными разностями, а других величин — их
значениями в узлах, полученными путем интерполяции или экс-
экстраполяции. Это означает, что разностный оператор в левой
части уравнения D.6) при применении к любой гладкой функ-
функции должен давать приближенно тот же самый эффект, что и
оператор d/dt — А. Как и прежде, способ измельчения ячеек
сетки предполагается заранее фиксированным соотношениями
типа D.9J). Определим порядок точности разностной системы
как наибольшее действительное число р, для которого
\\B{u{t + M)-B0u(t)\\ = O[(M)Q] при Д/->0 D.12)
для всех достаточно гладких точных решений дифференциаль-
дифференциального уравнения du/dt = Ли. Согласно нашему предположению
о разрешимости разностной системы относительно un+1 опе-
оператор Bi должен иметь обратный, ЯГ1. Исходя из того что
разностная схема получена непосредственно из дифференциаль-
1) В случае р = 1, когда матрица перехода состоит из единственного
элемента, G(A/, к) называют также множителем перехода.
2) На практике формулы D.9) утверждают обычно, что &х{ пропорцио-
пропорциональны некоторым положительным рациональным степеням Д/. Тогда р легко
находится и также является положительным рациональным числом.

§ 4.6. УСТОЙЧИВОСТЬ 77
ного уравнения, нетрудно убедиться, что главный член в разло-
разложении fii по возрастающим (возможно, дробным) степеням Д/
пропорционален (ДО. Таким образом, ЦВГ11 = 0 (Д/) (см. §7.4,
где более подробно рассматривается общая многослойная разно-
разностная схема), и потому соотношение D.12) можно переписать
в виде
-(B{rl B0u(t)\\=O[(Mf+l] при М->0. D.12а)
Сравнивая D.12а) с условием согласованности C.6с) и учи-
учитывая, что С = ВГ1В0, мы видим, что условие согласованности
и положительность порядка точности разностной системы экви-
эквивалентны между собой. Очень часто р является натуральным
числом; в этом случае согласованность означает, что разно-
разностные уравнения имеют по меньшей мере первый порядок точ-
точности.
Применяя преобразование Фурье к выражению, стоящему
под знаком нормы в D.12а), можно дать двойственное опреде-
определение порядка точности, использующее матрицу перехода G.
Действительно, из D.4), D.7) и D.8) следует, что
WeWW-GW, к)||=О[(Д/)р+1] при Д*->0. D.13)
Выражение под знаком нормы в D.12) было названо в пер-
первой главе погрешностью аппроксимации. Ее легко можно оце-
оценить, представив функцию и(х,/) в виде ряда Тэйлора с оста-
остаточным членом. Гладкость функции и, которую мы предполагали
выше, фактически определяется числом производных, необходи-
необходимых для такого представления. Мы будем предполагать, что ре-
решения с нужной нам гладкостью плотны в классе всех точных
решений дифференциального уравнения.
§ 4.6. Устойчивость
Мы уже указывали в § 4.5, что уравнение D.10) соответ-
соответствует уравнению un+1 = C(A/)un общей теории, изложенной в
гл. 3, и что это уравнение, следовательно, определяет некоторый
оператор в <В'Ч эквивалентный оператору С (ДО- Этот оператор
сводится к умножению вектора vn на матрицу б(Д/, к) (куда к
входит только как параметр). Очевидно поэтому, что условие
устойчивости касается матриц
О(Д*.кГ при
и фактически означает, что операторы, отвечающие этим ма-
матрицам, равномерно ограничены.

78 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ЧМ
Если L — оператор в <%\ задаваемый матрицей F(k), т.е.
равенством w(k) = F(k)v(k), то
|| L || = max || F (к) ||, D.14)
keif
где при заданном к норма матрицы F(k) определяется фор-
формулой
max|F(k)v| = max^fel. D.15)
|v|=l 1у1
Здесь, как и в § 4.2, под длиной |v| р-мерного вектора v под-
под[l|2+ +|^р|2]72. Т б l|F(k)||
д, § , д д || рр р
разумевается [l^i|2+ ... +|^р|2]72. Таким образом,
есть норма матрицы F(k), рассматриваемой как преобразование
р-мерного евклидова пространства векторов v, w, ... .
Условие устойчивости означает, что для некоторого положи-
положительного т матрицы
0<Д/<т,
G (Л/, к)п при
О < п М < Т D.16)
и всех
равномерно ограничены.
Пусть F — матрица размера рХр й Х\, ...» hp — ее соб-
собственные значения; тогда максимум |Яг-| (/=1,...,/?) назы-
называется ее спектральным радиусом (или радиусом спектра). Если
R— спектральный радиус матрицы F, то, очевидно, \\F\\^-R, по-
потому что максимум значений отношения |fv|/|v| не меньше, чем
значение, получающееся при замене в этом отношении вектора v
собственным вектором матрицы F, соответствующим наиболь-
наибольшему по модулю собственному значению. Спектральным радиу-
радиусом матрицы Fn является Rn, так как собственными значениями
матрицы Fn являются /г-е степени собственных значений матри-
матрицы F. Кроме того,
и аналогично ||Fn|| < ||F||n.
В дальнейшем мы будем обозначать через /?(Д^, к) спек-
спектральный радиус матрицы G(A/, к). В общем случае имеем1)
R (A/, k)n <|| G (Л/, к)л || < || О (Ы, к) |Г. D.17)
1) Если матрица G(M,к) нормальна, то соотношение D.17) превра-
превращается в двойное равенство. Нормальной называется матрица, перестановоч-
перестановочная со своей сопряженной (т. е. с эрмитово сопряженной). Для существова-
существования у матрицы полной -системы ортогональных собственных векторов необ-
необходимо и достаточно, чтобы она была нормальна. Нормальная матрица мо-
может быть записана в виде Л + iB, где А и В — перестановочные эрмитовы
матрицы. Матрица перехода G(A/,k) весьма часто не является нормальной

§ 4.7. УСЛОВИЕ ФОН НЕЙМАНА
79
§ 4.7. Условие фон Неймана
Необходимым условием устойчивости является существова-
существование такой постоянной Сь что
R(At9 k)n<d при
и всех
Не уменьшая общности, мы можем считать, что С\ ^ 1. Следо-
Следовательно,
R(At, k)<Cl/rt, 0<n<-^-,
и в частности
Для At из интервала 0 < At < т величина Cf'/г ограничена
линейным выражением вида 1 + C2At (верхней линией на
Рис. 4.1. Граница для части экс-
экспоненциальной кривой.
О т
рис. 4.1). Вспоминая определение спектрального радиуса, полу-
получаем условие
при
/= 1, 2, ..., р
и всех кЕ^,
D.18)
где Ль ta, •••, ^р СУТЬ собственные значения матрицы перехода
G(At9 k). Условие D.18) а является необходимым условием
устойчивости фон Неймана.
В простейшей задаче теплопроводности (гл. 1) мы применяли
условие устойчивости в виде
1*,|<1. D.19)
Но в некоторых задачах бывает так, что компоненты точного
решения с ростом времени возрастают экспоненциально, а усло-
условие D.19) но допускает такого роста (и фактически совсем не
может быть удовлетворено без нарушения согласованности).

gO ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I
В таких случаях нужно использовать условие D.18), которое
является более общим, чем D.19), и допускает экспоненциаль-
экспоненциальный рост компонент решения. В качестве примера рассмотрим
модифицированную задачу теплопроводности
^L = a^!L+bu, cr>0, Ь>0,
получающуюся из простейшей добавлением источников тепла.
Для явной разностной схемы
множитель перехода имеет вид
G (A*, k) = 1 - 4g^-sin2-^ + b At,
и ясно, что условие Неймана D.18) выполняется, если
= const < 1/2,
как было установлено для немодифицированного уравнения.
Следует заметить, что множители перехода (собственные чис-
числа матрицы G) можно получить, если подставить uoexp(/k-x)
и Auoexp(tk-x) вместо un и un+1 непосредственно в разностные
уравнения D.6); это даст р линейных уравнений относительно р
компонент вектора и0 и К определяется условием равенства нулю
определителя из коэффициентов этой системы. Такой подход мо-
может оказаться полезным для неявных разностных схем.
§ 4.8. Одно простое достаточное условие
В § 4.6 было отмечено, что для нормальной матрицы спек-
спектральный радиус равен ее норме. Следовательно, если матрица
G(A/, k) нормальна, то условие фон Неймана является не только
необходимым, но и достаточным условием устойчивости.
Это имеет место, в частности, в случае р = 1, потому что все
матрицы первого порядка перестановочны. Мы приходим таким
образом к выводу: для двухслойных разностных уравнений с
одной зависимой переменной условие фон Неймана является не
только необходимым, но и достаточным условием устойчивости.
Это зерно и для двухслойных разностных уравнений в задаче
теплопроводности с произвольным числом независимых пере-
переменных.
В качестве дальнейшего примера упомянем разностные урав-
уравнения для одномерных звуковых волн, рассматриваемые в гл. 10.

§ 4.9. ТЕОРЕМА КРАЙСА О МАТРИЦАХ
81
Волновое уравнение имеет второй порядок по времени, так что
/7 = 2. Для простейшего явного разностного уравнения матрица
перехода равна
G = L j ^а2 > D.20)
где а = BсД//Дл;) sin (&Дл72); легко видеть, что G не является
нормальной матрицей, потому что G*G — GG* Ф 0. Для простей-
простейшего неявного уравнения матрица перехода равна
1
1
1
4
+ {
ia
+ |
а2
а2
а2
1 +
1
1 +
ia
j
1
4
Т
а2
а2
а2
и, очевидно, унитарна, а значит нормальна. Поэтому условие
фон Неймана достаточно для устойчивости такого неявного
уравнения.
Несколько более общее достаточное условие можно получить
из правого неравенства D.17). А именно если для некоторого М
и некоторого т > 0
|| G(Af, k)||<l+MA* при 0<Дг<т,
то разностные уравнения устойчивы, так как в этом случае
II G |Г < ехр (МТ) при 0 < п М < Т.
Во многих практических задачах ни одно из этих условий не
выполняется. Поэтому необходимо иметь более совершенные
критерии устойчивости.
§ 4.9. Теорема Крайса о матрицах
Прежде чем отыскивать дальнейшие условия, достаточные
при определенных обстоятельствах для устойчивости, полезно
сейчас изложить теорию устойчивых семейств матриц. Это по-
позволит нам получить некоторые необходимые и достаточные кри-
критерии устойчивости, которые хотя и являются весьма громоздки-
громоздкими, но зато дают возможность без труда найти ряд достаточных
условий. Кроме того, позже нам потребуется новое определение
устойчивости, а именно такое: разностная система устойчива,
если существует некоторая норма || ||н, эквивалентная данной и
такая,что
Ч1^[1 +

82 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I
Один из результатов этого параграфа состоит в том, что для
рассматриваемых задач с постоянными коэффициентами это но-
новое определение эквивалентно принятому ранее.
Прежде всего удобно избавиться от ограничения на я, фигу-
фигурирующего в D.16). Назовем семейство ST матриц А размера
РУ\Р устойчивым, если справедливо следующее утверждение:
(А) Существует такая постоянная С, что для любой матрицы
А^Ф и любого натурального числа v
IUV||<C. D.21)
Ясно, что если степени матрицы G из D.16) равномерно ограни-
ограничены числом /С, то семейство матриц {e~aA'G(A/, k)}, где а =
= Г-1 In /С, устойчиво в смысле данного определения. Действи-
Действительно, любое натуральное число v можно представить в виде1)
где
так что
|| (е-° *<G)V || < || (е-° **Q)mt f \\ (*-<* "G)n \\ < К.
Обратно, если для некоторой постоянной а семейство матриц
{e~aAtG(Att k)} удовлетворяет условию D.21), то при О-^СпМ^СТ
||Gi<C??ar = const.
Следовательно, такое употребление термина «устойчиво» согла-
согласуется с уже изложенным. Далее, для справедливости утвер-
утверждения (А) необходимо, чтобы все собственные значения и* ма-
матрицы А лежали внутри или на границе единичного круга. Это
значит, что собственные значения Xi матрицы G должны при не-
некоторой постоянной а удовлетворять неравенству
I Л* I <*"*'.
что эквивалентно условию фон Неймана D.18).
Следующая теорема Крайса [1962] дает три важных критерия
устойчивости семейства матриц.
Устойчивость семейства SF матриц А эквивалентна каждому
из следующих утверждений:
(R) Существует такая постоянная CRi что для любой матри-
матрицы А ^&~ и любого комплексного числа z с \z\> \ существует
резольвента (А — г/)-1
1^ D.22)
') Очевидно, без ограничения общности можно считать, что Т есть целое
кратное ДЛ

§ 4.9. ТЕОРЕМА КРАЙСЛ О МАТРИЦАХ
83
(S) Существуют такие постоянные Cs и С в и для каждой
матрицы А^&~ такая невырожденная матрица 5, что \\S\\,
\\S-{\\ < Cs и матрица В = SAS~l есть верхняя треугольная ма-
матрица, внедиагональные элементы которой удовлетворяют не-
неравенству
-|х,|, 1-|к,|}, D.23)
где >а — диагональные элементы матрицы В, т. е. собственные
значения как для В, так и для А (заметим, что отсюда следуету
что | та | ^ 1):
К\ В[2 В[3 ... В{р
U К2 &23 • • • &2р
О О к, ... В,о
_О О' О кр
(Н) Существует такая постоянная Сн > О и для каждой ма-
матрицы Ле^" такая положительно определенная эрмитова ма-
матрица Я, что1)
Сн{1^Н^Сн1, D.24)
Л*#Л<Я. D.25)
Все известные для матриц общего вида достаточные усло-
условия устойчивости, формулируемые в виде некоторых ограниче-
ограничений на матричные элементы, основаны на приведении этих ма-
матриц к треугольному виду. При этом собственные значения пред-
представляются как диагональные элементы, и условие фон Неймана
для них дополняется некоторыми неравенствами относительно
внедиагональных элементов. Утверждение (S) служит примером
условия такого типа; другие примеры появятся ниже.
Наше первое утверждение устанавливает верхнюю допусти-
допустимую границу роста нормы резольвенты (А—г/)-1 при |г|-М;
поэтому это условие называется резольвентным. Оно оказывает-
оказывается чрезвычайно полезным в теоретических исследованиях и, в
частности, будет для нас основным при доказательстве утвер-
утверждения (S). Наконец, условие (Н) обеспечивает существование
новой нормы || ||н: в пространстве 38' преобразований Фурье
положим
]) Говоря о двух матрицах Л и Я, что Л
и*Аи ^и*Ни для любого вектора и.
; Н, мы имеем в виду, что

84 ГЛ 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I
так что если G = еаЛ'Л, то в силу D.25)
|| у«+» \fH = е2* д< (v*)* A*HAvn < [ 1 + О {М)] || v* fH.
Теперь нетрудно доказать справедливость аналогичного неравен-
неравенства в исходном пространстве <%.
Другая формулировка этого утверждения состоит в том, что
векторное пространство, в котором действует оператор Л, можно
преобразовать таким образом, что норма преобразованного опе-
оператора А будет ограничена единицей. Действительно, для ка-
каждой матрицы Н можно найти такую матрицу Г, что Т*Т = Н
и || Г ||, (Г Ц^Ся2. Тогда в пространстве векторов w = 7V
матрица А заменится на ГЛГ, и
|| тАТ~[ ||2 = max uT М*ГTAT~lu <
Iu|=l
<max иГТ-{тГТТ-1и = 1.
|u|=l
Для доказательства теоремы Крайса мы покажем, что из
условия (А) вытекает условие (R), из условия (R)—усло-
(R)—условие (S), из условия (S) — условие (Н) и, наконец, что из усло-
условия (Н) вытекает условие (А). Наиболее трудным является вто-
второй шаг, поэтому мы оставим его на самый конец.
Как мы уже отмечали, если выполнено (А), то собственные
значения щ матрицы А по модулю не превосходят единицы, по-
поэтому (А — z/) существует для |z|> 1. Кроме того,
так что выполняется (R), причем Cr ^ С.
Чтобы вывести (Н) из (S), введем вспомогательную диаго-
диагональную матрицу
~А О
А2
_0 А" _
где А > 1. Покажем, что при достаточно больших значениях Д
D-B*Z)fi>0, D.26)
т. е.
М = / - (D-l/*B*Dl/2) (Dl/2BD'if2) > 0.
Для доказательства воспользуемся теоремой Гершгорина, кото-
которая утверждает, что если вокруг каждой точки Мц (/=1,2, ...

§ 4.9. ТЕОРЕМА КРАЙСА О МАТРИЦАХ 85
..., р) в комплексной плоскости описан круг радиуса 2 1^*Л>
то все собственные значения М лежат в объединении этих кру-
кругов1). Так как */-й элемент матрицы D'^fiZ)-1^ равен Д(г'-^2В,-;,
то i-й диагональный элемент матрицы М равен
где |е*|<СвA — |иНJ/(Л— 1) в силу неравенства D.23);
сумма же внедиагональных элементов равна
Поскольку матрица В треугольна, во внутренней сумме могут
быть отличными от нуля только те слагаемые, для которых
?<*' и 6</. Так как гф], то 2k — i — /<— 1, и после не-
несложных преобразований получаем
6f<C|(l—|хНJ(р— 1)/(А1/2— 1).
Выберем теперь А так, чтобы б,-+ |е,| ^ 1 — Wi\2 для всех I.
Это можно сделать, поскольку
и коэффициент при 1 —\щ\2 не превосходит единицы для доста-
достаточно больших Д. Так как матрица М эрмитова, то при указан-
указанном выборе Д в силу теоремы Гершгорина все ее собственные
значения неотрицательны, т. е. М ^ 0. Отсюда следует, что для
таких Д выполняется неравенство D.26), что мы и хотели дока-
доказать. Таким образом,
') Пусть А, — собственное значение, a v= (vly ..., vp) —соответствую-
—соответствующий собственный вектор матрицы Л1, и пусть наибольшей по модулю компо-
компонентой v будет Vi. Тогда
поэтому это собственное значение к лежит в i-м круге, что и требовалось
доказать. Ср. Гершгорин [1931].

86 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I
т. е
Л7/Л-#<0,
где матрица Н = S*DSt очевидно, удовлетворяет всем требова-
требованиям утверждения (Н). В частности, Ся^ДрС$.
Предположим теперь, что выполнено (Н), и рассмотрим век-
векторы wv = Awv-i = Avwq. Имеем
так что в силу D.24) | wv |2 < Сн\ wo |2, т. е. \\А»\\ < Сн.
Нам осталось вывести (S) из (R). Доказательство будет
основано на приводимой ниже лемме. Отметим прежде всего, что
любую матрицу А можно привести к верхней треугольной фор-
форме О*A U с помощью унитарного преобразования f/1). Так как
резольвентное условие при этом не нарушается, можно считать,
что каждая матрица А задана именно в такой форме.
Теперь займемся построением преобразования подобия 5, ко-
которое позволит нам получить требуемый результат последова-
последовательно для каждой из верхних диагоналей матрицы Л, т. е.
установить неравенство D.23) поочередно для значений / — i =
= 1,2, ...-, р-1.
В качестве первого шага заметим, что каждый угловой глав-
главный минор (левый верхний или правый нижний) матрицы А
удовлетворяет условию (R) с той же константой CR2). Далее,
каждый элемент первой верхней диагонали матрицы А принад-
принадлежит некоторому минору второго порядка, входящему в один
из таких миноров, так что мы можем применить к этому минору
второго порядка неравенство D.22). Но внедиагональный эле-
1) Это теорема Шура (см. Беллман [1969], стр. 231). В дальнейшем нам
потребуется более сильное утверждение, а именно что приведение к треуголь-
треугольному виду можно всегда осуществить таким образом, чтобы собственные зна-
значения при этом расположились на диагонали в любом наперед заданном
порядке. В самом деле, если / = S~lAS — жорданова каноническая форма
матрицы Л, то для нее желаемое расположение собственных значений на
диагонали можно получить с помощью преобразования Р перенумерации
осей, приводящего к матрице Р~ЧР в (SP)~lASP. Применяя теперь процесс
ортогонализации Грама — Шмидта к столбцам матрицы SP, получаем уни-
унитарную матрицу U = SPT, где Г —верхняя треугольная матрица. Поэтому
матрица U*AU = Т-1Р~ЧРТ имеет требуемый вид.
2) Это следует из треугольности матрицы А: если
для всех vr v2, то при v2 = 0 получаем | A~lvx \ <а| v{ |.

§ 4.9. ТЕОРЕМА КРАЙСА О МАТРИЦАХ 87
мент матрицы
"и* —г Ai9t+i
О
равен — Л/>|+1/[(х, —г)(хж —г)], поэтому
\л \<С
I яи t+\ I ^^я |г I — l
Чтобы установить более полезную оценку
I Лм+i К 16СР max {ylt ж, | и, - кж1}, D.28)
где
покажем сначала, что
|Л,>ж|<16СЛтах{1-|хж|, |х*-иж|}, D.28а)
воспользовавшись для этого свободой в выборе 2. Полагая
2 = 3, получаем |Лг-, f+i|^ 8Сд, так что неравенство D.28а) вы-
выполняется при |^i+i|^ V2. Далее, если |xi+i|> V2, то положим
2 = //й1+1, где <>1. Подставляя это значение z в D.27), на-
находим
При /->1 получаем отсюда, что | Л;> ;+1 |^ЗСд| 1 — х/й/+11- Но
I2 + й,+1 (xi+I — Hi) К
max {I — I кж Их, —
так что неравенство D.28а) справедливо также и в этом случае.
Неравенство D.28) следует из D.28а) в силу симметрии послед-
последнего относительно щ и m+i.
Мы можем теперь доказать справедливость оценки D.23)
для каждого элемента В<, *+i первой верхней диагонали при
Св<: 16Сд. Если vu+i^1 [и* —Ki+i|i то оценка D.23) верна уже
для Aiti+\ и никакого дополнительного преобразования не тре-
требуется; в противном случае элемент Aiti+i можно обратить в
нуль с помощью ограниченного преобразования подобия. Дей-
Действительно, в общем случае элемент Ац при / > i аннулируется
преобразованием Sij (т. е. [SijASTj )*/ = 0)> где S^ = /+rt-j, a
Tij—матрица, у которой i,j-u элемент равен Ац/(уц — щ)у а все
остальные элементы равны нулю. Если есть надобность в пре-
преобразовании Si, 1+ь то в силу D.28) оно и обратное к нему
5^+1=/— Ti,i+\ будут ограничены по норме одной и той же для
рсех 4G?" константой. Применяя не более чем р—I таких

88
ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Ч. I
преобразований, мы обеспечим выполнение условия (S) для эле-
элементов первой верхней диагонали при Cs-^l + 16СН.
Для продолжения этого процесса нам и нужна следующая
ключевая лемма:
Если семейство матриц А размера my^m, имеющих верх-
верхнюю треугольную форму, удовлетворяет резольвентному усло-
условию с константой С\ и если все их внедиагональные элементы,
кроме Airny удовлетворяют неравенству \Ац\ ^С2уц, to
flm, |x,-xm|}. D.29)
Для случая т = 2, когда единственным внедиагональным эле-
элементом является Л12, доказательство уже имеется. Для общего
случая оно получается сведением его к случаю т = 2. Для этого
переставим в матрице А—zl столбцы и строки с номерами 2
и т и запишем результат Е в следующем виде:
^13 • • • Аит-\ А\2
о с, о
Е =
m
О А
О Ат.и,
ОД
**2т
здесь & = Hi — г; выписывать Еь в явном виде нет необходи-
необходимости. Такая перестановка не нарушает условия резольвент-
ности. Очевидно, что Е$Е2 = 0 и потому ЕзЕГ]Е2 = 0. Следова-
Следовательно, если представить Е в виде произведения двух треу-
треугольных матриц, Е = LU, то
0
0
~lE3Erl /Г
0
Поэтому из резольвентного условия следует, что для любого
вектора и
| ?"'и |2 = и (L-1)* (?/-)' и-11Гхи < (С,/?J1 и |2,
где ? = \z\— 1. Полагая и = Lv, где все компоненты вектора v,
кроме первых двух, равны нулю (обозначим вектор, соответ-
соответствующий этим двум компонентам, через vt), получаем
?rVi|2<(C,/?J|Lv|2. Но
т-\
S

§ 4.10. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ БАЧЕНАНА 89
так что Е{ удовлетворяет неравенству D.22), в котором CR за-
заменено на Сх[\ + (т — 2)CiJ1/a; тем самым общий случай све-
сведен к случаю т = 2.
Теперь для проверки выполнения условия (S) осталось сде-
сделать совсем немногое. Если оценка D.23) уже установлена для
k-й верхней диагонали, то каждый элемент (k + 1)-й диагонали
является верхним правым элементом одной из матриц, к кото-
которым может быть применена лемма. Далее, используя преобразо-
преобразования подобия Sii+h+i аналогично тому, как это делалось выше,
распространим оценку D.23) на эту верхнюю диагональ. То, что
такой процесс приводит к нужному результату, связано, конеч-
конечно, с тем обстоятельством, что эти преобразования помимо обра-
обращения в нуль наперед заданного элемента изменяют только те
элементы, которые лежат на более высоких диагоналях. Отметим
также, что в случае каждого применения такого преобразования
константа в резольвентном условии умножается на квадрат его
нормы.
Этим завершается доказательство теоремы Крайса о матри-
матрицах. Ключевая часть доказательства, а именно то, что из (R)
следует (S), основана на результатах Мортона и Шехтера
[1965]. Дальнейшее обсуждение теоремы и в частности резоль-
резольвентного условия (R) можно найти у Мортона [1964] и у Мил-
Миллера и Стрэнга [1965].
§ 4.10. Критерий устойчивости Баченана
Теорема предыдущего параграфа еще не дает непосредствен-
непосредственно пригодных для практики критериев устойчивости. Условие (S)
обеспечивает лишь существование преобразования подобия, при-
приводящего А к такой форме, которая позволяет судить об устой-
устойчивости, и хотя при доказательстве это преобразование опреде-
определялось конструктивным образом, такой процесс в общем случае
невозможно осуществить на практике ввиду его сложности. Сле-
Следующий наш шаг состоит в том, чтобы научиться решать вопрос
об устойчивости семейства матриц, используя только унитарные
преобразования, приводящие к треугольной форме. Наилучший
результат в этом направлении принадлежит Баченану [19636],
который показал, что если подходящим образом расположить
собственные значения на диагонали матрицы, приведенной к
треугольной форме, то неравенства типа D.28) или D.29) бу-
будут как необходимыми, так и достаточными условиями устой-
устойчивости.
Назовем последовательность комплексных чисел ки иг, ...
..., иР кучной с константой кучности К, если
/ —*ml Для /<r<s<m.

90 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ t^I
Нетрудно показать, что любое множество из р чисел можно упо-
упорядочить таким образом, что оно станет кучным с константой
К ^ 2р. Действительно, выберем первое число произвольно, вто-
вторым назовем ближайшее к первому, третьим — ближайшее из
оставшихся чисел к первым двум и т. д. Тогда
^ f-i — K/l при />/.
Так как
I *г — И* KI Иг — *
ТО ПрИ /<Г<5</П
Аналогично \щ — хт|<2н|х/ — ит|, и потому
Теперь покажем, что справедлива следующая теорема.
Яг/сгь #"— семейство матриц А, имеющих верхнюю треуголь-
треугольную форму, причем собственные значения каждой из них распо-
расположены кучно с константой К\. Это семейство устойчиво тогда
и только тогда, когда для собственных значений уц выполняется
условие фон Неймана |и* |-^ 1, а для недиагональных элементов
справедлива оценка
|к,-х/|} D.30)
с некоторой константой /Сг, не зависящей от А.
Эта теорема почти сразу следует из теоремы Крайса. Нам
нужно лишь показать, что при условии кучности внедиагональ-
ные элементы матриц StjASTi1 и STilASij (j>i) удовлетворяют
неравенствам D.30), быть может с другой константой. Действи-
Действительно, если семейство устойчиво, то в результате применения
преобразования Бц получим для преобразованного семейства
матриц оценку D.23) и, следовательно, D.30), так что условия
теоремы необходимы для устойчивости. С другой стороны, мы
имеем неравенство
1 — I и/ К 1 — | X/1 +1 щ — х/1,
которое симметрично относительно i и /, так что если обозна-
обозначить через I\-j максимум в правой части неравенства D.30), то
Следовательно, если выполняется D.30), то |Л0| ^ 2/С2тах
|иг — Xj|}, и последовательное применение преобразований

§ 4.10. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ БАЧЕНАНА 91
изменяющих верхние диагонали матрицы Л, позволит получить
D.23) и тем самым доказать устойчивость. Поэтому условия
теоремы достаточны для устойчивости.
Итак, предположим, что для элементов матрицы А справед-
справедлива оценка D.30). Тогда элементы матрицы SijASy отличаются
от элементов матрицы А только в i-й строке правее //-го эле-
элемента, где они равны Aiv = Aiv + tijAjVi и в /-м столбце выше
этого элемента, где они равны Allj = Allj — UjA^u a \Uj\ огра-
ограничены постоянной, не зависящей от А. Поскольку (х ^ / ^ / ^
^ v, то
I Ah |<#2r/v<2/C2max{Y/v| иу - xv I) <
<2/C2max{l-|*vl, Kx |к, -*V|}<2/C2A +Kx)Tiv9
так что
Аналогично оцениваются ЛД1- и Лц;-. Следовательно, для элемен-
элементов матрицы SijASTj1 оценка D.30) снова выполянется, если
заменить /С2 коэффициентом при I\v из последнего неравенства.
Для матриц S7ilASn изменится только знак у % Теорема
доказана.
Как уже отмечалось выше, любое множество из р чисел мо-
может быть сделано кучным и любая матрица может быть приве-
приведена к верхней треугольной форме с заданным расположением
собственных значений при помощи некоторого унитарного пре-
преобразования, так что в принципе можно считать, что любое се-
семейство матриц задано в требуемом в теореме виде, и иссле-
исследовать его на устойчивость, проверяя, выполнены ли условие
фон Неймана и оценка D.30). В конце следующего параграфа
мы проиллюстрируем этот подход на примере разностной схемы
для волнового уравнения.
Может возникнуть сомнение, не являются ли неравенства
D.30) необходимыми или достаточными для устойчивости без
каких-либо дополнительных условий. Следующие два контр-
контрпримера показывают, что это не так.
Рассмотрим сначала матрицу-
1 1 0
0 0 1
L0 0 1 J
которая удовлетворяет условию D.30); п-я степень этой матри-
матрицы совпадает с ней в каждом элементе, за исключением верх-
верхнего правого, который равен п—1, поэтому степени этой ма-
матрицы неограничецы,

"а
0
.0
1
— а
0
-Bа)
1
а
92 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ . Ч. I
В качестве второго примера рассмотрим однопараметриче-
ское семейство матриц
, 1/2<а<1.
Верхний правый элемент не удовлетворяет условию D.30) при
а->1, однако, как нетрудно проверить, резольвентное условие
в данном случае выполняется, так что это семейство устойчиво.
§ 4.11. Дальнейшие примеры достаточных условий
Применение критерия Баченана требует предварительно весь-
весьма сложного в общем случае приведения матриц к треугольной
форме специального вида, и поэтому мы рассмотрим в этом
параграфе ряд более слабых достаточных условий, которые
проще применять на практике. Для этой цели мы снова обра-
обратимся к матрицам перехода G, не забывая однако о связи ме-
между устойчивостью матриц G и устойчивостью семейства
матриц {e~aA/G}, установленной в начале § 4.9.
Сначала сделаем одно замечание общего характера. Пред-
Предположим, что функция G(A/, k) равномерно по к удовлетворяет
условию Липшица при А/= 0 в том смысле, что G(Atf, k) =
= G@, к) + О(Д/) при Д/->0, где О(Д/) не зависит от к. Тогда
устойчивость разностной схемы можно определить, рассматривая
только G@, к). Это следует из теоремы о малых возмущениях,
изложенной в § 3.9. Заметим однако, что это не следует лишь из
сравнения G@, k) и e~aA/G (Д/, к), аналогичного тому, которое
проводилось выше для G(A/, к), так как G(A/, к) в общем слу-
случае не ограничено величиной eaA/G@, к) ни при каком вы-
выборе а.
Если в дополнение к условию Липшица удается еще показать,
что ||G@, k) || ^ 1, то отсюда сразу следует устойчивость. В этой
связи полезно отметить, что норма произвольной матрицы G
равняется корню квадратному из спектрального радиуса ма-
матрицы G*G. Действительно, так как
|| О |р = max | Gv |2 = max v*G*Gv
|v| = i |v| = l
и матрица G^G нормальна, то, разлагая v по системе ее соб-
собственных векторов, получаем, что указанный максимум дости-
достигается тогда, когда v является нормированным собственным век-
вектором G*G9 отвечающим ее наибольшему собственному значению.
В гл. 9 даны приложения этих результатов к уравнению пере-
переноса и, в частности, к его аппроксимации, получаемой так назы-

§ 4.11. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ
93
ваемым методом сферических гармоник. Например, для одного
разностного уравнения, предложенного Фридрихсом, матрица
перехода имеет вид
G (A/, k) = (/ + А М) cos k^2 + iB sin k Az,
где А и В— фиксированные эрмитовы матрицы, порядок кото-
которых равен порядку сферических гармоник, используемых в дан-
данном приближении. Из этого примера видно, между прочим, что
иногда может оказаться полезной замена переменной к на новую
переменную g = (^i Ал:ь k2kx2, ..., kdkXd). В самом деле, если
Az = cA/, то функция G(A/, k) в этом примере не удовлетворяет
условию Липшица при А/ = О равномерно по к, но если рассма-
рассматривать ее как функцию G(Д/, §) от А/ и §, то она будет обла-
обладать этим свойством. Более того, матрица ?(Д/, §) не является
нормальной при А/ Ф О, поскольку А и В не перестановочны ме-
между собой, но матрица #@, §) нормальна, так что условие фон
Неймана в этом случае не только необходимо, но и достаточно
для устойчивости. Может случиться, что G (А/, к) вообще не удо-
удовлетворяет условию Липшица при А/ = 0, в то время как
G*(A/, k)G(A/, k) удовлетворяет ему. В гл. 9 имеется пример,
где G(Af, к)— полином от |/Д/ и тем не менее вопрос об устой-
устойчивости G(A/, к) удается свести к исследованию на устойчивость
только матриц G@, k).
Рассмотрим ряд достаточных условий устойчивости.
Первое достаточное условие. После нормальных матриц G
наиболее простыми являются так называемые равномерно диа-
гонализуемые матрицы G; это означает, что для матрицы G су-
существует такая матрица Г, что матрица Л = T-^GT диагональна,
а матрицы Т и Т~] ограничены по норме постоянной, не завися-
зависящей от к и от достаточно малых А/; таким образом,
= T
о
о
= ТА.
Ясно, что условие фон Неймана в этом случае достаточно для
устойчивости, так как Gn = ТАпТ~{. Чтобы проверить, обладает
ли G указанным свойством, мы должны найти все ее собствен-
собственные векторы; последние образуют столбцы матрицы Г, как это
видно из равенства GT = ТА. Предположим, что они нормиро-
нормированы, так что ||ГЦ ^ р> поскольку норма любой рХр-матрицы
не превосходит р раз взятого наибольшего абсолютного

94 ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ Ч. I
значения ее элементов1). Далее, если Д2 — определитель мат-
матрицы Г*Г, т. е. определитель Грама для системы нормированных
собственных векторов, то
В самом деле, по правилу Крамера (Т~{)^ равняется отношению
алгебраического дополнени элемента Тн к определителю ма-
матрицы Г, а абсолютное значение любого определителя не пре-
превосходит произведения длин векторов, образующих его столбцы
(или строки). Из последнего неравенства следует, что ||У—*|| ^
^ р/А, и мы приходим к следующему выводу.
Если матрица G имеет полную систему собственных векторов
и существует такая постоянная б, что А > б > 0, где А2 — опре-
определитель Грама для системы нормированных собственных век-
векторов, то условие фон Неймана не только необходимо, но и до-
статочно для устойчивости.
Для сравнения с критерием Баченана заметим, что если се-
семейство матриц А имеет верхнюю треугольную форму с кучно
расположенными собственными значениями, то для их равно-
равномерной диагнолизуемости необходимо и достаточно, чтобы
\Аи\<,С\Аи-А„\,
где С не зависит от А. Достаточность этого условия следует из
приведенного при доказательстве теоремы Крайса построения
преобразования подобия 5 с помощью операторов Sih аннули-
аннулирующих элементы Л1;-, а также из того факта, что это условие
инвариантно относительно преобразований Sij> если собствен-
собственные значения расположены кучно. Необходимость доказать не-
несколько сложнее, и мы не будем здесь на этом останавливаться.
Эта теорема может быть применена к явному разностному
уравнению для задачи о звуковых волнах. Как мы упоминали
в § 4.8, матрица перехода G, имеющая вид D.20), для этой за-
задачи не является нормальной; но если vW и v<2>— нормирован-
1) Если М — наибольший по модулю элемент р X /^-матрицы А и v — про-
произвольный вектор, то в силу неравенства Шварца
Поэтому
Мы могли бы, конечно, использовать здесь более точный результат, что норма
п X /^-матрицы ограничена произведением рЧ2 на максимум норм ее столбцов
(или строк); доказательство аналогично.

§ 4.11. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 95
ные собственные векторы матрицы G (которые легко вычис-
вычисляются), то
,det(va.
(при условии что выполнено условие фон Неймана сД//Дл; ^ 1).
Модуль этого определителя ограничен снизу положительной
константой, если
~ = const <1 D.31)
при Д/ —>0 и Дх->0. Таким образом, мы приходим к хорошо
известному выводу о том, что если выполнено неравенство D.31),
то рассматриваемые разностные уравнения устойчивы.
Второе достаточное условие. Часто найти собственные век-
векторы матрицы G, что требуется в предыдущем условии, — дело
весьма затруднительное. На практике проще всего применять
такие условия, которые требуют лишь знания собственных зна-
значений. Простейшим из них является следующее:
Если элементы матриц G(kt,k) равномерно ограничены при
всех 0 < Д/ < т и всех ia^SS и все их собственные значения
%it за исключением быть может одного, принадлежат некото-
некоторому кругу, лежащему внутри единичного круга, т. е.
IК I < Y < 1 при
то условие фон Неймана не только необходимо, но и достаточ-
достаточно для устойчивости.
Это немедленно следует из критерия Баченана. В самом
деле, если матрица G приведена к верхней треугольной форме
с кучным расположением собственных значений, то все ее вне-
диагональные элементы не превосходят по модулю некоторого
М. Далее, не нарушая общности, можно считать исключитель-
исключительное собственное значение .первым. Поэтому неравенства D.30)
удовлетворяются с /С2^М/A—y)> и условие фон Неймана, сво-
сводящееся к условию \%\\ ^ 1 + О(Д?) на это собственное зна-
значение, оказывается достаточным для устойчивости.
Применим для примера эту теорему к пятиточечному раз-
разностному уравнению
3
ц* 1 и
_
2
2 At 2 Д/ (Д*J
(схема 9 из таблицы гл. 8), которое применяется для решения
одномерного уравнения теплопроводности. Это трехслойная

96
ГЛ. 4. ЗАДАЧИ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Ч. I
формула, но ее можно свести к двухслойной системе1) при
помощи подстановки «у"! = иу. Эта система имеет вид
3 иу+'-ц? 1 и?-iff _ u'}+l-2u'}+l+uf±[l
А*
дГ
(SI?
vi ~ur
Ее матрица перехода равна
la sin2 P 3 + 8a sin
1 0
,„.,]_
D.33)
D.34)
где для краткости положено
a A/
Собственные значения этой матрицы суть
« у _ 2 ± У\ ~- 8а sin2 p
и легко видеть, что условие фон Неймана выполняется для про-
произвольных значений а. На рис. 4.2 помещены графики, показы-
Уг
a sin2/
Рис. 4.2. Собственные значения матрицы перехода системы разност-
разностных уравнений D.33).
вающие зависимость \%\\ и JA2I от a sin2 р. Собственные век-
векторы матрицы G равны
фA), фB) = 4
1) Мы еще вернемся к этому примеру в начале гл. 7, где исследуются
многослойные формулы общего вида. Как мы увидим если уравнения сво-
сводятся к эквивалентной двухслойной системе, то исследование устойчивости
проводится точно так же, как в настоящей главе.

§ 4.11. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 07
где А — нормирующий множитель. Определитель матрицы нор-
нормированных собственных векторов равен
Если а > 1/8, то Д может обращаться в нуль при некоторых
значениях Р; следовательно, мы не можем воспользоваться пер-
первым достаточным условием устойчивости. Однако второе усло-
условие применимо, так как \%2\ ^ 7г для всех положительных а
и всех р (это видно из рис. 4.2). Таким образом, система D.33)
всегда устойчива.
Достаточное условие Като. Оба предыдущих условия явля-
являются частными случаями следующего условия, принадлежащего
Като [1960].
Предположим, что нормы матриц G(At,k) равномерно огра-
ограничены и выполнено условие фон Неймана. Предположим так-
также, что для каждой матрицы G можно построить внутри круга
\k\^R, где R — спектральный радиус G, такую замкнутую
спрямляемую крувую Г, что ее длина равномерно ограничена,
а ее расстояние до спектра G не меньше некоторой положитель-
положительной константы, одной и той же для всех G. Тогда разностная
схема будет устойчивой, если существует такая не зависящая
от tit и к постоянная б > 0, что каждое из различных собствен-
собственных значений Хи i = 1, 2, ..., q, лежащих вне Г, имеет индекс1)
1 и либо (\)г расстояние от fa до всех других собственных зна-
значений больше б, B) либо для множества собственных значений
fa, не удовлетворяющих условию A), полная система соответ-
соответствующих нормированных собственных векторов имеет опреде-
определитель Грама Д2, для которого Д > б.
В большинстве практически важных случаев Г будет просто
окружностью. Этого всегда достаточно, если рассматривается
отдельная матрица; в то же время при исследовании семейства
матриц можно получить более тонкие результаты, используя
кривые более общего вида.
Основные моменты доказательства ясны. Приводим каждую
матрицу G к верхней треугольной форме с кучным расположе-
расположением собственных значений, причем по предположению можно
расположить сначала те fa, которые удовлетворяют условию B).
]) Если h — собственное число матрицы А, то множество векторов v, для
которых (Л — X) пу = 0 при некотором натуральном п, образует так назы-
называемое инвариантное подпространство, соответствующее собственному значе-
значению К. Наименьшее значение п, при котором это уравнение удовлетворяется
для всех векторов инвариантного подпространства, называется индексом соб-
собственного значения X. Если индекс равен единице, то в инвариантном подпро*
странстве можно выбрать базис из собственных векторов.
4 Зак. 1300

98 гл. 4. задачи с постоянными коэффициентами ч. i
Тогда, как нетрудно видеть, все элементы, находящиеся
выше прочих собственных значений, удовлетворяют неравен-
неравенству D.30). Оставшийся квадратный минор можно диагонали-
зовать с помощью равномерно ограниченных преобразований
подобия аналогично тому, как это делалось гГри выводе первого
достаточного условия.
Часто оказывается полезным следующее достаточное усло-
условие, предложенное Лаксом и Вендроффом [1964].
Если матрицы G(kt,k) таковы, что для любого вектора v
то соответствующая разностная схема устойчива.
Доказательство состоит просто в применении теоремы Край-
са в форме резольвентного условия D.22). Выбирая а так, что-
чтобы для Л = ехр(—aA/)G выполнялось условие |v*Av|-<|v|2,
мы видим, что все собственные значения А лежат в замкнутом
единичном круге. Следовательно, (A — zl)~x существует при
|z|> 1, и если w — произвольный вектор и v = (А — zl)-{w, то
т. е.
Поэтому семейство матриц А удовлетворяет резольвентному
условию и устойчивость следует из теоремы Крайса о матрицах.
Положим р(А) = max{|v*Av\ |v|=l}. Ясно, что р(Л)<
^ ||Л||. Равенство здесь имеет место для нормальных матриц Л.
Поэтому, разлагая в общем случае матрицу А на эрмитову и
косоэрмитову, мы видим, что ||Л||^2р(Л). Далее, можно по-
показать (см. Пирси [1966]), что если р(Л)< 1, то р(Лп)< 1 для
любого натурального п. Таким образом, если удовлетворяется
условие Лакса — Вендроффа, то соответствующее семейство
матриц А не просто ограничено, а ограничено числом 2.
Если ни одно из достаточных условий типа приведенных
выше не работает, то можно попытаться использовать критерий
Баченана. Рассмотрим в качестве примера предельный случаи
сД/ = Ад: для явной разностной схемы, аппроксимирующей вол-
волновое уравнение. Поскольку матрица G в этом случае дается
формулой D.20), то ее собственные значения равны
К ^2=1-|а2±|ш/4-а2,

§ 4.11. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ ДОСТАТОЧНЫХ УСЛОВИЙ 99
где а = Bckt/Ax)sin(k&x/2)\ им срответствуют нормированные
собственные векторы
1 Г 1 1 „ 1 Г-У2(/4^^+шI
TL(/J I J'
Матрица G приводится к верхней треугольной форме U*GU
с помощью унитарного преобразования
откуда
0 1
Абсолютная величина собственных значений равна 1, а расстоя-
расстояние между ними а |/4— а2 стремится к нулю, когда а2-»4.
Но абсолютное значение недиагонального элемента при этом
равно 4, так что система в этом случае оказывается неустой-
неустойчивой.
Стоит отметить, что Курант, Фридрихе и Леви [1928] дока-
доказали, что в этом случае имеет место устойчивость, однако при
этом они допускали только гладкие" начальные данные. В гл. 10
приводится пример неограниченного решения разностных урав-
уравнений (для доказательства неустойчивости обычно бывает про-
проще построить такой пример, чем применять критерий Бачена-
на); начальные значения в этом примере сильно осциллируют
при Да:—»0.
На этом мы закончим изучение разностных схем для общих
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
и периодическими граничными условиями. Изложенная здесь
теория является основой для всего дальнейшего, и мы будем
часто на нее ссылаться. В частности, на теореме Крайса о мат-
матрицах основано обсуждение в следующей главе задач с пере-
переменными коэффициентами, в то время как условие фон Ней-
Неймана окажется существенным с практической точки зрения при
исследовании разностных схем во второй части книги. В случае
когда известно, что разностная схема условно устойчива (т. е.
устойчива лишь при некоторых значениях Д^/Длс или при каких-
нибудь аналогичных условиях), то условие фон Неймана почти
всегда правильно описывает область устойчивости, и специаль-
специальное исследование обычно бывает необходимо только на границе
этой области, как например в случае явной схемы для волно-
волнового уравнения. Имеется однако ряд случаев, когда наше опре-
определение устойчивости оказывается недостаточным с практиче-
практической точки зрения. Один такой случай встретится нам в § 10.4
при изучении совместного распространения звука и тепла, дру-
другие приведены в § 9,7, 11.6 и 12.16.
4*

Глава S
ЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ С НЕРЕМЕННЫМИ
КО ЭФ ФИЦИЕНТАМИ.
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
§ 5.1. Введение
В предыдущей главе мы подробно рассмотрели вопрос об
устойчивости конечноразностных аппроксимаций для линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Но в практических задачах коэффициенты редко бывают посто-
постоянными, а уравнения очень часто бывают нелинейными. В та-
таких случаях фактически проверяется «локальная» устойчивость
линеаризованных уравнений, полученных из исходных нелиней-
нелинейных уравнений, при этом постоянно используется теория для
случая постоянных коэффициентов. Вот как это делается. Из
нелинейных разностных уравнений относительно функции un(x),
аппроксимирующей решение u(x, nAt) дифференциальной за-
задачи, получают уравнения первой вариации, производя подста-
подстановку un(x) = u(x, яД/) + vn(x), где vn(x) рассматривается как
величина первого порядка малости, и отбрасывая члены второго
и более высоких порядков малости. Получающиеся для vn(x)
уравнения линейны, и их коэффициенты зависят от функции
u(x, t)y которая является величиной нулевого порядка. Затем
в каждой точке (х, t) рассматривают систему уравнений, кото-
которая получается, если положить коэффициенты постоянными,
а именно равными значениями переменных коэффициентов, вы-
вычисленным в этой точке, и исследуют ее на устойчивость мето-
методами теории для случая постоянных коэффициентов. Успех та-
такого подхода определяется тем, насколько локальная устойчи-
устойчивость в каждой точке пространства переменных х, t связана со
сходимостью un(x) к решению и(х,/). Практика показывает,
что неустойчивость обычно начинается как локальное явление;
это наводит на мысль, что указанная связь очень тесная; пред-
предположение о такой связи было одной из причин, побудивших
фон Неймана разрабатывать теорию устойчивости с использо-
использованием преобразования Фурье.
Ясно, что в первую очередь следует рассмотреть линейные
уравнения с переменными коэффициентами, и в настоящей гла-
главе мы уделим этому вопросу главное внимание. Кроме того мы
ограничимся рассмотрением только таких случаев, когда коэф-
коэффициенты зависят лишь от пространственной переменной х.
Основная наша цель состоит в том, чтобы показать, что для не-

§ 5.1. ВВЕДЕНИЕ |01
скольких важных классов уравнений незначительное усиление
условий локальной устойчивости оказывается достаточным для
обеспечения устойчивости в целом. Однако эти локальные усло-
условия не всегда являются даже необходимыми, и стоит вначале
потратить немного времени, чтобы разобраться в этом вопросе.
Прежде всего рассмотрим взаимосвязь между корректностью
постановки задач для соответствующих дифференциальных
уравнений. Крайс [1962] дал пример уравнения, для которого
задача с переменными коэффициентами поставлена корректно,
хотя все соответствующие задачи с постоянными коэффициен-
коэффициентами поставлены некорректно1), с другой стороны, он построил
пример, в котором все задачи с постоянными коэффициентами
поставлены корректно, в то время как задача с переменными
коэффициентами не является таковой. Как мы уже отмечали
в § 3.9, для некорректно поставленной задачи не существует
разностной схемы, которая одновременно была бы согласован-
согласованной и устойчивой. Поэтому примеры Крайса показывают, что
для задач с переменными коэффициентами локальная устой-
устойчивость в общем случае не является ни необходимой, ни до-
достаточной для устойчивости в целом. Однако, как выяснил
Стрэнг [1966], если для уравнения du/dt = Аи задача постав-
поставлена корректно, то после замены оператора А его главной
частью (т. е. суммой членов, содержащих производные наивыс-
наивысшего порядка) для получившегося уравнения все задали с по-
постоянными коэффициентами будут также корректно постав-
поставленными. Поэтому, в частности, задачи для систем первого по-
порядка должны быть локально корректно поставленными.
Стрэнг доказал также аналогичный результат для явных
разностных схем. Предположим, что дифференциальное урав-
уравнение du/dt = Ли, где А—дифференциальный оператор т-го
порядка, аппроксимируется явной схемой un+1 = С(At) un. Тогда
наивысшая степень отношения 1/Дх, встречающаяся в С (At)
и соответствующая главной части оператора Л, равна т. Вели-
Величину A/Ajc)m надо умножить на Д/, и если выполняется усло-
условие At = const (Да:) ж, которое обычно бывает необходимо для
устойчивости, то при At-* 0 С (At) будет иметь предел С@),
1) Следующий аналогичный, но несколько более простой пример принад-
принадлежит Стрэнгу [1966]:
где 4 =
При х = 0 получаем du/dt = idu/dx; ясно, что задача для этого уравнения
поставлена некорректно. С другой стороны, для любого решения и основной
задачи с помощью интегрирования по частям находим -gj- (и, и) = (м, Аи) +
+ (Ли, и) =ss 0, так что основная задача поставлена корректно.

102 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
соответствующий аппроксимации одной главной части опера-
оператора А\ поэтому С@) называется главной частью оператора
С (АО- Справедлива следующая теорема.
Предположим, что явная разностная схема
u«+1 (х) = (С (ДО пп) (х) ^ 2 Ср (х, Ы) ип (х + Р Ад:) E.1)
имеет одинаковое по всем пространственным координатам при-
приращение Да;, которое связано с Д/ соотношением типа D.9).
Предположим также, что она устойчива и что при Д/ —> 0 каж-
каждый коэффициент СР(х, Д/) сходится к ограниченной функции
СР(х, 0). Тогда для каждой внутренней точки а, принадлежа-
принадлежащей множеству, на котором эта сходимость равномерна и
Ср(х, 0) непрерывны, разностная схема
U*+1 (х) = (С. @) Urt) (х) в 2 Ср (а, 0) (/" (х + Р А*) E.2)
является устойчивой.
Докажем эту теорему. Предположим, что она неверна в не-
некоторой точке а. Пусть непрерывность и равномерная сходи-
сходимость имеют место в шаре So с центром в точке а. Тогда для
любого, сколь угодно большого, М существуют такие вектор
V, гармоника ft, приращение Да: и натуральное число Л/, что 1)
для х = а и N&t < 1
\r(x)"V\>M\V\9 E.3)
где
Г(х)- 2 ср(х,0)е/к'рд*.
По непрерывности это неравенство справедливо для всех х из
некоторого шара S\ с центром в точке а, радиус которого мы
будем считать строго меньшим, чем радиус шара 50; если мы
зафиксируем § = ЛДа;, то неравенство останется справедливым
при Д/—>0 и Да:-*0 и фиксированном N. Пусть теперь р(х) —
гладкая функция, равная нулю вне S\ и единице в точке а, и
пусть v (x) = Vp (x) eik'x. Тогда
(Cv)(x)=
где ei при достаточно малых Д/ обращается в нуль вне неко-
некоторого множества, целиком лежащего внутри So, и равномерно
]) Как и в предыдущей главе, в дальнейшем мы будем, если специально
не оговорено иное, использовать символ | | для обозначения евклидовой
нормы вектора, а символ || || для обозначения нормы в пространстве L*

§ 5.1. ВВЕДЕНИЕ
стремится к нулю на этом множестве при Д/ —>0. Последова-
Последовательно применяя оператор С, мы получим
где eN обладает теми же свойствами, что и еь поскольку /V
фиксировано независимо от Д/. Используя далее E.3) и выби-
выбирая At достаточно малым, находим, что ||С^||>М, а значит,
схема E.1) неустойчива вопреки нашему предположению.
Используя соображения, аналогичные приведенным, мы
рассмотрим в этой главе два класса уравнений, для которых
ситуация относительно ясна, а именно, симметричные гипербо-
гиперболические системы и параболические уравнения. Ими охваты-
охватывается значительная часть важных для физики краевых задач;
как хорошо известно, в обоих случаях корректность постановки
линейных задач с переменными коэффициентами обеспечи-
обеспечивается теоремами чисто локального характера. Кроме того, мы
ограничимся только явными разностными схемами, хотя не-
нетрудно понять, как полученные ниже результаты можно рас-
распространить на неявные схемы. Как мы увидим ниже в этой
главе и в гл. 8, в критерии устойчивости для параболических
уравнений по существу входит лишь главная часть оператора.
Следовательно, теорема Стрэнга показывает, что локальная
устойчивость является необходимой в обоих рассматриваемых
случаях.
Эти необходимые критерии устойчивости нужно лишь не-
незначительно усилить, чтобы получить условия, достаточные для
устойчивости задачи с переменными коэффициентами. Непо-
Непосредственно видно, что если а(х) изменяется, то уже первая
разность Д[а(л;)и(л;)] содержит дополнительный член (Да) и,
который может вызвать неустойчивость, если Ах Ф О (At) и а(х)
не удовлетворяет условию Липшица, так что дополнительный
член оценивается величиной О(Д/)||и||. Для разностей более вы-
высокого порядка, например для Д(аДи), получается дополнитель-
дополнительный член (Да)(Ди), который может привести к неприятностям,
даже при Да: = О (At). Подобные члены вызывают перемешивание
компонент Фурье функции и, аналогичное описанному для слу-
случая нелинейных задач у Н. Филлипса [1959], хотя и несколько
менее ярко выраженное; хороший пример такого рода имеется у
Робертса и Вайса [1966]. Последовательный рост высокочастот-
высокочастотных компонент можно устранить введением в разностные схемы
некоторой «диссипации». При этом получается схема, у которой
собственные значения Xv матрицы перехода удовлетворяют не-
неравенству вида
при |АД*|<я E.4)

104 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ t|. \
для некоторого б > 0 и некоторого натурального г. Такое
условие впервые ввел Фриц Джон [1952] для одного параболи-
параболического уравнения, где это условие вполне естественно возни-
возникает в явных схемах (см. § 5.3); он показал, что оно доста-
fo4HO для устойчивости в случае достаточно гладких коэффи-
коэффициентов. Затем Лаке [1961] и Лаке и Вендрофф [1962] нашли для
симметричных гиперболических систем достаточное условие
устойчивости, в котором существенную роль играют неравен-
неравенства вида E.4) для собственных значений матрицы перехода.
В недавней статье Крайса [1964] оно было сведено к одному
лишь условию на собственные значения; этот результат обра-
образует ядро § 5.4.
Но прежде чем приступить ко всему этому, посмотрим сна-
сначала, как еще можно было бы определить устойчивость. Это
особенно уместно сделать здесь, так как именно при рассмот-
рассмотрении задач с переменными коэффициентами различия в опре-
определениях, которых придерживаются разные авторы, становятся
существенными.
§ 5.2. Другие определения устойчивости
Если оставить в стороне различия в используемых нормах,
Существуют два широко распространенных определения устой-
устойчивости, отличных от того, которое использовалось в нашем
изложении, — одно более слабое, а другое более сильное.
В первом из них требуется, чтобы разрешающий оператор С (t)
устойчивой разностной схемы удовлетворял неравенству
|| С (A/)rt II < const (Д*Г°< const п" при {о^Д<<Г (б>5)
Для Некоторого фиксированного конечного a ^ 0, в то время
как дли устойчивости в нашем смысле требуется, чтобы приве-
приведенное неравенство было выполнено для a = 0. Это определе-
определение согласуется с тем экспериментальным фактом, что неустой-
неустойчивость обычно отличается от устойчивости экспоненциальным,
а не полиномиальным ростом ошибок; его использовали мно-
многие авторы, в том числе Стрэнг [1960], Вазов и Форсайт [1960],
Рябенький и Филиппов [1956].
По сути дела это понятие «слабой» устойчивости порож-
порождается более общим определением корректности. Действи-
Действительно, предполагая, что и(х, /) имеет непрерывные производ-
производные по х до порядка р включительно, определим Норму |||L
равенством

§ 5.2. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
105
где |v| = vi + V2 + ... + Vd обозначает порядок производной,
среднеквадратичная норма которой стоит под знаком суммы.
Назовем задачу корректно поставленной, если ее решение и
начальный элемент удовлетворяют следующему условию:
||и(х, /)||<const||и(х, 0||р, 0<*<7\ E.7)
для некоторого фиксированного конечного р и для плотного
множества начальных элементов; это соответствует понятию
непрерывной зависимости порядка р от начальных данных, вве-
введенному Адамаром [1923]. Исходя из этих определений кор-
корректности и слабой устойчивости, можно построить аналогии*
ную изложенной в гл. 3 теорию, снова приводящую к теореме
об эквивалентности сходимости и устойчивости. Доказатель-
Доказательства несколько усложняются, поскольку используются другие
нормы; интересующегося подробностями читателя мы отсы-
отсылаем к упомянутым выше работам. Связь между аир, фигу-
фигурирующими в неравенствах E.5) и E.7) соответственно, легко
установить следующим образом. Из соображений, основанных
на принципе равномерной ограниченности, ясно, что для схо-
сходимости необходимо, чтобы
||C(A0rlu(x,0)||<const||u(x,0)||p
для любого элемента и(х, 0), имеющего р непрерывных произ-
производных, при условии что задача корректно поставлена в ука-
указанном выше смысле. Но левая часть этого неравенства зави-
зависит только от значений и(х, 0) в точках сетки. Для любого
и(х, 0) мы всегда можем построить имеющий в этих точках те
же значения гладкий начальный элемент и(х, 0), к которому
мы уже можем применить указанное выше неравенство. Да-
Далее, легко показать, что ||u(x,0)||p ^ const(A/)~^||u(x,0||, где q
зависит от р и от размерности d. Следовательно, должно вы-
выполняться условие устойчивости вида E.5).
Если применить эту теорию к задачам с постоянными ко-
коэффициентами, рассмотренным в предыдущей главе, то можно
получить замечательный по простоте результат, принадлежа-
принадлежащий Крайсу [1962], а именно: если матрицы перехода G рав-
равномерно ограничены, то условие фон Неймана D.18) необхо-
необходимо и достаточно для слабой устойчивости. Достаточность
легко доказать. Преобразуя G с помощью унитарной матрицы
U к верхней треугольной форме, мы получим UGU*=D-\-Sy где
о
0
Sp-l, p

106 ГЛ 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
Следовательно,
S 2 'b^*1
Но произведение 52) имеет тот же вид, что и 5, а произведе-
произведение р матриц вида S обращается в нуль. Поэтому в правой
части этого равенства содержится лишь конечное число нену-
ненулевых сумм. В то же время ||5|| ограничены, и поскольку
| Xj | < 1 + const А/, то и \\D\\n ограничены при n&t<^T. Таким
образом, для п ^ р — 1 имеем
11 °п н < 2 A)"D ir '" s "' < const *""~1- E-8)
/=о
Доказать необходимость условия фон Неймана значительно
труднее, и мы отсылаем читателя к статье Крайса.
Применяя это простое алгебраическое условие устойчиво-
устойчивости, нетрудно выяснить, как связаны между собой локальная
устойчивость и устойчивость в целом. Результат получается
неутешительный. В отличие от того, что было доказано для
нашего определения устойчивости в § 3.9, добавление опера-
оператора порядка О(Д/) может сделать слабо устойчивый оператор
неустойчивым. Вот простой пример. Предположим, что разно-
разностная схема
используется для аппроксимации уравнения du/dt = 0, где век-
вектор и имеет две компоненты, a S — постоянная матрица, у ко-
которой только один верхний правый элемент отличен от нуля,
а именно равен единице. Тогда собственные значения соответ-
соответствующей матрицы перехода G = I + {eik Ах — IJ S равны
единице, так что схема слабо устойчива. Но если положить
в 5 левый нижний элемент равным Д/, то, как нетрудно про-
проверить, собственные значения соответствующей матрицы пере-
перехода будут равны
1/(^д02
Следовательно, схема не будет больше устойчивой.
То, как возникают подобные возмущения в задаче с пере-
переменными коэффициентами, видно на следующем примере, при-
принадлежащем Крайсу [1962]. Возьмем дифференциальное урав-
уравнение du/dt = ди/дх\ пусть у вектора и две компоненты, Дл: =
= Д/ и разностная аппроксимация имеет вид
U"+I (х) = [/ + Д+ + V (х) SV'1 (х) Д2+] пп (*),

§ 5.2. ДРУГИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ УСТОЙЧИВОСТИ[07
где А+ — оператор разности вперед, а
sin
cos*
рд,
in х 1
os*J' S=
В случае когда функция V(x) заменяется ее значением V(xq)
в некоторой фиксированной точке х0, матрица перехода нашей
схемы равна
и очевидным образом удовлетворяет условию фон Неймана
при любом х0. Рассмотрим теперь случай переменных коэффи-
коэффициентов. Для этого введем зависимое переменное v(jc, /) =
= V-l(x)u(x, /), для которого
v"+1 (*) = v* (х) + [V~l (х) Д+ + SV-1 (х) Д2+] V (x)vn(x).
Но
А + [V (х) v (а:)] = V (х + Да:) A+v (х) + [Д+7 (.v)] v {x)
и
cos v A* sin v Ал: 1
— sinv Ал: cos v Ад: J '
Поэтому, выделяя члены порядка (Да:J и выше, мы получим
для v уравнение с постоянными коэффициентами вида
v»+> (x) = (А + (Да:J В) vn (x),
где оператор В равномерно ограничен и
Да: 1 Г 1 2 Да:
0 Ах
1 Дл;1 ,ч
-А* 1 J ]'
Обозначая преобразование Фурье матричной функции В через
Ву получим матрицу перехода
где
= 2te * *к ** sin j k Ьх, Ч = \е~
Характеристическое уравнение матрицы из первого слагаемого
в выражении для G записывается так:
A - |i) A - |i - 2 (а + Р + Y) Д*) + Д*(Д* + а + 2Y) = 0.
х) Здесь и далее последний член был упущен авторами. — Прим. перев.

108 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1
Оно дает такие собственные значения:
Но собственные значения матрицы G равны X=eikAx\x+O[(Axf].
Вспоминая, что At = Але, мы видим, что условие фон Ней-
Неймана не удовлетворяется, и потому разностные- уравнения для
v(x) не являются даже слабо устойчивыми.
Вывод из этих примеров тот, что хотя слабая устойчивость
и может быть полезна для задач с постоянными коэффициен-
коэффициентами или для случая, когда и является скалярной переменной,
она не является достаточно эффективным критерием для систем
разностных уравнений с переменными коэффициентами. Даже
наше определение устойчивости не всегда оказывается удовле-
удовлетворительным, когда оно применяется локально, как это было
показано Видлундом [1966] на примере, сходном с предыдущим,
но несколько более сложном.
Определим теперь «сильную» устойчивость.
Разностная схема называется сильно устойчивой, если выпол-
выполнены следующие условия: A) при каждом фиксированном Д/
оператор H(At) определен всюду и таков, что если (и, Ни) обо-
обозначить через || u\fHy то K^x\\vi\f <ll«l^</CIl|u|f, B) решение
разностной схемы удовлетворяет условию
1|и«+Ч1я<A+^2А/I|и'г||//, E.9)
где /Ci и Кг — некоторые фиксированные положительные посто-
постоянные.
Как мы видели в § 4.9, это определение устойчивости экви-
эквивалентно нашему в случае постоянных коэффициентов. Нетруд-
Нетрудно убедиться, что в общем случае оно по меньшей мере не сла-
слабее, так как если схема сильно устойчива, то при nAt^T
II и" 1 < К*! и" ||я < A + К, Mf К? || и0 |„ < KxeK'T || и01.
Это определение устойчивости по-прежнему весьма тесно
связано с формой, в которой условие корректности применяется
к задаче для дифференциального уравнения. Действительно,
если построена норма, в которой решение этой задачи удовле-
удовлетворяет условию E.9), то при определенных условиях гладкости
ее можно использовать и для разностной задачи. Однако эти
условия гладкости трудно проверять, и одним из существенных
достоинств изложенного в § 5.4 подхода Крайса к разностной
задаче является то, что там эти трудности обходятся путем не-
непосредственного исследования разностной задачи.

§ 5.3, ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 109
Наконец, остановимся вкратце на возможности использова-
использования в качестве основной не среднеквадратичной нормы, а какой-
нибудь другой, в частности максимума модуля, нормы, очень
привлекательной для вычислительных работ. В гл. 1 мы привели
пример, показывающий, как она используется в одном простом
случае, и можно было бы ожидать, что она особенно подходит
для параболических уравнений, рассматриваемых в следующем
параграфе. Однако получающееся при этом условие на множи-
множитель перехода может быть также применено к явной разностной
схеме для любого уравнения вида du/dt = дти/дхт. Достаточ-
Достаточность этого условия для устойчивости в норме максимум мо-
модуля была установлена Стрэнгом [1962], а необходимость позднее
доказал Томи [1965а], который также обобщил эти результаты
на неявные уравнения и на произвольную Lp-норму с р Ф 2
[1965b]. (Lp-норма ||u||p определяется равенством ||и||? =
= J | u f dx). Исходя из этого условия, Томи показывает, что при
т = 1, т. е. в гиперболическом случае, любая устойчивая схема
должна иметь нечетный порядок точности. Следовательно, все
широко применяемые схемы второго порядка точности оказы-
оказываются неустойчивыми во всех нормах, кроме среднеквадратич-
среднеквадратичной. Возможный порядок роста весьма незначителен; Томи по-
показывает, что если ||СП||= 1, то ||СП||Р < (Кп) ч>-1/р, где /(—не-
/(—некоторая постоянная. Но этого уже достаточно, чтобы считать эти
нормы не подходящими для таких случаев.
§ 5.3. Параболические уравнения
Для параболического уравнения с одной пространственной
переменной
общая явная разностная схема имеет вид
ип+\ до = (Си") (х) в S с*и» (х + р Дх), E.11)
где суммирование ведется по некоторым фиксированным значе-
значениям р. Здесь пг \\ ср могут быть функциями от х, а с& кроме
того зависит от At и Дд:.

110 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1
Если представить ип(х + рДдс) в виде ряда Тэйлора, то усло-
условие согласованности приводит к соотношениям
где символ Кронекера б' = 0 при 1ф\ и =1 при / = /.
В случае когда коэффициенты а\ постоянны, устойчивость
схемы E.11) определяется множителем перехода
G = 2cV« E.13)
э
который в данном случае является тригонометрическим полино-
полиномом конечной степени от \ = kkx. Поэтому ясно, что для устой-
устойчивости коэффициенты с$ должны быть ограничены при Д/-^0.
Так как по > 0, то в силу последнего из соотношений E.12)
д/ = О ((Дл:J) при Д/->0. Положим М/(Да:J = const; без по-
потери общности эту постоянную можно считать равной единице.
Наряду с этим предположим, что коэффиценты с& могут быть
представлены в виде
с*(х, ДО = с%(х) + (ДО72 с?(х) + Мс\{ху ДО, E.14)
где все с\ равномерно ограничены и с\ (лс, Д/)-> с\(х, 0) при
Д/->0 равномерно по х. Тогда условие согласованности можно
переписать в виде
2*8=1, 2Рсо = О, 2с? = 0,
V2P eg = ao> 2j pcf = fli, 2j c\ = «2.
Э Э 3
Прежде всего мы обоснуем сделанное ранее утверждение о том,
что в большинстве случаев для задач с постоянными коэффи-
коэффициентами устойчивость определяется главной частью разно-
разностного оператора, т. е. значением G при Д/ = 0. Подставляя раз-
разложения E.14) в E.13), получаем
G (А*, I) = Go (I) + (Д*O' С, (Ю + MG2 (A/, 6), E.16)
где
G/ = 2<VP*, / = 0, 1,2.

§ 53 ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ Ш
Следовательно, значение G@, g)=G0(?) соответствует аппрок-
аппроксимации дифференциального оператора, у которого в силу E.15)
#i = #2 = 0. Теперь предположим, что главная часть устойчива,
т. е. что |Go(?)|^l. При доказательстве устойчивости схемы
E.11) член с G2 очевидно несуществен. Используя E.15), на-
находим
Go(l)=l-a?* + 0(V). E.17)
Gl(l) = ialt + O№. E.18)
Для наиболее простых аппроксимаций Go принимает действи-
действительные, a Gi — мнимые значения; это справедливо также и во
многих других случаях, и отсюда вытекает, что
| Go + (Д0* G11 = (| Go P + М| G, I2I'* < 1 + О (ДО,
откуда и следует устойчивость. В общем случае, однако, для до-
доказательства нашего утверждения мы должны предположить,
что |G0(?)|< 1 всюду на отрезке [—я, я], за исключением точ-
точки g = 0. Тогда в силу E.17) ^
l-6?2 Для |g|<* E.19)
при некотором б > 0. Обозначая действительную и мнимую
части Gj через Ej и Fj соответственно, получаем
| Go + (ДО* О, |2 = [Ео + (ДО7' Ei]2 + [Fo + №>!> Fxf =
= | Go |2 + 2 (ДО* (ВД + W + О (М).
Но Е0Е\ + FqF\ = O(g2), и поэтому при достаточно малых Д?
второй член не превосходит 6?2, откуда и следует устойчи-
устойчивость. Подробное обсуждение частных случаев этого резуль-
результата проводится в § 8.4.
Стоит также отметить, что для любой разностной схемы,
аппроксимирующей уравнение E.10) с а\ = а2 = 0 и постоян-
постоянным а0, как показал Стрэнг [1962], для устойчивости в норме
максимум модуля множитель перехода должен удовлетворять
одному из условий A) G(%) = се%№, где |с|=1 и р действи-
действительно, или B) |G(|)|<1 при |^|<я, за исключением быть
может конечного числа точек gj, где |G(g)|=l, причем для
каждой такой точки существуют такие постоянные aj, Yi» vi>
где aj действительно, ReYj>0 и Vj — четное натуральное
число, что
G&j + D^G&tiexpUajl-ytfl[1 + оA)]] при ?->0.
Стрэнг доказал достаточность этих условий, а затем Томи
[1965а] доказал их необходимость для устойчивости в норме
максимум модуля. Поскольку условие A) непременимо к рас-
рассматриваемой нами задаче, то надо думать, что условие E.19)

112 ГЛ.5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
не является чрезмерно ограничительным даже для случая по-
постоянных коэффициентов, если мы хотим иметь устойчивость
не только в L2-HopMe, но и в норме максимум модуля. Более
того, Видлунд [1966] дал пример неустойчивой разностной
схемы для системы из двух параболических уравнений с пере-
переменными коэффициентами, где собственные значения главной
части матрицы перехода удовлетворяют условию B), которое
не сводится к E.19). Схема оказывается неустойчивой даже
в /^-норме, так что E.19), по-видимому, вообще наилучшее
достаточное условие, на которое мы можем рассчитывать.
Возвращаясь к задаче с переменными коэффициентами, мы
для простоты рассмотрим случай одного уравнения
которое аппроксимируется разностной схемой E.11) с коэф-
коэффициентами fP, не зависящими от Д/. Все основные идеи от-
отчетливо видны уже в этом случае. Хотя с& теперь зависит от х,
мы все же можем ввести локальный множитель перехода
G (х, I) = 2 с? (х) е*К = 1 - а (х) g2 + О (g3), E.20)
Р
который будем называть символом оператора С. Теперь мы
докажем, что если коэффициент а(х) удовлетворяет условию
Липшица и
\G(x, l)\<l для всех х и всех I Ф 0 из интервала [—я, я],
E.21)
a G(x,0)=l (согласованность), то разностная схема устой-
устойчива.
Из сделанных предположений вытекает, что при некотором
6>0
\G(xy g)|2^l_6?2 для |?|<я и всех х. E.22)
Мы начнем с того, что рассмотрим устойчивость в окре-
окрестности произвольной точки, которую для удобства примем
равной нулю. Итак, мы сосредоточим свое внимание на функ-
функциях и, для которых
«WsO при |*|>?>0. E.23)
Обозначая через Со разностный оператор (с постоянными ко-
коэффициентами)^, получающийся при замене $(х) в E.11) на
сР(О), а через и — преобразование Фурье от ы, имеем
\\Сои\?= J|G(Of ?)|2|
1-*B sin У,а2] | flpdft= || iip-в || и |ff E.24)

§ 5.3. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 1»3
здесь положено
II и % = J B sin ^f \ufdk=\\Ь%и||2 = ||^-иI2
(последние два равенства следуют из того, что преобразова-
преобразование Фурье от оператора разности вперед (назад) Д± равно
2/в±|/а'6 sin V26); ясно также, что
\\u\\p^2p-q\\u\\q при p^q. E.25)
Поэтому для того, чтобы доказать устойчивость оператора С,
положим
и покажем, что последний член оценивается величиной Ь\\иЦ2 +
+ 0(ДОИи|р.
Используя согласованность в форме E.20), напишем
С = / + а(х)Д+Д- + <2, E.26)
где Q — разностный оператор по меньшей мере третьего по-
порядка, равный сумме конечного числа членов, каждый из ко-
которых представляет собой произведение расположенных
в определенном порядке разностных операторов Д+ или Д_ и
коэффициентов а(х)\ например, следующим членом в этом
представлении может быть 72яД+Д-яД+Д— Таким образом,
|| Си |р = || и |р + 2 Re (и, аД+Д_и) +1| аД+Д-и |р +
+ 2 Re (и, Qu) + 2 Re (аД+Д_н, Qu) + \\ Qu |p. E.27)
Но из элементарного тождества \j\Z\ — даь ^ У\ (z\ — z2) +
+ z2(y\ — У2) следует, что в выражении вида (u,&(av)) разно-
разностный оператор можно поставить после а за счет вычитания
дополнительного члена, не превосходящего ?Дх||и|НМ1, где
L — постоянная из условия Липшица для функции а = а(х)\
этот член обозначим через ф(ы, v). Поэтому для второго члена
из приведенного выше для ||Сы||2 представления мы имеем
(ы, аД+Д-н) = {и, Д+ {ак-и)) + ф (ы, Д_«) =
= — (Д_м, aA-ti) + ф {и, Д_«)
(справедливость последнего равенства устанавливается сум-
суммированием по частям, см. § 6.2). Если сравнить это с тем,
что должно получиться для ||С0ы||2, то для разности получится
выражение
- (Д-и, [а - а @)] Д_и) + <р (и, Д_и).
Далее, поскольку и(х) обращается в нуль при |х|>?, то
&-и{х) равняется нулю при |л:|>2^, если Дл: < g. Поэтому по-
полученная выше разность не превосходит 2Ц||||^ + 1Д||||||||

114 ГЛ.5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
Члены более общего вида можно оценить аналогично.
А именно, рассмотрим разностный оператор общего вида
R = а^агАг • • .ЯгДгЯг+1, где п{ — равномерно ограниченные и
удовлетворяющие условию Липшица коэффициенты, а А,-—
элементарные разностные операторы. Последовательно пере-
переставляя at с Aj, получим операторы
Ai0i/?i, где R{ = а2Д2 ... Агаг+1,
ИЛИ
S3A3a4/?3, где S3 = AlaIa2a3A2,
где Srt_, = A1aI ... ап /?„_, = Д3 ... Аг,
/?л = A,fl,fl2 ... ar+1A2A3 ... Аг.
Следовательно,
- (и, Rnu) |<| (и, /?и) - (и,
(н, S2A2a3/?2«) — (w.
!/?^,^ - (и, Rnti) \
где L — постоянная Липшица для au a S] — оператор, сопря-
сопряженный с S(. Так как каждый из этих операторов ограничен,
то выражение в фигурных скобках не превосходит const ||н||2,
но здесь нам нужна более точная оценка. Каждый оператор
S*i оканчивается оператором Аь так что все члены, кроме
первого, не превосходят const \\u\\ \\u\\\ если г ^ 2, то в резуль-
результате перестановки двух последних множителей в операторе
R\ =sSiArtfr+i получим
Следовательно,
Поэтому мы можем сказать, что если оператор R имеет по
крайней мере второй порядок, то
\(u,Ru)-(u9Rnu)\ <constAjc||w||(||«||1 + Ajc||w||). E.28)
Приведя таким путем все члены в E.27) к виду
мы, очевидно, получим, что при Дл: <

§ 5.3. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ 115
где М(?)->0 при ?->0, а К\ и /Сг — некоторые постоянные.
Возьмем ? столь малое, скажем ? = ?0, что М(^о) < 6/4. Кроме
того, мы имеем
\\? + \\\?
Сопоставляя эти оценки с E.24), получаем, что при Д/ = (Дл;J
и Л/<?о
II Си ||2 < [ 1 + (/С2 + /Ci/Л) М\ || и ||2 - V261| и |jj, E.29)
откуда и следует устойчивость для функций ы, удовлетворяю-
удовлетворяющих условию E.23).
Чтобы распространить этог результат на функции и общего
вида, применим метод, предложенный Гордингом [1953]. Пусть
2й!/(л;)н=1 есть гладкое разложение единицы, в котором
каждый член dj(x)—гладкая функция от х, принимающая на
некотором интервале /;- значения, заключенные между 0 и 1, и
обращающаяся в нуль вне этого интервала, причем в каждой
точке х лишь равномерно ограниченное число функций dj(x) от-
отлично от нуля1). Каждый интервал /;- выберем столь малым,
чтобы оценка E.29) была справедлива для всех и, носители ко-
которых лежат в /;; при этом все длины /j могут быть взяты мень-
меньшими, чем 2?0 (величина ?о была выбрана независимо от поло-
положения интервала и от А/). Теперь мы можем, применив E.29) к
каждой функции dj(x)u(x) получить оценку суммы 2l|Cd/w|p
и сравнить это с ||Си|р = 2||^/Си|р. Для этого надо оценить
результат перестановки разностных операторов с умножением на
гладкие функции dy Рассуждая аналогично предыдущему, на-
находим, что
11| dju Щ —1| djk+u IP | = О (Ал:) || и11| (|| d/A+и || + II A+d/M || )<
< 4 (И dl^u IP + II b+dju |p) + О (А/) || и |р,
откуда
В каждой точке х лишь конечное число функций dj вносит
вклад в последний член. Поэтому, меняя местами интегриро-
интегрирование и суммирование (после суммирования по /), получаем
I dtu II? > -j 2"d/A+"|Р + ° (Л°"и |р = Т" * "• + ° (°Р
]) По поводу построения такого разложения см., например, Гельфанд и
Шилов [1959], стр. 182. — Прим. перев.

