А.Ф. Белецкий
ТЕОРИЯ
ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
Учебник
для высших
учебных
заведений
ББК 32.88
Б43
УДК 621.3.01
Рецензенты: Ю А. Бычков, П. П. Воробиенко,
Л В Данилов, Э В. Зелях
Редакция литературы по электрической связи
Белецкий А. Ф.
Б43 Теория линейных электрических цепей: Учебник
для вузов. — М.: Радио и связь, 1986. — 544 с.: ил
Даются основные понятия и излагаются методы современной теории
линейных пассивных и активных электрических цепей Рассматриваются
уравнения, описывающие колебания в электрических цепях, аналитиче
ские и численные методы их решения, частотные и временные характе-
ристики электрических цепей, критерии устойчивости, теория двухполюс-
ников, четырехполюсников и длинных линии Методы синтеза элсктри
чсскнх целей излагаются с учетом современной элементной базы и со
временных возможностей нахождения решений, близких к оптимальным
Для студентов электротехнических институтов связи.
Б
2402040000—088
046(01)—86
ББК 32.88
© Издательство «Радио и связь», 1986
Светлой памяти
Андрюши Ладиса,
енуна
Предисловие
Настоящая книга является учебником по курсу «Теория
линейных электрических цепей» для студентов, готовящихся
по специальностям 0702, 0703 и 07п8.
Требования действующей программы курса и опыт его
преподавания обусловили следующие особенности содержания
и методики изложения материала книги.
1.	Современная теория линейных электрических цепей —
это теория линейных активных цепей, поскольку практичес-
ки все усттройтва систем передачи и обработки информации,
как аналоговые, так и цифровые, содержат в числе элементов
усилители того или иного конструктивного оформления, ис-
пользуемые в линейном режиме Поэтому понятия о четырех
типах зависимых источников как идеализированных усили-
телях и об операционном усилителе вводятся в первой же гла-
ве книги, а цепи с зависимыми источниками рассматриваются
практически во всех последующих ее главах.
2.	Современные численные методы анализа как линейных,
так и нелинейных цепей основываются по существу на поэтап-
ном анализе напряжений и токов в резистивной электричес-
кой цепи В связи с этим методы анализа колебаний в электри-
ческих цепях (узловых напряжений, контурных токов, токов
ветвей и др.) излагаются в книге именно применительно к ре-
зистивным электрическим цепям, в том числе и активным.
Кроме того, следует иметь в виду, что резистивные цепи на-
ходят широкое применение в качестве компонентов аналого-
вых и цифровых устройств: аттенюаторов, усилителей, сумма-
торов и др.
3.	В соответствии с программой курса «Теория линейных
электрических цепей» (ТЛЭЦ) изложение метода анализа гар-
монических колебаний и понятий об амплитудно- и фазо-час-
тотных характеристиках цепей в книге предшествует изложе-
нию методов анализа нестационарных колебаний в линейных
электрических цепях. Для того чтобы при подобном построе-
нии курса исключить элементы постулирования, в книгу вве-
3
дена небольшая по объему, но принципиально важная по со-
держанию глава «Колебания в линейных электрических це-
пях». В этой главе вводятся понятия об установившихся и пе-
реходных колебаниях в устойчивых линейных электрических
цепях.
4.	В задачах синтеза линейных электрических цепей в
последние годы широко используется метод уравнивания ко-
эффициентов, что связано в общем случае с применением того
или иного метода математического программирования, а во
многих практически важных случаях— с решением системы
нелинейных алгебраических уравнений. Изложение совре-
менных методов решения задачи реализации ведется в книге
на основе указанного метода не только в силу его общности и
эффективности, но и доступности для понимания. Методы ма-
тематического программирования применяются также при ре-
шении задачи аппроксимации заданных характеристик и при
оптимизации найденных или выбранных решений. В связи с
этим в книге излагаются принципы применения для решения
указанных задач аппарата линейного программирования, с
которым студенты должны быть знакомы по курсу «Основы
применения ЭВМ».
5.	В настоящее время в устройствах электрической связи
широко используются частотные фильтры самых разнообраз-
ных реализаций. Вместе с тем число разновидностей харак-
теристик фильтров крайне ограничено. Эго фильтры с харак-
теристиками Баттерворта, Чебышева, Золотарева и некото-
рыми другими сравнительно редко встречающимися харак-
теристиками. Поэтому в книге выделены в отдельную главу
вопросы, связанные с обоснованием, анализом и сопоставле-
нием типовых характеристик фильтров. Примеры же их ре-
ализации рассматриваются в отдельной главе.
6.	Инженеры, занятые эксплуатацией и проектировани-
ем устройств связи и их элементов, в подавляющем боль-
шинстве случаев имеют дело с использованием универ-
сальных и разработкой специализированных программ ана-
лиза электрических цепей. Следует иметь в виду, что уни-
версальные программы анализа составляются коллектива-
ми’специалистов различных профилей и совершенствуются
годами. В связи с этим в книге приводятся лишь примеры
типовых входных языков универсальных программ машин-
ного анализа электрических цепей. Обоснование же мето-
дов, позволяющих в каждой конкретной задаче формиро-
вать оптимальные алгоритмы анализа соответствующей це-
пи, составляет основное содержание книги.
7	Материалы книги охватывают все разделы программы
курса. Вместе с тем предусмотрена возможность изучения не-
4
которых из них в сокращенном объеме без нарушения логин,
изложения. Соответствующие изменения определяются ра-
бочей программой курса. По соображениям методического ха-
рактера в книге объединены в одной главе материалы тем 9
и 12 программы.
По мнению автора, материал книги вводит в круг основных
идей и методов современной теории линейных электрических
цепей в объеме, необходимом для изучения последующих спе-
циальных дисциплин и соответствующей дополнительной ли-
г тературы, а также для понимания и сознательного примене-
ния эффективных расчетных методов в ходе экспериментальной
практики, курсового и дипломного проектирования и, глав-
ное, практической инженерной деятельности
Автор искренне благодарен коллегам по кафедре и рецен-
зентам проф. Л. В. Данилову, проф. Э. В. Зеляху, доц.
Ю. А. Бычкову и доц. П. П. Воробиенко за их замечания и
предложения по содержанию рукописи учебника.
Замечания и отзывы об учебнике просим направлять в изда-
тельство «Радио и связь» по адресу: 101000 Москва, Почтамт,
а/я 69б.
Введение
Жизнь современного человеческого общества характери-
зуется огромными потоками информации, которые необходи-
мы как для управления всеми сторонами его деятельности, так
и для удовлетворения бытовых и культурных потребностей
его членов. Объем этой информации в нашей стране в послед-
ние годы возрастает особенно быстро в связи с увеличением
объема технико-экономической информации в региональных
и общегосударственной вычислительных сетях, организацией
общегосударственной и международных телевизионных сетей,
высокими темпами телефонизации страны и по ряду других
причин.
Организация обмена информацией, ее передача, распреде-
ление и обработка выполняются средствами электрической
связи. Их развитию и совершенствованию в нашей стране
Уделяется большое внимание. Об этом свидетельствует, в част-
ности, создаваемая по решению партии и правительства Еди-
ная автоматизированная система связи (ЕАСС), которая объ-
единяет в общегосударственном масштабе передачу всех видов
информации по кабельным, радиорелейным, радио-, спут-
никовым и, в перспективе, волоконно-оптическим и лазерным
системам связи.
Началом развития средств электрической связи явилось
изобретение в 1832 г. русским ученым членом-корреспонден-
5
•гом Петербургской академии наук Павлом Львовичем Шил-
лингом первого электромагнитного телеграфа. Естественно,
что с созданием телеграфа появились и первые проводные ли-
нии связи в виде подземных кабелей и воздушных телеграф-
ных линий связи
Широкое развитие телеграфная связь находит после изо-
бретения Самуэлем Морзе (США) в конце 30-х гг. прошлого
столетия удачной конструкции пишущего телеграфного ап-
парата.
Телеграфная связь оказалась не только исторически пер-
вым видом электрической связи, но и первым широким при-
менением электричества. В частности, к началу 70-х гг. про-
шлого столетия в России эксплуатировалось почти 700 теле-
графных станций, а обшая длина телеграфных линий доходи-
ла до 80 тыс. км, среди которых была и линия Петербург—
Владивосток протяженностью 12 тыс. км.
Широкое внедрение телефонной связи началось после то-
го, как летом 1876 г. Грэхем Белл (США) продемонстрировал
на Первой всемирной выставке в Филадельфии изобретенный
им электромагнитный телефон. Вскоре после изобретения те-
лефона появляются и первые телефонные станции.
Основополагающее значение в развитии всех видов связи
имела и имеет созданная в 70-х гг прошлого столетия Джэм-
сом Кларком Максвеллом (Англия) теория электромагнитных
явлений, приведшая к открытию электромагнитных волн.
Важнейшим этапом развития средств электрической свя-
зи явилось гениальное изобретение Александра Степановича
Попова, официальной датой которого считается 7 мая 1895 г.,
когда А. С. Попов выступил с публичной лекцией и демонст-
рацией первого в мире радиоприемника, или «грозоотметчиках,
как назвал его автор. Уже 12 марта 1896 г А С Попов де-
монстрирует передачу телеграфного сообщения на расстояние
250 м.
Открытие А. С. Попова явилось качественным скачком в
практическом применении электричества Оно ознаменовало
собой переход от электротехники медленно меняющихся полей
к новой высокочастотной технике, где наиболее ярко прояв-
ляется волновая природа электромагнитных полей
Огромную роль в развитии отечественной радиотехники и
электроники сыграли работы дружного коллектива ученых-
энтузиастов, сотрудников Нижегородской радиолаборатории,
организованной в 1918 г Возглавил лабораторию выдаю-
щийся ученый Михаил Александрович Бонч-Бруевич. О ра-
ботах лаборатории знал и их поддерживал В. И. Ленин.
Нижегородская радиолаборатория — первое отечествен-
ное научное учреждение радиотехнического профиля — стала
6
основой для последующего развития советской радиотехни-
ческой науки и промышленности средств связи. Одной из
многих заслуг лаборатории следует считать внедрение в тех-
нику радиоприема и мощного радиоаппаратостроения новых
по тому времени электронных приборов — электронных ламп.
Благодаря электронным приборам стали практически
возможны фототелеграфия и электронное телевидение, обще-
признанным основателем которого является профессор Бо-
рис Львович Розинг. Полученные им привилегии в России и
в ряде других стран датированы 1907 г.
Изменения кардинального характера претерпевают связь
и средства связи в условиях научно-технической революции.
Атомная энергетика и лазерная техника, освоение космоса,
глобальное проникновение ЭВМ во все сферы деятельности
общества и в быт немыслимы без адекватных им сложнейших
радиоэлектронных систем сбора, передачи и обработки инфор-
мации, без участия в этом средств связи.
Все достижения научно-технической революции реализу-
ются в устройствах техники связи. Внедрение в технику свя-
зи микропроцессоров и специализированных ЭВМ позволяет
рационально использовать все возможности ЕАСС для управ-
ления ее элементами и рационального распределения цирку-
лирующих в ней потоков информации. Специализированные
ЭВМ по записанной программе управляют в современных
электронных и квазиэлектронных автоматических телефон-
ных станциях процессами установления соединений и оказа-
нием услуг абонентам. Естественно, что в технике связи ис-
пользуются и все достижения современной микроэлектроники.
Стремительные темпы развития науки и техники и, в част-
ности, успехи микроэлектронной технологии неизбежно при-
водят к быстрому моральному старению конкретных образ-
цов техники связи. В этих условиях приобретает особую зна-
чимость знание специалистами как общих принципов переда-
чи информации, так и методов' количественной оценки явле-
ний в системах связи и их компонентах. Именно эти принципы
и методы являются непреходящими. Конкретные же образцы
аппаратуры существуют до тех пор, пока будут вытеснены
Другими, более совершенными образцами. Возможности
адаптации специалистов к новым техническим решениям и
задачам определяются уровнем их базовой подготовки, кото-
рый формируется курсами математики, физики, теории элек-
трических цепей, линейцых и нелинейных, и курсом общей
теории связи.
Теория линейных электрических цепей как наука посвя-
т}ена решению задач анализа и синтеза электрических цепей.
электрическим цепям относится огромное число техничес-
7
ких устройств самого разнообразного назначения. Там, где
речь идет об электрическом токе или электрическом напряже-
нии, имеют дело с электрической цепью. Задача анализа со-
стоит в качественной и количественной оценках свойств за-
данной электрической цепи, а задача синтеза — в построе-
нии цепи с заданными свойствами.
Современные эффективные аналитические методы анализа
линейных электрических цепей основаны в конечном счете на
сочетании законов Кирхгофа, которым удовлетворяют токи и
напряжения в электрических цепях, с теорией дифференци-
альных уравнений. Находят, естественно, широкое примене-
ние и численные методы анализа электрических цепей, в ко-
торых реализуются алгоритмы решения уравнений, связываю-
щих между собой напряжения и токи в анализируемой цепи.
Высокий уровень развития расчетных методов теории элек-
трических цепей и совершенство оптимальных методов их син-
теза обязаны использованию применительно к соответствую-
щим задачам фундаментальных исследований русских и со-
ветских математиков П. Л. Чебышева, Е. И. Золотарева (ме-
тоды наилучшего равномерного приближения функций),
А. А. Ляпунова (критерии устойчивости), Л. В. Канторовича
(линейное программирование), Е. Я. Ремеза (численные ме-
тоды уравнивания максимумов), а также ряда советских уче-
ных, работы которых способствовали развитию методов соб-
ственно теории электрических цепей (Е. В. Зелях, В. Н. Лис-
тов, М. Г. Цимбалистый и др.).
Изучение курса теории линейных электрических цепей
основывается на знаниях курсов физики, математики, элект-
ронных и полупроводниковых приборов и других специально-
технических курсов, изучение которых или предшествует,
или ведется одновременно с ними. В свою очередь, курс ТЛЭЦ
образует ту базу, на которой строится изложение последую-
щих специально-технических курсов — как теоретико-спе-
циальных, так и аппаратурных, в том числе и курса теории
нелинейных электрических цепей. Именно в курсе ТЛЭЦ вво-
дятся основные профессиональные понятия, определения и
термины, которые широко используются во всех последующих
специально-технических курсах.
Методы анализа электрических цепей в курсе ТЛЭ11 ил-
люстрируются и закрепляются на примерах анализа свойств
(характеристик) типовых линейных устройств техники свя-
зи, а методы синтеза — на примерах синтеза этих устройств.
Большинство из этих примеров имеет и самостоятельное зна-
чение.
8
Основные обозначения
а — ослабление, рабочее ослабление
b — фазовая характеристика
д — реактивная составляющая проводимости
С — емкость
f — частота колебаний
G — резистивная  проводимость, активная составляющая про-
водимости
g(t) —импульсная характеристика цепи
Н (/со) — комплексная передаточная функция
Н (₽) — операторная передаточная функция
ft (/) — переходная характеристика цепи
I — действующее значение тока
I — комплексный ток
1т — амплитуда гармонического тока
fm — комплексная амплитуда тока
с, i (t) — мгновенное значение тока
Im (а + jb) = b
j — мнимая единица
k — коэффициент связи, коэффициент усиления
&бв — коэффициент бегущей волны
L — индуктивность
I —- длина линии
М — взаимная индуктивность
Р — активная (средняя) мощность
Рп — полином Чебышева степени п
р — комплексная переменная, коэффициент отражения, мгно-
венная мощность
р — нормированная комплексная переменная
Q — добротность
д — заряд
R — резистивное сопротивление, активная (вещественная) со-
ставляющая сопротивления
Re (a -j- jb) = а
Т — период колебаний
t — время
<г — групповое время
U — действующее значение напряжения
U — комплексное напряжение
Um — амплитуда гармонического напряжения
— комплексная амплитуда напряжения
«, и (Z) — мгновенное значение напряжения
v (р} — полином Гурвица
v (/<о) — полином Гурвица при р = /ы
— групповая скорость
Оф — фазовая скорость
Л — реактивная составляющая сопротивления
Y (р) — операторная проводимость двухполюсника
Y (/<о) — комплексная проводимость двухполюсника
Z (р) — операторное сопротивление двухполюсника
Z (/ы)— комплексное сопротивление двухполюсника
ZB — волновое сопротивление линии
а, — коэффициент ослабления (линии)
fj — коэффициент фазы (линии)
у — коэффициент распространения (линии)
Да — неравномерность характеристики ослабления фильтра в
полосе пропускания
6 (/) — единичная импульсная функция
0 (со) — фазо-частотная характеристика
р — волновое сопротивление линии, контура
т — постоянная времени цепи с одним реактивным элементом
т|> — начальная фаза гармонического колебания
Ф (/а) — комплексная спектральная плотность колебания
( Ф (/со) | — спектральная плотность амплитуд колебания
ф — разность фаз колебаний
Фв — аргумент волнового сопротивления линии
срг — аргумент комплекса полинома Гурвица
Фр — аргумент коэффициента отражения
Фу — аргумент комплексной проводимости двухполюсника
Фг — аргумент комплексного сопротивления двухполюсника
Фф — спектр фаз колебания, аргумент комплексной спектраль-
ной плотности колебания
со — частота колебания (круговая)
со — нормированная частота
Глава 1.
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
1.1.	Напряжения и токи в электрических цепях
Электрической цепью называют любую совокупность ра-
диотехнических (электротехнических) устройств, электромаг-
нитное состояние которых допустимо и целесообразно харак-
теризовать с помощью понятий «электрическое напряжение»
и «электрический ток».
Напряжения и токи (так, краткости ради, будем называть
электрические напряжения и токи) представляют собой ска-
лярные величины, т. е. величины, которые могут принимать
лишь вещественные значения— положительные или отрица-
тельные. Они являются функциями времени t, а в некоторых
цепях, кроме того, и функциями пространственных коорди-
нат
Значение напряжения (тока) в данный момент времени
условимся называть мгновенным значением напряжения (тока).
При этом во всех физических цепях мгновенные значения на-
пряжений и токов ограничены по величине.
Мгновенные значения напряжений и токов принято обо-
значать соответственно буквами и и I Чтобы подчеркнуть их
зависимость от переменной t (времени), часто используются
обозначения и (t) и i (/).
В электрических цепях чаще всего практический интерес
представляют значения напряжений и токов на зажимах (вы-
водах, клеммах) устройств, составляющих электрическую
Цепь. В теории электрических цепей допускается возможность
однозначной, не зависящей от выбора пути, оценки электри-
ческих напряжений между любыми двумя зажимами исследуе-
мой электрической цепи Это позволяет определять электри-
ческое напряжение как разность потенциалов между соответ-
ствующими зажимами электрической цепи. Так, если потен-
11
циал некоторого зажима цепи <ph, а поГенциал другого зажима
той же цепи <plt то, по определению, напряжение между этой
парой зажимов цепи им = tpk — - грг или = <рг — <р&. Яс-
но, что величины им и »г/! отличаются лишь знаками. Поэтому
определение напряжения связано с выбором одного — лю-
бого из двух возможных — направления его отсчета.
В последующем условимся принятое (выбранное) направ-
ление отсчета напряжения характеризовать знаками «+» и
«—». Знаком «4 » помечается тот зажим цепи, из потенциала
которого вычитается потенциал другого зажима цепи при
определении напряжения между этими зажимами. Иными сло-
вами, знаки «4-» и «—» соответствуют знакам перед слагае-
мыми ф,, и фг в принятом (выбранном) определении напряже-
ния между двумя зажимами: k и I. В соответствии с приведен-
ным определением напряжение и между зажимами k и I цепи,
схематическое изображение которой приведено на рис. 1.1,
будет равно и = ф|> — фг. При этом если потенциал зажима,
помеченного знаком «+», будет выше потенциала другого за-
жима, то значение напряжения будет положительным, в про-
тивном случае — отрицательным. Знак «— » на рисунках иног-
да опускается, что несколько упрощает изображение.
Под электрическим током в теории электрических цепей
понимается по существу электрический ток проводимости в
соединительных проводах цепи, т. е. в проводах, соединяю-
щих внешние зажимы устройств электрической цепи. Напом-
ним, что электрический ток проводимости определяется как
упорядоченное движение зарядов в проводящем веществе.
Мерой тока является сила тока, равная первой производной
по времени от заряда q (/), проходящего сквозь поверхность
проводящего вещества, т. е. i (t) = dqldt. В нашем случае эту
поверхность образует поперечное сечение соединительного
провода. Часто вместо термина «сила тока» применяют тер-
мин «значение тока», или просто «ток», хотя, строго говоря,
последний характеризует физическое явление, а первые —
количественную оценку этого
явления.
По сложившейся традиции
значение тока I (t) считается
положительным, если направле-
ние перемещения положитель-
но заряженных частиц в сое-
динительном проводе совпадает
с заранее выбранным направле-
нием отсчета расстояния вдоль
оси провода. В противном слу-
чае значение тока будет отри-
12
цагельным. Выбранное, одно из двух возможных, направ-
ление отсчета показывается на графическом изображении элек-
трической цепи стрелкой или на самом соединительном про-
воднике (рис. 1.2), или рядом с ним. Ясно, что изменение на-
правления отсчета связано с изменением знака тока. Обычно
вместо «направление отсчета тока» используется термин поло-
жительное направление тока. Находит применение и термин
положительное направление напряжения вместо «направление
отсчета напряжения».
В теории электрических цепей широко используется тер-
мин падение напряжения. Он характеризует напряжение на
зажимах участка цепи, через который проходит ток.
Изменение во времени физических величин, какими яв-
ляются напряжения и токи в электрических цепях, условимся
называть колебаниями соответствующих величин. При этом
колебания могут происходить как с изменением, так и без из-
менения знака колеблющейся величины (колебания в широ-
ком смысле). Если значения всех напряжений и токов в цепи
равны нулю, то говорят, что цепь находится в состоянии {режи-
ме) покоя. В технике передачи информации колебания напря-
жений и токов, являющиеся материальными носителями ин-
формации, принято называть электрическими сигналами, или
просто сигналами.
При оценке мгновенной мощности сигналов на входе цепи
или ее части следует учитывать возможность выбора одного
из двух возможных вариантов положительных направлений
(направлений отсчета) напряжения и тока на соответствую-
щих зажимах Эти варианты показаны на рис. 1.3. Условим-
ся называть согласным такой выбор положительных направ-
лений напряжения и тока на входе цепи, при котором стрел-
ка тока ориентирована от зажима, помеченного знаком «+»,
® сторону другого зажима цепи (рис. 1.3, а), и встречным —
противном случае (рис. 1.3, б). При согласном выборе
ЗДожительных направлений отсчета напряжения и и тока i
13
мгновенная мощность, потребляемая цепью, р = ui, а при
встречном: р =. и (—Л — (—u)i ~ — ui. Если, например,
цепь можно разбить на две части, связанные между собой па-
рой соединительных проводов (рис. 1.4), то при выбранных
положительных направлениях напряжения и тока в соедини-
тельных проводах мгновенные мощности, потребляемые ле-
вой и правой частями цепи, будут соответственно определять-
ся по формулам рп = - ui и ра = ui. Их сумма равна нулю,
что соответствует закону сохранения энергии. В последую-
щем будем использовать, как правило, согласный выбор по-
ложительных направлений напряжения и тока.
В системе СИ напряжения, токи и мощности измеряются
соответственно в вольтах (В), амперах (М и ваттах (Вт).
1.2.	Линейные электрические цепи и принцип
наложения
Колебания в электрической цепи представляют собой
«реакции)* или «отклики», на приложенные к ней «воздействия»
(иногда «возмущения»). По отношению к электрическим це-
пям воздействия аналогичны внешним вынуждающим силам
в механических системах. Воздействия в электрических цепях
характеризуются заданными законами изменения во времени
некоторых напряжений и (или) токов, действующих в цепи.
Токи и напряжения в электрической цепи, обусловленные не-
которым воздействием, будем называть реакциями цепи на
это воздействие.
Пусть воздействие в виде напряжения (t) вызывает в
некотором произвольном выбранном устройстве цепи реак-
цию в виде, например, тока (/). Допустим, что к той же це-
пи было подведено вместо воздействия ut (/) пропорциональ-
ное ему воздействие и„ (/) = ku± (t), где k — любое вещест-
венное число. Если реакция Л, (t) на воздействие ц2 (7) в том
же устройстве цепи изменится в k раз, т. е. если i, (() = ki^ (/),
то такая цепь называется линейной1. Иными словами, линей-
ными называют такие электрические цепи, у которых реак-
ция пропорциональна воздействию.
Линейными будут любые цепи, составленные из устройств,
каждое из которых может рассматриваться как более простая
линейная электрическая цепь. К числу линейных электри-
ческих цепей относятся многие важнейшие устройства систем
передачи и обработки информации, например: усилители и
1 Если кроме воздействия щ (t) к цепи подведены и другие
воздействия, то под реакцией (/) [i3 (/)] следует понимать приращение
тока в выделенном устройстве цепи, обусловленное воздействием
«1 (0 («а (/)]-
14
электрические фильтры разнообразного назначения, цепи для
(Нормирования и оптимальной обработки сигналов, коррек-
тирующие цепи и т. д. Более того, в целом системы переда-
чи^ подвижных и неподвижных изображений (телевидение и
(Фототелеграф), музыки и речи (радиовещание и телефония)
тоже являются линейными системами с допустимыми, впрочем,
малыми искажениями, обусловленными нелинейностью неко-
торых устройств этих систем. Линейные электрические цепи
удовлетворяют принципу наложения (суперпозиции), соглас-
но которому реакция линейной электрической цепи на сово-
купность воздействий равна сумме реакций, вызываемых в той-
же цепи каждым из воздействий в отдельности. Это означает,
что если к линейной электрической цепи подведено п воздей-
ствий, например в виде напряжений ut (Z),	(/), ип (t),
то реакция цепи, например ток i (/) в одном из устройств цепи,
будет представлять собой сумму.
п
/(/)= S МП,
где ii, (/) — ток, вызываемый воздействием напряжения uh (Z),
если напряжения остальных воздействий положить равными
нулю
Еще раз следует подчеркнуть, что принцип наложения
применим лишь к линейным электрическим цепям. Более того,
он может быть положен в основу определения линейной
электрической цепи, а именно:
если в некоторой электрической цепи реакция на сумму воз-
действий равна сумме реакций на каждое из воздействий в от-
дельности, то такая иепь называется линейной.
Принцип наложения лежит в основе ряда эффективных
расчетных методов теории линейных электрических цепей.
1.3.	Элементы электрических цепей
Возникновение колебаний в электрической цепи связано
с введением в цепь электрической энергии. Устройства, кото-
рые вносят в цепь электрическую энергию, называют генера-
торами. Они представляют собой преобразователи энергии
из одного вида в другой, такие как электрохимические источ-
ники тока (гальванические элементы, аккумуляторы), электро-
машинные генераторы, термопары, микрофоны и др. Гене-
раторами являются и преобразователи энергии постоянного
или переменного тока технической частоты в энергию электри-
ческих колебаний требуемой формы.
Наряду с генераторами в электрической цепи имеются
Устройства, потребляющие электрическую энергию. Потреб-
15
ление энергии может быть связано с необратимым процессом
отвода ее из цепи, или, как говорят, с рассеянием электричес-
кой энергии за счет потерь на теплообразование, излучение,
выполнение механической работы и т. п. Потребление электри-
ческой энергии может быть связано с накоплением в устройст-
вах цепи энергии, вносимой генератором. При этом энергия
может запасаться как в магнитном, так и в электрическом по-
лях устройств цепи.
Элементом электрической цени будем называть идеализи-
рованное устройство, обладающее лишь каким-либо одним из
перечисленных выше свойств: вносить энергию в электричес-
кую цепь (источник), рассеивать энергию (элемент резистив-
ного сопротивления, резистивное сопротивление), запасать
ее в виде энергии магнитного (элемент индуктивности, ин-
дуктивность) или электрического (элемент емкости, емкость)
поля.
Различают активные и пассивные элементы электрических
цепей. К первым относятся источники, а ко вторым — элемен-
ты резистивного сопротивления, индуктивности и емкости.
Индуктивности и емкости часто называют реактивными эле-
ментами электрических цепей.
Резистивное сопротивление. Напряже-
ние и, приложенное к элементу, и ток i, проходящий через
него, при согласном выборе положительных направлений
напряжения и тока связаны между собой линейным соотноше-
нием
и — RI,	(1.1а)
являющимся математической записью закона Ома.
Соотношение (1.1а) может быть представлено также в
виде
(1.16)
Предполагается, что значения коэффициентов пропорцио-
нальности R и G положительны, не меняются во времени и не
зависят от значений и закона изменения напряжения, прило-
женного к элементу, и тока, протекающего через него. Коэф-
фициенты R и G, количественно характеризующие элемент,
т. е. его параметры, называются соответственно сопротивлени-
ем и проводимостью элемента.
Условное графическое изображение резистивного сопро-
тивления приведено на рис. 1.5. Там же даны и возможные
варианты обозначений для положительных направлений на-
пряжения и (или) тока в элементе, соответствующие их соглас-
ному выбору, т. е. соответствующие соотношениям (1.1).
16
Мгновенная мощность электрических колебаний в резис-
тивном сопротивлении
р = ui = R? = G»z
и при одном значении времени не может быть отрицательной,
иначе элемент мог бы не только рассеивать, но и вводить или
озвращать энергию во внешнюю по отношению к нему цепь.
Положительно, естественно, и количество электрической энер-
гии рассеянной в элементе за любой конечный интервал вре-
мени t — t0Z> О-
t	t	t
Wr J uidt = J Ri2 di — J Gu2 dt.
tt,
При встречном выборе положительных направлений на-
пряжения и тока в элементе (рис. 1.3, б) следует пользоваться
соотношениями
__и = +Ri, ~i = -iGu; р = —ui =• Ri2 = Gu2 0.
Индуктивность. Между напряжением и, прило-
женным к элементу, и током г, проходящим через элемент,
при согласном выборе их положительных направлений су-
ществует линейное соотношение
u-L—,	(1.2)
dt
справедливое при условии существования производной функ-
ции по переменному (времени) t. Кроме того, предполагается,
что значение коэффициента пропорциональности L, количест-
венно характеризующего элемент, положительно, не изменя-
ется во времени и не зависит от значений и закона изменения
тока, проходящего через элемент. Параметр L, как и элемент,
называется индуктивностью. Условное графическое изобра-
жение элемента индуктивности приведено на рис. 1.6. На том
17
же рисунке показаны варианты обозначений положительных
направлений напряжения и тока в элементе, соответствующие
соотношению (1.2).
Мгновенная мощность электрических колебаний в элемен-
те
.	, . di
p — ut — Li---
dt
может принимать как положительные, так и отрицательные
значения. В первом случае (р > 0) в индуктивности накапли-
вается энергия, а во втором (р <7 0) — энергия, запасенная
ранее в элементе, отдается во внешнюю по отношению к нему
электрическую цепь.
Энергия, запасенная в индуктивности к моменту I, такова;
I	t
Wl = f pdt f Li dt ,
J	J	dt 2
^0	^0
где tn — любой предшествующий t момент, в который ток в
индуктивности был равен нулю.
Полученное выражение показывает, что запас энергии в
индуктивности определяется мгновенным значением тока в
ней и не зависит от того, по какому закону он изменялся в
предшествующее время. Естественно, что значение Wl, не мо-
жет быть отрицательным.
Емкость. Напряжение и на зажимах элемента и ток
/, проходящий через элемент, при согласном выборе их поло-
жительных направлений связаны между собой линейным со-
отношением
i^C — .	(1.3)
dt
Здесь предполагается, что производная от функции и (/)
по переменному (времени) / существует, а значение коэффи-
циента пропорциональности (параметра) С, количественно
характеризующего элемент и называемого, как и элемент,
емкрстью, положительно не изменяется во времени и не зави-
сит ни от значений, ни от знака изменения напряжения, под-
веденного к элементу. Условное графическое изображение
емкости с указанием вариантов обозначений положительных
направлений напряжения и тока в элементе, соответствующих
соотношению (1.3), приведено па рис. 1.7.
Энергия, запасенная в емкости к моменту t, такова.
Wc = f uidt = f Си dt = ------ ,
J J dt 2
to
18
где fn — любой предшествующий t момент, в котором напря-
жение на емкости бь!ло равно нулю
Здесь запас энергии определяется мгновенным значением
напряжения на емкости и не зависит от его (напряжения)
предыстории. Ясно, что wc 0.
В системе СИ во всех приведенных выше соотношениях
сопротивление R, проводимость G, индуктивность L и емкость
С измеряются соответственно в омах (Ом), сименсах (См),
генри (Гн) и фарадах (Ф), энергия — в джоулях (Дж), а мощ-
ность — в ваттах (Вт).
Независимые источники. Идеализация
свойств реальных генераторов приводит к двум разновидно-
стям активных элементов электрических цепей: источникам
напряжений и источникам токов.
Источником напряжения считается такой источник, у ко-
торого напряжение на выходных зажимах не зависит от свойств
цепи, являющейся внешней по отношению к нему. Напряже-
ние на внешних зажимах источника, или, что то же, напряже-
ние между двумя зажимами любой электрической цепи, к ко-
торой подключен источник напряжения, называется задающим
напряжением источника, или просто его напряжением. Оно
полностью характеризует источник. Условное графическое
изображение источника напряжения приведено на рис. 1.8, а.
Положительное направление (направление отсчета) задаю-
щего напряжения определяется знаком «+» у одного из за-
жимов источника. Условное графическое изображение источ-
ника постоянного напряжения, у которого и = Е -- const,
показано на рис. 1.8, б, причем потенциал зажима источника,
соответствующего тонкой черте, превышает потенциал другого
его зажима на величину Е > 0. Источником постоянного на-
пряжения является, например, аккумулятор, напряжение на
зажимах которого практически не изменяется при любых
его рабочих режимах.
19
У источника тока проходящий через его внешние зажимы
ток i (/) не зависит от свойств цепи, внешней по отношению
к источнику. Этот ток, полностью характеризующий источник,
называют задающим током источника, или просто током ис-
точника. Соответствующее условное графическое изображение
источника тока показано на рис. 1.8, в. Здесь стрелки харак-
теризуют положительное направление (направление отсчета)
задающего тока источника i (I).
Важно отметить, что в те интервалы времени, пока задаю-
щее напряжение некоторого источника напряжения равно
нулю, разность потенциалов между зажимами, к которым под-
ключен этот источник, также равна нулю. Действительно, по
определению, напряжение на указанных зажимах равно на-
пряжению источника независимо от свойств цепи, внешней по
отношению к источнику. Но это означает, что при и == О за-
жимы, к которым подключен источник напряжения, оказыва-
ются непосредственно соединенными друг с другом, или, как
говорят, соединены между собой накоротко (рис 1.9, а). Если
же равен нулю задающий ток i (/) некоторого источника тока,
то через этот источник не может проходить ток, обусловлен-
ный любыми другими источниками, имеющимися в цепи, по-
скольку по определению, задающий ток источника не зависит
от свойств внешней по отношению к нему цепи. Иными слова-
ми, при i s 0 ветвь цепи, которую образует этот источник,
оказывается разомкнутой (рис. 1.9, б).
Зависимые источники. Рассмотренные ак-
тивные элементы электрических цепей — источники напря-
жения и источники тока — могут быть названы независимы-
ми, поскольку как задающее напряжение источника напря-
жения, так и задающий ток источника тока определяются
только внутренними свойствами источников и не зависят ©т
внешних воздействий. Наряду с независимыми в теории элек-
трических цепей рассматриваются и зависимые, или управ-
20
емые, источники. Они представляют собой результат идеа-
лизации свойств реальных транзисторных и ламповых усили-
Л1дей, используемых в линейном режиме, т. е. в режиме, в ко-
т ром’, например, напряжение на выходе усилителя пропор-
Т онально напряжению, подведенному к его входу. Любой
Ц1<илитель является активной электрической цепью, посколь-
уС ег0 роль сводится к регулированию расхода энергии ис-
К яников питания, выделяемой в нагрузке усилителя в соот-
Т°тствии с изменением напряжения (тока), подведенного ко
веоду цепи, т. е. управляющего напряжения (тока).
в* Зависимый источник напряжения представляет собой идеа-
язированную электрическую цепь с двумя парами зажимов,
я одной из них подсоединен источниклапряжения, у которого
^дающее напряжение пропорционально напряжению (току),
3 уведенному к другой паре зажимов, и только этому (управ-
П0ЮЩему) напряжению (току). Аналогично вводится и поня-
Лце зависимого источника тока. Различают четыре типа за-
висимых источников, а именно: источник напряжения, управ-
ляемый напряжением (ИНУН); источник напряжения, управ-
ляемый током (ИНУТ); источник тока, управляемый напря-
жением (ИТУН), и источник тока, управляемый током
MTN Т).
Условные графические изображения соответствующих ис-
точников и характеризующие их соотношения приведены на
рцс. 1 10 для типового случая, когда один из выходных и один
из входных зажимов зависимого источника непосредственно
соединены между собой. Коэффициенты (параметры) k, г, о
и (3 представляют собой вещественные положительные или от-
рицательные числа, причем каждое из них является единст-
венной и полной характеристикой соответствующего источни-
ка- Важно, что входные зажимы источников, управляемых
напряжением, разомкнуты, а у источников, управляемых то-
ком, соединены накоротко.
21
Следует заметить, что в современных условиях ТЛЭЦ в
значительной мере была бы лишена прикладного значения,
если бы ее методы не распространялись на задачи анализа и
синтеза линейных активных цепей, к числу которых относятся
Практически все микроэлектронные устройства.
1.4,	Модель и схема электрической цепи
Электрические цепи, используемые в современной радио-
электронике, образуются, как правило, из связанных друг с
другом соединительными проводами ее компонентов ре-
зисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и транзис-
торов или электронных ламп, предназначенных для прибли-
женной практической реализации соответственно резистив-
ных сопротивлений, емкостей, индуктивностей и активных
элементов электрических цепей (см. § 1.5). При этом цепь мо-
жет быть собрана из отдельных (дискретных) перечисленных
компонентов или изготовлена в едином технологическом цик-
ле Первые получили название дискретных, а вторые ин-
тегральных цеп^й (схем). Широко используются также и гиб-
ридные цепи, в которых сочетаются дискретные и интеграль-
ные устройства Совокупность типов компонентов, используе-
мых в радиоэлектронике для построения электрических цепей
того или иного функционального предназначения, образует их
компонентную базу.
При анализе колебаний в реальной линейной электричес-
кой цепи она заменяется некоторой идеализированной цепью
из того или иного числа элементов, колебания в которой пре-
небрежимо мало отличаются от колебаний в анализируемой
цепи Идеализированную электрическую цепь, свойства ко-
торой аппроксимируют (представляют приближенно) свойства
реальной цепи, будем называть моделью этой (реальной) цепи.
Каждой конкретной модели цепи соответствует система урав-
нений, благодаря решению которой удается оценить те или
иные свойства цепи Эта система уравнений полхчила назва-
ние математической модели цепи
Графическое изображение модели исходной цепи называ-
ют схемой Замещения цепи, или просто схемой (иногда электри-
ческой схемой) цепи Она отражает как число и характер эле-
ментов, из которых состоит модель цепи, так и порядок сое-
динения их между собой. Схемные изображения элементов
электрических цепей были уже введены выше Соединитель-
ные проводники на схемах электрических цепей изображают-
ся линиями При этом считается, что соединительные провод-
ники не оказывают влияния на свойства модели цепи
22
Различие между понятиями «электрическая цепь» и «мо-
дель электрической цепи» иллюстрирует рис. 1.11. На нем при-
ведены схематическое изображение цепи, составленной из
дискретных резисторов, конденсаторов и катушек индуктив-
ности (рис. 1.11, а), и схема модели этой цепи, составленная в
предположении, что ее компоненты точно моделируются соот-
ветствующими пассивными элементами (рис. 1.11,6). Значе-
ния сопротивлений #к, индуктивностей и емкостей Ск эле-
ментов этой схемы замещения равны соответственно значени-
ям сопротивлений резисторов, индуктивностей катушек ин-
дуктивности и емкостей конденсаторов реальной цепи.
Отметим, что понятия «электрическая цепь» и «схема элект-
рической цепи» часто отождествляются. В частности, интег-
ральные электрические цепи с большим числом элементов по-
лучили название больших интегральных схем (БИС).
Чем полнее и точнее должна отражать модель электричес-
кой цепи свойства исходной цепи, тем сложнее она становит-
ся, т. е. тем большее число элементов она содержит. Ясно, что
в каждом конкретном случае следует применять модель не
сложнее той, которая позволяет решить задачу анализа с тре-
буемой точностью. В дальнейшем для упрощения терминоло-
гии не будем особо подчеркивать различие между реальной
электрической цепью и ее моделью, считая, что последняя с
требуемой точностью воспроизводит изучаемые свойства пер-
вой. Необходимо иметь в виду и принципиальную возможность
Физического осуществления электрической модели исходной
электрической цепи, после чего эта модель становится, в свою
Очередь, электрической цепью. Вместе с тем следует помнить
Что переход от реальной цепи к ее схеме связан с рядом до-
23
лущений. Схема является схемой модели цепи и может быть
использована для изучения ее свойств лишь в границах, в ко-
торых модель с достаточной точностью воспроизводит свойст-
ва реальной цепи.
1.5.	Схемы замещения типовых линейных
компонентов электрических цепей
Рассмотрим часще всего йспользуемые схемы замещения
типовых линейных компонентов электрических цепей. Более
полные схемы и численные данные соответствующих моделей
приводятся в специальной литературе.
Резистор. По своим свойствам дискретный резистор
не отличается от резистивного сопротивления. Во всяком слу-
чае при проектировании и реализации цепи практически всег-
да имеется возможность из широкого ассортимента резисто-
ров, выпускаемых промышленностью, выбрать такой, который
в заданных интервале изменения напряжения и тока, частот-
ном диапазоне и интервале изменения температуры с необхо-
димой точностью, воспроизводит свойства резистивного сопро-
тивления требуемого номинала. Отличительной особенностью
интегральных резисторов является наличие в их схемах заме-
щения паразитных емкостей1, ограничивающих сверху час-
тотный диапазон, в котором подобные резисторы могут отож-
дествляться по своим свойствам с резистивным элементом. Со-
ответствующая простейшая схема замещения резистора при-
ведена на рис. 1.12.
Конденсатор. Все сказанное относительно возмож-
ности выбора резистора с требуемыми свойствами справедливо
и для дискретного конденсатора, моделью которого является
элемент емкости. Лишь в редких случаях возникает необхо-
димость учета рассеяния энергии в конденсаторе. Тогда в его
модель вводится резистивное сопротивление, как правило
параллельно емкости (см. рис. 1.12). Эта же схема является
простейшей схемой замеще-
ния интегрального конден-
сатора в области нижних
частот. В области верхних
частот более точно отобра-
1 Паразитным называется
тот дополнительный элемент, ко-
торый вводится в модель резис-
тора, катушки индуктивности,
конденсатора или источника с
повышением требований к точ-
ности анализа.
24
жает его свойства схема замещения, приведенная на
рис. 1.13.
Катушка индуктивности. Простейшей ее
моделью является индуктивность. С повышением требований
к точности анализа следует учитывать, что в катушке индук-
тивности подведенная к ней энер! ия не только запасается, но
и рассеивается. Если рассеяние энергии в катушке не может
считаться пренбережимо малым по сравнению с энергией, рас-
сеиваемой в других устройствах цепи, в модель катушки сле-
дует ввести резистивное сопротивление. Оно может быть вклю-
чено или параллельно, или последовательно с индуктивностью
модели, соответствующие схемы замещения катушки индук-
тивности показаны на рис. 1.14. Первая из них (рис.1.14, а)
более точно отображает свойства реальной катушки в области
нижних частот, когда определяющими являются потери, обус-
ловленные сопротивлением провода катушки. В области же
верхних частот, когда потери обусловливаются главным об-
разом вихревыми токами в проводе катушки и в окружающих
ее проводниках, целесообразно использовать схему замещения
катушки, изображенную на рис. 1.14, б.
Операционный усилитель. В последние годы
многие задачи синтеза электрических цепей с заданными свой-
ствами решаются с использованием интегральных усилите-
лей широкого применения, получивших название операцион-
ных усилителей. Схемное изображение типового операционно-
го усилителя приведено на рис. 1.15. Усилитель имеет две
пары входных зажимов и одну пару выходных зажимов,
содержит то или иное число транзисторов (до 30) и резисторов
и получает питание от источников постоянного напряжения1.
Простейшая схема замещения операционного усилителя
приведена на рис. 1.16, а. В нее входит зависимый источник
Напряжения типа ИНУН, подсоединенный к выходным зажи-
1 На схеме усилителя источники питания обычно не показываются.
25
мам усилителя. Его задающее напряжение пропорционально
разности напряжений «вх1 и пвх2, подведенных к входным за-
жимам 01 и 02 усилителя. У идеального операционного усили-
теля его коэффициент усиления и (см. рис. 1.16, а) может при-
нимать как угодно большие значения. Более полная схема за-
мещения операционного усилителя показана на рис. 1.16,5.
В нее введены резистивные сопротивления, имитирующие ко-
нечное входное и выходное /?ВЬ1Х сопротивления усили-
теля. Обычно /?вх на несколько порядков превышает /?вых,
а коэффициент усиления реального усилителя исчисляется
несколькими десятками или сотнями тысяч единиц Частотный
диапазон усиливаемых частот начинается со сколь угодно низ-
ких частот и ограничивается сверху емкостями паразитного
характера, которые имеются в любом реальном усилителе и
вводятся в более полную схему замещения операционного уси-
лителя.
Перечисленные выше компоненты электрических цепей
могут считаться линейными устройствами до тех пор, пока
подведенные к ним воздействия не превышают некоторых пре-
дельно допустимых значений. В противном случае необходи-
мо или учитывать явления, обусловленные нелинейностью ха-
рактеристик используемых устройств, или применять другие
устройства того же типа, характеристики которых могут счи-
таться линейными в более широком интервале воздействий.
Нелинейный резистор. В число компонентов
линейных электрических цепей входят также устройства, ко-
торые могут считаться линейными лишь при условии малости
воздействий по сравнению с постоянным напряжением (то-
ком), подводимым к устройству. Простейшим устройством ука-
занного типа является нелинейный резистор. Его свойства
определяются вольт-амперной характеристикой i — f (и),
т. е. зависимостью тока в резисторе от подведенного к нему
напряжения. На рис. 1.17 приведены графики вольт-ампер-
26
них характеристик нелинейною (и) и линейного (б) резисто-
ров.
Пусть к нелинейному резистору подведено постоянное
напряжение U, чему соответствует постоянный же ток / через
резистор. Отношение U I называют статическим сопротивле-
нием резистора, а значения U и I определяют его рабочую точ-
ку (на рис. 1.17, а точка Р). Пусть, далее, приращению на-
пряжения Ди на зажимах резистора соответствует приращение
тока Дг через резистор (см. рис. 1.17). Отношение ДПДи при
Ди -> 0 называется дифференциальной проводимостью нели-
нейного резистора, а обратное отношение — его дифферен-
циальным сопротивлением, т е
Z-.	1	/ di \
I )
7?д	\ аи }u--u -
Допустим, что приращения напряжения Ди и тока Ai не
выходят за пределы, в которых зависимость Дг ~ f (&и) мо-
жет считаться линейной, т е. что Ai — бдДи. Но тогда по
отношению к рассматриваемым малым приращениям напря-
жений и токов в нелинейном резисторе он может быть заменен
линейным резистором с проводимостью бЛ. Именно эти прира-
щения напряжений и токов в цепях с нелинейными резистора-
ми (электронными лампами, транзисторами) являются напря-
жениями и токами сигналов и именно для них чаще всего со-
ставляется модель цепи. Постоянные же напряжения и токи
обусловливают необходимый режим работы (рабочую точку)
соответствующего устройства В связи с этим на схемах заме-
щения нелинейных цепей, используемых в линейном режиме,
цепи постоянного тока не изображаются, а приращения на-
пряжений и токов в цепи относительно их начальных значе-
ний, обусловленные приложенным к цепи внешним напря-
жением (током), называются просто токами и напряжениями
и обозначаются соответствующими строчными буквами. В ка-
27
честве примера на рис. 1.18, а приведена схема цепи, содер-
жащей нелинейный резистор, источник постоянного напря-
жения Е, линейный резистор R и источник сигналов «с = uL (/),
соединенные последовательно, а на рис. 1.18,6 — схема за-
мещения цепи, по которой могут быть рассчитаны напряжения
и токи в цепи, вызванные источником сигналов, если цепь мо-
жет считаться линейной.
При количественной оценке допустимости использования
рассмотренной линейной модели нелинейного резистора ис-
пользуется обычно разложение функции i — f (и) в степен-
ной ряд1, т е. представление ее в виде
Поскольку в принятых обозначениях и — U ~ Ди, I =
= I + М и I = f (U),
М = f (U) Ьи ф (М2 + 	(14)
Эта зависимость и позволяет оценить допустимые значения,
при которых цепь может считаться линейной, т. е. при которых
можно не учитывать влияния второго и всех последующих
членов последнего ряда на явления в моделируемой цепи.
Нелинейный конденсатор. На рис. 1.19
приведена зависимость заряда q в некотором конденсаторе от
подведенного к нему постоянного напряжения и, называемая
вольт-кулонной характеристикой конденсатора. Она показы-
вает, что соответствующий конденсатор является нелиней-
ным. Такой конденсатор характеризуется статической Сот =
= Q/U и динамической Ся = (dq/du)u=u емкостями. При ма-
лых приращениях Ди напряжения на зажимах нелинейного
конденсатора, когда Дд «з СВА«, его моделью является ем-
кость Ся, значения которой изменяются с изменением посто-
1 Предполагается, что это разложение возможно н ряд сходятся.
28
янного напряжения (смещения) на зажимах конденсатора.
Это явление практически используется в варикондах, представ-
ляющих собой полупроводниковые приборы с нелинейными
вольт-кулонными характеристиками. Вариконды применя-
ются в качестве линейных конденсаторов с электрическим
управлением их емкостью.
Транзистор. Как известно, транзистор является по-
лупроводниковым прибором, который широко используется
в цепях линейного усиления сигналов. Для работы транзис-
тора необходимо подвести к его электродам некоторые посто-
янные напряжения. Линейная модель транзистора, как и не-
линейного резистора, составляется для приращений напря-
жений и токов на электродах транзистора, малых по сравне-
нию с указанными постоянными напряжениями и токами. Мо-
дель содержит зависимый источник того или иного типа и не-
сколько резистивных и емкостных элементов. Соответствую-
щие схемы замещения транзисторов рассматриваются в § 78.
и 12.5.
Электронная лампа. Модели и схемы замещения
электронных ламп для линейного режима их использования
подобны таковым для некоторых типов транзисторов (см.
§7.8).
1.6.	Основы классификации линейных
электрических цепей
До сих пор предполагалось, что электрическая цепь со-
держит то или иное конечное число компонентов, а ее модель —
конечное число элементов. Подобные цепи называются цепя-
ми с сосредоточенными или дискретными элементами (пара-
метрами, постоянными). Существуют также электрические
цепи, модели которых содержат бесконечно большое число
элементов, распределенных вдоль одной пространственной
координаты. Они называются цепями с распределенными эле-
ментами (параметрами, постоянными). К ним, в частности,
относятся линии связи
Электрические цепи различаются также и по числу их внеш-
них зажимов, к которым могут быть подведены воздействия
или (и) между которыми важно знать реакции, т. е., иначе го-
воря, по числу полюсов, с помощью которых данная цепь мо-
жет быть соединена с другими, внешними по отношению к ней,
цепями. Так появляется понятие о ЛСполюснике, например
Двухполюснике, четырехполюснике или многополюснике,
схемные изображения которых приведены на рис. 1.20. Чаще
Других используются понятия двухполюсника и четырехпо-
люсника.
29
Двухполюсником (N-полюсником) может быть названа лю-
бая электрическая цепь, которая взаимодействует с внешними
по отношению к ней цепями, т. е. обменивается с ними энер-
гией, через посредство двух (N) ее полюсов и только через
них. Двухполюсник будет пассивным, если энергия, отданная
двухполюсником во внешнюю цепь, ни при каких условиях
не может превысить той, которая была к нему подведена за
все предшествующее время. Это условие пассивности двухпо-
люсника может быть записано в форме неравенства
t
j и (т) i (т) dt О,
в котором / — произвольный момент, а произведение и (x)t (т)
при согласном выборе положительных направлений напряже-
ния и (т) и тока i (т) на входе двухполюсника характеризует
мгновенную мощность, потребляемую двухполюсником в мо-
мент т. Ясно, что нарушение условия пассивности свидетель-
ствует о наличии в двухполюснике внутренних источников
энергии, т. е. о том, что двухполюсник является активным.
Определение пассивного (активного) ЛЛполюсника анало-
гично определению пассивного (активного) двухполюсника.
Следует различать понятия пассивного (активного) ЛЛпо-
люсника и пассивной (активной) электрической цепи. Элект-
рическая цепь будет активной, если в нее входит хотя бы один
активный двухполюсник или ДСполюсник, и пассивной в про-
тивном случае.
Цепь всегда будет активной, если она содержит активные
компоненты, например транзисторы, электронные лампы, опе-
рационные усилители или те или иные генераторы. В современ-
ной микроэлектронике активные электрические цепи часто
используются для моделирования пассивных Л'-полюсников.
Примерами могут служить микроэлектронные аналоги ин-
30
дуктивностей (§ 12 8) или некоторые типы пассивных электри-
ческих фильтров (§ 20.4).
К числу линейных электрических цепей относятся и цепи
с устройствами, параметры которых изменяются во времени
по тем или иным законам Подобные цепи называются парамет-
рическими. В технике связи находят применение параметри-
ческие цепи, v которых значения одной из емкостей изменяются
во времени. При этом напряжение и ток в емкости С = С Й)
связаны между собой линейным соотношением
i (о=4- (с (/) и (/)] -«(о 4г- -гс — •
dt	dt	at
частным случаем которого при С — const является соотно
шение (1.3).
Методы анализа параметрических цепей рассматриваются в
специальных курсах в связи с их конкретными применениями
1.7,	Основные понятия топологии
электрических цепей
В теории электрических цепей используется ряд понятий и
методов топологии — математической дисциплины, в которой
изучаются наиболее общие свойства геометрических фигур.
Именно конфигурация цепи (порядок соединения между собой
устройств цепи, ее геометрический образ) содержит полезную
информацию о некоторых общих свойствах цепи безотноси-
тельно к содержанию ее устройств (см. §2.1 и 2.2).
При анализе конкретной электрической цепи она представ-
ляется в виде совокупности соединенных между собой актив-
ных и пассивных элементов. Место соединения зажимов двух
и более элементов называется цзюм электрической цепи. В от-
дельных случаях целесообразно различать узлы простые
(место соединения двух элементов) и сложные (место соедине-
ния зажимов трех и более элементов). Обобщением понятия
элемента как соединительного пути между двумя узлами це-
пи является понятие ветви цепи. Ветвь — это часть цепи, ко-
торая включена между двумя узлами и взаимодействует (обме-
нивается энергией) с остальной цепью только через эти два
узла. Таким образом, ветвь — это двухполюсная электричес-
кая цепь, короче — двухполюсник.
Графическое изображение совокупности узлов цепи и сое-
динительных путей между ними, т. е ветвей цепи, называется
графом цепи На графе цепи узлы изображают жирными точ-
ками или кружочками, а ветви — линиями (рис 1.21) В ка-
честве примера на рис 1 22 показаны схемы двух различных
иепей одной и той же структуры и общий для обеих цепей
31
граф. Графы с простейшими
соединениями ветвей — по-
следовательным и параллель-
ным—показаны соответствен-
но на рис. 1.23, а и б.
Если ветви графа ориенти-
рованы, например, в соответ-
ствии с выбранными поло-
жительными направлениями
токов в его ветвях, то такой
граф называется направлен-
ным, или ориентированным.
Пример направленного графа
приведен на рис. 1.24. Направленному графу соответствует
матрица соединений, которая его полностью характеризует,
причем между графом цепи и матрицей соединений сущест-
вует взаимно-однозначное соответствие.
Матрица соединений содержит Nv строк по числу узлов
графа и (VR столбцов по числу его ветвей. Порядковые номера
строк и столбцов матрицы совпадают с порядковыми номера-
ми узлов и ветвей графа. На пересечении k-й строки и /-го
столбца матрицы может стоять или — 1, если соответствующая
/-я ветвь ориентирована в сторону k-ro узла, или 1, если она
ориентирована от узла, или 0, если эта ветвь не подсоединена
к узлу. Матрица соединений, соответствующая графу рис. 1.24,
такова:
-111000
0—1	0—1	0	1
00—1	1	1	0
1 о 0	0-1—1
(узел /);
(узел 2)',
(узел 3);
(узел 0)
Из способа построения матрицы соединений следует, что
сумма элементов ее любого столбца равна нулю, поэтому лю-
32
бая из строк матрицы Ао не содержит новой информации по
сравнению со всеми остальными строками матрицы и ее всег-
да можно восстановить, зная остальные строки. Матрица сое-
динений, составленная для Ny — 1 узлов графа, называется
редуцированной матрицей соединений. В рассматриваемом
примере, если отбросить последнюю строку матрицы Ао,
А =
— 1	1	1	000
0-1	0—101
0	0—1	110
Часть графа называется подграфом. Подграф называется
связным, если все его узлы соединены между собой. Иными
словами, в связном подграфе, двигаясь вдоль его ветвей, мож-
но проходить от любого узла подграфа к любому другому его
узлу На рис. 1.25 приведены возможные варианты связных
подграфов с тремя узлами. Простейшим подграфом является
узел. Его можно считать связным подграфом.
Последовательность из т ветвей и т + 1 узлов графа, в
которой к каждому узлу,кроме начального и конечного, под-
соединены по две ветви этой последовательности, образует
путь. Например, между узлами 1 и 3 графа,приведенного на
Рис. 1.24, существуют путь 1:
Узел /, ветвь 3, узел 3; путь
2: узел /, ветвь 2, узел 2,
ветвь 4, узел 3; путь 3: узел 1,
ветвь 2, узел 2, ветвь 6, узел
О, ветвь 5, узел 3 и др. При
еовмещении начального и ко-
Вечной узлов пути образуется
к°нтур. Иными словами, кон-
туром является связный под-
гРаф, в котором к каждому уз-
ЛУ подсоединены по две ветви.
2
Зак. 1045	33
ЛА
1.25
Связный подграф, который содержит все узлы исходного
графа и не имеет контуров, называется деревом графа. В нем
сохранена совокупность ветвей, которая позволяет, двигаясь
вдоль ветвей, пройти от любого узла исходного графа к лю-
бому другому узлу, но исключает возможность возврата к ис-
ходному. Ветви, удаленные при образовании дерева, называ-
ются ветвями связи (соединительными ветвями, хордами). На
рис. 1.26 показаны три из 16 возможных различных деревьев
графа рис. 1.24. Число ветвей дерева на единицу меньше чис-
ла узлов графа, иначе или образуются контуры, или не все
узлы графа входят в дерево. Число же ветвей связи равно раз-
ности между общим числом ветвей графа Na и числом ветвей
дерева Л'у — 1, т. е.
7VB.C = N„- Nv + 1.	(1.5)
Совокупность ветвей связного графа называется сечением,
если, во-первых, устранение всех ветвей этой совокупности
(узлы графа сохраняются) делает граф несвязным и, во-вторых,
после восстановления любой из ветвей этой совокупности
вновь образуется связный граф. На графе (схеме) цепи сече-
34
ние изображается в виде тонкой или штриховой линии, кото-
рая проходит через все ветви сечения. Для графа рис. 1.27, а
одно из возможных сечений содержит ветви, включенные меж-
ду узлами 1—2; 0—2\ 0—3 и 3—4. После удаления этих вет-
вей образуется несвязный граф рис. 1.27, б и, следовательно,
выполняется первое из требований определения. Выполняется
также и второе требование, поскольку добавление к графу
рис. 1.27, б любой из ветвей выбранного сечения приводит к
связному графу. Некоторые из других возможных сечений то-
го же графа приведены на рис. 1.28.
Глава 2.
«ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
2.1. Первый закон Кирхгофа
В основе методов анализа и синтеза электрических цепей
лежат законы, установленные немецким естествоиспытателем
I. Кирхгофом (1824—1887). Они верпы для любых электри-
ческих цепей: как линейных, так и нелинейных.
Первый закон Кирхгофа гласит: алгебраическая сумма то-
лков в ветвях, сходящихся к любому узлу электрической цепи,
[тождественно равна нулю.
u Согласно этому закону если к некоторому узлу цепи под-
соединено I ветвей с токами zt, г2, ..., г;, то в любой момент
2 «ь ц. = О,
Й=1
где ah — 1, если выбранное или заданное положительное на-
правление тока ih ориентировано от узла, и ah = —1 в про-
тивном случае1. Следовательно, любому узлу цепи соответст-
вует уравнение, связывающее токи в ветвях цепи, соединен-
ных с данным узлом.
В качестве примера на рис. 2.1 показана схема узла неко-
торой электрической цепи с выбранными положительными на-
правлениями токов i.2, i3 и i5 и заданными положительными
направлениями задающих токов г\ и i4 двух источников тока,
основанием можно было бы условиться об ином (про-
выборе знаков слагаемых суммы, поскольку это не ска-
ется на ее значении.
ти„ равным
ИВоположном)
подключенных к этому уз ту В соответствии с первым зако-
ном Кирхгофа
—h "К К — i ч т- 4 — 15 ~ О-
Общее число уравнений, которое можно составить по пер-
вому закону Кирхгофа для заданной цепи, равно числу узлов
цепи Ny. Однако эти Ny уравнений не будут независимыми
Действительно, ток, который протекает через некоторую
ветвь, включенную между k-м и l-м узлами цепи, в уравнение
для k-ro узла входит с одним знаком, а в уравнение для /-го
узла — с противоположным знаком, так как в одном случае
он ориентирован в сторону узла, а во втором — от узла. Но
тогда сумма всех Ny уравнений всегда равна нулю. Это сви-
детельствует о том, что уравнения линейно-зависимы. По
крайней мере, одно из них, и, как доказывается ниже, только
одно является следствием остальных. Так, для четырех узлов
графа рис. 2.2 можно составить следующие четыре уравнения:
—h + й + Ч = О
—— it -Н‘6 = О
—is + й + <5 = О
it — is — i6 = 0
(узел /);
(узел 2);
(узел 3);
(узел 0)
Однако число независимых уравнений менее четырех, по-
скольку любое из них отличается от суммы трех остальных
лишь знаком.
Можно дать и другую, более общую формулировку перво-
го закона Кирхгофа: алгебраическая сумма токов в ветвях лю-
бого сечения электрической цепи тождественно равна нулю.
При этом токи в ветвях сечений, одинаково ориентированные
относительно линии, символизирующей сечение, входят в
сумму с одинаковыми знаками — положительными или отри-
36
нательными Так, в сечении, показанном на рис. 2 2,	— i,
_ /___ гб — 0, что соответствует сумме уравнений, сошав-
ленных выше для токов в узлах 1 и 3 цепи.
Покажем, что эта формулировка первого закона Кирхго-
фа тождественна приведенной ранее Для этого составим
сумму всех уравнений для токов в тех узлах цепи, кото-
рые относятся к одному (любому) из подграфов цепи, вклю-
чая и токи в ветвях сечения. Эта сумма равна нулю в сил)
первого закона Кирхгофа. Следовательно, будет равна нулю
и сумма токов в ветвях сечения, поскольку токи в осталь-
ных ветвях подграфа входят в суммируемые уравнения с про-
тивоположными знаками и взаимно уничтожаются В рассмсч-
ренном примере взаимно уничтожаются слагаемые ;3 в тре-
тьем и (3 в первом уравнениях, составленных для узлов I и
3. Эти узлы входят в один из двух подграфов, образующихся
сечением. Естественно, что то же уравнение для токов в сече-
нии образуется, если взять сумму уравнений для узлов 2 и О,
которые входят во второй из двух подграфов. Здесь при сум-
мировании взаимно уничтожаются слагаемые г8 и —18
Составление системы линеино-независимых уравнений для
токов в ветвях сечений существенно упрощается и формали-
зуется, если для этого воспользоваться теми простейшими то
пологическими понятиями, которые были введены в § 1.6. Вы-
берем одно (любое) из деревьев графа цепи и будем так форми-
ровать сечения, чтобы каждое из них содержало, во-первых,
только одну-едипственную ветвь дерева и, во-вторых, чтобы
эта ветвь дерева не входила ни в одно другое сечение. Соответ-
ствующие примеры для рассматриваемого четырехузлового
гРафа приведены па рис. 2 3.
Система уравнений для токов в вегвях сечений, сооавлен
ная таким образом, будет системой линейно-независимых урав-
нений, поскольку в каждом уравнении содержится слагаемое,
которого нет ни в одном другом уравнении системы. Эго ток
в той ветви сечения, которая входит в дерево графа Общее чис-
37
рева
Итак, если цепь содер/кит Nу узлов, то для токов в ее вет-
вях, пользуясь первым законом Кирхгофа, можно составить
/V ==,4...- I	(2.1)
линей но-независимых уравнений.
Совокупность сечений (узлов), соответствующая полной
системе линейно-независимых уравнений для токов в ветвях
сечений (узлов) цепи, называется совокупностью независимых
или главных сечений (узлов). При этом каждому дереву графа
соответствует своя совокупность главных сечений. Первый
закон Кирхгофа часто называют законом Кирхгофа для токов
и сокращенно в тексте обозначают через ЗТК
2.2.	Второй закон Кирхгофа
Второй закон Кирхгофа формулируется следующим об-
разом
алгебраическая сумма нап ряжений ветвей в любом контуре
цепи тождественно равна нулю.1
В соответствии с этим законом, если в кон гур входит т
ветвей с напряжениями ult и2, . ., ит, то в любой момент
т
У, Рл «fe  О,
*-= 1
где |3?, == 1 или р;, = —1 в зависимости от соотношения между
направлением обхода контура и выбранным или заданным по-
ложительным направлением напряжения ветви uh. Условимся
считать [К == -pl. если при обходе контура первым встреча-
ется зажим ик, помеченный знаком «+», и -	1 в против-
ном случае. Следовательно, любому контуру цепи соответству-
ет уравнение, связывающее напряжения в ветвях цепи, вхо-
дящих в этот контур.
На рис. 2.4 показана схема одного из контуров некоторой
электрической цепи с выбранными положительными направ-
лениями напряжений и3 — и8 в ветвях цепи и с заданными по-
ложительными направлениями напряжений и{ и иг двух ис-
точников напряжения, входящих в контур При обходе кон-
тура по часовой стрелке
ц, — и, — «з +	4~ и5 — и6 4 и? — ич — О
1 Напряжение ветви — сокращенное наименование напряжения
на зажимах ветви (приложенного к ветви)
38
Изменение направления обхо-
да контура эквивалентно умно-
жению на отрицательную едини-
цу обеих частей этого уравнения.
J Определение числа линей-
но-независимых уравнений, ко-
торые можно составить для дан-
ной цепи, руководствуясь вто-
рым законом Кирхгофа, целесо-
образно вести по графу цепи.
Пусть выбрано некоторое дере-
во графа. Дополним его какой-
либо ветвью связи, т. е. ветвью, которая была отброшена при
образовании дерева графа, включив ее между геми же узла-
ми, к которым она была включена в исходной цепи. При этом,
очевидно, образуется только один контур, причем каждой иной
ветви связи соответствует и иной контур. Всего таких конту-
ров можно составить столько, сколько имеется ветвей связи.
Система уравнений, составленная по второму закону Кирх-
гофа для найденной таким образом совокупности контуров,
будет системой линейно-независимых уравнений. Действи-
тельно, в каждое уравнение этой системы будет входить одно
напряжение, которое не содержится в остальных уравнениях
системы (напряжение ветви связи).
Итак, используя второй закон Кирхгофа, можно соста-
вить для цепи
N = 7VP - Л/у + 1	(2.2)
линейно-независимых уравнений, поскольку число уравне-
ний равно числу ветвей связи. Можно доказать, что большее
число линейно-независимых уравнений составить по второму
закону Кирхгофа нельзя. В качестве примера на рис. 2.5
приведены одно из деревьев графа рис. 2.2 и три контура, ко-
торые можно образовать изложенным способом.
39
)boix\ пиость контуров, соответствующая полной системе
.ынно-пезависимых уравнении для напряжений ветвей,
называется совокупностью независимых или главных контуров
Второй закон Кирхгофа часто называют законом напряжений
Кирхгофа и сокращенно в тексте часто обозначают через ЗНК.
2.3.	Теорема замещения
В теории электрических цепей как при доказательствах
ряда ее положений, так и при численных расчетах использует-
ся теорема замещения значения всех напряжений и токов в
электрической цепи сохраняются неизменными, если любую
ветвь цепи заменить источником напряжения, у которого за-
дающее напряжение равно напряжению этой ветви до указан-
ной замены.
Для доказательства теоремы обратимся к рис. 2.6, а, на
котором выделена ветвь цепи, подлежащая замене источником
напряжения. Введем последовательно с этой ветвью два ис-
точника напряжения с задающими напряжениями и, равными
напряжению на зажимах выделенной ветви, и включим их
так, как показано на рис. 2.6, б. При этом все напряжения
и токи в цепи сохраняют свои прежние значения, поскольку
задающие напряжения источников компенсируют друг дру-
га (разность потенциалов между узлами 1 и 3 цепи равна нулю,
что эквивалентно соединению этих узлов накоротко) Но ком-
пенсируют друг друга также напряжение на зажимах выделен-
ной ветви и задающее напряжение одного из источников, т. е.
напряжения между узлами 0 и 2 цепи. Эти два элемента не
влияют, следовательно, на токи и напряжения в цепи, и их
можно исключить из цепи, соединив накоротко узлы 0 и 2.
Но тогда в цепи вместо выделенной ветви оказывается вклю-
ченным источник напряжения (рис. 2.6, в), что и доказывает
теорему.
40
Аналогично может быть
доказана и двойственная (ду-
альная — см. § 2.6) форму-
лировка теоремы замещения.
значения всех напряжений и
токов в электрической цепи
сохраняются неизменными,
если любую ветвь цепи заме-
нить источником тока, у ка-
по рого задающий ток равен
поку в этой ветви до указан-
ий замены
Доказательство предпола-
гается выполнить самостоя-
тельно.
В качестве примера при-
менения теоремы на рис. 2.7
приведены схемы трех цепей,
у которых в соответствии с
теоремой замещения напря-
жения и токи в одноименных
ветвях имеют одинаковые
значения. Необходимо обра-
тить внимание на то, что теорема применима как к
линейным, так и нелинейным электрическим цепям,
"что следует из ее доказательства и отражено в формули-
ровке.
2.4.	Теорема об эквивалентном генераторе
Пусть требуется найти ток в пассивной ветви линейной
электрической цепи. Выделенную ветвь будем называть на-
грузкой .активной электрической цепи (рйс. 2.8, а). Тогда
цепь, внешняя по отношению к нагрузке, играет роль генера-
тора, и задача состоит в том, чтобы определить параметры
этого эквивалентного генератора, после чего можно найти и
ток в его нагрузке.
Предположим сперва, что модель цепи не содержит зависи-
мых источников. Решая задачу, измеряем или вычисляем на-
пряжение ип, которое развивается между зажимами 2 и 1 цепи
при отключении нагрузки (рис. 2.8, б). Ток в нагрузке цепи
остается равным нулю, если в цепь включить дополнительный
источник напряжения с тем же задающим напряжением иа,
как показано на рис. 2.8, в. Это следует, например, из теоремы
замещения для частного случая, когда проводимость заменя-
емой ветви равна нулю.
41
8 соответствии с принципом наложения результирующий
ток в нагрузке цепи, дополненной источником, является сум-
мой токов, создаваемых этим источником и всеми остальны-
ми источниками, вместе взятыми. Но этот результирующий
ток равен нулю. Значит, если в цепи с рассматриваемой схе-
мой сохранить лишь введенный дополнительный источник на-
пряжения, а значения задающих напряжений и токов всех
остальных источников считать равными нулю, то в нагрузке
цепи будет проходить ток, отличающийся от искомого только
знаком. Знак этого тока можно изменить, изменив полярность
включения источника. Следовательно, при определении тока
в ветви (нагрузке) некоторой активной линейной электричес-
кой цепи внешнюю по отношению к этой ветви цепь можно за-
менить цепью и'зисточника напряжения и линейного двухпо-
люсника, соединенных последовательно так, как показано на
рис. 2.9, а. Задающее напряжение источника представляет
собой напряжение на разомкнутых зажимах внешней цепи.
Двухполюсник же образуется из этой внешней цепи, если в ней
значения всех задающих напряжений и токов независимых источ-
ников положить равными нулю.
Аналогично доказывается, что в линейной электрической
цепи внешнюю по отношению к нагрузке цепь можно заменить
цепью из источника тока и того же линейного двухполюсника,
соединенных параллельно (рис 2.9, б). Задающий ток источни-
ка представляет собой ток через замкнутые накоротко зажимы
внешней относительно нагрузки цепи (см. рис. 2.8, а). Таким
образом, сложную цепь с одним или многими Источниками
можно свести к цепи с одним источником и одним линейным
двухполюсником, а затем уже находить ток в выделенной
ветви цепи.
Сформулированная теорема получила название теоремы
об эквивалентном генераторе. Схемы, изображенные на рис. 2.9,
42
представляют собой схемы замещения генераторов. Напряже-
ние и0, развиваемое генератором на его разомкнутых зажи-
мах, называется задающим напряжением генератора, а ток
проходящий через его замкнутые накоротко зажимы, —
задающим током генератора. Линейный двухполюсник в схе-
мах рис. 2.9 характеризует внутреннее сопротивление (вну-
треннюю проводимость) генератора. Наличие последнего обус-
ловливает зависимость напряжения, развиваемого генерато-
ром на зажимах нагрузки, и тока в нагрузке от ее свойств.
Именно этим генератор отличается от источника. Источник —
это идеализированный генератор, внутреннее сопротивление
которого или равно нулю (источник напряжения), или бес-
конечно велико (источник тока).
Теорема об эквивалентном генераторе верна и для тех ли-
нейных цепей с зависимыми источниками, у которых сопро-
тивлением нагрузки является пассивный двухполюсник, а за-
дающее напряжение или задающий ток генератора ограниче-
ны по абсолютной величине. Это следует из доказательства
теоремы и отражено в ее формулировке, согласно которой при
нахождении параметров эквивалентного генератора следует
положить равными нулю задающие напряжения и токи лишь
независимых источников. Следовательно, в общем случае двух-
полюсник, характеризующий внутреннее сопротивление гене-
ратора, может содержать зависимые источники.
В простейших случаях пассивный двухполюсник в схемах
рис. 2.9 можно заменить эквивалентным ему резистивным со-
противлением /?0, которое называется внутренним сопротив-
лением генератора. В результате получается две схемы за-
мещения генератора с резистивным внутренним сопротивле-
нием, показанные на рис. 2.10. Значения задающего напря-
жения и0 источника напряжения в одной схеме замещения ге-
нератора и задающего тока i0 в другой связаны между со-
бой соотношением
ио 1 Roln-	(2-3)
43
2.10
жение на разомкнутых зажи-
мах генератора со схемой
замещения рис. 2.10,6 будет
равно и0, а ток при корот-
ком замыкании зажимов ге-
нератора со схемой рис.
2.10, а будет равен t0. При
выполнении условия (2.3) и
равенстве сопротивлений А!о
в схемах замещения генера-
торов, показанных на рис.
2.10, эти схемы будут экви-
бткыыыми, т. е. любая из них с равным основанием может
использоваться как схема замещения генератора с резистив-
ным внутренним сопротивлением.
Из соотношения (2.3) следует, что в рассматриваемых про-
шейших (резистивных) цепях внутреннее сопротивление ге-
нератора
/?0 «о И,
(2.4)
т. е. равно отношению напряжения на разомкнутых зажимах
1енератора к току, проходящему через его замкнутые нако-
ротко зажимы.
2.5.	Теорема Теллегена
Пусть граф цепи самого общего вида содержит Nв ветвей
и Nу узлов. При согласном выборе положительных направ-
лений напряжений uh и токов ik в ветвях цепи в соответствии
г с теоремой Теллегена: сумма всех попарных произведений на-
। пряжения и тока в каждой ветви ориентированного графа рав-
на нолю, т. е
Переходя к доказательству, обозначим потенциалы узлов
цепи через ф1( <р_,. .., <pw . Тогда, по определению, напряже-
ние между узлами р. и v цепи, к которым подсоединены зажимы
k-й вегви графа, — фц —фv (рис. 2.11) и поэтому
П|; 1/{ — (фц - — фу) ifiv — фц Hv Т фт l'vn>
где tV(jL
44
;vi» получения левой части выражения (2.5) необходимо
найти суммы cpgi’nv и ЧМ\ю соответствующие изменению ин-
дексов v и ц от 1 до 7V у. Но в суммы
У Фи i^v — <Рц У
(V)	<v)
И
У, <Pv ivu — <Pv У, г\’|1
(ц>	(и)
входят алгебраические суммы токов в узлах р и у графа. В си-
лу первого закона Кирхгофа они равны нулю. Этим и оказы-
вается справедливость теоремы.
Произведение ukik определяет мгновенную мощность в
k-й ветви цепи, поэтому из теоремы Теллегена следует, в_ ча-
стности, что алгебраическая сумма мгновенных мощностей в
цепи, вносим~йх источниками и потребляемых цепью, в любой
момент равна нулю. Это же вытекает и из закона сохранения
.энергии и известно под названием'теоремы о балансе мощно-
сти задолго до опубликования работы Теллегена (1952 г.)
Однако он первым обратил внимание на фундаментальный ха-
рактер соотношения (2.5) и обосновал его значение для ре-
шения многих задач анализа и синтеза электрических цепей.
Общность и значимость теоремы Теллегена обусловлены
тем, что при ее доказательстве используются лишь законы
Кирхгофа, а цепь характеризуется только ее топологией. (
Именно поэтому теорема применимой любым электрическим '
Цепям: линейным и нелинейным^активным и пассивным, ста-
ционарным и параметрическим. Она верна.и в случае, когда
совокупности напряжений uh и токов ih определены для раз-
личных моментов. Более того, в (2.5) напряжение ик может
соответствовать напряжению &-й ветви одной цепи, а ток ik —
току k-ii. ветви другой цепи, имеющей ту же топологическую
структуру, т. е. цепи с тем же
графом. Заметим, что это за-
ключение, парадоксальное с
позиций теоремы о балансе
мощности, положено в осно-
ву эффективного метода вы-
числения некоторых харак-
теристик электрических це-
пей. Наконец, .теорема спра-
ведлива не только для мгно-
венных значений напряжений
иь (0 и токов ih (f) в ветвях
Депи, но и для тех линей-
45
ных преобразований функций ti/c it) и i, (/), которые удовлет-
воряют уравнениям (законам) Кирхгофа и лежат в основе
современных методов анализа электрических цепей.
2.6. Принцип дуальности
Рассмотренные выше уравнения и соотношения, характе-
ризующие электрические цепи и их элементы, можно разбить
на две группы, как показано в табл 2 1.
Таблица 2 I
Первая группа
Вторая группа
Уравнения Кирхгофа
для токов в ветвях сечения
2 * lk о
(М
для контуров
2^i,fc=0’
для контуров
2 Рл ~ 0 >
(*)
для токов в ветвях сечения
(Л)
Соотношения, характеризующие элементы электрических цепей’
i = Gu,
dt J C I
. di
u-... L-----,	' Jy '
dt	-1 J
i — задающий ток источника,
u*— задающее напряжение источ-
ника,
и — задающее напряжение источ-
ника,
i — задающий ток источника
Таблица свидетельствует о принципиальной возможности
существования таких цепей, у которых напряжения и токи в
одной цепи формально удовлетворяют той же системе урав-
нений, которой удовлетворяют токи и напряжения в другой
цепи. Уравнения подобных цепей отличаются лишя-j обозна-
чениями переменных и коэффициентов уравнений. Эти цепи
называют дуальными, или двойственными.
46
В качестве примера ча рис 2 12 приведены схемы двух це-
пей со «сходными» системами уравнений, которые описывают
колебания в этих цепях Соответствующие системы можно
составить, если использовать законы Кирхгофа и соотноше-
ния между напряжениями и токами в элементах электричес-
ких цепей «Сходные» величины в уравнениях дуальных цепей
также называются дуальными величинами, их совокупность
легко находится с помощью табл 2 1 и приведена в табл 2 2
Таблица 22
Первая группа величин		Вторая группа	делнчия
Ток	1	Напряжение	и
Напряжение	и	Ток	1
Сопротивление	R	Проводимость	G
Проводимость	G	Сопротивление	R
Емкость	С	Индуктивность	L
Индуктивность	L	Емкость	С
В соответствии с определением замена в системе уравнений
одной цепи переменных и коэффициентов их дуальными вели-
чинами переводит эту систему уравнений в систему уравнений
дуальной цепи.
В теории электрических цепей важную роль играет прин-
цип дуальности Формулируется он следующим образом если
какие-либо положения, теоремы, зависимости, решения верны
для некоторой электрической цепи, то они будут верны и для
дуальных величин в дуальной электрической цепи
Указанные положения, теоремы, зависимости, решения
можно рассматривать как следствия уравнений исходной цепи
Переход к дуальным величинам влечет за собой изменение тер-
минологии, а не уравнений Именно поэтому все остается вер
«ым и в новых терминах
47
Использование принципа дуальности ведет к двойному
сокращению как выкладок, так и формулировок. В частности,
хорошей иллюстрацией может служить материал, изложен-
ный в § 2 3 и 2.4. В каждом из них приведены дуальные фор-
мулировки соответствующих теорем.
2.7. Электромеханические аналогии
Многие детали устройств техники связи, например громкоговори-
тели, телефоны, микрофоны, кварцевые резонаторы и др., представляют
собой электромеханические колебательные системы, т. е. устройства,
сочетающие в одном целом электрическую цепь, электромеханический
преобразователь и механическую (акустико-механическую) колебатель-
ную систему
При анализе колебаний в механической колебательной системе
на первом этапе составляется ее модель, содержащая то или иное число
взаимодействующих между собой элементов массы т, трения г и гиб-
кости s.
Элементом массы является идеализированная механическая систе
ма, способная лишь запасать кинетическую энергию. Элемент трения
также является результатом идеализации свойств механической си-
стемы, способной лишь рассеивать подведенную к ней энергию, причем
считается, что между силой, приложенной к элементу, и вызванной
этой силой скоростью существует линейная зависимость. Наконец, эле-
мент гибкости — это идеализированная линейная механическая систе-
ма, способная лишь запасать потенциальную энергию.
Условные изображения пассивных элементов линейных механиче-
ских систем, т. е. элементов щ, г и s, приведены на рис. 2.13. Там же
даны и соотношения, определяющие их свойства. В этих соотношениях:
х — перемещение элемента относительно его положения покоя, v —
= dx/dt — скорость перемещения элемента; f — сила, приложенная к
элементу. Предполагается, что коэффициенты т, г и з в приведенных
соотношениях не зависят от значений х и v и не изменяются во вре-
мени.
Сопоставление соотношений, характеризующих элементы электри-
ческих и механических колебательных систем, позволяет установить
аналогию между их переменными и коэффициентами1 (табл. 2.8).
1 Возможна и другая равносильная система аналогий, в которой
сила — аналог тока, а скорость — аналог напряжения.
48
Таблица 2 3
Механическая колебательная | Электрическая колебательная
система	j	система
	Сила	f	Напряжение	и
	Скорость	V	Ток	i
	Перемещение	X	Заряд	q
	Масса	т	Индуктивность	L
	Трение	г	Сопротивление	R
	Гибкость	S	Емкость	С
Аналогия между уравнениями для элементов механических и
электрических колебательных систем обусловливает аналогию между
уравнениями, количественно характеризующими колебания в этих си-
стемах в целом. Аналогичность уравнений позволяет свести задачу
анализа заданной механической колебательной системы к задаче ана-
лиза некоторой электрической цепи Соответствующий метод анализа
получил название метода электромеханических аналогий,
В качестве примера на рис. 2.14 изображена модель линейной ме-
ханической системы в виде груза, подвешенного на пружине и переме-
щающегося в среде с трением. Воздействие (сила /), приложенное к
грузу, уравновешивает силу инерции груза mdvtdx, силу трения го
и силу упругости пружины /п = x/s, Поэтому
do
т — +r»+fn=f;
dt
dx	dfa
о — ---= s------.
dt	dt
Здесь задача анализа механических колебаний сводится к задаче
анализа колебаний в электрической цепи, схема которой изображена
на рис. 2.12, а.
Известен ряд методов, формализующих задачу построения элек-
трической модели по заданной модели механической или электромеха-
нической колебательной системы.
В заключение следует отметить, что электрические цепи привле-
каются для анализа процессов в системах любой физической природы.
Здесь важны возможности не только использования электрических мо-
делей в задачах анализа, но и распространения эффективных методов
синтеза линейных электрических цепей на задачи синтеза этих систем.
Глава 3.
КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ РЕЗИСТИВНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
3.1,	Резистивные электрические цепи
Условимся линейными резистивными цепями называть та-
кие электрические цепи, у которых напряжения и токи
связаны "между собой линейными алгебраическими соотно-
^иями. Модели линейных резистивных цепей могут содер-
аТв лишь резистивные сопротивления и источники, в числе
\	49
которых могут быть также и зависимые источники В эти?
элементах напряжения и токи связаны между собой линейнымт
алгебраическими соотношениями, поэтому линейными же ал
гебраическими соотношениями будут связаны напряжения j
токи в любой сколь угодно сложной цепи, составленной толь
ко из этих элементов, что следует из линейности и алгебраи
ческого характера законов Кирхгофа Следовательно, линей
ные резистивные цепи — это цепи, в моделях которых отсут
ствхют реактивные элементы
Практически линейные резистивные цепи содержат помимс
независимых источников (источников сигналов) то или ино(
число резисторов и в общем случае усилителей (операционные
усилителей) при условии, что все они используются в линей-
ном режиме и в таком частотном диапазоне, в котором мож-
но пренебречь влиянием реактивных элементов более полно!
модели реальной цепи на ее исследуемые характеристики
Отсутствие реактивных элементов в резистивных цепях су
щественно облегчает их анализ, сказывается, естественно, щ
свойствах цепей и, следовательно, определяет область их при-
менения.
В настоящей главе будут рассмотрены методы анализа ко-
лебаний в резистивных электрических цепях и исследовань
свойства таких цепей. При анализе во всех случаях будет ис-
пользоваться, если не оговорено противное, согласный выбор
положительных направлений напряжений и токов в ветвях
анализируемых цепей. Для упрощения терминологии поня-
тия резистора и резистивного элемента часто отождествляют-
ся.
3.2.	Параллельные и последовательные
резистивные электрические цепи
В простейших случаях резистивная электрическая цель
содержит то или иное число резисторов и единственный ис-
точник тока или напряжения, причем элементы цепи соеди-
нены между собой только параллельно или только последо-
вательно
На рис 3.1 приведена схема двухполюсника, составлен-
ного из п соединенных параллельно резисторов. Отличитель-
ной особенностью параллельного соединения резисторов ( в об-
щем случае двухполюсников) является равенство напряже-
ний, приложенных к их зажимам, или, иными словами, к каж-
дому из резисторов (двухполюсников), входящих в параллель-
ное соединение, приложено одно и то же напряжение.
Если положительные направления токов в элементах вы-
брать такими, как показано на рис. 3.1, то в соответствии с
50
первым законом Кирхгофа i — iL — i„ ... —	— 0, или
i = ii 4 i2 + ... + in, но ik — G,u (k = 1,2,..., п). Поэто-
му i — Gxu -j- G..u + ... 4- Gnu = Gau, где
Ga — Gt + G.> ...... + G|.	(3.1)
Зависимость i — Gau не отличается от зависимости между
напряжением и током в резисторе с проводимостью Ga.
Следовательно, при параллельном соединении нескольких
(//) резисторов эту двухполюсную цепь можно заменить одним
эквивалентным резистором, проводимость которого равна
сумме проводимостей резисторов, входящих в соединение
(рис. 3.2).
Так как
а -=---=-----------------,
G3 G1 + G2+- .-рОц
ТО
Поэтому ток в любом резисторе параллельной резистивной
электрической цепи равен произведению тока, подведенного к
внешним зажимам цепи (задающего тока), на проводимость
этого резистора и деленному на сумму проводимостей резис-
торов, входящих в соединение (правило деления токов).
Простейшая параллельная резистивная цепь содержит ис-
точник тока и два резистора, соединенных параллельно
Фис. 3.3). Применив к ней соотношения (3.1) и (3.2), можно
Установить следующие полезные правила: при параллельном
с°единении двух резисторов их эквивалентное сопротивление
Равно отношению произведения сопротивлений резисторов к
сУмме их сопротивлений, т. е.
D _
51
а ток в одном из резисторов ра-
вен току в общей цепи, умно-
женному на сопротивление дру-
гого резистора и деленному на
сумму их сопротивлений, т. е.
г, =-------и г2 —-----— .
^1+^2	+
Установим также соотноше-
ния между напряжениями и
токами в двухполюснике, со-
ставленном из п соединенных
последовательно резисторов
(рис. 3.4).
Отличительной особенностью последовательного соеди-
нения резисторов (в общем случае двухполюсников) является
равенство токов, проходящих через любой из них. Другими
словами, при последовательном соединении через каждый ре-
зистор (двухполюсник) проходит «один и тот же» ток. Это и
понятно, так как при последовательном соединении сущест-
вуют лишь простые узлы, в каждом из которых согласно пер-
вому закону Кирхгофа ток, ориентированный к узлу, равен
току, ориентированному от узла.
В соответствии же со вторым законом Кирхгофа при по-
следовательном соединении и —	— и2 — ... — ип = О,
или Ы =• Ц, + м2 + ... + м••
Если теперь проделать выкладки, аналогичные приведен-
ным выше, можно прийти к следующим заключениям.
Двухполюсную резистивную цепь из резисторов, соединен-
ных последовательно (рис. 3.5), можно заменить одним экви-
валентным резистором, сопротивление которого равно сумме
сопротивлений резисторов, входящих в соединение, т. е.
R9 = Д, + ... Rn.
(3.3)
Напряжение на зажимах любого из резисторов последо-
вательной резистивной электрической цепи (см. рис. 3.4) рав-
но* произведению напряжения, подведенного к внешним зажи-
мам цепи, на сопротивление этого резистора, деленному на
сумму сопротивлений резисторов, входящих в соединение
(правило деления напряжений), т. е.
и р Rm
Ra ' Ri + Ri-[- 
(3.4)
Схема простейшей последовательной резистивной цепи,
содержащей источник напряжения и два резистора, соеди-
52
ненных последовательно, показана
«	г> • Я] и
г =	I =-----!---
^1 + ^2	^1 + ^2
на рис. 3 6, а. Для нее:
R2 и
— /Д ~
На рис. 3 6, б изображена схема той же цепи, соответству-
ющая иному выбору положительного направления тока в це-
пи и встречному выбору положительных направлений тока и
напряжения в резисторе Д2- При этом:
/?1 4*^2
и{ ^R^'* =
/?, и
+^?2
u^—R^
R2 ч
К1~р Ri
Сравнение приведенных решений показывает, что «i') =
= —«1 и — u.2, что и следует из определения напряжения
как разности потенциалов соответствующих узлов цепи.
Если в цепи имеется не один, а несколько источников тока,
соединенных параллельно, эти источники можно в соответст-
вии с первым законом Кирхюфа заменить одним источником,
задающий ток которого равен алгебраической сумме задаю-
щих токов источников, входящих в соединение, и ориентиро-
53
ван так же, как и токи тех источников, которые входят в сум-
му со знаком «плюс?
Аналогично согласно второму закону Кирхгофа источни-
ки напряжения, соединенные последовательно, можно заме-
нить одним источником, задающее напряжение которого рав-
но алгебраической сумме задающих напряжений источников,
входящих в соединение, и ориентировано так же, как и сла-
гаемые, входящие в сумму со знаком «плюс». Поясняющие
примеры приведены на рис. 3.7.
3.3.	Параллельно-последовательные резистивные
электрические цепи
Условимся параллельно-последовательной электрической
цепью называть цепь, которая содержит то или иное число
ветвей, связанных между собой только параллельно и после-
довательно. Примером может служить цепь, схема которой
приведена на рис. 3.8. В этой цепи резисторы /Д и 7?в вклю-
чены последовательно. Параллельно к ним подключен резис-
тор 7?s. Последовательно с двухполюсником из резисторов /?6,
7?в и /?, подключен резистор и т д. вплоть до резистора
соединенного параллельно с источником и двухполюсником,
который образуют все остальные элементы цепи. Заметим,
что если эту же цепь дополнить еще одним резистором или
источником, включенным, например, между узлами 2 и 4 (1
и 3 или I и 4) цепи, то она уже не будет параллельно-после-
довательной.
Напряжения и токи в параллельно-последовательных ре-
зистивных цепях с одним источником можно найти путем эк-
вивалентных преобразований схемы заданной цепи. Для это-
го резисторы, соединенные только параллельно и только по-
следовательно, объединяются и заменяются их эквивалента-
ми Подобные преобразования проводятся до тех пор, пока
схема цепи, преобразуется в схему параллельной или после-
54
дователыюй резистивной цепи. После этого вновь, шаг за
шагом, восстанавливается схема цепи и по правилам, уста-
новленным в § 3.2, последовательно находятся напряжения и
токи в ветвях цепи.
Проиллюстрируем эти преобразования на примере цепи со схемой,
показанной на рнс. 3.9. В этой схеме резистор Д2 включен параллель-
но ветви с сопротивлением Rs + Rt. Группу из резисторов Д2, R3
и Rs можно заменить одним резистором с проводимостью G= —+
3-	 --!—__ и сопротивлением R = — =
R3 + Rf,	G /?2 + R3 + Rf
После этих преобразований схема цепи свелась к схеме из источ-
ника и резисторов и R, включенных последовательно, поэтому
и
Z , = ~	, И1 == R! I ! ,
1 + 11
Далее находятся:
u2 = Rii.
(/п	.	^2
f2 = D ' ’> 4 = ~	, U3—Ra‘3’ Ut — Riit
Кг	KstKi
Чаще всего по условиям задачи требуется найти не все
напряжения и токи в цепи, а лишь некоторые из них, что
упрощает решение. В этих случаях гложет оказаться полезной
теорема об эквивалентном генераторе (см. § 2.4). Применим
ее для определения тока в резисгоре /?2 цепи, схема которой
приведена на рис. 3.9.
В рассматриваемом примере нагрузкой активной цепи служит ре-
зистор /?21 а зажимами ее подключения являются узлы 0 и 2, поэтому
задающий ток генератора z0 как ток через короткозамкнутые зажимы
подключения нагрузки равен и/Rt (рис 3.10, а). Положив, далее, за-
дающее напряжение источника в активной цепи равным нулю, находим
схему того пассивного двухполюсника, который входит в схему заме-
щения генератора. Схема этого двухполюсника показана на рис. 3.10, б.
Ле°' очевидно, можно заменить эквивалентным резистором с сопротив-
Ro == ^1(^3 + Rt)
Ri R3 4- R&
55
На рис. 3.11, а изображена
схема анализируемой цепи, в ко-
торой внешняя по отношению к
нагрузке цепь заменена эквивалент-
ным генератором с найденным зна-
чением его задающего тока ia й
внутренним сопротивлением /?0.
Другая схема замещения той же
цепи, в которой вместо источника
тока в схеме эквивалентного гене-
ратора использован источник на-
пряжения, показана на рис. 3.11, б.
По условиям эквивалентности за-
дающее напряжение этого гене-
ратора и0 — Roio. По любой из
этих двух схем можно найти искомый ток i2 = rz0/(/?0 + Я2)
и напряжение на зажимах нагрузки и2 ~ RR1-
Приведенный пример показывает, что теорему об эквива-
лентном генераторе выгодно, в частности, применять в случа-
ях, когда следует проанализировать зависимость тока, напря-
жения или мощности в нагрузке активной цепи при измене-
нии сопротивления ее нагрузки.
Если в резистивной цепи имеется несколько независимых
источников, то при нахождении напряжений и токов в цепи
можно применить принцип наложения. Пусть, например, на-
до найти напряжение и в резистивной цепи с двумя источни-
ками и схемой, показанной на рис. 3.12, а. Согласно принци-
пу наложения напряжение и будет равно сумме напряжений
и и2, создаваемых источником напряжения и источником то-
ка в отдельности. Положим сначала, что в цепи имеется толь-
ко один источник—источник напряжения, а задающий ток
источника тока равен нулю. Тогда ветвь цепи, которую обра-
зует источник тока, оказывается разомкнутой (см. § 1.3) и
схема цепи будет такой, как показано на рис. 3.12, б, поэтому
и,	+ Т?2).
56
Положим теперь, что равно нулю задающее напряжение
источника напряжения. Тогда зажимы, к которым подключен
источник напряжения, оказываются соединенными накорот-
ко и напряжение и2 находится по приведенной на рис.3.12, в
схеме. Оно равно RiR-Jo^Ri + Rzl- Следовательно,
и = иг 4- =
^2
Ri 4-
Кг
Ку 4* К %
(ыо + R1 г'о)-
^2 Ы
^ + #2
Заметим, что решение последней задачи существенно упро-
щается, если источник напряжения с последовательно соеди-
ненным резистором Ry заменить эквивалентным генератором
с источником тока, т. е. использовать теорему об эквивалент-
ном генераторе.
3.4.	Методы уравнений Кирхгофа
Далеко не во всех случаях цепь представляет собой сово-
купность лишь последовательно и параллельно соединенных
ветвей. Примером может служить удлинитель, схема которого
показана на рис. 3.13. В таких случаях и токи, и напряжения
в пепи можно найти в результате решения системы уравнений,
составленной на основании прямого применения законов
Кирхгофа.
Для того чтобы определить значения всех токов и напря-
жений в электрической цепи, достаточно найти значения то-
ков во всех ветвях цепи. Действительно, зная ток, проходя-
щий через любую из ветвей цепи, можно найти как напряже-
ние этой ветви, так и напряжение между любой парой узлов
цепи, для чего следует взять алгебраическую сумму напря-
жений ветвей, соединяющих эти узлы.
Метод анализа колебаний в электрических цепях, в кото
ром переменными системы уравнений анализируемой цепи
служат токи в ветвях цепи, называется методом токов ветвей.
Пусть цепь содержит NB ветвей, включая источники на-
пряжения и узлов. Положим, что в цепи отсутствуют
источники тока. Зададимся произвольно положительными
направлениями токов в ветвях цепи и пронумеруем эти токи
В произвольном порядке. Тогда по первому закону Кирхгофа
можно составить для Nу — 1 узлов цепи такое же число урав-
нений относительно токов в ветвях цепи. По второму же за-
кону Кирхгофа можно составить NB — Ny 4- 1 линейно-не-
зависимых уравнений для напряжений uh ветвей цепи. В об-
щем случае uk является суммой известного задающего напря-
жения источника, если он содержится в ветви, и напряжения
на зажимах резистора ветви R^i!(, пропорционального искомо-
му току ветви.
57
Следовательно, совокуп-
ность из ^v 1 уравнений,
составленных по первому
закону Кирхгофа, и Лф —
— Nv ф- 1 уравнений, состав-
ленных по второму закону
Кирхгофа, образует систему
из
Л\ - 1 +	- N, +
+ 1) = N е
линейно-независимых алгеб-
раических уравнений относи-
тельно такого же числа неиз-
вестных. Эта система будет
неоднородной системой урав-
нений, поскольку ее свобод-
ными членами являются за-
данные напряжения источни-
ков, причем их отсутствие
лишает задачу смысла. По-
добная система уравнений,
как известно, имеет единственное решение, которое позволя-
ет найти токи в ветвях цепи, а по ним и значения напряжений
между любой парой узлов цепи
В качестве примера составим систему уравнений для удли-
нителя, выбрав показанные на рис. 3.13 положительные на-
правления токов в его ветвях. Поскольку цепь имеет четыре
узла, число главных узлов цепи равно трем. Пусть таковы-
ми будут узлы 1, 2 и 3. Тогда.
—Ф; = о
—1г — 1ц + г6 = О
i", 4~ й + Ф — О
для узла ]
для узла 2;
для узла 3.
Естественно, что эту систему уравнений для токов в узлах
цепи можно заменить равносильной системой уравнений для
гоков в ветвях выбранной совокупности независимых (глав
них) сечений. Совокупность главных контуров анализируемой
цепи можно найги, выбрав одно из ряда возможных деревьев
цепи, например изображенное на рис. 3.14. Ему соответствуют
контуры /, II и 7/7, показанные на рис. 3.13. Тогда ио вто-
рому закону Кирхгофа:
и -Т 7?0^-2 4* 7? 2^6 = 0
—7?оН 4~ 7?1Г-, Roii = 0
—Rgii 4“ Ro^ — R^Ig = 0
для контура 7;
для контура //;
для контура ///.
58
льнейшая задача сводится к решению составленной не-
однородной системы из шести линейных алгебраических урав-
нений относительно такого же числа неизвестных г, ie.
Если в цепи имеется источник тока, то в системе уравнений
неизвестным будет напряжение на зажимах этого источника,
а не ток через источник, поскольку он известен и равен задаю-
щему току источника. Общее число неизвестных при этом со-
храняется тем же.
Дуальным по отношению к изложенному методу токов
ветвей является метод напряжений ветвей. Здесь переменны-
ми системы уравнений являются напряжения ветвей цепи,
зная которые, можно найти токи в ветвях цепи и напряжения
между любой парой узлов цепи
Находит применение и так называемый гибридный метод.
в котором искомыми неизвестными являются токи в одной
части и напряжения оставшейся части ветвей цепи. В частно-
сти, к этому методу сводится задача анализа цепей, в которых
имеются одновременно источники напряжения и источники
тока, о чем уже поминалось выше.
Изложенные применительно к резистивным цепям методы
анализа часто называются методами уравнений Кирхгофа.
3.5.	Матричная форма записи уравнений Кирхгофа
Запись, составление и преобразование уравнений Кирх-
гофа существенно упрощаются, если использовать матричную
форму их представления Полную совокупность токов ветвей
г\, г2, in можно охарактеризовать матрицей-столбцом to-
mb ветвей
(3.5)
где «т» означает символ транспонирования матрицы, т е за-
мену ее строк столбцами.
Чтобы сформировать уравнение Кирхгофа для первого из
узлов цепи, надо каждый из токов ветвей умножить на 1 или
—1 в зависимости от того, как соответствующий ток ориенти-
рован относительно первого узла, или на 0, если этот ток не
относится к первому узлу. Сумма этих произведений, прирав-
ненная нулю, будет уравнением Кирхгофа для токов в первом
Узле цепи. Но информациям числах 1, —1 и 0, т. е. о знаках,
с которыми входят в сумму токи ветвей, содержится в первой
59
строке матрицы соединений цепи (см. § 1.7), а указанные сум-
мы согласно правилам перемножения матриц представляют
собой результат умножения первой строки матрицы соедине-
ний на матрицу-столбец токов ветвей. Для второго узла цепи
надо приравнять нулю произведение второй строки матрицы
соединений цепи на ту же матрицу-столбец токов ветвей и т. д.
Следовательно, система уравнений Кирхгофа для токов в уз-
лах иепи может быть записана в форме матричного равенства
Ai = А||ь, i,, .... in ||т = 0,	(3.6)
В
где А редуцированная матрица соединений цепи; 0 — ну-
левая матрица-столбец.
Используя эту формулу, составляем, например, уравне-
ния Кирхгофа для токов в узлах цепи, ориентированный граф
которой приведен на рис. 2.2. Ему соответствует редуциро-
ванная (без узла 0) матрица соединений, составленная в § 1.7.
Тогда
— 1	1	1	000
0—1	0—101
0	0—1	110
11
Z2
!3
с
;5
'6
— 6 + z2 + 'з
— >2 —+ ;е
— |'з + й + !'s
о
о
о
Из равенства двух крайних матриц-столбцов в этой системе
равенств следует: —+ /2 + 13 = 0; —i„ — /4 4- ie = 0 и
—Ci т 4 г5 =• 0 (см. пример в § 2.1).
При матричной записи уравнений Кирхгофа для токов се-
чений вместо матрицы соединений используется матрица
сечений D. Ее строки соответствуют номерам сечений, а столб-
цы — номерам ветвей. Если /-я ветвь цепи не входит в k-e се-
чение, то на пересечении k-й строки и /-го столбца стоит нуль,
т. е. элемент матрицы = 0. Если же эта ветвь входит в k-ч
сечение, то akt = 1 или ahl ~ —1 в зависимости от того, как
ориентирован ток в ветви относительно сечения. Обычно глав-
ные сечения находятся по выбранному дереву графа цепи
(см. §2.1). В этом случае принято считать ahl — 1, когда 1-я
ветвь ориентирована относительно сечения так же, как и та
единственная ветвь дерева, которая входит в сечение, и ам —
— —1 в противном случае, т. е. когда указанные ветви по-
разному ориентированы относительно сечения. Например,
матрица сечений для цепи, схема которой изображена на
60
рис. 3.15, а, ее граф на рис. 3.15, б и выбранное дерево
цепи — на рис. 3.15, в, такова
D =
10 0	1	0—11
010	1	1—11
0 0 1—1—1	0 0
Здесь благодаря тому, что ветвям дерева приписаны пер-
вые порядковые номера, в левую часть матрицы D входит еди-
ничная подматрица 3X3.
Из правил умножения матриц и способа формирования
матрицы сечений следует, что уравнения Кирхгофа для токов
сечений можно записать в следующей матричной форме:
Di = D|'i\, i2, ..., tvJ|T = 0.
(3.7)
В рассматриваемом примере
10 0	1	0—11
Di= 0 1 0	1	1	11
001—1—1	00
г3
г4
*5
гв
Й
61
Для матричной записи системы уравнений, составленной
по второму закону Кирхгофа, используются матрица-столбец
напряжений ветвей цепи
(3.8)
и матрица контуров В. Столбцы матрицы В соответствуют но-
мерам ветвей, а строки — номерам контуров. Если в &-й кон-
тур не входит /-я ветвь, то ahl = 0, а если входит, то аы = 1
или ati ——1. Поскольку обычно совокупность главных кон-
туров формируется с помощью выбранного дерева цепи, при-
нимается Иц = 1, если при обходе контура положительное
направление тока в /-й ветви совпадает с таковым у той ветви
связи, которая входит в/г-й контур; в противном случае aht —
= — 1.
Матричная форма записи системы уравнений Кирхгофа
для напряжений, контуров цепи такова:
Bu BIK и2, uN ||т о.	(3.9)
в
Составим рассматриваемую систему уравнений для цепи
со схемой рис. 3.15. При согласном выборе направлений напря-
жений и токов в ветвях цепи uk = лДД, за исключением вет-
ви с источником напряжения, для которой us = Rai(i — и
На рис. 3.16 показаны главные контуры, соответствующие де-
реву цепи, которое было использовано ранее (см. рис. 3.15, в),
62
и принятая их нумерация. Тогда согласно сформулированным
правилам составления матрицы контуров имеем
1	100010
— 1 —10 0 0 0 1
0 -110100
—1—111000
“з
«4
“5
«в
и7
и1 4“ и2 + "б
— И] — и2 -р «7
— “2 “Г ^3~Г иЬ
— Uj — u24-«3 + «4
0
0
о
о
3.6.	Метод узловых напряжений
Докажем, что токи и напряжения в электрической цепи
можно найти, если будут известны напряжения во всех узлах
цепи, отсчитанных относительно некоторого одного узла це-
пи, называемого базисным узлом (узлом отсчета или опорным
узлом). Для доказательства достаточно рассмотреть представ-
ленную на рис. 3 17 часть схемы некоторой резистивной цепи,
на которой изображены три узла цепи и резисторы, соединяю-
щие эти узлы между собой. Пусть узел 0 будет базисным
узлом, относительно которого найдены значения напряжений
и± и uh После этого находится напряжение и1к между узлами
1 и /г; при указанном на рисунке выборе положительных на-
правлений напряжений ulk — ui — uh. Токи же в выделен-
ных элементах цепи при согласном выборе их положительных
направлений определяются из соотношений-
i i о = Gю up,
iik = Gtkiitk = Gik(ui — uhy,
iko = Gko uk.
(З.Ю)
Точно так же определяются токи в любых ветвях цепи и
напряжения между любой парой узлов цепи. Напряжения в
узлах цепи, отсчитанные относительно базисного узла, бу-
дем называть узловыми напряжениями. Метод анализа коле-
баний в электрических цепях, в котором переменными систе-
мы уравнений анализируемой цепи выбраны узловые напря-
жения, называется методом узловых напряжений.
Переходя к изложению этого метода, допускаем, что цепь,
для которой должны быть составлены уравнения, имеет N =
= Nv — 1 главных (независимых) узлов и содержит помимо
резисторов лишь независимые источники тока. Пронумеру-
ем узлы и составим уравнения для токов в каждом из узлов
цепи, исключая базисный, т. е. составим систему из N урав-
нений. При этом ток в ветви между k-м и /-м узлами будем
обозначать ihi, проводимость ветви, связывающую эти уз-
63
лы. GM, а задающий ток
источника тока, который мо-
жет быть подключен к k-му
узлу. ik. Последний пред-
полагается известным и ха-
рактеризует воздействие на
цепь'. Тогда для узла 1 цепи
(рис. 3.18) -Т i-j2 “Ь
+ ... + iiN — ij ==-0.
В это уравнение, как и
ранее, токи, положительные
направления которых ориен-
тированы от узла, входят со
знаком «плюс», причем счи-
тается, что узел 1 цепи свя-
зан со всеми другими узла-
ми (общий случай). Но со-
гласно (3.10):	i10 = О10пх;
0.2 ~ G12 (нх н2); гхз=^1зХ
X (их — w3) и т. д. Следова-
тельно,
^10ul 4~ G12 (ux  U2) + G13 (нх —• Ug) +	(ux—un)—
— ii = 0.
Если в этом уравнении раскрыть скобки и привести подоб-
ные члены , то оно запишется в виде
(Gio + G12 + G13 + ... + G\n)ux — Gl2u2 — G13us —...
... — GinUn — iL.
В левую часть этого уравнения входят N слагаемых, про-
порциональных узловым напряжениям ult и2, us, ..., un. Ко-
эффициент при напряжении узла 1, для которого составляет-
ся уравнение, представляет собой, арифметическую сумму про-
водимостей ветвей, подключенных к этому узлу. Каждое из
остальных слагаемых левой части уравнения есть произведе-
ние проводимости ветви, связывающей k-й узел с первым, на
узловое напряжение /г-го узла. Эти слагаемые входят в урав-
нение со знаком «минус». Аналогично находятся и уравнения
для всех других узлов цепи.
Таким образом, система уравнений, составленных по ме-
тоду узловых напряжений, имеет вид:
GX1 wx -Gx2 u2 GX3 u3 ... G j n Un — £x,
 G2X wx-)-* G22 n2 G23w3 -... G2n un — i2,	/3 11)
—Gni ux —Gn2 u2 —Gn3 u3 —.. + Gnn un = in.
64
в этой системе Gkh — арифметическая сумма проводимостей
всех ветвей, подключенных одним из зажимов к &-му узлу
цепи; называют ее собственной- проводимостью k-vo узла цепи;
Ghi — проводимость ветви, включенной между k-м и /-м уз-
лами цепи; называют ее взаимной проводимостью k-ro и /-го
узлов цепи;/ ik — в общем случае алгебраическая сумма
задающих токов источников тока, подключенных одним из за-
жимов к k-му узлу цепи; слагаемые этой суммы входят в пра-
вые части уравнений со знаком «плюс», если положительное
направление задающего тока источника ориентировано в сто-
рону k-ro узла, и со знаком «минус» в противном случае; эту
сумму называют задающим током k-ro узла цепи.
Полученная линейная неоднородная система алгебраичес-
ких уравнений позволяет найти искомые узловые напряже-
ния, поскольку уравнения системы независимы. Ее чаще все-
го называют системой узловых уравнений.
Для принятой записи системы узловых уравнений харак-
терно расположение заданных функций времени Д в правых
частях, а неизвестных узловых напряжений uh — в левых.
При этом неизвестные входят в уравнения с последовательно
возрастающими индексами, а уравнения располагаются в со-
ответствии с порядковыми номерами узлов. Такую форму
записи узловых уравнений называют нормальной, или кано-
нической (составленной по определенному правилу, канону)
Рассмотрим пример Схема цепи, для которой будет составлена
система узловых уравнений, показана на рис. 3.19. Пусть базисным
узлом будет узел 0 цепи. Собственная проводимость узла 1 цепи Gn =
= Glo -р G12. Взаимные проводимости узла 1 и узлов 2—4 соответст-
венно равны G12, 0, 0 Задающий ток узла 1 цепи равен il. Следователь-
но, для узла 1 цепи имеем
(Glo -j- G12) tiL — Gl2u2 - G-
Руководствуясь теми же правилами, находим следующие урав-
нения для других узлов цепи
для уз-
0,2^ -f- (G12 4- G2o -J- G23 -J- G24) u2 G23u3 — G24u4 — 0
ла 2,
3.19
65
(G23 + G30 u G3j) "> “	G31u4 — —i3 ДЛЯ узла 3
-<?М«г — <?34й3 + (G2i “Г <?31 "Г <?40) «4=0	ДЛЯ УЗЛЭ 4
Канонической форме записи узловых уравнений соответ-
ствует матричное равенство
Gu = i\,	(3.12)
где
Сц	—Gj2	—GlV
G= ~G21	°22	~°2N	(3.13)
— GN\~GN2	GNN
— матрица узловых проводимостей цепи',
u = ||«t, w2, .. . yw||T— матрица-столбец. узловых на-
пряжений;
iy = |lZt, /2, .... г’л41т— матрица-столбец задающих то-
ков узлов цепи.
Изложенные правила составления узловых уравнений
справедливы и для цепей с зависимыми источниками тока,
т е. ИТУН и ИТУТ (см. § 1.3). В уравнениях же появляются
дополнительные слагаемые, обусловленные взаимной прово-
димостью между узлами через зависимые источники.
Пусть в схеме рис. 3.19 источник с задающим током i3 будет
зависимым источником тока, управляемым напряжением иг.
Тогда в узловом уравнении для третьего узла zg = gu2. После
приведения подобных членов это уравнение преобразуется к
виду {g — вгз)и2 + (G23 4- Gw 4- G34)m , — G3iUi = 0. Осталь-
ные уравнения не изменяются.
Метод узловых напряжений можно применять и когда в
цепи помимо или вместо источников тока имеются источники
напряжения, в том числе и зависимые. В простейшем случае,
который чаще всего встречается в задачах анализа микроэлек-
тронных цепей, все источники напряжения одним из своих
зажимов подключены к базисному узлу Но тогда узловые
напряжения тех узлов, к которым подсоединены другие зажи-
мы источников, известны и равны их задающим напряжениям.
Соответственно уменьшается и число независимых узловых
уравнений до
W = АП — 1 — W,„	(3.14)
где ?/,, - число источников напряжения, имеющихся в цепи
Но если узловое напряжение некоторого, например k-ro,
узла известно и равно задающему напряжению источника,
то во всех остальных уравнениях известны слагаемые Gll{ и
Их как заданные величины следует отнести к свободным чле-
66
нам соответствующих уравнений. Аналогично преобразуются
узловые уравнения, в которые входят напряжения других
источников напряжения, соединенных с базисным узлом. Так,
для удлинителя (см. рис. 3.13) достаточно составить лишь
два уравнения, поскольку Nv = 4иУ„ = 1. Действительно,
руководствуясь установленными правилами, можно для узлов
2 и 3 цепи составить, считая узел 0 базисным, лишь два урав-
нения, которые в канонической форме записи имеют вид;
1	, 2 \
-----------и2'
R« Ro )
1	, I 1
-----Щ ~ Н I --- ,
Ro \ Ri Ro
-L-U3 = ^-;
Ro Ro
2 \	«0
i-----Ц, = —-
Я «г
Формула (3.14) справедлива и когда в цепи имеются источ-
ники напряжения, ни один из зажимов которых не соединен
с базисным узлом. В этих случаях перед составлением урав-
нений в схеме цепи следуег перейти от источников напряже-
ния к источникам тока. Соответствующие эквивалентные
преобразования и условия эквивалентности приведены на
рис.3.20. В их справедливости можно убедиться с помощью
теоремы об эквивалентном генераторе.
Применение метода узловых напряжений позволяет су-
щественно уменьшить по сравнению с методом токов ветвей
3*	67
число уравнений в системе уравнений, описывающей колеба-
ния в анализируемой цепи. Выигрыш получается тем значи
тельнее, чем больше независимых контуров имеет цепь. I лав-
ное же преимущество этого метода состоит в простоте алгорит-
ма составления системы уравнений цепи, простоте его форма-
лизации (см. §3.12).
3.7.	Метод контурных токов
Предположим, что в каждом из контуров выбранной сово-
купности независимых контуров линейной цепи протекает
круговой или, как его называют контурный ток. Положи-
тельное направление этого тока может быть выбрано произ-
вольно и независимо от выбора направлений контурных токов
в других контурах цепи. Например, на рис. 3.21 показаны
три контурных тока одной из возможных совокупностей не-
зависимых контуров, соответствующих дереву цепи рис. 3.14.
Если будут найдены контурные токи, то ток в любой ветви
цепи, через которую проходит ток лишь одного контура, по
величине и направлению будет равен этому контурному току.
Если же через ветвь проходят токи нескольких контуров, ток
в ветви определяется как алгебраическая сумма контурных
токов в этой ветви, причем положительное направление это-
го тока совпадает с направлением контурных токов, входя-
щих в сумму со знаком «плюс». При показанном на рис. 3.21
выборе положительных направлений токов в ветвях и кон-
турных токов имеем:
'I ~ ii, 'п =	'ш = —'г! 'iv —	— i3; 'v =	'з!
'VI = 'з-
Метод анализа колебаний в электрических цепях, в кото-
ром переменными системы уравнений анализируемой цепи
являются контурные токи, называется методом контурных
токов.
Пусть цепь, для которой составляются уравнения, содер-
жит М = N „ — N.. + 1 независимых контуров и только не-
зависимые источники напряжения. Выберем независимые
контуры, зададимся положительными направлениями контур-
ных токов и пронумеруем контуры. Рассматривая общий слу-
чай, допускаем, что все М независимых контуров цепи непо-
средственно связаны друг с другом. Иными словами, допустим,
что для /г-го и l-го контуров имеется ветвь с сопротивлением
Rki, которая входит одновременно в оба контура. Тогда, на-
пример, в контур цепи, названный первым (рис. 3.22), будут
входить ветви с сопротивлениями Т?12, 7?13, ..., Р.\м, общие для
первого и соответственно второго, третьего и т. д. контуров.
68
Кроме того, в первом контуре может содержаться ветвь с со-
противлением которая входит только в первый контур
Суммарное напряжение на вегвях первого контура, обуслов-
ленное током z\ этого контура,
Мц ~ Ci 4“ Ruh 4~ т' ••* 4~ RiazC
— (Ri 4- /?12 4- R1S 4“ ••• -+• R\M)h-
Ток 1-го контура ib проходя через ветвь, общую для пер-
вого и 1-го контуров, вызывает в первом контуре добавочное
напряжение h1Z — Ruh, если положительные направления
токов первого и 1-го контуров в общей для них ветви одинако-
вы. Тогда в соответствии со вторым законом Кирхгофа
—щ 4~ (Уц 4~ н12 + и13 4“ ... + HiAf) = О,
где и1 —- задающее напряжение источника, имеющегося в кон-
туре. Подставляя в это уравнение значения напряжений н]г,
находим для первого контура цепи
Ruh 4- Ruh 4- Ris^a 4* ••• 4~ Rimim ~ ult
где Z?u = R1 -4 R12 4- Rl.i 4- ... 4 Rim-
Аналогичные уравнения можно составить и для остальных
независимых контуров пепи. В результате образуется следую-
щая система уравнений:
Rii h 4~ Rn г'а 4~ R13 [з 4~ ••• 4- Rim 1м =
Rn li Rn h + R23 h 4- ...4- R2M Im = u2',	(3 15)
Rmi С 4- Rm2 h 4- Rm3 I3 4~ ••• 4- Rmm Im = Um-
По доказанному ранее полученная неоднородная систем#
линейных алгебраических уравнений будет системой незави-
симых уравнений. Она разрешима относительно неизвестных
контурных токов 1г...1м-
69
Систему уравнений, составленную относительно неизвест-
ных контурных токов, называют чаще всего системой контур-
ных уравнений, а форму записи этих уравнений вида (3.15) —
канонической. В канонической форме записи контурных урав-
нений коэффициент Rhh представляет собой арифметическую
сумму сопротивлений всех ветвей /г-го контура. Последнюю
называют собственным сопротивлением соответствующего
контура. Слагаемые вида Rltdk при I ф k входят в левые час-
ти уравнений системы со знаком «плюс», если положительные
направления токов k-ro и l-го контуров в общей для этих кон-
туров ветви Rkh как было предположено, одинаковы. В против-
ном случае они, очевидно, должны входить в уравнение со
знаком «минус». Сопротивление Rhl ветви, общей для /г-го
и l-го контуров, называют взаимным сопротивлением k-ro и
l-го контуров.
В правой части k-ro уравнения системы в общем случае,
когда в /г-н контур входит несколько источников напряже-
ния, содержится алгебраическая сумма задающих напряже-
ний этих источников. В сумму со знаком «+» входят задающие
напряжения тех источников, у которых контурный ток А’-го
контура оказывается ориентированным от зажимов источни-
ков, помеченных знаком «+», и со знаком «—» в противном
случае. В этом можно убедиться, если допустить, что в первый
контур, для которого выше было составлено контурное урав-
нение, входит несколько источников напряжения.
Рассмотрим пример на составление контурных уравнений. Выбе-
рем независимые контуры и положительные направления токов так, как
показано на рис. 3.21. Тогда для первого из контуров можно составить
следующее уравнение:
(Ro 4- Rz) h 4- R0‘z — Rz^s = к.
Действительно, собственное сопротивление этого контура 4- Rz<
взаимное сопротивление первого и второго контуров Ro, положитель-
ные направления контурных токов в этом элементе совпадают, наконец,
взаимное сопротивление первого и третьего контуров /?2, но положи-
тельные направления контурных токов и /3 в элементе противополож-
ны. диалогично составляются уравнения для второго и третьего кон-
туров:
Ro i’i Д (2/?о 4" Ri) ‘z-r Ro ‘з — 0;
— Rz i-14- R о 12 4- (2Ro 4- Rz) i3 = 0.
Систему контурных уравнений можно представить в ма-
тричной форме записи
R i = и,
(3.16)
70
где
R<*> =
Rh R12 ... Rim
Rzi R22   R2.W
Rm\ Rm2--- RmM
— матрица сопротивлений контуров', i — Цц, .... (m|’J—
матрица-столбец контурных токов; u = ||«i, и2, ...,	—
матрица-столбец контурных задающих напряжений.
Правила составления контурных уравнений, сформулиро-
ванные выше, верны и для цепей с зависимыми источниками
напряжения, т. е. ИНУТ и ИНУН.
В общем случае анализируемая цепь может содержать и
независимые источники токов. Всегда возможно так выбрать
дерево цепи, чтобы источники токов входили в число ветвей
связи1. Тогда через каждый из источников тока будет замы-
каться гок только одного контура. Но этот ток определять нет
необходимости. Он заранее известен и совпадает с задающим
током источника тока, так как последний не зависит от свойств
цепи, внешней по отношению к источнику. В соответствии с
этим уменьшается число неизвестных контурных токов и кон-
турных уравнений. Оно определяется так:
М = Ne — 7Vy 4-1 —	(3.17)
где — число источников тока в цепи.
Пусть ко входу удлинителя (см. рис. 3.21) вместо источни-
ка напряжения подключен источник тока. Выберем незави-
симые контуры, как показано на рисунке. Контурные урав-
нения для второго и третьего контуров не будут отличаться
от составленных раньше уравнений для этой цепи, за исклю-
чением того, что ток ц в этих уравнениях совпадает с извест-
ным задающим током источника тока. Перенеся соответствую-
щие слагаемые этих двух уравнений в их правые части, най-
дем каноническую форму записи контурных уравнений для
цепи;
(2R0 Ri)i, 4- /?0(3 =
RoH п- (2Rfl 4~ R-2^3 = Riif
1 Если ветвями связи являются только источники тока, то в соот-
ветствующем сечении по первому закону Кирхгофа сумма задающих
токов источников должна быть равна нулю, иначе задача некорректна.
Поэтому один из этих источников можно из цепи исключить, соединив
Накоротко узлы, между которыми он был включен, и уже для этой цепи
составлять систему уравнений.
71
Метод контурных токов целесообразно применять в слу-
чаях, когда число контурных уравнений меньше числа узло-
вых уравнений, а также в некоторых частных случаях, кото-
рые будут рассмотрены в § 6.7.
3.8.	Решение системы узловых уравнений
Значения токов в любых ветвях и напряжений между лю-
бой парой узлов резистивной электрической цепи, находя-
щейся под заданными воздействиями, могут быть получены в
результате решения той или иной системы уравнений, харак-
теризующей колебания в цепч, в частности системы узловых
(контурных) уравнений или систем уравнений Кирхгофа. Яс-
но, что в силу линейности уравнений решение будет представ-
лять собой сумму слагаемых, каждое из которых пропорцио-
нально соответствующему воздействию. Коэффициентами при
этих слагаемых решения будут вещественные числа, положи-
тельные или отрицательные, поскольку таковыми являются
коэффициенты системы уравн ний.
Применяя методы теории определителей к системе узловых
уравнений (3.11), находим по правилу Крамера следующее
решение для узлового напряжения иг первого узла: щ — D-JD.
