/
Автор: Атабеков Г.И.
Теги: радиотехника электротехника релейная защита переменный ток электрические цепи
Год: 1957
Текст
□МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА
АВИАЦИОННЫЙ. ИНСТИТУТ
ИМ. СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ
Г. И. АТАБЕКОВ
ЛИНЕЙНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
ОБОРОН ГИЗ
1957
МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ СССР
МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА АВИАЦИОННЫЙ ИНСТИТУТ
имени СЕРГО ОРДЖОНИКИДЗЕ
Г. И. АТАБЕКОВ
ЛИНЕЙНЫЕ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ
ЦЕПИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО ОБОРОННОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ
Москва 1957
Scan AAW
Книга посвящена теории линейных электрических цепей постоян-
ного и переменного тока (первой части курса «Теоретические основы
электротехники»). В ней изложены общие методы преобразования
схем и расчета линейных электрических цепей постоянного и сину-
соидального однофазного и трехфазного тока при установившемся
режиме.
Основные положения теории и методы расчета иллюстрированы
типовыми примерами.
Книга рассчитана в основном на студентов радиотехнических и
электромеханических специальностей. Она может также служить
пособием для инженеров и техников, повышающих свой теоретиче-
ский уровень.
Редактор канд. техн, наук В. Н. Истратов
Зав. редакцией инж Е. В. Латынин
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга представляет собой конспект лекций по первой части курса
«Теоретические основы электротехники», читаемого на радиотехни-
ческом и электромеханических факультетах Московского ордена
Ленина авиационного института имени Серго Орджоникидзе. Она
посвящена теории линейных электрических цепей постоянного и си-
нусоидального переменного тока.
В книге приводятся основные понятия, относящиеся к линейным
электрическим цепям, и излагаются общие методы преобразования
схем и расчета линейных электрических цепей постоянного и синусои-
дального однофазного и трехфазного тока при установившемся ре-
жиме.
В последующих разделах курса рассматривается теория двух-
полюсников, четырехполюсников, цепей с распределенными парамет-
рами и нелинейных цепей.
Разделы несинусоидальных токов и переходных процессов вклю-
чены в ранее изданный конспект лекций автора «Гармонический ана-
лиз и операторный метод» (Оборонгиз, 1956 г.).
Курс «Теоретические основы электротехники», читаемый студен-
там радиотехнических специальностей МАИ, содержит теорию цепей.
Теория электромагнитного поля выделена на радиотехническом фа-
культете в отдельную дисциплину.
На электромеханических факультетах МАИ теория электромаг-
нитного поля входит в объем теоретических основ электротехники,
причем по этой части курса к изданию готовится отдельное учебное
пособие.
Материал курса и порядок его изложения выбраны так, что уча-
щийся лишь постепенно переходит к рассмотрению и изучению бо-
лее сложных вопросов теории цепей. При этом автор стремился уде-
лить максимум внимания ясности изложения и сочетанию математи-
ческих выводов с физическими представлениями о самих исследуе-
мых процессах.
Основные положения теории, методы преобразований цепей, тео-
ремы и способы расчета иллюстрированы типовыми примерами, об-
легчающими усвоение слушателями теоретического материала;
объем этих примеров рассчитан на возможность их изложения в
часы лекций.
Особенность преподавания курса «Теоретические основы электро-
техники» студентам авиационных специальностей заключается в том,
3
что этот предмет должен служить фундаментом для последующего
цикла дисциплин по радиотехнике, электроавтоматике и авиационно-
му электрооборудованию. Учащимся прививаются навыки к рассмот-
рению явлений и решению различных электротехнических задач в
широком диапазоне частот с учетом специфики самолетных электро-
систем и устройств постоянного и переменного тока.
Важное место в первой части курса занимает метод расчета элек-
трических цепей с помощью комплексных чисел, лежащий в основе
последующего гармонического анализа и расчета сложных электри-
ческих цепей. Автор стремился избежать отрыва этого метода от пред-
ставлений о реальных (мгновенных) электрических величинах и дей-
ствительных явлениях, происходящих в электрических цепях.
Раздельное прохождение тригонометрической и комплексной
форм записи уравнений, связанное с излишней затратой времени, ве-
дет часто к отрыву комплексного метода от тригонометрического.
Вместе с тем чрезмерно раннее введение метода комплексных ампли-
туд не исключает возможности формального усвоения его учащими-
ся. Во избежание этого в курсе по мере необходимости обращается
внимание читателей на переход от одной формы записи выражений
к другой.
В книге применена, абсолютная практическая система еди-
ниц. При изложении материала учитывались основные сведения о
законах электростатики и магнетизма и системах единиц измерения
электрических и магнитных величин, предварительно приобретенные
слушателями по курсу физики.
В целом объем и содержание книги согласованы с соответствую-
щими разделами программы курса «Теоретические основы электро-
техники», утвержденной в 1954 г. Министерством высшего образова-
ния СССР для различных специальностей, в том числе для радиотех-
нических и электромеханических специальностей машиностроитель-
ных вузов.
При этом имеется в виду, что в зависимости от специфики факуль-
тета и особенностей учебного плана отдельные параграфы книги мо-
гут быть в процессе занятий частично сокращены или полностью опу-
щены (например, параграфы VI.7—VI. 10, не читаемые на радиотех-
ническом факультете).
Автор выражает большую благодарность коллективу кафедры
«Теоретическая электротехника» МАИ за ценные указания, сделан-
ные при просмотре рукописи, а также И. С. Гоноровскому,
А. И. Бертинову и К. Н. Борисову, давшим полезные советы в про-
цессе рецензирования книги.
Автор
Глава I
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА
I. 1. Элементы линейной электрической цепи
постоянного тока
Исследования и расчеты реальных электрических цепей основы-
ваются обычно на некоторой идеализации их элементов. Так, элемен-
там электрической цепи часто приписывается свойство линейно-
с т и, т. е. предполагается, что напряжение и ток в элементе цепи свя-
заны между собой линейным уравнением (уравнением первой сте-
пени). В рабочем диапазоне, на который рассчитывается заданная
электрическая цепь, такое предположение в ряде случаев близко
отражает физическую действительность.
Для облегчения решения задач часто пренебрегают условиями,
при которых реальные элементы цепи теряют свойство линейности
(например, вследствие значительного перегрева), и R
электрическая цепь мыслится линейной независимо от о ?
режима ее работы в неограниченном диапазоне.
Именно такая предпосылка и кладется в основу
рассматриваемых ниже линейных электрических цепей. д
Электрические цепи состоят из активных и пассив-
ных элементов. r?Hr*
Активными элементами являются источ- соппотивле-
ники электрической энергии (гальванические элемен- рние
ты, аккумуляторы, генераторы). В них происходит
процесс преобразования химической, механической или другого
вида энергии в электрическую энергию.
Пассивными элементами электрических цепей постоян-
ного тока являются омические сопротивления проводов и приемни-
ков (нагрузки), в которых совершается необратимый процесс преоб-
разования электрической энергии в тепловую. Условные обозначения
омических сопротивлений, применяемые в литературе, приведены на
фиг. I. 1.
К числу пассивных элементов электрических цепей относятся так-
же индуктивные катушки и конденсаторы, однако при установившем-
ся режиме работы электрической цепи постоянного тока величины на-
пряжений и токов не изменяются с течением времени и в связи с этим
не происходит процессов накапливания или расхода энергии в элек-
5
трическом поле конденсатора и в магнитном поле индуктивной ка-
тушки.
Индуктивная катушка или конденсатор, включенные между каки-
ми-либо двумя зажимами электрической цепи постоянного тока, рав-
носильны при установившемся режиме работы этой цепи замкнутым
или разомкнутым зажимам. Поэтому в главах I, II и III, посвящен-
ных цепям постоянного тока при установившемся режиме, индуктив-
ные катушки и конденсаторы не рассматриваются. Они учитываются
в цепях переменного тока (гл. IV и
далее) и при переходных (неустано-
вившихся) режимах.
Различают два рода источников
электрической энергии: источники на-
пряжения и источники тока.
Источник напряжения
характеризуется величиной электро-
движущей силы (э. д. с.) Е и внут-
ренним сопротивлением R, которые
цринимаются не зависящими от тока,
посылаемого источником во внеш-
нюю цепь. Внутреннее сопротивление
источника напряжения обычно мало по сравнению с последователь-
но соединенным с ним сопротивлением цепи; оно может быть отне-
сено к последней или в некоторых случаях может вовсе не учиты-
ваться (в зависимости от соотношения величин и требуемой точ-
ности расчета).
Примером такого устройства может служить гальванический эле-
мент, аккумулятор или генератор.
Условные обозначения источника напряжения, имеющего вну-
треннее сопротивление R, приведены на фиг. I. 2. Здесь стрелкой или
знаками + и — указано направление возрастания потенциала в ис-
точнике (положительное направление э. д. с. Е).
Источник напряжения, внутреннее сопротивление которого равно
нулю, является источником бесконечной мощности (теоретическое
понятие). Такой источник именуется нами в дальнейшем источ-
ником э. д. с.
В соответствии со сказанным выше и с фиг. I. 2 источник напря-
жения, имеющий внутреннее сопротивление R, может мыслиться в
виде бесконечно мощного источника э. д. с. Е, последовательно с ко-
торым соединено сопротивление R.
Источник тока характеризуется величиной проходящего
через него тока I и внутренней проводимостью G, которые принима-
ются не зависящими от напряжения на зажимах источника. Внутрен-
няя проводимость его может быть отнесена к внешней цепи; в том
случае, когда она мала по сравнению с проводимостью внешней цепи,
она может вовсе не учитываться.
Представляя собой теоретическое понятие, источник тока, как бу-
дет показано ниже (гл. II и III), применяется в ряде случаев для
облегчения расчета электрических цепей.
6
Некоторым подобием источника тока может служить устройство,
состоящее из аккумулятора, соединенного последовательно с большим
сопротивлением. Другим примером источника тока
может являться пятиэлектродная усилительная элек-
тронная лампа (пентод). Имея внутренние сопротив-
ления, несоизмеримо большие, чем сопротивления
внешней цепи, эти устройства отдают ток, почти не
зависящий от изменения нагрузки в широких преде- i
лах и именно в этом отношении они аналогичны
источнику тока.
Источник тока обозначается согласно фиг. 1.3.
Стрелки у источника' тока указывают направление
движения положительных зарядов (положительное Фиг. 1.3. Источ-
направление тока /). ник тока.
I. 2. Схемы электрических цепей
Используя условные обозначения, приведенные на фиг. I. 1—I. 3,
можно для каждого конкретного случая начертить электрическую схе-
му, представляющую графическое изображение электрической цепи.
Она показывает последовательность соединений элементов и прибли-
женно отображает свой-
ства реальной электриче-
ской цепи.
Электрическая схема
может в общем случае со-
держать любое число ак-
тивных и пассивных эле-
ментов. Она состоит из
ветвей и узлов.
Ветвь (фиг. I. 4) об-
разуется одним или не-
сколькими последователь-
но соединенными элементами. При этом под последователь-
ным соединением элементов электрической цепи понимается
такое их соединение, при котором через все эти элементы проходит
один и тот же ток.
В общем случае, если состав ветви не известен, последняя может
изображаться прямоугольником.
Узел — место соединения трех или большего числа ветвей
(фиг. I. 5). Линии, связывающие ветви в схеме, представляют соеди-
нения без сопротивлений. Поэтому, например, схемы а и б (фиг. I. 5)
в электрическом смысле одинаковы: они содержат один узел.
Параллельным соединением элементов электрической
цепи или ветвей электрической схемы называется такое их соедине-
ние, при котором все эти элементы или ветви присоединяются к одной
паре узлов (фиг. I. 6).
Фиг. I. 7 в виде примера иллюстрирует схему электрической цепи,
содержащую 5 ветвей и 3 узла.
7
Любой замкнутый путь, проходящий по нескольким ветвям, назы-
вается контуром. На фиг. I. 7 указан стрелкой один из контуров,
образованных в данной электрической схеме.
Фиг. I. 5. Узел электрической схемы.
В зависимости от числа контуров, имеющихся в схеме, различают
одноконтурные и многоконтурные схемы. Одноконтурная схема яв-
ляется простейшей. Поль-
зуясь правилами преобра-
зования схем (гл. II), в
Ветвь
Узел
Фиг. 1.7. Схема электрической цепи.
узел
Ветвь
Фиг. 1.6. Параллельное соеди-
нение двух ветвей.
ряде случаев представляется возможным заменить многоконтурную
схему одноконтурной, что упрощает расчеты.
I. 3. Законы Ома, Кирхгофа, Ленца—Джоуля
Расчеты электрических цепей базируются на физических законах,
выражающих свойства электрических цепей. К числу основных за-
конов электрических цепей относятся законы Ома, Кирхгофа и Лен-
ца-Джоуля.
Закон Ома
Закон Ома выражает прямую пропорциональность между напря-
жением U на зажимах сопротивления R и током I, идущим через дан-
ное сопротивление:
U=RI. (L 1)
Эту зависимость напряжения от тока графически представляет
линейная вольтамперная характеристика сопро-
8
Фиг. 1.8. Линейная вольтам-
перная характеристика.
тивления (фиг. I. 8). Тангенс угла наклона характеристики к оси абс-
цисс пропорционален tg a=R, где ти и пи — масштабы, в кото-
)пц
рых на фиг. I. 8 отложены напряжения и токи.
Пользуясь величиной проводимости G= —, можно переписать
R
формулу закона Ома в виде:
I=GU. (1.2)
Если через сопротивление R, являющееся участком электрической'
цепи, проходит ток I (фиг. 1.9), то потенциал зажима /, в который
ток входит, выше потенциала зажима
2, из которого ток выходит. Соответ-
ственно, разность потенциалов между
зажимами 1 и 2 (падение напряжения),
взятая по направлению тока (фиг.
1.9,а), выражается формулой (1.1):
U12=RI.
Разность потенциалов, взятая в об-
ратном направлении (фиг. I. 9,6), имеет
противоположный знак: =—U12 —
=—RI.
Порядок расположения индексов,
обозначающих зажимы, отвечает вы-
бранному направлению падения напряжения. Поэтому для уяснения
направления отсчета падения напряжения достаточно руководство-
ваться индексами.
При отсутствии индексов направление отсчета указывается стрел-
кой; на фиг. 1.9 показаны направления, соответствующие принятому
расположению индексов.
Применим закон Ома к участку электрической цепи с активным
элементом.
На фиг. I. 10 показан такой участок цепи с источником напряже-
ния, через который проходит ток I. Определим напряжение на зажи-
мах данного участка.
Потенциал зажима 1 ниже потенциала зажима 2 на величину
э. д. с. Е и, одновременно, выше его на величину падения напряжения
от тока I в сопротивлении R. Следовательно, в конечном итоге напря-
жение на зажимах участка равно:
u12=—£+ri, (1.3)-
откуда
U21=E-RI. (1.4)
Таким образом, разность потенциалов, взятая в направлении от*
зажима 2 к зажиму /, равна э. д. с. Е источника за вычетом падения
напряжения от тока I в сопротивлении R.
Выражение (I. 4) показывает, что при заданной величине тока I
зависимость U—f(R) изображается прямой линией (фиг. I. 11), при-
чем тангенс угла наклона прямой к оси абсцисс пропорционален Г.
tgp=/, где ти и — масштабы, в которых на фиг. I. 11 отложе-
mR
ны напряжения и сопротивления.
Фиг. 1.9. Иллюстрация к за-
кону Ома для участка элек-
трической цепи с пассивным
элементом.
---------- и2<-----------'
Фиг. 1.10. Иллюстрация 'к за-
кону Ома для участка электри-
ческой цепи с источником на-
пряжения.
График фиг. I. 11 построен в предположении, что э. д. с. Е вклю-
чена последовательно с сопротивлением R. При переходе через источ-
ник э. д. с. (по направлению, совпадающему с направлением э. д. с.)
"Фиг. 1.11. Зависимость разности
потенциалов от сопротивления
(при заданном токе)\
потенциал возрастает скачкообразно
на величину Е, затем, при прохожде-
нии через сопротивление R (по на-
правлению тока) убывает прямоли-
нейно на величину падения напря-
жения.
Если рассматривать R как внут-
реннее сопротивление источника на-
пряжения, не вынося его отдельно от
э. д. с. Е, то график изменения по-
тенциала представится в виде пря-
мой линии О А (фиг. I. 11).
Приравняв потенциал какой-либо
тачки замкнутого контура электриче-
ской схемы фиг. I. 12,а произвольно-
му численному значению, например,
нулю, можно построить график распределения потен-
циала вдоль этого контура. Начав обход контура с какого-либо
узла схемы, например, с того, потенциал которого принят за нуль,
и обойдя весь контур, приходим к исходному потенциалу. Такой
График распределения потенциала (потенциальная диаграмма) по-
10
казан в виде примера на схеме фиг. I. 12,6. Следует обратить внима-
ние, что при переходе через источник э. д. с. в направлении, проти-
воположном направлению э. д. с., потенциал снижается.
Фиг. I. 12. График распределения потенциа-
ла вдоль цепи.
На графике I. 12,6 наклон прямых линий одинаков, так как ток во
всех сопротивлениях один и тот же (одноконтурная цепь), В случае
разветвленной цепи, где токи в ветвях различны, наклоны прямых ли-
ний неодинаковы.
Первый закон Кирхгофа.
Алгебраическая сумма токов в узле равна нулю:
£7=0. (1.5)
Суммирование распространяется на токи I в ветвях, сходящихся
в рассматриваемом узле. При этом знаки токов берутся с учетом вы-
бранных положительных направлений токов (указываемых на схеме
стрелками): всем токам, направленным к узлу, в уравнении (1.5)
приписывается одинаковый знак, например, положительный и, соот-
ветственно, все токи, направленные от узла, входят в уравнение (I. 5)
с обратным знаком. Иначе говоря, всякий ток, направленный от узла,
может рассматриваться в качестве тока, направленного к узлу, но
имеющего обратный знак.
Второй закон Кирхгофа.
Алгебраическая сумма э. д. с. в замкнутом контуре равна алгебраи-
ческой сумме падений напряжения на сопротивлениях этого контура:
%E=^RI. (1.6)
Обход контура совершается в произвольно выбираемом направ-
лении, например, по ходу часовой стрелки. При этом знаки э. д. с. Е
и падений напряжения RI, входящих в (1.6), определяются в зави-
симости от выбранного направления обхода, а именно: э. д. с. и па-
11
дения напряжения, совпадающие по направлению с направлением
обхода контура, берутся с положительным знаком, а несовпадаю-
щие — с отрицательным знаком.
Если электрическая цепь содержит р ветвей и q узлов, то по пер-
вому закону Кирхгофа получается q—1 независимых уравнений
(уравнение для последнего узла является следствием предыдущих
q—1 уравнений). По второму закону Кирхгофа получаются р—q--\-l
независимых уравнений1. Всего получается (q—1)—f-(p—^-|-1)=р
уравнений — по числу ветвей.
Для того чтобы уравнения, записываемые по второму закону Кирх-
гофа, были независимыми, достаточно, чтобы каждый последующий
контур отличался от предыдущего хотя бы одной новой ветвью.
Фиг. I. 13. Электрическая цепь
с тремя независимыми конту-
рами.
Применительно к электрической схеме, изображенной на фиг. I. 13,
число ветвей р=б и число узлов q=4.
Соответственно, число уравнений по первому закону Кирхгофа
равно 4—1=3 и по второму закону Кирхгофа.6—4—J-1=3 (число не-
зависимых контуров).
Пример I. 1. В мостовой схеме, представленной на фиг. I. 14, за-
даны все сопротивления и э. д. с. Е. Требуется определить ток 15 в вет-
ви (ток в диагонали мостовой схемы).
Схема содержит 4 узла и 6 ветвей. Следовательно, могут быть со-
ставлены 3 уравнения по первому закону Кирхгофа и 3 уравнения по
второму закону Кирхгофа:
Для узла А: —1±—12-\-1$=0;
для узла В: 12—/3-|-/5=0;
для узла С: 4+Л—Л—0;
для контура ABDA: — RJi + R^ —
для контура BCDB: +А?5/5=0;
для контура А ВСЕ А: /?2Л + ^з/з + ^сЛ = ^-
1 Л. Р. Н е й м а н, П. Л. Калантаров, Теоретические основы электро-
техники, ч. I, ГЭИ, 1954, стр. 118—119. Г. В. 3 е в е к е, П. А. И о н к и н, Основы
электротехники, ч. I, стр. 22—24, ГЭИ, 1955.
12
В полученной системе шести уравнений неизвестными являются
токи в ветвях.
Решая систему уравнений относительно искомого тока /5, находим:
= где
R$ 4- R±) №4-Rs)4-Rs (Ri+^2 + ^3 + ^4)] 4-
4-R1R4 I (Ri 4- Rs) 4" R%Rs (Ri + R±) 4~ Rs (R± 4- R2) (Rs 4~ R4) ] •
Полученное выражение показывает, что ток в диагонали равен
нулю, если выполнено условие RiRs=R2R4 (условие равновесия мо-
стовой схемы).
Закон Ленца — Джоуля
Мощность, необходимая для поддержания тока в сопротивлении,
равна произведению квадрата тока на сопротивление:
P=I2R. (1.7)
С учетом (I. 1) и (I. 2) формула (I. 7) принимает вид:
£=£/ (1.8)
или
P=U2G. (1.9)
I. 4. Баланс мощностей
Рассмотрим простейшую электрическую цепь, состоящую из
э. д. с. Е и сопротивления R (фиг. I. 15). На основании (I. 7) и (I. 8)
мощность, расходуемая в сопротивлении R,
равна
Фиг. 1.15. Простейшая
электрическая цепь.
p=EI=PR.
(I. Ю)
Произведение EI равно мощности источ-
ника э. д. с. Е. Следовательно, формула
(I. 10) показывает, что мощность, развивае-
мая источником, равна мощности, расходуе-
мой в сопротивлении.
Данное положение непосредственно вытекает также и из закона
сохранения энергии, которому, естественно, удовлетворяют законы
Ома, Кирхгофа и Ленца—Джоуля.
В случае неразветвленной одноконтурной электрической цепи с
двумя встречно направленными источниками э. д. с. (фиг. I. 16), при
условии, что E^>E2j имеем:
£1—£2—Ril-\-R2l >
что после умножения обеих частей равенства на I дает:
EJ—E2I=PRi+PR2
или
EJ^PR^Rz+EJ. (I. 11)
13
Левая часть равенства (I. 11) представляет собой мощность, раз-
виваемую источником э. д. с. Е±\ два первых слагаемых правой части
равенства выражают мощности, расходуемые на нагрев в сопротив-
лениях /?1 и наконец, третье слагаемое правой части равенства
представляет мощность, потребляемую источником э. д. с. Е2, по-
скольку проходящий через него ток I направлен навстречу э. д. с. Е2-
При этом, если источником э. д. с. Е2 служит аккумулятор, то мощ-
ность Е21 расходуется на его зарядку. Если источником э. д. с. Е2 слу-
жит генератор, то мощность Е21 расходуется на механическую работу
(генератор работает как двигатель).
Когда э. д. с. и ток в источнике направлены встречно, как это, в ча-
стности, имеет место во втором источнике фиг. I. 16, то падение на-
Фиг. I. 16. Нёразветвлен-
ная (одноконтурная)
электрическая цепь с
двумя источниками 'на-
пряжений.
пряжения от тока во внутреннем сопротив-
лении источника прибавляется к э. д. с. ис-
точника, в результате чего напряжение на
его зажимах по абсолютной величине воз-
растает по сравнению с э. д. с. Приняв в
рассматриваемом случае положительное на-
правление напряжения на зажимах источни-
ка совпадающим с положительным направ-
лением тока, находим на основании (I. 3)
u=e2+r2i.
В общем случае разветвленной многокон-
турной электрической цепи в соответствии с
законом сохранения энергии сумма мощно-
стей источников э. д. с. равна сумме мощно-
стей, расходуемых в сопротивлениях, причем знаки мощностей источ-
ников определяются по указанному выше правилу: мощность поло-
жительна при совпадении направлений э. д. с. и тока, проходящего
через источник, и отрицательна при встречном направлении э. д. с.
и тока.
I. 5. Условие передачи источником максимума мощности
приемнику
При питании нагрузки источником напряжения на практике часто
возникает необходимость подбора величины сопротивления R на-
грузки таким образом, чтобы мощность, отдаваемая источником на-
грузке, была максимальна.
Обозначим в соответствии с фиг. I. 17 э. д. с. источника через Е и
его внутреннее сопротивление через Rq.
Ток в рассматриваемой цепи
/=—-—,
R.+R
а мощность, потребляемая нагрузкой, в соответствии с (I. 7)
(1.12)
14
При заданной величине внутреннего сопротивления /?0 источника
напряжения условием передачи максимума мощности источником
приемнику служит уравнение:
-^-=0. (1.13>
и£\
С учетом (I. 12) уравнение (I. 13) принимает вид:
Приравняв нулю выражение в квадратных
скобках, находим:
2/?=0,
откуда
Я=Яо. (I. 14)
Таким образом, передача максимума мощ-
ности источником приемнику возможна при ра-
венстве сопротивления приемника и внутренне-
го сопротивления источника.
Условие передачи максимума мощности не
совпадает с условием максимума коэффициента
полезного действия источника1. При соблюдении равенства (I. 14)
потребляемая наррузкой мощность определяется из выражения
Фиг. 1.17. Передача
мощности источником
приемнику.
Р =_^. (1.15>
шах 4/?о К /
£
При этом ток в цепи равен /=------ и, следовательно, мощ-
2/?о
ность, вырабатываемая источником,
Р0 = Е/=^-. (1.16)
Из сопоставления (I. 15) и (I. 16) видно, что нагрузка потребляет
половину мощности источника; вторая половина мощности источника
расходуется в его внутреннем сопротивлении. Это является естествен-
ным следствием равенства (I. 14).
Таким образом, коэффициент полезного действия источника при
максимальной отдаче мощности составляет т\=0,5.
По мере увеличения сопротивления нагрузки мощность, потреб-
ляемая ею, снижается; при /?=оо, что соответствует случаю разомкну-
той цепи, мощность обращается в нуль.
Коэффициент же полезного действия источника
Р Р
7) =--=--------
PQ /?о+Я
(I. 17)
возрастает с увеличением сопротивления приемника в связи с тем, что
доля мощности, расходуемая во внутреннем сопротивлении источни-
1 Под коэффициентом полезного действия источника понимается отношение
мощности, потребляемой нагрузкой, к мощности, вырабатываемой источником.
15*
на, становится меньше доли мощности, отдаваемой приемнику. По
.мере того как сопротивление нагрузки стремится к бесконечности,
.коэффициент полезного действия источника стремится к единице,
Р I R
На фиг. 1.18 показаны зависимости -------, т] и-----от — .
Ртах I max Rq
Иллюстрацией к сказанному выше может служить график на
4>иг. I. 19. Здесь мощность источника (Ро), мощность, расходуемая
ратора в зависимости от режима ра-
боты.
РМ
Фиг. 1.19. Зависимости мощностей источ-
ника (Ро), приемника (Р) и потерь (Рп)
от тока.
на потери в сопротивлении источника (Рп), и полезная мощность
приемника (Р), приключенного к зажимам источника, изображены
в функции от тока.
Кривые построены по уравнениям:
P=PQ-Pn=EI-RQP.
.Максимальное значение тока получается при коротком замыка-
нии на зажимах источника. В этом случае полезная мощность Р рав-
на нулю и вся мощность источника расходуется на потери; коэффи-
циент полезного действия равен при этом нулю.
При токе 7=0,5 /щах, что соответствует условию 7?=7?О, мощность
приемника максимальна и равна мощности, расходуемой на потери:
Р=Рп=0,5 Ро; соответственно, т]=0,5.
По мере дальнейшего уменьшения тока, т. е. с возрастанием со-
противления R, мощность потерь убывает и мощность приемника
приближается к мощности источника. Коэффициент полезного дей-
ствия стремится при этом к единице.
В устройствах автоматики и связи, расходующих малые мощно-
сти, обычно преследуется условие отдачи максимума мощности источ-
ником приемнику; низкий коэффициент полезного действия источника
не имеет в этом случае существенного значения.
В энергетических же системах, генерирующих и потребляющих
•большие мощности, стремятся к получению высоких коэффициёнтов
полезного действия генераторов; поэтому сопротивления нагрузок
значительно превышают сопротивления генераторов.
Глава II
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СХЕМ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ ПОСТОЯННОГО ТОКА
II. 1. Преобразование схемы со смешанным соединением
сопротивлений
При расчете электрических цепей часто возникает необходимость
преобразования схем этих цепей в более простые и удобные для рас-
чета. Так, например, при одном или нескольких источниках электро-
энергии в ряде случаев удается преобразовать электрическую схему
в одноконтурную или в схему с двумя узлами, что весьма упрощает
нахождение искомых величин.
Одним из основных видов преобразования электрических схем,
часто применяемых на практике, является преобразование схемы со
смешанным соединением сопротивлений.
Смешанное соединение сопротивлений электрической
цепи представляет собой сочетание последовательного и параллель-
ного соединений сопротивлений.
Электрические схемы, имеющие смешанное соединение сопротив-
лений, могут быть преобразованы в более простую электрическую
схему путем замены параллельных ветвей одной ветвью и, соответ-
ственно, последовательно соединенных элементов цепи — одним эле-
ментом.
При этом следует руководствоваться правилами:
1) сопротивление цепи, состоящей из последовательно соединен-
ных сопротивлений, равно сумме всех этих сопротивлений;
2) проводимость цепи, состоящей из параллельно соединенных со-
противлений, равна сумме проводимостей всех параллельных ветвей.
Первое правило вытекает из условия равенства токов в сопротив-
лениях — Rn, соединенных последовательно, вследствие
чего напряжение, подведенное к цепи с последовательным сопротив-
лением, равно:
U=RiI -\-R%I-}-"*-YRnI— (R±~]~R2~{~*'t~\~Rn) I=RI f
откуда
n
(П.1)
2 Г. И. Атабеков
17
Второе правило вытекает из условия равенства напряжений на
зажимах ветвей, соединенных параллельно; если через Glt G2,... Gn
обозначить проводимости этих ветвей, то суммарный ток всех ветвей
определится по формуле:
7=G1t/4-,G2t7+...+Gnt/= (GJ+G2+-..+G,) U=GU,
откуда
п
G = SGft. (II. 2)
fe=i
Применим эти правила к преобразованию схемы со смешанным
соединением сопротивлений в одноконтурную схему. Рассмотрим в
качестве примера схему фиг. II. 1.
Фиг. II. 1. Преобразование схемы со смешанным соединением сопро-
тивлений.
Параллельно соединенные сопротивления /?2 и /?3 (фиг. II. 1,а)
заменяются эквивалентным сопротивлением /?4 (фиг. II. 1,6), причем .
в соответствии с уравнением (II. 2):
== G4= G2 + G3 =
1
Rt
— или
^з
R2R3
В свою очередь, последовательно соединенные сопротивления Ri
и /?4 (фиг. II. 1,6) заменяются эквивалентным сопротивлением R3
(фиг. II. 1,в), причем в.соответствии с уравнением (II. 1)
Зная напряжение U на зажимах всей цепи и суммарное сопротив-
ление цепи, можно найти суммарный ток Л в цепи:
г и и
Этот ток распределяется по параллельным ветвям прямо пропор-
ционально их проводимостям или, что то же, обратно пропорциональ-
но их сопротивлениям: через сопротивление /?2 проходит ток
J __ [ ^2 __ J R3 U R3
а через сопротивление /?3 — ток
у __у @3 _ у R% ______~_____UR2_______
3“ 1 G2+G3 ~ 1 7?2+7?з ~~ R^+RtRs+Rifiz ‘
18
II. 2. Преобразование звезды сопротивлений
в эквивалентный многоугольник
В процессе расчета электрических цепей иногда встречается не-
обходимость преобразования части цепи, соединенной по схеме звез-
ды, в эквивалентную цепь, соединенную многоугольником, с сохране-
нием неизменными токов и напряжений в остальных частях цепи.
Фиг. II. 2. Преобразование п-лучевой звезды в
п-угольник.
На фиг. II. 2 представлены эквивалентные n-лучевая звезда и
п-угольник сопротивлений, при условии, что сопротивления ветвей
n-угольника удовлетворяют условию:
(п.з)
*=.1Rk
или, что то же,
о», = 0.0,—^------ (II. 4)
При этом эквивалентность цепей, соединенных n-лучевой звездой
и n-угольником, понимается в том смысле, что при одинаковых потен-
циалах одноименных зажимов токи, входящие в одноименные зажи-
мы, одинаковы. Это равносильно тому, что мощности, расходуемые в
этих цепях, одинаковы.
Формула (II. 4) показывает, что проводимости сторон и диагона-
лей многоугольника равны произведениям проводимостей лучей звез-
ды, примыкающим к тем же зажимам, деленным на сумму проводи-
мостей всех лучей.
Для доказательства этого обозначим напряжения узлов звезды
относительно некоторой базисной точки, выбираемой вне схемы, че-
рез t70, Ult U2)... Un и соответственно токи, входящие во внешние
узлы (зажимы) звезды,— через Л, /2, ...
Тогда
Zi=Git/iQ; Z2=^2^2o, •••; In=GnUя0, (IL 5)
где
U2«=U2-U«,UnQ=Un-UQl
2*
19
— напряжения между внешними и внутренним узлами звезды;
Оь 02,...
— проводимости лучей звезды.
На основании первого закона Кирхгофа
или
откуда
/14~^2_|_“*~|_^п|==0
01 С7ю-|- Ggt/go-]——|- Gn UnQ=0,
_ G1G’1 + G2Z72 + • • • + GnGn
G1+O2+ . . • + Gn
(II. 6)
Подстановка (II. 6) в (II. 5) дает:
/1 = —-------[О1О2^712 + О1О3СА13+ . . . +GiG„£/i„];
s Ok
k=\
h — —7-------[020it/2i + G^GJJ23 + • • • + 2n];
(II. 7).
л=—т------[O„Gif/„1 + G„O2i/n2+ . . . +G„Cn_iL/n(n_i)].
S Gk
*=i
Здесь t/i2, C/13, — напряжения между узлами 1—2, 1—3 и т. д.
Переходим теперь к схеме многоугольника. Токи, входящие в
узлы многоугольника, связаны с напряжениями между узлами фор-
мулами:
4 = Gi2C/12-|-Gi3t/13+ . . . -|-01яС/1Я;
4— O2iC/2iО23С/23 + • • • +^2п^2л>
(П.8)
Z„ — OniUni + GnJJn%-\- . . . 4-Оя(П_1)С/л(л-1).
Уравнения (II. 7) и (II. 8) совпадают при соблюдении условия
(II. 4), т. е. в этом случае схемы звезды и многоугольника эквива-
лентны.
Для частного случая трехлучевой звезды (п=3) формулы сопро-
тивлений эквивалентного треугольника (фиг. II. 3) на основании
(II. 3) и (II. 4) имеют вид:
Я12 = ^, Я28 = -^Ч = (П.9)
где
20
или
Пример II. 1. Определить ток I в схеме фиг. II. 4.
Первоначально трехлучевая звезда сопротивлений (фиг. II. 4,а)
преобразуется в треугольник сопротивлений (фиг. II. 4,6). При этом
получаются два треугольника, стороны которых соединены парал-
лельно.
Фиг. II. 4. Иллюстрация к примеру II. 1.
Замена параллельных ветвей эквивалентными сопротивлениями
приводит к схеме фиг. II. 4,в, из которой в конечном итоге получает-
ся одноконтурная схема фиг. II. 4,г. Искомый ток равен
1=4: — =3 а
3
21
II. 3. Преобразование многоугольника сопротивлений
в эквивалентную звезду
Задача преобразования многоугольника в* эквивалентную /г-лу,че-
вую звезду разрешима при /г=3 при любых величинах проводимостей
многоугольника, а при /г>3 — только при определенных соотноше-
ниях между указанными величинами Ч
Формулы преобразования треугольника в эквивалентную трехлу-
чевую звезду (п=3) легко выводятся на основании (II. 9) и (II. 10)
(обозначения те же, что и в схемах фиг. II. 3):
+ /?17?2+/?г/?8''₽з/?1 = R1R*R3 , (И. 12)
R R2
(ПЛЗ)
Деление (II. 13) на (II. 12) дает:
/?2=------. (II. 14)
Я^ + Язз + Яз!
Круговой заменой индексов получаются остальные расчетные вы-
ражения:
Ц Яз1Я12 ,
Я12+Я2з+Яз1
Я23Я31
(11.15)
(11.16)
/?3
Я12 + я2з+Я31
Следовательно, сопротивления лучей равны произведениям сопро-
тивлений прилегающих сторон треугольника, деленным на сумму со-
противлений трех сторон.