Нб ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1
Следовательно, применяя к членам, возникающим при рас-
рассмотрении оператора С, аналогичные рассуждения и исполь-
используя E.29), мы получим
IIСи|р «Slid/Си|р<
< 2 II Cd/и IP + О (А*) || и ЦК и ||, + О (АО II и |р <
< [1 + О (At)] SII d,H IP - «Д* 2II d/и
Этим завершается доказательство теоремы.
Этот несколько ограниченный результат легко обобщается
з различных направлениях. Например, в дифференциальное
уравнение могут быть включены такие же младшие члены, как
и в E.10), для этого нужно лишь применить условие E.21)
к множителю перехода при А/ = 0, следуя рассуждениям, при-
приведенным в начале этого параграфа. Такого рода результат
был впервые доказан Фрицем Джоном [1952], использовавшим
норму максимум модуля и предполагавшим, что функции а0,
дао/дх, д2а0/дх2, ах, dajdx и а2 непрерывны и равномерно огра-
ограничены; помимо того, что Джон доказал устойчивость в этой
норме, он не делал каких бы то ни было предположений о кор-
корректности постановки краевой задачи для дифференциального
уравнения, а выводил существование, единственность и другие
свойства решения из свойств разностного уравнения. Он по-
пошел даже еще дальше, заменив в E.10) член а2и нелинейным
членом d(x,t,u), равномерно удовлетворяющим условию Лип-
Липшица по и.
В следующем параграфе будет показано, что обобщение на
случай нескольких пространственных переменных осущест-
осуществляется непосредственно. Этот результат содержится в статье
Лакса и Вендроффа [1962], которым принадлежат основные
идеи изложенного нами подхода к задачам с переменными
коэффициентами. Однако в деталях наше изложение ближе
к трактовке Крайса [1964] и Видлунда [1965]; последнему при-
принадлежит дальнейшее обобщение результатов на системы па-
параболических уравнений общего вида, для решения которых
используется широкий класс неявных многослойных методов.
Впоследствии Видлунд [1966] распространил эти общие тео-
теоремы на случай нормы максимум модуля, обобщив таким об-
образом результаты Джона, Аронсона [1963] и других. Во всех
случаях существенную роль играет условие E.22), применен-

§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Ц7
ное к собственным значениям символа главной части разно-
разностного оператора, поэтому Видлунд называет разностные схемы,
удовлетворяющие этому условию, параболическими.
§ 5.4. Диссипативные разностные схемы
для симметричных гиперболических уравнений
Рассмотрим краевую задачу для гиперболической системы
1, E.30)
где вектор и = и(х, /) имеет р компонент и р X р-матрицы Aj(x)
гладко зависят от ху но не зависят от t. Будем предполагать, если
специально не оговорено противное, что матрицы Aj эрмитовы.
Введем матрицу t'P(x, к), где
S
E.31)
в случае постоянных коэффициентов эта матрица представ-
представляет собой преобразование Фурье от оператора из правой
части уравнения E.30) (см. § 4.3). Предположение о гипербо-
гиперболичности состоит в том, что существует такая невырожденная
матрица Г= Г(х, к), что
ТРТ'1 =
о
о
E.32)
где Hv=lAv(x, к) действительны, а Г и Г равномерно огра-
ограничены по х и к, т. е.
IIТ (х, к) ||, Иг^Чх, к)||^/С0.
Если матрицы Aj эрмитовы, то матрица Т унитарна, и указан-
указанные условия очевидным образом выполнены.
Будем считать для удобства, что в аппроксимирующих раз-
разностных схемах Дх;- = Ы при всех /. Кроме того, будем рас-
рассматривать только явные схемы
un+l=C(At)un,
E.33)

118 ГЛ.5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1
где С (А/)—конечная сумма операторов сдвига с матричными
коэффициентами:
(С(А/) и) (х) = 2 с? (х, А/) и (х + Р АО- E.34)
р
Будем предполагать, что матрицы ср(х, А/) эрмитовы, если эр-
эрмитовы Aj(x). Локальная матрица перехода, или символ G,
имеет вид
G (х, А/, I) = 2 с' (х, АО е^К E.35)
р
где | = А/к. Обозначим собственные значения матрицы G че-
через Xv и введем следующее определение.
Разностная схема E.33) называется диссипативной порядка
2г, где г — натуральное число, если существует такое б > О,
что для всех §, удовлетворяющих условию max||j| ^ я, .всех
х и всех А/, меньших некоторого т > О,
1Мх,Д*,§)|<1-6|§|2', E.36)
где ||| —евклидова норма вектора |.
Вспоминая определение порядка точности D.12а) или
D.13), мы можем сформулировать следующую теорему, при-
принадлежащую Крайсу [1964].
Предположим, что матрицы, входящие в дифференциальное
уравнение E.30) и в аппроксимирующее его разностное урав-
уравнение E.33), эрмитовы, равномерно ограничены и равномерно
удовлетворяют условию Липшица по х. Тогда, если схема
E.33) является диссипативной порядка 2г и имеет порядок
точности 2г — 1 при некотором натуральном г, то она устой-
устойчива.
Доказательство теоремы весьма длинно, но в общем есте-
естественно; некоторые упрощения в первоначальное доказатель-
доказательство Крайса были внесены Парлеттом [1966]. Имеются три
основных этапа. Сначала мы покажем, что сделанные предпо-
предположения достаточны для устойчивости в случае постоянных
коэффициентов, т. е. достаточны для локальной устойчивости.
Как мы видели в § 4.9, это равносильно тому, что для каждого
фиксированного х существует такая положительно определен-
определенная эрмитова матрица Н = #(х, А/, §), что G*HGKH и для
некоторой константы /С2 > 0
E.37)
Если бы Я достаточно гладко зависело от х, то последующие
рассуждения соответственно упростились бы (см. следующий
параграф), но чаще всего это не так и во всяком случае это

§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Ц9
трудно доказать. Мы построим матрицу Н так, что она будет
пригодна для целой окрестности точки х; она будет иметь пе-
период 2я по каждой компоненте вектора |, и нам легко будет
удовлетворить неравенству
G*HG < A - V26)l I |2г) Я, E.38)
но нам потребуется дополнительно, чтобы матрица Н имела
специальный вид
# = / + Я2г_1(х,Дг, S), где lltf^lKconstlgl2'-1, max|g/|<«.
' E.39)
Заключительный этап доказательства состоит в том, что с по-
помощью Н строится норма || ||я, в которой решение уравнения
E.33) удовлетворяет сильному условию устойчивости
II *n+l \?н < [1 + О (Л/)] || и* 1РЯ. E.40)
Заметим прежде всего, что зависимость С и тем самым G
и Я от А/ осуществляется через матрицы ср(х, Д/), вычислен-
вычисленные для значений Aj в точках, соседних с х. Так как Aj удов-
удовлетворяют условию Липшица, то величина ||С(Д/)—-
— С@)||(Д/)~1 ограничена и потому свойства устойчивости
оператора С(Д/) и его главной части С@) одинаковы. По-
Поэтому мы рассмотрим только эту последнюю и будем считать
в дальнейшем, что С, G, Н и X не зависят от Д/.
На первом этапе доказательства мы опустим предположе-
предположение о том, что матрицы Aj эрмитовы. Это уведет нас несколько
в сторону от намеченной цели, но будет полезно для выясне-
выяснения роли различных предположений. В силу двойственного опре-
определения порядка точности D.13) имеем
E.41)
где ||Q||< const |||2r при тах|^|<я. Далее, в силу гипербо-
гиперболичности это соотношение можно с помощью матрицы Т из
E.32) преобразовать к виду TGT~l = М + #, где матрица-
М = exp(iTPT~l) диагональна и ||Р||<const|||2г. Если теперь
перейти к верхней треугольной форме с помощью унитарного
преобразования U, то мы получим
G = UTGT~lU* = UMU* + или* = Л + N> E.42)
где Л—диагональная матрица из собственных значений Kj
матрицы G, a N — нильпотентная матрица, у которой Nij = 6
при i^u причем важно отметить, что ||#||< К\Ц|2г для неко-
некоторой постоянной К\ > 1. Это устанавливается следующим об-
образом. Элементы матрицы URU* ограничены скалярным

120
ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
Ч. I
кратным величины |g|2r, и поскольку ? имеет верхнюю треуголь-
треугольную форму, то так же ограничены элементы матрицы UMU*,
лежащие ниже диагонали. Но UMU* — нормальная матрица;
и потому ее наддиагональные элементы ограничены скалярным
кратным оценки для поддиагональных элементов1), откуда и
следует наше утверждение.
Теперь непосредственной проверкой легко убедиться в том,
что степени G ограничены. Действительно, как и в § 5.2,
/=о
У=0
b)p-1 при
Менее очевидным является построение матрицы # = //(g),
аналогичное тому построению, которое проводилось при дока-
доказательстве матричной теоремы Крайса в предыдущей главе.
Вводя диагольную матрицу
D =
А2
о
о
с Д > 1, выберем А столь большим, чтобы
т. е.
!) Имеем
Предположим, что | a{k |</C при i>k. Тогда
р р
и т. д. По индукции находим, что при i<k

§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ \$\
где через Rd обозначено Dil2RD~lf*. Ясно, что это возможно,
так как в силу E.42) GD = (Л + N) D = Л + ND, а поскольку
(j9k)-элементматрицы^ равен /s!/2iI~k)Njk9 TO||tfl/
Г4* | 5 |2г. Следовательно,
Л*Л|| + 21|ND || +1| WD |p<
<1 ~6| g|2r + const A"I/2lil2r<l-V26|i|2r
для достаточно больших Л. Таким образом, для достаточно
больших Д неравенство E.38) удовлетворяется при Н =
= T*U*DUT, причем Н удовлетворяет соотношению E.37) при
Чтобы построить Н с дополнительным свойством E.39),
применим другой подход. Будем считать матрицы Aj и с& эр-
эрмитовыми и предположим, что матрица Р предварительно при:
ведена к диагональному виду при помощи унитарного преоб-
преобразования. Положим также § = а|о, где |о—некоторый фик-
фиксированный единичный вектор, так что
G=M + o*rR + o(o2% E.43)
где матрица М = exp(iaP(go)) диагональна и унитарна, а мат-
матрица R = R(%o) эрмитова. Теперь предположим, что два соб-
собственных значения \ij и \хи матрицы Р равны. Тогда имеется
некоторый произвол в выборе унитарного преобразования,
диагонализирующего Р, а именно это преобразование опреде-
определяется с точностью до любого унитарного преобразования
в двумерном подпространстве, отвечающем этим двум собствен-
собственным значениям. Так как матрица R эрмитова, то указанный
произвол можно использовать для обращения в нуль элемен-
элемента /?#.
Предполагая это выполненным, определим с помощью R
эрмитову матрицу Н' формулой
f 0 При JAy—H'fc»
l- (М4)
-^) при
и Затем построим эрмитову матрицу
Н = 1 + о*г^Н'. E.46)
Проверим выполнение условия E.38). Разлагая М по степе-
степеням а, получаем
G*HG *= Н + О2г [2/? + i (Н'Р - РН')] + о {а2г). E.46)
В силу определения Н' внедиагональные элементы матрицы
в квадратных скобках равны нулю. Кроме того, справедлива

|22 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. !
следующая лемма, доказательство которой будет приведено
несколько позже.
Лемма. Если матрица G диссипативной разностной схемы
имеет вид E.43), то
/?//< — 6 + оA) при сг->0. E.471
Поэтому для | = а|о имеем
2R + i{H'P - РН') < - 26/ + оA),
причем матрицы Я/ = Я/(|0) ограничены, хотя и не равно-
равномерно по |о- Таким образом, для каждого направления |0 су-
существует целый отрезок О^а^ао(|о), на котором выпол-
выполнены соотношения E.38) и E.39). Далее, так как Р и R не-
непрерывно зависят от |, то найдется такое е > 0, что при ||о —
— Si|<e и |Ы=1
2R «,) +1 [Н' (Ы р (8i) - р (8i) н' (8оI < - */;
поэтому при | = a|i, 0 < a < о\ (|о) условия E.38) и E.39)
также выполнены. Но по лемме Гейне — Бореля весь шар
|||-<1 можно покрыть конечным числом таких окрестностей,
в каждой из которых //' можно считать постоянной. Поэтому
мы можем построить #(§) в некоторой окрестности нуля |||^
^ Q2 так, чтобы выполнялись все три требования E.37) —
E.39). Вне этой окрестности соотношение E.39) не имеет ме-
места, и можно использовать только матрицу /?, построенную на
первом этапе.
Для доказательства леммы покажем, что при а->0 собствен-
собственные значения матрицы G равны ее диагональным элементам с
точностью до членов порядка a2r. Это следует из уточненной тео-
теоремы Гершгорина (см. примечание на стр. 85), утверждающей,
что если s гершгоринских кругов матрицы М отделены от осталь-
остальных, то их объединение содержит в точности s собственных
значений М\ эта теорема легко следует из соображений непре-
непрерывности, так как собственные значения матрицы непрерывно
зависят от ее элементов. Предположим теперь, что \ik — простое
собственное значение матрицы Р, и умножим k-ю строку матри-
матрицы G на а1/а, а ее ^-столбец разделим на а1/а. Это преобразование
подобия не изменяет собственных значений Xj матрицы G, но
делает радиус &-го гершгоринского круга равным О (а2г+|/2)
а остальные радиусы равными О (о2г~Ц. Так как центрами
этих кругов являются точки Gn = ei0lil + o2rRn + 0(o2r+l) и
V>k Ф VI ПРИ / Ф К то k-й круг отделен от остальных при до-
достаточно малых а. Поэтому матрица G имеет собственное

§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 123
значение
Но в силу E.36) |Я|^ 1 — 6а2г, так что
1 - 2 6а2' > 1 + 2o2rRkk + о (а2'),
т. е. Rkk<— 6 + 0A) при а->0.
Если \ih не является простым собственным значением Р, то
все строки и столбцы G, соответствующие \ik, преобразуем так
же, как и выше. Так как Rjk = 0 при \ij = \ik и / ф К то радиу-
радиусы соответствующих кругов снова равны O(o2r+l/*). Поэтому по
крайней мере один из них содержит собственное значение ма-
матрицы G, так что E.47) выполняется для соответствующего /?,-j.
С другой стороны, если бы для некоторых из оставшихся кру-
кругов Rn> — б + оA), то они были бы отделены от тех кругов,
для которых Rjj-^— б + оA) при а->0, и мы пришли бы к
противоречию с тем фактом, что тогда они содержали бы соб-
собственное значение G.
Переходя к заключительному этапу доказательства нашей
основной теоремы, вернемся к рассмотрению задачи с перемен-
переменными коэффициентами, определяемой уравнениями E.30), E.33)
и E.34), с эрмитовыми матрицами Aj и с&. Эта часть доказатель-
доказательства по форме аналогична тому доказательству, которое было
проведено для более простой задачи, рассмотренной в предыду-
предыдущем параграфе, за исключением того, что матрица Н не равна
теперь тождественно единичной матрице. Начнем снова с рас-
рассмотрения устойчивости в окрестности произвольной точки, ко-
которую для удобства будем считать нулем, и сперва ограничимся
такими функциями и, для которых
и(л;)н=0 при |х|>?>0. E.48)
В этом случае разностному оператору Со с коэффициентами
с? @) соответствует локальная матрица перехода G = G@,|),
получаемая с помощью E.35)^ Далее, как мы уже показали, су-
существует эрмитова матрица Я@, g) вида
Н = 1 + Н2г-Л0> 5) с H^-JK/talSI2'-1, E.49)
удовлетворяющая условиям E.37) и E.38). С ее помощью опре-
определим оператор Н следующим образом:
Ни (х) = BпГа12 { Н(О, Д/k) и (к) в""* rfk, E.50)
где и — преобразование Фурье функции и. Аналогично опреде-
определим #2r-i и обозначив {(и,Яи)}/з через ||и||я. Очевидно, что

124 гл- 5- ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕПНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1
в силу свойств Н эта величина действительно будет нормой, и
|| Си |ря = (Си, [/ + Я*-,] Си) = Е + F =
= (?о + ^о) + (Е- Ео) + (Р- Ро), E.51)
где
Е = || Си |р, F = (Си, Яаг^Си),
а Ео и Fo получаются из них заменой С на Со. Наша основная
цель —оценить каждый из трех членов в правой части E.51),
чтобы установить неравенство E.40). Имеем
= II Соп |ря = J u*G*^Gu dk
< J u* A - V26 2 B sin 72|/Jг) Ни dk =
= llu4-V2&Olu|?, E.52)
где, как и в § 5.3,
d
S E.53)
/=1 /=1
так что
||u||p<2p-a||u||, при р>9. E.54)
Для того чтобы оценить остальные члены, необходимо по-
подробнее рассмотреть структуру оператора С. Так как этот опе-
оператор является представлением дифференциального оператора
с точностью до членов порядка 2г — 1, то он однозначно опреде-
определяется с точностью до членов этого порядка. Следовательно, мы
можем записать (ср. с выражением E.41) для матрицы (?)
2г-1
т=0
где

§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 125
а Д/2г"|) обозначает усеченное разложение оператора &t(d/dXj)
по степеням оператора центральной разности Д0/=-о-(Д+/ + Д_/):
где Y2m+i — некоторые действительные постоянные. Остаточный
член QA также есть конечная сумма произведений Ц ЛДР' раз-
разностных операторов, где каждое А представляет соббй одну из
матриц Aj(x), а каждое Д — один из операторов Д+j или Д_;-;
при этом 2r ^2p*^const, так как наша разностная схема по
i
предположению является явной схемой Bг—1)-го порядка
точности.
Как уже отмечалось, в выражении (u, AAv) разностный опе-
оператор можно переставить с Л за счет добавления дополнитель-
дополнительного слагаемого, не превосходящего по норме LAf ||u||-||v||, где
L — постоянная Липшица для Л; в дальнейшем мы будем обо-
обозначать это слагаемое через ф(и, v). Поэтому, используя про-
простейшую формулу суммирования по частям (и, Д0Лу) =
= —(Дои, Лу) и тот факт, что матрица Л эрмитова, получаем
(и, ЛДоУ) = — (ЛДои, v) + Ф (и> v)- E.57)
Аналогичные формулы справедливы для каждого из конечного
числа разностных операторов нечетного порядка, образующих
Рд, и тем самым для самого Рд. Поэтому
/ 2г-1 /2г-1
= || u IP + (u, R\x) + Ф (u, u). E.58)
Из этого выражения видно, что R является разностным опера-
оператором того же вида, что и <2д, т. е. порядка не меньшего, чем 2г.
Чтобы оценить члены, содержащие такие операторы, будем рас-
рассуждать так же, как и при получении неравенства E.28) в § 5.3:
переставляя некоторые А и Д, получаем
(u, Rv) = (Аги, 5Дгу) + Ф (и, v),
где S — ограниченный разностный оператор порядка на 2г мень-
меньшего, чем /?, а Дг обозначает произведение г множителей A

126 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
Следовательно,
II /2г-1
= || u IP + (A2u, S'tfu) + Ф (u, u), E.59)
где S\ как и 5, является ограниченным разностным оператором.
Но Е — Ео = ||Си||2— ||Сои||2, так что главным в этой разности
будет член, соответствующий оператору S'— S'q. Поскольку но-
носитель функции и содержится в шаре радиуса ?, то С можно за-
заменить на C0 + g(x) (С— Со), где g(x)— гладкая функция, удо-
о
влетворяющая условиям g(x)=l для IxK-jg и g(x) = 0
для |х| > 2? при условии, что Да: достаточно мало. Поэтому для
вычисления разности ||Cu||2 —||C0u||2 при достаточно малых Дх
достаточно интегрировать по шару радиуса 2?; следовательно,
\Е-Е0\^М{(О\\п\?г + К4Щп\?9 E.60)
где Mi(?)->0 при ?-*0, а Кь—некоторая постоянная.
Для оценки последнего члена используем специальный вид
матрицы Н (см. E.49)):
^JC-Colu)! E.61)
(оператор С ограничен). Теперь представим #2r-i в виде #2r-t =
= #i#2, где Н\ и #2 определяются преобразованиями Фурье
r/2
j
Имеем
Следовательно,
[С + Со] и, Я2Г_, [С - С0]и) | <|| Я, [С + Со] и ИИ Н2[С - Со] и
<II [С + Со] и ||г || [С - Со] и ||,_, < const || u 11| [С - Со] и Ц._,.
Рассуждая обычным образом и используя E.53) и E.54), по-
получаем
II [С - CJ и Ц._, < S IД+1' [С - Со] и <
d
< S I [С - Со] A+1'u | + const A* • || и |

§ 5.4. СХЕМЫ ДЛЯ СИММЕТРИЧНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 127
где М2(?)-+0 при ?-*-0, так как оператор С—Со имеет по мень-
меньшей мере первый порядок по ?. Применяя E.60) и еще раз
E.54), находим, что
где Л4(?)->0 при ?->0, а Ке—некоторая постоянная. Таким
образом, при ? ^ ?0 для некоторого ?о > 0 первый член в пра-
правой части будет меньше вычитаемого из правой части E.52);
поэтому
|ип+1|^<||ип| + а7С2-|Д/»и1Г<A+аЛО||иХ, E.62)
где a = КчК%.
Чтобы получить этот результат для функций ип общего вида,
мы снова применим метод Гординга [1953]. Пусть ^d2t(x) =
е=5 1 — гладкое разложение единицы, в котором каждый член
di(x) есть гладкая неотрицательная функция от х, равная нулю
вне некоторого шара 5г-, причем в каждой фиксированной точ-
точке х лишь равномерно ограниченное число членов отлично от
нуля. Возьмем каждый шар Si столь малым, чтобы оценка E.62)
выполнялась для всех функций un, носители которых принадле-
принадлежат Si\ из предыдущего ясно, что радиусы шаров St можно счи-
считать большими, чем ?0. Теперь определим оператор Н{ в центре
шара S,-, как и выше, и положим
II и 1РЯ = 21| dtn |рЯ/ = 2 (dp, H{ dtu);
ясно, что эта норма по-прежнему удовлетворяет неравенствам,
общим для всех Яг-. Далее,
II и»+> 1Ь — 21 (^«Сия, //f d^Cu").
Замечая, что в каждой точке х при перестановке d\ и С лишь
конечное число функций d\ даст ненулевой вклад, находим
II u*+1 \?н <2 (Cdv", HiCdtXx11) + const Л/1| и* |р <
тем самым устойчивость разностной схемы установлена, чем и
завершается доказательство теоремы Крайса.
Мы привели столь подробное доказательство как по причине
важности результата, так и ввиду общей ценности проведенных

128 гл. о. переменные коэффициенты, нелинейные задачи ч. i
рассуждений. Всегда полезно иметь результат, зависящий толь-
только от собственных значений матрицы перехода или символа G,
но особенно важным оказалось понятие диссипативной разност-
разностной схемы для нелинейных задач (см., например, Рихтмаейр и
Мортон [1964]). Важно еще и то, что тем же путем можно полу-
получить целый ряд аналогичных результатов. В частности, саму
нашу теорему нельзя непосредственно применить к схемам Лак-
са — Вендроффа (см. § 12.7), имеющим четвертый порядок дис-
сипативности, но только второй порядок точности. Этот и ряд
других случаев можно свести к предыдущему заменой перемен-
переменных |. А именно предположим, что
где HQH ^ const|||2r, а векторная функция g(g) аналитична и
такова, что gj = gj + о(|||) при §->0. (Для схем Лакса —Вен-
—Вендроффа gj = sin gj.) Тогда переход к переменным g дает воз-
возможность применить изложенные выше соображения. Нетрудно
убедиться, что для символа G такого вида разностная схема
может иметь только первый порядок точности. Оказывается, что
в общем случае, однако, условие порядка точности 2г—1 не
может быть ослаблено такими методами, хотя Парлетт [1966] и
доказал, что порядка 2г — 2 достаточно, если Р имеет различные
собственные значения, т. е. если система дифференциальных
уравнений строго гиперболична.
§ 5.5. Дальнейшие разультаты для симметричных
гиперболических уравнений
Имеется ряд теорем о разностных схемах для гиперболиче-
гиперболических уравнений, аналогичных теореме, доказанной в предыду-
предыдущем параграфе. Если сделать о символе G предположения, в не-
некотором смысле более сильные (хотя и не включающие в себя
никаких условий диссипативности), то нет нужды в столь тща-
тщательном анализе информации о разностной схеме. Тогда оказы-
оказывается более удобным использовать операторы сдвига 7*и(х)==
= и(х + РА*), а не разностные операторы А±.
Одна из наиболее ранних таких теорем принадлежит Фрид-
рихсу [1954]:
Предположим, что при А? = Ах{ разностная схема
vr+l = Cvr-[2c*(x)TY E.63)
такова, что A) матрицы с(Р) (х) эрмитовы, не зависят от М и удо-
удовлетворяют условию Липшица по х и B) матрицы ст (х), кроме
того, неотрицательны, тогда эта схема устойчива.

§ 5.5. Дальнейшие резул^аТЫ 129
Как было отмечено Лаксом [1961], условие B) весьма стес-
стеснительно— ему удовлетворяют только разностные схемы пер-
первого порядка,—но зато оно позволяет очень просто доказать
теорему. Заметим прежде всего, что из него следует, что норма
символа разностной схемы не превосходит единицы:
l|G(x,g)|| = |Sc(W(x)e'M|<l при всех х и |. E.64)
Действительно, в силу условия согласованности 2 с(^(х) есть
единичная матрица; поэтому если ар— любые комплексные чис-
числа, по модулю равные единице, то из предположения B) выте-
вытекает, что
2 <« Jj < 1 ^ (у
полагая v = 2 dp?(p)u, получаем нужный результат | v |2 ^ | u |2.
Далее,
|(v, Си)ИI S J v* <х) *(Р) (х) и (х + Р Л/) dx
ИI S J v*
Полагая v = Си, получаем окончательно
E.65)
Мы уже упоминали первую работу Лакса, посвященную теоре-
теоремам такого типа. Позднее Лаке и Ниренберг [1966] доказали
теорему, устанавливающую прямую связь между локальным
условием устойчивости E.64) и условием устойчивости E.65) в
целом:
Предположим, что действительные симметричные матрич-
матричные коэффициенты с(р)(х) не зависят от М и имеют ограничен-
ные вторые производные по х, а условие E.64) выполнено всюду.
Тогда для действительных векторных функций ип разностная
схема E.63) устойчива.
5 Зак. 1300

130 ГЛ.5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
Первоначальное доказательство годилось лишь для скаляр-
скалярного случая, и было основано на использовании разложения
единицы, зависящего от А/. Доказательство для векторного слу-
случая даже более изящно. Сначала введем эрмитову матрицу
/?(x,g) = /-G*(x,g)G(x,g) E.66)
и построим соответствующий разностный оператор /?д. Из усло-
условия Липшица для коэффициентов с<Р> следует, что
/?Д = /-<ГС+О(Д/). E.67)
Поэтому нам надо, исходя из предположения E.64), т. е. из того,
что
R (х, g) > 0 для всех х и g, E.68)
доказать, что для некоторой константы М
(и,/?ди)>-МД/||и|р. E.69)
Для этого нам потребуются две леммы.
Лемма 1. Если символ R эрмитов и ф(х) — гладкая действи-
действительная скалярная функция, для которой |ф(х) | ^ 1, то для дей-
стивтельных и
| (Фи, RA Фи) - (Фи, ф#ди) | < К (L + L2) (АО2 II и||2, E.70)
еде постоянная К зависит только от /?, a L — постоянная Лип-
Липшица для ф.
Так как символ R эрмитов, то оператор /?д есть сумма членов
вида г(х)[Р±Г~0], где матрица г эрмитова в случае положи*
тельного знака и косоэрмитова в противном случае. Рассмотрим,
к примеру, первый случай. Используя индекс р для обозначения
сдвига х-^х + РА^, левую часть неравенства E.70) для рассма-
рассматриваемого члена можно оценить так:
| J (ФР ~ Ф) фиггир rfx - J (<р - Ф_р) фи^ги_р dx | =
= | J (Фр - ф) (фиггир - Фрирггри) dx <
< L | Р | М J | (Ф - Фр) urrup + Фр (u^rUp - ufou) | dx,
где uT — матрица, транспонированная к и. Первый член в под-
интегральном выражении в правой части не превосходит
||r||L|p|||u||2A/, а второй ограничен произведением постоянной
Липшица для г (а:) на |Р| ||и||2Д/, так как urrup = u^ru; отсюда
и следует нужный результат.

§ 5.5. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ 131
Лемма 2. Если матрицы А и В эрмитовы, А + В > 0 и
А — fi ^ О, то для любого действительного числа М
|лГ2(у, Ау). E.71)
Для доказательства достаточно заметить, что
g ((g) ()(g)
= 2 (f, 4f) + 2 (g, 4g) + 2 (f, fig) + 2 (g, fif) > 0,
положить f = Mu, g = AfVev и выбрать подходящее 8.
Для доказательства нашей теоремы возьмем теперь некото-
некоторое основное разбиение единицы, 2^НХ)—*> и рассмотрим
семейство функций е,(х) = с?г((Д/)-1/2х). Функции ег-(х) имеют
носитель порядка (Д/)'/а и удовлетворяют условию Липшица:
|ег-(х) — ^г(у) |<const(Д/)"'/2|х — у|. Мы утверждаем, что
| (и, /?Д11) - 2 ер, R^etu) \ < const Л/1| и |р.
i
В самом деле каждый член г(х)Т оператора /?д приводит к раз-
разности
J u'rup Л - 2 в| (х) в| (х + Р Л0^ ^х =
= J u^rup 2 4 [в, (х) - е,(х + Э ДО]2 dx.
i
Разность в квадратных скобках в последнем выражении при
каждом фиксированном значении х отлична от нуля только для
конечного числа значений /, поэтому вся сумма является величи-
величиной порядка О[(Д/)|/з], откуда и следует справедливость сделан-
сделанного выше утверждения.
Таким образом, нам осталось получить неравенство E.69)
для функции v = ?iU, имеющей носитель порядка (Д/I/а. Пред-
Предполагая, что* начало координат принадлежит этому носителю,
представим на нем R в виде ряда Тэйлора
R (х, g) = R @, g) + 2 XjRu) (g) + О (ДО, E.72)
где Ru)($) = dXlR(x, S)|x=0; если теперь положить
то ясно, что наша задача сводится к тому, чтобы доказать, что

132 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
т. е. что
(v, /&0)v) + 2 (w/, /?ky)v) > —ЛГД/Hv ||2,
где Wj = JCjV, а значок Д употребляется для обозначения раз-
разностного оператора, отвечающего соответствующему символу.
Далее, так как /?(х, |)^0, то должна существовать такая по-
постоянная Ми что
R^H^ + XjR^^ + M.MI^O при |jc7|<(A/I/2.
Таким образом, мы можем применить лемму 2 к
А = RW (g) + Мх Ml, В = (M)ll2RW (g)
и получить оценку «трудных» членов в RU\ Так как теперь все
операторы суть операторы с постоянными коэффициентами, то
эта оценка непосредственно переносится в исходное веществен-
вещественное пространство. В результате получаем
Если взять М2 = (А01/2/^ и заметить, что I|wj||2<O(A/)||v||2, to
мы придем к неравенству
I (w/t Rb) I < ^ (v, ^k0)v) + ^ (w,. /?k0)w/) + О (АО || v If,
так что остается доказать, что
» «21 wy) > - О (АО || v ||2.
Используя теперь лемму 1 с ф = ху9 находим
I (w/f /?!?w,) | - (*Jv, /ИМ I < iC (АО2 II v ||2,
где К зависит только от /?д)#, поэтому нужный результат будет
следовать из того факта, что
([ 1 - (dIM) | х |2] v, /?k0)v) > - О (Л/) || v |f,
если мы докажем, что носитель функции v содержится в шаре
|x|<(Af/2d)!/a Чтобы убедиться в последнем, положим г|)(х) =
= A — (d/At) |x|2)'/2 внутри этого шара и продолжим \f> вне
шара как гладкую положительную функцию. Постоянная Лип-

§ 5.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ 133
шица для нее равна (d/Д/)^ и в силу той же леммы 1
I (*2v, /?k°V) - fov, /?(д°Ч v) | < 2/С (АО2 (d/M) || v ||2,
в то время как
§ 5.6. Нелинейные уравнения с гладкими решениями
Для нелинейных уравнений пока еще не существует методов
исследования достаточно общих классов разностных схем. За
исключением отдельных частных случаев, совсем немного дока-
доказано относительно разностных схем, аппроксимирующих разрыв-
разрывные решения, которые часто возникают при решении таких урав-
уравнений. Только в случае достаточно гладких решений возможен
подход с помощью уравнений первой вариации. В гидродинамике,
например, это означает, что для аппроксимации ударных волн
пока нет строгой теории.
Однако, хотя предположение о гладкости решения дифферен-
дифференциального уравнения и исключает из рассмотрения многие физи-
физически интересные' Случаи, оно все-таки позволяет придать тео-
теории, развиваемой в последних трех главах, сколько-нибудь за-
законченный вид. Хотя понятие устойчивости как ограниченности
решений разностных уравнений остается в силе, теорема Лакса
об эквивалентности становится, конечно, неприменимой, поэтому
доказывать сходимость приходится непосредственно. Это можно
сделать различными способами. Весьма простой способ рассу-
рассуждений, изложенный здесь, принадлежит Стрэнгу [1964а].
Рассмотрим гиперболическую краевую задачу для квазили-
квазилинейной системы
d
лу(и,х)-^, -оо<*,<+оо, 0</<1, E.73)
где u = u(x, t). есть р-мерная векторная функция с начальным
значением и(х, 0) = ио(х). Аппроксимирующую эту задачу раз-
разностную схему запишем в виде
пп+\ = ф (ип, х> д;), ио (х> дг) ^ Uo (х)) E.74)
где правая часть является нелинейной функцией от значений
ип(х + [Ш) функции un в конечном числе точек, соседних с х.
Как и в предыдущем параграфе, выберем все пространственные
приращения равными At. Тогда в силу согласованности для лю-
любой гладкой функции v имеем
d
ср (v, х, М) = v + А* 2 А, (у, *)ш + о (АО; E-75)

134 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
порядок точности схемы равен q, если для решения уравнения
E.73)
|| и (х, t + М) - ф (и, х, ДО ||= О [(Д0*+1]. E.76)
Предположим теперь, что мы подставили разложение
U (х, /, ДО = и (х, 0 + 2 (A0m Um (х,0 E.77)
771
в равенство U(x, / + А*, А/) = cp(U(x, ty Д/),х, А/), разложим его
левую часть в ряд Тэйлора и приравняем нулю коэффициенты
при каждой степени Af, используя при этом E.75). Первое из
полученных таким образом уравнений в точности совпадает с
дифференциальным уравнением E.73) для функции и, а осталь-
остальные будут линейными уравнениями относительно Um:
Um(x,0) = 0, т=1, 2,
Здесь коэффициент а зависит от первых производных функции и
и первых производных по и от функций Aj, а рт зависит от про-
производных до порядка т + 1 от и, ф и А-2 и до порядка т + 1 —/
от Uj для / < т. Далее, вследствие гиперболичности уравне-
уравнения E.73) решения уравнений E.78) существуют и непрерывно
зависят от неоднородных членов рт и их производных до неко-
некоторого порядка го. Поэтому в предположении, что и, ф и Aj
имеют го + /*+1 производных, все Um, m=l,2, ..., г, суще-
существуют; они называются главными членами ошибки *) и функция
U (х, U M) =u (х, *) + 2 (A/)mUm (х, t) E.79)
удовлетворяет соотношению
U (х, / + А*, АО = Ф (U (х, U А/), х, М) + о [(M)r+l]. E.80)
Основная идея Стрэнга состоит в том, чтобы сравнивать с раз-
разностной аппроксимацией un функцию U вместо и. Преимущество
этого подхода в том, что за счет выбора достаточно большого г
возмущение разностного уравнения E.74) можно сделать сколь
угодно малым. Это нужно потому, что при оценке разности ме-
>кду ф и ее первой вариацией нам придется переходить от сред-
среднеквадратичной нормы к норме максимум модуля.
») Заметим, что эти члены ошибки не зависят от Д/; следовательно, то
же верно и для оценок их производнцх, которые потребуются ниже.

§ 5.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ
135
Итак, обозначим через Еп разность U(n&t)—un и вычтем
уравнение E.74) из E.80) при / = пМ; для каждого р обозна-
обозначим через с (v) якобиан функции cp(v, x, Д/) относительно соот-
соответствующих переменных, отвечающих v(x + рД/) и, используя
теорему о среднем значении, получим
E»+1 (х) = 2 с* (U (п М) - QEn) Еп (х + Р М) + о [(M)r+l], E.81)
гдеб лежит между 0 и 1 и зависит от я, р и х. Линейный разно-
разностный оператор Сп = С(яД/, Д/), соответствующий коэффициент
там с*, вычисленным в точке u(x, nAt), называется первой вариа-
вариацией оператора ф. Предположим, что он устойчив, т. е. что
ПС
</С при
Докажем по индукции, что если порядок точности операто-
оператора <р равен q и г взято равным q + [(d-\- l)/2], где [5] обозначает
целую часть действительного числа 5, то
max\En(x,kt)\^n{M)q+l при лД/<1. E.82)
Очевидно, это верно для п = 0; предположим, что это справед-
справедливо для n<.N. Перепишем E.81) в виде
Из E.79) и того факта, что q^-l, следует, что для всех п<М
E.83)
где \х — некоторая константа. Следовательно, вспоминая рас-
рассуждения из § 3.9, получаем
E.84)
Это произведение при i = 1 представляет собой матрицу беско-
бесконечного порядка, у которой в каждой строке имеется O(Nd) от-
отличных от нуля элементов, «связывающих» значение Е^ в не-
некоторой точке N-ro временного слоя с ошибками аппроксимации
в O(Nd) точках первого временного слоя. Это — оценка в /^-нор-
/^-норме. Оценка соответствующей нормы максимум модуля получает-

136 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
ся умножением на О(Л^^), так что
max | Е" | < NK<P* О {Nm)
X
при А/ < б, где б не зависит от N. Этим завершаются индукция
и доказательство сходимости un(x) к u(x, nkt) при А/-^0. Сфор-
Сформулируем- результат в виде теоремы.
Предположим, что оператор ф из уравнения E.74) является
согласованным и его первая вариация устойчива в L2. Тогда
если u, Aj и <р имеют непрерывные производные до порядка
[(d+ 1)/2] + го +2, то при Ы-+0 разностная аппроксимация un
сходится к решению уравнения E.73).
Рассматривая порядок величины членов рт, можно показать,
что если <р имет порядок точности q и предполагается существо-
существование [(d+l)/2]+ro+<7+l производных, то и^х) — и(х, пМ) =
О[()]
Несмотря на общность этой теоремы, мы должны предосте-
предостеречь читателя от мысли, что относительно нелинейных уравне-
уравнений с достаточно гладкими решениями все ясно. О том, что это
не так, свидетельствуют серьезные ограничения, с которыми при-
приходится сталкиваться при применении идей устойчивости и схо-
сходимости в практических вычислениях. Одна из причин здесь та,
что влияние граничных условий пока никак не учитывалось. Сле-
Следующий пример, принадлежащий Рихтмайеру [1963], показы-
показывает, какого рода неприятности могут возникнуть даже в самых
простых случаях.
Дифференциальное уравнение
= 0, 0<jc<1, />0, E.85)
с начальными и граничными условиями
1 и @,0-0. *>of E-86)
имеет точное решение
и(х, t) = x/(l + t). E.87)
Предположим, что мы пытаемся решить эту задачу, используя
«петлеобразное» разностное уравнение
«Г - «Г1 + т [("жJ - К-.J] - ° 0.88)
при Д/ = АДл:. Можно показать, что это уравнение имеет реше-
решения, которые для фиксированного t возрастают как exp (const/A/)
при Д/-^0, даже если для линеаризованного уравнения выпол-

§ 5.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ГЛАДКИМИ РЕШЕНИЯМИ 137
нено условие фон Неймана
Действительно, рассмотрим решение вида
и*] = Сп cos -S(. + Sn sin Ц- + Un cos nj + V. E.90)
Подстановка его в уравнение приводит к рекуррентным соотно-
соотношениям
Cn+l-Cn-l=2XSn(Un-V),
Sn+l - Sn~l =2XCn{Un + V), E.91)
Un+] — Un~l = 0.
Согласно третьему из них Un принимает два циклически повто-
повторяющихся постоянных значения, скажем А и В. Поэтому пер-
первые два соотношения дают уравнение
и аналогичное уравнение для 5П. Если коэффициент в правой
части заключен между —4 и 0, то все решения будут ограниче-
ограничены; в противном случае всегда найдется такое решение Сп, что
\Сп\ будет расти как экспонента от пу т. е. от t/At.
Чтобы увидеть, когда может появиться такое экспоненци-
экспоненциально возрастающее решение, заметим, что в силу условия фон
Неймана E.89) страведливо неравенство
— тах(|Л|,
которое показывает, что коэффициент при О в правой части
E.92) не может быть меньше —4. Если кроме того
\A\<\V\ и \B\<\V\, E.93)
то этот коэффициент не может быть больше нуля. Поэтому если
мы будем рассматривать постоянный член V в E.90) как глад-
гладкое решение, для которого другие члены являются возмущением,
и если амплитуда этого возмущения не превосходит предельного
значения, или порога, указанного в E.93), то оно не будет воз-
возрастать; но если первоначальное возмущение больше этого nor
рога, то можно ожидать его экспоненциального роста.
Контрольные расчеты, проведенные для задачи E.85), E.86)
Рихтмайером и Мортоном [1964], а также Стеттером [1965], под-
подтверждают наличие этого и ряда других сходных явлений. Ис-
Использование петлеобразной схемы E.88) в некоторых случаях
приводит к решениям, которые сильно возрастают, в то время
как схема для соответствующей линеаризованной задачи

138 ГЛ. 5. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
оказывается либо устойчивой, либо приводит лишь к очень не-
незначительному возрастанию ошибки. Выводы из этих примеров
не совсем ясны, отчасти из-за влияния граничных условий. Воз-
Возможное объяснение состоит в том, что в обоих случаях петлеоб-
петлеобразная схема обеспечивает сходимость аппроксимации при до-
достаточно малых А/, т. е. тогда, когда ошибка аппроксимации
в разностной схеме порождает достаточно малые возмущения.
Но для нелинейной задачи поведение решения существенно за-
зависит от относительной величины возмущений, что не имеет
места для линейной задачи.
Во всяком случае практическое различие между этими за-
задачами весьма велико. Из последующих глав будет видно, что
во многих случаях наличия устойчивости при Д/->0 отнюдь не
достаточно для практических целей.
Следует отметить, что даже после линеаризации петлеобраз-
петлеобразная схема находится только «на грани» устойчивости, так как
собственные значения ее матрицы перехода по модулю равны
единице. Поэтому к ней невозможно применить изложенные
выше теоремы Крайса. Однако в E.88) можно ввести дополни-
дополнительные разностные члены таким образом, что схема станет
диссипативной в указанном выше смысле без изменения поряд-
порядка точности. Рихтмайер и Мортон показали, что коэффициенты
этих членов можно выбрать так, чтобы обеспечить устойчивость
даже для нелинейной задачи. Нужно также отметить, что хотя
здесь рассматривается только случай скалярного переменного,
но теорема Лакса и Ниренберга неприменима даже к линеари-
линеаризованной системе. Петлеобразная схема двухслойна, и если ее
привести к однослойной схеме (см. гл. 7), то вектор решения
будет иметь две компоненты; матрица перехода для такой си-
системы не удовлетворяет условию теоремы Лакса и Ниренберга.

Глава б
СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 6.1. Введение
Специалист по численному анализу, перед которым поставле-
поставлена проблема выбора устойчивых конечноразностных схем, может
идти двумя существенно различными путями: попытаться полу-
получить такой критерий, который был бы пригоден для определения
устойчивости любой из предложенных ему разностных схем,
или же использовать те методы, устойчивость которых уже
установлена. Первый путь более удовлетворяет честолюбию ма-
математика, и до сих пор при исследовании устойчивости мы шли
именно по этому пути. Однако из последней главы видно, что
встречающиеся при этом трудности непрерывно возрастают.
Так, для линейных гиперболических уравнений в теоремах об-
общего характера надо предполагать либо большую гладкость
коэффициентов плюс выполнение локального условия устойчи-
устойчивости, либо наличие диссипативности. В обоих случаях дока-
доказательства теорем достаточно сложны. По-видимому при фак-
фактическом исследовании линеаризованных задач для нелинейных
уравнений условие диссипативности является более подходя-
подходящим, поскольку численные эксперименты, типа упомянутых
в § 5.6, наводят на мысль, что оно весьма желательно, даже
если и не является строго необходимым. Но для многих имею-
имеющих практическое значение линейных разностных схем условия
этих общих теорем оказываются слишком стеснительными: дей-
действительно, во многих случаях было бы удивительно, если бы
условие Липшица для коэффициентов давало в смысле устой-
устойчивости что-либо другое по сравнению с случаем постоянных
коэффициентов. Таким образом, как это часто бывает, выигры-
выигрывая в общности, мы проигрываем в точности для конкретных
частных случаев.
Поэтому в этой главе мы уделим больше внимания изуче-
изучению конкретных типов разностных схем. На этом пути мы смо-
сможем кроме того начать рассмотрение задач с непериодическими
граничными условиями для ограниченных областей и изучить
влияние этих граничных условий на устойчивость. Ввведение
границ помимо необходимости использовать дополнительный
аналитический аппарат приводит еще к двум новым затрудне-
затруднениям при исследовании устойчивости. Во-первых, для того что-

240 гл- 6- СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
бы показать, что для разностного уравнения не существует соб-
собственных колебаний, возрастающих от шага к шагу, нужно
теперь рассматривать колебания, отличные от колебаний с по-
постоянной амплитудой, т. е. от компонент Фурье для задач с по-
постоянными коэффициентами; действительно, среди колебаний,
которые убывают при удалении от границы, также могут быть
собственные колебания, разумеется, если они удовлетворяют
граничным условиям. В действительности этими последними
условиями исключаются все колебания, возрастающие со вре-
временем, в предположении, что устойчивость (или корректная по-
постановка задачи) обеспечена. Во-вторых, многие разностные
схемы требуют для своей реализации большего числа гранич-
граничных условий, чем это необходимо при решении соответствую-
соответствующей задачи для дифференциального уравнения. Поэтому возни-
возникает задача научиться выбирать эти дополнительные условия
таким образом, чтобы при этом не ухудшить устойчивость.
§ 6.2. Основные идеи энергетического метода
Начнем рассмотрение наших задач с несколько более по-
подробного, чем до сих пор, изучения так называемого энергети-
энергетического метода. Это несколько странное название относится
к широкому кругу технических приемов, основанных на понятии
сильной устойчивости, о которой говорилось в конце § 5.2. Ос-
Основная идея состоит в том, чтобы построить для вектора реше-
решения такую норму, в которой он возрастал бы за каждый шаг
на множитель, не превосходящий 1 + О(Д/). Это означает
устойчивость в такой норме, и все дальнейшие рассуждения
обычно сводятся к тому, чтобы установить эквивалентность этой
нормы и ?2-нормы. Причиной указанного названия является то,
что в некоторых наиболее простых случаях в качестве такой
нормы можно взять физическую энергию системы.
Подобные методы уже давно применяются в теории диффе-
дифференциальных уравнений для доказательства существования и
единственности решений (см., например, работы Фридрихса
[1954, 1958] и Р. Филлипса [1957, 1959], в которых имеются ссыл-
ссылки на более ранние публикации). Их применение к разностным
уравнениям также имеет долгую историю, начинающуюся с ра-
работы Куранта, Фридрихса и Леви [1928]. Затем они использова-
использовались многими авторами, в том числе Фридрихсом [1954], Лисом
[1960], Лаксом [1961] и Крайсом [1963].
Иногда с помощью этих методов можно получать совершенно
общие результаты; мы уже делали это в предыдущей главе.
В начале своих исследований по задачам с переменными коэф-
коэффициентами Лаке [1960] рассмотрел вопрос о границах приме-
применимости энергетического метода и показал, что при определен-

§ 6.2. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА 141
ных условиях норма с нужными свойствами всегда существует
и может быть выражена в явном виде через решение и опре-
определенное число разностей от него. Однако условия, при которых
это возможно, довольно ограничительны. Из теоремы Крайса
о матрицах мы знаем, что такие нормы существуют по крайней
мере для задач с постоянными коэффициентами; трудность за-
заключается в их точном представлении с помощью решения и
разностей от него.
Поэтому мы будем рассматривать энергетический метод ско-
скорее как совокупность приемов, применяемых к каждой разност-
разностной схеме (или классу разностных схем) индивидуально для
получения нормы с нужными свойствами для этой конкретной
схемы. Так, для одного уравнения B\un+l = Воип с одной про-
пространственной переменной весь процесс состоит по существу из
двух этапов. Сначала, возводя в квадрат обе части уравнения
и суммируя по всем точкам сетки, т. е. выбирая подходящее
скалярное произведение, мы стремимся получить соотношение
вида
1 F.1)
где Sn = S(un) — некоторая квадратичная форма от решения
ип и его разностей. Затем мы должны показать, что форма Sn
является положительно определенной и эквивалентна квадрату
12-нормы ип\ именно здесь в качестве условия устойчивости по-
появляется некоторое ограничение на шаг по времени. Заметим,
что при рассмотрении разности между ип и решением диффе-
дифференциального уравнения можно с помощью этого метода непо-
непосредственно получить оценку роста ошибки и скорость сходи-
сходимости.
Ясно, что получаемое таким образом условие устойчивости
в общем случае будет только достаточным. Можно не получить
действительных границ устойчивости метода либо вследствие
недостаточной изобретательности при построении нормы, либо
вследствие ограничений, присущих самому энергетическому ме-
методу. Таким образом, этот метод до некоторой степени допол-
дополняет анализ на собственные значения, который обычно дает не-
необходимые условия устойчивости. Компенсацией за эти ограни-
ограничения служит главным образом та простота, с которой можно
учесть переменность коэффициентов и граничные условия. По-
Помимо этого, ниже будут построены примеры, показывающие, что
понятие устойчивости, определенной до сих пор как свой-
свойство, проявляющееся в пределе при Д/->0, может быть причи-
причиной недоразумений на практике. Энергетический метод позво-
позволяет ответить на весьма важный практический вопрос — для
каких значений Д/ при данном конечном Лл: норма решения
возрастает не быстрее экспоненты от времени /?

142 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч^
В соответствии с общим принципом тщательной подгонки
нормы к каждому рассматриваемому методу указанные поло-
положения лучше всего проверить на конкретных примерах, часть
которых приводится в следующем параграфе. Эти примеры
иллюстрируют также еще одну особенность энергетического ме-
метода, а именно что разностную схему можно (и часто нужно)
выбирать так, чтобы облегчить применение метода. В особен-
особенности это относится к многомерным задачам.
Прежде всего введем некоторые обозначения и получим не-
несколько основных неравенств и тождеств. Для простоты огра-
ограничимся здесь задачами лишь с одним пространственным пере-
переменным ху для которого возьмем в качестве стандартной обла-
области отрезок 0^л:^1; если одна или обе границы находятся
в бесконечности, то обычно это приводит только к упроще-
упрощениям, и необходимые при этом изменения в приводимых ниже
утверждениях очевидны. Покроем область изменения х равно-
равномерной сеткой с шагом Ajc, положение которой относительно
границ выбрано и фиксировано, и будем считать, что решение
ип(х) ищется только в узлах сетки, где оно обозначается через
и"; / пробегает значения от 0 до /. Выбор сетки в крайних точ-
точках в значительной степени определяется заданными гранич-
граничными условиями, и мы рассмотрим здесь только две возможно-
возможности1): либо крайняя точка является точкой сетки, называемой
в этом случае граничной точкой, что обычно бывает тогда, ко-
когда в качестве граничного условия задано само значение функ-
функции; либо она лежит посредине между двумя точками сетки,
что чаще всего бывает тогда, когда в качестве граничного усло-
условия задается производная от неизвестной функции. Точки сетки
внутри области называются внутренними точками. Во втором
случае иногда удобно ввести фиктивные точки вне области из-
изменения х, называемые внешними точками. Отметим, что значе-
значения, которые может принимать Ах, ограничены выбором сетки
на границах: например, если обе крайние точки являются гра-
граничными, то должно быть (Ajc) = /.
В литературе существует большой разнобой в обозначениях
для конечных разностей. Для наших целей удобнее обозначать
разности с помощью явного оператора, а не с помощью, ска-
скажем, дополнительного нижнего индекса у функции, от которой
берется разность. Кроме того, мы предпочитаем использовать
для неразделенных разностей обозначения, близкие к тем, ко-
которые применялись в старых руководствах по данному пред-
1) В практических задачах для различных компонент вектора и7} сетки
могут значительно отличаться друг от друга; их выбор зависит от удобства
аппроксимации дифференциальных уравнений и граничных условий; здесь
подобные усложнения не будут рассматриваться.

§ 6.2. ОСНОВНЫЕ ИДЕИ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО МЕТОДА 143
мету. Хотя большая часть обозначений уже была введена в раз-
различных местах книги, стоит собрать их все вместе:
И/, Д-И^Му-М/-!, F.2)
= j (Д+ + Д_)и у —^ (и/+1 - «/_,), F.3)
62Wy = Д+ Л-Wy = Д_ Л+Wy = «у+1 — 2uj + Wy_j. F.4)
Если имеется несколько пространственных переменных, то они
различаются введением у разностных операторов нижних ин-
индексов. Кроме того, мы иногда будем использовать операторы
сдвига
Т+щ = щ+х, Т-и, = и,-и F.5)
как, например, в тождествах для разностей от произведения:
Д+ (аи) = аД+« + (Д+а) Т+и = Т+ (аД_и) + (Д+а) и, F.6)
Д_ (аи) = аД_ы + (Д_а) Г_ы = Г- (аД+м) + (Д_а) а, F.7)
До (аи) = аДон + (Доа) г/ + 72Д- [(Д+fl) (Д+м)]. F.8)
Хотя эти тождества приведены лишь в скалярной форме, ясно,
что они справедливы также и в том случае, когда а является
матрицей, а и — вектором.
Для функции un, не определенной в каждой точке х-про-
странства, мы не можем использовать обычное интегральное
определение ?2-нормы. Вместо этого возьмем в качестве нормы
следующую сумму:
(и, у)д = Да: 2 ujvy, || и \\2А = (и, и)д, F.9)
где суммирование распространяется только на внутренние точ-
точки сетки; если нет опасности спутать эту норму с обычной
12-нормой, то индекс Д опускается. Может показаться, что это
не согласуется с принципом гл. 2 вложения сеточных функций
un в функциональное пространство дифференциальной задачи.
Но в действительности это не так. Например, в случае когда
у сетки нет граничных точек, т. е. граница находится в беско-
бесконечности или проходит посредине между двумя точками сетки,
то в качестве результата такого вложения функции un можно
взять ступенчатую функцию со значением uf на каждой поло-
половине отрезка сетки по обе стороны от ее /-го узла; тогда норма
F.9) совпадает с 12-нормой. С другой стороны, если точки
х = 0 и х= 1 являются граничными и в каждой из них задано
однородное условие ип = 0, то формула F.9) эквивалентна
аппроксимации соответствующих интегралов по правилу трапе-
трапеции. Но если функция un продолжена на весь отрезок с по-
помощью линейной интерполяции, то вклад /-го отрезку

144 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
в интеграл, определяющий ?2-норму, равен
III «у+К. -и?)* II2 dt - Ч IIй" II2+1К-и I2 + Re <«ж)
о
и заключен между одной шестой и половиной от ||иу ||2 +
-f- ||и* II2. Следовательно, в этом случае обе нормы также экви-
эквивалентны. Можно показать, что они эквивалентны и в проме-
промежуточных случаях. Все, что надо делать, —это видоизменять
способ вложения в соответствии с рассматриваемой задачей
таким образом, чтобы норма F.9) была эквивалентна ?2-норме.
В случае когда в скалярных произведениях встречаются раз-
разности от и, может возникнуть надобность в изменении пределов
суммирования, поэтому удобно ввести обозначения
(«.у),,,-**!^. (бло)
Для примера легко доказать, что
||Л5.и||Ь<4п||и|^5+п>
||/?« II». < 4-mi* ( "
тогда как
Далее если А — матрица, то в силу F.6) и F.7) справедливы
следующие неравенства:
Kit, А+ (Av))r s - (и, ЛД+у)Г| S\^M+ Ьх\\ и||Г| J v\\r+h 5+1, F.13)
|(u, А-(Лу))л 5-(u, ЛЛ_у)Г( 5|<М_Лх||ц||г> s\\v\\r_u Яшт1, F.14)
| (u, Ao (Av)\ s - (u, A Aov)r> 51 < Mo Лх|| u ||л а\\ v ||r_lt 5+1, F.15)
где М с соответствующим индексом есть наибольшее значение
нормы матрицы дА/дх на отрезке, содержащем все точки сетки,
входящие в рассматриваемую формулу.
Однако наиболее важными для применений энергетического
метода являются формулы суммирования по частям, соответ-
соответствующие формулам интегрирования по частям в задаче для
дифференциального уравнения. Мы уже широко применяли их
в тех случаях, когда можно было пренебрегать граничными чле-
членами, но теперь мы должны быть более точными. Удобно вве-
ввести еще одно обозначение

§ 6.3. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 145
Эти формулы могут иметь несколько разновидностей, каждая
из которых получается просто суммированием одного из тож-
тождеств F.6) — F.8); основными являются следующие две фор-
формулы:
(«. Мл . - - (Д-«. 4+1. *+. + Л* • ">о Г1. F-17)
(и, Д_У)Г> , = - (Д+и, v)r_,, s_, + Л* • ujvo l^,; F.18)
объединяя их вместе, получаем
(и, Д„у)г, ,: (Дои, у)Л s + V, Л* (u;, v0 + <v,) |.. F.19)
После несложных преобразований приходим к соотношениям
(«• ЛЛ. = " <Л+и- v), s - (А+«. A+v)r. . + А« • «Х Г' F-20)
(«• Л- A s = ~ (А-«. v), . + (А_«. Д-V),, $ + Ьх- u;v01?_,. F.21)
§ 6.3. Простейшие примеры применения
энергетического метода: выбор устойчивых
аппроксимаций граничных условий и нелинейных членов
В качестве первого примера рассмотрим смешанную краевую
задачу для действительной функции и(х, t)
Ж+а(*)-Ж = 0' 0<*<оо, 0</<1, F.22)
с начальными и граничными условиями
и(х, O) = f(x), 0<л:<оо,
где Л^а(л:)^а>0. Будем аппроксимировать это уравнение
четырехточечной разностной схемой (ср. Томи [1962])
tty+l + M/n+,l+fl/-./iA^Jf+Is=
= и?+ ttJL,—<*/_¦/• А-ИГ л = 0» 1, 2, ..., /=1, 2, ... , F.23)
где положено Ад: = Д/, что не уменьшает общности. Чтобы при-
применить энергетический метод, возведем обе части в квадрат
и просуммируем по всем /. Полагая
Sn = | № + «/-О2 + aU («? - «/-.Л -
= ST1 + т~)"" II2 + II а-ч?-и° 1Г' F-24)
где aJf, используется для обозначения G"_) '/«а, получаем
Sn+1_Sn=-2([l + r_]«n, а_./2А-«п)-
- 3 ([1 + Г_] ип+\ а-,/, Д-«п+1)- F.25)

J4Q ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Ясно, что
() [ + Г-] wj = w) — w)-\ = Д-
поэтому
- Sn = - 2 (Л- [(и"J + (ип+П а_,Л).
Отсюда после суммирования по частям, используя формулу
F.18) и граничные условия, находим
- Sn = 2 (И2 + 0г»+1J, Д+а-*) < 2L Д* (|| гГ |
F.26)
где L — постоянная Липшица для коэффициента а(х). Следо-
Следовательно, при постоянном а величина Sn также постоянна, а
с другой стороны, она возрастает не более, чем экспоненциаль-
экспоненциально,— во всяком случае это будет так, если мы сможем пока-
показать, что определяемая с помощью 5П норма эквивалентна
Z-2-норме, но это действительно так, ибо в силу F.24)
4min(l, a2)||^|p<Sn<4max(l, Л2)||^|р. F.27)
Отсюда следует, что
4min(l, a2)||
т. е.
m==0
ГДе K\ = max(l,/!2)/min(l,a2) и /С2 = L/min(l,a2). Поэтому
II un |f < (Kx +/C2Aa:)A— K2 АхГп \\ u° ||2 < const || ifi f
при nkx = nM ^ 1 и достаточно малых Д?.
Таким образом, нам удалось доказать безусловную устой-
устойчивость разностной схемы, у которой имеется переменный ко-
коэффициент и которая не является диссипативной в смысле дан-
данного в предыдущей главе определения. Более того, это было
сделано для области, ограниченной слева, и доказательство
легко можно распространить на случай конечного интервала
0^*г^1, для которого не нужно ставить граничных условий
на правом конце ни для дифференциального, ни для разност-
разностного уравнений. Если /Да: = 1, то суммирование при вычисле-
вычислении Sn в F.24) ведется по /= 1, 2, ...,/, и такие же пределы
суммирования берутся для нормы. Неравенства F.27) не из-
изменяются, за исключением того, что нижняя граница умень-

§ 6.3. ПРОСТЕЙШИЕ ПРИМЕРЫ 147
шается вдвое, так что
5п>2т1пA,а2)[|1|«/п|ч'||«/Г]>2ттA>а2)||«п||2;
далее, неравенство F.26) сохраняется, потому что а не меняет
знака1):
Sn+l - S,
- 2 ((un
Последующие рассуждения проходят без всяких изменений.
Для удобства ссылок стоит сформулировать эту заключитель-
заключительную часть доказательства в виде отдельной леммы:
Если существуют последовательность действительных чисел
Sn и две положительные постоянные К\ и /С2 такие, что
/СГ1 Ik II2 <S«</С, || и11 IP F.28)
), я = 0, 1, 2, ..., F.29)
то
II ип f < Кх {Кх + 2К2 АО A - 2/С,/С2 Д0~" II«° IP <
< const || if |р
при n&t ^T и достаточно малых Д/.
В качестве второго примера применим к уравнению F.22)
петлеобразную схему
ип+\ _ tt»-i = __ 2а} Д^, /=1,2,.... F.30)
Это трехслойный или двухшаговый метод, общую теорию кото-
которого мы отложим до следующей главы, а пока рассмотрим этот
простой пример ad hoc. Должны быть заданы начальные зна-
значения и0 и м1; умножив F.30) на ип^х + uj и просуммировав
по / = 1, 2, ..., получим для п ^ 1
|| ип+\ |р __ || ип-\ |р = — 2 {ип+] + ип~\ а №).
Положив
Sn = \\un\f + \\u»+l\? + 2(un+l, аДоИ»), F.31)
получим
Sn - Sn-, = - 2 (г/", а До*/*) - 2 (г/Л
1) Отметим, что это отвечает физической интуиции. Если бы мы имели
а(\) < 0, то ясно, что нужно было бы ввести граничное условие и* =0.

148 ГЛ. в. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1
В силу F.6), F.7) и F.19)
2 (и1»-1, а Д0и«)=2 («""', До (оия))—(«""'. (Т+ип) Д+а+(Г_ып) Д_а)=
= — 2(Ь<ря-1, аи") -(«"-', (?'+и«)Д+й + (Г-И'1)Д-11).
Следовательно,
+и») Д+а (Г-и«) Д.а <
F.32)
< LA* (II и"-1 IP+ 11 и" IF).
Далее,
2|(ип+1, а^и")\^А(\\ип+1\? + \\ипП F.33)
поэтому если Л < 1 (в действительности это не что иное, как
условие Куранта, Фридрихса и Леви ЛД//Дл; < 1), то мы имеем
n+l\^ F.34)
при некотором К > 0. Устойчивость в форме неравенства
Цип112 ^ const (l|w°ll2 + II!!2) следует поэтому из рассуждений,
аналогичных приведенным выше. Заметим, что в этом случае
устойчивость определяется условием, вытекающим из требова-
требования положительной определенности 5П.
Если эта разностная схема применяется для конечного ин-
интервала 0^x^:1, то необходимо поставить дополнительное
граничное условие при х= 1, чтобы иметь возможность решить
систему разностных уравнений F.30). Чтобы понять, как следует
выбрать это граничное условие, проделаем пройденный выше
путь в обратном направлении, считая, что /Дл: = 1 и F.30) вы-
выполняется для / = 1,2, ..., / — 1; по этим же значениям / бу-
будет проводиться суммирование для норм и скалярных произ-
произведений. Теперь неравенство F.33) больше ие выполняется
из-за наличия в левой части члена, содержащего ипр и, чтобы
сохранить F.34), положим
Sn = || ип ||2 + || ип+{ ||2 + 2 (ип+\ а Донп) - aj-,unjt\un^x.
Далее, мы видим, что вклад членов, содержащих Uj в выра-
выражении
2(ип~1, а\ип) + 2(ип, аДо^),
равен aj_x{unjZ\unj + W]_xunj-X)ts,x. Поэтому вместо F.32) будем
иметь
Sn - 5„_, < L Л* (|| и"-11|2+ ||м" И2)-*»,.,»? (и?-.1 +«?}) Д*. F.35)
Ясно, что если положить

§ б.з. пЕосГейШйе пеимёрЫ 149
то это не только позволит решить систему разностных уравне-
уравнений, но также обеспечит и устойчивость: для последней точки
сетки получается уравнение
*}±\ =(l +i.e/_1)"'[(l -?«,_,)«# +a,_I«y_2]. F.37)
которое обладает желательным свойством— имеет положитель-
положительные коэффициенты, сумма которых равна единице.
Стоит отметить, что более непосредственный способ полу-
получения unj экстраполяцией по / мог бы привести к неустойчиво-
неустойчивости. В этом случае вместо уравнения F.37) мы имели бы
u]t\ = tt?l! - 2a/_1 (!*»_, - и-_2). F.38)
Следовательно, бели бы а(х)=\ и начальные данные имели
вид
^ = (-1)/+", лг = О, 1, / = 0, 1, ...,/-1,
то вблизи правой границы решение можно было бы записать
так:
где f (k + J) = 0 при k ^ 0; подстановка этого выражения
в F.38) дает
/) = (- \)k~x2k{k+ 1) при k>0.
Энергетический метод может быть исключительно полезен для
устранения неприятностей такого рода.
Прежде чем закончить рассмотрение простой задачи этого
параграфа, следует заметить, что при замене а(х) в уравнении
F.22) на и(ху t) получается очень распространенный нелиней-
нелинейный оператор. Для аппроксимации иди/дх можно использовать
как 72(Л*) До*/2, так и №х)-]икои, что с точки зрения точно-
точности одинаково хорошо. Однако с помощью энергетического ме-
метода иногда удается найти такую линейную комбинацию этих
разностных операторов, которая является более предпочтитель-
предпочтительной. Например, рассмотрим схему Кранка — Николсона
иТх + ъ Q K+I)=и? - т Q К)' <6-39)
где Q(и)— разностная аппроксимация для (Дл:)иди/дх. После
возведения обеих частей уравнения F.39) в квадрат и после-
дующего суммирования получим
= - (ип+1, Q (мп+1)) - (и", Q («"))•

150 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1
Если Q(u)= 1/2&ои2 и граничными членами можно прене-
пренебречь, то
(и, 1д0к2) = -|(к2, Дои),
тогда как при Q(u) =
(и, ик0и) = (и2,
Следовательно, полагая
Q (и) = 1 (Д0^2 + и Дои) = ±(и + Т+и + Т-и) Дон, F.40)
получаем, что (м, Q(m)) = 0, и величина ||нп||2 + 74llQ(«n)ll2
остается постоянной, но это и означает устойчивость.
§ 6.4. Одновременное распространение звука и тепла
Чтобы у читателя не создалось впечатления о чрезмерной
простоте применения энергетического метода, рассмотрим сей-
сейчас более сложную систему уравнений. При этом временно бу-
будем пренебрегать эффектами, связанными с наличием конеч-
конечных границ, и возьмем в качестве пространственного интервала
всю действительную ось —оо < х < +оо. Постараемся также
придать нашему изложению характер действительного прово-
проводимого на практике исследования, для чего используем вна-
вначале самые очевидные соображения и только позднее будем
уточнять их по мере надобности.
Распространение звука (малых возмущений) в газе с теп-
теплопроводностью а, изотермической скоростью звука с и адиа-
адиабатической постоянной у > 1 описывается системой уравнений
ди д г , 1\1
-w = c-5r[w-(y-l)e],
dw ди 1A ,1Ч
де д2е ди
dt дх2 дх
Рассмотрим разностную аппроксимацию этой системы
un+l — ип = v [k+wn — (y — 1) Л+?Л]>
wn+l — wn = vA_w'l+1, F.42)
где v = сД//Дл;, \х = аД//(Дл;J. Достаточно подробное изучение
устойчивости этой схемы будет проведено в гл. 10, в основном
с помощью метода рядов Фурье. Там будет показано, что при
о Ф 0 условием устойчивости является неравенство v < 1, то-

§ 6.4. ОДНОВРЕМЕННОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА И ТЕПЛА 151
гда как при о = О оно, как легко видеть, заменяется более
сильным ограничением v < v"l/a. Это неожиданное изменение
указывает на практическую ограниченность использовавшегося
нами до сих пор понятия устойчивости, согласно которому влия*
ние условия устойчивости на поведение решения рассматри-
рассматривается только в пределе при Д/ —>0. Мы еще вернемся к этому
вопросу ниже при обсуждении энергетического метода, которое
послужит дополнением к тому, что сказано по этому поводу
в гл. 10.
В качестве первого шага при применении энергетического
метода образуем скалярные произведения каждого разностного
уравнения с суммой двух членов, стоящих в соответствующей
левой части; в результате получим
l, Д+ш*) — v(y- l)(un + un+l9 Д+е"),
+wn+l) = — v(un+l,
\\еп+[\? — \\en\\2 = ii(k-k+en+l, en + en+l) — v(b-
1, Д+ (en + ?*+>)) + v (un+l, Д+
Умножая последнее из этих соотношений на у — 1 и складывая
затем их вместе, получим после приведения подобных членов
соотношение, которое наводит на мысль определить Sn так:
(^, Д+(шл-(у-1)О). F.43)
В этом случае
F.44)
Действительные трудности начинаются при попытке доказать,
что 5„ в самом деле определяет норму, когда v< 1, т.е. когда
Да: задается соотношением v = const, так что \i = const (Д*).
Очевидно, что
\(ип, b+wn)\<2\\unUwn\\^\\un\? + \\wn\? F.45)
и при любом а > 0
F.46)
Следовательно,
F.47)

152 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
Последний член наводит на мысль положить а = v/jiA* = с/а,
в этом случае он обращается в нуль. Однако, для того чтобы
иметь положительный коэффициент при ||нп||2, необходимо
взять
A*<[2a/cv(v- 1)]A - v). F.48)
Таким образом, мы можем доказать устойчивость для произ-
произвольно малого отличного от нуля о и для произвольно близких
к 1 значений v, но только при условии соответствующей малости
интервала Да:.
Поскольку 5„ ^ Sn_i ^ ... ^ S\ ^ So, то для завершения
доказательства стандартным способом нужно было бы пока-
показать, что величина 50 ограничена произведением некоторой по-
постоянной на сумму (||н°||2 + ||ад°||2 + lk°||2)." Но сделать это нам
мешает член (Длг^УД+е0!!2. Поэтому вместо So мы рассмотрим
Si. Последнее из разностных уравнений F.42) при п = 1 дает
|| ех - цД-Д+е1 |р = || е° - vA^1 |p,
т. е.
|| el IP + 2ц || А+е! ||2 + ц21| А.Д+е1 |р =
= \\е° - vA_«! |р < 21| е° |,2 + 8v21| и1 |р.
Так как \х = (ov/c) (Ад:), то это означает ограниченность члена
(AjtJ'HIA+e1!!2; поэтому величина S\ ограничена некоторой ком-
комбинацией квадратов 1г-норм при п = 0 и п = 1. Теперь устой-
устойчивость получается обычным путем из оценки ?2-нормы с по-
помощью Sn.
С практической точки зрения эти рассуждения не имеют
особой ценности, когда а мало или когда требуется взять v
близким к 1, так как тогда условие F.48) налагает слишком
сильное ограничение на Ад:. Что требуется на самом деле, так это
точно оценить при любом заданном Ад: то значение Д/, для кото-
которого скорость роста некоторой подходящей нормы решения оста-
остается ограниченной. В нашем счучае последовательность Sn ни-
никогда не возрастает, и здесь необходимы более тонкие рассужде-
рассуждения для оценки ее нижней границы. Поэтому мы заменим F.45)
неравенством
где р > 0 будет выбрано позднее, и линейно скомбинируем
F.46) с аналогичной оценкой
|(и», A+^)|<6||«f + б-11|^|f
в отношении A—g) :g где g и б также будут выбраны позже.
Теперь попытаемся получить оценку вида
Sn > ах || ип |р + а21| тп |р + аъ || еп |р + ^ || А+еп |р, F.49)

§ 6.5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 153
где Q\% а2 и аз строго положительны, а а4 неотрицательно. Из
предыдущего ясно, что
(lE)(
fl4 = Y (Y - 1) [|i - A - I) vcr1 (Ax)].
Для положительности последних трех выражений необходимо
и достаточно, чтобы выполнялись неравенства
P>v, 6>vg и a>c(l—g)/a.
При сопоставлении этих неравенств с выражением для а\ ста-
становится ясным, что нужная нам оценка F.49) имеет место в
том случае, когда выполнено неравенство
левая часть которого имеет минимум при g = (l+2|i)-1. Сле-
Следовательно, практическим критерием устойчивости является
условие
v < V(l + 2|x)(v + 2|i), F.50)
которое подтверждается численными экспериментами, описанны-
описанными в гл. 10.
§ 6.5. Смешанные задачи для симметричных
гиперболических систем
Чтобы проиллюстрировать применение энергетического мето-
метода в более общей ситуации, рассмотрим смешанную задачу для
симметричной гиперболической системы, решение которой удо-
удовлетворяет некоторому энергетическому неравенству. Предполо-
Предположим, что комплекснозначный р-мерный вектор u = u(x, /) есть
решение системы
^ 1, F.51)
где матрица Р представлена в виде
Р(х, д/дх)п^[^{А(х)и)+А(х)^и] + В(х)и. F.52)
Здесь А(х) и В(х)—квадратные матрицы порядка р, гладко за-
зависящие от jc, но не зависящие от /, причем матрица А(х) яв-
является эрмитовой. В качестве начального условия возьмем
lf F.53)

154 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
а граничные условия пусть заданы в виде
L(jc)u(jc, 0 = 0, Jt = O, I, 0<*<l, F.54)
Содержащем jj, (л:) линейно независимых однородных уравнений
относительно компонент вектора и.
Предположим далее, что существует такая не зависящая от и
постоянная /С, для которой выполняется следующее энергетиче-
энергетическое неравенство:
4fW"(x> OlP<ffllu(*, ОН2. 0</<l. F.55)
Такое соотношение, включающее как частный случай закон со-
сохранения энергии (равенство при /( = 0), часто имеет место
в физических задачах. Если решение и дифференцируемо, то из
F.55) следует, что
-fp || u IP = (u, -|f) -Ь ("Ir' «) = 2 Re (и, ,Р«) ^ /С II«IP- F.56)
Но так как
2 Re (и, Pu) = uMu|* + 2Re(u, Bu),
то F.56) сводится к условию в граничных точках
uMu|*< const || all2., F.57)
Крайс [I960, 1963] назвал оператор, определяемый равен-
равенством
W = P(*, d/dx)v
Дли всех бесконечно дифференцируемых функций v = v(jc),
удовлетворяющих граничным условиям F.54), полу ограничен-
нымь если выполнено неравенство
2Re(v, PvX/CI|V|p. F.58)
Предположим, что имеется несколько таких операторов, соот-
Ёетствующих одной и той же матрице Р и различным наборам
граничных условий. Тогда те из них, для которых полное число
Граничных условий ji(O)+n(l) минимально, называются мини-
минимально полуограниченными операторами. Крайс показал, что
6 случае, когда матрица Р и граничные условия F.54) опреде-
определяют такой оператор, задача F.51) — F.54) поставлена коррект-
корректно. Кроме того, граничные условия при этом должны удовле-
удовлетворять следующим требованиям:
1) число строк \х@) матрицы L@) должно быть равно чис-
числу отрицательных собственных значений матрицы Л@);
2) число строк цA) матрицы L(l) должно быть равно чис-
числу положительных собственных значений матрицы ЛA);

§ 6.5, СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ
155
3) при х = 0 и х = 1 должно быть
(— l)x+1 v\4v^0 для каждого вектора v, такого, что L(x)v = 0.
F.59)
Если матрица А(х) имеет диагональную форму, к которой она
может быть приведена с помощью унитарного преобразования
й = ?/и, то эти требования можно сформулировать более явным
образом. Предположим, что А(х) и п(х) при х = 0 и х = 1
представлены в виде
"Л^л;) Ф Ф~~ ~" Ui (л:) "
Ф — Л2(л;)Ф , и(л;) = щ{х) , F.60)
ф ф ф _ _ и3 (х) „
где матрицы А\(х) и Лг(л;) диагональны, причем диагональные
элементы положительны, Ф — нулевые матрицы и размерности
всех матриц зависят от х. Тогда допустимые граничные условия
имеют вид
F.61)
где матрицы S@) и S(l) удовлетворяют неравенствам
- Л, @) + S* @) Л2 @) 5 @) < 0, F.62)
— Л2A) + 5*A)Л,AMA)<0. F.63)
Теперь рассмотрим неявную разностную аппроксимацию урав-
уравнения F.51)
(/ — а Д^д) tij+1 = (/ + A — а) Д^д) и?, /=1,2,...,/ — 1,
F.64)
где 1/2 sg а ^ 1, а через Рд обозначен разностный оператор,
аппроксимирующий Р(х>д/дх). Зададим граничные условия в
виде
М@)иЛ=2ш,@, Да;)и? = 0,
F.65)
где матричные коэффициенты т,(ху Дх) предполагаются подхо-
подходящим образом нормированными. Напомним, что согласно об-
общей теории, изложенной в гл. 3, граничные условия для задачи
в дифференциальной форме учитываются при выборе того бана-
банахова пространства, которое используется в дальнейшем. Таким
образом, для обеспечения согласованности приведенной выше
аппроксимации мы потребуем, чтобы для любого решения Ц

156 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
дифференциального уравнения выполнялась импликация
L(x)n = 0 влечет ||М(*)u||->0 при Дл;->0, для л; = 0, I. F.66)
Поэтому мы предположим, что число строк матрицы М (х) мень-
меньше или равно числу строк матрицы L(x). Упрощение возникает
в том случае, когда отображение сеточной функции un в функ-
функцию и банахова пространства устроено так, что если сеточная
функция удовлетворяет условию M(*)un = 0, то ее образ удо-
удовлетворяет условию L(jt)u = O. Например, когда точка х = О
лежит посредине между точками сетки / = 0,1, то граничное
условие и@)= 0 обычно аппроксимируют равенством u|J + u* =
= 0; тогда отображение un в и с помощью линейной интерпо-
интерполяции обладает требуемым свойством.
Предположим дополнительно, что для любой последователь-
последовательности значений сеточной функции иу во внутренних точках зна-
значения uj и \xnj можно определить так, чтобы удовлетворялись
граничные условия F.65). Таким образом, последние не могут
включать в себя никакого уравнения, содержащего лишь значе-
значения функции иу во внутренних точках сетки. Мы можем также
дополнить эти уравнения рядом других аналогичных им урав-
уравнений таким образом, чтобы и* и и* можно было однозначно
вычислить по иу, / = 1, 2, ..., /— 1. Аналогичные дополнитель-
дополнительные уравнения могут быть использованы для всех других внеш-
внешних точек сетки, которые входят в Яди;-, где / соответствует вну-
внутренней точке сетки.
Обозначим через Jf класс сеточных функций w, которые удо-
удовлетворяют граничным условиям F.65) и этим дополнительным
соотношениям. Тогда для устойчивости разностных уравнений
можно получить условие, весьма близкое к тому, которое обес-
обеспечивает корректность постановки задачи в дифференциальной
форме. А именно, если существует такая постоянная К, что для
всех достаточно малых Длс справедливо неравенство
Re(w, Paw)a</C||w|||, когда w<=./r, F.67)
то при таких Дл; и при 4КМ < 1 функции un, п = 1,2, ..., по-
получаемые с помощью уравнения F.64), однозначно определяют-
определяются в классе JC начальными условиями и разностная схема
устойчива. Следует заметить, что норма II ||д строится только по
внутренним точкам сетки.
Доказательство этого утверждения сводится к простому сопо-
сопоставлению сделанных ранее предположений. Рассмотрим си-
систему уравнений
= fy, /=i, 2, ..., /— 1, F.68)

§ 6.5. СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 157
с произвольными правыми частями fj. Если функция w<= JC, то
согласно сказанному выше ее значения во внешних точках сетки
можно исключить, после чего система F.68) сведется к p(J—1)
линейным уравнениям относительно p(J—1) неизвестных ком-
компонент функции w во внутренних точках. Далее, если weJft
1/2<а< 1 и 4/Ш< 1, то
II f 1РД = II (/ - а А* Яд) w |рд > || w |рд - 2а Д< Re (w, Яд w)A >
>( 1 - 2аКМ)II w |рд > V2II w |рд. F.69)
Отсюда следует, что система F.68) определяет единственную
функцию w e JF. Следовательно, для любой начальной сеточ-
сеточной функции и°б/ разностная схема F.64) дает единствен-
единственную последовательность un e JP, лг = 1,2, ... .
Чтобы доказать устойчивость, умножим скалярно обе части
уравнения F.64) на w = aun+1 +A —a)un, что приводит к со-
соотношению
Re (w, и»*1 - и*)д = A/ Re (w, Рдw)A < К А/ II w |рд,
для левой части которого имеем
un+I, и«)д -A - a)||u»|?>
>[a-V2Ba-l)]||u»+4PA-[l-a+V2Ba-l)]||u»PA =
Но Нш^О^+ЧРд + Ии'ЧРд, так что
II и»+| 1Гд -II и" 1РД <2КМ(|| и«+' |рд +1| и"|рд),
откуда
"II и0 ||i; F.70)
значит, разностная схема устойчива.
В качестве простого примера использования этих результа-
результатов применим схему Кранка — Николсона к изучавшейся в § 6.3
задаче
4f l F.71)
a @, 0 = 0, и{х, 0) = F(x),
где функци и и а действительны и а(х)>0. Сетка выбирается
так, что точки х = 0,1 отвечают значениям / = 0, / соответ-
соответственно, и схема Кранка — Николсона получается, если поло-
положить a = V2 и
Яд —-(Ах) a (jc) До.
При х = 1 никакого граничного условия нет, а при х = 0

158 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
Класс JF характеризуется этим условием и теми дополнитель-
дополнительными соотношениями, которые необходимы для получения не-
неравенства F.67). В силу F.15) для любой сеточной функции w
имеем
где L — постоянная Липшица для функции а(х). Далее, из то-
тождества F.19) следует что
(ш, До (aw)) = — (Доиу, aw) + !/г
Поэтому определим Jf равенством
0, Wj=Wj-\ И W/ = 0 ПрИ /<0 ИЛИ
F.72)
так что
Re {w, P*w) < L || w |p - V4 (a/ + fl/-i) (^/-iJ A< LII tai IP для w
Поэтому однозначная разрешимость и устойчивость рассматри-
рассматриваемой разностной схемы при 4?Д* < 1 следуют из приведен-
приведенной выше теоремы.
§ 6.6. Спектральный анализ и критерий устойчивости
Годунова — Рябенького
В этом параграфе мы вернемся к исследованию локальных
собственных колебаний как средству определения устойчивости.
В случае переменных коэффициентов и граничных условий, не
сводящихся к периодичности решения, мы не можем, конечно,
непосредственно применить преобразование Фурье и свести дело
к алгебраической задаче, изучавшейся в гл. 4. Даже когда про-
пространство дейсхвительно, использование конечноразностной ап-
аппроксимации для вычислений на каждом шаге по времени во
всех тех случаях, которые мы до сих пор рассматривали, сво-
сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений;
эта система уравнений должна обладать всеми свойствами, не-
необходимыми для выяснения вопроса об устойчивости соответ-
соответствующей разностной схемы. Основная трудность состоит в том,
что при Д/-^0 порядок этой системы возрастает. Вследствие
этого, например, может оказаться, что собственные значения со-
соответствующих матриц могут только ввести в заблуждение при
изучении устойчивости.
К примеру, возьмем такую аппроксимацию нашей модельной
задачи F.71):
ul+[ = il ~ г/)и] + riu1-v r\== (А'/А*) аг F.73)

§ 6.6. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГОДУНОЁА - РЯБЕНЬКОГО
159
Тогда, если рассматривать [ип^ / = 0, 1, ..., /} как вектор, то
переход к следующему временному слою будет описываться
матрицей
"О
О
— г2
о
П
F.74)
Ее собственные значения равны 0 и 1—г;-, / = 1,2, ...,/, и ле-
лежат внутри единичной окружности при 0<г;<2; таким обра-
образом, при каждом фиксированном А/ ошибки в конце концов зату-
затухают (некоторые авторы берут это свойство в качестве определе-
определения устойчивости). Однако собственно устойчивость определяется
хорошо известным условием Куранта — Фридрихса — Леви
0<г,<1; вне этого интервала сходимости при Д/->0 нет.
Имеется различие между тем, что происходит при п-^оо и фик-
фиксированном А/, и требуемым поведением при п-^оо и фиксиро-
фиксированном значении n&t. Например, если все г,- = 3/2 и u°f лишь
меняет знак от точки к точке, то значение |w^| в каждой точке
сетки сначала возрастает в соответствии с формулой
utj=(—2)nu(ji до тех пор пока до этой точки не дойдет влияние
граничного условия, которое является единственной причиной
окончательного затухания; но при Д/->0 этот начальный рост
оказывается бесконечным (по поводу дальнейших примеров та*
кого рода см. Партер [1962]).
Значительно лучше характеризуется устойчивость ?2-нормой
матрицы С. Рассматривая векторы с знакочередующимися ком*
понентами, легко показать, что если все г,- = г, то
действительно, спектральный радиус бесконечной матрицы вида
F.74) равен г+ |1— г\.
Соображения такого рода побудили Годунова и Рябенького
[1963а] ввести понятие спектра семейства операторов.
Пусть ЯГ = {С (Д/) | А/ > 0} — однопараметрическое семей-
семейство линейных операторов в банаховом пространстве <%. Ком-
Комплексное число К называется точкой спектра семейства (Г, если
существуют такие последовательности A#J) и uW^&, что
||ис>|| = 1, Д#О-*0 и
(/)||->0 при /->оо. F.75)

F0 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕЬЫЁ ЗАДАЧИ ЧЛ
Если семейство состоит из одного оператора, то это определение
совпадает с обычным. Пример семейства F.74) показывает, что
это определение является нетривиальным обобщением; действи-
действительно, как доказали Годунов и Рябенький, в том случае, когда
все г, = г, спектр семейства представляет собой замкнутый круг
радиуса г с центром в точке A —г, 0). Для того чтобы убедить-
убедиться в этом, достаточно рассмотреть при К=1—r + s и |s|^r
векторы, компоненты которых получаются усечением и после-
последующей нормировкой последовательности (s/r)-i> / = 0,1, ... ,
Ясно, что необходимое условие устойчивости семейства разно-
разностных операторов состоит в том, что его спектр должен лежать
в замкнутом единичном круге. Это требование мы будем назы-
называть критерием устойчивости Годунова — Рябенького. Очевидна
его аналогия с условием фон Неймана. При применении критерия
Годунова — Рябенького в качестве uW в F.75) подстав-
подставляются все локальные собственные колебания с целью прове-
проверить, удовлетворяют ли они этому критерию. Так, при рассмо-
рассмотрении локальных колебаний Фурье получается условие на соб-
собственные значения К матрицы перехода; в пределе при А/—>0
они будут, очевидно, принадлежать спектру семейства и, следо-
следовательно, должно выполняться условие |А| ^ 1 + 0A). Это
условие значительно слабее условия фон Неймана |Л|^1 +
+ О(ДО. Но с другой стороны, критерий Годунова —Рябенького
является более сильным в том смысле, что при этом рассматри-
рассматривается более широкий класс собственных колебаний. Например,
вблизи границы вполне могут существовать колебания, которые
затухают вдали от нее и оказывают влияние на устойчивость
разностной схемы.
Простым примером может служить волновое уравнение на
полуоси 0 ^ х < оо, которое мы запишем в виде системы
ди_ _ dv dv_ _ ди_ ,fi fi.
Ж — с~дх~> ~df — c дх (bJb)
и аппроксимируем разностной схемой
u'}+4* — u«-4* = rb.vt} ,,,
/fi 77^
7)п+\ 7)п гд tjn+Чг in — О J 9 \Р*и)
где г = сМ/kx; рассмотрение матрицы перехода для этой схемы
приводит к условию устойчивости г < 1 (см. гл. 10). В качестве
начальных условий задаются значения ufl/* и v^ и необходимо
лишь одно граничное условие при х = 0, общий вид которого
(с учетом того, что и и v могут меняться ролями) дается равен-
равенством
^ + сш*+'/>==0, F.78)
где а—некоторая постоянная.

