Автор: Вайнберг Д.В. Вайнберг Е.Д.
Теги: конструктивные элементы несущие конструкции машиностроение строительные конструкции
Год: 1970
Текст
Д.В.ВАЙНБЕРГ, Е.Д.ВАЙНБЕРГ
Д. В. ВАЙНБЕРГ, Е. Д. ВАЙНБЕРГРАСЧЕТ ПЛАСТИНИздание второе, переработанное и дополненноеNosferatus 4- Armin
DWG-ru 201чИЗДАТЕЛЬСТВО «БУД1ВЕЛЫНИК»
Киев — 1970
ПРЕДИСЛОВИЕВ строительном деле, машиностроении, гидротехнике, судо- и
авиастроении, дорожном деле и других отраслях техники широко
применяются пластинчатые системы. Пластины обладают рядом
статических и технологических достоинств. Благодаря опиранию по
всему контуру или по большей его части, пластины отличаются вы¬
сокой несущей способностью, так как под действием нагрузки изги¬
баются в двух направлениях, и их сопротивление деформациям
используется значительно эффективнее, чем в балках.В пластинах достигается совмещение несущих и ограждающих
функций конструкций, что приводит к экономным решениям.Пластины являются одним из наиболее распространенных мон¬
тажных элементов сборных пространственных тонкостенных конст¬
рукций типа оболочек, складок, вантовых покрытий и других
систем.Применение пластин в качестве конструктивных форм сопряжено
с необходимостью их расчета на прочность с целью обоснованного
выбора толщины и других параметров, от которых зависят величи¬
ны напряжения и деформаций. Однако методы статического расчета
пластин, основанные на интегрировании дифференциальных урав¬
нений в частных производных при удовлетворении краевых условий,
связаны со сложным математическим аппаратом и громоздкими
вычислениями. Практика инженерного проектирования требует
наличия готовых простых формул, позволяющих легко определять
величины расчетных усилий и перемещений.Книга является первой частью радикально переработанной и
дополненной книги «Пластины, диски, балки-стенки (прочность,
устойчивость и колебания)», изданной в 1959 г. В настоящей книге
приведены готовые формулы, рисунки и таблицы для расчета на
изгиб круглых, кольцевых и прямоугольных пластин при различных
краевых условиях и нагрузках.Рассматриваются гладкие и ребристые пластины, а также анизо¬
тропные пластины, материал которых имеет неодинаковые упругие
свойства в различных направлениях. Формулы позволяют учиты¬
вать действие сосредоточенных сил и нагрузок, распределенных по
поверхности пластины либо по площадкам, а также вдоль линий.1*3
Для удобства пользования материалом книги большая часть па¬
раграфов содержит числовые примеры расчета пластин с необходи¬
мыми пояснениями. Во многих случаях построены эпюры прогибов,
углов поворота и усилий, иллюстрирующие характер деформации
пластин под действием заданной нагрузки.Формулы для расчета круглых и кольцевых пластин с кольце¬
выми ребрами принадлежат проф. Н. П. Флейшману. Формулы и
таблицы для расчета круглых пластин, нагруженных вдоль равно¬
отстоящих радиусов, и для пластин с радиальными ребрами пред¬
ставил доцент Ю. Б. Шулькин. В проверке формул принимали
участие инженеры П. П. Ворошко и О. В. Шишов.
ВВЕДЕНИЕПластиной или плитой называют упругое тело призмати¬
ческой или цилиндрической формы, высота (толщина) которого
мала по сравнению с размерами оснований.Плоскость, параллельную основаниям пластины и делящую ее
толщину пополам, называют срединной плоскостью,
а поверхность, в которую она превращается в результате дефор¬
мации изгиба,— упругой поверхностью пластины.По конфигурации оснований различают пластины круглые, коль¬
цевые, прямоугольные, треугольные, трапецеидальные, секториаль-
ные, ромбовидные и др.Обычно пластины имеют постоянную толщину. Однако во многих
случаях целесообразно с целью экономии материала применять
пластины переменной толщины, что чаще всего практикуется в ма¬
шиностроении.Пластины, состоящие из однородного материала, обладающего
одинаковыми механическими свойствами во всех направлениях,
например стальные, называют изотропными. В отличие от
них пластины, изготовленные из материалов, механические харак¬
теристики которых различны в разных направлениях, называют
анизотропными. К последним относят пластины из древесины
и пластиков, железобетонные плиты с неодинаковым процентом
армирования в разных направлениях, пластины с густо размещен¬
ными ребрами жесткости и др.Внешние нагрузки и объемные силы, действующие на пластину,
предполагаются приложенными к ее срединной плоскости. Эти
силы могут быть разложены на составляющие, действующие
в срединной плоскости и вызывающие плоское напря¬
женное состояние, и составляющие, направленные перпен¬
дикулярно к срединной плоскости и вызывающие
изгиб. Совместное действие обеих групп сил обуславливает слож¬
ное сопротивление пластины.Связи, поддерживающие пластину и воспринимающие ее давле¬
ние, могут быть отдельными точечными опорами, опорными пло¬
щадками, чаще всего расположенными непрерывно вдоль линий,
образующих опорный контур пластины.Способ закрепления пластины на опорах оказывает существен¬
ное влияние на характер и величину возникающих в ней усилий
и деформаций.5
В зависимости от устройства опор и способа их связи с пластиной
различают следующие основные виды опирания кромок пластины
либо других ее частей.Шарнирное опирание пластины исключает линейные
смещения опорной кромки в срединной плоскости и в направлении,
к ней перпендикулярном, но не препятствует повороту опертой
зоны пластины вокруг оси, совпадающей с линией опорного кон¬
тура (либо с касательной к ней).Свободное опирание препятствует перемещению кро¬
мок пластины в направлении, перпендикулярном к срединной пло¬
скости, но не стесняет смещений в срединной плоскости и поворот
опертой зоны пластины вокруг осей, совпадающих с опорной линией.Жесткое закрепление исключает угловые и линейные
перемещения закрепленных кромок.Упругое защемление кромок пластины допускает не¬
большие перемещения и повороты опертых зон, величина и характер
которых зависят от податливости опор. Обычно такие случаи встре¬
чаются, когда пластины опираются на рандбалки либо связаны
с другими податливыми конструктивными элементами.Отдельные кромки пластины могут быть не оперты. Встречаются
также другие условия на опорах.В самом общем случае, когда пластина на опорном контуре не
может свободно поворачиваться, а стороны опорного контура не
могут свободно сближаться, силы взаимодействия опор и пластины
состоят из реакций, перпендикулярных к срединной плоскости пла¬
стины, реакций, лежащих в плоскости пластины, и опорных мо¬
ментов.Пластины являются весьма эффективными конструкциями. Ста¬
тические преимущества пластин можно обнаружить, сопоставляя
их и обычные балки. Рассмотрим прямоугольную пластину, опер¬
тую по периметру, как систему взаимно перпендикулярных балочек-
полосок. Выделив, например, из квадратной пластины две взаимно
перпендикулярные балочки-полоски, опирающиеся на противопо¬
ложные стороны опорного контура, можно заметить, что нагрузка,
приложенная к участку их взаимного пересечения, заставляет рабо¬
тать обе балки-полоски. Таким образом, пластины воспринимают
и передают нагрузки в двух направлениях, чем и объясняется их
высокая статическая эффективность.Классифицируем пластины по характеру их напряженного со¬
стояния и методам расчета. В самом общем случае нормальные
напряжения в пластине складываются из нормальных напряжений
от изгиба, подобных тем, которые возникают в балках, и из рас¬
тягивающих или сжимающих напряжений, возникающих в средин¬
ной плоскости, так называемых цепных напряжений, подобных
тем, которые возникают в мембране.Характер (тип) напряженного состояния пластины зависит в ос¬
новном от следующих факторов:соотношения размеров — толщины и сторон оснований пластины;6
характера связей, образующих опорный контур (свободное опи-
рание, жесткое закрепление, податливые опоры, сплошные либо
сосредоточенные опоры и др.);вида нагрузки и характера ее распределения (поперечная, лежа¬
щая в срединной плоскости, контурная и др.).С точки зрения характера напряженного состояния и методов
расчета принята следующая классификация пластин:
толстые пластины;тонкие плиты или жесткие пластины;
пластины конечной жесткости;
мембраны.Толстые пластины испытывают трехмерное напряженное
состояние, которое описывается полной системой дифференциаль¬
ных уравнений пространственной теории упругости. Толстыми счи¬
тают такие пластины, у которых отношение толщины к наимень¬
шему размеру в плане больше Vs- В настоящей книге толстые пла¬
стины не рассматриваются.Тонкие упругие плиты или жесткие пластины
характеризуются тем, что при изгибе поперечной нагрузкой растя¬
гивающие или сжимающие напряжения в срединной плоскости (так
называемые цепные напряжения) весьма малы по сравнению с на¬
пряжениями от изгиба (не более 5% от последних).С практической точки зрения тонкими можно считать пластины,
толщина которых не превышает одной пятой пролета, а прогиб не
превосходит половины толщины пластины.Расчет тонких пластин производится на основе классической тео¬
рии изгиба пластин, аналогичной технической теории расчета балок
и исходящей из гипотезы плоских сечений.Пластины конечной жесткости отличаются тем, что
их изгиб сопровождается появлением значительных растягивающих
(цепных) напряжений в срединной плоскости.Возникающие в пластине конечной жесткости цепные напряжения
оказывают существенное влияние на изгибающие моменты, осо¬
бенно при шарнирно опертых краях. Изгибные напряжения и про¬
гибы уменьшаются в несколько раз, причем линейная зависимость
между ними и поперечной нагрузкой, наблюдающаяся в жестких
пластинах, здесь нарушается.У пластин с закрепленными краями влияние цепных напряжений
меньше, чем у пластин с шарнирно опертыми краями. В связи
с этим у пластин конечной жесткости закрепление опорных кромок
не только не уменьшает величину напряжений в центральной части,
как это наблюдается в пластинах жестких, но в большинстве слу¬
чаев ведет даже к некоторому увеличению этих напряжений.Наибольшие напряжения в пластинах конечной жесткости сра¬
внительно мало зависят от отношения пролета I пластины к ее тол¬
щине д, особенно при больших значениях этого отношения/у >100l В этом случае уменьшение толщины пластины в 2—7
3 раза весьма незначительно сказывается на величине полных нор¬
мальных напряжений, причем в некоторых случаях (при больших
1 \значениях -у ) уменьшение толщины пластины может даже повести
к снижению в ней напряжений. Это объясняется тем, что при отно¬
шении превышающем 100, одновременно с ростом цепных на¬
пряжений уменьшаются напряжения от изгиба, причем суммарное
напряжение остается почти постоянным.Указанные цепные напряжения в пластине конечной жесткости
вызываются растягивающими или сжимающими усилиями, кото¬
рые появляются в срединной плоскости пластины благодаря нали¬
чию распора, т. е. связей, препятствующих свободному перемеще¬
нию опорных кромок пластины в ее плоскости. Различают две раз¬
новидности пластин конечной жесткости:
гибкие пластины небольшого прогиба — тонкие
(жесткие) пластины, загруженные, кроме поперечной нагрузки,
значительными усилиями в срединной плоскости. Пластины эти на¬
столько тонки и загружены столь значительными силами, что по¬
следними нельзя пренебречь. Однако эти пластины несут такую
небольшую поперечную нагрузку, что прогибы их малы по сравне¬
нию с толщиной. Расчет таких пластин аналогичен расчету балок
на сложный изгиб при известной продольной силе;гибкие пластины большого прогиба — настолько
тонкие пластины, что цепные напряжения могут оказывать суще¬
ственное влияние на прогибы под действием поперечной нагрузки.
Вместе с тем эти пластины прогибаются столь значительно, что
нельзя пренебречь влиянием их прогибов на величину усилий, стре¬
мящихся вызвать деформацию их срединного слоя. Расчет гибких
пластин большого прогиба ведется на основе использования си¬
стемы дифференциальных уравнений, описывающих совместную
деформацию изгиба и растяжения.Мембранами называют пластины, в которых при действии
поперечной нагрузки возникают столь малые изгибные напряжения,
что ими можно пренебречь по сравнению с цепными напряжениями.
Различают две группы мембран:металлические, в которых напряжения от изгиба весьма малы по
сравнению с цепными напряжениями, но которые могут восприни¬
мать не только растягивающие, но и сжимающие усилия;абсолютно гибкие, не воспринимающие изгибающих моментов;
подобно гибким нитям они не способны воспринимать сжимающие
усилия.Основные результаты по теории расчета пластин изложе¬
ны в работах Б. Г. Галеркина, И. Г. Бубнова, С. П. Тимошенко,
Ю. А. Шиманского, П. Ф. Папковича, А. И. Лурье, В. 3. Власова,
С. Г. Лехницкого, X. М. Муштари, А. С. Вольмира, П. М. Варвака,
Д. В. Вайнберга, А. П. Филиппова, Б. Г. Коренева, А. Д. Коваленко,
М. П. Огибалова, М. П. Флейшмана, К. А. Китовера, А. С. Калма-
нок, С. Н. Соколова, С. С. Голушкевича, М. С. Корнишина, Г. Мар¬
куса, А. Надаи, М. Е. Рейснера и др.