В этой формуле D представляет собой определитель системы
уравнений (3.11), т. е. определитель матрицы (3.13), а
!1	^12 —^13 •••	<~']N
г2	^22 —623 ... ~~GsN
‘N —	— @N3   • ^nn
находится из определителя системы уравнений, если в нем
столбец коэффициентов при определяемом неизвестном заме-
нить свободными членами.
Раскроем определитель D1 по элементам его первого столб-
ца. Тогда
D\ = (-l)2^ 4 (- 1)3ЛМ2 + (—1)‘Л131г3 + ...
... 4- (-IF+Ww,
где (—l)ft + ’/Hftl — алгебраическое дополнение определите-
ля D относительно его /е-й строки и первого столбца; —
минор определителя D относительно тех же строки и столбца.
Напомним, что минор Мhl — это определитель, который об-
разуется из определителя D системы уравнений, если в по-
72
следнем вычеркнуть /г-ю строку и первый столбец. Следова-
тельно, узловое напряжение первого узла
/И11 «1 —/И2] /2 is —... +(—	1 MNi iN
ux - --------------------------------------- •	(3.18)
Аналогичное решение можно найти и для узлового напря-
жения k-ro узла:
(_ 1)1	+ (-1)2 + k M2kt2 +... + (-l)N+fe MNk iN
Uk =-------------------------------------------------
(3.19)
Использованные выше методы теории определителей позво-
ляют в компактной форме записать решение системы алгеб-
раических уравнений; они важны при исследовании общих
свойств решений. Для численных же расчетов применяются
другие алгоритмы, существенно уменьшающие объем вычис-
лений, в частности алгоритм Гаусса.
3.9.	Теорема взаимности
В задачах анализа свойств линейных пассивных электри-
ческих цепей в ряде случаев оказывается полезной следую-
щая теорема: если источник напряжения, включенный в некото-
рую ветвь линейной электрической цепи, составленной из пассив-
ных двухполюсников, вызывает в другой ветви этой цепи неко-
торый ток, то тот же источник напряжения, будучи перене-
сен в эту вторую ветвь, вызовет в первой ветви прежний ток.
Дуальная формулировка этой теоремы такова: если источ-
ник тока, подключенный к некоторой первой паре узлов линей-
ной электрической иепи, составленной из пассивных двухполюс-
ников, вызывает между второй парой узлов этой цепи некото-
рое напряжение, то тот же источник, будучи подключен к этой
второй паре узлов, вызывает ни зажимах первой пары узлов
прежнее напряжение.
Оба сформулированных положения известны под назва-
нием теоремы или принципа взаимности (обратимости). Гра-
фическая иллюстрация теоремы приведена на рис. 3.23; рим-
скими цифрами на рисунках помечены части единой пассивной
резистивной цепи.
Цепи, которые удовлетворяют теореме взаимности, назы-
вают взаимными или обратимыми.
Доказательство теоремы, приводимое ниже, справедливо
Для пассивных резистивных электрических цепей, однако те-
°Рема верна и для более широкого класса линейных пассивных
73
цепей, что отражено в формулировке теоремы и может быть
строго обосновано (см §94). При доказательстве теоремы ис-
пользуется свойство симметрии определителя системы узло-
вых уравнений относительно его главной диагонали любой
линейной электрической цепи, составленной из пассивных
резистивных двухполюсников, согласно которому
G,., = Glh,	(3 20)
так как GJiZ и Gllt являются проводимостями одной и той же
ветви, связывающей k-й и l-й узлы. Симметрия определителя
относительно его главной диагонали в общем случае наруша-
ется в активных цепях с зависимыми источниками в силу од-
ностороннего характера влияния между колебаниями в их
входной и выходной цепях (см. пример в § 3.6).
Переходя к доказательству теоремы в ее дуальной форму-
лировке, составляем для цепи систему узловых уравнений.
Узлы, к которым подключается источник тока, обозначим I
и 0, другую пару узлов — 3 и 2 (см. рис. 3.23, б); задающий
ток источника /0, а напряжение, развиваемое им между уз-
лами 3 и 2, и, причем, определенности ради, пусть это на-
пряжение равно разности узловых напряжений узлов 3 и 2,
т. е. и = и3 — «2. В соответствии с принятой нумерацией уз-
лов из (3.19) следует.
_	^12 . .	_ Лфз ; . „	;
и2 — ~	l<h !,Я — ~“ l0t и —	&	'О-
Если этот же источник тока включить между узлами 2 и 3
цепи, то в системе узловых уравнений изменятся лишь сво-
бодные члены, причем в соответствии с рис. 3.23, б i.t = i0 и
/2 г,-. —г0. Остальные же свободные члены будут равны нулю.
74
решая эту систему уравнений относительно узлового напря-
жения Uj, находим
^31+^2/ ;
и^~~Ъ	°-
Из-за симметрии определителя рассматриваемой системы
уравнений относительно его главной диагонали Л431 = М13
и M2i = ЛЛ2, поэтому «1 = и, что и необходимо было дока-
зать.
3.10.	Свойства резистивных электрических цепей
Во многих практически важных случаях в резистивной
электрической цепи имеется лишь один независимый источ-
ник. Зажимы, к которым он подключен, являются входными
зажимами цепи. Для оценки мощности, отдаваемой генерато-
ром (источником сигналов) в цепь, надо знать входное сопро-
тивление цепи, а для оценки свойств цепи как системы пере-
дачи сигналов необходимо оценить соотношения между воз-
действием на цепь и ее реакциями.
По определению входное сопротивление цепи (двухполюс-
ника) представляет собой отношение напряжения на входных
зажимах цепи к току, который проходит через эти зажимы при
согласном выборе положительных направлений напряже-
ния и тока и при отсутствии в двухполюснике независимых
источников. Если резистивный двухполюсник пассивен, то
его входное сопротивление представляет собой вещественное
положительное число, поскольку в таком двухполюснике
энергия может лишь рассеиваться. Если же в двухполюснике
имеются зависимые источники, то его входное сопротивление
при определенных соотношениях между компонентами двух-
полюсника может быть и отрицательным. При R < 0 мгновен-
ная мощность р = Ri2, потребляемая двухполюсником, ока-
зывается отрицательной, т. е. двухполюсник не потребляет, а
отдает энергию во внешнюю цепь. Естественно, что эта энер-
гия поставляется в цепь за счет энергии источников питания
активных устройств цепи, например операционных усилите-
лей (см. пример в §3.11).
Для количественной оценки входного сопротивления двух-
полюсника положим, что ко входу линейного резистивного
Двухполюсника подведен источник тока с задающим током
(рис. 3.24). Тогда напряжение между этими зажимами соглас-
но (3.18) при i, — 0,	— 0, ..., In = 0 составит
75
Следовательно, входное со-
противление рассматриваемого
двухполюсника
=	=	(3.21)
где D и Мп — определитель и
минор системы узловых уравне-
ний.
Пусть, далее, нас интере-
сует реакция в виде тока (t)
в некоторой ветви цепи на воздействие источника тока i1(t)
на входе цепи (рис. 3.25). В силу линейности электрической
цепи и алгебраического характера соотношений между напря-
жениями и токами в линейной резистивной цепи
И If) = kli G),
где k — вещественное число — положительное или отрица-
тельное.
Аналогичные линейные соотношения верны и для иных ви-
дов воздействий и реакций в любых других ветвях линейной
резистивной цепи. Следовательно, в линейных резистивных
электрических цепях реакция воспроизводот воздействие с
точностью до постоянного вещественного множителя. Коле-
бания в таких цепях возникают в момент приложения воздей-
ствия, изменяются во времени по тому же закону, по которому
изменяется воздействие, отличаясь от последнего лишь постоян-
ным множителем и, возможно, знаком, и прекращаются одно-
временно с прекращением воздействия. Короче, в линейных
цепях без реактивных элементов не искажается форма переда-
ваемых через них сигналов и, кроме того, не происходит за-
держки сигнала во времени.
Количественные соотношения между воздействием и реак-
циями можно найти, если использовать решение (3 19)
3.11.	Применение резистивных электрических
цепей
Аттенюатор представляет собой высокоточный делитель напря-
жения. Он составляется из нескольких включенных друг за другом
(каскадно) звеньев Схема одного звена приведена на рис 3 26. Зна-
чения сопротивлений звена Rr и R2 удовлетворяют условию
R.R2 = Rl	(3 22)
при выполнении которого звено приобретает ряд замечательных
свойств Во-первых, входное сопротивление звена со стороны одной его
76
пары зажимов 10 или 20, если противоположная пара зажимов замкну-
та иа сопротивление Ro (рис. 3.27), также равно Ro В этом легко убе-
диться, если решить любую из составленных в § 3.6 и 3.7 систем урав-
нений для звена с учетом условия (3.22). Во-вторых, напряжение и2
на внешних зажимах удлинителя, нагруженного на сопротивление
Ro, связано с напряжением ult подведенным ко входу удлинителя, пре-
дельно простым соотношением
u,	R,
S —----— 1 +----.
и2	Ro
Если каскадно соединить несколько звеньев с одинаковыми зна-
чениями сопротивлений Ro и крайнее из них нагрузить на то же сопро-
тивление Ro (рис. 3.28), то любое из звеньев также оказывается нагру-
женным на сопротивление Ro. Это очевидно для крайнего правого зве-
на. Но тогда предшествующее его звено также будет нагружено на со-
противление Ro. Продолжив эти рассуждения, можно убедиться в спра-
ведливости высказанного утверждения. Отношение напряжений и0
на входе и ип на выходе аттенюатора равно, очевидно, произведению
аналогичных отношений на зажимах всех его звеньев, т. е
Uq Uq	U-2
о —	 =-	1	- ..—
=	S2S3... S;
ип
Значения St, S2, .. , Sn звеньев аттенюатора изменяются ступенями
независимо друг от друга, что возможно, если в каждом звене выдержи-
вается соотношение (3 22).
Аттенюаторы градуируются
в логарифмических единицах,
общепринятых в технике связи
при оценке отношении напряже-
ний, токов и мощностей (см
§7.9), и применяются в измери-
тельной технике и аппаратуре
связи.
Измерительный мост, упро-
щенная схема которого показана
На рис. 3.29, а, используется
Для измерения сопротивлений.
Найдем ток в ветви с сопро-
м Елением R (диагональной ветви
оста). для чего воспользуемся
77
теоремой об эквивалентном генераторе. Для определения задающего
напряжения эквивалентного генератора размыкается диагональная
ветвь моста, после чего образуется цепь со схемой рис. 3.29, б Значе-
ние и0 равно разности потенциалов узла 1 цепи и3 = uR3/(Rt Д. j
и узла 2 цепи и2 = uRg/(R2 + Ra), отсчитанных относительно ниж-
него из показанных на рис. 3.29, б узлов, т е.
Ri Ri — Ri R3
un = u, —	= --------------------и.
<Ri + RiHRi+ Rs)
Тогда в соответствии с теоремой об эквивалентном генераторе за-
дача сводится к определению тока в сопротивлении R цепи со схемой
рнс. 3.29, в или, при ином изображении, цепи со схемой рис. 3.29, г.
При выполнении условия RtR3 = RaR3, называемого условием
баланса моста, т. е. при равенстве произведений сопротивлений проти-
воположных ветвей моста, ток в Диагональной ветви моста становится
равным нулю, поскольку оказывается равным нулю напряжение эк-
вивалентного генератора. Именно на этом свойстве моста и основано
его применение для измерения сопротивлений.
В измерительных мостах обычно Rr = R2, сопротивление Ra
представляет собой градуированное переменное сопротивление (мага-
зин сопротивлений), a Rt — неизвестное сопротивление. При измере-
ниях, изменяя Ra, добиваются баланса моста, что определяется по при-
бору, включенному между узлами 2 и 1. Тогда из условия баланса мо-
ста следует R3 — Ra. Если выбрать Rr = 10/? 2 (или Rr = 0,1/?2), то
при балансе моста Rt = (или R3 = 0,1 Лз), что позволяет рас-
ширить пределы измерений при том же магазине сопротивлений. Усло-
вия баланса моста не нарушаются, если вместо источника напряжения
78
в цепи будет включен генератор с тем или иным внутренним сопротив-
лением Это приведет лишь к изменению напряжения на входных за-
жимах моста
Усилитель с инверсией напряжения, схема которого при-
ведена на рис. 3.30, а, содержит активным компонентом опе-
рационный усилитель. При анализе свойств усилителя, как
и любого другого устройства с активными компонентами
(транзисторами, электронными лампами и др.), на первом
этапе необходимо последние заменить их схемами замещения.
Воспользуемся простейшей схемой замещения операционного
усилителя (см. рис. 1.16, а) и заменим ею его изображение в
схеме рис. 3.30, а. В результате получится схема замещения
анализируемого усилителя, приведенная на рис. 3.30, б. Для
ее единственного независимого узла (узел <?) можно составить
следующее узловое уравнение:
I 1 . 1 \
(----1----и.,
(Ro R1 )
— и--------( —ц,и ) = О,
R1 Ro
из которого следует
Ro «г	—uRo и,
и  ---------1---- И П, = —Ш1Ч =  ----------1  .
Ro + (1 + р) Ri	Ro + (1 + р) Ri
После этого находятся коэффициент усиления усилителя
k, ток через входные зажимы усилителя и входное сопро-
тивление усилителя RBX:
£ U2 PRo . • __ Ц1 U3  О ~~РР) Щ
ui	Rо + (1 + р) R1	Ri Ro 4-(1 + р) Ri
о ___ «1 Ro-r(l+p)Ri
/\вх-----—  . .
4	1+р
Считая операционный усилитель идеальным (ц->оо), на-
ходим:
=	(3.23)
79
Можно убедиться в том, что полученные формулы практи-
чески верны и для более совершенных схем замещения опера-
ционных усилителей, если р, > 1 и р При этих условиях
коэффициент усиления реального усилителя и его входное
сопротивление определяются значениями сопротивлений ре-
зисторов 7?0 и /?, и практически не зав-исят от коэффициента
усиления операционного усилителя, значения которого изме
няются в широких пределах от образца к образцу и при коле-
баниях температуры окружающей среды и напряжения ис-
точников питания.
Название усилителя определяется тем, что в нем осуществ-
ляется изменение знака (инверсия) усил иваемого напряжения.
Усилитель-сумматор представлЯ-ет собой активную ре-
зистивную цепь, с помощью которой реализуется операция
взвешенного арифметического суммирования нескольких на-
пряжений. Схема цепи до и после введения в нее простейшей
схемы замещения операционного усилителя приведена на
рис. 3.31, где знаком J_ помечен базисный узел («земля»). Един-
ственным неизвестным в анализируемой цепи является узло-
вое напряжение узла п -г 1. Ему соответствует узловое урав-
нение
/1,1,1,	,	1 \	щ
\ Ro Ri Яг	Rn )	Ri
у U2 	Un. I	Un + 1 Q
Rt	Rn Ro
Напряжение на выходе цепи и —рИп+ь поэтому после
простейших преобразований
Если операционный усилитель идеален или
усилителя коэффициент усиления р достаточно
и - 2 “*•
* = 1 R
у реального
высок, то
(3.24)
Следовательно, рассматриваемая активная резистивная
цепь решает задачу взвешенного суммирования напряжения.
Усилитель без инверсии напряжения и его схема замещения
приведены на рис. 3.32. Здесь, как и в предшествующих про-
стейших активных цепях, единственным независимым узлом
цепи является узел 3. Для него
1
Ri
— (их —• и3)г= 0;
поэтому
цм,	,	.	R,
«3 =-------Г-1- — И «2 = р («х —«3) = р -----------------2— Ui .
Л.2	Кг
Если операционный усилитель идеален, или р 1 ф-
t Ri/Rz, коэффициент усиления усилителя
k = -^-=l + ^L .	(3.25)
Ui	R2
Как и ранее, значение коэффициента усиления k не зависит
или практически не зависит от данных операционного усили-
теля, если, конечно, выполняется неравенство, приведенное
выше.
Конвертор отрицательного сопротивления есть активный
резистивный четырехполюсник, входное сопротивление ко-
81
торого равно произведению его сопротивления нагрузки на
вещественное отрицательное число. Схема простейшего кон-
вертора и его схема замещения показаны на рис. 3 33 Здесь,
как гг выше, была использована простейшая схема замещения
операционного усилителя
Из узлового уравнения для узла 3
/' 1 । 1	Н(«1—«з)	А
\ Ri Ri)	Rr
последовательно находятся
.	Н»1 R*
II	•
Ri Ютц) Кг
t = «1—Р («1—«з)	^2 —(Р-— 1) Ri «1
1 R	R, Hl Ю)Я2	R
р = Ul = Т (1 ~гР~) р
г1 Ri (ц 1) Ri
Если (ц — 1)/?! >•/?„, то входное сопротивление конвер-
тора становится отрицательным (см. § 3 10) и с увеличением
коэффициента усиления операционного усилителя стремится
к значению
Явх^--^я.	(3.26)
Ri
Конверторы отрицательного сопротивления используются,
например, для компенсации потерь в элементах цепи При этом
следует помнить, что частотный диапазон, в котором справед-
ливо соотношение (3 26), ограничивается паразитными ем-
костями операционного усилителя.
82
3.12. Машинные методы анализа резистивных
электрических цепей
Современные методы машинного анализа электрических
цепей основываются, как правило, на формировании и реше-
нии системы узловых уравнений анализируемой цепи. Это
обусловлено простотой изложенного алгоритма формирова-
ния системы узловых уравнений.
На первом этапе машинного анализа цепи ее узлам припи-
сывают порядковые номера от 0 (базисный узел^ до N. После
этого в машину вводится информация о схеме и данных цепи.
Каждая пассивная одноэлементная ветвь цепи характеризу-
ется в общем случае четырьмя признаками: типом элемента
или G*, двумя номерами узлов, между которыми эта ветвь
включена, и одним числом — значением элемента. Аналогич-
но четырьмя признаками характеризуются независимый ис-
точник тока (ИТ) или напряжения (ИН). Для полной харак-
теристики зависимого источника необходимо ввести в машину
шесть признаков: тип источника (ИТУН, ИТУТ, ИНУТ,
ИНУН), два номера узлов, к которым подсоединен выход,
два номера узлов, к которым подсоединен вход зависимого
источника, и число, количественно характеризующее зависи-
мый источник. Информация о заданных или выбранных по-
ложительных направлениях напряжения или тока в ветви це-
пи содержится в последовательности номеров узлов, к кото-
рым подсоединены зажимы ветви.
Будем считать, что в анализируемой цепи отсутствуют ис-
точники напряжения, а зависимые источники управляются
напряжениями, т. е. являются источниками типа ИТУН. Если
это условие не выполняется, то цепь до ввода ее данных в ма-
шину должна быть подвергнута эквивалентным преобразова-
ниям или эги преобразования должны реализовываться про-
стейшими подпрограммами.
Далее в соответствии с правилами, обоснованными в § 3.6,
формируются матрица узловых проводимостей G и матрица-
столбец свободных членов i0, для чего в памяти машины от-
водится необходимое число ячеек.
Рассмотрим формализованную процедуру составления
системы узловых уравнений резистивной цепи. При этом по-
лагаем, что активными элементами цепи являются источники
тока независимые и зависимые, причем последние относятся к
числу ИТУН.
Ветвью цепи условимся считать либо резистивный элемент
и, возможно, соединенный с ним параллельно независимый
* В цепях с реактивными элементами R, G, L или С.
83
источник тока (рис. 3.34, а), либо зависимый источник тока
и, возможно соединенный с ним параллельно независимый ис-
точник тока (рис. 3.34, б). В качестве примера на рис. 3.35, а
приведена схема простейшей активной резистивной цепи. Она
имеет два независимых узла и четыре ветви, поскольку элемент
G3 образует ветвь, соответствующую схеме рис. 3.34, а при
i0„ s 0, а зависимый источник •— схеме рис. 3.34, б также
при iM = 0. Ориентированный граф цепи приведен на
рис. 3.35, б.
Пусть анализируемая цепь содержит N независимых уз-
лов и М ветвей указанного типа. Согласно первому закону
Кирхгофа
N
2 aft(ift—гой) = О,
k= 1
так как в обозначениях, принятых на рис. 3.34, ток iBfc Л-й
ветви равен разности токов ik и ioh ветви.
Для записи первого закона Кирхгофа можно использовать
и ее матричную форму (3.G). Тогда
A(i- i0) = 0,
где А — редуцированная матрица соединений цепи, а
84
i = Htj, u, .... tM|!T и i0 — Ikon io2, 1ол«|[т — матри-
цы-столбцы токов ik и гой в ветвях цепи.
Матрица i и матрица-столбец напряжений ветвей ив —
•= ||«в1, «bj, •••> «вА1Вт связаны зависимостью i = GBuB.
Здесь в любой строке матрицы GB только один элемент
отличен от нуля. Им может быть или элемент Gz.h Gk, ес-
ли ih = Gk uBk, или элемент GftZ —gi, если ih = gtuBl, t. e
если ток ih зависимого источника управляется напряжением
l-й ветви. Так, в рассматриваемом примере
GB =
Gi О О
О G2 О
О О G3
g 0 О
о
о
о
о
Матрицу GB принято называть матрицей проводимостей
ветвей пени. Использовав оба последних матричных равенст-
ва, имеем
AGBuB = Ai0.
В этом выражении матрицу-столбец напряжений ветвей
ив заменим произведением транспонированной матрицы сое-
динений Ат и матрицы-столбца узловых напряжений и =
— ||Ц], и,, ..., Un !Г, т. е. осуществим подстановку
Up = ATu*.
В результате находится матричное равенство
AGbAtu = i
(3.27)
которое связывает между собой матрицу-столбец узловых на-
пряжений и и матрицу-столбец токов узлов цепи (см. § 3.6)
>у = Ai0, т. е. находится матричная форма записи систем уз-
ловых уравнений.
* Если положительное направление тока iB к k-й ветви ориентиро-
вано от узла q к узлу г цепи, то напряжение «в * — uq — ur Но эта
Разность является элементом ив матрицы-столбца ив, равной произ-
ведению матриц Ат и и.
8-5
В рассматриваемом примере
Gj + G2
— G2“!-g
AGb Ат u = II Q
1 ° ° II		G, 0	0 0 G2 0	0 0		t 1	0 — 1
— 1 1 1 11		0	о c3	0		0	1
		g2	0 0	0		0	1
-02 1		II U1		<0			
G2 + G3 1		II «2		0			
«1
«2
Сравнение равенств (3.27) и (3.12) показывает, что матри-
ца узловых проводимостей цепи G может быть сформирована
как произведение трех матриц:
G = AGBAC	(3.28)
Информация о матрице соединений А вводится в машину
«тройками» чисел: номер ветви и два номера узлов, к которым
эта ветвь подсоединена. Последовательность двух последних
чисел характеризует выбранное или заданное направление
тока ветви. Каждый отличный от нуля элемент матрицы про-
водимостей ветвей GB задается его номерами строки и столб-
ца и численным значением. Элементы матрицы-столбца за-
дающих токов независимых источников задаются парами чи-
сел. Программы вычисления произведения матриц входят в
математическое обеспечение ЭВМ.
После того как тем или иным способом сформированы
матрицы G и i, задача сводится к решению системы линейных
неоднородных алгебраических уравнений. В простейших
случаях, когда нет необходимости минимизировать время
работы машин, можно использовать, например, алгоритм
Гаусса, о котором упоминалось в § 3.8. Он наряду с другими
алгорилмами решения системы линейных алгебраических
уравнений реализован в программах математическою обеспе-
чения ЭВМ.
Следует, однако, иметь в виду, что матрицы систем урав-
нений электрических цепей обладают большой разреженно-
стью, т. е. значительное число их элементов равно нулю. В ли-
тературе приводятся данные, согласно которым в интеграль-
ных цепях с числом элементов в несколько сотен, что соответ-
ствует среднему уровню интеграции, от нуля отлично не бо-
лее 5 % элементов. Поскольку для ЭВМ умножение на нуль
не отличается от умножения на любое другое число, прямое
применение указанных программ не всегда целесообразно.
В настоящее время разработан ряд методов, позволяющих
учитывать разреженность матриц. Все они основаны на ис-
ключении операций умножения на нуль и упорядочения по-
следовательности исключения искомых неизвестных.
86
Глава 4.
КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
4.1. Режимы колебаний в электрических цепях
Наличие в электрической цепи реактивных элементов при-
водит к качественным отличиям колебаний в таких цепях по
сравнению с колебаниями в резистивных электрических це-
пях (см. §3.10). Причина заключается в том, что в цепях с
реактивными элементами электрическая энергия, подведен-
ная к цепи, может не только рассеиваться, но и запасаться
в устройствах цепи. В отдельные интервалы времени в каж-
дом реактивном элементе может происходить процесс накоп-
ления энергии, чему соответствуют положительные значения
мгновенной мощности на зажимах элемента, который вы-
ступает в роли потребителя энергии. В другие же интервалы
времени этот элемент может возвращать в цепь накопленную
им ранее энергию, при этом значения мгновенной мощности на
зажимах элемента отрицательны и он играет роль допол-
нительного источника энергии
Процессы накопления и возврата энергии реактивными
элементами цепи приводят к тому, что колебания в цепях с
реактивными элементами не могут прекратиться сразу же
после прекращения внешних воздействий на цепь Они про-
должаются за счет энергии, накопленной в реактивных эле-
ментах пени к моменту прекращения воздействия, что, есте-
ственно, исключено в резистивных электрических цепях. Эти
же процессы обусловливают искажение формы сигналов це-
пями с реактивными элементами, что принципиально отличает
последние ог линейных резистивных электрических цепей.
Характер колебаний в цепях с реактивными элементами
зависит от ряда факторов, в частности от характера воздейст-
вия, приложенного к цепи, типа, числа и значений элементов
цепи, ее схемы, начального запаса энергии, имевшейся в ре-
активных элементах цепи в момент приложения воздействия,
и др.
Качественно колебания в цепях с реактивными элементами
разделяются на установившиеся (стационарные) и неустано-
вившиеся (нестационарные)
Колебания в цепи считаются установившимися, если все
напряжения и токи в цепи изменяются как периодические
Функции времени, т. е. когда uh (t + Т) = ик (t) и ц (t + Т) —
=:= h (t), где Т — период колебания. Частным случаем пе-
87
риодических колебаний являются гармонические колебания,
когда все напряжения и токи в цепи являются гармонически-
ми напряжениями uh = Umh cos (cot + и токами гг =
— Imi cos (mt + фц) одной и той же частоты. В соответствии
с этим режим гармонических колебаний и режим периодических
негармонических колебаний относятся к числу установивших-
ся режимов колебаний в электрических цепях.
Цепь может находиться и в режиме постоянного тока, в
котором значения всех напряжений и всех токов не изменя-
ются во времени, т. е. uh = Uk = const и it — It — const.
Этот режим можно рассматривать как режим гармонических
колебаний с бесконечно малой частотой, поскольку при ш->0
lim uk = Umll cos фий — Uk u lim it — I mi cos ф,г = /г. К ре-
жиму постоянного тока следует отнести и режим покоя, ког-
да все напряжения и все токи в цепи равны нулю.
В настоящей главе будет показано, что режим постоянно-
го тока в цепи устанавливается спустя бесконечно большое
время после приложения к цепи постоянного воздействия
(см. также гл. 8). Практически же время установления режима
постоянного тока можно считать конечным, если пренебречь
малыми отклонениями напряжений и токов в цепи от их уста-
новившихся асимптотических значений. Определенное время
необходимо также и для установления в цепи режима практи-
чески гармонических (периодических) колебаний после при-
ложения к цепи гармонического (периодического) воздействия
(см. § 9 8).
В соответствии с этим колебания, которые происходят в
цепи при переходе от одного установившегося режима к дру-
гому, также установившемуся, режиму называются переход-
ными колебаниями. К их числу относятся, например, колеба-
ния при переходе цепи из режима покоя в режим постоянного
тока, или из режима покоя в режим гармонических колебаний,
или из одного режима постоянного тока в другой режим по-
стоянного тока и др. Из определения следует, что режим пе-
реходных колебаний является одним из неустановившихся ре-
жимов. Именно в этом режиме находятся цепи большинства
цифровых систем передачи и обработки информации.
Количественные характеристики колебаний в цепях с ре-
активными элементами находятся в результате решения си-
стемы уравнений, которым должны удовлетворять напряжения
и токи в анализируемой цепи. Для цепей, содержащих ко-
нечное число сосредоточенных элементов, включая и реактив-
ные, они представляют собой систему обыкновенных диффе-
ренциальных (интегрально-дифференциальных) уравнений.
В качестве примера на рис. 4.1 приведена схема простей-
шей цепи с реактивным элементом, резистивным сопротивле-
88
нием и источником напряжения. Если выбрать положитель-
ное направление тока таким, как показано на рисунке, то в
соответствии со вторым законом Кирхгофа и соотношениями
(1.1) и (1.2) ток в цепи как функция времени должен удовлет-
ворять дифференциальному уравнению
L — + Ri=u0.	(4.1)
dt
Решение этого уравнения позволяет найти ток в цепи и
напряжения на зажимах всех ее элементов. В этом простей-
шем примере цепь полностью описывается не системой, а
единственным дифференциальным уравнением.
4.2, Уравнения переменных состояния
В общем случае при составлении уравнений, описывающих
колебания в линейных электрических цепях , можно исполь-
зовать методы напряжений (токов) ветвей, узловых напряже-
ний или контурных токов. Особенности их составления и ре-
шения рассматриваются в гл. 8 и 9. В последние годы в связи
с задачей численного решения систем дифференциальных урав-
нений с помощью цифровых вычислительных машин получил
известное распространение еще один метод составления рас-
сматриваемых уравнений. В этом методе, получившем назва-
ние метода переменных состояния, переменными системы урав-
нений являются так называемые переменные состояния, а
именно напряжения на емкостях и токи в индуктивностях
анализируемой электрической цепи. Эти переменные опреде-
ляют как общий запас энергии в цепи, так и энергию, запа-
сенную в каждом реактивном элементе цепи, т. е. определяют
электромагнитное состояние цепи. Если значения этих ука-
занных неизвестных, т. е. переменных состояния, будут най-
дены в результате решения соответствующей системы уравне-
ний, то после этого легко находятся токи и напряжения на
зажимах любых других элементов цепи.
Действительно, если в некоторый момент найденное напря-
жение на й-й емкости цепи равно Uck (t), то по теореме замеще-
ния этот элемент можно заменить источником напряжения с
тем же задающим напряжением. Аналогично для того же мо-
мента /-ю индуктивность можно заменить источником тока с
задающим током (/), значения которого известны. Если
подобную замену выполнить для всех реактивных элементов
Цепи, то в результате образуется резистивная электрическая
Цепь, значения напряжений и токов в которой могут быть най-
дены методами анализа резистивных электрических цепей.
89
Если, например, найдены
переменные состояния ис ц
iL в цепи рис. 4.2, а, то
после указанной замены зна-
чения остальных напряже-
ний и токов в цепи могут
быть найдены в ходе анализа
резистивной цепи, схема ко-
торой приведена на рис.
4.2, б. Что же касается са-
мих уравнений переменных
состояния, то они в рассмат-
риваемом примере легко со-
ставляются прямым приме-
нением законов Кирхгофа.
Действительно, в соответ-
ствии с первым законом
Кирхгофа ic + iR 4- iL —
— i0 =0, поэтому
В соответствии же со вторым законом Кирхгофа
di,
L------J- Кь II —ис = 0.
dt
Эти уравнения и образуют систему уравнений переменных
состояния рассматриваемой цепи. Они содержат два диффе-
ренциальных уравнения относительно того же числа неизвест-
ных.
Регулярные методы составления уравнений переменных состоя-
ния будут изложены в § 8.8. Сейчас же важно выяснить характер этой
системы уравнений, для чего достаточно, как и в рассматриваемом при-
мере, воспользоваться обоими законами Кирхгофа Тогда каждому вы-
бранному узлу будет соответствовать уравнение, в левую часть кото-
рого входит алгебраическая сумма подсоединенных к этому узлу зада-
ющих токов источников (<0), токов в резистивных сопротивлениях
(iR), токов в индуктивностях (iL) и токов в емкостях (Cdujdt). Каж-
дому же выбранному контуру будет соответствовать также уравнение,
левая часть которого содержит алгебраическую сумму входящих в
контур задающих напряжений источников (и0), напряжений на рези-
стивных сопротивлениях (uR = RiR), емкостях (uc) и индуктивностях
(Ldijdt).
Составленную таким образом систему линейных уравнений всег-
да можно с помощью линейных же преобразований решить относитель-
но производных от переменных состояния duc /dt и diR /dt. Общее чис-
90
до уравнений, составленных для полной системы независимых узлов
и контуров, будет равно числу реактивных элементов цепи1.
Для упрощения записи обозначим переменные состояния ис1>
иС2, • ••> uCr, iLl, iL2, iLs соответственно через хг, х2, ..., хп. Тогда
система уравнений переменных состояния запишется в виде:
dxx
— ~аи х1 + а12 *г+ ... +о1л ХптУг;
dt
dx2
—— •= о21 х1-\-а22 х2 + . • • + а2п xn-j-y2;
dt
(4.2)
dxn
~~~ ~ Ojii xi + йп2 х2 4~ ... + апп хп + уп.
dt
В этой системе коэффициенты cihi представляют собой веществен-
ные числа и образуются в результате арифметических операций над
параметром элементов анализируемой цепи, а функции = у/, (t)
характеризуют заданные воздействия на электрическую цепь, причем
если хотя бы одна из них не равна нулю, то соответствующая система
уравнений будет неоднородной системой уравнений.
Запись системы уравнений переменных состояния в форме (4.2)
является канонической. В этой форме записи система уравнений в рас-
сматриваемом примере имеет вид:
^иС	UC	‘l io
dt ~~ RC~ С + С '
L	UC
dt	L	L L‘
Здесь yr (t) — iJC и y2 (t) = 0.
Матричная форма записи системы (4.2) такова:
dX
— = ЛХ + В,
at
(4.3)
(4.4)
где А — ||<з*г(| — матрица параметров цепи; X = Ц.^, х2, ..., xn]|T —
матрица-столбец переменных состояния, В = |]г/х, у2, ..., Уп||т — матри-
ца-столбец воздействий.
В рассматриваемом примере:
1 В особых случаях возможны исключения (см. § 8.7).
91
Итак, благодаря выбору в качестве неизвестных, подлежащих оп-
ределению, переменных состояния, т. е. токов в индуктивностях и на-
пряжений на емкостях цепи, во-первых, образуется неоднородная в
общем случае система обыкновенных линейных дифференциальных
уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами, во-вто-
рых, сами переменные состояния характеризуют энергию, запасенную в
реактивных элементах анализируемой цепи.
4.3. Общее решение уравнений
переменных состояния
Из курса математики известно, что общее решение неоднородной
системы обыкновенных линейных уравнений первого порядка с по-
стоянными коэффициентами является суммой двух решений:
Xft=X</>+4"> (*=’- 2- •••- ")•	<4-5)
Здесь представляет собой частное решение системы урав-
нений (4.2), т. е. такой набор функций х^"'1 (k = 1, 2, .... п), который
после его подстановки в систему (4.2) вместо x-tt превращает каждое
уравнение системы в тождество независимо от начальных значений х^.
Обычно являются функциями того же типа, что и у>г, и отличают-
ся от них лишь значениями параметров.
Совокупность слагаемых х^'1 в решении (4.5) характеризует общее
решение соответствующей однородной системы уравнений
dx
~~ = ahi Xi + ah2 x2+ ... +akn хп (k = 1, 2, ..., п).	(4.6)
dt
Эта система образуется из системы (4.2), если в последней положить
все функции у>> (/) равными нулю.
Известно также, что общее решение соответствующей однородной
системы уравнений определяется корнями ее характеристического урав-
нения
aii—P а12	...	а1П
021	°22 — Р    а2п
(4.7)
аПг ат
апп — Р
*
Если элементы этого определителя а^, т. е. коэффициенты си-
стемы (4.2) являются известными вещественными числами, то харак-
теристическое уравнение системы представляет собой алгебраическое
уравнение
о0 Рп+а1 рп~1.+ .. +ап=0	(4.8)
с вещественными коэффициентами.
Пусть корни характеристического уравнения рг, р2, ..., рп (иХ
число согласно основной теореме алгебры равно степени уравнения)
являются простыми. Тогда каждому корню pt характеристического
р t
уравнения соответствует функция е 1 , которая с тем или иным по-
стоянным множителем входит слагаемым в (£=1, 2........... п). В ре-
92
зультате находится общее решение неоднородной системы уравнений
(4.2):
х1 = Л1еР1 ЧЛ еР2 * +... + Лпе₽п< + 4">,
х2 = Лг eP1 t + ?2 ^2 е₽2 *+ 4~Рп^Пе П
*3 = 71 А1еР‘ Z + ?2 А е₽г *+... +?п АпеРп * + 4"’;
(4.9)
Xn = Vj Дг eP1 (+у2 А2 еРг*+  +vn Ап еРп t+xin"\
Здесь постоянные коэффициенты Р, у, ..., v находятся по заданным
значениям коэффициентов и вычисленным значениям корней харак-
теристического уравнения (4.8) (см. пример в § 8.8). Коэффициенты
же Аь суть произвольные постоянные. Они и позволяют приспособить
общее решение (4.9) исходной системы уравнений (4.2) к начальным зна-
чениям переменных, т. е. к начальным условиям конкретной задачи.
Корни алгебраических уравнений с вещественными коэффициен-
тами могут быть как вещественными, так и комплексными попарно-со-
пряженными числами, поэтому такими же в решении (4.9) могут быть и
постоянные А^, (5^, ..., V;:. Сами же функции xh (/) являются, естест-
венно, вещественными функциями переменного t (времени).
Важно иметь в виду, что в решении (4.9) значения plt р2, .... Рп
корней характеристического уравнения не зависят ни от начальных
условий, ни от задающих напряжений и токов источников, имеющихся
в цепи. Действительно, согласно (4.7) они определяются -лишь схемой
цепи, типом и численными значениями параметров ее элементов.
4.4. Режим свободных колебаний
в электрических цепях
Пусть к электрической цепи подведено некоторое воздействие ко-
нечной длительности. К моменту окончания воздействия в реактивных
элементах цепи будет накоплена некоторая энергия, за счет которой,
как уже указывалось выше, колебания не могут прекратиться сразу
же после прекращения воздействия.
Колебания в электрической цепи, продолжающиеся после прекра-
щения воздействий на цепь внешних вынуждающих сил (независимых
источников напряжения, тока), называются свободными колебаниями.
Если в цепи происходят свободные колебания, то в таких случаях счи-
тается, что цепь находится в режиме свободных колебаний.
Количественные характеристики свободных колебаний находятся
в результате решения системы уравнений состояния анализируемой
цепи с учетом заданных (известных) начальных значений напряжений
на емкостях и токов в индуктивностях цепи, поскольку именно они
однозначно определяют энергию, запасенную цепью к началу свобод-
ных колебаний. Если для анализа использовать систему уравнений пе-
ременных состояния, то значения последних в момент начала свобод-
ных колебаний непосредственно определяются начальными условиями
задачи. При этом система уравнений будет являться однородной си-
стемой обыкновенных линейных дифференциальных уравнений перво-
го порядка с постоянными коэффициентами, так как в режиме свобод-
ных колебаний все функции У]. (t), характеризующее в системе уравне-
ний (4.2) внешние воздействия, тождественно равны нулю. Но эта си-
стема уравнений не отличается от системы (4.6), и, следовательно, об-
93
щее решение системы уравнений для режима свободных колебаний сле-
дует из решения (4 9) при = 0:
xh =хх еР1 1 +х2 А2 еРг * + . -}-хп Ап еРп ‘ (k = 1, 2,	, п).
(4.10)
Допустим, что все корни pt, р2, .... рп характеристического урав-
нения (4.8) отрицательные или имеют отрицательные вещественные
части. Для любого из этих корней
lime₽A/=0 (fe = l, 2, .. , п).	(4.11)
/->00
Но тогда из решения (4.10) следует, что в рассматриваемом случае
с неограниченным ростом времени свободные колебания в цепи могут
стать как угодно малыми и цепь в конечном счете переходит из режима
свободных колебаний в режим покоя.
Подобный характер свободных колебаний свойствен всем пассив-
ным электрическим цепям. В таких цепях свободные колебания по-
рождаются лишь тем конечным по величине запасом энергии, который
был накоплен в реактивных элементах цепи к моменту прекращения
на цепь внешних воздействий и который в конечном счете полностью
расходуется в процессе свободных колебаний, например, на теплообра-
зование в устройствах цепи.
Из решений (4.10) следует, далее, что наличие у характеристиче-
ского уравнения положительных вещественных корней или комплекс-
ных корней с положительной вещественной частью приводит к возра-
стающим по амплитуде свободным колебаниям. Их значения в реальных
электрических цепях неизбежно ограничиваются нелинейными свойст-
вами устройств цепи. В цепи устанавливаются, таким образом, свобод-
ные колебания, которые могут длиться как угодно долго практически
без изменения их формы. Они называются автоколебаниями. Естест-
венно, что автоколебания возможны лишь в активных электрических
цепях, поскольку они могут поддерживаться лишь при непрерывном
поступлении в цепь энергии, которую и поставляют в цепь источники
питания активных устройств цепи (транзисторов или электронных
ламп).
Граничному случаю чисто мнимых корней характеристического
уравнения соответствуют колебания, амплитуды которых не убывают,
но и не возрастают во времени. Они возможны в линейных цепях со
скомпенсированными активными потерями и в идеализированных це-
пях, составленных из реактивных элементов, колебания в которых не
сопровождаются рассеянием энергии.
В последующем будет показано (см. гл. 9), что установленная вы-
ше связь между характером свободных колебаний и расположением
корней характеристического уравнения справедлива и для случая крат-
ных корней.
В зависимости от характера свободных колебаний различают ус-
тойчивые и неустойчивые электрические цепи. Пусть электрическая
цепь находилась в состоянии покоя, когда все напряжения и токи в
цепи (в активной цепи — ее модели) равны нулю, после чего к ней
было подведено кратковременное воздействие такой величины, при ко-
торой цепь может считаться линейной. Если режим свободных колеба-
ний в цепи заканчивается режимом покоя, то такая цепь называется
устойчивой электрической цепью. Устойчивыми являются все пассивные
электрические цепи. Активные же цепи могут быть как устойчивыми,
так и неустойчивыми. К первым относятся, например, усилители, а ко
вторым — транзисторные и ламповые генераторы, преобразующие
94
энергию их источников питания в энергию гармонических колеба-
ний заданной частоты
Важно, что автоколебания возникают в неустойчивой электрической
цепи не только в режиме ее свободных колебаний, но и при любом воз-
действий на цепь. Действительно, экспоненциальные слагаемые реше-
ния (4 10), которые обусловливают возрастающий характер свободных
колебании в цепи, входят также и в общее решение (4 9), характеризую-
щее колебания в той же цепи при произвольных воздействиях и началь-
ных условиях.
Эффективные методы оценки характера свободных колебаний в
электрической цепи излагаются в гл. 9. Полное же решение задачи ана-
лиза свободных колебаний в устойчивых линейных электрических це-
пях с учетом как особенностей цепи, так и начальных условий излага-
ется в гл. 8 и 9.
4.5. Режим постоянного тока
в электрических цепях
Пусть ко входу линейной устойчивой электрической цепи, находя-
щейся в состоянии покоя, подключается источник постоянного напря-
жения или тока. Если это источник напряжения, то в некоторых урав-
нениях, составленных по второму закону Кирхгофа, у-,. = Uh = const,
или если это источник тока, то в некоторых уравнениях, составленных
по первому закону Кирхгофа, yi — h = const. Но если в уравнениях
состояния (4.2) г/д будут вещественными постоянными числами, то и
частное решение этой системы будет представлять собой совокупность
вещественных чисел Хх, Х2,	, Хп, которые превращают уравнения
системы в тождества. Их значения находятся в результате решения не-
однородной системы линейных независимых алгебраических урав-
нений, которые образуются, если в систему уравнений (4.3) подставить
вместо Хд неизвестные постоянные Хд (k = 1, 2, .. , п). Следовательно,
общее решение системы уравнений переменных состояния (4.2) при
постоянных воздействиях будет таким:
^(0=4° (О + Хд.	(4.12)
По условию цепь является устойчивой, т. е цепью, в которой удов-
летворяется условие (4.11). Но тогда в общем решении (4.12) независимо
от начальных условий и численных значений воздействий слагаемые об-
щего решения однородной системы уравнений при t -> оо обращаются
в нуль и все напряжения и токи в цепи оказываются постоянными на-
пряжениями и токами
Итак, спустя достаточно большое время после приложения к цепи
постоянного воздействия в устойчивой электрической цепи устанав-
ливаются практически постоянные напряжения и токи, т. е. цепь пе-
реходит в режим постоянного тока. Длительность этого переходного
процесса зависит от тех же факторов, которыми определяется дли-
тельность свободных колебаний в той же цепи, и в первую очередь,
от критерия, который используется при оценке «малости» колебании.
В силу принципа наложения это заключение верно и для случая, когда
к линейной цепи приложено не одно, а несколько постоянных воздей-
ствий.
Для иллюстрации изложенного вернемся к рассматриваемому при-
меру (см. рис. 4 2). Пусть
io (!) »
0	при t < /0,
= const при i > t0>
95
причем до момента приложения воздействия /, т. е при t < ta, цепь
находилась в состоянии покоя. Тогда частное решение системы урав-
нений (4 3) следует искать в виде = Uс — const и ~ Il ~
= const. После подстановки этих величин в систему (4 3) она пере-
ходит в систему алгебраических уравнении
I, г
0=-~- —J- -2-,
RC С С
UC
L>
L L
решение которой и позволяет найти
RRL	R
~Ur = ---------/0 и =1, =------------ Zo.
С С R + Rl L L R + Rl °
Цепь, к которой приложено воздействие, пассивна, поэтому состав-
ляющие колебаний, соответствующие общед<у решению системы (4.3),
вырождаются при оо и в цепи устанавливается режим постоянного
тока. Значения переменных состояния для этого режима ис = Uc и
iL = были найдены выше. После этого находятся значения осталь-
ных постоянных токов и напряжений в цепи i= UJR, i'c =
= С (duc/dt) = 0 и uL = L (diJdt) = 0.
4Д Расчет цепей в режиме постоянного тока
При расчете цепей в режиме постоянного тока нет необхо-
димости в составлении и решении дифференциальных урав-
нений, характеризующих колебания в цепи. Действительно,
если цепь находится в режиме постоянного тока, то напряже-
ние на зажимах любой индуктивности равно нулю, поскольку
при iL — const ul ~ L (diddt) = 0. Точно так же равен ну-
лю ток через любую емкость, поскольку при uc = const ic =
=- С (duc!df) = 0. Но если ul = 0, а ток в индуктивности
отличен от нуля, то это эквивалентно непосредственному
соединению между собой зажимов, к которым подсоединен
этот элемент. Ток же в емкости может быть равным нулю, и
когда разомкнуты зажимы элемента. Таким образом, при рас-
чете цецей в режиме постоянного тока и в схеме анализируе-
мой цепи можно замкнуть между собой (накоротко) зажимы
каждой индуктивности и разомкнуть зажимы каждой емкости
и уже затем находить искомые постоянные напряжения и токи.
Так, в цепи, схема которой приведена на рис. 4 3, о, спустя
достаточно большое время после ее подключения к источнику
постоянного напряжения, т. е. после того как в цепи практи-
чески установится режим постоянного тока, значения напря-
жений и токов можно находить по схеме рис. 4.3, б. Аналогич-
ные преобразования схемы рис. 4.2, а приводят к схеме
рис. 4.4, с помощью которой находятся те же значения напря-
96
жений и токов для режима постоянного тока, которые были
получены в § 4 5 в результате решения системы уравнений
переменных состояния.
Для обозначения постоянных напряжении и токов исполь-
зуются прописные буквы U и /, а для постоянного задающего
напряжения источника — буква С.
Схема замещения цепи, в которой замкнуты накоротко за-
жимы всех индуктивное 1ей и разомкнуты зажимы всех емко-
стей, называется схемой замещения цепи для режима посто-
янного тока. Эти схемы широко используются, в частности,
при анализе и выборе режима постоянного тока в цепях с тран-
зисторами, электронными лампами, трансформаторами с фер-
ромагнитными сердечниками и другими нелинейными устрой-
ствами.
При анализе линейных электрических цепей в режиме
постоянного тока по их схемам замещения можно исполь-
зовать любые из изложенных в гл. 3 методы анализа резистив-
ных электрических цепей, поскольку схема цепи содержит
лишь резисторы и источники
Следует иметь в виду, что в режиме постоянного тока ре-
активные элементы цепи запасают энергию, пропорциональную
квадрату постоянного тока в
каждой индуктивности и
квадрату постоянного напря-
жения, приложенного к каж-
дой емкости. Эта энергия
была накоплена элементами
в процессе установления ре-
жима постоянного тока и
обусловливает, в частности,
колебания (свободные) в цепи
после прекращения на цепь
постоянных воздействий.
4 Зак 1045
Г лава 5.
РЕЖИМ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
5.1. Гармонические напряжения и токи
в электрических цепях
Напомним, что если некоторая физическая величина со-
вершает гармонические когебания, то ее мгновенные значения
изменяются по закону
s (/) = Sm cos (со/ -1- ф)*,	(5.1)
где со = 2л/ = 2зх/Т, а вещественные положительные посто-
янные Sm, Т, f и характеризуют соответственно амплитуду
колебания (Sm — наибольшее по абсолютному значению от-
клонение колеблющейся величины); период колебания (Т —
наименьшее значение времени, после которого процесс пол-
ностью повторяется, время одного цикла колебания); цикли-
ческую частоту колебания (/ — число циклов колебания в
единицу времени); угловую частоту колебаний (со — число
циклов колебания в интервале, равном 2п единицам времени)
Постоянная ф, которая может быть как положительной, так
и отрицательной вещественной безразмерной величиной, ха-
рактеризует значение фазы колебания
Ф - со/ + ф	(5.2)
в момент t — 0 и называется началоной фазой колебания. Зна-
чение начальной фазы колебания изменяется с изменением на-
чала отсчета времени. Действительно, при изменении начала
отсчета времени на t0, т. е. при замене t на I — t0, функция
sx (/) = Sm cos (со (t —	-i- ф( =- Sm cos (mt + Ф — <b/0) =
— Sm cos (mt г фх) отличается от функции (5.1) лишь зна-
чением начальной фазы.
Режим гармонических колебаний устанавливается в ли-
нейной устойчивой (см. § 4.4) электрической цепи спустя до-
статочно большое время после того, как к цепи будет подведе-
но гармоническое воздействие, т. е. воздействие, которое после
* Для описания того же гармонического колебания можно исполь-
зовать функцию s (/) = Sm sin (со/ -j- I), если g = ф л/2, т. е. ис-
пользовать синусную форму записи функции s (/)• По ряду причин в
теории электрических цепей оказывается предпочтительней запись вида
(5.1).
98
момента его приложения tQ описывается формулой (5.1) и было
равно нулю при t <Z to.
При сравнении гармонических колебаний в одной и той же
электрической цепи, т. е. гармонических колебаний равных
частот
81 (0 = cos (со/ + фх)
8а(0=-5т2соз(со/ + ф2)
(5.3)
отдельно сопоставляются амплитуды и фазы колебаний. При
сопоставлении амплитуд колебаний чаще всего используется
их отношение Sml/Sm2, а при сопоставлении фаз — их раз-
ность.
* При гармонических воздействиях в системе уравнений (4.2) сво-
бодными членами являются функции вида Уь~ Bmj. cos (со/ -f-
Но тогда частное решение системы уравнений будет выражаться в та.
ких же функциях, т. е. xV1 = cos (со/Ц-ф^) (ft = 1, 2, . ., п). В ус-
тойчивых электрических цепях спустя достаточно большое время после
приложения воздействия первая составляющая xV’ общего решения
(Т.Ь) может стать пренебрежимо малой по сравнению с амплитудой вто-
рой составляющей х!”1 решения, чему и соответствует режим гармони-
ческих колебаний в цепи.
Разностью фаз, или сдвигом фаз, двух гармонических ко-
лебаний в одной и той же цепи называется безразмерная вели-
чина
ср — tp2i	(5.4)
которая может принимать как положительные, так и отрица-
тельные значения. Разность фаз двух колебаний не зависит от
начала отсчета времени, так как изменение последнего при-
водит к изменению значений начальных фаз обоих колебаний
на одну и ту же величину.
На рис. 5.1 приведены графики гармонических колебаний
$! (/) и д, (/) для различных соотношений между их фазами.
Если сдвиг фазы между двумя колебаниями равен 0, л или
л/2 (радиан), то считается, что такие колебания происходят
соответственно в фазе (рис. 5.1, а), в противофазе (рис. 5.1, б)
или находятся в квадратуре (рис. 5.1, в). Если <р ~	— ф2 >
> 0, то колебание з2 (/) отстает от колебания зх (0 по фазе на
угол <р. Если же <р «=	— ф3 < 0, то колебание s2 (t) опере-
жает колебание sx (/) по фазе на угол |ср| — |ф] —ф2|. Гра-
фики рис. 5.1, г соответствуют случаю, когда колебание Sj (О
опережает колебание s2 (/) по фазе на \ гол <р<л/2 или, что
то же, колебание s2 (0 отстает от колебания sx (0 по фазе на
тот же угол.
Для исключения неопределенности, связанной с периоди-
ческим характером рассматриваемых функций, разность фа?
колебаний чаще всего ограничивают пределами —л •< ф л.
Следует заметить, что в некоторых случаях удобнее не огра-
ничивать пределов изменения разности фаз. Эти случаи будут
далее специально оговорены.
Для наглядного суждения о соотношениях между амплиту-
дами и начальными фазами гармонических колебаний равных
частот в одной и той же цепи или части цепи используется
векторная диаграмма. На ней в полярной системе коорди-
нат каждому изображаемому гармоническому колебанию соот-
100
ветствует радиус-вектор, длина которого в выбранном масш-
табе пропорциональна амплитуде колебания, а полярный угол
равен начальной фале колебания’.
В качестве примера на рис. 5.2 приведены четыре вектор-
ные диаграммы, соответствующие четырем временным диаг-
раммам гармонических колебаний, представленным на
рис. 5.1.
5.2. Наложение гармонических колебаний
Пусть напряжение между некоторой парой узлов электри-
ческой цепи или ток в некотором элементе электрической цепи
находится в результате наложения (суммирования) двух гар-
монических колебаний равных частот. Убедимся в том, что
результирующее колебание будет гармоническим колебани-
ем той же частоты, и найдем его амплитуду и начальную фазу.
С этой целью запишем (I) и s2 (t) из (5.3) в виде
(О — Sml cos cos — Sml sin xpi sin mt
и
s2 (/) — Sm2 cos ф2 cos mt — Sm2 sin ф2 sin mt.
Тогда после группирования слагаемых имеем
Si (t) + s2 (г) — (Sml cos ifj -f- Sm2 .os ф2) cos mt —
— (Sml sin 4- Sm2 sin ф2) sin mt.
Всегда можно подобоать такие обозначения для коэффициен-
тов при функциях cos mt и sin mt, при которых правая часть
равенства будет представлять собой косинус суммы двух уг-
лов mt и ф. Для этого необходимо, чтобы
и Sml cos фх + Sm2 cos ф2 = Sm cos ф ]
Sml sin фх + Sm2 sin ф2 =• Sm sin ф. I
Тогда
si (0 + s2 (0 = Sm cos ф cos mt — Sm sin ф sin mt
и, следовательно,
si (0 + s2 (Z) = Sm cos (mt + ф),
т- e. наложение двух гармонических колебаний равных час
тот действительно образует гармоническое колебание той же
частоты.
1 Напомним, что положительные значения углов отсчитываются
против часовой стрелки, а отрицательные — по часовой стрелке.
101
Амплитуда Sm результирующего колебания находится из
уравнений (5.5) после возведения каждого из них в квадра?
и суммирования:
Sm = ^S3ml 4-5^ + 25т15т2соз(ф1-ф2).	(5.6а)
По частному из тех же уравнений
tgtp- Smisimh+S7П2	(5.бб)
Sml cos Ф1 4" $т2 cos Фз
находится начальная фаза ф результирующего колебания с
учетом знаков cos ф и sin ф в (5.5). Поскольку —1
si' cos (фх—ф2) ^1, амплитуда результирующего колебания
не может быть больше суммы амплитуд составляющих ко-
лебаний, так как при cos (Ф1 — ф2) = 1
$т = VSml + Sm2 + 2Sml Sm2 = Sml + Sm2,
и не может быть меньше абсолютного значения разности амп-
литуд составляющих колебаний, так как при cos (фх — ф2) =
= 2.1
$т ~ I + Sm2 2Sml Sm2 — ) Sml Sm2 ).
Верхняя граница, когда фх — ф» = 0, соответствует на-
ложению двух колебаний, находящихся в фазе, а нижняя,
когда ф-j — ф2 = ±л, — наложению двух колебаний, нахо-
дящихся в противофазе. Если колебания находятся в квадра-
туре, т. е. ф\ — ф2 =» ± -у , cos (фг — ф2) = 0 и амплитуда
результирующего колебания
оказывается равной корню квадратному из суммы квадратов
амплитуд составляющих колебаний.
Легко убедиться в том, что при наложении любого числа
гармонических колебаний равных частот результирующее ко-
лебание также будет гармоническим колебанием той же час-
тоты. Действительно, по доказанному это верно для п == 2,
т. е. при наложении двух гармонических колебаний. Но тогда
оно верно и для п =» 3, так как любые два из трех колебаний
можно заменить одним гармоническим колебанием и тем самым
свести задачу к рассмотренной ранее задаче наложения двух
гармонических колебаний. Подобные рассуждения верны для
любого числа составляющих. Амплитуду и начальную фазу
102
результирующею колебания
можно найти последовательным
применением формул, приве-
денных выше
Амплитуду и начальную
фазу результирующего колеба-
ния можно найти и с помощью
векторной диаграммы, сумми-
руя векторы, характеризующие
колебания.
По причинам, изложенным
выше, в этом достаточно убе-
диться для случая наложения
двух колебаний: st (/) и s2 (/).
Пусть, векторы, изображающие
эти колебания, соответствуют
показанным на рис. 5.3. На том
же рисунке построен и вектор
Sm, являющийся суммой векто-
ров Sml и Sm2. Проекции по-
следних двух векторов на ко-
ординатные оси таковы: аг =-
= 5т1созф1; bx = Sml sin
а2 = Sm2 cos ф2 и b2 = Sm2 sin ф2. Проекции на те же оси векто-
ра Sm равны а = ах + аг и b = br -1- Ьг. Поэтому модуль Sm
и аргумент вектора Sm находятся по формулам; Sm —
= Va2 + b2- Sm cos ф - а, У	sin ф = bx + b«, кото-
рые действительно не отличаются от формул (5.5) и (5.6).
Возможность замены суммирования тригонометрических
функций суммированием векторов, изображающих эти функ-
ции, упрощает решение некоторых задач анализа гармони-
ческих колебаний в простейших электрических цепях, что
будет показано ниже на примерах.
5.3. Мгновенная и средняя мощности
гармонических колебаний
Пусть линейный двухполюсник, схема которого в самом
общем виде изображена на рис 5.4, находится в режиме гар-
монических колебаний, чему соответствуют следующие вы-
ражения для мгновенных значений напряжения и тока на
входе двухполюсника:
и = cos (®^ + фи); |
1 = Im cos (иt + фг). )
(5.7)
103
При согласном выборе положительных направлений на-
пряжения и тока на входе двухполюсника мгновенная мощ-
ность, потребляемая двухполюсником,
Р = Uml т COS (СО/ + ф„) COS (ft)/ + фг).
Если в этом равенстве заменить произведение тригономет-
рических функций их суммой, то из выражения
р = cos (1ри —фг) + ^22 cos (2со/ + фи + Ф.)
следует, что в режиме гармонических колебаний мгновенная
мощность, потребляемая, двухполюсником, содержит посто-
янную составляющую, относительно которой она претерпе-
вает периодические колебания с частотой 2со.
В общем случае значения мгновенной мощности в одной
части полупериода колебания положительны, а в другой его
части — отрицательны. В этом можно также убедиться, если
воспользоваться, например, данными рис. 5.1, г, считая, что
один из изображенных на нем графиков представляет собой
график тока, а другой — график напряжения.
Положительным значениям мгновенной мощности соот-
ветствует потребление цепью электрической энергии. Отри-
цательные же ее значения свидетельствуют о том, что в дан-
ный момент цепь не потребляет, а отдает электрическую энер-
гию. В пассивных цепях это возможно за счет энергии, запа-
сенной в магнитном и (или) электрическом полях элементов
цепи на протяжении предшествующей части периода, когда
значения мгновенной мощности были положительны.
Поскольку значения мгновенной мощности изменяются по
величине и по знаку, широко используется понятие средней
мощности. Применительно к рассматриваемому режиму гар-
монических колебаний это постоянная составляющая послед-
него выражения, т. е.
/щрср!Е^со5ф.	(5.8)
Здесь ср = фи — фг представляет собой разность фаз ко-
лебаний напряжения и тока на входе цепи (двухполюсника).
Таким образом, средняя мощность пропорциональна ампли-
тудам напряжения и тока на входе цепи и косинусу сдвига фазы
между ними.
Среднюю мощность, потребляемую двухполюсником в ре-
жиме гармонических колебаний, часто называют активной
мощностью. Если двухполюсник является пассивным, то сред-
няя мощность не может принимать отрицательных значений,
иначе нарушался бы принцип сохранения энергии. Следова-
104
тельно, для пассивных двухполюсников Р > 0. В случае двух-
полюсников с зависимыми источниками это неравенство может
не иметь силы.
Величины Um и 1т в (5.8) положительны и у пассивных
цепей Р 0, поэтому разность фаз гармонических напряже-
ния на входных зажимах пассивного двухполюсника и тока,
проходящего через эти зажимы, не может выходить за преде-
лы
Л ___ л
-----Ф —
2----2
(5.9)
~~ В общем случае средняя мощность определяется как от-
ношение энергии,подведенной к цепи за некоторый промежу-
ток времени, к длительности данного промежутка, если по-
следняя неограниченно возрастает. В математической запи-
си эта формулировка выглядит так:
h
Р^ lim —5— i uidt,	(5.10)
/2->оо ^2 — J
ti
где tx — момент времени, соответствующий началу усреднения.
Определение (5.10) пригодно для многих колебательных
процессов, в том числе и не являющихся периодическими, на-
пример колебаний флуктуационного характера.
В случае периодических и, в частности, гармонических ко-
лебаний пределы интегрирования в формуле (5.10) можно ог-
раничить периодом колебания Т, так как значение интегра-
ла пропорпионатьно числу периодов в интервале усреднения^
Следовательно, для периодических процессов, считая tx — 0,
имеем
т
Р — J uidt.	(5.11)
о
Средняя мощность относится к числу усредненных, т. е
статистических характеристик колебательных процессов.
В электрических цепях к ним же относятся и среднеквад-
ратические значения напряжений и токов:
105
Здесь, как и ранее, tx определяет начало интервала усред-
нения. Для периодических, в частности гармонических, ко-
лебаний эти определения могут быть записаны в виде:
и=у '-у
Подставляя в эти выражения функции (5.7), находим:
U - Um/V2 « 0,707(7m; I = Im/V2 « 0,707(7,,,
Среднеквадратические значения гармонических напряже-
ний и токов называют действующими (эффективными) их зна-
чениями и обозначают соответствующими заглавными буква-
ми. Они меньше амплитуд соответствующих колебаний в 1/2
раз.
Если в формуле (5.8) перейти от амплитуд колебаний к их
действующим значениям, то для средней мощности, потребляе-
мой двухполюсником, в режиме гармонических колебаний на-
ходится следующее типовое выражение: Р — UI cos ср.
Понятия о действующих значениях гармонических напря-
жений и токов в теории электрических цепей можно было бы
и не использовать, поскольку они связаны с амплитудными
значениями элементарными соотношениями. Однако в случае
периодических негармонических и непериодических колебаний,
к которым применимы определения (5.12), эти понятия ока-
зываются весьма полезными.
5.4. Гармонические колебания в элементах
электрических цепей
Пусть через некоторый пассивный элемс-нт электрической
цепи проходит гармонический ток
i — I т cos (со/ + ф).	(5.13)
Найдем соотношения между амплитудами и начальными
фазами* гармонических колебаний напряжения и тока в эле-
менте, при согласном выборе их положительных направлений.
В резистивном сопротивлении
Ц-г< =- Ri = RI т cos (со/ + ф) = UmR cos (со/ -ф ф).	(5.14)
Из этого соотношения следует, что амплитуды гармони-
ческих колебаний напряжения и тока в резистивном сопро-
тивлении связаны зависимостью UmR — RIт- Фазы же этих
колебаний совпадают. Иначе говоря, рассматриваемые коле-
106
бания находятся в фазе, что иллюстрируется векторной диаг
раммой рис. 5.5, а и временной диаграммой рис. 5.1, а.
В соответствии с (5.8) при <р = ф„ — фг = 0 выделяемая
в элементе средняя мощность
р_ VmRIm
"	2
/2	Г/2 Сг
— т ft — mR
^2	2
или в действующих значениях напряжения и тока
Р URI = /2Р = 1/Д6.
Следует отметить, что среднеквадратические (действующие)
значения напряжения и тока могут рассматриваться как зна-
чения постоянных напряжения и тока, эквивалентных по
мощности, выделяемой ими в резисторе.
Напряжение на индуктивности будет изменяться по зако-
ну
«(. = L = —<лЬ1т sin (at + ф) =
dt
— aLIm cos (at + ф ф-	(5.15)
Следовательно, между амплитудами гармонических коле-
баний напряжения и тока в индуктивности существует зави-
симость UmL = aLlm. Сравнение выражений (5.13) и (5.15)
показывает, что гармонические колебания напряжения опе-
режают по фазе колебания тока в индуктивности на угол л/2,
т. е. фи == фг + эт/2, или, что то же, гармонические колебания
тока в индуктивности отстают по фазе от колебаний напряже-
ния на угол л/2. Рассматриваемые колебания находятся, та-
ким образом, в квадратуре. Соответствующая векторная ди-
аграмма приведена на рис. 5.5, б, а временные диаграммы ко-
лебаний — на рис. 5.1, в, причем sx (/) = «д (/) и s2 (t) = i (t).
Если cos (фи — фг) ~ 0, го согласно (5.8) значение сред-
ней мощности в индуктивности оказывается равным нулю.
Это и понятно, так как энергия в реактивном элементе не рас-
сеивается и в режиме гармонических колебаний происходит
обмен энергией между индуктивностью и внешней по отноше-
нию к ней цепью.
V При гармоническом напряжении и = Um cos (at ф-ф) на
емкости ток в элементе
ic = С = — aCUm sin (at ф- ф) =
dt
= (оС4/ш cos fat + ф + -у Y	(5.16)
107
Таким образом,хсвязь между амплитудами гармонических
колебаний напряжения и тока в емкости определяется соот-
ношением ImC = aCUm. При этом колебания напряжения
отстают по фазе от колебаний тока на угол л/2, или, что то же,
колебания тока опережают колебания напряжения на угол
л/2. Векторная диаграмма, иллюстрирующая соотношения
фаз колебаний для рассматриваемого случая, показана на
рис. 5 5, в. Временные диаграммы колебаний соответствуют
графикам рис. 5.1, з, причем sx (/) = ic (0 и s2 (/) =- и (t).
Колебания находятся в квадратуре, чему соответствует зна-
чение средней мощности, равное нулю. Здесь, как и в индук-
тивности, происходит обмен энергией между емкостью и внеш-
ней по отношению к ней цепью.
5.5.	Гармонические колебания в последовательном
/?С-контуре
Применим установленные выше соотношения для анализа
гармонических напряжений и токов в простейшей электри
ческой цепи. Пусть через последовательный /?С-контур, так
условимся называть цепь со схемой рис. 5.6, проходит гар-
монический ток I — Im cos со/, начальная фаза которого при-
нята равной пулю. Найдем гармоническое напряжение и -
— Um cos (со/ + фи) на входе контура. Оно, очевидно, рав-
но сумме напряжений на элементах контура. Учитывая уста-
новленные выше соотношения между амплитудами и началь-
ными фазами гармонических колебаний в элементах электри-
ческих цепей, находим:
RIm cos at' uc—cos (at-—
coC \	2
Поскольку u= uR + lie, задача сводится к решению урав-
tn I п\
нения Uт cos (at + фи) — R.1 т cos at + cos I at —
относительно неизвестных Um и
108
При Smi — Ri mi m2 i nJ, Ip! -------О И ф2 — —n/2
амплитуда результирующего колебания находится по фор-
мул6 (5-6а):
Из формул же (5.5) следует Um cos ф = R1 т > 0 и
Ут sin ф = —/т/соС<0. Знаки функций cos ф и sin ф по-
казывают, что начальная фаза искомого колебания заключена
в пределах —0,5л <С ф < 0 (угол ф расположен в четвертом
квадранте), и так как tg ф ~ —\RoRC, тоф =— arctg (1/со/?С).
Следовательно,
«=]/	/mcosp— arctg—i— У
у	(шСу \	mCR /
На рис. 5.7 приведены графики тока I в контуре, напряже-
ния и на входе контура и мгновенной мощности р — ui, пот-
ребляемой контуром, построенные для одного периода коле-
бания при I = 0,5 cos at, R = 1 и aC — l/Уз. Графики
наглядно показывают, что колебания напряжения на входе
контура отстают по Лазе от колебаний тока в контуре на угол
0 < ф < -j- . Колебания мгновенной мощности происходят с
удвоенной частотой около ее среднего значения, помеченного
на рисунке штриховой линией. Заштрихованным областям со-
ответствуют отрицательные значения мгновенной мощности.
В эти интервалы времени двухполюсник возвращает во внеш-
нюю цепь энергию, запасенную в его реактивном элементе
(емкости) на протяжении предыдущего интервала времени,
в течение которого значения мгновенной мощности были
положительными.
Векторная диаграмма колебаний в контуре, соответствую-
щая данным примера, приведена на рис. 5.8. Вектор напря-
жения на резистивном сопротивлении R контура 1)тЯ сов-
падает по направлению с вектором тока в контуре Im, началь-
ная фаза которого равна нулю, а вектор напряжения на емко-
сти С контура UmC отстает от вектора тока на угол л/2.
Сумме этих векторов и соответствует вектор Um, характери-
зующий искомую амплитуду и начальную фазу напряжения на
входе контура.
109
5.6.	Гармонические колебания
в последовательном колебательном контуре
Схема цепи, содержащая элементы резистивного сопротив-
ления R, индуктивности L и емкости С, соединенные после-
довательно, приведена на рис. 5 9. Эту цепь называют после-
довательным /?ТС-контуром, или, чаще, последовательным ко-
лебательным (резонансным) контуром.
Пусть ко входу контура подведено напряжение и —
= U т cos со/ и требуется найти гармонический ток в контуре
i = / m cos (со/ -f- q>), т. е найти амплитуду 1т и начальную
фазу ф тока, установившегося спустя достаточно большое вре-
мя после приложения гармонического воздействия.
При согласном выборе положительных направлений на-
пряжений на элементах контура «г + «д + «с = Ис-
пользуя установленные соотношения между гармоническими
напряжениями и токами в элементах электрических цепей,
имеем:
(Л \
со/ 4“ <р 4~ "^*1,
и^-=7?/тсоз(со/ + ф);
Uc~ COS (coZ-j-ф--------— ) = —— COS fco/+ ф + —V
<вС к	2 / соС \	2 ) }
(5.17)
Следовательно,
RIm cos (со/ + ф) + [ coL
:= UmCOS tot.
Сумму функций, которая входит в левую часть этого ра-
венства, можно по (5.6) при Sml = RI т, Sm2 — (coL —
— 1/<оС)1т, фх = ф и ф2 = ф-}-л/2 заменить одной функцией
той же частоты. Тогда
toL
1 V
— Im cos (со/ ф ф) = Um cos tot,
аС /
где
g?
R sin <p+(coL — ~cos <p
\ coC /
7? cos (p
sin
110
Сравнение амплитуд и начальных фаз левой и правой час-
тей равенства позволяет найти амплитуду
1т =-----; ....—	----- (5.18а)
г к соС /
и начальную фазу
1
<о£ —-----
tg(p*p=---------(5 186)
искомого гармонического тока в контуре. Последнее соотно-
шение следует из условия ф = 0, т е. tg ф ~ 0, чему соответ-
ствует ft sin гр 4- (со/. — 1/ыС) cos <p = 0. Итак, окончательно
1
&L —----
[	аС \
Um cos I со/ —arctg---- I
i = --------- R  - •	(5'. 19)
—
* Угол ср характеризует разность фаз колебаний напряжения и то-
ка на входе , ассивного двухполюсника и поэтому удовлетворяет усло-
вию (5 0)
111
Векторная диаграмма напряжений на элементах контура
приведена на рис. 5.10. На этой диаграмме вектор напряже-
ния источника направлен вдоль оси абсцисс, поскольку по
предположению значение начальной фазы гармоническою
воздействия равно нулю. Вектор тока повернут относительно
вектора напряжения на угол <р > 0, если < 1/мС Вектор
напряжения совпадает по направлению с вектором тока
Im, поскольку колебания uR и i происходят в фазе. Векторы
напряжений и итоГ повернуты относительно вектора то-
ка на углы соответственно -j-n/2 и —nz2, так как колебания
напряжения на зажимах индуктивности опережают, а на ем-
кости отстают по фазе на угол л/2 от колебаний проходящего
через них тока.
Следует иметь в виду, что векторная диаграмма и найден-
ное с ее помощью численное решение будут верны только для
одной частоты гармонических колебаний. Если в том же кон-
туре возбудить гармонические колебания иной частоты, то
все построения необходимо выполнить заново.
Найденные решения показывают, что амплитуды гармони-
ческих реакций в контуре (/т, UmL, UmR, Umc) связаны ли-
нейной зависимостью с амплитудой гармонического воздейст-
вия (t/m), что естественно, поскольку рассматриваемая цепь
линейна. Кроме того, амплитуды и начальные фазы зависят
от значений параметров контура (L, R, С) и частоты гармони-
ческого воздействия («) и, как будет показано ниже, сущест-
венно изменяются с изменением последней.
Амплитуда тока в контуре при прочих равных условиях
будет максимальной, если к нему подведено гармоническое
воздействие с частотой
= ю0 =. —,	(5.20)
Vlc
т. е. с частотой, равной частоте собственных незатухающих
колебаний в контуре1. Действительно, при этой частоте
(mL — 1/ыС) = 0 и, следовательно, второе слагаемое знаме-
нателя (5.18а) проходит через минимум, поэтому
Ijn max т I = “ 11 Ф I “0.
I к I
СО" С0о	О:==4)0
Если частота гармонического воздействия отличается от
частоты <о0, то амплитуда тока в контуре при той же амплитуде
воздействия будет тем меньше, чем больше отличаются этн
1 Частота, с которой происходят свободные колебания в контуре,
лишенном потерь, т е. при R =0.
112
частоты. В пределе при ю—О
и при <о ею амплитуда то-
ка в контуре стремится к
нулю.
Характер частотной зави-
симости амплитуды тока в
контуре при Um = const
показан на рис 5.11. Ее от-
личительной особенностью
является наличие одного,
обычно резко выраженного
максимума. Явление значи-
тельного возрастания ампли-
туды гармонической реакции по мере приближения час-
тоты внешнего гармонического воздействия к частоте собст-
венных незатухающих колебаний контура (системы) называ-
ется явлением резонанса, или просто резонансом. Очевидно, что
резонанс имеет место в рассматриваемом колебательном кон-
туре в области частот, близлежащих к частоте ы0. Последнюю
называют резонансной частотой. Из (5.17) следует, что при
резонансной частоте:
ит
I = --— COS (On /
R
(On 7t/...	(	, зх \
UL = —2-------— cos ( (O0 t Я------=
R	\	2 I
Sin (o07;
R
иц — Um cos (o0 /;
17 III	fl	Я
UC — ---------— cos (On t------------------
<0.1 CR	\	2
--------- sin (On I.
R
Гармонические напряжения на индуктивности и емкости
при резонансной частоте компенсируют друг друга, так как
u-l + ис = 0. Поэтому принято считать, что в контуре имеет
место резонанс напряжений.
По отношению к внешней цепи при резонансной частоте
контур ведет себя подобно резистивному сопротивлению, по-
скольку при частоте резонанса i - u/R. Амплитуды же коле-
баний напряжений на зажимах реактивных элементов могут
значительно превышать амплитуду напряжения на входе це-
пи Отношение этих амплитуд
^mL __ ^тС _ Ир L
ит ~ ит /?
CD= Сй0	6> = О0
соо КС
(5.21)
из
называется добротностью контура Ее значения в реальных
LC-коитурах, т. е. контурах, содержащих индуктивную ка-
тушку и конденсатор, могут доходить до нескольких сотен
единиц.
Оценим энергию, запасенную в реактивных элементах,
если частота колебаний в контуре совпадает с его резонансной
частотой. По определению
/Д	Си£
W = WL~i~Wc =------i-----•
2	2
Используя формулы перехода к удвоенному углу, имеем
L/2	L!%
Wl =---- cos2 0)0 t =----1-----cos 2<oo t
2	4	4
CU2	c t \2
w(: =----— sin2 w01 = — / —| sin2 w01 =
2	2 I WoC I
cos 2(>)01
Поэтому
(wL + wc)«=ao
(5.22)
Следовательно, энергия в каждом из реактивных элементов
цепи является периодической функцией времени, общий же
запас энергии в реактивных элементах контура при резонанс-
ной частоте не изменяется во времени и равен максимальному
значению энергии в одном из двух реактивных элементов кон-
тура. Иными словами, уменьшение энергии в одном из реак-
тивных элементов контура в процессе колебаний ведет к та-
кому же увеличению энергии в другом реактивном элементе
контура. Энергия, поступающая в контур от внешней цепи
в режиме гармонических колебаний с резонансной частотой,
только рассеивается в сопротивлении Ц контура.
114
Глава 6.
СИМВОЛИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
6.1. Символическое изображение косинусоидальных
функций комплексными числами
Для решения задач анализа режима гармонических коле-
баний в линейных электрических цепях преимущественно ис-
пользуется метод, основанный на замене операций над косину-
соидальными функциями, описывающими колебания, опера-
циями над комплексными числами, содержащими полную ин-
формацию о параметрах колебаний. Возможность подобной
замены обусловлена тем, что в режиме гармонических колеба-
ний все колебания имеют одну и ту же заранее известную часто-
ту. Но тогда функция s (t) = Sm cos (со/ + ф), описывающая
заданное или искомое гармоническое колебание известной час-
тоты, характеризуется лишь двумя вещественными числами:
Sm и ф. Эти два числа можно объединить в одно комплексное
число, которое может рассматриваться как символическое
изображение косинусоидальной функции. Ясно, что операции
над числами проще операций над функциями. Это и обусловило
широкое применение соответствующего метода анализа режима
гармонических колебаний в электрических цепях.
Изложению метода предшествует напоминание необходимых сведе-
ний о различных формах представления комплексных чисел и действий
над ними.
Любая пара вещественных чисел а и & может быть записана в виде
одного комплексного числа
с — а ф- /&,	(6.1а)
где / = "|/ — 1 — мнимая единица; а — вещественная часть; jb — мни-
мая часть; b — коэффициент при мнимой части комплексного числа.
Два комплексных числа с и с* считаются сопряженными, если они
отличаются лишь знаками их мнимых частей, т. е. если с = а jb,
то с* = а — jb. Каждому комплексному числу можно поставить в со-
ответствие точку на комплексной плоскости, абсциссе которой соот-
ветствует вещественная, а ординате — мнимая составляющие комплекс-
ного числа.
Расположение на комплексной плоскости числа с — a -f- jb для
частного случая, когда а > 0 и b > О, показана на рис. 6.1, а. В за-
висимости от знаков чисел а и b комплексное число с = а ф jb может
изображаться точкой в любом из квадрантов комплексной плоскости
или на любой из ее осей (рис. 6.2) На той же комплексной плоскости
Комплексное число с = a -ф jb может быть представлено в виде радиу-
са-вектора, как показано на рис. 6.1, б. Его модуль |с| и аргумент ф
являются вещественными числами, значения которых связаны со зна-
115
чениями составляющих комплексного числа с — а + jb зависимостя-
ми:
| с| = Уа2-Н2;
Ф = arg (а + jb) = arctg — -ф kn,
a
(6.16)
где arctg (b/a) соответствует главному значению функции, обратной
тригонометрической функции tg ф, а значение целого числа k находится
с учетом знаков составляющих а и b комплексного числа (см. рис. 6.2).
Аргумент комплексного числа считается положительным при отсчете
против часовой стрелки (рис. 6.3) и отрицательным при отсчете в
обратном направлении.
Рассмотренное геометрическое представление комплексного числа
позволяет записать его в показательной форме:
с = |с| е^.	(6.1в)
Для обратного перехода от показательной к алгебраической форме
записи комплексного числа используется формула Эйлера
е7'^ = cos Ф + / sin ф.
Тогда
с~ | с | е/'*’ =| с | cos ф + j | с | sin ф,
и поэтому
а = Re (а + jb) = | с j cos ф и
Ь =• Im (а + jb) == | с| sin ф.
Символ Re (с) означает, что
у комплексного числа удержи-
вается лишь его вещественная
часть, т. е. Re (a jb) — а. Ана-
логично для выделения коэффи-
циента при мнимой части ис-
пользуется символ Im (а jb)~
“ b.
116
Из формулы Эйлера следует, что при любых вещественных значе-
ниях ф
| е/Ф | - 1 cos ф — / sin ф | = V+os2 Ф + sin2 Ф = 1,
а между некоторыми целыми степенями алгебраическом и показатель-
ной форм представления мнимой единицы существуют следующие со-
отношения.
>=eZ 2 ;	—/ = е ’ 2 ; (j)2 = е/я = — !; (j^^e 2 = —j;
I
(/)« = е;'2я = 1 ,
Поскольку при замене а формуле Эйлера ф па —ф
е—/Ф ==Cos ф— j sii. ф,
то после суммирования и вычитания е/,1’ и е—/1^ находим, что
е/Ф ре—/Ф .
и
I е/Ф_е-/’1’	! +'+-1
tg ф =--------------—----------------.
! е!^ + е-1^	! e2^’ + l
Вычисления с комплексными числами сводятся к действиям
с вещественными числами. В частности
И с2 —°i аг —&1 b2 -L j (at b2 + a2 bt) = | q | | c21 e' (Ф‘+Ф!’;
cc* — az + b2 = | c |2 = |c* |2 = | c21 = | с*2 I;
Ci____+ + /bi	(Oi + /bi) (a2~jb2) _ at a2 + bx b2
c2	o3 + jb2	(О2+/Ьг)(о2 — jb2) o2+b2
.	1Ме/(Ф.-Ф2>.
n2 + b2 |c2|
cn ~ I c |n =| c |n cos n ф+ j | с I” sin пф— (формула Моавра);
ci ± с2 — at ± о2 ф j (bt + b2) — "|/(«i ± «а)2 + (bt ± Ь2)2 е;+,
где аргумент ф — arctg „+-Л2.4-kn определяется с учетом знаков Бе-
пу ± а2
Ществевной и мнимой составляющих суммы сг ± с2 в соответствии с
данными рис. 6.2.
При символическом изображении функции s ~ Sm X
X cos (щ/ + ф), параметр со которой известен, используется
комплексное число
S,„ - ,Sm е/Ф.	(6.2)
117
Его модуль и аргумент равны соответственно параметрам Sm
и ф функции. В ряде случаев используется и более компактная
форма записи того же комплексного числа:
~ >
в которой аргумент ф можно выражать не только в радианах,
но и в градусах.
Между косинусоидальной функцией (5.1) и ее символичес-
ким изображением (6.2) существует взаимно-однозначное со-
ответствие. По заданной функции, используя (6.2), можно най-
ти ее символическое изображение и, наоборот, по известному
символическому изображению косинусоидальной функции на-
ходятся ее параметры Sm и ф по формулам
5m-|Sm| и i|) = artgSm
Так, если
Зт = 1,2е/0’1я, то Sm = 1,2;
ф = 0,1л и s (/) = 1, 2 cos (о)/ + 0,1л).
Формально символическое изображение (6.2) является ре-
зультатом выполнения над косинусоидальной функцией (5.1)
некоторых математических операций, т. е. результатом опре-
деленного ее преобразования, а именно
т
Sm = -^s(t)e-Wdt,	(6.3а)
о
где
Т == 2л/<о.
Действительно,
т
Sm cos (со/ + гр) e-i®* dt X
о
т	т
х !-----------I dt +
J	2	Т J
О
о
т
+	J e-/(2<0f+4>) dt = Sm е/ф ^Sm.
о
118
Следовательно, символическое изображение косинусои-
дальной функции может быть найдено, если последнюю умно-
жить на
2-е_'“(	(6.36)
Г
и затем проинтегрировать произведение в пределах одного
периода.
Обратное преобразование символического изображения
функции в собственно функцию в математической записи вы-
глядит так:
s(/) = Re(Sme/“').	(6.4)
В самом деле, используя формулу Эйлера, имеем:
Sm = Sm e/(at +’•’) = Sm cos (at + ф) +
+ jSm sin (со/ + ф).
Вещественная же часть этой комплексной величины и есть
искомая функция (5.1).
6.2. Основные положения символического метода
анализа гармонических колебаний
Условимся комплексное число (Uт = C/me/^“, Iт --
== /me/lt’i), модуль которого равен амплитуде, а аргумент —
начальной фазе функции, описывающей гармоническое коле-
бание, называть комплексной амплитудой колебания (напря-
жения, тока). Такой термин принят не только потому, что это
число является комплексным, но и потому, что оно в совокуп-
ности, комплексно определяет амплитуду и начальную фазу
гармонического колебания (напряжения, тока) известной
частоты. Для комплексных амплитуд напряжений и токов
сохраняется та же система направлений отсчета, ко-
торая была принята для мгновенных значений колебаний.
Докажем, что комплексные амплитуды напряжений и то-
ков в электрической цепи формально удовлетворяют законам
Кирхгофа и Ома. Согласно первому закону Кирхгофа в любом
узте цепи, находящейся в режиме гармонических колебаний,
i
2 Anft С»5 И + ^ife) -= 0.
* = I
Если обе части этого равенства умножить на множитель (6.36)
и проинтегрировать в пределах периода, то после интегриро-
вания в левую часть равенства будет входить согласно (6.3а)
11»
алгебраическая сумма комплексных
амплитуд токов в узле цепи, а в пра-
i
вую—нуль. Следовательно, 2
k=\
= 0. Аналогично доказывается, что
для комплексных амплитуд напряже-
ний формально верен и второй закон
Кирхгофа.
Схемное обозначение двухполюс-
ника для режима гармонических
колебаний приведено на рис. 6.4. От-
ношение комплексных амплитуд на-
пряжения и тока на входе двухполюсника называется ком-
плексным сопротивлением двухполюсника (комплексом полного
сопротивления, импедансом) и обозначается через Z (ja), или
часто одной буквой Z. В соответствии с определением
т
1
Z (/«) =
У(/«) ’
(6.5)
т
где К (/со) — комплексная проводимость' (комплекс полной
проводимости, адмитанс) двухполюсника. Ясно, что комплекс-
ные сопротивления и проводимости двухполюсников пред-
ставляют собой в общем случае комплексные величины.
Из (6.5) следует, что комплексные амплитуды напряже-
ний и токов на входе двухполюсника формально удовлетворя-
ют закону Ома:
йт = z (/со) im и im = Y ит.	(6.6)
В простейших случаях, когда двухполюсник представля-
ет собой пассивный элемент электрической цепи, соотношение
между комплексными амплитудами колебаний напряжения
и тока в элементе таковы:
0mL ~	Iщс — jtaCUm.
Эти соотношения можно установить, если учесть, что, на-
пример, амплитуды колебаний напряжения UmL и тока /т
в индуктивности связаны зависимостью UmL = аЫ т, а
колебания напряжения опережают по фазе колебания тока на
угол л/2, т. е. фи = ф, -j- л/2 (см. § 5.4). Поэтому если 1т =
= Zme''i>i, то йть = <oL/me^'i>i+^ = iaLI т. Эти же со-
отношения можно найти и чисто формально. Так, при и =
— Uт cos (at + фи) ток в емкости г’с = С (duldt) =
= —aCU т sin (at + фи). Тогда из преобразования (6.3а)
следует 1тС = jaCUm.
120
Коэффициенты, связывающие между собой комплексные
амплитуды напряжений и токов в элементах электрических
цепей,
U mL
Zl (/®) = —— = М;	(/®) = ~	= R;
1 т	1т
vt
Zc (/®) = ~
(6.7а)
тС _	1
г	/со С
т	'
и являются комплексными сопротивлениями соответственно
индуктивности, резистивного сопротивления и емкости, а об-
ратные им коэффициенты:
Гь (/®) =	= -V; Уя -=
UmL IbjL	"mR
UmC
1
(676)
— комплексньйли проводимостями соответствующих элемен-
тов. Следует обратить внимание на то, что комплексные сопро-
тивления и проводимости двухполюсников в общем случае
являются функциями частоты гармонических колебаний со,
что оправдывает принятые для них обозначения Z (цо) и
У (Ju)-
Поскольку для комплексных амплитуд колебаний фор-
мально верны законы Кирхгофа и Ома, то при нахождении
комплексных амплитуд колебаний в электрических цепях
можно применять все методы, правила и формулы анализа
колебаний в резистивных электрических цепях. Отличие бу-
дет заключаться лишь в том, что вместо терминов «напряже-
ние», «ток», «сопротивление», «проводимость» используются
термины «комплексная амплитуда напряжения», «комплексная
амплитуда тока», «комплексное сопротивление» и «комплекс-
ная проводимость» элементов (ветвей) цепи.
Метод анализа режима гармонических колебаний, в кото-
ром операции над функциями, описывающими колебания, за-
меняются операциями над их символическими изображения-
ми, получил название символического метода анализа гармо-
нических колебаний, или часто метода комплексных амплитуд.
На первом этапе анализа заданные гармонические коле-
бания заменяются их комплексными амплитудами и опреде-
ляются комплексные сопротивления ветвей (элементов) цепи.
На схеме анализируемой цепи, как правило, помечаются
комплексные амплитуды колебаний, а для сложных двухпо-
121
люсников с комплексными сопротивлениями Z (/го) или про-
водимостями Y (/и) используется то же схемное обозначение,
которое применяется для резистивного сопротивления (см.
рис. 6.4). Далее составляется система алгебраических урав-
нений для комплексных амплитуд колебаний, для чего мож-
но использовать любой метод анализа из описанных в гл. 3.
Решение этой системы уравнений позволяет найти комплекс-
ные амплитуды искомых колебаний.
В параллельно-последовательных цепях комплексные амп-
литуды искомых колебаний находятся с помощью закона Ома
без составления системы уравнений непосредственно по схе-
ме цепи (см. § 3.3). При этом могут оказаться полезными тео-
рема об эквивалентном генераторе, теоремы замещения и взаим-
ности, а также принципы наложения и дуальности.
На последнем этапе решения задачи осуществляется пере-
ход от найденных комплексных амплитуд колебаний к косину-
соидальным функциям, описывающим колебания. Чаще все-
го, однако, этот этап анализа опускается, поскольку комплекс-
ные амплитуды колебаний содержат полную информацию о
гармоническом колебании известной частоты.
В заключение следует отметить, что символический метод
анализа гармонических колебаний представляет собой не что
иное, как метод нахождения частного решения дифференциаль-
ных уравнений, описывающих колебания в непи для случая,
когда свободные члены уравнений являются косинусоидаль-
ными функциями одной и той же частоты.
В полном объеме задача анализа колебаний в электричес-
кой пепи при гармонических воздействиях и заданных началь-
ных условиях может быть решена методами, изложенными в
гл. 8 и 9.
6.3. Комплексные сопротивления и проводимости
двухполюсников
Комплексные сопротивления и проводимости двухполюс-
ника характеризуют определенные соотношения между па-
раметрами гармонических колебаний на входе двухполюсни-
ка. Выясним, между какими именно, и установим некоторые
ограничения, которые налагаются на значения Z (/го) и Y (/го)
пассивного двухполюсника.
Пусть Uт = Uте/'1’“ и / т ~ I — комплексные ам-
плитуды напряжения и тока на входе двухполюсника (см.
рис. 6.4). Тогда по определению
z (/го) = —=,	е' (’t’u -'fi)
г (/<>) im
122
и следовательно, модуль комплексного сопротивления
’ I/(/•«)
1 т 1
равен отношению амплитуды напряжения на внешних зажи-
мах двухполюсника к амплитуде тока, который проходит че-
рез эти зажимы, или, что то же, отношению действующих
значений этих колебаний. Обратное отношение характеризует
модуль комплексной проводимости двухполюсника:
|У(/®)| = |—1—l=Jk_ = _L .
1 и 71 | г(/ш) I ит и
В дальнейшем для модулей комплексных сопротивлений
и проводимостей будут использоватося также и сокращенные
обозначения IZ| и 1У|.
Из определения следует, что аргумент комплексного сопро-
тивления
<Pz = Фи — фг = - <Ру
равен разности фаз колебаний напряжения и тока на внешних
зажимах двухполюсника и отличается знаком от аргумента
комплексной проводимости двухполюсника.
Таким образом, по выражению, например, для комплекс-
ной проводимости двухполюсника Y (/'©) — 0,1е~'я/4 можно
судить о том, что амплитуды напряжения и тока в элементе
связаны зависимостью 1т = 0,11/а колебания тока через
входные зажимы двухполюсника отстают по фазе от колеба-
ний напряжения на входе двухполюсника на угол л/4. Есте-
ственно, что как модуль |Z| комплексного сопротивления
двухполюсника, так и модуль |У| его комплексной проводи-
мости не могут принимать отрицательных значений. Что же
касается аргументов комплексных сопротивлений и проводи-
мостей, то у пассивных двухполюсников их значения соглас-
но (5.0) могут изменяться от 0 до ±л/2, т. е.
—у^'Рг^уИ--------------'CwCy-	(6.8)
Наряду с рассмотренной показательной формой записи
комплексных сопротивления и проводимости двухполюсника
Z (j®) = ] Z (/®) ] e/<₽z и У(/®) = |У(/®)|е/фу
широко используется и алгебраическая форма записи этих
комплексных величин
Z (у®) « R + jX и У (у®) = G + /В.
123
Так как |Zle/4>z =-- |Z| cos tpz + j\Z\ sin <pz> то в этих вы-
ражениях:
R = \Z (/co)| cos cpz = Re Z (/co); X -= \Z (/co)| sin =
= ImZ (/co);
G = |У (/co)| cos фу = Re Y (/co); В -= |У (/co) | sin cpy =
= :n: Y (/co).
Вещественные части этих представлений, т. е. /? и G, на-
зывают активными, а коэффициенты при мнимых частях, т. е.
X и В, реактивными составляющими соответственно сопро-
тивления и проводимости двухполюсника. В частности, ак-
тивная составляющая сопротивления резистивного сопротив-
ления равна его сопротивлению R, а реактивная — нулю.
У индуктивности, у которой Z (/со) = равна нулю ак-
тивная составляющая сопротивления, а его реактивная со-
ставляющая X = соЛ положительна для любой частоты ко-
лебаний. Равна нулю также и активная составляющая сопро-
тивления емкости, у которой Z (/со) = 1//соС. Реактивная же
составляющая ее сопротивления X = — 1/соС* отрицательна
для любой частоты колебаний.
Неравенства (6.8) свидетельствуют о том, что у пассивных
двухполюсников вещественные составляющие сопротивления
и проводимости не могут принимать отрицательных значений,
т. е.
/? = (Z (/со) |cos фг = ReZ (/со) > 0; 1
G -= | Y (/со) | cos фу = Re У (/со)	0. j
Реактивные же составляющие сопротивления и проводи-
мости могут иметь как положительные, так и отрицательные
значения. Если значение аргумента комплексного сопротив-
ления двухполюсника положительно (tpz > 0), а следова-
тельно. X '> 0, ср у <С 0 и В < 0, то на входе двухполюсника
колебания напряжения опережают по фазе на угол cpz коле-
бания тока. Если же <pz < 0, т. е. если фу > 0, X < 0 и В > 0,
то колебания напряжения отстают по фазе на угол | фг| от ко-
лебаний тока. В первом случае (фу > 0, X ~> 0, фу < 0,
В < 0) принято говорить, что сопротивление (проводимость)
двухполюсника имеет индуктивный характер, а во втором
(cpz <0, X < 0, фу > 0, В > 0) — емкостный.
При cpz = фу = 0, т. е. когда колебания напряжения и
тока происходят в фазе, говорят, что сопротивление (прово-
Учитывалось, что I// —
I
соС"
—/, и
следовательно,
1_____,_1_
/соС соС’
а Х =
124
димость) двухполюсника чисто активно (активна) или чисто
вещественно (вещественна).
Для упрощения терминологии и обозначений в случаях,
когда это не может привести к недоразумениям, комплексное
сопротивление (комплексную проводимость) двухполюсника
будем называть просто его сопротивлением (проводимостью)
и обозначать через Z (Y). Применяется также компактная
условная форма записи комплексных сопротивлений Z (ja) =
= \Z (J«>)!/c₽z и проводимостей Y (/со) = \Y (/co)!/c₽y.
6.4. Типичные преобразования, связанные
с вычислением комплексных сопротивлений
и проводимостей двухполюсников
Рассмотрим ряд простейших примеров, иллюстрирующих вычисле-
ние и преобразование комплексных сопротивлений и комплексных про-
водимостей двухполюсников. Начнем с весьма простого примера, когда
двухполюсник содержит индуктивность и резистивное сопротивление,
соединенные последовательно. Схема двухполюсника и принятые поло-
жительные направления тока и напряжений показаны на рис. 6 5. Так
как при последовательном соединении двухполюсников их сопротивле-
ния суммируются, то комплексное сопротивление рассматриваемого
двухполюсника будет таким:
Z (/со) = 7?-|- /со£
Это алгебраическая форма записи комплексного сопротивления,
причем активная и реактивная составляющие сопротивления двухпо-
люсника соответственно равны R и a>L.
Модуль сопротивления двухполюсника равен модулю Z (/со),
т. е. 1/Л2 + (соф)2, а аргумент <p2==arc':g —-поэтому в показатель-
R
ной форме записи
«/.
_________ I arctg ——
Z(/co) = V«2 + co2L2 е к
Комплексная проводимость рассматриваемого двухполюсника та-
кова:
Y (/со) = -----=----------.
Z (/со)	/? + /<оЛ
Чтобы представить Y (/со) в алгебраической форме, следует числи-
тель и знаменатель Y (/со) умножить на комплексную величину, сопря-
женную со знаменателем. Тогда
у ... _	R — juL_______________R _ /соФ
~ (R + ju>L) (R — jaL) ~ /?2 + со2б2 “ 7?2 + со2А2'
Следовательно, активная и реактивная составляющие проводимости
Двухполюсника равны
г R
(j =-----------и В =—----------------
Я2 + <огАг	/?г + со2б2
125
В показательной форме записи
Y (До) = ( Y [ е''fY =  - , '	е - / arctg ш£/Я
У>2 + шг А2
Значит,
1	coZ,
I Y (/“) | = /ы , :-=- и фу = — arctg ——-
у /г4~со3 L2	R
Для двухполюсника из последовательно соединенных резистивного
и емкостного элементов (рис. 6.6) аналогично находим
Z = /? 4-	- = Я — /	
рсоС	аС
Следовательно,
7-,	R(/W)| = l/^2+-|— ,
соС	I/	со2 С2
/ 1 \ 1
<pz = arctg{ - ——- =— arctg——;
\	a>CR ]	<uCR
1	/и С
Y (» =----------== —--------.
1 1 +
В последнем выражении
/ ——
jcoC = wCe 2 и 1 jaCR = ~\/1 -4- <о2 С2 R2 е1’arcfg
поэтому
У (/®) =
________U)C________ ! (-^----arctg в>Сй)
V1+ (соС/?)2
а значит
I Y Uw) I “ —,
Vl + (wC/?)2
л
ФУ = — — arctg toCR.
126
Наконец,
)ц>С _ ftoC (1 — j'toCT?)	co2 C2 R
Г(/'“) = 1 + jcoC/? “ (1 + jcoC/?) (l-/wC/?) = l + (coC7?)2
/соС
+ 1-j-(coCT?)2 ’
так что
ы~ C2 R	соС
G =--------------- и В =----------------
1-j-(coCZ?)2	1 + (a>CR)2
Рассмотрим еще один пример, когда двухполюсник (рис. 6.7) со-
держит три соединенные параллельно ветви с комплексными проводи-
мостями
(j®) = п ,1. , , 5/3(/®) = JwC-
Ri	Rz +
При параллельном соединении двухполюсников их комплексные
проводимости суммируются, поэтому Y (/со) = —L-f-	. 1
Ri Rz + /0,А
-f- /wC Так как выше было показано, что
Rz
'Rf + co2 L2
jaL
R2-\-u2R2 ’
Y (j<o) = 4~ +
Ri
Ri
Ri-Y^2 L2
aL
Ri 1®£
Следовательно,
c R.Ri+Rj + co2/-2
(7?? + ®2 L2} Rt
1Y1 = TzT =
Фу = — cpz — arctg ВIG
м3£2С + со (CRj — L)
Ri+u>2L2
и согласно (6 8) и (6.1 61
Аналогично находятся и преобразуются выражения для комплекс-
ных сопротивлении и проводимостей параллельно-последовательных
цепей.
6.5. Примеры применения символического
метода анализа гармонических колебаний
Применим символический метод для анализа гармонических коле-
баний в рассмотренном простейшем контуре (см. рис. 6.5) с комплекс-
ным сопротивлением
Z (jw) = R + /и L = V/?2 +w2 L2 arc‘S
127
Далее, применяя закон Ома, находим следующее выражение для ком-
плексной амплитуды тока в контуре:
7/	7 7
f _ Um е ] arctg coL/ R
R + ]mL
где Um — комплексная амплитуда напряжения Urn cos (со/ + фи) ис-
точника гармонических колебаний.
Модуль 1т равен (по определению) амплитуде, а его аргумент —
начальной фазе гармонического тока в контуре. Следовательно,
Um	, со/.
1т =	..	----—, фг = фи — arctg —— и
v^T-w2/.2	я
Um	/	соЛ \
1 <<)= ч/вГ7 2Г2~" COS СО/ + фи—arctg —— .
у/?2 + ш2А2	\	R !
Это решение показывает, что амплитуда тока в контуре при задан-
ной амплитуде напряжения источника зависит не только отданных кон-
тура (его индуктивности и сопротивления), но и от частоты гармониче-
ского воздействия со. Колебания напряжения на входе контура опере-
жают по фазе колебания тока в контуре на угол arctg (a>L/R) > 0. Это-
го и следовало ожидать ввиду индуктивного характера сопротивления
контура.
Для определения комплексных амплитуд напряжений на элемен-
тах контура следует воспользоваться соотношениями § 6.4 согласно ко-
торым: „
	_ Мп
UmR~ R т- R +	-y7?2.j_Q2£2 e
 ri J^Um
R + !a>L -
. I ,	. coL , л \
mil] /4>u-arctg ---------4---
__	u	2 /
V/?a + m2 L2
128
Следовательно,
RUm //it.	.	® X	1
<S>LUm	I ,	(i>L It \
V^ + co^08 (wZ + ^-arctS— + -)•
Здесь, как и ранее, соотношения между амплитудами и фазами Ко-
лебаний зависят от L, R и со. Колебания напряжения на резнстивиом
сопротивлении происходят, естественно, в фазе с колебаниями тока в
контуре и отстают по фазе на угол arctg > 0 от колебаний напря-
жения источника. Колебания же напряжения иа индуктивности конту-
ра опережают по фазе колебания напряжения источника на угол ср =
= Д. — arctg Д^- > 0 и колебания тока в контуре иа угол л/2.
Решим также задачу анализа гармонических колебаний в контуре,
схема которого с необходимыми обозначениями приведена иа рис. 6.8.
По отношению к источнику тока рассматриваемая цепь представ-
ляет собой двухполюсник с комплексной проводимостью Y, равной сум-
ме комплексных проводимостей ветвей двухполюсника:
... г, ,	1	1 ®2 LC -Ljoj CR
/=iwC-|--------— =----------------—.
4“ jtuL	R /со L
Комплексная амплитуда напряжения иа зажимах этого двухпо-
люсника
и = im __
т Y 1-со2 LC + jaCR ’
где /т => /те 1 — комплексная амплитуда задающего тока источ-
ника.
Далее находим комплексные амплитуды токов в ветвях цепи:
imL= -^-г,
а также и комплексные амплитуды напряжений на элементах L и R:
т = &mL-
Амплитуды и начальные фазы колебаний можно найти, если
представить комплексные амплитуды колебаний в показательной фор-
ме. Например, если комплексная амплитуда тока в емкости
/ г =	С7? + ММ
тС 1 — co2LC + jtoCR '
то гармонические колебания тока в емкости имеют амплитуду
Г -I/ I aCVff+atp
*”С 11 тс I — _ ----------------‘т-
1/(1—ш2£С)2 + (®С/?)а
5 Зак. 1045	<оп
Начальная фаза колебаний тока в емкости находится с учетом того,
что при ч>гЬС > 1 знаменатель 1тС принимает значения, соответст-
вующие второму квадранту комплексной плоскости. Поэтому аргумент
знаменателя 1тС равен arctgfwC /?/(1 — ш2£С)], если <й2ДС < 1
и возрастает на я радиан при w2I.C > 1,
6.6.	Системы уравнений для комплексных
амплитуд колебаний	>
Как уже указывалось, комплексные амплитуды искомых
колебаний находятся из решения соответствующей системы
уравнений/ Ими могут быть уравнения Кирхгофа, узловые
или контурные уравнения.
При составлении системы узловых уравнений для комп-
лексных амплитуд колебаний следует по доказанному руко-
водствоваться правилами, обоснованными в § 3.6 для резис-
тивных цепей, поэтому в канонической форме записи система
уравнений для комплексных амплитуд колебаний отличается
формально от системы (3.11) лишь обозначениями.
Для упрощения обозначений вместо комплексных ампли-
туд колебаний Uт и Iт принято уравнения составлять для
комплексных действующих значений колебаний
U	= (Je^u
1/2	1/2
и
I = ...1т — 1т
1/2 ф/Г
(6.Ю)
т. е. для комплексных величин, модули которых равны дейст-
вующим значениям, а их аргументы — начальным фазам со-
ответствующих гармонических колебаний. Для упрощения
же терминологии комплексные действующие значения на-
пряжений и токов будем называть комплексными напряжения-
ми и токами, или просто напряжениями и токами в тех слу-
чаях, когда это сопровождается соответствующими обозна-
чениями или не может привести к недоразумениям. В этих
обозначениях система уравнений для комплексных узловых
напряжений имеет вид:
—У12 Uz — Г13 U3 —... — У in Un — li,
— ^211/1 + ^22^2—'/23U3 —...—Yin Un — It,
—	— Y № U3 — Yn3 U3—...Л-YnnUn" Ip.
(6.11)
130
Если цепь не содержит зависимых источников, то Yкк
представляет собой арифметическую сумму комплексных про-
водимостей ветвей, сходящихся к 6-му узлу, a Y к1 = Y ik —
комплексную проводимость ветви, включенной между /г-м и
Z-м узлами. Число уравнений N, образующих разрешимую
систему независимых уравнений, соответствует (3.14).
При численном решении задачи анализа гармонических
колебаний символическим методом целесообразно предвари-
тельно найти комплексные проводимости или сопротивления
двухполюсников, образующих ветви цепи, а затем уже сос-
тавлять уравнения. Граф цепи при подобном объединении
элементов в двухполюсники упрощается, уменьшается число
независимых узлов и контуров и, следовательно, число урав-
нений как узловых, так и контурных. В результате удается
в большинстве случаев существенно упростить решение зада-
чи. Так, выделяя в схеме цепи рис. 6.9, а три двухполюсника
с проводимостями Ylt У2 и Y 3, обведенные на рисунке штри-
ховой линией, можно свести задачу к анализу цепи с двумя
независимыми узлами. Ей соответствует (рис. 6.9, б) система
узловых уравнений:
(Л + Га + Гз) U.-Y.U^Y.U;
-У^+ (-L + yJ (7г*=о,
\ А	/
в которой выражения для проводимостей ветвей были най-
дены в §6.4. Далее, зная узловые напряжения и (72,
можно найти напряжения и токи в любых элементах цепи.
При машинных методах анализа гармонических колебаний
в цепях некоторых частных структур специально предусмат-
риваются подпрограммы, предназначенные для вычисления
комплексных проводимостей и сопротивлений типовых пас-
сивных двухполюсников, характерных для этих структур.
Если элементы в двухпо-
люснике предварительно не
объединяются, то ветвь цепи,
соединяющая между собой
А-й и /-Й узлы, в общем слу-
чае имеет проводимость
¥ и = i&chl + Ghl +
+-----?---.	(6.12а}
/й)£«
Fe схема показана на рис.
6.10. Собственная же прово-
димость YЬй узла будет представлять собой сумму проводи-
мостей ветвей со схемами рис. 6.10, т. е.
“ 1®СЙЙ +'Gfcfe Ч — •	(6-126)
Здесь Сйй, Сйй и Lkk являются арифметическими сумма-
ми соответственно емкостей, проводимостей и обратных ин-
дуктивностей1 всех элементов, соединенных с А-м узлом.
При составлении уравнений для цепей с зависимыми ис-
точниками используются те же правила, что и для цепей с не-
зависимыми источниками, с той лишь разницей, что задающие
токи или (и) напряжения некоторых источников, а именно
зависимых, будут пропорциональны разности узловых на-
пряжений тех узлов, к которым подсоединены управляющие
зажимы источников типа ИТУН или ИНУН. Следовательно,
в уравнениях появляются дополнительные слагаемые, про-
порциональные искомым узловым напряжениям. После при-
ведения подобных членов и преобразований система уравне-
ний приобретает канонический вид (6.11).
Составим систему узловых уравнений для цепи с операционным
усилителем, схема которой приведена иа рис. 6.11, а. На этой схеме
комплексное напряжение воздействия, подведенного к цепи, обозна-
чено Схема той же цепи после введения в нее простейшей схемы
замещения операционного усилителя (см. рис. 1.16, а) изображена на
рис. 6.11, б.
Далее выберем базисный узел 0 и пронумеруем остальные узлы так,
Как показано на рис. 6.11. Поскольку узловое напряжение считает-
ся известным, а узловое напряжение (72 = —pt/4, то систему урав-
1 Обратная индуктивность (Г)—величина, обратная индуктивности
(Г = 1/L).
132
неннй следует составлять только относительно узловых напряжений
узлов 3 и 4. Для этих узлов:
1	. I	1	1	1 \	.	1	.
Rt	\	АО	А1	Д2 /	А2
- 4~(-^=0;
АО
—	^з+ f/<aC2 + ~——) ^4—/<оС2 (— pl/J =0,
/?2	\	«2 /
илн после простейших преобразований:
/	1	1	1 \ -	/ 1 ц \ . й,
(>С1+17 + 77+ 77/ 3~ (т7“ 77/щ ~ 17~:
— ~ 1/з+ (р/шС24-/а>Сг4-  'j (/4=0.
г?2	\	г?2 I
Следует обратить внимание на то, что определитель этой систе-
мы уравнений несимметричен относительно его главной диагонали,
так как У12 #= /21, а коэффициент Y22 содержит помимо суммы проводи-
мости ветвей, подходящих к узлу, также слагаемое р/<вС2, обусловлен-
ное влиянием через зависимый источник.
В рассматриваемой цепи обычно ииитересуются выходным напря-
жением U2 — —fiUf- Из решения составленной системы уравнений
следует, что
----------------------
I „ I . I , I \(	1\/1 U \ 1
1)0)^ + — +— +— (|л/®С2 + /а>С2 + — — I  ----7Г 7-
\	АО Al	Ag / \	А2 /	\А2	АО / Ag
Если коэффициент усиления операционного усилителя достаточ-
но велик, то, считая последний идеальным, при р -+ оо находим
л	(	R R \
(j(O)2 ^1^2 “Ь/Ю ^2 I 4~ ^2	77~	) + 1
\	А1 /
Это выражение понадобится в дальнейшем.
При машинном формировании системы узловых уравне-
ний для комплексных узловых напряжений используются те
же алгоритмы, которые были описаны в § 3.12 применитель-
но к резистивным цепям. Отличие будет в том, что вместо ве-
щественных чисел, какими являются напряжения, токи и
проводимости (сопротивления) ветвей резистивной цепи, ис-
пользуются комплексные числа, характеризующие комплекс-
ные напряжения, токи и проводимости (сопротивления) ветвей
цепи на каждой заданной частоте гармонических колебаний.
Символический метод анализа гармонических колебаний
можно использовать в сочетании с методами уравнений Кирх-
гофа или методом контурных токов.
Каноническая форма записи системы контурных уравне-
ний для комплексных контурных токов такова:
Zu Л + Z12 А + 213/а+ ... + ZiAf 1м *= Ui,
^21 /1 +	+	/8 + ... + Zim Iм= Ui",	/Ь 131
Zmi Д + Zm2 Л +	/8 -г ••• + Zmm 1м = Um-
Система контурных уравнений составляется по тем же
правилам, что и система (3.15), и содержит согласно (3.17)
Ne — ЛЧ + 1 — <VT независимых уравнений.
6.7.	Индуктивные связи
в электрических цепях
До сих пор предполагалось, что в цепи отсутствуют ин-
дуктивные катушки, связанные общими магнитными потока-
ми, или, иначе говоря, отсутствуют индуктивные связи. Меж-
ду тем такая возможность не исключена, причем чаще всего
встречаются цепи, которые содержат катушки, связанные по-
парно общими магнитными потоками. В частности, широко
используются в качестве линейных компонентов электрических
цепей так называемые трансформаторы, представляющие со-
бой две индуктивные катушки, имеющие обычно общий сер-
дечник из ферромагнитного материала. При наличии двух и
более индуктивных катушек с общим магнитным потоком на-
пряжение в любой из таких катушек зависит от изменения не
только тока, проходящего через катушку, но и от токов, про-
ходящих через другие индуктивно-связанные с ней катушки.
Это явление известно как явление взаимоиндукции.
Выявим особенности составления уравнений для линей-
йых цепей с индуктивными связями. При этом, идеализируя
свойства реальных катушек с индуктивными связями, будем
134
считать, что они не рассеивают энергии и что каждая катушка
характеризуется своей индуктивностью.
Пусть через одну из катушек (на рис. G.12, а катушку с
индуктивностью Lj) проходит ток iv Часть магнитного потока,
создаваемого гоком ilt охватывает витки второй катушки, за-
жимы которой разомкнуты. Потокосцепление первой катуш-
ки, т. е. сумму магнитных потоков, сцепленных с отдельными
витками катушки, обозначим через Yj, а потокосцепление
второй катушки Ч^. Значения потокосцеплений Tj и Ч*^
пропорциональны току iv Коэффициенты пропорционально-
сти Z.J и М в выражениях Ч^ = Lxix и Чг12 = Mit являются,
как известно, индуктивностью катушки и взаимной индук-
тивностью между катушками М.
Аналогичные обозначения — 4% и Чг21 — введем для пото-
косцеплений в случае, когда через вторую катушку проходит
ток ц, а зажимы первой катушки разомкнуты (рис. 6.12, б),
причем 4% = L2t2 и Чг21 = М12.
Значения коэффициента М в выражениях для Чг12 и Ч1-21,
как известно, одинаковы и не могут превышать среднего гео-
метрического из значений Lt и L2, т. е. М ~ kVL^, где
О k 1. Коэффициент k, называемый коэффициентом связи,
характеризует степень магнитной связи между катушками.
В случае «жесткой» связи, когда весь магнитный поток, сцеп-
ляющийся с витками одной катушки, сцепляется и с витками
Другой, k — 1. Отсутствию связи между катушками соответ-
ствует значение k = 0.
Пусть далее токи it и ц проходят соответственно через обе
катушки (рис. 6.12, в). Тогда общее потокосцепление первой
катушки, если считать, что зависимости между токами и по-
токами в катушках линейны, Ч^ = ЧГ1 ± Ч1-21, а второй ка-
тушки Чг22 = т8 ± Ч\2. В других обозначениях
= l^iii ± М12 и Чг22 = ±Mlt + L2i2.	(6.14)
135
Здесь знаки слагаемых зависят от направлений магнитных
потоков в катушках, а последние — от направлений токов,
которые проходят через катушки. В связи с этим при схемном
изображении двух катушек индуктивности, связанных общим
магнитным потоком, зажимы катушек, через которые поло-
жительно заряженные частицы должны проходить в одном и
том же направлении (к катушке или от нее) для того, чтобы
потокосцепления складывались, помечаются точками или
звездочками. Поскольку при анализе положительные направ-
ления токов в каждой из катушек выбираются независимо и
произвольно, различают согласный и встречный выборы поло-
жительных направлений токов. В первом случае потокосцеп-
ления складываются, а во втором — вычитаются, если мгно-
венные значения токов имеют одинаковые знаки. Тогда в (6.14)
согласно выбору положительных направлений токов соответ-
ствует знак «плюс», а встречному — знак «минус».
На рис. 6.13 приведены примеры встречного (а) и соглас-
ного (б) выборов положительных направлений токов в катуш-
ках.
Дифференцируя уравнения (6.14) по переменному t, на-
ходим следующие соотношения между напряжениями и тока-
ми на внешних зажимах индуктивностей:
at	dt
dt dt
(6.15)
Уравнения (6.15) показывают, что если между /г-й и Z-й
катушками цепи существует связь через взаимную индуктив-
ность Mkl, то в k-ю катушку вносится напряжение
±Мhidii/dt, обусловленное током /-й катушки; в l-ю же ка-
тушку ток ih А-й катушки вносит напряжение ± MMdihldt.
136
Знаки зависят от выбора положительных направлений токов
в катушках. Аналогично учитываются индуктивные связи
и в более сложных случаях, когда общим магнитным потоком
охвачены три и более катушек индуктивности.
Цепь с индуктивными связями может расчленяться иа
несколько частей, которые не имеют общих узлов. Их называ-
ют самостоятельными частями цепи. Примером может служить
цепь, схема которой показана на рис. 6.14. Эта цень содер-
жит три самостоятельные части. Для каждой части цепи по
первому закону Кирхгофа можно составить независимые урав-
нения, число которых будет на единицу меньше числа узлов,
имеющихся в этой части цепи. Очевидно, что если цепь делит-
ся на У частей, то общее число независимых узлов будет
меньше общего числа узлов цепи на число ее частей. Соответ-
ственно уменьшается и число независимых контуров.
(6.16а)
6.8.	Схемы замещения
индуктивно-связанных катушек
При составлении уравнений для цепей, содержащих свя-
зи через взаимную индуктивность, широко используются схе-
мы замещения индуктивно-связанных катушек. Рассмотрим
некоторые из них.
Пусть цепь, содержащая индуктивно-связанные катушки,
находится в режиме гармонических колебаний. Комплексные
напряжения и токи на зажимах пары индуктивно-связанных
катушек удовлетворяют системе уравнений:
Ui = А ±
U2— -г-	ja>L,212,
в которую переходит система (6.15) после применения к ней
преобразования (6.3). Слагаемые ± /<оМ/3 и	в (6.16а)
количественно определяют влияние между катушками через
взаимную индуктивность. Они входят в уравнения Кирхгофа
или контурные уравнения для соответствующих контуров.
Системе (6.16а) удовлетворяют напряжения и токи в цепи с
зависимыми источниками типа ПНУТ, схема которой показа-
на на рис. 6.15. Ее можно рассматривать как одну из возмож-
ных схем замещения двух индуктивно-связанных катушек.
Другая схема замещения тех же катушек может быть найдена,
если систему (6.16а) решить относительно и /3. Тогда:
/1 =
/<0	/<0
/2=ЙН-Ь1_[71 + _Е22-[/2,
/со	/со
(6.166)
137
где коэффициентами этой системы уравнений являются обрат-
ные индуктивности:
Ги
----------- 112 = 121 -----------------;
Li
Lt L2 — M2
(6.17)
Системе (6.166) соответствует схема замещения с двумя
зависимыми источниками типа ИТУН. Она приведена на
рис. 6.16 и используется при составлении узловых уравнений
для цепей со связями через взаимную индуктивность. Схема
замещения рис. 6.15 удобна при составлении уравнений Кирх-
гофа или контурных уравнений. В обеих схемах знаки источ-
ников зависят от выбора положительных направлений токов
в катушках — согласно (+) или встречного (—).
Замена связи между ветвями через взаимную индуктив-
ность связью через зависимые источники позволяет исполь-
зовать без изменений программы анализа линейных актив-
ных цепей также для цепей с индуктивными связями. Естест-
венно, что цепь из двух или нескольких индуктивно-связан-
ных катушек является цепью пассивной, хотя в ее схеме за-
мещения имеются зависимые источники.
Используются и другие схемы замещения для случая, ког-
да два зажима катушек имеют общий узел (рис. 6.17, а) или
когда введение этого узла не сказывается на значениях на-
пряжений и токов в цепи.
Найдем схему замещения, соответствующую системе урав-
нений (6.16а). Характер слагаемых правых частей уравнений
свидетельствует о том, что схема замещения должна быть
составлена из индуктивностей. Число последних должно быть
равно, по крайней мере, трем, так как в уравнения входят
три коэффициента; Lt, L2 и М. Поэтому попытаемся в ка-
138
честве схемы замещения применить схему, показанную на
рис. 6-17, б. Система контурных уравнений, составленных
по этой схеме, такова:
(71 = /со (La + Lb) + /®£ь /2;
(7 а = Л+У ь + Lc) / 2;
Эта система не будет отличаться от системы (6.16а), если
La 4- Lb — Lt; Lb = ±Af; Lb 4- Lc = L2. Следовательно,
схема рис. 6.17,6 может рассматриваться как схема заме-
щения цепи из двух связанных общим магнитным потоком
индуктивностей, если
Lb = ±М; La =	+ М-, Lc = L,_ + М.	(6.18)
В этих формулах следует выбирать нижние знаки, если
только один из двух, соединенных в узел, зажимов катушек
помечен точкой (звездочкой). В двух остальных случаях на-
до выбирать верхние знаки.
Важно отметить, что при жесткой связи, когда k — 1, т. е
когда LjL2 = Л42, значения индуктивностей схемы замещения
должны удовлетворять соотношению (La 4- Lb) (Lb 4- La) ч=
= Lb, или после приведения подобных членов — соотноше-
нию
LaLb + LaLc 4- LbLc - 0,	(6.19)
из которого следует, что в схему замещения входит отрицатель-
ная индуктивность. Таковой может быть или индуктивность
La = Т М = Li нн VLjL. = Vi? (УГГ4F УГ^), или
индуктивность Lc — L2 =F M = L2^f VLXL2 = V L2 X
X (Vl2 Vm), или, наконец, индуктивность Lb = ±M.
Вели связь между индуктивностями не является жесткой,
т- е. /И < VlxL2, равенство (6.19) переходит в неравенство
LaLb 4- LaLc + LbLcL> 0, которое не исключает возможно-
139
сти появления отрицательной индуктивности в схеме замеще-
ния цепи.
Наличие отрицательной индуктивности в рассмотренной
схеме замещения цепи не препятствует применению послед-
ней при анализе колебаний в цепи, хотя и свидетельствует о
невозможности физического осуществления цепи по такой схе-
ме на пассивных элементах.
Находит применение и другая схема замещения рассмат-
риваемой цепи, показанная на рис. 6.17, в. Она содержит три
индуктивности, но иным образом соединенные между собой.
Значения элементов этой схемы замещения таковы:
» ±М 1	1 Т М ,620)
LiLj—/И2 ’ La	Lv L1Li—M2 ''
Они находятся сопоставлением узловых уравнений, со-
ставленных для схемы замещения, с системой (6.166). Знаки
в формулах выбираются по тому же правилу, что и ранее.
Естественно, что и в этой схеме замещения возможно появле-
ние одной отрицательной индуктивности.
Первую из рассмотренных схем называют Т-образной, а
вторую — П-образной схемами замещения индуктивно-свя-
занных катушек. Более широко они известны под названием
Т- и П-образных схем замещения трансформаторов (без по-
терь).
6.9.	Средняя, полная и реактивная мощности
Ранее (см. § 5.3) было показано, что средняя (активная)
мощность, потребляемая пассивным двухполюсником в ре-
жиме гармонических колебаний, находится как произведение
действующего значения напряжения U — Um/~V2 на вход-
ных зажимах цепи, действующего значения тока / = ImfV2,
который проходит через эти зажимы, и косинуса разности фаз
указанных колебаний, т. е. Р = UI cos q>z. Действующие
значения напряжения U и тока / на входе двухполюсника свя-
заны зависимостью U — \Z\I = 7/|F|, поэтому Р = /2|Z| X
X cos <pz = U2\Y| cos (—<pr). Так как |Z| cos cpz = R и
[У[ cos еру = G, где R и G — активные составляющие соот-
ветственно сопротивления и проводимости двухполюсника,
то
п 1 г г	Um I™
Р = U1 COS cpz — ---  cos	<pz	=
/2	(JZ
=	RR = -!l.R = UiG^—G.	(6.21)
2	2	4
140
В этих выражениях квадрат действующего значения тока
можно представить как произведение комплексного тока / =
= 7е/'|’! на сопряженную с ним комплексную величину 1 —
__	Тогда в формулах (6.21) PR = Re /2Z = Re liz,
а так как по закону Ома IZ = U, то
р = Re UI.	(6.22)
Следовательно, средняя мощность, потребляемая двухпо-
люсником, равна вещественной части произведения комплекс-
ного напряжения на входе двухполюсника и комплексной ве-
личины, сопряженной с комплексным током, проходящим че-
рез входные зажимы двухполюсника. Например, при U =
= 220е/0'|я и / = 2е—'°'15я находим I = 2е'°>15я и Р —
= Re 440е/°’25я = 311 Вт, если действующее значение на-
пряжения выбрано в вольтах, а тока — в амперах.