^ § 6.6. КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ ГбДУНоЁА - РЯБЕНЬКОГО 161
Для нахождения собственных колебаний ищем решение в
виде
u? = (*m'w, F.79)
где через w* обозначен вектор (ay-1*, ^у-'лГ' a w = B, 3)г —
постоянный вектор. Подставляя такое решение в F.77), полу-
получаем
(А,— 1)й — г(ц— 1M = 0,
приравнивание нулю определителя этой системы из двух урав-
уравнений дает
Формула F.79) дает надлежащее решение при \\х\*С 1, а не-
неустойчивость возникает лишь при |Х|> 1.
Но если г< 1, что мы и будем предполагать, то решения с
\\х\= 1 имеют \i\= 1 и потому устойчивы. Таким образом, в
области |А,|> 1 решение уравнения F.81), а именно
2гЧ ±У
распадается на две ветви, для одной из которых |ц|> 1, а для
другой |ц|< 1. Нас интересует последняя, поэтому мы возьмем
в F.82) знак минус и ту ветвь корня, которая положительна
при скажем X > 1.
Подстановка этого значения \х в уравнение F.80) показы-
показывает, что можно взять, например,
Й=(Я— 1)— 1^1-1J + 4Лг,
Тогда из граничного условия г; + аи = 0 получаем
Л = (<х + г<х2)(<х + г). F.84)
Теперь нетрудно убедиться, что задача в дифференциальной
форме поставлена корректно, если аф 14). Поведение функции
1) Стоит отметить, что приведенные в § 6.5 достаточные для корректно-
корректности постановки дифференциальной задачи условия сводятся в силу соотно-
соотношения F.59) к неравенству йд^О при х = 0; это означает, что при а<0
задача поставлена корректно. Чтобы получить весь набор возможных гра-
граничных условий, нужно взять в качестве аналога энергии другую величину,
или, что то же самое, перейти к новым переменным. Так, полагая й = и + v
и б = Р(й — v) при 0 < Р < «>, мы приведем допустимые граничные усло-
условия к виду б = уй при х = 0, где \у\^ 1. Это охватывает все случаи ра-
равенства v + ай= 0 за исключением а = 1.
6 Зак. 1300

162
ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Ч. 1
F.84) схематически изображено на рис. 6.1. Из рисунка видно,
что F.79) представляет собой неустойчивое колебание за ис-
исключением тех случаев, когда
1>а>—
^T3 или —
значения а вне этих интервалов приводят к неустойчивости. От-
Отметим, что обычное граничное условие й — v — O является пре-
предельным случаем допустимых граничных условий.
В нашем примере (С — М)и действительно обращается в
нуль для рассмотренных выше колебаний, но в случае конечного
Рис. 6.1. График функции F.84).
интервала 0 ^ х ^ 1 может оказаться, что и будет удовлетво-
удовлетворять граничному условию в точке х = 1 лишь в пределе при
Д/->0, т. е. при /->оо; например, это имеет место для той мо-
модельной задачи, которая приводится в начале данного парагра-
параграфа. Далее, если уравнение F.81) имеет кратные корни, то не-
необходимо рассматривать колебания более сложного по Сравне-
Сравнению с 6.79) вида, содержащие полиномы относительно /.
§ 6.7. Применение критерия Годунова — Рябенького
к смешанным задачам
Рассмотрим на интервале 0 < х < 1 общую двухслойную си-
стему разностных уравнений вида
F.85)
здесь и* — это, как обычно, р-мерный вектор, a Ak и Bh — ква-
квадратные матрицы порядка р. На двух концах интервала заданы

§ 6.7. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГОДУНОВА - РЯБЕНЬКОГО ]63
граничные условия
22 F.86)
-2 aiftttj-fc. F.87)
где a,ih и pift — прямоугольные матрицы.
Чтобы продемонстрировать применение критерия Годунова —
Рябенького к этой системе уравнений, удобно (хотя в данном
конкретном случае и не обязательно) привести ее к такому спе-
специальному виду, когда К = 1 и ко = к\ = 0. Это можно сделать
следующим образом. Возьмем интервал /0 на оси х, который
начинается в самой левой точке сетки и идет вправо до 1-й точ-
точки сетки, где /> maxF0 + I, &i+ 1, К). Затем построим ин-
интервалы /i, /2, ..., последовательно перемещая/0 вправо на одну
точку сетки до тех пор, пока не покроем все точки сетки. Теперь
все компоненты векторов и?, нижние индексы которых соответ-
соответствуют интервалу /w, объединим в новый вектор U^, который
тем самым будет иметь pi компонент. В результате система
F.86) преобразуется в систему однородных уравнений относи-
относительно Uo и Uo+1 и аналогично преобразуется система F.87).
Компоненты векторов U^, Ujt+i, Um+1 и UmVi связаны систе-
системой pi скалярных уравнений, получающейся путем объединения
р уравнений F.85) при каждом из / возможных значений /, и
системой рA—1) тождественных соотношений, характеризую-
характеризующих тот факт, что интервалы 1т и /m+i имеют /— 1 общих точек.
Однако поскольку в общем случае число возможных значений т
меньше числа значений /, для которых выполняется F.85), то
часть уравнений останется неиспользованной; эти уравнения от-
относятся к последним интервалам и должны быть присоединены
к граничным условиям. Как читатель заметит в следующей главе,
способ сведения многослойной схемы к двухслойной очень напо-
напоминает то, что было сделано выше. При рассмотрении много-
многослойного варианта данной задачи можно одновременно осуще-
осуществить две редукции, используя вместо интервалов 1т прямо-
прямоугольники в плоскости х, L
Предположим теперь, что эта редукция выполнена, и рассмо-
рассмотрим задачу F.85) —F.87) с К = 1 и k0 = к{ = 0. Годунов и Ря-
Рябенький [1963а] предполагали, что матричные коэффициенты Ah
и Ви кусочно непрерывны по х и непрерывны по Да: в некотором
интервале 0^Дл:^т. Однако для простоты мы рассмотрим
только случай постоянных матриц; зависимость от Да: можно
учесть очень легко, а на вопросе о влиянии зависимости от х мы
остановимся в конце параграфа.
6*

ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
Предположим, что при заданных \хп} (/ = 0f 1, ..., /) значе-
значения u?+1 однозначно определяются с помощью наших уравнений.
Таким образом, сумма числа ненулевых строк матриц рОо и Рю
равна р и существует такая матрица Cj порядка /?(/ + 1), что
К этому семейству разностных операторов {Cj} мы и хотим при-
применить критерий Годунова — Рябенького.
Точка Л комплексной плоскости, не принадлежащая спектру
семейства, называется регулярной. Ясно, что для каждой такой
точки при всех достаточно больших / существуют резольвенты
(С7 — Л/), нормы которых ограничены константой, не завися-
зависящей от /. Ввиду приведенного выше уравнения это означает, что
если мы положим
Dt = kBt-Ait i = 0, I,
6/ = ЯР/0 — (Х/о, / = 0, 1,
то для достаточно больших / система уравнений
0, 1, ..., / — 1,
при любых правых частях имеет единственное решение, для ко-
которого справедлива оценка
max | и/1 < М max (max | f/+>/, |, | Ф |, Ж )> F.90)
где М не зависит от f/+y2, ф, г|> и /; в этом случае система
F.89) называется хорошо обусловленной. Таким образом, мы
можем сказать, что разностная схема удовлетворяет критерию
Годунова — Рябенького, который необходим для устойчивости,
если для всех точек %, лежащих вне единичного круга, уравне-
уравнения F.89) хорошо обусловлены.
Для получения признаков того, что данные уравнения хоро-
хорошо обусловлены, нам потребуется следующая лемма, принадле-
принадлежащая Рябенькому [1964].
Пусть Do и Di — такие квадратные матрицы порядка р, что
det(A) + |i/)i)=?0 при всех \л с ||х|= 1, к пусть цо есть k-крат-
ный нуль для det(ZH + H^i)> причем |цо|< 1. Тогда существует
такое k-мерное подпространство Я{\ю) р-мерного векторного
пространства, что если V0^3Z(\i0)t то уравнения
A,V/ + ?iV/+1 = 0, / = 0, 1, 2, ..., F.91)
имеют единственное решение {V;}, для которого | Vj | —> 0 при
/->оо; кроме того найдется такое а > 0, что \ Vy |<conste~al
при j = 0,1,2, ....

§ 6.7. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГОДУНОВА - РЯБЕНЬКОГО 165
Доказательство. По предположению матрица Do + D\
не вырождена, так что можно написать
Do + 11Я1 = (Do + Dt) [/ + Ox - 1) Щ,
где Е = (Do-\-D\)-lD\. Если, далее, Q — жорданова канониче-
каноническая форма матрицы Е и Е = PQP-1, то
Z)o + |i/>, = (Do + Dx) P [I + Oi - 1) Q] P-1 F.92)
и цо есть ^-кратный нуль для det[/ + (jx—1)Q]. Матрица этого
определителя имеет верхнюю треугольную форму, так что опре-
определитель равен П [1 + 0* — 1) vj, где v* — собственные значе-
значения матрицы Е. В точности k из этих множителей должны
быть пропорциональны \х — \хо\ это значит, что 1 + (\х—l)v* =
= Vi(\i — р,о) и, следовательно, vt= A — цо)~! при k значениях L
Поэтому мы можем считать, что строки и столбцы матрицы
Q упорядочены таким образом, что первые k ее диагональных
элементов равны A — м-о)- Теперь возьмем первые k столбцов
матрицы Р в качестве базиса подпространства 52(|ю) и запи-
запишем нужную нам последовательность векторов этого подпро-
подпространства в виде
V7 = Pa/, F.93)
где Sij — векторы-столбцы, все компоненты которых кроме пер-
первых k равны нулю. Из тождества F.92) относительно \х сле-
следует, что
DoP^iDo + DJiP-PQ) и D{P = (DO + DX)PQ;
поэтому уравнения F.91) принимают вид
= 0, / = 0,1,2,.... F.94)
При любом начальном векторе Voe5?(jio), порождаемом на-
начальным вектором а0, эти уравнения могут быть решены отно-
относительно последовательности а;-, так как в них входит только
левый верхний минор порядка^ матрицы Q, который отличен
от нуля. Обозначая его через Q и используя аналогичные обо-
обозначения для / и а;-, получаем
ау = [Q-'(Q-/)]'?<,.
Матрица в квадратных скобках имеет верхнюю треугольную
форму, и ее диагональные элементы равны jx0; следовательно,
элементы /-й степени этой матрицы ограничены модулем про-
произведения \xl на полином степени k от /, т. е. величиной
const е-а/, где | ji0 К е~а < 1 • Очевидно, таким же образом
ограничены и компоненты векторов Vj, определяемых равен^
ством F.93).

165 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. I
Обозначим через 91 прямую сумму всех подпространств
типа 9t(\io), т. е.
«=Ze{0(|i,)|det(Do + |iA)==O, ||х,|<1}. F.95)
Аналогично предыдущему существуют подпространства 9>(щ),
соответствующие таким корням т|* уравнения det(r\Do+D\) = О,
для которых |T|f| < 1. Последовательность решений уравнения
F.91), начальный вектор которой принадлежит одному из этих
подпространств, стремится к нулю при /->—оо; обозначим
прямую сумму таких подпространств через ^, т. е.
^ = Se{^(%)|det(^D0 + ^i) = 0, Ы<1}. F.96)
Так как в силу равенства F.92) уравнение det(D0 + \iD{) =
= 0 эквивалентно уравнению
det
то для перехода от \х к ц можно воспользоваться матрицей
I-\-(li—1)Q. Отсюда ясно, что если det/)i = O, то уравнение
det {r\Do + Di) = О должно иметь внутри единичного круга по-
помимо отличных от нуля корней г\и соответствующих большим
единицы по модулю корням уравнения det (D0 + nDi) = 0, так-
также и нулевые корни, причем сумма числа таких корней и сте-
степени мйогочлена det (Do-\- [iD\) должна быть равна р. По-
Поскольку по предположению det (Do + \iD\) не обращается
в нуль при ||i| = 1, то полное число корней щ- и у\г внутри еди-
единичного круга также равно р. Это означает, что прямая сумма
подпространств 91 и & совпадает со всем р-мерным простран-
пространством.
Мы уже убедились в том, что при Voe5?(jio) решение урав-
уравнения F.91) единственно в 9i(\i0). Ясно также, что единствен-
единственность имеет место для всего подпространства 52, так как глав-
главный минор матрицы Q, соответствующий всем корням \хи также
отличен от нуля. Однако если матрица D\ вырождена, то к лю-
любому вектору Vj+i можно добавить такой вектор We^, для
которого DiW = 0. Но последовательность решений уравнения
F.91) с таким начальным вектором либо перестает быть не-
непрерывной после конечного числа шагов, либо экспоненциально
возрастает; поэтому найденное выше убывающее решение яв-
является единственным во всем пространстве и лемма Рябень-
Рябенького доказана.
Теперь мы можем сформулировать и доказать основной ре-
результат Годунова и Рябенького:
Для того чтобы система уравнений F.89) была хорошо обу-
обусловлена, необходимо и достаточно выполнение следующих
условий:
A) det(D

^ § 6.7, Применение Критерий Годунова - рябенького 16?
Bа) размерность подпространства Я равна числу строк
матрицы бо, и для v е 91 из равенства бо^ = 0 следует, что
а = 0;
BЬ) размерность подпространства 9* равна числу строк
матрицы 6i, и для w е ^ из равенства 6iW = 0 следует, что
w = 0.
Здесь 91 и 9> — подпространства, определенные выше1).
Докажем сначала необходимость этих условий. Для этого
мы покажем, что если какое-либо из них не выполняется, то
можно найти последовательность таких векторов Uy с fnax| Uy |=*
= 1, что правые части уравнений F.89) могут быть сделаны
сколь угодно малыми при достаточно больших /, и таким
образом получим противоречие с условием F.90). Прежде все-
всего, если det (Д> + \iqD\) = 0 при |ио| = 1, то можно найти
такой вектор v, что (Ьо + \iD[)v = 0 и |v|=l, и положить
uy = 4/(/ — /)/"VoV. Тогда ф = г|э = 0 и f/+./, = О A//). Да-
Далее, если размерность 91 больше числа строк матрицы бо, то
найдется такой вектор иое52, что |ио| = 1 и боЩ = 0. Тогда
последовательность решений уравнений DqUj + DiUj+i = 0,
/ = 0, 1, ...,/—1, дает ф = 0, f/+i/2 = 0, и г|) = О(е"а/) для
некоторого а > 0. Наконец, если размерность 91 меньше числа
строк матрицы бо, то размерность 9* должна быть больше чис-
числа строк матрицы 6i и потому не выполняется условие BЬ).
Для доказательства достаточности этих условий нужно най-
найти соответствующим образом ограниченное решение системы
уравнений F.89) в каждом из следующих случаев:
(a) <р = 0, г|) = 0 и f J+i/2 = 0 при / ф /0;
(b) ф = 0, все f/+./2 = 0;
(c) 1|) = 0, все f/+«/, = 0.
В случае (а) заметим сначала, что существуют единствен-
единственные векторы vg^ и wei?7, такие, что Dow + D\V = fj9+i/t.
Действительно, fy0+i/, = fo + fb где fos5? и fiei?7, причем это
разложение единственно; v и w суть единственные решения
(каждое в соответствующем подпространстве) уравнений
Dxv = f0 и A)W = fi. Теперь построим последовательность nJ9
взяв в качестве начального вектора U/o сперва w, а затем v
и решая уравнение D0Uj-\- DiUJ+i = 0 соответственно при /</о
и при />/о- В результате получим, что для />/0+1 щ е 91
и |uj| убывает при возрастании /, а для /</о и;е^ и |iij|
убывает при убывании /.
Эта последовательность удовлетворяет основным уравне-
уравнениям системы F.89), но не удовлетворяет граничным условиям.
]) Напомним, что по предположению Do и D\ не зависят от /, так что
Я, 9> и используемая ниже постоянная а также не зависят от /.

|<58 fjt. 6, СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ЧА
Чтобы удовлетворить им, добавим сходящийся ряд поправок,
т. е. представим полное решение в виде
U/ + V(i) + W(D + vw + wf + .... F.97)
Здесь вектор v^ из 9t выбирается таким образом, чтобы
60(u0 + v[I)) = 0; и этот выбор единствен в силу предположения
Bа); аналогично w^ ^ 9 выбирается так, чтобы б1 (и; +
-^wy>) = 0, а вектор v$<=9l так, чтобы 60 (w</ > + vjf>) = 0,
и т. д. Далее, векторы v{p e Ж выбираются так, чтобы
/)ОУ(Я + D\V{/li = 0» а векторы wj0 e <?> так, чтобы удовлетворя-
удовлетворялось то же соотношение DQw^ + ^w^, = 0. Так как |v(y°|<
< const е"а/1V501 и |w<,°|< const в"а/ j wy> |9 то ясно, что при до-
достаточно больших / ряд поправок сходится и тем самым гра-
граничные условия будут удовлетворены.
Решения системы уравнений F.89) в оставшихся случаях
(Ь) и (с) получаются аналогичным образом. Нам остается по-
показать, что общее решение, являющееся линейной комбинацией
этих фундаментальных решений, удовлетворяет условию огра-
ограниченности F.90), несмотря на то, что число членов в этой
комбинации возрастает с ростом /. Искомую постоянную М
можно найти, поскольку сильно отличающиеся друг от друга
значения / мало влияют друг на друга. Фундаментальное реше-
решение экспоненциально убывает при удалении / от /0, так что ре-
решение в точке сетки /о, получающееся при учете всех правых
частей fj+i/2, ограничено величиной
оо
const 2 ехр(—а|/ —/0|),
а этот ряд сходится.
Мы определили хорошую обусловленность системы F.89) й
сформулировали определяющие это свойство условия, исполь-
Зуя в качестве нормы максимум модуля, потому что она, по-ви-
по-видимому, является наиболее удобной и подходящей. Однако
стоит отметить, что приведенные выше рассуждения остаются
в силе и при использовании ?2-нормы ||и|| = ГA//) 2 I U/ |2]Ч
В этом случае F.90) заменяется неравенством
|| и ||<max{|| f ||, |ф|, Ж), F.98)
где М снова не зависит от /. При доказательстве необходи-
необходимости условий теоремы построение последовательности векто-
векторов в случае корня ц0 с единичным модулем опять приводит
к противоречию с F.98); если же размерность 91 больше числа
строк матрицы б0, то, выбирая в качестве начального такой век-
вектор ио<=#, для которого |ио|=1 и 6ouo = 0, получим, что

§ 6.7. ПРИМЕНЕНИЕ КРИТЕРИЯ ГОДУНОВА - РЯБЕНЬКОГО 16&
Hull >/-''«, llf||=0, |ф| = 0 и |г|)|= O(e-aJ), и потому нера-
неравенство F.98) опять не выполняется. При доказательстве до-
достаточности необходимые изменения также почти очевидны.
Этим завершается доказательство теоремы. При практиче-
практическом применении критерия Годунова — Рябенького можно ра-
работать непосредственно с уравнениями в общем виде F.85),
рассматривая например корни уравнения det(Do + цХ>1 + ...
... + [ihDh) = О, где Dk = XBh — Ah. Подпространства к и У
обычно зависят не только от X, но также от А/ или Ах. Однакр
если заранее известно, что матрицы Аи и Bh непрерывно зави-
зависят от А/, то условия теоремы достаточно проверять только при
А* = 0. Такая проверка^осуществляется вкратце следующим об-
образом. Подставим цД,пи вместо U/ в F.85) с At = 0, где и —
постоянный вектор; это дает возможность найти нетривиальное
решение уравнения det [М(X, jj,)] = 0 (здесь М = Do +
+ \iDt + ...+ \ihDh). Если найдутся такие корни ц,г(А), что
|[хг.(Х)|= 1 и |А,|> 1, то уравнения будут неустойчивыми, по-
потому что не выполняется условие A) основной теоремы. С дру-
другой стороны, ести имеется корень \хо(Х) кратности k с |jio(^)|<
< 1, то найдем те векторы и, для которых М (X, цо (X)) и = 0.
Если среди них нет k линейно независимых, то дополним их
векторами и, для которых М2и = 0, и т. д., пока не получим k
линейно независимых векторов. Они образуют подпространство
ЫМ)
Этот процесс повторяется для всех корней \а(Х) с
iHi(A)|< 1, и таким образом строится все подпространство 91.
[алее смотрим, совпадает ли размерность этого подпростран-
подпространства с числом граничных условий на левой границе; если это
так, то применяем эти условия к произвольной линейной ком-
комбинации векторов, образующих базис в 91. Условие существо-
существования нетривиального решения соответствующей системы урав-
уравнений дает уравнение относительно X. У этого последнего не
должно быть решений с \Х\> 1. Если все это выполнено для
обеих границ, то задача удовлетворяет критерию Годунова —
Рябенького. Отметим, что хотя подпространство 91 и зависит от
Я, его размерность для устойчивой системы не зависит от X при
|Л|>1. В самом деле, корни щ{Х) непрерывно зависят от X,
а размерность 91 может изменяться лишь при переходе некото-
некоторого Цг из области ||хг-|< 1 в область |цг|> 1; но такой пере-
переход невозможен, потому что \\ц\ никогда не равняется единице
при \Х\ > 1.
Из приведенных выше рассуждений о хорошей обусловлен-
обусловленности можно теперь видеть, какова структура спектра семей-
семейства разностных операторов {Cj}. Он состоит из трех частей,
порождаемых соответственно основными разностными уравне-
уравнениями F.85) и граничными условиями F.86) и F.87) слева и

170 ГЛ. 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч_1
справа и проявляющихся в нарушении соответственно условий
A), Bа) и BЬ) основной теоремы. Первая часть состоит из
корней Я уравнения det[M(X,\i)] = 0 с |ц|= 1 и совпадает со
спектром семейства F.85), где / пробегает значения от —оо
до + оо и граничные условия отсутствуют. Таким образом, эти
точки К совпадают с собственными значениями соответствую-
соответствующих матриц перехода (при Д/ = 0) и образуют р замкнутых
кривых в комплексной плоскости, когда \х пробегает (не более
р раз) единичную окружность. Вторую часть спектра образуют
такие значения А, для которых разностные уравнения F.85)
при / = 0, 1, 2,... совместно с граничными условиями F.86)
при / = 0 имеют решение вида ил = Хпи при ненулевом гра-
граничном значении и. Это возможно в случае, когда размерность
9t не равняется числу строк системы F.86); рассматривая раз-
различные связные области, на которые комплексная плоскость
разбивается кривыми, составляющими первую часть спектра,
мы видим, что если это неравенство имеет место в какой-ни-
какой-нибудь одной точке такой области, то оно выполняется и всюду
в этой области, и вся эта область добавляется к спектру се-
семейства. Например, для задачи, приведенной в начале § 6.6,
при дополнении ее левым граничным условием к спектру доба-
добавится вся область, лежащая внутри окружности
\\ — A—г) | = г. Кроме того, к спектру может добавиться
еще рял точек, если граничный оператор (ХРоо + аоо) + ...
... +(A,poko+ ao/tj), соответствующий условию F.86), переводит
базис подпространства 91 в систему линейно зависимых векто-
векторов. Такая потеря размерности имеет место либо тождественно
по X — и тогда разностная схема не может быть устойчивой,—
либо не более чем в конечном числе точек. Наконец, третья
часть спектра получается при аналогичном рассмотрении пра-
правого граничного условия.
Теперь можно сказать несколько слов о том, что изменяется,
когда матричные коэффициенты Ah и Bh являются кусочно не-
непрерывными функциями от х (для детального ознакомления
с этим вопросом мы отсылам читателя к статьям Годунова и
Рябенького). В спектр будут входить:
1) в каждой точке х отрезка 0 ^ х ^ 1 те корни уравнения
det[M(x,X, ц)] = 0, для которых |ji|= 1, причем в точках раз-
разрыва нужно рассматривать как М(лс+0Д, ji), так и
M(x — 0,Kv)\
2) точки, возникающие при учете граничных условий;
3) на разрывах те точки А, для которых dim 9i(x + 0Д) +
+ d\m9>(x — 0,Х)ф р или эти два подпространства не являются
линейно независимыми

§ 6.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Критерий Годунова — Рябенького будет выполнен, если по-
полученный таким образом полный спектр будет лежать в замк-
замкнутом единичном круге.
§ 6.8. Заключение
В настоящее время теория смешанных краевых задач еще
не получила такого широкого развития, как теория однородных
краевых задач. Причина такого различия заключается в том,
что использовать методы Фурье для исследования уравнений
с постоянными коэффициентами просто в одном случае и слож-
сложно в другом. Тем не менее последние достижения в этой об-
области можно считать фрагментами той теории, которую еще
предстоит построить.
Энергетический метод является мощным инструментом для
исследования конкретных уравнений или конкретных классов
уравнений. Хотя его применение подчас является довольно
сложным, он дает возможность эффективно учитывать гранич-
граничные условия и переменность коэффициентов. Кроме того, его
можно использовать не только для доказательства устойчивости
данного разностного метода, но также и для правильного вы-
выбора самого метода. Однако энергетический метод позволяет
получать только достаточные условия устойчивости, которые
могут сильно отличаться от необходимых (особенно в том слу-
случае, когда учитываются граничные условия). Простой пример
волнового уравнения дает некоторое представление о том, как
за счет подходящего выбора энергии можно сократить этот
разрыв.
Дополнением энергетического метода служит спектральная
теория Годунова — Рябенького. Хотя ее применение в любом
практическом случае является исключительно сложным, она
имеет совершенно общий характер и хорошо помогает понять
внутреннюю сущность неустойчивости. Но с помощью этой тео-
теории получаются только необходимые условия устойчивости, ко-
которые, к сожалению, также могут быть слишком слабыми, как
это показывает сравнение с условием фон Неймана для крае-
краевых задач с периодическими решениями. С другой стороны,
Крайс [1965] показал, что для нашей простой модельной зада-
задачи F.22) эти условия достаточны для устойчивости. Больше
того, при несколько более сильных предположениях он распро-
распространил затем этот результат на системы гиперболических
уравнений.
Существует еще один метод для исследования смешанных
задач, который мы пока не рассматривали, а именно метод Ви-
Винера— Хопфа. Этот метод вслед за Крейном [1958] использо-

172 ГЛ 6. СМЕШАННЫЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ Ч. 1
вал Стрэнг [1964b]. Его достоинством является то, что он при-
применим к неявным разностным схемам. Рассмотрим на всей
действительной прямой систему скалярных уравнений с посто-
постоянными коэффициентами
2ik)bk*}+l = Z aktf}+k, F.99)
—А ~Д
которую мы запишем в виде
Вип+1 = Аип. F.100)
Сужение этих операторов А и В на положительную полуось,
для которого ^ = 0 при /^0, обозначим через А+ и В+. Тог-
Тогда устойчивость смешанной задачи на этой полуоси определяет-
определяется тем, будет ли |(В+М+)Я| < const при яД/-<1. Если обозна-
обозначить ^akem через а F), 2 Ькет через 6F), а а F)/Ь (9) че-
k k
рез г(8), то метод Фурье показывает, что ||(В-*Л)|| =
= supe|r(8)|; поэтому условием фон Неймана будет неравен-
неравенство |г(8)|^1. Вот теорема, доказанная Стрэнгом1).
Тогда и только тогда оператор В+ обратим и имеет место
устойчивость, когда
A) Ь(в) Ф 0 для действительных 0,
B) индекс (b)^Bn)~l J d[arg b @)] = 0,
—Я
C) |г(9) |^ 1 для действительных 0.
Условия A) и B) являются условиями того, что дискрет-
дискретный оператор Винера — Хопфа ?+ обратим; они эквивалентны
предположению о том, что полином zk$(z) = ]>jbkZK+k имеет
в точности К нулей в открытом круге |г|< 1 и К в его внеш-
внешности |г|> 1. Тогда этот полином может быть разложен на
множители следующим образом:
где s Ф 0 при |z| ^ 1 и t Ф 0 при |z| > 1; 5 и / в отдельности
также удовлетворяют условиям A) и B). Это разложение иг-
играет основную роль при доказательстве теоремы. В самом деле,
J) Стрэнг рассматривает также тот случай, когда коэффициенты ah и bh
непрерывно зависят от х и Да:.

§ 6.8. ЗАКЛЮЧЕНИЕ 173
точно так же, как полиномы а и b отвечают определенным на
всей оси матричным операторам А и В с элементами Ац =
= dj-i и Bij = 6j_i, так и полиномы s и t отвечают матрицам,
имеющим соответственно верхнюю и нижнюю треугольную фор-
форму. Таким образом, В = S7, В+ = S+T+ и
Далее, так как матрицы 5+1 и Г+1 имеют треугольную форму,
то S+lA+T+l = {S~lAT~l)+ ]), а для определенных на всей оси
операторов имеем S~lAT~l = S~lT~lA = 5~1Л. Следовательно,
так что устойчивость определяется условием фон Неймана C).
Отметим, что в этом случае условия теоремы Годунова —
Рябенького на границе х = О выполняются тривиальным об-
образом. Действительно, число нулей функции zh[k$(z)—а(г)]
в единичном круге одно и то же для всех Ш> 1; значит, оно
такое же, как и для самого р, т. е. равно л. Далее, поскольку
в задаче на полуоси, для которой F.99) выполняется при
/=1,2,..., никаких граничных условий справа не налагает-
налагается, то должно быть bh = О при k ^ 1, и можно считать, что
6_к ф 0. Таким образом, нужно предположить, что на каждом
временном шаге выполняются условия u0 = ti-\ = ,К. = w_K+i =
= 0, которые препятствуют распространению любого из К за-
затухающих колебаний внутрь рассматриваемой области.
В этой главе мы сосредоточили внимание на задачах с од-
одним пространственным переменным. Большинство методов и
результатов можно легко распространить на задачи с многими
переменными, если рассматриваемая область по-прежнему яв-
является полупространством2); однако рассмотрение более слож-
сложных границ, которые могут представиться в многомерном слу-
случае, намного более трудно, и до сих пор мало что сделано
в этом направлении.
1) Действительно, пусть
Тогда матрица
равняется U+V+, если с = 0 или / = 0, т. е. если U имеет верхнюю или V
имеет нижнюю треугольную форму.
2) С этой задачей для дифференциальных уравнений читатель может по-
познакомиться по работе Херша [1963].

Глава 7
МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
§ 7.1. Обозначения
Как и для обыкновенных дифференциальных уравнений, при
построении разностных уравнений повышенной точности для
уравнений с частными производными число используемых вре-
временных слоев часто превышает минимальное их число, требуе-
требуемое дифференциальными уравнениями. Например, улучшение
полученного ранее простого двухслойного неявного уравнения
для задачи теплопроводности
получается переходом к трехслойному неявному уравнению
|и?+1_2„«+ !„»-¦ ^
= д +
В случае когда применяется это уравнение, нужны начальные
данные для двух значений времени, скажем для t = О и t =
= А/ (п = 0 и 1), чтобы можно было начать вычисления. Эти
данные могут быть получены с помощью более простого урав-
уравнения с, быть может, более мелкой сеткой, или разложением
в степенные ряды, или каким-либо другим способом; в любом
случае, если эти данные уже имеются, то решение шаг за ша-
шагом можно построить по уравнению G.1) и соответствующим
граничным условиям.
Более общим образом, предположим, что краевая задача
-ж=Аи> и=и® <7-2)
аппроксимируется с помощью (q + 1)-слойной формулы
Вяи«+я + Вя-{ип+я-1 + ... + Воип = 0, G.3)
где Вду ..., Во обозначают конечноразностные операторы, а
ип — некоторая аппроксимация и{пЫ). Предположим, что
уравнение G.3) вместе с надлежащими граничными условиями

§ 7.2. ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО
175
единственным образом разрешимо относительно ип+ч и что это
решение непрерывно зависит от мя+«-1> ..., ип. Это значит, что
уравнение G.3) эквивалентно уравнению
G.4)
¦С,.,
где
/, / = 0,
суть линейные ограниченные операторы. Как и в предыдущих
рассмотрениях, мы предполагаем, что приращения простран-
пространственных переменных Ал:, Д# и т. д. являются заданными функ-
функциями от Af.
§ 7.2. Вспомогательное банахово пространство
Будем рассматривать ^-мерный вектор-столбец, компоненты
которого являются элементами пространства 3$, как элемент
вспомогательного банахова пространства 93. Норму в нем мож-
можно определить по-разному, например так:
и
V
Если положить
С =
с,-,
/
0
0
Сд-2
0
1
0
... с,
... 0
... 0
Со
0
0
0
= с №,
G.5)
Где / тождественный оператор, то уравнение G.4) запишется
в виде
ФЛ+1=С(А/)ф«. G.6а)
Это равносильно введению новых зависимых переменных; имен-
именно, если обозначить ип~* через vn, un'2 через wn и т. д., то

176
ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ч. I
уравнение G.4) можно заменить системой
G.6b)
И Т. Д.
Таким образом, (q + 1)-слойную задачу можно свести к двух-
двухслойной задаче (ибо верхние индексы, входящие в уравнения
системы, принимают лишь значения п и п+ 1).
Исходные начальные данные предполагаются заданными
при t = 0; значения и при t = А/, 2А/,... (q—1)Д? должны
быть определены по исходным начальным данным с помощью
некоторой аппроксимации, что даст возможность начать вычис-
вычисления с помощью уравнения G.3). Предположим сначала, что
эти начальные данные вычислены точно (это требование позд-
позднее будет ослаблено), т. е. что ф° задается равенством
E((q-2)M)u°
где исходные начальные данные определяются элементом и0
(пространства 9&)> a E(t)—разрешающий оператор для урав-
уравнения G.2). Тогда можно написать
где
/0-
а S — диагональная матрица
"?((<7-0 А/)
5 =
0
0
G.7)

§ 7.2. ВСПОМОГАТЕЛЬНОЕ БАНАХОВО ПРОСТРАНСТВО
177
Таким образом, приближенное решение краевой задачи G.2)
дается формулой фп = C{kt)nSu°. Мы ожидаем, что это — ап-
аппроксимация выражения
-1) А/)
и(пМ)
= E(nM)Su°;
поэтому нам интересно сравнить C(kt)nSuo с E(nkt)SU°.
В. пределе при А/—>О мы придем к элементам пространства
9Ь, все q компонент которых равны между собой, а именно по-
получим
•
u\t)
= E(t)
•
что запишем в виде u(t) = E(t)u°. К этому пределу стремится
также E(t)Su°, ибо 3—>/ при Д/->'0. Удобно обозначить через
ЗВ° подпространство пространства Д состоящее из элементов,
имеющих равные компоненты; другими словами, элемент
Ф =
и
V
W
пространства & принадлежит подпространству # тогда и
только тогда, когда и = v = w = ... . Элементы U(t) и п° лежат
в подпространстве ^Э°, но их аппроксимации — нет, они лежат
лишь поблизости от него.
На практике начальные значения получают не с помощью
точного вычисления <р° = Su°, а с помощью аппроксимации
фО = ф. Мы будем требовать, чтобы приближенное решение
сходилось к й(/), когда Д/->0 и гр->м° независимо друг от
друга; мы не требуем, чтобы гр лежало в подпространстве ^,
а только чтобы его предел принадлежал этому подпространству.

178
ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 7.3. Теорема об эквивалентности
Многослойная разностная формула G.6а) называется
устойчивой, если для некоторого положительного т операторы
равномерно ограничены. Иными словами, эквивалентная двух-
блойная система G.6Ь) должна быть устойчивой в смысле оп-
определения, данного в гл 3.
Условие согласованности состоит в том, что существует
плотное в 9$ множество U0 возможных начальных элементов
для точных решений, такое, что если и0 е U0 и е > 0 и если
положить
E(t)u°
E{t)u°
то
|| (С АО - Е (A/)) Su (t) \\<eM G.9)
для достаточно малых Д/ и 0 ^ t ^ Г.
Это не что иное, как двойственная формулировка согласован-
согласованности, данная для двухслойных уравнений в ^З.бЬ). Все u(t)9
фигурирующие в настоящем условии, лежат в &°.
Аппроксимация называется сходящейся, если для любых
последовательностей Д;/ и пj, таких, что Д;/ > 0, &jt -> 0 и
> t при / -> оо@ ^ t ^ Г), и любого и е ^° будет
lim lC(b,tfi$-E(t)ul = O. G.10)
Теорема об эквивалентности гласит, как и ранее,
что
Для корректно поставленной краевой задачи и аппроксима-
аппроксимации, удовлетворяющей условию согласованности, устойчивость
необходима и достаточна для сходимости.
Доказательство аналогично приведенному в гл. 3; единствен-
единственное существенное различие связано с различием между про-
пространствами 9S и Л°. Для того чтобы доказать, что из сходи-
сходимости следует устойчивость, допустим, что аппроксимация схо-
сходится, и пусть ар — некоторый элемент пространства J?. Мы ут-
утверждаем, что величины
при

§ 7.3. ТЕОРЕМА ОБ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
179
ограничены; действительно, в противном случае мы выбрали
бы из них такую подпоследовательность, что
I ^(Д/О^фВ-^- °° при /->оо,
а затем из нее выбрали бы такую подпоследовательность, для
которой rijAjt имеет предел, скажем t (O^t-^T) при /->оо.
Тогда элементы
*'"* le
стремились бы к нулевому элементу
О "
2° =
О
лежащему в подпространстве 33°, и мы имели бы
|| С (Д//)я/фу |->оо при /->оо,
в-то время как в силу сходимости
иметь
к мо мы должны были бы
= 0 при
Поэтому существует такая граница /Ci(ip), что
0<
для
и устойчивость следует из принципа равномерной ограничен-
ограниченности.
Для доказательства того, что из устойчивости в свою оче-
очередь следует сходимость, возьмем
^d>0, lim Д,* = 0, lim n^tt = t, 0 < t < Г,
/->оо /->оо
и введем обозначение
где we принадлежит множеству [У0, входящему в определение
согласованности. Тогда u(t) = E(t)n° является точным реше-
решением и
пгх
= S С
- Л - 1) А/0

180
ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Ч. 1
Далее, S перестановочно с E(t) (см. равенство G.7)); следова-
следовательно, в соответствии с условием согласованности G.9) при
е>0
|| [С(ДУ0 -
- k - 1) А//) 5й°||<еДу/
для достаточно малых положительных Д^. Если Кг — общая
граница операторов G.8), то, применяя неравенство треуголь-
треугольника, получаем, что для достаточно малых Д^ > 0
пГх
\\Ы<
2
k=sO
Значит, в силу произвольности е,
в гл. 3, можно теперь показать, что
пРи
Как и
где / является пределом nfijt. Поэтому (опять как в гл. 3),
если и — произвольный элемент пространства д&, то мы можем
найти такую последовательность {ит} элементов множества
О0, что пщ-*и при т->оо, и если положить
то
[С (ДУ0л/ - Е (t)] 5й = [С (ДуО11/ - Е (/)] §йт +
+ С (А,/I1/ §(й -UJ-E (t) $(й- й„).
Последние два члена этого равенства можно сделать сколь
угодно малыми за счет выбора достаточно большого т в силу
равномерной ограниченности1) операторов Cnj(&jt), E(t) и 5;
первый член в правой части можно сделать сколь угодно малым
за счет выбора достаточно большого /.
Для завершения доказательства сходимости нужен еще
один шаг, который не был необходим в гл. 3, а именно
$ - Е @ и = [С (W)nJ - Е (/)] §й +
+ С (Ду/)*' (ф -§й)-Е (t) (й - SU).
1) Заметим, что оператор S является функцией от Л/, ограниченной при
0 ^ М < t; в самом деле, S -> / при А* -* 0.

§ 7.4. СОГЛАСОВАННОСТЬ И ПОРЯДОК ТОЧНОСТИ 181
При Д*->0 имеем 5->/; поэтому еслигр->й, то Игр— Зй\\ ->О,
\\й — Зй\\ ->0, и мы видим, что
|
/->оо
для произвольного и из ^°, что и требовалось доказать.
§ 7.4. Согласованность и порядок точности
При исследовании согласованности и точности удобно иметь
дело с разностными уравнениями в их простейшей форме G.3),
не разрешенной относительно ип+(*. Неопределенность вследствие
возможности умножения слева на любую невырожденную
матрицу устраняется предположением о том, что для любой
достаточно гладкой функции u(t) разностный оператор в левой
части аппроксимирует оператор d/dt — Л, т. е.
при Д/->0. G.11)
Как и в гл. 4, определим порядок точности как наибольшее дей-
действительное число р, для которого
\\Bqu{t + qM) + ... +B0u(t)\\=O[(Mf] при Д/->0 G.12)
для всех достаточно гладких точных решений дифференциаль-
дифференциального уравнения du/dt = Аи. Выражение в левой части G.12) на-
называется погрешностью аппроксимации и может быть оценено
путем разложения и в ряд Тэйлора.
Чтобы связать это с условием согласованности G.9), кото-
которое выражается через операторы С/ = — B^lBj, мы уточним
соответствующие рассуждения для краевых задач с постоянны-
постоянными коэффициентами и условием периодичности решения, при-
приведенные в гл. 4. Мы покажем ниже, что BJ1 = О (Ы). Это ут-
утверждение следует из соотношения G.11) и ограниченности опе-
операторов Си С2, ..., Cg-i, но доказать его труднее, чем в слу-
случае двухслойных уравнений. Следовательно, если разностная
схема устойчива и погрешность аппроксимации стремится
к нулю при Д/-*0, то условие согласованности G.9) выпол-
выполняется. Только первая компонента вектора [С(Д/) —
— E(M)]Sii{t) отлична от нуля, так что нам нужно лишь пока-
показать, что при любом е > О
для любого элемента и@) из некоторого множества t/°, плот-
плотного в &, и для всех достаточно малых Д/.

182 ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ Ч. I
Как и в гл. 4, банахово пространство $ есть гильбертово
пространство функций и(х), удовлетворяющих условию перио-
периодичности, причем за норму принята гильбертова норма. Пусть
<8т— подпространство тригонометрических полиномов степени
т. Если Wo представляет функцию ио(х) из подпространства
<8т и если в равенстве G.11) положить u(t) = tuOi то
Lu0 = o(l) при Д*->0, G.13)
где
+ (q-l)Bq-l + ... + Я,) -/. G.14)
Так как <8т имеет конечный базис, каждый элемент которого
удовлетворяет соотношению G.13), то Ш|ш < ei для достаточ-
достаточно малых А/, где ei — произвольно малое положительное чис-
число, ||L||m—норма оператора L в подпространстве <%т. Поэтому
оператор / + L имеет обратный в этом подпространстве,
а именно
где
таким образом,
[qBq+ ... +В1Г1
Из определения С/ = — B^lBj следует, что
В71 = [ql - fa - 1) Cq-X - ... - CJ A/ (/ + M). G.16)
Для рассматриваемой задачи решение u(t) лежит в 3&т, если
«@) лежит в Jfw, потому что А в уравнении G.2) является
дифференциальным оператором с постоянными коэффициента-
коэффициентами. Кроме того, для этого решения будет du/dt — Аи = 0, так
что в силу G.11)
|| [BqE (q А/) + Bq-XE ((q - 1) М) + ... + Во] и (t) || < е0 G.16)
для любого ео > 0 и для всех достаточно малых At
Умножая G.15) на G.16), получаем
-l)^t- ... - Со] и (t) \\< е3 А/, G.17)
где
e3 = {o<maxJ|9/-(?~l)C,_1- ... - С, ||}ео||/ + М \\т.
Входящий в последнее равенство максимум существует, по-
поскольку мы предположили, что разностные уравнения устойчи-
устойчивы, откуда вытекает, что операторы Cq-.t(M)t ..., С{(М) рав-
равномерно ограничены при 0 < А/< т. Неравенство вида G.17)

§ 7.5. ПРИМЕР ДЮФОРТА И ФРАНКЕЛА 183
имеет место для любого решения «(/), принадлежащего <J3m
(это, конечно, точное решение). Если принять во внимание все
подпростраства й?т, то возможные начальные элементы и@) для
этих решений образуют плотное множество в &у чем согласован-
согласованность и доказана.
§ 7.5. Пример Дюфорта и Франкела
Чтобы проиллюстрировать сказанное выше, исследуем со-
согласованность предложенной Дюфортом и Франкелом [1953] раз-
разностной схемы
Ш — ° {Kxf <7Л8>
для численного решения уравнения диффузии
^L = o-j?f cr=const>0. G.19)
Как будет показано ниже, уравнение G.18) всегда устойчиво.
Если члены уравнения G.18) заменить рядами Тэйлора
" и т. д.
и сравнить результат с G.19), то мы получим погрешность ап-
аппроксимации порядка (At/АхJ. Точнее говоря, для каждой до-
достаточное число раз дифференцируемой функции u(x,t)
_
2Д?
ди
Поэтому для согласованности требуется, чтобы Д//Дл;->0 при
At -» 0. Таким образом,
Уравнение G.18) согласовано с уравнением G.19) тогда и
только тогда, когда At стремится к нулю быстрее, чем Ах\
если же At/Ax фиксировано, скажем равно р, то уравнение
G.18) согласовано не с уравнением диффузии G.19), а с гипер-
гиперболическим уравнением
"аГ ° дх2 ^ар

184
ГЛ. 7. МНОГОСЛОЙНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ
ч.
Можно показать, что разностное уравнение G.18) всегда устой-
устойчиво. Для этого запишем эквивалентную двухслойную систему
Рис. 7.1. Собственные значения матрицы перехода G.20) разностного урав-
уравнения Дюфорта — Франкела для задачи диффузии при а>1.
Рис. 7.2. То же, что и на рис. 7.1, но при а<1
Матрица перехода для этой системы имеет вид
2а
[2а п 1 — а -|
I»
1 О J
G.20)
где а = 2aArf/(A*J, Р = kAx; ее собственные значения равны
Л a cos p ± V\ — a» sin2 ft
А Им •
Зависимость модулей этих собственных значений от cos p для
типичных случаев a > 1 и a < 1 схематически изображена на
рис. 7.1 и 7.2 соответственно. Условие 2 из § 4.11 достаточное

§ 7.6. РЕЗЮМЕ 18Й
для устойчивости, здесь выполняется, так как одно собственное
значение удовлетворяет неравенству
а другое — неравенству
Поэтому система Дюфорта — Франкела устойчива при любых
значениях а.
§ 7.6. Резюме
Для корректно поставленных задач с постоянными коэффи-
коэффициентами условия сходимости для многослойных разностных
уравнений практически те же, что и для двухслойных. Стремле-
Стремление к нулю погрешности аппроксимации при А/-* О влечет за
собой согласованность аппроксимации, если только разностные
уравнения устойчивы1).
Для исследования устойчивости просто пишут эквивалент-
эквивалентную двухслойную схему, вводя новые зависимые переменные,
а затем исследуют устойчивость этой схемы любым из описан-
описанных в гл. 4 методов. Необходимые дополнительные начальные
данные могут быть получены с помощью любой подходящей
аппроксимации, имеющей силу при Д< —> 0. В частности, их
можно взять просто равными соответствующим начальным дан-
данным, н1 = и°> и2 = и0 и т. д., хотя чем лучше аппроксимация
начальных данных, тем, вообще говоря, выше точность аппрок-
аппроксимации решения при данном Д/.
1) Эта оговорка не является необходимой для двухслойных формул, но,
по-видимому, согласованность не представляет интереса, если уравнения не-
неустойчивы.

ЧАСТЬ II
Приложения
ПРЕДИСЛОВИЕ R ЧАСТИ II
Эта часть книги посвящена приложению разностных мето-
методов к некоторым краевым задачам, возникающим в физике.
Материал систематизируется в соответствии с сущностью физи-
физических задач, а не с типом описывающих их уравнений, потому
что при детальном рассмотрении различных физических процес-
процессов требуются, вообще говоря, совершенно различные подходы
к уравнениям одного и того же типа. Например, для гиперболи-
гиперболических систем, которые получаются в теории переноса нейтро-
нейтронов, применяются методы, отличные от тех, которые нужны для
гиперболических систем, возникающих в гидродинамике. Не-
Несмотря на это, многие характерные особенности являются об-
общими для задач из различных физических областей, и мы
вкратце остановимся здесь на некоторых из них.
Методы решения параболических задан обсуждаются глав-
главным образом в гл. 8 в связи с диффузией и теплопроводностью,
хотя уравнения упругих колебаний в гл. 11 и уравнения, опи-
описывающие одновременное распространение звука и тепла
в § 10.4, также по существу являются параболическими в том
смысле, что для них скорость распространения сигнала беско-
бесконечна.
Методы решения линейных гиперболических систем подроб-
подробно обсуждаются в гл. 9 в связи с уравнением переноса, осо-
особенно в § 9.6—9.16; мы снова встретимся с ними в гл. 10 при
рассмотрении звуковых волн; уравнения колебаний продольно-
напряженного стержня или струны, рассматриваемые в § 11.6,
очень близки к гиперболическим.
В гл. 12 и 13 изучаются нелинейные гиперболические систе-
системы, получающиеся в гидродинамике. Вследствие нелинейности
методы решения этих систем являются более сложными и более
тесно связанными со спецификой гидродинамических задач. Мы
не делаем попыток предложить какие-либо универсальные ме-
методы, применимые к общим нелинейным гиперболическим си-
системам, отличным от тех систем, которые описывают законы
сохранения.
Методы решения систем линейных уравнений, получающих-
получающихся для неявных схем, рассматриваются в § 8.5 для простого

ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧАСТИ II 187
трехдиагонального случая и в § 11.5 для многодиагонального
случая.
Неявные схемы для различных задач приводятся в § 8.2, 8.5
и 8.6 (параболические с одним пространственным переменным),
в § 8.8 и 8.9 (параболические с несколькими пространственными
переменными — методы чередующихся направлений и дробных
шагов) в § 9.9 и 10.3 (гиперболические), в § 11.3—11.5 (упругие
колебания). Как показано в § 11.4, неявная схема является осо-
особенно подходящей для задач динамической теории упругости.
Практические критерии устойчивости в случаях, для которых
обычной теории недостаточно, обсуждаются в § 9.7, 10.4, 10.5,
11.6 и 12.16. Это те случаи, в которых ограничение, налагаемое
на Д/ обычной теорией (при заданных Д*г), обеспечивает ограни-
ограниченность роста ошибки в пределе при Д/ -> 0, но несмотря на это,
рост ошибки (если не наложить дополнительных ограничений)
может оказаться неприемлемым для практически используемых
значений ДЛ

Глава 8
ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
§ 8.1. Примеры диффузии
В качестве примера диффузионного процесса мы рассмотрим
распространение тепла в неподвижной изотропной среде (см.
книгу Карслоу [1945]). Начальное распределение температуры
известно; источники тепла, если они имеются, известны; тре-
требуется найти распределение температуры в последующие мо-
моменты времени.
Если распределение температуры в некоторый момент вре-
времени / обозначить через T=T(x,t), где Т означает темпера-
температуру, а х — вектор, характеризующий положение точки в про-
пространстве, то закон распространения тепла можно сформулиро-
сформулировать следующим образом: существует положительная скаляр-
скалярная величина к = и(х, Г), называемая коэффициентом тепло-
теплопроводности материала и такая, что для любого распределения
тепла плотность потока тепла равна
F(x, *) = -x(xf Г(х, t))VT(x, /),
что мы запишем кратко в следующем виде:
F = -kV7\ (8.1)
Физический смысл векторного поля F состоит в том, что инте-
интеграл от нормальной составляющей вектора F по какой-либо по-
поверхности равен потоку тепла через эту поверхность в единицу
времени. Закон (8.1) гласит, что для заданной температуры Т
и заданной точки х вектор плотности потока тепла пропорцио-
пропорционален градиенту температуры в этой точке и имеет противопо-
противоположное направление. Коэффициент пропорциональности и мо-
может зависеть также и от времени, если происходят химические
реакции, но мы будем предполагать, что это не имеет места.
Пусть Е = E(x,t) и Q = Q(x, /) означают соответственно
внутреннюю энергию, отнесенную к единице объема, и мощ-
мощность тепловых источников в единице объема (количество теп-
тепла, создаваемое за единицу времени в единице объема). Вклад
в dE/dt от перетекания тепла равен дивергенции F, и поэтому
в силу сохранения энергии мы имеем

§ 8.2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 189
Если а = а(ху Т) — удельная теплоемкость материала (отнесен-
(отнесенная к единице объема), то для температуры получается уравне-
уравнение в частных производных
-[V.xVr + Q]. (8.2)
Это уравнение с надлежащими начальными и граничными
условиями дает смешанную краевую задачу рассматриваемого
в этой главе типа. Конкретные примеры с исследованием устой-
устойчивости будут приведены для весьма упрощенных вариантов
этой задачи. Однако рассматриваемые при этом системы раз-
разностных уравнений на практике могут быть легко обобщены
и применены к самому общему виду уравнения (8.2).
К уравнению этого типа приводят и другие явления. Напри-
Например, это уравнение описывает диффузию вещества через про-
проницаемую среду, если считать Т концентрацией вещества, к
коэффициентом диффузии, а равным единице, a Q удельной
мощностью образования вещества при химической реакции,
если таковое имеет место.
Следующим примером является распространение тепла
в звезде, при котором энергия переносится как посредством из-
излучения, так и посредством теплопроводности. Если среда не-
неподвижна, то распространение тепла в звезде, за исключением
очень тонкого поверхностного слоя, совершенно точно описы-
описывается уравнением (8.2) при следующей интерпретации симво-
символов:
а .= Теплоемкость вещества на единицу объема + 4а0Р,
х = Коэффициент теплопроводности вещества + 4а0С0Г3/3/Ср,
где До — постоянная Стефана — Больцмана, с0 — скорость све-
света, р — плотность вещества, К = К(р, Т) —среднее Росселанда
(коэффициент непрозрачности звездной материи). Граничным
условием на поверхности звезды при некоторых предположе-
предположениях будет Т = 0.
§ 8.2. Простейшая задача теплопроводности
Полагая, что Q = 0, а и и постоянны и рассматривая толь-
только одно пространственное переменное (как в случае потока теп-
тепла вдоль тонкого стержня), получаем
^-«0 = 0, a = const>0,
и (х, 0) = и0 (х) (заданная функция).
Предположим, как и в гл. 1, что граничные условия заменены
условиями периодичности.

190 гл. 8. диффузия и теплопроводность ч. и
Большинство обычных четырех- и шеститочечных разностных
уравнений для уравнения (8.3) содержится в схеме
где 8 является неотрицательной постоянной; значение 8 = 0
дает четырехточечную явную схему с взятой вперед разностью
по времени. Другие значения 8 дают неявные схемы; 8 = 7г
дает шеститочечную схему с центральной разностью по време-
времени, а 8 = 1—четырехточечную схему с взятой назад разностью
по времени. Как и в предыдущих главах, символ б означает
центральную разность по пространственному переменному.
Простой алгоритм для решения таких неявных уравнений при-
приводится ниже (в § 8.5).
Условие устойчивости для системы (8.4) было выведено
в гл. 1 (см. неравенство A.24)), но оно может быть получено
также из общей теории, изложенной в гл. 4. Матрица перехо-
перехода G(A/, k) содержит в данном случае только один элемент
(потому что имеется только одно зависимое переменное) и яв-
является в действительности множителем перехода, обозначенным
в гл. 1 через l(tn) и определенным формулой A.23). Необходи-
Необходимое и достаточное условие для устойчивости, данное в гл. 4,
совпадает и согласуется с условием, найденным в гл. 1, а имен-
именно1)
2сгДг/(Д*2)<1/A-28) при 0<8<72,
ограничений нет при 7г^6^1.
В соответствии с результатами гл. 1 погрешность аппрокси-
аппроксимации определяется формулой
где и = и(х, t) есть точное решение дифференциального уравне-
уравнения. Разлагая входящие в эту формулу функции в ряды Тейло-
Тейлора в окрестности точки (л: = /Дл:, t = /гД/), находим, что е[и] =
= О(Д/) + О[(Дл;J]. Так как эта величина стремится к нулю
при неограниченном измельчении сетки, то из рассуждений гл.4
и 7 следует, что условие согласованности разностного уравнения
(8.4) с уравнением теплопроводности выполнено.
!) Условная устойчивость имеет место также при 9 < 0, а безусловная
устойчивость — при 8 > 1, но, вообще говоря, эти значения 0 не представляют
интереса.

§ 8.2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ 191
Если функция u(Xyt) — точное решение уравнения теплопро-
теплопроводности — является достаточно гладкой, то, учитывая, что
d2u/dt2 = о2д4и/дх4, погрешность аппроксимации можно записать
в виде
е [и] = о -0 [а Ы (i/2 - 9) - % (А*J] + О [(А*J] + О [(Д*)<]. (8.5)
Поэтому, если постоянные 8, А/ и Длс выбраны так, что величи-
величина, стоящая в квадратных скобках в правой части равенства
(8.5), равна нулю, то аппроксимация достигает более высокого
порядка точности, чем в других случаях. При 0 ^ 8 < 7г это
имеет место, когда А/ взято равным одной трети максимального
значения, допускаемого условием устойчивости. Очевидно так-
также, что высшая степень точности получается, вообще говоря, не
при центрировании разности по времени, т. е. при 8 = 7г> а при
6 = 72—(Ал;J/12аД/ (для этого значения 8 аппроксимация
устойчива). Саульев [1958] показал, что в частном случае, когда
(ДлсJ/ог А/ = ]/20, погрешность аппроксимации уменьшается до
О[(Д)Ч
Для задач с переменными коэффициентами этот метод по-
получения повышенной точности может быть несколько обобщен.
Если о=о(х, t) изменяется при изменении х и ty го оценка
(8.5) для погрешности аппроксимации уже не является строго
корректной, но если функция о(х, t) меняется медленно, то за-
заметное повышение точности может быть по-прежнему получено
при
В этом случае более удобно переписать разностное уравнение
в эквивалентной форме (включенной в табл. 8.1 под номе-
номером 12), из которой 8 исключено, а далее преобразовать ее, как
указано в § 3 гл. 8.
Таблица 8.1 содержит различные разностные схемы для про-
простого уравнения диффузии. На расположенных слева мнемони-
мнемонических диаграммах, указывающих способ образования разно-
разностей, отмечены точки сетки на плоскости х, t, используемые при
применении формулы; ось t направлена вертикально вверх,
а ось х — горизонтально вправо. Если три узла связаны гори-
горизонтальной прямой, то они используются для образования вто-
второй пространственной разности; если два узла связаны верти-
вертикальной прямой, то они используются для образования разности
по времени. Если имеются два или несколько множеств точек
того и другого рода, то используемые веса указаны справа или
снизу.

152
ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ
Ч. 11
Таблица 8.1
Конечноразностные аппроксимации для уравнения
Расположение узлов
разностной схемы
Разностные уравнения и погрешность
аппроксимации
Г-+У2
(Частный
случай)
1.
tty+i-.tty (б2«);
Д/ ^а (Ал:J •
в=О(Д/) + О[(Дл:J],
явная схема, устойчива, если
а Ы/(АхJ = const < V2
при Д/, Д*->0.
2.
Д/ 0 2(Дл:J
(Кранк и Николсон [1947]),
е = О[(д<J] + о[(Д*J].
неявная схема, всегда устойчива.
3.
и7+1-иу (Л)"+|
д/ r"a (д^J
(Лаасонен [1940] ),
*=»О(Д/) + О[(Дх)Ч,
неявная схема, всегда устойчива.
4.
Разностное уравнение такое же, как в случае 1, но
аД//(Д^J=1/6,
е = О[(Д/J] = О[(Д*)Ч,
частный вариант случая 1; схема устойчива.

§ 8.2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
193
Продолжение
Расположение узлов
разностной схемы
— в
—•1-е
> . • '/2-(Дх?/12аМ
+
1-Й
Разностные уравнения и погрешность
аппроксимации
5.
«7+|-«? e(a2^+1 + (i~e)(a2«);
А/ а (АхJ
где 9 = const, 0<9<1,
е = О(Д/) + О[(Ал:J],
при 0 < 9 < Уг устойчива, если а А//(Ал:J = consf <
< 1/B — 49), при у <9< 1 всегда устойчива,вклю-
устойчива,включает схемы 1 — 4 как частные случаи.
6.
Разностное уравнение такое же, как в случае 5, НО
9=:72-(Ал:J/12аД/,
е = О[(А02]=О[(А*)<],
схема устойчива.
7.
2 At a (Ал:J '
схема всегда неустойчива.
8.
и*}+{ - и] и?+1 - му+1 - и]'1 + н?_,
2 A/ a (AxJ
где А//Ал:->0 при А/, Ал:->0,
е == О (А/) + О [(АхJ] + О (A//AjcJ
(Дюфорт и Франкел [1953] ), явная схема, всегда
устойчива.
9.
з и?+1-«? 1 «у-г1 F4+l
2 А/ 2 А/ ~° (Ад:J '
в = О[(А/J] + О[(Ал:J],
схема всегда устойчива.
7 Зак. 1300

194
гл. 8. Диффузия и теплопроводность
ч. и
Продолжение
Расположение узлов
разностной схемы
Разностные уравнения и погрешность
аппроксимации
10.
A+в)
>f+8
где 9 = const >0, о Д//(Дл:J = const,
(А*J
схема всегда устойчива, включает схемы 3 и 9 как
частные случаи.
11.
Разностное уравнение такое же, как в случае 10, но
при 9 = 72
-f/i+(AxJ/f2<sAt
схема всегда устойчива.
12.
ui+\ -
% Ytz
12
Д/
5 и?+1-и?
T Д?
+ 12 Д/ ""Q 2(Дл:J
е = О[(Д/J] + О[(Д^],
схема всегда устойчива, совпадает со схемой 6.
13.
2
%
-'Л
to % У*
12
схема всегда устойчива.
5 2/
6
о
д^
Д/
-г
+
1

§ 8.2. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
195
Продолжение
Расположение узлов
разностной схемы
г**
14а.
и
146.
У
где а =
Разностные уравнения и погрешность
У """" У "~
= О At/(;\xY
(Саульев [1957] -
аппроксимации
= а («у+1 — "у ~" л
= а (иу+,2 — у+2 -
см. текст).
/ + l+«7-i)'
. и«+| + и7±,!).
Возможны некоторые сравнения. Схемы 2 и 9 формально
имеют одинаковый порядок точности; однако для гладких на-
начальных функций предпочтительнее схема 2, потому что коэф-
коэффициент при (Л/J в ее погрешности аппроксимации меньше,
тогда как для быстро меняющихся или разрывных начальных
данных предпочтительнее схема 9, так как она быстрее гасит
коротковолновые компоненты, для которых k&x « я. Аналогич-
Аналогичное соотношение имеет место между схемами 6 и 11 и между
схемами 12 и 13.
В методе Саульева [1957] для двух последовательных шагов
по времени применяются различные уравнения, как это показа-
показано в схеме 14 табл. 8.1. По существу эта схема является явной:
каждое уравнение системы
содержит две из неизвестных величин wj+1, ..., W}±\9 но
находится из левого граничного условия, так что уравнения мо-
могут быть последовательно решены для / = 1, ..., / — 1. Анало-
Аналогично из второй системы уравнений можно последовательно по-
получить uni+2 для / = / — 1, / — 2, ..., 1. Для такой двухшаго-
вой по времени схемы легко находится множитель перехода,
равный
V [1 — а A -cosP)]2 + (
где а = oAti(AxJ, Р = kAx\ так как 1 — cos p ^ 0, множитель
g принадлежит отрезку [—1,1], и поэтому схема безусловно
устойчива. Оценку порядка точности можно получить путем ис-
исключения ипЛх\ это дает вполне неявное уравнение
ип+2 _ (а + а2) 6 V+2 = и» + (а - а2) Ь2и\

195 гл. 8. диффузия и теплопроводность ч. п
Если пренебречь величиной а2, то получится схема Кранка и Ни-
колсона, погрешность аппроксимации которой равна О[(Д/J] +
+ О[(Да;J]; вклад членов, содержащих а2, в (ип+2 — ип)/BЫ)
равен
dx*dt)m
При любом фиксированном а погрешность аппроксимации рав-
равна О(Д/); если же А/ и Длс изменяются независимо, то схема
Саульева, подобно схеме Дюфорта и Франкела, будет согласо-
согласована с уравнением теплопроводности лишь тогда, когда
Д//Д*->0 при измельчении сетки.
§ 8.3. Переменные коэффициенты
Большинство схем, указанных в табл. 8.1, может быть обоб-
обобщено на случай переменных коэффициентов1). Если обоб-
обобщаются схемы, обладающие повышенной точностью, то следует
заботиться о том, чтобы не произошло потери точности, за ис-
исключением тех случаев, когда коэффициенты близки к постоян-
постоянным. Для иллюстрации покажем, как обобщается схема 12. Сна-
Сначала рассмотрим уравнение
? (8.6)
и допустим, что о(х) является дважды непрерывно дифферен-
дифференцируемой функцией. Удобно сначала ввести пространственные
разностные отношения
(АхJ дх2 ' 12 дх4
откуда
J) Схема 4 не может быть обобщена таким образом, поскольку специаль-
специальное условие аД//(Дл:J= 1/6-требует, чтобы а было постоянным.

§ 8.3. ПЕРЕМЕННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 197
Разностные отношения по времени теперь образуются так же,
как и раньше, и мы получаем в результате формулу
'6 GfM '12
12 ay+iA/ '6 GfM '12 a/-j Д/
*]. (8.7)
Для уравнения более общего вида
ifL= A. i!L j ц = |i(*)>fli >0,
dt Р дх v дх • где \ v = v (jc) > а2 > О,
формулы несколько усложняются, и мы их не будем выписы-
выписывать. Заметим только, что такие формулы можно легко полу-
получить заменой переменных
1 dx,
после которой уравнение принимает вид
ди \х д2и
dt ~ v ~ду* '
т. е. имеет такую же форму, как уравнение (8.6), и может
решаться таким же образом. Для исходного переменного х эта
схема имеет неравномерную сетку.
Формулы такого типа использовались в вычислениях с диф-
диффузионно-возрастным уравнением Ферми для ядерных реакто-
реакторов и дали возможность получить точные результаты с мень-
меньшим объемом вычислений, чем требуется при более простых
формулах.
Что касается устойчивости этих разностных схем с перемен-
переменными коэффициентами, удовлетворяющими условию Липшица,
то в § 5.3 было показано, что она имеет место для явных схем,
множитель перехода которых удовлетворяет условию E.22),
а именно
\G(x9 g)l<l-fiisl2 при всех х и |6|<я,
где g = k&x и постоянная б > 0; там же вкратце говорилось
о некоторых результатах для неявных схем. Чтобы понять, что
означает это условие, рассмотрим схему 5 из табл. 8.1, для ко-
которой
1- 4а A-8) sin2 F/2)
и — 1 + 4а9 sin2 (g/2)
где а(х, Ы) = о(х)Ы№хJ. Следовательно,
. 2-4аA -28) sin2 F/2) р , _ 4а sin2 E/2)
~~ А + 1 + 4а sin2 (Ц2)
1 + 4а9 sin2 A/2)

198
ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II
и указанное условие выполняется, если i) величина а(х, Д/)
равномерно по х ограничена снизу положительной постоянной
при Д/-*0 и п) 2а(*,Д/) A — 28) < у < 1. Так как у может
быть взято сколь угодно близким к единице, то это практически
не накладывает ограничения на шаг Д/, с которым можно про-
проводить вычисления (сравните со сказанным в следующем пара-
параграфе).
Здесь стоит также отметить, что доказательство устойчиво-
устойчивости для схем с переменными коэффициентами, приведенное
в § 5.3, использует явность схемы лишь в незначительной сте-
степени. Если в сумме ип+{(х) = 2C)С%П (х + РА*) абсолютно схо-
сходятся как сР, так и их постоянные Липшица, то доказательство
не будет существенно отличаться от того, которое приведено
в § 3 гл. 5.
§ 8.4. Влияние на устойчивость членов
низшего порядка
Теперь мы рассмотрим уравнение
ди д2и , ди . . /й йч
где а, а и Ь постоянны, причем а > 0. При построении конечно-
разностного уравнения каждый член уравнения (8.8) может
быть заменен разностными отношениями различным образом,
и возможные комбинации этих способов весьма многочисленны.
Мы дадим два примера. Эти (и другие) примеры подтверждают
вывод о том, что по крайней мере для задач диффузии устой-
устойчивость практически не зависит от членов низшего порядка. Сло-
Слово «практически» имеет тот смысл, что в некоторых случаях
ограничение Д/ ^ ... должно быть заменено ограничением
М < ... без каких-либо других изменений. (В § 5.3 это было
показано для самых общих явных схем, аппроксимирующих
уравнение (8.8), с помощью тех же по существу рассуждений,
которые применяются в приводимых ниже примерах.) Однако
наличие членов низшего порядка может явиться причиной
уменьшения Д/: например, большое значение Ь в уравнении
(8.8) приводит к быстрому изменению решения и, даже если и
не зависит от х, и тогда малость Д/ необходима точно также,
как и для конечноразностной аппроксимации обыкновенного
дифференциального уравнения du/dt = bu.
В качестве первого примера рассмотрим пространственно
центрированную схему
uj+l - «у е(б2ц);+1-Н1 - 9) (б2и)? и?+1 - и? ,

§ 8.4. ВЛИЯНИЕ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЧЛЕНОВ НИЗШЕГО ПОРЯДКА 199
где 8 = const, 0<8<1. Пусть а = дД//(Ал;J остается по-
стоянным при Ы—>О и Дл;->0, так что kx—- Yo&tfa. Множи-
Множитель перехода G = G(A/, k) равен
г _ 1 — 4а A — 6) sin2 р + ia У а М/а sin 2P + Ь А/
а 1 + 4а9 sin2 p
где р = ЛДх/2. Поэтому
, г , У [1 - 4а A - 8) sin2 р + Ь А/]2 + а2 (а М/а) sin2 2p"
|U| l+4a6sin2p
что мы перепишем в следующем виде:
I G 1= ]/ШГ-
где функции /о(р), /i(P) и /2(Р) ограничены. Очевидно, нужно
потребовать, чтобы |/о(Р) |^ 1, и это приводит к тому же самому
условию, что и в случае а = Ь = 0, а именно
a< 1/B-48) при 0<8<72, ,я im
ограничений на Д/ нет при \
Если это условие выполняется и если т4 и т2 суть максималь-
максимальные значения IMP) | и |Ь(Р)| при изменении р, то мы имеем
|С |< /I + /л, Д* + /и2(А/J =1 + 0 (АО,
и поэтому условие устойчивости оказывается таким же, как
и ранее.
В качестве второго примера, быть может, менее удовлетво-
удовлетворительного с точки зрения погрешности аппроксимации, рас-
рассмотрим (нецентрированную) схему с нецентрированной первой
разностью по пространству
«у*-у ае(бЧ"+1 + A-е)(бНя а-ц»
5 — * (J + a +0ИРЛ1'
(Ал:J + a Ал:
где, как и в предыдущих главах, Д__^ = «^ — и*_р и снова
предположим, что аД//(Дл:J = а имеет фиксированное значение
при Д/-+0 и Дл;-*О. Сначала рассмотрим случай a ^ 0.
Теперь мы имеем
_ 4а A — 9) sin2 Р + а 1/ -^- B sin2 Р + / sin 2P) + Ь А/
(
0 = Пвр • (8Л2>
Снова ясно, что (8.10) является по меньшей мере необходимым
условием устойчивости. Покажем, что оно является также и
достаточным.

200 ^л- 8- ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. It
Устойчивость связана только с тем, что происходит в преде-
пределе при Д/, Длс—>0. Таким образом, необходимо рассматривать
лишь малые Д/. Допустим поэтому, что
2а ]/а Д//(т < 4а, т. е. Да: < 2а/а.
Если условие (8.10) выполнено, то мы имеем
1<: l-4a(l-8)sin2p ^
^ 1 + 4а9 sin2 p ^
l+4a9sin2p
Обозначив третий член в этом неравенстве через Л, получим
I Г 12 — (а 4- Y Л- (^Jij^
I a I — \л -г j + 4a9 sin2 p J -ту 1 + 4а9 sin2 р / '
и поэтому
I G |2 ^ 1 + О (ДО равномерно относительно р,
что и доказывает устойчивость.
Рассмотрим теперь противоположный случай а ^ 0. Мно-
Множитель перехода G по-прежнему дается соотношением (8.12),
но так как а ^ 0, знак неравенства между вторым и третьим
членами неравенства (8.13) нужно заменить противоположным,
и поэтому существует опасение, что может оказаться А <—1.
Во избежание этого нужно изменить первую строку условия
(8.10) и потребовать, чтобы
a< 1/B-49) при 0<е<72.
ограничений на а нет при 72^9 < 1. ' '
(Это отличается от (8.10) только тем, что теперь не допу-
допускается равенства a =1/B — 48).) В каждом случае для за-
заданных а и 8 существует такая постоянная Б, что
— 1 ^ р^ l-4a(l-8)sin2p
^ D ^ 1 + 4a8 sin2 p '
Так как А отличается от этой последней величины только на
отрицательное слагаемое, пропорциональное 1/А^~> то ясно, что,
выбирая Д/ достаточно малым, можно добиться того,- чтобы
1 ^ А. Тогда —1 ^Л ^ 1, а отсюда дальнейшие выводы де-
делаются точно так же, как и в случае а ^ 0.
Если в схеме (8.11) мы возьмем разность вперед Д+^
вместо Д_^, то результат будет тем же самым, за исключе-
исключением того, что случаи а ^> 0 и а ^ 0 поменяются ролями.

§ 8.5. РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ 201
§ 8.5. Решение неявных уравнений
Если уравнение
(мы берем типичный случай) аппроксимируется конечноразно-
стной схемой
иу+' -иу 6 [6 (o6u)]]+l + A -9)
М ~ (Дд:J '
аналогичной схеме 5 табл. 8.1, то уравнения, которые нужно ре-
решать на каждом шагу по времени, будут иметь вид
~ в wfti1 + 0 + 9а/-н/, + 6а/-'/Х+1 - ea/-rf! •
/=1, 2, ...,
где черточки в правой части равенства означают известные ве-
величины, а а = а(л:) стоит вместо а (л:) А//(Ал:J. Эти уравнения
должны быть решены при некоторых граничных условиях, соот-
соответствующих, например, / = 0 и / = /. Перепишем эти уравне-
уравнения в виде
- CjUj-t = Dh (8.15)
где Aj, Bj, Cj — сокращенные обозначения коэффициентов, при-
причем верхний индекс п + 1 опущен. Для уравнения du/dt =
= од2и/дх2 коэффициенты будут несколько иными. В качестве
второго примера рассмотрим аппроксимацию этого уравнения
разностным уравнением (8.7) (схема 12 табл. 8.1), которое экви-
эквивалентно тому случаю, когда 8 в первом примере будет пере-
переменным и в каждой точке сетки будет принимать значение
9 == i/2— (Дл;J/12аА/, характеризующее схему 6 табл. 8.1; то-
тогда
Д/=1+5/Fа/), Лу = 72-1/A2аж), Су = 72 -
Если предположить, что 8 > 0 в первом примере и as > 1/6
для всех / во втором, то для обоих примеров
Лу>0, В/>0, С/>0 (8.16)
и, кроме того, неравенство
B^Aj + Cj (8.17)
выполняется с некоторым запасом.

202 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II
Чтобы проиллюстрировать метод решения рекуррентной си-
системы вида (8.15), предположим, что гранчиные условия имеют
вид
г/0 = 0, (8.18)
tij = O. (8.19)
Читатель заметит, что при небольших изменениях метод может
быть приспособлен и к другим граничным условиям.
Уравнения, подлежащие решению, линейны, и можно было
бы применить один из стандартных методов решения линейных
систем. Но эта система уравнений имеет весьма специальный
вид, так как все элементы соответствующей матрицы (за ис-
исключением элементов, расположенных на трех диагоналях) об-
обращаются в нуль, а для этих последних выполняются неравен-
неравенства (8.16) и (8.17). Метод, который мы опишем для таких си-
систем, является весьма эффективным и очень удобным для
машинных вычислений1).
Заметим сначала, что не является хорошим следующий (ино-
(иногда применяемый) метод. Берут некоторое решение и^ уравне-
уравнений (8.15), удовлетворяющее левому граничному условию
(8.18), и некоторое решение uS2) соответствующих однородных
уравнений (т. е. системы (8.15) при Dj = O), также удовлетво-
удовлетворяющее левому граничному условию, а затем составляют их ли-
линейную комбинацию, так, чтобы удовлетворить и правому гра-
граничному условию. Причина, по которой этот метод плох2), со-
состоит в том, что в общем случае и^ и и& растут очень быстро,
приблизительно по экспонентам, когда / возрастает от 0 до /,
и поэтому истинное решение должно получаться как разность
двух очень больших и почти одинаковых величин. Это требует
не только использования плавающей запятой, но и многократ-
многократного повышения точности счета. В методе, описываемом ниже,
все величины остаются в разумных границах.
При описании метода мы тем не менее рассмотрим множе-
множество С решений разностного уравнения (8.15), удовлетворяю-
удовлетворяющих левому граничному условию (8.18): С является однопара-
метрическим семейством решений, потому что каждым значе-
значением Uj при / = 1 такое решение определяется однозначно.
Действительно, найдем два множества величин Ej и Fj, таких,
что для каждого элемента множества С
/> (8.20)
1) Насколько нам известно, этот метод был применен независимо мно-
многими авторами; конечно, он является лишь специальной формой процесса
исключения Гаусса.
2) Подробно этот вопрос рассмотрен, например, з книге Годунова и Ря-
Рябенького [1962], стр. 164—171. — Прим. перев. *

§ 8.5. РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ 203
В частности, если это должно выполняться для каждого члена
данного семейства, то граничное условие (8.18) показывает, что
должно быть
?0 = 0, FQ = 0. (8.21)
Позже мы увидим, что Ej > 0 для / > 0. Поэтому система
(8.20) также имеет однопараметрическое семейство решений, так
как Mi может быть выбрано произвольно, а тогда система (8.20)
однозначно определяет все Uj при / > 1. Наша задача состоит
в таком определении Ej и Fj, чтобы это семейство совпало с се-
семейством С.
Чтобы этого достигнуть, подставим Ej-iUj + Fj-i вместо tij-[
в уравнение (8.15). В результате получим соотношение между
Uj и Uj+ii которое можно записать так:
Если мы приравняем правую часть этого равенства правой ча-
части равенства (8.20) и вспомним, что этот результат должен
быть справедлив для однопараметрического семейства величин
tij+u то станет очевидным, что для этого должны выполняться
соотношения
С помощью равенств (8.21) —(8.23) можно вычислить Ej и
Fj по индукции в направлении возрастания / (/ = 0,1,2, ..
..., /—1). Так как Uj+i для / = / —1 дается с помощью пра-
правого граничного условия (8.19), мы можем теперь с помощью
(8.20) вычислить Uj по индукции в направлении убывания
/ (/ = /— 1, / — 2, ..., 1). Этим вычисление завершается.
Чтобы показать, что Ej и Fj хорошо расположены в шкале
чисел, заметим сначала, что если Ej^{ ^ 1, то в силу равенства
(8.22) и неравенства (8.17)
Так как Ео = 0, то это означает, что Ej лежит между 0 и 1 для
-всех /. Кроме того, как заметил Муссман, если Ej и искомое
решение Uj должным образом ограничены, то из равенств (8.20)
очевидным образом следует, что и Fj соответственно ограни-
ограничены.
Чтобы показать эффективность этого метода, заметим, что,
помимо вычисления коэффициентов, требуется только три умно-

204 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. И
жения и два деления для каждой точки пространства на ка-
каждом шагу по времени. Это может быть противопоставлено про-
процессу, рассмотренному для задач, в которых коэффициенты не
зависят от времени, а именно обращению раз и навсегда матри-
матрицы системы уравнений (8.15), (8.18) и (8.19) и последующему
применению этой матрицы для получения решения на каждом
шагу по времени. Кроме этой работы по обращению матрицы
требуется еще умножение матрицы на вектор, т. е. / умноже-
умножений, для каждой точки пространства на каждом шагу по вре-
времени.
§ 8.6. Нелинейные задачи
Применение вышеизложенных идей к нелинейным задачам
проиллюстрируем исследованием уравнения
?-¦?<«¦>. (8.24)
для которого были выполнены некоторые пробные расчеты на
машине УНИВАК.
Решение выбранной нами смешанной краевой задачи извест-
известно в аналитической форме, так что точность решения, получен-
полученного численным методом, можно оценить сравнением. Решение
уравнения (8.24) в виде распространяющейся волны может быть
получено как решение, в котором и зависит от х и / только
в комбинации х — vt, где v постоянно. Общее решение этого
типа неявно дается уравнением
+ 20и* (и - и0) + bul In (и -uo) = v(vt-x + x0), (8.25)
где Wo, Хо и v постоянны. Это — волна, распространяющаяся
вправо при v > 0; ее форма показана на рис. 8.1. Слева реше-
решение и близко к кривой четвертого порядвд, а справа прибли-
приближается к и0 при возрастании х примерно по экспоненте, потому
что при и — и0 -С Wo логарифм является преобладающим членом
в левой части равенства (8.25). Без потери общности мы мо-
можем взять ио = 1. Обозначим через \|)(?) обратную функцию для
левой части уравнения (8.25); тогда решением в виде распро-
распространяющейся волны является
а функция t|)(g) может быть получена графически или с по-
помощью метода Ньюгона — Рафсона из уравнения (8.25). На-

§ 8.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
205
чальные и граничные значения возьмем из этого решения, т. е,
начальное условие и(х, О) = г|з(и (х0 — х)),
*о))
(8.26)
граничные условия: { ,/ ,, . . , , ,
r J { и (L, t) = if (v (vt — L
He нарушая общности, можно взять длину интервала L == I,
В силу единственности решения уравнения (8.24) численный ме-
метод, если он имеет некоторую точность, должен воспроизводить
10
J
15
Рис. 8.1. Решение нелинейного уравнения du/dt = d2(u5)/dx2, имеющее
вид распространяющейся волны.
Сплошной линией изображено точное решение, найденное из уравнения (8.25), а штрихо-
штриховой—решение разностного уравнения (8.27) при 6=0,4 и при At и Ах, выбранных так,
что v Д*/Дх=0,075 и 5mqA*/(AxJ=0,005. Числа п показывают номера шагов по времени.
решение в виде распространяющейся волны при 0 ^ х ^ 1,
/>0.
В качестве конечноразностной системы возьмем обобщение
общей неявной системы 5 табл. 8.1, так чтобы можно было изу-
изучать точность и устойчивость для различных значений 0. Непо-
Непосредственное обобщение разностного уравнения
[6*
+ A - е) [У (и*
(Да:J
было бы неуместным, потому что для него система уравнений,
подлежащая решению, была бы нелинейной. Линеаризованный
вариант уравнения может быть получен различными способами;

206 гл. 8. диффузия и теплопроводность ч. и
удобным для рассматриваемой задачи является вариант, полу-
получающийся аппроксимацией
и;+1 - и; + 5 и;
Положив и^ —wy+1 —unr мы получим уравнения
-2 К */+
— (SO5
вместе с граничными условиями
wo =
в которых члены, стоящие в правой части, известны. Эти урав-
уравнения могут быть решены методом, изложенным в предыдущем
параграфе; применение после этого уравнения и*}+1 = Wj + w j
завершает вычисления для данного шага по времени.
Задача была запрограммирована так, что начальные и гра-
граничные значения получались путем решения уравнения (8.25)
методом Ньютона — Рафсона, а решение конечноразностных
уравнений получалось, как указано выше. После каждых два-
двадцати шагов по времени машина печатала столбцом получен-
полученные таким путем для / = 0, 1, ..., / значения и", а рядом —
параллельным столбцом — точные значения, полученные путем
решения уравнения (8.25) методом Ньютона —Рафсона. Обра-
Образец такой записи воспроизводится в виде табл. 8. II.
Из этой таблицы видно, что совпадение, вообще говоря, ока-
оказывается хорошим. На рис. 8.1 графически показано несколько
множеств таких значений для одной из подобных задач; они по-
получены при Д//(Да:) 2 = 0,001, 8 = 0,4. Решение в виде распро-
распространяющейся волны получается весьма точно, за исключением
двух участков, а именно:
1) имеются слабые расхождения вблизи основания каждой
волны, где точное решение меняется наиболее" быстро;
2) на верхнем левом участке последние две кривые имеют
колебания, свидетельствующие о появлении неустойчивости.
Скорость движения волны вправо, оцененная с помощью гра-
графика в точках с абсциссой, соответствующей примерно полови-
половине пути, совпадает с точным значением с точностью до долей
процента. В общем, принимая во внимание грубость сетки, ре-
результат можно считать совершенно удовлетворительным.
Эвристически к вопросу об устойчивости можно подойти сле-
следующим образом: эффективным коэффициентом диффузии а

§ 8.6. НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ
207
Таблица 8. II
Часть численного решения
/
00
01
02
03
04
05
06
07
08
09
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Теория
04,9885291
04,8892890
04,7840560
04,6722668
04,5525326
04,4235425
04,2835565
04,1300680
03,9594097
03,7667231
03,5437619
03,2767332
02,9386536
02,4614235
01,5669351
01,0000000
01,0000000
01,0000000
01,0000000
01,0000000
01,0000000
Эксперимент
04,9885812
04,8892689
04,7841171
04,6722014
04,5524622
04,4234839
04,2833949
04,1297196
03,9589363
03,7658970
03,5423956
03,2745918
02,9355146
02,4580572
01,4850563
01,0122755
01,0000249
01,0000000
01,0000000
01,0000000
01,0000000
Критерий устойчивости
00,0000000
01,1428989
01,0477001
00,9530582
00,8590384
00,7657584
00,6732604
00,5817199
00,4912986
00,4022574
00,3149394
00,2299584
00,1485191
00,0730170
00,0097235
00,0020943
00,0020000
00,0020000
00,0020000
00,0020000
00,0020000
для этой задачи является 5«4, что можно усмотреть, переписав
дифференциальное уравнение в виде
ди _ д 5 4 ди
дх
дх
и поэтому а зависит от х и /. Замечая, что неустойчивость, ко-
когда она возникает, проявляется в быстрых колебаниях локаль-
локального характера, можно ожидать, что метод будет устойчивым
до момента t = U тогда и только тогда, когда
(8,28)
и при всех
ограничений нет при Уг ^ 6 ^ |.

208 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II
Заметим, что для нелинейных задач устойчивость зависит не
только от структуры конечноразностной системы, но также, во-
вообще говоря, и от получаемого решения; при данном решении
система может быть устойчивой для некоторых значений t и не
быть таковой для других. Это утверждение можно сравнить
с результатом Ф. Джона [1952] для явных схем, описанным
в § 5.3.
В данной задаче при 8 = 0,4 и Д//(Да;) 2 = 0,001 мы ожи-
ожидаем, что устойчивость будет иметь место до тех пор, пока и
(которое постоянно возрастает всюду в случае решения в виде
распространяющейся волны) не достигнет значения и =
E00)!/« « 4,7, и что вскоре после этого будет развиваться не-
неустойчивость. Именно это имело место при пробных вычисле-
вычислениях, что можно увидеть на рис. 8.1. Отметим, что для этой
задачи при выбранной сетке явная система приводила бы к не-
неустойчивости уже на 40-м шагу по времени вместо 250-го. Позд-
Позднее были еделаны пробные расчеты с разными 8 и Д/. Во всех
случаях предсказания, полученные с помощью эвристического
подхода к устойчивости подтвердились.
При практическом решении нелинейных дифференциальных
уравнений необходимо, или по крайней мере в высшей степени
желательно, чтобы машина постоянно следила бы за устойчиво-
устойчивостью (если разностные уравнения не являются безусловно
устойчивыми), проверяя, например, выполнение неравенства для
Д? в условии (8.28) и либо останавливала счет, когда условие
устойчивости не выполняется, либо автоматически меняла шаг
Д/, чтобы восстановить устойчивость.
§ 8.7. Задачи с несколькими пространственными
переменными
В качестве первого примера рассмотрим параболическое ура-
уравнение для функции и = и(х, у, t)
где
Л>0, С>0, ЛС-В2>0. (8.30)
Неравенства (8.30) обеспечивают параболичность уравнения;
если они выполнены, то краевая задача для уравнения (8.29)
поставлена корректно.

§ 8.7. ЗАДАЧИ С НЕСКОЛЬКИМИ ПРОСТРАНСТВЕННЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ 209
Для записи разностных уравнении введем сокращенные обо-
обозначения
пЫ), (8.31)
п
у ("/+1. м-' ~ "/-I. /+1 ~~ "ли. '-1 + "/-1. <-i) ¦*"
К. /+. " 2ы/.«+ "/. /-.)• (8-32>
Взяв постоянную 8 @-<9-<1), напишем разностную аппрокси-
аппроксимацию для уравнения (8.29) в виде
п = 9Ф?/+1 + A - В) Ф?,. (8.33)
Если 0 > 0, то эти уравнения неявны; для каждого п нужно
решить систему уравнений, аналогичную системе, получающейся
при численном решении эллиптической краевой задачи для функ-
функции и(х,у). Не существует простого обобщения алгоритма § 8.5
для решения этих уравнений, и, вообще говоря, приходится об-
обращаться к методу релаксации. Раз это так, то может возник-
возникнуть мысль, что выгоднее было бы применять явные уравнения
(9 = 0) и брать Л/ достаточно малым, чтобы эти уравнения
были устойчивы. Однако разработаны очень эффективные ре-
релаксационные методы1), и uft обычно обеспечивает превосход-
превосходное первое приближение для uff1. При численных расчетах
ядерных реакторов2) было найдено, что неявные схемы целе-
целесообразно применять для решения двумерного диффузионно-
возрастного уравнения, которое сходно по форме с уравнением
(8.29).
Подстановка exp [ikyx + ik2y] вместо ип(х,у) в выражение
Ф?/, определяемое формулой (8.32), после умножения на Д/
дает
f j Их +
где
(8.34)
!) См. Шортли и Уэллер [1938], Д. Янг [1950], Дж. Дуглас [1955], Писмэн
и Ракфорд [1955], С. Франкел [1950], Либман [1918], Шортли [1952], Старк
[1956].
2) Основы таких вычислений изложены в работе Эрлиха и Гурвица [1954].