Пример II. 2. Пользуясь формулами преобразования треугольни-
ка в звезду, определить ток в диагонали мостовой схемы фиг. I. 14,
заданной в примере I. 1.
Преобразуем треугольник ABD (см. фиг. I. 14) в эквивалентную
трехлучевую звезду с сопротивлениями /?7, (фиг. II. 5). На ос-
новании формул (II. 14—II. 16)
п __ R1R2. П Я2/?5 . г,
Я1+Я2+Я5 Я1+Я2+Я5 Я14-Я24-Яб
Суммарное сопротивление всей цепи
п__п । п । Л+Яз) (Я4+Я9)
+“R1+R1+R1+R9
ЯЛ
ЯЛ
Суммарный ток
Е
R
1 Э. В. 3 е л я х, Основы общей теории линейных электрических схем, АН
СССР, 1951, стр. 90—92.
22
Токи /3 и /4 обратно пропорциональны сопротивлениям
т. е.
#4 4-#9 . / = /^з + ^8
+ + 4 /?з + ^4+^в + ^9
Фиг. II. 5. Иллюстрация к примеру II. 2.
Напряжение между точками D и В равно разности падений напряже-
ния от токов /4 и /3 в сопротивлениях Т?4 и 7?3. Поэтому искомый ток
в диагонали
т #4^4— #з'з
5 я5
Подстановка величин, входящих в это выражение, приводит к резуль-
тату, полученному в примере I. 1.
II.4. Преобразование схем с источниками
Рассмотрим преобразование звезды в эквивалентный многоуголь-
ник и обратно при наличии в лучах звезды и, соответственно, в сто-
ронах многоугольника источников напряжения.
На фиг. II. 6,а изображена п-лучевая звезда с источниками напря-
жения в лучах. Пользуясь формулами, приведенными в разделе II. 2,
преобразуем первоначально n-лучевую звезду сопротивлений в
n-угольник. Затем включим в ветви, сходящиеся в каждом из узлов
м-угольника, э. д. с. Ei (/ — номер узла), направленные от узла, если
э. д. с. Ei в луче звезды направлена к узлу (фиг. II. 6,6). В резуль-
тате этого токи и напряжения в схеме не изменятся, а э. д. с. Ei на
зажимах n-угольника скомпенсируется, и схема представится в виде
фиг. II. 6,в. Анализ показывает, что полученное преобразование п-лу-
чевой звезды с источниками напряжения в n-угольник не является
.единственным
1 Г. М. А й н г о р н, Преобразование звезды э. д. с. в эквивалентный треуголь-
ник, «Электричество», № 3, 1937.
23
Обратную задачу — преобразование многоугольника с источника-
ми напряжения в эквивалентную звезду — рассмотрим ниже в слу-
чае л=3 (фиг. II. 7).
Поскольку эквивалентность треугольника и звезды должна иметь
место при любых значениях э. д. с. треугольника, в том числе и при
э. д. с., равных нулю, находим на основании (II. 14—II. 16) сопротив-
ления ветвей звезды.
Фиг. II. 6. Преобразование n-лучевой звезды с источниками на-
пряжения в п-угольник.
Далее, полагая зажимы 1,2 ъЗ в обеих схемах фиг. II. 7 разомкну-
тыми, приравниваем напряжения между одноименными парами за-
жимов:
Е^ — ^2 = ^12 — ^12^»
Е% Е3 = £*23 ^?23^>
—Ex = E3i R31I.
Здесь I — ток в ветвях треугольника.
J ^12 + ^23+^31
^12+^23+^31
(11.17)
(П.18)
24
В полученной системе уравнений, содержащих три неизвестные
э. д. с. (Elt Е2 и Е3), только два уравнения являются независимыми.
Следовательно, задача преобразования треугольника с источниками
пряжения в звезду.
напряжения в эквивалентную звезду допускает бесчисленное множе-
ство решений. В частности, одна из искомых э. д. с. может быть при-
нята равной нулю.
II. 5. Замена источника напряжения источником тока
Два разнородных источника электроэнергии — источник напря-
жения и источник тока — считаются эквивалентными, если
при замене одного источника другим токи и напряжения во внешней
R Л Л
а) о)
Фиг. II. 8. Эквивалентные источники напряжения
и тока.
электрической цепи, с которой эти источники соединяются, остаются
неизменными.
На фиг. II. 8 изображены эквивалентные источники напряжения
и тока, посылающие во внешнюю цепь ток Л и поддерживающие на
своих зажимах одинаковое напряжение U.
Условием эквивалентности источников, именуемым в дальнейшем
правилом об эквивалентных источниках напря-
жения и тока, служит следующее соотношение между э. д. с. Е и
током I источников:
E=RI. (II. 19)
где R — внутреннее сопротивление как источника напряжения, так и
источника тока.
2S
Действительно, напряжение на зажимах источника напряжения
получается в результате вычитания из э. д. с. .Е величины падения на-
пряжения от тока Л в сопротивлении R источника (фиг. II. 8,а).
Соответственно, напряжение на зажимах источника тока при за-
данной величине тока /ь посылаемого во внешнюю цепь, равно паде-
нию напряжения от тока /—Л в сопротивлении R источника
(фиг. II. 8,6).
При одном и том же сопротивлении внешней цепи в обоих слу-
чаях напряжения на зажимах источников равны:
E-RIi=R (/-Л) =RI-RI1,
т. е. получается условие (II. 19).
Следует заметить, что потери мощности во внутренних сопротив-
лениях эквивалентных источников напряжения и тока неодинаковы.
В первом случае в источнике расходуется мощность 7?/х2, во втором
случае R(I—Л)2. Например, при отсоединении источников от внеш-
ней цепи (Л=0) в первом случае потери мощности в источнике обра-
щаются в нуль, а во втором случае они составляют RI2.
Поэтому эквивалентность источников следует понимать только в
смысле неизменности токов, напряжений и мощности во внешней элек-
трической цепи, присоединяемой к источникам.
В случае сложных электрических цепей замена источника напря-
жения эквивалентным источником тока или обратно может иногда
существенно упрощать расчеты. Кроме того, замена одного источника
другим может в ряде случаев представлять удобства при эксперимен-
тальном исследовании электротехнических устройств на расчетных
моделях.
Применим правило об эквивалентных источниках напряжения и
тока к преобразованию схемы с параллельным соединением п вет-
вей, содержащих источники напряжения (фиг. II. 9,а).
Заменяя заданные источники напряжения-источниками тока, по-
лучаем схему фиг. II. 9,6. Источники тока в совокупности образуют
один эквивалентный источник тока I (фиг. II. 9,в), причем
п
/=4+4+ . . . +/„=А+А+ . . . + |д = уВД. (П.20)
k—\
Пользуясь соотношением (II. 19), можно в конечном итоге перей-
ти от схемы фиг. II. 9,в к схеме фиг. II. 9,г, являющейся эквивален-
том исходной схемы фиг. II. 9,а. Здесь
S EkGk
Е=—п---------’ (И. 21)
S О*
£=•1
i G. С'-22)
Д’—1
26
Таким образом, п параллельных ветвей с источниками напряже-
ния, включенных между двумя узлами, могут быть заменены одним
источником тока (фиг. II. 9,в) или источником напряжения
(фиг. II. 9,г).
Ток в ветви с сопротивлением Rn^i =------- равен:
Л+1
_£n±i_
М-1
s Gk
k=l
(11.23)
Напряжение между двумя узлами находится по формуле:
£=1
-----
М-1
2 Gk 2 Gk
(11.24)
Формулы (II. 20) — (II. 24) широко применяются на практике для
расчета электрических схем с двумя узлами, а также для расчета
блоее сложных схем, приводящихся к двум узлам.
R
Фиг. II. 9. Преобразование параллельного соединения ветвей с
источниками напряжения.
Е
Если внутреннее сопротивление источника напряжения равно
нулю, то непосредственное применение формулы (II. 19) для нахож-
дения эквивалентного источника тока по заданной величине э. д. с.
не представляется возможным. В таких случаях сопротивление внеш-
ней цепи, включенной последовательно с э. д. с., должно рассматри-
ваться в качестве внутреннего сопротивления источника, что позво-
ляет определить искомый ток источника по заданной э. д. с., исходя
из условия (II. 19).
27
Аналогичное препятствие в отношении непосредственного исполь-
зования формулы (II. 19) возникает также в случае преобразования
заданного источника тока в источник напряжения, если внутреннее
сопротивление источника тока равно бесконечности, как это, напри-
мер, имеет место в схеме фиг. II. 10,а.
В таком случае может быть применен искусственный прием пре-
образования схемы фиг. II. 10,а в схему фиг. II. 10,6, распределение
Фиг. II. 10. Преобразование источника тока в источник напря-
жения.
токов и напряжений в которой не отличается от заданного, посколь-
ку на участке тп ток равен нулю. Если, далее, считать и Т?2 за
внутренние сопротивления обоих источников тока, то на основании
(II. 19) получится схема фиг. II. 10,в, содержащая два источника на-
пряжения. К этой схеме может быть применена формула (II. 21) или
(II. 24), в числитель которой э. д. с. Ei и Е2 войдут с разными зна-
ками.
Глава III
МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
ПОСТОЯННОГО ТОКА
III. 1. Метод контурных токов
Метод контурных токов заключается в том, что взамен токов в
ветвях определяются на основании второго закона Кирхгофа так на-
зываемые контурные токи, положительные направления кото-
рых задаются произвольно. Поскольку контурные токи мыслятся зам-
кнутыми, необходимость записи уравнений по первому закону Кирх-
гофа в этом случае отпадает.
На фиг. III. 1 в виде примера показана двухконтурная электриче-
ская цепь, в которой искомыми являются контурные токи 1± и /2, со-
ответствующие контурам 1 и 2.
Токи в сопротивлениях и /?2
равны соответствующим кон-
турным токам, а ток в сопротив-
лении Я3, являющемся общим
для обоих контуров, равен раз-
ности контурных токов /1 и /2,
поскольку эти токи направлены
в ветви /?3 встречно х. При этом,
Фиг. III. 1. Применение метода контур-
ных токов.
если положительное направле-
ние искомого тока в ветви /?3
принять совпадающим с направлением контурного тока /1, то ток в
ветви будет равен Л—/2. Если же положительное направление иско-
мого тока ветви /?3 выбрать совпадающим с направлением контур-
ного тока /2, то он будет равен /2—Л.
Число уравнений, записываемых для контурных токов по второ-
му закону Кирхгофа, равно числу независимых контуров, т. е. для
электрической цепи с числом узлов q и числом ветвей р задача на-
хождения контурных токов сведется к решению системы р—^+1
уравнений. Применительно к схеме фиг. III. 1 ^=2, р=3, следователь-
но, число уравнений равно 3—2+1=2 (по числу независимых кон-
туров) .
1 Следует заметить, что если положительное направление одного из контур-
ных токов (А или /2) изменить на обратное, то ток в ветви будет равен сумме
этих токов.
29
Условимся сумму сопротивлений, входящих в контур, называть
собственным сопротивлением контура, а сопротивление,
принадлежащее одновременно двум контурам, общим сопро-
тивлением этих контуров.
Если направление обхода каждого контура принять совпадающим
с выбранным положительным направлением контурного тока, то при
составлении уравнений по второму закону Кирхгофа падение напря-
жения от данного контурного тока в собственном сопротивлении кон-
тура следует брать со знаком плюс. Падение напряжения от тока
смежного контура в сопротивлении, являющемся общим для двух
смежных контуров, следует брать со знаком минус, если контурные
токи в этом сопротивлении направлены встречно, как это, например,
имеет место в схеме фиг. III. 1, где направление обоих контурных то-
ков выбрано по ходу часовой стрелки. Применительно к схеме
фиг. III. 1 собственное сопротивление контура 1 равно /?1—|—/?з; сопро-
тивление /?3, принадлежащее одновременно двум контурам, является
общим сопротивлением контуров 1 и 2. При принятом в схеме
фиг. III. 1 положительном направлении контурных токов общему со-
противлению приписывается знак минус.
Если заданная электрическая схема содержит п независимых кон-
туров, то на основании второго закона Кирхгофа получается система
из п уравнений:
— ^?и4 + Л124+ • • • +
^2 — + • • • +^2//л
(HI.1)
+ • • • +RnJn
Здесь Ei — контурная э. д. с. в контуре i, т. е. алгебраическая
сумма э. д. с., имеющихся в данном контуре; э. д. с., совпадающие по
направлению с направлением обхода, берутся со знаком плюс, а на-
правленные встречно — со знаком минус; Ru — собственное сопро-
тивление контура Z; Rik — общее сопротивление контуров i и k.
В соответствии со сказанным ранее собственное сопротивление Ra
положительно, когда направление обхода контура совпадает с вы-
бранным положительным направлением тока Ц. Общее сопротивле-
ние Rik представляет собой алгебраическую величину: она берется со
знаком минус, когда направление обхода контура I не совпадает с
выбранным положительным направлением тока Л.
Решение уравнений (III. 1) относительно искомых контурных то-
ков может быть найдено с помощью определителей:
£V?12 • • • Rln
E^RzZ • • • /?2/г
(Ш.2)
EnRn2 . . . Rnn
30
/?21^2 • • • ^2п
(III. 2)
Rn\^n • • • Rnn
и т. д.,
где определитель системы
Д =
• • • Rin
R21R& • • • Rbn
(in. з>
RniRn^ • • • Rnn
Согласно правилу разложения определителей по элементам столб-
ца определитель равен сумме произведений элементов столбца на их
алгебраические дополнения:
1^Е^+Е^+ . . . +Еп_±±
h=E^+E^+ . . . ад-^-
/„ = £,-^-+£2^+ . . . +£„-^
(III. 4)
Здесь Дл— алгебраическое дополнение элемента определи-
теля (III. 3), т. е. его минор со знаком (—1)‘+*.
Сокращенно система уравнений (III. 4) записывается в виде
1_
Д
k
(III. 5>
Первый индекс алгебраического дополнения (*), обозначающий номер
строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует номе-
ру контура, контурная э. д. с. которого умножается на данное алге-
браическое дополнение. Второй индекс (&), обозначающий номер
столбца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует но-
меру контура, для которого вычисляется контурный ток.
Электрические цепи могут быть планарными или н е п ла-
па р н ы м и.
Планарная электрическая цепь может быть вычер-
чена на плоскости в виде схемы с неперекрещивающимися ветвями.
В некоторых случаях пересечение ветвей в электрической схеме, яв-
ляющееся результатом принятого способа начертания схемы, устра-
няется при другом способе изображения данной планарной электри-
ческой цепи, как это, например, представлено на фиг. III. 2.
31
Электрическая цепь, приведенная на фиг. III. 2,а, планарна, так
как имеющееся пересечение ветвей устранимо в соответствии с
фиг. III. 2,6.
Непланарная электрическая цепь не может быть
вычерчена на плоскости в виде схемы с неперекрещивающимися вет-
вями. Примером такой электрической цепи служит приведенная на
фиг. III. 3 непланарная цепь, пересечение ветвей в которой не может
быть устранено.
Если направление контурных токов во всех контурах планарной
электрической цепи одинаково, например, совпадает ,с ходом часо-
вой стрелки, то общие сопротивления смежных контуров, входящие
в систему уравнений (III. 1), отрица-
тельны, так как контурные токи смеж-
ных контуров направлены в общих вет-
вях встречно.
Фиг. III. 2. Планарная электрическая цепь. Фиг. III. 3. Непланарная элек-
трическая цепь.
Такое направление контурных токов принимается во всех конту-
рах, кроме внешнего контура, охватывающего всю схему. В послед-
нем контурный ток направляется против часовой стрелки (см., напри-
мер, фиг. III. 4).
В случае непланарной электрической цепи не представляется воз-
можным иметь в общих ветвях только разности контурных токов, как
это, например, видно из схемы фиг. III. 3. Положим, что контурные
токи Л (в контуре 12361) и /2 (в контуре 16341) направлены по ходу
часовой стрелки. Если контурный ток /3 в контуре 12561 направить
по ходу часовой стрелки, то он сложится с током Л в ветвях 1—2
и 1—6. Если же направить ток /3 против часовой стрелки, то он сло-
жится с током 12 в ветви 1—6. Таким образом, в случае непланарной
электрической цепи не все общие сопротивления смежных контуров
имеют одинаковый знак.
Пример III. 1. Пользуясь методом контурных токов, определить
токи в схеме фиг. III. 1.
Задача сводится к совместному решению двух уравнений, записан-
ных по второму закону Кирхгофа:
£1= (/?1+^з) 1—Rsl 2,
--Е2= (/?2“W?s) ^2 1.
32
Определитель системы
—R3
R3 ^2 4" /?3
— G?i 4" /?3) (^?2 + ^?з) Rs — R1R2.4“ R1R3 4“ R2R3
| ^3
(/?2+Z?3)£i-/?3£2 .
+ ^1^3 + &2&3
Я1 + Я3 Е\ |
J —^3 —^2 1 — (/?1+/?з) +
Д /?l/?2~h^?1^3~b ^2^?3
Ток в сопротивлении /?3
I I E\R2 + R\E2
"Ь ^2^3 "Ь
Фиг. III. 4. Иллюстрация к примеру III. 2
(мостовая схема).
Пример III. 2. Пользуясь методом контурных токов, определить
ток в диагонали мостовой схе-
мы фиг. III. 4.
Выбранные положительные
направления контурных токов
Л, /2, h указаны на схеме стрел-
ками. Чи£ло уравнений, записы-
ваемых по второму закону
Кирхгофа, равно трем (по чи-
слу независимых контуров):
(Ri 4“ /?2 + RbVi ~ R^2 — RJ3 = 0;
—^бЛ 4-(/?з 4-4-^?з) 4 ~
R3Iз=
—R&I 1—R312 4“ (R2 4“ R3 4-
4-/?б) 4= —
Решение полученной системы уравнений относительно контурных то-
ков Л и 12 дает:
а = —f - [ад5+/?2 (/?3ад+/?5)]
Л
4 = —~ [адв+R3 (/?!+#2+яв) L
Л
где К имеет то же значение, что и в примере I. 1.
Искомый ток в диагонали мостовой схемы равен разности кон-
турных токов /2 и Л:
4 = /2-/1=-^(ад4-ад3),
А
что совпадает с полученным в примере I. 1 ответом.
Следует заметить, что если в заданной схеме контуры выбрать
так, чтобы через ветвь R& проходил только один контурный ток, то
3 Г. И. Атабеков 33
искомый ток в ветви R& будет равен именно этому контурному току,
т. е. задача сведется к нахождению только одного контурного тока
(вместо двух).
Фиг. III. 5. Электрическая схема с за-
данными источниками тока.
III. 2. Метод узловых напряжений
Метод узловых напряжений заключается в том, что на основании
первого закона Кирхгофа определяются напряжения узлов электриче-
ской схемы относительно некоторого базисного узла. Эти иско-
мые напряжения именуются в дальнейшем узловыми напря-
жениями, причем за положительное направление их принимается
направление от узлов к базисному узлу. Напряжение на зажимах ка^-
кой-либо ветви равно, очевидно,
разности узловых напряжений
узлов данной ветви, произведем
ние же этого напряжения на
проводимость данной ветви
равно току в этой, ветви. Таким
образом, зная узловые напря-
жения в электрической цепи,
можно найти токи в ветвях.
Если принять потенциал ба-
зисного узла равным нулю, то
напряжения между остальными
узлами и базисным узлом будут
равны потенциалам этих узлов. Поэтому данный метод именуется,
также методом узловых потенциалов.
На фиг. III. 5 в виде примера изображена электрическая схема с
двумя источниками тока, имеющая три узла 1, 2 и 3. Выберем в дан-
ной схеме в качестве базиса узел 3 и обозначим узловые напряжения
узлов 1 и 2 через и U2. Согласно принятым на фиг. III. 5 обозначе-
ниям проводимости ветвей равны соответственно 0^=—, G,= —,
G3= —
R» *
Для заданной электрической схемы с тремя узлами могут быть
записаны два уравнения по первому закону Кирхгофа, а
для узла 1:
—U3) = (Gi-J-Gj) U i—G3Uz;
для узла 2:
Iz==G3U3-\-G3(lJ3—U i) =—(Ог4~^з)
именно:
(III. 6)
(Ш.7)
Величина Gi4-G3, представляющая сумму проводимостей ветвей,
сходящихся в узле 1, называется собственной проводимо-
стью у з л а / ; G3 — общая проводимость узлов / и 2;
имеет отрицательный знак в связи с принятым направлением узло-
вых напряжений.
34
В уравнениях (III. 6) и (III. 7) заданными являются токи /х и /2 и
проводимости ветвей, а искомыми — узловые напряжения и U2,
которые находятся совместным решением.
В общем случае, если электрическая схема содержит q узлов, то
на основании первого закона Кирхгофа получается система из q—1
уравнений (узел q принят за базисный):
Л — G1147i 4“ G12^72 4“ • • • 4“ 1)^—1 5
72~^21471 + С?22^2 4" • • • 4" ;
(III. 8)
Iq—1—G(/7~1) 1 47j. 4“ G(<7~1) 2G2 4“ • • • 4~ G(tf-l)(tf-l) 47^—1.
Ток, подходящий к узлу, берется со знаком плюс, а отходящий от
узла — cq знаком минус.
Ga — собственная проводимость всех ветвей, сходящихся в дан-
ном узле; Gilc — общая проводимость узлов k и Z, являющаяся отри-
цательной при выбранном направлении всех узловых напряжений к
базису, независимо от того, является ли данная электрическая цепь
планарной или непланарной.
Решив систему уравнений (III. 8) при помощи определителей, по-
лучим формулу для напряжения &-го узла относительно базиса:
1 q~-
(ПЕ9)
Z=1
где А — определитель вида:
Gn Gi2 .............gi(<7—1)
А О21 G22 ..........G2(^—1) (III. 10)
G(tf—1)1G(<7—1)2 • • • G(^-l)(^-l)
а Дгй — алгебраическое дополнение элемента G^ данного определи-
теля.
Первый индекс алгебраического дополнения (Z), обозначающий
номер строки, вычеркиваемой в определителе системы, соответствует
номеру узла, задающий ток которого умножается на данное алгебраи-
ческое дополнение. Второй индекс (k), обозначающий номер столб-
ца, вычеркиваемого в определителе системы, соответствует номеру
узла, для которого вычисляется узловое напряжение.
• Уравнения (III. 8), выражающие первый закон Кирхгофа, записа-
ны в предположении, что в качестве источников электрической энер-
гии служат источники тока. При наличии в электрической схеме ис-
точников напряжения последние заменяются эквивалентными источ-
никами тока.
В случае, если ветвь содержит только э. д. с., т. е. сопротивление
ветви равно нулю, как это, например, имеет место в схеме фиг. III. 6,а,
3* 35
то непосредственная замена данного источника э. д. с. Е эквивалент-
ным источником тока невозможна. В таком случае применяется сле-
дующий искусственный прием: схема фиг. III. 6,а заменяется эквива-
лентной схемой фиг. III. 6,61 с двумя одинаковыми источниками
э. д. с. Е, в результате чего эти э. д. с. оказываются включенными по-
следовательно с сопротивлениями и /?2; рассматривая сопротивле-
ния и /?2 в качестве внутренних сопротивлений источников напря-
жения и пользуясь правилом замены источника напряжения эквива'
лентным источником тока, получаем схему фиг. III. 6,в с двумя ис-
Е Е
точниками тока Л== — и 1%=—.
*1 +
Фиг. III. 6. Преобразование источника э. д. с. в источники тока.
Метод узловых напряжений имеет преимущество перед методом
контурных токов в том случае, когда число уравнений, записанных
по первому закону Кирхгофа, меньше числа уравнений, записанных
по второму закону Кирхгофа. Если заданная электрическая схема
имеет q узлов и р ветвей, то в соответствии со сказанным выше метод
узловых напряжений представляет преимущество при
<7—1<р—<7+1
или, что то же, при
2(<7-1)О- (Ш. И)
Пример III. 3. Пользуясь методом узловых напряжений, опреде-
лить ток в ветви схемы фиг. III. 1 (см. пример III. 1).
В результате замены источников напряжения, заданных в схеме
фиг. III. 1, эквивалентными источниками тока получается схема
фиг. III. 7, содержащая только два узла.
1 Зажимы источников э. д. с. Е имеют одинаковые потенциалы со стороны
сопротивлений /?1 и /?2, вследствие чего их объединение или разъединение не
влияет на токораспределение.
36
Обозначим напряжение между узлами через G;
Gt — —— , О2=—-— , О3 = ——— ; /1 = G1£’i, /2 = Gz^2-
Ki А2 АЗ
Задача нахождения узлового напряжения 17 сводится к решению
уравнения, записанного по первому закону Кирхгофа:
G1E1-^-G2E2= (О1+О2-|-Оз) [7,
откуда
GiEv\-G2E2
G\ + G2+G3
Ток в сопротивлении /?3
i.=gjj=—
с результатом примера III. 1.
что совпадает
Фиг. III. 7. Иллюстрация к примеру III. 3.
Пример III. 4. Пользуясь методом узловых напряжений, опреде-
лить ток в диагонали мостовой схемы фиг. III. 4 (пример III. 2).
В результате замены заданного источника напряжения эквива-
лентным источником тока получается схема фиг. III. 8, содержащая
Фиг. III. 8. Иллюстрация к примеру III. 4.
четыре узла. Для этой схемы по первому закону Кирхгофа записы-
вают 4—1=3 уравнения (по числу независимых узлов). Если вы-
брать в качестве базиса узел 4 и направить узловые напряжения к
базису, то уравнения примут вид:
для узла Г.
G6E= (Gt+G2+G6) G1-G2G2-G6G3,
37
для узла 2:
0=—О2£Л+ (G2+G3+G5) G2—G3l/3,
для узла 3:
--G6f=---GqUi--G3G2+ (^3“F^4“F^6) G3.
Решение полученной системы уравнений относительно U2 дает:
^=^о6(о2о4-ед),
т
где
m=G5 [(Gi+^2) (G3+G4)+G6(G1+G2+G3+G4)]+
4“GiG4(G2-|-G3) 4-0203(04+04) +G6(Gi+G4) (G2+G3).
Умножив найденное узловое напряжение U2 на проводимость G5
диагональной ветви мостовой схемы и изменив знак в соответствии, с
выбранным ранее направлением тока /5 (см. фиг. III. 4), найдем иско-
мый ток:
/5=—О6Ов(ОхО3-О2О4).
т
III. 3. Метод наложения
-+ линейной электрической цепи, содержащей источники напряже-
ния, контурные токи (и, соответственно, токи в ветвях) представляют
линейные функции от контурных э. д. с. Математически они выража-
ются формулой (III. 5):
п
i=l
Физический смысл этой формулы заключается в том, что ток в
любом контуре линейной электрической цепи может быть получен как
алгебраическая сумма токов, вызываемых в этом контуре каждой из
э. д. с. в отдельности.
Метод расчета, основанный на определении токов в одном и том
же контуре (или в ветви) при поочередном воздействии э. д. с. и по-
следующем алгебраическом сложении этих токов, именуется мето-
дом наложения.
При определении частичных слагающих токов по методу наложе-
ния необходимо считать включенными внутренние сопротивления тех
источников напряжения, которые принимаются отсутствующими при
вычислении слагающих токов. Если в цепи источника заданы источ-
ники э. д. с., т. е. внутренние сопротивления источников равны нулю,
то при определении токов, вызываемых какой-либо э. д. с., зажимы
остальных источников э. д. с. закорачиваются или, иначе говоря, ис-
точники э. д. с. заменяются сопротивлениями, равными нулю.
В свою очередь, в линейной электрической цепи, содержащей ис-
точники тока, узловые напряжения (и, соответственно, напряжения
38
на ветвях) представляют линейные функции от задающих токов
источников. Математически они выражаются формулой (III. 9)
<7—1
1=1
Физический смысл этой формулы заключается в том, что узловое
напряжение любого узла линейной электрической цепи может быть
получено как алгебраическая сумма напряжений, вызываемых в этом
узле каждым из задающих токов в отдельности. Таким образом, фор-
мула (III. 9), так же как и (III. 5), представляет собой математиче-
скую запись метода наложения, справедливого для линейных элек-
трических цепей.
При определении частичных слагающих узловых напряжений по
методу наложения необходимо считать включенными внутренние про-
водимость! тех источников тока, которые принимаются отсутствую-
щими при вычислении слагающих напряжений. Если источники тока
заданы без внутренних проводимостей, т. е. проводимости их равны
нулю, то при использовании метода наложения ветви с отсутствую-
щими источниками тока разрываются, иначе говоря, источники тока
заменяются сопротивлениями, равными бесконечности.
Если в линейной электрической цепи заданными являются одно-
временно источники напряжения и источники тока, то метод наложе-
ния применим и в этом случае. Например, ток в каком-либо контуре
данной цепи может быть получен в результате алгебраического сло-
жения токов, вызываемых в этом контуре поочередным действием
источников напряжения и тока. При этом отсутствующие источники
напряжения заменяются внутренними сопротивлениями, а отсут-
ствующий источники тока заменяются внутренними проводимостями
источников.
Пример III. 5. Пользуясь методом наложения, определить ток в
ветви /?3 схемы фиг. III. 1 (см. пример III. 1).
Искомый ток /3 определяется как сумма токов /з и /з, про-
ходящих через ветвь /?3 под воздействием источников э. д. с. Ег
(фиг. III. 9, а) и Е2 (фиг. III. 9, б), взятых порознь. Токи /3 и
/з суммируются, а не вычитаются, так как положительные
направления их выбраны совпадающими.
_ Rj w.
^2+^3 D R2R3 RiRz+RzR^+RyRi
R1+ /?2 + /?з
R\Е%__________________ ________________
#1+^3 D, RiR%+R2R$-\-RzR\
следовательно,
Z3 = /3 + /3 =--/?2£1+/?1£2--
RiRz+R.R3+R&Ri
что совпадает с полученным ранее результатом.
39
Пример III. 6. Пользуясь методом наложения, определить ток в
ветви схемы фиг. III. 7 (пример III. 3).
Искомый ток /3 определяется как сумма токов /3 и /з, про-
ходящих через ветвь R3 под воздействием источников тока
(фиг. III. 10,а) и /2 = -^ (фиг. III. 10,6), взятых порознь.
Фиг. III. 9. Иллюстрация к примеру III. 5 (метод наложения).
Фиг. III. 10. Иллюстрация к примеру III. 6 (метод наложения).
Применяя обозначения, принятые в примере III. 3, имеем:
J ^3 J ________________ ^2^1 .
Я1Я2+Я2Я3+Я3Я1
1* _ #1^2
т. е. получаем тот же результат, что и выше.
III. 4. Входные и взаимные сопротивления и проводимости
Соотношения токов и напряжений
Пусть в какую-либо ветвь контура I электрической цепи включён
источник э. д. с. Ег (фиг. III. 11,а), причем данная ветвь не является
общей, а принадлежит только контуру i. Если вся остальная часть
электрической цепи является пассивной, т. е. не содержит источников
40
электрической энергии, то в соответствии с формулой (III. 5) задан-
ная э. д. с. Ei вызовет в данном контуре /ив каком-либо другом кон-
туре k токи
= (III. 12>*
И (III. 13>
На фиг. III. 11,а показаны контуры i и k заданной электрической
цепи, причем буквой П обозначена пассивная электрическая цепь. От-
Фиг. III. 1Г. Иллюстрация к определению понятий входных
и взаимных сопротивлений (а) и проводимостей (б).
ношение э. д. с. Ei к току h, создаваемому в контуре i, называется:
входным сопротивлением электрической цепи:
= = (III. 14>
h
В свою очередь, отношение э. д. с. Ei к току h, создаваемому в-
контуре k, называется взаимным сопротивлением конту-
ров I и k\
(III. 15>
Элементами определителя системы Д, входящего в (III. 14) и
(III. 15), служат собственные и общие сопротивления заданной элек-
трической цепи; Д имеет размерность сопротивления в степени и, где
п — порядок определителя (определяемый числом независимых кон-
туров данной цепи).
Соответственно алгебраические дополнения Ди и Д& в (III. 14) и
(III. 15) имеют размерность сопротивления в степени п—1. В резуль-
тате деления определителя системы на алгебраическое дополнение
получается величина, имеющая размерность сопротивления.
На основании (III. 14) и (III. 15) заключаем, что входное сопро-
тивление численно равно э. д. с. в контуре I, вызывающей в данном
контуре ток, равный единице; взаимное же сопротивление контуров
i и k численно равно э. д. с. в контуре /, вызывающей в контуре k токг,
равный единице.
Аналогичные рассуждения могут быть проведены в отношении
узлов I и k электрической цепи в предположении, что к узлу I при-
41
ключей источник тока Ц, а вся остальная часть цепи пассивна
(фиг. III. 11,6). В соответствии с формулой (III. 9) заданный ток Л
обусловит появление узловых напряжений в узлах I и k:
(III. 16)
и
= (III. 17)
Отношение тока Л к узловому напряжению Ui называется вхо;ь
ной проводимостью электрической цепи
-^- = —= 0, (III. 18)
Ui Д» ' v 7
и, соответственно, отношение тока Ц к узловому напряжению U* на-
зывается взаимной проводимостью узлов I и k\
Jj- = -±- = Gik. (III. 19)
Uk &ik
Элементами определителя системы Д, входящего в (III. 18) и
(III. 19), служат собственные и общие проводимости заданной элек-
трической цепи; д имеет размерность проводимости в степени т, где
m=q—1 —порядок определителя (q — число узлов заданной цепи).
Соответственно алгебраические дополнения в (III. 18) и (III. 19)
имеют размерность сопротивления в степени т—1. В результате де-
ления определителя системы на алгебраическое дополнение получает-
ся величина, имеющая размерность проводимости.
На основании (III. 18) и (III. 19) заключаем, что входная прово-
димость численно равна току, задаваемому в узле I и обусловливаю-
щему напряжение данного узла относительно базиса, равное едини-
це; взаимная же проводимость узлов I и k численно равна току, зада-
ваемому в узле i и обусловливающему напряжение узла k относи-
тельно базиса, равное единице.
В некоторых случаях с соответствующей оговоркой под входной
и взаимной проводимостями подразумеваются величины, обратные
выражениям (III. 14) и (III. 15), под входным и взаимным сопротив-
лениями— величины, обратные выражениям (III. 18) и (III. 19).
Отношение двух контурных токов 1к и вызываемых в
контурах k и Jfe+1 источником э. д. с. включенным в контур
I (фиг. III. 12,а), определяется на основании (III. 5) отношением
соответствующих алгебраических дополнений, а именно при
и Е,
А А
=—. (III. 20)
Ан-i д1(*+1)
42
Аналогичным образом, отношение двух узловых напряжений U*
и Uk+i, обусловливаемых в узлах k и &-|-1 источником тока /», задан-
ным в узле I (фиг. III. 12,6), определяется на основании (III. 9) отно-
шением соответствующих алгебраических дополнений:
Un
Uk+i
&ik
Д/(4+1)
(III. 21)
При этом следует иметь в виду, что элементами алгебраических
дополнений в выражении (III. 20) служат собственные и 'общие со-
Фиг. III. 12. Иллюстрация к определению отношений то-
ков (а) и напряжений (б).
противления контуров заданной цепи, а элементами алгебраических
дополнений в выражении (III. 21) —собственные и общие проводи-
мости ветвей.
III. 5. Теорема взаимности
Упрощение расчета электрических цепей достигается в ряде слу-
чаев использованием свойства линейных электрических цепей, извест-
ного под названием принципа или теоремы взаимности.
Фиг. III. 13. Иллюстрация к теореме взаимности (вариант
с источником э. д. с.).
Теорема взаимности может быть сформулирована в двух вариан-
тах — применительно к источнику э. д. с. и источнику тока.
Вариант 1. На фиг. III. 13 показана условно электрическая цепь с
выделенными контурами I и k.
При наличии в заданной электрической цепи только одного ис-
точника, а именно контурной э. д. с. Ei, ток в контуре k
43
Соответственно, при наличии в цепи только одной контурной э. д. с.
Ек ток в контуре I равен
Отсюда следует, что
Ik ^ik e Ej
li &ki Ek
Алгебраические дополнения Л& и Ьы отличаются только тем, что в
них строки заменены столбцами. Известно, что при замене строк
столбцами значение определителя не изменяется.
Поэтому в общем случае и, следовательно,
Ik E i
h Ek
Если предположить, что Ег=Ек, то Iv=h.
Фиг. III. 14. Иллюстрация к теореме взаимности (вариант с источ-
ником тока).
Таким образом, справедливо следующее положение: если некото-
рая э. д. с., находящаяся в каком-либо контуре электрической цепи,
вызывает ток в другом контуре данной цепи, то та же э. д. с., будучи
перенесена во второй контур, вызовет в первом контурный ток той же
величины.
При соответствующем выборе контурных токов ток в ветви равен
контурному току. Поэтому данная теорема справедлива также для
токов в ветвях.
