И. В. СКРЫПНИК
МЕТОДЫ
ИССЛЕДОВАНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1990

C45
УДК-517.946
Скр.ыпник И. В. Методы исследовании нелинейных эллипти-
ческих граничных задач.--М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит.—1990.—
448 с,—ISBN 5-02-014233-6
Посвящена исследованию граничных задач для нелинейных
эллиптических уравнений произвольного порядка. Изложены методы
теории монотонных операторов. Дано широкое применение топологи-
ческих методов к различным вопросам теории нелинейных дифферен-
циальных уравнений — разрешимости, оценке числа решений, ветвле-
нию решений нелинейных задач. Приведены различные методы
получения априорных оценок и доказательства регулярности решений
нелинейных эллиптических уравнений произвольного порядка. Изло-
жены методы усреднения нелинейных эллиптических задач в перфори-
рованных областях.
Для научных работников, аспирантов и студентов старших
курсов, занимающихся дифференциальными уравнениями и нелиней-
ным анализом.
Библиогр. 161 назв.
Рецензент
доктор физико-математических наук Ю. А. Дубинский
1602070100—130
С----------------3 ] _90
053 02 -90
© «Наука». Физматлит, 1990
ISBN 5-02-014233-6
1РЕДИСЛОВИЕ
Теория нелинейных эллиптических уравнений произвольного
юрядка является в настоящее время одной из наиболее активно
Разрабатываемых областей теории дифференциальных уравне-
1ИЙ в частных производных. Изучение нелинейных эллиптичес-
сих уравнений второго порядка имеет почти вековую историю,
1 основные направления исследований—регулярность реше-
ти, разрешимость грвйичных задач — определены девятнадца-
1ой и двадцатой проблемами Гильберта. Исследования
Г. Н. Бернштейна, Лере, Шаудера, Морри, де Джорджи,
Ю. Мозера, О. А. Ладыженской, Н. Н. Уральцевой и других
Авторов привели не только к решению проблейх Гильберта, но
л к созданию многих методов, играющих фундаментальную
роль как в теории дифференциальных уравнений, так и в смеж-
ных разделах математики. Изложение основных результатов
пих исследований содержится в монографии [49];
Вместе с тем, богатый опыт изучения уравнений второго
порядка оказался малоприменимым при исследовании нели-
нейных эллиптических уравнений произвольного порядка. Дело
и том, что методы получения априорных оценок (а именно эти
। щенки играют ключевую роль в нелинейной теории) оказались
но многих случаях неприменимыми для уравнений высшего
порядка. Это привело к необходимости создания для нелиней-
ных эллиптических уравнений произвольного порядка новых
методов. Настоящая монография и посвящена излбжению этих
методов, содержащихся, в значительной степени, в журнальной
питературе. Прежде всего, в монографии излагаются:
—	методы теории монотонных операторов и их при-
менение к исследованию нелинейных эллиптических граничных
шдач;
—	методы введения топологических характеристик общих
нелинейных задач как для дивергентных, так и для недивер-
। ентных эллиптических уравнений;
4
ПРЕДИСЛОВИЕ
—	широкое применение топологических методов к различ-
ным классам уравнений — от существенно нелинейных до
слабо нелинейных; применение этих методов не только
к доказательству разрешимости, но и к оценке числа решений,
ветвлению решений нелинейных задач;
—	различные методы получения априорных оценок и до-
казательства регулярности решений нелинейных эллиптических
уравнений произвольного порядка;
—	методы усреднения нелинейных эллиптических задач
в перфорированных областях.
Широкий размах исследования по квазилинейным эллипти-
ческим уравнениям высшего порядка получили с начала 60-х
годов. Первые результаты получены М. И. Вишиком, доказав-
шим модификацией метода Галеркина разрешимость гранич-
ных задач. Дальнейший прогресс связан с применением
теории монотонных и более общих классов операторов. Эти
методы были развиты вначале Браудером, а затем Лере —
Лионсом, Ю. А. Дубинским, С. И. Похожаевым и другими
авторами. Их результаты изложены в гл. 1 монографии.
Отметим, что наряду с разрешимостью коэрцитивных задач
и задач с нечетными операторами здесь кратко излагаются
и результаты для уравнений с сильно растущими коэффици-
ентами и для уравнений бесконечного порядка.
Существенный прогресс в изучении нелинейных граничных
задач связан с созданием топологических методов для
отображений монотонного типа. Основы этих методов зало-
жены в работах Браудера—Петришина [166] по степени
Л-собственных отображений, автора [77а] по степени отобра-
жений класса (SK. Эти исследования продолжают и разви-
вают знаменитые результаты Лере — Шаудера по степени
суммы единичного и вполне непрерывного отображений. На
основе степени отображений класса (S)+ естественно опреде-
ляются топологические характеристики граничных задач для
общих нелинейных эллиптических уравнений с общими нели-
нейными граничными условиями.
Изложению топологических методов исследования нели-
нейных задач посвящены пять глав монографии (начиная
с гл. 2). В гл. 2 определяется степень отображений класса
(5) + , устанавливаются ее свойства. Отметим формулу индекса
критической точки, играющую важную роль в приложениях.
В гл. 3 указываются различные способы сведения дифференци-
альных граничных задач к операторным уравнениям с опе-
раторами, удовлетворяющими условию (S) + . Основой сведе-
ния общих граничных задач являются априорные Лр-оценки
ПРЕДИСЛОВИЕ
5
линейных эллиптических операторов. В случае задачи Дирихле
важную роль играют доказываемые в гл. 3 коэрцитивные
оценки для пар линейных эллиптических операторов.
Различные применения топологических методов к иссле-
дованию нелинейных граничных задач даются в гл. 4. Отме-
тим, что здесь доказана разрешимость задачи Неймана для
квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка,
разрешимость задачи Дирихле для уравнения Монжа - Ампе-
ра. В гл. 5 устанавливается разрешимость общей нелинейной
задачи Дирихле в узкой полосе. Здесь, при доказательстве
пнриорных оценок решений и при применении теории степени
отображения, решающим является выбор функционального
пространства, позволивший получить оценки, равномерные
от носительно определенного семейства областей. В гл. 6
рассматриваются нелинейные задачи с линейной главной
Частью. Основное внимание уделяется выяснению условий
разрешимости в случае резонанса, т. е. при необратимости
линейной главной части. Начало большой серии работ в этом
направлении положили известные исследования Ландесма-
па—Лазера.
Проблемам регулярности обобщенных решений, априор-
ным оценкам решений граничных задач посвящена гл. 7.
При этом излагаются результаты Нечаса, автора,
С. И. Похожаева, Морри, Джаквинты, Кампанато, А. И. Ко-
шелева, А. Е. Шишкова и др., получивших значительное
продвижение в ряде трудных вопросов. Здесь, в частности,
применяется лемма Геринга к доказательству повышения
показателя суммируемости производных решения, дается
полное решение проблемы регулярности в двумерном случае,
устанавливается частичная регулярность произвольного обоб-
щенного решения. Отметим изложение интерполяционных
методов С. И. Похожаева получения априорных оценок.
Последние три главы посвящены изучению поведения
решений задачи Дирихле для квазилинейных эллиптических
уравнений вблизи негладкой границы и в семействе перфори-
рованных областей. Основой для получения результатов
явились установленные автором точные оценки решений
модельных нелинейных задач, характеризующие поточечное
поведение решений. В гл. 8 изучается регулярность по
Винеру граничной точки для квазилинейного эллиптического
уравнения второго порядка, т. е. устанавливаются условия
па границу области, обеспечивающие непрерывность решения
в данной граничной точке. В частности, если для квазилиней-
ного уравнения энергетическим пространством является
6
ПРЕДИСЛОВИЕ
пространство	то необходимое и достаточное условие
регулярности граничной точки для такого уравнения совпадает
с критерием Винера для уравнения Лапласа.
Главы 9 и 10 посвящены усреднению семейства квази-
линейных граничных задач в областях с мелкозернистой
границей и в областях с каналами. В линейной ситуации
такие задачи изучались в работах В. А. Марченко
и Е. Я. Хруслова (см. [59]). Отметим важность этих ис-
следований для многочисленных задач нелинейной механики
сильно неоднородных сред и композитных материалов.
В монографии показано, что решения квазилинейных задач
Дирихле в семействе перфорированных областей близки
к решению некоторой усредненной квазилинейной задачи
в неперфорированной области. Выяснены условия, при ко-
торых существует усредненная задача и дан конкретный
способ ее построения.
В монографии, как правило, содержится подробное изложе-
ние методов и доказательств результатов. Исключение
составляют некоторые громоздкие доказательства регуля-
рности обобщенных решений, опубликованные в монографиях
[43, 77а].
ГЛАВА 1
ОТОБРАЖЕНИЯ МОНОТОННОГО ТИПА
И РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
В данной главе излагаются основные результаты, относя-
щиеся к разрешимости квазилинейных задач для эллиптических
дивергентных уравнений в коэрцитивном либо нечетном случаях.
Впервые исследование разрешимости граничных задач для
квазилинейных эллиптических уравнений 2да-го порядка было
проведено М. И. Вишиком [20а, 206] на основе модификации
метода Галёркина. При обосновании сходимости галёркинских
приближений устанавливалась в подобластях сильная £р-схо-
димость производных щ-го порядка, следующая из получен-
ных М. И. Вишиком априорных оценок (w-t-l)-x производных
и компактности вложения соболевских пространств.
В данной главе результаты по разрешимости граничных
задач, полученные М. И. Вишиком и вслед за ним Браудером,
Ю. А. Дубинским, Лере и Лионсом, С. И. Похожаевым, Пет-
ришиным и многими другими авторами, излагаются на
основе теории монотонных операторов. Исследования
М. И. Вишика, хотя и основывались на компактности галёр-
кинских приближений, в целом явились основополагающими
при изучении квазилинейных задач, благодаря развитию для
1аких задач метода Галёркина и доказательству априорных
оценок, о которых речь будет идти дальше.
Сведение граничных задач для дивергентных эллиптических
уравнений к нелинейным операторным уравнениям с опера-
юрами, удовлетворяющими определенным условиям монотон-
ности, предложенное Браудером и развитое большим числом
ив торов, является сейчас наиболее простым путем исследо-
вания этих задач. Дело в том, что для уравнений с монотон-
ными операторами при применении метода Галёркина нет
необходимости устанавливать сильную сходимость прибли-
женных решений, так как доказывается, что предел слабо
сходящихся приближений является решением исходного урав-
нения. Это избавляет (при применении к дифференциальным
задачам) от необходимости трудоемкого и связанного с до-
полнительными ограничениями получения априорных оценок.
8
ГЛ. 1. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
В связи с этим основное внимание уделяется исследованию
операторных уравнений с операторами монотонного типа,
созданию общих методов исследования операторных уравне-
ний и получению на этой основе результатов для дифферен-
циальных задач.
§ 1. Основные определения и вспомогательные
предложения
На протяжении всей монографии, если не оговорено
противное, будут использованы обозначения: £2— ограни-
ченное открытое множество в «-мерном евклидовом простран-
стве Rn с границей х=(х1г ..., х„)б7?'1; а=(ах, ..., а„) —
мультииндекс с целыми неотрицательными компонентами а;,
|а| = ах+ ... + а„,
Dau(x) = ( j — (т~) м(х)’ Dku={Dau '. |a|=/c}.
Функции для простоты будут предполагаться вещественно-
значными. 4р(£2)— банахово пространство функций, суммиру-
емых по £2 со степенью р, \<р<со. Функции из £р(Й)
определяются с точностью до множества меры нуль. При
натуральном т 1СР(£2)—пространство С. Л. Соболева, состоящее
из функций, принадлежащих £р(£2) и имеющих все обобщенные
производные до порядка т включительно, суммируемые по £2 со
степенью р; норма в IFP(£2) определяется равенством
Н«11т.₽=И I \D*u(x)\pdx
И7" (£2)— подпространство пространства 1СР(£2), получающееся
замыканием по норме || -||m>p множества всех бесконечно
дифференцируемых функций с носителями в £2.
При наличии определенной гладкости <0£2 (см. [58в])
и при 0 С к С т — 1 имеют место вложения пространств
С. Л. Соболева
И7(£2) с »*(£2), если	> О,
И-7"(£2) с Hz‘(£2), если ^<оо,
И7(£2) с См(£2), если ^<т-(к+8), 0<5< 1.
(1.1)
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ
9
Мы говорим, что банахово пространство X вложено
к банахово пространство Y. и пишем X a Y, если каждый
> цемент из X является элементом пространства Y и оператор
вложения i: X -+ Y, определенный равенством ;(х)=х, хеХ,
является непрерывным взаимно однозначным отображением
V в Y. Если i — компактный оператор, то мы говорим, что
вложение i компактно.
Два последних вложения в (1.1) компактны, первое
1	1 -т—к
вложение компактно при - >----------.
<7 Р «
В (1.1)	- банахово пространство функций, непре-
рывно дифференцируемых до порядка к, производные к-го
порядка которых удовлетворяют условию Гёльдера с показа-
шлем 8. Норма в этом пространстве определяется равенством
X тах|£»1и(х)|,
Отметим используемое в дальнейшем интерполяционное
неравенство
11“ llfc.p Е II “ 11т,Р + ^ II “ Ио,р>
справедливое при к <т с произвольным положительным
к и постоянной с, зависящей лишь от е, т, к, р, S1.
При рассмотрении отображений, соответствующих нели-
нейным дифференциальным задачам, систематически исполь-
зуется следующее предложение о непрерывности оператора
Немыцкого (см. [17, 45]).
Предложение 1.1. Пусть G — измеримое множество
положительной меры в R", h(x, ut, ..., uN) — вещественная
функция, определенная и удовлетворяющая при xeG, щеЛ1,
/-=1, ..., N, следующим условиям:
а)	при почти всех х функция h(x, ut, ..., uN) является
непрерывной функцией ...,
б)	при любых фиксированных ut, , uN функция h(x, иг, ...
uN) является измеримой по х;
в)	выполнено неравенство
N
\h(x, и1( ..., wN)| X l“il₽i/₽+Hr)	U-2)
i = 1
с положительной постоянной с, числами р,	pN,
10	' ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
принадлежащими интервалу (1, оо), и функцией g(x) из Lp(G).
Тогда определенный равенством
//[wjx),	uN(x)] = h[x, иДх), wN(x)]	(1.3)
оператор Немыцкого действует непрерывным образом из
LPi(G)x...xLpjv(G) в L,(G).
В дальнейшем для произвольного банахова пространства
У через X* будем обозначать сопряженное пространство.
При heX* и иеХ через и) обозначаем действие
функционала h на элементе и. Сильную и слабую сходимость
будем обозначать соответственно -+ и —ч
Ключевым свойством нелинейных отображений в бана-
ховых пространствах, служащим основой операторного ме-
тода исследования граничных задач, является выполнение
некоторого обобщенного условия монотонности. Приведем
определение наиболее часто используемых классов монотон-
ных отображений.
Определение 1.1. Пусть X—банахово пространство,
D - подмножество X, Л —отображение D в X*. Тогда:
а)	А называется монотонным отображением, если для
произвольных и, veD выполнено неравенство
(Au—Av, и —г)^0;
б)	говорим, что А принадлежит классу (5)+, если для
произвольной последовательности u„eD из того, что и„-^и0
и lim (Аип, ип — по>^0, следует, что и„-»п0;
в)	А называется псевдомонотонным отображением, если
для произвольной последовательности uneD из того, что
ир-'и,} и lim {Аи„, и„ — ио><0, следует, что
п -»ос
lim {Аи„, ип-и0} =0.
Л-> :С
Кроме того, если uoeD, то Аип-—Аи0;
г)	А называется отображением с полуограниченной вариа-
цией, если для произвольных и, v е X таких, что || и 1|, || v || < R,
справедливо неравенство (Au — Av, u — v)^—c(R, ||м —р||'),
где I, 	- норма, компактная по сравнению с || • !|. функция
c(R, l) непрерывна по / и такова, что |с(й, г)-+0 при t -+ +0.
Монотонные отображения были введены в работах
Р. И. Качуровского, М. М. Вайнберга, Минти и др. (см. [39а,
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ	11
396, 17, 60]). Определение класса (5)+ содержится в работах
|15ж] Браудера и автора [77а] (в последней работе условие
принадлежности отображения классу (S)+ называется усло-
вием а). Близкое к вышеопределенному условие псевдо-
монотонности принадлежит Брезису [13]. Отображение с по-
луограниченной вариацией введено Ю. А. Дубинским [33а].
Нетрудно установить взаимоотношение между названными
классами отображений. В частности, при слабых условиях
непрерывности псевдомонотонными являются монотонные
отображения, отображения класса (5)4 и отображения с по-
луограниченной вариацией.
Определение 1.2. 1) Оператор А, определенный на
множестве D <= X со значениями в X*. называется хеминепре-
рывным на множестве D, если при любых ueD, v, weX
и вещественных t таких, что u + tveD, имеет место равенство
lim<Л(и + го) — Аи, и’>=0.
1->0
2) Оператор А называется деминепрерывным на D, если
для любой последовательности и„е£>, сильно сходящейся
к и0 е D, имеет место равенство
lim (Аип, v} = (Au0, р> при всех veX.
fl
Напомним еще, что оператор А называется ограниченным,
если он переводит любое ограниченное множество из
D в ограниченное множество из X*.
Покажем (в качестве примера) связь между псевдомоно-
тонными отображениями и отображениями с полуограничен-
ной вариацией. Это доказательство продемонстрирует типич-
ные рассуждения, связанные с отображениями монотонного
типа.
Предложение 1.2. Пусть А- хеминепрерывное ограни-
ченное отображение с полуограниченной вариацией, определен-
ное на открытом множестве D в рефлексивном банаховом
пространстве X. Тогда отображение А псевдомонотонно на D.
Доказательство. Пусть последовательность {ы„} тако-
ва, что и„е£>, ип- -и0, lim (Аи„, и„ — ио>^0. Пользуясь
И X)
определением отображения с полуограниченной вариацией,
нетрудно проверить, что lim (Аип, ип—и0') >0 и, тем самым,
п * ОС
lim <Ли„, и„ — ио>=0.
Л —♦ X
12	ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Пусть и0 е D, докажем, что А и„ — A uQ. С некоторым R при
«=1,2, ... выполнены оценки || и„ || < R. В силу ограниченности
оператора А и рефлексивности пространства X из после-
довательности Аип можем извлечь подпоследовательность,
слабо сходящуюся к некоторому элементу heX*. Достаточно
доказать, что h — Ащ,, и, ие ограничивая общности, будем
считать, что Au„-^h.
Для любого элемента veX с || v ||' = 1 при достаточ-
но малом положительном числе t u0 + tveD,
и из определения полуограниченности отображения А полу-
чаем
-с(Я+1, ||н„-и0 + /г|Г)
< (Аи„ — А(и0 — tv), un — UQ + tv) =
= (Аи„, и„~и0) +t(Au„, v) - (A(u0-tv), и„-н0 + /г>.
Переходя в этом неравенстве к пределу при п -> да, имеем
— jc(/?+l, z)< </i — А(и0 — tv), v>.
Устремляя t к нулю, используя свойство функции с и опре-
деление хсминепрерывности оператора А, приходим к не-
равенству
<Ли0 — h, <0.
Отсюда, пользуясь произвольностью выбора v, получаем
<Лн0 — h, г> = 0 для любого veX. Это и означает, что Ли0 = й,
и тем самым доказывает предложение 1.2.
При изучении нелинейных вариационных задач будут
использоваться некоторые свойства функционалов, опреде-
ленных на множествах банахова пространства.
Определение 1.3. Пусть X—банахово пространство,
D—его подмножество. Функционал F\ D -> Rx называется
слабо полунепрерывным снизу, если для любой последова-
тельности и„еЬ, слабо сходящейся к uoeD, выполнено
неравенство
F(«oK lim
п X
Определение 1.4. Функционал F: D-*Rl, определен-
ный на выпуклом множесгве D с X, называется выпук-
лым на D, если для всех и, veD, /е[0, 1] выполнено
неравенство
/•Т?и + (1 —r)v] tF(u) + (1 — t)F{v).
§ 2. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ К ОПЕРАТОРНЫМ УРАВНЕНИЯМ	13
Просто получить (см. [17]) слабую полунепрерывность
•низу выпуклого функционала F. Укажем связь свойств
вункционала со свойствами его градиента, выраженными
> терминах монотонности.
Предложение 1.3. Пусть D —открытое выпуклое мно-
жество в X и F: D -> R1—функционал класса С1. Тогда
а)	для того чтобы функционал F был выпуклым, необходимо
I достаточно, чтобы его градиент F' был монотонным
тображением D в Х*\
б)	для того чтобы функционал F был слабо полунепре-
рывным снизу, достаточно, чтобы F' был ограниченным
4 псевдомонотонным отображением.
Доказательство утверждения а) можно найти, напри-
иер, в [17]. Здесь же имеются различные условия слабой
толунепрерывности функционалов.
у 2. Сведение задач для дивергентных уравнений
< операторным уравнениям
Предполагается, что для Q имеют место теоремы вложе-
тия С. Л. Соболева пространства И"р(П). Через М=М(т, и),
еГ = М'(т,п) обозначим соответственно число различных
иультииндексов ос = (а1, ..., а„) длины не большей, чем т,
и—1, и пусть М0 = М- М'. Предположим, что при хеП,
=	| а| ^т} eRM определены функции АДх, Е,), удовлет-
воряющие условиям (эти условия близки условиям работы
1ере и Лионса [51]):
АД Условие Каратеодори: АДх, Е,), измеримы по
, при всех значениях непрерывны по Е, почти при всех х;
А2) С непрерывной положительной неубывающей функ-
шей выполнены неравенства:
|АДх, Д|^£1(|^О1)(МХ)+ I 1^1''*’)’ |а|^да. (2.1)
п
т ' - 1 YI т
Р
Здесь Е,0 = <Е,а:| а| <т — - >, 1<р<оо, при т —
(	Р)	Р
ray=p—l, если |а| = |у| = т,
(, I \	п
1----, если т— а
\ Pj	Р
, , п
гяу=ру, если I а | <т—,
|а|+|у| <2т,
14
ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
И
пр	I,	п
р„ = —.---г— при а > т —,
п-(т-\а\)р р 1 1	/>’
1<р0,<+оо при 1а| = т—
Р /
K(x)eLq(Q),
где
ga= 1 при |а|<т—,
Р
р	я
q^ = —при т—|а| <пг.
Р
А3) Для произвольных xeQ,	£' =
= {£;:|ос |=ти}eRM°, р = {т]а<п?}еЛл/,
£ [Ла(х,пД)-Ла(х,ПД')](Ся-С;)>0 при ?*<,'. (2.2)
|а| = т
А4) Для xeQ, xyeRM, t,eRM выполнено неравенство
Ы=-т
>^(1по1) I IV-g3(lnol) Е IV’ (2.3)
1«Н»
Р
с гу<ру и непрерывными положительными соответственно
невозрастающей и неубывающей функциями g2, g3.
Пусть /я(х)е L4 (£l) и V—произвольное замкнутое под-
0
пространство И'р(П) такое, что И7” (Г2) с: И с: И7" (Q). При
этих условиях будет изучаться для уравнения
X (-l)laiZ)Ma(x,H,	X (-l)UIZ)aA(x) (2.4)
| a |	| a |
граничная задача, соответствующая подпространству V.
Определение 2.1. Обобщенным решением уравнения
(2.4) относительно пространства V называем такую функцию
ие V, что для всех (ре / выполнено интегральное тождество
f X л*(х’ м> Dmu)Da<pdx = j fAx)D*4dx- (2-5)
s 2. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ К ОПЕРАТОРНЫМ УРАВНЕНИЯМ '	15
В случае достаточной гладкости границы области Q,
функций А., и обобщенного решения и(х) получаем при
о
И=И/р(<2), что и(х)—решение уравнения (2.4) в обычном
смысле, удовлетворяющее граничным условиям:
2>“и(х) = 0,	1, хейИ,	(2.6)
т. е. м(х) является решением задачи Дирихле.
Также при соблюдении некоторых условий гладкости
и K=Bzp(Q) получаем из (2.5) для <р(х)е 1F”(£2)
'm~1 AiV
Е f (~) tp(x)Nj(x, и,	D2т j lu)ds = 0,
-' = 0 сП ' '
где v(x)— внешняя нормаль к ей в точке х, Nj—известные
функции, определяемые через Ал, В этом случае приходим
к граничным условиям
N}(x, и, ..., £>2m“-'“1u) = 0, 7 = 0, ..., т-1; xedSi. (2.7)
Задача (2.4), (2.7) по аналогии с соответствующей задачей'
для уравнения второго порядка носит название задачи
Неймана.
Из определения обобщенного решения сразу следует, что
разрешимость соответствующей подпространству V граничной
задачи для уравнения (2.4) эквивалентна разрешимости опера-
торного уравнения Аи = 0, где нелинейный оператор A'.V->V*
определяется для и, <р е V равенством
<Лщ (р>= £ J [А„(х, и, ..., Dmu)-fa(x)] Da(pdx. (2.8)
| а | < m Q
Теорема 2.1. При выполнении условий At—А4 определен-
ный формулой (2.8) оператор A.V-*V* непрерывен, ограничен
и удовлетворяет условию (5) + .
Доказательство. Ограниченность и непрерывность
оператора А:У-+У* следует из условий Аь А2, вложений
(1.1) и предложения 1.1 о непрерывности оператора Не-
мыцкого.
Докажем сейчас, что введенный формулой (2.8) оператор'
А удовлетворяет условию (5) + . Пусть последовательность
UjEV такова, что и^—и^, Tim (AUj, Uj — wo>^0. Из условий
j—’20
Аи A2, следующей из (1.1) сильной сходимости DyUj-+ DyuQ
ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
В	при qay = ray~~, т--^\а\^т-1 и в С(П)
Pl 1	р
п
при а<т— получаем
Р
Z f ир •••’ DmUj)D’t(uj-i‘u0)dx-+Q, J-^co.
| a | < m - 1 Я
Из представления
E f АЛХ> up > D^D^-u^dx^
| a | - m Я
= E ЦЛДХ, Pm~Sn"4,)-
| a | = m Я
—	Ал(х, u0, ..., Dm~lu0, Dmn0)] D3{uj~u0)dx +
+ E Ax(x, ii0, ..., Dm''-u0, Dmu0)D't(uj-u0)dx
| a | = m Я
следует, что предел правой части при J->oo равен нулю.
Первое слагаемое справа стремится к нулю в силу условия
А], А2, теорем вложения и предложения 1.1, второе — в
силу слабой сходимости к и0.
Таким образом, имеем
EmJ Е {Ах(х, и,, Dmuj)~
—	Аа(х, Uj, ..., Dm~lUj, Dmu0)} D^Uj—Uojdx^O. (2.9)
Покажем, что отсюда следуют утверждения:
а)	при |а \=т последовательность D^Uj сходится к Z>au0
по мере;
б)	имеет место равенство
lim f Е \DaUj(x)\pdx=Q, Ecil.	(2.10)
mesE—*0 E | a | = m
и стремление к пределу в (2.10) равномерно относительно j.
Для проверки (2.10) заметим, что в силу условий (2.9),
(2.2) Х,(П)->0 при у->оо и для любого множества Е с Q
где
Ем
.	Dmu0)} Dx(uj~u0)dx.
5 2. СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ К ОПЕРАТОРНЫМ УРАВНЕНИЯМ	1 <
Оценим \(£), используя (2.3) и (2.1). Получаем с некото-
рыми, не зависящими от у, положительными постоянными с2, с2.
I \D*u}\’dx-c2\ Y \Vu^dx-
E | a | - m
-c2
M*)+ E
n
m- |y!
P
E n
m -]y.	1
|DyH/"+ E |DXI'”
111'"
х(|0’и;1 + 1л’ио!)+ M*)+	E |ОХГ" -|Ови0|\dx
Л	J J
m — 6 IYl
p
Применяя дальше неравенство Юнга, приходим к оценке
f Е	k(o)+fF 1 /1Г'М+
E | a | = m	(.	E _ ( a | = m
+ £ |nxi"+ E |Z)yWj.|f’
? p m	n
m- < |yl	I
dx
Правая часть последнего неравенства стремится к пулю при
mes£->0 равномерно относительно j в силу свойства абсолют-
ной непрерывности интеграла от и0(х) и теоремы вложения.
Тем самым (2.10) доказано.
Докажем теперь утверждение а). Пусть £, 3 — произволь-
ные положительные числа и
F^j=\xeii' Е |£>айДх)-£>аи0(х)|^8
( I a | - т
g
Выберем два множества Е$\ Е^2} так, чтобы mes£^<-, i= 1, 2.
Первое множество T’V1 выбираем из условия
sup< £ |£>Х(*)1+ Е (I£>X(*)I +
t|a|=m	| я | < т - 1
+1 D*uj(х)|):хеП\£^1!> < оо.
(2.И)
Обозначим левую часть (2.11) через К и £^2) выберем
зак, чтобы
infl I [ла(*’ п, ^)—лв(х, п, С)Ж-Х):
(| a I = т
хеп\42>, | п | ЙйгУй'	<2-12)
2 И. В. Скпытшик
18	ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Пусть значение точной нижней грани в левой части (2.12)
равно ке.
Из (2.9) и определения kj(E) имеем
(Q) >	№ и ^2))) > (rnes FeJ-^ kt.
Отсюда
и можно выбрать А столь большим, чтобы при j~^N
выполнялось неравенство mesFEJ<5. Это обеспечивает вы-
полнение утверждения а).
Из а) и б) следует сильная сходимость цДх) к и0(х\
что и доказывает теорему 2.1.
Можно сформулировать другие условия на функции
Ла(х, £), при которых определяемый равенством (2.8) оператор
А удовлетворяет соответствующему условию монотонного
типа. В частности, в [33г] приведены условия, при которых
граничная задача приводит к оператору с полуограниченной
вариацией.
Аналогично доказательству теоремы 2.1 может быть
доказана
Теорема 2.2 [15ж]. Определенный формулой (2.8) опера-
тор А: И-> V* является псевдомонотонным при выполнении
условий Ад) — А3) и
АУ Для t\eRm т, е
Е [лДх, п,Q-vlU«-CT«)-> + 00 пРи КН» (2-13)
I а I = m
и (2.13) выполняется равномерно относительно хеП, 13 eG,
где G—произвольное ограниченное подмножество в RM.
Отметим еще, что для выполнения условий А,) - А4)
достаточным, в случае дифференцируемости Ла(х, £,') по с,,
является выполнение при xeQ, £,еАм, C,eRm° неравенства
L лар(хД)^р
И ₽ | = т
/	\ Р-2
>g(IM 1--U -S 1^1 Е U
\ I 7 I - ™	7	| « | - m
(2.14)
§ 3. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА И ПРИМЕРЫ	19
, к алДхд)
с Ла&(х, £,) = —-z—- и непрерывной положительной невоз-
растающей функцией g.
Неравенство (2.14), обеспечивая эллиптичность уравнения
(2.8), является усиленным вариантом условия эллиптичности.
§ 3. Постановка вариационной задачи
и примеры нелинейных задач механики
Пусть при хеП,	определена измеримая функция
f(x, £), непрерывно дифференцируемая по £ при каждом
хеП. Пусть /Х(х, £) =
с/(х. £)
—и предположим, что
С£,а
функции
Л(*, удовлетворяют условиям AJ, А2) из §2 и /(х, 0)е
eljn).
При этих условиях равенство
F(«) = J/(x, и(х), ..., Dmu(x))dx	(3.1)
о
определяет непрерывный функционал F: Ис W™(П)-»/?1,
имеющий в каждой точке и е V производную Фреше F' (и).
При этом
<F'(«), v) = £ f/a(x, и, ..., Dmu) D*vdx, veV. (3.2)
' Связь задачи о нахождении точек минимума функционала
А и соответствующей V граничной задачи для уравнения
£ (-1)'“|£>«А(^ «, :.,Dmu) = Q	(3.3)
дает следующее
Предложение 3.1. Пусть функционал F:X->Rl, опреде-
ленный на банаховом пространстве X, имеет в точке
локального минимума иоеХ производную Гато F'(u(l). Тогда
F'H = 0.
Для проверки равенства F'(wo) = 0 достаточно заметить,
что при достаточно малом t > 0 и произвольной v e X, || v || = 1
|[F(Mo + /i?)-F(wo)>0.
Отсюда при t->+0 следует <F'(«0), г> ^0, или, в силу
произвольности v, <F'(«0), 12> = 0, что и требуется.
2*
20	ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Задача об отыскании минимума интегральных функциона-
лов идет от Гильберта (двадцатая проблема), высказавшего
предположение о разрешимости каждой регулярной вариаци-
онной задачи. При этом Гильберт допускал возможность
расширения понятия решения.
Прямые методы вариационного исчисления, идущие от
работ Лебега, Тонелли, Морри [63а], позволяют доказать
существование минимума регулярных функционалов. Они
основаны на полунепрерывности снизу интегральных функци-
оналов относительно некоторой слабой сходимости.
Широкое развитие прямых методов получено в работах
М. М. Вайнберга и его учеников, Браудера, Бергеров и др.
(литературные ссылки см. в [77в]), где установлены различные
предложения о существовании минимума нелинейных функ-
ционалов в банаховых пространствах, сходимости минимизи-
рующих последовательностей. Далее приводится один из
результатов о разрешимости вариационных задач.
Теорема 3.1. [17] Пусть X—рефлексивное банахово
пространство и F:X-*Rl—слабо полунепрерывный снизу функ-
ционал, удовлетворяющий условию
lim F(w)= + oo.	(3.4)
II и [| — со
Тогда существует точка локального минимума функционала F.
Доказательство. Выберем достаточно большое R так,
чтобы inf F(«)>F(0), и докажем, что в шаре В(0, /?) =
II “ II =к
= {ме||м|| <R} существует точка и0, для которой F(u0)=v =
= inf F(w). Пусть ип — минимизирующая последователь-
8(0, R)
ность, т. е. F(«„)->v, и„еВ(0, /?). В силу слабой компактности
В(0, R), не ограничивая общности, можем считать последова-
тельность ип слабо сходящейся к некоторому элементу
иоеВ(0, R). Из слабой полунепрерывности снизу функционала
F следует, что F(«0)^v, откуда получаем, что число v конеч-
ное и ноеВ(0, /?)—искомая точка.
Отметим еще факт сильной сходимости минимизирующей
последовательности функционала F:X^>Rl, т. е. такой после-
довательности ипеХ, что F(«n)-->inf {F(u): иеХ}. Этот момент
важен при нахождении точек минимума.
Лемма 3.1. [15е]. Пусть X—рефлексивное банахово
пространство и F:X-> R1 - дифференцируемый по Гато функ-
§ 3. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА И ПРИМЕРЫ
21
ционал, /’(«)-> +оо при ||и||—*оо, градиент F' демииепрерывен
и удовлетворяет условию (5)+. Тогда всякая слабо сходящаяся
минимизирующая последовательность сходится сильно.
Доказательство. Пусть inf F(u) = v, и„ — минимизи-
иеХ
рующая последовательность, т. е. F(u„)-+ v, и пусть и„—'и0.
Имеем
Отсюда в силу условия (5)+ следует сильная сходимость
к и0.
Из результатов настоящего параграфа, предложения 1.3
и теорем 2.1, 2.2 следует
Теорема 3.2. Пусть функционал F.V-^R1 определен
равенством (3.1) и удовлетворяет условию (3.4). Предположим,
что f(x, 0) с 2L, (Q) и функции фл (х, удовлетворяют условиям
АД--А3), АД. Тогда соответствующая подпространству
V граничная задача для уравнения (3.3) имеет, по крайней
мере одно, обобщенное решение. Если дополнительно для
f* (х, Д выполнено условие АД, то это обобщенное решение
может быть получено как сильный предел минимизирующей
последовательности для функционала F.
Укажем далее примеры нелинейных задач механики,
описываемых дивергентными уравнениями, удовлетворяющи-
ми сформулированным выше условиям. Более подробно об
>тих и других задачах см. в [77а].
Первой такой задачей является задача об упруго-пласти-
ческом изгибе жестко закрепленной пластинки. Прогиб пла-
стинки удовлетворяет уравнению
оу	\ оу Z OX J
и граничным условиям
(3.6)
22
ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
где
х (S2w\2 f d2w\2 ( d2w\2 d2w 82w
н И= тт + — + hnr
\ox J \oy I \oxoy) ax'- cy
g—функция, характерная для данного материала.
Известно, что r(H2)=g(H2)H—возрастающая
Н при Я>0. Предполагаем, что:
1) g(0—непрерывная функция при
2) при (>0 выполняется неравенство
з-1
функция
где р>\,	«!>0, а при р<2 Ао = 0.
Задача (3.5), (3.6) будет рассматриваться в пространстве
о	о
fPp(Q) в предположении /б[)Тр(П)]*. Так же как в § 2,
можно свести задачу к операторному уравнению
Лн=/,	(3.7)
о	о
где оператор А: РИр(О)->-[1Ур((2)]* определяется равенством
. ,	. ее хЛ(д2и 1й2и\о2<р	32и <52<р
<л», Ф>=пг(^(„))^+-_^+—
f ё2и 1 <Э2м\ <?2ср 7 j 1
\ёу 2дх2)ду \
(3.8)
Проверяется, что при естественном выборе функций А„ для
них выполнены условия AJ—А4) из § 2. Так что оператор А,
определяемый равенством (3.8), непрерывен, ограничен, удов-
летворяет условию (S) +. Кроме того, оператор А удовлетворяет
еще одному условию, играющему основную роль при доказате-
льстве теоремы существования. Это условие коэрцитивности
lim
И м||—00
(Аи, и)
II и II
(3-9)
-|- оо.
Отметим, что задача (3.5), (3.6) вариационная, и соответст-
о
вующий этой задаче функционал Ф: Жрф)-^1 определяется
равенством
н2 («)
Ф(и) = | f g(j)dtdx.	(3.10)
п о
Так что для задачи (3.5), (3.6) справедливо утверждение
теоремы 3.2.
§ 3. ВАРИАЦИОННАЯ ЗАДАЧА И ПРИМЕРЫ
23
качестве второго примера рассмотрим систему сильного
изгиба тонких пластин. Заметим вначале, что построения
§ 2 тривиально переносятся на случай систем дифференци-
альных уравнений. Не будем этого делать, ограничившись
только примером системы, описывающей задачу нелинейной
механики. Задача сводится к нахождению решения граничной
задачи для прогиба w и функции напряжений F:
(3.11)
|;A2F+L(w’, и>) = 0,	(х, yjeQcR2,
dw	cF
р =_. =F =_ =0,	(3.12)
s bn s s bn s
где А оператор Лапласа,
r, г-, г2ч72_/? S2wo2F _ c2w 82F
L(w,	——^+— --Г2-2-	,
ex cy vy ex	-ox Sy SxSy
Q—ограниченная область на плоскости с границей S; h, Е,
D - - положительные постоянные.
Рассмотрим гильбертово пространство
о
H={u=(w, F): w, FelH(Q)}
co скалярным произведением
(и, х)= X W^wD^ + D^FD^dxdy,
|я| —2 П
где х = (ф, Ф)- Обобщенным решением задачи (3.11), (3.12)
назовем вектор-функцию иеН, удовлетворяющую при всех
ХеЯ равенству
п
=	З’)ф(*, y)dxdy.
П Q
Определим оператор А: Н-+Н и элемент QeH так, чтобы
2	1
(Au, x) = ff 37 А^Аф —Z,(w,	—АГАф + £(и’, w)\|/>(Zxdy,
о («	E	J
(Q,
П £2
D	2
— Ди’Аф — L(w, Г)фН—&FA\|/ + L(w, w)\l/>dxdy =
h	E	I
24	ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
При этом предполагается, что q(x, у)еТ1(£2).
Аналогично § 2 убеждаемся, что А — ограниченный непре-
рывный оператор, удовлетворяющий условию (5) + . Легко
о
проверить, что для и1, FeWl(£i)
JfL(w, F)wdxdy = JJL(w, w)Fdxdy.
a	n
Отсюда получается выполнение для рассматриваемого
оператора условия (3.9).
§ 4. Разрешимость коэрцитивных граничных задач
Изучению разрешимости уравнений с операторами, удов-
летворяющими условию монотонности либо различным обоб-
щениям этого условия, посвящено большое число работ,
начиная с работы Браудера [15а]. Обзор этих результатов
имеется в работах [33г, 77в], укажем здесь только одну из
теорем существования.
Теорема 4.1. Пусть X— рефлексивное сепарабельное ба-
нахово пространство и А~. Х->Х*— ограниченный деминепре-
рывный псевдомонотонный оператор, удовлетворяющий условию
коэрцитивности
(Аи, и)	.. ,,
lim —-—-=4-оо.	(4.1)
11 и V — W
Тогда уравнение
Au = h	(4.2)
имеет решение при любом heX*.
Доказательство теоремы основывается на так называемой
лемме об остром угле, обеспечивающей разрешимость урав-
нений в конечномерных пространствах при нахождении га-
лёркинских приближений.
Лемма 4.1 (об остром угле). Пусть f: D->Rn — непрерыв-
ное отображение замыкания ограниченной области DcRn.
Предположим, что нуль —внутренняя точка D и на границе
6D области D выполнено условие
(ft.x), х)= £/,(х)х^0, хбй£>.	(4.3)
L
Тогда уравнение
/(х) = 0	(4.4)
имеет по крайней мере одно решение в В.
§ 4. РАЗРЕШИМОСТЬ КОЭРЦИТИВНЫХ ЗАДАЧ
25
Доказательство леммы будет приведено в § 1 гл. 2.
Доказательство теоремы 4.1. Пусть v2, ...— полная
счетная система пространства X. Определим галёркинские
приближения u„ = c1vl + ... + с„и„ как решение уравнений
<Ли„, 1>,-> = <й,	1=1,..., п.	(4.5)
Разрешимость системы (4.5) относительно с15 ..., с„ следует
при каждом и из леммы 4.1. Выберем, в силу условия (4.1),
число R настолько большим, чтобы при || и || R выполнялось
неравенство
<Ли, и> —<й, и>^0.	(4.6)
Рассмотрим в R" ограниченную область £>={с = (с1, ..., с„):
п
|| £ Cj-vJI <R}; здесь |||| -норма пространства X. Приме-
i= 1	_
няем в этой области к отображению ft D-*Rn, f(c) =
п
=	...,/B(c)),/i(c) = <^( X CjVj)-h, Vi), лемму 4.1. Выпол-
нение условия (4.3) следует из
ffMci=(лff Zcivi}
i=l	\ V=1	/ i=l /
n
и неравенства (4.6), справедливо для	при || и|| = R.
Следовательно, при каждом п существует галёркинское
приближение и„, удовлетворяющее по построению неравенству
K||<R	(4.7)
и являющееся решением системы (4.5).
В силу рефлексивности пространства X последовательность
и„ содержит слабо сходящуюся подпоследовательность. Не
ограничивая общности, можем считать, что u„-—uQ. Выберем
еще последовательность w„ = A:1v1 + ...+^nr„ так, чтобы w„->u0.
Тогда из
<Ли„, и„-и0> = <Ли„, wn-u0) + {h, un-w„)	(4.8)
следует, что
lim <Аи„, и„-ио)=0.	(4.9)
и— ос
В самом деле, первое слагаемое правой части (4.8) стремится
к нулю в силу (4.7), ограниченности оператора А и сильной
26
ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
сходимости w„ к и0. Второе слагаемое правой части (4.8)
стремится к нулю в силу и„—w„-^0.
Из (4.9) и определения псевдомонотонности оператора
А получаем Аи„—*Аи0. Переходя в равенстве (4.5) к пределу
при фиксированном i, имеем
<Аи0, vt) = (h, vt).	(4.Ю)
Так как здесь i—произвольный номер, a vt, v2, ...— полная
система пространства X, то из (4.10) следует <Au0, г) = (й, v)
для любого veX. Следовательно, и0—решение уравнения
(4.2). Тем самым закончено доказательство теоремы 4.1.
Замечание 4.1. Из (4.9) просто следует, что если
в дополнение к условиям теоремы 4.1 оператор А принад-
лежит классу (5) + , то галёркинские приближения и„ сильно
сходятся к решению и0 уравнения Au — h.
Замечание 4.2. Из приведенного доказательства следует,
что теорема 4.1 остается справедливой при замене условия
псевдомонотонности оператора А следующим условием: для
произвольной последовательности и„еХ из и„—^и(),
lim <Ли„, ип — ио> = 0 следует Аи„—хАи0.
п—*оо
Дадим применение доказанной теоремы к доказательству
разрешимости граничных задач. Из приведенного в § 2
сведения граничной задачи к операторному уравнению и те-
оремы 4.1 следует
Теорема 4.2. Предположим, что функции Ах(х, Q удовлет-
воряют условиям Аг)— А3), Ад), и пусть для оператора, опре-
деленного равенством (2.8), выполнено условие коэрцитивности
{Аи, и)	.. ,
lim —= + с°,	(4-11)
где II’IL.P—норма в Wp(£l). Тогда при произвольных /а(х)е
6 Lq (Q) соответствующая подпространству V граничная зада-
ча для уравнения (2.4) имеет, по крайней мере, одно решение,
принадлежащее V.
Для выполнения условия коэрцитивности (4.11) достаточно,
о
например, при И=И/р(П) потребовать выполнение оценки
х ЛДх, !;)!;«> v X	X
|a|<m	|а|=т
где v, |1—положительные постоянные, q<p. Другие примеры
§ 4. РАЗРЕШИМОСТЬ КОЭРЦИТИВНЫХ ЗАДАЧ
27
алгебраических условий, обеспечивающих выполнение (4.11),
имеются в обзоре [33г].
Отметим еще следующую из теоремы 4.1 и замечания 4.1
разрешимость указанных в § 3 нелинейных задач механики.
Теорема 4.3. При выполнении условий из §3 задача (3.5),
(3.6) об упруго-пластическом изгибе жестко закрепленной
о
пластинки имеет обобщенное решение uQ(x, у)е1¥2р(£1) при
о
произвольной функции /б[ И'рф)]*. Это решение может быть
получено как предел сильно сходящихся в lVp(£i) галёркинских
приближений.
Теорема 4.4. При выполнении условий из § 3 задача (3.11),
(3.12) о сильном изгибе тонких пластин имеет обобщенное
о
решение (w, F)£[ ^2 (О) I2 при произвольной функции qe
о
6[PFl(О)]*. Это решение может быть получено как предел
сильно сходящихся в [Ж^П)]2 галёркинских приближений.
Отметим еще возможность доказательства на основе теоре-
мы 4.1 разрешимости квазилинейной задачи с более сильным
ростом подчиненных членов, чем это предполагалось в § 2.
Рассмотрим в качестве примера дифференциальное урав-
нение
X (-l)wDMa(x, и, ..., Dmu) +
+ X (-l)131^^, и, ..., О'"-1и)= X	(4.12)
| Р| — 1	|а|
где Аа (х, удовлетворяют при р < п условиям § 2. Предполо-
жим, что для функций Вр(х, г|) при xeQ, т|, Г|'б RM выпол-
нены оценки
|5р(х, т|)| <^1 (IЙо1)(й(эс)+ X 1пт|Ч (4-13)
п
т— IУI	1
X Ев₽(х’ п)-5р(х, п')](п₽—П₽)>0,	(4.14)
|₽|=т-1
если т|р = т|₽ для —2;
X В₽(х, п)п₽^
|P|=m-l
>^2(1йо1) X 1ПаГ-g! (Ifiol)	X lnYl% (4.15)
|а| — w—l	п
11	m__л/ << ж_ 1
28
ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
ПР
где р>----, ге г определяются теми же условиями, что
п—р у '
и гРг гу в условии А2), только с заменой р на р, f)0 =
= |т)а: | ос| <т — -j-, h(x)eLt (Q), g2—непрерывные поло-
жительные соответственно нсвозрастающая и неубывающая
функции.
Определим оператор В: W™ ~1 (О) -»[ W™ '1 (О)] * равенством
<Ви, ф>= X В₽(х, и, Dm~1u)Dt>tpdx.	(4.16)
!Р| ^т- 1 J
И предположим, что для оператора В выполнено условие
коэрцитивности
lim	_(Ви, и>=+со.	(4.17)
1«11„
Теорема 4.5. Пусть функции Ах(х, удовлетворяют
условиям AJ — А3), Ад), функции В^(х. Г|) удовлетворяют
условию At) и неравенствам (4.13), (4.14). Предположим, что
для операторов А, В выполнены соответствующие условия
коэрцитивности (4.11), (4.17). Тогда при любых функциях
/а(х), принадлежащих Lp (О) при |ot|=w и L. (О) при
|т.1, соответствующая Й= ИРИТ?"1 (Q) граничная за-
дача для уравнения (4.12) имеет в V по крайней мере одно
решение.
Утверждение теоремы следует из теоремы 4.1, как только
докажем псевдомонотонность оператора А + В. Наметим про-
верку этого свойства. Пусть и„- - произвольная слабо сходя-
щаяся к и0 последовательность пространства V такая, что
lim {Аип + Ви„, и„ —ио)<0. Пользуясь неравенствами (4.13),
(4.14), отсюда имеем lim (Аи„, и„ — ио><0 и, следовательно,
и—»00
в силу теоремы 2.2 lim <Ли„, и„ — ио> = 0, Аип- 'Аи0 в Г1У™(ПП*.
Отсюда и из предположения относительно последовательности
и„ получаем
lim <Ви„, н„-ио><0.
И—*00
(4.18)
Из слабой сходимости последовательности ип в V и ком-
пактности вложения 1Ур(П) в -1 (£2) следует сходимость
§ 5. УРАВНЕНИЯ С НЕЧЕТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
29
последовательностей {£)ри„(х)},	1 по мере. Из усло-
вий (4.14), (4.15) и неравенства (4.18) так же, как и при
проверке утверждения б) в ходе доказательства теоремы 2.1,
получаем, что равномерно относительно п
lim
mes Е-*0 %
Е
|£>т-1и„ИЛ = 0.
Это обеспечивает сильную сходимость и„ в И7"' ‘1 (О).
Отсюда имеем (Ви„, и„ — ио>->0, Ви„->Ви0 в [iFj-1 (О)]*,
что и завершает' проверку псевдомонотонности отображения
А + В.
§ 5.	Разрешимость уравнений с нечетными операторами
Вслед за доказательством разрешимости уравнений с ко-
эрцитивными операторами были получены теоремы сущест-
вования без условия коэрцитивности. Первым результатом
здесь явилась работа С. И. Похожаева [75 а], в которой
доказана разрешимость уравнений с нечетными усиленно
замкнутыми операторами. В дальнейшем эти вопросы изуча-
лись Браудером, Петришиным, Нечасом, Скрыпником и др.
(см., например, [15 ж, 74 в, 68 6, 77 а]). Особенно естественно
эти результаты получаются путем введения гомотопии и ис-
пользования степени отображения, и об этом речь будет
идти в следующих главах.
Отметим только некоторые результаты, близкие к получен-
ным в [75 а]. Будем ограничиваться здесь операторами
класса (5)ч, так как к уравнениям с такими операторами
при естественных условиях сводятся эллиптические нелинейные
граничные задачи.
Определение 5.1. Оператор А, определенный на замыка-
нии шара В (0, R)={ueX’. || и || <Л] и действующий в .¥*,
называется нечетным на S(0, R) — {ueX: || и || =R}, если для
ие 5(0, R) выполнено равенство
А(-и)=-Аи.
(5-1)
Оператор А, действующий из X в X* и удовлетворяющий
условию (5.1) для всех иеХ, называем нечетным.
Теорема 5.1. Пусть X—рефлексивное сепарабельное ба-
нахово пространство, A:B(0,R)->X*— ограниченный деми-
30	ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
непрерывный нечетный на сфере 5(0, 7?) оператор, удовлетво-
ряющий условию (5)+, и предположим, что при некотором
элементе heX* выполнено неравенство
|| h ||,< || Ли У, для всех ueS(0,R),	(5.2)
где 11’11. — норма в X*. Тогда уравнение
Au = h	(5.3)
имеет решение в шаре В(0, R).
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы
4.1, выберем произвольно в X полную счетную систему
Vi, v2, ... и определим галёркинские приближения и„ =
= c1v1 + ..'. + cnvn из уравнений
<Ли„, г1> = <й, V/), i=l, ..., п.	(5.4)
Для доказательства разрешимости уравнений (5.4) восполь-
зуемся следующей леммой.
Лемма 5.1. Пусть g: Rn-*Rl—непрерывная четная поло-
жительно однородная порядка 1 функция, т. е. такая, что
g(-x)=g(x), #(A.x) = A.g(x) для хе Rn, Х>0.	(5.5)
Предположим, что при R>Q D = {xe R": g(x)<R}, и пусть
f: D^>Rn—непрерывное отображение, удовлетворяющее при
некотором yeRn условиям
/(—х)=—/(х) для xe8D,	(5.6)
/(х) — ty^O при tе[0, 1], xeSD.	(5.7)
Тогда уравнение f(x]=y имеет решение в D.
Доказательство леммы будет дано в § 1 гл. 2.
Вернемся к разрешимости уравнений (5.4) и доказательству
теоремы 5.1. Определим отображение gn: Rn-^R1 равенством
gn(c)=g„(q, -, с„)==
I Cfli
i= 1
ceRn,
(5-8)
где || • ||—норма пространства X. И пусть D„ =
= {ceRn: g(c]<R}, fa: Da->R"—следующее отображение f„=
(/n, 1’
fn,i= са\ц)>	(5-9)
\ \i”l /	/
И
Л=«^ »1>, - , <h, t>„>).
(5.Ю)
§5 УРАВНЕНИЯ С НЕЧЕТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ	31
Легко проверить выполнение при g=g„, f=fn условий (5.5),
(5.6) леммы 5.1. Осталось проверить при достаточно больших
п условие (5.7). Докажем это неравенство методом от
противного. Пусть существует последовательность
такая, что при некоторых 1„,е[0, 1], C{"dedDnk
: Отсюда для и„ = £ c^v. имеем
i = 1
 <Лн„к, »,.>-?„//!, г;> = 0, /=1, ...,пк, 1К11 = Я-	(5-11)
Дальнейшие рассуждения такие же, как в конце доказательства
теоремы 4.1. Переходя, если нужно, к подпоследовательности,
получим из (5.11), что при некоторых woeS(0, R), t0 е [0, 1]
выполняется равенство Аи0 - toh = 0, что противоречит предпо-
ложению (5.2).
Тем самым для f—f„, у=уп при больших п выполнено
условие (5.7), и, следовательно, по лемме 5.1 существует
в D„ решение уравнения /„(с)=у„. Отсюда получаем сущест-
вование при больших п решений уравнений (5.4), удовлет-
воряющих условию ||и„|!<Я. И далее, повторяя конец
доказательства теоремы 4.1, устанавливаем существование
в D решения уравнения (5.3), что и завершает доказательство
теоремы 5.1.
Следствие 5.1. Пусть нечетный деминепрерывный опера-
тор А: Х~>Х* удовлетворяет условию (S)+ и
при ||и||->оо.	(5.12)
Тогда уравнение (5.3) имеет решение при любом heX*.
Далее рассмотрим операторные уравнения с операторами,
удовлетворяющими дополнительному условию однородности.
Определение 5.2. Оператор А'. Х^>Х* называется поло-
жительно однородным порядка fc>0, если A(tu)=tkAu для
любых we А', />0.
Определение 5.3. Пусть И, й: Х-+Х* положительно
однородные операторы порядка к>0 и ЛО = ЙО = О. Число
X назовем собственным значением оператора А относительно
оператора Я, если существует элемент и^О такой, что
ХИи + Яи = 0.
Теорема 5.2. Пусть X—рефлексивное сепарабельное ба-
нахово пространство, А: Х-*Х*— ограниченный деминепрерыв-
ный нечетный оператор, удовлетворяющий условию
32	ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
(S) + , В'.Х^-Х* — вполне непрерывный нечетный оператор.
Предположим, что А, В— положительно однородные операто-
ры порядка k>0. Тогда, если Х/0 не является собственным
значением оператора В относительно оператора А, уравнение
ХАи+ Bu = h	(5.13)
имеет решение для любого IieX*.
Доказательство. Достаточно проверить, что для лю-
бого Хе Я1 такого, что уравнение
ХАи + Ви = 0	(5.14)
имеет только нулевое решение, выполнено неравенство
m=inf{ ||ХЛи+Яи||.:ие5(0, 1)}>0.	(5.15)
Как только неравенство (5.15) доказано, из однородности
отображений А, В получаем
|| ХАи+ Ви ||,>шЯа при || и || = Я,
и, следовательно, для заданного heX* при достаточно
большом R выполнено неравенство (5.2). Легко проверяется,
что оператор | X | А + sign X В удовлетворяет условию (5') + ,
и тем самым разрешимость уравнения (5.13) следует из
теоремы 5.1.
Докажем сейчас неравенство (5.15) методом от противного.
Пусть существует последовательность и„ такая, что
ХЛил + Ди„->0. Можем считать, что м„- и0, Bu„->f. Имеем
<Лн„, и„-и0У=1-(ХАи„+ Ви„, иа-и0У-1-(.Ви„, и„-и0),
К	л.
и правая часть стремится к нулю при и-»оо. Отсюда, по
условию (5) (, получаем, что и„->и0, и, следовательно, имеем
ХЛио + Вио = 0, || и01| = 1, что противоречит предположению
о несуществовании ненулевых решений уравнения (5.14). Тем
самым теорема 5.2 доказана.
Дадим применение доказанных теорем к нелинейным
граничным задачам в ограниченной области йс Я".
Теорема 5.3. Предположим, что функции Ах(х, с) удов-
летворяют условиям АД — А4) при произвольных хеО, £,еЯм,
Ах(х, — £)= — ТДх, £), и пусть для оператора А'-.
определенного равенством
(А'и, ф>= £	И3(л‘, и, ..., Dmu) D*q> dx,	(5.16)
Iа|J
П
§ 5. УРАВНЕНИЯ С НЕЧЕТНЫМИ ОПЕРАТОРАМИ
33
выполнена оценка
II А'и ||к*> ll./’llr* при ||и||т>р = Я,
где f—элемент пространства К* такой, что
<Лф>= X /я(храФ<&, /.(x)eL,a(Q).
I a I J
(2
(5-17)
(5.18)
Тогда соответствующая подпространству V граничная задача
для уравнения (2.4) имеет решение и0(х)еК и || и0(х) ||т>р<Л.
Утверждение теоремы непосредственно следует из теорем
2.1, 5.1.
Рассмотрим теперь для уравнения с параметром
X X (-IJ’^XU. и, ..., Dmu} +
|a|«m
+ X (~W^^B^x,u,...,Dmu) = X (-l)|ai^W (5-19)
граничную задачу, соответствующую подпространству V,
№%(£!)<= V<=
Как и выше, из теорем 2.1, 5.2 следует
Теорема 5.4. Пусть функции /ta(x, q) удовлетворяют
предположениям AJ— А4), функции В(!(х, £),	1 удов-
летворяют предположениям АД А2), при произвольных t>Q,
лей, ^eRM,	|P|<w—1 выполнены условия
И,(х, -^)=-4а(хД), ВДх, -^)=-ВДхД),
(5.20)
Ла(лс, /£,) = /" ‘4(х, £), Вр(л, /£)=/₽ ‘ВДхД).
Тогда, если Х^О и соответствующая подпространству V гра-
ничная задача для уравнения
X X (-l)la|£>Ma(x, и, ..., £>mw) +
|a|^m
+ X (—I)1 р|£)рвр(.х, и, ..., £>гамД0
PiCm-1
имеет только нулевое решение, соответствующая подпро-
странству V граничная задача для уравнения (5.19) разрешима
при произвольных функциях /а (x) e (й).
Заметим, что в силу условия (5.20) неравенства
(2.1), (2.3), которые не уточняли в рассматриваемой сей-
час ситуации, выполняются соответственно с r^=p— 1,
3 И. В. Скрыпник
34
ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
§ 6. Разрешимость нелинейных граничных задач
(дальнейшие результаты)
В этом параграфе излагаются результаты о разрешимости
методами теории монотонных отображений более общих
нелинейных задач, чем рассмотренные в §2 — 5. Сначала
сообщаются результаты о разрешимости задач для уравнений
вида (2.4) при нестепенном росте (х, £) по £,. Далее
рассматриваются вопросы разрешимости уравнений бесконеч-
ного порядка. Наконец, в конце параграфа рассматривается
разрешимость нелинейных граничных задач на основе теории
нелинейных операторов со слабо замкнутой областью значений.
1. Разрешимость эллиптических задач с нестепенными
нелинейностями. Вернемся к задаче (3.5), (3.6) об упруго-
пластическом изгибе жестко закрепленной пластинки, не
предполагая, что функция g, характеризующая свойства
материала пластинки, имеет степенной рост. В этом случае
наиболее подходящим пространством для исследования задачи
(3.5), (3.6) оказывается пространство Соболева — Орлича
jy2Lo(Q), построенное по функции
ф(^)= f g(T2)Trfx.	*	(6.1)
о
Дадим основные определения пространств Соболева — Ор-
лича. Функция Ф: Rl->Rl называется N-функцией, если она
непрерывна, выпукла, четна и удовлетворяет условиям Ф (?) > О
Ф(Д	Ф(г)
при /^0, —>0 при z—>0 и —^-> + ос при /~> + те. Для
произвольного открытого (вообще говоря, неограниченного)
множества йей" и /V-функции Ф: R '->R+ через СФ(С1)
обозначим банахово пространство функций м(х), имеющих
конечную норму Люксембурга
|| и ||w = inf <k>0
Определения и свойства пространств Орлича изучены
в монографии М. А. Красносельского и Я. Б. Рутицкого [46].
Замыкание множества ограниченных измеримых функций
с компактным носителем в О обозначим через ЕФ(О). Имеет
место включение Еф (О) с £ф (О), превращающееся в равенство
тогда и только тогда, когда Ф удовлетворяем Д2-условию, т. е.
если с некоторым k>Q выполнено неравенство Ф(2/)^/сФ(/)
§ 6. РАЗРЕШИМОСТЬ (ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ)
35
при достаточно больших t, если П ограниченная область, и при
всех t, если Q не ограничена. Пространством Соболева — Орлича
И'""ЛФ(П) называется множество функций и(х), имеющих
обобщенные производные до т-го порядка, принадлежащие
/,Ф(П), аналогично определяется	Нормы в этих
пространствах || и ||т (ф) вводятся следующим образом:
/	\ 1/2
11«11т.(Ф>= X II II (ф)	•
\|а;</я	/
Пространства №тЬф(С1), FP"£O(Q) могут быть отождест-
влены с подпространствами в пространстве ПСФ(П) — произ-
ведении М пространств ЬФ(С1), где М—число различных
мультииндексов длины не большей, чем т. Обозначим через
И/т£ф(П) замыкание Со (О) в	относительно
о (П£ф (П), П£ф (Q)) топологии и через №тЕф (Q) замыкание
С(Г(О) в Илт£ф(П) относительно нормы || • ||т Ф. Здесь Ф —
N-функция, сопряженная к Ф и определяемая равенством
Ф (z) = sup {.sz — Ф (-?)}.
5»0
Приведем теоремы вложения из работы Дональдсона
и Трудингера [32] для случая достаточно гладкой ограничен-
ной П. Пусть с0 — произвольная /V-функция и предположим,
что к >2. Меняя значение с0 на ограниченном подмножестве
в R1, можно обеспечить /0(1)< + оо, где
С 1
/0(/) = с0 1 (т)т-1“йб/т.
о
Если 10 (+ оо )= + оо, определим новую /V-функцию равенст-
вом с Г1 (z) = Io (z). Продолжая этот процесс, нолучим конечную
последовательность /V-функций с0, с15 ..., cq, где q = q(c0)^n—
такое число, что
+ =с	+ ОО
f -1	-1--	f -1-’
с,_‘1(т)т	"б/т=+оо, но с<Г1(т)т 1 "<£< + оо.
1 1
Будем для /V-функций Ф, Т писать Ф<Т, если при
некотором к>0 и достаточно больших z Ф(г)^Т(kt), и будем
писать Ф«Т, если для каждого />0 Ф(г) [Т (/z)] ~‘->0
при
3*
36
ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Дальше для TV-функции Ф будем считать выполненным условие
1
f-—^<7т< + оо.	(6.2)
J т1 + "
о
Определим для такой функции Фа=сш_|а| при т — <7(Ф)«Т
<| а	где с0, св(Со)—построенная выше конечная после-
довательность при с0 = Ф.
Замечание 6.1 [25а]. Если для TV-функции Ф выполнено
+ 00	1
условие (6.2) и J Ф-1(т)т-1_)?б/т=+оо, то при т — <?(Ф)<
1
^|а|^пг Ф«Фа.
Л е м м а 6.1 [32 ]. Пусть О — ограниченное открытое подмно-
жество в R" с локально липшецевой границей. Пусть при некоторой
N-функции Ф, удовлетворяющей неравенству (6.2), и (х)е И^Еф (О).
Для т — q (Ф) | а | т определим Фа = ст _ । а ।, где с;—построенная
выше конечная последовательность при Сд = Ф. Тогда:
а)	для т — ^(Ф)^|а|^ш, £>“и(х)еЕф(О) с непрерывным
вложением и D,‘u(x')e с компактным вложением, если
т«Ф.;
б)	для |а|<ш — <?(Ф), £>аи(х)еС(0) с компактным вложе-
нием.
В условиях леммы 6.1 также при м(л')е ИЛ'"ЕФ(О) и т — <7(Ф)<
D^uMe ЕФ(Д). Отметим также, что вложение
(Q) в	компактно, что следует из замечания 6.1.
Рассмотрим граничную задачу для уравнения (2.4) в огра-
ниченной области О с R" с локально липшецевой границей,
предполагая выполненными условия АД А3), Ai) и следу-
ющие условия роста:
А2) Существуют TV-функция Ф, удовлетворяющая неравенству
(6.2), /V-функции Г, удовлетворяющие условиям Ф<Та для
|а|<т, Та<Ф для |а| = т и Та«:Фа для т—<?(Ф)<|а|<т,
Г«Ф, такие, что при хеЙ,	выполнены неравенства
МвМ)|*Шо1){М*)+ X
I3l=m
+ У Г-1Тр(с^)}, если |а|=И1,
т-<?(Ф)^|₽|<т
1ЛМ)1<Ж1){М*)+ X
)₽!=»>
+ У Фа-1Т₽(с^)}, если |а|<ли.
т-?(Ф)<|₽|<т
§ 6. РАЗРЕШИМОСТЬ (ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ)	37
Здесь =	|а\<т — <?(Ф)}, с — положительная постоянная,
g—непрерывная положительная неубывающая функция,
Л„(х)еЕф (П) для |а|=т, На(х)еЬ^ (Q) для |а|<т. В (6.3)
Фя, Г—функции, сопряженные соответственно Тя, Г; Ф^1,
Г1 — обратные к Тя, Г функции.
При этих условиях определим решение уравнения (2.4)
при однородных условиях Дирихле (2.6), считая, что /я(х)е
еЕф(П) для |а|^т.
Определение 6.1. Обобщенным решением задачи (2.4),
(2.6) при выполнении условий AJ, А2) называется такая
о
функция и (х) е W'Lq (Q), что
Ля(х, и(х), .... Dmu(x))eL (П),	|a|<m,	(6.4)
0
и для всех <р (х) е 1ЕтЕф (Q) выполняется интегральное тож-
дество (2.5).
По аналогии с (2.8) можем определить нелинейный
оператор А, заданный на множестве £>(Я), состоящем из
о
тех функций и (х)е	(Q), для которых выполнено (6.4),
и определяемый равенством (2.8) при и(х)е£>(Я), <р(х)е
е№тЕф(£1). Оператор А действует при этом из D (И)
в [иЧЕф(О)].
Спецификой рассматриваемого случая является то, что
при невыполнении Д2-условия для функции Ф только что
определенный оператор А не задан, вообще говоря, на
о
И/тЛф(О). С этим связана необходимость введения специаль-
ных дополнительных систем и рассмотрения в этих системах
операторов, удовлетворяющих условиям монотонного типа.
Дадим необходимые определения для уравнений с псев-
домонотонными операторами в дополнительных системах.
Пусть У, Z - банаховы пространства с нормами
|| • ||z, находящиеся в двойственности относительно непрерыв-
ной билинейной на У х Z формы < , >, и предположим, что
для yeY, zeZ (у, z)^ || у ||у  || z ||z. Пусть Уо, Zo— замкнутые
подпространства пространств У, Z.
Определение 6.2. Четверка пространств (У, Уо; Z, Zo)
называется дополнительной системой, если линейные отобра-
жения i: Z-+Y*0,j’. Y-+Z*o, определяемые условиями (zz)(y0) =
= <Уо>~>> (j>’)fco) = 0, zo> для zeZ, z0eZ0, ye У, уоеУо,
являются гомеоморфизмами Z, У соответственно на Уо, Z*o.
Примером дополнительной системы является четверка
(1Р"ЕФ(П), РУтЕф(П), [1УтЕф (П)]*, [РГ”ЕФ(П)]*), где использо-
38
ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
ваны введенные выше обозначения. При этом можно отож
дествлять
[иЧф (£!)]* =
= |/= X (-l)|e|/>4W: Л(х)е£ф(П),
[иЧ.ф(П)]* =
= {/= X (-l)|a|/)4(x):	|а|<Д.
В данном случае билинейная форма < , >, о которой идет
речь при определении дополнительной системы, определяется
для и е №™ТФ (П), /е [ №тЕф (Q)] * равенством
<«,/> = X
iaisSm J
а
Относительно дополнительных систем см. работы [25 а,
31, 32, 90].
Определение 6.3. Пусть (У, Уо; Z, Zo)—дополнительная
система и пусть 4: Z>(4)c Y~>Z— нелинейное отображение
с областью определения D (4). Будем говорить, что оператор
4 псевдомонотонен относительно плотного подпространства
V пространства Уо, если:
1) 4 непрерывно действует из каждого конечномерного
подпространства F с V в пространство Z, рассматриваемое
с ct(Z, ^(-сходимостью;
2) для каждой последовательности и„ в V, ст (У, Z0)-cxohb-
щейся к ие У, ct(Z, ^(-сходимости Аип к heZ и Нгп <4и„, и„> =
= <й, и), следует, что Au = h и <4и„,	и>.
Сформулируем результат, полученный Госсезом [25 6]
относительно разрешимости операторного уравнения.
Теорема 6.1. Пусть (У, Уо; Z, Zo) — дополнительная сис-
тема и A: D(A)->Z— оператор, псевдомонотонный относи-
тельно некоторого плотного подпространства V пространства
Уо. Предположим, что У0сО(4)сУ и:
а) для каждого heZ0 существует окрестность 0(h)
в Z такая, что множество {ие£>(4(: Aue 0(h)} с У ограничено',
б) <4н, и)>0 для всех ueY0 с || и ||г достаточно большой.
Тогда уравнение Au — h имеет решение при произвольном
heZ0.
§ 6. РАЗРЕШИМОСТЬ (ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ)	39
Применимость теоремы 6.1 к разрешимости задачи (2.4),
(2.6) при условиях Aj), А3), АД, А2) обеспечивает
Теорема 6.2 [25 а]. Пусть Q— ограниченное открытое
подмножество в R" с локально липшицевой границей и пред-
положим, что выполнены условия AJ, А3), АД, А2). Тогда
оператор А'. О(Л)с И""£Ф|О)->[И/’"£Ф(Й)У псевдомонотонен
относительно некоторого плотного подпространства V про-
о
странства №тЕф (Q).
В условиях теоремы 6.2 оператор А не удовлетворяет
предположениям а), б) теоремы 6.1. Последние предположения
можем обеспечить условием: существуют функции 6«(х)еЕф(Й)
для | а|т и 6(х)е/и(П) и положительные постоянные dr
и d2 такие, что
X AAx’Q^di X Ф(^У- X	(6.5)
| а | < т	| а | < т
при xeQ,
Теорема 6.3 [25 6]. Пусть Q— ограниченное открытое
подмножество в R" с локально липшицевой границей и пред-
положим, что выполнены условия АД А3), А2) и неравенство
(6.5). Тогда для произвольных /ДДеЕф(П), |а|<ли, задача
(2.4), (2.6) имеет по крайней мере одно решение в И>тТф(П).
Приведем примеры разрешимых задач при более конкрет-
ном выборе функций А„(х, Д и прежних условиях относи-
тельно области Q. Пусть р: Л1-* А1 — неубывающая непре-
рывная нечетная функция такая, что p(/)>0t при t>Q,
t
р(гЬ + 00 при Z-»4-oo, и определим Ф(/) = |р(т)бД. Рассмот-
о
рим задачу Дирихле для уравнения
х (-i)|a|D>(№)= X (-1)|а|о*Л(4	(6.6)
I а | < т
На основании простых неравенств, связывающих функции
Ф и Ф (см. [46], гл. 1, §2), проверяется^ что для задачи
(6.6), (2.6) выполнены условия АД А3), А2) и неравенство
(6.5). Так что из теоремы 6.3 следует
Теорема 6.4. При сформулированных выше условиях для
функции р: Rl^»Rl и для произвольных функций Д(л')еЕф(П)
задача (6.6), (2.6) имеет решение и(х), принадлежащее
1ТтЕф(П).
Если взять, в частности, в качестве p(t) в (6.6) функции
[е1'1 — 1] sign/, 2te' , то получим примеры разрешимых задач
40
ГЛ. 1. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
с сильно растущими коэффициентами. При выборе в
Р(0 =
Щ(1+И)+т^7
sign г имеем пример уравнения с
(6.6)
мед-
ленно растущими коэффициентами.
Аналогично получается
Теорема 6.5. Пусть в уравнении (3.5) функция g(t)
такова, что Г (H2)—g(H2) Н—положительная возрастающая
непрерывная при Н>0 функция, удовлетворяющая условиям
Jim Г(/)=0, НтсГ(г)= + оо, и пусть Ф(г) определяется по
g(t) равенством (6.1). Тогда при произвольных f(x,y) =
= £ (— l)|o'l£>a/ci(.v, у),	задача (3.5), (3.6) имеет
и притом единственное решение и(х, у)е W2Lq(Q).
2. Разрешимость граничных задач для уравнений бесконеч-
ного порядка. Теория нелинейных уравнений бесконечного
порядка развита в работах Ю. А. Дубинского (см. [33 в,
33 г]), показавшего естественную связь вводимых им классов
уравнений бесконечного порядка и граничных задач для них
с некоторыми задачами нелинейной механики.
Рассмотрение нелинейных уравнений бесконечного порядка
функциональными методами требует введения и изучения
пространств Соболева бесконечного порядка. И нетрадицион-
ным вопросом явилось выполнение условий, при которых
эти пространства не сводятся только к нулевому элементу.
Исчерпывающие ответы для различных областей были полу-
чены Ю. А. Дубинским в виде соответствующих критериев.
При этом были вскрыты принципиальные связи с такими
вопросами анализа, как аналитичность функций многих
комплексных переменных, классы Адамара одного веществен-
ного переменного.
Пусть Q -ограниченная область в R” с границей дП
класса CJ и рассмотрим в Q граничную задачу
X £ (-1)|а|£>аЛа(х, и, ..., Dmu) =
т = 0 | а | ~т
= х (-1)|°M“/U4 (6-7)
|«|‘О
Д“и(х) = 0,	xecTi, joe| = O, 1, ...	(6.8)
Будем предполагать, что A^[x, q0, ..., £m), |а| = ш; т =
=0, 1, ....- определенные при xgQ,	|y\=j}eRNu),
j = Q,...,m, вещественнозначные функции, удовлетворяющие
§ 6. РАЗРЕШИМОСТЬ (ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ)
41
условию AJ из § 2 (здесь N(j)—число различных мультиин-
дексов у длины j), и пусть при хей, L,jeRNU}; j=Q, т;
r\eRN(m\ т=0, 1, ... имеют место неравенства
Е	Е а«1^1"’'11пя1+^	(6.9)
| а | =т	| а | =т
; Е	Е	(6.10)
<	| а | = т	| а ] =т
с постоянными ах, ря, bm, с, V, удовлетворяющими условиям
да>0, Ра>1, Ьт^0, с>0, v>0. При этом считаем, что
последовательность ра ограничена, b1+b2 + ...<co, функции
ha (х) в (6.7) принадлежат L ' (й),
(6Л1)
гДе II' Нр. —норма в L (й).
Определим соответствующее задаче (6.7), (6.8) пространство
{а„ рЛ = (х) е Cg (Й): р (М)=
ОО	'I
= Е aj|№||p’,n<ook (6.12)
|*| = о	’ J
где Cg (й)—пространство бесконечно дифференцируемых
в Й функций w(x), удовлетворяющих условию (6.8). Если
среди чисел имеется бесконечно много положительных,
то возникает вопрос о нетривиальности пространства
IVх {а„, ра}, т. е. о существовании ненулевой функции к(х)е
еСр(Й), для которой р(к)<оо. Критерий нетривиальности
Л имеется в [33 в, 33 г], и будем считать, что
о
и-{д„рЛ* {01-
Определение 6.4. Функция w(x)e {аа, ра} называется
решением задачи (6.7), (6.8), если для произвольной функции
v (х) e	{ах, ра} справедливо интегральное тождество
Е Е Ма(х, —, Dmu) D*v(x)dx =
j=0 \а |=m J
= E «=
|*|=0
ha [x)D*v (x) dx. (6.13)
Q
42	ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Сформулируем результаты о разрешимости задачи (6.7),
(6.8), предполагая выполненными следующие условия относи-
тельно {a^pj:
о
WJ существует целочисленная последовательность гу-, стре-
мящаяся к бесконечности при у->оо, такая, что при достаточно
большом j из произвольной последовательности ик(х), удов-
летворяющей условиям
Е	ОЧИ=0, |a|^j-l, хедЛ, (6.14)
OSIalS;
с не зависящей от к постоянной с, можно извлечь сходящуюся
в СМЙ) подпоследовательность;
о	о
W2) пространство Wx {«а, д,} нетривиально, т. е. не сво-
дится к нулевому элементу.
Теорема 6.6. Предположим, что функции Аа(х, с,0, ..., ^т)
при |ot| = O, I, ... удовлетворяют условию Каратеодори, нера-
венствам (6.9), (6.10), и пусть выполнены условия Wt), W2).
Тогда при произвольных функциях hx(x)e Lp jQ), удовлетворяю-
щих неравенству (6.11), задача (6.7), (6.8) имеет в IVх {а3, рх}
по крайней мере одно решение.
Доказательство основано на построении разрешимой ап-
проксимирующей граничной задачи для уравнения конечного
порядка и последующем предельном переходе при стремлении
порядка уравнения к бесконечности. Аппроксимируем задачу
(6.7), (6.8) следующей последовательностью задач:
£ (-1)|“|а/>“[|/Гн|₽’~2О“и] +
| а|—k +1
к
+ Е I (—l)aDa{Aa(x,u,..., Dmu) — hax}=0,	(6.15)
т = О | а [ =т
£>аи(х)=0,	хеоО..	(6.16)
Из теоремы 4.1 просто следует разрешимость задачи
(6.15), (6.16). Обозначим через ик(х) одно из ее решений.
Тогда из (6.10) при произвольном натуральном числе j для
k>j имеем
I a i«./
с не зависящей от j, к постоянной с. Используя условие
о
WJ, можем выбрать диагональным процессом из ик(х)
такую подпоследовательность йк (х), что для некоторой
§ 6. РАЗРЕШИМОСТЬ (ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ)	43
О
функции и0(х)е ^аа, р^}, £>яйл(х) равномерно сходится
к £)ям0(х) при каждом мультииндексе а (при этом Dxuk(x)
рассматриваем начиная с достаточно большого, зависящего
от а номера к). Доказывается, что предельная функция и0 (х)
является искомым решением задачи (6.7), (6.8).
3. О задачах, приводящих к нелинейным операторам со
слабо замкнутой областью значений. В работе [75 в] С. И. По-
хожаевым доказана теорема о разрешимости нелинейных
уравнений с операторами, имеющими слабо замкнутую
область значений. Применение этого результата к граничным
задачам дает существование решения без предположения
условия коэрцитивности.
Далее, X, Y—банаховы пространства, A: X->Y—опера-
тор класса С1, А'(и)—производная оператора А в точке и,
[А'(«)]*—оператор, сопряженный к А'(и), Кег[Л'(ц)]*—его
ядро.
Теорема 6.7 [75в]. Пусть Y........рефлексивное банахово
пространство и A: X-+Y—оператор класса С1, область
значений которого А (Т) слабо замкнута в Y. Тогда, если
Кег[Л'(ц)]* = {0} для любого иеХ, уравнение Au = h разрешимо
при произвольном heY.
Отметим применение теоремы 6.7 к доказательству раз-
решимости граничной задачи для квазилинейного эллипти-
ческого уравнения дивергентного вида, хотя в работе
[75 в] имеются применения и к недивергентным урав-
нениям.
Рассмотрим задачу Дирихле
X (— 1)|я|£>“ [Ла(х, и, ..., £Рм)Оям] +
| а | =т
+ X	X (-1)|я|О’Л(х), (6.17)
IPISm
£)ям(х) = 0 при	1, xedkl,	(6.18)
в предположении, что 2т > п, J <т — п/2.
Дальше считаем выполненными условия:
1)	при хеЙ,	функции Ах(х, ^), |а| = зи непрерывны
и имеют непрерывные первые производные по су, здесь
—число различных мультииндексов длины, не большей
чем j;
2)	при хей, г)е/?Л1у функции Вр(х, т|),	и их пер-
вые производные по г) удовлетворяют условиям Каратео-
дори;
44	" ГЛ. I. РАЗРЕШИМОСТЬ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
3)	функции (.г, г)) удовлетворяют условию А2) при
д В
р = 2, а их производные 5Ру (х, г|)=™(х, г)) удовлетворяют
при xeQ, r\eRM неравенствам
|Яру(х, т])|^й(|п0|)jZ>(x)+ X ln6ls4
2п	2
где .s6 = ——------ при п>2(т — |S|), ,у6— произвольное число,
п — 2(т — |о|)
большее единицы, ' при