210 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II
Поэтому множитель перехода для системы (8.33) равен
O(M.*)-I+1%9)*. (8.35)
Чтобы найти условие устойчивости, нужно знать максимум и
минимум г|) как функции действительных переменных k\kx и
62Д#. Эта функция является аналитической и периодической, и,
следовательно, ее экстремумы достигаются при
x) ~ d(k2Mj)
Непосредственный подсчет показывает, что если выполнены не-
неравенства (8.30), то эти экстремумы могут иметь место только
тогда, когда sin k\&x = sin &2Л*/ = 0. Поэтому мы должны ис-
исследовать только четыре возможности: cos &iAa; = ± 1 и
= ±1. Таким путем мы легко устанавливаем, что
Равенство (8.35) тогда показывает, что 1) G действительно,
2) в любом случае G < 1, 3) если 8 ^ 7г, то G ^ — 1; 4) если
0 ^ 8 < 7г, то требование устойчивости G ^ —1 налагает не-
некоторое ограничение на Д/. Таким образом, мы приходим к сле-
следующему условию устойчивости:
ограничений нет при 72^9^1»
AM . СМ ^ 1 л^л^|/ (8.36)
Это — естественное обобщение условия устойчивости, найден-
найденного для соответствующей одномерной задачи (8.4).
Для дальнейших примеров рассмотрим теперь обобщения не-
некоторых схем повышенной точности табл. 8.1 на случай двумер-
двумерного уравнения диффузии
Чтобы получить точное выражение1) для лапласиана, мы ис-
используем в плоскости jc, у сетку, ячейками которой являются
равносторонние треугольники, как указано на рис. 8.2. Шесть
ближайших точек к точке (x, у) суть (х±Н,у), (х ± 72А,
у± 72 УЗ Л), где h — расстояние между соседними точками.
Если узлы сетки обозначать индексами / и / так, что
лг/ = /Л, У1 = 1/2 \/olhy то ближайшими соседями точки (/,/)
1) Ср. с книгой Коллатца [1953], стр. 307,

S 8.7. задачи с несколькими пространственными переменными 211
будут точки (/±1,/) и 0±V2, ^±1). Обозначим через
B и) и сумму значений и в этих шести соседних точках, т. е.
Используя разложения в ряды Тейлора, легко усмотреть, что
B и)п = 6ип + *l2ti> (V2u)n + 3/32Л4 {Vu)n + О (Л6).
(Если использовать четыре соседние точки прямоугольной сетки,
то получится аналогичная формула, но член четвертого поряд-
Р и с. 8.2. Гексагональная сетка
в плоскости (а:, у), используемая
в системах (8.38)—(8.40).
ка будет lf\2h4(d4u/dx4 + дАи/ду4) и не может быть представлен
через лапласиан от и). Поэтому
Следовательно, если и удовлетворяет уравнению (du/dt)=oV2u,
то мы имеем
at !ц + 16
dt
Веса 3Д и V24 соответствуют весам 5/в и Vi2 в примерах 12 и 13
табл. 8.1 для одномерного уравнения диффузии.

; ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. И
Аналогами уравнений 12 и 13 табл. 8.1 являются
24 Д/
24 А/ +
+ Т д/ ~a Ч&2 . 1».да;
Мы будем называть их 14-точечной и 21-точечной формулами
соответственно (в любом из этих случаев в каждой плоскости
t = const берется семь точек). Погрешность аппроксимации в
обоих случаях равна О[(Д/J]+ О (Л4).
Аналогом менее точного уравнения 9 табл. 8.1 является 9-то-
9-точечная формула
C64+1
f (HC-64+
для которой погрешность аппроксимации равна О[(Д/J]+О(Л2).
Эти формулы согласуются с уравнением (8.37) и безусловно
устойчивы при Д/—>0 и h —> 0. Существует соответствие между
14-точечной формулой (8.38) и 21-точечной формулой (8.39), ко-
которое аналогично отмеченному ранее соотношению между схе-
схемами 12 и 13 табл. 8.1: первая несколько предпочтительнее для
гладких начальных данных, а вторая —для быстро меняю-
меняющихся или разрывных начальных данных.
Многочисленные пробные расчеты подтвердили, что эти фор-
формулы весьма точны. При этом неявные уравнения на каждом
шагу по времени решались релаксационными методами. В сле-
следующем параграфе будет показано, как для этих уравнений мо-
можно использовать методы чередующихся направлений.
Следует отметить, что 21-точечная формула несколько более
точна, чем 9-точечная, но, возможно, не настолько, насколько
можно было бы ожидать. Нужны более точные формулы для
таких приложений, как интегрирование диффузионно-возраст-
диффузионно-возрастного уравнения для ядерного реактора в случае двух или трех
пространственных переменных. Практические соображения, свя-
связанные со скоростью и объемом оперативной памяти вычисли-
вычислительных машин, требуют применения для таких вычислений
весьма крупней сетки, и поэтому уменьшение погрешности ап-
аппроксимации является в высшей степени желательным. Для про-

§ 8.8. МЕТОДЫ ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ НАПРАВЛЕНИЙ 213
стого уравнения диффузии с постоянным коэффициентом диф-
диффузии очень точное разностное уравнение может быть получено
из точного решения
• с <+до - (-dsT Ш - (у. в «ф [- ^] "у
путем аппроксимации интеграла с помощью подходящей чис-
численной квадратуры, однако обобщение такого подхода на прак-
практические задачи с переменными коэффициентами представляется
весьма трудным.
§ 8.8. Методы чередующихся направлений
Метод решения многомерных задач теплопроводности и диф-
диффузии, предложенный Писмэном и Ракфордом [1955] и Дугла-
Дугласом [1955], сочетает безусловную устойчивость и простоту чис-
численной реализации. Сейчас уже имеются многочисленные вари-
варианты этого метода, применяемые для решения эллиптических и
гиперболических задач точно так же, как и для решения систем
параболических уравнений (см. работу Дугласа и Ганна [1964]
и статьи, на которые они ссылаются).
Для простого уравнения диффузии (8.37) при расчете на
квадратной сетке, у которой Да; = Дг/, в последовательные пе-
периоды времени с шагом Д//2 попеременно применяются две раз-
разностные аппроксимации:
б2^д (8#41 а)
( 62ип+^ (8.416)
где ип стоит вместо г/у/и т. д., 6хи — вместо iij+\ti — 2tiji + «j_i,j,
62уи — вместо Ujti+\ — 2uji + Ujj-i и а —вместо аД//(Дл:J. Пред-
Предполагая для простоты, что граничные значения заданы на сторо-
сторонах некоторого прямоугольника в плоскости х, у, уравнения (8.41)
можно решить методом, изложенным в § 8.5: для любого фикси-
фиксированного / матрица коэффициентов при неизвестных tilf4*
в (8.41а) является трехдиагональной, а для фиксированного /
точно такой же будет матрица коэффициентов при неизвестных
ufx в (8.416).
Два таких последовательных временных шага образуют за-
законченный цикл вычислений, и множитель перехода g при этом
равен произведению g'g" двух множителей, соответствующих
каждому из уравнений. Если Pi и р2 обозначают k\kx и k
где h и k2— частоты компоненты Фурье exp [i(k{x + k2y)], то
[1 + а A - cos p,)] g* = 1 - а A - cos p2)

214 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II
так что
[1 — а A -cosPQin -a(l-cosp2)].
g [1 +оA -cosp,)] [1 +аA -cosp2)]'
поскольку аA—cos pi, 2)^ 0, то g лежит между —1 и 1, а это
означает безусловную устойчивость схемы (8.41).
Для нахождения порядка точности вычтем (8.416) из (8.41а)
и получим
2un+l/> = un+l +un- V2a62, {ип+[ - ип)\
подстановка этого результата в сумму тех же уравнений дает
для достаточно гладкой функции u(x,y,t) последний член ра-
равен О[(Д/J], а остальные члены центрированы так же, как и
в уравнении Кранка — Николсона; следовательно, е = О[(Д/J] +
О[(J]
[()]
В наиболее очевидном обобщении на случай трех перемен-
переменных с помощью трех уравнений, содержащих соответственно
только ип и ип+ч>, ип+ч* и ип+2/*, un+7/i и ип+{ и идентичных с
точностью до циклической перестановки производных по х, у
и z в неявном члене, безусловная устойчивость теряется и по-
погрешность аппроксимации становится равной О(Д/) + О[(Дл:J].
Поэтому был разработан другой алгоритм, который является
частным случаем очень общего метода для получения схем с че-
чередующимися направлениями из вполне неявных схем, предло-
предложенного Дугласом и Ганном [1964]. Лучше всего этот алгоритм
описывается с помощью последовательности аппроксимирующих
решений и* n+1, и** n+i и т. д. уравнения Кранка — Николсона.
Последнее из них /Д** n+i в случае трех переменных отождеств-
отождествляется с un+i и используется на следующем шаге по времени.
Разностные уравнения имеют вид
f ? Bип) + 61 Bи%
u"n+i - и" = f [6* (u'n+i + «-) + б2, («"n+1 + «-) +
+ ЫBи% (8.44)
«"+'-«« = | [61 („•»+• + „•) + б2 („•«+¦ + ип) +
+ б2 («п+1 + «•)].
Очевидное обобщение оказывается эффективным при любой
размерности пространства; в случае двух переменных х и у

§ 8.8. МЕТОДЫ ЧЕРЕДУЮЩИХСЯ НАПРАВЛЕНИЙ 216
снова получается схема (8.41), хотя это совпадение и не яв-
является очевидным.
Множитель перехода для полного шага легко вычисляется:
п 1 — а — Ь — с + ab + ас + be + abc ,Q ,-v
8 (\+a)(\+b)(\+c) ' (*-45>
где а, Ь и с стоят вместо аA —cos&,Aa;), /= 1,2,3. Знамена-
Знаменатель в (8.45) после выполнения умножений содержит в точности
те же члены, что и числитель, но все члены знаменателя имеют
знак плюс, и поэтому снова — 1 sg: g ^ 1, откуда следует безус-
безусловная устойчивость. Интересно отметить, что если в третьем из
уравнений (8.44) в члене, соответствующем второй производной
по jc, заменить и* n+1 на и** n+l (можно подумать, что аппрокси-
аппроксимация при этом всегда будет лучше), то безусловная устойчи-
устойчивость снова утрачивается (g может быть меньше, чем —1).
Нахождение uliV из системы (8.44) снова сводится к реше-
решению последовательности трехдиагональных линейных систем.
Вычисления несколько упрощаются, если вычесть второе уравне-
уравнение из первого и третье из второго и затем использовать полу-
полученные уравнения вместо двух последних уравнений системы
(8.44).
Погрешность аппроксимации может быть найдена путем ис-
исключения и* n+1 и u**n+l из (8.44), которое проводится так же,
как и исключение «п+1/а из (8.41). Окончательный результат имеет
вид
ип+{-ип _ (б^+б^ + б^-н + ц")
Д/ ~ ° 2 (Да:J
и показывает, что в этом случае снова е = О[(Д/J] + О[(Да:J].
В общей формулировке алгоритма чередующихся направле-
направлений разностное уравнение C.4) записывается в виде
A + А)ип+] + Вип = 0, (8.47)
где
и каждый разностный оператор А( (такой, какб?, б? и т. д.)
выбирается так, чтобы оператор / + А{ можно было всегда лег-
легко обратить путем решения трехдиагональной линейной систе-
системы. Обозначим последовательные приближения к un+i через

216 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II
Kn+i(/)> где / соответствует числу звездочек у функций из си-
системы (8.44). Тогда обобщением системы (8.44) будет система
un+l A) + A{un+l A) + Ц Atun + Вип = О,
i2
/ Q
un+i (у) + ^ Atun+l @ + 2 AiUn + Вип = 0, (8.48)
un+l (q) + 2 Л^+! @ + Вип = О,
в которой un+i(q) отождествляется с un+i и используется на
следующем шаге по времени. В /-м уравнении системы (8.48)
неизвестные входят только в первый член и в член, для кото-
которого / = /. Дальнейшие обобщения были построены Дугласом и
Ганном [1964] для слабо нелинейных уравнений (у которых не-
нелинейным является только недифференциальный член) и для
многослойных схем вида, описанного в гл. 7.
Было потрачено много усилий для выяснения влияния гра-
граничных условий и переменных коэффициентов на устойчивость
и точность. При очень общих предположениях можно показать,
что схема (8.48) согласована с дифференциальным уравнением,
если с ним согласована исходная схема (8.47). Если q = 2 (это
ограничивает нас двумя пространственными переменными, хотя
нужно заметить, что даже для двух пространственных перемен-
переменных иногда необходимо выбирать q > 2, как это будет видно
из приводимого ниже примера), то для довольно широкого
класса параболических задач из устойчивости схемы (8.47) при
любом фиксированном значении величины Д/[(Дх)-2 + (ку)'2]
следует устойчивость схемы (8.48). Если q и размерность про-
пространства больше двух, то устойчивость схемы (8.48) следует из
устойчивости схемы (8.47) при весьма частных предположениях
(предполагается, что разностные операторы А\ и В коммута-
коммутативны и эрмитовы, а А\ к тому же положительно определен-
определенные—это практически сводится к простой задаче теплопровод-
теплопроводности для прямоугольника). При тех же предположениях мож-
можно также доказать, что потеря точности при переходе от (8.47)
К (8.48) не превышает О[(Д/J]. При несколько более общих
предположениях можно показать, что существует такая функ-
функция g, что схема (8.48) будет устойчивой при Д/<?(Дл:) (при
этом предполагается, что Кх = Д# и т. д.), или что устойчивость
схемы (8.48) имеет место при достаточно малом фиксированном
значении величины Д//(Дл;L. Обсуждение этих результатов и при-
приложения изложенного метода содержатся в работе Дугласа и

§ 8.8. Методы чередующихся направлений 21?
Ганна [1964]. Интуиция подсказывает, что этот метод обладает
устойчивостью и точностью при более широких предположениях,
чем те, для которых были получены строгие доказательства.
В качестве иллюстрации применим общий алгоритм к неяв-
неявному уравнению (8.38), сетка для которого изображена на
рис. 8.2. Определим вторые разности по пространству б2, 62, бз
следующим образом:
62iu = u(x + ht y) — 2u(x, y) + u(x — h, у),
б! Зи=и(х + 72Л, у ± V2 /ЗЛ) -2и(х, у) + (8.49)
+ u(x-42h, у+42 VZh).
Тогда уравнение (8.38) может быть представлено в виде
и*+1 — ип = <х62 {Qun+l + A - 6) ип), (8.50)
где б2 = б? + 62 + бз, а = 2аД//3 (ДхJ, a 6 = V2 — '/ма. Те-
Теперь эти уравнения совпадают с уравнениями (8.44) за исклю-
исключением того, что разностные операторы 8Х, бу и б2 заменены на
бь бг и бз, а среднее значение {/2un+l + {/2ип заменено на взве-
взвешенное среднее Qun+i + A—Q)un. Иначе говоря, в (8.48) мы
теперь имеем <7=3, А{ = — абб? (/=1,2,3) и В = — /аA— 6)б2.
Заметим, что q, равное трем, превосходит размерность простран-
пространства, которая равна двум.
Для нахождения множителя перехода мы используем метод,
применимый в скалярном случае к системе (8.48) общего вида,
если операторы А\ являются положительно определенными. (На-
(Напомним читателю, что здесь, как и всегда в рамках теории фон
Неймана, мы рассматриваем краевую задачу без граничных
услодий и с постоянными коэффициентами. Как было отмечено
Биркгофом и Варгой [1959], граничные условия, заданные на гра-
границе области, отличной от прямоугольника, приводят к неком-
некоммутативности Аи если А\ рассматриваются как операторы, обла-
области определения которых состоят из функций, удовлетворяющих
граничным условиям; таким образом, для задач с переменными
коэффициентами введенный выше множитель перехода является
локальным свойством системы, определенным для внутренних
точек физической области, где коэффициенты меняются медлен-
медленно. Иначе говоря, состояние общей теории, как уже отмечалось
выше, пока что нельзя считать удовлетворительным с точки зре-
зрения практических приложений.) В результате применения опе-
оператора А\ к функции exp [ikix + &гу\ она умножается на
2<х8A —cosрг), где
Pi = kxh, Р2,з = 72 kxh ± V2 1/3 k2h\

218 ГЛ. 8. ДИФФУЗИЯ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ Ч. II
так как этот множитель неотрицателен, оператор Aj является
положительно определенным. Промежуточные величины un+l(j)
(/= 1, ...,<7—1) могут быть исключены из системы (8.48)
В результате для q = 3 получим
(/ + А) ип+{ + Вип + (АХА2 + А2А3 +АХА3+А{А2АЪ) (ип+1 - ил)
(8.51)
Если в этом уравнении обозначить через а = а(к), b = b(k) и
А = А(к) множители, на которые будет умножаться exp(ik-x)
при применении операторов А, В и (АХА2 + ... + АХА2А3), то
множитель перехода запишется в виде
(8.52)
В силу (8.47) множитель перехода исходной схемы —в нашем
случае схемы (8.38) —равен go = —b/(l +а). Так как Л ^ О,
из условия —1 ^ gо ^ 1 следует, что —1 ^ g ^ 1; следова-
следовательно, метод чередующихся направлений для схемы (8.38) все-
всегда устойчив.
§ 8.9. Методы расщепления и дробных шагов
Методы, тесно связанные (а в некоторых случаях и совпа-
совпадающие) с методами чередующихся направлений, были пример-
примерно в то же время разработаны советскими математиками1) и
известны теперь, как методы расщепления или методы дробных
шагов. Основная идея, выдвинутая Багриновским и Годуновым
[1957] и обобщенная затем Яненко [1964], состоит в следующем:
пусть для решения уравнения du/dt = Аи, где А = АХ+ ...
... + Aq, выбрана некоторая разностная схема; тогда оператор А
в ней последовательно заменяется на qA\,qA2, ..., qAq, причем
продвижение по времени при каждой такой замене происходит
на часть &t/q временного шага Д/. Таким образом, можно заме-
заменить сложную (например, многомерную) задачу последователь-
последовательностью более простых (например, одномерных) задач.
Например, схема Кранка — Николсона для многомерного
уравнения теплопроводности
А/ ~° 2 (АхJ
— (л м мл
\А\+ ... + A
¦) Багриновский и Годунов [1957], Яненко [1959], Дьяконов [1962, 1964],
Софронов [1962], Коновалов [1964], Самарский [1964], Марчук и Яненко [1966];
обширная библиография приводится в последней из этих работ и в книге
Яненко [19671

§ 8.9, МЕТОДЫ РАСЩЕПЛЕНИЯ И ДРОБНЫХ ШАГОВ 219
где А{ = — (сг/(Дл;J6* и т. д., Д* = Дг/ = ..., а 6*, 6^ и т. д.
обозначают, как обычно, вторые разности по соответствующему
переменному, заменится последовательностью уравнений
« Л. = -Л^ ±| (/=1,2 <7).(8.53)
Отличие от схемы Дугласа (8.48) состоит в том, что в разно-
разностном операторе члены Aj при / Ф i полностью опущены. По-
Поэтому в данном случае, как и для любого скалярного уравнения,
множитель перехода просто равен произведению множителей
перехода для одномерных уравнений (8.53). Так как они яв-
являются уравнениями типа Кранка — Николсона, это означает
безусловную устойчивость схемы (8.53). Чтобы найти погреш-
погрешность аппроксимации, заметим, что
так как в нашем примере операторы А( коммутативны, мы
имеем
После выполнения умножений получим
так как un+i — ап = О(Д/), а левая часть представляет схему
Кранка — Николсона, то мы видим (после деления на Д/), что
погрешность аппроксимации равна О[ШJ] + О[(Дл:J].

Глава 9
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
§ 9.1. Физические основы
Задачи рассматриваемого в этой главе типа возникают глав-
главным образом в двух областях: диффузия нейтронов и перенос
лучистой энергии. Термин «диффузия нейтронов» часто (и не-
неудачно) применяется для описания миграции и размножения
нейтронов даже в том случае, когда приближение диффузии не-
неприменимо. Основное интегро-дифференциальное уравнение для
этих процессов называется уравнением переноса. Иногда исполь-
используется неправильный термин «уравнение Больцмана».
Уравнение переноса описывает движение частиц (нейтронов,
протонов и т. п.), которые между соударениями перемещаются
прямолинейно с постоянной скоростью, но при прохождении че-
через вещество постоянно испытывают с определенной вероятно-
вероятностью соударения с ядрами или атомами и отклоняются от пер-
первоначального направления, замедляются, поглощаются или раз-
размножаются. Уравнение описывает настолько большой ансамбль
частиц, что его можно рассматривать как континуум, пренебре-
пренебрегая статистическими флуктуациями. В уравнении Больцмана из
статистической механики рассеивающие частицы таковы же, как
и рассеиваемые, в то время как в уравнении переноса распре-
распределение и свойства рассеивающих центров предполагаются за-
заданными; поэтому уравнение переноса является линейным, тогда
как уравнение Больцмана квадратично.
В любой момент времени движение нейтрона может быть
представлено точкой шестимерного фазового пространства, ко-
координаты которой являются компонентами радиуса-вектора и
вектора скорости нейтрона. Весь ансамбль в целом описывается
своим распределением в этом пространстве. Краевая задача со-
состоит в том, чтобы найти изменение этого распределения со вре-
временем, если в начальный момент оно задано.
Аналогичное положение имеет место и в задачах о переносе
лучистой энергии с той лишь разницей, что координатами фазо-
фазового пространства являются компоненты радиуса-вектора и век-
вектора импульса (это можно было бы сделать также и в случае
нейтронов), так как скорость фотона в этих задачах не зависит
от его энергии /iv. В астрофизике основной интерес представ-

§ 9.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ 221
ляют задачи, связанные с равновесным состоянием, однако для
пульсирующих и иных переменных звезд возникают задачи, учи-
учитывающие зависимость от времени.
§ 9.2. Общее уравнение переноса нейтронов
Предположим, что система, в которой происходят нейтрон-
нейтронные реакции, находится в выпуклой области 91, ограниченной
поверхностью 9*. Пусть х = (лс, у, z) и v = (vx, vyy vz) обозначают
радиус-вектор и вектор скорости, и пусть для хеЙ
г|з(х, v, t)dxdv
— число нейтронов в интервале (х,х + dx), (у, у + dy), ...
..., (vZj vz + dvz) в момент времени /, причем dx — краткое обо-
обозначение dxdydz, a dy аналогично означает dvxdvydvz.
Предположим (как это делается в обычной статистической
механике), что dx и dv можно рыбрать так, чтобы они были
малы по сравнению с областями, в которых условия заметно ме-
меняются, и в то же время достаточно велики для того, чтобы
•tydxdv представляло большое число нейтронов. Флуктуационные
явления нас здесь не интересуют.
Для наших целей достаточно предположить, что нейтроны
являются классическими точечными частицами, соударения ко-
которых с ядрами происходят по статистическим законам, так
что мы будем иметь дело со средними значениями и вероятно-
вероятностями. Пусть y<j(v, x) означает вероятность столкновения за еди-
единицу времени нейтрона, обладающего скоростью v(v — абсо-
абсолютное значение v). Величина a(v, х) является полным попереч-
поперечным сечением ядра, отнесенным к единице объема в точке х.
Если вещество изотропно, то а не зависит от направления v,
а если оно однородно, то а не зависит от х; поэтому вместо
a(v, х) мы будем писать о (у), хотя во многих интересных зада-
задачах а зависит от х по крайней мере в том смысле, что система
состоит из нескольких областей, в которых a(v) имеет разные
значения.
Если соударяющийся нейтрон имеет скорость v', то через
K(v\ v)dv мы будем обозначать вероятность того, что он после
соударения будет иметь компоненты скорости в интервалах
(vx,vx + dvx), {vy, Vy + dvy), ivz,vz + dvz). В случае изотроп-
изотропной среды К может зависеть от скоростей v' и v и от угла ме-
между ними, но не от самих направлений v' и v. При заданных
v' и х интеграл J/Wv, взятый по всем скоростям испускаемого
в процессе соударения нейтрона, дает среднее число нейтронов,
испускаемых при соударении. Обозначим этот интеграл через
1 _|« f-t тогда при f = 0 среда только рассеивает нейтроны, при
f < 0 она может их поглащать, а / > 0 соответствует среде,

222 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. И
в которой нейтроны могут размножаться. В поледнем случае
рассматривают такие процессы, как деление и (п,2п) -реакция,
следствием которых является испускание двух и более нейтро-
нейтронов. В этом случае слово «он» в данном выше определении К
должно быть заменено словом «нейтрон», который не обяза-
обязательно окажется начальным нейтроном.
Поведение г|)(х, v, /) описывается уравнением переноса
v, /) = -шт(у)г|)(х, v, t) +
+ J y'cr (о') Л' (v', v) г|) (х, v', 0 dv', (9.1)
где v • V означает vxd/dx + vyd/dy + vzd/dz, a J ... dsr означает
I J J...а**;**
— oo — oo —oo
Граничное условие заключается в том, что нейтроны извне
не попадают в систему. Предположим, что область 91 выпукла
(иначе мы должны были бы учитывать нейтроны, вылетающие
из системы в одном месте и возвращающиеся в нее в другом)
и что поверхность 9* почти везде имеет нормаль. Если эти пред-
предположения не выполняются в данной области 91, то можно за-
заменить ее большей областью, удовлетворяющей поставленным
требованиям, положив при этом в дополнительно присоединен-
присоединенном пространстве сечение равным нулю. В качестве такой но-
новой области 91 мы можем выбрать сферу. Если п(х) —внешняя
по отношению к 9> нормаль в точке х, то граничное условие
примет вид
г|5(х, v, /) = 0 при хеУ и vn(x)<0. (9.2)
Интерпретация уравнения переноса (или, вернее, физиче-
физическая картина, на основании которой оно обычно выводится)
следующая: ансамбль нейтронов можно представлять себе как
суперпозицию очень большого числа (в действительности пяти-
параметрического семейства) узких пучков движущихся вместе
нейтронов. Функция \|)(х, v, /) представляет интенсивность в точ-
точке х одного из таких пучков, а левая часть уравнения (9.1) —
изменение этой интенсивности в зависимости от времени, кото-
которое мы будем наблюдать, двигаясь вместе с частицей. Первый
член правой части описывает выбывание частиц из пучка вслед-
вследствие соударений, а последний член (интеграл) соответствует
приходу частиц в рассматриваемый пучок вследствие других
соударений.
Если функция \|^(x,v, 0) задана, то уравнения (9.1) и (9.2)
приводят к линейной краевой задаче. Можно написать d/d

§ 9.2. ОБЩЕЕ УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА НЕЙТРОНОВ 223
= Л\|), где А — линейный оператор, который дается уравнением
(9.1) и область определения которого состоит из функций,
удовлетворяющих граничному условию (9.2).
Так как число независимых переменных велико, то мы не
можем применять численные методы непосредственно к пол-
полному уравнению переноса. Вместо этого, сделав упрощающие
предположения, рассмотрим несколько частных случаев. Мы
уже предположили, что o(v) и /C(v', v) не зависят от времени,
а наши обозначения соответствуют предположению изотроп-
изотропности и однородности вещества. Можно сделать дополнительные
предположения (не все одновременно):
1) число групп нейтронов конечно,
2) имеет место симметрия слоя,
3) имеет место сферическая симметрия,
4) имеет место цилиндрическая симметрия,
5) имеет место осевая симметрия,
6) зависимость от координат отсутствует,
7) 1/а очень мало,
8) испускаемые при столкновении нейтроны распределены
изотропно.
Предположение 1) означает, что скорость v не менятся не-
непрерывно, а принимает конечное число значений vu v2, ...
... ug и что интегрирование по v заменяется суммированием
по группам нейтронов. В частности, если предположить, что все
нейтроны деления имеют, грубо говоря, одну и ту же энергию
(и, следовательно, одну и ту же скорость) и что при рассеянии
энергия не меняется, то имеется только одна группа. Предпо-
Предположение 2) означает, во-первых, что все величины не зависят
от двух декартовых координат, скажем х и у, и, во-вторых, что
распределение скоростей симметрично по отношению к направле-
направлению z\ другими словами, система и ансамбль нейтронов в ней
инвариантны по отношению к переносам и вращениям в пло-
плоскости х, у. Предположение 3) означает инвариантность по от-
ношению к вращениям вокруг точки; предположение 4) — ин-
инвариантность по отношению к переносам параллельно оси;
предположение 5) — инвариантность относительно вращений
вокруг оси; предположение 6)—инвариантность относительно
всех переносов и вращений в пространстве. Предположение 7)
означает, что средний свободный пробег 1/а мал по сравнению
со всеми характерными длинами, относящимися к системе или
к распределению в ней нейтронов (это соответствует предель-
предельному случаю теории диффузии). Наконец, предположение 8) оз-
означает, что K(v\v) не зависит от направления v, а потому
и от угла между v' и v.

224 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. I!
Мы не будем рассматривать все возможные комбинации
этих предположений, а ограничимся лишь несколькими типич-
типичными случаями.
§ 9.3. Однородный слой; одна группа
Все нейтроны имеют скорость vt а слой заполняет об-
область —a^CzKa. Вероятность того, что при рассеянии напра-
направление вылета будет лежать в единице телесного угла и будет
составлять угол а с первоначальным направлением, обозна-
обозначается через ^p(cosa)— это выражение подставляется вместо
ядра /C(v', v) в общее уравнение; случай изотропии соответствует
равенству
р (cos a) = 1.
Пусть 8 — угол между вектором скорости v и осью 2, и пусть
|и = cos 8; тогда функцию распределения можно записать в
виде \|)(z, (I, t)\ такая запись соответствует числу нейтронов, от-
отнесенному к единице объема пространства и единице телесного
угла в направлении движения. После деления на v уравнение
переноса запишется в виде
1 2ft
= a ПЙГ I W J P(cosa)\|)(z, ii', /)dq>
-1 0
при — a<z<a, />0, (9.3)
где
cos a = wi' + V(\-\x2){l -ц'2)cosФ- <9-4)
Здесь a — угол между направлением скорости нейтрона до
столкновения и после столкновения; полярные углы этих на-
направлений можно записать как (8,0) и (8', ф), где n = cos8
и \х' = cos в7.
Граничные условия выглядят так:
iy t) = 0 при z = a, \x<0 и при z=—a, \i>0. (9.5)
Это соответствует тому, что нейтроны не попадают на левую
сторону слоя слева и на правую сторону — справа.
Во многих случаях угловое распределение при рассеянии
изотропно. Это означает отсутствие корреляции между началь-
начальным и конечным направлениями, и поэтому p(cosa) = 1. Та-
Такое утверждение справедливо, например, при рассеянии нейтро-

§ 9.4. ОДНОРОДНАЯ СФЕРА; ОДНА ГРУППА 225
нов малой энергии на тяжелых атомах. В этом случае имеем
следующее уравнение переноса:
Заметим, что изотропность рассеяния не приводит к изотроп-
изотропности решения: г|э зависит от \х9 даже если p(cosa) постоянно.
§ 9.4. Однородная сфера; одна группа
Пусть а — радиус сферы, г — полярный радиус, n = cos8,
где 8 — угол между радиусом-вектором, проведенным к нейтро-
нейтрону из начала координат, и вектором скорости нейтрона. Уравне-
Уравнение переноса имеет вид
2я
djx'J p(cosa)o|5(r, \i', t)dy
-1 0
при 0<r<a, *>0, (9.7)
где cos a определен, как и ранее, равенством (9.4); граничные
условия таковы:
i|) (г, \i, t) = О при г = a, \i < 0. (9.8)
Можно было бы подумать, что необходимо задать граничное
условие и в точке г = 0, как это часто делается при решении
физических задач в полярных координатах, так как эта система
координат имеет в данной точке особенность. Однако в нашем
случае дело обстоит не так. Можно показать, что даже без та-
такого условия решение является единственным, если оно вооб-
вообще существует как решение в пространстве L2, за исключенном
прямой |i= 1. Но эта прямая в пространстве скоростей имеет
меру нуль, а две функции распределения, которые совпадают
с точностью до множества меры нуль, представляют одно и
то же физическое распределение. При этих рассуждениях
предполагается, что г|э принимает конечные значения, и поэтому
дельта-функция и ей подобные из рассмотрения исключаются.
§ 9.5. Метод сферических гармоник
Метод, который носит это название (см. работу Чандрасек-
хара [1944а]), мало применялся при решении задач, содержащих
зависимость от времени, но так как он успешно использовался
8 Зак. 1300

22Q ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. Н
в стационарных задачах нейтронной физики, мы рассмотрим
ряд простых систем разностных уравнений для зависящих от
времени уравнений в сферических гармониках и обсудим их
устойчивость. Мы ограничимся задачами со сферической сим-
симметрией и симметрией слоя (случаем одной группы), хотя обоб-
обобщение на случай многих групп и осевой или цилиндрической
симметрии, как и в стационарных задачах, можно сделать не-
непосредственно.
В;этом методе угловая зависимость распределения в дан-
данной точке пространства представлена разложением !) функции
г|)(г, [х, /) по полиномам Лежандра от \х с коэффициентами, за-
зависящими от г и /. Подстановка этого разложения в уравнение
переноса приводит к системам уравнений в частных производ-
производных для коэффициентов. В частности, положим
(9.9)
р (cos a) = 2 рхРх (cos а). (9.10)
Множитель У21+U входящий в разложение (9.9), носит со-
совершенно произвольный характер — его вводят для удобства
нормировки i|)/(r, t)\ коэффициенты pi в формуле для рассеяния
(9.10) предполагаются известными (на основании физических
измерений или из других источников) — это эквивалентно пред-
предположению, что функция p(cosa) известна.
Если cos a определяется равенством (9.4), то, согласно тео-
теореме сложения полиномов Лежандра2), мы имеем
Pt (cos a) = Pt (v) Pt OiO + 2 2 Pi Ox) P\ №^р?Щ cos *q>, (9.11)
где Р\ — присоединенная функция Лежандра. Если это выраже-
выражение для P/(cosa) подставить в разложение (9.10) для p(cosa)
и проинтегрировать по ф, то мы увидим, что все члены, входя-
входящие в сумму (9.11), взаимно уничтожатся, и останется только
произведение Pi(\l)Pi(vl'). Таким образом,
2л оо
J p (cos a) dq> = 2я]? PiPt Ox) Pt 0x0. (9.12)
о
') См. Курант и Гильберт [1951], т. 1, стр. 423. Во время войны это раз-
разложение было использовано для уравнения переноса несколькими исследова-
исследователями. Первая опубликованная работа принадлежит Чандрасекхару [1944а].
2) См. Уиттекер и Ватсон [1927], т. 2, стр. 145.

§ 9.6. МЕТОД СФЕРИЧЕСКИК ГАРМОНИК 227
Согласно уравнению (9.7), этот результат следует умножить
на разложение \|)(г, \х\ /), которое можно записать в следующем
виде (ср. с разложением (9.9)):
¦ (г, |1', 0=2 /2/ТТ ¦/ (г, t) Р, (|*0.
/=о
и проинтегрировать по jj/ от —1 до +1.
Так как полиномы Лежандра удовлетворяют условиям орто-
ортогональности и нормировки 1)
0 при 1Фи
2
-1
2/+1
при / = /,
результат можно упростить. Следовательно, правая часть урав-
уравнения (9.7) приводится к виду
(9.13)
Теперь желательно представить левую часть уравнения (9.7)
также в виде суммы членов, каждый из которых представляет
собой произведение полинома Лежандра от \х на функцию толь-
только от г и / — тогда мы сможем приравнять коэффициенты при
Pj{\i) и получить систему уравнений для 4>j(r,/). Чтобы проде-
проделать это, мы используем разложение гр(г, ц, /), однако мы
должны избавиться от входящих в уравнение (9.7) членов, со-
содержащих [х и A—|12)д/д[г. Этого можно добиться, применяя
некоторые рекуррентные соотношения2). Одно из них имеет вид
2/
Используя его, получаем
м /v> ; /2ГП
[т17^Т^ v^Ff ' ]/)> (9Л4)
Последнее выражение получается в результате перегруппиров-
перегруппировки членов суммы (предположим, что это возможно): в первом
») См. Уиттекер и Ватсон [1927], т. 2, стр. 113.
2) Эти соотношения подобны тем, которые указаны в книге Уиттекера
и Ватсона [1927], т. 2, стр. 116, и могут быть выведены из них.

228 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
члене / равно /+ 1, а во втором равно /— 1; определяем, кро-
кроме того, \|)_i(r, /) так, чтобы оно было равно нулю.
Второе рекуррентное соотношение записывается так:
использовав его аналогичным образом, получим
. 0.15)
Подставим теперь разложения (9.13) — (9.15) в уравнение
переноса (9.7) и приравняем коэффициенты при Pj(\i) в пра-
правой и левой частях. В результате для \|);(г,t) получится система
дифференциальных уравнений в частных производных. Уравне-
Уравнение, в которое входит производная от i|)j по времени, в силу
разложения (9.14) и (9.15) содержит не только \|)j, но также
\|)j+i и \|)j_i. Поэтому если уравнения записать последовательно,
то каждое из них будет связано с предыдущим и последующим.
Приближение по сферическим гармоникам порядка L яв-
является результатом решения первых L + 1 уравнений для
L + 1 неизвестных функций \|H, г|?ь ..., \|)L, причем в последнем
из этих уравнений \pL+i полагается равной нулю.
Многое в предыдущем изложении носит эвристический ха-
характер. Необходимо обосновать использование соответствую-
соответствующих разложений, а также доказать допустимость перегруппи-
перегруппировки членов рядов и справедливость предположения о том, что
приближение в сферических гармониках дает решение уравне-
уравнения переноса при L->oo. Б. Карлсон [1946] дал это доказатель-
доказательство для некоторых случаев, выразив приближение в сфери-
сферических гармониках аналитически и изучив предельный переход
при L->oo. Позднее Келлер и Вендрофф [1957] доказали схо-
сходимость так называемых дискретно-ординатных методов. По-
Поскольку один из них, а именно метод Вика — Чандоасекхара,
эквивалентен между сферических гармоник, это означает схо-
сходимость последнего (см. § 9.10 и 9.11"). Однако мы не считаем
своей задачей исследование уравнений в сферических гармо-
гармониках со строгостью, большей, чем строгость, с которой было
выведено уравнение переноса, служащее для них основой.
Поэтому, считая краевую задачу для этих уравнений коррект-
корректно поставленной, мы рассмотрим ее приближенное решение
с помощью численных методов.
Чтобы записать уравнения в сферических гармониках в ком-
компактном виде, положим, что и означает (L + 1)-мерный вектор-

§ 9.5. МЕТОД СФЕРИЧЕСКИК ГАРМОНИК
229
столбец, определяемый следующим образом:
ь(г, 0
Тогда уравнения примут вид
(9.16)
где М, W и S —квадратные матрицы порядка L+ 1, а именно
о
1
о
о
1
о
2
О
2
/3-5
О
3
О
о
з
О ...
О ...
О ...
о ...
Из уравнений (9.16) можно получить соответствующие урав-
уравнения для слоя, заменив г на г и положив N равным нулю.

230 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
§ 9.6. Слой; система разностных уравнений I
для гиперболических уравнений
Уравнения в сферических гармониках для слоя можно за-
записать в векторно-матричной форме
где М и 5 — квадратные матрицы порядка L+ 1, определенные
в предыдущем параграфе, а и = и(г,/)—вектор с L+1 ком-
компонентами. Поэтому мы имеем дело с системой L + 1 совмест-
совместных дифференциальных уравнений в частных производных пер-
первого порядка с независимыми переменными z и /. Уравнения
линейны и имеют постоянные коэффициенты, так что для ис-
исследования устойчивости и других свойств соответствующих
разностных уравнений можно использовать методы, описанные
в гл. 4.
Эти уравнения образуют симметричную гиперболическую
систему; результаты, которые будут получены в этом и в сле-
следующих параграфах, применимы к любой такой системе.
До сих пор граничные условия для уравнений в сферических
гармониках не были даны. В случае конечного слоя настоящие
граничные условия (9.5) заменяются L + 1 условием, налагае-
налагаемым на L + 1 функций i|)/(r, t)\ половина этих условий задается
при z = а, а остальные — при z = —а. Ниже (в § 9.12) будет по-
показано, как можно получить такие условия, однако их приро-
природа такова, что их нельзя заменить условием периодичности, по-
позволяющим при анализе применять ряды Фурье. В нашем ис-
исследовании мы поэтому ограничимся случаем бесконечного
слоя, в котором плотность нейтронов является интегрируемой
с квадратом функцией от z, позволяющей использовать инте-
интегралы Фурье. Таким был бы, например, случай, если бы тонкий
плоский источник нейтронов, помещенный в однородную среду,
испускал нейтроны в течение малого времени и мы интересова-
интересовались бы их последующим движением.
Система конечноразностных уравнений, которую мы будем
называть «системой I», имеет вид
+m "k'aL"' +™? = °П +f)Suf. (9.18)
При этом используется разность по времени вперед и центри-
центрированная разность по пространству. Уравнения записаны в яв-
явной форме, а погрешность аппроксимации е равна О(Д/) +
+ O((AzJ). Матрица перехода для коэффициентов Фурье при

§ 9.6. СЛОЙ; СИСТЕМА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ I 231
eikz такова:
G (Д/, k) = (l-voM)I+vo{l+f)MS-i-^ [sin k Az] M, (9.19)
где / — единичная матрица.
При рассмотрении вопроса об устойчивости предполагается
заданным поведение отношения величин А/ и Az при их стрем-
стремлении к нулю. Мы рассмотрим два случая.
Случай 1. Пусть ао = #A//Az остается постоянным при
А/, Az->0. Легко видеть, что уравнения неустойчивы при лю-
любом значении ао. Чтобы убедиться в этом, достаточно рассмот-
рассмотреть выражение
G (О, k) = I - /о,, [sin k Az] /И. (9.20)
Матрица М симметрична и имеет действительные собственные
значения, поэтому модуль наибольшего собственного значения
G@, k) равен
(здесь \io — наибольшее по абсолютной величине собственное
значение М). Максимальное его значение при всех действитель-
действительных k составляет
и не зависит от А/, поэтому условие фон Неймана D.18) не
выполняется. Таким образом, система I неустойчива при любом
фиксированном A//Az при A/, Az -> 0.
Случай 2. Пусть сы = уД/Да^ДгJ] фиксировано при А/,
Дг->0. Покажем, что система I устойчива при любом фиксиро-
фиксированном at. Для этой цели используем сокращенную запись
тогда
G = / + eF — / |/1sa! [sin k Az] M,
G*G=I + 2eF + е2Я + ea{ [sin2 ? Az] M2 +
+ / V^ e8/' (MF - FM) sin ft Az,
где Q — матрица перехода G(A/, k). Заметим, что одно из про-
произведений матриц в выражении G*G выпадает вследствие того,
что единичная матрица / перестановочна с любой матрицей и,
в частности, с матрицей М. Следовательно, в произведении G*G
не будет члена, содержащего просто |/е, и поэтому G*G равно
/ плюс матрица, каждый элемент которой есть О(е). Постоян-
Постоянные, входящие в эти выражения О(е), являются ограниченными

232 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
функциями от k, так как k входит в G*G только через sink&z.
Поэтому для всех действительных k норма *) G не превышает
1 + О(е) и, следовательно, не превышает 1 + 0(ДО- Итак, со-
согласно выводам § 11 гл. 4, система I устойчива при любом фик-
фиксированном Д//(ДгJ при Д/, Дг->0.
§ 9.7. Парадокс
С точки зрения программиста, выполняющего расчет на вы-
вычислительной машине, результаты, касающиеся системы I, ка-
кажутся парадоксальными. Конечно, он не устремит Д/ и Дг
к нулю, а просто использует наименьшие значения, которые со-
соответствуют емкости и быстродействию машины и его собствен-
собственным возможностям. Когда он спрашивает: «Устойчивы ли мои
уравнения?», то можно только ответить, что они неустойчивы,
если он рассматривает свои вычисления как часть бесконечной
последовательности вычислений при фиксированном значении
Д//Дг, и что они устойчивы, если он рассматривает те же вы-
вычисления как часть бесконечной последовательности с фикси-
фиксированным значением Д//(ДгJ.
Этот пример, относящийся к любой гиперболической систе-
системе, аппроксимация которой выбрана так же, как в (9.19), пока-
показывает, что программисту нужна оценка реальной погрешности,
а не только уверенность в том, что погрешность будет стре-
стремиться к нулю в конце бесконечной последовательности вычис-
вычислений на идеальной вычислительной машине. К сожалению,
реальную (или хотя бы хорошую) оценку погрешности обычно
трудно получить. Однако проведенное выше рассуждение об
устойчивости вносит некую ясность в вопрос о погрешности.
Это рассуждение для разностной системы I (уравнения (9.18))
показывает, что если программист по какой-либо причине не
удовлетворен получаемой точностью и решает изменить сетку,
уменьшая Дг в два раза, то он должен уменьшить Д/ не в два,
а в четыре раза, иначе он может увеличить погрешность вместо
того, чтобы уменьшить ее.
Далее, практический критерий устойчивости можно получить
следующим образом: члены ряда Фурье, в виде которого ищет-
ищется численное решение, растут как е*\ причем для случая I мак-
максимальное значение у приближенно равно
для kbz**±9
также
нормальна
Норма G равна корню квадратному из нормы G*G, который является
наибольшим собственным значением матрицы G*G, так как последняя
1ьна,

§ 9.8. СЛОЙ; СИСТЕМА РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ II 233
т. е. достигается для коротковолновых компонент, в то время
как максимальное значение у для истинного решения уравнения
(9Л7) не может превышать vof. Так как \i0 лишь немного мень-
меньше 1, а величина f вообще незначительно превышает 1, то в ка-
качестве грубого критерия мы получим
или
(множитель 7г опущен, так как в грубом критерии он несу-
несуществен). Для практических целей строгие ограничения были
бы неудобны, и поэтому мы ищем более удовлетворительные
конечноразностные приближения в сферических гармониках.
(Аналогичный практический критерий устойчивости для задачи
о совместном распространении звука и тепла приводится в сле-
следующей главе; там также будет видна необходимость рассмат-
рассматривать конечные значения kt и Az, с которыми производятся
вычисления. Третий пример будет дан в § 6 гл. 11; он относится
к задаче о колебаниях продольно напряженного стержня.)
§ 9.8. Слой; система разностных уравнений II
(схема Фридрихса)
Фридрихе [1954] исследовал класс симметричных линейных
гиперболических систем, частным случаем которых являются
уравнения в сферических гармониках, и указал общий метод
получения устойчивой конечноразностной схемы. Для уравне-
уравнений в сферических гармониках его схема получается из систе-
системы I путем замены и* на (и^_, + и^+1)/2:
(9.21)
Это трехточечная формула, содержащая только одну точку сет-
сетки, соответствующую моменту /n+1, и две точки, соответствую-
соответствующие моменту времени tn.
Для этой системы матрица перехода равна
G (A/, &) = (/ + eF) cos kkz — iaQM sin k Az,

234 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
где, как и ранее, мы положили
= е, A+/)S I = F9 <x0 = л .
Как было показано в § 3.9 и 4.11, устойчивость не теряется
при добавлении такого члена как eF cos k Az = О (A/). Остав-
Оставшаяся часть G, в точности равная G@, k), является нормаль-
нормальной, так что условие фон Неймана необходимо и достаточно
для устойчивости. Кроме того, модули собственных значений
G (О, k) paвны (cos2AAz + а\ |i2sin26Az) \ где \х — собственное
значение матрицы М. Если \i0 снова обозначает максимум мо-
модуля собственных значений матрицы М, то это означает, что
условие аоцо ^ 1 является необходимым и достаточным для
устойчивости; иначе говоря, схема Фридрихса в случае систе-
системы II для слоя устойчива тогда и только тогда, когда
|io(oA//Az)<l. (9.22)
Конечно, этот вывод согласуется и с более общими выводами
Фридрихса. Ниже будет показано, что \i0 немного меньше еди-
единицы, и поэтому приведенное выше ограничение будет незна-
незначительно слабее условия v A/ ^ Az.
§ 9.9. Неявные схемы
Для уравнений в сферических гармониках можно построить
множество неявных схем. Простейшей из них является четырех-
четырехточечная схема, использующая две соседние пространственные
точки в момент tn и те же пространственные точки в момент
tn+l. Центрируя разности надлежащим образом, мы можем
свести погрешность аппроксимации к О((Д/J) + O((AzJ), в то
время как для систем I и II погрешность аппроксимации со-
составляет О (ДО + O((AzJ). Получающаяся система является
безусловно устойчивой. Другие безусловно устойчивые неявные
схемы можно построить по аналогии с соответствующими схе-
схемами для уравнения теплопроводности (см. табл. 8.1). Все эти
схемы обладают тем недостатком, что они являются неявными
по отношению к переменному z и индексу /, который обозна-
обозначает компоненты.и (/ = 0, 1, 2, ..., L). Поэтому система урав-
уравнений, которую нужно решать на каждом шагу по времени,
довольно сложна, и по этой причине неявная схема, насколько
известно авторам, не исследовалась. Оказывается, что только
система II является подходящей для метода сферических гар-
гармоник, но даже и эта система представляет собой худшую из
всех схем, применимых для других аппроксимаций уравнения
переноса, которые будут рассмотрены далее в этой главе.

§ 9.10. МЕТОД ВИКА-ЧАНДРАСЕКХАРА 235
§ 9.10. Метод Вика — Чандрасекхара для слоя
В случае симметрии слоя и изотропного рассеяния уравне-
уравнение переноса принимает вид (9.6), а именно
-1
Идея метода Вика — Чандрасекхара \) заключается в том, что
выбирают определенную последовательность значений ц, на-
например jio, \iu ..., Hl, и строят уравнения для L+ 1 функции
\|?(z, jij, t), оценивая для этих L + 1 значений ц' интеграл в пра-
правой части уравнения переноса по возможности более точно.
Как известно, наиболее точной квадратурной формулой по
L + 1 точкам является в некотором смысле формула Гаусса2);
именно, для любой функции F(x)
-1 /=0
где цо, \iu •••> *al — нули полинома Лежандра Pl+i(|i), а коэф-
коэффициенты Cj определяются так:
В этих обозначениях правая часть уравнения переноса прини-
принимает вид
2
/=о
Левую часть уравнения переноса для каждого из L + 1 значе-
значений \х оставим неизменной. Полученную систему L + 1 диффе-
дифференциальных уравнений в частных производных лучше всего
представить в матрично-векторной форме, как это было сделано
в методе сферических гармоник. Пусть u = u(z,/) есть
(L + 1)-мерный вектор
t)\
*) См. работы Вика [1943] и Чандрасекхара [1944b].
2) По поводу вывода этой формулы и других возможных представлений
для коэффициентов см. Хилдебранд [1956].

236
ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
Ч. II
Тогда уравнения примут вид
(9.23)
где М — диагональная матрица
_ о
a S — матрица коэффициентов
Со С,
О ____
cL
Со С! ... CL _
Мы увидим, что эти уравнения в случае задачи для слоя бо-
более подходят для конечноразностных методов, чем соответ-
соответствующие уравнения в сферических гармониках. Поэтому жела-
желательно обобщить их на задачи со сферической симметрией и
анизотропным рассеянием. Это можно сделать, если учесть за-
замечание Дж. К. Марка (неопубликованное сообщение), что
в случае задачи для слоя с изотропным рассеянием уравнения
в сферических гармониках и уравнения Вика — Чандрасекхара
эквивалентны. Последние можно получить из первых, применив
к рассматриваемым матрицам некоторое преобразование подо-
подобия; если это преобразование подобия применить к более об-
общим уравнениям в сферических гармониках, то мы получим же-
желаемый результат.
Методы такого общего типа, включая описанный ниже 5П-
метод Карлсона, использующие диагональную матрицу М> на-
называются дискретно-ординатными методами. В серии статей
Келлер и Вендрофф [1960] при разумных предположениях до-
доказали сходимость этих методов при L—>оо.
§ 9.11. Эквивалентность двух методов
Сначала установим (дадим только намек на доказатель-
доказательство) некоторые замечательные свойства матрицы Му входящей
в уравнения в сферических гармониках (§ 9.5).
1. Собственные значения матрицы М являются нулями поли-
полинома Лежандра PL+iCk). Чтобы убедиться в этом, напишем

§ 9.11. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ДВУХ МЕТОДОВ 237
Если детерминант разложить по элементам последней строки,
то получатся два члена, соответствующие двум отличным от
нуля элементам этой строки. Их можно выразить через ^(Я)
и ^l-i(^), которые содержат главные миноры этого детерми-
детерминанта. Мы получим таким образом рекуррентное соотношение
для ^l(^), равноценное одному из обычных рекуррентных со-
соотношений для полиномов Лежандра. Кроме того, легко видеть,
что &i(K) = Pi(k) и 0>2(\) = Р2(Ъ). Поэтому ^l+i(X) = Pl+,(X),
и утверждение доказано.
2. Так как матрица М симметрична, то ясно, что должно су-
существовать ортогональное преобразование, связывающее М и М,
поскольку матрица Я диагональна и имеет те же самые соб-
собственные значения, что и М\ можно показать, что
U~lMU=M, где
Для этого заметим сначала, что вектор vft, компоненты которого
равны У2] + 1 Pj{\ih) (/ = 0,..., L), удовлетворяет уравне-
уравнению (\xhl — M)vh = 0 (вследствие рекуррентных соотношений
для Pj{\i)- Таким образом получается система собственных век-
векторов матрицы М, и остается только нормировать их1), чтобы
получить матрицу U.
Если метод сферических гармоник и метод Вика — Чандра-
секхара эквивалентны, то, вспоминая определение \|)j(z,/), мы
должны ожидать, что
2, t)
или в матричной записи u = 74i, и = Г"!и, где Т — матрица,
элементы которой имеют вид
Tfk=V2kTlPk(Vi). (9.24)
Если мы применим преобразование Т к уравнениям в сфериче-
сферических гармониках, то получим
и эквивалентность будет установлена, если доказать, что
TMT~l=M, l
1) Выражение для Ch, данное в предыдущем параграфе, очевидно, яв-
является условием нормирования для вектора v\ Используя тождество Дар-
Дарбу — Кристоффеля, можно представить этот коэффициент в более привычном
виде (этот вопрос рассмотрен у Хилдебранда [1956], стр. 322),

238 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
Чтобы доказать эти соотношения, заметим, что матрица Т тес-
тесно связана с матрицей ?/; действительно, Т = V"lU'l9 7м =
= UV, где V — диагональная матрица, для которой Vik =
= VCj 6jk- Поэтому
ТМТ'1 = F U'lMUV = К MV = M\
в этом результате последний знак равенства обусловливается
тем, что матрицы V и М диагональны. Заметим, далее, что
и что при изотропном рассеянии p(cosa)=l, Ро=\, Pi = 0
(I > 1), так что единственным ненулевым элементом S является
Soo = 1. Потому
{TST'% = TJQ (T~l)ok = С, = §!h.
Этим завершается доказательство того, что для слоя при
изотропном рассеянии уравнения Вика — Чандрасекхара и
уравнения в сферических гармониках эквивалентны. В термино-
терминологии, принятой в теории характеристик (см. § 12.7, а также
книгу Куранта [1964]), уравнения Вика — Чандрасекхара будут
уравнениями в сферических гармониках, выраженными в нор-
нормальной или характеристической форме.
§ 9.12. Граничные условия
В случае слоя, простирающегося от z = —а до z = a, гра-
граничные условия (9.5) могут быть перенесены в метод Вика —
Чандрасекхара без существенных изменений. Пусть \ij (нули
функции PL+i([*>)) расположены так, что jio>M'i> ••• > Vl.
(Заметим, что jio будет также наибольшим по модулю.) Если
L + 1 четно, то в качестве граничных условий примем
¦ (-a, |i/, 0=0 при / = 0, 1, ..., (L-l)/2,
4>(at |x/f 0 = 0 при / = (L+l)/2, ..., L.
Если L + 1 нечетно, то jiL/2 = 0, и граничные условия для
г|з(г, \ioy t) на первый взгляд кажутся неясными. Однако к урав-
уравнению для этой функции не требуется граничное условие, так
как в нем отсутствует член с d/dz. Простота этих граничных ус-
условий является преимуществом метода Вика — Чандрасекхара.
Одним из путей получения граничных условий для метода сфе-
сферических гармоник является преобразование приведенных выше
уравнений к уравнениям в сферических гармониках; это преоб-
преобразование определяется матрицей Т.

§ 9.14. СИСТЕМА III
239
§ 9.13. Разностные системы I и II
Конечноразностные уравнения системы I и II практически
те же самые, что и в сферических гармониках, и могут быть
получены формально из уравнений § 9.6 и 9.8, если символы и,
М и 5 снабдить тильдой. Они имеют те же свойства: система I
устойчива при любом фиксированном значении Д//(ДгJ, но не-
неустойчива при любом фиксированном значении kt/Az и прак-
практически в качестве условия устойчивости может быть принято
неравенство v Д//[а(ДгJ] < 1; система II (схема Фридрихса)
устойчива при иД/^Дг/цо. Помимо этого существуют некото-
некоторые системы конечноразностных уравнений, которые не имеют
аналогов в методе сферических гармоник. Рассмотрим теперь
эти системы.
§ 9.14. Система III; пространственные разности
вперед и назад {)
Для выражения du/dz применим при \ij > О пространствен-
пространственное разностное отношение назад, а при \ij < 0 — отношение
вперед. (Если \ij = О, что может иметь место при четном L,
то производная по пространству отсутствует.) Для этого
разобьем М на две части: М = М\-{- Мг, где
~>о О"
О
1) Ср. с работой Куранта, Изаксона и Риса [1952].

240 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
Здесь \х,[ и ji," являются последней положительной и первой
отрицательной из величин \ij соответственно. Разностные урав-
уравнения принимают вид
(9.25)
Эти уравнения легко исследовать на устойчивость применяв-
применявшимися ранее методами. Для этой системы G представляет со-
собой сумму диагональной матрицы и О(Д/). Следовательно, ус-
условием фон Неймана для системы (9.25) является неравенство
которое будет также и достаточным условием устойчивости.
Погрешность аппроксимации для этой системы составляет
О (At) +O(Az), т. е. формально данная система менее точна,
чем система Фридрихса. Однако практически она не менее точ-
точна, и, вероятно, несколько более точна по следующий причине:
в системе Фридрихса при Д/, лежащем вблизи максимально до-
допустимого значения Дг/jioV, первый из членов погрешности
О(Д/) + Ol(AzJ] значительно больше второго, тогда как два
члена погрешности системы III сравнимы и имеют разные зна-
знаки, в результате чего они частично уничтожаются. Подходящий
выбор пространственных разностей вперед и назад в зависи-
зависимости от знака \х в известной мере позволяет следовать харак-
характеристикам ближе, чем в схеме Фридрихса. Обе схемы имеют
одинаковые условия устойчивости.
§ 9.15. Система IV (неявная)
Исходя из опытов с уравнением теплопроводности, можно
ожидать, что устойчивость системы (9.25) значительно возрас-
возрастет, если мы используем разности по времени назад (или, что
почти то же самое, заменим п на п + 1 в индексах простран-
пространственных разностей). Для того чтобы следовать характеристи-
характеристикам возможно ближе, мы также поменяем роли*) М{ и Л?2.
В результате получим систему
(9.26)
!) Если М\ н М2 не менять ролями, то полученные уравнения окажутся
0езусловно устойчивыми, но совершенно не будут следовать характеристикам.

§ 9.16. СИСТЕМА V (СХЕМА КАРЛСОНА) 241
Матрица перехода для этой системы может быть легко вычис-
вычислена. Вопреки ожиданию, данная система не является безус-
безусловно устойчивой. В самом деле, условием устойчивости являет-
является неравенство
где [I* — наименьший положительный нуль PL+i([i). Отметим
необычное свойство этой системы: именно условие устойчивости
ограничивает At снизу, а не сверху. Вследствие малости \х* эта
система практически не используется.
§ 9.16. Система V (схема Карлсона)
В связи со своим Sn-методом, который будет кратко описан
ниже и напоминает в некоторых отношениях метод Вика —
Чандрасекхара, Б. Карлсон [1953] получил безусловно устойчи-
устойчивую конечноразностную систему; эта схема сочетает лучшие
свойства системы III (уравнение (9.25)) и системы IV (уравне-
(уравнение (9.26)). Мы изложим несколько упрощенный вариант этой
схемы в том виде, в каком она применяется в методе Вика —
Чандрасекхара. Идея Карлсона заключается в рассмотрении
компонент пу соответствующих схеме (9.25) для малых \х и
схеме (9.26) для больших \i. Предположим, что величина
v&t/kz является постоянной, и разобьем диагональную матрицу
М на четыре слагаемых: М = М$ + Мь + Мъ + Мб, где
М3 содержит те диагональные элементы Ми для которых
\х> Дг/(иД0, Mk содержит те диагональные элементы Ми для
которых \х ^ Az/ (v Д/), Мь содержит те диагональные элементы
jBfet Для которых \i ^ —Дг/(v Д/), Me содержит те диагональ-
диагональные элементы Мь для которых \i<—Az/(vkt); все прочие эле-
элементы являются нулями в каждом случае.
Разностные уравнения теперь примут следующий вид:
+ Ме ' Дг '"' + auy = (!+/) oSuf. (9.27)
На рис. 9.1 изображена эта схема и дана ее связь с харак-
характеристиками. Показаны шесть соседних точек сетки в плоскости
z, t\ верхний ряд соответствует времени /n+1, а нижний ряд-—
времени tn. Характеристиками являются L + 1 прямых; наклон
/-и характеристики равен l/(\nv). В зависимости от величины
этого наклона характеристика, проходящая через точку 1, мо-
может лежать внутри одного из четырех треугольников, изобра-
изображенных на рисунке. Для /-и компоненты вектора и дифферен-
дифференциальный оператор в уравнении (9.23) имеет вид {\/v)d/dt +

242 гл- 9- УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
+ \цд/дг, т. е. является оператором дифференцирования вдоль
1-й характеристики. В схеме Карлсона производная выражается
через значения функции в трех точках: в точке 1 и в одной из
пар точек B,3), C,4), D,5) или E,6) соответственно тому, в
каком из четырех треугольников лежит характеристика. Если
одна из характеристик проходит через точку 3, то соответ-
соответствующий конечноразностный оператор автоматически сводит-
сводится к двухточечной формуле, использующей точки 1 и 3, и имеет
вид
(ип+х — unHX)jvM.
В этом случае производная вдоль характеристики заменяется
на разностное отношение вдоль нее. Это, конечно, лучше чем
Рис. 9.1. Схема расположения шести
точек сетки в плоскости (г, /), ил-
иллюстрирующая метод Карлсона.
Штриховой линией показана типич-
типичная характеристика.
менее прямой способ, в котором применяются частные произ-
производные и используется третья точка. Подобное замечание от-
относится, очевидно, и к характеристикам, проходящим через
точки 4 или 5. Для характеристики, не проходящей ни через
одну из этих точек, необходимо использовать (по меньшей
мере) три точки для выражения дифференциального операто-
оператора. Достоинство схемы Карлсона заключается в том, что для
каждой компоненты и выбираются три точки, лежащие воз-
возможно ближе к соответствующей характеристике.
Как и в предыдущих схемах, матрица перехода G и условие
устойчивости получаются без особого труда. В результате ока-
оказывается, что схема Карлсона (9.27) устойчива при любом зна-
значении величины v&t/Az.
Хотя схема Карлсона представляет собой неявную схему,
можно легко получить численное решение следующим обра-
образом1). При |1/<0 некоторое значение (а именно нуль)
\|)(z, \iu tn+]) задано граничным условием на правой стороне слоя
при z= а. Разностные уравнения можно решать, уменьшая /
1) Для увеличения точности часто и? в недифференциальных членах за-
заменяют на !А> (и" + и"+ J (это не влияет на устойчивость). Тогда неявные
уравнения не удается решить так просто, и в общем случае возникает не-
необходимость в итерационном процессе.

§ 9.17. ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ВИКА-ЧАНДЕАСЕКХАрА 243
(уменьшая z) до тех пор, пока не будет достигнута левая гра-
граница. Аналогично, при щ > 0 граничное значение задано при
г = —а, и уравнения можно решать в порядке возрастания /.
При щ = 0 (что имеет место при четном L) уравнения стано-
становятся явными.
Применение схемы Карлсона к более общим квазилинейным
гиперболическим системам было рассмотрено Келлером [1956].
Так как в случае переменных коэффициентов наклон характе-
характеристик может меняться от одной точки к другой, то в процессе
интегрирования необходимо видоизменять схему в зависимости
от положения характеристики (четыре положения). Тем не ме-
менее возможно, следуя Келлеру, решать разностные уравнения
при помощи несложного алгоритма. Келлер доказал также
устойчивость и сходимость при разумных предположениях. Кел-
Келлер и Вендрофф [1957] провели подробное исследование этой
схемы для широкого класса дискретно-ординатных методов; они
установили безусловную устойчивость этой схемы, а также схо-
сходимость итерационного процесса, упомянутого в последнем под-
подстрочном примечании.
§ 9.17. Обобщение метода Вика — Чандрасекхара
В § 10 предполагалось, что имеет место изотропное рассея-
рассеяние и симметрия слоя. Если рассеяние анизотропно, то матрицу
S можно заменить матрицей TST'1, где S — общая матрица,
данная в § 9.5 для метода сферических гармоник, а Г — матри-
матрица преобразования, определенная в § 9.11. Таким образом, мат-
матрица S берется в виде
и является обобщением матрицы 5, рассмотренной в § 9.10.
Множители pi являются коэффициентами в формуле рассеяния
(9.10). Все упомянутые конечноразностные схемы применимы
без всякого изменения устойчивости, так как при исследовании
устойчивости не было сделано предположений о каком-либо
специальном виде матрицы S.
Для обобщения метода на задачи со сферической симмет-
симметрией включим в левую часть уравнения (9.23) член (\/r)Nut
где ft — соответственно преобразованная матрица Л/, входящая
в уравнения сферических гармоник (см. § 9.5). Таким образом,
= Ск J? (/ + 1) [(/ + 2) Р/ Giy) Рм Оц) - 1РХ Ы Рм Qiy)].
J?

244 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч, II
При добавлении члена (\/r)Nu — наш критерий устойчивости
не будет строго справедливым, так как теперь коэффициенты
переменны. Но если следовать обычному эвристическому под-
подходу, согласно которому устойчивость является локальным яв-
явлением (так что при медленном изменении коэффициентов их
можно считать постоянными в малой окрестности), то следует
ожидать, что добавление таких членов не повлияет на устойчи-
устойчивость, так как при г0, равном константе, добавление члена
(\/ro)Nu оставляет условие устойчивости неизменным для всех
рассмотренных выше конечноразностных схем. Насколько нам
известно, этот метод не применялся для нестационарных задач,
и мы предпочитаем воздержаться от суждения о том, что может
происходить вблизи центра в связи с имеющейся там особен-
особенностью. Однако практика работы с 5п-уравнениями, которые
подобны рассматриваемым уравнениям, наводит на мысль
о том, что здесь, вероятно, не возникают каких-либо трудно-
трудностей. Снова может быть применена схема Карлсона с интегри-
интегрированием от границы к центру при \i < 0, а затем от центра
назад к границе при \х > 0.
§ 9.18 Sn-метод Карлсона [1953]
Этот метод похож на метод Вика — Чандрасекхара, однако
не эквивалентен ему. Он отличается тем, что производная по
\х (которая фигурирует в задачах со сферической симметрией)
аппроксимируется более прямым способом; кроме того, суще-
существует определенное отличие в центрировании по \х9 приводящее
к тому, что некоторые матрицы, диагональные в методе Вика —
Чандрасекхара, здесь оказываются только треугольными.
Разделим отрезок —1 ^ \i ^ 1 на п подинтервалов (не обя-
обязательно равных):
причем величины ^i0, ..., \in в общем случае не совпадают
с величинами jio, • • •» I^l, введенными ранее; далее будут на-
написаны п + 1 уравнений в частных производных для п + 1
функций No (г, t) = ф (г, jio, t), Ni (г, /) = ф (г, ць *),..., Nn (г, /) =
= \|)(г, [1п, t). Каждое из этих уравнений, за исключением пер-
первого, центрируется относительно средней точки одного из под-
подинтервалов.
Рассмотрим случай сферической симметричной системы
с изотропным рассеянием. Уравнение переноса записывается (ср.
с уравнением (9.7)) в следующем виде:
j

i 9.18. 5Л-МЕТОД КАРЛСОНА [1953] 245
Пусть интеграл аппроксимируется следующим образом:
1 п
-1
где коэффициенты А\ соответствуют принятой формуле при-
приближенного интегрирования, например формуле трапеций.
При ц=±1 производная по ц не входит в уравнение пе-
переноса, и в качестве уравнения для N0(rtt), которое соответ-
соответствует \х = —1, мы можем взять просто
,(r, f) = 2uA*Ni(r' t] ' (9'28)
t=l
Для уравнения, которое центрировано относительно средней
точки подинтервала (рь №+i)t производная по времени и член
аг|) заменяются простыми средними, а другие члены аппрокси-
аппроксимируются более сложными выражениями:
dNl+l\ . 1
Ч
ApNp; (9.29)
здесь \xf и ц^ — должным образом выбранные точки подин-
подинтервала (\iu \ii+i) вблизи его левого и правого концов соответ-
соответственно, а (м^)/+1/2 — надлежаще выбранное усреднение вели-
величины \i2 в этом подинтервале.
Для Sn-метода, кроме того, характерен специальный выбор
значений ц+, Hf и С^+у,» а именно
B^ + l*) ^Г =
Этот выбор обосновывается Карлсоном отчасти эвристически
и базируется на том обстоятельстве, что при таком выборе
и при предположении линейной зависимости \|) от \х в пределах
подинтервала мы получаем в уравнении (9.29) члены, совпа-
совпадающие со средними по ц в этом подинтервале величинами

246 гЛ- 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. ti
соответствующих членов уравнения переноса. Келлер и Венд-
рофф [1957] выбирали эти значения несколько иначе, полагая
jx+ = [i^p так что система (9.29) при этом записывается
в нормальном или характеристическом виде; это дает возмож-
возможность рассмотреть вопрос об устойчивости теоретически.
Для функции Nn(r,t), соответствующей |i = 1, можно напи-
написать уравнение, аналогичное уравнению (9.28). В этом уравне-
уравнении нет необходимости, однако оно может быть использовано
для проверки точности результатов.
С точностью до центрирования недифференциальных вели-
величин по времени конечноразностная схема по г, /, применяемая
для решения этих уравнений, совпадает с той, которую ра-
ранее в этой главе (§ 9.16 и 9.17) мы назвали схемой Карлсона.
Расчет помогает определить, что дает замена таких величин
средними: например, в разностных уравнениях, которые позво-
позволяют продолжить решение от момента времени tv до момента
tv+i, слагаемое l/2oN{(r9t) заменяется на lUo[Ni(r9 tv) +
+ Ni(r9tv+i)]. Нельзя формально оправдать такую замену, так
как погрешность аппроксимации для схемы Карлсона в любом
случае будет равна О(Д/)+О(Дг), однако так как схема
Карлсона в определенном смысле следует характеристикам как
можно ближе, то происходит частичное погашение членов
О (At) и О(Дг), обусловленных производными. Поэтому кажет-
кажется полезным задавать другие члены с точностью до О (AtJ.
Центрирование по времени можно без труда осуществить
во всех членах левой части уравнения (9.29). Для центрирова-
центрирования же сумм правой части необходимо знать все неизвестные
функции No (r, /v+1), ..., Nn(rytv+i) в каждом уравнении. Это
препятствует нахождению решения путем простого интегриро-
интегрирования от границы к центру при \х < 0 и затем от центра снова
к границе при \х > 0. Поэтому используется следующий ите-
итерационный процесс: сначала для получения предварительных
значений неизвестных величин на момент времени tx+{ решаем
уравнения с нецентрированной правой частью; затем подстав-
подставляем результат в (центрированный) правый член и уточняем
значения неизвестных и т. д. Подобный итерационный процесс
будет описан более подробно в § 9.19 для метода прямого ин-
интегрирования при решении уравнения переноса. Как было от-
отмечено выше, Келлер и Вендрофф [1957] доказали сходимость
этого итерационного процесса для своего варианта Sn-метода.
Карлсон рассмотрел устойчивость своей схемы в примене-
применении к Sn-уравнениям. Из его заключений и результатов боль-
большого количества расчетов, проведенных по его методу, следует,
что схема является безусловно устойчивой, так же как и для
метода Вика — Чандрасекхара. При выборе коэффициентов
в уравнении (9.29) по Карлсону аналог матриц М и М, кото-

§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
247
рые рассматривались в описанных выше методах, не будет нор-
нормальной матрицей, так что исследование устойчивости является
довольно сложным. На практике устойчивость этого метода не
вызывает сомнений.
§ 9.19. Метод прямого интегрирования
В ряде конечноразностных схем для интегрирования как
стационарных, так и зависящих от времени задач переноса со
сферической симметрией вместо гиб используются переменные
х = г cos 8, у = г sin 8, предложенные одному из авторов
Рис. 9.2. Область задания уравнения переноса вида (9.30) в плоскости х, у.
фон Нейманом в 1948 г. В этом параграфе детально описы-
описывается один таковой метод для иллюстрации некоторых основ-
основных положений.
Если в момент времени / нейтрон движется по прямой, то
переменная у является кратчайшим расстоянием от начала ко-
координат до этой прямой, а х—расстоянием от основания опу-
опущенного на эту прямую из начала координат перпендикуляра
до нейтрона, взятым со знаком, учитывающим направление
движения нейтрона (см. рис. 9.2). Используя эти переменные
и полагая Ч1" (*,*/,/) = \|)(r,cos8,/), получаем уравнение пере-
переноса в виде
2Я
±±L \dx' J p (cos a) ? Of, Vr2-x'\
при
, t>0,
(9.30)

248 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
где г теперь обозначает |/jc2 + у2, а а определяется из равен-
равенства
хх' + у у г2 — х'2 cos Ф
= ^
Граничные условия можно записать следующим образом:
4(x,y,t) при х2 + у2 = а2, у>0, х<0. (9.31)
Уравнение переноса справедливо в области заштрихованного
полукруга, изображенного на рис. 9.2, а путь интегрирования
в уравнении (9.30) представляет собой дугу полуокружности,
проходящую через точку (х, у). На этом рисунке точка изо-
изображает нейтрон, движущийся горизонтально с постоянной ско-
скоростью v в правую сторону до момента соударения. В момент
соударения точка, изображающая нейтрон, переходит скачком
в некоторую другую точку той же самой окружности (напри-
(например, в точку (х\у'))у от которой затем продолжает движение
горизонтально вправо со скоростью v. Если нейтрон уходит из
системы, то он пересекает правую четверть граничной окруж-
окружности, и граничное условие при отсутствии потока нейтронов
извне состоит в том, что Ч* = 0 на левой четверти граничной
окружности. Методы, основанные на применении этих перемен-
переменных, иногда называются методами прямого интегрирования,
хотя в действительности они являются не более прямыми, чем,
например, 5п-метод.
Иногда в плоскости х, у выбирается прямоугольная сетка
точек, а иногда в качестве точек сетки берутся точки на пересе-
пересечении семейства окружностей и семейства горизонтальных пря-
прямых. Во всяком случае, точки располагаются в ряды парал-
параллельно оси х, поскольку в уравнение входит производная по
координате а; и не входит производная по координате у. Сле-
Следовательно, интегрирование производится вдоль пути, по кото-
которому нейтроны двигаются между соударениями.
В методе, который здесь будет описан, эта идея получает
дальнейшее развитие: производится интегрирование вдоль тра-
траекторий нейтронов в пространстве координат-времени по ана-
аналогии с методом характеристик для гидродинамических задач.
Выберем трехмерную сетку следующим образом:
i = — I, — (/- 1), ..., 0, 1, ..., /,
/ = 0, 1, ..., /,
где v Д/ = А* и / Да: = / Ду = а.

§ 9.19 МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 249
Обозначим Ч'О'Дл;, /Дг/, n&t) через Ч1"?/. Ограничимся рас-
рассмотрением случая изотропного рассеяния и обозначим правую
часть уравнения (9.30) через Ф(г, t)y так что
ф(г, /) = (T1±I ^{xr, Vr2-x'\ t)dx'. (9.32)
Далее, будем обозначать Ф(г,/л) через Фп(г). Для табулиро-
табулирования Ф выбирается интервал Дг и Ф(рДг, гсД/) обозначается
через Фр. Удобно также для ]/"(/ Да;J + (/ ДуJ ввести обозна-
обозначение Гц.
Ввиду соотношения иД/ = Да; точка ((i + 1)Д*,/Д#, (я + 1)А/)
пространства координат-времени находится на той же траекто-
траектории (характеристике), что и точка (i Да;, / Д#, nAt). Аппроксими-
Аппроксимируем члены с производными следующим образом:
и, наконец, получим
), (9.33)
где Фп+1/2(г) — приближенное значение Ф(г, /) в момент време-
времени (я+72)Д/, которое должно быть получено при помощи
итерационного процесса, описанного ниже. Если известны зна-
значения Фп+1/\ то из уравнений (9.33) можно найти неизвестные
цгп+i в0 всех точках сетки, за исключением точки (/+1,у),
обозначающих самую левую точку внутри полукруга на /-й ли-
линии (например, точка В{ на рис. 9.3), в которой величину Ф?/
нельзя вычислить. Однако согласно граничному условию функ-
функция УР равна нулю в точке Р\ пространства координат-времени,
в которой траектория, проходящая через точку (/+ 1,/,л+ 1),
входит в систему при радиусе г = а. В этом случае мы заме-
заменяем Да; в уравнениях (9.33) величиной
1 Ад:,
являющейся расстоянием от точки (/+ 1, /) до границы вдоль
линии у = j &у и t = const, и заменяем 4*7/ нулем; тогда
уравнения (9.33) дают ^l+i /» как и для других точек сетки
внутри системы.
На рис. 9.3 показаны характерные особенности трехмерной
сетки точек. Отрезки прямых ЛА52, А2В3, C{D2 и т. д. являются

250
ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
Ч. II
характеристиками, соединяющими точки сетки для времени tn
с точками для времени tn+i. Правая часть уравнения (9.33)
является средним значением величины Ф(г, t) по такому отрез-
отрезку и приравнивается среднему от значений Ф(г, t) на двух кон-
концах отрезка. Для отрезка типа А\В2 используется значение
Фп(г) на другом конце. Для коротких отрезков частного вида
P\Bi и Р2Рз уравнение видоизменяется: значение Ф для ближ-
ближнего конца получается интерполированием по времени между
Рис. 9.3. Перспективное изображение части трехмерной сетки для уравне-
уравнения (9.33).
fn и /n+i# Таким образом, если рассматривать точки Л9, Р2 и В9,
то значение Ф{Р2) получается интерполированием между
Ф(Л9) и Ф(В9).
Если значения Ч*?*1 известны во всех точках сетки, то мо-
могут быть найдены Ф"+1- Уравнение (9.32) показывает, что Ф"+1
выражается криволинейным интегралом от ЧГп+1 по полуокруж-
полуокружности радиуса /?Дг в плоскости х, у. Вообще говоря, эта полу-
полуокружность может не пройти ни через одну точку сетки или
пройти через небольшое число таких точек, и тогда возникает
необходимость в интерполяции. Криволинейный интеграл про-
проще всего берется при интегрировании по х' и использовании
формулы трапеции; эта операция легко программируется для
машин. При этом в качестве приращения х' используется Д#
или Ajc/2, а значения подинтегральной функции в нужных точ-
точках переменного xf получаются путем линейной интерполяции
по х и у. (Шаг Длс/2 использовался в пробных вычислениях,
описанных ниже.)
Для нахождения Фп+1/* применяется следующий итерацион-
итерационный процесс. В начала полного цикла вычислений 4*7/ изве-
известны и имеется таблица для Ф% Вместо фГг+/1(г/+7,/) в пРа"

§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 251
вой части (9.33) берется сначала Ф^О+у*/)» полученное линей-
линейной интерполяцией из таблицы Фр при r = ri+l/ij. Потом ре-
решаются уравнения (9.33) и получаются предварительные зна-
значения Ч?7/+1. С их помощью описанным выше способом полу-
получаются предварительные значения для величин Фр+1. Затем
выполняется вторая итерация, для которой Фп+1/* берется как
среднее от Ф* и Фп+1. Эта итерация уточняет величины Ч'?/4,
из которых получаются более точные значения Фр+1.
Опыт показывает, что обычно дальнейшие итерации не
имеют смысла, так как применение более мелкой сетки быст-
быстрее приводит к цели. Напротив, первая итерация обычно при-
приводит к более точному результату, чем это происходит в ре-
результате такой же дополнительной затраты труда для дальней-
дальнейшего дробления сетки. Вероятно, это происходит потому, что
первая итерация уменьшает погрешность аппроксимации от
О (At) до О (А/2), после чего не происходит дальнейшего из-
изменения порядка величины погрешности.
Этот метод иллюстрируется пробными вычислениями, вы-
выполненными на машине УНИВАК. Решается одна из упрощен-
упрощенных астрофизических задач, выбранная в основном для про-
проверки метода. Она описывает движение фотонов, а не движе-
движение нейтронов, и поэтому мы обозначим скорость через с, а не
через v. В момент времени /=0 в центре большого однород-
однородного сферического облака, состоящего из чисто рассеивающего
вещества (/ = 0), происходит короткая вспышка света (как
в переменных звездах). При этом предполагается, что рассея-
рассеяние изотропно и поляризационные эффекты отсутствуют. Тре-
Требуется найти интенсивность света, испускаемого поверхностью
облака, в зависимости от времени.
Было выполнено несколько расчетов для сферы с радиусом,
равным удвоенной средней длине свободного пробега, и один
расчет для сферы с радиусом, равным учетверенной средней
длине свободного пробега. Некоторые результаты представле-
представлены графически на рис. 9.4—9.7. Выбрав в качестве единиц
длины и времени среднюю длину и среднее время свободного
пробега, имеем
случай I: сг=1, и = с=1, а = 2;
случай II: сг=1, и = с=1, а = 4.
В первых двух попытках просчитать случай I (/ = /=10,
162 внутренние точки сетки и / = / = 15, около 350 внутренних
точек сетки) задача рассматривалась просто как задача с на-
начальным условием: при п = 0 (/ = 0) функция 47/ была рав-
равна нулю всюду, кроме центральной точки сетки i = j = 0, где

252 ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
она была произвольно взята равной 0,1. Таким образом, фото-
фотоны сначала концентрировались в непосредственной близости от
источника, а затем начинали движение в соответствии с урав-
уравнением переноса. Этот подход оказался неудачным и был при-
пригодным лишь для грубого качественного исследования из-за
разрывного характера распределения в начале движения. Была
также предпринята попытка «размазать» начальное распреде-
распределение по трем или четырем точкам сетки, но и это привело
лишь к небольшому улучшению.
Затем схема расчета была видоизменена следующим обра-
образом: функция 4*7/ приравнивалась нулю при п = 0, а член, со-
соответствующий источнику, включался в уравнение переноса
в интервале времени 0 ^ / ^ а/с, в течение которого первона-
первоначальный импульс проходил через сферу. В момент времени t
источник занимал положение г = ct и представлял фотоны, из-
излученные после первого рассеяния. Иначе говоря, первое рас-
рассеяние было рассмотрено аналитически, а последующие — чис-
численным способом. Первоначальный импульс расходился в виде
расширяющейся сферической оболочки с количеством фотонов
на единицу поверхности оболочки, пропорциональным е~аг/г2.
Чтобы получить такую пропорциональность для оболочечного
источника, необходимо добавить к ф?+1 величину Ае-ар*г/р*
после цикла, для которого п + 1 = р. Перед этим первым цик-
циклом величина Фо приближенно представляла фотоны, введен-
введенные в систему оболочечным источником в течение интервала
времени @, Д//2), а другие Ф°р были равны нулю. Постоянная
А выбиралась пропорциональной /3, так чтобы при пересчете
задачи с более мелкой сеткой полное количество фотонов, вве-
введенных в систему в течение интервала @, а/с), оставалось по-
постоянным.
При такой модификации функции Ф и Ч1", которые нужно
найти в результате вычислений, остаются разрывными в ин-
интервале времени @, а/с), но они ограничены и для их выраже-
выражения нет необходимости использовать б-функцию Дирака.
Световой поток F при г = а получается путем вычисления
по формуле трапеций интеграла
я/2
F = 2jrJ ? (a cos9, a sine, /)sin9d9.
Поток F изображен в логарифмическом масштабе как функция
от / для случая I на рис. 9.4а и для случая II на рис. 9.46.
В обоих случаях поток F практически равен нулю (как и
должно^ быть) до момента времени / = а/с, когда приходит на-
начальный импульс. Далее облако светится с интенсивностью,

§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
253
которая с течением времени меняется, как это показано на ри-
рисунке. Сначала кривая F от t носит переходный характер, а за-
50
20
10
а=-0,4904 ±
±0,0003
Отрезок построен
по точкам методом
наименьших квадратов
Рис. 9.4а. Зависимость от времени светового потока, излучаемого облаком,
радиус которого равен удвоенной средней длине свободного пробега;/= 18,
а = 2.
100
50-
20-
10 -
-
Gf--0,/5/5±x
±0,0001
Отрезок not
no точкам
наименьших
i t i
квадратов
i i
8 Ю
t
12 И
Рис. 9.46. То же, что на рис. 9.4а, но для облака, радиус которого равен
учетверенной средней длине свободного пробега; /==10, а = 4.
тем становится очень близкой к экспоненте с отрицательным
показателем.
На рис. 9.5 показана для случая II объемная плотность
ф = ф(г, t) как функция от г в различные моменты времени.