Произведение действующих значений напряжения и тока
на зажимах двухполюсника, которое входит в формулы для
вычисления средней мощности, называется полной или, реже,
кажущейся мощностью S, причем
5 = UI = р |Z| = 7/2|У|,
а коэффициент при мнимой части произведения PZ = PR 4-
+ jPX — реактивной мощностью Q = РХ = UI sin cpz.
Полная и реактивная мощности оцениваются в вольт-амперах.
Наконец, сумма S = Р -f- jQ получила название комплексной
мощности.
Значения средней мощности Р и полной мощности S рав-
ны, если фг — 0, т. е. когда сопротивление двухполюсника
чисто активно (резистивно). В общем же случае Р S, так
как Р — S cos <pz, a cos cpz 1 •
Проблема повышения значений «косинуса фи», называемо-
го коэффициентом мощности, является одной из важнейших
проблем энергетики. Эго и понятно, так как если cos cpz = 1.
то необходимую полезную работу можно получить от прием-
ника энергии при наименьшем токе в соединительных про-
водах, а следовательно, при наименьших потерях при кана-
лизации энергии. В заключение заметим, что поскольку комп-
лексные напряжения Uh и сопряженные комплексные
токи lk в ветвях цепи удовлетворяют законам Кирхгофа, то
к ним применима теорема Теллегена, согласно которой
2 <ЛЛ = о
а=1
141
и, как следствие,
в .	*	1 в . *
Re 2 <ЛЛ = О и Im 2 Uhlh^o.
k=i	& = i
Эти соотношения получили названия условий баланса со-
ответственно комплексной, активной (средней) и реактивной
мощностей. Они могут использоваться для проверки решений
задач анализа режима гармонических колебаний символичес-
ким методом.
6,10. Генераторы гармонических колебаний
и режимы их использования
Генератором гармонических колебаний может быть назва-
на любая активная двухполюсная электрическая цепь, кото-
рая способна вызывать гармонические колебания во внешней
по отношению к ней цепи. При этом предполагается, что час-
тота гармонических колебаний не изменяется с изменением
данных цепи, внешней по отношению к генератору.
По теореме об эквивалентном генераторе схема замещения
генератора гармонических колебаний содержит или источник
гармонического напряжения и пассивный двухполюсник,
соединенные последовательно, или источник гармонического
тока и тот же пассивный двухполюсник, соединенные парал-
лельно. Следовательно, в качестве схемы замещения генера-
тора гармонических колебаний можно использовать любую
из схем, показанных на рис. 6.18, где Uo — комплексное на-
пряжение на разомкнутых зажимах генератора, задающее на-
пряжение генератора; /0 — комплексный ток через коротко-
замкнутые зажимы генератора, задающий ток генератора;
Zo ~ U6li9, или, что то же, комплексное сопротивление
двухполюсника, в который обращается генератор, если =
— 0 или /0 = 0. Его принято
называть внутренним сопро-
тивлением генератора. Най-
дем такие значения активной
R и реактивной X составляю-
щих сопротивления пассивной
нагрузки генератора, при ко-
торых в ней выделяется мак-
симальная средняя мощность.
Генератор гармонических
колебаний с комплексным
задающим напряжением U
142
и внутренним сопротивлением Zo =- Ro + jX0 вызывает в
нагрузке с комплексным сопротивлением Z = R + jX (рис.
6.J9) комплексный ток
/ =	=_______Щ.
Zo + Z яо+я+/(хо + Х)
При этом в нагрузке цепи выделяется средняя мощность
Z/2 D
P = PR =------------------
(Яо + Я)2 + (Хо + Х)2
Значения последней изменяются в широких пределах с
изменеинем сопротивления нагрузки.
Очевидно, что мощность Р максимальна, если Хо + X —
— О, т. е. при X — —Хо. Это условие выполнимо, поскольку
реактивная составляющая сопротивления нагрузки, т. е. двух-
полюсника, может принимать как положительные, так и от-
рицательные значения (см. § 6.3). Тогда
Р I	R
Х=—Хо	(/?о + #)2
Здесь в соответствии со свойствами пассивных двухполюсни-
ков Ro > 0 и R <Z О (см. § 6.3). Дальнейшая задача сводится
к исследованию этой зависимости как функции от переменно-
го R. Ее график показан на рис. 6.20 сплошной линией. Мак-
симальное значение функция принимает, когда R = Ro. В
этом можно убедиться и формально, если исследовать функ-
цию Р (R) на максимум.
Итак, в режиме гармонических колебаний генератор раз-
вивает в нагрузке максимальную среднюю мощность, если
сопротивление нагрузки сопряжено с внутренним сопротив-
лением генератора, т. е. когда Z — Ro — jX0. Если сопро-
тивление нагрузки выбрано в соответствии с этим условием,
то говорят, что генератор нагружен на сопряженную нагрузку.
143
Максимально возможная
средняя мощность, которую мо-
жет развить генератор в на-
грузке,
Рмах = U'0/4Rr.	(6.23)
Величина Ртах зависит не
только от действующего значе-
ния (амплитуды) задающего на-
пряжения генератора, но и от
значения активной составляю-
щей его внутреннего сопротив-
ления.
Коэффициент полезного действия (КПД) генератора при
сопряженной нагрузке составляет всего 50 %, поскольку на
внутреннем сопротивлении генератора рассеивается та же
средняя мощность, что и в нагрузке. С увеличением R средняя
мощность в нагрузке падает, но растет КПД. График зависи-
мости КПД генератора от отношения R/Ro при X = — Хо по-
казан на рис. 6.20 штриховой линией. Эта зависимость, как
легко убедиться, такова:
П =7 R! (Ro + R)-
В энергетических системах, где чрезвычайно важен высокий
коэффициент полезного действия, стремятся к тому, чтобы
R Ro. Следует обратить внимание на то, что при таком ре-
жиме использования генератора значительное уменьшение
сопротивления нагрузки приводит к весьма опасному (аварий-
ному) повышению мощности, расходуемой в самом генерато-
ре.
В цепях связи часто сопротивление нагрузки выбирают
равным внутреннему сопротивлению генератора: Z =
= Z?0 + jX0. В этом случае говорят, что генератор нагружен
согласованно, а сопротивление нагрузки называют согласован-
ным. Схема генератора, нагруженного согласованно, пока-
зана на рис. 6.21. При согласованной нагрузке напряжение
на ее«ажимах независимо от частоты всегда равно половине
задающего напряжения генератора. Тем самым сохраняются
соотношения между амплитудами и фазами частотных состав-
ляющих сигнала, т. е. сохраняется его форма (см. § 11.9).
6.11. Трехфазные цепи
В современных энергетических системах генерирование и
передача больших потоков энергии осуществляются трехфаз-
ными цепями (системами). В таких цепях генератор, являю-
144
щийся преобразователем механической энергии в энергию
электрическую, вырабатывает три гармонических напряже-
ния равных амплитуд. Фазы же этих напряжений сдвинуты
относительно друг друга на угол 120° (2л/3), что осуществля-
ется за счет сдвига на тот же угол трех обмоток статора гене-
ратора. С ротором генератора связано постоянное магнитное
поле, вращающееся вместе с ротором с постоянной угловой
скоростью. В результате образуются три гармонических на-
пряжения:
UA = Ут COS + -ф);
ив “ Ут cos (со/ + ф — 2л/3);
Uc — Ут COS (б)/ +4 — 4л/3),
называемых фазными напряжениями.
Фазные напряжения можно рассматривать как задающие
напряжения трех генераторов гармонических колебаний, вну-
тренние сопротивления которых в рабочих режимах значи-
тельно меньше их сопротивлений нагрузок, что необходимо
для высокого КПД генератора. Графики мгновенных значений
фазных напряжений и их векторная диаграмма для частотно-
го случая ф = л/2 приведены на рис. 6.22.
Три обмотки генератора соединяются между собой или
«звездой» (рис. 6.23, а), или «треугольником» (рис. 6.23, б).
Напряжения между зажимами А, В и С являются выходными
напряжениями генератора и называются линейными напря-
жениями. При соединении обмоток звездой действующие зна-
чения линейных напряжений Uп в l/З раз больше действую-
щих значений фазных напряжений иф. Действительно,
если илв = ил — ив (см. рис. 6.23), то Uп = Uab —
= \0а - UB\ = t/A|l - е~/2«/3| = t/A|l + 0,5 + /0,5УЗ! =
— VSt/ф. В частности, при иф = 127 В Uп — 220 В, а
при иф = 220 В ип = 380 В.
14S
Фазы линейных напряжений отличаются между собой на
угол 120°(2л/3) и сдвинуты относительно своих фазных на-
пряжений на угол 30° (л/6).
При соединении обмоток треугольником ток в обмотках
генератора в режиме холостого хода равен нулю, поскольку
йА + 0 в + U с = 0 а (1 +	+ е_/4я/3) = 0,
а линейные и фазные напряжения равны.
Потребители энергии в виде трех пассивных двухполюс-
ников могут быть соединены между собой или звездой, или тре-
угольником, образуя нагрузку трехфазной цепи. На рис. 6.24
приведена схема трехфазной цепи, у которой обмотки гене-
ратора и нагрузка соединены звездами. Генератор и нагрузка
соединены между собой тремя линейными и одним нейтральным
проводом. Последний соединяет узлы (нейтральные точки)
звезд генератора и нагрузки. Найдем напряжения, токи и мощ-
ности в рассматриваемой трехфазной системе, считая линию
настолько короткой, что ее влиянием на напряжения и токи
в цепи можно пренебречь. Тогда линейные токи и ток в ней-
тральном проводе будут определяться по формулам: 1А =
= UA/ZA\ 1в = UbIZb, Ic = UcJZc и Р> — 1д + 1в + Лх
а средняя мощность в нагрузке цепи составит Р = JAReZA-l-
+ A Re ZB + 12с Re Zc.
Цри симметричной нагрузке, когда ZA = Zb + Zc = Z,
ток в нейтральном проводе /0 = {йА + (7в+ Uc)/Z равен
нулю и этот провод оказывается ненужным. В симметричной
нагрузке выделяется средняя мощность
Р = 3/JjRe Z = 3/А \Z\ cos <рд = SUaIa cos (pz-
Заметим, что для передачи той же средней мощности тремя
парами проводов от трех отдельных генераторов гармоничес-
ких напряжений понадобился бы в 3 раза больший расход
меди на провода линий при тех же потерях в них.
146
В реальных трехфазных цепях строгая симметрия прак-
тически исключена, поэтому ток в нейтральном проводе от-
личен от нуля, хотя и значительно меньше линейных токов.
В большинстве случаев нейтральные точки генератора и на-
грузки заземляются, и тогда нейтральным проводом частично
или целиком является земля.
Если ветви нагрузки соединены треугольником (рис. 6.25),
то токи в ветвях нагрузки будут определяться по формулам:
/дв = UabJZab, Ibc = Увс^вс и Ica ~ Uca^Zca- Ли-
нейные же токи находятся из очевидных соотношений: /А =
= 1Ав — ‘ca'i 1в = Iвс — 1ав и /с = Ica — i вс • В слу-
чае симметричной нагрузки сумма фазных токов в нагрузке
равна нулю, как и в рассмотренном выше случае соединения
ветвей нагрузки звездой. Действующие значения линейных
токов, как легко убедиться, в Уз раз превышают таковые в
ветвях нагрузки. При изменении сопротивления одной из вет-
вей приемника изменяются ток в этой ветви и линейные токи
в паре проводов линии, соединенных с этой ветвью (фазой}
нагрузки.
Коэффициент полезного действия трехфазной системы оп-
ределяется данными генератора, линии, а также величиной и
характером сопротивлений нагрузки. В процессе проектиро-
вания системы находится приемлемый компромисс между
147
КПД линии при типовой нагрузке и стоимостью линейных
сооружений. В процессе же эксплуатации необходимо стре-
миться к симметрии сопротивлений ветвей нагрузки и, глав-
ное, к увеличению коэффициента мощности cos <pz, посколь-
ку с его ростом растет и КПД линии.
Предложил трехфазную систему передачи энергии в конце
прошлого столетия русский инженер М. О. Доливо-Добро-
Вольский (1862—1919). К достоинствам таких систем помимо
уже отмеченных относятся простота, надежность и высокий
КПД трехфазных электродвигателей.
Глава 7.
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ
7.1,	Амплитудно-частотные и фазо-частотные
характеристики электрических цепей
Приведенные выше примеры анализа гармонических ко-
лебаний показывают, что амплитуды и начальные фазы гар-
монических напряжений и токов в цепи зависят не только от
амплитуды и начальной фазы гармонического воздействия,
подведенного к цепи, но и от частоты колебаний. Иными
словами, изменение частоты источника гармонических коле-
баний приводит в общем случае к изменению амплитуд и раз-
ности фаз гармонических колебаний во всех ветвях цепи.
Исключением являются резистивные электрические цепи, по-
скольку в них соотношения между амплитудами напряжения
и тока в любой ветви цепи не изменяются с изменением часто-
ты.
Частотные зависимости гармонических колебаний в элект-
рических цепях обусловлены частотной зависимостью соот-
ношений между амплитудами напряжений и токов в реактив-
ных элементах L и С цепи — индуктивностях и емкостях —
и отличающимися соотношениями между фазами колебаний в
пассивных элементах R, L и С цепи.
Обычно цепь содержит лишь один независимый источник,
являющийся причиной возникновения в цепи гармонических
колебаний. В этих случаях амплитуды и начальные фазы гар-
монических колебаний в ветвях цепи целесообразно сопостав-
лять с амплитудой и начальной фазой напряжения или тока
независимого источника гармонических колебаний.
148
Частотная зависимость отношения амплитуды (действую-
щего значения) гармонической реакции в некоторой ветви це-
пи к амплитуде (действующему значению) гармонического
воздействия получила название амплитудно-частотной харак-
теристики (АЧХ) цепи, определенной относительно указан-
ной ветви цепи. Частотная же зависимость разности фаз гар-
монической реакции в некоторой ветви цепи и гармоническо-
го воздействия называется фазо-частотной характеристикой
цепи (ФХЧ), определенной относительно указанной ветви це-
пи.
Амплитудно-частотная характеристика цепи может пред-
ставлять собой частотную зависимость некоторой или безраз-
мерной величины в случае, когда сопоставляются колебания
одинаковой физической природы (напряжение с напряжением
или ток с током), или величины, имеющей размерность сопро-
тивления или проводимости. Фазо-частотная же характерис-
тика цепи всегда представляет собой частотную зависимость
безразмерной величины, потому что этой величиной является
разность фаз двух гармонических колебаний безотносительно
к их физической природе. Частотные характеристики элект-
рических цепей не зависят, естественно, от значений амплитуд
и начальных фаз приложенных к цепи воздействий, а опреде-
ляются данными собственно цепи: числом, характером, зна-
чениями, порядком соединения друг с другом ее элементов.
Иными словами, частотные характеристики электрической
цепи описывают собственно цепь.
Для специалистов в области проектирования и эксплуа-
тации систем электрической связи, радиовещания и телеви-
дения понятие о частотных характеристиках электрических
цепей относится к числу фундаментальных профессиональных
понятий. Именно частотные характеристики перечисленных
систем передачи информации и их компонентов регламентиру-
ются международными соглашениями и национальными нор-
мами, выдерживаются в процессе проектирования и поддер-
живаются при их эксплуатации.
Указанные требования к частотным характеристикам обус-
ловлены, во-первых, тем, что энергия сигналов распределена
в пределах того или иного частотного диапазона, разного для
сигналов различных сообщений (телеграфных, телефонных,
фототелеграфных, радиовещательных, телевизионных и др.).
Так, для передачи телефонных сигналов по международным
нормам отводится полоса частот 300 ...3400 Гц, что обеспечи-
вает высокую разборчивость и удовлетворительную натураль-
ность речи. При этом наибольшая плотность энергии телефон-
ных сигналов приходится на область нижних частот указанной
полосы. Сигналы высококачественных систем звукозаписи и
149
звуковоспроизведения занимают полосу частот, охватывающую
весь частотный диапазон слухового анализатора человека
(20 ...20 000 Гц). Для передачи сигналов телевидения отводит-
ся полоса частот 0 ...6,5 МГц. В широких пределах может из-
меняться полоса частот, отводимая для сигналов обмена ин-
формацией между вычислительными центрами.
Кроме того, во-вторых, в современных системах связи по
линии связи (проводной, радиорелейной, спутниковой, во-
локонно-оптической и др.) передаются сигналы многих сооб-
щений, для чего в некоторых системах используется полоса
частот шириной в несколько десятков мегагерц. При этом в
одних (аналоговых) системах связи для каждого из сообщений
отводится соответствующая полоса частот, а в других (цифро-
вых) многоканальных системах связи передача сигналов без
взаимных помех между сообщениями возможна лишь при оп-
ределенных частотных характеристиках системы передачи
сигналов.
Эффективные методы анализа частотных характеристик
электрических цепей основываются на применении символи-
ческого метода анализа гармонических колебаний. Их изло-
жению и иллюстрации на примерах простейших цепей и по-
священа настоящая глава.
7.2.	Комплексные передаточные функции
электрических цепей
Применение символического метода анализа гармоничес-
ких колебаний в электрических цепях позволяет представить
амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики
одной функцией, которая представляет собой отношение комп-
лексной амплитуды реакции к комплексной амплитуде воз-
действия. Действительно, если комплексные амплитуды реак-
ции (Uml или /т2) и воздействия (0т1 или 1Щ1) записать в по-
казательной форме и составить их сооношения;
У”»»	_	ит2	А»	(Ф{2-Фп).
t/ml Umi	I ml
^mi	__	Д»2	An2	—	Z™2
Iml	!ml	Umi	Uml
то частотные зависимости их модулей и аргументов будут со-
ответствующими амплитудно-частотными и фазо-частотными
характеристиками цепи. Условимся отношение комплексной
амплитуды реакции электрической цепи к комплексной амп-
литуде воздействия называть комплексной передаточной фуни-
150
цией и обозначать ее Н (/со). Если комплексную передаточную
Функцию представить в показательной форме записи и обо-
значить ее модуль \Н (/ф)|, а аргумент 0 (со), т. е. записать ее
в виде
Я(/со) = [Я(/'со)|е/0<“>,	(7.1)
то модуль \Н (/со)| и аргумент 0 (со) комплексной передаточной
функции Н (j(a) определяют соответственно амплитудно-час-
тотную и фазо-частотную характеристики цепи.
Далее по определению комплексная амплитуда реакции,
например тока, и комплексная амплитуда воздействия, на-
пример напряжения, связаны зависимостью 1т2 — Н
Следовательно, комплексная амплитуда реакции равна про-
изведению комплексной передаточной функции на комплекс-
ную амплитуду воздействия, т. е.
Комплексная Комплексная Комплексная
амплитуда = передаточная X амплитуда •	(7.2а)
реакции функция	воздействия
Если учесть, что/т2=/т2е/'1’" и	то из срав-
нения модулей и аргументов обеих частей равенства—
= \Н	следует, что:
амплитуда реакции равна произведению значений ампли-
тудно-частотной характеристики \Н (/со) ( цепи и амплитуды
воздействия, т. е.
Амплитуда _ Амплитудно-частотная Амплитуда	zy
реакции ~ характеристика цепи х воздействия;	\	f
начальная фаза реакции равна сумме значений фазо-час-
тотиой характеристики цепи и начальной фазы воздействия,
т. е.
Начальная фаза
реакции
Фазо-частотная . Начальная фаза
характеристика цепи ' воздействия.
(7.2в)
Естественно, что в соотношениях (7.2) значения И (/<в),
|Я (/со)| и 0 (со) должны вычисляться при частоте приложенно-
го воздействия.
В последующем при определении комплексных передаточ-
ных функций отношения комплексных амплитуд колебаний
будем заменять отношением их комплексных действующих
значений колебаний. Это не скажется на значении И но
позволит упростить обозначения.
Цепь, частотные характеристики которой описываются
Функциями (7.2), является по существу четырехполюсником.
К его входным зажимам подводится гармоническое воздейст-
151
вие, а гармоническая реакция соответствует напряжению или
току на выходных зажимах. Могут представлять интерес час-
тотные характеристики реакции на той паре зажимов, к кото-
рым подводится воздействие. В этом случае цепь представля-
ет собой двухполюсник, а комплексная передаточная функ-
ци переходит в одну из входных функций Z (/со) или У (/со).
При графическом изображении частотных характеристик
той или иной электрической цепи обычно строят отдельные
графики ее амплитудно-частотной и фазо-частотной характе-
ристик. Часто амплитудно-частотную и фазо-частотную ха-
рактеристики цепи представляют одним графиком. Подобная
возможность основана на том, что каждому значению частоты
соответствует определенное значение Н (/со) в виде некоторого
комплексного числа. На комплексной плоскости этому комп-
лексному числу соответствует определенная точка плоскости,
или, что то же, вектор, соединяющий начало координат пло-
скости с указанной точкой плоскости (рис. 7.1). С изменением
со конец указанного вектора описывает на комплексной пло-
скости некоторую кривую. Ее называют годографом комплекс-
ной передаточной функции И или просто годографом
Н (/со). Годограф — это графическое представление Н (/со)
на комплексной плоскости, поэтому его часто называют годо-
графом амплнтудно-фазовой характеристики цепи. Строят
годограф обычно для изменения частоты от со = 0 До со -> оо.
По годографу Н (/со) можно одновременно судить об амп-
литудно-частотной и фазо-частотной характеристиках цепи.
Действительно, каждой точке годографа соответствуют опре-
деленное значение частоты, определенная длина вектора, сое-
диняющего начало координат с этой точкой, и определенный
угол 0 (со). Длина вектора пропорциональна значению ам-
плитудно-частотной характеристики цепи при указанной
частоте, а угол равен значению фазо-частотной характери-
стики цепи при той же частоте.
152
7.3.	Частотные характеристики параллельного
/?С-контура
На рис. 7.2 приведена схема цепи, содержащая источник
тока и параллельный RC-контур. Чаще всего представляют
практический интерес частотные зависимости амплитуд и на-
чальных фаз напряжения на зажимах контура относительно
амплитуды и начальной фазы задающего тока источника. Со-
ответствующая комплексная передаточная функция будет
представлять собой отношение комплексного напряжения на
зажимах контура U к комплексному току источника:
гг ,. . й	ZI	R	.
Я (/М) = — = —_ =	• •	(7.3а)
у у	1+усоС/?
Эта передаточная функция совпадает с комплексным со-
противлением контура, поскольку реакция ((/) определяется
ча той же паре зажимов, к которой подведено воздействие (/).
Функции (7.3а) соответствуют амплитудно-частотная и
фазо-частотная характеристики:
I/7 (/<>)	;	(7.36)
У1-Н®СЯ)2
9	(<о) = arg И ±= —arctg aCR.	(7.Зв)
Из этих соотношений следует, что амплитудно-частотная
характеристика монотонно убывает с ростом частоты и при
безграничном ее возрастании стремится к нулю. С ростом час-
тоты монотонно убывает и фазо-частотная характеристика це-
пи, изменяясь от 0 при а = 0 до —л/2 при со —> оо.
В области весьма низких частот, где модуль сопротивления
емкости 1/ыС значительно больше сопротивления R, г. е. где
u>CR 1, амплитуда тока в емкости может стать пренебрежи-
мо малой по сравнению с амплитудой тока в резистивном со-
противлении 7? и влиянием емкости на характеристики конту-
ра можно пренебречь. Поэтому в рассматриваемой области-
частот фаза колебаний напряжения на зажимах контура прак-
тически совпадает с фазой колебаний тока источника, а амп-
литуды колебаний связаны соотношением U т w R1 ,п.
В области достаточно высоких частот, когда aCR 1,
амплитудно-частотная характеристика убывает обратно про-
порционально частоте, а колебания напряжения на зажимах
контура отстают по фазе от колебаний тока источника на угол,
близкий к л/2. Это объясняется тем, что при высоких частотах
поведение контура определяется его емкостным элементом,
модуль сопротивления которого убывает обратно пропорцио-
153
нально частоте и может стать как угодно малым. При А?
1/соС влиянием резистивного сопротивления на характе-
ристики контура можно пренебречь. Оно, как говорят, шун-
тируется емкостью С*.
Амплитудно-частотная и ^)азо-частотная характеристики
контура в зависимости от частотной переменной u>CR приве-
дены на рис. 7.3. Частоту со = 1/CR, при которой амплитуд-
но-частотная характеристика /?С-контура принимает значение
в V2 раз меньше максимального, иногда называют граничной
частотой /?С-контура. При этой частоте фазо-частотная ха-
рактеристика jRC-коптура равна — л/4.
Годограф рассматриваемой передаточной функции (ампли-
тудно-фазовой характеристики) /?С-контура приведен на
рис. 7.4. Он представляет собой полуокружность радиуса
0r5R с центром в точке г координатами 0,5 R + /0. Частоте
<о = 0 соответствует точка с координатами R + /0, частоте
<о = 1/CR — точка с координатами 0,5 R — /0,5 R, а беско-
нечно высокой частоте — начало координат
Под редакцией в рассматриваемом параллельном ЯС-кон-
туре можно понимать также ток в любой из ветвей контура.
Комплексная передаточная функция относительно тока в ре-
зистивном сопротивлении контура
/„	1	-/ arctg o>CR
Н (ко) = -А =-----'--= А ...... -...
/	l+/wC/?	Vl + poCtf)2
отличается от рассмотренной выше отсутствием масштабного-
множителя R и является безразмерной функцией частоты со.
Соответствующая ей амплитудно-частотная характеристика
изменяется пропорционально рассмотренной выше от 1 при
* Шунтом принято называть одну из двух параллельно соединен-
ных ветвей, которая исключается для уменьшения тока в другой ветви.
154
ш = 0 до 0 при со —> оо. Фазо-частотная характеристика
аналогична рассмотренной выше.
Если реакция — ток в емкости контура, то Н —
= j&CR/ (1 + id)CR'j, чему соответствуют следующие вы-
ражения для амплитудно-частотной и фазо-частотной харак-
теристик:
IнО)I = -V- = —а— -; е(ш) = — -arctg®ся.
1 Vl + (toC7?)2	2
Здесь переменная j&CR заменена переменной 1//соС/?.
7.4.	Частотные характеристики резистивного
каскада широкополосного усилителя
Рассмотренный в § 7.3 параллельный 7?С-контур определяет до-
стижимую верхнюю границу рабочей полосы частот многих устройств
техники связи. Примером может служить резистивный каскад широко-
полосного усилителя1. Его простейшая схема замещения, в которой
усилительный прибор (электронная лампа или транзистор) заменен
ИТУН, приведена на рис. 7.5. В каскад помимо ИТУН входят рези-
стивное сопротивление нагрузки каскада R и неизбежно емкость С
паразитного характера. Последняя является суммой паразитной ем-
кости усилительного прибора каскада, емкости монтажа и входной ем-
кости нагрузки, обычно входной емкости последующего каскада.
При показанных на рисунке положительных направлениях напря-
жения и тока в каскаде U2 — —ZgUi и
gR gRe,a
п (;w) =---= —----------=-----------.
i/1 \+jaCR \+jaCR
Амплитудно-частотная характеристика каскада
U2	gR
| H (/co) I = —2- = —.	=-	(7.4a)
Ui	Vl+(a>CR)2
1 Каскад — один из нескольких включенных друг за другом (кас-
кадно) простейших усилителей, совокупность которых образует усили-
тель в целом.
155
7.6
характеризует, очевидно, частот-
ную зависимость коэффициента
усиления каскада	а фа-
зо-частотная характеристика
0 (со) = л — arctg a>CR (7.46)
— изменение фаз частотных со-
ставляющих сигнала при его про-
хождении через каскад.
Наличие емкости С в меж-
каскадной цепи приводит к спаду
(«завалу») частотной хара-ктери-
стики усиления каскада в об-
ласти высоких частот. Если
считать, что в рабочей полосе частот каскада допустим спад
характеристики усиления в ~]/2 раз относительно ее наибольше-
го значения gR, то верхняя граница рабочей полосы частот каскада
<ав = 1/CR. Ее можно повысить, уменьшая сопротивление нагрузки
R и (или) емкость С. Но возможности снижения сопротивления R на-
грузки ограничены, поскольку при этом пропорционально уменьшается
усиление каскада в его рабочей полосе частот. На рис. 7.6 приведены
частотные зависимости коэффициентов усиления | Н (ja>) | =
каскада для различных сопротивлений нагрузки каскада R и одних и
тех же значений g и С. Они наглядно иллюстрируют связь между уси-
лением и рабочей полосой каскада, которая оценивается по допусти-
мому спаду его характеристики усиления относительно ее максималь-
ного значения.
Ограничены н возможности уменьшения емкости С, поскольку она
не может быть меньше, чем нормируемые паразитные емкости исполь-
зуемых усилительных приборов. Только непрерывное совершенство-
вание последних и, в частности, уменьшение их паразитных емкостей
позволяют расширять диапазон частот, используемый техникой связи
(см. §7.8).
7.5.	Частотные характеристики колебательных
контуров
Многие устройства, предназначенные для формирования и
Обработки сигналов, содержат колебательные контуры или
их электронные аналоги. Канонические схемы параллельного
И последовательного колебательных контуров приведены на
рис. 7.7. Ниже рассматриваются их частотные характерис-
тики и вводится ряд понятий, которые используются в спе-
циальной литературе для описания свойств колебательных
контуров.
Параллельный колебательный контур. Из ряда возможных
частотных характеристик параллельного колебательного кон-
тура чаще всего интересуются частотными зависимостями амп-
литуды и начальной фазы напряжения на зажимах контура
относительно амплитуды и начальной фазы тока в его обшей
156
цепи (см. § 7.6). Им соответствует комплексная передаточная
функция
Я(/«) = -у = -у- е7
Она совпадает с комплексным сопротивлением контура:
Н (/«) =
1
У (/со)
G /фС -f~----
/фъ
(7.5)
(?+/ ( фС—---
\ &L
При со -> О, когда все слагаемые знаменателя Н (ja>) по мо-
дулю пренебрежимо малы по сравнению со слагаемым 1/со£,
. л
1 —
2
Н (/со) « /coL =<о£е
Следовательно, при со -> О характеристики контура опре-
деляются его индуктивностью, причем \Н (/со) I -> 0 и 0 (со) ->
-> л/2. При со -> оо из того же выражения следует
Я(/со)«
1
/соС
1
а>С
е
Здесь контур ведет себя подобно элементу емкости, которая
шунтирует другие элементы контура в области достаточно вы-
соких частот.
Амплитудно-частотная характеристика контура
IН (/со) | = —. 1	=	(7.6)
1/ G»+(coC—у-У
г \	<о£ /
имеет один максимум при частоте, которая обращает в нуль
слагаемое соС — 1/со£ последнего выражения, т. е. при час-
157
тоте а, соответствующей
1
«0= —— •
1/Zc
Фазо-частотная характеристика контура
1
шС———
0 (и) = —arctg--------
(7.7)
(7.8)
монотонно убывает от я/2 при <в -> 0 до —я/2 при ® оо и
проходит через нуль при частоте соо-
Амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики
контура для некоторой совокупности значений параметров
контура приведены на рис. 7.8. Годограф Н (ju) (рис. 7.9)
представляет собой окружность с центром в точке 0,5/G + /0
и радиусом 0,5/G. Это следует из представления Н (/а) в виде
И (/«) = —5— := — + JL .G~(£ = — 4—L е/20(о>)
G-|-/B 2G 2G G + /B 2G 20
где второе слагаемое — вектор с модулем 0,5/G, а его аргу-
мент изменяется с изменением частоты от fl = л при со -> 0
до —л при со -> оо.
В области частот, близлежащих к частоте соо, в контуре
имеет место явление резонанса. Частота ы0 является резонанс-
ной частотой параллельного контура, а рассматриваемые
частотные характеристики часто называют резонансными ха-
рактеристиками контура. При резонансной частоте комплекс-
ные проводимости реактивных элементов контура равны по
модулю и обратны по знаку. Следовательно, при этой частоте
сопротивление контура Z (/&>0) — 1/G чисто вещественно (ак-
тивно). Его называют резонансным сопротивлением контура.
Токи в реактивных элементах контура при частоте резо-
158
нанса равны по модулю и отличаются знаками, а их сумма рав-
на нулю. Именно потому, что эти токи компенсируют друг
друга, входное сопротивление контура при частоте резонанса
чисто вещественно (активно), а резонанс в параллельном ко-
лебательном контуре часто называют резонансом токов, в от-
личие от резонанса напряжений в последовательном колеба-
тельном контуре (см. § 5.6). Отношение амплитуд токов в ре-
активных элементах контура и тока источника (тока в общей
цепи) характеризует добротность контура
п— 1с = —	— 0)0 с
/	I	G
<0 = <0о	<0 = о0
1
о>о LG
Ее значения, как и у последовательных LC-колебательных
контуров, могут доходить до нескольких сотен единиц.
Поскольку
G -Ь /' (
--l *—.\ = G +/иос(—
шС ]	\ Шо
резонансные частотные характеристики контура можно запи-
сать в виде:
Н —------------------2-
Г / (й
б 1 + jQ I ~
L \ и>о
//(/(0)1 =
1
G(l+/Qv)
1
G Vi+Q2v3
(7.9)
9 (е>) = —arctg q[ —----—— — arctg Qv,
\ G>o 0) /
Ct>0 CO
На рис. 7.10 изображено семейство резонансных амплитуд-
но-частотных характеристик контуров с одной и той же резо-
нансной частотой и различными значениями их добротностей
(резонансных сопротивлений). Они показывают, что резонанс-
ные явления в контуре выражены тем ярче, чем выше доброт-
ность контура, т. е. чем меньше активная проводимость кон-
тура.
У контура без потерь, т. е. у реактивного параллельного
колебательного контура, Н (/со) = Z (/со) =	» вход-
159
ное сопротивление чисто мннмо (реактивно), имеет индуктив-
ный характер при ю < соо и емкостный при со > соо, а при
частоте со = соо претерпевает разрыв непрерывности. График
функции Z (/со)//, характеризующей сопротивление параллель-
ного колебательного контура без потерь, приведен на рис. 7.11.
Отличительной особенностью резонансных характеристик
контура является их особая симметрия относительно резо-
нансной частоты, а именно: амплитудно-частотная характе-
ристика при частотах ы и соо/со принимает одинаковые значе-
ния, а фазо-частотная характеристика — значения, отличаю-
щиеся лишь знаком. Иными словами, при частоте, в k раз
меньшей и в k раз большей резонансной частоты соо, значения
резонансной амплитудно-частотной характеристики контура
одинаковы, а фазо-часготной—равны по абсолютной вели-
чине и отличаются знаками. Соответствующая иллюстрация
для частного случая k — 2 приведена на рис. 7.8. Действи-
тельно, при со = &соо v = (k — 1^)со, а при со = a0/k v —
— —{k — 1/&)со, что не сказывается на амплитудно-частот-
ной характеристике и лишь изменяет знак фазо-частотной ха-
рактеристики контура.
Наряду с резонансными частотными характеристиками
колебательного контура в некоторых случаях представляют
интерес частотные зависимости тока в индуктивности конту-
ра. Они определяются комплексной передаточной функцией
Д(/со) = А
1
j(>>L [G -|- / (ыС— ——
L \ cob
. / л ,	. к>С— t/e>L\
— !------f-arctg------!----1
\ 2	a )
__ e_______________________________
~	LC)3 + (co£G)3
160
(7.Ю)
Соответствующая амплитудно-частотная характеристика
равна 1 при и = 0 и может иметь один максимум при частоте
ш = w0Vl — 1/2Q\ если Q > 1/V2 В этом можно убедить-
ся исследовав на экстремум выражение под знаком корня в
(7 ’10). При со -> оо она убывает, в отличие от резонансной ха-
рактеристики, обратно пропорционально не первой, а второй
степени частоты, т. е. имеет при w = оо нуль второй кратно-
сти. Соответствующая фазо-частотная характеристика смеще-
на на угол —л/2 относительно резонансной и, следовательно,
изменяется от 0 при <о-> 0 до —л при со -> оо.
Последовательный колебательный контур. Сравнение
(5.18) с (7.6) и (7.8) показывает, что амплитудно-частотная ха-
рактеристика HU последовательного колебательного конту-
ра и резонансная характеристика UU параллельного колеба-
тельного контура отличаются лишь обозначениями коэффи-
циентов тех функций, которые эти характеристики определя-
ют. Аналогичное соответствие существует и между фазо-час-
тотными характеристиками параллельного и последователь-
ного контуров. Причиной является дуальность параллельного
и последовательного колебательных контуров. Действитель-
но (см. рис. 7.7), уравнения, характеризующие колебания в
последовательном
tit
L-----[-Ri + uc — u и i = С----
dt	dt
, и параллельном
п du . „ , .	.	r
С-----+ Gu-yiL = i и u~L-----
dt	dt
колебательных контурах, дуальны, поскольку токи и напря-
жения в одном из контуров описываются теми же, если от-
влечься от физической природы их переменных и коэффици-
ентов, уравнениями, что и напряжения и токи в другом кон-
туре. Дуальность контуров позволяет частотные характерис-
тики одного из контуров распространить на дуальные харак-
теристики другого контура, поэтому, в частности, резонансным
характеристикам параллельного контура соответствуют ре-
зонансные характеристики Н (/со) = ill) последовательного
колебательного контура
Частотные зависимости отношения амплитуд UcHJ и раз-
ности фаз фс — фц гармонических колебаний в последова-
тельном колебательном контуре могут быть найдены, если
воспользоваться дуальными зависимостями IJI и фь—фг
в дуальной электрической цепи, т. е. в параллельном колеба-
тельном контуре. Но последние выражаются формулами
6 Зак. 1045	161
{7.10). Переходя в них к дуальным величинам, находим для
последовательного колебательного контура
Ur
И (>) = —— ~	г /	1
U /соС /? + /|со£ — ——-
L \ сои
е/в
V(l— <о2£С)2 + (<оСЯ)2
где
0 = 0 (<о) = —(у + arctg
(7.11)
Аналогично, используя принцип дуальности, можно найти
и другие частотные характеристики последовательного коле-
бательного контура.
Электронные аналоги колебательных контуров. Частот-
ными характеристиками, свойственными колебательным кон-
турам, обладают многие активные 7?С-цепи, которые могут
рассматриваться как электронные аналоги колебательных кон-
туров. Схема одной из них приведена на рис. 6.11. Переда-
точная функция этой четырехполюсной активной 7?С-цепи
(см. § 6.6)
Я(>) = Л- =
= _	- . (7.12)
R	I Ro Ri\
— ф2 Ci С2 7?0 Z?g -f- /(oCg I Z?o -|- Rt -|- ~	j-|- 1
\	Ri 1
Она отличается от передаточной функции (7.11) последова-
тельного колебательного контура лишь постоянным вещест-
венным множителем —Ro/R, если	= LC и
С2 (Яо + Т?2 + R0RM = CR.
На рис. 7.12 приведена схема другой активной /?С-цепи
с передаточной функцией вида (7.5)
У
_______________________/фС2 Rj k_____________________
/	С, 4- С»	\
ф2 Cg /?2-1-/ф г С2	” R} Ri — kCi 7?! +
\	Rs	/
Ri
162
где k — коэффициент усиления усилителя типа ИНУН, име-
ющегося в цепи (k = «вых/«вх, k > 0). Эту передаточную
функцию проще найти, составив и решив для цепи систему
узловых уравнений.
Существуют иные электронные аналоги в виде активных
/?С-цепей как для рассмотренных, так и для других разно-
видностей передаточных функций колебательных контуров.
Они приводятся в справочниках по синтезу электрических
цепей. Важно, что активные PC-цепи не содержат индуктив-
ностей. Это позволяет в области низких частот снизить габа-
риты цепи, реализовать более высокие значения параметра
Q и, главное, в массовых изделиях использовать все достиже-
ния микроэлектронной технологии.
Следует обратить внимание на то, что в электронных ана-
логах колебательных контуров параметр Q теряет физическое
содержание и должен рассматриваться как удобный безраз-
мерный параметр, характеризующий особенности частотных
зависимостей передаточных функций, в знаменатель которых
входит полином второй степени от переменной /<». Точно так
же понятия резонанса напряжений и резонанса токов приме-
нимы лишь к соответствующим колебательным контурам, но
не к их электронным аналогам.
7.6.	Применение параллельных колебательных
контуров для селекции колебаний по частоте
В технике радиоприемных и радиопередающих устройств
Для частотно-избирательного усиления сигналов сравнитель-
но широко используются резонансные усилители. Резонанс-
ный усилитель содержит обычно несколько каскадов, в каж-
дый из которых входят транзистор или электронная лампа и
параллельный колебательный контур. Простейшая схема за-
мещения каскада, в которой транзистор (электронная лампа)
заменен зависимым источником типа ЙТУН (см. § 7.8), по-
казана на рис. 7.13. Емкость контура С в общем случае со-
держит помимо емкости конденсатора контура также пара-
зитные емкости усилительного прибора и монтажа. Проводи-
мость G контура является суммой проводимостей собственно
контура (его катушки индуктивности), проводимости нагруз-
ки и, возможно, выходной проводимости транзистора (элек-
тронной лампы).
Частотные характеристики каскада оцениваются по его
комплексной передаточной функции
н7С №)	=
и,
где g — крутизна усилительного прибора, а — комплекс-
ное управляющее напряжение, т. е. напряжение ца входе
каскада. Использовав полученное ранее выражение (7.9) для
комплексной передаточной функции параллельного колеба-
тельного контура, найдем
tfvc (/<>)*=----------§--------------------S-----• (7.14>
“° VI GU + /QV)
[	\ 0)0 со /J
Следовательно, амплитудно-частотная характеристика кас-
када
т. е. частотная зависимость его коэффициента усиления с точ-
ностью до вещественного постоянного множителя g пропор-
циональна резонансной амплитудно-частотной характеристи-
ке параллельного колебательного контура \Z (/<о)|. Но тогда
частотные составляющие сигнала, подведенного ко входу ка-
скада, частоты которых близки к резонансной частоте конту-
ра, проходят через каскад с максимальным усилением; дру-
гие же частотные составляющие тем меньше усиливаются
каскадом, чем дальше по частоте они отстоят от резонансной
частоты контура. Именно резко выраженная неравномер-
ность амплитудно-частотной характеристики каскада и позво-
ляет использовать его для селективного (избирательного) уси-
ления выделяемого сигнала и одновременно подавления сигна-
лов, рабочие частоты которых удалены от резонансной частоты
контура. При этом резонансные частоты колебательных кон-
туров отдельных каскадов пли совпадают между собой, или
несколько отличаются друг от друга. Эго позволяет получить
164
усилитель с более совершен-
ными частотными характери-
стиками.
Максимальное (резонанс-
ное) усиление каскада
I ^ус । иг J G
со = со0
(7.16)
В технике радиосвязи при-
нято полосу частот со-^со^
< <о1( в пределах которой значения резонансной амплитуд-
но-частотной характеристики колебательного контура (каска-
да резонансного усилителя) составляют не менее чем 1/1/2 яз
fti 0,707 ее максимального значения, называть полосой пропус-
кания контура (каскада). Это определение иллюстрируется
рис. 7.14.
На границах полосы пропускания контура (каскада) в
формулах (7.9) Qv = ±1, поскольку тогда
. я
Т/-----
4
Hvc (/со) =--------!------- е
ус 7	0(1 ± /) О 1/2
и резонансная характеристика принимает значения, равные
1/V2 максимального. Заметим, что при со = <о_х и со = сох
значения фазо-частотной характеристики контура соответст-
венно равны -г л/4 и —л/4.
Верхняя граничная частота полосы пропускания <ох на-
ходится из уравнения
Qv | = q(-^
СО — Ci)i	\ СОо
(Оо
<01
Нижняя же граничная частота полосы пропускания в си-
лу геометрической симметрии характеристики колебательно-
го контура, находится при частоте со_х = со§/®х, поэтому, за-
меняя в последнем выражении на со_х/со0, имеем
Q^lZ±ci= 1.
ЙО
(к СледовательН0, шнРина полосы пропускания контура
=	(7.17)
V \	к 1
165
прямо пропорциональна резонансной частоте контура и об-
ратно пропорциональна его добротности. Так, при Q = 100
Ширина полосы пропускания составляет	= 100 Гц,
если [0 = 10 кГц, и 100 кГц, если /0 — 10 МГц. При той же
резонансной частоте f0 = 10 МГц, но при Q — 50 ширина
полосы fj —	= 200 кГц.
Соотношение (7.17) используется также для эксперимен-
тального определения добротности контура по результатам
измерений его резонансной частоты [0 и ширины полосы про-
пускания Д ---[-!•
Вблизи от резонансной частоты контура частотные ха-
рактеристики каскада целесообразно вычислять, применяя
приближенное выражение для частотной переменной
_____юо .
а>0 to
Обозначим через Дсо — со — <оо отклонение {расстройку)
частоты со колебаний в контуре от его резонансной частоты <о0.
Тогда
(00 +А(о «о , . Ato	1
v --------------—........	— 1 -f- ——. —---------- .
coo	<±>o —f—Aco	coq	Дсо
1 +
C00
Разлагая последнее слагаемое в ряд
too
1
находим
. о А® / А<о V ,
v = 2-------1 — I 4-...
Wo \ too }
Для малых расстроек частоты, когда |Дсо| <£ <в0, можно
пренебречь всеми членами ряда, кроме первого, и с относи-
тельной погрешностью, не превышающей в силу знакопереиен-
ности’ряда величины б — Дсо/2о>о, полагать
too
too ~ 2Аи
(0 (Оо
(7.18)
Частотная переменная Д<о/<оо характеризует относитель-
ную расстройку1.
1 В специальной литературе используется иногда понятие обоб-
щенной расстройки Qy « Q2Aw/coo.
166
Замена в окрестности частоты резонанса переменной v на
переменную 2До)/ио приводит к следующим приближенным
формулам для резонансных характеристик колебательного
контура
Ж/®)
|Ж/®)1
Oto) « — arctg Q	
'	со о
(7.19)
2Дй>
+ iQ
<Оо
Следует обратить внимание на то, что если относительная
погрешность б = Д<о/2<оо приближенного представления пере-
менной v меньше той, которая возникает при ее вычислении
с ограниченным числом знаков по исходной формуле, то ре-
зультаты вычисления характеристик каскада по приближен-
ным формулам (7.19) оказываются точнее, чем по исходной
формуле (7.14).
Приближенный переход от ® к переменной Д® = ® — ®0
используется в задачах анализа многих цепей с острорезо-
нансными характеристиками, а не только резонансных уси-
лителей. Соответствующий метод получил название метода
узкополосного приближения. Его применение позволяет вести
вычисления частотных характеристик цепей в окрестности их
резонансных частот с меньшим числом значащих цифр, чем
по исходным формулам при той же точности результатов рас-
чета. В ряде случаев, например при анализе цепей с кварце-
выми резонаторами, это ведет к существенной экономии машин-
ного времени.
Рассмотренные частотные характеристики резонансных
усилителей остаются приближенно верными и для иных схем
замещения колебательных контуров, по крайней мере, в ок-
рестности их резонансных частот. Найдем прежде всего при-
ближенное выражение цля частотных характеристик колеба-
тельного контура со схемой замещения, показанной на
Рис. 7.15, а. Она отличается от схемы замещения параллель-
ного колебательного контура тем, что в ней потери в катушке
индуктивности реального контура учитываются сопротивле-
€м* включенным последовательно с индуктивностью. Эта
ема замещения более точно отражает частотные зависимости
Р альной катушки индуктивности в области нижних частот
ее рабочего диапазона (см. § 1.5). Для рассматриваемого кон-
тура
Я (/<>) =
_________Z? + j<£>L_____
/<оС (R + ju>L.
\	/»С.
В области частот, в которой R, т. е. там, где реактив-
ная составляющая сопротивления катушки индуктивности
намного превышает по величине активную составляющую ее
сопротивления, можно пренебречь слагаемым R в числителе
последнего выражения. Тогда
. U	1
Н (/©) = —да —--------—
7 Т К+М+тт
L \	/соС
1
С/?	„	1
—— + /<оС+	-
L	j(i)L
Погрешность, обусловленная заменой R + ju>L на ja>L,
может быть оценена с помощью соотношения
R-j-joL
ja>L
R
ja>L
arctg------
a>L
По его модулю легко найти относительную погрешность
амплитудно-частотной, а по аргументу — абсолютную по-
грешность фазо-частотной характеристик контура, вычислен-
ных по приближенной формуле. Полученная приближенная
формула не отличается от строгой формулы
, U	1
Н 0®) = — =--------------—
G -|- /<оС -f- - —
/соь
для комплексной передаточной функции параллельного коле-
бательного контура с теми же значениями индуктивности L
и емкости С и с активной проводимостью G = CRJL. Следова-
168
тельно, рассматриваемый колебательный контур приближен-
но эквивалентен параллельному колебательному контуру,
у которого:
1
©о С	а>ц1	соо
------------- , ©, ——
G R
Q '
©о = —R= ’	“
Vlc
, L
I Z (/®0) | = — •
*\
При этом если добротность контура достаточно высока, то
погрешность приближенной формулы будет весьма малой.
Так, для частот ю 0,5 ш0 при Q = 200 относительная по-
грешность амплитудно-частотной характеристики, вычислен-
ной по приближенной формуле, не превышает 0,005 и умень-
шается с ростом частоты.
Контур, схема которого показана на рис. 7.15, б, отлича-
ется от рассмотренного выше контура лишь тем, что его ак-
тивная проводимость больше на величину Go, и, следователь-
но, G « Go + CR/L. Таким образом, этот контур характе-
ризуется следующими эквивалентными параметрами:
1	. п ©о С
®п = -----, О ----------•
УГС бо + -^
®1—®-1 = ~72- и |Z(/©0)|
ч
j_____
с/?
L
Схема еще одного контура показана на рис 7.15, в. Бели
этот контур подсоединить к источнику
комплексных амплитуд напряжения на
задающего тока источника будет таким:
(Яь + Йо£) р?с+ —
W(/©) = ^-'----------' —'шС
l<i>L
Положим, что ыЬ > RL и >> Ra-
il (/©) « —------------!-------------=
тока, то
зажимах
отношение
контура и
Тогда
___________________1_______________
С (P'l + Rc)	.	1
“	~ -f-/coC-f- — —
L	](t>L
169
Погрешность подобного приближенного представления
легко оценивается тем же методом, что и выше. Сопоставле-
ние этой функции с аналогичной функцией для параллельно-
го колебательного контура позволяет установить, что у рас-
сматриваемого контура:
Ш()= —— ; Q = ^ =
Vlc °
-.М° L. ; (0,-0)^ = -^“- ;
RL+*c	Q
I Z I ---------------
Следует еще раз подчеркнуть, что приближенными форму-
лами следует пользоваться лишь в тех пределах изменения
переменной (частоты), в которых погрешность не превышает
допустимой. В противном случае необходимо применять стро-
гие соотношения, которые для колебательных контуров к то-
му же и относительно просты.
7.7. Применение связанных колебательных
контуров для селекции колебаний по частоте
В технике радиосвязи находят применение усилители со связан-
ными контурами. Каскад подобного усилителя содержит усилительный
прибор (транзистор или электронную лампу) и два, чаще всего одина-
ковых, колебательных контура, между которыми существует индуктив-
ная или емкостная связь. Схема каскада лампового усилителя с индук-
тивной связью между колебательными контурами с резонансными ча-
стотами «о = 17)/LC показана на рис. 7.16, а, а схема замещения кас-
када, в которой электронная лампа заменена ИТУН, — на рис. 7.16, б.
Напряжение сигнала, усиленное каскадом, снимается с емкости
второго контура н подводится ко входу следующего каскада или к на-
грузке усилителя, поэтому частотные характеристики каскада следует
оценивать передаточной функцией Н (ja>) = UJU^ Искомая передаточ-
170
ная фуйкция может быть найдена, например, из системы контурных
уравнении:
L + RН—:—Л + ^2—	 •
V	/и С /	/ос
/шМ/1 + (/<о£ + ^?+ Г~Т~) ^2=0,
которую можно составить по схеме замещения каскада. Поскольку
= jJjaC, передаточная функция
й2________gM
н№)-	- .аС2£) .
/	1 V
где D = I /«7. + R + —~ I — (/соЛ1)2—определитель системы урав-
\ /
нений. Если использовать обозначения
“	“о	..
v =----------и M = kL,
<Во	<о

то
Г „ [ <b/H VI Г „ / ftcol, \2
D=R2 (1+1W+ —- =«! (1+1W+ —
L	\ к / J L	\ a /
и
gM
jo C2 R2 jaC R2
Следовательно,
„.. . U2 gu>0L
Ul
kg cog L2  gcoo£
kQ.
jaCR
kQ________
juCR	I fecoL V
(>+lQv)2+(——
\ r\ /
Приближенные выражения для частотных характеристик связан-
ных контуров. Последующий анализ частотных характеристик будем
вести в узкополосном приближении, т. е. относительно переменной
Ди = и — со0 при Ди С и0. Тогда:
v ~ 2 Д со; и ~ и0;
Яуп ~ jCR (l+jQv)2+k2 Q2 ’
| Я (/ш) । = JL ... ...	.7=r
У ' " CR V(1+VQ2 — Q2v2)2 + 4Q2v2
. л _______________12 Qv_____
yn(w)- 2 arg I+A,2Q2_Q2vo 
Исследование амплитудно-частотной характеристики связанных
колебательных контуров. Установим прежде всего расположение экстре-
мумов функции (7.216), для чего приравняем нулю производную от ее
одкоренного выражения по переменной V. В результате получим
V (Q2V2 _f_ j _ fe2Q2^ = о,
kQ
(7.20)
(7.21a)
(7.216)
(7.21b)
корни которого:
v_„„-±V££=!_.
Если kQ < 1, то функция (7.216) имеет один экстремум при
V = 0, а два других ее экстремума расположены при мнимых значениях
переменной V. Но так как вещественным и положительным значениям
частоты со соответствует лишь вещественные значения переменной V,
то рассматриваемая амплитудно-частотная характеристика при kQ < 1
будет иметь только один экстремум, который может быть лишь макси-
мумом. График | Нуа (/со) | для случая kQ < 1, соответствующего так
называемой слабой связи между контурами, показан на рис. 7.17. Зна-
чение максимума характеристики находится из (7.216) после подстанов-
ки v = 0:
rL kQ
1 Нуп (/“\1о= 1 Нуа 1 = ~CR 1+k* Q2 •
С увеличением связи между контурами значение максимума харак-
теристики, как легко убедиться, увеличивается и при «критической»
связи, когда kQ = 1, составляет
л 7.
I ^уп (/Оо) I = „„„	•
*<2=1 2CR
При этом все три экстремума характеристики располагаются при
V — 0, т. е. при со = со0. Характеристика описывается функцией
gL	1
|Яуп(/о) I	-----(7.22)
А<2==1 2CZ? , / Q4V4
У' + ^т-
в которую преобразуется функция (7.216) при kQ — 1. Ее график так-
же приведен на рис. 7.17. Характеристика, соответствующая критиче-
ской связи, называется максимально-плоской.
При сильной связи, когда kQ > 1, экстремумы | /7уп (/со) | также
располагаются при вещественных, но уже различных значениях V,
а именно v_m, Ои vm. Обозначая частоты этих экстремумов через со_т,
со0 и сот и используя приближенное выражение для относительной рас-
стройки, имеем
со_т —соо	1A2Q« —1
— 2 —-------= ——г-----2-----, поэтому
С0о	Q
• /, Vfe2Q2 —1 \ .
----Joo.
СО—СОо
v0 =2---------=0, поэтому со | =С00;
Wo	va=0
шт—со0	ур Q4_ I
vm = 2--------—I----------, поэтому
оо	Q
„ _ Л . VW-1 'I
Ощ — Nt-------•
\ ZQ 1
172
Значения соответствующих экстремумов легко находятся, если в
(7.216) подставить v_m> 0 и Тогда при со = со_т и со =
I ^уп (fa—m) I — | ^уп (7®пг) I — “
а при со = со0
gL kQ
I Нуп (/Ш0) | = CR 1+j,2Q2 •
Следовательно, при частотах co_m и ыП1 будут расположены равные
по величине максимумы амплитудно-частотной характеристики, а
между ними при со = со0 будет находиться ее минимум (рис. 7.18).
Отношение максимального (при <о_т и <вт) и минимального (при со0)
значений характеристики
I ^уп (fom) I 1 + fe2 Q2
| ffyn ()co0) | 2kQ
зависит от значения kQ и с его ростом в определенных пределах увели-
чивается за счет глубины провала характеристики на частоте со0 (ми-
нимума характеристики).
Полоса пропускания связанных контуров. Как и для одиночных
колебательных контуров, полосой пропускания связанных контуров
в случае критической связи, когда kQ = 1 и амплитудно-частотная ха-
рактеристика является максимально-плоской, принято называть поло-
су, в пределах которой значения амплитудно-частотной характеристи-
ки контуров составляют не менее чем 1/Д/2 ее максимального значения.
Граничным частотам co-j и cOj полосы пропускания соответствуют такие
значения переменного V, при которых в выражении (7.22) (Q'MM) = 1.
Это уравнение имеет два вещественных корня: v_llt = ± T/2/Q. Сле-
довательно,
СО—t— соо	”|/2	(	1
v_1=2----------= —------ , поэтому СО-! = 1 —-----——
“о	<2	\ V2 Q
и
Vj = 2 t°1~~0)|) =
со0 Q
поэтому 0)! =
173
Ширина полосы пропускания составляет — <в_1 = Д/2
Ч
Она, как и для одиночных контуров, пропорциональна резонансной
частоте ш0 и обратно пропорциональна добротности Q.
При сильной связи (kQ > 1), когда амплитудно-частотная харак-
теристика становится двугорбой, целесообразно принять иное определе-
ние полосы пропускания, а именно: полосой пропускания связанных
контуров называется полоса частот, в пределах которой амплитудно-
частотная характеристика принимает значения, не меньшие, чем ее ми-
нимальное значение (при частоте <о0). На рис. 7.18 это полоса частот
Ю-! < <о < сог
Для нахождения граничных частот полосы пропускания и Mj
составим уравнение
gL____________kQ_____________gL kQ
CR Д/(1—£2Q2_Q2 V2)2_4Q2 V2 ~ CR Ik2 Q2 '
Его корни таковы:
v = 0 (корень второй кратности) и v_ia = ± Д/2
У
поэтому
v_i=s2.^rl_-.Mo = _у2 Xfe2Q2-L,
соо	Q
,	Vk2Q2-l	\
со_1 — 1-------—----- w0;
\	V2Q	)
„ ©i-coo „z_ Vk2Q2-\	(. , ДА2 Q2-l \
vt=2 ---------- Д/ 2---------, т. е. со, = I 1-|-—---- |<Во,
«о	Q	\ Д/2 Q /
и, следовательно,
,,	-i/П Д/й2!?2— 1
tot — to-! = V 2 —-2L--- too.
ч
Как и ранее, ширина полосы пропускания пропорциональна ре-
зонансной частоте <оо и при заданном значении kQ обратно пропорцио-
нальна добротности Q. Интересно, чго она в Д/2 раз больше интервала
<от — to_TO между частотами максимумов характеристики.
Сопоставление характеристик. На рис. 7.19 приведены амплитуд-
но-частотные характеристики связанных контуров при сильной (kQ > 1)
и критической (kQ = 1) связи, а также одиночного колебательного
контура с одинаковыми полосами пропускания и неравномерностями
характеристик. Сопоставление этих характеристик показывает, что за
пределами полосы пропускания амплитудно-частотные характеристи-
ки связанных контуров убывают значительно быстрее, чем у одиночного
контура. Тем самым обеспечивается более эффективное подавление тех
гармонических составляющих воздействия, частоты которых лежат вне
заданной полосы пропускания. Это объясняется тем, что связанные кон-
туры, имея большее число элементов, позволяют получить более со-
вершенные характеристики. Следует также отметить, что применение
сильной связи позволяет получить большую крутизну спада амплитуд-
но-частотной характеристики за пределами полосы пропускания, чем в
случае критической связи при одинаковых неравномерностях в их поло-
сах пропускания
174
Связанные контуры с емкостной связью. На рис. 7.20 приведена
схема лампового каскада усилителя с елскос/пяо-связаниыми колеба-
тельными контурами. Если электронную лампу заменить ИТУН, то
комплексная передаточная функция каскада находится из решения си-
стемы узловых уравнений
г	1
IG -ф /со (С-ф Сев) +
jaL
U^—jaC^ иг = —gU'-,
— ja> Ссв Ur -ф[с-ф/со (С-фСсв)~|- . , ] и2 — о
/соб J
и определяется по формуле
1>2
Ui
—i^cC3g
[с-ф/со (С-ф Сов) -j-; — ] —(/со Ссв)2
I	/wL J
Знаменатель Н (/со) можно преобразовать к виду
п гг ГГс । •	®	0)о \]2 । / со Сев \21
D = G2 1-ф/---------- со0 —---------+---------—Н,
(L	U \ со0 со /J \ О / )
где сов — \Г\/L (С -ф Сов) — резонансная частота параллельного ко-
лебательного контура, который образуется, если замкнуть накоротко
один из двух контуров системы. Добротность этого контура Q' =
~ ио (С + Ссв)/0.
В узкополосном приближении, когда со = сов-фДсо и Дсо сов,
GCB	(G-|- Ссв)б?св	Ссв
С ~ G
Если отношение Ссв
коэффициентом связи, то
связью в узкополосном
и .. , g
Uyn ()w) —
С-фССв С-фСев
(С -ф Сов) обозначить через k и назвать его
передаточная функция контуров с емкостной
приближении
kQ
/О (1+/W + ^Q2
отличается от аналогичной функции для контуров с индуктивной свя-
зью лишь постоянным множителем. Это позволяет распространить ре-
зультаты анализа характеристик связанных контуров с индуктивной
175
связью на контуры с емкостной связью. Вместе с тем следует обратить
внимание на то, что при со со0 контуры различаются по крутизне
убывания^ их амплитудно-частотных характеристик. У контуров с ин-
дуктивной связью при о) -> оо амплитудно-частотные характеристи-
ки убывают обратно пропорционально кубу, а у контуров с емкостной
связью — первой степени частоты.
7.8. Частотные характеристики цепей
с транзисторами
При анализе характеристик линейных цепей с усилитель-
ными устройствами (транзисторами или электронными лам-
пами) надо знать их схемы замещения для режима малого
сигнала. Напомним, что в нелинейных цепях, используемых
в линейном режиме (см. § 1.5), под напряжениями и токами
понимаются приращения напряжений и токов в цепи, малые
относительно их средних (постоянных, «невозмущенных»)
значений.
Схемные изображения транзисторов и электронных ламп
и наименования их электродов (выводов) приведены в
табл. 7.1*. Там же показаны типовые схемы их замещения для
режима малого сигнала. Во всех рассматриваемых схемах за-
мещения использованы зависимые источники тока ИТУН,
что упрощает составление узловых уравнений цепей и их ма-
шинный анализ. В области нижних частот в схемах замеще-
ния биполярных транзисторов и электронных ламп (триодов)
содернЛтся кроме ИТУН по одному резистивному сопротив-
лению. В области верхних частот в схемах замещения усили-
тельных устройств (приборов) учитываются также между-
электродные емкости паразитного характера, которые в соче-
* Если транзистор является элементом интегральной цепи (схемы),
а ие отдельным (дискретным) прибором, то в его схемном изображении
отсутствует окружность.
176
Таблица 7.1
Линейные схемы замещения усилительных приборов
♦
Наименование прибора	Биполярные транзисторы		। Униполярные (полевые) |	транзисторы			|	Электронные лампы		
Тип и схемное изоб- ражение прибора	п-р-п -типа О Коллектор База о— V Эмиттер		п—типа	q Сток Затвор О о Исток			п Анод Сетка о—4——) О Натод		
	р — п — р-типз о Коллектор База о	( О Эмиттер		р-тила	q Сток Затвор О~ i Истон					
Схема замещения для области нижних частот	к б о - » -I	1 -	а о ЦКбэ _	|	-guy		с е о-	।	-—-о +	А и	.\Ф/ _	-9U\|/ и	<  । —X-»—-О			с О—	t	 е “ О а +	Да и	.<Ф> Qr, _	-guy ¥ н о——.. ...	| о		
								
Схема замещения для области верх- них частот	Лл	Г—1	II	-	-		А л -	II	Л ~					
	гб +1 uJjk=	'' II Сбк А ~сбз д1/ -suy	+ и =	— ^зс ~ С 3 и . \1/ ” -gUy	—V V = Сне	?1 <=• +5 	II	i	ЦП о 5 о-, р» —1 1	° 	II		= Сак _Л
						. ..... 			
танин с емкостями монтажа ограничивают сверху рабочую
полосу частот цепей с транзисторами или электронными лампа-
ми и определяют выбор типа усилительного прибора. Предпо-
лагается, что в приведенных схемах замещения параметр g
является вещественным положительным числом.
Следует отметить, что параметры схем замещения усили-
тельных приборов одного и того же типа обладают значитель-
ным разбросом относительно их средних значений, которые
приводятся в справочнике, поэтому в устройствах связи уси-
лительные приборы используются, как правило, в таких схе-
мах включения, где изменение параметров усилительных при-
боров практически не сказывается на характеристиках уст-
ройства в целом. Так, изменение в широких пределах коэффи-
циента усиления операционного усилителя ц тем меньше ска-
зывается на характеристиках устройств, рассмотренных в
§3.11, чем больше значение р..
При составлении уравнений для анализа частотных харак-
теристик цепей с транзисторами (электронными лампами) по-
следние заменяются их схемами замещения и одновременно
полагается равным нулю постоянное напряжение источни-
ка питания транзисторов (электронных ламп). Цепь, соответ-
ствующая этой схеме замещения, обычно подвергается после-
дующим упрощениям, поскольку некоторые из ее элементов
не оказывают сколь-либо существенного влияния на частотные
характеристики в рабочей полосе частот.
К ним относятся, в частности, резисторы и конденсаторы,
предназначенные лишь для получения нужных постоянных
напряжений на электродах усилительных приборов.
Для оценки влияния тех или иных компонентов цепи на
ее характеристики используются частотные критерии. С их
помощью, сопоставляя сопротивления ветвей цепи, удается
обосновать возможности упрощения схемы анализируемой
цепи не в ущерб точности анализа. Ниже приводятся простей-
шие примеры применения частотных критериев для построе-
ния схем замещения цепей с транзисторами.
На рис. 7.21 приведена схема каскада резонансного усилителя в
том ео, виде, в котором она изображается на схемах полосовых (резо-
нансных) усилителей. Напряжение усиливаемого сигнала подводится
к зажимам 0 и 1, а усиленное напряжение снимается с резистивного
сопротивления нагрузки каскада /?„. Под воздействием источника по-
стоянного напряжения Е в каскаде при отсутствии сигнала устанав-
ливается режим постоянного тока Схема замещения каскада для режи-
ма постоянного тока изображена на рис. 7.22. Она находится по пра-
вилам, изложенным в § 4.6 Сопротивления /?ф и Ra* выбираются таки-
ми, чтобы на электродах транзистора устанавливались типичные для
* Сопротивлением провода индуктивной катушки контура постоян-
ному току можно пренебречь.
178
й
примененного транзистора постоянные напряжения, значения которых
приводятся в паспортных данных транзистора или выбираются по се-
мейству его статических характеристик.
Схема замещения цепи для режима малого сигнала образуется, ес-
ли к узлам а, «, с вместо транзистора подсоединить одноименные вы-
воды его схемы замещения, допустим, сначала, для области нижних
частот (см. табл. 7.1). Положив также Е = 0, найдем схему замещения
каскада, показанную на рис. 7.23, а, в которой задающий ток источ-
ника тока пропорционален напряжению, подведенному к выводам,
затвор—исток, и равен —g (U3 — Ua).
Применим, далее, частотные критерии для исключения из найден-
ной схемы замещения каскада тех ее элементов, которые не влияют на
характеристики каскада в пределах его рабочей полосы частот. Преж-
де всего емкость С$ всегда выбирается такой, чтобы модуль ее сопро-
тивления был значительно меньше сопротивления /?ф даже на самой
яйзкой частоте рабочей полосы частот, т. е. Сф > 1/<он7?ф. Тем самым
емкость Сф, шунтируя сопротивление сводит к допустимому мини-
муму ток сигнала, ответвляющийся в источник пйтания и, следова-
тельно, влияние между каскадами за счет общего для всех каскадов-
17»
усилителя внутреннего сопротивления источника питанИя. В против-
ном случае недопустимо искажаются характеристики каскада и, более
Того, в нем могут возникнуть автоколебания (см. § 9g). Итак, сопро-
тивление 7?ф может быть исключено из схемы цепи.
Сопротивление емкости Сф по модулю много мецьц,е сопротивле-
ния индуктивности L контура. Иначе емкость Сф явлчлась бы элемен-
том контура и определяла характеристики каскада j рабочей полосе
частот. Следбвательно, и емкость Сф может быть исключена из схемы
цепи, т. е. можно считать, что один из выводов индуктивности L непо-
средственно соединен с узлом «земля» (д_) каскада.
В каскадах резонансных усилителей данные коНТура R„ — Си
выбираются такими, чтобы RH » 1/ь>нСи. Тогда сопротивление R„,
участвующее в формировании режима постоянного тока в каскаде, ока-
зывается зашунтированным емкостью Си. Значение последней обычно
таково, что напряжение сигнала на ией пренебрежимо мало по срав-
нению с напряжением сигнала на электродах исток—сток транзистора.
Но тогда емкость Си может быть исключена из схе^ы анализируемой
цепи, чему соответствует иепосредствеииое соединение истока транзис-
тора с землей каскада.
Емкости С2 и С2 устраняют воздействие на транзистор постоянных
напряжений смежных каскадов. Их сопротивления в рабочей полосе
частот каскада также обычно пренебрежимо малы п0 сравнению с со-
противлениями, последовательно с которыми они включены. На
рис. 7.23, б показана схема каскада, в которой в соответствии с прове-
денным анализом удержаны лишь те элементы, котОрЫе определяют
частотные характеристики каскада в его рабочей пол0Се частот. В этой
схеме резистивная проводимость G является суммой проводимостей
катушки индуктивности в ее схеме замещения и проводимости нагруз-
ки GH = 1/RH, соединенных при RH » 1/<опС2 параллельно В резуль-
тате и образуется схема замещения каскада резонансного усилителя,
которая рассматривалась в § 7.6.
Если рабочей полосе частот соответствует область верхних частот
транзистора, то следует применить его другую схему замещения. В
этом случае емкость колебательного контура увеличивается на емкость
Сио транзистора, а входное сопротивление каскада з;( Счет главным об-
разом связи между входом и выходом каскада через емкость С30 мо-
жет существенно отличаться от его входного сопротивления при:
С3с ~ О-
Другим примером применения частотных крит^рИев ПрИ состав-
лении схем замещения цепей с транзисторами может СЛужить простей-
ший каскад широкополосного усилителя, схема которого приведена
180
йс 7.24, а его схема замещения для режима постоянного тока -
«а рис 7.25. Полная схема замещения каскада для режима малой
сигнала показана на рис. 7.26, а. В ией использована схема замещения
транзистора для области ннжних частот. Так же, как н в рассмотрен,
иом выше каскаде резонансного усилителя, значения элементов кон-
туров Яф — Сф и Ra — Сд выбираются такими, чтобы во всей рабочей
полосе частот напряжения сигнала на этих контурах были пренебре
жимо малыми по сравнению с таковым на электродах коллектор—эмит-
тер транзистора. Если пренебречь этими напряжениями, т. е. считать
их равными нулю, то это эквивалентно короткому замыканию емко
стей Сф и Сэ. Схема цепи, соответствующая этому допущению, показа-
на на рнс. 7.26, б.
Для полосы частот, в которой можно не учитывать влияния емко-
стей Сх н С2 на характеристики каскада, его схема замещения предель-
но упрощается. Она приведена на рис. 7.26, в. Если эту схему замеще-
ния дополнить паразитными емкостями нагрузки и монтажа, то она
ие будет отличаться от той, которая использовалась в § 7.4 при анали-
зе частотных характеристик каскада.
Схема каскада, в которой по условиям задачи должна быть приме-
нена схема замещения транзистора для области верхних частот, пока-
зана на рис. 7.26, г. Важно отметить, что емкость Сд9 в схеме заме-
щения транзистора обусловливает монотонное убывание амплитудно-
частотной характеристики каскада в области верхних частот незави-
симо от наличия других емкостен паразитного характера.
В заключение на рис. 7.27 приведены схема транзисторного широ-
кополосного усилителя (а) н его схемы замещения для режима посто-
151
яиного тока (б) и режима малого сигнала (в). Читателю предлагается
самостоятельно сформулировать допущения, которые использовались
при построевии этих схем замещения усилителя.
7.9. Логарифмические частотные характеристики
В технике связи находят широкое применение устройства,
у которых значения амплитудно-частотных характеристик из-
меняются в заданном диапазоне частот в очень широких пре-
делах. Примером могут служить резонансные контуры и уси-
лители, полосовые усилители, электрические фильтры, уси-
лители систем междугородной связи и т. п. В таких случаях
удобнее оперировать так называемыми логарифмическими амп-
литудно-частотными характеристиками (ЛАХ), которые про-
порциональны логарифму от той или иной безразмерной амп-
литудно-частотной характеристики. Общепринято логариф-
мические амплитудно-частотные характеристики оценивать в
децибелах:
Л’= 20 1g \Н (/<о)|,	(7.23)
где 1g — логарифм при основании 10.
Переход к логарифмической шкале позволяет существенно
«сжать» пределы изменения амплитудно-частотных характе-
ристик. Кроме того, упрощается оценка относительного изме-
182
...» ——-- ..... .nwviuiiviimv wi nvAu^nuiu «значения
амплитудно-частотной характеристики ее изменению на
1 % соответствует изменение А на 0,087 дБ; удвоению \Н (/<о)|
соответствует приращение А на 6 дБ; увеличению (уменьше-
нию) \Н (/®)1 в 10 Раз ~’ увеличение (уменьшение) А на 20 дБ
и т. д. Положительным значениям А соответствует превыше-
ние'амплитуды реакции над амплитудой воздействия. В связи
с этим величину А называют часто логарифмическим усиле-
нием, усилением в децибелах, или просто усилением.
В качестве примера рассмотрим частотную зависимость
логарифмического усиления каскада резонансного усилите-
ля. Согласно (7.15) эта зависимость такова:
А = 201g —
О
g
2
Резонансное усиление каскада равно 20 1g (g/G) дБ.
Граничным частотам co-j и «ц полосы пропускания каска-
да соответствует уменьшение его усиления по сравнению с ре-
зонансным на 3 дБ, так как 20 1g 1/2 = 3 дБ. При частотах,
достаточно удаленных от частоты <о0, значения логарифмичес-
кого усиления каскада становятся и остаются отрицательными.
В этих частотных областях амплитуда реакции на выходе
каскада оказывается меньше амплитуды воздействия.
В пассивных электрических цепях удобнее оперировать
ослаблением цепи. Оно также оценивается в децибелах и отли-
чается от логарифмического усиления лишь знаком, т. е.
а* = — А - 20 1g---!--
IН (/©) |
На рис. 7.28, а изображена частотная зависимость ослаб-
ления параллельного контура RC (см. § 7.3)
(7.24)
а = 201g ~ = 201g+ (©С/?)2 = 101g11 + (©CR)®].
R.
Ослабление контура монотонно возрастает с ростом Час-
тоты от нуля при <в = 0, равно 3 дБ при <оС7? = 1 и может
быть как угодно большим при неограниченном возрастании
частоты.
* Т?
о литературе прежних лет выпуска ослабление (затухание)
>	в^неперах: а = —In | Н (/о>)|, причем 1 Нп — 8,69 дБ
183
Во многих случаях логарифмические частотные характе-
ристики находятся по нормированным комплексным передаточ-
ным функциям:
н (/со) = —е/е«0)	(7.25)
|Н(/ш)1тож
где \H (/Co)|max — наибольшее значение нормируемой переда-
точной функции. В результате нормирования значения ампли-
тудно-частотной характеристики цепи выражаются в едини-
цах ее наибольшего значения, фазо-частотная характеристика
цепи сохраняется неизменной, а передаточная функция цепи
во всех случаях будет безразмерной Соответствующая лога-
рифмическая амплитудно-частотная характеристика не может
принимать положительных, а частотная характеристика ос-
лабления — отрицательных значений.
Если надо знать поведение частотных характеристик элек-
трических цепей в очень широком диапазоне частот, целесооб-
разно оценивать относительное значение частоты логарифми-
ческими единицами. Отношение частот двух гармонических
колебаний называется интервалом, а интервал, соответствую-
щий удвоению частоты,— октавой. Тогда увеличению частоты
в 4 раза соответствует интервал в две октавы, восьмикратному
увеличению частоты — интервал в три октавы и т. д. Если за-
дан интервал a>j/co0, то число октав N согласно определению
может быть найдено из формулы
CrtjftOo = 2N
и, следовательно,
N = log2 « 3,321g •	(7.26а)
СОо	С00
Часто интервал оценивают не в октавах, а в декадах:
=	(7.266)
<Оо
184
причем сопоставление двух последних выражений показыва
ет что 1 декада = 3,32 октавы и 1 октава = 0,301 декады
’ В качестве примера на рис. 7.28, б приведена зависимость
ослабления того же параллельного контура RC, но отложен-
ная на логарифмической шкале частот. За единицу частоты вы-
брана частота, при которой соСТ? = 1, т. е. частота, где ослаб-
ление составляет 3 дБ.
Важно отметить, ч^э при aCR 1 можно приближенно
считать й = 20 1g (»CR, поэтому, например, увеличению ча-
стоты в 2 раза (на одну октаву) соответствует приращение ос-
лабления на 20 1g 2 = 6 дБ. Иначе говоря, при uCR 1
крутизна роста ослабления составляет в рассматриваемом при-
мере 6 дБ/окт. Штриховая линия на рисунке характеризует
эту, асимптотическую крутизну характеристики затухания
Приращение частоты можно оценивать не в октавах, а в дека-
дах, тогда асимптотическая крутизна в рассматриваемом при-
мере составляет 20 дБ/дек., так как 20 1g 10 = 20.
Если амплитудно-частотная характеристика цепи убывает
с ростом частоты обратно пропорционально квадрату частоты
(§ 7.5, характеристика IJ/), или кубу частоты (§ 7.7, характе-
ристика UJU} индуктивно-связанных контуров), или в об-
щем случае n-й степени частоты, то асимптотическая крутиз-
на составляет соответственно 12, 18 и 6 л дБ/окт.
Глава 8.
КЛАССИЧЕСКИЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ
КОЛЕБАНИЙ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
8.1. Задача анализа переходных колебаний
в линейных электрических цепях
В настоящей главе будет изложен один из методов анализа
переходных колебаний в линейных электрических цепях, т. е.
колебаний, которые происходят в процессе перехода цепи из
одного установившегося режима в другой (см. §4.1). Возник-
новение режима переходных колебаний в цепи может быть
обусловлено включением, переключением или внезапным изме-
нением воздействия (периодического или постоянного), а так-
же внезапным изменением данных цепи с источниками постоян-
ных или периодических воздействий, короче, обусловлено
коммутацией в цепи.
185
Идеализируя свойства ре-
альных коммутационных уст-
ройств, будем считать, что
коммутация осуществляется с
помощью идеального ключа —
двухполюсника, сопротивление
которого равно нулю, если ключ
замкнут (рис. 8.1, а), и бес-
конечно велико, если ключ
разомкнут (рис. 8.1, б). Время
перехода ключа из одного со-
стояния в другое считается бес-
конечно малым. Общепринято
схемы цепей с ключами изобра-
жать до момента коммутации. На рис. 8.2 приведены схемы
простейших цепей с ключами, замкнутыми (а и б) и разомкну-
тыми (в) до момента коммутации t — tn. Там же даны значе-
ния установившихся постоянных токов в индуктивностях и
напряжения на емкости цепи, предшествующих моменту ком-
мутации. После размыкания ключа в цепи, схема которой при-
ведена на рис. 8.2, а, начинаются переходные колебания, по-
скольку она должна перейти в другой режим постоянного то-
ка, где II — U/(R0 + R)- В цепи рис. 8.2, б после размыка-
ния ключа в процессе переходных колебаний постоянное
напряжение на емкости возрастает от UR!(Rb + R) до
U2Rf(R0 + 2R). Наконец, после замыкания ключа в цепи
(рис. 8.2, в) контур из индуктивности L и резистивного со-
противления R отсоединяется от источника напряжения и ус-
тановившийся ток в нем будет равен нулю, т. е. контур перей-
дет в режим покоя.
При анализе переходных колебаний в электрических це-
пях следует иметь в виду, что напряжения и токи в элементах
электрических цепей удовлетворяют следующим условиям:
при конечных по величине воздействиях напряжение на емко-
сти и ток в индуктивности являются непрерывными функция-
ми времени, т. е. в любой момент
9
«с (^ + 0) = Uc Go —0)*; 1	(8 1)
iL(tQ+O) = iL(to~O). I
* Здесь н ниже под /	± 0) понимается lim / (f0 ± Д0 при
Л< 0. Если <0 = 0, то вчесто полной записи f (0 + 0) в последующем
будет использоваться сокращенная запись f (0 +), а вместо f (0 — 0) —
запись f (0 —)
186
Условия (8.1), которые часто называют законами комму-
тации, являются следствием определений элементов емкости
и индуктивности, приведенных в § 1.3. Действительно, из
(1.3) при tt = t находим следующее соотношение между на-
пряжением и током в емкости:
t
ис^=
Аналогично для индуктивности
t
Il=-^ р(т)йт + Д(/0).
(8.2а)
(8.26)
В соотношениях (8.2) под t0 понимается некоторый момент,
для которого известны напряжение на емкости «с (/0) и ток
в индуктивности Д (to), а нижний из пределов интегрирова-
ния равен t0 + 0. Интегралы с переменными верхними преде-
лами, входящие в соотношения (8.2), если функции i (t) и и (t)
ограничены по абсолютной величине, а напряжения и токи в
реальных электрических цепях как функции времени именно
таковы, являются, как известно, непрерывными функциями их
пределов (времени t), откуда и следуют условия (8.1). Идеали-
зированные воздействия, при которых ток в индуктивности и
напряжение на емкости могут быть разрывными функциями
времени, рассматриваются в гл. 10. Во всех же задачах, которые
решаются в настоящей главе, считается, что условия (8.1)
всегда выполняются, в связи с чем это предположение не бу-
дет каждый раз специально оговариваться.
187
При количественном анализе переходных колебаний в ус-
ловия каждой конкретной задачи должны входить значения
напряжений на емкостях и токов в индуктивностях цепи в
момент коммутации, т. е. в начальный момент. Они образуют
начальные условия задачи. Ими, в силу законов коммутации,
задаются те напряжения и токи в цепи, которые сохраняют
свои значения в первый момент, непосредственно следующий
за моментом коммутации. Одновременно начальные условия
задачи определяют и начальный запас энергии в электриче-
ском и магнитном полях устройств цепи. Если в момент ком-
мутации напряжения на всех емкостях цепи и токи во всех
индуктивностях цепи равны нулю, то соответствующие началь-
ные условия называются нулевыми. Если же перечисленные
требования нарушаются хотя бы в одном реактивном элементе
цепи, то соответствующая задача должна решаться при не-
нулевых начальных условиях.
Задача анализа переходных колебаний в линейных элек-
трических цепях важна для оценки искажений формы сигна-
лов и предельно достижимой скорости их передачи в цепях с
частотно-зависимыми характеристиками и составляет основу
методов синтеза устройств, предназначенных для оптималь-
ной обработки сигналов цифровых систем связи. Изложению
методов анализа переходных процессов в линейных электриче-
ских цепях посвящены настоящая и три последующие гла-
вы книги. В гл. 11 устанавливается связь между переходными
процессами в линейной электрической цепи и ее частотными
характеристиками.
Во всех задачах анализа переходных колебаний в электри-
ческих цепях, которые будут рассмотрены в указанных гла-
вах, если не будет специальной оговорки, считается, что ком-
мутация происходит в момент t — 0, т. е. что момент комму-
тации совпадает с началом отсчета времени. Это никак не ог-
раничивает общности найденных ниже решений, поскольку в
линейных электрических цепях, значения параметров которых
не изменяются во времени, «запаздывание» воздействия на вре-
мя t0 обусловливает и запаздывание соответствующей реакции
на то же время, т. е. если у (t) — реакция цепи на воздействие
х (t), то ее реакция на воздействие х (t — t0) будет у (t — /0)-
Метод, который излагается в настоящей главе, получил
название классического. Он основан на составлении системы
дифференциальных уравнений, которым должны удовлетво-
рять напряжения и токи в цепи, рассматриваемые как неиз-
вестные функции времени, с последующим нахождением ее
общего решения и на последнем этапе определением таких зна-
чений постоянных общего решения, которые удовлетворяют
заданным начальным условиям каждой конкретной задачи.
188
Свободные колебания в электрических цепях. В §4.1 от-
мечалось, что колебания в электрических цепях с реактивны-
ми элементами не могут прекращаться сразу же после прекра-
щения внешних воздействий на цепи, а продолжаются за счет
энергии, запасенной в реактивных элементах к моменту пре-
кращения воздействия. Так, после размыкания ключа в схе-
ме рис. 8.3, а или замыкания ключа в схеме рис. 8.3, б в соот-
ветствующих цепях образуется простейший /?С-контур рис. 8.4,
колебания в котором продолжаются за счет энергии, запасен-
ной в емкости к моменту коммутации. Величина этой энергии
пропорциональна квадрату напряжения Uo на емкости в мо-
мент коммутации и равна CU о/2. Аналогичные по характеру
колебания происходят в простейшем 7?£-контуре, который об-
разуется, например, после замыкания ключа в цепи рис. 8 2, в.
Начальный запас энергии в этом случае пропорционален квад-
рату тока в индуктивности в момент коммутации и равен
Колебания в электрической цепи, происходящие после пре-
кращения воздействия на цепь внешних вынуждающих сил
(независимых источников напряжения или тока), называются
свободными колебаниями (см. § 4.4). В общем случае, когда
цепь содержит несколько реактивных элементов, запас энер-
гии в цепи в момент начала свободных колебаний равен, оче-
видно, сумме энергий в каждом из реактивных элементов и в
задачах анализа свободных колебаний в электрических цепях
полностью определяется начальными условиями каждой кон-
кретной задачи.
Естественно, что в пассивных электрических цепях за счет
необратимого преобразования электрической энергии в тепло-
вую свободные колебания носят затухающий характер и ре-
189
жим свободных колебаний заканчивается в конечном счете
режимом покоя.
Свободные колебания в 7?С-контуре. Решим задачу анали-
за колебаний в 7?С-контуре, схема которого приведена на
рис. 8.4 при начальном условии ис (0) = Uo. Напряжения
ис и uR = Ri = RCdUc/dt на зажимах элементов контура
удовлетворяют второму закону Кирхгофа, согласно которому
Ur + ис = 0. Следовательно,
(8.3)
Задача, таким образом, сводится к решению этого обыкновен-
ного линейного однородного дифференциального уравнения
первого порядка с постоянными коэффициентами. Дифферен-
циальному уравнению (8.3) соответствует характеристическое
уравнение1
pCR 4 1=0.
(8.4)
Оно имеет единственный корень р = рг — —1/RC, являю-
щийся вещественным отрицательным числом. Следовательно,
общее решение уравнения (8.3) таково:
ис = А е RC ,
где А — произвольная постоянная. Ее значения находятся
по начальным условиям задачи, согласно которым ис (0) —
— А = Uo, и поэтому
uc(t)=*Uoe~t/*
(8.5)
где т = RC.
Постоянная т имеет размерность времени, она называется
постоянной времени контура (цепи). Если t = т, то ис (т) ==
= — uR(x) = [/0/еи i (т) = —U0!Re. Таким образом, постоян-
ная времени т определяет время, за которое напряжение и
1 Решение обыкновенных линейных однородных дифференциаль-
ных уравнений с постоянными коэффициентами, как известно, следует
искать среди функций вида ЛеР(. Характеристическое уравнение обра-
зуется, если это предполагаемое решение подставить в заданное диф-
ференциальное уравнение (заданную систему дифференциальных урав-
нений, составленную для той же цепи, см. § 4.3).
190
ток в ДС-контуре убывают по абсолютам величине1 в режиме
свободных колебаний вея 2,72 раз. При t = 2т tic (2т) =
= U0e~2 ~ 0,135Z70, ПРИ t = Зт ис (Зт) = U0e~3 « 0,05 (70 и
т. д. График функции ис {t)lU0 приведен на рис. 8.5. Он,
очевидно, характеризует изменение во времени относитель-
ных значений напряжений и токов контура в общем случае по
их абсолютной величине.
Из найденных решений следует, что процесс убывания на-
пряжения и тока в контуре длится как угодно долго и лишь
при / —> оо цепь переходит в режим покоя, когда вся энергия
С(/о/2, запасенная в емкости, будет преобразована резистив-
ным сопротивлением R в энергию тепловую, т. е. когда
оо
(*	с и*
Г г2 (/) Rdt = —.
о
Практически свободные колебания в контуре считаются
пренебрежимо малыми по истечении времени t 2,3т, когда
Нс^0,1(/о, или при t Зт, когда «с^О,О5(7о, или при
/	4,6т, когда ис 0,01 Uo. Для любого из перечисленных
критериев длительность свободных колебаний пропорциональ-
на постоянной времени цепи т = RC, т. е. пропорциональна
емкости и сопротивлению элементов контура.
Для наглядного суждения о характере переходных колеба-
ний в теории линейных электрических цепей принято корни
характеристических уравнений изображать точками на ком-
плексной плоскости. В рассматриваемом примере единствен-
ный корень характеристического уравнения расположен в ле-
вой полуплоскости на ее вещественной отрицательной полу-
оси (рис. 8.6). Ему, как было показано, соответствует изме-
1 Знаки ис (/) или (и) i (/) в решениях (8.5) могут быть иными при
Другом выборе положительных направлений напряжений или тока в
контуре.
191
нение напряжения (тока), абсолютные значения которого убы-
вают по экспоненте и тем быстрее, чем дальше этот корень
удален от начала координат, т. е. чем он больше по абсолют-
ной величине.
Свободные колебания в простейшем R/.«контуре. Решим за-
дачу анализа свободных колебаний в AJL-контуре, схема ко-
торого приведена на р^с. 8.7, при начальном условии г (0) =
= /0. Подобный контур образуется после, например, размы-
кания (замыкания) ключа в цепи со схемой рис. 8.8, а
(рис. 8.8, б). В рассматриваемом контуре щ. + и% — 0,
Ml — LdUdt и нд = Д/, поэтому ток в контуре удовлетворяет
следующему дифференциальному уравнению:
L—4-/?i=0.	(8.6)
Данное уравнение аналогично уравнению (8.3) и дуально
относительно последнего. Соответствующее характеристиче-
ское уравнение
pL 4- R = 0	(8.7)
имеет один корень р — рх = —R/L, являющийся веществен-
ным отрицательным числом.
Поэтому общее решение уравнения (8.6) таково:
' -Л/
i = А е L .
Поскольку по условию I (0) = /0, из найденного общего
решения при t = 0 следует i (0) — А — /0 и таким образом
/(0 = /ое-'/\	(8.8а)
Здесь постоянная т = LIR имеет размерность времени, назы-
вается постоянной времени контура (цепи) и определяет, как
192
и в простейшем /?С-контуре, время, за которое ток в RL-
контуре и напряжение
UR(/)= —uL(/) = /0/?e-z/t	(8.86)
на элементах контура по абсолютной величине убывают в ре-
жиме свободных колебаний вея; 2,72 раз (см. рис. 8.5). За-
пас энергии, имеющейся в индуктивности, непрерывно расхо-
дуется на теплообразование в резистивном сопротивлении R
контура, и цепь стремится к режиму покоя.
Длительность режима свободных колебаний в контуре оце-
нивается по тем же критериям, что и в jRC-контуре. Она тем
больше, чем больше индуктивность контура L и меньше его
сопротивление R, или, что то же, чем ближе к началу коорди-
нат расположен на комплексной плоскости корень характери-
стического уравнения (8.7).
В короткозамкнутой катушке индуктивности со скомпенси-
рованными потерями (см. § 3.11) или реализованной методами
криогенной техники в режиме свободных колебаний постоян-
ный по величине ток может длиться как угодно долго подобно
тому, как сохраняется напряжение на конденсаторе с идеаль-
ным диэлектриком.
8.3.	Переходные колебания в цепях с одним
реактивным элементом при ступенчатых
воздействиях
Ступенчатые воздействия. При изучении свойств электри-
ческих цепей рассматриваются воздействия, изменяющиеся
во времени по простейшим законам. Это существенно упро-
щает анализ. Кроме того, подобные воздействия обычно легко
«генерируются;, с помощью сравнительно простых устройств,
что позволяет наряду с аналитическими методами использо-
вать для выявления свойств электрических цепей также и
экспериментальные методы. Наконец, как будет показано ни-
же, зная реакцию цепи на простейшее воздействие, можно най-
ти реакцию той же цепи на любое иное воздействие, а в ряде
случаев даже судить о ней без дополнительных выкладок.
Одним из таких воздействий является ступенчатое воздей-
ствие напряжения или тока. Оно описывается функцией
0	"Р»'<0;	(89)
I А = const при t >• О,
которая является простейшей ступенчатой функцией. Ее гра-
фик показан на рис. 8.9. Ступенчатое воздействие напряжения
(тока) называют часто перепадом или скачком напряжения
(тока).
Зак. 1045	193
R ~
Заметим, что сигналы ряда систем связи представляют со-
бой последовательность ступенчатых воздействий отличающих-
ся знаков, что обусловливает прикладную значимость задачи
анализа переходных колебаний в электрических цепях при
ступенчатых воздействиях. Практически перепад напряжения
соответствует включению в цепь источника постоянного на-
пряжения и легко моделируется, например, цепью из источ-
ника постоянного напряжения и ключа, который замыкается
в момент t — 0. Соответствующая схема показана на рис. 8.10.
Переходные колебания в последовательном КС-контуре
при ступенчатом воздействии. Найдем законы изменения тока
и напряжения в последовательном КС-контуре, если ко входу
контура (рис. 8.11, а) при нулевых начальных условиях под-
ведено ступенчатое воздействие напряжения
„w = |	0	"Р»«О;	(8J0)
I Е = const при t > 0.
Подобной задаче соответствует, например, замыкание ключа
в цепи рис. 8.11, б, если ис (0) = 0.
Согласно второму закону Кирхгофа uR + ис — и ~ 0.
Но uR = Ri — RCduc/dt и при t> 0 u = Е, поэтому
du-
КС^-+«с = £	(8.11)
Общее решение обыкновенного неоднородного уравнения
с постоянными коэффициентами, к числу которых относится
и уравнение (8.11), равно, как известно, сумме общего решения
соответствующего однородного уравнения (оно образуется, если
приравнять нулю правую часть решаемого неоднородного урав-
нения) н частного решения неоднородного уравнения.
194
В рассматриваемой задаче соответствующее однородное
уравнение
dur
. RC-^- + uc = 0
не отличается от уравнения (8.3) для свободных колебаний в
7?С-контуре, поэтому, обозначая его общее решение (/)
'(см. §8.2), имеем
<	t
— А е ЛС
где р = Рх = —IIRC — корень характеристического урав-
нения pCR -f- 1 = 0.
Правая часть неоднородного уравнения (8.11) содержит
постоянную Е, поэтому и его частное ранение следует искать
в виде постоянной и(с} = В. Подставляя это предполагаемое
решение в уравнение (8.11), находим ис") — Е. Следовательно.
ис (/) = «<’> (0 + пр (/) = А е~‘^ +- Е.	(8.12)
Из общего решения при t = 0, когда ис (0) = А + Е — 0,
находится постоянная А = — Е.
Итак, при нулевых начальных условиях
Uc{t) = Е (1 — е-(/т)
н
dur Е
1(f) — С— 10е~,?х.
(8.13)
График функции пс (f)/E приведен на рис. 8.12.
Найденное решение показывает, что напряжение на ем-
кости контура, монотонно возрастая, при t = т достигает зна-
чения
ис (т) = Е (1 — е-1) & 0,632 Е
и асимптотически стремится к величине воздействия (перепа-
да) при t-у- оо. Ток же в контуре, убывая по экспоненте
(см. рис. 8.5), стремится к нулю при t-^ оо. Цепь в конечном
счете переходит в режим постоянного тока, в котором (оо) =
~ Е, Z (оо) == 0, (оо) = 0. Время установления режима
постоянного тока оценивается на уровне 0,9 Е (t = 2,3т),
или уровне 0,95 Е (t = Зт), или, наконец, на уровне 0,99 Е
(I = 4,6т).
Если начальные условия не нулевые, т. е. ис (0) =/= 0,
то из общего решения (8.12) следует, что А = ис (0) — Е и
напряжение на емкости при ис (0) < Е монотонно возрастает
во времени от ис (0) при t = 0 до Е при t -> 00 или монотон-
0 Убывает в тех же пределах, если (0) > Е.
195
Переходные колебания в параллельном /?С-контуре при
ступенчатом воздействии. Пусть при нулевых начальных усло-
виях к параллельному /?С-контуру подведено ступенчатое
воздействие тока
f (/) = [	0
I I — const
при t < 0;
при ^>0.
(8.14>
Схема цепи приведена на рис. 8.13.
Задача анализа напряжения и тока в цепи сводится к рас-
смотренной ранее, если источник тока и соединенное парал-
лельно с ним резистивное сопротивление R заменить эквива-
лентным генератором с задающим напряжением Е = RI и
тем же внутренним сопротивлением. Естественно, что то же ре-
шение можно найти, если составить и решить при нулевых на-
чальных условиях дифференциальное уравнение
Оно является следствием первого закона Кирхгофа, согласно
которому ic + Ir — I = 0.
Переходные колебания в последовательном RA-контуре при
ступенчатом воздействии. Схема анализируемой цепи и ее воз-
можная схема, предшествующая моменту коммутации, при-
ведены на рис. 8.14. Начальные условия нулевые. После при-
ложения воздействия, т. е. при t > 0, алгебраическая сумма
напряжений на элементах контура = Ldi/dt, Ur — Ri и
«0 = Е по второму закону Кирхгофа должна быть равна нулю,
поэтому Ul + UR — и — 0 и
L
di
Tt
\-Ri — E.
(8-15)
196
Общее решение этого уравнения аналогично решению урав-
нения (8.11):
R »
Е --------1
^ТГ + Ае
£
I По условию при t =0	+ А — 0. Следовательно,
г-(о=4(1"е“</т)
1\
и
(8.16)
где х = [JR — постоянная времени /?Л-коитура.
Сопоставление решений (8.1G) и (8.13) показывает, что при
нулевых начальных условиях и ступенчатых воздействиях ток
в /?£-контуре и напряжение на емкости /?С-контура изменяют-
ся по одному и тому же закону (см. рис. 8.12).
Ток в R/.-контуре, монотонно возрастая от нуля при t = 0,
асимптотически стремится к / = Е/R. В цепи при i ->• ею
устанавливается режим постоянного тока, в котором i (оо) =
= E/R, Ul (оо) = 0, Ид (оо) = Е. Практически длительность
переходного процесса оценивается по тем же критериям, что
и в RC-котуре.
Общая формула. Пусть линейная электрическая цепь содер-
жит ключ и то или иное число резистивных элементов и источни-
ков постоянного напряжения или (и) тока и лишь один реактив-
ный элемент. Установим общую формулу для расчета переход-
ных процессов в таких цепях, считая, что до момента, коммута-
ции цепь находилась в режиме постоянного тока или покоя.
Для этого, воспользовавшись теоремой об эквивалентном гене-
раторе, заменим цепь, внешнюю относительно реактивного эле-
мента, эквивалентным генератором. Он, учитывая особенности
цепи, будет содержать источ-
ник постоянного напряжения
Е и обладать внутренним
резистивным сопротивлением
Rr. Но тогда напряжение на
емкости илн ток в индуктив-
ности удовлетворяют в пере-
ходном режиме уравнению
(8.11) или (8.15). Этим урав-
нениям соответствует общее
решение
/(0 = Ле-'/^ + Д
197
в котором f (/) » Uc (/) Н т = RrC для цепи с емкостью и
f (/) = iL (/) и т = LIR? для цепи с индуктивностью.
Из общего решения при t —> оо находится постоянная
В = f (оо).
Так как согласно законам коммутации (8.1) в момент ком-
мутации (/ = /0) f (/0) = Ле_'"/Т + В = Ле-'”/* + / (оо), то
А = [/ (/0) — / (оо)] и, следовательно,
/(0=/(оо) + [/(/0)-/(оо))е	<	(8.17)
По этой формуле находят напряжение на емкости н ток в
индуктивности в рассматриваемых цепях в любой момент
t '> tQ. Напряжения и токи в других ветвях цепи можно най-
ти, если по теореме замещения заменить емкость источником
напряжения с задающим напряжением ис (t) нли индуктив-
ность источником тока с задающим током it, (f).
Так, в цепи со схемой рис. 8.2, б до коммутации ис (/0) =
— ER/ (Ro 4- R), а после размыкания ключа и установления в цепи
нового режима постоянного тока ис (оо) = E2R/ (Ro -J- 2R). Постоян-
ная времени цепи т = RrC, где
— внутреннее сопротивление эквивалентного генератора, равное
входному сопротивлению цепи со стороны подключения ее нагрузки
(емкости) при Е — 0. Подставляя найденные значения ис (/0), ис (оо)
и т в (8.17), имеем
2RE	Ro RE
«„(/) =------------------------е х .
С Ло + 2Л (Ra + 2R)(Ro + R)
После замены емкости источником напряжения образуется ре-
зистивная цепь (рис. 8.15), анализ которой позволяет найти другие
напряжения и токи в цепи.
8.4.	Свободные колебания в последовательном
колебательном контуре
Анализ свободных колебаний в последовательном колеба-
тельном контуре (рис. 8.16) приводит к решению системы из
двух обыкновенных линейных дифференциальных уравнений
первого порядка с постоянными коэффициентами относитель-
но переменных состояния — тока в индуктивности и напря-
жения на емкости контура. Одно из уравнений находится в ре-
зультате применения к контуру второго закона Кирхгофа
L—'—\-RiA~uc— 0,	(8.18а)
198
а второе связывает ток в контуре с напряжением на одном
из его элементов:
i=C^.	(8.186)
at
Если в первое уравнение подставить второе, систему уравне-
ний можно преобразовать в одно уравнение второго порядка
dP ur dur.
LC-j^- + RC-^- + uc = Q.	(8.19)
Ниже рассматривается решение уравнения (8.19). Решение
же системы дифференциальных уравнений первого порядка:
duc i
относительно переменных состояния i и «с будет проиллю-
стрировано в § 8.8*.
Уравнению (8.19) соответствует характеристическое урав-
нение p2LC + pCR + 1=0, которое можно записать в виде
р2 + 28 р + cog = 0,	(8.20)
где
Характеристическое уравнение имеет два корня:
Р1.2 = —6 ± ]/ба—(8.21)
* См. также гл. 4.
199
и если они различны, т. е. не обр азуют кратно го кир й я урав-
нения, то, как известно, общее решение рассматриваемого диф-
ференциального уравнения записывается в виде
ис = Ai	‘ + А2 ер**.	(8,22)
Ему соответствуют общие же решения уравнений для то-
ка в контуре i = Cduc/dt и напряжения на его индуктивности
«ь — Ldi/dt. Они отличаются от (8.22) только коэффициентами
перед экспоненциальными функциями. Ниже эти общие ре-
шения будут подробно исследованы отдельно для мнимых, ком-
плексных, кратных и вещественных значений корней характе-
ристического уравнения и будет показано, что именно изме-
нение характера корней изменяет характер свободных колеба-
ний в контуре. Что же касается начальных условий, то они
влияют лишь на количественные, а не качественные характе-
ристики колебаний.
Мнимые корни характеристического уравнения. Если по-
ложить, что в найденных выше уравнениях для свободных ко-
лебаний в контуре 6 = 0, т. е. что R ~ 0, то корни характери-
стического уравнения контура
Р1.2 = ±/«о=±-^=-
становятся чисто мнимыми. Они располагаются на мнимой оси
комплексной плоскости симметрично относительно начала ко-
ординат (рис. 8.17). Рассматриваемый контур лишен потерь
и содержит только реактивные элементы. Схема контура пока-
зана на рис. 8.18. Подобный контур образуется или в резуль-
тате идеализации свойств реального колебательного контура
с весьма малыми невосполнимыми потерями энергии, или при
компенсации потерь в контуре (см. §3.11).
Из общего решения (8.22) следует, что у контура без потерь
ис (0 —А е?'“°( + Л2 е~/ю<>(,
200
ИЛИ если ИС1ЮЛЬЛи»<11П	CTS—-
Uc (/) = (Лх + Л2) cos (A0t 4* I (A — Л,) sin aot.
Но напряжения и токи могут принимать лишь веществен-
ные значения, поэтому при любых начальных условиях ко-
эффициенты Л! и Л2 решения всегда оказываются такими ком-
плексными числами, при которых ис (f) является веществен-
ной функцией времени Л Ею, как это следует из последнего
выражения, может быть лишь функция вида
ис (t) = c°s («о/ + Фо) = — uL (О*
и
i (/) = С -^р- = (о°С (/m0 cos ^(о° /+ ф° +	.
а значит свободные колебания в контуре без потерь являются
гармоническими колебаниями. Частота, с которой происходят
эти колебания, называется частотой собственных незатухаю-
щих колебаний контура. Она совпадает с его резонансной ча-
стотой и определяется только данными контура.
Амплитуды и начальные фазы колебаний зависят от началь-
ных условий, причем колебания напряжения на индуктивно-
сти опережают, а на емкости отстают по фазе от колебаний то-
ка в контуре на угол л/2, что характерно для режима гармо-
нических колебаний в реактивных элементах электрических
цепей.
Энергия wc, запасенная в емкости контура, периодически
изменяется в процессе колебаний в пределах 0	Си2/2
CUm02/2. В тех же пределах изменяется и энергия, запасен-
ная в индуктивности контура. Суммарная же энергия в эле-
ментах контура сохраняется постоянной и равна, очевидно,
энергии, запасенной в реактивных элементах к началу свобод-
ных колебаний. Следовательно, отсутствие невосполнимых по-
терь энергии в контуре в процессе колебаний обусловливает
постоянство амплитуд колебаний и их незатухающий характер.
Энергия лишь перераспределяется в процессе свободных коле-
баний между энергией электрического и магнитного полей эле-
ментов контура.
Итак, если корни характеристического уравнения контура
мнимы, то свободные колебания напряжений и тока в конту-
ре являются гармоническими. Частота (круговая) этих коле-
баний равна модулю любого из корней уравнения (см. рис. 8.17).
Комплексные корни характеристического уравнения. Про-
должив анализ свободных колебаний в последовательном коле-
* Простейшие преобразования, связанные с переходом к этой фор-
ме записи решения, иллюстрируются в § 8.5.
201
бательном контуре, рассмотрим случай, когда 0 < 6 <; coQ,
т. е. А? < iVЫС. При этом корни характеристического урав-
нения (8.20) представляют собой пару комплексных сопряжен-
ных чисел
Р1.2 = —6 ± j V ©о —б2 = —б ± / (Oi
с отрицательными вещественными частями. Их расположение
на комплексной плоскости показано на рис. 8.19. Если эти ком-
плексные корни подставить в общее решение (8.22), то послед-
нее преобразуется к виду
«с (0 = е~б/ (Л л е/Ю1< 4- Аг
Здесь, как и в предыдущем случае, при любых заданных
начальных условиях функция «с (t) должна быть веществен-
ной функцией времени и, следовательно,
ис (t) = Unile~6t cos («л t + фл),	(8.23)
т. е. напряжение на емкости контура описывается произведе-
нием косинусоидальной и экспоненциальной функций. По
аналогичному закону изменяются ток в контуре i = Cducldt
и напряжение на индуктивности контура «д, = Ldifdt.
График функции (8.23) для некоторых конкретных значе-
ний ис (0) и i (0) приведен на рис. 8.20. В те моменты, когда
ток i = Cduc/dt в контуре равен нулю, вся энергия, за счет
которой поддерживаются свободные колебания, сосредоточи-
вается в емкости. Если же пс = 0, энергия в контуре сосредо-
точивается в его индуктивности. Колебания сопровождаются
убыванием начального запаса энергии, которая расходуется
на теплообразование в резистивном сопротивлении К контура,
и при t -> ос в контуре устанавливается режим покоя. Скорость
202
убывания свободных колебаний определяется коэффициентом
затухания
g _ R _ R юр _ шр
~2L ~ 2Wp £ “ 2Q ’
значения которого обратно пропорциональны добротности
контура Q — aaL/R.
Рассматриваемые колебания не являются периодическими,
однако при их описании используются понятия частоты и пе-
риода колебаний. Частота
=	<о0/1 - ^- = <о0 /1 -
называется частотой собственных затухающих колебаний в
контуре. Она, очевидно, всегда меньше частоты собственных
незатухающих колебаний в контуре и зависит не только от
данных реактивных элементов контура L и С, но и от резистив-
ного сопротивления контура R. Ей соответствует период коле-
бания
7,   2л   2л ____ 1
1	ы,	сор ^/l — 1/4Q2
длительность которого увеличивается с уменьшением доброт-
ности контура.
Итак, если корни характеристического уравнения пред-
ставляют собой пару комплексных сопряженных чисел с от-
рицательными вещественными частями, то свободные колеба-
ния в контуре отличаются от гармонических тем, что их ам-
плитуды убывают по экспоненте, причем коэффициент затуха-
ния б и частота собственных затухающих колебаний coj опре-
деляются значениями соответственно вещественной и мнимой
частей корней характеристического уравнения (см. рис. 8.19).
Рассмотренный режим свободных колебаний в контуре при-
нято называть колебательным, или квазиперподическим. Ему,
как легко убедиться, соответствует значение добротности кон-
тура Q > 0,5.
Вещественные корни характеристического уравнения. При
5 >• соо, т. е. когда 7? > 2"ИL/C, корни характеристического
Уравнения (8.20) представляют собой два вещественных от-
рицательных числа рг < 0 и р2 < ог (рис. 8.21). Но тогда
при любых начальных условиях будут вещественными и ко-
эффициенты Л] и Л2 общего решения (8 22). Поэтому двум
вещественным отрицательным корням характеристического
Уравнения соответствует решение в виде алгебраической сум-
мы двух вещественных экспоненциальных функций, убываю-
щих во времени по абсолютной величине.
2 03
Для примера на рис. 8.22 приведены графики двух экспо-
ненциальных функций, которые входят в решение некоторой
конкретной задачи, и график их суммы, т. е. график «с(0-
Рассмотренный режим свободных колебаний в контуре при-
нято называть апериодическим.
Кратные корни характеристического уравнения. На гра-
нице между колебательным и апериодическим режимами на-
ходится критический режим свободных колебаний в контуре.
Он соответствует случаю кратных корней характеристическо-
го уравнения, когда 7? = 21/L/C и рх = рг = —6. В этом
режиме, если считать, что 6 <; соо и 6 -> а>0, частота соб-
ственных затухающих колебаний в контуре Wj = Vcoo — 62
стремится к нулю, а период колебаний Т — к бесконечности.
Общее решение уравнения (8.19) для случая кратных кор-
ней характеристического уравнения таково:
ис (0 = (Дх + Аг1) е-«	(8.24)
Вещественные постоянные Аг и Д2 находятся по заданным
начальным условиям.
В аналогичных функциях выражаются и решения урав-
нений для напряжения и тока в индуктивности контура. Гра-
фик функции ис (/) для частного случая Д, = 1 и Д2 = —S
приведен на рис. 8.23.
При i -+ сс цепь, естественно, переходит в режим покоя.
Это следует и из (8.24).
*
8.5.	Свободные колебания в параллельном
колебательном контуре
На примере анализа свободных колебаний в параллельном коле-
бательном контуре проиллюстрируем те типичные преобразования,
которые необходимы при переходе от формы записи решения (8.22) к
форме (8.23).
204
Пусть в момент размыкания ключа цепь, содержащая параллель-
ный колебательный контур (рис. 8.24, а), находилась в режиме гармо-
нических колебаний. Выбранные направления токов в элементах кон-
тура для режима свободных колебаний, т. е. после размыкания клю-
ча, показаны на рис. 8.24, б. Пусть в момент коммутации iL (0) = /а
и ис (0) = Ug.
Поскольку параллельный колебательный контур дуален последо-
вательному, дифференциальное уравнение для тока iL в параллельном
контуре дуально относительно уравнения (8.19) для напряжения на
емкости последовательного контура и поэтому
( (8-2S)
Это же уравнение является следствием соотношений: и = Ldijdt',
iG = Gu; ic =- Cduldt и ic iQ -f- iL — 0.
Если сохранить прежние обозначения для дуальных величин
6= G/2C и w0 = l/VIC то уравнению (8.25) соответствует характе-
ристическое уравнение (8.20). Положим, корни последнего будут комп-
лексными сопряженными числами
Pi,2 = —s ± / 1/“о— 62= — б ± /а>л,
что соответствует условию G<2’j/C/L.
Используя формулу Эйлера, общее решение уравнения (8.25) за-
пишем в виде
А (0 = ^1 e₽t/ + ^2 е₽2* =е“б/ )(Л1 + Л2) cos	+ у (А — А2) sin сох/].
Постоянные (А А Д2) и у (А — А2) определяются по начальным
условиям задачи, согласно которым
£ь (0) — Aj А А2 = / 0
и
«СН)) = £—| —L[ — б (А + А2) -НА (Ах— А2)] = (70.
dt I
t = o
Решив эту систему уравнений, найдем
 Дгл г . , , -S 17о + б LIg
А + А2 = /о и /(А —А2) =----------- .
ы, L
205
сл едовател ь н и,
iL(t)=e 1/0 cos «iZ-j-
Uo + ЬЫ» .	1
---------sin w.t .
ы, L	J
Найденное решение можно
при необходимости преобразовать
к виду iL (0 = 1т1е~ы cos(<o1Z+
+ 'Ф), где согласно (5.6) при
Ф1 = 0 и ф2 = —ri/2
ие+бил
Kt L
Н tgl|> =
+ 6 о
Далее последовательно находятся напряжение на зажимах конту-
ра и (/) = Ldi/dt и токи ic (t) -- Cdu/dt и ia (?) = Gu в его элементах.
Полученные решения можно применять также и для иных по ха-
рактеру корней уравнений (8.20). Так, полагая 6 = 0, находят реше-
ния, соответствующие мнимым корням характеристического уравне-
ния. Кратный же корень характеристического уравнения (8.20) обра-
зуется прн 0, когда рх -*• —б и р2-> —б, поэтому в критическом
режиме колебаний в контуре
л, Г	170+б/./0
<,(/) = lime ° /oCOSWjZ-f---------------sin <^1
L	**
sinwjZ
и так как lim ----------~t, то
I U0 + 6LI0
ZL(O = Ho + 1
Графики напряжения и токов для критического режима свобод-
ных колебаний в контуре и начальных условий (0) = /0= —1 и
иС (°) = ° приведены на рис. 8 25.
8.6.	Переходные колебания в колебательных
контурах при ступенчатых воздействиях
Пусть к последовательному колебательному контуру в мо-
мент t ~ 0 при нулевых начальных условиях подведено сту-
пенчатое воздействие напряжения (8.10). При выбранном нап-
равлении тока в контуре (рис. 8.20) ид + «д + «с — Е = 0,
«к = RI и ul = Edi/dt, что приводит к системе дифференци-
206
аЛЬНЫЛ ураипч
"’-Г
Г8.26)
а для напряжения ис (см. § 8.4) — к дифференциальному
уравнению второго порядка
d2 Ur	dur	_
LC + /?С	+ «с = £•	(8.27)
lib	Ш
Для анализа переходных колебаний в контуре используем
уравнение (8.27). Общее решение этого неоднородного урав-
нения таково:
ис^А^' + Аэ е^ + Е,
поскольку соответствующее однородное уравнение не отлича-
ется от уравнения (8.19), а частное решение неоднородного
уравнения с постоянной правой частью определяется в виде по-
стоянной.
Положим, корни характеристического уравнения (8.20) —
комплексные, т. е. р1:2 = —8 ± Подставляя их в най*
денное общее решение и используя формулу Эйлера, находим
ис — e~6t [(Xi + 42) cos coj/ 4- j (Xj — A2) sin оД] 4- E.
Выполняя далее преобразования, аналогичные преобразо-
ваниям в § 8.5, находим, что при нулевых начальных условиях
COS t Н--------sin (Oj t
“1
и
_ dur	<0?
i (/) — C —yr- = C---E e~6t sin кц t.
4 ’ dt	wl	1
(8.28)
Найденное решение показывает, что напряжение на ем-
кости контура содержит постоянную составляющую, равную
приложенному напряжению, и составляющую напряжения,
колебания которой происходят с частотой coj и отличаются от
гармонических тем, что их амплитуда убывает по экспоненте.
График колебания напряжения на емкости, характеризующий
процесс ее заряда, приведен на рис. 8.27.
В определенные интервалы времени напряжение на емко-
сти превышает напряжение воздействия. Наибольший из мак-
207
симумов напряжения называется выбросом напряжения. Его
значение меньше удвоенного напряжения воздействия и дости-
гает его лишь при 6 — 0, т. е. в контуре без потерь, когда
Uc(t) = Е (1 - cos aot).
Ток в контуре и напряжение на его индуктивности изме-
няются по тем же законам, по которым изменяются ток i и
напряжение ul в том же контуре в режиме свободных колеба-
ний. Это следует из сопоставления найденных решений с реше-
ниями § 8.4. С неограниченным ростом времени напряжение
на емкости стремится к напряжению воздействия, а ток и на-
пряжение на индуктивности контура стремятся к нулю и
в цепи устанавливается режим постоянного тока. Длитель-
ность переходного процесса, которая чаще всего оценивается
критерием е~в/^0,1 (0,05 или 0,01), тем больше, чем выше
добротность контура, поскольку 6 = co0/2Q.
Полученные выражения непосредственно распространяют-
ся на дуальную электрическую цепь — параллельный колеба-
тельный контур, к которому при нулевых начальных условиях
подведено ступенчатое воздействие тока
8.7.	Собственная и вынужденная составляющие
реакции электрической цели
Выше было показано, что колебания в простейших линей-
ных электрических цепях с одним и двумя реактивными эле-
ментами описываются решением обыкновенных линейных, в
общем случае неоднородных дифференциальных уравнений с
постоянными коэффициентами соответственно первого и вто-
рого порядков. К уравнениям этого типа (системам уравнений)
только более высокого порядка приводит и задача анализа пе-
реходных процессов в линейных электрических цепях с конеч-
ным числом сосредоточенных элементов. Их общее решение и
решение для заданных начальных условий находятся по пра-
208
вилам, проиллюстрированным на примерах анализа переход-
ных колебаний в простейших электрических цепях.
Слагаемые решения любой конкретной задачи анализа пе-
реходных колебаний в цепи, обусловленные общим решением
соответствующего однородного уравнения, принято называть
собственными, а частным решением неоднородного уравнения —
вынужденными составляющими реакции цепи на заданное воз-
действие. Принято также считать, что первые описывают
собственные, а вторые — вынужденные колебания в цепи. Так,
в решении (8.13) задачи анализа переходных колебаний в про-
стейшем 7?С-контуре при нулевых начальных условиях и
ступенчатом воздействии слагаемое — Ее~дх характеризует
собственную, а Е — вынужденную составляющие реакции.
Для последовательного колебательного контура (8.28) сла-
гаемое Е определяет вынужденную, а
—Е е-е/ (cos «х t -J- —— sin <ot Z)
\	Wx	)
— собственную составляющие реакции tic (0 контура на сту-
пенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Вы-
нужденная составляющая реакции при ступенчатом воздейст-
вии количественно характеризует режим постоянного тока,
а при гармоническом воздействии — режим гармонических ко-
лебаний в цепи (см. § 4.5). Таким образом, закон изменения во
времени этой составляющей реакции определяется (вынуж-
дается) только воздействием. В частности, вынужденные со-
ставляющие реакции не зависят от начальных условий, а дан-
ные цепи влияют лишь на количественные характеристики
вынужденных колебаний, но не их характер.
Вид функций, описывающих собственные составляющие ко-
лебания, зависит от типа корней характеристического урав-
нения. Последние определяются данными собственно цепи.
Начальные же условия задачи и начальное значение воздейст-
вия определяют постоянные интегрирования и, следователь-
но, влияют на значения коэффициентов перед слагаемыми функ-
ции, описывающей собственные колебания, но не на сами сла-
гаемые, хотя в частных случаях в решении могут отсутство-
вать слагаемые, соответствующие некоторым корням харак-
теристического уравнения (см. § 9.10). Именно поэтому рас-
сматриваемые составляющие и называются собственными
составляющими реакции цепи. Они характеризуют колебания
собственно цепи.
В режиме свободных колебаний вынужденная составляю-
щая колебаний отсутствует. Это служит основанием для того,
чтобы собственные колебания в цепи отождествлять с колеба-
ниями свободными, хотя последние следует рассматривать как
Частный случай первых.
209
Число составляющих собственных колебаний цепи опреде-
ляется порядком дифференциального уравнения. Он, как из-
вестно, равен общему числу независимых начальных условий
задачи. В электрических цепях начальные условия определя-
ются начальными значениями напряжений на емкостях и токов
в индуктивностях цепи, поэтому порядок дифференциального
уравнения обычно равен общему числу имеющихся в цепи ре-
активных элементов Nc + ЛД. Он может быть и меньше
Nc + Nl, если в цепи имеются контуры, содержащие только
емкости и, возможно, источники напряжения (иС-контуры).
Действительно, в любом из таких контуров нельзя независи-
мо задавать напряжения на его элементах, поскольку их сум-
ма всегда должна быть равна нулю. Но тогда в каждом из по-
добных независимых контуров одно из напряжений является
функцией остальных. Точно так же по первому закону Кирх-
гофа в любом сечении, в которое входят лишь независимые ис-
точники тока и индуктивности (iL-сечения), ток в любой из
индуктивностей однозначно определяется другими токами вет-
вей сечения.
Следовательно, порядок дифференциального уравнения не
может превышать разности между общим числом реактивных
элементов и общим числом имеющихся независимых иС-кон-
туров и tL-сечений, т. е.
/ *< Nc + Nl- (NuC + Nil).	(8.29)
Для суждения о числе Nuc (Ntc) следует в схеме цепи
разомкнуть (замкнуть накоротко) зажимы всех элементов, кро-
ме источников напряжения (тока) и емкостей (индуктивностей).
На рис. 8.28 приведена схема цепи с семью реактивными
элементами. В нее входяг два независимых uC-контура, и ко-
лебания в цепи описываются решением дифференциального
уравнения пятого порядка.
210
8.8.	Применение классического метода для анализа
переходных колебаний в сложных линейных
электрических цепях
Естественным обобщением рассмотренных примеров при-
менения классического метода анализа переходных колебаний
в электрических цепях является метод переменных состояния,
принципы которого были изложены в § 4.2—4.5. Именно пере-
менные состояния — напряжения на емкостях и токи в ин-
дуктивностях цепи — использовались в указанных примерах,
причем в цепях с двумя реактивными элементами исходная
система из двух уравнений первого порядка относительно
переменных состояния ис и /д преобразовывалась в одно диф-
ференциальное уравнение второго порядка, что связано
с дополнительными преобразованиями и усложнением про-
цедуры учета начальных условий.
Основные этапы решения задачи анализа переходных колебаний
методом переменных состояния, изложенные в гл. 4, иллюстрируются
ниже на конкретном примере.
Путь к цепи, схема которой показана на рис. 8 29, подведено сту-
пенчатое воздействие тока i (/) (см. (8.14)) при I = 1. Начальные усло-
вия задачи — нулевые. Выбранные положительные направления пе-
ременных состояния Uj, г2 и и3 приведены на рисунке, а значения эле-
ментов цепи в относительных единицах следующие: R = 1, С\ — 3/2,
L, = 4/3, С3 = 1/2.
Применив законы Кирхгофа к узлам 1 и 2 цепи и к контуру С1(
L3, С3, составим систему уравнений переменных состояния.
du.	„	. di3
Ci + ('а — i=0;	—«! L2 —— 4-из=0;
dt	dt
du3	u~
~i» + C»-----+ — =0.
' 3 dt	R
Если далее в эту систему уравнений подставить численные значе-
ния элементов, то после преобразований задача сводится к решению
нормальной неоднородной системы
уравнений:
2 .	2
dt ~ ~ 3 г2"^ 3 ’
3	3
~— = — и. — — и*;
'dt 4 1	4 3>
-~~~=213~2и3.
При решении соответствующей
однородной системы используем
м'1 >= Ле₽<; 62'i = Bepf и и(з'> = Ге₽/.
(8.30)
211
Подставив их в систему (8 30) при i = 0, найдем систему алгеб-
раических уравнений
2
— рА — ~ В=0,
— А — рВ — — Г = 0,
4	4
(8 31)
2В —(2 + р) Г=0
Эта однородная система алгебраических уравнений относительно
неизвестных 4, В и Г имеет решение, отличное от нулевого, когда ра-
вен нулю ее определитель В результате находится характеристичес-
кое уравнение
которое преобразуется в алгебраическое уравнение третьей степени
р3 + 2р2 + 2р + 1 = 0
Его корни таковы рх 2 = (—1 ± /УЗ)/2, р3 = —1
Уравнения системы (8 31) — линейно зависимые (ее определитель
равен нулю), поэтому, по крайней мере, одно из них является следст-
вием остальных Отбросив среднее из уравнений (8 31) и решив остав-
шуюся систему относительно неизвестных В и Г, находим
В = - — рА и Г	А
2 М	р + 2
Трем корням характеристического уравнения соответствуют три
различных коэффициента А Следовательно, при р = рг
3	3	—
В1= - ~ Pl At=— (1 — 1Уз) 4
И
— ЗР1
Pi + 2
3(1-1 Уз)
3+1 Уз
= -;Уз а.