Вариант 2. На фиг. III. 14 показана условно электрическая цепь
с выделенными узлами i и k.
При наличии в заданной электрической цепи только одного источ-
ника тока, а именно Ц, узловое напряжение узла k относительно ба-
зиса равно
U^^-Ц.
R д I
Соответственно, при наличии в цепи только одного источника тока
узловое напряжение узла I относительно базиса равно
У,—
44
Отсюда следует, что
JL
Ui Дл/ Ik
или, ввиду равенства алгебраических дополнений Aifc=A&i
Uk = h
Ui Ik
Если положить h=Ik, то Ui=Uk.
Следовательно, если некоторый источник тока, заданный в каком-
либо узле электрической цепи, обусловливает напряжение относи-,
тельно базиса в каком-либо другом узле, то тот же ток, будучи задан
во втором узле, обусловит в первом узловое напряжение той же
величины.
III. 6. Теорема компенсации
Токи в электрической цепи не изменятся, если сопротивление
в любом контуре этой цепи заменить э. д. с., равной по величине паде-
нию напряжения в данном сопротивлении и имеющей направление,
обратное току, протекающему через данное сопротивление.
Справедливость этого положения, именуемого теоремой компен-
сации, вытекает из того, что любая из составных частей падения
напряжения, входящая в уравнение по второму закону Кирхгофа,
может быть перенесена в другую сторону уравнения с обратным
знаком, т. е. может рассматриваться в качестве дополнительной
э. д. с., направленной навстречу току.
а> б)
Фиг. III. 15. Иллюстрация к теореме компенсации (замена сопротивления
источником э. д. с.).
Иллюстрацией вышесказанного служит фиг. III. 15: уравнение по
второму закону Кирхгофа, записанное для схемы фиг. III. 15,а,
может быть представлено в виде Е—R2I=R±I; такой
записи уравнения соответствует схема фиг. III. 15,6, в которой вместо
сопротивления /?2 включена э. д. с. Т?2Л направленная противоположно
току I.
Данная теорема справедлива и для разветвленных электрических
цепей. Фиг. III. 16,а и б иллюстрирует возможность замены сопротив-
ления R источником э. д. с. E=R —/2), действующим навстречу
току 1±—/2, проходящему через сопротивление R.
Вместо источника э. д. с. может быть включен источник тока Л—/2
(фиг. III. 16,в), обусловливающий протекание между узлами того
45
же тока, что и в схеме фиг. III. 16,а; распределение токов и напря-
жений в остальной части цепи при этом не меняется.
Следует заметить, что э. д. с. или ток источников, заменяющих
собой сопротивление, определяются в зависимости от тока, проходя-
щего через данное сопротивление.
а) 6) в)
Фиг. III. 16. Иллюстрация к теореме компенсации (замена сопротив-
ления источником э. д. с. б или тока в).
При изменении параметров остальной части цепи ток в сопротив-
лении в общем случае меняется и поэтому вышеуказанные источники
не являются самостоятельными, а представляют собой так называе-
мые неавтономные источники.
III. 7. Теорема об изменении токов в электрической цепи
при изменении сопротивления ветви
На основании метода наложения и теоремы компенсации вытекает
следующая теорема об изменении токов в электрической цепи, вызы-
ваемом изменением сопротивления одной из ветвей данной цепи.
М- /?
?)$---с=
Фиг. III. 17. Иллюстрация к теореме об изменении токов
в электрической цепи при изменении сопротивления ветви.
Если сопротивление какой-либо ветви электрической цепи изме-
нится на величину &R, то изменение токов в цепи будет таким же,
какое вызывается действием в измененной ветви э. д, с,, направленной
противоположно первоначальному току в данной ветви и равной по
величине и знаку kRI (kR может иметь любой знак).
Сказанное поясняется фиг. III. 17.
46
Положим, что в ветви с сопротивлением проходит ток /
(фиг. III. 17,а). Спрашивается, как изменится ток, если сопротивле-
ние ветви изменится на величину Д/?.
На фиг. III. 17,6 показана ветвь с измененным сопротивлением;
предполагается, что в результате изменения сопротивления /? на ве-
личину А/? первоначальный ток I изменился на величину А/ и, следо-
вательно, ток в ветви стал равным 1-[-А/ (А/ может иметь любой
знак). Включение в данную ветвь двух равных по величине и проти-
воположно направленных э. д. с. Е± и Е2 не меняет тока в цепи.
Пользуясь методом наложения, рассмотрим действие этих э. д. с.
поочередно. При отсутствии Е2 получаются условия, тождественные
первоначальным, так как схемы фиг. III. 17,а и III. 17,в эквивалент-
ны: падение напряжения от тока I в А/? компенсируется на основании
теоремы компенсации дополнительной э. д. с. £1=д/?/. Следователь-
но, изменение тока в цепи обусловливается действием э. д. с. Е2=^НЦ
направленной против I (фиг. III. 17,а), что и требовалось доказать.
Применение данной теоремы облегчает расчет токов в тех слу-
чаях, когда известны токи в цепи до изменения сопротивления ветви.
__^Следует заметить, что размыкание какой-либо ветви заданной
электрической цепи соответствует предельному случаю А/?=оо, когда
решение по вышеприведенной теореме становится неопределенным.
В этом случае применим .следующий искусственный прием: включим
между разомкнутыми точками два источника тока 7, соединенные
параллельно. При принятом на фиг. III. 18 направлении этих источ-
ников ток в данной ветви в соответствии с первым законом Кирхгофа
равен нулю.
Применяя метод наложения и считая, что ток I выбран равным па
величине току в ветви до ее размыкания, приходим к выводу, что
размыкание ветви равносильно добавлению к токам предшествую-
щего режима новой системы токов, обусловленной действием в дан-
ной ветви пассивной электрической цепи источника тока, равного*
току, протекавшему в той же ветви перед ее размыканием.
На фиг. III. 18 буквой А обозначена заданная цепь, содержащая
источники электроэнергии (активная цепь), а буквой П — та же цепь,
в предположении, что на месте источников оставлены только сопро-
тивления или проводимости (пассивная цепь). Знаки сложения и ра-
венства на фиг. III. 18 относятся к токораспределениям.
Пример III. 7. Пользуясь теоремой об изменении токов в электри-
ческой цепи, определить ток в ветви /?3 (фиг. III. 19,6), если известно,
что при /?3=0 ток в данной ветви
/= — (фиг. П1. 19,а).
47
На основании указанной теоремы изменение токов в заданной'
цепи обусловливается действием э. д. с. /?3/ в ветви /?3 при отсутствии
Фиг. III. 19. Иллюстрация к примеру III. 7.
«источников в остальной части цепи (фиг. III. 19,в). С учетом направ-
ления этой э. д. с. получаем:
Д/=
^1^2
^1 + ^2
^?з+
Следовательно, искомый ток в ветви 7?3 равен
\ J __ #1^2
/
Яз
+
/?1 +/?2
III. 8. Теорема об эквивалентном источнике
С помощью теоремы об эквивалентном источнике сложная элек-
трическая схема с произвольным числом источников электрической
энергии приводится к схеме с одним источником, благодаря чему
расчет электрической цепи упрощается.
Существуют два варианта теоремы об эквивалентном источнике:
вариант с источником напряжения и вариант с источ-
ником тока.
Теорема об эквивалентном источнике
напряжения
Ток в любой ветви тп линейной электрической цепи не изменится,
если электрическую цепь, к которой приключена данная ветвь, заме-
нить эквивалентным источником напряжения; э. д. с. этого источника
должна быть равна напряжению на зажимах разомкнутой ветви тп,
48
а внутреннее сопротивление источника должно равняться сопротив-
лению пассивной электрической цепи между зажимами тип при
разомкнутой ветви пгп.
Данная теорема доказывается следующим образом: в ветвь пгп
включаются две равные по величине и противоположно направленные
э. д. с. Umn при условии, что Umm — напряжение на зажимах пгп при
разомкнутой ветви пгп (фиг. III. 20).
Фиг. III. 20. Иллюстрация к теореме об эквивалентном источнике
напряжения.
Применение метода наложения в соответствии с фиг. III. 20 при-
водит к выводу, что ток в ветви R равен
Uпгп
Rq+R
(III. 22)
где Uwn — напряжение между зажимами тип заданной активной
цепи при разомкнутой ветви R (так называемое напряжение
холостого хода); /?0+# — сопротивление цепи, состоящей из
ветви R, соединенной последовательно с пассивной цепью П.
Таким образом, ток в ветви R получается в предположении, что
данная ветвь приключена к источнику напряжения, э. д. с. которого
равна а внутреннее сопротивление равно /?0 (сопротивление
пассивной цепи между зажимами тип при разомкнутой ветви R).
Следует заметить, что в соответствии с фиг. III. 20 ток в какой-либо
другой ветви заданной электрической цепи может быть получен
в результате алгебраического сложения тока, проходящего через эту
ветвь при разомкнутых зажимах тп, с током, возникающим в ней
под воздействием э. д. с. Umn в ветви R (когда остальная цепь пассив-
на). Поэтому, если известно распределение токов в электрической
цепи при разомкнутой ветви R, то последующее распределение токов
при включенной ветви R находится весьма легко наложением на
4 г. и. Атабеков
49
предыдущий режим тех токов, которые обусловливаются воздей-'
ствием на пассивную цепь э. д. с. Umn в ветви R.
В зависимости от условий задачи в некоторых случаях может
оказаться целесообразным размыкание не одной, а двух или большего
числа ветвей с последующим включением между разомкнутыми
зажимами источников, э. д. с. которых равны соответствующим на-
пряжениям холостого хода
Фиг. III. 21. Иллюстрация к примеру III. 8.
Пример III. 8. Пользуясь теоремой об эквивалентном источнике
напряжения, определить токи в ветвях схемы фиг. III. 1 (см. при-
мер III. 1).
Фиг. III. 22. Иллюстрация к примеру III. 9.
Размыкание ветви и, соответственно, нахождение напряжения
холостого хода может быть произведено в любой из трех ветвей
заданной электрической цепи. Фиг. III. 21 показана для случая раз-
мыкания ветви /?3.
1 Такой случай рассмотрен в книге Г. В. 3 е в е к е, П. А. И о н к и н а, Основы
электротехники, ч. I, ГЭИ, 1955, стр. 52.
50
Напряжение холостого хода Umn находится в этом случае
как разность э. д. с. и падения напряжения от тока
в сопротивлении (фиг. III. 21, а):
/ Г __ р1 Г) ^1 ^2 ^2^1 "Ь
т" 1 Ъ + /?,+/?2
Под воздействием э. д. с. Umn в схеме фиг. III. 21,6 через сопротив-
ление /?3 идет ток
j ______ Umn______________________________
D Z?1Z?2
который разветвляется в сопротивлениях и /?2: через /?i проходит
ток
^2 f
/?1 + /?2 ”
а через ^2 — ток
* -4.
Искомые токи в ветвях /?1 и /?2 определяются в результате нало-
жения токов, протекающих в схемах фиг. III. 21,а и 6:
j — ^2 I^2 « Т?2^1 t
R\+R% Ri~\~R2 R1R2+R2R3+R3R1 RiR2^~R2R3^~RiR\
j E2—1 R\ (/?i+ ₽3) ^2 — R*E\
R\-yR2 R\+R% ^1^2 "b ^2^3 4“ ^3^1
Пример III. 9. Пользуясь теоремой об эквивалентном источнике
напряжения, определить ток в диагональной ветви мостовой схемы
фиг. III. 22.
Разомкнув ветвь /?5, находим напряжение холостого хода П^п как
разность падений напряжения от токов в сопротивлениях /?4 и /?3
(фиг. III. 22,6):
[J __ П ___________D & __ R2^4 RiR'i £
тп 4 Rl+Ri 3 R2+R3 №-+/?4)(/?2+Л8)
Сопротивление между зажимами тип при £=0 и разомкнутой
ветви R& равно
р — ^1^4 I R2R3
/?1+7?4 ^2+-^3
На основании (III. 22)
J U тп
Rq-^
4^
51
Теорема об эквивалентном источнике тока
Ток в любой ветви тп линейной электрической цепи не изменится,
если электрическую цепь, к которой приключена данная ветвь, заме-
нить эквивалентным источником тока; ток этого источника должен
быть равен току, протекающему между зажимами тип, замкнутыми
накоротко, а внутренняя проводимость источника должна равняться
проводимости пассивной электрической цепи между зажимами тип
при разомкнутой ветви тп.
Данное положение вытекает из условия эквивалентности источ-
ников напряжения и тока, а именно, что источник напряжения,
Фиг. III. 23. Иллюстрация к теореме об
эквивалентном источнике тока.
э. д. с. которого равна напряжению холостого хода а внутрен-
нее сопротивление равно /?0, может быть заменен источником тока
(фиг. III. 23):
г U XX
к,3~ R.
0<Дхх-
Последнее выражение есть не что иное, как ток, протекающий
между зажимами тип, замкнутыми накоротко (так называемый
ток короткого замыкания). Искомый ток в ветви равен
1= —-— 4. з=——
Rq+R Gq-\~G
где G=—.
(III. 23)
Если известно распределение токов в электрической цепи при за-
короченных зажимах тп, то распределение токов в цепи при вклю-
ченной ветви R может быть легко найдено посредством наложения на
предыдущий режим тех токов, которые получаются в результате
включения источника тока 7К,3 в ветвь R (когда остальная часть цепи
пассивна).
Пример III. 10. Пользуясь теоремой об эквивалентном источнике
тока, определить ток /3 ветви 7?3 схемы фиг. III. 1 (см. пример III. 1).
Ток эквивалентного источника тока, равный току короткого замы-
кания (/?4=0) (фиг. III. 24,а),
К1 к2
52
Проводимость эквивалентного источника тока Gq—G1-{-G2. Следова-
тельно, на основании (III. 23) искомый ток
! @3 J G3 J +
Gq-J- C?3 G1 + O2+G3
a) f)
Фиг. III. 24. Иллюстрация к примеру III. 10.
Теорема об эквивалентном источнике, представляющая большое
удобство для практических расчетов электрических цепей, весьма
широко применяется в современной электротехнике и радиотехнике.
Глава IV
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ ОДНОФАЗНОГО
ПЕРЕМЕННОГО ТОКА
IV. 1. Получение синусоидальной э. д. с.
Допустим, что в однородном магнитном поле вращается незамк-
нутый виток проводника (фиг. IV. I). Вращение витка происходит
против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью ф. Магнит-
ный поток, пронизывающий контур витка, изменяется пропорциональ-
но cos а, будучи наибольшим в момент, когда плоскость витка пер-
пендикулярна направлению магнитного поля (а=0 или а=180°)
и равным нулю, когда плоскость витка совпадает с направлением
магнитного поля (а=90° или аь=270°).
Примем следующие обозначения:
I — длина витка, 2а — ширина витка, Вт — магнитная индукция,
t — время вращения витка, ф — значение угла а, соответствующее
начальному моменту отсчета времени t=0.
Согласно фиг. IV. 1 магнитный поток, пронизывающий контур
витка в произвольный момент времени /, определится по формуле:
ф (/) =Bm2al cos а=Фш cos ( ф/-(- ф).
Здесь Фт — максимальное значение магнитного потока,
—мгновенная фаза.
Угол ф носит название начальной фазы.
По закону электромагнитной индукции в витке наводится э. д. с.,
определяемая скоростью изменения пронизывающего его магнитного
потока:
е (Z)= —-^-=Om<osin (mt + — sin (ut + ф). (IV. 1)
at
Максимальное значение э. д. с. Е™ называется амплитудой.
Положительное направление э. д. с. е(/) находится по следующе-
му правилу: если смотреть на виток по направлению магнитного поля,
то положительное направление э. д. с. совпадает с направлением вра-
щения часовой стрелки.
Положительное направление э. д. с., соответствующее расположе-
нию витка на фиг. IV. 1, указано стрелкой. В этот момент магнитный
54
поток Ф(0, пронизывающий контур витка, убывает, т. е. производ-
ная — отрицательна и, следовательно, э. д. с. e(t) согласно формуле
dt
(IV. 1) имеет положительный знак.
Это означает, что в рассматриваемый момент времени направле-
ние действия э. д. с. e(t) совпадает с положительным направлением,
отмеченным на фиг. IV. 1,6 стрелкой.
При а=90° э. д. с. e(t) достигает максимума: e(/)=£’w. Затем,
при возрастании а от 90 до 180° виток занимает некоторое промежу-
точное положение, указанное на фиг. IV. 1,а пунктиром. Этому поло-
жению витка соответствует
положительное направление
э. д. с., отмеченное на фиг.
IV, 1,6 пунктирной стрелкой.
Поскольку при этом магнитный
поток Ф(/), пронизывающий
контур витка, увеличивается,
d&
производная — положительна
dt
и, следовательно, на основании
формулы (IV. 1) э. д. с. e(t)
имеет отрицательный знак. Это
указывает на то, что в рассмат-
риваемый момент времени на-
правление действия э. д. с. e(t)
противоположно положительно-
му направлению, отмеченному
на фиг. IV. 1,6 пунктирной
стрелкой.
Таким образом, при значе-
ниях угла а, удовлетворяющих
условию 180°>а>0°, зажим
витка, обозначенный на фиг.
б)
Фиг. IV. 1. Элементарный генератор си-
нусоидальной э. д. с.
IV. 1 буквой т, имеет положительный, а зажим п — отрицательный
потенциал. При 360о>а^>180° знаки потенциалов зажимов т и п
изменяются на обратные: потенциал зажима т становится отрица-
тельным, а потенциал зажима п — положительным. Если к зажимам
тип присоединить электрическую цепь, то возникнет синусоидаль-
ный электрический ток.
Для определения направления наведенной э. д. с. можно также
воспользоваться правилом Ленца или правилом правой руки.
По правилу Ленца наведенная э. д. с. имеет такое направление,
что создаваемый ею в замкнутом контуре ток противодействует изме-
нению магнитного потока. На фиг. IV. 1,а это направление указано
точкой (острие стрелки направлено к нам) для стороны витка против
северного полюса и крестиком (стрелка направлена от нас) для
стороны против южного полюса.
Наконец, в соответствии с правилом правой руки, если вектор
магнитной индукции входит в ладонь, а отогнутый большой палец
55
совпадает с направлением движения проводника, то остальные
четыре пальца указывают направление наведенной э. д. с.
Найденные по этому правилу направления согласуются с
фиг. IV. 1а
Как видно из формулы (IV. 1), э. д. с. e(t) изменяется по сину-
соидальному закону в функции от угла а'=(о^+Ф-
На фиг. IV. 2 изображены кривые мгновенных значений магнит-
ного потока Ф(0 и э. д. с. e(t) при ^=0.
Каждый оборот витка на фиг. IV. 1 соответствует одному
периоду Т, т. е. времени, в течение которого функция e(t) совер-
Фиг. IV. 2. Мгновенные значения магнитного потока
й наводимой э. д. с.
шает полный цикл. Таким образом, период Т может быть определен
как наименьший промежуток времени, через который функция e(t)
повторяется, т. е.
е(0=е(/+Т).
Число периодов в одну секунду называется частотой ;
1
следовательно, частота имеет размерность-, а единицей измерения
с^к.
частоты является герц (частота равна 1 гц, если период равен
1 сек.).
Угловая скорость или угловая частота связана с перио-
дом и частотой соотношением <пТ=2тг или (в=2тгД Величина ш имеет
размерность и исчисляется в рад/сек.
сек.
Постоянную э. д. с. Е условно можно рассматривать как частный
случай периодической э. д. с., период которой бесконечно велик
(Г=оо) и, соответственно, частота равна нулю (f=0).
Генераторы переменного тока, применяемые на прак-
тике, существенно отличаются от упрощенного устройства, изобра-
женного на фиг. IV. 1. Они состоят обычно из неподвижной части —
56
статора, и вращающегося ротора. На одной из этих частей
располагаются полюса, т. е. электромагниты (обмотка которых
питается от источников постоянного тока) или постоянные магниты.
На другой части располагается обмотка якоря, в которой на-
водится переменная э. д. с. Для получения синусоидальной э. д. с.
полюсные наконечники имеют специальную форму.
Генератор может иметь одну или несколько пар полюсов.
При числе пар полюсов, равном р, и числе оборотов в минуту,,
равном п, частота переменного тока
/=-^. (IV. 2)
В энергосистемах СССР и большинства других стран частота про-
мышленного тока равна 50 гц. В США принята частота 60 гц.
В авиации с целью уменьшения веса электрооборудования при-
меняются машины с повышенной скоростью вращения. Частота их
в соответствйи с (IV. 2) повышена (400—800 гц).
Проводная связь использует частоты порядка десятков и сотен
тысяч гц, а радиотехника — более высокие частоты.
Одним из важных преимуществ синусоидальной формы кривых
напряжений и токов является возможность их трансформирования,
т. е. изменения величин напряжений и токов с помощью так назы-
ваемых трансформаторов 1 (см. раздел V. 4); при этом синусоидаль-
ная форма кривых сохраняется.
IV. 2. Действующие и средние значения
синусоидального тока и напряжения
О величине синусоидального напряжения или тока обычно судят
по действующему (средне-квадратичному, эффективному) значению
за период. Под действующим значением переменного напряже-
ния понимается величина такого постоянного напряжения, при под-
ведении которого к неизменному сопротивлению R за период вре-
мени Т выделяется то же количество тепла, что и под воздействием
данного переменного напряжения:
откуда
£2
R
(IV. 3)
1 Трансформатор с ферромагнитным сердечником изобретен в 1876 г. выдаю-
щимся русским электротехником Павлом Николаевичем Яблочковым
(1847—1894).
57
При синусоидальном напряжении tt=t/msin (<о^4-ф)
т Г 2 Т
J и2 dt=^ul sin2 (<of + Ф) dt = J [ 1 - с os (2<О* + 2ф) ] dt=
0 0 о
2
так как
т
f cos (2о>/ + 2ф) dt=0.
о
Следовательно,
^-^0,707^4. (IV. 4)
Аналогично действующее значение тока
7—^^0,7074.
Иногда используется понятие о среднем (средне-арифметиче-
ском) значении синусоидальной функции, соответствующем положи-
тельной полуволне:
т
2
77cp=yJ«^
о
2
= 2Ujn_ e sin
г J <»r
О
т
2
0
— COS O)Z
= ^^m«0,637f/m. (IV. 5)
7C
Аналогично среднее значение тока
4=^-7^0,6374.
IV. 3. Представление синусоидальных функций в виде проекций
вращающихся векторов
Рассмотрим синусоидальную функцию, заданную в общем виде:
u=Um sin (ш/-|- ф). (IV. 6)
Следует заметить, что если функция задана в косинусоидальной фор-
ме и=ит cos (ф^-j-фi), то она может быть приведена к виду (IV. 6)
путем замены ф^=ф------.
Начальная фаза ф, измеряемая в тех же единицах, что и аргу-
мент ш/ (в радианах) \ представляет алгебраическую величину.
1 В тех случаях, когда угол ф исчисляется в градусах, аргумент urt также
переводится в градусы.
58
Угол ф положителен, когда синусоидальная функция смещена влево
относительно начала координат (фиг. VI. 3,а); будучи соответственно
отсчитан влево, он имеет в этом случае положительный знак.
Если синусоидальная функция смещена вправо относительно на-
чала координат (фиг. IV. 3,6), то угол ф, отсчитываемый соответ-
ственно вправо, имеет знак минус.
Заданная функция обращается в нуль при значениях аргумента
—ф где (&=0, 1, 2 ...).
В момент времени t=0 аргумент o>Z=0 и значение функции со-
ставляет Um sin ф. Это значение функции равно проекции на верти-
кальную ось вектора, модуль которого равен амплитуде Um заданной
Фиг. IV. 3. Представление синусоидальной функции в виде проек-
ции вращающегося вектора на вертикальную ось.
синусоидальной функции. В зависимости от знака начальной фазы ф
этот вектор в момент времени t=0 повернут относительно горизон-
тальной оси на угол ф' в положительном направлении — против хода
часовой стрелки (фиг. IV. 3,а), или в отрицательном направлении —
по ходу часовой стрелки (фиг. IV. 3,6).
Если вращать в положительном направлении вектор с угловой
скоростью щ, то с момента времени 1=0 до момента он совершит
поворот на угол и в момент окажется повернутым относительно
оси отсчета углов на угол ф. Здесь, так же как и выше, ф — ве-
личина алгебраическая.
Проекция указанного вектора на вертикальную ось при t=tr
равна Um sin(Ф). Сопоставляя таким образом левую и правую
части фиг. IV. 3, приходим к выводу, что в каждый данный момент
времени t аргументу ф/ соответствует значение синусоидальной функ-
ции, равное проекции вращающегося вектора на вертикальную ось.
Поэтому рассмотрение синусоидальных функций может быть заме-
нено рассмотрением вращающихся векторов.
59
Если синусоидальные функции имеют одну и ту же частоту, то
векторы, соответствующие этим функциям, вращаются с одинаковой
угловой частотой, и поэтому углы между ними сохраняются неизмен-
ными.
На фиг. IV. 4,а показаны две синусоидальные функции
sin(o>^+$i) и u2=U2m sin (ш/-]-ф2), имеющие одинаковую
угловую частоту о>. Кривая и1у сдвинутая влево относительно и2, воз-
растает от нуля до своего положительного максимума раньше, чем
кривая и2. Поэтому говорят, что и± опережает по фазе и2 или,
что то же, отстает по фазе от Разность начальных
Фиг. IV. 4. Фазовый сдвиг между синусоидами (а) и векторами (б).
фаз ?1=ф1—ф2 называется фазовым сдвигом или углом
сдвига и± относительно и2. Этот угол и образуют между собой
векторы на векторной диаграмме фиг. IV. 4,6.
При равенстве начальных фаз, т. е. при фазовом сдвиге, равном
нулю, говорят, что кривые совпадают по фазе. Векторы,
соответствующие этим кривым, в данном случае направлены в одну
и ту же сторону. При фазовом сдвиге в 180° говорят, что кривые
противоположны по фазе или, что то же, находятся
в противофазе. Соответствующие им векторы направлены
в диаметрально противоположные стороны.
Векторное представление синусоидальных функций, частота кото-
рых одинакова, облегчает операции сложения и вычитания этих
функций.
Пусть требуется сложить функции rz1=(7lw и
и2=и2гП/ sin(a)/4-(j)2), представленные на фиг. IV. 5,а. Суммарная
кривая ординаты которой в каждый данный момент вре-
мени определяются алгебраической суммой соответствующих ординат
60
кривых и± и п2, представляет собой синусоидальную функцию, имею-
щую амплитуду и начальную фазу ф (фиг. IV. 5,а).
Ввиду того что сумма проекций двух векторов равна проекции
геометрической суммы этих векторов, амплитуда и начальная фаза
результирующей кривой могут быть найдены из векторной диаграммы
Фиг. IV. 5. Сложение синусоид (а) и векторов (б).
фиг. IV. 5,6; искомой кривой соответствует вектор, представляемый
диагональю параллелограмма, стороны которого равны Ulm и U&n.
Согласно фиг. IV. 5,6
т = "УUlm+Uzm + 2£7xm^2m COS (фх ф2) . (IV. 7)
Формула (IV. 7) может быть также доказана аналитически,
исходя из уравнения и=и1-\-и2:
Um sin (G)/—ф)=I7im sin (о)/-|-ф х) -\-U2fln sin ( ф/-|~ y 2),
или
(Лп COS ф sin sin ф COS 0)t=
= (Ui7n cos ф 1+ COS фг)5т фЦ-
+ (t7i™sin <pi-)-t4mSin ф2)соэ ф/.
Отсюда следует, что
Umcos ^=Ulmcos фх+t/^cos ф2, (IV. 8)
Um sin ф=<7х^ sin ф1+17^п sin ф2. (IV. 9)
Уравнения (IV. 8) и (IV. 9) содержат две неизвестные величины
( Um и ф), которые могут быть найдены совместным решением.
61
Возведя (IV. 8) и (IV. 9) в квадрат, исключаем ф путем сложения
полученных величин:
Um = Ulm -\-U2m +2UlmU2m COS (ф1— ф2),
что соответствует (IV. 7).
Разделив (IV. 9) на (IV. 8), исключаем Um:
ф sin ф| + Uym sin Ф2 ю)
Угол ф может быть также получен непосредственно из векторной
диаграммы IV. 5,6.
Вычитание функции sin (о>£-|—ф2) из функции и^—
==С\^8ш(аз/-|-ф1)1 равносильно сложению с—и2— sin(co^4-
4-'ф2±^г).
Поэтому в случае вычитания следует в формулах (IV. 7) и
(IV. 10) начальную фазу ф2 заменить на ф2~Hr или, что равноценно,
на ф2—
При пользовании векторной диаграммой с целью установления
фазовых сдвигов или амплитудных значений синусоидальных функ-
ций векторная диаграмма может считаться неподвижной, поскольку
углы между векторами от времени не зависят (предполагается, что
частота аз для всех составляющих одинакова).
Построение векторных диаграмм обычно не связано с определе-
нием мгновенных значений синусоидальных функций; в таких случаях
векторные диаграммы строятся не для амплитуд, а для действующих
значений, т. е. модули векторов уменьшаются по сравнению с ампли-
тудами в 1/2 раз. При этом векторная диаграмма в соответствии
с вышесказанным мыслится неподвижной (не вращается).
Пример IV. 1. Требуется сложить два синусоидальных напря-
жения:
иг = У2 lOsin (
и
и2 = ]/2 5 sin .
Из сопоставления выражений и и2 видно, что функция и,
опережает и2 на угол На основании (IV. 7) и (IV. 10)
Um=V%y 10’ + 5s + 2-10-5cos 4=]/2-14e,
ТС тс
10 sin — + 5 sin —
ф=arc tg------------------= arc tg 1,02=45°30'.
ТС тс
10 cos —н-5 cos —
3 12
62
Следовательно, суммарная кривая выражается функцией
и=]/2’. 14 sin (wt + 45°30').
Здесь ради удобства записи угол ф’ выражен в градусах и поэтому
аргумент wt также должен переводиться в градусы. Векторная диа-
грамма для действующих значений представлена на фиг. IV. 6.
Пример IV. 2. Требуется из напряжения их = ]/г2-10 sin X
X f «>£ + -y-j вычесть и2 = ]/2 5 sin <ot.
Фиг. IV. 6. Иллюстрация
к примеру IV. 1.
Фиг. IV. 7. Иллюстрация к при-
меру IV» 2.
Следовательно, при пользовании формулами (IV. 7) и (IV. 10)
следует принять = ф2 = п, cos (фх —ф2) = 0.
Отсюда
Um=V2 1/102+5а = /2-11,2 в,
1С
10 sin —+5 sin тс
Ф=arc tg-----------------= arc tg (— 2) = 126°30'.
IT
10 cos—+5 cos я
Векторная диаграмма для действующих значений приведена на
фиг. IV. 7.
еа
IV. 4. Элементы линейной электрической цепи
переменного тока
При рассмотрении явлений в цепях переменного тока в связи
с изменением во времени токов и напряжений следует учитывать
наличие индуктивностей и емкостей.
Индуктивность Л1 является пассивным элементом электри-
ческой цепи, в котором происходит процесс накапливания магнитной
энергии. Когда магнитная цепь, т. е. совокупность устройств, обра-
зующих путь для магнитного потока, не содержит ферромагнитных
материалов, отношение потокосцепления ф к току i постоянно. В этом
случае э. д. с. самоиндукции
at at
а падение напряжения в индуктивности
uL——eL=L^, (IV. 12)
т. е. получается линейное дифференциальное уравнение первого по-
рядка.
В свою очередь емкость С2 представляет собой пассивный
элемент электрической цепи, в котором происходит накапливание
электрической энергии. Если С постоянно, то электрический заряд q
конденсатора связан с напряжением ис на его зажимах линейной
зависимостью
q=Cuc , (IV. 13)
откуда
z = ^ = C^, (IV. 14)
dt dt v ' '
uc=-^idt. (IV. 15)
Наконец, для сопротивления г, так же как и в случае постоянного
тока, соблюдается равенство
ttr=ri. (IV. 16)
Таким образом, рассматриваемые здесь элементы линейной элек-
трической цепи переменного тока характеризуются линейными диф-
1 Термин индуктивность и обозначение L применяются в электротех-
нике в двух смыслах: как элемент цепи, означающий индуктивную катушку, и
как магнитная величина, равная отношению потокосцепления к току I параметр
2 Термин емкость и обозначение С применяются в электротехнике в двух
смыслах: как элемент цепи, означающий конденсатор, и как электрическая вели-
чина, равная отношению заряда к напряжению конденсатора (параметр С в
формуле IV. 13).
64
ференциальным, интегральным и алгебраическим уравнениями; пара-
метры L, С, г, входящие в вышеприведенные формулы, принимаются
постоянными, и поэтому электрическая цепь считается линейной.
В соответствии с (IV. 12), (IV. 15) и (IV. 16) элементам L, С, г
приписываются свойства дифференцирования, интегрирования и
умножения.
Электрические цепи с сосредоточенными парамет-
рами, т. е. такие, в которых магнитное поле, электрическое поле
и выделение тепла сосредоточены в отдельных элементах цепи (L, С,
г), являются теоретическими, с той или иной степенью точности при-
ближаясь к действительным устройствам.
Такое раздельное рассмотрение параметров г, L и С допускается
в зависимости от выбранного диапазона частот и конструктивного
выполнения исследуемых элементов цепи.
Представим себе круговой Виток проводника, по которому про-
ходит ток I, создающий магнитное поле; обозначим через В магнит-
ную индукцию, а через S — площадь, ограниченную витком. Тогда
L=j- = -~$BdS, (IV. 17)
S
где интегрирование производится в пределах площади S.
Когда i измеряется в а, В — в в'сек- и S в лЛ то £ измеряется
в генри (гн) или ом-сек.
Если не учитывать сопротивления проводника, то при постоянном
токе I падение напряжения в витке будет равно нулю, так как
L — =0. При переменном же токе i на зажимах витка возникает
dt
напряжение uL, а между другими точками витка появляется электри-
ческое поле. Эффект, получаемый от этого поля, может быть учтен
с помощью некоторой емкости С, приключенной к зажимам индук-
тивности L.
Чем выше частота переменного тока, тем больше скорость изме-
нения электрического заряда в электрическом поле у зажимов витка,
вследствие чего возникает разница между токами в зажиме и самом
витке.
При низких частотах эта разница настолько незначительна, что
электрическим полем можно пренебречь; при высоких же частотах
ток, обусловливаемый изменением заряда электрического поля, мо-
жет быть соизмерим по величине с током в витке или даже может
превышать его. Поэтому в зависимости от выбранного диапазона
частот и конструктивных особенностей индуктивного элемента его
электрическая схема замещения может содержать либо только одну
индуктивность, либо индуктивность, соединенную параллельно
с емкостью. При этом сопротивление проводника в случае необходи-
мости учитывается в схеме замещения в виде сопротивления г, вклю-
ченного последовательно с L (фиг. IV. 8).
5 Г. И. Атабеков
65
Строго разграничить области частот, при которых справедлива та
пли иная схема замещения, не представляется возможным, так как
это зависит от ряда факторов. В качестве ориентировочной формулы
можно пользоваться соотношением
f .1=3.108,
(IV. 18)
где f — частота в гц и I — наибольший линейный размер катушки
в см, при котором учет емкости не требуется. Так, например, при дли-
не катушки 1= 15 см предельная частота составляет ориентировочно
f=2.107 гц=2 • 104 кгц.
Аналогичное положение возникает и в случае конденсатора, в ко-
тором наряду с электрическим полем может существовать магнитное
поле, создаваемое переменным
током. Эффект, вызываемый
этим магнитным полем, может
быть учтен в электрической схе-
r L ме замещения с помощью неко-
Фиг. IV. 8. Электрические схемы за-
мещения индуктивной катушки в диа-
пазоне низких (я) и высоких (б)
частот.
Фиг. IV. 9. Электрическая схема
замещения конденсатора в диапа-
зоне низких частот.
торой индуктивности L, включенной последовательно с емкостью С
конденсатора. До частот, на которых длина волны соизмерима с раз-
мерами пластинок конденсатора, этим эффектом можно пренебречь \
Под влиянием электрического поля конденсатора возникает дви-
жение заряженных атомов диэлектрика, обусловливающее в резуль-
тате внутреннего трения нагрев диэлектрика. Кроме того, происходит
выделение тепла в пластинах конденсатора. Потери на нагрев учиты-
ваются введением в схему замещения конденсатора ветви с активным
сопротивлением г, включенным параллельно емкости С (фиг. IV. 9).
Сопротивления г различных элементов электрических цепей пере-
менного тока, строго говоря, не остаются постоянными: они не только
зависят от температуры (как это имеет место и в случае постоянного
тока), но и от частоты. При низких частотах сопротивление г мало
отличается от омического сопротивления R при постоянном токе.