Раздел IКРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫГлава перваяСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН постоянной толщины
§ 1. Исходные уравнения и зависимостиОсновные обозначения (рис. 1.1, а, б, в)а — радиус пластины, см;
б — толщина пластины, см;ЕЪгD= — —цилиндрическая жесткость пластины, кг-см;г — расстояние точки от центра пластины, см;гр = относительная координата;аq — интенсивность внешней поперечной нагрузки (^>0
при направлении вниз), кг/см2;
w — прогиб пластины (ш>0 при направлении вниз),см;^тах — максимальный прогиб, см;(р — угол между нормалью и изогнутой срединной по¬
верхностью пластины и осью симметрии г;Qr — интенсивность радиальной поперечной силы на
единицу длины цилиндрического сечения пла¬
стины, кг/см (положительное направление Qr по¬
казано на рис. 1.1);Мг — интенсивность радиального изгибающего момента
на единицу длины цилиндрического сечения пла¬
стины, кг-см! см;Me — интенсивность окружного изгибающего момента
на единицу длины меридионального сечения пла¬
стины, кг-см!см (положительные направления МГ
и М© показаны на рис. 1.1);
ог, о0 — радиальные и окружные нормальные напряже¬
ния, /сг/сж2.Если действующая на круглую или кольцевую пластину нагрузка
распределена симметрично относительно оси z, перпендикулярной
к срединной плоскости пластины и проходящей через ее центр, то
изогнутая поверхность также окажется симметричной. Во всех точ¬
ках, равноудаленных от центра пластины, прогибы и усилия будут
одинаковы. Поэтому достаточно рассмотреть эти величины лишь9
вдоль одного диаметрального сечения, проходящего через ось сим¬
метрии.Основное дифференциальное уравнение симметричного изгиба
круглой пластины постоянной толщины имеет вид1dr dr1d f dw
rdrdrq(r)(l.i)Уравнение (1.1) может быть представлено также в формеь > гаю4е'Рис. 1.1
10Н<Mr)
—^—j- — • — — ср = !—Г q(r)rdr, (1.2)dr* г dr г3 т Dr0 Jогдеdw /1 оч* = -—• (1-3)В результате интегрирования уравнения (1.1) или уравнений
(1.2) и (1.3) находим выражение для функции прогиба до и для
угла ср (рис. 1.1, б).В частном случае, когда нагрузка рассматриваемой пластины от г
не зависит иq(r) = q = const, (1.4)имеем:w= ^ ^C2lnr + C3; (1.5)'p = -YL + -^- (1-6)После того как найдены постоянные интегрирования, входящие
в выражение (1.5), следует усилия в пластине определять по фор¬
мулам:*—■°(т ('■»>Qr= -у- . (1.9)где Mr, Me и Qr (рис. 1.1, в) —соответственно интенсивность ра¬
диальных изгибающих моментов,
окружных изгибающих моментов и
перерезывающих сил.Для определения постоянных интегрирования Сь Сг и Сз необхо¬
димо использовать граничные условия (условия закрепления) пла¬
стины.Наиболее характерны такие случаи опирания:1. Контур пластины не оперт (рис. 1.1,г) либо
шарнирно оперт (рис. 1.1, д) —Мг =0 при г=а. (110)2. Контур жестко закреплен (рис. 1.1, е) —(р=0 при г=а. (1-11)3. Контур пластины загружен равномерно рас¬
пределенными радиальными моментами Мг
(рис. 1.1, ж) —Мт= Мг при г — а. (112)11
Подобные условия должны соблюдаться на обоих контурах коль¬
цевой пластины. Соответствующие краевые уравнения дают воз¬
можность определить постоянные С\ и С2.В случае сплошной пластины (без отверстия) постоянную Сг сле¬
дует принять равной нулю для того, чтобы угол поворота <р в центре
был равен нулю.Постоянная С3 устанавливает только начало отсчета прогиба т
пластины. Ее величину определяют отдельно из условияw = 0 при г=ан, (1.13)где ан — радиус неподвижного контура или того контура, который
считают условно неподвижным.Могут встретиться также другие условия на краях пластины.
Излагаемое решение задачи об изгибе круглых пластин, а также
приводимые далее формулы считаются пригодными для расчета
пластин при соблюдении следующих условий:1. Соотношение между толщиной пластины и ее размерами
в плане определяется:для сплошной пластины — зависимостьюа;для свободно опертой кольцевой пластиныЬ<^~ (а — Ь);(1.14)(1.15)для жестко закрепленной кольцевой пластины —Ь<± (а-Ь),(1.16)где а и b — радиусы внешней и внутренней контурных окружно¬
стей пластины.2. Максимальный про¬
гиб пластины не превы¬
шает1Таблица 1.1ОтношениеПластинчатаяВид опираниясторонгибкость SпластиныЖесткое закрепле¬1:1,055ние1:1,533Шарнирное опира-1:1,012ние1:1,55Свободное опира-1:1,026ние1:1,513^тахь.(1.17)3. Напряжения в пла¬
стине не выходят за пре¬
дел упругости материала»
из которого пластина из¬
готовлена.В качестве критерия мо¬
жет служить величина
пластинчатой гибкости5 =агде q — интенсивность поперечной нагрузки, кг[см2\12
Е — модуль упругости материала пластины, кг/см2;
б—толщина пластины, см.Если гибкость рассматриваемой пластины равна или больше ве¬
личины s, приведенной в табл. 1.1, то пластину следует считать
тонкой или жесткой.§ 2. Пластина, свободно опертая по контуруа. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности
пластины (рис. 1.2).Обозначения* 6 Мгвг— радиальное нормальное напряжение в краиних во-526 М<локнах меридионального сечения пластины, кг/см2;о0 = —р окружное нормальное напряжение в краиних волок¬
нах цилиндрического сечения пластины, кг/см2.Расчетные формулы [8, 9, 10, И]w = -9— (1 -р2)х64 D г ’1 /77 17<р =Xqa?I3 + v16D у 1 + vQr = — 0,5qap;(2.1)(2.2)(2.3)M,= qa?16(3 + v)(l_p2); (2.4)16XX[3+v-(l +3v) P2]. (2.5)В центре пластины (g=0) имеем:O.0S2S да' 1]Р^ 1ц ж г00835[7 шр^ ?аЩ[| 1V" рш4а [НТПТТПТттгЛ^гггггГТ^Рис. 1.2* * 3Of — <30 = omax = nqa1®шах8qa4
64 D5 + v
1+v(3 + v);(2.6)(2.7)Прогиб в центре пластины с учетом деформации сдвига равен3 + v 52qa4 / 5 + v 4aw = ^гтт-1 — Ь —64D \ 1 + v1 — v2а1(2.8)13
При расчете пластин из материала с коэффициентом Пуассона
v = 0 можно пользоваться формулами:12 да*^max(2.9)£&з v >Mr = krqa2; (2.10)Mq = k&qa2. (2.11)Величины коэффициентов kWJ kr и k&, входящих в формулы(2.9) — (2.11), для различных значений д= — приведены в табл. 1.2.CLТаблица 1.2Р =а0,10,20,30,40,5КwКгк,е0,07810,18750,18750,07720,18560,18690,07440,18000,18500,06980,17060,18190,06350,15750,17750,05570,14060,1719Продолжение табл. 1.2Гр=^г0,60,70,80,91.00,04540,03590,02450,01240кг0,12000,09560,06750,03560к*0,16500,15890,14750,13690,1250Пример 1. Круглая пластина толщиной $=3 см и радиусом
а=90 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
равномерно распределенной нагрузки <7=0,8 кг!см2 (рис. 1.2). Ма¬
териал — сталь 1е=2,1 * 106 кг/см2; v= —] . Построить эпюры проги-\ 3 ,бов до, изгибающих моментов Mr, М& и перерезывающих сил Qr.
Вычислить максимальный прогиб дотах и максимальные напряже¬
ния в пластине.Решение. Пользуемся формулами (2.1), (2.3) — (2.5):ю = 0,0156(1 — р2) (4 — р2) —;
Qr — — 0,5?ар;Мг = 0,20830а2 (1 — р2);Л/е = 0,0417 (5 -Зр2) qa2.Принимая @=—=0; 0,5 и 1,0, найдем величины, приведенныеав табл. 1.3.14
Таблица 1.3Гр== аWмгМвQr00,0625-^—0,2083 qa?0,2083 qa?00,51,00,0439 ,
00,1562 ,
00,1771 .
0,0833 ,—0,25 qa
-0,50 „На рис. 1.2 построены эпюры до, Мг, М@ и Qr.
Наибольший прогиб в центре (^ = 0) равен^шахqa416D16qat\2 (1 — v2)
£5310,8 • 904 • 12 ( 1 — -i-16 2,1 • 106 • З3Изгибающие моменты в центре (^ = 0)М= 0,62 см.lmaxМт — М& = —— qa2 = —— • 0,8 • 902 = 1350 кг • см/см.
Г 24 24 'Максимальные радиальные и окружные нормальные напряжения
в центре (£ = 0)6-М max 6 • 1350'шах= аг = о©S2З2= 900 KticM2.Пример 2. Круглая пластина толщиной <5=12 см, радиусом
а=180 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
равномерно распределенной нагрузки <7 = 0,15 ksJcm2. Материал —
железобетон (£=1,5-105 кг{см2\ г> = 0). Вычислить прогибы до и из¬
гибающие моменты МГ и М& в центре пластины (^=0), в точкахсредней окружности |р = — =0,б| и на внешнем контуре.Решение. Пользуясь формулами (2.9) — (2.11) и данными
табл. 1.2, найдем величины, помещенные в табл. 1.4.б. Нагрузка, равномерно распределенная по поверхности цент¬
рального круга (рис. 1.3).ОбозначенияЬ0 — радиус окружности, ограничивающей зону приложения на¬
грузки, см\р=а .аОбозначения остальных величин те же, что и в случае «а» настоя¬
щего параграфа.15
Таблица 1.4ГW (см)м ( кг см \Ма( Кг СМ 1раГ 1 сл. ]»\ СМ }012 да*
0,0781 —V- =Ebz0,1875^а2 =0,1875^а2 =» 0,1875 X= 0,0781 • 7,29 = 0,57= 0,1875*4860 = 912X 4860 = 9120,512^а4°-0557 = 0,0781 XЕЬ60,1406^а2 = 0,1406 X0,1719(/а2 = 0,1719 Xх 7,29 = 0,407X 4860 = 685X 4860 = 8351,0000,1250<?л2 = 0,1250 X
X 4860 = 608Расчетные формулы [9, 10, 15]Для центральной нагруженной части пластины (0< р < р):w=q^_ . —14(3 v) — (7 -f- 3v) P + 4(1 +V)p4np• /гг "Г64£> 1 -f v— 2[4 — (1 — v) р2 — 4(1 + v) In Р] р2 +
9Ш1 +v<р =Р2даъЬ2(2.12)1Р XX0,033316 D 1 + v
4 — (1 — v) р2 — 4(1 + v) In р —1 4- vР2Р‘иг ГwqaQr = — 0,5gap;
г 16(2.13)(2.14)X4 — (1 — v) р2 — 4 (1 + ■*) In р —3 + VРис. 1.3Р2Р‘Me=-^[4-(l — v) р= — 4(1 +v)lnp- 1+3" р216 Р(2.15)
; (2.16)
т
00 = -в(2.18)^maxВ центре пластины (д=0)!ттг • [4 (3 4- V) — (7 + 3v) рз Ч- 4 (1 + V) рг ]п р]; (2.19)64£> 1 + v0; = 4 = огаах = 4 q [4 - (1 - V) Р» - 4 (1 + V) In И. (2.20)8 о2Для внешней ненагруженной части пластины (р < р < 1):w =да4Р21f[2(3 + v)-(l-v)P](l-p2) +ср =32D 1 + v+ 2(1 +v)p2lnp + 4(l + v)p2lnp};qa3 {З3(2.21)16 D 1 + ч[4— (1 — v) р»]р-(1 +»)р*Мг qa2(3216— 4(1 + v)plnp| ;Qr= — 0,5qap— ;p(1 _ v)'p2 (-5- — l\ — 4 (1 + v) ln p(2.22)(2.23)(2.24)+ i-4(1 -f v) ln pi . (2.25)Нормальные напряжения в крайних волокнах сечения пластины:*00 =5а6Мв52(2.26)(2.27)Для точек, расположенных на границе нагруженной части пла¬
стины (&=$), следует пользоваться формулами:w = . — {[2 (3 + v) - (1 - v) р2 ](1 - р2) +32 D 1 + v+ 6(1 4- v) р2In Р);3qa?$2*о© =852Здаф8Ь2[(1 — v) (1 _ р2)_4(1 -h v) In И;
1(1-v) (3 — р2) — 4(1 + v) In pj.(2.28)(2.29)(2.30)Для пластин из материала с коэффициентом Пуассона v=0 сле¬
дует пользоваться формулами:2—51117
® = (2.3i)Мт = krqa2\ (2.32)Me = ke qa2. (2.33)Величины коэффициентов kw> kT и k&, входящих в формулыb к(2.31) — (2.33), при различных значениях /? = — для ряда точек д = —а априведены в табл. 1.5.Таблица 1.5Коэф¬фициентГР= аР--Ьа00,20,40,60,81,00_0,00720,02570,04920,06950,07810,200,00670,02420,04660,06610,0774 0,400,00540,02010,03930,05630,0635Kw0,600,00380,01420,02820,04090,04440,800,00190,00730,01460,02140,02521,00000000_0,02600,07500,12790,17010,18750,200,01850,06750,12040,16260,1800 0,400,00970,04500,09790,14010,1575кт0,600,00530,02330,06040,10260,12000,800,00230,00980,02460,05010,06751,00000000_0,02600,07500,12790,17010,18750,200,02350,07250,12540,16760,1850 0,400,01840,06500,11790,16010,1775KQ0,600,01470,05440,10540,14760,16500,800,01200,04480,08930,13010,14751,000,00980,03680,07380,10880,1250Пример. Круглая пластина толщиной $=12 см, радиусом
а =160 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
равномерно распределенной по центральному кругу радиусом Ьо—
=80 см нагрузки <7=0,3 /сг/сж2 (рис. 1.3). Материал — железобетон
(£=1,9105 кг/см2; v=lU). Построить эпюры прогибов до, изгибаю¬
щих моментов Мп М© и перерезывающих сил Qr. Вычислить макси¬
мальный прогиб дотах и максимальные радиальные и окружные на¬
пряжения в пластине.Решение. Полагая /3 = 0,5, пользуемся формулами (2.12),(2.14) — (2.16) для е=0; 0,25 и 0,5 и формулами (2.21), (2.23) —
(2.25) — для 0=0,5; 0,75 и 1,0.18
Приводим полученные выражения
для р < р:w = (0,0333 - 0,0470р2 ++ 0,0156р4);М, = qa? (0,1096 - 0,1976р2);Me = qa2 (0,1096 - 0,0938р2);Qr— — 0,5qap.для р > р:_ Яа4
D+ 0,0020 In р + 0,0157р2 In р);w = (0,0410 - 0,0410р2 +Мг = да*0,0033— 0,0728 In р(7-)-]‘Me = qa210,052 - 0,0033 -V ++ 1 - 0,0728 In рQr= — 0,125^аРРезультаты вычислений по последним формулам приведены
в табл. 1.6.Таблица 1.6Гр=^WМгMeQr00,250,500,500,751,00А Л9990,1096 qa20,0973 ,
0,0602 ,
0,0602 ,
0,0191 ,
00,1096 qa20,1037 „
0,0862 .