Аналогично находятся при р = р2 и р — Р3
й2 = 4 (1 + /УЗ)А2,
4
Г2 — /УЗА2, В3 — А 3 и Г3 ЗА 3
Таким образом, найдены коэффициенты общего решения однород-
ной системы уравнений
Ее частное решение при i = I = const также представляет со-
бой совокупность постоянных u(1") — UL; = /2 и u<3”> = U3 Если
их подставить в (8 30) , то из нее следует Ul= 1; /2 — 1; U з~ 1-
212
Теперь можно записать общее решение неоднородной системы урав-
нений (8 30)
U1=^iep‘ z + 42ep«z + ^3eP1Z+l.
п	3—3
2. (1_;Уз)Д1ер‘( + — (1+) Уз) W' + ~ Л3ер-Ч1.
А 4	4	2
ц3 = -/ Уз Ае^Ч/ Уз Л2е'’" 1 + ЗА, ер’ ‘-р 1
Так как начальные условия нулевые, то из этой системы уравне-
^й следует что при t = 0
А Л2 4" У 4~ 1 “ 0»
— (1 —! Уз) А + ~7~ (' + ! Уз ) 42 — А3 + 1 =0,
4	4	2
— I У 3 Ау / У3 А2 + ЗА3 +1=0
В результате находятся значения постоянных Ль А3 и А3 и после
простейших преобразований решение задачи в следующей форме запи-
си, удобной для численных расчетов
2 ng, УЗ" 1
«1(0 = -—е 01 'cos——е +1’
О	2	О
1 / Уз	УТ \ п „	,
<2 (0 = — g f cos 2 t + Уз sin / е " —®,5е +1;
к, (/) =—(-sin ——— е “0,5/ —е“Ч 1.
,u к Уз 2	)
Здесь постоянные слагаемые характеризуют вынужденные составля-
ющие реакции цепи и определяют режим постоянного тока в цепи, а
остальные — собственные составляющие реакции цепи, т е ее собст-
венные колебания
При необходимости можно найти также токи в емкостях и напря-
жение на индуктивности анализируемой цепи, которые выражаются
в аналогичных функциях
Возвращаясь вновь к изложению метода переменных со-
стояния, следует отметить, что выкладки, связанные с состав-
лением нормальной системы уравнений (4 2), существенно упро-
щаются, если так выбрать дерево анализируемой цепи, чтобы
в него входили все источники напряжения и возможно боль-
шее число емкостных .элементов Тогда уравнения, составлен-
ные по второму закону Кирхгофа, могут содержать не более
одной производной uh — LkdiiJdt Точно так же в уравнения,
составленные по первому закону Кирхгофа, для любого глав-
ного сечения может входить лишь единственная первая произ-
водная г, = Cidu^dt
В общем случае некоторые из уравнений, составленных по
выбранному таким образом дереву цепи, будут линейными ал-
213
гебраическими уравнениями, в частности если в цепи имеются
uC-контуры или (и) [/.-сечения. В таких случаях для получения
нормальной системы уравнений необходимы дополнительные
преобразования.
Для цепей с зависимыми источниками процедура составле-
ния системы уравнений переменных состояния плохо поддает-
ся формализации, что необходимо при машинном расчете пе-
реходных процессов классическим методом. Тем не менее имен-
но относительно переменных состояния разработаны такие
эффективные машинные методы расчета переходных процес-
сов, которые не связаны с составлением системы дифференци-
альных уравнений (см. § 8.9).
8.9. Численные методы расчета переходных
колебаний
Пусть задана линейная электрическая цепь, известны на-
чальные условия и воздействия, подведенные к цепи, в тре-
буется найти методами цифровой вычислительной техники
напряжения и токи в ветвях цепи. Значения последних вычи-
сляются для дискретных значений времени, чаще всего равно-
отстоящих друг от друга на величину «шага» Л, т. е. для
t — t0 + h, t0 + 2й, /0 + ЗЛ и т. д.
Задача сводится к численному решению системы обыкновен-
ных дифференциальных уравнений первого порядка
х2, ... , xn, t) (q = 1, 2, . . , n)	(8.32)
по известным значениям искомых функций хг = Xj (/), х2 =
= х, (t), х„ = .г„ (/) в одной и той же начальной точке
t = t0 (задача Коши). В линейных электрических цепях такой
системой является система уравнений переменных состояния
(4.2), а значения искомых функций в начальной точке задают-
ся начальными условиями.
Важно, что при решении рассматриваемой задачи систе-
ма уравнений переменных состояния анализируемой цепи мо-
жет йыть сформирована в результате анализа некоторой рези-
стивной электрической цепи. Убедимся в этом сначала на про-
стейшем примере цепи с двумя реактивными элементами, схе-
ма которой приведена на рис 8.30, а. Воспользовавшись теоре-
мой замещения, заменим в этой цепи емкость источником на-
пряжения, а индуктивность — источником тока. В результате
образуется активная резистивная цепь со схемой рис. 8.30, б.
Ее анализ позволяет найти, что
5rrc iL и	«с	и
ic = ~	“8~ "Г ~2R ’ “L =	8	8	~ 
214
Но поскольку ic — Cduc/dt и Ul = LdiiJdt, это решение
определяет значения левых частей в системе уравнений пере-
менных состояния:
Л/с 5	1.1
~dt~=:z ~"&RC Uc + ~8C lL+~2RCU’’
duL 1 3R 1
~dt~~ 3LUC
составленной для рассматриваемой цепи.
Не представляет труда распространить результаты при-
мера на сложные линейные электрические цепи. В этом об-
щем случае после замены реактивных элементов цепи источ-
никами образуется активная электрическая резистивная цепь,
которая содержит п пар зажимов по числу имевшихся в цепи
реактивных элементов1. Цепь, к которой эти источники подсо-
единены, представляет собой резистивный, в общем случае
активный, многополюсник (рис. 8.31). Анализ реакций на
внешних зажимах этого резистивного 2п-полюсника и позво-
ляет находить численные значения коэффициентов системы
уравнений переменных состояния в любой момент, для кото-
рого известны напряжения на зажимах емкостей и токи в ин-
дуктивностях цепи и, естест-
венно, воздействия, подведен-
ные к цепи, т. е. формиро-
вать эту систему уравнений.
Численные методы расчета
переходных процессов основы-
Если в цепи имеются иС-
контуры (t'L-сечения), то одна из
входящих в них емкостей (индук-
ивностей) заменяется ИСТОЧНИКОМ
ока (напряжения), что не про-
иворечит теореме замещения.
215
ваются на пошаговом формировании и решении системы алге-
браических уравнений относительно неизвестных напряжений
и токов на внешних зажимах резистивного 2л-полюсника, при-
чем на каждом шаге используется то или иное приближенное
представление функций хд (t) или конечными суммами Тейлора,
или полиномами.
Если ряд Тейлора ограничить двумя первыми числами,
т. е. считать, что xq (t + h) ж xq (t) + hxq (/), то после заме-
ны в последнем выражении xq (f) его значением из (8.32) на-
ходится явный алгоритм (явная формула, ломаная) Эйлера
Xq (t + h) = Хд (£}+ hfg (Xj , Xj.х „, t) (q = 1, 2, ...
.... и),	(8.33)
где t — t0 + r/i; t0— начальный момент; г— номер шага; xh~
= xh (t0 + rh).
Алгоритм представляет собой рекуррентное соотношение
и позволяет с шагом h вычислять последующие значения
Xi (t + h), х» (t + /г), ..., xt (t + /г) по их предшествующим зна-
чениям, начиная со значений, заданных условиями задачи.
Простота этого алгоритма обусловливает его низкую точность.
Чаще всего используются другие алгоритмы, основанные на
учете большего числа членов ряда Тейлора. К ним относится,
в частности, широко применяемый алгоритм Рунге—Кутта.
Он сводится, как и явный алгоритм Эйлера, к пошаговому
вычислению функций xq по формуле
XQ (/ + h) = Хд (/) +~ (&1д + 2^гд+ 2^3д + ^4д) (7 ~ > 2,...,п),
(8 34)
где
*1д = /г/9(Ч, х2, .. , хп, о;
kiq-=hfq(xi + ^-, х2 + -^-, xn + -^-, Z + 4-);
^ = ^(4+^-,^ + -^-’ • ’Х" + -Т’ / + т);
= ^д (Xj k31, X2 4-fe32,. , Хп + Йзп,
Алгоритм достаточно прост для реализации на цифровых
вычислительных машинах и обычно содержится в их матема-
тическом обеспечении.
Алюритмы, основанные на приближенном представлении
искомых функций полиномами, требуют знания значений каж-
дой из функций системы (8.32) не в одной, а в нескольких на-
чальных точках, поэтому они получили название многошаго-
216
вых. Простейшим примером может служить трехшаговый
алгоритм Адамса—Башфорта
xg (t + h) = xq (t) + h [^- fq (t)	-h) +
+ -A_fg(Z-2/i)],	(8.35)
где fq (0 = fq x2 (0, .... xn (t), /1.
Начальные значения функций xq (t) вычисляются обычно
с помощью алгоритма Рунге—Кутта с высокой точностью, т. е.
при малом шаге, по заданным начальным условиям.
Результаты, любого численного расчета, в том числе и пе-
реходных процессов по приведенным алгоритмам, должны об-
ладать требуемой точностью, иначе расчет лишен смысла.
Погрешности расчета обусловлены, во-первых, приближенным
характером расчетных алгоритмов (алгоритмическая погреш-
ность) и, во-вторых, погрешностями округления (машинная
погрешность). Алгоритмическая погрешность растет с увели-
чением шага h, а начиная с некоторой его величины, решение
вообще расходится (теряет устойчивость) Если отвлечься от
машинной погрешности или производить вычисления с возра-
стающим числом знаков, то с уменьшением шага можно полу-
чить численное решение с как угодно малой погрешностью.
Желательно выбрать такое значение шага, которое позволяет
найти решение требуемой точности за наименьшее число ша-
гов. Это особенно важно в задачах оптимизации, когда реше-
ние системы (8.32) для заданной совокупности данных цепи
составляет лишь один шаг оптимизационной задачи.
К сожалению, для алгоритма Рунге-Кутта отсутствуют кон-
структивные критерии выбора оптимально! о в указанном смыс-
ле шага. В связи с этим расчет ведется, как правило, с боль-
шим запасом по числу шагов. При выборе шага учитываются
опыт решения аналогичных задач, ожидаемый характер реше-
ния, особенности схемы и данных анализируемой цепи, со-
поставляются результаты расчетов при различных шагах, рас-
считываются, если это возможно, контрольные точки по ана-
литическим соотношениям и т. п
Для многошаговых алгоритмов используются методы, поз-
воляющие контролировать погрешности расчета. Кроме того,
применение многошаговых методов при прочих равных усло-
виях обычно экономит машинное время по сравнению с одно-
шаговыми методами.
Алгоритм Рунге-Кутта, как и многошаговые алгоритмы,
широко используется и при анализе колебаний в нелинейных
электрических цепях, в частности в цепях с нелинейными двух-
217
полюсниками. Необходимым условием для этого является
возможность формирования нормальной, но уже нелинейной
системы уравнений (8.32), которая в некоторых случаях может
составляться относительно функций хд, характеризующих не
напряжение (токи), а заряды (потокосцепления) в емкостях
(индуктивностях) цепи. Накладываются также ограничения
на функции, характеризующие нелинейные двухполюсники.
Все это существенно усложняет численный анализ колеба-
ний в нелинейных электрических цепях по сравнению с цепя-
ми линейными. Вместе с тем в нелинейных электрических це-
пях численные методы являются по существу единственными
возможными методами анализа колебаний, если исключить
простейшие резистивные нелинейные цепи. Численные методы
могут использоваться и при анализе колебаний в линейных
параметрических цепях, т. е. в цепях, значения элементов ко-
торых изменяются во времени.
Глава 9.
ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА
ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
9.1. Преобразование Лапласа
В предшествующих главах было показано, что задача ана-
лиза колебаний в линейных электрических цепях с сосредото-
ченными элементами при произвольных воздействиях сводится
к решению неоднородной системы обыкновенных линейных
дифференциальных уравнений при заданных начальных усло-
виях.
Для аналитического решения линейных дифференциальных
и интегрально-дифференциальных уравнений в теории элек-
трических цепей нашли широкое применение операторные ме-
тоды. Одной из первых математических работ, посвященных
операторным методам решения дифференциальных уравнений,
явилась работа М. Е. Ващенко-Захарченко «Символическое
исчисление и его приложение к интегрированию линейных диф-
ференциальных уравнений» (1862 г.). В 1892 г. были опубли-
кованы работы английского инженера О. Хевисайда, в которых
он решил операторным методом ряд практически важных за-
дач анализа колебаний в электрических цепях.
218
В настоящее время опера-
торные методы связывают с
применением преобразования
Лапласа.
Пусть / (/) — кусочно-не-
прерывная однозначная функ-
ция переменного t {времени).
Будем считать, что
f (/) = 0 при t < 0, (9.1)
т. е. что функция тождественно
равна нулю при отрицатель-
ных значениях t (рис. 9.1).
Если f (f) характеризует воздействие на электрическую
цепь, то условие (9.1) всегда можно выполнить, совмещая на-
чало отсчета времени с началом воздействия. При этом условию
(9.1) будут удовлетворять также функции, описывающие реак-
ции в той же электрической цепи, что естественно, поскольку
реакция не может предшествовать воздействию. Пусть, далее,
р = а 4- /ш	(9.2)
— комплексная переменная. Тогда, как известно, преобразо-
ванием Лапласа F (р) функции f (/) является следующая функ-
ция комплексной переменной р:
оо
Р(Р) = ^	(9.3)
о
Преобразование Лапласа функции f (t), удовлетворяющей
перечисленным требованиям, существует для Re р = а аа,
если
со
J I f (0 | е-°‘ dt
О
19.4)
сходится для а — а0. Наименьшее значение а0 характеризу-
ет так называемую абсциссу абсолютной сходимости преобра-
зования Лапласа.
Важно отметить, что функции, описывающие реально воз-
можные воздействия и тем более соответствующие им реакции,
всегда преобразуемы по Лапласу.
Функцию f (t), которая подвергается преобразованию, на-
зывают исходной, преобразуемой или чаще всего оригинаюм,
а Функцию F (р), найденную в результате преобразования, —
преобразованной по Лапласу функцией, лапласовым изображе-
нием функции f (f), ее L-изображением, или просто, изображе-
219
наем (функции f (/)'> Отметим сразу же два важных свойства
преобразования Лапласа, его единственность и линейность.
Свойство единственности преобразования, если отбросить де-
тали, которые не сказываются на результатах рассматривае-
мых задач анализа колебаний в электрических цепях, можно
формулировать следующим образом: если функция f (t) имеет
преобразование Лапласа, то это преобразование единственно
и, с другой стороны, если задана функция F (р) и найдена функ-
ция f (/), удовлетворяющая преобразованию (9.3), то функция
f (/) единственна.
Свойство линейности преобразования можно определить
так: L-изображение суммы функций равно сумме L-изображений
каждой из функций в отдельности, т. е.
если /(/)= 2 /л (О, то F(p) = 2 Fh(P)-	(9.5)
k=i	k=i
Ясно, что свойство линейности преобразования Лапласа
является следствием самого определения преобразования.
В силу единственности преобразования Лапласа между изо-
бражением и оригиналом имеется взаимное соответствие. Учи-
тывая это, в дальнейшем будем широко использовать для за-
писи преобразования Лапласа одну из следующих равносиль-
ных форм:
F(p)^f (0 или f (t) == F (р).
Напомним также основные взаимозависимости между опе-
рациями над оригиналами / (/) и их L-изображениями F (р).
Дифференцирование оригинала
Ж^Г(рН(0 + )*.	(9.6а)
at
Если / (0 + ) — 0, что соответствует в задачах анализа пе-
реходных процессов нулевым начальным условиям, то
-^2-==рР(р).	(9.66)
dt
Интегрирование оригинала
*
t
(9.7)
J	Р
о
* Здесь / (0 +) — значение дифференцируемой функции в точке
t — 0 при приближении к ней справа (см. примечание на с. 186). Для
удобства записи в последующем знак «+» будет опускаться.
220
М с Ш, ri г‘ \	~	- -
теорема запаздывания)
f(t—Q	F(Р) e~pt°-
(9.8)
с м е-
Применение теоремы снимает ограничения, накладываемые
на оригинал условием (9.1).
Смещение изображения (теорема
ще’ни я)
F (р Ьа) = /(0е~а/.
(9.9)
Произведение изображений
t	t
Fi (Р) F-i (Р)	[ fi (t —х) U (х) dx=^fi (х) Ъ (t—x) dx. (9.10)
b	о
Здесь оригиналом является свертка функций (t) и f, (/).
Отыскание /.-изображения заданной функции называется
прямым преобразованием Лапласа, в отличие от обратного
преобразования Лапласа, целью которого является отыскание
функции f (/) по ее известному L-изображению F (р), т. е.
решения интегрального уравнения (9.3) относительно функ-
ции f (I).
Решения задач прямого и обратного преобразований Ла-
пласа существенно упрощаются в тех случаях, когда удается
использовать справочные таблицы, которые содержат пары
оригинал—изображение, известные для обширной совокуп-
ности элементарных и специальных функций. Эти таблицы
приводятся в справочниках по операционному исчислению.
В табл. 9.1 даны те пары оригинал—изображение, которые
часто встречаются в задачах анализа колебаний в линейных
электрических цепях при типовых воздействиях и используют-
ся ниже в примерах. Они легко устанавливаются непосредст-
венным применением к функциям f (/) таблицы преобразова-
ния Лапласа (9.3). Исключением является лишь функция
5 (/), изображение которой представляет собой постоянную
'строка 1 табл. 9.1). Определение этой функции дано в § 10.1.
В общем случае задача обратного преобразования Лапласа
решается с помощью преобразования Римана—ААеллина

1
2л/
j F(p)eptdp,
(9.И)
3 котором интегрирование ведется в комплексной плоскости
вдоль бесконечной прямой, параллельной мнимой оси и рас-
положенной правее всех особенностей функции F (р).
221
Таблица 9.1
Номер п/п	F (р)	f (О
1	А	Л6(/)
2	А Р	А
3	А Рг	At
4	А р+«	Ае-*‘
5	А (Р + а)2	Ate~at
6	А (р + а)п				У1-'e~at (п-1)!
7	А р24-со2	А — sin ш/ со
8	Ар р24~ со2	A cos со/
9	А (Р а) (р+ Ь)	о—а
10	Ар (р + а) (р Ь)	а — о
222
ty/WAA—’---
Номер п/п	F (р)	t </)
11	А ра4-ар + Р		« t А	2 — е	sin col t, “1 	 - где =	Р—
12	Ар ра-|-ар+Р	- — t 2	/	а	\ Де	cos cos t	sin cot t , \	2со£	/ 1 /\ а2 где “1=1/	₽ ——
13	Ар (р+а)2	A (1— at) e~at
14	А Р(Р + а)	— (l-e-“') а
15	А Р(Р+а) (р+Ь)	hi	(a — b + be at—ae bt) ab (a—b)
16	А р(ра + ар+₽)	t A A	2 r_Te x f	a	\ X COS CO] ? +	 Sin CO] t , \	2c0]	/ , f B a3 где CO] = 1/	₽ — —
17	А р(р + а)а	aa
18	1—е”₽/« А	 Р	( А при 0</</и; ( 0 при i > tH
223
Окончание табл. 9.1
9.2. Основные положения операторного метода
анализа переходных процессов
Допустим, что для анализируемой линейной электриче-
ской цепи, содержащей конечное число сосредоточенных эле-
ментов, составлена система дифференциальных или интеграль-
но-дифференциальных уравнений, решение которой описывает
переходные колебания в цепи при заданных воздействиях и на-
чальных условиях. Если к уравнениям этой системы приме-
нить преобразование Лапласа, то в результате образуется
система уравнений для L-изображений колебаний в цепи (так
условимся называть Е-изображение функций, описывающих
колебания в анализируемой цепи). В этой системе уравнений,
как известно, учитываются и начальные условия задачи. На
следующем этапе анализа переходных колебаний система урав-
нений для Е-изображений колебаний решается относительно
Е-изображения искомого колебания. Наконец, на последнем
этапе по найденному Е-изображению колебания находится со-
ответствующий ему оригинал, т. е. функция, описывающая ис-
комое колебание.
Убедимся в том, что этапы составления системы дифферен-
циальных уравнений и их преобразования по Лапласу можно
заменить прямым составлением уравнений для Е-изображений
колебаний в анализируемой электрической цепи.
Соотношения между Е-изображениями напряжений и то-
ков в элементах электрических цепей. Согласно (9.6а)
duc (0	_
i (t) = С —£--= С [pUc (Р) -ис (0)],
at
224
поэтому /.-изображения тока / (р) в элементе емкости и на-
пряжения на нем связаны соотношением
/ (р) = pCUc (р) - Сис (ОС	(9.12а)
Аналогично находятся соотношения
U (р) = pUL (р) - LiL (0)	(9.126)
U(p)^RIR(p)	(9.12b)
между L-изображениями напряжений и токов в индуктивно-
сти и резистивном элементе пени.
Важно, что ис (0) и iL (0) в (9.12) определяют начальные
условия в соответствующих реактивных элементах.
Составление уравнений для А-изображений колебаний
при нулевых начальных условиях. При нулевых начальных
условиях
/ (р) = pCUc (Р) И и (Р) = PUL (р).	(9.13)
Отношения
-^- = Zc(p) = 4- и	ZL(p^pL (9.14а)
/(р)	рС IL(p)
имеют размерность сопротивления и называют операторными
сопротивлениями соответственно емкости и индуктивности.
Обратные им отношения характеризуют операторные прово-
димости
Ус(р)=рС и УЛ(Р) = 4-	(9.146)
ду-
этах элементов. Согласно (9.12 в) операторное сопротивление
резистивного элемента
Yr(p)
(9.14в)
т. е. равно его сопротивлению.
Понятия операторных сопротивлений и проводимостей эле-
ментов электрических цепей обобщаются на линейные двух-
полюсники. Операторным сопротивлением двухполюсника на-
зывается отношение L-изображения напряжения на входе
Двухполюсника к /.-изображению тока, подведенного к двух-
полюснику при нулевых начальных условиях и согласном
выборе положительных направлений тока и напряжения
(Рис. 9.2), т. е.
Z(/>) = £M = _J_
! (р) У (р)
(9.15)
225
9.2
Здесь Y (р) — операторная про-
водимость двухполюсника
Соотношение U (р) ~ Z (р)х
X I (р) или / (р) = F (р) и (р)
часто называют законом Ома
для L-изображений колебаний.
Благодаря линейности пре-
образования Лапласа [см. (9.5)1
L-изображения колебаний в
электрической цепи удовлетворя-
ют и законам Кирхгофа, соглас-
но которым в любом узле (кон-
туре) цепи алгебраическая сумма L-изображений токов (на-
пряжений) равна нулю. Но тогда при составлении уравнений
для L-изображений колебаний, если начальные условия нуле-
вые, можно применять все те методы, которые используются
с этой целью в символическом методе анализа гармонических
колебаний, только комплексные амплитуды воздействий и
колебаний заменить их L-изображениями, а комплексные со-
противления (проводимости) ветвей цепи — их операторными
сопротивлениями (проводимостями).
Таким образом, при нулевых начальных условиях дейст-
вительно можно исключить необходимость в составлении си-
стемы дифференциальных уравнений для анализируемой црпи
и ее преобразование, заменив эти этапы анализа переходных
колебаний операторным методом составлением системы алге-
браических уравнений относительно L-изображений колеба-
ний в цепи стандартными методами теории линейных электри-
ческих цепей.
Особенности составления уравнений для L-изображений
колебаний при ненулевых начальных условиях. Высказанное
выше заключение остается справедливым и в случае ненулевых
начальных условий, если использовать соответствующие схе-
мы замещения реактивных элементов. Эти схемы находятся
из соотношений (9.12), у которых первые слагаемые соответст-
вуют соотношениям между L-изображениями колебаний в ре-
активных элементах при нулевых начальных условиях, а вто-
рые* можно рассматривать как изображения добавочных воз-
действий, приложенных к цепи в месте подсоединения к ней
реактивного элемента с ненулевыми начальными условиями.
В частности, соотношению (9.12 а) соответствует схема заме-
щения заряженной емкости, приведенная на рис. 9.3, а. В
нее входит помимо незаряженной емкости также источник
тока, у которого L-изображение задающего тока равно
Сис (0).
22 6
Другая возможная схема замещения заряженной емкости
может быть найдена, если решить (9.12 а) относительно
С/С(р) =
/ (Р)
рс
ис (°)
Р
чему соответствует схема замещения заряженной емкости,
показанная на рис. 9.3, б. Она содержит незаряженную ем-
кость С и источник напряжения, у которого /.-изображение
задающего напряжения равно цс (0)/р. Аналогично находятся
схемы замещения индуктивности при ненулевых начальных
условиях. Они приведены на том же рис. 9.3.
Ясно, что после введения в анализируемую цепь схем за-
мещения реактивных элементов задача составления уравнений
для L-изображений колебаний при ненулевых начальных усло-
виях сводится к задаче при нулевых начальных условиях,
но только с большим числом воздействий. В последующем
^-изображения задающих напряжений и (или) токов тех до-
полнительных источников, которые вводятся в цепь при нену-
левых начальных условиях, будем называть [.-изображения-
ми начальных условий.
9.3. Примеры анализа переходных колебаний
в простейших электрических цепях
операторным методом
/?С-контур. Ступенчатое воздействие. На рис. 9 4, а показана схе-
ма Цепи, в которой в момент коммутации (замыкания ключа) при t = О
напряжение на емкости было равно ис (0). Схема замещения цепи для
L-изображений колебаний при t > 0 изображена на рис 9 4, б. В нее
н °дят схема замещения емкости при ненулевых начальных условиях
-изображение воздействия, т.е. /.-изображение постоянной Е —
= const, равное Elp (строка 2 табл. 9.1). По этой схеме находится L-
изображение тока в контуре
I (Р) =
Е ис (°)
Е — Uс (0)
7	1 \
7? ( р -------]
V	RC J
Найденному изображению соответствует согласно строке 4
табл. 9.1 оригинал
ч Е-“С(0)
i (1 =-------е
R
который и определяет закон изменения тока в контуре (см. § 8.3).
При нахождении L-изображения напряжения на емкости следует
иметь в виду, что оно равно сумме L-изображений напряжения на не-
заряженной емкости и начального условия, т. е.
или после преобразований
Е
UС -----------“
/?Ср I р-1-
ис (®)
CR
Далее, используя данные строк 14 и 4 табл. 9.1 и учитывая,что
сумме L-изображений соответствует сумма их оригиналов, находим
uc(Z) = £(l—	+uc(0) e-'/T=£+[(ic(0)-Е]е~^х,
где т = RC — постоянная времени контура.
Параллельный колебательный контур. Ступенчатое воздействие.
Пусть к параллельному колебательному контуру (рис. 9.5, а) подве-
дено ступенчатое воздействие (8.14) тока при нулевых начальных ус-
ловиях. Так как L-изображение воздействия I (р) = //р, а опера-
торная проводимость контура равна сумме проводимостей его ветвей,
т. е. Y (р) = рС G	——, то L-изображение напряжения на зажимах
pL
контура
___________I______
С (р2+2бр+со о)
где, как и ранее,
х G	1
о =-- и ш _____
2С	VLC
228
Ему соответствует (см. строку 11 табл. 9.1) оригинал и (t) =
==	sin cOj/, где (0^= V<aj - 62. Так как
ШдС
_ U (Р)До2
pL р(р3 + 25р+<о2)
и Ic<P)=PcU (p)=~TT^~i—~
с	p3 + 26p + w?
то по данным табл. 9.1
л/ (	6
i (П 1 — ! е с cos to, --- sin wit
L \
6
и ir (/) — 1 е 0 I cos coj t —-sin Mj t
c*	I	i-.y
Найденные решения соответствуют случаю комплексных сопря-
женных нулей полинома р2 + 26р со^ (G < 2 \/С/L — см. § 8.5).
Если нули этого полинома вещественны и равны Р1 = —а к р2 — —Ь,
то целесообразно использовать данные строк 9, 10 и 15, а при кратных
нулях полинома — строк 5, 13 и 17 табл. 9.1.
Если воздействие к тому же контуру подведено при ненулевых
начальных условиях, то в примере целесообразно использовать схе-
мы замещения реактивных элементов для ненулевых начальных ус-
ловий, приведенных на рис. 9.3, а и 9.3, г, т. е. схемы замещения с ис-
точниками тока. Тогда L-изображение воздействия на контур
(рис. 9.5, б)
,	1	‘д <°)
Л> (Р) — Ь Сис (0) —	.
Р	Р
Следовательно,
U - 7<Р) _ ;~ZL(0)+ рСиС
Р,~ Y (р) ~ С(р2 + 2бр+ш2) '
Для нахождения соответствующего оригинала с помощью
табл. 9.1 следует представить это изображение в виде суммы:
,	7-‘l(0)	Р«с(0)
и {Р} ~=--------:------4- ----------------,
( (Р24-2бр + и’) r ps + 26p + co3
229
и если О < З^/С/Л, воспользоваться данными строк 11 и 12 табл 9.1.
В результате после простейших преобразований находится следующее
выражение для напряжения на контуре в режиме переходных колеба-
ни и
w(/) = e 6Z ис (0) cos СО]/ +
/-«L(0)	6 \
------— — “с (°) ------ sin “1z
coi С	“i /
где	= У cog—б2.
Аналогично могут быть найдены токи в элементах контура.
Заметим, что, полагая в последнем выражении / = 0, можно най-
ти закон изменения напряжения на контуре в режиме свободных коле-
баний при тех же начальных условиях (см § 8 5).
Параллельный колебательный контур. Гармоническое воздействие.
Пусть в момент /—Ок контуру при нулевых начальных условиях
подведено гармоническое воздействие
( 0	при / < 0,
!(/) = {
(Im cos со/ при / > 0.
Решим задачу для практически наиболее важного и к тому же
простейшего случая, когда частота воздействия совпадает с резонанс-
ной частотой контура со0 = \Г\/ LC.
Пусть искомой реакцией является напряжение иа зажимах кон-
тура Поскольку L-изображение воздействия равно 1 тр/ (р2 -|- со§)
(строка 8 табл 9 1), L-изображение искомого напряжения
I (Р)	Im Р2
и (р) = —— = ---------------—-------------.
Y (р)	! G	\
С(р2+ — Р+со? 1 (Р2 + со§)
Оригинал для этого изображения можно найти, если U (р) пред-
ставить, как и в предыдущем примере, в виде суммы двух функций бо-
лее низкого порядка, а именно
п i '	1тр
и р) = "7 ГГ7
й (P2 + Wo)
1т Р
(j
— р+^1
Эта форма представления функции U (р) находится, если восполь-
зоваться, например, методом неопределенных коэффициентов. Ей, по
данным табл 9 1, соответствует оригинал
*
« (0 = cos “о t —	(cos соr / —---sin И] /),
G	G \	СО]	/
где 6 = G/2C и сО] = ^а>о — б2.
При типовых значениях добротности контура, когда Q 1, в най-
денном решении (см. §8.4).
б	1
И] ~ со0 и----- = ~ < ’•
<0]	2Q
2«О
Следовательно,
« (0 — “(> —е~б/) cos coo t
и
Эта функция описывает колебание, отличающееся от гармоничес-
кого тем, что его амплитуда монотонно возрастает, стремясь к устано-
вившемуся значению Um = Im/G. Закон, по которому возрастает
амплитуда колебания 1 — е~к, описывает «огибающую» колебания.
График колебания показан на рис. 9 6,
Процесс установления колебаний в контуре считают закончив-
шимся, если огибающая колебания отличается от ее установившегося
значения не более чем на 5 % (б/ = 3) или на 1 % (б/ = 4,6). Для
6 9 2
этого необходимо время t > /уст =—:—— Q- Так, при соо = 3 • 106
СОо
и Q ~= 300
9 2
t> —— Q = 9,2-10~4 с « 10—3 с,
<Оо
т. е. спустя 0,001 с после приложения к контуру гармонического воз-
действия колебания в контуре практически не будут отличаться от гар-
монических При этом за время 0,92 мс укладывается 440 периодов час-
тоты заполнения То = 2л/<оо.
Принципиально важным является то, что время установления ко-
лебания тем больше, чем выше добротность контура, т. е. чем ярче вы-
ражено в контуре явление резонанса.
^С-контур. Воздействие видеоимпульса прямоугольной формы.
Найдем закон изменения напряжения на емкости последовательного
ftC-контура, к которому в момент t = 0 при нулевых начальных усло-
виях подведено воздействие, график которого приведен на рис. 9.7. Это
так называемый видеоимпульс напряжения прямоугольной формы. Функ-
ции
«(/) =
при t < 0 и t > ta;
= 0
= Е
при 0 < t < tB,
описывающей аналитически воздействие, соответствует L-изображение
U(p) = E
1 —е
И
231
приведенное в строке 18 табл 9.1. Тогда L-изображение напряжения
на емкости контура
1—е и
Ur(p) = E---------
Р
Е	1
1
pCR+l
CR
Е 1	~р/и.
CR /	1 \ 6
Из-за линейности преобразования Лапласа искомое напряжение бу.
дет равно сумме оригиналов для этих двух слагаемых Uc (р). Первому
из них по данным строки 14 табл 9.1 соответствует оригинал
«С1 (0 = £ (1—е“^т),
а второму — тот же оригинал, но смещенный (запаздывающий) отно-
сительно «С1 (7) на время /и и взятый с обратным знаком, т. е.
UC2 (О —'— Ucl	1 — е
и \
/, где t > ta.
Действительно, согласно теореме запаздывания (9.8) умножению
изображения на экспоненциальный множитель exp (— pt„) соответст-
вует запаздывание оригинала на время /и.
Следовательно, при 0 < t < /и, когда «С2 = 0, напряжение на
емкости контура будет изменяться по закону
(/)«=£ (1—е—//т),
а при t > tv — по закону
=Е(1— е *и/г)е
> /и ) .
Это же решение можно найти, если воздействие представить в ви-
де суммы двух ступенчатых воздействий, равных по абсолютной ве-
личине. Первое из них (/) прило-
жено к цепи в момент t = 0, а вто-
рое — и2 (t), отрицательной поляр-
ности — в момент t = ta (рис. 9.8).
Реакция на первое из этих воздей-
ствий, пока второе равно нулю, из-
вестна и равна в принятых обозна-
чениях нС1 (/). Реакция же на вто-
рое ступенчатое воздействие отли-
чается от иС1 (t) знаком и запазды-
вает относительно его на время
/и и, следовательно, иС2 (t) =
= —-ucl (t — /и)- По принципу на-
ложения при t > /и реакция ис (/)
232
б)дет равна сумме реакций на каждое из этих двух ступенчатых воз-
действий, т. е. не отличается от выражения, найденного ранее путем
формального применения операторного метода.
Наконец, это же решение может быть найдено на основании сле-
дующих соображении. Пока длится рассматриваемое воздействие, т. е.
пока 0 < t < /и, напряжение на емкости возрастает по тому же за-
кону, по которому оно возрастало бы при ступенчатом воздействии той
же величины. Поэтому при 0 <_ t < ис (/) = «С1 (/). К моменту
окончания импульса напряжение на емкости достигает величины
ис (/„) = £ (1—е~~ *и/Т).
После прекращения воздействия, т. е. при t > tw, в цепи начина-
ются свободные колебания за счет энергии, запасенной в емкости цепи
к моменту t = ta. В режиме свободных колебаний напряжение на
емкости уменьшается по экспоненте, убывая от значения ис (/и) при
= 1И до 0 при t = оо, чему соответствует найденное решение.
На рис. 9.9 изображены графики ис (/) для различных соотноше-
ний между длительностью импульса и постоянной времени цепи. Они
показывают, что с уменьшением постоянной времени цепи реакция в
виде напряжения на емкости все больше приближается по форме к воз-
действию — прямоугольному видеоимпульсу. При этом важно не
абсолютное значение длительности импульса, а соотношение между
длительностью импульса и постоянной времени цепи, о чем свидетель-
ствует решение.
Параллельный колебательный контур. Воздействие радиоимпуль-
са с прямоугольной огибающей. Пусть на параллельный колебатель-
ный контур в момент t = 0 при нулевых начальных условиях воздей-
ствует радиоимпульс с прямоугольной огибающей. Он представляет со-
бой отрезок гармонического колебания, причем длительность импульса
обычно в несколько раз превышает период гармонического колебания
(гармонического заполнения). График такого импульса показан на
рис. 9.10. Положим, что частота заполнения импульса совпадает с ре-
зонансной частотой контура. Тогда для установления колебаний в кон-
туре необходимо время
,	6 ... 9,2	6 ... 9,2
‘уст = ~-------Q = -------- •
СОо	CD1—CD—х
Если длительность импульса /(1 будет равна /уСт> то к моменту его
окончания колебания в контуре могут считаться установившимися, что
233
создает благоприятные условия для ре-
гистрации импульса. Такое же время
/уСТ необходимо и для того, чтобы по-
сле окончания импульса огибающая
свободных колебаний в контуре упала
до 1—5 % от ее установившегося зна-
чения. Тогда спустя время /уст после
окончания предшествующего импульса
контур будет подготовлен к приему
последующего импульса. Если же время
установления колебаний в контуре бу-
дет больше илн значительно больше
длительности импульса, то огибающая
колебаний в контуре к моменту окон-
чания импульса не успеет достиг-
нуть установившегося значения, а свободные колебания в кон-
туре будут длиться время, значительно превышающее длитель-
ность импульса. Поскольку следующий импульс может быть подведен
к контуру по истечении времени /и после окончания предшествующего
импульса, а к этому моменту свободные колебания в контуре будут
иметь значительную амплитуду, регистрация сигнала при /уст ta
существенно затрудняется.
Итак, чем выше добротность контура, т. е. чем уже его полоса про-
пускания, тем медленнее нарастает и убывает огибающая колебаний
реакции и тем больше искажается форма передаваемых сигналов. Про-
тиворечие между стремлением к повышению избирательности контура
и уменьшению искажений формы сигнала разрешается путем разумно-
го компромисса.
При оценке времени установления колебаний в контуре обычно
пользуются приближенной формулой
/уст
которая следует из предшествующей при замене йг —	на
2л (/х — f~i). При этом произведение полосы пропускания контура иа
длительность переходного процесса в нем приближенно равно едини-
це, что характерно и для многих более сложных селективных цепей.
Аналитическое решение рассмотренной задачи можно найти, ис-
пользуя операторный метод. Изображения воздействия для случая,
когда длительность импульса кратна целому числу периодов частоты
заполнения, приведены в строках 19 и 20 табл. 9.1.
9.4. Системы уравнений для L-изображений
колебаний
В общем случае L-изображение искомого колебания на-
ходится в результате решения системы уравнений для L-изо-
бражений колебаний. Послендяя может быть составлена по
схеме замещения цепи с помощью методов токов ветвей, на-
пряжений ветвей, узловых напряжений или контурных токов.
В частности, составляя систему узловых уравнений для L-изо-
бражений колебаний, следует повторить по существу все рас-
суждения, связанные с составлением системы узловых уравне-
234
ний (3.11) подобно тому, как это было сделано при образова-
нии системы узловых уравнений (6.11) для комплексных узло-
вых напряжений. В результате находится следующая систе-
ма узловых уравнений для цепи, содержащей N независимых
узлов:
/ц Ui (Р) —/12 ^2 (Р) — — /iw Un (р) = h (р);
—	/21 Ui (р) + /22 U2 (р)—...—Y2nUn (р) = 12(р);	(9.16)
—	/.Vi Ui (р) — Y^2 U2 (р) —... 4- УNN Un (р) — In (р).
В этой системе уравнений согласно (6.12) после замены
jco на р коэффициент
Yhh = PChk +	4------ (9.17а)
PLkk
представляет собой арифметическую сумму операторных про-
водимостей всех тех элементов, которые подсоединены к узлу
k. Если k I, то
Yhl~pCM + Ghl +——	(9.176)
PLki
является проводимостью ветви, включенной между k-м и /-м
узлами.
В цепях с зависимыми источниками в коэффициенты урав-
нений могут входить также дополнительные слагаемые, кото-
рые обусловлены влиянием между узлами через зависимые ис-
точники.
При ненулевых начальных условиях в правые части урав-
нений системы помимо L-изображений задающих токов неза-
висимых источников тока могут входить также L-изображения
начальных условий, т. е. L-изображения источников, которые
содержатся в схемах замещения реактивных элементов при не-
нулевых начальных условиях (см. рис. 9.3).
Для записи решения системы узловых уравнений (9.16)
можно использовать правило Крамера, согласно которому,
если определитель D системы уравнений не равен тождественно
нулю, то
N
2 Н/' + 'лМ(р)
Uh(p) = -L^l---------------- (9.18)
гДе Mlh — минор определителя относительно /-й строки k-ro
столбца.
для В качестве примера составим и решим систему узловых уравнений
Цепи с ИНУН. Схема цепи и ее схема замещения для ненулевых
235
начальных условий приведены соответственно па рис. 9.11, а и б.
В этой схеме использованы схемы замещения реактивных элементов с
источниками тока. Поскольку напряжения на входе и выходе ИНУН
отличаются в k раз, независимыми в цепи являются узлы 3 и 4. Приме-
няя к анализируемой схеме правила составления узловых уравнении
(см. § 3 6 и 6.6), находим
(пГ ,	1	1 \,, . х ^(р)
Pci + ~ + “ ИМР) — --—— —Z-----------— рСг kut(p)^
\	«1	Ла /
= — Сх tzci (0),
СД(р)	I	1 \
- —^~+ РС^+ (Р) = Сг чС2 (°) •
Л 2	\	Л 2 /
или после преобразований
( РС1 + ~ +	{Pj—lpC^ & + “-') ui (Р) =
\	1\2 /	\	1\2 j
=	(0);
Л1
t\(p)	/	1 \
- "7~+ ^+“S~P4(p) = C2«c2(°)-
А 2	\	^2 /
Решение этой системы уравнений, если, простоты ради, положить
= Аа =- R и Сг ~ Сг ~ С, таково:
, (pCR + ^U.ip) -[ рС2 R2 [kuC2(0)—ucl (0)] +
Uз (о) =------—---------------------------------—+
+ CR[uC2 (0)-«С1 (0)j
+ pCR (3 — k)-i- 1
Ut (Р) + PC3 А?2 иС2 (0) + CR [2иС2 (0)~иС1 (0)]
U (р}~------------------------------------------•
р! О R--4 pCR (3 — А) + 1
Диализ этого решения приведен в §9.8
236
9.5. Дробные рациональные функции
Дробными рациональными функциями называются функции вида
М (р) _ РоРИ+Р1РИ ' +  • +РЦ
W) = pv+a1Pv-* + ...+av
(9.19)
комплексной переменной р. Их можно определить и как отношение
двух полиномов /И (р) и ;V (р) той же переменной. Именно в дробных
рациональных функциях, у которых все коэффициенты вещественны,
выражаются:
/.-изображения типовых воздействии: ступенчатого А/p, экспо-
ненциального А (р + а), гармонического А /(р2 4- со2) или
Ар/(р2 + и2) и любой их линейной комбинации (см. табл. 9.1);
/.-изображения воздействий тех фиктивных источников, которые
вводятся в схему замещения цепи при ненулевых начальных условиях;
операторные сопротивления и проводимости элементов электри-
ческих цепей;
определители систем уравнений для /.-изображений колебаний в це-
пях с конечным числом сосредоточенных элементов и их миноры, по-
скольку элементами определителей являются операторные проводи-
мости или сопротивления элементов электрических цепей, а следова-
тельно, и /.-изображения колебаний в линейных электрических цепях
с конечным числом сосредоточенных элементов при указанных типовых
воздействиях.
Дробная рациональная функция (9.19) называется правильной,
если степень полинома ее числителя ниже степени полинома знамена-
теля, т. е. когда it < v, а наибольшее из чисел и, и v характеризует по-
рядок функции.
Любую дробную рациональную функцию можно представить в виде
М(р) +	' + ---+РЦ
jV(p) (p—p1)(p — p2)...(p — pv)
(9.20)
поскольку, как известно, полином М (р) = pv + осгрч 1	... + av
степени v может быть единственным образом разложен на произведе-
ние v линейных множителей, т. е. представлен в виде
N(.P) = (p—Pi)(p—ра)... (р—pv).	(9.21)
Здесь числа р1( р2, ..., pv, которые могут принимать как вещест-
венные, так и комплексные значения, называют нулями полинома N (р).
Они находятся как корни алгебраического уравнения
Pv + a1pv-, + ...+av = 0-	(9.22)
Если коэффициенты этого уравнения являются вещественными
числами, то комплексные корни уравнения, т. е. комплексные нули
полинома N (р), могут встречаться лишь сопряженными парами. Так,
если pft = ah -j- joik — комплексный корень уравнения (9.22), то урав-
иение имеет также корень рд+j = од — /шд. Числа pv р2..pv, при
Hv^°PbIX знаменатель дробной рациональной функции обращается в
Уль, называют полюсами этой функции. Они же являются нулями
олинома знаменателя и корнями уравнения (9.22). Если все числа
237
ми. Есчи же среди этих чисел встр ггя опи i новые, то соотвстстгц ю
щие полюсы называются кратн
В некоторых случаях и полином числителя (9.19) целесообразно
представлять в виде произведения линейных множителей. Тогда
М(р)	^ч{Р—Ро^{р — Рог)...(р — рО}1)
N (р) (р — pj (р —р2).. • (р — Ру)	(9'23)
Здесь числа р01, р02, .. , p0(i являются пулями полинома числите-
ля и одновременно нулями дробной рациональной функции F (р). Ес-
ли последняя является правильной, то она имеет нуль в бесконечно
удаленной точке, т. е. при р = оо. Его кратность равна разности между
степенями полиномов знаменателя и числителя дроби, т. е. v — р..
9.6. Теоремы разложения
На последнем этапе решения задачи анализа переходных
колебаний операторным методом следует найти соответствую-
щий оригинал, т. е. функцию, описывающую искомое колеба-
ние, иными словами, следует найти обратное преобразование
Лапласа. В общем случае это связано с применением формулы
обращения Римана—Меллина, которая является решением
интегрального уравнения (9.3). Однако в частных случаях,
имеющих важное прикладное значение, а именно когда /.-изо-
бражение искомого колебания представляет собой дробную
рациональную функцию, те же результаты могут быть полу-
чены с помощью формул, получивших название теорем разло-
жения, если, конечно, искомый оригинал не находится непо-
средственно по данным табл. 9.1 или ей подобным.
Пусть /.-изображение F (р) искомой функции / (/) (ори-
гинала) представляет собой правильную несократимую дроб-
ную рациональную функцию (9.20) с вещественными коэффи-
циентами и простыми полюсами. При этих предположениях
функция F (р) может быть единственным образом разложена
на сумму простых дробей:
F(p) = —^— +	+ ... + ——•	(9.24)
Р — Р1	Р — Р2	Р — Ру
Здесь А„, А„—коэффициенты, значения которых
находятся в ходе разложения. В терминах теории функций
комплексной переменной они являются вычетами функции
F (р) относительно соответствующих полюсов.
Оригиналом для этого изображения (см. строку 4 табл. 9.1)
является сумма экспоненциальных функций
/ (/) = Д + А2 еН* +... + Av ePv‘.	(9.25)
238
образования Лапласа для случая дробных рациональных ±vhk
ций при введенных выше допущениях. Значения коэффициен
тов Ah можно получить известным из математики методом не
определенных коэффициентов. Однако данный метод обладает
тем недостатком, что он не позволяет записать решение в ebon
ме, отличной от числовой.	т р'
Находя иное решение той же задачи, умножим обе части
равенства (9.24) на множитель р ~ р^ Тогда
(р —Pi) F (р) = А + (Р —Pi) —*-
При р Pi имеем
А = Нт (р —Pi) F (р) = Jim (р —Р1)
р~+Р1	p-*Pi	N (р)
Здесь множитель р Pi и знаменатель /V (р) одновремен-
но стремятся к нулю при р —> р^_ Возникающая неопределен-
ность легко раскрывается по известному правилу Лопиталя
В результате находим
d
~(P-Pi)
A = MW-^-------- -
d
~~ N(P)
dp
р=*р.
M(Pl)
N’ (pj
Здесь AC (pj — значение производной полинома N (p)
по переменной p при p — pt. Оно не равно нулю, так как по-
лином N (р) по предположению имеет только простые нули.
Очевидно, что аналогичные рассуждения применимы и для
определения любого из коэффициентов Ак. Тогда Ak =>
= М (p’h)/N' (Pk) и> следовательно,
/(/)= V еРк\
(9.26а)
Соответствие выражений (9.19) и (9.26а) можно записать
в более компактной форме:
М (р) __ Ро Рц + Pi Р* 1 + • • • +	_ -у М (Ph)
N (Р) ~ p’+ai Pv~1 + ... av	N' (pk)
еРк‘. (9.266)
Из формул (9.26) следует, что если среди полюсов plt
pt, ..., pv функции F (р) имеются вещественные полюсы, по
23»
' мёрГгфТГ рг"= —У/” COTTOCTttfeyer'CTarasMOB
/г = Лге-^,	(9 27а)
где -4£ — вещественная постоянная.
Если, далее, средн полюсов функции имеются комплекс-
ные полюсы, то преобразования, связанные с приведением
функции к сумме вещественных функций, полностью аналогич-
ны тем, которые подробно были рассмотрены в § 8.5. Они при-
водят к вещественным функциям вида
со5(и>и + Фй)	(9.276)
для каждой пары простых комплексных сопряженных полю-
сов при pftjfe+1 — — 6Z, ± /w;t и к вещественным функциям видг
ft (0 — Cl cos (a>it + фг)	(9.27 в)
для каждой пары простых мнимых сопряженных полюсов при
Pl, 1+1 ~= ±/(0;
В случае, когда рациональная функция (9.20) имеет полю-
сы второй и выше кратности, также применимо разложепш
на простые дроби. Если, например, при р pt расположен
полюс кратности г, то в указанном разложении содержится
группа слагаемых вида
4] 1	4]г	Д1Г
P~Pi	(Р—Pi)2	(P-Pi)r
Изображения, соответствующие каждому из этих слагае-
мых, легко находятся, если воспользоваться данными строки
6 табл. 9.1. Тогда последней сумме соответствует оригинал
(А	А	\
+	+	+	еР^. (9.27г)
2!	(г — 1)! f
Общая формула для случая кратных полюсов, аналогич-
ная (9 26), для записи излишне сложна. Найденные выше вза-
имные соответствия называются формулами или теоремами
разложения.
Рассмотрим простейший пример их применения.
ГЕсть
г ip) —-------------•
U	10(р2 + Зр+1)
Оригинал, соответствующий этому изображению, можно записать
сразу, если воспользоваться данными табл. 9.1. С этой целью можно
применить и теорему разложения.
Сопоставление F (р) с (9 26) показывает, что в рассматриваемом
примере Л1 (р) = 0,1р + 0.2 н N (р) - р2 Зр -f- 1. Применяя теоре-
240
[V ^PJ - \j, 1. V. nujvnn jr уаоп^ппл p —J— op —p 1 - V. VHH рЗВНЫ Pl,2 =
"j/Uj/2. Дифференцируя N (р)_по p, находим N' (p) = 2p +
_l 3, а также TV' (щ) = 2/ц + 3 = ]/5 и N' (p2) =2p2 + 3 - —Д/ЁГ
Подставляя значения pL и р2 в М (р), имеем
/И (pj) =0, Ipi 4-0,2 =0,05 + 0,05 l/5 и
Д4 (р2) = 0,1р24~0,2=0,05 — 0,05 1/5.
Таким образом, получаем следующее выражение для тока:
— 3 + /5 ,	-З-Кб
----1 --------------------;
i (/) =0,05(1+ 1/1/5) е	+0,05(1-1/1/5") е 2	=
= 0,0724е —°’3S2^-|-0,0276e — 2’62 /
которое является решением задачи.
Аналогично решаются задачи для функций более высоких поряд-
ков.
Теоремы разложения можно применять и для изображений,
содержащих экспоненциальные множители вида ехр (—рт).
В этих случаях заданное изображение предварительно запи-
сывается в форме
F(p) = 2^(P)e~P4
(й)
где Fh (р) — дробные рациональные функции. Тогда по тео-
реме запаздывания (9.8)
w
где fh (/) — оригинал Fh (р), т. е. fh (/) == Fh (р).
Простейший пример был рассмотрен в § 9.3.
9.7. Зависимость характера переходных колебаний
от расположения полюсов их L-изображений —’
на комплексной плоскости
Формулы разложения, полученные в § 9.6, можно рассма-
тривать как результат решения задачи анализа переходных
колебаний в линейных электрических цепях с конечным чис-
лом сосредоточенных элементов при заданных начальных усло-
виях и любых воздействиях, L-изображения которых пред-
ставляют собой дробные рациональные функции. Из этого ре-
шения следует, что переходные колебания можно рассматри-
вать как результат наложения (суммирования) того или ино-
го числа колебаний, которые описываются функциями вида
(9.27). Какие именно функции входят в решение, определяется
только полюсами L-изображения искомого колебания.
241
которые соответствуют простым вещественным отрицательным
полюсам изображения F (р) или комплексным полюсам с отри-
цательными вещественными частями, стремятся к нулю при
t —>- со. Действительно, для любого простого полюса рк =
= —или рк = —6,, + /coh
iim AhePh‘ — 0, если Reph<;0.
t—>оо
Это справедливо и для полюсов порядка I 2 [см. (9.27 г)1,
поскольку
lim Ак1 tl~1 е₽Л* =0, если Re/?/,<().
/->со
Следовательно, те составляющие колебания, которые со-
ответствуют полюсам его /.-изображения, расположенным
в левой половине комплексной плоскости, т. е. в ее левой полу-
плоскости, стремятся к нулю при t -> оо независимо от крат-
ности полюса.
Полюсы /.-изображения колебаний могут располагаться
и на мнимой оси комплексной плоскости. В частности, просто-
му полюсу на мнимой оси при р = 0, когда
г, . .	w(p)' ₽о + Pi Рц ~1 + • • • + Рц
г (р) = —— =------------------------— ,
Р«(Р) Р(Р—Р1)(Р —р2)-.- (Р —Pv)
в решении (9.26) при р <7 v и Re рк < 0 (k = 1, 2, ..., v),
как легко проверить, соответствует слагаемое /0 (/) = w (0)/ц (0),
т. е. постоянное число. Оно характеризует установившееся
значение постоянного напряжения или тока цепи, так как ос-
тальные слагаемые решения стремятся к нулю при t -> со.
При сформулированных ограничениях
lim/R)^^- = Hmpf(p).	(9.28)
i->oo	v (0)	р->0
Каждой паре простых сопряженных мнимых полюсов со-
ответствует согласно (9.27 в) гармоническое колебание с ча-
стотой, равной модулю полюса.
В общем случае /.-изображение колебания F (р) может
иметь полюсы, расположенные в правой полуплоскости. Они
могут быть обусловлены, например, воздействием, возрастаю-
щим пропорционально экспоненте. Действительно, так как
б./ —t	1
е k =---------,
р—S*
то при > 0 изображение реакции будет иметь простой
вещественный полюс в правой полуплоскости, а соответствую-
242
ции неограниченно возрастает с
постом t. Естественно, что при
Re рк > 0 (Ph = или Ph =
= 6,	/ш>) спустя некоторое
время после начала колебаний
напряжение или ток в цепи
превысят значения, при которых
цепь может считаться линей-
ной и, следовательно, анализи-
роваться методами теории ли-
нейных электрических цепей.
В соответствии с изложенным
баний наглядно иллюстрируется картиной расположения по-
люсов /.-изображения колебаний на комплексной плоскости.
Так, данным рис. 9.12 соответствует колебание, описываемое
функцией
/ (() = С\ е-б>' + С2 е~6^ cos (ш21 + фг) + С3 cos (о>31 + ф3),
если все полюсы являются простыми.
*—
) “3
9.12
-)ш2
-j “3
характер переходных коле-
—*—,----
-8.	°
9.8.	Операторные передаточные функции
электрических цепей
К числу важнейших понятий теории линейных электриче-
ских цепей и ее приложений наряду с комплексной передаточ-
ной функцией относится и передаточная операторная функция
электрической цепи.
Операторные передаточные и входные функции. Условим-
ся отношение /.-изображения реакции электрической цепи к
/.-изображению воздействия, подведенного к цепи при нуле-
вых начальных условиях, называть операторной передаточ-
ной функцией цепи и обозначать через И (р). Предполагается,
естественно, что цепь не содержит иных независимых источни-
ков.
Воздействие на электрическую цепь может быть задано в
виде закона изменения напряжения (задающего напряжения)
или тока (задающего тока), а искомая реакция, в свою очередь,
проявляется в виде изменения напряжения между выделен-
ной парой узлов цепи или тока в выделенной ветви цепи. В со-
ответствии с этими различаются следующие виды передаточ-
ных функций:
(Р)	Л (р)	Л (р)
Н(р) =	.
(р)
243
Здесь индекс I относится к воздействиям, а индекс 2— к реак-
циям.
Так, передаточная операторная функция 1L (р)// (р) па-
раллельного колебательного контура (см. рис. 9.5, а) такова:
Н(р)~--------?------
' PzLC + pLG+\
Любую из передаточных функций можно рассматривать как
коэффициент пропорциональности между /.-изображениями
воздействия и реакции при нулевых начальных условиях, т. е.
/.-изображение __Передаточная функция у /-Изображение /д
реакции '	цепи	воздействия. ' '	'
Следовательно, зная операторную передаточную функцию,
можно найти изображение реакции, а по нему и реакцию цепи
на произвольное воздействие. Но это означает, что передаточ-
ная функция содержит полную информацию о свойствах цепи
как системы передачи электрических сигналов от ее входа до
нагрузки, если начальные условия нулевые, а характер воз-
действия (напряжение или ток) и характер реакции соответст-
вуют тем, для которых передаточная функция определена.
Из системы уравнений (9.16) следует, что операторная
передаточная функция представляет собой дробную рациональ-
ную функцию с вещественными коэффициентами:
И (р) —	-- ь° Pm+bi Рт~1 + ---+Ьт .	3q^
v(P)	Pn + a1Pn~l + --.+an
Ее можно определять также как дробную рациональную
функцию, которая принимает вещественные значения при ве-
щественных значениях переменной. Степени полиномов чис-
лителя и знаменателя функции зависят от числа реактивных
элементов цепи и ее схемы. В частности, в цепях без зависимых
источников степень полинома знаменателя удовлетворяет ус-
ловию (8.29), т. е. меньше числа реактивных элементов, имею-
щихся в цепи, на общее число wC-контуров и iL-сечений.
Операторное сопротивление и операторная проводимость
двухполюсника могут рассматриваться как передаточные
функции цепи для случая, когда реакция цепи определяется
на той же паре зажимов, к которой подведено воздействие, и,
следовательно, являются функциями вида (9.30). Вместе с тем
функции Z (р) и Y (р) обладают рядом отличительных особен-
ностей, в связи с чем их называют входными функциями
электрических цепей.
Полюсы передаточных функций и полиномы Гурвица. Уста-
новим особенности полюсов передаточных функций устойчивых
244
электрических цепей. Напомним, что устойчивыми называют
электрические цепи, у которых при произвольных начальных
условиях свободные колебания стремятся к нулю с неограни-
ченным ростом времени.
Пусть к цепи с передаточной функцией н (р) подведено
воздействие конечной длительности. После его окончания цепь
переходит в режим свободных колебаний с теми начальными
условиями, которые сложились к моменту окончания воздейст-
вия. Полюсы L-изображения этих свободных колебаний могут
быть только полюсами передаточной функции цепи, поскольку
согласно решению (9.18) полюсы /.-изображения реакции не
зависят от начальных условий, а передаточная функция цепи
не зависит от /.-изображения воздействия. Следовательно, ре-
жим свободных колебаний в цепи будет заканчиваться режимом
покоя при любых начальных условиях, т. е. цепь будет ус-
тойчивой, если все полюсы передаточной функции цепи рас-
полагаются в левой полуплоскости комплексной переменной р.
Если же передаточная функция цепи имеет полюсы, рас-
положенные в правой полуплоскости, то соответствующая цепь
будет цепью неустойчивой. Особенности колебаний в таких
цепях рассматриваются в § 9.9.
Установленные ограничения на расположения полюсов опе-
раторных передаточных функций устойчивых цепей наклады-
вают соответствующие ограничения на расположение нулей
их полиномов знаменателей. Е знаменатель операторной пере-
даточной функции любой устойчивой электрической цепи дол-
жен входить полином с вещественными коэффициентами
и (р) = рп +	+ ... Н- а„,	(9.31)
все нули которые расположены в левой полуплоскости. Они
получили название полиномов Гурвица — немецкого математи-
ка, который одним из первых исследовал их особенности.
Связь между операторной и комплексной передаточными
функциями. Из составления системы уравнений (6.11) для
комплексных амплитуд колебаний в устойчивой электриче-
ской цепи с системой уравнений (9.16) для /.-изображений ко-
лебаний в той же цепи при нулевых начальных условиях сле-
дует, что комплексная передаточная функция формально мо-
жет рассматриваться как частный случай операторной переда-
точной функции, когда переменная р принимает мнимые зна-
чения, т е. когда р — ja>. При этом
Н (ja) = Н (р)
f/ra)n + al (до)'1-1 + .-+an
(9.32)

245
Помимо этого чисто формального соответствия между опе-
раторной и комплексной передаточными функциями одной и
той же устойчивой цепи о связи между ними можно судить и по
результатам анализа установившихся колебаний в цепи при
гармоническом воздействии A cos at на цепь. Изображение
реакции цепи на это воздействие
имеет пару простых мйимых полюсов при р = ±/со, обуслов-
ленных L-изображением воздействия (строка 8 табл. 9.1).
Им соответствует гармоническая составляющая реакции с той
же частотой со (см. § 9.7). Если применить теорему разложения,
то для этой составляющей реакции можно найти следующее
выражение:
/(/) = / \Н (/со) | cos [со/ + О (<о)1.
Здесь Н (/со) = Н (р) а для модуля и аргумента
Н (/со) использованы обозначения \Н (/со)| и 0 (со). Остальные
составляющие реакции при t -* оо стремятся к нулю, посколь-
ку они соответствуют полюсам передаточной функции устой-
чивой цепи.
Таким образом, отношение амплитуд гармонической реак-
ции и гармонического воздействия равно модулю, а разность
фаз колебаний равна аргументу соответствующей операторной
передаточной функции устойчивой цепи И (р) при р = /со.
На этом основании в последующем при мнимых значениях ком-
плексной переменной р — /со и при со > 0 переменной со бу-
дем приписывать смысл частоты гармонических колебаний, а
изменение модуля и аргумента операторной передаточной
функции Н (р) при р — ja и со > 0 будем отождествлять со-
ответственно с амплитудно-частотной и фазо-частотной харак-
теристиками цепи.
9.9.	Особенности колебаний в устойчивых
и неустойчивых электрических цепях
Пусть Е-изображение реакции устойчивой электрической
цепи соответствует функции (9.20). Сгруппируем ее полюсы по
признаку их принадлежности полюсам рх, р2, ..., рп собствен-
но цепи, т. е. полюсам ее передаточной функции, и полюсам
Рп-^к Рп+2< Pv /--изображения воздействия, подведенного
к цепи. Тогда и составляющие реакции f (t) можно записать
в виде суммы:
/ (0 - /с (0 + /г	(9.33)
246
Здесь Л (f) характеризует собственные, а /2 (/) — вынуж-
денные колебания в электрической цепи согласно определе-
ниям, которые были даны этим понятиям в § 8.7.
Если цепь устойчива, то собственные колебания Д (t) с
неограниченным ростом времени могут стать как угодно малы-
ми, поскольку полюсы pt, р2, ..., рп У таких цепей или отри-
цательны, или имеют отрицательные вещественные части. При
этом цепь может стремиться или к режиму покоя, или к одно-
му из установившихся режимов, или переходит в нелинейный
режим, если L-изображение воздействия имеет полюсы в пра-
вой полуплоскости, чему соответствуют неограниченно воз-
растающие воздействия. Ясно, что все пассивные электриче-
ские цепи являются цепями устойчивыми, поскольку, как уже
отмечалось, в ходе свободных колебаний начальный запас
энергии, имеющий в цепи, преобразуется цепью в энергию теп-
ловую и цепь переходит при t = оо в режим покоя.
Неустойчивыми могут быть лишь активные электрические
цепи, у которых возрастающий характер свободных колебаний
обязан поступлению в цепь энергии от источников питания
активных устройств цепи, например транзисторов, усилителей
или отрицательных сопротивлений. Хорошим примером актив-
ной цепи, которая в зависимости от значения коэффициента
усиления источника типа ИНУН может быть как устойчивой,
так и неустойчивой, служит цепь со схемой рис. 9.11. Ее пере-
даточную функцию Н (р) — U2 (p)/Ui (р) можно найти, если
в приведенных в § 9.4 решениях положить начальные условия
нулевыми, т. е. принять нс, (0) = исг (0) = 0. Тогда
Полюсы этой передаточной функции
Р1,2 =
3 —/г [ , Г / З — k V 1
2CR ~ V ( 2CR /	С2/?2
могут быть расположены в левой полуплоскости, если коэф-
фициент усиления k < 3, или на мнимой оси, если k = 3, или,
наконец, в правой полуплоскости, если k > 3. В первом слу-
чае цепь будет устойчивой, и при любых начальных условиях,
т. е. значениях «ci (0) и ucz (0), свободные колебания в цепи
стремятся к нулю при t -> оо, а ее передаточная функция отли-
чается от передаточной функции IL (р)/1 (р) параллельного ко-
лебательного контура (см. § 9.3) лишь масштабным мно-
жителем. При k = 3 в цепи могут поддерживаться гармо-
нические колебания с частотой K>=\fCR. Их амплитуда и
247
начальная фаза определяются начальными условиями. Если
же k 2> 3, то цепь становится неустойчивой. В ней возникают
собственные колебания с возрастающей экспоненциально ам-
плитудой, которые спустя некоторое время переводят цепь в
нелинейный режим. При этом колебания в цепи определяются
совокупностью линейных и нелинейных характеристик цепи
и особенностями воздействия.
Следует отметить, что неустойчивые электрические цепи
не могут находиться в режиме покоя. Любое случайное воз-
действие, например импульсного характера, каким бы оно ни
было малым, вызывает нарастающие по амплитуде свободные
колебания. Значения амплитуды колебаний ограничиваются
нелинейными свойствами элементов цепи. В цепи, таким обра-
зом, устанавливаются свободные колебания, которые не убы-
вают, но и не возрастают во времени. Колебания поддерживают-
ся естественно, за счет энергии источников питания электрон-
ных ламп (транзисторов). Внешне рассматриваемая цепь «са-
ма» переходит в режим установившихся колебаний или, как го-
ворят, «самовозбуждается» и генерирует в установившемся ре-
жиме периодическое колебание той или иной формы.
9.10.	Критерии устойчивости
Одна из важнейших задач проектирования сколь-либо
сложных линейных активных цепей состоит в обеспечении их
устойчивости. Для этого необходимо ограничить расположение
полюсов передаточной функции проектируемой цепи левой
полуплоскостью. Эта задача решается элементарно только
в простейших случаях, когда полюсы передаточной функции
находятся аналитически и связаны простыми соотношениями
с данными цепи1.
Для решения задачи в ее общей постановке разработаны и
используются методы, позволяющие судить об устойчивости
цепи без вычисления полюсов ее передаточной функции. Они
получили название критериев устойчивости. В настоящее вре-
мя известен ряд критериев устойчивости, начиная с критерия
Рауса, предложенного в 1873 г. Не все они одинаково удобны
и универсальны, в каждом конкретном случае один из них мо-
жет оказаться удобнее других. В настоящее время чаще всего
1 Полюсы передаточной функции находятся средн корней харак-
теристического уравнения системы дифференциальных или интеграль-
но-дифференциальных уравнений анализируемой цепи, например урав-
нения D = 0 системы (9.16). Последнее может иметь степень, более вы-
сокую, чем уравнение и (р) — 0, поскольку в исходном выражении по-
линомы числителя и знаменателя передаточной функции могут иметь
общие множители.
248
используются критерии устойчивости, предложенные А. Гур-
вицем, А. В. Михайловым и Г. Найквистом, и их разновид-
ности.
Применение критериев устойчивости не только существен-
но упрощает задачу анализа устойчивости конкретной цепи,
но и, главное, позволяет обосновать методы проектирования
сложнейших линейных активных цепей и систем, таких как
высококачественные усилители, системы автоматического ре-
гулирования, телеуправления, сопровождение целей и др.
Ниже рассматриваются свойства полиномов Гурвица, т. е.
полиномов знаменателей передаточных функций устойчивых
электрических цепей, и критерии устойчивости А. В. Михай-
лова и Гурвица.
Свойства полиномов Гурвица. Допустим, что полином
Гурвица степени п
v (р) = рп + агрп-г + ... + ап_2 Р2 + «n-i Р +	(9.34)
имеет г пар комплексных сопряженных нулей, вещественные
части которых отрицательны, и, следовательно, п — 2г про-
стых вещественных отрицательных нулей. Если ph = —<5Л < О
— некоторый вещественный отрицательный нуль полинома, то
в его разложении на линейные множители
и (р) = (Р — Pi) (Р — Рг) ••• (Р — Р.)	(9.35а)
содержится линейный множитель р — Рп~ p + ^ii с веще-
ственными положительными коэффициентами 1 и <5Л.
Паре комплексных сопряженных нулей полинома Гурвица—
— 6/ ±	(—6г < 0) соответствует произведение двух ли-
нейных множителей
[р — (—<5; + /сог)1 1р — (— <5; — /сог)1 = (р + 6()2 +
-г со/ = р2 -Г 28ip + 6/ Ч со/ = р2 4- а,р Ч- Вг,
которое представляет собой полином второй степени с вещест-
венными положительными коэффициентами 1, а; и рг. Следо-
вательно, полином Гурвица и (р) может представлен в виде
произведения полиномов первой и второй степеней с веществен-
ными положитетьными коэффициентами, т. е. в виде
v (р) = (р + Si) (Р -I- 62) ... (р Ч- 6„_2Г) (р2 Ч- ocjp Ч-
+ Pi) (р2 4- «2р + ₽>)... (р2 Ч- ссгр + ₽г),	(9.356)
где г — число пар комплексных сопряженных нулей полино-
ма Гурвица.
Если раскрыть скобки в этом произведении, то в силу ве-
щественности и положительности коэффициентов 6,;, аг и рг
Ни один из коэффициентов ait а3, ..., ап полинома (9.34) не ра-
249
вен нулю и все они положительны1. Так, полином pi 4- 2р3 4-
-h 4р + 5 не может быть полиномом Гурвица, поскольку у
этого полинома коэффициент при члене р2 равен нулю. Следует
вместе с тем иметь в виду, что не всякий полином с веществен-
ными положительными коэффициентами является полиномом
Гурвица. Иначе говоря, условие положительности коэффициен-
тов полинома является лишь необходимым, но еще недостаточ-
ным для того, чтобы он был полиномом Гурвица.
Положим, далее, что переменная р принимает чисто мни-
мые значения р = /со, т. е. значения, расположенные на мни-
мой оси комплексной плоскости. Тогда полином Гурвица v (р)
переходит в полином
v (7Ш) = 0ю "Ь 6j) (/СО + Р2) ••• (/0) "4 ^п-2г) (—<О2 +
+ /cocxj + Pi) (—со2 + ja>a, + р>) ...(—со2 + /соаг + fV).
(9.36а)
Обозначим его модуль и аргумент соответственно через
|о (/со)! и <Рг(со). Тогда
v (/со) = |и (/со)| е/‘₽г<®>= |ц (/со)[ cos фг (со) +
+ /' |ц (/со)! sin срг(со).	(9.366)
Ясно, что модуль v (/со) не обращается в нуль ни при одном
значении со. Что же касается аргумента срг (со), то его зависи-
мость от переменной со обладает одной отличительной особен-
ностью, которая обусловливает ряд практически важных след-
ствий. Переходя к исследованию поведения функции <рг(со),
составляем выражения
 со	л , У₽г ( «
Фь = arctg—- и фг = — + arctg-ПН.	----—
6*	2	a-i \ УР[	со )
для аргументов соответственно линейного (/со + 6ft) и квадра-
тичного (—со2 + /сос; + рг) множителей выражения (9.36а)2
1 Если коэффициент а0 при старшем члене полинома Гурвица не
равен единице и отрицателен (положителен), то все остальные коэффи-
циенты полинома также отрицательны (положительны), поскольку
*	/о.	On \
аорп +	+ • • 4-Оп = а0 I рп + — рп~1 4- ... -)- — Иначе го-
\ ао	ао /
воря, все коэффициенты полинома Гурвица имеют одинаковые знаки
2 <рг == arg ( —и2 + /соаг4-₽г )= arg /со У₽г I —4- -	' 4-
\ У₽г УК
, У₽г \	л	Г аг	/ со	УК \
Ф—— = —-4-arg —— 4-j —— —  ----------------- ,
/	2	L УРг	\ УК “ / J
откуда и следует приведенное выражение для <р/.
250
С изменением переменного ш от 0 до оо аргумент каждого из
линейных множителей, монотонно возрастая, получает при-
ращение на угол 0,5л (рис. 9.13, с), а каждого из квадратичных
множителей — на угол л (рис. 9.13, б). Так как аргумент все-
го произведения (9.36 а) равен сумме аргументов его сомно-
жителей, то, следовательно, с изменением переменной со ( ча-
стоты) от 0 до оо аргумент комплекса полинома Гурвица сте-
пени п, при р =j<£>, монотонно возрастая, получает прираще-
ние на угол 0,5пл.
Доказанное свойство полинома Гурвица можно в условной
форме записать так:
фг (оо)-срг (0) = Пу.	(9.37)
В качестве примера на рис. 9.14 приведен график аргумен-
та ц(/<о) некоторого полинома Гурвица пятой степени.
Критерий устойчивости Михайлова. Один из наиболее про-
стых и эффективных критериев устойчивости был предложен
А. В. Михайловым. Его работа была опубликована в 1938 г.,
а основы метода были им сформулированы в работе, удостоен-
ной премии ЦК ВЛКСМ на конкурсе работ молодых ученых
еще в 1936 г.
Критерий устойчивости
Михайлова совпадает с треть-
им из доказанных выше
свойств полинома Гурвица
и, следовательно, формули-
руется так:
цепь будет устойчивой,
если при изменении перемен-
ной <о от 0 до оо аргумент
Фг (w) полинома и ()<о) зна-
менателя операторной пере-
даточной функции Н (р)
цепи возрастает па угол 0,5шт радиан, где п — степень
полинома.
Легко убедиться в достаточности этого критерия. Пусть,
например, полином и (р) степени п имеет один вещественный
положительный нуль при р = 6г, > 0. Тогда в произведении
(9.36 а) появится множитель /со — 6k. Его аргумент ср;. =
-= — агсЦ со/d,, убывает от 0 при со = 0 до —0,5л при со = оо.
Поэтому суммарное приращение аргумента v (/со) будет менее,
чем 0,5/кгт, если полином v (р) имеет хотя бы один нуль, распо-
ложенный справа от мнимой оси комплексной плоскости.
Можно дать также и геометрическую трактовку критерия
устойчивости Михайлова. Годограф v (/со) устойчивой цепи
при изменении частоты со от 0 до оо, начиная с вещественной
оси (а„ =# 0), последовательно обходит л квадрантов в положи-
тельном направлении, т. е. против часовой стрелки, посколь-
ку аргумент v (/со) с возрастанием частоты в указанных преде-
лах, монотонно возрастая, получает приращение пп/2 радиан.
В качестве примера на рис. 9.15, а показан годограф
v (/со) устойчивой цепи для п = 5. Цепь устойчива, поскольку
с возрастанием частоты со от 0 до оо вектор v (/со) поворачи-
вается в положительном направлении (против часовой стрел-
ки) на угол 2,5л, проходя пять квадрантов. На рис. 9.15, б
приведен пример годографа и (/со) неустойчивой цепи
(п = 4). Суммарное приращение аргумента вектора в этом при-
мере равно нулю, что и свидетельствует о наличии корней ха-
рактеристического уравнения, расположенных в правой полу-
плоскости. О неустойчивости цепи свидетельствует также и то,
что аргумент v (ja) изменяется немонотонно.
Критерий устойчивости Гурвица. Один из первых критери-
ев устойчивости был найден немецким математиком А. Гурви-
цем и опубликован им в 1895 г. Этот критерий приводится ниже
без доказательства. В терминах теории электрических цепей он
252
формулируется следующим образом: цепь будет устойчивой,
если определитель
01 а3 а6 а7 ... О
1 az at а6 ... О
О О, О3 05 • • • О
О 1 о2 а4 . . . О
(9.38)
00 О О ... ап
составленный из коэффициентов полинома v (р) знаменателя
передаточной функции цепи (9.34) и все его главные миноры
ai а3
1 о2
Di — ap D2 =
01 03 05
1 02 04
о 1 03
принимают положительные значения.
Определитель (9.38) принято называть определителем Гур-
вица. Он составляется по следующему простому правилу. На
главной его диагонали выписываются коэффициенты уравне-
ния в том порядке, в котором они расположены в уравнении,
начиная с коэффициента at. В каждом из столбцов определите-
ля под диагональным элементом выписываются коэффициенты
с убывающими, а над ним — с возрастающими индексами. Все
коэффициенты, индексы которых превышают/;, или отрица-
тельны, заменяются нулями. При этом следует учитывать, что
у полинома (9.34) а0 = 1.
Пусть, например, дан полином четвертой степени
р4 + 7р3 + 18р2 + 22р + 12.
Ему соответствует определитель Гурвица
	й1 а3 0 0		7 22 0 0
	1 б?2 Щ 0		1 18 12 0
			
	0 Oj а3 0		0 7 22 0
	01 а2 а4		01 18 12
Главные миноры этого определителя:
£>1 = 7>0;
= 104 >0; £>3 =
7 22 О
1 18 12
О 7 22
= 1700 >0
и О4 = £) —	= 120 3> 0.
Определитель и все его миноры положительны. Следова-
тельно, все корни рассматриваемого уравнения лежат в левой
253
полуплоскости. Действительно, легко убедиться подстановкой,
что значения корней уравнения таковы: рх — —2; р2 — —3;
Рз = —1 4- /; pt = —1 — /.
Критерий Гурвица относится к числу алгебраических, а
Михайлова — частотных критериев устойчивости.
Глава 10.
ВРЕМЕННОЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
10.1.	Импульсные воздействия
на электрические цепи
Если значения напряжения (тока) отличаются от нуля
только в течение некоторого конечного интервала времени, то
его называют импульсом напряжения (тока). В качестве при-
мера на рис. 10.1 приведен график видеоимпульса прямоуголь-
ной формы.
Во многих случаях воздействие на электрическую цепь име-
ет характер импульса напряжения или тока одной полярности
и весьма малой длительности. Последнее означает, что длитель-
ность импульса значительно меньше времени, необходимого
для сколь-либо заметного изменения напряжений и токов в
цепи в режиме свободных колебаний. Так, при воздействии ви-
деоимпульса прямоугольной формы на последовательный ко-
лебательный контур импульс может считаться «коротким»,
если его длительность будет значительно меньше периода соб-
ственных затухающих колебаний в контуре.
Для получения сопоставимых характеристик электрических
цепей при кратковременных однополярных воздействиях вво-
дится понятие о типовом (испытательном) импульсном воздей-
ствии. *
Рассмотрим функцию переменного t, которая отличается от
нуля лишь в интервале 0 < t < ta, где ее значения равны
1Иа, т. е. функцию
0 при t < 0;
~ при 0<Z<f„;
0 при t > fa.
254
Ее график отличается от показан-
ного на рис. 10.1 лишь тем, что Е
заменяется на 1/(и. Площадь прямо-
угольника, образуемого функцией
6 (/, U с осью I, равна единице, и,
следовательно,
t 2
у 6 (/, ta) dt = 1
о
для любых значений еслн 1г < О,
а t<z> tn, т. е. когда пределы инте-
грирования охватывают интервал,
в котором функция отлична от нуля.
Устремим теперь t„ к нулю. Тогда
<5 (/) = lim 6 (t, tn)
функция
(Ю.1)
будет равна нулю при любом значении переменного /, за ис-
ключением значения t =0 +, где она обращается в бесконеч-
ность, причем
б
j6(/)d/-=l,	(10.2)
t,
если пределы интегрирования включают точку t = 0 4 ,
т. е. когда 0 < t,.
Функцию 6 (/) называют единичной импульсной функцией,
д-функцией или функцией Дирака. Характеризуя 6-функцию,
можно сказать, что ее значения бесконечно велики и знакопо-
стоянны на бесконечно малом интервале времени, равны нулю
вне этого интервала, а площадь, ограниченная графиком функ-
ции п осью абсцисс, равна единице. В связи с этим не следует
считать, что определение (10.1) является единственным опре-
делением 6-функции.
Пусть длительность ta видеоимпульса напряжения пря-
моугольной формы убывает, а его высота Е пропорционально
увеличивается, так что при любом ta «площадь» импульса
taE остается неизменной и равной некоторой величине
— taEa. При этом высота импульса Е и его длительность ta
связаны соотношением taE = Sa H = t0E0 и, таким образом,
£ =- SH.„//U. Очевидно, что в пределе при t„ -> 0 рассматривае-
мый импульс представляет собой произведение 6-функции на
площадь импульса S„.H. Аналогичное обозначение £и,т 6 (/)
вводится для импульса тока.
Воздействие на электрическую цепь, которое описывает-
ся функцией 5И6 (/), условимся называть импульсным воздей-
255
ствием, а если площадь 3„ воздействия равна единице, —
единичным импульсным воздействием. Момент окончания воз-
действия t — t„ при tn -* 0 условимся обозначать через
t = 0 +.
Будем считать возможным оперировать б-ф} нкцнями как
с обычными функциями вещественного переменного t (време-
ни), что общепринято в технической литературе. Вместе с тем
следует иметь в виду, что привлечение соответствующих мате-
матических методов позволяет строго обосновал, результа-
ты, полученные при указанном предположении Кроме того,
результаты анализа становятся бесспорными, если импульсное
воздействие, практически неосуществимое, заменить воздейст-
вием видеоимпульса конечной высоты и конечной длительно-
сти, причем длительность такого импульса всегда может быть
выбрана столь малой, что вне интервала его существования
различие между реакцией цепи на этот импульс и на импульсное
воздействие равной площади становится пренебрежимо малым.
10.2.	Колебания в электрических цепях
при импульсных воздействиях
Колебания при импульсных воздействиях имеют много обще-
го со свободными колебаниями в той же цепи. Действительно,
пока длится импульсное воздействие (а это время по предполо-
жению бесконечно мало), токи в емкостях и напряжения на ин-
дуктивностях цепи могут принимать бесконечно большие зна-
чения. В результате реактивным элементам цепи сообщается
некоторая конечная, как будет показано, энергия. После пре-
кращения воздействия в цепи возникают свободные колебания,
соответствующие тем начальным условиям, которые сложились
к моменту окончания импульсного воздействия, т. е. к моменту
t = 0 --f-.
Пусть к незаряженной емкости от источника тока подводит-
ся импульс тока 5И.Т б (/) (рис. 10.2, а). Напряжение на ем-
кости согласно (8.2а), если Uc(t0) =- 0 (t0 < 0), определяется
по формуле
< £	[0 при t < 0;
M0=-HsH.T6(0d;= 5ит , п, (10.3а)
с J	при t ;> 0 +.
^0	С
Следовательно, при импульсном воздействии Sn.T б (/) на-
пряжение на емкости при нулевых начальных условиях скач-
ком возрастает от нуля при t < 0 до Зи.т/С при t > 0+ и в
рассматриваемой цепи сохраняется неизменным, так как ток
через источник тока равен нулю. Иными словами, напряжение
256
Uc(l) является разрывной
(ступенчатой) функцией вре-
мени, причем разрыв непре-
рывности соответствует мо-
менту приложения импульс-
ного воздействия.
Энергия, накопленная в
емкости в результате импуль-
сного воздействия, конечна и
определяется по формуле
СЫ^(0+)	$*т
Wr =--------=»------ •
Аналогично если при нулевых начальных условиях к ин-
дуктивности подведено импульсное воздействие S11H б (/) от
источника напряжения (рис. 10.2, б), то ток в индуктивности
описывается функцией
при t <Z ta < 0;
при t >.0ф-.
(10.36)
^0
К моменту окончания импульса
дуктивностью, будет конечной:
энергия, запасенная ин-
...	^1(0+)	«и
Wl = ------- = ------ 
2	2L
t>0
Разрывной характер изменения напряжения на емкостях
и токов в индуктивностях цепи не противоречит законам ком-
мутации, поскольку импульсные воздействия не являются воз-
действиями конечной величины.
Реакцию электрической цепи на импульсное воздействие
условимся называть импульсной реакцией,. Ее проще всего мож-
но найти операторным методом. Для этого надо знать А-изо-
бражение импульсного воздействия. По определению
f(p) = J SH6(/)e~pf dt.
о
В этом выражении подынтегральная функция отлична от
нуля только там, где не равна нулю импульсная функция
б (0> т. е. при 0 < t < ta и ta ->• 0. Но при ta -* 0
lim е.-р( = 1
*->о
9
Зак. 1045
257
и поэтому F (р) -= 8И [ <5 (t) dt =- Sa, т с L-изображение
импульсного воздействия равно площади воздействия. Соот-
ветствие
Л6 (/) = 4
(Ю.4)
и возглавляет табл. 9.1. Заметим, что L-изображения ненуле-
вых начальных условий Cue (0) и Lz'z. (0) в схемах замещения
реактивных элементов (см. рис. 9.3) представляют собой L-
изображения импульсных воздействий.
Общее выражение для L-изображения L, (р) импульсной
реакции можно найти, если использовать операторную переда-
точную функцию, соответствующую искомой реакции. Тогда
согласно (9.29) при 8И6 (t) =- Sa
(р) = Н (р) S„,
(10.5)
т. е. изображение импульсной реакции отличается от соответст-
вующей операторной передаточной функции лишь веществен-
ным множителем, равным площади воздействия.
10.3.	Импульсные реакции простейших
электрических цепей
/?С-контур. Пусть при нулевых начальных условиях к по-
следовательному 7?С-контуру подведено импульсное воздейст-
вие 8И.Н 6 (Z). Схема цепи приведена на рис. 10.3, а. Поскольку
8И н6 (Z) = 8И.„, L-изображение тока в контуре будет таким.
Здесь L-изображение искомого колебания выражается
неправильной дробной рациональной функцией, так как сте-
пени полиномов числителя и знаменателя функции одинаковы.
Выделяя целую часть функции /(р)*, имеем
f(p) =
5и.н
* Для этого, как известно, полином числителя делится на поли-
ном знаменателя до образования остатка в виде полинома, степень
которого ниже степени полинома знаменателя функции.
258
Обращаясь, далее, к строкам 1 и 4 табл. 9.1, находим ток
в контуре
=	—^-е-^,
(10.6а)
Где т = RC — постоянная времени контура.
Так как /.-изображение напряжения на емкости
//с(?) =
Зц.н
Лс1р+— 'j
V нс)
то
т
(10.66)
Найденные решения показывают, что импульсное воздейст-
вие напряжения 5И.Н 6 (7), пока оно длится, преобразуется в
импульс тока в емкости S„.H 6 (t)/R (первое слагаемое выраже-
ния для тока в контуре), который и «заряжает» ее до нап-
ряжения S„.„/t После этого напряжения на емкости убывает
по экспоненте, образуя разрядный ток, значения которого
при t > 0 + отрицательны при положительном напряже-
нии 5и,я/т и выбранном положительном направлении тока в
контуре.
Если в рассматриваемой цепи источник импульсного на-
пряжения с внутренним сопротивлением R заменить эквива-
лентным источником тока, то найденные решения для ис (/)
и i (/) определяют законы изменения напряжения и тока в ем-
кости параллельного /?С-контура (рис. 10.3, б).
Параллельный колебательный контур. При нулевых на-
чальных условиях /.-изображение напряжения на зажимах па-
раллельного колебательного контура при импульсном воздей-
9»
259
ствии 5И.Т 6 (/) на контур (рис. 10.4) в принятых в § 9.3 обо-
значениях таково:
Р$и.т
Y(p)	C(p2 + 26p-W)
Поэтому если G <_ 2]fС/L, то U (р) соответствует импульс-
ная реакция
и (t) = e~6i(cos®! t---------— sin®! Д	(10.7а)
С \	о>1	/
Свободные колебания в контуре при 1~> 0 + не отлича-
ются от свободных колебаний в контуре при начальных усло-
виях z’l (0) = 0 и ис (0) == <SH.T/C. Именно такие значения
имеют ток в индуктивности и напряжение на емкости контура
к моменту окончания импульсного воздействия, поскольку
iL (0 = Зи т-^-е-« sin ®x t.	(10.76)
Из (10.7) следует, что амплитуда колебаний убывает тем
медленнее, чем выше добротность контура. Это обстоятельство
следует учитывать при практическом применении колебатель-
ных контуров. В частности, если на каскад резонансного уси-
лителя (см. § 7.6) воздействует кратковременный импульс по-
мехи, то колебания в контуре, вызванные этой импульсной
помехой, убывают тем медленнее, чем выше добротность конту-
ра. Контур, как говорят, длительное время продолжает «зве-
неть». С этим явлением борются, применяя нелинейные цепи,
с помощью которых ограничиваются амплитуды импульсных
воздействий в устройствах, предшествующих резонансному
усилителю.
10.4.	Импульсные характеристики
электрических цепей
Отношение реакции электрической цепи на импульсное воз-
действие к «площади воздействия» при нулевых начальных ус-
ловиях называется импульсной характеристикой цепи. Под
реакцией можно понимать или напряжение между парой узлов
цепи, или ток в той или иной ветви цепи, а воздействие может
быть импульсом напряжения или тока. Обозначаются импульс-
ные характеристики g (t) с тем или иным индексом. Например,
260
импульсные характеристики последовательного /?С-контура
согласно (10.6) таковы:
/А = _Н£1 = 111	L_ e-t/RC gl{> £и.н	R	R2C	
и	(10.8)
о ь х *	е	рР •-’и.н	
где /?С-постоянная времени контура.
Импульсные характеристики относятся к числу временнйх
характеристик электрических цепей. Их следует рассматривать
как нормированные характеристики соответствующих реакций
на импульсные воздействия. Нормирование осуществляется
относительно площади импульсного воздействия. Если послед-
няя равна единице, то реакция цепи количественно совпада-
ет с соответствующей импульсной характеристикой цепи.
Если же площадь импульсного воздействия равна S„, то про-
порционально изменяется и реакция цепи, поскольку рассма-
триваемые цепи — линейные.
Очевидно,что импульсная характеристика цепи численно
равна реакции цепи на единичное импульсное воздействие. В
связи с этим реакция цепи на единичное импульсное воздейст-
вие и импульсная характеристика цепи часто отождествляются.
При этом следует иметь в виду, что они имеют различные раз-
мерности и совпадают лишь по численной величине.
Из-за линейности преобразования Лапласа из (10.5) сле-
дует. что L-изображением импульсной характеристики явля-
ется операторная передаточная функция, т. е.
g(0=f/(p).	(10.9)
Естественно, что импульсные характеристики электриче-
ских цепей, как и операторные передаточные функции, явля-
ются характеристиками устойчивых электрических цепей. По-
скольку после окончания импульсного воздействия цепь пере-
ходит в режим свободных колебаний, в устойчивых электриче-
ских цепях
Иш£(/) = 0.	(10.10)
4—>00
Если же цепь неустойчива, то каким бы ни было малым
импульсное воздействие, оно переводит цепь, линейную для
малых амплитуд колебаний, в нелинейный режим. Условие
(10.10) может рассматриваться как одно из определений
устойчивой электрической цепи.
261
10.5.	Интегралы наложения
Пусть h (/) и (/) — функции, характеризующие соот-
ветственно воздействие, подведенное в момент t = 0 при нуле-
вых начальных условиях к цепи с импульсной характеристи-
кой g (f) и ее реакцию (рис. 10.5). Искомая функция f2 (t)
связана с /.-изображениями воздействия /ц (р) =	(/) и им-
пульсной характеристики И (р) =± g (/) обратным преобразова-
нием Лапласа:
h (0= н (р)^(р).
Но согласно (9.10) оригиналом для произведения двух изо-
бражений является свертка их оригиналов, т. е. функций
g (/) и fi (!) Следовательно,
/	i
= fi(x) g (t—x) dx	f^t —х) g (х) dx.	(10.11)
b	о
По любой из этих формул, зная импульсную характеристи-
ку цепи£ (t) и воздействие(/), можно вычислять реакцию ли-
нейной электрической цепи, если начальные условия — нуле-
вые. Следовательно, как и операторная передаточная функция
Н (р), импульсная характеристика g (Z) содержит полную ин-
формацию о свойствах цепи как системы передачи сигналов от
ее входа к нагрузке. Это и естественно, так как Л’ (р) и g (/)
связаны взаимно-однозначным соответствием (10.9).
Формулы (10.11) можно получить, и на основании следую-
щих рассуждений. Пусть требуется найти значение реакции
цепи в некоторый момент t = t0, т. е. найти (t0\ Решая эту
задачу, представим воздействие /х (/) в виде последовательно-
сти примыкающих друг к другу видеоимпульсов прямоуголь-
ной формы и бесконечно малой длительности. Одно из таких
импульсных воздействий, приложенных в момент х, выделено
на рис. 10.6. Оно характеризу-
ется длительностью dx и высотой
f1 (х). Бесконечно малая состав-
ляющая реакции, обусловлен-
ная этим импульсным воздей-
ствием, составит в момент /0
dfs l/i (х) dxl g (t0 — х), по-
скольку площадь импульса рав-
на fx (х) dx, а от момента его
приложения (7 = х) до момента
наблюдения (/	/0) проходит
время /0 — х.
10.5
262
В соответствии с принципом наложения полная реакция це-
пи (О в момент t0 будет равна сумме бесконечно большого
числа бесконечно малых составляющих df.z (t0), вызванных по-
следовательностью бесконечно малых по площади импульсных
воздействий, предшествующих моменту t0. Следовательно,
t,
h {to} = f A W S {to — x} dx.
b
Эта формула верна для любых значений поэтому обычно
переменную /0 обозначают просто t. Тогда
t
Ъ (0 = f А {х) g (t —х) dx.
о
Если вместо х ввести в эту формулу новое переменное
= t — х, то после простейших преобразований находится
и вторая из формул (10.11).
В теории электрических цепей интегралы (10.11) известны
под названием интегралов наложения. Этим самым лишний раз
подчеркивается, что они применимы при анализе колебаний
лишь в тех электрических цепях, для которых верен принцип
наложения, т. е. в линейных электрических цепях. Интегралы
наложения представляют собой один из методов нахождения
реакции линейной электрической цепи на заданное воздейст-
вие по ее известной временной характеристике g (t), поэтому
они относятся к числу временных методов анализа колебаний
в линейных электрических цепях.
10.6.	Интегрирующие и дифференцирующие цепи
В современных радиотехнических устройствах, в импульс-
ной технике и в аналоговых электронно-вычислительных ма-
шинах широко применяются линейные электрические цепи,
у которых реакция пропорциональна или интегралу, или про-
изводной от приложенного воздействия. Первые называют инте-
грирующими, а вторые — дифференцирующими цепями. При
некоторых условиях в качестве простейших интегрирующих
и дифференцирующих цепей можно использовать последова-
тельные контуры RC.
Пусть к последовательному контуру RC в момент t = 0
подведено воздействие и (I) (рис. 10.7). Тогда согласно (10.11)
и (Ю.8) напряжение на емкости контура
t	t
ис (О = I и {х) gc (t—x)dx= — f u(x)e T dx.
J	т J
О	0
263
Здесь t — х 0, так как х изменяется в пределах х «С t.
Пока t — х «С t т, т. е. пока время t, прошедшее после
приложения воздействия и (t), много меньше постоянной вре-
мени контура т, напряжение на емкости контура
«с (0 ~ — f и (х) dx,
т J
о
если допустимо ряд
t—x
ограничить первым членом. Следовательно, пока на-
пряжение на емкости контура моделирует операцию интегри-
рования и (/) в пределах 0 ... t с тем меньшей относительной
погрешностью, чем меньше при прочих равных условиях от-
ношение Ст. К сожалению, из-за влияния паразитной емкости
резистора и наличия потерь в конденсаторе постоянная вре-
мени в реальном контуре не может принимать как угодно боль-
шие значения и, следовательно, интервал времени, в котором
контур моделирует с приемлемой точностью операцию инте-
грирования, ограничен.
Указанный интервал можно, однако, существенно увели-
чить, если использовать активные /?С-пепи. Схема простейше-
го интегратора, в котором используется один операционный
усилитель, показана на рис. 10.8. По его схеме замещения
(рис. 10.9) можно составить для узлового напряжения U3 (р) =
=----U2 (рУн единственное узловое уравнение
- ЫеЬ -Ц -Рси, (р) =	,
|Л \	*\ ]	*\
264
из которого следует
Я (р) =	-----
иг(Р) рС/?(1+и) + 1
ZJ.	—1Х	(1+H1RC
р- (/) —-----1----е
(1 + и)/?С
и при р> 1
__J__
1 ЦТ
£(0~-------е
т
Сопоставление с аналогичным решением для пассивного ин-
тегратора, если не принимать во внимание различия в зна-
ках g (/), показывает, что применение операционного усилите-
ля оказалось эквивалентным увеличению постоянной време-
ни контура в и раз. А так как у операционного усилителя зна-
чение ц составляет многие десятки тысяч единиц, то интервал,
в котором с той же точностью, как и в пассивном контуре, мо-
делируется операция интегрирования, действительно сущест-
венно увеличивается.
Если операционный усилитель считать идеальным, т. е.
считать, что и -> оо, то у рассматриваемого интегратора
(1°.12>
Ci (р)	pCR
чему соответсгвует во временной области
t
RCu2(t) = § u^dt.	(10.13)
о
Операция дифференцирования в простейшем случае моде-
лируется тем же пассивным /?С-конгуром, если реакцией явля-
265
ется напряжение на резистивном сопротивлении контура и
если t — х > I. Схема простейшего «дифференциатора» от-
личается от схемы интегратора тем, что резистивное сопротив-
ление R и емкость С меняются местами. Применение активной
дифференцирующей цепи позволяет существенно уменьшить
интервал времени, после которого напряжение на выходе диф-
ференциатора с требуемой точностью моделирует операцию
дифференцирования напряжения, подведенного к его входу.
Первые операционные усилители были разработаны для
моделирования операций интегрирования, дифференцирова-
ния, умножения и алгебраического суммирования в анало-
говых электронно-вычислительных машинах, откуда и прои-
зошло их название (см. § 17.7).
10.7.	Переходные характеристики
электрических цепей
Наряду с гармоническим и импульсным воздействиями в
качестве типового (испытательного) используется ступенчатое
воздействие.
Отношение реакции электрической цепи на ступенчатое
воздействие к величине воздействия при нулевых начальных
условиях называют переходной характеристикой цепи и обо-
значают чаще всего h (/). Так, для последовательного колеба-
тельного контура из соотношений (8.28) находятся следующие
выражения для его переходных характеристик:
ип (Л	/	л
hc (/) —-----== 1 —е-6' | cos Mi t ----sin o)j t
E	I	co
ht (0 =	-= C	sin o)j t.
E	«ц
(10 14)
Численно (см. § 10.4) переходные характеристики равны
реакции электрической цепи на единичное ступенчатое воздей-
ствие при нулевых начальных условиях.
Естественно, что переходные характеристики электричес-
ких цепей, как и импульсные характеристики, относятся к
числу нормированных временных характеристик устойчивых
линейных электрических цепей. При этом с неограниченным ро-
стом времени значения переходной характеристики асимпто-
тически приближаются к некоторой конечной величине, ха-
рактеризующей относительную величину реакции электри-
ческой цепи в режиме постоянного тока. В частных случаях
значение этого предела может быть равно нулю.
Реакция f., (/) на ступенчатое воздействие связана с соот-
ветствующей передаточной функцией Н (р) и изображением
266
воздействия Д (0 = А/p зависимостью /2 (0 = Н (р)А/р. Сле-
довательно, по определению
=	•	(10.15)
*	Ар
Операции деления изображения на р соответствует инте-
грирование оригинала, а оригиналом для Н (р) является им-
пульсная характеристика g (t), поэтому последняя связана с
переходной характеристикой /> (0 зависимостью
t
\	(10.16)
о
Так, импульсной характеристике g (f) — ис (tY Sn п по-
следовательного /?С-коптура (см. § 10.4) соответствует пере-
ходная характеристика
t
— e~~t/Tdt -= 1 —
о
а его импульсной характеристике g (t) -- i	— пере-
ходная характеристика
i
fit (0 = П---------— е~i/x ] л = — e-tlx.
J L	I R
о
Естественно, что найденные значения /ic (0 и h, (t) не от-
личаются от тех, которые непосредственно следуют из (8.13).
10.8.	Интегралы Дюамеля
Установим соотношения, с помощью которых при нулевых началь-
ных условиях находится реакция электрическом цепи на заданное воз-
действие Д (/), если известна соответствующая переходная характерис-
тика цепи h (t) (рис. 10.10) Для этого, как и в § 10 5, воспользуемся
вначале интегралом свертки По общим правилам
As (/) =// (р)	(р) =	pFt (р).
Р
Здесь отношение И (р)'р представляет собой L-изображение пере-
ходной характеристики, а оригиналом для произведения (р)Н (рУр
является свертка функций Д (/) и h (Z). Поскольку при гО она равна
('э бб)’ Э ее из°бРажение (Р)Н (рУр умножается на р, то согласно
г	t
fz (/) = -— f (r) h (t — x)dx — -j— f/1 ((— \) dx. (10.17)
nt J	at J
о	о
267
Применяя правила дифференцирования интеграла по парамет-
ру t, находим
t
Д(О=Д(О)Л(/)+[ К (x)h(t-x)dx	(10.18а)
О
и
t
f2(n=fi(0)ft(t)+ f f't(t-x)h(x)dx	(10.186)
о
Эти соотношения и являются решением сформулированной задачи,
если функция Д (/) непрерывна при t > 0, а в (10.18) интегрирование
ведется от t — 0 + до t.
Приведем и другой вариант вывода соотношений (10.18), основан-
ный на применении принципа наложения. Заданное непрерывное при
t > 0 воздействие f । (t) можно представить как сумму ступенчатого
воздействия (0), приложенного к цепи в момент t = 0, и бесконечно
большого числа бесконечно малых ступенчатых воздействий, непре-
рывно следующих друг за другом. Одно из таких малых ступенчатых
воздействий, соответствующих моменту приложения t = х, выделено
на рис. 10.11.
Найдем значение реакции цепи в некоторый момент t = t0 > х.
Ступенчатое воздействие с перепадом Д (0) к моменту /0 обусловливает
реакцию, равную произведению перепада Д (0) на значение переход-
ной характеристики цепи при t = Д, т. е. равную Д (O)h. (Д). Бесконеч-
но малое же ступенчатое воздействие с перепадом ЙД (х) обусловливает
бесконечно малую реакцию Д1Д (х)]Л (t0 — х), где 10 — х — время,
прошедаее от момента приложения воздействия до момента наблюде-
ния. Так как по условию функция Д (Д непрерывна, то
[d/i (х)] Л(Д—х) = [/; (х) dx] h(t0—x)
В соответствии с принципом наложения реакция цепи Д (0 будет
равна сумме реакций, обусловленных всей совокупностью воздействий,
предшествующих моменту наблюдения Д, т е.
to
Д(Д)=Д (0) Л(Д) + ] Д(х) h. (Д — x)dx.
о
268
Обычно в последней формуле заменяют просто на так как най-
денная формула верна для любых значений времени t0. В этих обозна-
чениях
t
Д(О=Л(°) M0+J7I М h(t—x)dx.
О
Если ввести новую переменную хг “ i — xt то
о
Д (0=Л(°)/г <0 —Jfi (* — x)h(Xj)dxlt
^0
или после изменения порядка интегрирования и возвращения к преж-
нему обозначению х для переменной, по которой ведется интегрирова-
ние,
t
fz	(0) h (0+j f i (t—x) h (x) dx.
о
Найденные таким образом выражения для f2 (t) не отличаются от
полученных выше.
С помощью любого из соотношений (10.17) н (10.18) решается за-
дача вычисления реакции Д (/) линейной электрической цепи на задан-
ное непрерывное воздействие Д (/) по известной переходной характе-
ристике цепи h (/). Их называют интегралами Дюамеля. Известны и
и другие формы тех же соотношений, в которых под знаком интеграла
содержатся производные от переходной характеристики. Онн следуют
из (10.18) и по существу рассмотрены в § 10.5.
Следует еще раз подчеркнуть, что в найденных соотношениях функ-
ция Д (/), характеризующая воздействие, является непрерывной функ-
цией времени. В случае, когда Д (/) — кусочно-непрерывная функция,
в формулах следует учитывать существование дополнительных помимо
точки t — 0 конечных разрывов функции Д (/), что эквивалентно су-
ществованию дополнительных конечных ступенчатых воздействий. Ре-
акция на каждое из этих дополнительных ступенчатых воздействий на-
ходится как произведение величины воздействия на переходную ха-
рактеристику цепи, т е. по формуле
[Л(/й-О)-Д(4+о)]Л(;-^|,
где — k-я точка разрыва непрерывности функции Д (/).
Найдем, используя один из интегралов Дюамеля, закон изменения
напряжения на емкости последовательного PC-контура (см. рнс. 10.7),
если ко входу контура при нулевых начальных условиях подводится
линейно возрастающее воздействие:
«(0 =
при i < 0;
при t > 0,
0
Е —
Д
где постоянная Д характеризует крутизну возрастания и (/).
График воздействия и (/) показан на рис. 10.12. Естественно, что
генерирование линейно возрастающих воздействий возможно лишь в
ограниченном интервале времени
269
 д^ти "решёиия'-задачи’
i пользовать формулу (10.18а),
то
/2 (0=«с (0.
fi (0^=-«i (/)=£1/А;
/1(0) =0, /Н0=£/Д;
Ь'(ч=£/Д;
hC (0 = l-e"Z/T
10 12
и hc (t —х} = 1 — е
Поэтому
и, следовательно,
uc(t) = E—Е-~ (1—е //т).
ДА
График ис (I) также приведен на рис. 10.12.
Из найденного решения следует, что при t > (3 . .4,6)т напряже-
ние на емкости возрастает по закону, близкому к линейному.
Ток в контуре будет изменяться по закону
Соответствующий график изображен на рис 10.12. Интересно, что
при t > (3 .. 4,5)т через элементы контура — резистивное сопротивле-
ние R и емкость С — проходит практически постоянный ток. Это вовсе
не означает существования в цепи режима постоянного тока, поскольку
напряжения на емкости и на входе цепи изменяются во времени.
10.9.	Область применения временных методов
анализа переходных процессов
Интегралы наложения и Дюамеля позволяют вычислять
реакцию электрической цепи на заданное воздействие по ее
известной временной характеристике, импульсной или пере»
ходной, в частности, найденной экспериментально. Проиллю-
стрируем на конкретном примере совокупность операций, ко-
торые производятся над функциями (i) и g (t) при вычисле-
нии интеграла наложения, т е., иными словами, установим
270
цепи на заданное воздействие
по известной импульсной ха-
рактеристике цепи при ну-
левых начальных условиях.
Пусть необходимо найти
значение реакции цепи в не-
который момент /0. Графики
воздействия (t) и импульс-
ной характеристики цепи g(t)
показаны на рис. 10 13 При
вычислении интеграла нало-
жения необходимо на пер-
вом этапе образовать функ-
цию g (t9 — х) переменного х. На оси х эта функция пред-
ставляет собой зеркальное отображение функции g (х) отно-
сительно точки х — t0. Ее график представлен на рис. 10.14, а.
На этом же рисунке изображен график воздействия fx(x).
На втором этапе вычисляется произведение функций fx (х) и
g (t0 — х), график которого показан на рис. 10.14, б. Третьим
этапом является вычисление площади, ограниченной графиком
этого произведения и осью х. Она и будет численно равна ис-
комой реакции цепи в момент t -= tn. Аналогично находится
значение реакции в некоторый другой момент t = tx. Отличие
состоит лишь в том, что функция g (А — х) смещается во вре-
мени относительно функции g (t0 — х).
В общем случае с ростом времени I график функции g (I — х)
смещается в направлении положительных значений х. Образ-
но говоря, функция (х), описывающая воздействие, просма-
тривается и оценивается через «окно», которое образует функ-
ция g (t — х). При этом чем медленнее убывает функция g (f)
во времени, тем шире «обзор», тем большее влияние на реак-
цию пепи оказывают удаленные от момента наблюдения зна-
271
10.15
использоваться и в случае,
задано воздействие, подведенное к цепи
чеичч воздействия, т. е тем
дтительнее «память» цепи
Итак, вычисление реак-
ции эчектрической цепи с
помощью интеграла наложе-
ния разбивается на четыре
этапа зеркального отобра-
жения, умножения, интегри-
рования и смещения. Все
эти операции и реализуются
в соответствующих програм-
мах Эти же программы могут
когда графически или численно
Временные методы анализа переходных процессов исполь-
зуются также при нахождении реакции цепи при идеализации
или воздействии, или временных характеристик цепи Так,
реакция цепи на заданную последовательность импульсов пря-
моугольной формы, график которой показан на рис. 10.15,
в соответствии с принципом наложения может быть выражена
через переходные характеристики цепи в виде следующей сум-
мы:
Д (t) = Е Ih (0 — 2h (t — tj) -u 2h (t — t.) — 2h (t —
- t3) ^h(t - /J],
T. e в виде суммы реакций на последовательность ступенча-
тых воздействий, приложенных к цепи в моменты 0, tlt t,,
t3 и
Другим примером может служить задача нахождения ре-
акции цепи на воздействие в форме трапеции (рис. 10.16, а).
Рассматриваемое воздействие можно заменить последователь-
ностью четырех линейно-ломаных воздействий, как показано
272
на рис. 10.16, б, после чего для нахождения реакции исполь-
зуется интеграл Дюамеля. При этом достаточно вычислить
реакцию лишь на одно из линейно-ломаных воздействий, по-
скольку реакции на остальные воздействия лишь сдвинуты во
времени и могут отличаться знаком.
Совокупность линейно-ломаных воздействий позволяет при-
ближенно представлять и заданные численно или графически
«гладкие» воздействия. Соответствующий пример приведен на
рис 10.17.
На рис. 10.18 изображена графически идеализированная
импульсная характеристика некоторой цепи. Если к цепи с
такой характеристикой подведено воздействие (t), то в инте-
грале наложения (10.11) функция q (t — х) будет равна еди-
нице в интервале 0 < t — х < t0, т. е когда i — t0 < х < t,
и равна нулю всюду вне этого интервала. Но тогда необходимо
соответственно изменить пределы интегрирования и, следова-
тельно,
t
t~t0
Таким образом, цепь с рассматриваемой импульсной харак-
теристикой моделирует операцию интегрирования функции /у(/)
в интервале длительностью t0. Реальные электрические цепи
подобной импульсной характеристикой обладать не могут,
поскольку последние выражаются в виде суммы экспоненци-
альных функций, которые не могут быть тождественно равны
постоянной (0 < t < ta) или нулю (t > t0). Однако, если не
ограничивать число элементов в составе цепи, можно как
Угодно точно приблизиться к рассматриваемой идеализиро-
ванной характеристике. Эта задача решается современными ме-
тодами синтеза линейных электрических цепей, а интеграторы
с конечным временем интегрирования широко применяются
Е современных устройствах оптимальной обработки сигналов
273
Глава 11.
ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД АНАЛИЗА ПЕРЕХОДНЫХ
ПРОЦЕССОВ В ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЯХ С СОСРЕДОТОЧЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
11.1. Анализ спектрального состава
периодических колебаний
В настоящей главе обосновывается возможность представ-
ления периодических и непериодических колебаний, удовлет-
воряющих некоторым условиям, в виде совокупности гармони-
ческих колебаний или, как говорят, рассматривается задача
анализа спектрального состава колебаний. Ее решение позво-
лит применить результаты аналитических и эксперименталь-
ных исследований режима гармонических колебаний в элек-
трических цепях для оценки распределения энергии негармо-
нических колебаний по частотному диапазону и для анализа
переходных процессов в цепях по их известным частотным ха-
рактеристикам.
Сформулированные задачи проще всего решаются для пе-
риодических негармонических колебаний, которые использу-
ются во вспомогательных цепях радиотехнических устройств,
например питания, синхронизации или развертки. Переда-
вать с их помощью информацию нельзя. В самом деле, если
сигнал периодический, то информация, заложенная в одном
его периоде, периодически повторяется. Для передачи очеред-
ной «порции» информации необходимо нарушить эту периодич-
ность. Но тогда сигнал становится непериодическим.
Периодическое колебание описывается периодической функ-
цией времени f (t), т. е. функцией, которая при любых значе-
ниях t удовлетворяет соотношению f (t — Т) = f (t), где
Т является периодом колебания — наименьшим временем, по
истечении которого колебания полностью повторяются. В ка-
честве примера на рис. 11.1 приведен график периодической
функции в виде периодической последовательности видеоим-
пульсов прямоугольной формы.
Известно, что всякая периодическая функция, удовлетво-
ряющая в пределах периода условиям Дирихле1, может быть
представлена рядом Фурье, т. е. рядом вида
1 Напомним, что функция f (х) удовлетворяет условиям Дирихле,
если период функции может быть разбит на конечное число интервалов,
в каждом из которых она монотонна и непрерывна, а в любой точке
разрыва существуют / (х — 0) и / (х -f- 0)
274
где ш1 = 2я/Т. Значения же Ah и <pft удовлетворяют, как из-
вестно, соотношению
т
e/4,fe =Jf(t)e-ika^dt (6 = 0, 1,2,...).	(11.2)
о
Так, для показанной на рис. 11.1 периодической последо-
вательности видеоимпульсов прямоугольной формы
ylfte/<ph = — С Ae~'ka>iidt — ———(1—е“й&ми).
Т J	jkWyT
о
Поскольку
то
s
л	2А	. Лео,
Ak=------е	sin —— ;
kn	2
4 = —]sm^2-|; До = — ( ДЛ = ^2-Д;
kn I 2 Г т J т ’
о
гл	&0l /и .	. k(Oi /ц
Фл = — —+ argsin —и
I . /ц I
=	J----^_1_соз(^ + <рй).	<1L3>
T я k
275
Функции, которые описывают периодические воздействия
и тем более колебания в электрических цепях, практически
всегда удовлетворяют условиям Дирихле.Такие функции мо-
гут быть представлены рядом Фурье (11.1), слагаемым которо-
го соответствуют гармонические колебания с частотами
2ю1( Зьц и т. д. Следовательно, периодическое колебание мо-
жет в общем случае рассматриваться как результат наложе-
ния бесконечно большого числа гармонических колебаний с
частотами 2&1, Зо>г, ..., амплитудами А2, А 3, ... и на-
чальными фазами <pi, ф2, ср„ ... и, возможно, постоянной со-
ставляющей А0/2.
Гармоническое колебание с частотой ю, называют основ-
ной или первой гармоникой, а кратные ему по частоте гармо-
нические колебания с частотами 2юг, 3o>i, ... — соответствен-
но второй, третьей и т. д. гармониками. Слагаемое 0,5 Ао
характеризует постоянную составляющую колебания или его
нулевую гармонику. Она равна среднему значению колеба-
ния за период. Комплексные амплитуды гармоник периодиче-
ского колебания находятся по формуле (11.2), которая ничем
по существу не отличается от (6.3).
Ряды Фурье для функций, с которыми чаще всего прихо-
дится встречаться в технических приложениях, приведены в
табл. 11.1. Данными этой таблицы можно пользоваться и при
смещении момента отсчета времени на любую величину, т. е.
при запаздывании процесса на время t0. Действительно, если
в формуле (11. Г) заменить t на t — t0, то
А
f (t—to) =	+ 2 Ah cos Iй®1	=
л 00
=-т+2 /,fecos(^®^+(₽fe—йЮ1^°)-	(ил)
й=1
Следовательно, запаздывание периодической функции не изме-
няет значений амплитуд гармоник. Начальные же фазы гар-
моник» изменяются на угол —
Составляющие периодического колебания можно экспери-
ментально выделить из состава периодического колебания, ес-
ли при измерениях использовать прибор, который способен от-
зываться только на гармоническое колебание одной определен-
ной частоты и подавлять колебания любой другой формы и
любых других частот. Таким прибором является, например,
резонансный усилитель с очень узкой полосой пропускания
(2А/	1/Т) и резонансной частотой, равной частоте выделяе-
мой гармоники. Соотношения между амплитудами выделенных
276
Таблица 11 1
колебаний для анализируемого периодического колебания бу-
дут при этом такими же, как и между коэффициентами ряда
Фурье.
11.2. Спектры амплитуд и фаз
периодического колебания
Периодическое колебание известной частоты полностью
описывается, если задать совокупность амплитуд Ао, Alt
А», ... и начальных фаз <pj, <р2, ... тех гармонических колеба-
ний, на которые оно может быть разложено. При этом перио-
дическое колебание, являющееся функцией времени, описы-
вается совокупностью частотных параметров Ак и <рЛ, или,
как говорят, спектром колебания.
Закон распределения амплитуд (начальных фаз) состав-
ляющих периодического колебания по частоте называют
спектром амплитуд (фаз) этого колебания. Так, периодиче-
277
ская последовательность им-
пульсов прямоугольной фор-
мы (см. рис. 11.1) характери-
зуется спектром амплитуд,
который графически пред-
ставлен для частного слу-
чая ta - 774 на рис. 11.2, а.
График спектра фаз того же
колебания показан на рис.
11.2, о. Эти графики построе-
ны по данным табл. 11.2.
График спектра амплитуд пе-
риодического колебания со-
стоит из ряда линий (спект-
ральных линий), соответ-
ствующих отдельным (дис-
кретным) гармоническим ко-
лебаниям. Подобный спектр
называют линейчатым, или
чаще дискретным.
Расстояние по оси частот
между смежными спектраль-
ными линиями
Д® = М1 = 2л/Г,	(11.5)
т. е. совпадает с основной частотой периодического колебания.
Спектральные линии, следовательно, расположены тем «гу-
ще», чем больше период колебания.
По графику спектра амплитуд колебания можно наглядно
судить не только о соотношениях между амплитудами гармо-
ник, но и о полосе частот, в пределах которой расположены
энергетически значимые частотные составляющие колебания.
Действительно, пусть f (7) — напряжение, подведенное к рези-
стивному сопротивлению R, или ток, который проходит через
него. Тогда, полагая R = 1, получаем выражение для рассеи-
ваемой мгновенной мощности

.со	П2
—Ah COS (fettx t + ф/{)
1
Средняя мощность, рассеиваемая в резистивном сопротив-
лении R = 1, по определению (5.10)
пТ	Т
P^lim J-f Д(/)а7 =-£.(>(/) Л.
П->оо til J	/ J
О	О
278
Таблица ILt
Номер гармо- ники	0	1	2	3	4	5
А к	4/2	У 2 А'/я.	А/л	У2 А/Зл	0	1/5 А/5л
Vk	—	—л/4	— л/2	—Зл/4	—	— л/4
Номер гармо- ники	6	7	8	9	10	И
Ак	А/Зл	1/5 А/7л	0	1/2 А/9л	А/5л	1/2 А/11л
<Ра	— л/2	— Зл/4	—	— л/4	— л/2	— Зл/4
Можно показать, что
(Н.6)
Это равенство в математике называют равенством Парсеваля.
Следовательно,
„	оо	V 2
р==('—V+ v ( Ак
ь; к^\У2Г
т е. средняя мощность периодического колебания равна сум-
ме средних мощностей, выделяемых каждой из гармоник коле-
бания в отдельности.
Сопоставление квадратов амплитуд гармоник и позволяет
судить о распределении общей мощности периодического коле-
бания по частотному диапазону. При этом независимо от осо-
бенностей функции / (/) амплитуды гармоник стремятся к
нулю с безграничным ростом порядкового номера гармоники,
что следует из равенства Парсеваля
279
в электрических цепях
Пусть к входу устойчивой линейной электрической цепи в
некоторый момент t0 подведено воздействие, Которое описы-
вается периодической функцией при t > t0. Если счи-
тать, что воздействие было приложено к цепи задолго до момен-
та наблюдения, в пределе при t0 — —оо, то это воздействие
можно рассматривать как наложение ряда гармонических
колебаний кратных частот.
К моменту наблюдения каждая из составляющих реакции,
обусловленная соответствующей гармонической составляющей
воздействия, будет гармоническим колебанием. При этом по-
стоянную составляющую реакции можно рассматривать как
колебание с нулевой частотой. Поскольку сумма гармониче-
ских колебаний кратных частот образует ряд вида (11.1), то
и установившаяся реакция цепи на периодическое воздействие
также представляет собой периодическое колебание.
Амплитуда гармонической реакции, обусловленная /е-й
гармоникой A k cos + срь) воздействия, равна произ-
ведению амплитуды этой гармоники A k на значение амплитуд-
но-частотной характеристики цеп’и при частоте этой гар-
моники (см. § 7.2), т. е. равна Ah \Н (/&сох) |. В качестве приме-
ра на рис. 11.3 показаны спектр амплитуд некоторого перио-
дического воздействия (рис. 11.3, а), амплитудно-частотная
характеристика связанных контуров с сильной связью
(рис. 11.3,6) и спектр амплитуд гармонической реакции
(рис. 11.3, <з). В этом примере огибающая спектра амплитуд ре-
акции повторяет фактически амплитудно-частотную характе-
ристику связанных контуров, так как спектр амплитуд воздей-
ствия в примере не изменяется с частотой. Пример иллю-
стрирует по существу применение связанных контуров
для селекции сигналов по частоте.
Спектр фаз реакции лег-
ко находится по спектру
фаз воздействия и фазо-час-
тотной характеристике цепи
9 (со), так как начальная фа-
за k-й гармоники реакции
равна сумме начальной фа-
зы k-i’i гармоники воздей-
ствия и значения фазо-час-
тотной характеристики Цепи
при частоте гармоники,
т. е. <р(! + 0 (feiox) (см.
§7.2).
280
ческой реакции полностью ее определяет, поскольку в случа-
ях, когда надо знать не только спектр реакции /2 (t), но и за-
кон ее изменения во времени, необходимо в соответствии с
принципом наложения составить сумму косинусоидальных
функций с найденными значениями амплитуд и начальных фаз.
Тогда
д	00
А(0 = ~^(0)+2 Ak\H(jk^)\X
k^= 1
X cos t 4- <pfl + 0 (kaj],	(11.7)
При расчетах далеко не всегда необходимо учитывать все
гармоники реакции1. Допустимо удержать в сумме лишь те
слагаемые, амплитуды которых не могут рассматриваться как
пренебрежимо малые. Подобная замена ряда конечной сум-
мой вносит, естественно, погрешность, тем меньшую, чем боль-
шее число членов ряда удерживается
Если в ряде Фурье (11.1) удержать лишь конечное число
младших первых членов ряда, т. е. заменить ряд Фурье конеч-
ной суммой Фурье
.	п
kn (О - дд Н (0) + V л,| Н (jk^ t) I X
k= 1
X cos [/eojj /гр,,-|-0 (/го),)],	(11.8a)
то задача анализа колебаний решается, как известно, с мини-
мальной среднеквадратической погрешностью. Это означает,
что погрешность
8 = Y j [/2 (0 -hn (ty?dt
О
(11.86)
будет наименьшей по сравнению со всеми конечными суммами
вида (11.8 а) с отличающимися коэффициентами и (или) на-
чальными фазами.
Рассмотрим пример анализа периодических колебаний в простей-
шей электрической цепи. Пусть ко входу последовательного /?С-кон-
тура подведено воздействие в виде периодической последовательности
импульсов прямоугольной формы (см. рис. 11.1) и требуется найти
1 В некоторых случаях можно свернуть ряд (11.7) и представить
его в виде функции, которая точно описывает реакцию на протяжении
периода. Тогда учитываются, естественно, все слагаемые ряда.
281
"закцн измении'яя-'ваиряжения'иа-'-тажизд-ах 'р'ези'стмйногю сопротивлейня "' ”
KOHiypa при ?п — Т/4. Соответствующая передаточная функция цепи
UR j(i>CR ^С^/^/2-arctg^CR)
Н (/со) =---=-----------—....................
U \+iwCR У1+(шС/?)2
Значения постоянной составляющей воздействия и его гармоник
приведены в табл. 11.2. Значения же амплитудно- и фазо-частотной ха-
рактеристик контура на частотах гармоник воздействия
Рсо, CR „	л
| Н (/AcOi) | =- -------- н 0 (kwy) = — — arctg Род CR.
Vl+i^CRy	2
Примем, простоты ради, cOjC/? = 1. Тогда
|Н(/>ш)( = —	и 0 (йсо) = — —arctg k,
1/1 + k2	2
поэтому:
) И (/Wj) | — 1/1/2 и 0 (coj = л/4;
( И (2/Wj) I = 2/Уб и 0(20)!) = л/2—arctg 2;
| Я (З/Wj) | =3/yi0 и 0 (Swj) = л/2 —arctg 3 и т д.
Используя данные табл. 11.2, после простейших преобразований
находим выражение для установившегося периодического напряжения
А	2А
ltR (0 =— cos (coj 0+----7~ cos (200! t — arctg 2) +
n	л У 5
A	/	л	\
+ ----— cos 3a>! t — — —arctg 3 I + ..