С повышением же частоты ток распределяется по сечению провод-
ника неравномерно: внутри проводника плотность тока уменьшается,
ток вытесняется к поверхности проводника, что вызывает увеличение
сопротивления. Это явление, носящее название поверхностного
1 В. А. Котельников, А. М. Николаев, Основы радиотехники, часть I,
стр. 46, Издательство литературы по вопросам связи и радио, 1955.
66
эффекта, учитывается обычно при высоких частотах и изучается
в теории электромагнитного поля.
В отличие от омических сопротивлений цепей постоянного тока
применительно к цепям переменного тока эти сопротивления имену-
ются активными. Это наименование, однако, не следует смеши-
вать с понятием активного элемента электрической цепи,
каковым является источник электроэнергаи.
Выполнение из обмоточного Провода^ сопротивления г, которое
имело бы незначительную индуктивность и емкость, представляет
сложную задачу.
Если сопротивление выполнено в виде катушки (фиг. IV. 10), то
индуктивность L относительно велика, а емкость С мала. В случае
бифилярной намотки провода (фиг. IV. 10,6) индуктивность L весьма
шт шш
Й а) 11 И* %
Фиг. IV. 10. Способы конструктивного выполнения сопротивлений с различ-
ными соотношениями индуктивности и емкости.
а*—индуктивность велика, емкость мала, б—индуктивность мала, емкость велика,
в—индуктивность и емкость малы.
незначительна, так как магнитные потоки, создаваемые входящим и
выходящим токами, взаимно компенсируются. Однако в виду близ-
кого расположения друг к другу прямого и обратного проводов
емкость при таком выполнении сопротивления относительно велика.
Одновременное уменьшение индуктивности и емкости достигается
двойной намоткой проводов на пластину во взаимно противополож-
ные стороны, как это показано на фиг. IV. 10,в. Благодаря взаимно
противоположной намотке витков результирующее магнитное поле
внутри катушки близко к нулю.
Вследствие же равенства нулю разностей потенциалов симметрич-
но расположенных точек параллельных цепей электрическое поле
также весьма незначительно.
Для уменьшения индуктивности и емкости элементов сопротивле-
ния применяется также плетеная обмотка, представляющая тканую
ленту, основой которой служит гибкая изоляция, а утком — высоко-
омная проволока
1 В. А. Котельников, А. И. Николаев, Основы радиотехники, ч. I,
стр. 80, Издательство литературы по вопросам связи и радио, 1950.
5* 67
Чем выше частота или чем больше линейные размеры элементов
электрических цепей, тем в большей мере проявляется взаимосвязь
электрических параметров и неотделимость друг от друга электриче-
ского и магнитного полей. Такое положение, в частности, имеет место
в линиях, протяженность которых соизмерима или больше длины
электромагнитной волны.
В цепях переменного тока наряду с электрической (гальваниче-
ской) связью отдельных элементов может существовать также элек-
тромагнитная связь через взаимную индукцию — индуктивная
связь. Поэтому к числу параметров цепей переменного тока наряду
с г, L и С относится и взаимная индуктивность М.
Описанию методов расчета индуктивно связанных цепей и разбору
явлений, происходящих в них, посвящены разделы V. 2ч-У. 5.
IV. 5. Зависимости между синусоидальными напряжениями
и токами в элементах г, L, С
В отличие от постоянного тока, который характеризуется своей
абсолютной величиной, синусоидальный ток при заданной частоте
характеризуется двумя параметрами: амплитудой и фазой.
Рассмотрим в отдельности случаи прохождения синусоидального
тока через сопротивление г, индуктивность L и емкость С.
Сопротивление г. При прохождении синусоидального тока
ir=Im зш(ф/-|-ф) через сопротивление г на нем создается падение
напряжения
ur=rir^=rlm sin(a>£-|-<p )~Um (IV. 19)
Следовательно, напряжение иг на зажимах сопротивления г
и ток ir, проходящий через это сопротивление, совпадают по фазе:
они одновременно достигают своих максимумов Um и Im и, соответ-
ственно, одновременно проходят через нуль (фиг. IV. 11,а).
Итак, фазовый сдвиг между током ir и напряжением иг равен
нулю: 9=0.
Амплитуды и, соответственно, действующие значения напряжения
и тока связаны законом Ома:
Um=rlm, U=rl. (IV. 20)
Величина g= —, обратная активному сопротивлению, называется
активной проводимостью и
Im=gUm, I=gU. (IV. 21)
Индуктивность L. Принимая ток iL , проходящий через индук-
тивность, синусоидальным, получаем на основании (IV. 12):
aI = L-^-=<BL/mcos(«>^+^) + (IV. 22)
at \ 2 /
Полученное выражение показывает, что напряжение uL опере-
жает ток i на угол^-: максимум напряжения uL смещен влево отно-
68
сительно максимума тока на -у- (фиг. IV. 11,6); когда ток проходит
через нуль, напряжение uL достигает положительного или отрица-
тельного максимума, так как оно порпорционально скорости измене-
ния тока , которая в момент прохождения тока через нуль
максимальна (синусоида тока в этот момент имеет наибольшую кру-
тизну). Когда ток достигает максимума, скорость его изменения,
а следовательно, и напряжение uL обращаются в нуль. Этому явлению
соответствует векторная диаграмма, приведенная на фиг. IV. 11,6.
Фиг. IV. 11. Зависимости между синусоидальными токами и напряжениями
в элементах г (а), Цб) и С (в).
Под фазовым сдвигом © тока относительно напряжения мы усло-
вимся понимать разность начальных фаз напряже-
ния и тока. Следовательно, в данном случае
п
о =--е
2
Амплитуды, так же как и действующие значения напряжения и
тока, связаны законом Ома:
и^= и= шЫ. (IV. 23)
Величина х£=о>£, имеющая размерность сопротивления, назы-
вается индуктивным сопротивлением. Обратная ей ве-
. I
личина bL = — называется индуктивной проводимостью.
<oL
69
Итак.
Im = bLUm, I=bLU.
(IV. 24)
Емкость С. Если напряжение на зажимах конденсатора сину-
соидально, т. е. ис=Щ sin(ф ), то на основании (IV. 14)
tc=с = mCUm cos и +ф) = Im sin (^ + * + т) • <IV- 25>
Изменение электрического заряда происходит по синусоидально-
му закону в соответствии с приложенным напряжением ис. При этом
попеременное накапливание положительных' и отрицательных заря-
дов на пластинах конденсатора обусловливает в цепи, в которую
включен конденсатор, прохождение синусоидального тока ic. Его
величина определяется скоростью изменения заряда конденсатора
/ dq \
/ \ , причем этот ток рассматривается как ток проводимости в про-
водниках, присоединенных к конденсатору, и как ток смещения —
в диэлектрике конденсатора.
Выражение (IV. 25) показывает, что ток 1С опережает приложенное
напряжение ис на угол (фиг. IV. 11,в). Нулевым значениям тока
соответствуют максимальные (положительные или отрицательные)
значения напряжения ис. Объясняется это тем, что при прохождении
тока через нуль электрический заряд q конденсатора достигает
максимального значения (положительного или отрицательного),
а напряжение ис, в соответствии с (IV. 13), прямо пропорционально
заряду.
Под фазовым сдвигом тока относительно напряжения здесь, так
же как и в предыдущем случае, подразумеваем разность начальных
фаз напряжения и тока, т. е.
к
2
Таким образом, угол о представляет собой алгебраическую вели-
чину: он положителен в случае индуктивности и отрицателен в слу-
чае емкости.
Амплитуды и, соответственно, действующие значения напряжения
и тока связаны законом Ома:
U== — Im, U=—I. (IV. 23)’
m rtv ' 7
Величина хс = —, имеющая размерность сопротивления, назы-
вается емкостным сопротивлением. Обратная ей вели-
чина &с = <оС называется емкостной проводимостью.
Выражения (IV. 26) равносильны следующим:
Im = bcUm, I=bcU.
70
Итак, в цепях переменного тока в зависимости от типа эле-
ментов различают сопротивления? активное г, индуктивное
xt = <oL и емкостное хс — ——.
Соответственно, различают проводимости: активную g= —— ,
индуктивную bL — —— и емкостную Ьс — аС.
(uL
Ток в индуктивности отстает @т напряжения, а ток в емко-
сти опережает приложенное напряжение на угол -|-.
IV. 6. Последовательное соединение г, L, С
При прохождении тока i через электрическую цепь, состоящую
из последовательно соединенных пассивных элементов г, L и С
(фиг. IV. 12)-, на зажимах этой цепи создается падение напряжения.
равное сумме падений напряже-
ния в отдельных элементах
(второй закон Кирхгофа):
u==ur+uL + uc (IV. 27)
или, в интегро-дифференциаль-
ной форме, ,(?/
u = ri + L— + — (idt. (IV.28)
Фиг. IV- 12. Электрическая цепь перемен-
ного тока с последовательно соединен-
ными rf L, С.
Поскольку нами рассматривается установившийся режим электри-
ческой цепи синусоидального тока, принимаем
t = /„,sin(<o£-|-a). (IV. 29)
Напряжение иг совпадает по фазе с током i, напряжение
опережает, а напряжение ис отстает от i на (фиг. IV. 13).
Следовательно, напряжение на зажимах цепи
u — rlm sin (®f 4-a) 4- sin (at 4- a -|- -f-
+ —Im sin (at + a-----—) .
<x>C m \ 2 /
Имея в виду, что sin (wt 4-a------=—sin 4-a4--^-j, на‘
ходим:
U — Um sin (at 4- <]>)= rlm sin (at 4- a) 4-
4- (aL —у Im sin (at 4- a 4- y) • (IV. 30)
71
Уравнение (IV. 30) представляет тригонометрическую
форму записи второго закона Кирхгофа для цепи
с последовательно включенными г, L, С.
Фиг. IV. 13. Кривые падения напряжения в г, L и С
of синусоидального тока i.
Входящая в него величина x=xL—xc—<nL — является р е а к-
(0 С
тивным сопротивлением данной цепи, которое в зависи-
Фиг. IV. 14. Ток отстает от напряже-
ния (х>0).
а—синусоиды напряжения и тока, б—век-
торная диаграмма действующих значений,
в—-треугольник сопротивлений.
Фиг. IV. 15. Ток опережает напряже-
ние (х<0).
а—синусоиды напряжения и тока, б—век-
торная диаграмма действующих значений.
в—треугольник сопротивлений.
мости от знака может иметь индуктивный (х>0) или емкостный
(х<Ю) характер.
Уравнению (IV. 30) соответствует векторная диаграмма, изобра-
женная на фиг. IV. 14,6 для случая, когда х>0, и на фиг. IV. 15,6
72
для случая, когда х<Т). Диаграммы построены для амплитудных зна-
чений.
Падения напряжения от тока в активном и реактивном сопротив-
лениях являются катетами прямоугольного треугольника напряже-
ний, гипотенуза которого равна напряжению на зажимах цепи.
Отсюда
47=1/ (г7)2 + /'<о£---?72
у \ /
или
и=Уг2 + х2I. (IV.31)
Полученное выражение показывает, что действующие значения,
так же как и амплитуды напряжения и тока, подчиняются закону
Ома:
и=2Ц Um=zlm, (IV. 32}
где
г = 'К^+ЗЕ2 = 1/ г2 + /а>£ ——V (IV.33>
У \ а)С )
— полное (кажущееся) сопротивление данной цепи.
Из векторных диаграмм следует, что угол фазового сдвига
тока i относительно напряжения и <р = ф—a=arctg—— =
1
<»£ — ——
= arc tg----. (IV. 34}
рели задано напряжение u=U„i sin(<u/-|-<J>) на зажимах цепи г,
L, С, то ток определяется по формуле
i=Qn- sin (<o£+<]>—<р). (IV. 35}
Z
Угол ср положителен при индуктивном характере сопротивления
цепи, т. е. при х>0; при этом ток отстает по фазе от напряжения
(фиг. IV. 14).
Угол ср отрицателен при емкостном характере сопротивления
цепи, т. е. при х<Т); при этом ток опережает по фазе напряжение
(фиг. IV. 15).
Итак, угол ср положителен при отстающем и отрицателен при
опережающем токе.
Ток совпадает с напряжением по фазе при —хс=0, т. е. при
равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений. Такой режим
работы электрической цепи называется резонансом напря-
жений.
Разделив стороны прямоугольного треугольника напряжений на
ток Im, получаем прямоугольный треугольник сопротивле-
ний (фиг. IV. 14,в и IV. 15,в), удовлетворяющий условию (IV. 33).
7а
Как видно из построений, активное и реактивное сопротивления
связаны с полным сопротивлением соотношениями:
r=z cos с?, x=z sin о. (IV. 36)
Частные случаи последовательного включения двух разнородных
пассивных элементов (г и L или г и С) разобраны в примерах IV. 3
и IV. 4.
Пример IV. 3. На зажимах цепи, состоящей из последовательно
включенных сопротивления г=50 ом и индуктивности £=0,1 гн,
задано синусоидальное напряжение и= У2 100 sin о/ (фиг. IV. 16,а);
Фиг. IV. 16. Иллюстрация к примеру IV. 3.
а—цепь г, L, б—кривые напряжения и тока, в—векторная диаграмма,
г—треугольник сопротивлений.
частота /=50 гц. Требуется построить кривую тока, векторную диа-
грамму (для амплитудных значений) и треугольник сопротивлений.
Угловая частота <u=2-n/=2 • w 50=314 рад/сек.
Индуктивное сопротивление = <»/, = 314-0.1 =31,4 ом.
Полное сопротивление z=V гг+х2 = ]/5024-31,4а = 59 ом.
Действующее значение тока 7—-^-=-^- = 1,7 а.
Напряжение на сопротивлении г U^=rI=50 • 1,7=85 в.
Напряжение на индуктивности L UL=xLI—31,4 • 1,7=53,4 в.
Угол сдвига тока относительно напряжения
<р=arctg -^-= arctg^i=arctg0,628 =32°10'.
На основании (IV. 35)
г = /2 1,7 sin Н-32°10').
Полученные данные иллюстрируются фиг. IV. 16,6, в, г.
74
Пример IV. 4. На зажимах цепи, состоящей из последовательно
включенных сопротивления г=30 ом и емкости С=6 мкф, задано
синусоидальное напряжение ы=]/2 120 sin wt (фиг. IV. 17,а); часто-
та /=400 гц.
Фиг. IV. 17. Иллюстрация к примеру IV. 4.
а—цепь г, С, б—кривые напряжения и тока, в—векторная
диаграмма, г—треугольник сопротивлений.
Требуется построить кривую тока, векторную диаграмму (для
амплитудных значений) и треугольник сопротивлений.
Угловая частота о> =2^=2^400=2512 рад/сек.
1 Юб .
Емкостное сопротивление хс ——— = 2512 6 =66,4 ом.
Полное сопротивление z=)/302 + 66,42 = 72,8 ом.
120
Действующее значение тока /=— = 1,65 а.
72,8
Напряжение на сопротивлении г
U<=rI=30 • 1,65=49,5 в.
Напряжение на емкости С
Ц=хс/=66,4-1,65= 109,5 в.
Угол сдвига тока относительно напряжения
<p = arctg^=-^-j = arctg-6^’4 j = arc tg( —2,21) = —65°40'.
Следовательно, в соответствии с (IV. 35)
i=V2 1,65 sin (а>/ + 65°40').
Полученные данные приведены на фиг. IV. 17,6, в, г.
75
IV. 7. Параллельное соединение г, L, С
При прохождении тока i через электрическую цепь, состоящую
из параллельно соединенных элементов г, L и С (фиг. Г\Л 18), ток i
равен сумме токов в отдельных элементах (первый закон Кирхгофа):
или, в интегро-дифференциальной форме
i=ga+C^ + ^-\udt. (IV. 37)
at L J
Здесь и — напряжение на за-
жимах рассматриваемой цепи.
При синусоидальном напряжении
a==i7msin(<»^-|-<]))
ток ir совпадает по фазе с и, ток
iL отстает, а ток ic опережает
и на угол -у-.
Фиг. IV. 18. Электрическая цепь пе-
ременного тока с параллельным со- Следовательно, суммарный ток
единением г, L, с. в цепи будет равен
i=Im sin (<о*+а)=gUm sin (arf 4- ф) + -L Uт sin
а)£
+ «>сит sin (<»t + ф +
или
*=g^msin(W+tp) + M- — sin — . (IV. 38)
\ <o£ / \ 2 /
Уравнение (IV. 38) представляет тригонометрическую
форму записи первого закона Кирхгофа для цепи
с параллельным соединением г, L, С.
Входящая в него величина b=bL — bc=—-шС является
u>L
реактивной проводимостью данной цепи, которая в за-
висимости от знака может иметь индуктивный (&>0) или емкост-
ный (6<0) характер.
Уравнению (IV. 38) соответствует прямоугольный треугольник
токов, изображенный на фиг. IV. 19 для и на фиг. IV. 20 — для
Ь<^0. Из треугольника токов следует, что
или
I=yU, I^—yUm.
(IV. 39)
76
Здесь
_____ f~ 7~,
y=Vg2+ Ь2 = Л/ g2 + ( — — <»С) ’ (IV.40)
у \ /
— полная (кажущаяся) проводимость данной цепи.
Угол фазового сдвига тока i относительно напряжения и
— — шС
ср=Ф—a=arctg — = arctg —-----. (IV. 41)
g g
Соответственно, ток i определяется по формуле
i=yUm sin(o)/-{-ty — ср).
Угол ср положителен при индуктивном характере проводимости цепи
(£>0); при этом ток отстает по фазе от напряжения (фиг. IV. 19,а).
а)
Фиг. IV. 19. Векторная диаграмма (а) и треугольник
проводимостей (б) при б>0.
Угол со отрицателен при емкостном характере проводимости цепи
(й<Т)); при этом ток опережает по фазе напряжение (фиг. IV. 20,а).
Фиг. IV. 20. Векторная диаграмма (а) и треугольник
проводимостей (б) при б<0.
Ток совпадает с напряжением по фазе при b=bL — bc=0, т. е. при
равенстве индуктивной и емкостной проводимостей. Такой режим
работы электрической цепи называется резонансом токов.
77
Разделив стороны прямоугольного треугольника токов на напря-
жение U.m, получаем прямоугольный треугольник проводи-
мостей (фиг. IV. 19,6 и IV. 20,6), удовлетворяющий условию
(IV. 40).
Как видно из построений, активная и реактивная проводимости
связаны с полной проводимостью соотношениями
g==y cos ср, b=y sin ср. (IV. 42)
Частные случаи электрической цепи с параллельным соединением
двух элементов — сопротивления и индуктивности (фиг. IV. 21,а),
сопротивления и емкости (фиг. IV. 22,а) разобраны в примерах IV. 5
и IV. 6 1.
Фиг. IV. 21. Иллюстрация к примеру IV. 5.
а—параллельное соединение г, L, б—кривые и, I, в—векторная
диаграмма, г—треугольник проводимостей.
Пример IV. 5. Напряжение на зажимах сопротивления
г=3,63 ом и индуктивности £=0,02 гн, соединенных параллельно
(фиг. IV. 21,а), равно и=]/2 120 sin^314/+ Требуется по-
строить кривую суммарного тока, векторную диаграмму токов
и треугольник проводимостей.
Активная проводимость
3,63
0,276 —.
ом
Реактивная проводимость
b=bL
-------=0,159 — .
314 0,02 ом
1 Общий случай электрической цепи с параллельным соединением активно-
индуктивных и активно-емкостных элементов рассматривается ниже, в разде-
ле V. 1.
78
Полная проводимость цепи
v = l/0,27624-0,1592=’|/0,1014 = 0,318 —.
ОМ
Угол фазового сдвига суммарного тока относительно приложен-
ного напряжения, равный углу полной проводимости,
• 0,159 . _ тг
ф — arc tg —--= arc tg 0,577 = — .
s 0,276 & 6
Начальная фаза суммарного тока
Суммарный ток в цепи
/=0,318 /2 120 sin 3141 = /2 38,2 sin 314/.
Действующие значения токов в сопротивлении и индуктивности
4=0,276-120=33,1 а,
7^=0,159-120=19,1 а.
Кривая тока- i, векторная диаграмма токов и треугольник прово-
димостей показаны на фиг. IV. 21Д в, г.
Фиг. IV. 22. Иллюстрация к примеру IV. 6.
а—параллельное соединение г, С, б—кривые и, I, в—векторная диа-
грамма, г—треугольник проводимостей.
Пример IV. 6. Напряжение на зажимах сопротивления г= 1000 ом
и емкости С=1 мкф, соединенных параллельно (фиг. IV. 22,а), рав-
но и=У2 120 sin 2512/.
Требуется построить кривую суммарного тока, векторную диа-
грамму токов и треугольник проводимостей.
79
Активная проводимость
g= —=0,001 —.
s 1000 ом
Реактивная проводимость
Ь= — Ьс = — 2512-10-6 = —0,002512 — .
ОМ
Полная проводимость цепи
v=‘КбД)12 + 0,0025122 =0,00269 — .
ОМ
Угол фазового сдвига суммарного тока относительно приложен-
ного напряжения, равный углу полной проводимости,
ср=arc tg ~~ = ar с tg (—2,512) = — 68°20'.
Начальная фаза суммарного тока ф—ср=68°20<=1,19 рад.
Суммарный ток в цепи
/=0,00269-/2-120sin (25121 + 1,19) =/2-0,323 sin (2512t+1,19).
Действующие значения токов в сопротивлении и емкости
4=0,001-120=0,12 а,
Zc=0,002512-120=0,301 а.
Кривая тока I, векторная диаграмма токов и треугольник прово-
димостей показаны на фиг. IV. 22,6, в, г.
IV. 8. Применение комплексных чисел
Расчеты электрических цепей переменного тока в тригонометриче-
ской форме или с помощью векторных диаграмм применяются на
практике только в случае относительно простых схем, не содержащих
большого числа контуров, источников, индуктивных связей и т. п.
По мере усложнения электрических схем возникают значительные
трудности производства расчетов в тригонометрической форме или
с помощью векторных диаграмм и возникает острая потребность
в расчетном методе, позволяющем использовать правила преобразо-
вания схем и общие принципы расчета электрических цепей, приме-
няемые для постоянного тока. Таким удобным расчетным методом
служит метод комплексных амплитуд (комплекс-
н ы й или символический метод), основанный на примене-
нии комплексных чисел. Этот метод является по существу
алгеброй современной электротехники и радиотехники, в то время
как метод векторных диаграмм является геометрией.
Известно, что комплексное число изображается на комплексной
плоскости точкой, причем в прямоугольной системе координат осью
абсцисс служит действительная, а осью ординат — мнимая ось. Так,
80
на фиг. IV. 23,а точка с координатами At и А2 изображает комплекс-
ное число А+уЛг, где j=V —1 (в электротехнике менее удобно
пользоваться обозначением
★J.
*2
так как буква i, как правило, обозначает ток).
Комплексное число можно условно обозначить через А:
A=A1ArjA2. (IV. 43)
Выражение (IV. 43) пред-
ставляет собой алгебраи-
ческую форму записи ком-
плексного числа.
Каждая точка на ком-
плексной плоскости опре-
деляется радиусом-вектором
этой точки, т. е. векто-
ром, начало которого со-
впадает с началом коорди-
нат, а конец находится в
точке, соответствующей за-
данному комплексному числу
(фиг. IV. 23,6).
Пользуясь полярной системой координат, записываем комплекс-
ное число в полярной форме:
о
а)
Фиг. IV. 23. Геометрическое изображение
комплексного числа точкой (а) или векто-
ром (б) на комплексной плоскости.
(IV. 44)
или, что то же, в показательной форме:
(IV. 45)
(IV. 46)
(IV. 47)
Здесь А — модуль, а — аргумент или фаза.
С учетом того, что At=A cos а и А2=А sin а, получаем:
Л = |ЛД2+Д2,
a=arctg— .
Al
Соответственно, тригонометрическая форма записи ком-
плексного числа имеет вид:
А=А (cos а +/ sin а). (IV. 48)
Два комплексных числа считаются равными, если равны отдельно
их действительные и мнимые части. Геометрически это означает ра-
венство векторов, изображающих комплексные числа.
Так, если А=А/_а., В=В/ р, то равенство А=В равносильно ра-
венствам А=В, а== р.
Понятия «больше» и «меньше» применимы только к координа-
там комплексных чисел, модулям, фазам, тогда как для самих ком-
плексных чисел эти понятия не существуют.
6 Г. И. Атабеков
81
Удобство применения той или иной формы записи комплексных
чисел зависит в каждом отдельном случае от тех математических
операций, которые надлежит произвести над комплексными числами.
Так, при сложении или вычитании комплексных величин пользуют-
ся алгебраической (или тригонометрической) формой записи ком-
плексного числа:
Л-{-5— (Л14"51) 4"/ (Л24~В2),
Л—В= (Л!—Bi) 4"/ (Л2—В2).
(IV. 49)
В геометрической интерпретации для получения вектора, изобра-
жающего сумму или разность комплексных чисел, следует сложить
читание комплексных чисел.
или вычесть векторы, изображающие
эти числа, по правилу действий над век-
торами (фиг. IV. 24).
При умножении или делении ком-
плексных величин наиболее удобно
пользоваться показательной (или по-
лярной) формой записи комплексного
числа:
АВ=АВе'(а+')=АВ/У + $; (IV. 50)
^Ae/(«-3)=AZa_p. (IV.51)
Как видно из (IV. 50) и (IV. 51), модуль произведения равен про-
изведению модулей сомножителей, аргумент произведения равен сум-
ме их аргументов; модуль частного равен частному модулей дели-
мого и делителя, аргумент частного равен разности их аргументов.
В геометрической интерпретации вектор, изображающий произве-
дение А на В, получается поворотом вектора А против часовой стрел-
ки на угол р (аргумент вектора В) и умножением его на В
(фиг. IV. 25,а).
Соответственно, вектор, изображающий частное от деления А
на В, получается поворотом вектора А по часовой стрелке на угол
и делением его на В (фиг. IV. 25,6).
Два комплексных числа (или вектора) называются взаимно со-
пряженными, если их модули равны, а аргументы равны по ве-
личине и обратны по знаку; иначе говоря, сопряженные комплексные
числа отличаются друг от друга только знаком мнимой части:
Д=Ле/“=Д/а=Л1+/Д2)
A = Ae~Ja—A /' — а=Д1—уД2.
(IV. 52>
В геометрической интерпретации точки, изображающие сопряжен-
ные числа, расположены симметрично относительно действительной
оси (фиг. IV. 26).
82
Сопряженные комплексные числа обладают тем важным свойст-
вом, что произведение их дает действительное число, равное квадра-
ту модулей сомножителей:
АА=А2.
Иначе говоря, точки, изображающие
комплексных чисел, располагаются
(фиг. IV. 26).
(IV. 53)
произведение сопряженных
по действительной осн
Фиг.
IV. 25.
Умножение или деление комплексных
чисел.
При пользовании алгебраической формой записи комплексных чи-
сел произведение двух комплексных чисел имеет вид:
ЛВ=(Л1 +/Д2) (В1 + /В2) = (Л1В1— А2В2) +
+j(A2Bl + A1B2). (IV. 54)
Соответственно, деление двух комплексных чисел, произведенное с
помощью умножения числителя и знаменателя на сопряженный зна-
менатель, дает:
А (^1+/Л2)—jB2) А^В^ + А^Въ ,А%ВХ — А^В2 /jy 55 \
В ~ (В1+]В2)(Вх-]Вг) ~ в2+в2 +J в21 + в2 1
Выражение (IV. 54), равное выражению (IV. 50), отличается от него
большим числом операций. То же следует сказать и в отношении вы-
ражений (IV. 55) и (IV. 51).
Возведение комплексного числа в степень^—11 (обращение комп-
лексного числа) представляет частный случаи деления:
и)-1=4=4*"'“=4- <IV- 56)
-О -Л -Л
или
<lv-57>
6*
83
В разделе IV. 3 была показана возможность представления сину-
соидальных функций с помощью вращающихся векторов (фиг. IV. 3).
Вектор, конец которого вращается в положительную сторону (про-
тив часовой стрелки) с угловой скоростью ф, аналитически может
быть выражен следующим образом:
Де/ («>/+») —
(IV. 58)
где А=Ае^ = А ^а.— комплексная амплитуда, представ-
ляющая данный вектор в момент t—Q (фиг. IV. 27). Множитель
является оператором
вращения: умножение ком-
плексной амплитуды на e)u>t
означает поворот вектора А
на угол в положительную
сторону.
Фиг. IV. 26. Сопряженные ком- Фиг. IV. 27. Представление вращаю-
плексные числа и их произведе- щегося вектора в комплексной форме,
ние.
Комплексная функция может быть выражена в тригонометриче-
ской форме:
ЛеИшМ-«)==Лсоз (ш£+а)4- JA sin (orf-f-a). (IV. 59)
Эта формула показывает, что всякая синусоидальная функция
A sin(a>/-|-a) может рассматриваться как мнимая часть комплексной
функции, взятая без множителя /, что условно математически запи-
сывается так:
A sin (<о/ + a)=Im Ае1 (ш/+а) = Im Ae'mt. (IV. 60)
Символ Im (Imaginare) обозначает, что берется мнимая часть
комплексной функции без множителя /.
Аналогичным образом косинусоидальная функция может быть
представлена как действительная часть комплексной функции:
Л cos (ф^+а) = ЕеЛ^ш/,
(IV. 61)
84
где символ Re (Real) обозначает, что берется действительная
часть комплексной функции.
Сложение, вычитание, дифференцирование, интегрирование функ-
ций может быть в соответствии со сказанным выше заменено произ-
водством тех же операций над мнимыми частями комплексных функ-
ций. В свою очередь операции над мнимыми частями комплексных
функций могут быть замененыюперациями над самими комплексными
функциями с последующим выделением мнимой части полученного
результата. Объясняется это коммутативностью операций
сложения, вычитания, дифференцирования и интегрирования относи-
тельно символической операции Im или Re.
Данное положение вытекает из следующих очевидных тождеств:
Im (Д1?Ш1') ± Im (А = Im (Дге}а>'1 ± Д^*”'); (IV. 62)
A [Im (Д?“')] = Im А (д^); (IV. 63)
at at
J Im (Де*0') dt = Im J Д?ш' dt. (IV. 64)
Следует заметить, что правило коммутативности указанных опе-
раций относительно символической операции Im или Re не распро-
страняется на операции умножения и деления, так как
Im Im Д2?“2' / Im (Д1е/ш,/Д 2?ш*'); (IV. 65)
Im , т А^
(IV. 66)
Пример IV. 7. Представить в комплексной форме синусоидаль-
ный ток i=10 sin ( mt—— |.
\ 4 /
Комплексная амплитуда тока равна
. те
10е-7г=10/—45°.
Заданный синусоидальный ток равен мнимой части комплексной
функции вида:
10е. 4 10
Пример IV. 8. Написать выражение синусоидальной функции, со-
ответствующей произведению комплексных функций:
-'г
j5e и
7'(ш/+г)
10е 6 .
85
Имея в виду, что j — e 2 , получаем
.ТС , ТС . тс .ТС
J5e~'*=5e ’А-бА.
Отсюда
У F 7 (ш*+ ?-) 1 (“>*+ ?-)
5е 6 -10е v 6 = 50е v 3 .
Этому комплексному выражению соответствует синусоидальная
функция
50 sin ( at + —.
\ 3 /
IV. 9. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме
Рассмотрим применение комплексного метода в случае последо-
вательного и параллельного соединений пассивных элементов г, L, С.
Последовательное включение г, L, С
Положим, что в уравнении напряжений
u=ri + L-^ + ^-^idt (IV. 67)
заданными являются параметры г, L, С и синусоидальное напряже-
ние u=Um sin(o>/-|-ty) на зажимах цепи, а искомой величиной яв-
ляется ток i(Z). Поскольку здесь рассматривается установившийся
режим цепи синусоидального однофазного тока, решение данного ин-
тегро-дифференциального уравнения будем искать в форме синусои-
дальной функции 1=1т sin(o>/-|-ty—?).
Пусть в соответствии с предыдущим параграфом заданное
синусоидальное напряжение символизируется комплексной функ-
цией Umelwt, а искомый синусоидальный ток Z (f) —комплексной
функцией Комплексные амплитуды напряжения и тока
равны, соответственно йт=ите^ и
Интегро-дифференциальное уравнение (IV. 67) переписывается
при этом следующим образом:
Im Um^ = Im rLe^1 + Im L — 1е>ш‘ + Im — f dt. (IV. 68)
dt C J
Пользуясь правилами коммутативности операций сложения, диф-
ференцирования и интегрирования относительно символической опе-
рации 1ш, преобразуем уравнение (IV. 68) следующим образом:
Im Umeiat=Im + £ А / + _L С 4^dt\. (IV. 69)
L «* с j
86
Уравнение (IV. 69) удовлетворяется при условии, что комплекс-
ные выражения, над которыми в дадном уравнении производится
операция Im, равны друг другу, т. е.
йтеН=г!те^+1 /т^+^ f 7Ут/ Л
dt С J
или, что то же,
и те>^=г1те^+jMme^+/-im (IV. 70)
Следует обратить внимание на то, что при интегрировании функ-
ции е^{ постоянная интегрирования опущена, поскольку в рассмат-
риваемом здесь установившемся режиме цепи синусоидального одно-
фазного тока электрические заряды или напряжения на зажимах
конденсаторов представляют синусоидальные функции, не содержа-
щие постоянных слагаемых.
В результате сокращения всех частей уравнения (IV. 70) на мно-
житель получается алгебраическое комплексное уравнение, вы-
ражающее второй закон Кирхгофа для комплексных амплитуд:
ит = rim+j^Llm+±-jm. (IV. 71)
После вынесения за скобку и введения условного обозначения
Z=r + >£ + -т1-=г + J ----У (IV. 72)
\ шС /
для комплексного полного сопротивления рассматриваемой электри-
ческой цепи получается уравнение
om=zim, (IV. 73)
выражающее закон Ома для комплексных амплитуд. Разделив обе
части уравнения (IV. 73) на Y2, получим закон Ома для комплекс-
ных действующих значений:
U = ZI. (IV. 74)
Аналогичным образом делением обеих частей уравнения (IV. 71)
на Y 2 получается второй закон Кирхгофа для комплексных дей-
ствующих значений:
U--=ri+j«>Li+ — i. (IV. 75)
J(D С
Комплексное полное сопротивление Z представлено в выражении
(IV. 72) в алгебраической форме. Та же величина, написанная в три-
гонометрической и показательной формах, имеет вид:
Z=zcos<p + jz sin <р; (IV. 76)
Z=zeK (IV. 77)
87
Полное сопротивление z и угол полного сопротивления определя-
ются в соответствии с (IV. 33) и (IV. 34), т. е.
z =
<1)£ ------
, <1>С
9 = arc tg----------------
На основании (IV. 73) комплексная амплитуда тока
f ___________________Um___Um J (Ф—f)
т~ Z~ z
где ф—9 — начальная фаза тока. Следовательно, искомый ток в три-
(IV. 78)
гонометрической форме
i = Im irneiml — sin (<of +
+ ф-?), (IV. 79)
Фиг. IV. 28. Векторная диаграмма для
случая последовательного соединения
г, L, С.
что совпадает с результатом, по-
лученным ранее в разделе IV. 6.
Следует заметить, что уравне-
ние (IV. 75) можно рассматри-
вать как алгебраическую
интерпретацию вектор-
ной диаграммы фиг. IV.28,
вычерченной на ком-
плексной плоскости,
где Ur=rl—падение напряжения в активном сопротивлении г
(совпадает по фазе с током /);
UL=j<s>Li—падение напряжения в индуктивном сопротивле-
нии, опережающее ток / на угол -у;
Uc= — j — I—падение напряжения в емкостном сопротивлении,
а>С
отстающее от тока 7 на угол
Пример IV. 9. Вычислить комплексным методом искомые величи-
ны примера IV. 4.
Комплексное полное сопротивление цепи
Z=г—jxc = 30 -/66,4 = 72,8 / — 65°40'.
Комплексное действующее значение тока
/= — =------—-----= 1,65 / 65°40'.
Z 72,8 ^-65°40'
Ток I опережает приложенное напряжение U на угол <pi=65°40'. Па-
дение напряжения в сопротивлении г
Ur= г! =30-1,65 Z 65°40' = 49,5 65°40'.
88
Падение напряжения в конденсаторе
йс= - jxcI= -у66,4-1,65 Z 65°40' = 109,5 Z -24°20'.
Параллельное соединение г, L, С
Пользуясь рассуждениями, аналогичными приведенным выше,,
можно прийти к комплексной форме законов Ома и Кирхгофа длят
электрической цепи, состоящей из пассивных элементов г, L, С, со-
единенных параллельно.