0,0862 ,
0,0678 ,
0,0454 ,0—0,125 qa
-0,250 „
-0,250 .
-0,167 „
-0,125 .U у UuOu0,0305 .
0,0226 я
0,0226 „
0,0120 ,
0Вычислим:qa4qa = 0,3 • 160 = 48 кг/см;
qa2 = 48 • 160 = 7680 кг;
7680 • 1602 • 12 . 35D= 6,986 см.1,9 • 106 • 123 • 36После подстановки найденных величин в табл. 1.6 получим зна¬
чения, приведенные в табл. 1.7.На рис. 1.3 построены эпюры до, Мг, М@ и Qr
Наибольший, прогиб в центре (£=0) равендоmax*=0,233 см.Изгибающий момент при р = 0Мтлх = Mr = Me =841,7 кг-см/см.о*19
Таблица 1.7,, / кг-см \.. / кг-см \^ l кг \w (cm)M - )e( « )Qr ( cm)00.0334-6,986=0,1096-7680=806,70=0,233=841,70,250,0305-6,986=0,0973-7680=0,1037-7680=-0,125-48 = —6=0,213=747,3=796,40,500,0226-6,986=0,0602-7680=0,0862-7680=-0,25-48=—12=0,158=462,3=662,00,500,158462,3662,0—120,750,0120-6,986=0,0191-7680=0,0678-7680=—0,167-48=—8=0,084= 146,7=520,71,00000,0454-7680=-0,125-48=—6= 348,7Максимальные радиальные и окружные нормальные напряжения
в центре (£=0)Шт" = 35,07 кг!см2.'шах= ог — <3© =В2в. Нагрузка, равномерно распределенная по кольцу, ограничен¬
ному внешним контуром пластины и концентрической окружностью
радиусом Ьо (рис. 1.4).Обозначения те же, что и в § 1 и случае «б» § 2.9Расчетные формулы [2, 9, 15]~-=Х/Т77 Г77W 'Д0356"''ЧИП,0.068WМЛ\о, отдоев,0,375Решение данной задачи мож¬
но получить в результате нало-
да< жения случая «а», соответству-
j- ющего нагрузке по схеме
рис. 1.2, и случая «б» (рис. 1.3),
в котором интенсивность на¬
грузки q следует считать отри¬
цательной, т. е. направленной
вверх.Для центральной ненагру-
женной части пластины (0<р < Р);qaQrpr-7°w =qaA{Г(5 + v) -Рис. 1.464D (1 + v)4(3+ v) p2 + (7 + 3v)p*]-
- 2p2 [(3 + v) -— 4p2 + (1 - v) p*] - 4p2 (p2 + 2f) (1 + v) ln PJ; (2.34)Q, = 0; (2.35)Mr = M9 = -^~ [(3 + v) — 4P2 + (1 — v) p4 + 4p2 (1 + v) ln P]; (2.36)1620
* * 6 Mr
ar= o0 = -S2(2.37)Для внешней нагруженной части пластины 1):= ** 1(5 + v) — 4 (3 + v) р2 -f 2 (1 — v) р4 — 2р2[(3 + v)(l —64D (I + V)- 2Р2) + (1 - V) Р4] + (1 + V) р‘ - 4р2 (Р2 + 2р2) (1 + v) In р); (2.38)М,=16Qr = 0,5qa (р2 -i- — pj ;4(1 +v)p2lnp + (3 + v)(l -P2) +(2.39)+ (!-») P4 (1 (2.40)Me =qa2164 (1 -f v) p2 In p — (1 + 3v) p2 + (3 + v)4(1 v) P2 + (1_V)P4 1 + -i-Здесь ft =boa(2.41)Пр и мер. Круглая пластина толщиной <?=10 см> радиусом а —
= 150 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
нагрузки <7=0,25 /сг/сж2, равномерно распределенной по кольцу,
ограниченному внешним контуром пластины и концентрической ок¬
ружностью радиусом Ьо=7в см (рис. 1.4). Материал — железобетон
(£=1,9-105 кг!см2\ v=xU). Вычислить прогибы w, изгибающие ра¬
диальные моменты Мт> окружные моменты М& и перерезывающие
силы Qr.Решение. Полагая -^- = 0,5, пользуемся формулами (2.34) —а(2.36) для Q-— =0; 0,25 и 0,5 и формулами (2.38) — (2.41) —дляаQ— ^ =0,5; 0,75 и 1,0.Приводим полученные выражения
для Р < р:W = 3B~ (°’3578-°’0378Р2)’Мт — Мв — 0,0881 qa2;
Qr = 0.для р > р:™ = (0,0282 - 0,0438Р2 +
+ 0,0156р4 — 0,0039 In р —
— 0,0312р2 In р);
Мг = да2 (0,0729 In р + 0,2012 -0,1979р2 —0,00325Ра21
Величины
в табл. 1.8.М@ = qa2 ^0,0729 In р + 0,0033 X
х —-0,0983р2 +0,1491РаQt = 0,5qa (-^-Р
прогибов и изгибающих моментов приведеныТаблица 1.8Гр = аWмгЩQr00,0358-да4
D0,0881 qa20,0881qa200,250,0334я0,0881 .0,0881я00,500,0263я0,0881 „0,0881я00,500,0263я0,0881 ,0,0881я00,750,014790,0631 .0,0811я—0,2083 qa1,00000,0586я-0,375 .Вычислим:qja=0,25* 150=37,5 кг/см;qa2=37,5-150=5625 кг\qa4 5625 • 150* • 12 • 35 7 „— = = 7,7714 см.D 1,9 • 105 • 103 • 36Найденные величины прогибов и усилий даны в табл. 1.9.Таблица 1.9/ кг см \.. { кг-см \Л ( кг \ТW (см)АЛ 1 \г) 1 1р=—М « )\ СМ )Qr [ см )00,0358-7,7714==0,2780,0881*5625==495,6495.600,250,0334*7,7714=495,6495,60=0,2600,500,0263*7,7714=495,6495,60=0,2040,500,204495,6495,600,750,0147*7,7714=0,0631*5625=0,0811-5625=—0,2083X=0,114=354,9=456,8Х37,5=—7,81,0000,0586-5625=—0,375х=329,6Х37,5 =—14,1г. Нагрузка, изменяющаяся вдоль радиуса по линейному закону
q = q0(\— о) (рис. 1.5).22
Обозначенияq0 — интенсивность нагрузки в центре пластины, кг/см2;Q— —q0a2 — полная нагрузка, кг.3Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» настоя¬
щего параграфа.w =14400DРасчетные формулы [2, 15]3(183 + 43^ _ 10(71 +29v)p2 _ 1 .1 + V 1 + V IсоР71 + 29v720D \ 1 + v— 45р2 + 16р3\ ;(2.43)Qr =ЧоаXX Р (3 — 2р); (2.44)$0308 9о°И||м|мрди^’ DMf=wiт 720[71 + 29v -
— 45 (3 -j- v) p2 -j-Ш121+ 16(4 + v) p3];(2.45)M _W_ [71 +29v —720— 45 (1 -f- 3v) p2 + 16X
x(l +4v)p8]. (2.46)В центре пластины (£ = 0):шт,^[ШМПШПттггуфггггШМьаРис. 1.5^шах — д0а* 183 + 43v4800D1 + v«;-4 = W= (71 + 29»).(2.47)(2.48)Пример. Круглая пластина толщиной д=3 см, радиусом а =
= 80 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
нагрузки, изменяющейся вдоль радиуса по линейному закону q =
= qo(l—q), где <7о = 2 кг!см2 — интенсивность нагрузки в центреплиты (рис. 1.5). Материал — сталь ^£=2,1* 106 /сг/сж2; По¬строить эпюры прогибов w, изгибающих радиальных и окружных
моментов МТ и М% , перерезывающих сил Qr. Вычислить максималь¬
ный прогиб дотах и максимальные напряжения в пластине.Решение. Пользуемся формулами (2.42), (2.45), (2.46) и
(2.44):23
w(0,0308 - 0,0420p2 + 0,0156p4 - 0,0044p5);Mr = q0a2 (0,1121 - 0,2085p2 + 0,0964p3);Me = q0a2 (0,1121 — 0,1251p* -f 0,0519p3);Qr = — q0a (0>5p — 0,3333p2).Принимая q — — = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0, найдем величины, приве-аденные в табл. 1.10.Таблица 1.1000,250,500,751,00а^а40,0308-^-0,0284 „0,0211 ,0,0111 .О0,1121 <70а20,1006 .0,0720 ,0,0355 „О0,1121 д0а20,1051 „0,0872 „0,0636 ,0,0389 „О—0,1042 q0a
—0,1667 ,
—0,1875 „
—0,1667 „Вычислим:<7о^=2-80=1б0 кг/см;
qod2= 160-80= 12800 кг;
12800 • 802 • 12 ■ 8D2,1 • 106 • З3 • 9= 15,35 см.В результате подстановки полученных величин в табл. 1.10 полу¬
чим значения прогибов и усилий, приведенные в табл. 1.11.Таблица 1.11г,, ( кг-см \/ кг см \^ / кг \р=—W {см)«г ( „■ )М*( см )Qr ( см )0,000,0308-15,35=0,1121-12800=14350=0,4750= 14350,250,0284-15,35=0,1006-12800=0,1051-12800=—0.1042Х=0,4359=1288= 1345X160=—16,70,500,0211-15,35=0,0720-12800 =0,0872-12800=—0,1667Х=0,3239=922= 1116X160=—27,00,750,0111-15,35=0,0355-12800=0,0636 12800=—0,1875Х=0,1704= 454=814X160=—30,01,00000,0389-12800 =-0Д667Х==498Х160=—27,0На рис. 1.5 построены эпюры wy Мг, Me и Qr.