лУб	\	4	/
Если необходимо знать и переходный процесс при включении пе-
риодического воздействия, то для решения соответствующей задачи
анализа целесообразно использовать операторный метод. При этом L-
изображение воздействия
„ . , Л . V-< „ pcoscph — &<»! sin <pfe
f 1 p =—+ 2jh-------------rrm---------’
2p	p2-|~£2co^
если оно подводится к цепи в момент t — 0.
11.4. Анализ частотного состава
непериодического колебания
Пусть дана периодическая последовательность импульсов
(рис. 11.4, а). Этой последовательности соответствует дискрет-
ный спектр амплитуд, составляющие которого отличаются
друг от друга по частоте согласно (11.5) не менее чем на
Д<о = (ov Если, не изменяя формы импульсов, в N раз
282
у	~Т' ' 	‘	~~ ' J ~~ ""
личить в N раз временной
Интервал между импульсами
'рис. П.4, б), то в N раз
уменьшится и удаление по
частоте частотных составляю-
щих спектра.
В пределе при безгранич-
ном увеличении периода пе-
эиодическая последователь-
ность импульсов вырождается
з единичный импульс (рис.
11.4, в), его частотные состав-
ляющие располагаются бесконечно близко друг к другу, а зна-
чения их амплитуд становятся бесконечно малыми, поскольку
N-+x, N1 J
О
О
три любом k.
Следовательно, непериодическое колебание можно рассма-
тривать как сумму бесконечно большого числа бесконечно ма-
1ых по амплитуде гармонических колебаний, частоты которых
>асполагаются бесконечно близко друг к другу и заполняют в
общем случае всю шкалу частот. Грубо говоря, в любой бес-
сонечно узкой полосе частот имеется гармоническое колебание
бесконечно малой амплитуды. Именно в этом смысле ранее
см. §7.1) и говорилось, что сигналы «содержат колебания
зсех частот».
При подобной трактовке следует допустить, что гармониче-
ские составляющие функции /(() определены для любого мо-
мента. Однако их амплитуды и начальные фазы таковы, что
сумма бесконечно большого числа этих гармонических колеба-
зий бесконечно малых амплитуд отличается от нуля и равна
‘ (Л только там, где f (/) отличается от нуля
Понятие спектра амплитуд для непериодического колеба-
зия лишено смысла и должно быть заменено другим. Здесь от
збсолютных значений амплитуд гармонических составляющих
сигналов (они бесконечно малы) целесообразно перейти к их от-
зосительным значениям. С этой целью используется аппарат
знтеграла Фурье. Известно, что если функция f (t) во всяком
конечном промежутке удовлетворяет условиям Дирихле и аб-
солютно интегрируема в бесконечных пределах, т. е. интеграл
[ 1/(01^	(11.9)
— оо
283
сходится, то такая функция может быть представлена интегра-
лом Фурье:
СО
f (t) = — I | F (/(d) I cos [со/ + фф (cd)] d(o =
n J
0
co
= —5— (* F (/(d) da.
2n J
— co
Здесь
co
F (/co) = |f (/<о)(е/фФ(“) = J
— co
Так, экспоненциальная функция
(НЛО)
(Н.П)
=	при / С 0;
( Ae~at при t > 0,
которая удовлетворяет сформулированным условиям и у ко-
торой
(11.12а)
(11.126)
собой пое-
—	е—/arctg(a>/a)
,	Т/“2+«2
может быть представлена интегралами вида
со
---	----cos ( о>/ — arctg — j da =
~[/а2Ф-оз2--\	a /
,4e/W ,	( 0 при t < 0;
-------da =	r ’
a+/w I »e-at при />0.
Поскольку определенный интеграл представляет
дел суммы бесконечно большого числа бесконечно малых сла-
гаемых* то с помощью интеграла Фурье (11.10) любое неперио-
дическое колебание, которое описывается функцией / (/), дей-
ствительно можно представить как результат наложения бес-
-	, I F(i<o) | d<£> .,
конечно большого числа гармонических колебании —---------- X
X cos 1ы/ + фФ (и)1 с бесконечно малыми амплитудами |F ()(d)|X
Xda/л, начальными фазами фф (и) и частотами (D, изменяю-
284
ЩИМИСЯ UI <jj = и ди w =-
== оо,
функция \F харак-
теризует с точностью до по-
стоянного множителя 1/л
плотность амплитуд рассмот-
ренных бесконечно малых
гармонических колебаний,
так как амплитуда колебания
в полосе частот, заключенной
между оз и <о -Ь d(o, пропор-
циональна I/7 (/оэ)| и ширине
полосы частот d<o. Поэтому I/7 (/со)] называют спектральной
плотностью амплитуд непериодического колебания (функции).
функция фф (оз) = arg F (/со) характеризует спектр фаз
непериодического колебания, т. е. частотную зависимость на-
чальных фаз гармонических колебаний бесконечно малых ам-
плитуд, из которых формируется непериодическое колебание.
Комплексную величину F (/оз) будем называть комплекс-
ной спектральной плотностью колебания. Она полностью ха-
рактеризует спектр колебания, а согласно (11.10) и само коле-
бание. Например, комплексная спектральная плотность, спек-
тральная плотность амплитуд и спектр фаз экспоненциаль-
ного импульса являются функциями частоты вида:
F (/со) = А/(а 4-/со); | F (/со) | = Л/]/"а2 ф- со2;
фф(со)= —arctg(co/a).
В соответствии с изложенным спектр непериодического ко-
лебания может быть назван непрерывным или сплошным.
Спектр фаз непериодического колебания определен на всей
оси частот, а не только в дискретных точках оси частот, что
характерно для спектра фаз периодического колебания.
Графики спектральной плотности амплитуд экспоненциаль-
ного импульса для двух различных значений а приведены на
рис. 11.5. Они показывают, что амплитуды бесконечно малых
гармонических составляющих экспоненциального импульса
убывают с ростом частоты и тем медленнее, чем больше а, т. е.
чем короче импульс.
Комплексную спектральную плотность можно рассматри-
вать как результат преобразования функции времени f (t)
в функцию F (ja>) от частотной переменной /оз, которое осущест-
вляется в соответствии с (11.11). Эту операцию называют так-
же пряммм преобразованием Фурье функции f (t), в отличие от
операции (11.10), именуемой обратным преобразованием Фу-
рье. В этой терминологии комплексная спектральная плотность
285
колебания представляет собой результат прямого преобразова-
ния Фурье функции f (t), описывающей колебание.
Напомним некоторые свойства прямого преобразования
Фурье, использование которых позволяет во многих случаях
существенно упростить задачу анализа спектрального состава
колебания. Прежде всего преобразование Фурье линейно, т. е.
преобразование от суммы функций равно сумме преобразова-
ний от каждой из функций в отдельности, что следует из линей-
ности операции интегрирования. Это свойство в математиче-
ской записи выглядит так-
если /(О - 2 МО. то F(/o>) = £ (М (11.13)
/г-1	/г—1
со
где (/ш)== j	dt.
— со
Предполагается, естественно, что каждая из функций
fk (t), входящих в сумму, преобразуема по Фурье.
Из свойства лийейности преобразования Фурье следует,
что для комплексных спектральных плотностей колебаний спра-
ведлив принцип наложения, т. е. при наложении нескольких
колебаний комплексная спектральная плотность результирую-
щего колебания равна сумме комплексных спектральных плот-
ностей составляющих колебаний.
Легко убедиться в том, что спектральная плотность ампли-
туд является четной, а спектр фаз—нечетной1 функциями пе-
ременной со. Действительно, согласно (11.11)
F (jco) = J f (t) e~ia>i dt = J f (0 cos <£>tdt —
—- co	—co
oo
—/	f (t) sin totdt,
— 00
поэтому
2
I P (A0) I = |/ J f (0 cos atdt + J f(t) sin atdt
2
1 Как известно, четной называется такая функция, которая не
изменяет своего значения при изменении знака переменной. Если же
-при изменении знака переменной изменяется знак функции, а ее аб-
солютное значение сохраняется неизменным, то такая функция назы-
вается нечетной.
286
и (|ф-яг8
— j f (t) sintMt
— oo
co
J f (/) cos aid!
— oo
Следовательно,
(—/<»)[ = |F (jco)l и <рф (—и) = — фф(ы).	(11.14)
Наконец, если функция f.2 (/) запаздывает относительно функ-
ции Д (/) на время Д, сохраняя неизменной ее форму, т. е.
если Д (/) = fi (t — Д)> то согласно (11.11)
Д (/«)== Л (/“)е"'/<й/°-	(11.15)
Следовательно, запаздыванию сигнала (воздействия, реак-
ции) без изменения формы соответствует умножение изображе-
ния на экспоненциальный множитель е~ и поэтому ска-
зывается лишь на спектре фаз сигнала (воздействия, реакции).
11.5.	Спектры типичных элементов сигналов
Найдем выражения для комплексных спектральных плотностей
и спектральных плотностей амплитуд тех непериодических колебаний,
которые обычно используются в качестве элементов сигналов в цифро-
вых системах связи. Последовательность элементов с отличающимися
параметрами, закодированная в соответствии с содержанием переда-
ваемого сообщения, и образует сигнал, подлежащий передаче.
Естественно, что в рассмотренных ниже примерах соответствую-
щие функции могут быть представлены интегралом Фурье. Кроме того,
во всех случаях считается, что начало анализируемого колебания совме-
щено с началом отсчета времени. Было показано, что запаздывание
(элемента сигнала) на время Д приводит лишь к изменению его спект-
ра фаз на угол —w^0.
Видеоимпульс прямоугольной формы. Для видеоимпульса прямо-
угольной формы (рис. 11.6, а) находим
Г	1-
f(/co) = Ae~,aidt~A-----------------=
J
О
=	-уюД/2е/И^2_е-^„/2
<о 6	2/
т. е.
Г,- ,	„„	sin (со/и/2)
F (/со) = 2Ае и/ ---------------- и
со
, „	, I sin (со/и/2) |
|Е(/со)| = 2А------------ (11.16)
(0
287
[ гч , ш) I
Характерным является наличие нулей спектральной плотности
амплитуд. Эти нули располагаются при частотах, где sin (<о?и/2) —
= 0, т. е. при <в/и = 2/гл, и, следовательно, при частоте = 2/гп/tu
или fh = k/tn. При <о -> 0 функция (11.16) принимает значения
„	sin (<й/и/2)
F (0) = lim 2 А---	’ = Л/и,
(0->0	СО
т. е. начальное и одновременно наибольшее значение спектральной
плотности амплитуд видеоимпульса прямоугольной формы равно пло-
щади импульса 5И = А/и. График спектральной плотности амплитуд
импульса показан на рис. 11.6, б. Из него следует, что основная доля
энергии рассматриваемого импульса приходится на область низких
частот (см. § 11.6).
С укорочением импульса его спектр пропорционально расширяет-
ся («растягивается»), т е. чем короче импульс, тем шире его спектр, и
наоборот.
Импульс SH6 (/). Если с укорочением прямоугольного видеоим-
пульса его площадь сохраняется неизменной и равной S„, то в пределе,
при /и -> 0, такой импульс описывается функцией f (t) — SfI6 (/) (см.
§ 10.1), а его комплексная спектральная плотность
Е(/й) = Л/и=5и.	(11.17
Действительно, при /и 0 частота fflj — 2л//и первого нуля F (/со)
отодвигается в бесконечность, а поэтому значения спектральной плот-
ности амплитуд перестают зависеть от частоты и будут равны F (0),
т. е. площади импульса. Следовательно, спектральная плотность амп-
литуд единичного импульса не зависит от частоты и равна единице.
Начальные же фазы частотных составляющих единичного импульса
равны нулю.
Соотношение (11.17) можно получить и чисто формально. Опери-
руя импульсной функцией б (/) как обычной функцией (см. § 10.1), на-
ходим ее прямое преобразование Фурье (11.11) в виде (11.17).
Заметим, что б-функцию согласно (11.10) и (11.17) можно предста-
вить интегралом Фурье вида
ОО	оо
If*	1	г
б (/) =— \cosu>tdt =------- I ^atdu>.
л J	2л J
0	— оо
Это представление оказывается полезным при решении некоторых
задач, связанных с нахождением импульсных характеристик электри-
ческих цепей.
288
радиоимпульс с прямоугольной огибающей. Напомним (см. § 9 3),
то отрезок гармонического колебания A cos (<а0/ + гр), длительность
4 торого /и обычно в несколько раз превышает период гармонического
К°лебания (гармонического заполнения) Т = 2я/<а0, называют радио-
К пульсом с прямоугольной огибающей Совместим начало отсчета вре-
Иени с началом импульса (рис. 11 7) и для простоты примем, что ф = О
М что в импульсе содержится целое число периодов заполнения, т. е.
" = пТ — га2я/соо. Тогда
/IcosfiiU	= —-------(—/we '“и + /(й) =
u J	®o— w2
0
или окончательно
2A
—jat /2 . й/и
е и' sin---------=
2
9 Л
---------е~/»л:й)/о>0 sin пзгсй/Шй
CO2—Ш?
(Н.18)
2Аа>
и | F (j®) I = —-------—
I м2 — «о I
w |
sin пл------Ь
<»о I
Спектральная плотность амплитуд импульса обращается в нуль
там, где пл —2— = /гл, т. е. при частоте Ыд = (й/n) а>о = к(2л//а)
ш0
или (A/n) fa=*k/ta.
При ш — <оо, т. е. при частоте заполнения, значение |Г (/й)| мож-
но наити, если раскрыть возникающую при этом неопределенность.
Тогда
|	2Аа>	<0 |
I F (/йо) (= Ит —--------------— sin пл -------
(0->G)0 I со4—(Оо	(Оо I
Апл	Л/и
Йо	2
График спектральной плотности амплитуд рассматриваемого ра-
диоимпульса приведен на рис. 11 8, а Здесь основная доля энергии
концентрируется вблизи частоты
заполнения импульса /0 в преде-
лах главного «лепестка спектра»
(заштрихованная область) Ши-
рина основания этого лепестка
2Дй = 2 • 2л/tn или 2Д/ = 2/ta
обратно пропорциональна дли-
тельности импульса, т. е. числу
периодов частоты заполнения,
укладывающихся в импульсе
Следовательно, чем больше /и>
Т- е длительность отрезка гар-
монического колебания неизмен-
ной частоты, тем в более узкой
полосе частот сосредоточивается
его энергия. Одновременно про-
Ю Зак. Ю45
289
порционально длительности отрезка растет значение максимума
/F (/(£>)[. Это иллюстрируется рис. 11.8, б, на котором приведен гра-
фик спектральной плотности амплитуд радиоимпульса вдвое большей
длительности по сравнению с рассмотренной ранее и с той же ампли-
тудой.
11.6.	Распределение энергии непериодического
колебания по частоте
Пусть непериодическое колебание, которое описывается
функцией f0 (t), представляет собой напряжение, подведенное к
сопротивлению 7? = 1, или ток, который проходит через это
сопротивление. Рассмотрим распределение энергии колебания
по частоте. При этом будем считать, что f0 (/) представима ин-
тегралом Фурье. Для этого, применяя к f0 (/) представление
(11.10) и умножая обе его части на f0 (t), образуем следующее
выражение:
оо
f О (0 = /о (!) — С (/«) eiat da.
2л J
— оо
Проинтегрируем его по переменной t в бесконечных пре-
делах:

оо	оо
= f F0(ja)d<f> С fQ(t)e’a<dt
* 2л J	J
— 00	—	оо
В этом выражении
00 «
J f0 (t) e'®f dt = F0( —ja) = Fo (ja),
— ОС
290
„„„ p /if.)) — комплексная величина, сопряженная с Fo (/&>)-
Г JJ& J 0 \/	'
Следовательно,
f fl(t)dt^-2- f F о (jay) Fo (/co) da>.
J	2л J
Произведение двух сопряженных комплексных величин равно
квадрату модуля одной из них, поэтому
оо	оо	оо
f ft(t)dt= - f ] Fo (/со) j2 dco = f 2|F0(/2n/)j2d/. (11.19)
)	я j	j
-OO	0	0
Найденное равенство называют часто формулой или тео-
ремой Рэлея. Она может рассматриваться как аналог равенст-
ва Парсеваля (см. § 11.2) для непериодических функций, пред-
ставимых по Фурье.
Значение интеграла, стоящего в левой части (11.19), про-
порционально суммарной энергии, выделенной за все время
действия колебания. Поскольку то же значение находится в ре-
зультате интегрирования функции 2 |F0 (/2л/)|2 по частоте /,
то можно считать, что эта функция характеризует плотность
распределения суммарной энергии колебания по частоте, т. е.
энергию колебания, приходящуюся на частоте f на полосу ча-
стот шириной в 1 Гц. Называют эту функцию спектральной
плотностью энергии соответствующего колебания. Найденное
соотношение свидетельствует о том, что энергетически значи-
мые участки спектра непериодического колебания расположе-
ны в тех частотных полосах, в которых значения спектральной
плотности амплитуд колебания относительно велики.
На рис. 11.9, а приведен график спектральной плотности
энергии видеоимпульса прямоугольной формы, а на рис. 11.9, б—
график относительной величины энергии этого импульса,
10*
291
сосредоточенной в полосе частот 0 ... f. Из этих графиков сле-
дует, что основная часть энергии импульса действительно сос-
редоточена в области нижних частот, причем свыше 90% энер-
гии импульса приходится на полосу частот 0 f 1 /ta,
т. е. полосу частот главного «лепестка» его спектра
(см. рис. 11.6). Точно так же в пределах главного лепестка
спектра радиоимпульса с прямоугольной огибающей, т. е. в
полосе частот (f0 — 1/(и) С / (fo + 1/(и), расположена ос-
новная часть энергии импульса.
11.7. Распределение средней мощности сигналов
по частоте
Временное характеристики сигналов связи не могут быть описаны
математической функцией времени с полной определенностью. Это и
естественно, так как в целом процесс передачи сообщения по каналу свя-
зи представляет собой случайный процесс, подчиняющийся законам
теории вероятностей. Случайно и заранее неизвестно получателю чере-
дование букв в тексте телеграммы, звуков в речи, мест различной осве-
щенности в передаваемом изображении и т. д.1
В соответствии с этим можно говорить в общем случае лишь о ве-
роятности появления в каждый данный момент сигнала с тем или иным
мгновенным значением напряжения того или иного знака. При подоб-
ном подходе объектом изучения становятся не характеристики конкрет-
ного сигнала, а вероятностные статистнческне характеристики совокуп-
ности сигналов того или иного из видов связи.
В терминах теории вероятностей сигналы связи относятся к так
называемым стационарным случайным процессам, т. е. к процессам,
статистические характеристики которых не изменяются во времени.
К таким процессам относится также подавляющее число шумов, неиз-
бежно сопровождающих передачу сигналов по каналам связи. Под
шумами понимают электрические колебания посторонних по отношению
к сигналу источников. Следует иметь в виду, что изучение характерис-
тик шумов не менее важно, чем изучение характеристик самих сигна-
лов, коль скоро именно шумы ограничивают возможности передачи
сообщений по каналам связи.
Для сигналов связи их среднее значение является ничем иным, как
постоянной составляющей. Обычно для сигналов современных систем
связи их среднее значение равно нулю независимо от вида связи.
Среднеквадратическое значение сигнала (случайного процесса)
определяется согласно (5.10), а его квадрат определяет среднюю мощ-
ность сигнала, если допустить, что сигнал связи и (/) воздействует на
резистивное сопротивление R ~ 1 Ом.
Практически необходимое время усреднения зависит от характе-
ра процесса и различно для сигналов различных видов и систем связи.
При этом если случайный процесс стационарен, то ни среднее, ни сред-
неквадратическое его значение не зависит от начала отсчета времени
усреднения.
Характерным свойством стационарных случайных процессов яв-
ляется непрерывный характер распределения их средней мощности
1 Одиако лишь около половины букв текста телеграммы выбира-
ется по произволу отправителя, вторая же половина диктуется закона-
ми языка.
292
11.10
по частотному диапазону. Сред-
няя мощность, приходящаяся на
данной частоте на полосу частот
1 Гн, получила название спект-
ральной плотности средней мощ-
ности стационарного случайного
процесса, а закон ее распреде-
ления по частоте характеризует
статистический (энергетический)
спектр процесса. Спектральная
плотность средней мощности
сигнала может быть найдена в ре-
зультате прямых измерений его
средней мощности в выделенных
достаточно узких частотных по-
лосах. В ряде случаев она может быть также найдена аналитически в
результате усреднения значений спектральной плотности энергии слу-
чайной последовательности элементов.
Пусть, например, сигнал представляет собой последовательность
из N следующих друг за другом элементов — видеоимпульсов прямо-
угольной формы, имеющих одинаковые амплитуды, длительности и
равновероятные знаки. График одного из 2N возможных вариантов
сигнала (его реализаций) длительностью Ntn приведен иа рис. 11.10
(считается, что сигнал расположен в интервале времени 0 t М/и).
Поскольку преобразование Фурье линейно, то комплексная спект-
ральная плотность рассматриваемой реализации сигнала будет равна
сумме комплексных спектральных плотностей его элементов. Следова-
тельно,
F (/со)=а1Г(,(/со) + а2е /И<И Го (/со) + а3 е /2“/и Го (/со) + ...
\
— /fewfr. \ „ ,,
2 «Н и Л, (/&>).
k-1	/
где Fo (/со) — комплексная спектральная плотность элемента сигнала,
расположенного в интервале 0 < t <	— множитель, опреде-
ляющей знак k-ro элемента сигнала, равный с вероятностью 0,5 или
4-1, или —1.
Если это выражение подставить в формулу Рэлея и разделить обе
ее части на \ЧИ, то левая часть формулы
Е2 dt = —— [ 2 I F (/2л/) |2 df,
r	Ntw. J
J -ЭР о	«о
равная Е2, будет при R = 1 Ом характеризовать мощность реализа-
ции сигнала, усредненную за время его существования 0 t <1 Ntn.
0(7 ’ Можно доказать, что при сдел’анйых допущениях с бесконечным
увеличением длительности сигнала
оо	оо
V m f 21 р </2яП IM = f 21 о®) I2 df.
N~*°° Nta J	fa J
0	0
293
°°f 1^0 GW)21
Но тогда РСт>~~ I 2 --------- df, и, следовательно, функция
о tu
G (/) = 2 |F0 (;2л/)]2//и	(11.20)
характеризует значение средней мощности сигнала, приходящейся на
частоте / на полосу шириной в 1 Гц, т. е. спектральную плотность сред-
ней мощности сигнала.
Итак, оказывается, что спектральная плотность средней мощности
сигнала в виде случайной последовательности видеосигналов прямо-
угольной формы пропорциональна квадрату его спектральной плотно-
сти амплитуд (11.16).
Сформулированное заключение распространяется и на сигналы
в виде случайной неперекрывающейся последовательности элемен-
тов конечной длительности, одинаковой формы и равновероятных зна-
ков. Примером может служить так называемый бинарный фазо-моду-
лированный сигнал, представляющий собой последовательность ука-
занного типа, элементами которой являются радиоимпульсы с пря-
моугольной огибающей.
Заметим, что поскольку спектральные плотности амплитуд реак-
ции |Д2 (/<о)| и воздействия |Fj (/<о)| связаны зависимостью | Д2 I =
= | И (/со) г (/со) |, то при прохождении сигнала через цепь с ампли-
тудно-частотной характеристикой | И (/<о) | спектральная плотность
средней мощности сигнала на выходе цепи связана с таковой на входе
цепи зависимостью
С2 (0 =	(/2л/)|2 G, (/),	(11.21)
т. е. изменяется пропорционально квадрату амплитудно-частотной ха-
рактеристики цепи.
В заключение отметим принципиальное отличие между понятиями
спектральной плотности средней мощности стационарного случайного
процесса (колебания) и спектральной плотности энергии непериодичес-
кого колебания. Первая применительно к сигналам систем передачи
дискретной информации характеризует распределение по частотному
диапазону средней мощности случайной последовательности элементов
сигнала, а вторая — распределение по частотному диапазону суммар-
ной энергии или одиночного элемента или той или иной конкретной по-
следовательности элементов сигнала, т е. конкретной реализации сиг-
нала
11.8. Одностороннее преобразование Фурье
и частотный метод анализа переходных
процессов в линейных электрических цепях
Пусть функция f (/), для которой существует преобразова-
ние Фурье, тождественно равна нулю при отрицательных
значениях переменного /, т. е. относится к функции вида
(9.1). Тогда преобразование
F = J f (/) dt
о
(11.22)
294
называют односторонним преобразованием Фурье. Здесь, в от-
личие от (11.11), интегрирование ведется только по положи-
тельным значениям переменного I.
Применим преобразование Фурье для анализа колебаний
в электрических цепях при непериодических воздействиях.
При этом всегда можно совместить начало воздействия с на-
чалом отсчета времени. Тогда комплексная спектральная плот-
ность воздействия, если оно описывается функцией f (/), на-
ходится как одностороннее преобразование Фурье этой функ-
ции.
Можно доказать, что для всех тех функций, для которых
существует одностороннее преобразование Фурье, последнее
представляет собой предел, к которому стремится преобразова-
ние Лапласа от этой функции, если вещественная часть пере-
менной р =» ст + /<о стремится к нулю, т. е. что
F (ja) = lim F (р).
а-*0	t
Формально об этом свидетельствует сопоставление выраже-
ний (9.3) и (11.22), первое из которых переходит во второе при
р = ум, т. е. при изменении переменной р вдоль мнимой оси
комплексной плоскости. Одновременно при ст — 0 условие
(9.4) переходит в условие (11.9), а преобразование Римана—
Меллина (9.11) — в обратное преобразование Фурье (11.10).
Тогда при ст —> 0 /.-изображение F1(p) воздействия f , (/)
переходит в его комплексную спектральную плотность F± (/со),
операторная передаточная функция Н (р) — в комплексную
передаточную функцию Н (Ja), а /.-изображение реакции
F2 (р) = Н (р)	(р) в комплексную спектральную плот-
ность искомой реакции
F„ (/со) = Н (ja) F± (ja).	(11.23)
Соотношение (11.23) является прямым следствием приве-
денной трактовки воздействия ft (Z) как совокупности гармони-
ческих колебаний с комплексными амплитудами Ft (/со) daln
и формулы (7.2 а), с помощью которой находится комплекс-
ная амплитуда реакции
Но если найдена комплексная спектральная плотность ис-
комой реакции, то сама реакция представляет собой обратное
преобразование Фурье:
ОО
h (0 = —— 1 Fi (j®) Н (ja) e’a>t da =
2л> J
— oo
oo
= ~ J IЛ (/’») I IH (ja) I cos [со/ + фф1 (co) + 0 (©)] da. (11.24)
0
295
т ег'комплексну ю' пёредаточную функцйю цёпй ТГ'(]ы), можно
найти реакцию на любое воздействие, если последнее предста-
вимо по Фурье, цепь устойчива, а начальные условия нуле-
вые. Но это означает, что частотные характеристики электри-
ческой цепи — амплитудно-частотная |// (/®)| и фазо-частот-
ная 0 (<в) = arg Н (i<a) — содержат полную информацию о
свойствах цепи как системы передачи сигналов от входных за-
жимов цепи к ее выходным зажимам.
Соответствующий метод анализа переходных процессов в
линейных электрических цепях получил название частотно-
го. Заметим, что поскольку ступенчатые и гармонические воз-
действия не удовлетворяют абсолютной интегрируемости в бес-
конечных пределах, то применение частотного метода в этих
случаях требует некоторого развития, но не исключено.
Рассмотрим простейший пример применения изложенного метода.
Пусть на последовательный йС-контур в момент t = 0 воздейст-
вует убывающий экспоненциальный импульс с начальным значением
и (0) = U. Комплексная спектральная плотность воздействия соглас-
но (11 12а) Fr (у<о) = U /(а -ф у®). Комплексная же передаточная функ-
ция цепи относительно напряжения на емкости контура Н (;ч>) —
=	= 1/ (1 -ф j<i>CR). Поэтому F2 (/co) = U/ [ (а -ф усо) 1 -ф
+ joCR)].
Далее в соответствии с (11.24) находим выражение для искомой
реакции
1 f	Uelb>t
—---- I ------------------— dco.
c 2л J (а-ф/со) (1-ф/соСТ?)
0
Для вычисления интеграла разложим рациональную функцию пе-
ременной /Ю, которая находится под знаком интеграла, на простейшие
дроби. Тогда
U U 1	U 1
(а-ф/со) (1+ /соС7?)	1— O.CR а-фусо 1—aCR 1
и
и /if е/и/ 1 f eiat \
ur (/)==“—I   I ---------dw——— l ------------d® V
c 1—a.CR I 2л J а-ф/со 2л J 1	, I
\	— 00	— CO ‘И"1 _	/(0 I
\	CR J
ИнтеграЛы, заключенные в скобки, представляют собой экспонен-
циальные функции вида (11 126). Следовательно,
10	при t < 0;
U / — а/ -t!CR\
--------(е at — е	при t > О
1— O.CR
296
перейти от комплексной спектральной плотности реакции г2 (/со) к ее
Д-изображению, заменив /со на р*,
U
FAP}= [a + p)(\+PCR)
и затем, пользуясь данными табл. (9.1), найти то же выражение для
искомой реакции.
При решениях конкретных задач анализа переходных про-
цессов в цепях с сосредоточенными элементами целесообразно
использовать не частотный, а операторный метод, который на-
кладывает менее жесткие ограничения на функции, описываю-
щие колебания. Кроме того, в операторном методе органически
учитываются начальные условия задачи. Вместе с тем только
частотным методом можно решать задачи анализа колебаний в
цепях с идеализированными частотными характеристиками
(см. §9.9—9.11), а также в цепях, частотные характеристики
которых измерены экспериментально.
11.9.	Условия безыскаженной передачи сигналов
через электрическую цепь
Установим требования к частотным характеристикам элек-
трической цепи, при выполнении которых электрический сиг-
нал, рассматриваемый как воздействие, передается цепью без
искажения его формы. При этом считаются допустимыми за-
держка сигнала электрической цепью на некоторое время t0
и пропорциональное изменение значений сигнала на выходе
цепи по сравнению с его значениями на входе цепи. Это озна-
чает, что сигнал /2 (/) на выходе цепи связан с сигналом f1 (/)
на ее входе зависимостью
(/) = kfy (t — /0),	(11.25а)
где k — некоторая вещественная постоянная, для определен-
ности положительная. Графическая иллюстрация этого соот-
ношения приведена на рис. 11.11 для k = 0,5 и /0 = 2(и.
Если цепь удовлетворяет сформулированному требованию
безыскаженной передачи (11.25а), то комплексные спектраль-
ные плотности Fj (/со) и F2 (h>) сигналов (t) и (() связаны
между собой соотношением F? (/со) = kFt (/со) е—что яв-
ляется прямым следствием теоремы запаздывания (11.15).
* Замена /со на р всегда возможна, поскольку предполагается, что
комплексные спектральные плотности соответствуют функциям, кото-
рые удовлетворяют условию (11.9). Но тогда всегда выполняется усло-
вие (9.4). Обратная замена р на /со возможна лишь для функций, удов-
летворяющих условию (11.9).
297
Таким образом, комплексная передаточная функция этой
электрической цепи описывается формулой
(11.256)
Л (/to)
Последняя и определяет частотные характеристики электри-
ческой цепи, допускающей безыскаженную передачу сигналов.
Значения амплитудно-частотной характеристики такой цепи
\Н (/со)] = \k\ = const,	(11 26а)
а следовательно, значения ослабления и логарифмического
усиления цепи должны оставаться постоянными (частотно-не-
зависимыми) в пределах всей рабочей полосы частот сигнала.
Фазо-частотная характеристика цепи в той же полосе частот
должна быть линейной функцией частоты, так как
6 (о) = aig Н (/о) — —<а/0.	(11.266)
Найденные условия безыскаженной передачи хорошо иллю-
стрируют основные понятия, связанные с применением инте-
грала Фурье для анализа колебаний. Действительно, постоянст-
ство амплитудно-частотной характеристики электрической це-
пи в пределах рабочей полосы сигнала приводит к сохранению
соотношений между частотными составляющими спектра сигна-
ла, т. е. к пропорциональному изменению спектральной плот-
ности амплитуд реакции относительно воздействия. Линей-
ность же фазо-частотной характеристики ведет к пропорцио-
нальному частоте сдвигу начальных фаз частотных составляю-
щих, поскольку при 0 (о) = —(oZ0 имеем cos 1<э/ + ср +
+ 0 (cd)] = cos [со (/ —+ <р], чему соответствует лишь сме-
щение начала отсчета времени на величину /0. Пропорциональ-
ное изменение спектральной плотности амплитуд и линейный
сдви! спектра фаз сигнала (колебания) на выходе электриче-
ской цепи по сравнению с ее входом и приводят к сохранению
(1ормы сигнала. Последний
лишь запаздывает по отноше-
нию к воздействию на время
10, называемое временем за-
держки сигнала цепью, или
просто временем задержки.
Условия безыскаженной
передачи всегда выполня-
ются в резистивных элект-
рических цепях. Они удов-
летворяются также и в
случае простейшей цепи из
нагруженного согласованно
298
генератора (см. § 6.10), если воздействие задано в виде закона
изменения задающего напряжения и0 (Z) генератора, а реак-
ция _ в виде закона изменения напряжения и (f) на зажимах
нагрузки. Действительно, при согласованной нагрузке гене-
ратора (см. рис. G.21) комплексная передаточная функция
,-j p-w) = 1/2 удовлетворяет условиям безыскаженной передачи
(11.26). Стремлением к сохранению формы сигнала и объясня-
ется, в частности, целесообразность режима согласованной на-
грузки генератора в цепях передачи сигналов.
' В общем случае в цепях с реактивными элементами усло-
вия безыскаженной передачи могут быть выполнены в полосе
частот конечной ширины лишь приближенно, поскольку пере-
даточные функции цепей согласно (9.32) являются рациональ-
ными функциями переменной /со, а не трансцендентной функ-
цией (11.25 6) той же переменной.
11.10.	Реакция идеального электрического фильтра
' на импульсное и ступенчатое воздействия
Рассмотрим и оценим влияние резкого ограничения полосы
частот сигнала на примере анализа реакции идеального элек-
трического фильтра нижних частот на импульсное и ступенча-
тое воздействия. Идеальным электрическим фильтром нижних
частот условимся называть четырехполюсник, у которого зна-
чения амплитудно-частотной характеристики сохраняются по-
стоянными и равными единице вплоть до частоты <о0 = 2л/0,
после чего они тождественно равны нулю. Иначе говоря, ос-
лабление идеального фильтра равно нулю в полосе частот
0 < о» < <оо и может считаться бесконечно большим при
со > соо. Фазо-частотная характеристика идеального фильтра
считается линейной. Графически частотные характеристики
идеального фильтра нижних частот показаны на рис. 11.12.
Аналитически эти характеристики могут быть записаны так:
|И(/»)| = |' "Г"
I 0 при со>соо
(11.27)
и 0 (ю) = _ш/0.
Цепь с подобными характе-
ристиками «фильтрует» колеба-
ния по часгогному признаку,
пропуская на ее выход без ослаб-
ления лишь те составляющие
сигнала (воздействия), которые
расположены в полосе частот
0 соо. Именно поэтому ее и на-

|H(jw)(
О
11.12
299
зывают фильтром нижних частот (ФНЧ), а указанную полосу —-
полосой пропускания фильтра. Полосу частот, в которой зна-
чения амплитудно-частотной характеристики фильтра тождест-
венно равны нулю, т е ослабление бесконечно велико, назы-
вают полосой задерживания идеального фильтра.
Пусть ко входу идеального фильтра нижних частот подведе-
но импульсное воздействие 5И6 (/) Реакция идеального филь-
тра на это воздействие может быть найдена по формуле (11.24),
в которой следует положить \Н (усо) [ = 1,0 (со) = —со/0 и
согласно (11.17) 1Л (/со)| = Зи и go = 0, а пределы интегри-
рования следует ограничить полосой частот 0 со со0, по-
скольку у идеального фильтра нижних частот |/7 (/со)| = О,
если и > соо
Следовательно, выражение для импульсной характеристи-
ки идеального фильтра нижних частот
Йо
/j\ А (0 If , ,	...	1 sin<i)op — /0)
g (!) =	= — COS (со/ —co/0) dco =---°"'	•
Ojj	JC	JT	t —*• Lq
0
(11.28)
Эта функция имеет важное значение в теории передачи
дискретной информации, где она известна под названием функ-
ции отсчетов или функции В. А. Котельникова.
Значения g (/) равны нулю в моменты, когда со0 (/ — /0) =
= ±kn., т. е. когда t = /0 ± Ьх/со0 = /0 ± ^/2f0.
При t — t0, когда обращается в нуль знаменатель функции
g (/), она принимает наибольшее значение:
g (/0) = ± Пт	=	= 2f0.
Л f—тс
График функции g (/) показан на рис. 11.13, а.
Анализ решения показывает, что функция (11.28) не рав-
на тождественно нулю при ^ < 0. Следовательно, в идеальном
фильтре «следы» реакции предшествуют воздействию, что сви-
детельствует о невозможности физической реализации цепи d
характеристиками идеального фильтра нижнид частот Это и
понятно, поскольку амплитудно-частотньщ характеристики
реальных фильтров, как это следует из (9.32), 'не могут быть
тождественно равны нулю для всех значений со > со0, хотя с
увеличением числа элементов могут принимать сколь угодно
малые значения при со > соо. При этом чем точнее частотные
характеристики реальной цепи будут аппроксимировать ха-
рактеристики идеального фильтра, тем точнее импульсная ха-
рактеристика цепи описывается функцией (11.28) и, как следст-
вие (см. § 19.8), тем больше время задержки t0. Эю и оправды-
300
вает применение понятия об
идеальном фильтре для оцен-
ки характера переходных
процессов в реальных фильт-
рах и дальнейший анализ
решения (11.28).
Максимум главного ле-
пестка импульсной характе-
ристики идеального фильтра
нижних частот запаздывает
относительно импульсного
воздействия, подведенного к
входу фильтра на время
/0, т. е. время, пропорцио-
нальное кр} тизне фазо-частот-
ной характеристики 0 (<о) =
= — <о/о фильтра, так как
г0 = — 40 (<о)/4<о. Ширина
этого главного лепестка рав-
на удвоенному интервалу
между смежными нулями
функции sin <оо (t — t0),
т. е. 1//0 (см. рис. 11.13, а).
Ширина лепестка тем больше, чем £же полоса пропускания
фильтра. Иными словами, реакция идеального фильтра на
короткий импульс «расплывается» при сужении полосы про-
пускания фильтра.
Будем считать, что переходная и импульсная характери-
стики идеального фильтра связаны соотношением
Л (О- / g(t)dt,
* —со
что согласуется с приведенной выше оценкой решения (11.28).
Тогда
МО——
я
t
Г sintOg (/—/а)
* l-to
(11.29)
Для вычисления интеграла следует использовать таблицы
значений интегрального синуса, которые приводятся в спра-
вочниках по специальным функциям.
Графически решение (11.29) представлено на рис. 11.13, б).
Из графика прежде всего следует, что напряжение на выходе
301
фильтра, как и при импульсном воздействии на него, лишь при-
ближенно воспроизводит временную характеристику воздейст-
вия, что связано с изменением спектра реакции относительно
спектра воздействия. При этом реакция нарастает в основном
в течение промежутка времени, расположенного вблизи t0.
Именно при t = t0 крутизна нарастания переходной характе-
ристики максимальна, поскольку в этот момент импульсная
характеристика g (t) = h' (t) принимает максимально возмож-
ное значение.
Можно показать, что при t -> оо значение h (t) стремится
к единице, и, следовательно, при ступенчатом воздействии на
идеальный фильтр нижних частот он переходит в режим по-
стоянного тока, причем значения установившейся реакции и
воздействия одинаковы. Переходный процесс длится, строго
говоря, бесконечно. Обычно за время нарастания принимают
время, необходимое для возрастания h{f) от нуля до единицы,
если считать, что реакция возрастает с той же крутизной, что и
в момент i0, т. е. с крутизной g (t0) — 2f0. Это определение
иллюстрируется графически на рис. 11.13, б.
Время нарастания реакции будет тем больше, чем уже ши-
рина полосы пропускания фильтра, т. е. чем большая часть
частотных составляющих реакции подавляется фильтром.
В этом находит проявление общая закономерность, которая
уже встречалась при анализе переходных процессов в колеба-
тельном контуре (см. § 9.3).
Поскольку нулям импульсной характеристики g (f) со-
ответствуют экстремумы переходной характеристики h (t)
фильтра, то первый из так называемых «выбросов» переходной
характеристики, равный 1,09 (см. рис. 11.13,6), расположен
там, где соо (t — t0) = л Он, следовательно, смещен относи-
тельно 4 на время 1 /2/0. «Частота» затухающих колебаний («ос-
цилляций») реакции при импульсном и ступенчатом воздейст-
виях на идеальный ФНЧ совпадает с граничной частотой по-
лосы пропускания фильтра.
11.11.	Связь между временными и частотными
характеристиками электрической цепи
Установим соотношения, которые связывают импульсные,
переходные и частотные характеристики устойчивой электри-
ческой цепи.
Пусть ко входу цепи в момент t = 0 подведено импульсное
воздействие единичной площади. Комплексная спектральная
плотность такого воздействия (11.17) равна единице. Если
Н (;<о) — комплексная передаточная функция цепи, то реак-
ция цепи на единичное импульсное воздействие, численно рав-
302
ная импульсной характеристике цепи, может быть найдена
по общей формуле (11.24) и равна
СЮ
g(0=--— ( tf(/w)e'^(fo.	(11.30а)
2л J
— 00
Сравнение с функцией (11.10) показывает, что Н (ja) есть
не что иное, как комплексная спектральная плотность функции
g(tl т. е.
H(ja) — ^ g(t)e~iatdt.	(11.306)
о
Следовательно, импульсная характеристика цепи g (t) и
соответствующая комплексная передаточная функция цепи
Н (/со) связаны между собой преобразованием Фурье: Н (ja)
представляет собой прямое преобразование Фурье для g (t),
a g (/) — обратное преобразование Фурье для Н (ja). Но
это означает, что импульсная характеристика цепи единствен-
ным образом определяет частотные характеристики цепи, и на-
оборот.
Поскольку по известной импульсной характеристике цепи
можно с помощью (10.16) найти ее переходную характеристи-
ку, то последняя также однозначно определяется частотными
характеристиками цепи.
Сказанное свидетельствует о том, что всякое изменение ча-
стотных характеристик электрической цепи влечет за собой
изменение соответствующих временнйх характеристик цепи,
и наоборот.
В простейшем случае частотные характеристики цепи мо-
гут претерпевать пропорциональные изменения, т. е. «растяги-
ваться» или «сжиматься» по частоте. Подобные изменения свя-
заны с изменением масштаба частоты, т. е. с заменой перемен-
ной ш новой переменной аа. При этом функция Н (ja) перехо-
дит в функцию Н (jaa). Пусть первой соответствует импульс-
ная характеристика
оо
gi (0 = —— f Н (ja) tfat da.
2л J
— оо
Тогда второй будет соответствовать импульсная характери-
стика вида
ОО
gz (0 —— f Н (jaa) da.
303
co	oo
g2 (0 = —-— f H (jx) eixtla dx = —J— f H (fa) elat!a da.
2na J	2na J
— OO	— oo
Сравнение выражений для g± (t) и g2 (t) показывает, что во
второе вместо переменного t входит переменное t/a и имеется
также множитель 1/а. Это означает, что
g2(0 = —&(—У	(И.31)
Аналогичная зависимость, очевидно, существует и между
переходными характеристиками. Действительно, проинтегри-
руем последнее равенство в пределах от 0 до t. Тогда
t	t
f g2 (t) dt=\gr (—) d — 
J	J	\ a J a
о	о
Но эти интегралы выражают переходные характеристики
цепи h2 (t) и hi (t/a). Поэтому h2 (t) = hr (fa).
Следовательно, «сжатие» частотных характеристик цепи в
а раз вызывает «растяжение» импульсной и переходной харак-
теристик во времени в то же число раз. Иначе говоря, чем уже
(шире) полоса частот, пропускаемых цепью, тем медленнее
(быстрее ) при прочих равных условиях протекают в ней пере-
ходные процессы.
Для оценки связи между временными и частотными харак-
теристиками электрических цепей получим также соотношения
между граничными значениями временных характеристик це-
пей (при £ = 0 и £ = оо)иих амплитудно-частотных характе-
ристик (при со = 0 и со = оо).
Прежде всего согласно (9.28) при f (t) = h (t) и F (p) =
= H (p)/p
limh(t) = h(oo) — H (0).
t—>oo
Это означает, что при ступенчатом воздействии установившая-
ся реакция электрической цепи в виде постоянного напряже-
ния или тока на выходе цепи будет отличаться от нуля лишь
тогда, когда при со = 0 значение передаточной функции не рав-
но нулю, т. е. когда ослабление цепи при со -> 0 остается
конечным.
В момент приложения импульсного воздействия на выходе
цепи появляется реакция импульсного же характера, если при
со оо значение амплитудно-частотной характеристики не
равно нулю, т. е. ослабление цепи остается конечным. Дейст-
304
ВИТельни, ivjionw при г*шм уишвии п<феда1ичная функция
// (р) (9.32) будет представлять собой сумму некоторой по-
стоянной, являющейся /.-изображением импульсной составля-
ющей решения, и правильной дробной рациональной функции.
Поскольку переходная характеристика цепи связана с ее
импульсной характеристикой зависимостью (10.16), то, инте-
грируя обе части последнего равенства по переменному t
в пределах длительности единичного импульса воздействия,
имеем
h (0 +) = lim Н (ju>) = Н (jco).
<0->оо
Следовательно, реакция электрической цепи на ступенча-
тое воздействие, как и на любое иное «разрывное» воздействие,
будет скачком достигать некоторого отличного от нуля значе-
ния сразу же после приложения воздействия тогда, когда при
to ->- оо ослабление цепи остается конечным, т. е. когда при
о» -> ос значение амплитудно-частотной характеристики не
стремится к нулю. Последнее свидетельствует о существенном
влиянии высокочастотных составляющих спектра сигнала на
повышение крутизны его нарастания. Об этом же свидетельст-
вуют и результаты анализа колебаний иа выходе идеального
фильтра нижних частот.
Аналитические соотношения вида (11.30) и им подобные
обладают, к сожалению, малой наглядностью в том смысле,
что они позволяют судить о влиянии тех или иных изменений
частотных характеристик цепи на ее временные характери-
стики лишь в результате численного анализа. Именно поэтому
для указанной цепи широко применяются как численные, так
и различные приближенные методы (см., например, § 11.10).
Г лава 12.
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ
12.1. Четырехполюсники и их классификация
Значительная часть электрических цепей, используемых
в технике передачи и обработки информации, предназначена
Для передачи электрических сигналов от того или иного гене-
ратора к некоторой нагрузке. Подобные цепи характеризуются
наличием двух пар зажимов, с помощью которых они могут
быть соединены с внешними по отношению к ним цепями, в
частности с генератором и нагрузкой.
305
Уточняя данное ранее определение, условимся называть
четырехполюсником электрическую цепь с двумя парами за-
жимов, включенную таким образом, что через каждую пару
зажимов проходят попарно равные гоки, если их положитель-
ные направления выбраны так, как показано на рис. 12.1.
Иногда подобный четырехполюсник называется 2х 2-полюс-
ником или проходным четырехполюсником.
Четырехполюсники подразделяются на линейные и нели-
нейные, пассивные и активные. В свою очередь, активные ли-
нейные четырехполюсники могут быть автономными или не-
автономными1. Первые могут «автономно» создавать напря-
жения и токи в пассивных двухполюсниках, нагружающих их
внешние зажимы. У неавтономных четырехполюсников на-
пряжения и токи на их зажимах, замкнутых на произвольные
и пассивные двухполюсники, тождественно равны нулю.
В последующем мы будем рассматривать лишь линейные
пассивные и активные неавтономные четырехполюсники. К ним,
в частности, относятся активные цепи, модели которых со-
держат зависимые источники. Поэтому ниже под активными
четырехполюсниками понимаются активные неавтономные че-
тырехполюсники.
Различаются также четырехполюсники с сосредоточенны-
ми и распределенными элементами. К числу последних отно-
сятся длинные линии, если важны именно соотношения между
напряжениями и токами на внешних зажимах линии [см. гл 13].
Гели схема четырехполюсника симметрична относительно
его продольной оси, он называется уравновешенным. Примером
может служить четырехполюсник, схема которого приведе-
на на рис. 12.2. Уравновешенные четырехполюсники предназ-
1 Понятие о неавтономных и автономных /У-полюсниках было вве-
дено Э В Зеляхом в его монографии «Основы теории линейных элек-
трических схем» (М АН СССР, 1951), которая заложила основы совре-
менного подхода к обоснованию исходных положений теории линейных
электрических цепей
306
качены для включения между генератором и нагрузкой, с?<е'
мы которых, в свою очередь, симметричны относительно JIX
продольных осей (рис. 12.3). При этих условиях средние тс?4*
ки генератора и нагрузки (01 и 02) имеют одинаковые поте14*
циалы и ток между ними отсутствует.
В случае неуравновешенного четырехполюсника один из
его зажимов может быть непосредственно соединен с зажимом
другой пары (рис. 12.4). При этом образуется трехполюсн0к>
который используется в четырехполюсном режиме.
Из числа линейных четырехполюсников выделяют кл^сс
симметричных четырехполюсников, у которых с помощью
электрических измерений нельзя обнаружить различие м^ж*
ду одной и другой парами зажимов.
В данной главе излагаются основы общей теории линейных
неавтономных четырехполюсников применительно к задаче а&а'
лиза гармонических колебаний в четырехполюсных uen^x-
Естественно, используя частотный метод анализа колебании,
можно по частотным характеристикам четырехполюсника, 0ак
и любой иной линейной устойчивой электрической цепи, СУ'
дить о реакциях в виде напряжений и токов во внешних 0ет"
вях четырехполюсника на непериодические воздейст0ия
(см. гл. 11).
Предполагается, что четырехполюсник содержит конечтное
число сосредоточенных элементов. Вместе с тем следует о-Гмг’
тить, что соотношения, которые получены в этой главе, 4?°Р'
мально распространяются и на соотношения между напря^е'
ниями и токами на внешних зажимах линии.
42.2. Уравнения передачи четырехполюсника
Свойства четырехполюсника как системы для перед^чи
энергии целиком определяются соотношениями между нап Ря'
жениями на его внешних зажимах и токами, которые прохоЛ5^
через эти зажимы. Соотношения, связывающие комплекс^1
307
напряжения и токи на двух
парах зажимов четырехпо-
люсника (рис. 12.5, а), назы-
вают уравнениями передачи
четырехполюсника.
Пусть четырехполюсник
представляет собой электри-
ческую цепь, содержащую N
независимых (главных) узлов,
включая и четыре внешних
узла (зажима). Пусть далее
Д и /2 характеризуют ком-
плексные токи двух гармо-
нических воздействий одинаковой частоты, подведенных к
внешним зажимам четырехполюсника. Если четырехполюс-
ник неавтономен, то и U2 представляют собой комплекс-
ные напряжения реакций, и поскольку четырехполюсник
линеен, в силу принципа наложения:
1Д— Zni1-\-Zi2i2, й2— Z21 Д-j-Z224>	(12.1а)
или в матричной форме записи
й*
^11 ^12	/1
Z21 z22
. (12.16)
Коэффициенты Zn, Z12, Z21 и Z22 в уравнениях (12.1) име-
ют размерность сопротивлений, а их значения могут быть
найдены, если для четырехполюсника, рассматриваемого как
/V-узловая цепь, составить и решить систему узловых (контур-
ных) уравнений.
Уравнения (12.1) представляют собой одну из возможных
форм уравнений передачи четырехполюсника. Они позволяют
находить любую пару значений из Д, Д, Ut и U2, если зада-
ны значения другой пары.
Иные возможные формы уравнений передачи четырехпо-
люсника легко могут быть образованы, если из системы (12.1)
найти вре возможные пары зависимостей двух из четырех вели-
чин Д, Д, (?! и U2 от двух оставшихся. Общее число различ-
ных возможных форм уравнений передачи определяется числом
сочетаний из четырех элементов по два и, следовательно, рав-
но шести. Поэтому для одного и того же четырехполюсника
помимо уравнений передачи в форме (12.1) можно в общем
случае получить пять других форм:
4 = Д1<4+Д»14.	„ 1|4|| II Kit кхв
•	*	• или II t II — II -- 4
4 =^21 f/1 + ^22 f/2>	11 4 II II 21 22
308
Uy — Iy~r Hy2 U2,
или
4 = fi 2l iy+h22 u2,
Uy
I2
Hyl Р^У2
^21 P^22
ly — Fyi Uy + Fyz 12 >
U2 = F21 Uy 4-^22 4.
iy
u2
Pyy Fy2
F 21 F22
iy
u2
Uy
(12.3)
(12.4)
Одну из двух оставшихся форм уравнений передачи приня
то составлять относительно тока —/2 (рис. 12.5, б), а другую —
относительно тока —
Uy = Ауу £4+ 412 ( — /2),
Л = Л21 U2 -}- А22 (	/2),
ЬА	UA
Тогда:
или
Uy
^12
А$у ^22
U2
2
или
U2
2
Л%2
Da
^21
Da
Ау2
da
Луу
da
И 22 И 21
U
;(12.5)
(12.6)
— определитель
урав-
системы
где Da = 4 ц
нений (12.5).
Приведенные формы уравнений передачи
равноправны. Чаще всего по ряду соображений используются
формы (12.1), (12.2) и (12.5), а в цепях с транзисторами —
также и (12.3)
Уравнения передачи четырехполюсника связывают как ам-
плитуды, так и фазы гармонических колебаний на зажимах
четырехполюсника и, следовательно, полностью определяют
взаимодействие четырехполюсника с внешними цепями. Вооб-
ще говоря, те же результаты можно получить, составив и ре-
шив для цепи с четырехполюсником систему, например, узло-
вых уравнений. Однако последняя позволяет, кроме того, на-
ходить значения напряжений и токов в любых «внутренних»
ветвях четырехполюсника. Это свидетельствует о том, что
садтема уравнений содержит излишнюю информацию, не пред-
ставляющую интереса с точки зрения поставленной задачи и
лишь затрудняющую ее решение.
Именно благодаря тому, что теория четырехполюсников ос-
нована на использовании минимального числа уравнений, не-
обходимых для полного описания взаимодействия четырехпо-
люсника с внешними цепями, и получены ее основные положи-
тельные результаты.
принципиально
309
12.3.	Параметры и матрицы параметров
четырехполюсника
Коэффициенты уравнений передачи четырехполюсника на-
зывают параметрами четырехполюсника. Параметры четы-
рехполюсника определяются исключительно его схемой и зна-
чениями элементов и не зависят от внешних цепей, между ко-
торыми может быть включен четырехполюсник. Они харак-
теризуют собственно четырехполюсник и называются поэтому
собственными или чаще внутренними параметрами четырех-
полюсника, в отличие от его рабочих или внешних параметров
(характеристик), которые находятся с учетом внешних цепей.
Параметры Zu, Z12, Z21 и Z22 в системе уравнений (12.1)
называют Z-параметрами или параметрами сопротивлений
четырехполюсника в соответствии с их размерностью. Следо-
вательно, и уравнения передачи (12.1) могут быть названы урав-
нениями передачи четырехполюсника в форме сопротивлений
или в Z-параметрах.
Параметры /и, У12, У21 и У22 имеют размерность проводи-
мости. Их называют параметрами проводимостей четырех-
полюсника (Y-параметрами), а уравнения (12.2)—урав-
нениями передачи четырехполюсника в форме проводимостей
(в У-параметрах).
Остальные параметры четырехполюсника называют Н-,
F- и A-параметрами. Последние, т. е. коэффициенты Ли,
Л12, Л2] и Л22, в системах уравнений (12.5) и (12.6) называют
также обобщенными параметрами четырехполюсника. Соот-
ветствующие уравнения передачи называют уравнениями
передачи в Н-, F- и Л-параметрах.
Параметры четырехполюсника характеризуют определен-
ные соотношения между физическими величинами — токами и
напряжениями на зажимах четырехполюсника. Для выявления
этих соотношений следует создать четырехполюснику такие
условия работы, при которых уравнения передачи будут содер-
жать лишь один интересующий нас параметр. Подобные урав-
нения могут быть получены при размыкании (холостом ходе)
или коротком замыкании одной пары зажимов четырехполюс-
ника. Например, при размыкании зажимов 2—2' четырехпо-
люсник /2 = 0 и уравнения передачи (12.1) преобразуются к
виду:	= А1Л’> Uz = 221/i. Поэтому Zu — lJrIIx при
/2 = 0 — входное комплексное сопротивление четырехполюс-
ника1 со стороны зажимов 1—Г, если его противоположные за-
1 В общем случае входным сопротивлением четырехполюсника на-
зывают комплексное сопротивление, измеренное со стороны одной пары
зажимов четырехполюсника, если его противоположная пара зажимов
нагружена тем или иным двухполюсником (см. § 12 7).
310
жимы разомкнуты, a Z21 = СЛ/4 при /2 = 0'—отношение
комплексного напряжения на разомкнутых зажимах 2—2'
четырехполюсника к комплексному току, который проходит
через его зажимы 1—Г.
При размыкании же зажимов 1—1' четырехполюсника, т. е.
при 4 =z 0,	^12^2 П2 Z22Z2. Следовательно,
2 — ^4 ПРИ Л — 0 — отношение комплексного напряже-
ния на разомкнутых зажимах 1—Г к комплексному току, ко-
торый проходит через зажимы 2—2' четырехполюсника, а
Z,2 = (j2U2 при 4 = 0 — входное комплексное сопротивление
четырехполюсника со стороны зажимов 2—2’ при разомкнутых
зажимах 1—Г
Поступая аналогичным образом с другими уравнениями
передачи четырехполюсника, можно установить, что, например:
Yн = 4/йг при й2 = 0 и К22 = при (4 = 0 — вход-
ные комплексные проводимости четырехполюсника со стороны
зажимов соответственно 1—Г и 2—2' при коротком замыка-
нии противоположных зажимов;
У12 = I-JU2 при Ur = 0 и У21 = ijU-t. при U2 = 0 — от-
ношения комплексных токов через короткозамкнутые зажимы
четырехполюсника (1—Г для У12 и 2—2' для V21) и комплекс-
ного напряжения на противоположной паре зажимов;
-4ц = t\/t/2 при /2 = 0 — отношение комплексного на-
пряжения на зажимах 1—Г четырехполюсника и комплекс-
ного напряжения на его разомкнутых зажимах 2—2' и т. д.
В соответствии с изложенным параметры четырехполюсни-
ка можно рассматривать как соответствующие комплексные
передаточные функции четырехполюсника при холостом ходе
или коротком замыкании одной пары зажимов четырехполюс-
ника.
Полную совокупность параметров той или иной системы
уравнений передачи характеризуют матрицы параметров
четырехполюсника.
Два (и более) четырехполюсника с равными при всех ча-
стотах матрицами параметров считаются ^бивалентными,
ибо они имеют одинаковые уравнения передачи. Естественно,
что эквивалентные четырехполюсники могут иметь различные
схемы, внутреннюю структуру, число элементов и т. д. В связи
с этим любая система параметров, найденная для данного че-
тырехполюсника, характеризует не только этот четырехпо-
люсник, но одновременно и полную совокупность четырехпо-
люсников, эквивалентных данному. В этом проявляется еще
одно преимущество принятого в теории четырехполюсников
обобщенного подхода к изучению их свойств.
311
12.4.	Зависимости между параметрами
четырехполюсника
В качестве примера найдем связь между параметрами про-
водимостей и сопротивлений четырехполюсника. Параметры
различных матриц одного и того же четырехполюсника одно-
значно связаны между собой.
Решая уравнения (12.2) относительно неизвестных йг
и U2, находим.
1 / — J_22_ J _ Г12 / .
U1~ Dv 11 Dv
^21 г' |	^11 /
----I 1 п-------1 2>
Dv Dv
где Dy = УиУ22 — ^12^21 — определитель системы уравне-
ний (12.2). Сопоставление коэффициентов этой системы урав-
нений с коэффициентами системы (12.1) показывает, что Zu =
— Y22/Dy] Z12 = —Y12/Dy; Z21 = —Y21/Dy', Z22 = Y^/Dy.
Решая же- систему (12.1) относительно неизвестных и
/2, имеем: Yli—Z2iIDz', Yl2 = —Z12/Dz. Y21 = —Z2JDz;
Y22 = ZyJDz, где Dz = ZUZ22 — Z12Z2l — определитель си-
стемы уравнений (12.1).
Между определителями \Dz\ и \Dy\ уравнений передачи
одного и того же четырехполюсника существует простая за-
висимость:
__Z22 Zri Z12 z22__ 1
21~ DI DZ “ DZ
Подобным образом могут быть установлены зависимости между
другими матрицами параметров четырехполюсника. Соответст-
вующие соотношения, сведенные в табл. 12.1, верны как для
пассивных, так и для активных неавтономных четырехполюс-
ников, т. е. четырехполюсников с зависимыми источниками.
। В частных случаях между параметрами одной и той же
Матрицы четырехполюсника, т. е.-между коэффициентами урав-
нений передачи четырехполюсника, могут существовать Те или
иные зависимости В частности, если четырехполюсник удов-
летворяет теореме (принципу) взаимности (см § 3.9 и
6.6), тож равны его параметры Z)2 и Z21. Подобные четырехпо-
люсники называются взаимными или обратимыми. К ним от-
носятся все пассивные четырехполюсники с сосредоточенными
элементами и некоторые типы активных четырехполюсников.
Между параметрами взаимных четырехполюсников сущест-
вуют следующие зависимости:
Z21 = Z12; У2) = ^12. На — ~~Hi2< F21 ~ F12 и Da = 1>
т е. ЛПЛ22-Л12Л21 = 1	(12.7)
Они находятся по данным табл. 12.1 при Z21 — Z12.
312
Таблица 12 1
	^22	— Az	Az	-da	1	-a2	df	Аг
Гц ^12	DZ	Dz	^12	A2	Ai	Ai	Аг	
	^21	Ai	— 1	Ai	Ai	Dh	-A,	1
Y 21 Y 22	Dz	Dz	Az	^12	Ai	Ai	Аг	F22
	Y22	— Az	Al	DA	DH	Аг	1	-Py^
Zu z12	Dy	Dy	Al	Ai	H22	Аг	Al	Pn
Al Z22	-y21	Yu	1	Аг	-A,	1	Pu	Dp
	Dy	Dy	Ai	Ai	a2	^22	Al	Ai
Al Aa	~Y22	— 1		Dz	-DH	-Al	1	A2
	Y2I	Y„	Ai	Ai	Ai	Ai	Ai	Ai
Al Az	— Dy	-Yn	1	2-22	-A2	— 1	Ai	Dp
	Y21	Y21	Z21	Ai	Ai	^21	Ai	P21
Ai F12	1	-Y12	DZ	Аг	Az	Da	22	~Pn
	Yu	Yn	Z22	7 ^22	Л22	^22	Dp	Dp
/^21 ^22	Y21	Dy	 z2i	1	— 1	^21	~Pu	
	Yn	Yn	Z22	Аг	^22	^22	Dp	Dp
Ai F12	Dy	Y12	1	— Zj2	Al	-da	H22	-Аг
	Y22	Y22	Ai	Ai	Ли	Ai	DH	DH
Al F 22	-Y21	1	Ai	DZ	1	A22	-Ai	Ai
	Y 22	Y 22	Ai	Ai	Ац	Ai	DH	DH
Dy = Yл Y22 — Y j2 ^23! Dz = Zn Z22 A2-A1,
Dyl — Al Az— A 2 ^21 ’> Dtf — Al Н%2 Аг Ап
Dp— Fn F22 Fi2 Ai
1 - Итак, взаимные четырехполюсники характеризуются не бо-
лее чем тремя независимыми параметрами.
Симметричные четырехполюсники характеризуются лишь
двумя независимыми параметрами, поскольку такие четырех-
полюсники по определению взаимны и у них, кроме того’
Z28==Zu; У22=ИП, Ли = А22',	1/12 8)
DH Нц Н22 - Нп На = 1, Df = Fn F22 - F12 F21 = 1.1
313
Соотношения между А-, Н- и F-параметрами симметрич-
ных четырехполюсников являются следствием соотношений,
приведенных в табл. 12.1. Следует отметить, что не у всех че-
тырехполюсников существуют все разновидности их матриц
параметров. Соответствующие примеры приведены в § 12.5.
12.5.	Параметры простейших четырехполюсников
Ниже будут найдены параметры ряда простейших четырех-
полюсников, соединения которых позволяют получить пара-
метры четырехполюсников многих типовых структур
П-образный четырехполюсник (рис. 12.6). Применяя метод
узловых напряжений и считая нижний узел базисным, состав-
ляем следующую систему узловых уравнений-
Л =	Y2)Ui-Y2U2;
/2= ~y2 Й2+(У2+КЖ.
Данная система совпадает с системой (12 2), поэтому.
= Y. + Г2; Г12 =	- -Г2; Г22 = Y2 + Y 3; Dy =
= Y.Y, + Y.Yj + Y2Y„
Обращаясь к данным табл 12.1, находим:
Ai — 1 + -у2- Аг — ~~~ ’> Ai — ~~~ А22 — 1 -1-----------------
‘2	*2	Y 2	У 2
зн
Считая проводимости или сопротивления некоторых из
ветвей П-образного четырехполюсника равными нулю, можно
найти параметры Г-образных (рис. 12 7) и элементарных
(рис. 12.8) четырехполюсников Приведем для примера матри-
цы параметров элементарного четыоехполюсника, изображен-
ного на рис. 12.8, о:
Матрицы У-параметров этот четырехполюсник по понят-
ным причинам не имеет.
Для четырехполюсника, изображенного на рис 12.8, б
II	У —Y II	II 1 1/^ II	II 1/2 1 II
II — у у II	II 0 1 II	II —1 О II
Трансформаторы. Напомним (см. § 6.7), что трансформа-
тором называется устройство в виде двух и более катушек ин-
дуктивности, связанных общим магнитным потоком. Они на-
ходят широкое применение в технике связ“и и энергетике.
Трансформатор с пренебрежимо малыми потерями и пара-
зитными емкостями (рис. 12.9) характеризуется следующей
системой уравнений:
771 — j(f> Lji Д + /со L12 7 >",
7/2 = /(0Z.12 7з 4” /VoZ-22 72,
где Llt и L22—индуктивности обмоток трансформатора; /_12 =
~ 7И = k'[^L11L22 —взаимная индуктивность обмоток транс-
форматора; k — L1XL22 — коэффициент связи.
Поскольку это система уравнений четырехполюсника в
2-параметрах, то у трансформатора:
2ц /*^7.ц, 2j2 — 2 oj — /ю7.12, 222 — /Ь)7.22>
Dz = {LuL22 - L\) = (/co)2 L„L22 (1 - k2).
315
Выразим параметры трансформатора как четырехполюсни-
ка через его коэффициенты связи, рассеяния и трансформации,
которыми чаще всего характеризуют трансформатор Коэф-
фициент о = 1 —- k2 называют коэффициентом рассеяния
трансформатора. Его значение уменьшается с увеличением ко-
эффициента связи между обмотками трансформатора.
Соотношение чисел витков обмоток трансформатора п
называют коэффициентом трансформации. Так как индуктив-
ность каждой обмотки трансформатора пропорциональна квад-
рату числа ее витков w, то п = wJwr = KW-Up
После простейших преобразований по формулам табл. 12.1
находятся следующие выражения для параметров трансформа-
тора:
Z^2 —* Z2i — /ОZ22 '— /СОН-2
1
и-------".—
/соаЦц
' _______ _____.	у =	1
21 jwnaLu’ 22 /мл2 аДп’
(12.9а)
/г
.	1 . .	/®па£.п . .	/г . __ п
/111----; 5 Л12 — ------7	, Л21 —	~	> Л22 ~ —
kn	k	loknL^i	1г
Найдем также параметры трансформатора без потерь и с
жесткой связью между обмотками. Его иногда называют со
вершенным трансформатором. Из последних соотношений
при k == 1 и о -> 0 следует:
Z-л —•	Zi2 — Z2i (ониСц, Z22 /юн Ец,
Ли — — , Л12— О, Л21 —•	- , Л22— п.
п	janLn
(12.96)
При ином включении катушек трансформатора (рис. 12Л0)
в исходных уравнениях трансформатора изменяются знаки
параметров Z12 = Z21 и согласно данным табл. 12 1 знаки пара-
метров Г12 = Г21, \4U, Л12,
Л 21 и Л22.
Допустим, что значения
индуктивности Lu, а следо-
вательно, и Л22 = n2Ln со-
вершенного трансформатора
неограниченно возрастают
У такого трансформатора
Трансформатор с жесткой
связью и бесконечно больши-
316
ми индуктивностями обмоток называют идеальным трансформа-
тором (рис. 12.11). Естественно, что практически реализовать
такой трансформатор невозможно. Идеальный трансформатор
рассматривается в теории электрических цепей как пассивный
четырехполюсный элемент в дополнение к введенным ранее
пассивным двухполюсным элементам. Значения обобщенных
параметров Лп и Л22 идеального трансформатора со схе-
мой, изображенной на рис. 12.11, а, положительны, а на
рис. 12.11, б — отрицательны.
Мостовые четырехполюсники. При анализе и синтезе пас-
сивных симметричных четырехполюсников широко исполь-
зуются так называемые мостовые четырехполюсники. Схема
мостового четырехполюсника приведена на рис. 12.12, а, а
ее упрощенное изображение — на рис. 12.12,6. Сопротивле-
ния ветвей мостового четырехполюсника попарно равны. По-
этому мостовые четырехполюсники относятся к числу симмет-
ричных и уравновешенных.
Параметры мостового четырехполюсника:
7  7   2&-f-Zg у  у	2&—Za
*•11 — 422------~---• *-12 ~ ^21
у ____V _ 2g 4~2;,
“	“ 2ZaZb
4 — А — %ь + 2а
Ли —	«= —	—
2
г 12 “ х ai =	:
“	21 2ZaZb
д  	2ь ж
Л12 ~~ -	— > Л21 “
Zfi —2О
2
2&—2g
1
I (12.10)
легко находятся любым из изложенных ранее методов.
Можно доказать, что для любого пассивного симметричного
четырехполюсника можно найти и практически реализовать
эквивалентный мостовой четырехполюсник. Следовательно,
структура мостового четырехполюсника является наиболее
общей для любого пассивного симметричного четырехполюс-
ника, и все характеристики последнего можно изучать, исполь-
317
12.12
зуя мостовые четырехполюсники. В частности, именно этим
объясняется применение мостовых четырехполюсников в за-
дачах синтеза пассивных электрических цепей.
При практической реализации мостовых четырехполюсни-
ков часто применяются эквивалентные им четырехполюсники
с трансформатором, что позволяет вдвое уменьшить число пас-
сивных элементов.
Зависимые источники. В соответствии с данными рис. 1.10
в табл. 12.2 приведены существующие матрицы параметров
всех четырех разновидностей зависимых источников. При этом
изменению положительного направления задающего тока или
задающего напряжения в схеме замещения зависимого источ-
ника соответствует изменение знаков элементов его матриц,
а иным вариантам распределения трех зажимов зависимого
источника между четырьмя зажимами четырехполюсника соот-
ветствуют и иные матрицы (см. ниже). В некоторых специально
оговариваемых случаях элементы k, g, р, г рассматриваются
как комплексные передаточные функции.
Транзисторы и электронные лампы. Усилительные приборы
в виде транзисторов и электронных ламп представляют собой
трехполюсники, которые используются, как правило, в ка-
честве четырехполюсников. Матрицы параметров конкретного
усилительного прибора зависят от того, какой именно из его
трех зажимов является общим («земляным») зажимом четырех-
полюсника.
Ниже на примере биполярного транзистора, используемо-
го в линейном режиме в области нижних частот его рабочего
диапазона, будут установлены взаимозависимости между ма-
трицами параметров транзистора как четырехполюсника.
Схема транзистора с общим эмиттером1 и его простейшая
схема замещения по данным табл. 7.1 приведены на рис. 12.13
1 Речь идет о таком использовании транзистора как четырехпо-
люсника, в котором общим для левой и правой пар зажимов четырех
полюсника является эмиттер транзистора.
318
Источник		Схема			А-матрица		Другие матрицы		
ИТУН	1 о— + и, 1 О—	-дй,^	Г-*7°-2 Е,		0 -1/9 0	0		Y =	0 о g о	
ИТУТ	1 I, I о		-Р’Л	г-£-О- 2 \ Ч 		0-2		0	0 0 -1/р		н =	0 о ₽	0	
ИНУН	1 о— + и, 1 о		+d ки,\		0 2 н 	0 2		1/к	0 0	0		F =	0 о к О	
ИНУТ	1 0-^-1 1 о—			о 2 > 	3 2		0	0 1/г	0		Z =	0	0 г 0	
Схеме замещения соответствует система узловых уравнений
Д = Ui/Rqo и /2 = glj}. Но она является одновременно и
системой уравнений передачи четырехполюсника в У-парамет-
рах. Следовательно,
у11 1^бэ О II
II g О II
После этого по формулам табл. 12.1 находятся матрицы А-
и //-параметров транзистора с общим эмиттером:
А = || ° ~1/g	II- н =|| ^бэ ° ||.
II 0 — 1/§7?бз II II О II
Схема транзистора с общей базой и его схема замещения
показаны на рис. 12.14. Здесь уравнения передачи в У-пара-
метрах также находятся из системы узловых уравнений
б\//?бэ “ Л + ё^ и ^2 = ёй, в которой 0 =- —Ui, т. е.
из системы уравнений 1Г ~ (Д (g + 1//?бэ) и L, = — gUx.
Следовательно, для транзистора с общей базой
II £+1//?бз 0 11
II — g 0 II
319
Кбэ
l+g^63
— g^6o
1 +g^?6a
Далее находятся
1
g
1
g^?6a
и Н =
Наконец, на рис. 12.15 приведены схема транзистора с
общим коллектором и его схема замещения. Здесь из системы
узловых уравнений
— Л + ёй и
Вбэ
Д4_ - f
*бэ 1
при U = Ux — U. следует, что у транзистора с общим коллек-
тором
#бэ
^+ё^бэ
___1___
1 4- g^63
320
в найденных матрицах А- и //-параметры транзистора с об-
щей базой и с общим коллектором выражены через К-парамет-
ры транзистора с общим эмиттером1. .Можно при необходимо-
сти выразить матрицы параметров транзистора через его А,
или //-параметры. Аналогично находятся матрицы параметров
транзисторов и электронных ламп по схемам их замещения,
отличающимся от рассмотренных.
Более или менее полная совокупность зависимостей меж-
ду матрицами параметров транзисторов (электронных ламп)
приводится в соответствующих справочниках.
12.6.	Соединения четырехполюсников
Четырехполюсник, схема которого известна, в общем слу-
чае может быть разбит на то или иное число соединенных между
собой более простых четырехполюсников. При этом разли-
чаются каскадные, параллельные, последовательные, парал-
лельно-последовательные и последовательно-параллельные со-
единения четырехполюсников. Рассмотрим способы нахожде-
ния параметров составного четырехполюсника по известным
параметрам составляющих его четырехполюсников. Для каж-
дой из перечисленных разновидностей соединений четырех-
полюсников будут обоснованы правила нахождения той из
матриц соединения, элементы которой вычисляются проще все-
го. Другие матрицы соединения находятся с помощью формул
табл. 12.1
Каскадное соединение четырехполюсников. Схема каскад-
ного соединения двух четырехполюсников показана на
рис. 12.16. Уравнения передачи соединяемых четырехполюс-
ников в А-параметрах и в матричной форме записи имеют вид
Д № Д "
i 2
Д ч Д"
Л21 Л22
^2
При каскадном соединении — U'2 и /> = —/г- По-
этому матрицу || U2 — /2 |jT в левой системе уравнений можно
заменить равной ей матрицей || U"i ||т из правой системы
уравнений. Тогда
0.
Л
А А •
Л21 Л22
A”ti Л"2
/Ц1 А22
иг
1 Для каждой из рассмотренных матриц существует также матри-
ца, соответствующая взаимозамене левой и правой пар зажимов четы-
рехполюсника или, иначе говоря, изменению направления передачи
сигналов через четырехполюсник. Эти матрицы легко могут быть най-
дены и здесь не приводятся.
И Зак. 1045	32»
Но это матричная форма
записи уравнений передачи
четырехполюсника в 4-пара-
метрах, у которого
А',,
А',
Лз II
Э>2 II
А
А
Л'Ь.
Следовательно, при каскад-
ном соединении двух четы-
рехполюсников Л-матрица соединения равна произведению
А-матриц соединяемых четырехполюсников.
Это правило легко распространяется на любое число соеди-
ненных каскадно четырехполюсников (цепочку четырехполюс-
ников), т. е. при соединении каскадно N четырехполюсников
А -|| М || А2||... || Av ||,
причем матрицы в этом произведении расположены в том же
порядке, в котором входят в соединение соответствующие че-
тырехполюсники.
Параллельное и последовательное соединения четырехпо-
люсников. На рис. 12.17 приведена схема параллельного соеди-
нения двух четырехполюсников. Будем полагать, что оно ре-
гулярно, т. е. что после соединения система уравнений каждо-
го из четырехполюсников остается такой же, какой она была
до соединения. Достаточные условия регулярности будут сфор-
мулированы в конце настоящего параграфа. Сейчас лишь от-
метим, что только каскадное соединение четырехполюсников
всегда регулярно.
Пусть соединяемые параллельно четырехполюсники харак-
теризуются уравнениями передачи в У-параметрах:
У 22
1'1
Y"
1 1 2
и"
Д'

При параллельном соединении четырехполюсников Д =~
= 1\ — У)' и Л = /о -1- Поэтому
Л
4
у;2
у- У'
J 2 t 7 22
uf
l/2
у» у п
7 1 t 7 1 2
У» \Г"
7 2 1 7 2 2
I
U"
I и2
но так как U{~ U'^U^ и U± = Lj"2= U2, то
322
или по правилам сложения матриц
Л
Л
y'^ + y"^ r;2+r;2
} 21 + Y%( Y22 + ^22
l),
Ог
Но это выражение является матричной записью уравнений
передачи четырехполюсника в У-параметрах. Следовательно,
при параллельном регулярном соединении четырехполюсни-
ков матрица У-параметров соединения равна сумме матриц
У-параметров соединяемых четырехполюсников, т. е.
N
А= i
Аналогично доказывается, что при последовательном регу-
лярном соединении двух (рис. 12.18) и более четырехполюсни-
ков матрица Z-параметров соединения равна сумме матриц
Z-параметров четырехполюсников, входящих в соединение,
т. е.
N
Z= 2 zft.
к- 1
Последовательно-параллельное и параллельно-последова-
тельное соединения четырехполюсников. На рис. 12.19 и 12.20
П
323
приведены схемы соответственно последовательно-параллель-
ного и параллельно-последовательного соединений Если эти
соединения регулярны, то, как легко убедиться, при последо-
вательно-параллельном соединении
Н- 2 И.
k= 1
а при параллельно-последовательном
N
2 Fft.
4= 1
Условия регулярности соединения. Ниже приводятся без
доказательства некоторые достаточные условия регулярности
соединения четырехполюсников.
Соединение четырехполюсников будет регулярным, если,
соединяются каскадно любые четырехполюсники;
соединяются параллельно уравновешенные четырехполюс-
ники;
соединяются параллельно или последовательно трехполюс-
ные четырехполюсники так, что их общие зажимы ’ объеди-
няются;
324
соединяются любым спо-
собом произвольный и так
называемый еразорванпыйэ
(рис 12.21) четырехполюс-
ник, у которого
Уг1 = 1/Zy У]2 = У21-0;
= 1/Z2; Zu = Zjj
Z12' = z21 = 0; Z22 = Z2;
" Zx, H12 = H 21 — 0,
H22 = l'Z2, Flt = l/zi:
Fl2 = F21 = 0: F22 -=
соединяются любым способом произвольный четырехпо-
люсник с четырехполюсником, на входе или (и) на выходе ко-
торого включен трансформатор
Пример 1. На рис 12 22 приведена схема так называемого эмит-
терного повторителя Его можно рассматривать как результат каскад-
ного соединения транзистора с заземленным коллектором и элементар-
ного четырехполюсника (см рис 12.8, а) Если в области рабочих час-
тот повторителя допустимо использовать схему замещения транзистора
для его области нижних частот,
равны
1	Кбэ		1 0	.—
1 +?7?бэ			
1		У 1	
1 + й^бэ			
то Л-параметры повторителя будут
j _l_ ^бэ	^бз
1+й^бэ 1-тй^бэ
У	1
1+^бэ
Пример 2. Найдем У-параметры полевого транзистора с общим ис-
током для области верхних частот. Схема замещения транзистора, за-
имствованная из табл. 7 1, приведена на рис. 12 23, а, а его схема в
виде параллельного соединения ИТУН и П-образного четырехполюс-
ника — на рис. 12 23, б. Соединение этих четырехполюсников будет
регулярным (см. третий пункт достаточных условий).
Матрица У-параметров П-образного пассивного четырехполюсника
легко находится по данным § 12.5. Матрица же У-параметров другого
325
четырехпо поспи ка т е матрица И ГХ И, нахо и гея по ганным
табл 12 2 Следовательно,
I /со (Сзи — С3с) /оС33 II , II 0 0 1
I —/озС3с /оз (CllC-j-C3C) II Г II g 0 I
/03 (Сзп ЬСзс)	Н
g — /соС^с /оз (6 не-1 Сзс) |]
Пример 3. Наидем Я параметры простейшее услтителя на бн
полярном транзисторе с общим эмиттепом, схема которого приведена
на рис 12 24, а Такой каскау образуется в результате после товагеть-
но паратлельного соединения собственно транзистора и разорванного
четырехпотюсника о чем свидетельствует рис 12 24, б Соединение
будет регулярным поскольку один из че1ырехпотюснпков — разор-
ванный Стедоватетьно, по показанному
Я21
Н =
Z, о
1
о -------
Z2
Я2,	Я22 -- —
z2
где Нп Н12, Н21 и Н22 — И параметры транзистора, a Zx и 1/Z2 —
//-параметры разорванного четырехпотюсника (см рис 12 21)
12.7.	Внешние характеристики четырехполюсников
Под внешними характеристиками четырехполюсника пони-
маются частотные характеристики пепи, которая в общем слу-
чае содеожит генератор с заданным внутренним сопротивле-
нием, четырехполюсник и нагрузку' двухполюсник, на ко-
торый замкнуты внешние («выходные») зажимы четырехполюс-
ника Внутреннее сопротивление генератора, если оно конеч-
но и не равно нулю, также считается сопротивлением нагрузки
четырехполюсника
Ниже рассматриваются соотношения, с помощью которых
могут вычисляться внешние частотные характеристики че-
326
тырехполюсннка, если известны Собственные параметры четы-
рехполюсника и данные его нагрузок (нагрузки) Эти соотно-
шения дополняют методы расчета частотных характеристик,
изложенные в гт 7
Входное сопротивление четырехполюсника. Пусть одна па
ра зажимов четырехполюсника, например 2—2' (рис 12 25, с),
нагружена двухполюсником с комплексным сопротивлением
Z, Тогда со стороны зажимов 1—Г нагруженный четырехпо-
люсник может рассматриваться как двухполюсник, комплекс-
ное сопротивление которою называют входным сопротивле-
нием четырехполюсника (нагруженного четырехполюсника)
Входное сопротивление четырехполюсника относится к
числу его внешних характеристик, так как оно зависит не
только от свойств собственно четырехполюсника (собственных
параметров четырехполюсника), но и от свойств той внешней
цепи (нагрузки), на которую замкнута одна пара зажимов че-
тырехполюсника
Выразим входное сопротивление четырехполюсника через
его собственные параметры и сопротивление нагрузки.
Для этого проще всего воспользоваться уравнениями пере-
дачи четырехполюсника в Л-параметрах, те в форме (12.5)
Учитывая принятые положительные направления напря-
жения U2 и тока /2 (см рис 12 25, «), заменяем U2 на
Z, (—/2) После этого, разделив первое из уравнений системы
на второе,
Ui __ Д Лп -(- Э12
/. Д Л21 + 422
(12 На)
Найдем входное сопротивление ZBx2 со стороны зажимов
2—2', нагрузив четырехполюсник со стороны его зажимов 1 — 1'
(рис 12 25, б) Поскольку при выбранных положительных на-
правлениях напряжении и токов и± = —Z1I1 и ZBX2 — U2U2,
воспользовавшись теми же уравнениями передачи, получим
__ —	Лц-|-Д12
^В\, Л21 + ^22
Отсюда
Л21 “Г Л11
Этот же результат можно по-
лучить с помощью уравнении
передачи в форме (12.6).
327
В последних соотношениях обобщенные параметры можно
заменить любыми другими Так, выразив. А параметры через
Z параметры четырехполюсника (см табл 12 1), имеем
7	__ 7	^2\	7	7	^12 ^21
^ВЧ! — ^11	~ ~	— Л22	7	7
Z2-4-Z22	Щ Г 41
Поступая аналогично, находим
1	__. у ___	Т12 /21
2ВХ,	1 /22 т У
1 ____у_________Т12 У21
^BX2“ 22	1 А + Т!,
7	_ Н ^12 ^21
вх‘ 11 1/г2+я22
(12 12)
(12 13)
(12 14)
Формулы (12 12)—(12 14) показывают, что при произволь-
ном сопротивлении нагрузки входное сопротивление четырех-
полюсника отличается от его сопротивления при разом-
кнутых (Zn, Z22, Я22) или замкнутых накоротко (Уп, У22>
Яи) противоположных зажимах только тогда, когда ни один
из взаимных параметров четырехполюсника (У1г, К21, Z12,
Z21, Я12, Я21) не равен нулю, т е когда существует двусторон-
няя связь между обеими парами зажимов четырехполюсника).
Влияние сопротивления нагрузки на входное сопротивле-
ние четырехполюсника (реакция нагрузки) учитывается вторы-
ми слагаемыми формул (12 12)—(12 14) Эти слагаемые можно
рассматривать как сопротивления, вносимые нагрузкой че-
тырехполюсника Понятие вносимого сопротивления оказы-
вается полезным при изучении свойств специальных видов че-
тырехполюсников
Передаточные функции односторонне нагруженных четы-
рехполюсников. Режим включения четырехполюсников, в ко
тором его внешние характеристики определяются лишь одним
из двух сопротивлений нагрузок, принято называть режи-
мом, односторонней нагрузки
Передаточная функция четырехполюсника в режиме задан-
ного входного напряжения Я Qio) = (рис 12 26, а)
находится из уравнения передачи t/x = Лп1/2	Д12 (—12)
при —12 = У2Й2 и с учетом формул табл 12 1 равна
Я(/со)= ^- =
Ui
^2 (	}^21
l/j ^11 + ^2^12	У22+Р2
____Z21_______-"^21
Zn + YzDz ~~Dh + Y2H11
(12.15)
328
Аналогично из уравнения Л = А21(73	Л22 (—/2) нахо-
дится (рис 12 26, б) передаточная функция четырехполюсни-
ка в режиме заданного входного тока
И (/со) = —= Y-^- =----------!----=-----— =
/j	/,	^22 + 22/21 Y1]-rZ2Dy
= ——	(12 16)
^22 + ^2	1 -Ь 2? Ht2
Модули рассмотренных безразмерных комплексных пере-
даточных функций часто называются коэффициентами усиления
напряжения (12 15) и тока (12 1S) Тогда соответствующие им
амплитудно-частотные характеристики представляют собой
частотные зависимости усиления напряжения и тока
Бели выходные зажимы четырехполюсника разомкнуты
(рис 12 27, о), то передаточная функция четырехполюсника в
режиме холостого хода определяется как Н = U2/U0 По-
скотьку в этом режиме односторонней нагрузки /2 = 0, то
из системы уравнений Uo —	= Ult Ur — An(72 и —
= А,1(/2 находится Uo ~ (Ап + ZjA21) t/2 Следовательно,
Н (до) =	==------?-----=---------
Uo /2 — о	^11 + ^1^21	Y22-[-Z1Dy
=—=	.	(12 17)
Существует еще один режим односторонней нагрузки, со-
ответствующий режиму короткого замыкания выходных за-
жимов четырехполюсника Он характеризуется (рис 12 27,6)
передаточной функцией Н (/to) = —/2//0, где —Л — ток
329
через короткозам ;н\тые выходные зажимы четырехполюсни-
ка, причем, как легко убедиться,
Обычно рассмотренные выше комплексные передаточные
функции и амплитудно-частотные характеристики нормируют-
ся относительно максимальных значений последних (см § 7.9),
Передаточные функции двусторонне нагруженного четы-
рехполюсника, На рис. 12. 28 приведена схема двусторонне
нагруженного четырехполюсника. Передаточная функция в
виде отношения LJU„ находится из системы уравнений четы-
рехполюсника, если учесть, что Ur = Uo ZJ\ и Л =
= UyZL. В результате простейших преобразований имеем
Во многих случаях четырехполюсник включается между
генератором с чисто резистивным внутренним сопротивлением
А?! и нагрузкой также в виде чисто резистивного сопротивле-
ния (рис. 12.29). Амплитудно-частотные характеристики для
рассматриваемого режима включения четырехполюсника при-
нято нормировать относительно максимально возможной ве-
личины напряжения U2 = U2m(LX, которая вообще достижи-
ма в системе из нагрузки с заданным сопротивлением /?2, гене-
ратора с заданным внутренним сопротивлением Rp< задающим
напряжением Uo и пассивного четырехполюсника.
330
Значение U >т„ х мо^кно найти, если учесть, что средняя мощ-
ность в нагрузке пассивного четырехполюсника U^/R^ не мо-
жет превышать той мощности Р = Uo/bR^ которую во-
обще способен развивать заданный генератор в наиболее бла-
гоприятных хсловиях (см §6.10) Следовательно, Цггтах/Р^ =
= Co/(4/?i), и поэтому	Уо.
Тогда общее выражение для нормированной (рабочей} ампли-
тудно-частотной характеристики примет вид
. U2U2 1 Р ।	1П пл,
|Я(/»И = дГ— --у У	(020)
U 2 max U0 V	Ко
Ясно, что если четырехполюсник пассивен, то значения
рассматриваемой нормированной амплитудно-частотной ха-
рактеристики при любой частоте удовлетворяют неравенству
|W(Hl^l	(12.21)
В противном случае средняя мощность в нагрузке четырех-
полюсника была бы больше той, которую вообще может отдать
заданный генераюр, что возможно лишь в активных четырех-
полюсниках, т е. в усилителях
Величина
Лаб = 20 lg I(Jo) I = 20\ё(2и.г/иа)	(12.22)
определяет рабочее усиление рассматриваемой цепи, выражен-
ное в децибелах, а величина, отличающаяся от нее знаком,
б'о Л R2	С'2 r2
«Pao=2Olg —- 1/	= 101g-А	(12.23)
2С/2 V Ri	4/?! b 2
характеризует рабочее ослабление той же цепи.
Еще раз следует обратить внимание на то, что под знаком
логарифма в формуле (12.23) содержится отношение максималь-
но возможной средней мощности £7о/4/?х, которую способен
развить генератор, к мощности U2IRa, которую этот генератор,
будучи подсоединен ко входу четырехполюсника, отдает в на-
грузку четырехполюсника. Поэтому рабочее ослабление ха-
рактеризует свойства системы из генератора, четырехполюсни
ка и нагрузки как системы для передачи сигналов. При этом
величина рабочего ослабления зависит не только (а иногда
и не столько) от свойств четырехполюсника, но и от того, в ка-
кой мере данные генератора и нагрузки согласуются с данными
четырехполюсника. Ясно, что в цепях с пассивным четырехпо-
люсником и резистивными сопротивлениями нагрузок рабочее
ослабление не может быть отрицательным.
331
Для оценки системы из генератора, усилителя и его нагруз-
ки используется рабочее усиление этой системы, значения ко-
торого в пределах рабочей полосы частот усилителя, как прави-
ло, положительны. При этом коэффициент усиления напряже-
ния U„JU0 может быть и меньше единицы, если усилитель рас-
считан на сопротивление нагрузки, много меньшее внутрен-
него сопротивления генератора. Примером могут служить вы-
ходные каскады вещательных приемников, нагруженных ди-
намиками.
Нормированную амплитудно частотную характеристику
можно рассматривать как модуль так называемой рабочей
передаточной функции'.
=	/* Л =	(12.24)
Ua V R> V Rs
Ее аргумент
0 («) = arg Н (р) = arg U2 — arg йа	(12 25)
характеризует частотную зависимость разности фаз напряже-
ния или тока на зажимах нагрузки четырехполюсника и за-
дающего напряжения или тока генератора.
Общее выражение для рабочей передаточной функции мож-
но найти, если в формуле (12.24) отношение U2^U0 заменить от-
ношением (12.19) и учесть, что Z1 = и Z2 = R2. Тогда
Ri ____________2 VRj R,________
Rs Atl + A12 4- Ri Rs A21-[-R1 A%2
(12.26)
, Она содержит полную информацию о рабочем ослаблении
(рабочем усилии) и рабочей фазе b = —0 (со) цепи из генера-
тора, четырехполюсника и нагрузки.
12.8.	Преобразователи сопротивлений
Ряд четырехполюсников используется для того, чтобы целе-
направленно изменить входное сопротивление четырехполюс-
ника относительно сопротивления его нагрузки. Широкие воз-
можности в этом отношении открылись в связи с использова-
нием активных /?С-цепей (Л7?С-цепей). Ниже рассматривают-
ся основные виды и характеристики четырехполюсников ука-
занного назначения.
Трансформаторы. На рис. 12.30 приведена схема нагружен-
ного идеального трансформатора. Система обобщенных урав-
332
Я(Н=-^1/
нений идеального трансфор-
матора согласно (12.9 в) та-
кова
=	( -Л)-
(12.27)
Из них следует, что ком-
плексное напряжение на вы-
ходе трансформатора увели-
чивается, а комплексный ток
уменьшается в одно и то же
число раз, равное коэффици-
енту трансформации п Именно благодаря этому входное со-
противление идеального трансформатора пропорционально
сопротивлению нагрузки и равно
7 _ U, I й2 z,
Zbx, — .	— ,	. —	,
п —/2 «-
Таким образом, с помощью идеального трансформатора
можно в задачах анализа электрических цепей в заданное число
раз изменять модули сопротивления нагрузки, сохраняя не-
изменным ее аргумент Если нагружены зажимы /—Г идеаль-
ного трансформатора, то из тех же уравнений следует ZBX2 =
= п2^
Согласно (12.9 а) и (12.11 а) в области частот, в которой
ыпЬ11 < \Z2]/n2 и coLn > |Z2|//22, ZBX1 л: Z2//A В этой об-
ласти частот и применяются трансформаторы для преобразо-
вания сопротивлений в цепях передачи сигналов. Она ограни-
чена снизу индуктивностью Ln, а сверху — индуктивностью
рассеяния о/.11 первичной обмотки трансформатора.
Конверторы сопротивления. Конвертором сопротивления
называется активный линейный четырехполюсник, входное со-
противление которого пропорционально сопротивлению на-
грузки, причем коэффициент пропорциональности может быть
вещественным положительным или отрицательным числом или
той или иной простейшей функцией переменной ]ы. Матрица
/4-параметров конвертора
(/со)
О
О
А2.г (КА
(12.28)
так как только при этом согласно (12.11 a) ZBX1 =	Z,.
Если коэффициент Лг1 (/<»)/Л22 (/со) в последнем выраже-
нии является вещественным отрицательным числом, то такой
ззз
конвертор, в отличие от идеального трансформатора, позволя-
ет изменять не только модуль, но и знак сопротивления на-
грузки конвертора. Последние называются конверторами от-
рицательного сопротивления (КОС). Один из них был рас-
смотрен в §3.11.
Конверторы, у которых ZBX1 =	можно, в част-
ности, использовать для имитации индуктивности, поскольку
при Z2 -- Кг их входное сопротивление не отличается от со-
противления ]ы1. индуктивности RJa>0.
Находят применение и конверторы, у которых
ZBX1 ~ (/w/wn)2 Z_, = —(02Z2/Wo
Входное сопротивление такого конвертора при Z2 = R2,
равное —	представляет собой отрицательное частот-
но-зависимое резистивное сопротивление. Этот конвертор при
Z2 = 1//соС2 также позволяет имитировать индуктивность.
Рассмотренные разновидности конверторов используются в
задачах синтеза электрических цепей (см. гл. 20).
Естественно, что при реализации конверторов (обычно в ви-
де 7?С-цепей и операционных усилителей) приведенные выше
соотношения между входными сопротивлениями и сопротив-
лениями нагрузок конверторов оказываются практически спра-
ведливыми лишь в полосах частот конечной ширины.
На рис 12.31, а приведена схема простейшего конверто-
ра, а на рис. 3 31, б — его схема замещения.
Система узловых уравнений для рассматриваемой цепи:
(1/4) i/1-(i/za)p(i/1-(72) = 71;
—(1/Zb) и (t/'i—^2)-i- (1/4) 1Л = /2
334
представляет собой систему уравнений четырехполюсника в
/-параметрах. Зная последнюю, по формулам табл. 12.1 на-
ходим искомую матрицу Л-параметров:
1 + И	Zb
И	Ц
1	1 ц Zb
|1 Z-a Н* Z<z
Если операционный усилитель идеален, т. е. если р оо
(см. $ 1-5), то
II	1	0 II
А= I ,,
II	о zb/za ||
Практически такой же будет матрица цепи с реальным опе-
рационным усилителем в его рабочей полосе частот, в которой
ji д> 1 В простейшем случае Za = Ra и Zb = Rb. Тогда
Z ! = — ZiRJRb, что соответствует конвертору отрицатель-
ного сопротивления.
Если соединить каскадпо два рассмотренных конвертора,
например, так, как показано на рис. 12.32, то Л-матрица это-
го составного четырехполюсника
1	0	1
О —zb/za о
О	1
Zp/Za ~ О
о
Zb Zp/(Z« za)
будет матрицей конвертора, у которою ZBXJ =
Пусть сопротивления двухполюсников этого конвертора
являются резистивными. Тогда коэффициент между входным
сопротивлением и сопротивлением нагрузки конвертора пред-
ставляет собой вещественное положительное число. Такой кон-
вертор позволяет изменять соотношение между токами при ра-
венстве напряжений на входе и выходе конвертора.
Если положить Za = Ra, Za = Ra, Zb — Rh, но Zp, —
= l//(oCp, то у такого конвертора
^BXl --
Z2.
Ra Ra Cp
Если же Zn = R„, Z^ = Ra, но Zb = l//coCb и Zp =
~ l//(oCp, to
^bxi — —<a2RnRaC ,CfiZ2.
Если два последних типа конверторов использовать для
имитации индуктивности, то в области нижних частот звуко-
335
вого диапазона добротность такой «микроэлектронной? индук-
тивности оказывается существенно больше, чем у катушки ин-
дуктивности равного номинала, а габариты и масса — меньше
на несколько порядков.
Естественно, что изложенный способ имитации элемента
индуктивности активными ДС-цепями является не единствен-
ным и не всегда лучшим.
Инверторы сопротивления. Инвертором сопротивления на-
зывается активный линейный четырехполюсник, входное со-
противление которого пропорционально проводимости на-
грузки. Для этого необходимо, чтобы матрица Л-параметров
инвертора
А-
О
41 (/со)
42 (/со)
о
(12.30)
Тогда ZBX1 = Л12-(-^-)---------------= Л12 (/м) У2
41 (/и) й2 41 (/и)
Нашел практическое применение и выпускается промышлен-
ностью в интегральном исполнении инвертор, у которого ко-
эффициент А12 (/со)/А21 (/со) является вещественным положи-
тельным числом. Принцип построения такого инвертора, назы-
ваемого гиратором, иллюстрируется рис. 12.33. Четырехпо-
люсник с такой схемой замещения действительно является
гиратором, поскольку у 'него 7Х = ёъЩ, <4 = —Ii/gi, и по-
этому матрица его Л-параметров
. II 0 l/gj
А =
II Й2 0
действительно является матрицей гиратора.
Используются гираторы главным образом для имитации
элемента индуктивности, для чего гиратор нагружается ем-
костью. Тогда ZBX1 =	что совпадает с комплексным
сопротивлением индуктивности L = C2!gyg,.
336
Глава 13.
КОЛЕБАНИЯ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
13.1.	Длинные линии
Линия является одним из составных и, более того, опре-
деляющих элементов любой из систем электросвязи. В техни-
ке радиосвязи примером служат так называемые фидеры, пред-
зтавляющие собой по существу линии, используемые для пере-
дачи электромагнитной энергии от выходных цепей радиопе-
редатчика к антенне радиостанции. Линии используются и в
качестве элементов аппаратуры, предназначенной для работы
з области сверхвысоких частот
Задача анализа процессов в линии при передаче по ней сиг-
залов относится к числу задач о распространении электро-
магнитной энергии в неоднородных средах. В большинстве
:лучаев, идеализируя условия задачи, полагают, что электро-
магнитная энергия распространяется в пространстве, однород-
зость которого нарушена лишь введением проводов. Свойст-
за последних, естественно, существенно отличаются от свойств
окружающей их диэлектрической среды. При этом, также идеа-
зизируя условия задачи, в большинстве случаев полагают, что
конструктивные и электрические данные линии — материал
з диаметр ее проводов, их взаимное расположение, температура
окружающей среды и т. д. — сохраняются неизменными по
хлине линии. Такие линии получили название однородных.
Таким образом, линию следует рассматривать как направ-
ляющую систему, вдоль которой от передатчика к приемнику
оаспространяется электромагнитная энергия. Подобный под-
код принципиально важен не только потому, что он позволяет
отрого сформулировать задачу анализа электромагнитного со-
стояния рассматриваемой направляющей системы и наметить
зравильный путь ее решения, но и дает общее физическое ис-
толкование процессам передачи сигналов в системах связи.
К сожалению, аналитическое решение соответствующей
шстемы уравнений возможно лишь при некоторых упро-
Дающих предположениях. Кроме того, в большинстве слу-
таев надо знать токи и напряжения в линии, поскольку
^конечные и промежуточные устройства систем связи пред-
ставляют собой электрические цепи с заданными частотны-
ми (временными) характеристиками.
Поэтому задача анализа процессов передачи сигналов в ли-
1иях связи и анализа и синтеза многих устройств техники
337
сверхвысоких частот и микроэлектроники решаются метода-
ми теории электрических цепей. Возможность применения ука-
занных методов основывается на представлении линии в виде
цепи с бесконечно большим числом бесконечно малых по ве-
личине пассивных элементов или, иными словами, о линии как
о цепи с распределенными (по ее длине) элементами. Е соот-
ветствии с этим используются понятия о так называемых
первичных или погонных параметрах линии резистивном со-
противлении 7?0, индуктивности Lo, емкости Со и проводимости
Go единицы длины линии. Их значения находятся в общем слу-
чае методами теории электромагнитного поля
Распределенный характер элементов приводит к тому, что
напряжения и токи в однородной линии в общем случае яв-
ляются функциями не только времени, но и одной пространст-
венной координаты — удаления от одного из концов линии.
Зависимость токов и напряжений от пространственной коорди-
наты есть тот основной признак, который отличает линии или,
более определенно, длинные линии от цепей с сосредоточен-
ными элементами.
Методы теории длинных линий, основанные на представле-
нии линии в виде цепи с распределенными элементами, дают
весьма удовлетворительное соответствие с практикой вплоть
до частот, при которых длина волны, распространяющейся в
линии (см § 13 4), все еще значительно больше расстояния меж-
ду проводами1 Частотный критерий, позволяющий оценить
нижнюю границу полосы частот, начиная с которой линия уже
не может быть заменена моделью из сосредоточенных элемен-
тов, рассматривается в § 13 6.
В настоящей главе будут рассмотрены основы теории це-
пей с распределенными элементами применительно к частот-
ному методу анализа колебаний в электрических цепях.
13.2.	Первичные параметры длинной линии
Длинные линии, используемые как линии связи, фидеры
и элементы радиотехнических устройств, могут иметь различ-
ные конструкции. Поперечные сечения основных типов длин-
ных линий приведены на рис 13.1.
Ниже оцениваются основные факторы, влияющие на чис-
ленные значения первичных параметров линий, и приводятся
1 В технике связи для канализации электромагнитной энергии ис-
потьзуются также направляющие системы, поперечные размеры ко-
торых соизмеримы с дпинои волны К ним относятся в частности, вол-
новоды, процессы н которых аиаппзирхются методами теории электро-
магнитного потя
,338
Симметричные линии
Несимметричные линии
а > 2г
Воздушная
13.1
а > 2г
Кабельная
Полосковая
без доказательства соответствующие расчетные формулы, обо-
снование которых составляет предмет специальных курсов.
Значения первичных параметров линии 7?0 и Lo находятся
в результате решения задачи о распределении тока по сечению
провода, размещенного в электромагнитном поле. Решение по-
казывает, что плотность тока в уединенном проводе круглого
поперечного сечения не остается постоянной, а убывает от по-
верхности к центру провода. Скорость убывания тем больше,
чем выше частота. Это явление известно под названием поверх-
ностного эффекта.
Неравномерность распределения плотности тока по сече-
нию провода эквивалентна уменьшению площади его попереч-
ного сечения, а следовательно, увеличению сопротивления про-
вода.
Если обозначить радиус провода через г, м, а частоту через
/, Гц, то для медного провода явление поверхностного эффек-
та существенно сказывается на его сопротивлении при f >
> 0,5/г2. Сопротивление единицы длины провода, Ом/м, мож-
но найти по следующей приближенной1 формуле: Ra =
=-(4,18У7/г). 10-8.
Тогда для двухпроводной воздушной линии и коаксиаль-
ного кабеля соответственно Ro = 2 (4,1^1/^/^) 10-8 и 7?0 =
= 4,18У"Г(1/Г1 + 1/г2) 10-8.
В рассматриваемой частотной области значения параметра
Ro возрастают пропорционально квадратному корню из ча-
стоты колебаний.
Сопротивление /?0 симметричных линий в той же частотной
области растет по мере уменьшения расстояния между прово-
дами линии. Это приводит к некоторому увеличению значения
параметра Ro для симметричных колебательных линий по
1 Погрешность не превышает 5 % для нижней границы неравен-
ства f > Q,5/r2 и убывает с усилением неравенства.
339
сравнению со значением этого параметра у воздушных линии
из проводов того же диаметра (явление близости).
Индуктивность Lo, Гн/м, единицы длины симметричных ли-
ний (воздушных и кабельных)и коаксиального кабеля вычис-
ляется соответственно по формулам-
Lo = ±1 In -iZLL = 4. i о 7 In —
л г	г
L 12-= 2-10 71п-^-,
2Л Г]	7*j
(13.1)
Где р0 = 4п10~7 Гн/м магнитная постоянная
Эти формулы, строго говоря, верны для области частот,
когда за счет поверхностного эффекта ток концентрируется
вблизи от поверхности проводов. С уменьшением частоты, ког-
да ток проникает в толщу проводов, значение параметра Lo
несколько увеличивается Однако это увеличение может ока-
заться заметным лишь для воздушных линий из стальных про-
водов и симметричных кабельных линий.
Параметр Со линии находится как отношение заряда, при-
ходящегося на единицу длины линии, к напряжению между
проводами линии. Иными словами, этот параметр представля-
ет собой емкость конденсатора, образованного отрезком линии
един ичной длины.
Расчет значений Со, Ф/м, симметричных линий и коакси-
ального кабеля производится соответственно по формулам;
Р _ лее0 __ е 10 9
Со — --------- -------------,
а — г	а — г
In—	36 Щ-—	(13.2)
_ 2лЕе0 _	el 0 9
° In (г2/Г1)	18 1п(г2/Г1)
где е0 10-9/36л, Ф/м, — электрическая постоянная, е —
относительная диэлектрическая проницаемость среды. От ча-
стоты параметр Со практически не зависит.
Параметр Go линии представляет собой активную состав-
ляющую проводимости между проводами линии единичной
длины. В кабельных линиях в области высоких частот значе-
ния Go, 1/Ом-м, обусловлены потерями в диэлектрике и мо-
гут быть найдены по формуле
Go = соСо tg S
Таким образом, параметр Go оказывается пропорциональ-
ным частоте со, емкости Со и тангенсу угла диэлектрических
340
потерь 6. УгоЯ д представляет собой дополняющий до 90°
угол между приложенным напряжением и током, протекаю-
щим через конденсатор с данным диэлектриком, причем
tg <5 « 1 •
Частотная зависимость значений первичных параметров
линии существенно усложняет решение многих задач, связан-
ных с анализом колебаний в линиях. Поэтому часто прихо-
дится отказываться от строгого учета этой зависимости, пола-
гая численные значения первичных параметров линии равными
средним их значениям в рабочей полосе частот.
13.3.	Телеграфные уравнения
Как уже указывалось ранее, напряжение и ток в любой
точке линии являются функциями как времени t, так и расстоя-
ния х от одного из концов линии. Для решения задачи о рас-
пределении токов и напряжений в однородной линии, являю-
щихся функциями этих двух независимых переменных, со-
ставим дифференциальные уравнения, связывающие в некото-
рый момент мгновенные значения токов и напряжений в эле-
менте линии длиной dx, удаленном на расстояние х от начала
линии (рис. 13.2).
Поскольку и = и (х, f), то изменение напряжения на вы-
ходе элемента по сравнению с напряжением на его входе в не-
который фиксированный момент равно -(ди/дх) dx. Оно обус-
ловлено наличием в элементе линии как сопротивления
Rodx, так и индуктивности Lodx. Если пренебречь изменением
величины тока на входе и выходе элемента как величиной вто-
рого порядка малости, то падение напряжения в нем равно
iRodx + Lodx di/dt.
Приравнивая теперь оба последних выражения и сокращая
на множитель dx, находим
—	duldx = Roi + Lodildt.
(13.3 а)
Поскольку изменение тока
на выходе элемента, равное
—(dUdx) dx, обусловлено от-
ветвлением тока в проводи-
мость изоляции Godx и ем-
кость Codx элемента линии,
то —(di/dx)dx — uGodx 4-
-d-C^lxdu/dt, если пренебречь
изменением напряжения
вдоль элемента как величи-
ной второго порядка малости.
341
'Следовательно,	а
— diidx = Gou 4- C^duldt	(13 3 б)
Совместное решение найденных дифференциальных урав-
нений в частных производных при заданных начальных и гра-
ничных условиях и позволяет в каждом конкретном случае
решить поставленную выше задачу. Уравнения (13.3), как и
полученные из них дифференциальные уравнения для мгно-
венных значений токов и напряжений в линии, часто назы-
вают телеграфными, что обусловлено исторически первым при-
менением линий связи для передачи телеграфных сигналов.
Несмотря на внешнюю простоту телеграфных уравнений,
их аналитическое решение для произвольных сопротивлений
генератора и нагрузки и сигнала произвольной формы отсутст-
вует. Положение существенно упрощается, если решать теле-
графные уравнения для установившегося режима гармониче-
ских колебаний в линии Дело в том, что для этого режима за-
ранее известен закон изменения напряжений и токов во вре-
мени в любом сечении линии. Из телеграфных уравнений оста-
ется найти лишь законы изменения с расстоянием х амплитуд
и начальных фаз колебаний. Коль скоро последние зависят
лишь от одного переменного х, телеграфные уравнения пере-
ходят из уравнений в частных производных в обыкновенные:
дифференциальные уравнения, что ведет к существенному уп-
рощению их решения
Применяя символический метод анализа гармонических
колебаний, преобразуем телеграфные уравнения (13.3) к виду
—	dUjdx = (До + j<x>L0) I;
—	di!dx = (Go + /а>С0) U.
Здесь U и 1 определяют комплексные напряжения и токи в
сечении линии, удаленном на расстояние х от ее начала. Ис-
ключим из этих уравнений ток /, для чего необходимо взять
производную по переменному х от первого уравнения и поста-
вить в эту производную значение dltdx из второго уравнения.
В результате
d2 Uidx2 = (Ro + /wL0) (Go + /©Со) U.
Введя обозначение
? = Ж +	(G0 + /wC0) = a4-/|3,	(13.5)
перепишем найденное уравнение в виде
d2 U/dx2—y2 Й = 0.
(13.4)
342
Его общее решение. как известно, таково-
О = At е ~ 71 -Г А, е7'
Коэффициенты А± и Л, являются постоянными интегриро-
вания. В этих же коэффициентах выражается и решение зада-
чи о распределении тока в линии. Действительно, так гак со-
гласно первому из уравнений системы (13.4)
I =----------'-------— —--------------!------- (y4j е — уЛ2 е^А),
Ло + /ю^-о	Ло + yw^-o
ТО
Ro + /со Z-o
(Л1в v<— Л, е'^)
4,	А, .
—! С'-----------= ет-,
где
4 =]/lZnle /<Гв	(13.6)
V Go + /®С0
Таким образом, общее решение задачи о распределении
напряжений и токов в линии для режима гармонических коле-
баний имеет вид:
и^Аге VA + 42eyr-
7-ф-е
2ц
(13.7)
В этом общем решении постоянные интегрирования А1 и Л2
зависят от значений напряжений и гоков на внешних зажимах
линии или, как говорят, от граничных условий задачи Зна-
чения же параметров у и зависят исключительно от данных .
линии и частоты колебаний в ней и остаются неизменными с
изменением граничных условий! При этом, поскольку решения
(13.7) содержат коэффициенты у  а + /13 с отличающпмисг
знаками, условимся считать, что а > 0 и, следовательно
Р>0.
13.4.	Падающие и отраженные волны
в длинных линиях
При анализе процессов в длинной линии, находящейся в
режиме гармонических колебаний, целесообразно в решениях
(13.7) телеграфных уравнений перейти от комплексных напря-
жений и токов в линии к их мгновенным значениям. Для это
343
го, воспользовавшись обозначениями (13.5) и (13.6),запишем
(13.7) в форме:
£/ = А1е—ахе /рх+Д2еах е'Рх;
/А с е /(Р*+<РВ)	еах е/ (Р*—<Рв)
I |	| 2В]
Тогда для мгновенных значений напряжений и токов в линии:
и = ]/' 2 | Aj | е~ах cos (о/ —(Зх ф- фг) ф-
ф- ]/2 | Д21 е“* cos (<в/ ф- (Зх ф- <р2);
i =]^2 । — е ах cos («/—[Зх ф- <рх—срЕ) —	I (13.8)
I I
— V2 -^-L еах cos (со/ + [Зх ф- ф2 — <рв),
I I
где <р1 и ср» — аргументы комплексных величин Аг и А,.
Как и следовало ожидать, решения (13.8) показывают, что
значения напряжений и токов в линии являются функциями
как времени t, так и расстояния х Каждое из решений пред-
ставляет собой сумму двух слагаемых, выражающихся в тож-
дественных по структуре функциях и отличающихся друг от
друга, в частности, знаками перед коэффициентами а и (3
Рассмотрим сначала слагаемые вида;
V2 | Ах | е~ах cos (at — fix -ффх) = ипад,
.-Mi	(13.9)
К2	е ах cos (со/ —- [Зх ф- срх —фв) = inav
I I
Из этих выражений следует, что в каждом данном сечении
линии, т. е. при некотором фиксированном значении д, как
напряжение ипад, так и ток 1пад являются гармоническими
колебаниями Их амплитуды убывают с удалением от начала
к концу линии по закону экспоненты, что обусловлено наличи-
ем соответствующих множителей в каждом из выражений (13.9)
Скорость убывания амплитуд колебаний определяется коэф-
фициентом а, который, по понятным причинам, получил на-
звание коэффициента ослабления.
Из решений следует, что в любом сечении линии отноше-
ние амплитуды напряжения г/пад к амплитуде тока ;пад, а
также разность фаз этих колебаний сохраняются неизменны-
ми по длине линии и равны соответственно модулю и аргумен-
ту комплексной величины ZB. Она имеет размерность сопро-
тивления и получила название волнового сопротивления линии
Ее вещественная часть также положительна (см. § 13.7).
344
При фиксированном значении t, т е. в некоторый данный
момент I =t1, фазы колебаний ипад и 1пад изменяются с из-
менением х Поскольку коэффициент [3, называемый коэф-
фициентом фазы, положителен, имеет место отставание фазы
колебаний «пад и г'пад в любом последующем сечении линии по
отношению к любому другому сечению, ему предшествующему.
Комплексная величина у — а + /fi получила название
коэффициента распространения.
Графически распределение мгновенных значений напряже-
ния по длине линии для трех последовательных моментов
L и t3 (tx< t.. <д ts) представлено на рис. 13.3. Эти гра-
фики можно рассматривать как мгновенные снимки картины
распределения напряжения нпад в линии в три последователь-
ных момента. Если теперь эти мгновенные снимки проециро-
вать последовательно на экран, то образующаяся при этом
картина будет изображать волну, распространяющуюся от на-
чала к концу линии. Амплитуда этой волны убывает по мере
удаления от начала линии. Огибающая амплитуд волны изо-
бражена на рисунке штриховой линией. Следовательно, функ-
ции (13.9) описывают волну, распространяющуюся от начала к
концу линии. Рассматриваемая волна напряжения и тока по-
лучила название падающей волны.
Поскольку длина волны л есть расстояние между двумя
смежными точками, взятыми в направлении распространения
волны, фазы в которых отличаются на угол 2л, то [3Z = 2 я
и, следовательно,
Л*=2лф.	(13.10)
Найдем скорость, с которой распространяется в липни па-
дающая волна. При этом под скоростью в данном случае сле-
дует понимать скорость распространения в линии состояния
равной фазы волны, например скорость, с которой перемеша-
ется в линии некоторый нуль напряжения или тока.
345
УСлиинс 1 IUC 1 <J>1 If L 1 1561 IpdJbl	tSLAIHbl МОЖНО 32-”’
писан, в виде равенства <Щ (5.v — q t = const. Если теперь
продифференцировать обе части равенства по переменному
t, то искомая скорость
Пф -= dxldi = co/f5.	(13.11)
Найденное выражение определяет так называемую Фазовую
скорость, т. е. скорость, с которой распространяется в падаю-
щей волне состояние равной фазы.
Если теперь обратиться ко вторым слагаемым мешений
(13.8):
]/2 | Д21 eai cos (со/ф-ре-Е ф2) = иотр,	]	(13 12)
V2 I Л2/2В ] еа' cos (со/ + fix + ср, —срЕ) = t0Tp, \
то легко убедиться в том, что они описыают волну такого же
точно xapaKiepa, как и падающая, по распространяющаяся в
обратном направлении, т. е. от конца к началу линии. Волна
напряжения и тока, распространяющаяся от конца к началу
линии, получила наименовение отраженной волны.
Фазовая скорость отраженной волны совпадает с точно-
стью до знака с фазовой скоростью падающей волны. Ампли-
туда напряжения (тока) отраженной волны, как то следует из
(13.12), убывает в направлении от конца линии к ее началу и,
следовательно, будет наибольшей в конце линии. Одновремен-
но в конце линии амплитуды напряжения п юка падающей вол-
ны будут наименьшими
В соответствии с решениями (13.8) можно утверждать, что
в режиме гармонических колебаний напряжение в любом се-
чении линии является суммой напряжений падающей и отра-
женной волн. Точно так же и ток в любом сечении линии явля-
ется суммой токов падающей и отраженной волн.
Комплексные же напряжения (токи) в любом сечении ли-
нии равны сумме комплексных напряжений (токов) падающей
и отраженной волн, т. е. U = (7пад + (7отр и 1 — /пад -f- 1 огр
где согласно (13.7):
(711ад=А1е VA; /уотр=Д2 ev-
%
/„,„ = (4^2,) е~w; /огр^ _(A,/ZB) ev\
Комплексные напряжение и ток падающей (отраженной)
волны связаны соотношением
^пад/Лтд — б'огр/( /огр) = ZB,	(13.13)
346
ивле> if’ линии предшавляег
сос-ол отношение комплексного
напряжения к комплексному
току в падающей (отраженной)
волне
13.5.	Распределение
комплексных напряжений
и токов в линии
Найдем распределение по
длине линии комплексных на-
пряжений и токов, зная их значения в конце липни и, следова-
тельно, зная сопротивление нагрузки линии Z; (рис. 13.4)
Постоянные Аг и Л2 общего решения (13.7), соответствую-
щие условиям задачи, находятся, если в этом решении поло-
жить х = /, т е. из системы уравнений
(j^A^e у1 + 42ev' и ZB 1\ = Аг е ^—А,е^,
и равны
. и i-~ zB 7,	,	,	и, —- zB 7,
Л, = —	” — ev' и Л, = —с
2	2
Следовательно,
jj ~	_ е? U ю л_ _2з_Zt! е у л а)-
2	'2
/ = _21±£в_С_ ev (/ а)_... e~v u-a)
2ZB	2ZB
Пользуясь этим решением телеграфных уравнений, вычи-
сляют комплексные амплитуды напряжения и тока в любом
сечении линии Для оценки характера их распределения по
длине линии преобразуем найденное решение
Слагаемые решения (13.14) характеризуют комплексные на-
пряжения и токи падающей и отраженной волн.
—^Zn 'l ev = Д и> .... е v (г а) = у
2	2	игр’
_ е? (!- X) — г _	__ZB h е	А) _ /
2ZB	пад- • 2ZB	отр
347
Поскольку Ut = Zji и Ui±Z&lt — (Zt -+- Zb)/,,to ре-
шение (13.14) можно записать в виде:
й =	1 4- — Х| = Упад[1+ре-2?(г-х)1;
^пад )
(13 15)
где р = (Zt — ZB)/(Z, + ZB).
В решении, представленном в такой форме, слагаемые
р е-2? (I-х} = tZ°lp = /о1р
(13.16)
представляют собой отношение комплексных напряжений (то-
ков) падающих и отраженных волн в сечении, удаленном на
расстояние х от начала линии. Поэтому коэффициент р, полу-
чивший название коэффициента отражения, оказывается рав-
ным отношению комплексных напряжений (токов) отражен-
ной и падающей волн в конце линии, т- е
(13.17)
Если Z; = ZB, то р — 0 и отраженная волна в линии от-
сутствует. Линия, у которой сопротивление нагрузки равно
волновому сопротивлению, считается нагруженной согласован-
но Напряжение и ток в любом сечении в согласованно нагру-
женной линии равны напряжению и току лишь падающей вол-
ны, и, следовательно, их амплитуды монотонно (экспонен-
циально) убывают с удалением от начала линии.
При любых сопротивлениях нагрузок, отличающихся от
согласованной, в линии появляется отраженная волна, ампли-
туда которой пропорциональна модулю коэффициента отраже-
ния. При нагрузке линии пассивным двухполюсником обычно
\р\ < 1 и только в случаях, лишенных практического значе-
ния, возможно, что |р| > 1, т. е что амплитуда отраженной
волны в конце линии будет превышать амплитуду волны пада-
ющей
В линии, нагруженной несогласованно, отношение ампли-
туд (действующих значений) напряжений и токов отраженной
и падающей волн, равное
U HJ — 1 И = I п I р— 2“
‘-'отр' ° иад — 1отр'1 пад I Р I е
348
убывает с удалением от конца линии в соответствии с убыва-
нием экспоненциального множителя. Если значение последне-
го много меньше единицы, то из решения (13 15) следует, что
амплитуды напряжений и токов в линии определяются лишь
падающей волной и поэтому при U0TV « UnAa монотонно убы-
вают с удалением от начала линии. По мере приближения к
концу линии возрастает модуль и изменяется аргумент слагае-
мого
2а (l-х) е2/(5 (1-х)
Р с
в решениях (13.15), что нарушает обычно монотонный харак-
тер убывания амплитуд напряжений и токов в линии с удале-
нием от ее начала.
В конце линии амплитуда напряжения отличается от ампли-
туды напряжения падающей волны множителем |1 + р|,
а тока — множителем |1 — р\.
13.6.	Уравнения передачи длинной линии
Для решения большинства прикладных задач достаточно
знать соотношения между напряжениями и токами на входе
и выходе линии и не интересоваться законом распределения
напряжений и токов по длине линии, т. е. рассматривать по
существу линию как четырехполюсник (см. гл. 12). Уравнения,
связывающие комплексные амплитуды напряжений и токов на
входе и выходе длинной линии, называются уравнениями пе-
редачи линии
Если комплексные амплитуды напряжения и тока на входе
линии обозначить через Uo и /0 (см. рис 13 4), то из уравнений
(13.14) при х — 0 следует
у „ ДД+_£в_21_ е?г j_ Ui ~гв А е-.?/
2	‘	2	’	(13 18)
/ _ б'г+^в Л cvi___ Ui 4 е ?(
° 2ZB	2ZB
Именно в этой форме записи уравнения передачи линии
наиболее удобны для проведения расчетов. Чаще, однако, для
записи уравнений передачи линии используют гиперболиче-
ские функции1
Uo — Ui ch yl -rZB I) sh yZ;
i0 = sh yl + Ii ch yl,
(13 19)
1 Напомним, что ch x = (ex + e х)/2 и sh = (ex — e“*)/2
349
К такой форме записи легко перейти после группировки
слагаемых в уравнениях (13.18). Уравнения (13.19) представ-
ляют собой уравнения передачи четырехполюсника в обобщен-
ных параметрах (Д-параметрах), причем поскольку этот че-
тырехполюсник симметричен, то ДПД22 — ^12^21 = 1 и
= /1, ,. Другие формы уравнений передачи линии как четырех-
полюсника применяются редко.
Принципиальное отличие уравнений передачи длинной ли-
нии от уравнений передачи четырехполюсника с соредоточен-
ными элементами состоит в том, что параметры линии как че-
тырехполюсника являются трансцендентными, а не алгебраи-
ческими функциями частоты оз. Вместе с тем при \yl| <1,
когда ch у/ « 1 и sh yl yl, уравнения (13.19) переходят в
уравнения:
По ~ Ui -f- ZE yll 1 = Ui -J- (До + /®П0)
Ц ~	~	г — 11 + (Go + /С0О>) lUi,
т. е. в уравнения передачи четырехполюсника с сосредоточен-
ными элементами.