254
ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
Ч. II
500]-
На трех первых кривых ясно виден разрывный фронт излуче-
излучения при г = ct. Колебания позади фронта, по-видимому, не со-
соответствуют действительности, а появляются в результате по-
погрешности аппроксимации
1000 с i конечноразностных урав-
уравнений. После / = а/с рас-
распределение становится
гладким и приближается
к стационарному.
Мы не имеем точных
данных для сравнения с
полученными результата-
результатами, однако их точность
можно оценить при помо-
помощи различных косвенных
методов. Во-первых, это
различные проверки, свя-
связанные с самим расче-
расчетом. Например, общее
число фотонов N в обла-
Рис. 9.5. Плотность фотонов
в облаке как функция радиуса
в различные моменты времени.
ке в момент времени t можно получить либо как интеграл по
пространству от объемной плотности
либо как интеграл в фазовом пространстве от плотности в нем
последний интеграл берется по площади всего полукруга
х2 + У2 ^ а2, У ^ 0. Значения N\ и Afo, конечно, должны быть
равны. После каждого цикла машина вычисляла N\ и N2 (по
формуле трапеций) и печатала их. В промежутке времени
0 ^ t ^ а/с, когда фронт разрыва двигался наружу, имелось
очень большое различие между /Vi и N2, но далее согласование
было лучше. Для расчета, показанного на рис. 9.4а, разница

§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ 255
между N\ и N2 составляла приблизительно
15 о/о для t = a/Bc),
3% для t = a/c,
1,6% (в среднем) для a/c<t<2a/c.
Если учесть, что количество точек сетки было невелико A8 на
радиус), то такое расхождение не явится неожиданностью.
Кроме того, есть некоторые основания считать, что даже это
расхождение большей частью обусловлено неудачным масшта-
масштабом (потерей значащих цифр), а не погрешностью аппроксима-
аппроксимации, так как когда для участка 4 ^ t ^ 6 вычисления были
проведены после смены масштабов, то среднее расхождение ме-
между Ni и N2 на этом участке составило только 0,4%.
Другая проверка, связанная с самим расчетом: величина
= N+ J Fdt
должна быть постоянной из-за сохранения числа фотонов при
t ^ а/с, т. е. после того, как член с источником исключается из
уравнения. Если для вычисления N в последнем равенстве ис-
использовать N2, то величина Т окажется почти постоянной; для
расчета, показанного на рис. 9.4а, среднее отклонение Т от ее
среднего значения для а/с <. t <2а/с составило 0,11%. Это,
между прочим, свидетельствует о том, что N2 (интеграл по фа-
фазовому объему) обеспечивает более точную оценку N, чем Ni
(интеграл по обычному объему).
Вторым способом проверки точности вычислений является
изменение пространственной сетки. Был сделан расчет с более
грубой сеткой, чем сетка, использованная при получении резуль-
результатов, показанных на рис. 9.4а: / = 12 вместо 18. Результаты
везде хорошо согласуются с полученными ранее, за исключением
непосредственной окрестности момента t = a/cy где внезапное
начало свечения было несколько менее резким, чем при / = 18.
Для t > а/с обе кривые с точностью около 0,5% имеют одина-
одинаковую форму, однако кривая для / = 12 всегда лежит ниже кри-
кривой для / = 18 примерно на 2,5%.
Еще одной оценкой точности метода является исследование
асимптотического поведения решения при больших значениях t.
Если мы возьмем в качестве решения уравнения (9.30)
W(x, у, t) =y?0(x,y)eat (такое решение называется собственным
колебанием), то можно показать, что соответствующая функция
плотности
г

256
ГЛ. 9. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА
Ч. It
(ср. с уравнением (9.32)) является решением известного в тео-
теории переноса интегрального уравнения
а
Фо E) = К J E ((or + ф) | 5 - г |) Фо (г) dr, (9.34)
где
= а
, ? (д) = J («г
Фундаментальное решение уравнения (9.34) можно получить
при помощи обычных численных методов, которые дают реше-
решение со столь малой погрешностью, что в настоящих рассужде-
рассуждениях оно может считаться точным.
0,5
Ф0(г)(из интеграль-
— уравнения)
Рис. 9.6. Асимптотическое распределе-
распределение плотности в фазовом пространстве:
зависимость Ф от г при большом фи-
фиксированном, значении /. Кривая соот-
соответствует точному решению интеграль-
интегрального уравнения (9.34).
Обычно предполагается, что общее решение уравнения пере-
переноса (9.30) представляется в виде линейной суперпозиции от-
отдельных собственных колебаний. Для больших значений t пре-
преобладает основное собственное колебание, т. е. то, для которого
значение а является наибольшим, и асимптотическая форма ре-
решения имеет вид1)
и соответственно
Ф(г, *)~
]) В работе Ленера и Уинга [1955] показано, что в аналогичной задаче для
слоя сделанное выше предположение будет ошибочным, однако выводы ос-
основанные на нем, остаются в силе. Ленер и Уинг получили общее решение для
слоя в виде линейной суперпозиции конечного числа собственных колебаний и
добавочного члена, который с ростом / убывает быстрее, чем любое из соб-
собственных колебаний. Нортон [1962] показал, что для сферы существует беско-
бесконечное множество собственных колебаний.

§ 9.19. МЕТОД ПРЯМОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ
257
Исследование численного решения, изображенного на
рис. 9.4а, показывает, что при 4 < / < 6 убывание является
точно экспоненциальным с константой убывания а = —0,4904.
На основании этого предположим, что асимптотическая форма
решения достаточно хорошо устанавливается при t=4y и сравним
Рис. 9.7. Асимптотическое распределение плотности в фазовом пространстве:
зависимость ?0 от х при различных значениях у и при большом фикси-
фиксированном значении /.
его с точным решением уравнения (9.34). Точное значение а,
полученное из уравнения (9.34), равно —0,4925 и совпадает
с приведенным выше значением с точностью до долей процента.
На рис. 9.6 для одного из расчетов сравнивается зависимость
Ф(г, t) от г при t = 5 с фундаментальным решением Фъ(г) урав-
уравнения (9.34), нормированным надлежащим образом. Расхожде-
Расхождение не превышает процента, за исключением точки на поверх-
поверхности г = 2, где оно составляет 5%.
Учитывая грубость применяемой сетки, можно считать, что
асимптотическое поведение нашего решения в точности таково,
как требуется.
Q Зак. 1300

2g8 ГЛ. 9. УР\ВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА Ч. II
Асимптотическое распределение в фазовом пространстве, по-
полученное численным способом, представлено на рис. 9.7, где вы-
вычерчены графики зависимости ^(х, у) от х при различных зна-
значениях у.
В заключение отметим основные моменты, характерные для
рассмотренного метода.
1. В координатах ху у свободный пробег нейтрона опреде-
определяется условием у = const.
2. В пространстве переменных х, у, t выбирается прямоуголь-
прямоугольная сетка.
3. Шаг Д/ выберется равным Дх/и, и уравнение интегрируется
вдоль характеристик (траекторий в пространстве координат-
времени).
4. Дробные интервалы сетки по х вблизи поверхности сферы
специально выбираются, чтобы обеспечить точность второго по-
порядка.
5. Член Ф, описывающий поток, центрируется по времени
с помощью итерации.
6. Если источник имеет особенности, то следует по крайней
мере первое рассеяние рассчитать аналитически, чтобы полу-
получить для источника более гладкое распределение.

Глава 10
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
§ 10.1. Физические основы
В этой главе мы остановимся на задачах о малых колеба-
колебаниях жидкости (газа). Вязкость предполагается пренебрежимо
малой, такой же предполагается теплопроводность всюду, кро-
кроме последнего параграфа. Объемные силы, если таковые
имеются, предполагаются уравновешенными градиентом стати-
статического давления.
Пусть ро, Ро — статическое давление и плотность, и пусть
P = f(p)—уравнение состояния при адиабатических сжатии и
расширении. Предположим, что f'(p)>0, и положим /'(ро) = с2;
величины роу ро, с2 могут зависеть от х, у, z, но не от U Если
S = ё(ХуУ,г)—объемная сила, отнесенная к единице объема,
то мы предположим, что g — Vpo = 0 (статическое равновесие).
Если давление и плотность равны ро-{~р и ро + р, где р <^С Ро и
р «Сро, то с точностью до величин первого порядка
Если v = v (л:, г/, г, t) — скорость жидкости, то уравнение дви-
движения имеет вид
Podv/dt= — Vp,
а уравнение неразрывности с точностью до величин первого по-
порядка малости записывается как
Далее,
dp/dt = с2 (dp/dt) = — p0c2V • v
и поэтому
3W 2V(l/)V A0.1)
Уравнение A0.1)—это общее линейное волновое уравнение,
к которому и применяются конечноразностные методы этой
главы. Но в примерах и исследовании устойчивости мы ограни-
ограничимся случаем одномерного движения с постоянными р0 и с2.
В этом приближении смещение, скорость, ускорение, плотность
и т. д. удовлетворяют уравнениям одного и того же вида.

260 гл- Ю- ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ Ч. II
Например, если y = y(x,t) означает смешение (это обычный
выбор зависимого переменного), то мы имеем
d2y/dt2 = с2 (д2у/дх2), с2 = const > 0. A0.2)
Уравнение этого вида называется волновым уравнением. Пред-
Предположим, что заданы начальные условия
и условие периодичности
y(x,t) = y(x + L,t)
вместо граничных условий. Для читателя будет очевидным, как
распространить исследование устойчивости на многомерные слу-
случаи, если ро и с2 остаются постоянными и периодичность сохра-
сохраняется, и как обобщить конечноразностные уравнения на общий
случай переменных р0 и с2.
§ 10.2. Обычное конечноразностное уравнение
Это уравнение имеет вид
уп+1 _ 2уп + уп-х = {с щЬхУ (у*+1 - 2у« + */«_,)> A0-3)
и чтобы включить его в общую схему гл. 4, может показаться
заманчивым положить v = dy/dt и заменить уравнение A0.2)
системой
dv/dt = с2 (д2у/дх2), ду/dt = v.
Однако это нецелесообразно, потому что если у и v рассматри-
рассматривать как компоненты вектора и(х, t) и взять (как это делалось
в гл. 4) в качестве нормы соответствующего элемента и е 3$ ве-
величину
ГL lv*
N11= JdtfP + luRrf* ,
то оператор E0(t) будет неограниченным и краевая задача бу-
будет поставлена некорректно. Это можно увидеть, рассматривая
простые стоячие волны
/, = sin Bnnx/L), /2 = 0,
для которых решение u(t) получается легко; мы находим, что
и м/л и г
= /cos2 {2nnct/L) + Bnnc/LJ sin2 {2nnct/L),

§ 10 2. ОБЫЧНОЕ КОНЕЧНО РАЗНОСТНОЕ УРАВНЕНИЕ 261
но эта величина может быть сделана сколь угодно большой над-
надлежащим выбором п и /. Этот пример показывает просто, что
выбор нормы входит в понятие корректной постановки краевой
задачи и что мы выбрали норму неподходящим образом.
Лучшим способом является введение вспомогательной функ-
функции w = сду/дх и замена уравнения A0.2) системой
dv/dt = с (dw/дх), dw/dt = с (dv/dx), A0.4)
когда в качестве нормы берется
Ь1 -1V1
[(|ш|2 + М2)Лс .
Теперь оператор E0(t) ограничен: действительно, его верхняя
грань равна 1, потому что норма ||«(/I1 постоянна для каждого
решения в силу закона сохранения энергии (квадрат этой нор-
нормы пропорционален энергии волнового движения в области
0 < х< L).
Заметим также, что довольно очевидная разностная схема
= с (ш?+1 - w«_x)lB Ах),
- wfjjbt = с (i>»+1 - с7_,
является неустойчивой, если отношение А//(АхJ не остается
ограниченным при А/, Ддг->0. Такое ограничение является прак-
практически неудобным, и мы отказываемся от этой схемы.
Чтобы избежать разностных отношений с двойным простран-
пространственным интервалом 2Дх, мы будем впредь связывать значе-
значения w со средними точками интервалов и писать ^/+1/j и т. д.
Это только вопрос обозначений. Иногда так же трактуют и раз-
разностные отношения по времени, вводя дробные верхние индек-
индексы, в результате чего уравнения становятся более симметрич-
симметричными и улучшается центрирование. Однако мы будем этого из-
избегать, чтобы как можно меньше отклоняться от обозначений,
введенных в гл. 4.
Схема
эквивалентна обычной схеме A0.3), если отождествить
Vj с (у1} - г/«-')/Л/,

262 гл. ю. звуковые волны ч. и
Это одна из схем, исследованных Курантом, Фридрихсом и
Леви [1928] в статье, в которой впервые было введено понятие
устойчивости.
Матрица перехода для системы A0.5) имеет вид
где а = Bс Д//Дх) sin (k Дх/2). Характеристическим уравнением
для G является
X2 -Л B -а2) +1=0.
Если а2^. 4, то оба корня этого уравнения по модулю равны 1.
Очевидно, мы можем предположить, что
с Д^/Дл; = const при М, Дл;->0,
и тогда в силу определения а мы видим, что условием фон Ней-
Неймана будет неравенство
Достаточное условие устойчивости было получено в § 4.11.
Если Vi и v2—нормированные собственные векторы G, то мы
находим, что |det(vi, v2) | ограничен снизу положительным чис-
числом для всех действительных k, и поэтому уравнения устойчивы
в силу приведенной там теоремы, если сД//Дл;<;1. При
сД//Дл: = 1 система A0.5) неустойчива; чтобы показать это, до-
достаточно взять неограниченное решение
0» = (_!)»+/(! —2/2), w^f^i-lf*12n.
Столь медленный рост ошибок, по-видимому, не принес бы вре-
вреда на практике, но малые возмущения, как было отмечено
в § 5.2, могут сделать этот рост более значительным. Однако
точное равенство сД/ = Дл; не имеет смысла для реальных вы-
вычислений, когда коэффициент с может быть переменным и в лю-
любом случае известен только с конечным числом десятичных
знаков.
§ 10.3. Неявная система
Система
2 Их
Д/ с 2Д*

§ 10.4. ОДНОВРЕМЕННОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА II ТЕПЛА 263
эквивалентная система второго порядка
2
(А/J ~и 4 (АхJ
имеет матрицу перехода
1 - а2/4 la
1 + а2/4 1 + а2/4
la 1 - а2/4
+ а2/4 1 + а2/4
Оба собственных значения G по модулю равны 1, a G*G — еди-
единичная матрица, так что система A0.6) безусловно устойчива.
Из уравнения A0.7), очевидно, следует, что решение этой не-
неявной системы может быть получено с помощью алгоритма, дан-
данного в гл. 8 для решения неявных систем, аппроксимирующих
уравнение диффузии. Поэтому уравнения A0.6) образуют прак-
практически удовлетворительную систему для волнового уравнения.
§ 10.4. Одновременное распространение звука и тепла
В потоке сжимаемой жидкости часто наблюдается заметное
изменение температуры от точки к точке, и перенос энергии по-
посредством теплопроводности может оказать значительное влия-
влияние на движение. Тогда параболическое уравнение теплопровод-
теплопроводности присоединяется к гиперболическим уравнениям движения
жидкости и оба процесса должны рассчитываться одновремен-
одновременно. Это же имеет место и при бесконечно малых или акустиче-
акустических колебаниях и обусловливает поглощение ультразвуковых
волн.
Пусть давление, удельный объем и удельная внутренняя
энергия суть р0 + р, V0+Vn80 + 8t где рОу Vo и 80 — невоз-
невозмущенные величины и р <S ро, V <С 1/0, 8 <С <§ъ> и пусть и —
скорость частиц. Величины р, Vx 8 и и являются функциями от
х и ty а с= УPqVq представляет собой изотермическую скорость
звука. Будем считать, что уравнение состояния имеет вид
и обозначим через а отношение коэффициента .теплопроводно-
.теплопроводности к удельной теплоемкости при постоянном объеме.
Если ввести вспомогательные зависимые переменные w =
= cV/VQ и е = 81с, то дифференциальные уравнения с точностью

264 гл. ю. звуковые волны ч. и
до малых величин первого порядка примут вид
ди д г / 1\ 1
¦jj—c^. [а, _(„-!)«,],
а/ —сг а*2 ""с"а7'
Конечноразностные уравнения для этой системы можно
строить различными способами. Простой явной системой яв-
ляется
«i+i - «1 . <+¦/, - «>"-¦/, - (V - ')(«?+¦& - ^"-уг)
• = ог
А/ (Дд:J и Да:
Значения и из верхнего слоя использованы во втором и в треть-
третьем уравнениях с той же целью, что и во втором уравнении
системы A0.5) при отсутствии теплопроводности (напомним,
что это было необходимо для получения приемлемого условия
устойчивости в задаче о звуковых волнах). Несмотря на это си-
система A0.9) будет в действительности явной, потому что сна-
сначала можно решить первое уравнение и найти значения
u*+l и «»+/, необходимые для двух других уравнений.
Эта система оказалась удовлетворительной. Если звуковые
волны и распространение тепла разъединены, то соответствую-
соответствующими условиями устойчивости являются неравенства
<У2. A0.10)
Конечно, эти условия являются необходимыми. В пределе, ко-
когда Д/-^0 и Аде—>О, выполнение второго из этих условий влечет
за собой выполнение первого, и можно. вообще предположить,
что именно оно и является условием устойчивости. В реальных
вычислениях нужно, конечно, выбирать Дл: и Д/ так, чтобы они
удовлетворяли как первому, так и второму условию.
Чтобы избежать малости шага по времени, требуемой усло-
условиями A0.10), часто применяют неявную схему третьего диффе-
дифференциального уравнения; например,
(Да:J С Д^ » (Ш.П)

§ 10.4. ОДНОВРЕМЕННОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА И ТЕПЛА 265
первые же два уравнения системы A0.9) остаются без изме-
изменения.
В первом издании книги предполагалось, что для этой си-
системы условием устойчивости должно быть неравенство
cAt/Ax < 1. При этом использовалась изотермическая скорость
звука с, потому что при неустойчивости обычно возрастают воз-
возмущения с очень малой длиной волны, а для них время уста-
установления теплового равновесия от вершины до впадины меньше,
чем период волны. Это время пропорционально квадрату длины
волны А,; сжатия и разрежения в волновом движении при
1« а/с в гораздо большей степени являются изотермическими,
чем адиабатическими.
Правильность этого предположения подтвердил Моримото
,[1962]. Однако в пределе при а->0 условием устойчивости бу-
будет более сильное неравенство YycAt/Ax<l, и это наводит на
мысль о том, что в случае конечной сетки, когда нельзя считать,
что Дл; <С о/с, существует практическое условие устойчивости,
в которое входят две безразмерные постоянные
v = с At/Ax, [1 = оЩЬхJ A0.12)
и у\ вероятно оно должно быть промежуточным между приве-
приведенными выше условиями, а именно должно иметь вид v < vo,
где vo есть некоторая функция от у и ц, значения которой лежат
между l/V^ и 1.
Чтобы отыскать это практическое условие устойчивости, вос-
воспользуемся сформулированным в § 9.7 положением о том, что
степень роста компонент Фурье приближенного решения не
должна превосходить максимально возможной степени роста
точного решения. Так как амплитуды звуковых волн в точном
решении не возрастают (в действительности для рассматривае-
рассматриваемой задачи благодаря действию теплопроводности они убывают,
но для длинных волн это убывание незначительно), для множи-
множителя перехода g вместо условия |g|4^1 + О (At) должно быть
\g\ < 1- Уравнение для g имеет вид
g — 1 — 2iv sin a 2iv (у — 1) sin а
— 2igv sin а g — 1 0
2/gvsina 0 g— 1 +2цA — cos2a)g
где a = (\/2)kAx. Требование, что \g\ ^ 1 для всех a, приво-
приводит к неравенству
^ 2|i), A0.13)
=0,
которое является практическим условием устойчивости; в § 6.4
было показано, что это условие является также достаточным

266
ГЛ. 10. ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
Ч. II
для устойчивости в том смысле, что если оно выполняется, то
некоторая положительно определенная квадратичная форма от
и, до, е и Д+е;- = ej+i — ej остается ограниченной на всем времен-
временном интервале.
Как и предполагалось, неравенство A0.13) показывает, что
устойчивость определяется адиабатической скоростью звука при
|i'4C 1, изотермической скоростью звука при \х > 1 и промежу-
промежуточной скоростью при jj, ^— 1.
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
п
_ \
-
-
-
-
-
-
i i i
ч
\
\
\
\
\
1 1 1 ^^Н-
20 30 40 50
60
j
70 80 90 W0
Рис. ЮЛ. Профиль скорости, рассчитанный для разрывной в начале зву-
звуковой волны при наличии теплопроводности; 165 шагов по времени; v = 3,0:
\i= 1,1547; v = 0,57735 = с Д//Длг.
В одной серии вычислений разностные уравнения (первые
два из системы A0.9) и уравнение A0.11)) были применены для
расчета распространения волны, которая задавалась как про-
простой скачок или бесконечно малый удар (бесконечно малый
в том смысле, что применимы линеаризованные уравнения. Та-
Такая волна распространяется со скоростью УТС> а профиль ее
постепенно размазывается таким образом, что напоминает ин-
интегральную кривую нормального распределения
и зона размазывания увеличивается как j/T. Для этого случая
известно также приближенное (но достаточно хорошее) анали-
аналитическое решение.
На рис. 10.1 показан профиль, получившийся в устойчивом
расчете после 165 шагов по времени, а на рис. 10.2 приведены
значения, полученные в неустойчивом расчете всего лишь после
пяти шагов по времени; в обоих расчетах было выполнено обыч-
обычное условие устойчивости сМ/Ах<1. Рис. 10.3 обобщает ре-

§ 10.4. ОДНОВРЕМЕННОЕ РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА И ТЕПЛА
267
зультаты всей серии расчетов: каждая точка указывает значе-
значения \i и v, для которых расчет оказался устойчивым, а каждый
Рис. 10.2. Тот же профиль; 5 шагов по времени; практический критерий
устойчивости A0.13) не выполняется, хотя величина с At/Ах и не превосхо-
превосходит единицы; у = 3,0; \i = 0,447846; v = 0,746410 = с At/Ax.
крестик указывает значения, для которых расчет оказался не-
неустойчивым; кривая описывает максимально допустимые значе-
значения v как функцию от v/ji, согласно условию A0.13). Видно, что
Рис. 10.3. Диаграмма устой-
устойчивости для задачи об одно-
одновременном распространении
звука и тепла при у = 3.
При расчетах вариант считался
устойчивым, если после примерно
100 шагов по времени профиль ско-
скорости еще оставался таким же глад-
гладким, как на рис. 10.1, и неустойчи-
неустойчивым, если значение |му| в какой-
либо точке превосходило 3,0 (если
такое превышение имело место, то
оно всегда проявлялось на первых
пяти шагах по времени); <:-изомет-
<:-изометрическая скорость звука, са~ адиа-
адиабатическая скорость звука, # —
устойчивый вариант, X — неустой-
неустойчивый вариант.
Теорети-
0,5
1,0
К5
2,0
наблюдаемая в расчетах устойчивость согласуется с полученной
теоретически. Расчеты, отвечающие двум точкам на кривой, для
которых неравенство A0.13) заменяется точным равенством,
также оказались устойчивыми.

268 гл. ю. звуковые волны ч. и
Чтобы понять сущность такого типа неустойчивости, рас-
рассмотрим расчет с v = cAf/Дл; = 0,9 и у = 3. Согласно обычно-
обычному критерию, это — устойчивая схема, и при А/—>О имеет
место сходимость. Однако если At таково, что \х также равно
0,9 (именно этот случай был выбран для иллюстрации), то, со-
согласно приведенному выше характеристическому уравнению,
g « —2,6 для компоненты Фурье с k&x = я; следовательно, эта
компонента возрастает в тысячу раз менее чем за 10 шагов по
времени. Чтобы добиться устойчивости при условии сД//Дл; =
= 0,9, Ajc и А? необходимо умножить примерно на 0,25, так что
останется в силе неравенство A0.13).
Другой подход состоит в том, что сохраняется явный харак-
характер разностных уравнений, но третье уравнение решается с бо-
более мелким шагом по времени, чем первые два, например с ша-
шагом А///С, где К — натуральное число. Тогда каждый шаг реше-
решения гидродинамических уравнений сопровождается К шагами
решения уравнения теплопроводности. Этот алгоритм можно
записать с помощью дробных верхних индексов:
n+(m+l)//C _ п+т/К рп+т/К _ <>рп+т1К « рп+т/К „п+\ _ „п+\
д///с (Д*J ^x
m = 0, 1, ..., K-l.
Предполагается, что в этом случае условие устойчивости опре-
определяется неравенствами
§ 10.5. Практический критерий устойчивости
Приведенный выше пример и подобные ему в § 9.7 и 11.6
показывают, что устойчивость, как она обычно определяется,
не всегда равнозначна практической ценности метода. Из устой-
устойчивости следует сходимость в пределе при Д/->0, если выпол-
выполнены предположения теоремы Лакса об эквивалентности, но
может случиться, что несмотря на это для конечных значений
Д?, используемых на практике, ошибки неприемлемо возра-
возрастают. Чтобы ни одна из компонент Фурье приближенного ре-
решения не могла расти быстрее, чем максимально растущее точ-
точное решение, необходимо наложить некоторое ограничение на
константу, характеризующую член О (А/) в условии фон Ней-
Неймана |g|^ld-O(A/).
, Согласно § 4.3 компонента Фурье точного решения имеет
вид
u(k, 0 = e'p«k)u(k, 0), A0.14)

§ 10.5. ПРАКТИЧЕСКИЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ 269
где Р = P(q) = P(q\, ..., qd)—введенная там же матрица, эле-
элементы которой являются полиномами от q\ = д/дх{ и которая
определяет дифференциальный оператор А системы уравнений
du/dt = Аи. Пусть т = Max [Re К (X — собственное значение мат-
матрицы P(ik)], где максимум берется по всем действительным век-
векторам к и всем собственным значениям для каждого к; тогда
решение не может расти быстрее, чем функция emtt возможно,
умноженная на полином от t. Поэтому для собственных значений
матрицы перехода G мы возьмем в качестве модифицированного
условия фон Неймана неравенство
Можно спросить, не является ли условие A0.15) слишком
строгим и не исключает' ли оно для некоторых задач все воз-
возможные схемы, но это представляется маловероятным в силу
теоремы Крайса о диссипативных схемах для симметричных
гиперболических систем (§ 5.4), где т = 0 и где в действитель-
действительности требовалось, чтобы |g|<l для всех &, кроме к = 0.
В самом деле, вполне может быть, что критерием приемлемости
схемы порядка точности 2г — 1 является условие
для некоторого б > 0 и для всех векторов \
..., &<zA*d), компоненты которых заключены между —я и я.
Недостаточность обычной теории в некотором смысле состоит
в том, что она не определяет значений ни /п, ни б. Теперь мы
определили т^ а б, вероятно, всегда должно быть величиной
порядка 7г V& п~2г*

Глава 11
УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
§ 11.1. Поперечные колебания тонкого стержня
Задачи динамической теории упругости ставят перед числен-
численным анализом некоторые интересные вопросы, которые мы про-
продемонстрируем на простых одномерных задачах. Предположим,
что прямой тонкий стержень (или балка или струна) длины L
с опертыми или заделанными концами приведен в колебание.
Допустим, что деформации остаются все время малыми, так что
Рис. 11.1. Деформированный
упругий стержень с опертыми
концами и воображаемое сече-
сечение, рассматриваемое
в тексте.
применим закон Гука. Для этого требуется, чтобы радиус кри-
кривизны кривой, по которой изогнут стержень, был значительно
больше, чем радиус поперечного сечения стержня. Для струны
это не означает ее близости к прямой: струну рояля можно за-
завязать узлом, не переходя предел упругости. Чтобы линеари-
линеаризовать задачу, мы, однако, будем в дальнейшем предполагать,
что стержень остается близким к прямой и что амплитуда коле-
колебаний мала. Мы будем также предполагать, что колебания яв-
являются поперечными, и обозначим через у = y(x,t) смещение от
положения равновесия на расстоянии х от одного из концов
стержня. В этих обозначениях предположения, ведущие к ли-
линейности, записываются так: \у(х, t) | <^C L, \ду(х9 t)/dx\ <C 1.
Если стержень разбить на две части воображаемым сече-
сечением, показанным на рис. 11.1 штриховой линией, то левая
часть будет действовать на правую с некоторой силой F и кру-
крутящим моментом М. Мы предполагаем пока, что в стержне от-
отсутствуют продольные усилия; тогда сила F является попереч-
поперечной. Если выбрать положительное направление F вдоль оси г/,
а положительное направление М против часовой стрелки, то
упругие свойства стержня можно выразить уравнениями
т * дх*> р— 7х дх* '

§ 11.1. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКОГО СТЕРЖНЯ 271
где к—положительная величина, зависящая от материала и
поперечного сечения стержня. Момент и сила, с которыми пра-
правая часть действует на левую, очевидно, равны —М и —F.
Поэтому сила, действующая на отрезок длины б/, равна величи-
величине —8ldF/dx\ следовательно, уравнение движения имеет вид
I1 dt2 ~ дх2 К дх2 '
где \i= \х(х) —линейная плотность стержня.
Мы дополнительно упростим задачу, предполагая, что к и
[а постоянны. Тогда уравнение принимает вид
Э & A1.1)
Типичным граничным условием является условие «свободной
опоры», согласно которому опоры препятствуют поперечному
смещению, но не влияют на вращающие моменты, т. е.
у = 0, 0 = 0 при х = 0 и x = L. A1.2)
Чтобы переписать уравнение A1.1) как два уравнения пер-
первого порядка по времени, положим v = dy/dt и w = ад2у/дх2\
тогда
dv d2w dw d2v ,, , оч
Разностные уравнения, которые мы будем рассматривать, могут
быть применены либо к уравнению A1.1), либо к системе
A1.3).
Заметим попутно, что вследствие характера граничных усло-
условий A1.2) они могут быть заменены условиями периодичности
и нечетности, а именно
У(х, t) = y(x + 2L, t) = -y(-x9 /), A1.2а)
для функций, которые теперь определены для всех действитель-
действительных х. Это доказывается следующим образом. Дифференциаль-
Дифференциальные уравнения A1.3) инвариантны относительно преобразова-
преобразований х + 2L -* х и — х —> х. Поэтому за начальные значения
v(x90) и w(XyO) можно принять два любых нечетных тригоно-
тригонометрических полинома с периодом 2L, и полученное при этом
точное решение будет также инвариантно относительно этих
преобразований. Таким образом, единственное решение у (xtt)
уравнения A1.1), удовлетворяющее условиям A1.2а), опреде-
определяется через ад2у/дх2 = w. Эта функция у в силу симметрии
удовлетворяет также условиям A1.2). Иначе говоря, две крае-
краевые задачи (с граничными условиями A1.2) и с граничными

272 ГЛ. И. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ Ч. II
условиями A1.2а)) обладают разрешающими операторами E0(t),
которые совпадают на нечетных тригонометрических полиномах.
Теперь обе краевые задачи поставлены корректно (мы опускаем
доказательство) в банаховом пространстве .$, состоящем из пар
J (|и I2+I w \2)dx\ ,
так что E0(t) ограничены для обеих задач. Далее, нечетные три-
тригонометрические полиномы образуют плотное в 3$ множество, и
поэтому обобщенные разрешающие операторы E(t) для обеих
задач идентичны, что и требовалось доказать.
Свойства простых конечноразностных систем для этой задачи
столь сходны со свойствами систем для волнового уравнения,
приведенных в предыдущей главе, что мы остановимся на них
весьма кратко.
§ 11.2. Явные разностные уравнения
Если применять разности по времени вперед в обоих урав-
уравнениях A1.3), то получающаяся разностная система будет не-
неустойчивой, если Д/ не стремится к нулю как (Ал:K, и поэтому
является неудовлетворительной.
Если брать одну разность по времени вперед, а другую на-
назад, то мы получим систему
_
~ п
М ~ п (Да:J
—Г._ (*2v)i+l
(Да:J '
которая эквивалентна разностному уравнению
(д/J ^~~~а2!му~> (IL5)
составленному для уравнения A1.1), и является явной. Погреш-
Погрешность аппроксимации для уравнения A1.5) равна О((Д/J) +
Если для краткости ввести обозначение
[4а Д//(Д*J] sin2 (k ^x/2) = со,
то матрица перехода для системы A1.4) будет иметь вид
1 со
k — со I — со2

§ 11.3. НЕЯВНАЯ СИСТЕМА 273
Собственные значения матрицы G равны по модулю единице
при |о)|<2, следовательно, если мы предположим, что А/—>О
как (АхJ, то необходимым для устойчивости условием фон Ней-
Неймана будет неравенство
Достаточное для устойчивости условие может быть получено
из доказанной в § 4.11 теоремы точно так же, как и для соот-
соответствующей системы, аппроксимирующей волновое уравнение.
Действительно, с точностью до обозначений указанная выше
матрица G с помощью унитарного преобразования приводится
к виду D.20). Если Vi и v2 — нормированные собственные век-
векторы матрицы G, то нетрудно показать, что |det(ui, V2) |2 =
= 1—(со2/4); эта величина ограничена снизу положительной по-
постоянной для всех действительных k, если
следовательно, это неравенство является достаточным усло-
условием устойчивости для системы A1.4)
§ 11.3. Неявная система
Из многих мыслимых неявных систем мы рассмотрим одну,
аналогичную системе A0.6) для волнового уравнения, а именно
систему
_
п
Д/ —" 2 (Да:J
Матрица перехода для этой системы имеет вид
Г 1 — со2/4 со
1 + со2/4 1 + со2/4
G= — со 1 — со2/4
- 1 + со2/4 1 + со2/4 J
и, как нетрудно видеть, является унитарной. Поэтому 1) соб-
собственные значения G лежат на единичной окружности, и ус-
условие фон Неймана всегда выполнено, 2) матрица G нор-
нормальна, и условие фон Неймана достаточно для устойчивости.
Следовательно, система A1.6) всегда устойчива. Погрешность
аппроксимации эквивалентного уравнения второго порядка (по

274 гл. и. упругие колебания ч. и
времени) для функции у равна О((Д/J) + О((Дл;J), так же
как для явной системы, исследованной в предыдущем пара-
параграфе.
§ 11.4. Достоинства неявной системы
Задача о поперечных колебаниях стержня является приме-
примером задачи, в которой применение неявной системы действи-
действительно оправдано. Погрешность аппроксимации имеет одинако-
одинаковый порядок относительно Д/ и Да; как для системы A1.6), так
и для системы A1.4).Поэтому, если требуется повышенная точ-
точность, то с точки зрения точности нужно уменьшать Д/ в той
же мере, чго и Дх; условие же устойчивости для явной систе-
системы требует, чтобы Д/ убывало как (Да:J. Это, очевидно, при-
приводит к применению значительно большего числа шагов по вре-
времени, чем это диктуется соображениями одной лишь точности.
Далее, может возникнуть опасность, что разности, которые нуж-
нужно прибавлять в vn и доп, чтобы получить vn+i и шп+1, могут
получиться столь же малыми, как и возмущения, возникающие
за счет ошибок округления. Неявная система свободна от этого
недостатка.
§ 11.5. Решение неявных уравнений
произвольного порядка
Алгоритм для решения уравнений неявной системы A1.6)
аналогичен таковому для неявных систем, встречающихся в за-
задачах теплопроводности и распространения звуковых волн, но
в то же время система A1.6) обладает достаточным количест-
количеством новых свойств, что оправдывает ее рассмотрение. Если со-
составить эквивалентную систему для уп^\ то теперь в матрице
коэффициентов системы не обращающиеся в нуль элементы
будут расположены не на трех, а на пяти диагоналях.
Типичное уравнение совместной системы может быть запи-
записано как пятичленное рекуррентное соотношение для уп+[ или
два трехчленных рекуррентных соотношения для у*+1 и ш^+1.
Мы возьмем последнюю интерпретацию и введем, двумерный
вектор
Тогда из системы A1.6) легко усмотреть, что рекуррентное со-
соотношение (после умножения на Д/) имеет вид
-?>;_,==(!/, /=1, 2, ..., /-1 (Ц.7)

§ 11.5. РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА ?75
(отметим сходство с уравнением (8.15) в исследовании уравне-
уравнения диффузии), где Aj, Bj и Cj — матрицы второго порядка
1
аМ
L (д*)«
О
1 аМ
аМ
(А*J
1
L 2 (Да:J
2 (Да:J
О
a dj — заданный вектор. Заметим, что в данной задаче Aj, Bj и
Cj не зависят от / и что Л = С, В = / + Л + С.
Чтобы получить алгоритм, применимый к более общим зада-
задачам, мы не будем использовать этих специальных свойств дан-
данных матриц. Этот алгоритм можно будет применять также к
задачам, в которых вектор Uj имеет любое число компонент.
Предположим что матрицы Aj, Bj и Cj невырождены.
Граничные условия на свободно опертых концах стержня
дают равенства u0 = Uj = 0, но мы допустим, что заданы более
общие граничные условия, связывающие и и ди/дх на каждом
конце, а именно
ио = Яи1 + 1, A1.8)
Uy_1 = Muy + n, A1.9)
где Н и М — некоторые заданные матрицы, а 1 и п — задан-
заданные векторы. Граничные условия еще более общего вида будуг
рассмотрены ниже.
Теперь система A1.7) и условие A1.8) определяют двухпа-
раметрическое семейство1) решений системы A1.7). Если дано
некоторое множество невырожденных матриц Ej и векторов fjy
то уравнения
f/, / = 0, 1, ..., A1.10)
также имеют двухпараметрическое семейство решений; эти два
семейства будут идентичны, если
= НУ f0 —
(П.11)
\-1
*) В более общем случае ^-параметрическое семейство, если мы имеем
дело с ^-мерными векторами и матрицами порядка k%

276 гл И. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ Ч. II
Последние два соотношения пслучены подстановкой ?j-iiij +
+ fj_i вместо Uj_i в систему A1.7) и решением полученных
уравнений относительно Uj, а затем отождествлением коэффи-
коэффициентов в найденном выражении для и;- с аналогичными им
в уравнении A1.10).
Как и в задаче для уравнения диффузии, уравнения A1.11)
служат для определения Ej и fj по индукции (/ = 0,1,2,...).
Индукция может продолжаться (столь долго, сколь долго мат-
матрица (Bj+i — Cj+iEj) остается невырожденной, а мы считаем,
что это условие все время выполняется) до тех пор, пока не
будут вычислены Ej и fj для /=1,2,...,/ — 1. Заметим, что
Е]у получаемые таким образом, невырождены. При вычислении
Ej нужно обращать матрицу второго порядка. Это можно сде-
сделать либо с помощью заранее заготовленных формул, либо пу-
путем обращения к имеющейся в машине специальной подпрограм-
подпрограмме; если число компонент больше двух, то последнее, вероятно,
предпочтительнее.
Векторы Uj получаются теперь по индукции для убывающе-
убывающего /. Сначала исключением ii/_i из уравнений
определяется Uj. Мы должны предположить, что матрица
?/-i — М невырожденная. Мы делаем это предположение пото-
потому, что в противном случае решение либо не существует, либо
не единственно, а это значит, что граничные условия в конеч-
норазностной форме A1.8), A1.9) были сформулированы некор-
некорректно. Затем из уравнений A1.10) решение определяется по
индукции в направлении убывания / (/=/—1,/—-2,.. .,0).
Чтобы эта схема была приемлемой, элементы матриц Ej и
компоненты векторов fj должны оставаться в пределах числовой
шкалы машины. Мы покажем сначала, что при некоторых пред-
предположениях матрицы Ej будут равномерно ограничены. Замечая,
что для матриц обращение произведения равно произведению
обращенных сомножителей в обратном порядке, мы можем запи-
записать второе из соотношений A1.11) в виде
Е, = [B,BJl (В, - ОД.,)]"' А, = [BJ1 (В, - С/5/-,)] ВТ1 А, =
Обозначив через ||М|| норму матрицы М, используем то обстоя-

§ 11.5. РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА 277
тельство1), что если ||М|| < 1, то ||(/ — М)~1\\ < A — ЦМЦ)-1,
и что \\MN\\ ^ \\M\\'\\N\\. Применяя эти соотношения к приве-
приведенной выше рекуррентной формуле для Е, и полагая
||1l = Y/» \\BTlCj\\ = 6h находим, что если 6jl|?j-i|| < 1, то
Ki-a/V»!' (ИЛ2)
Это наводит на мысль рассмотреть последовательность
Ёо> Si> • • •» заданную с помощью соотношений
?о = 1|?о11 = Н#||, 6/ = Y//A—ЛД/-0. (П.13)
так как по индукции тогда получается, что если
bfa-xKl при /=1, 2, ..., A1.14)
то
IIЯ/1КБ/ при / = 0, 1, .... A1.15)
Поэтому мы заинтересованы в том, чтобы найти такие усло-
условия, наложенные на go и на последовательности (yj), Fj), что-
чтобы 1) последовательность (gj) была ограниченной, 2) неравен-
неравенство 6jgj-f< 1 выполнялось бы для всех /. Рассмотрим простой
случай, когда Yj и 6j не зависят от /, как это имеет место для
задач с постоянными коэффициентами. Положим Yi = Y> 6i = б
и заметим, что y > 0, б > 0.
На рис. 11.2 изображен график величины
как функции от g. Преобразование
получается перемещением в направлении стрелок на чертеже.
Если кривая ?/=?/E) пересекает биссектрису координатного
угла (как это показано на чертеже), то каждая точка g, лежа-
лежащая левее точки Л, перемещается при этом преобразовании
ближе к точке В. Условием для такого пересечения является
*) Чтобы это доказать, заметим, во-первых, что / — М имеет обратную
матрицу, потому что если бы матрица / — М была вырожденной, то мы име-
имели бы det(/ — Af) = 0, и одно из собственных значений М было бы равно 1,
что противоречит условию ||Л1|| < 1. Во-вторых, если v = (/ — M)w, то
llw|| Hwl
п\\
II w
потому что HiWwII ^ HMD-MI *? llw||.

278
ГЛ. И. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ
Ч. II
неравенство \'б < 7ь и поэтому Л = A + ]/l — 4уб)/2б. Оче-
Очевидно, что если i <С А, то 6? < 1. П б
выполнены, если
Y6<l/4 и
( ] у)/
Поэтому все условия будут
VI — 4уб)/2б.
A1.16)
Если взять матрицы Л, В и С такими, как в задаче об одно-
однородном свободно опертом стержне, то условия A1.16) будут вы-
выполнены, потому что А = С и, следовательно, у = б; в част-
частности у = 8 = \\В-{А\\. Нормой ВА является квадратный ко-
Рис. 11.2. Построение для иссле-
исследования ограниченности матриц
?/, определяемых вторым равенст-
равенством A1.11) (см. также равенства
A1.13)).
в
рень из модуля наибольшего собственного значения матрицы
(В'1Л)*(ВЛ), который, как легко показать, будет равен
_»_ 1 аА//(Ал:J
~ 2 VT-
< 1/2;
(Н.17)
кроме того, граничным условием в случае свободной опоры
будет 0 = Н = ?о, и поэтому |0 = 0. Отсюда следует, что мат-
рицы Ej остаются ограниченными при неограниченно возра-
возрастающем /.
Можно коснуться вопроса и о граничных условиях более
общего вида. Пусть р будет числом компонент вектора и, так
что Aj, 5j и Cj являются матрицами порядка р. В уравнениях
A1.7) число неизвестных превосходит число уравнений на 2р.
Допустим, что половина необходимых дополнительных уравне-
уравнений (т. е. р из них) является линейными условиями на левом
конце, а вторая половина— линейными условиями на правом
конце. При этом мы предполагаем, что половина этих условий
содержит только компоненты векторов и0, иь ..., ujo, а вторая
половина—только компоненты векторов U/, U/_b ..., uj_jo, где
/о—в общем случае небольшое натуральное число, которое ос-
остается фиксированным при А* -* 0 и, следовательно, при / -> оо,

§ П.5. РЕШЕНИЕ НЕЯВНЫХ УРАВНЕНИЙ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПОРЯДКА 279
так как Ал: = L/J. Тогда в пределе эти условия превращаются
в граничные условия в том смысле, что они содержат только
значения функций и некоторых их производных при х = О или
при х = L. Предположим, что / > 2/0.
Граничные условия будем предполагать независимыми;
уравнения A17) с граничными условиями на левом конце
стержня имеют общее решение, линейно зависящее от р пара-
параметров, которые мы обозначим через Яь ..., Яр. В частности,
компоненты Uj для каждого /, т е. величины Uji (i== 1,...,/?),
являются линейными функциями этих параметров. Обозначим
через Uj матрицу, заданную соотношениями
так что
A1.18)
где Я — вектор
a gj — вектор, компоненты которого не зависят от этих пара-
параметров.
Чтобы интерпретировать эти формулы для некоторых част-
частных случаев, заметим, что если граничное условие на левом
конце имеет вид A1.8), как это предполагалось в предыдущих
рассуждениях, то мы можем принять параметры Яь •••> Яр за
компоненты вектора иь так что ?Д будет единичной матрицей,
которая является (помимо всего прочего) невырожденной. Од-
Однако граничные условия для стержня с заделанными концами,
имеющие вид у = 0 и ду/дх = 0 на концах, при переводе на
конечноразностный язык можно записать как v0 = V\ = 0, так
что за такие параметры могут быть приняты w0 и W{. В этом
случае первые три матрицы Uj будут иметь вид
/О 0\ /О 0\ /О 2(кхJ/аМ\
Uo = [l Oj' Ul=={o IJ' U2==[-l 2 )
и первой невырожденной матрицей является U2. (Для получе-
получения U2 используется уравнение A1.7) с /= 1.) Граничное ус-
условие на свободном конце стержня, т. е. условие отсутствия по-
поперечной силы и крутящего момента, или д2у/дх2 = О,
д*у/дх3 = 0, принимает вид w0 = Wi = 0. При этом получается
тот же результат, что и ранее, за исключением того, что v и
W меняются ролями.

280 ГЛ. 11. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ Ч. II
Пусть теперь Uji будет первой невырожденной матрицей
в последовательности Uit Uz, ... (заметим, что Uo в нее не
включается). Тогда
Следовательно,
Это можно записать в виде равенства
1, A1.19)
которое имеет такую же форму, как и условие A1.8), за ис-
исключением того, что оно применяется в точке / = ju а не в точ-
точке /= 1. Вычисление Ej и fj по индукции проводится так же,
как и раньше, но начинается с / = ]\. Граничное условие на
правом конце может быть аналогично взято в форме A1.9),
скажем в точке / = / — /2, и вычисление Uj по индукции для
уменьшающегося / должно начинаться с / = / — /г. После
этого остаются лишь немногие значения и;-, которые должны
быть вычислены вблизи каждого из концов — они могут быть
получены из уравнений A1.7).
На практике Я, 1, М и п обычно весьма просто выражаются
через первоначальные граничные условия и, быть может, один
или два коэффициента системы A1.7). По-видимому, обычно
лучше всего сначала выписать эти выражения, а затем вставить
их непосредственно в программу.
Другое замечание состоит в том, что на практике идеализи-
идеализированный случай, когда Yj и 8j не зависят от /, вообще не имеет
места; вместо этого точки Л и В на рис. 11.2 могут слегка пере-
перемещаться при переходе от одной итерации преобразования
к другой. Но точка В является точкой положительной устойчи-
устойчивости в том смысле, что каждая точка |, лежащая левее точки
А, движется определенно к В с каждой итерацией, и интуитив-
интуитивно ясно, что если начальное значение g = go лежит заметно ле-
левее точки Л, а точки А и В при каждой итерации перемещают-
перемещаются достаточно мало и остаются на некотором расстоянии друг
от друга, то g также будет оставаться слева от А. В данном
случае аналитическими методами трудно определить заранее,
выполняются ли эти условия, и при проведении расчета следует
полагаться либо на машину с большим диапазоном допусти-
допустимых числовых значений, либо на специальную подпрограмму,
которая бы автоматически реагировала надлежащим образом,

§ 11.6. КОЛЕБАНИЯ ПРОДОЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО СТЕРЖНЯ 281
когда матрица Ej выходит из допустимой числовой шкалы,
т. е. когда матрица Bj — Cj?j_i стремится стать вырожденной.
§ 11.6. Колебания продольно напряженного стержня
Если в предыдущие рассуждения включить член, соответст-
соответствующий продольному напряжению, то появятся два новых об-
обстоятельства, заслуживающих внимания.
Если Т означает продольное напряжение, то уравнение дви-
движения принимает вид
^ dt* К дх< ^ 1 дх*
и вместо системы A1.3) мы получим систему
dv d2w , . dw dw . d2v , , dv ,,, плч
где v = ду/dt и w = а д2у/дх2 + b ду/дх, причем а = Wn и
b=VT/\i.
Неявная разностная система
4Д* 9
A1.21)
At ~й 2(Да:J 't° 4Дд: '
аналогичная системе A1.6), безусловно устойчива.
Однако в данном случае могут возникнуть трудности в при-
применении алгоритма, данного для решения неявных уравнений
в предыдущем параграфе. Матрицы Л,-, Bj и Cj уравнения
A1.7) за счет дополнительного члена изменяются так, что те-
теперь вместо соотношения A1.17) мы имеем
Y 2
2 У 1 + (а Д//(Дл:JJ
и условие уб < !Д (см. неравенства A1.16)) может выполнять-
выполняться или не выполняться в зависимости от значений а, 6, А/, Ах.
Если уб > 74, то на рис. 11.2 не будет пересечения, последова-
последовательность lj не будет ограничена и матрицы Ejt вероятно, вый-
выйдут из шкалы. В этом случае устойчивость разностных уравне-
уравнений достигается за счет устойчивости этого частного алгоритма
для их решения.

282 ГЛ. 11. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЙ Ч. It
Это затруднение существенно усугубляется, если характер
колебаний обусловлен в большей мере натяжением, нежели
работой на изгиб (как у струны рояля), потому что тогда
Ь=УТ1\х, велико, а а=Ук/\х мало. Тогда эта задача каче-
качественно эквивалентна задаче о колебаниях струны, для которой
уравнением движения является одномерное волновое уравне-
уравнение. Это наводит на мысль рассмотреть явные разностные си-
системы, аналогичные тем, которые оказались пригодными для
волнового уравнения. Одной из таких систем является
2 А* '
а
М а (А*J Г °
Она содержит разность вперед по времени в первом из урав-
уравнений и разность назад но времени во втором и аналогична
системе A0.5) для волнового уравнения и системе A1.4) для
колебаний ненапряженного стержня.
Условием устойчивости для системы A1.22), как легко по-
показать, будет неравенство
<72, (П.23)
которое на практике не слишком обременительно, потому что
при разумно выбранной величине Ах в силу малости а величи-
величина А/ не очень сильно ограничивается этим неравенством.
В действительности здесь имеется опасность того, что А/ может
оказаться недостаточно ограниченным неравенством A1.23),
а это указывает на основную слабость понятия устойчивости,
подобную той, о которой упоминалось в § 9.7 в связи с уравне-
уравнением переноса и в § 10.4 в связи с задачей об одновременном
распространении звука и тепла. Чтобы увидеть эту опасность,
заметим, что если в системе A1.20) полностью опустить члены,
содержащие а, то для системы A1.22) получится следующее
условие устойчивости:
6Д*/BД) 1. A1.24)
В пределе при Д/->0 и Ал: —> 0 выполнение условия A1.23)
влечет за собой, конечно, выполнение условия A1.24), каковы
бы ни были значения а и 6, если а Ф 0. Но если колебания оп-
определяются в большей степени натяжением, чем работой на из-
изгиб, так что Ъ велико, а а мало, то действительная точечная
сетка, используемая при вычислениях, может быть достаточно
мелкой и удовлетворять условию A1.23), но тем не менее не
будет удовлетворять условию A1.24) с большим запасом. Ин-
Интуитивно ясно, что тогда в решении могут развиваться весьма

§ 11.6. КОЛЕБАНИЯ ПРОДОЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО СТЕРЖНЯ 283
интенсивные колебания, как в случае нарушения условия устой-
устойчивости для волнового уравнения. Как в парадоксе, упомянутом
в гл. 9, программист хочет не просто знать, что будет в пределе
при А/ и Да:-> а, а хочет знать, что будет происходить для то-
точечной сетки, которой он пользуется в действительности, по-
потому что одной устойчивости в пределе ему недостаточно.
Чтобы получить практический критерий для конечнораз-
ностной схемы A1.22), мы используем (как это было сделано
в гл. 9 и 10) положение о том, что скорость роста амплитуды
любой компоненты Фурье не будет ощутимо большей, чем
максимальная скорость роста, ожидаемая (и предполагающая-
предполагающаяся грубо известной) для точного решения. Но для стержня со
свободно опертыми концами (как напряженного, так и нена-
ненапряженного) имеет место закон сохранения энергии, согласно
которому амплитуда каждой компоненты остается постоянной
во времени. Попытаемся поэтому потребовать, чтобы для ко-
нечноразностных уравнений амплитуды также не возрастали
бы со временем. (Это не всегда возможо даже для консерва-
консервативных систем, но оказывается возможным здесь.) Это озна-
означает, что в то время как условие фон Неймана, вообще гово-
говоря, допускает А ^ 1 + О(Д/), мы будем здесь требовать, что-
чтобы выполнялось неравенство X ^ 1.
Для системы A1.22) матрица перехода имеет вид
где
D 4а Д/ . 9 k Да: . . b Д/ . , А
Р = Wsin ~Г +' -дГsin k Ax-
Характеристическим уравнением для G является
Мы хотим, чтобы корни этого уравнения лежали внутри еди-
единичного круга или на его границе, следовательно, должно вы-
выполняться неравенство |р2|^4, а не только неравенство
|р|2^4 + О(Д^), как раньше. Мы требуем поэтому, чтобы для
всех действительных k
^(^J A1.25)
Мажорируя левую часть этого неравенства путем замены си-
синусов на единицы, мы получаем для системы A1.22) простое
достаточное условие устойчивости
I 2а М \2 , / Ь д/ \2 (и „.
[) +J <*' AК26)

284 гл- И- УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ Ч. II
которое является вполне подходящим для большинства прило-
приложений; заметим, что в нем содержится как условие A1.23), так
и условие A1.24).
Интересно сравнить это с условиями устойчивости, полу-
получающимися для этой системы энергетическими методами гл. 6,
так как это один из простейших примеров, в которых энергети-
энергетический метод практически не позволяет получить весь интервал
устойчивости, определяемый методом Фурье. Если обозначить
2аД//(Д*J через ц, а Ш/2Дл; через v* то уравнения A1.22)
можно переписать так:
vn+\ — vn =z —
wn+\ __ шп =
здесь AoHj = lh(tij+\ — tfj-i). Умножив первое из этих уравнений
vn+\ -j- vnf a BTopoe wn+l + wnt сложив их вместе и просуммиро-
просуммировав по всем точам сетки, получим
II v*+l IP +1| Ш-+1 |р -1| v» || -1| oi» IP =
wn, 62vn+l) — (vn+{ + vn, 62wn)] +
wn, Aoun+I)-+ (vn+l + vn9
•В силу формул суммирования по частям F.17) — F.19)
(wn+l + wn9 6V+1) = — (Д+ (wn+l + wn), A+i^+O.
и аналогично также для второго члена правой части
Объединяя эти члены,, мы находим, что указанное выше уравне-
уравнение приводится к виду Sn+t = 5П, где
Sn = II vn |р +1| wn |2 + Val* (A+vn, А+шл) + 2v (vn, ^wn).
Следовательно, устойчивость имеет место, если 5n ^
^ const(||vn||2 + ||wn||2). Грубая оценка скалярных произведе-
произведений в Sn дает
\(vn, Ao^2(|| N)
что приводит к достаточному условию устойчивости
H + v< 1; A1.27)

§ 11.6. КОЛЕБАНИЯ ПРОДОЛЬНО НАПРЯЖЕННОГО СТЕРЖНЯ 285
на рис. 11.3 оно сравнивается с условием A1.26). Однако при
более точной оценке этих скалярных произведений, полагая
"fun, А+шп) =—(ип, б2шп), будем иметь
}+i + ixw] - (v + l/2\i) wi-x] | <
— 72И< (vn, б2ш") + 2v {vn,
= I 2(/) v1} [(v -
При этом получается условие устойчивости
max(|i/2, v)< 1,,
A1.28)
которое оказывается наилучшим из всех тех условий, которые
практически можно получить с помощью энергетического мето-
i
1,0
0,5
„Наилучшее" практи-
практическое условие A1.29)
Условие(Ш^К V
.Условие (tU3)
„Наилучшее"
условие (П28\
получающееся
/ энергетическим
методом
у, Условие A126)
0,5
1,0
Рис. 11.3. Условия устойчивости для разностной схемы A1.22), получающиеся
различными методами.
да1). Как видно из рис. 11.3, оно иногда является менее огра-
ограничительным, чем даже условие A1.26). Так получается пото-
потому, что A1.26) не является наилучшим результатом, который
1) Указанная выше граница не может быть достигнута ни для каких се-
сеточных функций Уу и wj , если v > ц/2. Но чтобы использовать это обстоя-
обстоятельство с целью ослабления неравенства A1.28), нужно рассмотреть приве-
приведение подобных членов в последней сумме. В действительности это снова
приводит к методу Фурье, с помощью которого, как мы это знаем из теоремы
Крайса о матрицах (см. гл. 4), может быть найден полный интервал устой-
устойчивости.

286 ГЛ. 11. УПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ 4LJI
можно получить из A1.25): если мы положим z = sin2(V2&A*)>
то неравенство A1.25) перепишется в виде
при
Максимум в левой части достигается при z = 1 для 2v2 < \i2
и равен в этом случае ц2; в противном случае максимум равен
4v4/Dv2—[х2). Следовательно, необходимое и достаточное усло-
условие того, чтобы схема A1.22) была не только устойчивой, но
и компоненты Фурье при этом не возрастали бы, имеет вид
и < 1, если \х2 ]> 2v2,
A1 29)
(\i/2vJ + v2 ^ 1 в противном случае. '
Таким образом, величина \х принимает либо все допустимые
значения, либо интервал ее изменения увеличивается в 2v раз
по сравнению с тем, который допускается условием A1.26).

Глава 12
ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(ГАЗА)
§ 12.1. Введение
Конечноразностные методы расчета нестационарных тече-
течений большей частью основываются на уравнениях движения
либо в форме Эйлера, либо в форме Лагранжа1). Хотя эти
формы по существу эквивалентны, форма Лагранжа дает
больше информации: она показывает, куда каждая частица
жидкости ушла от первоначального положения. Это значитель-
значительно облегчает расчет движения двух или более жидкостей
с различными уравнениями состояния. Кроме того, все извест-
известные до недавнего времени устойчивые разностные схемы для
уравнений в форме Эйлера были менее точными, чем схемы
для уравнений в форме Лагранжа, которым и отдавалось пред-
предпочтение. Положение изменилось после того, как Лаке и Венд-
рофф предложили схему второго порядка точности, которая
оказалась особенно эффективной для уравнений в форме Эй-
Эйлера.
Течение жидкости часто характеризуется внутренними раз-
разрывами, такими, как например скачки, на которых требуется
ставить специальные граничные условия (условия на скачке).
Эти условия описываются известными уравнениями Ренкина —
Гюгонио, но их применение на практике затруднено тем, что
поверхности разрывов перемещаются по жидкости, и это дви-
движение не известно заранее, а определяется из самих дифферен-
дифференциальных уравнений и условий на скачке, так что численные
расчеты проводятся для сложной системы неявных уравнений.
Мы начнем с описания дифференциальных уравнений, которые
справедливы для гладкой части течения, т. е. для задач без
скачков или для течения между скачками. Методы расчета дви-
движения скачков будут описаны в § 12.9 и 12.11.
]) В форме Эйлера независимые пространственные переменные относятся
к системе координат, фиксированной в пространстве, в котором движется
жидкость, и течение характеризуется зависящим от времени полем скоростей,
которое должно разыскиваться как решение краевой задачи. В форме Лаг-
Лагранжа независимые пространственные переменные относятся к системе коор-
координат, связанной с движущейся жидкостью, так что частицы жидкости пер-
манентно отождествляются с их лагранжевыми координатами, тогда как их
действительное положение в пространстве определяется зависимыми перемен-
переменными, которые должны быть найдены. По поводу дальнейших детален см.
книгу Куранта и Фридрихса [1948] или работу Бете и др. [1944].

283 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. 11
§ 12.2. Уравнения Эйлера
Пусть X=(X9Y,Z)—радиус-вектор точки в декартовой
системе координат. Свойства жидкой среды характеризуются
плотностью р = р(Х, t), давлением р = р(Х, /), внутренней энер-
энергией, отнесенной к единице массы, <§Г = <??(Х, /), и скоростью
жидкости u = u(X, t). Предположим, что уравнение состояния
задано в виде
& = F(p, p), A2.1)
и предположим также, что силы вязкости, объемные силы (по-
(подобные тяготению), теплопроводность и источники энергии от-
отсутствуют, хотя объемные силы и источники энергии можно
было бы включить без существенных осложнений. В дальней-
дальнейшем в связи со скачками мы введем некоторые фиктивные си-
силы псевдовязкости и создадим возможность для учета тепло-
теплопроводности, сохранив уравнение энергии в системе вместо то-
того, чтобы исключить его, используя Постоянства энтропии вдоль
траекторий частиц жидкости.
Сохранение материи выражается следующим уравнением
(иногда называемым уравнением «непрерывности» или «нераз-
«неразрывности»I):
(| ) A2.2)
уравнением движения служит
L + u.v)u=-Vp, A2.3)
а уравнением энергии является
В случае симметрии слоя, когда ничто не зависит от Y и Z,
мы вместо уравнений A2.2) — A2.4) имеем систему
ди
дХ
и уравнение состояния A2.1).
1) Вывод этих уравнений и общие рассуждения о гидродинамических про*
цессах см. в книге Куранта и Фридрихса [1948].

§ 12 3. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА 289
В случае сферической симметрии вид уравнений мало ме-
меняется, и удобно, объединяя оба случая, записать уравнения
в следующем виде:
, д \ 1 д па-1
где при сферической симметрии/?= j/X2 +У2 +Z2, а = 3, а при
симметрии слоя R = X, а = 1. В случае цилиндрической сим-
симметрии (когда поток инвариантен как относительно переносов,
параллельных некоторой оси, так и относительно поворотов во-
вокруг этой оси) получается R= УХ2 + Y2, а = 2.
§ 12.3. Разностные уравнения Эйлера
Конечноразностные уравнения можно строить различными
способами; их выбор зависит от многих факторов, включая
устойчивость, точность и отражение важных физических
свойств, например законов сохранения. Метод Куранта, Изак-
сона и Риса [1952]4) был бы очень хорошим, но он не получил
широкого распространения, по-видимому, вследствие необходи-
необходимости приведения уравнений к нормальной или характеристи-
характеристической форме. В этом методе разности по времени берутся впе-
вперед, и каждое уравнение в нормальной форме аппроксимирует-
аппроксимируется пространственными разностями вперед или назад согласно
знаку наклона соответствующей характеристики. Устойчивость
и сходимость в надлежащим образом ограниченной области
могут быть доказаны в предположении, что At/AX нигде не пре-
превосходит наклона характеристик, что дает условие устойчи-
устойчивости
где с = с(Х, t)—местная адиабатическая (точнее, изэнтропи-
ческая) скорость звука. Для изэнтропического процесса мы
имеем d% + pd{\/p) = 0 или, учитывая A2.1),
6F
1) См. описание приложения этого метода к уравнению переноса в гл. 9,
где он носит название метода «пространственных разностей вперед и назад»,
Ю Зак. 1300

290 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. И
Скорость звука с есть корень квадратный из производной dp/dp,
вычисленной вдоль адиабаты; поэтому
Метод Куранта, Изаксона и Риса может быть интерпретирован
следующим образом. Вдоль каждой характеристики некоторая
величина остается почти постоянной (в точности постоянной
в изэнтропическом случае, являясь тогда соответствующим ин-
инвариантом Римана). Чтобы получить значение этой величины
в точке сетки с индексами п-\- 1, /, проводим из этой точки ха-
характеристику назад до пересечения с прямой t = n&t и затем
получаем ее значение линейной интерполяцией между точками
п> / и м, / + 1 или между пу j— 1 и м, /. Такого рода методы
высокого порядка точности для полулинейных гиперболических
систем построил Анзорге [1963] по аналогии с известным мето-
методом Адамса для обыкновенных дифференциальных уравнений.
Многомерные обобщения были сделаны и изучены Вруном и
Хааком [1958] и Тёрнигом [1963]. Аналогичный многомерный ме-
метод, использующий кохарактеристики, был предложен и изучен
Зауэром [1963]. Эти многомерные обобщения будут кратко опи-
описаны в гл. 13.
Лаке и Келлер [1951] предложили схему, использующую
подвижную сетку в плоскости X, t. Эта схема имеет только
первый порядок точности, но оказалась полезной для обосно-
обоснования существования и других свойств решений дифференци-
дифференциальных уравнений. Простой метод, подобный методу Лакса и
Келлера, но одинаково пригодный как для гладких, так и для
разрывных течений, был предложен Годуновым [1959]; он будет
кратко описан в § 12.15.
Наиболее часто применяемые схемы (как для уравнений
Лагранжа, так и для уравнений Эйлера) строятся по образцу
ранее приведенной схемы A0.5) для волнового уравнения (пер-
(первоначальная схема Куранта, Фридрихса и Леви). Эти схемы
имеют то общее, что второе уравнение из системы A2.5) или
системы A2.6) применяется для того, чтобы сначала по значе-
значениям и в момент t найти значения и в момент / + Д/1), а за-
затем использовать полученные значения и в двух других уравне-
уравнениях.
Для уравнений Эйлера такая схема окажется неустойчивой
если не проявить осторожности в трактовке членов, содержа-
1) С точки зрения центрирования старые и новые значения и в действи-
действительности относились бы к моментам / — At/2 и t + At/2 соответственно, тог-
тогда как другие величины относились бы к моментам / и / + At, но мы предпо-
предпочитаем сохранить наши постоянные обозначения.

§ 12.4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 291
щих ид/дХ1). Неудовлетворительной, например, является аппро-
аппроксимация идр/дХ величиной
7 2 ДАТ
и аналогично обстоит дело с другими членами такого типа.
Это легко усмотреть, написав уравнения в вариациях для
разностных уравнений и подсчитав их матрицу перехода в пре-
пределе для At = АХ = О, т. е. матрицу G@, k). Одним из соб-
собственных значений этой матрицы является
1 +(uAt/AXJisinkAX;
максимальная величина его модуля равна A + 4(uAt/AXJL>, что
превосходит 1 (если и не равно тождественно нулю), так что ус-
условие фон Неймана не может выполняться ни для какого фик-
фиксированного значения At/AX. Способ Лелевье состоит в том,
чтобы в таких членах применять пространственные разности
вперед или назад при и < 0 и при и > О соответственно; так,
приведенное выше выражение заменяется на
и1+{ '"'их' » если
лп — пп
Р/ — Р/—1
и1 ах —' если
и аналогично аппроксимируются другие члены такого типа
в уравнениях A2.5) или A2.6). Сначала из второго уравнения
определяются w^+1 для всех /; затем эти значения, которые
лучше всего относить к моменту / + Д//22), используются в пер-
первом и третьем уравнениях для определения р и & в момент
/ + Д? через их значения в момент L
Окончательная схема (мы опускаем детали) устойчива, если
(|ы| + с)At/AX < 1. Однако она имеет точность лишь первого
порядка, а это недостаточно для большинства приложений.
Разностные уравнения Лакса — Вендроффа, которым теперь
отдается предпочтение, так как они имеют второй порядок точ-
точности, будут описаны в § 12.7.
§ 12.4. Уравнения Лагранжа
Пусть в случае симметрии слоя х означает координату X
малого элемента жидкости в момент t = 0, и пусть X = Х(х, t)
означает координату X того же элемента в момент /, так что
») Лелевье, частное сообщение [1953].
2) См. примечание 1) на стр. 290.
10*

292 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
х и t рассматриваются как независимые переменные. Каждая
частица жидкости отмечена некоторым значением х, называе-
называемым лагранжевой координатой частицы и не меняющимся при
движении частицы. Очевидно, значение х, которым отмечается
частица, может быть выбрано и многими другими способами,
отличными от только что описанного. Например, в качестве х
можно было бы взять значение координаты X в некоторый
другой фиксированный момент t = t0. Более того, если g(x) —
некоторая функция с непрерывной положительной производной,
то переменную x' = g(x) также можно взять в качестве такого
значения; иначе говоря, если функция h(x) непрерывна и поло-
положительна, то в качестве лагранжевой координаты вместо х
можно взять величину
x'=jh(x)dx.
Частный выбор, который является удобным и будет применять-
применяться впредь, таков:
где р(х) —плотность в момент / = 0, а ро — постоянная, имею-
имеющая размерность плотности. Координата хг может быть истол-
истолкована как координата X в конфигурации соотнесений системы,
в которой различные слои жидкости перемещаются и расши-
расширяются или сжимаются до тех пор, пока все они не будут иметь
одну и ту же общую плотность р0. Эту конфигурацию системы
мы будем называть стандартной конфигурацией соотнесений.
С этого момента мы опустим штрих и будем писать х вместо
х'. Аналогично, пусть для сферы г означает радиальную коорди-
координату частицы жидкости в стандартной конфигурации соотне-
соотнесений, в которой различные сферические слои жидкости дви-
движутся внутрь или наружу до тех пор, пока все они не будуг
иметь плотность р0, и пусть R = R(r, /) —радиальная координата
того же самого элемента жидкости в момент / в процессе дви-
движения. Величины г и R могут быть определены аналогично и
в случае цилиндрической симметрии (под которой мы опять
понимаем инвариантность как относительно переносов, парал-
параллельных некоторой оси, так и относительно поворотов вокруг
этой оси).
Как и в случае эйлеровых координат, мы можем объеди-
объединить формулы для случаев симметрии слоя, цилиндрической и
сферической симметрии, вводя а и полагая а = 1, 2, 3 соответ-
соответственно, а также считая г = хиИ = Хв случае симметрии

§ 12.4. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА 293
слоя. Мы получаем три основных уравнения
и
<№___ dV_
dt ~ P dt ¦
где 1^0= 1/Ро> и Два вспомогательных уравнения
дг ' A2.9)
Здесь V — удельный объем 1/р, а и, р и & снова означают
скорость, давление и внутреннюю энергию, приходящуюся на
единицу массы, как и в случае эйлеровых координат, но теперь
все они считаются функциями от г и t.
Отметим, что при исследовании устойчивости, которое будет
проведено ниже, основными зависимыми переменными будут
V, и и р (или <$)\ R является дополнительным переменным, при
исключении производных которого с помощью первого уравне-
уравнения A2.8) и первого уравнения A2.9) устанавливается связь
между и и V. Чтобы убедиться в целесообразности такого вы-
выбора зависимых переменных, заметим, что для малых отклоне-
отклонений от состояния покоя (звуковых волн) в случае симметрии
слоя (а = 1) получается система
OR 1Й ди
которая по форме в точности совпадает с системой, приведен-
приведенной в начале § 10.2 и оказавшейся непригодной; поэтому если
R и и использовать для построения нормы в банаховом про-
пространстве, как это было описано в § 10.2, то задача окажется
некорректно поставленной. Практически это означает, что чис-
численные значения R должны находиться с большей относитель-
относительной точностью (с большим числом верных значащих цифр),
чем другие переменные, так как основной физический смысл
имеют только временные и пространственные разности от /?.
Иногда более удобно (так же как и в эйлеровых координа-
координатах) иметь уравнение состояния в форме, разрешенной относи-
относительно /?, а именно р = /(^, V). Тогда это уравнение и первое
уравнение A2.9) можно трактовать просто как обозначения; их

294 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. И
подстановка в A2.8) дает нам три дифференциальных уравне-
уравнения в частных производных относительно трех зависимых пере-
переменных R, и и <§Г.
§ 12.5. Разностные уравнения Лагранжа
Как и в эйлеровых координатах, система является гипербо-
гиперболической, и конечноразностные уравнения могут быть взяты
в форме, предложенной Курантом, Изаксоном и Рисом [1952]
или Лаксом и Келлером [1951], но на практике чаще всего бе-
берут за образец систему A0.5) для волнового уравнения или
систему типа Лакса — Вендроффа. Несмотря на повышенную
устойчивость, неявные схемы применяются редко, потому что
для большинства задач гидродинамики система заметно изме-
изменяется за время А/ = Дх/с, и поэтому нет оснований для при-
применения большего шага по времени. Однако они оказались по-
полезными для некоторых астрофизических задач, в которых
ожидаемое движение состоит из последовательности медленно
меняющихся и близких к равновесию состояний, в задачах, где
скорость звука в одной части системы много больше, чем в дру-
других частях (и поэтому состояние всегда близко к равновесию),
и в приложениях к метеорологии, где скорость основных про-
процессов существенно меньше скорости звука (см. Тернер и
Вендрофф [1964]).
Обычная система имеет вид
uf+i-ui /on\a~l
пп+\\а (пп+\\а
Мы применяем Г) для обозначения /-го узла лагранжевой сет-
сетки. Если мы хотим сделать погрешность системы величиной по-
порядка О[(МJ] + О[(ДгJ], то третье уравнение должно быть
центрировано путем замены р/+у2 некоторой лучшей аппрокси-
аппроксимацией р при t = tn+42\ это может быть сделано различными
способами, но за счет введения двух неизвестных p/+i/2 и <$п\%Чг
в третье^ уравнение; при этом в общем случае требуется метод
итераций для решения этого уравнения совместно с пятым.

§ 12.5. РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА
295
Остальные уравнения системы A2.10) в действительности долж-
должным образом центрированы (хотя это не.усматривается непо-
непосредственно), потому что iif*1 и и" на самом деле связаны
с моментами времени tn+l/i и tn~4\
Типичными граничными условиями в точке / = / являются:
на жесткой стенке иу = О для всех п\
на свободной поверхности р%42 = — p?_i/2 для всех п.
В силу второго из этих условий интерполированное значение
р при / = / обращается в нуль. Граничные условия можно
применять также к средней точке интервала, например к точке
j = J + V2, следующим образом:
на жесткой стенке иу+1 = —му для всех п*
на свободной поверхности р"+1/2 = 0 для всех п.
Поверхности раздела будут специально обсуждены ниже.
Система A2.10) оказывается явной, если неизвестные вели-
величины определяются с ее помощью в определенном порядке.
Если все искомые величины известны при t = tn и если грани-
границы определяются значениями / = 0 и / =7, то этот порядок мо-
может быть таким:
ип+\
и
величины:
(/=1, 2, ..
(/ = 0, 1, ..
(/ = 0, 1, ...
уравнения:
/-1) второе из A2.10),
граничные условия,
/) первое из A2.10),
/-1) четвертое из A2.10),
(/ = 0, 1, ..., /-1) третье из A2.10),
(/ = 0' U ••" /~1) пятое из A2Л0)'
Этот порядок, в том виде как он описан здесь, требовал бы
пяти прохождений по пространственной сетке (циклов); на
практике они обычно объединяются в один цикл.
Чтобы исследовать устойчивость этих уравнений, сначала
рассмотрим малые возмущения постоянного течения в случае
симметрии слоя (а = 1) и при этом заменим Ах на Аг. Образуя
разность по времени для четвертого уравнения системы A2.10)
и используя первое уравнение, можно исключить R и получить
viii - v?+* = Vo-gbftl - «Г1)- (i2.i 1)

29б ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. П
Линеаризуя третье уравнение системы A2.10) и используя со-
соотношение
находим условие
"""** /?/4-'/ 7 * 1 ' I /7 * I ' ™"~~~~~ I \ у /.1.1/ ~~ V /_1_1/ ) ——- О
дР
которое связывает приращения функций р и V по времени. Так
как основное течение постоянно, то то же самое условие связы-
связывает и их приращения по пространству; следовательно, второе
из уравнений A2.10) дает
где с2 определяется формулой
С2 =V2(P + dFi/dV)
эквивалентной выражению A2.7). (Уравнение состояния теперь
записывается в виде A2.9), а не в виде A2.1)). Уравнения
A2.11) и A2.12) образуют систему, имеющую тот же вид, что
и система A0.5) для волнового уравнения; следовательно, ус-
условием устойчивости является неравенство
Уо с м ^ j
Исследование устойчивости для сферического и цилиндриче-
цилиндрического случаев несколько сложнее и приводит к условию
с д/ ,
Vo (R\°
V XT)
Дг ^*#
Его можно записать в более естественной форме, полагая
и учитывая, что с точностью разностных формул А/? является
разностью значений R(r,t) для смежных точек г;- и rJ+i и, сле-
следовательно, является действительным расстоянием между ча-
частицами жидкости, имеющими лагранжевы координаты г,- и
Tj+i. Таким образом, в качестве условия устойчивости мы полу-
получаем соотношение
<1 для всех л, /. A2.13)
j
При машинных вычислениях машина обычно автоматически
проверяет выполнение неравенства A2.13) для всех (или для

§ 12.6. ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА В ЛАГРАНЖЕВЫХ КООРДИНАТАХ 297
избранных) значений п и / и останавливается в случае невы-
невыполнения этого неравенства. Конечно, скорость звука с также
зависит от п и / и должна находиться из уравнения состояния;
если уравнение состояния сложно, то можно взять приближен-
приближенную формулу для с и — чтобы гарантировать устойчивость —
заменить единицу в правой части неравенства несколько мень-
меньшим числом.
§ 12.6. Поверхности раздела в лагранжевых координатах
Если поверхность раздела двух сред совпадает с некоторым
узлом сетки / =/, то уравнения A2.10) могут применяться та-
таким же образом, как и ранее, только уравнения состояния по
разные стороны от поверхности раздела будут различными.
Однако это может вести к неточностям, и лучше дать спе-
специальный метод для поверхности раздела. Неточности возни-
возникают отчасти потому, что если плотности двух сред сильно раз-
различаются (как в случае жидкости и газа), то может оказаться
необходимым брать совершенно различные по величине Дг по
разные стороны поверхности раздела с соответственно плохим
центрированием уравнений A2.10), а отчасти потому, что хотя
градиент давления др/дг изменяется непрерывно при переходе
через поверхность раздела (это является следствием приня-
принятого здесь определения лагранжевых переменных — см. ниже),
производная градиента давления уже будет претерпевать раз-
разрыв, так что др/дг не может с точностью до второго порядка
аппроксимироваться центральным разностным отношением. Мы
выведем уточненную формулу для вычислений при наличии по-
поверхности раздела.
Прежде всего, чтобы обеспечить непрерывность др/дг, пред-
предположим, что начальные данные являются гладкими (обычно
они аналитичны), за исключением, возможно, конечного числа
точек, в которых выполняются различные группы условий, и
что уравнение состояния является гладким. Тогда решение
будет гладким везде, за исключением конечного числа кри-
кривых в плоскости х, t, представляющих собой скачки уплотне-
уплотнения, волны разрежения, слабые разрывы, поверхности раздела
и т. п. (Мы не делаем попыток доказать эти утверждения или
хотя бы разъяснить их точный смысл, но заметим, что анало-
аналогичные вопросы рассматривались Лаксом [1953] в связи с ана-
аналитичностью решений.) Мы утверждаем, что если исключить
те моменты времени, в которые скачки уплотнения, волны раз-
разрежения и т п. пересекают поверхности раздела, то др/дг
остается непрерывной при переходе через поверхность раздела
-ро следующим причинам. В малой окрестности поверхности

298 гл- 12- ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
раздела решение непрерывно по обе ее. стороны. Очевидно, R
и и должны быть непрерывными по г при переходе через по-
поверхность раздела (нарушение этого условия привело бы к об-
образованию полостей или проникновению одной среды в дру-
другую). Их общие значения, скажем Ro(t) и ио(О« дают положе-
положение и скорость самой поверхности раздела. Из гладкости по
обе стороны, в которую мы включаем существование равно-
равномерных односторонних пределов функций и их производных
с обеих сторон, следует, что du/dt с обеих сторон стремится
к duo/dt и, следовательно, является непрерывной. Из уравнения
движения (второго из уравнений A2.8)) тогда непосредственно
вытекает, что функция др/дг будет непрерывной.
Мы используем непрерывность др/дг, чтобы получить при-
приближенную формулу для ускорения поверхности раздела.
Пусть поверхность раздела соответствует / = /, и пусть Д^ и
Д2г—приращения г, применяемые слева и справа от / = / со-
соответственно. Давления в средних точках интервалов обозна-
обозначим, как обычно, через p;_,/t, p?_I/2, pj+1/j, /??+8/2 и т. д., а через
pnj обозначим давление на поверхности раздела (р конечно,
непрерывно). Мы не знаем величины рпп но она будет исклю-
исключена из окончательной формулы. Слева от поверхности разде-
раздела мы имеем
Р
-^ при г = о_„
Pnj-pn,-4i _ dp _
Ш2 ~W ПрИ Г — ri-lU >
и, следовательно, экстраполяция дает
Аналогично, справа от поверхности раздела получаем
Исключая рпп находим
«
r=rj ' "Г &2r
дг
Это выражение нужно подставлять при j = / вместо
пп п
Р1+Ч* "" Pj-Чг
Дг
в уравнение движения —второе из уравнений A2.10).
2.14)

§ 12.7. дивергентная Форма уравнений гидродинамики 299
Формулу A2.14) можно применять даже в том случае, ког-
когда обе жидкости идентичны, т. е. когда нет реальной поверх-
поверхности раздела, а при переходе через некоторую поверхность
меняется лишь шаг Дг. Но в этом случае можно применять так-
также и трехточечную формулу, включающую только p"_i/t, р"_,/2 и
Ру+У (Р/-»/2> Р^+Чг и ^7+V»)» если ПРИНЯТЬ в0 внимание непрерыв-
непрерывность д2р/дг2: нужно просто взять квадратичный трехчлен отно-
относительно г, принимающий заданные значения р в трех точках,
и найти его производную при г = rj. Трехточечная формула
часто бывает более удобной с точки зрения программирования,
но для реальных поверхностей раздела нужно пользоваться
формулой A2.14).
§ 12.7 Дивергентная форма уравнений гидродинамики
и уравнения Лакса — Вендроффа
Разностная схема, предложенная Лаксом и Вендроффом
[1960], весьма удобна для решения уравнений Эйлера A2.6) и
уравнений Лагранжа A2.8) в случае симметрии слоя. Как бу-
будет показано в следующей главе, вариант этой схемы, назы-
называемый двухшаговой схемой Лакса — Вендроффа, удобен для
решения многомерных задач в форме Эйлера.
Сначала запишем уравнения гидродинамики в дивергентной
форме, т. е. в виде законов сохранения. В форме Эйлера вве-
введем новые зависимые переменные
т = ри, е = р(& + 1/2и2); A2.15)
р, т и е—масса, импульс и энергия на единицу объема соот-
соответственно. Тогда уравнения гидродинамики примут вид
?? 0, A2.16)
где U и F(U) — векторы, определенные равенствами
U =
т
F(U)=
A2.17)
. (е + р) т/р J
Давление определяется уравнением состояния
p = f^,V) = f(j-^r, 1), A2.18)
где f — функция, введенная в^ § 12.4. В силу A2.18) F(U) дей-
действительно является функцией от U. Система A2.16) называет-
называется дивергентной формой уравнений гидродинамики. Физиче-
Физическая интерпретация этого определения состоит в следующем:

300
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
каждая компонента U является величиной, отнесенной к еди-
единице объема; если слой заключен между Xi и лг2, то полное ко-
количество этой величины на единицу площади слоя равно инте-
интегралу от Xi до х2 от этой компоненты; но из A2.16) следует,
что
4-fu^ = -F(U)Ut + F(U)Uv A2.19)
следовательно, соответствующая компонента F(U)|X есть по-
поток этой величины через единичную площадку в точке х в по-
положительном направлении оси х. Законы сохранения массы,
импульса и энергии снова потребуются нам в § 12.8, где из них
будут получены условия Ренкина — Гюгонио на скачке.
В форме Лагранжа сначала исключается R из A2.8) и
A2.9) (при этом предполагается симметрия слоя, т. е. а= 1),
что дает одно уравнение:
6V
ди
A2.20)
Полную энергию на единицу массы, равную <$ + «2/2, обозна-
обозначим через ?. Тогда при
U =
-у-
и
-Е-
, F(U) = y0
" — и"
Р
. ри .
A2.21)
уравнения Лагранжа оказываются приведенными к дивергент-
дивергентной форме A2.16). Здесь р = f{E — иг\% V), где / снова обоз-
обозначает функцию, введенную в § 12.4. Как и в форме Эйлера,
эти три уравнения выражают законы сохранения массы, им-
импульса и энергии.
Уравнения Лакса — Вендроффа получаются с помощью раз-
разложения функции U в ряд Тейлора по t> т. е.
]+ _
/ -
д*и
Производные по t заменяются производными по х путем ис-
использования дифференциального уравнения A2.16) и получаю-
получающегося из него уравнения
д2и а_ dF _ д д? _ д (А ди\__д_(л дГ\
dt* — dt ~д7 ~д^~дГ—~~~Ш\Л~дГ)~ дх \Л~дх~)>
где матрица А = A(U)— матрица Якоби функции F(U), т. е.
A dFIdU Затем производные по х аппроксимируются

§ 12.7. ДИВЕРГЕНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ 301
разностными отношениями, что приводит к системе уравнений
Лакса — Вендроффа
F?-i)l. A2.22)
где через Лу+1/2 обозначена матрица А({/2 Uy+i + V2 U/). Если
матрица Л постоянна, то эта система приводится к виду
i (А т$ №+> -2и>
Мы укажем другую схему (двухшаговую схему Лакса — Вен-
Вендроффа), которая также имеет второй порядок точности и сво-
сводится к A2.23) в случае постоянных коэффициентов. Она не-
несколько проще для использования, потому что в нее не входит
матрица Л. Сначала в центрах прямоугольных ячеек в пло-
плоскости х, t вычисляются промежуточные значения
где Fy обозначает F(U") и т. д.; окончательные значения по-
получаются затем из уравнения
U?+' - U? - ? (pftfc _ гу±й). A2.246)
Уравнение A2.246) по самой своей структуре имеет второй
порядок точности (остаточный член О [(AtK] при фиксирован-
фиксированном отношении Д//Дя); промежуточные значения получаются
только с первым порядком точности, но разность в правой
части A2.246) имеет второй порядок точности, так как одина-
одинаковые члены взаимно уничтожаются.
Легко проверить, что в частном случае, когда F(U) = AU,
подстановка A2.24а) в A2.246) дает A2.23), как и утвержда-
утверждалось выше.
В случае постоянства коэффициентов условие устойчивости
системы Лакса — Вендроффа легко устанавливается. Матрица
перехода для системы A2.23) имеет вид
G = I - i-%? A sin а - (JL аJ A - cos а), A2.25)
где а = k&x. Матрица А имеет действительные собственные
значения и полную совокупность линейно независимых соб-
собственных векторов, так как это основное свойство гиперболично-
гиперболичности системы dtl/dt + AdU/дх = 0, а уравнения гидродинамики

302 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
гиперболичны. Так как G — рациональная функция от мат-
матрицы Л, она имеет те же самые собственные векторы, что и Л;
следовательно, определитель Грама для этих собственных век-
векторов не зависит от а и от kt/Ах и в силу условия 1 из § 4.11
условие фон Неймана не только необходимо, но и достаточно
для устойчивости. Если К — собственное значение матрицы Л,
то соответствующее собственное значение матрицы G равно
Когда а меняется от 0 до 2я, g описывает эллипс в комплекс-
комплексной плоскости, и простой подсчет показывает, что этот эллипс
лежит внутри единичной окружности при |А|Д//Дл;<1; для
устойчивости это неравенство должно выполняться для всех
собственных значений X матрицы Л. Заметим, что в точке
g = 1 эллипс имеет касание второго порядка с единичной ок-
окружностью, т. е. они имеют в этой точке одинаковую кривиз-
кривизну. Это свидетельствует о втором порядке точности системы
Лакса — Вендроффа и о недиссипативности системы дифферен-
дифференциальных уравнений, которая точно сохраняет амплитуду каж-
каждой компоненты Фурье при постоянной матрице Л. С другой
стороны, приведенная выше формула для g показывает, что
\g\2= I—V(l —M<2)sin4(a/2), где р, = |а|Д//Дл;, так что при
0 < \i < 1 порядок диссипативности разностной схемы в смыс-
смысле Крайса равен четырем (см. § 5.4). В эйлеровой форме, кото-
которая будет рассмотрена вначале, матрица Л, получаемая из
A1.17), является довольно громоздкой, но ее собственные зна-
значения могут быть найдены косвенно. Действительно, исходные
эйлеровы уравнения A2.5) также имеют вид dli/dt + Ad\J/dx =
= 0 с другой матрицей Л, но эти две матрицы имеют одни и
те же собственные значения, так как величины, обратные этим
собственным значениям, являются тангенсами углов наклона
характеристик в плоскости х, t. Чтобы найти эти собственные
значения, подставим выражение A2.1) для 8 в третье урав-
уравнение системы A2.5) и исключим производные от р из этого
уравнения с помощью первого уравнения A2.5); это дает
dt ^u дХ ^Рс дХ~и'
Тогда система принимает нужный вид dli/dt -\-Ad\i/dx = 0, где
А =
и
0
0
Р
и
рс2
0 "
1/Р
и -
у U =
"р"
и
-р-
A2.26)

§ 12.7. ДИВЕРГЕНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЙ ГИДРОДИНАМИКИ 303
Собственные значения матрицы А равны и, и + с и и — с; сле-
следовательно, условие устойчивости для уравнений Лакса — Вен-
дроффа имеет вид
(\и] + с)Ы/ЬХ<19 A2.27)
как и для других разностных схем в форме Эйлера.
Аналогично в форме Лагранжа матрица Л, получаемая
непосредственно из A2.21), оказывается довольно громоздкой,
однако третье уравнение можно переписать в виде
AL-L.S. и —•
dt ^ V2 v° дх *
тогда, взяв в качестве компонент U величины V, и и р> мы по-
получаем матрицу
ГО -Уо 0"
А= 0 0 Vo , A2.28)
.0 Vo {cIVf 0 .
собственные значений которой равны 0 и ±cVo/V, так что усло-
условием устойчивости является неравенство
-&Ч?<1. 02-29)
как и для предыдущей схемы в форме Лагранжа.
Матрица A2.26) или A2.28) может быть приведена к диа-
диагональной форме преобразованием подобия РАР~* (в качестве
столбцов матрицы Р можно взять, например, нормированные
собственные векторы матрицы А). Если систему дифферен-
дифференциальных уравнений, соответствующую A2.22), умножить на
матрицу Р, то она преобразуется к так называемой характери-
характеристической форме (см. Курант и Гильберт [1964] или Курант и
Фридрихе [1950]). В переменных Эйлера уравнения в характе-
характеристической форме имеют вид
^г) = 0, A2.30)
а в форме Лагранжа они запишутся как
др , сг dV п

304 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
Достоинство двухшаговой процедуры состоит в том, что раз-
разностные уравнения A2.24а) и A2.246) тоже записаны в виде
законов сохранения, так что величины, которые должны со-
сохраняться согласно дифференциальным уравнениям A2.16), в
точности сохраняются и в разностной форме. Действительно,
вместо интеграла в левой части A2.19) мы имеем сумму
Sn= S U/Ajc,
а вместо соотношения A2.19) —равенство
д/ — — F/i+Va + Г/,-Уа» A2.32)
которое непосредственно следует из суммирования по / урав-
уравнений A2.246).
Еще одно достоинство этого метода заключается в том, что
матрица Л и ее производные не входят в явном виде (это уп-
упрощает вычисления), что особенно важно для многомерных за-
задач (см. гл. 13). Вычислительная программа должна содержать
подпрограмму для вычисления компонент вектора F(U) по ком-
компонентам вектора 1), которая в общем случае весьма проста.
Класс разностных схем для уравнения A2.16), получающих-
получающихся как последовательные приближения к неявному уравне-
уравнению
/ — Ч/ +-4~дГ^р>+1 + F/+1 — F/-1 —F/_J = 0,
был рассмотрен в работе Гари [1962b].
§ 12.8. Условия на скачке
Известно (см., например, Курант и Фридрихе [1950]), что
движение идеальной жидкости часто характеризуется кривыми
в плоскости ху t (или в более общем случае поверхностями
в пространстве X, /), на которых некоторые из зависимых ве-
величин претерпевают разрыв, но имеют односторонние предель-
предельные значения с обеих сторон. (Даже если течение сначала
является гладким, разрывы могут развиться впоследствии за
конечное время, по истечении которого уже не будет существо-
существовать гладкого однозначного решения системы A2.8).) Приме-
Примерами служат поверхность раздела, слабый разрыв (где р и <§
разрывны, а р и и непрерывны), скачок уплотнения (где р,
<ff, p, и разрывны) и фронт волны разрежения (где разрывны
лишь некоторые производные). На таких разрывах дифферен-
дифференциальные уравнения (лишающиеся смысла) должны быть за-
заменены условиями на скачке, которые служат внутренними гра-

§ 12.8. УСЛОВИЯ НА СКАЧКЕ 305
ничными условиями и нужны для обеспечения единственности
решения.
В случае поверхности раздела, слабого разрыва или фронта
волны разрежения нужны лишь условия непрерывности некото-
некоторых переменных и не требуется изменения конечноразностной
системы, хотя, как уже было указано, для поверхности раздела
может быть желательной модификация разностной системы
с целью повышения точности. Но если имеет место скачок, то
немодифицированные разностные уравнения A2.10), за исклю-
исключением некоторых предельных случаев, не дают даже прибли-
приближенно правильных результатов. Эти модифицированные урав-
уравнения изучались фон Нейманом при экспериментальных вычис-
вычислениях во время войны1).
Мы установим условия на скачке в случае симметрии слоя,
обозначив через х = g(/) лагранжеву координату скачка. Мас-
Масса жидкости, проходящая через единицу поверхности скачка за
единицу времени, равна
M = pQdl/dt. A2.33)
Пусть V = 1/р означает удельный объем (условия на скачке
обычно удобнее выражать через V, а не через р), и пусть ин-
индексы 1 и 2 определяют предельные значения при х—>? слева
и справа, так что ии Vu Pu &i описывают состояние непосред-
непосредственно за скачком, a и2, V2, Р2, &2 — непосредственно перед ним,
если скачок движется в положительном направлении оси х и, на-
наоборот, если скачок распространяется в отрицательном напра-
направлении оси х. Закон сохранения массы соответствует непрерыв-
непрерывности Х(х, t) на скачке, так что производная от X по времени
вдоль кривой х =?(/), а именно
dl дХ . дХ
dt дх ~*~ dt '
должна быть одинаковой по обе стороны от скачка, но
дХ/дх = p0V, a dX/dt = и, так что
MVl + ul=MV2 + u2. A2.34)
Закон сохранения количества движения гласит, что прираще-
приращение количества движения жидкости, проходящей за единицу
') У нас не должно создаться впечатление, что фон Нейман намеревался
таким путем получить правильный результат. Он указал, что немодифициро-
немодифицированные уравнения недопустимы ввиду более сильного по сравнению с дей-
действительным возрастания энтропии при переходе через скачок, и исследовал
ошибку, возникающую при игнорировании этого факта. Тем не менее полное
игнорирование скачков при вычислениях некоторые исследователи называют
«методом фон Неймана для расчета скачков». Как показано в § 12.14, урав-
уравнения Лакса — Вендроффа иногда можно использовать в немодифицированнон
форме при переходе через скачок, потому что в них заложен внутренний днс-
снпативный механизм, обеспечивающий необходимое возрастание энтропии на
скачке.