5,
опреде-
b(x)eLl(Q); По=^П<х: |ot|<m —
I	) о о
В этих условиях оператор A: W™(Q)-+[B72 (Я)]*,
ляемый для задачи (6.17), (6.18) аналогично равенству (2.8),
принадлежит классу С1. Отметим, что сейчас оператор
о	о
[А '(«)]* действует из	в [И7”^)]* и определяется
следующим образом:
<[Л '(и)]*г, <р> =
X Аа (х, U,
а | = т
..., Dju)DavDatp +
п
+ X X А^(х’ и’ ,Diu)D1wDsvD^ +
|а| = т|у1«;
+ Х X Вр&(х,и, Dm~lu)DhD&<p\dx,
|р|$т I	J
где А^(х,^)=~А^(х,
Теорема 6.8 [75 в]. Предположим, что выполнены условия
1)--3). Пусть уравнение [Л'(м)]*т = 0 имеет в И7” (О) только
нулевое решение при произвольном и е W™ (О) и существует
непрерывная функция К: Rl+->Rl+ такая, что для любого
о
решения «(xjeB7”^) задачи (6.17), (6.18) выполнена оценка
1|и||т.2^( X ИЛ lit,ДО))	'° = А-
/ '« 1 0
Тогда задача (6.17), (6.18) имеет решение в	при
произвольных функциях fx (х) е L, (О).
В дальнейшем будет показано, как подобные результаты
можно получить, используя теорию степени отображений
монотонного типа.
ГЛАВА 2
СТЕПЕНЬ ОБОБЩЕННЫХ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Данная глава посвящена изложению теории степени отоб-
ражений класса (5)+. Ее определение, систематическое изучение
и разносторонние применения принадлежат автору (см. [77а]).
Отметим, что если первые применения степени указанного
класса отображений были связаны с дивергентными эллипти-
ческими задачами, то в дальнейшем, в работах [77 д, 77з], было
дано сведение общих нелинейных эллиптических граничных
задач к рассмотренным в [77а] операторным уравнениям. Это
позволило развить топологические методы исследования об-
щих нелинейных эллиптических граничных задач.
Вводится определение степени отображения, являющейся
однозначным гомотопическим инвариантом, устанавливается,
что построенная степень обладает всеми свойствами степени
конечномерных отображений, в частности, доказывается, что
степень является единственным гомотопическим инвариантом
рассматриваемого класса отображений. Особое внимание
уделено вычислению индекса критической точки, определяе-
мого на основании понятия степени и играющего важную
роль в вопросах разрешимости, оценки числа решений,
ветвления решений нелинейных операторных уравнений и не-
линейных граничных задач для уравнений в частных произ-
водных.
§ 1.	Степень конечномерных отображений
Далее R"—«-мерное евклидово пространство, О—огра-
ниченное открытое множество в R", Рассмотрим непрерывное
отображение/(х)=(/1(х1, ..., х„), ....... х„)) замыкания Q
области Q в R".
Если дополнительно предположить, что
/(х)/0 при xe<3Q = Q\£2,	(1.1)
то отображению f может быть поставлена в соответствие
целочисленная характеристика deg (/, Q, 0), называемая
46	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
степенью отображения и однозначно определяемая сле-
дующими тремя свойствами.
1)	Если f(x)=x—x0, где хое£2, то deg(/, £2, 0)= 1.
2)	Пусть £2t, £2,— непересекающиеся открытые подмно-
жества £2 и /(х)т^О при	(j£22), тогДа
deg(/, £2, 0)=deg(/, £2r, 0)+deg(/, £Е,0).	(1.2)
3)	Пусть h: [0, 1 ] х £2 -> R ” — такое непрерывное отображе-
ние, что h(t, х)^0 при Ге [0, 1], хе oil, и обозначим
fo(x)=h(0, х), у1(дс)=й(1, х),	хе£2,	(1.3)
тогда
deg(/0>£2, 0)=deg(/1, £2, 0)	(1.4)
Первое свойствоэто условие нормировки, второе — свой-
ство аддитивности степени относительно области, третье
свойство - инвариантность степени при гомотопии. Отобра-
жения f0(x), /Дх), определяемые (1.3), называются при этом
гомотопными на £2, говорим, что отображение h осуществляет
гомотопию отображений /0, ft.
Степень отображения, или, по другой терминологии,
вращение векторного поля, может быть определена различ-
ными способами при помощи понятий алгебраической топо-
логии либо методами анализа (см., например, [4, 45, 47,
70в]). Однако для применений способ определения степени
не имеет значения. Основную роль играют указанные выше
основные свойства степени.
Отметим только, что один из способов введения степени
основан на аппроксимации отображения f непрерывно диф-
ференцируемым отображением g: ii->R" таким, что
max|/(x)-g(x)| < min |/(х)|
лехедП
и для точек хе£2, в которых g(x) = 0, якобиан отличен
Dx
от нуля. Возможность такой аппроксимации обеспечивается
теоремой Сарда [70в]. По определению полагаем
deg(/, 5, 0)=deg(g, £2, 0)= £ sign^|^,	(1.5)
где Xj, ..., Xj — все те точки области £2 (проверяется, что их
конечное число), для которых g(x) = 0. При этом считаем
правую часть (1.5) равной нулю, если g(x)^0 в £2.
§ 1. СТЕПЕНЬ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ	47
Наряду с deg(/, Q, 0), степенью отображения f множест-
ва Q относительно точки 0, можно определить и сте-
пень отображения f множества Q относительно произволь-
ной точки yeR", обозначаемую через deg(/, О, у). Пола-
I аем
deg(/, О, y) = deg(/-y, Q, 0),	(1.6)
i де f—y— отображение, действующее по правилу (/— у)(х) =
.f\x)-y.
Отметим основные свойства степени deg(/, О, 0), исполь-
зуемые дальше при изучении свойств степени отображений
в банаховых пространствах.
Лемма 1.1 (Лере—Шаудера [52]). Пусть непрерывное
отображение ft Q->R" таково, что
fп(хх„) = хп при (х15 ..., х„)е£1	(1.7)
Предположим, что выполнено условие (1.1) и пересечение
fi' = QQ{x: х„ = 0} непусто. Тогда
deg(/, О, 0)=deg(/, О', 0),	(1.8)
где f — отображение О.' в Rn^‘, определенное равенством
f(Xi, ..., Хя-1) = (/1(х1,	X„_j, 0),	...,	0)).
Не доказывая лемму, отметим только, что равенство
(1.8) легко проверяется для дифференцируемого отображения
g(x), удовлетворяющего условию (1.7), в том случае, когда
deg(g, О, 0) можно определить равенством (1.5). В этом
случае точки х; области О, для которых g(x)=0, имеют
вид х; = (х[, 0) и просто проверяется, что Dg^x‘). =	(х'\ уак
что для таких отображений (1.8) становится следствием (1.5).
Естественно возникает вопрос о том, гомотопны ли
отображения с одинаковой степенью. Ответ на него дает
следующая теорема, известная как теорема Хопфа.
Назовем ограниченную связную область О в R" жор-
дановой (см. [47]), если множество Rn\fl связно.
Теорема 1.1. Пусть О. — жорданова область в Rn и не-
прерывные отображения fx, f2t Rn удовлетворяют усло-
виям J\(x)^0, ,/2(х)^0 для xecQ, deg(/j, Q, 0) = deg(/2, О, 0).
Тогда отображения Д, /2 гомотопны на О..
В случае шара доказательство имеется, например, в [4],
общая ситуация рассмотрена в [47].
48	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Лемма 1.2. Пусть ОеП и f:	R"— непрерывное отоб-
ражение, удовлетворяющее условиям (1.1) и
(Дх), х)^0 при хедО..	(1.9)
Тогда deg(/', Q, 0) = 1.
Доказательство. Рассмотрим отображение /г: [0, 1]х
хО^В",
h(t, x)=fx+(l-t)f(x).	(1-10)
При хед£1 имеем (h(t, х), x)=f|x|2 + (l — t)(f(x), х) и правая
часть положительна при (>0 в силу условий леммы. Отсюда
и из (1.1) следует, что h(t, х)^0 при te [0, 1], хе<ЗЯ.
Используя свойства 1), 3) степени отображения, получаем
deg(/, Q, 0) = deg(/, Q, 0) = 1,
где i—тождественное отображение. Тем самым лемма 2.1
доказана.
Лемма 1.3. Пусть	f—непрерывное	отображение
В (0, R) = {xe Rn: |х| < R} в R", удовлетворяющее условиям (1.1) и
Д-х)=-Дх) для |х| = В.	(1.11)
Тогда deg(/, В(0, В), 0) — нечетное число.
Доказательство см., например, в [45] (теорема Люстер-
ника — Шнирельмана — Борсука). Отображение f удовлетво-
ряющее условию (1-11), называется нечетным на сфере
5(0, В) = {хеВ": |х| = R}.
Замечание 1.1. Утверждение леммы 1.3 остается спра-
ведливым, если заменить (1.11) следующим условием:
54^4^4при |х|=л-	(1Л2)
1/(х)| |Д-х)|
В этом случае f гомотопируется к нечетному на 5(0, В)
отображению посредством гомотопии
Л(г, х)=Дх)—(1 —г)Д—х).	(1.13)
Отличие от нуля h(t, х) при tе [0, 1 ], хе 5(0, В) следует из (1.12).
Применение степени отображения к доказательству раз-
решимости уравнений в конечномерном пространстве осно-
вывается на следующей фундаментальной теореме.
Теорема 1.2. Пусть непрерывное отображение f: C1-+R"
удовлетворяет условию (1.1) и предположим, что
deg (/, Q, 0)^0. Тогда уравнение
/(х) = 0	(1.14)
имеет по крайней мере одно решение в Q.
§ I. СТЕПЕНЬ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ	49
d Теорема является непосредственным следствием леммы.
Лемма 1.4. Пусть непрерывное отображение /: Q-+ R"
удовлетворяет условию/'(х)^0 при хе£1. Тогда deg(/, О, 0) = 0.
Доказательство достаточно провести в_об ласти О' настоль-
ко малого диаметра, что для х', х"еП'
' 1ЛИ“ ЛИ! + 1*'-*"l <|min\f(x) |.	(1.15)
 z лсп
Для такой области /(х) гомотопируется к отображению
j|(x)=x—х0+/(х0), xoefi', следующим образом:
й(г, х)=г(х-х0+/(х0))+(1-?)/(х).
В силу (£.15) h(t, х)^0. при te [0, 1], хедО.', х — хо+/(хо)^0
при хе О'. Отсюда, используя свойства 1)—3) степени ото-
бражения, получаем
deg(/, О', 0)=deg(/o, О', 0)=0.
Общий случай сводится к случаю, удовлетворяющему нера-
венству (1.15), путем покрытия О открытыми множествами
малого диаметра с последующим применением свойства
2) степени отображения. В качестве следствий приведем
доказательства лемм 4.1, 5.1 гл. 1.
Доказательство леммы об остром угле (леммы
4.1 из гл. 1). Если для отображения/: D->R", речь о котором
идет в формулировке леммы, не выполнено условие /(х)^0
при xedD, то уравнение /(х) = 0 уже имеет решение, при-
надлежащее oD.
В противном случае определена степень deg(/, О, 0), равная
единице в силу леммы 1.2. Разрешимость уравнения /(х) = 0
в D следует сейчас из теоремы 1.2.
Доказательство леммы 5.1 из гл. 1. Рассмотрим го-
меоморфизм <р: В(0, R)->D, определяемый равенством <p(z) =
= |z| [g(z)]“ lz. Разрешимость уравнения f(x)=y с исполь-
зование^ гомеоморфизма <р сводится к разрешимости
в B(Q, R) уравнения
.^(z)=y, ^(z)=/(|z|[g(z)]-1z).	(1.16)
Отображение В (О, R)-> Rn_ нечетно на S(0, R) и
.^(z)- ty^O при fe[0, 1], zeS(0, R)
в силу условия (5.6) из гл. 1. Тем самым отображение
й(г, z)=^(z)-(y, re[0, 1], zeB(0, R),
4 И. В. Скрыпник
50
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
осуществляет гомотопию отображения S'—у к отображению
S'. Из леммы 1.3 следует, что deg(J% В(0, R), 0) — нечетное
число и далее из свойства 3) степени отображения и теоре-
мы 1.2 получаем разрешимость уравнения (1.16) в 5(0, 5).
Тем самым лемма 5.1 из гл. 1 доказана.
§ 2.	Определение степени отображений класса at
В данном параграфе X—действительное сепарабельное
рефлексивное банахово пространство, X*— его сопряженное.
Обозначим сильную и слабую сходимости соответственно
через -> и по смыслу будет ясно, о сходимости в каком
пространстве идет речь. Для произвольных элементов иеХ
и Ле У* через <й, п) обозначается в дальнейшем действие
функционала h на элементе и.
Рассмотрим оператор А, вообще говоря, нелинейный,
определенный на некотором множестве F <= X, со значениями
в X*.
Определение 2.1. Будем говорить, что оператор А удов-
летворяет условию a0(F), если для произвольной после-
довательности uneF из ил^и0, Аи^-А) и
lim (Аи„, и„ — и0) ^0	(2.1)
п—*ао
следует сильная сходимость и„ к и0.
Введенное понятие близко к условию (S) (, определенному
в § 1 гл. 1.
Дальше D — произвольное ограниченное открытое мно-
жество пространства X, через дЬ обозначим границу мно-
жества D.
Введем классы отображений, для которых будет опреде-
лена степень.
Определение 2.2. Говорим, _что оператор A: D-»X*
удовлетворяет условию a(F), F с D, если для произвольной
последовательности uneF из и„^и0 и (2.1) следует сильная
сходимость и„ к и0.
Условие (5) + совпадает с условием a(Z)).
Определение 2.3. Обозначим при F <= D через A0(D, F)
(соответственно A (D, F)) множество ограниченных демине-
прерывных отображений A: D->X*, удовлетворяющих усло-
вию a0(F) (соответственно условию a(F)). Если F=D, будем
писать Л0(О), A(D) вместо A0(D, D), A(D, D).
§ 2. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССА а	51
Будем определять Deg(A D, 0)—степень отображения А мно-
жества D относительно нуля пространства X* — при условиях:
а)	Ае A0(D, dD);
б)	для произвольного элемента uedD Аи^О.
Пусть {г(}, /= 1, 2, — произвольная полная система про-
странства X и предположим, что при каждом п элементы
1)1; v„ линейно независимы. Обозначим через F„ линейную
оболочку элементов vr, v„.
Определим при каждом л=1, 2, ... конечномерные аппрок-
симации А„ отображения А следующим образом:
А„и = £ (Au, Vi)vi для ueD„, D„ = D(y\F„.	(2.2)
i=l
Теорема 2.1. Пусть оператор А удовлетворяет условиям
а), б). Тогда существует N такое, что при n~S>N имеют
место утверждения:
1) уравнение А„и = 0 не имеет решений, принадлежащих dDn;
2) степень deg(T„, Dn, 0) отображения Ап множества Dn
относительно 0eF„ определена и не зависит от п.
Доказательство первого утверждения проведем мето-
дом от противного. Пусть существует последовательность
ukedDnt такая, что лк->со при fc->co, и Aniuk=0. Можем
считать, что ик слабо сходится к некоторому элементу иоеХ.
Кроме того, из Antuk — 0 следует слабая сходимость Аик
к нулю. Покажем, что ик сильно сходится, uoedD и что
Аио = О. Этого достаточно для доказательства 1) в силу
предположения б).
Выберем произвольную последовательность такую,
что	Тогда
<Аик, ик — и0) = (Аик, wk-u0> + (Auk, uk-wk>.
Второе слагаемое в правой части обращается в нуль в силу
предположений A„tuk = 0, uk — wkeFnt. Первое же слагаемое
стремится к нулю при к -> со на основании ограниченности
оператора А и выбора последовательности vvt. Тем самым
lim (Аик, ик — иоУ = О.
к—х
Отсюда, в силу условия а0(дО), получаем сильную
сходимость ик к uQ, что и обеспечивает uoedD, Аио = 0.
Из утверждения 1) следует, что при достаточно больших
п имеет смысл степень deg(T„, Dn, 0) конечномерного отобра-
жения Ап.
4 *
52	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ '
Независимость deg(zi„, Dn, 0) от п докажем, используя
вспомогательное отображение
л- 1
А„и= X <Ли, г;>г; + </1„, «И,
i = 1
где /1„ — некоторый элемент пространства X*, удовлетворяю-
щий условиям
<Л„, у,-> = 0 при Кп, </i„, г„> = 1.
Из леммы Лере Шаудера следует, что
degGV,, O) = deg(/t„, Dn, 0),	(2.3)
причем правая часть определена при больших п в силу 1).
Докажем равенство
deg(i„, D„, 0)=deg(^„,	0),	(2.4)
для проверки которого в силу свойств конечномерной степени
отображения достаточно установить, что
[гЛ„ + (1 — t)A„]u^0 при ue8D, ze[O, 1].	(2.5)
Утверждение (2.5) доказываем методом от противного.
Предположим существование последовательностей ukedDnt,
tke [0, 1 ] таких, что
['*^ + (1-rt)Ajnt = 0, Ht->OC при k-*cc.	(2.6)
Из (2.6) следуют равенства
(Auk, г;> = 0 при i^nk— 1,	(2.7)
tk<A^k, ^> + (1-^)</!„,, ик) = 0.
Из 1) и (2.7) получаем, что Аик-^0 и при достаточно
больших к выполнено неравенство 0 < tk < 1. Можем считать
последовательность ик слабо сходящейся к некоторому эле-
менту йоеУ и выберем последовательность так, чтобы
Тогда
(Аик, ик-и0) = (Аик, ™к-й0>-!—-<\, икУ2.	(2.8)
ч
Это следует из равенств
<4и*, wk> = 0, nk>=ик>2,
ч
полученных на основании (2.7) и выбора wk.
Первое слагаемое в правой части (2.8) стремится к нулю,
отсюда, в силу условия a0(dZ>), получаем сильную сходимость-
§ 2. СТЕПЕНЬ ОТОБРАЖЕНИЙ КЛАССА а
53
Иц к uoedD. Из первого равенства в (2.7) получим Айо = 0,
Что противоречит условию б).
Тем самым установлено утверждение (2.5), а вместе с ним
И равенство (2.4). Из (2.3) и (2.4) следует независимость от
п при больших п deg(An, Dn, 0), что и заканчивает доказа-
тельство теоремы.	_
Из теоремы 2.1 следует существование lim deg(zt„, Dn, 0).
п—*00
Обозначим его
Теорема 2.2. Пусть выполнены условия а), б). Тогда предел
D {р(} = lim deg(X„, D„, 0)	(2.9)
п—*ос
не зависит от выбора системы функций {о;}.
Доказательство. Нужно показать, что для произволь-
ной последовательности {<?;}, обладающей теми же свойст-
вами, что и последовательность {г\}, имеет место равенство
{у{}.
Можем считать, что при любом п система t^, ..., г„, г), ...
..., v'„ линейно независима. В противном случае строится
вспомогательная система {г;} такая, что при любом п каждая
из систем t?j, ..., v„, tj, ..., vn и vt, ..., v„, v’r ..., v’„ линейно неза-
висима. Доказательство сводится к установлению равенства
f){vi} = D{vi}.
Обозначим L2n линейное пространство, натянутое на
элементы ..., v„, v\, ..., v'„ и определим при и=1,2, ...
конечномерные отображения
А2„,,и =
= X {(Au, v^i't+lt^Au, v'ty + ll-tyfW, и>]в-},	(2.10)
где ueL2n Q D, te [0, 1 ] и элемент пространства X*,
удовлетворяющий условиям
</)"’, fj> = 0, <ЛИ), г)> = 5у,	7=(2.11)
8у — символ Кронекера, принимающий значение нуль при
iVj и единицу при i=J.
Доказательство теоремы 2.2 сводится, в силу определения
D{vi} и теоремы 2.1, к установлению при больших п равенства
deg(zt„, Dn, O) = deg(X^, D'„, 0).
(2.12)
Здесь A'n и D'n определяются согласно (2.2) при замене vt на v-.
5
54	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Равенство (2.12) будет доказано, если проверим, что при
больших п
А2„.,и^0 для ued(L2„(~}D), ге[0, 1].	(2.13)
В самом деле, в силу леммы Лере — Шаудера при
выполнении (2.13) имеем
deg(/l2„,о, А2„П5, O) = deg(/1„, 5„, 0).	(2.14)
С другой стороны, на основании свойств степени конечно-
мерных отображений и (2.13) имеем
deg(/l2„.o, £2„ПД O) = deg(/l2„,1, L2n(\D, 0).	(2.15)
Из (2.14), (2.15), пользуясь тем, что в определение А2п1
и L2n, Vj и v't входят симметрическим образом, следует
(2.12). Тем самым доказательство теоремы 2.2 свелось
к проверке (2.13).
Будем доказывать (2.13) методом от противного, пред-
полагая существование последовательностей йк, tk таких, что
«*е[0, 1], пк-+со. (2.16)
Имеем отсюда
{Айк, г;> = 0, z=l, ...,пк,
_	_	(2 17)
гк<Лйк, r;>+(l-zt)</)"d, йк> = 0,	i=l, ..., пк.
Из теоремы 2.1 следует, что 0<Гк<1 при больших к.
Можем считать, что йк—-й0, tk->t0, Айк- -(). Выберем по-
следовательность wkeF„k так, чтобы й\-*й0. Из (2.17), ис-
пользуя представление
йк =	с^=^,йку,
t= 1
получаем
<Лй4, йк-й0) = <Айк, и\-й0> + £ <Лйк, rJX/N, йк> =
i~ 1
= <Лйк, wk-M0> £ </!"*’, йк>2.
Ч >=1
Отсюда имеем
lim (Айк, йк — йо)^0,
Л—» ас
и в силу условия а0(д£>) следует сильная сходимость йк
к Uoe8D. Из деминепрерывяости оператора А получаем
§ 3. СЛУЧАЙ НЕСЕПАРАБЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА '	55
Мп = 0, что противоречит предположению б). Этим закончено
оказательство теоремы.
Доказанные теоремы 2.1, 2.2 делают естественным сле-
ующее определение.
Определение 2.4. Для оператора А, удовлетворяющего
словиям а), б), степенью отображения множества D
тпосительно точки ОеХ* называется число
lim deg(^„, D„, 0),
л—* ос
де Ап, Dn определяются согласно (2.2). Так определенную
тепень будем обозначать Deg(/1, D, 0).
3. Степень отображения в несепарабельном пространстве
Построения предыдущего параграфа использовали сущест-
ювание счетной полной последовательности пространства X.
1месте с тем для оператора А, удовлетворяющего условиям
2, можно ввести понятие степени без требования сепара-
бельности X.
В этом параграфе X—действительное рефлексивное бана-
хово пространство. Обозначим F(X) Множество всех конеч-
юмерных подпространств X. Пусть FeF(X) и vr, ..., vx— не-
который базис F. Определим конечномерное отображение
х	_
£ (Аи, для ueDF, Df = D[}F.	(3.1)
i= 1
Теорема 3.1. Пусть деминепрерывный оператор A: D-+X*
удовлетворяет условию a (3Z>), dD—граница некоторого
ограниченного открытого множества D с. X, и Аи^О для
oedD. Тогда существует подпространство FoeF(X) такое,
что для любого подпространства F, принадлежащего F(X)
ч содержащего Fo, выполнены свойства:
1)	уравнение Лг(и) = 0 не имеет решений, принадлежащих
2)	deg(^F, Df, O) = deg(/tf o, DF<), 0), где deg — степень конеч-
номерного отображения.
Доказательство. Установим вначале существование
подпространства FoeF(X) такого, что при FFo, FeF(X),
множество
ZF(> = {uedDF: (Аи, ы>^0, (Аи, и) =0 при t?eF0}
пусто.
56	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Предположим противное: для любого FQeF[X) существует
FIeF(Jf), F; = Fo такое, что ZF^O. Обозначим
Сг.= и ч
A F„
и пусть ) — слабое замыкание GFo. Тогда система множеств
FeF(T)} центрирована и из рефлексивности пространст-
ва X следует (см. [26]) существование такого и0, что
иое П G^V	(3.2)
FeF(X)
Докажем, что uoedD и Аио = 0. Это даст противоречие
с условиями теоремы. Пусть и- — произвольный элемент
X и возьмем FoeF(.¥) так, чтобы w0eF0, n'eF0. Из (3.2)
имеем uoeG^y и, следовательно, существует последователь-
ность uneZF\ F„ о Fo, такая, что и„ -и0, unedDFn и
<Аи„, ил)^0, <Au„,uo>=0, <Au„,w> = 0.	(3.3)
Из (3.3) следует, что
<Ли„, и„-ио>^0,
откуда, в силу условия а(о£>), последовательность ип сильно
сходится к и0. Из последнего равенства в (3.3) и деминепре-
рывности оператора А получаем <Ли0, w) = 0, и, в силу
произвольности w, имеем Аио = 0. Пришли к противоречию
с условием теоремы.
Таким образом, доказано существование пространства
FoeF(T) такого, что при F о Fo, FeF(X), пусто множество
Zfo. Это подпространство Fo удовлетворяет требованиям
теоремы.
Справедливость утверждения 1) при выбранном Fo непо-
средственно следует из равенства Zf. = 0. Докажем второе
утверждение. Пусть F => Fo, Fe F(A'); выберем базис F в виде
г\0), ..., Wj, ..., w», где и[0), /= 1, ..., л0, базис Fo. <
Рассмотрим на DF два отображения
х.о	ц
/if(w) = X <^м’ X Wi>Wb
i=1	i=I	(3.4)
'•О	Н
^f(«) = X	X <4f- u>wb
i=l
где fi.F —некоторый элемент X*, удовлетворяющий условиям:
<Af, 1Г;> = 617 при j=l, ..., ц, (fiF, Bt> = 0 при к=\, ..., Хо,
8,7— символ Кронекера.
§ 3. СЛУЧАЙ НЕСЕПАРАБЕЛЬНОГО ПРОСТРАНСТВА	57
По лемме Лере—Шаудера deg(AF, DF, 0) = deg(?4Fo, DFo, 0),
>1 поэтому для доказательства теоремы достаточно проверить,
НТО
tAF(и) + (1 — t)AFпри uedDF, Ге[0, 1].	(3.5)
Если бы (3.5) не выполнялось, то для некоторых uoeoDF,
f(>e [0, 1] имели бы
<(Лпо, Pj> = 0,	/ 1, ..., А-о,	(3 6)
10<.Аи0, и-';> + (1-/0)</;,г, и0> = 0, /=1, ..., ц.
В силу уже доказанного первого утверждения теоремы
*0	и
Пусть и0 = £ а,т; + £ bjWj, вычислим (Аи0, и0).
i=l	J-1
И	1 — t ц
<Лп0, и0> = X Ь^Аи0, wy> =--—5 £ <ДГ, и0>ЧО. (3.7)
j=i	'о 7=1
Существование и0, удовлетворяющего (3.6), (3.7), противоре-
чит тому, что ZF =0. Таким образом, справедливо условие
(3.5), что и доказывает теорему.
Доказанная теорема обосновывает введение определения.
Определение 3.1. При выполнении условий теоремы
3.1 степенью отображения А множества D относительно
точки ОеУ* называется число
Deg(X, D, 0) = deg(z»Fo, DFq, 0),
где Af, Df определены согласно (3.1), Fo — конечномерное
подпространство X, определенное теоремой 3.1.
Степень отображения можно ввести и при более слабых
требованиях на оператор А. Определим, например, степень
псевдомонотонного отображения.
Пусть D — некоторое ограниченное открытое множество
в X. Предположим, что существует в пространстве X оператор
Ао: Х-»Х*, AoeA(D,dD), где семейство A(D, dD) введено
определением 2.3. В случае равномерно выпуклых пространств
X, X* в качестве оператора Ао можно взять дуальный
оператор, о котором речь будет идти в конце параграфа.
Пусть A : D-+X* - деминепрерывный псевдомонотонный
оператор и предположим, что ОфА(сО), где черта обозначает
сильное замыкание, 6D — граница множества D. В этих
условиях определим степень отображения А.
По предположению выполнено неравенство
Для uecD
58	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
с некоторым положительным числом 50. Здесь || • ||,—нормг?
в Y*.
Введем отображение еЛ0 + Л: D->.¥*. Пусть
Af=sup || Аои II..
иеВ
Тогда при 0 <е <60/М для отображения еЛ0 + Л, удовлетворя-
ющего всем условиям теоремы 3.1, определена степень
Deg(e/40-M, А 0).	(3.8)
Нуждается в проверке условие а (3D) для оператора еА0 + А.
Пусть последовательность unedD такова, что ип-^и0 и
lifn (еАои„ + Аи„, ип-и0><0.	(3.9)
п~~*оо
Переходя, если нужно, к подпоследовательности, получаем
из (3.9) выполнение одного из неравенств	’
lim (Аои„, ип-ио)^0, lim <Аип, ип — ио>^0.	(3.10)-
Л-*00	л—‘ОС
Если верно второе неравенство, то из псевдомонотонности
оператора А имеем lim <Ли„, и„ —ио) = 0 и из (3.9) следует
л—*00
выполнение первого неравенства в (3.10). Таким образом,
всегда выполняется первое неравенство в (3.10), и сильную
сходимость и„ к и0 получаем из условия а (3D) для оператора Ао.
Аналогично доказательству теоремы 3.1 можно получить
(см. также следующий параграф относительно свойств степени
отображений), что при 0<е<8/М степени, определенные
в (3.8), не зависят от е, а значит, существует предел
limDeg(c/40-M, D, 0).
Е—0
Доказывается, что этот предел не зависит от выбора
отображения Ао. Тем самым, можем ввести следующее
понятие.
Определение 3.2. Для деминепрерывного псевдомоно- .
тонного оператора А при _O£A(dD) назовем степенью
отображения А множества D относительно точки ОеУ*
следующее число:
Deg (Л, D, 0) = limDeg(e?4o + /4, D, 0),
с—о
где AoeA(D, dD), Deg — степень, введенная определением 3.1.
В заключение параграфа покажем, что в случае равномерно
выпуклых пространств У, У* существует непрерывный опера-
§ 4. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ	59
эр J, удовлетворяющий условию а (5) для произвольного
ножества D <=. X.
Пространство X называется равномерно выпуклым, если
ля произвольных ип, v„eX таких, что || и„ || < 1, || v„ || 1 из
и„ + г„ II следует || u„ — vn || —*0. Рассмотрим дуальный опера-
ор J, ставящий в соответствие элементу ueX функционал
ueX*, удовлетворяющий условиям
\\Ju II, = || и II, <Л, w> = II и II2.
[уальный оператор рассматривался в работах ряда авторов
Вайнберг М. М., Браудер Ф. и др.). Однозначность и непре-
•ывность этого оператора следует из [33а].
Проверим выполнение условия a (D). Пусть последователь-
юсть uneD слабо сходится к и0 и
lim (Jun, w„-wo>^0.
П—»ОО
Ложем считать, что Jun--h, ||ия||->р. Тогда
р2= lim </и„, «„>= lim {<Ja„, ия-и0> + <7ия, и0>}^</1, и0>-
п—*ос	и—» ос
Этсюда следует, что || и0 || = || h ||„ = р и сильная сходимость
in к и0, если ио = 0. Если ио^0, то
t и0
I |Г II ип II р
“n-w0> +
Il “п II
/.	,,/ Ju„ и0 и0
(З.И)
В силу легко проверяемой монотонности оператора J,
(Ju — Jv, u—v') = || и ||2+ || v ||2 — (Ju, v) — (Jv, и>>0,
2
получаем, что предел правой части в (3.11) равен — </i, и0) = 2,
и сильная сходимость ип к и0 следует из равномерной
выпуклости пространства X.
§ 4.	Свойства степени обобщенных монотонных
отображений
Введенная выше в различных случаях степень отображения
обладает всеми естественными свойствами степени конечно-
ерных отображений. Покажем это на примере степени,
определенной в § 2.
60	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В настоящем параграфе X—сепарабельное рефлексивное
банахово пространство, D — произвольное ограниченное от-
крытое множество в X. Пусть [0, 1 ] = {re7?1: O^r^l],
At; D->X*, re [0, 1],— параметрическое семейство нелинейных
отображений.
Определение 4.1. Говорим, что семейство А, удовлетво-
ряет условию a$(dD), если для произвольных последователь-
ностей и„ е dD, tn е [0, 1 ] из того, что ип-^и0, At„ (ип)^() и
lim <Л,я(и„), ип — ио> = 0, следует сильная сходимость ип к и0.
Определение 4.2. Пусть А', А": 5->Х* — отображения
класса A0(D, 8D) и пусть А'и^О, А"и^0 при uedD. Отобра-
жения А' и А" называем гомотопными на D, если существует
параметрическое семейство отображений At: D-*X*, te
е [0, 1 ], удовлетворяющее условию (dD), такое, что:
а)	Лг(м)=#=0 при uedD, ге [0,1], Л0 = Л', Л^Л";
б)	для любых последовательностей г„, и„ таких, что
Г„е[О, 1], u„eD, tn->t0, и„-+и0, последовательность Atun слабо
сходится к Л,о«о.
Теорема 4.1. Пусть A': D-+X*; A": D-+X* — отображе-
ния класса A0(D, dD). Предположим, что А'и^О, Л''и/0 при
uedD и отображения А', А" гомотопны на D. Тогда
Deg (Л', 5, 0) = Deg (Л", D, 0).	(4.1)
Доказательство. Пусть {г,}, /=1, 2, ...,— произвольная
полная система элементов пространства X и At: D->X*, te
е [0, 1 ],— параметрическое семейство отображений, осущест-
вляющих гомотопию между Л' и А" в соответствии с опре-
делением 4.2.
Определим при каждом п=1, 2, ... семейство конечномер-
ных отображений
А,.п(и) = X (А>и’ vi> vi	Dn = D[)Fn,	(4.2)
i=i
где Fn — линейная оболочка элементов vk, ..., vn.
Покажем, что при достаточно большом п Л;,„ (и) /0 для
te [0, 1], uedDn. Будем доказывать способом от противного,
предполагая существование последовательностей ukedD„k, tke
e [0, 1 ] таких, что Л(к,И1(и*) = 0, /?А->оо при А:->оо. Можем
считать, что rt->r0, uk- -и0, кроме того, имеем слабую
сходимость Лч(ик) к нулю.
Выберем произвольную последовательность wkeFnk так,
чтобы wt->w0. Тогда
<АкЫ uk-Uo> = <.Atk(uk), wk-uoy + <Atk(uk), uk — wky.
§ 4. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ
61
Второе слагаемое в правой части равно нулю в силу выбора
ик, tk, первое стремится к нулю из-за ограниченности
последовательности А,к(ик) и сильной сходимости wk к и0.
Получаем отсюда
lim <Atk(uk), uk — uo) = 0.
к—*оо
В силу условия из последнего равенства получаем,
что ик->и0. Отсюда следует, что и0еоЛ и Л1о(ио) = 0. Это
противоречит условию на семейство отображений А,.
Тем самым получено, что Лг„(и)/0 для le [0, 1], ue8Dn,
если п достаточно велико. По свойствам степени конечномер-
ных отображений при больших п deg(/lG„, Dn, 0) не зависит
от t. Значит, при таких п
deg (А о, „, D„, 0) = deg(A.„, D„, 0).
Переходя в этом равенстве к пределу при и-»оо, получаем
на основании определения 2.4 утверждение теоремы 4.1.
Докажем теперь, что определенная в § 2 степень отображе-
ния является при некоторых условиях единственным гомото-
пическим инвариантом. Приводимая ниже теорема обобщает
классическую теорему Хопфа для конечномерных отображе-
ний.
Теорема 4.2. Пусть D — выпуклое ограниченное открытое
множество в пространстве X и Ао: D->X*, At: D->X* —
отображения класса_А(О, SD) такие, что Аои^0, AtuF0 при
uedD и Deg(/l0, D, 0) = Deg(/lь D, 0). Предположим, что
пространства X и X* равномерно выпуклы. Тогда отображения
Ао и А, гомотопны на D.
Доказательство. Выберем произвольно полную систему
{г,} пространства X. Обозначим F„ линейную оболочку
элементов vt, ..., vn и определим проекторы Р„: Х->Х так,
что P,Pj= PjP—Pf при i<j, PtX=Fj. Обозначим Р* сопряжен-
ный к Pt оператор.
Пусть J—дуальный оператор, определенный в конце § 3.
Введем при Z=0, 1, л=1, 2, ..., Ze[O, 1] параметрическое
семейство отображений
Л<"> (и) = t {(/ - Г„) J (I - Р„) и + A tu} + (1 -1) A jM
и докажем существование Л такого, что
Я$(и)/0 Для uedD, te [0,1], n^-N, i = 0, 1.	(4.3)
Предположим противное: существуют последовательности
ukedD, zfce[O, 1] такие, что, для определенности при г = 0,
62
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
выполнены равенства А{”^(wfe) = 0, пк->оо при к-* со. Можем
считать, что ик слабо сходится к некоторому и0, tk сходится
к t0. Выберем последовательность wk так, что wk->w0, wkeF„e
Замечая, что Р"ПкАоик = 0, получим
<Лоик, uk —и0> =
= <Яоик, Ч-Мо>-JL_<(/-F„t)J(/-P„JMk, ик>,
1-?к
если tK < 1, и
<Л«ь ик-ио> = <Лоик, и'к-ио> + <^о«ь uk~wk\
если tk = 1.
В каждом из двух возможных случаев имеем
1ип<Лоик, ик-ио>^0,
к—* ос
и поэтому на основании условия а(с?£>) получаем ик->и0,
откуда следует Aouo = 0, uoecD, что противоречит предполо-
жению теоремы.
Покажем еще, что для семейств А["1 при любых п,
i выполнено условие аЙ^сЮ). Пусть йк. Тк- -такие последова-
тельности, что при некоторых и, i выполнены условия ukecD,
fk£[0, 1], йк-й0, Л£’((йк)-4) и
lim <4",.(йк), йк —йо) = 0.
к—ос	к'
Отсюда и из Рп(ик- йо)-»0 следует, что
lim {Гк</(/-Р„)йк, (/-Р„)(йк-й0)> + (1-Гк)<Л,.(йк), йк-й0>} =
к—» со
= lim «Л^’ДйД йк-и0>-гк<Р’Я,йк, йк —йо>}=0.
к—*со	’
Получаем, таким образом, что верно хотя бы одно из
неравенств (переходя, если нужно, к подпоследовательности)
lim <Л(йк, йк-йо>^0,
к—* ос
lim <j(Z—Р„)йк, (/-Рв)(йк-йо)>^0,
к—»ос
что и обеспечивает сильную сходимость йК к й0 в силу
условий а\дЬ), справедливых для Л;, J.
Проверяя, что отображения удовлетворяют условию
б) определения 4.2, получаем, что отображения At гомотопны
соответственно отображениям
А (и) = (/- ?;)/(/- Р„)и+ PnA tu.
§ 4. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ
63
Число У можем считать выбранным настолько большим,
чтобы для конечномерных отображений
N
AitN(u)= £ (Atu, Vj) Vj для ueDn, DN = DQ\FN,
i=i
выполнялись условия:
1) Я;,я(м)/0 _при uedDN, i=0, 1;
2) deg(Ti>N, Dn, 0) = Deg(T;, D, 0).
В этом случае по теореме Хопфа существует параметричес-
кое семейство конечномерных отображений
N
CN,t(u)= X Cj(u, t)Vj, ueDn, re[0, 1],
j-i
для которого jjfw, z)— непрерывные функции своих аргумен-
тов, при ueDn
Cn,o(u)=Ao,n(u), Cn, ! (w)= A i.jv(u),	(4.4)
Cn.((m)/0 при uedDN, ze[0, 1].	(4.5)
Применяя теорему Урысона, продолжим сДи, t) на
D х [0, 1 ] непрерывным образом, так чтобы (4.4) выполня-
лось при ueD. Пусть еще оператор P*N определяется
равенством
P'Nh= X <h, v^hj, hEX*.
j=l
Тогда гомотопию и А(^\ можно осуществить с по-
мощью семейства отображений
N
At(u) = (I-P,N)j(l-PN)u+ X Cj(u, t)hj.
7=1
Проверим выполнение условия (<?£>) для семейства А,.
Пусть ^6(0,1], unEdD — такие последовательности, что
Ч.—«о, Л(Ди„)-'О и
lim {А,ип, ив—ио> = 0.
и—*ос
Имеем отсюда
nrn<J(Z-PN)(M„), У(/-РД(ип-и0)> =
п—*со
Г	N	Л
= Iim^- X	ил-и0>Л (4-6)
И—СО [ jI- 1	J
64
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Правая часть здесь равна нулю в силу ограниченности
функций Cj(u, /) и и„—и(). На основании условия а (сП),
справедливого для J, получаем, что ип-ш0, т. е. условие
для семейства At проверено.
Проверим, что At дает гомотопию отображений
А{1% и Л<1Л,1. Выполнение условия б) определения 4.2 следует
из непрерывности отображения J и функций с-. Покажем,
что имеет место условие а), и вначале проверим, что
Tt(w)/0 при uedD, ze[0, 1].	(4.7)
Если для некоторых и0 e dD, t0 е [0, 1 ] выполнено равенство
Л,(1но = 0, го отсюда имеем
Л'
<j(/-PN)w0, (I-Pn)u0>=- X Э(М’ 0</)r(/-p,v)wo> = 0-
J=i
Это равенство дает (l—PN)uo = 0, т. е. uoeFN. В таком случае
u0$dDN, так как для любых и, i, uedDN, ze [0, 1] из (4.5)
следует отличие от нуля вектора (сДи,/), ..., cN(u, /)). Тем
самым проверено (4.7).
Осталось еще показать, что Яои = Л<1%и, А^^А'^и для
ueD. Достаточно проверить первое равенство, а оно сле-
дует из представлений для TiiN(w),	и
N	К
Л/Л^,о(и)= £ <Лои, Vj)hj= X cj(^ 0)/г7=Р^Ло(и).
7-1	7=1
Использованное здесь равенство (Аои, vj') = cj(u, 0) следует
из (4.4).
Полученная гомотопия отображений Л^’о, А^\ завершает
доказательство теоремы.
Замечание 4.1. Предположение о равномерной выпук-
лости пространств X, X* в формулировке теоремы 4.2 можно
заменить условием существования деминепрерывного опера-
тора Ао: Ь-*Х*, удовлетворяющего условию а (сП) и такого,
что (Аои, и>>0 при w^O. В этом случае полностью со-
храняется доказательство теоремы с заменой дуального
оператора оператором Ао.
Теорема 4.3. Пусть A: D-+X*—отображение класса
Яо(£>) и предположим, что
Аи^О при ueD.	(4.8)
Тогда Deg(T, D, 0) = 0.
Доказательство. Пусть элементы i>(, конечномерные
пространства Fn и конечномерные отображения Ап опреде-
§ 4. СВОЙСТВА СТЕПЕНИ
65
ляются в соответствии с § 2. Аналогично доказательству
утверждения 1) теоремы 2.1 устанавливается, что при доста-
точно больших п уравнение Л„и = 0 не имеет решений при
ueD„. Отсюда на основании леммы 1.4 имеем deg(/l„, Dn, 0) = 0
и, следовательно, теорема справедлива в силу определения 2.4.
Непосредственно из теоремы получается следующий приз-
нак разрешимости уравнения
Аи = 0.	(4.9)
Следствие 4.1. Пусть A: D^X*— отображение класса
A0(D) и пусть Аи^О при uedD. Для того чтобы уравнение
(4.9) имело решение в D, достаточно, чтобы Deg (Я, D, 0)/0.
Многочисленные применения теории степени отображения
к изучению разрешимости нелинейных операторных уравнений
и нелинейных граничных задач основаны на применениях
следствия 4.1, теоремы 4.1, признаков отличия от нуля
степени отображения. Укажем два часто используемых призна-
ка, дальнейшие подобные признаки связаны с вычислением
индекса критической точки, о чем речь будет идти в сле-
дующем параграфе.
Теорема 4.4. Пусть A'. D-+X* — отображение класса
A0(D, 6D). Предположим, что OeD\dD и для uedD выполнено
неравенство
(Аи,	(4.10)
Тогда Deg(T, D, 0)= 1.
Доказательство. Пусть Ап — конечномерное отображе-
ние, аппроксимирующее А и определяемое согласно (2.2).
Согласно теореме 2.1 при n~^N А„и^0 для uedD„. Для
отображения Ап справедливо неравенство <Л„и, и)^0 для
uedD„, и, тем самым, утверждение теоремы следует из
леммы 1.2.
Теорема 4.5. Пусть Ap(0)={weA: || и || <R} и A: BR(0)->
->Х*— отображение класса A(BR,cBR). Предположим, что
Аи^О для ue6BR и
Тогда Deg (Я, BR, 0) — нечетное число.
Доказательство. Рассмотрим параметрическое семейст-
во отображений Ар. BR->X*, определяемое равенством
А,и = Аи— tA ( — и), ге [0, 1 ].	(4.12)
5 И. В. Скрыпник
66	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Для этого семейства проверим условие ab')(<?5p). Пусть
ип, tn—такие последовательности, что uneSBR, r„e[0, 1],
-^и0, А,п(и„)^0 и lim <Лц(ия), м„-мо> = 0.
п—*сс
Тогда
<ЯМ„, ип-и0> + г„<Л(-и„), — и„ + ио>->0.
Отсюда следует, что выполняется хотя бы одно из неравенств
(переходя, если нужно, к подпоследовательности)
lim <Ям„, и„-ио>^0,
«—♦со
lim <Л (- и„), - м„ + м0> О,
п—*00
что обеспечивает в силу условия а(дВя) сильную сходимость
w„ к и0.
Проверяется, что семейство А, удовлетворяет условиям
а), б) определения 4.2. В частности, неравенство Л,(м)^0
при te [0, 1], uedBR следует из (4.11). Тем самым доказана
гомотопия отображений Аи и_А1и = Аи — А( — и), и в силу
теоремы 4.1 получаем Deg (Я, Z?R, 0) = Deg (Л t, Z?R, 0).
Для отображения А{ конечномерная аппроксимация, опре-
деляемая по (2.2),
л
А 1,„(и)= £ (Аи-А(-и), г;>г;,
i=l
и е BR<n, BR„ = BRP\F„, является нечетным отображением. При
достаточно больших « таких, что Я1,„(м)^0 для ue8BR<n,
по лемме 1.3 deg(?4ltB, BR n, 0)—нечетное число. Это доказы-
вает теорему 4.5.
§ 5.	Вычисление индекса критической точки
Пусть D — ограниченное открытое множество в сепара-
бельном рефлексивном банаховом пространстве X, A: D-+X—
отображение класса Ло(/)), введенного определением 2.3.
Определение 5.1. Точка uoeD называется критической
точкой отображения А, если Аио = 0.
Термин «критическая точка», естественный в случае потен-
циального оператора А, являющегося градиентом некоторого
функционала, применяется в книге и для общих непотенциаль-
ных отображений.
Пусть и0 — изолированная критическая точка отображения
А, т. е. существует замкнутый шар Д.о(мо) = {меА': ||м —м0||^
§ 5. ИНДЕКС КРИТИЧЕСКОЙ точки	67
^г0}, не содержащий других, кроме и0, критических точек
отображения А. Аналогично доказательству теоремы 4,3
можно установить, что при 0<г^го выполнено равенство
Deg (Л, Z?ro(Mo), 0) = Degp, Щ), 0).
Это делает естественным
Определение 5.2. Индексом изолированной критической
точки и0 отображения А, называется число
limDeg(/l, Д.(м0), 0),
которое будем обозначать Ind (Л, и0).
Теорема 5.1. Предположим, что отображение А класса
Л0(р) имеет только изолированные критические точки
в D и Аи^О при uedD. Тогда критических точек конечное
число и имеет место равенство
I
Degp, D, 0)= £ 1пб(Л, и;),	(5.1)
i=i
где щ, ;=1, ..., I,— все критические точки отображения А в D.
Доказательство. Покажем, что множество критических
точек конечно. Предположим противное, что оно бесконечно,
и выберем в этом множестве некоторую последовательность
{«;}, (=1, 2, ... Можно считать, что и( --м0. Тогда
Ли, = 0, <Ли,-, и, —ио)=0
и в силу условия а0(£>) и;->и0. Отсюда следует, что uoeD,
Аио = 0. Так полученная критическая точка оказывается неизо-
лированной, что противоречит условию теоремы.
Обозначим критические точки отображения Л в D через
и1; ..., и, и выберем р>0 настолько малым, чтобы шары
Вр(и;), ;=1, ..., I, попарно не пересекались и содержались
в D. На замыкании множества Dp = D\ |J 5р(и;) отображение
i= 1
Л не имеет критических точек. Аналогично доказательству
теоремы 4.3 получим, что конечномерное отображение Ап
не имеет решений в £)р п при достаточно больших п. Равенство
(5.1) следует теперь из аддитивности относительно области
степени конечномерных отображений.
Далее при некоторых условиях будет вычислен индекс
критической точки отображения Л. Для простоты считаем,
что исследуемая критическая точка совпадает с нулем про-
странства X.
68
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Предполагаем, что существует производная Фреше опера-
тора А в нуле, т. е. такой ограниченный линейный оператор
А': Х-*Х*, что
Аи — АО = А’и + со (и),
(5-2)
норма в пространстве X*.
и	||w||-+0,
II и ||
Теорема 5.2. Пусть U — некоторая окрестность нуля
пространства X, A: U->X*— оператор класса A(U), имеющий
в нуле производную Фреше А'. Предположим, что выполнены
условия:
1)	уравнение А'и = 0 имеет только нулевое решение;
2)	существует линейный вполне непрерывный оператор
Г: Х-+Х* такой, что
<(Я' + Г)и, и)>0 при и ^0
(5.3)
и оператор Л = (Л' + Г)-1 Г; Х-+Х определен и вполне непреры-
вен;
3)	при достаточно малом £>0 слабое замыкание множест-
ва
„ j w	,	М«1. ,,
СТе = 1,;==]ГТ: Аи=~« м ii 'Au’ 0<1М<£
I	II и II	Mwl|,
не содержит нуля.
Тогда нуль является изолированной критической точкой
отображения А и индекс нуля равен (—l)v, где v — сумма
кратностей характеристических чисел оператора L, лежащих
на интервале (0, 1).
Замечание 5.1. Прежде чем приступить к доказательству,
отметим существенность всех предположений теоремы 5.2.
В частности, в [77а] построен пример отображения, удовлет-
воряющего всем условиям теоремы, кроме условия 3), для
которого нуль оказывается неизолированной критической точкой.
Доказательство теоремы 5.2. Вначале докажем пер-
вое утверждение теоремы: нуль—изолированная критическая
точка отображения Аи. Предположим противное: существует
последовательность ип такая, что Ли„ = 0, w„->0. Из условия
3) следует, что слабый предел г0 последовательности
р„=|| «„Г1 -ип отличен от нуля. Переходя к пределу в ра-
венстве || и„ || “1 Аи„ = 0, имеем A'vo = 0, что противоречит
условию 1).
Обозначим F прямую сумму всех инвариантных подпрост-
ранств оператора L, соответствующих характеристическим
§ 5. ИНДЕКС КРИТИЧЕСКОЙ точки	69
числам этого оператора, лежащим на интервале (0, 1).
Пусть R — замыкание прямой суммы всех тех инвариантных
подпространств оператора L, которые не вошли в F.
R— также инвариантное подпространство L, и имеет место
разложение Х= R + F.
Обозначим Р* проектор X* на F* = (/f + r)F, определяе-
мый равенством
Р*[(Я' + Г)/+(Л' + Г)г] = (Л' + Г)/, feF, reR.
Пусть Р — сопряженный с Р* оператор. Выберем произвольно
последовательность подпространств Ftc:X, i'^v, так, чтобы
FV = PX, F<=.F2v, dimF( = i,
F;cFi+1, yFj = y,
и определим полную систему {г,}, ;=1, 2, ..., таким образом,
чтобы подпространство F, являлось линейной комбинацией
элементов ..., г;.
Через 8 (и) в дальнейшем обозначается функционал
8(и) = тах{0, с- min <(/—?*)Au, (I—tL)u)},	(5.4)
О =Sr =S 1
где с- определяемая ниже положительная постоянная.
Доказательство формулы индекса будет опираться на
следующие леммы.
Лемма 5.1. В условиях теоремы 5.2 существует г>0
такое, что
(8(и)-н)Яи + (1 — /)Л'и/0	(5.5)
при te [0, 1 ], 0< || и || ^г.
Доказательство этой леммы полностью аналогично
доказательству того, что нуль изолированная критическая
точка отображения А.
Лемма 5.2. Существует Nl такое, что для n'^Nl
I =	£ <(8(и) + г)Яи + (1-/)Я'и, Р|>г,./О
1+о(м),= 1
при te [0,1], ueSr n, Sr n=SrQF„, 5г={иеАг: ||и||=г}, где
г то же, что и в лемме 5.1.
Доказательство. Предположим противное: пусть су-
ществуют последовательности uk, tk такие, что
70	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
и пусть 8(ик), tk стремятся соответственно к 80, t0, а ик
слабо сходится к и0.
Рассмотрим отдельно два случая: а) 8о + ?о>0; б) 80 +
+ to — 0.
В первом случае покажем, что сходимость ик сильная.
Пусть wkeF , wk^u(t. Тогда из равенства
(80 + г0)<Ж, ик-и0> =
= (5о + 'о-8(“)-^)<Лмк, ик-и0> +
+ (8Ы+гк)<Лмь ™к-и0>-
+	uk-wk') +
+ <A'wk, —wk> —<Г(мь —и\), uk-wk>}
и условия a({/) получаем, что ик->и0. Отсюда следует
(8(мо) + /о)Ямо + (1-го)Я'мо = 0,
что противоречит лемме 5.1.
Если же выполнено равенство 8о + /о = 0, то покажем
сначала, что мо/0. Из (5.4) следует существование последова-
тельности тк g [0, 1 ] такой, что
lim<(/— Р*)Аик, ик — т;кЬик')^:0.
к—*<х)
Если мо = 0, то из последнего неравенства имеем
lim {Аик, ик)^0
Л—*ос
и в силу условия а({/) получаем
мк->0,
что невозможно.
Таким образом, мо/0. Из условия б) следует, что для
произвольного w6 Fj
lim 'ик, w)=0.
к—*оо
Отсюда получаем А'ио = 0, что противоречит условию 1)
доказываемой теоремы.
Замечание 5.2. Можем считать на основании определе-
ния степени отображения, что число выбрано таким
образом, что при
Degp, Br,O) = deg(T<:)1, Br.„,0).
Здесь Вг = {иеХ: || и || <r}, Br n = Br[}F„.
§ 5. ИНДЕКС КРИТИЧЕСКОЙ точки	71
Пусть П — оператор проектирования X на F, опреде-
ляемый равенством
П(/+г)=/, /еГ, reR.
Лемма 5.3. Существует N2 такое, что при n^N2
A^^T^i<4-)Au+tAiu+
+(1-г)[-(Л'+Г)ПМ+(Л'+Г)(/-П)н], v^v^O
при te [0, 1], ueS, п, где г—то же число, что и в лемме 5.1.
Доказательство. Предположим противное: пусть суще-
ствуют последовательности uk, tk такие, что
А £\(М*) = 0’ Uk^Sr.nt, ^6 [0,1], Ht->OC,
и пусть 8(uk), tk сходятся соответственно к 80, t0, а ик
слабо сходится к и0. Обозначим
/о = Пмо, го = (7- Про-
пусти вначале 8о = 0. В этом случае, как и при доказательстве
предыдущей леммы, получаем мо/0 и
/оЛ'Мо+(1-?о)[-Р'+Г)/о+(ЛЧГ)го]=0.	(5.6)
Применяя к (5.6) оператор Р*, имеем
гоЛ'/о-(1-го)(Д'+Г)/о=0,
или (2z0 —1)/0 — toLfo = 0. Это дает /о=0 в силу определения
пространства F.
Действуя на обе части равенства (5.6) оператором 1—Р*,
получаем
?о^го + (1 — ^о)И +П)го = 0,
или г0 — toLro = 0. Отсюда следует го = 0 на основании опреде-
ления пространства R.
Равенства fo=0, го = 0 дают мо = 0, что противоречит ранее
полученному неравенству мо/0.
Теперь рассмотрим случай 8о>0. Как и при доказательстве
леммы 5.2, устанавливается сильная сходимость ик к и0,
8(мо)>0 и равенство
8(м0)Лм04-/0Л 'м0+(1 — z0)[-(Л' + Г)/о+(Л' + Г)го] = 0. (5.7)
Покажем, что оно невозможно. Применяя к (5.7) оператор
и, имеем
8(«о)Р*Лио+М7оЧ1-^)(ЛЧГ)/о=0.	(5.8)
72	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Из конечномерности пространства F следует, что с не-
которой положительной постоянной сг для feF выполнено
неравенство
H/Ц min '/-(1 -,)(л ' + Г)/|| *.
Получаем из (5.8)
ll/o II • <-'2II р* 1|8(иоХ где f2 = sup ||Яи [| *.	•	(5.9)
ueU
Применяя к (5.7) оператор I—P*, имеем
§(ио)(7-Р*)Лио + М'го+(1-'о)(Л' + Г)го = 0,
откуда следует
<(/-Р*)Ли0,(7-/0£)г0> =
= -^.<(/l' + r)(/-ZoL)ro,(/-ZoL)ro>^0.
°(uo)
Используя (5.9), получим
<(/- Р *) Аи0, (/-10 L) и0 > c3c 22с31| Р * || • || /- Р * || • § (и0),
(5.10)
где с3 = max || 1 — tL ||.
Противоречие получается из (5.10), если постоянную
с в (5.4) выбрать равной
С=1{С1С^3 \\р*II -II/-р*||}-1.
Этим заканчивается доказательство леммы 5.3.
Лемма 5.4. Пусть N=max , А/, 2v}. Уравнение
Л^о(«) = 0	(5.11)
не имеет решений при ueFN Q {0< || и || <г}.
Доказательство. Предположим противное: уравнение
(5.11) имеет решение ueFN Q{0< || и || <г}, так что
5(й)<Лй, 10 + <— (Л'4-Г)/+(Л' + Г)г, v;> = 0,	z=l,..., N.
(5.12)
Так как PXczFN, то из (5.12) следует
§(й)Р*Лй-(Л' + Г)/=0,	(5.13)
откуда аналогично (5.9) имеем
11/Кс1С2И*||-§(й).	(5.14)
§ 5. ИНДЕКС КРИТИЧЕСКОЙ точки	73
Из (5.12), (5.13) получаем
5(й)<(7—Р*)Лй, г;) + <(Л' + Г)г, г,) = 0, i= 1, ..., N.
Используя то, что u,feFN, а следовательно, и reFN, имеем
из последнего равенства
8(й)<(/-Р*)Лй, г>= —<(Л' + Г)г,г><0.	(5.15)
Из (5.14), (5.15) следует, что 8(й)/0, так как в противном
случае /=г = 0, что противоречит выбору й. Используя (5.15),
(5.14), имеем
<(/- Р *) Ай, й > < § (й) с! с 22 II Р * II III - Р * II с3
и противоречие следует из определения 8 (и).
Закончим теперь доказательство теоремы 5.2. Из опре-
деления индекса критической точки, замечания 5.2, лемм
5.1 5.4 и свойств степени конечномерных отображений
следует, что при 0<р^г имеют место равенства
Ind (Л, 0) = Deg(/l, ВГ1 0) = deg (Л V?!, Я.^ 0) =
= deg (A V.’o, йг. n , 0) = deg (A Jv? i, Br, N, 0) =
= deg(/l Jv.’o, Br N, 0) = deg(/l)v2)o, fiP.N, 0).
Легко проверить, что при достаточно малом р ото-
бражение Atf'O гомотопно на fip.N отображению
N
А^(и)= £ <-(Л'+Г)Пи+(Л'+Г)(1-П)и, г’М
i=i
так что Ind (Л, 0) = deg (Л $*, Я N, 0).
Степень отображения А$ равна (— l)v, в чем можно
убедиться, подсчитав в соответствии с (1.5) знак якобиана
этого отображения. Доказательство теоремы 5.2 закончено.
В случае гильбертова пространства предположения преды-
дущей теоремы могут быть ослаблены.
Теорема 5.3. Пусть Н—вещественное сепарабельное гиль-
бертово пространство, U—некоторая окрестность нуля про-
странства Н, A:	—оператор класса Л (С), имеющий
в каждой точке ueU производную Гато А'(и). Предположим,
что выполнены условия:
1)	уравнение Л'(0)и = 0 имеет только нулевое решение',
2)	для произвольного элемента veH из и„->0 следует
[Л'(«„)]* 1>->[Л'(0)] *1>,
где [Л'(и)]* сопряженный к А'(и) оператор-,
74
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
3)	существует линейный вполне непрерывный оператор Го:
Н^Н* такой, что для некоторого г>0 и положительной
постоянной с выполнено неравенство
<(Л'(г) + Г0)и, и > > с || и ||2 для ueH, ||i>|| О-
Тогда нуль — изолированная критическая точка поля Аи и ин-
декс нуля равен (— l)v, где v — сумма кратностей характе-
ристических чисел оператора Л = (Л'(0)4-Го)_1Го, лежащих
на интервале (0, 1).
Доказательство. Покажем, что при достаточно
малом е > О
tAu+(l-г)Л'(О)и/О при /е[0, 1], О С ||и || < е. (5.16)
Предположим противное: существуют последовательности ип,
t„ такие, что
г„Ли„+(1-г„)Л'(0)и„ = 0,	r„e[O, 1],	(5.17)
Из (5.17) следует
1
f<г„Л'(и„-х)и„ + (1-г„)Л'(0)и„, и„>^=0,
о
откуда в силу условия 3) теоремы получаем, что слабый
предел г0 последовательности v„= |1 и„ || ~1и„ отличен от нуля.
Из (5.17) для произвольного veH получаем
J</„Л'(ли„)г„4-(1-г„)Л'(0)г„, v)ds = Q.
о
Переходя к пределу при п -> ос, на основании условия
2) получаем Л'(0)ь’о = 0, что противоречит условию 1).
Тем самым доказано неравенство (5.16). Отсюда следует,
что нуль — изолированная критическая точка отображения
Л'(0) и индекс нуля отображения А совпадает с индексом
нуля отображения Л'(0). Для отображения Л'(0) выполнены
все условия теоремы 5.2, и формула для индекса, таким
образом, следует из теоремы 5.2.
§ 6. Вычисление степени потенциальных отображений
В некоторых случаях при вычислении индекса критической
точки или степени отображения полезной является информа-
ция о потенциальности соответствующего оператора. Здесь
приводится результат, полученный В. С. Климовым в [406].
Ограничимся, хотя это совершенно не принципиально, случаем
сепарабельного пространства.
§ 6. СТЕПЕНЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
75
Пусть X—вещественное сепарабельное рефлексивное бана-
хово пространство, U—некоторая окрестность нуля про-
странства X. Предположим, что S: : U-> R1—нелинейный
функционал, имеющий в каждой точке ueU производную
Гато	Говорим, что функционал S' имеет в нуле
локальный минимум, если при некотором г > 0 выполнено
неравенство S'(O)i^ S'’(и) для иеВг, Вг={иеХ: ||и|| <г}.
Теорема 6.1. Предположим, что функционал S’ имеет
в нуле локальный минимум, его производная Гато S’(и}
принадлежит классу A(U), введенному в определении 2.3,
и нуль — изолированная критическая точка отображения S’’.
Тогда Ind(.^', 0)=1.
Доказательство. Из условий теоремы следует, что
при некотором 7?>0 выполнена оценка S(0)<S(u) для
и/0, ueBR. Обозначим при 0<р^Л
w(p) = inf {S' (и): иедВр}, A/(p) = sup{.^(u): ие8Вр{
и покажем методом от противного, что w(p)>Js'(0) при
О^р^Л.
Рассмотрим минимизирующую последовательность ипедВр
такую, что, вопреки требуемому, S^{u„) -> ^(0), и пусть
и„-:-и(). Имеем при некотором z„e[0, 1]
Так как верхний предел левой части неположителен, то из
условия a(t/) получаем сильную сходимость ип к и0. Отсюда
следует, что S{u0} = Sr(0), иоесВр. Тогда и0 — критическая
точка отображения J*', что противоречит предположению
теоремы.
Пусть §(p) = w(p) —^(0) и определим Rt, R2 так, что
m[R2)<m(R), R2 С у С у и пусть
§ = min^^y, /c = J?(0) + 8, K-m(R) — 5.
Непосредственно проверяется, что
{и: S^(u)^k + 26, ueBR} с BRi,
{и: S'{u)'^K— 2§, ueBR} с BR\BRi.
Кроме того, из условия а({7) следует, что с некоторой
положительной постоянной с0 выполняется неравенство
с0 для ие{и: S{u]^k, ueBR}.	(6.2)
76
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Выберем полную последовательность {г,}, 1=1, 2,
пространства X и рассмотрим конечномерную аппроксимацию
функционала &
=	•••> сл) = ^'(с1*’1 + - + сл)-
Так определенная функция задана в некоторой окрест-
ности U„ нуля и-мерного пространства Е„. Норму в Еп
будем считать заданной следующим образом:
k II E„=kii’i + - + c„rn ||х-
Пусть Вр„ = {се£„: ||с||в ^р}. Можем п выбрать столь
большим, что
Ind(.^', 0) = Deg(.^', BR, 0)=deg(^'n, ВЛ.„, 0).	(6.3)
Кроме того, выберем п так, чтобы при некотором положи-
тельном числе £„ выполнялось неравенство
для се{с: сеВЛ„, ^п(с)^к},	(6.4)
где |-| -евклидова длина и-мерного вектора. Последнее
утверждение доказывается аналогично доказательству первой
части теоремы 2.1.
Из (6.1) следуют вложения
{с:	^ку-28,	ceBRn} с BR^n,	(6	5)
{с: ^„(с)>£-25, ceBRn} g BRn\BRi
В силу (6.3) для завершения доказательства теоремы
достаточно установить следующую лемму.
Лемма 6.1. Пусть непрерывно дифференцируемая функция
•5% (с) удовлетворяет условиям (6.4), (6.5) для
р р
К—к >48, R2<^-<2’ Kerning „(с),
cedBR„}, к>^„(0).
Тогда deg (&'п, BRn, 0)=1.
Доказательство. Определим дважды непрерывно диф-
ференцируемую функцию G„(c) таким образом, чтобы при
ceBRn выполнялись неравенства

(6.6)
Тогда из (6.4)- -(6.6) следует
{с: G„(c)^k+8, ceBRn}cBRv„,
{с: Gn(c)^K-8, сеВ^сВм\йЯрЛ,
|G»(f)l для се{с: G„(c)>/c + §, ceBr „}.
(6-7)
§ 6. СТЕПЕНЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
77
Введем множество £> = {сеВЯ п: G„(c) -$К— §}. Из (6.4),
(6.6) и условий на к, К следует, что при ceSD, /е[0, 1]
Кроме того, .FJ,(c)^0 при BRn\D. Тем самым получаем,
что
deg(^;, BRn, 0) = deg(^'„, D, 0) = deg(G'„, D, 0).	(6.8)
Обозначим при ceD через h(t, с) решение задачи
j(0)=c.	(6.9)
Из равенства
-\G'n(h(t, e))|2
заключаем, что решение задачи (6.9) определено при всех
t > 0. Кроме того, отсюда и последнего неравенства в (6.7)
получаем, что
Я,(с) = с —й(г, с)/0 при cedD, z > 0,	(6.10)
и при некотором Т>0 для ceoD выполнена оценка
Gn(h(T, с))^к + 8.	(6.11)
Из первого включения в (6.7) и (6.11) имеем при cecD
||й(Т, с)||£ из второго включения в (6.7) имеем для
cedD ||с||£ >/?!• Отсюда следует, что отображение Ят(с)
на D гомотопно единичному отображению и степень
его равна единице. Вместе с (6.10) это дает при 0<г^Т
deg(Hr, D, 0) = dcg(H„ 5, 0)=1.	(6.12)
В силу (6.8), (6.12) для завершения доказательства леммы
осталось проверить, что при малом t
deg(H„ D, 0) = deg(G', 5, 0).	(6.13)
Достаточно показать, что при малых t для .ve[0, 1], cedD
или
g;(c)+aJ[g;(a(/t, c))-g;(c)]Jt/o.
; о
I
78	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Последнее следует из оценки в (6.7) и дифференци-
руемости отображения G'„(c). Равенство (6.13) завершает
доказательство леммы, а, следовательно и теоремы 6.1.
Отметим еще аналогично доказываемый результат о степе-
ни отображения, являющегося производной невырожденного
растущего функционала. По-прежнему X - рефлексивное се-
парабельное банахово пространство.
Определение 6.1. Пусть &: X-> R1—функционал, име-
ющий в каждой точке иеХ производную по Гато
Функционал называется невырожденным, если при некото-
ром R>0 .^5''(и)/0 для || и || R.
Определение 6.2. Функционал & . X R1 называется
растущим, если при любом сеТ?1 множество {и: иеХ,
^(и)^с} ограничено в X.
Теорема 6.2 [406]. Пусть J* : Т-»/?1 — непрерывный
функционал, имеющий в каждой точке иеХ производную
Гато ^’(и). Предположим, что &— невырожденный растущий
функционал и отображение ЗГ’ принадлежит A(Br) при
каждом R.. Тогда
lim DegBR, 0)=1.
Доказательство проводится аналогично доказательству
теоремы 6.1.
§ 7. Применение степени отображения
к разрешимости операторных уравнений
Указанные в § 4 свойства степени обобщенных монотонных
отображений позволяют устанавливать некоторые признаки
разрешимости операторных уравнений, исследовать свойства
отображений рассматриваемых классов, рассматривать вопро-
сы ветвления и оценки числа решений нелинейных оператор-
ных уравнений.
Применение к операторным уравнениям топологических
методов, основанных на понятии степени отображения, позво-
лило просто обобщить результаты о разрешимости уравнений
с коэрцитивными либо нечетными операторами и получить
новые теоремы существования. Топологический подход позво-
ляет, в частности, включать операторные уравнения в пара-
метрическое семейство уравнений того же вида и сводить
исследование разрешимости к установлению отличия от нуля
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ	79
степени более простых отображений и получению априорных
оценок.
Отметим вначале простое следствие теорем 4.1 и 4.3.
Теорема 7.1. Пусть X—рефлексивное сепарабельное ба-
нахово пространство, D — ограниченная область в X с границей
dD, A: D х [0, 1] -> X* — ограниченный деминепрерывный опе-
ратор и предположим, что:
1)	семейство операторов А, = А(-, г) удовлетворяет усло-
вию	и оператор А-, удовлетворяет условию a0(Z>);
2)	А(и, г)/0 при uedD, ге[0, 1];
3)	Deg(^0, D, 0)/0.
Тогда уравнение Atu = 0 имеет в D по крайней мере одно
решение.
Из теорем 7.1, 4.4, 4.5 получается
Теорема 7.2. Пусть X—рефлексивное сепарабельное ба-
нахово пространство, /е[0, 1], Л,: X -> X* — семейство огра-
ниченных деминепрерывных операторов, удовлетворяющих усло-
вию a(Y) и таких, что для произвольного ограниченного
множества В с X At(u) непрерывно зависит от t, равномерно
по иеВ. Предположим, что выполнены условие 1) и одно
из трех условий 2') — 2"'):
1) существует непрерывный функционал R .X^R1 такой,
что из Atu = h, /е[0, 1] следует ||и|| <7?(Л);
2') оператор Ао коэрцитивен, т. е. удовлетворяет условию
(4.1) гл. I;
2") оператор Ао нечетен, т. е. Ло( — и)= — Аои для иеХ;
2"') X, X*—равномерно выпуклые пространства и
lim 11|+	+«).	(7.1)
||и|| —cot	J
Тогда уравнение A{u = h разрешимо для произвольного heX*.
Отметим только доказательство теоремы при выполнении
условия 2"'). Пусть heX* и R = R(h)—число, определяемое
согласно условию 1). Достаточно доказать, что Deg(/lo — h,
BR, 0)/0. Выберем число Rt > R настолько большим, что
11^11* + ^ >2||й||, при ||«||=^1.	(7.2)
J и I,
Покажем гомотопность отображения Ао — h на BRi дуальному
отображению J: Х->Х*. Проверяем, что
(Aou-h)+(l-t)Ju*0 при Ге[0, 1],	(7.3)
80	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Если бы существовали zoe[0, 1], иое^к1 такие, что
го(Лоно —й) + (1 —/ормо =0, го проверяется, что, во-первых,
/0 > 0, во-вторых,
Момо II * II мо II + II М-
'о
Отсюда
-Ц<Лоио, и0 > +1| Аоио || * <2||й ||*,
Il «о II
что противоречит (7.2). Таким образом, из условия 1 и (7.3)
имеем
Deg(^0-h, BR, 0) = Deg(To-/i, BR1,0) = Deg(J, BRj, 0)=l,
и последнее равенство следует из теоремы 4.4. Отсюда и из
теоремы 7.1 получаем утверждение теоремы 7.2 в случае 2"').
Теоремы существования при условиях вида (7.1) были
получены многими авторами — Браудером, Фитцпатриком,
Петришиным и др. Относительно этих результатов и даль-
нейших библиографических ссылок см. [74и ]. В 2"') можно
освободиться от ограничений на пространства X, X*, исполь-
зуя результаты Асплунда и Кадеца, согласно которым норму
в X можно выбрать гак, чтобы X, X* были локально
равномерно выпуклыми.
Отметим еще одно следствие теоремы 7.1, которое
может быть полезным при доказательстве разрешимости
граничных задач.
Определение 7.1. Оператор А :У-> X* называется асимп-
тотически однородным, если он может быть представлен
в виде Л = Л0 + Л1, где Ао- -положительно однородный
оператор порядка к, т. е. A0(tu) — tkA(l(u) при t>0 и
lim ||Л1М||х*-||«||/ = 0.
1| и II -► 00
Определение 7.2. Асимптотически однородный оператор
А называется регулярным на бесконечности, если к > О
и уравнение Лои = 0 имеет только нулевое решение.
Теорема 7.3. Пусть А : X -» X* — асимптотически одно-
родный регулярный на бесконечности оператор. Предположим,
что А, Ао — операторы класса А(Х) и что индекс нуля
отображения Ао отличен от нуля. Тогда уравнение Au — h
разрешимо при любом heX*.
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ	81
Доказательство. Покажем сначала, что inf{|| Аои || * :
|| и || = 1} >0. Обозначим указанный inf через d и предположим
противное, d=0, так что существует последовательность м„
закая, что ||и„|| = 1, Лои„->0 в X*. Можем считать, что
w„-^u0. Тогда из условия а(У) следует сильная сходимость
и„ к и0 и равенство ||w0|| = 1, Аоио = 0. Это противоречит
регулярности отображения А на бесконечности.
;|При заданном heX* выберем R столь большим, что
,;dRk >	||x* + sup{ || AjW ||	: ||w || = Я}].	(7.4)
Возможность такого выбора обеспечивается определением
асимптотической однородности оператора А.
Покажем, что к семейству отображений А,(и) = Аои +
+ t(Alu—h) при ueBR = {u: ||w||^7?}, ze[O, 1] применима
теорема 7.1. Выполнение условия 2) этой теоремы следует
из оценки
II Д(И) II X* |МоИ II X* — II •'41 и II X* — II II X*
>dRk-\\AlU\\x*-\\h\\x*>'-dRk,
получающейся из (7.4).
Условие 3) теоремы 7.1 обеспечивается предположением
на индекс нуля отображения Ао. Проверим еще выполнение
условия	Пусть w„, t„- произвольные последова-
тельности такие, что uneoBR, z„e[O, 1], и„---и0,
и
lim <Л,п(и„), u„-wo> = 0.
п -* х
Отсюда следует, что
lim {(1 -Го)<Аои„, u„-u0)+t0(Au„, w„-wo>} = 0,
 п -* X
и сильная сходимость подпоследовательности ип следует из
принадлежности отображений Ло, А классу А(Х).
Тем самым, выполнены все предположения теоремы 7.1,
и отсюда следует, что уравнение Au = h имеет хотя бы одно
решение.
Покажем, что понятие степени позволяет доказать для
рассматриваемых отображений инвариантность области.
Определение 7.3. Говорим, что определенный на
I открытом множестве D банахова пространства X оператор
,  6 И. В. Скпыпник
82
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
А локально удовлетворяет условию я и локально взаимно
однозначен, если для каждой точки uoeD существует шар
Bro(wo)={u: || и —и0 || < г0} такой, что BrQ(w0) с D и А взаимно
однозначен на BrQ(u0) и удовлетворяет условию а(ДГо(ио)).
Теорема 7.4. Пусть X—сепарабельное рефлексивное ба-
нахово пространство, D — открытое множество в X,
А : D-> X*— непрерывный локально взаимно однозначный опера-
тор, локально удовлетворяющий условию а. Тогда множество
Л(£>) открыто в X*.
Доказательство. Достаточно проверить, что для про-
извольной точки uoeD при некотором г0 >0 множество
лв (и0) содержит окрестность точки Аи0. Число г0 выберем
так, чтобы на ВГо(ио) отображение А было взаимно одно-
значным и удовлетворяло условию а(Д.о(ио)). Можем считать
дальше, что ко = 0, Лко = 0.
Докажем, что при некотором 5 > 0 || А и || * > 5 для и е
есВг . Предположим противное: существует последователь-
ность ип такая± что Aun-»0, ||w„J|=r0, и пусть и„ слабо
сходится к йеВГ(). Из условия a(BrQ) сразу следует: и„->й,
||й||=г0, Ай=д, что противоречит взаимной однозначности
А на шаре В,о.
Проверим теперь, что для произвольного Ле У* такого,
что ||Л||#<5, семейство отображений Atu — Au — th, ге[О, 1]
осуществляет на Вг гомотопию отображений Au, Au — h
в соответствии с определением 4.2. Из доказанной выше
оценки ||Ли||#^5 для иедВГо следует, что при /е[0,
1], иедВГо. Выполнение для семейства А, условия aJPfSB,. )
следует непосредственно из условия а(5Г()) для отображения А.
Разрешимость уравнения Au — h в Вг , а вместе с ней
теорема 7.4, будут следствием теоремы Yl, если докажем,
что _Ое§(Л, В, , 0)#0. Рассмотрим семейство отображений
At: BrQ -» X*, re [0, 1], где
Это семейство осуществляет гомотопию отображения А и А{.
Проверим выполнение условия а^}(дВг ). Пусть ип, t„ — такие
последовательности, что
пледД.о, г„е[О, ],	'«-'о- Л„(
lim/.4( -Y- |-Л|), и„ — ио\ = 0.
п-.®\	\ ' +гп /	\	1 +г„ /	/
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ
83
Имеем отсюда выполнение хотя бы одного из неравенств
(переходя, если нужно, к подпоследовательностям)
lim / А
п~* со \
lim / А
п~* оо \
причем выполняются оба неравенства, если t0 = 0. На основании
условия а(Вг ) получаем ^теперь сильную сходимость и„ к и0.
Покажем еще, что Л((к)/0 при ?е[0, 1], ие32?Го. Это
следует из того, что равенство Л((и) = 0 и, следовательно,
.( и \	/ tu \
Л1 -j-j-j I —Al — y-j-j 1 противоречит условию взаимной одно-
значности отображения А в ВГ().
Из доказанного следует, что Deg(/4, BrQ, 0) = Deg(^1, ВГо, 0).
Последняя же степень нечетна, а следовательно, ненулевая
по теореме 4.5 в силу нечетности отображения A t. Это
завершает доказательство теоремы 7.4.
Отметим, что инвариантность области для локально
Л-собственных отображений, обладающих специальной ло-
кальной Л-собственной гомотопией, доказана Петришиным
в [746].
Степень отображения является полезным понятием при
изучении собственных значений и ветвления решений нелиней-
ных операторных уравнений (см. [77а]). Отметим ее приложе-
ние к задачам о точках бифуркации.
Дальше U—некоторая окрестность нуля сепарабельного
рефлексивного банахова пространства X, A:U -> X*, Т:
U -»X* — нелинейные отображения, удовлетворяющие усло-
виям:
а)	Л — отображение класса Л(С), введенного определени-
ем 2.3, Л 0 = 0;
b)	Т—вполне непрерывное отображение, 7’0 = 0.
Будем рассматривать вопрос о точках бифуркации
уравнения
Аи + кТи = 0.
(7.5)
Определение 7.4. Число Хо называем точкой бифуркации
уравнения (7.5), если для произвольного е > 0 существуют
uceU, ^eR1 такие, что А ис + ^Тиг=0, |Хе—Z0|<e,
0<||ue||<£.
Можем считать, что при некотором 5о>0 нуль — изоли-
рованная критическая точка отображения Л + Х77 при
6*
84
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
|Х—Х0|^50, так как в противном случае Хо уже будет
точкой бифуркации. Тогда определен при |Х —Х0|^80
индекс нуля отображения Л + ХГ, 1пб(Л + ХТ, 0) и пусть
Г(Х0) = lim 1пб(Л+ХТ, 0),
х —* х0+о
Г(А.0)= lim 1пб(Л + ХТ, 0).
х -* х0 ± о
Теорема 7.5. Пусть отображения А, Т удовлетворяют
условиям а), Ь) и среди чисел
Г(Х0), ГМ Г+М ГМ М(Л + Х0Т, 0)	(7.6)
имеется хотя бы два различных. Тогда Хо — точка бифуркации
уравнения (7.5).
Доказательство. Пусть, например, различны первые
два числа в (7.6). Тогда при любом е>0 можно указать
Хр, Х‘2) такие, что 1пб(Л+ Z[1,7’, 0)/Ind(/4+A,ET, 0),
Хо—е < X*1* < Хо_, Хо — е < Х*2) < Х9. Выберем 5е(0, е) так, что
Deg^ + X^T, Bs, 0)=Ind(/l + M‘>T, 0), i=l, 2. Тогда
Deg(/4 + ХГГ Bs, 0)/Deg(^ + M2)7’, Bs, 0).
Отсюда следует, что отображения Л + Х*1*?7, Л + Х*2)Т негомо-
топны на 2?s и, следовательно, при некоторых wEedBs,
гЕе[0, 1] выполняется равенство
ЛиЕ + [Х^>гЕ + М2>(1-/Е)]ТпЕ = 0.
Это доказывает, что Хо- точка бифуркации уравнения (7.5).
Аналогично рассматриваются остальные варианты различных
пар чисел в (7.6).
Сейчас укажем необходимые условия точки бифуркации.
Предполагаем, что операторы Л, Т имеют в нуле производные
Фреше, которые обозначим соответственно через Л', Г.
Оператор Т' вполне непрерывен (см. [45]). Введем еще
следующее условие, усиливающее условие 3) теоремы 5.2:
с)	для произвольного ограниченного множества Кс R1
при достаточно малом е > 0 слабое замыкание множества
<ДЕ,к = Г= ц—р t(Au + kTu)+(l — t)(A'u + ’kT'u) = 0,
0< П w || <£, 0< 1, ХеК}
не содержит нуля.
Теорема 7.6. Пусть U—окрестность нуля пространства
X, A : U-+X*, Т: U -> X* — нелинейные операторы, имеющие
в нуле производные Фреше и удовлетворяющие условиям а),
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ
85
Ь), с). Для того чтобы число Хо было точкой бифуркации
уравнения (7.5), необходимо, чтобы уравнение
A' u+k0T' и = 0	(1.1)
имело ненулевое решение.
Доказательство. Пусть Хо — точка бифуркации уравне-
ния (7.5) и пусть Х„, и„ таковы, что
Аи+к„Тип = 0, |Х„-Х0| <’, 0<	<1.
л	п
Из условия с) следует, что слабый предел г0 последова-
тельности v„ = || ип || “1 и„ отличен от нуля. Переходя к пределу
в равенстве ||к„|| “ ’(Л u„ + X„Tu„) = 0, получим, что г0—решение
уравнения (7.7), откуда следует утверждение теоремы.
Дадим еще один признак точки бифуркации.
Теорема 7.7. Пусть операторы А, Т удовлетворяют
всем предположениям теоремы 7.6, (А'и, и)>0 при w^O
и оператор F= —(A')~l Т': Х^Х определен и вполне непре-
рывен. Тогда всякое характеристическое число нечетной
кратности оператора F является точкой бифуркации урав-
нения (7.5).
Доказательство. Пусть Хо- характеристическое число
нечетной кратности оператора F. Для отображения Л + ХТ
при X, достаточно близких к Хо, Х/Хо, выполнены все
предположения теоремы 7.5 (при Г=-ХТ')- Применяя эту
теорему, имеем
г (^о) = ! (^о)= — г + (^о)= —
где	— те же числа, что и в (7.6). Теперь
утверждение теоремы 7.7 следует из теоремы 7.5.
Замечание 7.1. В случае гильбертова пространства
X ограничения на операторы А, Т в теоремах 7.6, 7.7 можно
заменить соответствующими условиями теоремы 5.3 (см.
[77а]).
Замечание 7.2. Условия теоремы 7.6 обеспечивают
дискретность множества точек бифуркации уравнения (7.5).
Вообще же это множество может содержать интервалы
на вещественной прямой. В связи с этим приведем пример
из [77а].
Пусть Х—1Р— линейное пространство всех числовых после-
довательностей н = {с„], для которых конечна норма
Г “С	1/р
IIм II X с" f ’ Р > 2, Р — четное число.
L п~ 1 J
86
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Определим операторы А, Т:Х->Х* равенствами
<Ли, v)=x(cpn Ч-^V,
и—1 \	П )
<Ти, е> = -2£
п= 1 П
U = М, v = {d„},
где х„—некоторая сходящаяся к 1 последовательность, х„< 1,
/: R1 -» R1 — следующая кусочно линейная функция:
О
/(0=5 2p(t-l)+l
при |t-l| > —,
1 2р
при
2р; 1
t^i+—
Легко проверить, что А — ограниченный непрерывный
оператор, удовлетворяющий условию а(У), Т—вполне непре-
рывный оператор, А, Т имеют в нуле производные Фреше,
Г' = 0 и уравнение А'и = 0 имеет только нулевое решение.
Оператор А + Т удовлетворяет условию 3) теоремы 5.3.
Если Аи+Ти=—(А'и+Т'и), то с£ 1 +	—
|| А’и+Т'и ||/	’	пр~2
— 2х/—j = — к > 0 или, обозначив d=nc„, имеем
"„Р-1	„Р-2’	"
^-1+(1+ЛЦ-2х/’К)=0,
и легко проверить, что последнее уравнение имеет только
нулевое решение.
В рассматриваемом примере уравнение (7.7) не имеет
ненулевых решений. В то же время 1 — точка бифуркации
уравнения (7.5). В самом деле, уравнение (7.5) при Х=х„-1
имеет решение wfc = {c(l'c)}, где ci,n)=-, с(„к> = 0 при к^п.
Построенный пример любопытен еще и тем, что показы-
вает, что для уравнения (7.5) точки бифуркации могут
полностью заполнять интервалы. В построенном примере
точками бифуркации являются все X, удовлетворяющие
неравенству 1	-|-оо. В самом деле, разрешимость уравне-
ния (7.5) сводится к разрешимости уравнения
dp~l + d„ = 2kKnfldn).	(7.8)
Как легко видеть, при X > 1 и достаточно большом
п уравнение (7.8) имеет решение dn(k), 0<tZ„(X)^l. Тогда
d (XI
решениями уравнения (7.5) будут wJt(X) = c*fc)(X), где c/(X)= -^-2,
§ 7. ПРИМЕНЕНИЕ СТЕПЕНИ ОТОБРАЖЕНИЯ	87
с!,к)(А.)=0 при к^п, откуда и следует, что все —точки
бифуркации уравнения (7.5).
Приведенный пример показывает, что в условии теоре-
мы 7.6 даже нельзя заменить условие с) условием 3) теоре-
мы 5.2.
В заключение приведем еще два применения теорем § 6.
Следующие теоремы 7.8, 7.9 доказаны в [406].
Теорема 7.8. Пусть X—рефлексивное сепарабельное бана-
хово пространство, S' :Х^ R1 — нелинейный функционал, имею-
щий в каждой точке иеХ производную Гато S''(и). Пред-
положим, что S'—растущий функционал и при каждом
R отображение S'" принадлежит классу A(BRj. Тогда суще-
ствует по крайней мере одна критическая точка отображения
S'1. Если отображение S'’ имеет две критические точки и2,
и 2, являющиеся точками локального минимума функционала
S', то существует еще третья критическая точка отоб-
ражения S'’.
Доказательство. Можем считать, что ЗЕ— невырож-
денный функционал, иначе справедливо утверждение теоремы.
Тогда при достаточно большом R Deg(.^', BR, 0)= 1, откуда
в силу следствия 4.1 существует в BR решение уравнения
.^'(к) = 0. Пусть теперь последнее уравнение имеет два
решения иг, и2. Существование в этом случае третьей
критической точки отображения S'1 докажем методом от
противного. Если бы в BR, кроме w15 и2, не было других
критических точек, то по теореме 6.1 Ind(J^', к,)= 1, 1=1,2
и далее по теореме 4.1	Deg(.^', BR,0) = Ind(J*',u1) +
+Ind(.F',_u2) = 2. Это противоречит ранее найденному значению
Deg(.^', BR, 0) и доказывает теорему 7.8.
Сформулируем еще один результат для слабо полуне-
прерывного снизу функционала, определение которого дано
в § 1 гл. 1.
Теорема 7.9. Пусть S'.X-^R1- слабо полунепрерывный
снизу функционал, удовлетворяющий условиям теоремы 7.8,
и предположим, что отображение S'’ имеет критическую
точку Uj ненулевого индекса. Если существует точка и2еХ,
и2^и1, для которой S' (и2)<S' (и j, то отображение S’’
имеет не менее трех критических точек.
Доказательство. По условию множество {и, иеХ:
& (и) ЗЕ (0) + 1} ограничено, т. е. содержится в некотором
шаре BR. Как и в предыдущей теореме, R можем считать
таким, что Deg [S'1, BR, 0)= 1. Покажем, что в шаре BR
существует точка и0 такая, что .E(u0) = v = inf ЗЕ (и), а следова-
88
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИИ
тельно, («о)— inf SP (и). Пусть «„ —минимизирующая после-
не X
дователыюсть, г. е. ,^(u„)->v, uneBR. Можем считать, что
и„ -и(]. Из слабой полунепрерывности снизу следует
.^(«0)^v, что возможно только при .^(«0) = v.
По условию теоремы имеет место неравенство .J*(«o)<
(u2);g/F(«1). Если ,^(«0) = J5'(«1), то ut, и2— две точки
локального минимума функционала &, и существование
третьей критической точки следует из теоремы 7.8. Если
^'(и0)<.^(и1) и в BR нет отличных от и0, критических
точек, то противоречие следует из
1 = Deg(.^', BR, 0)= Ind(.^', u0)+Ind(.F',	1,
так как Ind(/F', м0)= I, a Ind(.F', по условию. Тем
самым теорема доказана.
§ 8. Дополнительные замечания и результаты
Во-первых, отметим, что построения § 3 не предполагают
ограниченности отображения А. Так что, вообще, результаты
предыдущих параграфов могут быть получены без дополни-
тельного условия об ограниченности оператора А. Избранный
выше способ изложения определялся только более простыми
доказательствами.
Во-вторых, многие из доказываемых в этой главе результа-
тов можно получить для более общих классов операторов,
чем операторы, удовлетворяющие условию (5) +. В частности,
это можно сделать для псевдомонотонных, а следовательно,
и для монотонных отображений, отображений с полуог-
раниченной вариацией.
Используя введенную в § 3 степень отображения, предыду-
щие результаты можно получить и для несепарабельного
пространства.
Сформулируем один из результатов.
Теорема 8.1. Пусть X—рефлексивное банахово про-
странство, /е[0, 1], At: Х-^Х*— семейство деминепрерывных
псевдомонотонных операторов таких, что для произвольного
ограниченного множества В с X Tt(u) непрерывно зависит от
t, равномерно по иеВ. Предположим, что выполнены условие
1) и одно из трех условий 2')— 2"') теоремы 7.2. Тогда
уравнение Alu = fi разрешимо для произвольного heX*.
Отметим результаты об однозначности определения сте-
пени свойствами, аналогичными свойствам 1) — 3) из § 1.
§ 8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
89
1. Единственность степени отображения. В работах Брауде-
ра [15з—15к] обсуждались условия, однозначно определяю-
щие введенную автором степень отображений монотонного
типа. Ограничимся рассмотрением отображений класса (S) +
в случае равномерно выпуклых пространств X, X*.
Пусть D — ограниченное открытое множество пространст-
ва У и рассмотрим семейство отображений A(D), определен-
ное в § 2. Как видели в § 3, этому семейству в случае
равномерно выпуклых пространств X, X* принадлежит и ду-
альный оператор J, ставящий в соответствии элементу иеХ
функционал JueX*, удовлетворяющий условиям
<Ju, w> = ||w||2, || Jm||# = ||w||.
Предположим, что при произвольных AeA(D), открытых
подмножествах G с D и heX*, h$A(dD) определена цело-
численная функция d(A, G, h^, удовлетворяющая условиям:
Y)_нормировки: если d(A, G, Л)/0, то heA(G); для каждого
heJ(G)\j(8G) d(j,G,h)=l, где J—дуальный оператор;
2)	аддитивности относительно области: пусть Gb G2 — не-
пересекающиеся открытые подмножества _G с D и пусть
/?^A(G\(G1(JG2)), тогда d(A, G, h) = d(A, G1; h)+d(A,G2,h);
3)	инвариантности относительно гомотопии: если At, h„
/е[0, 1],— соответственно параметрические семейства отобра-
жений из A(D) и элементов из X* такие, что отображение
(At — ht)(u) = Atu — ht осуществляет гомотопию на G с D в смы-
сле определения 4.2, то d(At, G, ht) имеет постоянное значение
при ?е[0, 1].
Теорема 8.2. Если целочисленная функция d(A, G, h),
определенная при AeA(D), G с D,_heX*\A(8G), удовлетво-
ряет условиям 1) — 3), то d(A, G, h) = Deg\A —h, G, 0), где
Deg(A—h, G, 0) — степень отображения (A — h)(u) = Au — h, вве-
денная в § 3.
Замечание 8.1. Предположение об инвариантности фун-
кции d(A, G, h) относительно гомотопий в смысле определе-
ния 4.2 можно ослабить, заменив ее инвариантностью только
относительно линейных гомотопий Я( = ?Я0 + (1 — t)At.
2. Степень A-собственных отображений. Для широкого
класса определенных Петришиным в [74а] аппроксимацион-
но-собственных (Я-собственных) отображений Браудером
и Петришиным [16а, 166] введена многозначная степень. Эти
результаты Браудера — Петришина излагаются ниже.
Определение 8.1. Пусть X, Y—сепарабельные вещест-
венные банаховы пространства. Будем говорить, что четверка
последовательностей Г({А'„}, {У„}, {Р„}, {б„}) образует аппро-
90	ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
ксимагщонную схему для отображений X в Y, если при п — 1, 2, ...
выполнены условия: Х„, Yn — конечномерные подпространства
соответственно X, Y, dimХ„ = dim У„, Р„: Хп^>Х, Q„: Yn^>Y—
непрерывные, вообще говоря, нелинейные отображения.
Определение 8.2. Пусть G—открытое подмножество
X. Отображение Т: G->Y будет называться А-собственным
относительно аппроксимационной схемы Г, если для произ-
вольных yeY и последовательности хп, удовлетворяющих
условиям х„.еХ„., Pn.xn.eG, пу-+<Х), ||(2„ТР„.х„.-()„}у11г->(),
существуют хеХ и последовательность х„ такие, что Тх—у,
Р„ Х„ ->Х.
ь» ,|Ь>	. , ,	—
Пусть G„ = P„ (G), T„ = Q„TP„: G„-> Y„, так что диаграмма
X=>G Лу
коммутативна. Конечномерное уравнение T„x„ = Q„f(x„eG„,
QnfeY„) аппроксимирует уравнение Tx=f (xeG, /еК).
Легко проверяется
Лемма 8.1. Пусть Т: G-+Y—А — собственное относи-
тельно Г отображение, aeY\T(dG). Существуют d>0 и
No такие, что при n^N0, xnedGn выполнено неравенство
\\Tnxn-Qna\\Zd.
Будем предполагать, что при каждом п множество G„
ограничено. Из леммы 8.1 следует, что при достаточно
больших п для произвольного элемента aeY\T(dG) опреде-
лена степень отображения Т„: G„->Y относительно точки
Q„a, которую обозначим deg(T„, G„, Q„a). Это делает содержа-
тельным
Определение 8.3. Пусть Т: G->Y—непрерывное Л-соб-
ственное относительно Г отображение, Z—множество всех
целых чисел, Z' = Z|J{ — оо, 4-оо}, де Y\T(dG). Многозначная
степень отображения Т относительно а — это множество та-
ких и только таких элементов у из Z', что deg('T„l, G„t, Q„ka\-*
->у при ик->оо для некоторой подпоследовательности пк.
Обозначим многозначную степень через Deg (Г, G, а).
Основные свойства Deg (Г, G, а) дают следующие теоремы.
Теорема 8.3 [166]. Пусть Т: G->Y непрерывное А-соб-
ственное относительно схемы Г отображение, aeY T(SG).
Предположим, что при каждом п множество Gn — Р~1 (G)
ограничено. Тогда:
1)	множество Deg(T, G, а) непусто;
2)	если Deg(T, G, д)^ {0}, то существует точка xeG
такая, что Тх = а;
§ 8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ	91
3)	если при всех п область Gn инвариантна относительно
отображения т, т( —х)~ — т(х), Т„ нечетно на oG„ и Q„a = 0,
то Deg (Г, G, а) не содержит ни одного четного числа',
в частности, Deg(T, G, а)/{0};
4)	пусть G = Gl{JG2, G' = GinG2U6GllJdG2 и афТ(С);
тогда
Deg(T, G, а) £ {yeZ': у = у1+у2, y1eDeg(T, а),
y2eDeg(T, G2, а)}
и при этом условимся считать + оо+(—oo) = Z'.
Будем называть семейство {Q„} равностепенно непрерыв-
ным, если для произвольных е > 0 и ограниченного множества
В в Y существует 5 = 5(е, В) такое, что || Q„x—Q„y\\ <е, если
х, уеВ, ||х—у||<8, л=1, 2, ... .
Теорема 8.4_ [166]. Пусть семейство {Q„} равностепенно
непрерывно, Н : G х [0, 1]-► Y—непрерывное отображение та-
кое, что Т([х) = Н(х, t) равномерно непрерывно по t при xeG
и при каждом Ze[6, 1] отображение Tt A-собственно относи-
тельно Г. Предположим, что множества Gn ограничены
и ае Y\H(8G х [0, 1]). Тогда множества Deg(Tt, G, а) не
зависят от t при /е[0, 1].
Доказательства обеих теорем получаются из соответ-
ствующих свойств степени конечномерных отображений. В ча-
стности, утверждение 1) теоремы 8.3 очевидно в силу сказан-
ного выше. Проверим выполнение утверждения 2) теоре-
мы 8.3. Если Deg(T, G, а)/{0},_ то найдется последователь-
ность пк такая, что deg(T„t, G„t, Qnka)^0. По теореме 1.2
найдется элемент xneGnt такой, что Tnkxnk = Qnia. Дальше
все следует из определения ,4-собственного отображения.
Утверждение 3)—очевидное следствие теоремы Люстерни-
ка—Шнирельмана — Борсука [45]. Для доказательства тео-
ремы 8.4 достаточно проверить, что при некотором
выполняется неравенство (Tt)nx„ — Q„a^0, если	/е[0,
1], x„gG„. Это можно сделать методом от противного.
Отметить практически важный пример ,4-собственных
отображений. Пусть X—сепарабельное рефлексивное бана-
хово пространство, (Х„} — последовательность конечномерных
подпространств в X такая, что Хп с Хт при п < т, (J Х„ = X
и Р„—линейные проекторы X на Х„, л=1,2, ... Можно
показать, что при определенных условиях, например если
пространство X обладает шаудеровским базисом, удовлет-
воряющий условию (S) + непрерывный оператор Т:Х->Х*
92
ГЛ. 2. СТЕПЕНЬ МОНОТОННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
является Л-собственным относительно аппроксимационной
схемы ({Х„}, {X*}, {1„},{Р*}\ где Х„->X— вложение,
X* = Р* X*. Так что имеет место
Лемма 8.2. При выполнении условий Aj — А4 определенный
равенством (2.8) из гл. 1 оператор А: И-> V* — А-собственный.
Теория степени Л-собственных отображений распростра-
нена в работах Браудера [15ж], Фицпатрика [85] па отобра-
жения, являющиеся пределами Т-собственных. В частности,
в этих работах определена многозначная степень ограничен-
ного деминепрерывного псевдомонотонного отображения
Т: DaX-^X* относительно области D и элемента geX*
при условии, что geT’(cZ)).
Как следует из леммы 8.2, методы Браудера—Петришина
позволяют определить для отображений вида (2.8) из
гл. 1, вообще говоря, многозначную степень. Показанная
выше возможность ' обслуживать такие отображения од-
нозначным гомотопическим инвариантом—степенью, опре-
деленной в § 2, 3 этой главы,— обладает определенными
преимуществами перед применением многозначной степени.
Связано это прежде всего с аддитивностью относительно
области, возможностью эффективного вычисления индекса
критической точки.
ГЛАВА 3
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Теория степени отображений в банаховых пространствах,
начало которой положено замечательной работой Лере и Ша-
удера [52], с момента своего создания нашла применение
к нелинейным граничным задачам. В работе [52] был указан
способ сведения квазилинейной задачи Дирихле к опера-
торному уравнению и—Fu=0 с вполне непрерывным опера-
тором F. Вместе с тем, уже сравнительно давно были
замечены ограниченные возможности применения степени
Лере — Шаудера к более общим граничным задачам. За-
труднительно и связано с дополнительными ограничениями
применение этих методов к задаче Дирихле для общего
нелинейного уравнения [15 г]. При изучении задачи Неймана
для квазилинейных эллиптических уравнений при применении
схемы Лере — Шаудера дифференциальная задача сводится
к уравнению и—Фа=0 с непрерывным, но некомпактным
оператором Ф [49].
В связи с этим актуальным является введение для общих
нелинейных эллиптических граничных задач характеристик
типа степени отображения, позволяющих исследовать топо-
логическими методами вопросы разрешимости, ветвления
решений, оценки числа решений дифференциальных задач.
В данной главе вводятся такие топологические характе-
ристики. Наряду с традиционным применением степени
отображения к дивергентным граничным задачам (см. [77 а,
15 ж ]) главной особенностью главы является введение раз-
личных топологических характеристик как для недивергентных
дифференциальных уравнений, так и для общих нелинейных
граничных условий. В главе излагаются результаты, полу-
ченные автором в работах [77 д, 77 е, 77 м].
§ 1. Предварительные сведения из теории
линейных эллиптических задач
Пусть Q—ограниченная область в R" с достаточно
гладкой границей <3Q. Рассмотрим граничную задачу
94
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
L(x, D)u(x) = X па(х)£>ан(х) = /(х), xeQ,	(1.1)
| а|sj 2т
Bj{x, D)u(x)= X bj.v(x)D*u(x)=gj(x)’	О-2)
j= 1, m, xe<3Q
предполагая эллиптичность оператора L(x, £>) и выполне-
ние для задачи (1.1), (1.2) условия Я. Б. Лопатинского
[56]. Все функции в (1.1), (1.2) считаем вещественно-
значными.
Определение 1.1. Оператор L(x, £>) называется равно-
мерно эллиптическим в Q, если существует положительная
постоянная с0 такая, что для произвольных xeQ,
выполняется неравенство
c0|^|2m^ X	11 S 12т	(1-3)
|а| = 2т
Дадим одно из эквивалентных определений условия Ло-
а 1
латинского. Обозначим L0(x, ^)= X Й1(ХК’Д’ = £1
и пусть т;+(х,	р), г=1, ..., т,— ко!р^й2полинома Ь0{х, ^ + тг|)
с положительными мнимыми частями. При этом xeQ,
цеА", L0(x, ^ + тц) рассматривается как полином по т.
Определение 1.2. Говорим, что граничная задача (1.1),
(1.2) удовлетворяет условию Лопатинского (в другой терми-
нологии, система операторов {Bj(x, D),j=l, ..., т} накрывает
оператор L(x, D) на <?Q), если для любой точки xgcQ
и любой пары ненулевых векторов ре А" таких, что
£, касателен, а ц нормален к границе в c'Q в точке х,
полиномы комплексного переменного т
В;.0(х, ^+тт))= X bj. ₽(Х)(^ + ТП)₽> J=U т,
|₽| = т;
линейно независимы по модулю полинома
М + (х,	т], т)= П [т—т*(х,^,ц)].
i = 1
Другими словами, пусть при заданных х, £, ц
т- 1
В-0(х, п, т)= X bjk(x’ nh*
fc = 0
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ	95
есть остаток от деления 0(хД+тт]) на М + (хД, р, г)
(остаток от деления двух полиномов по т). Тогда условие
Лопатинского означает, что
D(x, £, n) = det || bjk(x, Е,, р) || /О
при xec'Q, соответственно произвольном касательном векторе
Е, и нормальном векторе р к <30 в точке х.
Будем говорить, что условие Лопатинского выполняется
равномерно, если коэффициенты bjр(х), |Р| = т равномерно
ограничены и с некоторой постоянной d>0 выполнено
неравенство
|О(хД,п)|></	(1.4)
для всех xec'Q, векторов ре/?", |£| = |р| = 1, соответственно
касательного и нормального к сП в точке х.
Будем рассматривать задачу (1.1), (1.2) при а(х)е РИ'р(П),
max {2т, mt+l, mm+l}. Потребуются пространства
Соболева дробного порядка для описания следов функций
из ICpfQ) на границе области Q.
При любом натуральном к и р> 1 определим пространство
И7? p(<3Q) как пространство функций, являющихся граничными
значениями функций н(х), принадлежащих	Можно
показать, в частности, что /’(5Q)cLp(5Q). В пространстве
к—-
WP р(д£1) определим норму
IIФII wk~ ?(гп) ~ *n^ IIи II и7* (п) >	(1 •
где нижняя грань берется по всем функциям и(х) из
IFp(Q), равным <р на границе. Можно дать эквивалентное
к — ~
определение нормы в WP не используя продолжение
<р(х) в область Q.
Пусть Q — ограниченная область в R" с границей 5Q
класса Ск и определим конечное число открытых множеств
adt., ..., °U,, покрывающих Q, и диффеоморфизмы <р;:
класса С, при которых <р;(®,) = В, = {yeRn: |у|< 1}, если
^,.сй, и <Pj(^;QQ) = Bt={j?e/?”: |у|< 1, ^н>0}, ср;(%фи) =
= Bi = {yeA": |_у'|<1, _уи=0}, если	Здесь у'-{у1,...
...,	-1). Пусть х,(х)—подчиненное покрытию {<,} разбиение
единицы, A.f(y) = x,.(<pi-1(>'))-
96
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Определим для u(x)eCk(cQ), 0<5< 1, р>1 норму