Поскольку у/ — (а + /|3) I = (а 4- 2л/Х) I, то условие
lyZ| < 1 эквивалентно условию |/"аа	(2л/Х)2 I < 1 или,
усиливая неравенство, условию 2л//Х = fjj < 1.
Следовательно, линия может рассматриваться как цепь с
сосредоточенными элементами, если ее длина много меньше
длины наиболее короткой из волн /. = 2л/|3, распространяю-
щихся в линии.
13.7.	Уравнения передачи согласованно
нагруженной линии
Если линия нагружена согласованно, т. е. когда Zz =
— ZE и Ut = ZJi, уравнения передачи линии существенно
упрощаются и принимают вид;
[у0=уге^ = /г Z, ev<; /0 =/г е^ (9z/ZB)	(13.20)
Это так называемые уравнения передачи согласованно нагружен-
ной линии.
Напомним, что в режиме согласованной нагрузки в линии
существует лишь падающая волна. Именно в такой режим и
стремятся обычно поставить линию связи, поскольку появле-
ние отраженных волн вызывает ряд нежелательных явлений
(см. § 13.11). Здесь же отметим, что входное сопротивление со-
350
гласованно нагруженной линии равно ее волновому сопротив-
лению. Это следует из уравнений передачи (13.20):
Я
z,
ZB.
= Zl~Zv
Следовательно, волновое сопротивление линии ZB можно
рассматривать как такое сопротивление ее нагрузки, при ко-
тором входное сопротивление линии равно сопротивлению на-
грузки.
' Комплексные передаточные функции согласованно нагру-
женной линии находятся из уравнений (13.20)*
Я(Н = —
ип
-- g---------Q----&Л g----jpl
-zb Zl = ZB
Им соответствуют следующие выражения для:
амплитудно-частотной характеристики линии
Ш = -Я- = е~а/;
бо I 6 I
ZHZB Сф.
собственного или волнового ослабление линии, дБ,
ав= — 20 1g |Я (/со) | — 8,69а/;
zmZB
фазо-частотной характеристики линии
6	(со) = [arg Ui—arg Uo ] =-[arg/;—arg /0 ] = — [3/;
Zl * ZB	Z(=,Zb
собственной или волновой фазы
bs (ю) = —9 (со) = |3/.
В литературе более ранних изданий ослабление линии на-
зывалось затуханием и оценивалось в неперах (Нп):
ав = —In |Я (/а)|.
Широко использовалось понятие собственной или волно-
вой постоянной передачи линии:
yl = al + /|3/ = -In Я (/со)|.
Это понятие потеряло прикладное значение после того, как
согласно ГОСТ ослабление стало оцениваться в децибелах
(ДБ).
351
13.8,	Частотные зависимости собственных
параметров линии
Собственные ослабление и фаза линии зависят от значений
первичных параметров линии и являются функциями частоты.
При этом частота колебаний со входит в формулы как непо-
средственно, так и в неявном виде, поскольку первичные па-
раметры линии являются функциями частоты.
В системах радио- и многоканальной связи линии исполь-
зуются, как правило, в области частот, в которой coLo »
и соСо» 6* В этой частотной области вычисление коэффициен-
тов аир можно вести по приближенным формулам, которые
получаются, если коэффициент у представить как произведе-
ние двух биномов и в разложении последних удержать лишь по
два слагаемых. Тогда
Ro
j(t>L0
Ro У/2/
/coZ-о /	\
— I (1 -
2/coZ.o / \
ц G° 'j
2/coCo )
Если раскрыть скобки в этом выражении и пренебречь в
произведении величиной второго порядка малости, то
Т « (/?/2) ГСо/То+ (Go/2) /Lo/Co + ^rLoCo
В линиях с совершенным диэлектриком второе слагаемое
вещественной части оказывается весьма малым по сравнению с
первым. Поэтому окончательно
а « (7?0/2) /СУГ0 и р « и	(13.21}
Формулы показывают, что в области частот, где <в£,0 » /?0
и <dC^»G0, коэффициент ослабления а и, следовательно,
собственное ослабление линии растут с частотой пропорцио-
нально корню квадратному из частоты, поскольку вследствие
поверхностного эффекта именно так изменяется с частотой па-
раметр Ro линии. Коэффициент же фазы и собственная фаза
* С ростом частоты значения wL0 растут пропорционально пер-
вой степени частоты, а значения Ra пропорционально корню квад
ратному из частоты. Поэтому при достаточно больших значениях ча-
стоты <£>Ц0 » Ro. Условие <£>С0 » Go выполняется для всех типовых
конструкций линии вследствие малости tg б, хотя как <оСо, так и Go-
являются линейными функциями частоты (см. § 13.2).
352
линии в той же частотной области являются линейными функ-
циями частоты.
Волновое сопротивление линии в рассматриваемой полосе
частот Z„ ~ LnCn является чисто вещественным и не зави-
сит от частоты, что облегчает согласование линии с нагрузкой.
Приведенными приближенными формулами пользуются при
расчетах волновых параметров магистральных линий связи
(коаксиальных и симметричных кабельных) и фидеров в их
рабочей полосе частот
При оценке характера частотных зависимостей волновых
параметров городских кабельных линий связи можно считать,
что в диапазоне тональных частот Ro > соЛо и G < wC0.
Тогда
/?о. « = ₽ &VuC0R0/2 и ZB»/£>Coe~MM.
Заметим, что эти формулы верны в широкой полосе частот
и для однородной /?С-цепи с распределенными элементами. В
типовом варианте она представляет собой полосковую линию
(см. рис. 13.1), верхняя обкладка которой изготовляется из
материала с высоким удельным сопротивлением.
Погрешность приближенных формул для волновых парамет-
ров линии легко оценивается. Важно, что и в общем случае,
как и в приведенных выше частных случаях, коэффициенты
ослабления и фазы линии являются монотонно возрастающи-
ми функциями часюты. Поскольку в линиях типовых конст-
рукций C0R0 > L0G0, то волновое сопротивление линии в об-
щем случае является комплексным, имеет емкостный характер,
а его модуль монотонно убывает с частотой.
13.9.	Входное сопротивление длинной линий
По отношению к генератору линия представляет собой двух-
полюсную электрическую цепь, свойства которой определяют-
ся ее входным комплексным сопротивлением. Выражение для
входного сопротивления несогласованно нагруженной линии
можно найти, если в уравнениях (13.15) положить к — 0 и
разделить первое из этих уравнений на второе. Тогда
7 _<Л>	1-]-ре-2^
/„	1—ре””27
Из него следует, что при согласованной нагрузке, когда
~Z„ и р=0, входное сопротивление линии, как и ожида-
лось, равно ее волновому сопротивлению ZB.
Если длина линии весьма мала (в пределе равна нулю),
то ее входное сопротивление практически совпадает с сопро-
тивлением нагрузки и может быть в частных случаях как рав-
12 Зак 1045	353
(13.22)
ным нулю (если Z; = 0), так и бесконечно большим (при
\Zl I -> оо).
С увеличением длины линии при неизменном сопротивле-
нии нагрузки, т. е. при неизменном коэффициенте отражения,
изменяется (возрастает) фаза и убывает амплитуда отраженной
волны на входе линии. В формуле (13.22) это соответствует
уменьшению модуля и изменению аргумента множителей
е-2?/ g зависимости от фазы отраженной волны модуль и ар-
гумент суммарного напряжения на входе линии, если считать
ток через входные зажимы линии заданным, могут быть как
больше, так и меньше таковых в падающей волне. В соот-
ветствии с этим модуль и аргумент входного сопротивления ли-
нии могут как превышать, так и быть менее модуля и аргу-
мента волнового сопротивления линии.
Если бы ослабление линии не увеличивалось с ее длиной,
то непрерывное возрастание фазы отраженной волны с ростом
I приводило бы к периодическому изменению модуля и аргу-
мента входного сопротивления линии относительно модуля
и аргумента ее волнового сопротивления, что характерно для
линий с пренебрежимо малыми потерями (см § 14 6). Однако,
поскольку с увеличением длины линии увеличивается ее ос-
лабление и, как следствие, уменьшается амплитуда отра-
женной волны на входе линии, отклонение входного сопротив-
ления линии от ее волнового сопротивления уменьшается как
по модулю, так и по углу с увеличением длины линии. В пре-
деле входное сопротивление линии стремится к волновому со-
противлению. Следовательно, волновое сопротивление пред-
ставляет собой предел, к которому стремится входное сопро-
тивление линии с безграничным увеличением ее длины.
Физически это объясняется тем, что в линии с большим ос-
лаблением подавляющая часть мощности, подводимой ко вхо-
ду линии, расходуется в самой линии и лишь незначительная
ее часть поступает в нагрузку. Именно поэтому энергетические
соотношения па входе линии практически не зависят или мало
зависят от энергетических соотношений на ее выходе, в ча-
стности от сопротивления нагрузки линии.
Поскольку линия, в том числе и бесконечной длины, явля-
ется щепью пассивной, то вещественная составляющая ее вход-
ного сопротивления, а поэтому и вещественная составляющая
волнового сопротивления линии всегда положительна, т. е.
Re ZB > 0.
Перейдем к выявлению характера частотной зависимости
входного сопротивления линии. С ростом частоты, как уже у на-
зывалось ранее, увеличиваются как собственное ослабление
а/, так и собственная фаза (3/ линии. Кроме того, в общем слу-
чае изменяются модуль и угол коэффициента отражения
354
Возрастание af и р/с частотой (если считать, что коэффи-
циент отражения от частоты не зависит) приводит к волно-
образному характеру изменения модуля входного сопротивле-
ния линии относительно модуля ее волнового сопротивления
Частотная зависимость коэффицинта отражения может на-
рушить монотонный характер убывания с ростом частоты аб-
солютных значений максимумов отклонения модуля и аргу-
мента ZBX от волнового сопротивления линии. Все это приво-
дит к достаточно сложному характеру частотной зависимости
входного сопротивления линии, особенно при больших зна-
чениях модуля и аргумента коэффициента отражения и малом
ослаблении линии.
Допустимые отклонения входного сопротивления линии
связи от ее волнового сопротивления или от некоторой постоян-
ной величины строго нормированы. Только при выполнении
этих норм, различных для разных систем и видов связи, мож-
но обеспечить взаимозаменяемость промежуточных и оконеч-
ных устройств системы связи, устойчивость их работы, возмож-
ность коммутации каналов и т. д. Во многих случаях предъяв-
ляются жесткие требования к постоянству входного сопротив-
ления фидера.
13.10.	Определение параметров линии по методу
холостого хода и короткого замыкания
При изготовлении кабелей связи и при строительстве и эксплуа-
тации линий связи часто возникает необходимость в эксперименталь-
ном определении волновых и первичных параметров линии, г. е. в из-
мерении этих параметров.
Поскольку любая однородная линия характеризуется ее двумя
волновыми параметрами ZB и у -= а /0, то для определения их зна-
чений при некоторой выбранной частоте достаточно измерить входные
сопротивления линии при этой частоте для двух различных значений
сопротивления нагрузки линии. Тогда задача сводится к решению си-
стемы из двух уравнений относительно неизвестных ZB и \'1.
На практике нашел широкое применение метод измерения парамет-
ров линии, получивший название метода холостого хода и короткого
замыкания. В этом методе входное сопротивление линии измеряется
при двух граничных значениях сопротивления нагрузки линии, соот-
ветствующих размыканию (холостому ходу) и замыканию накоротко
выходных зажимов линии.
Из формулы (13.22), положив р — —1, а затем р ~ 1, находим
сопротивления короткого замыкания ZK и холостого хода Zx линии
(/„	1+е-2*'
_ --- -- £ ------- .
/о	1-е 2V'
р= 1
(13.23)
12*
355
Совместное решение полученных таким образом уравнении и по-
зволяет найти значения волновых параметров линии В частности, из
них следует, что волновое сопротивление линии
ZB — zx
(13,24)
равно среднему геометрическому из входных сопротивлений коротко-
го замыкания и холостого хода линии, что может рассматриваться как
еще одно определение для волнового сопротивления линии.
Из тех же уравнений после простейших преобразований следует,
что
2 у/_1 4~
1-VX7Z?
। ~г угк/ zx
1- yzjz;
(13.25)

1 + 1/2K/ZX
где <p=arg..... .. — 4- 2Лл
1-V2K/ZX
После логарифмирования обеих частей этого равенства
коэффициенты ослабления и фазы линии
находим
1 , 1 + УУ/Zx
-- In ----- —.—
21 l-yZK/Zx
i + yzK/zx
i - yzK/zx
+ 2&л
Здесь коэффициент А’ характеризует целое число волн, укладываю-
щихся по длине измеряемой линии
При вычислениях следует брать то из двух значений корня, у ко-
торого вещественная часть положительна Выбор другого знака при-
водит к решению, лишенному физического смысла, поскольку при этом
коэффициент ослабления а становится отрицательным
По результатам измерений волновых параметров линии можно вы.
числить также значения ее первичных параметров. Для этого следует
приравнять вещественные и мнимые части равенств До +	—
= yZB и Оо + /ыСд = y/ZB, откуда и находятся значения Ro, Lo, Сд
и О0.
При значительном собственном ослаблении измеряемой линии ее
входные сопротивления холостого хода и короткого замыкания мало
отличаются друг от друга (см. § 13.9). Это ведет к снижению точности,
с которой могут быть вычислены значения коэффициента распростра-
нения линии и ее первичных параметров. Практически метод холосто-
го хода и короткого замыкания целесообразно применять для нахож-
дения указанных параметров линий, собственное ослабление которых
не превышает 8	10 дБ
13.11.	Передача импульсных сигналов по линиям
связи
Для выявления качественной картины распространения
сигналов в линии связи допустим, что коэффициент ослабле-
ния линии не зависит от частоты (а = const), коэффициент
фазы — линейная функция частоты ([3 = со УL0C0, а волновое
сопротивление чисто активно и не зависит от частоты (Zc —
356
== р = const)1. Если такая
линия нагружена согласо-
ванно, то комплексные на-
пряжения и токи в ней удов-
летворяют соотношениям:
(j	=
/ = / (х) =/ое~ =
е —ах е— /И	х,
которые следуют при введенных допущениях из уравнений
(13.20) при замене I на к.
Рассматриваемая линия, как и любой выделенный ее уча-
сток длиной х, удовлетворяет условиям безыскаженной пере-
дачи (11.26), поскольку отношение амплитуды колебаний на
входе к амплитуде в любой точке линии не зависит от частоты,
а разность фаз колебаний — линейная функция частоты. Сле-
довательно, форма сигнала при его распространении от начала
к концу линии сохраняется неизменной. Это и понятно, так
как при р = о VLaC0 все частотные составляющие сигнала
распространяются вдоль линии с одной и той же скоростью
= 1/1/L0CB и в любой данной точке линии при а = const
испытывают одинаковое ослабление. Мгновенные значения
сигнала убывают пропорционально множителю е~“Л' с уда-
лением от начала линии.
Сигнал на выходе линии появляется спустя время t ==
= //Уф = VL0C0 I после того, как он будет подведен ко входу
линии. Для иллюстрации на рис. 13.5 изображена картина рас-
пределения мгновенных значений напряжения в линии в не-
которые последовательные моменты при передаче по линии
видеоимпульса прямоугольной формы.
К тем же заключениям приводит и формальное применение
операторного метода. Если обозначить через U0 (р) и U (р)
изображения напряжений соответственно на входе согласован-
но нагруженной линии и в сечении, удаленном от него на рас-
стояние х, то при нулевых начальных условиях
U (р) = UQ (р) е ал е-р й/.эс„ х
1 Подобными свойствами могут обладать, в частности, линии, у
которых значения первичных параметров не зависят от частоты и удов-
летворяют так называемому условию Хевисайда LBGB CBRB. Лег-
ко убедиться, что при этом ZB = 1/ LB/CB; а — RBGB и (3 — со Д/ LBCB.
линиях связи типовых конструкций LBG0 < CBRB.
357
Наличие в этом выражении множителя e~₽,/L»c'>v свиде-
тельствует о запаздывании оригинала для изображения
U0 (р) е-ах на время t — УД/Д л. Но этот оригинал отлича-
ется от воздействия лишь масштабным множителем е~аг
Допустим далее, что эта же линия нагружена на резистив-
ное сопротивление, не равное ее волновому сопротивлению,
чему соответствуют вещественные значения коэффициента отра-
жения р, причем |р| < 1. После приложения сигнала ко вхо-
ду линии, как и в согласованно нагруженной линии и по тем
же причинам, сигнал, пока он не достигает конца линии, рас-
пространяется вдоль линии без искажения формы. Поскольку
коэффициент отражения р является вещественным числом, то
волны, соответствующие частотным составляющим сигнала,
отражаются от конца линии с фазой, равной или 0 (если р > 0),
или л (если р < 0). Но тогда сумма всех отраженных волн
вновь образует сигнал той же самой формы и той же (при
р > 0) или обратной (при р < 0) полярности Этот отраженный
сигнал, мгновенные значения которого составляют |р|-ю часть
сигнала, пришедшего к концу линии в момент t ~ Д/L0C0 I,
начнет распространяться от конца линии к началу с той же
скоростью Оф. Мгновенные значения отраженного сигнала убы-
вают по мере его распространения от конца к началу линии
по тому же экспоненциальному закону Не исключена также
возможность повторного отражения сигнала от начала линии,
если внутреннее сопротивление генератора не равно волновому
сопротивлению линии. Это приводит к появлению вторичного
отраженного сигнала, который распространяется от начала к
концу линии, после чего описанный цикл повторяется заново.
В результате при несогласованном включении линии в при-
емник кроме переданного импульса поступает серия импуль-
сов, следующих друг за другом через время, равное ~V L 0С0 21,
или, как говорят, возникает попутный поток (импульсов).
Это ведет к возникновению помех, сопровождающих передачу
сигналов по несогласованно нагруженной линии, особенно
заметных при малом собственном ослаблении линии и значи-
тельной рассогласованности.
Аналитическое решение задачи о попутном потоке в рас-
сматриваемых случаях можно найти, используя операторный
метод. Оно выражается в виде ряда, слагаемые которого ха-
рактеризуют импульсы потока.
Подобная картина наблюдается и при несогласованной на-
грузке линии комплексными сопротивлениями. Однако, в от-
личие от рассмотренных простейших случаев, временные ха-
рактеристики как принятого, так и отраженного сигналов мо-
гут существенно отличаться по форме от передаваемого сигна-
358
па поскольку в реальных линиях условия безыскаженной пере-
дачи не выполняются, а коэффициенты отражения в общем слу-
чае являются частотно-зависимыми. Это может привести к не-
обходимости корректирования формы сигналов и исключает
возможность аналитического решения задачи анализа колеба-
ний в линии
13Л2. Групповая скорость
В отличие от рассмотренного выше случая, фазовые скоро-
сти для различных частотных составляющих сигнала могут
быть различными Тогда при оценке скорости распространения
сигнала в длинной линии оказывается полезным понятие груп-
повой скорости
Групповая скорость определяется как скорость распростра-
нения максимума огибающей группы смежных по частоте со-
ставляющих сложного колебания. Таким образом, она харак-
теризует скорость, с которой распространяется максимум энер-
гии группы волн, частоты которых ограничены некоторой уз-
кой полосой
Переходя к выводу формулы, связывающей групповую ско-
рость с параметрами линии, допустим, что группа волн со-
стоит всего из двух волн с частотами ю и о + До» и равными
амплитудами Пусть указанным значениям частоты соответст-
вуют значения фазового коэффициента, равные соответственно
Р и р + Др Для простоты не будем учитывать ослабления в
линии, а начальные фазы волн примем равными нулю. Тогда
мгновенное значение напряжения в линии можно представить
суммой:
и = Uт cos (со/ р,г) 4- Uт cos {(со + Л со ) t — (р 4-
+ ДР)х|
Заменяя сумму косинусов произведением, находим
,, or г	г/	Ли /_	др \ 1
и ~ 2 U со----------cos со Ч-------/ — PH----— х
2 (А 2 /	(	2 / J
Это выражение описывает волну, «амплитуда» которой
j cos -А—если |Дсо| О со и |Др| <<; 0, медленно
Изменяется вдоль линии, между значениями и нулем.
Но длине линии при этом образуется ряд участков, в преде-
лах которых волна обладает значительной амплитудой.Между
359
ними находятся участки, характеризующиеся относительно
малой амплитудой колебаний
Пусть один из максимумов амплитуды будет в данный
момент t расположен в точке, удаленной на расстояние х от
начала линии Время 1 и расстояние х связаны друг с другом
соотношением хДр ZAw = 0, если считать, что при t — О
рассматриваемый максимум амплитуды находился в начале ли-
нии, т. е. в точке х = 0. Из последнего соотношения можно
найти скорость, с которой перемещается вдоль линии макси-
мум амплитуды: v = (/ft) == Дсо/Др.
Групповая скорость определяется как предел, к которому
стремится скорость и при Лю —> 0. Следовательно, групповая
скорость связана с коэффициентом фазы линии зависимостью
иг = dw/dp.
(13.26)
Можно убедиться, что те же самые выражения для группо-
вой скорости можно получить и для группы, состоящей не
из двух, а из сколь угодно большого числа волн, частоты кото-
рых расположены в бесконечно узкой полосе частот.
В общем случае групповая скорость не сохраняется по-
стоянной с изменением частоты. Это будет иметь место, если
фазовая скорость изменяется с частотой, т. е. если среда, в ко-
торой распространяется волна, является диспергирующей.
Диспергирующей, в частности, является среда, образуемая со-
вокупностью металлов и диэлектриков и представляющая со-
бой длинную линию.
В области высоких частот, когда можно считать, что элек-
тромагнитная волна распространяется только в диэлектрике,
окружающем провода, ее фазовая и групповая скорости опре-
деляются свойствами этого диэлектрика. В этой области ча-
стот коэффициент фазы согласно (13.21) может считаться рав-
ным а VL0C0. При этом = rfco/rfp — 1/T/jL0C0 = иф.
Таким образом, фазовая и групповая скорости, если р =
= ю VL0C0, оказываются равными одна другой и от частоты
не зависят. В общем же случае групповая и фазовая скорости
отличаются одна от другой, причем групповая скорость в линии
больше или равна скорости фазовой
С понятием групповой скорости тесно связано понятие
группового времени
/г — Uvr — Idfildtxi,
(13 27)
где ! длина линии.
360
Групповое время1 определяет, таким образом, время, не-
обходимое для того, чтобы максимум огибающей двух смеж-
ных по частоте колебаний пробежал вдоль всей линии. Обычно
групповое время отождествляют с временем прохождения сиг-
нала по линии.
С понятием времени прохождения сигнала связана извест-
ная неопределенность. Казалось бы, на первый взгляд под этим
термином следует понимать время, прошедшее от момента
включения сигнала на входе до момент срабатывания приемно-
го устройства, включенного на выходе линии. Однако при по-
добном определении время прохождения сигнала по линии за-
висит от чувствительности приемного устройства, что не мо-
жет быть признано логичным.
Можно было бы время прохождения сигнала оценивать
по моменту появления в конце линии первых признаков сиг-
нала. Необходимо, однако, иметь в виду, что в любой среде
имеется незаполненное частицами свободное пространство,
через которое электромагнитное возмущение распространя-
ется со скоростью света в вакууме. Но тогда на выходе линии
первые признаки сигнала, называемые «предвестниками»,
появляются спустя время Ис после появления сигнала на
входе линии, так как скорость распространения предвестни-
ков равна скорости света в вакууме. Однако энергия этих пред-
вестников настолько мала, что их выделение из шумов не пред-
ставляется возможным.
В силу изложенных причин под временем прохождения сиг-
нала целесообразно понимать время, необходимое для появле-
ния на выходе энергетически главной части сигнала, что близ-
ко к определению группового времени. Обычно, определяя
групповое время и групповую скорость, если последние не
сохраняются постоянными в полосе частот сигнала, берут
среднее значение групповой скорости для той части полосы, в
которой спектральная плотность амплитуд сигнала максималь-
на. Таким образом, групповое время пусть не всегда точно,
но всегда однозначно характеризует время прохождения сиг-
нала по линии. Если к тому же учесть, что групповое время
связано с характеристиками линии простой зависимостью,
станет ясно, почему это понятие получило широкое распростра-
нение в теории волновых процессов.
* Используются также термины «групповое время прохождения»
И) и «групповое время задержки» (ГВЗ).
361
Г лава 14.
КОЛЕБАНИЯ В ЛИНИЯХ БЕЗ ПОТЕРЬ
14.1.	Длинные линии с пренебрежимо малыми
потерями
Допустим, что в длинной линии отсутствует рассеяние
энергии, т е. значения ее первичных параметров и Go
равны пулю. Тогда выражения для волновых параметров ли-
нии (см § 13.3) преобразуются к виду. ZB — р= VjLo/Cq,
у = /и V'LoCq, а — 0; р = w "ИТо^о- У такой линии волно-
вое сопротивление, которое принято обозначать буквой р,
является чисто вещественным и постоянным, коэффициент ос-
лабления а равен нулю, а коэффициент фазы Р линейная
функция частоты. Отличительной особенностью волновых
процессов в подобной линии без потерь является постоянст-
во амплитуд падающих и отраженных волн, поскольку зна-
чение коэффициента ослабления а равно нулю.
Амплитуды падающих и отраженных волн мало изменяются
по длине и в линиях с потерями, если-собственное ослабление
линии невелико. Несмотря на малое значение собственного ос-
лабления линии, ее длина может быть соизмерима, а в ряде
'случаев и намного превышать длину наиболее короткой из
волн, распространяющихся в линии Практически линии с ма-
лым ослаблением — это линии сравнительно небольших длин,
используемые в области сравнительно высоких частот (фидеры,
элементы радиотехнических устройств, измерительные линии,
согласующие устройства и т. д., см § 14 7)
При анализе колебаний в линиях с малым собственным ос-
лаблением или, как их называют, с малыми потерями допусти-
мо пренебречь влиянием последних, т. е. считать, что с/ = 0.
Такой подход позволяет в более ясной форме представить кар-
тину волновых явлений в длинных линиях, выявить ряд полез-
ных свойств длинных линий и существенно упростить расчеты.
Настоящая глава посвящена анализу колебаний в линиях
без потерь, выявлению свойств таких линий, а также приме-
рам их применения.
Следует иметь в виду, что в результате пренебрежения
потерями, как бы малы они пи были, можно приписать линии
качественно новые свойства, которыми она не обладает Коли-
чественные же соотношения оказываются тем менее точными,
чем больше собственное ослабление реальной линии В связи
с этим при анализе колебаний в линиях с малыми потерями в
некоторых случаях с целью проверки следует обращаться к
теории длинных линий с потерями, изложенной в предыду-
щей главе.
362
14.2.	Распределение напряжений и токов
в линии без потерь
Распределение напряжений и токов в линии без потерь,
находящейся в режиме гармонических колебаний, можно най-
ти если в уравнениях (13.14) положить у = /р и Zn = р
При этом общепринято расположение того или иного сечения
на линии характеризовать его удалением у не от начала, а от
копна линии (рис 14 1) Тогда, вводя в (13.14) у — I х,
имеем
// = ui+^> уРу -I- У/~Р^ е Щ1Л
°	2	2	’
(14 1)
/ = Ul __________41ZZ£Ll e
2p	2p
Если в этих уравнениях сгруппировать слагаемые, то они
преобразуются к виду
U = Hzcos Pz/+/p/( sin Pz/;
I = j sin Pz/ + lt cos Pz/	(14-2)
P
Уравнения же (13.15) после аналогичных подстановок пе-
реходят в уравнения
и=и„^+р^ 2уР!0; ]	(143)
/ = /пад(1—-ре	J.
где в новых обозначениях 17пад = р/пад и р — (Zz—p)<(Zz 4- р)
Отсутствие рассеяния энергии собственно в линии обус-
ловливает следующие особенности распределения гармо-
нических напряжений и токов по длине линии без потерь.
Прежде всего, поскольку р = 2л/Л и р [у Е Л/2) = [>у V л,
замена в (14 2) у на у + Л/2 изменяет лишь знаки левых ча-
стей этих формул Поэтому в линиях без потерь амплитуды
гармонических напряжений и токов и комплексные входные
сопротивления Z = R 4- jX линии периодически изменяются
по длине линии с периодом, равным половине длины волны. /
Поскольку в линии энергия не рассеивается, то средняя
мощность, поступающая в любое сечение линии, равна сред-
ней мощности, которая рассеивается в сопротивлении Zz
нагрузки линии Следовательно,
/2ReZ = Tz ReZz = Hz2 ReYz; 1
t/2ReY = Ц ReZ,= Uf Re Y„ J
гДе Z и Y — соответственно комплексные сопротивление и
проводимость в произвольном сечении линии, а 1 и U ком-
плексные ток и напряжение в этом сечении.
363
Наконец, так как волновое сопротивление линии без по-
терь чисто вещественно, амплитуда напряжения (тока) отра-
женной волны в линии при любой пассивной нагрузке не пре-
вышает амплитуды волны падающей Действительно, если
Z; = Ri 4- jXi, то модуль коэффициента отражения
I __ I fy—Р-Н-^
I Rt+p+lXt
Л (/?;-p)2+X|
(14 5)
так как у пассивного двухполюсника Rt О
14.3.	Режим бегущих волн в линии без потерь
Пусть линия без потерь нагружена согласованно, т е.
Z, — р. Тогда в ней отсутствует отраженная волна и распро-
страняется лишь волна падающая, т е. волна, мгновенные зна-
чения напряжения и тока которой (см § 13.4) описываются со-
отношениями
u==<7mcos(co/4 ₽// + <р(),	|	б)
1 = ((/m/p) cos М 4-(Ф/4 <р;) j
Здесь U т, U т/р и гр, характеризуют амплитуды и начальные
фазы колебаний напряжения и тока в конце линии
Согласно (14 6) амплитуды напряжения и тока сохраняют-
ся неизменными по длине линии Соответствующие графики
распределения амплитуд напряжений и токов в линии показа-
ны на рис 14 2
В любом сечении линии колебания напряжения и тока про-
исходят в фазе. Следовательно, входное сопротивление линии
в сторону нагрузки в любом ее сечении чисто вещественно и
равно волновому сопротивлению линии, что и следовало ожи-
дать в режиме согласованной нагрузки
Начальные фазы колебаний напряжения и тока линейно
изменяются с удалением от конца линии в соответствии с из
364
менением ру = a^L^C^y в формулах (14.6). Комплексная
передаточная функция
/7 (/со) =	= — = е~/L“C»1
Uо	/о
в рассматриваемом режиме удовлетворяет условиям безыс-
каженной передачи, и, следовательно, сигналы в этой линии
передаются без искажения их формы и без ослабления, а лишь
задерживаются согласно (13.11) на время
t = //Цф = Z₽'co«=KLo Col
Рассмотренный режим колебаний в линии называется ре-
жимом бегущих волн Именно в этом режиме, т. е. режиме со-
гласованной нагрузки, и стремятся обычно использовать ли-
нии с малыми потерями, предназначенные для передачи сигна-
лов, в частности антенно-фидерные устройства мощных радио-
передающих станций.
В подобном режиме наибольшая амплитуда напряжения
(тока) в линии оказывается минимально необходимой для пере-
дачи заданной средней мощности Это следует из равенств
(14 4) Кроме того, некоторые из выходных устройств совре-
менных передатчиков требуют для обеспечения надежной и
стабильной работы чисто вещественного сопротивления на-
грузки Наконец, если учесть что в реальных фидерах име
ются потери, то, как можно доказать, максимум коэффициента
полезного действия фидера достигается именно в режиме бегу-
щих волн
14.4.	Режим стоячих волн в линии без потерь
Пусть в линии без потерь распространяются навстречу
Друг другу две волны длиной X — 2л/р равных амплитуд С
подобным случаем приходится встречаться всякий раз, когда
значение модуля коэффициента отражения равно единице,
т. е когда падающая волна полностью отражается Согласно
(14 5) это происходит в случаях, когда выходные зажимы ли-
нии замкнуты накоротко, разомкнуты или нагружены на чисто
реактивное сопротивление
Принимая для упрощения начальную фазу падающей вол-
ны в конце линии равной нулю, имеем
ипад — и т COS (<»)Z + Ру).
а для отраженной волны при |/?| =1
"отр = COS (WZ — Ру ф- фр),
где <рр _ аргумент коэффициента отражения
365
Следовательно, и = ипад г w0Tp =U№ cos (со/ 4 pi/) -f-
 Um cos (со/ — Ру + фр).
Если воспользоваться тригонометрическим равенством
, о	„ а—В а	‘р
cos а +	cos р =	2	cos —cos -	, то
и ~ 2Ur„ cos (Ру — фр/2) cos (at -г <рр/2).	(14.7)
Последнее выражение характеризует гармоническое колеба-
ние с частотой со и амплитудой
2Um |cos (pt/ — фр/2)| = 2Um [cos (2лу'Х — фр/2)[,
значения которой изменяются вдоль линии
В сечениях линии, где Ру—0,5фр = kn, амплитуда на-
пряжения принимает максимальное значение, вдвое превышаю-
щее амплитуду напряжения падающей (отраженной) волны
Там же, где ру — 0,5фр = (2k — 1) л/2, она равна нулю.
На рис. 14.3 приведены графики распределения мгновенных
значений напряжения в разомкнутой на конце линии для не-
которых последовательных моментов tg < t± < /2 <.
в пределах одного полупериода колебания
Рассмотренный режим колебаний в линии называют ре-
жимом стоячих волн Такой режим характеризует наличием
в линии сечений, в которых амплитуда колебаний равна нулю
и в которых она максимальна. Первые называют узлами, а
вторые — пучностями стоячей волны. В силу периодического
характера распределения мгновенных значений гармонических
колебаний в линии без потерь (см. § 14.2) смежные узлы уда-
лены друг от друга на расстояние, равное половине длины па-
дающей (отраженной) волны Точно так же удалены друг от
друга на расстояние, равное половине длины волны, и пучности
колебаний Расстояние же от узла до смежной пучности равно
одной четверти длины волны В любых точках, находящих-
ся между двумя смежными узлами, колебания напряжения
происходят в одной и той же фазе; при переходе через
узел фазы колебаний скачком изменяются на угол л
Аналогично выглядит кар-
тина колебаний тока в линии
без потерь Действительно,
так как /Г1ад= ипаягр и 1отр
^отр/р> то
' ('пад (отр
= ((/m/p) COS (со/ + ру)
—(Um/p) cos (w/ — ру +
+ Фр) = 2/т sin (₽1/ -
— Фр/2) cos (al + фр/2 —
— л/2)	(14 8)
366
Сопоставление (14.7) и (14.8) показывает, что узлы
(пучности) тока совпадают с пучностями (узлами) напря-
жения.
На рис. 14.4 показано распределение амплитуд напряже-
ний и токов в короткозамкнутой линии. В конце линии рас-
положен узел напряжения, поскольку при Z, — 0 всегда
иг — 0. Этому узлу напряжения соответствует пучность
тока. Распределения амплитуд и фаз колебаний можно найти,
если в формулах (14.7) и (14.8) положить срр = л, поскольку
при Z; — 0 р — — 1.
Распределение амплитуд напряжений и токов в разомкну-
той на конце линии приведено на рис. 14.5. Здесь в конце ли-
нии располагаются узел тока (£д = 0) и пучность напря-
жения.
Разность фаз колебаний напряжения и тока в любом сече-
нии линии, находящейся в режиме стоячих волн, равна или
+ л/2, или — л/2 и изменяет знак при переходе через каж-
дый узел напряжения и каждый узел тока, что формально сле-
дует из сопоставления выражений (14.7) и (14.8). Это означает,
что входное сопротивление линии оказывается чисто реактив-
ным, как это и должно быть в цепях, в которых не происходит
рассеяния энергии.
367
14.5.	Режим смешанных волн в линии без потерь
В § 14.4 было найдено распределение напряжений и токов в
линии без потерь для полного отражения волн от конца линии, з
т. е. для случая |р| = 1. Если |р| < 1, т. е. когда сопротивле-
ние нагрузки линии имеет положительную вещественную сос-
тавляющую, амплитуда отраженной волны будет меньше
амплитуды волны падающей и
и = Uт cos (со/ 4- Ру) 4 |р| Um cos (со/ — Ру 4 фр),
где, как и ранее, фр — аргумент коэффициента отражения.
Последнее выражение легко преобразуется в сумму слагае-
мых, одно из которых описывает бегущую, а второе — стоячую
волну. Действительно,
м = (1 — \р|) ит cos (со/ + ру) + 2\р\ит cos (ру —
— ФР/2) cos (со/ 4 фр/2).	(14.9)
Следовательно, гармонические колебания в линии без потерь,
нагруженной несогласованно, можно рассматривать как нало-
жение режимов бегущей волны (первое слагаемое формулы)
и стоячей волны (второе слагаемое). Подобный режим колеба-
ний в линии называют режимом смешанных волн или режимом
частично стоячих (бегущих) волн. В узлах стоячей вол-
ны, где второе слагаемое (14.9) равно нулю, т. е. где cos (Ру —
— Фр/2) = 0, амплитуда колебаний совпадает с амплитудой
бегущей волны и равна (1 — \р |) Uт. Но это означает, что в дан-
ных сечениях линии амплитуда колебаний равна разности ам-
плитуд падающей и отраженной волн и, следовательно, мини-
мальна. Итак, при наличии отраженной волны минимальное
значение амплитуды напряжения в линии равно (1 — |p|)t/m.
Соответствующие сечения линии удалены друг от друга на рас-
стояние, равное половине длины волны, так как именно на
этом расстоянии находятся друг от друга узлы стоячей волны.
Пучности стоячей волны расположены там, где согласно
(14.9) Ру = kn + фр/2. При этом
и — (1 — !р|) U т COS /со/ 4 Йл + фр/2) 4
4- 2 cos/эт cos(co/ 4 фр/2).
Поскольку cos kn cos (со/ 4 фр/2) •= cos (со/ 4- kci 4 фр/2),	'
ТО и = (1 4 Ipl) U т COS (со/ 4 kn 4 фр/2).
Следовательно, в пучностях стоячей волны амплитуды па-
дающей и отраженной волн складываются арифметически, и по-
этому в указанных сечениях линии амплитуда напряжения ока- t
зывается максимальной и равной (1 4 |р|) U т
368
Сечения, в которых амплитуды напряжении максимальны,
расположены вдоль линии на расстоянии половины длины вол-
ны друг от друга и находятся посредине между двумя сечения-
ми, в которых амплитуды напряжений минимальны. Посколь-
ку в стоячей волне узлам напряжения соответствуют пучности
тока и наоборот, то в режиме смешанных волн в сечениях, где
амплитуда напряжения минимальна (максимальна), амплитуда
тока максимальна (минимальна).
Отношение минимальной и максимальной амплитуд колеба-
ний напряжения (тока) в линии называют коэффициентом бе-
гущей волны.
U min _ ^min _ l"~|Pl _ д
П	I	— 1 _1_ I	б*В*
Umax 'max 1 + 1 PI
(14 10)
В режиме бегущих волн /г0.п = 1, а стоячих &б.в — 0.
Иногда используется понятие коэффициента стоячей волны, яв-
ляющегося величиной, обратной коэффициенту бегущей волны.
Значения амплитуд колебаний в промежуточных сечениях
удобнее всего находить с помощью уравнений передачи линии в
форме (14.2) или (14.3) Графики распределения амплитуд на-
пряжений и токов в линиях без потерь, построенные по фор-
мулам (14.3) при \р( = 0,8 и фр = л/6, показаны на рис. 14.5
14.6.	Зависимость входного сопротивления
линии без потерь от ее длины
Выражение для входного сопротивления линии находится,
если первое из уравнений (14.3) разделить на второе. Тогда
Zbx(/w; = р
l-f-|p|e
(14.11)
Если линия нагружена согласованно, то Znx не изменяется
по длине линии, чисто вещественно и равно волновому сопро-
369
тивлению. При коротком замыкании выходных зажимов ли-
нии, когда р — — 1,
1__е —2/р^
ZBX = ZK = р ——= /р tg
(14.12)
Формула показывает, что входное сопротивление короткозамк-
нутой линии является чисто мнимым. Это и понятно, поскольку
при коротком замыкании в линии не рассеивается электричес-
кая энергия и она представляет собой реактивный двухполюс-
ник с распределенными элементами. График функции вход-
ного сопротивления линии от длины линии у представляет со-
бой обычную тангенсоиду (рис. 14.7). С ростом у знак реактив-
ности изменяется на противоположный при переходе через
каждый узел и каждую пучность напряжения. В пучностях
напряжений (узлах тока) сопротивление короткозамкнутой ли-
нии бесконечно велико, а в узлах напряжения (пучностях тока)
оно равно нулю.
На участке, длина которого составляет половину длины вол-
ны, сопротивление линии изменяется от—/оо до /оо (см.
рис. 14.7). Следовательно, всегда можно подобрать такую дли-
ну / < 7/2 отрезка короткозамкнутой линии без потерь, чтобы
при заданной частоте колебаний, т. е. заданной длине волны 7,
входное сопротивление отрезка имело любое наперед заданное
реактивное сопротивление.
При разомкнутых выходных зажимах линии, когда р = 1,
1 -)-е
—- Р
j _е —2/рлг
Р
/tg Ру
(14 13)
В этом случае, как и при коротком замыкании, входное сопро-
тивление линии является чисто мнимым.' График Zx (у) показан
на рис. 14.8. И здесь всегда можно подобрать длину отрезка
I < Х/2, имеющего на заданной частоте любое требуемое чисто
реактивное сопротивление.
370
в общем случае нагрузки линии произвольным пассивным
сопротивлением с изменением у числитель формулы (14.11)
поинимает наибольшее по модулю значение, равное (1 + |р |) р
там, где его второе слагаемое чисто вещественно и положитель-
но.'При этом знаменатель (14.11) минимален по модулю и ра-
вен 1 — Ipl-
Из сопоставления (14.11) и (14.3) следует, что модуль чис-
лителя (14.11) пропорционален амплитуде напряжения в ли-
нии. Поэтому в сечениях линии с максимальной амплитудой
напряжения входное сопротивление нагруженной линии без
потерь
ZBx(Z/) = p(l + lpl)/(l —1Р1) = р/^б.в
чисто вещественно и максимально по модулю.
Там же, где амплитуда напряжения в линии минимальна,
модуль числителя (14.11) минимален и равен (1	|р|) р, а мо-
дуль знаменателя максимален и равен 1 + |р|. Следовательно,
в" этих сечениях входное сопротивление нагруженной линии
без потерь ZBX (г/) = р -;П- ] —{ -- pft6.B вещественно и мини-
*-г I Р I
мально по модулю.
Расстояние между двумя смежными сечениями линии, в ко-
торых ее входные сопротивления чисто вещественны и макси-
мальны (минимальны), равно половине длины волны в линии
(см. § 14.2). Посредине между ними расположено сечение, в ко-
тором входное сопротивление линии чисто вещественно и мини-
мально (максимально).
Анализ выражения (14.11) показывает, что на тех участках
линии, где амплитуда напряжения при перемещении вдоль ли-
нии в направлении генератора убывает, реактивная составляю-
щая входного сопротивления имеет емкостный характер, а там,
где она возрастает, — индуктивный характер. В тех же сече-
ниях, где амплитуда напряжения максимальна или минималь-
на, реактивная составляющая входного сопротивления линии
меняет знак, переходя через нуль.
14.7.	Частотные зависимости входного
сопротивления короткозамкнутой
и разомкнутой линий без потерь
Частотная зависимость сопротивления реактивного двухпо-
люсника, представляющего собой короткозамкнутую линию без
потерь длиной I, может быть найдена по формуле (14.12), если
Учесть, что р = coVL0C0. Следовательно,
ZK (/со) =	(/со) /р tg со ]/L0 Со /.	(14.14)
371
Если двухполюсник представляет собой ту же линию, но в
режиме холостого хода, то согласно (14.13)
Zx (/’«) = ZBX (/со) =--Р___ - •	-	(14.15)
j tg со у Lo Со I
Графически частотные зависимости реактивных сопротивлений
Zft (/со)// и Zx (/со)// (рис 14.9 и 14.10) представляют собой тан-
генсоиды.
При частотах
(г = 0, 1,2,. .)	(14.16)
2 Vl0 Со
сопротивление двухполюсника обращается в нуль или претер-
певает разрыв непрерывности. Условимся соответствующие
частоты называть частотами нулей и полюсов сопротивления
двухполюсника. Легко сообразить, что при любой из частот
(14.16) по длине линии укладывается целое число четвертьвол-
новых отрезков.
Свойства рассматриваемых двухполюсников позволяют при-
менять их в области сверхвысоких частот в качестве элементов
селективных цепей.
14.8.	Примеры применения длинных линий
с пренебрежимо малыми потерями
Измерительная линия. Для измерения комплексных сопротивле-
ний в области сверхвысоких частот используются линии с пренебре-
жимо малыми потерями в виде так называемых измерительных линий
Измерительная линия представляет собой сочетание двухпроводной
линии (воздушной или полосковой) с вольтметром, входное сопротив-
ление которого во много раз превышает волновое сопротивление линии
Волновые параметры линии р и р считаются известными
372
< волны
й на измеряемое сопротивление,
в измерительной
можно
Измерив коэффициент бегущей
3а=жАиТциИента отражения |р| = (I - йб.в)< (1 4 ^б-в).
К° «ется следствием формулы (14.101. Измерив расст
ЯВЛЯ	__л nlIuuii пп fS ПИЖ.И!
измери 'I—.---
ТУЛЫ напряжения
гумента коэффициента отражения фр
вычисляем искомое сопротивление ^
линии ,
вычислить модуль
Эта формула
(14.10). Измерив расстояние от конца
тельной линии до ближайшего минимума или максимума ампли-
можно вычислить по формулам § 14.5 значение ар-
___________ --- —р-------- 7, Наконец, зная |р| и tpp, т е. р,
[ искомое сопротивление Z( = р (1 + р)/ (1 — р).
Расчеты значительно упрощаются, если их вести с помощью так
зываемой номограммы длинной линии Последняя представляет со-
графическое изображение семейства зависимостей, вытекающих из
°Ок	(14.11) и построенных в полярной или декартовой прямо-
координат.	.... ""	“
формулы
угольной системе
учебных пособиях по курсу.
3 С помощью измерительной линии можно измерить также частоту
колебаний генератора по расстоянию между двумя смежными узлами,
пучностями, максимумами или минимумами амплитуд колебаний в из-
мерительной линии.	и
Четвертьволновый трансформатор сопротивлении. Пусть частота
колебаний будет такой, что по длине линии укладывается одна четвер-
тая часть длины волны X, т. е. / = 0,25Х (рис. 14.11). Тогда согласно
(14.11) при 2ру = л входное сопротивление нагруженного четверть-
волнового отрезка
Описание номограммы
приводится в
1-р =	l-(Zz-p)/(^ + p) = р3
Zsx~p i+p Р l+(Zz-p)/(Zz + p) Zz
2’
Следовательно, входное сопротивление четвертьволнового отрез-
ка линии без потерь пропорционально проводимости его нагрузки и
может изменяться в широких пределах с изменением волнового сопро-
тивления отрезка. Поэтому четвертьволновые отрезки линии с возможно
малыми потерями применяются в технике сверхвысоких частот (СВЧ)
для преобразования или, как говорят, трансформации сопротивлений.
Так, если заданное сопротивление R2 следует преобразовать в сопро-
тивление /?!, то его следует включить через четвертьволновой отрезок
с волновым сопротивлением р = "]/RtR
Относительная ширина рабочей полосы частот, в которой исполь-
зуется линия с пренебрежимо малыми потерями, в частности четверть-
волновые трансформаторы, часто может быть весьма узкой, т. е. от-
ношение верхней граничной частоты рабочего диапазона к нижней мо-
жет лишь незначительно превышать единицу. В этих случаях можно
без большой погрешности пользоваться характеристиками линии для
средней частоты рабочего диапазона частот В сомнительных случаях
допустимость подобного «одночастотного» подхода может быть легко
оценена.
Линейный
вольтметр. Возможность трансформации сопротивлений
с помощью четвертьволнового отрезка используется, в частности, в тех-
нике СВЧ с целью образования измерительных приборов с высоким
входным сопротивлением. Измерительный прибор с малым входным
сопротивлением Rn (термопара, термистор), включенный через
вертьволновый отрезок линии, называют линейным вольтмет
(Рис. 14.12). Входное сопротивление линейного вольтметра будет ......
ыше, чем больше волновое сопротивление отрезка и меньше входное
сопротивление измерительного прибора. Действующие значения тока
ь который проходит через измерительный прибор, и напряжения Uo,
373
нике СВЧ с целью образования измерительных приборов с
вертьволновый
чет-
линейным вольтметром
' тем
подведенного к линейному вольт-
метру, связаны зависимостью
(70 = р/(, что следует из уравне-
ний передачи (14.2) при ₽г/ ~=
— л/2.
Согласование линии с нагруз-
кой по методу Татаринова. В ли-
ниях с пренебрежимо малыми
потерями, если они используют-
ся в качестве фидеров, важно но
возможности приблизиться к ре-
жиму бегущих волн по причинам,
которые были изложены в § 14.3.	z
В общем случае линия (фидер) нагружается на заданное сопротивле-
ние нагрузки (антенну), не равное волновому сопротивлению, что
соответствует режиму смешанных, а не бегущих волн.
Согласование линии с нагрузкой по методу, предложенному
В. В. Татариновым, осуществляется с помощью подключения пара-
лельно линии дополнительного двухполюсника с чисто реактивным
входным сопротивлением, который называют реактивным шунтом.
Он подключается в том ближайшем к концу линии сечении у0, в котором
вещественная составляющая ее входной проводимости равна волновой
проводимости липин (рис. 14.13, а), т. е. там, где Увх (р0) = 1/р -ф ]В
Проводимость реактивного шунта Уш выбирается равной по абсо-
лютной величине и обратной по знаку реактивной составляющей вход-
ной проводимости линии В Тогда при подключении шунта (рис. 14.13, б)
предшествующий участок линии будет нагружен на проводимость
Y = 1/р -г )В — ]В = 1/р, т. е. согласованно (рис. 14.13, в), и в нем
устанавливается режим бегущей волны. Естественно, что изложенный
способ позволяет осуществить согласование линии и нагрузки лишь
в пределах узкой полосы частот
В современных радиопередающих устройствах декаметрового диа-
пазона волн (А. = 10	100 м) для согласования антенны с фидером ис-
пользуются специальные перестраиваемые согласующие устройства,
содержащие отрезки линии и переменные конденсаторы. Эти устройст-
ва включаются между фидером и антенной и приводят ее входное сопро-
тивление на рабочей частоте передатчика к волновому сопротивлению
фидера.
Существуют и находя! практическое применение и другие методы
решения актуальной для техники связи задачи согласования сопро-
тивлений генератора и нагрузки в заданной рабочей полосе частот
374
Глава 15.
ВВЕДЕНИЕ В СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
15.1.	Проблема синтеза линейных
электрических цепей
Любая система передачи и обработки информации содержит
то или иное число устройств, каждое из которых выполняет
определенные операции над сигналами, например их выделе-
ние из смеси с помехами, разделение сигналов различных ис-
точников информации, усиление и т. п В аналоговых системах
эти операции выполняются с помощью электрических цепей, в
частности с помощью линейных электрических цепей с соответ
ствующими частотными и временными характеристиками.
Важнейшей составной частью проектирования указанных
систем и их компонентов является задача синтеза (построения)
цепей с заданными свойствами В отличие от анализа, решение
данной задачи не является единственным, поскольку синтези-
руемая цепь оценивается не по одному, а по нескольким, как
правило, взаимно противоречивым критериям. Поэтому во
многих случаях рассматривается не один, а несколько конку-
рирующих вариантов цепи, один из которых и выбирается для
практического осуществления
Типовой задачей синтеза линейных электрических цепей яв-
ляется задача синтеза четырехполюсников для заданного ре-
жима их включения Именно цепи в виде односторонне или
двусторонне нагруженных четырехполюсников с соответствую-
щими частотными и временными характеристиками исполь-
зуются в системах формирования, передачи и обработки элект-
рических сигналов.
Задача синтеза двухполюсников может рассматриваться как
составная часть задачи синтеза четырехполюсников некоторых
структур Задача же синтеза многополюсников (2X п-полюсни-
ков) в большинстве случаев рассматривается как совокупность
задач синтеза четырехполюсников, хотя подобный подход не
может считаться оптимальным
В последующих главах основное внимание уделено методам
синтеза линейных четырехполюсных цепей и их. применению в
задачах синтеза четырехполюсников определенного функцио-
нального назначения электрических фильтров, корректо-
ров, линий задержки и др Следует иметь в виду, что методы
синтеза аналоговых устройств, которые рассматриваются в
в указанных главах, лежат и в основе синтеза цифровых уст-
375
ройств того же назначения Это и понятно, поскольку в обоих
случаях аналоговыми или цифровыми цепями реализуются од-
ни и те же алгоритмы функционирования устройств для той
или иной обработки сигналов.
15.2.	Функции электрических цепей
В задачах анализа и особенно синтеза необходимо знать
свойства функций электрических цепей, в которых выражаются
характеристики устойчивых электрических цепей. К их чис-
лу относятся следующие функции: передаточные Н (р), вход-
ные Z (р) = \IY (р) и функции g (/) и h (t), в которых выража-
ются временные (импульсные и переходные) характеристики
электрических цепей. Знание этих свойств облегчает исследо-
вание заданных электрических цепей и необходимо для обосно-
вания методов их синтеза. Так, в гл. 10 было показано что опе-
раторные передаточные функции цепей с сосредоточенными
элементами являются рациональными функциями комплекс-
ной переменной р, все коэффициенты которых вещественны.
Поэтому передаточные функции с комплексными коэффициен-
тами не могут встретиться в задачах анализа электрических
цепей, а в задачах синтеза попытки отыскания цепи с такой
передаточной функцией заранее обречены на неудачу
Многие свойства функций цепей: передаточных, входных и
временнйх — были установлены выше. Их следует рассматри-
вать как необходимые условия, которым должны удовлетворять
соответствующие функции. Естественно, что если та или иная
функция цепи, например передаточная Н (р), будет обладать
установленными свойствами, это еще не означает что сущест-
вует электрическая цепь с такой передаточной функцией Мож-
но лишь с уверенностью утверждать, что если необходимые ус-
ловия не удовлетворяются, то цепи с подобной характеристи-
кой заведомо не существует
Условия будут достаточными, если любой функции цепи,
которая им удовлетворяет, можно сопоставить физически осу-
ществимую цепь с характеристикой в виде заданной функции
Физи^ски осуществимой называется цепь, которая содержит
пассивные емкостные, индуктивные и резистивные элементы,
а в задачах синтеза активных цепей — еще и зависимые источ-
ники По ней и может быть построена реальная электрическая
цепь.
Необходимые и достаточные условия, которым должны удо-
влетворять функции, выражающие те или иные характеристи-
ки электрических цепей, называются условиями физической
осуществимости соответствующих функций. Они выражают
собой ограничения, налагаемые на характеристики цепей фи-
376
ическими закономерностями, которым подчиняются колеба-
ния В реальных электрических цепях. Естественно, что эти ус-
ловия для различных функций цепи различны и зависят от вы-
бранной или заданной структуры последней и типа используе-
мых элементов. Например, они различны для передаточных
функций пассивных цепей со всеми видами элементов и пассив-
ных А’С’-цепей.
Условия физической осуществимости частотных и времен-
ных функций четырехполюсных цепей однозначно определяют-
ся условиями физической осуществимости их передаточных
функций. При этом подавляющее число аналитических методов
синтеза четырехполюсных цепе?! с требуемыми частотными и
временными характеристиками сводится к нахождению син-
тезируемой цепи с заданной передаточной функцией.
15.3.	Этапы решения задачи синтеза
линейных электрических цепей
В ходе решения любой задачи синтеза необходимо найти из
совокупности функций, удовлетворяющих условиям физичес-
кой реализуемости и тем или иным дополнительным ограниче-
ниям, такую, которая с требуемой точностью воспроизводила
бы частотную или временную зависимость, заданную условия-
ми задачи Как правило, требуемая зависимость задается в
в табличной или графической форме или в виде функции, кото-
рая не удовлетворяет условиям физической реализуемости для
цепей с сосредоточенными элементами В этих случаях и воз-
никает задача приближенного воспроизведения заданной зави-
симости (частотной или временной) функцией, удовлетворяю-
щей соответствующим условиям физической реализуемости,
или, как говорят, возникает задача аппроксимации (заданной
зависимости). При этом допустимое отклонение функции цепи
от заданной зависимости, т. е. точность аппроксимации, опре-
деляется условиями использования проектируемого устройства
в разрабатываемой аппаратуре. Методы решения задачи аппро-
ксимации, которые используются в задачах синтеза линейных
электрических цепей, и критерии «качества» аппроксимации
приведены в гл. 18.
Функция цепи, найденная в результате решения задачи ап-
проксимации заданной зависимости, затем «реализуется» элект-
рической цепью. Задача реализации заключается в отыскании
электрической цепи, характеристики которой описывались бы
заданной функцией цепи.
Реализуется, как правило, передаточная функция синтези-
руемой цепи Н (р). Она находится по той частотной или вре-
менной функции, которая соответствует решению задачи ап-
377
проксимании заданной частотной или временной зависимо-
сти
В общем случае пассивная реализующая цепь содержит все
виды пассивных компонентов конденсаторы, индуктивные
катушки и резисторы. Активная же реализующая цепь, также
в общем слхчае, может содержать помимо активных устройств,
например операционных усилителей, лишь конденсаторы и ре-
зисторы (см. § 17.7). Активные реализующие цепи с катушками
индуктивности находят крайне ограниченное применение.
Этапы синтеза линейных электрических цепей - аппрокси-
мации и реализации часто дополняются этапом численной
оптимизации. Его целью является уточнение значений пара-
метров найденной реализующей цепи (цепи нулевого прибли-
жения') с учетом влияния паразитных элементов, дополнитель-
ных ограничений, предъявляемых к характеристикам цепи, к
значениям параметров ее элементов и др. Решение задачи оп-
тимизации основано на применении численных методов мате-
матического программирования и анализа электрических це-
пей. Естественно, что численные методы используются и при
решениях двух предшествующих этапов синтеза цепей в тех
случаях, когда отсутствуют аналитические решения или когда
они по тем или иным причинам оказываются неприемлемыми.
Численными же методами реализуются алгоритмы аналитичес-
ких, как правило, методов синтеза электрических цепей в сис-
темах автоматизированного проектирования (САПР) электри-
ческих фильтров и некоторых типов усилителей.
Последние годы все более широкое применение находят ме-
тоды синтеза электрических цепей, в которых совмещаются
этапы аппроксимации, реализации и оптимизации. Для этого
сначала выбирается цепь, характеристики которой потенци-
ально могут аппроксимировать требуемую зависимость, и
параметрам элементов этой цепи придаются некоторые началь-
ные численные значения Затем, применяя те или иные числен-
ные методы математического программирования и анализа це-
пей, находят такие значения параметров, при которых харак-
теристика цепи и заданная зависимость оказываются наиболее
«близкими» друг другу в смысле принятого критерия близости
(см. гл. 18). Таким образом, варьируемыми параметрами в ходе
решения задачи аппроксимации служат сами параметры эле-
ментов реализующей цепи.
Если потенциально реализующая цепь выбрана правильно,
то результат решения задачи синтеза зависит от того, насколь-
ко удачно выбрано начальное приближение. Дело в том, что
задачи синтеза линейных электрических цепей в указанной по-
становке являются многоэкстремальными и в общем случае
нельзя указать на такое начальное приближение, которое при-
378
водило бы К глобальному, а не локальному экстремуму выбран-
ной целевой функции. Поэтому в качестве начального прибли-
жения выбирается, как правило, аналитическое решение зада-
чи Но тогда рассматриваемый метод мало чем отличается от
задачи оптимизации, о которой упоминалось выше. Другая
возможность связана с решением последовательности оптими-
зационных задач, в каждой из которых начальным значениям
параметров элементов придаются случайные отклонения отно-
сительно некоторых последовательно уточняемых их значений
В последующих главах основное внимание уделено изложе-
нию аналитических методов синтеза линейных электрических
цепей, без понимания которых невозможно сознательное и эф-
фективное применение численных методов.
15.4.	Чувствительность характеристик
электрических цепей
При выборе той или иной схемной структуры пли той или
иной конкретной цепи предпочтение при прочих равных усло-
виях следует отдать той из них, которая допускает примене-
ние элементов с большими отклонениями их параметров от рас-
четных номиналов, т. е. с больших! «полем допусков» Для ко-
личественной! оценки допустимых отклонений вводится понятие
чувствительности характеристики цепи
Относительной чувствительностью характеристики (на-
пример, амплитудно-частотной, переходной, импульсной) на-
зывается предел, к которому стремится отношение относитель-
ного приращения характеристики цепи к относительному от-
клонению Aa(l/ah параметра а(. цепи (функции цепи), вызвавше-
му указанное отклонение характеристики цепи, если Даь ->0
В соответствии с этим определением, если \Н (/со)] — амп-
литудно-частотная характеристика заданной цепи, то ее чувст-
вительность относительно параметра а,, цепи (функции цепи)
находится по формуле
= lim д 1 н (/ы) l/|ZJ 1	(15 1)
k Да;!-*о
Ясно, что относительная чувствительность является функ-
цией частоты, точно так же как функцией времени будет отно-
сительная чувствительность переходной характеристики той
же цепи
При конечных значениях приращений, если относительное
пРиращение мало,
I Н (/<>) I
I Н (/<>) I
^|Я(/а)| Acth
k аъ
.379
По этой формуле, вычислив функцию	1 или ее на-
ибольшее значение, можно оценить требования к точности из-
готовления элемента цепи с параметром ah
Для характеристик ослабления, логарифмического усиле-
ния и фазо-частотных характеристик цепей следует использо-
вать так называемую полуотносительную чувствительность,
которая определяется как предел абсолютного приращении ха-
рактеристики цепи к относительному изменению параметра це-
пи, вызвавшего это отклонение, если приращение указанного
параметра стремится к нулю.
Так, полуотносительная чувствительность ослабления
а = 20 lg101g[l f- (<oC7?)2] = 4,34 In [ I ±(<oC/?)2)
простейшего /?С-контура (рис. 15.1) относительно емкости С
является функцией частоты вида
S° — С da ~ 8,7 I03*-'#)2
dC 1 (соСТ?)2
Ее значения стремятся к нулю при со 0, когда при
практически любых конечных значениях параметров пепи
Ui С ростом частоты значения Sc монотонно возрас-
тают и стремятся к 8,7 при со —> оо. Поэтому если емкость кон-
денсатора контура по тем или иным причинам отличается от
расчетной не более чем на ±1%, то отклонение ослабления
контура не будет превышать ± (8,7-0,01) « ±0,09 дБ
Если отклонения параметров цепи малы, случайны и неза-
висимы, то часто при оценке необходимой точности их реализа-
ции используется так называемая средняя относительная или
полуотносительная квадратическая чувствительность
=	+	±(sL"</a)l)2	(15.2)
Аппарат функций чувствительности можно использовать
и для оценки ухода характеристик цепи под влиянием тех или
иных дестабилизирующих
факторов, например темпе-
ратуры. В этом случае от-
клонения параметров элемен-
тов цепи будут коррелирова-
ны, и поэтому в первом при-
ближении для оценки ухода
характеристик цепи сумми-
руются отклонения, обуслов-
ленные отклонением каждого
из параметров от его номи-
нального значения
380
в настоящее время для оценки поля допусков на парамет-
ры радиоэлектронных устройств с учетом условий их эксплуа-
тации часто используется статистическое моделирование При-
менение последнего позволяет исследовать поведение характе-
ристик устройств при реальных возможных отклонениях их
параметров от номиналов, а не только бесконечно малых, что
характерно для аппарата функций чувствительности
15.5.	Чувствительность характеристик простейших
цепей с операционными усилителями
Современные методы реализации аналоговых активных RC-
цепей основываются, как правило, на применении в качестве
активных устройств реализующих цепей — операционных уси-
лителей Они используются в усилителях с заданным коэффи-
циентом усиления (см § 3.11), конверторах и инверторах со-
противлений (см. § 12.8), звеньях активных RC-фильтров (см
§ 20.2) и других аналоговых устройствах.
Характеристики собственно операционных усилителей и в
первую очередь их коэффициенты усиления ц изменя/отся в
широких пределах с изменением температуры окружающей
среды и напряжения источников питания и, кроме того, под-
вержены значительному разбросу от образца к образцу Для
того чтобы операционные усилители можно было использовать
в цепях, которые часто должны иметь прецезионные частотные
и временные характеристики, необходимо стабилизировать па-
раметры усилителей, т е. резко снизить их чувствительность
к дестабилизирующим влияниям
Стабилизация коэффициента усиления усилителей осуще-
ствляется ценой снижения коэффициента усиления с помощью
обратной связи — подачи части усиленного напряжения с вы-
хода усилителя на его вход. Типичными усилителями с отрица-
тельной обратной связью являются простейшие усилители с ин-
версией и без инверсии усиливаемого напряжения, которые
были рассмотрены в § 3 11 Оценим относительные чувстви-
тельности их коэффициентов усиления к изменению значений
коэффициента усиления операционного усилителя ц и сопро-
тивлений Ro, Rx и /?,, которые входят в усилитель (см рис.
3.30 и 3.32).
В § 3 11 было показано, что коэффициент усиления усили-
теля с инверсией напряжения равен
Ro + Ri -f-p.A’j
381
После простейших выкладок получаем следующее выраже-
ние для его относительной чувствительности к изменению
коэффициента усиления операционного усилителя:
(15.2а)
Для усилителя без инверсии напряжения, у которого
2
R1 + Лг
выражение для аналогичной чувствительности
(15.26)
В обоих усилителях чувствительность их коэффициентов
усиления к изменению коэффициента усиления операционного
усилителя п равна нулю, если операционный усилитель идеа-
лен, При прочих равных условиях чувствительность Зц рас-
сматриваемых усилителей тем меньше, чем больше значения
слагаемых р Rvf (До 4- Дх) в (15.2 а) и р Д2/ (/?j + /?2)
в (15.26). Эти слагаемые определяют глубину отрицательной
обратной Связи в рассматриваемых усилителях.
Оценим относительную чувствительность усилителей к из-
менению их пассивных компонентов, например к изменению
сопротивлений Л*() и Rt в усилителе с инверсией напряжения
Czs /?г> dk	(1-Г М-) R}
R°~ k ~dR^ ~
И
Sk = -l- dk —
k dRy Ио-НЧ-!1)
Если операционный усилитель идеален, то значения чувст-
вительности по абсолютной величине равны единице и меньше
единицы при конечных значениях ц В усилителях без инвер-
сии напряжения значения Зд, и Зд2 по абсолютной величи-
не не превышают отношения R1/(R1 -г R,).
Наличие в любом реальном операционном усилителе емко-
стей паразитного характера приводит с ростом частоты к сни-
жению его коэффициента усиления р. и, следовательно, к час-
382
тотно-зависимому изменению передаточной функции усилите-
ля с обратной связью и повышению чувствительности его ха-
рактеристик к дестабилизирующим воздействиям. Эти факторы
и ограничивают сверху частотную область, в которой исполь-
зуются операционные усилители.
15.6.	Нормирование переменных и параметров
в задачах синтеза электрических цепей
При составлении таблиц решений типовых задач синтеза
электрических цепей, например электрических фильтров, а
также при расчетах цепей наряду с нормированием функций це-
пей широко используется нормирование как переменных (час-
тота и время), так и параметров элементов электрических це-
пей.
В подавляющем большинстве случаев наиболее удобным
является нормирование относительно некоторых, р-азличных
для каждой конкретной задачи значений частоты о>0 и сопро-
тивления /?0- Иными словами, частота выражается в единицах
частоты соо, а сопротивления всех элементов — в единицах со-
противления /?0. Нормированные величины будем рассматри-
вать как величины безразмерные.
Если в ходе решения задачи синтеза найдены нормирован-
ные значения параметров элементов, то возникает задача их
денормирования, т. е. нахождения численных значений пара-
метров, соответствующих заданным соо и Ro.
Ясно, что при денормировании сопротивлений необходимо
их нормированные значения умножить на величину нормирую-
щего сопротивления Rn. Поскольку увеличение частоты в соо
раз связано с увеличением сопротивления индуктивности и
проводимости емкости в то же число раз, то при переходе от
нормированных значений индуктивности и емкости к их денор-
мированным значениям первые необходимо уменьшить в (о0 раз.
Если нормирование было осуществлено и по сопротивлению,
и по частоте, то в соответствии с изложенным при денормиро-
вании следует умножить:
на Rg нормированные значения всех резистивных сопротив-
лений Rk цепи;
на RJug нормированные значения всех индуктивностей
L[ цепи;
на 1/<о07?0 нормированные значения всех емкостей Сце-
ПИ.
При денормировапии же переменных нормированная час-
тота умножается, а нормированное время делится на о>0.
383
Г лава 16.
ВХОДНЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ
16.1.	Двухполюсники и их классификация
Напомним (см. § 1.6), что двухполюсником может быть наз-
вана любая электрическая пепь, имеющая два зажима, через
которые только и возможен обмен энергией между двухполюс-
ником и внешней цепью Подобно четырехполюсникам линей-
ные двухполюсники могут быть или пассивными, или актив-
ными, а последние — автономными или неавтономными.
Отличительной особенностью неавтономных двухполюсни-
ков является равенство нулю тока и напряжения на внешних
зажимах двухполюсника при включении его в произвольную
пассивную цепь.
Типичным автономным двухполюсником является генера-
тор, который характеризуется напряжением на разомкнутых
зажимах (током через короткозамкнутые зажимы двухполюс-
ника) и внутренним сопротивлением. Понятно, что последнее
представляет собой входное сопротивление пассивного или в об-
щем случае активного неавтономного двухполюсника.
Подобно четырехполюсникам пассивные двухполюсники мо-
гут состоять из распределенных и сосредоточенных элементов.
В общем случае они могут содержать пассивные элементы
всех типов: R, L и С. Вместе с тем находят применение и двух-
полюсники с двумя видами элементов (двухэлементные). LC,
RC и редко RL
Свойства любого линейного пассивного или неавтономного
активного двухполюсника полностью определяются его опера-
торной входной функцией Z (р) или У (р) = 1/7 (р)
В настоящей главе будут рассмотрены условия физической
осуществимости входных функций пассивных двухполюсников
общего вида и двухэлементных двухполюсников. Именно пас
сивные двухполюсники образуют ветви как пассивных, так и
активных цепей с заданными частотными или временными ха-
рактеристиками
Ранее было доказано, что операторные входное сопротив-
ление 7. (р) и входная проводимость Y (р) пассивного двухпо-
люсника, содержащего конечное число сосредоточенных эле-
ментов, являются взаимообратными дробными рациональными
функциями вида (9.19) переменной р Известно также, что эти
функции принимают вещественные значения при вещественных
значениях переменной, поскольку их коэффициенты вещест-
384
венны Необходимо установить допустимые соотношения меж-
степенями полиномов числителей и знаменателей этих
Функций, особенности расположения их нулей и полюсов, а
также поведения функции на мнимой оси плоскости комплекс-
ной переменной р и найти такую совокупность свойств вход-
ных функций, которая гарантировала бы возможность реализа-
ции произвольной входной функции с помощью пассивного
двухполюсника
16.2.	Энергетические функции
Для определения свойств пассивных линейных двухполюс-
ников рассмотрим гак называемые энергетические функции.
Применяя теорему Теллегена (см. § 2 5), будем под ветвью це-
пи (двухполюсника) понимать элемент цепи — резистивное со-
противление Rr (г = 1,2, ), индуктивность Ls (s — 1, 2, . .)
или емкость Ct (/ = 1, 2, ) — и простоты ради считать, что
в цепи отсутствуют связи через взаимные индуктивности
На рис. 16 1 приведена схема цепи, содержащей линейный
пассивный двухполюсник и источник напряжения. Положи-
тельное направление тока в источнике соответствует направле-
нию ’’ока в ветвях цепи, принятому при обосновании теоремы
(см рис 2 11) Перенося слагаемое «„(о в левую часть равенства
/2 5), имеем
N
—ио1о= 2
ll = 1
где uk иц — напряжение и ток в L-м пассивном элементе це-
пи, /V — число пассивных элементов в двухполюснике
Поскольку первый закон Кирхгофа формально верен для
L изображений напряжений и токов, то, считая начальные
условия нулевыми, на основании теоремы Теллегена
-i/0(p)Z0(p)^ £ U>dp)lh(p}
I - I
При комплексных значениях
переменной р = о + /ш L-изоб-
ражения, которые входят в это
равенство, также будут прини-
мать комплексные значения
Теорема Теллегена остается
верной и для комплексных со-
пряженных значений L-изобра-
13 Зак 1045
.IK.IIHIW 1U4UMI iJluillUlJUHl II rniH Ц^ирМсГЧЬТТО УДОВЛе1ВОрЯЮГ ПС’
вому закону Кирхгофа Поэтому
-С70(р)/0(р) = 2 ^(р)4(р).
k _ 1
Запишем это соотношение в форме
-77;- /о (р) Л (р)	2 777 4 (р) h (р)
Л>(₽)	ЛГ ZA (Р)
В этой формуле произведение двух комплексных сопряжен-
ных величин /„ (р) и Ih (pl образует вещественную положи-
тельную величину \!к(рУ2, а отношения t/0 (р)//0 (р) и
U h(p\Ih (р) представляют собой операторные сопротивления
соответственно двухполюсника 1 Z (р) и его k-vo элемента
Zfe (р) Следовательно,
л
z (р) -= —?— У z;, (р) । [к (р) р.
| /о (Р) I2 —
Поскольку ветви двухполюсника выбраны так, что каждая
из них содержит лишь один пассивный элемент с операторным
сопротивлением Rr, pLs или 1/рС(> то после группировки сла-
гаемых
2(р)
1
) Л> (Р) I2
(р) 12+р 2 м мр) i2+
(О	(S)
+-~2ДЛ'м1!
Здесь суммирование ведется по всем резистивным, индуктив-
ным и емкостным элементам двухполюсника.
Принципиально важно, что в силу пассивности двухполюс-
ника ни одна из сумм, входящих в последнее выражение, не
может принимать отрицательных значений. Обозначим
F^£flr|/r(p))* *>0;
(О
(8)
’	1Л(Р)!2>0.
(О
(16 1)
1 При согласном выборе напряжения и тока на входе двухяолюс-
инка 1вх — —10 (см рис. 16 1)
* Можно показать, что И в цепях со взаимными индуктивностя
ми Тл О
386
(16 2)
z " ПГГр) i-
в аналогичной форме представим входную операторную
проводимость Y (р) того же двухполюсника Для этого доста-
гочно в (16 2) перейти i сопряженным комплексным значени-
ям переменной, т е заменить р на р и Z (р) на 7 (р), а вме-
сто |/0(р)12 свести Ii7u 1р)Р У (р) Y (р) Действительно, при
этом
!>raJ Vn/p
Z(p) =
I utl (д) |2 у (д у (и)
• *
Но посколькх Z (р) V (р) = 1, го
(16 3)
Диалогичные выкладки можно было выполнить не для L
изображений колебаний, а для комплексных напряжений и
токов в элементах двухполюсника, находящегося в режиме гар-
монических колебаний Тогда в (16.2) и (16.3) переменная р за-
меняется на /со, a \Uf (р)|2 и [/ft (р),2 = на квадраты действую-
щих значении напряжения Uh и тока в р-м элементе двухпо-
люсника. При этом в режиме гармонических колебаний, как
легко убедиться, Fo характеризует среднюю мощность, потреб-
ляемую двухполюсником, т е среднее значение рассеиваемой
им энергии, а То и Vo пропорциональны средним значениям
энергии, запасаемой в индуктивностях (7ф) и емкостях (р0)
двухполюсника, в связи с чем перечисленные функции частоты
и получили название знергетических
16.3.	Положительные вещественные функции
Исследуем свойства входные функций пассивных электри-
ческих цепей со всеми видами пассивных элементов, дЛя чего
используем представление (16 2)
Пусть комплексная переменная^ принимает некоторе'комп-
лексное значение р = о ф- /о>. Тогда
/фф-фф-рД ТоФ-—~— П,
2(а + /Ю) =---------------
I Л> Ф+/<л)|2
-----------------------------------6. —
По(а-[-/ш)|2	ПоФД/ы)!2
13*
387
Эта функция вещественна при любых вещественных значениях
переменной р, т. е. при ю = 0, а при комплексных значениях
переменной ее вещественная часть положительна при любых
положительных значениях о.
Дробные рациональные функции с вещественными коэф
фициентами, вещественная часть которых положительна при
любых комплексных значениях переменной, расположенных в
правой полуплоскости, получили название положительных ве-
щественных функций (ПВФ).
Итак, доказано, что входные операторные функции Z (р)
пассивных двухполюсников, содержащих конечное число сос-
редоточенных элементов, могут быть лишь положительными
вещественными функциями. Поэтому дальнейшее исследование
свойств входных функций сводится к исследованию свойств
ПВФ
Прежде всего, если Z (р) — положительная вещественная
функция, то такой же является и обратная ей функция Y (р)
г е. если
Re Z (о 4- /со) > 0 при о>0,
то Re-----------------------— Re Y (о 4- /со) > 0 при о > О,
(16.5)
поскольку
Re--------------—>0 при а>0.
«-]- jb <1-4- ь1
' Из (16.4) и (16 5) следует также, 4io па границе правой по-
луплоскости, когда о - 0 ир = /ы,
ReZ (/w)	0 и Re Y (7ы)	0,	(16.6)
причем знаку равенства соответствует Fn — 0. Последние не
равенства были установлены ранее на основании рассуждений
физического характера (см. § 6.3)
Поскольку по определению при о > 0 вещественная часть
ПВФ не равна нулю, то она не может иметь в правой полуплос-
кости нулей, а обратная ей функция — полюсов. Это свойство
входных функций пассивных двухполюсников является след-
ствием устойчивости любой пассивной цепи. На границе пра-
вой полуплоскости, т е. на ее мнимой оси, могут быть располо-
жены нули, а следовательно, и полюсы ПВФ. Это следует, на
пример, из (16.2) при р --- /оэ и Fo = 0.
Пусть функция Z (р) имеет простой полюс на мнимой оси
при р — /сс»! Выделим простейшую дробь, соответствующую
этому полюсу Тогда
Z(p)=.-^_+Zi(p).
р—/0),
388
Убедимся в том, что коэф-
фициент Ai, т. е. вычет ПВФ
относительно ее простого полюса
при р = /Ш1, является веще-
ственным положительным чис-
лом. Для этого рассмотрим, как
изменяется фукция Z (р), если
переменная р последовательно
принимает значения, располо-
женные в правой полуплоскости
на полуокружности с центром
в точке /со ! (рис. 16.2). Радиус
этой полуокружности выберем настолько малым, чтобы можно
было пренебречь слагаемым ZJ (,°) в последнем выражении.
Тогда, используя обозначения, приведенные на рис. 16.2, и счи-
тая А] комплексным числом, находим для Z (р) при р-^ jco1
z	IdLL lcos (Фа - Ф) -ь
р—i<ot	peBP р
+ /Sin (фа~ф)].
Поскольку в пределах рассматриваемой полуокружности
угол ф может изменяться от —л/2 до л/2, то вещественная часть
функции Z (р) не будет принимать отрицательные значения
только тогда , когда <ра = 0, т. е. когда вычет 4[ будет вещест-
венным положительным числом.
Аналогично доказывается, что ПВФ не может иметь на мни-
мой оси кратных полюсов. В противном случае в разложении
функции на простые дроби имелось бы слагаемое АиЦр—/<охУ,
доминирующее при р /оц. Аргумент его знаменателя при
обходе выделенной полуокружности (см. рис. 16.2) изменяется
между — /л/2 и /л/2, и если / > 1, то вещественная часть до-
минирующего слагаемого принимает в правой полуплоскости
отрицательные значения, что для ПВФ противопоказано. За-
метим, что цепи, передаточные функции которых имеют крат-
ные мнимые полюсы, являются неустойчивыми (см. §9.7) и, сле-
довательно, не могут быть пассивными.
В общем случае ПВФ могут иметь полюсы при р --0. По-
люсы эти простые, поскольку точка р = 0 может быть отнесе-
на к мнимой оси. Точно так же и бесконечно удаленная точка
\Р — оо) может рассматриваться как точка, принадлежащая
мнимой оси. Поэтому в бесконечно удаленной точке ПВФ мо-
гут иметь лишь простые полюсы, а это означает, что степени
полиномов числителя и знаменателя функций Z (р) и Y (р) мо-
гут отличаться не более чем на единицу.
389
Установленные свойства ПВФ позволяют дать им еще одно
определение. Положительные вещественные функции — это
дробные рациональные функции с вещественными коэффициен-
тами, у которых нет полюсов в правой полуплоскости; на мни-
мой оси они могут иметь лишь простые полюсы с вещественны-
ми положительными вычетами, а их вещественные части на
мнимой оси не принимают отрицательных значений.
В§ 16.10 будет доказано, что любой функции, которая удов-
летворяет перечисленным требованиям, может быть сопостав-
лен физически осуществимый пассивный двухполюсник Следо-
вательно, условия физической осуществимости входных функ-
ций пассивных двухполюсников сводятся к тому, что они
должны быть положительными вещественными.
16-4. Реакт ивные двухполюсники
Реактивными или LC-двухполюсниками называются пас-
сивные двухполюсники, модели которых содержат только реак-
тивные элементы — индуктивности и емкости Подобные двух-
полюсники представляют собой результат идеализации свойств
реальных двухполюсников, составленных из катушек индук-
тивности (их электронных аналогов) и конденсаторов высокой
добротности. Они находят широкое практическое применение в
качестве ветвей четырехполюсников (многополюсников), с по-
мощью которых осуществляются те или иные операции над сиг-
налами, не сопровождающиеся рассеянием сколь-либо суще-
ственной части энергии сигналов внутри соответствующего уст-
ройства. Кроме того, такие устройства имеют низкий уровень
собственных шумов, что очень важно в цепях обработки сигна-
лов предельно низкого уровня.
Простейшими реактивными двухполюсниками являются ре-
активные элементы цепей — индуктивность и емкость. Их ком-
плексные сопротивления Zl(/<j))= /юА, Zc 0о>) = 1/(/<оС)
чисто мнимы. Графики реактивных составляющих их сопро-
тивлений приведены на рис. 16 3, а и б.
более сложными реактивными двухполюсниками являются
параллельный и последовательный идеальные колебательные
контуры, комплексные сопротивления которых соответственно
доС-р	wj—со2
и Z (/ы) = /(оГ 1/(/ыС) — L (<оо — w2)/Qw),
где ы0 — 1/VLC — резонансная частота контура.
При резонансной частоте характер реактивности контура
Изменяется с индуктивного на емкостный в параллельном кон-
390
туре и с емкостного на индуктивный в постсдовательном
(рис 16 3, в и г)
У более сложных реактивных двухполюсников характер
их реактивности может с ростом частоты изменяться не один,
а несколько раз Примером может служить двухполюсник
со схемой рис 16 4 и сопротивлением Z (/<») — twl 3
—(о2), где Wj — 1 V/jCj — резонансная частота
параллельного контура.
Графики слагаемых этой суммы приведены на рис 16 5, а,
а график суммы — на рис 16.5, б Здесь характер сопротивле-
ния двухполюсника изменяется с индуктивного на емкостный
при частоте гсц и с емкостного на индуктивный при частоте
(О, > 0)(
Следует обратить внимание на две характерные особенности
частотных зависимостей сопротивления рассмотренных про-
стейших реактивных двухполюсников Нули и полюсы сопро-
тивления двухполюсника располагаются на оси частот, чере-
дуясь (перемежаясь) друг с другом Так, сопротивление реак-
тивного параллельного колебательного контура имеет нуль
при ы «О За ним при частоте о)о = 0 расположен полюс со-
противления двухполюсни-
ка, после которого вновь
следует нуль сопротивления
при <0 — ОС,
Характерно также, что
любая из рассматриваемых
зависимостей растет в алгеб-
раическом смысле с ростом
частоты, исключая, естествен-
но, частоты полюсов сопро-
тивления, при которых зна-
менатель Z (/ы) обращается
«(нуль
391
Далее ^см. § 16.6) будет доказано, что подобный характер
частотных зависимостей свойствен и сколь угодно сложным ре-
активным двухполюсникам.
16.5-	Реактансные функции
Входные функции реактивных двухполюсников получили назва-
ние реактансных. Они образуют подкласс положительных веществен*
ных функций, у которых F=0 и как следствие
Z(P)=	' (pTa+Va/p).	(16.7)
I lo (Р) I-
Нулн этой функции удовлетворяют уравнению 0 = рТ0 -{- Е0/р,
т е. уравнению
Р== ± j УVt>/Ta-
Здесь Vo и Та вещественны и положительны. Поэтому нули реактанс-
ных функций могут быть лишь чисто мнимыми величинами. Аналогич-
ные рассуждения применимы при F = 0 к функции (16 3), нули кото-
рой являются полюсами 2 (р). Следовательно, все нули и полюсы реак-
тансных функций чисто мнимы, т е. располагаются на мнимой осн
плоскости комплексной переменной р.
Пусть при р^ = +/'о)д расположена пара полюсов реактансной
функции 2 (р). После выделения простейших дробей, соответствующих
этим полюсам (см. § 16.3), запишем 2 (р) в виде
2 (р) --------
.	Р—/«h
А"
+ —— +А (р) =
Р + /шй
(Ak~'~Ak) P+i^k (Ak—Ak)
* Это действительно уравнение, так как Та и Ео являются функ
циями переменной р. Его решение может быть найдено методом итера-
ции. Проще, естественно, численное значение пулей 2 (р) находить в
результате решения алгебраического уравнения, которое образуется
после приравнивания нулю полинома числителя дробной рациональной
функции 2 (р).
392
„ а'ь и Ak как вычеты ПВФ относительно полюсов, расположенных
а мнимом оси, являются вещественными положительными числами.
Н Поскольку функция 2 (р) должна принимать вещественные зна-
чения при вещественных значениях переменной, то коэффициенты
Ak и Ak должны быть не только вещественными положительными, но
и равными числами. Обозначив Ak — Ah -ф Ak, получим 2 (р) =
= Ah.pl (Р2 +	+ А
В общем случае реактансная функция может иметь несколько пар
мнимых сопряженных полюсов, а также полюсы при р = 0 и оо.
Тогда в ее разложении на простые дроби помимо слагаемых вида
Акр/ (р2 -ф Wft) могут входить также слагаемые А0!р и Аоор, соответ-
ствующие простым полюсам функции при р = 0 и р = оо. Поэтому
Лф	Аь р
2(P)^Axp+ — + 21 ~~  >	(16.8>
р (А) р *гш/г
где Л/, > О, > 0, а Л фг 0 и Л 0 фг О, причем знаку равенства соот-
ветствует отсутствие полюса при р — оо, если Лео = 0, или при р = О,
если Ло ~ 0, или, наконец, при р — оо и р = 0, если А<х ~~ 0 и До =
= О
Итак, реактансные функции являются нечетными дробными рацио-
нальными функциями комплексной переменной р, которые принима-
ют вещественные значения при вещественных значениях переменной;
все их полюсы расположены на мнимой оси, являются простыми и ха-
рактеризуются положительными вещественными вычетами.
Эти условия не только необходимы, но и достаточны, т. е. любой
реактансной функции соответствует физически осуществимый реактив-
ный двухполюсник, операторное сопротивление (операторная про-
водимость) которого выражается этой функцией.
Действительно, если задана функция, удовлетворяющая сформу-
лированным условиям, то, рассмотрев общий случай, ее всегда можно
преобразовать к виду (16.8)1. Если заданная функция имеет размер-
ность сопротивления, то эта сумма характеризует сопротивление ре-
активного двухполюсника, который составлен из включенных после-
довательно индуктивности Loo — Ах 0, емкости С^1 — Ао )ф. О
и параллельных реактивных колебательных контуров (см. § 16.4) с
резонансными частотами ыь, емкостями С\ — (1/Д/г) > 0 и индук-
тивностями Lh = (\/wkCk) >0. Схема двухполюсника приведена на
рис. 16.6. Он физически осуществим, так как параметры всех его эле-
ментов положительны.
В частных случаях в схеме двухполюсника может отсутствовать
индуктивность Loo, если Ах = 0, или емкость Со, если До = 0, или
индуктивность и емкость, если Аоо = 0 и Ло = 0.
Следовательно, доказано, что условия физической осуществимо-
сти для входных функций реактивных двухполюсников сводятся к
тому, чтобы эти функции были реактансными.
В задачах синтеза линейных электрических цепей реактансные
Функции формируются, как правило, из полиномов Гурвица. Пусть
найден или задан полином Гурвица v (р) — рп -ф а1рп~1 -ф ... -ф
~г ап-2Р2 Ф вп-уР + ап. Назовем четной (нечетной) частью полинома
сумму всех его слагаемых, содержащих четные (нечетные) степени пе-
ременной. Тогда отношение нечетной части полинома Гурвица к чет-
Техника преобразования функции изложена в § 16.7
393
ной, как и обратное отношение, образует нормированные (безразмер-
ные) реактапсные функции Ими являются, например, функции
z'(p) =- (7р3 + 22р)/ (р4 -ф 18р2 + 12) и 2(р) = (р4 + 18р2 + 12)/(7р3 +
-ф 22р), которые могут быть образованы с помощью полинома Гурви-
ца е (р) = р4 4- 7р3 -г 18р2 -J- 22р — 12 (см § 9 10)
Связь между полиномами Гурвица и реаыансными функциями в
формульном виде, как легко понять, такова Если v (р) — полином
Гурвица, то функции
о(р) —о(-р)
o(p) + t>( — р)
о(Р) Н( —Ц)
у(р) — v (— р)
(16 9)
представляют собой нормированные реактансиые функции.
Доказательство может рассматриваться как прямое следствие
свойств полиномов Гурвица, установленных в § 9 10
16,6.	Частотные зависимости сопротивления
реактивных двухполюсников
Из условий физической реализуемости входных функций реактив-
ных двухполюсников следует, что частотная зависимость комплексно-
го сопротивления любого реактивного двухполюсника совпадает с за-
висимостью соответствующей реактансной функции Z (р) при р ~ /со
от вещественной переменной 0) при со )> 0.
Согласно (16 8) при р = /со активная составляющая входного со-
противления реактивного двухполюсника тождественно равна нулю.
Это и естественно, так как в противном случае двухполюсник рассеи-
вал бы подведенную к нему энергию. Реактивная же составляющая
сопротивления двухполюсника
Z (/со)	<4о	X? Аь со
—-----= Х (сф-мдЛ ^------------------- (16.10)
1	“	k w2-co2
с ростом частоты возрастает всюду, за исключением частот о>д полюсов
сопротивления двухполюсника. Действительно,
dX (щ) л Ао у^(Ю2 + Ю2)
dw °°+ о>2 +
поскольку Лоо 0,	> 0 и Аь > 0.
394
Если сопротивление реактивного двухполюсника равно нулю при
и - 0, т. е. если Аа = 0, то с ростом частоты (рис 16.7, а) сопротив-
ление Z (/0))//, возрастая, проходит через простой полюс при w —
обусловленный слагаемым А^/ (а>1 — со2), изменяет знак и, продол-
жая возрастать, проходит через нуль прн частоте со = <о2, вновь изме-
няет знак и т. д. Таким образом, нули и полюсы сопротивления рас-
сматриваемого двухполюсника перемежаются (чередуются) и при
со-> оо его сопротивление согласно (16.10) может стремиться или к
бесконечности при Лоо > 0 (см. рис 16 7, а), или К нулю при Лоо = 0
(рис. 16.7, в). При этом в каждом нуле сопротивление реактивного
двухполюсника изменяется с емкостного на индуктивное, а в каждом
полюсе — с индуктивного на емкостное.
Если при со = 0 функция Z (/со)/j имеет не нуль, а полюс, т е.
если в разложении (16.10) Ло >0, то с ростом частоты первым встре-
чается нуль сопротивления двухполюсника, за ним полюс сопротив-
ления и т. д. вплоть до бесконечно высокой частоты, где сопротивле-
ние двухполюсника может иметь или нуль (рис. 16.7, б), или полюс
(рис. 16.7, г). Графики, приведенные на рис. 16 7, могут рассматри-
ваться как обобщение графиков простейших реактивных двухполюс-
ников, рассмотренных в § 16.4.
Во многих случаях, характеризуя частотную зависимость сопро-
тивления реактивного двухполюсника, можно ограничиться графиком,
-который определяет лишь частоты нулей и полюсов сопротивления.
Его называют характеристической строкой двухполюсника. Характе-
ристические строки реактивных двухполюсников, соответствующие
графикам рис. 16.7, приведены на рис. 16.8.
о----и----о-------м----о----------------Х-—о--------------X ш
а)	О Ы, ш2 ыэ В>4	Ш2У-У Ш2У	°0
Z (Jш) X .	о----X—о-----X------------------о---------X—	о ы
б)	О	<*>,	ш2 ы з	ш4	Ш2Ч-1	Ш2У	°0
Z (JW) О-----X— о------X 1 О--------------------о------X-------О ш
в)	О Ы| ы2 Ыэ	ш2„	Ш2У+) те
2 < J <*)) X-о----х--о----X--------------------X--------о------X ы
-Г)	0	«1	“2	"э	ш4	O>2V	“2Vtl°°
16.8
395
Естественно, что характеристические строки определяют сопротив-
ления двухполюсников с точностью до постоянных множителей. Ими
являются множители В в следующих формулах, характеризующих
четыре возможные разновидности частотных зависимостей сопротивле-
ния реактивных двухполюсников:
Btjw (ы2—to2) (ы2—ы2).. , (ы2\, —ыа) '2v+l \
(со2— со2) (cog — со2). . . (w|v_i — о)2) ’ \ 2v )’
B2(w?—to ) (со|—со2)... (<o22v_( — со2) / 2v \
/со (<о2со2) (сод — со2).. . (co22v —со2) ’ \2v-!-l у
В3/<о(со2—со2)(со2—со2) ... (CO2V — со2) /2у4-1 \ .
(со2—со2) (со2—со) ... (cosjv_2 —со2) ’ \^2v + 2 )
(со2 —со2). .. (co2v+1— со2) /2у-ф2 \
/со (со| —со2) (со| —со2)... (co^v —СО2) ’ \2v-f-l у
(16.11)
Эти функции сформированы в соответствии с характеристическими
строками рис. 16.8. Рядом с каждой из иих в скобках приведены показа-
тели степени полиномов числителей и знаменателей соответствующих
реактансных функций. Они показывают, что порядок функции равен
общему числу нулей и полюсов сопротивления двухполюсников, рас-
положенных при конечных значениях частоты, включая и значение
со = 0.
Все сказанное относительно частотных зависимостей сопротивле-
ния реактивных двухполюсников и графиков этих зависимостей сохра-
няет силу и для частотных забисимостей проводимости реактивных двух-
полюсников. Это и понятно, так как и сопротивления, и проводимости
реактивных двухполюсников выражаются в реактансных функциях.
16.7.	Реализация реактансных функций
Напомним, что задача отыскания численных значений элементов
цепи, при которых характеристики цепи описывались бы заданной функ-
цией, удовлетворяющей соответствующим условиям физической реали-
зуемости, получила название задачи реализации заданной функции цепи.
Реализация реактансных функций по первой форме Фостера. Один
из методов реализации реактансных функций, предложенный Р. М.
Фостером, был по существу изложен в § 16.6. Он основан на представле-
нии заданной реактансной функции Z (р), выражающей сопротивление
(а не проводимость) искомого двухполюсника, в форме (16.8). Значения
коэффициентов Лоо, Ло и разложения можно найти, если приме-
нить метод, подобный описанному в §9.6. Тогда
/1a) = f-a,r:|im ~	; Л0 = С^ч =limpZ(p);
Р~^ОО Р	Д->-0
Л* = СГ'=Нт ----------2 (р); Tfe = l/w| Cfe
р
(J6.12)
На рис. 16.9 приведены схемы реактивных двухполюсников, соот-
ветствующие реализации реактансных функций Z (р) по первой форме
396
Фостера Число элементов в этих
„вухполюсниках и обозначения
резонансных частот их контуров
согласованы с характеристичес-
кими строками двухполюсников
(см рис. 16 8) и формулами
(16.11). При этом, например, в
двухполюснике со схемой рис.
16 9, параллельные колебатель-
ные ’ контуры с резонансными ча-
стотами ^4’  > ^2v «реали-
зуют» полюсы Z (р) при р= +/со2,
.... ±/«2v> а индуктив-
ность 1-х и емкость Со — полюсы
Z (р) соответственно при р = оо
и р = 0.
Реализация реактансных функ-
ций по второй форме Фостера.
Заданная реактансная функция
может выражать проводимость
(а не сопротивление) искомого ре-
активного двухполюсника. Пусть
она имеет полюсы при р = 0 и
р = оо. Тогда
К (р) = рС0О4-
16.9
рЬ0 ^7 Р2 + «,
(16.13)
В правую часть (16.13) входит сумма, выражающая проводимость
двухполюсника из соединенных параллельно емкости Сх, индуктив-
ности La и последовательных колебательных контуров с резонансными
частотами Ш;. индуктивностями L} и емкостями Ci = l/w/Cj. Значе-
ния параметров всех этих элементов положительны, поскольку положи-
тельны коэффициенты разложения реактансиой функции Y (р) на про-
стые дроби.
Схема двухполюсника приведена на рис. 16.10, в. Там же показаны
схемы реактивных двухполюсников, соответствующие реализации по
второй форме Фостера трех других разновидностей реактансных функ-
ций Обозначения, принятые на рис. 16.7—16.10 и в формулах (16.11),
согласованы между собой
Из (16 13) следует
Сх - lim -У , Ту 1 =Iim pY (р),
/7->оо р	р-*0
.	Р2 + W 2	1
Cf1— lim ---------— Y (р); Сг = —-----
р	ЮI Ll
(16 14)
В рассматриваемом методе реализации последовательные колеба-
тельные контуры реализуют полюсы реактансной функции Y (р) при
Р — ±/Wi, а одиночные элементы — полюсы при р = 0 и р = оо
Реализация реактансных функций по первой форме Хауэра. При
реализации реактансных функций по первой форме Клуэра используют-
ся реактивные двухполюсники так н-азываемой лестничной структуры
(рис. 16.11).
397
П j сть заданная реакта некая ф^ нкци я Z (р) имеет пот юс при р = оо
То!да, выделив целую часть функции, запишем ее в виде Z (р) = pl^-ф
+ Zt (р). Здесь Lt > 0, а ф^ нкция Z, (р) согласно (IG 8) также является
реактанснои и стремшся к hj.ho при р -> оо Обращая ем функция
¥ t (р) = 1/Zj (Р) имеет при р - оо простои полюс и, следовательно,
после выделения ее целой час!и может быть записана в виде суммы двух
реактансных функции рС2 и Уф (р) Полому
I
Z, (р) =------------•
рС2 + У2(р)
Поступая аналогично, находим
Г2 =......Гл \ < Г
pL3 -ф Z3 (р)
где L3 > 0 и Z3 (р) — реактансная функция.
Подобные преобразования можно повторить число раз, равное по-
рядку заданной реактанснои функции, поскольку каждый раз после
выделения целой части функции порядок оставшейся функции снижает-
ся на единицу.
Если теперь в сумму Z (р) - pL, -ф Z, (р) подставить полученные
выражения для Z, (р), К2 (р), Z3 (р) нт д., то в результате образуется
цепная дробь вида
(16 15)
Очевидно, что найденная цеп-
ная дробь, все коэффициенты ко-
торой Lv С2, L3,t С4, ‘положи-
тельны, выражает сопротивление
физически осуществимого лест-
ничного реактивного двухполюс-
ника, в продольные ветви крто-
рого. включены индуктивцостИ| Lt,
iL3, L3, а в поперечные —ем-
кости С2, СЛ, С6, напрцмер
двухполюсника, схема которого
показана на рис. 16.12, а Дей-
ствительно, его входное сопротив-
ление Z (р) равно сумме сопро-
»98
индуктивности Ll и двухполюсника с проводимостью
v = рС, + у2, т е. 2 (р) = pL, + 1/(рС2	У2) Но У2 = 1/(рЬ3+
,12 \ и т д что и приводит к цепной дроби (16 15).
Лестничный двухполюсник «заканчивается» или индуктивностью,
еспи реактансная функция Z (р) при р 0 имеет нуль (см. рис. 16.12,а),
или емкостью, если при р = 0 расположен полюс Z (р) (рис. 16.12, а).
Если заданная реактансная функция Z (р) не имеет полюса при р =
= оо, то в цепную дробь разлагается функция Y (р) — \/Z (р), что
приводит к схемам рис. 16.12, бив Первая из них соответствует реак-
танснои функции с нулем, а вторая — с полюсом У (р) при р = 0.
Разложение в цепную дробь вида (16 15) проше всего вести, исполь-
зуя на каждом этапе операцию деления соответствующих полиномов.
Например, если
1,2р‘ + 6,1-1012 р24-6-102‘
V\(p) =
2-10» рз + 5. ]021 р
то в результате деления
1,2р‘ + 6,1 1012 р2 _|_6. ю'24 --£—!------
'	I 0,6-10-эр
1,2р44-3,0-1012 р2________
3,I-10i2 р2+ 6-Ю24
находятся целая часть функции рС-^.р^ = 0,6-Юр и остаток Гщ., =
3 1 • 1012р2-4-6-1024
=	L_——, чему соответствуют емкость Cfc+i = 0,6-10~9Ф
и реактансная функция
1________2-р34~5-1012 р
ft+1~ yft+1 “ 3,1-103р24-6-10’5 ’
При разложении в цепную дробь, как и при любых других вычисле-
ниях, в ходе которых возможно вычитание близких по величине чисел,
промежуточные вычисления следует вести с числом знаков, превышаю-
щим необходимое число верных знаков результатов вычислений. Обыч-
но элементы электрических цепей изготовляются с точностью, ие превы-
шающей долей одного процента. С такой же точностью должны вычисля-
ться значения всех коэффициентов цепной дроби.
399
Реализация реактансных функций по второй форме Кауэра. Задан-
ную реактансную функцию можно представить также цепной дробью
вида
Z(p)=—!—4---------------!------------(16 16)
рСг I	1
+ 1 1
PC, + 1
“7" + ’ - ‘
pLt
Здесь на каждом этапе разложения выделяется слагаемое, соответствую-
щее полюсу функции при р = 0 При этом согласно (16 8) любой коэф
фициент С2^_х (L2ft) будет положительным числом, а остаток — реак-
тансной функцией на единицу более низкого порядка. Следовательно,
цепной дроби (16 16) соответствует физически осуществимый лестничный
двухполюсник с емкостями в продольных и индуктивностями в попе
речных ветвях Схемы подобных лестничных двухполюсников, соответ
ствующие четырем возможным разновидностям реактансных функций,
приведены на рис 16 13
Разложение заданной реактанснои функции в цепную дробь вида
(16 16) можно вести аналогично разложению той же функции в дробь
вида (16 15), располагая каждый раз делимое (четный полином) и дели-
тель (нечетный полином) по возрастающим степеням переменной р
Так, в рассматриваемом выше примере после деления
6 10=4 5 * * *+ 6,1  10'= р=+ 1, 2р4 | 5-1021 р+2-109 р3
6 1024 + 2,4 • 1012 • р2	1,2-103
3,7-1012 р2+1,2р4	р
находятся индуктивность х =	10—3 Гн и реактансная функция
5 10=1 + 2-109 р2
Z (р) =-------!------— ,
1	3,7 1012р+1,2р3
которая также имеет полюс при р = 0
400
16.8.	Канонические схемы реактивных
двухполюсников
Схемы реактивных двухполюсников, приведенные на рис 16 9,
16 10 16 12 и 16 13, образуют четыре группы так называемых канона
ческах схем реактивных двухполюсников
Любая из четырех найденных канонических схем реактивных двух-
полюсников содержит минимальное число реактивных элементов, кото
пое необходимо для воспроизведения заданной частотной зависимости
сопротивления или проводимости Действительно, устранение любого
элемента в канонической схеме двухполюсника ведет к снижению по-
рядка функции, выражающей сопротивление двухполюсника, и, следо
вательно, исключает возможность реализации заданной частотной за-
висимости
Если сопоставить число реактивных элементов в любой из канони
чески.х схем реактивных двухполюсников с соответствующими им харак-
теристическими строками (см рис 16 8), то можно прийти к следующе-
му заключению Число элементов в канонической схеме реактивного
двухполюсника равно общему числу нулей и поносов сопротивления
двухполюсника, расположенных при конечных значениях частоты,
включая и значение со = 0 Оно равно также порядку рациональной
функции в выражении для сопротивления двухполюсника, т е наивыс-
шему из показателей степеней числителя и знаменателя функции
Решая задачу реализации реактансной функции, всегда можно,
как было показано, найти четыре эквивалентных реактивных двухпо-
люсника, которые, имея равное число элементов, отличаются как схе-
мами, так и значениями параметров их элементов Это позволяет, в
частности, в области низких частот уменьшить массу и габариты кату-
шек индуктивностей, а в области высоких частот уменьшить влияние
паразитных емкостей
Значения индуктивностей в канонических схемах реактивных двух
полюсников, показанных на рис 16 10 и 16 13, как правило, превышают
таковые в двух других эквивалентных им канонических схемах реактив-
ных двухполюсников (см рис 16 9 и 16 12) В этом легко убедиться на
следующем примере Пусть двухполюсники со схемами рис 16 9, а
и 16 10 а, будут эквивалентными Тогда в области весьма низких частот
сопротивление первого двухполюсника приближенно равно /<>> (Loo +
-j-L] + Lj L2v__ j), a второго /<oL0 В силу эквивалентности этих
двухполюсников Lo — Loo Lt + L3-|-	|- L2v—l’ т e инду к
тивность Lo второго из сравниваемых двухполюсников равна сум
ме всех индуктивностей, которые входят в первый двухполюсник При
большом числе элементов в двухполюснике это может привести к тому,
что значения индуктивностей в различных эквивалентных схемах двух-
полюсников будут отличаться на целый порядок Аналогично могут
быть установлены соотношения и между значениями емкостей в канони-
ческих схемах реактивных двухполюсников
Обычно на практике отдают предпочтение каноническим схемам,
содер/кащим параллельные резонансные контуры (см рнс 16 9) Дело
в том, что в параллельном резонансном контуре легко может быть учте
на имеющаяся в любой реактивной катушке паразитная емкость По-
следняя может считаться включенной параллельно зажимам катушки
В случае, когда катушка входит в параллельный резонансный контур,
влияние паразитной емкости на сопротивление двухполюсника можно
исключить, если уменьшить емкость контура на величину паразитной
емкости Это невозможно ни в лестничных канонических схемах
реактивных двухполюсников, ни в канонических схемах, содержащих
401
последовательные резонансные контуры Полому в указанных схемах
наличие паразитном емкости ведет к искажению частотном зависимости
сопротивления двухполюсника в области часют в которой сопротивле-
ния паразитных емкостей становятся соизмеримы с сопротивлениями
индуктивностей
Кроме того изменение емкости или (и) индуктивности одного из
параллельных контуров изменяет расположение полюса сопротивлеиия
только этого контура и не влияет на частоты полюсов сопротивления ос-
тальных контуров, а следовательно и полюсов сопротивления две хпо-
люсника в целом Аналогично в двухполюсниках с последовательными
колебательными контурами изменение данных одного из двухполюс-
ников приводит к смещению только одного из нулей сопротивления двух-
полюсника В лестничных же реактивных двухполюсниках изменение
любого из элементов ведет к смещению частот всех и нулей и полюсов
их сопротивлении
Наконец, двухполюсники, реализованные по Фостеру, удобны в на-
стройке поскольку частоты нулей или полюсов их сопротивлении лег-
ко контролируются
16.9.	Двухполюсники /?С и RL
Входные функции пассивных RC двухполюсников образуют такой
подкласс положительных вещественных функции, у которых Тв — О,
и как следствие этого согласно (16 2)
7 . , 1 / Р \
Z = 'Гт ”/ х ы 1° * --
IM/4I2 \ Р 1
Нули Z (р) находятся в результате решения уравнения p~VBiF*B,
и поэтому все они вещественны и отрицательны Такими же долж-
ны быть и полюсы Z (р) — 1/У (р), что следует из (16 3) при То = О
Следовательно, все нули и полюсы входных функций пассивных PC
двухполюсников вещественны и отрицательны
Если <о 0 или w —» оо то любой пассивный 7?С-двухполюсник
ведет себя как резистивное сопротивление R или как емкость С Поэтому
Z (р) при р = 0 и при р = оо или принимает конечные вещественные
положительные значения, или имеет полюс при р =0 и (или) нуль при
р = оо
При комплексном значении переменной р = а ф /со
1	/ оУ0	А
Z (а-ljffl) =	 L—— (— — ——- j
17е (а -f- /w) |2 \	o2-|-w2	о2-|-<о2 }
Здесь
»	—юУ0
Im Z (а -Н«) = ———;.....	.——- >0 при to < О
|/0 (а + М I2 (а2 4- w2)
Но отсюда следует, что полюсы Z (р) должны быть простыми, а вычеты
относительно этих полюсов — вещественными положительными числа-
ми Для доказательства следует повторить рассуждения, которые были
использованы в § 16 3 при обосновании аналогичного заключения при-
менительно к мнимым полюсам положительных вещественных функций
и связаны с обходом полуокружности малого радиуса с центром в полю-
се Z (р) Отличие состоит в том, что эта полуокружность должна раепо-
См примечание на стр 392.
402
в нижпеи полуплоско
там, где Im Z (р) > 0 и
" Ц О
функции
лататься
стн т е
/см рис 16 14) л :
Итак, входные ----------- .
2/р)* пассивных RC двухполюс
ников являются дробными рацио
натьными функциями комплекс
нои переменной р, \ которых все
коэффициенгы вещественны, все
полюсы расположены при вещщт
венных отрицательных зиачснипх
переменной являются простыми
и имеют вещественные положи
тельные вычеты, a lim Z (р) Js О
при у о°
Любая функция которая удовлетворяет этим требованиям может
быть разложена на проыые (роби
(16 17)
где Ah >0 Од > 0
До > 0 и Аю 0
Эта сумма характеризует входное операторное сопротивление физи-
чески осуществимого пассивного RC двухполюсника который содержит
последовательно соединенные резистивное сопротивление Rx Аоо >
0, емкость С~р' До т 0 и то или иное число параллельных
RC контуров с емкое!> ли Сд 1 = Ajt > 0 и резистивными сопротивле-
ниями Rit = 1/cfeCft (рис 16 15)
Следовательно, условия, сформулированные выше, являются ус-
ловиями физической осуществимости входных функции Z (р) пассив-
ных ЯС-двухполюсников
Схема двухполюсника, показанная на рис 16 15, является одной
из возможных канонических схем пассивных RC двухполюсников Она
была найдена разложением Z (р) на простые дроби, т е аналогично ре-
ализации реактансной функции по первой форме Фостера Эту же функ-
цию можно реализовать, если разложить на простые дроби Y (р) =
= 1/Z (р) или представить ее цепной дробью, т е по существу приме-
нить реализацию или по второй форме Фостера, или по любой из двух
форм Кауэра, что позволяет найти остальные возможные канонические
схемы пассивных ЛС-двухполюсников Соответствующие доказа-
тельства можно получить, повторив рассуждения, которые исполь-
зовались при обосновании возможных вариантов реализации реактацс-
ных функций Например, функция
Р (р + о2) (р-фа4)
которая при 0 <; <т, < сг2 < о3 < о4 удовлетворяет найденным усло-
виям физической реализуемости для входных функции RC двухполюс-
ников, может быть реализована по одной из четырех канонических схем,
показанных на рис 16 16
В ходе доказательства можно убедиться в том, что чисто элементов
емкости в канонических схемах RC двухполюсников равно порядку реа
лизуемой функции, а сами схемы образуются из канонических схем ре-
* Но не Y (р) = 1 Z (р)
403
активных двухполюсников после замены индуктивностей резистивными
сопротивлениями.
Функции входного сопротивления пассивных RL-двухполюспиков
отличаются от таковых для RC-двухполюсннков только тем, что при
р=0 они могут иметь нуль, а при р = оо имеют полюс или принима-
ют конечные положительные значения. Их канонические схемы также
могут быть образованы из схем реактивных двухполюсников после за-
мены емкостей резистивными сопротивлениями
16.10. Реализация положительных
вещественных функций
Докажем, что любой заданной положительной вещественной функ-
ции может соответствовать физически осуществимый пассивный двухпо-
люсник, операторное сопротивление которого выражается этой функци-
ей. Тем самым будут установлены условия физической осуществимости
входные функций пассивных двухполюсников.
Любые методы реализации заданной положительной вещественной
функции основываются на следующих свойствах таких функции
1.	Если Z (р) — положительная вещественная функция с полюса-
ми на мнимой оси, то она можег быть представлена в виде суммы реак-
тансной функции Zr (р) и ПВФ Z, (р) более низкого порядка Z (р) =
= 2r (р) -j- Z, (р).
2.	Если Z (р) — положительная вещественная функция, наимень-
шее значение вещественной части которой на мнимой оси R > 0, то она
может быть представлена в виде суммы:
Z (р) — R -j- Zo (р),
где Zo (р) — положительная вещественная функция.
404
3	Если Z (/’) — ПВФ, то таковой является и функция Y (р) =
'(f ^Если Z, (р) и Z2 (р) — ПВФ, то таковой будет и их сумма:
Z (р) =	(р) + А (р).
Эти свойства положительных вещественных функции следуют из
их определения или легко обосновываются.
Излагаемый ниже метод реализации принадлежит О. Бруне. Его
пабота опубликованная в 1931 г., явилась важным этапом в развитии
методов синтеза электрических цепей. Сущность метода сводится к раз-
ложению заданной ПВФ в цепную дробь, элементами которой, в свою
очередь, являются простейшие ПВФ, по которым легко находятся двух-
полюсники, образующие ветви лестничного двухполюсника, а следова-
тельно, и двухполюсник в целом.
Пусть заданная ПВФ Z (р) имеет полюсы на мнимой оси. Тогда ее
можно представить в виде суммы реактанснои функции Zlr (р) и поло-
жительной вещественной функции более низкого порядка (свойство 1).
Если при р ~ вещественная часть функции Z (/со) ни при одном зна-
чении со не равна нулю, то можно выделить еще и положительную по-
стоянную Ri, равную наименьшему значению Re Z (/со). Тогда
z (р) = Ri +Аг (р)+Ао (р) = А (р)+Ао (р)-
Здесь в силу свойств ПВФ Z10 (р) также будет положительной ве-
щественной функцией. Такой же будет и функция Y l0 (р) = l/Z10(p),
которая, в свою очередь, может иметь полюсы на мнимой оси. Ее также
можно подвергнуть аналогичным преобразованиям и, следовательно,
представить в виде суммы реактанснои функции /2г (р)> постоянной
62 > О, ПВФ У2в (р) и т. д.
В итоге описанный процесс или успешно закончится, или приведет
к положительной вещественной функции, которая после выделения
предельно возможной постоянной не имеет на мнимой оси ни нулей, нн
полюсов.
В первом из этих двух возможных случаев заданная функция может
быть представлена цепной дробью
Z(p) = Z1(p) +--------------!------------ (16.18)
Элементами этой дроби являются, как и требовалось, ПВФ, каждая нз
которых представляет собой сумму реактансной функции и вещест-
венной положительной постоянной. Дроби (16.18) соответствует лест-
ничный двухполюсник (см. рис. 16.11). В каждую из его продольных
ветвей входят реактивный двухполюсник и резистивное сопротивление,
соединенные последовательно, а в каждую поперечную ветвь — реак-
тивный двухполюсник и включенная параллельно ему резистивная про-
водимость.
Рассмотрим теперь второй из возможных случаев, когда на одном
из этапов рассматриваемого разложения ПВФ в цепную дробь, начиная
с первого, продолжение процесса оказывается невозможным ввиду от-
сутствия у функции нулей и полюсов на мнимой оси. В таких случаях
и используется предложенный О. Бруне метод, основанный на искусст-
венном введении полюсов в разлагаемую функцию. При этом временно
Допускается существование в реализуемом двухполюснике отрицатель-
ных реактивных элементов, включенных, однако, таким образом, чтобы
в совокупности с другими реактивными элементами двухполюсник был
физически осуществим.
405
Пусть после выделения постоянной вещественная часть Z (усо)
при р = ± /со0 обращается в нуль При этом мнимая часть не равна ну-
лю, иначе при р = + /<и0 функция Z (р) имела бы нули, а обратная ей
функция Y (р) — полюсы и можно было бы продолжать разложение в
цепную дробь. Введем этот нуль искусственно, считая определенности
ради, что Z (/<о0) = — /Л и А > 0 Для этого дополним функцию слага-
емыми pLr и — pLj, выбрав = (А/<±>0) > 0 Тогда функция Zr (р)~
= Z (р) Д- pLt как сумма Z (р) и pLY также является положительной
вещественной функцией (свойство 4). При р = -Ь /шо она обращается
в нуль Обратная ей функция может быть представлена как сумма реак-
тансной функции с полюсами при р = + /со0 и положительной вещест-
венной функции У2 (Р)
1
zi (Р)
РТ 2 1
Р2 + “20
+-^2 (Р)
Функция Zj (р) = Z (/>) + pLt за счет ее второго слагаемого имеет
простой полюс при р = оо, поэтому
1	Г pLr'	7
lira ——— = lim ———-+У2(р) =limr2(p) = 0.
р->оо ^1 \Р)	р-+<х> L Р -“&>()	J р—>оо
Следовательно, функция 1/У2 (р) имеет полюс при р = оо и, в свою
очередь, после выделения соответствующей реактансной функции может
быть преобразована к виду
1
v . . =р£з + ^3 (р)>
га(р)
где Z, (р) — также ПВФ
На этом и заканчивается цикл Бруне, в результате которого задан-
ная ПВФ разлагается в цепнуйз дробь
2(р) = -р/-! + -—7----------;------•	(16.19)
PL2 . 	*
Р2 + «?	pL3-}-Z3(p)
Здесь значения индуктивностей— < О, С2 > 0 н L3 > 0 долж-
ны удовлетворять соотношению (—Lt + (— L3) L3 + ^-2^-3 — 6,
иначе функция Z (р) имела бы полюс при р = оо
Цепной дроби (16 19) соответствует двухполюсник со схемой
рис. 16.17, а, в которой три элемента индуктивности образуют схему
замещения трансформатора без потерь с жесткой связью (см. § 6.8).
406
Следовательно если отвлечься от имеющихся в реальном трансфор-
маторе потерь и рассеяния потока, двухполюсник со схемой рис 16 17, а
физически осуществим па пассивных элементах Схема дву хполюспика
с трансформатором изображена на рис 16 17 б
н Порядок Функции Z3 (р) оказывается ниже порядка исходно» функ-
ции на две единицы Повторяя при необходимости аналогичные преоб-
разования необходимое число раз, всегда можно найти физически осу-
ществимый двухполюсник, сопротивление которого выражается задан-
ной положительной вещественной функцией
Аналогичное разложение возможно и в случае, когда при частоте
и сопротивление искомою двухполюсника имеет не емкостный, а ин-
дуктивный характер Отличие будет заключаться в том, что в этом слу-
чае отрицательной будет индуктивность А,. Этим доказывается, что не-
обходимые и достаточные условия, которым должны удовлетворять
функции, выражающие сопротивление и проводимость пассивных двух-
полюсников, сводятся к тому, чтобы ЭТИ функции были ПВФ
Изложенный метод реализации пассивных двухполюсников не при-
водит в общем случае к однозначному решению Неоднозначность свя-
зана с возможнооью выделения на каждом или на некоторых из этапов
разложения различных по сложности реактивных двухполюсников Не
обязательно также на каждом из этапов выделять предельно допустимое
резистивное сопротивление или резистивную проводимость
Известны и другие общие методы реализации пассивных двухпо-
люсников, которые приводят к двухполюсникам без трансформаторов
Достигается это увеличением числа элементов, что может оказаться оп-
равданным при высоких требованиях к точности воспроизведения
двухполюсником заданной частотной зависимости сопротивления
Глава 17.
ПЕРЕДАТОЧНЫЕ ФУНКЦИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ЦЕПЕЙ И ИХ РЕАЛИЗАЦИЯ
17.1.	Свойства операторных передаточных
функций электрических цепей
Операторные передаточные функции электрических цепей
с конечным числом сосредоточенных элементов (см. гл. 9)
подобно их входным функциям представляют собой дробные ра-
циональные функции комплексной переменной р = о + /щ,
которые принимают вещественные значения при вещественных
значениях переменной Они могут быть записаны в любой из
Двух форм
Н (р) = ЬоРт + Ь1рт~1+ +bm = w(p) .
рп + а1Рп-'+ ,+ап	’
Н(р)= Ьа(Р — Ры)(Р — Рм) --(Р — Рот)
(P — PiXP—Pz)  (Р — Рп)
(17.1)
4ft7
В силу вещественности коэффициентов bt и полиномов
w (р) и v (р) нули (р01, р02, р0,„), и полюсы (/?1, р2, рп) пере-
даточных функций могут быть вещественными или комплекс-
ными попарно сопряженными числами или теми и другими
одновременно. При этом нули и полюсы передаточных функций
определяют функцию с точностью до постоянного вещественно-
го множителя Ьа, играющего роль масштабного коэффициента.
Полюсы передаточных функций устойчивых электрических це-
пей по доказанному могут быть расположены лишь в левой по-
луплоскости, т. е. полином v (р) должен быть полиномом Гурви-
ца
В общем случае передаточные функции электрических цепей
могут иметь также простые полюсы на мнимой оси. Соответ-
ствующие цепи можно рассматривать как цепи, находящиеся
на грани устойчивости. Свободные колебания в подобных це-
пях имеют незатухающий характер, что неизбежно связано с
идеализацией свойств реальных электрических цепей. Дейст-
вительно, в пассивных электрических цепях незатухающие
свободные колебания возможны лишь в цепях, лишенных по-
терь, которые принципиально неизбежны в реальных пассив-
ных электрических цепях. В активных же электрических це-
пях с зависимыми источниками идеализация сводится к пред-
положению о постоянстве параметров цепи, поскольку всякое
изменение последних, обусловленное, например, колебаниями
питающих напряжений, смещает полюс с мнимой оси. При этом
цепь или становится устойчивой, если полюс смещается в ле-
вую полуплоскость, или самовозбуждается и переходит в нели-
нейный режим, если полюс смещается в правую полуплоскость.
Передаточные функции с мнимыми полюсами рассматриваться
не будут.
Что же касается нулей передаточной функции, то на их рас-
положение не накладывается столь жестких ограничений. Вме-
сте с тем целесообразно выделить в отдельный класс цепи, ну-
ли передаточных функций которых полностью или частично
расположены в правой полуплоскости. Цепи, передаточные
функции которых имеют нули в правой полуплоскости, назы-
ваются цепями неминимально-фазового типа. Цепи, у которых
передаточные функции имеют нули лишь в левой полуплоско-
сти и (или) на ее границе, т. е. на мнимой оси, называются
цепями мини ма ль но-фазового типа.
Степень полинома числителя передаточной функции на-
груженного четырехполюсника обычно не превышает степени
полинома ее знаменателя, т. е.
т п.	(17.2)
408
В общем же случае это условие не является обязательным и
принципиально возможно построение моделей активных цепей,
v которых т > а.
Итак, будем считать, что операторная передаточная функ-
ция представляет собой дробную рациональную функцию комп-
лексной переменной р, в знаменатель которой входит полином
Гурвица, а в числитель— полином с вещественными коэффици-
ентами, степень которого не превышает степени полинома зна-
менателя.
Перечисленные свойства операторных передаточных функ-
ций являются с точностью до вещественного постоянного мно-
жителя условиями их физической осуществимости.
17.2.	Свойства комплексных передаточных функций
электрических цепей
Комплексные передаточные функции образуются из функ-
ций (17.1) при чисто мнимых значениях переменной р, т. е. при
? — /о/. Они представляют собой соотношение двух полиномов
: вещественными коэффициентами от мнимого аргумента. Лю-
Зой такой полином, например полином Гурвица и (р) при р —
= /со, может быть записан в виде
v (/со) -- А (о)2) -г /соВ (or’)	(17 3)
Здесь А (со2) и В (со2) — четные полиномы с вещественными
соэффициентами, так как вещественную часть и (/ш) образует
:умма сла1 аемых, которая содержит четные, а мнимую не-
сетные степени /со. Следовательно,
/у (ущ) _ w	(/М)"'Ч" Ф (/со)"' 1 С»	|
u(/co)	(/со)’1 + о1 (/со) п ' + • -К	|
ИЛИ	•
Н (joA = С <и2) + /мР =	(со2)+со2Р2(соф е/0(6))
A (w2) + /wB (со2) V Л2 (со2)+<о2 Ву- (со2)	j
(17.4)
'Де С (со2) + /соО (со2) =	(/со).
Модуль \Н (/со)| и аргумент 0 (ос) функции (17.4) являются
функциями вещественной переменной со и при со 0 опреде-
ляют соответственно амплитудно- и фазо-частотную характе-
ристики цепи.