306 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
времени через единицу поверхности скачка, равно разности
давлений, т. е.
М{щ-и2) = р{-р2. A2.35)
Закон сохранения энергии утверждает, что приращение энергии
этой жидкости равно результирующей работе сил давления за
единицу времени, т. е.
и2 и2\
± A2.36)
Уравнения A2.33) — A2.36) можно комбинировать различ-
различными способами. В результате одной из таких комбинаций по-
получаются следующие уравнения:
JEEK
V2-Vl •
Щ - u2= V(Pi-ft)(V2-K,)f A2.37)
A/,-I/,),
называемые уравнениями Ренкина — Гюгонио или просто урав-
уравнениями Гюгонио1). Они сохраняют силу также для сфериче-
сферического и цилиндрического скачков, если r=g(/) является ла-
гранжевой координатой фронта скачка. Более того, они остают-
остаются локально справедливыми и в общем случае гладкой кри-
криволинейной поверхности скачка, если podfydt означает массу
жидкости, проходящей через единицу поверхности скачка за
единицу времени, а и\ и и2 означают нормальные по отношению
к поверхности скачка составляющие скорости; тангенциальные
составляющие скорости при переходе через скачок не претер-
претерпевают разрыва.
§ 12.9. «Подгонка» скачка 2)
Уравнение Гюгонио совместно с условиями непрерывности
X(x/t) или R(rtt) при переходе через скачок позволяют уста-
установить граничные условия для дифференциальных уравнений
по обе стороны от скачка, а также определить движение самого
скачка. Они использовались непосредственно при численных рас-
расчетах (неопубликованная работа, Лос-Аламос, а также работы
Томаса [1954], Гари [1962а], Кворлса [1964]). Мы наметим после-
1) Вывод уравнений A2.37*) из предыдущих уравнений содержит извест-
известную неопределенность в выборе знака перед квадратным корнем. Нужно брагь
знак плюс, как это сделано у нас, если скачок движется вправо, и знак ми-
минус, если он движется влево.
2) В оригинале «shock fitting». — Прим. реф.

12.9. «ПОДГОНКАэ СКАЧКА307
довательность вычислений для частного случая, когда среда
перед скачком находится в состоянии покоя и в равновесии;
тогда и2, V2, Ръ &2 — известные постоянные (н2 = 0), в то время
как пи Vu Pu &i — функции от /, которые должны быть опре-
определены в результате расчета. Для каждого п должны быть вы-
вычислены положение скачка ?n = ?>{tn) (оно в общем случае не
совпадает ни с одной из точек сетки) и значения величин ии
Vu Pu Si на скачке, т. е. в точке \ = \п при / = tn\ мы обозна-
обозначим их через iif, Vft p^ S^ и просим читателя не смешивать
их с «у при / = 1 и т. д.
Если все величины известны в момент t = tn, то уравнения
Ренкина — Гюгонио A2.37), в которых каждая величина снаб-
снабжена верхним индексом /г + 1» совместно с уравнением вида
где 1= dl/dt, и с уравнением состояния
{) A2.39)
образуют систему пяти уравнений с шестью неизвестными
Бя+1. 1Г1» ^+1» ^Г1» РТХ> иТХ- Необходимо дополнить ее
еще одним уравнением, чтобы отразить влияние на скачок дви-
движения среды непосредственно за скачком; для этой цели в раз-
разностной форме записывается одно из основных дифференциаль-
дифференциальных уравнений или некоторая их комбинация, причем простран-
пространственные разности берутся между значениями в точке х = ?n+1
и значениями в ближайших точках сетки позади скачка, в вре-
временные разности берутся между значениями в точках ?n+1, tn+l
и gn, /n, чтобы описать перемещение скачка между моментами tn
и tn+l.
Для того чтобы решить, каким дифференциальным уравне-
уравнением или какой их комбинацией дополнить таким образом ус-
условия на скачке, воспользуемся характеристической формой
этих уравнений, приведенной в конце § 12.7 *). Кривые в пло-
плоскости лс, t> для которых величины, обратные к тангенсам углов
наклона, являются собственными значениями матрицы Л, назы-
называются характеристиками; через каждую точку проходит три
характеристики, одна из которых соответствует распростране-
распространению звуковых импульсов вверх по течению («опережающая
1) Сначала было эмпирически установлено, что может быть использовано
уравнение непрерывности, и вполне возможно, что этот выбор является наи-
наилучшим. Проведенный в основном тексте анализ направлен на то, чтобы про-
пролить некоторый свет на результаты возможного выбора, учитывая прежде
всего последующие обобщения на значительно более трудные многомерные
задачи (см. гл. 13).

308 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
характеристика»), другая — их распространению вниз по тече-
течению («запаздывающая характеристика»), а третья, лежащая
между ними, — истинному движению частицы.
В известном смысле характеристики являются носителями
информации. Например, в силу третьего из уравнений A2.8)
энтропия S остается постоянной вдоль средней характеристики,
так что знание 5 в какой-либо точке дает информацию об этой
величине в любой другой точке, лежащей на этой характери-
характеристике. Кроме того, если энтропия S постоянна для всего по-
потока, так что V и с могут быть выражены как функции от р,
то уравнения A2.31) показывают, что величины J (V/c)dp ±и
(они называются инвариантами Римана) остаются постоянными
вдоль опережающей и запаздывающей характеристик соот-
соответственно. Даже если 5 не является постоянной, за исключе-
исключением траекторий движения частиц, для небольших промежут-
промежутков времени величины, аналогичные инвариантам Римана,
остаются почти постоянными вдоль опережающей и запазды-
запаздывающей характеристик: например, одна из возможных разно-
разностных аппроксимаций второго из уравнений A2.31) гласит, что
вдоль опережающей характеристики величина pn+1 +.
+ {c/V)n+lliun+l приближенно равна рп +(c/V)n+lf4in.
При «подгонке» скачка неполная информация, которую дают
условия на скачке, должна быть дополнена добавочной инфор-
информацией, приходящей на скачок в момент tn+i от находящейся
за ним среды. Только одна из трех характеристик в состоянии
сделать это, а именно та, которая представляет опережающий
звуковой сигнал, догоняющий скачок во времени; если следовать
назад из точки скачка, то две другие характеристики пройдут
перед положением скачка в предшествующий момент времени,
так что, например, средняя характеристика дает нам значение
энтропии непосредственно перед скачком, а не интересующее нас
значение непосредственно за скачком. Поэтому в случае скачка,
движущегося вправо, для дополнения условий на скачке пригод-
пригодно только второе из уравнений A2.31) в разностной форме. (Ко-
(Конечно, вопрос о том, не будет ли некоторая другая комбина-
комбинация исходных уравнений в нехарактеристической форме столь
же удобной или даже лучшей, остается открытым.) Получив-
Получившиеся уравнения, которые нужно решить для нахождения
шести неизвестных в точке gn+1, /n+1, нелинейны и довольно
сложны, так что для их решения нужно использовать итера-
итерационный метод. Уравнения должны быть модифицированы,
когда скачок проходит через точку сетки, т. е. когда gn и 1п+1
принадлежат различным интервалам пространственной сетки.
Из этого наброска схемы расчета ясно, вероятно, что «под-
«подгонка» скачка неудобна из-за ее сложности. Было установлено,
что она применима в случае, когда скачок распространяется

§ 12.10. ВЛИЯНИЕ ДИССИПАЦИИ 309
в ранее невозмущенной среде, т. е. когда и2, Рг, Уг и Si заранее
известны, и что в общем случае его применение весьма затруд-
затруднительно. Для более сложных задач возникают дополнительные
трудности, потому что скачки могут спонтанно возникать внутри
среды (см., например, Калкин [1942] или Курант и Фридрихе
[1950]), и не существует метода, который позволил бы опреде-
определить, где и когда можно использовать «подгонку» скачка, за
исключением, возможно, постоянной проверки результатов рас-
расчета достаточно опытным специалистом.
Чтобы обойти эти трудности, фон Нейман и Рихтмайер
[1950] разработали приближенный метод решения задач гидро-
гидродинамики (излагаемый в трех следующих параграфах), в кото-
котором скачки учитываются автоматически, где бы и когда бы они
ни возникали. Этот метод основывается" на некоторых физиче-
физических понятиях, относящихся к реальной (и поэтому не идеаль-
идеальной) жидкости, а не на непосредственном применении условий
Гюгонио на скачке при вычислениях. В частности, явления дис-
диссипации, подобные вязкости и теплопроводности, оказывают на
скачок сглаживающее влияние, так что поверхность разрыва
заменяется тонким переходным слоем, в котором величины ме-
меняются быстро, но без разрыва. Дифференциальные уравнения,
учитывающие диссипацию, применимы как в этом слое, так
и вне него, так что в граничных условиях на скачке нет необ-
необходимости. В то же время основные законы сохранения, на ко-
которых базируются уравнения Гюгонио, остаются в силе, а усло-
условия на скачке выполняются для переходного слоя, толщина
которого считается малой по сравнению с другими размерами,
фигурирующими* в задаче. Аналогичный метод был рассмотрен
в работе Ладфорда, Полячека и Зегера [1953]. Более совершен-
совершенный метод был предложен Лаксом и Вендроффом [1959]; их
результаты будут изложены в § 12.14.
§ 12.10. Влияние диссипации
Влияние диссипации на скачок изучалось различными ис-
исследователями, включая Рэлея, Беккера [1922] и Томаса [1944].
Беккер изучал влияние теплопроводности и вязкости. Он пока-
показал, что при наличии теплопроводности температура претерпе-
претерпевает гладкое изменение при переходе через скачок и что для
скачков интенсивности *) менее критической давление и плот-
плотность также изменяются гладко, в то время как для более
сильных скачков переход давлений и плотностей от началь-
начальных к конечным значениям осуществляется частично за счет
гладких переходов и частично за счет разрывов. Однако если
1) Удобной мерой интенсивности скачка является отношение конечного
давления к начальному.

310 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. 11
допускается наличие вязкости, то при любой интенсивности
скачка все величины меняются гладко в области скачка. В лю-
любом случае толщина переходного слоя пропорциональна коэф-
коэффициенту диссипации, так что при стремлении к нулю теплопро-
теплопроводности и вязкости характер изменения величин приближается
к разрывному в соответствии с теорией Гюгонио.
Идея фон Неймана и Рихтмайера состояла во введении
чисто искусственной диссипации такого вида и такой величины,
что скачок заменяется гладким переходом на протяжении не-
небольшого числа (скажем, трех или четырех) интервалов Аг
пространственного переменного, и в построении системы конеч-
норазностных уравнений, учитывающих диссипацию и позво-
позволяющих обойтись без «подгонки» скачков. При вычислениях
по таким уравнениям скачки выявляются автоматически как
слои быстрого изменения величин, при переходе через которые
величины претерпевают изменения, близкие к скачкам при пе-
переходе через фронт разрыва, причем эти слои движутся в жид-
жидкости со скоростями, близкими к истинным скоростям скачков
уплотнения.
Очевидно, что механизм типа вязкости более удобен для на-
наших целей, чем механизм типа теплопроводности, потому что
при наличии вязкости все величины меняются гладко. Однако
Беккер показал, что в случае обыкновенной вязкости, при ко-
которой напряжение пропорционально скорости сдвига и кото-
которая поэтому представляется в уравнениях линейными членами,
толщина переходного слоя зависит от интенсивности скачка,
стремясь к нулю для очень сильных скачков и к бесконечности
для очень слабых скачков. Но мы хотим, чтобы для всех скач-
скачков толщина переходного слоя была примерно одинаковой,
а именно составляла около ЗЛг или 4Дг, и поэтому вводим
квадратичные члены в дифференциальное уравнение; это экви-
эквивалентно применению малого коэффициента вязкости для сла-
слабых скачков и большого коэффициента вязкости для сильных
скачков. Ниже будет показано, что таким путем получается
толщина, не зависящая от интенсивности скачка1). Другие
1) Возможно, фон Нейману и Рихтмайеру не стоило заниматься этим
вопросом. Метод Лакса [1954] дает тот же эффект путем введения линейного
члена, соответствующего вязкости. Действительно, Лаке нашел, что толщина
переходного слоя меняется с интенсивностью скачка, но не настолько, чтобы
препятствовать практическим вычислениям. Однако метод фон Неймана и
Рихтмайера имеет то преимущество, что члены, соответствующие псевдовяз-
псевдовязкости, будучи квадратичными относительно .скоростей деформаций, являются
в действительности очень малыми в гладкой части течения между скачками,
где желательно аппроксимировать поведение идеальной жидкости. Это же-
желательно потому, что порядок величины действительной вязкости реальной
жидкости меньше порядка величины вязкости, необходимой для образования
скачков нужной толщины.

§ 12.10. ВЛИЯНИЕ ДИССИПАЦИИ 311
свойства этих дополнительных членов обеспечивают независи-
независимость толщины переходного слоя также от давления и плот-
плотности той среды, в которой распространяются скачки.
Уравнения, содержащие члены с такой псевдовязкостью,
сначала будут записаны в дифференциальной форме для слу-
случая симметрии слоя. В лагранжевых переменных эти уравне-
уравнения имеют вид
ди 1
dt po дх
°l ( + )
dt ур-гч) dt
Ро дх '
Здесь V= 1/p — удельный объем, a q — псевдовязкое давление,
задаваемое соотношением1)
A2/V) (ди/дхJ при ди/дх < 0,
0 при ди/дх>0, A2'41)
где постоянная / имеет размерность длины.
Для того чтобы продемонстрировать влияние дополнитель-
дополнительных членов, исследуем структуру плоского стационарного скач-
скачка и будем искать решения дифференциальных уравнений,
в которых р, q, и> & и V зависят от х и t только в комбинации
w = х — st9 где 5 — скорость скачка в лагранжевых координа-
координатах, т. е. исследуем решения, имеющие вид распространяющейся
волны. Кроме того, мы возьмем уравнение состояния в про-
простейшем виде, соответствующем идеальному газу, <$ = pV/(y— 1).
В рассматриваемом случае симметрия слоя первое и четвертое
уравнения A2.40) можно скомбинировать в одно уравнение
дУ _ 1 ди
dt ~ ро дх*
1) Это выражение для q включает предложение М. Розенблюта (неопуб-
(неопубликованное сообщение, Лос-Аламос), чтобы q обращалось в нуль, когда жид-
жидкость расширяется. Мы полагали сначала
/2 1 ди
V \ дх
ди
дх'
что соответствует формуле A2.41) при сжатии и дает отрицательные значе-
значения q при расширении. Для большинства задач обе формулы удовлетвори-
удовлетворительны, потому что величина q чрезвычайно мала (за исключением области
скачка), но если имеет место сильное расширение (как в случае свободной
Поверхности), то формула Розенблюта лучше.

312 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
из которого X исключено. Подставляя в него и в другие урав-
уравнения решение в виде распространяющейся волны, находим
dV , du Л
du d(p + q) _
^7 1^ —
Пусть М = pos означает массу жидкости, проходящей через
единицу поверхности за единицу времени; тогда решение этих
уравнений можно записать в виде
A2.42)
где Си С2 и С3 — постоянные интегрирования.
Если теперь мы рассмотрим решение1), для которого и> V,
р, q асимптотически приближаются к некоторым значениям
(обозначенным соответственно индексами 1 и 2) при х->—оо,
и + °° и Для которого производные этих величин стремятся
к нулю при х—> ± оо, так что в частности <7-*(), то из урав-
уравнений A2.42) следуют равенства
V2 м2 (V2 - v2) + gl-g2 + Plvl- p2v2 = о,
из которых после небольших преобразований получаются урав-
уравнения Гюгоиио A2.37).
Из второго и третьего уравнений A2.42) и уравнения со-
состояния получаем
S = i/2 M2V2 - C2V + C3 = pV/(y - 1),
откуда с учетом второго уравнения A2.42) имеем
ЦУ = - 72 (Y + 1) M2V2 + CAV + С5,
где Сь и Сб — некоторые постоянные. Но так как q = 0 при
V = Vi и при 1/= 1/2, квадратичный трехчлен относительно V
в правой части последнего равенства определяется однозначно,
а именно
qv = 72 (у + О м2 (v2 - V) (V - 1Л). A2.43)
Общее решение такого рода будет приведено ниже.

§ 12.10. ВЛИЯНИЕ ДИССИПАЦИИ
313
Мы можем теперь заключить, что для решения в виде рас-
распространяющейся волны всегда будет du/dw ^ 0. Действительно,
в интервале, где du/dw ^ 0, мы имеем q = 0 в силу A2.41),
а отсюда следует, согласно A2.43), что в таком интервале V
имеет либо постоянное значение V2, либо постоянное значение
V\. Но из V = const следует, что и = const, так как podV/dt =
= ди/дх, поэтому если du/dw > 0, то du/dw = 0. Распростра-
Распространяющаяся волна соответствует сжатию жидкости и никогда не
соответствует ее расширению. Уравнения Гюгонио A2.37) до-
допускают отрицательные скачки (внезапные расширения) наряду
с положительными, тогда как другие совершенно ясные физи-
физические соображения1) запрещает их существование,'и приятно
видеть, что уравнения, содержащие члены с псевдовязкостыо,
допускают только положительные скачки.
Так как du/dw ^ 0, условие A2.41) дает для распростра-
распространяющейся волны
— 1L (Jil\2 — 1*м* (dv\2
~ V \dw j ~ V \dw) '
и поэтому мы получаем уравнение
с общим решением
sin
где Wo постоянно. Но так как du/dw ^ 0 или dV/dw ^ 0, мы
можем использовать только половину этой синусоидальной вол-
волны, которая должна непрерывно сопрягаться с двумя другими
решениями V == V, и V = V2. Выбирая для удобства начало от-
отсчета так, чтобы Wo = 0, мы получаем в конце концов решение
в виде распространяющейся волны
V =
при | х — st К я 1/27/B
Vl при х - st < - я 1/27/B Уу
V2 при x-
A2.44)
ly Отрицательный скачок мог бы явиться результатом убывания энтропии
без соответствующего возрастания ее где-либо в другом месте, что противо-
противоречит второму закону термодинамики. Соображения устойчивости (фон Ней-
Неймана) показывают, что отрицательный скачок сразу же распадается в веер
разрежения, в котором изменения происходят непрерывно и энтропия не ме-
меняется.

314
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
Аналогично, полное и псевдовязкое давления в области скачка,
т. е. при \х — 5/К я |/2//B V\ + 0» даются формулами
р + q =
-P2 Y+l
sin y{y+
sin
x - s/)//
и предполагаются постоянными перед фронтом скачка (р =
= p2i q = 0) и за скачком (р = рь <7 = 0)- На рис. 12.1 пока-
показаны графики V, р -\-q и q для
типичного случая.
То обстоятельство, что соот-
соотношения Гюгонио точно удовле-
удовлетворяются данными решениями,
означает, что этот «размазан-
«размазанный» скачок распространяется
с точно такой же скоростью, как
и разрывный скачок для задан-
заданного давления р\ за фронтом, и
Рис. 12.1. Свойства стационарного
скачка с учетом псевдовязкости.
Типичные решения, соответствующие фор-
формуле A2.44) и следующим за ней формулам:
профили удельного объема, полного давления
и псевдовязкого давления.
порождает точно такое же возрастание энтропии. (Это не яв-
является неожиданным, потому что соотношения Гюгонио выво-
выводятся из законов сохранения массы, количества движения и
энергии, а эти законы сохранения вытекают непосредственно из
уравнений A2.40) независимо от предположения о форме q.
При этом, конечно, существенно, что одно и то же полное дав-
давление р + q входит в уравнение энергии и в уравнение движе-
движения.) Следовательно, это решение является приемлемой ап-
аппроксимацией действительного скачка, если его толщина, рав-
равная приблизительно 2/ или 3/, достаточно мала1).
]) Подлинная толщина, получающаяся на практике, несколько меньше,
чем расстояние {\^2/(у + 1) л/) между штриховыми линиями, на рис. 12.1;
точки сопряжения полуволны синусоиды и прямых, соответствующих постоян-
постоянным значениям, при .численном решении, конечно, незаметны. Если эффектив-
эффективную толщину определять как полное изменение V, деленное на максимальный
наклон dV/dW, то для аналитического решения A2.44) получается
J^2/(y + 1J/; приблизительно то же самое получается при численном ре-
решении.

§ 12.11. КОНЕЧНО РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 315
§ 12.11. Конечноразностные уравнения
Конечноразностные системы можно получать различными
способами, например модифицируя уравнения A2.10) вклю-
включением в них членов с псевдовязкостыо. В этих членах мы заме-
заменим / на я Дл;, где а — безразмерная постоянная, заключенная
между 1,5 и 2,0, что дает толщину скачка в 3—5 шагов Дл;:
Если шаг меняется, то в местах с более крупной сеткой это
приведет к большей толщине скачка.
П. Лаке заметил [1954, стр. 165], что приравнивание / =
= акх влечет (или по меньшей мере подсказывает) некоторое
фундаментальное несоответствие. Предельный переход при Д/
и Дх->0 предположительно приводит к точному решению диф-
дифференциальных уравнений A2.40) при фиксированном /, а ре-
решение уравнений A2.40) предположительно стремится к точно-
точному решению исходных уравнений гидродинамики (включая
соотношения Гюгонио) при /->0; но нет видимых аргументов
для утверждения, что получится тот же самый результат,
когда Д/, Да: и / стремятся к нулю совместно при / = а&х. Ко-
Конечно, при реальных вычислениях предельный переход не вы-
выполняют до конца, а удовлетворяются некоторым множеством
значений а, Д/, Дл:; тем не менее вопрос, поставленный Лаксом,
вполне уместен, потому что если при предельном переходе в са-
самом деле необходимо полагать Д/, Дд:->0 сначала при фикси-
фиксированном /, то можно было бы заключить, что численное реше-
решение может быть точным только при а > 1. Данные, которыми
мы располагаем (см. § 12.13), показывают, однако, что это ре-
решение может быть весьма точным для значений а, равных 1
или 2, но это в известном смысле следует считать некоторым
счастливым совпадением.
Наиболее часто применяются такие разностные уравнения:
м
vCC-1
1
vn+l _ *
Po (r/+i) ~(ry)
\ %>П , I Pj+l/2
ро Дг п
A2.45)

316 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
vn 2+у"-' [F")"+'/J2> если F")/+V. <0,
О, если Fu)/+i/, ^ 0.
Здесь а = 1, 2, 3 для случаев симметрии слоя, цилиндрической
и сферической симметрии соответственно.
Нужно отметить, что (f\+\lt подобно uj в действительности
центрировано по времени при t = tn~l/2> так что член с q в чет-
четвертом из уравнений A2.45) центрирован правильно, а во вто-
втором уравнении неправильно. Однако не стоит переписывать
второе уравнение, центрируя его: действительно, поступая так,
можно прийти к неустойчивости, если не делать это частным и
не очень удобным способом. Быть может, можно оправдать не-
неправильное центрирование q тем, что q не является физической
величиной, имеющей непосредственное отношение к делу, и
поэтому может трактоваться в разностных уравнениях не так
точно, как остальные величины.
Иногда выгоднее выражать q через dV/dt, нежели через
ди/дг. Соответствующая формула имеет вид
что в точности эквивалентно выражению A2.41) в одномерном
случае и имеет такой же главный член, как и выражение
A2.41), в случае цилиндрической или сферической симметрии.
Но теперь вместо / = аДг мы должны писать I = акг(г/1%)а-1
в силу следующих соображений: мы не имеем аналитического
решения, которым можно было бы руководствоваться в слу-
случае цилиндрической или сферической симметрии, но если тол-
толщина скачка мала по сравнению с расстоянием от начала от-
отсчета, то, вероятно, будет приближенно пригодной теория плос-
плоского скачка.
Действительная толщина скачка равна, конечно, интервалу
8R зависимого переменного /?, захватываемому скачком, а не
соответствующему интервалу бг лагранжевой координаты. Тео-
Теория плоского скачка дает, что бг пропорционально / и поэтому
в плоском случае б/? должно быть пропорциональным ldR/дг =
= /ро/р. Следовательно, 8R будет приближенно пропорциональ-
пропорциональным /ро/р также и в неплоских случаях.
Однако требуется не постоянство длин интервалов б/?, за-
захватываемых скачками, а постоянство числа узлов сетки, захва-
захватываемых ими (примерно 3—5 узлов), следовательно, мы по-
полагаем бг = аДг, где а, как и ранее, — безразмерная величина,

§ 12.11. КОНЕЧНОРАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 317
т. е. полагаем
6г = -^- = (й{е ,
dRIdr (r/Rf1 (po/p)
что дает результат, установленный для /. Поэтому мы заменим
последнее уравнение A2.45) уравнением
Л/ "J A2.46)
если
i в противном случае.
Множитель (ry+i//?y+iJa будет играть важную роль в много-
многомерных задачах. При желании этот множитель можно центри-
центрировать по времени так:
но нет оснований для его центрирования по пространству, по-
потому что он уже имеет второй порядок точности, если г и R
взяты в одной и той же точке пространства. Мы написали
/+ 1 вместо /, чтобы устранить неопределенность в начале от-
отсчета, где го = /?о = О.
Отсутствие аналогичного множителя в последнем из урав*
нений A2.45) можно усмотреть, замечая, что замена в исход-
исходной формуле A2.45) (б/?J через (бгJ в точности компенси-
компенсируется заменой (du/dRJ через (ди/дгJ.
Если применяются переменные Эйлера, то соответственно
полагают
О в противном случае
и / = aAR, так что в разностных уравнениях
??+./, Н ПРИ *ж-"?< О, A2.47)
| 0 в противном случае.
Это уравнение имеет по существу ту же форму, что и послед-
последнее уравнение A2.45), но вследствие отличного значения ниж-
нижних индексов приводит к иному результату: действительная
толщина скачка равна теперь не бг, а б/?, т. е. постоянна.

318 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч_И
Многими авторами были предложены и опробованы другие
способы введения искусственной вязкости, но мы не будем на
них останавливаться, поскольку нам кажется, что все они
уступают методу Лакса — Вендроффа, который будет описан
в§ 12.14.
§ 12.12. Устойчивость конечноразностных уравнений
Для исследования устойчивости уравнений A2.45) приме-
применяется обычный интуитивный подход: выписываются уравнения
в вариациях для разностных уравнений, коэффициенты рас-
рассматриваются как (почти) постоянные (в любой малой об-
области) и применяется теория, изложенная в гл. 4. В случае
симметрии слоя с простым уравнением состояния 8 =
= pV/(y — 1) эта программа может быть доведена до получе-
получения пробного условия устойчивости. Однако возникает еще
одна трудность в связи с неизбежным существенным измене-
изменением коэффициентов (полученных после линеаризации) на рас-
расстояниях, сравнимых с Дх; влияние этого обстоятельства рас-
рассматривается в конце настоящего параграфа и в следующем
параграфе. Удобно брать и, V9 p и q в качестве зависимых пе-
переменных, так что матрица перехода G(A/, k) будет иметь чет-
четвертый порядок. Предположим, что мы имеем дело с областью
плоскости ху ty в которой всюду ди/дх ^ 0, как в примере со
стационарным скачком, рассмотренным в § 12.10. (В области,
для которой ди/дх ^ 0, член с псевдовязкостью отсутствует, и
условие устойчивости такое же, как и в § 12.5.)
Заметим, что мы допускаем, что изменение и не меняет знака
6и?+1/2 в последнем уравнении A2.45); это, очевидно, верно для
точек, в которых член нулевого порядка 6му+|/1 отрицателен,
потому что первая вариация по определению предполагается
меньшей, чем любая не обращающаяся в нуль величина ну-
нулевого порядка. Если же величина нулевого порядка равна
нулю, то вариация qn в любом случае обращается в нуль с точ-
точностью до первого порядка. Можно установить, что два из
собственных значений матрицы G(&tt k) равны X = 1 и А = 0
и не зависят от А/ и k. Другие два собственных значения удо-
удовлетворяют квадратному уравнению
=0,
где введены обозначения
дх ~ V dt

§ 12.12. УСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНОРЛЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ 319
(это — величины нулевого порядка, играющие роль коэффици-
коэффициентов в уравнениях для вариаций; их следует трактовать как
локально постоянные, и поэтому их верхние и нижние индексы
опущены) и, как и ранее, р = kkx/2, a I = акх—множитель,
входящий в коэффициент при q в уравнении A2.41). Из квад-
квадратного уравнения для X очевидно следует, что для устойчи-
устойчивости при А/, Да:—>0 и фиксированном / в любом случае тре-
требуется, чтобы Д/ = О [(Да:J]. Поэтому если мы положим
At/(Да:J = const и устремим А/ и Да: к нулю, то корни квад-
квадратного уравнения в пределе будут равны
Я=1 и *=l-
Так как г положительно, то для устойчивости требуется выпол-
выполнение неравенства
8/2г[Д//(ДхJ]<2. A2.48)
В первом издании приводились рассуждения с целью пока-
показать, что с точностью первого порядка корни этого квадратного
уравнения равны
Я = 1 + О (Д/) и Я = 1 - 8/2з [Д//(Д*J] sin2 р + О (Д/).
Тогда неравенство A2.48) гарантировало бы выполнение усло-
условий фон Неймана. Теперь эти рассуждения кажутся сомни-
сомнительными частично из-за ошибки в квадратном уравнении, до-
допущенной в первом издании и обнаруженной Дж. Уайтом из
Лос-Аламоса, который детально изучал вопрос об устойчивости,
и частично из-за неполного учета всех членов первого порядка.
Во всяком случае такое рассмотрение устойчивости дает лишь
приближенную ориентировку в этом вопросе (причины этого
будут изложены в следующем абзаце) и должно быть допол-
дополнено экспериментальными исследованиями, подобными описан-
описанным в § 12.13. Поэтому мы ограничимся членами нулевого по-
порядка и примем неравенство A2.48) в качестве пробного усло-
условия устойчивости.
Независимо от нестрогости вывода смысл неравенства
A2.48) не вполне ясен в силу следующих соображений: поня-
понятие устойчивости связано с поведением решения при Д?, Да:, стре-
стремящихся к нулю, и начинает приобретать смысл только при Д/ и
Да: значительно меньших, чем все времена и расстояния, харак-
характеризующие данный физический процесс, в частности при Да:,
значительно меньших, чем толщина скачка, т. е. при Да: <С /. Од-
Однако Да: никогда не делается столь малым, потому что мы всегда
преднамеренно выбираем / сравнимым с Да:. В силу этих сообра-
соображений неравенству A2.48) не хватает не только строгости вы-
вывода, но и точности; однако оно может служить грубым руко-
руководством для выбора шага.

320 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. И
Можно подумать, что в вопросе об устойчивости получится
лучшее приближение, если положить / = а&х и считать Д//Д*
и а фиксированными при Д/, Дл:->0. Это неудобно тем, что
в области скачка величины нулевого порядка р, q, V и и будут
представляться все более и более крутыми графиками, так что
даже при самом богатом воображении их нельзя считать ло-
локально почти постоянными, но это дает правильный результат
в области между скачками. Таким путем получается условие
*1, A2.49)
в котором мы узнаем условие Куранта — Фридрихса — Леви,
потому что c=]/ypV — адиабатическая скорость звука,
а ДХ = р0УДл;— расстояние между двумя точками, лагранжевы
координаты которых отличаются на Дат. Мы видим, таким обра-
образом, что введение членов с псевдовязкостью не изменяет устой-
устойчивости обычных разностных уравнений для гладкого течения
жидкости.
При использовании условия A2.48) на практике нужно иметь
оценку для величины нулевого порядка
I ди ^ 1 дУ
Z VpQ дх V dt '
и для получения этой оценки мы воспользуемся аналитическим
решением A2.44) для плоского стационарного скачка. Полу-
Полученное таким образом значение z изменяется при переходе че-
через область скачка, и, очевидно, мы должны использовать мак-
максимум z, который находится без особого труда. Полагая
I = аДх, мы можем придать условию A2.48) следующий вид:
где 5 — скорость скачка (точнее, производная по времени от
лагранжевой координаты скачка), а ц = V^Vi — коэффициент
сжатия объема при переходе через скачок.
Чтобы сравнить два условия A2.49) и A2.50), которые при-
применяются вне и внутри скачка соответственно, обозначим через
Pf и Vf давление и удельный объем непосредственно за скач-
скачком *) и положим
Lf часто называют «числом Куранта». После несложных преоб-
преобразований неравенства A2.50) с помощью соотношений Гюго-
1?) Очевидно, что если условие A2.49) выполняется за скачком, то оно бу-
будет выполняться также и перед скачком, так как скорость звука перед скач-
скачком меньше, а удельный объем больше, чем за скачком.

§ 12 13. ЧИСЛЕННАЯ ПРОВЕРКА МЕТОДА ПСЕВДОВЯЗКОСТИ 321
нио можно записать эти два условия следующим образом:
L
f ^ 2а (Л -1) * A2*51)
Для достаточно слабых скачков (ц — 1 мало) At ограничивает-
ограничивается первым из этих неравенств, а для сильных скачков более су-
существенным является второе. Если нельзя оценить интенсив-
интенсивность скачка, то можно просто предполагать худшее: наиболее
ограничительное условие для L/ получается при бесконечно
сильном скачке, для которого ц = (у + 1)/(V—1)> и тогда мы
находим, что
/^/ A2.52)
Соответственно этому для задач с очень сильными скачками
метод псевдовязкости уменьшает допустимые Д/ примерно на
множитель Yy/{2a), который практически приблизительно равен
1/3. Для прочих задач это уменьшение допустимых Д/ оказы-
оказывается меньше и определяется неравенствами A2.51).
[Дж. Уайт из Лос-Аламоса сообщил нам о следующем часто
используемом условии устойчивости для метода псевдовяз-
псевдовязкости:
JL + 4а2
где через L обозначена левая часть неравенства A2.49), а вто-
второй член является разностной аппроксимацией половины левой
части неравенства A2.48).]
Как уже было отмечено выше, этим результатам не хватает
не только строгости вывода, но и точности содержания. Числен-
Численные эксперименты, описанные в следующем параграфе, наводят
на мысль, что действительное ограничение Lj для сильных скач-
скачков несколько слабее второго неравенства A2.51), а для сла-
слабых скачков несколько сильнее его.
§ 12.13. Численная проверка метода псевдовязкости
Численная проверка метода осуществлялась различными ис-
исследователями разными способами. В одной серии расчетов,
проведенной на машине УНИВАК, использовались уравнения
A2.45) при а=1 и при \{<§, V) = (y—\)&\V. Можно считать,
что в этом случае уравнения описывают движение идеального
газа в трубе. Газ сначала покоится под давлением /?о, а затем
на одном конце трубы прикладывается давление Пр0, где П > 1,
как в случае поршня под постоянным давлением.
11 За к. 1300

322
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
Машина рассчитывала движение гава в отрезке трубы, на-
начинающемся с поршня и представленном сеткой из 30 точек.
Давление как функция х для этих 30 точек в некоторый момент
времени может быть таким, как показано на рис. 12.2, где на-
наличие скачка очевидно. С течением времени этот скачок дви-
движется вправо, и машина автоматически определяла его поло-
положение Jt = ?(/), находя точку, в которой давление равно
(ро + Про)/2; эта точка находилась как обращение линейной
интерполяции значений р в узлах сетки. Когда скачок достигал
Рис. 12.2. Профиль давления для стационарного скачка, полученный из раз-
разностных уравнений; а2 = 4,0; 11 = 5,0; у = 2,0; Lf = 0,2236.
20-го узла сетки, машина автоматически прибавляла 10 узлов
сетки с внешним давлением ро впереди скачка и снимала 10 уз-
узлов сетки, примыкающих к поршню. Таким образом, за движе-
движением скачка можно следить неограниченно долго, хотя в каж-
каждый момент времени при вычислениях рассматривается только
30 узлов сетки.
К началу работы машины в нее должны быть введены значе-
значения П, у. а2 и Д/. Затем машина автоматически следила за
скачком, как это было описано выше. После некоторого на-
начального периода, достаточного для того, чтобы скачок принял
стационарную форму и ушел по меньшей мере на 10 узлов сет-
сетки от поршня, машина начинала определять его положение
l(t) и другие величины для следующих 100 шагов, т. е. для
времени 100 At.
Машина вычисляла скорость скачка путем подгонки ?(/)
как функции от t к прямой по методу наименьших квадратов,
удельный объем V и скорость и частиц жидкости за скачком
путем усреднения по последним пяти (или десяти) точкам,
а также толщину скачка для оценки максимума наклона давле-
давления как функции х. Затем она печатала краткую таблицу, со-
содержащую значения этих величин (определенные, как описано
выше), их вероятные погрешности (определенные по отклоне-
отклонениям от точных значений на протяжении 100 шагов), а также

§ 12.13. ЧИСЛЕННАЯ ПРОВЕРКА МЕТОДА ПСЕВДОВЯЗКОСТИ
323
их теоретические или точные значения (определенные из урав-
уравнений Ренкина — Гюгонио). Машина также записывала более
подробные таблицы на магнитную ленту для последующего
вывода на печатающее устройство, управляемое магнитной лен-
лентой (эти таблицы содержали полные профили давления, удель-
удельного объема, скорости частиц жидкости, энергии и энтропии
для последних пяти шагов), а затем ожидала ввода парамет-
параметров следующей задачи.
Рис. 12.2 показывает профиль давления для типичного шага
задачи, в которой отношение давлений П было равно 5,0, а у
и а равнялись 2,0. Таблица, напечатанная машиной при реше-
решении этой задачи, воспроизведена в виде табл. 12.1. (Напечатан-
(Напечатанная машиной таблица здесь несколько преобразована для
того, чтобы привести обозначения в соответствие с принятыми
в тексте.)
Таблица 12.1
Машинный расчет скачка
Дата печатания
0,01Y
0,01П
0,01а2
Величина
Скорость скачка
V E точек)
V A0 точек)
и E точек)
и A0 точек)
интервал сетки
Lf max
Следующий шаг
0,01y и т. д.
17 ноября 1953 г.
002000000000
005000000000
004000000000
005000000000
Теорет.
значение
0,1414213
0,5000000
1,4142135
0,2236067
0,3535533
Эксперим.
значение
0,1414191
0,5025913
0,5013867
1,4143566
1,4141951
3,3651549
Вероятн.
погрешность
0,0000147
0,0000925
0,0000490
0,0001610
0,0001304
0,0023169
Скорость скачка измерялась в интервалах сетки за шаг,
т. е. печаталась величина
м dl(t)
^x dt '
Ширина скачка выражалась через интервалы сетки, а удель-
удельный объем V и скорость частиц жидкости и за скачком — в не-
некоторых единицах, связанных с удельным объемом и скоростью
11*

324
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
звука перед скачком. Как и в предыдущем параграфе, Lf озна-
означает величину числа Куранта за скачком, a Lj-max — величину,
которую Lf должно иметь для того, чтобы вычисления велись
на границе неустойчивости в соответствии с критерием A2.51).
Мы видим, что в этой задаче теоретические и эксперименталь-
экспериментальные значения согласуются очень хорошо (согласование значе-
Скорость скачка
занижена на 0,05%
0,15%
0.05%
Рис. 12.3. То же, что на рис. 12.2, но для более сильного скачка и для
трех различных значений коэффициента псевдовязкости; у = 2,0\ 11=10,0;
Lf = 0,3453.
ний скорости скачка в данном частном случае случайно ока-
оказывается очень хорошим).
По этой программе было проведено несколько десятков рас-
расчетов при различных значениях параметров. Во всех случаях,
когда постоянная а, характеризующая псевдовязкость, была не
меньше чем примерно 3/4, данные «теории» и «эксперимента»
согласовывались исключительно хорошо. На рис. 12.3 изобра-
изображены профили давления для типичного шага в каждой из трех
задач, отличающихся значением а. Для этих задач П было взя-
взято равным 10,0, у было взято равным 2,0, a At было выбрано
так, что число Куранта за скачком равнялось примерно 1/3.
При большом значении коэффициента псевдовязкости получа-
получалась большая толщина скачка и гладкий профиль давления за
скачком, в то время как при малом значении коэффициента

§ 12.13. ЧИСЛЕННАЯ ПРОВЕРКА МЕТОДА ПСЕВДОВЯЗКОСТИ
325
20 -
псевдовязкости скачок оказывался более крутым, но за ним
возникали колебания давления. При выборе значения а нужно
идти на компромисс между желаемой крутизной профиля дав-
давления на скачке и гладкостью профиля за ним. В этих трех
задачах скорость скачка с точностью до 0,1% совпадает со зна-
значением, найденным из
уравнений Гюгонио.
Рис. 12.4 показывает,
что происходит, когда
член с псевдовязкостью
опускается (коэффициент
полагается равным ну-
нулю). За скачком получа-
получаются резкие колебания
давления, и скорость
скачка определяется с
ошибкой в 10%.
Быть может, нужно
отметить, что эти колеба-
колебания не означают неустой-
неустойчивости. Вычисления, ре-
результаты которых приве-
Р и с. 12.4. То же, что на
рис. 12.2, но при полном отсут-
отсутствии псевдовязкости; а2 = 0;
11 = 5,0; Y = 2,0; Lf = 0,2236;
скорость скачка завышена на
10,4%.
30
дены на рис. 12.4, могут быть продолжены сколь угодно дол-
долго, причем амплитуда колебаний будет оставаться примерно
такой же, как показано. Этим колебаниям в действительности
может быть дано физическое истолкование. Конечноразност-
ные уравнения приближенно описывают движение некоторой
модели жидкости. В этой модели масса сконцентрирована в не-
нескольких тонких паралелльных пластинках, пространство меж-
между которыми заполнено невесомой сжимаемой жидкостью, слу-
служащей упругим элементом. При движении скачка пластинки
приходят в движение, подобно молекулам газа (одномерного
газа в данной задаче). Р. Пайерлс указал (неопубликованная
работа, Лос-Аламос), что эти колебания аналогичны теплово-
тепловому возбуждению молекул и что они представляют внутреннюю
энергию, которая должна появиться в жидкости после прохож-
прохождения скачка согласно уравнениям Гюгонио. Целью введения

326
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
псевдовязкости является превращение этой энергии колебании
в действительно внутреннюю энергию.
Программа для УНИВАКа, описанная выше, применялась
также для изучения устойчивости разностных уравнений. Зада-
Задача решалась при заданных значениях П, у и а и при различ-
различных значениях А/. Если при выбранном значении А/ решение
задачи шло гладко и нормально для 100 шагов и давало со-
согласование между «теорией» и «экспериментом» с точностью
0,5
\
\ Теоретический
\ предел устойчивости
Наблюдаемый
предел устойчивости
2,0
Рис. 12.5. Результаты численного исследования устойчивости разностных
уравнений с учетом псевдовязкости; у = 2,0; а2 = 4; r\ = Vi/Vf, Lf = r\c Д//Д*;
с — адиабатическая скорость звука за скачком.
до 1 % или лучше, то уравнения с этим значением А/ считались
устойчивыми. Во всех остальных случаях машина останавлива-
останавливалась из-за переполнения, потому что некоторая величина выхо-
выходила за предела шкалы задолго до завершения 100 шагов.
В этих случаях уравнения считались неустойчивыми.
Рис. 12.5 показывает результат исследований такого рода
при у = 2,0 и а = 2,0. Изучались три скачка различной интен-
интенсивности, соответствующей значениям коэффициента сжатия
т] = 1,4, 2,0 и 2,383 !). В каждом из этих случаев конец стрел-
стрелки, направленной вверх, показывает значение L/, для которого
уравнения устойчивы, а конец стрелки, направленной вниз, по-
показывает значение L/, для которого они неустойчивы. Пунктир-
Пунктирная линия была проведена посередине между стрелками, чтобы
дать приближенно наблюдаемый предел устойчивости. Сплош-
Сплошная линия изображает теоретический предел устойчивости, оп-
!) При у ^ 2,0 наибольшее возможнее значение коэффициента сжатия
г] равно 3,0.

§ 12.14. МЕТОД ЛАКСА — ВЕНДРОФФА 327
ределяемый неравенствами A2.51). Мы видим, что уравнения
несколько более устойчивы для сильных скачков и несколько
менее устойчивы для слабых скачков, чем можно было ожи-
ожидать.
§ 12.14. Метод Лакса — Вендроффа для расчета
движения скачков
Введение искусственной вязкости приводит к затуханию вы-
высокочастотных компонент решения в процессе вычислений.
Любую разностную схему, для которой такие компоненты зату-
затухают, можно считать схемой с включением вязкости, даже если
в ней нет специальной группы членов, которые можно было бы
считать представляющими вязкость. Обычно уравнения такой
схемы можно переписать так, что диссипативные члены появ-
появляются как поправка к другой схеме, не подавляющей высоко-
высокочастотные компоненты.
Схему Лакса — Вендроффа A2.22) для уравнения
где U — вектор, а Л — постоянная матрица, можно представить
в виде
и может показаться заманчивым рассматривать правую часть
этого уравнения как аппроксимацию диссипативного члена
l/2ktA2d2l}/dx2, который поэтому мог бы быть включен и в диф-
дифференциальное уравнение. Но это было бы некорректно, потому
что так приписанный диссипативный член имеет тот же поря-
порядок, что и погрешность аппроксимации левой части; в таком
случае можно было бы переносить члены из одной части
в другую и получать множество поправок к дифференциально-
дифференциальному уравнению, в том числе и недиссипативных. Для того чтобы
сделать выбор диссипативного члена однозначным, предполо-
предположим, что U = U (л:, /) —точное решение уравнения
A2.55)
и постараемся определить оператор Q так, чтобы
т DгТ (U'+IU' + u?-l}=° [(л'L]' A2t56)

328 ГЛ. 12 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
а не О [(А/K], как это имеет место при отсутствии члена QV
в уравнении A2.55). Считая Q таким дифференциальным опе-
оператором с постоянными коэффициентами, что QU = O[(A/J],
разложим все члены в A2.56) в ряды Тейлора в окрестности
точки / A.v, n AI и приравняем нулю сумму членов порядка
(Л/K; используя уравнение A2.55), находим, что
QU = -±A [(A.vJ - Л2 (А/J] ^г. A2.57)
К сожалению, дифференциальное уравнение A2.55) с таким
оператором QU не диссипатпвно, хотя оно является дисперсион-
дисперсионным, т. е. различные ф>рье-компоненты точного решения этого
уравнения распространяются с различными скоростями, но без
изменения амплитуды.
Чтобы получить диссипативный член, необходимо в соотно-
соотношении A2.56) заменить О [(А/L] на О [(А/M]; тогда Q заменит-
заменится на Q -\- Q\ где добавочная поправка Q'U дается равенством
Q'U = - 1 Л2 А/ [(АхJ - {A A/J] -|jr A2-58)
и вводит диссипацию в A2.55). Это приводит к тому, что ампли-
амплитуда фурье-компоненты exp(ikx) уменьшается как ехр(—const-
•k4t) при условии, что разность (АхJ— (XА/2) положительна
для каждого собственного значения К матрицы Л, как это не-
необходимо для устойчивости.
Аналогичный анализ разностных уравнений фон Неймана —
Рихтмайера A2.45) показывает, что в этом случае поправка
наинизшего порядка (а именно порядка (А/J) одновременно
является как дисперсионной, так и диссипативной.
Иногда приводятся возражения, что уравнения Лакса —
Вендроффа должны быть в некотором смысле менее точными,
чем центрированные или «петлеобразные» уравнения вследст-
вследствие затухания таких фурье-компонеит ехр(/?х), для которых
kAx ~ 1, что не имеет места для «петлеобразных» схем и для
самих дифференциальных уравнений. Эти возражения отпадут,
если учесть фазы фурье-коэффициентов, которые при Л Лл: — 1
в действительности искажаются как схемой Лакса — Вендроффа,
так и петлеобразной схемой на величину порядка FАхK, оди-
одинаковую для обеих схем и на порядок большую, чем величина
искажения (затухания) амплитуд. Нам кажется, что при этих
обстоятельствах сохранение неизменными амплитуд высокоча-
высокочастотных фурье-компонент является излишним.
Возможно, следует отметить, что диссипация не приводит
к какой-либо потере энергии или других сохраняющихся вели-
величин: часть кинетической энергии, соответствующая высокоча-

§ 12 14. МЕТОД ЛАКСА - ВЕЫДРОФФА 329
стотным колебаниям, переходит во внутреннюю энергию жид-
жидкости.
Представляется более удобным изучать влияние диссипации
на уровне разностных, а не дифференциальных уравнений. Лак-
сом и Вендроффом [1960] был достигнут известный успех в те-
теоретическом понимании аппроксимаций решений со скачками,
полученных с помощью диссипативных разностных уравнений
типа Лакса —Вендроффа (их результаты подытожены в конце
этого параграфа), но основные доводы в пользу этого метода
до сих пор остаются эмпирическими.
В качестве примера мы рассчитывали с помощью уравнений
Лакса — Вендроффа распространение плоского стационарного
скачка в идеальном газе; серия вычислений аналогична описан-
описанной в § 12.13 в связи с методом фон Неймана — Рихтмайера.
Была использована двухшаговая схема A2.24а), A2.246), в ко-
которой векторы U и F(U) задавались соотношением A2.21), и
уравнение состояния было принято в виде f(&>V)=p =
= (v—1)«71Л
Изучавшаяся краевая задача состояла в том, что поршень
вдвигался в трубу с первоначально покоящимся газом постоян-
постоянной силой, создающей давление, в пять раз большее первона-
первоначального. Профиль скорости вблизи фронта скачка для двуч
случаев показан на рис. 12.6 и 12.7 —оба в тот момент, когда
скачок ушел по трубе от поршня на 80 точек сетки (всего было
100 точек). Положение скачка определялось абсциссой, в кото-
которой скорость равнялась половине ее конечного значения, а это
положение находилось линейной интерполяцией. Скорость скач-
скачка определялась по времени его прохождения от 20-й по 80-и
точки сетки. Было найдено, что так определенная скорость скач-
скачка с точностью до малых долей процента согласуется с теоре-
теоретической, вычисленной по соотношениям Гюгонио A2.37).
Фронт скачка получается достаточно крутым, но за ним воз-
возникают колебания, которые весьма малы, когда число Куранта
г Vo сМ
принимает далеко позади скачка максимально допустимое зна-
значение С/ = 1,0. Эти колебания заметно больше, когда С/ = 0,5.
Лаке и Вендрофф [1960] показали, как уменьшить эти коле-
колебания путем введения в разностные уравнения диссипативных
или вязких членов. Позднее было установлено (Лаке, Бурстейн,
Лапидус, частное сообщение), что эти дополнительные члены
оказываются необходимыми для предотвращения нелинейной
неустойчивости в некоторых задачах. Причина этого состоит
в том, что если одно из собственных значений матрицы А рав-
равно нулю, то соответствующее собственное значение g матрицы

330
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
перехода G, определяемой равенством A2.25), при всех а (т. е.
при всех k) равно единице, а не меньше ее для k > 0. Иначе
говоря, в этом случае система не будет диссипативной в смысле
Рис. 12.6. Расчет движения
скачка по схеме Лакса — Вен-
дроффа; Cf = 0,5; / = 0,28398;
5ЭКсп = 2,828294;
5ТеоР = 2,828428; Ркон/^нач =
= 5,0; у = 3,0.
f,5
1,0
n
-lltll -Л
-
-
i i
Рис. 12.7. То же, что на
рис. 12.6, но для большего зна-
значения Д/; Cf=l,O; / = 0,28398;
2,828101;
28 Р/^
5теор
Эксп ,
2,828428;
5,0;
70
75
i
85 90
Крайса (см. § 5.4), так что нелинейность может привести к не-
неустойчивости. Собственные значения матрицы А равны и и и ± с,
и поэтому возникает опасность появления неустойчивости в точ-
точке покоя или в точке звуковой скорости. Предложение Лакса и
Вендроффа [1960] состояло в том, чтобы добавить к правой ча-
части уравнения A2.22) член, представляющий искусственную
вязкость и имеющий вид
A/
2Ajc
- Uy) - Q/-./2 (Uy - U/-i
где Q/+i/s = Qy+y, (U/, U/+i) — матрица, которая выбирается
так, чтобы получить желаемый эффект диссипации, когда Uj и
U значительно отличаются одно от другого, и сделать его

§ 12.14. МЕТОД ЛАКСА - ВЕНДРОФФА 331
пренебрежимо малым, когда они почти равны. Выбор, сделан-
сделанный Лаксом и Вендроффом, основывается на следующих со-
соображениях: 1) если матрица А постоянна, то выбором таких
новых зависимых переменных в разностных уравнениях A2.54),
которые диагонализируют матрицу Л, эти уравнения разде-
разделяются на р (р = 3 в случае уравнений гидродинамики) неза-
независимых скалярных уравнений, и естественно добиваться, что-
чтобы диссипация была эффективной для каждого из этих уравне-
уравнений; 2) для одного скалярного уравнения желательный эффект
диссипации и удовлетворительный профиль скачка полу-
получаются при
Qi+42(Uh UJ+{) = yi\A(UJ+l)-A(Ul)\9
где к—безразмерная постоянная порядка 1, а Л = dF/dU; те-
теперь F и U—скалярные величины. Чтобы удовлетворить этим
требованиям, матрица Q/+y, должна быть перестановочной
с матрицей Л, которую в случае переменных коэффициентов мы
интерпретируем как Л/+у2 = A {l/2Uj + l/2 Uj+\), и /-е собствен-
собственное значение матрицы Q/+./2 должно равняться x|aj+l—а{|,
где а1! и aj+l суть t-e собственные значения матриц A(Uj)
и A(Uj+i). Эти соображения приводят к выбору
где g(-)—многочлен степени р—1 (т. е. степени 2 для
уравнений гидродинамики), который должен равняться
и|ву+1 —a/|t к0ГДа его аргумент равен alJ+l/2, т.е. i-му соб-
собственному значению матрицы Л/+у2; следовательно, это интер-
интерполяционный полином Лагранжа. Коэффициенты этого поли-
полинома являются функциями от компонент векторов lij и UJ+i.
Если матрица А постоянна, то g(-)=0, так как величина
IЯ/+1—Д/| обращается в нуль при любом i\ в общем случае
главный диссипативный член (в который входит вторая раз-
разность от U) получается заменой Q на константу, что дает
(A//2Ajc)Q62LI. Поэтому к матрице перехода A2.25) для уравне-
уравнений Лакса — Вендроффа добавляется дополнительный член
— (A//Ax)Q(l —cos а); так как собственные значения матрицы Q
неотрицательны и, вообще говоря, положительны в области
быстрого изменения коэффициентов (такой, как скачок), где
нелинейные эффекты наиболее ярко выражены, действительные
части (а следовательно, и модули) собственных значений g мат-
матрицы G в общем случае уменьшаются даже в тех точках, где соб-
собственное значение матрицы А обращается в нуль. Если а и q яв-
являются соответствующими собственными значениями матриц А
и Q, то собственное значение матрицы G равно

332 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) -Ч. II
В гладкой части течения q <C а, но в области скачка величина
qy равная x|flj+i— flj|, может быть сравнимой с а. Предполо-
Предположим, однако, что даже на скачке q не превосходит ум0, где а0 —
максимальное по модулю собственное значение матрицы А.
Эллипс в комплексной плоскости, характеризующий g как функ-
функцию от а, лежит внутри единичной окружности, если в приве-
приведенном выше равенстве выражение в квадратных скобках не
превосходит единицы. Поэтому условием устойчивости является
неравенство
которое для уравнения гидродинамики в эйлеровой форме при-
принимает вид
a0 At ,, . , ч At
Ах v' ' ' ' Ах
Это условие оказывается более ограничительным, чем условие
Куранта, Фридрихса и Леви — например на множитель 0,78 при
к = 0,5.
Лапидус (частное сообщение) показал, что несколько моди-
модифицированная вязкость Лакса — Вендроффа, которая имеет тот
же самый главный член (A//2Aa;)Q62U, может быть введена
в двухшаговый метод § 12.7 для системы третьего порядка, по-
подобной гидродинамической, где g(A) = go + giA + g2A2. Ура-
Уравнения A2.24a, б) заменяются уравнениями
Urc + Va 1 (ш\п _|_ ш\п\ 1 / Д^ | _.+\ (т?п т?п\
где /?+, g+, g+ — коэффициенты полинома, который выра-
выражает Q/+1/2 через Л/+|/г, a g-, gp, g- — коэффициенты поли-
полинома, выражающего Q/-v2 через Л/_у2.
Если применяются зависимые переменные A2.21) в форме
Лагранжа, то формулы становятся несколько проще. В этом
случае собственные значения матрицы А равны 0 и ±с\ где
с' = Voc/V, а с — адиабатическая скорость звука. Так как с за-
зависит от V и С, то c/ = ?>/(U). Тогда g(-) сводится только

§ 12.14. МЕТОД ЛАКСА-ВЕПДРОФФА 333
к квадратичному члену и
В качестве некоторого теоретического обоснования того, что
эти методы дают правильное описание течений со скачками, мы
приведем два результата Лакса и Вендроффа [1960]. Первый из
них опирается на понятие слабого решения системы, записанной
в дивергентной форме, которое мы сейчас введем. Прежде все-
всего, если U(x, /) — точное решение уравнения A2.16) с задан-
заданным начальным условием Щх, 0) = U°(x), a W(x,/)—любая
гладкая векторная функция с тем же числом компонент, что и
U (именно р компонент), которая обращается в нуль вне ко-
конечной области плоскости xt t (такая функция называется про.б-
ной), то, умножая скалярно обе части уравнения A2.16) на
W(x, /), интегрируя по всем а; и по всем (>0и вычисляя инте-
интеграл по частям, находим, что
Любая функция \i(x, t) независимо от того, является ли она точ-
точным решением, удовлетворяющая этому уравнению при всех
пробных функциях W(x, /), называется слабым решением урав-
уравнения A2.16) с начальным значением и°(л:). Из этого определе-
определения следует (см. Лаке [1957]), что на разрыве первого рода сла-
слабое решение удовлетворяет условию
S[U] = [F(U)],
где [f] означает разность /(* + 0)—f(x — 0) (x—координата
разрыва), а 5 — скорость движения разрыва. Так как компо-
компоненты U и F(U) —плотность и плотность потоков массы, коли-
количества движения и энергии, это условие эквивалентно условиям
Ренкина — Гюгонио, если разрыв представляет собой скачок
уплотнения, и условиям непрерывности давления и скорости
жидкости, если разрыв является контактным. (Это— единствен-
единственно возможные типы простых разрывов.) Применительно к из-
изложенному выше результаты Лакса и Вендроффа заключаются
в следующем.
\. Если решение U/ = U (/A.v, nkf) уравнений Лакса —
Вендроффа A2.22) с вязким членом или без него почти везде
сходится к конечной функции V(x,/), то V(x,/) есть слабое ре
шение дивергентной системы A2.16).

334
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
2. В определенном приближении любое стационарное реше-
решение разностных уравнений содержит просто переход на протя-
протяжении двух интервалов сетки от одного постоянного состояния
к другому, которые образуют либо положительный скачок, ли-
либо контактный разрыв.
§ 12.15. Метод Годунова
В 1959 г. С. К. Годунов описал оригинальный метод реше-
решения одномерных задач со скачками, основанный на использова-
использовании уравнений Лагранжа
= 0, A2.59)
дх
где
V
и
IE J
F(U)=V0
— и
Р
ри J
A2.60)
как и в § 12.7. Общее в методе Годунова и в двухшаговом ме-
методе Лакса —Вендроффа состоит в том, что если U" известны
для всех /, то сначала вычисляются приближенные промежуточ-
промежуточные значения F/+I/J, а затем вычисляются U"+I по центриро-
центрированной формуле
U7+1 - U? = ^-(F^ - F^). A2.61)
Согласно второму равенству A2.60), необходимы только
промежуточные значения и и р. Они получаются из физической
модели, в которой распределение ы, р, Vt E в момент t = nAt
аппроксимируется ступенчатыми функциями, такими, что эти
величины имеют постоянные значения на каждом интервале
((/ — */2)Дх, (/+V2)A*). За время порядка Дх/2с точное пове-
поведение этой модели известно: каждый разрыв немедленно рас-
распадается либо на две ударные волны, либо на две волны разре-
разрежения, либо на одну ударную волну и одну волну разрежения.
(В предельных случаях одна или обе волны могут выро-
вырождаться.) Одна из этих волн движется в направлении возраста-
возрастания лагранжевой координаты х, а вторая — в сторону ее убыва-
убывания. Между волнами в интервале переменного х, который содер-
содержит начальный разрыв, скажем в точке (/+7г)Д^1 и и р
постоянны как по времени, так и по пространству (до тех пор,
пока волны от соседних разрывов не пересекутся), в то время
как V и Е имеют скачки, образующие контактный разрыв в точ-
точке (/+ 7г)Д*- Постоянные значения и и р между волнами бе-
берутся в качестве и*}** и P/+I/J.

§ 12.15. МЕТОД ГОДУНОВА 335
Так как зти значения вообще не зависят от Д/, то ясно, что
они не могут иметь той точности, которую имеют уравнения
A2.24а, б) в двухшаговом методе Лакса — Вендроффа: ошибка
аппроксимации в данном случае составляет О(Длг), потому что
величина каждого предполагаемого разрыва пропорциональна
Дх, даже в области, где истинное течение является гладким.
Ошибка может быть также представлена как О(Д/), поскольку
отношение Д//Дх предполагается постоянным в процессе измель-
измельчения сетки; укажем для сравнения, что ошибка аппроксимации
для уравнения A2.24а) равна О[(Д/J]. Однако метод Годунова
имеет то преимущество, что в нем любые разрывы, которые мо-
могут возникать в реальных течениях, представляются ближе
к действительным, чем в методах, использующих искусственную
вязкость.
Формулы для расчета гидродинамического разрыва с по-
постоянными состояниями по обе его стороны хорошо известны;
сейчас они будут получены в удобной форме при предположе-
предположении, что уравнение состояния соответствует идеальному газу.
Временно обозначим неизвестные P^/l и w/+yJ через р* и и*.
Если волна, движущаяся вправо от точки х =(j + 1/2)&х,
представляет собой скачок, то разрыв в скорости жидкости свя-
связан с разрывом в давлении уравнением сохранения количества
движения A2.35), которое в данном случае принимает вид
М+(и'-*1+1) = р*-р>}+1; A2.62)
здесь М+ обозначает массу жидкости, проходящей через еди-
единицу поверхности скачка в единицу времени, а именно
|/у0 (х = i(t)—координата скачка), и определяется равенством
получающимся из уравнений A2.33), A2.37) и уравнения со-
состояния.
Если вправо движется волна разрежения, а не скачок, то
в плоскости jc, / центральная область, где р и и имеют постоян-
постоянные значения р* и и*, отделяется от области, в которой они
имеют постоянные значения prj+{ и wj*+1, веером, т. е. областью
между двумя прямыми . линиями, исходящими из точки
ро = ((/ + 72)Д*> nkt)\ между этими линиями и, V, р, р зависят
от х и / только через переменное
которую мы обозначим через ц. Тогда второе уравнение систе-
системы A2.59) дает
_^__у dp_

336 Г Л 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. I]
откуда мы получаем уравнение того же вида, что и A2.62),
а именно
М+(и--и7+1) = р'-ру+1, A2.64)
причем теперь М+ определяется равенством
hdu
J
du
j7-ij, A2.65)
в котором интегрирование производится от и* до ну+|, т. е. М+
есть масса, протекающая через единицу площади за единицу
времени в направлении той характеристики внутри веера волны
разрежения, тангенс угла наклона которой равен ц.
Чтобы получить явное выражение для М+, введем в первые
два уравнения A2.59) переменное ц и разрешим каждое из них
относительно dti\dx\\ перемножим результаты и извлечем квад-
квадратный корень:
du/dr\= ]/- (dV/dru (dp/dri).
Далее, V исключается с помощью условия адиабатн г . м
V / Р уш
и то приводит к уравнению
du 2 dc
dr\ у — 1 dr\ '
где через с обозначена скорость звука Уур V; следовательно
величина 2с/(у — 1) —и остается постоянной на волне разреже-
разрежения. Повторное использование условия адиабатичности приво-
приводит к нужному нам выражению
Д« 2 1/^^1 ШГ™ (
Комбинируя формулу A2.62), которая применяется при
р*>р1+1, с формулой A2.66), справедливой при л*<Ру+1, мы
находим, что
М+ = Vpy+i/^y+i9(p*/P/+i)» (I2.67)
где
A2.68)

§ 12.15 МЕТОД ГОДУНОВА 337
Для волны, движущейся влево, аналогичным образом полу-
получаем
— М" [и* - uf) = р* - рпг A2.69)
где
/УЬЧ) A2.70)
Уравнения A2.62) и A2.69) с М+ и М~, выраженными через
функцию ф(-)' определяют р* и и*. Вследствие того, что р* вхо-
входит в ф(-) сложным образом, эти уравнения приходится ре-
решать итерационным методом: если приближенные значения /VI+
и М~ известны (они берутся из предыдущей итерации или с пре-
предыдущего временного слоя в случае первой итерации), то при-
приближенное значение р* находится из уравнения
которое получается путем исключения и* из уравнений A2.62)
и A2.69); затем это значение р* подставляется в уравнения
A2.67) и A2.70) для получения следующего приближения для
М+ и М" и т. д. После надлежащего числа итераций и* опреде-
определяется из A2.62), или из A2.69), или из уравнения
М+ („¦ _ му+1) + м- („¦ _ му) = рп _ pn+iy A2.72)
получаемого исключением р* из A2.62) и A2.69). Если эти ите-
итерации проведены до сходимости, то все три уравнения дают
одно и то же значение и*\ Годунов рекомендует использовать
уравнение A2.72), вероятно потому, что оно дает лучшие ре-
результаты, когда итерации не проведены до полной сходимости.
Согласно Годунову, этот итерационный процесс сходится при
условии, что ни одна из волн не является очень сильной волной
разрежения. В этом случае (который имеет место весьма редко)
если р*^ есть результат /-й итерации, то для получения новых
значений М+ и М~ в функцию ср(-) вместо р* подставляется вы-
выражение
а+1
где а — надлежащим образом выбранная положительная по-
постоянная. Годунов рекомендует для а получаемое из предыду-
предыдущей итерации значение
где з = p*u~n/(Py + P7+i)' (*"*ам не ясно, почему здесь исполь-
используется p*v-l\ а не p*w.)

338
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
Если уравнение состояния не соответствует идеальному газу,
то функция ф(-) задается равенством, отличным от A2.68), и
параметр сходимости а также определяется другой формулой,
а в остальном процедура остается той же самой.
Заметим, что в силу A2.68| функция Ф(ш) непрерывна
в точке w = 1 и что фA) = VYi это значение соответствует
распространению как слабых ударных волн, так и слабых волн
разрешения со скоростью c=Y\pV (т. е. со скоростью cV0/V
относительно лагранжевых координат).
На рис. 12.8 изображен профиль плоского стационарного
сильного скачка, полученный этим методом. Изображенная кри-
кривая заимствована из статьи Годунова, в которой указывается,
Рис. 12.8. Профиль давле-
давления для сильного скачка
(Годунов [1959]).
что в пределах точности графического изображения профиль
скачка остается неизменным для последовательных шагов вы-
вычислений. В статье указывается, что скорость согласования,
к сожалению, не приводится. Этот метод широко применяется
советскими специалистами.
Чтобы сравнить метод Годунова с другими методами, обсу-
обсуждавшимися в этой главе, для гладкой части течения, линеари-
линеаризуем уравнения A2.71) и A2.72), полагая М+ = М~ = c/V и
V = Уо, что приводит к уравнениям
р'=р1Х1=\{рп, + pU-i?;{unm-uD' ,12rn
у \14.IO)
Соответствующая линеаризация уравнения A2.59) в случае
адиабатического течения дает
ди _ т/ др
~дТ~ ° дх '
др с2 ди .
Ж — """ Vq дх9
A2.74)

§ 12.15. МЕТОД ГОДУНОВА 339
следовательно, A2.61) сводится к уравнениям
Dn+\ _ Dn _ ?±i_ _?_
подставляя сюда PniW и «у+!^ из A2.73), получаем оконча-
окончательные уравнения
*1^ v W p?) + К 2"? + "?0
? i K w?0 +
A2.76)
Эти уравнения отличаются от уравнений Лакса — Вендроффа
только тем, что коэффициент при последнем члене равен
V2^A//Aa:, а не l/2(c^t/AxJ. В действительности в линеаризован-
линеаризованном случае они эквивалентны методу Куранта, Изаксона и Риса
(см. § 12.3); в этом методе уравнения записаны в характеристи-
характеристической форме и в каждом уравнении используются простран-
пространственные разности вперед или назад соответственно тому, поло-
положителен или отрицателен наклон характеристики. Если мы по-
положим
o± = p±(c/V0)u,
то уравнения A2.76) примут вид
(П П
Да: \°+1 °+1-\)>
л/ О2-77)
Согласно уравнению A2.74) римановы инварианты а± постоян-
постоянны вдоль опережающей и запаздывающей характеристик соот-
соответственно; уравнения A2.77) аппроксимируют значения о±
в точке сетки (п + 1,/) посредством проведения характеристик
назад к моменту /гД/ и нахождением о± в основании этой харак-
характеристики последующей линейной интерполяцией по х между
двумя соседними точками сетки. Уравнения Лакса — Вендроф-
фа для линеаризованной задачи можно интерпретировать таким
же образом, за исключением того, что интерполяция в общем
случае является квадратичной и использует три точки сетки
/ — 1» /, / —+— 1 в момент пЫ.
Как и для других методов в лагранжевых переменных, усло-
условие устойчивости для метода Годунова имеет вид
"дГ"Т"<1#

340 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
Годунов отмечает, что по крайней мере в линеаризованном
виде эти уравнения обладают тем свойством, что если зависи-
зависимые переменные о± являются монотонными функциями от х
в момент /, то вычисленные значения в момент / + &t также
будут монотонными. Поэтому по крайней мере для слабых скач-
скачков за скачками не наблюдается колебаний, характерных для
методов, использующих искусственную вязкость. Лаке и Вен-
дрофф [1964] высказали соображения, показывающие, что для
разностных уравнений повышенного порядка точности (таких,
как уравнения Лакса — Вендроффа) нельзя избавиться от этих
колебаний, хотя можно свести их к минимуму. Рис. 12.8 пока-
показывает, что и для сильного скачка метод Годунова дает также
крутой и четкий профиль давления без последующих коле-
колебаний.
§ 12.16. Магнитная гидродинамика
В заключение этой главы мы кратко рассмотрим некоторые
задачи магнитогидродинамики, описывающей течение электро-
электропроводящей жидкости в электромагнитном поле. Наиболее важ-
важной областью ее применения является физика плазмы1). Для
наших целей плазму можно считать разреженным ионизован-
ионизованным газом, состоящим из отрицательно заряженных электронов
и положительно заряженных ионов. В простейшей модели мы
рассматриваем плазму как однородную жидкость с плотностью
р, давлением р, внутренней энергией на единицу массы <g\
удельным сопротивлением г| и скоростью и, несущую ток J
в магнитном поле В и электрическом поле Е; электростатиче-
электростатическими силами мы пренебрегаем. Тогда в эйлеровой форме пол-
полная система уравнений включает прежде всего законы сохране-
сохранения массы, количества движения и энергии
pV.u, A2.78)
B, A2.79)
(сравни с уравнениями A2.2) — A2.4), где предполагается, что
давление является скаляром и удовлетворяет уравнению со-
состояния
p), A2.81)
г) В качестве введения в этот предмет см. работы Спнтцера [1956] или
Гомпсона П9621.
У. Томпсона [1962].

§ 12.6. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 341
хотя на практике часто бывает необходимо использовать давле-
давление в тензорной форме, так как магнитное поле приводит к ани-
анизотропии давления). Кроме того, мы имеем уравнения Максвел-
Максвелла, которые без учета тока смещения записываются так:
V-B = 0, A2.82)
mJ = VXB, A2.83)
-^- + VXE = 0, A2.84)
а также закон Ома в простейшей форме
E + uXB=tiJ, A2.85)
где \io—магнитная проницаемость вакуума. Последнее уравне-
уравнение используется для исключения Е из уравнений A2.80) и
A2.84); затем уравнение A2.83) может быть использовано для
исключения J, хотя часто удобнее оставить J как вспомогатель-
вспомогательное переменное. После этих подстановок правая часть уравне-
уравнения A2.79) принимает вид
где В— модуль вектора В, а уравнение A2.84) переходит в
(^ + и • V) В = - В (V • и) + (В • V) и + (Ч/ЛО V2B. A2.86)
Некоторое упрощение получается в случае симметрии слоя,
так как из уравнения A2.82) тогда следует, что компонента Вх
вектора В остается постоянной. Но для сравнения приведенных
выше уравнений с гидродинамическими желательно рассмот-
рассмотреть сначала результат, получающийся в случае, когда Вх = 0
и удельное сопротивление ц = 0. Тогда B-V = 0 и уравнение
A2.86) становится идентичным уравнению непрерывности
A2.78); магнитное поле переносится вместе с жидкостью так,
что В/р является функцией только лагранжевой пространствен-
пространственной переменной. Действительно, в этом случае полная система
уравнений приводится к уравнениям гидродинамики A2.5),
в которых давление заменено на р* = р + [1/Bjlio)]B2, а вну-
внутренняя энергия на %** = <§ + [l/B[io)]?2/p. В условиях устой-
устойчивости для явных разностных схем местная скорость звука те-
тетерь заменяется магнитозвуковой скоростью (с2 + с2АI/\ где
сА= Bj([i0p)l/2 — скорость Альфвена.
Что касается практических задач, то основное отличие от
обычной гидродинамики состоит в том, что области с нормаль-
нормальной плотностью плазмы и интенсивностью поля часто окружены

342 ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. П
областями с сильными полями и очень низкими плотностями,
где скорость Альфвена соответственно очень велика. В этих
случаях обычно необходимо использовать неявные разностные
схемы. Такие схемы с надлежащим центрированием всех вели-
величин нетрудно построить, но их решение связано с большим
объемом вычислений. Так как уравнения нелинейны, то они ре-
решаются с помощью итераций и на каждой итерации необходи-
необходимо решать трехдиагональную систему уравнений, аналогичную
неявной системе A0.6) для волнового уравнения. Подробности
читатель может найти в работе Хайна и др. [1960].
Если считать проводимость конечной, то число уравнений
увеличивается^ но их рассмотрение не представляло бы особых
трудностей, если бы не тот факт, что в них находит отражение
новое и важное физическое явление. Это диффузия магнитного
поля через жидкость, описываемая последним членом уравне-
уравнения A2.86). Как следствие этого конвективные члены в урав-
уравнениях должны рассматриваться весьма аккуратно, и поэтому
в одномерных задачах лагранжевы переменные имеют большое
преимущество. Экспериментами по численному опробованию яв-
явных двумерных схем, когда применение лагранжевых коорди-
координат является затруднительным, показано, что можно использо-
использовать схему с «косой производной» (см. Роберте и Вайс [1966]).
В этой схеме надлежащее центрирование достигается использо-
использованием точек сетки (п + 1, /) и (п, /) для образования времен-
временных разностей и (/г,/+1), (п+1, /—1) для получения пра-
правильной компоненты пространственной разности. Эта система
остается явной, если уравнения решаются в порядке возраста-
возрастания /. Применительно к изэнтропическому или адиабатическому
течению, описываемому при отсутствии магнитного поля ура-
уравнениями
1 +
такая схема имеет вид
"¦ 2 2~1Х —U»
Д/ uffl' + u!±P\u?+4'-«1-4' , A2'87)
дГ 2 ) д/ г

§ 12.6. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 343
здесь второе уравнение является линейным и явным относи-
относительно и***1/*, a p"+I находится из первого уравнения. Матрица
перехода для линеаризованной системы имеет характеристиче-
характеристическое уравнение (X —аJ+ р2^ = 0, где
I = Д//ДХ, р = clsin k'AX/[\ + l/2ul A - e~
Таким образом, условие фон Неймана удовлетворяется, если
|р| <2|а|, т. е. если
I2 {с2 - и2) sin2 k/±X<[2 + ul(l- cos k ^X)]2.
Отсюда нетрудно видеть, что условием устойчивости является
неравенство
это согласуется с условием Куранта, Фридрихса и Леви, так
как только запаздывающая характеристика рассматривается
явно и пространственная сетка в этой схеме по существу
удвоена.
Дополнительные трудности, связанные с необходимостью ак-
аккуратного расчета диффузии магнитного поля через жидкость,
возникают при наличии магнитогидродинамических скачков. Ее*
ли проводимость жидкости бесконечна, то на скачке выпол-
выполняются условия Гоффмана — Теллера, которые аналогичны рас-
рассмотренным выше условиям Ренкина — Гюгонио. Но обычно
структура магнитного поля в области скачка очень существен-
существенна для физических приложений (в особенности в том случае,
когда ограничение B»V — 0 ослаблено). Это требует особой точ-
точности при расчете скачка, для чего часто используется про-
пространственная сетка, специально приспособленная к его дви-
движению.
Мы проиллюстрируем задачу о структуре скачка, рассмот-
рассмотрев несколько отличную физическую модель. Как было отме-
отмечено в начале этого параграфа, все введенные до сих пор урав-
уравнения основывались на предположении, что плазма является од-
однородной жидкостью. Следствием рассмотрения плазмы, со-
состоящей из смеси двух жидкостей, являются два уравнения дви-
движения— по одному для каждой жидкости. При сложении они
дают уравнение типа A2.79), но при другой их комбинации по-
получается уравнение для тока J, которое заменяет введенный не-
несколько произвольно закон Ома A2.85). Предположим, что мы
объединили уравнения A2.78) — A2.84) и уравнение такого ро-
рода в систему, которая будет описывать плазму с очень мальщ

344
ГЛ. 12. ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
числом столкновений. Если мы здесь для простоты сохраним
предположение, что Вх = 0, и используем лагранжеву перемен-
переменную х, введенную в § 12.4, то окончательная система уравнений
примет вид
6V ди
dt ^ дх
4- — =
д Гд2В
dt [ дх2
A2.89)
= 0
(ср. с A2.8) и A2.9) и см. работу Мортона [1964] по поводу
вывода уравнений). Здесь через и обозначена компонента ско-
скорости в направлении х, отличны от нуля только компоненты
2.0
1.5
В* 1,0
0,5
11 1Z 13 14 15 16
х
17 18
Рис. 12.9. Типичная форма волны для «двужидкостной» плазмы при ВХФО.
Ви и Bz вектора В и проведена некоторая нормировка. В силу
этих уравнений поле и его первая производная непрерывны
даже па скачке, а гидродинамические величины претерпевают
разрыв только при достаточно большом сжатии.
Обычные конечноразностные уравнения, описанные в § 12.5,
могут быть использованы для аппроксимации первых трех урав-
уравнений, а для аппроксимации последнего можно взять уравнение
Изучение устойчивости в этом случае показывает, что здесь
имеется много общего с уравнениями совместного распростра-
распространения звука и тепла, рассмотренными в § 10.4. Энергетический

§ 12.6. МАГНИТНАЯ ГИДРОДИНАМИКА 345
метод совершенно естественно приводит к достаточному усло-
условию устойчивости {с2 + c2A)l/i (/St/V Лл') < 1, уже встречавшемуся
в случае бесконечной проводимости. Но характеристики систе-
системы A2.89) определяются только адиабатической скоростью
звука с, и метод рядов Фурье вместе с численными экспери-
экспериментами показывает, что практическим условием устойчивости
является неравенство
В области скачка может быть использована искусственная
вязкость фон Неймана — Рихтмайера, как и для чистой гидро-
гидродинамики; тогда, как и ранее, интервал устойчивости сущест-
существенно сужается. Однако теперь при ее использовании необхо-
необходимо соблюдать большую осторожность. Как показывает
рис. 12.9, решение может иметь действительные колебания,
очень похожие на те, которые были изображены на рис. 12.3 и
обусловлены недостаточной искусственной вязкостью. Однако
мы уже отмечали, что в области скачка решение должно нахо-
находиться особенно точно, и поэтому вязкость не должна быть
слишком большой.