ie Г
В\
|ос|=А —1 <
8,
р dy'dz'
|^'_2'|ntp-l-Sp
(1-6)
где =	^у)), /' — множество индексов i,	для
которых	знак суммирования обозначает
суммирование по тем а, для которых последняя координата
э.„ равна нулю.
А--
Норму в пространстве WP р(8£1), определенную выше
при р> 1 и натуральном к как норма в пространстве следов
функций из ГКр(П), можно задать явно. А именно, нормой
1
в Wp p(<3Q), эквивалентной введенной в (1.5), является норма
||	определенная согласно (1.6).
Введем теперь пространство Wp 8(cQ) как замыкание
множества функций Ck(<?Q) по норме ||  II* 6, р,рП- Определение
и систематическое изучение пространства такого типа при-
надлежит О. В. Бесову. Относительно их свойств см., на-
пример, [69]. Определен^, оператор, ставящий в соответствие
любой функции ф)еИр(й) сужение ее на 3Q, являющийся
к— 
ограниченным оператором из И7р(П) в Wp /’(c’Q).
Вернемся к задаче (1.1), (1.2), предполагая, что функции
Ь] р(х) определены в области О и при некотором =
= шах{2м, + 1, ..., тт+1} выполнено условие:
А) гО, граница области Q, принадлежит классу С₽,\ ке
е(0, 1], коэффициенты пДх), |а|^2м, оператора L(x. D)
принадлежат пространству C'~2m,x(Q), и их нормы в этом
пространстве ограничены постоянной к0; при у=1, ..., т ко-
эффициенты , р(х), | Р|<mj, оператора ВДх, D) принадлежат
С'"тл1(0), и их нормы в этом пространстве ограничены
постоянной к0.
§ 1. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
97
При выполнении условия А) имеет смысл ограниченный
оператор
91: иЧ(П)->иЧ(П, <3Q) =
= w‘p~2m(Q) х Wp~m' ~p(dQ) x... x w‘p~m'"~~p(dQ),
Определяемый следующим образом:
. 9l« = {L(x, D)u, B^x, О)и\ъа, ..., Вт(х, П)ц|8П}.	(1.7)
Теорема 1.1. Предположим, что выполнено условие А).
Тогда следующие предложения эквивалентны
1)	L(x, £>) — эллиптический оператор и граничная задача
удовлетворяет условно Лопатинского',
2)	оператор 91: IFp(Q)-» IF?(Q, c'Q), определяемый равенст-
вом (1.7), нётеров, т. е. размерность ядра Кег91 конечна,
образ Im 91 замкнут и его коразмерность также конечна;
3)	существует постоянная с такая, что для произвольных
и(х)еИр(П) справедлива оценка
II «II<
т
j=l	1 р
+ 11 «Ио,р,п}> (1-8)
-1
•'де II -Hi.p.n»	1, д£1-нормы в И>), Wp mi P(5Q).
Априорная оценка р(1.8), эквивалентность условий 1), 3)
доказаны фактически в [1 ]. Эквивалентность этих условий
условию 2) доказывается аналогично [3].
Отметим, что, как следует из [1], с в неравенстве (1.8)
определяется постоянными с0, d из неравенств (1.3),
(1.4), постоянной /с0 из условия А), областью Q, числами
/. п, р, "К.
Из 2) следует конечность размерностей dim Ker 91,
Codim Im 91. Важной характеристикой является индекс опе-
ратора 91
ind9I = dim Ker 91—Codim Im 91.
Отметим, что индекс определяется только главными, со-
держащими старшие производные, частями операторов С(х,
/)), S;(x, D).
Замечание 1.1. При (/—10)р>п можно ослабить предпо-
ложение А), заменив его условием: коэффициенты аа(х),
|ot|^2m, bj р(х),	принадлежат соответственно про-
7 И. В. Скрыпник
98	ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
странствам Hrp-2m(Q), WJp~n,J(Q). Предполагается, что нормы
указанных функций в соответствующих пространствах не
превосходят некоторой постоянной к.
В этом случае также справедлива теорема 1.1. В частности,
неравенство (1.8) получается сейчас применением разбиения
единицы и локальных оценок вида (1.8). Также используется
интерполяционное неравенство Ниренберга—Гальярдо [70 а],
из которого при (/—10)р>п следует оценка
f , j~‘o	)
(1-9)
для у=/0 +1, ..., /-1, rj=!~^ "(Х)е
Отметим, что в условиях замечания 1.1 постоянная
с в оценке (1.8) определяется постоянными с0, d из неравенств
(1.3), (1.4), постоянной к, областью Q, числами /, /0, п, р.
Замечание 1.2. Как следует из [1], в случае единствен-
ности решения задачи (1.1), (1.2) справедлива априорная
оценка
II и III, р. я
Г	т	1
||Цх,П)«||(_2т.,п+£ И;(х,/>)»11/_т_1 Рй£1 (1.10)
(	3=1	1 Р )
для произвольной функции а(х)е HTp(Q).
§ 2. Введение топологических характеристик
в случае общих нелинейных эллиптических задач
Покажем здесь, как общие эллиптические граничные задачи
сводятся к рассмотренным в § 7 из гл. 2 операторным
уравнениям.
Что касается граничных задач для дивергентных, введен-
ных в гл. 1 уравнений, то возможность определения степени
соответствующих задачам отображений непосредственно сле-
дует из уже установленных свойств этих отображений.
Приведем непосредственные следствия теорем 2.1, 2.2 из
гл. 1 и определений 2.4, 3.2 из гл. 2.
Теорема 2.1. Пусть для ограниченной области Q в Rn
справедливы вложения (1.1) из гл. \ и предположим, что
функции Аа(х, ^) удовлетворяют условиям At)— А4) из § 2
гл. 1, /a(x)eLgJQ). Тогда для произвольной ограниченной об-
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
99
ласти DccV и введенного равенством (2.8) из гл. 1 оператора
A: V-+V* определена согласно §2 гл. 2 степень отображения
Deg (Л, D, 0), как только Аи^О при ue8D.
Теорема 2.2. Пусть для ограниченной области Q в R"
справедливы вложения (1.1) из гл. \ и предположим, что
функции Ла1(х, ^) удовлетворяют условиям А,)— А4), А'4) из
§ 2 гл. 1, /a(x)eL^(Q). Тогда для произвольной ограниченной
области DcV и введенного равенством (2.8) из гл. 1 оператора
А~. V-+V* определена (согласно определению 3.2 гл. 2) степень
отображения DEG (A, D, 0), как только 0фА(дП).
Степени Deg(^, D. 0), DEG(T, D, 0) и будут применяемыми
в дальнейшем характеристиками соответствующей подпрост-
ранству V граничной задачи для уравнения (2.4) из гл. 1.
Перейдем к рассмотрению нелинейных эллиптических урав-
нений с общими нелинейными граничными условиями.
Пусть Q — ограниченная область в R" с достаточно гладкой
границей oil, п0 =
+ 1, т, mt,
тт — неотрицательные
целые числа, ш>1. Обозначим M(q) число различных мульти-
индексов a=(ab ..., a„) с неотрицательными целыми координа-
тами а; длины |a| = a1 + ...+aB, не большей чем q.
Пусть /0 = тах(2/я, и^ + 1, ..., /ит+1) и предположим, что
определены функции
F-. Six RM{2m}-+Rl, Gf. ClxRMim?^Rl,	j= 1, ..., m,
7	J	3	J 1	4 t
имеющие непрерывные производные по всем своим аргумен-
там соответственно до порядков /—2иЦ-1, 1—т}+1, где
/- целое число, удовлетворяющее условию />/0+н0.
Функции F(x, Q, Gj(x, ц), ^={^: |а|^2т}, ц = {цр:
будем представлять также в виде
F(x, 0 = F(x, £0,	..., £2m), Gj(x, n) = G/x, т)0, .... тц),
где =	= Пк = {п,:
Будем использовать введенные в начале § 1 из гл. 1
обозначения £>“«, Dku и пусть
г с f-\ 5F^X'	г < з SGj(x, п)
Fa(x, У=———, G p(x, п) = —--------.	(2.1)
сП о
В настоящем параграфе будет сводиться к операторному
уравнению граничная задача
F(x, и, ..., D2mu)=f(x), xeQ,	(2.2)
Gj(x, и, ..., Dmju)=gj(x), j=l, ..., m, xeciQ.	(2.3)
100
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Эта задача будет рассматриваться в пространстве Н‘(£1) =
=	в предположении, что /(х)еЯ1'2т(П), gj(x)e
1
еЯ J 2(oQ) = Илг2'тз''2(5Я) и что 8Q, граница области й,
принадлежит классу С1.
Предполагаем выполненными условия:
1) для произвольной функции и(х)еЯ'(П) оператор
ЗД(»): Я'(й)-*Я'(й,ой) =	t
= Н‘“2m(Q) х Hl~m 1 (5S1) x... x Hl~mm-1(5Й),
определяемый равенствами
,а(р)н = (Л(р)н, Bt(v)u\sci,	(2.4)
где
L(r)u(x) = £ Fa(x, v, ..., D2mv)D*u(x), xe£l,
|a|«2m
Bj(v)u(x)= £ Gj p(x, v’ —, Dmiv)D^u(x),	xedQ,
нётеров и имеет индекс нуль;
2) существует функция Н: Qx7?JM(2m~1)->/?1 класса cl~2n+1
такая, что при произвольной функции геЯ'(Й) задача
L(v)u + M(v)u=0,	хей,
(2.5)
В;(р)н = 0, y=l, m; хесй
имеет только нулевое решение в Я'(й). Здесь
М(у)и= £	Я7(х, v, ..., D2m~lv)Dyu, Я7(х, ^) = ^-).
|уК2т-1
Замечание 2.1. Проделав простые изменения, можно
было бы вместо оператора M(v) из условия 2) использовать
вполне непрерывный оператор Г(г): Я'(О)-+Я1(Й, сП) такой,
чтобы оператор ?1(г) + Г(г) при геЯ'(й) устанавливал изомор-
физм соответствующих пространств.
При выполнении условия 1) подобный оператор Г(г)
можно построить, и поэтому класс задач, для которых ниже
вводится топологическая характеристика, определяется фак-
тически только условием 1).
Замечание 2.2. Построения настоящего параграфа могут
быть приведены и в том случае, если оператор Й1(г) имеет
положительный индекс. Если же индекс этого оператора
отрицателен, то не устанавливается взаимно однозначного
соответствия между граничной задачей (2.2), (2.3) и тем
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ	101
операторным уравнением, к которому она сводится. В этом
случае можно вводить дополнительные нелинейные функцио-
налы таким образом, чтобы решения операторного уравнения,
удовлетворяющие нелинейным аналогам условий ортогональ-
ности, являлись решениями граничной задачи.
Пусть f(x), gj(x)—фиксированные элементы пространств
Я'~2т(О), Я'-'"г1'2(йО). Определим нелинейный оператор
Лр Я'(П)->[Я'(П)]*:
<^jW, cp> = <F(x, и, ..., D2mu)-/(x), L(w)(p + M(u)(p>/_2m>n +
+ Е <Gj(x, и, ..., DmJu)—gj(x),	> 3n,	(2.6)
где	.„ -соо™.екно скалярные пр.,»,..
дения в пространствах Я‘(П), Нк 2(д£1).
Можно показать, что правая часть (2.6) является линейным
непрерывным функционалом на пространстве Я'(И), что
делает корректным определение оператора A t. Доказательство
ограниченности так возникающего функционала основывается
на неравенствах Ниренберга—Гальярдо и его не будем
сейчас приводить, так как подобные оценки указаны при
доказательстве теоремы 2.4.
Введение оператора At позволяет свести изучение разре-
шимости нелинейной граничной задачи (2.2), (2.3) к разреши-
мости нелинейного операторного уранения Л !«=().
Теорема 2.3. Для того чтобы функция и(х)еН‘(С1)
была решением задачи (2.2), (2.3), необходимо и достаточно,
чтобы А{и = 0.
Доказательство. Непосредственно из представления
(2.6) следует, что каждое решение задачи (2.2), (2.3) является
решением уравнения Л !« = (). Покажем, что справедливо
обратное утверждение, и пусть veHl(£l), A{v = Q. На основании
условий 1), 2) граничная задача
, L(v)u +M(v)u=p(x), xeQ,
Bj(v)u = qj(x),	j=\,...,m, xedQ.
имеет решение в	при произвольных р(х), цДх),
принадлежащих соответственно Я'~2т(П), Н1 mj 7(сП). Возь-
мем решение этой задачи при
p(x) = F(x, v, ..., D2mv)-f(x),
qj(x) = Gj(x, v, ..., Omw)-^(x)
102
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
в качестве пробной функции ср в равенстве (2.6). Получаем
0 = <Ли, cp> = ||F(x, v, ..., D2mv)—f(x)\\2-2m,n +
+ X IIgj(x’ v’ -,
j=i	2
где ll'lkn, ll*ll*--.c>n обозначают соответственно нормы
_1 2
в Нк (Q), Нк ?(dS2). Отсюда следует, что v—решение задачи
(2-2), (2.3).
Вопросы разрешимости нелинейной задачи (2.2), (2.3)
будут изучаться на основе степени отображения Л15 опре-
делить которую можем в силу следующей теоремы. Есл!
D—произвольная ограниченная область в пространстве Я1 (О
такая, что Atu^0 при uedD, то Deg(/k, D, 0) и является
искомой топологической характеристикой задачи (2.2), (2.3).
Теорема 2.4. При выполнении условий 1), 2) и l^-lQ + n0
определенный равенством (2.6) оператор Ах непрерывен, ограни-
чен и удовлетворяет условию а(Я'(П)).
Доказательство. Докажем ограниченность оператора
At, непрерывность его следует из оценок, получаемых в ходе
доказательства ограниченности и предложения 1.1 из гл. 1.
Рассмотрим выражение DaF\x, и, ..., D2mu) при 2т.
Простые вычисления показывают, что
DaF(x, и, ..., D2mu) =
= X Fp(x, и, ..., D2mu)Da^u+R,(u)=L(u)Dau+Rx(u), (2.7)
IP|S2m
где для Аа(и) имеет место неравенство
I Iq
|Ля(и)|^с0(Ал{ 1 lW’'°+ll,	(2.8)
lj = 'o+1	j
если для функции и(х) выполнена оценка
1МС,О(^М.	(2.9)
Аналогично проверяется, что
D!‘(M(u)v) = Rl а(и, г), D,‘L(u)v = L(u)D,,v + R0л(и, г), (2.10)
.где для Rka(u,v) справедлива оценка
|ЛЛ.«(И, v)i^coWhllclo(Q)j £ |W °+ф
° I—i
'-1	f'-i + 'o	т-7-	)
+ с0(М) X I^H X W' °+1 - * = 0,1,	(2.11)
‘ = 'о+1	О = 10 + 1	)
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
103
если функция и(х) удовлетворяет неравенству (2.9). В (2.8),
(2.11) с0(М)— некоторая непрерывная неубывающая поло-
жительная функция.
Для доказательства ограниченности оператора	доста-
точно проверить, что для произвольного А>0
supfK^w, ф>|: ||и||(<А, ||ф||(<1}<4-оо,	(2.12)
где || -1| I—норма в Я'(П). Оценим первое слагаемое правой
части (2.6) при || и 1| Л", ||ф||(^1. При этом в силу теоремы
вложения с некоторой постоянной К выполнены оценки
1Мс,0(й)^ Мс,0(й)^.
Имеем
l(F(x, и, ..., D2mu)-f(x), Л(и)ф + М(и)ф)г_2т,п|^
^{||F(x, и, ..., О2ти)||/_2т+||/||,_2т}-{||£(М)ф||1_2т +
4-||Л/’(и)ф||(_2т}	(2.13)
и оценим слагаемые в правой части на основании представле-
ний (2.7), (2.10) и неравенств (2.8), (2.11).
Получаем с некоторой зависящей от К постоянной су.
। ||F(x, и, ..., £>2ти)||/_2т^
ll«lh+ £	+1
j=V+i £2<;-ц
J~ ^0
(2-14)
и правая часть ограничена при || и || (< N, так как на
основании интерполяционного неравенства Ниренберга—Га-
льярдо имеем
j~lp ] J" Aj
7-/о
Здесь || • 17, —норма в Lq(£l), j=l0+1, ..., I-1.
Аналогично оценивается второй множитель в правой части
(2.13), например:
104
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
При получении последнего слагаемого в правой части (2.16)
было применено дополнительно неравенство Гёльдера.
Тем самым, на основании (2.13)—(2.16) получаем
sup||(/'(x, и, ..., Dmu)-f(x), Д(и)ф + 1И(и)ф)(_2т<я|: ||u||,^
|| Ф ||,^1 }<оо.	(2.17)
Аналогично может быть оценено второе слагаемое в пра-
вой части (2.6). Достаточно заметить, что оператор вложения
Hs(£l)-+ Hs 2(cQ) при 1 ограничен, поэтому
|(Gj(x, и, ..., Dmiu)—gj(x),	т
^с{||СДх, и, ..., Dmiu)\\l т.1П +
+ кЛг)11/-да._'
' т
Повторяя оценки, аналогичные (2.14), (2.16), получаем
sup{|(Gj(x, и, ..., Ртш)-^(х),	I м|: ||и||(^Л1,
' 1'
||ф||,^1} < оо.
Отсюда и из (2.17) следует (2.12), что и доказывает огра-
ниченность оператора A (.
Докажем теперь выполнение условия а). Пусть и„ — про-
извольная слабо сходящаяся к и0 последовательность, для
которой
Нт <Л!U„, й„ —м0> ^0.	(2.18)
П-—— 00
Из слабой сходимости и„ в Я'(П) следует сильная сходимость
и„ к и0 в С'о(П), так как 1—10^п0 =
п
2
+ 1 и соответствующий
оператор вложения 77' (£2) —С'<> (Q) является компактным.
Кроме того, из (2.15) следует сильная сходимость ип к и0
в -/,,)(Q) ПРИ
/“/о
Используя представления (2.7), (2.10), запишем
(F(x, и„, ..., D2mu„)-
-f(x), L(u„)(u„~u0) + M(u„)(йи-и0)),_2m.fi =
= L f 77s[F(x, u„, ..., D2mun)-f(x)']-{DxL(u„)(u„-u0) +
|a|«H-2m Q
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
105
+ D*M(u„)(u„-uQ}}dx =	£ f[L(Mn)Daw„+ /?„(«„)-
| а | $ I - 2т О
-Z>7(x)]-[L(w„)Da(u„-w0)+ X Rj,J.un~ u„-u0)]dx =
j-о
= {ЦУо)и„, L(u0)(un-u0))i-2m,a+ R»\	(2.19)
где
Rn}= L fu„) +
|a|^/-2m Q
+ RAun)-DWx)][L(u„yD°(u„-u0)+ £ /?Ла(ив, ия-и0)] +
j = o
+ D°\L (u0)u„) [L(u„) D *(u„- u0) - L (u0) Da(u„ - u0) -
1
-R0,i(40,u„-u0)+ X Rj.M, u„-u0)]}dx.
J=o
В силу неравенств (2.8), (2.11) и отмеченной выше сильной
сходимости и„ к и0 в С‘«(£1) и И7'(i_io) при j=l0 +1,	1
J~ ^0
следует, что
lim Я<1) = 0.	(2-20)
П—— X,
Перейдем к интегралам по сП, входящим в представление
и„~и0>, следующее из (2.6). Из определения оператора
Bj(y) имеем
G7(x, и„,	Dm1u„) =
= Gj(x, и0, ..., Отш0)+ j Bj(u0 + t(u„-uQ))(u„-u0}dt.
О
Тогда
(Gj(x, ип, ..., Отш„)-^(х), Я7(ия)(и„-Ио));_т/_‘.гп =
= (sAo)(M»~Mo), ^(мо)(«„-«о))/.-т.-1,гп+лй’	(2-21)
где
R^j = (Bj(uQ)(и„- и0), Bj(un)(и„-и0) -
-Sj(“o)k-Mo));_m _L ?q+(GA’ “о,	В>т'и0)~
' 2'
1
- £з(л ) + f Bj(uo +z («П- "о)) - «о)dt -
о
- S7(uo)(M„-Uo), Bj(u„)(u„-u0))	1 (1n.	(2.22)
' 2’
106	ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Покажем, что
lim Я<2}=0.	(2.23)
и-—- со
Пользуясь ограниченностью оператора вложения
-> W 2(дП), имеем, например, для первого слагаемого
2
в (2.22)
|(В;(и0)(и„-и0), Яу(ия)(ия-ив)-^(и0)(и„-и0)) _i
‘ 2'
< с || 5,(«о) К - “о) 11/_	• II	(и„ - и0) - Bj(u0)(и„ — w0) || /m
(2.24)
Применяя далее для оператора Bj представление вида (2.10),
устанавливаем, что первый множитель в правой части (2.24)
ограничен постоянной, не зависящей от п, а второй стремится
к нулю. Аналогично доказывается, что предел второго
слагаемого в представлении R‘„2j равен нулю, и, тем самым,
получаем (2.23).
Из сказанного следует, что
<Л1И„, и„-и0> =
= ||L(u0)(«„-u0)||(2-.2m,n+ X Ц5;(и0)(ия-и0)||2	, +Rn,
J=1
(2.25)
где R„ = (L(u0)u0, L(u0)(u„-uQ))l-2m,n + R(n" + £ и Яи-Н)
_>=i
при п->-ао.
Пользуясь априорной оценкой (1.8), применить которую
можем в силу замечания 1.1, получаем
II Un-и0 IIla < с{ IIL{и^(ип — и0) ||2_2mQ +
+ I 1|Я/(“о)(«я~«о)1|2	1	+ 1|Ип-ио|1о п}.	(2.26)
j=i	1-т!--,гп
Теперь из (2.18), (2.25), (2.26) следует сильная сходимость
ип к и0 в Я'(П), что и доказывает теорему.
Введенный равенством (2.6) оператор А2 может быть
определен при достаточно высокой гладкости функций F(x, Q,
Gy(x, т]}). Можно ослабить предположение о дифференцируе-
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
107
мости этих функций, вводя в рассмотрение соответствующие
операторы в W- (£2) при р>п.
Пусть функции £2 х Ям<2т)-»-Я1, G/ £2 х ЯМ(т1’->-Я1,
j= 1+, т + принадлежат соответственно пространствам
С0	, С °	™ и удовлетворяют условиям:
а)	для произвольной функции т(.т)е1Ур0 (£2) оператор
9l(v): И''ро+1(£2)-»~И'''р°+1(£2, d£2) =
= jy'/‘'2m(£2) x И''°+1~'”,-'(<Н2) x ... x И''”''(c£2),
определяемый равенством (2.4), нётеров индекса нуль;
б)	существует функция Н: £2 х ЯМ(2т~1)->-Я1 класса
с‘:-' т+ такая, что при произвольной функции ve IV ° (£2)
задача (2.5) имеет только нулевое решение в И/р + 1(£2).
Определим при /(x)eHzp“+1 2m(£2), gj(x)e IV°+ 1 p(d£2),
j=l, ..., m, нелинейный оператор Л2: W ° (£2)->-[IFp (£2)]*
равенством
<Л2и, p> =
|a|SI0+l-2т Я
+ Xxl X' f ^!’(>’)Фр{£)₽[сз,>(ь “о-
iel' 3=1 11 ₽l B\
..., D"4)-gj,>]|о₽[5з.<(“<) n(W +
+ X' И
I PI - <o m.
-Z>?[A.1(z)(G,- i(z, u, ..., П^И()-^и(2))]}{Р5[А.((у)Ял,(и()П(]-
(2-27)
Здесь использованы те же обозначения, что и в равенстве (1-6),
Фр(О=Ир''Ч «i(y)=«(q>r1Q')), п.(у)=п(фГ1(у)), gj.i(y) =
= gj((Pi Чу)), Gj,(y,	‘ut}y	— соответственно фу-
нкция и оператор, получающиеся из G/x, и, ..., D ‘и), Bj(u)
при замене у=(р,(х). В (2.27) А(и), М(и), ВДи)—те же
операторы, что и в (2.4).
Теорема 2.5. Предположим, что р>пи^ выполнены условия
а), б). Для того чтобы функция и(х)е W ° (£2) была решением
задачи (2.2), (2.3), необходимо и достаточно, чтобы А2и = 0.
/
108	ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Определяемый равенством (2.27) оператор А2 непрерывен,
ограничен и удовлетворяет условию a(lFp (Л)).
Доказательство теоремы проводится аналогично доказа-
тельству теорем 2.1, 2.2. Проверим выполнение условия а).
Пусть ип — произвольная слабо сходящаяся к и0 в (Q)
последовательность, для которой
lim (А2и„, u„-u0>^0.	(2.28)
и——со
Из слабой сходимости_и„ к и0 в ^^'(П) следует сильная
сходимость и„ к и0 в С °(П), так как_р>п, и соответствующий
оператор вложения IV р" (Q)->-Clo(Q) является вполне непре-
рывным.
Используя представления (2.7), (2.10), запишем при |а|^
< /0 + 1 — 2т
f	/]} х
л
х Oa[L(w„-M0) + М(u„)(u„-u0)]tZx =
= f фр{Д(М„)П’Ия + Яа(Ия)-П’/} х
Q
1
х [^(ии)£>а(“и-“о)+ X RiAun, u„-u0)]^ =
3 = 0
= f [Фр{л(Ио)пч+Ш)-°7} -
Q
x O(u0)Z>'x(u„-w0)tZx + 7?(i“,„,	(2.29)
где
f ^{L(u,)D‘u,+R.M~Dlf} x
{1	'j
X *;.«(“’ u„-“o) + (M„)£>“(«»-«o)~HuojD'fa-u^dx +
j = o	J
+ f L(u0}D^u„-u0)[^p{L(un)D^n + R^u„)-Dy} -
Q
-^p{L(u<))D^un + Rjun)-D^f}]dx +
+ f Фр{Ц«о)^Х + Яа(“Л-£7}МиОр“К-“оЖ	(2-30)
Q
Покажем, что R(i'„ стремится к пулю при п -> оо. Стремле-
ние к нулю первого слагаемого в представлении (2.30) для
R^n следует из оценок
|ФР{д(Ия)пЧ+л«(и„)-^7}1^
<с1(1 + |о'»+1м„| + |й71)₽-1,
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ	109
1
J=0
+|n'o+1M„| + \Dl°+lu0\},	(2.31)
\L(un)D,‘(un-u0)-L{u0)D,‘(un-u0)\^
Здесь и дальше с;—не зависящие от п постоянные. Второе
неравенство в (2.31) получено в силу (2.11), третье следует
из принадлежности F пространству Cz° + 2~ т.
Стремление к нулю второго слагаемого правой части
(2.30) следует из неравенств
|£(иор‘(и„-ио)| <с4{1 +|d'“+1u0| +
|	+ Ra(u„) - D'f} - ф,{1(Ио)РЧ+ ЭД-ЭД <
ЭД1 + ЭДЭД + ЭДЭДЭДЭД|ЭД"-2х
х |Л(и„)Оаг/„-Л(и0)О’ии| <
ЭДЭДЭД(й){1 + |ЭД1МЛ + ЭД}"-^ЭДЧ|,
получающихся аналогично (2.31).
Рассмотрим поведение последнего слагаемого в правой
части (2.30). Оно стремится к нулю при и->-оо, так как
фр{£(Ио)ЭД + ЭД-ЭД--
ЭД{£(и0)ЭД + ЭДЭД/} в	(2.32)
р-i
£(Иор’иЭД(«О)ЭД в Lp(fi).	(2.33)
Здесь (2.33) следует из слабой сходимости и„ к и0 в lFpo+1 (fl),
(2.32) получается из оценок (2.8), (1.9) и предложения 1.1
из гл. 1.
Доказано, таким образом, что К^п-+-0 при и-*-оо.
Используя очевидное неравенство
DM'i) - Ф₽(?2)] (С - h ЭД| z, - /21",	(2.34)
справедливое с некоторой постоянной ср для произвольных
f15 t2eRl, получаем из (2.29)
J(*’ D2mun)-f]} х
Q
X	[L (и„) (и„ - и0) + М (и„) (и„ - и0)] dx >
ЭД |ЭДи0)(ииЭД|"^ +(2.35)
Q
где /?2,)п->-0 при оо.
НО	ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ З^ДАЧ
Перейдем к рассмотрению слагаемых, входящих в пред-
ставление для <Л2и„, ип— и0> и содержащих интегралы по
В\. Ограничимся рассмотрением только одного слагаемого.
Аналогично (2.29) запишем
f f	ип, о —
в- В1
ипЛ, ..., Dm'uni)—gjл)]} х
х {D ₽ [X, (у) Bjt Ди,,,;) (и„, i - и0,0] -
IУ z I
= f f	(и0,7)и„>;)+Лр	-
Й-, В',
- Z>z₽(A.i(z)B7 ;(и0 ;)и„; - R9ji{u„ ;(z))] - фр[ОР(А.,(у)В^(иол)иол) 4-
+ Лр,л;(у)) - Dl(Xi(z)Bj.;(и0 i)u0 ,) -
+	(2-36)
где и„,;(у) = ив(фГ1(у)), Ио,г(у) = «о(фГ1(у)) и ^pj>i(v(y)),
R^],n определяются соответственно равенствами
J f !*,[о’(ММ.к.к()+
+ Яр>Л;(ииЛ(у))-Р?(М2)вЛ.(МП..)МЯл)-^.Л<(М».<(2))] X
x [Dg(X|(y)Bj,i) К i - “o,;)) -	(M2)Bi. i(un..) («„,t - «о.,)) -
- Dy Щу) bj, i(“o,.)(«»,i - “o,,)) + £>z (M2)Bj.,(«0.,)(“n,i ~ "o.,)) +
+ {фр[О₽(ХДу)В7 ;(и„ ;)и„ ;) + Лр 7 ,(u„ ,(>>))-
- D^i(z)Bj i(un t)(u„ik.i(z))] - фр[П₽(Х,.(у)Ял,.(и01,)ия,,)+
+ Ярj,i(«„.;(y))~Dz(M2)Bi..(“о,,) КО-Яр.;.i(«n.;(2))]} *
x [О5(Х;(у)ЯЛ|(и0	-u0.,)) - Р?(Х,(2)ЯЛ((и0,,)(ия,,—и0>()) +
+ 'I'pEU^M y)Bj,i(uo,i)uo,i) + B9.j.i(un.i( У)) -
- ^г₽(^(2)Ялг(ио.|)иоз)-Яр.у,,(ип,,.(г))] •
’ [A₽(MУ)Bj,/(«о.;) ("n.i ~ "o.i)) -
-рф#)*Ж.)К<-ч.И)у^А-
§ 2.	ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ	111
Проверяется, что при и-юо R$,„ стремится к нулю.
Наряду с оценками, применявшимися при рассмотрении
поведения R^„, нужно еще воспользоваться ограниченностью
вложения lTpo+1 в W° ’	из которой, на-
пример, следует
Е' НФ'ШШМлИ
+ Лмл(М)О)-- Лм.-(“м(2))] х
-	У)-®7,;(м0,|)(мп,1 —мо,;)) +
+1«,M- («..,(4)1 ’]•
’Iff |Яу(Ш)Мм».;)(мп,;-uOj))-D^z)Bjti(unti)(unA-uoi))-
<-B'l B 'j
-	Woj)) +
<csl E f l£,a[XiM^J(w„)wn]l'’^ +
l |a|«l0-m.+ 1 Я
) — 1
+ E E' Л^Лр.Л((Ил(х))|^х ₽ .
Ivl =S 1 I p|-l-m? Я	J
(.|а|«10-т.+ 1 Я	J
и правая часть стремится к нулю на основании^ неравенств,
аналогичных (2.31). В последнем~неравенстве j ;(w„(x)) —
функция, получающаяся из ^p,j,i(«n,i(y)) при замене
х=фГ1(у).
112	ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ у^АДАЧ
Из (2.36) следует неравенство
Е Iff ФР{Dyм».о •••>
l₽l='0-'nj (B't
un i,	Dm‘un,i)-g;,,(z))]} X
- «Wbllv- ««.Л 1	9
^c9 E Iff |Л₽[А.,.(у)ВЛ((и011.)(иП11—KO1,.)]-
|0| = lo-m. (B't Bt
ЛП», (2.37)
где Я$„->0 при и->оо. Аналогично доказывается
Е' f	««.о	х
l₽l=*0—Bi
x D”[В7	,) (w„, , - и0.;)]dy'
E' f Х?(у)|Л₽[ВлДМо.а(«п./-«о.0]1₽^' + ^г.!,п (2,3.8)
|0|Slo-m. B-t
и ^,(„->0 при н->оо.
Из (2.37), (2.38), (2.35) и (2.28) получаем
llM“o)(«n-«o)lllo + 1_2m,p.£2+	.	.
т
+ П*)|..-..|114.ь.г!,„-о.	(2.3$
В силу (1.8) и замечания( 1 1 из. (2.39) получаем сильнуг
сходимость и„ к и0 в W ° (£1), что и завершает доказа-
тельство теоремы.
Доказанная теорема 2.3 позволяет поставить в соответ-
ствие граничной задаче (2.2), (2.3) при выполнении усло-
вий а), б) топологическую характеристику — степень отоб-
ражения А 2 произвольной области D с И7 ° (Q), если
0<Ы2(с£)).
Введенные в данном параграфе степени отображений
Ах, А2 позволяют развивать топологические методы исследо-
вания общих граничных задач (2.2), (2.3), изучать на основе
этих методов вопросы разрешимости, ветвления решений,
оценки числа решений нелинейных задач. Применения таких
методов будут даны дальше.
§ 3. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАР ОПЕРАТОРОВ	113
§ 3. Коэрцитивные априорные оценки
для пар линейных эллиптических операторов
Возможность конкретного вычисления введенных в пре-
дыдущем параграфе топологических характеристик зависит
от конструкции отображений и поэтому желательно иметь
более простое представление для соответствующих опе-
раторов.
В случае граничных условий Дирихле конструкцию со-
ответствующего дифференциальной задаче нелинейного ото-
бражения упрощают коэрцитивные априорные оценки вида
Re(Lw, Mu)t > || и|| 2m+i-II«II о,
ф)е И4т+,(а)р|	(3,1)
для линейных эллиптических операторов L, М 2т-го порядка
с гладкими коэффициентами. В (3.1) и далее q,c2—не
зависящие от w(x) положительные постоянные, /—неотрица-
тельное целое число, ( , )(, || • ||(—соответственно скалярное
произведение и норма в Соболевском пространстве PE^Q).
Далее будут применяться оценки вида (3.1) в случае вещест-
веннозначных функций, тем не менее в данном параграфе
излагается более общая ситуация- ситуация комплекснознач-
ных функций и коэффициентов операторов, не требующая
усложнения при доказательстве оценок.
Неравенство (3.1) при L = M следует из априорных L2-
оценок для линейных эллиптических операторов. В случае
1=0, т=1 в работах О. А. Ладыженской [48] и П. Е. Со-
болевского [80] неравенство (3.1) получено для произвольных
эллиптических операторов L, М второго порядка с вещест-
венными коэффициентами и отмечена важность этого неравен-
ства в теории дифференциальных уравнений.
Автором в [77е] было показано, что при />0 или т>1
неравенство (3.1) может не выполняться. Из приведенных
в [77 е] примеров следует, что существуют линейные опе-
раторы L, М четвертого порядка с вещественными коэф-
фициентами, для которых не справедливо неравенство (3.1)
при 1=0, существуют операторы L, М второго порядка, для
которых неравенство (3.1) не выполняется при 1=1. В этой
же работе показано также, что неравенство (3.1) может не
выполняться при т = 1, 1=0 в случае операторов L, М
с комплекснозначными коэффициентами.
В связи с указанными контрпримерами в работе [77 е]
решена задача: построить по заданному семейству линейных
X И R Скпыпииг
114	ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗА^АЧ
эллиптических операторов {L} линейный оператор М и специ-
альное скалярное произведение в W2(Q) таким образом,
чтобы выполнялось неравенство вида (3.1) с заменой (Lu, Ми\
на [Lu, Ми\ и чтобы норма, порожденная [•,•],, была
эквивалентна || • ||(. Эти результаты излагаются в настоящем
параграфе.
Начнем с примеров пар операторов, для которых
не справедлива оценка (3.1). Пусть П—ограниченная
область с границей класса С” в R2 такая, что
Q Q (0) = R 2+ Й В, (0), где
5^0) = {xeR2: |х|<1}, R2+ = {x = (x1, x2)eR2: х2>0}.
Вначале приведем пример линейных эллиптических опера-
торов Lj, Mj четвертого порядка, для которых не существует
положительных постоянных с15 с2 таких, чтобы при всех
функциях и(х)е ИКП) Q W2(O.) выполнялось неравенство
Re	• ||w||4 —с2||и||о.
£1
Обозначим
(3-2)
A*(O1S D2) = k2D2 + D2,	=	(3.3)
V - 1 Oxi
и покажем, что операторы Ly, обладающие требуемым
свойством, можно определить в виде
L1(£>1,£>2) = A1(£>1,D2)A2(Z>1,£>2),
jw1(d1,d2)=a3(d1,d2)-a,(d1,d2),
где q—достаточно большое положительное число.
Пусть
rt(x2) = [a1+(?-2)a2]e
- [2a]+(q- 1)а2]е 21‘2 + а1е ЗХг + а2е 4X2	(3.4)
и проверим, что можно вещественные постоянные аг, а2
выбрать таким образом, чтобы
RejLjl, D2)v1(x2)-Мг(1, D2)v1(x2)dx2<0.	(3.5)
о
Левая часть неравенства (3.5) равна
240«i + (^ — 2)(<у—1)[ — 2^3 + 6^2+72^ + 24]а1а2 +
+ 3(<7—1)(<?2— 1)(д'2 —4)(<у —2)<д1-
§ 3. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАР ОПЕРАТОРОВ	115
ф(') =
Последнее выражение принимает отрицательное значение,
например, при я2 = 1,	и достаточно большом q, что
обеспечивает неравенство (3.5).
Пусть <p(r), ieR\— вещественная бесконечно дифференци-
руемая функция, причем
1 при |т|М/4,
О при |t|3f 1/2.
Покажем, что неравенство (3.2) не выполняется ни при
каких положительных постоянных с15 с2 для семейства
функций {ик(х), Х>0), где
«х(х) = ф(х1)ф(х2)е'кхт(кх2),	(3.6)
и — функция, определяемая равенством (3.4) при таких
значениях параметров, что выполняется (3.5).
Левую часть неравенства (3.2) при и = щ представим в виде
Re j ulM1 uldx =
£1
= Re
1/2 X/2	__________________________
Cr (n	X <? \	(	/	X 3 \	/	A
Lj	wx *i,- ]M1 Xj,-— )ul I X], — ]dxidt =
J J \	I ot J	\	KJ \	I Ot J	\	KJ
о 0
112 X/ 2	_____________________
Ф2(г1)ф2(Л^1|/	\’dt)dxidl+
\f\,l	\ I Ot i	\ I 01 j
о 0
= Z8Re
+/?!
Здесь проведена замена х2 = г/Х и для R, имеет место оценка
|/?il ^(Г + 1)	(3.7)
с не зависящей от X постоянной Кх. Из выбора Г1(х2) и (3.7)
следует, что с некоторой постоянной К2 при Х>0 выполнено
неравенство
RefL^-A/iW^xs^V+l).	(3.8)
£1
С другой стороны, непосредственный подсчет показывает,
что с некоторыми положительными постоянными К3, К4
имеют место оценки
II Mi >К3Х8-К4, ИМ0^4-	(3.9)
Из (3.8), (3.9) следует, что нельзя подобрать положи-
тельные постоянные с\, с2 так, чтобы при всех Х>0
выполнялось неравенство (3.2) для функции их(х).
8*
Ref
n
116	ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Покажем сейчас на примере, что неравенство (3.1) при /=1
может не выполняться для операторов L, М второго порядка.
Не существует положительных постоянных , с2 таких, чтобы
при всех и(х)е ИЧ(П) выполнялось неравенство
2	______ ________з
У DjL2uDjM2u+L2uM2u \dx || и || 3 — с21| и ||о,
(3.10)
где L2 = &2, М2 = &р и операторы А2, Ар определяются
согласно (3.3), р— достаточно большое положительное число.
Пусть
v^x^h^e-^-e-^ + b^e-^-e-^)	(3.11)
и проверим, что вещественные постоянные bt, b2 можно
выбрать таким образом, чтобы
Re J {A2(1,Z>2)h2(x2)-Ap(1, D2)v2(x2)+
+ £)2А2(1, D2)v2(x2)  D2Ap(l, D2)v2(x2)}dx2 <0.	(3.12)
Неравенство (3.12) превращается в
9Д? + {6(р2-1)-(р2-4)(р-2)(р-1)}Д1ф2 + (р2--1)2Д!<0.
Отсюда видно, что можно обеспечить последнее неравенство,
например, выбирая Ьг=р, Ь2=\ и беря достаточно большим
положительное число р.
Далее, аналогично (3.6) можно построить такое семейство
функций {йх(х), Х>0}, что ни при каких не зависящих от
X положительных постоянных ct, с2 неравенство (3.10) не
выполняется.
Покажем еще, что неравенство (3.1) при т=1, 1=0 может
не выполняться и для операторов L, М второго порядка
с комплекснозначными коэффициентами. Определим
L3(x, Dj, Л2) = А1(£>1, Z>2) —8/\|/(x)£11Z)2,
d2)=a2(d1, d2), i=j^i,
где Ф(а ) — бесконечно дифференцируемая вещественная функ-
ция, равная единице при |х| < и нулю при |х|>1.
V2
Проверяется, что
Re f L3(0, 1, D2)v3(x2)-M3(\, D2)v3(x2)dx2 = -1,	(3.13)
0
если функцию г3(х2) определить равенством
v3(x2) = e~X2-e~2x\
§ 3. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАР ОПЕРАТОРОВ	117
Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным выше
для операторов Lx, Мг. Нужно только в (3.6) вместо Vi(x2)
подставить г3(х2) и воспользоваться (3.13).
Перейдем к построению по заданному семейству {L}
линейных эллиптических операторов направляющего опера-
тора М такого, что с некоторыми положительными постоян-
ными с15 сг при Le{L} выполняется неравенство (3.1).
Построение оператора М и доказательство оценки (3.1)
проводится вначале для обыкновенных дифференциальных
операторов на полуоси, а затем стандартными рассуждениями,
аналогичными используемым в работах [1, 2], эти построения
и оценки переносятся на операторы с переменными коэф-
фициентами и на произвольные области.
Дальше в данном параграфе й— ограниченная область
в евклидовом пространстве R" с границей ей класса С”,
хотя очевидно, что бесконечную дифференцируемость границы
можно заменить определенной конечной гладкостью. Положи-
тельное число А называется постоянной эллиптичности линей-
ного оператора
L(x, D) = Y, аАх)^-> х~(xi> •••’ 'vn)e^ с Я",
|а| (,2 т
если при хей,	..., с,„)еЛ" выполнено неравенство
ReL0(x,	L0(x, $ = £ а^.
;а| = 2т
Здесь «Дх) комплекснозначные функции, а = (а1; ..., а„),
|а| = а1 + ... + а„, D«=D«>	=
П J I (jXj
Оператор L(x, D) называется правильно эллиптическим,
если он эллиптичен, т. е. L0(x, при хей, ^еЛ",
£,/0, и если для всякой пары линейно независимых
векторов т]е/?" полином L0(x, ^+тт]) комплексного
переменного т имеет т корней с положительной мнимой
частью при хей.
Замечание 3.1. Только в данном параграфе применяется
традиционное в линейной теории дифференциальных уравне-
-	„ 1 8
нии обозначение	что связано с использованием
J i cxj
преобразования Фурье. В случае операторов с вещественными
коэффициентами теоремы данного параграфа очевидным
образом остаются справедливыми, если понимать D, как
J ОХ:
118	ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Обозначим при неотрицательном целом I и 0 < X < 1 через
В, £1) семейство линейных правильно эллиптических
операторов 2пг-го порядка с единой постоянной эллиптичности
А и коэффициентами «а(х) класса С'Л(Й), удовлетворяющими
условиям
lla«(x)llc.u n ]сс| ^2т, £ ajx)v“(x) Л,
’	(а(-2т
где v(x)=(vj(x),	v„(x))—единичный вектор внутренней
нормали к д£1 в точке х.
Теорема 3.1. Пусть А, В— произвольные положительные
числа, 0 < X < 1. Существуют Линейный оператор
М(х, D)= £ Ва(х)£>”
|а|«:2т
с бесконечно дифференцируемыми вещественными коэффициен-
тами bjx) и положительные постоянные ct, с2, зависящие
только от Л, В, X, т, £1, такие, что
М(х,	с2, Q)
и при L(x, D)e&2т(Л, В, £1) выполнено неравенство
ReJX.(x, D)uM(x, D)udx^	(3.14)
£2
для любой функции и(х) е ХТ2 (£1).
Доказательство начнем с одномерного случая: для
функций м(х), хеА’+ = {хе№: х>0}. Через Р2т(Л, Я, ^ + )
обозначим семейство обыкновенных дифференциальных опера-
2/п	।
торов P(D)= £ PjDj, D = ~~, с постоянными комплексными
j=0	'“х
коэффициентами удовлетворяющими при qeR1 условиям
RePf^)Л(1+|^|2)т, \р}^В, >0, ..., 2т, р2т>0. (3.15)
Лемма 3.1. Существуют положительные числа q,
k, q~^A, к^А, зависящие лишь от А, В, т, такие, что
при P(D)eP2m(A, В, R\), Q0(D) = q2m + D2m для произ-
вольной функции w(x)e И72т(Л1+)ПИл2(Л1+) выполнено нера-
венство
.	2 т
Re f PuQudx^k f \Dju\2dx.
r‘+	j=o
(3.16)
§ 3. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАР ОПЕРАТОРОВ	119
Для доказательства неравенства (3.16) достаточно заме-
ить, что
Re PuD2mudx^iki
R'	Rl
+ +
Л 2m- 1
\D2mu\2dx — k2 E \Dju\2dx.
J J=o .
л1
(3.17)
Г	Г	m
Re I Pu-udx^-k2 I	E IDJu)2dx
J	J	j=o
r\	R\
некоторыми положительными постоянными kt, к2, к3,
ависящими лишь от А, В. Вторая оценка в (3.17) следует
з равенства
рименения равенства Парсеваля и оценки (3.15). В (3.18)
>ункция й(х)—продолжение и{х) на R1 нулем при х^О.
еперь (3.16) — следствие интерполяционного неравенства
оценок (3.17).
Лемма 3.1 позволяет легко доказать соответствующее
тверждение для однородных эллиптических операторов с по-
тоянными коэффициентами, действующих на функции, опре-
,еденные в R"+ = {x = (x1, ..., x„)eR": х„>0}. Обозначим через
’2т(Л, В, /? + ) при п >2 семейство дифференциальных опе-
1аторов P(D)= £ p„D* с постоянными комплексными ко-
I а] = 2т
ффициентами ра, удовлетворяющими условиям
ReP(^>H|^2m, 1трш = 0, |ра|^В,	|а| = 2ш,
де ^eRn, со— мультииндекс вида (0, ..., О, 2т).
Лемма 3.2. Для произвольных функций и(х)е BZ2m(^ + )Cl
W(R"+) при P(D)eP2m(A, В, R"+),
t-D2m выполняется неравенство
ер)=<72тГЕ d]
_j=i
m
+
Re P(D)u-Q(p)udx^k
| a | — 2m
(3.19)
de q, к — постоянные, определенные леммой 3.1.
120
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Оценка (3.19) является прямым следствием леммы 3.1
и равенства Парсеваля.
Обозначим дальше через Bdx) шар радиуса R с центром
в точке х и пусть Bg (O) = BR(O)f) R^ .
Лемма 3.3. Существуют положительные числа 5, kt,
к2, зависящие только от А, В, к, т, такие, что для
о
произвольной функции w(x)e 14/2m(R"+)П И7™(R +) с носителем
в В^ (0) при L(x, D)e^2m(A, В, Si+(0)) выполняется не-
равенство
Re I Цх, D)u • Q(D)udx
B,+ (0)
Е \D*u\1dx—k2
|w|2Ac,

| у. | = 2т
в;(о)	в ;(о}
где оператор Q(D) определен в лемме 3.2.
Для доказательства леммы достаточно представить
Re f L(x, D)u-Q(D)udx=Re J Z.o(0, D)uQ(D)udx +
в 1(0)	B*(0)
+ Re f [L0(x, D)-Lo(0, D)]u Q(D) udx +
b;(o)
+ Re f L^x, D)u-Q(D)udx (3.20)
b;(o)
и воспользоваться для оценки первого слагаемого правой части
неравенством (3.19), а для оценки остальных членов—неравен-
ством Коши и интерполяционным неравенством. В (3.20)
А0(х, £>)= Е «Дх)£>“, Ц(х, £>)= £ aa(x)Da.
|a| = 2w	|a|<2w
Перейдя к доказательству неравенства (3.14) для произ-
вольной области П в Rn с границей дО, класса С00. Пусть
v(x) — единичный вектор внутренней нормали к в точке
х и зафиксируем ортонормированную систему векторов
т(1)(х), ...,т<”'1)(х), касательных к в точке х. Обозначим
Q(x, £>) = (v(x), D)2m + g2mi Е £>)21 ,	(3.21)
l*=l	J
где число q определено в лемме 3.1 и для вектора т] =
= (П1, r\„)eRn, (и, D)= Е r\jDj.
§ 3. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ НАР ОПЕРАТОРОВ
121
Переходя в окрестности точки хое<ЭП к локальным
оординатам и используя лемму 3.3, просто устанавливается
Лемма 3.4. Существуют положительные числа d, с’, с",
ависящие только от А, В, к, т, Q, такие, что для
роизволыюй точки хоед£1 и произвольной функции и(.х)е
П И7™(И), равной нулю вне Bd(.v0)QQ, при Цх, 2))е
^2т(Л, В, П) выполнено неравенство
Re J £(х, D)u-Q(x0, D)udx^c'\\u\\lm-c"\\u\\^,	(3.22)
де оператор Q(xn, D) определяется формулой (3.21).
Доказательство теоремы 3.1. Зафиксируем конечное
1исло точек х(1), ...,	таким образом, чтобы
н
>fic (J ВЛ12(х^\ и выберем неотрицательные бесконечно
2=1
(ифферснцируемые в П функции <р0(х), (рДх), <Pn(*) так,
N
ггобы £<pj(x)=l при хей., функция <р0(.х) принадлежала
2 = 0
Г.'о(П) и носитель функции <рД.х) содержался в Bd(xlj>) при
= 1, ..., N. Здесь d—число, определенное леммой 3.4.
Покажем, что направляющий оператор М(х, D) можно
зыбрать в виде
,v
М(х, П) = ф£(х)-[-Д]т+£ <р?(х)е(х(Л D),	(3.23)
2-1
где оператор Q(x, D) определяется формулой (3.21), Л®
Л
= — £ D]—оператор Лапласа.
2=1
О
Легко проверяется, что для и(х)е ^'"(П) О ^"(П)
Reji(x, D)u  М(х, D)udx =
n
= Ref Цх, £>)[<р0(х)и] • ( —Д)т[<р0(х)и] c?x +
я
N р________________________________________
+ X Re П)[фД-х)«] •	+ ,
2=1 J
П
где для 2?! имеет место оценка
1^1! <с|1 и II 2т • II и II 2m_j
с постоянной с, зависящей лишь от А, В, к, т, П.
(3.24)
122
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Оценивая первый интеграл в правой части (3.24;
по неравенству Гординга [24], второй- по неравенству
(3.22), получаем с некоторыми положительными постоянными
ki, к2
Re
*	___________ N
L(x, D)u-М(х, D)udx^kx £ ||фДх)м||
J	j~o
Q
2 _
2m
N
~k2 X lMX)«llo~dM2m-|M2m-l-
2 = 0
(3.25)
Осталось заметить, что
N
X M*)« llo= II« Но,
J=0
N
X II <?j(X)u II 2m > II «II 2m-k3 II и || 2m • II W
2 = 0
и применить при оценке || w ||2m’ll« II 2m-i интерполяцион-
ное неравенство. Таким образом, неравенство (3.25) при-
водит к оценке (3.14), что и заканчивает доказательство
теоремы.
Перейдем к доказательству коэрцитивной оценки для
пар линейных эллиптических операторов при />0. Для
семейства £С2^(А, В, Q) будет указан специальный выбор
скалярного произведения в Wl2 (Q), при котором имеет
место коэрцитивная оценка для произвольного оператора
L(x, D)e<fl2£)A, В, Cl) и оператора М[х, D ), определяемого
равенством (3.23). Необходимость специального выбора ска-
лярного произведения показывает приведенный выше пример
с парой операторов L2, М2.
Теорема 3.2. Для произвольных положительных чисел
А, В, неотрицательного целого числа I и Хе(0, 1) существуют
бесконечно дифференцируемые вещественнозначные функции
са₽(х), | а|, | р| I; с\р(х) = с'р3(х) и положительные постоянные
kt, k2, зависящие лишь от А, В, т, I, A, Q, такие, что
при L(x, D)e£fli„(A, В, Cl), и(х)е И^т + ,(П)П И^(П), t>(x)e
е Wl2 (Q) выполнены неравенства
Re[Lw, Mu^k, ||«||L+i-^2 ll«llo,	(3.26)
k2 II v II? < [в, t>]j^fc21| v ||j2,
(3.27)
§ 3. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАР ОПЕРАТОРОВ	123|
де оператор М[х, D) определен равенством (3.23), скалярное
произведение [v15 для гДх), r2(-v)G ^(П) определяется
ледующим образом:
|>1, у2]<= X f ca^(x)D,‘v1(x)D^v2(x)dx.	(3.28)
И1. |₽|«'«
Теорема 3.2 вначале доказывается для случая дифферснци-
1льных операторов на полуоси, а затем устанавливается
j общем случае (при этом используется разбиение единицы).
Лемма 3.5. Для произвольных положительных чисел А,
5, неотрицательного целого числа I существуют положитель-
нее числа р, к, р^1, зависящие лишь от А, В, I, т, такие,
о
то при P(D)eP2m(A, В, Rl+), и(х)е W22m+‘(R\
выполнено неравенство
____	__ 2т+1
Re f {DlPuDlQu+pPuQu}dx^k J £ | Dju\2dx, (3.29)
R't j-°
’de Q(D)— оператор, определенный в лемме 3.1.
Для доказательства неравенства (3.29) достаточно заме-
гить, что
Re f D'Pu lyQudx^k' f |D2m^lu\2dx-
Rl	R'
*	+	2m+l-l
-k" f X |oJ«l2^-
R\
с зависящими лишь от А, В постоянными k', к", и во-
спользоваться оценкой (3.16) и интерполяционным неравен-
ством.
Применяя равенство Парссваля и лемму 3.5, получаем
о
для произвольных функций и(х)е ИД”1 ь 1 (Rn+ )f)	и опе-
ратора P(D)eP2m(A, В, Rn+ ) оценку
Re X f с\(р) D^P(D)u lrQ{D)udx^k f £	\D*u\2dx,
I a I " 1 л„	R, I a | = 2m И
где 2(0)—оператор, определенный в лемме 3.2, к — та же
постоянная, что и в (3.29), значения <Др) определяются условиями
при а"=0’
са(р)=О при 0<а„</,
с«(р)=1 при а„=/.
124
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Дальнейшее доказательство теоремы 3.2 аналогично
окончанию доказательства теоремы 3.1, и поэтому его опу-
скаем.
Отметим еще, что рассуждениями, близкими к исполь-
зуемым при доказательстве теоремы 3.2, может быть по-
лучена
Теорема 3.3. Пусть М(х,	В', £2) - линейный
эллиптический оператор с вещественными коэффициентами
и предположим, что для произвольных оператора L(x, D)e
e^2m(A,B,Q.) и функции и(х)е И71т (£2) (Д И7"1 (О) выполнена
оценка (3.14) с некоторыми положительными постоянными
с15 с2. Тогда существуют бесконечно дифференцируемые
функции	|а|,	с„ф(х)=сра(х) и положительные
постоянные klt k2, зависящие лишь от А, В, А', В', ct, с2,
т, I, X, £2, такие, что при и(х)е И7^"1 н(£2) Q И7” (£2), г(х),
1?2(х)е IV12(£2) выполнены неравенства (3.26), (3.27), если
[•, •]; определено формулой (3.28).
Замечание 3.2. Из теоремы 3.3 и работ [48, 80] сле-
дует, что для произвольных эллиптических операторов
L, М второго порядка с вещественными коэффици-
ентами при соответствующем выборе скалярного произ-
ведения в IV 2 (£2) выполнена коэрцитивная оценка вида
(3.26) с т=1.
Замечание 3.3. Теорема 3.2 остается справедливой, если
семейство операторов ¥^т(А, В, £2) заменить при 1р>п
семейством ^'2т₽(Т, В, £2), состоящим из линейных правильно
эллиптических операторов £(х, £>) 2ш-го порядка с единой
постоянной эллиптичности А и коэффициентами аа(х) класса
И7), (£2), удовлетворяющими условиям:
X a*(x)v*(x)^ А,
где v(x) = (vj(x), ..., v„(x))— единичный вектор внутренней нор-
мали к <9£2 в точке х.
Для проверки замечания достаточно при доказатель-
стве утверждений, аналогичных леммам 3.3, 3.4, и при за-
вершении доказательства теоремы 3.2 оценивать подчинен-
ные члены, используя неравенство Гёльдера, теорему вложе-
ния пространств Соболева и неравенство Ниренберга —
Г альярдо.
§ 4. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ	125
§ 4. Сведение к операторному уравнению задачи Дирихле
для общего нелинейного эллиптического уравнения
Укажем простое построение нелинейного отображения,
соответствующего дифференциальной задаче, в случае гранич-
ного условия Дирихле. Ограничимся для простоты случаем
задачи с однородными граничными данными.
Пусть П — ограниченная область в R” с бесконечно
дифференцируемой границей сП и предположим, что функция
F: Q х RM ,2m)->/?1 имеет непрерывные производные по всем
своим аргументам до порядка /+1, />и0. Здесь и0, Л/(2щ)
имеют те же значения, что и в § 2. Далее, как и в § 2,
//'(П)=1Тг2(П).
Будем сводить к операторному уравнению граничную
задачу
F(x, и, ..., Dmu)=f(x), xeQ,
£>“«(x)=0, |a|^w—1, xecQ,
в предположении, что /(.т)еЯ'(П) и функция F(x, удовле-
творяет условию
А) существует положительная постоянная А такая, что
при произвольных ^EFM(2m|, -qe/?" выполнено неравенство
X Fx(x, ^)Т]«А IТ] |2т,	(4.2)
|а| = 2т
здесь Fjx, определяется согласно (2.1),	=
Пусть D — произвольная ограниченная область в про-
о
странстве X=H2m + l(Q) Q	Норму в X считаем совпада-
ющей с нормой в H2m*'(Q) и пусть BR — шар в X с центром
в нуле, содержащий £1. Рассмотрим семейство равномерно
эллиптических операторов
X Fa(x, г, ..., D2mc)D:‘:i>e5Ji L
(	| а |«2m	J
Так определенное семейство содержится при некоторой по-
стоянной В в семействе ^2т2(Л, В, Q), введенном в замеча-
нии 3.3. Постоянной эллиптичности для семейства <£ может
служить А в силу условия А), и требуется только проверить,
что с некоторой постоянной В выполнена оценка
||Fa(x, v, ..., D2mt?)||i^В при |a|^2m, veD,	(4.3)
где f| • — норма в //'(П).
126
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ
Множество BR ограничено в Я2га+,(О) и 2/>2
п
2
П.
Поэтому по теореме вложения с некоторой постоянной
IIv 11С2„(П) М при v<=D.
Простые вычисления показывают, что при | [3 | I
|WJx, v, D2mv)\^cm(MU £ |О^|/ ^+1
(j-2m+l
Поэтому, используя неравенство (2.15), получаем оценку (4.3).
На основании замечания 3.3 и теоремы 3.2 по постоянным
А, В из неравенств (4.2), (4.3), числам т, I и области
П можно определить эллиптический оператор
М(х, D)= £ bt(x)Da,
|а|2т
скалярное произведение в Н1(£1)
(4-4)

f c^(x)DaVi(x)D9v2(x)dx
(4.5)
I a I. I P n
с бесконечно дифференцируемыми вещественными функциями
bjx), с,р(х), cap(x) = cpa,(x), так, чтобы при иеЯ2т+,(О)(']
veBR, weHl(Cl) выполнялись неравенства
[L(v)w, Ми]1^к1 [| иHzm+j-к2 ||u||o,
(4.6)
(4-7)
Здесь kx, k2 — некоторые не зависящие от г, и, и> положитель-
ные постоянные.
Оператор М(х, D) можем подчинить еще условию
(-!)'"]’М(х, D)u-udx>k2\\u\\2m.
(4.8)
Для этого заменим М(х, D) на оператор М(х, D)+(—
с достаточно большой положительной постоянной к. Оценка
(4.8) является в этом случае простым следствием неравенства
Гординга [24].
Определим нелинейный оператор А: Х->Х*, Х=
= Н2т + '(0)О.Ят(0)
(Аи, <p> = [F(x, и, ..., £>2ти)— /(х), А/(х,	(pey.(4.9)
§ 4. ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОБЩЕГО УРАВНЕНИЯ
м
W
Теорема_4.1 Пусть 1~^п0 и выполнено условие А) для
функции F: П х/?М(2т)->7?1 класса ClAY. Тогда определяе-
мый равенством (4.9) оператор А непрерывен, ограничен и удо-
влетворяет условию а(£>). Для того чтобы функция м(х)е
е	Нт(С1) была решением задачи (4.1), необходимо
и достаточно, чтобы Аи — О.
Доказательство. Эквивалентность решения задачи (4.1)
решению операторного уравнения Аи = () получается из того,
что образ пространства X при отображении М(х, D) совпадает
с	Это следует из равенства нулю индекса задачи
Дирихле и из равенства нулю ядра отображения М(х, D)
на У в силу (4.8).
Ограниченность и непрерывность оператора А устанавли-
ваются аналогично доказательству этих же свойств оператора
A j в теореме 2.2. Докажем только, что оператор А удовле-
творяет условию a (D). Пусть ип е D — произвольная после-
довательность, слабо сходящаяся к и0 е BR и удовлетворяющая
условию
lim <Ли„, и„ — и0) <0.
п—*сс
(4.Ю)
Из условия 1^-пй и теоремы вложения следует сильная
сходимость ип к и0 в С2т(П). Кроме того, из (2.15) следует
сильная сходимость и„ к и0 в О) при 1 j /— 1.
Т
Используя представление вида (2.7), имеем
<Ли„, и„-и0> =
= X f cap(x)Da[F(x, и„, ..., D2mu„)-/(x)] х
|<х|. | ₽|«1П
х D^M(x, D)(u„ — u0)dx =
= X f c^(x)DaL(u0)u„D^M(x, D)(u„-u0)dx+
l«l, |₽|«in
+ X J	x
l<x|. | p|«l£2
x D*M(x, D)(u„-u0)dx+ X J
111, I Pl-Sin
-Z.(h0)P4 + ^(h„)]O₽M(x, D)(un~u0)dx. (4.11)
128
ГЛ. 3. ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАД/
При этом справедливы оценки
p-i	/ "j
. K(«n)l^of£ |Д2т+Ч1>+1 ,
J=‘	(4.12)
\L(u0)D*u„-D*L(u0)u„\^
p-i	i	i )
X [I D2m F4p+I o2m + %p]+1 f.
O=i	J
Из оценок (4.12) и сходимости ип к и0 в С2т(П) следует
сильная сходимость в А2(^) L(uQ)Daun — DaL(u0)un,
L(u„)D'1u„ — L(u0)D,tun + Rai(u„). Отсюда и из слабой сходи-
мости ип к uQ в X получаем стремление к нулю второго
и третьего слагаемых в правой части (4.11). Поэтому (4.11)
можно представить в виде
<Лм„, u„-u0> = [L(u0)(«„-u0), М(х, В)(1/„-и0)]1 + Я„,
где Это равенство, вместе с (4.6), (4.10), обеспечивает
сильную сходимость ип к ий в X, что и завершает доказатель-
ство теоремы.
Как и предыдущие теоремы этой главы, теорема 4.1
позволяет определить топологическую характеристику задачи
(4.1) — степень отображения А.
ГЛАВА 4
РАЗРЕШИМОСТЬ И ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
В данной главе дается применение теории степени отобра-
жения к вопросам разрешимости нелинейных граничных задач.
Вначале это делается для дивергентных граничных задач.
Выделим в § 1 теорему о разрешимости задачи Неймана для
эллиптического уравнения второго порядка. В § 2 устанавли-
ваются теоремы существования общих нелинейных задач
в предположении, что известна априорная оценка решений.
Доказывается (в качестве примера применения общих мето-
дов) разрешимость задачи Дирихле для уравнения Мон-
жа— Ампера при естественных ограничениях и без условия
однозначной разрешимости задачи для уравнения в вариациях.
Даются применения развитых методов к изучению би-
фуркации решений нелинейных задач, к оценке числа решений,
к обоснованию сходимости приближенных методов решения
граничных задач. Отметим в качестве примера оценку числа
форм равновесия гибких пластин, полученную в § 4.
§ 1. Разрешимость граничных задач
для дивергентных эллиптических уравнений
Дадим применения общих результатов из гл. 2 к вопросу
о нахождении решений граничной задачи для уравнения (2.4)
из гл. 1. Сформулируем вначале общую условную теорему
существования решения граничной задачи, затем получим,
как ее следствие, некоторые безусловные теоремы. Более
подробно остановимся на примере задачи Неймана для
уравнения второго порядка, для которой получается в естест-
венных условиях существование классического решения.
Пусть уравнение (2.4) из гл. 1 включено в параметрическое
семейство уравнений того же вида
X (-1)м£>аЛ(', х, и, ..., Dmu) =
| а | «т
= X (-1)'“'Р“/а(г,х),	(1.1)
I а | «т
9 И. В. Скрыпник
130
ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
где А (1, хД) = Ла(хД), л(1, х)=Л(х), функции Aa(t, хД),
/а (/, х) при каждом ге[О, 1] удовлетворяют условиям Aj
— А4). Пусть V—произвольное замкнутое подпространство
о
1Ур(П) такое, что	J-’c И7™ (Q). Обобщенное решение
уравнения (1.1) при фиксированном ze[O, 1] понимается
в соответствии с определением 2.1 из гл. 1. Аналогично
равенству (2.8) из гл. 1 определим семейство операторов
At\V-> V*:
•<Лги, <р> = £ f [Ла(г, х, и, ..., Dmu)-fx (г, х)]Па<рс?х.(1.2)
| а | Q
Обозначим норму в И7р(О), как и в § 1 гл. 1, через
Н’Ит. р и ПУСТЬ вк={«е ^p(QHML. р<Л}'
Теорема 1.1. Пусть функции Ax(t, х, Е,), /я (t, х),
определены при (t, х, ^)е[0, 1] х Q х ЯМ|Л,) и удовлетворяют
условиям:
а)	Иа(г, х, %), f^(t, х) равномерно непрерывны по t при
хеП, %е6, где G — произвольное ограниченное множество
в RM(”\
б)	Ла(г, х, 6.) удовлетворяют предположениям AJ — А4)
из § 2 гл. 1 с не зависящими от t постоянными гЯ7, r.f
и функциями gt, g2, g3; (t, х)е Lq2(Cl), где qa имеют то
же значение, что и в § 2 гл. 1.
Предположим, что существует постоянная К такая,
что для всех соответствующих подпространству V решений
уравнения (1.1) при ze[O, 1] выполнена оценка P<A"
и степень отображения Deg(H0, Вк, 0) отлична от нуля.
Тогда существует по крайней мере одно решение соот-
ветствующей подпространству V граничной задачи для
уравнения (2.4) из гл. 1, получающегося из уравнения (1.1)
при г=1.
Непосредственно из определения оператора А, следует
эквивалентность решения уравнения А,и = 0 решению гранич-
ной задачи для уравнения (1.1), соответствующей V. Воз-
можность определения степени Deg(Tt, Вк, 0) в условиях
теоремы 1.1 непосредственно следует из теоремы 2.1 гл. 3.
Аналогично доказательству из § 2 гл. 1 проверяется, что
семейство операторов А, удовлетворяет условию а(‘}(оВк).
Поэтому теорема 1.1—простое следствие теоремы 7.1.
Результаты гл. 2 позволяют получить безусловные при-
знаки разрешимости граничных задач. Ограничимся только
двумя примерами.
§ 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ	131
Следствие 1.1. Пусть функции <;) удовлетворяют
условиям AJ — А4), /aeL9j(Q) и пусть при некотором 7?>0
(Аи, и>^0 для иедВк,
где А определяется равенством (2.8) из гл. 1. Тогда существу-
ет по крайней мере одно решение ueV уравнения (2.4) из
гл. 1, удовлетворяющее тождеству (2.5) из гл. 1 и неравенству
11«11т.р^Я.
Утверждение следует из теоремы 4.4 и следствия 4.1 гл. 2.
Из следствия 1.1 непосредственно получаем разрешимость
граничной задачи для произвольных eL?i(Q), если оператор
А удовлетворяет условию коэрцитивности.
Замечание 1.1. Из следствия 1.1 можно получить при
определенных условиях на Аа разрешимость задачи Дирихле
для уравнения (2.4) из гл. 1 в области достаточно малой меры.
Теорема 1.2. Пусть функции <;) удовлетворяют
условиям АД — А4) из § 2 гл. 1,	(х) е (Q) и пусть
.. , „ (Аи, иУ	,,
-------> + оо при ||и||т, р-»со,
II Нт, р
где А — оператор, определенный равенством (2.8) из гл. 1.
Тогда существует по крайней мере одно решение и(х) уравнения
(2.4) из гл. 1, соответствующее подпространству V, при
произвольных функциях fa (х) е Lq* (Q).
Эта теорема получается из условной теоремы 1.1 прг
специальном выборе гомотопии. Определим оператор Ао
С-> И* равенством
(Аои, <р>= £ f |Daw|p“2DInDI<pJx
| а | < m ft
и семейство операторов At = tA + (l — t)Ao.
Проверяется, что если число KeR1 таково, что
II "lim, р
то для решений уравнения Atu = tf выполнена априорная
оценка ||и||т. Р^К.
Теоремы существования при указанных в теореме 1.2
условиях были получены многими авторами: Браудером,
Фитцпатриком, Петришиным и др. Относительно этих резуль-
татов с соответствующими библиографическими ссылками
см. работу [74и].
Предположим, что функции удовлетворяют условиям:
9*
132
ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
1)	А^х, ^) = /1*1(”(х,	£), где А^(х, £) определены
при (г, Е)ей хизмеримы по х при всех значениях
непрерывны по Е, почти при всех х и удовлетворяют неравенствам
М<‘>(х,	/=0,1,
где р0=р-1, Pi<p-1;
2)	функции А *,0) (х, <;) положительно однородны по Е, поряд-
ка р — 1 и для ^eRM Л^°’(х, -= — А(хД);
3)	для произвольных xeQ, =	£' =
~{Cy.\rj.\ = m}eRM°, p6{pat:|oc|<w}e7?M('"’ 11 при выпол-
нены неравенства
X [/Цх, П, £)-/Цх, т], с)](^-^)>о,
| а | = m
х Ц<°>(х, п, С)-лГ(х, п, С')Ж-^)>0;
| а | = m
4)	для xeQ, рeRM(m~п, £еЯм” справедлива оценка
х л<°’(х,пд)^>С2 X К2Г-С1 X ыр.
| а | - m	| а | = т	f у | < т — 1
Здесь сь с2 — положительные постоянные.
Теорема 1.3. Предположим, что выполнены условия
1) — 4) и соответствующая V граничная задача для уравнения
X (-1)|а|£>яЛ°’(х, и, ..., £>ти) = 0
| а | m
имеет только нулевое решение. Тогда уравнение (2.4) из гл. 2
имеет по крайней мере одно решение, соответствующее
подпространству V, при произвольных функциях /а е ^(Q).
Утверждение следует из теорем 2.1 гл. 3 и 7.3 гл. 2.
Непосредственно из теоремы 1.3 следует
Теорема 1.4. Пусть /Цх, <;) удовлетворяют условиям
1) —4) и пусть функции В«(х, £,), |P|^wj—1, xeQ, tyRM,
представимы в виде В^(х, Ej = Bp (х, ^) + В^’(х, с,) так, что
для В^(х, <;), / = 0, 1, выполнены условия, получающиеся пе-
реформулировкой условий 1), 2) с заменой А^(х, с/), |а|^и7—1,
на В^1>(х, <;). Тогда соответствующая подпространству V гра-
ничная задача
Y (-1)|а|£>*/Цх, и, ..., Dmu) +
I » I =S т
+ Х X (-\)шО%(х,и, ..., Dmu)= X (-l)|e“^V«W
I 0 I < m~ 1	I <x | < m
§ 1. ДИВЕРГЕНТНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
13i
разрешима при любых /,(х)еЛ^(П) (<?а такое же, как в §2
гл. 1) для каждого такого значения Ze/?1, что соответ-
ствующая V граничная задача для уравнения
£ (—1)1“|£>вЛ<,°>(х, и, Dmu) +
I a I =S m
+ z	£	(-1)|р|£)РЛр(х, и, Dmu) = 0
| Р |	1
имеет только нулевое решение.
Тем самым устанавливается связь между вопросами
о собственных значениях нелинейных задач и их разреши-
мостью. Подобные утверждения называются в ряде работ
альтернативой Фредгольма (см. [74д, 89]).
Отметим, что предположение 2) о нечетности по Е, функций
Л!,0)(х, £), В^0)(хД) можно ослабить. Используется следствие
этого условия об отличии от нуля степени соответствующего
отображения. Этого можно добиться, используя формулу
индекса критической точки.
О применении формулы индекса критической точки к до-
казательству существования решения граничных задач речь
идет в § 3 (см. теоремы 3.6, 3.7).
В заключение рассмотрим задачу Неймана для уравнения
второго порядка. Интерес к этой задаче вызван тем, что
применение к ней теории степени Лере — Шаудера связано
с существенными затруднениями (см. [49]).
Пусть Q ограниченная область в «-мерном евклидовом
пространстве R" с границей класса С2, \ O<Z<1.
Рассмотрим граничную задачу
Л	1	И
А(и)= У —х, и, — ) + я| х, и, — 1 = 0,	хеП, (1.3)
1 ’ Aj dx, \ SxJ\ dx)	v 7
n / jA
/?(и) = X ял x, u, — Ic°s(v, Xj) + h(x, и) = 0,	xe5Q, (1.4)
где v—орт внешней нормали к cQ в точке х.
Предположим, что 1<р^п. (В случае р>п вид условий
изменится, их приводить не будем.)
Пусть при (х, и, ^)еП х R1 х R", ^=(^15 ..., £„) выполнены
предположения:
а)	а;(х, и, ^), Ь(х, и)—трижды непрерывно дифференцируе-
мые, а(х, и, £) — дважды непрерывно дифференцируемая функ-
ции своих аргументов;
134
ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
б)	с положительными постоянными с1; с2 и непрерывной
положительной неубывающей функцией ц для x\eRn выпол-
нены неравенства:
X и’ Оп(Пj>С1 (1 +1 I)₽'21 п 12’
I,
И
w=l + |M|B-₽+|^|, \ь\
8aj
w +1 a | < c2 wp 1+e,
"p. p
^C2(l+|n|)"-P, £<-,
oa,
8Xj
(1+1^1) +
8a
— +
du


i,j=l, n;
в)	существует R > 0 такое, что при | и | > R справедливы оценки
п
X
t = l
оА	О
—— аЛх, w, 0) + — а(х, и, 0)^с<0,
OXiOU	ои
и
п
£ а^х, и, 0)cos(v, Xi) + b(x, и)
i=l
xeQ,
xe<5Q.
>0,
Теорема 1.5. Пусть выполнены условия а) — в) и дО. — по-
верхность класса С2, \ А>0. Тогда при некотором 5>0
задача (1.3), (1.4) имеет решение, принадлежащее С2,8(П).
Доказательство. Включим задачу (1.3), (1.4) в пара-
метрическое семейство задач того же вида

би
Эх
8и
хеП,
fB(w)+(l-f) 1 +
8и
8х
V ^=0.
/	<?v
xe5Q.
(1-5)
(1.6)
Поставим в соответствие задаче (1.5), (1.6) оператор At:
lTp(Q)->[lTp(Q)]*, определяемый равенством
<Л,и,
Ф> =
Q
п
.1 = 1
<3iA о<р	/	ои\
х, и,— ]-—1-а х, и, — <р
ох / ох,	\	8х)
+
+(1-0
ди
д^с
2\£_^	о
\ э си д<р
J ext dxi
п /
X 1 +
J = 1 \
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	135
Аналогично доказательству теоремы 2.1 гл. 1 проверяется,
что оператор А, при каждом t е [0, 1 ] ограничен, непрерывен,
удовлетворяет условию	и что семейство операторов
At удовлетворяет условию а(о’.
Проверяется аналогично [49], что каждое решение уравне-
ния А,и = 0 принадлежит С2,8(П) с некоторым 5>0 и является
классическим решением задачи (1.5), (1.6). Обратное утвержде-
ние получается так же просто.
Отметим, что нормы всех возможных решений уравнения
Лги=0 ограничены некоторой постоянной. Так как и(х),
решение такого уравнения, принадлежит С2,8(П) и удовлетво-
ряет уравнению (1.5) и граничному условию (1.6), то
на основании принципа максимума (см. [49]), возможность
применения которого обеспечивает условие в), получается
оценка
max \и (х) | < Мо
хеП
с некоторой не зависящей от t постоянной Мо. Отсюда
и из равенства <Л(и, и> = 0 после проведения оценок на
основе условия б) получим, что для всех решений уравнения
А,и = 0 при t е [0, 1 ] выполнена оценка
II «II ^(<2)<М1	(!-8)
с некоторой постоянной М1.
Для завершения доказательства теоремы достаточно пока-
зать, что
Deg(/l0, BMi, 0)=1.	(1.9)
Последнее следует из теоремы 4.4 гл. 2 и неравенства
<Лои, и>>0 при и/0.
Таким образом, утверждение теоремы 1.5 есть следствие
(1.8), (1.9) и теоремы 1.1.
§ 2.	Разрешимость общих нелинейных граничных задач
Определенное в § 2,4 гл. 3 сведение дифференциальных
задач к операторным уравнениям рассмотренного в гл. 2
типа позволяет применять при изучении граничных задач
топологические методы, в частности, гомотопировать задачи
к более простым при наличии определенных априорных
оценок.
Ограничимся формулировками условных теорем существо-
вания общих граничных задач и нелинейной задачи Дирихле.
136
ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Некоторые безусловные теоремы существования могут быть
получены аналогично соответствующим утверждениям преды-
дущего параграфа. Менее простые применения требуют
специальных априорных оценок. В качестве конкретного
применения развитых методов рассмотрим задачу Дирихле
для уравнения Монжа—Ампера.
Теорема 2.1. Пусть Q— ограниченная область в R"
с бесконечно дифференцируемой границей ио= |
..., тт—неотрицательные целые числа, т>1, /0 — целое число,
L 1 А .
не меньшее max 12т, mj+-, ..., mm + -l, и пусть функции
.^(t,x,q), Gj(t, х, TiJ, j—\, ..., m, определены и непрерывны
при Ге [0,1], xeQ, ^e/?M(2m), r]7e/?M(mA Предположим, что
существует функция H(t, х, Q, определенная и непрерывная
т, mi,...
при te [0, 1], xeQ, C,eRM{2m при каждом tе [0, 1] функции
^,(x,^)=^(t, x,i,), Gj,t(x, n;)=G;(r, х, Hj), Я,(х, Q = H(t, х, Q
непрерывно дифференцируемы по своим аргументам соответ-
ственно до порядков l—2m+\, l—ntj+1, I— 2m+l, />/0 + н0
и удовлетворяют условиям 1), 2) из § 2 гл. 3. Кроме того,
предположим выполненными следующие условия'.
а)	существует положительная функция К: R'->Rl такая,
что для t е [0, 1 ] и ueH^Q) из
Ft(x, и, ..., D2mu)=tJ\x), xeQ,	(2.1)
GJit{x, и, ..., Dmm) = tgj(x), j=l, ..., m, xeoCl, (2.2)
следует оценка
X	Й1);	<2-3)
J=1	‘ i
6)	(x - A = - (x, £),	Gj.o (x, - T]j) = - Gj,o (x, T]),
f/0(x—£)= — Я0(х, £). Тогда при t= 1 задача (2.1), (2.2) имеет
по крайней мере одно решение в
Доказательство. Введем семейство отображений Ар
WI(Q)-+[№(Q)]* равенством
<А,и, <р> =
=(^,(х, и, ...,D2mu)-tf(x), Lt(n)<p + M((n)<p)I_2m,n +
+ Е (Gj.t(x, и, ..., DmJu)—tgj(x), В<р),_	!	(2.4)
7=1	1 2
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	137
где L,(u), Mt(u), (-, )/_2тЛ (•, )/_ имеют тот
же смысл, что и в равенстве (2.6) из гл. 3.
Из доказанных в § 2 гл. 3 теорем 2.3, 2.4 следует, что
при каждом t решение задачи (2.1), (2.2) является решением
уравнения Atu = 0 и обратно, оператор At ограничен, непре-
рывен и удовлетворяет условию ос (Я'(О)). Как и при доказа-
тельстве теоремы 2.4 из гл. 3, проверяется, что семейство
отображений At удовлетворяет условию
Тем самым вопрос о разрешимости семейства задач (2.1),
(2.2) сведен к изучению разрешимости операторного уравнения
А,и=0, и теорема 2.1 следует из теоремы 7.1 гл. 2, если при
фиксированных /, gj в качестве D взять шар BR в Н' (О) радиуса
т
R=K(\\f\\i-2m,n+ X	в этом случае
j-i	' ?
Deg(T0Z?K, 0) — нечетное число, так как оператор удовлетво-
ряет условию Ло( — и)= — Аои. Выбор числа R и предположение
а) теоремы обеспечивают выполнение неравенства при
ге [0, 1] и ueoBR. Этим закончено доказательство теоремы.
Замечание 2.1. Можно ослабить условие а) теоремы
2.1, требуя выполнения неравенства
т
ll«ll ,	I	(2.5)
С	1	J 2
вместо (2.3). В этом случае неравенство (2.3) следует из
(2.5) на основании априорных оценок решений линейных
эллиптических задач.
Как и при доказательстве теоремы 2.1, можно получить
утверждение о разрешимости задачи (2.1), (2.2) в И^>+1(0),
вводя соответствующий граничной задаче оператор равенст-
вом вида (2:27) из гл. 3. Так получающееся утверждение
приводить не будем.
Отметим применение теоремы 4.1 гл. 3 к изучению
разрешимости задачи Дирихле.
Теорема 2.2. Пусть О— ограниченная область в Rn
с границей 60 класса С™, функция & (t, х, <;) определена
и непрерывна при те [0, 1], хе О, ^е7?М(2т) и При каждом
t е [0, 1 ] х, принадлежит классу С1 +1 по переменным
x, t, Г^п0 =	+1. Предположим, что выполнены условия:
1)	существуют ле(0, 1) и положительная постоянная
К такая, что для те [0, 1] из
о
^(z, х, v, ..., D2mv) = 0 ге Ят(О)ПЯ2т + '(О)
(2.6)
138 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
следует || v ||С2»адо< К и
£ ^Д1, х, v, D2mr) т|“ А ~1 • | т] |2m,
|a| = 2m
где х, £) =—Ч
2)	^(0, х, -Д=-^(0, х. при хей, ^eAM,2m|. Тогда
задача (2.6) при 1=1 имеет по крайней мере одно решение в X.
Доказательство. Рассмотрим семейство линейных диф-
ференциальных операторов
3	= (J {L,(t>)= £ х, v, ..., D2mv)D\ veN,},
l е [0, 1 ]	| а | 2m
где А, - множество функций veX, удовлетворяющих уравне-
нию (2.6). Из условия 1) и априорных оценок решений
линейных эллиптических задач следует, что с некоторой
постоянной выполнена оценка
НИгт+^Ат Для veN= (J Nt.	(2.7)
re[0, 1]
Здесь || • ||2m+i- норма в Н2т + >. Отсюда аналогично доказа-
тельству оценки (4.3) из гл. 3 получаем неравенство
|| .^Jx, v, ..., D2mr||I^B для | ос|<2т, veN	(2.8)
с некоторой постоянной В.
Из неравенства (2.8) и условия 1) следует, что 3 с
с 3'im(А-1, В, й), где последнее семейство определяется заме-
чанием 3.3 из гл. 3. Используя замечание 3.3 и теорему 3.2
гл. 3, можно согласно (4.4) и (4.5) определить эллиптический
оператор М(х, D) и скалярное произведение в Я'(й)
так, чтобы при иеХ, veN„ weHl(Cl) выполнялись неравенства
(4.7), (4.8) из гл. 3 и неравенство
[£,(р)и, Ми]^К,\\и\\22т + 1-К2\\и\\1.
Определим нелинейный оператор Ар. Х-+Х* равенством
(А,и, <р> = [^(1, х, и, ..., D2mu), М(х, D)<p]i, <реУ. (2.9)
Аналогично теореме 4.1 гл. 2 получаем, что Nt совпадает
с множеством решений уравнения Л(и = 0, что оператор А,
ограничен, непрерывен и удовлетворяет условию oc0(BKj
и семейство отображений А, удовлетворяет условию а$(8Вк ).
Тем самым разрешимость задачи (2.6) сведена к разреши-
мости операторного уравнения Л1и = 0. Применим теорему
7.1 из гл. 2 при D = BK. Оператор Ао удовлетворяет условию
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	139
Ло( — и)=— Аои в силу условия 2) теоремы 2.2, поэтому
Deg (A0BKt, 0)У=0. Все условия теоремы 7.1 из гл. 2 выполнены,
и отсюда следует разрешимость задачи (2.6) при 1=1, что
и заканчивает доказательство теоремы 2.2.
Замечание 2.2. Сравнивая теорему 2.2 с теоремой
Браудера [15г] об условной разрешимости задачи (2.6),
доказанной на основе теории степени Лере — Шаудера, видим,
что использование теории степени операторов, удовлетворяю-
щих условиям а), с одной стороны, не требует дополнитель-
ных построений, с другой стороны, требует менее ограничи-
тельных предположений.
Рассмотрим вопрос о существовании регулярного в замк-
нутой области решения задачи Дирихле
ЩхИуу - «ху = Ф ( X, у, и, — 1,	(х, у) е KR,	(2.10)
и(х, y)=g(x, у), (x,y)edKR,	(2.11)
Ф(х2 + у2) dx dy
где KR — круг радиуса R с центром в начале координат.
Предположим, что g(x, y)eCl'\oKR), ф(х, у, и, р, q)— положи-
тельная функция класса С’2Д(д), 0<А.<1, удовлетворяющая
в G = {(x, у, и, р, q): (х, y)eKR, (и, р, q)e R3} условиям:
1)	ф(х, у, и, р, д)^Ф(х2 +у2)-f(p2 + q2), если и^т=-
= maxg(x, у);
| 2)
< f f inf	f~l^>2 + n2)dpdq,
Й-р)2+(п-9)2<Мн
где Мн — нижнее извивание кривой, задаваемой условием
(2.11). Определение нижнего извивания имеется в [8].
Существование регулярного в замкнутой области KR
решения задачи (2.10), (2.11) доказано в [8] методом
Ньютона — Канторовича при условиях 1), 2) и дополнитель-
ном предположении
— <р(х, у, и, р, 9)>0.
си
(2.12)
Используя топологические методы исследования нелиней-
ных граничных задач, в работе [78] доказана классическая
разрешимость задачи (2.10), (2.11) только при выполнении
условий 1), 2).
140 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ j
Обозначим через Н4 (О) совокупность функций, принадле-
жащих Я4 (О) и удовлетворяющих условиям
иххиуу-и^>0, ихх>0 при (x,y)eKR.
Теорема 2.3. Пусть g(х, >)еС4Х(dKR), <р(х, у, и, р, q)е
еС2Д(С) и выполнены условия 1), 2). Тогда задача (2.10),
(2.11) имеет по крайней мере одно решение в H4+(KR).
Замечание 2.3. Из теорем вложения в пространствах
Соболева и априорных оценок решений линейных эллиптичес-
ких задач следует, что решение, существование которого
утверждается в теореме, принадлежит С4Д(А?К).
Укажем способ сведения задачи (2.10), (2.11) к нелинейному
операторному уравнению. Из [8 ] и [1 ] следует, что в условиях
теоремы 2.3 для принадлежащих Я4 (Q) решений задачи
, I	ди ди\
uxxuyy-uxy = t(p[ х, у, и, —, — +
у	дх оуJ
+ (1 -1) Ф (х2 + /)/(|Vn |2), (х, j) е KR,	(2.13)
и (х, j) = tg (х, у),	(х, у) е cKR	(2.14)
при O^f^ 1 справедлива априорная оценка || и ||4<К с некото-
рой положительной постоянной К. Здесь и дальше || • || {— нор-
ма в H'(KR)=Wl2(KR). Пусть h(x, y)e H4(KR)—гармоническая
в KR функция, удовлетворяющая граничному условию (2.11).
о
Определим в Х= H4(KR)(} (KR) область D условием
D = {v=u-th: ueH4+(K^(}X, || и ||4</С,
Рассмотрим при veD параметрическое семейство диффе-
ренциальных уравнений
.^(t, х, у, v, D'v, D2v)s(vxx+ thxx)(v„+ thyy) —
i i \i (	. dv dh
-(vvy + thxy) — r<p x, y, v + th, —+
'	\	ox dx
dv dh
— +1 —-
dy dy
- (1 -1) Ф (x2 + y2)f\
5,
—(v+th)
OX '
2
+
d ,
—(v+th)
dv '
(2-15)
Обозначим через Я( множество принадлежащих D решений
уравнения (2.15). Из отмеченной выше априорной оценки
решений задачи (2.13), (2.14) и положительности функции
<р(х, у, и, р, q) следует, что NQ\oD = 0, где Я= U Nt.
te [б, 1]
Пусть Lt(v)—линейный дифференциальный оператор вто-
рого порядка, построенный по функции jF (t, х, у, v, ^2),
§ 2. ОБЩИЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ ЗАДАЧИ	141
^еЯ", ^2еЯм<2) аналогично тому, как при доказательстве
теоремы 2.2 оператор L, (г) определялся по функции 2F (г, х, ^).
I Рассмотрим семейство дифференциальных операторов
•^= U {Л(с): veN,}.
fe[0, И
На основании положительности функции <р (х, у, и, р, q) и оцен-
ки || v+th ||4<К для veN, проверяется, что для операторов
из семейства У7 имеется общая постоянная эллиптичности
А. Как и при доказательстве оценки (4.3) из гл. 3, из
|| v + th ||4<К следует
|| ^а(г, х, у, v, Dlv, D2v) ||2<В для |а|^2, veN.
Поэтому S с	В, KR) и по замечанию 3.3 и теореме
Зд2 из гл. 3 можно определить эллиптический оператор
M(x,D) второго порядка и скалярное произведение [,  ]2
в H2(Kr) так, чтобы при иеХ, veN, weH2(<A.) выполнялись
неравенства (4.7), (4.8) из гл. 3 при /=2, т=\ и
[Г,(г)М, Ми]2^К, || w ||4 —К21| w Цо
с некоторыми положительными постоянными К1; К2.
Аналогично (2.9) определим семейство нелинейных опера-
торов А,:
(А,и, <р> = [Г(г, х, у, и, Dlu, D2u)', М(х, £))<р]2.
Как и при доказательстве теоремы 4.1 гл. Зг получаем, что
множество решений операторного уравнения A,u = Q совпадает
с Nt, что оператор А, ограничен, непрерывен и удовлетворяет
условию a0(D), и семейство отображений At удовлетворяет
условию аЙ’(В).
Для завершения доказательства теоремы 2.3 осталось
проверить, что Deg(^0, D, 0)/0. Во-первых, отметим, что
задача
У J%(0, х, у, v, Dlv, О2г)Ояи = 0,	(х,у)еКх, (2.16)
|а|<2
и(х, у) = 0, (х, y)eKR,	(2.17)
имеет в H4(KR) только нулевое решение при произвольной
функции veD. Это следует из принципа максимума и того,
что J^(0, х, у, v, £2) = 0.
CV
Далее, уравнение Аои = 0 имеет в D решение w0 в силу
доказанной в [8] разрешимости задачи (2.10), (2.11) при
выполнении условия (2.12). Легко проверяется, что найденное
142 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
в [8] решение, в условиях доказываемой теоремы, принадле-
жит Н4(ХК), а, следовательно, и D. Решение уравнения
Аои = 0 единственно в D. Это следует из того, что задача
(2.16), (2.17) имеет только нулевое решение. Одновременно
из единственности решения задачи (2.16), (2.17) получаем,
что и0—невырожденная критическая точка отображения Ао.
Можно показать, что для вычисления Ind (Aq, w0) применима
теорема 5.3 гл. 2, из которой следует, что | Ind (Ао, и0) | = 1. Этой
проверки выполнять здесь не будем, так как вопросам вычисления
индекса критической точки посвящен следующий параграф.
Из теоремы 5.3 гл. 2 получаем, что Deg(A0, D, 0) =
= Ind(A0, ио)^0, и, тем самым, разрешимость уравнения
Аги=0, а следовательно, и задачи (2.10), (2.11) следует из
теоремы 7.1 гл. 2.
§ 3.	О применении формулы индекса критической точки
В данном параграфе будут показаны возможности приме-
нения теорем § 5 гл. 2 к вычислению индекса критических
точек операторов, введенных в гл. 3 и связанных с нелинейны-
ми эллиптическими граничными задачами. Полученные фор-
мулы для нахождения индекса применяются к вопросам
о точках бифуркации и разрешимости граничных задач.
Начнем с операторов, соответствующих граничным зада-
чам для дивергентных уравнений. Пусть Q — ограниченная
область в R", граница которой, для простоты, предполагается
о о
класса С”. Рассмотрим оператор А:1Ир (П)^[И/р (Q)]*, опре-
деляемый равенством
<Aw, <р>= £ Аа(х, и, ...,Dmu)Dx(pdx	(3.1)
I cz|<mj
о
в предположении:
1)	функции Ая(х, £) определены при хеfi, S, = {S,a: |а|^/и}е
еЛл/<"’), измеримы по х при всех значениях £, и имеют
непрерывные производные по 5, почти при всех х;
2)	при />>2, xeQ,	T\eRM«, |<х|, | выполнены
неравенства
\ т — у | $.т	/	(3-2)
/	\Р~2
Е Уп«пр>?2(1^о1)11+ Е 1^1) • Е л«>
|a| = |PI = m	\	|y|=m	/ |ot|=m
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИНДЕКСА
143
где А^(х, ^)=-^-Лр(х, q), g,, g2— непрерывные положитель-
1	^Чр
ные соответственно неубывающая и невозрастающая функции.
В (3.2) ^о = т^«: |а|<да—ру—произвольное положи-
I	Р)
. । п	пр
тельное число, если |у|=да— и р =—-.-------;—, если
р h-(w-IyI)/’
да— <|у|^да; рав=Рв«, причем
Р
Г 1——-----,
Ру Pfi
, 1
Р«В=5 1----,
Ру
если |а| = |Р|=да,
если да—^|а|^да,
Р
\Р1<т-~
Р
< 1, если |а|, | р|<да—”,
Р
0<р«в<1--------> если ]а|, |0|>да-”, |а| + |В|<2да.
Ру Р&	Р
С учетом предложения 1.1 гл. 1, легко доказывается
Лемма 3.1. Пусть р>2 и выполнены условия 1), 2).
Тогда введенный равенством (3.1) оператор А имеет в каждой
о
точке weB'p(Q) производную Фреше А' (и), которая определя-
ется следующим образом:
(A'(u)v,(p)=	£ ЛаДх, и, ..., D^D^vITipdx. (3.3)
)a|,)p|<m J
о
Замечание 3.1. При р = 2 утверждение леммы 3.1, вообще
говоря, не имеет места (см. [77а, гл. 5, § 1 ]).
Для следующей теоремы 3.1 понадобится еще условие
3)	функции Ая(х, с) имеют непрерывные производные по
х, удовлетворяющие неравенству (2.1) гл. 1.
Теорема 3.1. Пусть п = 2, р>2 и функции Ая(х, с,)
удовлетворяют условиям 1) —3). Предположим, что Л0 = 0
и уравнение Л'(0)м = 0 имеет только нулевое решение. Тогда
отображение А удовлетворяет условиям 1) —3) теоремы
5.2 гл. 2, нуль —изолированная критическая точка отображе-
ния А и Ind (Л, 0) можно вычислить по теореме 5.2 гл. 2.
Доказательство. Оператор Г, существование которого
требуется в теореме 5.2 гл. 2, можно определить равенством
<Гм, <р> = Х Ju(x)q>(x)dx,
144 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ /
где А— достаточно большое положительное число. Jlerjco
видеть, что Г-- вполне непрерывный оператор из И'дА)
в	где р'=р/(р-1).
Для проверки условия (5.3) из гл. 2
<(Л'(0) + Г)и, и)>0 при w^O	(3.4)
достаточно произвести элементарные оценки, используя нера-
венства (3.2), неравенство Коши и интерполяционное нера-
венство
II «IL+М «Но, «еИ^(Й),	(3.5)
справедливое при к<т с произвольным положительным
числом е. Здесь || и ||t — норма в И'-ЦП).
Если А выбрать так, чтобы выполнялось неравенство
(3.4), то из работы [57] следует, что оператор
Л'(0)+Г: Й7(П)-[Й7(П)]*
есть изоморфизм. Это обеспечивает выполнение условия 2).
Для доказательства условия 3) проверим, что для достаточ-
но малого £ множество пусто. Предположим противное:
существуют последовательности и„, t„ такие, что
/„Лм„ + (1-/„)Л'(0)и„ = 0,	w„-0, /„е[0, 1].	(3.6)
Замечая, что по теореме вложения
11м"11с”-‘(П)"*0 при
из
</„Л«„ + (1-/„)Л'(0)м„, и„> = 0
на основании простых оценок получим неравенство
I|w„llm<c||wj|m-1-
0
Отсюда следует, что слабый предел v0 в И'дП) последова-
тельности г„ = || и„ ||m 1и„ отличен от нуля.
Аналогично установленным М. И. Вишиком в [20а] внут-
ренним оценкам производных (да+1)-го порядка решений
уравнений вида (2.4) гл. 2 можно получить из (3.6) для
произвольной строго внутренней подобласти Q' области
Q априорную оценку
_	(3-7)
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИНДЕКСА
145
с некоторой не зависящей от п постоянной с'. Неравенство
(3.7) позволяет перейти к пределу при п->оо в соотношении
—</„Лм„ + (1 —?„)Л'(0)м„, <р> = 0
Н Wn Нт
для любой функции <р класса Cf(Q). Получаем
<Л'(0) г0, ср> = 0,
что противоречит условию теоремы, так как раньше было
показано, что ио^0. Тем самым доказано выполнение
условия 3).
Остальные утверждения теоремы 3.1 непосредственно сле-
дуют из теоремы 5.2 гл. 2.
Замечание 3.2. В [77а] показано, что при выполнении
естественных условий теорема 5.2 гл. 2 применима для
вычисления индекса критической точки оператора А, опреде-
ляемого равенством вида (3.1), в случае т=1 и произвольной
размерности области Q.
Перейдем к рассмотрению операторов вида (3.1) в случае
0
гильбертова пространства И'7? (И).
Лемма 3.2. Пусть £2-ограниченная область в Rn, функции
Ла(х, г], Q удовлетворяют условиям 1), 2) при р = 2 и пусть
0	г0
оператор A: IF? (Q)->* определяется равенством (3.1).
о
Тогда оператор А имеет в каждой точке ие И7?1 (£2) производ-
ную Гато А'(и), удовлетворяющую условию', для произвольного
элемента	из и„-»и0 следует [Л'(«„)] * v->[A '(w0)] *v,
где [Л'(и)] * — сопряженный к А'(и) оператор.
Производная А'(и) при этом представляется в виде (3.3),
ее существование и отмеченное свойство доказывается на
основе предложения 1.1 гл. 1.
Теорема 3.2. Пусть выполняются все предположения
леммы 3.2 и пусть Л0 = 0 и уравнение А'и = 0 имеет только
нулевое решение. Тогда для оператора А выполнены все
условия теоремы 5.3 гл. 2. Нуль — изолированная критическая
точка отображения А и индекс нуля этого отображения
можно вычислить по теореме 5.3 гл. 2.
Для доказательства теоремы достаточно выбрать оператор
Го, о котором идет речь в теореме 5.3 гл. 2, в виде
<Гом, <р> = A. f и (х) <р (х) dx
а
10 И. В. Скрыпник
146
ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
, удовлетворяю-
щих*-
с достаточно большим положительным X. Легко проверяется
при этом выполнение всех условий теоремы 5.3 гл. 2.
Теоремы 5.2, 5.3 гл. 2 применимы к вычислению индекса
критической точки операторов А, введенных в § 2,4 гл. 3
при сведении к операторным уравнениям общих нелинейных
эллиптических граничных задач. Не приводя формулировки
теорем для всех типов возникающих операторов, ограничимся
для простоты только одним случаем—оператором А, опреде-
ленным в § 4 гл. 3 при рассмотрении общей нелинейной
задачи Дирихле.
Лем_ма 3.3. Пусть Q — ограниченная область в R" класса
С”, х	—функция класса С!
щая условию А) из § 4 гл. 3,	+1 и пусть А: В1
оператор, определяемый равенством (4.9) из гл. 3 при Х=
= Я2т + ,(П)П/Гп(П) и выполнении условий (4.6) — (4.8) гл. 3.
Тогда оператор А имеет в каждой точке veBR производную
Фреше А'(г), непрерывно зависящую от v.
Доказательство. Покажем, что А'(и) определяется ра-
венством
<A'(r)w, <p> = [L(p)w, М(х,
где L(p)w= ^а(х, v, ..., D2mv)D,lu.
|а I<2т
Пусть со(р, u) = A{y^u)—Av — A,(v)u и докажем, что
||ю(г, ы) II, II w II“1-ь0 при II и ||-»-0. Здесь ||-||, || • ||„—соответ-
ственно нормы в X и X*. Имеем
(3-8)
= sup |..., D2m
D2m\
SUP S |cap(x)Z>a[A(u + rw) — L(p)k]Z)₽A/ <p\dxdt^
Ф Н = 1 I a I, I p |«ij J
n 0
£)“w-L(u)£)aw|2 +
о о
p/2
+1 А0.а (v + tu, u) - ROa (у, и) I2] dx dt > ,	(3.9)
где /?Оа(и, w) имеет то же значение, что и в (2.10) из гл. 3.
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИНДЕКСА
147
При этом справедлива оценка
|/?о,«(р + ?и, uj-Ro'Jy, w)|<
l l-J	l —l—J	l-i-j
X X\D2m+Ju\-\D2m*‘u\ X {\D2mikv\~~k~ +
j—Oi = O	k=\
l-i-j
+ (ZJ2m+fcw| к +1}.	(3.10)
Из оценок (3.9), (3.10) и неравенства Ниренберга — Гальярдо
выводим, что || го (г, и) II, IIИ II -1“>0 при II и || ->0.
Это доказывает, что оператор Л'(и), определяемый равенст-
вом (3.8),— производная Фреше оператора А. Непрерывная
зависимость Л'(г) от v доказывается аналогично.
Теорема 3.3. Пусть выполнены все предположения леммы
3.3 и пусть Л0 = 0 и уравнение Л'(0)и = 0 имеет только
нулевое решение. Тогда нуль - изолированная критическая точ-
ка отображения А и индекс нуля этого отображения можно
вычислить по теореме 5.3 гл. 2.
Доказательство. Необходимо только построить линей-
ный вполне непрерывный оператор Го: Х^>Х* такой, чтобы
для некоторого г и положительной постоянной с выполнялось
неравенство
<(Л'(и) + Г0)м, и)^с || и ||2 для иеХ, ||р||<г.
Так как по лемме 3.3 оператор Л'(г) непрерывен по v,
то достаточно проверить это неравенство при v = 0. Определим
оператор Го, как и раньше:
<Гои, <р> = Aj и (х) <р (х) dx,
п
А—достаточно большое положительное число. Имеем из
(3.8) и неравенства (4.6) из гл. 3
<(Л'(0) + Го)и, h> = [L(0)h, М(х, £))ц], + А || и ||§>
|| wUL + i-^ II «llo + А || ы Ilo>*t II wllL+ь
если А>А2- Тем самым теорема 3.3 доказана.
Дадим применения доказанных теорем к задаче о точках
бифуркации. Ограничимся примерами применения теорем 3.1, 3.3.
Рассмотрим вопрос о бифуркации решений задачи
X (-1)|в|ЛаЛа(х, и, Т>ти\=
= Х X (~1)|₽|Я₽Яр(х, и, ..., Dmu), xeQ, (3.11)
I Р |«m- 1
Dau(x) = 0, xeSQ, |a|</n—1.	(3.12)
10*
148
ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Будем предполагать выполнение следующих условий:
1) Q—ограниченная область в Л2 с границей i?Q класса
С”, фушсции А (х, г], Q,Bp(x, т|, Q определены и непрерывны
при xeQ, цеЯ	имеют непрерывные производ-
ные по 1]Д при всех значениях х;
2) при р>1, xeQ, т]еАМ(т“1>,	^e/?M(m), |<х|,
|р|<те выполнены неравенства
М«р(х,п,01, n.OI<gi(lnl)(i+ Е 101)₽-р>
111=m
Е Лр(х, n, 0^pg2(lnl)(1+ Е Ю1)р"2 Е &
|«|,| P|=Sm	| у | = т	]«|=т
где Лар, Вар, gi, g2, понимаются так же, как и в (3.2).
Наряду с задачей (3.11), (3.12) рассмотрим линейную
задачу
Е (—1)|а|£)“{Лау(х, 0)£)уи} =
I? |, | а| «т
= А. £ (-1)^1£)₽{ВР7(х, 0)DTw}, xeQ, (3.13)
£)“и(х)=0, xeSQ, |а|^/и—1.	(3.14)
Применением теорем 7.6, 7.7 гл. 2, проверку выполнения
условий которых можно провести аналогично доказательству
теоремы 3.1, устанавливается
Теорема 3.4. Пусть выполнены условия 1), 2) и Ла(х, 0) =
= Вр(х, 0) = 0 при |а|^/и,	1. Для того чтобы число
Хо было точкой бифуркации задачи (3.11), (3.12), необходимо,
чтобы это число было характеристическим числом задачи
(3.13), (3.14). Всякое характеристическое число нечетной
кратности задачи (3.13), (3.14) является точкой бифуркации
задачи (3.11), (3.12).
При этом точки бифуркации задачи (3.11), (3.12) понимают-
ся аналогично определению 7.4 из гл. 2. Кратностью характе-
ристического числа А.о задачи (3.13), (3.14) называем размер-
ность пространства решений этой задачи при А. = Х.О.
Рассмотрим еще вопрос о бифуркации решений задачи
J^(x, и, D2mu) = XG(x, и, ..., D2m ^u}, xeQ, (3.15)
£)“и(х)=0, xeSQ, |а|^/и— 1.	(3.16)
Предполагаем выполненными следующие условия:
a)	Q—ограниченная область в_ R" с границей 3Q класса
C2m+I, ClxRM(2m)^>Rl, G: Q х ЯМ(2т“‘’-Я1— функции
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИНДЕКСА
149
,	- +1; функция & удовлетворяет условию
класса С'
А) из § 4 гл. 3;"-
б)	уравнение L(0)w= £ ^а(х, 0)£)“и = 0 имеет только
| а|<2m
нулевое решение, удовлетворяющее условию (3.16).
Наряду с задачей (3.15), (3.16) рассмотрим линейную
задачу для уравнения
X .^(х,0)№ = л X G^x,tyD*u
|а | < 2т	| Р | < 2m - 1
(3-17)
с граничным условием (3.16).
Применением замечания 7.1 и теоремы 5.3 гл. 2 устанавли-
вается
Теорема 3.5. Пусть выполнены условия а), б) и &(х, 0) =
= G(x, 0) = 0. Для того чтобы число А.о было точкой бифурка-
ции задачи (3.15), (3.16), необходимо, чтобы Хо было характе-
ристическим числом задачи (3.17), (3.16). Всякое характеристи-
ческое число нечетной кратности задачи (3.17), (3.16) является
точкой бифуркации задачи (3.15), (3.16).
При этом в теореме 3.5 подразумеваются решения задач
(3.15), (3.16) и (3.17), (3.16), принадлежащие Н2т+'(П) П 7Г"(П).
Доказательство основано на сведении задачи (3.15), (3.16)
к операторному уравнению
Ли + А.7м = 0,
где операторы А, Т определяются при и, <pe//2,"+'(Q)f] Л™(П)
равенствами
{Аи, <р>=(^"(х, и, ..., D2mu), L(0)<p)b
<7и, <p>=(G(x, и, ..., D2m~lu), L(0)<p);,
здесь (•, ),—скалярное произведение в пространстве Я'(П).
Отметим, что в силу условия б) и априорной оценки
(1.10) из гл. 3 выполнено неравенство
<A'(v)u, u)=(L(v)u, L(0)w)z>c || и Щт+Г
для v, принадлежащих некоторой окрестности нуля прост-
ранства H2m+'(£2)Q/f"(Q).
Дадим применение формулы индекса критической точки
к доказательству разрешимости граничных задач. Ограничим-
ся примерами задач Дирихле.
150 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Теорема 3.6. Пусть Q—ограниченная область в R",
функции Аа(х, г], Q определены при |а|^/и, xeQ, т]еЯм<т~1),
^е/?мо и удовлетворяют условиям 1), 2) при р = 2. Предполо-
жим, что уравнение X'(u)t; = 0 имеет только нулевое решение
в	при произвольной функции ие РИдИ) и существует
непрерывная функция K:R\-+R\ такая, что для любого
решения и(х)е ^(Q) уравнения
£	Е (-1)1’|£>7а(х)	(3.18)
| а | т	(а| < т
с /a(x)eL2(Q) выполнена оценка
WL.2W z IIA(x)IIl2(Q)\	(3.19)
\|«|<т	/
о
Тогда уравнение (3.18) имеет решение в W 2(Q) при произволь-
ных функциях /a(x)eL2(Q).
Доказательство. Рассмотрим определяемый равенством
о	о
(3.1)	оператор Л: И/г(П)->[ ^(Q)]*. Л'(м) определяется со-
гласно (3.3) и является производной Гато отображения
А в точке и. Пусть
§а(х)=Ла(х, 0, ..., 0),	|а|<да.
Для заданных функций /a(x)eZ.2(Q) определим число
м= Е {11Лх,к2(П)+и«(^)11ь2(П)},
|я|=5т
и пусть R = K(M)+\.
________________________________________________о
Рассмотрим отображение А в шаре jBR(0) = {ueWz2(Q):
II и II т,2 < R} и гомотопию
A,(u) = Au-(l-t)g-tf,	иеВ7(0), te[O, 1],	(3.20)
о
где f, ge [ W”(Q)] * и определяются следующими равенствами:
</,<₽> = X f/a(x)£>a<p(x)Jx,
|сс|	Q
<g, <P>=3 I \ga(x)D*<pdx.
(сс( Q
§ 3. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ИНДЕКСА
151
Отметим, что Л1(и)/0 при te [0, 1], uedBR(0). В самом
деле, это следует из оценки (3.19) и выбора числа R.
В соответствии с теоремой 1.1 достаточно доказать, что
deg(X0, BR(0), 0)/0. В силу предположения относительно
А'(и) и теоремы 3.2 в шаре BR(0) уравнение Аои = 0
имеет только невырожденные критические точки. По те-
ореме 5.1 гл. 2 их конечное число, обозначим его х. Так
как Яо0=0, то х>1. Пусть w;, i— 1, ..., х,— критические точки
отображения Ао в шаре BR(0). Используя предположение
относительно А'(и), получаем, что при каждом ueBr(0)
определена степень
Deg(X'(w), Br(Q), 0) = Ind (Л'(и), 0).
(3.21)
Легко видеть, что левая часть непрерывно зависит от и,
и из-за ее целочисленности получаем, что Ind (А '(и), 0) не
зависит от точки и.
Из теорем 5.1, 5.3 гл. 2 и определения (3.21) имеем
Deg (Я 0, О), 0) = Е bd (Л 0, =
i=J.
= Е Ind(X'(«i), 0)=xInd(H'(0), 0)=xInd(Ho, 0).
i=l
Правая часть здесь отлична от нуля в силу теоремы 3.2.
Итак, доказано, что Deg(X0, BR(0), 0)/0, и утверждение
теоремы 3.6 следует теперь из теоремы 1.1.
Замечание 3.1. Можно показать, что х—число кри-
тических точек отображения Ао—равно единице и что
решение уравнения (3.18) в условиях теоремы 3.6 единственно
о
в И^(П).
;с,+2
Аналогично теореме 3.6 с учетом замечания 3.1 доказы-
вается
Теорема 3.7. Пусть Q—ограниченная область в R" с гра-
ницей дИ класса C2m+l,
,	+1, удовлетворяющая условию А) из §4 гл. 2.
. .Предположим, что уравнение
!, Их RM(2m}~*Rl—функция класса
Е J%(x, и, ..., D2mu)D'Iv = Q
|а| < 2т
(3.22)
3
152 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
О
имеет только нулевое решение в Я2т+,(О)ПНт(О) при произ-
о
вольной функции u(x)eHlm + l(Q)Q//m(Q) и существует непре-
рывная функция К: Rl+~*Rl+ такая, что для любого решения
о
ц(х)еЯ2и”'(О)ПЯт(О) уравнения
^(х, и, D2mu)=f(x)
с /(х)еН'(О) выполнена оценка