Ограничиваясь записью для комплексных действующих значений
токов, имеем в соответствии с первым законом Кирхгофа
i=gu + -^-+j^cu.
]<oL
(IV. 80}
Здесь Ir—gU—ток в сопротивлении г (совпадает по фазе с на-
пряжением);
f . й /
lL=—j------ток в индуктивности (отстает от напряжения на
тс \ .
Т/ ’
ic—j®CU—ток в емкости ^опережает напряжение на -y-j.
Геометрической интерпретацией уравнения (IV. 80) служит век-
торная диаграмма фиг. IV. 29.
Выражение
Y=g+4-t+j^C=g-j(^--^C\ (IV.81>
представляет собой комплекс-
ную полную проводимость
рассматриваемой электрической це-
пи. Уравнение
i=YU (IV. 82)
выражает закон Ома в комплексной
форме.
Тригонометрическая и показа-
тельная формы комплексной полной
проводимости имеют следующий
вид:
Y=y cos ср—jy sin <р (IV. 83)
и
У=уе~К (IV. 84)
Фиг. IV. 29. Векторная диаграмма
для случая параллельного соеди-
нения rt L, С.
Полная проводимость у и угол полной проводимости ср определя-
ются в соответствии с (IV. 40) и (IV. 41).
89‘
На основании (IV. 82) комплексное действующее значение тока
.равно
/=Х/?(ф"т), (IV. 85)
что соответствует синусоидальному току
i = Irn/me'w=X/msin (^ + ф-?). (IV. 86)
Пример IV. 10. Вычислить комплексным методом искомые вели-
чины примера IV. 6.
Комплексная полная проводимость цепи
r=g+y&c = 0,001 + /0,002512 = 0,00269 Z68°20'.
Комплексное действующее значение суммарного тока в цепи
/= YU= 0,00269 Z 68°20' • 120 = 0,323 Z 68°20'.
Ток / опережает приложенное напряжение U на угол ®(=68°20'.
Ток в сопротивлении
4=g/7=0,001-120=0,12 а.
Ток в емкости
jc=jbcU = /0,002512-120 = /0,301 а.
IV. 10. Мощность в цепи синусоидального однофазного тока
Положим, что за элементарный промежуток времени dt через
электрическую цепь (приемник энергии) под воздействием напряже-
ния и проходит электрический заряд dq. Элементарная работа, со-
вершаемая за этот промежуток времени, равна dA—udq=uldt.
Мгновенная мощность определяется как производная ра-
боты по времени:
Р = = (IV. 87)
at
т. е. мгновенная мощность подобно мощности постоянного тока равна
произведению мгновенных значений напряжения и тока.
Мгновенная мощность представляет алгебраическую величину;
она положительна при одинаковых знаках и и I.
Если положительные направления для напряжения и тока приня-
ты совпадающими, то при р>0 энергия поступает от источника к
приемнику, а при р<0 — энергия возвращается из рассматриваемой
цепи в источник.
Одновременное изменение положительных направлений тока и
напряжения на обратные (фиг. IV. 30) не влияет на знак мгновенной
мощности.
Пусть напряжение и ток синусоидальны:
u=t7wsin ф/, Z=/Wsin(o)/—<?).
«90
Тогда мгновенная мощность
знака мощности при
Фиг. IV. 30. Сохранение
одновременном изменении положительных на-
правлений тока и напряжения.
p=ul=2UI sin ф/ • sin(o)Z—cp) = (7/[cos 9—cos(2o>/—ср)]. (IV. 88)
Выражение (IV. 88) показывает, что мгновенная мощность состоит
из двух частей: постоянной величины UI cos ср и синусоидальной —
UI cos (2ф/—ср), имеющей удвоенную частоту по сравнению с часто-
той напряжения и тока. Следовательно, в отличие от цепи постоян-
ного тока скорость поступ-
ления энергии в цепь в
данном случае не сохра-
няется постоянной.
Среднее значение мощ-
ности за период, называе-
мое активной мощ-
ностью, равно постоян-
ной слагающей выражения
(IV. 88) (срёднее значение синусоидальной слагающей, совершающей
за период Т два цикла, равно нулю):
т
р —_L Сuidt~UIcos ср.
Т J
о
Активная мощность измеряется в ваттах (вт).
Множитель cos ср носит название коэффициента мощно-
сти. Как видно из (IV. 89), активная мощность равна произведению
действующих значений напряжения и тока, умноженному на коэффи-
циент мощности.
Коэффициент мощности cos ср приемника электрической энергии
зависит от угла ср полного сопротивления данного приемника; чем
ближе угол ср к нулю, тем ближе cos ср к единице и, следовательно,
тем большая при заданных значениях U и I активная мощность пере-
дается источником приемнику.
Повышение коэффициента мощности промышленных электроуста-
новок представляет важную технико-экономическую задачу («про-
блема cos ср»).
С учетом (IV. 32), (IV. 36), (IV. 39) и (IV. 42) преобразуем вы-
ражение активной мощности:
P=zP cos ср — Рг,
P—yLP cos ср = LPg.
(IV. 89)
(IV. 90)
Активная мощность может быть также выражена через активную
составляющую тока (/а=^cos ср) или напряжения (t7a=t/cos 9):
P=UI cos <?=Ul£=UJ. (IV. 91)
Рассмотрим три характерных случая:
1) цепь с активным сопротивлением;
2) реактивная цепь;
3) смешанная цепь.
91
Случай 1: цепь с активным сопротивлением (?=0).
При cos ср = 1 в соответствии с (IV. 88)
р=[7/[1— cos2«>f|, (IV. 92)
т. е. мгновенная мощность колеблется с удвоенной угловой частотой
(2о>) около среднего значения P=UI (фиг. IV. 31).
и
Фиг. IV. 31. Колебание мощно-
сти в цепи с активным сопро-
тивлением.
Мгновенная мощность все время по-
ложительна: энергия поступает от ис-
точника к приемнику и возврата энер-
гии в источник не происходит. Вся энер-
гия, поступающая в приемник, преоб-
разуется в тепло.
Случай 2: реактивная цепь
I 1 к \
® = ч---.
\ — 2 )
При cos ср = 0 в соответствии с
(IV. 88)
p=^UI sin 2«>/; (IV. 93)
верхний знак относится к случаю индуктивной цепи
ср = —) ,• а ниж-
2 /
ний — к случаю емкостной цепи ср=—. Через каждую четверть
периода знак мгновенной мощности изменяется (фиг. IV. 32 и
IV. 33): приемник то запасает (р>0), то расходует энергию, возвра-
щая ее источнику (р<Х)).
Фиг. IV. 32. Колебание мощно-
сти в индуктивной цепи.
Фиг. IV. 33. Колебание мощ-
ности в емкостной цепи.
Поступая в приемник, энергия временно запасается в магнитном
или электрическом поле, а затем возвращается источнику при исчез-
новении поля.
В случае индуктивной цепи энергия магнитного поля достигает
/ LI2 \
максимума I------I в момент перехода тока в индуктивности через
амплитудное значение, затем она убывает и обращается в нуль при
токе, равном нулю. Соответственно в случае емкостной цепи энергия
( CU<1m \
электрического поля достигает максимума I—— I при амплитудном
92
значении напряжения на зажимах конденсатора; затем она убывает и
обращается в нуль при напряжении, равном нулю.
Таким образом, происходят колебания энергии между источником
и приемником, причем электромагнитная энергия не преобразуется в
другие виды энергии, например, в тепловую, и активная мощность
равна нулю (Р=0).
В случае индуктивной цепи мгновенная мощность равна скорости
изменения энергии магнитного поля:
г di
p = ut = L —
г dt
_ dWL
dt
(IV. 94)
dt \ 2 )
Соответственно, в емкостной цепи мгновенная мощность равна ско-
рости изменения энергии электрического поля:
„du d I Си*\ dWr /ТЛ7 ЛЕ-Ч
р = ut = иС — = — ------- =------— . (IV. 95)
г dt dt \ 2 / dt v 7
Случай 3: смешанная цепь.
Рассмотрим в виде примера случай активно-индуктивной цепи
На основании (IV. 88)
p=UI cos ср—UI cos(2a)t—<?),
причем l>cos ?>0.
Как видно из фиг. IV. 34, мгновенная мощность колеблется с угло-
вой частотой (2 о>) около оси, отстоящей от оси абсцисс на
P=UIZQS ср.
Хотя мгновенная мощность
принимает отрицательные значе-
ния (когда и и i имеют разные
знаки), однако в течение большей
части периода она положительна
и, соответственно, положительные
площади кривой р преобладают
над отрицательными. В резуль-
тате средняя мощность за период,
т. е. активная мощность,
Фиг. IV. 34. Колебание мощности в
активно-индуктивной цепи.
Р>0.
В электрических системах, в которых источниками электрической
энергии являются генераторы переменного тока, мощность полу-
чается от первичных двигателей, приводящих генераторы во враще-
ние. В радиотехнике и электронике, где синусоидальные колебания
создаются с помощью электронных устройств, мощность получается
от источников постоянного тока, питающих ламповые генераторы или
другого рода устройства.
Амплитуда синусоидальной составляющей мгновенной мощности
равна произведению действующих значений напряжения и тока:
S=UI. (IV. 96)
93
Эта величина носит название п о л н о й (кажущейся) мощно-
c. т и и измеряется ввольтамперах (ва).
На основании (IV. 89) и (IV. 96) коэффициент мощности равен
отношению активной мощности к полной:
cos<? = —. (IV. 97)
При расчетах электрических цепей пользуются также понятием
«реактивная мощность»:
Q = = ]/(Z7Z)2-(£ZZcos<p)2=UI sin % (IV. 98)
которая измеряется в реактивных вольтамперах (вар).
Очевидно,
sin? = -^-, tg<p = -|-. (IV.99)
О Jr
С учетом (IV. 32), (IV. 36), (IV. 39) и (IV. 42) преобразуем выраже-
ние реактивной мощности
Q = zZ2sin<p = Z2x, 1 (IV. 100)
Q=J£/2Sin<p = £Z2Z». J
Реактивная мощность может быть также выражена через реактив-
ную составляющую тока (ZP=Z sin ») или напряжения ((7Р=
—U sin <р):
Q—Z7Z sin v=UI<=UJ.
В соответствии с принятым ранее правилом знаков для угла 9
величина реактивной мощности положительна при отстающем токе
(индуктивная нагрузка) и отрицательна при опережающем токе (ем-
костная нагрузка).
Для индуктивности и емкости реактивные мощности Q£ и Qc
могут быть представлены следующим образом:
я ZZ2
Q,=UI sin — = UI = coZZ2 = <o —* = ® W£max.
Z-r q 0 ^Шад
( « \ cu2m
Qc=UI‘s\n{-----= —UI= —wCU2= —Ш------------= — <oIVCmax,
и \ 2 / 2
где и Wcm£lx — максимальные значения энергии, периодически
запасаемые в магнитном и электрическом полях индуктивности и
емкости. Реактивная мощность пассивной цепи, равная алгебраиче-
ской сумме реактивных мощностей для индуктивностей и емкостей,
входящих в состав данной цепи, равна
Q = S (Qi + Qc) = <*> (Zj ^^max S ^СШах) .
Пример IV. 11. Через электрическую цепь, состоящую из последо-
вательно соединенных элементов L и С, проходит синусоидальный ток
1=1 т Sin О)/.
94
Пользуясь энергетическими соотношениями (IV. 94) и (IV. 95)»
вывести выражение для мгновенной мощности цепи.
Энергия магнитного поля
Li* Lil
WL = — = — sin2 W.
L 2 2
Энергия электрического поля
CU2m 9 ±
Wc=------=------cosW.
c 2 2
Следовательно, мгновенная мощность цепи
р =pL +рс = (1Г£ + Wc) = <s>LI2m sin mt cos mt—
— o)Ci7^sin <nt cos = (coA/2— (dC67^) sin 2&t = (ULI—UCI) sin 2&t.
Полученное выражение соответствует (IV. 93), причем первое сла-
гаемое положительно, а второе отрицательно, потому что начальная
фаза тока Z равна нулю.
IV. 11. Комплексная форма записи мощности
Положим, что через электрическую цепь проходит синусоидаль-
ный ток, причем положительные направления тока и напряжения на
зажимах цепи приняты совпадающими (фиг. IV. 35).
Фиг. IV. 35. Положительные направления (а)' и
комплексные действующие значения (б) тока и
напряжения.
Комплексные действующие значения тока и напряжения равны
соответственно (фиг. IV. 35):
1=1е^ и и=и^.
Фазовый сдвиг I относительно и равен разности начальных фаз:
<с = ф2— фл.
Умножим IJ на комплексное действующее значение тока I, сопрЯ'
женное с /:
ОТ=Ule’b e-ib = Ulei <*»-*•).
95
Отсюда следует, что
. *
UI == Z7/cos с? + jUI sin ср
или, что то же,
5=(7Z=P+yQ. (IV. 101)
Таким образом, комплексная величина S имеет действительную
часть, равную активной мощности, и мнимую часть, равную реактив-
ной мощности.
Модуль S равен полной мощности.
S носит название мощности в комплексной форме или ком-
плексной мощности и может быть представлено графически
на комплексной плоскости (фиг. IV. 36).
Фиг. IV. 36. Треугольник
мощностей на комплекс-
ной плоскости.
Фиг. IV. 37. Иллюстрация
к примеру IV. 12.
Некоторыми авторами вместо произведения UI берется произве-
ди •
щение UI. В этом случае мнимая часть комплексного числа S полу-
чается со знаком минус, т. е. реактивная мощность при отстающем
токе оказывается отрицательной.
Мы будем пользоваться в дальнейшем выражением комплексной
мощности по формуле (IV. 101).
Пример IV. 12. В контуре г, L действует э. д. с. Е (фиг. IV. 37).
Дано: г=30 ом, ш£=40 ом, Е=100 в. Требуется определить актив-
ную, реактивную и полную мощности.
Комплексное полное сопротивление цепи
Z=3o + j4O = 5Oe/S3°10' ом.'
Комплексное действующее значение тока
Комплексная мощность
8=Ё1= 100-2<?'53’10' = 200 cos 53°10' + /200 sin 53°10' = 120 + /160.
Следовательно,
Р=120 вт, Q=160 вар, S=200 ва.
Проверка:
р=/2Г=22. зо==12О вт.
96
IV. 12. Условие передачи источником максимума мощности
приемнику
На практике часто возникает необходимость подбора сопротивле-
ния нагрузки таким образом, чтобы при заданном сопротивлении
источника обеспечивалась передача максимума активной мощности
от источника приемнику. Обозначим сопротивление источника напря-
жения через Zo=ro-|-/Xo и сопротивление нагрузки через Z=r-\-jx
(фиг. IV. 38).
Активная мощность, потребляемая нагрузкой, равна
Р=Рг
Егг ЕЧ
|Z04-Z|2 (Го4-г)24-(хоЧ-х)2
(IV. 102)
Будем сначала изменять реактивное сопротивление %. Очевидно,
при любом значении г ток и, соответственно, активная мощность до-
стигают наибольшей величины при
х=— х0, ' (IV. 103)
т. е. при условии, что реактивные сопротив-
ления источника и приемника взаимно ском-
пенсированы и, следовательно, суммарное
сопротивление цепи — активное.
В этом случае
Р=—. (IV. 104)
(Го+г)3
Фиг. IV. 38. Передача
энергии от источника
приемнику.
Найдем теперь условие максимума функции (IV. 104) в предполо-
жил п
жении, что г — переменная величина, т. е. из условия, что — = 0,
откуда
(roW-2r(ro+r)=O
пли
rQ-]-r—2г=0.
Следовательно, в дополнение к (IV. 103) получается условие:
г=г0. (IV. 105)
На основании найденных равенств заключаем, что условием пере-
дачи источником максимума активной мощности приемнику является
равенство
Z = Z^ (IV. 106)
где Zq — комплексное сопротивление, сопряженное с Zo.
При соблюдении этого условия приемник потребляет мощность
(IV. 107)
о
и коэффициент полезного действия равен 0,5 аналогично тому, как
это имело место при постоянном токе (раздел I. 5).
7 Г. И. Атабеков
97
Если сопротивление источника имеет активно-индуктивный ха-
рактер, то на основании (IV. 106) сопротивление приемника должно
быть активно-емкостным.
Такая компенсация реактивного сопротивления цепи осуществ-
ляется на практике с помощью конденсаторов, включаемых последо-
вательно или параллельно нагрузке.
Рассмотрим теперь условие передачи максимума полной мощности
источником приемнику.
Полная мощность на зажимах нагрузки равна
£ _ pg __ E*z _____________&z_________
|Z°+Z|2 г2|1+—
I ZQ I
где ? и cpo — углы полных сопротивлений Z и Zo.
После преобразований имеем
(IV. 108)
Приняв величину z за переменную, записываем условие максиму-
ма функции 5:
*? = 0,
dz
1 4-2 —cos (?—90) +
Z0
zf 2 —cos (?—<Ро) 4-2-^-1 = О
ZQ ZQ
ИЛИ
следовательно
z='z0. (IV. 109)
Подстановка (IV. 109) в (IV. 108) дает:
5 =________—_______
гаах 2z0[l+cos(T-?0)]‘
Таким образом, передача максимума полной мощности в нагрузку
достигается при равенстве модулей полных сопротивлений нагрузки
и источника. При этом передаваемая мощность тем больше, чем боль-
ше разнятся углы полных сопротивлений Z и Zo.
Условия передачи максимума активной или полной мощности ши-
роко используются в электроавтоматике, приборостроении, радио-
технике и проводной связи.
98
IV. 13. Баланс мощностей
Из закона сохранения энергии следует, что для любой электриче-
ской цепи соблюдается закон баланса активных мощностей: активная
мощность, генерируемая источниками, равна активной мощности, по-
требляемой нагрузкой.
В свою очередь, можно показать, что и сумма отдаваемых реак-
тивных мощностей равна сумме потребляемых реактивных мощностей.
Если воспользоваться комплексной формой записи токов, напря-
жений и мощностей, то высказанные положения будут вытекать из
следующих рассуждений.
Для электрической цепи, содержащей q узлов, можно записать по
первому закону Кирхгофа q—1 уравнений вида
Л1 + Л2+ • • . + 4, 7-1 +Ло = О>
где положительные направления всех токов приняты от узла k к уз-
лам 1, 2 и т. д. Узел, принимаемый за базисный, отмечен индексом 0.
Умножим каждое из уравнений на комплексное узловое напряжение,
отсчитываемое от соответствующего узла к базисному, и просумми-
руем эти произведения:
^ю(Аз + Аз+ • • • + До) + ^20 (41 + 4з + • • • + 4о) + •• • •
• • • + ^7-1,о (4-1,1 + 4-1,2+ . • • +4-i,o)=O,
откуда с учетом того, что
. . . * «
^4о Ukm И ^mk
получим:
. * . * . *
4-^АзЛз • • • 4“ ^4—1, о4—1» о = 0.
Итак, сумма комплексных мощностей, потребляемых во всех вет-
вях электрической цепи, равна нулю-, следовательно, также равны
нулю в отдельности алгебраические суммы действительных и мнимых
частей комплексных мощностей.
Иначе говоря, равна нулю как алгебраическая сумма потребляе-
мых во всех ветвях цепи активных мощностей, так и алгебраическая
сумма потребляемых реактивных мощностей. Поскольку отрицатель-
ные потребляемые мощности представляют собой мощности отдавае-
мые, то отсюда следует закон баланса как активных, так и реактив-
ных мощностей.
7*
Глава V
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СХЕМ И МЕТОДЫ РАСЧЕТА
ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
СИНУСОИДАЛЬНОГО ОДНОФАЗНОГО ТОКА
V. 1. Применимость правил преобразования электрических схем
и методов расчета цепей постоянного тока в случае цепей
синусоидального однофазного тока
При любой схеме электрической цепи синусоидального однофаз-
ного тока, не содержащей взаимной индуктивности, уравнения, выра-
жающие законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме, имеют совер-
шенно такой же вид, как и уравнения, выражающие те же законы
при постоянном токе. Отличительная особенность заключается толь-
Фиг. V. 1. Последовательное (а) и
единения.
параллельное (б) со-
ко в том, что в случае цепи синусоидального тока в уравнения входят
комплексные сопротивления или проводимости, комплексные ампли-
туды (или действующие значения) токов, напряжений, э. д. с.
Поэтому все правила преобразования схем электрических цепей
постоянного тока (см. гл. II) остаются применимыми и к цепям сину-
соидального однофазного тока.
Например, в случае последовательного соединения элементов
(фиг. V. 1,а) алгебраически суммируются их комплексные полные со-
противления:
(V. 1)
100
При этом, если Z* представляют сопротивления одинакового харак-
тера, активно-индуктивного или активно-емкостного (фиг. V. 2), то
эквивалентное сопротивление Z находится в результате арифметиче-
ского сложения в отдельности активных сопротивлений ,г?с и индук-
тивностей Ал или обратных емкостей — :
Ck
Z = r+j^L или Z = r + —(V. 2)
J<i)C
где
Фиг. V. 2. Последовательное соединение.
В случае параллельного соединения элементов (см. фиг. V. 1,6)
алгебраически суммируются их комплексные проводимости:
(v-4)
При этом, если Ул представляют проводимости одинакового харак-
тера, активно-индуктивного или активно-емкостного (фиг. V. 3), то
эквивалентная проводимость У находится в результате арифметиче-
ского сложения в отдельности активных проводимостей g* и емко-
стей или обратных индуктивностей — :
Lk
Y=g+j®C или K=g‘ + -i-, (V.5)
jo) А
где
С=2С» т-2т,- <v-6>
Для цепей синусоидального однофазного тока формулы преобра-
зования многоугольника в эквивалентную звезду или обратно, заме-
ны источника напряжения эквивалентным источником тока и т. д.
отличаются от аналогичных формул, выведенных в гл. II для цепей
постоянного тока, только тем, что вместо омических сопротивлений
и проводимостей они содержат комплексные сопротивления и прово-
димости.
101
Ввиду того что сопротивления индуктивных и емкостных элемен-
тов зависят от частоты, эквивалентность схем, основанная на равен-
стве результирующих сопротивлений, может в некоторых случаях
иметь место только при определенной, фиксированной частоте. Так,
например, схемы фиг. V. 4,а и б эквивалентны, если сопротивление
и проводимость У2=— 4—— взаимно обратны, т. е.
г2 /о)£2
v 1
если удовлетворяется условие У2=—, откуда
ri+J&Li г 2 JmL2
В этом случае
И; J у 1
^"1 “Ь ^"1 Г2
Приравнивая в отдельности действительные и мнимые части, по-
лучаем:
_____гл___= —__________________________________ =—е (V.7)
r2 ’ <oL2'
Следовательно, если задана схема фиг. V. 4,а, то параметры г2
и L2 эквивалентной схемы фиг. V. 4,6 зависят от частоты ф.
Выбрав частоту ф и вычислив параметры г2 и L2 по формулам
(V. 7), получаем схему, эквивалентную заданной только при фикси-
рованной частоте ф; при других значениях ф схемы будут иметь не-
равные сопротивления, т. е. эквивалентность схем нарушится.
102
То же можно сказать и в отношении схем фиг. V. Ъ,а и б, условием
эквивалентности которых служат равенства:
или
откуда
(V.8)
Наряду с сохранением общих правил преобразования электриче-
ских схем (см. гл. И) остаются в силе также и методы расчета цепей
постоянного тока (см, гл, II) применительно к цепям синусоидального
однофазного тока.
б)
Фиг. V. 5. Схемы с после-
довательным (а), и па-
раллельным (б) соеди-
нением активного сопро-
тивления и емкости, экви-
валентные при опреде-
ленной частоте.
Фиг. V. 4. Схемы с после-
довательным (а) и парал-
лельным (б) соединением
активного сопротивления
и индуктивности, экви-
валентные при опреде-
ленной частоте.
Если заданная электрическая цепь не содержит элементов, связан-
ных друг с другом взаимной индукцией, то, как уже указывалось
выше, уравнения, записываемые по методу контурных токов, узловых
напряжений и т. д., не отличаются по своему виду от аналогичных
уравнений цепи постоянного тока, если не считать того, что входя-
щие в них величины являются комплексными.
При этом, так же как в цепях постоянного тока, в данном случае
произвольно выбирается положительное направление синусоидаль-
103
ного тока; в этом направлении, в одном из полупериодов, перемеща-
ются положительные заряды электричества Ч
Точно так же сохраняют силу и все теоремы, изложенные в раз-
деле цепей постоянного тока, как-то: теорема об эквивалентном ис-
точнике, теорема взаимности, теорема компенсации и др. Эти теоре-
мы носят общий характер; они применимы к линейным электриче-
ским цепям как постоянного, так и переменного тока.
То же следует сказать и в отношении различных вычислительных
приемов и правил.
I
Фиг. V. 6. Распределение паде-
ний напряжения при последо-
вательном соединении.
Фиг. V. 7. Распределение
токов при параллельного
соединении.
Например, падения напряжения в цепи с последовательно вклю-
ченными комплексными сопротивлениями Z± и Z2 (фиг. V. 6) распре-
деляются прямо пропорционально комплексным сопротивлениям:
в =—й; й.=——й.
U2 Z3 2^14-2^2 21-г^2
Соответственно, при параллельном соединении (фиг. V. 7) токи
распределяются прямо пропорционально комплексным проводимо-
стям:
4= ; Л = —— /; /2=------------ — 7,
или обратно пропорционально комплексным сопротивлениям:
4-=— ; А = — /; /2 = —-— 7,
/2 Zt Zt+Z2 Zt+Z2
т. е. ток одной из двух параллельных ветвей равен общему току, умно-
женному на сопротивление другой ветви и деленному на сумму сопро-
тивлений обеих ветвей.
Можно было бы привести множество аналогичного рода приме-
ров, свидетельствующих о применимости правил и методов расчета
цепей постоянного тока в случае цепей синусоидального однофазного
тока при пользовании комплексной формой записи.
При этом следует помнить, что комплексные сопротивления и про-
водимости зависят от частоты, поэтому данные, получаемые в резульг
1 Следовательно, в отличие от постоянного тока, который может не совпа-
дать с выбранным положительным направлением, синусоидальный ток в одном
из полупериодов совпадает с выбранным положительным направлением
104
тате численных расчетов электрических цепей синусоидального токаг
являются справедливыми только для заданной частоты; изменение ча-
стоты источника электрической энергии влечет за собой изменение ве-
личины и фазы токов и напряже-
ний в цепи.
Особенности расчета электри-
ческих цепей при наличии явле-
ния взаимной индуктивности рас-
сматриваются в следующем пара-
графе.
Пример V. 1. Определить ток
/ и напряжение U в схеме фиг.
V.8. Дано: £*=100 в, rt=15 ом,
г2 = 10 ом, <»£ = 20 ом,— = 30 ом.
О)С
Фиг. V. 8. Иллюстрация к приме-
ру V.I.
Комплексное сопротивление цепи, состоящей из г2 и С, соединен-
ных параллельно, равно
1
2>с _=Л0^0 = 9_ .3 ом
1 10—730 J
2+ . г
J&C
Результирующее сопротивление всей цепи равно
1
Z = г, + ---15 + /20 + 9 -3/ = 24 +/17 ом.
г2+“
jwC
Ток в цепи
Ё 100 о ,л
—=----------= 2,76—/1,94 а.
Z 24 +/17 7
Падение напряжения
6/=(9-/3) (2,76-/1,94) = 19-/25,8 в.
Пример V. 2. В схеме фиг. V. 9,а определить токи во всех ветвях
методом контурных токов и ток в ветви Z3 по теореме об эквивалент-
ном источнике.
Выбрав положительные направления контурных токов l\ и /2, ука-
занные на схеме, записываем контурные уравнения:
А == (Zx + Z3) Д zj2,
—£%= —(^2+^3) 4-
105
Решение этих уравнений относительно Л и /2 дает
Jr _ (Z2 + Z3) ^2^3
1- (Z1+Z3)(Z2+Z3)-Z2 ’
j______EiZ3 — Ё% (Zt 4-Zp)
2— (Z1+Z3)(Z2+Z3)-Z2 •
Контурные токи Л и /2 являются токами в ветвях Z± и Z2. Ток в
ветви Z3 равен разности контурных токов.
У у ______^*1^2 ~ь ^2^1__
1 2“ (Z1+Z3)(Z2+Z3)-Zf
Фиг. V. 9. Иллюстрация к примеру V. 2.
Напряжение U при разомкнутой ветви Z3 находится согласно схе-
ме фиг. V. 9,6 по формуле:
__р yr ^2 ^1^2 4“-^2^1
Zi4-Z2 Zi+Z)
Внутреннее сопротивление эквивалентного источника, измеренное
между разомкнутыми зажимами при отсутствии э. д. с., будет
%___ ZjZ2
°~ Zj+Z2
На основании теоремы об эквивалентном источнике искомый ток в
ветви Z3 равен
j U E^Z2A-E2Z\ . ZjZ2 . E^Z^A-E^Z^
Zq-\-Z3 Zi+Zz • Z’1H-Z2 - Z1Z2+*ZiZ3 4-Z2Z3
что согласуется с результатом, полученным методом контурных то-
ков для цепи постоянного тока (см. пример III. 1).
V. 2. Расчет цепей с взаимной индукцией
При изменении магнитного поля, связанного с каким-либо витком,
в последнем наводится э. д. с., которая в соответствии с законом элек-
тромагнитной индукции Фарадея—Максвелла определяется скоро-
стью изменения магнитного потока независимо от того, чем вызвано
явление изменения потока.
106
В рассматривавшихся до сих пор случаях предполагалось, что из-
менение магнитного потока какого-либо индуктивного элемента обу-
словлено изменением тока h в самом элементе, т. е. до сих пор учи-
тывалось только явление самоиндукции.
Между тем, изменение магнитного потока индуктивного элемента
может быть также вызвано изменением тока Z2 в каком-либо другом
индуктивном элементе цепи, расположенном в непосредственной бли-
зости от первого. При этом в нем будет наводиться э. д. с. взаим-
ной индукции:
(V.9)
at
где М12 — взаимная индуктивность элементов 1 и 2, изме-
ряемая в генри (гн) или ом • сек.
12 12
Hill
UJJ J. UJJJ-T-- ' U J J J. . ULU-
A IlV А 0 0
Фиг. V. Ю. Индуктивно связанные элементы (согласное
включение).
В свою очередь, изменение тока Zi в первом элементе будет вы-
зывать изменение магнитного потока, а следовательно, и появление
э. д. с. взаимной индукции во втором элементе:
(V. 10)
Цепи, в которых наводятся э. д. с. взаимной индукции, называются
индуктивно связанными цепями.
Можно показать \ что в случае линейных цепей Af12=Af2i'=Af.
Формулы (V. 9) и (V. 10) соответствуют так называемому с о-
гласному включению 1 2 индуктивно связанных элементов, при ко-
тором положительное направление магнитных потоков самоиндукции
и взаимной индукции в каждом элементе совпадает. При этом поло-
жительные направления тока и создаваемого им магнитного потока
согласуются всякий раз по правилу правого винта.
Согласное включение двух индуктивно связанных элементов по-
казано на фиг. V. 10. Крестиками отмечены так называемые одно-
именные или однополярные зажимы (два других зажи-
ма составляют вторую пару одноименных зажимов).
Одноименные зажимы индуктивно связанных элементов характе-
ризуются тем, что при одинаковом направлении токов Zi и Z2 относи-
тельно этих зажимов магнитные потоки самоиндукции и взаимной
индукции в каждом элементе складываются.
1 Л. Р. Нейман, П. Л. Калантаров, Теоретические основы электротех-
ники, ч. I, Госэнергоиздат, 1954, стр. 256—258.
2 Термин «включение» применен в смысле взаимодействия токов.
107
Ток к, проходя через катушку 1, наводит в катушке 2 в соответ-
ствии с (V. 10) э. д. с. е2, положительное направление которой совпа-
дает с положительным направлением тока 12. Если при этом —>0,
dt
то е2——М — <0, т. е. потенциал зажима катушки 2, отмеченного
dt
крестиком, оказывается выше потенциала второго зажима той же ка-
тушки.
Фиг. V. 11. Схематическое изображение
индуктивно связанных элементов с обо-
значением одноименных зажимов.
Фиг. V. 12. Экспериментальное на-
хождение одноименных зажимов.
Отсюда можно заключить, что одноименные зажимы двух индук-
тивно связанных элементов обладают той особенностью, что йодведе-
ние к одному из них тока, возрастающего по величине, вызывает по-
вышение потенциала на одноименном зажиме второго элемента.
На фиг. V. 11 показано схематическое изображение индуктивно
связанных элементов с указанием одноименных зажимов.
м На свойстве повыше-
ния потенциала на зажи-
Фиг. V. 13. Согласное (а} и встречное (б)
включение индуктивно связанных элементов,
соединенных последовательно (4=4=0-
мах второй катушки при
подведении тока 4 к одно-
именному зажиму первой
катушки при условии, что
— >0, основано экспеои-
dt
ментальное нахождение
одноименных зажимов
индуктивно связанных ка-
тушек. Одна из них вклю-
чается в цепь источника
постоянного напряжения,
а к другой присоединяется вольтметр постоянного тока (фиг. V. 12).
Если в момент замыкания цепи источника стрелка измерительного
прибора отклоняется в сторону положительных показаний, то зажи-
мы индуктивно связанных катушек, подключенные к положительно-
му полюсу источника электроэнергии и к положительному зажиму
измерительного прибора, являются одноименными.
Фиг. V. 13, а изображает согласное включение двух индуктив-
но связанных элементов, соединенных последовательно: токи ii и i2
имеют одинаковые направления относительно одноименных зажимов;
следовательно, магнитные потоки самоиндукции и взаимной индук-
ции, сцепленные с каждым элементом, в этом случае складываются.
108
При согласном, включении катушек э. д. с. взаимной индукции
eiM=—М—, наводимая в положительном направлении (совпадаю-
dt
щем с направлением тока ь), может при обходе контура в том же
направлении быть заменена падением напряжения от взаимной ин-
дукции — е1м=М —. Поэтому напряжение на зажимах цепи в
dt
случае согласного включения выражается следующим образом:
и' = г А + L. + м +Lz + М =
dt dt dt dt
= (ri + r2)i + (£1 + ^ + 27W)-^. (V. 11)
Полученное выражение показывает, что цепь с согласным включе-
нием катушек эквивалентна катушке, имеющей активное сопротивле-
ние г'—т1-^-г2 и индуктивность £/=£1+£2+2Л1.
Таким образом, как и следовало ожидать, наличие явления взаим-
ной индукции при согласном включении катушек, соединенных после-
довательно, повышает общую индуктивность цепи.
На схеме фиг. V. 13,6 показано встречное включение двух
индуктивно связанных элементов, соединенных последовательно: токи
в элементах имеют направления, противоположные относительно
одноименных зажимов; поэтому магнитные потоки самоиндукции и
взаимной индукции, сцепленные с каждым элементом, вычитаются.
При встречном включении слагающие падения напряжения от вза-
имной индукции при обходе цепи в положительном направлении по-
лучаются со знаком минус:
dt dt dt dt
= (r1 + r2)^ + (ii + ^-2/W) -J♦ (V.12)
dt
Данное выражение показывает, что цепь со встречным включе-
нием катушек эквивалентна катушке, имеющей активное сопротивле-
ние г"=г±-\-г2 и индуктивность L"=Li+L2—2М. Следовательно, на-
личие явления взаимной индукции при встречном включении элемен-
тов, соединенных последовательно, понижает общую индуктивность
цепи.
Согласное и встречное включение двух индуктивно связанных эле-
ментов при произвольном их соединении условно изображено на
фиг. V. 14.
При согласном включении выражение падения напряжения взаим-
ной индукции берется со знаком плюс, а при встречном — со знаком
минус (предполагается, что обход цепи в обоих случаях совершается
в положительном направлении тока).
109
Представив ток в комплексной форме, получаем выражение ком-
плексной э. д. с. взаимной индукции для случая согласного включе-
ния:
- Ж = - j^Mi^ = Emeiwt,
откуда комплексное действующее значение
(V. 13)
и, соответственно, падение напряжения от взаимной индукции
O==jvMI. (V. 14)
Величина шЛ1 представляет собой комплексное сопротивление взаим-
ной индукции.
Фиг. V. 14. Согласное (а) и встречное (б) включение
двух индуктивно связанных элементов, соединенных
произвольно.
При встречном включении в приведенных выше выражениях
(V. 13) и (V. 14) знаки должны быть изменены на обратные. Сказан-
ное иллюстрируется векторными диаграммами фиг. V. 15.
Комплексные действующие значения напряжений, соответствую-
щие (V. 11) и (V. 12), имеют вид:
U' = [гх 4~г2 + 7ш (Ах + Дз + ЯТИ)] /,
U” = [гА + г2 +> + £2 - 2М)] L
(V.15)
E
U-juMI
---
a)
Фиг. V. 15. Векторные диаграм-
мы в случае согласного (а) и
встречного (б) включений ин-
дуктивно связанных элементов.