Глава IS
МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ
(ГАЗА)
§ 13.1. Введение
Для краевых задач гидродинамики с двумя или более про-
пространственными переменными применение разностных уравне-
уравнений в форме Лагранжа приводит к значительной потере точ-
точности вследствие искажения лагранжевой сетки, если только не
строить время от времени новую сетку, последнее же приводит
к сложным и довольно неточным интерполяциям. Тем не менее
были получены некоторые хорошие результаты, начиная с ра-
работы Кольски [1955], который первым подробно разработал спо-
способы составления разностных уравнений (см. также Блер и др.
[1959], Гоуд [1960] и Шульц [1964b]).
Применение уравнений в форме Эйлера затруднено в тех
случаях, когда имеются свободные границы или границы раз-
раздела двух сред с различными термодинамическими свойства-
свойствами, так как не существует достаточно простого способа опре-
определить, какая именно среда находится в данной точке сетки
в данный момент времени. Заметные успехи недавно были до-
достигнуты (главным образом в задачах, где указанные выше
трудности не возникали) благодаря использованию уравнений
Лакса — Вендроффа (см., например, Бурстейн [1963, 1965]; не-
некоторые его результаты кратко упоминаются в § 13.5).
Были развиты различные методы, использующие смешанный
эйлерово-лагранжев подход; см., например, Франк и Лазарус
[1964] и Нох [1964]. Эти методы часто бывают выгодными в за-
задачах, где характер течения принципиально разный в двух раз-
различных направлениях.
Во всех этих методах для расчета скачков было введено
большое количество вариантов искусственной вязкости — см.
Шульц [1964а], Нох [1964] и цитированные ими работы. Дву-
Двумерные варианты вязкости в методе Лакса — Вендроффа опи-
описаны в § 13.5.
Методы, использующие характеристики и бихарактеристики,
разрабатывались рядом авторов, например Бруном и Хааком
[1958], Ричардсоном [1964], Тэлботом [1963] и Анзорге [1963].
Де Санто и Келлер [1961] исследовали устойчивость лами-
ламинарного пограничного слоя, применив разностные методы к не-
нестационарным уравнениям Навье —Стокса с двумя простран-

§ 13.1. ВВЕДЕНИЕ 347
ственными переменными. Вследствие сильных сдвигов в этой
задаче кажется весьма желательным применение схем, неяв-
неявных относительно направления, параллельного границе. Неко-
Некоторые методы решения уравнений Навье — Стокса были также
предложены в работе Фромма [1964].
Метод частиц в ячейках и родственные ему методы, разви-
развитые Харлоу и его коллегами в Лос-Аламосе (Харлоу [1964]),
оказались более эффективными при решении многих задач. Эти
методы базируются не на разностном представлении дифферен-
дифференциальных уравнений с частными производными, а на некото-
некоторых простых физических моделях. Несмотря на присущую им
низкую точность, даже в случае больших затрат машинного
времени, эти методы оказались удивительно гибкими.
В многомерных задачах часто бывает даже неясно, являют-
являются ли физические задачи, которые нужно решать, поставлен-
поставленными корректно1). Линеаризованная задача о тейлоровской
неустойчивости (или гельмгольцевой неустойчивости) для не-
несжимаемой жидкости поставлена некорректно — решение не су-
существует, если начальные данные (описывающие начальную
конфигурацию поверхности раздела) не имеют бесконечное
число производных, и даже если решение существует, то оно
не зависит непрерывно от начальных данных.
Возможно, что эти задачи были бы корректно поставлены,
если не производить линеаризацию, еще более вероятно, что
они были бы корректно поставлены, если принять во внимание
сжимаемость, и почти достоверно они были бы корректно по-
поставлены, если бы учитывались также вязкость, поверхностное
натяжение и теплопроводность. Но эта основная неустойчи-
неустойчивость остается в том смысле, что малые иррегулярности могут
достичь большой величины за сравнительно короткий промежу-
промежуток времени. Такая неустойчивость имеет физическое происхож-
происхождение, и никаким измельчением разностной сетки ее устранить
нельзя. Единственный способ устранить это затруднение сос-
состоит в том, чтобы обеспечить столь гладкое представление на-
начальных форм и течений, сколь это допускается рассматривае-
рассматриваемой физической моделью, и не допускать, чтобы какие-либо
иррегулярности вводились в последующее время.
Если, например, объектом тейлоровской неустойчивости яв-
является сферическая поверхность раздела, то совершенно не-
неудовлетворительно представление этой поверхности некоторой
аппроксимирующей псевдосферой из точек прямоугольной сет-
сетки, если эта сетка не является достаточно мелкой. Такое пред-
представление вводит иррегулярности порядка шага сетки, а это
1) Это имеет место тякже и для стационарных проблем — см., например,
работу Моравец 11956].

348 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
может быть как раз тот порядок иррегулярности, который
приводит к огромному росту иррегулярности за короткий про-
промежуток времени в силу тейлоровской неустойчивости.
Э. Теллер (в частном сообщении) предполагает, что это
затруднение может быть устранено прибавлением к уравне-
уравнениям членов, представляющих влияние поверхностного натя-
натяжения на поверхности раздела. Величина этого поверхностного
натяжения должна быть искусственно выбрана так, чтобы ста-
стабилизировать иррегулярность порядка шага сетки, не оказывая
существенного воздействия на иррегулярности большего поряд-
порядка, и должна зависеть от мгновенного ускорения поверхности
раздела.
Такая схема может оказаться подходящей в случае тейло-
тейлоровской неустойчивости, но гельмгольцева неустойчивость
может иметь место на контактном разрыве, который спонтанно
порождается потоком (как это происходит при маховском от-
отражении), и в этом случае заранее не известно, где следует
вводить искусственное поверхностное натяжение.
По-видимому, мы еще далеки от обладания каким-либо уни-
универсальным методом для многомерной гидродинамики, и, ве-
вероятно, в течение некоторого времени будет примерно столько
же методов, сколько проблем.
В этой главе наше внимание будет сосредоточено главным
образом на развитии методов, в которых скачки и другие осо-
особенности рассматриваются более детально, чем в методах с ис-
искусственной вязкостью или в методе частиц в ячейках. Такой
выбор сделан по двум причинам: во-первых, соображения эко-
экономии обычно диктуют применение в многомерных задачах
весьма грубых разностных сеток, а алгоритмы, использующие
искусственную вязкость, размазывают нерегулярности на такие
расстояния, что детали движения большей частью утрачивают-
утрачиваются; во-вторых, нерегулярности, которые встречаются в много-
многомерных течениях, настолько разнообразны и сложны (некото-
(некоторые из них будут обсуждены в § 13.6), что их точное численное
описание требует применения алгоритмов, учитывающих специ-
специфику данной конкретной задачи.
Методы, рассматриваемые в этой главе, в настоящее время
далеки от полной завершенности, и поэтому рассуждения, про-
проводимые далее, во многих местах довольно отрывочны и услов-
условны. Тем не менее мы убеждены, что настоящие успехи всего
скорее будут достигнуты именно в этом направлении.
Часто считают, что для решения многомерных задач тре-
требуются машины с большим быстродействием и большим
объемом памяти, тогда как, по нашему мнению, мы чаще огра-
ограничены недостатками математических (включая численные) ме-
методов, чем недостатками машин. Нам надо больше знать о при-

§ 13.2. УРАВНЕНИЯ МНОГОМЕРНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ
349
роде возможных нерегулярностей, о том, как формулировать
кусочно-аналитические краевые задачи в более или менее кор-
корректной форме, нам надо искать аналитические и численные
методы, учитывающие эти нерегулярности, и исследовать устой-
устойчивость и точность таких методов, сочетая эмпирический и ана-
аналитический подходы.
§ 13.2. Уравнения многомерной гидродинамики
Уравнения для гладкой части течения в переменных Эйлера
были приведены в виде A2.1) —A2.4). Соответствующая ди-
дивергентная форма, аналогичная уравнениям A2.16) — A2.18),
для случая двух декартовых переменных X и У имеет вид
dt
A3.1)
где
U =
р "
т
п
- е _
. F(U) =
т
("i2/p) + P
тп/р
-(е + р) т/р
G(U) =
тп/р
(п2/р) + р
(е + р) п/р J
A3.2)
здесь т и п — составляющие по осям X и Y соответственно
вектора импульса, отнесенного к единице объема, е — полная
энергия, отнесенная к единице объема, ар и р — давление и
плотность. Компоненты импульса определяются через компо-
компоненты скорости жидкости как т = ри и п = pv\ если § — внут-
внутренняя энергия в единице объема, то полная энергия е =
*= р[<^ +(и2 + 02)/2], а уравнение состояния принимает вид
Фронты скачков, контактные разрывы и другие особенности
обычно располагаются на поверхностях, движущихся через
жидкость или вместе с ней. Проведем классификацию основных
типов разрывов. Предположим, что Р является точкой такой
поверхности и что в окрестности этой точки поверхность имеет
непрерывно меняющуюся касательную плоскость. Предполо-
Предположим, что р, р> и имеют простой разрыв; значения этих величин
в точке Р по разные стороны поверхности обозначим индекса-
индексами 1 и 2. Пусть Я, —единичный вектор нормали к поверхности
в точке Р, направленный в область с индексом 2, и пусть S —
скорость поверхности вдоль нормали в точке Р в эйлеровой
системе координат, т. е. если проведена линия через точку Р

350 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
в направлении X, то S — скорость точки пересечения поверх-
поверхности с этой линией. Так как Х-и является компонентой ско-
скорости жидкости в том же самое направлении, то масса жид-
жидкости, протекающей через единичную площадку поверхности
в единицу времени, равна p(S—Xu); закон сохранения массы
требует, чтобы
М = р, (S — X • и,) = р2 E — X • и2). A3.4)
Изменение импульса этой массы за единицу времени равно
M(ui — u2); сила, действующая на массу, равна X(pi— p2)t так
как она рассчитана на единичную площадь поверхности. Сле-
Следовательно, по второму закону Ньютона М(и{ — и2) =
= X(pi— рг); отсюда получаются два уравнения
М (X • и, — X • и2) = рх — р2, A3.5)
ХХи2) = 0. A3.6)
Из последнего уравнения видно, что имеется две возмож-
возможности: 1) при М Ф 0 имеется фронт скачка, и в этом случае
тангенциальная составляющая скорости и непрерывна при пе-
переходе через фронт, или 2) при М = 0 контактный разрыв,
вообще говоря, сопровождается скольжением контактных по-
поверхностей, на поверхности разрыва рА = р2, S = X«iii = X-u2,
так что давление и нормальная составляющая скорости и
остаются непрерывными.
При М Ф 0 уравнение энергии имеет вид
где Hi и w2 — модули векторов Ui и и2 (это уравнение удовлет-
удовлетворяется автоматически, если М = 0). Условия Ренкина — Гю-
гонио на скачке можно вывести из соотношений A3.4) — A3.7);-
через удельный объем они записываются как
<13-8a)
эти уравнения отличаются от уравнений A2.37) не только чис-
числом пространственных переменных, но также и тем, что они
выведены в эйлеровой системе координат, и поэтому в них
вместо d\\dt входит S. Исключая 5, мы получаем равенство
X • (Ul - u2) = Vipx-pj>(V2-Vx), A3.86)
которое аналогично второму уравнению системы A2.37). Как
и в случае одной пространственной переменной, отрицатель-

§ 13.3. КОРРЕКТНО И НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ 351
ные скачки (М < 0) исключаются по соображениям неубывания
энтропии или устойчивости.
Численный расчет движения поверхности раздела в много-
многомерном случае значительно сложнее, чем в одномерном (см.
§ 12.6), так как это движение обычно сопровождается сколь-
скольжением жидкости вдоль поверхности, т. е. разрывностью век-
вектора X X и-
Для волны разрежения не требуется граничных условий,
кроме непрерывности переменных и, р, р. Мы не пытаемся клас-
классифицировать все другие особенности многомерных течений, но
некоторые из них будут отмечены в § 13.6.
§ 13.3. Корректно и некорректно поставленные задачи
Как было определено в гл. 3, линейная задача Коши кор-
корректно поставлена, если 1) множество точных решений плотно
в & для всех / в некотором интервале 0</<Ги2) точный раз-
разрешающий оператор ограничен для всех t из этого интервала,
т. е. существует постоянная К > 0, такая, что любое точное ре-
решение u(t) удовлетворяет неравенству \\u(t) \\ < К\\и@)\\ для
()¦</¦< Г; иначе говоря, решение непрерывно зависит от началь-
начальных данных. Для нелинейных задач условие 1) остается неиз-
неизменным, но условие 2) формулируется следующим образом.
Пусть u(t) является точным решением задачи для начального
элемента и0 = н@); пусть u(t) + 8u(t) соответствует начальному
элементу и0 + 6ы0, где 8и является точным решением линеаризо-
линеаризованной задачи (линеаризованной относительно u(t) как основ-
основного решения) с начальным элементом 8и0; если существует по-
постоянная /С>0, такая, что ||бм(/)||-</( ||6но|| в некотором интер-
интервале 0-^/^Г для всех таких 6н(/), то задача называется кор-
корректно поставленной относительно начального элемента. Иначе
говоря, линеаризованная относительно u(t) задача должна быть
корректно поставленной.
В качестве первого примера некорректно поставленной зада-
задачи рассмотрим явление гельмгольцевой неустойчивости (обсуж-
(обсуждение этого явления и родственного ему явления тейлоровской
неустойчивости содержится в работе Биркгофа [1962]). Если
идеальная несжимаемая жидкость имеет во всех точках выше
плоскости X, Y одинаковую скорость ?/, направленную в поло-
положительную сторону оси X, и ту же самую скорость U в обрат-
обратном направлении во всех точках ниже этой плоскости, то такое
движение соответствует стационарному, но неустойчивому ре-
решению уравнений гидродинамики. Чтобы установить неустойчи-
неустойчивость этого решения, достаточно рассмотреть в начальный мо-
момент t = 0 возмущение, при котором течение остается все еще
безвихревым как выше, так и ниже поверхности скольжения

352 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. И
и асимптотически постоянным при Z-> ± оо и в котором по-
поверхность скольжения, заданная уравнением z=zosin?X =
= ZosinBn/'k)Xi является волнистой поверхностью с малой амп-
амплитудой Zo, т. е. Zo <C I.
Решение задачи с такими начальными данными показывает,
что в последующие моменты времени t амплитуда колебаний
Zo(/) зависит от времени как ае®г + Ье~ш} где а и Ь — постоян-
постоянные, со = kU. Это решение остается справедливым до тех пор,
пока |Z0(/) | <С X. Выбрав X достаточно малым (к достаточно
большим), можно сделать отношение |Z0(/) |/|Z0@) | произ-
произвольно большим для любого фиксированного момента / > 0.
Заметим, что при этом мы не нарушаем предположения
\Z0(t)\<^Xy на котором основывалось приближенное решение
аем _j_ be-a>t: мы просто выбираем k9 так что е®* = ehut стано-
становится достаточно большим для данного t, а затем выбираем а
таким, чтобы аеш <С 2n/k для того же /.
В этом решении отклонение скорости жидкости и =
= u(X,Z,/) от основных значений (±?/,0,0) также пропор-
пропорционально Zo(t) как выше, так и ниже поверхности скольже-
скольжения. Следовательно, при любом выборе нормы для возмуще-
возмущения, вызванного отклонениями скорости жидкости и давления
8и и 6р от своих основных значений, разрешающий оператор
линеаризованной задачи обязательно будет неограничен.
Задача о тейлоровской неустойчивости аналогична, за ис-
исключением того, что имеются две первоначально покоящиеся
различные жидкости с плотностями р и р' выше и ниже
плоскости Xf Y\ если р > р7 и вся система имеет равномерное
ускорение а в положительном направлении оси Z (или, эквива-
эквивалентно, находится в гравитационном поле с ускорением а в от-
отрицательном направлении оси Z), то малые возмущения растут
аналогичным образом, но теперь степень экспоненциального
роста определяется величиной
Здесь оператор линеаризованной задачи также неограничен для
любого t > 0.
Если скорость жидкости и плотность имеют разрывы при
2 = 0 и, кроме того, на поверхности раздела действует поверх-
поверхностное натяжение с коэффициентом v (здесь более подхо-
подходил бы' термин Биркгофа «межповерхностное натяжение»), то
степень роста определяется величиной
*2=^("-t/o2+fff*m-^. 03.9)

§ 13 3. КОРРЕКТНО И НЕКОРРЕКТНО ПОСТАВЛЕННЫЕ ЗАДАЧИ 353
(см. Биркгоф, стр. 61). Если уфО (т. е. v>0), то действие
поверхностного натяжения заключается в стабилизации корот-
коротковолновых колебаний таким образом, что задача становится
теперь корректно поставленной. Заметим, что стационарное ре-
решение по-прежнему неустойчиво (относительно длинных волн).
Это не вызывает никаких сомнений, и, действительно, всегда
можно рассчитать рост такой неустойчивости численно; особен-
особенно нежелательна неограниченная неустойчивость при Х->0
(k -* оо) в задачах с коэффициентом v = 0.
Следствием неограниченности разрешающего оператора для
задач с v = 0 является то, что если начальная форма поверх-
поверхности раздела представлена рядом или интегралом Фурье, на-
например
Z = 2 Zo (n) sin nkQX
п
(могут быть также члены с косинусами), то для любого / > 0
вообще не существует решения, если коэффициенты Zo(n) не
уменьшаются быстро (в действительности по крайней мере
экспоненциально) с увеличением п. Следовательно, для того
чтобы существовало решение в линеаризованной теории, поверх-
поверхность раздела должна быть аналитической. Мелкозернистая
шероховатость, даже очень малой амплитуды, немедленно при-
приводит к мелкомасштабному перемешиванию двух жидкостей и
увеличению диффузии поверхности раздела, что наблюдалось
экспериментально для v = 0.
Следует также учесть влияние сжимаемости. Из физических
соображений ясно, что она будет иметь место только в том
случае, когда время К/с = 2v/kc, нужное для того, чтобы зву-
звуковое возмущение прошло от одного гребня волны до следую-
следующего, по меньшей мере было бы сравнимым со временем 1/со,
за которое амплитуда волны сможет заметно увеличиться. Из
уравнения A3.9) тогда видно, что сжимаемость не может по-
повлиять на тейлоровскую неустойчивость для коротких волн, но
может оказывать некоторое влияние, хотя, вероятно, и не опре-
определяющее, на гельмгольцеву неустойчивость (в данном случае
два указанных выше времени изменяются с одинаковой ско-
скоростью при /г-*оо). Отметим без доказательства, что если ско-
скорость скольжения |U — U'| превосходит скорость звука с
в определенное число раз, то гельмгольцева неустойчивость
стабилизируется, тогда как для меньших скоростей скольжения
задача остается некорректно поставленной при v = 0.
Если речь идет о двух различных жидкостях (например,
воздухе и воде), то поверхностное натяжение, несомненно, иг-
играет известную роль и должно быть включено в формулиров-
формулировку задачи. Однако поверхности скольжения могут возникать и
12 Зак. 1300

354
ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
в однородной жидкости в результате самого ее движения. При-
Примером такого рода служит явление маховского отражения, ко-
которое показано на рис. 13.1—см. Курант и Фридрихе [1950] и
Дафф [1962]. Плоский скачок, движущийся слева направо вдоль
ударной трубы, встречает клин или наклонную плоскость на
нижней стенке ударной трубы. Возмущение течения начинает-
начинается от острия клина в момент, когда скачок касается его, и за-
затем распространяется дальше; границей этого возмущения слу-
служит искривленный вторичный скачок. При определенных усло-
условиях, налагаемых на угол клина и интенсивность основного
Верхняя стенка
ударной трубы
Первичный скачок
Вторичный скачок
Поверхность
скольжет v
Маховская
конфигурация
Начальное
положение
первичного
скачка
\ X
Нижняя стенка Клин
ударной трубы
Рис. 13.1. Маховское отражение.
скачка, первичный и вторичный скачки встречаются в некото*
рой точке, называемой тройной точкой и расположенной не-
несколько выше клина; между этой точкой и клином два скачка
сливаются в единственный (также искривленный) скачок, на-
называемый маховской конфигурацией. Вниз по течению от трой-
тройной точки находится поверхность скольжения, на которой дав-
давление и нормальная компонента скорости остаются непрерыв-
непрерывными, в то время как плотность и тангенциальная компонента
скорости имеют разрывы. Элемент жидкости непосредственно
ниже поверхности скольжения был сжат объединенным скач-
скачком, а элемент жидкости непосредственно выше поверхности
был сжат последовательно двумя скачками до того же самого
окончательного давления; сжатие, обусловленное объединен-
объединенным скачком, приводит к большему росту энтропии, так как
увеличение энтропии при прохождении скачка пропорциональ-
пропорционально кубу его интенсивности. Отсюда следует, что температура и
удельный объем непосредственно ниже поверхности скольжения
будут больше, чем непосредственно выше нее, и что для сохра-
сохранения массы скорость течения вдали от скачков ниже линии
скольжения также должна быть больше.
Фотографии, приведенные в статье Даффа [1962], показы-
показывают, что эта поверхность скольжения в действительности весь-

§ 13.4. LW-МЕТОД 355
ма неустойчива относительно коротковолновых возмущений и
что несколько вниз по течению она совершенно размыта. На
некоторых более ранних фотографиях, например у Бликни и
Тауба [1949], поверхность скольжения, выглядит совершенно
гладкой. По-видимому, при некоторых условиях, когда газ впе-
впереди основного скачка находится в достаточно спокойном со-
состоянии, любые малые возмущения, которые могут существовать
вначале, не достигнут заметных размеров за то очень короткое
время, в течение которого явление имеет место; однако не мо-
может быть сомнения, что неустойчивость для коротких волн дей-
действительно имеет место.
В численных расчетах нельзя полагаться на малость началь-
начальных возмущений, так как конечноразностные методы обязательно
порождают возмущения, длина волны которых сравнима с ша-
шагом сетки. В § 3.9 было показано, что любая конечноразностная
схема для задачи с неограниченным разрешающим оператором
обязательно неустойчива. Для того чтобы расчеты некорректно
поставленных задач были успешными, разностные уравнения
должны иметь высокий порядок точности по пространственным
переменным, начальные данные должны быть гладкими и необ-
необходимо, чтобы для всех вычислений требовалось лишь относи-
относительно небольшое число шагов по переменной t. Такие расчеты
были сделаны Ван-Дайком для отсоединенного скачка. В общем
случае однако нельзя надеяться на конечноразностные методы,
если физическая формулировка задачи не изменена как-нибудь
так, что задача становится корректно поставленной, например
путем включения членов, представляющих поверхностное натя-
натяжение (на каждой поверхности скольжения или контактном раз-
разрыве) и достаточно больщих, чтобы стабилизировать все возму-
возмущения, длина волны которых сравнима с шагом пространствен-
пространственной сетки.
§ 13.4. Двухшаговый метод Лакса — Вендроффа,
или LW-метод
Для гладких течений метод Лакса — Вендроффа дает пре-
превосходные результаты. Как и в случае одной пространственной
переменной (см. § 12.14), он может иногда применяться и при
наличии скачков, если не требуется очень тонкое пространствен-
пространственное разбиение и приемлемы такие профили скачков, как пока-
показаны на рис. 12.6 и 12.7. При обобщении [Рихтмайер A962)]
двухшагового метода A2.24а) и A2.246) на случай двух де-
декартовых пространственных переменных X и Y удобно несколь-
несколько изменить обозначения, применявшиеся в гл. 12: дробные ин-
индексы будут устранены предположением, что элементарная
ячейка сетки имеет размеры 2&Х, 2AY и 2At в направлениях
12*

356
ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
X, У и t. Сначала находят промежуточные значения при t =
= (п-\- 1)А/ из уравнения
wifl+\ I fl\n III'1 I IT'1 _l_ITrl ^
Uy/ = ~т ^Uy+i, / -p Uy_it / -p U/, /+i -p Uy, Z—l/ —
"G?.i+i — О7,/_|), A3.10)
где F// обозначает F(U//) и т. д. и где U, F(U) и G(U) даны
равенствами A3.2); затем окончательные значения при t =
= (п + 2) А/ получаются из уравнения
U// =И// — -дХР/+1./ — F/-1./J — -др-vG/. /+i — G/.z-iJ- A3.11)
Уравнения A3.10) и A3.11) не дают связи между множе-
множеством точек сетки (в пространстве — времени), где величина
14
I
I -2
В
Л
-О
В
в
Р и с. 13.2. Группа точек сетки,
используемых в уравнениях
A3.10) и A3.11).
п + / + / четная, и множеством точек, где эта величина нечет-
нечетная; поэтому половину точек сетки при желании можно опу-
опустить.
Подстановка A3.10) в A3.11) для случая F(U) = AU и
G(U) = fiU, где А и В — постоянные матрицы, приводит
к аналогичному A2.23) уравнению, в которое входят Un+2 и
1К Это уравнение включает девятиточечную систему простран-
пространственных точек, центрированных относительно точки (/,?), как
показано на рис. 13.2; производная д/дХ вычислена четыре раза
по парам точек, помеченных индексами 1, 2, 3 и 4, и резуль-
результаты усреднены (д/dY вычисляется аналогично); д2/дХ2 вы-
вычислена по трем точкам, помеченным буквой A (d2/dY2 вычис-
вычисляется аналогично); наконец д2/дХдУ вычислена по четырем
точкам, помеченным буквой В.
Как и в случае одной пространственной переменной, эти
уравнения имеют ошибку О(Д3), а конечноразностные аналоги

§ 13.4. LW-МЕТОД
357
интегральных законов сохранения выполняются точно. Мы по-
покажем, что условие устойчивости фон Неймана и предположе-
предположения теоремы из § 4.11 удовлетворяются для случая AY = АХ,
если
(| и | + с) (At/AX) < l/j/2, A3.12)
где с — местная адибатическая скорость звука, а и — ско-
скорость ЖИДКОСТИ.
Для того чтобы линеаризовать систему A3.10) и A3.11),
заменим F(U) и G(U) на Ли и fiU, где матрицы А = Л(U)
и fi = B(U) являются матрицами Якоби для F(U) и G(U)9
т. е. Ац = dFi/dUj и т. д. Пусть G — матрица перехода состав-
составной системы; это означает, что если в уравнениях A3.10) и
A3.11) заменить Щ на Uq exp[ikxj Ax + ikyl Ах], где Uo —
вектор для любого п, то G будет определяться равенством
Uo+2 = GUo. Мы находим, что
G = / — / (cos a + cos P) -ду- (A sin а + В sinP) —
-fisinp)]2, A3.13)
где а = kxAX и р = kyAX.
Матрицы А и В довольно сложны, и удобнее рассмотреть
вместо них упрощенные матрицы А' и В', получающиеся из
исходных уравнений в исходной эйлеровой форме A2.2) —
A2.4), которые после введения скорости звука с согласно
A2.7) могут быть записаны для двух переменных в следующем
виде:
A3.14)
dt
где
U' =
Р
и
V
и)
" V
0
0
0
V
0
¦ и
0
0
- 0
Р
0
V
Р
U
0
рс2
о -
0
1/Р
0
0
и
0
•
0
1/Р
0
и
L 0 0 рс2 v J
A3.15)
Линеаризованный вариант равенств A3.2) можно получить
из A3.14) посредством преобразования подобия вида
dli=Pd\i\ A = PA'P~\ В = РВ'Р~\ A3.16)

358
ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
Так как собственные числа матрицы перехода G инвариант-
инвариантны относительно преобразования подобия, условие фон Нейма-
Неймана для A3.2) будет тем же, что и для A3.14), и поэтому в вы-
выражении A3.13) для матрицы перехода мы можем заменить А
и В на Л' и В'.
Положим С = Л'sin a + В' sin p и обозначим через 8 угол
между осью X и вектором, направляющие косинусы которого
пропорциональны sin а и sin р, т. е.
cos0 =
sin a
Тогда
/sin2 a + sin2
С= Vsin2a+sin2p
и' р cos 8 р sin 8
О и' О
0 0 и' р
О pc2cos8 pc2sin8
0
p~!cos8
" sin8
u'
где и' = и cos 8 + v sin 8. Собственные значения матрицы С
суть
j/sin2a +sin2p-
и'
и' + с
и' — с
и если положить \х = ХД//ДЯ, то собственные значения матри-
матрицы G будут равны g = 1 — *#n(cos a + cos P)— 2ц2.
Следовательно,
| g |2 = A - 2|x2J + ii2 (cos a + cospJ <
< A - 2ц2J + 2pi2 (cos2 a + cos2 P) =
= 1 — 2fx2 [sin2 a + sin2 p - 2\i2] =
1 2 (-Щ
u'
u'
u'
+
с
с <
2-i
= 1 — 2^x2 (sin2 a + sin2
Наибольшее возможное значение величин в фигурных скобках
составляет |и|+с; следовательно, при выполнении неравенства
A3.12) |g|2^ 1, что и требовалось доказать.
Согласно A3.13) G представляет собой (квадратичный) по-
полином от матрицы A sin a + В sin p, который равен РСР~{
вследствие равенств A3.16); поэтому G имеет те же самые
собственные векторы, что и матрица РСР~{. Матрица Р легко

13.5. ВЯЗКОСТЬ В LW-МЕТОДЕ
находится из A3.16) и
где 8(р,р) —удельная внутренняя энергия; кроме того, Р ока-
оказывается треугольной матрицей, так что det(P'{) = (detP).
Для обычных веществ при обычных условиях d&/dp ограничена
снизу некоторым положительным числом — для идеального га-
газа она равна 1/(у— 1). Поэтому определитель матрицы, состав-
составленной из нормированных собственных векторов матрицы G,
ограничен по модулю снизу некоторым положительным числом
тогда и только тогда, когда то же самое справедливо для мат-
матрицы С. Нормированные собственные векторы матрицы С лег-
легко определить из вышеприведенного выражения для С, и соот-
соответствующий определитель будет равен
л- 2Р
Несколько странный вид этого выражения объясняется тем,
что U и U' являются векторами только формально и их ком-
компоненты имеют различные размерности. Мы видим, что для
фиксированных ру р, и, v определитель матрицы из нормирован-
нормированных собственных векторов матрицы G = G(k,A/) не зависит
от к или А/; следовательно, применима теорема из § 4.11, и ус-
условие фон Неймана необходимо и достаточно Для устойчивости
линеаризованных уравнений. Нелинейные эффекты будут об-
обсуждаться в следующем параграфе.
Касахара [1965] рассмотрел некоторые разностные схемы,
весьма похожие на схему Лакса — Вендроффа, но отличаю-
отличающиеся от нее тем, что некоторые величины центрированы в мо-
моменты времени лг + !/г и ть — V2, что кажется более естествен-
естественным с точки зрения точности и упрощает некоторые из уравне-
уравнений. (Идея здесь та же, что и для одномерной системы A2.10)
в лагранжевых координатах, где с точки зрения центрирова-
центрирования разностей по времени скорости ы*+1 и и*} в действитель-
действительности относятся к моментам п + 1/2 и п — 1/2 соответственно.)
Касахара получил довольно неожиданный результат, а имен-
именно некоторые схемы этого типа оказались абсолютно неустой-
неустойчивыми для определенных частей течения. Это показывает,
сколь осторожным надо быть при модификации стандартных
разностных схем.
§ 13.5. Вязкость в LW-методе
Нелинейная неустойчивость в двумерных задачах еще более
опасна, чем в одномерных. Согласно равенству A3.13), матрица
перехода G имеет собственное значение, равное единице, если

360
ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. И
матрица Л since+ fi sin p имеет собственное значение, равное
нулю, которое соответствует случаю ы' = 0 или м' = ±cy где
и' — компонента скорости жидкости в направлении, направляю-
направляющие косинусы которого пропорциональны sin а и sin P; всегда
существует значение отношения R = sin a/sin р, для которого
и' = 0, а в области сверхзвукового течения существует два
значения /?, для которых и' = ±с. Соответственно каждой точ-
точке X, У, t мы имеем одну или три кривые в плоскости а, р,
а поэтому и в плоскости kx, ky,
вдоль которых G имеет собствен-
собственное значение, равное единице;
такая кривая является геометри-
геометрическим местом точек удовлетво-
удовлетворяющих уравнению sin a/sin p =
= const. Уравнения нигде не яв-
являются вполне диссипативными
в смысле Крайса.
Однако согласно численным
экспериментам Бурстейна [1963]
Набегающий
поток
Рис. 13.3. Расчет отсоединенного скач-
скачка (Бурстейн).
для некоторых задач уравнения устойчивы и дают хорошие ре-
результаты при условии, что удовлетворяется обычный критерий
устойчивости. В других задачах, согласно Бурстейну [1965] и
Лапидусу (частное сообщение), неустойчивость проявляется
в областях быстрого изменения (вероятно, вследствие нелиней-
ностей или быстрого изменения коэффициентов) и быстро иска-
искажает все решение, если не ввести дополнительный член, соот-
соответствующий вязкости и аналогичный обсуждавшемуся
в§ 12.14.
На рис. 13.3 показаны общий характер течения между от-
отсоединенным скачком и прямоугольным телом по расчетам
Бурстейна, использовавшего метод Лакса — Вендроффа. В этой
задаче существует две области очень быстрого изменения: удар-
ударный слой (который имеет в расчете конечную толщину) и ок-
окрестность угла тела, где течение изменяется очень быстро от
дозвукового до сверхзвукового, и в обеих областях расчет ока-
оказывается неустойчивым, если в уравнения не включена вяз-
вязкость.
Главная цель такого расчета заключается в том, чтобы най-
найти стационарное течение путем решения краевой задачи, для
которой это течение соответствует асимптотическому решению

§ 13.5. ВЯЗКОСТЬ В LW-МЕТОДЕ 361
при больших ty но проблема устойчивости здесь, вероятно, та
же, что и в расчетах действительных нестационарных течений.
Бурстейн обнаружил, что при введении описанной ниже вяз-
вязкости известные свойства асимптотического течения передаются
совершенно точно: в расчете, результаты которого представлены
на рис. 13.3 (число Маха набегающего потока 4,3; идеальный
газ, у = 1.4; коэффициент вязкости к = 0,5), поле течения после
2000 шагов было постоянным с точностью до четырех значащих
цифр, отклонение плотности от постоянного значения не превы-
превышало 1%, давления — малой доли процента и т. д.
Бурстейн ввел вязкий член просто в виде суммы двух одно-
одномерных, т. е. вместо (A?/2AJN(Q6U), где б — как обычно, цен-
центрированный разностный оператор, как в одномерном случае
Лакса — Вендроффа, Бурстейн берет член вида
[б (ОАШ + * ШЩ A3.17)
где матрицы Qx и QY определены, как и в одномерном случае,
но с учетом изменений только в направлениях X и Y соответ-
соответственно. Это процедура оказалась удовлетворительной во всех
рассматривавшихся до сих пор случаях.
Если используется вязкий член вида A3.17), то трудно вы-
вычислить собственные значения матрицы G, так как, хотя матри-
матрицы Qx и Qy соответственно коммутативны с матрицами А и В,
их вклад в матрицу G, главный член которого пропорционален
Qx sin2 a + Qy sin2 р, вообще говоря не коммутативен с матри-
матрицей A sin a + В sin р. Некоторые предварительные эксперименты
Лапидуса (частное сообщение) показывают, что упрощенный
вязкий член, для которого снимаются трудности исследования
устойчивости, также прост в использовании и удовлетворите-
удовлетворителен на практике. Лапидус сохраняет только постоянный член
go квадратичного полинома g(A), который входит в выражение
для матрицы Q, приведенное в § 12.14; он также упрощает его
путем включения только разностей скоростей и, v жидкости. По-
Поэтому его формула совпадает с A3.17), но Qx и Qy задаются
равенствами
Тогда вклад вязких членов в матрицу перехода будет равен
произведению единичной матрицы на отрицательное число;
поэтому, если нуль является собственным значение матрицы
A sin a + В sin p, то соответствующее собственное значение мат-
трицы G будет меньше единицы. Приведенное выше выражение
записано в форме, удобной для двухшагового метода, в котором

362 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
мы договорились брать 2ДЯ, 2ДУ и 2Д/ в качестве основных
приращений. Тогда член A3.17) заменяется выражением
A3Л8)
здесь для любой функции f(X, Y)
2bOxf (*. Y) = f(X + ^X, Y)-f(X- ДХ, Y)
и аналогично определяется Дог. В двухшаговой процедуре вы-
выражение A3.18) с U, интерпретируемым как Un, просто добав-
добавляется к правой части уравнения A3.11).
§ 13.6. Кусочно аналитические краевые задачи
В § 13.3 было показано, что линеаризованная краевая зада-
задача о гельмгольцевой неустойчивости (а также о тейлоровской
неустойчивости) не имеет решения для любого t > О, если на-
начальная поверхность раздела не является аналитической, и что,
когда решение существует, оно не зависит непрерывно от на-
начальных данных (начальной формы поверхности раздела),
если отсутствует поверхностное натяжение. В общем случае для
многомерных задач мы очень далеки от того, чтобы знать,
существует ли решение вообще (кроме некоторых частных слу-
случаев), а если существует, то непрерывно ли оно зависит от на-
начальных данных. Мы выскажем здесь приближенные предполо-
предположения относительно существования решения. Относительно же
непрерывной зависимости заметим только, что если о решении
имеется достаточно сведений, чтобы в частности было изве-
известно, вероятно ли возникновение тейлоровской или гельмголь-
гельмгольцевой неустойчивости, то можно модифицировать постановку
задачи, введя поверхностное натяжение или какой-либо другой
стабилизирующий механизм до начала расчета.
Существует грубое предположение о том, что если началь-
начальные данные кусочно аналитичны в пространстве, то краевая
задача имеет единственное решение, которое является кусочно
аналитическим в пространстве — времени по крайней мере в не-
некотором интервале О^С/^Г. Ясно, что мы должны опреде-
определить класс краевых задач и понятие «кусочной непрерывности».
Так как справедливость указанного выше предположения без-
безусловно зависит от этих определений и так как пока мы не
знаем, что надо требовать, мы намеренно избегаем полной чет-
четкости формулировок.
Класс задач, вероятно, включает в себя идеализированные
задачи для сжимаемой жидкости с аналитическим уравнением
состояния. Предполагается, что формулировка задачи включает
дифференцальные уравнения для гладкой части течения, усло-
условия на разрывах, описанные з § 13.2, для скачков и контактны^

§ 13.6. КУСОЧНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 363
разрывов, обычные граничные условия на внешних поверхно-
поверхностях и запрет отрицательных скачков. Если учитываются объ-
объемные силы, подобные силе тяжести, то они считаются задан-
заданными аналитическим безвихревым векторным полем.
Начальные данные называются кусочно аналитическими,
если все пространство может быть разделено на клетки или
области, в каждой из которых начальные функции течения яв-
являются действительными аналитическими функциями, поверх-
поверхности раздела между областями являются аналитическими
поверхностями и кривые, по которым эти поверхности пересе-
пересекаются, представляют собой аналитические кривые.
Аналогично решение называется кусочно аналитическим^
если пространство координат — времени подобным же образом
делится на области, в которых параметры течения представ-
представляются аналитическими функциями. Это не означает, что раз-
разбиение пространства на области остается при t > О тем же,
что и при t = 0; могут появиться новые поверхности раздела,
как, например, когда первичный скачок достигает острия кли-
клина в задаче о маховском отражении (см. рис. 13.1) или когда
внутри течения спонтанно возникает ударный фронт.
Мы имеем смутное представление о точках, которые могут
оказаться критическими. Потребуем, например, что если Хо —
внутренняя точка одной из областей и если /(X) — одна из
функций течения, то /(X) должна быть аналитической по X,
т. е. существует некоторая сфера S: ||Х — Xoll-^я, в которой
/(X) разлагается в сходящийся степенной ряд по компонентам
вектора X — Хо; мы не говорим, должна ли быть функция /(X)
аналитической в точке Хо поверхности раздела, ограничиваю-
ограничивающей эту область (в этом случае степенной ряд представлял бы
f(X) только в той части сферы 5, которая лежит в области;
в остальной части сферы 5 ряд представлял бы экстраполяцию
/(X) в одну или несколько примыкающих областей); аналогич-
аналогично, ничего нельзя сказать, должны ли поверхности быть анали-
аналитическими, включая границы или только до границ; наконец мы
не знаем, должны ли кривые быть аналитическими, включая
граничные точки или только до граничных точек.
Интуиция подсказывает, что если Хо — внутренняя точка
одной из аналитических поверхностей, ограничивающих об-
область, т. е. не располагается на ребре или в углу, то мы потре-
потребуем, чтобы в окрестности точки Хо величины, характеризую-
характеризующие течение, были аналитическими функциями. Если Хо нахо-
находится на ребре, то нельзя требовать аналитичности, так как
известны случаи, когда аналитичность на ребре нарушается.
Известно, например, что в тройной точке в задаче о маховском
'отражении, т. е. в точке, где пересекаются три скачка (эта точ-
точка соответствует перпендикулярному к плоскости чертежа ребру

364 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
в действительном трехмерном течении), течение не аналитич-
но: в окрестности тройной точки функции X(s) и Y(s)> пред-
представляющие координаты вдоль одного из искривленных скач-
скачков (или линии скольжения), нельзя разложить в степенные
ряды относительно длины дуги s, а функции течения f (X, Y)
нельзя разложить по степеням X и Y. Применялись разложения
с дробными степенями, логарифмами и т. д., но до сих пор
безуспешно; характер особенности остается неизвестным. Ана-
Аналогично у острия клина при некоторых условиях осуществляется
дозвуковое обтекание угла. Теория дозвукового сжимаемого
неизэнтропического обтекания угла не разработана в деталях,
но соответствующая особенность, вероятно, может быть описана
разложением по пространственным переменным с дробными
степениями. В этих примерах основные переменные течения
при приближении к особенности остаются ограниченными и,
возможно, это должно быть общим требованием. Пример веера
характеристик в центрированной волне разрежения показывает,
что при приближении к особенности основные величины течения
не всегда имеют единственные предельные значения.
Для задач, включающих зависимость от одной простран-
пространственной переменной, некоторые предположения указанного выше
типа были сформулированы, например, Гёльднером [1949],
Рождественским [1960] и Лоджмэном [1965]. Лоджмэн рассмот-
рассмотрел гиперболическую систему второго порядка, аналогичную си-
системе (третьего порядка) уравнений гидродинамики, вместе
с условиями Ренкина — Гюгонио и условием для энтропии;
в его задаче зависимые переменные и(х, t)y v(x>t) были доста-
достаточно гладкими функциями х при / > 0, за исключение точки
х = лс0, где они имели простой разрыв. Соответствующая зада-
задача, в которой и(х, 0) и v(x, 0) являются постоянными, за ис-
исключением точки х = х0, хорошо известна; решение содержит
или два скачка, или две центрированных волны разрежения, или
скачок и центрированную волну разрежения, начинающиеся от
х = Хо и движущиеся по жидкости в противоположных направ-
направлениях; между этими волнами скорости и и v постоянны. Лодж-
Лоджмэн доказал, что подобное решение, вообще говоря, существует
и единственно при надлежащих условиях; фронт скачка и го-
голова и хвост волны разрежения в общем случае движутся
с различными скоростями, а и и v между волнами не остаются
постоянными, но являются гладкими функциями. Для много-
многомерных задач, по-видимому, нельзя рассчитывать на то, что су-
существенные успехи будут достигнуты в ближайшее время.
Аналогичные предположения можно сделать для других
классов задач, например для уравнений Навье — Стокса, для
задач магнитной гидродинамики и гидродинамики с переносом
тепла или химическими реакциями.

§ 13.6. КУСОЧНО АНАЛИТИЧЕСКИЕ КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
365
В качестве частного случая рассмотрим спонтанное возник-
возникновение скачка. Если поршень, движущийся со скоростью, ко-
которая непрерывно возрастает от нуля, вдвигается в трубу,
заполненную первоначально покоящимся газом с давлением
р > О, то возникает скачок, как это схематически показано на
рис. 13.4. Интенсивность этого скачка в точке Р равна нулю.
При определенных предположениях относительно движения
поршня новых скачков не возникнет. Если уравнение состояния
является соотношением между
давлением р и плотностью р,
не зависящим от энтропии, а
траектория поршня X(t) при
/ > 0 представляется анали-
аналитической функцией, то траек-
траектория скачка (кривая PQ)
является единственной особен-
особенностью течения, за исключе-
исключением особенности высшего по-
порядка на той опережающей
характеристике ОМ, которая
проходит через точку, соот-
Рис. 13.4. Спонтанное возникнове-
возникновение скачка.
Траектория
частицы, прохо-
проходящая через
? точку Р
г Траектория
Q скачка
F
Огибающая
у- опережающих
х'Ч характеристик
Опережающая
характеристика
М
Опережающая характе-
ристика, проходящая
через начало координат
ветствующую началу движения поршня. В этом случае все ре-
решение задачи может быть проведено методом характеристик,
как это сделано, например, Курантом и Фридрихсом [1950]. Лю-
Любая основная функция f(XJ) течения является аналитической
выше кривой PQ, на этой кривой и на обеих ее сторонах, за
исключением самой точки Р> где имеется особенность. Поверх-
Поверхность, представляющая f(X,t) в пространстве (X,t,f), образует
складки таким образом, что / формально является трехзнач-
трехзначной в области между огибающими РЕ и PF\ вдоль траектории
скачка PQ, расположенной между РЕ и Р/7, происходит раз-
разрывный переход с верхней части этой поверхности (которая
дает правильные значения / слева от PQ) на нижнюю ее часть
(которая дает значения / справа от PQ). Для более общего
уравнения состояния существует дополнительная особенность
на траектории частицы PR, где третья производная от энтропии
по X становится бесконечной.
В качестве второго частного случая рассмотрим гельмголь-
цеву неустойчивость на тупом клине, подобно тому, что показа-
показано на рис. 13.5 в точке Р на начальной поверхности раздела.

366 М- 13- МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. It
Как было указано в § 13.3, попытка найти решение путем
линеаризации (которая включает предположение, что поверх-
поверхность раздела близка к плоской) и методом рядов Фурье пол-
полностью несостоятельна, если начальная поверхность раздела не
является аналитической. Предположим тем не менее, что не-
некоторое аналитическое (или кусочно аналитическое) решение
существует в некотором интервале (О, /0) для идеализирован-
идеализированной задачи, в которой начальная поверхность является анали-
аналитической всюду, за исключением ребра клина. (Неточности,
вероятно, должны привести к мелкомасштабному перемешива-
перемешиванию, как это описывалось выше в конце § 13.3.)
. Начальная
поверхность
'Поверхность разЬем
раздела
в последующем
движении
Рис. 13.5. Предполагаемая конфигурация поверхности раздела при гельм-
гольцевой неустойчивости.
Идеализируем задачу далее, пренебрегая сжимаемостью,
вязкостью и поверхностным натяжением и предполагая, что
при / = О поле скоростей задается известным решением для
несжимаемого течения около угла твердого тела; в координа-
координатах X, У, показанных на рис. 13.5, потенциал начальной ф ско-
скорости представляет собой действительную часть функции Z"/P,
где Z = X + iY, a (J — угол клина, как показано на рисунке.
Для t > О давление на поверхности раздела считается равным
нулю, т. е. она является свободной поверхностью. Предпола-
Предполагается, что движение жидкости выше поверхности раздела опи-
описывается уравнениями динамики для несжимаемой жидкости.
Существует также граничное условие на поверхности раздела,
которое гласит, что нормальная компонента скорости жидкости
должна равняться нормальной компоненте скорости самой по-
поверхности раздела. Наконец, требуется, чтобы на больших рас-
расстояниях от особенности потенциал скорости совпадал асимпто-
асимптотически со своим начальным значением, а именно, действитель-
действительной частью

§ 13.7. ПРОГРАММА РАЗВИТИЯ МЕТОДОВ 367
Задача, сформулированная таким образом, не содержит
масштаба длины; если решение существует и единственно, оно
должно быть автомодельным, т. е. потенциал скорости
ф(Х, Yyt) должен иметь вид g(t)Q>&,r\), где % = X/f(t) и ц =
= Y/f(t), и аналогично в момент/радиус-вектор Z = X + iY =
= Z(s,t) частицы, которая в начальный момент находилась на
поверхности раздела на расстоянии 5 по дуге от угла, должен
иметь вид Z(s,t) = f(t)&s/f(t)]. Мгновенные фотографии поверх-
поверхности раздела, сделанные в моменты U и /2, окажутся иден-
идентичными с точностью до увеличения. Если эти выражения под-
подставить в дифференциальные уравнения и в граничные усло-
условия, то окажется, что задача, действительно, сведется к краевой
задаче, содержащей функции Ф(?,л) и ?(а), при условии что
f(t) = ta, где а = B — я/р) и g(t) = t\ a у = ла/р.
Можно предположить, что поверхность раздела окажется
примерно такой, как показано на рис. 13.5. Так как 0 < а < i
для р > я, кривая, представляющая поверхность раздела, на-
начинает распространяться от ребра клина в момент t = 0 с бес-
бесконечной начальной скоростью. Кажется правдоподобным, что
эта кривая имеет колебания относительно начальных прямых
линий с быстро уменьшающейся амплитудой (и, возможно, уве-
увеличивающейся длиной волны) по мере удаления от начала коор-
координат. Однако вопрос существования и единственности решения
этой упрощенной задачи остается в настоящее время от-
открытым.
Можно представить себе и другие конфигурации, в которых,
например, свободная поверхность имеет точку возврата и, воз-
возможно, вихревой слой, начинающийся от этой точки. Однако в
любом случае изменение конфигурации, вероятно, должно под-
подчиняться принципу подобия.
§ 13.7. Программа развития методов
Справедливость предположений, описанных в предыдущем
параграфе, имела бы значение не только для установления су-
существования и единственности решений, но и для разработки
программы развития численных методов, которую мы здесь
кратко наметим.
В гладкой части течения (в области аналитичности) можно
применять ортогональную сетку в пространстве координат —вре-
—времени и аппроксимировать дифференциальные уравнения раз-
разностными уравнениями, которые в принципе могут иметь произ-
произвольно высокий порядок точности, так как функции аналитич-
ны, но на практике обычно используется двухшаговый метод
Лакса — Вендроффа или ему подобный. Разрывы и особенности
типов в той степени, насколько заранее известна их при-

368 гл- I3- МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч II
рода, могут быть исследованы специальными методами, подоб-
подобными процедурам подгонки скачков, чтобы объединить резуль-
результаты разностных расчетов в различных областях и удовлетво-
удовлетворить условиям на разрыве с точностью, соответствующей точ-
точности расчета гладкого течения.
Если N (равное 2, 3 или 4) — размерность пространства
координат — времени, то особенностями, соответствующими ги-
гиперповерхностям размерности N—1, могут быть: 1) ударные
волны, 2) контактные разрывы (которые могут быть также по-
поверхностями скольжения), 3) поверхности, на которых основные
величины течения непрерывны, но их производные некоторого
порядка разрывны. Мы придерживаемся точки зрения, что не
стоит разрабатывать специальные методы для особенностей
типа 3), по крайней мере в настоящее время (хотя сделать это
было бы легче, чем осуществить подгонку скачка); вместо
этого мы предположим, что для такой гиперповерхности рас-
расчет проводится на прямоугольной сетке так, как будто никакой
особенности не существует. В § 13.9 будет описан упрощенный
случай подгонки скачков и приведены (весьма кратко) сведе-
сведения о более общем случае подгонки скачка и методах расчета
контактных разрывов.
Примерами особенностей, соответствующих гиперповерхно-
гиперповерхностям размерности N — 2, являются: для N = 2 (одна прост-
пространственная переменная) 1) столкновение двух параллельных
плоских или концентрических сферических скачков, 2) мгновен-
мгновенное совпадение скачка с контактным разрывом или поверх-
поверхностью раздела двух сред, 3) столкновение двух свободных по-
поверхностей, 4) фокусировка сходящегося сферического скачка
в центре симметрии. Для N = 3 примерами являются: 5) трой-
тройная точка, где в случае маховского отражения встречаются три
скачка, 6) пересечение двух некомпланарных скачков. В приме-
примерах 1) — 4) характер особенности известен, и для того чтобы
найти специальные численные процедуры подгонки, можно ис-
использовать степенные ряды или другие разложения; мы не бу-
будем описывать эти процедуры, так как они обычно имеют весь-
весьма частный вид применительно к конкретным задачам. В при-
примерах 5) и 6) характер особенности не известен.
§ 13.8. Характеристики в двумерных течениях
При обсуждении подгонки скачка в одномерном случае в
§ 12.9 было указано, что информация о течении в некотором
смысле переносится вдоль характеристик или характеристиче-
характеристических кривых в плоскости X, t и что только одна из трех харак-
характеристик, проходящих через данную точку, имеет такое направ-
направление, что способна переносить информацию к скачку из тече-

§ 13.8. ХАРАКТЕРИСТИКИ В ДВУМЕРНЫХ ТЕЧЕНИЯХ 369
ния позади него. Эти соображения будут теперь обобщены на
двумерное течение.
Одномерные уравнения в характеристической форме были
даны в гл. 12— уравнения A2.30). В каждом из этих трех
уравнений все зависимые величины дифференцируются в одном
и том же направлении в плоскости X, t. В двумерном течении
существует только одна линейная комбинация первоначальных
дифференциальных уравнений, в которой все величины оказы-
оказываются продифференцированными в одном направлении; это
уравнение D<g + pD(l/p) = 0, где D — оператор дифференци-
дифференцирования вдоль траектории частицы, которое означает, что энт-
энтропия постоянна вдоль траектории частицы в гладкой части те-
течения. Даже это уравнение является особенностью гидродина-
гидродинамических уравнений; самое большее, на что можно надеяться
для общей гиперболической системы с тремя независимыми пе-
переменными, это найти такую линейную комбинацию исходных
уравнений, что зависимые величины оказываются продифферен-
продифференцированными в компланарных направлениях. Такие уравнения
называются уравнениями в характеристической форме для дву-
двумерного течения, а соответствующая плоскость называется ха-
характеристической плоскостью. Далее будет показано, что су-
существует бесконечно много характеристических плоскостей,
проходящих через данную точку (Хо, Уо, *о)> а именно, любая
плоскость, касательная к траектории частицы в точке
(XotYoJt), является характеристической и любая плоскость,
касательная в точке (Хо, Ко, *о) к звуковому конусу с вершиной
в (Хо, Ко, t0) у также является характеристической.
Чтобы найти возможные ориентации характеристической
плоскости, нужно четыре уравнения A2.2) — A2.4) (второе
уравнение в действительности представляет два уравнения, так
как скорость теперь имеет две компоненты) умножить на
коэффициенты а, р, у» б соответственно и сложить результаты,
а внутреннюю энергию <§ выразить через р и р с помощью
уравнения состояния. Окончательное уравнение принимает вид
tliVp + %Vp + Лз?и + rtfv = 0, A3.19)
где V — векторный оператор, компоненты которого равны
(д/дХ,д/дУ,д/д1). Функции щ линейны относительно а, р, у, 6
и зависят также от р, р, w, v9 а следовательно, от X, К, /. Тре-
Требование, что Hi компланарны, означает существование такого
ненулевого вектора, что
?.^ = 0 (/=1,2,3,4); A3.20)
вектор ?t таким образом, является нормалью к характеристи-
характеристической плоскости. При фиксированных X, У, t это дает четыре
линейных уравнения с четырьмя неизвестными а, р, у» 6j они

370
ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
имеют ненулевое решение только тогда, когда А = 0, где
д = Д(?) является определителем системы и представляет со-
собой полином самое большее четвертой степени от трех компо-
компонент вектора ?. Так как длина вектора произвольна, уравнение
Д = 0 определяет однопараметрическое семейство возможных
Траектория
частицы
Характеристичес
кая плоскость
Звуковой
конус
Рис. 13.6. Пространственно-временная диаграмма, показывающая траекто-
траекторию частицы и звуковой конус.
ориентации характеристической, плоскости, проходящей через
данную точку X, У, t.
Уравнения в характеристической форме, полученные опи-
описанным выше способом, имеют вид
i?--^ = 0, A3.21)
A3-22)
l5F + cX ' V) P = 0>
все векторы, входящие в эти уравнения, являются двумерными
(в плоскости X, У), в частности и = (ы, и), а V = (д/дХ, д/<ЭУ);
кроме того, с —адиабатическая скорость звука (функция от р
у р), а X и р — произвольные единичные ректоры в плоско-

§ 13.9. ПОДГОНКА СКАЧКОВ В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ
371
сти X, Y; наконец, D/Dt означает оператор
дифференцирования вдоль траекторий частиц (мировых линий).
В уравнении A3.22) направления дифференцирования нахо-
находятся в плоскости, касательной к траектории частицы и па-
параллельной ц; в A3.23) они находятся в плоскости, касатель-
касательной к звуковому конусу и такой, что прямая, по которой эта
плоскость пересекается с плоскостью X, К, перпендикулярна к к
(см. рис. 13.6).
С этими уравнениями и соответствующими характеристиче-
характеристическими плоскостями мы будем иметь дело в следующем пара-
параграфе.
§ 13.9. Подгонка скачков в двумерных задачах
Чтобы рассмотреть сначала простейший случай, предполо-
предположим, что скачок движется в первоначально невозмущенной сре-
среде, так что впереди него давление, плотность и две компоненты
скорости жидкости имеют известные постоянные значения
Рг, Р2, «2 и у2 (в обозначениях § 13.2), тогда как позади него
° °5, оВ4 Щ^Ьфь^Ь;! Фронт скачка
""^^Ч. в момент t
Рис. 13.7. Расположение точек сетки и точек скачка.
они являются функциями X, Y, t\ здесь, как всегда, X и Y — это
декартовы эйлеровы координаты. В любой момент / = пА1
фронт скачка располагается на некоторой кривой в плоскости
X, У; в численном расчете эта кривая представлена последова-
последовательностью точек с координатами (X, Y) = {^nr х\[) = \п1 вдоль
нее, /= 1, 2, ..., как показано на рис. 13.7, где показана и
прямоугольная сетка, узлы которой изображены светлыми
кружками. Величины /?, р, г/, v в точке g" в момент n&t обо-
обозначены через р*}> pj1, и?, vf (это значения непосредственно по-
позади скачка; значения на фронте — р2, рг, и2, v2), тогда как ве-
величины в узлах основной сетки обозначены через pnik и т. д.,

372 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. И
как в § 13.4. Единичный вектор в плоскости X, У, перпендику-
перпендикулярный скачку и направленный вперед, обозначен через X".
Предположим, что в момент t = яД/ все величины в точках
скачка и узлах сетки позади скачка известны и что требуется
найти эти величины в момент / = (/г+1)Д/. Нужно найти и
новое положение E"+\ ч"+1) = l/l+1 каждой точки скачка; это
положение отчасти произвольно, поскольку оно находится на
фронте скачка в момент /= (/г + 1)А/ где-то между точками
^ж* и 5/-"/ и довольно близко к старому положению §", так
что единственная компонента скорости ?/, которая имеет физи-
физический смысл, есть компонента в направлении X/. Для простоты
мы поэтому положим ?/ = 5Д/, где Si — скорость скачка, вхо-
входящая в уравнения A3.8а); в разностной форме это можно
записать как
± (?+¦ - %) = ± (S?+IX;+I + ф1). A3.25)
Отметим здесь, что в целом процедура подгонки скачков яв-
является существенно неявной. Две компоненты A3.25) дают два
уравнения с пятью неизвестными; вместе с другими уравнения-
уравнениями, приведенными ниже, они образуют сложную систему нели-
нелинейных уравнений, которая на практике должна решаться ите-
итерационным путем.
Из условий Ренкино — Гюгонио A3.8а) и A3.86) находим,
что
*Г' • ("Г1 - «О -
pr'x)-F{Pv P2) = i(P"+l + P2)(Vp2-V(>?+l). A3.28)
X?+lx(u?+1-u2) = 0, A3.29)
где F(p,p) равно & согласно уравнению состояния A2.1). Не-
Неизвестные в этих уравнениях относятся к моменту / =
= (п + 1) Д/. Единичный вектор Х"+1 может быть выражен че-
через положение точки скачка I и двух ее соседних точек путем
предварительного вычисления вектора X*, касательного к кри-
кривой в точке §"+|:
*.' - « (??' - Г') + Р (Г' - О A3.30)
где аир — коэффициенты (функции от |), выбранные так,
чтобы К* был единичным вектором и точки, соседние с точкой

§ 13 9. ПОДГОНКА СКАЧКОВ В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ 373
|"+1, входили с весами, обратно пропорциональными их рас-
расстояниям от нее. (Это эквивалентно построению некоторой кри-
кривой второго порядка по трем точкам и определению V как ка-
касательной к этой кривой в точке 5"+I.) Тогда вектор I, опреде-
определяемый равенством
(**,1у) = (-*у. *Я A3.31)
является искомой единичной нормалью Xf+I; если индекс I
возрастает в направлении вдоль кривой так, что при этом сжа-
сжатая область остается слева, то X/1"**1 является нормалью, на-
направленной из этой области наружу.
Учитывая векторные уравнения A3.25), A3.30) и A3.31)
дважды и промежуточные уравнения один раз, мы получаем та-
таким образом 10 уравнений с 11 неизвестными, а именно S, р, р
и компонентами векторов и, §, X, V в точке / скачка в момент
(/г + 1)Д/. (Заметим в этой связи, что A3.29) рассматривает-
рассматривается как одно уравнение, так как только его Z-компонента несет
информацию; это уравнение может быть записано в виде
X* • (uj*+l — u2) = 0.) Как и при подгонке одномерных скачков,
необходимое добавочное уравнение получается из условия, что
при надлежащей разностной аппроксимации одно из дифферен-
дифференциальных уравнений должно удовлетворяться не только в точ-
точках основной сетки, но и в каждой точке скачка. Необходимо
решить: 1) какое дифференциальное уравнение использовать к
2) какую разностную аппроксимацию выбрать для этого урав-
уравнения. Кроме того, необходимо решить, 3) как получить новые
значения р«+! и т. д. в тех точках сетки, которые так близки
к скачку, что обычные разностные уравнения (например, Лак-
са — Вендроффа) для них непригодны. (На практике давление
рп+х в этих точках, а также и регулярных точках сетки рассчи-
рассчитывается перед подгонкой скачка.) Ясно, что на все эти вопро-
вопросы можно дать самые различные ответы; ответы, данные ниже,
приводятся главным образом в качестве иллюстрации, так как
относительные преимущества многих возможных процедур пол-
полностью еще не исследованы и по всей вероятности ни одна из
этих процедур не окажется пригодной для всех задач.
Как и при подгонке одномерного скачка, если дифферен-
дифференциальное уравнение, выбранное для дополнения условий на раз-
разрыве, как было описано выше, является одним из уравнений в
характеристической форме A3.21), A3.22) или A3.23), то про-
простые физические соображения подсказывают однозначный выбор
этого уравнения. В одномерном течении информация в известном
смысле распостраняется по характеристическим направлениям
в плоскости X, t\ в том же самом смысле в двумерных задачах

374 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
информация переносится вдоль характеристических плоскостей.
Так как нам нужна информация из потока позади скачка, мы
выбираем характеристическую плоскость, проходящую через
точку (§;п+\ (п+ 1)М) в пространстве координат —времени так,
что ее «прошлая» часть лежит, насколько это возможно, в обла-
области позади скачка, и этот выбор является однозначным: мы
должны выбрать плоскость, касательную к звуковому конусу,
пересечение которой с плоскостью t = (п + 1)Д/ является каса-
касательной к фронту скачка и которая, если ось t предполагается
вертикальной, наклонена вперед максимально в направлении
скачка. Иначе говоря, мы должны выбрать уравнение A3.23)
с вектором X, направленным по нормали скачку, именно, X =
Для простоты мы выпишем только разностную аппроксима-
аппроксимацию первого порядка для уравнения A3.23), соответствующую
замене уравнения A3.25) простейшим уравнением §*+1 — 5" =
= S"tf А/. Дивергенция скорости может быть записана как
у. u = (k-V) (k-u) + (k*-V) (X,*-u), где X,* —единичный вектор
(в плоскости X, У), ортогональный Ji.
Тогда A3.23) можно записать как
где
— оператор дифференцирования по времени вдоль линии каса-
касания характеристической плоскости и звукового конуса.
На рис. 13.8 кривые Сп и Cn+1 изображают два последова-
последовательных положения скачка, а кривая С' является геометриче-
геометрическим местом точек, расположенных на расстоянии (и-^ + с)Д/
позади последнего положения скачка. Если Р и Q — точки
(l"+1> tn+l) и (g*, /n) в пространстве координат-времени, где
gj1 — пересечение вектора И} (направленного назад) с кривой
С, то для любой функции / производная б//б/ может быть ап-
аппроксимирована как [f(P) — f(Q)]/Aty в то время как A*-V яв-
является оператором дифференцирования по длине дуги вдоль
кривой С в точке Q и обозначается через d/ds. Поэтому ура-
уравнение A3.23) аппроксимируется уравнением
р{Р)-р (Q) + PC (Q) tf • (и (Р) - и (Q)) + ((A/As) Я* .k)q = 0, A3.32)
где A/As — разностное представление оператора d/ds вдоль
кривой С. Для этого уравнения необходимы значения р, рс и

§ 13.9. ПОДГОНКА СКАЧКОВ В ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ 375
Х*и в точках g" на кривой С; они получаются надлежащей ин-
интерполяцией в момент tn с использованием величин в узлах ос-
основной сетки и в точках gj1 скачка.
Чтобы исследовать устойчивость, требуется исключить из
алгоритма любой узел сетки, который расположен слишком
близко к скачку; поэтому проведем кривую (показанную на
рис. 13.7 пунктирно) на фиксированном расстоянии б позади
.Кривая Сп*'(скачок в момент tnH)
/Кривая Сп(скачок в момент t )
/кривая С (основание
Рис. 13.8. Чертеж, поясняющий уравнение A3.32).
скачка, причем б ~ А*, и назовем точки сетки, лежащие между
этой кривой и скачком, точками типа А\ значения pnik и т. д.
в этих точках не используются в расчете; однако когда все дру-
другие величины известны в момент / = (я+1)Д/, интерполиро-
интерполированные значения p*jk и т. д. вычисляются в каждой точке типа
А для того, чтобы их использовать позже, если, вследствие дви-
движения скачка, точка (jtk) перестанет быть точкой типа А
в следующем временном слое.
Методы первого порядка точности, которые обычно более
устойчивы, чем второго, могут показаться несовместимыми по
точности с методом второго порядка Лакса — Вендроффа, но
Стрэнг (частное сообщение) показал, что для задач этого типа
сходимость к истинному решению при стремлении шагов сетки
к нулю все же остается второго порядка, даже если границы
аппроксимируются с первым порядком точности. Это происхо-
происходит, грубо говоря, потому, что отношение количества граничных
точек к количеству всех точек сетки является в пределе малой
величиной первого порядка. Такая процедура в любом случае
очевидно лучше, чем методы с искусственной вязкостью, в кото-
которых границы (скачки) берутся только с нулевым порядком точ-
точности.

376 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА) Ч. II
Любая точка сетки, у которой отсутствует хотя бы одна со-
соседняя точка, называется точкой типа В и требует специального
исследования. Чтобы рассчитать р^+1 и другие величины, напри-
например, в точке В5 на рис. 13.7, сначала получаем значения в точке
Pi на скачке путем интерполяции относительно длины дуги,
а затем используем Р\ вместо недостающей соседней точки
(точки с индексом /, k + 1), предварительно незначительно мо-
модифицировав формулы Лакса — Вендроффа в связи с неодно-
неоднородностью пространственной сетки.
Если параметры среды впереди скачка не постоянны, то ве-
величины течения непосредственно впереди, обозначенные выше
через р2, р2> и2, у2, будут зависеть от / и п и должны, по-види-
по-видимому, рассчитываться каким-то образом по точкам сетки впе-
впереди. Разработать детали и проверить результаты — это дело
будущего.
Попытки осуществить процедуру подгонки для поверхности
скольжения, которая может быть контактным разрывом энтро-
энтропии или поверхностью раздела сред, пока не увенчались успе-
успехом. В этом случае имеется девять неизвестных: pt р, u, v на
каждой из сторон поверхности и нормальная скорость 5 самой
поверхности. Существует три условия на разрыве: р одинаково
на обеих сторонах и нормальная составляющая скорости и
одна и та же на обеих сторонах и равна S. Поэтому условия
на разрыве, по-видимому, должны быть дополнены тремя диф-
дифференциальными уравнениями на каждой из сторон. Соответ-
Соответствующие члены поверхностного натяжения должны быть вклю-
включены в уравнения, чтобы устранить тейлоровскую и гельмголь-
цеву неустойчивости для волн, длина которых сравнима с Длс.
Многие дополнительные детали двумерных расчетов ме-
меняются от задачи к задаче, так что невозможно создать общие
или универсальные алгоритмы; специальные алгоритмы должны
применяться вблизи точки пересечения трех или более скачков
или на пересечении фронта скачка с жесткой стенкой и t. д.
Возникает следующий вопрос, носящий в некоторой степени то-
топологический характер: если несколько кривых, представляю-
представляющих скачки или другие особенности, делят плоскость Xt Y в мо-
момент / на несколько областей, то необходимо создать подпро-
подпрограмму для распознавания того, в какой из областей лежит
данная точка (/,*), что можно сделать различными способами.
Наконец, для расширяющегося или суживающегося скачка же-
желательно иметь алгоритмы для требующегося иногда увеличе-
увеличения или уменьшения числа точек Ц на кривой с тем, чтобы со-
сохранять расстояние между ними сравнимым с Да;. Все это сра-
сравнительно несложно, тогда как основные процедуры подгонки
для внутренних и внешних границ нуждаются в дальнейшем
развитии, анализе и проверке,

§ 13.10. ЗАДАЧА СДВИЖЕНИИ АТМОСФЕРНОГО ФРОНТА
377
Слой холодного
воздуха, лежа-
лежащий ниже слоя
теплого воздуха
§ 13.10. Задача о движении атмосферного фронта
Обсуждаемая здесь метеорологическая задача, схематически
представленная на рис. 13.9, грубо говоря, является задачей
о движении по Земле полярной шапки холодного воздуха. Хо-
Холодный воздух отделен от теплого воздуха, находящегося выше,
довольно отчетливой поверхностью раздела, или фронтом, по
разные стороны которого температура отличается на 5—10° С.
Пересечение фронта
с Землей проходит в
средних широтах обыч-
обычно по волнистой линии,
называемой на кар-
карте погоды «холодным
фронтом» или «теплым
фронтом» в зависимо-
зависимости от того, что вы-
вызывает движущийся
фронт: устойчивое по-
похолодание или потепле-
потепление. Фронт отлого под-
поднимается вверх к севе-
северу с углом наклона в
(обычно малую) долю
градуса, так что на по-
полюсе толщина слоя хо-
холодного воздуха дости-
достигает нескольких миль.
В простейшем при-
приближении предполага-
предполагается, что полярная
шапка находится в равновесии и кориолисовы силы (обуслов-
(обусловленные вращением Земли), уравновешены силой тяжести.
В этом приближении считается, что теплый воздух наверху об-
обладает устойчивой зональной циркуляцией с запада на восток
относительно холодного воздуха внизу, так что на фронте пре-
претерпевает разрыв не только температура, но и широтная компо-
компонента скорости ветра. Кориолисова сила, отнесенная к единице
объема воздуха, равна pv X со, где v — скорость ветра отно-
относительно вращающейся Земли, a w — угловая скорость вра-
вращения Земли; следовательно, кориолисова сила имеет разные
значения для теплых и холодных масс воздуха. С другой сторо-
стороны, холодный воздух плотнее теплого, так что если бы не было
кориолисовых сил, то фронт при гидростатическом равновесии
был бы всюду горизонтальным. Равновесие под действием
обеих сил обсуждалось Касахарой и др. [1964] и в цитированных
Рис. 13.9. Схематическое изображение хо-
холодного фронта.

378 ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА? Ч. II
ими работах. В этом приближении, грубо говоря, теплый воздух
вращается несколько быстрее вокруг земной оси, чем холодный,
и подвергается действию больших центробежных сил; это приво-
приводит к тому, что теплый воздух имеет тенденцию собираться на
низких широтах и вытеснять холодный воздух в более высокие
широты.
Касахара, Изаксон и Стокер [1964,1965] разработали числен-
численный метод расчета движения упрощенной модели фронта как
краевой задачи. Полная трехмерная задача с учетом сжимаемо-
сжимаемости не поддается решению (даже без учета источников тепла,
конвекции и тому подобных явлений), но, к счастью, имеются
хорошие упрощенные модели. В модели, используемой здесь
(Стокер [1953, 1957]), сделаны следующие допущения: 1) рас-
расчет производится на достаточно малой части земной поверхно-
поверхности (например, на прямоугольнике размером приблизительно
с Соединенные Штаты) с должным образом выбранными до-
дополнительными граничными условиями, так что можно прене-
пренебречь кривизной поверхности и изменением кориолисова пара-
параметра / = 2о) sin ф, где ф — широта (это приближение иногда
называют приближением касательной плоскости); 2) вертикаль-
вертикальными ускорениями пренебрегают, так что давление в любой
точке задается простой гидростатической формулой; 3) сжимае-
сжимаемостью пренебрегают, так как скорость ветра много меньше
скорости звука; 4) считается, что каждый слой имеет постоян-
постоянную плотность; 5) предполагается, что возмущения в холодном
слое воздуха пренебрежимо мало влияют на теплый слой, так
что его скорость и общая высота двух слоев сохраняют свои
равновесные значения в процессе всего расчета. Эти предполо-
предположения приводят к системе уравнений
A3.34)
-^7 = 0, A3.35)
где D/Dt — оператор
Dt dt ' U дХ "*" V dY '
X и У — декартовы координаты в направлении востока и севера
соответственно, и = и (X, У, /) и v = v (X, У, t) — компоненты
скорости жидкости (ветра) по осям X и У, h = h(Xy У, /) —вер-
—вертикальная толщина слоя холодного воздуха, а остальные вели-
величины постоянны: р7р — отношение плотностей теплого и холод-
холодного воздуха, п! — постоянная скорость теплого воздуха с за-
запада на восток и g— ускорение силы тяжести.
Dt
Dv

§ 13.10. ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ АТМОСФЕРНОГО ФРОНТА
379
часов
В смешанной краевой задаче, рассматривавшейся Касахарой
и др.,течение предполагается периодическим по долготе с таким
периодом, что все величины одинаковы в соответственных точ-
точках восточной и западной границ прямоугольника, показанного
на рис. 13.10 и 13.11; северная граница считается жесткой стен-
стенкой; на южной стороне прямоугольника граничных условий не
требуется, так как до нее
фронт не доходит.
Обозначим через С
кривую, по которой фронт
пересекает земную по-
поверхность (плоскость Х9
У) в момент t, т. е. геоме-
геометрическое место точек,
удовлетворяющих уравне-
уравнению ВД У, 0 =0. Если
исходить из дифференци-
дифференциальных уравнений, то гра-
граничных условий на кри-
кривой С не требуется, но
дифференциальные урав-
уравнения A3.33) —A3.35)
должны выполняться на
кривой С и выше нее; в
численных расчетах удоб-
удобно размещать точки с ко-
координатами (g/, T]l) =
= gj = li(t) на кривой С,
как это показано на ри-
рисунках, и следить за движением этих точек и изменением в них
величин (ui,vi) = ut = ui(t), как это делалось при подгонке
скачков. Эффективные граничные условия получаются из урав-
уравнений A3.33) и A3.34) и имеют вид
-&Ь = ъ> A3.36)
* " Л P'^/* + YV* + K, A3.37)
345678 91011121314151617181920212123
Рис. 13.10. Распределение по вертикали
холодного и теплого воздуха в момент
/==0.
где
"[-, о]' »-'*
и где оператор Vh должен вычисляться в точке |/.
В методе Касахары и др. используются уравнения Лакса —
Вендроффа (с небольшими изменениями) в любой регулярной
точке сетки,т. е. в каждой точке (кроме точек северной границы),
для которой все восемь соседних точек лежат выше кривой С.

3D0
ГЛ. 13. МНОГОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ (ГАЗА)
Ч. II
Точки вблизи кривой С подразделяются на точки типа А и
типа В и рассматриваются так же, как при подгонке скачков.
Однако Касахара показал возможность и целесообразность про-
проведения всех расчетов со вторым порядком точности. Для этого
кривая С рассматривается как последовательность дуг, задан-
заданных кубическими уравнениями, которые имеют вид ц = f (g)
или g = g(r\) в зависимо-
зависимости от наклона дуги (по-
видимому, должно быть
достаточно и квадратич-
квадратичного представления), а
все интерполяции, и вы-
вычисления разностей вы-
выполняются с сравнимой
точностью. Так как на-
направление вектора Vh в
точке |; на кривой С обя-
обязательно совпадает с нор-
нормалью А, то легко прове-
провести линию в этом направ-
направлении из точки |/ до пе-
пересечения ее с линией сет-
^ Теплый возди
R \/Х/Л//У/У/У/У/Х/Л/Л/А^Ам//6^Л//УЛ^/УЛ i » V
3 4 5 6 7 8 9 W111Z13U15W17W19Z0212Z23 ки (параллельной оси X
5 или оси У) в некоторой
Рис. 13.11. Распределение по вертикали точке, например Z. С ПО-
холодного и теплого воздуха в момент МОЩЬЮ интерполяции на
/=11 часов. сетке находятся h и Х-
• Vh в точке Z; эти значе-
значения и значение А = 0 в точке §j позволяют провести квадратич-
квадратичную подгонку величины h вдоль линии от §* до Z и тем самым
определить Vh в точке §;. Тогда конечноразностная аппроксима-
аппроксимация граничных условий A3.36), A3.37) примет вид
1
?;-'_§;• =±^4 О л;,
где 1|? — правая часть уравнения A3.37). Как и при подгонке
скачков, вся процедура является существенно неявной и для ре-
решения уравнений используется итеративный процесс, который
подробно описан Касахарой и др. [1964].
В одном из расчетов по этому методу были использованы
следующие начальные данные: h(X, У, 0) бралось, как показано
на рис. 13.10, а и(Х, У, 0)==0; рассчитанная конфигурация мас-
массы холодного воздуха показана на рис. 13.11. На основании про-
проверки энергии и других величин, сравнения с наблюдениями
и т. п. можно сделать заключение, что этот метод устойчив и
достаточно точен.

БИБЛИОГРАФИЯ
Звездочкой отмечены работы, добавленные при переводе.
Для переводных книг в квадратных скобках стоит год оригиналь-
оригинального издания.
AMS — Amer. Math. Soc.
Адамар (Hadamard J.)
[1923] Lectures on Cauchy's problem in linear partial differential equations,
Yale Univ. Press.
Анзорге (An sorge R.)
[1963] Die Adams-Verfahren als Charakteristikenverfahren hoherer Ordnung
zur Losung von hyperbolischen Systemen halblinearer Differential-
gleichungen, Numer. Math., 5, 443.
Аронсон (Aronson D. G.)
[1963] On the stability of certain finite difference approximations to para-
parabolic systems of differential equations, Numer. Math., 5, 118; 290.
Багриновский К. А., Годунов С. К.
[1957] Разностные схемы для многомерных задач, ДАН, 115, 431.
.Банах (В an a ch S.)
[1932] Theorie des operations lineaires, Hafner Publishing Co., N. Y. [Укра-
[Украинский перевод: Курс функционального анализа, ДУПВ «Радянь-
ска школа», 1948.]
Батлер (Butler D. S.)
[1960] The numerical solution of hyperbolic systems of partial differential
equations in three independent variables, Proc. Roy. Soc, A255, 232.
Баченан (Buchanan M. L.)
[1963a] A necessary and sufficient condition for stability of difference sche-
schemes for second order initial value problems, /. Soc. Indust. Appl.
Math., 11, 474.
[1963b] A necessary and sufficient condition for stability of difference sche-
schemes for initial value problems, /. Soc. Indust. Appl. Math., 11, 919.
Беккер (Becker R.)
[1922] Stosswelle und Detonation, Z. Physik, 8, 321.
Белл м ан (Bellman R.)
*[1960] Введение в теорию матриц, «Наука», 1969.

382 БИБЛИОГРАФИЯ
Белоцерковский О. М.,' Ч у ш к и н П. И.
[1962] Численный метод интегральных соотношений, Ж. выч. мат. и мат.
физ., 2, № 5, 731.
Бете, Фукс, фон Нейман, Пайерлс, Пенни (Bethe H. А.,
Fuchs К., von Neumann J., Peierls R., Penny W. G.)
[1944] Shock hydrodynamics and blast waves, Report AECD-2860, Los Ala-
mos Sci. Lab.
Биркгоф (Birkhoff G.)
[1962] Helmholtz and Taylor instability, Proceedings of Symposia in Appl.
Math., AMS, 13, 55.
Биркгоф, Варга (Birkhoff G., V a r g a R. S.)
[1959] Implicit alternating direction methods, Trans. AMS, 92, 13.
Блер, Метрополи с, фон Нейман, Тауб, Цингоу (Blair A.,
Metropolis N. С, von Neumann J., T a u b A. H.,
Т s i n g о u M.)
[1959] A study of a numerical solution to a two-dimensional hydrodynami-
cal problem, Math. Сотр. (МТАС), 13, 145.
Бликни, Тауб (BleakneyW., TaubA. H.)
[1949] Interaction of shock waves, Rev. Mod. Phys., 21, 584.
Бриллюэн (Brillouin M.)
[1931] Sur quelques problemes поп resolus de la physique mathematique
classique. Propagation de la fusion, Ann. Inst. H. Poincare, 1, 285.
Б p у н, X а а к (B r u h n G., H а а с k W.)
[1958] Ein Charakteristikenverfahren fur dreidimensionale instationare Gas-
stromungen, ZAMP, 9b, 173.
Брюс, Писмэн, Ракфорд, Райе (Bruce G. H., Peaceman D. W.f
R а с h f о r d H. H., Jr., R i с e J. D.)
[1953] Calculation of unsteady-state gas flow through porous media, Trans.
Amer. Inst. of Mining and Met. Engnrs, 198, 79.
Б у р с т е й н (В u r s t e i n S. Z.)
[1963] Numerical calculation of multidimensional shocked flows, Report
NYp 10433, Cournat Inst. Math. Sci., N. Y. Univ.
[1965] Finite difference calculations for hydrodynamic flows containing
discontinuities, Report NYO 1480-33, Courant Inst. of Math Sci.,
N. Y. Univ.
Вазов, Форсайт (Wasow W. R., Forsythe G. E.)
[1960] Разностные методы для уравнений в частных производных, ИЛ,
1963.
В а р г а (V а г g a R. S.)
[1962] Matrix iterative analysis, Prentice Hall, Englewood Cliffs, N. J.
Вендрофф (Wendroff B.)
[1960a] On the convergence of the discrete ordinate method, /. Soc. Indust.
Appl. Math., 8, 508.
[1960b] On central difference equations for hyperbolic systems, /. Soc, Indust,
Appl. Math., 8, 549.

БИБЛИОГРАФИЯ 383
Видлунд (Widlund О. В.)
[1965] On the stability of parabolic difference schemes, Math. Сотр., 19, 1.
[1966] Stability of parabolic difference schemes in the maximum norm,
N timer. Math., 8, 186.
В и к (W i с k G. C.)
[1943] Uber ebene Diffusionsprobleme, Z. Physik, 121, 702.
Гари (Gary J.)
[1962a] Numerical computation of hydrodynamic flows which contain a
shock, Report NYO 9603, Courant Inst. Math. Sci., N. Y. Univ.
[1962b] On certain finite difference schemes for the equations of hydrodyna-
hydrodynamics, Report NYO 9188, Courant Inst. Math. Sci., N. Y. Univ.
Г е л ь ф а н д И. М., Ш и л о в Г. Е.
*[1958] Обобщенные функции и действия над ними, Физматгиз.
Гершгорин (Gershgorin S.)
[1931] Uber die Abgrenzung der Eigenwerte einer Matrix, ИАН, сер. физ.
и мат., 7, 749.
Гёльднер (Goldner S. R.)
[1949] Existence and uniqueness theorems for two systems of nonlinear
hyperbolic differential equations for functions of two independent
variables, Ph. D. Thesis, N. Y. Univ.
Годунов С. К.
[1959] Разностный метод численного расчета разрывных решений урав-
уравнений гидродинамики, Мат. сб., 47, 271.
[1962] Метод ортогональной прогонки для решения систем разностных
уравнений, Ж. выч. мат. и мат. физ., 2, № 6, 972.
Годунов С. К., Рябенький В. С.
[1962] Введение в теорию разностных схем, Физматгиз.
[1963а] Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосо-
несамосопряженных разностных уравнений, УМН, 18, 3.
[1963b] Канонические виды систем линейных обыкновенных разностных
уравнений с постоянными коэффициентами, Ж. выч. мат и мат.
физ., 3, №2, 211.
Гординг (Girding L.)
[1953] Dirichlet problem for linear elliptic partial differential equations,
Math. Scand., 1, 53.
Гоуд (Goad W. B.)
[1960] WAT: a numerical method for two-dimensional unsteady fluid flow,
Report LAMS 2365, Los Alamos Sci. Lab.
Далквист (DahlquistG. G.)
[1963] Stability questions for some numerical methods for ordinary diffe-
differential equations, Proc. Symposia in Appi. Math.; Experimental ari-
arithmetic, high speed computing and mathematics, AMS, 147.
Д а ф ф (D u f f R. E.)
[1962] Slip line instability, Proceedings of Symposia in Appl. Math., AMS,
13 (Hydrodynamic Instability), 77.

384 БИБЛИОГРАФИЯ
Джон (John F.)
[1952] On the integration of parabolic equations by difference methods,
Comm. Pure Appl. Math., 5, 155.
[1953] A note on «improper» problems in partial differential equations,
Comm. Pure Appl. Math., 8, 591.
Дуглас (Douglas J.)
[1955] On the numerical integration of д2и/дх2 + д2и/ду2 = ди/dt by impli-
implicit methods, /. Soc. Indust. Appl. Math., 3, 42.
[1956] On the relation between stability and convergence in the numerical
solution of linear parabolic and hyperbolic equations, /. Soc. Indust.
Appl. Math., 4, 20.
[1957] A note on the alternating direction implicit method for the numeri-
numerical solution of the heat equation, Proc. AMS, 8, 409.
[1962] Alternating direction methods for three space variables, Numer.
Math., 4, 41.
Дуглас, Ганн (Douglas J., GunnJ.)
[1964] A general formultation of alternating direction methods I, Numer.
Math., 6, 428.
Дуглас, Ракфорд (Douglas J., Rachford H. H.)
[1956] On the numerical solution of and three variables, Trans. AMS, 82,
421.
Дюфорт, Франкел (duFortE. С, FrankelS. P.)
[1953] Stability conditions in the numerical treatment of parabolic differen-
differential equations, Math. Tables and other Aids to Computation, v. 7,
135.
Дьяконов Е. Г.
[1962] О некоторых разностных схемах для решения краевых задач,
Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 2, № 1, 57.
[1964] Разностные схемы второго порядка точности с расщепляющимся
оператором для параболических уравнений без смешанных произ-
производных, Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 4, № 5, 935.
За у эр (Sauer R.)
[1963] Differenzenverfahren fur hyperbolische Anfangswertprobleme bei
mehr als zwei unabhangigen Veranderlichen mit Hilfe von Nebencha-
rakteristiken, Numer. Math., 5, 55.
Зигмунд (Zygmund A.)
[1952] Тригонометрические ряды, т. 1,2, «Мир», 1965.
Иогансон, Крайс (Johannson О., Kreiss H. О.)
[1963] Ober das Verfahren der zentralen Differenzen zur Losung des
Cauchy-Problems fur partielle Differentialgleichungen, Nordisk Tidskr.
Informations-Behandling, 3, 97.
К а л к и н (С а 1 k i n J. W.)
[1942] On the spontaneous formation of shocks during a fluid motion,
unpublished report.
Канторович Л. В.
[1948] Функциональный анализ и прикладная математика, УМН, 3,
вып. 6, 89.