Наибольший прогиб в центре (£=0)Wmax= 0,0308 — 0,475 см24
Максимальные напряжения будут в центре пластины* * Л стос qa? 0,6726 • 12800 8609,3 ЛС~ , 9
■>г = °е = ятп = 0,6726 = = —— = 957 кг/см*.о* У Уд. Нагрузка, изменяющаяся вдоль диаметра по параболическому
закону q = q0(\—д2) (рис. 1.6).Обозначения величин те же, что и в случаях «а» и «г» настоящего
параграфа.Расчетные формулы [15]39 + 15v р2 + 9р4_рб| ; (2.49) </о а* ( 31 7уW = — 1 ? =576D
д0а31 + v1+v96£>РХХ( -6р» + р«); (2.50)Q,---М-Р(2-р>); (2.51)4мг = -*£г 96[13 + 5v — 6 XX(3 Д. v) Р2 + (5 + ,) р4]; (2.52)М А =Я о**2
96[13 + 5v-6XX(l+3v)p2 + (1 + 5v)p4]; (2.53)*6МГ526М0(2.54)(2.55)0,0U3 4 qQQ**
ms2B0,0555mssО•чщ1! [W°Q ц.2 11ТГГЬ^-ггттГТТТПШГ %°Рис. 1.6В центре пластины при £ = 0:* *
ог = о© = ашах<70я3(13 + 5v);^гпах(2.56)(2.57)16В2
д0а4 (31 + 7у)576D (1 + v)Пример. Круглая пластина толщиной д=3 см, радиусом а=
= 100 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
нагрузки, изменяющейся вдоль диаметров по параболическому за¬
кону q = <7о (1 —g2), где qo—0,8 кг!см2 — интенсивность нагрузкив центре пластины (рис. 1.6). Материал — сталь ^£=2,1*10б кг/см2\v=— V Построить эпюры прогибов ш, изгибающих радиальных и3 /окружных моментов Мг и Me, перерезывающих сил Qr . Вычислить25
максимальный прогиб wmflx и максимальные напряжения атах
в пластине.Решение. Пользуемся формулами (2-49), (2.51) — (2.53):
да = -Ш- (0,0434 - 0,0573р2 + 0,0156р* — 0,0017Р6);Мг = ?0а2 (0,1528 - 0,2083р2 + 0,0556р4);
Мв = q„a* (0,1528 — 0,1250р2 + 0,0278р‘);
Qr = — <7оа (0,5р — 0,25р2).Принимая д=—=0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0, найдем величины, при-аведенные в табл. 1.12.Таблица 1.12г^ ~ аWмгмвQr0<70а40,0434—^—0,1528 q0a20,1528 q0a?00,250,500,751,00,0399 „
0,0300 „
0,0158 „
00,1400 .
0,1042 ,
0,0532 „
00,1451 .
0,1234 .
0,0834 .
0,0555 n—0,1094 q0a
—0,1875 ,
—0,2344 ,
-0,25На рис. 1.6 построены эпюры w, Mr, М© и Qr.Наибольший прогиб в центре ((? = 0)0W = 0,0434 .Максимальные напряжения будут в центре пластиныв;=4 = аИ11- 0,9168 Jbg- .Подставляя значения q0i а, а и £>, найдем:^70а = 0,8 -100=80 кг}см;<7оЯ2=0,8- 104=8000 кг;?°д4- = ... QA'-iPil1?-!.8— = 3_.‘ -° — 15,05 см.D 2,1 • Ю6 • 27 • 9 81-2,1Результаты вычислений приведены в табл. 1.13.е. Нагрузка, меняющаяся вдоль радиусов по параболическому
закону qr =qo(\—q)2 (рис. 1.7).Обозначения величин те же, что и в случаях «а» и «г» настоящего
параграфа.26
Та блица 1.13ГЛw (см)/ кг-см \мл { кг'см \0 ( кг \аг[ « )0 у см Jг [ см )00,0434-15,05=0,1528-8000=0,1528-8000=0=0,65= 1222= 12220,250,0399-15,05=0,1400-8000=0,1451-8000=—0,1094Х=0,60= 1120= 1161X 80=—8,80,500,03-15,05=0,1042-8000=0,1234-8000=—0,1875Х=0,45=834=987Х80=—150,750,0158-15,05=0,0532 8000=0,0834-8000=—0.2344Х=0,24=426=667Х80=—191,00000,0555-8000=-0.25Х=444Х80=—20w_ <У0Д41440D323 + 83v1 + vРасчетные формулы [15]- 5 <8?_+1ь2 р2 + 225р4 _ 128р5 + 25р61 + V; (2.58)<Рq0a?989 о- 41v1440D ‘V 1 + v— 90р2 + 64р3 — 15р4Яоа(2.59)Qr = —12XX Р (6 — 8р + Зр2);(2.60)м _щ?_ [89 + 4Ь_90х
г 1440
X (3 + V) р2 + 64 (4 + V) рЗ _— 15 (5 + v) р4]; (2.61)
= I89 + 41v-90x
X (1 + 3v) р2 4- 64 (1 + 4v) р3 —
— 15 (1 -J- 5v) р4]; (2.62)* 6Мга — В2В центре пластины при £=0:м.0,06550,02280,05550,083 'Д.1мТ ^ Щ д0Рис. 1.76М,о© =0* *Ог = 00 = о,max^max —__ Яоа4(89 + 41 v);
240В2 4 }(323 + 83v)144000(1 + v)(2.63)(2.64)(2.65)27
Пример. Круглая пластина толщиной <5=12 см, радиусом а =
= 160 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
нагрузки, изменяющейся вдоль радиусов по параболическому за¬
кону qT = <7о (1—Q2), где <7о=0,4 кг/см2 — интенсивность нагрузкив центре плиты (рис. 1.7). Материал — железобетон ^£=1,9ХХЮ5 кг/см2', v= ^. Построить эпюры прогибов w, изгибающих ра¬
диальных и окружных моментов Мг и М& и перерезывающих сил Qr.
Вычислить максимальный прогиб штах и максимальные напряже¬
ния отах в пластине.Решение. Пользуемся формулами (2.58), (2.60) — (2.62):w = (0,0201 - 0,0285р2 + 0,0156р4 - 0,0089р5 + 0,0017р6);Mr — q0a2 (0,0665 — 0,1979р2 + 0,1852р3 — 0,0538р4);Же = q»a2 (0,0665 — 0,0937р2 + 0,0741 р3 — 0,0191р4);QT = — <7оа (0>5р — 0,6667р2 + 0,25р3).Принимая д=— =0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0, найдем величины, при-аведенные в табл. 1.14.Таблица 1.14г^ аWмгм&Qr00,0201—0,0665 q^a20,0665 q0a200,250,500,751,000,0183 „
0,0136 „
0,0072 .
00,0569 „
0,0373 „
0,0163 „
00,0618 .
0,0512 „
0,0390 ,
0,0278 я0,0872 q0a
0,1146 и
0,1054 „
0,0833 „9,35 см.На рис. 1.7 построены эпюры w, Mr, М& и Qr-
Вычислим:q0a= 0,4 • 160 = 64 кг/см;
qoa2=64-160= 10240 кг;
д0а* = 10240 ♦ 1602 ■ 12 • 35 _D ~ 1,9 • 105 • 123 • 36 ~Результаты вычислений приведены в табл. 1.15.
Наибольший прогиб в центре (# = 0)w = 0,0201 -^- = 0,1879 см.DМаксимальные напряжения в центре пластины0; = 4 = = 0,399 =0,399 •S210240144= 28,4 кг/см2.28
Таблица 1.15w ( кг-см \„ / кг-см \Л ( кг \рЧгw (см)м - )М*[ см )Qr[ см)00,0201-9,35=0,0665-10240=0,0665-10240=0=0,1879=681=6810,250,0183-9,35=0,0569-10240=0,0618-10240=—0,0872X=0,1711=583=633Х64=—5,60,500,0136-9,35=0,0373-10240=0,0512-10240=—0,1146х=0,1272=382=524Х64= 7,30,750,0072-9,35=0,0163-10240=0,0390-10240=—0.1054Х=0,0673= 167=399Х64 6,71,00000,0278-10240=—0,0833X1=285Х64=—5,3ж. Нагрузка Я, приложенная к малому центральному кругу
(рис. 1.8).ОбозначенияЬ\ — радиус малого круга, по площади которого распределена
сила Я;р=-т-аОбозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [2, 9, 15]Для ненагруженной части пластиныW —Ра2
16С*3 +у
1 + *(1 - р2) + 2р2 In рX11+VРа у.Т = 1^грх— In Р1 ;Qr = —12 каР(2.67)(2.68)Рис. 1.8мг=-4п(1 +v) In р;Мв =4п[(1 —v) — (1 +v) In р].Для центральной нагруженной части пластины :w =Ра2
87iDЗ + у
2(1+v)(1 — Р2) + Р21пр]-Р&28тс (1 — у ) D(2.66)(2.69)(2.70)In р. (2.71)29
В центре пластины:OW =Ра 23 + VМГ = МВ =[1 — (1 + v)In р].(2.72)Ъ'ГГГ 77Наибольшие растягивающие
нормальные напряжения в точке
В (рис. 1.9) можно определить по
формулеРS2(1 — V) XХ( 0,485 In-^- + 0,52] ++ 0,48(2.73)Пример. Круглая пластина
толщиной 6—3 см, радиусом а —
=60 см, свободно опертая по кон¬
туру, находится под действием
силы Р=3000 кг, приложенной к
малому центральному кругу ра¬
диусом &i = 0,05a = 3 см. Материал — сталь ^£ = 2,1-106 кг/см2;^ )• Вычислить прогибы w, изгибающие радиальные и окружныеО iмоменты Мг и Me и перерезывающие силы Qr.ъРешение. Полагая р=— =0,05, пользуемся формулами (2.66),
(2.68) —(2.70):w =Ра2
D(0,0497 - 0,0497р2 + 0,0398р2 In р);Мт — — 0,1061Р1п р;Me = Р (0,0531 - 0,1061 In р);0,1592 — .а рПринимая q——=0,25; 0,5; 0,75 и 1,0, найдем величины, приве-аденные в табл. 1.16.Пользуясь формулами (2.71) и (2.72), найдем для нагруженного
участка:w = (0,0497 — 0,0497р2 + 0,0398р2 In р) — 0,537 1пр;Me = Мг = Мв = 0,3974Я.30
Таблица 1.16/ кг-см \в# / кг-см \^ / Кг \р=-^-w (см)0( )Q'{ch)Ра2р0,250,0432—р—0,1471 Р0,2001 Р—0,6368 Л0,500,0304 .0,0736 „0,1266 .-0,3184 „0,750,0153 „0,0305 „0,0836 в—0,2123 .1,00000,0531 ,—0,1592 »Принимая 0=0,05 и 0,01, найдем величины, приведенные
в табл. 1.17.Таблица 1.170,050,010,0493 +
0,0497 +1,6087\ Ра2а2 I D2,4730>
а20,3974 Р
0,3974 .На рис. 1-9 построены эпюры до, Mr, Me и Qr.Вычислим:Ра2 3000 • 3600 -12 - 8 0 поо = = 2,032 см.D 2, ЬЮ6-27 *9После подстановки получим величины, помещенные в табл. 1.18.Таблица 1.18( кг-см \w ( кг-см \л / Кг \р= аw (см)М « )0( ™ )Qr ( см )( 2,473 \0,01(О'О497 + збоо ) Х11921192—Х2.032 = 0,1020,250,0432-2,032 = 0,08861884044,60,500,0304-2,032 = 0,06230953222,30,750,0153-2,032 = 0,03112835114,91,000022311,1з. Нагрузка, равномерно распределенная по окружности, кон¬
центрической к контуру пластины (рис. 1.10).ОбозначенияЬ2 — радиус окружности, по которой распределена нагрузка, см;
р — нагрузка на 1 см длины окружности радиуса &2, кг(см;р = А .а31
Обозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [9, 10, 15]
Для внутренней части пластины (0<р< fi)iw —раъ. ((3 + v) (1 — Р2) + 2 (1 + ч) Р2 In ? —1 4- v8D 1 +— 1(1 — v) (1 — Р8) — 2(1 +v)lnp]p2);Р* —?— р [(1 — v) х(2.74)ср =/77 77ЬгГ /77-77Qа0,11155 fкЛ1Щ,\<0,21]Р^2"г^« Р-пф'"Тр”'1п, Р'200''ЩЦ.фJP'Лй00!Иш,4 D 1 -г vX (1 — р2) - 2 (1 + v) In ?]; (2.75)Qr = 0;Мг = Мв = Р 1(1 — v) Xг 4Х(1 — Р2) — 2 (1 + v)lnP]. (2.76)
В центре пластины (@ = 0)paz^max. _L_ КЗ + v) х8 D 1 + vДля внешней части пластины (р <Р<1):рагW = -г—Р{[3 + V -Рис. 1.108 D 1 + v
— (1 — v) Р21 (1 — Р2) + 2 (1 + v)X
Х(Р2 + р2)1пр); (2-78)<р =JP&2Р4£>1 + v2 — (1 — ■*) Р2 — (1 +V)P* -T —Р— 2(1 +v)lnp
Qr = ~ " 'М,=рар(1 — ч) Р2 (у — 1 j - 2 О + ч) ln Р(2.79)(2.80)
(2.81)Лв=-££-р{(1-*)-2(1 -г v) In р . (2.82)При расчете пластин из материала с коэффициентом Пуассона
v = 0 можно пользоваться формулами:(2.83)-г 12 раЧ232