(3.23)
(3.24)
Тогда уравнение (3.23) имеет и притом единственное решение
о
в +	При произвольной функции f(x)eHl(Q).
§ 4.	Оценка числа решений нелинейных эллиптических
задач
Основой доказательства результатов по оценке снизу числа
решений нелинейных эллиптических задач являются сведение
граничных задач к операторным уравнениям, рассмотренным
в гл. 1, теорема 5.1 гл. 2, связывающая степень отображения
и значения индексов критических точек, а также формулы
для вычисления индексов критических точек. На этом пути
можно рассматривать как вариационные, так и невариаци-
онные граничные задачи, в том числе, и для общих
нелинейных уравнений. Ограничимся только одним случа-
ем— случаем вариационных задач.
Пусть О - ограниченная область в «-мерном евклидовом
пространстве такая, что справедливы вложения пространства
о
И7™(О), отмеченные в § 1 гл. 1. Рассмотрим на И7” (О)
функционал
^(u) = jf(x, и, ..., Dmu)dx,	(4.1)
а
предполагая выполнение следующих условий:
1)	функция f(x, определена при хеО, ^={^: |а|^н?}е
е7?М(т), измерима по х при всех значениях и дваж-
ды непрерывно дифференцируема по почти при всех х;
§ 4. ОЦЕНКА ЧИСЛА РЕШЕНИЙ
153
o2f(x, £)
2)	функции УиВ(х, д)=-	— удовлетворяют неравенствам
£ Xi i+ х i^iM -
|у|<т-р	/ \	”<| ,	/
где pv такие же, как в неравенстве (3.2), gr — непрерывная
положительная неубывающая функция, р^2;
3)	для xeQ.,	пеЯм° (М0=М(т)-М.(т-1)), вы-
полнено неравенство
X А₽(*> 4)ПЛ₽>
Ы = 1₽1=т	,	. ,	.	,
/	\ /	\р~2
X 1^11 1+ X 1^11 X
4]<т-? А М = т	7 W = m
с непрерывной положительной невозрастающей функцией g2-
Легко проверяется, что при выполнении условий 1)—3)
о	о
оператор Я: И7™ (£!)->[ И7™ (Q)]*, определяемый равенством
<Яп, <р>= £ |/а(х, и, ..., Dmu)D^dx,
[ot| Q
удовлетворяет условиям теоремы 2.1 гл. 1 и, следовательно,
о
принадлежит классу Л(И7(П)) в соответствии с определе-
нием 2.3 гл. 2. Используя предложение 1.1 гл. 1, можно до-
казать, что А и является производной Фреше функционала
S' в точке и, которую обозначим -S’(и).
Стационарными точками функционала S' называем обоб-
о
щенные решения u(x)eWp(Cl) уравнения
X (-l)wOX(x, и, ..., Z)mw) = 0.
|a|$m
Применением теоремы 7.8 гл. 2 получается
Теорема 4.1. Пусть функция f(x, Q удовлетворяет ус-
ловиям 1) — 3) и
^(и)-> + т при ||и||„.р—*оо.	(4.2)
Тогда S' имеет по крайней мере одну стационарную точку.
Если S' имеет две стационарные точки типа локального
минимума, то существует третья стационарная точка.
154 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Замечание 4.1. В теореме 4.1 можно предполагать зна-
чительно более слабые условия на функцию f(x, <;), чем это
сделано. В частности, достаточно требовать существование
производных только первого порядка по £а, удовлетворяющих
условиям AJ—А4) из §2 гл. 1. Предположения, сделанные
выше, выбраны так, чтобы они одновременно были приме-
нимы как для теоремы 4.1, так и для теоремы 4.2.
В условиях теоремы 4.1 отображение имеет производ-
ную по Фреше, если р>2, и по Гато, если р = 2 (см. [77а]).
Обозначим производную 3' в точке и через 3"(и).
Определение 4.1. Стационарная точка и0 функционала
3 называется невырожденной, если уравнение J*"(wo)/i = 0
имеет только нулевое решение.
Теорема 4.2. Пусть Q— ограниченная область в R2
с границей c'Q класса С00 и пусть для функционала 3 выполнены
условия 1) — 3) и (4.2). Предположим, что для функционала
3 существует невырожденная стационарная точка ut и функ-
о
ция и2(х)е и2^и1, для которой 3(u2)^3(ut). Тогда
функционал 3 имеет не менее трех стационарных точек.
Доказательство. Покажем, что при сформулированных
предположениях функционал 3 удовлетворяет всем условиям
теоремы 7.9 гл. 2.
Во-первых, проверим, что функционал 3 полунепрерывен
снизу. Пусть, например, р>2. Используя условия 2), 3),
проверим, что для отображения 3' выполнено неравенство
£
(3'(u)—3'(v), w-v>>cJ|w-rU.p-c2||w-r||^“'	(4.3)
если || и||т,р, || v||m,p<R. В (4.3) с2—постоянные, зависящие
от R, || • || т,р—норма в ^(П).
о
Пусть w„el7p(Q) — слабо сходящаяся к и0 последователь-
ность. Тогда
1
^(u„)-3(u0) = ^(.3’(t(u„-u0) + u0), u„-u0)dt^
О
_р
- с з II и„ - и0 II р~'	+ < 3’ (и0), ип - и0 >
С
(4.4)
и правая часть стремится к нулю в силу компактности
вложения fF^(Q)<=Cm-1(Q) при п = 2, р>2. Поэтому из (4.4)
§ 4. ОЦЕНКА ЧИСЛА РЕШЕНИЙ
155
:ледует, что ^(и0)^ lim т. е. полунепрерывность функ-
л—*00
дионала Зг.
В условиях теоремы индекс критической точки отобра-
жения SF' отличен от нуля. Это следует из теоремы 3.1 при
9 >2. При р=2 можно проверить, что накладываемые ограни-
чения на поведение функций /ир(х, У хотя и являются более
слабыми, чем соответствующие условия (3.2) на Лир(х, £),
но, тем не менее, позволяют сохранить доказательство
леммы 3.2 и теоремы 3.2. Так что и в этом случае
Ind(.F', 0)^0.
Теорема 4.2 следует теперь непосредственно из теоремы 7.9
гл. 2, так как все условия последней теоремы выполнены.
Теоремы 4.1, 4.2 доказаны в [406 ].
Рассмотрим еще в качестве примера задачу о сильном
изгибе тонких пластин, поставленную в § 3 гл. 1. Будем
рассматривать сейчас эту задачу в виде
&2ftx, у)=-L(w, w),	(4.5)
A2w(x, y) = 'kL(F0, w) + L(f, w),	(x, y)eQ,
.	. dw(x, y)	0f(x, y) .	.	.	z. ..
w(x, y)=—;----=/(x, y) = —J.— = o,	(x, y)edQ,	(4.6)
on	on
где Q—ограниченная область на плоскости с границей <ЗП,
А0(х,у)—известная функция класса IK^Q), L(f, w) определена
в §3 гл. 1, Д -оператор Лапласа.
При любом X задача (4.5), (4.6) имеет решение /=и’ = 0,
однако нулевое решение не всегда единственно, это соответст-
вует известному факту, что пластины могут иметь несколько
форм равновесия. Как правило, лишь одна из форм равнове-
сия является желательной. Переход в другие формы может
означать разрушение конструкции. В связи с этим возникает
необходимость в предсказании такого перехода.
Задача (4.5), (4.6) эквивалентна некоторой вариационной
о о
задаче. Пусть R: И72 (£!)-> WliQ) — оператор, ставящий в соот-
ветствие функции w обобщенное решение f=Rw уравнения
Д2/= — L(w, и1).
Непосредственно проверяется, что оператор R всюду диффе-
ренцируем по Фреше и что производная оператора R в точке
w, R'(w), определяется равенством
<A'(w)<p, ф>= — 2jJwL(<p, \\i)dxdy.	(4.7)
п
(Aw)2 — ^L(w, w)7?w>(Zx(/y
156 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Отметим просто проверяемое соотношение:
J|L(w, F)wdxdy = ffZ-(w, w)Fdxdy	(4.8)
о	о
о
при we Wi(Q).
Доказывается (см. [77а]), что функционал
П
дважды непрерывно дифференцируем по Фреше и что его
производная SF' определяется равенством
<^'(w), ф > = 2JJ { А w-Аф — L(w, Rw)q>}dxdy.
a
Отсюда и из (4.8) следует, что задача (4.5), (4.6) эквива-
лентна вариационной задаче
= XG’(w),
где G' производная дважды непрерывно дифференцируемого
о
по Фреше функционала G:	определяемого ра-
венством
G(w) = ff L(F0, w)wdxdy.
а
Наряду с задачей (4.5), (4.6) рассмотрим линеаризованную
задачу
A2w(x, y) = 'kL(F0, w),	(х, y)eQ,	(4.9)
cw(x, y) w(x, у) =	;	= 0, cn	(х, у) е 3Q,	(4.10)
решения которой удовлетворяют уравнению		
,^"(0)w-XG"(0)w = 0,		(4.Н)
.^"(0), G''(0) производные Фреше операторов G' в нуле.
Приведем без доказательства полученную в [77а] теорему
о точках бифуркации задачи (4.5), (4.6).
Теорема 4.3. Для того чтобы число X было точ-
кой бифуркации задачи (4.5), (4.6), необходимо и доста-
точно, чтобы задача (4.9), (4.10) при Х = Х имела ненулевое
решение.
§ 4. ОЦЕНКА ЧИСЛА РЕШЕНИЙ	157
Рассмотрим теперь вопрос о числе форм равновесия
пластины при различных значениях А. Будем считать выпол-
ненным механически оправданное условие
w)F0(x, y)dxdy>0
а
о
при we Witty, w#0.
В этом случае задача (4.9), (4.10) имеет счетное число
собственных значений А„, причем 0<А-! ^...^Хи^... и Хл-юо.
Легко проверяется, что при А.>Хх минимум функционала
J*(n) —AG(w) на Wl(Q) отрицателен.
Обозначим Ао нижнюю грань значений X, для которых
о
минимум функционала & на Witty отрицателен. Очевидно,
Xq^Xj.
Теорема 4.4. При любом значении А функционал &(и) —
~kG(u) удовлетворяет условию
.‘F(w) —AG(w)->oc при ||п||2-юо.	(4.12)
Пусть	Х/Х„ (п=1, 2, ...). Тогда задача (4.5), (4.6)
имеет не менее трех решений.
Доказательство (4.12) основано на следующих легко
проверяемых оценках:
WRfW^WLtw, п)\\2,^с2\М\\2,
•^(“) = И{(Aw)2 +x<ARf)2}dxdy<сз{ II к’II1 + II Ц™, w) Hi.*},
Q	2
|XG(w)| sJ|X| || Fo ||21| L(w, w)|| 2,^c31| L(w, w) || l,* + c4X2,
где II’ll2,* — норма в [^(Q)]*, сь c2, c3 -постоянные,
зависящие только от О, с4— постоянная, зависящая от Го,
О. Из (4.13) получаем, что при || w I|2>x/q|X|/c'5 + 1 выполнено
неравенство
:F(w)-XG(w)> |j will,
откуда следует (4.12).
Пусть «1 = 0, и2 — точка минимума функционала
.“F —XG, где А удовлетворяет условию теоремы. Так как
Х>Х0, то
jr (п2) — XG(n2) < 0 =	1) —AG(n i).
158 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Уравнение (4.11) при А./А.и имеет только нулевое решение,
поэтому Ind(.^' —A.G', uJ/O. Последнее получается из теоре-
мы 5.3 гл. 2, условия которой легко проверяются.
Функции и1(х), и2(х) - критические точки отображения
J*' —A.G', удовлетворяющие всем условиям теоремы 7.9 гл. 2.
Остальные условия этой теоремы проверяются аналогично
доказательству теоремы 4.2. И, тем самым, теорема 4.4
следует из теоремы 7.9 гл. 2.
§ 5. Сильная сходимость галёркинских приближений для
общих нелинейных эллиптических граничных задач
Покажем здесь, что теория степени обобщенных моно-
тонных отображений позволяет доказать сильную сходи-
мость галёркинских приближений для общих нелинейных
эллиптических задач. Ограничимся рассмотрением только
примера задачи Дирихле для уравнения Монжа — Ампера,
хотя развиваемые методы позволяют устанавливать сильную
сходимость галёркинских приближений и при нелинейных
граничных условиях для общих нелинейных эллиптических
уравнений.
Начнем с теоремы о сходимости галёркинских приближе-
ний для операторного уравнения. Пусть X—сепарабельное
рефлексивное вещественное банахово пространство и пусть
vh z=l, 2, ...,— такая система элементов в X, что (J Fn = X,
п» 1
где F„ — линейная оболочка элементов vt, ..., v„ и черта
обозначает замыкание.
Приближенным решением уравнения Аи = 0 будем называть
элемент u„eF„ такой, что
(.Аи„, Г|> = 0,	/=1, п.	(5.1)
Теорема 5Л. Пусть D —ограниченная область прост-
ранства X и A: D-+X*— ограниченныйдеминепрерывный опе-
ратор, удовлетворяющий условию a0(Z>). Предположим, что
в области D отображение А имеет единственную критическую
точку, АиУ=0 при uedD и Deg (Я, D, 0)^0. Тогда приближенные
решения ип уравнения Аи = 0 существуют при п, больших
некоторого п0, и при и~+оо приближенные решения сильно
сходятся к решению уравнения Аи — 0.
Доказательство. Из определения степени отображения
следует, что при достаточно больших п deg(X„, D„, 0)/0, где
A„,Dn определяются согласно (2.2) из гл. 2. Тогда из свойств
§ 5. СХОДИМОСТЬ ГАЛЁРКИНСКИХ ПРИБЛИЖЕНИЙ	159
степени конечномерных отображений получаем, что система
уравнений (5.1) при таких и имеет решение и„ в Dn, которое
и является приближенным решением уравнения Аи = 0. Это
доказывает первую часть теоремы.
Докажем сильную сходимость приближенных решений.
Пусть и0 — решение уравнения Аи = 0 в D, £—произволь-
ное число и ВЕ(п0)—шар радиуса е с центром в и0.
На множестве D,= D\Bt(u0) отображение А не имеет крити-
ческих точек и аналогично доказательству первой части
теоремы 2.1 гл. 2 убеждаемся в том, что уравнение Лип = 0
при достаточно больших п не имеет решений, принадлежащих
Z>e("|F„. Тем самым, при больших п все приближенные
решения находятся в В£(н0)("|Г„, что и заканчивает до-
казательство теоремы.
Замечание 5.1. Сходимость метода Галёркина для урав-
нения вида u + Fu — 0, где F—вполне непрерывный опера-
тор в банаховом пространстве, получена М. А. Красносельс-
ким в [45 ].
Рассмотрим применение теоремы 5.1 на примере задачи
Дирихле для уравнения Монжа — Ампера
ди ди\ , .r	гг.
= X, у, и, —, — ,	(х, y)eKR,	(5.2)
у ох Оу }
U(x, y)=g(x, у),	(х, y)edKR.	(5.3)
Здесь KR— круг радиуса R с центром в начале координат.
Предположим, что g(x, y)eC4’k(dKR), <р(х, у, и, p,.q)— положи-
тельная функция класса С2д(б), 0<Х<1, удовлетворяющая
условиям 1), 2), сформулированным в § 2 при рассмотрении
задачи (2.10), (2.11), и неравенству
^-Ф(х, у, и, р, q)^0.	'	(5.4)
ди
Сохраняем все обозначения и построения § 2, связанные
с рассмотрением задачи (2.10), (2.11). Пусть Л(х, у)еН4(А\)—
гармоническая в KR функция, удовлетворяющая условию
о
(5.3),	и определим область D в X=H4(KR)f)H1(KR) условием
D = {v = u-h: ueH\(KR)C]X, ||и||4<К}.
Пусть оператор М(х, D) и скалярное произведение
имеют тот же смысл, что при определении оператора At
160
ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
в § 2. Выберем произвольно счетную систему функций
{гДх, у)}, i=l,2,..., в пространстве X таким образом,
чтобы при любом п линейная оболочка функций
vt(x, у), ..., vn(x, у) образовала n-мерное пространство Fn
и чтобы (J Fn = X.
Л is 1
Определим приближенные решения задачи (5.2), (5.3) как
функции и„(х, y)eFn, удовлетворяющие уравнениям
(аЧу
дх2 ду2	у
- ф(X, у, и„,	М(х, D) Г,.] = 0	(5.5)
у	ох оу J	J2
при i=\,...,n.
Теорема 5.2. При выполнении условий 1), 2) § 2 на
функцию ф(х, у, и, р, q) и неравенства (5.4) приближенные
решения задачи (5.2), (5.3) существуют при достаточно
больших п и при п—»сс сильно сходятся к решению задачи.
Доказательство следует из теоремы 5.1. Используем
сведение задачи (5.2), (5.3) к операторному уравнению
Аио = 0, где A: D-+X*— нелинейный оператор, определяемый
равенством
, .	.	2 I	Su си\ Г, г
<Аи, ф> = uxxuvy — и„~ ф х, у, и, —, — , М(х, и)т
L	\ ох оу)
Из условия теоремы и работы [8 ] следует, что задача
(5.2), (5.3), а, следовательно, и уравнение Аи = 0 имеет
в D единственное решение. Как и при доказательстве
теоремы 2.3, просто убедиться, что из условия (5.4) получаем
|Ind(X, и0)1 = 1-
Обратим внимание на тоА что, хотя оператор А удовлет-
воряет только условию a0(Z>), он принадлежит классу A(U)
для некоторой малой окрестности U точки и0. Это определяет
возможность применения теоремы 5.3 гл. 2 при вычислении
Ind (Я, и0).
Теперь теорема 5.2 — простое следствие теоремы 5.1.
Замечание 5.2. Отметим, что предложенный метод по-
строения сильно сходящихся приближений основан на кон-
струкции оператора А, определенного равенством (5.6). В этой
конструкции, в системе (5.5), определяющей приближенное
решение, существенную роль играет выбор оператора М(х, D)
и скалярного произведения [-.'h-
§ 6. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ	161
§ 6. Собственные значения нелинейных задач
(дополнительные результаты)
Сначала отметим некоторые результаты, полученные
в [77а] о собственных векторах нелинейных операторных
уравнений. Пусть X — сепарабельное вещественное рефлек-
сивное банахово пространство, А, Т: Х—>Х*~ нелинейные
операторы.
Определение 6.1. Будем называть Ао собственным чис-
лом уравнения
Аи — ХГи = 0,	(6.1)
а и0—соответствующим Ао собственным вектором, если
Аи0 — ХоТио = 0.
Теорема 6.1. Пусть oD —граница ограниченной области
D в пространстве X, A: D—>X* -оператор класса A(D, oD),
Аи^О при uedD, Т: D-*X*-_-вполне непрерывный оператор.
Предположим, что Deg (Л, D, 0)/0 и с некоторой положи-
тельной постоянной с выполнено неравенство || Ти || * с при
uedD. Тогда уравнение (6.1) имеет на 8D собственный вектор.
Операторы класса A(D, oD) введены определением 2.3
в гл. 2.
Доказательство. Пусть {г;} — некоторая полная сис-
тема пространства X, Fn - линейная оболочка_ элементов
..., vn. Определим в соответствии с (2.2) на £)„ конечно-
мерные отображения А„и, А„и+Т„и. Из теоремы 2.1 следует,
что при достаточно большом п уравнение А„и = 0 не имеет
решений, принадлежащих 8D„. При _ нечетном п степени
отображений deg(/l„, £)„, 0), deg( — Ап, Dn, 0) различны (напри-
мер, следует из (1.5) гл. 2), так что отображение А„и+Тпи
негомотопно с одним из отображений Апи, —Апи. Следова-
тельно, при нечетном п при некоторых ue8Dn, /е [0, 1]
справедливо одно из равенств
t(A„u+ Т„и) + (1 -t)A„u = 0, t(A„u+THu)-(l-t)A„u = 0.
Отсюда следует существование при нечетных п чисел
и элементов unedD„ таких, что
<Лн„-к„Ти„, г> = 0	(6.2)
при всех veFn. Можем считать, что Ти„ сильно сходится
к некоторому heX*. По условию теоремы получаем /г/0.
Пусть v0—произвольный элемент пространства X, удовлет-
воряющий условию </г, р0) = 1, и выберем последовательность
11 И. В. Скрыпник
162 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
vneF„, сильно сходящуюся к vQ. Подставляя в (6.2) vn вместо
v и проводя простые оценки, устанавливаем ограниченность
последовательности Л„. Выберем из {л„} подпоследователь-
ность, сходящуюся к некоторому Хо, и дальше, пользуясь
свойством а(<-£>), легко доказывается сильная сходимость
некоторой подпоследовательности и„к к собственному вектору
уравнения (6.1), соответствующему собственному числу Хо.
Пусть G — некоторая область пространства X и A: G-+Y*—
ограниченный деминепрерывный оператор, удовлетворяющий
условию (5) + , Т: G->X*— вполне непрерывный оператор
и пусть и0—собственный вектор уравнения (6.1).
Будем говорить, что собственные векторы уравнения (6.1)
образуют в G непрерывную ветвь, проходящую через м0,
если граница произвольной области G' такой, что mogG'<=G,
имеет с множеством собственных векторов уравнения (6.1)
непустое пересечение.
Теорема 6.2. Пусть D — ограниченная область в_ сепара-
бельном рефлексивном банаховом пространстве X, A: D^>X* —
ограниченный деминепрерывный оператор, удовлетворяющий
условию (S)+, Т: D—>X*— вполне непрерывный оператор. Пусть
и0 — изолированная критическая точка отображения Аи — ).0Ти
ненулевого индекса и пусть Аио^0. Тогда в некоторой области
G собственные векторы уравнения (6.1) образуют непрерывную
ветвь, проходящую через и0, и множество собственных чисел
уравнения (6.1) имеет Ао своей внутренней точкой.
Доказательство. В качестве G можно взять произволь-
ную подобласть области D, не содержащую критических
точек отображения А и отличных от и0 критических
точек отображения А — К()Т. Пусть область G' содержит
м0 и содержится в G. Будем считать, что Лм/0 на
8G', так как в противном случае 8G' содержит собственный
вектор уравнения (6.1), соответствующий нулевому собствен-
ному числу. По теореме 4.3 степени отображений А — к0Т
и А множества G' относительно ОеХ* неодинаковы. Сле-
довательно, при некоторых иебС, /е[0, 1] выполняется
равенство Au—XotTu = Q, что доказывает первое утверждение
теоремы 6.2. Второе утверждение получается из гомотопности
на 8G отображений Л —k0T, А — XT при X, близких к Хо,
и следствия 4.1.
Можно дать применение теорем 6.1, 6.2 к граничным зада-
чам. Не приводя соответствующих формулировок, укажем,
что близкие результаты, относившиеся к дифференциальным
уравнениям, получены В. С. Климовым [40 а] и В. Г. Звягиным
[37].
§ 6. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ	163
Рассмотрим граничную задачу
£ аа(х)D^u + Tg(х, и, О2т-1и)=0	хе£1,	(6.3)
£>ам(х) = 0, xedQ., |а|^/и—1,	(6.4)
где й—ограниченная область в Rn с границей класса С2т ₽,
0<Р< 1, аа(х)—вещественные функции, принадлежащие
С0₽(Й) и удовлетворяющие условию
Е аа(х) ^“=гс0| £,|2т при xeQ, t,eR",	(6.5)
| а | — 2т
с со>0. Функция g(x, г)) в (6.3) предполагается дважды
непрерывно дифференцируемой при хей, г)еЯМ(2'"-1).
Обозначим через Сот,₽(й) подпространство пространства
С2т,(1(Й), состоящее из функций, удовлетворяющих условию (6.4).
Собственные функции задачи (6.3), (6.4) понимаются
аналогично определению 6.1 (используя, например, указанное
в § 4 гл. 3 сведение к операторному уравнению). Будем
говорить, что собственные функции задачи (6.3), (6.4) обра-
зуют непрерывную ветвь бесконечной длины, если существует
такое число R0>Q, что каждая сфера SR с Сот,₽(й) с центром
в нуле и радиуса R^R0 имеет непустое пересечение с множе-
ством решений задачи (6.3), (6.4).
Теорема 6.3 [37]. Пусть уравнение
Е па(х)£>ам(х) = 0, хей,
имеет только нулевое решение в С2т,₽(Й). Предположим,
что существует постоянная v>0 такая, что для каждого
и (х)б С2т (! (Й) выполнено неравенство
max|g(x, м(х), ..., D2m~1w(x))|^v.	(6.6)
хей
Тогда собственные функции задачи (6.3), (6.4) образуют
в Сот,₽(й) непрерывную ветвь бесконечной длины.
В заключение отметим, что вопрос о существовании
собственных векторов уравнения (6.1) в случае потенциальных
операторов А, Т, равных соответственно &', G', связан
с нахождением точек экстремума функционала & на поверх-
ности уровня функционала G. Ограничимся формулировками
только для абстрактных функционалов (см. [17,75 г]).
Определение 6.2. Функционал G: X—>Rr называется
слабо непрерывным, если для произвольной последователь-
ности мяеХ из и„-^и0 следует G(m„)->G(m0).
11 *
164 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Теорема 6.4. Пусть X—рефлексивное банахово простран-
ство, функционал S': У—>7?' слабо полунепрерывен снизу,
lim S'(u)=+couG: X—'R1 — слабо непрерывный функционал.
Тогда для каждого ceR1 такого, что Gc = {ueX: G(m) = c}/0,
существует точка локального минимума функционала S' на Gc.
Отметим для рассматриваемых функционалов принцип
Люстерника [17,45], утверждающий коллинеарность градиен-
тов функционалов S', G в точке экстремума одного функцио-
нала на поверхности уровня другого.
Теорема 6.5 [17, 15 в]. Пусть X—банахово пространство,
S', G: X -> R1 •- функционалы и пусть в точке и0 функцио-
нал S' имеет локальный минимум на поверхности Gc =
= {иеХ: G(u) = c}. Предположим, что функционал G непреры-
вен, в точке и0 функционалы S', G дифференцируемы по
Фреше и G’ (мо)/0. Тогда существует TeR1 такое, что
,^'(и0) = ХС'(и0).
§ 7. Дальнейшие оценки числа решений
нелинейных граничных задач
Здесь речь будет идти о вариационных граничных задачах
и возможностях применения к оценке числа решений методов
Люстерника — Шнирельмана и теории Морса.
1. Применение методов Люстерника—Шнирельмана к нели-
нейным эллиптическим уравнениям. Теорема 6.4 о существова-
нии собственных векторов может быть существенно усилена
для случая четных функционалов. Первые такие результаты
были установлены Л. А. Люстерником и Л. Г. Шнирельманом,
доказавшими, что четные положительные слабо непрерывные
функционалы в гильбертовом пространстве имеют на каждой
сфере SR (0, R)={w. || и || = 7?} не менее счетного числа крити-
ческих точек.
В последние 20 лет методы Л. А. Люстерника — Л. Г. Шни-
рельмана нашли применение к широким классам функциона-
лов в гильбертовых и банаховых пространствах и к нелиней-
ным эллиптическим уравнениям. Это сделано в работах
Пале [72 6], Браудера [15 6], Бергера [10], Фучика, Нечаса
[88], С. Г. Суворова [83 а, 83 6], Цайдлера [90] и целом
ряде других работ. Обзор многих полученных в этом
направлении результатов содержится в статье [77 в].
Согласно методу Люстерника— Шнирельмана критические
множества находятся из минимаксных построений, применяе-
§ 7. ДАЛЬНЕЙШИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ
165
мых к определенным классам множеств и деформаций. При
выделении допустимых классов множеств будем пользоваться
понятием рода множества, введенным М. А. Красносельским [45].
В дальнейшем X —бесконечномерное банахово пространст во,
г: Х->Х- отображение, переводящее произвольную точку иеX
в симметричную относительно нулевого элемента точку ~и = — и.
Определение 7.1. Компактное множество К с А"\{0}
будем называть множеством первого рода и писать г К — 1,
если каждая связная компонента множества X(J ~К не содер-
жит ни одной пары симметричных точек. Компактное
множество	будем называть множеством рода п (и
писать (rF=n), если его можно покрыть п компактными
множествами первого рода и нельзя покрыть п — 1 множест-
вами первого рода.
Для произвольного замкнутого множества С <= А\{0} опре-
деляем гС как sup rF, где верхняя грань берется по всем
компактным, содержащимся в С множествам F. Пишем
гС=оо, если С содержит нуль либо компактные множества
сколь угодно большого рода.
Применения понятия рода к нелинейным граничным
задачам основываются на следующем утверждении.
Лемма 7.1. Пусть F: X->Rl -четный, непрерывно диффе-
ренцируемый по Фреше функционал, Г(0)=0 и выполнены
условия
<F(u), W>^v(||u||),	(7.1)
lim F(w)= + oo,	(7.2)
jil: ->co
где v(z) — непрерывная функция, v(/)>0 при t>0. Тогда при
каждом с>0 множество Fc = {ueX: F(u) = c} содержит под-
множества любого конечного рода.
Обозначим при о 0 и любом натуральном п через
М„} = М„}(F) совокупность всех компактных подмножеств
К множества Fc таких, что гК^п.
Пусть G: X->R'—ограниченный непрерывный функционал
и определим
Y<c> = y!(>(F, G)= sup infG(w).	(7.3)
Будем говорить, что число у является критическим
значением функционала G относительно Fc, если существует
решение и уравнения
Г'(и)-М7'(и)=0	(7.4)
166
ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
такое, что ueFc, G(u) = y. При определенных условиях каждое,
определенное формулой (7.3), число у%} является критическим
значением функционала G на Fc. При этом и, решение
уравнения (7.4), называется критической точкой функционала
F{u) — "kG (и).
Обозначим теперь при произвольном г>0 через мно-
жество всех собственных векторов уравнения (7.4), принад-
лежащих GrC\Fc, где Gr = {ueX: G(«) = r}.
Существование бесконечной последовательности собствен-
ных векторов уравнения (7.4) дает
Теорема 7.1. Пусть X, X*—равномерно выпуклые бана-
ховы пространства, норма пространства X* принадлежит
классу С1,1 (Jf*\{0}), F,G: X^R1 — функционалы класса
С1,1 (Y), F(0) = G(0) = 0, G(m)>0 при и^О, F удовлетворяет
(7.1), (7.2) и пусть еще выполнены условия:
1)	функционал G: X^>Rx слабо непрерывен-,
2)	для произвольной последовательности ипеХ из ип ^и0
и сильной сходимости F'(u„) следует ип->и0;
3)	G'(w)^0 при и^О.
Предположим, что при п'^т выполнено равенство
?<)>(/’, G) = y£>(F, G) = y,	(7.5)
где определено в (7.1). Тогда множество К-у не пусто
при п = т и имеет род не меньше чем п — т+1 при п>т.
Отметим еще, что в условиях теоремы 7.1 при любом с>0
lim y{„}(F, G) = 0.
Замечание 7.1. Могут быть доказаны теоремы о сущест-
вовании бесконечного числа собственных векторов уравнения
(7.4) при более слабых предположениях на F, G (без условия
липшицевости F', G') и более слабых предположениях на
пространство X. Эти вопросы рассматривались в работах
[72 6, 83 6, 88] и других.
Замечание 7.2. Из теоремы 7.1 следует существование
при каждом о О по крайней мере счетной сходящейся
к нулю последовательности критических значений функци-
онала G на Fc. Вместе с тем это не гарантирует счетности
множества критических значений, так как имеются примеры
(см. [89]) собственных векторов, не получаемых из минимакс-
ного процесса Люстерника — Шнирельмана. В работах Фу-
чика, Нечаса, И. Соучека, В. Соучека (см. [89] и цитирован-
ную там литературу) выделены классы функционалов, для
которых множества критических значений счетны и имеют
§ 7. ДАЛЬНЕЙШИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ	167
только нуль предельной точкой. Получены применения этих
реультатов к некоторым уравнениям в частных производных.
Приведем одно из применений предыдущего общего
результата к доказательству существования собственных век-
торов нелинейных эллиптических уравнений. 0
Теорема 7.2. Пусть функционалы F, G: iVp^-^R1 опре-
делены равенствами
F(u) = ff(x, и, ..., Dmu}dx, G(w) = jg(x, w, ..., Dm~lu)dx, (7.6)
о	о
функции f(x,ty, g(x, т]) удовлетворяют условиям 1) — 3) §4
и пусть выполнены предположения:
1)	F, G—четные функционалы, 7?(0) = G(0) = 0, G(m)/0 при
w/0, G'(w)^0 при w^O;
2)	<F' (w), и) > v (|| и ||), где v(z)—непрерывная функция,
v(z)>0 при t>0;
3)	lim F[u)=+co.
~ „ „ „
Тогда при каждом о О существует по крайней мере
счетная последовательность собственных векторов уравнения
(7.4), принадлежащих Fc.
2. Метод сферического расслоения в некоэрцитивных вариа-
ционных задачах. В работе [75 д] С. И. Похожаевым предло-
жен метод нахождения решений вариационного уравнения
.^'(м) = 0	(7.7)
в виде u=rv, где г=||м||. Задача разбивается на нахождение
нормирующего множителя г и элемента ге5'1={ыбА': || и || =
= 1}. Нахождение v связывается при этом с задачей на условный
экстремум, что открывает возможности использования методов
Люстерника — Шнирельмана для новых классов функционалов.
Пусть X—вещественное банахово пространство с диффе-
ренцируемой нормой на А\{0} и S'—дифференцируемый на
X функционал. Положим u = rv и рассмотрим функционал
SF (г, v) = S' (тт),	(7.8)
определенный на Я1хА' при (г, v)e(R !\{0})х
Те о р ем а 7.3. Пусть (г, г)е (0, + оо) х SY — критическая точ-
ка функционала S', рассматриваемого на (0, +оо)х51. Тогда
вектор u = rv является критической точкой функционала S'.
Реализуемость сферического расслоения определяется ска-
лярным уравнением
^(г, 0 = 0	(7.9)
относительно г при reSj.
168 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Теорема 7.4. Пусть уравнение (7.9) при любом veSr
имеет решение г (г) из класса Cl(Si). Тогда каждой крити-
ческой точке vceS1 с гс = г (гс)/0 функционала S' (г (г) г),
рассматриваемого на St, соответствует стационарная точка
ис = гру исходного функционала S'.
Теорема 7.5. Пусть функционал S из класса С1 (Y)
такой, что для любого veS{ существует
S' (r)=max.^ (rv)>S (0).
геЯ1
(7.10)
Пусть функционал Sr дифференцируем на Тогда
каждой критической точке vc функционала S’, рассма-
триваемого на единичной сфере St, соответствует критическая
точка uc = rcvc функционала S' с г,#0 таким, что S(rcvc) =
= ^(сс).
Если в условиях теоремы 7.5 S' (0) = 0, то функцио-
нал S’(v), определенный согласно (7.10), оказывается чет-
ным и положительным на Это позволяет, используя
результаты Люстерника — Шнирельмапа (см. [45]), получать
теоремы существования многих решений. Таким образом,
получается
Теорема 7.6. Предположим, что 1) X—бесконечномерное
рефлексивное банахово пространство с базисом Шаудера
и с дифференцируемой нормой на ЛГ\{0}, производная нормы
в А'\{0) равномерно непрерывна на единичной сфере St и,
рассматриваемая как оператор из 5\ в X*, имеет непрерывный
обратный; 2) функционал S' из класса С1 (Y) такой, что
для любого veSt существует S' (г), определяемый согласно
(7.10), и пусть .F(0) = 0; 3) функционал S допускает такое
продолжение Ф на некоторый шар BR = {ueX; ||и||<Я}, 7?>1,
что Ф является слабо непрерывным дифференцируемым фун-
кционалом, производная которого равномерно непрерывна в BR,
и, кроме того, Ф(0) = 0, Ф'(0) = 0, Ф(м)>0, Ф'(м)/0 при
ueBR\{0}. Тогда функционал S имеет счетное множество
различных критических точек.
Покажем еще на примере, как неоднозначная разреши-
мость уравнения (7.9) приводит к существованию кратных
решений граничных задач.
Пусть Q — ограниченная область в R”, п^7, с гладкой
границей. Рассмотрим в области Q следующую задачу:
A2w(x)— и3 (х) + /г(х) = 0,	хеП,
О“и(х) = 0, хе oil, |а|^1,
(7.11)
(7.12)
§ 7. ДАЛЬНЕЙШИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ	169
еде h(х)е(П)]*. Уравнение (7.9) для задачи (7.11), (7.12)
имеет вид
г — г3 j v4(x)dx+ j h (х) v(х)dx = О
а	а
(7.13)
при i^xjeS, = [w(x)e (Q): £ || D*u ))i = 1}. Уравнение
I а 1 = 2
(7.13) при условии
sup
reS,
f h (x) v (x) dx
<2-3~3/2
(7.14)
n
имеет три изолированные гладкие ветви решений. На основа-
нии теоремы 7.4 получаем, что при условии (7.14) задача
о
(7.11), (7.12) имеет три различных решения в
3. Применение методов Морса к вариационным задачам.
Методы Морса [64], устанавливающие связь между характером
и количеством критических точек гладких функций на диффе-
ренцируемых конечномерных многообразиях, были обобщены
в работах ряда авторов на случай функционалов на бесконеч-
номерных многообразиях.
Пале и Смейлом [72 а, 79] развита теория Морса для
дважды непрерывно дифференцируемых функционалов на
гильбертовых многообразиях, удовлетворяющих условию С.
Определение 7.2. Пусть М—полное риманово много-
образие класса С2, J: M^R1 функционал класса С1 и 7'(р)
градиент J в точке р. Говорим, что J удовлетворяет условию
С, если замыкание произвольного подмножества S многооб-
разия М такого, что
sup I J(p)\ < + 00, inf II J'(p) II = О,
pg S	peS
содержит критическую точку функционала J.
Теория Пале—Смейла, однако, неприменима к общим
интегральным функционалам в пространствах И7” (И), так
как эти функционалы, вообще говоря, не принадлежат классу
С2 (см. [77 а]). В связи с этим автором в [77 а] развивается
теория Морса для функционалов класса С1,1 при условиях,
естественно выполняющихся для общих интегральных функ-
ционалов.
Часть предложений о функционалах будет носить
локальный характер и их сформулируем следующим
образом: вначале для случая функционала в гильбертовом
170 ГЛ. 4. РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
пространстве, а затем перенесем естественным образом
на функционалы на многообразиях. Можно дать этим
условиям и инвариантную трактовку.
Пусть Н—сепарабельное гильбертово пространство, D —
ограниченная область в Н и F: D—>R'—функционал класса
С1. Предположим:
1)	в каждой точке ueD градиент F' функционала F имеет
производную Гато, которую обозначим F" (к);
2)	существуют положительные постоянные с15 с2 такие,
что для ueD, heH
<F" (и) h, /г> q || h || 2 - с2 || h || j, || F" (и) Кc2,
где < , >, || • ||—скалярное произведение и норма в Н,
|| • || i — некоторая компактная по сравнению с || • |] норма;
3)	для любого элемента heH и произвольной последова-
тельности uneD из сильной сходимости ип к uoeD следует
сильная сходимость
F"(u„)h^F"(u0)h.
Легко проверить, что определяемый равенством (4.1)
функционал F: Wi (И)-* R1 удовлетворяет условиям 1) — 3), если
Q — ограниченная область и для функции f(x, Е) выполнены при
р = 2 условия 1) - 3) из § 4. Развиваемая ниже теория применима
к интегральным функционалам при естественных предположениях.
Определение 7.3. Индексом Морса критической точки и0
называется точная верхняя грань размерностей линейных
подпространств L с Н, на которых <F"(u0)h, /г><0, heL, h^O.
Условие 2) обеспечивает конечность индекса каждой крити-
ческой точки.
Пусть теперь М—полное риманово многообразие без
края класса С2, моделью которого является гильбертово
пространство Н, J-. M->Rl—функционал класса С1 и J'(р) —
градиент J в точке р.
Предполагаем в дальнейшем выполненным условие М:
для произвольной точки реМ существует карта фр: £)(фр)->
->7?(фр), ре D (<рр) с Л/, 7?((рр)с:Я такая, что функционал
./фр1: Я(фр)-*/?1 удовлетворяет условиям 1) — 3).
Критическую точку р функционала J называем невырож-
денной, если точка фр(р) невырождена для ./фр1 в соответ-
ствии с определением 7.3.
Индексом Морса критической точки р функционала J назы-
ваем индекс Морса точки фр(р) функционала /фр х. Проверя-
ется независимость этих понятий от выбора карты.
Основной результат теории Морса дает
§ 7 ДАЛЬНЕЙШИЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛА РЕШЕНИЙ	171
Теорема 7.7. Пусть функционал J: M-+R1 ограничен сни-
зу, удовлетворяет условиям С, М и обладает лишь невырож-
денными критическими точками в Ja,b = {реМ: a^J(p)^b}
при некоторых a,beR\ a<b. Предположим, что J'l(a).
J~1(b) не содержат критических точек функционала J,
и обозначим через С“'ь число критических точек J в Ja b,
имеющих индекс Морса к, и через R“'h—к-е число Бетти
пары (J“, Jh) с коэффициентами в некотором поле. Тогда при
произвольном т = б, 1, 2, ... выполняются неравенства
т	т
I (-1)-"-^? ^ X (- 1)т~хс?.л
х^о	х = о
о.	оэ	(7.15)
I	х НК?-'’-
Х=0	7=0
Следствие 7.1. При произвольном к выполняется нера-
венство
na,b f<atb
Как уже отмечалось, интегральные функционалы при
выполнении предположений 1)—3) §4 удовлетворяют усло-
виям 1)—3). Просто проверяется, что для интегральных
функционалов выполнено условие С, если F(u)-+ + <x> при
|| и ||->оо. Так что справедлива	0
Теорема 7.8. Пусть растущий функционал F: W™(П)-»/?1
определен равенством (4.1), удовлетворяет условиям 1) — 3)
§ 4 при р=-2 и имеет только невырожденные критические
точки. Пусть Kt— число критических точек функционала
F индекса к. Тогда при 5 = 0, 1, 2, ... имеют место неравенства
£ (-1ГЧ>(-1)’-	(7-16)
х=о
Отсюда, в частности, получаем
Следствие 7.2. При выполнении условий теоремы 7.8
функционал F имеет по крайней мере одну критическую точку.
Следствие 7.3. При выполнении условий теоремы 1.8,
если функционал F имеет две невырожденные критические
точки локального минимума, то он имеет по крайней мере
еще одну критическую точку.
Дальнейшие применения методов Морса к интегральным
функционалам связаны с изучением топологических характе-
ристик множеств Fa'b и более содержательные предложения
могут быть получены в случае интегральных функционалов
конкретного вида.
ГЛАВА 5
РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
В данной главе устанавливается существование классического
решения задачи Дирихле для общего нелинейного эллиптического
уравнения в узкой полосе. Для линейного уравнения соответ-
ствующий результат известен [42]. Отметим, что условие узости
полосы не предполагает малости меры этой полосы, так что
мера области может быть произвольной.
§ 1.	Определения и вспомогательные неравенства
Будем обозначать через {Qh, 0<Л^1} семейство областей
в R" с бесконечно дифференцируемой границей таких, что:
а)	<= при hl<h2;
б)	существуют открытое покрытие^ {Ub i= 1, множества
Qi и диффеоморфизмы фр Ui(\Q.i->Rn класса С®, при
которых ф,-(С7£0^ь) = ‘5'ь = {>,е: |у'|<1, 0^У„^й}, у' =
=(У1> Ул-i)-
Пусть {ф,(х)}, !=1, ...,/, — подчиненное покрытию {t/J
разбиение единицы. Можем считать, что с некоторым фикси-
/ п + 3	\
рованным /0>тах1—, п—11 имеет место равенство
ф1(х) = х'»(х), где —бесконечно дифференцируемые функ-
ции. Такой выбор фДх) понадобится при получении априор-
ных оценок решений нелинейной задачи.
Обозначим при целых неотрицательных т, /, к и произ-
вольном р>1 через И/рт-,л(П/1) замыкание множества беско-
нечно дифференцируемых в ПА функций по норме
= X II (ф<- 1 (у))м(фг 1 (У)) II№), 0-1)
i= 1	р
где
11р(у)|1^„.м№) =
= х Hz|п^(у)и+£
(j=0	|₽|</	J
S,
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
173
Здесь использованы те же мультииндексные обозначения, что
и в 81 из гл. 1, £> =тг-,
Sy„
через Е обозначено суммирование
по всем тем мультииндексам 0, последняя координата 0„
которых равна нулю.
Пространство Cs’r’z(Q;,) при неотрицательных целых s,
г и X, принадлежащем (0, 1 ], образуется множеством опре-
деленных в функций, для которых конечна норма
11 и •|е-'-к(пл)= тахИ 1W)и (ф; 1М)	(12)
где
II Ф) llc^(St)= Е^Г И D^v(y) \\cQ.4Sh}
и II HcoA—определенная в § 1 из гл. 1 норма в пространстве
C°'W
В доказываемых дальше неравенствах постоянные будут
зависеть от отображений <р,-, функций = Чтобы характе-
ризовать эту зависимость, определим следующее число:
|п°Ш1+ E I0W)I
7 = 1
(1.3)
G =
xel/iDOj (AW |oc|=Sfc
1 =S/</
где /,(х)--якобиан отображения <р;, <pf,j(x)—j-я координата
вектора <р; (х). Считаем при этом, что отображения ср,- (х)
выбраны так, чтобы при всех i якобианы 7; (х) были
положительными.
Далее будет дан ряд вспомогательных оценок для функций,
определенных в и принадлежащих введенным выше
пространствам. Через kj обозначим постоянные, зависящие
лишь от т,п,1,к и числа C2m+i, определенного равенством
(1.3). Покрытие {1/J, функции <р,, считаются при этом
фиксированными.
Теорема 1.1. Для произвольной функции	п(х)е
е	(У?(Пл) при 1>^-, 0<X<minb,	спра-
ведлива оценка
1
II «Mll^J.O^y	(1-4)
Доказательство достаточно провести для функций
класса СХ(ПЛ), причем в силу равенств (1.1), (1.2)
достаточно доказать неравенство вида (1.4) для функций
174 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
определенных на Sh и равных нулю при |у'|,
близком к единице. Ограничимся доказательством для
таких функций и (у) неравенства
||	II f (У) II
Получим интегральное представление для функции г (у).
Используя то, что при каждом у', |у'|<1, функция v(y', у„),
как функция аргумента у„, является бесконечно дифференци-
руемой и удовлетворяет условиям
при у„ = 0, y„ = h, / = 0, ..., m-1,
оуп
получаем при 5=1,..., 2т представления
р(/> ^)= [ЧЗу, z")^"+
J P 4' v »/
0
/1
+ E i ^\(h-zny-i-J(^-\v(y',zn)dzn-hj~iyi„. (1.6)
i = m J=o J	\0ZnJ
0
Здесь —зависящие лишь от m постоянные, равные нулю
при s^m.
Далее воспользуемся интегральным представлением
 f У1 2ЖХ
Rn~l
(L7)i
справедливым при /с > О для любой функции /(y'JeCJ (А"”1!.
В (1.7)	— площадь поверхности единичной сферы в Rn~ .
При fc=l равенство (1.7)! следует из свойств объемного
потенциала, соответствующего уравнению Лапласа. При к $-2
(1.7)t получается интегрированием по частям в правой части
(1.7)t_! с использованием тождества
(у>,-гч)-(Уй ,-ч
ly'-z'l'1’1
=_____1 "у _£ М-^-(д,
(Л-О^сгД ly'-z'l"”1	J’
справедливого при y'/z'.
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
175
Подставляя в правую часть (1.6) вместо ( —|г(у', z„)
\02"/
интегральное представление этой функции, полученное на
основе (1.7)ь приходим к равенству
у.
J J l₽l=* Vs	VW
О В'
s - 1 s-m - 1	(*
+ Z z W £'
i = m J—О	J | ₽|=Л
S„
{ a \s	...
xKp(y’-z')l — \D^v(z)dz’dz„hJ 'yln, (1.8)
где
B' = {x'e R”^1 :|x'|^l}, K^(y'—z')—бесконечно дифферен-
цируемая при у'+z' функция и для ее производных
выполнены оценки
—z')|^c|y' —'«I	(1.9)
с постоянной с, зависящей лишь от к, п, |а|.
Найдем представление для производной £>”"£>аЪ(у),
а=(ар ..., а„), а'=(а15 ..., ая_15 0) при |а| = 2т +1, |ав|<2т—1,
дифференцируя равенство (1.8) при л = а„+1, fc = |a'| + /—2.
Получаем
Паг(у)=| Г Y ПяКр(у'-г')(4-Х" J J 1	\CZn/ 0 В' L (h- J = o	J 1 Р|=*	D^v (z)dz'dzn + j Dh(z)dz’dz„hJ~'1’.
176 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Оценивая правую часть полученного равенства, имеем:
|П'ф)1^з Е'
I №*
Е'
I p I =*
(1.Ю)

Здесь применили неравенство Гёльдера и использовали усло-
	, ,, и—1
вие к > | а | н——. Продолжим оценку суммы, входящей
в правую часть (1.10), используя равенство fc = |a'|+/—2,
(Г	11/2
X' \D*Dylv(z)\2dz\
l₽l=* (J	J
1
< Е' l
| т |-| «• |-2 |S|=; ( J
с Е Е | I# D v(z)l dz\ <11 f (z)IIw2--‘-a(sу
|S| = ( |p|=2m I J	)	2	\ M
Аналогично (1.10) получаем
i
|£>“p(y + Ay) -X| Ay|x || v(y)||
если OcXcminQ, I—-y-^- Отсюда следует неравенство (1.5),
что и доказывает теорему 1.1.
Теорема 1.2. Для произвольной функции u(x)g
g И/2','° (Ofc) Q IT®;1,0 (Qfc), />2, при произвольном положитель-
ном 6 и \<к^1—\ справедлива оценка
21
l|uil	»Т 0(Й1) + С‘1) 11 “ 11 РГ§110(£2»)	(1Л1)
~к
с постоянной с^1’, зависящей от 6, Q, п, I.
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
177
Доказательство. В силу равенства (1.1), определяющего
норму в	(Qh), достаточно доказать оценку (1.11)
в локальном варианте—для бесконечно дифференцируемых
функций г (у), определенных в и равных нулю при |у'|,
близких к единице. Покажем, что для таких функций г (у)
при 1 </</ справедливо неравенство
+d2) X' fl^(y)l2'^ (1’2)
111 = i J
s.
где <? J2’ зависит только от е, п, I.
Пусть \<к<1, р = 8+<?,-, |PI = fc, Р„ = 0, i<n, i-я координата
вектора е; равна единице, все остальные равны нулю. Тогда
f	-С	21-2
I |£>^(у)| kdy= |ZA-(j-)|k Dh(y)^-Div{y)dy^
s„	s.

2/ \ f Г -2
--1 H |Д₽ф)|* D^v^D^dy^
s.
<80 j| Dh(y)|1 dy + 80 f |	v (у) Г1 dy +
f 2L
+ c<3) I O5r(y)|* 1 (/y.	(1.13)
0 J
Здесь было применено неравенство Юнга, 80 — произвольное
, положительное число, d3) и дальше зависят от тех же
, параметров, что и в (1.12). Из (1.13) следует оценка
;	а^а^+с^а^,	(1.14)
12 И. В. Скрипник
178 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Г 21
где Ак = Y,' ID(j) |т dy, 5,—произвольное положитель-
IPl=fcJ
ное число.
Последовательно применяя оценку (1.14), придем к (1.12).
Например, Ak^8lAli+t j1 + 4*’МЦЧ-Д
Выбирая соответствующим образом 32, придем к оценкам
4<Мл+1+^5Ч_2, Ак^3Ак+1+с^Ак_2.
Продолжая далее, получим
А^А^+с^А,, j =2, ..., к,	(1-15)
с произвольным Ej>0. Из оценок (1.15) следует (1.12) при
к — 1— 1. Далее получаем (1.12) при к = 1—2,...,2.
Чтобы завершить доказательство теоремы, отметим еще
неравенства, справедливые при 1 < к < I, 1 < | р | < к:
J| £>р1)(у) |	| Dh (у)|2о,.у + 47) J"I	(у) 11f>1 dy,
st	sh	sh
f |»(y)l * ^=$е||1>(у)|2</у+с‘7)||v(y)|2'(/y.	(1.16)
s„	s„	s„
Эти" оценки получены применением неравенства Юнга. Из
неравенств (1.12), (1.16), следует требуемая оценка для
рассматриваемых функций г (у), что и завершает доказа-
тельство теоремы.
Аналогично теореме 1.2 доказывается
Лемма 1.1. Пусть со (у) — произвольная бесконечно диффе-
ренцируемая в Sh функция, равная нулю при |у'|, близком
к единице, и удовлетворяющая условию
|£)а(о|^сош i (у) при yeSh, 1^|а|^/—1.
Тогда для произвольной функции v (у) е И/2- '•0 (S),) Q 1Г2/1 0 (S’*) при
произвольном положительном е>0 и \ <k^l— 1 справедлива оценка
С	21
X ®2(у)|£)р1)|* dy^
S’ IЛа((оа)|2 + сЕю2 £' I£>a«|2' + cJdy
J ( I а 1 = 1	I а I = 1	J
S„
с постоянной ct, зависящей только от e, n, I, c0.
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
179
Наметим доказательство леммы. Представляя, как и выше,
Р = 8+е; и интегрируя по частям, имеем
Г 21	/?/ \ Г 2!-
co2|Z)₽i>P</y= — I — — 1 j со21 D^v |Т	D^ + eivDsvdy —
s,	sL
л ,	21
— 2 (о^|£)рр|к D^vD^vdy
J °У>
s.
’	21	А	21
со21 £>pv|к </у + 84 со21D₽ + 'V |dy +
s,	sL
Г 2i,
+ сь (со21 D°v 1^+1) dy,
откуда и следует лемма путем повторения рассуждений,
применявшихся при доказательстве теоремы 1.2.
Близкими рассуждениями доказывается также
Лемма 1.2. Для произвольной функции р(у)е И^’1,0 (S/,) И
f) С (5\) и функции ю (у), удовлетворяющей условиям леммы
1.1, справедлива оценка
1-1 Г	21	21
х г ®21£Ч<Ф1И12’-'*
t=n«i=d	c<sA)
< с ! I' ( j I D * (®f) 12 dy II v II c(Sh2) + С II V II C(sh)’
s„
где c — постоянная, зависящая только от I, п, с0.
Лемма 1.3. Для произвольной функции р(у)е Wz2m(S/1)Q
П ^2 (8\), равной нулю при |у'|, близком к единице, при
| Р | < 2т выполнена оценка
J |£>рр(у)|2dy^kh2 J |£>„£>р1)(у)|2</у
\ s*
с постоянной к, зависящей лишь от т.
12*
180 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Доказательство достаточно провести при й=1,
так как общий случай сводится к этому заменой y' = z', yn=hzn.
Будем считать функцию v (у) бесконечно дифференцируе-
мой и доопределим г(у) при |у'|>1, 0^у„^1, пола-
гая ее равной нулю. Используя равенство Парсеваля,
имеем
Jl^(y)|2^ = J J \^^\2D^^'v(^,y„)\2d^dyn,
о кпi
где ^'«(!;', у„)—преобразование Фурье функции г (у', у„) по
у', Р'=(р15	P„-i). Теперь для доказательства леммы доста-
точно воспользоваться оценкой
£ |£>‘/(?)|2<Й^й \DJ+lf(t}\2dt,
i = 0 J
о	о
(1.17)
справедливой при J < 2т для произвольной функции
/(?)еИлтт[0, 1] А [0, 1]. Неравенство (1.17) докажем мето-
дом от противного. Если бы оно не выполнялось, то
существовала бы последовательность /t(?)e W2m [0, 1] А
A [0, 1] такая, что
1	1
f	f|D7(/)|M=l, lim [|ZP+1/t(z)|2^=O.
i = O	J	J
0	0
Отсюда следует сильная сходимость подпоследова-
тельности /к(?) к некоторой функции /0(?) в [0, 1]
и равенства
1
£ [|D7o(0I2^=i, t»+1/o(z)=0.
i = 0 J
О
Последние равенства одновременно невозможны, так как из
о
77J+1/o(0:=0 и/о(г)6^[0, 1], p=min(m,j + l) следует /0 (?) =
=0. Тем самым доказано неравенство (1.17), а вместе с ним
и лемма 1.3.
Теорема 1.3. Для произвольной функции г(у)е
о
е HZ2mJ'° (S'/,) А И7™ (S\), равной нулю при |у'|, близком к единице,
§ I, ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА
181
при /5=0 Kj^2m—1, 1 </<<2да + /—у, произвольном положи-
тельном £ выполнена оценка
Y |Z>J„Z>“r(y)|2t/y^£ X |Z)J„+1£>ar(j)|2<fy+
I «l=*J	| a|=*-1 J
+W X
!«!=*+
s„
(1.18)
с постоянной зависящей лишь от m, I, n, e.
Доказательство достаточно провести для бесконечно
дифференцируемых функций удовлетворяющих условию
теоремы. Доопределим функцию г (у) при 0^y„^h, |_у'|>1,
полагая ее равной нулю вне Sh. Используя равенство
Парсеваля, имеем при |a| = fc:
h
1= j| D^Tv (y)\2dy=	|	121'v	Л)12dy„dt',
SH	Rn~ 1 0
где ^'v(t,',y„)—преобразование Фурье v(y', j„) no y'.
Интегрируя по частям в последнем интеграле, получим
1= J
Rn-i
h
IГ12 jDJn-	dynd^n =
Rn-1	0
= Л+/2,	(1.19)
где через 12, I2 обозначены соответственно первый и второй
интегралы в (1.19).
Интеграл 12 не превосходит правой части (1.18). Это
Получается сразу в результате применения неравенства Коши
И равенства Парсеваля:
1Л1^
| 12‘ I Di+13F' V	у„) II DJn-1'v у„) I dy^’
R"-1 °
182
ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Rn- 1 О
+— \D}n	yn)\2\dy„dt,'^
£1	J
<QE1 £'
\DJn+ *£>аг(у)|2^ +
Sn
+- Z' [l^-lD^v(y)l2dy. (1.20)
ei |«|=*+i J
s„
Здесь и дальше e;— положительные постоянные, выбор
которых указывается ниже, сг — постоянные, зависящие лишь
от т, п, I.
Если j ^т, то в (1.19) Д=0, и поэтому (1.17) следует
из (1.20). Пусть, далее, m<j <2т и получим оценку для Д.
Ограничимся рассмотрением одного слагаемого, получающе-
гося при у„ = й:
Л.л~ f	й)£>^	h)dt,'.
R"-1
По неравенству Коши
/1,^£2Л1.))1 + -Л2,)ь
е2
(1.21)
где
m= j \^\2k-i\DJn^’v^,h)\2d^,
Rn- 1
m= j \^'\2kii\DJn-i^'v^,h)\2d^.
R"~ 1
Для дальнейших оценок	разложим функцию
D^'v^', у„) на промежутке [0, й] в ряд Фурье по косинусам:
Z>^'r(^,y„) = a^(^)+ f arU)(£')cosYA-
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА	183
{аходя отсюда значение	h) и подставляя в I(t\,
[меем
j m2*-1
Rn~ 1
h
1 / f .	V)
0
(1.22)
Оценим слагаемые в фигурной скобке в правой части
J.22). Применяя неравенства Гёльдера и Бесселя, получаем
i ^’(^(-ir
7=1
X l^’O2(e3f2+ 1^'12Л2) X -2r2 + Tr;7ih2
.= 1	r= 1 £3r • Is I n
h
\DJn+l.^'v{^,y„)\2dyn +
£31 s I t <
0
h
+ l^'|2 \DJn^'v(t,', y„)\2dyn
0
(1.23)
Второе слагаемое в фигурной скобке в (1.22) оценим,
Юпользуя неравенство Коши,
h	h
(*	\ 2	/*
D^'v^', yn)dyn\ Ц	y„)l2dy„^
о	о
h
(\ (*
\Din^'v^,yn)\2dyn. (1.24)
ь4 I S 1 n ] K
0
Учитывая оценки (1-23), (1.24) и лемму 1.3, получаем
13 (1.22)
l\ e4/|a|=t-lJ
Z>ai?(y)|2o'y +
X l£)J„£)ai’(j')l2^
s
(1-25)
+
184 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Аналогично
/	1 \ V
'3< £5+- Е
(A cvi«i-kJ
s.
|/>^(у)|2^ +
|Df1 Р'ф)| 2dy
(1-26)
s„
Оценки (1.25), (1.26) позволяют оценить Ц h, одно из
слагаемых Ц. Опенка второго слагаемого Ц, соответствую-
щего у„ = 0, ничем не отличается от оценки Il h. Окончательно
имеем, используя (1.20) и так получаемую оценку Д:
Е' | D[D4(y)\2dy^
( 1Y
£j+£2 S3 + -
\	£4/
Е
| Dj+t №(у)|2^ +
s*
ID^V(y)l2dy +
/ 1	\ 1
с21 —Ь е4 IЧ—
\£3	/	е2
Е'	(1.27)
|a| = * + lj	J
s* (
Выбирая далее £3 = e4=1, e1=c2 = 8, e5= — = 82, получаем из
^6
(1.27) при достаточно малом 8 оценку (1.18), что и доказывает
теорему 1.3.
Отметим еще одно вспомогательное неравенство, исполь-
зуемое далее.
Лемма 1.4. Для произвольной функции г (у), удовлетворяю-
щей условиям теоремы 1.3, при l^r^/—1, 2т и произволь-
ном положительном числе £ выполнена оценка
Е' \Ds„D*v(y)\2dy^
I«I=г.
s„
\ОЮ^(у)\Чу. (1.28)
с постоянной К^2\ зависящей лишь от I, п, е.
§ У Коэрцитивные оценки для пар операторов 185
Доказательство. В случае гладкой функции r(j), пред-
ставляя а=у+е(, 1<п, и интегрируя по частям, имеем
f\DsBDav(y)\2dy—— f DsnD^e‘v(y)Ds„D4\y)dy,
откуда, используя неравенство Коши, получаем оценку (1.28).
Теорема 1.4. Для произвольной функции и(х)е 1(£1Л)
,	п— 1
при 1>п—1, ц<1--------— имеет место оценка
II U(X) II С2«. О.	К II U(X) II W2m. I. 1	( 1 .29)
с постоянной К, зависящей от h, п, т, I, C2m+i, Ц, где
С2т + | определяется согласно (1.3).
Теорема фактически следует из приведенной в монографии
[92] теоремы 2.2.7.
§ 2. Коэрцитивные оценки в W2m'l'1(Sh]
для пар линейных эллиптических операторов
Отличием рассматриваемой здесь оценки от доказанной
в § 3 из гл. 3 является, с одной стороны, равномерность
по h 6 (0, 1 ], и, с другой стороны, специфический выбор
функционального пространства, для элементов которого уста-
навливается оценка. Результаты настоящего параграфа яв-
ляются основными как для получения оценок решения
нелинейной задачи, так и для доказательства теоремы
существования.
Через	$h) обозначим при неотрицательном
целом к, Хе(0, 1], А, В>0 семейство правильно эллиптических
операторов L(y, D)= £	с коэффициентами aa(y)e
|s|<2m
eCk'k(Sb), для которых выполнены условия
Е аа(Жа>М12т при yeSh, t,eR”,	(2.1)
|a| = 2т
Через ^2т(Л, S) обозначим подсемейство семейства
&2к(А, В, Sh), образованное однородными дифференциаль-
ными операторами порядка 2т с постоянными коэффициен-
тами.
Лемма 2.1. Существуют постоянные q, зависящие
лишь от А, В, т, п, такие, что при L(D)e^’2т(А, В)
1»Ь ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
О
и произвольной функции ИЛ2т(,$/|)ПИл2 ($),), равной нулю
при |у'|, близком к единице, выполнена оценка
f Lv(y)Mv(y)dy^C1 f X	(2-2)
sh	S)i|a| = 2m
где
M(D]=D2"+^[D2l+...+D2.1]n,
Доказательство. Пусть L(D)~ Z ^D'1. Представим
/л n\	|«|=2m
левую часть (2.2) в виде
\ Lv[y)Mv{y)dy = Ix+I2 + qI3,	(2.3)
Sh
где
Л=«Л \D2nmv\2dy, /2 = X «Л D'vD^vdy,
Sh s*
/3= fLr[n2 + ... + JD2_1]"W
Sh
а — мультииндекс (0, 0, ..., О, 2т). Дадим оценку каждого
из слагаемых правой части (2.3). Из (2.1) следует а^А
и оценка для Ц :
f \D2mV{y)\2dy.	(2.4)
Sh
12 оценим, используя неравенство Коши и теорему 1.3:
IA>l^f \D2mv(y)\2dy + c2 £ f |£>“ф)|2б/у^
S*	' |а°)Й£Л
f 1^„2тг(Л12^ + сз Z Z' f 1£>₽ + УФ)12^- (2.5)
Здесь и дальше через ct обозначены положительные посто-
янные, зависящие лишь от А, В, т, п.
Для получения оценки /3 положим
М£)= Z l^l2m= Z'
|Р| = |у|=т	|р| = |8| = т
§ 2. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАР ОПЕРАТОРОВ	187
и обозначим через t’0(y) определенную в R" функцию, равную
р(у) в Sh и нулю вне S„. Пусть ^v0(^)—преобразование
Фурье функции г0(у).
Используя равенство Парсеваля, получаем
;з= Z Z' f D^+’,v(y)Dp + sv(y)dy —
1₽| = 1г1="> |p| = |8| = m	sh
= Z Z' D^v^D^v^dy^
|P| = |y[ = m |p| = |5( = m	Sh
'• = Z Z'
|P| = |Y| = m |p| = |8| = m	Rn
Z Z' f|£>₽ + pr(y)|2<fy.	(2.6)
.	I₽l = m lpl = mSfc
Из (2.3) — (2.6) имеем
,	f LvMvdy^ f \D^mv\2dy + (qc4-c3) X X J |Z>₽+Yv|
\	sh	Sh	l₽l=m|rl=msh
’Из этого неравенства и теоремы 1.3 следует оценка (2.2),
;что и заканчивает доказательство леммы 2.1.
Лемма 2.2. Существуют постоянные с15 с2, зависящие
лишь от А, В, т, п, X, такие, что при L(y, Z>)e
и произвольной функции г(у)е И/2т(^\)П
равной нулю при |у'|, близком к единице, выполнена оценка
f Цу, D)vM{D)vdy^cl^ X |Z)ai>|2dy —
Sh	S*|a| = 2m
~M X l^v|2rfy. (2.7)
Sh i«i<2m
Здесь M(D)— оператор, определенный леммой 2.1.
Доказательство. Выберем открытое покрытие {И,},
у=1, ..., J, множества Sh так, чтобы диаметр каждого из
множеств Vj не превосходил числа d0 = cl/(4y/n •и3тВ(1 +<?)),
где с15 q определяется леммой 2.1. J при этом можем
считать зависящим только от А, В, т, п. Определим
бесконечно дифференцируемые в Sh функции gj(y) так, чтобы
носитель gjQ-’) содержался в Vj и выполнялись условия
Z?2(3')=1 пРи ytSh, |/)ag7(y)| s?c5, |a|^2w.	(2.8)
2=1
188 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Как и раньше, через с; обозначаем постоянные, зависящие
только от А, В, т, п. Пусть ая(у)—коэффициенты оператора
L(y, D). Преобразуем левую часть (2.7), используя (2.8)
и обозначения
L0(y, D)= £	^(у, D) = L(y, D)-L0(y, D),
[a| = 2w
J L(y, D)vM(D)vdy =
Sh з
= Z	D)vM(D)vdy+ f Lt(y, D)vM(D)vdy =
J= i sh	sh
= X f Ц(у, D)[gjv]M(D)[gjv]dy+R, (2.9)
j=is*
где для R имеет место оценка
1*1^71 X \D'v(y)\2dy + c6 f X	(2.Ю)
Sh |«|=2m	S*l₽|<2m
с постоянной fj, определенной леммой 2.1.
Зафиксируем произвольно точку yj в Преобразуем
и оценим первое слагаемое в правой части (2.9):
j=1S'1	j
= Z J М» D)[gJ.r]jH(D)[gJ.i;](0'+
j J=1S*
+ Z f [Л>(а D}-L0(yj,
j i=1Sh
^Z Z f {С1Р*^г]|2-Уя^о(1+^)«3т|Оа[«7-в]|2}д1у>
j= 1 |«,' = 2m S),
j= 1 ia| = 2mS*
^7 Z f \D,Iv\2dy-Cj j\Dav!2dy. (2.11)
^|a|«2mSh	\a.\<2mSh
Здесь воспользовались леммой 2.1 и оценкой || а (у) ||	< В.
С1 (Sh)
Доказываемое неравенство (2.7) следует теперь из (2.9)—
(2.11).
§ 2. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАР ОПЕРАТОРОВ	189
Введем аналоги семейств У?2m (Л, В, Sh) только при
замене Sh на Пусть L(x, Dx) = £ ax(x)Dx— линейный
дифференциальный оператор порядка 2т, коэффициенты ал(х)
которого определены при х е . При х е Utсделаем
замену переменных у = <р;(.т) и пусть при этой замене оператор
L(x, Dx] переходит в оператор Ц(у, Dy). Здесь {Z7;, i- 1, ...
..., /}, (р;: С7гОЙг ->51± 1=1, ..., I, — определенные в § 1
покрытие множества и гладкие диффеоморфизмы. Опре-
деляем	В, Slh) как семейство всех таких операторов
L(x, Dx), хеПл, для которых при каждом i~ 1, ..., I выполнено
включение Lt[y, Dy)e^2т(^’ В, $*)•
Определение 2.1. Линейный дифференциальный опера-
тор М(х, D) 2т-го порядка, xe£lh, называется направляющим
для семейства операторов £?2т(4> В, если существуют
положительные постоянные Кх, К2 такие, что при про-
извольной функции м(.т)е И/|'"(П(1)р]И/2(Н>1) и произвольном
операторе L(x, Dx)e.&2т(А, В, Q.h) выполнено неравенство
f Цх, D)uM(x, D)udx^
= *i £ f \D*u\2dx-K2 £ f |/)au|26fx.	(2.12)
Укажем построение направляющего оператора. Вернемся
к покрытию {Ut, z=l, ..., 1} и диффеоморфизмам <р(:
определенным в § 1. Пусть X, —отображение, обратное
к <р;, и —его якобиан. Если L(x,	В, Q„),
то, по определению семейства	В, Slh), при каждом
i= 1, ..., I оператор Lt(y, Dy), получающийся из L(x, D )
при замене j = <p,(x), принадлежит классу	В, S^).
В этом случае с некоторыми постоянными А, В, зависящими
лишь от А, Ви функций <р;(х), выполнено включение
Ц{у,уу)^Цу)Ц{у, Dy)e^^(A, В, Sh).	(2.13)
Пусть Mi(Dy) — оператор, построенный по семейству ^2'тк(А,
В, Sh) в соответствии с леммой 2.2, т. е. такой, что для
о
произвольной функции г(у)е ИЛ2т(^)А^/2(^) Для каждого
оператора Ц(у, Dy) вида (2.13) выполнена оценка
f Dy)vMi{Dy}vdy^
Sh
X 1^|2<(у-ёз f Е |£>af|2dy (2.14)
SjJa] = 2m	SjJa|<2m
190 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
с положительными постоянными с2, с3, зависящими лишь
от А, В, т, п. _
Обозначим через М;(х, Dx} оператор, получающийся из
при замене у = ф;(х), и определим оператор М(х, Dx)
равенством
I
М(х, Dx)= £ ВДЖ*, Dx),	(2.15)
i=l
где {ф,(х)}, /=1,	I,— определенное в § 1 разбиение
единицы, подчиненное покрытию {Ц}.
Теорема 2.1. При любом /ге(О, 1] определенный равен-
ством (2.15) оператор является направляющим для семейства
Л?2т (Л, Пл). При этом постоянные Кг, К2 в неравенстве
(2.12) зависят только от А, В, т, п, /0 и постоянной С2т,
определенной равенством (1.3).
Доказательство. Из оценки (2.14) путем замены
^ = ф;(х) получаем неравенство
f Цх, D)uMi(x, D)udx^
«я
>K3f X	X |£>яи|2^ (2.16)
n*|a| = 2m	Пл|а|<2да
0
для функций u(x)e ИЛ2т(О/1)0имеющих носитель
в Ut. В (2.16) и далее Kt—постоянные, зависящие от
А, В, т, п и с2т.
1о	I
Обозначим	pf(x) = x?(x),	так что для хе	X Р2(х)~ 1-
о	i=1
Пусть и(х)е И/2т(Пл)ОИ/7(Пл) и оценим левую часть (2.12).
Аналогично оценкам (2.9) — (2.11), используя (2.16), получаем
i
f Цх, D)uM(x, D)udx= £ f PtHx’ D)uMt(x, D)udx^
12/,	i	i — 1 £2/,
X f ^-(x’ ^)(PiM)^i(x» D)(piu)dx —
i=lQh
“f X \D^u\2dx-K5 X |£a«l2^
£2/,|a| = 2m	£2^|otj<2m
Z Ш X I0“(p.m)I2~K4 X 1£)1(р<“)12}^-
i = l£2jfc |a| = 2m	|a|<2m
§ 2. КОЭРЦИТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ ПАР ОПЕРАТОРОВ	191
-yf Е |№|2^-£5 f £
>Ну E |Д“«12-*б E |£“«12Ж
Clh	|a| = 2m	|a|<2m
Тем самым, неравенство (2.12) получено, что и доказывает
теорему 2.1.
Выберем теперь произвольное множество £/,- и <рг:
->5j—соответствующий диффеоморфизм. Пусть L(x, Dx)e
-®’ ^*)’ М(х, Dx)—оператор, определенный
равенством (2.15), и обозначим через Ldy, Dy), Mt(y, Dy)
шераторы, получающиеся из L(x, Dx), М(х, Dx) при замене
’ = <₽М	о
Если и(х) принадлежит ИЛ2'"(Пл)АИл?(Пл) и имеет но-
итель в Uh то из (2.12) заменой переменных у=ф;(х)
толучаем
f Dy)vMt(y, Dy)vJi(y}dy^
Sh
£ |П“Ф)12}4у	(2-17)
Sh |a|:=2wi	[a|<2m
 определенными положительными постоянными K7, К8,
Иу)=и(Цу)).
Теорема 2.2. Пусть I—произвольное натуральное число.
Существуют положительные постоянные р, Кх, К2, зависящие
>т А, В, т, п, I, С2т+1, такие, что для произвольной функции
о
:(у)б WZ2m,i,1(S/l)Q равной нулю при |у'|, близком к еди-
зиие, выполнена оценка
f D)D],v(y)Mi(y, D)Dlv{y)Ji(y)dy+
sh
+ Р £’ D)Dav(y)Mi(y, D)Dav(y)Ji(y)dy^
sh
>	£' £ |zr+fi«-
J	|а|«/|₽|=2л>
Sh
-K2 £ |7Гф)|2Ш	(2.18)
|yl
192
ГЛ. 5, НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
где [ч(у, D), М^у, D) — те же операторы, что и в
(2.17).
Доказательство. Из неравенства (2.17) и леммы 1.4
получаем
X' [д(.У, D)Dev(y)Af,(y, D)Dav(y)Ji(y)dy^
sh
>X'fta X |О“+₽Ф)12-К8 X \D*+*v(y}\2]dy^
з *S/Sh ( l₽l=2m	l₽l<2m	J
^X' X f|D“+4r)i4-K9
X lD dy-
\y\^m J
sh
(2.19)
Обозначим через aa ;(^), bxi(y) соответственно коэффици-
енты операторов L,(y, Dy), М^у, Dy) и оценим первый интеграл
в левой части (2.18)
f Ь((у, D)Dlnv(y)Mi(y, D)D'v(y)Ji(y)dy =
sh
= f ашАу)ьшЛу)\^т+1 Чу)124у+
sh
|a;.|₽|s:2m J
a„ I < 4m Sh
>Kl0 ID2^lv(y)l2dy-Ktl X IDaDiv(y)l2dy. (2.20)
J	J |a!^2w
Sh	Sh a, < 2m
Из (2.19), (2.20) следует (2.18) при pA'7>2A'11, что
и доказывает теорему 2.2.
Отметим, что при доказательстве оценки (2.18) бы-
ли использованы неравенство (2.17) и лемма 1.4 и совер-
шенно не использовался конкретный выбор операторов
М^у, Dy). Поэтому, аналогично, из оценки (2.7) и леммы
1.4 следует
Лемма 2.3. Пусть I —произвольное натуральное число.
Существуют постоянные р, си с2, зависящие только от А,
В, т, п, I, А., такие, что при L(y>, £>)б^?2т(Л, В, 5Й)
и произвольной, функции v(y)e ИЛ2т,/’1(б)1)С1 OZ2,(/5>\), равной нулю
193
§ 3. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
при |у'|, близком к единице, выполнена оценка
L(y,	+ p £' L(y, D)DxvM(D)D*vdy
«	ot J
sh	Sh
>	с1|О„2т,1ф)|2 + ё1 £' £ \D*^v(y}\2-
J I	|a| IP ~2m
sh
~c2 £ |D^(y)|2Lj, (2.21)
|y	)
где MiD) — оператор, определенный леммой 2.1.
Замечание 2.1. Отметим, что результаты настоящего
параграфа справедливы при замене класса операторов
y-’lmp, Sh) классом ^2т(^, В, Sh).
§ 3.	Оценки решений нелинейной задачи Дирихле
Пусть далее число /0 фиксированное,	/0 > п0 =
f . п+з!
= max<«—1, —~ >, А.— положительное число, удовлетворя-
,	• f1 . и-1 . и + з]
ющее условию A.<min<-, 1-----—, /-----— > при 10>1>п0.
Рассмотрим разрешимость в И/2т,/1(ПА) нелинейной задачи
Дирихле
,^(х, и, ..., D2mw) = f(x),	xeQh,	(3.1)
D’u=0, |a|^w—1, x<=cQh.	(3.2)
Предполагается, что:
а)	функция ,^(x, £) определена при ^ = {^а: |а| ^2т}е
е^м(2т) и имест непрерывные производные по всем аргумен-
там до порядка /;
б)	существует положительная постоянная v такая, что
при хеО,, ^eRM(2m\ реR" выполнено неравенство
X .^(АД)г1^у|п|2т,	(3.3)
|а| ~2т
где ,^(Л-, <;)=->—
в)	.^(х, 0) = 0s функция /(х) принадлежит пространству
И/2Л1(П1)С| С1'^^) и удовлетворяет условию
ll/IL--(n1)+	(3-4)
13 И. В. Скрынник
194 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Наряду с задачей (3.1), (3.2) будет рассматриваться
вспомогательная параметрическая задача
t.^(x, и,	D2mu) + (l — t)L0u=tf(x),	xe£lh, (3.5)
D”u(x) = 0,	|a|^m—1, xedQh,	(3.6)
где te[0, 1], L0(D)= £ a,D" — фиксированный эллипти-
| a | sb Im
ческий оператор с постоянными коэффициентами и постоян-
ной эллиптичности V.
Будут получены априорные оценки возможных решений
задачи (3.5), (3.6), удовлетворяющих при некотором Q>0
дополнительному условию
II Ф)11с.2„	(з-7)
Для доказательства оценок решений будем переходить
от координат х к локальным координатам у. А именно,
при хеЦПП, сделаем замену переменных у = <р,(х). Пусть
и(<р,- 1(y)) = vi(y). Функция удовлетворяет нелинейному
эллиптическому уравнению (получающемуся из (3.5) при
указанной замене переменных)
G;(y, vh ..., D2mVi) + (\-t)LiVi = tgi{y), yeSh, (3.8)
и граничному условию
£>“г,(у) = 0, |a| ^т-1 при у„ = 0 и y„ = h, |/|<1.	(3.9)
В (3.8) L;— линейный эллиптический оператор с переменными
коэффициентами L,(r. Dy)= £ cai(y)D”.
|a|^2w
Функции Gi(y, ^), gf(y) удовлетворяют таким же условиям,
как и условия а)—в) для .^(х, £), /(х). Обозначим
Л(/)=тах|||С;(уД)||	+ £ kj^llm (3-10)
I	1	'' |а|«2т	1 ‘О
где =	|^| «U}.
Поставим в соответствие покрытию {£7£}, г=1, ..., /,
натуральное число х, удовлетворяющее условию: в системе
{(/,} существует х множеств с непустым пересечением;
пересечение любых х+1 множеств из системы {I7f} пусто.
Если х0— произвольная точка множества £lh, то можно так
выбрать номер i0 = i0(x0), чтобы ф,о(х) 1/х. Переходя в этом
случае в окрестности точки х0 к переменным y = <pi(1(x), будем
иметь для и(х), удовлетворяющей условию (3.7), оценку
|£>“фо)1	уо = Ф.о(*о)	(311)
§ 3. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ	195
с постоянной Wj, зависящей только от х, Q и числа С2т,
определенного равенством (1.3).	0
Лемма 3.1. Пусть и(х)е	произволь-
ное решение задачи (3.5), (3.6), удовлетворяющее условию
(3.7). Тогда:
1) существует постоянная N2, зависящая только от Q,
А\, v, Ro,	т, п, С2т, такая, что для любой точки
x<}eQh имеет место оценка
\DyVi(y0)\^N2 при |а| <2т,	_Уо = ф,о(хо);	(3-12)
2) существует постоянная N3, зависящая от С2т+2, R(N2)
и тех же параметров, что и постоянная N2, такая, что
(3.13)
Доказательство. Пусть х0— произвольная точка мно-
жества выберем номер z0 = z0(x) так, чтобы в точке
Уо = Ф1О(хо) выполнялись неравенства (3.11). Перепишем (3.8)
в виде
z[G;> vi0, ..., D^vio)-Gio(y, ..., D^~'viQ, ^o(y))] +
+ (l-tKz0WD"4 = -tGio(y, Vio, ..., Z\2m-1%, Ц.г))-
-(1-0 X	+	(3.14)
|a| <2w
где ^,ot>’)={^«..o(>’): №\ = 2m}^m^(y) = Dyvi0 ПРИ
Uz0(y)=o.
Модуль правой части (3.14) в точке у0 в силу (3.11) оценивается
известной постоянной, левая часть не меньше чем Vj D2mv,(.y)
с определенной положительной постоянной v,. Отсюда следует
(3.12). Неравенство (3.13) получается путем дифференцирования
(3.8) вначале по yj,j <п, затем по у„ и проведения простых оценок.
Основным результатом параграфа являете^
Теорема 3.1. Пусть и(х)е И,2т'и(Ой)П	произ-
вольное решение задачи (3.5), (3.6), удовлетворяющее условию
(3.7). Существует постоянная N, зависящая только от
т, п, l0, v, Q, Ro, R(N2), C2m + l, х, mesQ, такая,
что выполнена оценка
II(3.15)
Доказательство. Рассмотрим семейство линейных эл-
липтических операторов
^ = {L,,(w), 1е[0, 1], г=1, ..., /},
(3.16)
|а. ^2»и
13*
196
ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
0
где yeSh, G^y, £) = —Из леммы 3.1 следует существо-
ванне положительных постоянных А, В, зависящих лишь от
v, т, п, R(N2), C2m+2, и, Q, таких, что	В, Sh).
Поэтому по лемме 2.3 можно выбрать оператор M(D)
и число р так, чтобы при г(у)е И/2т,',1(5й)Q lF2(Sh), /е[0, 1],
z=l, ..., /, выполнялось неравенство
И Lt i(u)Dj, vM(D)Dlv+ р X' L,,i(ti)Dr‘vM(D)Dav \dy
J I ’	l«l=Sf ’	J
>	Г I |О“+₽ф)12-
J I	|a|^/|pi = 2m
sh
-c2 X |D^(y)|2Ly, (3.17)
J
если /ф) равна нулю при |у'|, близком к единице. Здесь
р, Cj, с2 зависят лишь от А, В, т, п, I.
Из (3.8) получаем
J «ф){О*[/(7ф, v„ D^Vtj+il-tjLiVi-tgily)]*
sh
хМ(О)Р‘[«;ф + р X' D'ltG^y, v;, ..., D2%) +
|a|^/
+ (l-/)Lit;i-/gi(y)]Af(D)Da[«)lvi]}dy=O, (3.18)
где M(D), p — такие же, как в (3.17), <о;(^) = \|/ДфГ1 (у)).
Займемся преобразованием подынтегрального выражения
в (3.18). Легко проверяется, что
D^G^y, Vf, ..., D2ymVt) =
= Z vh ..., D2mVi)D“+Ni + R\"(Vi),	(3.19)
l₽l=S2m
где Л))Дг,) = 0 при |a|=l и удовлетворяет при |a|^/,
a„ = 0 оценке
|ф>(ф <kJ1 + X X' |Да+Ч(Я1|!,|/"!|)•	(3.20)
I |у| ^2т о< 0 <a	J
Здесь и далее через АГ, обозначаем постоянные, зависящие
лишь от Q, т, п, I, v, Ro, R(N2), C2m+i, x. В (3.20) 3<a
обозначает, что величины ос —Ру, у=1, ..., п, неотрицательны
и не все сплошь равны нулю.
§ 3. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
197
Получаем из (3.18), (3.19)
j ai{y]^LtiDlnviM(D)Dln[aivi] +
sh	)
+ Р X Lt,iVaviM(D)Da[(&ivi] >dy =
|а|</ ’	J
л	/•
= t <о;(у)<1>^;М(Р)Р’[(о,Е;]-
Sh	л
-р Г (ЯЩ-D^gi)M(D)Dx[aivi] ру, (3.21)
|а|«/	J
где оператор Lti определен равенством (3.16).
Дальнейшее преобразование (3.21) основано на равенстве
(o;(y)Lt,iDaE1. = L(il.Da[<o;ri] + 7?)2a)(y),	(3.22)
где для R\^(y) справедлива оценка
X X |Z>8(0;||Dy+₽r;|.	(3.23)
|И«2»> р<а
8 + р^а
Используя равенство (3.22), оценку (3.17) и неравенство
Коши, получаем из (3.21)
Н|П2,я+1(юг-1);)|2+ £' X |О“,Р(<0;1\)|2
J I	|а|^/|р|—2m	J
Sh
®2(у) |О»&|2+£'(|ЯЙ12 + |£>’&|2) +
^3
sh
+ X |Оу(ад)|2+Х' |ЯЗД2+ X |ОЧ12р.У- (3.24)
Покажем, как нужно оценивать слагаемые в правой части
(3.24). Пользуясь тем, что в § 1 при выборе функций ф^х)
предполагалось равенство Ф;(х) = х'0(х), имеем <оДу) = А.-о(у),
где А.|(у)=Х/(фГ1(у)), и производные Х;(у) до (2л? + /)-го порядка
оцениваются постоянной, зависящей только от т, п и С2тИ.
Тогда при |а|^< имеем
X X V°-&(y)\Dy+^
| у | < 2т 3 < а
6 f-р^а	f
sskJ х X <o;pybf4m+i
(j у | < 2m 0 < P < a
198	' ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Отсюда и из леммы 1.1, возможность применения которой
легко проверяется, следует оценка
f(®2WX' |я11)«12+Г
S, I I«I«1	| а | SU J
X X' |ор+>.412^+
S, I Р I S 2т I а I = I
+сЛ(®? X X'
S, \ I Р I =5 2т | а | |	)
(3.25)
с произвольным положительным ЧИСЛОМ £.
Аналогично получается
X' f <o?(j’)lzr£il24K
I а I « I S,
^ч( х'	х' i^g^'+iW (з.2б)
S’. \ I а I = I	I a I = 1	J
Из неравенств (3.24)—(3.26) суммированием no i устана-
вливается оценка (3.15), что и доказывает теорему 3.1.
§ 4. Доказательство теоремы существования
Существование решения задачи (3.1), (3.2) устанавливается
топологическим методом, основанным на введенной в гл. 2
степени обобщенных монотонных отображений.
Задача (3.1), (3.2) будет изучаться при выполнении условий
а) — в) §3. Как и в § 3, наряду с задачей (3.1), (3.2) будет
рассматриваться параметрическая задача (3.5), (3.6).
о
Обозначим X банахово пространство 1 (ПЛ)П И7™ (Ой)
, ,	/	. и + з\
при 10>1> max I п — 1, —у- 1 и пусть
D =	<^*+1},
где №—значение постоянной N, определенной теоремой 3.1
при 2=1.
Из теоремы 1.1 получаем, что для ueD с некоторой
постоянной Q(1) выполняется неравенство
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ
199
Если и(х) — принадлежащее D решение задачи (3.5), (3.6), то
в силу леммы 3.1 выполнена оценка
(4-1)
Здесь и дальше значения при 2 = 2(11 постоянных Nf, i= 1, 2, 3,
определенных в § 3, будет обозначаться через TV)1’.
Рассмотрим семейство операторов
^(1> = -Ь X и, ..., D2mw)Da + (l-t)L0,
| а | < 2т
te[0, 1], ueZ(D)|,
где J%(x, £), £0 те же, что в § 3, Z(D) множество
принадлежащих D решений задачи (3.5), (3.6).
В силу (4.1) при некоторых Л(1), Я(1), зависящих лишь
от т, п, I, v, Ro, RlN^), C2m + l, к, mesQj, имеет место
включение J?(1) с 2? '	(1), В(1), Йй). Пусть Af(1)(x, D) — на-
правляющий оператор для семейства ^2-т'-(А<‘>, 3(i', £1к),
представимый в виде (2.15), и число р(1) таковы, что на
основании теоремы 2.2 при ueZ(D) выполняется оценка
f L, 1(и)О1„г(у)М\1)(у, D)Dlnv(y)Ji(y)dy +
s„
+ Р(1' I' f Ь,
I«!«' sh
И $K^\D2nm + ‘v(y}\2 + K"> X' X |D“+₽r(y)|2-
•V, I	l«l«l I 0 I = 2m
-K<2> X |O^(y)|2L^.	(4.2)
I Y I 2m	J
Здесь Lti(u)—оператор, определяемый равенством (3.16),
М*11}(у, DJ- линейный дифференциальный оператор 2/и-го
порядка, получающийся из оператора M(1)(x, Dx \ при замене
у = ф;(х). Как и в неравенстве (2.18), в (4.2) £,(у) якобиан
отображения х = <р~‘(у), A"’1’, №2) — постоянные, зависящие
лишь от Л(1), S(1), т, п, I, C2m^i', г (у) — произвольная
функция, принадлежащая W2т-1-1 (5Л) Q И7™ (S),) и равная нулю
при | у' |, близком к единице.
200
ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Оператор M(i)(x, D) имеет бесконечно дифференцируемые
коэффициенты, поэтому его можно представить в виде
М(1|(.т, D)u= X (-1)|а|/2“Ир|(х)£>ри).
I Л |. I р | « т
Используя неравенство Гординга [24], получаем, что с не-
которыми положительными постоянными ct, с0 при и(х)б
о
eJ-'P'jfOi) справедлива оценка
X f m$(x)D3u D^udx^
I а |. I р | « т £1,
II w II и'5(п,со II w !l/.j(n>)-	(4.3)
Это же неравенство справедливо с теми же постоянными
о
?!, с0 и для произвольной функции w(x)e И7™(Oh). Отсюда
следует, что задача Дирихле
М''!(х, D)w + cou = 0,	хеД>,	(4.4)
Daw(x) = 0,	|а|^от—1, xed£lh,	(4.5)
при любом /ге(0, 1] имеет только нулевое решение. Здесь
с0 — то же число, что и в (4.3).
Определим нелинейный оператор At:D-*X* равенством
Г|> =
1	г
i- 1 s„	I
xD„1(M|1’ + c0)’li + P(1) X'	vh ..., D2mri) +
I a I
+ (1 -/)Lip;-/gi]D“(M[1' + c0)n	(4.6)
где г|(.г)еХ т);(у) = П(ф; 1 (Ж «/(у) = Ф;(фГ1 (>’)), Gt, L„ gi
имеют тот же смысл, что в (3.8), Л/]11, р(1) такие же, как
в (4.2), <?0 постоянная из неравенства (4.3).
Доказательство того, что при каждом ueD правая часть
равенства (4.6). порождает линейный непрерывный функционал
на X, проводится на основании представлений вида (3.19)
и оценок § 1.
Лемма 4.1. Для того чтобы функция u(x)eD была
решением задачи (3.5), (3.6), необходимо и достаточно,
чтобы Atu = 0.
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ	201
Доказательство. Если функция и(х) является решением
задачи (3.5), (3.6), то при /=!,...,/ выполняется равенство
(3.8). Отсюда получаем, что при каждой функции реХ
правая часть (4.6) равна нулю, а следовательно, Atu = 0.
Пусть теперь и0(х)е£) и Atuo = 0. Из единственности
решения задачи (4.4), (4.5) следует существование функции
о
т]0(а-)е И/2т(Пл) П ^2 (^) такой, что
[А/(1,+с0]т]0 = /&(х, и0, D2mu0) + (l-t)L0u0-tf(x). (4.7)
Принадлежность функции т|0(х) пространству X доказывается
на основе априорных оценок, полученных в § 2. Подставляя
в (4.6) вместо т|(х) функцию т|0(х), имеем
0 = <Л(цо, т|0>= X f	v0.i,	D2mv0<i) +
i=ix, I
+ (l-r)Tir0,i-rgi]|2 + p(1> £' [D'ltG^y, т0.(, ..., /)2Х.() +
I « I «Г
+ (1-0 ^.fo, i- I2 j- Л( .0 dy, (4.8)
где f0 ((у) = ц0(<рГ1 Из (4.8) следует, что и0(х)— решение
задачи (3.5), (3.6). Этим закончено доказательство леммы.
Теорема 4.1. Определяемое равенством (4.6) семейство
операторов At:D^>X* удовлетворяет условию v$(dD). При
каждом re[0, 1] оператор А, удовлетворяет условию а0(£>).
Доказательство. Проверим первое утверждение теоре-
мы. Пусть последовательности ?;е[0, 1], UjedD таковы, что
lim <Л,.(цу), и;-ио> = 0.	(4.9)
j—сс
Из ограниченности в X последовательности Uj(x), сходи-
мости tj к /0 и (4.9) легко следует равенство
lim <Ль(иД Uj-ио>=0.	(4.10)
J—со
Из слабой сходимости и;(х) к и0(х) в X и теоремы 1.4
следует, что
 ||Wj—ИО||С!.ПРИ
и
lim sup £ | £>aPj,,(Я-Dav0J(y)|=0,	(4.11)
j—.co xeSh | a j
где vt j(y) = uj(<prl(y)), Ро.;(т) = “о(фГ1(т))-
202 ГЛ. 5. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Применяя лемму 1.2, получаем из (4.11) при | 01 2т
lim j X X'	t’o,i)]|2'/’'^=<)-	(4-12)
j-OC Si*=l |«|=k
Равенства (4.11), (4.12) будут основными при доказатель-
стве теоремы. Займемся преобразованием	Uj— к0>,
используя (3.19), (3.22). Из (3.19) следует
D“G,(v,	..., D2mVjJ) =
= X С.-.Иы’ьп D2mv^)D-^v^ + R^(vhi), (4.13)
I Р I s 2т
где для ,) справедлива оценка (3.20). Из (3.20), (4.11),
(4.12) и предложения 1.1 из гл. 1 получаем, что
lim £' f и,2 [Л!,1’(тлг)-Л!,1’(по,,)]2^=0.
| я ।s,
Используя также (4.11) и слабую сходимость Uj(x)
к и0(х), имеем
I	г
<A,(“j)> Uj-u0>= £ f ^(yUL^^u^D^Vjj-Voj) х
i=1s.	<•
x(M) + c0)D‘(rj;i-i;0J) + p(1) £' LIo.i(«l))D*(i’J-,j-Po,,)x
|a|SI
x (M^ + co) D^Vjj-v0 f)| Jf(y)<y + Y^1),
где y51)—*0 при j->oc. Здесь L, t(u)— оператор, определяемый
равенством (3.16).
Применяя далее представление (3.22) и используя (4.11),
(4.12), приходим к равенству
<Л,„(«,)> и}-и0У= £ f ^Л,0.,(м0) П[со,Кi-fo.i)] М1;'' х
i=1 5. I-
х£>„‘ [сО|(г; i-v0 ,)] + р(1) £' Л/о.,(ио) £>я[<0((ил—v0.i)J M\l} х
l«|S!
X Я”	»o,>)]| Ji(y)dy+^2},	(4.14)
где у)2)->0 при j-+c£>.
Пусть теперь т|—произвольная, принадлежащая X, функ-
ция. Из (А,:(и}), т|>-*0 при j->oo, используя представление
§ 4. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ	203
(4.13), равенства (4.11), (4.12), получаем <Л,о(«о), г|> = 0.
Отсюда следует, что u0(x)eZ(D).
Оценивая теперь первое слагаемое правой части (4.14)
на основании неравенства (4.2), получаем
<Л,о(цД ЦО>> Е f 1л:(1)|£’пт+1 [a>,(piii-i>o.i)]l2 +
<=1 X. I
+ KW Е' Е I £’а+₽ fo..)] |4 dy+yf'^
I a|<I I PI = 2m	J
>K\\ Uj-UoW^^ + y^,	(4.15)
где у)3), y)4) стремятся к нулю при j, стремящемся к бес-
конечности.
Из (4.10), (4.15) следует сильная сходимость Uj к и0,
что доказывает первое утверждение теоремы 4.1. Второе
утверждение доказывается аналогично.
Теорема 4.2. Существует положительное число h0,
зависящее только от т, п, I, v, Ro, R(N2), C2m+b х, mesQi,
такое, что при O^h^h0 задача (3.1), (3.2) имеет решение,
принадлежащее W2'"-'• 1 (Ой) Q W2 (Qh), /> max (п — 1,
Доказательство. Изучение разрешимости задачи (3.1),
(3.2) сведено в силу леммы 4.1 к изучению разрешимости
в D операторного уравнения Л1к = 0, причем на основании
теоремы 4.1 для исследования операторного уравнения при-
менимы развитые в гл. 2 топологические методы.
Пусть ?7(1)—значение постоянной N, определенной теоре-
мой 3.1 при 0=1, и kY—постоянная из неравенства (1.4).
Определим число /г0 из условия
kih] k(W(1>+l)=l.	(4.16)
Покажем, что при 0</г^/го, /6 [0, 1] операторное уравне-
ние А,и = 0 не имеет решения, принадлежащего oD. Если
предположить от противного, что такое решение и0(х)
существует, то по лемме 4.1 и0(х)— решение задачи (3.5),
(3.6), удовлетворяющее условию
ll«oWll^.»(£lt)=Ar(1)+l.	(4.17)
Применяя теорему 1.1 и условие (4.16), получаем
11«оМ11сг..2.чп^^1^’х(лг(1)+1)^1-
204 ГЛ. 5, НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ДИРИХЛЕ В УЗКОЙ ПОЛОСЕ
Тогда из теоремы 3.1 следует неравенство
КМ11,ГЧП.,
противоречащее (4.17).
Покажем, что степень Deg(T0, £>, 0) отлична от нуля,
воспользовавшись определением степени отображения. Так
как отображение Ао нечетно, то аппроксимирующее его
конечномерное отображение Ао определяемое согласно (1.2),
также нечетно. В этом случае по теореме Люстерника -
Шнирсльмана—Борсука [45] degС40 „,_Z5„, 0) — нечетное чис-
ло. Следовательно, и число Deg(T0. D, 0) нечетно.
Разрешимость операторного уравнения А{и = 0 следует
теперь из теоремы 7.1, что и завершает доказательство
теоремы 4.2.
ГЛАВА 6
РАЗРЕШИМОСТЬ СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫХ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ
Развитые в предыдущих главах топологические методы
исследования нелинейных операторных уравнений и нелиней-
ных эллиптических граничных задач находят естественные
применения (путем введения соответствующих гомотопий)
в изучении влияния возмущений па разрешимость нелинейных
уравнений и нелинейных задач.
Наиболее хорошо изученными в этом направлении явля-
ются слабо нелинейные граничные задачи, получающиеся из
линейных при определенных нелинейных возмущениях. Им-
пульсом к появлению многочисленных работ по разрешимости
слабо нелинейных граничных задач явилась основополагаю-
щая статья Ландесмана и Лазера [50], в которой получены
необходимые и достаточные условия разрешимости нелиней-
ного возмущения линейной задачи с ненулевым ядром.
В дальнейшем эти исследования были продолжены и развиты
Амбросетти, Брезисом, Вильямсом, Гессом, Манцини, Нечасом,
Ниренбергом, Петришиным, де Фигуейредо, Фучиком, Шехте-
ром и другими авторами (см. работы [5, 68в, 74ж, 74з, 876]
и имеющиеся в этих работах списки литературы). Изложению
некоторых из полученных ими результатов посвящены первые
два параграфа настоящей главы. Применяемый метод доказатель-
ства близок методу работ Петришина [47ж, 47з].
В § 3 показывается применение метода Ляпунова—Шмид-
та, используемого многими авторами при изучении слабо
нелинейных задач, к оценке числа решений граничной задачи.
§ 1. Возмущение однозначно разрешимой
линейной граничной задачи
В настоящем параграфе и вообще в данной главе будет
рассматриваться задача Дирихле для дивергентного эллипти-
ческого уравнения, хотя в целом результаты имеют место
и для недивергентных уравнений и общих линейных граничных
операторов, подчиненных условию Я. Б. Лопатинского [56].
206	ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Будем рассматривать разрешимость граничной задачи
Дирихле
£	(-1)!*'П“ [аяР(.х)П₽«] +
1«I, | U|«m
+ £	...,Dmu) = X (-l)|a|DVa(4
I 3 IS р	I am
xeQ,	(1.1)
Dau(x)=0, xedil,	1,	(1.2)
в	случае ограниченной	области fic/C,	р^т.
Предполагаем выполнение условий:
аД яаР(х)— измеримые ограниченные функции при |а|,
|а| +1 Р|<2m; ая₽(х)— непрерывные функции в Q при
|а| = |Р|=т;
а2) существует положительная постоянная v такая, что
при хсЙ, выполнено неравенство
X flaP(x)^e^v|^|2'";
I * I - I Р Р >"
bt) функции Ь^х, ^0, ..., ?m), |а|^р при xeQ, ^ = {^s:|a|=fc},
удовлетворяют условию Каратеодори и оценке
|/>а(х, ^о, УКн X 1^Т + ЛМ	О-3)
3 = 0
с положи тельной постоянной ц, ст с [0, 1), /г(х)еЛ2(П). Здесь
Nk - число различных мультииндексов a = (at, ..., a„) длины к.
Разрешимость озадачи (1.1), (1.2) при /,(х)бЛ2(П) будем
рассматривать в IPJfQ), сводя ее к разрешимости оператор-
ного уравнения
Lou + Nou = f,	(1.4)
0	0	о
где операторы Lo, Л'о: И7™ (Q) -> И7™ (Q), функция /еИ7"!'!)]
определяются соответственно равенствами
(^о«, Ф)т= X f a^(x)D9uD«<s>dx,
|«|,-|Р|«тЯ
(Woa, cp)m= X \ bjx, и, Dmu)D\pdx,	t1-5)
11 I« p я
(/, 4>)m= X
| a | < m Q
§ 1. ВОЗМУЩЕНИЕ ОДНОЗНАЧНО РАЗРЕШИМОЙ ЗАДАЧИ 207
О
при произвольной функции <р(.г)б И7(£!). Здесь через (•, *)т
о
обозначено скалярное произведение в 1T7(Q):
(Л<р)„ = Е f D*f(x)Dx<p(x)dx.
| а | $ nt 12
Далее будет показано, что оператор £0 + Л0 удовлетворяет
условию монотонного типа, что позволит применять развитые
выше топологические методы. Исходным моментом, позволя-
ющим к уравнению (1.4) применять построения гл. 2, является
неравенство Гординга [24]
(L0K,	|| и ||* - с21| w||§,	(1.6)
справедливое при выполнении условий at), а2) для произволь-
ной функции и(л)е HZ2 (Q) с не зависящими от и(х) положи-
о
тельными постоянными си с2. В (1.6) || •(!,„- норма в ^“(Q),
||'Цо —норма в L2(Q).
Замечание 1.1. Построения и результаты гл. 2 будем
применять в данной главе к операторам, действующим
в гильбертовом пространс тве. Это возможно благодаря
естественному отождествлению гильбертова пространства со
своим сопряженным.
Наиболее просто вопрос о разрешимости задачи (1.1),
(1.2) решается при р<т и обратимом операторе Lo.
Теорема 1.1. Пусть выполнены условия at), а2), bj
и предположим, что уравнение Lou=0 имеет только нулевое
о
решение в 1У2(Й). Тогда задача (1.1), (1.2) при р<т разрешима
при произвольных функциях
/а(.т)бТ2(С2), |а|^т.
Доказательство. Во-первых, покажем, что в условиях
теоремы 1.1 выполнено неравенство
о
IHL^3||LoM||m. ф)6ИЭД,	(1.7)
с не зависящей от w(.v) положительной постоянной с3.
Из (1.6) следует оценка
||м||т^с4||ТоМ||т + с5||М||о	'	(1.8)
208
ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
с некоторыми постоянными с4, с5. Если неравенство (1.7)
не выполняется ни с какой постоянной с3, то существует
о
последовательность {ип} 6 IV™(Q) такая, что
1|ил||т=1, HowX-0.
(1.9)
о
Пользуясь компактностью вложения	в можем
считать (переходя, если нужно, к подпоследовательности),
что и„(х) сильно сходится в Тогда из (1.9) и (1.8) сле-
дует сильная сходимость к„(.г) в JV™(Q) к некоторой функции
Ко(л-)-
Из (1.9) получаем, что ||w0||m=l, Lou(j = 0, это противо-
речит условию теоремы 1.1. Тем самым неравенство (1.7)
доказано.
Разрешимость задачи (1.1), (1.2) при фиксированных
функциях /а(.х)еТ2(П), | сх | т, или, что то же самое,
разрешимость уравнения (1.4), получим, рассматривая пара-
метрическое семейство уравнений
Л(и = 0, A,u = Lou + tNou — t f,	ze[O, 1].	(1.10)
о	о
В силу компактности вложения IF™ (О) в	р<т
и неравенства (1.6) получаем, что при каждом t оператор
о
Л, удовлетворяет условию (5)+ в И7™ (О).
Из условия bj следует оценка
||xV0«||m^/C(l +|| w||S,)
(1.11)
с некоторой положительной постоянной К. Отсюда и из
(1.7) получаем, что можно выбрать число R = А(/')>0
таким, чтобы
||Л,к||т>0 при ||н||т = Л, O^r^l.
Теперь разрешимость уравнения ^41w = 0, а следовательно,
и задачи (1.1), (1.2), следует из теоремы 7.1 гл. 2, так как
отображение Ао нечетное.
Замечание 1.2. Очевидно, что при доказательстве те-
оремы 1.1 достаточно предполагать асимптотическую линей-
ность оператора Lo + No, т. е. можно ослабить условие bt),
считая, что неравенство (1.3) выполнено при ст=1 и, кроме
того, требуя, чтобы || А70« L'II«1 ~*0 при ||w|m->x.
§ I. ВОЗМУЩЕНИЕ ОДНОЗНАЧНО РАЗРЕШИМОЙ ЗАДАЧИ 209
Приведем еще результат о разрешимости задачи (1.1),
(1.2) при возмущении подчиненными слагаемыми линейного
роста, т. е. при выполнении условия (1.3) с о=1. Следуя
работам [61, 74к], приведем результат о разрешимости задачи
Дирихле для уравнения
I a 1.1 Р I s т
= g(x, и, Dmu)u + £ (-1)1“1О«/«(4	(М2)
I а I « т
В дополнение к аД, а2) предполагаем выполнение условия
а3) при xeQ, |ot|, |0|<m справедливо равенство
«зр(4 = М4
При предположениях аД—а3) задача на собственные
значения
X (- 1)|а| £>“ [«aP(jc)npw] = kw(jc), xeQ, (1.13)
la I. I P I Sm
D*u(x) = 0,	xeSCl,	1,	(1.14)
имеет счетную последовательность собственных чисел {ХД.
Пусть (срДх)} -соответствующая последовательность собст-
венных функций. При этом можем считать, что
...^Х;^..., Х;-->ос при у->оо и последовательность {срДх)}
ортонормирована в L2(Q).
Лемма 1.1. Пусть номер i такой, что Х(<ХН1, и пусть
р(х) — измеримая функция, удовлетворяющая условию
<p(x)<X;tl при xeQ. Тогда уравнение
X	x6Q, (1.15)
I a I, I PI Sm
О
имеет в ИТДП) только нулевое решение.
о
Доказательство. Пусть и(л)е ИТДй)—решение урав-
нения (1.15). Используя полноту системы собственных функций
НсрДх)}, представим и(х) в виде
и(х) — и'(х) + и"(х),
I где
«'(*)= х дчд(4 и"(х)= Е сл(4
J=1	3 = 1+1
14 И. В. Скрынник
210	ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Из соответствующего уравнению (1.15) интегрального
тождества имеем
J p(x)u-u'dx =	£	f ляр(*)D^uD^u'dx —
£2	| я |, | p | m £2
= S	f w<Pjdx= £ kjCj X,- f (u')2dx.	(1.16)
7=1	о	j=l	n
Аналогично получаем
f p(x)uu"dx^Xi+l f (u”)2dx.	(1-17)
41	n
Из (1.16), (1.17) следует
f [/’(•v)-Xi](i/)2Ac + f [Х;+1-^(х)](д")2й?х =
£2	£2
= j {p(x)uu'~X,(w')2} dx + J	p(x)uu"} dx^Q.
n	n
что и обеспечивает, в силу условия на р(х), равенство
и(х) нулю.
0	0
Определим оператор R: IFTfQ)-* И™ (О) равенством
(Ru, <p)„, = f r(x)u(x)<p(x}dx	(1.18)
£2
при измеримой ограниченной функции г(х).
Лемма 1.2. Пусть cx(.v), P(.v) измеримые функции, удов-
летворяющие неравенству
Х,<сх(х)<Р(.г)<Х; । j,	(1.19)
где i — тот же номер, что и в лемме 1.1. Существует
положительное число 6 такое, что для произвольной измеримой
функции г(.г), удовлетворяющей условию
а(.г)^г(.г)^Р(л-),	(1.20)
о
и для всех	справедлива оценка
||ЛоМ-Лн||т>8||М||т,	(1.21)
где Lo, R- операторы, определенные равенствами (1.5), (1.18).
§ I. ВОЗМУЩЕНИЕ ОДНОЗНАЧНО РАЗРЕШИМОЙ ЗАДАЧИ 211
Доказательство. Если утверждение леммы не справед-
о
ливо, то найдутся последовательности {w (л:)} <= И7'" (О),
(гДх)}еЕж(П) такие, что
«(х)^(х)^(х), ||M;(x)||m=l, \\Ьои}-^и}\\т^., (1.22)
где Rj — оператор, определяемый по гДх) согласно (1.18).
Переходя, если понадобится, к подпоследовательностям,
о
можем считать, что иДх)-^и0(х) в 1^7(0), rj(x) 'г0(х) в
причем а(х)о0(х)^ Р(х).
Используя последнее неравенство в (1.22), можем при
произвольной функции ф(х)бСо (Q) перейти к пределу в вы-
ражении
И Е аар(х)Р₽иДх)/)=,<р(х)-/-у(х)м7(х)<р(х)У(/х
£2 (. | а |. IP 1=5 т	)
и получить Еомо —Яоио = 0, где Яо оператор, соответствую-
щий согласно (1.18) функции г0(х). Отсюда и из леммы 1.1
следует, что мо(х) = 0.
В этом случае мДх)-»0 в £2(О) и тогда Я;И7->0, Яои,->0
в 1^7(0). Из (1.22) получаем
||£0«у— Лом7||„,-*0 при j-oc,
что невозможно, так как ||и;- ||ш=1 и для оператора Lo — R
в силу, леммы 1.1 справедлива оценка
о
и(х)е
проверяемая аналогично (1.7). Полученное .противоречие до-
казывает лемму 1.2.
Теорема 1.2. Пусть для функций «ар(х). |ot|, |Р|^т,
выполнены условия аД а3), функция g(.v. 2(). ..., Е,т) удовле-
творяет условию Каратеодори при хе О. .Де Я*', j = 0, ..., т,
и оценке
а(х)^(х, £0, ...ДтК₽(х)	(1.23)
с функциями ot(x), Р(х), удовлетворяющими неравенству (1.19).
. Тогда при произвольных /a(x)eL2(Q), | ot | т, уравнение (1.12)
J имеет решение в И7” (О).
14*
212
ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
О
Доказательство. Определим операторы G, Go:
о
-> IV2 (О) равенствами
(Gm, <p)m = f g(x, м, ..., D2mu)u<pdx,
а
(G0M, ip)m = f g(x, 0,	0)и<р</х.
Q
0
Разрешимость уравнения (1.12) в W™(O) эквивалентна разре-
шимости операторного уравнения
Lou — Gu=f,	(1-24)
о
где оператор £0, функция /еЖ"(й) определены в (1.5).
Рассмотрим при ?е[0, 1] параметрическое семейство
уравнений
Л,м = 0,	(1.25)
где Atu = Lou — tGu — (1 — t)Gou — tf. Используя неравенство
Гординга (1.6), проверяем, что при каждом t оператор А,
удовлетворяет условию (•$)+ и семейство At удовлетворяет
условию ot’o'1, введенному в § 4 гл. 2.
Покажем, что при некотором R>0
А,и=£0 при || и || > R, te [0, 1].	(1.26)
Если бы такое R не существовало, то нашлись бы t„e [0, 1 ],
о
м„е W™(Q) такие, что
A,u„ = 0,	||и„!1т-оо.	(1.27)
Функции
Z„g(x, м„, ..., Dmun) + (\ — tn)g(x, 0, .... 0),	н=1, 2, ...,
удовлетворяют неравенству (1.20), и, следовательно, по лем-
ме 1.2 при л=1,2, ... справедливы оценки
II	— tnGun — (\—1„)Gou„ ||.m51|м„ ||m.	(1.28)
Отсюда получаем
0=Р,пм„||т^5|! м„||т-|!/|lm,
что противоречит предположению || ип ||m->оо.
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ЗАДАЧИ С НЕНУЛЕВЫМ ЯДРОМ	213
Тем самым проверено неравенство (1.26), и разрешимость
уравнения Ахи = 0, а значит, и уравнения (1.24) следует из
теоремы 7.1 гл. 2.
Замечание 1.3. Можно доказать более обший результат,
чем теорема 1.2 (см. [74к]). А именно, можно ослабить
предположение (1.19) на функции ot(x), [3(х), заменив его
следующим:
s£ot(.Y) P(,v) sgX; +!
mcs{xeQ: А.,/а(х)}>0,
mes{.veQ: ц / P(.v)} >0.
Замечание 1.4. Непосредственно из доказательства тео-
ремы 1.2 следует, что верна теорема о разрешимости для
уравнения, получающегося из (1.12) добавлением дополнитель-
ных нелинейных слагаемых. При этом требуется, чтобы
соответствующий задаче оператор принадлежал классу (ST)
и для оператора Q, соответствующего дополнительным
слагаемым, выполнялась оценка ,|0u|im<3'|[w!.|m + X' с 5'е [0, 6)
и некоторой положительной постоянной К. В частности,
справедлива теорема о разрешимости уравнения, получа-
ющегося из (1.12) заменой левой части левой частью
уравнения (1.1) при р<т и выполнении условия ЬД.
§ 2.	Возмущение линейных задач с ненулевым ядром
Начнем с рассмотрения операторных уравнений в гиль-
бертовом пространстве //, обозначая норму и скалярное
произведение в Н соответственно ||-||, (•,)•
Пусть L линейное фредгольмово отображение в Н ну-
левого индекса. Это означает, что ядро оператора L,
Ker L= {иеН: Lu = 0}, конечномерное пространство, образ
пространства Н при отображении L, R(L) = {Lu: иеН}, замк-
нутое подпространство конечной коразмерности, равной раз-
мерности KerL. Далее считаем, что KerL/0.
Обозначим через Н-., Fx ортогональные дополнения
в Н к подпространствам KerL, R(L) соответственно. Опре-
делим произвольный линейный изоморфизм М: KerL^Fl,
и пусть
С=МР: H-+FX=[R(L)}\	(2.1)
где Р—ортогональная проекция Н на KerL.
Теорема 2.1. Пусть L'. Н -> Н - линейное фредгольмово
отображение нулевого индекса, удовлетворяющее условию (S) +,
214	ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ'
f—некоторый элемент Н и пусть N: II—'II такое деми-
непрерывное отображение, что:
1)	отображение L+N удовлетворяет условию (S)+;
2)	'! w 1| ” '• |1 Nu || —>0 при ||м'|->Х;
3)	существует последовательность ек->+0 такая, что
одно из множеств
Z+= (J {иеН: Lu + ekCu + Nu=f},
k = 1
Z = U {ueH: Lu — skCu + Nu=f}
k = 1
ограничено, где С оператор, определенный равенством (2.1).
Тогда уравнение
Lu + Nu=f	(2.2)
разрешимо в II.
Прежде чем приступить к доказательству теоремы 2.1,
докажем лемму.
Лемма 2.1. Пусть оператор L удовлетворяет условиям
теоремы 2.1 и С оператор, определяемый равенством (2.1).
Тогда при любом е/0 существует положительная постоянная
К. такая, что при иеН выполняется неравенство
|| и || «£ Кс || Lu + гСи ||.	(2.3)
Доказательство. Во-первых, покажем, что при
уравнение
Lu + cCu = 0	(2.4)
имеет только нулевое решение. Пусть и — решение этого
уравнения. Из (2.4) и принадлежности Cwe[A(L)]± следует
£м = 0, Си = 0. Таким образом, weKerL. Так как С изоморфно
отображает Ker L на L\, то из См = 0 получаем м = 0. Тем
самым доказали, что уравнение (2.4) при е/0 имеет только
нулевое решение.
Для получения оценки (2.3) достаточно показать, что
inf || Lu + г Lu || > 0	(2.5)
u.; = i
при произвольном е/0. Предположим противное, что (2.5)
не справедливо. Тогда можно при некотором ео#0 выбрать
. последовательность икеН так, чтобы
||иД| = 1, HLWfc + coCi/JHO, ик	(2.6)
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ЗАДАЧИ С НЕНУЛЕВЫМ ЯДРОМ	215
с некоторым элементом «оеЯ. Из (2.6) получаем
lim (Luk, uk — uo) = 0
k—7
и из условия (5) + для оператора L следует сильная
сходимость ик к мо/0. Из (2.6) имеем Luo + soCuo=0, что
невозможно, так как по доказанному выше мо = 0. Тем
самым лемма 2.1 доказана.
Доказательство теоремы 2.1. Для определенности
будем считать, что ограничено множество Z +, и пусть
{efc} стремящаяся к пулю последовательность положитель-
ных чисел из условия 3). При фиксированном к рассмотрим
параметрическое семейство уравнений
A,u = 0, Atu= Lu + f.kCu + tNu — tf.	(2.7)
Из (2.3) и условия 2) доказываемой теоремы получаем, что
при некотором R = Rk
А,и^0 при ||и||=Яь те [О, 1].
Тем самым, по теореме 7.1 гл. 2 при каждом к существует
элемент икеН такой, что
/,ш + екСик + Л/мк=/.	(2.8)
Из ограниченности множества Z+ следует, что последователь-
ность ик можем считать слабо сходящейся к некоторому
элементу иоеН (при необходимости переходим к подпоследо-
вательности).
Из (2.8) получаем
<Luk + Nuk, ик—и0} = <J-ккСик, ик-ио)^0
при &->эо. Отсюда и из принадлежности L + N классу (S) +
следует сильная сходимость ик к и0. Переходя к пределу
в (2.8), имеем, что и0 решение уравнения (2.2), и тем
самым заканчиваем доказательство теоремы.
Замечание 2.1. Используя введенную в гл. 2 степень
псевдомонотонного отображения, легко проверить, что ут-
верждение теоремы 2.1 остается справедливым, если условие
1) заменить предположением о пссвдомопотонности отображе-
ния L+N.
В работе [74ж] указаны достаточные условия, обеспечи-
вающие выполнение предположения 3) теоремы 2.1. Далее
М, Р—те же операторы, что и выше при определении
оператора С равенством (2.1).
216
ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
Теорема 2.2. Пусть L: Н-+Н—линейное фредгольмово
отображение нулевого индекса, удовлетворяющее условию (S) +,
и пусть деминепрерывное отображение N: Н—>Н таково, что
для L+N выполнено условие (S)+. Для того чтобы при
каждой последовательности Ек—► + () определенное в теореме 2.1
множество Z было ограниченным, достаточно выполнения
одного из следующих условий:
1)	|| u|| -11| ДМ ->0 при || и|| — »оо и для произвольной последо-
вательности икеН такой, что ||и4||->оо, ||ик|| 1-ut->peKerL,
имеет место неравенство
lim (Nuk, Mv)>(f, Mv);
k~*cc
2)	выполнена оценка
|| Nu||	|| м||" + Д,	ueH,
cle [0, 1),
(2.9)
(2.Ю)
с положительными постоянными а, b и для произвольных
последовательностей tkeR\, vkeK.erL, wkeHl таких, что
II || с с некоторым ceR\, имеет место
неравенство
lim (N(tkvk + tkwk), Mv)>(J, Mv\,
k—,x.
(2.H)
3)	выполнена оценка (2.10) и для произвольной последова-
тельности икеН такой, что || Рик || -> оо и vk=\\PukW~l-Puk->ve
eKerL, имеет место неравенство
lim (Nuk, Mvr)>(f, Mv).
k—*<x)
(2.12)
Доказательство. Покажем, что если Z+—неограни-
ченное множество, то не выполняется ни одно из условий
1) -3). Пусть для некоторой последовательности {efc}, £t->0,
существует последовательность {ик}сН такая, что || ик || -> со и
+ ?.кСик + Nuk —J.
(2-13)
Отсюда следует, что в
случаев 1)—3) ||wfc|| ~1Luk^Q.
оператора L, получаем
каждом из рассматриваемых
Пользуясь условием (5), для
II «к II ' «k^reKerL,
(2.14)
где v — некоторый ненулевой элемент.
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ЗАДАЧИ С НЕНУЛЕВЫМ ЯДРОМ '	217
Умножая скалярно обе части равенства (2.13) на Mv
и замечая, что Л/ге[Я(Т)]\ имеем
гк(Сик, Mv) + (Nuk, Mv) = (f, Mv).	(2.15)
Покажем, что
lim sk(Cuk, Mv)^0.	(2.16)
к—* rib
Из (2.14) и определения оператора С следует
|| ик|| '1 (Сик, Mv)-*(Cv, Mv) = (Mv, Mv)>0,
что и обеспечивает неравенство (2.16).
В силу (2.16) из (2.15) имеем
lim (Nuk, Mv)^(f. Mv),
к-з.
и, тем самым, условие 1) доказываемой теоремы не
выполнено.
Пусть теперь для оператора N имеет место оценка
(2.10). Используя определение подпространства Нх, пред-
ставим ик в виде
ик = и'к + и'к, м(еКег£, и'к=Рик, и'[еНх.	(2.17)
Умножая скалярно обе части равенства (2.13) на Luk
и вспоминая, что СЯ=[7?(Т)]±, имеем
\\LuV\2 + (Nuk, Luk)=(f, Luk).
Отсюда, из оценки (2.10) и неравенства (2.3), примененного
при е = 1. получаем
1411^1411’ + ^	(2-18)
с некоторыми не зависящими от к постоянными сх, с2. Так
как те [0, 1), то из (2.18) имеем
lim ||wj|“'||PuJ| = l.	(2.19)
к—г.
Покажем сейчас, что не выполнено условие 3) доказы-
ваемой теоремы. Для этого умножим обе части равенства
(2:13) на vk = || Рик\\ ~i-Puk- Получим
Ек(Сик, Mvk) + (Nuk, Mvk) = (f Mvk).	(2.20)
t Из (2.14), (2.19) следует, что vk->veK.erL. Аналогично (2.16)
s получаем
lim гк(Сик, Mvk)^0,
к—-/
218	ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
и, тем самым, из (2.20) имеем
lim (Nuk, Mvk)^(f, Mv),
что противоречит условию 3).
Осталось доказать, что не выполнено и условие 2).
Выберем Д=||ик||, vk= ||ик||~l-u'k, wk= ||ик||-я-ик и покажем,
что при таком выборе выполняется неравенство, противо-
положное неравенству (2.11). Ограниченность последователь-
ности {и-Д и сходимость vk к v следуют из (2.18), (2.14).
Представляя в силу (2.17), ик в виде uk=tkvk+tkwk, имеем
из (2.15), (2.16)
lim (N(tkvk + tkwk), Mv)^(f, Mv),
k—sc
что противоречит (2.11). Тем самым доказательство теоремы
полностью закончено.
Замечание 2.2. Для получения условий ограниченности
множества Z~ в теореме 2.1 достаточно заменить оператор
М в (2.1) оператором—М. В этом случае из теоремы 2.2
достаточные условия получаются путем замены в (2.9), (2.11),
(2.12) знака > на знак < и заменой в левых частях этих
неравенств lim на lim.
Дадим применения теорем 2.1, 2.2 к доказательству раз-
решимости нелинейных граничных задач. Вначале рассмотрим
задачу Дирихле для уравнения
£ (-l)|a|Z)l«aP(x)Z)^] + A(x, и(х)) = £ (-l)l’IZ)Va(x)
|a|,|0|Sm	|=c|=Sm
(2.21)
при выполнении условий аД— а3) и следующего условия:
h) функция h: Qx/Д^/Д удовлетворяет условию Кара-
теодори и при хеП, seR1 справедлива оценка |/г(х, з)|^А0(х)
с некоторой функцией /i0(x)eL2(Q).
Определим функции
h±(x) = lim h(x, s), h±(x) = lim h(x, s).
s—» + CO	S— ± 00
Далее Lo — оператор, определенный равенством (1.5).
Теорема 2.3. Пусть выполнены условия аД— а3), h)
и пусть KerLo#0. Предположим, что для произвольной
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ЗАДАЧИ С НЕНУЛЕВЫМ ЯДРОМ
219
функции и’(х)бКег£0, и'(х)#0 выполнено одно из условий
Е \fJX)Daw(x)dx<
]ct] $ т П
< j h+ (x)w(x)dx + J h_(x)w(x)dx, (2.22)
fi + (w)	O“(w)
E \f,_(x)Daw(x)dx>
l<z| in Я
> J h+ (x)w(x)dx+ J h_(x)w(x)dx, (2.23)
O+(w)	O“(w)
где 42+(w) = {.re42: ±n’(.v)>0}. Тогда граничная задача (2.21),
о
(1.2) имеет решение в IV 2 (^)-
о
Доказательство. Определим оператор Л^: ^"‘(О)^
о
—»• ” (£2) равенством
(Npi, <p)m = f/i(x, u(x))(p(x)dx,	(2.24)
n
0
где (•>•)„ — скалярное произведение в ^”(42), и получим
разрешимость операторного уравнения Low + TVji^/, а следо-
вательно, и задачи (2.21), (1.2) из теоремы 2.1.
Во-первых, покажем фредгольмовость отображения Lo. Из
оценки (1.8) следует компактность единичного шара в прост-
ранстве Ker Lo, что обеспечивает конечномерность Ker Lo. В силу
условия а3) получаем [А(£0)]±==^ег^0’ откуда следует конеч-
ность коразмерности R (Ео) и равенство нулю индекса оператора
Lo. Замкнутость образа оператора £0 следует из оценки
||и||т^с||Еои|1т. ue(KerE0)±,
доказываемой аналогично (1.7).
Принадлежность операторов Lo, £04-А\ классу (S + )
следует из неравенства Гординга (1.6), выполнение предпо-
ложения 2) теоремы 2.1 обеспечивается условием h). Осталось
проверить условие 3), что сделаем на основе теоремы 2.2.
Так как в рассматриваемом случае КегТ0= [/?(£.□)]-*-, то
оператор М, фигурирующий в (2.1), можно выбрать тождест-
венным. Покажем, что из неравенства (2.22) следует выполне-
ние условия 1) теоремы 2.2. Если бы условие 1) не выполни-
220
ГЛ. 6. СЛАНО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
О
лось, то для некоторой последовательности {мк(х)}еИ7'"(Q)
такой, что || >оо, || ик || й1 * -ик -> се Кет £0, имели бы
lim f й(х, uk(x))v(x)dx^ £ f/a(x)Dsc(x)rfx.	(2.25)
к-*т Q	|ot| $ m П
Оценим левую часть этого неравенства:
lim J /;(х, uk(x))v(x)dx^
к—-> Я
lim f h(x, uk(x))v(x)dx + lim J h(x, uk(x))v(x)dx^
k—, O + (l’)	*— ® fl-(f)
> f h t(x)v(x)dx + f h_ (x)v(x)dx.
li * (t>)	n~(v)
Отсюда и из (2.25) следует противоречие с (2.23).
Показали, что из (2.22) и теоремы 2.2 следует выполнение
в рассматриваемом случае условия 3) теоремы 2.1. Аналогич-
но получаем выполнение этого условия из неравенства (2.23)
и замечания 2.2. Тем самым все предположения теоремы 2.1
проверены и доказана разрешимость уравнения Lou + N ku=f,
а следовательно, и теорема 2.3.
Следствие 2.1. Предположим, что выполнены все условия
теоремы 2.3 м, кроме того, при хей, ле А1:
h _ (х) = h. (х)<Л(х, .у)<h + (х) = h ((х).	(2.26)
о
Тогда для разрешимости в И7"1 (И) задачи (2.21). (1.2) необхо-
димо и достаточно выполнение при произвольной функции
и’(х)еКег£ оценки
Е lfJx)D*w(x)dx<
|я| $ni Q
< f h+ (x)w(x)dx+ J h_(x)w(x)dx, (2.27)
где h±(x) = h + (x) = h±(x).
Достаточность условия (2.27) следует из теоремы 2.3.
Необходимость следует из того, что для решения и(х) задачи
(2.21), (1.2) выполнено равенство
Е J.ftt(x)Daw(x)dx = f/г(х, u(x))w(x)dx	(2.28)
|а|«тП	Я
§ 2. ВОЗМУЩЕНИЕ ЗАДАЧИ С НЕНУЛЕВЫМ ЯДРОМ
221
для M’(x)eK.erL0. Для получения (2.28) достаточно в соответ-
ствующее задаче (2.21), (1.2) интегральное тождество подста-
вить w(x) вместо пробной функции. Оценивая далее правую
часть (2.28) на основании (2.26), приходим к неравенству (2.27).
Впервые утверждение, близкое приведенному в следст-
вии 2.1, получено Ландесманом и Лазером [50].
Теоремы 2.1, 2.2 могут быть применены к широкому кругу
задач вида (1.1), (1.2). Ограничимся лишь одним результатом
из работы Петришипа [74з ], интересным некомпактностью
возмущения. Далее будем предполагать, что в (1.1) р = т.
В дополнение к условию ЬД из § 1 на функции Ьл(х, ^0,...
..., ^т) введем еще условия:
Ь2) существует постоянная с'е[0, сд) такая, что при xgQ,
т]цбЛ^, к = 0, 1, ..., т— 1, ^m,	выполнена оценка
£ [Ья(х, Г|о, Пт 1- ^-ЬДх, г)0, ..., qm_1, iUjfe-USs
|а|=т
|я| = т
при этом сд- постоянная из неравенства (1.6);
Ь3) существуют функции /гя(х, £0, ..., ^т), |а|^т, определен-
ные при xeQ,	к = 0, ..., т, удовлетворяющие условию
Каратеодори, однородные относительно ^0, ..., с,т степени о,
такие, что
1Ш U ..., ^)|^Ня(х)(|^0| + ... + |^|Г, Яя(х)бА1/(1_о)(П)
и для произвольных последовательностей ^}eRNk, к = 0, .... т,
из	к-0, ..., т, г;-»ос следует
lim ^(х,	....г^) = 1г^х, £0, .... £т)	(2.29)
при xgQ. Здесь сте [0, 1) и имеет то же значение, что и в (1.3).
о
Определим для произвольной функции и’(х)е И^Д!)
Я(ш)= £ f /гДх, и’, ..., Dmw)D*w(x)dx.	(2.30)
№SmS>
. Теорема 2.4. Предположим, что выполнены условия аД —
а3), ЬД- Ь3), и пусть KerLo/0. Тогда:
1) если ое(0, 1) и H(w)>0 при и'бКег£0, ||w||m=l, то
задача (1.1), (1.2) при р = т и произвольных fa(x)eL2(.&) имеет
о
решение в И7™ (£2);
222	ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
2) если <д = 0 и H(w)>(f,w)m для weKerL0, j|wl|m=l, то
о
задача (1.1), (1.2) при р — т имеет решение в 1^2 (Q).
Доказательство. Отмеченная при доказательстве тео-
ремы 2.3 фредгольмовость отображения Lo, определенного
равенством (1.5), следующая из условий ЬД Ь2) и неравен-
ства (1.6) принадлежность оператора Lo + No классу (5) + ,
оценка (1.11) показывают, что в каждом из двух вариантов
условий теоремы 2.4 выполнены все предположения теоре-
мы 2.1, кроме третьего. И разрешимость операторного урав-
нения (1.4), а следовательно, и задачи (1.1), (1.2), будет
доказана, как только проверим выполнение в рассматри-
ваемых случаях предположения 3) теоремы 2.1.
Выбирая, как и при доказательстве теоремы 2.3, равным
тождественному отображение М, получаем из теоремы 2.2,
что достаточно доказать для произвольной последователь-
о
ности [иДеИ'гф), удовлетворяющей условиям
li«*U1w*-»-feKerLo в И"?(П),	(2.31)
неравенство
lim (NQuk, v)m>(f v)m.	(2.32)
к
Последнее утверждение доказываем от противного, пред-
о
полагая, что существует последовательность {wje И'гф),
удовлетворяющая условиям (2.31), для которой
^(Nouk,v)m<(J,v)m.	(2.33)
к—-j,
В этом случае для произвольного с>0 существует номер
ке такой, что
(Kouk,v)m^E + (f,v)m для к^ке.	(2.34)
Последнее неравенство эквивалентно следующему:
£ Jb*(x, ик, ..., Dmuk)D^(x)dx<tk°[e + (f, r-)m],
|a|«m Я
k^k„ (2.35)
при ?k= |MklL
§ 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ КРАТНЫХ РЕШЕНИЙ	223
Из сильной сходимости последовательности rt(.r) = 1 ик(х)
о
к и(х) в И7™ (£2) и условия Ь3) получаем, что почти при
всех xekl
lim tkaba.(x, uk(x), Dmuk(x)') = haL(x, v(x), ..., Dmv(x)). (2.36)
k—v.
Далее, в силу условия bj нормы функций
tkaba(x, uk(x), Dmuk(x)) =
= tkaba.(x, tkvk(x), ..., tkDmvk(x)), k = 1, 2,
в Т2(П) ограничены постоянной, не зависящей от к. Вместе
с (2.36) это дает, что в L2(C1)
tkab^(x, uk(x), ..., £)%(*))	v(x), ..., Dmv(x)).
Теперь можно перейти к пределу в неравенстве (2.35)
и получить
Н(у)^0, если <де(0, 1),	(2.37)
v)m при <д = 0.	(2.38)
При получении второго неравенства мы также воспользова-
лись произвольной малостью числа s.
Неравенства (2.37), (2.38) противоречат неравенствам, пред-
полагаемым в теореме соответственно при <56(0, 1), <5 = 0.
Тем самым, в силу теоремы 2.3 выполнено предположение 3)
теоремы 2.1, что доказывает разрешимость операторного
уравнения (1.4) и завершает доказательство теоремы 2.4.
§ 3. Существование кратных решений
слабо нелинейных граничных задач
В настоящем параграфе, следуя статье Амбросетти и Ма-
нцини [5], устанавливается существование не менее двух
решений граничной задачи. При этом излагается метод
Ляпунова — Шмидта, используемый во многих работах по
слабо нелинейным граничным задачам. Этим методом путем
проектирования на соответствующие подпространства раз-
решимость операторного уравнения сводится к разрешимости
системы двух уравнений, в первом из которых линейная
часть обратима, а второе является уравнением в коне-
чномерном пространстве. Тем самым, решая вначале первое
224	ГЛ, 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
уравнение, приходим к необходимости исследовать разре-
шимость уравнения только в конечномерном случае.
Рассмотрим в ограниченной области О в R" задачу
- X (~1)н£>а[аар(х)£рн]+Хкм + <'(х, w) =
|а|,|0|«т
= £ (-l)l’lZ)e/e(x), хеЙ, (3.1)
£)аи(х) = 0, xedCl,	1.	(3.2)
Предполагаем выполнение условий аг) -а3) для функций
аар(х) и следующих условий для функции с(х, s) и числа X_t:
ct) функция с(х, 5) определена и ограничена при хей,
seR1, измерима по х при каждом seR1 и непрерывно
дифференцируема по s при почти всех хей;
с2) с некоторыми постоянными а;, i=l, 2, 3, 4, выполнены
неравенства
! <ах ^кк + с'(х, s)^a2 <Хц + ь если к>1,
a3^Xt+с'(х, з-)^а4<Х2, если к—\,
д
где с'(х, $)=—с(х, 5), X,-—собственные значения задачи (1.13),
cs
(1-14).
X) кк—простое собственное значение задачи (1.13), (1.14),
соответствующее собственной функции vk(x).
Теорема 3.1. Пусть выполнены условия аД— а3), ct),
с2), X). Предположим, что функция с(х, ,s) не зависит от
х, с(0) = 0, с'(0)<0, существуют пределы
lim c(.s) = c±
(3.3)
S--- ± со
и выполняется неравенство
С- j vk(х)dx + с + j r(.(x)fifx<0<
Q+	Q
<с_ j vk(x)dx + c+ j vk(x)dx, (3.4)
q-	ci-
где й± = {хей: +г\(х)>0}. Тогда задача (3.1), (3.2) при
f3 (x) = 0, | ot | sj m, имеет no крайней мере два различных
ненулевых решения и1 (х), и2 (т) в (й).
Доказательство. Вначале, не предполагая независи-
мость <?(х,,s) от х, равенство нулю /а(х), сведем задачу (3.1),
(3.2), применяя метод Ляпунова — Шмидта, к одномерному
§ 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ КРАТНЫХ РЕШЕНИЙ
225
уравнению. Это сведение будет использоваться далее и при
доказательстве теоремы 3.2.
Задача (3.1), (3.2) эквивалентна операторному уравнению
о
в пространстве ^(П)
Lku + Cu=f,	(3.5)
оо	о
с операторами Lk:	С: И^(П)-> W^(Q) и функци-
о
ей /е W™ (Q), определенными равенствами
(Lku, <p)m=—	£ аар(х)£>₽и£)а(рг/х + Х.к u<pdx,
|a|,|₽|$mJ	J
а	а
(Си, <р)и = с (х, и (х)) ф (х) dx, (f, ф)и =
X А(х)Я»ф<М3.6)
|а|«т J
а
о
Здесь ф(х)—произвольная функция из
Пусть Fk—одномерное пространство, порожденное собст-
венной функцией vk, и Rk— ортогональное к нему дополнение
о
в (У” (О). Гк и Кк—соответственно ядро и образ оператора Lk.
Обозначим Р, Q такие операторы проектирования соот-
ветственно на Fk и Rk, что
Ри = (и (х), vk (x))m • vk (х), Qu = и — Ри
о
для и е	(Q).
Применяя к (3.5) операторы Q и Р, представляя u=tvk + w,
и’ e Rk, получаем
Lkw+QC(tvk + w)=Qf,	(3.7)
PC(tvk + w) = Pf.	 (3.8)
Таким образом, разрешимость задачи (3.1), (3.2) эквивалентна
разрешимости системы уравнений (3.7), (3.8) относительно
неизвестных teR1, weRk.
При произвольном фиксированном teR1 уравнение (3.7),
рассматриваемое в Rk, можно решить относительно ы.
Оператор Lk имеет на Rk нулевое ядро, и разрешимость
уравнения (3.7) доказывается аналогично доказательству тео-
ремы 1.1.
15 И. В. Скрыпник
226	ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
О
При произвольных te R \ /е IV™Ф) решение weRk этого
уравнения единственно. В самом деле, если бы при каких-то
t,f существовало два решения wl,w2eRk уравнения (3.7), то
имели бы
Lk (и>1 - w2) + Q [С(tvk + wk)-C(tvk + w2)] = О,
откуда для ф e Rk получаем
j аар(х)/)₽(и’1 — w2)D't<pdx + 'kk (wj — и^ф^х-Ь
Q	Q
с'(х, Zl^ + .Wj +(1 — х) w2)(iVi — w2^zfcz/x = 0.
а о
И далее, аналогично доказательству леммы 1.1, убеждаемся,
что Wj— w2s0.
Обозначим решение уравнения (3.7) относительно weRk
через Wy(z). Легко проверяется, что ыДг) является отобра-
жением класса С1 по t, и с некоторой положительной, не
зависящей от t постоянной Кг выполнена оценка