БИБЛИОГРАФИЯ 385
Карлсон (Carlson В. G.)
[1953] The Sn method, Unpublished Los Alamos Report and subsequent
reports.
Карслоу, Егер (Carslaw H. S., Jaeger J. S.)
[1964] Теплопроводность твердых тел, «Наука».
Касахара (KasaharaA.)
[1965] On certain finite-difference methods for fluid dynamics, Monthly
Weather Review, Jan. 1965, 27.
Касахара, Изаксон, Стокер (Kasahara A., Isaacson E.,
S t о k e r J. J.)
[1964] Numerical studies of frontal motion in the atmosphere. 1, Report
NYO 1480-6, Courant Inst. Math. Sci., N. Y. Univ.
К а то (Kato T.)
[1960] Estimation of iterated matrices, with application to the von Neumann
condition, Numer. Math., 2, 22
Кворлс (Quarles D.)
[1964] Ph. D. Thesis, N. Y. Univ.
Келлер (Keller H. B.)
[1956] Difference equations for hyperbolic systems, Seminar, N. Y. Univ.
[1958] Approximate solutions of transport problems — part I. Steady-state
elastic scattering in plane and spherical geometry, /. Soc. Indust.
Appl. Math., 6, 452.
[1960a] Approximate solutions of transport problems — part II. Convergence
and applications of the discrete ordinate method, /. Soc. Indust.
Appl. Math., 8, 43.
[1960b] On the pointwise convergence of the discrete ordinate method, J. Soc.
Indust. Appl. Math., 8, 560.
[1960c] Convergence of the discrete ordinate method for the anisotropic scat-
scattering transport equation, Symposium on the numerical treatment of
ordinary differential equations, integral and integrodifferential equa-
equations, Rome; Birkauser, Basel, 292.
Келлер, Вендрофф (KellerH. В., WendroffB.)
[1957] On the formulation and analysis of numerical methods for time de-
dependent transport equations, Comm. Pure Appl. Math., 10, 567.
Коллатц (Collatz L.)
[1951] Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ,
1953.
Кол ьски (Ко 1 sky H.)
[1955] Report LA 1867, Los Alamos Sci. Lab.
Коновалов А. Н.
[1964] Применение метода расщепления к численному решению динамиче-
динамических задач теории упругости, Ж. выч. мат. и мат. физ., 4, № 4, 760.
Крайс (Kreiss H. О.)
[1959] Ober die Differenzapproximation hoher Genauigkeit bei Anfangswert-
problemen fur partielle Differentialgleichungen, Numer. Math., 1,
186.
i/4l2 Зак. 1300

386 БИБЛИОГРАФИЯ
[1960] Ober die Losung von Anfangswerttaufgaben fur partielle Differen-
tialgleichungen mit Hilfe von Differenzengleichungen, Trans. Roy.
Inst. Tech., Stockholm, 166.
[1962] Ober die Stabilitatsdefinition fur Differenzengleichungen die partielle
Differentialgleichungen approximieren, Nordisk Tidskr. Informations-
Benandlung, 2, 153.
|1963] Uber implizite Differenzenmethoden fur partielle Differentialglei-
Differentialgleichungen, Numer. Math., 5, 24.
[1964] On difference approximations of the dissipative type for hyperbolic
differential equations, Comm. Pure Appl. Math., 17, 355.
[1965] On difference approximations, Symposium on numerical solution of
partial differential equations, Univ. Maryland, May, 1965.
Кранк, Николсон (Crank J., Nickolson P.)
[1947] A practical method for numerical integration of solutions of partial
differential equations of heat conduction type, Proc. Cambridge Phi-
los. Soc, 43, 50.
К р е и н М. Г.
[1958] Интегральное уравнение по полупрямой с ядром, зависящим от
разности аргументов, УМН, 13, вып. 5, 3.
Кренделл (Crandall S. Н.)
[1954] Numerical treatment of a fourth-order parabolic differential equation,
/. Assoc. Computing Machinery, 1, 111.
Курант (Courant R.)
[1962] Уравнения с частными производными, «Мир», 1964.
Курант, Гильберт (Courant R., Hilbert D.)
[1953] Методы математической физики, т. 1, ГИТТЛ, 1951 (перевод с пре-
предыдущего издания).
Курант, Изаксон, Рис (Courant R., Isaacson E., Rees M.)
[1952] On the solutions of nonlinear hyperbolic differential equations by
finite differences, Comm. Pure Apll. Math., 5, 243.
К у р а н т, Л а к с (Courant R., Lax P. D.)
[1949] On nonlinear partial differential equations with two independent va-
variables, Comm. Pure Appl. Math., 2, 255.
Курант, Фридрихе (CourantR., FriedrichsK. О.)
[1948] Сверхзвуковые течения и ударные волны, ИЛ, 1950.
Курант, Фридрихе, Леви (Courant R., Friedrichs К. О.,
L e w у Н.)
[1928] Ober die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Phy-
sik, Math. Ann., 100, 32. [Русский перевод: О разностных уравнениях
математической физики, УМН, вып. VIII A940), 125.]
Лаасонен (Laasonen Р.)
[1949] Ober eine Methode zur Losung der Warmeleitungsgleichung, Ada
Math.. 81, 309.
Ладфорд, Поляч ек. Зегер (Ludford G. S. S., Polachek R. J.,
Seeger R.)
[1953] On unsteady flow of viscous fluids, J. Appl. Phys.t 24, 490.

БИБЛИОГРАФИЯ 387
Ладыженская О. А.
[1952] Решение задачи Коши для гиперболических систем методом конеч-
конечных разностей, Уч. зап. ЛГУ, сер. мат., 144, № 23, 192.
[1953] Смешанная задача для гиперболического уравнения, ГИТТЛ.
[1957а] Метод конечных разностей в теории уравнений с частными произ-
производными, УМН, вып. 5, 123.
[1957b] О построении разрывных решений квазилинейных гиперболических
уравнений как пределов решений соответствующих параболиче-
параболических уравнений при стремлении «коэффициента вязкости» к нулю,
Труды Моск. мат. о-ва, 6, 465.
Л а к с A. (L а х А.)
[1956] On Cauchy's problem for partial differential equations with multiple-
characteristics, Comm. Pure Appl. Math., 6, 135.
ЛаксП. (Lax P.)
[1953] Nonlinear hyperbolic equations, Comm. Pure Appl. Math., 6, 231.
[1954] Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numeri-
numerical computation, Comm. Pure Appl. Math., 7, 159.
[1957] Hyperbolic system of conservation laws. II, Comm. Pure Appl. Math.,
10, 537.
[1960] The scope of the energy methog, Bull. AMS, 66, 32.
[1961] On the stability of difference approximations to solutions of hyper-
hyperbolic equations with variable coefficients, Comm. Pure Appl. Math.v
14, 497.
Лаке, Вен дрофф (LaxP. D., Wendrof f В.)
[1960] Systems of conservation laws, Comm. Pure Appl. Math., 13, 217.
[1962] On the stability of difference schemes, Comm. Pure Appl. Math.,.
15, 363.
[1964] Difference schemes for hyperbolic equations with high order of
accuracy, Comm. Pure Appl. Math., 17, 381.
Л а к с, К e л л е р (L а х P. D., К е 11 е г J. В.)
[1951] The initial and mixed boundary value problem for hyperbolic sy-
systems, Report LAMS-1205, Los Alamos Sci. Lab.
Л а к с, Н и р е н б е р г (L ax P. D., N i r e n b e r g L.)
[1966] On stability for difference schemes: a sharp form of Garding's-
inequality, Comm. Pure Appl. Math., 19, № 4, 437—492.
Лаке, Рихтмайер (Lax P. D., Richtmyer R. D.)
[1956] Survey of the stability of linear finite difference equations, Comm.
Pure Appl. Math., 9, 267.
Л ев и (Lew у Н.)
AnfangswertDroblem bei einer hyperbolisch<
zwei unabhan-
gigen Veranderlichen,~Afa//i. Ann., 98, 179.
[1948] On the convergence of solutions of difference equations, Essays-
presented to R. Courant on his 60th birthday, Interscience Publi-
Publishers, N. Y., 211.
Лейт (Leith С. Е.)
[1964] Lagrangian advection in an atmospheric model, Report UCRL 7822,,
Lawrence Radiation Lab., Univ. California, Livermore.
[1927] Ober das Anfangswertproblem bei einer hyperbolischen nichtlinearen*
partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung mit

388 БИБЛИОГРАФИЯ
Лен ер, Уин г (Lehner J., Wing G. M.)
[1955] On the spectrum of an unsymmetric operator arising in the transport
theory of neutrons, Comm. Pure Appl. Math., 8, 217.
Либман (Liebmann L.)
[1918] Die Angenaherte Ermittelung harmonischer Funktionen und konfor-
mer Abbildungen, Sitz. Bayer Akad. Wiss., Math.-Phys. Klasse, 385.
Лиз (Lees M.)
[1960a] A priori estimates for the solution of difference approximations to
parabolic partial differential equations, Duke Math. J., 27, 297.
[1960b] Energy inequalities for the solution of differential equations, T-rans.
A MS, 94, 58.
[1961] Alternating direction and semi-explicit difference methods for para-
parabolic partial differential equations, Numer. Math., 3, 398.
Лоджмэн (LogemannG.)
[1965] Existence and uniqueness of rarefaction waves, Ph. D. thesis, N. Y.
Univ.
Льютерт (Leutert W.)
[1951] On the convergence of approximate solutions of the heat equation
to the exact solution, Proc. AMS, 2, 433.
[1952] On the convergence of unstable approximate solutions at the heat
equation to the exact solution, /. Math. Physics, 30, 245.
M а к - Д а ф ф и (MacDuf fee С. С.)
[1946] The theory of matrices, Chelsea Publishing, Bronx, N. Y.
Мартин (Martin M. H.)
[1955] An existence and uniqueness theorem for unsteady one-dimensional
anisentropic flow, Comm. Pure Appl. Math., 8, 367.
M a p ч у к Г. И., Я н е н к о Н. Н.
[1966] Применение метода расщепления (дробных шагов) для решения
задач математической физики, сб. «Некоторые вопросы вычисли-
вычислительной и прикладной математики», Новосибирск, 5.
М и л л е р, С т р э н г (М i 11 е г J. J. Н., S t г a n g W. G.)
[1965] Matrix theorems for partial differential and difference equations,
Stanford University Tech. Report CS28, Stanford, California.
Милн (Milne W. E.)
[1953] Численные методы решения дифференциальных уравнений, ИЛ,
1955.
Митчелл, Пирс (Mitchell A. R., Ре а гее R. Р.)
[1962] High accuracy difference formulae for the numerical solution of the
heat conduction equation, Computer /., 5, 142.
Моравец (М о r a w e t z С. S.)
[1956] On the non-existence of continuons transonic flows past profiles,
Comm. Pure Appl. Math., 9, 45.
Моримото (MorimotoH.)
[1962] Stability in the wave equation coupled with heat flow, Numer. Math.,
4, 136.

БИБЛИОГРАФИЯ 389
Мортон (Morton К. W.)
[1964а] On a matrix theorem due to H. О. Kreiss, Comm. Pure Appl. Math.t
17, 375.
[1964b] Finite amplitude compression waves in a collision free plasma. Phy-
Physics of Fluids, 7, 1800.
Мортон, Шехтер (Morton К. W., Schechter S.)
[1965] On the stability of finite difference matrics, /. Soc. Indust. Appl.
Math. Numer. Anal, ser. B, 2, 119.
Нейман (von Neumann J.)
[1943] Математические основы квантовой механики, «Наука», 1964.
Нейман, Рихт манер (von Neumann J., R i с h t m у е г R. D.)
[1950] A method for the numerical calculations of hydrodynamical shocks,
/. Appl. Phys., 21, 232. [Русский реферат: Метод численного расчета
гидродинамических скачков, сб. «Механика», № 1 A951), 27.]
Нортон (Van Norton R.)
[1962] On the real spectrum of a mono-energetic neutron transport operator,
Comm. Pure Appl. Math., 15, 99.
H о x (N о h E. F.)
[1964] CEL: A time-dependent two-space-dimensional, coupled Eulerian-
Lagrangian code, Methods in Comput. Phys., Academic Press, N. Y.,
3, 117. [Русский перевод: СЭЛ — совместный эйлерово-лагранжев
метод для расчета нестационарных двумерных задач, Сб. «Вычисли-
«Вычислительные методы в гидродинамике», «Мир», 1967, 128.]
О ' Б р а й е н, X а й м э н, К а п л а н (O'Brien G. G., Hyman M. A., Ka-
Kaplan S.)
[1951] A study of the numerical solution of partial differential equations,
/. Math. Physics, 29, 223.
Олейник О. А.
[1956] Задачи Коши для нелинейных дифференциальных уравнений пер-
первого порядка с разрывными начальными условиями, Труды моек,
матем. о-ва, 5, 433.
[1957] Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений,
УМН, 12, вып. 3, 3.
Олейник О. А., Введенская Н. Д.
[1957] Решение задачи Коши и краевой задачи для нелинейных уравнений
в классе разрывных функций, ДАН, 113, 503.
Парлетт (Р а г 1 е 11 В. N.)
[1966] Accuracy and dissipation in difference schemes, Comm. Pure. Appl.
Math., 19, 111.
Партер (Р а г t e r S. V.)
[1962] Stability, convergence, and pseudo-stability of finite difference equa-
equations for an over-determined problem, Numer. Math., 4, 277.
П и p c, M и т ч e л л (P e a r с e R. P., Mitchell A. R.)
[1962] On finite difference methods of solution of the transport equations,
Math. Сотр., 16, 155.
13 Зак. 1300

390 БИБЛИОГРАФИЯ
Пирси (PearcyG.)
[1966] An elementary proof of the power inequality for the numerical radius,
Michigan Math. /., 13, № 3, 289—291.
Писмэн, Ракфорд (Peaceman D. W., Rachford H. H. Jr.)
[1955] The numerical solution of parabolic and elliptic differential equations,
/. Soc. Industrial Appl. Math., 3, 28.
Рисе, Секефальви-Надь
[1952] Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954.
Рихтмайер (RichtmyerR. D.)
[1960] Proposed fluid-dynamics research, Unpublished memorandum, Courant
Inst. Math. Sci., N. Y. Univ.
[1961] Progress report on the Mach reflection calculation, Report NYO 9764,
Courant Inst. Math. Sci., N. Y. Univ.
[1962] A survey of difference methods for non-steady fluid dynamics,
NCAR Technical note 63-2, Nat'l Center for Atmos. Res., Boulder,
Colo.
[1964] The stability criterion of Godunov and Ryabenkii for difference
schemes, Report NYO 1840-4, Courant Inst. Math. Sci., N. Y. Univ.
Рихтмайер, Мортон (RichtmyerR. D., Morton К. W.)
[1964] Stability studies for difference equations: (I) Non-linear instability,
(II) Coupled sound and heat flow, Report NYO 1480-5, Courant
Inst. Math. Sci., N. Y. Univ.
Ричардсон (Richardson D. J.)
[1964] The solution of two-dimensional hydrodynamic equations by the
method of characteristics, Methods in Comput. Phys., Academic Press,
N. Y., v. 3, 295. [Русский перевод: Метод характеристик для реше-
решения уравнений гидродинамики двумерных неустановившихся тече-
течений, сб. «Вычислительные методы в гидродинамике», «Мир», 1967,
292.]
Р о б е р т с, В а й с (R о b e r t s К. V., W e i s s N. О.)
[1966] Convective difference schemes, Math. Comp.t 20, 272.
Рождественский Б. Л.
[1960] Разрывные решения систем квазилинейных уравнений гиперболиче-
гиперболического типа, УМН, 15, вып. 6, 59.
Роуз (Rose M. Е.)
[1956] On the integration of non-linear parabolic equations by implicit dif-
difference methods, Quart. Appl. Math., 14, 237.
Рябенький В. С.
[1964] Необходимые и достаточные условия хорошей обусловленности
краевых задач для систем обыкновенных разностных уравнений,
Ж. вычисл. мат. и мат. физ.у 4, № 2, 242.
Рябенький В. С, Филиппов А. Ф.
[1956] Об устойчивости разностных уравнений, ГИТТЛ.
Самарский А. А.
[1964] Экономичные разностные системы для систем уравнений параболи*
ческого типа, Ж. вычисл. мат. и мат. физ., 4, № 5, 227.

БИБЛИОГРАФИЯ 391
С а н т о, К е л л е р (de S a n t о D. F., К е 11 е г Н. В.)
[1961] Numerical studies of transition from laminar to turbulent flow over
a flat plate, Coll. Eng. Res. Div. Report, N. Y. Univ.
Саульев В. К.
[1957] Об одном способе численного интегрирования уравнений диффу-
диффузии, ДЛЯ, 115, 1077.
[1958] О методах повышенной точности и двухсторонних приближениях
к решению параболических уравнений, ДАН, 118, 1088.
Саусвелл (Southwell R. V.)
[1946] Relaxation methods in theoretical physics, Oxford University Press.
Сейдмэн (Seidman Т. J.)
[1963] On the stability of certain difference schemes, Numer. Math., 5, 201.
Софронов И. Д.
[1963] К разностному решению уравнения теплопроводности в криволи-
криволинейных координатах, Ж. вычисл. мат. и мат. физ„ 3, Йя 1, /86.
Спицер (Spitzer L., Jr.)
[1962] Физика полностью ионизованного газа, «Мир», 1966.
С тар к (Stark R. Н.)
[1956] Rates of convergence in numerical solution of the diffusion equation,
/. Assoc. Comput. Mach., 3, 29.
Стеттер (S t e 11 er H. J.)
[1961] On the convergence of characteristic finite-difference methods of
high accuracy for quasi-linear hyperbolic equations, Numer. Math..
3, 321.
Стокер (Stoker J. J.)
[1963] Dynamical theory for treating the motion of cold and warm fronts
in the atmosphere, Report IMM 200, Courant Inst. Math. Sci., N. Y.
Univ.
[1957] Волны на воде, ИЛ, 1999.
Стоун (Stone M. H.)
[1932] Linear transformations in Hilbert spase, AMS Colloq. Publications.
Стрэнг (Strang W. G.)
[1960] Difference methods for mixed boundary-value problems, Duke Math.
/., 27, 221.
[1962] Polinomial approximation of Bernstein type, Trans. AMS, 105, 525.
[1963] Accurate partial difference methods. I. Linear Cauchy problems, Arch.
Rational Mech. Anal., 12, 392.
[1964a] Accurate partial difference methods. II. Nonlinear problems, Numer.
Math., 6, 37.
[1964b] Wiener —Hopf difference equations, /. Math. Mech., 13, 85.
[1965] Necessary and insufficient conditions for well posed Cauchy pro-
problems, /. Differential Equations, 2, 107.
Тернер, Вендрофф (Turner J., Wendroff B.)
[1964] An unconditionally stable implicit difference scheme for the hydro-
dynamical equations, Report LA-3007, Los Alamos Sci. Lab.
13*

392 БИБЛИОГРАФИЯ
Тёрниг (TornigW.)
[1963] Ober Differenzenverfahren in Rechteckgittern zur numerischen Lo-
sung quasi-linearer hyperbolischer Differentialgleichungen, Numer,
Math., 6, 353.
T о д д (Т о d d J.)
[1955] A direct approach to the problem of stability in the numerical solu-
solution of partial differential equations, Report № 4260, National. Bureau
of Standards.
T о м а с (T h о m a s L. H.)
[1944] Note on Becker's theory of the shock front, /. Chem. Phys., 12, 449.
[1949] Numerical solution of partial differential equations of parabolic type,
Seminar of Scientific Computation, International Business Machines
Corp.
[1950] Stability of partial difference equations, Symposium on theoretical
compressible flow, Report № 1132, U. S. Naval Ordnance Laboratory.
[1954] Computation of one-dimensional compressible flows including shocks,
Comm. Pure Appl. Math., 7, 195.
Томпсон P. (Thompson R. J.)
[1964] Difference approximation for inhomogeneous and quasi-linear equa-
equations, /. Soc. Indust. Appl. Math., 12, 189.
ТомпсонУ. (T h о m p s о n W. В.)
[1962] An introduction to plasma physics, Pergamon Press, Oxford.
Томи (Thomee V.)
[1962] A stable difference scheme for the mixed boundary problem for a
hyperbolic first order system in two dimensions, /. Зое. Indust. Appl.
Math., 10, 229.
[1965] Stability of difference schemes in the maximum norm, /. Differential
Equations, 1, 273.
[1966] Parabolic difference operators, Math. Scand., 19, № 1, 77—107.
Трулио (Trulio J. G.)
[1964] The strip code and the jetting of gas between plates, Method in
Comput. Phys., Academic Press, N. Y., v. 3, 69. [Русский перевод:
Метод полос и течение газа между пластинами, сб. «Вычислитель-
«Вычислительные методы в гидродинамике», «Мир», 1967, 76.]
Тэлбот (Talbot G. Р.)
[1963] Application of the numerical method of characteristics in three inde-
independent variables to shockthermal layer interaction problems, Report,
Royal Armament Research and Development, U. K.
Уиттекер, Ватсон (Whittaker E. Т., Watson G. N.)
[1927] Курс современного анализа, т. 1, 2, Физматгиз, 1963.
Урм В. Я.
[1961] О необходимых и достаточных условиях устойчивости разностных
уравнений, ДАН, 139, 40.
Ф и л л и п с Н. (Phillips N. А.)
[1959] An example of non-linear computational instability, The Atmosphere
and the sea in Motion, Bert Bolin, ed., Rockefeller Institute Press,

БИБЛИОГРАФИЯ 393
Ф и л л и п с P. (Phillips R. S.)
[19571 Dissipative hyperbolic systems, Trans. AMS, 86, 109.
[1959] Dissipative operators and hyperbolic systems of partial differential
equations, Trans. AMS, 90, 193.
Фландерс, Шортли (Flanders D. A., ShortleyG.)
[1950] Numerical determination of fundamental modes, /. Appl. Phys., 21,
1326.
Франк, Лазарус (Frank R. M., Lazarus R. B.)
[1964] Mixed Eulerian Lagrangian method, Methods in Comput. Phys., Aca-
Academic Press, N. Y., v. 3, 47. [Русский перевод: Смешанный метод,
использующий переменные Эйлера и Лагранжа, сб. «Вычислитель-
«Вычислительные методы в гидродинамике», «Мир», 1967, 55.]
Франкел (Frankel S. Р.)
[1950] Convergence rates of iterative treatments of partial differential
equations, Math. Tables and other Aids to Computation, v. 4, 65.
Фридрихе (FriedrichsK. О.)
[1954] Symmetric hyperbolic linear differential equations, Comm. Pure Appl.
Math., 7, 345.
[1958] Symmetric positive linear differential equations, Comm. Pure Appl.
Math., 11, 333.
Фромм (F г о m m J. E.)
[1964] The time-dependent flow of an incompressible fluid, Methods in
Comput. Phys., Academic Press, N. Y., v. 3, 346. [Русский перевод:
Неустановившееся течение несжимаемой вязкой жидкости, сб. «Вы-
«Вычислительные методы в гидродинамике», «Мир», 1967, 343.]
Хайн К., Хайн Г., Роберте К., Роберте С, Кёппендёрфер
(Hain К., Йа1п G., Roberts К. V., Roberts S. J., Кбрреп-
dorfer W.)
[1960] Fully ionized pinch collapse, Z. Naturforsch., 15a, 1039.
X a p л о у (H a r 1 о w F. H.)
[1964] The particle-in-cell computing method for fluid dynamics, Methods
in Comput. Phys., Academic Press, N. Y., v. 3, 319. [Русский перевод:
Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики, сб.
«Вычислительные методы в гидродинамике», «Мир», 1967, 316.]
X е р ш (Н е г s с h R.)
[1963] Mixed problems in several variables, /. Math. Mech.t 12, 317.
Хилдебранд (Hildebrand F. B.)
[1952] On the convergence of numerical solutions of the heat-flow equa-
equations, /. Math. Physics, 31, 35.
Хопф (Hopf E.)
[I960] The partial differential equation ut + uux = \iuXt Comm. Pure AppL
Math.t 3, 201.

394 БИБЛИОГРАФИЯ
Хоскин (Но skin N. Е.)
[1964] Solution by characteristics of the equations of one-dimensional un-
unsteady flow, Methods in Comput. Phys., Academic Press, N. Y., v. 3,
365. [Русский перевод: Метод характеристик для решения уравне-
уравнений гидродинамики двумерных неустановившихся течений, сб. «Вы-
«Вычислительные методы в гидродинамике», «Мир», 1967, 264.]
X у н к о с а, Я н г (J u n с о s a M. L., Y о и n g D. М.)
[1953] On the order of convergence of solutions of a difference equation
to a solution of the diffusion equation, /. Soc. Indust. Appl. Math., 1,
111.
Чандрасекхар (Chandrasekhar S.)
[1944a] On the radiative equilibrium of a stellar atmosphere. I, Astroph. /.,
99, 180.
[1944b] On the radiative equilibrium of a stellar atmosphere. II, Astroph. /.,
100, 82.
Шилов Г. Е.
*[1961] Математический анализ, Специальный курс, Физматгиз.
*[1965] Математический анализ, Второй специальный курс, «Наука».
Шортли (Shortley G.)
[1952] Use of Tschebyscheff-polynomial operators in the numerical solution
of boundary-value problems, /. Appl. Phys., 24, 392.
Шортли, Уэлле р (Shortley G., WellerR.)
[1938] The numerical solution of Laplace's equation, /. Appl. Phys.t 9, 334.
Шульц (Schultz W. D.)
[1964a] Tensor artificial viscosity for numerical hydrodynamics, /. Math,
Phys., 5, 133.
[1946b] Two-dimensional Lagrangian hydrodynamical difference equations,
Methods in Comput. Phys., Academic Press, N. Y., v. 3, 1. [Русский
перевод: Двумерные конечноразностные гидродинамические уравне-
уравнения в переменных Лагранжа, сб. «Вычислительные методы в гидро-
гидродинамике», «Мир», 1967, 9.]
Шур (Schur I.)
[1909] Ober die charakteristischen Wurzeln einer Iinearen Substitution mit
einer Anwendung auf Theorie der Integralgleichung, Math. Ann..
66, 488.
Эванс, Брусе о, Кирстед (Evans G. W., Brousseau R., Kier-
stead R.)
[1954] Instability considerations for various difference equations derived
from the diffusion equation, Stanford Research Institute, Stanford,
California.
Эдди (Eddy R. P.)
[1949] Stability in the numerical solution of initial value problems in par-
partial differential equations, Naval Ordnance Laboratory Memo. 10232.
Эллиот (Elliott L. A.)
[1962] Shock fronts In two-dimensional flow, Proc. Roy. Soc, A 267, 558.

БИБЛИОГРАФИЯ 395
Э р л и х, Г у р в и ц (Е h г 1 i с h R., H u г w i t z H. Jr.)
[1954] Multigroup methods for neutron problems, Nucleonics, 12, 23.
Эшенхерст, Метрополис (Ashenhurst R. L, Metropolis N. C.)
[1959] Unnormalized floating-point arithmetic, /. Assoc. Comput. Mach.y 6,
415.
Я н г (Y о u n g D. M.)
[1954] Iterative methods for solving partial differential equations of elliptic
type, Doctoral Disseration, Harvard University A950), Trans. AMS,
76, 92.
Я н е н к о Н. H.
[1959] Об одном разностном методе счета многомерного уравнения тепло*
проводности, ДАН, 125, 1207.
[1964] О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений,
Сиб. матем. ж., 5, № 6, 1431.
*[1967] Метод дробных шагов решения многомерных задач математической
физики, «Наука», Сибирск. отделение, Новосибирск.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
Абрамов А. А.
[1961а] Вариант метода прогонки, Ж. вычисл. матем. и матем. физ.,
1 :2, 349—351.
[19616] О переносе граничных условий для систем линейных обыкновен-
обыкновенных дифференциальных уравнений (вариант метода прогонки),
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 1 :3, 542—545.
Абрамов А. А., Гаипова А. Н.
[1971] О численном решении некоторых систем для задач типа Стефана,
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 11:1, 122—128.
Адамская И. А.
[1963] Запись кинетического уравнения в сферических гармониках (кри-
(криволинейные координаты — осесимметричный случай), Ж. вычис-
вычислит, матем. и матем. физ., 3 : 5, 927—941.
Адамская И. А., Годунове. К., Прокопов Г. П.
[1968] Выражение функционала В. С. Владимирова через сферические
гармоники в тензорной форме (Р3-приближение), Ж. вычислит,
матем. и матем. физ., 2 : 4, 824—835.
А л а л ы к и н Г. Б., Годунов С. К., К и р е е в а И. Л., П л и и е р Л. А.
[1970] Решение одномерных задач газовой динамики в подвижных сет-
сетках, М., «Наука».
Андреев В. Б.
[1966] О равномерной сходимости некоторых разностных схем, Ж. вы-
вычислит, матем. и матем. физ., 6 :2, 238—250.
[1967а] О разностных схемах с расщепляющимся оператором для общих
р-мерных параболических уравнений второго порядка со смешан-
смешанными производными, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 7:2,
312—321.
[19676] Об одном методе численного решения третьей краевой задачи
для уравнения параболического типа в /?-мерном параллелепи-
параллелепипеде, Сб. работ ВЦ МГУ, 6, 64-75.
[1969] О сходимости разностных схем с расщепляющимся оператором,
аппроксимирующих третью краевую задачу для параболического
уравнения, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 9 :2, 337—349.
АнучинаН. Н.
[1970] О методах расчета течений сжимаемой жидкости с большими
деформациями, информ. бюллет. «Численные методы механики
сплошной среды», I : 4, Новосибирск, 3—10.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ 397
Б а б е н к о К. И., Молчанов А. М, Русанов В. В., Ш н о л ь Э. Э.
[1963] Методы решения некоторых двумерных задач, сб. «Вопросы вы-
вычислит, матем. и вычислит, техники», М., 99—103.
Баклановская В. Ф.
[1961] Численное решение одномерной задачи для уравнений типа не-
нестационарной фильтрации, Ж. вычислит, матем. и матем. физ.,
1 : з, 461—469.
[1964] Исследование метода сеток решения первой краевой задачи для
уравнения типа нестационарной фильтрации, сб. «Численные ме-
методы решений дифференциальных и интегральных уравнений»,
М., 228—243.
Баклановская В. Ф., Гаипова А. Н.
[1966] Об одной двумерной задаче нелинейной фильтрации, сб. «Числен-
«Численные методы решения задач математической физики», М., 237—241.
Баклановская В. Ф., Кутасов А. Д., Нейгауз М. Г.
[1961] Численное нахождение квазистационарного решения системы од-
одномерных параболических уравнений, Ж. вычислит, матем. и ма-
тем. физ., 1 :2, 354—357.
Баталова М. В., БахрахС. М., Винокуров С. А., ЗагусткинВ. Л.,
Иванов Л. Н., Калманович А. И., Шиндерман И. Д.
[1969] Комплекс «Сигма» для расчета задач двумерной газодинамики,
Труды всесоюзного семинара по численным методам механики
вязкой жидкости, Новосибирск, «Наука», 283—292.
Бахвалов Н. С.
[1962а] О накоплении вычислительной погрешности при численном ре-
решении дифференциальных уравнений, Сб. работ ВЦ МГУ, 1,
47-68.
[19626] Об оптимальных способах задания информации при решении диф-
дифференциальных уравнений, Ж. вычислит, матем. и матем. физ.,
2 :4, 569-592.
[1966] Об асимптотике при малых е решения уравнения щ + (<р(и))* =
= еиХх, соответствующего волне разрежения, Ж. вычислит, матем.
и матем. физ., 6 : 3, 521—526.
[1967] О параболических системах с малыми параметрами при старших
производных, ДАН СССР, 174 : 2, 263—266.
[1969] К оптимизации методов решения краевых задач при наличии
пограничного слоя, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 9:4, 841—
859.
[1970] О свойствах оптимальных методов решения задач математической
физики, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 10:3, 555—568.
Белоцерковский О. М.
[1969] Численные методы решения задач механики сплошных сред, М.,
изд. ВЦ АН СССР.
[1970] Обтекание затупленных тел сверхзвуковым потоком газа, Теорет.
экспер. иссл., изд. 2-е, М., изд. ВЦ АН СССР.
Белоцерковский О. М., Д а в ы д о в Ю. М.
[1970] Нестационарный метод «крупных частиц» для решения задач
рнешней аэродинамики, М., изд. ВЦ АН СССР.

398 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
Белоцерковский О. М., Чушкин П. И.
[1962] Численный метод интегральных соотношений, Ж. вычислит, ма-
матем. и мат ем. физ., 2 : 5, 731—759.
Б е л у х и н а И. Г.
[1965] О разностной аппроксимации некоторых нелинейных граничных
условий для одномерных параболических уравнений, Сб. работ
ВЦ МГУ, 3, 223—231.
[1969] Разностные схемы для решения плоской динамической задачи тео-
теории упругости со смешанными краевыми условиями, Ж. вычислит,
матем. и матем. физ., 9 :3, 362—372.
Б е р е з и н И. С, Ж и д к о в Н. П.
[1962] Методы вычислений, т. 2, изд. 2-е, М, Физматгиз.
[1963] Методы вычислений, т. 1, изд. 3-е, М., «Наука*.
Бондаренко П. С.
[1964] Вычислительные алгоритмы приближенного решения операторных
уравнений, ДАН УССР, 3, 295—299.
[1966] Принципы построения оптимальных алгоритмов, Вычислительная
математика, Киев, 2, 66—77.
БояринцевЮ. Е.
[1965] О сходимости разностных схем для волнового уравнения с пере-
переменными коэффициентами, ДАН СССР, 165 :3, 474—475.
[1966а] О сходимости метода расщепления и о локальном критерии кор-
корректности для разностных уравнений с переменными коэффициен-
коэффициентами, сб. «Некоторые вопросы вычислит, и прикладной матем.»,
Новосибирск, 92—100.
[19666] О сходимости разностных схем для уравнений с переменными ко-
коэффициентами, Труды Матем. ин-та АН СССР, 74, 16—37.
БояринцевЮ. Е., У з н а д з е О. П.
[1967] Об одном способе решения нестационарного уравнения переноса,
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 7:6, 1406—1413.
Браиловская И. Ю.
[1967] Разностный метод численного решения двумерных нестационарных
уравнений Навье — Стокса для сжимаемого газа, Сб. работ ВЦ
МГУ, 7, 3-15.
Браиловская И. Ю., К у с к о в а Т. В., Ч у д о в Л. А.
[1968] Разностные методы решения уравнений Навье — Стокса. Сб. ра-
работ ВЦ МГУ, 11,3-18.
Браиловская И. Ю., Чудов Л. А.
[1962] Решение уравнений пограничного слоя разностным методом, Сб.
работ ВЦ МГУ, 1, 167—182.
Б уд а к Б. М.
[1955] К решению краевых задач параболического типа, Вестник МГУ,
8, 33-38.
[1956] О методе прямых для решения некоторых краевых задач, ДАН
СССР, 109: 1, 9-12.
[1961] О методе прямых для некоторых квазилинейных краевых задач
параболического типа, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 1 :6,
1105—1112. '

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
[1962а] О методе прямых для некоторых квазилинейных краевых задач
параболического типа с разрывными данными, Вестник МГУ, сер.
матем., 3, 3—8.
[19626] Об однородных дифференциально-разностных схемах второго по-
порядка точности для параболических и гиперболических уравнений
с разрывными коэффициентами, ДАН СССР, 142 : 5, 986—989.
Будак Б. М., Балашова Г. С, Пирмамедов В. Г.
[1971] О применении разностного метода с выпрямлением фронтов к за-
задаче движения газового объема в водонасыщенной пористой среде,
Труды ВЦ МГУ, 134—155.
Б у д а к Б. М., В а с и л ь е в Ф. П.
[1963] Сходимость и оценка погрешности метода прямых для решения
некоторых двумерных задач фильтрации, Сб. работ ВЦ МГУ,
2, 211—238.
Будак Б. М., Васильев Ф. П., Успенский А. Б.
[1965] Разностные методы решения некоторых краевых задач типа
Стефана, Сб. работ ВЦ МГУ, 4, 139—183.
Будак Б. М., Васильева В. Н.
[1971] О решении обратной задачи Стефана, Труды ВЦ МГУ, 65—86.
Будак Б. М., ГапоненкоЮ. Л.
[1971] О решении задачи Стефана для квазилинейного параболического
уравнения с квазилинейными граничными условиями, Труды ВЦ
МГУ, 235-312.
Будак Б. М., Гольдман Н. Л.
[1971] Разностно-итерационный метод решения оптимальной задачи Сте-
Стефана для квазилинейного параболического уравнения, Труды ВЦ
МГУ, 155-179.
Будак Б. М., Гольдман Н. Л., Егорова А. Т., Успенский А. Б.
[1967] Метод выпрямления фронтов для решения задач типа Стефана
в многомерном случае, Сб. работ ВЦ МГУ, 8, 103—120.
Будак Б. М., Гольдман Н. Л., Успенский А. Б.
[1966] Разностные схемы с выпрямлением фронтов для решения много-
многофронтовых задач типа Стефана, ДАН СССР, 167:4, 735—738.
Б у д а к Б. М., Гольдман Н. Л., Ч у г а е в В. Е.
[1970] Разностный метод решения внешней краевой задачи для конеч-
конечного круглого цилиндра с основанием на граничной плоскости,
Сб. работ ВЦ МГУ, 14, 1—30.
Будак Б. М., Горбунов А. Д.
[1957] О разностном методе решения нелинейной задачи Гурса, ДАН
СССР, 117:4, 675—678.
[1958] Метод прямых для решения одной нелинейной краевой задачи
в области с криволинейной границей, ДАН СССР, 118:5, 858—86L
[1963] Разностные методы решения задачи Гурса для нелинейных гипер-
гиперболических уравнений, сб. «Вопросы вычислительной математики
и вычислительной техники», М., 67—70.
Будак Б. М., ИскендеровА. Д.
[1967] Об одном классе обратных краевых задач с неизвестными коэф-
коэффициентами, ДАН СССР, 176 : 1, 20—23.

400 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
Б у д а к Б. М, МадатовД. А.
[1971] О решении задачи Стефана с неизвестными коэффициентами,
Труды ВЦ МГУ, 180-204.
Б у д а к Б. М., П а в л о в А. Р.
[1970] Разностно-итерацнонный метод решения квазилинейного интегро-
дифференциального уравнения параболического типа с квазили-
квазилинейными граничными условиями на неравномерных сетках, Тру-
Труды ВЦ МГУ, 1-83.
Будак Б. М., Соловьева Е. Н.
[1970] Разностно-итерационный метод решения двумерного квазилиней-
квазилинейного интегро-дифференциального уравнения с квазилинейными
граничными условиями, Сб. работ ВЦ МГУ, 12, 116—123.
Будак Б. М., Соловьева Е. Н., Успенский А. Б.
[1965] Разностный метод со сглаживанием коэффициента для решения
задач Стефана, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 5 :5, 828—840.
Будак Б. М., Успенский А. Б.
[1965] Разностный метод решения краевых задач для квазилинейных
интегро-дифференциальных уравнений параболического и гипер-
гиперболического типов с разрывными коэффициентами, Сб. работ ВЦ
МГУ, 3, 473-508.
Б у л е е в Н. И.
[1970] Метод неполной факторизации для решения двумерных и трех-
трехмерных разностных уравнений типа диффузии, Ж. вычислит, ма-
тем. и матем. физ., 10:4, 1042.
Веденеев Е. П., Жидков Н. П.
[1969] Применение метода регуляризации к дифференцированию функции
одного переменного, заданной таблично, Сб. работ ВЦ МГУ,
13, 255—261.
Владимиров В. С.
[1958] Численное решение кинетического уравнения для сферы, сб. «Вы-
«Вычислит, математика», М., 3—33.
[1961] Математические задачи односкоростной теории переноса частиц,
М., Атомиздат.
Владимиров Л. А.
[1966] Решение задачи о движении границы раздела двух жидкостей, сб.
«Численные методы решения задач матем. физики», М., 267—271.
Гаипова А. Н.
[1968] Об однородной неявной разностной схеме для решения эволю-
эволюционного уравнения с фазовыми изменениями, Ж. вычислит, ма-
матем. и матем. физ., 8 :3, 534—543.
Г е л ь ф а н д Й. М.
[1959] Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений, УМН, 14:2,
87—158.
ГельфандИ. М., ЛокуциевскийО. В.
[1962] Метод «прогонки» для решения разностных уравнений, дополне-
дополнение к книге: Годунов С. К., Рябенький В. С. [1962].

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ 401
Глаголева Ю. П., Жогов Б. М, Кирьянов Ю. Ф., Мальша-
ков В. Д., Нестеренко Л. В., Подливаев И. Ф., Софро-
н о в И. Д.
[1971] Основы методики «Медуза» численного расчета двумерных не-
нестационарных задач газодинамики, информ. бюлл. «Численные
методы механики сплошной среды», Новосибирск.
Годунове. К.
[1962] Разностные методы решения уравнений газовой динамики, Ново-
Новосибирск.
Годунове. К., Забродин А. В.
[1962] О разностных схемах второго порядка точности для многомерных
задач, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 2:4, 706—708.
Годунов С. К., Семендяев К. А.
[1962] Разностные методы численного решения задач газовой динамики,
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 2 : 1, 3—14.
Годунов С. К., Султангазин У. М.
[1971] О разностных моделях кинетического уравнения Больцмана, УМН,
26 :3, 3-52.
Гольдин В. Я.
[1960] Характеристическая разностная схема для нестационарного кине-
кинетического уравнения, ДАН СССР, 133 : 4, 748—761.
[1964] Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения, Ж.
вычислит, матем. и матем. физ., 4 :6, 1078—1087.
Г у л и н А. В.
[1968] Необходимые и достаточные условия устойчивости трехслойных
разностных схем, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 8 :4, 899—908.
Дмитриев В. И., Захаров Е. В.
[1969] О численных методах решения некоторого класса дифракционных
задач, Сб. работ ВЦ МГУ, 13, 139—144.
Дмитриев Н. А., Дмитриева Л. В., Малиновская Е. В., Софро-
н о в И. Д., Р о м а н ц е в а А. Н.
[1971] Методика расчета двумерных нестационарных задач гидродина-
гидродинамики в переменных Лагранжа, Информ. бюлл. «Численные ме-
методы механики сплошной среды», Новосибирск, изд. СО АН
СССР, 15-27.
Дородницын А. А.
[1958] Об одном численном методе решения некоторых нелинейных за-
задач аэрогидродинамики (метод интегральных соотношений), Тру-
Труды III Всесоюзного матем. съезда, т. III, 447—453.
[1960] Об одном методе решения уравнений ламинарного пограничного
слоя, ПМТФ, 1 :3, 111—118.
[1961а] Метод интегральных соотношений, Труды IV Всесоюзного матем.
съезда, т. II, 621.
[19616] Об одном методе решения уравнений пограничного слоя, сб.
«Некоторые проблемы матем. и мех.», Новосибирск, 77—83.
Дьяконов Б. Г.
[1962а] Разностные схемы с расщепляющимся оператором для неста-
нестационарных уравнений, ДАН СССР, 144 : 1, 29—32.

402 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
[19626] Метод сеток для решения уравнений параболического типа 2/л-го
порядка с разделяющимися переменными, ДАН СССР, 142:6,
1236—1238.
[1963] О применении разностных схем с расщепляющимся оператором
для гиперболических уравнений с переменными коэффициентами,
ДАН СССР, 151 :4, 762—765.
[1965] Разностные схемы второго порядка точности с расщепляющимся
оператором для многомерных параболических уравнений с пере-
переменными коэффициентами, Сб. работ ВЦ МГУ, 3, 163—190.
[1966] О применении разностных схем с расщепляющимся оператором
для некоторых систем интегро-дифференциальных уравнений,
Вестник МГУ, 5, 3—11.
[1971] О некоторых операторных неравенствах и их применениях, ДАН
СССР, 198 : 5, 1007—1010.
Дьяченко В. Ф.
[1961] О численном счете разрывных решений квазилинейных систем,
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 1:6, 1126—1129.
[1965] Об одном новом методе численного решения нестационарных за-
задач газовой динамики с двумя пространственными переменными,
Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 5 :4, 680—688.
Ж и д к о в Н. П., К о р н е й ч у к А. А., К р ы л о в А. Л.
[1963] Численное решение задачи о движении вязкой жидкости между
двумя вращающимися цилиндрами, Сб. работ ВЦ МГУ, 1,
87—120.
Ж У к о в А. И.
[1960] Применение метода характеристик к численному решению одно-
одномерных задач газовой динамики, Труды Матем. ин-та АН СССР,
58, 17—46.
Загускин В. Л., Кондратов В. Е.
[1965] О счете уравнений теплопроводности и газовой динамики про-
прогонкой по отдельным областям, ДАН СССР, 163:5, 1107—1109.
3 у е в А. И.
[1966] О трехслойной схеме для численного интегрирования уравнений
газодинамики и нелинейного уравнения теплопроводности, сб.
«Численные методы решения задач математической физики», М.,
230—236.
Калиткин Н. Н.
[1968] Прогонка при бесконечном коэффициенте теплопроводности,
Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 8 :3, 684—693.
Карманов В. Г.
[1954] Об одной граничной задаче для уравнения смешанного типа,
ДАН СССР, 95 : 3, 439-442.
[1958] О существовании решений некоторых краевых задач для урав-
уравнения смешанного типа, Изв. АН СССР, сер. матем., 22: 1,
117—134.
К о н о в а л ов А. Н.
[1962] Метод дробных шагов решения задачи Коши для многомерного
уравнения колебаний, ДАН СССР, 147 : 1, 25—27.
[1964] Применение метода расщепления к численному решению дина-
динамических задач теории упругости, Ж. вычислит, матем. и матем.
физ., 4 : 4, 760—764.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ 403
КоновальцевИ. В.
[1968а] Об устойчивости двухслойных разностных схем, Ж. вычисл.
матем. и матем., физ., 8:2, 322—333.
[19686] Устойчивость в С и Lp двухслойных разностных схем с перемен-
переменными коэффициентами, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 8:4,
894—899.
К о т и к И. П.
[1969] Численное исследование волноводного трансформатора, Сб. работ
ВЦ МГУ, 13, 49-66.
Красносельский М. А., Вайко Г. М., Забрейко П. П., Рутиц-
к и й П. П., С т е ц е н к о В. Я.
[1969] Приближенное решение операторных уравнений, М., «Наука».
Кружков С. Н.
[1961] Об априорной оценке решений линейных параболических уравне-
уравнений и решении краевых задач для некоторого класса квазили-
квазилинейных параболических уравнений, ДАН СССР, 138 : 5, 1005—1008.
[1967а] Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми пе-
переменными, Труды Моск. матем. об-ва, 16, 329—346.
[19676] Об оценках старших производных для решений эллиптических и
параболических уравнений с непрерывными коэффициентами. Мате-
мат. заметки, 2 : 5, 549—560.
[1967в] О некоторых задачах с неизвестной границей для уравнения теп-
теплопроводности, Прикладн. матем. и механ., 31 : 5, 1009—1020.
[1968] Об одном классе задач с неизвестной границей для уравнения теп-
теплопроводности, ДАН СССР, 178 : 5, 1036—1038.
Крылов В. И., Бобков В. В.
[1963] О методе интегральных соотношений для задачи Гурса, ДАН
БССР, 7 : 7, 433-438.
[1965] Метод интегральных соотношений для уравнений и систем гипер-
гиперболического типа, Дифференциальные уравнения, 1 :2, 230-—243.
Крылов В. И., ЛискавецО. А.
[1963] Оценка погрешности метода прямых для задачи Гурса, ДАН
БССР, 7 : 8, 505-509.
[1964] Метод прямых для нестационарных смешанных задач и оценка
среднеквадратичной погрешности, ДАН БССР, 8:6, 353—366.
Кряквина С. А.
[1966] О точности схем переменных направлений для уравнения тепло-
теплопроводности, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 6:3, 582—589.
Кузнецов Н. Н.
[1967а] К расчету одномерного течения хорошо проводящего газа в полу-
полуограниченной трубе с поршнем, Сб. работ ВЦ МГУ, 7, 242—246.
[19676] О слабом решении задачи Коши для многомерного квазилиней-
квазилинейного уравнения, Матем. заметки, 2 :4, 401—410.
[1967в] Некоторые математические задачи хромотографии, Сб. работ ВЦ
МГУ, 6, 242—258.
[1971] Слабая устойчивость и асимптотическое решение конечнораз-
ностных уравнений, ДАН СССР, 200 : 5, 18—21.
[1972] О методе сглаживания, Сб. работ ВЦ МГУ, 19, 22—37»

404 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
Кузнецов Н. Н., Сторова Е. Н.
[1967] Одномерное течение проводящего газа в магнитогидродинамиче-
ской пушке, Сб. работ ВЦ МГУ, 7, 247—263.
Куропатенко В. Ф.
[1966] О разностных методах для уравнений гидродинамики. Труды Ма-
тем. ин-та АН СССР, 74, 107—130.
Ладыженская О. А.
[1951] О применении метода конечных разностей к решению задачи
Коши для гиперболических систем, ДАН СССР, 88:4, 607—610.
[1953] Смешанная задача для гиперболического уравнения, М., ГИТТЛ.
[1957] Метод конечных разностей в теории уравнений с частными произ-
производными, УМН, 12:5, 123-148.
Ладыженская О. А., Головкин К. К.
[1960] О решениях нестационарной краевой задачи для уравнений
Навье — Стокса, Труды Матем. ин-та АН СССР, 59, 100—114.
Ладыженская О. А., КживицкиА.
[1966] Метод сеток для нестационарных уравнений Навье — Стокса.
Труды Матем. ин-та АН СССР, 92, 93—99.
Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н.
[1967] Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа,
М., «Наука».
Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н.
[1962] Краевая задача для линейных и квазилинейных уравнений и си-
систем параболического типа, I, II, Изв. АН СССР, сер. матем.г
26: 1, 5-52; 26:5,753—781.
[1963] Краевая задача для линейных и квазилинейных уравнений и си-
систем параболического типа, III, Изв. АН СССР, сер. матем.,
27 : 1, 161—240.
Лебедев В. И.
[1955] Уравнения и сходимость дифференциально-разностного метода
(метода прямых), Вестник МГУ, 10, 47—57.
[1960] О методе сеток для третьей краевой задачи, ДАН СССР, 134 :2,
267-270.
[1966] Метод характеристик для решения кинетического уравнения, Ж.
вычислит, матем. и матем. физ., 6 :2, 251—275.
[1969] О сходимости /СЯ-метода для некоторых задач переноса, Ж. вы-
вычислит, матем. и матем. физ., 9:1, 226—235.
Лебедев В. И., Дьяконов Е. Г.
[1965] О применении разностных схем с расщепляющимся оператором
для решения третьей краевой задачи в случае уравнений парабо-
параболического типа, Сив. матем. ж., 6 : 1, 108—113.
[1967] Метод расщепления оператора при решении третьей краевой за-
задачи для параболических уравнений, Сб. работ ВЦ МГУ, 6,
121-143.
ЛискавецО. А.
[1964] Решение задач для гиперболических уравнений методом прямых.
Строгие оценки погрешности, ДАН БССР, 8: 10, 623—626.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ 405
[1965] Метод прямых для одномерных нестационарных смешанных за-
задач и оценка среднеквадратичной погрешности, Ж. вычислит, ма-
матем. и матем. физ., 5 :2, 360—363.
Малиновская Е. В.
[1969] Применение факторизации к решению кинетического уравнения
методом сферических гармоник, сб. «Вычислительные методы в
теории переноса», М., Атомиздат.
М а р ч у к Г. И.
[1967] Численные методы в прогнозе погоды, М., Гидрометеоиздат.
Морозов В. А.
[1962] Сходимость метода прямых для некоторых краевых задач, Вест-
Вестник МГУ, 5, 25—33.
[1964] О дифференциально-разностных схемах второго порядка точности
для квазилинейных задач параболического типа с разрывными
элементами, Вестник МГУ, 2, 12—22.
[1966] Оценка погрешности метода прямых для некоторых краевых за-
задач, Сб. работ ВЦ МГУ, 5, 74—86.
Морозов В. Н.
[1962] О решении кинетических уравнений с помощью /СР-метода, сб.
«Теория и методы расчета ядерных реакторов», М., Атомиздат.
Олейник О. А.
[1959] Решение основных краевых задач для уравнений второго порядка
с разрывными коэффициентами, ДАН СССР, 124:6, 1219—1222.
[1960] Об одном методе решения общей задачи Стефана, ДАН СССР,
135:5, 1054-1057.
[1961] О сходимости некоторых разностных схем, ДАН СССР, 137:3,
523—526.
[1967а] О решении системы уравнений Прандтля методом конечных раз-
разностей, Прикл. матем. и механ., 31 : 1, 90—100.
[19676] О построении решений системы уравнений пограничного слоя
методом прямых, ДАН СССР, 174 :6, 1288—1291.
Олейник О. А., Вентцель Т. Д.
[1957] Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных урав-
уравнений параболического типа, Матем. сборн., нов. сер., 41 : 1, 105—
128.
О л е й н и к О. А., И л ь и н А. М.
[1958] О поведении решений задачи Коши для некоторых квазилиней-
квазилинейных уравнений при неограниченном возрастании времени, ДАН
СССР, 120 : 1, 25—28.
Олейник О. А., ИльинА. М., Калашников А. С.
[1962] Линейные уравнения второго порядка параболического типа,
УМН, 17:3, 3—146.
Олейник О. А., Калашников А. С, Чжоу Юй-линь
[1958] Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестацио-
нестационарной фильтрации, Изв. Акад. наук СССР, 22 : 5, 667—764.
Олейник О. А., Кружков С. Н.
[1961] Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со
многими независимыми переменными, УМН, 16:5, 115—155.

406 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
Павлов Б. М.
[1967] Численное решение задачи Лагранжа при подводе тепла, Сб. ра-
работ ВЦ МГУ, 7, 264—269.
[1968] Численное решение задачи о сверхзвуковом вязком течении газа
около затупленного тела, Сб. работ ВЦ МГУ, И, 32—43.
[1969] О расчете сверхзвукового обтекания затупленных тел с исполь-
использованием полных уравнений Навье — Стокса, Сб. работ ВЦ МГУ,
12, 26-38.
Павлов Б. М., Волконская Т. Г.
[1965] Расчет процесса сжатия в поршневых установках, Сб. работ
ВЦ МГУ, 4, 184—210.
П а в л о в Б. М., Петров В. Н.
[1968] Численное исследование нестационарного теплообмена при дви-
движении реального газа, Сб. работ ВЦ МГУ, 11, 163—176.
Пасконов В. М.
[1965] Решение уравнений нестационарного пограничного слоя разност-
разностным методом, Сб. работ ВЦ МГУ, 4, 130—138.
[1967] Об одном алгоритме для решения задач пограничного слоя, Сб.
работ ВЦ МГУ, 7, 150—155.
[1968] Численное решение нестационарных уравнений пограничного слоя,
Сб. работ ВЦ МГУ, 11, 75—92.
[1971] Разностные схемы на самоорганизующемся множестве точек в
двумерных односвязных областях произвольной формы, Ж. вы-
вычислит, матем. и матем. физ., 11:5, 766—782.
Пасконов В. М., Рябинькина Н. В.
[1965] Решение уравнения нестационарного пограничного слоя разност-
разностным методом, Сб. работ ВЦ МГУ, 4, 130—138.
Пасконов В. М., Ч у д о в Л. А.
[1968] Разностные методы расчета течений в пограничном слое, Сб. ра-
работ ВЦ МГУ, П, 55-74.
Петровский И. Г.
[1961] Лекции об уравнениях с частными производными, изд. 3-е, М.,
Физматгиз.
Положий Г. Н.
[1962] Численное решение двумерных и трехмерных задач математиче-
математической физики и функции дискретного аргумента, Киев, «Наукова
думка».
[1966] О некоторых вопросах метода суммарных представлений, Вычис-
Вычислительная математика, Киев, 2, 31—52.
Попов Ю. П., Самарский А. А.
[1969] Полностью консервативные разностные схемы, Ж. вычислит.
матем. и математ. физ., 9 :4, 880—890.
[1970] Полностью консервативные разностные схемы для уравнений
магнитной гидродинамики, Ж. вычислит, матем. и матем физ.,
10:4, 990-998.
Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н.
[1968] Системы квазилинейных уравнений, b\.t «Наука*,

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ 407
Росляков Г. С, Дроздова Н. В.
[1963] Численный расчет обтекания ступенчатого конуса, Сб. работ ВЦ
МГУ, 1, 18-28.
[1968] Сверхзвуковое обтеакние ступенчатых конусов, Сб. работ ВЦ
МГУ, И, 123-138.
Росляков Г. С, КостенбоймХ. С.
[1971] Численное решение одномерных задач о взрыве, М., Изд-во МГУ.
Росляков Г. С, ТеленинГ. Ф.
[1963] Обзор работ по расчету стационарных осесимметричных течений
газа, выполненных в ВЦ МГУ, Сб. работ ВЦ МГУ, 2, 5—19.
[1968] Обзор работ по численному исследованию внешних и внутренних
задач аэрогидродинамики, выполненных в ВЦ МГУ, Сб. работ
ВЦ МГУ, 11,93—112.
Р о с л я к о в Г. С, Ч у д о в Л. А.
[1971] Некоторые применения метода сеток в газовой динамике, I, II,
III, IV, М., Изд-во МГУ.
Русанов В. В.
[1960] Об устойчивости метода матричной прогонки, сб. «Вычислит,
матем.», 6, изд. ВЦ АН СССР, 74—83.
[1963] Характеристики общих уравнений газовой динамики, Ж. вычис-
вычислит, матем. и матем. физ., 3 :3, 508—527.
Рябенький В. С.
[1967] Спектр семейства разностных операторов над функциями на се-
сеточном графе, Ж. вычислит, матем. и матем. физ.у 7:6, 1392—
1398.
[1970] Расчет теплопроводности на системе стержней, Ж. вычисл. матем.
и матем. физ., 10:1, 236—247.
[1971] Метод внутренних граничных условий в теории разностных крае-
краевых задач, УМН, 26 : 3, 105-160.
Самарский А. А.
[1959] О сходимости метода Роте для уравнения теплопроводности с
разрывным коэффициентом теплопроводности. Научн. докл. высш.
школы, физ.-мат ем. сер., 1, 48—53.
[1961а] Априорные оценки для решения разностного аналога дифферен-
дифференциального уравнения параболическрго типа, Ж. вычислит, матем.
и матем. физ., 1 :3, 441—460.
[19616] Априорные оценки для разностных уравнений, Ж. вычислит,
матем. и матем. физ., 1 :6, 972—1000.
[1962а] О сходимости и точности однородных разностных схем для одно-
одномерных и многомерных параболических уравнений, Ж. вычислит,
матем. и матем. физ., 2 :4, 603—634.
[19626] Однородные разностные схемы для нелинейных уравнений пара-
параболического типа,-Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 2:1, 25—56.
[1962в] О сходимости метода дробных шагов для уравнения чтеплопро-
водности, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 2:6, 1117—1121.
[1962г] Об одном экономичном разностном методе решения многомерного
параболического уравнения в произвольной области, Ж. вычислит,
матем. и матем. физ., 2 :5, 787—811.
[1963а] Локально-одномерные разностные схемы на неравномерных сет-
сетках, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 3:3, 431—466.

408
ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
[19636] Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для
уравнений параболического типа, Ж. вычислит, матем. и матем.
физ., 3 : 2, 266—298.
[1963в] Схемы повышенного порядка точности для многомерного уравне-
уравнения теплопроводности, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 3:5,
812—840.
[1964а] Локально одномерные разностные схемы для многомерных урав-
уравнений гиперболического типа, Ж. вычислит, матем. и матем. физ.,
4 : 4, 638—648.
[19646] Об одной разностной схеме повышенного порядка точности для
уравнений теплопроводности с несколькими пространственными
переменными, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 4:1, 161—165.
[1964в] Экономичные разностные схемы для систем уравнений параболи-
параболического типа, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 4 :5, 927—930.
[1964г] Экономичные разностные схемы для уравнений параболического
типа со смешанными производными, Ж. вычислит, матем. и матем.
физ., 4 : 4, 753—759.
[1965] О монотонных разностных схемах для эллиптических и парабо-
параболических уравнений в случае несамосопряженного эллиптического
оператора, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 5:3, 548—551.
[1967] О регуляризации разностных схем, Ж. вычислит, матем. и матем.
физ., 7:1, 62—93.
[1969] Необходимые и достаточные условия для устойчивости двухслой-
двухслойных разностных схем, ДАН СССР, 181 :4, 808—811.
[1970] Некоторые вопросы общей теории разностных схем, сб. «Диффе-
«Дифференциальные уравнения с частными производными», труды Симпо-
Симпозиума, посвященного 60-летию акад. С. Л. Соболева, «Наука»,
1023—1036.
[1971] Введение в теорию разностных схем, М., «Наука».
Самарский А. А., ГулинА. В.
[1970] Об устойчивости разностных схем по правым частям, ДАН СССР,
192 :2, 285-288.
Самарский А. А., Мостинская С. Б.
[1965] Численное решение уравнения теплопроводности с разрывными
коэффициентами в полярных координатах, Сб. работ ВЦ МГУ,
3, 147—162.
Самарский А. А., Соболь И. М.
[1963] Примеры численного расчета температурных волн, Ж. вычислит,
матем. и матем. физ., 3 :4, 702—719.
Самарский А. А., ФрязиновИ. В.
[1961] О сходимости однородных разностных схем для уравнения тепло-
теплопроводности с разрывными коэффициентами, Ж. вычислит, матем.
и матем. физ., 1 :5, 806—824.
[1971] О сходимости локально одномерной схемы решения многомерного
уравнения теплопроводности на неравномерных сетках, Ж. вы-
вычислит, матем. и матем. физ., 11:3, 642—657.
Самарский А. А., Хао Шоу
[1967] Однородные разностные схемы на неравномерных сетках для
уравнения четвертого порядка, Сб. работ ВЦ МГУ, 6, 3—16.
Саульев В. К.
[1958] О методах повышенной точности и двусторонних приближениях
к решению параболических уравнений, ДАН СССР, 118:6, 1088—
1090.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ 409
[1960] Интегрирование уравнений параболического типа методом сеток,
М., Физматгиз.
[1962а] Об одном методе автоматизации решения краевых задач на быст-
быстродействующих вычислительных машинах, ДАН СССР, 144:3,
497-500.
[19626] Об однородных сеточных схемах, ДАН СССР, 144 :4, 723—726.
[1962в] Пример применения теоремы вложения С. Л. Соболева в вычис-
вычислительной математике, ДАН СССР, 147:2, 303—305.
[1963] О многопараметрических семействах сеточных уравнений для
численного интегрирования нестационарных уравнений диффузии,
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 3 : 1, 198—201.
[1965] О регулярных неоднородных сеточных схемах и квазиустойчиво-
квазиустойчивости, Дифференциальные уравнения, 1 :3, 421—425.
Свешников А. Г.
[1962] К расчету согласования плоских волноводов, Ж. вычислит, матем.
и матем. физ., 2 : 1, 175—179.
[1963а] К обоснованию метода расчета нерегулярных волноводов, Ж. вы-
вычислит, матем. и матем. физ., 3:1, 170—179.
[19636] Обоснование методов исследования распространения электромаг-
электромагнитных колебаний в волноводах с анизотропным заполнением,
Ж. вычислит, матем. и 'матем. физ., 3 : 5, 953—955.
[1966] Обоснование методов исследования распространения колебаний в
нерегулярных волноводах, Тезисы крат, научн. сообщений Между-
Международного конгресса математиков, секция 12, 49.
[1969] Дифракция на звездном теле в среде с переменными коэффи-
коэффициентами (плоский случай), Сб. работ ВЦ МГУ, 13, 145—151.
Свешников А. Г., Волков Б. И., Ефимов В. В., Семашко Н. Н.
[1971] Расчет движения пучка заряженных частиц в электростатическом
поле с учетом пространственного заряда, Сб. работ ВЦ МГУ, 16,
244-263.
Свешников А. Г., Ильинский А. С.
[1969] Прямые методы исследования волноводных систем, Сб. работ ВЦ
МГУ, 13, 3-26.
[1969] Метод исследования плоских волноводов с импедансными гра-
граничными условиями и резким изменением боковой поверхности,
Сб. работ ВЦ МГУ, 13, 27—33.
Свешников А. Г., Ильинский А. С, Кравцов В. В.
[1969] Рассеяние электромагнитных волн в полых направляющих си-
системах, Сб. работ ВЦ МГУ, 13, 56—7Ь
Свешников А. Г., Ильинский А. С, Павлов А. Л.
[1971] Численное решение задачи дифракции на неоднородном ограни-
ограниченном теле, Сб. работ ВЦ МГУ, 16, 116-124.
Свешников А. Г., Самарский А. А., Захаров В. И.
[1971] Применение метода больших частиц к расчету движения заря-
заряженного пучка в электромагнитном поле с учетом пространствен-
пространственного заряда пучка, Сб. работ ВЦ МГУ, 16, 225—243.
С в е ш н и к о в А. Г., С е м а ш к о Н. Н.т X а п а е в М. М.
[1971] О преобразовании длинных ленточных пучков заряженных частиц
в цилиндрические, Сб. работ ВЦ МГУ, 16, 264—271.

410 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
Сидоров А. Ф.
[1966] Об одном алгоритме расчета оптимальных разностных схем,
Труды Матем. ин-та АН СССР, 74, 147—151.
СофроновИ. Д.
[1965] Разностная схема с диагональными направлениями прогонок для
решения уравнения теплопроводности, Ж. вычислит, матем. и
матем. физ., 5 :2, 347—350.
Тихонова. Н., БабенкоК. И.
[1963] О разностных методах решения задач математической физики,
Труды 4-го Всесоюзного матем. съезда, 1, 243.
ТихоновА. Н., Дмитриев В. И.
[1969] О методах решения обратной задачи теории антенн, Сб. работ
ВЦ МГУ, 13, 209-214.
ТнхоновА. Н., Самарский А. А.
[1958] Об однородных разностных схемах, ДАН СССР, 122 :4, 562—565.
[1959а] О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициен-
коэффициентов, ДАН СССР, 124 : 3, 529—532.
[19596] Об одной наилучшей однородной разностной схеме, ДАН СССР,
124 :4, 779—782.
[1960а] О канонических однородных разностных схемах, ДАН СССР,
131 :4, 761—764.
[19606] Коэффициентно устойчивые разностные схемы, ДАН СССР,
131:6, 1264—1267.
[1960в] Об однородных разностных схемах высокого порядка точности,
ДАН СССР, 131 :3, 514—517.
[1961а] Об однородных разностных схемах, Ж. вычислит, матем. и матем.
физ., 1:1, 5—63.
[19616] Разностная задача Штурма — Лиувилля, Ж. вычислит, матем. и
матем. физ., 1 :5, 785—805.
[1961 в] Однородные разностные схемы высокого порядка точности на
неравномерных сетках, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 1 :3,
425—440.
[1962] Однородные разностные схемы на неравномерных сетках, Ж. вы-
вычислит, матем. и матем. физ., 2 : 5, 812—832.
[1963а] К теории однородных разностных схем. Материалы к совместно-
совместному советско-американскому Симпозиуму по уравнениям с част-
частными производными, Новосибирск, 3—10.
[19636] Об однородных разностных схемах высокого порядка точности на
неравномерных сетках, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 3:1,
99—108.
[1963в] Об устойчивости разностных схем, ДАН СССР, 149:3, 529—531.
[1966] Уравнения математической физики, изд. 3-е, М., «Наука».
Т н х о н о в А. Н., С а м а р с к н й А. А. и др.
[1969] Расчет ионизационной неустойчивости в низкотемпературной на-
намагниченной плазме, ДАН СССР, 184 : 3, 452—453.
Трощнев В. Е.
[1966] Решение кинетического уравнения и уравнений квазидиффузии
по согласованным разностным схемам, сб. «Численные методы
решения задач математической физики», М., «Наука», 177—185.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ 411
[1970] О дивергентности схемы «крест» численного решения уравнений
газовой динамики, информ. бюлл. «Численные методы механики
сплошной среды», Новосибирск, изд. СО АН СССР (сер. техн.
наук), 1 :5, 87—96.
Филиппов А. Ф.
[1955] Об устойчивости разностных уравнений, ДАН СССР, 100:5,
Ю45-1048.
Филиппов А.Ф., Рябенький В. С.
[1956] Об устойчивости разностных уравнений, М., Физматгиз.
Ф р а н к Л. С.
[1964] Разностные методы решения задачи Коши для некоторых систем
первого порядка, УМН, 19 :5, 189—192.
[1968] Разностные методы решения некорректной задачи Коши, модели-
моделирующей течение идеального газа в сопле, ДАН СССР, 182:3
526-529.
[1969] О гиперболических разностных операторах, ДАН СССР, 189:3,
486-488.
Франкль Ф. И., Алексеева Р. Н.
[1934] Две краевые задачи из теории гиперболических уравнений в част-
частных производных с приложением к сверхзвуковым газовым тече-
течениям, Матем. сб., 41:4, 483—502.
Фрязинов И. В.
[1964] О разностной аппроксимации граничных условий для третьей
краевой задачи, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:6, 1106—
1112.
[1968] Экономичные симметризованные разностные схемы решения крае-
краевых задач для многомерных уравнений параболического типа,
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 8 :2, 436—443.
[1969а] Априорные оценки для одного семейства экономичных схем,
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 9 :3, 595—604.
[19696] Экономичные разностные схемы повышенного порядка точности
для решения многомерного уравнения параболического типа,
Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 9:6, 1316—1326.
Христианович С. А.
[1937] Задача Cauchy для нелинейных уравнений гиперболического типа,
Матем. сб., 2:7, 871—900.
Христианович С. А., Левин Л. И., Павлов Е. П.
[1943] О расчете сопел Лаваля, Прикл. матем. и механика, 7: 1, 3—24.
Чудов Л. А.
[1967] Разностные методы и некорректные задачи для уравнений с
частными производными, Сб. работ ВЦ МГУ, 8, 34—62.
Ч у д о в Л. А., Воробьева Н. А., Ф р а н к Л. С. и др.
[1968] Разностные методы решения некорректной задачи Коши для
трехмерного уравнения Лапласа, Сб. работ ВЦ МГУ, И, 147—155.
Ч у д о в Л. А., Косте и бой м X. С, Т у р е ц к а я А. Т.
[1969] Точечный взрыв в неоднородной атмосфере, Ж. прикл. мех. и тех.
физ., 5, 25—28.

412 ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ
Ч у д о в Л. А., М о р о з о в а Т. К.
[1965] Разностный метод решения о движении газа в трубе переменного
сечения, Сб. работ ВЦ МГУ, 4, 232—241.
Ч у ш к и н П. И.
[1968] Метод интегральных соотношений для сверхзвуковых простран-
пространственных течений, Ж. вычислит, матем. и матем. физ., 8:4, 853—
864.
Ч у ш к и н П. И., К а ц к о в а О. Н.
[1964] Об одной схеме численного метода характеристик, ДАН СССР,
154: 1, 26-29.
ЧушкинП. И., Коробейников П. И.
[1964] Метод численного расчета взрыва в газах, ДАН СССР, 154:3,
549-552.
[1968] Плоский, цилиндрический и сферический взрыв в газе с противо-
противодавлением (численный метод), Труды Матем. ин-та АН СССР,
87, 4—34.
Щ е д р и н Б. М., Ж и д к о в Н. П.
[1969] Применение метода материальной точки для определения атом-
атомных структур некоторых кристаллов, Сб. работ ВЦ МГУ, 13,
262—271.
Я н е н к о Н. Н.
[1959] Об одном разностном методе счета многомерного уравнения теп-
теплопроводности, ДАН СССР, 125 : 6, 1207—1210.
[1960] Об экономичных неявных схемах (метод дробных шагов), ДАН
СССР, 134 : 5, 1034-1036.
[1961] О неявных разностных методах счета многомерного уравнения
теплопроводности, Изв. высш. учебн. завед., сер. матем., 4, 148—
157.
[1962] О сходимости метода расщепления оператора для уравнения теп-
теплопроводности с переменными коэффициентами, Ж. вычисл. ма-
матем. и матем. физ., 2 : 5, 933—937.
[1964J О слабой аппроксимации систем дифференциальных уравнений,
Сиб. матем. журн., 5 : 6, 1431—1434.
[1967] Метод дробных шагов решения многомерных задач математиче-
математической физики, Новосибирск.
Яненко Н. Н., БояринцевЮ. Е.
[1961] О сходимости разностных схем для уравнения теплопроводности
с переменными коэффициентами, ДАН СССР, 139:6, 1322—1324.
Я н е н к о Н. Н., С у ч к о в В. А., П о г о д и н Ю. Я.
[1959] О разностном решении уравнения теплопроводности в криво-
криволинейных координатах, ДАН СССР, 128:5, 903—905.
Яненко Н. Н., Фролов В. Д., Неуважаев В. Е.
[1967] О применении метода расщепления для численного расчета дви-
движения теплопроводного газа в криволинейных координатах, Изв..
СО АН СССР, сер. техн. наук, 8 :2, 1—30.

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ БИБЛИОГРАФИЯ 413
Я н е н к о Н. Н., Ш о к и н Ю. И.
[1968а] О связи корректности первых дифференциальных приближений и
устойчивости разностных схем для гиперболических систем урав-
уравнений, Матем. заметки, 4 : 5, 493—502.
[19686] Об аппроксимационной вязкости разностных схем, ДАН СССР,
182:2, 280—281.
[1969] О первых дифференциальных приближениях разностных схем для
гиперболических систем уравнений, Сиб. матем. журн., 10:5,
1173—1187.
Я н е н к о Н. Н., Я у ш е в И. К.
[1966] Об одной абсолютно устойчивой схеме интегрирования уравнений
гидродинамики, Труды Матем. ин-та АН СССР, 74, 141—146.

УКАЗАТЕЛЬ
аппроксимаций устойчивая 54
банахово Пространство 40
векторное пространство 40
внешняя точка сетки 142
внутренняя точка сетки 142
волновое уравнение 260
вперед 26
главный член ошибки 134
гладкое разложение единицы 115
граничная точка сетки 142
двухслойная формула 52
двухшаговая схема Лакса — Вен-
дроффа 299
двухшаговый метод Лакса — Вен-
дроффа 355
дивергентная форма уравнений гидро-
гидродинамики 299
дискретно-ординатный метод 236
диссипативная разностная схема 118
достаточное условие Като 90
замкнутое множество 41
замкнутый оператор 47
запаздывающая характеристика 308
инвариант Римана 308
инвариантное подпространство 97
индекс собственного значения 97
инфинитезимальный оператор 58
корректно поставленная задача 49,
105
— — относительно начального эле-
элемента задача 351
критерий устойчивости Баченана 90
Годунова — Рябенького 160,
166—167
кусочная аналитичность 363
кучная последовательность 89
линейное преобразование 43
ограниченное 43
— пространство 40
матрица перехода 76
метод Вика — Чандрасекхара 235
обобщенный 243
— Годунова 334
— дробных шагов 218
— прямого интегрирования 247
— расщепления 218
— Саульева 195
— сферических гармоник 225
— фон Неймана — Рихтмайера 329?
— чередующихся направлений 213
минимально полуограниченный опера-
оператор 154
многослойная формула 52
устойчивая 178
многошаговая формула 52
множитель перехода 76
модифицированное условие фон Ней-
Неймана 269
назад 26
неустойчивость 18
неявная система 27
норма линейного преобразования 43
нормированное пространство 40
носитель 73
область значений 42
область определения 42
обобщенное решение 62, 64
обобщенный метод Вика — Чандра*
секхара 243
— разрешающий оператор 50
ограниченное линейное преобразова-
преобразование 43
одношаговая формула 52
оператор 42
— замкнутый 47
— инфинитезимальный 58
— минимально полуограниченный 154
— полуограниченный 154
— разрешающий обобщенный 50
операция 42
опережающая характеристика 307—
308
первая вариация оператора 135
плотное множество 41
погрешность аппроксимации 30, 53
— метода 19
подгонка скачка 306
полное пространство 40

ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
415
полугруппа 50
полуограниченный оператор 154
порядок точности 76, 181
предельная точка 41
преобразование 42
— линейное 43
ограниченное 43
принцип равномерной ограниченности
44
равномерная ограниченность 44
разрешающий оператор обобщенный
50
расширение 43
регулярная точка спектра семейства
операторов 1б4
резольвентное условие 83
решение обобщенное 62, 64
— точное 49, 6Й
сильно устойчивая разностная схема
108
скалярное произведение 70
согласованно аппроксимирует 53
спектр семейства операторов 159
схема Карлсона 241
— Кранка — Ыиколсона 196
сходящаяся аппроксимация 53, 178
теорема Канторовича 46
— Крайса 105, 118
о матрицах 82
— Крайса — Стрэнга 67
— Лакса — Ниренберга 129
— Лакса об эквивалентности 54
— Стрэнга 172
— Фридрихса 128
— Шура 86
точка спектра семейства операторов
159
— типа А 375
точка типа В 376
точное решение 49, 62
уравнение переноса 222
уравнения в характеристической фор-
форме 369
— Гюгонио 306
— Лагранжа 291
разностные 294
— Лакса — Вендроффа 301
— Ренкина — Гюгонио 306
— Эйлера 288
разностные 289
условие согласованности 53, 178
— Лакса — Вендроффа 98
— фон Неймана 79
устойчивая аппроксимация 54
— многослойная разностная формула
178
устойчивость 19
фронт 377
фундаментальная
40
последовательность
характеристика 307
— запаздывающая 308
— опережающая 307—308
характеристическая плоскость 369
хорошо обусловленная система 164
эквивалентные нормы 66
энергетическое неравенство 154
явная система 27
LW-метод 355
Р X ^-устойчивость 82
Sn-метод Карлсона 244

ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов перевода 5
Предисловие ко второму изданию 7
Предисловие к первому изданию 9
ЧАСТЬ I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 13
Глава 1. Введение 13
§ 1.1. Краевые задачи 13
§ 1.2. Уравнение теплопроводности 14
§ 1.3. Конечноразностные уравнения 16
§ 1.4. Устойчивость 19
§ 1.5. Неявные разностные уравнения 26
§ 1.6. Погрешность аппроксимации , . . 29
§ 1.7. Скорость сходимости 31
§ 1.8. Замечания о формулах высших порядков и погрешностях округ-
округления 33
§ 1.9. Содержание следующих глав 34
Глава 2. Линейные операторы 37
§ 2.1. Краевые задачи и функциональные пространства ...... 37
§ 2.2. Банаховы пространства 39
§ 2.3. Линейные операторы в банаховом пространстве 42
§ 2.4. Теорема о расширении оператора 43
§ 2.5. Принцип равномерной ограниченности 44
§ 2.6. Основная теорема о сходимости 46
§ 2.7. Замкнутые операторы 47
Глава 3. Линейные разностные уравнения 48
§ 3.1. Корректно поставленные краевые задачи 48
§ 3.2. Конечноразностные аппроксимации 51
3.3. Сходимость 53
3.4. Устойчивость 54
3.5. Теорема Лакса об эквивалентности 54
3.6. Замкнутый оператор Л' 58
3.7. Неоднородные задачи 61
3-8. Изменение нормы 66
§ 3.9. Устойчивость и возмущения 67
Глава 4. Линейные краевые задачи с постоянными коэффициентами . . 69
§ 4.1. Класс задач 69
§ 4.2. Ряды и интегралы Фурье 70
§ 4.3. Корректно поставленные краевые задачи . 72
§ 4.4. Конечноразностные уравнения 74
§ 4.5. Порядок точности и условие согласованности 76
§ 4.6. Устойчивость 77
§ 4.7. Условие фон Неймана 79
§ 4.8. Одно простое достаточное условие 80
§ 4.9. Теорема Крайса о матрицах 81
§ 4.10. Критерий устойчивости Ваченана 89
§ 4.11. Дальнейшие примеры достаточных условий 92
Глава 5. Линейные задачи с переменными коэффициентами. Нелинейные
задачи 100
§ 5.1. Введение . ... ... 100
§ 5.2. Другие определения устойчивости 104

ОГЛАВЛЕНИЕ 417
§ 5.3. Параболические уравнения 109
§ 5.4. Диссипативные разностные схемы для симметричных гипербо-
гиперболических уравнений 117
§ 5.5. Дальнейшие результаты для симметричных гиперболических
уравнений . 128
§ 5.6. Нелинейные уравнения с гладкими решениями 133
Глава 6. Смешанные краевые задачи 139
§ 6.1. Введение 139
§ 6.2. Основные идеи энергетического метода 140
§ 6.3. Простейшие примеры применения энергетического метода: вы-
выбор устойчивых аппроксимаций граничных условий и нелиней-
нелинейных членов 145
§ 6.4. Одновременное распространение звука и тепла 150
§ 6.5. Смешанные задачи для симметричных гиперболических систем . 153
§ 6.6. Спектральный анализ и критерий устойчивости Годунова — Ря-
Рябенького . 158
§ 6.7. Применение критерия Годунова — Рябенького к смешанным за-
задачам 162
§ 6.8. Заключение 171
Глава 7. Многослойные разностные уравнения 174
7.1. Обозначения 174
7.2. Вспомогательное банахово пространство 175
7.3. Теорема об эквивалентности 178
7.4. Согласованность и порядок точности 181
7.5. Пример Дюфора и Франкела 183
§ 7.6. Резюме 185
ЧАСТЬ II. ПРИЛОЖЕНИЯ 186
Предисловие к части II 186
Глава 8. Диффузия и теплопроводность 188
§ 8.1. Примеры диффузии 188
§ 8.2. Простейшая задача теплопроводности 189
§ 8.3. Переменные коэффициенты 196
§ 8.4. Влияние на устойчивость членов низшего порядка 198
§ 8.5. Решение неявных уравнении 201
§ 8.6. Нелинейные задачи 204
§ 8.7. Задачи с несколькими пространственными переменными . . . 208
§ 8.8. Методы чередующихся направлений 213
§ 8.9. Методы расщепления и дробных шагов 218
Глава 9. Уравнение переноса 220
§ 9.1. Физические основы 220
§ 9.2. Общее уравнение переноса нейтронов . 221
§ 9.3. Однородный слой; одна группа 224
§ 9.4. Однородная сфера;- одна группа 225
§ 9.6. Метод сферических гармоник 225
§ 9.6. Слой; система разностных уравнении I для гиперболических
уравнений 230
§ 9.7. Парадокс 232
§ 9.8. Слой; система разностных уравнений II (схема Фридрихса) . . 233
§ 9.9. Неявные схемы 234
§ 9.10. Метод Вика — Чандрасекхара для слоя 235
§ 9.11. Эквивалентность двух методов 236

418 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 9.12. Граничные условия • • 238
§ 9.13. Разностные системы I и 11 239
§ 9.14. Система III; пространственные разности вперед и назад ... 239
§ 9.15. Система IV (неявная) 240
§ 9.16. Система V (схема Карлсона) 241
§ 9.17. Обобщение метода Вика — Чандрасекхара 243
§ 9.18. Sn-метод Карлсона [1953] 244
§ 9.19. Метод прямого интегрирования 247
Глава 10. Звуковые волны - 259
§ 10.1. Физические основы 259
§ 10.2. Обычное конечноразностное уравнение 260
§ 10.3. Неявная система .... 262
§ 10.4. Одновременное распространение звука и тепла 263
§ 10.5. Практический критерий устойчивости 268
Глава 11. Упругие колебания 270
§ 11.1. Поперечные колебания тонкого стержня ......... 270
§ 11.2. Явные разностные уравнения . 272
§ 11.3. Неявная система 273
§ 11.4. Достоинства неявной системы 274
§ 11.5. Решение неявных уравнений произвольного порядка .... 274
§ 11.6. Колебания продольно напряженного стержня 281
Глава 12. Одномерное движение жидкости (газа) 287
§ 12.1. Введение 287
§ 12.2. Уравнения Эйлера 188
§ 12.3. Разностные уравнения Эйлера 289
§ 12.4. Уравнения Лагранжа 291
§ 12.5. Разностные уравнения Лагранжа 294
§ 12.6. Поверхности раздела в лагранжевых координатах 297
§ 12.7. Дивергентная форма уравнений гидродинамики и уравнения
Лакса — Вендроффа 299
§ 12.8. Условия на скачке 304
§ 12.9. «Подгонка» скачка 306
§ 12.10. Влияние диссипации 309
§ 12.11. Конечноразностные уравнения 315
§ 12.12. Устойчивость конечНоразностных уравнений 318
§ 12.13. Численная проверка метода псевдовязкости 321
§ 12.14. Метод Лакса — Вендроффа для расчета движения скачков . 327
§ 12.15. Метод Годунова 334
§ 12.16. Магнитная" гидродинамика 340
Глава 13. Многомерное движение жидкости (газа) 346
§ 13.1. Введение 346
§ 13.2. Уравнения многомерной гидродинамики ........ 349
§ 13.3. Корректно и некорректно поставленные задачи 351
§ 13.4. Двухшаговый метод Лакса — Вендроффа, или LW-метод . . 355
§ 13.5. Вязкость в LW-методе 359
§ 13.6. Кусочно-аналитические краевые задачи . 362
§ 13.7. Программа развития методов 367
§ 13.8. Характеристики в двумерных течениях 368
§ 13.9. Подгонка скачков в двумерных задачах 371
§ 13.10 Задача о движении атмосферного фронта . 377
Библиография 381
Дополнительная библиография 396
Предметный указатель 414

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода
и другие просим присылать по адресу: Инд. 129820, Москва И-110, ГСП,
1-й Рижский пер., 2, издательство «Мир».

Р. Рихтмайер, К. Мортон
РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
Редакторы В. Я. Авербух и Г. М. Ильичева
Художник Л. Г, Ларский
Художественный редактор В. Я. Шаповалов
Технический редактор Е. Я. Лебедева
Корректор О. К- Румянцева
Сдано в набор 20/Х 1971 г. Подписано к печати 28/IV 1972 г. Бумага
кн.-журн. 60X90716=13,13 бум. л. 26,25 печ. л. Уч.-изд. л. 24,86
Изд. Яа 1/6435. Цена 1 р. 93 к. Зак. 1300
ИЗДАТЕЛЬСТВО сМИР>
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Ордена Трудового Красного Знамени
Ленинградская типография № 2
имени Евгении Соколовой
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР
Измайловский проспект, 29