Значения функции
| Н (/со) 1=1/ с2(со2) + со2 В2 (со2)	(175)
г Л2 (ш2) + со2 В2 (со2)
409
неотрицательны и ограничены сверху, если не рассматривать
идеализированных цепей, у которых передаточные функции
имеют полюсы на мнимой оси или у которых не выполняется
условие (17 2)
В задачах синтеза цепей с требуемыми амплитудно-частот-
ными характеристиками используется также функция цепи
F (си2), равная квадрату модуля (17 4)
F (©*) - Н (;w) Н ( —/со) =	---±Вт.(17 6)
co2rt-p А, И2" 2+ ^Ап
Понятно, что эта четная дробная рациональная функция
вещественной переменной ы, все коэффициенты которой ве-
щественны, может принимать лишь конечные неотрицательные
значения
Свойства функций цепей
О (о>) = arg |( (w2) -г ]mD (со2)] -- arg |Л (от) -+ /шВ (о?)|
(17 7)
рассматриваются в § 17 4 и в гл 19 и 21 Сейчас же следует от-
метить, что они являются трансцендентными функциями пере-
менной со Эго существенно усложняет задачу синтеза цепей с
требуемыми фазо-частотными характеристиками по сравнению с
С задачами, в которых предъявляются требования только к амп-
литудно-частотным характеристикам
17.3.	Свойства передаточных функций
минимально-фазовых цепей
Важнейшая особенность частотных характеристик мини-
мально-фазовых цепей состоит в том, что их амплитудно- и фа-
зо-частотные характеристики взаимозависимы. Доказательст-
во существования этой взаимозависимости, которое приводится
ниже, иллюстрирует одновременно и методику нахождения
передаточной функции Н (р) минимально-фазовой цепи по ее
известной амплитудно-частотной характеристике, что, как пра-
вило, необходимо для реализации последней.
ПусТ’ь известна амплитудно-частотная характеристика не-
которой электрической цепи, заданная функцией (17.6).
Рассмотрим функцию	>
//Ф)/н л .
( —1)"р2« + (_ 1)«-‘ д1р2'’-2+ . +лп ‘	:
Ее правая часть известна, поскольку при р —/о> она переходит
в заданную функцию (17 6).
410
Взаимозависимость между функциями \Н (/со)| и 0 (ы) ми-
нимально-фазовой цепи будет установлена, если из уравнения
(17.8) удастся найти такую функцию Н (р), которая удовлетво-
ряет условиям физической реализуемости передаточных функ-
ций (см. § 17.1), не имеет нулей в правой полуплоскости, а
произведение Н (р) Н (— р) при р = образует функцию
(17 6) Тогда, зная Н (р), можно найти комплексную передаточ-
ную функцию Я (/<о), а по ней и фазо-частотную характеристи-
ку цепи 0 (о>).
Для решения задачи используем особенности расположения
нулей четных полиномов с вещественными коэффициентами,
к числу которых относятся полиномы числителя и знаменате-
ля (17.8). Пусть рк является нулем некоторого четного полино-
ма. Тогда нулем того же полинома будет и — pk, поскольку
четная функция не изменяет своих значений с изменением зна-
ка переменной. В силу же вещественности коэффициентов по-
линома его комплексные нули могут встречаться лишь сопря-
женными парами. Следовательно, нули четного полинома с
вещественными коэффициентами располагаются на комплекс-
ной плоскости симметрично относительно ее координатных
осей или, как говорят, обладают квадрантной симметрией. В
качестве примера на рис. 17.1 показано расположение нулей
четного полинома восьмой степени с вещественными коэффи-
циентами.
Полином знаменателя (17.8) по предположению не имеет ну-
лей на мнимой оси, иначе функция (17.6) не была бы ограничен-
ной. В силу квадрантной симметрии расположения нулей чет-
ного полинома с вещественными коэффициентами из 2п нулей
рассматриваемого полинома п его нулей находится в левой и п в
правой полуплоскостях. Обозначим первые через ри р2,..., рп.
Тогда вторые будут—plt —р2, .... —ра. Представляя теперь
полином знаменателя (17.8) в виде произведения линейных
множителей, убеждаемся в том, что он единственным образом
разлагается на произведение полинома Гурвица v (р) —
= (р — рД (р — р2) ... (р — р„) и полинома
V (—р) <=(—!)« (р + рД (р 4- рг)... (р + р„),	(17.9)
который получил название сопряженного полинома Гурвица.
Все его коэффициенты являются вещественными, а все нули
находятся в правой полуплоскости и являются зеркальным
отображением нулей полинома Гурвица относительно осей
комплексной плоскости.
Применим аналогичные преобразования к полиному чис-
лителя (17.8), т. е. представим его в виде произведения двух
полиномов с вещественными коэффициентами w (р) и w (— р)
или — ш (р) и — w (— р) так, чтобы полином w (р) не имел
411
нулей в правой полуплоскости. Но тогда из способа формиро-
вания полиномов v (р) и w (р) следует, что любая из двух
функций Н (р) = ± w (p)/v (р) является решением задачи,
т. е. представляет собой искомую операторную передаточную
функцию минимально-фазовой цепи с заданной амплитудно-
частотной характеристикой \Н или ее квадратом F (со2) —
- \Н (/со) I2.
Итак, если цепь является минимально-фазовой, то по из-
вестной амплитудно-частотной характеристике \Н (/со)| можно
с точностью до знака найти ее операторную Н (р) и комплекс-
ную Н (ja>) передаточные функции, а следовательно, и фазо-
частотную характеристику цепи 0 (со) = arg Н (/со) с точ-
ностью до слагаемого л.
Можно также доказать, чго, задавшись фазо-частотной ха-
рактеристикой минимально-фазовой цепи, мы одновременно за-
даемся и ее амплитудно-частотной характеристикой с точ-
ностью до постоянного вещественного множителя, не влияю-
щего, очевидно, на значения фазо-частотной характеристики.
Наличие связи между амплитудно- и фазо-частотными ха-
рактеристиками следует учитывать в задачах синтеза мини-
мально-фазовых цепей, когда по условиям задачи предъявля-
ются одновременно требования к обеим характеристикам.
Проиллюстрируем на конкретном примере методику нахождения
передаточной функции и фазо-частотной характеристики минимально-
фазовой цепи по ее известной амплитудно-частотной характеристике.
Пусть последняя задана в виде функции
„ „	0,25со6 — Зсо2 + 4
F (со2) =-----------------.
(,)'+»- 29со2 + 225
Заменяя со2 на — рг, имеем
„	— 0,25р6 + Зр2+ 4
г ( — р2) =---------------- •
— р« + 3р<4-29р2 ф-225
412
Дтя того чтобы найти нули полинома знаменателя этой функции,
e.PiveT вычислить корни уравнения — р6 4 34р 29р2 4 225 = 0,
которые равны Pi — 3, Рг з 1 ± /2, р4 — 3, p5,e 1 ± /2
В левой полуплоскости расположены корни рр р2 и р3 Поэтому
v (р) = (р — Pi) (Р -- Рг) (Р - - Рз) = (Р + 3) (р2 - 2р + 5) =
= р3 + 5р2 I I р 15
Нули полинома числителя функции находятся как корни уравне-
ния—0,25 р6 + Зр2+4 = 0 Оно имеет два простых вещественных корня
ПрИ.р - д- 2 и пару мнимых сопряженных корней второй кратности
ПрИ р — + /1/2 Поэтому полином числителя функции Н (р) можно
записать в форме w (р) — щ 1/0,25 (р 2) (р- 4 2) — + (0,5р3 4-
^2 р 4- 2) Следовательно,
, 0,5р34-Р2 + р + 2
Н(р)-± рЗ + 5р2+ 1)р+ 15 
— 0,5 / со1 — со2 4- /и 4- 2
—/со3 —5<о2+ II/w4 15
и 0 (w) = arg Н (/со)
Фазо частотная характеристика рассматриваемой цепи при частоте
w = ~\/2 претерпевает разрыв непрерывности Ее значения слева и спра-
ва от этой частоты отличаются на угол л, поскольку при перехо/е через
частоту ы — 1/2 изменяет знак множитель (2—со’), который входит в
числитель Н (/со)
17.4.	Свойства передаточных функций
неминимально-фазовых цепей
Пусть часть или все нули передаточной функции Н (р),т е.
нули полинома w (р) ее числителя, находятся в правой полу-
плоскости Произведение всех множителей полинома w (р),
соответствующих этим нулям, образует сопряженный полином
Гурвица Обозначим его через v0 (— р)
Гели полином гс (р) имеет также нули в левой полуплос-
кости и (или) на мнимой оси, то произведение соответствую-
щих линейных множителей образует полином с вещественными
коэффициентами, не имеющий нулей в правой полуплоскости
Обозначим его чеоез (р) Тогда полином числителя переда-
точной функции w (р) неминимально-фазового типа представ-
ляется произведением w (р) =	(- р) к’о (р) Соответствую-
щая же передаточная функция
Н1(р)— w = г'0 < р~> w°(р)
с (р)	и (р)
413
Если сопряженный полином Гурвица у0 (—р) заменить по-
линомом Гурвица vn (р), то образуется передаточная функция
минимально-фазового тина
Нп (р) =	,
f (/’)
поскольку все нули полинома (р), как нули полинома Гур-
вица, находятся в левой полуплоскости, а почином <ю0 (р)
не имеет пулей в правой полуплоскости
При р — /со множители vn (— /ы) и с() (/<□), которыми отли-
чаются функции /У, (/<о) и Но (/ы), имеют равные модули,
так как эти множители образуют пару комплексных сопряжен-
ных величин Поэтому |Я, (/<о)| = |ЯП (/<о)| Но (/w)|
и |/70 (цо)| определяют амплитудно-частотные характерис-
стики цепей с передаточными функциями Нг (/со) и Но (/со)
Следовательно, любой неминимально-фазовой цепи всегда со-
ответствует физически осуществимая минимально-фазовая
цепь с той же амплитудно-частотной характеристикой, и на-
оборот
В общем случае передаточные функции минимально-фазо-
вой цепи Ни (р) и неминимально-фазовои цепи НА (р) с той
же амплитудно-частотной характеристикой связаны соотно-
шением
.	(17 10)
Со (р)
где и„ (р) — произвольный полином Гурвица
При р — модуль множителе v0 (—/<о)/о0 (уш) равен еди-
нице, 1 его аргумент монотонно убывает с ростом частоты, что
следует из свойств полиномов Гурвица (см § 9 10). Поэтому
из всех цепей с одинаковыми амплитудно-частотными характе-
ристиками наименьшее изменение между частотами ы — 0
и со==оо претерпевает фазо-частотная характеристика ми-
нимально-фазовой цеци Именно этим и обусловливается на-
именование соответствующих цепей и функций.
Возможность изменения фазо-частотной характеристики
неминимально-фазовой цепи без изменения ее амплитудно-час-
тотной характеристики широко используется в задачах синте-
за цепей, когда задаются требования к той и другой характе-
ристикам синтезируемой цепи. При этом, как правило, неми-
нимально-фазовые цепи по сравнению с минимально-фазовыми
с теми же амплитудно-частотными характеристиками заметно
сложнее по структуре и содержат больше Элементов.
444
17.5.	Свойства передаточных функций мостовых
четырехполюсников постоянного
характеристического сопротивления
При реализации передаточных функций пассивными реали-
зующими цепями широкое применение находят симметричные
четырехполюсники, для описания свойств которых традици-
онно используются так называемые характеристические
параметры Они относятся к числу собственных параметров
пассивных четырехполюсников
Характеристические параметры симметричного четырех-
полюсника. Характеристическое сопротивление симметрич-
ного четырехполюсника Zc = Zc (/w) является одним из его
двух независимых характеристических параметров Оно оп-
ределяется как такое сопротивление нагрузки четырехполюс-
ника, при котором его входное сопротивление равно сопротив-
лению нагрузки (рис 17 2)
В соответствии с этим определением и формулой (12 11а)
7 I ___ А Al ~I~ А? _ 7
вх I ~ zcx2I + x22“ с‘
z2_zc
У симметричного четырехполюсника Л22 = 4П, поэтому
из последнего равенства следует
Z.-KAJA,	117.11а)
Обобщенные параметры четырехполюсника в этой формуле
можно выразить через сопротивление короткого замыкания
ZK ~ Л12'А1 и холостого хода Zx = Aw A 2i симметричного
четырехполюсника. В результате оказывается, что характе-
ристическое сопротивление симметричного четырехполюсника
равно среднему геометрическому из его сопротивлений корот-
кого замыкания и холостого хода.
Четырехполюсник, нагруженный на свое характеристичес-
кое сопротивление, считается нагруженным согласованно.
В режиме согласованной нагрузки передаточная функция сим
метричного четырехполюсника |см (12 15) и 117.11а)|
(17 116)
может рассматриваться как второй из его двух независимых
характеристических параметров. Принято, однако, этот соб-
415
ственный параметр симметричного четырехполюсника выра-
жать через характеристическое ослабление
aq = 201g-^ | 1 Z^Zc	= 20 1g -Ь- I -201g| Ли +VA2A1I '2 1 Za=Zc (17.12а)
и его характериспи fec=arg-^-!- = йг zt = z Модуль функци характеристическое т е	сческую фазу ^arg—.	(17.126/ -h и Нс (/со) не может превышать единицы, а ослабление не может быть отрицательным,
О \НС (/со)| йХ 1 и ас 0.
(17.13)
Иначе в режиме гармонических колебаний при ZBX — Z„ —
= Zc средняя мощность в нагрузке пассивного четырехполюс-
ника превышала бы подведенную к его входу.
Характеристическая же фаза Ьс отличается от фазочастот-
ной характеристики согласованно нагруженного четырехпо-
люсника лишь знаком.
Характеристические параметры мостового четырехполюс-
ника. Найдем характеристические параметры мостового четы-
рехполюсника, в который может быть преобразован любой пас-
сивный симметричный четырехполюсник (см. § 12.5) Для это-
го следует ввести в (17.11) значения Л-параметров мостового
четырехполюсника из (12 10).
В результате находятся выражения для характеристичес-
кого сопротивления
Zc = VZttZb	117.14а)
и передаточной функции
нс =-----------
Z„4-Za +2 V Za zb
мостового четырехполюсника.
Знаменатель Нс (/со) можно рассматривать как квадрат
суммы слагаемых ~l/Z(, и "|/Zn, а числитель — как разность
квадратов тех же величин, поэтому
/7с	.	(17.146)
Vzb +Vza
416
Найденные выражения показывают, что характеристичес-
кие параметры Zc (/со) и Нс	мостового четырехполюсника,
а следовательно, и симметричных четырехполюсников в общем
случае частотно-зависимы и являются иррациональными функ-
циями переменной /со.
Четырехполюсники постоянного характеристического со-
противления. В настоящее время характеристические парамет-
ры используются практически исключительно при расчете
симметричных четырехполюсников с частотно-независимыми
характеристическими сопротивлениями, у которых Zc — Rg =
__ const. Такие четырехполюсники могут быть нагружены
согласованно в полосе частот теоретически неограниченной ши-
рины, а их входное сопротивление при согласованной нагрузке
не зависит от частоты и чисто резистивно, что часто диктует-
ся условиями применения некоторых типов четырехполюсни-
ков.
Канонической структурой четырехполюсника постоянного
характеристического сопротивления является мостовой сим-
метричный четырехполюсник, у которого согласно (17.14а)
=	(17.15)
Важно, что каждому физически осуществимому пассивному
двухполюснику с сопротивлением Z,( всегда соответствует фи-
зически осуществимый пассивный двухполюсник с сопротив-
лением Zb = Ra/Zb. Это следует из свойств положительных ве-
щественных функций1 и свидетельствует о физической осу-
ществимости мостового четырехполюсника постоянного харак-
теристического сопротивления.
Передаточная функция рассматриваемого четырехполюс-
ника находится из (17.14 6) при Zb = Ro/Za. Используя обо-
значения, приведенные на рис. 17.3, имеем
77 с (/®) = —-~-	—	. 2(72	Ro—za (/w)
		u0	Ro + Za (/co)
(17 16)
Zn—2?0 Zn—^2—
Эта формула и определяет передаточные функции мостового со-
гласованно нагруженного четырехполюсника постоянного ха-
рактеристического сопротивления одновременно для режима
заданного входного напряжения, заданного входного тока и,
наконец, двусторонней нагрузки четырехполюсника резистив-
ными сопротивлениями (см. рис. 17.3, б), когда цепь из генера-
тора четырехполюсника и нагрузки характеризуется рабочей
передаточной функцией (12.24) при = R2. Естественно,
вен * В § 1 6 было показано, что если Z (р) — положительная вещест-
ная функция, то такой же будет и функция Y (р) = 1/Z (р)
14 Зак. 1 045	417
что для всех перечисленных режимов справедливы ограниче-
ния (17.13).
Если в (17.16) перейти к комплексной переменной р, то опе-
раторные передаточные функции нагруженных согласованно
мостовых четырехполюсников постоянного характеристичес-
кого сопротивления
Нс (р)=	(ZT	(17 17)
представляют собой отношение разности к сумме двух поло-
жительных вещественных функций, одна из которых (7?0)
постоянна. Порядок функции Нс (р) определяется порядком
функции Zn (р), т. е. только одной из четырех ветвей мостового
четырехполюсника. Это и понятно, так как сопротивления вет-
вей попарно равны и должны удовлетворять соотношению
(17.15).
17.6.	Реализация передаточных функций
мостовыми четырехполюсниками
Пусть задана функция Н (р), которая удовлетворяет усло-
виям, сформулированным в § 17.1, и дополнительному усло-
вию \Н (уи)|	1. Докажем, что она может быть реализована
пассивным мостовым четырехполюсником постоянного характе-
ристического сопротивления.
Для доказательства достаточно убедиться в том, что ветви
реализующего четырехполюсника представляют собой пассив-
ные двухполюсники, т. е. их операторные сопротивления яв-
ляются положительными вещественными функциями. Эти со-
противления однозначно определяются заданной передаточной
функцией Н (р) и, как следует из (17.17),
Za (р) =	' Ro', zb (р) =	1 ..+.н М р> (17.18)
1+//(P)	Za(p) i-H(p)
418
Прежде всего очевидно, что функции (17.18) относятся к
числу дробных рациональных функций с вещественными коэф-
фициентами, поскольку такова заданная функция Н (/?).
В правой полуплоскости значения модуля функции Н (р) менее
единицы *, и вещественные части функций (17 18) не могут в
этой полуплоскости принимать отрицательных значений.
Действительно, обозначив Н (о -ф /со) = х -ф /у, имеем
Z„ (о + /«) -= RI Уь (а + /со) = Ro =
1ф V-l ///
__	1	—	—	R
— (1ф%)2 \~Уг °
Здесь х2 4 if = \Н (ff + /со)|3 < 1 и поэтому
Re Za(n+ /w) = Re RoYb (° + /«) > °- если ° > 0- Но тогда
по определению функции (17.18) являются положительными
вещественными функциями и могут быть реализованы пассив-
ными цепями со всеми видами элементов, как и мостовой че-
тырехполюсник в целом.
Поскольку в ходе доказательства никаких ограничений
на расположение нулей реализуемой функции вводить не по-
требовалось, мостовые четырехполюсники постоянного ха-
рактеристического сопротивления позволяют реализовать
как минимально-фазовые, так и неминимально-фазовые пере-
даточные функции.
Итак, необходимые и достаточные условия реализации пере-
даточной функции мостовым согласованно-нагруженным че-
тырехполюсником постоянного характеристического сопротив-
ления состоят в том, что она должна быть дробной рациональ-
ной функцией комплексной переменной р, все ее коэффициен-
ты должны быть вещественными, в знаменатель должен вхо-
дить полином Гурвица, а значения модуля функции при мни-
мых значениях переменной не должны превышать единицы.
Эти условия и могут рассматриваться как условия физической
осуществимости передаточных функции пассивными электри-
ческими цепями.
Недостатком рассмотренного варианта реализации являет-
ся излишняя сложность реализующей цепи, поскольку частот-
ные свойства цепи определяются частотными свойствами лишь
одной из ее четырех ветвей Практическим недостатком явля-
ется также отсутствие общего узла для входа и выхода («зем-
1 Заданная дробная рациональная функция И (р) аналитична в
правой полуплоскости, в которой не могут находиться ее полюсы, а на
границе полуплоскости, т. е при р = joy, | Н (/со) |	1. Известно, что
максимум модуля функции, аналитической в области, находи1ся на
Ранице области Поэтому | И (о /со) | < 1, если о > 0.
ли»). Он может быть получен
с помощью трансформатора,
что позволяет одновременно
вдвое уменьшить число эле-
ментов четырехполюсника.
Однако это ведет к ухудше-
нию свойств цепи из-за неиде-
альности трансформатора.
Лишь в узкополосных систе-
мах мостовые реализацион-
ные структуры с трансфор-
маторами нашли широкое
применение, поскольку в пре-
делах >зкой частотной полосы оказывается возможным
практически скомпенсировать частотные искажения, обус-
ловленные введением в цепь реального трансформатора.
Несмотря на перечисленные недостатки, другие пассивные
реализующие структуры налагают на функции, подлежащие
реализации, дополнительные ограничения, которые не всег-
да удается соблюсти.
Рассмотрим пример реализации рабочей (см. § 12.7) передаточной
функции
2£/, (р) р +105
t/0(p)	р+3.105
которая, как легко убедиться, удовлетворяет найденным условиям фи-
зической реализуемости. Сопротивление нагрузки четырехполюсника
Rn — 1000 Ом По формулам (17 18)
I —Я(р)	2-105	1
Za (р)=-------- Ro =---------- 103 =---------------
1 + Я(р)	2р + +105	Ю-« р + 2 IO-’
И
Zb (р) === 10~2 р+2 • 103
Сопротивление Za реализуется в виде параллельного соединения
емкости Са — 10~8 Ф и резистивной проводимости Ga = 2-10—3 См
(резистивного сопротивления Ra = 500 Ом), а сопротивление /ь — в
виде последовательного соединения индуктивности +, = 0,01 Гн и ре-
зистивного сопротивления Rf, = 2000 Ом. Схема четырехполюсника
приведена на рис. 17.4.
17.7.	Реализация передаточных функций
активными А’С-цепями
Рассмотрим возможности реализации передаточных функ-
ций цепями, которые помим< активных элементов в виде уси-
лителей, в частности операц лонных, содержат лишь резисто-
ры и конденсаторы и не содержат катушек индуктивности,
420
не совместимых с современной микроэлектронной технологи-
ей. В настоящее время активные /?С-цепи (Л/?С-цепи) состав-
ляют основу аналоговой микроэлектроники.
Ниже рассматривается одна из многих возможных канони-
ческих Л/?С-реализационных структур. По сравнению
с другими структурами она отличается как общностью, так
и простотой расчетных соотношений, основанных на исполь-
зовании методов аналоговой вычислительной техники.
Пусть реализуемая функция является дробью:
(Р)  b0 рп 4~ д'1 ~1 4~	~2 Ч~ •  • 4~
^вх (Р)	р'1 +в1 Рп-1+а2 Рп~2+. ,.+ап
Ей соответствует следующее соотношение между Е-изобра-
жениями напряжений на входе и выходе реализующей цепи:
и^ = Ь0 UBX + b,	+	... + ьп
Р	р2	р'г
— а1^^—а2^^—...—ап^^.	(17.19)
Р	Р2	рп	'
Оно находится, если дроби, входящие в отношение t7B„x/t/nx,
*	0 Di -X ti A ”
привести к общему знаменателю, приравнять их числи-
421
тели, разделить на рп обе части полученного равенства и пере-
нести в его правую часть все слат аемые, за исключением £7ВЫХ*.
Известно, что при нулевых начальных условиях операции
деления изображения на р соответствует интегрирование ори-
гинала в пределах 0, t Поэтому напряжение на выходе цепи
с заданной передаточной Функцией связано с напряжением на
ее входе, операциями интегрирования, повторного интегриро-
вания, умножения на вещественные множители и суммирова-
ния. Эти операции над сигналами могут, как известно, выпол-
няться с высокой точностью цепями с операционными усилите-
лями Схемы таких цепей (см § 3 11 и 10 6) приведены на
рис. 17 5, а (усилитель-сумматор) и 17.5, б (интегратор-сумма-
тор). Частным случаем усилителя с инверсией напряжения
является инвертер напряжения (рис. 17.5, в), у которого на-
пряжения на его входе и выходе отличаются лишь знаками.
На рис 17.6 изображена схема реализующей цепи, соответ-
ствующая случаю, когда все коэффициенты реализуемой функ-
ции положительны и n-четное число Она содержит два инвер-
тора напряжения ИН1 и ИН2, на выхо iax которых напряже-
¥ Здесь и ниже в тексте и на рисунках L и и,Сражение напряжения
U (р) с тем или иным индексом там, где это не ' же г привести к недо-
разумениям, часто упрощенно обозначаете т чер<о ( с тем же индексом
и иногда называется просто напряжт
422
ния отличаются лишь знаками ог входного и выходного на-
пряжений цепи, один усилитель-сумматор УС и п интеграторов-
сумматоров ИС, включенных каскадио
В соответствии со свойствами усилителя-сумматора напря-
жение на его выходе
С/вых= -4^' ~4
IX	г\	/\
О	О
Здесь Uv — узловое напряжение узла 1 цепи Оно является вы-
ходным напряжением интегратора-сумматора ИС п и поэтому
Rt С р RfC р RC р
-R	UBX R	UVh,x	~ I	г/,
T^i	р	xRl	р т	р
где т — RC постоянная, характеризующая используемые ин-
теграторы-сумматоры реализующей цепи Аналогично
и, —	R		R	^ВЫК	1	из
	xR't	р	xR\	Р	т	р
ил =.	~R	иъх |	R	^ВЫХ	1	
и Т д	т/? 3	„ 1		р	т	р
423
Последовательно подставляя Ux, U,, U3,. U, в исходное
равенство для t/BBlx, находим
, У Ь'вл R ЦВЫ'R ип1„х
т" /?' рп	Р т2/?" р2
R ВЫХ ____	__ R ^вы\
рз	in R"n р'1
Сопоставление этого равенства с (17.19) позволяет устано-
вить следующие расчетные соотношения для элементов реали-
зующей цепи:
R'0^R/b0- R^ —R/xbp, R’2 = R/x2 bi, .. ,R'ft^R/x"b„;
/?" =R/xax;
R"2 =/?/t2 a2, ..., R"n = R/x'! an
Если некоторый коэффициент bh реализуемой функции яв-
ляется отрицательным, то соответствующее сопротивление
Rk следует подсоединить к узлу с противоположной полярно-
стью напряжения /7ВХ. Поэтому рассматриваемая структура
позволяет реализовать передаточные функции как минималь-
но-фазового, так и неминимально-фазового типов.
Показанная возможность реализации передаточной функ-
ции активной 7?С-цепью свидетельствует о том, что условия
физической осуществимости передаточных функций ARC-
цепями отличаются от гаковых для пассивных цепей лишь
тем, что значения модуля реализуемой функции на мнимой
оси могут превышать единицу, но должны оставаться конеч-
ными. По сравнению с пассивными цепями, реализующими те
же передаточные функции, характеристики Л/?С-цепей об-
ладают, как правило, большей чувствительностью к воздейст-
вию дестабилизирующих факторов и в первую очередь темпера-
туры. Это относится не только к рассмотренной структуре, ио
и к муогим другим реализационным А/?С-структурам.
17.8.	Каскадная реализация передаточных функций
При реализации передаточных функций как пассивными,
так и активными цепями часто используются каскадные реали-
зационные структуры. Они представляют собой каскадное со-
единение того или иного числа четырехполюсников, каждый Из
которых независимо от других реализует передаточную функ-
цию Hh (р) более низкого порядка, чем порядок реализуемой
424
функции Н (р)- Реализация осуществляется, как правило, с
точностью до постоянного вещественного множителя, значение
которого находится в ходе реализации.
Процедура реализации предполагает разложение заданной
функции на произведение множителей вида wh (p)''vh(p), каж-
дый из которых после умножения на постоянный веществен-
ный множитель должен удовле1ворять условиям физической
реализуемости передаточных функций пассивными (см. § 17.6)
или активными (см. § 17.7) цепями. Это всегда возможно, если
заданная передаточная функция Н (р) сама удовлетворяет со-
ответствующим условиям физической реализуемости. Тогда
уН (р) - Н. (р) /72 (р)... HN (р),	(17.20)
где Нк (р) =	(р)/Э/{ (р).
Так, простейшая передаточная функция шестого порядка
14 1п\ ______________________—_______________________
(p2 + aj P+Pi) (Р2 + «2 р+₽2) (р3 + «3 д+₽з) Ct vzv3
с тремя парами сопряженных комплексных полюсов может
быть разложена на произведение трех передаточных функций
второго порядка или тремя различными способами на произве-
дение передаточных функций четвертого и второго порядков:
71
(р) - 21 21 Ь.
Г'1 42 Г’з
«1 Щ «3
Тб
«1 43 42
?8 Тб
а2 4.3 а1
Наличие ряда вариантов разложения позволяет выбрать
один из них, наиболее приемлемый по тем или иным соображе-
ниям, для практической реализации.
При каскадной реализации передаточных функций пассив-
ными цепями используются четырехполюсники постоянного
характеристического сопротивления, в общем случае мосто-
вые. Каждый из множителей разложения (17.20) реализуется
своим четырехполюсником, для чего следует выбрать такое
значение коэффициента ук, при котором (jto)/vk (/ч>)|	1,
если ш > 0. Характеристические сопротивления Zc = всех
четырехполюсников должны быть одинаковыми.
Найденные четырехполюсники соединяются каскадно и на-
гружаются согласованно (рис. 17.7). Поскольку при согласо-
ванной нагрузке симметричного четырехполюсника его входное
сопротивление равно сопротивлению нагрузки, то и каждый
из четырехполюсников цепочки будет нагружен согласованно.
Поэтому:
2*А (Р)
ио (Р)
-=wi (р);
(Р)
#г(р), ....
UN (Р)
UN_i(P)
= HN (р).
425
Следовательно,
н (р) = 2Un (р} = 2Ц (р) и* (р)	Un (р) г=
ио (Р) Уо (р) Ul(p) иг(р) ” UN_} (Р)
=- Hl (Р) Н2 (p)...HN (р),
т. е. рассматриваемая цепочка четырехполюсников реализует
заданную передаточную функцию Н (р) с точностью до постоян-
ного вещественного множителя у =YiY2---Yn- Значения множи-
телей выбираются обычно предельно большими, что позволяет
снизить уровень ослабления реализуемой цепи.
По сравнению с реализацией той же функции одним мосто-
вым четырехполюсником при каскадной согласованной реализа-
ции увеличивается, как правило, «плоское» (частотно-независи-
мое) ослабление синтезируемой цепи. Это и понятно, поскольку
V< 1. Достоинствами каскадной согласованной реализации
по сравнению с мостовой являются возможность подгонки ха-
рактеристик каждого из каскадов в отдельности и меньшая
чувствительность характеристик цепи к отклонениям парамет-
ров элементов от рассчитанных номиналов.
При каскадно-развязанной реализации передаточных функ-
ций каждый из множителей разложения (17.20) реализуется,
как правило, ненагруженным активным /?С-четырехполюсни-
ком, у которого входное и выходное сопротивления различа-
ются на несколько порядков. Чаще всего входное сопротивле-
ние реализующего четырехполюсника (звена) значительно
превышает его выходное сопротивление. Тогда при каскадном
соединении таких звеньев передаточная функция цепочки
звеньев будет тем меньше отличаться от произведения переда-
точных функций звеньев цепочки, чем больше будут разли-
чаться в месте соединения выходное сопротивление предшест-
426
вующего и входное сопро-
тивление последующего звень-
ев цепочки.
Выбор значений коэффи-
циентов Vs в разложении
(17.20) в каждой конкретной
задаче определяется с учетом
требований к характеристи-
кам звена и их стабильности.
Для доказательства воз-
можности реализации каскад-
но-развязанной Л/?С-струк-
турой любой передаточной функции достаточно доказать та-
кую возможность для передаточной функции второго порядка
р2 + щ р + «2
поскольку полиномы числителя и знаменателя реализуемой
функции всегда могут быть разложены на произведение поли-
номов не выше второй степени с вещественными коэффициен-
тами.
Подобная возможность очевидна, если для реализации этой
функции воспользоваться методами аналоговой вычислитель-
ной техники (см. § 17.7). При этом в общем случае реализую-
щая цепь будет содержать пять операционных усилителей.
В частных случаях число операционных усилителей может
быть существенно уменьшено. В качестве примера на рис. 17.8
приведена сх^ма цепи, реализующая передаточную функцию
вида
Р2+ш Р + «2
когда (7вЬ1Х==^0
Р~
б'ВЫХ  7 б^вых
В задачах синтеза электрических фильтров широко приме-
няются ,4/?С-звенья с передаточными функциями второго по-
рядка, построенные на иных принципах и содержащие мень-
шее число операционных усилителей. Некоторые из них будут
рассмотрены в связи с задачами синтеза электрических Фильт-
ров.
Каскадно-развязанные реализационные структуры в на-
стоящее время являются типовыми реализационными струк-
турами аналоговой микроэлектроники.
427
17.9.	Свойства передаточных функций
лестничных нагруженных реактивных
четырехполюсников
Односторонне или двусторонне нагруженные лестничные
четырехполюсники используются в качестве типовых реали-
зационных структур пассивных LC-фильтров, а также актив-
ных /?С-фильтров со стабильными характеристиками. Переда-
точные функции рассматриваемых четырехполюсников обла-
дают рядом особенностей, которые проще всего выявить в ре-
зультате анализа тех рекуррентных соотношений, которым
удовлетворяют напряжения и токи в чередующихся узлах и
контурах лестничной цепи. Установим прежде всего эти рекур-
рентные соотношения.
В соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 17.9,
L-изображения токов продольных и напряжений поперечных
ветвей лестничной цепи удовлетворяют следующей системе
уравнений
/2.V— 1 = Y2 J U2N',
U2/V — 2 ~ Z-2M— 1 I2N — I + Uzn',
IzN — 3 =-У 2N—2 U 2h - 2 ~\~ 12N~ Y,
l^Y2U2 + I3-,
[7о = Zi Л + U2.
Она позволяет найти все напряжения и токи в ветвях цепи
и, в частности, выразить их через напряжение U2n и извест-
ные сопротивления и проводимости ветвей цепи Для этого сле-
дует подставить I2n~i из первого уравнения системы во вто-
рое, найденные выражения для U2k_2 и I2n-i подставить в
третье уравнение системы и т д.
428
Этот процесс последовательных подстановок описывается
рекуррентной формулой
= WkXk Ч Xft+1.	(17.21)
Здесь Wk — это Zh или Y к, а Хк — это /h или Uk в за-
висимости от k, которое последовательно принимает значения
2ЛГ, 2N - 1, • , 1-
Так как цепь линейна, то, вычислив напряжения и токи в
цепи при заданном U2n, можно найти их значения, если задано
у Для этого вычисленные значения напряжений и токов сле-
дует умножить на Uo зад/Довыч Формула (17.21) и лежит в
основе численных методов анализа частотных характеристик
лестничных цепей. При этом важно, что в задачах оптимиза-
ции характеристик лестничных цепей она не только минимизи-
рует время вычисления характеристик цепи, но и позволяет
просто находить значения их производных относительно каждо-
го из элементов цепи.
Разделив обе части формулы (17.21) на L-изображение на-
пряжения U2n (р) на выходе цепи, запишем ее в виде
Sx-i (р) = Wk (р) Sk (р) + S;,+1 (р).	(17 22)
Здесь Sfc-j (р) = 1/Нк (р) — функция, обратная передаточ-
ной функции лестничной цепи, начинающейся с ее Л-го элемен-
та, т. е. Sfe-i (р} = ик-г (p)/U2n (р), или Sft_1(p) =
= /fe-i (p)/U2n (р), причем SiN (р) = 1 и (р) = YiN.
Таким образом, формула (17 22) позволяет последователь-
но находить функции (р) вплоть до So (р) = Н-1 (р) =
=• Uо (Р)	(р).
Если лестничная цепь используется в режиме заданного
входного тока (рис. 17 10), то безразмерная передаточная
функция находится, если в (17.22) положить S2v == 1 и
*$2У-1 (р) = Z2W-I и найти S„ (р) = н-1 (р) = /0 (p)/I2n (р).
Пусть, например, лестничный реактивный четырехполюсник имеет
три реактивных элемента и используется в режиме односторонней на-
грузки (рис 17 11). Применяя рекуррентную формулу (17 22) при S4= 1
и S, = находим последовательно
S2 = pL3 S3 -j- S4 = pL 3 Gi 1, Sj = pC2 S2 -I- S3 = p2 C2 L3 G$ -j- pC2 -j- Gt
и So p3 Lx C2 L3 Gt-':-p2 (.’2 -[ P (7j + 73) G, -f-1
Следовательно,
H (p)=_J^.=----!--= ------------------!---------------.
U<> So (p) p3 LA C2 L3 G4-p p2 Lt C2 + p (Z.j -j- L 3) Gs -|- 1
Можно обобщить данные рассматриваемого примера на
случай лестничных реактивных четырехполюсников односто-
ронне или двусторонне нагруженных, у которых в продоль-
429
ных ветвях включены индуктивности, а в поперечных — ем-
кости. Действительно, последовательное применение рекур-
рентной формулы (17.22) приводит, как и в примере, к полино-
му с вещественными коэффициентами, но только более высо-
кой степени.
Цепи с передаточными функциями вида
Н (р) =-----------------------= -А.	(17.23)
Рп Ч-а, р'1-1-!- --.Дщ	"(Р)
называются полиномиальными цепями, причем степень п по-
линома v (р) совпадает с числом реактивных элементов в со-
ставе лестничного реактивного четырехполюсника, a v (р) яв-
ляется полиномом Гурвица, поскольку цепь пассивна.
В более общем случае некоторые из продольных ветвей лест-
ничной полиномиальной цепи могут содержать индуктивности
и резистивные сопротивления, соединенные последовательно,
а поперечных — емкости и резистивные сопротивления, сое-
диненные параллельно. И в этих случаях согласно (17.22) цепь
остается полиномиальной.
Если в лестничном реактивном четырехполюснике, входя-
щем в полиномиальную цепь, заменить емкость С,, одной из по-
перечных ветвей реактивным колебательным контуром с про-
водимостью УI, — рЦр2, + ио) Lk или заменить индуктивность
Li одной из продольных ветвей параллельным реактивным ко-
лебательным контуром с сопротивлением Z, = р/(р24 ио) Clt
то передаточная функция цепи согласно (17.22) примет вид
н (р) =.--------------------
р" + а, рп 1 +  	Un
Она обращается в нуль при р — ja0, т. е при частоте резо-
нанса использованного контура. Физически это понятно, так
как при резонансной частоте сопротивление последовательного
(проводимость параллельного) колебательного контура об-
430
ращается в нуль и он шунтирует (разрывает) путь от генерато-
ра к нагрузке. Из (17.22) следует, что каждой подобной замене
соответствует введение в полином числителя передаточной
функции множителя (р2 4- со2), который обращает ее в нуль
при частоте резонанса cot соответствующего колебательного
контура. Передаточная функция может иметь нуль и при р=0,
если в продольных ветвях цепи имеются последовательно вклю-
ченные емкости или (и) в поперечных ветвях — параллельно
включенные индуктивности.
Следовательно, в общем случае передаточные функции од-
носторонне или двусторонне нагруженных лестничных реак-
тивных четырехполюсников являются функциями вида
(р) = ь‘>!>4 (Р2 + ^1) (p2 + w2) ...(P2 + tor)	(17 24)
Рп +сц Рп 1 + • • • + °п
Они содержат в знаменателе полином Гурвица, а в числите-
ле — четный или нечетный полином с вещественными коэф-
фициентами, все нули которого расположены на мнимой оси,
причем степень полинома числителя функции не превышает
степени полинома ее знаменателя. Особенности расположения
нулей функции (17.24) свидетельствуют о том, что рассматри-
ваемые цепи являются минимально-фазовыми, как и любые
другие пассивные лестничные электрические цепи.
Методы реализации передаточных функций вида (17.23)
и (17.24) лестничными нагруженными реактивными четырех-
полюсниками будут рассмотрены в гл. 20 в связи с задачами
реализации передаточных функций электрических фильтров.
Глава 18.
ЗАДАЧА АППРОКСИМАЦИИ ЗАДАННЫХ
ХАРАКТЕРИСТИК
18.1.	Постановка задачи
Рассмотрим подробнее, чем в § 15.3, содержание этапа ап-
проксимации в задачах синтеза электрических цепей. Его
Целью, как уже указывалось, является определение такой
функции цепи, которая с требуемой точностью воспроизводила
бы зависимость, заданную условиями задачи.
Заданная, т. е. аппроксимируемая, зависимость (характе-
ристика) должна быть ограниченной функцией частоты со или
времени t. В дальнейшем эту функцию будем обозначать через
431
£ (х), понимая под переменной х частоту со или время t. Естест-
венно, что при задании £ (х) следует учитывать возможность ее
приближенной реализации в требуемом элементном базисе.
Нельзя, например, требовать, чтобы рабочее ослабление пас-
сивной электрической цепи было отрицательным или чтобы ус-
тановившееся значение безразмерной переходной характерис-
тики синтезируемой пассивной цепи превышало по абсолют-
ной величине единицу.
Аппроксимируемая функция £ (х) задается, как правило, в
ограниченном интервале изменения переменной х_х О ^xlt
называемом интервалом аппроксимации. Вместе с тем в ряде
задач синтеза электрических цепей функция g (х) определяет
также и те предельные значения, которые может принимать ап-
проксимирующая функция в других интервалах изменения
частоты о) или времени t.
Аппроксимирующая функция
f (х, аг, а2, ..., a.v) — f (х, а)	(18.1)
должна быть функцией как того же переменного х, так и конеч-
ного числа варьируемых параметров а,х, а,2, ..., ак, значения
которых и должны быть найдены в результате решения задачи
аппроксимации. Например, функцию (17.6) можно рассматри-
вать как функцию переменной х = со2 и п + т 4- 1 варьи-
руемых параметров Alt А2, .... Ап, BOt Вт и использо-
вать для аппроксимации в ограниченном интервале заданной
частотной зависимости.
В соответствии с принятыми обозначениями задача аппрок-
симации состоит в нахождении из совокупности функций, удов-
летворяющих соответствующим условиям физической реали-
зуемости, такой функции / (х, а) с конечным числом варьиру-
емых параметров cq, сс2.--ч &N, которая с требуемой точностью
в заданном интервале изменения переменного ха х хг
воспроизводила бы заданную зависимость g (х).
В некоторых случаях к аппроксимирующей функции предъ-
являются те или иные дополнительные требования, на выпол-
нение которых расходуется часть варьируемых параметров.
Например, если по условиям использования пассивной цепи
сопротивления ее резистивных нагрузок должны быть одина-
ковыми, а рабочее ослабление синтезируемой цепи при со =0
минимально возможным, то у аппроксимирующей функции
(17.6) Ап = Вт.
Численная характеристика точности, с которой должна
быть решена задача аппроксимации, зависит от принятого при
ее решении критерия близости. Последний в задачах синтеза
линейных электрических цепей чаще всего принимается рав-
ным абсолютному значению отклонения функции / (х) от за-
432
данной функции £ (х), т е абсолютному значению разности
f (х) Е (х) в интервале аппроксимации.
' В некоторых задачах синтеза электрических цепей точность
решения задачи аппроксимации целесообразно оценивать по
величине интеграла
J If W -? (x)\rdx.	(18.2)
X -1
В математической и специальной литературе часто вместо
термина «аппроксимация» используется термин приближение»
(функций). Он хорошо раскрывает сущность задачи аппрокси-
мации как задачи приближенного представления заданной
функции функцией иного типа.
Решение задачи аппроксимации неоднозначно, поскольку
оно зависит от принятого критерия близости и особенностей
аппроксимирующих функций. Так, в задачах синтеза цепей с
заданными частотными характеристиками можно использо-
вать дробные рациональные функции вида (17.6) с одним и тем
же числом варьируемых параметров N = п + т + 1. но
различным соотношением между степенями полиномов числи-
теля и. знаменателя функции. При этом соответствующие
цепи могут отличаться числом элементов, разбросом их значе-
ний и, естественно, схемами
Рассмотрим методы аппроксимации (приближения) функ-
ций, которые находят применение в задачах синтеза линейных
электрических цепей. При изложении и иллюстрации этих ме
тодов в качестве аппроксимирующей функции в большинстве
случаев используются полиномы
f (*•)= Ai хп Ах хп~ 1 -|- . . ~р Ап.	(18.3)
Именно для полиномов в соответствующих разделах мате-
матики наиболее полно развиты как аналитические, так и чис-
ленные методы решения аппроксимационных задач. Кроме то-
го, многие прикладные задачи синтеза электрических цепей
являются задачами синтеза полиномиальных электрических
цепей.
18.2.	Методы аппроксимации, используемые
в задачах синтеза электрических цепей
Интерполирование. При интерполировании варьируемые
параметры функции / (х), которая должна приближенно вос-
производить заданную функцию g (х), выбираются такими,
чтобы значения этих функций совпадали в N выбранных точ-
Как х1( ха, ..., х^, называемых узловыми точками, или узлами
433
мет ров
Руководствуясь этим определением, можно составить сис-
тему уравнений
f (*i) = I (*i), f (х2) = Е (х,), .. , f (хЛ) =- Е (хм),	(18.4)
решение которой позволяет найти все N неизвестных варьируе-
мых параметров функции / (х)
Узлы интерполирования целесообразно располагать внут-
ри интервала приближения, в котором функция / (х) должна
приближенно воспроизводить заданную функцию Е (х).
Разность / (х) — £ (х\ характеризующая отклонение функ-
ции от заданной, равна нулю в узлах интерполирования, как
правило, изменяет знак при переходе через узел интерполиро-
вания и сохраняет его неизменным между соседними узлами.
Поведение функции f (х) между узлами интерполирования не
контролируется. Абсолютное значение отклонения обычно
уменьшается по мере сближения узлов интерполирования и
с увеличением их общего числа. Возможны, однако, случаи,
когда увеличение числа узлов приводит к расходящемуся ин-
терполяционному процессу.
Аппроксимация по Тейлору. Пусть аппроксимируемая
| (х) и аппроксимирующая f (х) функции допускают разложе-
ние в ряд Тейлора в некоторой точке х = х0 заданного интер-
вала приближения. Потребуем, чтобы в этой точке совпадали
значения максимально возможного числа членов младших по-
рядков обоих рядов.
Если N — число варьируемых параметров функции / (х),
то в точке х — х0 должны быть равны значения функций / (х)
и Е (х), а также N — 1 их производных младших порядков,
т. е
f (х0) = Е (х0); Г (х0) - Е' (х0),..	(х0) = Е(Л/- *> (х0).
(18.5)
?ти равенства образуют систему из N уравнений относи-
тельно такого же числа искомых варьируемых параметров
функции / (г). Подобное приближенное воспроизведение задан-
ной функции используется в некоторых задачах синтеза элект-
рических цепей.
Степенные методы аппроксимации. В случае степенных ме-
тодов аппроксимации варьируемые параметры функции f (х)
выбираются такими, чтобы в заданном интервале г_г х xL
интеграл (18.2) принимал минимальное значение. Особо важен
случай, когда г — 2, что соответствует минимизации средне-
квадратической разности функций f (х) и Е (х) и требуется в
некоторых задачах синтеза электрических цепей по заданным
431
«ременным характеристикам. При этом, как можно убедиться,
варьируемые параметры аппроксимирующего полинома, т. е.
его коэффициенты, находятся в результате решения системы
линейных уравнений Коэффициенты этой системы в общем
случае определяются численным интегрированием функций
видалЧи) (( = 0,1,2,	,/V) в пределах от х_. до
Аппроксимация по Чебышеву. Аппроксимация по Чебышеву,
или равномерная наищчшая аппроксимация, формулируется
как задача отыскания таких параметров аг, а}, ау аппрок-
симирующей функции / (х), при которых наибольшее отктоне-
ние функции [ (х) от заданной g (х) в интервале аппроксимации
v х X] было бы минимальным, т е. находится
min гйах । / (х) — Е (х)!,	(18 6)
где х_, < х Ч-
Задача наилучшего равномерного приближения функции
была впервые сформулирована великим русским математиком
академиком П Л Чебышевым (1821-1894), а указанные им
общие методы ее решения заложили основы теории приближе-
ния функций, развитой в работах наших соотечественни-
ков Ь. И Золотарева, А А. Маркова, С. Н Бернштейна,
Н. И. Ахиезера и др
В настоящее время методы теории наилучшего приближе-
ния функций находят широкое применение при решении цело-
го ряда задач в самых разнообразных отраслях техники, в
частности в задачах синтеза электрических цепей, где их назы-
вают чебышевскими методами аппроксимации
Рассмотрим некоторые положения теории наилучшего рав-
номерного приближения дробными рациональными функция-
ми Именно для этих функций Чебышев доказал основопола-
гающие теоремы
Пусть в простейшем случае функция / (х) является полино-
мом степени п, т е функцией вида (18 3), а заданная функция
£ (х) непрерывна в интервале приближения x_j х Aj.
Тогда справедлива следующая теорема
Для того чтобы полином [ (х) степени п наименее отклонял-
ся от. заданной функции t (х) в интервале х_х <Е х xL,
необходимо и достаточно, чтобы в этом интервале разность
f (х) — g (х) достигала своих наибольших f (х) — Е, (х) =
— Т 0 и наименьших f (х) — g (х) = L < 0 значений,
равных по абсолютной величине, не менее чем п р 2 раза, при-
чем знаки этих наибольших отклонений должны чередоваться
Характер изменения функций / (х) и g (х), а также разно-
сти f (х) — g показан на рис. 18.1. Здесь f (х) = Ао х 4-
А — полином первой степени, чему соответствуют п -) 2 =
точки, в которых отклонение последовательно достигает
435
наибольших L и наимень-
ших — L значений, причеь-
две из этих точек расположи
ны на границах интервале
приближения, а одна — вну-
три интервала. Ясно, что лю-
бое изменение наклона иль
уровня аппроксимирующей
прямой f (х) приводит к уве-
личению абсолютной величи-
ны хотя бы одного из тре^
значений разности [ (х) —•
— Е (х).
Легко доказать справедливость приведенной теоремы. При-
меним доказательство от противного. Пусть известен полином
f (х), удовлетворяющий условиям теоремы. Допустим, что су-
ществует другой полином /j (х) той же степени ??, что и полином
f (х), причем в интервале х_х х	щах |	(х) —
— 5 (х)1 <>•
Другими словами, допустим существование другого поли-
нома Д (х). который в том же интервале отклоняется от задан-
ной функции Е (х) меньше, чем полином f (х). Тогда в тех точ-
ках, где f (х) — Е (х) = L > 0, разность f (х) —	(х) долж-
на быть положительной, а в тех точках, где / (х) — Е (х) =
— — L < О, — отрицательной. Всего таких последователь-
но расположенных точек должно быть согласно теореме не ме-
нее чем п + 2. Это означает, что разность f (х) —	(х), ко-
торая является полиномом степени не выше п, должна не ме-
нее чем п + 1 раз изменять знак Но это невозможно, так как
полином степени п имеет п нулей и поэтому может изменять
свой знак при вещественных значениях переменного не более
чем п раз. Следовательно, сделанное допущение приводит к
противоречию, что и является доказательством справедливости
теоремы.
Сформулированная теорема справедлива не только для
функций, являющихся полиномами, но и для функций более
общегс? вида:
(18.7)
где q (х) — заданная вещественная функция, которая в интер-
вале х_г х Xj не имеет нулей и непрерывна.
В случаях, когда функция Е (х) задана в табличной или
графической форме или задача равномерного наилучшего при-
436
бчижеиия, не имеет аналитического решения, используются в
настоящее время численные методы математического, в част-
ности линейного, программирования (см. § 18.6).
18.3.	Экстремальные свойства чебышевских
приближений
Для обоснования оптимальных методов синтеза электри- •
ческих фильтров важнейшее значение имеет следующая тео-
рема.
Из всех функций вида (18.7), значения которых в интервале
<' х <4 х, не выходят за пределы - L / (х) L, наиболь-
шие по абсолютной величине значения вне этого интервала
принимает функция, котораяв указанном интервале достигает
последовательно своих наибольших L и наименьших — L
значений не менее чем п 4- 1 раз.
Эта теорема может быть названа теоремой об экстремаль-
ных свойствах чебышевских приближений.
Для доказательства положим, что существует другая функ-
ция Д (х) с тем же знаменателем и полиномом той же степени в
числителе дроби, значения которой по абсолютной величине
в интервале х-х оф х zQ хх не превышают величины L, а вне
этого интервала при некотором значении х =х0 функция Д(х)
принимает значение, большее по абсолютной величине, чем
функция / (х), удовлетворяющая условиям теоремы, причем
для определенности пусть f (х0) и Д (х0) имеют одинаковые
знаки.
Умножим функцию Д (х) на множитель у 1/ (х0)/Д (х0)|<Д.
Тогда функция у Д (х), принимая при х — х0 значение f (х0),
будет отклоняться от нуля в интервале х_г х сб хп
менее чем на L. Поскольку по условиям теоремы функция / (х)
в интервале х_х бф х хх принимает п -у 1 раз значения L и
— L чередующихся знаков, то разность f (х) — уД (х) в том
же интервале должна не менее чем п раз изменять знак.
Но так как функции f (х) и Д (х) имеют одинаковые знамена-
тели, то в числителе их разности находится полином степени
не выше п. Этот полином должен не только п раз изменять
знак в интервале х_х х сД хх, но и иметь нуль при х —
~ х„. Но тогда рассматриваемый полином степени п должен
иметь п л- 1 нуль, что свидетельствует об ошибочности выска-
занного предположения и является доказательством теоремы.
Ясно, что если к функции, удовлетворяющей условиям тео-
ремы, добавить некоторую постоянную А 7> 0, то образован-
ная таким способом функция будет вне интервала х_, х^С
Х|... принимать наибольшие по абсолютной величине значе-
437
ния из всех функций, которые имеют тот же знаменатель, по-
лином той же степени в числителе и значения которых в ука-
занном интервале не выходят за пределы А + L и А — L.
Именно эта особенность поведения рациональных функций,
связанных с решениями задач наилучшего равномерного при-
ближения функций, и используется при обосновании опти-
мальных методов синтеза электрических фильтров (см. гл. 19).
18.4.	Полиномы Чебышева
Рассмотрим решение одной из задач теории наилучшего
равномерного приближения функций, которое используется в.
задачах синтеза электрических цепей (см. гл. 19). Пусть
задана функция Z (х) — 2п~1хп и надо найти такой полином
/ (х) = А^-1	... + А,г. чтобы в интервале— 1
^2x^1 наибольшее по абсолютной величине значение
разности S (х) — f (х) было минимально возможным. Иными
словами, требуется аппроксимировать по Чебышеву функцию
g (х) =• 2п~1 хп полиномом [ (х).
Поскольку полином [ (х) имеет степень п — 1. то разность
f (х) — £ (х) в интервале приближения должна не менее чем
(л — 1) ~Ь 2 — п 4-1 раз принимать наибольшие и на-
именьшие значения чередующихся знаков (см. §18 2). Докажем,
что искомая разность £ (х) — f (г) будет такой:
Р„ (х) = cos п arccos х.	(18.8)
Убедимся прежде всего, в том, что это выражение представ
ляет собой полиноа! степени п.
Действительно,
при п — 1 Р] (х) cos arc cos х — 1,
при п = 2 Р? (х) = cos 2 arc cos х 2 cos2 arc cos x —1 =
--- 2x2 — 1,
npj’ n 3 полипом P„ (x) можно вычислять, пользуясь pe-
к\ ррентной формулой
P,i+1 (х) ^2хР„ (х) —(хД	(18 9)
Обозначая arccos х— ср, имеем	Рп + Х ~ cos (п Д 1) ср	—	cos	п	X
X	ср cos ср — sin nep sm ср и Pn_i -= cos (п — 1) ср — cos	nep	cos	ср	।
-|-	sin nep sin ср Суммируя эти два	равенства, находим	, (х)	+
+	Рп-1 (4) ~ 2 cos гкр cos ср. Здесь	cos nip Рп (л) и	cos	ср	—
- cos aic cos г г Отсюда и слетсет формула (18 Щ
4
Тогда Р3 (х) = 4х3 — Зх, Pt (х) =- 8х4	8л-'2	1; Р5 (х) =
= 16х5 — 20х3 4- 5х ит. д.
Рассмотрим поведение полиномов Р„ (х) = cos п arccos к
в интервале — 1 <4 х 1. Пусть переменная' х возрастает
от х = — 1 дох = 1. Тогда угол <р = arccos х убывает от л при
х = — 1 до <р = 0 при х = 1, а угол п ср — от пл до 0.
При изменении угла шр в этих пределах функция cos/щ п
раз принимает значения, равные нулю, и п 4- 1 раз достигает
своих наибольших (4-1) и наименьших (—1) значений последо-
вательно чередующихся знаков. В качестве примера на
рис. 18 2 приведены графики полиномов Pi (х) и Р5 (х). По-
следний, например, в интервале — 1 4") х 4/ 1 имеет пять ну-
лей и 6 раз достигает наибольших по абсолютной величине зна-
чений, причем два из них расположены на границах интервала
Следовательно, полиномы Рп (х) действительно удовлетво-
ряют условиям теоремы и представляют собой разность между
заданной функцией Е (х) = 2п~1хп и полиномом f (х) мень-
шей степени, который аппроксимирует в интервале — 1
;4 х 4; 1 заданную функцию Е (х) в смысле Чебышева, причем
в интервале аппроксимации
— 1 *4 Рп (х) 4 1
(18 10)
Полиномы (18 8) называют полиномами Чебышева. Они
были введены им в сочинении «Теория механизмов, известных
под названием параллелограммов» (1854 г.)
Все нули полиномов Чебышева расположены в Интервале
~ 1 < х < 1, где п arccos г = (2/г — 1) л/2, т е при
xh
— 1
cos------
2л
Л,
(18.11)
и все они являются простыми.
439
При г > 1 значения полиномов Чебышева монотонно воз-
растают, что, в частности, следует из возможности записи по-
линома Чебышева в форме
Рл (х) ch п Arch х,
(18 12)
равносильной форме (18 8) 1 Поскольку arccos (— v) — л —
—агссс> с и соь п arccos!—х) — cos (пл.— aiccos с), го
Р, (—х) = ( If Рп (х)
(18 13)
Слетоватетьно, потиномы Чебышева являются четными или
нечетными в соответствии с четностью п
Если по условиям задачи полином Чебышева должен на-
именее отклоняться от нуля в интервале хЕ[ х' х(,
то переход к этому интервалу осуществляется с помощью под-
сI ановин
х =
(18.14)
Действительно, с изменением х' от xLj до х( значения х
возрастают от х — — 1 при х = 'xli до х ~	1 при Р =х[
и полином Рп (х') будет в интервале xLi < х <; х( изме
няться так же, как и полином Рп (х) в интервале— 1 <х
Полиномы Чебышева удовлетворяют условиям теоремы об
экстремальных свойствах чебышевских приближений для про-
стейшего случая q (х) = const. Поэтому из всех полиномов сте-
пени п, значения которых в интервале — 1 <х с 1 не пре-
вышают по абсолютной величине .единицы, вне этого интервала
наибольшие по абсолютной величине значения принимает по-
липом Чебышева
18.5.	Дроби Чебышева
В задачах синтеза электрических фильтров наряду с полиномами
Чебышева находят применение и дроби его имени В работе П Л Чебы-
шева <®опросы о наименьших величинах, связанных с приближенным
представлением функций» (1859 г), являющейся наиболее полным из
его исследований, посвященных обоснованию и развитию теории наи-
лучшего приближения функций, была рассмотрена следующая задача
Из всех функций вида
Лрхп-(-А1хп *-|-«-г-рЛп
хт+В1	+
(18 15)
1 Так как cos п<(> —ch /л<р и / arccos x — Ar ch х, то cos п arc cos х
= ch п Arch х.
440
теми же знаменателями и теми же коэффициентами Ло при старшем чле-
не полинома числителя наити такую, у которой наибольшее по абсолют-
ной величине значение в интервале — 1 зф х зф 1 было бы минимально
воз южным Предполагается, что знаменатель не имеет нулей в указан-
ном интервале, а его степень не выше степени полинома числителя
Подобно полиномам Чебышева функцию, являющу юся решением
этои задачи, можно рассматривать как разность между заганпон и ап-
проксимирующей функциями, только последняя является дробной ра-
циональной функцией с заданным знаменателем и полиномом степени
п _ | и числителе и аппроксимирует она заданную также дробную ра-
циональную функцию с тем же знаменателем и числителем, равным
Решение задачи приводит к функции, получившей название дроби
Чебышева, которая в интервале — 1 х I достигает своих наиболь-
ших (L) и наименьших (— L) значений последовательно чередующихся
знаков (п — 1)4 2 = п -j 1 раз Изменяя значение Ао, можно про-
порционально изменять абсолютную величину отклонения L функции
от нуля Дроби Чебышева соответствует, как и у полиномов Чебышева,
отклонение L - 1 Функции F (х) удовлетворяют условиям теоремы об
экстремальных свойствах чебышевских приближений, что и обусловли-
вает их применение в задачах синтеза электрических фильтров (см гл.
19)
Для записи дробей Чебышева в компактной форме используются,
как и для записи полиномов Чебышева, тригонометрические функции
F п (х)
= cos
т
(п—т) arccos хД-
k I
arccos
(18 16)
1 —Xfr х

где Хд — нули полинома знаменателя (18 15)
В этой форме записи слагаемое (п — tri) arccos х аргумента функции
(18 16) при изменении переменной х от х = — 1 до х 1 убывает ог
(п — т) л до нуля (см § 18 4), а каждое слагаемое под знаком суммы—•
— от л до нуля Суммарное же приращение аргумента в рассматривае-
мом интервале составляет — пп Поэтому в интервале — 1 зф х зф 1
функция (18 16) действительно п Д- 1 раз достигает наибольших по аб-
солютной величине значений -f- 1 или —1 последовательно чередую-
щихся знаков Отсюда также следует, что все нули дроби Чебышева
расположены в интервале — 1 х 1, где функция, которая содер-
жится под знаком косинуса в (18 16), принимает значения (2/г — 1)л/2
и все эти нули простые.
Дроби Чебышева с одним и тем же знаменателем и полиномами чис-
лителей различных степеней удовлетворяют рекуррентному соотноше-
нию (18 9) Их численные значения вне интервала |х|	1 удобно ана-
лизировать и вычислять, заменив в (18 16) тригонометрические функ-
ции гиперболическими
Естественно, что к дробям Чебышева применимо преобразование
(18 14), с помощью которого интервал — 1 <( х зф 1 может быть пре-
образован в любой заданный интервал х(_х зф х’ зф х(
18.6.	Численные методы решения задачи
аппроксимации
Во многих аппроксимационных задачах синтеза линейных
электрических цепей с успехом используются методы матема-
тического и, в частности, линейного программирования К не-
441
му можно свести задачу аппроксимации дробной рациональной
функцией
М (л) g0 хт + В, хт ~1 -р ,,, +
К (')	л'1 4-Д, /•- ’ + ...+ Ап
(18.17)
заданной зависимости Е (%). Она возникает, например, при ап-
проксимации функцией цепи (17.6) заданной амплитудно-
частотной характеристики. При этом, как правило, миними-
зируется не абсолютное, а относительное отклонение 6 функ-
ции / (х) от заданной функции £ (х), т. е. отыскивается такое
решение задачи, при котором в интервале аппроксимации х_г
^Сх <( Xj выполняется ограничение
(1/6) Е (х) < / (х)	6 Е (х)
(18.18)
при минимально возможном значении относительного отклоне-
ния 6> 1. Если аналитическое решение сформулированной
аппроксимационной задачи отсутствует или функция Е(х) за-
дана таблицей ее значений, то для решения задачи следует ис-
пользовать численные методы. Их применение связано с отка-
зом от решения задачи на непрерывном интервале x_j
х с X) и переходом к решению той же задачи на конеч-
ном дискретном множестве точек х £ L из указанного интер-
вала. Известно, что различие между этими решениями может
быть как угодно малым, если не ограничивать числа точек
дискретного множества.
В любой из точек выбранного дискретного множества долж-
ны согласно (18.18) при Е (х) >0 выполняться неравенства
/ (х) — 6 Е (х) «с 0, — / (х) - 4 Е (х)	0 или, считая,
что N (х) > 0, неравенства:
Во хт + 5, х'" - 1 + ... + Вт - 6g (х) х" —
- 6| /х) 4 х" 1	. - 6Е (х) Ап < 0;
— Во хт — Вх хт-’—...— Вт + — £ (х)х”+	(18.19)
4 Е (х) А, х!!	+4- ? W 0,xsL.
О	о
Если считать относительное отклонение 6 заданной величиной,
то система (18.19) становится системой линейных неравенств
относительно неизвестных коэффициентов .4,, и В, функции
f (х). В зависимости от значения 6 и особенностей функции Е (х)
эта система неравенств может быть или несовместной, или сов-
местной. В первом случае заданные требования по точности
аппроксимации 6 не могут быть выполнены при выбранных зна-
442
чениях степеней полиномов числителя (/?) и знаменателя (т)
аппроксимирующей функции, а во втором — выполняются с
тем или иным запасом.
Для оценки совместности рассматриваемой системы нера-
венств дополним их левые части некоторой величиной:
Ло + 50 хт А~ВГ хт~1 +... +Вт— 6g (х) хп —
-6g (х) A, х"-1—..-6g (х) Ап <0;
Ао — Во х'^-Ву х'"	g(x) х'1 +
(18.20)
+ 4“ W Л1 х"
О
О
и найдем такое решение этой системы неравенств, в котором
при заданном (выбранном) отклонении 6 значение Аа будет
максимально возможным.
Соответствующая задача является типичной задачей ли-
нейного программирования. Действительно, эта система нера-
венств может рассматриваться как система ограничений, ли-
нейная относительно неизвестных
Ао, Вд, Вг, ..., Вт, Alf А2, .... А„.
Точно так же и целевая функция Ао = АОгг,. ч может считаться
линейной относительно тех же неизвестных.
Пусть в результате решения этой задачи линейного про*
граммирования (а оно, как известно, единственно) окажется,
что Ад > 0 Это свидетельствует о совместности системы
(18.19). Действительно, если неравенства системы (18.20)
удовлетворяются при Ао > 0, то будут удовлетворяться и не-
равенства системы (18.19), поскольку в этой системе Ао — 0.
Уменьшая значение 6 и каждый раз решая задачу линей-
ного программирования, можно найти значение 6, при кото-
ром Ао — 0 и системы неравенств (18.20) и (18.19) совпада-
ют. Тогда найденное значение 6 и будет тем минимально воз-
можным значением относительно отклонения функции f (х)
от заданной функции g (х), которое достижимо при выбранных
степенях полиномов числителя (т) и знаменателя (/г) аппрок-
симирующей функции. Если же окажется, что л10 < 0, то сис-
тема (18.19) будет несовместной и следует изменить условия за-
дачи — увеличить степень полинома знаменателя или (и) чис-
лителя аппроксимирующей функции или снизить требования
к точности аппроксимации.
Итак, задача аппроксимации заданной зависимости g (х)
Дробной рациональной функцией / (х) при выбранных степенях
ее полиномов числителя и знаменателя сводится к последова-
443
тельному решению задач линейного программирования для по-
следовательности убывающих значений относительного откло-
нения 6. Аналогично решается задача аппроксимации и в слу-
чае, когда минимизируется не относительное, а абсолютное от-
клонение между функциями f (х) и с (х).
При выбранном числе дискретных точек (дискрет) макси-
мумы отклонений между смежными дискретами решения мо-
гут превышать расчетное значение 6, что свидетельствует о не-
обходимости увеличения числа дискрет или их перераспределе-
ния по интервалу аппроксимации с учетом характера измене-
ния аппроксимирующей функции на предшествующем этапе
решения задачи. Может случиться, что функция / (х), найден-
ная в результате решения системы (18.19), не удовлетворяют
соответствующим условиям физической осуществимости. Тог-
да система, если возможно, дополняется линейными нера-
венствами. Например (см. § 17.5), если 0 < [М (x)/N (%)] < 1
при х > 0, то в систему (18.19) вводятся дополнительные ли-
нейные неравенства М (хг) >0, N (х{) > 0 и М (хг) —
—- N (х,) <Z 0 или часть из них. Эти неравенства должны вы-
полняться на некотором конечном дискретном множестве то-
чек. Оно отличается от множества L, поскольку условия физи-
ческой реализуемости должны выполняться всюду при х > 0,
а не только в интервале аппроксимации. Введение указанных
неравенств и позволяет в большинстве случаев им удовлетво-
рить
Глава 19,
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ
ФИЛЬТРОВ
19.1.	Назначение и классификация
электрических фильтров
*
Электрическим фильтром называется линейный четырех-
полюсник, предназначенный для выделения из состава слож-
ного электрического колебания, подведенного к его входу, час-
тотных составляющих, расположенных в заданной полосе час-
тот, и подавления тех составляющих, которые расположены в
других, также заданных, полосах частот \ Указанные частот-
1 В литературе последних лет часто под электрическим фильтром
понимается любой линейным четырехполюсник с частотными характе-
ристикам.', необходимыми для той или иной обработки сигналов
444
но-частотные характеристики
ленных типов приведены на рис.
ные полосы называют соот-
ветственно полосой пропуска-
ния и полосой задерживания
фильтра.
По взаимному расположе-
нию полос пропускания и
задерживания различают
фильтры: нижних частот
(ФНЧ), верхних частот
(ФВЧ), полосовые (ПФ) и ре-
жекторные (РФ). Амплитуд-
идеальных фильтров перечис-
19.1 Их и надлежит аппрок-
симировать функциями, в которых выражаются частотные ха-
рактеристики электрических цепей.
Требования к амплитудно-частотной характеристике фильт-
ра формулируются обычно в виде требований к частотной зави-
симости ослабления Последнее нормируется так, чтобы
в пределах полосы пропускания минимальное значение ослаб-
ления фильтра было равно нулю. Тогда ослабление фильтра в
в его полосе пропускания не должно превышать некоторой за-
данной величины А а, называемой неравномерностью характе-
ристики ослабления фильтра в ею полосе пропускания, а в
пределах полосы задерживания фильтра не должно принимать
значений, меньших, чем это допускается техническими требо-
ваниями к фильтру. В качестве примера на рис 19 2 графичес-
ки представлены требования к характеристике ослабления
некоторого фильтра нижних частот На этом же рисунке ил-
люстрируется понятие полосы перехода, в которой ослабление
фильтра не нормируется и возрастает от значений, допустимых
в пределах полосы пропускания фильтра, до значений, требуе-
мых в полосе задерживания фильтра.
Помимо требований к частотной зависимости ослабления
фильтра, которые следует рассматривать как основные, к его
445
электрическим и конструктивным параметрам могут предъяв-
ляться дополнительные требования В частности, могут зада-
ваться требования к допустимому отклонению фазо-часготной
характеристики фильтра в его полосе пропускания от линейной,
что связано с условиями безыскаженной передачи сигналов,
энергетически значимая часть спектра которых совпадает с по-
лосой пропускания фильтра В таких случаях или формулиру-
ется и решается соответствующая аппроксимационная задача,
или с помощью неминимально-фазовых цепей корректируется
фазо-частотная характеристика фильтра, рассчитанного толь-
ко по требованиям к ослаблению (см гл. 22)
В особых случаях, характерных для аналоговых систем
передачи, предъявляются особые требования к нелинейным ис-
кажениям, возникающим в фильтрах и обусловленным наличи-
ем катушек с железом или транзисторов, а также к уровню соб-
ственных шумов фильтров. В фильтрах, используемых в око-
нечных каскадах радиопередающих устррйств, где мгновенная
мощность в импульсе может достигать сотен киловатт, предъяв-
ляются требования к минимизации средней мощности, рассеи-
ваемой в элементах фильтра за счет их конечной добротности.
Естественно, что в зависимости от особенностей и назначе-
ния аппаратуры, в которую входит фильтр, к его массо-габа-
ритным показателям, устойчивости к дестабилизирующим
влияниям, надежности и другим параметрам могут предъяв-
ляться те или иные требования,которые следует учитывать при
его проектировании
Обоснованию различных методов расчета электрических
фильтров посвящена обширная литература. Ранее других сло-
жились методы расчета LC-фильтров, основанные на рассмот-
рении характеристических параметров фильтра как реактив-
ного четырехполюсника В настоящее время они потеряли ка-
кое-либо прикладное значение, и современные методы синтеза
электрических фильтров основываются на отыскании и реали-
зации оптимальных решений соответствующих аппроксимаци-
онных задач Именно поэтому, несмотря на разнообразие ти-
пов фильтров число используемых разновидностей характе-
ристик фильтров крайне ограничено Их обоснованию и ана-
лизу и посвящена настоящая глава Типовые варианты реали-
зации этих характеристик на примерах LC, ARC-, кварцевых
и некоторых других типов фильтров будут рассмотрены в
гл. 20
При синтезе фильтров широко используется нормирование
сопротивлений по заданному нормирующему сопротивлению
Ro и частоты (переменной р) по нормирующей частоте <оо, т. е.
Z(p) = Z (р)/Я0; p = p/w0; ю=ю/со0; Z (р) = Z (р)//?0. (19.1)
446
В качестве нормирующего сопротивления используется
обычно одно из сопротивлений нагрузок фильтра, а в качест-
ве нормирующей частоты - граничная частота полосы пропус-
кания ФНЧ (ФВЧ) или среднее геометрическое граничных
частот полосы пропускания ПФ. Нормируется обычно и комп-
лексная передаточная функция фильтра относительно макси-
мального значения ее модуля.
19.2.	Полиномиальные фильтры нижних частот
с характеристиками Баттерворта
Электрические фильтры с передаточными функциями вида
(17.23) получили, по понятным причинам, название полиноми-
альных. Они находят широкое применение в устройствах СВЧ,
технике радиосвязи и других областях техники. Выражения,
определяющие амплитудно-частотные характеристики и час-
тотные зависимости ослабления полиномиальных фильтров,
согласно (17.6) при т - О
| Н (/< = —------------------------- (19.2а)
Со (o2rt + Ci co2/I ~ J >. + Сп
И
а=. 101g------1----= 101g (Со	... + Q,
I н (/Ш) р
(19.26)
где со = со/соо — нормированная частота
Решая задачу синтеза полиномиальных фильтров нижних
частот, применим вначале аппроксимацию амплитудно-частот-
ной характеристики идеального фильтоа по Тейлору в точке
со = 0 (см. § 18.2).
Аппроксимируемая функция |ЯИД (/ы)| при со = 0 равна
единице, а все ее производные равны нулю х. Аппроксимирую-
щая функция \Н (/со)| при со = 0 будет равна единице, если
в (19.2, а) положить С„ = 1. Максимально возможное же чис-
ло производных младших порядков у аппроксимирующей
функции будет равно нулю, если все коэффициенты полинома
знаменателя (19.2 а), за исключением его старшего и свобод-
ного членов, положить равными нулю, т. е. когда
|Я(Н|2=--------•	(19.3)
1 +С0 со2”
1 Учитывается, что амплитудно-частотная характеристика иде-
ального фильтра, как и любой реальной электрической цепи, является
четной функцией переменной со.
447
Действительно, все младшие производные полинома
Сосо2п-Н равны нулю в точке со = 0. Но тогда равны нулю
в этой точке и все младшие производные функции 1/(1 Д
+ Сосо2/!), как и функции (/со) | =	1 + Coco2n.
Функция (19.3) будет удовлетворять требованиям, необхо-
димым для ее реализации (см. § 17.2), если Со /> 0. Обычно
Со = 1. Тогда
|7/(/w)|2 =---!--- (19.4а)
1 +со2'1
и
а= 101g (1 +w2«).	(19.46)
Графики амплитудно-частотных характеристик рассматри-
ваемых фильтров приведены на рис. 19.3. На рис 19.4 изоб-
ражены графики частотных зависимостей ослабления для тех
же значений показателя степени п, который определяет число
реактивных элементов в лестничном фильтре (см. § 17.9).
Ослабление рассматриваемых фильтров монотонно возрас-
тает с частотой и составляет 10 1g 2=3 дБ при со = 1, т. е. ког-
да со = <о0. Частоту соо принято называть граничной частотой
полосы пропускания фильтра. Принято так же считать, что по-
лоса пропускания фильтра расположена ниже, а полоса задер-
живания — выше граничной частоты. Ясно, что чем больше
п, т. е. сложнее фильтр, тем точнее аппроксимируется ампли-
тудно-частотная характеристика идеального фильтра, т. е.
тем больше ослабление фильтра при любой частоте его полосы
задерживания.
Полиномиальные фильтры нижних частот, у которых при
<о = 0 обращается в нуль максимально возможное число про-
448
изводных младших порядков функции \Н (/га)|, т. е. фильтры
частотными зависимостями ослабления (19.4), называются
Фильтрами с максимально плоскими характеристиками ослаб
ления, или фильтрами с характеристиками Баттерворта,
впервые применившего апрроксимацию по Тейлору в задаче
синтеза полиномиальных фильтров нижних частот.
Найдем передаточную функцию фильтра Н (р). Для этого
(см. § 17.3) необходимо найти корни уравнения 1 ф- (— /р)2« =
_q которое образуется, если приравнять нулю знаменатель
(19.4а) и заменить переменную /га на переменную р (га на
__ур). Корни этого уравнения находятся аналитически, и по-
скольку
2,г	,	л
1Z Г	2n	2k — 1	. .. 2Й-1
-IPk^V-l =е	=cos—— n-b/sin —— л,
они равны
. 2k—1	. .	2k— 1
= —sin -----л 4- t cos--л.
2n 1 2n
(19.5)
В левой полуплоскости расположены, очевидно, корни с ин-
дексами от k = 1 до k = и. Они и являются полюсами искомой
передаточной функции фильтра. При этом каждая пара комп-
лексных сопряженных полюсов образует множитель
(Р~Рь) (Р— pn-k+i)-= p2 + 2Psm^—^- л + 1	(19.6)
2п
полинома знаменателя передаточной функции фильтра.
В общем случае, когда допустимоеЪслабление фильтра ниж-
них частот с характеристиками Баттерворта в полосе пропус-
кания 0 sC и sC 1 составляет Да, дБ, его частотная зависи-
мость ослабления выражается формулой
а= 101g [1 _|_(10°-1Да — 1) м2,1|.
(19.7)
^Степень полинома п в решениях (19.4) или (19.7), при кото-
рой удовлетворяются заданные требования к частотной ха-
рактеристике ослабления фильтра в его полосе задерживания
ао (га), находится как ближайшее большее целое число, при ко-
тором выполняется неравенство а > а0 (га).
Зак. 1045	449
19.3.	Полиномиальные фильтры нижних частот
с характеристиками Чебышева
Пусть по условиям задачи неравномерность частотной ха-
рактеристики затухания полиномиального фильтра нижних
частот в его полосе пропускания 0 со 1 не должна превы-
шать Да, дБ, т. е. пусть в полосе пропускания фильтра
О Д а Д Да. Найдем такое решение задачи аппроксимации
характеристики идеального фильтра нижних частот, при кото-
ром ослабление синтезируемого полиномиального фильтра в
полосе задерживания будет настолько большим, насколько по-
зволяет заданный порядок его передаточной функции п.
Сформулированная задача сводится к нахождению такого
четного полинома степени 2/z в формулах (19.2), значения кото-
рого в интервале 0 со2 1 удовлетворяли бы ограничению
1	?4C1w2'!~2 + ... + C„ С Ю°’! Ла ,	(19.8)
а при и2 > 1 были бы больше, чем у любого другого четного по-
линома той же степени и с тем же ограничением.
Решение этой задачи основывается на использовании экст-
ремальных свойств полиномов Чебышева (см. § 18.3 и 18 4).
Действительно, из всех четных полиномов степени п перемен-
ной со2, если их значения в интервале 0 Д со2 < 1 по абсолют-
ной величине не превышают единицы, наибольшие значе-
ния при со2 > 1 принимает полином Чебышева Р„ (х) =
= cosn arc cos (2со2 — 1), у которого переменная х заменена
согласно (18.14) переменной 2со2— 1. Если этот полином
умножить на постоянную L>0 и прибавить другую постоян-
ную А > L, то А + L cos п arc cos (2со2 — 1) и будет искомым
решением задачи при условии, что А — £ = 1 и А + L =
— [Qo.iAa Полученный полином обладает требуемыми экстре-
мальными свойствами, является четным полиномом степени
2п переменной со и удовлетворяет как ограничениям (19.8),
так и условиям физической реализуемости.
Для записи найденного решения в компактной и удобной
для анализа форме используем простейшие тригонометричес-
кие соотношения, согласно которым arccos (2<о2 —• 1) =
— 2arc cos со и cos 2ncp — 2cos2ricp — 1. Тогда cos п arccos (2со2—
— 1) = 2 cos2 п arccos со — 1 = 2Рп (со) — 1, и посколь-
ку А = (10°-1Ла + 1)/2 и L — (10°’)Ла — 1)/2, то А +
-+ L cos п arccos (2со2 — 1) — 1 Д (10° 1Ла — 1) cos2/: arccos со.
450
Поэтому
IН (je>) |2 —	~
1	1 +(10°'IAa-l)Pn (и)
(19.9а)
и
а = 10 lg [1 + (1О0,1Да — 1) Р* Й,	(19.96)
р р = cos п arccos со = ch п Arch <и — полином Чебы-
шева степени п.
Полиномиальные фильтры нижних частот с найденными
частотными характеристиками получили название фильтров с
характеристиками Чебышева.
В соответствии со свойствами полиномов Чебышева ампли-
тудно-частотные характеристики \Н (/<о)| рассматриваемых
фильтров в полосе пропускания п + 1 раз последовательно
принимают свои наименьшие (Ю-°>05Аа) и наибольшие (1) зна-
чения — первые, где Рп (w) = ± 1, т. е. при =
= cos (kn/n), а вторые — где Рп (со) = 0, т. е. при со^ =
— cos 1(26—1) л/2и].
В полосе же задерживания значения \Н (/со)] этих фильтров
монотонно убывают с ростом частоты.
Для иллюстрации на рис. 19.5 приведены графики амп-
литудно-частотных характеристик фильтров для п — 4
(рис. 19.5, а) и п — 5 (рис. 19.5, б) при Аа = 1 дБ, а на
рис. 19.6 — соответствующие им графики частотных зависи-
мостей ослабления.
Фильтры с характеристиками Чебышева относятся к числу
фильтров с так называемыми равноволновыми характеристика-
ми ослабления. Частотные зависимости их ослабления в полосе
пропускания последовательно п 4-1 раз принимают свои
наибольшие (Да) и наименьшие (0) значения, образуя волну
«период» которой уменьшается с ростом ы (см. рис. 19.6).
1Ь*
451
Полюсы передаточных функций фильтров с характе-
ристиками Чебышева, являющиеся корнями уравнения 1 I-
4- (10° 1Ла — 1) cos2 п arc cos (— jp) = 0, находятся анали-
тически и, как можно показать, равны
~ I /	1 \ . 26—1	, . 1 / , 1 \ 2k — I
Ръ —------(е-----I sin-------л / — I е 4------i cos------л,
2 V F ) 2п 1 2 \ е ) 2п
где
2у 100,05Ла+1
£	' 1оо-О5А<г -1 '	2, • п.
Поскольку коэффициент при старшем члене полинома Че-
бышева равен 2" ’, то
Н & =-----------—ш1 ~	-----2—77“ (’9.Ю)
2""1 Р 10°-|Ла~1 (р-Р1) (р-рг) .. (р-рп)
Здесь каждой паре комплексных сопряженных полюсов
передаточной функции фильтра соответствует множитель
(p—Pk)(p—Pn-~h+i) = P2 + P (е----—) sin 2\~-‘ л +
\ е / 2гг
2 2 А — 1	1/	/ 1 Q 1 1 \
4-	COS2---- Л Н---£-------.	(19.1 1)
>	2/2	4 \	£ /
Необходимый порядок передаточной функции фильтра,
при котором удовлетовряются требования к минимально
допустимому ослаблению фильтра в полосе задерживания
а0 = а0 (со), находится как ближайшее большее целое число,
при котором выполняется неравенство а > а0 (со).
Из всех полиномиальных фильтров нижних частот с переда-
точными функциями равных порядков и одинаковой допусти-
мой неравномерностью характеристики ослабления в полосе
452
пропускания максимальное ослабление при любой частоте
полосы задерживания имеют фильтры с характеристиками
Чебышева. При прочих равных условиях они обладают несом-
ненными преимуществами и по ряду других критериев.
19.4.	Фильтры нижних частот
с характеристиками Золотарева
Если по условиям задачи необходимо синтезировать фильтр
со значительным ослаблением при узкой полосе перехода, то
применение полиномиальных фильтров может привести к це-
пям с неоправданно большим числом элементов. Это и понят-
но, так как монотонно возрастающий характер частотных за-
висимостей ослабления полиномиальных фильтров в полосе за-
держивания приводит к решению с ненужным запасом ослаб-
ления.
В таких случаях целесообразно использовать фильтры,
передаточные функции которых имеют нули при конечных час-
тотах полосы задерживания, т. е. с передаточными функциями
вида (17.24). Для частотных зависимостей ослабления таких
фильтров
а = 101g---!---=
1Ж>)|2
= 101g 	.ю2^~2+—	(19.12)
(will —СО2)2 (С0гс2—W2)2. . . (Wrcm—СО2)2
характерно наличие так называемых «всплесков» ослабления, в
каждом из которых последнее стремится к бесконечности, если
частота приближается к частоте всплеска ослабления. Распо-
ложены всплески при частотах нулей передачи фильтра со^,
омг, ... «оош, конечных и не равных нулю. Именно введе-
ние всплесков ослабления и позволяет синтезировать фильтры
с узкими полосами перехода при ограниченном числе элемен-
тов.
Фильтры нижних частот с всплесками ослабления часто
применяются в случаях, когда требуется, чтобы в полосе за-
держивания, начиная с заданной частоты со/(, ослабление
фильтра было не менее некоторой частотно-независимой вели-
чины а0 = const, а в полосе пропускания, как и ранее, не пре-
вышало другой величины Да, также заданной (рис. 19.7).
При этом порядок передаточной функции фильтра был бы ми-
нимально возможным.
Сформулированная задача решается, если использовать
найденное профессором Петербургского университета
453
а
ао

Да утт/Хттж
О 1

19.7
Е. И. Золотаревым (1847 —
1878) решение одной из ряда
поставленных и решенных
им задач о функциях, наибо-
лее отклоняющихся от нуля.
Это задача о дробной рацио-
нальной функции заданного
порядка п, значения кото-
рой в интервале —1 < х < 1
не превышали бы по абсо-
лютной величине единицы,
а в интервале |х| > \!k
(k < 1) наименьшее по абсолютной величине ее значе-
ние было бы максимально возможным.
Соответствующая дробная рациональная функция может
быть названа дробью Золотарева. Она представляет собой чет-
ную или нечетную функцию в соответствии с четностью п. Все
ее нули расположены в интервале —1< х < 1, и в этом интер-
вале она подобно полиному Чебышева п 4- 1 раз принимает
значения 1 и —1 чередующихся знаков. Все полюсы дроби Зо-
лотарева расположены при х l/k, где ее поведение удобно
характеризовать обратной ей функцией. Последняя при х >
>Ш имеет равноволновый характер, поскольку ее наиболь-
шее по абсолютной величине отклонение от нуля по условиям
задачи должно быть минимально возможным. Для иллюстра-
ции на рис. 19.8, а приведен примерный график дроби Золота-
рева седьмого порядка при - 1 х еб 1 и на рис. 19.8,6
— обратной ей дроби при х \ik.
Все наименьшие по абсолютной величине значения дроби
Золотарева при х \Jk одинаковы. Они определяются поряд-
ком дроби п и значением k и растут с увеличением как п так и
1/к Дробь Золотарева Fn (х) после замены переменной х на
454
переменную со вводится в решения <19.9) вместо полинома Че-
бышева.
Следовательно, фильтры нижних частот с характеристи-
ками Зоютарева описываются функциями вида
| И (j ®) |2 =-------!-----—	(19-1 За)
1 + (Ю°’1Аа — 1) Fn (со)
и fl = 101g[l+(100.iA“-l)	(19.136)
В соответствии со свойствами дроби Золотарева в полосе
пропускания ослабление фильтра будет иметь равноволновый
характер, а в полосе задерживания, начиная с частоты a>h —
= l/k, наименьшее значение его ослабления будет максималь-
но возможным по сравнению со всеми другими фильтрами с те-
ми же значениями п и Да. Графикластотной зависимости ослаб-
ления фильтра с характеристиками Золотарева для случая
а — 7 приведен на рис. 19.9. Отличительной особенностью
является равенство минимумов характеристики ослабления
фильтра в полосе задерживания, причем значения этих мини-
мумов равны значению ослабления фильтра на границе его
полосы задерживания.
Как и у полиномиальных фильтров с характеристиками
Баттерворта и Чебышева, полюсы передаточных функций
фильтров с характеристиками Золотарева также находятся
аналитически, что существенно облегчает их расчет. Соответст-
вующие формулы приводятся в специальной литературе.
Иногда фильтры с характеристиками Золотарева называют
эллиптическими, поскольку значения нулей и полюсов дроби
Золотаревщ как и полюсы их передаточных функций, выража-
ются через эллиптические функции, или фильтрами с характе-
ристиками Кауэра, который первым использовал решение Зо-
лотарева в задачах синтеза
фильтров.
В заключение заметим,
что если п — четное число,
то степени полиномов числи-
теля и знаменателя дроби
Золотарева оказываются оди-
наковыми и, как следствие,
ослабление фильтра нижних
частот будет конечным при
= оо. Это ограничивает
число пригодных реализаци-
онных структур и приводит
455
в необходимых случаях к модификации характеристик рас-
сматриваемых фильтров. В решения (19.13) в этом случае вхо-
дит дробь Золотарева, у которой степень полинома знаменате
ля на две единицы меньше степени полинома ее числителя.
Для этого достаточно заменить в исходной дроби Золотарева
для четных п переменную or на or (®2оот — l)/(w2oom — or),
где и».,,, — наибольшая из частот a>xk.
19.5.	Фильтры нижних частот с оптимальным
расположением всплесков ослабления
Если к фильтру не предъявляется каких-либо дополнительных тре-
бований помимо требований к его характеристике ослабления, то в каж-
дой конкретной задаче синтеза фильтров нижних частот наиболее раци-
ональное (оптимальное) решение можно найти, использовав фильтры с
всплесками ослабления. В частном случае указанному решению может
соответствовать фильтр с характеристиками Чебышева или Золотаре-
ва.
В общем же случае следует найти такую передаточную функцию
фильтра, при которой его ослабление в полосе пропускания не превы-
шало бы заданной величины Ла, а при св > 1 было максимальным среди
всех фильтров с передаточной функцией того же порядка и с тем же рас-
положением всплесков ослабления. Тогда изменяя число и расположе-
ние всплесков ослабления, в том числе и при св = оо, можно найти ре-
шение, адекватное условиям каждой конкретной задачи.
Искомые частотные характеристики фильтров нижних частот с за-
данным расположением всплесков ослабления могут быть получены,
если повторить рассуждения, приведенные в § 19.3, применительно к
дробям, а не полиномам Чебышева. В результате получаем следующее
выражение для частотной зависимости ослабления фильтра
а = 101g [1 +(10°',Аа- 1) Я (щ)].	(19 14)
Здесь
/’(w) = cos (п — m) arccos « +
(19 15)
— дробь Чебышева (см. § 18 5). Она представляет собой четную или не-
четную в соответствии с четностью п дробную рациональную функцию
переменной св, полюсы которой совпадают с частотами всплесков ослаб-
ления фильтра (Booh В интервале — 1 <в 1 дробь Чебышева изме-
няется в пределах — 1 F (<в)	1, достигая своих наибольших (4-1)
и наименьших (—1) значений п 4- 1 раз (п — степень полинома числи-
теля дроби), т. е. изменяется в указанном интервале подобно полиному
Чебышева. Характер частотных зависимостей ослабления фильтров
456
иижиих частот с двумя всплесками ослабления при п = 5 и п = 6
приведен на рис. 19.10, а и б соответственно
Оптимальное для каждой конкретной задачи расположение вспле-
сков ослабления фильтра находится подбором параметров дроби Чебы-
шева (19.15), для чего используются или специальные шаблоны с частот-
ными зависимостями слагаемых, которые входят под знак косинуса в
(19 15), или простейшие программы
Решение (19.14) включает как частные случаи найденные ранее ре-
шения для полиномиальных фильтров с характеристиками Чебышева,
когда все всплески ослабления расположены при <в = оо, и фильтров с
характеристиками Золотарева, когда все минимумы ослабления в поло-
се задерживания равновелики, а число всплесков ослабления макси-
мально возможно при выбранном значении п
В отличие от фильтров с характеристиками Чебышева и Золотаре-
ва, полюсы передаточных функций, соответствующих общему решению
(19 14), должны находиться в результате численного решения алгебра-
ического уравнения степени 2п. При этом для некоторых вариантов реа-
лизации передаточных функций точность, с которой должны быть вычис-
лены значения ее полюсов, весьма велика и в ряде случаев требует про-
ведения вычислений на ЭВМ с удвоенным числом значащих цифр.
19.6.	Фильтры верхних частот
Для обоснования методов синтеза фильтров верхних частот
(ФВЧ) и, в частности, для нахождения их передаточных функ-
ций можно было бы заново повторить все рассуждения и вы-
кладки, относящиеся к фильтрам нижних частот. Однако ра-
зумнее использовать полученные результаты с помощью такой
замены переменной, которая переводила бы область нижних
частот в область верхних частот, и наоборот. Для этого ком-
плексную переменную р, которая входит в передаточную функ-
цию фильтра нижних частот, следует заменить комплексной
переменной р'. связанной с первой зависимостью
Р = (coo)2//?'.	(19.16а)
В LC-фильтрах преобразованию (19.16а) соответствует за-
мена индуктивностей исходного фильтра нижних частот емко-
457
стями, а емкостей — индуктивностями. Действительно, если
до преобразования сопротивление некоторой ветви фильтра
Zk - pLh, то после преобразования в той же ветви должен
быть включен двухполюсник с сопротивлением Z',, = (оф)2
У L,t р , т е емкость — 1 (оф)2 L , Аналогично ветвь с
проводимостью Yi = pCi после преобразования заменяется
ветвью с проводимостью Y't = (соД2 Сг/р', т е индуктив-
ностью L'i = 1 /(oj6)2 Ci Следовательно, исходная цепь преобра-
зуется в другую физически реализуемую цепь
Частотные характеоистики преобразованного фильтра мо-
гут быть найдены, если в (19.16 а) перейти от р г /со и от р'
к /со' Тогда
со - — (оф)2/со',	(19 16 61
и, следовательно, значения \Н (/со')|, 0 (со') и а (со') преобра-
зованного фильтра будут равны соответственно \Н (/со)|,
О (со) и а (со) при отрицательных значениях переменной со —
=- — (соб)2/<о'.
Напомним, что модуль передаточной функции фильтра,
как и любой другой цепи, является четной, а ее аргумент —
нечетной функциями переменной со (см § 17.2). Возрастанию
частоты со' от 0 + до оо соответствует возрастание переменной
со от —оо до 0 — , что и приводит к преобразованию частот-
ных характеристик фильтра нижних частот в характеристики
ФВЧ.
В качестве примера на рис. 19.11 приведен график функции
а (со) — 20 1g. I Н (/со)|, которая при со 0 определяет
частотную зависимость ослабления простейшего фильтра ниж-
них частот с характеристиками Золотарева На рис. 19.12 по-
казан график частотной зависимости ослабления фильтра верх-
них частот, соответствующий зависимости а (со) для со < 0,
приведенной на рис. 19.11.
458
Поскольку у фильтров нижних частот р р, Ыо, то, за-
меняя согласно (19.16) р на р' и опуская штрихи, находим сле-
дующие выражения для нормированной комплексной перемен-
ной и нормированной частоты фильтров верхних частот,
р = <й0/р; ®=—со0/со.	(19.17)
Следовательно, выражения, полученные для фильтров нижних
частот, например (19.4) — (19 7), оказываются верными и для
фильтров верхних частот, если в указанных выражениях по-
нимать под нормированными переменными соотношения
(19.17).
Изложенный метод преобразования характеристик фильтра
нижних частот в характеристики фильтра верхних частот свя-
зан с применением частотного преобразования (19.16).
Преобразование частоты как метод направленного измене-
ния характеристик электрических цепей широко используется
в задачах синтеза электрических фильтров. Фильтр, характе-
ристики которого преобразуются, получил название фильтра-
прототипа. Им чаще всего служит фильтр нижних частот.
Простейшим преобразованием частоты является ее нормирова-
ние. Именно оно и позволяет при расчетах ФВЧ с характе-
ристиками Баттерворта, Чебышева, Золотарева или с произ-
вольным расположением всплесков ослабления полностью ис-
пользовать все методы, формулы, номограммы и таблицы дан-
ных, полученные для фильтров-прототипов нижних частот.
19.7.	Полосовые и режекторные фильтры
Полосовые фильтры с симметричными характеристиками.
Передаточные функции полосовых фильтров (ПФ) также могут
быть найдены, если применить к передаточным функциям
фильтров-прототипов нижних частот преобразование частоты.
Соответствующая преобразующая функция в области нижних
частот должна вести себя так же, как и комплексная перемен-
ная р фильтра верхних частот, т. е. р -э-оо, если р' 0, а в об-
ласти верхних частот — как комплексная переменная фильт-
ра нижних частот, т е. если р -+ оо, то и р' -н- оо. В пределах
же полосы пропускания преобразованного фильтра комплекс-
ная переменная р должна изменяться так же, как и перемен-
ная в полосе пропускания фильтра-прототипа нижних частот.
Простейшая проеобразующая функция, которая удовлет-
воряет этим требованиям, представляет собой сумму комплекс-
ных переменных фильтров нижних и верхних частот.
Р-р' -hM2/p'.	(19.18а)
459
Если фильтром-прототипом нижних частот служит LC-
фильтр, по преобразование (19.18а) переводит каждую индук-
тивность фильтра нижних частот с сопротивлением Zh = pLh
в реактивный двухполюсник с сопротивлением Z'k =- p'Lh-\-
+ (соб)2 Lh/p', т. e. в последовательный колебательный контур
без потерь с той же индуктивностью L';,	L;, емкостью C'k =
= 1/(g)o)2 L4 и резонансной частотой соб, а каждую емкость
Ci с проводимостью Yi — рС, — в двухполюсник с проводи-
мостью Y'i — p'Ci (соб)2С;/р', т. е. в параллельный колеба-
тельный контур без потерь с той же емкостью С) = Сг, индук-
тивностью L'i — 1/(соб)2 Ci и той же резонансной частотой соб.
Таким образом, исходная цепь преобразуется в другую, также
физически реализуемую LC-цепь.
С изменением частоты со' преобразованного фильтра в преде-
лах 0 + ... оо переменная
со = со' — (соб)2/со'	(19.186)
изменяется от со -*• — оо при со' -*- 0 + до со-*- оо при со'-*- оо.
Графически данная зависимость показана на рис. 19.13. По-
скольку полоса пропускания ФНЧ ограничена сверху часто-
той соо и \Н (/соо)| = \Н (—/соо)|, то с ростом частоты со' в ука-
занных пределах значению со = — со0 соответствует нижняя
граничная частота coL-j преобразованного фильтра, значению
со = 0 — частота соб, а частоте соо — верхняя граничная час-
стота полосы пропускания преобразованного фильтра со{.
В качестве примера на рис. 19.14 приведена характеристика
затухания полосового фильтра, полученного с помощью преоб-
разования (19.18) из фильтра нижних частот, характеристика
затухания которого на всей оси переменной со показана на
рис. 19.11.
Рассматриваемые ПФ обладают одной важной отличитель-
ной особенностью; их характеристики ослабления геометри-
чески симметричны относительно частоты соб- В самом деле, за-
460
мена в формуле (19.18 б) переменной со' переменной (ш6)2/со'
приводит лишь к изменению знака функции. Но поскольку
iff (/w)| и а (со) являются четными функциями, то значения ос-
лабления преобразованного (полосового) фильтра при ука-
занных частотах будут одинаковыми, что и является доказа-
тельством высказанного утверждения. Значения же фазо-час-
тотной характеристики при этих частотах отличаются знаками,
так как она является нечетной функцией час юты.
Особенности частотных характеристик рассматриваемых
фильтров позволили назвать их фильтрами с симметричными
(геометрически) характеристиками ослабления. Из условия
симметрии характеристик следует, что частота соо является
средней геометрической граничных частот coJ_j и со( полосы про-
пускания фильтра, т. е.
«о =	1 км.	(19.19)
Поскольку при со' = cof (см. рис. 19.13) со = со0, то со-
гласно (19.18.6) соо — со,' — (<о6)2/ю{. Если во втором слагае-
мом, используя (19.19), заменить (соо)2 ее значением (соо)2 =
= соЕ 1со(, оказывается, что
со[—со1[=-<о0,	(19.20
т. е. ширина полосы пропускания ПФ равна полосе пропуска-
ния преобразуемого ФНЧ.
У фильтра-прототипа нижних частот р =- р!ю0, поэтому из
соотношений (19.18) и (19.20) находятся следующие выраже-
ния для нормированной комплексной переменной и нормиро-
ванной частоты полосового фильтра-
Р=_£!±Е1_; (19.21а) ш=--------------—--------,(19.216)
р («Д—W-j)	<0 («Д—CO-i)
в которых штрихи опущены.
Они позволяют найти аналитические выражения для вре-
менных и частотных характеристик полосовых фильтров, если
в соответствующих формулах для исходного ФНЧ использо-
вать эти подстановки.
Режекторные фильтры с симметричными характеристика-
ми. Режекторные фильтры с симметричными (геометрически)
характеристиками могут быть образованы из фильтра-прото-
типа нижних частот с помощью преобразования
которому соответствует следующее соотношение между пере-
менной и преобразуемого и частотой и' режекторного фильтров
со =------м'--------	(19.226)
(<о^-(ш')а ’
461
Г этом стучае, как легко
убедиться, каждый элемент
индуктивности исходного LC-
фильтра нижних частот пре-
образуется в параллельный
колебательный контур с резо-
нансно и частотой соо, а каж-
дая емкость — в последова-
тельный колебательный кон-
тур с той же резонансной
частотой
Частотные характеристики
рассматриваемых фильтров
геометрически симметричны относительно частоты «о, являю-
щейся средней геометрической из граничных частот нижнеи
и верхней полос пропускания фильтра Пример характеристи-
ки затухания режекторного фильтра приведен на рис 19 15
Частотные характеристики его фильтра-прототипа нижних час-
тот соответствуют показанным на рис 19 11
Преобразования П9 16 а), (19 18 а) и (19 22 а) получили на-
звание реактансных, поскольку они осуществляются с по-
мощью простейших реактансных функций
Полосовые и режекторные фильтры с несимметричными характе-
ристиками. Практическое применение полосовых резисторных фильт
ров рассмотренных типов ограничено лишь теми случаями, когда тре-
бования к характеристике ослабления фильтра по обе стороны от его
полосы пропускания близки к геометрически симметричным В против-
ном случае в некоторых частотных областях может иметь место не-
оправданно большой запас ослабления, что свидетельствует о существо-
вании решения более экономного по числу элементов Это решение при
водит в общем случае к полосовым фильтрам с различным числом
всплесков слева и справа от полосы пропускания, имеющим различную
асимптотическую крутизну ослабления при <о 0 и <о оо, те
к фильтрам, характеристики ослабления которых существенно отлича-
ются от симметричных
Передаточные функции полосовых фильтров в рассматриваемом об
щем случае являются функциями вида (17 24) При решении задачи ап-
проксимации требуемой характеристики ослабления фильтра использу-
ются методы наилучшего равномерного (чебышевского) приближения
функций, что приводит к применению дробей Чебышева и, как следст-
вие, к равноволновым характеристикам ослабления фильтра в его поло-
се пропускания
Большое число возможных вериантов реализации заданных требо
ваний отличающихся, в частности, числом и расположением всплесков
ослабления, позволяет при проектировании полосовых фильтров вы-
брать вариант, который удовлетворяет многим дополнительным требо-
ваниям помимо требования к характеристике ослабления Вместе с тем
сложность расчетной процедурых полосовы фильтров с оптимальным
расположением их всплесков ослабления (см § 19 5) и требуемая высо
кая точность этих расчетов часто приводят к отказу от поиска и приме-
нения оптимальных в указанном смысле решений Именно по этим при-
462
чинам в качестве полосовых фильтров сравнительно широко применя-
ются фильтры с симметричными характеристиками, для которых про-
тотипами служат полиномиатьные фильтры с характеристиками Чебы-
шева ити фильтры с характеристиками Золотарева
19.8.	Фазовые характеристики фильтров
Напомним, что фазовой характеристикой четырехполюсни-
ка называется частотная зависимость b = b (со) разности фаз
гармоническою воздействия, подведенного ко входу цепи и
гармонической реакции на ее выходе Она отличается лишь зна-
ком от фазо частотной характеристики 0 (ш), т е b (со) —
= — О (со)
Во многих сл\иаях удобнее вместо фазовых характеристик
фильтров или наряду с ними рассматривать частотную зависи-
мость ее производной
L =- db (со) d<n	(19 23)
Функцию частоты tr называют групповым временем прохож-
дения (фильтра), распространяя тем самым па цепи с сосредо-
точенными элементами понятие, которое имеет определенное
физическое содержание лишь применительно к цепям с распре-
делен™ ми эдементами или к средам, в которых происходит
pacnpociранение волн той или иной природы Ясно, что тиней-
ной фазовой характеристике b сот, при которой фазо частот-
ные искажения отсутствуют (см § 11 9), соответствует постоян-
ное значение 1р\ппового времени /г = т
Рассмотрение особенностей фазовых характеристик фильт-
ров удобно начать с характеристик полиномиальных фильт-
ров, передаточные функции которых Н (р) = b(t/v (р) содержат
в знаменателе полиномы Гурвица, а в числителе — веществен-
ную, обычно положительную, постоянную Представив поли-
ном Гурвица при р = /со в показательной форме записи
о (/со) = |у (/со)| е;<₽г/(<0), находим, что фазовые характеристики
полиномиальных фильтров совпадают с частотной зависимо-
стью аргумента полинома I урвица при р = /о/ и со > 0, т е.
b (со) = срг (со)	(19 24)
Следовательно, фазовые характеристики полиномиальных
фильтров являются монотонно возрастающими функциями
частоты, которые с изменением частоты от 0 до оо получают
согласно (9 37) приращение ил/2 рад
В качестве примера на рис 19 16 приведены графики фазо-
вых характеристик полиномиальных ФНЧ чебышевского типа
Для различных неравномерностей Да при числе элементов
п = 8, а на рис 19 17 — при неравномерности Да = 0,17 дБ,
но различных п Графики нормированного группового времени
463
прохождения tT (со) фильтров нижних частот с характеристи-
ками Чебышева для различных значений неравномерности и од-
ного и того же числа элементов приведены на рис. 19.18. Они,
очевидно, характеризуют крутизну фазовых характеристик со-
ответствующих фильтров. Приведенные на рис. 19.16—19.18 за-
висимости являются типичными и для других зачений Ла и и.
Анализ зависимостей приводит к следующим заключениям.
Фазовые характеристики полиномиальных фильтров чебышев-
ского типа близки к линейным лишь в нижней части полосы
пропускания, тем более широкой, чем меньше Ла и п. С даль-
нейшим ростом частоты увеличивается крутизна фазовых ха-
рактеристик фильтров (групповое время прохождения), значе-
ния которой достигают наибольшей величины вблизи гранич-
ной частоты полосы пропускания и затем резко убывают. При
этом в полосе пропускания фильтра сосредоточена основная
часть перепада его фазовой характеристики. При значениях не-
равномерности Да, превышающих 0,3...0,5 дБ, групповое вре-
мя прохождения фильтров имеет в полосе пропускания ряд экс-
тремумов, что существенно затрудняет фазовое корректирова-
ние по сравнению с характеристиками с одним максимумом.
При прочих равных условиях групповое время прохожде-
ния ФНЧ
 db (со)  db (со) da>  1 db (со)
г dco	cfco соо •С'
u(0	и(0
тем больше, чем уже его полоса пропускания.
Фазовые характеристики полиномиальных фильтров с мак-
симально-плоскими характеристиками ослабления аналогич-
ны рассмотренным выше. Однако их характеристики группо-
вого времени прохождения имеют при п = 4 ... 10 лишь один
максимум в области со -- 0,9 ... 1,0.
У фильтров нижних частот с всплесками ослабления фазо-
вые характеристики в полосе пропускания, как и у полиноми-
464
альных фильтров, определяются исключительно аргументом
полинома Гурвица, который входит в знаменатели их переда-
точных функций. Действительно, полином (toll — и2) (<ojL2 —
— и)2 ... (®^.т — со2), который обусловливает всплески ослаб-
ления фильтра, принимает лишь вещественные значения. По-
этому его аргумент равен или 0, или л и может изменяться на
п с изменением знака полинома, что возможно только в полосе
задерживания фильтра, если полином имеет нуль нечетной
кратности. Следовательно, в отличие от полиномиальных,
у фильтров с всплесками ослабления в полосе задерживания
на частотах всплесков могут происходить скачки фазы фильт-
ра на п радиан. Примером может служить график фазовой ха-
рактеристики ФНЧ с характеристиками Золотарева при п=7
(рис. 19.19). Частотам разрывов непрерывности фазовой ха-
рактеристики фильтра соответствуют частоты всплесков ослаб-
ления фильтра.
Фазовые характеристики ФВЧ и ПФ могут быть построены
аналогично характеристикам фильтров нижних частот. В пре-
делах полосы пропускания они являются возрастающими функ-
циями частоты и с точностью до постоянного слагаемого опре-
деляются полиномами Гурвица, которые входят в знаменатели
передаточных функций соответствующих фильтров.
Принято считать, что фазовые характеристики фильтров
зерхних частот, возрастая, стремятся к нулю при © -> оо,
1 полосовых фильтров с симметричными характеристиками —
проходят через нуль при средней геометрической частоте поло-
зы пропускания ®	соР
Групповое время прохождения фильтра верхних частот це-
песообразно выражать через нормированное групповое время
прохождения фильтра-прототипа tr (со). Тогда согласно (19.17)
db (со) _ db (со) d i	Ио \ _ ®о 'р
d<o	ds> \	со / со2 г
асо 4	'
465
где tT (со) — db (w)/c/co Аналогично для полосовых фильтров
с симметричными характеристиками согласно (19 21)
db (“) = db (М) d Г <.>21 =	+ Т (а) (19 27
dtis	dco[<o (<Oj—<o_j) J <o’(«ц — (0-J
Анализ последних выражений показывает, что групповое
время прохождения для высокочастотных составляющих фильт-
ров верхних частот уменьшается с ростом частоты и стремит-
ся к нулю при со оо У полосовых же фильтров с симметрич-
ными характеристиками групповое время прохождения в их
полосе пропускания тем больше, чем меньше ширина их полосы
пропускания
Как и у исходных фильтров-прототипов нижних частот с ти-
повыми характеристиками ослабления, фазовые характеристи-
ки фильтров верхних частот и соответствующих полосовых
фильтров существенно отличаются от линейных, а их частот-
ные зависимости группового времени прохождения - от ве-
щественной положительной постоянной Это и обусловлива-
ет необходимость коррекции фазовых характеристик фильтров
в каналах передачи дискретной информации Обычно для этой
пели применяются неминимально-фазовые цепи (см гл 21)
Линеаризация же Фззовых характеристик Фильтрами мини-
мально фазового типа связана с ухудшением их селективных
свойств, и соответствующие методы синтеза фильтров не нахо-
дят широкого практического применения
Г лава 20.
ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ ФИЛЬТРЫ
20.1. Лестничные LC-фильтры
Лестничными LC-фильтрами называются нагруженные
лестничные реактивные четырехполюсники, реализующие
передаточные функции электрических фильтров, в частности
рассмотренные в гл 19 Чаще всего используются фильтры
в режиме двусторонней нагрузки, когда реализующая непь со-
держит генератор с чисто резистивным внутренним сопротив-
лением, реактивный четырехполюсник и нагрузку также с чис-
то резистивным сопротивлением Реже находят применение ре-
жимы односторонней нагрузки, в которых в цепи сохраняется
только одно из указанных резистивных сопротивлений
466
В настоящее время лестничные LC-фильтры интенсивно вы-
тесняются цифровыми и аналоговыми Л7?С-фильтрами Одна-
ко именно моделирование лестничных реализационных (трук-
тур лежи'г в основе построения ряда вариантов интегральных
дЛС-филыров со стабильными характеристиками
Качественный анализ передаточных функций лестничных
нагруженных реактивных четырехполюсников. При оценке
характера частотных зависимостей ослабления лестничных
£С-фильтров по заданным схемам л при выборе схемы филь-
тра, потенциально пригодного для реализации заданной пере-
даточной функции, необходимо установить взаимное соответ-
ствие между схемой цепи и структурой ее передаточной функ-
ции, т е порядком последней и числом и характером ее нулей
В простейшем случае в продольных ветвях фильтра могут
содержаться только индуктивности, а в поперечных — только
емкости Соответствующая передаточная функция (см §17 9)
будет полиномиальной, а ее порядок равен числу реактивных
элементов и кратности нуля функции при-р = оо В качестве
примера на рис 20 1 приведены схемы двух цепей с передаточ-
ными функциями вида
Н (Р) =
__________Ьо_
p5 + at р4 +
(20 1)
+ Й5
Естественно, что частотные характеристики этих двух цепей
могут быть как одинаковыми, так и различными
Если, наоборот, в продольных ветвях фильтра будут вклю-
чены емкости, а в поперечных — индуктивности, то порядок
передаточной Функции также будет равен числу реактивных
элементов в составе фильтра Однако при р — 0 она будет
иметь нуль, кратность которого равна порядку функции
В этом легко убедиться с помощью рекуррентного соотноше-
ния (17. 22), в котором (р) может быть только или сопро-
тивлением l/pCh продольной, или проводимостью 1/pLt попе-
467
речной ветви, если, конечно, Wt (р) не является одним из ре-
зистивных сопро1ивлений нагрузок На рис 20 2 приведены
схемы односторонне нагру женных цепей с передаточными функ
циями
Н(р)
__________Ьо р*________
р4 н at р3 + а4
(20 2)
I ели в продольных ветвях LC фильтра имеются параллель
ные или (и) в поперечных — последовательные колебательные
контуры, то передаточная функция фильтра (см §17 9) будет
иметь нули при их резонансных частотах и, возможно, при
<>) — 0 и оо, т е будет функцией вида
К //7 (р2 + <0^1) (р2-гЮ^>2)	(p2 + <olm)
№^«1 рП-! |	+дп
(20 3)
Чисто нулей передаточной функции при со > 0, т е всп-
лесков ослабления фильтра, легко определяется по его схеме
Оно равно общему числу параллельных контуров в продольных
и последовательных контуров в поперечных ветвях Фильтра
Так, передаточная функция фильтра, схема которого приведе-
на рис 20 3, а, имеет четыре нуля при 0 < « < оо, т е в
(20 3) т = 4
Кратное 1ь нуля передаточной функции фильтра при со = О
можно найги, если оценить ее поведение при со -> О В этом ре
жиме можно в продольных ветвях замкнуть некоротко все ин
дуктивности, а в попеоечных — отключить все емкости цепи,
так как сопротивления первых и проводимости вторых оказы-
ваются пренебрежимо малыми по сравнению с сопротивления-
ми и проводимостями оставшихся ветвей Тогда в рассматрива
емом примере схема фильтра становится такой, как показано
на рис 20 3, б Цепь с этой схемой имеет нуль второй кратно
сти при ю — 0, т е в(20 3)р	2 Следу ет заметить, что схема,
изображенная на рис 20 3, б,
пригодна для оценки крат-
ности полюса передаточной
функции Н (р) при р — 0, но
не для расчета ее численных
значений при р —> 0, на кото-
рые могут влиять и другие
емкости фильтра
Порядок передаточной
функции фильтра можно
найти, если, зная степень
2m ф 7 полинома числите-
ля Н (р), определить крат-
468
ность ее нуля при р-=оо Для этого в схеме фильтра
следует замкнуть накоротко все емкости в продольных и отк-
лючить все индуктивности в поперечных ветвях цепи, а затем
оценить кратность нуля передаточной функции цепи при
р = оо Она и будет характеризовать превышение степени по-
линома знаменателя Н (р) над степенью полинома ее числите-
ля
На рис 20 3,в приведена схема цепи, полученная после
применения подобных преобразований к схеме рис 20 3, а
Она показывает, что передаточная функция исходной цепи
имеет при р = оо нуль второй кратности
Определив таким образом значения т, q и кратность нуля
Н (р) при р — оо цепи со схемой рис 20 3, можно соста-
вить следующее общее выражение для ее передаточной функ-
ции
&оР2(Р2 + <о^!) (р2 + <0^2) (Р3 + оДз) (р2 + о.Д4)
----------Р-+Р.Р-+	+<„---------- <204>
Заметим, что порядок передаточной функции можно нахо-
дить и как разность между общим числом реактивных эле-
ментов и общим числом tL-сечений и чС-контуров (см § 87.).
469
Схемы лестничных LC-фильтров. Схемы электрических
лестничных LC-фильтров выбираются на первом этапе реа-
лизации их передаточных функций (см. гл. 19).
При выборе реализующей цепи недостаточно совпадения
степеней полиномов числителей и знаменателей передаточной
и реализуемой функций. Необходимо также, чтобы число эле-
ментов цепи, которые можно изменять при реализации, было
не меньше общего числа параметров, характеризующих реа-
лизуемую функцию. Только при этом условии может быть со-
ставлена разрешимая система уравнений относительно иско-
мых неизвестных — элементов реализующей цепи. Например,
с помощью цепи, схема которой приведена на рис. 20.4, за-
' ведомо нельзя реализовать передаточную функцию
&о<Р2 + ^1)(Р2 + ^2)
p5 + ai Р4+ • . • +а5
(20.5)
с произвольным полиномом Гурвица пятой степени в знамена-
теле и произвольными значениями постоянных й)то1 и щ*,,,
хотя передаточная функция цепи и имеет такую же структуру.
Действительно, заданная функция Л (/?) характеризуется
восьмью параметрами , тогда как цепь содержит лишь семь пас-
сивных элементов, один из которых должен быть задан.
Перечисленным требованиям удовлетворяет нагруженная
лестничная полиномиальная LC-цепь, реализующая передаточ-
ную функцию полиномиального фильтра, если число реактив-
ных элементов цепи совпадает с порядком заданной передаточ-
ной функции и цепь правильно нагружена.
Схемы полиномиальных лестничных LC-филыров уже рас-
сматривались выше. В частности, на рис. 20.1 изображены схе-
мы двусторонне нагруженных полиномиальных LC-фильтров
с передаточными функциями (20.1) пятого порядка. В качестве
другого примера на рис. 20.5 показаны схемы односторонне
нагруженных фильтров этого типа с передаточными функция-
ми пятого и шестого порядков, используемых в режиме задан-
ного входного тока. Они мо-
гут быть схемами фильтров
нижних частот с характери-
стиками Баттерворта или Че-
бышева.
Важно, что в режиме од-
носторонней нагрузки схема
полиномиального фильтра
единственна. Действительно,
в режиме заданного входного
напряжения (тока) в сторо-
ну источника должна быть
470
обращена продольная (поперечная) ветвь, а в режиме холосто-
го хода (короткого замыкания) последней должна быть попе-
речная (продольная) ветвь. Общее же число реактивных эле-
ментов известно и равно порядку передаточной функции.
Кроме того, в режиме односторонней нагрузки значения
безразмерных передаточных функций полиномиальных, как и
любых других АС-фильтров нижних частот, равны единице, ес-
ли со =- О, поскольку в цепи без потерь генератор оказывается
подключенным непосредственно к нагрузке. Поэтому в режиме
односторонней нагрузки у фильтров нижних частот с равновол-
новыми характеристиками ослабление в полосе пропускания
при нечетных п не будет принимать отрицательных, а при чет-
ных п — положительных значений.
В типовом режиме двусторонней нагрузки лестничный по-
линомиальный АС-фильтр, как и другие LC-фильтры, включа-
ется между генератором с чисто резистивным внутренним со-
противлением и чисто резистивной нагрузкой. Сопротивления
этих нагрузок у полиномиальных фильтров с характеристика-
ми Чебышева, как и у других ФНЧ с равноволновыми харак-
теристиками, равны друг другу если п — нечетное число, и
отличаются, если п — четное. Действительно, равенство нулю
рабочего ослабления фильтров при ю — 0 возможно ь пассив-
ных цепях без потерь только при условии равенства сопро-
тивления нагрузки внутреннему сопротивлению генератора
(см. § 12.7). Фильтры с характеристиками Баттерворта включа-
ются между равными сопротивлениями нагрузок как при чет-
ных, так и при нечетных значениях п.
В режиме двусторонней нагрузки полиномиальный лест-
ничный АС-фильтр может начинаться как с поперечной, так и с
продольной ветви. Поэтому можно выбрать любой из двух ва-
риантов реализующей цепи. Если п— четное число, то оба эти
варианта практически одинаковы (рис. 20.6) и один может
быть получен из другого переносом источника напряжения из
471
ветви генератора в ветвь нагрузки, которая после этого стано-
вится генератором Если же п — нечетное число, возможны два
варианта реализующей цепи, существенно отличающиеся друг
от друга (см рис. 20.1). Для реализации выбирается обычно
тот вариант, у которого число емкостей превышает число ин-
дуктивностей. В этом случае фильтр начинается и заканчива-
ется поперечными емкостями. Это позволяет учитывать пара-
зитные емкости нагрузок, что важно, если граничная частота
полосы пропускания фильтра должна быть предельно высокой.
Наличие двух вариантов схем полиномиальных фильтров
можно рассматривать как следствие принципа дуальности
(см. § 2.6). Естественно, что и другие типы LC-фильтров
встречаются дуальными парами.
В отличие от полиномиальных, схемы фильтров со всплес-
ками ослабления отличаются исключительным разнообразием.
Во-первых, они могут быть не только фильтрами нижних
частот, но и полосовыми или режекторными, а во-вторых, коле-
бательные контуры, обусловливающие всплески ослабления,
могут быть различным образом распределены по его ветвям.
Вместе с тем схемы фильтров с всплесками ослабления, если
эти фильтры реализуют оптимальные (равноволновые) переда-
точные функции (см. гл. 19), обладают рядом общих свойств.
Прежде всего колебательные контуры, обусловливающие
всплески ослабления фильтра, не могут находиться в ветвях
лестничного фильтра, обращенных к его нагрузкам. В против-
ном случае число варьируемых параметров фильтра будет мень-
ше числа независимых параметров реализуемой передаточной
функции. Пусть, например, задана передаточная функция
МР2 + <)
pi-+a1p3+.. 4-щ
фильтра нижних частот с равноволновой характеристикой.
Ее можно реализовать цепью со схемой рис. 20.7, а, но не
472
рис. 20.7, б, хотя структура обеих передаточных функций
одинакова.
Кроме того, в фильтрах с несколькими всплесками ослаб-
ления (за исключением режекторных) соответствующие резо-
нансные контуры не могут находиться в смежных ветвях лест-
ничной цепи, если каждая из ветвей содержит только два ре-
активных элемента, а характеристики фильтров являются рав-
новолновыми К
На рис. 20.8 приведены две возможные схемы фильтров
нижних частот с двумя всплесками ослабления и передаточной
функцией вида (20.5). Они могут быть и фильтрами с характе-
ристиками Золотарева, если значения минимумов их ослабле-
ния в полосе задерживания одинаковы. Для четных значений
п > 6 число вариантов схем ФНЧ с двумя всплесками ос-
лабления увеличивается за счет возможности различного до-
пустимого распределения колебательных контуров по ветвям
лестничной цепи. Соответствующий пример приведен на
рис. 20.9, где изображены схемы фильтров с двумя всплесками
ослабления при п — 6. Любая из них может быть и схемой
фильтра с характеристиками Золотарева (рис. 20.10) Вообще
1 Общее доказательство является следствием, например, рекур-
рентного соотношения (17.22)
473
же схемы лестничных фильтров нижних частот с характерис-
тиками Золотарева содержат число колебательных контуров,
максимально возможное в лестничной цепи для заданного по-
рядка реализуемой передаточной функции. Этим можно руко-
водствоваться при построении схем фильтров. Так, на
рис. 20.11 приведены схемы фильтров с характеристиками Зо-
лотарева для и — 7. Частотная зависимость их ослабления
приводилась на рис. 19.9.
Схемы фильтров верхних частот отличаются от рассмотрен-
ных схем ФНЧ, для которых они служат прототипами, лишь
тем, что у них индуктивности заменены емкостями, и наоборот.
Простейшие схемы ФВЧ с передаточной функцией (20.2) изоб-
ражены на рис. 20.2.
Есл# полосовой фильтр находится с помощью реактан-
сного преобразования фильтра-прототипа нижних частот
(см. § 19.7), то в последнем каждая индуктивность заменяется
последовательным, а каждая емкость — параллельным коле-
бательным контуром. Тогда, например, схема фильтра-прототи-
па, изображенная на рис. 20.9, в, преобразуется в схему поло-
сового фильтра (рис. 20.12, а). Обычно сложные реактивные
двухполюсники в ветвях такого фильтра заменяют эквива-
лентными двухполюсниками, более удобными в настройке
(см рис. 20.12, б). Естественно, что схемы, приведенные на
474
рис. 20.12, а, И б, не явля-
ются единственно возможны-
ми для реализации той же
передаточной функции. Ее
можно реализовать, напри-
мер, лестничной цепью, схе-
ма которой показана на рис.
20.12, в.
Во многих случаях схемы
фильтров, в частности поло-
совых, подвергаются допол-
нительным преобразованиям
с целью получения более
приемлемых номиналов элементов или уменьшения отно-
сительного числа индуктивностей в составе фильтра. В ре-
зультате подобных преобразований, например, получена
схема полосового фильтра телефонного канала, приведенная на
рис. 20.3, а. Этот фильтр содержит 6 катушек индуктивности
и 11 конденсаторов, а его передаточная функция имеет ту же
структуру, что и передаточная функция фильтров, схемы ко-
торых изображены на рис. 20.12. Последние содержат по 8
катушек индуктивности и по 8 конденсаторов со значительно
большим разбросом их номиналов по сравнению с фильтром с
17 элементами.