(3.9)
Из (3.7), (3.8) получаем, что задача (3.1), (3.2) свелась
к разрешимости относительно teR1 одномерного уравнения
с(х, tvk + wf(t))vk(x)dx= X
|к|.<т.

(з.ю;
а
Q
Обозначим
a(/’) = inf{r/(z): teR1}, a(/) = sup{^(z): teR1}.,	(3.1Г
где
г.т(г) = 1Ф> tvk+wf(t))vk(x)dx.
Q
(3.12
Из (3.10) следует, что достаточным условием разрешимост!
задачи (3.1), (3.2) является
а(/)< £
|a|5m
/a(x)D“p(x)z/x<a(/).
n
(3.13
§ 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ КРАТНЫХ РЕШЕНИЙ
227
Из этого условия и неравенства (3.4) получим разреши-
мость задачи (3.1), (3.2) при /Дх) = 0, |а|^т, как только
установим оценки
(3.14)
Докажем, например, первое из неравенств. Для этого
оценим нижний предел Г0(г) при z-> —оо. Возьмем последова-
тельность {?„}, tn-* — оо, так, чтобы последовательность {»я0(гл)}
была сходящейся в L2(Q). Переходя к подпоследовательности,
этого всегда можно добиться в силу (3.9).
Тогда, применяя теорему Лебега, имеем
lim Го (t„) < lim
п—»со	л—►ос
П4
C(t„vk + w0(t„))vkdx +
откуда и следует первое неравенство в (3.14).
Таким образом, утверждение теоремы 3.1 о разрешимости
задачи (3.1), (3.2) доказано. Осталось показать, что решений
не меньше чем два. Из (3.15), соответствующего неравенства
при t-> + оо й оценки (3.4) получаем
lim To(z)<0, lim To(z)>0.	(3.16)
t—* ~ X	t—► + X
Покажем далее, что
Го(0) = 0, Г'о(0)<0,	(3.17)
где F'0(z)=^r0(z). Из (3.17) следует существование zp ZjeA1
таких, что
Zi<0, z2 > 0, ro(zr)>0, To(z2)<0.
Отсюда и из (3.16) получаем, что уравнение To(z) = 0,
а следовательно, и уравнение (3.10) при /а(х) = 0 имеет два
(положительное и отрицательное) ненулевых решения. Тем
15*
228	ГЛ. 6. СЛАБО НЕЛИНЕЙНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ
самым, будем получать два различных ненулевых решения
задачи (3.1), (3.2).
Осталось показать (3.17). Из определения wz(r), единствен-
ности решения уравнения (3.7) и легко проверяемого равенства
Lt0 + 2C0 = 0 следует, что wo(0) = 0. Отсюда и из равенства
С(0)=0 получаем Го(0)=0. Далее,
Г'о(0)=С'(0)^ v$dx+	(3.18)
п а.
Так как w'f(t) = jWf(t)eRk,
то второй интеграл в фигурной
скобке в (3.18) равен нулю. Получаем Го(0)<0. Этим
заканчивается доказательство теоремы 3.1.
При формулировке следующей теоремы f—функция из
о
PF” (й), определяемая согласно (3.6).
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия at) — а3), сД,
с2), 7) и предположим, что
lim .sc(x, 5) = |л#0.
s—*± со
(3.19)
Тогда при определенных равенством (3.11) функционалах
о
a, a:	►А1 справедливы утверждения:
о
1)	для произвольной функции /г(х)е (У™(П) а(/г)<0<й(/г);
2)	задача (3.1), (3.2) имеет решение тогда и только
тогда, когда
^a{f)-	(3.20;
3)	если (f, е(а(/), 0) (J (0, а(/)), то задача (3.1), (3.2'
имеет в	по крайней мере, два решения.
Доказательство. Покажем, что все утверждения теоре-
мы следуют из доказываемого ниже равенства
lim tГу(/) = с0,	со^=0.	(3.21
t—» +• со
О
Здесь f—произвольная функция из	ГД (г) определяете;
согласно (3.12). Из (3.21) получаем, что для больших П(
модулю t знак ГД (г) совпадает со знаком cot и тем самых
справедливо утверждение 1).
Из (3.21) имеем Гу(г)->0 при Г-> + оо. Используя утвержде
ние 1), получаем, что в равенствах (3.11) можно заменит:
§ 3. СУЩЕСТВОВАНИЕ КРАТНЫХ РЕШЕНИЙ
229
соответственно inf, sup на min, max. Отсюда следует утвержде-
ние 2) доказываемой теоремы.
Наконец, из ГДг)-»+О при <?0г->+оо получаем, что при
(./; ^)т6(«(Л °) и (0, а(/)) уравнение
относительно t имеет хотя бы два решения. Тем самым,
два решения имеет уравнение (3.10), откуда и следует
утверждение 3) теоремы.
Пусть теперь последовательность, стремящаяся, для
определенности, к +оо, такая, что wz(r„) сильно сходится
в L2 (Q) (возможность последнего обеспечивается оценкой
(3.9)). Обозначим £\ = {xeQ: rt(x)/0}. Тогда при почти всех
л- е £1к | t„vk (х) + wf (tn) | -> оо. Имеем отсюда
f„rz(f„)=f (r„i>* + »vz(tn))c(x, t„vk + wf(t„))dx-
- f И7(Ф(*’	+	(3.22)
Здесь предел второго интеграла равен нулю в силу того,
что с(х, .sj—>0 при |^|—>оо. Из (3.22) следует (3.21), что
и заканчивает доказательство теоремы 3.2.
Могут быть приведены многочисленные примеры, ил-
люстрирующие результаты данной главы. В частности, из
последней теоремы следует, что задача
Ди + Хш-!—--т = ?(х) в Q, и = 0 на
имеет по крайней мере два решения при достаточно малой
Т2-норме g(x), если (пь g)o/0. Здесь Хк — простое собствен-
ное значение задачи Дирихле для оператора Лапласа, vk—
соответствующая ему собственная функция.
Замечание 3.1. Сохраняя схему доказательств результа-
тов данного параграфа, можно рассмотреть случай кратного
собственного значения Хк.
ГЛАВА 7
АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
ВЫСШЕГО ПОРЯДКА
Проблема регулярности решений квазилинейных эллипти-
ческих уравнений идет от Гильберта (девятнадцатая проблема
[71 ]), которым ставился вопрос, должны ли быть все решения
регулярной вариационной задачи необходимо аналитическими
функциями.
Полное решение проблемы регулярности для квазилиней-
ных эллиптических уравнений второго порядка со многими
независимыми переменными было получено впервые в работах
О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой (см. [49]), которым
предшествовали результаты де Джорджи [28а] для функцио-
налов специального вида. Обзор литературы по квазили-
нейным эллиптическим уравнениям второго порядка содер-
жится в монографии О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой
[49].
Для уравнений высшего порядка дивергентного вида
в конце 60-х годов были построены примеры (де Джорджи
[286], Джусти и Миранды [306], В. Г. Мазьи [58а]), показы-
вающие, что эти уравнения по свойствам решений принци-
пиально отличаются от уравнений второго порядка. Так,
уравнения вида (2.4) из гл. 1 могут иметь негладкие обобщен-
ные решения даже при аналитических функциях Ла, /а.
Вместе с тем, для уравнений высшего порядка был
получен ряд результатов по априорным оценкам и регуляр-
ности обобщенных решений. Для уравнений (2.4) из гл. 1
были получены £2'°пенки производных (т+1) порядка,
вначале для внутренних подобластей М. И. Вишиком [20а],
затем вблизи границы Нечасом [68а] и автором [77а].
Установлено Мейерсом и Элкратом [65] повышение показа-
телей суммируемости производных m-го порядка уравнения
(2.4) из гл. 1 на основе применения леммы Геринга. Ос-
нованные на методах интерполяции априорные оценки реше-
ний были получены в работах С. И. Похожаева [75е—75и].
В работах Морри [636], Джусти [29], Джаквинты, Модики
[27] и других авторов была доказана частичная регулярность
обобщенных решений — их гладкость на открытых подмно-
§ 1. ПРИМЕРЫ НЕРЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ	231
жествах полной меры. Установлены характеристики исключи-
тельного множества, на котором возможна потеря гладкости,
в терминах хаусдорфовой меры.
Проблема регулярности получила полное положительное
решение в случае двух независимых переменных в работах
Нечаса [68а] при специальных ограничениях на вид уравнения
и автора [77а] для общих дивергентных уравнений.
Установлено условие регулярности произвольного обоб-
щенного решения в многомерном случае (см. [77а]). В работах
Фрезе [86а], Видмана [186], автора [77а], В. А. Солонникова
[81 ] изучалась ограниченность и непрерывность обобщенных
решений квазилинейных эллиптических уравнений произволь-
ного порядка.
Классы уравнений высшего порядка, характеризуемые
ограничениями па разброс собственных значений определен-
ной матрицы, построенной по коэффициентам системы,
и обладающие регулярными в некотором смысле решениями,
выделены А. И. Кошелевым и С. И. Челкаком [44а, 446].
Изложению этих и близких им результатов для уравнений
высшего порядка посвящена настоящая глава.
§ 1. Примеры нерегулярных решений
Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллипти-
ческих уравнений высшего порядка можно указать, если
число независимых переменных больше двух. Поэтому дальше
в настоящем параграфе п>2. Во всех примерах в качестве
области изменения аргументов Q можно брать любую
ограниченную область в R", содержащую нуль. Для конкрет-
ности считаем область Q равной В(0, 1) = {хеЛ": |х|<1}.
В работе [58а] указываются при любом т>2 примеры
эллиптических уравнений порядка 2т, имеющих неглад-
кие решения. В частности, функция н(х) = |х| является обо-
бщенным решением квазилинейного уравнения четвертого
порядка
(н-2)Д2п+ £ к Ф(|Vu|2)^-^
<--*i UX;

кл=1 ОХ£Х i
,, „ du du du c2u
Ф |Vu|2	— • — • —
CX; dXj dxk dx, oxkdxt
= 0. (1.1)
232
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Уравнение (1.1) является эллиптическим, если р(и — 2)>1.
Функцию <p(z) можно взять равной е1-'.
Можно указать примеры нерегулярных решений для
уравнений, удовлетворяющих усиленному условию эллиптич-
ности в виде, аналогичном неравенству (3.2) из гл. 4. Такой
пример построен в [ЗОб], где показано, что функция и(х) = | х|
является обобщенным решением уравнения
У ‘'2 I г2“ (s 4	1
i J 0X;SXj [гЗх.с.Х; + 17+п-2 1 + |Vm|2
ди
д^
си\
-- X
‘Ч/
х L
k,i =
J_._____1__^М=о. (1.2)
n — 2 l+|Vw|2 СХк OxJ CxkC'Xi j
В [ЗОб] показано на примере, что для некоторых вариа-
ционных задач минимум соответствующих функционалов
с аналитической подынтегральной функцией может достигать-
ся на негладких функциях, даже если точка минимума
единственна.
Различные результаты о гладкости обобщенных решений
уравнений высшего порядка, о которых речь будет идти
в следующих параграфах, получены при предположениях,
близких к необходимым. В этом убеждаемся на основании
соответствующих контрпримеров, обобщающих примеры (1.1),
(1.2). Приводимые ниже примеры взяты из [77а].
Уравнение Эйлера функционала
Д (и) =
8(0,1)

CU
cxs
o2u	n — 2 A
+ Дм
XjCX:	2
(1.3)
имеет обобщенное решение и(х) = |х|е ^(^(0,1)) при <p(r) =
= el~‘.
Укажем еще пример вариационного уравнения, удовлетво-
ряющего условию (3.2) из гл. 4 с произвольным р>2. Пусть
число X удовлетворяет неравенству 2 — - < X 1 и f(t) — поло-
жительная функция класса С на R1, причем
Г(/) = Р ПрИ
(1 при ?<|Х|/2.
§ I. ПРИМЕРЫ НЕРЕГУЛЯРНЫХ РЕШЕНИЙ
233
Непосредственные вычисления показывают, что функция и(х) =
= |х|хе W2p(B(0,1)) является обобщенным решением уравнения
Эйлера функционала
J iL j= 1	(х> СХ)
BIO, 1)
2
+
д2и
dXjdXj
+ OjAu
л / ^2 \2Л
/ c u \ I .
+ a2 X	—— }dx +
I /iv /'v / I
2
8(0,1)
i /~2dM
ди ди 52и
dxt cXj dxfixj
3Au
, v / Ylb
+ a4 X	f “X'
(1-4)
где
^4=g,(/’^3) =
_[(n+X-2)CT3+X-l][»-(X-2)(p-l)_l+(X-2)(p-l)g3] n
(2-X)|>-2+n+(X-2)(p-l)]	’ 1	’
o2=g(2, oj и Oj, o3 выбираются так, чтобы o2, o4 были
положительными.
Отметим некоторые выводы, позволяющие судить о харак-
тере результатов следующих параграфов.
Замечание 1.1. При ш = 2, л^З существует пример
вариационного квазилинейного уравнения вида (2.4) из гл. 1
с аналитическими функциями Ла, /я = 0, имеющего решение,
не принадлежащее С1 (Q) (уравнение Эйлера функционала Ц).
Замечание 1.2. При т = 2, произвольном q, 1 < <7 < 2,
и достаточно большом п существует пример эллиптического
вариационного квазилинейного уравнения вида (2.4) из гл. 1
с аналитическими функциями Ля, /я = 0, обладающего реше-
и
нием, принадлежащим Bq 2 (Q), но не являющимся непрерывно
дифференцируемым (уравнение Эйлера функционала Ц). Опре-
деление пространства Вгр см. в [11].
Замечание 1.3. При т = 2, произвольных п, р>2, удов-
летворяющих неравенству п>2р, указан пример эллипти-
ческого вариационного квазилинейного уравнения, имеющего
неограниченное обобщенное решение (уравнение Эйлера функ-
п
ционала 12 при 2 — <Х<0).
Р
234 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
§ 2. £р+е-оценки производных m-го порядка
обобщенных решений
В настоящем параграфе обсуждаются интегральные свойст-
ва обобщенных решений квазилинейных эллиптических уравне-
ний дивергентного вида. Устанавливается при естественных
условиях принадлежность |Лтн(х)| к £q,10C(Q), ц>р, для
произвольного решения м(х)е И7, |Ос(Я) уравнения
X (-1)|а|ПМя(х, и, ..., Dmu(x)) = 0.	(2.1)
I а |=т
Для решения задачи Дирихле при определенной регулярности
границы ЗЯ может быть установлена суммируемость | Dm и
во всей области Я.
Устанавливаемое повышение показателя суммируемости
| Dmu(x) | имеет принципиальное значение при изучении диффе-
ренциальных свойств обобщенного решения. Например, при
(т— j)p=n из результатов параграфа и вложения И^(Я) с <?А(Я)
при q>p непосредственно следует гёльдеровость DJu(x). При-
меры § 1 показывают точность этого результата, так как при
(m—j)p<n может быть построен пример уравнения вида (2.1),
имеющего решение с неограниченными производными порядка j.
Ключевым моментом к получению результатов параграфа
является лемма Геринга [23] и ее локальное обобщение, данное
в [27]. Результаты настоящего параграфа были получены
в работах Мейерса и Элкрата [65], Джаквинты и Модики [27].
1, Локальный вариант леммы Геринга. Пусть 2к(х0) =
= {xeR": |Х(—х[°’|^Я, /=1, ..., п]—куб в Я" с центром
в x0 = (x(i0), ..., х<0)), бк = бк(0), l2jd = mes2K. Предположим,
что g(x) и f(x)—две неотрицательные функции, определенные
в б3, такие, что g(х)еLp(Q3), р>\, f(x)eLpo(Q3), р0>р.
Введем обозначение
Предложение 2.1 [27]. Предположим, что для каждой
точки xoeQ3\dQ3
и A^-dist(x0, dQ3) выполнено неравенство
g(x)dx
р
+
gp(x)dx (2.2)
§ 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ m-ГО ПОРЯДКА	235
с Z>>1. Тогда существуют положительные постоянные 0О,
с, Pi>p, зависящие только от р, р0, п, такие, что при
0<0О g(x)eL,.i0C(23) для qe[p,P!j и при 0<6<3 имеет
место оценка
j g4(x)dx^c§ n<7^{[ f gp(x)dx]4lp+ b \ fq(x)dx}. (2.3)
63-5	63	63
Доказательство начнем co специального разложения
2з на кубы, не имеющие общих внутренних точек. Подобное
разложение было предложено Кальдероном и Зигмундом
(см. [82], гл. 1, § 3).
Определим
С0 = {хе R":	z=l, ..., и},
Ck = {xeQl: 2-‘+4dist(x, 3e1)^2“’l + 2},	(1=1, 2, ...
Лемма 2.1. Предположим, что Л(х)еLt(Q3) и j h(x)dx^c.
63
Тогда существует последовательность кубов с ребрами,
параллельными координатным, осям, не имеющих общих внут-
ренних точек и таких, что при к —0, 1, 2, ..., j=l, 2, ...
выполнены условия:
a)	GkjcQ;
б)	h(x)dx<3n-2n(k-i^:	(2.4)
в)	h(x)^2”(k~1>^ для почти всех xeCk\Fk, где Fk — объеди-
нение всех тех кубов Qitj, первый индекс i которых равен к.
Доказательство. Пусть к — произвольное целое число.
Разделим куб Q3 на 3" кубов плоскостями {хг=1}, {х;= —1},
/=1, ..., п. Пусть Q — один из новых кубов, и рассмотрим
два случая:
^h(x)dx<2n(k~1^:	(2.5)
Q
^h(x)dx^2"(k~1>^.	(2.6)
Q
В случае (2.6) Q более не делим, и если Q <= Ск, то
считаем Q одним из кубов Qk j, участвующих в формулировке
леммы 2.1.
Если выполнено неравенство (2.5), то продолжаем процесс
деления куба Q. На этом и следующих шагах каждый куб
делится на 2" конгруэнтных кубов плоскостями, ортогональ-
ными ребрам и проходящими через их середину. Все кубы,
236 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
образующиеся в процессе деления, содержащиеся в Ск, для
которых будет выполняться неравенство вида (2.6), включают-
ся в систему Все эти кубы удовлетворяют неравенству
(2.4). В самом деле, если включенный, в систему {Qk.j} куб
Q" образовался путем деления на 2" кубов куба Q', то
в силу неравенств вида (2.5), (2.6) имеем
2"(t"1)^ j hdx 2" j h(х)dx<2пкс.	(2.7)
Q"	Q'
Для кубов, удовлетворяющих неравенству вида (2.5),
процесс деления продолжается.
В итоге образуется система кубов {Ск,;}, удовлетворяющая
в соответствии с (2.6), (2.7) условиям а), б) леммы 2.1.
Докажем, что почти всюду на E’t = Clk\(J
Действительно, для почти всех точек хеЕк
ft(x) = lim —!— f/г (у) с/у,	(2.8)
' ' Q mesQJ
Q
где предел берется по кубам Q, содержащим х и таким,
что диаметр Q стремится к нулю (см. [82], § 1.8). Пусть
хеЕк — внутренняя точка множества Ск. Если все кубы,
содержащие точку х, удовлетворяют условию вида (2.5),
тогда неравенство /г(х)^2п(’1~1)^ следует из (2.8), J2.5). Если
же среди кубов, содержащих х, найдется куб Q, удовлет-
воряющий (2.6), то для него
mes2^2~n(’‘_1)E,“1 f h(x)dx^2~n(k~l}.
Q,
По способу построения системы кубов отсюда следует, что
Q <= Ск. Это противоречит условию хеЕк. Тем самым,
лемма 2.1 полностью доказана.
Выберем <хк из условия
f ^(х)<7х=1,	к=0, 1, 2, ...,	(2.9)
С3
считая, что g(x)0O, и определим функции G(x)eLp(2i),
F(x)eL2(2i) так, чтобы
G(x)=a*g(x), Г(х)=а*/(х) при хеСк\дСк.	(2.10)
Здесь функции g(x), /(х) те же, что и при формулировке
предложения 2.1.
Лемма 2.2. Существует 0О, зависящее лишь от п, р, такое,
что при 0 < 0 < 0О и произвольном t 1 имеет место неравенство
j Gp(x)dx^ab {tp~l J G(x)dx+ J .Fp(x)dx}, (2.11)
E(G,t)	E(G.l)
§ 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ m-ГО ПОРЯДКА
с зависящей лишь от р, п постоянной а. В (2.11)
E(G, t) = {xeQ3: G(x)>t}, re [1, oo).
Доказательство. Пусть х>1— произвольное число.
। Применим лемму 2.1 при h (х) = { J gp (х) dx} ~1 gp (х),	=
О,
\ Получаем последовательность кубов {Qkj}, удовлетворяющих
i при произвольных к, j условию Qkj <= Ск и неравенствам
.s-p< f Gp(x)dx^3V,	(2.12)
Q*j
G(x)^s при почти всех xeCk\Fk, Fk=(jQkJ. (2-13)
j
Из неравенства (2.13) следует, что множество
E(G, s)\ljFt имеет нулевую меру. Следовательно,
к
Gp(x)dx^£ Gp(x)dx^3nsPY\Qk.j\-	(2-14)
J	J,k J	JX
E(G.s)	Qk.
Д л я~ оценки суммы, стоящей в правой части (2.14), введем
кубы Qk.j=Q2R(x0), если Qkj=QR(x0}. Очевидно, что QkJ <=
с (J С(. Пусть Fk = (J Qk j. Пользуясь леммой о покрытиях
i=t-l	7
([82] § 1.6), выберем из последовательности подпосле-
довательность {2k,;}, состоящую из кубов без общих внутрен-
них точек, так, чтобы
mesF^5"£|&,-|.	.	(2.15)
к
Пусть Q -один из кубов системы {Qkj}- Из (2.2) и (2.12)
получаем
Q
2nb {[f G(х) dx\p + f	(х) dx} + 2"0f Gp (х) dx. (2.16)
Q	Q	Q
Здесь воспользовались следующим из (2.9) соотношением
a?+i-2n = af. Из (2.16) имеем
IfiH
(2"Z>)I
f	~ i_l f 1
<5 (х) rZx +1 (51 P [\^P (x) <^x] p +
/o\ 1	_ , 1 f	1
+ kr-|<2l ч G₽(x)<Zxp. (2.17)
Q
i л. i. niirnurtibit уценки И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИИ
Оценим слагаемые в правой части (2.17) следующим образом:
G(x)dx+t\2|,
dx
1t\Q\ + t1~p j* &p(x)dx, (2.18)
еПЕ(^,')
1 of
42z|2|+-r1-p Gp(x)dx.
Q(\E(G,t)
Здесь t — произвольное положительное число. Выбирая
р-1	5
t =	- ь г > получаем из (2.17), (2.18):
G(x)dx+t1
QC\e(g,i)
’	^p(x)dx+^tl~px
Qf}E(&,l)
X j* Gp(x)dx. (2.19)
Q fl E(g, t)
Из (2.15) и (2.19) следует теперь
+ t~P
G(x)<7x+
E(G,t) ПО
&p(x)dx + ®t~p
EIG.tjDC,
И далее
£mesFt^
к
<5"(p-l)p^! j* G(x)dx+rp .Fp(x)dx+
E(G,t)	E$,t}
+^-₽ j* Gp(x)dx
E(G,t)
i = k- 1 (.
§ 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ m-ГО ПОРЯДКА
239
Отсюда и из (2.14) получаем

а
.Fp (х) dx Н—
J	£
E(^,t}	E(G,t)
Gp(x)dx^,
(2.20)
где д1=30и(р-1)(-^-
\р— 1
С другой стороны,
С	( 5о V’1
G₽(x)<Zx+ —М	-2nbtp~
E(G,s)
G (х) dx.
Это неравенство вместе с (2.20) обеспечивает выполнение
оценки (2.11), если выбрать 00=1/26!!.
Доказательство предложения 2.1. Определим далее
при ге[1,оо)
Л(г)= J G(x)<7x; Н(/) = J (x)dx.
E[G,t)	E^.t)
Тогда
Gp(x}dx=- sp~idh(s),	(2.21)
£(G. f)	i
J .d'r(x)dx = — J.vr ‘ xdH(s) для l<r^p0.	(2.22)
Неравенство (2.11) можно переписать в виде
— j sp~idh(s)^batp~1h(t)—ba J sp~ldH(s).	(2.23)
240
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Докажем вначале предложение 2.1 в предположении, что
g(x)<N. Общий случай получается отсюда переходом к сре-
зывающим функциям и к пределу при W->oc.
Тогда /г(/) = 0 при r>JV0 = a02V. Интегрируя по частям,
имеем при p<q^p0
.No
(2.24)
Отсюда в силу (2.23) и интегрирования по частям следует
No	No
sp ~1 dh (.s) + b (q — p) a J s4 ~ 2h (s) ds+
i	i
Nq	ОС
1	s
No
<7—1 \		/	\
1 \
(2.25)
Выбирая теперь pr в формулировке предложения 2.1 в виде
Pi = min р0,
получаем из (2.25) и (2.21), (2.22)
f	j Gp(x)dx + b f #rq(x)dx>. (2.26)
' E(G,1)	(E (G, 1)	. E(,^,l)	J
Отсюда следует
f	f G,’(x)&+i j .F’(.x)&'L
q,	le,	q3 J
Используя (2.9), (2.10), получаем из последнего неравенства
(2.3), что и завершает доказательство предложения 2.1.
Замечание 2.1. Легко видеть, что предложение 2.1 оста-
ется в силе, если заменить везде кубы QR(x0~) шарами
BR(x0) = {xe — л0|<Я}, сохранив все остальные условия.
§ 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ m-ГО ПОРЯДКА	241
Замечание 2.2. Можно показать [27], что в условиях
предложения 2.1 при xoeQ3\dQ3, 7? = ^dist(x0, dQ3) выполне-
на оценка
f	f gp(x)</x]p + b f f“(x)dx}.	(2.27)
2»<xo>	22»<xo>	22«<xo)
Замечание 2.3. Из предложения 2.1 легко получаются
следствия об Lq оценках g(x) в Q3. В частности, это будет
получаться, если для произвольной точки х0 е Q3 и про-
извольного 7?е(0, 1) выполнено неравенство
j gp(x)dx
е«<х0>
<И[ f g(x)rfx]₽ + f /P(x)dx}+0 f gP(x)dx,
22Я(х0)	C2|f(x0)
где 2r(xo) = 2r(xo)A бз- Для доказательства достаточно
продолжить g(x), f(x) нулем вне Q3 и применить предло-
жение 2.1, например, к кубу Qs.
2	. W ”'+е-оценки обобщенных решений. Дадим применения
леммы Геринга к оценкам производных обобщенных решений.
Пусть Q — ограниченная область в Rn и предположим, что
при хе V,^RN<, 7 = 0,..., т, определены функции
Ла(х, ^02 » ^т)2 непрерывные по ^0^..., ПРИ каждом хеП
и измеримые по х при всех ^eR J.
Теорема 2.1. Пусть и(х)е Wp(Q.), 1<р<со, и предпо-
ложим, что выполнены неравенства
Y АЛ(х,и(х), ..., Dmu(x))D,,u(x)^v\Dmu(x)\p-a(x), (2.28)
|«|=m
I К(х, и(х), ..., D'"M(x))|^flj.(x)|BmM(x)|p-1+^(x)J(2.29)
l«l=J
7	= 0, ..., m,
где v — положительная постоянная, a, aj, bj—неотрицатель-
ные измеримые функции такие, что a(x)eLp(Q.), р>1,
aj(x)e Lrj(S2), r} > тах^р,——при O^J^m— 1,
^(x)eL,/£2), qj> max-jrJ^—J, P'=~, «т(х)еТж(П).
Предположим, что u(x) — обобщенное решение уравнения (2.1).
Тогда при некотором £>0 для произвольной подобласти Q'
такой, что S2' <= Q' <= Q, имеет место оценка
; 16 И. В. Скрыпник
242 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
f |Dmw|p+erfx«=
S2 '
С	ni— 1	'I
f [и-ар(х) + ^"(х)+ £ (ay(x)+^J(x))]dx+Hul^ р к (2.30)
In	j=l	 J
Здесь £ зависит только от п, т, р, р, i-j, qp v, am;
с зависит от тех же параметров и dist (О', с5£2), ||  ||и р— норма
в №"(&), Г=тах]—,i= 1, ..., т-1 >.
(П-Р 9<-i	)
Доказательство. Пусть xoeQ и R — такое положи-
тельное число, что Q2r(x0) <= S2. В соответствующее уравне-
нию (2.1) интегральное тождество
f S Лл(х, и, ..., Z>mw(x))£)a<p(x)<iv = 0	(2.31)
Q |otI
подставим <p(x) = t>(x)\|7mp(x), где v(x) = u(x)—р(х), р(х)— по-
лином степени т — 1, определяемый условиями
J Dap{x)dx = f D*u(x)dx при	1,	(2.32)
е2К<»о>
ф(х) = х( —) и Х: ^"->[0, 1] — бесконечно дифференцируе-
\ R j
мая функция, равная 1 в Qr и нулю вне Q2.
Отметим, что р(х) =	£ са(х—х0)“, где для са выпол-
| а |	1
йены оценки
Z ^-» + ₽ J \D°+*u(x)\dx	(2.33)
G2Ji(x0)
с постоянной с, зависящей лишь от т, п.
Проведем оценки слагаемых, возникающих при подста-
новке <р(х) в (2.31), используя (2.28), (2.29):
£ J А^х, и, ..., Лти(х))£)афб/х>
|а| = т О.
J |Лим|рфтр(х)б/х- f a(x)dx-
2 Q2K	Q.k
f [1 +lM*)|4”Nx+ [ I |£m4*)l4^ r	(2-34)
^2Я	^2R	J
Здесь и дальше K( обозначает постоянную, зависящую лишь
от п, т, v, р, г, rj, qj, ат, числа qj, q соответственно равны
_	1	Г, пр' I 1	I , пр \
= 4 ?;+тах) !, д--------, ? = - р + тах 1, —-	-
2|_ •	[ п+р(т— j)JJ	у п+р) _
(2.35)
§ 2. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ m-ГО ПОРЯДКА
243
в (2.34) Q2r = Qir(x0), $ g(x)dx = —!—	f g(x)dx. При по-
лучении (2.34) использовалось при n>(m—j)q,	~——
неравенство
Г	) 1/г	Г	) р!ч
( f |Л2[и(х)-р(х)]|г</лЛ	% \Вти\Чх'> ,
t <?2«	J I	J
у’=0, ..., те—1,	(2.36)
следующее из теоремы вложения Соболева и (2.32).
Аналогично (2.34) получаем
£ J Аа(х, и, ..., Dmu(x))Ds‘<p(x)dx
|а | <т Q
V	(	т~1
< f \Dmu\’’y\imp(x)dx + KlRn j <1+ £ [XJ(x) + £A(x) +
4	o2« I
+ |ZV«|'']L/x, (2.37)
где r7
i	( n A
- r. + max />,-
2L	X m~U
riP _<?> 1
Г)~Р 4j-4
Покажем оценку одного из типичных слагаемых в процессе
установления (2.37). При	1:
X	-\D^(x)\dx^
l«l=jn
<^2 Е -jJTx f aj(x)\Dmu\p 1 • |Z),p(x)|\|rm(p_‘’(xpx
1 = 0 K	Q
K3£p_1 f |Оти|р\|/т,,(*И-* +
Q
+ K3e PZ -j^P $ a^x^D’v^dx.
И далее применяем (2.36), (2.33)
J ар(х)|£>'р(х)|₽с/х<
- ! _₽
a/(x)dx> •< | |О!г(х)|г;-Рб/х >
Iq28 J le2.	J
16*
244
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ

р	, р
С	rip 3 1-="
ri.Ru-»p) J	'J
J

Г -	-J-
f i +а^(х) + |Лju\^-p dx*
J	J
e2A
Из (2.34), (2.37) получаем неравенство
p
1-?
p
ч P
(2.38)
Q
где


m —1	-	‘ Я
/(x)={l+a(x)+|ftm(x)|’-+ Y {/*?(*)+ ЙИ*)+ l^Ju(x)|,J]}p-
7 = 0
Теперь неравенство (2.30) является непосредственным следст-
вием (2.28), (2.3).
Замечание 2.4. В случае достаточной гладкой границы
области S2 аналогично доказательству теоремы 2.1 можно
оценить норму в Wp^tQ) решения уравнения (2.1), удовлет-
воряющего условию и(х) —и0(х)е №”(£!), где и0(х)е ICpJQ),
Ро>р. При рассмотрении вблизи границы нужно подставлять
в (2.31) <р(х)= [и(х) —и0(х)]фтр(х) и использовать замеча-
ние 2.3.
Следствие 2.1. Пусть выполнены условия теоремы 2.1
и j—такое целое число,	1, что (m—j")p = n. Тогда
для произвольной подобласти Q' области S2 решение и(х)
принадлежит С^’Х(Й'), где Х>0 не зависит от Q'.
Это утверждение непосредственно следует из оценки (2.30)
и теоремы вложения Соболева.
Замечание 2.5. Отметим, что в условиях (2.28), (2.29),
сформулированных для конкретной функции и(х), можем
считать aj(x), bj(x), а(х) зависящими от и(х) и ее произ-
водных. Поэтому, в частности, условиям теоремы 2.1 удов-
летворяет уравнение (2.1), если
m
£ \А,(х, ^0, ...,	Е IUr"+/j(4 Л(х)еСв/П),
|«|=J	i’O
Pj-l • , • n
если Гц<рр—— при i+j<2m и р; таково, что имеет место
вложение W™(S2) <= lTp (S2).
§ 3. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ (т+1)-ГО ПОРЯДКА	245
§ 3. Априорные оценки обобщенных
производных (т + 1)-го порядка
В этом параграфе обсуждаются интегральные оценки
производных (те+1)-го порядка обобщенных решений квази-
линейных дивергентных уравнений 2ш-го порядка. Вначале
приводятся внутренние оценки, затем вблизи границы оцени-
ваются для решения задачи Дирихле производные вида
D.D^u(x), |а| = ш, где Dx..производная по касательному
к границе направлению. Следующий шаг — получение оценки
/	\m+1
производной — )	и(х), где v(x)— вектор нормали к г £2
\6V /
в точке х.
1. Будут получены априорные оценки в И'КП') и Н22(к1)
для функции (1 + Е | Z)“w(x)| )₽/2, где £2'— произвольная
|s|sm
строго внутренняя подобласть £2, £2' <= £2' <= £2, н(х)е №?(£!) —
обобщенное решение уравнения
и, Dmu) =	(-l)l’lD’/a(x). (3.1)
|a|$m	|<х|$т
Из этих оценок и теорем вложения, в частности, следует
суммируемость обобщенных производных m-го порядка по
всей области £2 с некоторой степенью к р, к>\. Приведенные
ниже априорные оценки существенно используются при уста-
новлении дальнейшего повышения гладкости обобщенных
решений.
Будем предполагать, что функции А,(х, £,) непрерывно
дифференцируемы по всем аргументам при х е £2 <= Rn, =
= {с,а:	и с некоторым р>2 выполнены неравенства
Е УПаПрММ’СИВД'’-2' Е
|«| = |Р|=т	|а|=т
Е {мя₽(х^)|-к(^)+ Е1Л^^)1}<с2(1^о1)[^)]р_1-
|a|,|p|Sm	i“l
(3-2)
Здесь
ц = {т]а: |а| = т}еRM°,	=	|a|<w —
vCjft	vA(-
.2 16.1,
246
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
с15 с2 — положительные непрерывные функции, первая из
которых невозрастающая, а вторая — неубывающая.
Обозначим в дальнейшем при 5>0 через S26 подобласть
области Q, состоящую из всех точек, расстояние которых
до границы Q больше, чем 5. По теореме вложения для
произвольной функции we FFp(Q) Л/(5) = шах £ |£>“w(x)|
оценивается постоянной, зависящей лишь от т, п, 5, р,
IIм II ^(Q)-
Будем считать известной оценку и(х) обобщенного решения
уравнения (3.1) в ITp(Q') или ^“(Q). В некоторых случаях,
например при выполнении условия коэрцитивности, эта оценка
легко устанавливается.
Теорема 3.1. Пусть u(x)eW7p(Q)— обобщенное решение
уравнения (3.1), функции 4„(х, £,) непрерывно дифференцируемы
при (х, ^)eQ х RM и удовлетворяют неравенствам (3.2),/а(х)е
е И72 (И). Тогда для произвольной строго внутренней подобласти
S2' области Q выполнена оценка
f /	\р - 2
(!+ Е	’ X |£>₽ф)|2^<
J \	|<х|	/	|₽| =m+1
а
с
dXi
2~1)
>dx (3.3)
я
с постоянной с, зависящей только от т, п, р, с\ =с11ЛЛ -
=	и d—расстояния S2' до границы области Q.
Доказательство. Все постоянные, зависящие от тех
же параметров, что и с в (3.3), ниже обозначаются буквой
с без индексов. Выберем бесконечно дифференцируемую
в Q функцию ср(х), равную единице в Q' и нулю вне
так, чтобы тах|Л“ф(х)| при |а| В интегральное
тождество
Е ОШ м’
|а|^т •
Q
..., Z>mw)-/a(x)]£>at; rfx=0,
(3-4)
справедливое при произвольной функции t;(x)eW^(Q), под-
§ 3. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ (m+l)-ro ПОРЯДКА
247
ставим
"	1
и(х)= £	и1-(х) = ^А1(-/г)[А1.(/г)и(х)-ф2т+1(х)],	(3.5)
0<h<d/2.
Здесь А;(Л)—разностный оператор с шагом h в направле-
нии г-й координатной оси, A,(A)t/(x) = w(x + Aej) — и(х), е~
= (0, О, 1, 0,	0), где единица стоит на z-м месте. Вос-
пользуемся легко проверяемой формулой «суммирования по
частям»
f	)/(•*) ‘ g(x)dx = f/(x) • \i(-h)g(x)dx,	(3.6)
Q	П
справедливой при \h \ <5 для произвольных функций f(x),
g(x) таких, что /(x)eLp(Q), g(x)e Lp.(ty, 1-|-1=1, p>1,
и носитель f(x) содержится в Qs. Получим
On [[А.(Л)Яя(х, и, ..., ЛтМ)-А;(Л)/а(х)]х
i=l|a|^m" J
П
хЛа[А;(Л)ф) Vm+1(*)N* = 0.
Проведя элементарные преобразования и оценки, имеем отсюда
Q
Д,(/1)£>7«
h
(3-7)
где К;(х, й)= Y (1 +|Лаи(х)| + |Лаи(х + /ге;)|).
Используя известные интегральные оценки разностных
отношений через производные [69], убеждаемся, что правая
часть (3.7) имеет оценку, не зависящую от h. Тем самым
из (3.7) следует сразу (см. [49], лемма 4.6 гл. II) принадлеж-
ность функций D$u(x)  cpm(x), |P|=w, к пространству IT^Q)
и сильная сходимость ——-<р (х) к — Лри(х)-ф (х) в Т2(и).
Л	cx-t
Оценка (3.3) следует теперь из (3.7) и теоремы Фату.
248 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Методы § 1, основанные на применении леммы Геринга,
позволяют в некоторых случаях повышать порядок сум-
мирования производных (w-t-l)-ro порядка.
Теорема 3.2. Пусть функции Аа(х, q) удовлетворяют
условиям теоремы 3.1 при р = 2 и предположим, что и(х}е
е —обобщенное решение уравнения (3.1) при f,\x)e
е IVp0(£l), Ро>2. Тогда при произвольном 6>0 существуют
q>2, зависящее от т, п, р0, Cj(A/(5)), с2(Л/(6)) и с,
зависящее от 5 и тех же параметров, что и q, такие,
что выполнена оценка
J |<x|=m+l
f	m ГГ df q ~| )
1 + 1“’,«-и+£ £ ST 4 W
I	2' ’ i= 1 |a| J L ’	J J
Q
Доказательство. Пусть x0— произвольная точка об-
ласти Q, d0— расстояние от х0 до 3Q и определим при
2R<d0 полином р(х]гр(х; х0; 7?) степени т так, чтобы
f [D“w(x) — Ояр(х)]Лс = 0 при |а(	(3.9)
^2л(*о)
Пусть еще <р(х) — неотрицательная функция класса С°°, равная
единице в BR(x0), нулю вне 52К(х0), для которой |£>у<р(х)|
^c0R~], j^m+i.
Подставляя при достаточно малом h в (3.4) функцию
Ф)= £ Ф).
i = 1
”;(•*) = А<(-h){&i(h)[u(x) - р(х)]  <р2т + *(х)}
и рассуждая аналогично доказательству теоремы 3.1, получаем
оценку
2dx
Ля (х0)
1+ Е [|^м|2+1Л(х)|2]+
+ £ л-2(т+|-Ы)|Ва(м_/,)|2+ £ £
а/.
21
Wx. (3.10)
§ 3. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ (m + lpro ПОРЯДКА	249
Применяя неравенство Пуанкаре, имеем
Е Л2|*1 f |Д«(И_
|а[<т J
^2r(*o)
^c2R2m f X \D'(u-p)\2dx.	(3.11)
J |a|=m
В1я(хо}
Отметим еще оценку
X |ZT(M-p)|2^
|a| = m
#2r(xo)
J |a| = m+l
^2«(Xo)
следующую из теоремы вложения при 7?=1 и получающуюся
заменой координат для любого R.
Из (3.10)—(3.12) имеем, что для функций
£(•*)= Е |£>“w|»+2,
|а|=/и + 1
Г	”	я г 2 "1 п
/(х)= 1+ Е i^i2+ Е Е g Н
I	|а|	1-1 Jot| v 1 )
при р=(и + 2)/и выполнено неравенство
—1— Г gp(x)dx =
mesBR J
f	p	I
= f gp(x)dx j g(x)dx + f /p(x)rfx>.
Вд(.<0)	^2й(Хо)	~	^2к(Ло)
Отсюда в силу предложения 2.1 и замечания 2.1, примененных
для любого куба 2cQ8„, получаем неравенство (3.8).
Отметим при этом, что f(x)eLp (Й5/2), pt >р = (п + 2)/п, что
следует из условия на /а(х), оценки (3.3) и теоремы вложения.
Близкий к теореме 3.2 результат получен Кампанато
в работе [38].
Следствие 3.1. При п = 2 и выполнении условий теоремы
3.2 каждое обобщенное решение	уравнения (3.1)
принадлежит СтД(5)(П5) при любом 5>0 с Х(6)>0.
250 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Утверждение непосредственно следует из теоремы 3.2
и теоремы вложения.
2. Аналогично доказательству предыдущей теоремы уста-
навливается существование вплоть до границы части произ-
водных (m-t-l)-ro порядка обобщенного решения задачи
Дирихле. Граничные данные для простоты считаем однород-
ными, т. е. рассматриваем решение из (Fp(S2), 8Q -границу
области S2 — предполагаем бесконечно дифференцируемой.
Пусть Ро—произвольная точка, принадлежащая сП. Заме-
ной переменных можно добиться, чтобы начало системы ко-
ординат совпадало с Ро и множества В(Р0, 1)QЙ, В(Р0, l)f)
Q описывались соответственно условиями {х„>0, |х| < 1},
{х„ = 0, |х|<1}. Такую координатную систему будем назы-
вать локальной в точке Ро. Отметим, что при гладкой заме-
не координат неравенства (3.2) сохраняют свой вид.
Теорема 3.3. Пусть и(х)е FKp(fi)— обобщенное решение
уравнения (3.1), функции АЛ(х, непрерывно дифференцируемы
при (х, Qe£lxRM и удовлетворяют неравенствам (3.2),
/.(ф ИОД. Пусть Ро — произвольная точка сП и х = (хг, ...
..., х„) — локальная система координат в точке Ро. Тогда
имеет место оценка
2)
>Лс(3.13)
в ДАЛ)
с постоянной с, зависящей лишь от т, п, р, c^Mq), с2(А/0),
S2. Здесь
В + (Р0, r) = B(P0, r)C|Q, A/0 = max X
лей —
Доказательство этой теоремы аналогично доказатель-
ству теоремы 3.1. Нужно только в интегральное тождество
(3.4) вместо функции г(х), определяемой формулой (3.5),
подставить г(х)= £ vt(x). где г;(х) такие же, как в (3.5).
i — 1
3. В оценке (3.13) слева отсутствует член с производной
/ \m+1
( — I w(x). При т=1 соответствующий член можно легко
\0XJ
д U
оценить, выразив из уравнения производную через
о хп
§ 3. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ (ш + 1)-ГО ПОРЯДКА	251
остальные производные второго порядка (см. [49]). Этот
прием неприменим при т > 1. В случае уравнений высокого
порядка в [77а] получены следующие результаты.
Теорема 3.4. Пусть р = 2, и(х)е — обобщенное реше-
ние уравнения (3.1), функции djx, с,), /а(х) удовлетворяют
условиям теоремы 3.1. Тогда «[.rjell j ‘(И) и имеет место
оценка
11+ X |£>аи(х)|2 Мх^
J \ |а| +1	/
Q
Ц 1 + X Раи(х)1+ X X
J \	|а|	I = 1 |а|
Эх,-
(3.14)
с постоянной с, зависящей от тех же параметров, что
и с в (3.13).	0
Теорема 3.5. Пусть р>2, и(х)е 1+™(П)— обобщенное реше-
ние уравнения (3.1), функции Ла(х, Q, /а(х) удовлетворяют
условиям теоремы 3.1. Тогда при h>0 имеет место оценка
1 " Г /	\р~2
X (1+ X I0e«(x)l I •|А,(А)£>₽и(х)|2(7х^
|р|— tn J \ [ot(<w	/
С
)Р	п
+ t I
i- 1 |а|
(3.15)
с постоянной с, зависящей от тех же параметров, что и с в (3.13).
Ограничимся доказательством первой из этих теорем.
Вторая доказывается подобным образом. В ходе доказа-
тельства существенно используются операторы свертки [21]
и следующее известное утверждение (см. [19]).
Предложение 3.1. Пусть /(х)еТ2(Т?и) и (Ти)(^) =
= J Дх)е1(х,0^х—преобразование Фурье функции f(x), (х, £)=
к"
= х1£1 + ...+хл£„. Для того чтобы функция f(x) равнялась
нулю в Л"_ = {хеЛ": х„<0], необходимо и достаточно, чтобы
функция (Fu)(Q допускала аналитическое продолжение по
в полуплоскость 1т£„>0 и выполнялась оценка
кп
с не зависящей от т постоянной с. Здесь Z,'...,
252
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Доказательство теоремы 3.4. Пусть Ро—произволь-
ная точка 8Q и х=(х15 ..., х„) — локальная система координат
в точке Ро. Выберем бесконечно дифференцируемую в R"
функцию ф(х), равную единице в В(Р0, 1/8), нулю вне
В(Р0, 1/4), и подставим в интегральное тождество (3.4)
w(x) = Aim0(x)A™ {А„(/г)й(х)-ф2т+1(х)}.
Здесь 0 <//<1/4, й совпадает с и(х) в Q и равна нулю вне
Q, А/1 —оператор свертки с постоянным символом в R",
определяемый равенством
A±7=F-1[-/i;„ + K'|+l]±1F/,	(3.17)
0(х)—характеристическая функция полупространства
R”+ ={xERn: х„>0}.
Нетрудно проверить, что для операторов А +, А /1 спра-
ведливы оценки
'1Л+^72(я“+)^с^' и4(я"+)’
(3.18)
11^' #11 иДЯ”)^С^72(Я")’
где /, g -произвольные элементы соответственно про-
странств И7^/?"), L2(R") и постоянная с в (3.18) не
зависит от /, g.
Для обоснования правомерности подстановки определя-
емой формулой (3.16) функции г(х) в (3.4) требуется
проверить, что сужение функции г(х) на Q принадлежит
о
И/ДП). Функция й(х) принадлежит	так как и(х)е
о
еИ'/'/О). Тогда и А„(/г)й(х)-ф2т*1(х)е	Из неравенства
(3.18) непосредственно следует, что И'(х)е	и имеет
место оценка
11и'11^(/г„^г||А„(А)й(х)-ф2-”+1(х)||^„).	(3.19)
Применяя предложение 3.1, получаем равенство нулю
функции и’(х) в Отсюда следует, что сужение г(х) на
Й, которое будем также обозначать через г(х), принадлежит
1ТТ(П).
Покажем, как оценивать различные слагаемые, возника-
ющие при подстановке функции г(х) из (3.16) в (3.4). Если
§ 3. ОЦЕНКИ ПРОИЗВОДНЫХ (ш+1)-Г0 ПОРЯДКА	253
для мультииндекса а=(а15	а„) выполнены условия |a| = w
и a„<w, то представим а=е( + а' с i<n и, интегрируя по
частям, получим
Ц= J/la(x, и, Dmu)Davdx =
я
I* с	t
= — — Аа(х, и, .... Dmu\D*vdx~
j Oxi '	'
Q
= ~ I X Лв₽(х, и, ..., Dnu)D^ +
I I Л I -	V Л i
а
+ Ла,(х, и, Dmu)^Da'vdx. (3.20)
Для таких а, используя (3.2), (3.19), получим с произвольным
положительным е
2
dx.
(3.21)

Аналогичная оценка имеет место при |a|<m, только в этом
случае не нужно выполнять проведенное в (3.20) интегри-
рование по частям. Точно так же получаем при |a|<w
|f4(x)DWx|s;
Q
(3.22)
254
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Покажем теперь, как оценивается /ш, | ® j = ®п = т. Имеем
при xeRn+
Daw(x) = Da{A„(h)u(x)  ty2m+ ’(%)} +
+ (A“-£>“){ А„(/г)й(х)'ф2т+1(х)}+(£>ш-Л“)п'(х). (3.23)
Легко проверить, что
"-1 ?
£>Ю-А“ = X ^Pt, =
|^i(Q|^c(l + K|)m“1	(3.24)
и для произвольной функции /еИ^'ЦЛ") выполнены оценки
^И1Ц-1(лг) (3.25)
с не зависящей от f постоянной с. Применяя формулу
«суммирования по частям», имеем из (3.23), (3.24)
4 = j Лю(х, и, ..., £ГИ)^“р-
В'Р^
-^2АЛ~/;)[ДШи’''1/2т+1(х)]рх + р j &„(h)Aa(x, и, ...
.... Dmu) •ф2т+1(х) • D“{ А„(/1)й(х) •ф2т + '(х)}<Ух +
+ ^2	и, ..., £>тц)х
B'(pJ~]
' хф2т+1(х)Е j А„(й)и(х)-ф2т+1(х) >rfx +
i = i ох‘ I	J
+Л f Ап(х’ «> •••’ £ти)А„(-/г)|ф2т* г(х)х
В*(Р<Л
2	п 1	-j
х£г Piw{x}\dx. (3.26)
Оценка первого и последнего интеграла в правой части
(3.26) проводится аналогично оценке /а соответственно при
|а|<«? и а^®, |a| = w. Для оценки второго и третьего
интеграла в (3.26) применяем (3.25), неравенство Коши с е>0
§ 4. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ С"1	255
и следующее из (3.2) неравенство Люш(х, ^)>Cj(4/0). В итоге
при достаточно малом е получаем
с,(М0)
2 I
4
•\|/2<2m+1>(x)t£x—
Г	f "”1
-с	\1+ X
J	I	I i=l
Из неравенств	(3.21),
выборе £ следует
X D^ + X \D*u(x)\]2dx. (3.27)
(3.22), (3.27) при соответствующем
4
2
. ф2(2т+
п- 1
1+ X
i= 1
|£>аи(х)| +
X + X
1Q;7	ОХ: . “7
|pi<w	1 |a|<w
+1.Ш1
(3.28)
Применяя неравенство (3.13) и такие же рассуждения, как
в конце доказательства теоремы 3.1, получаем £2-оценки
(w+l)-x производных и(х) в 5 + (Р0, 1/8). Оценка (3.14)
устанавливается теперь применением разбиения единицы, что
и заканчивает доказательство теоремы 3.4.
Замечание 2.1. Отметим, что другое доказательство те-
оремы 3.4 содержится в [66]. В [67] доказана принадлежность
(w+l)-x производных пространству Lq(Q), где q определяется
1 1 (л-2)(д-2)
условием - = - + ----—---.
q 2 2пр
§ 4. Об условиях принадлежности обобщенных решений
пространству Ст''
1. Условие регулярности обобщенного решения. В связи
с контрпримерами, указанными в § 1, одним из основных
в проблеме регулярности стал вопрос: установить минималь-
ную априорную гладкость обобщенного решения, обеспечи-
вающего его классическую гладкость. Этот вопрос решен
в работе автора [77а], где получено условие регулярности
произвольного обобщенного решения квазилинейных эллип-
256
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
тических уравнений высшего порядка. Доказана регулярность
решения уравнения (3.1) в предположении
1/(х)еЙ2Л<?сФ)’ H = dimQ.	(4.1)
Здесь Sj,—пространство О. В. Бесова [11, 69], Blp(R"),
1>0, р>\,— замыкание множества бесконечно дифференциру-
емых финитных в Rn функций по норме
11 w Ч В'„(Я”) " "" L,(R")+ И И И b‘r{R’]’
h0
ll«llw=	(4-2)
о
где k, m — целые числа, удовлетворяющие условиям 0^т<1,
к>1 — т, Д,(/г)— разностный оператор, определенный в § 3.
Известно, что нормы в б!р(Л"), соответствующие различным
т, к, h0, эквивалентны.
В‘рloc(Q)—пространство таких функций /(х) в Q, что для
любой <р(х)сС”(й) функция, равная /(х)-<р(х) в Q и нулю
вне О, принадлежит B'p(Rn).
В этом пункте рассматриваются обобщенные решения,
удовлетворяющие условию (4.1), что позволяет сформули-
ровать условия Ах(х, £,) в более общем, чем обычно, виде.
Предполагается, что при xeQ, Z,gRm
а) функции Ла(х, Q непрерывно дифференцируемы по
п
2
всем своим аргументам до порядка
+1, где
— целая
п
часть -
2
б) при |8|+i^
+ 1,	выполнены неравенства
М‘8’	^)l<^(l^l)(i + х	(4.3)
«•₽ -f*	|T|=m
с произвольным /j, <00, если выполняется одно из неравенств
|8|>0 или |a| + |P’1)| + ... + |P(s)|<(i+ l)m,
М(8>(1) (s)(x, ^)| ^с2(|^'|)(1+ X	(4-4)
Р2)=р —2 при s= 1, р{2—р—3 при ^>1, если 8=0, |а| = |Р(1)| —
= ... = IP(s)| = w;
§ 4. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ С"1	257
в) при т^е Я1
X А₽^Л)п«Пр>С1(1^1)(1+ X О"”2 X п«- (4-5)
|а| —|0| = т	1т|=т	1«|=т
Здесь = {£s: | а | w — 1}, с1; с2 — положительные непре-
рывные соответственно невозрастающая и неубывающая
функции,
Теорема 4.1 [77а]. Пусть и(х)— обобщенное решение
уравнения (3.1), удовлетворяющее условию регулярности (4.1),
предположим, что функции Аа(х, £,) удовлетворяют условиям
а) — в) и /а(х)е S₽oloc(Q) при р0>и/2. Тогда ц(х)еCm(Q).
Сделаем несколько пояснений к доказательству теоремы.
Доказательство состоит из двух частей: вначале доказывается
ограниченность производных т-ro порядка, а затем их
непрерывность. Доказательство ограниченности производных
т-ro порядка основано на получении равномерных оценок
норм этих производных в Lr(Q') при г —> оо для произвольной
строго внутренней подобласти Q' области Q. Подставляя
в интегральное тождество (3.4) функцию
устанавливаем, что интеграл
н
IM- L £ [Д [(1+10’Ф)17+'^х
lT|=|a|=m Г-1 J п J
о п
X |Ar+mi(A)Z>ai/(x)|2\j?(x)dx	(4.7)
оценивается суммой слагаемых вида
D*ba(h)u
hM lal
y-2^x)dx
(4-8)
17 И. В. Скрыпник
258 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
п
2
числа, 5 > 2т, q
(первое основное неравенство). Здесь в (4.6) — (4.8) тк =
= maxjo, +1—wj-, для мультииндекса а = (а1; ..., а„),
А*(/1)=Аф(й)... А^(й), г, s—произвольные положительные
+1, ф, ф, ф— функции класса Со(^)-
Применением теорем вложения в пространствах Бесова
доказывается, грубо говоря, оценка Ir,s(H, ф) через
{Лг+р,05 + а(^)}1/в, гДе А —фиксированные, не зависящие от
г, s числа, 0 — зависящее лишь от т, п положительное
число, меньшее единицы (второе основное неравенство).
Последовательное применение первого и второго основных
неравенств позволяет получить для определенных после-
довательностей rk, sk, Нк, <pfc таких, что rk->+oo, st-+oo,
априорную оценку
q>t)}Uc*, й=1, 2, ...,	(4.9)
где с* зависит лишь от известных параметров, характе-
ризующих функции Аа, fa и решение и(х). Из (4.9) следует
оценка максимума производных т-го порядка решения и(х)
в произвольной строго внутренней подобласти области Q.
Доказательство непрерывности производных w-ro порядка
основано на тех же идеях, что и доказательство ограничен-
ности этих производных. Только при выводе аналога первого
основного неравенства функция ИДх, й) заменяется некоторой
вспомогательной функцией.
Здесь не представляется возможности изложить подробное
доказательство теоремы 4.1 ввиду его громоздкости. Отметим,
что оно имеется в монографии [77а]. Что же касается метода
доказательства, то в более простой ситуации, для уравнений
второго порядка, он излагается подробно далее, в восьмой главе.
Замечание 4.1. Из замечания 1.2 этой главы следует,
что теорема 4.1 перестает быть справедливой, если заменить
п
т ф-
условие (4.1) условием и(х) е Bq loc(Q) с фиксированным, не
зависящим от п числом q, q <2.
Замечание 4.2. В условиях теоремы 4.1 с некоторым
ко>0 имеем и(х)еС£1о(Я), что является простым следствием
теорем о гладкости решений линейных эллиптических уравнений
с непрерывными коэффициентами (см. [1, теорема 11.4]), и даль-
нейшее повышение гладкости решения н(х) определяется только
дифференциальными свойствами функций Aa,fa и следует из [1 ].
§ 4. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ С* 1	259
Замечание 4.3. В случае л = 2 условие регулярности
(4.1) выполнено при естественных предположениях для произ-
вольного обобщенного решения. Это следует из теоремы
3.1 и равенства И7”11(Яи) = б2 + 1(Я") (см. [69, с. 391]).
2. Регулярность обобщенных решений в случае двух незави-
симых переменных. Контрпримеры, о которых говорилось
в § 1, относятся к случаю трех и большего числа независимых
переменных. В плоском случае (п = 2) вопрос о регулярности
обобщенных решений при выполнении естественных пред-
положений полностью исследован.
Изложенные выше в п. 1 результаты автора и теорема 3.2
М. И. Вишика позволяют без труда установить в двумерном
случае регулярность внутри области произвольного обобщен-
ного решения уравнения (3.1) при естественных предположе-
ниях относительно функций /Цх, <;)— условии эллиптичности,
гладкости Аа(х, Q и оценках на рост ТДх, Q и их производных
при |^| -► +оо. Ограничимся рассмотрением случая р^2.
Теорема 4.2 [77а]. Пусть u(x)eWp(£l) -произвольное
обобщенное решение уравнения (3.1), SlczR2. Предположим,
что fa(x)e B[>;iOc(O), Pi > 1, функции ЛДх, <;) дважды непрерывно
дифференцируемы по всем аргументам при хе О,
и удовлетворяют с некоторым р>2 неравенствам (3.2). Тогда
при А.о>0 и(х)еС",1«([1).
Эта теорема непосредственно следует из теорем 3.2, 4.1,
замечаний 4.2, 4.3.
В частном случае, при р = 2, другим методом принад-
лежность и(х) пространству СтД получена выше в следствии 3.1.
В работах [77а, 68а] изучалась регулярность решения задачи
Дирихле для уравнения (3.1) вплоть до границы. При этом в рабо-
те [68а] предполагалось включение уравнения в параметрическое
семейство уравнений, подчиненных определенным условиям. При
меньших ограничениях регулярность вплоть до границы установ-
лена в [77а]. Ниже излагаются результаты работы [77а].
Теорема 4.3. Пусть £1 - ограниченная область на плос-
о
кости с границей д£1 класса С""41, ц(х)е И7” (fl) —обобщенное
решение уравнения (3.1). Предположим, что/а(х)е S₽i(Q), рх > 1,
функции Ajx, £) дважды непрерывно дифференцируемы по всем
аргументам при (х, c)eQ х RM, удовлетворяют условиям (3.2) и
•4₽(х, ^)=Л()о,(х, ty, если |а| = |Р| = т, (х, £,)едПхЯм.
(4.Ю)
Тогда при некотором >0 решение и(х) принадлежит про-
странству СтЛ(£1).
17*
260 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИИ '
Принципиальным является сведение вопроса о регуляр-
ности и(х) к разрешимости в некоторой области G про-
странства Т=	1(Q„e) специального операторного
о
уравнения Atu = 0, /е[0, 1], At: У-> У= И^-1 (£!„). При этом
оказывается, что при специальном выборе множества П* — уз-
кой полосы, содержащей сП, 0£At(dG) для /е[0, 1] и в каждой
точке weX производная Фреше A't(w) оператора А, имеет
в Y плотное множество значений.
Доказательство разрешимости уравнения А,и = 0 при всех
ге[0, 1] сводится к проверке того, что множество £<=[0, 1]
тех значений t, при которых уравнение Л(и = 0 разрешимо
в G, непусто, открыто и замкнуто в [0, 1 ], рассматриваемом
с индуцированной из R1 топологией. Проверка открытости
множества £ в [0, 1] основано на теореме Эдельштейна
и теореме С. И. Похожаева о нелинейных нормально разре-
шимых операторах (см. [756]).
Сформулируем еще непосредственные следствия о регуляр-
ности обобщенного решения уравнения Эйлера функционала £(«),
определенного равенством (4.1) из гл. 4, в случае плоской области
Q. Условия (4.10) для вариационных уравнений выполнены всегда.
Теорема 4.4. Пусть f(x, £)eC*,e, 0<а<1, &>3 при
-	д fix, £)
xeQ, ^e£m, функции Ajx,	удовлетворяют
о
условиям 1) — 3) из §4 гл. 4, dimQ = 2 и и(х)е 1Тр(П) — об-
общенное решение уравнения Эйлера функционала F. Тогда и(х) е
eCk+m~ 1,в(П). Если f(x, с)—аналитическая функция своих
аргументов, то н(х) аналитична в Q.
3. Регулярность решений эллиптических систем при малом
разбросе собственных значений. Приведенные в § 1 примеры
нерегулярных решений нелинейных эллиптических уравнений
делают актуальным выделение классов уравнений, решения
которых обладают теми или иными свойствами регулярности.
На этом пути интересные результаты получены А. И. Коше-
левым и С. И. Челкаком (см. [43, 44а, 446]).
В этих работах выделяются классы эллиптических систем
второго и высшего порядков, для которых существует решение
определенной гладкости. Такие системы характеризуются
достаточной малостью разброса собственных чисел определен-
ной матрицы, построенной по коэффициентам системы,
и малостью несимметрии задачи. Отметим, что А. И. Коше-
левым и С. И. Челкаком построены примеры систем второго
§ 4. ПРИНАДЛЕЖНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ	261
и четвертого порядка, показывающих точность условий,
описывающих выделяемые ими классы систем. Так как эти
результаты подробно изложены в монографиях [43, 446],
ограничимся формулировкой основных результатов о глад-
кости решений.
Пусть О— ограниченная область в Л" с границей 8Q.
класса Ст и рассмотрим при хе О систему уравнений
X (-l)Hz>M‘°(x, и, ..., Dmu) = 0,	г=1, ..., N, (4.11)
la'
относительно неизвестной вектор-функции и(х)=(и(1)(х), ...
..., w(N,(x)).
Будем считать, что при хей,	: |oc|=j, г=1, ...
..., N}eRNjN выполнены условия:
1)	функции Л£’(х, £0, , £т), |а| ^т, /=1, ..., N, непре-
рывны по х и непрерывно дифференцируемы по £0, ..., с,т;
2)	существуют положительные постоянные V, ц такие, что
при T]J = {T]a',}6tfN>N для Aty’(x, £0, ...,
выполнены неравенства
т	N
vXlnsl2^ X X ^(х, ^0, ..., LHM’, (4.12)
s-0	itj — 1 ia|,|p| <im
М«у’(х,	•••’	при |ос|, IPI ^т, i, j=\, N.
(4.13)
Отметим, что суммирование в (4.12) ведется по всем
мультииндексам а, р длины не меньшей чем т, что
накладывает более жесткие ограничения, чем первое неравен-
ство в оценках (3.2).
Будем рассматривать задачу Дирихле для системы (4.11)
с нулевыми, для простоты, граничными условиями, т. е.
задачу нахождения такого решения w(x), что
о
ии)(х)еИЭД, j=l, ..., N.	(4.14)
Пользуясь результатами § 3 гл. 1, легко доказать существо-
вание и единственность решения задачи (4.11), (4.14).
Определим основную характеристику К:
а + Х.2 ’
(Л —Х)2 + 4ст
(Л + Х)2
Х(Л-Х)
если	—1
2
Х(Л-Х)
если -----------
2
(4.15)
262
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Здесь o=sup{af(x, £0,	X=inf{ХДаг, •••> UJ>
A = sup{X;(x, £0,	^m)} и sup, inf берется по i, xeQ.,
j=0, L •••, m; X((x, £0,	£m), o,(x, £0, ...
...,^m) -соответственно собственные числа матриц А+,
С=А+А~ — А~А + —(А~)2 и А+, А~ — симметрическая и ко-
сосимметрическая части матрицы
Л = {Л<У’(х, ^0, ..., ^и)}, |а|, iPKzn, i, j=\, ..., N.
Теорема 4.5 [43]. Пусть выполнены предположения 1),
2) и условие
КАт,:
1,
(4.16)
где
Лтп = [а(и)]т/4, если т—четное число,
Лт,„ = [а(и)](т 1)/4
(п- 2)2Т/2
1 + --—	, если т—нечетное
п— 1
число.
(4.17)
К определяется согласно (4.15), а(л)=^1	J[1+(h-2)(h-1)].
Тогда существует уое(0, 1) такое, что решение и(х) задачи
(4.11), (4.14) принадлежит пространству [Ст~ 1,Т<>(£2)]".
В работе [446] указаны также условия принадлежнос-
ти решения задачи (4.11), (4.14) пространству [Cm,Y(f2)]N.
Для этого в дополнение к условиям 1), 2) еще предполагается
условие
3)	при |a|=w существуют частные производные функ-
ций А^(х, ^0, ..., ^т) по х, удовлетворяющие при хеЛ,
^eRNiN оценке
SA®(x, 50,..., Ц
[	N	*)
<n]i + E X IW-
I J=1	J
Теорема 4.6. Пусть выполнены условия 1)—3) и
КАт+1 ,п < 1 >
(4.18)
где К, Ат+1п определяются соответственно равенствами
(4.15), (4.17). Тогда при произвольном 8>0 существует
yl=y{i>е(0, 1) такое, что и(х) (решение задачи (4.11), (4.14))
принадлежит пространству
Здесь Я—подмножество тех точек xeQ, расстояние кото-
рых до д£1 больше, чем 3.
§ 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ	263
§ 5. Непрерывность обобщенных решений уравнений
высшего порядка
1. Случай п=тр. Контрпримеры, о которых шла речь
в § 1, показывают, что уравнения высшего порядка могут
иметь неограниченные обобщенные решения даже при сколь
угодно высокой гладкости входящих в уравнения известных
функций. В частности, из замечания 1.3 следует, что при
произвольных п, р^2, удовлетворяющих неравенству п >2р,
существует эллиптическое уравнение четвертого порядка, име-
ющее неограниченное решение из И'ДП), « = dimJ2. Такого
примера не может быть, если п < 2р, так как в этом случае
гёльдеровость решения следует из вложения -> C' (Q).
При п = 2р теоремы вложения не обеспечивают ограниченности
решения.
Будем изучать свойства решений общего эллиптического
уравнения дивергентного вида
X НГ^Ч(х, и, ..., Dmu) = 0, xellc.fi", (5.1)
|а|
предполагая, что:
1) функции Яа(х, cj определены и измеримы при хей,
^eRM;
2) при (х, ^)eQx7?M, р>\, выполнены неравенства
х л(х, ^Ci X Kr-c2 X	(5-2)
|a| = m	lal-m	|p|<w
|Яа(х, £)| X l^lr=">+ZM |oc|	(5.3)
|₽]
Здесь q, c2 — положительные постоянные, rap=p—1 при
|a| = |P|=w, Гр>1, rafJ>0 и
р<—/	ПРИ IPI<W>
(5.4)
л(р-1)+(т-|а|)/>
afi	п —(т —|Р|)р
при |a| + |p|<2w,
/(x)gL-(Q), q>\, /я(х)б£-(П),
**	**а
Пр
^а>п(р- 1) + (ти —|а|)р
Граница оП области П предполагается класса Ст.
В этих условиях Фрезе в [86а] показал ограниченность
произвольного обобщенного решения w(x)e W™ (J2) уравнения (5.1)
264 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
при п = тр. Автором в [77а] при этих же условиях была получена
непрерывность каждого обобщенного решения.
Теорема 5.1 [77а]. Предположим, что Ах(х, t) удов-
летворяет условиям 1), 2) при п = тр, т'^-2, и пусть
о
u(x)eWp(Q)—обобщенное решение уравнения (5.1). Тогда м(х)е
eC(fl) и max|u(x)| оценивается постоянной Мо, зависящей
xeQ
лишь от т, п, q, с2, 11/11 L4£2), ||/а||^_ (П), II и II т.Р, р, rx, r^, q, qv
Метод доказательства основан на получении равномерной
по г оценки £2-норм обобщенного решения (при доказа-
тельстве ограниченности решения) или вспомогательной функ-
ции (при доказательстве непрерывности решения).
Замечание 5.1. Как уже отмечалось, из замечания 1.3
следует, что утверждение теоремы 5.1, вообще говоря, не
справедливо при п>тр. При п<тр непрерывность и(х) — про-
стое следствие теоремы вложения С. Л. Соболева.
Замечание 5.2. Сохраняя предположения теоремы 5.1
относительно уравнения (5.1), можно доказать, что произволь-
ное обобщенное решение и(х)еИ'"(й) уравнения (5.1) непре-
рывно в Л и для всякой внутренней подобласти Q' области
Q max|w(x)| оценивается постоянной, зависящей от тех же
хсО'
параметров, что и Мо в теореме 5.1, и от расстояния от
П' до
Замечание 5.3. Можно показать на примере, что теоре-
ма 5.1 перестает быть справедливой, если в условиях (5.4)
на га, гаР заменить неравенства равенствами. Так, уравнение
Aw + |Vw|2 = 0 имеет в круге Д(0, R), R<\, решение w(x) =
= ln |ln |х||е HZ2(Z?(0, /?)). Вместе с тем, при таких предельных
показателях (если в условиях (5.4) заменить неравенства
равенствами) можно доказать непрерывность каждого огра-
ниченного решения уравнения (5.1). Это сделал Т. Г. Тодоров
в [84], используя метод работы [77а].
Теорема 5.2. Предположим, что п = тр, Ла(х, ^) удовлет-
п
воряют условию 1) и неравенствам (5.2), (5.3) при r₽ = jpj’
_п-|а|
IPI ’
/(х), /,(х) таких же, как в условии 2), и пусть
и(х)е	— обобщенное решение уравнения (5.1). Тог-
да и(х)— непрерывная функция в любой внутренней точке
области Q.
§ 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
265
В настоящее время существует несколько методов доказа-
тельства непрерывности обобщенного решения уравнения (5.1),
если разность п — тр достаточно мала.
В работах Видмана [186], В. А. Солонникова [81] дока-
зательство основано на следующей лемме.
Лемма 5.1. Пусть м(х)еИ/р(Л) и предположим, что для
произвольного расположенного в Л шара В(х0, R) с центром
в х0 и радиуса R выполнена оценка
X f \D^u{x)\pdx^cR\ у>0,	(5.5)
|а|	В(х0, К)
с не зависящей от R постоянной с. Тогда при у = п — тр + гр,
£>0, в любой внутренней подобласти П' области Л w(x)e
еС0,Е(Л').
Лемма дает один из давно известных признаков гёльде-
ровости функций, установленный Морри (см. [63а] и [И],
§ 27). Аналогичное лемме утверждение справедливо о принад-
лежности и(х)еС0,Е(П) при определенной гладкости д£1, если
в (5.5) интегрирование по В(х0, R) заменить интегрированием
по В(х0, R)C]Q.
В условиях малости п — тр гёльдеровость решений дают
и оценки Мейерса, Элкрата из § 2 настоящей главы. Отметим,
что эти оценки были получены позже остальных работ,
указанных в данном параграфе.
Изложим примененный Видманом метод на примере
уравнения (5.1).
Теорема 5.3. Пусть и(х)6W™(Q) обобщенное решение
уравнения (5.1) и предположим, что функции Ах(х, Ё) удов-
летворяют условиям 1), 2) при rx=p, rxp=p—\, /(x)eZ,Si(J2),
s,>—, /_(x)eLs (Q), s2>—-—. Существует постоянная
тр	2	т(р—\)
к>0, зависящая только от п, т, такая, что при тр>п —
(с V
— &(—I w(x)eC°OcX(fi), где
, . „ [ тр — п + кс^С2р	п	п	тр)
А = int <-----------, т-----, т--------—, — >.
) р	SiP	s2(p-\) п I
Доказательство. Будем доказывать для и(х) оцен-
ку (5.5). Для этого в интегральное тождество
о
£ $Ах(х, и, ..., Dmu)D*vdx = 0, геИ7(П),	(5.6)
|я| Q
266 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
подставим u(x) = [w(x) —Р(х)]ф(х), где функция ф(х) принад-
лежит Со (П), имеет носитель в В(х0, R) и <р(х)=1 при
х°, — I. Р(х)—полином степени не выше чем т— 1,
определяемый условиями
У Z)“[w(x) —P(x)]t/x = 0,	|a|^w—1,
к(х0,к)	(5.1)
К(х0, R) = B(x0, R)\B^x0,^y
Представляя в (5.6) v(x) в виде v(x) = m(x) + w(x) и оценивая
полученное выражение, имеем неравенство вида
т] (R) = X J \Dau\pdx^
|<х| = т B(Xq, К)
X У	\Dxu\pdx + cRs,	3>0.	(5.8)
|«|-т К(х0, К)
При этом используется следующая из (5.7) и неравенства
Пуанкаре оценка
X У \Dr‘w(x)\pdx^c X У \Dxu(x)\pdx.
|а| = т B(xQ, R)	|а| = т K(jcq, R)
с— 1
-	---Г|(А) + Rs, откуда стандартными
2 / с
рассуждениями получаем (5.5).
Неравенства вида (5.5) доказываются и в работе В. А. Со-
лонникова [81]. Отметим при этом интересное использование
срезывающих функций Хопфа. В [81] также указываются
условия непрерывности производных Z)’u(x), 0<|а|<т, и до-
казывается
о
Теорема 5.4. Пусть w(x)elFp(Q) — обобщенное решение
уравнения (5.1) и предположим, что функции Лл(х, ^) непре-
рывно дифференцируемы и удовлетворяют неравенствам (3.2)
при	c2(0 = c2- Тогда для любых шаров В(х0, р)
R
В(х0, R), содержащихся в при Р<~ выполнено неравенство
У (1+ X |№(x)l)p~2 X |№(x)|2rfx^
В(х0, р) |а|^т	|Р|=т+1
у \u\pdx
\RJ	B(x0.R)
§ 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ	26'
с не зависящей от р, R положительной постоянной ц, причем
постоянная с в случае п>2 определяется только параметрами
из условий (3.2), а при и = 2 еще также максимумом модулей
|Daw(x)|, |a|^w, в шаре В(х0, R).
Из этой теоремы и леммы 5.1 следует гёльдеровость
производных D^u(x), если 2(w —|р|) + ц>и —2.
2. Уравнения с гёльдеровыми решениями при произвольных
л, т, р. В работе [77г] выделен класс уравнений вида (5.1),
все обобщенные решения которых удовлетворяют условию
Гёльдера без предположения о связи между числами т, п,
р. Выделенный класс уравнений характеризуется тем, что
для него условие (5.2) заменяется более сильным условием,
но таким, которое в случае уравнений второго порядка
совпадают с условиями монографии [49].
Предположим, что т^2 и с некоторыми положительными
постоянными ср с2, с3 при р>1, q>mp, хеЙ, t,eRM
выполнены неравенства
1 < |а|
X |^ + с2 X l^l’-t-з X 1^1’—/(х).	(5-9)
|а| = т	|ас| - 1	|а| -А 1 ,т
|Яа(хД)|^с3 X	|а|^га.	(5.10)
|0|«т
Здесь Дх), Д(х) принадлежат соответственно пространст-
вам £,(й), Lt (й), где t>~,	при |а|>1 и ta = -^—
’	q Ja-1 q	sa-l
при |oc| = l. Числа 5a, определяются условиями:
1 _|<x|— 1 1 —|a|
з, т — 1 р т — 1
Sx=q при |ос|=1,
— при 1<|а|^лг,
91
_ nq	(	1
«0<-----, i’ap — -Spl *--
"~9	\
(5.H)
и число qx удовлетворяет неравенству mp<q{<q<n.
При условиях (5.9)-- (5.11) можно определить обобщенное
решение уравнения (5.1) класса IV™ (fi)Q И'ДИ). Существование
такого решения при определенных условиях можно доказать
методами из четвертой главы.
Теорема 5.5. Пусть й — ограниченная область с границей
класса С°°, м(х)еИ/р(Й)р|И/ДП)— обобщенное решение уравне-
ния (5.1), р>1, q>mp и выполнены условия (5.9) - (5.11).
268 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Тогда с некоторым Х>0 w(x)eC°'(A) и ||и||оценивается
постоянной, зависящей только от с15 с2, с3, п, р, s0, q, qx,
II и IL 11/11ь(П), Ш1ьг (£!)•
Замечание 5.4. Если сохранить все предположения тео-
ремы относительно уравнения и не предполагать, что н(х)
удовлетворяет однородному условию Дирихле, то решение
и{х) будет гёльдеровым в любой внутренней подобласти
области Q.
Метод доказательства теоремы 5.5 основан на получении
равномерной по г оценки £г-норм обобщенного решения
(при доказательстве ограниченности решения) или вспомо-
гательной функции (при доказательстве непрерывности реше-
ния). При этом используется интерполяционное неравенство
Ниренберга — Г альярдо.
В [77г] показывается на примерах, что теорема 5.5
перестает быть справедливой, если условие q>mp заменить
на q = mp или если в условии (5.9) постоянную с2 заменить
функцией с2(х), обращающейся в нуль хотя бы в одной точке.
Например, непосредственные вычисления показывают, что
функция w(x) = ln|x|— обобщенное решение уравнения Эйлера
функционала
В(0, 1)
+ СТ2 L
(5.12)
если выполнено условие
2(и-2)ст2 + 2ст3 = [(и —2)^! — 1][и —3-2CTt].	(5.13)
Подберем постоянные ст15 ст2, ст3 так, чтобы удовлет-
ворялось равенство (5.13) и ст2, ст3 были положительными.
Тогда, как легко проверить, при и>4 будут выполняться
все предположения теоремы 5.5, кроме q>mp (сейчас т=р = 2,
<7 = 4). Этот пример показывает, что условие q>mp нельзя
ослабить.
3. Гёльдеровость минимизирующей функции интегрального
функционала. Для интегральных функционалов в	при
минимальных предположениях относительно гладкости под-
интегральной функции автором в [77ж] доказана принад-
лежность экстремали пространству Морри И'р.ДП) при неко-
тором 3>0, откуда, в частности, при определенных соотно-
§ 5. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ	269
шениях между числами т, п, р, 3 следует гёльдеровость
минимизирующей функции или некоторых ее производных.
Тем самым получено обобщение на случай произвольного
т известного результата Морри о гёльдеровости решений
вариационных задач при т=\, р = п.
Изучаются свойства экстремали функционала
F(u) = \f(x, и,	Dmu)dx	(5.14)
о
в ограниченной области Q при следующем условии:
1) при хеП, ^ = {^а: |а|^т}6RM функция /(х, с,) непрерыв-
на по почти при всех хеП, измерима по х при всех
и удовлетворяет неравенству
Vi X l^l₽-v2 X
)а| =т	|а] <т
X l^lP + H2 X 1^1р”+/2(х),	(5.15)
|а| -т	|а| < т
здесь р>1, vb v2, щ, р2—положительные постоянные,
,| и _
рх — произвольное положительное число, если	—, 0<
пР	п , , п
<р„<-----------, если т— < а\^т. Предполагается, что
п-(т-|а|)р	р
с некоторыми положительными числами X, Kt выполнена оценка
sup4x У U/iWI +	(5-16)
В(х0,К)ПП
К>0	0
Предположим, что v = inf {F(v): ve Wp(£l)} > — оо и вариа-
ционная задача заключается в нахождении такой функции
w(x)e IFplQ), что F(w) = v. Достаточные условия, обеспечива-
ющие разрешимость вариационной задачи, дает гл. 1.
При изучении поведения решения вариационной задачи
вблизи границы дополнительно к условию 1) предполагается
выполненным следующее условие:
2) существуют положительные числа Ro, К2 такие, что
при. хоедП,	mes[В(х0, 7?)П7?"\П]^Х?2^Л-
Теорема 5.6. Предположим, что выполнено условие 1)
5	о
и функция w(x)e И7™(Q) дает функционалу F(u) наименьшее
j	0
значение на пространстве И^П). Тогда для произвольной
- строго внутренней подобласти £1' области £1 существуют
270
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
положительные числа с, зависящие только от т, п, р,
vH v2,	ц2, рх, Kt, К ||и||т.р, такие, что при хоеС1, р<у,
p' = dist(J2', SCI) справедливо неравенство
X У |№(х)|^х^ср£.	(5.17)
|«|—m В(х0, р)
Доказательство. При выводе неравенства используется
функция гр(х)е РИр (В(х0, р)), определяемая как решение задачи
о
Дтгр(х) = 0, хеВ(х0, р), rp(x)-w(x)e (Ур (В(х0, р)). Используя
априорные оценки решений линейных эллиптических задач,
можно доказать
X У |№р(х)|^х^с0 X У |№(х)|^х	(5.18)
|а]=тВ(х0,р)	|а| —т К(х0, р, 2р)
с постоянной с0, зависящей только от т, п, р, К(х0, р, 2р) =
= В(х0, 2р)\В(х0, р).
Рассмотрим функцию wp(x), совпадающую с w(x)
в Q\B(x0, р) и с Гр(х) в В(х0, р). Из неравенства F(u)^F(up)
и простых преобразований, использующих неравенства Гёль-
дера, Пуанкаре и оценки (5.15), получаем
X J |№(Х)|^Х^С1
|«|-т В(х0, р)
где с15 £j зависят от тех же параметров, что и с, £ в (5.17).
Из (5.19) следует
X J |Dxu(x)\pdx + рЕ> >,
|а| =т К(х„, р, 2р)	J
°	(5.19)
X У \Dxu(x)\pdx^
|<х|=т В(х0, р)
< С1
Cj + 1
X У |Пам(х)|^х + р£>
|а|=т В(х0, 2р)
(5.20)
откуда стандартными рассуждениями, аналогичными рассуж-
дениям в [49] (доказательство леммы 4.8 из гл. 2), получаем,
что неравенство (5.17) легко следует из (5.20).
Теорема 5.7. Предположим, что выполнены условия 1),
о
2) и функция u(x)eWp(Cl) дает функционалу F(u) наименьшее
о
значение на пространстве 1ИР(Л). Существуют положитель-
ные D, т, зависящие только от Ro, К2 и тех же параметров,
§ 6. ЧАСТИЧНАЯ РЕГУЛЯРНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
271
что и с, г в теореме 5.6, такие, что произвольных хоеП,
р>0 выполнено неравенство
X f |№(*)|₽о^ Dp\	(5.21)
|а[ <т В(хд, р) НП
Используя оценку (5.21) и лемму 5.1, получаем
Следствие 5.1. Пусть выполнены предположения теоре-
мы 5.6 и z>n — mp. Тогда при некотором о>0 н(х)еС°’а(П).
В частности, получаем гёльдеровость минимизирующей фун-
кции при п = тр.
Следствие 5.2. Пусть выполнены условия теоремы 5.6
и п=р. Тогда при некотором <з>0 и(х)еСт-1'о(П).
§ 6. Частичная регулярность обобщенных решений
квазилинейных эллиптических уравнений
1. Случай общей дивергентной системы. Примеры, приве-
денные в §1, показывают, что при т>1 уравнения вида
(2.1) даже в случае аналитических функций Ах(х, Е,) могут
иметь решения с точечными особенностями. Оказывается,
что для произвольного решения уравнения (2.1) особенности
в некотором смысле являются исключением. А именно,
в работе Морри [636] доказана регулярность каждого
обобщенного решения уравнения (2.1) (и систем уравнений
дивергентного вида) на открытом подмножестве полной меры.
В [636] установлена частичная регулярность обобщенных
решений м(х) = (м1(х), ..., uN(x)) систем
X (-l)|a|Z>Mai(x, и, ..., Dm^uu ..., DmKuN) = 0,	(6.1)
i=l, •..., N,
в предположении, что:
1) функции А^(х, 8) принадлежат классу С2,ц, 0< д<2,
при	i=l, ..., N, хе£1, Е = {Е₽г	j=\, ..., N}eRM,
M = M(ml, n) + ...+M(mN, n); M(m, n), как и выше,— число
различных мультииндексов длины, не большей т;
2) при xeQ, E,eRM, t^eR1 выполнены неравенства