Mr = krpb2; (2.84)Me — kepb2._ (2.85)Величины коэффициентов kw> kr и k%, входящих в формулыЬ г(2.83) — (2.85), для ряда отношений в— — и различных точек д ——а априведены в табл. 1.19.Таблица 1.19•т* . .Р=* bjaКОЭфф!циентыГР=Т0,00.10,20,30,40,50,60.70,80,91,000,37500,36550,34390,31420,27830,23790,19400,14760,09930,049900,10,36550,35850,33870,30900,27500,23530,19190,14600,09830,049400,20,34390,33870,32300,29760,26500,22720,18570,14140,09530,047900,30,31420,31000,29760,27680,24830,21390,17530,13380,09020,045400,40,27830,27500,26500,24830,22490,19520,16080,12310,08320,041900,50,23790,23530,22720,21390,19520,17120,14210,10930,07410,03740n,w0,60,19400,19190,18570,17530,16080,14210,11920,09250,06300,031900,70,14760,14600,14140,13380,12310,10930,09250,07260,04990,025400,80,09930,09830,09530,09020,08320,07410,06300,04990,03480,017800,90,04990,04940,04790,04540,04190,03740,03190,02540,01780,009301,0000000000000 .1,39881,04470,82950,66810,53410,41540,30580,20160,100200,11,15131,39881,04470,82950,66810,53410,41540,30580,20160,100200,20,80470,86471,04470,82950,66810,53410,41540,30580,20160,100200,30,60200,62720,70300,82950,66810,53410,41540,30580,20160,100200,40,45810,47130,51060,57630,66810,53410,41540,30580,20160,100200,50,34660,35410,37660,41410,46660,53410,41540,30580,20160,100200,60.25540,25990,27320,29540,32650,36650,41540,30580,20160,100200,70,17830,18090,18870,20180,22000,24340,27200,30580,20160,100200,80,11160,11300,11720,12420,13410,14670,16220,18050,20160,100200,90,05270,05330,05500,05800,06210,06730,07380,08140,09080,100201,000000000000к©О0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,01,6513
1,3047
1,1020
0,9581
0,8466
0,7554
0,6783
0,6116
0,5528
0,50001.39881.3988
1,2397
1,0717
0,9400
0,8341
0,7460
0,6707
0,6052
0,5471
0,49501.04471.04471.0447
0,9810
0,8856
0,7966
0,7176
0,6479
0,5859
0,5303
0,48000,82950,82950,82950,82950,79500,73410,67040,60990,55390,50240,66810,66810,66810,66810,66810,64660,60430,55670,50910,46330,455010,42000,53410,53410,53410,53410,53410,53410,51930,48830,45140,41300,37500,41540,41540,41540,41540,41540,41540,41540,40470,38690,35160,32000,30580,30580,30580,30580,30580,30580,30580,30580,29770,27890,25500,20160,20160,20160,20160,20160,20160,20160,20160,20160,19510,18000,10020,10020,10020,10020,10020,10020,10020,10020,10020,10020,095000000ООООООПример. Круглая пластина толщиной д= 12 см, радиусом а =
—140 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
нагрузки р=20 кг!см, равномерно распределенной по окружности
радиусом 62 = 70 см, концентрической к контуру (рис. 1.10). Мате¬
риал— железобетон (£= 1,9-105 /сг/сж2; v=—\ • Построить эпюры3—51133
прогибов до, изгибающих радиальных и окружных моментов Мг и
Мв и перерезывающих сил Qr. Вычислить максимальный прогиб^тах*Решение. Полагая /3 = 0,5, пользуемся формулами (2.74) и
(2.76) для £=— = 0; 0,25 и 0,5 и формулами (2.78), (2.79) —(2.82) —адля д= — = 0,75 и 1,0.аПриводим полученные выражения^
для 0 < р < р:до =ра3D(0,1055 -0,1201 р2);Мг = 0,2803/?а;М% = 0,2803ра\Qr = 0.для р > р:w = (0,1585 - 0,1585р2 ++ 0,0313 In Р + 0,1250р2 In р);
Мт = ра (0,0260 + 0,0260 \ —— 0,2917 In р| ;Же = ра (о,1823 — 0,0260у-0,2917 In р\ ;1Qr = — 0,5/7рВ табл. 1.20 приведены соответствующие величины.На рис. 1.10 построены эпюры до, Мп Мв и Qr.Наибольший прогиб в центре (£ = 0) определяем по фор¬
муле (2.77)л тсс РД3 л тсс 20 • 1403 • 12 • 35 п= 0,1055 —— = 0,1055 = 0,206 см.D 1,9- 10s- 123-36Таблица 1.20WmaxГР = ^ГWмгЩQr0раг0,1055 —0,2803 ра0,2803 ра00,250,500,500,751,000,0980 .
0,0755 .
0,0755 .
0,0401 .
00,2803 .
0,2803 .
0,2803 .
0,1042 „
00,2803 »
0,2803 ,
0,2803 .
0,2199 .
0,1536 .00—1,000 р
—0,6667 .
—0,500 ,34
Подставив в табл. 1.20 значения р, а, д и D, найдем величины,
приведенные в табл. 1.21.Таблица 1.21Г.. / кг-см \w / кг-см \о / кг >р=7w (см)мг ( )\ СМ /М „ )Qrbz.00,1055-1,95 = 0,2060,2803-2800=78578500,250,098-1,95=0,19178578500,500,0755-1,95 = 0,14778578500,500,147785785—200,750,0401 * 1,95 = 0,07820,1042 - 2800 = 2920,2199-2800= 616—13,331,00000,1563*2800=438—10Вычислим прогибы и изгибающие моменты приближенно, прини¬
мая v=0.Пользуясь формулами (2.83) — (2.85) и коэффициентами из
табл. 1.19, найдем следующие величины, приведенные в табл. 1.22.Таблица 1.22ГГ\ w (см)м ( кг'см \Г кг-см \аЛ см )1. см )012 . 20 • 1403 • 70 А
°'238' 1.9-10-. 12* -°'2310,534 • 20 • 70 = 7480,534 •1400 = 7480,50,1712 - 0,972 = 0,1660,534 • 1400 = 7480,534-1400 = 7481,0000,375 •1400 - 525и. Нагрузка в виде радиальных моментов, равномерно распреде¬
ленных по контуру пластины (рис. 1.11).I МгРис. 1.11ОбозначенияМ — моментная нагрузка на единицу длины контура, кг-см/см.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 1.3*35
Расчетные формулы [9, 10, 15]Ма2W —2D (1 -f v)■ 777 7tl
ГNM(1 — р2);ср =.МаD(l+v)р;w0,194-ПаЛ 312we t&LЛ/г = Мв = Л1;6МStlм* *—- 0@ (2.86)(2.87)(2.88)(2 89)0,208 0,521 0,686. к. Нагрузка в виде радиальных
".ЩЩ? ^ Т ДЦШ^ моментов, равномерно распределен-
л I In 111II иг ных п0 окружности, концентрическойРис. 1.12 к опорному контуру (рис. 1.12).ОбозначенияМ — моментная нагрузка на единицу длины окружности ра¬
диусом кг-см/см;h_аОбозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [7, 15]Для внутренней части пластины (0 <Р<£):w —Ма2
4D1+v(2р2 [1 - (1 + v) In р] - [1 + V + (1 - v) р2] р2}; (2.90)ср =Ма
~2~D1Mr = M* = -f- [1 + v + (1 — v) Р2];* * 6 Мг
аг = а0 =В2Для внешней части пластины (/3<р<1):w= — • —— [(1 — v) (1 — р2) — 2(1 + v) ln р];4 D 1+v
Ма p22D1 +v(1 — v)p 4- (1 + v)1(2.91)(2.92)(2.93)(2.94)(2.95)(2.96)36
Qr = 0;M& =M(2.97)(2.98)(2.99)На рис. 1.12 приведены эпюры w, М., Me для пластины с отно-Ь 1шением р=. — =0,5 при коэффициенте Пуассона v= — .а 6§ 3. Пластина, свободно опертая по окружности,
концентрической к контуруа. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности
пластины (рис. 1.13).К>1nunhiIIIIJIIIb,rAh T7aQWРис. 1.13Обозначенияа — радиус внешнего контура пластины, см\Ь3 — радиус опорного контура, см\аОбозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 2.Расчетные формулы [9, 15]Для внутренней части пластиныw —qa41(1 + v) Р4 — 2 |(1 + 3v) -f 2 (1 -v)pa +64D (1 + v)+ 4 (1 + v) In M p* + 2 (1 + 3v) p* + (3 - 5v) + 8 (1 + v) рЧп P); (3.1)Qr = — 0,5<?ap; (3.2)Mr = -$£- [ - (3+v) p2 + (1 + 3v) + 2 (1 - v) рг + 4 (1 + v) In Й; (3.3)
10Me=Sg- 1(1 + 3v) (1 _ pa; + 2 (1 — v) p* + 4 (1 4- v) In p]. (3.4lb37
Для внешней части пластины (g>fi) :
qa4w —64£>(1 +v7{—12 (3 + V) P2— (3 —5v) s(l pMnpJ ++ 2[(3 + v) — 2(1 — v)P* — 4(1 + »)lnP] p2 + (1 + v)p4 —
— 8 (1 + v) In ~ (P2 + p2) J ; (3.5)-f); (3.6)М, = Г(3 + v)(1 — P2) + 2(1 — v) p2 (l-y) ++ 4(1 +v) In pi; (3.7)= |S»-1+ 2(1-»)p*fl+ -!■)-(1+3») P2 +Гб» -+ 4 (1 + v) In p* 6 Mr *» — / • J* ——(3.8)m*1 = . (3.9)0“ ьг v 7Прогиб контура пластины (g=l)= капп Г - [7 + 3v - 2 (5 - V) p» + (3-5v) p4 +64D (1 + v)+ 16(1 + v)p2lnpj. (3.10)В центре пластины (o=0):w= 64D^‘+— [2(1 + 3»)p2+ (3-5») p4 + 8 (1 + ») p* In pj; (3.11)
Afr = Me = -^-[l+3v + 2(l-v)p2 + 4(l+v)1npi. (3.12)
16Пример. Круглая пластина толщиной <5=3,4 см и радиусом а =
= 120 см, свободно опертая по окружности радиусом 63=80 см, кон¬
центрической к контуру, находится под действием равномерно рас¬
пределенной по всей поверхности пластины нагрузки q=8 кг/см2(рис. 1.13). Материал — сталь ^£=2,1 -106 кг/см2\ Вычислитьпрогибы w, изгибающие радиальные и окружные моменты Мт и М©
и перерезывающие силы Qr.Ь 2Решение. Полагая /? = —=—, пользуемся формулами (3.1) —а 3
г 2(3.4) для д=— =0; 0,25; 0,5; — и формулами (3.5) — (3.8) —дляа 3Р = — = 0,8 и 1,0.а 338
Приводим полученные выражения
для Р < р:w —да4D(0,0014- 0,0101р2 ++ 0,015бр4);
Mr = qa2 (0,0269 - 0,2083р2);M& = qa2 (0,0269 - 0,125р2);Qr = — Q,5qap.qa*W = ——
Dдля р > р:- 0,0542 + 0,1149р2 +■ 40,125[^-+р2)1п1,5р+ 0,0156р4Mr = qa210,2454 - 0,2083р2 -
_ _0.0370 + С)3333 )п \ .Же = qa2 (0,0787 - 0,125р2 ++ 0.0370 _|_ 0,3333 In р) ;Qr = — 0,5?а р —1В табл. 1.23 приведены величины прогибов и усилий для ряда то¬
чек пластины.Таблица 1.23гр -аWмгжеQrqa*00,0014 D0,0269 qa?0,0269 qa200,250,00080,0139 ,—0,0191 „—0,125 qa0,50—0,0002-0,0252 .—0,0044 „-0,250,66670—0,0657 ,—0,0287 .—0,3333 .0,66670—0,0657 „—0,0287 „0,4167 „0,800,0011 „—0,0201 „—0,0179 .0,225 .1,00Оо8*0—0,0093 „0Вычислим:qa4Dqa = 960 кг!см\
qa2 = 1152 • 102 кг;__ qdL 12 <1 v2)1202 „ g, 2
ЕЬ»39
и найдем значения, помещенные в табл. 1.24.Таблица 1.24raW (CM)M ( кг'см \Mn ( кг см \л ( кг NQr I—!
\cm)r[ CM )\ CM )00,0014-312=0,43680,0269 -1152 -102=30990= 30990,250,0008-312 = 0,24960,0139- 1152 - 102=—0,0191 • 1152 • 109=—120= 1601=1—22000,50—0,0002 -312=—0,0252-1152-10^=—0,0044 - 1152-102=-240= —0,0624= —2903=—5070,66670—7569—3306—3200,66670—7569—33064000,800,0011-312 = 0,3432—0,0201 • 1152- 102=—0,0179- 1152- 102=210=—2316=—2062i,oa0,0031-312=0,96720—0,0093-1152-103=0=—1071б. Нагрузка, равномерно
распределенная по поверх¬
ности центрального круга
пластины, ограниченного
опорным контуром (рис.