*)
Отсюда вытекает следующий спо-
соб нахождения взаимной индуктивно-
сти М: если через Z' обозначить ком-
плексное сопротивление цепи при со-
гласном включении последовательно
соединенных элементов, а через Z"— то
же при встречном их включении, т. е.
положить
Z' = ri + r2-f-/(b(£i-|-A24-2Af), 1
Z" = Г1 -f- r2 (£i + — 2Л1), J
то решение уравнений (V. 16) дает:
7f _ 7"
М = ------(V. 17)
у*4со
Порядок расчета разветвленных электрических цепей при наличии
взаимной индуктивности иллюстрирован ниже на примере схемы
110
фиг. V. 16. Предполагается, что элементы Llf L2 и L3, входящие в схе-
му, связаны друг с другом индуктивно.
Заданными являются э. д. с. Ё± и Ё2 и все параметры цепи. Иско-
мыми являются контурные токи Л и /2.
Воспользуемся методом контурных токов: совершая обход конту-
ров по направлению токов Л и /2, будем составлять уравнения напря-
жений по второму закону Кирхгофа с учетом падений напряжения в
сопротивлениях взаимной индукции. При согласном включении паде-
нию напряжения в сопротивлении взаимной индукции будем припи-
сывать знак плюс а при встречном — знак минус
(t/=—В случае, когда контурный ток I проходит последова-
Фиг. V. 16. Разветвленная электрическая цепь при наличии
взаимной индуктивности.
тельно через два индуктивно связанных элемента, падение напряже-
ния от данного тока в сопротивлении взаимной индуктивности
учитывается выражением U=i2^MI— при согласном включении
и й=—j2vMi — при встречном включении.
Руководствуясь указанными выше правилами, составляем контур-
ные уравнения для схемы фиг. V. 16:
£’i = [Zi + Z3+/a) (£j + £3— 2/W13)] 4 +
+ [ — Z3—У^з+У^ (^1з + -^23-^12)] 4»^ (V. 18}
— -^2= [^2 + ^з+Ую (^2 + ^3 — 2АТ23)] /2 +
+ [ ~ Z3— У^з +У0) (Л113 + ^23 — ^12)] Л* (V. 19}
Знаки при взаимных индуктивностях ЛГ12, М13 и Л423 в уравнениях
(V. 18) и (V. 19) выбраны с учетом заданной полярности зажимов
индуктивно связанных элементов. Так, например, при Л412 в уравне-
нии (V. 18) поставлен знак минус, так как токи Л и /2 подходят к
разноименным зажимам индуктивно связанных элементов L± и Ь2
(встречное включение); при М13 в уравнении (V. 18) предусмотрен
знак плюс, так как токи Л и /2 подходят к одноименным зажимам ин-
дуктивно связанных элементов и L3 (согласное включение). Иско-
111
злые контурные токи Л и /2 находятся совместным решением уравне-
ний (V. 18) и (V. 19).
Из вышесказанного видно, что расчет разветвленной электриче-
ской цепи при наличии взаимной индуктивности может быть произве-
ден одним из описанных ранее методов — методом контурных токов
или уравнений Кирхгофа, с учетом падений напряжения в сопротив-
лениях взаимной индукции.
Метод узловых напряжений в данном случае неприменим, так как
токи в ветвях зависят не только от напряжений между узлами, к ко-
торым присоединены эти ветви, но и от токов других ветвей, с кото-
рыми они связаны через взаимную индукцию.
<Риг. V. 17. Иллюстрация к Фиг. V. 18. Иллюстрация к примеру V. 4.
примеру V. 3.
Пример V. 3. Определить комплексное сопротивление на зажимах
электрической цепи, состоящей из двух параллельно соединенных ка-
лушек, связанных индуктивно (фиг. V. 17).
Приняв положительные направления контурных токов Л и /2 со-
гласно фиг. V. 17, составляем контурные уравнения:
£= (g+/<oZ-i) А—(ri +>4) 44-jvMi'z,
О = [/*14- га 4~ (Z-i + — 2Af)] /2 (G + /<й4) А +
Обозначим: Z1i=r14-/<»b1, Z2=r2^i^L2, Zx—jwM. Итак,
7?= — (Z1—ZM) 4»
0^(Z1 + Z2-2ZJM)/2-(Z1-Z3{)/1.
Решение уравнений относительно А дает:
А =-------------------•
z <z,-zMy
1 Zi+Z2 — 2Z^
Искомое сопротивление на зажимах цепи
Z^ — =Z (Z'~Z^ = ziz2~zm
Л Z1H-Z2 — 2Zj{ Z1+Z2 — 2Zjf
Пример V. 4. Задана схема фиг. V. 18: гх=20 ом; г2=15 ом;
rs= 10 ом; ом; mL2=24 ом; фМ=9 ом; Ё=30 в. Требуется
вычислить ток /2.
112
Контурные уравнения имеют следующий вид:
- 30 = (20 + 10 + /18) Д - (10-/9) 4;
30 = - (10 - /9) Л + (Ю + 15 + /24) 4-
Решим уравнения относительно 4 с помощью определителей.
Определитель системы
30 +/18
-10 +/9
-10 +/9
25+ /24
= (30 +/18) (25+ /24)-
— (- Ю + /9)2 = 750 - 432 + / (450 + 720) - 100 + 81 +/180 =
= 299 + /1350 = 1388е/’78350'.
Искомый ток
30+/18 —30
—10+/9 30
900+7540 — 300+J270
600+/810 lOOSe753030'
Д “ 1388?78050' ~
V. 3. Коэффициент связи. Индуктивность рассеяния
Степень индуктивной связи двух элементов цепи характеризуется
коэффициентом связи
*=-/=. (V.20)
V ^1^2
где Li и L2 — индуктивности элементов цепи;
М — взаимная индуктивность.
Коэффициент связи всегда меньше единицы из-за того, что маг-
нитный поток, создаваемый током в одном из элементов, не полно-
стью сцепляется с витками второго
рассеяния. Поясним сказан-
ное с помощью картины магнит-
ного поля индуктивно связанных
элементов, схематически представ-
ленной на фиг. V. 19 (для соглас-
ного включения).
Положим, что первый элемент
состоит из Wi витков, а второй —
из w2 витков, расположенных в
каждом элементе настолько близ-
ко один к другому, что магнитный
поток, проходящий внутри одного
из витков, охватывает и все
элемента, а имеет место явление
Фиг. V. 19. Магнитные потоки двух
индуктивно связанных элементов.
остальные витки данного элемента.
В общем случае, когда по обоим элементам проходят токи h и Z2,
магнитные потоки могут быть представлены как результат наложения
потоков, создаваемых каждым из токов в отдельности.
8 Г. И. Атабеков
113
На фиг. V. 19 приняты следующие обозначения магнитных по-
токов.
Фх — весь поток, пронизывающий первый элемент;
Ф2 — весь поток, пронизывающий второй элемент;
Фи — поток, созданный током
Ф22 — поток, созданный током /2;
Ф12 — поток, созданный током 12 и пронизывающий витки первого
элемента;
Ф21 — поток, созданный током и пронизывающий витки второго
элемента;
Фи — поток, созданный током и пронизывающий только витки
первого элемента (поток рассеяния первого элемента);
Ф28 — поток, созданный током /2 и пронизывающий только витки
второго элемента (поток рассеяния второго элемента);
Ф — общий поток, пронизывающий витки обоих элементов.
Из сказанного следует, что
= Ф22 = Ф2, + Ф12,
Ф1 = ФП + Ф12, Ф3 = Ф22 + Ф21, (V. 21)
Ф — Ф12+ ®21-
Очевидно, Фц>’Ф21 и Фг2>Ф12- Чем меньше потоки рассеяния Ф1в
и Ф2в, тем больше приближается Фи к Ф21 и, соответственно, Ф22
К Ф12.
При изменении токов и /2 во времени изменяются также и по-
токи, создаваемые этими токами.
По закону электромагнитной индукции изменение потока Ф! на-
водит в первом элементе э. д. с.
*1----(V.22)
at at
а изменение потока Ф2 наводит во втором элементе э. д. с.
е2=-^2^=-^. (V.23)
at at
Здесь ф1=к>1Ф1 и ф2=то2Ф2 — потокосцепления каждого из элемен-
тов. С учетом (V. 21) уравнения (V. 22) и (V. 23) могут быть пред-
ставлены следующим образом:
‘tyll ‘
dt "Г dt Г
(V. 24)
где и <!»22 = w2®22—п отокосцепл ения самоин-
дукции каждого из элементов, ф12 = ®|Ф(2 и фг^^гФг! —
потокосцепления взаимной индукции обоих эле-
ментов.
114
При i2 — 0
е1=- ^111 rflsi —— 11 • <✓ О — , dt dt (V.25)
а при ^ = 0 ^=- rfll2 p _ dt ' <$22 dt (V.26)
Сопоставляя (V. 25) и (V. 26) с формулами (IV. 11), (V. 9) и (V. 10),
заключаем, что
dt 1 dt' dt dt '
dfyg _ r di2 tf4*ia __ di2
dt dt' dt dt ‘
Отсюда
£ = £g = ^22_
1 dii 1 di*
1 2 (V.27)
Af = ^h? = ^l.
di2 di\
В рассматриваемой цепи магнитные потоки и, соответственно, по-
токосцепления являются линейными функциями токов. Следова-'
тельно,
Ж=—=—.
4 h
На основании (V. 28)
__ _Ф12 4*21 .
умножив и разделив правую часть на фиф 22, находим
Л42 = ±2 111 J?? = А2£1£2<
Ф22 111 *1 1а
Здесь
(V.28)
(V. 29)
(V.30)
Извлечение квадратного корня из обеих частей равенства (V. 29)
дает (V. 20).
Из выражения (V. 30) видно, что коэффициент связи меньше еди-
ницы, так как фг2>ф12 и |n>^2i-
8* 115
Введя для каждого из элементов понятие потокосцепления
рассеяния ф 18=о;1ф18 и ф2з=ДО2Ф2(У, можно на основании (V. 21)
написать:
Фъ=(фи — Ф21) = фп —ф21,
w2
Фа, = ®2 (Ф22 — Ф12) = Ф22 —— Ф12•
(V.31)
По аналогии с предыдущим потокосцепление рассеяния каждого
элемента связано с индуктивностью рассеяния данного
элемента следующим образом:
15 dir Z4
Т ___ ^2$ Ф25
^2$ — ~77“ — Т" •
aZ2 ^2
(V.32)
Подстановка (V. 31) в (V. 32) приводит к следующим соотноше-
ниям:
О
Т ____ ^22
b2s --~
<Рп_ w1jkl=Zi_
w2 ii w2
z2 Wi z2 Wj
(V. 33)
К рассмотрению этих выражений мы вернемся в следующем раз-
деле при изучении приведенной схемы замещения трансформатора
без ферромагнитного сердечника.
Схематическая картина магнитного поля на фиг. V. 19 соответ-
ствует согласному включению. Если изменить на фиг. V. 19 положи-
тельное направление тока /2, то изменится направление потоков Ф25
и Ф12, что будет соответствовать встречному включению.
В этом случае в уравнениях, приведенных выше, должны быть
изменены знаки перед z2, ty2s, <pi2, ф22. При этом, как видно из (V. 28)
и (V. 33), величины Llf L2, М, k, L18f сохраняются неизменными.
Взаимная индуктивность, индуктивность рассеяния и коэффициент
связи индуктивно связанных элементов зависят от взаимного распо-
ложения витков.
На фиг. V. 20,а, схематически показан бифилярный способ на-
мотки катушек, позволяющий получить коэффициент связи, близкий
к единице. При перпендикулярном расположении осей катушек
(фиг. V. 20,6) коэффициент связи обращается в нуль.
Перемещая одну катушку относительно другой, можно изменять
коэффициент связи в требуемых пределах (вариометр).
Применение ферромагнитного сердечника повышает коэффициент
связи, приближая его к единице. Однако при этом цепь теряет свой-
ство линейности. В тех же случаях, когда по условиям работы вели-
116
чина максимальной магнитной индукции в ферромагнитном сердеч-
нике незначительна и его магнитная проницаемость может быть при-
нята постоянной, причем потерями в сердечнике можно пренебречь,
Фиг. V. 20. Примеры включения катушек с коэффи-
циентом связи (а) и 6 — 0 (б).
данная цепь рассматривается в качестве линейной и метод расчета
остается тот же, что и при отсутствии ферромагнитного сердечника.
V. 4. Уравнения и схемы замещения трансформатора
без ферромагнитного сердечника
Фиг. <V. 21. Трансформатор без ферро-
магнитного сердечника.
Трансформатор представляет собой аппарат, передающий
энергию из одной цепи в другую посредством электромагнитной
индукции. Он состоит из двух или нескольких индуктивно связанных
катушек или обмоток, насаженных на общий сердечник. В настоящем
параграфе рассматривается двухобмоточный трансформатор, не
имеющий ферромагнитного сер-
дечника. Такой трансформатор
может служить составной ча-
стью линейной электрической
цепи в устройствах электроав-
томатики, измерительной тех-
ники или связи. Если прене-
бречь емкостью между витками
обмотки трансформатора, то
последний может быть представлен схемой фиг. V. 21, в которой
активные сопротивления обмоток условно вынесены и изображены
отдельно.
Обмотка трансформатора, присоединяемая к источнику питания,
называется первичной, а обмотка, к которой приключается на^.
грузка,— вторичной. Соответственно, напряжения и токи на
зажимах этих обмоток именуются первичными и вторичными. Сле-
дует заметить, что такое наименование в некоторых случаях является
условным, если в зависимости от режима цепи энергия может пере-
даваться как в одну, так и в другую сторону.
Принятые в схеме фиг. V. 21 положительные направления токов
и полярности зажимов обмотки соответствуют встречному вклю-
чению.
117
Уравнение трансформатора в дифференциальной форме при
встречном включении имеет вид:
______М —
dt____dt ’
diy
dt dt ’
(V. 34)
(V.35)
Фиг. V. 22. Схема замещения трансформатора
без ферромагнитного сердечника.
Если напряжения и токи синусоидальны, то уравнения трансфор-
матора в комплексной форме запишутся следующим образом:
= (п+/<%) А—
— О2=^ (г2 + А —
Эти уравнения равносильны следующим:
U 1=[г 1~)~/ <*> (^i—Л4) -\-j (dMJ 11—j q>MI 2,
---------------£/*>=£/*2~\~j <to (^2 ?2 j (toMIt,
Последние уравнения являются контурными уравнениями, кото-
рые соответствуют схеме фиг. V. 22.
Следовательно, эта схема может рассматриваться в качестве
схемы замещения трансформатора без ферромагнитного сер-
дечника. В отличие от фиг. V. 21 в схеме замещения первичная
и вторичная стороны трансформатора связаны не через взаимную
индукцию, а электрически
(или гальванически).
Если Li = L2, то , Li—
—Л4>0 и L2—ЛГ>0, так
как коэффициент связи
При нерав-
У ^1^2
ных же значениях Li и Ъ>
одна из разностей —М
или L2—М может ока-
заться отрицательной. В этом случае схема замещения фиг. V. 22
может быть практически осуществлена только при фиксированной
частоте, когда отрицательная индуктивность может быть замещена
емкостным элементом; в общем же случае схема с элементом, имею-
щим отрицательную индуктивность, практически нереализуема.
Входящие в схему фиг. V. 22 разности L±—М и L2—М имеют фи-
зический смысл только при одинаковом числе витков первичной
и вторичной обмоток (wi=w2); в этом случае, как видно из (V. 33),
они представляют собой индуктивности рассеяния первичной и вто-
ричной обмоток трансформатора.
При неодинаковом числе витков первичной и вторичной обмоток
(wtф w2) на практике часто пользуются приведенной схе-
мой замещения трансформатора, показанной на фиг. V. 23.
Приведение заключается в том, что напряжение U2 и ток А заменя-
118
ются величинами, приведенными к первичной обмотке: напряже-
ние C/g умножается на п, а ток /2 делится на (п — отношение
числа витков).
Придав уравнениям (V. 35) следующий вид:
= 01 + Л — ,
п
— nU2 = (уг + /^2) -----j<*nMiu
п
можно преобразовать их следующим образом:
= /со(Lr — пМ)] Д + j&nMIi—junM —,
п
~-nU2 — n?\r2 + j^ [l2 ——'jlA. _|_ уоояУиА
L \ П 1 \ n n
j&nMIi.
Полученные уравнения являются контурными уравнениями для при-
веденной схемы замещения трансформатора (фиг. V. 23).
Фиг. V. 23. Схема замещения, приведенная к пер-
вичной обмотке.
Схема замещения трансформатора, приведенная к первичной об-
мотке, содержит: сопротивление гх и индуктивность рассеяния Lle
первичной обмотки трансформатора; индуктивность — Л4 в попереч-
w2
ной ветви (ветвь- намагничивания); сопротивление г2
и индуктивйость рассеяния L2ft вторичной обмотки, приведенные
к первичной обмотке трансформатора, т. е. умноженные на п2=
(квадрат отношения числа витков).
Индуктивные сопротивления o>Lls и ш£2з представляют собой со-
противления рассеяния первичной и вторичной обмоток трансформа-
тора, а индуктивное сопротивление пыМ— сопротивление ветвй
намагничивания.
Ток Д——, проходящий через ветвь намагничивания, назы-
п
вается намагничивающим током трансформатора.
119
Схеме фиг. V. 23 соответствует векторная диаграмма, показанная
на фиг. V. 24. При построении векторной диаграммы в качестве
исходных могут быть приняты приведенные вторичные напряжение
и ток.
Падение напряжения от приведенного вторичного тока в при-
веденных активном сопротивлении и индуктивном сопротивлении
рассеяния вторичной обмотки геометрически складываются с приве-
денным вторичным напряжением. Полученное напряжение равно
падению напряжения от намагничи-
вающего тока в индуктивном сопро-
тивлении ветви намагничивания, при-
чем намагничивающий ток отстает от
полученного напряжения на 90°. Пер-
вичный ток Д находится как геомет-
рическая сумма намагничивающего
тока и приведенного вторичного тока;
Фиг. V. 24. Векторная диаграмма
к схеме фиг. V. 23.
Падение напряжения от тока Д в
активном сопротивлении и индуктив-
ном сопротивлении рассеяния пер-
вичной обмотки геометрически скла-
дывается с напряжением на ветви,
намагничивания, образуя первичное
напряжение Ut.
Поскольку вторичные электриче-
ские величины — напряжение U2 и
ток Д — в схеме фиг. V. 23 приве-
дены к первичной обмотке, т. е. из-
менены пропорционально отношению
числа витков, то данная схема не эквивалентна исходной схеме
трансформатора. Для того чтобы схема замещения стала эквива-
лентной заданной схеме трансформатора, можно воспользоваться
так называемым идеальным трансформатором, кото-
рому будем приписывать следующее свойство: при любых условиях
соотношение первичного и вторичного напряжений на зажимах
идеального трансформатора, равное соотношению вторичного и пер-
вичного токов, определяется отношением числа витков его обмоток
(коэффициент трансформации). Идеальный трансфор-
матор не имеет потерь энергии и при разомкнутой вторичной об-
мотке через его первичную обмотку ток не проходит. В действитель-
ности такого трансформатора не существует, однако по своим каче-
ствам к нему приближается трансформатор с коэффициентом связи,
близким к единице и со столь большим числом витков, что сопро-
тивление его ветви намагничивания может быть приравнено беско-
нечности.
Дополнив схему фиг. V. 23 идеальным трансформатором с коэф-
фициентом трансформации п, получим эквивалентную схему транс-
120
форматора (фиг. V. 25). Следует заметить, что данная эквивалентная
схема справедлива при произвольно^ значении коэффициента п;
последний может быть выбран неравным отношению — .
w2
При п=1 схема фиг. V.25 переходит в схему фиг. V.22.
Фиг. V. 25. Эквивалентная схема трансформатора без ферро-
Wi
магнитного сердечника при и=— .
w2
Представляет также интерес случай: п =
С учетом формулы (V. 20)
L^ — пМ^Ц
l2-—=а2—1/ А^/£4=(1-Л)£2,
П у £1
Эквивалентная схема для этого случая изображена на фиг. V. 26-
Фиг. V. 26. Эквивалентная схема трансформатора без ферро-
магнитного сердечника при п=
Фиг. V. 22—V. 26 соответствуют встречному включению, приня-
тому в исходной схеме фиг. V. 21.
Схемы замещения с измененным положительным направлением
вторичного тока соответствовали бы согласному включению. Схемы
замещения для согласного включения могут быть также получены
изменением знака при взаимной индуктивности М,
121
Рассмотрим вопрос об энергии индуктивно связанных обмоток.
Дифференциальные уравнения трансформатора при согласном
заключении имеют вид:
и^г^ + ^ + М^, (V.36)
at dt dt dt
Умножив первое уравнение на i± и второе на i2 и сложив резуль-
таты, получим:
p = u1i1 + u2i2=rj?! + r2i22 + zA + i2L2 + M к + i2
dt dt \ dt dt ]
или
+ (V.37)
dt
где W — энергия магнитного поля:
+ + (V.38) •
Как и следовало ожидать, мгновенная мощность, подводимая к
трансформатору, равна сумме мгновенных значений мощностей, рас-
ходуемых на нагрев, и скорости изменения энергии W, накопленной
в магнитном поле.
Первое слагаемое энергии магнитного поля равно энергии поля
первой обмотки при Z^=0; второе слагаемое равно энергии поля вто-
рой обмотки при /1*=0; третье слагаемое представляет энергию, свя-
занную с взаимным расположением обеих обмоток.
Фиг. V. 27. Иллюстрация к примеру V. 5.
При встречном включении третье слагаемое в выражении энергии
имеет знак минус.
•Первое и второе слагаемые существенно положительны, третье же
в зависимости от знаков мгновенных токов и /2 может иметь поло-
жительный или отрицательный знак. Поэтому энергия системы, со-
стоящей из индуктивно связанных обмоток, может быть больше или
меньше суммы энергии обеих обмоток, взятых отдельно.
Пример N. 5. Решить пример V. 3 с помощью схемы замещения
трансформатора.
Рассматривая индуктивно связанные элементы схемы фиг. V. 27,а
в качестве трансформатора с попарно соединенными первичными и
122
вторичными зажимами и пользуясь схемой замещения фиг. V. 22
(с измененным направлением тока /2), получаем эквивалентную схе-
му фиг. V. 27,6 без индуктивных связей.
Комплексное сопротивление на зажимах цепи равно
2 = А = /шЛ! tri+> (£i - ^)] кг+Л» (£2 ~ Л4)]
7 ri4-/*2+jw (£j + £2— 2Л4)
Применяя сокращенную запись
Z^=r±-\-j ^2===^2~\~j Z м<=] (i)M,
находим:
। (^1 ^2и) (^2 ^.м)_ ^1^2 % М
~ Z^Z2-1ZM ~ Zi+Z2-2ZHf
Пример V. 6. Две индуктивно связанных катушки имеют индук-
тивности Li=4 гн и £2=25 гн\ коэффициент связи &=0,5. Определить
энергию поля, создаваемую этими катушками при токах ^=10 а
и /2=20 а.
Взаимная индуктивность контуров
М=А= 0,5/4^25== 5 гн.
Энергия каждой катушки, взятой отдельно, составляет
4-102 L/ 25.202
—-=-------= 200 дж и -------=----=5000 дж.
2 2 2 2
Энергия взаимного расположения
W2=5 • 10 • 20=1000 дж.
Энергия поля всей системы при согласном включении
№=200+5000+1000=6200 дж,
а при встречном включении
№=200+5000—1000=4200 дж.
N. 5. Входное сопротивление трансформатора
Если нагрузка ZH присоединена к источнику электроэнергии не
непосредственно, а через трансформатор (фиг. V. 28), то согласно
(V. 35)
= (ri + ) 4 ±/<*>^4,
о = ±j^MIx + (г2 + j<o£2 + ZH) 4.
123
Следовательно, /2=—Т уюЛ4/‘ , откуда сопротивление на
входных зажимах трансформатора
г=Л=Г1+м1+• <v-39)
Л ^2 +
Третье слагаемое в правой части выражения (V. 39) представляет
собой комплексное сопротивление, вносимое из вторичной цепи
в первичную; схема фиг. V. 29 эквива-
лентна схеме фиг. V. 28.
Фиг. V. 29. Эквивалент
ная схема для определе-
ния входного сопротив
ления трансформатора.
Фиг. V. 28. Присоединение
нагрузки к источнику через
трансформатор.
Как уже указывалось выше, идеальный трансформатор характе-
ризуется условиями:
Л12==£1£2, г1=г2=0,
где Li и L2 бесконечно велики. Следовательно, в случае идеального
трансформатора
Z-1->oo \ £>2 ]00
00 00
При Lt и L2, стремящихся к бесконечности, отношение их остается
конечным. Индуктивность обмотки пропорциональна квадрату числа
витков, поэтому
Z=M2 \Z#=n’ZH. (V.41)
\ W2/ i-> оо ’
ПУ2-><»
Следовательно, идеальный трансформатор, включенный между на-
грузкой и источником электроэнергии, изменяет сопротивление на-
грузки пропорционально квадрату коэффициента трансформации. .
Это явление практически используется в различных областях
электротехники, связи, радио, приборостроения, автоматики для урав-
нивания сопротивлений источника и нагрузки (с целью повышения
отдаваемой источником мощности).
124
Хотя идеальный трансформатор и является теоретическим^ поня-
тием, однако реальный трансформатор может в значительной мере
приближаться'к нему по своим свойствам. Поэтому в том случае,
когда требуется изменить величину сопротивления какого-либо эле-
мента без изменения самого элемента, включается промежуточный
трансформатор с коэффи- д -М L -М
циентом трансформации, . О ./-хучЛЯГ
определяемым на основании 0 I------j—QQ f 00^—I rn
(v.4i): _ зм UzH
"“/v (v-42) г---------------I-------------J
где Z — требуемая величина Фиг. V. 30. Иллюстрация к примеру V. 7.
сопротивления.
Формулы (V. 41) и (V. 42) непосредственно вытекают из условий,
характеризующих идеальный трансформатор:
откуда
Ui
пй2
При короткозамкнутой вторичной обмотке входное сопротивление
идеального трансформатора обращается в нуль, а при разомкнутой
вторичной обмотке — в бесконечность.
Пример N. 7. Определить входное сопротивление трансформатора,
нагруженного сопротивлением ZH (фиг. V. 28), пользуясь схемой за-
мещения трансформатора.
На фиг. V. 30 представлена схема замещения трансформатора,
нагруженного сопротивлением ZH. Входное сопротивление трансфор-
матора
[г2+/со (Z2 — Al) 4-ZH]
r24-./u>£24-ZH
Z^^ + zo) (Ai —
Приводя к общему знаменателю, находим
Z—1\ Ц-
(o>Af)2
что совпадает с выражением (V. 39).
Пример V. 8. Определить входное сопротивление цепи, показанной
на фиг. V. 31,а.
Пользуясь схемой замещения, представленной на фиг. V. 31,6,
находим:
Z==r1+y<o (Лх — М)
। к2+> (л2 — Af)] CMf+Zp)
r2+ya>L24"Zo
125
Пример V. 9. Определить входное сопротивление цепи, состоящей
из двух трансформаторов, включенных каскадно, с нагрузкой гн на
выходе (фиг. V. 32,а). Активные сопротивления обмоток трансформа-
торов не учитываются.
Фиг. V. 31. Иллюстрация к примеру V. 8.
а—исходная схема, б—схема замещения.
В соответствии с (V. 39) входное сопротивление второго транс-’
форматора
/0)£2-|-Гн
Фиг. V. 32. Иллюстрация к примеру, V. 9.
а—исходная схема, б—cxefaa замещения.
Рассматривая Z2 в качестве нагрузки первого трансформатора,
определяем входное сопротивление цепи
После ряда преобразований находим
<> (LiL2+ Ll - М*) - jrH (M-LJ
К тому же результату можно прийти на основе схемы замещения,
показанной4 на фиг. V. 32,6.
126
V. 6. Дуальные цепи
Под условием дуальности понимается такое соответствие
электрических цепей, при котором закон изменения контурных токов
в одной цепи, подобен закону изменения узловых напряжений в дру-
гой цепи.
Сравнивая между собой уравнения элементов электрической цепи,,
выражающие зависимости напряжений от токов и токов от напряже-
ний (фиг. V. 33), приходим к выводу, что условию дуальности удов-
летворяют следующие элементы:
1) сопротивление г и проводимость g\
2) индуктивность L и емкость С;
3) источник э. д. с. е и источник тока i.
Элементы цепи, удовлетворяющие условию дуальности, называ-
ются аналогами или дуальными элементами.
При последовательном соединении элементов цепи суммируются
напряжения; при параллельном соединении элементов цепи суммиру-
ются токи. Поэтому последовательному соединению элементов соот-
ветствует параллельное соединение их аналогов, а параллельному
соединению элементов — последовательное соединение их аналогов.
Например, при замене последовательно соединенных элементов
г, L, С (фиг. V* 34,а) их аналогами g', Cf, L', соединенными парал-
лельно (фиг. V. 34,6), получаем дуальные цепи.
Уравнение напряжений для исходной цепи
e(t)=ri + L ^ + ±^idt (V.43>
подобно уравнению токов для второй цепи:
i(t)=g'u + C'd-^ + ±[udt. (V.44>
127
Контурному току i в уравнении (V. 43) соответствует узловое на-
пряжение и в уравнении (V. 44).
Если э. д. с. и ток источников подчинены одному и тому же зако-
ну, например, синусоидальны и имеют одинаковую начальную фазу,
то законы изменения контурного тока в схеме фиг. V. 34,а и узлового
напряжения в схеме фиг. V. 34,6 совпадают друг с другом при соблю-
дении пропорции:
г —L' _ L
g' ~ С ~С' ’
(V. 45)
В случае сложной электрической цепи каждой области, ограни-
ченной независимым контуром данной цепи, с учетом также и об-*
а)
Фиг. V. 35. Пример построения дуальной цепи.
ласти, внешней по отношению ко всей цепи, соответствует определен-
ный узел дуальной цепи и, следовательно, число областей заданной
цепи равно числу узлов дуальной цепи.
При построении дуальной цепи по отношению к заданной планар-
ной цепи удобно пользоваться следующим графическим приемом
(фиг. V. 34).
В каждой из областей, ограниченной независимым контуром за-
данной цепи, наносится точка, рассматриваемая в качестве будущего
узла дуальной цепи.
Узлы, соответствующие каждой паре смежных областей, соеди-
няются между собой параллельными ветвями, число которых равно
числу элементов, последовательно включенных в цепь, граничащую
с указанными областями. Элементами параллельных ветвей являются
аналоги элементов заданной цепи.
Графический способ построения дуальной цепи иллюстрирован
ниже на примере фиг. V. 35.
Исходная цепь (фиг. V. 35,а) содержит три независимых контура.
Внутри этих контуров фиксируем три точки (/, 2, 3), соответствую-
128
щие узлам искомой дуальной цепи. Четвертую точку, соответствую-
щую узлу 4, фиксируем в области, внешней по отношению к заданной
цепи. Проводим между этими точками пунктирные линии, пересекаю-
щие элементы цепи и представляющие ветви дуальной цепи: пересе-
каемые элементы заменяются их аналогами, включенными между
соответствующими узлами дуальной цепи.
При согласовании направлений э. д. с. и токов дуальных источни-
ков руководствуются следующим правилом: если э. д. с. источника
действует в положительном направлении контура (по ходу часовой
стрелки), то ток источника тока в дуальной цепи направлен к узлу,
соответствующему данному контуру исходной схемы.
Следует заметить, что если графический способ построения дуаль-
ной цепи повторно применить к схеме фиг. V. 35,6, то получится
исходная схема фиг. V. 35,а.
Существуют дуальные электрические цепи, имеющие одинаковую
схему, например, мостового типа (так называемые автодуальные
схемы).
При соблюдении пропорции (V. 45) комплексное сопротивление
цепи, общей для двух смежных контуров схемы, пропорционально
комплексной проводимости цепи, соединяющей два соответствующих
узла дуальной цепи. Например, в схеме фиг. V. 34,а сопротивление
цепи равно
Z=r + y(«Z.-^.
а в схеме фиг. V. 34,6 проводимость цепи
\шь /
Полагая
g'=—, и = к2с, С' = —,
6 К2 К2
где К— коэффициент пропорциональности, имеющий размерность
сопротивления, получаем:
z=/cr.
Аналогичная пропорциональность получается и между входным
сопротивлением и проводимостью более сложных дуальных цепей.
Это свойство используется, в частности, в теории фильтров.
V. 7. Метод топографических диаграмм
Топографическая диаграмма напряжений представ-
ляет собой векторную диаграмму, построенную для заданной элек-
трической схемы таким образом, что порядок расположения векторов
напряжений на диаграмме строго соответствует порядку расположе-
9 Г. И. Атабеков
129
ния элементов в схеме. Вектор падения напряжения на каждом
последующем элементе примыкает к концу вектора напряжения пре-
дыдущего элемента. При таком, построении векторной диаграммы
напряжений каждой точке электрической схемы соответствует опре-
деленная точка на топографической диаграмме.
Топографическая диаграмма позволяет весьма просто находить
напряжения между любыми точками схемы: величина и фаза иско-
мого напряжения определяется прямой, соединяющей соответствую-
щие точки топографической диаграммы.
На фиг. V. 36 изображена схема неразветвленной электрической
цепи и для нее построена топографическая векторная диаграмма на-
пряжений. Направление векторов напряжений на топографической
диаграмме согласовано с произвольно выбранным направлением век-
тора тока /.
б)
Фиг. V. 36. Топографическая диаграмма для неразветвленной цепи.
В соответствии с порядком расположения в схеме элементов гъ
С, r2, L на векторной диаграмме изображены векторы падений
напряжения:
U12~ Г1Л ^23~-----ГЗГ Л =
JwC
Напряжение между какими-либо двумя точками схемы, например,
падение напряжения на участке 2—4 схемы, взятое в положительном
направлении, определяется по топографической диаграмме векто-
ром £724, соединяющим точки 2 и 4 диаграммы и направленным от
точки 2 к точке 4 (на фиг. V. 36 показано пунктиром).
На фиг. V. 37 приведена схема разветвленной электрической цепи
и построена топографическая диаграмма.
В случае, когда задано напряжение на зажимах разветвленной
цепи, как это имеет место в схеме фиг. V. 37,а, удобно пользоваться
методом подобия1. Задавшись произвольным значением тока,
например, положив Л=1, откладываем падения напряжения 1/23=
== j uLIi и и находим ток 12= .
1 Метод подобия принципиально применим также для аналитического расчета
электрических цепей постоянного и синусоидального однофазного тока.
130
Сложив геометрически Л и /2, получаем ток /3, после чего откла-
дываем на диаграмме падения напряжения
^45 = ггЛ и t/j2 = - /3.
JU)C
Напряжение на зажимах цепи определится вектором U15.
Поскольку ток при построении диаграммы выбран произвольно,
то полученное напряжение U15 в общем случае не равно заданному
напряжению U на зажимах цепи. Для приведения векторной диа-
граммы в соответствие с заданным напряжением надлежит изменить
к - и
масштабы напряжении и токов в отношении —.
U15
Так же как и в предыдущем случае, топографическая диаграмма
дает возможность непосредственно определять величину напряжения
Фиг. V. 37. Топографическая диаграмма
для разветвленной цепи.
между любыми двумя точками схемы и фазовый сдвиг этого напря-
жения относительно любого напряжения или тока.
Метод топографических диаграмм применим как к однофазным,
так и к многофазным цепям; практически он довольно часто исполь-
зуется при исследовании процессов в электрических цепях трехфаз-
ного тока.
V. 8. Метод круговых диаграмм
Комплексная форма записи электрических величин (токов, напря-
жений, мощностей) и их соотношений (сопротивлений, проводимо-
стей) позволяет на практике широко и разносторонне исследовать
режимы работы электрических цепей методом геометриче-
ских мест. Сущность этого метода заключается в том, что
исследуемые комплексные выражения представляются на комплекс-
ной плоскости векторами, геометрические места концов которых при
изменении входящих в эти выражения параметров изображаются
различными кривыми. Эти кривые наглядно показывают изменение
модулей и фаз соответствующих электрических величин (или их
соотношений) в зависимости от изменения того или иного параметра
цепи.
9*
131
Исследование комплексных уравнений в теории геометрических
мест приводит к определенной классификации кривых, описываемых
концом вектора при изменении соответствующего параметра, и к
определенным способам их построения. Здесь мы остановимся только
на рассмотрении геометрических мест в виде прямой или окружности.