В А „Ах, Е)
dxt
+
cA„j(x, Е)
^Ew
82A,i(x, Е)
д2Л.-(х, Е)
ЗЕиА^

(6.2)
ЕО	X InJ2
t,j=l |а| =m- | р| = m:	SW	i=l|a|=m-
272 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
с р^-2 и положительными постоянными с15 с2. В (6.2)
|P|<w„ lyl^/Иц, 1</<А', 1</<'V, l^k^N, 1=1, ...
N
..., п,	X l^l-
i — 1 |tx[ $ mj
Вектор-функция u(x) = (u t(x), ..., uN(x)) называется обобщен-
ным решением системы (6.1), если и}(х)е при j=l, ..., N
о
и для произвольных функций <р,(х)е И^>(£1), i=l, ..., N, выпол-
нено интегральное тождество
.V
X X ра,(х, и, ...,	..., Z>n,NuN)Z>a<pi(x)6Zx = 0. (6.3)
1=1 | а | < m j Q
Теорема 6.1. Пусть функции Aai(x, E,) удовлетворяют
условиям 1) — 2) и и(х)— обобщенное решение системы (6.1).
Существует подмножество Z g Q нулевой меры такое, что
£1\Z открыто и ui{x)eCm‘(il\Z) при i=l, ..., N.
Основные моменты доказательства теоремы 6.1 будут
показаны в более простой ситуации в следующем пункте.
2. Характеристика исключительного множества для' слабо
нелинейных уравнений. В работах Джусти, Миранды, Джак-
винты, Модики, С. А. Аракчеева и других авторов (см.,
например, [29, ЗОа, 27, 6]), применявших методы, близкие
к методам Морри [636], получена для некоторых классов
эллиптических систем более точная, чем в теореме 6.1,
информация об исключительном множестве Z.
Характеристика множества Z дается в терминах хаусдор-
фовой меры.
Определение 6.1. Пусть D—ограниченное множество
в R" и Хе(0, л]. "k-мерной хаусдорфовой мерой множества
D называется величина
ЯД£>) = lim inf £ (diam^,)1,
с —+0	i=l
где inf берется по всевозможным покрытиям { 7Z/} D множествами
с диаметром, меньшим £, diamTZ,—диаметр множества
Следуя работе М. Джаквинты и Дж. Модики [27], изложим
далее результаты о частичной регулярности решения эллип-
тической системы
г у
X (-l)|ct|Z>4 X X АУ\х,и, ..., D”'-iu)D^ +
|a| = m;	(j=l|₽l=mj
+ а*‘)(х, и, ..., Dm~ 1u) [> +
+ X (-О^О^’Сх, U, ..., Dmu) = 0,	i=l,...,N.	(6.4)
N <mj
§ 6. ЧАСТИЧНАЯ РЕГУЛЯРНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ
273
Здесь и(х) = (и(1,(х), ит(хУ), Dm~ 1u = {Z>au(,)(x): |ot| =
= w;—1, 1=1,..., N}, Dmu = {Driui'. |a|=w;, i= 1,	А}.Будем
предполагать, что AfyJ>, a(al), b'^—непрерывные функции своих
аргументов и для некоторой вектор-функции и(х), и(1)(х)е
е с положительными постоянными v, ц выполнены
неравенства:
у
7=1
X |^>|2
i=l
при
\А$л(х, и(х), ..., Dm 1ы(лс))]^ц при |а| = ™;, |р|=ш7,
i,j=\,...,N,	(6.5)
X X 14°(.х, и(х),	Z>m-1u(x))|2^n[r2(x) + F(x)],
i = 1 | а | —
N
X X |/’ii,(x, u(x),	Dmu(x)|«<>^n[|Z)mu|2+F2(x) + F(x)],
i = 1 |ot| <m-t
N	N
где F2 (x) = 1 + X X	|£>ти|2= X X l#V>|2,
J=l|₽|«mj_1	1=1|а|=т,
F(x)eLr(Q), r>-, Pj,$=p при т}— |PI^~, где p — произвольное
число, большее чем 2,	=
2n
при mj-|P|<^,
i	li"	Pi.a	I ।	"
при wf-|a|>-, ^i>a =------------ при mt-|a|^-.
2	p j. я 1	2
Теорема 6.2 [27]. Предположим, что для некоторой
вектор-функции u(x) = {u(1)(x), ..., ит(х)}, и<‘|(х)еИ,"‘(^), i=
= 1, ..., N, выполнены неравенства (6.5), и пусть и(х)—решение
системы (6.4). Тогда существует открытое множество QogQ
такое, что имеСт‘ 1,X(QO), Х = 2— и при некотором q>2
я„_,(п\а0)=о.
Замечание 6.1. Аналогично доказательству теоремы 2.1
с использованием замечания 2.2 можно получить при
В(х0, 2F)gQ априорную оценку (см. [27]):
2
lB(x0,R)	J
( ll- \	Г q
^c<Rn\“ ) f [V2 + \Dmu\2'\dx+ f F2(x)dx
(	B(x0, 2R)	Lb(*0. 2R)
2 3
J (6-6)
18 И. В. Скрыпник
274
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
с некоторым де(2, 2г). Число q в теореме 6.2 — то же, что
и в неравенстве (6.6).
Ключевую роль в доказательстве теоремы 6.2 играет
нижеследующая лемма. Для ее формулировки введем при
фиксированной точке хоеП и 0<2R<dist (х0, д£2) полиномы
ДО
Р$(х)=Р$(х; х0) = X — (*-*о)а>	i=i,...,N,
степени w; —1 такие, что
J £>а[м(1,(х)—р^’(х)]й!х = 0 при |a|^w;—1,	(6.7)
В(х„. R)
и пусть ||/>я(х)||=Х X 1^°1-
(=1 |а|^т;-1
Лемма 6.1. Пусть и(х)—решение системы (6.4). Тогда
для произвольной точки хое£1 при 0<27?<dist(xo, 3Q),
0<р^2Я, выполнено неравенство
f [ K2(x) + |Z>mM|2]tZx^
B(Xq, р)
р
R
+l(x0,R)  f [K2(x) + |Z)mM|2]tZx +
_ B(*o. 2R)
+	+	(6.8)
где х(хо, ^)=g(IIP/j W lb R2~n f \Dmu(x)\2dx); t, s), 
ф(У—неотрицательные неубывающие функции с,, g(^, t, .s)
стремится к нулю при |z| + |.v|-»O равномерно относительно
£б[0, М] при любом М, Cj — положительная постоянная,
зависящая лишь от v, ц, т1г ..., mN, N, п, р, г,
II	II II Е(П).
Доказательство. Пусть a<^J) = A^J)(x0,c0,...,cm-1), где
Cj = {4l):|a|=j,/= 1, ..., N}, с^ — те же, что и в (6.7),
и определим г(х)={г(1)(х), ..., rW)(x)} как решение системы
N
XXX (-l)|e|a^+|Jfy,(x)=0,
J= 1 | a |=m. | ₽ | =mj
i=l, ..., N, xeB(x0,R),
(6.9)
о
при условии p(l)(x) — u{i)(x)eW2l{B(x0,R)).
Подставляя в интегральное тождество, соответствующее
системе (6.9), пробные функции v(i) (х) — им (х), получаем оценку
f | Z>mr(x)|2 dx^c f | Dmu(x) |2 dx.
B(xn.R)	B(x0,R)
(6.10)
§ 6. ЧАСТИЧНАЯ РЕГУЛЯРНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 275
Из априорных оценок решений линейных эллиптических
систем следует, что i/0 (x)eC’z (В(х0, У?)) и
j	j f |Dmt;(x)|2fl!x	(6-11)
B(x0,p)	Vv BU0,R)
при 0<р<Я. Оценка (6.11) тривиальна при p^R/2. При
о <7?/2 для получения (6.11) достаточно перейти от перемен-
ной х к y=xl R и воспользоваться оценками линейных задач.
Подставим в соответствующее системе (6.9) интегральное
тождество пробные функции w(,)(x) = u<i)(x)—г(0(х). Используя
(6.5), получим
B<x0,R}
f N
<<2 £ X Z
и, ..., Dm
(j,j= 1 I а I =т.) р | = т	J
B(xq,R)
x\Dmu[2 dx+ j [И2 (x) + F(x)] dx + ( J \Dmu\2 dx)y^ +
B(x0,R}	B(x0,R)
+ ЯЕ J | Dmu |2 dx\, (6.12)
B(x ,R)	J
*	I 2	n	I
где £>0, y^min^—; i=l, ..., N,	а|^пг;— 1 >> 1.
2	J
Здесь и дальше постоянные ск, к = 2, 3, ..., зависят от тех
параметров, что и постоянная сг в (6.8).
Оценим, далее,
f F(x)dx^
B(x0,R)
f F’’[x)dx}r • {mesjB^o,/?)}1 7 ^c3Rn~r, 6.13)
B(x0.R)
f F2 (x) dx
B(x0,R)
f {1+ X X |W(hu,(x)-^’’(x))|pw +
B(jc0,K) j= 1 | p |	1
-HDW(x)IM^c5{ f |7)'"М|2^}Ъ + ф(||рк(х)|1)-/?",
B(x„,R)
(6-
• fp n \
где y2 = min —- .
\2 n — 2J
18*
276 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Так как —ограниченные и непрерывные функции
своих аргументов х, то существует неотрицательная
ограниченная функция co(z, .v), t, seR+, не убывающая по
каждому аргументу, выпуклая вверх по s, непрерывная в (г, 0)
такая, что со (г, 0)=0 и при х, jeQ, произвольных т^’еЯ1,
|a|^w;, i=l, ..., N, выполнено неравенство
X Е Е	no. nm-i)l2^
J-1 | а | = m. p = m .
<co(M, (x-j)2+ X E (|f£>-n«,|2)), если
i = 1 | a | < m f _ j
E E	(6.15)
Пользуясь оценками (6.14), (6.6), неравенством Гёльдера,
ограниченностью функции со и выпуклостью ее по второму
аргументу, оценим первое слагаемое правой части (6.12):
Е Е Е
i J = 1 | ot | = m | ₽ | = m J
B(x„,R)
Z)m_1w)|2-|Z)mu|26Zx^
(	2±_
f co</-2(||pR(x)||, |x-x0|2 +
(B(x0,R)
V-2
1 f N
+^esg(x й E E in^’W-d'T^x
mes#(x0,KJ J i = i|a|«m.-i
B(XO,R)	n
x f [V2 + \Dmu\2}dx + C(,Rn~~^
B(x0, 2R)
n q—2
^c6Rn~2 + c6(o ч (||pR(x)||, /f2 + c7 [/f2  И/>r (jc) ||+
+ R2~n J | Dmu\2dx^- f [И2 + | 7Ги|2]dx. (6.16)
B(x0.R)	B(^o,2R)
§ 6. ЧАСТИЧНАЯ РЕГУЛЯРНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 277
Теперь из (6.10)—(6.16) и оценки
J \Dmu\2dx^c% { f |	|2<7t+ J |Z)mw(x)|2 dx}
B(x0,p)	B(xQ.p)	B(x0.p)
следует неравенство (6.8) при
2 / Г	\y-1
х(х0,	=	IMfdx'1 +
д-2	‘-1 B(^R>	.
+ Ю q (IIPrW||, Я2 + с7[Я2 IIPrWII + Я2"'’	|£>"m|2<Zx]),
B(x0.R)
что и завершает доказательство леммы 6.1.
Лемма 6.2. Предположим, что выполнены условия леммы
6.1, и пусть
Ф(х0, р)=р2~" f [И2(х)+|Dmu|2]dx.	(6.17)
•B(jc0,p)
Тогда для любого числа Мг > 0 существуют положительные
числа £0(^i)>	такие, что из неравенств
||PR(x;x0)||<^, Ф(х0,/?)<£0(Л/1),	(6.18)
справедливых для некоторого Re (О, 7?0(А/1)), следует оценка
! \2~-
Ф(х, р)^с(^) г при 0<р^Я.	(6.19)
\ R /
Доказательство. Используя обозначение (6.17), из не-
равенства (6.8) имеем
Ф(х0, т/?)^с9{т2Ф(х0, 1?)[1+т’"х(х0, /?)] +
+ [1 +Ф(Ы*) 11)-<]т2-" Д2~7}, (6.20)
где 0<т^1. Выберем тое(0, 1) так, чтобы 2с9т"/2г=1.
Применяя теорему о среднем и неравенство Гёльдера,
получаем оценку
IIaor(х, х0)|| <£ ||pR(x, х0) Il+Cjo [Ф(х0, я)]1/2.	(6.21)
Пользуясь свойством функции х(х0, R}, можно подобрать
при заданном числа AjMj) и е1(М1) так, чтобы было
/?"'г(Л/1)< 1 и из неравенств
||рр(х; х0)||<Л/1, Ф(р)<£1(М1), р<Л1(М1)	(6.22)
следовала оценка
Х(хо, р)<то-	(6.23)
278
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Определим теперь е^М^, R0(M1) условиями
Бо(Л/1)<^, 2е0(Л/1)<Г^(1 -тР')
2	|_^ю
(6.24)
/?0(М1)<Л1(М1),7?0(М1)<
М^1)(тГ'-Т0 "-) 2г-«
2со
и покажем, что при таком выборе справедливо утверждение
леммы 6.2. Здесь с9, с10—постоянные из неравенств (6.20),
(6.21).
Пусть р таково, что выполнены оценки (6.22). Тогда из
(6.20) имеем
Ф(Хо, Тор)^ТоФ(.Хо, р) + Сцр8,
(6.25)
где о = 2——, сц=2с9То ", 5 = 2--.	(6.26)
2г	г
Предположим теперь, что Ле (О, 7?0)—некоторое число,
для которого выполнены неравенства (6.18), проверим ин-
дукцией, что при любом к=0, 1, 2, ... для р = то^ выполнены
оценки (6.22). Если эти оценки выполнены при к^к0 — 1, то
последовательным применением неравенства (6.25) имеем
ко-1
Ф(х0, гооЛ)<?о"Ф(^о, Л)+С11Л6 X
i = 0
оо •
<?Дф(хо,Я) + С11ТовЯ5 £ то ]^‘
у-0
Ф(х0, Я) + Сц Я5-8 —
То “То
(6.27)
Здесь воспользовались условиями на	из (6.24).
Применяя оценку (6.27), получим из (6.21) и (6.24)
ИЛ-М*’ *о)КИк(*, Х0)||+Сю X [Ф(*о, tU?)P«c
l0K	i = 0
1 00	®
^||PR(x, xo)||+fio[2eo(Afi)]2 X т0^
i = 0
II PR(x, х0) II +с10 [2е0(Л4\)](6.28)
1 —то
Таким образом, установлены неравенства (6.27), (6.28)
при произвольном koeN, а отсюда и следует оценка (6.19),
что доказывает лемму 6.2.
§ 6. ЧАСТИЧНАЯ РЕГУЛЯРНОСТЬ ОБОБЩЕННЫХ РЕШЕНИЙ 279
Доказательство теоремы 6.2. Введем множества
,	lim Л2-"	[Е(х) + |Z>mu(x)|]2dx>0},
b(x0,r}	(6.29)
L2 = {xoeQ: sup ||pR(x, x0) || = + co}
R > 0
и определим Q=Q\_(E1 (JS2).
Если точка хоеЙ, тогда при некотором Мх и Re (О, Rq)
выполнены оценки (6.18). Пользуясь непрерывностью Ф(х0, /?),
|| PR (х; х0).|| относительно' R, х0, получим выполнение нера-
венств
И/г(х0)(х’*)11<Т’ ф(*’ *(*о))<^(4/0	(б.зо)
для xeB(x0,R(x0)), R(xo)e(0, Ro). Отсюда и из (6.19) получим
выполнение при xeBs, Jx0) оценки
/	\2--
Ф(х, р)<с(-=£-) г при 0<р^Я(хо).
\лИо)/
Последняя оценка в силу леммы 5.1 дает u(i) (х)е
1,8(В(х0Л(х0)), 25 = 2--. Тем самым доказано, что
);ц,‘)(х)еСп,<~1'8(П0), где По — открытое множество, опреде-
ляемое равенством
^о= U Я(х0, /?(х0)).
хоей
Для доказательства того, что Я„-,(П\По) = 0, достаточно
проверить, что Я„-,(Х1и^2) = 0. Последнее же равенство
; справедливо для произвольной функции и (х), удовлетворяю-
щей оценке (6.6) (см. [29]).
Сделаем еще замечание относительно частичной регуляр-
: ности вблизи границы. Подобные вопросы рассматривались
для системы (6.4) в работе [6] Аракчеева С. А.
,	о
| Теорема 6.3. Пусть w(x)g1F2((1)— обобщенное решение
системы (6.4) при b«’(x, Е.)^0 и предположим, что для
> и(х) выполнены условия (6.5) и д£1еСт. Предположим,
\ что для хоесП
"1 (*
lim —2	|	(х) |2 tZx=0.	(6.31)
к—+ол I
B(x0,R)Cin
280	" ТЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Тогда при некотором Ro ui(x)eCm^1'1(B(x0, ,R0)f)Q), Х =
= 1 — п/2г.
Следствие 6.1. В условиях теоремы 6.3 при п = 2 решение
о
u(x)elF2(fi) системы (6.4) является регулярным в некоторой
окрестности SQ..
§ 7. Интерполяционные методы получения априорных
оценок
1. Об оценках || и||г2т_,,о» через max|u| для слабо
нелинейных задач. Здесь рассматриваются квазилинейные
эллиптические уравнения вида
Lu=f(x, и, Du, ...,D2m~1u)	(7.1)
с линейным правильно эллиптическим оператором L порядка
2т^2 в ограниченной области dcR" с границей д£1 класса
С2т. Устанавливаются оценки решений уравнения (7.1) при
общих линейных граничных условиях
В;и = ф;(х), хе60, У=1, ..., т,	(7.2)
В} - оператор порядка т^ < 2т — 1.
Предполагается, что операторы L и Bj, J=l, ..., т,
таковы, что для произвольной функции и(х)е Wpm(Q), Lu(x)e
eLp(ty, Вуи(х)е H/2m~mJ~p(d£l), j= 1, ..., m, р>1, имеет
место оценка
m
II и ||2m,p^Cp{|| Lu ||p+ X II Vll'2m---|’₽+ll“llp}	(7-3)
J=1
с не зависящей от u(x) постоянной cp. Здесь и далее
|| • ||р — норма в Lp(ty, || • |||,р—норма в !Fp(Q) при неотрица-
тельном целом /, || • HI— i.p—норма в пространстве И^р ^рО).
Относительно оценки (7.3) см. теорему 1.1 из гл. 3.
Далее рассматривается вопрос о допустимом росте функ-
ции Дх, ^0, ^, ..., Ц, ^={^: |а|=у} относительно £0> ^, ...
при котором ВОЗМОЖНО получить оценку ||w||2m,p
через известный максимум модуля решения и его производных
до k-ro порядка, 0^к<2т, либо известную оценку || и ||т,2.
Рассматривается также вопрос о возможности получения
оценки || и	для внутренних подобластей Q' через
max|w(x)|.
о
§ 7. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК 281
Ключевым моментом в настоящем параграфе является
получение априорных оценок с использованием неравенства
(7.3) и интерполяционного неравенства Ниренберга—Гальяр-
до [706]
|| Dku || и || • || и || U + c2 II и Но..,	(7.4)
справедливого для и(х)б 1TP(Q) Q с не зависящими от
и(х) положительными постоянными, 0^к<1,
1	I-	/|	А	г
i	— = - + 0[--I, -<0<1, II и|| o.3C=sup|w(x)|.
Рк	П	\р	nJ	1	Si
Как известно, для квазилинейных эллиптических уравнений
второго порядка С. Н. Бернштейном были указаны необходи-
мые условия на коэффициенты, при которых возможно
получение равномерных оценок производных первого порядка
решения через его максимум. Для уравнения (7.1) при т=1
и непрерывной функции f(x, Е,о, условие С. Н. Бернштейна
имеет вид
|/(х, ^0, I(I|)(1 +1 I)2, (х, U	х R", (7.5)
с непрерывной положительной функцией с. Из [49] следует,
что условие (7.5) является достаточным для получения нужной
оценки первых производных.
Для решения и(х) уравнения (7.1) можно получить внутрен-
ние оценки производных £)т-1и(х) через тах|и(х)|, если
f—достаточно гладкая функция своих аргументов и выпол-
няется неравенство
2m- 1
|/(хД0,^,..,и-1)1М1М Е (1+1 М7 ,	(7.6)
J-1
где с — непрерывная положительная функция, g>0.
Теорема 7.1 [776]. Пусть и(х)е W/2"t(Q) -ограниченное
решение уравнения (7.1), р> 1 и предположим, что выполняется
условие (7.6). Тогда u(x)eC2m~l (Q) и для произвольной внутрен-
. ней подобласти Q' области Q можно оценить || и
* через шах|и(х)|, расстояние Q' от границы области Q и извест-
S1
’ ные постоянные, характеризующие уравнения (7.1).
я Теорема доказывается применением внутренних Лр-оценок
решений линейных эллиптических уравнений [1] и неравенства
j Ниренберга — Гальярдо (7.4).
. Если дополнительно известно, что w(x) удовлетворяет
5‘граничным условиям (7.2), то при определенных условиях
282
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
гладкости 5Q можно, при выполнении предположений теоре-
мы 7.1, оценить и норму || и

Если сравнить условия (7.5) и (7.6), то возникает вопрос:
можно ли получить оценку || и || через тах|и(х)|, если
выполнено условие (7.6) с е=0. В [776] указан пример,
показывающий, что такую оценку нельзя получить при е=0.
Непосредственные вычисления показывают, что функция
w(x) = x1|x|-1 при и>6 принадлежит lFp(R(0, 1)) с некоторым
р>1 и удовлетворяет в шаре В(0, 1) уравнению
3	5(и —3)(я —5) С ,	,
п — 1 I
OU
дх
д2и .
Ди+
oxf
4 (Ди)2
и- 1
Ди- (7.7)
Правая часть уравнения (7.7) удовлетворяет условию (7.6)
с е=0. Вместе с тем производные функции и(х) в нуле не
ограничены.
Замечание 7.1. Отметим, что в правую часть уравнения
(7.7) входят производные до второго порядка, в то время
как порядок уравнения (7.7) равен шести. Это показывает,
что и для уравнений дивергентного вида высшего порядка
нельзя оценить || и || с2„-, через max|w(x)| и параметры,
характеризующие уравнение, если выполнено неравенство (7.6)
с е = 0 и нет никаких других дополнительных условий.
2. Об оценках || и || 2т,Р через ЦиЦ^.о, для слабо нелинейных
задач. Рассматривается вопрос об оценках в И^т(П) решений
задачи (7.1), (7.2). Постановка вопроса и излагаемые ниже
результаты принадлежат С. И. Похожаеву (см. [75е, 75ж]).
Предположим, что выполнены условия:
1)	вещественнозначная функция f(x, Е,о, ...,E,2m-i) опреде-
лена на Qx R1 х R" х ...х RN^-> и является каратеодориевской
функцией, т. е. измеримой по х при всех £0,	...
..., E,2m-i gR1 х Rn х ... х RN2m-i и непрерывной по £0, Е,15 ...
..., S,2m-i почти при всех xeQ; здесь —число различных
мультииндексов а = (аг ..., а„) длины j;
2)	при (х, £0, ..., 5,2m-i)gE! х R х ... х RN2m-i и целом к,
0^к^2т — 1, выполнено неравенство
|/(х, ^0, ...,
2m- 1
<b0(x,u-,y+ Е	(7-8)
i=i+l
с неотрицательными каратеодориевскими функциями Z>0, bt,
г=£+1, ..., 2т — 1 (hi = 0 при к = 2т — 1) такими, что при
§ 7.	ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЕ! ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК 283
любом г>0 функции B0>r(x), Bir(x), i=k+l, ..., 2т — 1,
принадлежат соответственно 1р(П), Lq.(Cl). Здесь
Ry.r(x)=sup{hy(x, £,0,	£t): |£0| + -+1(7.9)
| | = £ 1^1 и при этом предполагается выполнение не-
|а|=1
равенств
р>1, р(2т—к)>п,
q^p, если i<2m — -,
Р
q{>p, если i=2m —-,	(7.10)
Р
п	. » п
, если i>2m—;
2т —i	р
3)	показатели у.; в (7.8) удовлетворяют условиям
i=k + l, 2m—1.	(7.11)
i—к i —к qi
Теорема 7.2 [75е]. Предположим, что для операторов
L, Bj, у=1, ..., т, справедлива априорная оценка (7.3) и выпол-
нены условия 1) — 3). Тогда существует не убывающая по
каждому аргументу функция ф: [R + ]2 -»R +, R\=iteR:t>Q},
такая, что для любого возможного решения и(х)б И/2т(П)
задачи (7.1), (7.2) имеет место априорная оценка
т
II И У 2т,р Ф (|| И lift,ос, У'. || фДх) II 2т-т.— Тр)
j= 1
(7.12)
с 11 w||fc>00= X max| Z)7w(x)|. Функция ф зависит только от
а
известных данных, входящих в условия теоремы (в том
• числе и от величины || Во,л(т) ||р, || Bj<R(x) ||,., j=k+l, ...
J, ...., 2m-1, R= У w lit,oo).
л Доказательство. Пусть u(x)e H/pm(Q)— некоторое pe-
" шение задачи (7.1), (7.2). Из интерполяционного неравенства
(7.4) имеем
II D‘u || р <С1У и || l,p • У и ||	+ с21| и || к, „о	(7.13)
с не зависящими от и(.г) положительными
ct, с2 и
1=^+0А_^\ ±±<0(<i.
Pi п \р п J	2т—к
постоянными
(7-14)
284
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Выберем 61 = —, где и? определяется равенством (7.11),
и пусть p*i — значение ph соответствующее согласно (7.14)
значению 0( = 0|. Имеем в силу (7.11)
1 ^~к , 1 Л	1 4i~P	р 15)
p’i п гДр п I ц’чгр'
Пользуясь условиями 1) —3) и оценкой (7.13) при 0( = 0|,
Pi~p1, получаем для рассматриваемого решения и(х) задачи
(7.1), (7.2):
\\f(x,u(x), Dm 1w(x))||p^
с не зависящими от и(х) постоянными с3, с4.
Используя теперь оценку (7.3), имеем
II Ы II 2m, р
+ 11 и IIIX
т
+ Е ll«PlWll'2nt-m,-lp+llMlb.x
1-1	1 Р
откуда, применяя неравенство Юнга, получаем оценку (7.12).
Отсюда следует утверждение теоремы.
С. И. Похожаевым в [75ж] приводится схема построения
примеров, показывающих, что в условиях (7.11) ни одно из
неравенств ц,<ц* нельзя заменить равенством.
Ограничимся рассмотрением приведенного в [75ж] приме-
ра в случае т = 2, k=\, i=2, п>4. Функция
п — 4
2
иЕ(х) = е
(7.16)
§ 7. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК 285
при 0 < g 1 является решением следующей краевой задачи:
А2ие = Ь2л(х)| Аие|и2,	хеВ(0, 1) = {хеВ": |х|<1},
(7-17)
ди. I \	/ .х 1 ,	1
Т-=ФиИ=-Я~4) - 1+~2
CV	£ г
хедВ(0, 1),
п — 1
хег'В(0, 1),
где
Ь2,г (xj = е**2 И (и — 4)1 ~и2 (л2 -4)(л + 2
Отсюда при ц2 = 3 — n/q2 и
2 (и — 5) q2 — п2 + Зп < О
(7.18)
получаем, что
II ^2,с(х) II Lq (В|(О))<С) («х q2)-
Непосредственно проверяются оценки
Н«£(х)|11,оо<с2(«, q2\	(7.19)
II Ф1,£(х) II ^1р+ II ф2,£(х) |Гз-),р^с3(п, р),	(7.20)
где Ф1.£(х), ф2,£(х)—функции на 6B(0, I), определенные со-
гласно (7.17), с,(и, q2), i=l, 2, с3(п, р)— постоянные, зависящие
соответственно от п, q2 и п, р и не зависящие от е.
Выберем теперь р и q2 таким образом, чтобы выполнялось
условие (7.18), п<3р, а также
п
q2^p, если /?>-,
q2>p, если р = р	(7.21)
п	п п
q2>? если -<р<~.
Нетрудно проверить возможность такого выбора р, q2
в каждом из вариантов, указанных в (7.21).
В этих же условиях для функции иЕ(х), определенной
согласно (7.16),
lim || иДх) ||4.р=+со.	(7.22)
£—о
Из (7.19), (7.20), (7.22) следует, что для задачи (7.17)
при ц2 = ц*2 = 3 — n/q2 утверждение теоремы 7.2 не имеет места.
286 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
В самом деле, если бы это утверждение было справедливым,
то из (7.19), (7.20) получали бы равномерную ограниченность
||иЕ(х)||4,р при всех ее(0, 1], что противоречит (7.22).
Отсюда следует невозможность доказать теорему 7.2, если
заменить в (7.11) неравенство равенством = и не
накладывать никаких дополнительных предположений.
3. Об оценках || и || 7т через || и || т 2 для слабо нелинейных
задач. Рассмотрим, следуя [75ж], условия получения априор-
ной оценки || и(х) || 2т,Р задачи (7.1), (7.2), если известна
оценка решения в И^(П).
Предположим для этого, что выполнены условия:
2') При (х, £,0, ..., 5,2m-1)еОх Л х ... х	справедливы
неравенства
2т- 1
\f(x, £,0,	£,2m-i)l^(1)(*)+ X	если т^,
(7.23)
2т— 1
1Жи-Л2т-1)1^й,2,(хД.)+ X /’Р’М.МГ,
i = io
если ш>|,	(7.24)
с неотрицательными измеримыми функциями Ь1(х), Ь\1>(х),
каратеодориевскими функциями Z>(2)(x, £,,), ft|2)(x, в (7.24)
t ft 1 1	"1-
с,, = <£,а: |a|<w—/0—наименьшее среди целых чисел,
П гт
удовлетворяющих условию /0^т — -. Предполагается, что
при любом r>0, h(l)(x), Birl)(x)eL„(Q), р>1, р> , а
'	' р	2т+п
^P’fx), В|2) (х) е Lq. (О), q,>p,	Здесь 5*2)(х) =
= sup{Z>(x, Ц: |^|<г}, B<2)(x) = sup{Z>?(x, у:|^|^г}.
3') Пусть
. 2т + п	2п 1	.
О^ц,<ц) = —------г----— ---г--	(7.25)
n + 2(i — m) n + 2(i — m) qt
при и + 2(/—т)>0 и ц( — любое положительное число при
n + 2(i—т) = 0.
Аналогично теореме 7.2 доказывается
Теорема 7.3. Предположим, что для операторов L, Bj,
j=l, ..., т, справедлива априорная оценка (7.3), функция
§ 7. ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ПОЛУЧЕНИЯ ОЦЕНОК 287
/(х, £0,	£,2™-1) удовлетворяет условию 1) п. 2 и условиям 2'),
3'). Тогда существует не убывающая по каждому из аргументов
функция ф: [T?V]2-»^+ такая, что для любого возможного
решения ие И^т(П) задачи (7.1), (7.2) выполнена априорная оценка
II	(I! W||ra.2, £ II Ф/(7.26)
i- 1
Здесь функция ф зависит только от известных данных,
входящих в условия теоремы (в том числе в случае т>п/2
от II В&(х) IIр, II (х) IIz=z0, ..., 2ш-1, /г= || И Hi
<с|| иЦтд).
Примеры показывают, что оценка (7.26) перестает быть
справедливой, если в (7.25) заменить неравенство ц,<ц*
равенством ц, = ц) (см. [75ж]).
4. Разрешимость слабо нелинейных задач. В заключение
укажем применение приведенных выше оценок при доказа-
тельстве теоремы существования. Рассмотрим граничную
задачу
7-о«= X (-1)гаПя{<м(хрМх)} =
I«1=1₽|=|т
=/(х, и, ..., O2m-1u), хей, (7.27)
/ я \
1 — 1	w(x) = 0,	xedil, j=l, ..., т,	(7.28)
в ограниченной области й с й" с границей класса С2т.
Предположим, что:
а)	«ав М, I а | = | р | = т — вещественные функции класса
СгаД(П);
б)	существуют положительные постоянные с15 с2, с3 такие,
что с2<с1 и для произвольной функции м(х)бС2т(П), удов-
летворяющей условиям (7.28), выполнены неравенства
Jа^(х)D^uD^udx^Ci £ J|Z)aw|2<7x,	(7.29)
| а | = | p | —m Q	| a | — m Q
juf(x, u, ..., D2mu)dx^c2 X f\DIIuj2dx + c3.	(7.30)
Q	| ot| m Q
Теорема 7.4. Пусть выполнены условия а), б), условие 1)
2л
п. 2 и при некотором р>\, Р> + функция f(x, £0, ..., ^2m-i)
удовлетворяет предположениям 2'), 3') п. 3. Тогда существует
решение и(х)еИ^”(й) задачи (7.27), (7.28).
288
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Доказательство основано на рассмотрении параметри-
ческого семейства задач
Lou=tf(x, и, D2m~ lu), xeQ, re[0, 1],	(7.31)
с граничными условиями (7.28).
Для возможных решений w(x)e ^"'(Q) задачи (7.31), (7.28)
путем умножения (7.31) на и(х) и интегрирования по частям
получаем в силу (7.29), (7.30) оценку для || и || т,2. Применяя
теорему 7.3, находим оценку для || и || 2т.р. Далее разрешимость
задачи (7.26) легко получается из теоремы 7.1 из гл. 2,
поскольку по аналогии с § 2 гл. 3 задачу (7.31), (7.28) можно
свести к операторному уравнению.
5. Разрешимость квазилинейной граничной задачи. Получен-
ные в п. 3 оценки и в п. 4 результаты о разрешимости
граничных задач были обобщены в [75з] на уравнения
с квазилинейным главным оператором. А именно, оценки
доказаны для уравнения вида (7.1) при
С(и) = X пя(х, и, .... Dku)D'tu,	(7.32)
| я| = 2т
теоремы существования доказаны для уравнения вида (7.27)
при замене L0(u) на
X (-1)тВ’{аа3(х, и, ..., Dku}D^u}. (7.33)
| а | = | Р | =т
Предполагается, как и в п. 3, 4, что исходной априорной
оценкой является оценка в W? (Q). При этом считается, что
т>п/2 и к в (7.32), (7.33) таково, что т — к>п/2.
6. Оценка решения дивергентного эллиптического уравнения
в W2 **(Q) при А>п/2. Рассмотрим квазилинейное эллиптичес-
кое уравнение вида
£ (-1)|а|ВМДх, и,	Dmu) = X (-l)|a|D'/e(4 (7.34)
lalgm	ia;Sm
Приведенные в § 1 контрпримеры показывают, что для
уравнения (7.34) с гладкими функциями /я, вообще говоря,
невозможно получить априорную оценку ||и||m+fc,2 при 2к>п.
Следуя работе Похожаева С. И. [75и], дадим здесь оценку
нормы || и || т+к2 в случае периодической граничной задачи,
если тах|Вгаи(х)| достаточно малая величина.
Будем считать выполненными условия:
1)	вещественные функции Ля(х, ^0, ..., Е,т), |ос| ^т, опреде-
лены и при целом к>п/2 имеют непрерывные производные
до к-го порядка по всем аргументам при xeR", Е,оеЛ*, ...
..., qmeRN”’, где Nm — число различных мультииндексов а =
=(«!, ..., а„) длины т,	|а| =/};
§ 8. ЛОКАЛЬНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ	289
2)	функции Ajx, 5,0,	^m),fx(x) являются периодическими
по х1; х„ с периодом 2л при произвольных
(5,0, £т)еЯ‘ х...х/?%/а(х)б^2(Т"), T"={xeRn: 0О,<2л,
/=1, ..., и};
3)	существует положительная невозрастающая функция
X: /?+->/?+ такая, что при любых (х, 5,0, •••,
х R1... х RN^ и	имеет место оценка
X Л₽(а •••, ил«цР>Ця) X Л«,	(7-35)
l’l = l₽l=m	;а| = т
как только £ |^а|	4р(х,	..., ^и) = ^(х, U
|а|
Теорема 7.5. Пусть выполнены условия 1) — 3). Тогда
для любого числа R>Q существуют число Rr >0 и неубы-
. вающая функция <рк: R+ -> Rl+ такие, что для произвольного
2к-периодического по х1; ..., хп решения и(х)е W™+k(Tn)
уравнения (7.34), удовлетворяющего неравенствам
X шах|£>”и(х)| X тах|Пяи(х)| ^Rt, (7.36)
1’1	.« V	\а\ = т хеГ
справедлива априорная оценка
ll«L+M «Рк( X ЩхШЛ.	(7.37)
\|«|«Ет	/
Здесь || • Us,2—норма в И^Т").
§ 8. Локальные энергетические оценки вблизи границы
и в неограниченной области
1.	Оценки вблизи границы. Приведем здесь результаты
А. Е. Шишкова [94а, 946], характеризующие в виде энерге-
тических неравенств, аналогичных принципу Сен-Венана, пове-
дение вблизи границы обобщенного решения задачи Дирихле
для общего квазилинейного эллиптического уравнения высо-
кого порядка.
Пусть Q — произвольное ограниченное открытое множест-
 во в R", и рассмотрим в Q граничную задачу
' X (-l)WD4(x, «, •••> Dmu) = X (-l)|a|zr/a(x), x6Q,
(8-1)
£>“u(x) = 0 при |a|^m—1, xedQ.	(8.2)
19 И. В. Скрыпник
290 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Предполагается на протяжении всего параграфа, что функции
Ах(х; £,) удовлетворяют при xeQ, ^eRM условию Каратеодори
и оценкам
х л(х, х I^r-X2 х 1^1Р-М4 (8-3)
|a|=m	|а|=т	1«1 «т~1
Иа(х, £,)|	£ |^|р“1 + h2(x),	|а|<те,	(8.4)
locj
с положительными функциями йДх), Л2(х) и постоянными
К{, К2, К3-, р> 1. В (8.1), (8.4) функции/а(х), й2(х) принадлежат
L P (Q), функция /ц(х) в (8.3) принадлежит AjfQ).
Будем рассматривать поведение решения вблизи части
границы, содержащей начало координат, и определим П(т) =
= QQB((0, т), 5((0, т)={х: X <т2},	^2) = ^(Tz)\^(Ti),
5(т)=ЙПа5((0, т),
В качестве характеристики поведения области Q вблизи
границы будем использовать р — частоту множеств S(t),
определяемую следующим образом.
Определение 8.1. p-частотой множества 5(т), обозна-
чаемой через Zp(5(t)), называется число
। ।
M5(T))=inf( JIv(<pip6?.J I j 1ф1р6?Л ,
(sh)	J (s(t) J
где нижняя грань берется по всем непрерывно дифференцируемым
в окрестности А(т) функциям ф(х), обращающимся в нуль на dQ.
Здесь V(cp—градиент функции ф(х), рассматриваемой на dBt(0, т).
Исследование поведения и(х) вблизи начала координат
основывается на леммах.
о
Лемма 8.1. Пусть u(x)eW™(£l) — обобщенное решение
задачи (8.1), (8.2) и при некотором то>0 для 0<т<то
выполнено условие
тХр(5(т))>с>0.	(8.5)
Предположим, что измеримые функции Ар(т), ф(т) удовлетво-
ряют при 0<т^то неравенствам
Ар(т)<Хр(5(т)),	(8.6)
тф(т)- inf Ap(s)^C!>0,
г(1 ^ч>(т))О«г
1> 1 —с2 >ф(т)>0	(8.7)
§ 8. ЛОКАЛЬНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
291
с положительными постоянными с,, с2. Тогда существует
положительная постоянная т'е(0, т0) такая, что при 0<т<т'
выполнена оценка
/[т(1 — <р(т))] ^0/(t) + c3G(t),	(8.8)
где 0, с3—не зависящие от т положительные постоянные,
0е(О, 1),
л
Дт) = X \^u(x}\”dx,
1»1=тП(т)
G(t) =
П(т)
М*)+
(8.9)
1 2
dx.
Лемма
задачи (8.1),
~ 'а0р
+ l [М*на(*)г']а; ₽-•-
|а|<т	о
8.2. Пусть и(х)еИ^((1) — обобщенное решение
(8.2), при 0<т<то выполнено неравенство
тХр(5(т))^с<+оо	(8.10)
и предположим, что измеримая функция Ар(т) удовлетворяет
условию (8.6) и
0<\|/(т)<1,
(8.И)
\|/(т) = С4т inf Ap(s),
dx<s<x
при некоторых положительных постоянных с4, d, de(Q, 1).
Тогда существуют положительные постоянные с5, с6, не
зависящие от т, и т'е(О, т0), такие, что при те(0, т')
выполнена оценка
I(dx) + с5 G(d• т) < [ 1 - ф(т)] {/(т) + с5 G(t)} + с6 \|/(т)G(t), (8.12)
где /(т), G(t) определяются согласно (8.9).
Из лемм выводятся явные оценки поведения /(т).
Теорема 8.1. Пусть и(х)е И^(Я) — обобщенное решение
задачи (8.1), (8.2) и выполнено условие (8.5). Предположим,
что <р(т), G(t), определенные в лемме 8.1, удовлетворяют
оценкам
inf <p(s) >v<p(x),	v>0,
т(1-ф(т))<5<Г
x0
G(t)^c7
1 dn
— C,vln- -----,
0 o<p(o)
(8.13)
c7 >0.
i 19*
7-
292 ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Тогда для всякого £>0 существует постоянная с8 = с8(е), не
зависящая от т, такая, что при те(0, т0) имеет место оценка
'о
/(т) «£с8/(т0)ехр
, 1
— c,vln----
2	0+е
d<3
ст<р(ст)
(8.14)
Теорема 8.2. Пусть w(x)e 1ТР(£2)— обобщенное__решение
задачи (8.1), (8.2), выполнено условие (8.10) и пусть ф(л) — не-
отрицательная неубывающая функция такая, что ф($) <
Предположим, что функция G(t) удовлетворяет оценке
то
Git) <с9ехр< Ц—'—у. —— d<z
ma ст
(8.15)
с с9 > 0 и некоторой положительной постоянной х. Тогда
при произвольном £>0 существует с10 = с10(е), не зависящее
от т, такое, что для те(0, т0) выполнена оценка
/(т)^с10/(т0)ехр|^^!—
(8.16)
Можно конкретизировать оценки и вводимые выше функции
для широкого класса областей, в частности, если Qf)B(0, R)
содержится при достаточно малом R внутри тела вра-
щения |x'| Xj >0. Так, в случае включения Qf)B(0, R) в
конус |x'| ^kxt, Xj >0, можем взять /= 1, Ар(т) = ^т-1,
<р(т)=1/2, где ср—некоторая известная постоянная. И, следо-
вательно, теорема 8.1 дает оценку
\D,‘u{x)]pdx
|a|=m J
\Dau(x)\rdx (8.17)
/ T\o-e
г) £
Vo/ |a|=m
с некоторыми а>0, с' = с'(8)>0 и произвольным 5>0, если
предполагать выполнение условия
Замечание 8.1. Утверждения, аналогичные леммам 8.1,
8.2, получены в [94а] и для решений, имеющих неограничен-
ные интегралы энергии вблизи границы. В частности, эти
§ 8. ЛОКАЛЬНЫЕ ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ
293
результаты применимы для изучения устранимости особого
множества решений на границе области.
2. Оценки решений в неограниченных областях. Рассмотрим
задачу (8.1), (8.2) в случае неограниченной области £2 с неком-
пактной границей о£2.	От
Обозначим для такой области £2 через 1Гр.1ос(£2) про-
странство функций w(x), определенных в £2, таких, что для
произвольной бесконечно дифференцируемой функции <р(х)
о
с компактным носителем <p(x)w(x)e 1Гр(£2 f) 5(0, 5)), если
носитель <р(х) содержится в 5(0, 5). Решением задачи (8.1),
о
(8.2) при выполнении условий п. 1 называем и(х)е PK".i0C(£2),
о
если для произвольной функции <р(х)е И/”1ос(£2) с компактным
носителем выполняется тождество
X [Ла(х, и, ..., Dmu)~/a(x)]D“<p(x)5x = 0.	(8.18)
|a|<m .
О
Далее аналогично п. 1 понимаются £2(т), А.р(5(т)), /(т), G(t),
только т будут рассматриваться достаточно большими.
Для простоты формулировки предположим далее, что
в уравнении (8.1) Ла(х, c,)s0 при	1 и Ла(х, не
зависит от при |р|	1. 0
Теорема 8.3. Пусть w(x)e JTpjoc(£2) —обобщенное решение
задачи (8.1), (8.2), при некотором то>0 для выполнено
условие (8.5) и предположим, что измеримые функции А (т),
<р(т) удовлетворяют условию (8.6) и при т>т0
т<р(т)- inf Лр(5)>си >0,
т<«:т(1тф(т))
(8.19)
inf <p(.v) >v<p(r),	v>0.
<т(1 +<p(t))
Тогда при каждом £>0 существует c12 = c12(e) такое, что
имеет место оценка
(8.20)
то
с не зависящей от £, т постоянной 0е(О,
1), как только
lim/(t)[G(t)]-1 = oo.	(8.21)
Если же G(t) = 0, то оценка (8.20) справедлива с £ = 0.
294
ГЛ. 7. АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ И РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ
Аналогичное утверждение справедливо и при условии
(8.10).
Сформулируем следствие теоремы 8.3, близкое к теореме
Фрагмена — Линделёфа.	0
Следствие 8.1. Пусть u(.v)e H^loc(Q) -обобщенное реше-
ние задачи (8.1), (8.2) при С(т) = 0 и предположим, что
выполнены условия теоремы 8.3. Тогда либо и(х) = 0, либо
при произвольном р > 0
т-р
sup |w(x)|₽ >c13(£)[mesQ(T)]~* р^ехр] vln-^-
хей(т)	(_ H + e J ст<р(сг) J
(8.22)
В частности, если область £2 лежит в слое |х„| <ц, то из
(8.22) следует оценка для ненулевого решения
sup |w(x)| ><?i4(8)exp< ——-(? — т0)>	(8.23)
хеО(т)	( U	J
для каждого 6>0 при т>т0.
ГЛАВА 8
ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ
УРАВНЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Данная глава посвящена исследованию регулярности гра-
. ничных точек для дивергентных квазилинейных эллиптических
уравнений
" d
[ ди
х, и, — =а0 х, и, —
дх /	\ дх
(0.1)
При рассматриваемых в главе условиях ограниченность
и локальная гёльдеровость решения хорошо известна (см.,
например, монографию О. А. Ладыженской и Н. Н. Ураль-
цевой [49]). Также известна гёльдеровость решения задачи
Дирихле в замкнутной области при определенных условиях
на границу области.
В данной главе дается в определенных случаях решение
восходящего к Винеру вопроса об условиях на границу
области, обеспечивающих непрерывность решения в данной
граничной точке. Излагаемые ниже результаты о необходимом
условии регулярности граничной точки принадлежат автору
[77л], о достаточном условии — Гарипи и Цимеру [22].
Отметим, что для более узкого класса уравнений достаточное
условие получено В. Г. Мазьей в [586].
§ 1. Вспомогательные предложения
Здесь будут доказаны леммы, играющие основную роль
при получении поточечных оценок решений граничных задач
для уравнения (0.1) и вспомогательных функций. Первая из
приведенных • здесь лемм связана с итерационным методом
оценки максимума модуля решения квазилинейных эллипти-
ческих уравнений, предложенным Мозером [62].
Лемма 1.1. Пусть \<р<п, QczR"— содержащаяся
в В(0, В) область и предположим, что для некоторой функции
о
и (л) 6 И7‘(fl) при произвольном положительном числе г выпол-
нено неравенство
о
п
296
ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
с !<(/<----- и не зависящей от г постоянной К. Тогда
п—р
функция и(х) ограничена на £2 и имеет место оценка
vraimax | и(х) | < с {1 +1| и ||	}
с постоянной с, зависящей лишь от п, р, R, К.
Доказательство. Пусть г......произвольное положитель-
о
ное число. Используя вложение ^(£2) в L ч>(£2), имеем
п-р
оценку
2"р ( Г	"~р
<с2(г+1)л-Н (l+|w|)'? л'</х>	.	(1.2)
о
Здесь при получении последнего неравенства была приме-
нена оценка (1.1). Выберем сейчас в неравенстве (1.2)
следующие значения для г:
r = rt
пр I п 1
п —р \п—р ц
Вводя обозначения
/,= (l+|w(x)|)r,t7x,
о
перепишем неравенство (1.2) в виде
где
2пр
(п 1Ал-р	п—р
-----	, т=	q.
п—р qj	п
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	297
Последовательное применение последнего неравенства дает
+	+	(1-3)
Если теперь при некотором значении М
mes {х: хе£2, |к(х)|>Л/ } = цм>0,
то при всех i можно оценить левую часть неравенства
(1-3):
Л/п-р-Цм-	(1-4)
Неравенства (1.3) и (1.4) дают при i, стремящемся
к бесконечности,
пр Г	пр
Мп^р^с (1 +1 и(х) | )п-Pdx,
о
что и доказывает лемму.
Лемма 1.2. Пусть р, £2 такие же, как в лемме 1.1,
и предположим, что для функции u(x\s, ^Й,1ос(И) при неко-
торой неотрицательной функции <р (х) е С о(£2j7"p> р и произ-
вольных положительных числах г, з выполнено неравенство
f | w(x) |r<ps+₽(x) *
о
ди
дх
р
dx^
^K^ + s+p)» ^\u(x)\r+p-<ps(x)dx	(1.5)
n
с не зависящей от г и s постоянной К. Тогда функция и(х)
ограничена на множестве £2j = {xe £2: ф(х) > 1} и при любом
q>0 справедлива оценка
vraimax {|w(x)|e: xe£2j}	[А^"/₽ + Е"]-j |и(х)|в<рд(х)й?х
а
г	д(р
с L = max —
xeQ
и постоянной с, зависящей лишь от п, р, q, р, R.
Доказательство. Пусть г, s — произвольные положи-
тельные числа, удовлетворяющие неравенствам г+р>----,
п-р
п Р
s+p>-------. Тогда функция {|w(x)|r+₽-<ps+'’(x)}'^
леммы принадлежит пространству W р(В(0, R)),
в условиях
по теореме
298	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
вложения и неравенству (1.5) имеем для нее оценку
2мр	п
|u(x)|r+p(ps + p(x)t/x^c(r + 5 4-p)^ [X+Lp]«-p х
n
п
f f	lr + о}-—- (•’+/’) "—~~Р J 1И~Р	гл г\
х< |и|(г+р> П -ф " dx\ .	(1.6)
а
пл-	( П \	I \ ( п \
Выбирая r = ri = q-[-------I —р, 5 = st = (и + q) • --- — п — р,
\n-pj	' \п—р)
перепишем последнее неравенство в виде
п
Ji^cb^+Lr^p-JKi,	(1.7)
где J;= |и(х)Г'+'’[<р(х)]5'+₽<7х,
2лр
п-р
О
Из неравенства (1.7) следует требуемая в доказываемой
лемме оценка путем рассуждений, примененных при заверше-
нии доказательства леммы 1.1.
Лемма 1.3. Пусть р, £1, г, s, <р(х) такие же, как
и в предыдущей лемме, и предположим, что для некоторой
функции и(х)е 1ос (£2) справедливо неравенство
|w(x)|r<ps+a(x)
О
dx^K(r+s+p)p |w(x)|r+T<ps(x)t7x (1.8)
о
с р > р, ст > р, т < р и не зависящей от г, s постоянной К.
Предположим еще, что функция и(х) ограничена на множестве
fl2 = supp<p(x), носителе функции ф(х). Тогда при любом q>Q
справедлива оценка
vraimax |w(x)|?+p^ т)
A^+vraimax | и(х)|₽ ' Lp
п/р
а
с постоянной с, зависящей лишь от п, р, q, R, р, ст. Здесь
£21; L имеют то же значение, что и в лемме 1.2.
Доказательство полностью аналогично доказательству
предыдущей леммы. Введем обозначение Af2 = vraimax |и(х)|.
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
299
Вместо неравенства (1.6) получим
| w(x) |r+p •<ps+p(x) dx < с (г + 5+р)я-^ \К+М^ 'Lr],i-p-
J	п
Q	f f ,	> п~Р	,	\ п~Р 1
• IИ(х)|(г+р>-и--р+т[<р(х)]ИЛ- -а<М
о
Выберем
Для интеграла /; = j |и(х)p+/’-[(p(x)]s'+p</x получаем рекур-
о
рентное соотношение
21—.	"
п
п-р
откуда, как и выше, следует утверждение леммы.
Лемма 1.4. Пусть \<р<п. При произвольной функции
w(x)e IVр (В(0, г)) и произвольных числах рь р2, удовлетворяю-
щих условию 0^р1<р2^г/2, имеет место неравенство

*(р..Рг)
j , Р 2 ” Р1
dx + c-----
г"
К(р„г)	К
с постоянней с, зависящей лишь от п, р. Здесь /С(р1; р2) =
= {х: pi<|x|<p2}.
Доказательство достаточно провести для функции
w(x)eCo (В(0, 1)). Пусть xeA^pj, р2), yeK(rj2, г)—такие точ-
х у 1Т
ки, что —-=— = го. Непосредственные вычисления дают
х У
ди
дх
ju^t)dt
ди
дх
р
^(юг) Z" 1 dt Р
дх' '
р
|х|
(1.9)

t р-i dt р .
I х I
300	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Представляя интеграл в левой части (1.9) в сферических
координатах по переменным | х | е [рь р2] и o> = ^eS(0, 1),
получим
Ра
Х(р„ Р,)
Г Рг
Pl S(0, 1)
г1
ди
8х
г Р. S(0, 1)
2
Pl
|уI"-1 <W|x|rf|y|.
р
Дальнейшие вычисления приводят к оценке (1.9).
Из леммы 1.4 непосредственно получаем
Следствие 1.1. Пусть \<р<п. При произвольной функции
о
w(x)e IVp (В(0, 1)) и произвольных Р1, р2, удовлетворяющих
условию 0<Р1<р2<1, имеет место неравенство
Pdx	(1.10)
|и(х)|',</х<с[Р*-Р']-
Х(р,, р2)	Х(Р„ I)
с постоянной с, зависящей лишь от п, р.
Следующие простые утверждения также выделим отдель-
но, так как они будут неоднократно использоваться при
получении априорных оценок.
Лемма 1.5. Пусть {а,}—ограниченная числовая последо-
вательность такая, что при всех значениях i= 1, 2, ... выпол-
нено неравенство
а^Л-а7+1-а*	(1.11)
с положительными числами А, а и ст, принадлежащим
интервалу (0, 1). Тогда справедлива оценка
1
а1^сЛ‘-а	(1.12)
с постоянной с, зависящей лишь от ст, а.
Доказательство. Последовательным применением не-
равенства (1.11) получаем
< А 1 + п + - +с* 1 .п1 । 2<т+ ... +ка* 1 а*
at	-а	<Хц+1,
откуда и следует неравенство (1.12).
§ 1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ	301
Лемма 1.6. Пусть {у,-}— ограниченная числовая последо-
вательность, удовлетворяющая условию
0<у^с^а1	, 7=1,2,...	(1.13)
1^=1
с положительными постоянными с(1\ а, А1У ..., Аг и а;е(0, 1),
/=1, ...,/, и пусть В — произвольное положительное число.
Существует положительное число р, зависящее лишь от В,
?(1), а, at, ..., а;, I, такое, что из условия
i	(1.14)
1=1
следует неравенство
у^в.	(1.15)
Доказательство. Пусть а=тах{аь ..., а7}, и укажем
выбор р, заранее считая, что р 1. Применяя неравенство
Юнга, получаем из (1.13)
У,^с(1,а'Р {у?+, +1} <с(1)й>Р‘ Ы+1 + р“} <
с постоянной ст, зависящей лишь от а. Из полученного
неравенства следует
у7+Р^С‘3>(«+1)>р1-''{у,м + ₽}а,	(1.16)
где с(3) = с(1)-с(2)+1.
Последовательным применением неравенства (1.16) получаем
у1 + Р^[с(3)]1+я+-+я* ‘(«+1)1 + 2а+-+л®‘ ‘ х
xpd-«)(i !«+...+«* ,)-{л+1 + р}»*	(1.17)
при произвольном натуральном числе к.
Пользуясь ограниченностью последовательности мо-
жем выбрать число ее(0, 1/2) так, чтобы (у^+1)с<2 при
7=1, 2, ... Определим целое число к0 условием а*°<е. Тогда
из неравенства (1.17) при к=к0 получаем
уг ^2 [с<3»]1/(1"“»(«+ ijVC-^p172,
откуда следует возможность выбора р, требуемого для
обеспечения неравенства (1.15).
В заключение отметим лемму Йона—Ниренберга, исполь-
зуемую в § 4 при доказательстве достаточности условия
регулярности граничной точки. Формулировку леммы дадим
в форме, приведенной в [49, гл. IX, §5].
302
ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ-
' {'’./и. .
Лемма 1.7. Пусть функция v(x) суммируема в кубе K2R
с длиной ребра 1R и для любого куба Крс; K2R удовлетворяет
неравенству
dv
OX
| V— v^dx^cmesK?	(1.18)
к,
с некоторой постоянной с, где rp = mes-1 Кр- J г(х)</х. Тогда
к,
существуют положительные постоянные о0 и В, зависящие
лишь от сип, такие, что при 0<о<ст0 выполнена оценка
eavWdx e-°vMdx^Bmts2K2R.	(1.19)
кг, к2*
Замечание 1.1. Неравенство (1.19) будет верно, если
гДх)е 1Гт(А^к) и удовлетворяет оценке
dx^cpn-m,	(1.20)
к,
так как в этом случае (1.18) следует из (1.20) по неравенству
Пуанкаре.
§ 2.	Необходимое условие регулярности граничной точки
Пусть Q — ограниченное открытое множество в R". Будем
изучать поведение решений уравнения (0.1) в граничных точках
области Q в предположении, что функции а,(х, и, р), г = 0, 1,
..., п, определены при xeQ, ueR1, peR" и удовлетворяют при
тех же значениях х, и, р и veR1, qeRn следующим условиям:
а)	для почти всех х функции аДх, и, р) непрерывны по
и, р, и для всех и, р а,- (х, и, р) — измеримые функции х;
аДх, 0, 0) = 0.
б)	с положительными постоянными v, ц выполнены
неравенства
X [аДх, и,р)-а;(х, и, q)'](pi-qi)^v(\p\ + \q\)'n~2-\p-q\2,
i=1	_	(2.1)
|аДх, м, р) —аДх, г, ^)|	2 {|р —<?| + | и—},
если 1 < т < 2, и
L [аДх, и, р)-а^х, и, #)]
j '	>v(i+|p|+ki)m-2-|p-?|2,
|аДх, u,p) —аДх, v, <?) | $ци>Т“2-{ |р-#| + | и-г|},
§ 2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ	303
если. 2^т<и,1 Здесь и’1 = 1+|и| + |г| + |р| + |^|, w = |и| +1v| +
+ И + М-
В настоящей главе вопрос о регулярности граничной
точки изучаем при т<п, аналогичные результаты могут
быть получены и при т=п.
При выполнении условий а), б) для любой подобласти
Q' с Q, достаточно малой меры, и произвольной функции
4 /[.х)е И'’],(й) существует обобщенное решение u(x)g ^(П')
о
уравнения (0.1), удовлетворяющее условию и(х) — /(х)е
При этом, как и в гл. 1, под обобщенным решением
; понимается функция, удовлетворяющая соответствующему
’ уравнению (0.1) интегральному тождеству.
Существование такого решения в Q' при сделанных
предположениях может быть получено методами гл. 1, так
как в случае области малой меры соответствующий граничной
. задаче монотонный оператор оказывается коэрцитивным.
Разрешимость задачи Дирихле для уравнения (0.1) во
всей области П при произвольной граничной функции условия
а), б), вообще говоря, не обеспечивают. В связи с этим
представляется целесообразным формулировать определение
регулярности граничной точки в локальном варианте.
Пусть х0—произвольная точка на dQ, границе области
Q. Обозначим через В(х0, R) шар радиуса R с центром
в х0 и пусть Qr = QQ В(х0, R).
Определение 2.1. Будем говорить, что х0—регулярная
граничная точка области Q для уравнения (0.1), если сущест-
вует /?>0 такое, что для всякого определенного в
обобщенного решения и(х)е 1УД(ОК) уравнения (0.1), удовле-
творяющего условию
ф(х)[и(х)-/(х)]е ЙДЦПя)	(2.3)
с функцией /(x)gC(Qr)P| ИДЦОд) и бесконечно дифференци-
руемой функцией ср(х), равной единице в окрестности х,
выполнено равенство
lim w(x) = f(x0).	(2.4)
Отметим, что решение м(х), о котором идет речь в опре-
делении 2.1, ограничено при некотором р>0 в В(.х0, р)ПQ
и гёльдерово в В(х0, р)(Д£2. Это следует из [49].
Для формулировки условия регулярности введем еще
понятие /и-емкости Ст (см. Мазья В. Г. [586]). Обозначим
через ®1(£) множество функций пространства Со(В(хо, 1)),
удовлетворяющих условию w(x)=l при хеЕ.
Определение 2.2. Будем называть т-емкостью мно-
жества ЕаВ(х0, 1/2) число
£„(£) = inf
(реШЦЕ)
dx.
Теорема 2.1. Пусть 1</и<2 и выполнены условия а), б).
Для того чтобы точка хоед£1 была регулярной граничной
точкой области Q для уравнения (5.1), необходимо, чтобы
1/2
f {Cm(B(x0,/)\Q)-r-n}2/my=«).	(2.5)
О
Теорема 2.2. Предположим, что выполнены условия а), б)
и 1^т<п. Для того чтобы точка х0 была регулярной
граничной точкой области Q для уравнения (0.1), необходимо,
чтобы при е = (т —2)— выполнялось условие
1/2	т
С	1 ,it
{Ст(В(х0, z)\Q)zm-"}m-i+e7=<K.	(2.6)
о
В настоящем параграфе введем вспомогательные функции
ик(х), играющие основную роль при доказательстве сформу-
лированных теорем, приведем без доказательства априорные
оценки для этих функций и получим на их основе доказатель-
ство теорем 2.1, 2.2.
Предварительно отметим эквивалентные формулировки
условий (2.5), (2.6) и некоторые свойства /и-емкости. Пусть
£* = В(х0, 2"*)\Q, £(t) = £k\.S(x0, 2"(t +*');
обозначим через SRt(£t) и Hi(k)(£(k)) подмножества множеств
SR(£t), *Ш(£(М), образованные функциями с носителями соот-
ветственно в В(х0, 2-(к-1)) и В(х0, 2~(/l“	2~(k *'2)).
Лемма 2.1. Существует постоянная с, зависящая только
от т, п, такая, что
inf
феТОДЕ,)
В(х„, I)
inf
<реад<‘|(£<|‘|)	•
1)
т
dx^c-Cm(Ek).
(2.7)
т
dx^c-Cm(E^}.
(2.8)
Доказательство обоих неравенств проводится одина-
ково. Проверим первое из них. Определим функцию
Xt(x)eCo (В(х0,/?)) так, чтобы /к(х)=1 при |x-x0|s$2-*,
Х*(х)=0 при	и ^(х) <2‘+1.
Тогда при срб*Ш(£к),	(х)• <р(х)еSDtfe(Ек) и ,
inf
феЯМЕ.) .
I)
с  inf
<реЗД(Е„)
в(х„,2 “ ”)
inf
<pe<Di(EJ
m
Л = С1Ст(£к).
Второе из приведенных здесь неравенств следует из (1.10).
Лемма 2.2. Условие (2.6) эквивалентно каждому из двух
нижеследующих равенств:
X {2t("-m»Cm(£t)}S^=co,	(2.9)
k=l
оо	..1 ...
£	=оо.	(2.10)
k = 1
Доказательство. Эквивалентность (2.6) и (2.9) следует
из неравенства	t
{Cm(£t+1)-2M'I-m)}S^ln2^
< 2f {Ст(В(х0,1)\С1)Г-”}^Л^^
2 «♦.>	‘	_Д_.
<{Cm(£t)-2(,l + 1)	1+cln2.
Для проверки эквивалентности (2.9) и (2.10) достаточно
проверить, что с некоторой, зависящей только от т, п,
постоянной с имеет место оценка
х [2‘<—»Си(£к)]^Г+’Ч
fc= 1
1 + f [2‘<"-m>-
fc=l
если конечна сумма ряда, стоящего в правой части.
20 И. В. Скрыпник
___1 л
(£(M)]'"-f+4,	(2.11)
306	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Пусть конечна правая часть (2.11), и определим, в соот-
ветствии с леммой 2.1, функции p(t)(x)eSR(t)(£(t)) так, чтобы
имело место соотношение
* 5vik} т
— ^<rfCj£<fe') + 2^"}.	(2.12)
в(х., 1)
Из (2.11), (2.12) следует, что последовательность функций
N
wN,dx)= X и<|)М
1 = к
сходится при N-+CO в W1m(B(x0, 1)) к некоторой функции
vvt(x) такой, что wfe(x)e Й<ЦВ(х0, 1)), vvfe(x)>l на Ек.
Пусть [wfe(x)]j =min[ivfe(x), 1}. По определению Ст-ем-
кости
в(ч. О
Отсюда при любом К имеем
к	. ..Л
X [2fe<"”""Cm(£fe)]m-1+4
it=i
X f	x	T ! 
£ Ьнп-п.) £ [Cm(£(,))+2-'"] >т-1+е <
k=l (	l—k	J
00	1 (Ь-n "~т	—Ли.
X X2 m-I+£-{Cm(£(,))-2,(n-m) + 2-,m}m	,
1=1к=1
что обеспечивает доказательство неравенства (2.11), а вместе
с ним и леммы 2.2.
Аналогично доказательству леммы 2.2 проверяется, что
(2.5) эквивалентно каждому из двух условий, получающихся
из (2.9), (2.10) при Е = (2 — т)/2.
Введение вспомогательных функций потребует определения
а,(х, и, р) при x^Q. С сохранением условий а), б) продолжение
аЛх, и, р) по х вне Q легко сделать, положив, например, при хф Q
аДх, и, p) = at(x, и, р), где х — некоторая фиксированная точка
области Q. Поэтому можем считать аДх, и, р) определенными
при xeR", ueRk, peR" и удовлетворяющими а), б).
§ 2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
307
Выберем в дальнейшем число R так, чтобы выполнялось
Неравенство
R<— -З-"*-—,	(2.13)
2цп 1+с0
0
Где с0 — такая постоянная, что для и(х)е ^(5(0, 1)) имеют
, место неравенства Пуанкаре
|u(x)|k(/x^c0 J
В(О,1)	в(О,1)
5и(х)
дх
К
dx при min(2, т) ^т.
(2-14)
Пусть k0=l-log2T? и cpR(x) —неотрицательная функция
класса Cq(B(x0, £)), равная единице в В(х0, R/2). При
введенном выше множестве Ек определим для целого к > к0
функцию ujx) как решение задачи
Д d	(	ди\	(	ои\	,	,
У—Я; х, и, — =а0 х, и, — I, xgZ\ = B(x0, R)\Ek,
• _ । dx^	\	с х J	\	ох ]
(2-15)
u(x)-<pR(x)e^(Dt).	(2.16)
Существование так определенных функций wt(x) доказывается
методами гл. 1. Условие (2.13) обеспечивает при этом коэрци-
тивность соответствующего оператора. Функцию ик(х), опре-
деленную на Dk, можем доопределить на Ек, полагая ее
значение, равным единице.
Отметим просто проверяемую оценку нормы ик(х)
в Ш(А)-
Лемма 2.3. Для функции ик(х)—решения задачи (2.15),
(2.16) — справедливы оценки
hJI'l ^c-Am(£j, если \<т^2,
НМ2. +l|wjr,	если 2<т<п,
где
Am(£fe) = [Cm(£t)]m-[Cm(£’fe) + 2-k”]^, если 2<m<n,
;	(2.П)
Am(£j = Cm(£j, если \<m^2.
Доказательство. Подстапим в соответствующее задаче
(2.15), (2.16) интегральное тождество вместо пробной функции
разность ик(х) — ср(х), где ср(х)еОценивая его с учетом
20*
308	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
условий а), б) и неравенства (2.14), получим, например,
при т>2
Отсюда на основании (2.7) получается вторая из утвер-
ждавшихся в лемме оценок. Аналогично получается первая
оценка.
Замечание 2.1. В случае функций а;(х, и, р), удовлетво-
ряющих условиям, получающимся из (2.2) заменой в первом
неравенстве суммы 1 +|р| + \q| суммой |р| + |<71 и заменой
во втором неравенстве функции w функцией
w' = |и| +1v| + \р| + \q|, аналогично доказательству леммы 2.3
получаем оценку

и при 2<т<п.
Имеет место следующая основная теорема, доказательству
которой будет посвящен § 3.
Теорема 2.3. Пусть ик(х)—решение задачи (2.15), (2.16)
и предположим, что выполнены условия а), б). Тогда с не-
которой постоянной А, зависящей только от т, п, v, ц,
выполнено неравенство
vraimax |ut(x) — uk+ ,(х)|	• \(Ek),	(2.18)
|л-х„| «2 11+41
где
Xk(Ek) = {2k("~m}Cm(Ek) + 2~km}2lm, если 1<т<2,
kfe(£fe) = {2fe<"-'"’Cm(Efe) + 2-fem}^-rE, е=^(щ-2),
если 2^т<п.
Для доказательства теорем 2.1, 2.2 еще понадобится
Лемма 2.4. При \<т<п справедлива оценка
mk = vraimin{|ut(x)|: |х—х0| «:2 (t + 5)
^с{Ст(Еку2к{"-т) + 2-кт}
1/т
с постоянной с, зависящей лишь от т, и, v, ц.
Доказательство. Пусть uJx) = min{|ut(x)|, тк} при
хеВ(х0, R) и йк(х) = 0 вне В(х0, R). По определению
§ 2. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
309
?п-емкости
Ст(В(Х0
т
dx
(2-19)
Последнее неравенство получено здесь в силу леммы 2.3.
С другой стороны, из (2.7) просто получается
Ст(В(х0, 2““ + 5)))>с-2~“"-т).
Отсюда и из (2.19) следует лемма 2.4.
Доказательство теорем 2.1, 2.2. Достаточно про-
верить, что при ограниченности интегралов, стоящих в левых
частях условий (2.5), (2.6), граничная точка х0 нерегулярна.
Предполагаем ограниченность только что указанных интегра-
лов, выполнение условия (2.9) при т >2 и аналогичного
условия с £ = (2 —«1)/2 при 1<т<2.
При этих предположениях сходится ряд
f Ш),	(2-20)
к=к0
где определено при формулировке теоремы 2.3. Вы-
берем число так, что
0°	|
L	(2-21)
к к1
где А — постоянная из неравенства (2.18).
В нерегулярности граничной точки х0 убедимся на примере
функции НцДх), рассматриваемой как решение уравнения (0.1)
в Лд. Из (2.16) следует, что для ut](x) выполнено условие
(2.3) с /(х)=1. Теоремы будут доказаны, если покажем, что
lim ut](x)<l.
-Г ^Х0,Х£Йв
Пусть 5—произвольное положительное число. В силу
сходимости ряда (2.20) и леммы 2.4 можем выбрать
число к2 = к2(8) и множество F(5) <= Q так, чтобы mes£(5)>0
и при хе£(5)
И2(х)1 < 1/4, |х-х0| <2-“2 + 5)-	(2.22)
310	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Оценим и^Дх), используя (2.22), (2.18) и (2.21). Имеем
к2~ 1
Е |w((*)~w(+i(x)l + Mx)l < 1/2 ПРИ xeF(5).
‘-ч
Отсюда следуют утверждения доказываемых теорем.
§ 3.	Априорные оценки вспомогательных функций
В настоящем параграфе устанавливаются оценки. функций
мДх) и ut(x) — ик ц(х). Отличительной особенностью этих
оценок по сравнению с известными оценками максимумов
модулей решений квазилинейных уравнений (см., например,
монографию О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [49])
является мажорирование решений не постоянной во всей
области их определения, а функцией: либо функцией точки,
когда речь идет об оценке ut(x), либо функцией множества
при оценке uk(x) — uki Дх). Возможность получения таких
оценок связана с развитием итерационного метода.
1.	Оценки функций «Дх). Полученная в лемме 2.3. ограни-
ченность в ИИт(В(х0, Я)) последовательности ик(х) приводит
известными рассуждениями к равномерной ограниченности
этой последовательности (см. [49]).
Справедлива
Лемма 3.1. Существует постоянная М, зависящая только
от т, п, v, ц, такая, что при k>k0 имеет место оценка
vraimax|ut(x)| ^М.	(3.1)
veD,
Здесь и дальше в настоящем параграфе ик(х)—решение
задачи (2.15), (2.16).' Предполагаем выполнение условий
а), б) из § 2.
Отметим еще, что в силу предполагаемых условий,
в частности, (2.13), функции мДх) неотрицательны в Dk.
Для проверки этого достаточно подставить в интегральное
тождество
Д / дик \ <Э<р / дик \	.	,,
), а,1 х, ик, — I-—Ьа01 х, ик, — 1ср >ах = 0,	(3.2)
; _ £	\	I/Л J U Л	\	U Л J j
справедливое для произвольной функции ср(х)е (СДдД, вместо
ср(л') функцию min{ut(x), 0} и провести соответствующие оценки.
Перейдем к получению оценки максимума мДх) на сфере
|х—х0| = р при р>2~(к~2). При этом можно говорить о мак-
симуме, так как на рассматриваемой сфере функция мДх)
удовлетворяет условию Гёльдера (см. [49]).
§ 3. ОЦЕНКА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ	311
Определим при с> max wt(x) множество
!х-х0! = р
Fc = {x: p«S |х—х0|«?/?} U {хеВ(х0, р)\Ек: м*(х)^с}	(3.3)
и функцию
г„ Ml = J	при хе/2,
L |с	при xeDk\Fc.
Подставим в (3.2) ср(х) = [ик(х)]<, — с'ик(х), где c' = min(c, 1),
и рассмотрим, для конкретности, случай 2^т<п. При
1<т<2 рассуждения полностью аналогичны. После примене-
ния неравенств (2.2) получим оценку
с постоянной Кк, зависящей от т, п, V, ц. Оценивая первый
интеграл в правой части по лемме 2.3, ко второму еще
дополнительно применяя неравенства Гёльдера и Юнга
и используя неравенство mes(Z>l[\f’(.) ^с'р", получаем следу-
ющее утверждение:
Лемма 3.2. Пусть 2-(к-2)^р^Т? и о max wt(x). Тогда
|х-х0|=р
справедливы оценки
F
т - 2
dUk
дх
Sx
2
dx
К-с{Хт(Ек) + рп}112  {Хт(Ек)}112
(3.4)
при 2<m<n,
г
^A''c-{Cm(Ek)}<'"-1>/m-{Cm(E|k) + p"}1/m при 1<щ^2,	(3.5)
312	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
где Fc и Л.т(Ек) определяются соответственно равенствами
(3.3), (2.17), постоянная К зависит только от т, п, v, ц.
Замечание 3.1. В случае а0(х, и, р) = 0 правые части
в неравенствах (3.4), (3.5) можно взять соответственно
равными К-с-\т(Ек) и К-с  Ст(Ек).
Теорема 3.1. При 2-<к~2> «5 |х—х0|	имеет место
оценка
( С (F \	) 1/(т-1)
ик(х)^к\ ^^т + \х-х0\<	(3.6)
Uх л01	J
с постоянной К, зависящей лишь от т, п, V, ц.
Доказательство проведем для случая 2^т<п. Пусть
|х —х0|=р. Определим две числовые последовательности
[ равные един
рр}, нулю вне Gj
р<1>=5(1+2-0, Р$2) = ^(3-2-'), 7=1, 2, ...,
и бесконечно дифференцируемые функции Ф;(х), равные едини-
це на множестве Gj = {x: р)1’С |х — х0| ^р)2’}, нулю вне G}+i
и такие, что О^ср,(х)^1, ^(х) <----.
Введем обозначение т; = тахик(х) и рассмотрим два
возможных случая:	xeCj
mj+i^p,	(3.7)
wy+i>p.	(3.8)
Пусть вначале выполнено неравенство (3.7). Подставим
в (3.2) ф = гД+1(х)ф)4т(х) с произвольными положительными
числами г, s. Получим после оценок с помощью неравенств
(2.2) и неравенства Юнга:
2
- И[(х)ф; + т(х)б/х <

’	(3.9)
В силу неравенства (3.7) имеем из (3.9)
^K2(s+m)m--^-
uk+2(x)-q>j(x)dx.
(3.10)
§ 3. ОЦЕНКА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИИ
Отсюда на основании леммы 1.3, примененной при q = m
и следующих из (3.10) значениях остальных параметров,
получаем оценку
т^К3-
n/2
2mj
uk(x)q>’j'(x)dx.
Оценим интеграл в правой части последнего неравенства,
применяя следствие 1.1 и лемму 3.2:
дик
дх
и"(х)(р"(х)(/х^ [wk]m. }dx ^cpm
GJ*1	CJ-1	Fm.
^cpm-mJ+1  {\m(Ek) + pn}t/2  (Xm(Ek)}1/2.	(3.11)
Два последних неравенства дают
'	(3.12)
Пусть теперь выполнено неравенство (3.8), в силу которого
из (3.9) получаем
ul(x)^^(x)dx^
<K5(s+m)m
urk+2(x)q>s}(x)dx.
Применим далее лемму 1.3 к оценке функции ик(х),
выбирая q = m. Получим
Uk(x)q>T(x)dx.
Применяя к оценке последнего интеграла неравенство (3.11),
имеем
2п	2ni 1	2«	I	I
тГП	+	(3.13)
Таким образом, в зависимости от выполнения одного из
неравенств (3.7) или (3.8) пришли к оценкам (3.12) и (3.13)
314
ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
для т}, из которых и будет получено утверждение те-
оремы 3.1.
Так как сейчас доказываем теорему при т>2, то из
(3.12), (3.13) следует, что независимо от того, какая из двух
оценок — (3.7) или (3.8) — имеет место, справедливо нера-
венство
«/•2
т + п 	7 2 1+л  I	I
mj	'"•{Am(£l[)+p"p-{Am(£Ji)p. (3.14)
Далее применяем лемму 1.5, которая дает для т1 оценку
( 1	3 l/(m-1)
т1 ^c|^[Am(£J + P"]1/2- [Аи(£к)]1/2|	,	(3.15)
что и доказывает теорему.
Непосредственно из доказательства теоремы вытекает
Следствие 3.1. Имеет место оценка
max ик(х)^Х-{Сга(£4) • 2k<"’m) + 2 D
2 '(*-2^|x-x0|^«
с постоянной К, зависящей лишь от т, п, V, ц.
Пусть М(р)= max uk(x) и проверим выполнение нера-
|х-х0! =р
венства
Л/(р)	• {Ст(4) • 2k<B - т) + 2}1/<т -1 ’
(3-16)
при ре[2 <к 2), /?]. Справедливость (3.16) при р = 2'(к~2)
непосредственно следует из (3.6). Если для введенной в ходе
доказательства теоремы 3.1 величины mj+l выполнено нера-
венство mj+l^M(2~'{k~2}), то, следовательно, для соответст-
вующего р справедлива оценка (3.16). Если же mj+l>
>М(2 ~<к-2)), то лемма 3.2 при получении неравенства (3.11)
позволяет оценить
Г э m
J 2 tZx^£-my+1-{Am(£t) + 2-H1/2-{Am(£t)}^.
В результате применения этой оценки вместо неравенства
(3.15) получим
^^[ЛДШ2-‘Т2 • [ЛЖ)]1/2
что и обеспечивает доказательство следствия 3.1.
§ 3. ОЦЕНКА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
315
2.	Функции кк(х) и их оценки. Наряду с функциями ик(х)
при доказательстве теоремы 2.3 будут использоваться вспо-
могательные функции vk(x), определяемые как решение задачи
д
дХ(
ди
дх
xeD(k) = B(x0, R)\E{k},
о
и(х)-фк(х)б^^(Е><к>),
(3.17)
(3.18)
(Где множество Е1к} и функция фд(х) определены в § 2.
В силу замечания 2.1 справедливо неравенство
(3.19)
Для функции vk(x) можно получить оценку вида (3.6),
^которая с учетом замечаний 2.1, 3.1 имеет вид


т
|х-х0Г“т
2”(k’24|x-x0|<R.
Эта же оценка может быть получена и при |х—х0|^2_<к + 2),
при этом полностью сохраняется доказательство, аналогичное
доказательству теоремы 3.1.
Замечая, что для уравнения (3.17) справедлив принцип
максимума, приходим к утверждению.
Лемма 3.3. Пусть vk(x)—решение задачи (3.17), (3.18).
Тогда с некоторой постоянной К, зависящей лишь от т, п,
имеет место оценка
vk(x)^K{2k{n~m}Cm(E(k})}ll{m~1} при xeG{k\	(3.20)
где G(k} = {x: 2~<k-2}^\x-x0\^R} (J {х:|х-х0|^2-<’: + 2)}.
3.	Интегральные оценки uk(x) — uk + 1(x). Пусть 6к(х) =
= wk(x)-i/ik + 1(x) и
t4=max{|8k(x)|: /?>|х—x0|>2“<k“3)}.	(3.21)
Определим для произвольной функции /(х)
[/(*)] + =тах{/(*)> °}’
[Лх)](-с,с) = тах {min [/(х), с],-с}
и выберем функцию T)k(x)eCo>(B(xo, 1)) так, чтобы т)Дх)=1
при 2_<k + 2)^|x — x0|<2“(t'1), рДх^О вне множества {х:
2-(&*з)^|х—х0|^2-<*-2)} и выполнялись неравенства
0<Л*(х)^1, 5^2‘ + 4.
316
ГЛ. «. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Используя эти обозначения, определим при c>dk мно-
жества
7>{*:	Fc=F^\jF~,	(3.22)
F? = {x: [8*(x)](_c,c)>cv*(x)},
Fc'={x: [Mx)](-c.c)<-«>*(*)},
где rk(x) = rk(x)t]k(x) и vk(x)—решение задачи (3.17), (3.18).
Лемма 3.4. Для произвольного odk имеют место оценки
^К-c{Km(Ek) + 2~kn} -{Am(Ek)}	(3.23)
при 2<т<п,
т	т	т - 1	1
dx Кс2 {Ст(Ек)} га' {Ст(Ек) + 2 -кв}т
при \<т^2	(3.24)
с функцией Ат(Ек), определенной согласно (2.17), и постоянной
К, зависящей лишь от т, п, v, ц.
Доказательство. Получим оценку (3.23), второе не-
равенство доказывается аналогично. Левую часть (3.23) пред-
ставим в виде суммы двух интегралов от той же подынтег-
ральной функции по множествам Тс Q Fc+ и Тс Q Её  Огра-
ничимся получением оценки только для интеграла по Тс Q Гс+ .
Определим функцию £k(x) = [[5k(x— cvk(x)]+. Прове-
ряется, что £к(х) = 0 на Ек. Если хеЕ'к>, то £к(х) = 0 в силу
гк(х)=1 на Е{к}. Если же хеЕк+1, то 6к(х) = 0, гк(х)^0,
поэтому снова £к(х) = 0.
Следовательно, функция £к(х) принадлежит пространствам
о	о
lFm(£>k), lFm(j9k+i), и поэтому ее можно подставить вместо
ср(х) в (3.2) и в аналогичное интегральное тождество для
ик+1(х). Подставляя ^к(х) в два указанных тождества, вычитая
одно из другого и производя оценки на основании неравенств
(2.2), получим
J 3. ОЦЕНКА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
317
+ 2и I
г;
duk
дх
дх
т~~ 2
дх
+ IM
д»к
дх
+ cv)[+|[6j(_c,c)|}rfx}.	(3.25)
Покажем способ оценки слагаемых в правой части (3.25).
По неравенству Юнга имеем
F +
С
дщ.
дх
«»И-1
дх
т-2
' +IM -|[М

? +18*1 )-[8*](_c,c)|dx+
дх /
+ с J
F +
С
дик
дх
д"к +
дх
•	+18*1 dx}.
(3.26)
Аналогично оценивается первый интеграл в правой части
(3.25).
Используя лемму 2.3 и неравенство (3.19) для оценки
второго слагаемого в фигурной скобке в (3.26) и слагаемых,
содержащих t\(x) и в (3.25), получаем из (3.25)
Осталось оценить интеграл в правой части (3.27). Приме-
няя неравенства Гёльдера и Юнга, получим
Оценим второе слагаемое правой части по неравенству
Пуанкаре и заметим, что mes(Fc+\T<.)^A'32-’:" в силу выбора
dk, Тс и условия c>dk. Применяя полученную в лемме 2.3
318	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
оценку для ик(х) и аналогичную оценку для vk(x), получаем
из (3.28)
дх
58t
дх
dx +
7
+ A'4c{Am(£(l)} 1/2{Am(£k) + 2“k"}1/2',
где c0 — постоянная из неравенства (2.14). Отсюда, из нера-
венства (3.27) и условия (2.13) на R, следует требуемая
оценка интеграла в левой части (3.27).
Оценка соответствующего интеграла по Тс Q F~ про-
водится аналогично с заменой функции Е,к(х) функцией
[[8к(х)](-с,С) + с^(х)]-• Получаемые таким образом нера-
венства обеспечивают выполнение оценки (3.23), что и за-
канчивает доказательство леммы.
4.	Доказательство теоремы 2.3 при 1</и<2. Из интег-
рального тождества (3.2) и соответствующего тождества для
о
ukki(x) следует, что для произвольной функции ср(х)е W'„(Dk)
справедливо равенство
Определим последовательности чисел <7'=2 </t,‘4)-(2 —2 J)
(3.29)
и бесконечно дифференцируемых функций ф,(х), равных
единице на множестве D'j = {x: |х —x0|^tZ)}, нулю вне
D'j+i и таких, что 0<фу(х)<1,

< yk+j+fj
Подставим соответственно в (3.29), (3.2) и в тождество
для wt+1(x) вместо ср(х) |5к(х)|г5к(х)ф)+т(х),
|8Дх)|г+2иДх)ф}+т(х), |8*(х)|,+2ик41(х)ф)+т(х)б/х, где г, s—
произвольные положительные числа. Производя оценки на
основе условий (2.1) и неравенства Юнга, получаем
Здесь и дальше при доказательстве теоремы с;— постоянные,
зависящие лишь от п, m, V, ц.
§ 3. ОЦЕНКА ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
319
Из неравенства (3.30) на основании леммы 1.2 получаем
оценку для ц;=тах{|6fc(jc)[: xeD'j}:
у™^с22п(к+л j |5fc(jc)|m4r7(jc)fZx.	(3.31)
Дальше будем различать два случая: 1) nj+1>dk, 2) ц,+ 1<
^dk, где dk определено равенством (3.21).
Если |jj+1C<4, то утверждение теоремы 2.3 непосредствен-
но получаем из следствия 3.1:
max
|х-х0|<2-(,1+4>
max k(x)-«*+i(*)l<
max wk(x) + max	“е + 1(хН
2-“-3)<|х-х0|<Я	2-(,1-3><|х-х0|<Я г
=Сс3{Ст(£Д2к<"-т) + 2~'‘т}'’Г7Т-	(3-32)
Если же |4.y+1>rfk, то преобразуем и оценим интеграл
в (3.31) следующим образом:
D',
I [М*)](-в,
+ 2 j
D'
lny+1rjmrfx +
£>;+1
дЪк
дх
т
dx +
т	f
бД+и7+1 j
hJ+1
Здесь применено неравенство (1.10) и сохранены все
обозначения предыдущего пункта, в частности, множества
I	, F~ определяются согласно (3.22).
Используя лемму 3.4 и неравенство (3.19), получаем из (3.33)
ssk
дх
дх
т )
dx>. (3.33)