1.14).Обозначения величин те
же, что и в § 1.Рис. 1.14.Расчетные формулы [2, 9, 4, 15]Для внутренней части пластины (£></?):
да4w =64D (1 + v)((1 + v) p< - 2 [(1 - v) p + 2 (1 + v)] py+ [2(1->)P + 3(1 +v)]P*);
Q, = — 0,5i?ap;(3.13)(3.14)I— (3 + v)p2 + (t — v)p* +2(i + v)рз]. (ЗЛ5)10Же = -Sf. [- (1 + 3v) p* + (1 - v) p« + 2 (1 -f v) p«]. (3.16)ID40
bzаЗдесь f} =Для внешней части пластины (д>р)w =да432 D(р2 — ра) _4_ 2 InAfe =(7а216<7^1 + vQr = 0;Р4;16(l-v) 1 +(3.17)(3.18)(3.19)(3.20)Пример. Круглая пластина толщиной 6=2,5 сж и радиусом
а =100 см, свободно опертая по окружности радиусом 63=50 см,
концентрической к контуру, находится под действием равномерно
распределенной нагрузки q=4 кг!см2, приложенной к поверхности
центрального круга, ограниченного опорным контуром (рис. 1.14).Материал — сталь /£=2,1-106 кг/см2\ v=—]. Вычислить прогибы w,\ 3 ■изгибающие моменты Мт, Мв и перерезывающие силы Qr.
Решение. Полагая /?=—=0,5, пользуемся формуламиа(3.13) — (3.16) для д = — =0; 0,25 и 0,5 и формулами (3.17) — (3.20) —адля 0=0,5; 0,75 и 1,0-
Дляw = -S~- (0,0156р4 — 0,0166р2 + 0,0032);М, = qa2 (- 0,2083р2 + 0,0443);Me = qa2 (- 0,125р2 - 0,0443);Qr= — 0,5qap.Для д>р:w = -3^- (0,000244 — 0,000976p2 - 0,003906 In —DMr = 0,0026^a2 (1 — —Me = 0,00269a2 [ 1 +В табл. 1.25 приведены величины прогибов и усилий для ряда
точек пластины.41
Таблица 1.25Гp= awMrQrqa400,0032—0,0443 qa?0,0443 да200,250,0022 .0,0313 „0,0365 .—0,125 qa0,500—0,0078 ,0,0130 .-0,250 „0,500—0,0078 ,0,0130 ,00,75—0,0019 „—0,0020 „0,0072 .01,00—0,0034 ,00,0052 .0Вычислим:qa2 = 4 - 1002 = 40000 кг;да4 _ 4 . 108 • 12 ♦ 8D 2,1 • 10е • 2,53 • 9Найденные значения приведены в табл. 1.26.130,04 см.Таблица 1.26r„ / кг-см \,, { кг-см \л / кг \p = —
aw (cm)M - )M®[ CM j4«)00,0032 • 130,04=0,420,0443-40000=17720,0443-40000=177200,250,0022.130,04 = 0,290,0313-40000=12520,0365 • 40000= 1460-0,125-400=—500,500—0,0078 >40000=0,0130 - 40000 =520-0,25-400=—100=—3120,500—31252000,75—0,0019* 130,04 =-0,0020 - 40000 =0,0072 - 40000 = 2880=—0,25=—801,00—0,0034 • 130,04=00,0052 ► 40000=2080= —0,44шнннШННВA r/777777 _ '7\t ПТ}°3QцРис. 1.15.в. Нагрузка, равномерно рас¬
пределенная по поверхности пла¬
стины и ограниченная внешним и
опорным контурами (рис. 1.15).Обозначения величин те же, что
в § 1 и случае «а» § 3.Расчетные формулы [9, 15]Для внутренней ненагруженной части пластины ({></3):» = 32py+v) (р2 ~рг) [~(1+3v) + 42 + о -v) р1 -— 4(1 + v) In pj; (3.21)42
Qr = О(3.22)Мг = Мв=-qa?16[-(l+3v)+4vpa + (l-v)p<— 4(1 +>) lnpj.Для внешней нагруженной части пластины (@>/J)(3.23)w qa4~ 64D (1 + v){— £2 (3 + v) — (3 — 5v) р» + 2 (1 — v) p* -Ь+ 4(l+v)(P2-4)lnP]P2 + 2[(3 + v)-f(l-v) рг (p« _ 2)1 pa ++ (1 + v) p< _ 8 (1 + v)P4n p + 4 (1 + v) р» (p - 2) In p}; (3.24)Qr = — 0,5qa (p ;(3.25)Mrqa?163 + V + (l_v)(p2-2) p2 - 1 j - (3 + V) P2 ++ 4(1 + v) In p(3.26)Mb =qa?16— (1 — 5v) — (1 — v) (p2 — 2) A + -~\ p*-— (1 + 3v) p2 + 4 (1 + v) In p]•(3.27)Пример. Круглая пластина толщиной &= 12 см, радиусом а=
= 160 см, свободно опертая по окружности радиусом bз=80 см, кон¬
центрической к контуру, находится под действием нагрузки q=
=0,3 кг!см2, равномерно распределенной по поверхности кольца,
ограниченного внешним и опорным контурами (рис. 1.15). Мате¬
риал— железобетон ^£= 1,9* 105 кг/см2; • Определить про¬
гибы w, изгибающие моменты Mr, Me и перерезывающие силы Qr.
Решение. Полагая ^=—=0,5, пользуемся формуламиа(3-21) — (3.23) для д=— =0; 0,25 и 0,5 и формулами (3.24) — (3.27) —адля q— — =0,5; 0,75 и 1,0.43
Приводим полученные выражения
для р < [J:w = -3~ (0,0131 - 0,0524р2);w = (- 0,0624 + 0,0751 р2 +Л1г = Л/е = — 0,1221 ?а2;для р > (3:__ да4
£>+ 0,0156р4 — 0,125р2 In р —— 0,0273 In р);Mr = qa2 / о,2207 - 0,0228 -i- —
-0,1979р2 + 0,2917 In А ;Же = qa2 fo,124 + 0,0228 у —— 0,0938р2 + 0,2917 In р | ;Qr=-0,5qa (р — у) •В табл. 1.27 приведены значения прогибов и усилий для ряда то¬
чек пластины.Qr = о.Т а б лй ц а 1.27г^ аWМгMqQrqai00,0131 —^——0,1221 qa2-0,1221 qa200,250,0098-0,1221 .—0,1221 ,00,500—0,1221 .-0,1221 .00,500-0,1221 .-0,1221 ,0,75 qa0,750,0149—0,0151 ,-0,0838 ,0,2918 ,1,000,0303 . |0-0,0586 ,0Вычислим:qa4qa = 48 кг/см;
qa2 = 48 • 60 = 7680 кг;7680 • 25600 -12 - 351,9- Ю5- 123 • 36= 6,99 см.Подставив найденные величины в табл. 1.27, получим значения,
приведенные в табл. 1.28.44
Таблица 1.28rW (CM)( кг-см i
)M / кг-см \M « )4»)00,0131-6,99=0,0916—0,1221 - 7680=—0,1221 -7680=0= —937,7=—937,7 ■0,250,0098 • 6,99=0,0685—0,1221 • 7680=—0,1221 -7680=0=—937,7=—937,70,500—0,1221,7680=-0,1221-7680=0= —937,7=—937,70,500—0,1221-7680=-0,1221-7680=0,75 r 48=36=—937,7=—937,70,750,0149-6,99=0,1041—0,0151 • 7680=—0,0838 • 7680=0,2918k 48 ==—116,0=—643,6= 14,001,000,0303-6,99=0,21180—0,058 • 7680 ==—450,00г. Нагрузка, равномерно распреде¬
ленная вдоль внешнего контура
(рис. 1.16).Обозначения>-Т5-I WРис. 1.16р — нагрузка на единицу длины контурной окружности, кг/см;
р=-hаОбозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [9, 15]Для внутриопорной части пластины (£</?):W = —раъSD (1 + v)([(1 - V) (1 - р2) - 2 (1 + *) In PJ Г - р2)]; (3.28)Жг = УИв=- раQr = 0; (3.29)
[(1 — V) (1 — р2) _ 2 (1 + v) In Р1. (3.30)Для внеопорной части пластиныW =ра68D (1 +ч)'[(- 1 + V) Р2 + (3 + v) - 2 (1 + v) In И (Р2 - р2) _2(l+v)ln i(p2 + p2)| ;
Qr = ;мг =pa1Mb0pa(1 — v) p2^l ~j -)- 2 (1 + v) In p(1 -v) p2 (l + ±)-2(l -v) + 2(l+v)lnP(3.31)(3.32)(3.33)(3.34)45
Пример. Круглая пластина толщиной б= 12 см, радиусом а =
= 140 см, свободно опертая по окружности радиусом Ь = 70 сж, кон¬
центрической к контуру, находится под действием равномерно рас¬
пределенной вдоль внешней контурной окружности нагрузки р == 30 кг/см (рис. 1.16). Материал — железобетон ^£=1,9*105 кг/см2;v=-i-j. Определить прогибы w, изгибающие моменты Мг, Мв и пе¬
ререзывающие силы Qr. Вычислить максимальный прогиб штах.
Решение. Полагая /3=0,5, пользуемся формулами (3.28) —(3.30) для £=— = 0; 0,25 и 0,5 и формулами (3.31) — (3.34) —дляар=— =0,5; 0,75 и 1,0.аПриводим полученные выражения
для Р < р:w = - -^-(0,0601 - 0,2404р2);Мг = Мв = — ра 0,5606;Qr = 0.w =райдля р > Р:— 0,1225 4- 0,4902р20,25 (р2 + 0,25) 1п-РМг = ра(0,0521 - 0,0521 — +\ Р2+ 0,5833 In рМв — ра(— 0,3645 + 0,0521 — +V Р3+ 0,5833 In р^\ ;Q,—P — •РВ табл. 1.29 приведены соответствующие величины для ряда то¬
чек пластины.Таблица 1.29гаWМгMqQr0со§.Q§<Э©~1—0,5606 pa—0,5606 pa00,25—0,0450 .—0,5606 „—0,5606 ,00,500—0,5606 „—0,5606 .00,500—0,5606 „—0,5606 »2,0 p0,750,0709 ,—0,2083 .-0,5092 .1,25 .1,000,1511 ,0—0,3124 „1,0 .46
Вычислим:рай= 2,925 см;ра=30 * 140 = 4200 кг.
Наибольший прогиб в центре (д — 0)OW =—0,0601-2,925 = —0,176 см.
Результаты вычислений приведены в табл. 1.30.Таблица 1.30Гw ( кг-см \„ 1 кг-см \- / кг 'р = -^w (см)М « )М - )Ч».0—0,0601 -2,925=—0,176—0,5606 • 4200=—2355—235500,25—0,045-2,925=—0,132—2355—235500,500—2355—235500,500—2355—2355600,750,0709 - 2,925=0,2074—0,2083 • 4200=—875—213937,51,000,1511 *2,925=0,44200—131230д. Сосредоточенная сила в центре
пластины (рис. 1.17).ОбозначенияР — сосредоточенная сила, кг;
bz — радиус опорного контура, см; ,Р =ЬъаОбозначения остальных величин те же, что и в § 1,Расчетные формулы [9, 15]Для внутриопорной части пластины (д<0):W —РФ16л£> (1 + v)j[2(l+v) + (l—v) р»! (Р» — Р») +
+ 2(1 + v)p2ln-M ;2пра^r = ^-[(l-v)(p-l)-2(l+v)^e=^r[(1-v)(p2 + 1)~2(1+v)ln ~т] ■(3.35)(3.36)(3.37)(3.38)47
Для внеопорной части пластины :РауW =16tcD (1 + v)(! _,)(p2_p2)_2(l+v)ln^-l; (3.39)
Qr=0; (3.40)(3-4l>M.,^L(t + ±). (3.42,Вблизи точки приложения силы прогибы следует определять по
формулам:w =Ра28 tzD3 + v
2(1 + v)(1 — р2) +р21пр8л: (1 — у) D^тахРа2 3 + v167cD 1+vIn р; (3.43)(3.44)Наибольшие растягивающие нормальные напряжения в центре
(точка В на рис. 1.17) равны:а(1 - V) (0,485 In Y + °>521 + °’48(3.45)е. Нагрузка в виде радиальных моментов, равномерно распреде¬
ленных вдоль опорного контура (рис. 1.18).ОбозначенияМ — интенсивность моментной нагрузки, кг*см}см.м ммС-ж/77 7ИWРис. 1.19Обозначения остальных величин те же, что и в § 1 и в случае «д»
§3.Расчетные формулы [2, 9, 15]Для участка g<j3:w4 D \ 1 + v(3.46)48
Qr = 0;lM, = уИв = — М [(1 + v) + rf (1 — v)].2Для участка д> /5:Afa2P2■и; —4D1^1 (82 - р2) - 2 In1 + v ' ?Qr = 0;= _Л^ _ | _ J_
' 2 ' ' \ р2* * 6 Мг
а^=ав=-^- •(3.47)(3.48)(3.49)(3.50)(3.51)(3.52)ж. Нагрузка в виде радиальных моментов, равномерно распре¬
деленных вдоль внешнего контура (рис. 1.19).ОбозначенияМ — интенсивность внешних радиальных моментов, кг-см!см.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [15]Ма?w =2D (1 + v)<?,-= 0;
мг = УИв = м.(Р-р2);(3.53)(3.54)(3.55)§ 4. Пластина, опертая по контуру и по концентрической
окружности, под действием равномерно распределенной нагрузкиОбозначения (рис. 1.20)а — радиус внешнего опорного
контура пластины, см\Ьъ— радиус внутреннего опорно¬
го контура, см;Р =аОбозначения остальных величин
те же, что и в случае «а» § 2. pUc. 1.20Расчетные формулы [2, 8, 15]Для внутренней части пластиныК = <3 +1V6> ^ (1 - Р2) - -fp [(1 - v) (1 - Р2) - 2 (1 + v) In И; (4.1)М« =16[(3 + v)(l +3v)p2]|(1 _„)(!_ p>)_4—511— 2(1 + V) In PI.