Как показано ниже, при изменении активного или реактивного
сопротивления какой-либо ветви в заданной электрической схеме или
при изменении модуля или угла полного сопротивления ветви концы
Фиг. V. 38. Схема замещения элек-
трической цепи по теореме об экви-
валентном источнике.
векторов токов, наряжений, мощ-
ностей, сопротивлений и проводи-
мостей в различных местах схемы
описывают в общем случае окруж-
ности (круговые диаграммы) или
прямые линии; последние могут
рассматриваться как частный слу-
чай круговых диаграмм бесконеч-
но большого радиуса.
Пусть в сколь угодно сложной электрической цепи изменяется не-
который переменный элемент (параметр) Zn. На основании теоремы
об эквивалентном источнике ток в элементе Zn
Ё
Zq +• Zn
(V. 46)
где Ё и Z0=r0 + /x0—эквивалентные э. д. с. и сопротивление
всей цепи, приведенной к переменному элементу Zn (фиг. V.38).
Исследуем первоначально диаграммы сопротивления Z=Z0 +
4-Zn и проводимости Для следующих случаев:
1) Zn=rn —активное сопротивление, изменяющееся от Одооо;
2) Zn = /хп —реактивное сопротивление, изменяющееся от +
до —/оо;
3) Zn = zn^/<Pn — полное сопротивление, модуль zn которого из-
меняется от 0 до оо (при <рп = const);
4) Zn=^zne7<Pn-—полное сопротивление, аргумент (угол <рп) кото-
рого изменяется от + — до ——.
1) Изменение активного сопротивления ra=Z„
о т 0 д о оо
Геометрическим местом конца вектора Z=Z04-rn на комплексной
плоскости служит прямая, параллельная действительной оси
(фиг. V. 39).
Уравнение этой прямой в полярных координатах
x0=z sin ср. (V. 47)
Уравнение кривой, описываемой на комплексной плоскости
проводимостей вектором проводимости Y=—, получается в ре-
132
зультате подстановки b(V.47) величины У = ~> обратной моду-
лю z\
у ——sm ср.
Это — уравнение окружности, проходя-
щей через начало координат и имею-
щей диаметр — (фиг. V. 39); угол ?
отсчитывается по часовой стрелке. Кюн-
цу вектора реактивного сопротивления
/Хо соответствует на круговой диаграм-
ме проводимостей конец вектора —у—;
*0
концу вектора полного сопротивления
Zo соответствует конец вектора полной
проводимости Уо= —и т. д. По мере
возрастания активного сопротивления
гп от 0 до оо конец вектора проводи-
мости Y описывает дугу, опирающуюся
на хорду Уо; Гп=сх> означает обрыв цепи,
когда проводимость обращается в нуль.
•Фиг. V. 39. Диаграммы Z=Z0-h
-КГп ПРИ переменном парамет-
ре гп.
Данная рабочая часть круговой диаграммы показана на фиг. V. 39
сплошной линией в отличие от остальной, нерабочей части круговой
диаграммы, отмеченной пунктиром.
2) Изменение реактивного сопротивления хп
о т оо д о —оо
Геометрическим местом конца вектора Z=Z0+/xn на комплексной
плоскости сопротивлений служит прямая, параллельная мнимой оси
(фиг. V. 40).
Уравнение этой прямой в полярных координатах
r0=zcoscp. (V. 49)
В результате подстановки в (V. 49) модуля проводимости у,
обратного модулю сопротивления z, т. е. j/=—, получается урав-
нение кривой, описываемой на комплексной плоскости проводи-
мостей концом вектора проводимости К= :
у = — cos ср. (V. 50)
'о
Это — уравнение окружности, проходящей через начало коорди-
нат и имеющей диаметр— (фиг. V. 40). Концу вектора активного
го
133
сопротивления г0 соответствует на круговой диаграмме проводимо-
стей конец вектора — и т. д. По мере изменения реактивного сопро-
го
тивления хп от +00 до —оо конец вектора проводимости Y описывает
окружность (хп=±оо означает обрыв цепи, когда проводимость J/
обращается в нуль).
В данном случае рабочие точки кру-
говой диаграммы располагаются по
всей окружности.
Фиг. V. 40. Диаграммы Z=Z0+
+ Л*п при переменном пара-
метре хп.
3) Изменение модуля
сопротивления zn от 0 до оо
при с?п=const
Геометрическим местом конца век-
тора Z=ZQ-}-zne^n на комплексной пло-
скости сопротивлений в зависимости от
параметра zn служит прямая, образую-
щая с действительной осью угол срп
(фиг. V. 41).
Уравнение этой прямой в полярных
координатах
a=z sin (ср—срп). (V. 51)
Подстановка в (V. 51)
ности
1
у=— приводит к уравнению окруж-
Z
у = — sin(<p — <рп),
а
(V. 52)
проходящей через начало координат и имеющей диаметр —
(фиг. V. 41).
Диаметр круговой диаграммы Y повернут относительно мнимой
оси на угол ?)ц по ходу часовой стрелки. Рабочая часть круговой
диаграммы, соответствующая изменению zn от 0 до оо, показана
сплошной линией.
В том, что конец вектора Y описывает окружность, можно также
легко убедиться, придав уравнению
1
1
Zo
Zfl+Zn
1+
следующим вид:
Y+Y —e-i(’fo-fn) = —
^0
134
Фиг. V. 41. Диаграммы Z=Z0+zn^‘Pn при
переменном параметре zn.
„ 1
Последнее уравнение показывает, что вектор — получается
^0
в результате геометрического суммирования вектора Y с вектором
Y — отстающего от него на угол ?0“?п5 постоянство
*0
угла % — <рп свидетельствует о том, что конец вектора Y описывает
1
дугу окружности, опирающуюся на хорду —.
А)
На основании фиг. V. 41 вытекает следующий простой способ гра-
фического построения круговой диаграммы Y по заданной хорде
Уо=— и заданному углу <рп: от конца вектора Уо проводится прямая
^0 X
под углом сро—?п к продол-
жению Уо; эта прямая каса-
тельна к искомой круговой
диаграмме, центр которой
(точка О' на фиг. V. 41) на'-
ходится на пересечении пер-
пендикуляров, восстанавли-
ваемых к касательной (у кон-
ца вектора Уо) и к хорде (в
середине Уо).
4) Изменение угла <?п
от+т до —Г при *п==
== const.
местом
конца вектора Z=Z0+^/<Pn
на комплексной плоскости со-
противлений в зависимости
от параметра служит
окружность радиуса гп, центр
которой совпадает с концом
вектора Zo (фиг. V. 42). Ра-
бочая часть круговой диа-
граммы Z показана на фиг.
V. 42 сплошной линией.
Докажем, что геометрическим местом конца вектора Y= на
комплексной плоскости проводимостей также является окружность.
Уравнение окружности Z в тригонометрической форме
z2 + Zo~ 2zz0cos('.? — ?о) = гп- (V. 53)
Подстановка у=— дает уравнение для у:
Z
У2-^У JL COS(<f>-<Po) + 2 1 2 = 0
*0 *п z0"~zn
135
или, что то же,
cos (<F — <?о)=
(V. 54)
при переменном параметре <рп.
* *
zz-zz0
Следовательно, геометриче-
ским местом конца вектора прово-
димости У на комплексной пло-
скости является окружность ра-
диуса
~2 -2 9
Z0 гп
центр этой окружности удален от
начала координат на величину
zo
К тому же выводу можно прий-
ти, если исходить из комплексной
формы записи уравнения окруж-
ности Z:
(Z — Z0)(Z—Z0)=Zn
или
(V.55)
— ZZ0 4* .
Подстановка Y— — дает:
*
* * 7Л
YY—Y —-----------Y —---------+
Z0Z0-z„2 ZoZo-z2
*
। ____ZyZQ_____ /___zn___\
+ (Z0Z0 —z2)2 Д ZtZ0 —z2 ) ’
(V. 56)
или, что то же,
______^0________У________^0_______I_______J________ Г)
* О * * о ’ . _ * о v*
ZqZq ^CZO %п
Из сопоставления (V. 56) с (V. 55) следует, что круговая диа-
грамма Y имеет радиус 2Zn , причем центр ее совпадает с
Z0“"Zn
*
Zq
концом вектора .
zo Zn
136
Таким образом, во всех частных случаях, разобранных выше,,
геометрическим местом конца вектора Y служит окружность.
На основании (V. 46) ток I в ветви с изменяющимся параметром
пропорционален У, причем множитель пропорциональности ра-
вен Е.
Следовательно, круговой диаграмме У соответствует круговая
диаграмма I, повернутая относительно первой на угол, равный аргу-
менту начальной фазы э. д. с. Ё. В свою очередь, мощность, расходуе-
мая в данной ветви,
5=У£2. (V. 57)
Поэтому круговая диаграмма У в соответствующем масштабе пред-
ставляет диаграмму S.
Рассмотрим в заключение случай, когда исследуемая электриче-
ская величина или соотношение величин выражается дробно-линей-
ной функцией вида:
(V. 58>
C+kD ' Л
где А, В, С, D — постоянные величины, в общем случае комплексные;
k — переменный параметр.
Покажем, что уравнение (V. 58) является уравнением окруж-
ности на комплексной плоскости.
Данное положение вытекает из того, что уравнение (V. 58) может
быть преобразовано следующим образом:
А АС
. —+k . . — ——
в в _ в I в в D
be ~ b + b с
-й+‘
или, что то же,
В
Р = А + Л--2., (V.59>
D . D
1+^7-
Второе слагаемое (V. 59), аналогичное по своей структуре (V. 46),
является уравнением окружности.
Дервое слагаемое (V. 59), не зависящее от параметра k, представ-
ляет вектор, через конец которого проходит круговая диаграмма.
В соответствии с правилом, изложенным выше (случай 3), окруж-
ность строится следующим образом (фиг. V. 43).
А В
У конца вектора ------- (служащего хордой искомой окруж-
ности) на его продолжении откладывается угол у—3 по ходу часовой
стрелки при у—£Г>0 или против хода часовой стрелки при у—3<Д
где у и 3 — аргументы комплексных величин С и D. Полученная
137
прямая касательна к искомой окружности. Центр этой окружности
находится в точке О' пересечения перпендикуляров, восстановленных
к касательной
в конце вектора —
С
и к хорде (в середине того
же вектора).
Фиг. V. 43. Построение круговой диаграммы по уравнению (V. 58)\
Следует обратить внимание на то, что положительным значениям
параметра k соответствует дуга окружности, на которую опирается
угол у—&
Каждая точка полученной круговой диаграммы соответствует
<определенному*численному значению параметра k. Для нахождения
фиг. V. 44. Нахождение точ-
точки круговой диаграммы по заданному
параметру k пользуются следующим гра-
фическим приемом (фиг. V. 44).
В произвольной точке £ хорды 7ИМ==
проводится прямая LQ под
углом 8.
Длина отрезка LQ выбирается так,
чтобы отношение было равно k —.
ML с
А___В_
С D
КИ’ ^омГпарамэтру ГДа“’ пРямая пересекает круговую диа-
3 и у грамму в точке Р.
PN LQ
Из подобия треугольников MPN и MLQ вытекает, что ---=—-=
MP ML
С
. Следовательно, полученная точка Р на круговой диаграмме
138
соответствует значению параметра k. По мере удаления точки Q
в бесконечность точка Р перемещается в сторону точки М, которая
соответствует значению &=оо.
Вспомогательная прямая LQ носит название линии переменного
параметра.
Пример V. 10. 1) Определить с помощью круговой диаграммы
характер изменения напряжения UL на индуктивности L, включенной
Фиг. V. 45. Иллюстрация к примеру V. 10.
а—расчетная схема, б—круговая диаграмма.
последовательно с сопротивлением г (фиг. V. 45,а), если последнее
изменяется от нуля до бесконечности. 2) Определить напряжение UL
и угол сдвига фаз между напряжением U, подведенным к цепи г, L,
и током /. Дано: U=U=i00 ^/0° в, /=400 гц, Л=3,18-10-2 гн,
г=60 ом.
Напряжение UL выражается через параметры цепи следую-
щим образом:
U, = ju,L - U.
L r+J<»L
139
Из сопоставления данного выражения с (V. 58) следует, что в рас-
сматриваемом случае:
А = j^LU = U^L £ 90° = 8000 Z 90°, В = 0,
C = /q)£ = <oAZS0o = 80Z90°, y = 90°,
kD = r, 8 = 0, 7 —8 = 90°>0.
Круговая диаграмма построена на фиг. V. 45,6 в соответствии с
фиг. V. 44 с сохранением принятых на последней буквенных обозна-
чений.
Линия переменного параметра проведена на фиг. V. 45,£ через
точку N, совпадающую в данном случае с точкой L. Отрезок ML
соответствует сопротивлению cdL=80 ом. В том же масштабе по пря-
мой LQ откладывается величина сопротивления г.
При заданном значении г=60 ом модуль напряжения на индук-
тивности UL^ 80 в, а угол сдвига фаз <?^53° (вектор тока./ совпа-
дает по фазе с вектором Ur) ‘.
Глава VI
ЦЕПИ ТРЕХФАЗНОГО ТОКА
VJ. 1. Трехфазные электрические системы
Трехфазная электрическая система может быть
представлена как совокупность трех однофазных систем, в которых
действуют электродвижущие силы одной и той же частоты, сдвину-
тые друг относительно друга на одну треть периода или, что то же,
2тс
на угол— .
Эти три составные части трехфазной системы именуются фазами
1
и им ниже будут приписываться буквенные обозначения: А, В, С.
На фиг. VI. 1 в виде примера
показана трехфазная система, фа-
зы которой электрически не свя-
заны друг с другом. Такая трех-
фазная система называется н е-
связанной (впервые была
практически применена П. Н. Яб-
лочковым для питания изобретен-
ных им электрических свечей).
Фазы А, В, С изображены на
фиг. VI. I под углом 120° для того,
чтобы подчеркнуть, что э. д. с. ЁА,
Ёв, Ёс сдвинуты Друг ОТНОСИ- Фиг. VI. 1. Пример несвязанной трех-
тельно друга на одну треть пе- фазной системы.
риода. При равенстве амплитуд
э. д. с. и одинаковых сопротивлениях Z в фазах токи /л, 1С также
равны по величине и сдвинуты друг относительно друга на одну
треть периода.
Сумма этих токов в любой момент времени равна нулю; поэтому,
если три прохода, по которым токи возвращаются к источникам,
объединить в один провод, то ток в этом проводе будет равен нулю.
При отсутствии в проводе тока излишним в данном случае является
1 Таким образом, термин фаза применяется в электротехнике в двух смыс-
лах: как стадия периодического процесса и как составная часть многофазной си-
стемы.
141
и самый провод; от него можно отказаться, перейдя таким образом
к схеме фиг. VI. 2. В результате этого достигается экономия мате-
риала проводов; кроме того, по сравнению с несвязанной трехфазной
системой фиг. VI. 1 исключаются падения напряжения от токов /л,
1С в обратных проводах.
Трехфазная система на фиг. VI. 2, фазы которой соединены элек-
трически, представляет одну из разновидностей так называемых
связанных трехфазных систем.
Благодаря технико-экономическим преимуществам связанных
трехфазных систем они получили широкое применение (несвязанные
системы в настоящее время не применяются).
Фиг. VI. 2. Пример связанной трехфазной системы.
статора. Обмотка каждой
120°
другой фазы на угол------,
Р
двухполюсного генератора
Для получения связанной трехфазной системы не требуются от-
дельные однофазные генераторы, а используется трехфазный гене-
ратор, схематически показанный на фиг. VI. 3. Обмотки, в которых
наводятся э. д. с., помещаются в пазах ~ "
фазы сдвинута относительно обмотки
где р — число пар полюсов. В случае
(фиг. VI. 3) р=1 и угол равен 120° Ч
При вращении ротора в силу идентичности трех обмоток генера-
тора в них наводятся э. д. с., имеющие одинаковую амплитуду и ча-
стоту, причем каждая из этих э. д. с. сдвинута по фазе по отношению
к э. д. с. двух других фаз на одну треть периода. Векторы этих трех
э. д. с. равны по величине и составляют угол 120° (фиг. VI. 4).
Мгновенные значения э. д. с. трехфазного генератора, показанные
на фиг. VI. 4,а, выражаются аналитически следующим образом:
еА=Ет sin
<?B = £msin
(VI. 1)
ес
j
1 Следует заметить, что на практике применяются также трехфазные генера-
торы, в которых полюса неподвижны, а обмотки вращаются.
142
Эти мгновенные значения э. д. с. равны соответствующим проек-
циям трех векторов ЁтА. ЁтВ, ЁтС (фиг. VI. 4,6), образующих сим-
метричную звезду и вращающихся в положительном направлении
с угловой скоростью (D.
Создание в 1889 г. связанной трехфазной системы переменного
тока явилось важным событием в истории электротехники.
Творцом этой системы был выдающийся русский инженер и уче-
ный Михаил Осипович Доливо-Добровольский (1862—1919). Им
были разработаны основные звенья генерирования, передачи, рас-
пределения и преобразования электроэнергии трехфазного тока%
а именно: трехфазные.генератор, трансформатор и асинхронный дви-
гатель. Изобретение М. О. Доливо-Добровольским асинхронного
е
Фиг. VI. 3. Принцип
выполнения трехфаз-
ного синхронного ге-
нератора.
Фиг. VI. 4. Мгновенные значения и векторная диа-
грамма э. д. с. трехфазного генератора.
двигателя, являющегося простейшим и самым дешевым двигателем
переменного тока, существенно способствовало широкому промыш-
ленному внедрению трехфазной системы.
Технические и экономические преимущества трехфазной системы
обеспечили ей ведущую роль в современной электротехнике.
Неуклонно возрастает также роль трехфазной системы перемен-
ного тока в авиации.
VI. 2. Соединение звездой и треугольником
Показанное на схеме фиг. VI. 2 соединение обмоток трехфазного
генератора называется соединением звездой: все одноимен-
ные зажимы (к о н ц ы) фазных обмоток генератора соединены в одну
общую точку. В дальнейшем мы не будем располагать фазы генера-
тора под углом 120°, а будем изображать их параллельно (фиг. VI. 5).
Общая точка фазных обмоток генератора называется ней-
тральной точкой. В зависимости от требований нейтральная
точка может быть выведена на отдельный зажим, обозначенный на
фиг. VI. 5 цифрой 0.
При соединении обмоток трехфазного генератора треуголь-
ником (фиг. VI. 6,а) начало одной фазной обмотки соединяется
143
с концом следующей по порядку фазной обмотки так, что все
фазные обмотки образуют замкнутый треугольник. Общие точки каж-
дой пары фазных обмоток генератора выводятся на зажимы, к кото-
рым присоединяются линейные провода или нагрузка.
При отсутствии нагрузки, т. е. при режиме холостого хода, в об-
мотках генератора, соединенных треугольником, ток не. циркулирует,
так как сумма трех фазных э. д. с. равна нулю (фиг. VI. 6,6).
'Фиг. VI. 5. Соединение трехфазно-
го генератора звездой.
а—принципиальная схема, б—векторная
диаграмма э. д. с.
Фиг. VI. 6. Соединение трехфазного
генератора треугольником,
а—принципиальная схема, б—векторная
диаграмма э. д. с.
Ради упрощения на фиг. VI. 5,а и VI. 6,а показаны только э. д. с.
генератора; сопротивления обмоток генератора на схеме не показаны.
Нагрузка в трехфазной цепи также может быть соединена звездой
(фиг. VI. 7,а) или треугольником (фиг. VI. 7,6 и в).
Фиг. VI. 7. Соединение нагрузки звездой (aj и треугольником
(б, в).
На практике возможны различные комбинации, например: 1) ге-
нератор может быть соединен звездой, а нагрузка — звездой ’ или
треугольником; 2) генератор может быть соединен треугольником,
а нагрузка — звездой или треугольником.
При соединении генератора и нагрузки звездой нейтральные точки
генератора и нагрузки могут быть соединены друг с другом н е fl-
144
тральным проводом (например, в случае осветительной на-
грузки, которая неодинакова в фазах) или могут быть соединены
с землей. В последнем случае они именуются нулевыми точками.
На самолетах в качестве нейтрального провода служит металли-
ческая обшивка, к которой могут присоединяться нейтральные точки
генераторов и нагрузки.
Э. д. с., наводимые в фазных обмотках генератора, напряжения на
их зажимах, напряжения на фазах нагрузки и токи в них называются
соответственно фазными э. д. с., напряжениями и токами и обо-
значаются:’
Еф, иф, 1ф.
При этом под фазами нагрузки подразумеваются лучи звезды или
ветви треугольника нагрузки.
Напряжения между линейными проводами и токи в них называ-
ются линецными напряжениями и токами и обозначаются:
ил, 1Л,
При соединении фаз звездой фазные токи равны линейным токам:
/ф=7л. При соединении фаз треугольником фазное напряжение равно
соответствующему линейному напряжению:
иФ=ил.
Различают симметричный и несимметричный режи-
мы работы трехфазной цепи. При симметричном режиме со-
противления всех трех фаз одинаковы и э. д. с. образуют симметрич-
ную систему; в противном случае имеет место несимметричный
режим.
VI. 3. Симметричный режим работы трехфазной цепи
Расчет трехфазной цепи, так же как и расчет сложной однофазной
цепи, ведется обычно в комплексной форме. Ввиду того, что фазные
э. д. с. трехфазного генератора сдвинуты друг относительно друга
на 120°, для краткости математической записи применяется фазо-
вый оператор — комплексная величина:
а = еЛ2о° = cos 120° + J sin 120° = —+J (VI. 2)
Умножение вектора на а обозначает поворот вектора на 120°
в положительном направлении (против' хода часовой стрелки).
Соответственно, умножение вектора на а? обозначает поворот его
на 240° в положительном направлении или, что то же, поворот на 120°
в отрицательном направлении.
Очевидно,
а2 = е/240’ = —I—J V 3 (VI. 3)
10 Г. И. Атабеков
145
Если э. д. с. фазы А равна ЁА, то э. д. с. фаз В и С равны
соответственно
ЁВ = &ЁА и Ёс = аЁА.
В простейшем случае, когда генератор и нагрузка соединены
звездой (фиг. VI. 8,а), векторная диаграмма э. д. с. и токов имеет
вид, показанный на фиг. VI. 8,6.
Ток в каждой фазе отстает от э. д. с. той же фазы на угол
<р=агс tg— , где г и х — активное и реактивное сопротивления, фаз.
Фиг. VI. 8. Симметричный режим работы трехфазной цепи,
а—трехфазная цепь, б—векторная диаграмма э. д. с. и токов.
Ток в фазе А находится так же, как в однофазной црпи по фор-
муле:
1а~Т-
Соответственно токи в фазах В и С выражаются через ток /л:
1в = аЧА> Ic~aiA.
Наличие нейтрального провода не вносит при симметричном ре-
жиме никаких изменений, так как сумма токов трех фаз равна нулю
и ток в нем отсутствует:
4=4+4+4=(i+^+^)4=o (vi. 4)
Таким образом, при симметричном режиме работы трехфазной
цепи задача сводится к расчету одной из фаз аналогично расчету
однофазной цепи. При этом сопротивление обратного (нейтрального)
провода не учитывается, так как ток ь нем и, соответственно, падение
напряжения на нем отсутствуют; нейтральные точки генератора и на-
грузки при симметричном режиме, имеют одинаковый (нулевой)
потенциал.
Пр мере удаления от генератора фазные напряжения, определяе-
мые падениями напряжения до нейтральной точки нагрузки, убывают.
146
Линейные напряжения определяются как разности соответствующих
фазных напряжений, например: UAB=UA—Uв • В любом месте трех-
фазной линии при симметричном режиме соблюдается следующее
соотношение между модулями линейных и фазных напряжений:
<4=/3 иф.
Действительно,
йАВ=йл (1 - <*)=VsйА Z зо°,
т. йАВ опережает по фазе йА на 30°, причем модуль UAB в
"ИЗ раз превышает UA.
В случае соединения треугольником линейные токи определяются
в соответствии с первым законом Кирхгофа как разности фазных
токов, и при симметричном режиме соблюдается соотношение:
4 = /3 7ф.
Соединение фаз генератора или нагрузки треугольником может
быть для упрощения расчета заменено эквивалентным соединением
фаз звездой; вследствие этого расчет трехфазной цепи с соединением
фаз треугольником приводится в конечном итоге к расчету эквива-
лентной трехфазной цепи с соединением фаз звездой.
Между сопротивлениями стороны треугольника (ZA) и луча
звезды (Zx) имеет место соотношение Zx = -у-2д, вытекающее из
формул преобразования треугольника сопротивлений в эквивалент-
ную звезду (см. раздел II. 3).
Это соотношение справедливо как для сопротивлений симметрич-
ной трехфазной нагрузки, так и для сопротивлений симметричного
трехфазного генератора. При этом фазные э. д. с. эквивалентного
генератора, соединенного звездой, берутся в ]/3 раз меньшими фаз-
ных э. д. с. заданного генератора, соединенного треугольником (кроме
того, они должны быть сдвинуты на угол 30°).
Активная мощность симметричной трехфазной нагрузки
Р=ЗУф/фСО8 ср.
Ввиду того, что при соединении нагрузки звездой ^3 6^=1^
и /ф=/л, а при соединении нагрузки треугольником [7Ф=^Л и
3/ф!=/л, активная мощность трехфазной цепи, независимо от вида
соединения, выражается следующим образом:
Р=/задcosT. (VI. 5)
Здесь т — угол сдвига фазного тока относительно одноименного
фазного напряжения.
Аналогичным образом для реактивной и полной мощностей сим-
метричной трехфазной нагрузки имеем:
р=]/задл8шт, । <VI g)
s^/зад,. J
10*
147
Выражения (VI. 5) и (VI. 6) не означают, что при пересоединении
нагрузки со звезды на треугольник (или наоборот) активная и реак-
тивная мощности не изменяются.
При пересоединении нагрузки со звезды на треугольник фазные
токи возрастут в ]/*3 раз, а линейный ток — в 3 раза, т. е. при неиз-
менном линейном напряжении мощность возрастает в 3 раза.
Пример VI. 1. Определить ток в генераторе при симметричном
режиме работы трехфазной цепи, представленной на фиг. VI. 9.
Схема соединения сопротивлений Z4 треугольником заменяется
эквивалентной схемой соединения сопротивлений — Z4 звездой.
3
При симметричном режиме нейтральные точки генератора и на-
грузки имеют один и тот же (нулевой) потенциал; поэтому они
Фиг. VI. 9. Иллюстрация к примеру VI. 1 (симметричный режим трехфаз-
ной цепи).
а—схема цепи, б—расчетная однофазная схема.
могут быть объединены. При этом режим работы каждой фазы, на-
пример, фазы А, может быть рассмотрен в однофазной расчетной
схеме (фиг. VI. 9,6) отдельно от других фаз.
Результирующее сопротивление цепи равно
(z8+—' Z4}
Z-Z.+—i!.
Z2+Za + ~ Z4
Искомый ток в фазе
4=^
А Z
VI. 4. Несимметричный режим работы трехфазной цепи
Несимметрия в трехфазной цепи может быть вызвана различными
причинами :1) неодинаковым сопротивлением фаз (несимметричная
нагрузка); 2) несимметричным коротким замыканием (например,
между двумя фазами или фазой и нейтралью); 3) размыканием фазы;
4) неравенством величин э. д. с. и т. д.
148
Расчет токов и напряжений в трехфазной цепи при несимметрич-
ном режиме может производиться теми же методами, которые при-
меняются для расчета однофазных цепей.
Например, несимметричная трехфазная цепь, показанная на
фиг. VI. 10, может рассматриваться как трехконтурная цепь с тремя
э. д. с. Такая цепь может быть рассчитана методами контурных токов,
узловых напряжений, наложения и т. д.
Фиг. VI. 10. Несимметрич-
ная трехфазная цепь, соеди-
ненная звездой (с нейтраль-
ным проводом]).
Фиг. VI. П. Несимметрич-
ная трехфазная нагрузка,
соединенная звездой (без
нейтрального провода].
Поскольку в схеме имеются только два узла и взаимоиндукция
между фазами не учитывается, наиболее целесообразно в данном
случае определить узловое напряжение (напряжение смещения)
между нейтральными точками О и О' по формуле, аналогичной
(11.24):
__ ^д£д + УвЁв + УСЁС
N~ ya+yb+yc+yn ’
(VI. 7)
где
' _ 1 у _ 1
a~za' b~zb
_L у — —
zc ’ N zN
Отсюда найдем токи:
iA = YA^A-uN\
iB = YB(EB-UN\
4 = 4(4-^)- .
(VI. 8)
В симметричной трехфазной цепи YA = YB=YC и поэтому при
Ал + + = 0 узловое напряжение UN равно нулю.
Случаю размыкания какой-либо фазы или нейтрального провода
соответствует равенство нулю проводимости данной фазы или ней-
трального провода.
При отсутствии нейтрального провода, полагая в (VI. 7) /^ = 0,
149
имеем:
UN =
УаЁа+УвЁв + УсЁс
Уа+Ув+Ус
(VI. 9)
Если заданы линейные напряжения U Ав, йвс, йСА на зажимах
нагрузки, соединенной звездой, то токи в фазах звезды опреде-
ляются следующим образом.
Обозначив фазные напряжения на зажимах нагрузки через
иА, U R, ис (фиг. VI. 11), имеем: IA=YAUA, iB=YjJB, ic=Ycl)c,
где Ya, Yb, Yc — проводимости фаз нагрузки. Равенство нулю
суммы токов трех фаз записывается в виде
yaua+YBUB+rct/c=O. (VI. 10)
Фазные напряжения ,17в и йс могут быть выражены через UА
и заданные линейные напряжения:
йс~йСА+йА. (VI. 11)
Подстановка (VI. 11) в (VI. 10) дает:
(г _ УвУав - УсйсА
А Уа+Ув+Ус
(VI. 12)
Круговой заменой индексов (с порядком следования АВСА
и т. д.) находятся
[) __ycUbc-YaUab
В Уа+Ув + Ус ’
YaUca-YbUbc
Уа + Ув+Ус
(VI. 13)
(VI. 14)
По фазным напряжениям нагрузки находятся фазные токи.
В случае симметричной нагрузки Ул = YB= Yc вектор фазного на-
пряжения равен одной трети диагонали параллелограмма, построен-
ного на треугольнике напряжений.
На фиг. VI. 12 построение произведено для
фазы А по формуле (VI. 12):
UA = 4“ (^лв-^сл) = L (Рва + ^сл)-
\ —-jir—•Пример VI. 2. Сопротивления фаз нагрузки,
\ соединенной звездой, Z4=40+ /30 = 50^1 36°54'.
4VZ ZB = 30 + /40=50 ^/53°6', Zc = 20/0° ом.
Фиг. VI. 12. На-
хождение фазных
напряжений с по-
мощью центра тя-
жести треугольни-
ка линейных на-
пряжений (при от-
сутствии нейтраль-
ного провода).
Сопротивление нейтрального провода
ZN = 3 + = ом-
Напряжение на зажимах цепи симметрично:
ОА = 100 Z 0°, Uв = ЮО Z-120° = - 50 -у 86.6,
Uc = 100 Z120° = - 50 + j 86,6 в.
150
Требуется определить фазные напряжения нагрузки.
Проводимости фаз и нейтрального провода:
Гл = = 0,02 Z—36°54' = 0,0J 6—/0,012 ~ ;
Уд=— = 0,02 / — 53°6'=0,012 - j 0,016 —;
ZB ом
гс=—=o,o5zo° —;
с Zc ом
УЛ, = —=0,2/ —53°6'=0, 12-/0,16 — .
Zn ом
На основании формулы (VI. 7)
ZZ — 1 ПО 0.02 Z ~ 36° 54 х +0,02 2~ 173°6' +0,05 £ 120° =
N~ ° 0,016-/0,012+0,012-/0,016+0,05+0,12-/0,16
= — 14,9 + /0,39 в.
Искомые фазные напряжения нагрузки
иА - UN = 100 +14,9 - / 0,39 = 114,9—/0,39 = 114,9 £ - 0° 12' в;
UB - UN = — 50—j 86,6 +14,9 -j 0,39=
= —35,1—/ 87,0 = 93,5/112°6' в;
UC—UN = —50 + / 86,6 +14,9 -/ 0,39=
= - 35,1 + / 86,2=93,0 /112°52' в.
VI. 5. Мощность в несимметричной трехфазной цепи
Пользуясь комплексной формой записи мощности, можно напи-
сать общее выражение для мощности в трехфазной цепи:
*}• ***
S=UAIA + UBIB + UCIC. (VI. 15)
Действительная часть этого выражения представляет активную
мощность P=UAIAcos^A + UbIb cos <?в + UcIc cos <?с.
Суммарная активная мощность, потребляемая несимметричной
трехфазной цепью, может быть в соответствии с этим измерена при
помощи трех ваттметров, включенных на фазные напряжения, под-
веденные к данной цепи, и одноименные с ними токи. Активная мощ-
ность равна сумме показаний трех ваттметров. Такой метод измере-
ния применяется при наличии нейтрального провода (фиг. VI. 13)
или искусственно созданной нейтральной точки.
151
В случае отсутствия нейтрального провода измерение может быть
произведено с помощью двух ваттметров (фиг. VI. 14). В этом случае
выражение (VI. 15) преобразуется следующим образом:
S=UAIA-UBIA + UBIA + UBIB + UCIC=
=(йА-йв) iA+uB(iA+zj+ад>
* * *
откуда, с учетом того, что /л + /в4-/с = 0,
5=(47д-йв)/л + (£Ус-^)/с
ИЛИ
S^UABIA+UCBIC. (VI. 16)
В соответствии с (VI. 16) при измерении активной мощности
двумя ваттметрами к одному из них подводятся напряжение UAB
Фиг. VI. 13. Измерение мощности в трехфазной цепи
при наличии нейтрального провода.
и ток 7л, а ко второму — напряжение UCB и ток 1С (фиг. VI. 14). По-
казания ваттметров складываются алгебраически.
Следует иметь в виду, что
Фиг. V. 14. Измерение мощности в трех-
фазной цепи при отсутствии нейтраль-
ного провода.
если стрелка одного из ваттмет-
ров отклоняется в сторону, об-
ратную шкале, то, изменив под-
ключение катушки тока или на-
пряжения данного ваттметра
на обратное, считают получен-
ное показание ваттметра отри-
цательным. При симметричном
режиме работы трехфазной
цепи такое положение имеет
место при
| с? |>60°.
Если в выражении (VI. 15) фазные напряжения и токи заменить
их симметричными составляющими, получится общая формула мощ-
152
ности трехфазной цепи, выраженная через мощности прямой, обрат-
ной и нулевой последовательностей (см. VI. 7):
s=3[uj1+uj2+uoio]=
=3 4-6’2 4-•£<)]
VI. 6. Получение вращающегося магнитного поля посредством
трехфазной системы токов
Расположим три одинаковые катушки таким образом, чтобы
их оси были сдвинуты друг относительно друга на угол 120°
(фиг. VI. 15), и приключим эти катушки к симметричной трехфазной
системе. Положим, что через катушку, расположенную на фиг. VI. 15
горизонтально, проходит ток iA=Im sin wt,
через вторую катушку, повернутую относи- Вд
тельно первой на 120° по ходу часовой стрел-
ки, — ток iB=I™ sin — -y-j и, наконец, че-
рез третью катушку, — ток ic =Im sin (
. 2гс \
+ 3 /
Положительные направления токов пока-
заны на фиг. VI. 15 с помощью точек и кре-
стиков. Этим положительным направлениям
токов соответствуют по правилу буравчика
указанные па фиг. VI. 15 положительные на-
правления магнитных потоков (векторов ин-
дукций), создаваемых токами iA, iB, ic.
При линейной зависимости значений индукций от токов
54 = 5mSin Ч
\ *5 <
/ 2 тс
вс= В s!n ( a>t+ —
G UI I 1 3
Фиг. VI. 15. Принцип по-
лучения вращающегося
магнитного поля посред-
ством трехфазной систе-
мы токов.
(VI. 17>
где Bm — максимальное значение индукции на оси каждой из кату-
шек. ^Результирующий вектор индукции находится сложением векто-
ров ВА, Вв, Вс: _
B==J(BA + a*BB + aBc). _ (VI. 18>
Здесь предполагается, что вектор индукции ВА, направленный на
фиг. VI. 15 вертикально, совпадает с мнимой осью.
Подстановка (VI. 17) в (VI. 18) дает:
В=jBm (sin <о^4- a2 sin cos 120° —a2 cos <s>t sin 120° 4-
4- a sin cos 120° 4- a cos <of sin 120°)=
=/1,5 Bm (sin <»t 4- J cos <&f)
153
или
В=-\5Вте~К (VI. 19)
Полученное выражение показывает, что ось результирующего
магнитного поля равномерно вращается с угловой скоростью о от
начала фазы А по направлению к началу фазы В и т. д. (на
фиг. VI. 15 по ходу часовой стрелки), причем значение индукции на
этой оси неизменно равно 1,5 В™,
Такое магнитное поле называется круговым вращаю-
щимся полем.