D'
т
— 1
с5-ц7+1-2-Пад)} т~
320
ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Отсюда и из (3.31) следует *
n7^C6-2k<"“m) + jB
2	т~1	1
НдЖ)} м •{СЖ)+2-ь,}й
Применяя лемму 1.5, получаем оценку щ:
т-1	1_ 2
Hi «Sc7 • [Си(^)] m “ • [Си(£,) + 2
из которой и следует утверждение теоремы 2.3 при 1<т<2.
5.	Доказательство теоремы 2.3 при 2<т<п. Будут исполь-
зоваться введенные в предыдущем пункте последовательности
d'j, ф/х), D'j, pj. Подставим в (3.29) ср(х) = |6к(х)|г  ?>к(х) 
•ф; + т(х), где г, s произвольные положительные числа.
Производя оценки на основе условий (2.2) и неравенства
Юнга, получаем
1М*)ГФГИ(*)^
^c8(.v + »?)2 -22{k+j}
Зик
дх
г + 2
8ик+к
дх
+ m 2(x)tZx.
(3-34)
+
Для оценки правой части (3.34) понадобятся еще два
неравенства, получаемые из (3.2) и соответствующего тож-
дества для ик+1(х). Подставляя в (3.2) ср(х) = |6|[(х)|г+2 •
ик(х) ф’+т(х) и оценивая возникающие слагаемые на основе
условий (2.2), имеем
т — 2
D'.
1+
_^22>к I 1
<c10(r+.v+w
дх
2|8к(х)Г+2^Гт(х)^<
2 •|6|[(х)|гфГт(х)Л+
ди.
т— 2
58t
дх
т 2-|5|[(х)К+2-фГт-2(х)^р
т— 2
I х
сик
дх
Suk+i
дх
х|б,(х)г+2-фГт-2
(3.35)
о
Здесь, при получении последнего неравенства, использована
оценка (3.34). Аналогичное (3.35) неравенство, с заменой
в левой части 14 (х) на 14 + 1(х), получается при подстановке
§ 3. ОЦГНКА ВС1ЮМО1 АИЛЬНЫХ ФУНКЦИИ	521
в соответствующее wt+I(x) интегральное тождество пробной
функции |8t(x) г + 2 • wt+Jx) •ф}+т(х). Таким образом, имеем
ощ.
дх
•1М<+МГтЖ^
^Cn(r + 5 + m)4•22(,l+j) х
т-2
I •1М<+МГт’2
(3.36)
VUk+1
дх
D'i+i
Оценим правую часть (3.36) по неравенству Юнга:
(г + 5 + т)4-22(‘+^-
В силу (3.36) имеем отсюда
^Ci3(r + 5 + m)2m 4
|8к(х)|г"2-ФГт“2(х)</х^
2('"-2)(‘+J) j |8t(x)|r + M)(*M*-
o;+i
Продолжая (3.34), используя для оценки правой части
последнее неравенство, получаем
•|8к(х)|г-ф)+т(х)</х«;
J |8к(х)|г + 2-ф;(х)</х.
z>)-i
Из неравенства (3.37) на основании леммы 1.3
(3.37)
получаем
оценку для цл
^ + S(m-2)^Ci5.2n(t+7) j |§дх)Г(3 38)
Рассмотрим дальше два случая: l)pj+Ix/t, 2)pij+1^</t.
Во втором случае из неравенства (3.32) следует утверждение
доказываемой теоремы. В первом случае, используя нера-
венства (3.33), (3.23) и (3.19), получаем оценку интеграла
в правой части (3.38)
т-1	1	1
^,6 • 2 ~кт • PJ+,  {Am(£t) + 2 -‘"}2 • {Ли(£*)}2,	(3.39)
где Лт(£’*) определяется согласно (2.17).
21 И. В. Скрыпник
zll
LI. 8. IIUBtAbHWt 1’ЬШГ.11ИИ ВЬЛНЯ! Н’ЛНИЦЫ
Из (3.38), (3.39) следует
откуда на основании леммы 1.5 имеем
Mi <C18{2'"-ra)t[Am(£t) + 2 -‘"]3  [Am(£t)]5}(3.40)
с £ = — (т — 2). Последнее неравенство доказывает в рассмат-
т
риваемом случае оценку (2.18). Тем самым доказательство
теоремы 2.3 полностью закончено.
§ 4.	Достаточное условие регулярности граничной точки
Докажем достаточное условие регулярности точки xoeoQ
для уравнения (0.1). Будем предполагать выполненными
условия а), б) § 2, хотя в этом случае, как и при доказательстве
необходимого условия регулярности, неравенства (2.1), (2.2)
могут быть ослаблены.
Основной результат параграфа дает
Теорема 4.1. Пусть \<т<п и выполнены условия а),
б). Для того чтобы граничная точка xoeoQ была регулярной
граничной точкой области Q для уравнения (0.1), достаточно,
чтобы
1/2 1
( {С,„(В(х0,г)\П)•г'"'"}'"-*у= да,	(4.1)
о
где Ст т-емкость, введенная определением 2.2.
Прежде чем доказывать теорему 4.1, отметим следствия,
получающиеся из нее и теоремы 2.1.
Следствие 4.1. Условие (4.1) является необходимым и до-
статочным условием регулярности граничной точки для
уравнения (0.1) при т = 2.
В частности, в случае линейных дивергентных уравнений
с ограниченными измеримыми коэффициентами имеем, тем
самым, обобщение результатов из [55].
Следствие 4.2. Граничная точка xoe<5Q является регу-
лярной граничной точкой уравнения (0.1) при выполнении
условий а), б) с т = 2 тогда и только тогда, когда она—ре-
гулярная граничная точка для уравнения Лапласа.
..Пусть при некотором Л>0 «(xJeIT^Qr) — обобщенное
решение уравнения (0.1) в удовлетворяющее условию
о
<p(x)[M(x)-/W]e^(fiR), Qr = QQB(x0,£)	(4.2)
§ 4. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ
323
с функцией <р(х)еСо (5(х0, Л)) и равной единице в В(х0, р),
p<R, f(x)eC(tlR)(~)	При выполнении условия (4.1)
требуется доказать, что
lim u(x)=f(x0).
х-^х0
xeQ
Это равенство будет доказано, если установим, что
L= Шп ф)^), /= lim w(x)>/(x0).	(4.3)
А~>ЛО	Х-»Х0
хеП	хеП
Доказательство обоих неравенств может быть получено
одинаковым способом, но с использованием различных вспо-
могательных функций. Ограничимся проверкой только пер-
вого из неравенств (4.3).
Отметим, что в условиях теоремы 4.1 гак определенное
решение и(х) является ограниченной функцией в Ор и удов-
летворяет условию Гёльдера в Qp.
Пусть к — произвольное число, большее /(х0), и определим
w(t)(x) = max{w(x)~к, 0} при xeQK, w(t)(x) = 0 при хф£1К,
pt(r) = vraimax{и{к}(х): хеВ(х0,г)}. Обозначим через фг(х; у)
бесконечно дифференцируемую функцию х, равную единице
в В (у, г/2), нулю вне В (у, г) и удовлетворяющую условию
По выбранному числу к, k>f(x0), определим г0 = г0(к),
г0<2р, так, что при г^г0, уеВ(х0,г0)
w(t)(x)-\|/r(x; _у)е И1(ПК).	(4.4)
Основой для доказательства теоремы 4.1 служит сле-
дующая
Теорема 4.2. Существует положительная постоянная с,
зависящая лишь от т, п, V, ц, такая, что при k>f\xQ),
r^r0(fc) справедливо неравенство
Доказательству оценки (4.5) будут предшествовать
оценки функции
ц*(г)—w(t,(.x)+r*
21*
324	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Лемма 4.1. Существуют положительные постоянные ст0,
с0, зависящие лишь от т, п, v, ц, такие, что при k>f(x0),
r^-r0(k) имеет место оценка
I г“%(х)</х^сог"[цк(г)-ц/Г- )+г]а°.	(4.6)
В(х',г)	V/
Доказательство. Подставим в интегральное тождество
J) Д (	8и\ Др / си\ ( . п	,Л ,
< У аА х, и, — - - + а0| х, и, — )<р >ах = 0,	(4.7)
li-l \ CXJCXt \ OXJ \
о
справедливое для произвольной функции <р(х)е И'ЦПд),
вместо ф(х) функцию [ср(х) — (цДг) + г)-р] •ф’+'Дх; у) при
уеВ(х0,г0), р^г^г0 и произвольных числах р, q таких,
что р>0, <7^0.
Дальше при получении оценок, следующих из (4.7) при
указанной подстановке, будем считать для конкретности, что
_	( ди\
2^т<п, так что а, х, и, — оцениваются на основе нера-
\	ох )
вепств (2.2). Случай 2^т<п будет и дальше рассматриваться
в ходе всех доказательств параграфа.
Получаем из (4.7) после подстановки выбранного значения
ф(х) и оценок в силу неравенств (2.2) и неравенства Юнга
пт if r,,№> \m“2	E,,(k) 2
Г,—j I 1 + I • — т₽+1(х)фУт(х; y)dxsz
1 +pm J \ dx J ex	'
J ср+1~т(х)фр(х; y}dx. (4.8)
\ P / B(y,p)
Через Cj обозначаем постоянные, зависящие лишь от т, п,
v, ц, Л/р = шах {|m(x)|, xeQp}.
Возьмем вначале р = т— 1, q = m и получим из (4.8)
J р
В(у, 2)
v-lnv
ох
т
dx^c2p”~m
Отсюда в силу замечания 1.1 следует существование ст0, с3,
зависящих от т, п, v, ц, Мр, таких, что при 0<х<го/2,
0<ст^сто имеет место неравенство
J г °(x)dx-
B(Vs)
J ^dX^2n-
(4.9)
§ 4. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РЕГУЛЯРНОСТИ	325
8у
J дх
Вернемся к неравенству (4.8), из которого при у — х0,
р+\ — 2m>0 следует
vp+1-2m(x)-^ra(x; x0)dx^
г₽+1"т(х)-ф«(х, x0)dx. (4.10)
Применяя лемму 1.2, получаем отсюда оценку
vraimax|иао(х):	=
= [—------<с5^-	I ra°(xWx. (4.11)
Устанавливаемое неравенство (4.6) следует теперь из (4.9)
и (4.11), что и завершает доказательство леммы.
Замечание 4.1. Уменьшая, если нужно, полученное в ходе
доказательства леммы 4.1 значение постоянной о0, можем
обеспечить, чтобы при некотором положительном целом
числе /0 выполнялось равенство
о0 |—— | =М, где М = (т — !)•—- .	(4.12)
\п-т	п—т+1
Лемма 4.2. При r^-r0(k),	имеет место оценка
v a(x)^c6r"-[pt(r)-pJ П + Ф
В(х0.г)	V/
(4-13)
Доказательство. Вновь вернемся к неравенству (4.8),
т — 1	,4	„
из которого при -------следует оценка (4.10). Применение
п—т+1
этой оценки позволяет аналогично выводу неравенства (1.6)
получить

[р+?+1]2
г
тп
п~т
vp+1-т
(4.14)
326	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Пусть i0 определяется равенством (4.12) в соответствии
с замечанием 4.1 и определим р(, qt, z = 0, 1, ..., i0— 1,
условиями
,	I п \	,	\ I п \
Pt+i— т=— о0 --- , <7j = pi + m - — п.
\п—т /	\n-ml
При 1 так определенные числа p-t удовлетворяют
.	т~1	- п 1	1
неравенству р^--------, и поэтому при г = 0, 1, ..., /0—1 имеем
п—т+1
из (4.14) оценку
v
о
т
. (4.15)
О,
(к), 1 = 0 интеграл в правой части оценим по
„ 1
При г^-г0
неравенству (4.6). Затем, получая последовательно для интег-
рала в левой части (4.15) оценки при 1=0, 1, ..., z0—1, получаем
при i=i0— 1 оценку, из которой и следует (4.13) при о = М.
Оценка (4.13) при ст0<ст<7И следует на основании нера-
венства Гёльдера из неравенств (4.6) и (4.13) при <з = М.
Доказательство теоремы 4.2. Подставим в интег-
ральное тождество (4.7)
и получим после оценок
(2.2)
Ф = м(к,(х)-ф™(х; х0) при r^-r0(k)
возникающих слагаемых на основе
т— 2
«к
си1М
дх
ф” 1 (х; x0)dx + rn
(4.16)
8ит
2
§4. ДОС IAIO4IIO1. УС’ЮВШ. рыулярпосш
327
Оценим интеграл в правой части, применяя неравенство
Гёльдера:
Здесь воспользовались оценками (4.8), (4.13), число М — то
же, что и в равенстве (4.12). Неравенство (4.5) следует
теперь из (4.16), (4.17), что и заканчивает доказательство
теоремы 4.2.
Доказательство теоремы 4.1. Как уже было сказано
раньше, доказательство теоремы сводится к проверке нера-
венств (4.3), причем ограничиваемся проверкой только первого
неравенства.
Докажем неравенство А^/(х0) методом от противного.
Пусть требуемое неравенство неверно и Л>/'(л'о). Выберем
fc0 так, что f(x0)<k0<L. Тогда
л = ^М*о(г)>0.
(4.18)
Из оценок (4.5), (4.13) имеем при r^-r0(fc0)
(4.19)
328
I Л. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВЬ.ПВИ I РЛНИЦЫ
/ Г \
Так как при хеВ1х0,-1\£2 выполнено равенство
2/
( 'С
’ >е
//
то из (4.19) получаем по определению т-емкости

п гп-т
С\2Г

В силу (4.18) отсюда следует
Cm(Wx0,
\	\ Z /	/	/1
Мг)-к,(0+'1.
Последнее неравенство дает при a = -r0(fc0) и произвольном
ее(0, а)'.
“ 1
(/ г \	\	т~
в(х0,-)\п)т'”-"
2__ а
Мг)-Но(0+г р (4-20)
€
Замечая теперь, что предел интеграла, стоящего справа
в (4.20), существует при е-»0 и дает конечное число,
заключаем из (4.20), что
а 1
(/ г \	\ т~1 dr
В Хо, - М2	-<х.
\	2 / /	г
о
§ 5. НЕОБХОДИМОЕ УСЛОВИЕ (ДОПОЛНЕНИЯ)
329
Последнее неравенство противоречит условию (4.1) теоре-
мы. Таким образом, полученное противоречие показывает,
что прсдполатаемое неравенство L>f(x0) неверно. Доказано
первое неравенство в (4.3), а вместе с ним доказана
и теорема 4.1.
§ 5.	Необходимое условие регулярности
граничной точки (дополнительные результаты)
В работе [53] показано совпадение необходимого и до-
статочного условия регулярности граничной точки для вари-
ационной квазилинейной задачи при т = п. Рассматривается
интегральный функционал
(5-1)
в ограниченной области Q при выполнении условий:
а)	для произвольного £>0 существует замкнутое мно-
жество К в Q такое, что mes(Q\A^)<e и функция (х, р),
хе К, peRn непрерывна на KxRn;
b)	для почти всех хе О	(х, р)—дифференцируемая
и строго выпуклая функция, peRn ^обозначим производную
(х, р) _ , Д
———- через t(x, p)j;
с)	существуют положительные постоянные v, ц такие,
что при xeQ, peR"
v|p|n^.^(x,
d)	при Х-еТ?1, xeQ, peR"
^(x,lp)=\Mn^(x,p).
Пусть D — открытое множество в Rn и G — его компактное
подмножество. Определим н-емкость G относительно D:
Cn(D, G) = inf
g
dx,
где нижняя грань берется по функциям <р(х)еСо (Q), равным
единице на G.
Из [53] следует
330	ГЛ. 8. ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ
Теорема 5.1. Предположим, что выполнены условия
а)—d) и задача
И(х)-/(х)е^(П)	(5.3)
имеет при f(x)e И'1(й)р|С(й) единственное решение в
Для того чтобы точка хоеб£1 была регулярной граничной
точкой для уравнения (5.2), необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие
42	j
{С„(В(л0, 2Z),	~=^.
О
ГЛАВА 9
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В ОБЛАСТЯХ
С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Две последних главы посвящены изучению сходимости
решений задач Дирихле для квазилинейных эллиптических
уравнений второго порядка в последовательности перфориро-
ванных областей.
Пусть £2— произвольная ограниченная область в и-мерном
евклидовом пространстве R", и предположим, что при каждом
натуральном значении .у определено конечное число непересе-
кающихся замкнутых множеств F\s\ /= 1,	содержа-
щихся в £2. Дальше будут сформулированы условия на Ff\
из которых, в частности, следует, что при г->оо диаметры
F\s> стремятся к нулю.
1 (s)
В области £2,5| = £2\ (J F\s) рассматривается квазилинейная
i= 1
эллиптическая задача
У —- аА х, и, — | = а0 ( х, и, ~	хе£2(5),	(0.1)
.“j dxi \	дх I \ дх I
u(x)=f(x), хед№\
(0.2)
где /'(х)—некоторая известная, определенная в £2, функция.
Сложная структура области £2(s) не вносит дополнительных
затруднений в изучение разрешимости задачи (0.1), (0.2).
Для каждого s при определенных предположениях относитель-
но данных задачи (0.1), (0.2) существование решения можно
доказать методами гл. 1. Однако для таких задач при
больших 5 практически невозможно реализовать приближен-
ные методы нахождения решений, и в связи с этим актуальное
значение приобретает вопрос о возможности приближенной
замены задачи (0.1), (0.2) более простой задачей того же
вида в фиксированной области, к решению которой стремятся
решения задачи (0.1), (0.2) при т->оо.
В связи с этим возникают вопросы: выяснить условия,
при которых сходятся решения задачи (0.1), (0.2) при 5->оо,
указать граничную задачу для предельной функции. Решению
332
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЫКОИ-.РНШ 1()И I РАНИЦЬИ
этих вопросов и посвящена настоящая глава, содержащая
результаты автора, опубликованные в статьях [77 и, 77 к ].
Линейные задачи в последовательности областей Q(s)
указанного выше вида подробно изучены в работах В. А. Мар-
ченко и Е. Я. Хруслова (см. например, [59]). Отметим также
многочисленные работы по теории усреднения для дифферен-
циальных уравнений. Эти результаты изложены в обзоре
[36] и монографии [9], где можно найти дальнейшие
библиографические ссылки.
§ 1. Формулировка условий и результатов
Будем предполагать, что функции а,(х, и, р), ! = 0, 1, ..., п,
определены при хеП и ueR1, peR" и удовлетворяют
следующим условиям:
А^ функции а,(х, и, р) непрерывны по и, р при почти
всех х е Q, измеримы по х при любых и, р; а-, (х, и, 0) = О
при хей, ueR1, i=l, ..., п;
А2) существуют положительные постоянные v, ц, е, такие,
что при 2^т<п, m^mi<mn/(n — m) и всех значениях хей,
и, veR1, р, qeRn выполнены неравенства
X [я,(х, и, p)-at{x, и, q^ipt-q^
i= 1
«ofc и, р)-(v-е)\рГ-<р(х)(1+| w|).
| «( (х, и, р) — а,- (х, v, q) |
^^(l+lur. + lvl^ + lpr + ^l^^-dp-^l + lw-vl),	1, ..., п,
гщ - I
l«ofc «> р)1^н(|иГ' + 1рГ) т' +ф(х),
где <р(х)е£Г1(й) с г}>п)т.
Отметим, что функции а; (х, и, р) можно продолжить по
х вне й с сохранением всех указанных свойств. Достаточно,
например, при х ф й определить а; (х, и, р) = cq (х0, и, р), где
х0 — некоторая точка области й.
Предположение 2^т<п сделано ради простоты изложе-
ния. В случаях 1<т<2 или т = п близкими методами могут
быть получены аналоги утверждений главы. Понадобятся
только изменения в формулировках условий и результатов.
При т>п нахождение предельной функции для последователь-
ности решений задачи (0.1), (0.2) упрощается благодаря
компактности вложения В'Цй) в С(й).
J 1. ФОРМУЛИРОВКА Pljy.lbi \IOB
г ( п
I
J V== 1
Как и в предыдущих главах, при рассмотрении задачи
(0.1), (0.2) речь будет идти об обобщенном решении, т. е.
функции u(x)e lFm(Q(5)) такой, что м(х) — /(х)е !Tm(Q(s)) и для
произвольной функции <р(х)е	выполняется интеграль-
ное тождество
(5и\5ф	/	си\ , J ,
х, и, — -—Fflo х,к,- ф х >®с=0.	(1.2)
oxi cxi	V	ox j I
При этом предполагается, что /(xjelF^Q).
Непосредственно проверяется, что методами из § 2 гл. 1
нахождение функции и(х), удовлетворяющей тождеству (1.2),
сводится к решению операторного уравнения Аи = 0 с коэрци-
тивным оператором А, удовлетворяющим условию (S')+.
Отсюда следует
Теорема 1.1. При выполнении условий А15 А2, при каждом
s задача (0.1), (0.2) имеет по крайней мере одно решение
м5(х). Существует постоянная R, не зависящая от s, такая,
что при всех s выполнена оценка
II Ms II wi„{n<s,)^R'
Далее через us(x)—обозначено одно из возможных реше-
ний задачи (0.1), (0.2), удовлетворяющее указанной оценке.
Тем самым последовательность {us(x)} будем считать фикси-
рованной. Функции us(x), определенные при xeQ(s), продол-
I (s)
жим на Q, полагая us(x)=/(x) при хе (J F}5). Так, получаю-
; = 1
щиеся функции us(x), определенные при хеП, принадлежат
W7,1,, (Q), и для них выполнена оценка
II Ms	(1-3)
с не зависящей от s постоянной Rt. Из (1.3) следует, что
последовательность us(x) содержит слабо сходящуюся подпо-
следовательность, поэтому, переходя, если нужно, к подпосле-
довательности, можем считать, что us(x) слабо сходится
в	к некоторой функции и0(х).
Перейдем к формулировке условий на множества F\s}.
Обозначим через d\s> нижнюю грань радиусов шаров, содержа-
щих F|s), и пусть х?1— центр такого шара радиуса d^\ что
Ff} с B(x|s|, Здесь и далее В(х0, р) — шар радиуса р с цент-
ром в х0. Через r)s) обозначим расстояние от В (x)s), d'f) до
множества (J В(х^\ ^S))U5Q.
jVi
334
I Л. 9. ОБЛАСТИ (. МЫКОЯ.РНШ 1ОИ I ГАНИЦГ.Й
Будем предполагать, что выполнены условия: ,
В,)	lim max r)s) = 0, где с. -не зависящая от •
s-"‘” K<X/(s)
!, i постоянная;
В2) для некоторой непрерывной неубывающей функции
а: [0, оо)->[0, ос), удовлетворяющей условиям а(0) = 0,
а(/)	п
-—-►со при z->0, выполнено неравенство
/ (S)
X cm(F!s’)
i = 1
1
(1-4)
с не зависящей от л- постоянной с0. Здесь Cm(F)s))— m-емкость
множества F\s\ определенная в § 2 гл. 8.
Для формулировки еще одного условия на F*s), обеспечи-
вающего возможность построения граничной задачи для
и0(х), нам понадобятся вспомогательные функции c)s), опре-
деленные ниже и играющие основную роль в данной главе.
Пусть ф(х)— функция класса Со (S(0, 1)), равная единице
в В ^0,	. Для произвольного вещественного к при df' <
обозначим через C's|(x, к) функцию, принадлежащую
о
А:ф(х — xjs|)+ Wzm(£2i15)) и удовлетворяющую интегральному
тождеству
aj(x, 0, ^-^^t/x = 0	(1.5)
\ OX I ОХ]
для Ф(х)е ^(Q)s)). Здесь fi(s>=B(x|s>, 1)\F<S).
Существование и однозначность определения функции
c)s) следует из §2 гл. 1. Далее вне Q)s| полагаем г;5|(х, к) =
= А:ф(х-х|*)).
Будем предполагать выполнение следующего условия:
С) существует непрерывная функция с (х, к) такая, что
для произвольного шара В с Q выполнено равенство
о
= с(х, k)dx, (1.6)
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
335
причем стремление к пределу в (1.6) является равномерным
по к на любом ограниченном интервале изменения к. В (1.6)
/(В)— множество тех номеров /, для которых l^j ^/(5), х^еВ.
Теорема 1.2. Пусть выполнены условия А1; А2, В15 В2, С,
f{x]e W\ (Q), q>n и us (x)— слабо сходящаяся к u0(x) последова-
тельность решений задачи (0.1), (0.2). Тогда последователь-
ность us(x) сильно сходится в IFp(Q) при любом р<т
и функция и0(х) является обобщенным решением задачи
+ с(х,/(х) —u(x)) = 0, xeQ, (1.7)
м(х)=/(х), xedkl.
Доказательству теоремы 1.2 будут посвящены три следую-
щих параграфа, в которых вначале будут получены априорные
оценки, служащие основой как для изучения сходимости
последовательности us (х), так и для вывода предельной задачи.
Необходимые априорные оценки функций us (х) и г)'1 (х, к)
будут доказаны в § 2. Далее, в § 3 будет введено асимптоти-
ческое разложение ws(x), основанное на выделении главного
члена с помощью функций p[s) (х, к). Будет установлена сильная
сходимость в остаточного члена разложения. Предель-
ный переход в дифференциальном уравнении, основанный на
асимптотическом разложении, будет совершен в § 4, где
и будет установлена для предельной функции и0(х) задача (1.7).
§ 2. Оценки решений и вспомогательных функций
Функция us(x) (решение задачи (0.1), (0.2)) является
ограниченной. Это непосредственно следует из книги [49].
Можно доказать, что последовательность функций us (х)
равномерно ограничена. Справедлива
Теорема 2.1. Пусть выполнены условия А15 А2 и /(х)е
при q>n, пусть us(x)—последовательность обоб-
щенных решений задачи (0.1), (0.2), удовлетворяющая условию
(1.3). Тогда существует не зависящая от s постоянная
М такая, что при всех s выполнена оценка
vraimax | us (х) | < М.
хеЛ
(2.1)
Доказательство. Подставляя в интегральное тождество
(1.2)
Ф (х) = [1 +1 us (х) -Дх) I]r (и, (х) -Дх)), г > 0,
336	ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
и оценивая полученное выражение, приходим к неравенству

с постоянной Ci, зависящей от v, ц.
Оценивая на основании неравенств Юнга и Гёльдера,
получаем
(l+|ws-/l)r
Я
г (и-Л т
dx^
дх
(2.2)
с постоянной с2, зависящей от п, т, v, ц, Я, Ц/Ц^^
II и	( Ч	т\\
II Ф II, (OV <7i = niaxl-,----.
'п	\о — т fj —1 ml
Оценка (2.1) следует теперь из неравенства (2.2) и леммы
1.1 из гл. 8.
Основой для изучения поведения семейства решений задач
(0.1), (0.2) служат интегральные и поточечные оценки вспомо-
гательных функций v\s} (х, к). Функцию p<s) (х, к) считаем
продолженной на F[s) постоянной к.
Теорема 2.2. Пусть выполнены условия А1; А2 и |к|<N.
Существует постоянная с, зависящая от N, v, ц, п, т и не
зависящая от s, такая, что при	5=1,2,...,
выполнены оценки:
II V>S) II w'2 (b|sI) + II v I'* II w'„ (/?!”)
{Jk\mCm	{|k\mCm(F?>) +	,
(2-3)
где r<s) = v!s)(x, k), B<s’ = B(x<s), 1);
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЙ
337
2
+
дх дх
дх дх
2
т
ьДвп"
т-2
<с I k-R\2 {ст(/*>)}* • {Ст (А?>)+ [<]"} т
(2.4)
где 14” = 1’Р (л, к), r)s) = t^s)(x, £), к, к—произвольные числа, не
превосходящие N по абсолютной величине',
/ п dvis'\ 1 стН I . ct)!s)\ 1
a, x, 0, —— p  --------------a, x, 0, —— ~ -—
\ Sx к ox, \ ox j к ox.
№	2
<e\k-k\m {Cm(F<s>) + [<H; (2-5)
|^(хД)|^с|^|^п^^Цт ‘	(2.6)
при xe5,(s)\B(xjs), d\s}).
Наиболее важной и трудноустанавливаемой из этих оценок
является (2.6). Отметим, что показатели степени в правой
части (2.6) не могут быть уменьшены, в чем легко убедиться
на явно выписываемых при F\s} = B(x\s}, c/;s|) решениях модель-
ных уравнений.
Лемма 2.1. Пусть выполнены условия А1Э А2. Тогда для
определенного в § 1 решения c)s)(x, к) уравнения (1.5) при
справедливо неравенство
6^^cjs)(x, А)^1.
Доказательство проведем (для определенности) при
к>0. Подставляя в интегральное тождество
f I A 5l’-S' 1 J А
a: х, 0,--------- — ах = 0
J \ дх ) oxj
в
(2.7)
вместо <р(х) функцию ср, (x) = min {r|s) (х, к), 0} и оценивая,
в силу (1.1), получаем
в.
где S_={x: r-.s) (х, Аг) <0}. Отсюда следует неравенство
р)” (х, А) > 0. Аналогично, подставляя в (2.7) вместо ф(х)
функцию <р2(х) = тах {cjs)(x, А) —А, 0}, убеждаемся в справед-
ливости оценки г)’1 (х, к) к.
22 И. В. Скрыпник
338
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Для сокращения записи при доказательстве теоремы 2.2
будем опускать индексы г,.? в обозначениях r!s|, В{?\ F\s\ с№
и писать просто v, В, F, d.
Обозначим через	множество функций простран-
ства Со\В(хг, 2aJs))), удовлетворяющих условию и(х)>1 при
xeF\s}. Аналогично доказательству оценки (2.7) из гл. 8
проверяется, что с некоторой, зависящей лишь от т, п
постоянной с0 выполнена оценка
inf
бф
дх
т
(2-8)
Далее, при доказательстве теоремы будем для краткости
писать Яйа (F) вместо Яй</|»>	)•
Доказательство теоремы 2.2. Будем считать для
определенности, что к>0. Для доказательства неравенства
(2.3) подставим в (2.7) <р(х) = г(х, к) — &ф(х), где ф(xJeWl^F).
Оценивая слагаемые получившегося равенства по условиям
(1.1), получаем
в
Здесь и далее, при доказательстве теоремы 2.2, через с,
обозначены постоянные, зависящие от тех же параметров,
что и постоянная с при формулировке теоремы.
Оценивая правую часть (2.9) по неравенству Юнга,
получаем
бф
дх
2
+ кт
бф
дх
отсюда
5 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИИ
j JV
что и доказывает оценку (2.3) в силу неравенства
(2.8).
Неравенство (2.4) доказывается подстановкой в интеграль-
ные тождества вида (2.7), соответствующие v и v, вместо
<р(х) функции V — V — (к — к) ф, где ф (х) е (F). Вычитая из
одного полученного таким образом равенства другое и произ-
водя оценки на основе (1.1) и (2.3), получаем (2.4).
Для доказательства (2.5) подставим в интегральное тож-
дество (2.7) для функции v(x, к) вместо <р(х)	—ф(х),
где фе'ИД/'’), и в так полученном равенстве, справедливом
при произвольном к, дадим к значения к и к. Вычитая
полученные равенства одно из другого, имеем
п
X
7 = 1
[ . йД 1 dv [	1 dv
«j	°’ Г гЗ-------а7 Х’ °’ “
J \ дх j к сх { J \	сх / к сх-.
(/х = /(ф),
(2.Ю)
в
г/n V |Т / п М ( п
где 7(ф = > а, х, 0, — — а, х, 0,— —ах.
j = \ J \ dxj \	схJ Vх}
в
Оценим /(ф), используя неравенства (1.1) и (2.4):
дх
dx^
Находя нижнюю грань по ф правой части, получаем из
(2.8) и (2.10) оценку (2.5).
Доказательству (2.6) будет предшествовать получение оцен-
интеграла от — по множеству
сх
Е, = {хеВ: 0<v (х, к)< t}
- v, где v, = v, (х, к) =
< при 0<t<k. Подставим в (2.7) ф(х) = р,—
- =min{i;(x, к), /}. Получим после обычных оценок и примене-
5 22*
340
1Л 9. ОЬЛЛ(1И С МЕЛКО31.РНИ1 1ОИ 1 РАНИЦЕЙ
ния неравенства (2.3)
2	т - 2
c4{kmCjF)f {kmCm(F}+cF\ m“
К
(2.П)
Определим теперь при 2d<r
две числовые последова-
<з
тельности
^ = ^1+2-], ^) = Г[3-2-], У = 1,2,..„
и функции фДх), равные единице на множестве Gj =
= {х: г’1)г%|х —Ху|г%г(2)}, нулю вне Gj+i и такие, что
Подставим в (2.7) <p(x) = i>l> + 1 (х, к) <pj + m (х), где р, ст— про-
извольные положительные числа. Оценивая по условию (1.1)
и неравенству Юнга, получаем
^С8
2
v<,(paj+mdx
OV
дх
(2.12)
Дальше возникают различные варианты продолжения
оценок в зависимости от того, какая пара из нижеследующих
неравенств выполнена:
mj+i>r, kmCm(F)>dn',	(2-13)
mj+l>r, kmCm(F)^d"-	(2.14)
mj^r, kmCm(F)>d”-	(2.15)
kmCm(F)^d\	(2.16)
где ш7 = тах {г(х,/с): xeG,-}.
ОЦ1.НКИ 14 НН НИИ

Если выполнены условия (2.13) или (2.14), то оценим
.	т - 2
/-> ПЛ	1 ^WJ+1
правую часть неравенства (2.12), учитывая, что
Неравенство (2.12) приводит в этом случае к оценке
dv
дх
т-2
dv
dx
2
vp<p^J+mdx^:
с9
2mJ
im — тт-,2
„т j+1
vp+2(p?dx.
(2.17)
в
в
Применим лемму 1.3 из гл. 8 при p = q = m, если выполнено
условие (2.13), и при р — т, q = 2, если выполнено условие
(2.14). Получаем в случае неравенств (2.13), (2.14) соответ-
ственно оценки
т
т,
т(т-2)	2"J	(т-2)т
2 + да (т-2)
mj	<си
2”J	(т-2)"
v2(p2dx.
в
(2-18)
(2.19)
В
Оценим интегралы в правых частях двух последних
неравенств, используя лемму 1.4 из гл. 8 и оценку (2.11):
vm(p™dx^ v™ dx^Ci2rm
В	Gj+i
dv
dx
m
dx^
(2.20)
здесь использовалось также второе неравенство из (2.13).
Аналогично получаем, что при выполнении второго нера-
венства из (2.14) справедлива оценка
Jv2(p2dx^c^r2mJ+1k {Ст(F)}m(dn)
В
(2.21)
В силу двух последних неравенств из (2.18) и (2.19)
следуют оценки
342
1J. 9. ОБЛАСТИ С МЫКОЗЕРШК К)И I РАНИЦЕЙ
т^~(т—2)	2nj (m—2)zz + l <	, .
i ^i5^"b + i km-lCm(F),	(2.22)
2+m(m-2)	2J (m-2)m + l	( cXl™ f Jn\ m	H
J	ktCmO idi ’	(2’23)
полученные соответственно при выполнении условий (2.13),
(2.14).
Докажем подобные оценки при выполнении неравенств
(2.15), (2.16). Замечая, что в этом случае под знаком интеграла
в (2.12) можем мажорировать г(х) числом г, приходим из
(2.12) к оценке
2
dv
сх
ррфя + m
с17
(2-24)
Далее оценим rrij по лемме 1.3 из гл. 8, примененной
с р = 2, q = m, если выполнены неравенства (2.15), и с p = q = 2
в случае (2.16). Используя оценки (2.20), (2.21), получаем
соответственно
nmj
2 2
m^ci8 — rnj + 1Cm(F)km \
nmj
2 2	2	
mj <с19 ргз rrij +	{Ст (F)} - (dn)
(2.25)
(2.26)
Сравнивая неравенства (2.22), (2.25) и замечая, что
видим, что при выполнении условия /cmCm(F)>a?"
можем считать выполненной оценку
nmj
т+й(т-2)	22	(т-2)т + 1
mj	^c2o^mJ + l кт
lCm(F\
откуда на основании леммы
1
1.5 из гл. 8 следует
т^с21к
рП-т
(2.27)
Аналогично, сравнивая неравенства (2.23) и (2.26), заклю-
чаем, что при ктСт (F]^dn выполнена оценка
nmj
п	-	_>	-	т~~~
2 Р (m - 2)	2 т<т ^) + 1. (	( гА) m Г Ди)
mi <c22—2mivl k{Cm{F)}{d}	,
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ	343
откуда по лемме 1.5 из гл. 8 получаем
2
к -	—Г с
т		(2-28)
2	1
Отмечая в заключение, что Cm(F)^c24r"~m,	-, видим,
т т— 1
что из (2.27), (2.28) при всех рассмотренных случаях следует
откуда и получаем неравенство (2.6).
Тем самым доказательство теоремы 2.2 полностью закон-
чено.
§ 3. Асимптотическое разложение последовательности
решений
В настоящем параграфе us(x)— последовательность реше-
ний задачи (0.1), (0.2), удовлетворяющая оценкам (1.3), (2.1)
о
и слабо сходящаяся к u0(x)ef(x)+Wl,(Sl).
Определим по функции а(?) из условия В2 непрерыв-
ную неубывающую функцию со: [0, оо)-> [0, оо) такую, что
п
03(г)2 ~f с постоянной Ct из условия В1; <й(7)^/"-1,
<0(0 .	«"->(<0(0)	t"
----->0,------------>00,---------->0 при t->0.	(3.1)
'. ! Введем последовательность p)s) и подмножества индексов
pP = max{o?<s), <!)(гр)}>	(3.2)
Л = {/;/=1, ..., Л, й??’^го(г(5>)},
/" = {;:; = 1, ..., I(s), d\s}<<»(/•?>)},	(3.3)
где числа о?Р, r\s} определены в § 1.
Лемма 3.1. При выполнении условий В15 В2 имеют место
равенства
lim X Ст(Л‘>)=0,	(3.4)
s"*/' ie/i
lim X [Р?’?=°-	(3-5)
™ /£/"

344
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Доказательство. Пусть оз l(f) — функция, обратная со.
Из неравенства
И

т’1<
SS,„I «-'««>} д  Q иг
/еЛ
условия (1.4) и (3.1) следует, что правая часть стремится
к нулю при х->оо. Это доказывает (3.4).
Для доказательства (3.5) отметим сначала неравенство
T(s)
1= 1
(3.6)
с постоянной А'о, зависящей только от л и mesQ. Оценка (3.6)
следует из того, что по определению чисел d\s\ гр шары Bl x)s),
+ -2-J, (=1, ..., /(.s), не пересекаются при фиксированном з.
Равенство (3.5) является следствием (3.1) и (3.6), так как
X[p(t=XH‘t< max КрТ X И?.
iel''	iei;	l«iST(s)L r‘ J i = l
Тем самым лемма 3.1 доказана.
Отметим еще неравенство
/(S)
X Cm(F?))<^i
i= 1
(3.7)
с постоянной Kt, зависящей лишь от т, п, mesQ и константы
Со из (1.4). Оценка (3.7) следует из (1.4), (3.6) и неравенства
Гёльдера
т т— 1	1
/ (s)	(I(s) Г	। 1w-т f	1 т '
х cm(fT)^ X c^s>)—-	Д X ('нД 
i=i	(.1=1 L (Hs,)mJ J (.1=1 J
При определении асимптотического разложения будут
использованы две системы функций ф^’(х) и <p)s)(x)- Функцию
° / /	/ 1 \	\\
ф*5)(х) определим из пространства ITml Bl x)s), I 1+— j j
\ \.	\	2c! у	)у
так, чтобы ф)5)(х)= 1 на F)s), O^v|/)S)<1 и
дх
п
dx^K2{Cm^)+2-i~s}.
(3.8)
i. A( HMIHOl ИЧ1Л KOI I' \ kl< I/Kl.l.lli
Через Kt в данном параграфе будем обозначать постоянные,
зависящие только от т, п, ср М, V, ц. Здесь ct, М—постоян-
ные, соответственно, из условия Вг и неравенства (2.1).
По выбору функции <л(г) при всех i, s выполнено
неравенство
0-9)
2с, /	2
Выберем числа Х.и /.2 и функции (рР(х)еСо (Q) так, чтобы
1 <X.t<Х2< 1 +у— и фр(х)=1 при xeB(x\s\ A.1p)s)), ф^)(х) = 0
2с i
при хфВ(х^, X2p(s>), 0<фН(х)^1 и

«pH
дх
Отметим, что в силу (3.9), а также ранее отмеченного
х)”, I, /=1, ..., /(.v),
при фиксированном s следует, что носители функций фН(л')
при заданном s и различных i между собой не пересекаются.
Аналогичное утверждение имеет место и для носителей
функций фР(х).
Дальше и5(х)- последовательность решений задачи (0.1),
(0.2), удовлетворяющая оценкам (1.3), (2.1) и слабо сходящаяся
о
к u0(x)e/(.v)+ И^(Й), /(х)е1Уд(П) при q>n. Обозначим для
функций и0(х) и f(x) через ир°, следующие средние:
=—Ъы f uo(*)dx, ./? =—!—- f f(x)dx, (3.10)
mcs£>H J	mesD 1 J
D\s'	o!”
где D\s} = B(x\s\ >.2pS”)-
Определим теперь основное в настоящем параграфе раз-
ложение
Mj(x) = HoW + rl1,(x) + rJ2>(x) + r">(x) + rl4>(x) + Ws(x),	(3.11)
где
f г<1>(х)= X [u(s>-u0(x)](Hs>(x)+ X [4”-н0(х)]фР(х),
'бЛ	/е/;
К
rl2,(x)= X [/'(д)-/?']ф^(х)+ X [/W-/ls)](p!s)W,
ге/;
г’3)(х)= X	(3-12)
ге/;
r^4,(x) = X p)s)(x,/Is’ — W$s))(p$s)(x).
iel".
В (3.11) ws(x)— остаточный член разложения, выяснение
поведения которого при 5->оо и составляет основную цель
параграфа.
Лемма 3.2. При выполнении условий В15 В2 последователь-
ности г[1}(х), г[2\х) при s->ao сильно сходятся к нулю
в пространстве (Q).
Доказательство достаточно провести для первой по-
следовательности. Имеем
к<1,(х)Ит(Я)= X I |^>-н0(х)|т|фИ(х)Гй?х +
<e/i“
+ X 1|иР-иоМГ1ф55)Г^<
iel"h
X [^’]m[Cm(F?>) + 2-;-s]+ X [р4я,У}- (3-13)
l/e/;	ie/" J
Здесь воспользовались оценкой (2.1) и неравенством Пуанкаре
при геД. Правая часть (3.13) стремится к нулю в силу
леммы 3.1.
Оценим норму градиента г^Дх) в
/-^’(х)
OX
т
ЬМ(П)
т '
dUp(x)
дх
dx +
(3-14)
где ^s(x)= X 14,iS>(x)|m. При получении (3.14) интеграл от
|uis) — u0(x)|m!eno £>)s) при iel's был оценен по неравенству
Пуанкаре.
В правой части (3.14) все три слагаемых стремятся к нулю
при 5->оо. Первое—в силу (3.4), второе — в силу (3.5)
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
347
и свойства абсолютной непрерывности интеграла. Последова-
тельность .^s(x) ограничена и стремится к нулю в
что следует из неравенства Пуанкаре и (3.8), (3.4). Это
обеспечивает стремление к нулю третьего слагаемого в правой
части (3.14).
Сказанное завершает доказательство леммы 3.2.
Лемма 3.3. Пусть выполнены условия Аь А2, В15 В2.
Тогда последовательность г^3)(х) при 5->оо сильно сходится
к нулю в 17„(£}).
Доказательство. Используя неравенства (2.3) и (1.9)
из гл. 8, имеем
IIг<3,(х)IIх lHsWs,-«Ss>)F <
iel'	'Wo! )
CJF)S>)+ [<]"},
iel's
и правая часть стремится к нулю в силу (3.4), (3.6)
и условия ВР
Аналогично получаем
сг13}
т	2	т — 2
^К8Х {Cm(F?>)}s{Cm(/1s,) + [4s,]n}”M >
ie!'s
и снова, в силу (3.4), правая часть стремится к нулю, что
и доказывает лемму.
Лемма 3.4. При выполнении условий Аь А2, В1; В2
последовательность стремится к нулю сильно в 1У’(П)
при любом р<т и слабо в 17m(Q).
Доказательство. Из ограниченности r)s)(x,/У* — u|s)) по-
стоянной, не зависящей от s, следует
l|ri4WLm(O)^9 X [PS*’]",
ief's
и правая часть стремится к нулю в силу (3.5).
Как и при доказательстве предыдущей леммы, при оценке
нормы — Ts4)(x) в Lm(Q) применим неравенства (2.3) и (1.9)
дх
из гл. 8. Имеем
т
<KioX {Cjm + [<|"},	(3.15)
Lm<«) iel".
и правая часть ограничена на основании оценок (3.6), (3.7).
^Г<4>(х)
348
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Замечая, что функция г'4)(х) обращается в нуль вне (J B)s),
и применяя неравенство Гель дера, получим при 1<р<т
дх
~^\х)
дх
X [рП"Г "
Lm<n) I ,-е/;	)

Правая часть последнего неравенства стремится к нулю
в силу (3.15), (3.5), что и доказывает лемму.
Замечание 3.1. Так как последовательности rl1}(.x),
г^2)(х), rl3)(x), г-4)(х) являются ограниченными, то из установ-
ленной в предыдущих леммах сильной их сходимости к нулю
в Lm(Q) следует сильная их сходимость к нулю в ГГ(П)
при любом г <оо. То же самое справедливо относительно
сходимости us(x) к и0(х).
Теорема 3.1. Функции и',(х), определяемые равенством
о
(3.11),	принадлежат при каждом s пространству И^(П<5)).
При выполнении условий At, А2, Bt, В2 последовательность
и’Дх) сильно сходится к нулю в 1Г^(П).
Доказательство. Первое утверждение теоремы непос-
редственно следует из равенства (3.11) и определения функций
гр3(х), /=1,	4, формулами (3.12). Из лемм 3.2 — 3.4 следует
слабая сходимость и\ к нулю в IT^IQ), а из замечания 3.1
имеем сильную сходимость ws(x) в Lr(Q) при любом
г< оо.
Для доказательства второго утверждения теоремы запи-
шем интегральное тождество (1.2) для us(x) при <p(x) = w5(x):
V-	I	0U.\0Ws ,
), ад x, и,, — —- ax+ а(
, = i	\	ox J ox.
о х, us,
~ ')и Дх = 0.
дх / s
(3.16)
п
о
Изучим поведение левой части (3.16) при s-юо. В силу
отмеченной сильной сходимости к нулю и\(х) в Lr(£l) при
г<оо, условия А2 и оценки (1.3) получаем, что
lim а0( х, us(xy
си \
j2 jws(x)o?.x = 0.
(3-17)
п
Представим первое слагаемое левой части (3.16) в виде
* / \
£ а/X, us,	=/Р + ^’ + ^’ + Д5’,
1 = 1	\ их ) 0Х(
(3.18)
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
349
где
К = f i
J i=l
О
[ диД ( ди,
а; х, и„ — — а; х, и., —
s дх)	*\	’ дх
dw
— dx,
ОХ)
п
(	ди*
X, Ws, Т"
\	дх
[	ди0 , аг’4» \	(	дг^
а, х, и5, -—-а; х, us, —
\	дх дх /	\	дх
dws
-—dx,
ОХ)
Sr^’\Sw^x
дх I дХ)
Используя условие А2, имеем для Д’ оценку

a ws
а?
dx.
(3.20)
Покажем сейчас, что
lim Д’=0, 1йпД> = 0.
(3-21)
Оценивая по условию А2 и неравенству Гёльдера, получим
т — 2
Правая часть стремится к нулю в силу лемм 3.2, 3.3
и ограниченности первого и третьего интегралов постоянной,
не зависящей от 5. Отсюда следует первое равенство в (3.21).
Для проверки второго равенства в (3.21) введем функцию
Х5(х) — характеристическую функцию множества (J D)s), рав-
ную единице на этом множестве и нулю вне его. Имеем
Д>= J h^x^dx + I^,
(3.22)
350
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
где
^S.i(x) = [l-Xs(%)]ai(x, us,
\ ох /
ди0 5Д4*\
дх дх J
дг^\ | «Эи- ,
ws, (irdx-
ox j I дх{
Используя (3.5), можно доказать, что при 5->оо после-
довательность ASii(x) сильно сходится в L т (Q) к
аД х,
“о,
<Х>
дх
|. Отсюда следует стремление к
слагаемого в правой части (3.22). Оценим
неравенства (1.1) и Гёльдера:
т~ 1
нулю первого
применяя

В правой части полученного неравенства последний мно-
житель стремится к нулю в силу (3.5), остальные ограничены
не зависящей от s постоянной. Отсюда получаем, что Д5)->0,
и, тем самым, из (3.22) следует второе равенство в (3.21).
Осталось изучить поведение /£> при 5->оо. Для этого
представим этот интеграл в виде
а
v / л 0rs4 \dws,
У аД х, 0,--)—dx +
\ дх IdXi
* п
+ Х X
/	/ n оД4>
аД х, и„ —- -а, х, 0, ——
\ дх /	\ дх
Av
-~dx.
dxt
(3.23)
В силу (3.5) и условия А2 второе слагаемое в последнем
равенстве стремится к нулю. Для преобразования первого
интеграла в (3.23) введем функции х,(1)еСо(й) так, чтобы
при некотором Х3е(1, Xt) выполнялись условия: x>s)(-x)=l
при хеВ(%Н, X3p<s)), xSs)W = 0 ПРИ хфВ(х^\ А: Pts>),
0<xSs>(yKi, I^WK-Mprr1-
Представим первый интеграл в правой части (3.23) в виде
i .U ИМИ IO1 M4LCKOL PAiJO/MliHi
? j i
V ( n Sr“ \OW
У а Л x, 0, —— — dx =
i= 1	\ OX J oxt
Q
= x
X aAx, 0, 8^-]^-(ws(x)x<f)(x))dx+I^\ (3.24)
i = 1	\	OX j OX j
где
^s)= X j X ai(x, o,
При достаточно большом s, таком, что Xj <р?’< 1, первый
интеграл в правой части (3.24) равен нулю по определению
функции vp(x, fp-w)s)). Второе слагаемое в правой части
(3.24), /(6S), оценим, используя условия (1.1). Имеем при
GP = B(xP, X3p}s)):

£>Jsl\Gy>
DJ”
^^15 X । f
]еЦ I J
Dp
£Mi-x)s))]

(3.25)
Покажем, как оценивать интегралы, входящие в правую
часть (3.25). Пусть т{р= max |г)5’(з')|. В силу (2.6)
хеЛр\су
1___
f С (F(s)\ 1 (т~
3 '"A16t[p)s)]" mJ
352
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С М1.ЛКО31.1Ч1ИСЮЙ И’АНИЦГ.Й
Применяя неравенство (2.11), имеем
Следующая оценка получена на основе леммы 1.4 из гл. 8
при rf = df + rj~:
т
\сх
dx^
В(х& ?)”)
Отсюда и из неравенств (3.25) — (3.26) следует
J________________________________	(m- 1)
( \С ГМ5)Пга\('"-1)	I т
уе/;
СрП"’"
I 6VVS
J
П
т Г'"	(„ \С	п
+/^2!^ Е ' L —J — '
И”]
1
(3.27)
Оба слагаемых в правой части стремятся к нулю. В первом
слагаемом второй множитель ограничен постоянной, не
зависящей от s, первый же множитель стремится к нулю
в силу (3.5) и неравенства
[ОМ))ГГ

[г)”]"
[a>(r)s))]"“m
m-1	/[Ст(^’)]ту-
М т- /
(3.28)
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
353
Предел правой части при s-»oo равен нулю на основании
условия В2 и (3.1).
Во втором слагаемом в (3.27) стремится к нулю второй
множитель, а первый ограничен в силу условия В2, неравенст-
ва (3.6) и оценки
(Г
tff) =
-Z [Wb7^'r'« Е W’]-.
уеЛ' \ I/j J / )Ец
следующей из выбора функции и(г).
Таким образом, доказано, что lim/£’=0, а вместе с этим
и равенство
lim Д’> = 0.
(3.29)
Утверждение о сильной сходимости последовательности
ws.(t) в 1Ут(П) следует теперь из (3.16), (3.17), (3.18) — (3.21),
(3.29), что и заканчивает доказательство теоремы 3.1.
Наряду с представлением (3.11) в следующем параграфе
будет использовано еще одно аналогичное разложение для
us(x). Пусть wt°’(x) -равномерно ограниченная последова-
тельность функций из СХ(Г)), сходящаяся к и0(т) в И^(П).
Введем разложение
ws(t) = и[0)(х) + г['1(х) + г[2}(х) + г^1(х) + г[41(х) + wSit(x), (3.30)
где г^1(х), гЙ(х), г{*1(х) определяются аналогично гР’(т),
г‘3)(т), г(4|(т) путем замены в правых частях равенств (3.12)
м0(т) функцией w1°’(t), w)s) постоянными
[ u[°Wx- (331)
1 lit □ хх j I
Df>
Пусть
ак=||и10)(х)-и0(х)|| и,1™-
Аналогично доказательству лемм 3.2, 3.3 получаем, что
с постоянной с, не зависящей от s, к, и последовательностью
уР’, стремящейся к нулю, имеют место оценки
р<т. (3.32)
23 И. В. Скрыпник
354	ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Рассмотрим поведение wsk при s-»oo, повторяя с соот-
ветствующими изменениями доказательство теоремы 3.1. Из
представления (3.30) и (3.32) следует, что
II II £ „„ о< к22 («*+т12))	(3-33)
с не зависящей от k, s постоянной К22 и у(2)->0 при ,v-»oo.
Запишем интегральное тождество (1.2) для us(x) при
(p(x) = ws,t(x):
[ (	диД
— ------ах+ а0 х, и,, — ws kax = 0.
GX J СХ( J	\	OX I
(3.34)
п
В силу (3.33) для второго слагаемого левой части
имеем оценки
«о *, us, -Д ^/C2,(at + v(2’).	(3.35)
\ vx /
а
Первое слагаемое в левой части (3.34) аналогично (3.18)
представим в виде
f f х, и„	]~-dx = I^k + I^k + I^,k + lT.k,
J i= 1 \	CX / dxi
a
(3.36)
где 1Д, J=l, 2, 3, 4, определяются соответствующими
равенствами из (3.19) с заменой ws(x), w0(x), г'4’(х) на wSit(x),
4°’(х), г$(х).
Для AS из условий А2 следует оценка
о
Аналогично доказательству (3.21) получаем
lim AS = lim Д5,\ = 0,	(3.38)
S—*СС	s—*00
причем сходимость равномерна по к.
Записывая для представление вида (3.23) и проводя
соответствующие оценки, получим
IAM^zA^+yI3’),	(3.39)
где у13)-»0 при s-»oo.
§ 4. ВЫВОД ПРЕДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	355
Из (3.34) - (3.39) следует
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия Ар А2, В2, В2
и функции wsk(jr) определяются равенством (3.30). Тогда
имеет место оценка
Hs. t W II	(fi) С ( II 40) (X) - и0 (X) II	(П) + 7s) т,
где с— постоянная, зависящая лишь от т, п, сь М, v, ц,
ys->0 при ,v->oo.
§ 4.	Вывод предельного уравнения
Здесь будет доказана теорема 1.2 в предположении, что
условия Ар А2, Bp В2, С выполнены. Утверждение о сильной
сходимости us(x) к и0(х) в IFp(Q) при р<т уже доказано
в § 3, оно следует из разложения (3.11), лемм 3.2—3.4
и теоремы 3.1.
Сейчас докажем, что функция w0(x) является решением
задачи (1.7). Пусть g(x) — произвольная функция класса
Со (И), и определим при к=\, 2, ... последовательности
gt.sW=gW+Ps1’W-p^-p^W,	(4.1)
где
/(S)
PsuW= X [gP-.?(*)]'I'f’W,
i= 1
р&(*)= X	(4.2)
-ел./1 и'-к
РЙ(*)= X ^\х, i)g(s)(p(s)w.
Здесь
функции (pJs)(jc), фР(з"), множества D|s|— те же, что и в равен-
ствах (3.12), определено формулой (3.31). Множества
индексов Ts k, I's,k вводятся следующим образом:
Is.k = {i. 1<Z</S, Hs)-MSMmCm(F(s’)<[z7(s)]"}.	( j
23*
356
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Аналогично лемме 3.2 получаем
lim ^’Wll^e.
(4.4)
Лемма 4.1. При любом р<т имеет место оценка
II РЙW II	(£1) + IIРЙ(*) II	(4.5)
” т 1**7
с постоянной с, зависящей от т, п, М, v, ц. р, тах|#(т)|,
и последовательностью ts, стремящейся к нулю при s-»cc.
Доказательство проведем вначале для р$. Применяя
неравенство (2.3), получим
II РЙ(Х) II ^(fi)
,е^ IZH—м$Ч1р" v^x’ ^‘S)~" »l(els’)
ik х [cmm]-[p;s,]"(1^^
^{Хсд^ПЧХЕрт1’^
ief,	iel’,
+c3{£ cm(^»)}S{ X[pIj)]’}‘< (4-6)
iez;	iel’
Здесь и далее через с, обозначаем постоянные, зависящие
от тех же параметров, что и константа с при формулировке
леммы 4.1, множества I" определяются условиями (3.3).
Правая часть (4.6) стремится к нулю в силу (3.4) — (3.7),
что и доказывает лемму.
Докажем сейчас оценку для рЙ(х)- Из (2.3) и (4.3)
следует при ie Г'л
II 1)ф55’(х)]11ьт<а)^^[Ст(^’)]^РГ]"^.
Отсюда получаем
II Ps» X
ieF
s, k
^^{xcmm}^XMs,]"}-2+ 
+C5{X<^S,)}4X[<H^,
iel"	icl’
и стремление к нулю правой части устанавливается анало-
гично тому, как это было сделано в неравенстве (4.6).
§ 4. ВЫВОД ПРЕДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
357
Замечание 4.1. Из неравенства (4.6) непосредственно сле-
дует оценка
11р’Ж1ни(П)^5.	(4.7)
Определяемая равенством (4.1) функция gs,k(x) принадле-
жит пространству (Q(s)), и ее можно подставить вместо
<р(х) в тождество (1.2). Получаем
Л11++ЛИ+= о,	(4.8)
где
Г Г и /
Л1)= к Е «Д*,
J U=i \
Q
7“ —+а0 х, и„ — g х \dx,
OX J OXj \ ox I	' J
awAdpi1’
— ------dx,
OX ) OX;
Г f	Эр*. 1	..
/$ = - L aj\ us(x)’ v hr- dx,	(4.9)
Jj=i \	ox j OXj
n

J^k=	[Ps1’^)- Po-РЙИ]*-
n
Уже отмеченная выше сильная сходимость ws(x) к w0(x)
в при р<т позволяет совершить предельный переход
в J’1* и получить
J<!)= | £ д7(х, и0,	+«о(*, «о, ^gpx+r*1’,
(4.10)
где т’1(->0 при s-»oo.
Пределы J*2’, J'4(, также просто находятся. На
основании (4.4), (4.5), ограниченности м5(х) в ^(П) и условий
А2 получаем
и<П1^5),	(4.11)
где т’2’, т’4’, т’5) стремятся к нулю при 5-+оо.
358	ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Осталось изучить поведение Воспользуемся разло-
жением (3.30) для ws(x) при некоторой, фиксированной
в дальнейшем, последовательности w^0,(x), для которой можем
считать выполненным неравенство |«f’(x)|^Af при хеП.
Получаем
/ ди5\	/
ад х, и„ — х, и., ——
\	s дх J	]\	3 дх J
dXj
п
дх}
V ( о	.....
) ад х, 0, —— ----------ах. (4.12)
Л ’ дх I дх. v ’
Г= 1	\	/	1
О
Используя неравенство (1.1), оценим первый интеграл
в правой части (4.12)
о
( 5иЛ /	сг’4(\
«,• х’ и-> v -а4 х’
дх I \ дх 1
cps2i ,
——ах
дх.
СХ
dr?
дх
or)3k	dws,k
дх дх
т —2
2 т
dx +
dx х
х
(4.13)
о
я
+
+
Первый интеграл в правой части (4.13) ограничен посто-
янной, не зависящей от s, к. Второе слагаемое в фигурной
скобке не превосходит c7(at + P’1’)1/m в силу (3.32), леммы
3.2 и теоремы 3.2. Здесь
ak=l|wl0’-M0ll ч v при s->со.
(4.14)
§ 4. ВЫВОД ПРЕДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
359
Оценим первое слагаемое в фигурной скобке в (4.13):
дир
дх
с'РЙ
дх
тп/2
diA0>
дх
т
dx х
D<’>
т 'J 1/2
dx >
v ( Г дир
^с9 1 )	~;—
дх
т
dx-Cm(F?)
1/2
О'"
) 1/2 ( Г Л,.(0) т ) V2
xc-m М +
-е/,’	О
(	1 1/2 f С dul°> т 1 1/2
+c10|S W)| I М • (4-15)
iel"	iel"
Мы воспользовались оценкой (2.3) и определением мно-
жества Fs k. При s->oo правая часть (4.15) стремится к нулю
в силу (3.4), (3.5). Оценивая ее и используя ранее сказанное
относительно поведения остальных интегралов в (4.13), при-
ходим к неравенству
/	dus \	/	or1;4) \
«Д х, и„ — -дД х, и„ —-
д	дх J	\	дх J
рп(2)
Ops, к j
——ах
дх.
^n(at + Pl2))1/m (4.16)
с Р’2), стремящемся к нулю при s-»oo.
Для второго интеграла в (4.12) можно получить оценку
с Р13’^О при л-»оо. Это неравенство следует из (1.1), (3.5)
и того, что подынтегральная функция в (4.17) обращается
в нуль вне множества (J D^.
Q
X
360
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Рассмотрим теперь третье слагаемое в правой части (4.12)
и представим его в виде
V f п	л
> ал х, 0,--- ----ах=
, \ ох ох.
£2
Их) П (S) р /
=	^Л + /?<Ч + А<а, (4.18)
. . . . J — М к \	(7Х / СХ:
i=l J=AJ 1 l'K J \	/ J
<1=
= - У y^L^fL/^o,yri;<s)(pis)l)^Hs)<p!-5’]-
Л \	J/<4L J
$2
-ai
dv^ \ <;r(;s) I ,
—— ---------->ax.
OX ) OX: I
Здесь J(.v)={z: i= 1, ..., I(s), 1фЦ’ Г\Ц к}- Д'48 краткости
через в (4.18) и при определении A’Ji, R^’k обозначены
функции гр*,/!5’ —p’J.
Докажем, что имеет место оценка
<4Л9)
С Р’4)-»0 при s-»oo.
Для этого предварительно установим при q = 2, т нера-
венства
где Р’5)-»0 при s-»oo.
1Г
(1-фП
Дх^с14р‘5),
Я
§ 4. ВЫВОД ПРЕДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
361
Докажем оценку (4.20) для двух типичных слагаемых,
входящих в левые части. Неравенство
о
|рД|
ч
atpj51
дх
v [C.W)]-
шж. I
получено аналогично неравенству (3.26). Оценивая далее
правую часть согласно (3.28), убеждаемся в справедливости
первого неравенства в (4.20).
Точно так же, аналогично (3.26), устанавливается и оценка
X
гд1
17
q = 2, т,
откуда следует второе неравенство в (4.20).
Неравенство (4.19) для R-2[ получается теперь непосред-
ственно из оценок (1.1) и (4.20). Указанная в (4.19) оценка
для следует из
^17 X	+	+
/е/'
+07 X {cm(F!+)}l[^>]"-4
s 1 1 s. к
<О7{ X W)}"{ X [cm(Fr)+Ws>]"}^2+
iec iE/’
+ 07{ X Cm(F'+)}M Xt^’]"}^ (4.21)
iel"	iel”
и правая часть стремится к нулю при 5->оо в силу (3.4),
(3.5). При получении (4.21) воспользовались неравенством
(2.3) и определением множества /'Д.
Таким образом, неравенство (4.19) установлено. Перейдем
к исследованию поведения первого слагаемого в правой
части (4.18). Для этого понадобятся следующие определения
и построения.
При заданном числе к определим d=d(k)>0 так,
чтобы колебание каждой из функций и{к}(х), Дх), Дх)
362	ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
не превосходило (^)т/2 на любо^ множестве Ес£1, диаметр
которого меньше 2d. Возмож1*ость так°г°~ выбора d(k)
следует из непрерывности указа^ных Функций в Q.
Представим множество й в виде объединения непересе-
кающихся подмножеств й(, Z— 1, .•’	= с кусочно-глад-
кими границами так, чтобы диаметР каждого из множеств
й( был меньше d. Выберем чис?° si=si{4 так’ чтобы при
для г'=1, I(s) выполнял^01, неравенство г, +dt <d.
Обозначим через /,(й() множ^ство индексов z=l, I[s)
таких, что х’5)еЙ(, и определив
mesQ/ J
(4.22)

mes Q,
uk)}(x)dx.
Представим первое слагаемое
в правой части (4.18) в виде
I(s> "	<,(»> С
У У ——
о
>	/	\ (S)
ал х о ]^dx=J«[+R'?k,	(4.23)
Л ’ ' дх I d^J
где
•	(х,/,-«!*>)<& j.
§ 4. ВЫВОД ПРЕДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ	363
Оценим 7?^, используя неравенства (1.1), (2.3), (2.5):
1*^08 X X lg,is,-^l{cm(^>)+[^’]n}+
L	1 = lie/,((!,)
+ С1вХ X +	(4-24)
|=Пе/,(П,)
В силу выбора d при	имеют место оценки
/П	у * nt	у . тп
~	7 ) ,	| ) . Отсюда и из
кj	\к1	\к I
(4.24), (3.6), (3.7) следует
Выберем, наконец, по данному разбиению {О,} области
£2 число s2 — s2(k) таким образом, чтобы для	при
s>s2, 7=1, ..., L выполнялось неравенство
Здесь использовано условие С, которое предполагается вы-
полненным в данном параграфе.
Представим
о
где
7?Г = |[С(х,/(х)-«‘°>(х))-СС а т?1Ч=Х МЧд X X 1 = 10' 17' /е/(П,) 1=1 • 7—fi~ CXJ ^б,= X f c(x,f-u^)dx ' = 1 I Q,	c, /(x)-w0(x))] g(x)dx, u\k))dx-gl J c(x, f^u^dx Si, - f c(x, /(x)-H)S0)(x))g(x)</x Q,
364	ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
Из (4.26) следует оценка для
при s>s2(k).	(4.28)
Из непрерывности функции с(х, t) получаем
l^l + l^l^11,	(4.29)
где >0 при к->сс.
Из равенств (4.12), (4.18), (4.23), (4.27) можем получить
Дл = -f с(х, f(x)-u0(x))g(x)dx+R^	(4.30)
п
где для ЯД в силу (4.16), (4.17), (4.19), (4.25), (4.28), (4.29)
справедлива оценка
|/?H|^C2i(₽l6>+8l2))
с 8l2), удовлетворяющими условиям р^6)->0 при s->cc,
8£2)—>0 при к->г_с.
Равенство (4.8) вместе с (4.10), (4.11), (4.30) приводит к
-с(х, f~u0)g\dx = RStk,
(4-31)
где
I ^5, к I С22 (Ps + 8fc)
с ps->0 при 5->оо, 5к->0 при £->оо.
В равенстве (4.31) левая часть не зависит от s, к, правая
часть может быть сделана сколь угодно малой при достаточно
больших s, к. Отсюда следует, что левая часть равна нулю,
и приходим тем самым к равенству
V ( диД 8g (	оиД
L аАх’ ив’ V 7-+flo х’	Т"
,= i \ дх ох, \	дх
о
-с(х, /-wo)gjrfx=0.
Это равенство показывает, что и0 является обобщенным
решением уравнения (1.7) в П. Принадлежность иДх) мно-
§ 5. ДАЛЫН.ИШИ!. РГЗУЛЫЛ1Ы
о
у жеству f(x)+Wm(Cl) непосредственно следует из того, что
1 при каждом s этому множеству принадлежит w5(x).
Закончен вывод предельного уравнения для функции
и0(х), и тем самым полностью закончено доказательство
теоремы 1.2.
§ 5.	Дальнейшие результаты
1.	Усреднение в случае поверхностного распределения мно-
жеств в F/*’. В работе [77к] изучено усреднение задач
Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений (0.1)
в случае концентрации множеств F)s| вблизи некоторой
гладкой поверхности. Эти результаты получены при условиях
Ап А2 из §1 для функций а,(х, и, р) и при следующих
условиях на множества F)s):
bj существуют замкнутая поверхность Г класса С1,а,
расположенная внутри Q, и последовательность положитель-
ных чисел у<5), 5=1,2,..., такие, что limy,s) = 0 и при /= 1,
2, ...,/(5) выполнены включения F;s| си.((!||Г), где иу(5)(Г)—.
множество точек xeRn, расстояние которых до Г меньше,
чем y(s);
b2) существуют положительные числа с15 с2 такие, что
при 5= 1, 2, ..., i'= 1, ..., I(s), выполнены неравенства
max r)s)^CiY(s),
где d\s\ r)s)— определенные в § 1 числа.
Кроме того, для вывода предельного уравнения еще
предполагается выполненным следующее условие:
с) существует непрерывная функция с(х, к) такая, что для
произвольного шара В <= £1 выполнено равенство
г V V 1 f ( л I i\\°vT 1 I\J '
hm 5 У - а<[ x, 0, —— x, к) x, k)dx —
iefa i=i k J \ dx J cx‘
J 5 я
c(x, k)dx,
Bpr
(5.2)
JOO
Ы. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОМ I РАНИЦЕИ
причем стремление к пределу в (5.2) является равномерным
по к на любом ограниченном интервале изменения к. В (5.2)
ДВ)—множество тех номеров j, 1	l(s), для которых х(реВ.
Поверхность Г разбивает область Q на две подобласти.
Обозначим их через и С1е так, чтобы ЗП, = Г, 6Qc = r(J6Q.
Для определенной в Q, (соответственно Пе) функции /(х)
обозначим предельные значения на Г через Г /’(х)Т- (соответ-
ственно [/(х)]е).
Справедлива
Теорема 5.1 [77к]. Предположим, что выполнены условия
АД, А2) из § 1 и условия bj), b2), с). Пусть us(x)—слабо
сходящаяся к и0(х) последовательность решений задачи (0.1),
(0.2) при / (х) е И7,1 (Q), q>n. Тогда последовательность us(x\
сильно сходится в Ир(П) при любом р<т и функция и0(х)
является обобщенным решением следующей задачи сопряжения:
Д <1	(	ди\	(	ди\ п
L Х’ м> Т ~ао *, т- 1=0,
ах: J\	дх)	\	дх I
и(х) = /(х), хе сП,
X
xeQ,-|JOc,
(5.3)
(5.4)
(5.5)
[w(x)], = [w(x)]e, хе Г,
п
-х
е j=l
= с(х, у(х) —м(х)),	хеГ.
Здесь v(x)~ внешняя по отношению к П; нормаль к Г в точке
хеГ.
Замечание 5.1. Последнее неравенство в (5.1) можно
ослабить, используя аналогично условию (1.4) емкостную
характеристику множества F\s),
2.	Усреднение задачи Дирихле для уравнений высшего
порядка. Результаты § 1—4 справедливы и для квазилинейных
эллиптических уравнений высшего порядка.
Рассмотрим последовательность квазилинейных задач Ди-
рихле
£ (-1)|а1^Ма(х, и, ..., &ти) = 0, хеП<5>,	(5.6)
0а[и(х)-Дх)]=О, хео£У, |a|^w- 1,	(5.7)
7 ($)
где Q(s), s= 1, 2, ...,— перфорированные области й(5) = £2\ |j F's),
i~ 1
F\s\ i= 1, ..., I(s),— непересекающиеся замкнутые множества,
содержащиеся в ограниченной области Q с Rn.
§ 5. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ	367
Предполагаем выполнение условий:
аД функции Лв(хД), |a|^w при xeCl, ^eRM удовлетво-
ряют условию _Каратеодори (см. § 2 из гл. 1);
а2) при хеП, E,eRM имеют место представление
Л(*Л) = X ЛвДхЦр+Вв(х, при |а|=т	(5.8)
1 р 1=™
и оценки
X Дв(х, £)£B>v X |^|2-<р(х),
| а | < т	| а ) =т
15и(*Л)1^Н X 1£р1г+и X 1^1 + ф(*)> |a|=w, (5.9)
l₽l=m	]p|<m
Мв(*> X 1^₽1 + ф(А	|a|<w,
I ₽l«m
где Лвр(х)еС0'ЧП), Xe(0, 1), 0<r<l, v, |x—положительные
постоянные, <p(x)eF2(Q).
Сформулируем другие условия, сохраняя обозначения d\s},
г1?1 из § 1. Относительно множеств F^1 предполагаем выполне-
ние условий с не зависящими от i, s постоянными с', с"'.
b') lim max r)s) = 0,
1 (s)
b") tX ' -^}Д)-у <C" ПРИ n>2m’
'<?|1п^Г2	„	_
X - при n=2m-
Для формулировки еще одного условия на F^ используют-
ся вспомогательные функции r)s)(x)e W™(B(x)s), 1)). Функция
r)s)(x) для d$s)<l/2 равна 1 при xeF)s) и при xeB(x)s), 1)\F)S)
определяется как обобщенное решение задачи
X ^BP(x)s))^a+₽v(x) = 0, xeB(x)s), 1)\F)S),	(5.10)
I a I. I ₽ l=m
г(х)-е(х)е1У5(/?(хУ>, 1)\F)S>),	(5.11)
где e(x)eCo (Д(х)5), 1)) и <?(x)=l при xeB(x)5)f 1/2).
30»
ГЛ 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОМ ГРАНИЦЕЙ
Предполагается выполненным еще одно условие:
с') существует непрерывная в Q функция с(х) та-
кая, что для произвольного тара В с Q имеет место
равенство
j™ L L A^)^(x)^(x)dx =
Jells, В) I «I. I ₽ l = m J
B(x'j", I)
= Jc(x)t/x, (5.12)
в
где через I(s, В) обозначено множество тех номеров j, для
которых 1	х-реВ.
Теорема 5.2. Пусть выполнены условия aj, а2), Ь'),
Ь"), с'), /(х)е И7” (Q), a us(x)— обобщенное решение задачи
(5.10), (5.11), и пусть йДх) совпадает с us(x) при xeQw
и с f(x) при хе£2\П(4). Предположим, что последовательность
us(x) слабо сходится в И7™ (£2). Тогда us(x) сильно сходится
в И7” (£2) при любом р<2, а функция и0(х) является обобщен-
ным решением задачи
£ (-1)1’1 £^Ла(х,«,
I * I «Я
..., ^тп) + с(х)п(х) = с(х)/(х),
хе£2,
(5.13)
S?“[«(x) — /(х)] = 0,	хе5£2, |т |<т — 1.
(5-14)
Здесь с(х)— функция из условия с').
3.	Усреднение вариационных задач Неймаиа. Пусть Q.—
ограниченная область в R" и £2S = £2\(2S, где Qs при s =
= 1,2,...— произвольное замкнутое подмножество £2. Рас-
смотрим функционалы
•^s(M)=f f(x, и, ..., 3>mu)dx,
о,
(5.15)
^Аи)—g(x, и, &т lu)dx
Ц
на пространстве И7^^) при выполнении предположений:
f\) при (х, ц, £,)е£2 х R™ х RM° функция /(х, т), удовле-
творяет условиям Каратеодори, выпукла по и /(х, 0,0)
ограничена в £2;
§ 5. ДАЛЬНЕЙШИЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
369
f2) существуют положительные постоянные klt к2 такие,
что при xeQ,	выполнены оценки
/ММ1 X	X IUP\
\	|«|<m	/	,Г
1/(хД)-/(х,О<МШ1Ж'1Г11^'1;
gj) при (х, TilefixA1' функция g(x, т|) удовлетворяет
условию Каратеодори и g(x, 0)eLl (Q);
g2) при хей, г|, т|'е/?^ выполнено неравенство
|g(*>	П')1	['I'W + ln 1 + 1 И'Ilp“11П-П'1 (5-17)
с k3>0 и ф(х)еЛр(й).
Будем предполагать еще равномерное возрастание функци-
оналов .Fs + Gs на И'рф,) в следующем смысле: существует
непрерывная функция Я:[0, оо)->/?‘ такая, что
я(г)- + со при ?->+оо
и
^s(w) + Gs(w)>W(||w||^(fi)) при u(x)eW™(Q.s).
Одной из особенностей задачи Неймана, возникающей
при минимизации функционалов ^s, Gs на И^(й5), является
нетривиальность продолжения функций, заданных при хей„
на всю область й. В связи с этим введем
Определение 5.1. Будем говорить, что семейство
множеств й, удовлетворяет условию сильной связности,
если для любой и(х)е (J2S) и любого seN существует
функция й(х)е IVр (О), совпадающая с и(х) на Й и удо-
влетворяющая оценке
II “ (Х) II (Q) с II U (Х) II и™ (О,)
с постоянной с, не зависящей от .?, и(х).
Можно показать, что при й5 = й\ |J F}s}, подобных и не
; слишком близко примыкающих друг к другу и к ой
множествах АТ множества Й5 сильно связны.
) Для выяснения сходимости минимизирующей последова-
’ телыюсти функционалов ^S + GS введем дополнительные по-
строения. Определим при хе й, к, ryeRM', ^eRM°, t, .5=1, 2, ...,
и(х)е 1Ур (J2S) функции
Ч>№ т], ^) = z"inf
и
f(y, п, ^ + ®mu) +
едсщ,
24 И. В. Скпыпник
(5-18)
370
ГЛ. 9. ОБЛАСТИ С МЕЛКОЗЕРНИСТОЙ ГРАНИЦЕЙ
где K'((x) = |j’6Л": |у(—xf|<—> i=l, ..., nj и нижняя грань
берется по w(x)e(F”(fl,). И пусть
Фм(*’ Л, £)=J™ ф£’<(+ П, £),
Фм(*> п, £)= lim <pl’»,(x, п, £).
—	S—><Х)
(5-19)
Предположим выполнение условий:
1) существуют X0 = {X£0):|a|^m — IJeT?^, удовлетворяю-
щее неравенствам X^0)>p(w —|a|), Ja|^ra—1, и функция <р(х,
т]Д) такие, что при хеП, rjefi*, teRMa
lim ФХо ,(х, г|, £)= lim ((х, г|, £)=ф(х, П, ty; (5.20)
2) существует функция a^eLJQ) такая, что для любого
куба Kt(x) с Q,
lim mes(A'((x)nQs)= J a(y)dy.	(5.21)
К,(х)
Проверяется, что при условиях этого пункта равенства
Ф(н) = | ф(х, и, 3)mu)dx, Г(п) = | a(x)g(x, и, 2т lu)dx
si	а
определяют функционалы Ф, Г на
Следующая теорема доказана А. А. Ковалевским (см.
[41а, 416]):
Теорема 5.3. Пусть выполнены условия fj, f2), gj, g2),
1), 2) и предположим, что множества П5 удовлетворяют
условию сильной связности, функционалы ,^S + GS равномерно
возрастают, а функционалы ^S + GS, Ф + Г строго выпуклы
соответственно на И7™^), 1Ур(П). Тогда для функций ujx\,
п(х), минимизирующих функционалы .^S + GS, Ф + Г на РИдПД
lKp(f2), справедливы равенства
lim ||и,(х)-и(х)||	1(Q)=0,
s—РОС	Р ' V
lim {^5(и,)+С,(и,)}=Ф(М) + Г(и).
ГЛАВА 10
УСРЕДНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ
В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Данная глава посвящена изучению сходимости решений
задач Дирихле для квазилинейного эллиптического уравнения
второго порядка в последовательности областей с каналами.
Развивая методы гл. 9 для нового класса перфорированных
областей, устанавливаем условия сходимости решений гранич-
ных задач в последовательности областей с каналами,
и указывается граничная задача для предельной функции.
Глава содержит результаты, опубликованные в статье
[77н].
§ 1. Формулировка предположений
и основных результатов
Будем предполагать, что функции аДх, и, р), j-0, п,
определены при х, принадлежащем ограниченной области
Q класса С1 в Rn, ueR1, peR”, и удовлетворяют следующим
условиям:
aj а}(х,и,р) непрерывны по и, р при почти всех xeQ,
измеримы по х при любых и, р; аАх,и,0) = 0 при xeQ,
ueR1, j= 1, ..., л;
а2) существуют положительные постоянные vn v2, в такие,
что при некоторых те [2, п— 1),	и всех значениях
хе£2, и, v е R1, р, qeRn выполнены неравенства
f [аДх, и,р)-а}(х, и, q)](Pj-q^
а0(х, м,^)м>-(у1-е)|рГ-ф(х)(1+|и|),
|аДх, и,р)-аДх, v, ^)|<v2(l+|w|ri + |r|ri + |p| + |^|)m“2 х
!	X (|р-^| + |и-г|),
|а0(х, и,р)|<У2(|и|г1+|р|)-7Г“ + ф(х),
где ф(х)е£гДП), r2>n/m, j=l,
24*
п.
372 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ Н ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Предположение те[2, п— 1) сделано ради простоты изло-
жения. В случаях 1</м<2 или.щ = и—1 близкими методами
могут быть получены аналоги утверждений данной главы.
Отметим, что функции а;- (х, и, р) можем считать заданными
и удовлетворяющими условиям аД а2) при (х, и, p)eRnx
RlxR".
Перейдем к формулировке предположений на последова-
тельность областей. Предположим, что для каждого натураль-
ного числа s при »=1, 2, ..., /(s) определены линии
/Js) в fl и положительные числа ris), d\s>, удовлетворяющие
с не зависящими от /, 5 положительными постоянными сх,
с2, К Ро следующим условиям:
bj (2 + С1) d\s} < tf’, lim r(s) = 0,
s~*oo
где
r(s) = max r?1,
иг1 j <C2;
b2) при произвольных 5=1, 2, ..., z=l, ..., I(s) существует
конечное число точек /= 1, ..., L(i, 5), таких, что при
любых Ms)e[z/{s), Hs)] выполнено включение
t(i.s)
^(r?’({fSs)}), Ms))c (J Ms)),
1=1
где
7?’({M5)}) = ^(//S), rHCKLWJ”’ 6”)ий*У;
(j*i	J
(1.1)
здесь и далее для множества G с R"
<%(G, R)={xeRn: р(х, G)<R},
р(х, G) — расстояние от точки х до множества G;B{x0, R)—
шар радиуса R с центром в точке х0;
Ь3) при каждом 5=1, 2, ... порядок семейств множеств
{^(/?>, rf’), i=l, ..., /(5)},
{B(zfl, Ms)), <=1,	I(s). /=1, ..., L(i, 5)}
не превосходит числа p0; имеют место включения Ф(/'5), rjs)) с
ей, B(z$, X^s))cQ при i=l, ..., /(5), /=1, ..., L(i, 5).
f I. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ
373
При этом порядком конечного семейства множеств назы-
ваем наибольшее целое число р, для которого имеется р +1
множеств данного семейства с общей точкой.
Будем еще предполагать следующие условия относительно
кривых 1^'-
1]) при произвольных .5=1, 2,	/=1, I(s) существуют
диффеоморфизмы g\s) класса С1, g|s):	1)-► g\s)41(4S), 1) <-
с R" такие, чТо
gP(/(s’)c{ye/?": b = ...=y„-!=()};
12) существует не зависящая от i, s положительная
постоянная х>0 такая, что при xe4Z(/'s), 1) выполнены
неравенства
<&Дх)
дх
det v ;^х \
Эх
э g!s) (х)
где —якобиева матрица отображения gr(x) в точке х.
Отсюда, в частности, следует, что с некоторой постоянной
с3, зависящей лишь от п, х, для произвольных точек х15
x2e^(l\s\ 1) выполнено неравенство
-|x1-x2|^|g!s)(x1)-gi5)(x2)|^c3|x1-x2|.	(1.2)
сз
Будем предполагать, что при каждом s
J)s)), z=l, ..., I(s),	(1.3)
и рассмотрим последовательность граничных задач
У -?-а.(х, и, ™\ = aofx, и, jA, xeQ(s) = Q\F(s),	(1.4)
jT\ ахj J у	ox I у ox I
Ы(х)-/(фЙ1(Я(5>)	(1.5)
Z(s)
при некоторой функции f(x) е (Q), F{s} = |J F)s).
Аналогично теореме 1.1 из гл. 9 доказывается существова-
ние решения иДх) задачи (1.4), (1.5) и априорная оценка
II 4s(X) II Ц/'1 К
с не зависящей от 5 постоянной R.
Продолжим функцию us(x) на множество Q, полагая ее
равной Дх) вне Qw. Так определенная функция, обозначаемая-
J/4
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
далее также через us(x), принадлежит ^„(£2) и удовлетворяет
оценке
II Ms(x)ll	ll/ll	t1-6)
Отсюда следует, что из последовательности {ws(x)} можно
извлечь подпоследовательность, слабо сходящуюся к некото-
рому элементу w0 (а) е И7™ (£1). Не ограничивая общности,
будем считать, что и5(х)^и0(х) в 1Г^(£2).
Так как нас будет интересовать поведение решений задачи
(1.4), (1.5) при s-юо, то, не ограничивая общности, можем
считать, что при всех 5 выполнено неравенство r<s)
Определим числовые последовательности {Xs}, {ps} равенст-
вами
Проверим, что
limXs = 0, limps=oo,
, п т
lim m m—1=0.
(1-7)
(1-8)
(1-9)
Вначале заметим, что в силу условия Ь3) выполнена оценка
1(5)
е тл
1 = 1
(1.10)

с некоторой постоянной с4, не зависящей от s.
Используя неравенство Гёль дера и оценки (1.2), (1.10),
получаем
с единой для всех s постоянной с5
(1-11)
§ I. ФОРМУЛИРОВКА РЕЗУЛЬТАТОВ	375
Из (1.10), (1.11) следует, что mes^(s) ->0 при 5->оо, и тогда
первое равенство в (1.9) следует из абсолютной непрерывности
интеграла. Второе и третье равенства в (1.9) непосредственно
следуют из (1.8).	—
Определим далее при 5=1, 2, ..., /= 1, ..., /(5) числовую
последовательность p)s) условиями:
p(s, = J)s),
если ie Г (s) = {i = 1, ..., /(5):	’ Щ.}, (1.12)
рИ=2сЦг)”]^-ц„
если /"(5)= {;= 1, ..., /(5):	-gs};
где с3— постоянная из неравенства (1.2). Не ограничивая
общности, можем считать, что 2сзр)') < r)s) при
Рассмотрим при 5=1, 2, ..., ie/"(s) множества
L)s) = {xe/)s): р(х, 7?'({2р6’})>2р«}.	(1.13)
Представим L)s) в виде
где L^\—объединение всех тех связных компонент множества
L Js), длины которых не меньше, чем Xs“1  р)5). Множество
L\s}2 является замкнутым, не содержащим отрезки кривой
/Js), длины которых больше или равны Xs-1p)s). Граничные
точки множества L^2 относительно кривой /;s) отстоят от
T\s} ({2pis)}) на расстояние 2p)s).
Докажем включение
2p)s)) с
c^(L\s\, 2p!s))Lm 7?’({2рР}), 2р(5’(2+Д).	(1.14)
\ \ /
Достаточно проверить принадлежность правой части таких
Ирочек xe^(4s), 2p)s)), для которых
р(х, 7’Н({2рГ>}))>2рГ>^2+Д	(1.15)
\ ^s/
Выберем для такой точки х ближайшую точку xoe/)s),
так что
|х-х0| = р(х, 6s))<2pis).	(1.16)
Тогда из (1.15), (1.16) имеем
р(х0, П>({2р6'})>2р?'( 1+Д	(1.17)
Отсюда следует, что xoeL\s}, и далее получим xoeL\s\.
376
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
В самом деле, если бы хое£|*’2, то нашлась бы точка
Для которой
р(хь 7?’({2рГ’})) = 2рГ>.	(1.18)
р6>
В этом случае р(х0, T\s} ({2p|s)})) < 2pJs) + у-, что противоречит
(1.17).	Тем самым доказано включение (1.14).
Разделим каждый из криволинейных отрезков, входящих в
L$\ (связную компоненту множества L^), на конечное число
отрезков равной длины с таким условием, чтобы длина
отрезков возникающего подразбиения принадлежала сегменту
pH pH г,
—, — . В итоге приходим к представлению
2\ Xs
KO’.s)	„(s)	„(s)
к = 1
(1-19)
где |Zjs)(fc)l—Длина криволинейного отрезка
Пусть а$,	5=1, 2, ..., iel"(s), fc=l, ..., K(i, s),— концы
отрезка кривой L\s}(k). Покажем, что при достаточно боль-
шом, не зависящем от s, i, числе с' справедливы утверждения:
а)	при фиксированных s, i множества G^(c'), /с=1, ...
..., K(i, s) попарно не пересекаются, причем
2рН)\{в(«П, cpH)UB(lU срН)}; (1.20:
Ь)	имеет место включение
K(i.s) [	/	Д
^(/Н,2рН)с и Ш С'+- и
k=t (	\	’/
и в	Рн) и в (р&, (с'+pH)j и
b(i.s) /	/	I \\
и U в z<f|, 2MS) 2+- . (1.21
1=1	\	\ ^sj J
Последнее включение является непосредственным следствг
ем (1.14), (1.20) и условия Ь2). Так что нуждается в дс
казательстве только утверждение а).
Пусть а, Р — произвольные точки кривой /Н- Обозначи
через [а, Р]Н — отрезок кривой /)” с концами в точках с
Р, а через |[а, Р]Н| — длину этого криволинейного отрезк.
§ I. ФОРМУЛИРОВКА Р13УЛЫА1ОВ
Используя условия lj), 12), легко проверить, что с некоторой,
зависящей лишь от п, х, постоянной с" выполняется оценка
|[а, ₽]|”|<с"|а-₽|.	(1.22)
Вернемся к доказательству утверждения а). Предположим
противное: при к1^к2 существует точка
x'eGftJc'jfWJc')-
Обозначим через xkl, хк2 точки, принадлежащие соответствен-
но L^kj), L\s}(k2), такие, что
|x'-xtl|<2pf’, \х'-хк2\<2рГ.	(1.23)
Из (1.20), (1.22) и предположения k{^=k2 следует
2(с''+1). Тем самым ут-
” j -------------лишь от
где с3 —
согласно
асимпто-
решений
асимпто-
характер
что противоречит (1.23), если с'>'.
верждение а) доказано с постоянной с', зависящей
п, х. Будем считать дополнительно, что с'>2с3,
постоянная из неравенства (1.2).
Покрытие множества ^(/!s), 2p)s)), определяемое
(1.21), будет играть ключевую роль при построении
тического разложения последовательности {^5(х)},
задач (1.4), (1.5). Исходя из соответствующего (1.21)
тического представления будет не только изучен
сходимости последовательности {ws(x)}, но и построена гра-
ничная задача для предельной функции и0(х).
Для формулировки основного результата главы определим
при 5=1, 2, ..., /£/''(5), F=l, ..., K(i, s) функции r$(x, q) как
решение вспомогательной граничной задачи. Для произволь-
ного открытого множества G с R" и содержащегося в нем
замкнутого множества F обозначим при qeR' через
v(x, q; G, F) решение задачи
У -j-aj(x, 0,	= xgu(g, -\f,
dx, 3\ dx /	\	2 I
(1-24)
где Ф(а')—фиксированная функция класса Со ('^(G, 1/2)), рав-
ная единице в ^(G, 1/4). Однозначная разрешимость задачи
(1.24) следует из гл. 1.
Определим при s= 1, 2, ...,	к=1, ..., K(i, s)
гП(х, q)=v(x, q- Gft(c'), F)s) A Gft(c')).	(1.25)
Будем предполагать выполнение следующего условия:
378
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
с)	существует непрерывная функция с(х, q) такая, что для
произвольного шара В с Q выполнено равенство
lim £ X - Г аАх>	4}dx =
s— «>(/,к)еj=id J	Ох	oXj
n!’l
= fc(x, q)dx, (1.26)
в
причем стремление к пределу в (1.26) является равномерным
по q на любом ограниченном интервале изменения q. В (1.26)
/’в)— множество тех пар (/', к), для которых	к=1, ...
..., K(i, s) и x\sleB, где — середина криволинейного отрезка
L\s\k), n$='^(G$(c'), 1/2).
Теорема 1.1. Пусть выполнены условия аД, а2), ЬД —Ь3),
li), h), с)> f(x)e Wp (Q), р0>п и и,(х)—слабо сходящаяся
к и0(х) последовательность решений задачи (1.4), (1.5).
Тогда последовательность us(x) сильно сходится в ^(П)
при любом ре(1, т) и функция w0(x) является обобщенным
решением задачи
Zd	(	ои ।	I	ди \	I	.. ,	. . \
—а, х, и, — ) — а0 х, и, — 1 + с x,Jtx) — u(x) 1 = 0, (1.27)
i=1dXj	у	сх]	V	сх]	у	J
xeQ, и(х)=/(х), хебО.	(1-28)
Доказательство теоремы содержится в § 3 и § 4. Оно
основывается на оценках решения модельной задачи, полу-
ченных в § 2.
Замечание 1.1. Используя методы § 2 гл. 7, можно
доказать, что при некотором £>0 функция и0(х) принадлежит
пространству	Поэтому все рассмотрения настоящей
главы остаются в силе при замене ks, определенного равенст-
вом (1.7), величиной шах
In-
in-------------7~.
mes t/ls)
§ 2.	Оценки решения модельной задачи
Пусть F—замкнутое множество, содержащееся в цилиндре
е = {хе7?п: х'=(х1, ..., x„-i)eB(0, d) с Я""1, |хп|<Я},
и определим при J<l/4, Я<1/4, d^H функцию v(x, к) как
решение задачи
X T~aj(x’ 3~) = о’ xe^ = Qi\P,	(2.1)
j_ i W-Vy	(dX J
u(x)-ktyF(x)e И1(П).	(2.2)
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ	379
Здесь 2]={хеR": |х'|< 1, |х„\< 1}, фДх)—функция класса
Со (21), равная единице на F.
Предполагается далее, что функции аДх, р), 7=1, п,
определены при xeQ,, peR" и удовлетворяют условиям:
а)	функции aj(x, р) непрерывны по р при почти всех
xeQi, измеримы по х при любом р; аДх, 0) = 0 при xeQi,
7=1, п;
б)	существуют положительные постоянные vb v2 такие,
что при всех значениях xe2i, peRn выполнены неравенства
Е аДх, p)pJ>v1(l+|p|)m 2-И2,
2=1
(2-3)
|пДх,р)|^у2(1+|р|)т-2-|р|, 7=1, 2, п, (2.4)
с некоторым числом те [2, п — 1).
Замечание 2.1. Сформулированные условия на а Ах, р)
выбраны для конкретности. Получение оценок для v(x, к)
упрощается, если в условиях (2.3), (2.4) правые части
соответственно заменить выражениями v1|p|m, v2|p|m-1. Так
же можно рассмотреть случай 1 <т<2, т=п—\, только при
т = п — 1 изменится вид априорных оценок.
В условиях а), б) однозначная разрешимость задачи (2.1),
(2.2) следует из § 2 гл. 1. Аналогично лемме 2.1 из гл. 9
проверяется неравенство
0<-^Дх, /с)^1 при &/0.
Замечание 2.2. В дальнейшем ограничимся рассмотре-
нием случая к>0, так как при к<0 соответствующие оценки
для Дх, к) являются следствием оценок функции w(x, — к) =
= — v(x, к), также являющейся решением задачи вида (2.1),
(2.2), удовлетворяющей условиям а), б).
Вначале получим интегральные оценки функции v (х, к).
Определим
mr = vrai max v(x, к}, rr = max {Дх, к) — тг, 0},
|x'|=r, |xj«l
£г = {х: Дх, к)>тг}-
(2-5)
Замечание 2.3. Отметим, что при d<r<\ множество
Ег содержится в Qr = {x-. |х'|^г, |х„|^1}. Если бы функция
гДх, к) принимала ненулевые значения вне Qr, можно было
бы определить гДх), полагая ее равной гДх, к) вне Qr
380
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
к нулю в Qr. Тогда гг(х)е Й'ЦП), и можем в интегральное
тождество
-ф,к))—ф(х)</х=0,
(2.6)
справедливое при произвольной функции ф(х)е подста-
вить ф (х) = vr (а). Проводя оценки, используя (2.3), просто
получаем, что гг(х) = 0. Тем самым доказывается, что Er с Qr.
Зафиксируем для дальнейшего четную функцию х(г) класса
С00(7?1), равную единице при |?|^1/2, нулю при
такую, что — 3<^^<0 при />0. Пусть Хл(г) = Х^^ для
й>0. Отметим, что при hi<h2 выполнено неравенство
Хл1 (')=^Хл2(^ )•
Теорема 2.1. Предположим, что выполнены условия а),
б). Тогда существуют постоянные Кг, К2, зависящие только
от т, п, v15 v2, такие, что при k>0, d<r<l,
|Г) 1 для решения v(x, к) задачи (2.1), (2.2) справедлива оценка
dv
дх
2
Хл(хл~п)^
ег
^K2h(k-mr)kdn-m~l(k+d)m-2
(2-7)
Доказательству неравенства (2.7) будет предшествовать
получение ряда более простых оценок.
Лемма 2.1. Предположим, что выполняются условия а),
б). Тогда существует постоянная с(1), зависящая лишь от
т, п, Vj, v2, такая, что для решения г(х, к) задачи (2.1),
(2.2) имеет место оценка
dv
дх
т— 2
dv
дх
2
dx^cwHk2dn-m~l(k+d)m-2
(2.8)
Доказательство. Обозначим через фДх') фиксирован-
ную неотрицательную функцию, принадлежащую С о (Л"1),
эавную нулю при | х'|>2, единице при | х' | < 1 и такую, что
д , , о
а?
<2. Подставим в (2.6)
ф(х) = с(х, к)-кфДх')х2н(х„), где фДх') = ф11
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
301
Используя неравенства (2.3), (2.4), получаем
о
дх'
Х2н + Ф<1
0’1ЛН
Вхп
dx.
Здесь и далее через с,- обозначаем постоянные, зависящие
лишь от т, п, vn v2. Применяя неравенство Юнга, имеем
2
т - 2
dv
дх
((к к\т к к\2}1Г,п
2< -4~ + \Hdn
2]\d Н \d Н (
откуда следует оценка (2.8).
Лемма 2.2. Предположим, что выполнены условия а),
б), и пусть d<r<\. Тогда существует постоянная С(2),
зависящая лишь от т, п, Vj, v2, такая, что для решения
v(x, к) задачи (2.1), (2.2) имеет место оценка
2
dx^cmH(k — mr)kdn~m~l(k+d)m~2 (2.9)
£
Г
с тг, Ег, определенными в (2.5).
Доказательство проводится аналогично доказательству
Предыдущей леммы. При этом в интегральное тождество
; (2.6) подставляется
?	Ф (х) = гг (х, к) - (к - тг) (У) Хгн (*„)
 и используется, при оценивании, дополнительно неравенство
j (2.8).
; Лемма 2.3. Предположим, чтХхвыполнены условия а),
£ б), и пусть d<r<\, d<h<H, |г]|< 1. Тогда существует
, постоянная с(3), зависящая лишь от т, п, v15 v2, такая,
что справедливо неравенство
2
(V)x*
о
^cmhk2dn-m~1(k + d)n-2. (2.10)
Для доказательства леммы подставляем в (2.6)
<р(х) = ф, £)ф”(-ИхЦ*я-п)^(п)П“МХл (*n-n) (211)
и • проводим оценки так же, как и при доказательстве
382
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
неравенства (2.8). В (2.11) /'(г|) — функция, равная 1 при
|г| |^1/2 и нулю при |т>|>1/2.
Обозначим при re[d, 1], he(0, Я], г|б[— 1, 1]
2
Xh{xn-x\)dx,
dv
dx
т-2
dv
dx
(2-12)
£
r
где v = v(x, k)— решение задачи (2.1), (2.2).
Лемма 2.4. Пусть выполнены условия а), б) и v(x, к)—ре-
шение задачи (2.1), (2.2). Предположим, что при некоторых
reft/, 1], h'б(2г, Я] выполнено неравенство
lr(h', r\)^Kh'(k — mr)kd”~m~1 (k + d)m~2.	(2.13)
Тогда при произвольном /ге[г, /г'/2] справедлива оценка
( / \2 )
Ir(h, п)^с(4Ч/г+£Ю1 h'>(k—mr)kd',~m~i(k+d)m~2 (2.14)
с постоянной с(4), зависящей лишь от т, п, vt, v2.
Доказательство. Подставим в интегральное тождество
(2.6)
Ф (х) = vr (х, к) х" (х„ - п) - (к-wr)/(q) ф^х') X* (х„ - п)
с функцией /(т|) такой же, как в (2.11). Используя условие
б) для функций Oj (х, р), неравенства Юнга и Гёльдера, имеем
41.	+ГЛ
з
£
т
dv_
~dx

2

+ c3(fc + wr)|
п
/7	\ I i dv
о
Применяя далее неравенство (1.10) из гл. 9 к оценке
первого интеграла правой части, получаем
£
- 1 В(О,г)
X т / X 2Х
л) +(л)
(2.15)
§ 2. ОЦЬНКИ РЫШ.НИЯ МОДЫЬНОИ ЗАДАЧИ

1
-1 В(О,г)
dvr
дх'
(\ 2
Г \
h)
5vr
8х'
23
Е
г
т
+
Используя оценку (2.10), получаем из (2.13), (2.15), (2.16)
/Л2
/г(й, г|)^с5Яk I h'(k—mr)kdn~m~l(k+d)m~2 +
+ cs(k-mr)k(k+d)m-2 hdn-m-1,
что и обеспечивает выполнение неравенства (2.14).
Теперь, используя полученные априорные оценки, можем
доказать неравенство (2.7).
Доказательство теоремы 2.1. Покажем, что по-
стоянные Кх, К2, существование которых утверждается в те-
ореме, можно выбрать в виде
^2 = 2тах {с(2), 2с(4’}, Кх=^К2+\,
где с(2), с(4) определены соответственно в леммах 2.2, 2.4.
Определим конечную числовую последовательность
/г( = 2~'+1Я,	/=1, ..., А
с У, удовлетворяющим условию 2' f Н <Kxr	f + ] Н. Сна-
чала докажем неравенство
/Д., r\)^~-hj(k~mr}kdn~m^Y{k + d}m^2,	(2.17)
где Ir(h, г|) определено равенством (2.12).
При у=1 оценка (2.17) следует из (2.9). Далее, если
неравенство (2.17) установлено при j=jo~^ 2^jo<A то
Для j~jo это неравенство следует из леммы 2.4. Лемма 2.4
дает оценку
I	\ nJo /	)
< с(4) J 1 + Ц \hjo(k -mr)kdn~m~l(k+d)m~2
( J
^~hj0(k - mr)kdn ~m ~1 (k+d)m~ 2.
384
ГЛ. 10. УС1Л ДШ-.HHt. ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ (. КАНАДАМИ
Тем самым оценка (2.17) установлена для у=1, У.
Для произвольного he\^K1r, Я] определим целое число I так,
что Н <h^2~l+l Н. Тогда	и
/г(/г, г|)^/г(/г(, т|) ^K2h(k-тг так как ^/г(</г. Этим заканчиваете Пусть теперь ц — произвольное ч введем обозначения [rr]M = min{rr(x, к), ц}, £г(1 = , ,, ч ГЛ 8v \т~2 ci Лн(Л П =	!+ —	у и	J \ сх J	д; Ег р £Гф = {хеП: ’вг(х, к) ц}. Теорема 2.2. Предположим б). Тогда существует постоят т, п, v15 v2, такая, что для (2.2) имеет место оценка /,V Ir^h, т|)^/Ц-\ Irj2h, т|)4 + ^Ц-(/г1М""т (<7-1)т1 J Р" F г.М +ри1-’[ф при к>0, \ <q ^т, 0<ц.<к — тг, с постоянной Кх из теоремы Доказательству теоремы буд предварительных оценок. Лемма 2.5. Предположим, теоремы 2.2. Тогда с некоторо лишь от т, п, v15 v2, справед [ г\2 i,Jh’ п)<<(5)| т) Ли(2А’ n)	)kd"~m~1(k+d)m~2, я доказательство теоремы 2.1. [исло из интервала (0, к— тг), \хе£1: О^сДх,/с) ^ц}, x“(*„-n)^, (2.18) , что выполнены условия а), шя К3, зависящая лишь от решения v(x, к) задачи (2.1), -l(k + d)m-2 + [ф,	+ , Л)]’|хТ*(хв-п)^|	(2.19) d<r<\, |nl < 1/2, Kir^h^H 2.1. ет предшествовать получение что выполнены все условия й постоянной с(5), зависящей лива оценка + c^nhkdn-m-l(k + d)m-2 +
\п ) (* /	\т-2 Л ц / ,	cv \	dv	m_ +с I 1+ —	Т- ’X* h J \	ох J	дх F '-И	(x„-T])t/x.	(2.20)
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
385
Доказательство. Подставим в интегральное тождество
(2.6)
ФW=KL х*(*»-п)-Vr(x, к)Xh(xn-Г|)
и проведем стандартные оценки, используя неравенства (2.3),
(2.4). Здесь Дт|)—такая же функция, как и в (2.11). Получим
(2.21)
При дальнейшей
оценке правой части используется не-
равенство
8v
8х
т — 2
/А2
п) + <Ц А 4,и(2й, т|),
(2.22)
получающееся с учетом неравенства Юнга с е>0 и (1.10)
из гл. 8.
Используя (2.22), (2.16), (2.7), получаем из (2.21) оценку
(2.20), что и доказывает лемму.
Лемма 2.6. Предположим, что выполнены все условия
теоремы 2.2. Тогда существует постоянная с(6), зависящая
лишь от т, и, v15 v2, такая, что справедлива оценка
Д6). „1 -1 (
. \ 1ккс1п-т-1(к+(1}т-2 +
Ft
ц.1 ~ч /
+-^0
-Lull-«)(«-1)у«(т-1)
— T|)Jxj-. (2.23)
Доказательство. Пусть D^’(x) = max{v,(x), ц}, подста-
вим в интегральное тождество (2.6)
- {(k - mr)1 ~q - ц1	Хл(х„ - г])-
25 И. В. Скрыпник
386 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Функция /'(г|) определена выше при доказательстве леммы
2.3.
После проведения оценок с использованием условий (2.3),
(2.4) имеем
F
»’.р
ОХ
(2-24)
где
dv
дх
т—2
8v 1	,
5il‘ («.-Ч)Л.
Оценим It по неравенству Юнга
F
Г.ц

+ Q I j hm P?(m~1)(x,fe) + - hi- v?(x,k)>X2h(xn-F])dx,
(2.25)
где e — произвольное положительное число, СЕ — постоянная,
зависящая лишь от т, п, v15 v2, е. /2 оцениваем, используя
теорему 2.1, неравенство Юнга и оценку (2.16). Получаем
I2	(2.26)
Из (2.24) — (2.26) при соответствующем выборе е следует
оценка (2.23), что и доказывает лемму 2.6.
Доказательство теоремы 2.2. Оценим последнее
слагаемое правой части (2.20). Полагая в (2.25) е=1 и ис-
пользуя неравенство (2.23), имеем
Хл
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
387