Приведенные схемы электрических фильтров следует рас-
сматривать как схемы цепей, потенциально пригодных для реа-
лизации соответствующих передаточных функций лестничными
LC-реализационными структурами. Значения параметров эле-
ментов фильтров находятся численными или аналитическими
методами, которые излагаются ниже.
В этой связи следует отметить, что не во всех случаях реа-
лизация передаточных функций вида (20.3) лестничными на-
груженными реактивными четырехполюсниками приводит
475
к практически приемлемой пассивной цепи. В ее составе могут
появиться отрицательные элементы. Это свидетельствует, как
можно показать, о наличии в составе выбранного варианта
потенциально реализующей цепи трансформаторов с жесткой
связью. В таких случаях изменением схемы цепи или данных
реализуемой функции удается обойти трудности, связанные с
практическим применением трансформаторов, и найти цепь,
лишенную связей через взаимную индуктивность.
Численные методы решения задачи реализации. Одним из
простейших по идее и вместе с тем общих численных методов
определения значений элементов потенциально реализующей
цепи является метод уравнивания коэффициентов.
Сущность метода заключается в следующем. По схеме вы-
бранной цепи находится ее передаточная функция, коэффици-
енты которой ah и bt выражаются через буквенные обозначе-
ния элементов цепи. После этого найденные в буквенной фор-
ме выражения для коэффициентов синтезируемой цепи прирав-
ниваются к численным значениям соответствующих коэффи-
циентов заданной функции, подлежащей реализации. В ре-
зультате образуется система в общем случае нелинейных урав-
нений, подлежащая решению.
Этот метод уже использовался при реализации передаточ-
ной функции Л7?С-цепью методом электронного моделирования
476
(см. § 17.7) когда аналитические выражения для коэффициен-
тов передаточной функции реализующей цепи приравнивались
к численным значениям соответствующих коэффициентов функ-
ции (17.19).
Поясним метод примером реализации передаточной фхнкции фильт-
ра нижних частот с характеристиками Баттерворта
__________1Q12__________
Н(-р'>== /Л+ 2-104 р + 2-108 р+ 1012
лестничным четырехполюсником в режиме заданного входного напряже-
ния при сопротивлении нагрузки 103 Ом. В приведенном выражении чис-
литель равен 1012, так как в режиме односторонней нагрузки Н (0) =1.
Потенциально реализующая цепь должна содержать три реактив-
ных элемента. Она была рассмотрена в качестве примера в § 17.9, где
для нее была составлена передаточная функция, выраженная через бук-
венные обозначения элементов.
Приравнивание одноименных коэффициентов обеих передаточных
функций приводит к системе уравнений.
/jC.ll, С4= Ю-i2;
Lt C2=2-I0-8;	'
(L, + L3) G, = 2 I0->.
Если первое уравнение разделить на второе, то из полученного
уравнения L3Gt = 0,5-10-4 при G4 — R~l - 10"3 См находим /,3=
= 0,05 Гн. Затем из третьего уравнения следует Z., = 2 • 10~4 Gy 1—L 3=
= 0,15 Гн. Наконец, используя второе уравнение, имеем С2 =
= 2/15 мкФ.
В общем случае система уравнений решается численно.
Число составляющих ее уравнений равно числу независимых
параметров (коэффициентов) реализующей функции и числу
искомых неизвестных.
Правые части уравнений представляют собой заданные ко-
эффициенты ам передаточной функции, подлежащей реализа-
ции, а левые — буквенные выражения для тех же коэффициен-
тов потенциально реализующей цепи. Они находятся, напри-
мер, с помощью рекуррентного соотношения (17.22) и легко
табулируются для функций не очень высоких порядков. Одно-
временно из (17.22) следует, что в любой из буквенных-коэф-
фициентов аг элемент цепи a.h (Lh или Ск) может выходить
только в виде линейного множителя. Примером могут служить
коэффициенты передаточной функции третьего порядка, ко-
торая была использована выше для иллюстрации метода.
Для решения системы уравнений используется в общем слу
чае тот или иной метод математического программирования.
Задача решается при линейных ограничениях на значения
элементов реализующей цепи <хк > 0, которые не могут быть
отрицательными
477
В качестве целевой функции можно выбрать сумму квадра-
тов разностей левых ah (а) и правых ah0 частей уравнения
Ф = IMaWoJ2	(20 6)
*=1
и искать ее минимум Глобальному минимуму соответствует
значение целевой функции, равное нулю, когда удовлетворяет-
ся каждое из уравнений системы Решение существенно облег-
чается не только тем, что ограничения являются линейными,
но и линейным характером зависимостей ап (а) от любою из
искомых неизвестных
Известны и находят применение и другие численные методы
реализации заданных передаточных функций Но (цо) Р лест-
ничных цепях в их основе лежит использование рекуррентных
соотношений для вычисления на каждом шаге процесса реали-
зации как значений передаточной функции Н (/и, а) реализу-
ющей цепи, так и градиента целевой функции
Ф = 2|Жт, а)-Я0(т)|2,	(20.7)
W
минимизируемой на дискретном множестве точек Их
число должно быть не менее числа искомых неизвестных Реше-
ние задачи соответствует глобальному минимуму целевой функ-
ции, когда Ф - 0
Изложенный метод позволяет решать задачи реализации
передаточных функций фильтров высоких порядков Следует
обратить внимание на возможность существования в самом об-
щем случае не одного, а нескольких глобальных минимумов у
целевых функций (20.6) и (20 7) Соответствующие же пепи бу-
дут иметь одинаковые комплексные передаточные функции и от-
личаться значениями элементов
Аналитические методы решения задачи реализации. Один из методов
реатизации передаточных функций электрических фильтров лестничны-
ми двусторонне нагруженными LC-цепями основан на разложении в
цепную дробь положительной вещественной функции, которая опреде-
ляет входное сопротивление Zr (р) нагруженной реализующей цепи и
находится по заданной рабочей передаточной функции Н (р) Связь меж-
ду функциями Н (р) и Z, (р) может быть найдена, если использовать ра-
венство 1
I г -1-1 «(/•»г,	(г» »>
I -^1 + Л(/ю) I
1 Так как потери в четырехполюснике отсутствуют, то в режиме
гармонических колебаний средняя мощность Re Zx (/со), подведен-
ная к ею входу, целиком выделяется в нагрузке четырехполюсника,
478
которое справедливо для любого
реактивного двустороннего на
груженного четырехполюсника
(рис 20 13)
Допустим, что существует
лестничный LC четырехполюсник
который в режиме двусторонней
нагрузки реализует передаточную
функцию фильтра Н (/со) с харак-
теристиками Баттерворта, Чебы
шева, Золотарева или любого
другого фильтра с равноволно-
выми характеристиками Зная
Н (/со), найдем входное сопро-
тивление Zj (/со) нагруженного четырехполюсника со стороны его за-
жимов 1 — Г Для этого преобразуем правую часть равенства (20 8)
Квадрат модуля комплексной передаточной функции фильтра с лю-
бой из перечисленных характеристик можно записать в следующей обоб-
щенной форме
I W (/и) I2 = # (/и) # ( — /со) = ———
1 — ср2 (со)
(20 9)
Здесь <р (со) = h (со) — четная или нечетная дробная рациона льная
функция с вещественными коэффициентами например произведение по-
линома Чебышева или дроби Золотарева на вещественный множитель
JZ1O0 |Дп — 1
В этих обозначениях
Д (/со) Н ( —/со) =
г и
/2(со) и2 (со)
/- (со)
О (/со) V ( — /со)
1-|//(/со)|2 =
/г2 (со)
V (/СО) V (—/со)
где l. (/со) — полином знаменателя И (/со)
Если левую часть равенства (20 8) также представить в виде произ-
ведения двух сопряженных величин и перейти в равенстве к переменной
р, то из сопоставления функций с полюсами в левой полуплоскости сле-
дует
R.-Z^p) h(p)
Ri + zx(p) ± v(p)
(20 10)
т е II Re Z, (/со) = t/2/R2
|2	44/
Поэтому \Н (/со) I = —-
Но /j = До/JR) ф Z,| (см. рис 20 13)
Ri _ 4R, Re Z,
Rz = | Ri + Zi I2 '
Соотношение (20 8) является следствием тождества
4Rj Re Zj = | R]Zj	|2
47ff
где v (р) — полином Гурвица; h (р) = j~4h (<о)|и=/-р; q — степень
полинома Л (со). Поэтому
(р)
ч(Р)Т А (р)
» (Р) ± Л (Р)
(20.11)
Этим двум решениям соответствуют н два четырехполюсника, при-
чем, как легко убедиться, сопротивление Zx (р) одного из иих пропорци-
онально проводимости другого.
Итак, при реализации заданной передаточной функции Н (р) фильт-
ра нижних частот лестничным двусторонне нагруженным LC-четырех-
полюсииком сначала по одной из формул (20.11) вычисляется функция
Zx (р). Оиа может быть правильной илн неправильной дробью. В пер-
вом случае лестничный фильтр начинается с поперечной емкости, так
как Zx (р) —> 0 при р -*• оо, а во втором — с продольной индуктивно-
сти. После этого выбранная функция Zx (р) разлагается в цепную дробь,
по которой и находятся численные значения элементов четырехполюсни-
ка и его сопротивление нагрузки (см. § 16.10).
Если реализуется полиномиальная передаточная функция, то в хо-
де разложения в продольных ветвях четырехполюсника выделяются
индуктивности, а в поперечных — емкости. В общем же случае разло-
жение должно вестись с учетом схемы реализующей цепи, чтобы в нуж-
ные ветви цепи входили колебательные контуры, обусловливающие
всплески ослабления фильтра.
Рассмотрим простейший пример расчета ФНЧ с характеристиками
Баттерворта, если граничная частота его полосы пропускания на уров-
не 3 дБ равна <оо = 104 1/с, а начиная с — 2<в0, рабочее ослабление
фильтра должно быть не менее 18 дБ. Внутреннее сопротивление генера-
тора Rt = 1000 Ом.
Поскольку в примере со = ш- 10-4 и при со = 2 ослабление фильт-
ра 10 1g (1 + <о2п) > 18 дБ условия задачи выполняются при п = 3,
когда \Н (уо>)|2 = 1/(1 + со6). Из сравнения с (20.9) следует h2 (со) ==
= со6 и h (р) = ±р3.
Передаточная функция Н (р) фильтра находится по значениям ее
полюсов, которые согласно (19 5) при п = 3 равны
. л . л 1	. Т/з
Р1,з=— sin — ±JCOS — = — — ± I -1__ И р2 =
л	л
= — sin — + j cos — = — 1 .
Поэтому п(р)=(р — Р1)(р — Рг)( р~ Рз)= Р®+2 р2-|-2р -f- 1 и
ц(р) р3 + 2р2 + 2р+1
Далее по формуле (20.11) определяются следующие два выражения
для возможного входного сопротивления нагруженного фильтра:
272+27+1	- ч 27з + 2? + 2?+1
zi (₽) = ~~~— и zi (р) = —~ ---------
2р3+2р2+2р + 1	2р24-2р+1
нормированные относительно сопротивления Rt = 103 Ом.
480
Им соответствуют следующие цепные дроби:
и Л(р) = Р+ — j—
2 Р 4- —-------------
Р +1
а дробям — схемы фильтров, показанные на рис. 20.14 На рисунках
приведены также нормированные значения элементов цепи. Нормирова-
ние велось относительно сопротивления /?0 = Rt = 1000 Ом и частоты
Шо = 1041/с, поэтому, например, в цепи со схемой рис. 20.14, a Rt —
=Zr.R0 = Ю3 Ом, = С3 = (С^Шо^о) = 0,1 мкФ и L2 = (Г2/?0/ш0) =
= 0,2 Гн (см. § 15 6).
Рассмотрим аналогичную задачу реализации передаточных функ-
ций фильтров лестничными ГС-реализационными цепями, но для режи-
ма односторонней нагрузки. Пусть это будет режим холостого хода, в
котором передаточная функция нагруженного четырехполюсника свя-
зана сего параметрами Zu (р) и Z21 (р) согласно (12.17) зависимостью
Z21 (Р)__^21 (Р) / R
Zn(p) + R “ i+Zn(P)/R '
В этой формуле по условиям задачи R =	— внутреннее сопро-
тивление генератора, а параметр Zn (р) — входное сопротивление реак-
тивного четырехполюсника в режиме холостого хода зажимов 2—2'.
Поэтому Zn (р) представляет собой реактансную функцию, равную сог-
ласно (16.9) отношению четной к нечетной или нечетной к четной частей
полинома Гурвица. Наконец, параметр Z21 (р) является нечетной дроб-
ной рациональной функцией с вещественными коэффициентами. Имен-
но простейшие подобные функции образуют коэффициенты системы уз-
ловых уравнений реактивного четырехполюсника, что и обусловливает
нечетность функции Z21 (р).
Допустим, что числитель f (р) реализуемой передаточной функции
(20.3) является четным полиномом или постоянной. Это характерно
для передаточных функций ФНЧ. Тогда
н (р) =	------------=
v(p)	ц(р)4-ц( — p) + v(p) — v( — р)
2j(P}
___У{Р)—У( — Р>
v (р) + р(—р)
П (р) — ц( —р)
Сопоставление обоих выражений для Н (р) позволяет найти пара-
метр
7 , .	»(₽) + »( —Р) „	/on 10 \
Zu(p)= ——--------------/?	(20.12а)
ц(р) —ц( —р)
Реализующего четырехполюсника
16 Зак. 1045	481
Если же / (р) — нечетный по-
лином, то
2ц (Р) —
V (P) — v ( —Р)
»(Р) + »(-р)
(20 126)
В обоих случаях Zu (р) бу-
дет реактанснои, a Z21 (р) — не-
четной функцией
Затем реактансная функция
Zu (р) разлагается в цепную
дробь Если реализуется полино-
миальная передаточная функция,
то разложение ведется по первой
форме Кауэра. В общем же слу-
чае при разложении в ветви лест-
ничных цепей вводятся, как и при
разложении функции (20.11), ко-
лебательные контуры, форми-
рующие всплески ослабления
фильтра При этом следует руко-
водствоваться одной из возмож-
ных схем фильтра
Найденный таким образом
лестничный реактивный четырех-
полюсник вместе с генератором
с чисто резистивным внутренним
сопротивлением и будет искомой
реализующей цепью. Значения параметров элементов четырехполюс-
ника определяются значениями элементов цепной дроби.
Аналогичные рассуждения показывают, что при реализации пере-
даточных функций для режима заданного входного напряжения разла-
гается в цепную дробь реактансная функция Y22 (р), для режима задан-
ного входного тока — функция Z22 (р) и, наконец, для режима коротко-
го замыкания — функция Уф] (р)
В качестве примера реализуем передаточную функцию четвертого
порядка фильтра нижних частот с характеристиками Баттерворта
_________________________1____________________________
“ 10“24 р4 4-2,613- 10-18-р3 ф-3,414-10~12 р2 + 2,613-10~8 + I
при условии, что к входным зажимам синтезируемой цепи подключается
источник тока, а выходные зажимы цепи нагружаются сопротивлением
R -= 135 Ом
Решая задачу, находим параметр Z22 (р) реализующего четырех-
полюсника Поскольку числитель реализуемой функции — постоянное
число, то в знаменатель Z22 (Р) должна входить нечетная часть полинома
Гурвица и поэтому
v(p) + v(-p)	10-24 р4 + 3,414• 10~12 p2-f-1
У.ЛЛ (р\ —-	/\	~	* CjtJ .
17 v(p) — v( — p}	2,613-10~18 р3 —2 ,613- 1О-«Р
482
Разложение этой функции в цепную дробь
Z22(P) = 51,66.1O-»
1
р +
8,018-10-9 р+----------------------------
212,9-10-8 р-4------!-----
И,34-10-9р
позволяет найти как схему реализующей цепи (рис. 20.15), так и значе-
ния ее параметров: = 51,7 мкГн; С3 = 8,02 нФ; Ьг = 213 мкГн и
Сх = 11,3 нФ.
На практике вместо индуктивностей с сопротивлениями
Zh = pLl; используются катушки индуктивности с сопротив-
лениями Z'k = pl.h + /?>., а вместо емкостей с проводимостя-
ми Yi = pCi — конденсаторы с проводимостями Y't = pCt 4-
Gi. Это, естественно, приводит к искажению реализуемых
характеристик, тем большим, чем ниже добротность исполь-
зуемых элементов.
Существует принципиальная возможность такого числен-
ного решения задачи аппроксимации, при котором заданные
требования к характеристике ослабления фильтра будут удов-
летворяться лестничным фильтром, реализованным на элемен-
тах с потерями. Можно также использовать найденное реше-
ние для филыра без потерь как начальное приближение при
решении соответствующей оптимизационной задачи (см. § 15.3).
Наконец, задачу реализации заданной передаточной функции
лестничной цепью на элементах с потерями можно решать и
аналитически, если значения добротностей всех элементов оди-
наковы и линейно возрастают с частотой, т. е. для случая так
называемых однородных потерь в элементах фильтра.
При решениях указанных задач следует учитывать, что с
ростом потерь и сужением полосы пропускания увеличивается
при прочих равных условиях минимально возможное значе-
ние ослабления фильтра в полосе пропускания, что сказывает-
ся на уровне реализуемой характеристики ослабления. Этим же
ограничиваются снизу допустимые значения добротностей эле-
ментов фильтра, а в ряде случаев обусловливается необходи-
мость применения высокодобротных кварцевых (электромеха-
нических) колебательных систем или активных цепей.
Таблицы данных лестничных LC-фильтров. Для облегче-
ния расчета лестничных L С-фильтров рассчитаны и сведены в
таблицы нормированные значения элементов фильтров ниж-
них частот с характеристиками Баттерворта, Чебышева и Зо-
лотарева для всех практически встречающихся значений по-
рядка передаточной функции ц, типовых значений неравномер-
ности характеристики ослабления фильтра в полосе пропуска-
ния Ла , а для фильтров с характеристиками Золотарева — и
16*	483
для ряда дискретных значении граничной частоты гарантиро-
ванного ослабления фильтра [5]
При вычислениях фазовых характеристик фильтров пере-
численных типов и при реализации их передаточных функций
каскадными Л/?С-структурами (см § 20 21 используются таб-
лицы, в которых приводятся значения полюсов передаточных
функций фильтров, а для фильтров с характеристиками Золо-
тарева — и значения нулей и полюсов дробей Золотарева со-
ответствующих порядков [101.
Цанные таблиц можно использовать для расчета фильтров
верхних частот, полосовых и режекторных с симметричными
характеристиками, если применить соответствующее преобра-
зование частоты.
Известны и используются таблицы нормированных данных
полиномиальных фильтров с характеристиками Баттерворта и
Чебышева, составленные для ряда дискретных значений доб-
ротностей элементов, используемых в фильтре Эти таблицы со-
ставлены в предположении однородных потерь в элементах
фильтра Опыт показывает (аналитическое доказательство от-
сутствует), что данные этих таблиц можно использовать, при-
нимая за табличные значения добротности среднее арифмети-
ческое добротностей элементов фильтра.
Применение табличных данных сводит расчет фильтра к де-
нормированию табличных данных ценой, как правило, отказа
от применения оптимальных решений, учитывающих особен-
ности каждой конкретной задачи
20.2. Фильтры ARC каскадной структуры
Активные /?С-фильтры каскадной структуры реализуются
в виде каскадного развязанного соединения простейших ак-
тивных ДС-звеньев, каждое из которых реализует один из мно-
жителей передаточной функции фильтра не выше второго по-
рядка и представляет собой сочетание пассивной ДС-цепи и
одного или нескольких усилителей.
Для звеньев АДС-фпльтров существует большое число кон-
кретных решений. Чаще других используются звенья, содер-
жащие усилители с конечным усилением и операционные уси-
лители, причем первые реализуются как правило, с примене-
нием втооых
Частотный диапазон, в котором могут использоваться ARC-
фильтры, определяется частотными свойствами используемых
усилителей. Их коэффициент усиления, начиная с некоторой
частоты, разной для различных усилителей, быстро убывает с
частотой, что обусловлено влиянием шунтирующих паразит-
484
НЬ[х емкостей в их каскадах (см. § 7.4) и приводит к искажени-
ям частотных характеристик фильтров и повышению их чувст-
вительности к дестабилизирующим воздействиям.
При анализе частотных характеристик А7?С-фильтров уси-
лители, используемые в фильтре, считаются идеальными, а
влияние изменения их характеристик с частотой на характе-
ристики фильтра оценивается по соответствующим функциям
чувствительности. Естественно, что при проектировании ARC-
фильтров учитывается также и влияние изменения пассивных
элементов фильтра на его характеристики, обычно тоже по
функциям чувствительности.
Быстрое совершенствование частотных свойств операци-
онных усилителей, снижение потребляемой ими мощности и
уровня собственных шумов обусловливает преимущественное
применение Д/?С-фильтров в перспективной аппаратуре.
Передаточные функции звеньев Л/?С-фильтров. Анализ
передаточных функций фильтров нижних частот, верхних час-
тот, полосовых и режекторных с равноволновыми, максималь-
но плоскими или иными характеристиками, полиномиальных
или с нулями передачи показывает (см. гл. 19), что любые из
перечисленных функций представляют собой произведение того
или иного числа простейших передаточных функций следую-
щих шести видов:
а) ; б) ; в) ------------------Ь-±---;
р+6	р+6	р2 + ар+₽
bp Р .	&о Р2 . Ьа (р2-^са^,)
Г' р2 + <хр+0 ’ р2 + ар+Р ’	р3 + а р+р
Передаточные функции фильтров нижних частот могут фор-
мироваться только из множителей вида а), в) и е), фильтров
верхних частот — из множителей вида б), д) и е), режекторных
фильтров — только вида е) и, наконец, полосовых фильтров
—- из множителей всех видов.
Функции вида а) и б) с вещественными полюсами, которые
всегда встречаются, если полином знаменателя передаточной
функции имеет нечетную степень, реализуются пассивны-
ми /?С-цепями. Их схемы показаны соответственно на
рис. 20.16, а и б. Активный элемент в виде, например, ин-
вертора напряжения (см. рис. 17.5, в) необходим при их реа-
лизации только для развязки подобных двухэлементных це-
пей со смежными каскадами.
В задачах синтеза звеньев А/?С-фильтров принято каждую
пару комплексных сопряженных полюсов — 6fe ± /со& реа-
лизуемой передаточной функции характеризовать ее частотой
и добротностью Q,, Формально эти параметры совпадают
485
(20.13)
с резонансной частотой <о0 и добротностью Q колебательного
контура с теми же полюсами, например последовательного ко-
лебательного контура с резонансной характеристикой
Н (п) = /(р) =	_______
{р> U(p) P2 + woP/Q-W Р24-26Ар+б2+<а^ •
Из сопоставления с (20.13) следует:
«ой = У₽ь = У^ + <4;
0 = УК _ y^Fw
h	2ф.
(20.14)
Значения добротностей полюсов, естественно, различны для
различных полюсов одной и той же передаточной функции и
для разных передаточных функций. У фильтров нижних частот
наибольшие значения добротностей полюсов их передаточных
функций изменяются от У2 у фильтров с характеристиками
Баттерворта при п — 2 до нескольких десятков единиц у
фильтров с характеристиками Золотарева при п > 8 и
Да =1 дБ и сотен и тысяч единиц у полосовых фильтров вы-
соких порядков.
В зависимости от добротности полюсов реализуемой переда-
точной функции используются различные типы звеньев Л7?С-
фильтров, а при высоких
значениях добротности при-
ходится вообще отказывать-
ся от ее каскадной реализа-
ции, поскольку чувствитель-
ность характеристик фильтра
к дестабилизирующим воз-
действиям становится недо-
пустимо высокой.
Звенья Л7?С-фильтров с
И НУ Н. Простейшие звенья
ARC- фильтров с переда-
точными функциями вида
(10.13 в, г, д), получившие
сравнительно широкое приме-
нение, содержат по одному
усилителю с конечным коэф-
фициентом усиления, свой-
ства которого при анализе
отождествляются со свой-
ствами ИНУН. Им может
быть, в частности, усили-
тель с инверсией или без
486
инверсии усиливаемого напряжения на базе операционного
усилителя (см. § 3.11).
Чаще всего для реализации передаточной функции (20.13в)
полиномиального типа применяется А/?С-звено, схема кото-
рого приведена на рис. 20.17. Система узловых уравнений для
этого звена была составлена в § 9.4. Ее решение относительно
выходного напряжения (/2 (р) — kUt (р) при нулевых на-
чальных условиях позволяет найти следующее выражение для
передаточной функции звена:
1Цр) =------
рЧ-р
fe/Ci С2 Ri Rz,
+ C2R2 c2r2) + c1c2r1r2
(20.15)
Его анализ показывает, что изменение коэффициента усиле-
ния усилителя и произведений RC позволяет в широких преде-
лах изменять расположение полюсов передаточной функции
звена и, в частности, придавать им любые комплексные по-
парно сопряженные значения, расположенные в левой полу-
плоскости. Кроме того, поскольку выходные зажимы звена и
его усилителя совпадают, входное и выходное сопротивления
звена различаются на несколько порядков.
Следовательно, рассмотренное звено, одно из ряда возмож-
ных, позволяет реализовать множители (20.13 в) передаточ-
ных функций AjRC-фильгров каскадной структуры. Каскадное
же соединение таких звеньев, дополненное при нечетном п
звеном с передаточной функцией первого порядка, может слу-
жить полиномиальным фильтром нижних частот с характе-
ристиками Баттерворта или Чебышева каскадной А7?С-струк-
туры.
Звенья фильтров с передаточными функциями (20.12д)
образуются, если в рассматриваемых звеньях резисторы заме-
нить конденсаторами, а конденсаторы — резисторами, т. е.
применить так называемое RC — С/?-преобразовапие.
Схемы двух звеньев с передаточными функциями (20.13г)
приведены на рис. 20.18. Эти звенья могут рассматриваться
как электронные модели колебательных контуров (см. § 7.5).
Простейшие звенья с передаточными функциями (20.13е),
с помощью которых в А/^С-фильтрах каскадной структуры реа-
лизуются всплески ослабления, содержат так называемые двой-
ные Т-образные четырехполюсники (рис. 2.19). При соотноше-
ниях между значениями элементов четырехполюсника, приве-
денных на рисунке, его передаточная функция
Н(Р)
U2 (₽)
р2 С2	!
и Ар)	ас* R2+p4CR+i
487
имеет простой нуль при частоте <о = MCR. Это и позволяет ис-
пользовать четырехполюсник для формирования нуля переда-
чи при w = UCR. Схема одного из звеньев А 7?С-фильтров с
передаточной функцией (20.13е) приведена на рис. 20.20.
Численные значения параметров звеньев активных RC-
фильтров находятся методом уравнивания коэффициентов (см.
§ 20.1). Так, при реализации передаточной функции (20.13в)
звеном с передаточной функцией (20.13) значения параметров
звена должны удовлетворять системе уравнений.
С —|- CaJ?i —С2/?2  feCjJ?!   , __1____ _ П .
С1С2 RtR2	~ ’ CjC2 RtR2 ~ ’
k . ,
------------
схс2 ryr2
которая образуется в результате приравнивания одноименных
коэффициентов реализуемой и реализующей функций. Прин-
ципиально важно, что число неизвестных в этой системе С\,
С2, /?!, R2, k оказывается больше числа уравнений, т. е. числа
независимых коэффициентов сс, (1 и Ьп реализуемой функции
(часто лишь а и 3). Превышение числа элементов, значения ко-
торых можно изменять независимо друг от друга в процессе
формирования требуемой характеристики, над числом уравне-
ний, которые можно составить уравниванием коэффициентов,
характерно и для других типов звеньев активных 7?С-фильтров.
Это и понятно, так как в 7?С-цепях порядок передаточной функ-
ции не выше числа емкостей, а значения коэффициентов функ-
ции определяются не только емкостями, но и резистивными со-
противлениями.
Обычно в указанной системе уравнений частью неизвест-
ных задаются. Их значения выбираются с учетом дополнитель-
ных требований к конструктивно-технологическим и электри-
ческим характеристикам звена. При этом решающими могут
оказаться соображения, связанные с уменьшением разброса
20.18
488
номиналов элементов звена, снижением необходимой при их
изготовлении точности, повышением устойчивости характерис-
стик звена к дестабилизирующим воздействиям, снижением
уровня собственных шумов звена и др.
Область применения звеньев Д7?С-фильтров с одним усили-
телем, как правило операционным, ограничивается допустимой
нестабильностью их частотных характеристик. Анализ соответ-
ствующих функций чувствительности к изменению пар аметров
звеньев показывает, что стабильность их частотных характе-
ристик уменьшается с ростом добротности полюсов реализуе-
мого множителя передаточной функции фильтра. Поэтому зве-
нья А7?С-фильтров с одним усилителем применяются или в
фильтрах с передаточными функциями невысоких порядков и
малой неравномерностью Да их характеристик ослабления в по-
лосе пропускания, или для реализации низкодобротных мно-
жителей А7?С-фильтров каскадной структуры с более совер-
шенными характеристиками.
Звенья А/?С-фильтров с операционными усилителями.
Можно повысить стабильность частотных характеристик звень-
ев второго порядка А7?С-фильтров или расширить их рабочую
полосу частот, если увеличить число операционных усилите-
лей и использовать их по прямому назначению, т. е. для моде-
лирования операций над сигналами. В § 17.8 была обоснована
возможность реализации полиномиальной передаточной функ-
ции второго порядка цепью с тремя операционными усилителя-
ми (см. рис. 17.8).
Обычно в звеньях с передаточными функциями (20.13 в—д)
используются не три, а два операционных усилителя. Это ока-
зывается возможным благодаря еще одному режиму включения
операционного усилителя в дополнение к рассмотренным в
§ 17.8 1см. рис. 17.5). Соответствующая схема показана на
рис. 20.21. Там же приведены и соотношения между /.-изоб-
ражениями напряжений на входах и выходе цепи, если опера-
489
ционный усилитель считается идеальным. Они легко устанавли-
ваются по схеме замещения операционного усилителя в виде
ИНУН с конечным значением коэффициента усиления ц после
предельного перехода ц —»- оо.
На рис. 20.22 приведена схема звена фильтра с двумя опера-
ционными усилителями и передаточной функцией второго по-
рядка вида (20.13 в). Действительно, L-изображения напряже-
ний U„ на выходе интегратора и П2п на его входе связаны
соотношением U„ = — С)2а1рСгЯг. Но из формул, приведен-
ных на рис. 20.21, следует, что
Поэтому
и  Ut R3 и2 Rs
~ p>Cfi2R,R2 RsVRi PC2R2 R3 + Rt p^C.CsR.R,
Аналогичное соотношение между /.-изображениями напря-
жений на входе и выходе справедливо и для звена с передаточ-
ной функцией

Ьо
Р2 + ар+р
которую можно преобразовать (см. § 17.7) к форме
U, = bQ —а —
Р2 р Р2
Следовательно, звено со схемой рис. 20.22 реализует пе-
редаточную функцию (20.13 в), если
-----!-----=Ь0; --------------!----=р:
R^-R,, C1C2R1Ri
-----
^2^2	f
490
т е, при	i С2/?2 —
__ р . R3
ab<t R3-\-Rf
Это же звено, если за его вы-
ходное напряжение принять
узловое напряжение Uin, бу-
дет иметь передаточную функ-
цию, которая .может отличать-
ся от функции (20.13 г) только
знаком, поскольку
t/2rr =
б'2п R3 U2ll
pC1/?l Ra + Rt PC2R2 R3 + Rt p2ClC3RlRz
Цепями с двумя операционными усилителями можно реализо-
вать и передаточные функции вида (20.13 д) и (20.13е), причем
последнюю без применения двойного Т-образного четырехпо-
люсника.
Специально для использования в звеньях А/?С-фильтров
разработана и выпускается промышленностью специальная
сборка, содержащая три операционных усилителя. Ее схема
приведена на рис. 20.23. Будучи дополнена навесными резисто-
рами и конденсаторами, эта сборка позволяет реализовать лю-
бую из передаточных функций (20.13) второго порядка. В част-
ности, с помощью этой сборки образовано звено фильтра со схе-
мой рис. 17.8. Схема же звена фильтра с передаточной функци-
ей (20.13 е) при Ьо < 0 изображена на рис. 2.24.
Приведенные примеры иллюстрируют возможность реализа-
ции передаточных функций звеньев Л AjC-фильтров цепями с
двумя и тремя операционными усилителями. Известны и дру-
гие звенья подобного типа, предложенные различными автора-
491
20.3, Лестничные ARC-фильтры
Последние годы все более широкое применение находят
ЛДС-фильтры лестничного типа, в которых тем или иным спо-
собом моделируются соотношения между напряжениями и то-
ками в лестничных LC-фильтрах. По сравнению с типовыми
Л7?С-фильтрами каскадной структуры их характеристики об-
ладают меньшей чувствительностью к дестабилизирующим воз-
действиям.
Моделируются, как правило, лестничные двусторонне на-
груженные LC-фильтры, значения относитетьных поэлемент-
ных чувствительностей характеристик которых меньше, чем у
односторонне нагруженных ZC-фильтров с теми же характе
ристиками.
Как и в других Л ДС-фильтрах, диапазон, в котором могут
использоваться лестничные А ДС-фильтры, ограничивается
частотными свойствами используемых операционных усилите-
лей.
Лестничные Д ДС-фильтры с гираторами. В простейшем ва-
рианте ДДС-фильтр лестничной структуры образуется, если
катушки индуктивности в лестничном АС-фильтре заменить их
электронными моделями Ими могут быть, в частности, гирато-
ры, нагруженные емкостью (см. §12 8)
Добротность индуктивностей, реализованных с помощью
гираторов, может достигать нескольких сотен единиц и тем
больше, чем ниже верхний предел частотного диапазона гира-
тора, в котором его свойства близки к свойствам идеального
гиратора
К сожалению, поскольку гираторы фильтра неизбежно
имеют общий источник питания, то все «гираторные индуктив-
ности» оказываются соединенными одним из своих зажимов
друг с другом или, иными словами, имеют общую землю Сле-
довательно, в рассматриваемом простейшем варианте можно,
заменяя кагушки фильтра гираторными индуктивностя-
ми, реализовать или лестничные фильтры верхних частот
(рис. 20.25), или простейшие полосовые фильтры. В фильтрах,
которые содержат индуктивности в продольных ветвях для ре-
ализации каждой индуктивной катушки, требуется не один, а
два гиратора. Легко убедиться в том, что цепи, схемы которых
показаны на рис. 20.26, полностью эквивалентны, если в пер-
вой из них используются идеальные гираторы, а вторая пред-
ставляет собой индуктивность, лишенную потерь. Для этого
проще всего сопоставить сопротивления холостого хода и ко-
роткого замыкания сравниваемых четырехполюсников.
Фильтры с гираторами не нашли широкого практического
применения, в частности, из-за высоких требований к идентич-
492
ности гираторов, используемых для реализации незаземлен-
ных индуктивностей В фильтрах же верхних частот, у которых
все индуктивности имеют по одному общему «заземленному» за-
жиму, для имитации элемента индуктивности используются
конверторы сопротивлений (см § 12 8)
Лестничные ДДС-фильтры с конверторами сопротивления.
Для того чтобы избавиться от индуктивностгй в составе лест-
ничного ЛС-фильтра и одновременно сохранить без Изменения
безразмерную передаточную функцию фильтра, разделим со-
противления всех ветвей фильтра на одну и ту же безразмер-
ную частотно зависимую величину /со C0Ra, что приводит к
изменению «масштаба», но не отношения сопротивлений При
такой замене элемент индуктивности с сопротивлением
переходит в резистивный элемент с сопротивлением Lk/CaR0,
резистивный элемент — в элемент емкости с сопротивле-
нием Дг/;соС0Д(1, а элемент емкости с сопротивлением 1//соСП1 —
в двухполюсник с частотно-зависимым отрицательным сопро-
тивлением — 1/о?СпС0Д0 Принципиальная возможность реа-
лизации двухполюсника с таким сопротивлением была показа-
на в § 12 8 Для этого используется конвертор сопротивления с
матрицей
о
1
(/шС0/?0)2
(20 16)
натруженный резистивным сопротивлением со стороны его за-
жимов /— /'
В результате лестничный 7-С-фильтр преобразуется в
фильтр с элементами Д. С и новым схемным активным элемен-
том с частотно-зависимым резистивным отрицательным сопро-
тивлением Z (/ы) = l/(/w)2D и проводимостью Y (/го) =
— (/ы)2 D. Схемное изображение этого элемента приведено на
рис 20 27
493
Преобразованная цепь должна быть такой, чтобы все ее
D-элементы имели по одному общему зажиму, т. е. общую
землю. Это обусловлено общим источником питания конвер-
торов и накладывает определенные ограничения на схемы пре-
образуемых цепей.
Ранее было показано, что, по крайней мере, в одном из ва-
риантов лестничной LC-реализации передаточной функции
фильтра нижних частот все емкости фильтра имеют общую зем-
лю. Следовательно, передаточные функции ФНЧ могут быть
реализованы лестничными А .КС-фильтрами в элементной базе
RCD.
На рис. 20.28 приведена схема лестничного АКС-фильтра
нижних частот с передаточной функцией Н (р) = U2/U0 пя-
того порядка, которая может быть точно такой же, как и у
фильтра со схемой рис. 20.8, б.
Лестничные А КС-фильтры верхних частот образуются, ес-
ли в схеме лестничного КС-фильтра верхних частот с заземлен-
ными индуктивностями заменить последние их электронными
моделями в виде конвертора сопротивления с матрицей
нагруженного резистором,
как, например, в схемах
ФВЧ, приведенных на рис.
20.25.
Показанная возможность
реализации лестничной ARC-
цепью передаточных функций
фильтров нижних и верхних
404
частот обусловливает возможность реализации ею и передаточ-
ных функций полосовых фильтров. На первом этапе заданная
передаточная функция реализуется лестничным LC-фильтром
в виде каскадного соединения лестничной цепи со всеми зазем-
ленными индуктивностями и лестничной же цепи со всеми за-
земленными емкостями (рис 20.29) Примером может служить
схема филыра с передаточной функцией 12-ю порядки и че-
тырьмя всплесками ослабления, приведенная на рис 20.12, в.
Разделим сопротивления все?; ветвей той части цепи, кото-
рая содержит заземленные емкости, на icoC0R0 и включим ее
через конвертор с А-матрицей (20 17), как показано на
рис 20 30. Эти преобразования не сказываются на передаточ-
ной функции цепи в целом Действительно, в рассматривае-
мых цепях (см рис 20 29 и 20 30) Z5 = Z 3/ju>C0R0, Z4 =
= icoCoRnZ5 = Z3 и поэтому Ut = U Но так как у конвер-
тора = 1 и Лг_ = 0, то (75 = 1/4, т. е. U5 — U3, От-
ношения напряжений на входе цепи с заземленными емкостя-
ми до и после ее преобразования одинаковы: UZIU у =- U'zlUs.
Но тогда равны и передаточные функции сравниваемых цепей.
Цепь со схемой, изображенной на рис. 20.30, после замены
в ней индуктивностей их электронными аналогами и является
20 29
495
искомой лестничной ЛЛ’С-цепью, реализующей передаточные
функции полосовых фильтров.
Найдем в качестве примера схему лестничного Л/?С-фильт-
ра с передаточной функцией десятого порядка и четырьмя
всплесками ослабления. Схема лестничного LC-фильтра со
структурой рис. 20.29, которая реализует заданную переда-
точную функцию фильтра, показана на рис. 20.31 , а, а соответ-
ствующая ей искомая схема лестничного Л/?С-<±>ильтра — на
рис. 20.31,6. На этих схемах сохранены индексы у исходных
и преобразованных элементов, а обозначения Л2э и 71э
приписаны электронным моделям индуктивностей L, и Lt.
20.4. Полиномиальные Л/?С-фильтры
с чр₽ззвенной связью
Другой принцип, который может быть положен в основу по-
строения Д/?С-фильтров, состоит не в замене их элементов бе-
зындуктивными, а в моделировании соотношений между на-
пряжениями и токами в лестничной цепи с помощью по сущест-
ву аналогового вычислительного устройства. Эти соотноше-
ния согласно (17.22) имеют рекуррентный характер и приводят
к простым и практически приемлемым решениям при модели-
496
ровании полиномиальных фильтров, получивших название
фильтров с чреззвенной связью.
На рис. 20 32 приведена схема лестничного полиномиаль-
ного фильтра нижних частот с нормированными значениями
его элементов. В смежных ветвях этой цепи L-изображения
напряжений и токов удовлетворяют соотношению (17.21),
которое для полиномиальной цепи может быть записано в виде
Xk-i —'ракХк-\-Хк+1,	(20.18)
за исключением первого и последнего контуров цепи. Для
них соответственно Хо -- (раг ф 1) Хг + Х2 и Хад_2 =
= (р^2'{-1 Н" 1) ^2№-1-
Соотношение (20.18) моделируется цепочкой из чередую-
щихся инверторов напряжения и интеграторов-сумматоров, ко-
торые будем считать идеальными (см.рис 17.5). Схема цепи с
нормированными значениями резистивных сопротивлений
R ~ 1 (они все одинаковы) и емкостей аг[ приведена на
рис. 20.33.
В соответствии с свойствами интегратора-сумматора при
R — 1, Ск ~ а,, и принятыми на рис. 20.33 положительными
направлениями L-изображений напряжений имеем
=	^ + -^4 т- е- £4-1-р^г4+<4+1-
\ P«ft ра,к /
Аналогично
II	{ —Uh-г !	\
uk-l —	I	I ’
\ рс^. Р ait-1 /
т. е. ик-ъ==рак-1ик-1 + ик и т. д.
Следовательно, рассматриваемая цепь действительно моде-
лирует рекуррентное соотношение (20 18). При этом напряже-
497
ния и токи в исходно» полиномиальной цепи моделируются
численно равными им напряжениями в моделирующей цепи.
Схемы цепей, моделирующих процессы в контурах генера-
тора и нагрузки рассматриваемого полиномиального фильтра,
показаны на рис. 20 34, а и б соответственно. Отличие состоит
лишь в том, что для моделирования резистивного внутреннего
сопротивления генератора (нагрузки) к входу интегратора-
сумматора, ближайшего к генератору (нагрузке), дополнитель-
но подается через резистивное сопротивление /? = 1 еще и на-
пряжение с его выхода, которое суммируется им, как и любые
другие напряжения Усилитель-инвертор на входе цепи можно
исключить, если допустимо изменение знака реализуемой пе-
редаточной функции Тогда, как легко убедиться, -- Uo
“ П Т рУ-i) U. U2,	U2^—2 ~ (i “ Рг%2\— 1) 7/2\'~ 1	И
и IN = если 7?^-! = 1
Приведенные соотношения показывают, что нормирован-
ные значения емкостей цепи совпадают с данными таблиц для
двусторонне нагруженных полиномиальных фильтров, от-
куда их и следует заимствовать Применение преобразования
CR — RC позволяет реализовать аналогичной структурой
передаточные функции фильтров верхних частот, если все их
нули расположены при р = О
498
20.5. Фильтры с переключаемыми конденсаторами
В последние годы в связи с успехами микроэлектронной
технологии МДП (металл-диэлектрик-полупроводник) оказа-
лось возможным изготовление за один технологический цикл
активного фильтра в виде монолитного устройства. Это позво-
ляет существенно снизить стоймость тех фильтров, которые
выпускаются массовыми тиражами.
Один из перспективных путей изготовления монолитных
фильтров основан на замене в Л/?С-фильтре резисторов их ана-
логами в виде переключаемых конденсаторов. Каждый такой
«резистор» содержит конденсатор и переключатель. Переклю-
чатель с тактовой частотой Д. подключает конденсатор то к од-
ному, то к другому зажиму «резистора» (рис. 20 35). За время
нахождения ключа у одного из контактов, например левого
(см. рис. 20.35), конденсатор заряжается до напряжения
а после его подключения к правому контакту разряжается или
заряжается до напряжения w2. За каждый цикл переключения
слева направо переносится заряд q = CouL — С0и2 =
— Со («1 — и2), а в единицу времени — заряд /т<? =
= Д Св(и1 — ц2) Заряд frq характеризует среднее значение
тока в проводах, подходящих к контактам ключа. Такой же
только непрерывный ток проходил бы в тех же проводах,
если бы между ними был включен резистор с сопротивлением
R - 1/(ДС0).	(20.19)
Будем считать, что тактовая частота значительно превышает
верхнюю граничную частоту рабочей полосы частот сигнала.
Тогда влиянием дискретизации тока можно пренебречь и, сле-
довательно, считать, что переключаемым конденсатором дейст-
вительно можно заменить резистор.
Переключатель в рассмотренном эквиваленте резистора реа-
лизуется двумя МДП-транзисторами, которые управляются
с частотой /т напряжениями противоположных полярностей
(рис. 20.36).
499
На рис. 20 37 приведена схема интегратора с операцион-
ным усилителем после замены резистора с сопротивлением
переключаемым конденсатором. У этого интегратора
(р) = -	UY (р)	(20.20)
р CR	рС
Смысл замены резисторов переключаемыми конденсатора-
ми состоит, во-первых, в том, что площадь кристалла, необхо-
димая для реализации переключаемого конденсатора, обычно
на два порядка меньше, чем необходимая для реализации ре-
зистора с тем же сопротивлением, и уменьшается с увеличе-
нием сопротивления Во-вторых, и это главное, характеристики
цепей с переключаемыми конденсаторами зависят не от аб-
солютных значений элементов емкости, а от их отношения. Это
следует как из приведенных формул, так и из формул к
рис. 17 5 после замены резисторов в интеграторе-сумма-
торе переключаемыми конденсаторами и конденсаторами в уси-
лителе-сумматоре и усилителе-инверторе
Таким образом, проблема реализации с высокой точностью
абсолютных значений сопротивлений резисторов и емкостей
конденсаторов в активном А’С-фильтре заменяется проблемой
реализации с той же точностью отношений между емкостями
в фильтрах.с переключаемыми конденсаторами. Но последняя
решается почти автоматически,если фильтр изготовляется ме-
тодами, интегральной технологии в одном технологическом
цикле.
Поскольку замена резисторов переключаемыми конденсато-
рами возможна во всех Д/?С-цепях, моделирующих основные
математические операции над сигналами, такими цепями
принципиально возможно реализовать передаточные функции
рассмотренных выше каскадных и лестничных А/?С-фнльтров.
1 Высочайшее входное сопротивление МДП-транзисторов делает
эту замену допустимом вплоть до весьма низких частот
500
Однако ограниченный частотный диапазон реальных транзис-
торов и необходимость в существенном превышении тактовой
частотой высокочастотных составляющих помех, которые долж-
ны быть подавлены фильтром, существенно ограничивают свер-
ху область частот, в которых могут использоваться рассматри-
ваемые фильтры. Прототипами для фильтров с чреззвеной
связью служат лестничные двусторонне нагруженные I.C-
фильтры и их Д/?С-апалоги.
Рекуррентное соотношение (17.21) в фильтрах нижних
частот с переключаемыми конденсаторами реализуется с по-
мощью дифференциального интегратора, схема которого приве-
дена на рис. 20.38 В этом интеграторе с помощью двух син-
хронно и синфазно работающих переключателей к входу опе-
рационного усилителя подводится дискретизированная раз-
ность двух напряжений: ti'i и и{. Поэтому в формуле (20.20)
и, (р)	(д) и и2 (р) = -	[(/? (р)	(/,)] .
р	(20.21)
Обозначая t/2 (р) — Хк, U\(p) — Хк-х и t/'[ (р) = Хк+1, имеем
= р-±- Хк + Xh+1,	(20.22)
/Т ^0
что соответствует соотношению (20.18) между напряжениями в
контурах и токами в узлах реактивного лестничного полино-
миального четырехполюсника.
Очевидно, в схеме, изображенной на рис. 20.33, можно за-
менить пару из усилителя-инвертора и интегратора дифферен-
циальным интегратором (рис. 20.38). Во входной и выходной
дифференциальные интеграторы параллельно их конденсаторам
вводятся переключаемые конденсаторы. Они имитируют со-
противления нагрузок фильтра (см. рис. 20.34). Все переключа-
тели фильтра должны работать с одной и той же тактовой час-
тотой, а их фазы находиться в определенных соотношениях.
Это частично отражено на схеме рис. 20.39.
501
Генератор тактовой частоты изготовляется на том же крис-
талле, а его частота, изменение которой позволяет пропорци-
онально изменять характеристики фильтра, определяется
обычно внешним (навесным) элементом. Фильтры с переключа-
емыми конденсаторами используются и для реализации пере-
даточных функций с всплесками ослабления. При этом их про-
тотипами могут быть или лестничные НДС-фильтры с /?-эле-
ментами, пли чаще фильтры с чреззвенной связью.
20.6. Кварцевые фильтры
Для реализации передаточных функций полосовых фильт-
ров с весьма узкой относительной шириной полосы пропуска-
ния (до десятых и сотых долей процента) нельзя применять ни
катушки индуктивности, ни их электронные аналоги, ни
А ДС-структуры, поскольку все они не обладают должной ста-
бильностью параметров и требуют элементов с очень высокой
добротностью. В этих случаях вынужденно применяются дис-
кретные или монолитные кварцевые реализующие структуры,
в которых тем или иным способом используется присущее
кварцу явление пьезоэффекта.
Находят известное применение и фильтры, в которых ис-
пользуются другие материалы, обладающие пьезоэффектом.
Однако по стабильности характеристик и достижимой узко-
полосности они существенно уступают кварцевым.
Кварцевые резонаторы. Кварцевые фильтры дискретной
структуры собираются из дискретных компонентов в виде кон-
денсаторов и кварцевых резонаторов
Пьезоэлектрическим (кварцевым) резонатором называется
электромеханическая колебательная система, состоящая из
пьезоэлектрика (кварца) и двух токоподводящих электродов.
Она способна преобразовывать электрическую энергию в энер-
гию механических колебаний и обратно Действие резонатора
основано на явлении пьезоэффекта: при деформации тел, из-
готовленных из некоторых кристаллов (пьезоэлектриков), на
их поверхностях образуется электрическое напряжение, по-
лярноояъ которого изменяется с изменением знака деформации.
Явление пьезоэффекта обратимо если между теми же поверх-
ностями пьезоэлектрического тела приложить электрическое
напряжение, то тело деформируется, причем знак деформации
изменяется с изменением полярности напряжения
В простейшем случае пьезоэлектрическим резонатором яв-
ляется пластина, имеющая форму параллелепипеда и вырезан-
ная определенным образом относительно кристаллографи-
ческих осей пьезоэлектрического кристалла Направление
главных граней: пластины относительно кристаллографических
502
осей называется срезом и яв-
ляется одной из основных ха-
рактеристик пластины. На
две противоположные грани
этой пластины наносятся ме-
таллические электроды с то-
копроводящими выводами,
образующими два выходных
зажима резонатора. Кон-
струкция пьезорезонатора
приведена на рис. 20.40, а,
а условное схемное изобра-
жение пьезорезонатора — на
рис 20 40, б.
Кварцевый резонатор является механической колебатель-
ной системой с распределенными постоянными — массой, гиб-
костью и трением (см. § 2.7). По отношению же к внешней элект-
рической цепи он представляет собой двухполюсник, единст-
венной электрической характеристикой которого является его
входное сопротивление.
Если затормозить механические колебания в резонаторе,,
то его входное сопротивление не будет отличаться от сопротив-
ления конденсатора с диэлектриком из пьезоэлектрического
материала, поскольку конструкция резонатора не отличается»
от конструкции простейшего конденсатора Емкость Со соот-
ветствующего конденсатора называется статической емкостью
резонатора
Реакция колеблющегося резонатора изменяет его проводи-
мость При этом чем меньше частота колебаний отличается отг
частоты а>д собственных незатухающих колебаний пластины»
как механической колебательной системы, тем больше ампли-
туда ее колебаний и амплитуда реакции колеблющегося!
резонатора.
Если пренебречь весьма малыми потерями на трение в ко-
леблющейся пластине и потерями на излучение колебаний »
окружающую среду, то в области частот, ближайших к паиниз-
шей (основной) частоте собственных незатухающих колебаннйс
пластины, входная проводимость резонатора достаточно точ-
но аппроксимируется выражением
У (/®) = /со Со Н------!--j-----.
L<rsr —
/СО Cq
Второе слагаемое в этом выражении и характеризует влияние
колебаний резонатора на его входную проводимость.
503
Последнему выражению соответствует электрическая схема
замещения резонатора, представленная на рис. 20.41. В нее
помимо емкости Со входит последовательный колебательный
контур LqCq, отображающий механическую колебательную сис-
тему. Элементы Lq и Cq получили названия соответственно ди-
намической индуктивности и динамической емкости резонатора.
Выражение для входной проводимости схемы замещения
резонатора можно преобразовать к виду
Y Ы = Со (1 +	= > С„ 4=4 .
\	\-~(^LqCq)	С0|—СО-
ГДе (Од =	,	— И (Ор = (Од 1 4“ Cq/Cq (Од.
V (-Q С д
Частота (од совпадает с частотой свободных колебаний ме-
ханической колебательной системы, обычно самой низкой. До-
бротность колебательного контура I qCq в схеме замещения
кварцевого резонатора весьма высока и в зависимости от типа
среза и особенностей конструкции может изменяться от нес-
кольких десятков тысяч до нескольких миллионов.
Важно, что у кварцевого резонатора частоты (о5 и гор
близки одна к другой. Относительная величина резонансного
промежутка (®р — fi>g)/<o? у кварцевых резонаторов не пре-
вышает 0,4%. Это существенно ограничивает сверху допусти-
мую относительную ширину полосы пропускания кварцевого
фильтра и обусловлено тем, что статическая емкость кварцевого
резонатора превышает его динамическую емкость более чем в
100 раз. Верхний предел для значения основной частоты сво-
бодных колебаний пластины определяется возможностью из-
готовления резонаторов с необходимой точностью их геомет-
рических размеров, т. е. достигнутым уровнем технологии
кварцевого производства.
Значительно более высокой частотой свободных колебаний
обладает конструкция кварцевого резонатора, схематически
504
представленная на рис. 20.42. В этой конструкции срез и тол-
щина пластины, масса и размеры электродов подобраны таки-
ми. чтобы амплитуды свободных механических колебаний нуж-
ной частоты были наибольшими в междуэлектродном прост-
ранстве и быстро убывали с удалением от него. Благодаря кон-
центрации («захвату») энергии основного колебания в резона-
торе на одной пластине («кварцевой подложке») соответствую-
щих размеров можно разместить несколько обособленных («ча-
стных) резонаторов, если расстояния между ними будут доста-
точно большими.
Дискретные кварцевые фильтры. Дискретные кварцевые
фильтры могут иметь или лестничную, или мостовую струк-
туру.
Лестничными кварцевыми фильтрами из-за особенностей
частотных зависимостей кварцевых резонаторов можно реали-
зовать только такие передаточные функции, которые имеют
простые нули при р = 0 и р = оо и пары мнимых сопряженных
нулей при р =± если пренебречь потерями в элемен-
тах фильтра. Каждой такой паре соответствуют всплеск ос-
лабления при частоте и наличие кварцевого резонатора в
продольной или поперечной ветви фильтра.
В качестве примера на рис. 20.43 приведена схема лестнич-
ного кварцевого фильтра с передаточной функцией десятого
порядка. Схемы трехэлементных двухполюсников, которые
входят в поперечные и продольные ветви схемы рис. 20.43, сов-
падают со схемами замещения кварцевых резонаторов. Одна-
ко они могут быть реализованы кварцевыми резонаторами толь-
ко в том случае, когда в каждой из этих схем отношение емко-
стей CJCg будет не меньше того, которое имеют используемые
резонаторы. Для этого необходимо, чтобы общая ширина поло-
сы частот, в которой расположены все всплески ослабления
фильтра и его полоса пропускания, не превышала двух резо-
нансных промежутков кварцевых резонаторов, причем, оче-
505
видно, полоса пропускания
составляет лишь часть этой
общей полосы частот
В общем случае в лестнич-
ном кварцевом фильтре кон-
денсаторы могут быть включе-
ны с некоторыми кварцевыми
резонаторами фильтра сов-
местно или образовывать до-
полнительные ветви фильтра.
Их введение и позволяет ис-
пользовать резонаторы с при-
емлемыми параметрами
Мостовые кварцевые фильтры используются в случаях, ког-
да необходима большая, чем у лестничных кварцевых фильт-
ров, относительная ширина полосы пропускания Еще большей
широкополосностью обладают кварцевые мостовые фильтры с
расширительными катушками индуктивности
Монолитные кварцевые фильтры. Последние годы значи-
тельное внимание уделяется совершенствованию методов рас-
чета и технологии изготовления монолитных фильтров Моно-
литный кварцевый фильтр представляет собой совокупность не-
скольких частных резонаторов, выполненных методами сов-
ременной микроэлектронной технологии на одном и том же ос-
новании (кварцевой подложке) и образующих благодаря их
близкому расположению друг к другу единую электромехани-
ческую колебательную систему Схематическое изображение
конструкции монолитного фильтра приведено на рис. 20.44.
В электрическую цепь включаются только крайние резона-
торы, которые работают как преобразователи электрических
колебаний в механические. Средние резонаторы являются чис-
то механическими. Они связаны друг с другом акустически и
используются как преобразователи лишь при настройке фильт-
ра 4 аким образом, по принципу действия монолитные фильт-
ры относятся к классу электромеханических.
На рис 20 45 приведена приближенная электрическая схе-
ма замещения монолитного фильтра. Здесь Lqk и Сдк —
динамические индуктивности и емкости частных резонаторов;
Со и Со — статистические емкости входного и выходного резо-
наторов; Cft емкости, отображающие акустическую
связь между резонаторами.
Передаточные функции монолитных квариевых фильтров
имеют простой нуль при р — 0 и полином степени 2/г ф 2 в
знаменателе, если в фильтр входит п резонаторов.
Кварцевые фильтры на ПАВ. Кварцевый фильтр на поверх-
ностных акустических волнах (ПАВ) представляет собой тон-
506
кую кварцевую пластину с нанесенными на ее поверхность дву-
мя группами электродов — входных и выходных. При анализе
и синтезе таких фильтров используются обычно их импульс-
ные, а не частотные характеристики
В качестве простейшего примера на рис. 20 46 приведено
схематическое изображение фильтра на ПАВ с импульсной ха-
рактеристикой в виде отрезка гармонического колебания за-
данной частоты (см. рис. 11 7). Фильтры с такими характе-
ристиками оптимально решают задачу обнаружения одиноч-
ного радиоимпульса в флуктуационном шуме с равномерной
спектральной плотностью средней мощности (см § 11 7), если
частоты заполнения и длительности импульса и импульсной ха-
рактеристики фильтра одинаковы
Пусть к входу I — Г фильтра подведено импульсное воз-
действие. Благодаря пьезоэффекту в первый момент после
окончания воздействия на поверхности кварцевой пластины
между входными электродами образуются перемежающиеся
от электрода к электроду области сжатия и растяжения мате-
риала пластины На поверхностях же этих областей, также бла-
годаря пьезоэффекту, возникают напряжения, знаки которых
определяются знаками деформации. Области механической де-
формации материала пласти-
ны, образовавшиеся в резуль-
тате импульсного воздей-
ствия, распространяются в
направлении выходных элек-
тродов 2—2', образуя по-
верхностную акустическую
волну, подобную волне, рас-
пространяющейся в бассейне
по его длине. Одновременно
с акустической волной рас-
пространяется и неразрывно
20.46
507
связанная с ней волна напряжений перемежающихся зна-
ков, образовавшаяся на поверхности пластины.
Если расстояния между смежными электродами во входной
и выходной группах одинаковы, то по мере прохождения волны
на выходных электродах образуется последовательность
пульсов напряжений конечной длительности и перемежающих-
ся знаков. Общее число знакоперемен в этой последовательно-
сти определяется числом входных электродов. После фильтра-
ции высокочастотных составляющих образуется требуемая
импульсная характеристика—радиоимпульс с прямоугольной
огибающей. Амплитудно-частотная характеристика рассмот-
ренного фильтра согласно (11.30) совпадает со спектральной
плотностью амплитуд отрезка гармонического колебания (см.
рис. 11.8)
Изменяя число, расположение и длину электродов фильтра,
можно формировать импульсные характеристики, соответст-
вующие реализуемым передаточным функциям. При этом кон-
струкцией фильтра предусматриваются меры, позволяющие
снизить влияние паразитных волн, обусловленных, в частно-
ти, отражением волны от краев пластины.
Фильтры на ПАВ используются в качестве согласованных
(с сигналом) или узкополосных фильтров для селекции сигна-
лов по частоте. К первым относится и фильтр с рассмотренны-
ми выше характеристиками.
Глава 21.
ФАЗОВРАЩАТЕЛИ И ЛИНИИ ЗАДЕРЖКИ
21.1.	Фазовращатели и их частотные
характеристики
Фазовращателем называется линейный четырехполюсник с
частотно-независимым ослаблением и частотно-зависимой фа-
зовой характеристикой. Передаточная функция фазовращате-
ля, нормированная по уровню так, чтобы ослабление контура
было равно нулю, представляет собой отношение сопряженного
полинома Гурвица к полиному Гурвица-
Н (р) = v(-p)/v(p).	(21.1)
При р = /со модуль комплексной передаточной функции фазо-
вращателя, которую согласно (17.3) можно записать в виде
Н (/©) = -	(21.2)
А (<,>2) 4-д,>В (<,?)
508
действительно не зависит от частоты и тождественно равен
единице
Фазовращатели находят широкое и разнообразное примене-
ние Они позволяют «запомнить» на заданное время аналого-
вые сигналы, корректировать фазо-частотные характеристики
каналов связи, формировать однополосные и сложные импульс-
ные сигнаты, осуществлять оптимальные системы выделения
сигнала из его смеси с шумами изд
Классифицируются фазовращатели в соответствии с поряд-
ком их передаточных функций В частности, у Фазовращателей
первого порядка
Н (р) = (- р - 6)/ (р 4 6),	(21 3)
второ!о порядка
Н (р) -= (р2 - ар + $)'(р- И- а-р 4- [3)	(21 4)
и т д
Ясно, что фазовращатели относятся к числу неминималь-
но-фазовых цепей
Частотные зависимости между Фазами гармонических коле-
баний в фазовращателях, как в электрических фильтрах, при-
нято оценивать их фазовыми характеристиками b (со) —
= — 0 (w) или характеристиками группового времени про-
хождения tr (w) - db (ы)4(ы (см § 19 8)
Апгумент знаменателя в формуле (21 2) является аргумен-
том полинома Гурвица v (р) при р — /ш, для которого ранее
(см § 9 10) было введено обозначение (оз) Аргумент же чис-
лителя отличается от него знаком Следовательно,
b (Ы) = 2<рг (<о) 2Arctg —	.	(215)
/ у (/«) f-о ( — /ю)
В силу установленных ранее свойвтв функции <рг фазовые
характеристики фазовращателей являются монотонно возрас-
тающими функциями частоты, которые с изменением частоты
от 0 до оо получают приращение ил, т е у фазовращателей по-
рядка п
b (оо) — Ь (0) = пл	(21 ба)
Поскольку фазовая характеристика фазовращателя воз-
растает с частотой, его групповое время прохождения не может
принимать отрицательных значений При этом из определения
функции tT (w)
( te («) dm — ( db («) = пл	(21 66)
b	о
509
Это означает, что площадь, ограниченная функцией /г (ы) и
полуосью абсцисс со > 0, не зависит от индивидуальных осо-
бенностей фазовой характеристики фазовращателя, а опреде-
ляется только его порядком.
Поскольку полином Гурвица разлагается на произведение
полиномов не выше второго порядка с вещественными положи-
тельными коэффициентами, передаточную функцию фазовра-
щателя всегда можно представить в виде произведения
Н (р) =
р2—аг Р + $г
р2 + аг р + Р,
— р+5„2г р2 —tzt p-j-fl,
/’ + б(г_2г Р2 + а1₽+Р1
(21.7)
т. е. произведения передаточных функций фазовращателей не
выше второго порядка.
Следовательно, фазовые характеристики и характеристики
группового времени прохождения фазовращателей представ-
ляют собой суммы соответствующих характеристик фазовраща-
телей не выше второго порядка — фазовых звеньев.
График фазовой характеристики фазового звена первого по-
рядка
b (со) — 2 arctg (ш/6)	(21.8а)
приведен на рис. 21.1. Там же изображена частотная зависи-
мость группового времени прохождения того же звена-
tr (И) =	.	(21.86)
dto <о2	62
При любых значениях коэффициентов 6 (д > 0) фазовая харак-
теристика звена первого порядка возрастает от нуля при со =0
до л при бесконечно высокой частоте. Частотная же зави-
симость группового времени прохождения звена имеет убыва-
ющий характер и стремится к нулю при ш оо . Увеличение
значения 6 приводит к пропорциональному растяжению шка-
лы частот и пропорциональному же сжатию шкалы времени.
Частотные зависимости звена второго порядка
Ь (со) = л ф- 2 arctg м	(21,9а)
асо
и /	---2к --------- (21.96)
da>	(а2 — Р)2 + а2 <и2
представлены для частного случая р — а2 на рис. 21.2.
См. примечание на стр. 250.
SI0
При любых значениях коэффициентов а и [3 (а > О,
Р > 0) фазовая характеристика звена растет от нуля при
со = 0 до 2 т при бесконечно высокой частоте, а частотная за-
висимость группового времени прохождения может иметь один
максимум.
Исследования показывают, что функция (21 96) имеет мак-
симум, а функция (21.9а) точку перегиба, когда а2 < 3(3
При а2 > ЗР функция (21.96) монотонно убывает При
а2 > 4(3 полином v (р) = р2 + ар > р имеет вещественные
нули. Тогда фазовое звено второго порядка эквивалентно це-
почке из двух фазовых звеньев первого порядка и, следова-
тельно, его частотные характеристики Ь (со) и 1Г (со) представ-
ляют собой сумму характеристик соответственно вида (21.8а)
и (21.86).
21.2.	Фазовые звенья
Фазовращатели, как правило, представляют собой или кас-
кадно согласованное соединение пассивных, ичи каскадно раз-
вязанное соединение активных фазовых звеньев. Каждое фа-
зовое звено реализует один из множителей разложения (21.7).
Поскольку передаточные функции фазовых звеньев являются
неминимально-фазовыми, то для их реализации пассивными
цепями можно использовать мостовые четырехполюсники
(см. § 17.6).
Сопротивления ветвей мостового базового звена первого по-
рядка, у которого Н (р) = (— р+6)'(р + 6), должны соглас-
но (17.18) составлять Za (р) pRa /6 и Zb (р) = 6/?0/р.
Следовательно, в одну пару ветвей входят индуктивности, а в
другую — емкости- La — Ro/8; Сь ~ 1/(6/?0). Соответствую-
щая схема показана на рис. 21 3. а. В ветви мостового фазового
511
звена второго порядка долж-
ны быть включены двухпо-
люсники с сопротивлениями:
Функции Za (р) соответствует параллельный реактивный
колебательный контур, у которого La = aR0 /|3 и Са =
=	Двухполюсник же с сопротивлением Zb (р) — это
юследовательный реактивный колебательный контур, причем
'Ь — Ro'a и Сь = а /(Р7?о). Схема мостового фазового звена
ггорого порядка показана на рис. 21.3, б.
Каскадное согласованное включение фазовых звеньев пер-
вого и второго порядков с найденными значениями элементов
1 образует сложный фазовращатель, с помощью которого
ложно реализовать любую заданную передаточную функцию
зида (21.1)
С целью уменьшения числа реактивных элементов при ка-
скадной реализации широко применяются фазовые звенья,
эквивалентные мостовым. Схемы подобных звеньев второго
чорядка приведены на рис. 21.4. Они находятся в результате
реализации функции (21.4) цепью с трансформатором. Соот-
зетствующая исходная схема показана на рис. 21.3, б
Примеры схем фазовых А/?С-звеньев первого и второго
порядков приведены на рис. 21.5. Передаточные функции соот-
512
ветствующих цепей, если операционные усилители считать
идеальными,
Н (р) = —— рС	;	(21. Юа)
PC^+I	’
fj (п) =	^4 Рг £1 ^2 Ri~hP (Cl ffl-l-Cz Rl-УС± /?2) -1- 1
(21.106)
где у — R3/Ri. Эти функции будут передаточными функциями
фазовых звеньев, если yR3 =- л yCrR2 — 2 (Сх -}- С2) R}.
Значения параметров элементов фазовых звеньев находят-
ся методом уравнивания коэффициентов, причем, как и в зада-
чах синтеза активных Т^С-фильтров, следует или задаваться
значениями некоторых из них, или вводить в систему допол-
нительные уравнения (см. § 20.2). Каталоги схем фазовых
звеньев и рекомендации по расчету фазовых звеньев и фазо-
вращателей приводятся в соответствующих справочниках,
например в [8].
Применяются и другие фазовые Д/?С-звенья с одним и дву-
мя операционными усилителями. Последние позволяют или
снизить чувствительность характеристик звена к дестабилизи-
рующим воздействиям, или расширить рабочую полосу частот
звена.
21.3.	Линии задержки 
При решении многих задач техники связи и родственных ей
областей техники возникает необходимость в построении элект-
рической цепи, которая запоминала бы аналоговый сигнал на
заданное время. На выходе такой цепи спустя заданное время
повторяется с допустимыми искажениями формы сигнал, под-
17 Зак. 1045	513
веденный ко входу цепи. Подобные цепи называются линиями
задержки.
Передаточная функция идеальной линии задержки должна
удовлетворять условиям безыскаженной передачи (см. § 11.9).
Поэтому в пределах всей рабочей полосы частот сигнала значе-
ния амплитудно-частотной характеристики линии задержки не
должны изменяться с частотой, а ее фазовая характеристика
должна быть линейной функцией частоты: b (<о) — — fl (ы) =
= <о/0. Время задержки сигнала цепью с такими характерис-
тиками совпадает с наклоном фазовой характеристики цепи и
равно t0 — db
Характеристиками идеальной линии задержки обладает
согласованно нагруженная линия без потерь. Амплитудно-час-
тотная характеристика отрезка такой линии не зависит от час-
тоты и равна единице. Собственная же фаза отрезка В/ —
=• <bVz,0C0/, которая лишь знаком отличается от фазо-частот-
ной характеристики согласованно нагруженного отрезка, ли-
нейно возрастает с частотой. Время задержки сигнала в та-
ком согласованно нагруженном отрезке линии /г — dfil/dm =
= Vl~coi.
Запаздывание сигнала обусловливается конечной скоро-
стью распространения электромагнитных волн, поэтому тот
же результат можно получить, если разделить длину отрезка
на скорость распространения электромагнитного возмущения
вдоль линии (фазовую или групповую). Достижимое время за-
держки у такой линии невелико, иначе она не может рассмат-
риваться как линия с пренебрежимо малыми потерями и ее ха-
рактеристики могут существенно отличаться от необходимых.
В области низких частот при необходимости увеличения вре-
мени задержки применяются реактивные четырехполюсники с
сосредоточенными элементами, частотные характеристики ко-
торых аппроксимируют характеристики идеальной линии за-
держки. Для этого используются фазовращатели. При согла-
сованной нагрузке амплитудно-частотная характеристика фа-
зовращателя не изменяется с частотой, и поэтому одно из ус-
ловий безыскаженной передачи выполняется точно. Тогда за-
дача сводится к синтезу такого фазовращателя, у которого
в заданной полосе частот (где располагаются энергетически
значимые составляющие сигнала) фазовая характеристика
близка к линейной или частотная зависимость группового вре-
мени прохождения близка к некоторой постоянной. Соответст-
вующие аппроксимационные задачи будут рассмотрены в
§21.4.
Линии, рассчитанные на большое время задержки, содер-
жат несколько одинаковых секций. Это упрощает настройку,
514
позволяет унифицировать элементы и составлять из одних и
тех же секций линии, рассчитанные на различное время за-
держки (линии задержки с отводами).
21.4.	Линии задержки с равноволновыми
частотными характеристиками
Решая задачу синтеза линий задержки на фазовых конту
рах, необходимо найти такой полином Гурвица v (/?), у которо-
го в заданном частотном интервале функция <рг (со) =
= arg v (/со) аппроксимировала бы линейную зависимость
g (w) =» «г или функция фр (со) аппроксимировала бы посто-
янную £'(со) — т. Интервал аппроксимации чаще всего огра-
ничивается полосой частот О С со С «о, что характерно для
линий задержки видеосигналов.
Рассмотрим особенности постановки и решения задачи ап-
проксимации линейной зависимости сот функцией фг(со) при
чебышевском критерии близости. В ходе решения целесооб-
разно использовать понятия нормированной частоты со =
= и нормированного времени т = <о0т. При этом аппрок-
симируемая функция £ (со) =- сот переходит в функцию ? (со)=
=со т нормированной частоты со.
Характер аппроксимирующей функции
/'Л a j 1 г (/со)—о(—/со)
Фг (со) = Arctg -------
1 о (/со)-р о (—/со)
= ArctgX(®) (21.11)
исключает возможность аналитического решения рассматрива-
емой задачи аппроксимации. Численное же решение может
быть найдено для любой конкретной допустимой пары значений
наклона т аппроксимируемой линейной зависимости и степени
п полинома Гурвица.
На рис. 21.6 приведена
частотная зависимость раз-
ности фг (со) — сот при т=
=4,8 и п— 4. В этом ре-
шении четырем независи-
мым варьируемым пара-
метрам аппроксимирующей
функции
,'Л а ,	—«а со34-ач со
фг (со) =Arctg -^-4—-1—2—
со4—«2 со2 +а4
17*
515
соответствуют пять равных наибольших по абсолютной
величине значений разности фг (и) — При <о = 0 эта
разность равна нулю, а в интервале 0 < а < 1 имеет равно-
волновый характер.
В общем случае если полином Гурвица v (р) имеет степень
п, то при равномерной наилучшей (чебышевской) аппроксима-
ции линейной зависимости со т функцией фг (со) = aig v (/со)
Указанная разность при со = 0 равна нулю и в интервале ап-
проксимации 0 < ® < 1 последовательно п 4-1 раз при-
нимает наибольшие равные по абсолютной величине значения
с чередующимися знаками.
Значения коэффициентов и нулей полиномов Гурвица раз-
личных степеней, которые используются при синтезе линий
задержки с равноволновым отклонением фазовой характе-
ристики от линейной, найдены численными методами для ряда
дискретных значений наклона аппроксимируемой прямой т и,
следовательно, ряда соответствующих им значений допустимой
погрешности max | фг (со) — со т|. Использование этих дан-
ных позволяет разумно выбрать наклон аппроксимирующей
характеристики, от которого зависит погрешность (она возрас-
тает с увеличением наклона), и число звеньев линии задержки
!9|. Фазовые звенья рассчитываются по приведенным выше
формулам.
Известны и также используются при расчетах линий за-
держки таблицы полиномов Гурвица, которым соответствует
равноволновый характер отклонения в интервале 0 < <о < 1
группового времени прохождения линии от постоянной, т. е.
полиномов, у которых функция йфг (w)/dco аппроксимирует
постоянную при чебышевском критерии близости.
Характер изменения функции фг (со) при п = 5 приведен
на рис 21.7. Здесь число частот, при которых функция ф^ (и)
достигает своих чередующихся наибольших и наименьших зна-
чений, равно шести. Оно, как и ранее, на единицу превышает
число варьируемых параметров аппроксимирующей функции.
Погрешность аппроксимации растет с увеличением аппроксими-
руемой постоянной — среднего значения группового времени
прохождения.
Естественно, что полиномы Гурвица, соответствующие ре-
шениям двух рассмотренных аппроксимационных задач, при
одном и том же значении т отличаются друг от друга.
516
В некоторых таблицах данные линий задержки соответст-
вуют иному наклону аппроксимируемой прямой, при котором
g (w) — 1. Тогда с ростом п или с увеличением допустимой по-
грешности аппроксимации расширяется интервал аппроксима-
ции, т. е рабочая полоса частот линии задержки. Так, на
рис. 21 8 приведены графики, позволяющие судить о ширине
нормированной полосы частот, в пределах которой относи-
тельное отклонение группового времени задержки линии от
постоянной т — 1 не превышает 6% для младших степеней
полиномов Гурвица и чебышевского критерия близости. Зави-
симости построены по данным таблиц [8J.
21.5.	Линии задержки с монотонными
частотными характеристиками
При аппроксимации фазовой характеристики идеальной линии за-
держки или ее группового времени используется также их аппроксима-
ция по Тейлору в точке со — О Эти аппроксимационные задачи реша-
ются аналитически и приводят к полиномам Гурвица v (р), которые
в задачах синтеза электрических цепей принято называть полиномами
Бесселя Приведем полиномы Бесселя младших степеней:
о(р)« р + 1;
о ( р)= р’’ !-3р -1-3;
-'(/')= РЧ брг-|-15 р -j-15;
° ( Р )— Pi‘i- Ю р3-)- 45 р2-|-105 р + 105 и т. д
Полиномы Бесселя более высоких степеней и их нули можно найти
в специальных справочниках [9].
517
Полиному Бесселя v(pj степени п соответствует функция <рг (и) —
= arg v (/го), которая в точке го = 0 разлагается в ряд
„	।	'''2пчг1	Yn + l ^"2п+3
<Рг\<о/= го + ~ ~ ю + - —— <о + •••	(21 12)
2п + 1	2п + 3
На рис 21.9 приведены графики <рг (со) для нескольких полиномов
Бесселя младших степеней. Они показывают, что интервал аппрокси-
мации увеличивается с ростом степени полинома, а погрешность прибли-
жения монотонно возрастает с ростом го.
Почленно дифференцируя ряд (21 12), находим
, t—А .	—2п	—2 ,
Фрум/—1+?п w 4~Vn+i го	.
(21.13)
Частотные зависимости группового времени прохождения линий
с характеристиками (21.13) являются максимально плоскими, посколь-
ку в точке <о — 0 обращается в нуль максимально возможное число
производных младших порядков характеристики (21.13).
Графики функций фр (ю) полиномов Бесселя младших степеней при-
ведены на рис. 21.10. Данные этого рисунка позволяют оценить основ-
ные параметры линии задержки с максимально плоскими характеристи-
ками группового времени прохождения. Для аналогичной цели исполь-
зуются и графики рис. 21.8
Находят известное применение полиномиальные фильтры, переда-
точные функции которых определяются полиномами Бесселя.
* Функция фр (<о) является четной дробной рациональной функ-
цией переменной го. Оиа имеет п варьируемых параметров по числу не-
зависимых коэффициентов полинома Гурвица. Поэтому можно потребо-
вать, чтобы в точке х = <о2 = 0 значения функций f (х) и £ (х) = 1 и
их и — 1 производных младших порядков совпадали. Этим условиям
и удовлетворяет ряд (21.13).
518
Глава 22.
КОРРЕКТИРУЮЩИЕ ЦЕПИ
22.1.	Фазовые корректоры
Фазовое характеристики каналов связи во многих случаях
существенно отличаются от линейных. Это вызвано главным
образом нелинейностью фазовых характеристик устройств, ог-
раничивающих полосу частот канала, таких как селективные
усилители и электрические фильтры. Искажения формы сигна-
ла, обусловленные тем, что в пределах рабочей полосы частот
фазовая характеристика канала отличается от линейной или
групповое время прохождения не остается постоянным, назы-
вают фазовыми искажениями.
Наличие фазовых искажений, превышающих определенные
нормы, вызывает заметные искажения телевизионного и фото-
телеграфного изображений и ведет к увеличению числа ошибок
при передаче по каналу дискретной информации.
Для коррекции фазовых искажений в канал вводятся фазо-
вращатели с такими характеристиками, которые снижали бы
фазовые искажения в канале до величины, допустимой соот-
ветствующими нормами. Фазовращатели, используемые с ука-
занной целью, называются фазовыми корректорами. Включа-
ются пассивные фазовые корректоры обычно в одно из тех сече-
ний капала, где входное сопротивление по одну сторону сече-
ния чисто вещественно (рис. 22.1). Амплитудно-частотная
характеристика канала при таком включении фазового коррек-
тора сохраняется прежней, так как часть канала, расположен-
ная на схеме рис. 22.1 левее корректора, как и ранее, нагружа-
ется сопротивлением Ro, а ослабление фазового корректора
обычно пренебрежимо мало. Фазовая же характеристика ка-
нала при включении коррек-
тора дополняется фазовой ха-
рактеристикой последнего.
При расчете фазовых кор-
ректоров задаются: частотная
зависимость фазы канала или
его группового времени про-
хождения; рабочая полоса
частот, в пределах которой
осуществляется корректиро-
вание, и допустимая погреш-
ность корректирования. На
первом этапе решения задачи
22.1
519
устанавливаются требования к частотной зависимости харак-
теристической фазы корректора или его группового времени
прохождения.
В качестве примера на рис. 22.2, а приведены графики за-
данной частотной зависимости фазы канала до коррекции b и
выбранной линейной зависимости ют, а на рис. 22.2, б — их
разности £ (го) ~ ют — Ь. Функция | (со) определяет необхо-
димую частотную зависимость фазовой характеристики коррек-
тора, осуществляющего корректирование точно. На следую-
щем этапе решения задачи опа подлежит аппроксимации функ-
цией вида (21.5), которая представляет собой монотонно воз-
растающую функцию частоты. Поэтому только такой может
быть и аппроксимируемая функция с (ю), т е
> 0,	(22.1)
для чего следует выбрать надлежащее значение наклона т.
В простейших случаях при решении задачи аппроксимации
полезно пользоваться графиками фазовых характеристик
звеньев первого и второго порядков, которые приводятся в
справочниках, и, варьируя число и параметры звеньев, «кон-
струировать» требуемую частотную зависимость.
Алгоритмы численного решения задачи аппроксимации ос-
нованы, на таком ее преобразовании, при котором она
трансформируется в задачу, аналогичную задаче аппроксима-
ции заданной зависимости дробной рациональной функцией.
Для этой цели вводятся функция 6 (<о) — tg [<pr (<о) — s (w)/2|,
которая характеризует погрешность аппроксимации. Обычно погреш-
ность невелика, и поэтому б im) в интервале аппроксимации принимает
лишь конечные значения. После простейших преобразований находим
s _ х («) cos (% (<в)/2) —sin (* (л')/2)
О ((О)	г 1 mi - .и -1  ।	- ' ~ z	(ZZ.ZI
cos (g (w)/2) 4-Х (си) sin (g (<о)/2)
520
Здесь согласно (21.11)
1 ц (До) —»( — /»)
х (co) = ———“ •
1 f(j<o) + v( —/со)
Очевидно, что тогда задача аппроксимации при чебышевском кри-
терии близости сводится к минимизации в заданном интервале co_j
со йД си, абсолютного значения функции 6 (со) или, что то же самое,
минимизации ее наибольшего отклонения от нуля.
Функция 6 (со) является функцией с вещественными коэффициен-
тами. Ими являются коэффициенты полинома Гурвица, которые опреде-
ляют фазовую характеристику корректора н представляют собой варь-
ируемые параметры аппроксимирующей функции.
Минимально возможный порядок передаточной функции корректо-
ра должен удовлетворять неравенству
пл > g (coj — g (co-J,
(22.3)
которое следует из (21.6а).
Рассматриваемая задача осложняется тем, что функция X (со) дол-
жна удовлетворять ограничению
dArctgX _ *Fr (Ц)
dco	dw
(22.4)
иначе она не может быть реяли юзана фазовращателем.
Если к точности аппроксимации не предъявляется высоких требо-
ваний, то в большинстве случаев последнее ограничение выполняется
при минимально возможном значении п, удовлетворяющем неравенству
(22 3) Это и понято, так как при вырастающей аппроксимируемой
функции g (со) такой же чаще всего будет и аппроксимирующая функция
<Гг (“)•
Прп жестких требованиях к точности аппроксимации численное ре-
шение задачи может привести к физически нереализуемой функции
X (со), т е. к нарушению ограничения (22.4). В этих случаях следует ис-
пользовать специальные программы, алгоритмы которых описаны в ли-
тературе.
Если выравнивается частотная зависимость группового вре-
мени прохождения канала, то характеристика /г (со) коррек-
тора должна аппроксимировать в заданной полосе частот с до-
пустимой погрешностью разность между выбранной постоян-
ной и заданным групповым временем прохождения канала без
коррекции.
Соо!ветствующая задача относится к числу задач математи-
ческого программирования с нелинейной целевой функцией и
нелинейными же ограничениям!!. Последние определяются ус-
ловиями физической реализуемости функций ;г (со). Один из
возможных путей ее решения связан с использованием в каче-
стве начального приближения решения задачи корректирова-
ния фазовой характеристики канала с последующим выравни-
ванием максимумов разности j<pf- (ш) — ё (са)/2[ в рабочей поло-
се частот.
521
22.2.	Амплитудные корректоры
Искажения формы сигнала, обусловленные тем, что ампли-
тудно-частотная характеристика канала в пределах рабочей
полосы частот не остается постоянной, т. е. искажения, связан-
ные с нарушением начальных соотношений между амплитудами
частотных составляющих сигнала, называют амплитудно-час-
тотными искажениями.
Для снижения амплитудно-частотных искажений до вели-
чин, допустимых соответствующими нормами, применяются так
называемые амплитудные корректоры. Пассивные амплитуд-
ные корректоры представляют собой, как правило, четырех-
полюсники постоянного характеристического сопротивления,
нагруженные согласованно. Тогда ослабление канала увеличи-
вается на характеристическое ослабление контура, что и по-
зволяет выровнять амплитудно-частотную характеристику ка-
нала в пределах его рабочей полосы частот.
Частотная зависимость характеристического ослабления
амплитудного корректора должна быть равна разности аа —
— ak между некоторой выбранной постоянной а0 и частотной
зависимостью ослабления канала а*. Соответствующие графи-
ческие построения показаны на рис. 22.3.
При расчете найденная таким образом частотная зависи-
мость |(ю) =10-о’1(в*-в*> аппроксимируется функцией F (<о2)
вида (17.6). Один из методов решения этой задачи примени-
тельно к последующей реализации найденной передаточной
функции мостовым четырехполюсником постоянного характе-
ристического сопротивления или четырехполюсниками, экви-
валентными мостовому, был изложен в § 18,6.
Мостовые амплитудные корректоры позволяют реализовать
передаточные функции как минимально-фазового, так к неми-
нимальнофазового типов, т. е. любую из передаточных
функций, соответствующих найденной аппроксимирующей
522
функции F (сг). При этом на свойства последней накладыва-
ются самые простые ограничения, при которых всегда возмож-
но с наперед заданной точностью аппроксимировать в конечном
частотном интервале любую непрерывную функцию 0 <
Однако мостовым амплитудным корректорам присущ и ряд
недостатков: большой расход элементов, уравновешенность
структуры и сравнительно высокая чувствительность характе-
ристик к дестабилизирующим воздействиям. Поэтому в аппара-
туре связи чаще используются пассивные корректоры мини-
мально-фазового типа (см. § 22.3).
Для реализации передаточной функции амплитудного кор-
ректора можно использовать и Л7?С-цепи каскадной или иной
структуры. По сравнению с пассивными корректорами они ха-
рактеризуются повышенным уровнем собственных шумов и
меньшим допустимым уровнем сигнала. Поэтому амплитудные
A RC-кор ректоры не находят широкого практического примене-
ния Вместе с тем именно усилители, которые входят в систему
связи, используются для формирования ее необходимых амп-
литудно-частотных характеристик. В частности, в аналоговых
системах передачи по кабельным линиям частотные характе-
ристики усиления линейного усилителя с высокой точностью
воспроизводят частотную характеристику собственного ослаб-
ления предшествующего ему участка кабельной магистрали
между двумя усилителями. В результате частотная характерис-
тика ослабления усилительного участка в пределах рабочей
полосы частот системы оказывается близкой к нулю. Соответ-
ствующие погрешности накапливаются по мере увеличения чис-
ла усилительных участков и корректируются пассивными амп-
литудными корректорами.
22.3.	Перекрытые Т-образные амплитудные
корректоры
В большинстве случаев в качестве амплитудных корректо-
ров применяются не мостовые, а перекрытые Т-образные че-
тырехполюсники 1 постоянного характеристического сопро-
тивления ('рис. 22.4).
Поскольку рассматриваемый четырехполюсник симметри-
чен, то его характеристическое сопротивление равно среднему
геометрическому из сопротивлений короткого замыкания и хо-
лостого хода (см. § 17.5). Сопротивления ветвей Zj (р) и Z„(p)
четырехполюсника подобно сопротивлениям Za (р) и Zb (р)
1 Простейшие перекрытые Т-образные четырехполюсники из ре-
зисторов применяются как звенья аттенюатора (см. §3.11).
523
мостового четырехполюсника выбираются из условия
Z, (р) Z2 (/>) =- /??•	(22.5)
При этом, как легко проверить,
Zc = VZKZx -=- yz. Z2 = Ro.	(22.6a)
Таким образом, перекрытый Т-образный четырехполюсник,
если сопротивления его ветвей удовлетворяют условию (22.5),
представляет собой четырехполюсник постоянного характе-
ристического сопротивления. Его передаточная функция при
согласованной нагрузке
Н (р)	.	(22.66)
<4	60 l-b^ (/>)//?,
Сопротивления ветвей перекрытого Т-образного четырех-
полюсника, реализующею заданную передаточную функцию,
находятся по формулам:
(р) =	Ro- Z, (р) =	=	/?0,	(22.7)
Н(р)	Zt{p) l-ff(p) ° v '
которые являются следствием (22.6 б).
Неуравновешенность и простота структуры, а также про-
стота настройки перекрытых Т-образных четырехполюсников
обусловили их широкое применение в качестве амплитудных
корректоров. К сожалению, они налагают дополнительные ог-
раничения на передаточные функции, подлежащие реализации.
Здесь условия физической реализуемости сводятся к тому,
чтобы Z1 (р) была положительной вещественной функцией.
В частности, перекрытыми Т-образными четырехполюсниками
можно реализовать только передаточные функции минимально-
фазового типа. Иначе Zi (р) будет иметь полюсы в правой полу-
плоскости, так как ее полюсы совпадают с нулями /7 (р).
Чаще всего двухполюсник продольной вегви контура со-
стоит нз включенных параллельно резистивной проводимости
Gi и реактивного двухполюсника с проводимостью /В1. Тогда
Z, = Г/(О, 4- /В,) и Z, = R^/Z, = RIG, -j- гВу$, и поэтому
двухполюсник, который включен в поперечную ветвь контура,
содержит резистивное сопротивление 7?, = R^ и реактив-
ный двухполюсник с сопротивлением jX2~ [BtRa, включен-
ные последовательно (рис. 22.5).
Пу сть, например, реактивный двухполюсник продольной
ветви амплитудного корректора является параллельным коле-
бательным контуром. Тогда в поперечную ветвь корректора
должен быть включен последовательный колебательный контур.
Схема корректора приведена на рис. 22.6. При о -> 0 и ы ->оо
524
его ослабление стремится к нулю, поскольку при этих частотах
входные и выходные зажимы соединяются между собой непо-
средственно. Максимальное значение принимает ослабление
корректора при резонансной частоте ®0, при которой сопротив-
ление его продольной ветви будет равно = и поэтому
согласно (22.66)
а (®0) = 201g Ц/|Я (/<DO)I1 = 20 1g (1 + ВДо).
График частотной зависимости ослабления корректора
изображен на рис. 22.7. Как видно из рисунка, рассматривае-
мый корректирующий контур может использоваться в случаях,
когда необходимы характеристики монотонно возрастающие
(область частот со < <оо), монотонно убывающие (область ча-
стот со > <о0) или с одним максимумом. В предельных случаях
колебательный контур в продольной ветви может выродиться
в индуктивность или емкость. Тогда корректор может иметь
только монотонно возрастающую или только монотонно убы-
вающую характеристику ослабления. Весьма полные таблицы
характеристик корректирующих контуров рассматриваемого
типа с соответствующими расчетными формулами содержатся
в справочных пособиях по
системам передачи.
Передаточные функции,
которые реализуются одним
перекрытым Т-образным че-
тырехполюсником, можно ре-
ализовать и элементарными
четырехполюсниками, схемы
которых приведены на рис.
22.8. Сопротивления их вет-
вей находятся, как легко
убедиться, по тем же форму-
лам (22.7). Цепи с элементар-
525
ними четырехполюсниками применяются в случаях, когда не
требуется согласование между генератором, четырехполюсни-
ком и нагрузкой. Примером могут служить внутренние цепи
усилителей связи.
Во многих случаях используется каскадное согласованное
включение перекрытых Т-образных корректоров постоянного
характеристического сопротивления. Это позволяет в извест-
ной мере облегчить требования к реализуемой передаточной
функции, которая может в этом случае и не быть положитель-
ной вещественной. Кроме того, последовательно выбирая каж-
дый раз наибольшие отклонения характеристик каждым новым
контуром с монотонно убывающей, монотонно возрастающей
или моноэкстремальной характеристикой, удается построить
сходящуюся расчетную итерационную процедуру, что облегчает
расчет ценой отказа от решения, оптимального по числу эле-
ментов. Однако до сих пор не предложен удовлетворительный
алгоритм синтеза перекрытых Т-образных амплитудных кор-
ректоров.
22.4.	Косинусные корректоры
Во многих случаях возникает необходимость в корректорах
амплитудно-частотных искажений, характеристики которых
можно было бы перестраивать автоматически или вручную в со-
ответствии с изменением данных корректируемой цепи. При-
мерами могут служить задачи коррекции искажений в протя-
женных проводных или радиорелейных магистральных лини-
ях, частотные зависимости которых заранее неизвестны и вы-
являются лишь в результате исследования отклонений ха-
рактеристик линии связи от их расчетных значений. Причина-
ми этих отклонений могут служить, например, неоднородности
526
кабеля, особенности суммирования погрешностей характерис-
тик устройств магистрали, влияние медленно изменяющихся
дестабилизирующих факторов и др. Часто корректоры подоб-
ного рода называют «подчисточными». При построении коррек-
торов рассматриваемого назначения важно иметь уверенность
в том, что подобный корректор при его надлежащей сложности
позволит с требуемой точностью воспроизвести характеристики
ослабления, которые могут рассматриваться в известном смысле
как произвольные.
Функциональная схема универсального в указанном смыс-
ле корректора приведена на рис. 22.9. В корректор входит ли-
ния задерхкки, составленная из 2л однотипных звеньев с сосре-
доточенными или распределенными постоянными и нагружен-
ная согласованно. Групповое время прохождения у всех звень-
ев одинаково и равно т. Напряжения на звеньях фазовых кон-
туров, равноудаленных от середины линии задержки, попарно
суммируются с помощью индивидуальных сумматоров 2Ъ
2«, ..., 2П. Напряжения на выходах этих сумматоров умножа-
ются на вещественные множители п0, аи..., ап в соответствую-
щих переменных умножителях и вновь суммируются в общем
для всего корректора сумматоре 2.
527
В соответствии с обозначениями, принятыми на рис. 22.9,
комплексные напряжения на выходах звеньев или линии за-
держки:
й1 = й0 е-'“т; U2 = Uo e~/2<at,..., Un =
= (70 e~/nw,..., i7e е~/2"“*.
Тогда комплексное напряжение на выходе сумматора
USt = Uo e-i <"- *>at + Uo Q~/(n+ *’ “* = 2t/0 e“/wet cos сот;
на выходе сумматора S2
0Si = Uo (n“2) ™+U0 e~' ("+2> m = 2U0 cos 2шт
и т. д. вплоть до сумматора 2П, на выходе которого
USn = и0 + й0 ^i2nm = 2 Uо e~fnen cos пат.
После умножения каждого из напряжений на свой вещест-
венный множитель ah и суммирования в общем сумматоре фор-
мируется следующее выражение для комплексного напряже-
ния на выходе корректора:
ЙвЫХ — 2U0+ fli cos сот -|-а2 cos 2сот +... +
+ ап cos псот) е—irMx.
Следовательно, передаточная функция корректора и его
амплитудно-частотная, характеристика являются функциями
частоты вида:
Я (/со) =	= /а0 + 2 2 Oft cos йсот') е-'"®*;
Со \	А=1	/
п
(22.7)
| Н (/<о)| = а0 + 2 Os cos & сот .
*
Й=1
Изменяя значения множителей aft, т. е. регулируя соответ-
ствующие умножители, можно оптимально в смысле критерия
средней квадратической погрешности аппроксимировать в ог-
раниченном частотном интервале 0 < со < <оо заданную ампли-
тудно-частотную характеристику. Для этого необходимо,
чтобы в указанном интервале фазо-частотная характеристика
звена линии задержки возрастала от сот = 0 до сот — л и что-
бы коэффициенты 2ak представляли собой коэффициенты раз-
828
ложения в ряд Фурье в интервале — <оо С ® С “0 аппрокси-
мируемой амплитудно-частотной характеристики, являющейся
всегда четной функцией переменной со. Это утверждение явля-
ется прямым следствием одного из основных свойств рядов
Фурье.
Следовательно, переменные корректоры рассматриваемого
типа, получившие название косинусных корректоров, действи-
тельно являются универсальными. Они позволяют сколь
угодно точно коррректировать заданные амплитудно-частот-
ные характеристики в смысле среднеквадратического критерия
близости, если не ограничивать числа звеньев линии задержки
корректора, т. е. числа гармоник ряда Фурье, аппроксимирую-
щего заданную зависимость.
Чаще всего косинусный корректор рассчитывается на 15...
20 гармоник, что, как показывает опыт, позволяет достаточ-
но точно корректировать амплитудно-частотные характеристи-
ки канала скоростной передачи дискретной информации и ка-
налы передачи телевидения.
В косинусных корректорах вместо линии задержки можно
использовать цепочку одинаковых фазовых контуров второго
порядка, у которых фазовая характеристика возрастает в ин-
тервале 0 < со < <в0 от b = 0 до b — л. В этом случае перемен-
ная сот в (22.7) заменяется переменной b (го), Обычно эти фа-
зовые контуры реализуются по схеме, представленной на
рис. 21.4, б.
Интересно также отметить, что согласно (22.7) фазо-частот-
ная характеристика гармонического корректора сохраняется
неизменной при изменении амплитудно-частотной характе-
ристики, если последняя не имеет нулей нечетной кратности.
22.5.	Гармонические корректоры
Гармонический корректор 1 представляет собой линейный
перестраиваемый корректор амплитудно- и фазо-частотных ис-
кажений. Он позволяет аппроксимировать любую комплекс-
ную передаточную функцию, если она удовлетворяет самым
общим условиям физической реализуемости, тем точнее, чем
большее число элементов содержит корректор. Используется
гармонический корректор с той же целью, что и косинусный.
Функциональная схема корректора изображена на рис. 22.10.
Она отличается от схемы косинусного корректора тем, что в
ней имеется лишь один сумматор (общий).
При анализе свойств гармонических корректоров его линию
1 Иногда гармонический корректор называется трансверсальным
фильтром.
529
22.10
задержки будем считать идеальной. Тогда иг = и0 (I — т);
п2 = ua (1 — 2х)» •••> u« — u0(t — пт), где т — время задерж-
ки одного звена линии задержки.
Таким образом, напряжение на выходе гармонического кор-
ректора образуется в результате сложения сдвинутых друг от-
носительно друга на время х входных напряжений, каждое из
которых может быть умножено на свой вещественный множи-
тель «ft. Это и позволяет формировать с помощью корректора
нужные временнйе характеристики. Так, если к входу
корректора, содержащего шесть звеньев, подвести воздей-
ствие в виде импульса прямоугольной формы единичной высо-
ты и длительности х, то при = ae -1,	— а5 — 3, at =
— at = 5 и о8 — 6 напряжение на выходе корректора будет
изменяться во времени так, как показано на рис. 22.11. В этом
примере корректор формирует напряжение, которое тем точнее
будет аппроксимировать импульс треугольной формы, чем
большее число отводов линии задержки используется.
Приведенный пример показывает, что с помощью гармони-
ческого корректора, если его линию задержки считать идеаль-
ной, можно сформировать за-
данную импульсную характе-
ристику конечной длительно-
сти как угодно точно, если не
ограничивать числа звеньев
линии задержки. Но этим до-
казывается и возможность
получения заданных ампли-
тудно- и фазо-частотных ха-
рактеристик, поскольку ком-
плексная передаточная функ-
ция однозначно определяет
аппроксимируемую импульс-
ную характеристику.
530
Комплексная передаточная функция гармонического кор-
ректора
H(ja) =Л^ = а(, + а1е->0,х + а2е->20>х+...
и*
+ ап e~Inax = a0 + al cos сот+ а2 cos 2«т4....
ап cos пют— j (al sin юх + а^ sin 2ют-|-... 4-an sin пах)
находится аналогично передаточной функции косинусного кор-
ректора и в частном случае, когда an_h — ah, от нее не от-
личается.
Известны многочисленные схемы автоматизации управле-
ния гармоническим корректором, которые используются с
целью повышения верности регистрации элементов сигналов
в системах передачи дискретной информации. Они изучаются
в соответствующих специальных курсах
Список литературы
1.	Теоретические основы электротехники/П. А. Ионкин, А. И. Де-
ровский, Е. С. Кухаркин и др.; Под ред. П. А. Иоикина. Т.1.— М.:
Высшая школа, 1976.—544 с.
2.	Матханов П. Н. Основы анализа электрических цепей. Линей-
ные цепи.— М.: Высшая школа, 1981.—333 с.
3.	Нейман Л. Р., Демирчян К. С. Теоретические основы электро-
техники. Т.1.— Л.: Энергоиздат, 1981.— 536 с.
4.	Теория линейных электрических цепей/Б. П. Афанасьев,
О. Е. Гольдин, И. Г. Кляцкин и др.; Под ред. И. Г. Кляцкина—М.:
Высшая школа, 1975.—592 с.
5.	Зааль Р. Справочник по расчету фильтров: Пер. с нем./Под ред.
Н. Н. Семенова.— М.: Радио и связь, 1983.— 752 с.
6.	Коиторович М. И. Операционное исчисление и переходные про-
цессы в электрических цепях — М.: Сов. радио, 1975.—320 с.
7.	Ланнэ А. А. Оптимальный синтез линейных электронных схем.
М.: Связь, 1978.—335 с.
8.	Справочник по расчету и проектированию АРС-схем/Под ред.
А.А. Ланнэ.— М.: Радио и связь, 1984.—368 с.
9.	Трифонов И. И. Синтез реактивных цепей с заданными фазовы-
ми характеристиками. М.: Связь, 1969.—216 с.
10.	Христиан Э., Эйземаи Е. Таблицы и графики по расчету филь'
тров: Пер. с англ./Под ред. А. Ф. Белецкого.— М.: Связь, 1975.—408 с.
532
Предметный указатель
Активная мощность 104
—	электрическая цепь 30
Активный ЛГ-полюсник 30
Амплитуда колебания 98
Амплитудно-ч астотная хар актери-
стика цепи 149
Аппроксимация заданной зависи-
мости 377
—	по Тейлору 434
— по Чебышеву 435
Варьируемые параметры функции
432
Ветвь цепи 31
— связи 34
Взаимные (обратимые) цепи 73
Видеоимпульс прямоугольной фор-
мы 231
Внутреннее сопротивление генера-
тора 142
Внутренняя проводимость генера-
тора 142
Воздействие (на цепь) 14
Волновое сопротивление линии 344,
354, 356
Время задержки 298
Встречный выбор положительных
направлении напряжения и тока
43
Входные функции электрических
цепей 244
Вынужденные колебания 209
Вычеты функции 238
Гармонические колебания 88, 98
Генератор 15
— гармонических колебаний 142
Геометрическая симметрия харак-
теристик 461
Гиратор 336
Годограф 152
Граф цепи 31
Групповая скорость 359
Групповое время (задержки, про-
хождения) 361
Двухполюсник активный 30
— пассивный 30
— реактивный 390
Двусторонне нагруженный четы-
рехполюсник 330
Действующее значение (напряже-
ния, тока) 106
Дерево (графа цепи) 34
Децибел 182
Дискретный спектр 278
Добротность контура 114, 159
Дробная рациональная функция
Дробь Золотарева 454
—	Чебышева 440
Дуальные величины 47
—	электрические цепи 46
Единичная импульсная функция
255
Емкость 18
Зависимые источники 20, 21
Задача аппроксимации 377
—	оптимизации 378
—	реализации 377
Задающее напряжение источника
(генератора) 19 (43)
Задающий ток источника (генера-
тора) 20 (43)
Закон Кирхгофа второй 38
---первый 35, 36
—	Ома 16
Законы коммутации 186
Идеальный трансформатор 333
— электрический фильтр 299
Изображение (L-изображение)
функции 219
Импульс (напряжения, тока) 254
Импульсная характеристика цени
260
Импульсное воздействие 255
Инвертор напряжения 422
— сопротивления 336
Индуктивность 17
533
Интегралы Дюамеля 269
—	наложения 263
Интервал аппроксимации 432
Интерполирование 433
Источник напряжения 19
—	тока 20
Каноническая форма записи систе-
мы уравнений 65, 70
Каскадная реализация 426
Каскадное соединение 321
Каскадные реализационные струк-
туры 424
Катушка индуктивности 25
Ключ 186
Колебания 13
Коммутация 185
Комплексная амплитуда колеба-
ния (напряжения, тока) 119
—	передаточная функция 150
—	спектральная плотность колеба-
ния 285
Комплексное напряжение 120, 130
Комплексные действующие значе-
ния напряжения и тока 130
Комплексный ток 130
Конвертор сопротивления 81, 333
Конденсатор 24
Контур 33
Коэффициент бегущей волны 369
	— ослабления линии 344
—	отражения 348
—	распространения 345
—	трансформации 316
— фазы линии 345
Критерий устойчивости 248
— — Гурвица 252
---Михайлова 251
Лестничная электрическая цепь
397
Линейная электрическая цепь 14,
15
Лестничные £С-фильтры 466
Линия задержки 514
Логарифмическое усиление 183
Максимально плоская характери-
стика ослабления 449
Математическая модель цепи 22
Матрица параметров четырехпо-
люсника 311
—	сечений 60
—	соединений 32
—	— редуцированная 33
Мгновенная мощность электриче-
ских колебаний 14
Мгновенное значение напряжения
(тока) 1'1
Метод аналоговой вычислительной
техники 421
534
Метод контурных токов 68
—	напряжений ветвей 59
—	переменных состояния 89
—	токов ветвей 57
—	узкополосного приближения 167
—	узловых напряжений 63
Минимально фазовые цепи 408
Многополюсник (М-полюсник) 30
Модель электрической цепи 22
Мостовой четырехполюсник 317
Наилучшая равномерная аппрок-
симация 435
Направление отсчета напряжения
(тока) 12
Начальная фаза колебания 98
Начальные условия 188
Независимый источник 19
Непрерывный спектр 285
Неравномерность характеристики
ослабления фильтра 445
Нормированная комплексная пе-
редаточная функция 184
—	частота 447
Нулевые начальные условия 188
Нули полинома 237
Однородная линия 337
Одностороннее преобразование Фу-
рье 295
Операторная передаточная функ-
ция 243
Операционный усилитель 25
Оригинал 219
Ослабление цепи 183
Отраженная волна 346
Падающая волна 345
Падение напряжения 13
Паразитные элементы (электриче-
ской цепи) 24
Параллельное соединение (эле-
ментов) 50
— — четырехполюсников 322
Параллельный колебательный кон-
тур 156
Параметры четырехполюсника 310
Пассивная электрическая цепь 30
Пассивный двухполюсник (N по-
люсник) 30
Первый закон Кирхгофа 35, 36
Передаточная функция минималь-
но фазового типа 408
Переменные состояния 89
Перепад напряжения (тока) 193
Переходная характеристика элект-
рической цепи 266
Переходные колебания в электри-
ческой цепи 185
Период колебания 98
Подграф 33
Подграф связный 33
Полиномиальные фильтры 447
— электрические цепи 430
Полиномы Гурвица 245
— Чебышева 439
Положительная вещественная
функция 388
Положительное направление на-
пряжения (тока) 13
Полоса задерживания фильтра
445
— пропускания контура 185
------ фильтра 445, 448
Полюсы функции 237
Последовательное соединение эле-
ментов 52
----четырехполюсников 323
Последовательный колебательный
контур 110
Постоянная времени 190
Преобразование Лапласа 219
— Фурье (прямое, обратное) 285
— частоты 459
Принцип (теорема) взаимности 73
— дуальности 47
— наложения 15
Проводимость 16
Рабочая передаточная функция
332
— фаза цепи 332
Рабочее ослабление (усиление)
цепи 331
Равноволновая характеристика
451
Разность фаз колебаний 100
Реактансная функция 392
Реактансные преобразования ча-
стоты 462
Реактивный двухполюсник 390
Реакция (электрической цепи) 14
Режим бегущих волн в линии 365
— двусторонней нагрузки 330
— гармонических колебаний 88
— переходных колебаний 185
— односторонней нагрузки 328
— покоя 13, 88
— постоянного тока 88
— стоячих волн в линии 366
Резистивная электрическая цепь 49
Резистивное сопротивление 16
Резистор 24
Резонанс 113
— напряжений 113
— токов 159
Резонансная частота (контура) 113
Резонансные характеристики кон-
тура 158
Свертка функций 221
Свободные колебания 93, 189
Связанные контуры 170
Сдвиг фаз колебаний 100
Сеченне 34
Сигнал (электрический) 13
Символический метод анализа гар-
монических колебаний 121
Система контурных уравнений 70,
'134
— узловых уравнений 65, 130, 235
Собственные колебания 209
Согласный выбор положительных
направлений напряжения и тока
13
Согласованная нагрузка генерато-
ра 144
--- линии 350
---четырехполюсника 415
Сопротивление 16
Сопряженный полином Гурвица
411
Спектр амплитуд периодического
колебания 277
— фаз колебания 277
Спектральная плотность амплитуд
непериодического колебания 285
Средняя мощность 105
Ступенчатое воздействие 193
Схема замещения цепи 22
------для постоянного тока 97
Теорема (принцип) взаимности 73
— Замещения 40, 41
—	запаздывания 221
—	наложения 15
—	об эквивалентном генераторе 42
---экстремальных свойствах че-
бышевских приближений 437
—	разложения 240
—	смещения 221
— Теллегена 44
Трансформаторы 134, 315
Угловая частота колебаний 98
Узел (электрической цепи) 31
— базисный, отсчета 63
Узловое напряжение 63
Уравнения передачи линии 349
---четырехполюсника 308
Усилитель без инверсии напряже-
ния 81
— с инверсией напряжения 79
Уснлнтель-су мматор 80
Условия безыскаженной передачи
298
— физической осуществимости 376
Установившийся режим в электри-
ческой цепи 88
Устойчивые электрические цепи
245
535
Фаза коаебаиия98
Фазовая скорость 346
Фазовращатель 508
Фазо-частотная харакеристика це-
пи 149
Физически осуществимая цепь 376
Фильтр-прототип 459
Фильтры с равноволновыми ха-
рактеристиками ослабления 451
— с характеристиками Баттервор-
та 449
------- Золотарева 455
-------Чебышева 451
Функции электрических цепей 376
Характеристическое сопротивление
четырехполюсника 415
— уравнение цепи 248
Цепная дробь 398
Цепь с распределенными (сосредо-
точенными) элементами 29
Частота колебания 98
Частотный метод анализа колеба-
ний 296
Четырехполюсники 306
— автономные 30
—	активные 306
—	взаимные 312
—	пассивные 30
— постоянного характеристическо-
го сопротивления 417
— симметричные 307
— уравновешенные 306
— эквивалентные 311
— элементарные 315
Чувствительность (характеристик
электрических цепей) 379
Электрическая цепь 11
Электрический ток 12
— фильтр 444
Электрическое напряженке 11
Элемент электрической цепи 16
(Б-сечения 210
L-нзображение начальных условий
277
«С-контуры 210
6-функция 255
Оглавление
Предисловие................................................ 3
Введение.................................................   5
Основные обозначения....................................... 9
Глава 1.
Основные понятии и определения теории электрических
цепей...................................................11
1.1.	Напряжения и токи в электрических цепях ...............11
1.2.	Линейные	электрические	цепи и	принцип наложения ... 14
1.3.	Элементы	электрических	цепей..........................15
1.4.	Модель н	схема электрической	цепи.....................22
1	5. Схемы замещения типовых линейных компонентов элект-
рических	цепей .......................................24
1 6. Основы классификации линейных электрических цепей 29
1.7.	Основные понятия топологии электрических цепей ....	31
Глава 2.
Основные законы и теоремы теории электрических цепей 35
2.1.	Первый закон Кирхгофа................................35
2.2.	Второй закон Кирхгофа................................38
2.3.	Теорема замещения....................................40
2.4.	Теорема об эквивалентном генераторе..................41
2.5.	Теорема Теллегена....................................44
2.6.	Принцип дуальности.............................. ,	. 46
2.7.	Электромеханические аналогии.........................48
Глава 3.
Колебания в линейных резистивных электрических цепях 49
3.1.	Резистивные электрические цепи........................49
3.2.	Параллельные и последовательные резистивные электри-
ческие цепи................................................50
3.3.	Параллельно-последовательные резистивные электрические
цепи.......................................................54
3.4.	Методы уравнений Кирхгофа.............................57
3.5.	Матричная форма записи уравнений Кирхгофа.............59
3.6.	Метод, узловых напряжений.............................63
3.7.	Метод контурных токов.................................68
3.8.	Решение системы узловых уравнений.....................72
3.9.	Теорема взаимности....................................73
537
3.10.	Свойства резистивных электрических цепей..............75
3.11.	Применение резистивных электрических цепей............76
3.12.	Машинные методы анализа резистивных электрических
цепей......................................................83
Глава 4.
Колебания в линейных электрических цепях с сосредоточен-
ными элементами.........................................87
4.1.	Режимы колебаний в электрических цепях.................87
4.2.	Уравнения переменных состояния.........................89
4.3.	Общее решение уравнений переменных состояния .... 92
4.4.	Режим свободных колебаний в электрических цепях .... 93
4.5.	Режим постоянного тока в электрических цепях...........95
4.6.	Расчет цепей в режиме постоянного тока.................96
Глава 5.
Режим гармонических колебаний в электрических цепях ... 98
5.1.	Гармонические напряжения и токи в электрических цепях 98
5.2.	Наложение гармонических колебаний.....................101
5.3.	Мгновенная и средняя мощности гармонических колебаний 103
5.4.	Гармонические колебания в элементах электрических цепей 106
5.5.	Гармонические колебания в последовательном РС-коитуре 108
5.6.	Гармонические колебания в последовательном колебатель-
ном контуре............................................110
Глава 6.
Символический метод анализа гармонических колебаний в
электрических цепях ................................. 115
6.1.	Символическое изображение косинусоидальных функций
комплексными числами......................................115
6.2.	Основные положения символического метода анализа гар-
монических колебаний......................................119
6.3.	Комплексные сопротивления н проводимости двухполюсни-
ков ......................................................122
6.4.	Типичные преобразования, связанные с вычислением ком-
плексных сопротивлений и проводимостей двухполюсников 125
6.5.	Примеры применения символического метода анализа гар-
монических колебаний......................................127
6.6.	Системы уравнений для комплексных амплитуд колебаний 130
6.7.	Индуктивные связи в электрических цепях..............134
6.8.	Схемы замещения индуктивно-связанных катушек.........137
6.9.	Средняя, полная и реактивная мощности................140
6.10.	Генераторы гармонических колебаний и режимы нх ис-
пользования ..............................................142
6.11.	Трехфазные цепи.....................................144
Глава 7.
Частотные характеристики электрических цепей..........148
7.1. Амплитудно-частотные и фазо-частотные характеристики
электрических цепей ................................. 148
7.2. Комплексные передаточные функции электрических цепей 150
7.3. Частотные характеристики параллельного 7?С-коитура 153
538
7.4.	Частотные характеристики резистивного каскада широкопо-
лосного усилителя.........................................155
7.5.	Частотные характеристики колебательных контуров . . . 156
7.6.	Применение параллельных колебательных контуров для
селекции колебаний по частоте.............................163
7.7.	Применение связанных колебательных контуров для селек-
ции колебаний по частоте..................................170
7.8.	Частотные характеристики цепей с транзисторами.......176
7.9.	Логарифмические частотные характеристики.............182
Глава 8.
Классический метод анализа переходных колебаний в ли-
нейных электрических цепях с сосредоточенными элементами 185
8.1.	Задача анализа переходных колебаний в линейных элект-
рических цепях............................................185
8.2.	Свободные колебания в цепях с одним реактивным элемен-
том.......................................................189
8.3.	Переходные колебания в цепях с одним реактивным элемен-
том при ступенчатых воздействиях......................... 193
8.4.	Свободные колебания в последовательном колебательном
контуре...................................................198
8.5.	Свободные колебания в параллельном колебательном конту-
ре .......................................................204
8.6.	Переходные колебания в колебательных контурах при
ступенчатых воздействиях..................................206
8.7.	Собственная и вынужденная составляющие реакции электри-
ческой цепи...............................................208
8.8.	Применение классического метода для анализа переходных
колебаний в сложных линейных электрических цепях . . 211
8.9.	Численные методы расчета переходных колебаний........214
Глава 9.
Операторный метод анализа переходных процессов в линей-
ных электрических цепях с сосредоточенными элементами 218
9.1.	Преобразование Лапласа...............................218
9.2.	Основные положения операторного метода анализа переход-
ных процессов...........................................  224
9.3.	Примеры анализа переходных колебаний в простейших
электрических цепях операторным	методом...............227
9.4.	Системы уравнений для	L-изображений	колебаний........234
9.5.	Дробные рациональные	функции........................237
9.6.	Теоремы разложения...................................238
9.7.	Зависимость характера переходных колебаний от располо-
жения полюсов их /.-изображений на комплексной плоско-
сти ......................................................241
9.8.	Операторные передаточные функции электрических цепей 243
9.9.	Особенности колебаний в устойчивых и неустойчивых элект-
рических цепях............................................246
9.10.	Критерии устойчивости...............................248
Глава 10.
Временной метод анализа переходных процессов в линейных
электрических цепях с сосредоточенными элементами . . . 254
10.1.	Импульсные воздействия на электрические цепи .... 254
S39
10.2.	Колебания в электрических цепях при импульсных воздей-
ствиях ..................................................256
10.3.	Импульсные реакции простейших электрических цепей 258
10.4.	Импульсные характеристики электрических цепей .... 260
10.5.	Интегралы наложения................................262
10.6.	Интегрирующие и дифференцирующие цепи..............263
10.7.	Переходные характеристики электрических цепей .... 266
10.8,	Интегралы Дюамеля..................................267
10.9.	Область применения временных методов анализа пере-
ходных процессов.........................................270
Глава 11.
Частотный метод анализа переходных процессов в линей-
ных электрических цепях с сосредоточенными элемен-
тами ................................................274
11.1.	Диализ спектрального состава периодических колебаний 274
11.2.	Спектры амплитуд и фаз периодического колебания .... 277
11.3.	Анализ режима периодических Колебаний в электрических
цепях ...................................................280
11.4.	Анализ частотного	состава непериодического	колебания	282
11.5.	Спектры типичных	элементов сигналов.................287
11.6.	Распределение энергии непериодического колебания по
частоте.................................................. . 290
11.7.	Распределение средней мощности сигналов по частоте . . 292
11.8.	Одностороннее преобразование Фурье и частотный метод
анализа переходных процессов в линейных электрических
цепях..................................................  294
11.9.	Условия безыскаженной передачи сигналов через электри-
ческую цепь  ............................................297
11.10.	Реакция идеального электрического фильтра на импуль-
сное и ступенчатое воздействия .................,	... . 299
11.11.	Связь между временными и частотными характеристи-
ками электрической цепи..................................302
Глава 12.
Основы теории четырехполюсников.................'.	. . 305
12.1.	Четырехполюсники и их классификация..................305
12.2.	Уравнения передачи четырехполюсника..................307
12.3.	Параметры и матрицы параметров четырехполюсника . . 310
12.4.	Зависимости между параметрами четырехполюсника . . 312
12.5.	Параметры простейших четырехполюсников...............314
12.6.	Соединения четырехполюсников.........................321
12.7.	Внешние характеристики четырехполюсников.............326
12.8.	Преобразователи сопротивлений........................332
Г лава 13.
Колебания в электрических цепях с распределенными эле-
ментами ........................................... 337
13.1.	Длинные линии.....................................337
13.2.	Первичные параметры длинной линии ....	. .	. 338
13.3.	Телеграфные уравнения.............................341
13.4.	Падающие н отраженные волны в длинных линиях ,  . . 343
13.5.	Распределение комплексных напряжений и токов в линии 347
S40
13.6.	Уравнения передачи длинной линии...................34g
13.7.	Уравнения передачи согласованно нагруженной линий 350
13.8.	Частотные зависимости собственных параметров линии 352
13.9.	Входное сопротивление длинной линии...................
13.10.	Определение параметров линии по методу холостого хода
и короткого замыкания.......................................
13.11.	Передача импульсных сигналов по линиям связи......35g
13.12.	Групповая скорость...................................
Глава 14.
Колебания в линиях без потерь........................362
14.1.	Длинные линии с пренебрежимо малыми потерями . .	. 362
14.2.	Распределение напряжений и токов и линии без потерь . 363
14.3.	Режим бегущих волн в линии без потерь..............364
14.4.	Режим стоячих волн в линии без потерь..............365
14.5.	Режим смешанных волн в линии без потерь............368
14.6.	Зависимость входного сопротивления линии без потерь
от ее длины..........................................    369
14.7.	Частотные зависимости входного сопротивления коротко-
замкнутой и разомкнутой линий без потерь.................371
14.8.	Примеры применения длинных линий с пренебрежимо
малыми потерями........................................  372
Глава 15.
Введение в синтез линейных электрических цепей . . . 375
15.1.	Проблема синтеза	линейных электрических	цепей	.-.	.	.	375
15.2.	Функции электрических цепей........................376
15.3.	Этапы решения задачи синтеза линейных электрических це-
пей .....................................................377
15.4.	Чувствительность	характеристик	электрических цепей	.	379
15.5.	Чувствительность характеристик простейших цепей с опера-
ционными усилителями.....................................381
15.6.	Нормирование переменных и параметров в задачах синтеза
электрических цепей .................................... 383
Глава 16.
Входные функции электрических цепей и их реализация 384
16.1.	Двухполюсники и нх классификация......................384
16.2.	Энергетические функции................................385
16.3.	Положительные вещественные функции....................387
16.4.	Реактивные двухполюсники..............................390
16.5.	Реактансные функции...................................392
16.6.	Частотные зависимости сопротивления реактивных двух-
полюсников ..............................................394
16.7.	Реализация реактансных функций........................396
16.8.	Канонические схемы реактивных двухполюсников . . . 401
16.9.	Двухполюсники и RL....................................402
16,10.	Реализация положительных вещественных функций . . 404
541
Глава 17
Передаточные функции электрических цепей и их реализа-
ция ................................................407
17.1.	Свойства операторных передаточных функций электриче-
ских цепей..............................................407
17.2	Свойства комплексных передаточных функций электриче-
ских цепей..............................................409
17	3. Свойства передаточных функций минимально-фазовых це-
пей ....................................................410
17.4.	Свойства передаточных функций неминимально-фазовых
цепей...................................................413
17.5.	Свойства передаточных функций мостовых четырехполюс-
ников постоянного характеристического сопротивления . . 415
17.6.	Реализация передаточных функций мостовыми четырехпо-
люсниками ..............................................418
17.7.	Реализация передаточных функций активными /?С-цепями 420
17.8.	Каскадная реализация передаточных функций............424
17.9.	Свойства передаточных функций лестничных нагруженных
реактивных четырехполюсников............................428
Глава 18.
Задача аппроксимации заданных характеристик............431
18.1.	Постановка задачи....................................431
18.2.	Методы аппроксимации, используемые в задачах синтеза
электрических цепей ................................... 433
18.3.	Экстремальные свойства	чебышевских	приближений	.	.	437
18.4.	Полиномы Чебышева...............................438
18.5.	Дроби Чебышева..................................440
18.6.	Численные методы решения	задачи	аппроксимации	....	441
Глава 19.
Частотные характеристики электрических фильтров . . . 444
19.1.	Назначение и классификация электрических фильтров 444
19.2.	Полиномиальные фильтры нижних частот с характеристи-
ками Баттерворта........................................447
19.3.	Полиномиальные фильтры иижиих частот с характеристи-
ками Чебышева...........................................450
19.4.	Фильтры нижних частот с характеристиками Золотарева 453
19.5.	Фильтры нижних частот с оптимальным расположением
всплесков ослабления....................................456
19.6.	Фильтры верхних частот.............................. 457
19.7.	Полосовые и режекториые	фильтры......................459
19.8.	Фазовые характеристики	фильтров......................463
Г лава 20.
Электрические фильтры..................................466
20.1.	Лестничные АС-фильтры ....	.........466
20.2.	Фильтры ARC каскадной структуры......................484
20.3.	Лестничные ЛДС-фильтры...............................492
20.4.	Полиномиальные А/?С-фильтры с	чреззвенной связью 496
20.5.	Фильтры с переключаемыми конденсаторами..............499
20.6.	Кварцевые фильтры....................................502
S42
Г лава 21-
Фазовращатели и линии задержки . .	50g
21.1.	Фазовращатели и их частотные характеристики . .	508
21.2.	Фазовые звенья.............................. ....	^vo
21.3.	Линии задержки....................................513
21.4.	Линии задержки с равноволновымн частотными характе-
ристиками ............................................. 515
21.5.	Линии задержки с монотонными частотными характерис-
тиками ....................................................
Глава 22.
Корректирующие цепи....................................
22.1.	Фазовые корректоры................................519
22.2.	Амплитудные корректоры...................... ’	’ 522
22.3.	Перекрытые Т-образные амплитудные корректоры . . . ^ 523
22.4.	Косинусные корректоры...........................’	’ 52g
22.5.	Гармонические корректоры.....................’	'	529
Список литературы................................	532
Предметный указатель...................................	’ 533