49(4.2)
Для участка, где д>@:В(З + v)^ (1_ 2)_
г 16 v ' 8п-2(1 +v)lnp(l-v)Rr-P2 -(4.3)Же =qa216Г(3 +v) —(1 H-3v)p2]_где871— 2(1 + v) In p5 + v 3 4- v ЛЛ
_ 2 —X_ pa +(1 — v) 2-p*-(4.4)1 + V1 + V(l-P) ITT-1- —p I + 4p2 In p(4.5)ДО =В центре пластины (£ = 0)3 (5 + v) (1 — v) qa4 35(1—v2) a2(1 -p>) +2pinp• (4-6)16£S3 4я£о3Пр и мер. Круглая пластина толщиной <?=12 см, радиусом а =
= 160 сж, опертая по периметру и по окружности радиусом &з=
=80 см, концентрической к контуру, находится под действием на¬
грузки <7=0,2 кг!см2, равномерно распределенной по всей поверх¬
ности пластины. Материал— железобетон ^£=1,9*105 кг!см2\ v=— -i-j. Вычислить изгибающие моменты МГ, ЛГ© в пластине.Решение- Полагая /?=—= 0,5, пользуемся формулами (4.1)аи (4.2) для £>=—=0; 0,25 и 0,5 и формулами (4.3) — (4.5) —дляад= — =0,5; 0,75 и 1,0.аПриводим полученные выражения
для р < р:Mr = qa2 (0,0236 - 0,198р2);Же = qa2 (0,0236 - 0,0938р2).для р > р:Мг = ?в2 (о,2141 — 0,198р30,016р2+ 0,1815 In р) ;Me = qa2 ^0,0845 — 0,0939р2 -
+ 0^62 + 0)1815 р\50
В результате вычислений получены значения, помещенные
и табл. 1.31.Таблица 1.31О0,250,500,500,751,000,0236 qa'
0,0112 „
-0,0259 ,
-0,0259 „
0,0217 „
О0,0236<7Л2
0,0176 „
О
О0,0083 ,
0,0069 „О0,250,500,500,751,000,236 - 5120=120,8
0,0112-5120=57,3
—0,0259'»5120=
=—132,6
—132,6
0,0217-5120=111,1
ОТаблица 1.320,0236-5120=120,8
0,0176 - 5120 = 90,1
О0,0083-5120=42,5
0,0069 * 5120 = 35,3Вычислим:^а2=0,2-1602=5120 кг.Числовые значения изгибающих моментов приведены в табл. 1.32.§ 5. Пластина, опертая по контуру и в центре,
под действием равномерно распределенной нагрузкиОбозначения всех величин те же, что и в § 1 (рис. 1.21).Расчетные формулы [2, 4]ш=_£оу_ / 2_ J _2 5 + V_ 1п
64Z) \ 3 + v(5.1)Мг= <3 + 7>^ (1 _р2) ++В4л[(3 + V) - (1 4 Зу) р*] - -Z-1(1 - V) - (1 + У) In р], (5.3)16 47116(1 + v)lnp;(5.2)Рис. 1.21В1ДСВ =7zqa?5 + v(5.4)4 3 + vПример- Круглая пластина толщиной (5=3 см, радиусом а=
1)0 см, опертая по периметру и в центре, находится под действием
р.'шномерно распределенной по всей поверхности пластины нагрузки</- 0,8 кг}см2 (рис. 1.21). Материал — сталь ^£=2,1 -106 кг/см2;1а. Вычислить прогибы w и изгибающие моменты Мт, Me.
Решение. Пользуемся формулами (5.1) — (5.4) для £ = 0,25;
0,5; 0,75 и 1,0:w = Р2 (0,0156-0,0156р2-0,05 In р);
Mr = qa? (0,1417 — 0,1417р2 + 0,1333 In р);
Me = qa? (0,1417 - 0,125р2 + 0,1333 In р).В табл. 1.33 приведены найденные величины для ряда точек д =—.аТаблица 1.33гр- аWМг0,25qa*0,0034 ————0,0519 qa2—0,0509 qa20,500,0057 „0,0138 .0,0181 в0,750,0042 .0,0236 „0,0330 в1,00000,0167 .Вычислим:qa2=0,8-8100=6480 кг;да4 __ 6480 • 902 • 12 • 8 _9,89 см.D 2,1-Ю6-27-9Результаты вычислений приведены в табл. 1.34*Таблица 1.340,250,500,750,000,0034 -9,89 =0,0336
0,0057-9,89 =0,05637
0,0042 * 9,89 =0,0415
0-0,0519 • 6480==—336,3
0,0138-6480=89,4
0,0236 - 6480= 152,9
0—0,0509 - 6480=—329,8
0,0181-6480=117,3
0,033-6480=213,8
0,0167-6480=108,2§ 6. Пластина, опертая в центреа. Нагрузка, равномерно распределенная по окружности, кон¬
центрической к контуру пластины (рис. 1.22).Рис. 1.22
52
Обозначенияр — интенсивность нагрузки, кг/см;
а — радиус пластины, см;Ь2 — радиус окружности, к которой приложена нагрузка, см;
г — расстояние точки от центра, см;гQ=— •аОбозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [4]Для участка д < /3:ра?$ р2w =<Р =8 D2 1 + 1пр4 DМг =ра%1 + 2 In-?- + -1=1 02Р 1 + V_ ра$42(1 + v) In (1 — v) (1 -Р2)Р2 (1 + v) In J- + (1 - v) (1 + Р)
РQr(6.1)(6.2)(6.3)(6.4)(6.5)Для участкаw —ра*$г802"+l"i +TTV-’1=ра?$ъ4Dp1—у
1+Vмв =4р24р2Qr= 0.(1_,)(1+р2);(6.6)(6.7)(6.8)(6.9)(6.10)Пример. Круглая пластина толщиной 3=3 см, радиусом а=
= 100 см, жестко закрепленная в центре и не опертая по внешнему
контуру, находится под действием нагрузки р= 10 кг!см, равно-53
мерно распределенной по концентрической к контуру окружности
радиусом 62 = 50 см (рис. 1.22). Материал — сталь |£=2,1ХХЮ6 кг/см2; v = Вычислить прогибы w, изгибающие моментыМГ, М& и перерезывающие силы Qr.Решение. Полагая /? = —=0,5, пользуемся формулами (6.1),а(6.3) — (6.5) для ^=—=0,1; 0,25 и 0,5 и формулами (6.6), (6-8) —а(6.10) —для £=—=0,5; 0,75 и 1,0.аПриводим полученные выражениядля р > р:w =для р < р:
рФDР2 0,1328 ++ 0,1251n ;
М' = — ра (о.ЗЗЗЗ In -
- 0,0625j ;
Afe =—pa ^0,33331n +0,1042^;
<3r = 0,5 S- .Pw = -°’^д3 (0,0625 +
+ 0,0625 In -jj- + 0,0156p2j ;
M, — —— 0,0208 (1 — p2);Me = - — 0,0208 (1 + p2);
P2Qr = 0.В табл. 1.35 приведены найденные величины для ряда точек д =—*аТаблица 1.35ГW, ^ЩQrо; ю0,0033-рагD0,4739 ра0,6406 ра5 р0,250,0137»0,1685 .0,3352 .2 .0,500,0332и—0,0625 .0,1042 .1 .0,500,0332п—0,0625 .0,1042 .00,750,0483п—0,0162 ,0,0518 .01,000,0607If00,0416 „0Вычислим:ра= 10* 100= 1000 кг-см/см;раа10 • 106 • 12 • 8
21 • Ю5 • 27 • 9= 1,8812 см.54
Числовые значения прогибов и усилий в пластине приведены
в табл. 1.36.Таблица 1.36Af,(кг-см \ лж i кг-см \—^5—JQr0,100,0033-1,8812=0,00620,4739 -1000= 473,90,6406 • 1000 = 640,650,250,0137-1,8812=0,02580,1685 - 1000=168,50,3352 -1000 = 335,220,500,0332-1,8812 = 0,06245—0,0625 -1000=—62,50,1042-1000=104,2100,500,0332-1,8812 = 0,06245-62,5104,200,750,0483-1,8812 = 0,09086—16,251,801,000,0607* 1,8812=0,1142041,70б. Нагрузка, равномерно распреде¬
ленная по поверхности кольца, кон¬
центрического к контуру пластины
(рис. 1.23).+МОбозначенияРис. 1.23С ■ь°р=т=ширина нагруженного кольца, см;радиус средней окружности кольца, к которому приложена
нагрузка, см; •*ас •аq — интенсивность нагрузки, кг/см2.Обозначения остальных величин те же, что и в § 1 и 6.Расчетные формулы [4]Для внутренней ненагруженной части пластины (р < рw =<Р =16 D
+ 4 Гп<7д3рРт
8 D4 +4(J2 + 72
1РР2Р — т4fJ2 — 7 2 1 V /402 . 24+ т— W2 + т )4р2 1 + v«Е±д11п-3_+т +4|пТР 2р — у1—v(6.11)4р2++1 -J- v{W + f)(6.12)55
Mr=sfh8_8 + (1 + V) In JSL±I_ ++ 4 (1 + v) In4fl2 — f
4p27P 2^-t
+ (1 -v) (4p2 + T2)(6.13)m0 =8_8 + (i + v) i£+Ji 1„-3L±T_ +
^ 1? 2p-T+ 4(l+v)!n4^2 _ ^24p2Qr+ (1 —v) (4P + T2)(6.14)(6.15)Для нагруженной части пластины ^р — -у < Р < Р + ~' = sfe (16р21р2 + (2? + Т)31 + 32?2 (2Р + 7)2 ,П ~ 2(Р ~ Т)'Х(6.16)х(5 + 41п—\ 2^-Т.+ 32|т^р2рт(4р2 + т2)[ ;ср =да6128 Dp16Р< - (2р + г)4 + 16р2 (2р + Т)* In2р+ 16 Azil р2рт(4р + т2)1 +V(6.17)М,=8(3 + v)p2-(2p + T)2 + (l-v) р-2 ++ (!+•*) (2р + f)2 In + (1 — v) Py (4p2 + f)(6.18)УИ» =qa38(1 + 3v) p* - 8 (2p + t)2 - (1 - v) r2 +104- (1 + v) (2P + y)2 In tTL. p—1 + (1 — v) рт (4p2 + f) 1; (6.19)^ I*2? + ^ “ 4Р2Ь <6'20)4pДля наружной ненагруженной части пластины > р + -у
да*$чw =20 (4Р* + Т2) + 8 (4р2 + f) In —- (l6 +4р2 — у \ 7+ 24рт + In |±I + 8 p^ (4p + T»)l ; (6.21)
P J 2p — 7 1 + v J56
9 = 4^ №2 + Т2) (1 + V— Р28 Dp
qa’fa1+vмг=^(1-у) (4p2 + t2) (i — p2);
16pA(6.22)(6.23)= (1 — v) (4p 4-+ f2)(i + p2);Q, = 0.(6.24) "f(6.25)в. Нагрузка, равномерно распре¬
деленная по поверхности централь¬
ного круга (рис. 1.24).tЩРис. 1.24ОбозначенияЬ0 — радиус окружности, ограничивающей нагруженную зону, см;В — — •Г >а гаОбозначения остальных величин те же, что и в § 1-Расчетные формулы [4]
Для нагруженной части пластиныwqa*f?