/гЫ"-”‘“1(<7+А:)я’“2 +
F
..(1 1)
l2h(x„-x\)dx
(2.27)
Теперь теорема 2.2 следует из неравенств (2.20), (2.27).
При получении поточечных оценок функций v(x, к) будет
использоваться
Лемма 2.7. Предположим, что выполнены условия а),
б). Тогда существует постоянная с(7), зависящая лишь от
т, п, vn v2, такая, что для решения г(х, к) задачи (2.1),
(2.2) справедлива оценка
ОУ
дх
т- 2
dv
дх
2
dx < с(7’ Нцkd" ~ т ~1 (к +г/)т ~2
(2.28)
при к>0, d<r < 1, 0 < ц < А: — тг.
Доказательство. Подставляя
в (2.6)
<?(*)=[<L-
-----1>Дх) и оценивая интеграл, получаем неравенство
К — IYI-
1 +
ду
дх
т-2
OV
дх
2
dx^c9
Н
к—тг
ОУ
дх
т~ 2
dv
дх
2
dx.
Отсюда и из леммы 2.2 непосредственно следует оценка (2.28).
Главный результат данного параграфа представляет собой
поточечная оценка функций к), играющая основную роль
при изучении усреднения квазилинейных задач в областях
с каналами. К получению этой оценки сейчас и приступаем.
Теорема 2.3. Предположим, что выполнены условия а),
б). Тогда существует постоянная К4, зависящая лишь от
т, п, v15 v2, такая, что для решения v(x, к) задачи (2.1),
(2.2) имеет место оценка
\v(x,k)\^K>\k\[ Д р- .	(2.29)
Так как уже известна оценка |и(х, fc)| < |А:|, то естественно,
что неравенство (2.29) представляет интерес при |х'| ^d. Как
уже говорилось в замечании 2.2, достаточно получить оценку
(2.29) при к>(). Доказательством этого факта и ограничимся.
25*
388
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Доказательству оценки (2.29) будет предшествовать получение
менее точных оценок. Вслед за их получением покажем, как
можно обеспечить такое повышение точности априорных оценок,
которое приведет в итоге к доказательству неравенства (2.29).
Лемма 2.8. Пусть выполнены условия а), б). Тогда
с некоторой, зависящей лишь от т, п, vt, v2, постоянной
с(8) для решения v(x, к) задачи (2.1), (2.2) справедлива оценка
п • т— 1
w, , — т ^c{8}k( 1 + —	'	(2.30)
\ г /\г/
при re[4d, 1], к>0. Здесь тг — величина, определенная в (2.5).
Доказательство. Определим числовые последователь-
ности
г0>=^(1+2->), б2> = :(3-2-), >1, 2, ...,
й^(п) = т|-^-(1-2 J+1)r, /г^(т]) = г| + ^ + (1-2 j+1)r
О	о
при h^H, | г| | С 1.
В дальнейшем фДх')— бесконечно дифференцируемые фун-
кции, равные единице на С)={х': г)1’ < |х'| О)2’}, нулю вне
G'j+i и такие, что О^фДх') С 1,
2j+4
С----. Определим
еще бесконечно дифференцируемые функции л(х„, и), равные
единице при х„е[й$(т|), /г$(т|)], нулю при хпф[МУ1.*(т|),
М+мЬ)] и такие, что 0^xJ>h(xn> п)<1,
d
dx,
Введем обозначение <рлл(х, т|) = ф;.(х')х;,А(хп, л).
Подставим в (2.6)
<2i+l
Г
<p(x) = [i>r(x, ^)]p + 1[(Pj,h(x, n)]o+m,
где р, ст—произвольные положительные числа. Оценивая на
основании неравенств (2.3), (2.4) и неравенства Юнга, получаем
2]\2
- ) <Р° л
о
(2}\т	1
+ r? + m(x, fc)l — \ ф“,/,(х, т])рх-
(2.31)
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
389
Дальнейшие оценки проводятся	по разному в	каждом из
следующих четырех вариантов:		
1)	Н;+1(й, п)>г,	k>d,	(2.32)
»)	Uj+i(/i, n)>r,	k^d,	(2.33)
iii)	цН1(й, n)^r,	k>d,	(2.34)
iv)	n)<r,	k^d,	(2.35)
где
n)=vrai max vr(x, fc),
xeGJ+1(A,n)	(2.36)
Gj+i(h> n)={x=(x', x„): x'gG)+i, хве[й#м(г|), й$м(п)]}.
При выполнении условий (2.32), (2.33) оценим правую
часть неравенства (2.31), используя условие r<Pj+1(/i, ц).
Получим
2;т
^си(ст+от)"—
V г?(х, k)<pl+hm(x, T])i/x<
о
U”+~i2(A, T|)jpr₽+2(x, £)ф’л(й, п)^х.	(2.37)
а
Применим лемму 1.3 из гл. 8 при p=q=m, если выполнено
условие (2.32), и при р=т, q=2, если выполнено условие (2.33).
Получаем в случае неравенств (2.32), (2.33) соответственно оценки
[ц#, п)Г+>-2Ч
<ci2^r[Hj+i(A, n](m 2>т jv7(x, A>J!»(x, T])dx. (2.38)
<с127г[ц;+ Ah’ < 2>т г,2(х, й)фу2л(х, n)dx. (2.39)
о
Оценим интегралы в правых частях полученных неравенств,
используя лемму 1.4 из гл. 8 и неравенство (2.28). Имеем
[гг]” + 1Х”а(х„, n)</x^Ci3r"
Brm(x, Й)фдА(х, Г])4/х< J 1>гт(х, й)хХ*(хв, ц)</х=
Er.*j+I
^c14rmH[LJ+1(h,	(2.40)
390
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Здесь gj+1 = ц7+1(/г, т|) и воспользовались вторым неравенст-
вом из (2.32).
Аналогично, при k^d получаем
f v2(x, k)<Pj.h(x, ri)dx^c15r2Hiij+1(h, r[)kd” 3.	(2.41)
о
Из (2.38) — (2.41) следует, что в случаях i), ii) справедливы
соответственно оценки
[нА*.
«А.Д[НН.(*-	(2.42)
[цД т|)]2+’”(т“2Ч
<ci6^[lb+A n)]1+(m’2,"WW"-3.	(2.43)
Подобные оценки близкими рассуждениями получаются и при
выполнении условий iii), iv). Пользуясь первым неравенством из
этих условий, получаем, что из (2.31) следует оценка
Далее применяем лемму 1.2 из гл. 8 при р = 2, д = т,
если выполнено условие iii), и при p = q = 2, если выполнено
условие iv). Получаем соответственно
jmn
2 “2”
[и#, <^87-
Jmn
2~
[нА п)]2=^18—
п
л
v2(x, fc)cpj.A T])tZx.
(2.45)
(2-46)
п
Используя далее в соответствующих случаях неравенства
(2.40), (2.41), получаем, что при выполнении условий iii), iv)
соответственно справедливы оценки
jmn
О "2
[рА П)]т=^19 —gj-+А	(2-47)
jmn
р"
[нА n)]2^i9p^>Hj+A r\)Hkd"~3.	(2.48)
j 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ	391
Сравнивая неравенства (2.42), (2.47) и замечая, что
ц/й, Л)^Н,+1(Л, л), получаем, что при выполнении условия
k>d справедлива оценка
jmn
[ц7(й, n)]m+^m"2’<c2o^;[Hj+1(A, p)]1+^(m-2|W/cm“1
при J=l,2,... Отсюда, на основании леммы 1.5 из гл. 8,
следует
1
Г j_tj л - m - 1 ] m “ 1
Н1(й,	j •	(2-49)
Аналогично, из неравенств (2.43), (2.48) получаем при
k^d, j=\, 2, ... оценки
jmn
Л	А *2*
[нА n)]2 + m<m~24c22p^[pj+1(/i, n)]1+'"(m_2)/fWB-3,
; откуда по лемме 1.5 из гл. 8 следует
ь
^^c23~2Hd”~3.	(2.50)
Замечая, что в рассматриваемых условиях
п-т-1	1
(d\n~3 (d\ '"“I ’ /, Н
- , - <1 + -,
V/	V/	\г /	г
видим, что из (2,49), (2.50) следует неравенство
n-m- 1
(н\ (d\ А
! + -) -I ,	(2.51)
г J \r 1
справедливое во всех рассматриваемых случаях i) — iv). Так
как г|—произвольное число из отрезка [—1,1], то из (2.51)
получаем оценку (2.30), что и доказывает лемму 2.8.
Полученное неравенство (2.30) позволяет дать некоторую
поточечную оценку функции и(х, к), используя следующую
лемму.
Лемма 2.9. Предположим, что для решения и(х, к) задачи
(2.1), (2.2) при к>0, 4d^r^R^} выполнено неравенство
т2 >,-тг^к £	(2.52)
i= 1 ' ‘
с положительными постоянными Л;, Тогда имеет место
оценка
‘ А-
v(x, к)^с{9}-к-	—rr + mR при 8<7^|х'|^Я
i=l lx'l '
392
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
с постоянной	.........	.. ,
с<9’= max {2Х<[2Х<— 1]-1}.	' ’	' ’	'	’
R
Доказательство. Пусть 50 — целая часть числа log2—.
4а
Используя (2.52), оцениваем при $О0
Z (mR.2-s-mR.2 ^ + mR^
7=1
I s J	I э si. д
(2-53)
Теперь при xeQ, 8<Z^|x'|R определим такое целое число
s2, что R  2< [х'| < R • 2-si+ \ Тогда из замечания 2.3
и неравенства (2.53) получаем
1 7 si Ч А.	А.
v(x, k)^mR.2 -^к £ — -t + m^c^k £ -^ + wx,
;=1 2	1 К •	j=1 |Х | <
что и доказывает лемму 2.9.
Следствие 2.1. Пусть выполнены условия а), б), к>0.
Тогда с некоторой, зависящей лишь от т, п, v15 v2, постоянной
с(10) для решения v(x, к) задачи (2.1), (2.2) выполнена оценка
п-т- 1
(н \ ( d \
1+— —
ИД|х'1/
при хеП.
(2-54)
Неравенство (2.54) для |x'|>8d следует из оценки (2.30)
и леммы 2.9 при R=\. Для |х'|<8<? неравенство (2.54)
следует из оценки v(x,k)^k.
Дальнейшей целью является последовательное уточнение
поточечных оценок для функции г(х, к), позволяющее в итоге,
отправляясь от (2.54), прийти к неравенству (2.29). Это
последовательное улучшение оценки для г(х, к) основано на
доказываемой ниже лемме 2.10.
Введем при произвольных положительных числах К, г,
ц, h и постоянных т, п, к, d, имеющих то же значение,
что и выше, обозначение
RrjK, h) = Khykdn-m-l(k + d)m~2 +
п — т— 1	(2и—3)(m—1)
и” f . h (d\~”-~ 1
+ TV7! )	“ l I 1
hm 1	r \r
г'
+ —< ALfcp-1 •-[-
h	г \ г
2п— 3
г'
(2.55)
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
393
Лемма 2.10. Пусть выполнены условия а), б) для функций
aj(x, р), 7=1, ..., п, к>0 и v(x, к)—решение задачи (2.1), (2.2).
Существуют положительные числа К5, К6, К-,, зависящие
лишь от т, п, v,, v2, такие, что из справедливости при
некоторых ге [8 d, 1 ], Ле(0, Н ] оценок
п-т- 1
hid \
v(x, kj^Ktk-—- —I для xeQ, |x'|<r,
v '	|x| \|x I/
4>И(Л, т|)^йг.(1(Л'6, Л) для 2d^r^r
при 0<ц<к — тг, |г||1 и неравенства
(2.56)
(2.57)
K^r^h
(2.58)
следует выполнение оценок
п — т — 1
h ( d \ т~ 1
для xeQ,
(2.59)
для	(2.60)
При этом значение Ir^{h, г|) определяется согласно (2.18).
Доказательство. С самого начала будем считать, что
постоянные К$, К6, К-,, о которых идет речь в формулировке
леммы, подчинены условиям
f	(и — т— 1)"|
K5^2max-j с(10), 23 т~Г р К6>с<7),	(2.61)
£7>max{X\, 8},
где с<7), с<10), /С—постоянные, определенные соответственно
в лемме 2.7, следствии 2.1, теореме 2.2.
Будем предполагать выполнение неравенств (2.56), (2.57)
и оценим 4,ц^, п) на основании теоремы 2.2. Используя
неравенство (2.19) при Я —у—и оценки (2.56), (2.57),
получаем
кр
2
Кб+1
y.hkdn-m-l(k + d)m-2 +
2
К1 + К1
394 гл. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
где с'11’—постоянная, зависящая только от т, п. Здесь
2п—3
9-2и-4'
достаточно подчинить
----Л. 7 ,
4"«?	' ’
и далее при доказательстве леммы
Для выполнения оценки (2.60)
искомые числа К5,К6, К-, условиям
1 V- V- „(11) j^«(m-l)^J_	11
-А6, А3С Л5 2’ 6
(2.63)
Далее доказываем оценку (2.59). Будем следовать схеме
получения оценки v(x, к), развитой в леммах 2.8, 2.9. При
этом, как и при доказательстве леммы 2.8, различаем случаи
i)—iv), определяемые неравенствами (2.32) — (2.35).
Достаточно доказать в каждом из рассматриваемых слу-
чаев для произвольного г|б[—1, 1] оценку
,	—п+2	п-т-1	/г/’t/
М1(Л, п)^1(1-2 "’1)(1-2- ^Г
при re [4d, г]. Здесь величина ц,(h, ц) определена равенством
(2.36). В самом деле, используя выполнение неравенства
(2.64) с произвольным г)е[—1, 1], получаем при re[4d,r]
п — 2
(2.64)
1	п-2	n-m-1 l /	m-1
И далее, в силу леммы 2.9, имеем для 8cZ^|x'|<r
«2
п-т
~ 1, h ( d \ m
h ( d \ т~г
К5к— —	. (2.65)
г \ г / J ZIA I \1Л I/
При получении последнего неравенства использовали оценку
(2.56) при |х'|=г. Из (2.65), (2.61) следует при |х'|О/2
требуемая оценка (2.59) для v(x, к).
Таким образом, для доказательства леммы 2.10 осталось
получить неравенство (2.64) в каждом из случаев (2.32) —
(2.35).
Случай i). Пусть выполнены неравенства (2.32). Из
оценки (2.38) имеем
п
Г /г	+	2)
п)] .
2^п
2)т 1>Г(х, fc)q>j!*(x, п)<&-.
(m
(2.66)
а
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
395
Оценим интеграл в правой части, используя неравенство (2.40):
где gj+1 = Pj+1(A, n)-
Из неравенств (2.66), (2.67) и (2.62) получаем следующую
оценку для	г|):
п
\ 2
0
I +(т-2)й
-km~l X
(d
X -
' \2
r 1 1)
h Кб
«(m- 1)
5
Hj+1	*
+
л-m- 1
. Й (d\
X | -
г \ г )
«(m- I)
\2
h I Лб + К5 Hj+1
h
X
, h (d
х к- I -
г \ г
(2.68)
Здесь, при получении последнего слагаемого в фигурной
скобке, воспользовались также неравенством r<pJ t-t(A, г|),
следующим из (2.32). В (2.68) с<12) — постоянная, зависящая
лишь от т, п, v15 v2.
Пользуясь тем, что	из неравенства (2.68) имеем
Л	и
m + m(m-2) + (m-l)(g-1)	(12)э/и( 1 + т(т~2) + (m-l)(q- 1)
Zj	jZj+1	X
Л5
+1
tn-t +(m-2)(m +q- 1)
+ ZJ+1
(2.69)
где
n-m- 1
(	h (d\ m-1
^j]K5k-U
(2.70)
Неравенство (2.69) будет выполняться при всех j=l, 2, ...,
если
В1(й, П)>г.
(2.71)
396
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
В этом случае для дальнейшей оценки воспользуемся
леммой 1.6 из гл. 8, из которой следует возможность такого
Отсюда следует неравенство (2.64) при k>d и выполнении
условия (2.71). Искомые постоянные К5, К6, К-, выбираются
из условий (2.61), (2.63), (2.72).
Случай ii). Сейчас докажем оценку (2.64) при выполнении
условий (2.33), (2.71). В этом случае оцениваем цД/г, г,) по
неравенству (2.39). Для интеграла в правой части (2.39)
аналогично (2.67) получаем
fr (х, А:)ф?ь(х, vl)dx^c26r2Ir ^i Р, тА	(2.74)
а
Отсюда и из (2.39), (2.62) следует оценка для =	г|):
2 + m(m- 2)
Цу	<
с постоянной с<13), зависящей лишь от т, п, vt, v2.
Далее для zf, определенного в (2.70), получаем оценку
и J
2 + (m-2)m +(m~ l)(q- 1)
i
< K3c{13i2in	(	К	Г / \ 2 ) I +(m-2)S+(m-l)(g- 1) / Г \	_ у V2+1	H 1 Л6+1 A 5 4 и r~ / \ •> /	4	1»	—1
1 +(m- 2)m I ' \ I л6 1 J+t Lw w 1+(т-2)(й + «-1)ГЛУ + ZJ+T	+ 1 КГ2; + h ( К \g ~1 r) -И+1 - .	(2.75) Л5 J	n \
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
ЗУ/
При этом воспользовались неравенствами	и k<d,
последнее из которых следует из условий (2.33).
Дальнейшая оценка проводится так же, как и в случае i).
При выполнении условия (2.71) на основании леммы 1.6 из
гл. 8 можно так выбрать положительное число р2, зависящее
лишь от т, п, v15 v2, чтобы выполнялась оценка (2.73),
как только
[K^+lJ^cp,,
(V \	1)
Лб 1
К^2

(2.76)
— 2
7
^7_1<P2.
+ 1
Искомые постоянные в рассматриваемом случае определяются
неравенствами (2.61), (2.63), (2.76).
Случай iii). Оценка (2.64) уже доказана при выполнении
неравенства (2.71). И далее нужно рассматривать случай
цДЛ, т])^г. При этом достаточно вести рассмотрения
только для
п— 2
г>(1-2””рГ1)(1-2
(2.77)

так как в противном случае неравенство (2.64) следует
непосредственно.
При выполнении условий (2.34) оценим ц2=цДЛ, ц), ис-
пользуя неравенства (2.46), (2.74), (2.62), (2.77). Имеем
ц7Ч^'14)2 2 Hj + 1
(m-1)


с постоянной c<14), зависящей от m, n, vn v2.
398 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Отсюда, как и выше, для величины z}, определенной
в (2.70), имеем
22+(т-1)(,-1)^ХзС(14)2
^5^ +
+ Zj+1
+ zl + (m-2)(q-l)
(2.79)
Замечая, что Zj^zj+i, получаем из (2.69), (2.79), что при
k>d и выполнении неравенства (2.77) при всех J=l, 2, ...
справедлива оценка
m+m(m-2) Г (m— 1)(ч— 1)
Z i
Дальше оценка (2.77) следует из леммы 1.6 из гл. 8, если
с некоторым, зависящим лишь от т, п, vn v2, числом Р3
выполнены неравенства

№“2-/C7"<m_1,<p3,
(2.80)
+ 1
£ +1 КТ^Рз.
\А5/
Так что и при выполнении неравенств k>d и (2.77) доказы-
ваем утверждение леммы, если К5, К6, К-, выбрать удов-
летворяющими неравенствам (2.61), (2.63), (2.80).
Случай iv). Осталось получить оценку (2.64) при k^d
и условии (2.77). Как и в предыдущем случае, оцениваем
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ

И;=И;(Л, г|) по неравенству (2.46). Используя неравенства
(2.46), (2.35), (2.62), (2.74), (2.77), получаем
7,\2
+ 1^1	+л5
(m-D(l-g)
Hj+1
п — т— 1
“m^T- “h(m-1) - (m - 2)
2
Kl+Ki
п — т — 1
, h /tl\ m*1
к- -
r \ г /
(2.81)
Переходя далее к соответствующему неравенству для Zj
и используя (2.75), получаем, как и в предыдущем случае,
оценку (2.64) при k^d и условии (2.77).
Таким образом, во всех возможных ситуациях приходим
к требуемой оценке (2.59) для функции г(х, к). Тем самым
доказательство леммы 2.10 полностью закончено.
Доказательство теоремы 2.3. Пусть R = H/К7, где
К7—число, определенное в лемме 2.10. Отметим, что Л<1
и определим две конечные числовые последовательности
ri = 2~i+lR, й,=2“‘+1Я,	1=1, 2, ..., I,
так, что 2~г R<8d^2~I+l R.
Покажем, что при 1=1, 2, ..., I выполняются неравенства
п-т- 1
дляхеП, |х'Ю,-,	(2.82)
hf) для 2d^r^rh	(2.83)
v(x, к)^К5к-~\	|
'	' М\ |х'| /
где сохранены все обозначения, использованные в лемме 2.10.
При 1=1 неравенство (2.82) следует из оценки (2.54)
и условия (2.61). Неравенство (2.83) при 1=1 получается из
леммы 2.7 и условия К6^ст. Далее из справедливости
неравенств (2.82), (2.83) при некотором z = li^/—1 следует
выполнение этих неравенств при /=1( + 1 в силу леммы 2.10.
Возможность применения леммы 2.10 обеспечивается выбором
rh hh так как
^7rj=X’72~‘ + 1 Л=2“‘+1 Я=/г;.
Тем самым оценки (2.82), (2.83) установлены при 1=1, ..., I.
Пусть теперь х0—произвольная точка области Q. Если
Г/<|хо|^Я, определим номер 10, зависящий от |х'0| так, что
400 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
rt()+j < |%о | rt. В этом случае из (2.82) имеем
v(x0,k)^K5k—
I хо I
(2.84)
Если	16с/, то из оценки v(x, к)^к имеем
koi
(2.85)
Если же |х'0|>R, то оценим v(x0, к) по неравенству (2.54).
Получаем в силу выбора R
d
яДкП
d
koi
(2.86)
Из неравенств (2.84)—(2.86) следует, что для произвольной
точки хеП верна оценка (2.29) с некоторой постоянной К4,
зависящей лишь от т, п, vt, v2. Этим заканчивается
доказательство теоремы 2.3.
Укажем следствия оценки (2.29), относящиеся к реше-
нию несколько более общей граничной задачи, чем за-
дача (2.1), (2.2). Пусть G — область в Rn, удовлет-
воряющая условиям
C' = jx6/T: |х'|<|, IxJc^-cGcCi,
и рассмотрим функцию г(х, к) как решение задачи
xeD=G\F>
j ~ I	ил J
0
м(х)-Ат|/р(х)е	(2.88)
Здесь ф>(х)—функция класса С’о’(б')’ равная единице на F,
и предполагается, как и при рассмотрении задачи (2.1), (2.2),
включение F<=Q.
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
401
Теорема 2.4. Пусть выполнены условия а), б) и при
хе Qi, р, qeRn справедливо неравенство
f	9)](Pj-^)>v1(H-|pH-|^|)m 2-\p-q\2.
J~'	(2.89)
•Тогда существуют постоянные К', К", зависящие лишь от
т, п, Vj, v2, такие, что для решения и(х, к) задачи (2.87),
 (2.88) имеют место следующие оценки:
(. п — ж— 1	_
, |&| > при xeD, (2.90)
2) при	1/2, £>г = £>П{х: |x'|^r}
о;
1+ ^-и(х, k\
ox '	'
^-и(х, k\
ox '	'
2
dx^
(2.91)
3) при Inl^l, </^р<1/8,
ЯР(т])=2>П{*: 1*в-п1<Р/2, |х'|<р}
f \и(х, k)\mdx^K"kmpm+ldn~m~l
O„(n)
л
!+ к)
— и(х, к)
ох
2
dx^
^К" {k2dn~m~l(k+d)m~2
р + р"}.
(2.92)
Доказательство будем проводить, для определенности,
при к>0. Для получения оценки (2.90) достаточно, в силу
(2.29), проверить, что при xeD
и(х, k)^v(x, к).	(2.93)
Если неравенство (2.93) не выполняется, то определим
<Р!(х) = тах{м(х, к)—v(x, к), 0},	xeD.
Как отмечалось в начале параграфа, к)^0. Поэтому
о	*
Ф1(х)б йПЦО). Доопределим функцию срф) на область S1,
полагая ее равной нулю вне D. Подставим в (2.6) и аналогич-
ное интегральное тождество для задачи (2.87), (2.88) вместо
пробной функции только что определенную функцию фф)
26 И. В. Скрыпник
402 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
и вычтем одно равенство из другого. В итоге имеем
—ал х, -~и(х, к)
J\ ох
^-[п(х, k)—v(x, fc)]</x = 0,
где Е—носитель функции <pj(x). Отсюда, в силу (2.89),
следует cpJxJsO, что и доказывает (2.93), а значит, и (2.90).
Для доказательства (2.91) подставим в интегральное
тождество
Г п /	\ л	0
Ё аЛх’£м(х’ ^)1г'/х=0’
| .	\ С/Л	/ иЛ :
J J = 1	\	/ J
D
(2-94)
вместо <р(х) функцию <р2(х) = [н(х,	&), где
Mr = max.{u(x, к): xeD, |х'|^г}, [м(х, fc)]Mr = min{u(x, к), Мг}.
Проводя оценки на основе неравенств (2.3), (2.4), получаем
2
+
i“(X’
сх
dx
D
2
dx (2.95)
^~и(х, к)
дх '	'
с постоянной с', зависящей лишь от т, п, v1; v2. Неравенство
(2.91) следует теперь из (2.95), (2.90) и оценки вида (2.8),
доказываемой для и(х, к) аналогично лемме 2.1.
Первое неравенство в (2.92) следует непосредственно из
оценки (2.90). Для получения второго неравенства подставим
в (2.94) вместо <р(х) функцию
ф2(х)=м(х, А:)фр(х')Хр(хи-т])-/^у^ф7(х')х7(х„-т1),
(2.96)
где использованы те же обозначения, что и в (2.11).
Проводя оценки на основе неравенств (2.3), (2.4), (2.90).
получаем (2.92).
§ 2. ОЦЕНКИ РЕШЕНИЯ МОДЕЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
403
В заключение отметим еще одну оценку, характеризующую
зависимость от к решения и(х, к) задачи (2.87), (2.88)
и используемую при выводе предельного уравнения. Пред-
полагаем выполнение следующего условия
б') при всех значениях xeQ, р, qeR" выполнены неравен-
ства (2.89) и
|<?Дх,р)-аДх,
^v2(l + Lp| + |<7l)m’2Lp-<7l, 7=1, п, (2.97)
с постоянными v2, т такими же, как и в условии б).
Лемма 2.11. Пусть выполнены условия а), б'). Тогда для
произвольного положительного числа М существует постоян-
ная R, зависящая лишь от т, п, vt, v2, М, такая, что
при	для решения и(х, к) задачи (2.87), (2.88)
выполнены оценки
1 +
-^-и(х, к')
дх
~~и(х, к")
ох
т- 2
~и(х, к’)-
дх
+
D
-^-и(х, к")
дх
2
dx^K\k’— к"\2 Hd"~m~l, (2.98)
Д Г (	ди(х,к’)\\ д
1 а, х, —х—- ]-rlT-
1	''v i fa gx.
дх
D
{	ди(х,к")\ 1 д
di )k”dXj
^K\k’-k"\mHd’
(2.99)
Доказательство. Для доказательства неравенства (2.98)
подставим в интегральные тождества (2.94), соответствующие
значениям к, равным к' и к",
ф(х) = м(х, к')-и(х, к")-{к'-k")tyd(x’)x2H(x„),	(2.100)
где фДх'), %2н(хп)—функции, используемые при доказатель-
стве леммы 2.1. Вычитая из одного так полученного равенства
другое, производя оценки на основе условий (2.89), (2.97),
приходим к (2.98). При этом используется неравенство вида
(2.8), доказываемое аналогично лемме 2.1 для и(х,к).
Для доказательства (2.99) подставим в (2.94)
ф(х) = ^и(х, к)-^а{х')х2н{х„),
 эб*
404 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
где ФД*')’ Х2н(хп)—такие же функции, как в (2.100). В так
полученном равенстве дадим к значения к' и к". Вычитая
полученные равенства одно из другого, имеем
Е	k')~
. , I \ дх I к дх:
j=1j v \	/ j
D
— а,(х, -^-и(х, к”) и(х, к")	=
дх ' J k cXj v 'j
х, ^—и(х, к') ) —
Л дх '	/
l/Л j
Отсюда, оценивая правую часть на основании неравенств
(2.97), (2.98), получаем (2.99).
§ 3. Асимптотическое разложение последовательности
решений
В настоящем параграфе us(x) — последовательность реше-
ний задачи (1.4), (1.5), слабо сходящаяся к и0(х)еДх)+
о
+ йПЦП) и удовлетворяющая неравенству (1.6). Аналогично
доказательству теоремы 2.1 из гл. 9 убеждаемся, что для
некоторой, не зависящей от s, постоянной М выполнена
оценка
vrai max | ws(x)| < М.
(3.1)
При определении асимптотического разложения будут
использованы системы срезывающих функций, по-разному
определяемые при и	где множества индексов
I"(s) определены в (1.12).
Если	разобьем кривую /)s) на конечное число
криволинейных отрезков равной длины таким образом, чтобы
длина получающихся отрезков принадлежала
л»)
2
В итоге приходим к представлению
/г= и ^’(4
г=1	2
сегменту
(3.2)
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
405
(3.3)
Отсюда следует
K(i.s)
^(/(s), 2d[s})= Q #(/H(r), 2^s)),
r=l
Обозначим при iel"(s), k=l, ..., K(i, s), 1=1, ..., L(i, s),
r=l, ..., R(/,
GSfl = G^(c'), B^ = B{^1, (c'+l)p!s)),
в^к2}=в[ ₽й, (c'+l)pis) ),	pis)|2+^ ) ),
\ / \ \ / /
(3.4)
pH,
Bft=B z$, 2Xp<s) 3 + -	, O^=^(/Js’(r), 2^s)),
\	\	/ J
где	—середина криволинейного отрезка L\s\k),
определены соответственно согласно (1.7), (1.12), а^,
с' имеют то же значение, что и в (1.20).
Используя (3.3), (1.21), можно определить бесконечно
^дифференцируемые в /?" функции <р£’(х), фЙ’1)(х), фН2)(х),
НП(*) при iel"(s), к=1, ..., K(i, .v), 1=1, ..., L(i, .v) и <o)H(x) при
|/e/'(s), r = 1, ..., R(j, s) так, чтобы выполнялись условия:
, а) носители функций <рй(х), ф<У’(х), ф^2)(х), х)®!(х),
соЗДх) содержатся, соответственно, в множествах G)®i, В$,
В$, значения всех указанных функций
лежат отрезку [0, 1];
б) выполняется равенство
принад-
I(s)
£ <ojs)(x)+ £ ст)5)(х)=1 при хе Q ^(/)s), p)s)),
где
(3.5)
K(j.s)
(3.6)
CTH(*)= E [фН(^)+Ф!д1)(^)+Ф52)(^)]+ E xH(x);
k-1	1=1
в) <p)fi(x) = l при хе<%(№, pH)ПGH(c' +1);
г) с некоторой постоянной c0, не зависящей от
при к= 1, K(i, .v), /= 1, L(i, s), r= 1
оценки
а<Р&
dx
(3.7)
(3.8)
z, s,
R(i, jj выполнены
д
дх
д
дх
д
дх
c0[p)s)] 1 при	(3.9)
д
дх
при i е
406 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
д) порядок семейства множеств {suppipS’l, supply ’,
supp\|/)fk2)(x), suppxifj(x), suppcojyx), iel"(s), k=l, K(i, s),
1=1,L(i, s); je l'(s), r=l, Ry, s)} ограничен сверху по-
стоянной, не зависящей от .v; здесь suppip(x)— носитель
функции ip(x).
Отметим способ построения указанных функций. Вначале,
используя (3.4) и (1.21), просто построить функции <рй(х),
ф)У’(х), ф5У’(х), хН(х), со^Дх), удовлетворяющие всем усло-
виям, кроме условия б), и такие, что
й*’)(х)=1 при xe"#(/)s), jel'(s),	(3.10)
ст<”(х)=1 при хб^(/<”, <>), iel"(s),	(3.11)
и ©)s)(x), o)s)(x) определяются аналогично (3.6), (3.7).
Далее считаем, что нумерация по i кривых {/)s)} при
фиксированном 5 выбрана так, что
... > р%).	(3.12)
Укажем последовательный по т выбор функций <рЭД(х),
Ф1Д1)(Х)> Ф<У>(*), Х$(х), ®У.г(^), при котором
£ co)s)(x)+ £ o)s)(x)=l при, хе IJ ^(/)s), p)s)),	(3.13)
;б/У)
где
I'm(s)={iel'(s): i^m},
ft,(s)={iel"(s): i^m}, m=l, I(s).
При m=l выбираем co(1s'ir(x) = <bis)r(.5’), если le/'fv); (p(is\(x) =
= Ф?.\(х) и аналогично для остальных функций, если 1б/"(л).
Тем самым при т=1 (3.13) следует из (3.10), (3.11).
Предположим, что требуемый выбор функций проведен для
т^т0— 1 и покажем их построение при m = mQ.
Если т0 е/'(.?), определяем
<о£’,,(х) = й£’(х)йЙ’.г(х), г=1,	R(m0, s),	(3.14)
с выбираемой, исходя из условия (3.13) при т=т0, функцией
й^Цх). Аналогично (3.14) определяются искомые функции
при iel”(s). При этом неравенства (3.9) обеспечиваются
условием (3.12).
Отметим еще, что проверка утверждения д) для выбранных
семейств функций основана на условии в3) и неравенстве
(1.22).
Покажем, что при фиксированном s
{supp<p£\,(x)} n {suppip£4„(x)} = 0 при (f, k')*(i", к").
(3.15)
§ 3. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ	407
Если i' = i" и к'^к", то (3.15) следует из доказанного в § 1
свойства множеств	О(Д,(с')П СЦ„(с")=0. Если же
г'/г", то по определению L1s)(k) и из (1.20) имеем
G$\\c')<^(I$\k'\ грЦс'ЗфЦ 2p<J))\^)({2pS’)})=
2p^)\J U<, 2p<,”)U5nl
J
С другой стороны,
G‘12 *„(с') с ^(/‘12, 2р!?2).
Из последних двух включений следует, что G?,)k'(c')f|G/»).k»(c')=
= 0, и, следовательно, в силу условия а) на функции <₽$(*)
получаем и в этом случае (3.15).
Введем для произвольной функции gjxJeLjJil) следующие
средние:
= f №dx’	j g(x)dx,
дй.31	Д1..П
“	(3.16)
где использованы обозначения (3.4), iel"(s), k=i, K(i, s),
r=l, 2, /= 1, ..., L(i, A’ jel'(s), r=l, ..., R(i, .v).
И пусть мН, uri'\ йЦ 	—соответственно средние
ACTHuoL а m, fW, 711
Д®*. соответственно равны Aflfi [/], Afl’r [f ],	[/],	[/].
Определим теперь основное в настоящем параграфе раз-
ложение:
4
гф) = Ц>(*) + Ф)+ Е r‘J)(x) + w5(x),
3=1
(3.17)
где
г»(*)= Е Е /й-«$)ф1’1(Ч	(3.18)
к=1
Л1)(х)= £ Е “о(*)]+[/(*)-7ЭДМИ*)+
iel'(s) г=1
+ Е Е {[м1!1-моМ]+[/М-/й]}фй(х)+
<e/"(s). *=1
408
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
2
- + Z [(w5')-“o(^))+(/M-/1V))]'l/^'’(x)}+
t=l
L(i,s)
+ Z Z {[йН-ио(х)] + [/(х)-Л1]}хй(4	(3.19)
iel" 1=1
K(i,s)
fs2)(x)= £ Z «’Wk	(3-20)
>e/'(') r=l
^3)(^)= Z T Z /ft’-iWW’W. (3-21)
ie/"(s) k=l t = l
L(i,s)
Z Z Л1-йН)хН(х).	(3.22)
ier(s) 1=1
Здесь v^(x, q)—функция, определенная в (1.25),
v£>(x, q)= v(x, q; Z>£>,	Q [F(s) (J 5Q]),
v5°(x, <?)=v(x, q-, BW, B\W Q [F(s> (J ЗЙ]),	(3.23)
vft(x, g)=v(x, q; eft, Bfl П [^” U SQ]),
и v(x, q; G, F\—определенное в § 1 решение задачи (1.24).
В (3.17) w/x) —остаточный член разложения, выяснение
поведения которого при s -»оо и составляет основную цель
параграфа.
Отметим вначале некоторые неравенства, следующие из
определения криволинейных отрезков L[s)(k), 1^(г), условия
Ь3) и оценки (1.22):
K{i,	<C‘°>,	(3.24)
R(i, s)-d\s^cm,	(3.25)
I(s)	
Z L(i, s).[Hs)]"<c(0>, 1 = 1	(3-26)
с постоянной с(0), не зависящей от 5.
Из (3.24), (1.12) и неравенства (1.10) непосредственно
следует
lim Z K(i, s)^p^ = 0.	(3.27)
Кроме того, имеют место равенства
Нт R(it	Пт У Г^р-^-^О,	(3.28)
§ 3. А( ИМ1НО1 ИЧГХ КСИ. I’ALiOAi.HML
lim Y	5)[pis’]"-m = 0,	(3.29)
s-»» ie/"(.t)
lim E K(i, s)[p<s)]"-m = 0.	(3.30)
j->co ie/'(s)
Для доказательства (3.28) достаточно, в силу (3.25),
проверить равенство нулю второго предела. Используя опре-
деление множества Г(з), имеем
т
е е
Здесь использованы условие Ь,) и второе равенство в (1.9).
При проверке (3.29) из (1.12) получаем
Е KmL(i,	=
= iirmVm E L(i, s)[Hs)](’,-1)"^Ts:
>er(s)
^-'n[r(s)]r-~^TVm E L(i, s)[r<s)]", p,=2cins
и правая часть стремится к нулю при s -»оо в силу (3.26),
условия bj) и выбора ps, \.
При получении равенства (3.30) из (1.12), (3.24), имеем
Е K(i, s)[p<s)]"-m^c(0)ks £ [р<>>]"-'"-1 =
ie/"(s)	<е/"(л)
=c(0>xsfirm~1 Е [r!s)]n_1.
И далее (3.30) следует из (1.9), (1.10).
Лемма 3.1. При выполнении условий Ьг), Ь2), Ь3) после-
довательность г’11!*) при s -»оо_ сильно сходится к нулю
в пространстве (D).
Доказательство. Ограничимся рассмотрением только
одного типичного слагаемого в
Имеем
K(i,s)	т
Е Е	<
k=l	Ьт(П)
Е	(3.31)
410 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Здесь и далее через К( обозначены постоянные, не зависящие
от 5. Правая часть (3.31) стремится к нулю в силу (3.27).
Используя неравенство Пуанкаре, имеем
a K(i.s)
-Г. I £ [«Й)-«о(^)]фЯ,(х)
V-* !г- T"lv\ ir= 1
ди0
дх
(3.32)

и правая часть стремится к нулю при л -»оо в силу (1.7), (1.9).
Аналогично можно оценить остальные слагаемые в ^’(х)
и тем самым доказать лемму 3.1.
Лемма 3.2. Пусть выполнены условия а,), а2), bj) — b3).
Тогда последовательности r$2)(x), rj3)(x), гу}(х) сильно схо-
дятся к нулю в
Доказательство. Покажем сильную сходимость к нулю
последовательности Гз2)(х), для остальных последовательно-
стей доказательство аналогично.
Используя неравенства (1.9) из гл. 8, (2.3) из гл. 9, имеем
Н2)(<’(£^
£ М'п-Я£5)	Л?,-м|Г
iel’(s) ' = 1 1ГХ	IlL.WZ’n, О)
^К5 Y Я ММ"- (3.33)
ie/'(j)
Отсюда и из (3.28) следует, что г£2)(х)->0 в
Аналогично (3.33) получаем
|prl2)(x)
дх
т '
и правая часть стремится к нулю в силу (3.28).
Тем самым доказано утверждение леммы для г*2)(х).
Аналогичные рассуждения для г*3)(х), г*4)(х) полностью дока-
зывают лемму 3.2. При этом используются равенства (3.29), (3.30).
Лемма 3.3. При выполнении условий aj, а2), bj— b3)
последовательность rs(x) стремится к нулю сильно в 1Тр(й)
при любом р<т и слабо в йПЦй).
J 3. А< H.MIHOI ИЧ1 < KOI. I' \ I. Ю/KI HUI
41 I
Доказательство. Из равномерной ограниченности по-
следовательности г })*(*,	wif’t) следует
Н*)и?(й)<*7 Е
.	’’•с
ie/ (5)
и правая часть стремится к нулю в силу (3.27).
Используя оценку (1.9) из i.i. 8 и неравенства (2.8), (3.24),
получаем
л U)	__
Е л-(/, .у)	Е I?!5’]"-'"-1
и ограниченность правой части следует из (1.11).
Так как носитель функции <p|f’t(x) содержится в G\s\, то,
применяя неравенство Гёльдера, имеем
ох
<К 8
£,(й) II
41 F'
и правая часть последнего неравенства стремится к нулю
в силу (3.27). Тем самым закончено доказательство леммы 3.3.
Теорема 3.1. Функция ws(jc)— остаточный член асимп-
тотического разложения (3.17), принадлежит при больших
о
s пространству H/m(Q<s)). При выполнении условий аД, а2),
ЬД-Ьз), 1J, 12) последовательность и\.(т) сильно сходится
к нулю в И'ЦП).
Доказательство. Принадлежность и\(Д пространству
о
непосредственно следует из представления (3.17),
определения функций v\°\, (ДД Д’г и равенства
(3.5). Из лемм 3.1—3.3 следует слабая сходимость ws(jc)
к нулю в ИД(П). Как и при доказательстве теоремы 3.1,
из гл. 9 убеждаемся, что ws(jc) сильно сходится в Л,(П)
при любом г <оо.
Для доказательства сильной сходимости в И'ЦП) после-
довательности и’Д) подставим в соответствующее граничной
задаче (1.4), (1.5) интегральное тождество
А ( ди,\ Sip ,	( Su\ ,	„
L а *, us, — — dx+ а0 *, us, — ф<7х = 0	(3.34)
J \ ox / dx, J \ ox /
4	/	Пы \	/
0
при фбИЛт(П<5))
412 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
вместо ф(х) функцию ws(x). Проводя затем такие же рассуж-
дения, как при доказательстве теоремы 3.1 из гл. 9, приходим
к неравенству
v I -т— dx^Is + Rs,
J ox
a
где
Л=j Z aj °’ dx (135)
n
и /?s—>0 при 5->00
K(i, s) Г я /	3
A= Z Z Z	/П”
Jj=i \
-M^Sf>t(x)]^<Zx.	(3.36)
Введем при iel"(s), k=l, ..., K(i, s) бесконечно дифференци-
руемые функции т$(х) так, чтобы удовлетворялись условия:
— носитель тЩх) содержится в t/(/Js), рР)ПС5Г(с'+1);
1ПСЙ’(с' + 2);
— значения функции т^х) принадлежат отрезку [0, 1 ];
— с некоторой, не зависящей от s, i, к, постоянной с(1)
выполняется оценка
ОХ

Представим интеграл 15 в виде
K(i, s) Г п /	й.,ы\ Л
Л= Z Z Z*Ao,^
,e/"(s)k=l J >= 1	\ °х J OXj
+ 711, + Л2),	(3.37)
где
К. (i, s) f* п
Ап= Z Z
ierk"1 e(;>/=1
J
X, О, ^-[г^фй’] ) X
OX
при /= 1, 2 и
1? ?. ,А(. ИМИ I <) I НЧм Mil I' \ >. jO/M 111П
/ p!sl
E^kl> = < (/<”, 2p's))\^ I l&, ~-
Eh2)=G^(c')\G^(c'+2).
41J
(3.38)
(W(c' + 2),
По определению функции v$ интеграл в первом слагаемом
правой части (3.37) обращается в нуль, так что
/5=л1,+л2’.	(3.39)
Для изучения поведения 1(2> при 5->оо используются
следующие оценки функций q):
п-т- 1
Г № ~|~mzT-
a) |v&’(x, <?)|^c,2,kl
(3.40)
(3-41)
в) J ^)r<Zx^c2<7m[p)s,]m+1 [<$5)]
ЕЙ?’
[ 1+	q)
J Ох
ЕЙ?’
(3.42)
т-2
(3.43)
2
задаче
8
Ох
^c(2}{q2 [^s)]"-m-1 (9 + ^))'"-2 p(s> + [р?)]"}
с не зависящей от s, i, к постоянной с<2).
Для получения оценок (3.40)—(3.43) в граничной
для функции v<ts\ делаем замену переменных y=gP(x), где
g;s)—диффеоморфизм, определенный в условии /Р Далее
оценки (3.40)—(3.43)
и (1.2).
Отметим еще при
Е((, а)
L
fc= 1
следуют из неравенств (2.90)—(2.92)
/= 1, 2 оценки
Eft”
^^J[pss)]m
О И’,
Ох
| и’Дх) I” dx >. (3.44)
«(/Й, И*’)
«(/!”, гй)
414
ГЛ 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Здесь и далее через Kj обозначаем постоянные, не
зависящие от s, i.
Для получения неравенства (3.44) в интеграле по сде-
лаем замену y=gSs)(x), где g)s) — диффеоморфизм из условия
Выберем цилиндры С&1}, С)*10:
с!;-'’=ЬеЛ":1У1^2р?’, 1ь-уЙ’°1<	1=1,2,
C\^ = iyeRn-.\y'\^-ris\ \yn-yftl^K2h^], /=1,2,
I	Cv	I
^(s, i)=£t_( (s.2> = ртаК; что g<”(£^J)) с С&(). Здесь с3—по-
стоянная из неравенства (1.2).
Тогда
(3.45)
т Го^’Т^1 Г	1

СЙ-" _	ей-"
где w’, i(y) = w’s((gis))-1 (у)). Второе неравенство в (3.45) следует
из оценки (1.9) из гл. 8, примененной по переменной у'.
Заменяя в интегралах правой части (3.45) y=gis)(x), приходим
к неравенству (3.44).
С учетом полученных неравенств оценим Д1’, Д2). Имеем

1+
дх
dws
дх
ф(/!« г!11)	г(")
Отсюда и из (3.40), (3.41), (1.12), (3.24) имеем

К
(еГН

+[pis)]
X
U IIM h i  11 i, •! i < Mb
> . > i ?t\ i t i . i i
При этом использовано предположение b3).
Правая часть неравенства (3.47) стремится к нулю при
5—>оо. В самом деле, в первом слагаемом обе фигурные
скобки ограничены в силу условия ЬД неравенства (1.10)
и отмечавшейся уже раньше слабой сходимости ws(x) к нулю
в йЧ(П). Следовательно, первое слагаемое правой части
(3.47) стремится к нулю на основании (1.9). Во втором
слагаемом вторая фигурная скобка стремится к нулю из-за
сильной сходимости и’5 к нулю в Лт(П), а первая скобка
ограничена в силу условия ЬД неравенства (1.10) и определе-
ния р„ рД Таким образом, доказано, что /^’->0 при 5->оо.
Оценим еще /<2), используя (3.46), (3.42), (3.43), (3.24).
Имеем
+Д[рНя’1}
X
dws
77
х < I
+ [г?’]1
«(«•>, Н")
£	£ [р<”]'
(е/’И	<еГ(,)
X
X
дх
I т	т-1 п-т-1
dx> +K9’k^i~-\is т х
416
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
х| £	+ X [рН"~1| х
l/6Z"(s)	ieP(s)	J
Г Г	| 1
х < I | ws(x)|'n<Zx>m.
й
(3-48)
И стремление к нулю правой части при 5->оо обеспечивается
оценками (1.10), (1.11), слабой сходимостью и\(х) к нулю
в И^П), а также равенствами (1.7), (1.8), определяющими
выбор А,,, р,.
Окончательно получаем из (3.39)
lim 7s=0
.J—*00
и, тем самым, из (3.35) имеем сильную сходимость ws(x)
к нулю в ЦХЦО), что и заканчивает доказательство те-
оремы 3.1.
Аналогично теореме 3.2 из гл. 9 может быть получена
сильная сходимость остаточного члена еще одного асимпто-
тического разложения, используемого далее при выводе
предельного уравнения. Пусть w}>v)(x), v = l, 2, ...,—равномерно
ограниченная последовательность функций из сильно
сходящаяся в И'ЦП) к и0(х). Аналогично (3.17) введем
разложение
ws(x) = w})v,(x) + rjv,(x)+^ rlJ,v)(x) + w‘v)(x),	(3.49)
где r’v)(x), гУ'ч)(х) определяются аналогично rs(x), г^(х)
только с заменой в (3.18) — (3.24), а также при определении
средних значений функции и0(х) функцией u^v)(x). Справедлива
Теорема 3.2. Пусть выполнены условия аД а2), bj—b3),
1Д 12) и последовательность w’*v)(x) определяется равенством
(3.49). Тогда имеют место оценки
MV,WWC’	(3,5О)
11^(х)Г1юЛс{||м°,(х)-Мо(х)1|^)+ь},
"«• (**)
где с—постоянная, не зависящая от v, s, ys->0 при s-><X),
j?e(l, т).
Д'Ж \ 5 \ .
। 4. Доказательство теоремы 1.1
Будем доказывать, что предельная функция и0(х) является
эешением задачи (1.27), (1.28). Утверждение о сильной
гходимости и,(х) к м0(х) в ^(£2) при р<т уже доказано
з § 3. Оно следует из представления (3.17), лемм 3.1—3.3
л теоремы 3.1.
Пусть Л(х)—произвольная функция класса Со (£2),	—
равномерно ограниченная последовательность функций из
С33 (£2), сильно сходящаяся в ^(£2) к и0(х). Определим при
s, v=l,2, ... последовательности средних значений
иУ^'У йУГ\ йУУ, соответственно равных
[«£>], mv*”[<>],	м<” [<],
и средних значений h$, h{yt}, Л*,’, равных соответственно
М1”[й], М‘у>[й],	М<”.
Здесь использованы обозначения (3.16), ieT^s), fc=l, ..., K(i, i),
/=1, ..., L(i, s), r=l, 2, jel'[s), r=l, .... R{j, s).
Введем при s, v=l, 2, ... множества индексов
p=Q, 1, 2, 3, 4, q=1, 2. 7’®;”,	Z'2;”—множества nap
(/, fc) при iel"(s), fc = l, ..., K(i, s), определяемые соответственно
неравенствами
-“?*’V’I >^s)-
Z*°;2), 7',1'2’, Z‘2;2)—множества пар (г, fc) при ieZ"(s), fc=l,...
..., K(i, Д для которых соответственно
I | «/!” l/i?*1 ’ -«(’*’v’ I < аУ,
Z*3;”, Z'3;2)—множества пар (г,/), iGl"{s),
определяемые соответственно неравенствами
IЛI - “i?iv) I > d^, 1- й	’ I < dy.
Наконец, 44;1’, /<4;2)—множества nap (j, г) при
r= 1,..., R(i, s), для которых соответственно выполняются
неравенства
\^-ayy\<dy.
27 И. В. Скрыпник
418 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ С КАНАЛАМИ
Определим по функции Л(х)еСд (fi) при s, v=l, 2, ... последо-
вательность
A‘v,(x) = A(x)-|-ps(a:)-p‘v)(x)- £ p^v,(4	(4.1)
J=o
где
pjv)(x) =
= I лД,, "№	(4.2)
p,(*)= Z Z [frl5-A(4M’r(x)+
I'e/'fj) r=l
+ Z Z |[Ai’r-A(x)]cpi%(x)+ £ [/15"-MX)J 'l'5"(*))+
1«Г(з) *=1 (	1*1	J
+ Z	(4.3)
/=1
P‘o’v)(x)« £	»5(x, 1)/iS4<p5(x),	(4.4)
P?'v,(x)=
’W’(x’ ^“-.»ww>w+
+ I г5>(х, 1ЖЧ5"(х), r-1,2,	(4.5)
(<, k)e/l\al
pl3'v)(x)=
+ L ЭДИ*’ O^S^xS’H*)- (4-6)
(1. ОеП’И'
pl‘-”(x)=
=	7YiZ^^H*’7^-«bv,)^Wir(x)+
+ Z 'v<№> l)^r^r(x),	(4.7)
(A
Все использованные в (4.2)	(4.8) обозначения для функций
имеют тот же смысл, что и в равенствах (3.18) --(3.23).
Далее обозначаем через с„ /=1,2,..., постоянные, не
зависящие от s, v, а через /'=1, 2, ..., последовательности,
стремящиеся к нулю при ,?-+оо.
Аналогично доказательствам лемм 3.1, 3.2 с использова-
нием условий на множества Д?;” устанавливается
Лемма 4.1. Имеет место оценка
(4.8)
Поведение p‘v)(x), p’0,v) при 5->оо дает
Лемма 4.2. Имеют место оценки
" (4-9)
IH’WII	 (4-!°)
ГУ
где р — любое число из интервала (1, т).
Доказательство. Отметим вначале, что анало-
гично доказательству неравенств (3.40)—(3.43), вводя
замену переменных и используя лемму 2.1, можно получить
оценку



dx^
($+dV}m-2 (4.11)
с постоянной с0, не зависящей от /, k, s, q,
= ^(G^(c'), 1/2).
Используя (4.11), (3.40) и определение множества Д0;1*,
оцениваем
’» ОЛ иэд-гИРз О/п иД(пр
4 l	х тп”,”1-т4
((..Че/;0;1’	(<,*)е/«>^>	J
^с4 X K(i,
/еГЪ)
Ограниченность правой части последнего неравенства следует
из неравенств (3.24), (1.11).
Обозначим через Es объединение по iel"{s), к—1, ...
K(i, л) носителей функций (х). Из (3.27) следует, что
27*
20 ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ I. КАНАЛАМИ
iesEs->0 при s->oo. Применяя неравенство Гёльдера, по-
учаем
то и обеспечивает, вместе с неравенством (4.9), оценку (4.10).
Лемма 4.3. Для последовательности
r‘°’v)(x)= X	(411)
(4*)е/1?С2’
траведлива оценка
l|r’0,V,(X)|lH'i(Q)<<,’a’3)-	(4Л2)
Доказательство. Используя неравенства (4.11), (3.24)
I определение множества I^’v2\ получаем
” (<,*)<=/<«;21 s
<с7 Е [W1- (4-13)
/еГМ
Неравенство (4.12) является теперь следствием оценок (4.13),
(1.11) и условия bj.
Определенная равенством (4.1) функция принадлежит
при больших s пространству j|^(n(s)), и ее можно подставить
в интегральное тождество (3.34). Используя лемму 4.1, полу-
чаем из (3.34) при <p(x)=h^v)(x):
а
= [ Е aj(x>[piv,(*)+Р»0,'’)(*)]<&+/?s?1>	(4-14)
J j=l \ x / ° i
n
где для 7?^! справедлива оценка
+	(4.15)
Пользуясь СИЛЬНОЙ СХОДИМОСТЬЮ l/s(x) в	при
ре(1, т), имеем из (4.14)
о
= £ дДл-. us. [р';’(л)+ p10,'V)P*+^2 =
J j=--1	\	/  j
Я
= f i 0, ~-V[pV'W+p<f-’(x)]dx+R^, (4.16)
I .	\	UX / CX i
•J J= 1	\	/	1
n
где для Л’у’2, R£’3 справедливы оценки вида (4.15). Здесь
второе равенство следует из того, что носитель функции
Piv’(x) + pS°’v)(x) содержится в определенном выше множестве
Es, мера которого стремится к нулю.
Подставим в правую часть (4.16) вместо м,(х) разложение,
определенное равенством (3.49). Применяя теорему 3.2 и лем-
му 4.3, имеем
[ Е «Д §^[p»v,(^)+Ps0'v)(^)]^=
Jj==l \	/	>
я
- f i о. рг’м+р!0- >w]*+«a-
। • « \ ex	/ их j
Jj=l \	/	>
Я
= f E 0,	(4.17)
J j=i \	/ t
n
где для справедлива оценка вида (4.15),
W= Е	(4.18)
(i.itle/l0;11
Второе равенство в (4.17) следует из (3.15).
Из (4.16)—(4.18) и (3.15) имеем
f ( Л /	ди0 \dh (	ди0 \ , )
JlJ/'V'	to М	°V’	to )*{*
»'..+«й. «ТО
где
[ - у	х
х (Е аз(х’ °>	ф!д])^-[»/’*''’Фл*]<&
J J=1	\	/	>
я
422
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОБЛАСТЯХ О КАНАЛАМИ
и /{^5 удовлетворяет оценке вида (4.15). Здесь
Представим Zsv в виде
1„ = К' + Г„ + 1'^	(4-20)
где /’°1, I'sv, I''v соответственно определяются равенствами
1 hW С п /
, У аЛх, 0.
ЛП-ulV’ I “ \
K(i, s)
е = Е Е
/е/"(л) к~ 1 
dx.
SV
О1'1
(4.21)
V (	п c^\cv^
L «j	0, —— —- dx,
. .	\ дх дх,
г= 1	\	/ J
Г" = У ' x
sv 4-	/(’>_„<». v)
*•* U'-k
о1*’
•»й
0,1[г<у)ф<‘)]Д [г|У<рй]-
При этом полагаем равным нулю значение
; Е J aj(x> °>	<№
при q = 0.
Докажем оценку
ю+га^5),
(4.22)
(4.23)
(4.24)
где а’5), как и раньше а*1*, стремится к нулю при 5->оо.
Используя условие а2) и оценки (1.11), (4.11), имеем
(i,k}er>°-2’
' о(”	Л1)
<с8 Е K(i, 5)^-[</Н"-Чс9 Е И”]"'(4-25)
|еГ(*) Л’	( = 1
и правая часть стремится к нулю в силу условия bt).
Используя условие а,) и
(4.11), (3.24), оцениваем
неравенства (3.40), (3.41), (3.42),
(/ к}еГ°'11 **	’* •

>	“Im-2
*
их
dxK

В обоих слагаемых правой части первые множители стремятся
к нулю в силу (1.9)—(1.11), определения pj*' и условия bj.
Ограниченность вторых множителей в обоих слагаемых
правой части (4.26) следует из (1.10), (1.11).
Тем самым из (4.25), (4.26) следует (4.24). Окончательно
из (4.19)—(4,24) получаем
424
ГЛ. 10. УСРЕДНЕНИЕ ЗАДАЧ В ОЬЛЛ(1ЯХ ( КАНАЛАМИ
(4.27)
и для справедлива опенка вида (4.15).
Для завершения доказательства теоремы 1.1 достаточно
доказать, что для
/?‘v’ =

п /
---;—. । У Д,|Х, 0.
V)
bik

справедлива оценка
|^|^as+Pv,
где as, Pv не зависят соответственно от v, s и
(4.28)
lim as = lim Pv = 0.
Э—»CC	V—»<x>
Доказательство (4.28) проводится аналогично доказатель-
ству неравенств (4.25), (4.28), (4.29) из гл. 9 при выводе
предельного уравнения в случае задачи с мелкозернистой
границей.
Равенство (4.27) и оценка (4.28) завершают доказательство
теоремы 1.1.
ДОПО ЛНЕНИЕ К ГЛАВЕ «
§ 6. Регулярность граничной точки для квазилинейного
эллиптического уравнения высшего порядка
В этом параграфе устанавливается достаточное
условие регулярности граничной точки для одного
класса квазилинейных эллиптических уравнений ди-
вергентного вида
£ (-1) ’ D^A^x, и, Dmu) = 0.	(6.1)
111 $ т
Переход от уравнений второго порядка к уравнениям
высшего порядка связан с принципиальными качествен-
ными особенностями. Напомним (см., например, § 1
гл. 7), что при естественных условиях роста Ах(х, Е,)
при | ^ | -»оо и сколь угодно высокой гладкости этих
функций уравнение вида (1) при т>1 может иметь
неограниченные решения. Также известно, что даже
для линейного уравнения четвертого порядка коническая
точка может быть нерегулярной при большой размер-
ности области (пример Мазьи и Назарова). Это говорит
о необходимости дополнительных структурных условий
при изучении регулярности по Винеру граничных точек
в случае уравнений высшего порядка.
Дальше Q— ограниченная область в n-мерном ев-
клидовом пространстве 7?" с границей д£1. Предполага-
ем, что функции Аа(х, £) определены при хеП,
£ = {Е,а: \a.\^m}eRM и удовлетворяют при ш>2, р>2,
q>mp неравенствам (5.9), (5.10) из гл. 7 с теми же,
что и в п. 2 § 5, функциями f(x), fa(x) и числами sa, sa«-
При указанных условиях можно определить обоб-
щенное решение уравнения (6.1) из пространства
W™ (Q) П Й7 (Q). А именно, функция
и (х) е W™ (Q) Q Wj (Q) называется обобщенным решением
уравнения (6.1), если для произвольной функции
0 0
Ф (х) е Wр (Q) Q Wj (Q) выполнено интегральное то-
ждество
£ | Ла(х, и, ..., Dmu)Da<p(x)dx = 0.	(6.2)
|a|$m J
Я
*' Помещение этого материала в самом конце книги имеет чисто
«технические» причины.
426
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ. 8
Из принадлежности м(х) пространству Wp(tyf\
ПИ7(П) следует, что Г>“м(х)е£, (П) в силу интерполя-
ционного неравенства Ниренберга—Гальярдо, и
поэтому условия (5.9)—(5.11) обеспечивают сущест-
вование интеграла в (6.2) при произвольных и (х),
<р(х)еИ7(П)ПИ7(£1)-
Из теоремы 5.5 следует в рассматриваемых
условиях гёльдеровость в Q обобщенного решения
уравнения (6.1).
Пусть х0—произвольная точка, принадлежащая 5Q.
Сформулируем в локальном варианте определение ре-
гулярности граничной точки. Обозначим В(х0, В) шар
радиуса В с центром в х0, и пусть QK = Qfl5(x0, В).
Определение 6.1. Будем говорить, что х0 — регуляр-
ная граничная точка области Q для уравнения (6.1),
если для всякого Л>0и произвольного, определенного
в Пк обобщенного решения w(x)e lF"(Q^)fl Wq (QK)
уравнения (6.1), удовлетворяющего условию
О	о
фк(х)[»(х) —g(x)]e И7(Пк)П И7(ПК)	(6.3)
с функцией g (х) е Wf (£1R) fl И7J (QK) при p' = n/m, q'>n
и бесконечно дифференцируемой функцией фя (х), равной
единице в B(xQ, В/2) и нулю вне 3(х0, В), выполнено
равенство
lim w(x)=g(xo).	(6.4)
х-*х0, хе(1д
Теорема 6.1. Предположим, что выполнены условия
(5.9) — (5.11). Для того чтобы точка xoeSOl была
регулярной граничной точкой области О, для уравнения
(6.1) достаточно, чтобы выполнялось условие
1/2	1 At
f {Cq(B(x0,.t)\Q)t^}^^=co.	(6.5)
о	1
Доказательство связано с получением для решения
уравнения (6.1) аналогов неравенств (4.5), (4.13). Наметим
основные моменты доказательства.
Нужно доказать непрерывность произвольного реше-
ния w(x) уравнения (6.1), определенного
в QK и удовлетворяющего условию (6.3) с некоторой
функцией g(x), как только выполнено условие (6.5).
В силу условий на g(x) функция v(x) = w(x) -g(x)
§ 6, ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ (6.1)	427
мке будет решением уравнения вида (6.1), удовлет-
в( । яющего условиям (5.9)—(5.11). Поэтому в даль-
ни шем можем полагать g(x) = 0.
Пусть и (х) — решение уравнения (6.1) в с некоторым
Я .-(О, 1], удовлетворяющее условию (6.3) при g(x) = 0.
М (жно показать, что и (х) ограничена в В (х0, В./2),
доопределяя при этом вне Q функцию и(х) нулем.
Обозначим w(p) = vrai max {| w(x)|: хеВ(х0, р)} при
р^Л/2 и определим при Хе(0, 1] функции v+(x, р, X),
V- (х, р, X) равенством
v±(x, р, Х)=—*, . т, хеВ(х0, р).	(6.6)
к 7 m(p)+u(x)+px	v	v
В дальнейшем
Г=И(х)||ь.(П), F(x)=l + |/(x)|+ X
(6.7)
Теорема 6.2. Существуют положительные числа
Ki, По, Хо, зависящие только от т, п, р, s0, q, qi,
t, ci, c2, Сз, F, такие, что при p^R/2, 0<X^Xo
справедлива оценка
"’’dx
В(х0. |)
Kip" m(p)-mu+pl
(6.8)
Доказательство основано на развитом в [77г]
способе оценки интегральных выражений, содержащих
производные и(х) порядка j при \<j<m. Подставляем
в интегральное тождество (6.2)
Ф (х) = {rV1 (х, р, X) — v.Г1 (х, р, X)} ф? (х, _у), 0 < г р/2,
где фг(х, у)—такая же функция, как в § 4, s^m,
к—произвольное вещественное число.
Вначале приходим к неравенству вида
{»+ + pL}< £ |Z>aw|p+ £ |.Z>aw|e> х|/?(х, y)dx^
J	l|a| = m	|«l=l	)
П
428
ДОПОЛНЕНИЕ К ГЛ. 8
^C(1)(|A:| + |fc—1 |-1+$)т‘
J I	L 1<1«1<
О*и|Ч
+ F(x) + 1 [Л-’+Р*--4] > x|rrmi (х, dx (6.9)
с некоторыми постоянными С(1), mlt а затем методами
из работы [77г] доказывается, что имеет место неравен-
ство, получающееся из (6.9) исключением в правой
части суммы по | а |.
Так полученное неравенство позволяет, с одной
стороны, на основе неравенства Йона — Ниренберга
получить оценку
J [в+(х, р, А.)+в_ (х, р, A,)] adxx
В(х<>, |)
х j* [г+(х, р, А.) + v- (х, р, X)]°Jx^C(2)p2"
В(хо>
при определенных о, С(2). С другой стороны, итераци-
онным процессом доказывается оценка
vrai max (х, р, A.) +va- (х, р, А,)}
хеВ(х0. |)
j* [t>+ (х, р, А) +т_ (х, р, A.)]°Jx.
В(»о.|)
Неравенство (6.8) теперь просто следует из двух
последних оценок.
Дальше итерациями доказывается, что оценка (6.8)
справедлива и в том случае, если о0 заменить на
о при 0<о<(и —е)(<?—1)/(и —<?) для Е>0.
Отметим также, что при аналогичных рассуждениях для

(и—е)(у—1)
n-q
и достаточно больших s получим оценку
j (»+ + »_)*
о
£ |Z>au|s’^(x, x0)dx^
§ 6. ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ (6.1)
429

^С(4)р"“«
£ +рх
(6.10)
Теорема 6.3. Существуют положительные числа
К2, т2, зависящие лишь от т, п, р, s0, q, qif t, clt
c2, c3, F, такие, что при
Q<r^, 0<^minho, 1--
4	(	(«1-1)91 q
выполнена оценка
] Y |Z>“w|₽+ X IW ₽(Mo)<^
J =	l«I=l J
П
K2rtt 9 [m (r) + rx] m (2r) — m
«-1
(6.И)
+ /
Для доказательства подставим в интегральное тож-
дество (6.2) вместо ф (х) функцию и (х) фГ2 (х, х0). Проводя
обычные оценки, на основе неравенств (5.9), (5.10) получим
Y |№|р+ X |№|4ф72(х, xQ)dx^
J (|a| = m	|«|=1	J
П
^C(4)f| X \Dau\s’ + F(x) +
П ( 1 <|а|<т
+	£	(r-|«-Yl |£>TM|)s,l ф"2 "(х, xo)dx +
0<|у|<|а|	J
+ C(4)w(r)f I X г~|а| |£₽w|S”+
П t 0<|а|, |₽|<т
+ Z г-|а|Л(х)1ф72’М(х, xQ)dx.
|а|$т	J
Дальнейшие оценки основаны на применении нера-
венств (6.10), (6.8) и примененного в [77г] способа
оценки интегралов, содержащих (Dau | при 1 < | а | < т.
Доказательство теоремы 6.1 после получения оценок
(6.8), (6.11) аналогично доказательству теоремы 4.1.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Агмон С., ДуглисА., Ниренберг Л.
Оценки вблизи границы решений эллиптических уравнений в част-
ных производных при общих граничных условиях.—,М.: ИЛ, 1962,
2. Агмон С. (Agmon S.)
The coerciveness problem for integro-differential forms // J. Analyse
Math.—1958. -V. 6,—P. 183—223.
3.	Агранович M. C.
Эллиптические интегро-дифференциальные операторы // УМН.—
1965.—Т. 20, № 5.- С. 3-120.
4.	Александров П. С.
Комбинаторная топология.— М.: Гостехиздат, 1947.
5.	Амбросетти А,, МанциниЖ. (Ambrosetti A,, Mancini G.)
Existence and multiplicity results for nonlinear elliptic problems
with linear part at resonance. The case of the simple eigenvalue //
J. Different. Equat.—1978.—V. 28, № 2,—P. 220 - 245.
6.	Аракчеев C. A.
Частичная регулярность решений задачи Дирихле для квазили-
нейных эллиптических уравнений // Дифференциальные уравнения
с частными производными: Тр. семинара С. Л. Соболева,—Ново-
сибирск, 1979.— № 2.— С. 5—32.
7.	Бабин А. В.
а)	О свойствах квазилинейных эллиптических отображений и не-
линейных эллиптических краевых задач//Вести. МГУ,— 1975.—
№ 5.—С. 13-19.
б)	Конечномерность ядра и коядра квазилинейных эллиптических
отображений // Мат. сб.— 1974.— Т. 93, № 3.— С. 422—450.
8.	Бакельман И. Я.
Геометрические методы решения эллиптических уравнений.— М.:
Физматгиз, 1965.
9.	Бахвалов Н. С., Панасенко Г. П.
Осреднение процессов в периодических средах. — М.: Наука, 1984.
10.	Бергер М. С. (Berger М. S.)
A Sturm — Liouville theorem for nonlinear elliptic partial differential
equations // Ann. Scuola norm, super. Pisa.—1966. -V. 20, № 3. -
P. 543 582.
11.	Бесов О. В., Ильин В. П., Никольский С. М.
Интегральные представления функций и теоремы вложения.— М.:
Наука, 1975.
12,	Борисович Ю. Г., Звягин В. Г., Сапронов Ю. И.
Нелинейные фредгольмовы отображения и теория Лере — Шаудера
// УМН.- 1977.—Т. 32, № 4,- С. 3 -54.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
431
13.	БрезисХ. (Brezis Н.)
Equations et inequations non lineaires dans les espaces vectoriels
en dualite//Ann. Inst. Fourier. Grenoble.—1968,—V. 18, N 1.—
P. 115—175.
14.	БрезисХ., Ниренберг JI. (Brezis H., Nirenberg L.)
Characterizations of the ranges of some nonlinear operators and
applications to boundary value problems // Ann. Scuola norm,
super. Pisa.—1978.—V. 5, N 2,—P. 225—326.
15.	Браудер Ф. E. (Browder F. E.)
a)	Nonlinear elliptic boundary value problems // Bull. Amer. Math.
Soc.— 1963.—V. 69, N 6.- P. 862—874.
6)	Infinite dimensional manifolds and nonlinear elliptic eigenvalue
problems // Ann. Math.— 1965.— V. 82, N 3.— P. 459—477.
в)	Variational methods for nonlinear elliptic eigenvalue problems //
Bull. Amer. Math. Soc.- 1965,—V. 71, N 1.—P. 176—183.
r)	Topological methods for non-linear elliptic equations of arbitrary
order // Pacif. J. Math.—1966,—V. 17, N l.- P. 17—31.
д)	Nonlinear eigenvalue problems and Galerkin approximations //
Bull. Amer. Math. Soc.— 1968.— V. 74, N 4.—P. 651—656.
e)	Pseudo-monotone operators and the direct method of the calculus
of variations//Arch. Ration. Meeh, and Anal.—1970,—V. 38,
N 4,—P. 268—277.
ж)	Nonlinear elliptic boundary value problems and the generalized
topological degree//Bull. Amer. Math. Soc.— 1970.— V. 76,
N 5,—P. 999—1005.
3)	Fixed point theory and nonlinear problems // Bull. Amer. Math.
Soc.— 1983.—V. 9, N 1.—P. 1—39.
и)	The degree of mapping and its generalizations//Contemp. Math.—
1983.—V. 31.—P. 15—40.
к)	The theory of degree of mapping for nonlinear mappings of
monotone type // Nonlinear Part. Differ. Equations and Their
Appl. Coll. France. Semin. V. 6.— Boston, 1984.— P. 165—
177.
16.	Браудер Ф. E., Петришин В. В. (Browder F. E., Petryshyn W. V.)
a) The topological degree and Galerkin approximations for noncom-
pact operators in Banach spaces//Bull. Amer. Math. Soc.—
1968.—V. 74, N 4.—P. 641—646.
6)	Approximation methods and the generalized topological degree
for nonlinear mappings in Banach spaces // J. Funct. Anal.—
1969,—V. 3, N 2,—P. 217—245.
17.	Вайнберг M. M.
Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории
нелинейных уравнений.— М.: Наука, 1972.
18.	Видман К.-О. (Widman К.-О.)
a)	Local bounds for solutions of higher order nonlinear elliptic partial
differential equations//Math. Z.— 1971.— V. 121, № 1.— P. 81 —
95.
6)	Holder continuity of solutions of elliptic systems//Manuscr.
math.—1971,—V. 5, N 4,—P. 299- 308.
19.	Винер H., Пэли P.
Преобразование Фурье в комплексной области.— М.: Наука, 1964.
20.	Вишик М. И.
а)	Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциаль-
ных уравнений, имеющие дивергентную форму//Тр. Московс-
кого мат. об-ва.— 1963.— Т. 12.— С. 125—184.
432
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
б)	О разрешимости первой краевой задачи для квазилиней-
ных уравнений с быстро растущими коэффициентами в
классах Орлича//ДАН СССР.—1963.—Т. 151, № 4.— С. 758—
761.
21.	Вишик М. И., Эскин Г. И.
Уравнения в свертках в ограниченной области//УМН.—1965.—
Т. 20, № 3,—С. 89—112.
22.	ГарипиР., Цимер В. В. (Gariepy R., Ziemer W.V.)
A regularity condition at the boundary for solutions of quasilinear elliptic
equation // Arch. Ration. Meeh. Anal.—1977.— V. 67, N 1.— P. 25—39.
23.	Геринг Ф. B. (Gehring F. W.)
The //-integrability of the partial derivatives of a quasiconformal
mapping//Acta Math.—1973.— V. 130.— P. 265—277.
24.	Гординг Л. (Gording L.)
Dinchiefs problem for linear elliptic partial differential equations
// Math. Scand.- 1953.—V. 1,—P. 55—72.
25.	ГоссезЖ.-Р. (Gossez J.-R.)
a)	Nonlinear elliptic boundary value problems for equations with
rapidly (or slowly) increasing coefficient//Trans. Amer. Math.
Soc.— 1974. -V. 190. —P. 163 —206.
6)	Suijectivity results for pseudo-monotone mappings in complemen-
tary systems//J. Math. Anal. Appl.—1976.— V. 53.—P. 484 —
494.
в)	A strongly nonlinear elliptic problem in Orlicz—Sobolew spaces
// Nonbnear functional analysis and its applications. Proc, of
Symp. Pure	Math.— Providence,	1986.— V. 45, N 1.—
P. 455-462.
26.	Данфорд H., Шварц Дж.
Линейные операторы. Т. 1.— М : ИЛ, 1962.
27.	Джаквинта М., МодикаЖ. (Giaquinta М., Modica G.)
Regularity results for some classes of higher order nonlinear elliptic
systems//Journ. fur die reine und angewandte Math.—1979.— V.
311/312.—P. 145—169.
28.	Де Джорджи Э. (De Giorgi E.)
a)	Sulla diferensiabilita e 1’analiticita delle estremali degli integral!
multipli regolari//Memorie delle Accad. Sci. Torino, Ser. 3.—
1957.—V. 3, p. 1.—P. 25—43.
6)	Un esempio di estremali discontinue per un problema variazionale
di tipo ellittico//Boll. Unione mat. ital.—1968.— V. 1, N 1.—
P. 135—137.
29.	Джусти Э. (Giusti E.)
Regularita parziale delle soluzioni di sistemi ellittici quasi-lineari di
ordine arbitrario//Ann. Scuola norm, super. Pisa.—1969.— V. 23,
№ 1,—P. 115—141.
30.	Джусти Э., МирандаМ. (Giusti E., Miranda M.)
a)	Sulla regolarita delle soluzioni deboli di una classe di sistemi
ellittici quasilineari//Arch. Ration. Meeh, and Anal.—1968.—
V. 31, N 3,—P. 173-184.
6)	Un esempio di soluzioni discontinue per un problema di minimo
relative ad un integrate regolare del calcolo delle variazioni//Boll.
Unione mat. ital.—1968,—V. 1, N 2.—P. 219—226.
31.	Дональдсон T. (Donaldson T.)
Nonlinear elliptic boundary value problems in Orlicz—Sobolev
spase//J. Different. Equat — 1971.—Xs 3,—P. 507—528.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
433
32.	Дональдсон Т., Трудингер М. С. (Donaldson Т., Trudinger М. S.)
Orlicz -Sobolev spaces and imbedding theorems//}. Functional
Analysis. 1971. V. 8,—P. 52 -75.
33.	Дубинский Ю. A.
а)	Квазилинейные эллиптические и параболические уравнения
любого порядка//УМН. 1968,- Т. 23, № 1.— С. 45 90.
б)	О некоторых некоэрцитивных нелинейных уравнениях//Мат.
сб.- 1972.—Т. 87, № 3. - С. 315 323.
в)	О нелинейных эллиптических уравнениях бесконечного порядка
и нетривиальности соответствующих пространств Соболе-
ва//ДАН СССР,—1975. - Т. 222, № 1.—С. 22—25.
г)	Нелинейные эллиптические и параболические уравнения//Итоги
науки и техники. Современные проблемы математики.— М.:
ВИНИТИ, 1976.—Т. 9,—С. 5—130.
д)	Следы функций из пространства Соболева бесконечного поряд-
ка и неоднородные задачи для нелинейных уравнений//Мат.
сб.-1978.—Т. 106, № 1,—С. 66- 84.
34.	Дубинский Ю. А., ПохожаевС. И.
Об одном кла<хе операторов и разрешимости квазилинейных
эллиптических уравнений//Мат. сб.— 1967.—Т. 72, №2.
35.	Дуглас А., Ниренберг Л. (Douglis A., Nirenberg L.)
Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations
// Comm. Pure Appl. Math. -1955. V. 8.- P. 503—538.
36.	Жиков В. В., Козлов С. М., Олейник О. А., Ха Тьен Нгоан
Усреднение и G-сходимость дифференциальных опера-
торов//УМН. 1979,—Т. 34, № 5. -С. 65 133.
37.	Звягин В. Г.
О существовании непрерывной ветви собственных функций нели-
нейной эллиптической краевой задачи // Дифференц. уравнения.--
1977.—Т. 13, № 8.—С. 1524—1527.
38.	КампанатоС. (Сатрапаto S.)
a)	Differentiability of the solutions of nonlinear elliptic systems with natural
growth//Ann. mat. pura ed appl.—1982.- V. 131— P. 75—106.
6)	Holder continuity of the solutions of some nonlinear elliptic
systems//Adv. Math. 1983.— V. 48, N l.- P. 16—43.
39.	Качуровский P. И.
а)	О монотонных операторах и выпуклых функционалах//
УМН,—I960,—Т. 15, № 4,—С. 213—215.
б)	Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространст-
вах//УМН. -1968.- Т. 23, № 2,—С. 121 — 168.
40.	Климов В. С.
а)	Непрерывные ветви собственных функций квазилинейных эл-
липтических задач//Дифференц. уравнения. 1973.—Т. 9,
№ 10. С. 1845 —1850.
б)	Вращение потенциальных векторных полей//Мат. заметки. -
1976,—Т. 20, № 2. -С. 293—318.
41.	Ковалевский А. А.
а)	Асимптотическое поведение решений второй краевой задачи
для квазилинейных эллиптических уравнений в областях с мел-
козернистой границей // Мат. физика и нелинейн. механика.—
Киев: Наук, думка, 1984.— № 2.— С. 50—53.
б)	Вторая краевая задача для вариационных эллиптических урав-
нений в областях сложной структуры.— Киев, 1984,- С. 3—
22.— (Препр./АН УССР. Ин-т математики; 84—40).
28 И. В. Скрыпник
434	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
42.	Кондратьев В. А.
О разрешимости первой краевой задачи для сильно эллиптических урав-
нений//Тр. Московского мат. об-ва.—1967.—Т. 16.—С. 293— 318.
43.	Кошелев А. И.
Регулярность решений эллиптических уравнений и систем.— М.:
Наука, 1986.
44.	Кошелев А. И., ЧелкакС. И.
а)	О регулярности решений эллиптических систем высших поряд-
ков//ДАН СССР.—1983,—Т. 272, № 2,—С. 297—300.
б)	Regularity of solutions of quasilinear elliptic systems.— Leipzig:
В. C. Teubner Verlagsges., 1985.
45.	Красносельский M. A.
Топологические методы в теории нелинейных интегральных
уравнений.— М.: Гостехиздат, 1956.
46.	Красносельский М. А., РутицкийЯ. Б.
Выпуклые функции и пространства Орлича.— М.: Физматгиз,
1958.
47.	Красносельский М. А., ЗабрейкоП. П.
Геометрические методы нелинейного анализа.— М.: Наука,
1975.
48.	Ладыженская О. А.
Об интегральных оценках сходимости приближенных методов
и решения в функционалах для линейных эллиптических операто-
ров//Вестн. ЛГУ. -1958,—Т. 7, № 2.-С. 60- 69.
49.	Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н.
Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа.— М.:
Наука, 1973.
50.	ЛандесманЭ., Лазер A. (Landesman Е., Lazer А.)
Nonlinear perturbation of linear elliptic boundary value problems
at resonance//.!. Math. Meeh.— 1970.— V. 19.— P. 609—623.
51.	ЛереЖ., Лионе Ж. Л. (Leray J., Lions J. L.)
Quelques resultats de Visik sur les problemes elliptiques nonlineaires
par les methodes de Minty — Browder//Bull. Soc. math. Fran-
ce.—1965.—V. 93, N L— P. 97—105.
52.	ЛереЖ., Шаудер Ю. (Leray J., Schauder J.)
Топология и функциональные уравнения//У MH.—1946.— Т. 1,
№ 3—4,— С. 71—95.
53.	Линдквист Р., МартиоО. (Lindqvist Р., Martio О.)
Two theorems of N. Wiener for solutions of quasilinear elliptic equations.—
Jyvaskyla, 1984.—P. 1—26.—(Preprint/Univ, of Jyvaskyla; 29).
54.	Лионе Ж.-Л.
Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. — М.:
Мир, 1972.
/55. Литтман В., Стампаккья Г., Вайнбергер Г. Ф. (Lit-
tman W., Stampacchia G., Weinberger H. F.)
Regular points for elliptic equations with discontinuous coefficients//
Ann. Scuola norm. sup. Pisa.—1963.— V. 17.— P. 43—77.
56.	Лопатинский Я. Б.
Об одном способе приведения граничных задач для системы
дифференциальных уравнений' эллиптического типа тс регулярным
интегральным уравнениям//Укр. мат. журн.—1953.—№ 5.—
С. 123—151. 
57.	МадженесЭ.
Интерполяционные пространства и уравнения в частных производ-
ных //УМН,—1966,— Т. 21, № 2,—С. 169—218.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
435
58.	Мазья В. Г.
а)	Примеры нерегулярных решений квазилинейных эллиптических
уравнений с аналитическими коэффициентами//Функцион. анализ
и его прил.— 1968.—Т. 2, № 3.— С. 53—57.
б)	О непрерывности в граничной точке решений квазилиней-
ных эллиптических уравнений//Вести. ЛГУ. —1970.- Т. 13.—
С. 42—55.
в)	Пространства С. Л. Соболева.- Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.
59.	Марченко В. А., ХрусловЕ. Я.
Краевые задачи в областях с мелкозернистой границей.— Киев:
Наук, думка, 1974.
60.	Ми нт и Ж. (Minty G. J.)
Monotone (nonlinear) operators in Hilbert space//Duke Math. J.—
1962,—V. 29, N 3.—P. 341—346.
61.	МовинЖ., Ворд Ж. P. (Mawhin L, Ward J. R.)
Nonresonance and existence for nonlinear elliptic boundary value
problems//Nonlinear Anal.: Theory, Meth, and Appl.—1981.—-
V. 5,- P. 677- 684.
62.	Мозер Ж. (Moser J.)
A new proof of de Giorgi’s theorem concerning the regularity
problem for elliptic differential equations // Comm. Pure and Appl.
Math.— I960,—V. 13, N 3.- P. 457—468.
63.	Морри Ч. Б. (Morrey С. B.)
a)	Multiple integral problems in the calculus of variations and
related topics//Univ, of Calif. Publ. in Math., new ser.— 1943.—
V. 1. - P. 1-130.
6)	Partial regularity results for nonlinear elliptic systems//J. Math,
and Meeh.—1968,—V. 17, N7.- P. 649—670.
64.	Морс M. (Morse M.)
The calculus of variations in the large.— New York, 1934.
65.	Мэйере H., ЭлкратА. (Meyers N., Elcrat A.)
Some results on regularity for solutions of nonlinear elliptic systems
and quasi-regular functions//Duke Math. Joum.— 1975.— V. 42,
N 1. P. 121 - 136.
66.	Мюллер M. (Miiller M.)
Uber die Regularitat der Losungen quasilinearer elliptischer Differen-
tialgleichungen hoherer Ordnung am Rande des Gebietes//Mathemat..
Nachr. 1975,- V. 68,—P. 141 — 160.
67.	Мюллер M., Нечас И. (Muller M., Necas I.)
Uber die Regularitat der schwachen Losungen von randwer — tauf-
gaben fur quasilineare elliptische Differentialgleichungen hoherer
Ordnung//Czechoslovak Math. Journ. -1975. N 2.- P. 227—
239.
68.	Нечас И. (Necas I.)
a)	Sur le regularite des solutions faibles des equations elliptiques
non lineaires//Comment, math. Univ. Carol. 1968.—V. 9, N 3.—
P. 365 -413.
6)	Fredholm alternative for nonlinear operators and applications to
partial differential equations and integral equations // Cas. pestov.
mat.—1972.-V. 97, N 1,—P. 65—71.
в)	On the range of nonlinear operators with linear asymptotes
which are not invertiable //Comment, math: Univ. Carol.- -1979.--
V. 14,—P. 63—72.
r)	Introduction to the theory of nonlinear elliptic equations.— Leipzig:
B. G. Teubner Verlagsges., 1983.
28*
436	СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
69.	Никольский С. М.
Приближение функций многих переменных и теоремы вложе-
ния.— М.: Наука, 1969.
70.	Ниренберг Л. (Nirenberg L.)
а)	Некоторые вопросы теории линейных и нелинейных дифферен-
циальных уравнений в частных производных//У МН. -1963.—
Т. 18, № 4.— С. 101-118.
б)	An extended interpolation inequality//Ann. Scuola Norm. Super.
Pisa.—1966.—V. 20, N 4,— P. 733- 737.
в)	Лекции no нелинейному функциональному анализу.— M.: Мир,
1977.
г)	Variational and topological methods in nonlinear problems//Bull.
Amer. Math. Soc.—1981,—V. 4, N 3,—P. 267—302.
71.	Олейник О. A.
К девятнадцатой проблеме Гильберта//Проблемы Гильберта.—
М.: Наука, 1969,- С. 216- - 219.
72.	ПалэР. С. (Palais R.S.)
a)	Morse theory on Hilbert manifolds //Topology. - 1963. V. 2,
N4.—P. 299- 340.
6)	Ljusternik — Schnirelman theory on Banach manifolds//Topolo-
gy.—1966,—V. 5, N 2,—P. 115—132.
73.	Панков A. A.
Об усреднении и G-сходимости нелинейных эллиптических опера-
торов дивергентного вида//ДАН СССР.— 1984.— Т. 278, № 1.—
С. 37—41.
74.	Петришин В. В. (Petryschyn W. V.)
a)	On the approximate—solvability of nonlinear equations//Math.
Annalen.—1968.—V. 177,—P. 156—164.
6)	Invariance of domain theorem for locally Л-proper mappings
and its implications//J. Funct. Anal.-- 1970.— V. 5, N 1.— P. 137—
159.
в)	Antipodes theorem for Л-ргорег mappings and its applications
to mappings of the modified type (S) and (S)+ and to mappings
with /wi-property// J. Funct. Anal.— 1971.--V. 7, N 1.— P. 165 -211.
r) On the approximation solvability of equations involving Л-proper
and pseudo Л-proper mappings//Bull, of the Amer. Math. Soc.—
1975,- V. 81, N 2,- P. 223—312.
д)	Fredholm alternatives for nonlinear Л-proper mappings with
applications to nonlinear elliptic boundary value problems//J. of
Funct. Anal. - 1975. -V. 18, N 3.—P. 288—317.
e)	Bifurcation and asymptotic bifurcation for equations involving
Л-proper mappings with applications to differential equations//]. Dif-
ferent. Equat. 1978. -V. 28, N 1.—P. 124—154.
ж)	Existence theorems for semilinear abstract and differential equa-
tions with noninvertible linear parts and noncompact perturba-
tions//Proc. of Symp. on Nonlinear Equations in Abstract Spa-
ces.— New York: Acad. Press, 1978.— P. 275- 315.
з)	Solvability of semilinear elliptic boundary value problems at
resonance via the Л-proper type operator theory//Analel sci. ale
Universtati «А1. I. Cuza», Iasi.— 1979.— V. 25.— P. 135- 152.
и)	Solvability of linear and quasilinear elliptic boundary value
problems via the Л-proper mapping theory//Numer. Funct. and
Optimiz. -1980.—V. 2.—P. 591—635.
к)	Nonrezonance and existence for nonlinear BV Problems//Houston
Journ. of Math.--1983.— V. 9, N 4. -P. 511 —530.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
437
5. Похожаев С. И.
а) О разрешимости нелинейных уравнений с нечетными операто-
рами // Функцион. анализ и его прил.— 1967.— Т. 1, № 3.— С. 66 —
б) Нормальная разрешимость нелинейных уравнений в равномер-
но выпуклых банаховых пространствах//Функцион. анализ и его
прил,--1969.- - Т. 3, № 2,—С. 80—84.
в)	О нелинейных операторах, имеющих слабо замкнутую область
значений, и квазилинейных эллиптических уравнениях // Мат. сб.—
1969,—Т. 78, № 2.-С. 236-259.
г)	О собственных функциях квазилинейных эллиптических за-
дач//Мат. сб.- 1970.—Т. 82, № 2.--С. 192 -212.
д)	Об одном подходе к нелинейным уравнениям//ДАН СССР,—
1979. -Т. 247, № 6.—С. 1327—1331.
е)	О квазилинейных эллиптических уравнениях высокого поряд-
ка//Дифференц. уравнения.— 1981.— Т. 17, № 1. -С. 115 —128.
ж)	О разрешимости квазилинейных эллиптических уравнений
произвольного порядка//Мат. сб.— 1982.—Т. 117, № 2.— С. 251 —
265.
з)	О разрешимости некоторых квазилинейных эллиптических
уравнений высокого порядка//Дифференц. уравнения.—1982.—-
Т. 18, № 1,—С. 100- 109.
и)	Об априорных оценках решений квазилинейных эллиптических
уравнений произвольного порядка//Дифференц. уравнения.—
1983.— Т. 19, № 1,—С. 101-110.
76.	Рабинович П. (Rabinovitz Р. Н.)
A note on topological degree for potential operators//}. Math.
Anal, and Appl.-- 1975,—V. 51, N 2,—P. 483 -492.
77,	. Скрыпник И. В.
а)	Нелинейные эллиптические уравнения высшего порядка.— Киев:
Наук, думка, 1973.
б)	Условия, накладываемые на коэффициенты квазилинейных
эллиптических уравнений высшего порядка//Математический сбо-
рник--Киев: Наук, думка, 1976,--С. 93—94.
в)	Разрешимость и свойства решений нелинейных эллиптических
уравнений//Итоги науки и техники. Современные проблемы
математики,—М.: ВИНИТИ, 1976.—Т. 9. С. 131- 254.
г)	О квазилинейных эллиптических уравнениях высшего порядка
с непрерывными обобщенными решениями//Дифференц. уравне-
ния,- 1978.-№ 6.-С. 1104—1119.
д)	Топологические характеристики общих нелинейных эллипти-
ческих операторов//ДАН СССР.— 1978.—Т. 239, № 3. -С. 538—
541.
е)	Коэрцитивные оценки для пар линейных эллиптических опера-
торов//ДАН СССР.- 1978. —Т. 239, № 2.-С. 275-278.
ж)	Про належшсть розв’язюв вар!ащйних задач просторам Moppi-
//Доповвд АН УРСР, сер. А.- 1978,—№ 5.—С. 404— 408.
з)	Разрешимость нелинейной задачи Дирихле в узкой полосе//
ДАН СССР.—1980 — Т. 250, № 3,- С. 569—573.
и)	Квазилинейная задача Дирихле для областей с мелкозернис-
той границей//Докл. АН УССР, сер. А.- 1982.— № 2.—С. 21 —
26.
к)	О сходимости решений нелинейной задачи Дирихле при
измельчении границы области // Зап. науч, семинаров ЛОМИ АН
СССР. -1982. -Т. 115.- С. 236- 250.
438
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
л)	Критерий регулярности граничной точки для квазилинейных
эллиптических уравнений//ДАН СССР.—1984,—Т. 274, №5.—
С. 1040-1044.
м) Nonlinear elliptic boundary value problems.— Leipzig: B. G. Teub-
ner Verlagsges., 1986.
н) Усреднение нелинейных задач Дирихле в областях с канала-
ми//ДАН СССР.- 1990.—Т. 313, № 5. -С. 1049-1053.
78.	Скрыпник И. В., Шишкова. Е.
О разрешимости задачи Дирихле для уравнений Монжа — Ампе-
ра//Докл. АН УССР, сер. А— 1978.—№ 3,—С. 216—219.
79.	Смейл С. (Smale S.)
Morse theory and nonlinear generalization of the Dirichlet problems//
Ann. Math.—1964,—V. 80, N 2.—P. 382—396.
80.	Соболевский П. E.
Об уравнениях с операторами, образующими острый угол//ДАН
СССР.-1957,-Т. 116, № 5,—С. 754—757.
81.	Солонников В. А.
О дифференциальных свойствах слабых решений квазилинейных
эллиптических уравнений//Зап. науч, семинаров ЛОМИ АН
СССР.- 1974.—Т. 39,—С. 110 -119.
82.	Стейн И.
Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функ-
ций. - М.: Мир, 1973.
83.	Суворов С. Г.
а)	К теории Люстерника — Шнирельмана//Сиб. мат. журн.—
1978.—Т. 19, № 6.—С. 670—683.
б)	Собственные функции нелинейных эллиптических операторов.—
Томск: Изд.-во Томского ун-та, 1982.
84.	Тодоров Т. Г.
О непрерывности ограниченных обобщенных решений квазили-
нейных эллиптических уравнений высокого порядка//Вести. ЛГУ.—
1975.—Т. 19.—С. 56 -63.
85.	Фитцпатрик П. М. (Fitzpatrick Р. М.)
A generalized degree for uniform limits of Я-proper mappings//
J. Math. Anal, and Appl.—1971.—V. 35, N 3.—P. 536—552.
86.	Фрезе Ж. (Frehse J.)
a)	On the boundedness of weak solutions of higher order nonlinear
elliptic partial differential equations//Boll. Unione mat. ital.— 1970. -
V. 3, N 4.—P. 607—627.
6)	A Landesman- Lazer alternative theorem for a class of optimiza-
tion problems//Comment. Math. Helvetici.— 1979.—V. 54.—P. 328 —
333.
87.	Фучик C. (Fucik S.)
a)	Note on the Fredholm alternative for nonlinear operators // Com-
ment. math. Univ, carol.— 1971. -V. 12, N 2.— P. 213—226.
6)	Surjectivity of operators involving linear noninvertible part and
nonlinear compact perturbation//Functiolaj Ekvacioj.— 1974.- V. 17.- -
P. 73 -83.
88.	Фучик С., Нечас И. (Fucik S., Necas I.)
Ljustemik — Schnirelman theorem and nonlinear eigenvalue prob-
lems//Math. Nachr.- 1972,—V. 53, N 1-6.—P. 277—289.
89.	Фучик С., Нечас И., Соучек И., Соучек В. (Fucik S., Necas 1.,
Soucek I., Soucek V.)
Spectral analysis of nonlinear operator//Lectures notes in Mathema-
tics.— V. 346.— Berlin: Springer — Verlag, 1973.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
439
90.	Цайдлер Э. (Zeidler Е.)
Ljusternik—Schnirelman theory on general level sets//Math. Nachr.—
V. 129. -P. 235—259.
91.	Хесс П. (HessP.)
On nonlinear mappings of monotone type with respect to two
Banach spaces//J. Math. Appl.— 1973.— V. 52.— P. 13—26.
92.	Хёрмандер Л.
Линейные дифференциальные операторы с частными производны-
ми.— М.: Мир, 1965.
93.	Шапиро В. Л. (Shapiro V. L.)
Resonance, distributions and semilinear elliptic partial differential
equations//Nonlinear Anal.: Theory, Meth, and Appl.— 1984.— V. 8,
N 8.—P. 857—871.
94.	Шишков A. E.
а) Условия устранимости особых множеств решений общих
квазилинейных дивергентных эллиптических уравнений на границе
области//Докл. АН УССР. Сер. А.—1986.—№ 10— С. 23—26.
б) Поведение обобщенных решений задачи Дирихле для общих
дивергентных квазилинейных эллиптических уравнений//Диффе-
ренц. уравнения.—1987.— Т. 23, №2.— С. 308—320.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ..................................................................... 3
Глава 1. Отображения монотонного тина я разрешимость ква-
зилинейных эллиптических граничных задач ................. 6
§ 1.	Основные определения и вспомогательные предложения.........................	8
§ 2.	Сведение задач для дивергентных уравнений к оператор-
ным уравнениям .......................................... 13
§ 3.	Постановка вариационной задачи и примеры нелинейных
задач механики .......................................... 19
§	4.	Разрешимость коэрцитивных	граничных	задач ........ 24
§	5.	Разрешимость уравнений	с нечетными	операторами.	29
§ 6.	Разрешимость нелинейных граничных задач (дальнейшие
результаты) ............................................. 34
Глава 2. Степень обобщенных монотонных отображений..............................	45
§ 1.	Степень конечномерных отображений ......................................... 45
§ 2.	Определение степени отображений класса а .................................. 50
§ 3.	Степень отображения в несепарабельном пространстве.........................	55
§ 4.	Свойства степени обобщенных монотонных отображений ...	59
§ 5.	Вычисление индекса критической точки ...................................... 66
§ 6.	Вычисление степени потенциальных отображений	.............................. 74
§ 7.	Применение степени отображения к разрешимости	опера-
торных уравнений 	 78
§ 8.	Дополнительные замечания и результаты ..................................... 88
Глава 3. Топологические характеристики нелинейных эллип-
тических граничных задач ................................ 93
§ 1.	Предварительные сведения из теории линейных эллипти-
ческих задач ............................................ 93
§ 2.	Введение топологических характеристик в случае общих
нелинейных эллиптических задач .......................... 98
§ 3.	Коэрцитивные априорные оценки для пар линейных эл-
липтических операторов ................................. 113
§ 4.	Сведение к операторному уравнению задачи Дирихле
для общего нелинейного эллиптического уравнения........	125
Глава 4. Разрешимость н поведение решений нелинейных эл-
липтических граничных задач ............................ 129
§ 1.	Разрешимость граничных задач для дивергентных эл-
липтических уравнений .................................. 129
§ 2.	Разрешимость общих нелинейных граничных задач ............................ 135
ОГЛАВЛЕНИЕ
441
§ 3.	О применении формулы индекса критической точки......	142
§ 4.	Оценка числа решений нелинейных эллиптических задач.	152
§ 5.	Сильная сходимость галёркинских приближений для общих
нелинейных эллиптических граничных задач ................. 158
§ 6.	Собственные значения нелинейных задач (дополнительные
результаты) .......................................... 161
§ 7.	Дальнейшие оценки числа решений нелинейных	граничных
задач ................................................ 164
Глава 5. Разрешимость нелинейной задачи Дирихле в узкой
нолосе ................................................... 172
§ 1.	Определения и вспомогательные неравенства	..... 172
§ 2.	Коэрцитивные оценки в	для пар линейных
эллиптических операторов ............................. 185
§ 3.	Оценки решений нелинейной задачи Дирихле ............ 193
§ 4.	Доказательство теоремы существования ................ 198
Глава 6. Разрешимость слабо нелинейных граничных задач...	205
§ 1.	Возмущение однозначно разрешимой линейной граничной
задачи ................................................... 205
§ 2.	Возмущение линейных задач с ненулевым ядром ......... 213
§ 3.	Существование кратных решений слабо нелинейных гра-
ничных задач ............................................. 223
Глава 7. Априорные оценки и регулярность решений квази-
линейных эллиптических уравнений высшего порядка 230
§ 1.	Примеры нерегулярных решений ........................ 231
§ 2.	Г„+Е-оценки производных m-ro порядка обобщенных реше-
ний ...................................................... 234
§ 3.	Априорные оценки обобщенных производных (т + 1)-го
порядка .................................................. 245
§ 4.	Об условиях принадлежности обобщенных решений про-
странству СтД ............................................ 255
§ 5.	Непрерывность обобщенных решений уравнений высшего
порядка .................................................. 263
§ 6.	Частичная регулярность обобщенных решений квазилиней-
ных эллиптических уравнений .............................. 271
§ 7.	Интерполяционные методы получения априорных оценок ...	280
§ 8.	Локальные энергетические оценки вблизи границы и в
неограниченной области ................................... 289
Глава 8. Поведение решений квазилинейных эллиптических
уравнений вблизи границы ................................. 295
§ 1.	Вспомогательные предложения ......................... 295
§ 2.	Необходимое условие регулярности граничной точки....	302
§ 3.	Априорные оценки вспомогательных функций ............ 310
§ 4.	Достаточное условие регулярности граничной точки....	322
§ 5.	Необходимые условия регулярности граничной точки (до-
полнительные результаты) ................................. 329
Глава 9. Нелинейные эллиптические задачи в областях с
мелкозернистой границей .................................. 331
§ 1.	Формулировка условий и результатов .................. 332
§ 2.	Оценки решений и вспомогательных	функций ............ 335
442
ОГЛАВЛЕНИЕ
8 3. Асимптотическое разложение последовательности решений
8 4. Вывод предельного уравнения .........................
§ 5. Дальнейшие результаты ...............................
Глава 10. Усреднение нелинейных задач Дирихле в областях
с каналами ...............................................
11. Формулировка предположений и основных результатов.....
2.	Оценки решения модельной задачи ....................
3.	Асимптотическое разложение последовательности решений
4.	Доказательство теоремы 1.1 .........................
Дополнение к главе 8 .....................................
§ 6. Регулярность граничной точки для квазилинейного эллип-
тического уравнения высшего порядка .....................
343
355
365
371
371
378
404
417
425
425
Список литературы
430