Для изменения направления вращения поля достаточно поменять
местами токи в двух катушках, например, токи 1В и ic.
При несимметрии катушек (например, если концы одной из кату-
шек поменять местами) вместо кругового вращающегося поля полу-
чится эллиптическое вращающееся поле, имеющее
переменную угловую скорость.
Если в область вращающегося магнитного поля между неподвиж-
ными катушками поместить укрепленную на оси подвижную магнит-
ную стрелку, то она будет вращаться (располагаясь по направлению
магнитного поля) со скоростью, равной скорости вращения поля, т. е.
синхронно. На этом принципе основано действие так называемых
синхронных двигателей.
Если же во вращающееся поле поместить на оси короткозамкну-
тый виток, то в последнем наведется ток, взаимодействие которого
с вращающимся магнитным полем приведет виток во вращение в том
же направлении, в котором вращается магнитное поле. Скорость
вращения витка будет меньше скорости вращения магнитного поля
относительно неподвижных катушек, поэтому наведение тока в витке
не прекратится и виток будет продолжать вращаться.
На этом явлении основан принцип действия трехфазных
асинхронных двигателей.
Трехфазная обмотка статора асинхронного двигателя приклю-
чается к трехфазной сети и в воздушном зазоре между статором
и ротором — подвижной частью двигателя — возникает круговое вра-
щающееся магнитное поле, увлекающее за собой ротор. Слово
асинхронный подчеркивает наличие скольжения магнит-
ного поля относительно ротора, т. е. различие в скоростях их вра-
щения.
Вращающееся магнитное поле может быть также получено с по-
мощью двухфазной системы токов.
Пусть токи
ii = Im sin mt
и
/2=/msin । mt—Z cosa)^,
“ //*' I I Hl’
проходящие через две катушки, создают магнитные потоки с индук-
цией Bt=Bm sin tot и В2=—Вт cos о>Л Если катушки взаимно перпен-
дикулярны, то результирующий вектор магнитной индукции
В = Вх + jB2 — Вт (sin ®t—j cos tot) = — JВте^‘.
.154
Здесь принято, что действительная и мнимая оси совпадают
с положительным направлением и В2.
Полученное выражение показывает, что от сложения двух взаим-
но перпендикулярных магнитных полей, сдвинутых по фазе на
четверть периода, получается магнитное поле, вращающееся с угло-
вой скоростью о в сторону отстающего по фазе вектора индукции
(или тока).
VI. 7. Метод симметричных составляющих
Метод расчета несимметричных трехфазных цепей, описанный
в разделе VI. 4, относился к так называемым статическим трехфазным
цепям, не содержащим электрических машин. При несимметричном
Фиг. VI. 16. Симметричные составляющие токов прямой (а), обрат-
ной (б) и нулевой (в) последовательностей.
режиме работы трехфазной цепи генератор или электрический двига-
тель не может учитываться с помощью трех одинаковых сопротивле-
ний в цепях, не связанных индуктивно друг с другом.
Для расчета несимметричных режимов трехфазных электрических
цепей с учетом особенностей электрических машин применяется
метод симметричных составляющих, основанный на
представлении любой трехфазной несимметричной системы электри-
ческих или магнитных величин (токов, напряжений, магнитных пото-
ков) в виде суммы трех симметричных систем. Эти симметричные
системы величин, образующих в совокупности несимметричную систе-
му, носят название симметричных составляющих прямой, обрат-
ной и нулевой последовательностей. При этом под
последовательностью подразумевается порядок следования во вре-
мени максимумов фазных величин.
На фиг. VI. 16 в виде примера показаны симметричные состав-
ляющие токов всех трех последовательностей. Как видно из
фиг. VI. 16, симметричные составляющие обозначаются цифрами 1,
2, 0.
Система прямой последовательности образует симметричную
трехлучевую звезду /1л, /1В, /1с с порядком следования фаз А В, С.
Система обратной последовательности образует трехлучевую
звезду I2Ai I2B, 12С с порядком следования фаз At С, В.
155
Система нулевой последовательности состоит из трех равных
векторов IQA=10В = ioc-
Векторами, показанными на фиг. VI. 16, могут изображаться как
комплексные амплитуды, так и комплексные действующие значения
токов трех последовательностей.
Мгновенные (синусоидальные) значения симметричных состав-
ляющих мыслятся в виде проекций на мнимую ось комплексных
амплитуд, вращающихся с угловой скоростью а) в положительную
сторону. Следует обратить внимание, что направление вращения
у всех трех систем векторов одно и то же.
Взаимное расположение и величина векторов прямой, обратной
и нулевой последовательностей зависят от характера несимметрии
и электрических параметров трехфазной цепи.
На основании фиг. VI. 16
= Цс~ | (VI 20)
Ав==аАд> = 1%А* '
Токи в фазах А, В и С определяются как суммы соответствующих
симметричных составляющих:
1а—Ад + 4д+Ад>
— Ав “Ь Ав “Ь Ав»
4?=Ас+ Ас + Ас-
(VI. 21)
В дальнейшем ради упрощения записи индекс А при симметричных
составляющих фазы А опущен, т. е.
4=4л, 4=4л, 4=4л- <VL22>
С учетом (VI. 20) и (VI. 22) выражения (VI. 21) принимают вид:
Л =А + А+А»
— a2i1 + ai2~r А>
ic = al1 + я2/2+ /0.
(VI. 23)
Эти формулы служат для нахождения фазных токов по их симметрич-
ным составляющим.
Если известны фазные токи, то симметричные составляющие слу*
жат решением системы уравнений (VI. 23). Умножив вторую строку
на а и третью строку на а2 и сложив уравнения (VI. 23), получим (с
учетом того что 14-^+^2|=0):
А=4’(7л + «4 + <*24)- (VI.24)
о
Аналогичным образом, умножив вторую строку на а2 и третью
строку на а и сложив уравнения (VI. 23), найдем:
4=4-(;л+«24+«4)- (VI. 25)
о
156
Наконец, сложив уравнения (VI. 23), получим:
4=vU.+4+/c)- (V1.26)
о
Выражения (VI. 23) — (VI. 26) являются общими; они применимы
также для напряжений и магнитных потоков.
VI. 8. Поперечная несимметрия
Поперечная несимметрия в одной точке трехфазной
цепи возникает в том случае, когда к фазам присоединяются нерав-
ные сопротивления, как это, например, показано на фиг. VI. 17,а. Та-
кое явление может иметь место при несимметричном коротком замы-
Фиг. VI. 17. Случаи поперечной несимметрия.
а—общий случай, б—двухфазное короткое замыкание, в—двухфазное замыкание на зем-
лю (или на корпус), г—однофазное короткое замыкание.
кании или при несимметричной нагрузке. Ради общности сопротивле-
ния в месте несимметрии обозначены через Z. Любые два сопротив-
ления из числа включенных в звезду, а также сопротивление Z3 мо-
гут быть равны нулю или бесконечности. Таким образом, различные
виды короткого замыкания, изображенные на фиг. VI. 17,6, в и г,
получаются из общего случая, представленного на фиг. VI. 17,а, в
результате приравнивания сопротивлений соответствующим частным
значениям.
Сопротивления в месте короткого замыкания складываются из
сопротивлений электрических дуг и заземлений. Эти сопротивления,
как показали экспериментальные исследования, являются активны-
ми. Поэтому в отличие от общего случая, представленного на
фиг. VI. 17,а, сопротивления для частных случаев (фиг. VI. 17,6 в, г)
приняты активными, а именно: 1) при двухфазном коротком замыка-
нии (фиг. VI. 17,6)
•7 7 R
ZB=ZC = — -, гл=г3 = оо;
2) при двухфазном замыкании на землю или на корпус самолета
{фиг. VI. 17,в)
Z5 = ZC = —; Z3=R3, zA = eo;
157
3) при однофазном коротком замыкании (фиг. VI. 17,а)
ZA = 0; Z3 = R3, zB=zc—<x>.
Поперечная несимметрия в общем случае (фиг. VI. 17,а) характе-
ризуется уравнениями:
uA=zAiA+3zJ0,
Uв~^в^в “Ь 3Z3/0.
t/c+3z3/0,
(VI. 27>
Здесь UAiUB,Uc— фазные напряжения в месте несимметрии.
Входящие в (VI. 27) фазные напряжения и токи могут быть с уче-
том формул (VI. 23) заменены симметричными составляющими. При
этом получатся три уравнения, связывающие симметричные состав-
ляющие в месте поперечной несимметрии (так называемые гранич-
ные условия).
Дополнительные три уравнения, необходимые для вычисления ше-
сти неизвестных (симметричных составляющих напряжений и токов
в месте несимметрии), даются соотношениями между напряжениями
и токами одноименных последовательностей для фазы А:
Z2I2 “h ~ О»
ZqIq + Uq — 0.
(VI. 28)
Здесь Z2, /о — результирующие фазные сопротивления цепи для
токов прямой,*обратной и нулевой последовательностей;
Е — фазная э. д. с. эквивалентного генератора.
Формулы (VI. 28) выражают второй закон Кирхгофа для каждой
последовательности в отдельности. Поскольку э. д. с. генератора трех-
фазного тока образует симметричную звезду с прямым чередованием
фаз, то в уравнениях (VI. 28) э. д. с. генератора входит только в
уравнение для составляющих прямой последовательности; в осталь-
ных двух уравнениях, связывающих составляющие напряжений и то-
ков обратной и нулевой последовательностей, э. д. с. генератора от-
сутствует.
Сопротивления прямой, обратной и нулевой последовательностей
для электрических машин (генераторов, электрических двигателей,
трансформаторов) берутся по заводским данным.
Для вращающихся электрических машин обычно z2<Czi- Разница
в сопротивлениях прямой и обратной последовательностей электричек
ских машин обусловлена различным направлением вращения маг-
нитных полей, образуемых токами прямой и обратной последова-
тельностей: направление вращения магнитного поля, созданного тока-
ми прямой последовательности, совпадает с направлением вращения
ротора; магнитное же поле, образованное токами обратной последо-
158
вательности, вращается в противоположную сторону. Более подроб-
но этот вопрос рассматривается в литературе по электрическим ма-
шинам и токам короткого замыкания Ч
Сопротивления прямой и нулевой последовательностей трехфаз-
ной линии (кабельной или воздушной) находятся расчетным или
опытным путем, причем сопротивления прямой и обратной последо-
вательностей для линий одинаковы, а сопротивление нулевой после-
довательности может в 2ч-3 раза превышать сопротивление прямой
последовательности. Объясняется это различием величин э. д. с.
взаимной индукции, наводимых в фазе токами прямой и нулевой по-
следовательностей, протекающими по двум другим фазам, а также*
сопротивлением земли или обшивки самолета.
Методика определения симметричных составляющих токов и на-
пряжений и построения соответствующих векторных диаграмм иллю-
стрирована ниже на примере частных случаев поперечной несиммет-
рии.
1. Двухфазное короткое замыкание (фиг. VI. 17,6).
Граничные условия удовлетворяют уравнениям
4=о, 4 =-4; (vi.29)
<4-*4=у(4-4). (vi.30)
Подстановка (VI. 29) в (VI. 24) и (VI. 25) дает
A=v(tt-«2)4. 4=ф(аг-а)4,
о о
откуда
4= -4- (vi. 31>
Подстановка (VI. 22) в (VI. 26) дает
4=0.
Кроме того, на основании (VI. 30)
(а2£7х + ай2) - (айг + а?й2) =
= (а? —а) (йг - - 4).
или
£71-44 = ^(4-4). (VI. 32}
Уравнения (VI. 31) и (VI. 32) вместе с дополнительными двумя
уравнениями (VI. 28) достаточны для нахождения четырех неизвест-
ных: 4, 4, Ui, В результате совместного решения этих уравнений
получается
4 =---------•
Z. + Z^R
1 С. А. У л ь я н о в, Короткие замыкания в электрических системах, ГЭИ, 1952.
159
На фиг. VI. 18,а показана однофазная схема замеще-
и и я, удовлетворяющая условиям (VI. 28), (VI. 31) и (VI. 32). Здесь
и ниже схема замещения дается применительно к симметричным со-
ставляющим фазы А.
Буквами Hi и Ki обозначены нейтральная точка и место корот-
кого замыкания в схеме сопротивлений прямой последовательности,
условно показанной на фиг. VI. 18,а в виде четырехугольника 7.
Внутри этой схемы, кроме сопротивлений, содержатся также э. д. с.
1
М
S)
а)
*Фиг. VI. 18. Схемы замещения при попе-
речной несимметрии.
*а—двухфазное короткое замыкание, б—двухфаз-
ное замыкание на землю, в—однофазное корот-
кое замыкание.
генераторов..
Буквами Н2 и Кг обозначе-
ны нейтральная точка и место
повреждения в схеме сопротив-
лений обратной последователь-
ности, условно показанной на
фиг. VI. 18,а в виде четырех-
угольника 2. Внутри этой схемы
э. д. с. отсутствуют.
На фиг. VI. 18,а, соответ-
ствующей двухфазному корот-
кому замыканию, схемы прямой
и обратной последовательно-
стей включены встречно (на
основании равенства VI. 31).
Одновременно удовлетворяется
и условие (VI. 32). Симметрич-
ные составляющие нулевой по-
следовательности при этом от-
сутствуют.
Схема замещения может
быть набрана на специальной
расчетной модели (вме-
сте с однофазными генератора-
ми, содержащимися в схеме
прямой последовательности), и распределение токов и напряжений
прямой и обратной последовательностей может быть получено непо-
средственным измерением искомых величин на расчетной модели.
На фиг. VI. 19 представлены векторные диаграммы токов и на-
пряжений в месте двухфазного короткого замыкания при /?=0 (ме-
таллическое короткое замыкание). В этом случае в соответствии
с (VI. 32) т. е. точки Ki и Кг при /?=0 имеют одинаковый
потенциал.
Векторные диаграммы построены в предположении, что век-
тор э. д. с. ЁА направлен вертикально вверх, причем углы пол-
ного сопротивления прямой и обратной последовательностей одина-
ковы (например 60°). Поэтому U1A совпадает по фазе с ЁА, ток
11А отстает от йЛА на заданный угол полного сопротивления.
Сумма токов /1л и /2д в месте двухфазного короткого замы-
кания равна нулю, поэтому 1А = 0. Токи /1л и 12в дают в сумме
160
фазный ток iB в месте короткого замыкания, а токи /1с и /2С
дают в сумме фазный ток 1С.
Токи 1В и /с находятся в противофазе.
Поскольку при построении векторных диаграмм сопротивление /?
в месте короткого замыкания принято равным нулю, то фазные на-
пряжения Uв и Uc в месте повреждения равны друг другу и, соответ-
ственно, линейное напряжение Uвс равно нулю. По мере удаления от
места короткого замыкания в сторону генератора линейное напряже-
ние между фазами В n С возрастает.
Фиг. VI. 19. Векторные диаграммы в месте двухфазного
короткого замыкания,
а—токи, б—напряжения.
2. Двухфазное замыкание на землю или на кор-
пус самолета (см. фиг. VI. 17,в).
Граничные условия удовлетворяют уравнениям:
/л=о, uB=^-iB+R3(iB+ic),
(VI. 34)
Замена в (VI. 34) фазных величин их симметричными составляющи-
ми дает:
4+4+4=0,
<Л-<4=^-(4-4),
Г/0-(|- + 3/?3)/0 = 471-|-/.
(VI. 35)
11 Г. И. Атабеков
161
В этих уравнениях неизвестными являются токи 4, 4, 4 и напря-
жения /71, U2, UQ.
Эти шесть неизвестных находятся в результате совместного реше-
ния уравнений (VI. 28) и (VI. 35).
При этом получается:
R 2 )(Zo+ 2
-4--------------;
Z2+Zo + /?+3A>3
г2+^
——-—•
22+2о+Л+3/?з /
(VI. 36)
Симметричные составляющие напряжений в месте короткого замыка-
ния легко находятся из (VI. 28).
При /?=/?а=0
(VI. 37)
Для облегчения расчетов на практике пользуются однофазной схе-
мой замещения (фиг. VI. 18,0), удовлетворяющей уравнениям
(VI. 28) и (VI. 35).
На фиг. VI. 20 представлены векторные диаграммы токов и напря-
жений в месте короткого замыкания в предположении, что /?=/?3=0
и нейтральная точка генератора заземлена. Фазные напряжения UB
и Ucb месте повреждения равны при этом нулю. В отличие от случая
двухфазного короткого замыкания токи 1В и 1С располагаются под
углом, меньшим 180°, причем их сумма равна 3/0.
По мере увеличения сопротивления /?3 в месте повреждения век-
торные диаграммы фиг. VI. 20 изменяются и в пределе при 7?3=оо
превращаются в векторные диаграммы двухфазного короткого замы-
кания (фиг. VI. 19).
3. Однофазное короткое замыкание (см.
фиг. VI. 17,г).
Граничные условия удовлетворяют уравнениям
4=4=о, ua=rJa.
Замена фазных величин их симметричными составляющими дает:
Л = Л = Лр 1 (VI.38>
7А+£72 + Ц) = 3/?з/о. *
162
В результате совместного решения уравнений (VI. 28) и (VI. 38)
получается:
____ЁА_______
2\+£2 + ^о + 3/?3
(VI. 39)
На фиг. VI. 18,в приведена схема замещения, удовлетворяющая
этим уравнениям.
Векторные диаграммы токов и напряжений при /?3=0 представ-
лены на фиг. VI. 21.
Пример VI. 3. Два одинаковых трехфазных генератора связаны
линией (фиг. VI. 22,а). Нейтральные точки генераторов присоедине-
Фиг. VI. 20. Векторные диаграммы в месте двухфазного замы
кания на землю.
а—токи, б—напряжения.
ны к корпусу самолета. На зажимах одного из генераторов произо-
шло металлическое однофазное короткое замыкание. Требуется на-
чертить схему замещения, пренебрегая активными сопротивлениями
цепи.
Обозначим: Х&, х2г, хОг—индуктивные сопротивления генератора
прямой, обратной и нулевой последовательностей;
Х1л=Х2л> хОл — индуктивные сопротивления линии прямой, обрат-
ной и нулевой последовательностей;
Ёъ Ёи — фазные э. д. с. генераторов (в общем случае эти э. д. с.
могут не совпадать по фазе).
Однофазная схема замещения для рассматриваемого случая изо-
бражена на фиг. VI. 22,6. На основе этой схемы могут быть легко
вычислены аналитически или измерены на расчетной модели симмет-
11* 163
ричные составляющие токов и напряжений в любой точке. При этом
следует заметить, что напряжение прямой последовательности отсчи-
тывается относительно нейтральной точки Hi; напряжение обратной
Фиг. VI. 21. Векторные диаграммы в месте однофазного короткого замы-
кания.
а)
а—токи, б— напряжения.
Фиг. VI. 22. Иллюстрация к примеру VI. 3.
последовательности — относительно нейтральной точки Н2, напряже-
ние нулевой последовательности — относительно нейтральной точ-
ки Но.
VI. 9. Продольная несимметрия
Продольная несимметрия в одной точке трехфазной
цепи возникает в том случае, когда в рассечку фаз включаются не-
равные сопротивления, как это, например, показано на фиг. VI. 23,а.
Любые два сопротивления могут быть при этом равны нулю или бес-
конечности.
164
Продольная несимметрии характеризуется в данном случае урав-
нениями:
О в = ZBIB,
Uc = zcic.
Здесь UA, UB, Uc — напряжения на зажимах
ZA, ZB, Zc (продольные напряжения).
(VI. 40)
сопротивлений
Фиг. VI. 23. Случаи продольной несимметрии.
а—общий случай, б—сопротивление в одной фазе, в—размыкание
одной фазы.
В результате замены напряжений и токов, входящих в (VI. 40),
симметричными составляющими получаются три уравнения (гранич-
ные условия), связывающие симметричные составляющие в месте
продольной несимметрии.
В частном случае, изображенном
на фиг. VI. 23, б. ZB = Zc=0 и, со*
ответственно, UB=UC — Q.
Симметричные составляющие
продольных напряжений
б1=^=бо=у£/л=-рл/л =
=_т'^л(А+4+4). а)
о
Фиг. VI. 24. Схемы замещения при
Схема замещения, соответствую- продольной несимметрии.
ЩаЯ ЭТОМУ Случаю, показана на а—сопротивление в одной фазе, б—раз-
фиг VI 24 CL мыкание одной фазы.
Принятие бесконечно большого сопротивления в фазе А равно-
сильно размыканию фазы (фиг. VI. 23,в). Схема замещения для этого
случая показана на фиг. VI. 24,6.
По своей структуре она аналогична схеме замещения при двухфаз-
ном замыкании на землю.
Пример VI. 4. К самолетному трехфазному генератору присоеди-
нена линия с асинхронным двигателем на конце (фиг. VI. 25,а). Ней-
тральные точки генератора и двигателя соединены с корпусом само-
165
лета. Требуется начертить схему замещения и определить симметрич-
ные составляющие токов для случая размыкания фазы Л.
Обозначим: Zlr, Z2r, ZOr—полные сопротивления прямой, обрат-
ной и нулевой последовательностей ге-
нератора;
Z1Jr, Z2jI, ZOjl — то же, линии;
21д, ^2Д, ^од —то же> асинхронного двигателя;
Ё — фазная э. д. с. генератора.
Фиг. VI. 25. Иллюстрация к примеру VI. 4.
Схема замещения, показанная на фиг. VI. 25,6, справедлива при
любом месте размыкания фазы А.
Для сокращения записи обозначим
+ Zw
^2 = ^2г 4" ^*2л 4" ^2д>
^Ог 4“ ^Ол 4" ^Од*
На основании схемы замещения
р . z0
Л =-----------, 4=-Л 7 , 7•
, ,ад>
/о--л
Z2
Z2 4- Zq
VI. 10. Фильтры симметричных составляющих
Фильтрами симметричных составляющих назы-
ваются устройства, служащие для выделения соответствующих со-
ставляющих напряжений или токов трехфазной цепи. Фильтры имеют
входные и выходные зажимы. К входным зажимам фильтра подво-
166
дятся напряжения или токи трехфазной электрической цепи; на вы-
ходных зажимах фильтра получается напряжение или ток, пропор-
циональные соответствующим симметричным составляющим электри-
ческих величин, подводимых к входным зажимам.
Напряжения и токи, выделяемые фильтрами симметричных со-
ставляющих, используются на практике для целей автоматики, за-
щиты от несимметричных режимов или сигнализации х. С этой целью
к выходным зажимам фильтров симметричных составляющих присо-
единяются соответствующие аппараты, приборы, реле и т. д.
Наиболее простой тип фильтра симметричных составляющих пред-
ставляет фильтр токов нулевой последовательно-
с т и, в котором в соответствии с (VI. 26) суммируются токи трех фаз
(фиг. VI. 26,а) или создаваемые ими магнитные потоки
Фиг. VI. 26. Фильтры составляющих нулевой последовательности.
а и б—фильтры токов, в—фильтр напряжений.
(фиг. VI. 26,6). В первом случае нагрузка включается в нейтральный
провод трех трансформаторов тока, а во втором случае — между за-
жимами обмотки, насаженной на магнитный сердечник, охватываю-
щий три фазы.
Фильтр напряжений нулевой последователь-
н о с т и выполняется с помощью трех однофазных трансформаторов,
первичная обмотка которых соединяется звездой с выведенной ней-
тральной точкой, а вторичная обмотка соединяется разомкнутым
треугольником (фиг. VI. 26,в). Благодаря такому соединению состав-
ляющие напряжений прямой последовательности взаимно компенси-
руются: То же имеет место и в отношении напря-
жений обратной последовательности: U2A’+ +
Составляющие же напряжений нулевой последовательности обра-
зуют на зажимах разомкнутого треугольника напряжение 3f70.
Фильтр напряжений нулевой последовательности может быть по-
лучен и с помощью трех равных сопротивлений, соединенных звездой
и приключенных к трехфазной цепи. При симметричном режиме ра-
боты трехфазной цепи напряжение между нейтральной точкой этих
1 Фильтры напряжения прямой или обратной последовательности могут так-
же использоваться в качестве указателей порядка следования фаз.
167
трех сопротивлений и нейтральной точкой цепи равно нулю; при по-
явлении же в трехфазной цепи составляющих напряжений нулевой
последовательности между нейтральной точкой сопротивлений и ней-
тралью трехфазной цепи возникает напряжение, пропорциональное
составляющей нулевой последовательности.
Системы симметричных составляющих прямой и обратной после-
довательностей отличаются друг от друга порядком следования во
времени амплитуд фазных величин; поэтому всякая схема для выде-
ления составляющих обратной последовательности может быть путем
перестановки любых двух фаз превращена в схему для выделения со-
ставляющих прямой последовательности. С этой точки зрения являет-
ся достаточным рассмотреть фильтры только какой-либо одной из
Фиг. VI. 27. Фильтр токов обратной последовательности.
а—принципиальная схема, б и в—векторные диаграммы.
указанных последовательностей, например, обратной последователь-
ности, распространив затем полученные результаты на фильтры сим-
метричных составляющих другой (прямой) последовательности.
Принцип выполнения фильтров токов и напряжений обратной по-
следовательности иллюстрирован ниже на примере двух схем: схемы
фильтра токов трансформаторного типа (фиг. VI. 27,а) и схемы четы-
рехэлементного, активно-емкостного фильтра напряжений
(фиг. VI. 28,а).
В фильтрах обоих типов суммируются напряжения, находящиеся
в определенных соотношениях с электрическими величинами, подво-
димыми к входным зажимам фильтров.
Фильтр токов обратной последовательности
состоит из активных сопротивлений — R и — R, между которыми
присоединен нулевой провод трансформаторов тока, и промежуточ-
ного трансформатора, токовые обмотки которого в фазах В и С свя-
заны индуктивно с третьей обмоткой в выходной цепи; параметры
фильтра удовлетворяют условию /?=]/Зо)Л1, где со — круговая ча-
стота тока, на которую рассчитан фильтр; М — взаимная индуктив-
ность первичной и вторичной обмоток промежуточного трансформа-
тора.
168
Благодаря тому, что сердечник промежуточного трансформатора
имеет воздушный зазор, обеспечивается линейная зависимость э. д. с.
взаимной индукции от токов.
2 1
Сопротивления —R и —/?, через которые проходят токи
3 3
1А и + могут быть по принципу компенсации заменены э. д. с.
^RIA и 4-/?(/в + /с).
О о
К этим э. д. с. добавляются э. д. с. взаимной индукции — j^MIB и
/о)7И/с, наводимые токами 1В и /с в обмотке выходной цепи
фильтра (одноименные зажимы индуктивно связанных обмоток обо-
значены на фиг. VI.27,а крестиками).
Таким образом, в фильтре суммируются четыре э. д. с. и резуль-
тирующее напряжение на выходных зажимах фильтра равно:
О о
С учетом того, что — (1В—^с) = ^а — 3/0,
Л=4+4+4 и iB-ic~ -;/з(4-4),
получаем:
0= R (/х + 4) -(4 - 4)=2 /?4. (VI. 41 >
На фиг. VI. 27,6 и VI. 27,в показаны векторные диаграммы, соот-
ветствующие случаям, когда к фильтру подводятся токи обратной и
прямой последовательностей: в первом случае напряжение на разом-
кнутых выходных зажимах равно [7=27?/2, во втором случае оно
равно нулю.
Влияние токов нулевой последовательности отсутствует в рас-
сматриваемом фильтре благодаря взаимной компенсации падений
• • 2 1
напряжения от токов /0 и 2/0 в сопротивлениях — R и — R.
Другой возможный способ устранения влияния токов нулевой
последовательности заключается в том, что к фильтру токов
обратной последовательности вместо фазных токов /л, /в, 1С под-
водятся разности фазных токов: iA—iB, 1в~~1с’ ^с—^а’ в кото-
рых составляющие нулевой последовательности отсутствуют.
Аналогичным образом для устранения влияния напряжений ну-
левой последовательности фильтры напряжений обратной последова-
тельности включаются обычно . на линейные напряжения U Ав*
UВС’ ^СА'
На фиг. VI. 28,а показан четырехэлементный фильтр
напряжений обратной последовательности, приме-
няемый в СССР. Параметры элементов фильтра удовлетворяют усло-
вию:
: : Я2= /3. (VI. 42)
169
При холостом режиме работы фильтра, т. е. при разомкнутых
вторичных зажимах, напряжение на этих зажимах равно сумме
напряжений Uи UBC X.— 30э. Как видно из потен-
циальных диаграмм фиг. VI. 28, б и VI. 28, в, при подведении к
фильтру составляющих обратной последовательности напряжение
на выходных зажимах фильтра равно
U=\,bU2AC, (VI. 43)
а при подведении к тому же фильтру составляющих прямой последо-
вательности напряжения UiABZ№° и ^-~U1BC/_—30° взаимно
компенсируются, вследствие чего напряжение на выходных зажи-
мах фильтра равно нулю. Если на выходе фильтра присоединена
Фиг. VI. 28. Фильтр напряжений обратной последовательности,
а—принципиальная схема, б и в—топографические диаграммы.
нагрузка, то ток или напряжение в выходной цепи могут быть
получены на основании теоремы об эквивалентном источнике.
пример VI. 5. К выходным зажимам фильтра токов обратной по-
следовательности, показанного на фиг. VI. 27,а, приключена нагрузка
ZH==rн+/
Определить ток в нагрузке при подведении к входным зажимам
фильтра составляющих токов обратной последовательности.
Будем исходить из предположения, что к входным зажимам
фильтра приключены источники токов /2д, Не-
согласно (VI. 41) напряжение на разомкнутых выходных за-
жимах фильтра равно U—^RI^a-
По теореме об эквивалентном источнике ток в нагрузке равен
где 2Ф — сопротивление фильтра, измеренное со стороны его выход-
ных зажимов при разомкнутых входных зажимах (внутренние сопро-
тивления источников токов равны бесконечности).
170
Обозначив через Z—r-\-j&L сопротивление вторичной обмотки
промежуточного трансформатора, включенной в выходную цепь, по-
лучаем:
Г 4-Гн 4" + ^н)
Пример VI. 6. К выходным зажимам фильтра напряжений обрат-
ной последовательности, показанного на фиг. VI. 28,а, приключена на-
грузка Zn. Параметры элементов фильтра, удовлетворяющие соотно-
шению (VI. 42), выбраны следующим образом:
Определить напряжение на нагрузке при подведении к входным
зажимам фильтра составляющих напряжений обратной последова-
тельности.
Будем исходить из предположения, что к входным зажимам
фильтра приключены источники э. д. с. U2AB и О2ВС. Согласно
(VI. 43) напряжение на разомкнутых выходных зажимах фильтра
равно:
и= \5й2АС = 1,5/ 3/2Л 30°.
По теореме об эквивалентном источнике напряжение на нагрузке
равно:
UZn
Z* + Zn
Zф — сопротивление фильтра, измеренное со стороны его выход-
ных зажимов при закороченных входных зажимах (внутренние со-
противления источников э. д. с. равны нулю).
Следовательно, в соответствии с заданием
= 0,965
Отсюда
ЛИТЕРАТУРА
1. Зевеке Г. В., И он кин П. А., Основы электротехники, ч. 1, Госэнерго-
издат, 1955.
2. 3 е л я х Э. В., Основы общей теории линейных электрических схем, Изд.
АН СССР, 1951.
3. Круг К. А., Основы электротехники, Теория переменных токов, т. I и II,
Госэнергоиздат, 1946.
4. Нейман Л. Р., Калантаров П. Л., Теоретические основы электро-
техники, ч. I и И, Госэнергоиздат, 1954.
5. П е р е к а л и н М. А., Электрические цепи, Госэнергоиздат, 1950.
6. Под ред. Поливанова К. М., Физические основы электротехники, Гос-
энергоиздат, 1950.
7. Ф р е н к е л ь А., Теория переменных токов, Госэнергоиздат, 1933.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Стр.
Предисловие........................................................... 3
Глава I
Линейные электрические цепи постоянного тока
I. 1. Элементы линейной электрической цепи постоянного тока...... 5
I. 2. Схемы- электрических цепей . . •.............................. 7
1. 3. Законы Ома, Кирхгофа, Ленца—Джоуля............................ 8
1.4. Баланс мощностей.............................................. 13
I. 5. Условие передачи источником максимума мощности приемнику . . 14
Глава II
Преобразование схем линейных электрических цепей постоянного тока
II. 1. Преобразование схемы со смешанным соединением сопротивлений 17
II. 2. Преобразование звезды сопротивлений в эквивалентный многоуголь-
ник ............................................................. . 19
II. 3. Преобразование многоугольника сопротивлений в эквивалентную
звезду.......................................................... 22
II. 4. Преобразование схем с источниками............................. 23
II. 5. Замена источника напряжения источником тока................... 25
Глава III
Методы расчета линейных электрических цепей постоянного тока
III. 1. Метод контурных токов........................................ 29
III. 2. Метод узловых напряжений..................................... 34
III. 3. Метод наложения.............................................. 38
III. 4. Входные и взаимные сопротивления и проводимости. Соотношения
токов и напряжений.............................................. 40
III. 5. Теорема взаимности........................................... 43
III. 6. Теорема компенсации.......................................... 45
III. 7. Теорема об изменении токов в электрической цепи при изменении
сопротивления ветви ................................................. 46
III. 8. Теорема об эквивалентном источнике........................... 48
Глава IV
Линейные электрические цепи однофазного переменного тока
IV. 1. Получение синусоидальной э. д. с.............................. 54
IV. 2. Действующие и средние значения синусоидального тока и напряже-
ния ............................................................ 57
IV. 3. Представление синусоидальных функций в виде проекций вращаю-
щихся векторов.................................................. 58
IV. 4. Элементы линейной электрической цепи переменного тока....... 64
IV. 5. Зависимости между синусоидальными напряжениями и токами в эле-
ментах г, L, С.................................................. 68
173
Стр-
IV. б. Последовательное соединение г, L, С........................... 71
IV. 7. Параллельное соединение г, L, С............................... 76
IV. 8. Применение комплексных чисел.................................. 80
IV. 9. Законы Ома и Кирхгофа в комплексной форме..................... 86
IV. 10. Мощность в цепи синусоидального однофазного тока............. 90
IV. 11. Комплексная форма записи мощности............................ 95
IV. 12. Условие передачи источником максимума мощности приемнику . . 97
IV. 13. Баланс мощностей............................................ 99
Глава V
Преобразование схем и методы расчета линейных электрических цепей
синусоидального однофазного тока
V. 1. Применимость правил преобразования электрических схем и методов
расчета цепей постоянного тока в случае цепей синусоидального
однофазного тока.................................................... 100
V. 2. Расчет цепей с взаимной индукцией............................ 106
V. 3. Коэффициент связи. Индуктивность рассеяния................... 113
V. 4. Уравнения и схемы замещения трансформатора без ферромагнитного
сердечника.......................................................... 117
V. 5. Входное сопротивление трансформатора......................... 123
V. 6. Дуальные цепи................................................ 127
V. 7. Метод топографических диаграмм ........................ 129
V. 8. Метод круговых диаграмм...................................... 131
Глава VI
Цепи трехфазного тока
VI. 1. Трехфазные электрические системы.......................... 141
VI. 2. Соединение звездой и треугольником........................ 143
VI. 3. Симметричный режим работы трехфазной цепи................. 145
VI. 4. Несимметричный режим работы трехфазной цепи............... 148
VI. 5. Мощность в несимметричной трехфазной цепи................. 151
VI. 6. Получение вращающегося магнитного поля посредством трехфазной
системы токов................................................... 153
VI. 7. Метод симметричных составляющих........................... 155
VI. 8. Поперечная несимметрия.................................... 157
VI. 9. Продольная несимметрия.................................... 164
VI. 10. Фильтры симметричных составляющих........................ 166
Литература........................................................ 172
Григорий Иосифович Атабеков
ЛИНЕЙНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ЦЕПИ
Издательский редактор И. А. Суворова Техн, редактор /7. В. Щербаков
Т08329 Подписано в печать 12/XI 1956 г. Учетно-изд. л. 10,25
Формат бумаги 60x92,/i6- 5,5 бум. л.—11 печ. л.
Цена 5 р. 10 к. Тираж 2010) экз. Заказ 1581/8318
Типография Оборонгиза
Замеченные авторские опечатки
Стр. Строка Напечатано Должно быть
9 2 сверху /?: R-,
58 16 сверху 2 /ср= 1т 0,6371т ^ср“ Лп 0,6371т н к
72 Подписи к фиг. IV. 14 и IV. 15 действующих амплитудных
166 9 снизу z3= Zo-
Заказ 1581/8318
Цена 5 руб. 10 коп.