64 Dp2 + 4p2^l+21nij+2 ; (6.26)?a3p 1 p2 + W In -2- + ;160P(6.27)M,=qa216(3 + V) P2 - 4(32 + 4(1+ v) P2 ln -P- + (1 - v) p4P; (6.28)Mg = —qa216(1 4.3v) p2 _ 4,p2 + 4 (] + p in JL +P+ (1 — V) p*(6.29)Q,= -^-(P*- P2)-2p(6.30)57
Для ненагруженной части пластиныw =даУ
64 D5 + 41n + 2 J—— p21 +v9=_4^1(i+ 116Z>pqa2P4
16p2) =l+v
(1 — v) (1 — p2);Me = -^-(l-v)(l+P2);Qr = 0.(6.31)(6.32)(6.33)(6.34)(6.35)Пример. Круглая пластина толщиной б= 12 сж, радиусом а=
= 160 сж, жестко закрепленная в центре и не опертая по внешнему
контуру, находится под действием нагрузки q=2 кг!см2, равномерно
распределенной по поверхности центрального круга радиусом Ь0==40 см (рис. 1.24). Материал — железобетон ^£=1,9105 кг/см2;Определить прогибы до, изгибающие моменты Мт, М& и пе¬
ререзывающие силы Qr.Решение. Полагая fi= —=0,25, пользуемся формулами (6.26),а(6.28) — (6.30) для Q = —=0,05; 0,1; 0,2 и 0,25 и формулами (6.31),а(6.33) — (6.35) —для Q— —=0,25; 0,5; 0,75 и 1,0-аПриводим полученные выражения
для р < р:w —qa4Dр2 (0,0156р2 -— 0,0078 In р - 0,0069);Mr=-qa2 (0Д975р2 —— 0,0182 In р — 0,0408);Mq = — qa2 (0,094р2 —— 0,0184 In р-0,0277);Qr = -Si- 0,5 (0,0625 - р2).РВ табл. 1.37 приведены найденные величины.58для р > р:w = -33— Ю-3 (0,645 +D '+ 0,245 In р + 0,0875р2);10~3МГ = да2 0,204 (1 — р2)= — да2 0,204 (1 + р2)ю-3Qr = 0.
Таблица 1.37Гяв ( кг-см \w / кг-см \Л ( кг \аw (см)ч« )М*{ см )ЯгЫ)0,050—0,0141 qa!2—0,0275qa20,6 qaqa40,100,112*10 3 -D—0,0037—0,0155п0,2625 .1,200,0020ш0,0036—0,0055»0,0563 .0,250,0003я0,0031-0,0035000,250,0003»0,0031—0,0035п00,500,00045»0,702-10“3 »—1,02-Ю-3п00,750,00055п0,158-Ю^3 ,—0,565-Ю-3п00,000,0007»0—0,408-Ю-з»0Вычислим:qa — 2* 160 = 320 кг/см;2 _ 20000-25600 =51200 кг.
^ 10000qa* 35 • 1604 • 12 г-с4 — =46,58 см.D 1,9 • 105 • 123 • 36Результаты вычислений приведены в табл. 1.38.Таблица 1.38*•,, ( кг-см \/ кг-см \^ 1 кг \р=тw (см)М сж )е( « )гЫ)0,050—0,0141 > 51200=—0,0275 • 51200=0,6» 320= 192=—721,9=—14080,100,112 - 10-3-46,58=,—0,0037 • 51200=—0,0155 * 51200=0,2625 • 320=84= 0,0052=—189,44= —793,60,200,0002 v 46,58=0,0036 - 51200=—0,0055 - 51200=0,0563-320 = 18=0,0093= 184,32=—281,60,250,0003 • 46,58=0,0140,0031-51200=—0,0035 • 51200=0= 158,72=—179,20,250,0003-46,58=0,0140,003Ь 51200=—0.0035 - 51200=0= 1/58,72=—179,20,500,00045 • 46,58=0,702-10 ~3Х—1,02 * 10—3 * 51200=0=0,021Х51200=35,94=—52,220,750,00055 - 46,58=0,158 г 10 ~3Х—0,565- 10_3Х0=0,0256Х51200=8,09X 51200=—28,931,000,0007 - 46,58=0,0330—0,408 • Ю^Х0Х51200=—20,8959
г. Нагрузка в виде радиальных моментов, равномерно распреде¬
ленных по окружности, концентрической к контуру пластины
(рис. 1.25).ОбозначенияЬ2 — радиус окружности, к которой приложена моментная на
грузка, см;М — интенсивность моментной нагрузки, кг-см!см.Обозначения остальных величин те же, что и в § 1.Для участка Q<j3:Расчетные формулы [4]w = ^y(l + l—L. р:> .4 D Марср = —2D1 +1+v
1 —V1+VИ ;мМг = у- [(l + v) + (l-*)p*|;= f(l + V) -Ь (1 — v) PJ;Для участкаw —Qr = 0.1 + 2 In — + -5-^- р:р 1 +VMap 1Л 1 — v 0У = I 1 + —— Р'2Dp1+vM°=J& (' — v)0 + p2);
2pQr = 0.60(6.36)(6.37)(6.38)(6.39)(6.40)(6.41)(6.42)(6.43)(6.44)(6.45)
§ 7. Пластина с жестко закрепленным контурома. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности
пластины (рис. 1.26).Обозначения всех величин те же, что и в § 1.w =фда464 DqaA16 DQr = -^p;Расчетные формулы [8, 9, 15]
(1 — р'2)-; (7Л)р(1 — р2); (7.2)(7.3)мг=qaz16[1 + v-(3 +■'>) р2];(7.4)7Ив = -^-[1 + v-(i +1Ь+3v) Р2]. (7.5)В центре пластины (^> = 0):* *Of = = Omax г
Я<Р (l+v);
да4Р^тах =64 D(7.6)(7.7)it гтгптгlllllilчтш|аГWаРис. 1.26Прогиб в центре пластины с учетом деформации сдвига равенда4 Л , 4w =64D1 +1+V(7.8)Пример. Круглая пластина толщиной $=3 см и радиусом а —
= 90 см, жестко закрепленная по контуру, находится под действием
равномерно распределенной по всей поверхности пластины нагрузки<7 = 0,8 кг/см2 (рис. 1.27). Материал — сталь ^Е = 2,1-106 кг}см2\Построить эпюры прогибов w, изгибающих моментов Мг,Мв и перерезывающих сил Qr •Решение. Пользуемся формулами (7.1), (7.3) — (7.5) для д == — =0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0:аW =да4D0,0156(1 -р2)2;61
мг = qa2 (0,0833 - 0,2083P2);
Me = qa2 (0,0833 - 0,125p2);
Qr = — 0,5qap.«OJJ11Ьог 8аа0,01qa■ .0,0156 qa‘w Tfi,iW.0,042в.0,50ШТТТттггг^^пттттгПТТТ^mss %qa0,065"г чаP09 , ДО 5 5Or10125qaPuc. 1.27Найденные величины для ряда точек дРис. 1.28■— приведены в табл. 1.39.аТаблица 1.39гаWмгМ*Qr0qa40,0156 —0,0833 qa?0,0833 qa200,250,0137 ,0,0703 .0,0755 .—0,125 qa0,500,0088 .0,0313 ,0,0521 .-0,250 .0,750,0030 .—0,0339 ,0,0230 .-0,375 .1,000—0,1250 .—0,0417 „—0,500 *Вычислим:qa*Dqa = 0,8-90=72 кг/см\<7а2=0,8*902=6480 кг\= «-0.8-90‘-12 = 9,89 см.
9-2,1 - 10е - З3Результаты вычислений приведены в табл. 1.40.62
Таблица 1.40г( кг-см \.. / кг-см \Л / кг \аw {см)Ч « )0( « )г \ ™)00,0156 • 9,89=0,15400,0833 • 6480= 593,80,0833-6480=539,800,250,0137-9,89=0,13500,0703 • 6480—455,50,0755 • 6480=489,2—0,125-72=90,500,0088 • 9,89=0,08700,0313»6480=202,80,0521 - 6480 = 337,6—180,750,0030 • 9,89=0,0297—0,0339 f 6480 =0,0130-6480 = 84,20—27=—219,71,000—0,1250 г* 6480=—810—0,0417 - 6480 =—36=—270,2Прогиб в центре пластины с учетом деформации сдвига9,89 I л 3*4* 32 \ л 1 о оw = —— 1 н =0,188 см.64 \ 2 • 90 )Эпюры ш, Mr, М& и Qr построены на рис. 1.27.б. Нагрузка, равномерно распределенная по центральному кругу(рис. 1.28).ОбозначенияЬ0 — радиус окружности, ограничивающей нагрузку, см;р=а .аОбозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы (8, 9, 10, 15]Для центральной нагруженной части пластины (0<р</2):даУW — -64 D4 _ зра + 4(32 In р - 2 (р - 4 In р) р2 + -1- р‘1 ; (7.9)qa?p"М да? =16£>р(Р-41пР--1-р2):Мг =16Qr = -~Y к(1 + v) (Р — 4 In Р) —М0 =да?Р16(1 + v)(p2-41np) 1 +„3v- р2Р2]']‘52о© = -6Л*(5а(7.10)(7.11)(7.12)(7.13)(7.14)63
В центре пластины (£ = 0):= (4-Зр2 + 4рЧпр);64D£ = 4-<w—(1 + v) (р» — 4 In Р).Для внешней ненагруженной части пластины (/?<р<1):
w32D ■ • ' '1= t(2 + Р2) (1 - Р2) + 2 (р2 + 2Р2) In pi;? =qa°
16 DР2РР2 1— 4 In р ЦРг 21Мг = ^~
г 161Мв да2$2~~ 16_4 + (1 — v) р2-т- + (1 + v) (Р2 — 4In р)Р4v — (1 — к) р* ± + (l+v) (Р2 — 4 In р)(7.15)(7.16)(7.17)(7.18)(7.19)(7.20)(7.21)По контуру, ограничивающему область приложения нагрузки<е=/»):w = -Ц- [(2 + Р2) (1 - Р2) + бр* In р];«*= — Ч-^г~ l(l+v)(p2-41nP)-(3 + v)];852*а©=4- « 4r- i(i+'О (Р2-4 in р) - (3v + о].8На внешнем контуре пластины (@=1)* 3 а2Ь2 ,02 о\о,= т<7 — (Р2-2):* 3 аЧ2 ,Q0 0
»e = T?v-^- (р--2).(7.22)(7.23)(7.24)(7.25)(7.26)Пр и м е р. Круглая пластина толщиной $=12 см, радиусом а =
= 160 см, жестко закрепленная по контуру, находится под действием
нагрузки интенсивности <7 = 0,3 кг!см2, равномерно распределенной
по концентрическому центральному кругу радиусом 60=80 см' 1 \
(рис. 1.28). Материал — железобетон ^£= 1,9* 105 /сг/сж2; v==-jrj •Построить эпюры прогибов w, изгибающих моментов Мг, Мв и пе¬
ререзывающих сил Qr.Решение. Полагая /?=—=0,5, пользуемся формулами (7.9),а64
(7.11) — (7.13) для £ = 0; 0,25 и 0,5 и формулами (7.17), (7.19) —(7.21) —для 0 = 0,5; 0,75 и 1,0.Приводим полученные выражениядля р < (3:w = (0,0100 - 0,0236р2 ++ 0,0156р4);М, = qa2 (0,0550 - 0,1976Р2);Me = да2 (0,0550 — 0,0936р2);Qr = — 0,5^ар.для р > р:
w = -^~ (0,0171 — 0,0171 р2 +
+ 0,0039 In р + 0,0312р2 In р);М, = qa2 I — 0,0579 +0,0039— 0,0728 In pj ;Me = qa2 (- 0,0059 — —-0,0728 In pj ;0,125Q, — — qa В табл. 1.41 приведены найденные величины для ряда точек £=—-.аТаблица 1.41гр =аWмгЩQrqa400,0100-D0,0550 qa20,0550 qa200,250,0086п0,0427 .0,0492 .—0,125 qa0,500,0051ш0,0056 ,0,0316 „-0,250 .0,500,005100,0056 „0,0316 „-0,250 *0,750,0002п—0,0311 .0,0093 .-0,167 .1,000-0,0550 ,-0,0091 „-0,125 .Вычислим:qa=48 кг/см;
qa2—7680 кг;=7,06 см.DРезультаты вычислений приведены в табл. 1.42.
5—511 65
Таблица 1.42Г,, ( кг-см \,, / кг-см \Л / кг \р —аw (см)м' ( «- -)М*[ см )Qr ( см )00.01 *7,06=0,0700,055 • 7680=42242200,250,060328378—0,125 • 48=—60,500,03643243—120,500,03643243—120,750,0014—24371,5— 81,000—422-70— 6Эпюры w, Mr, М& и Qr построены на рис. 1.28-в. Нагрузка, равномерно распределенная по кольцу, ограничен¬
ному внешним контуром пластины и концентрической окружностью
(рис. 1.29).ОбозначенияЬо—радиус окружности, ограничивающей нагрузку, см.
Обозначения остальных величин те же, что и в случае «б» § 7.Расчетные формулы (8, 9, 15]Для центральной ненагруженной части пластины (0<p</J):wЮ - 4Р2 + ЗР4) - 2р2 0 - Р4) - 4Р2 (Р2 + 2р2) ln М; (7'27>64 иQr = 0;Л*, = Ме = -^- (1 +v)(l-p‘ + 4p2!np);16* * 6 Мг
аг — ав =52(7.28)(7.29)(7.30)Для внешней нагруженной части пластины (/}<р<1):
w = -%77Г К1 - 4?2 - 2Р4) -2Р2 0 - 2Р - Р4) + Р4 -64D— 4{32 (Р2 + 2р2) In р];0г=~qa(7.31)(7.32)Мг =qa*161 + V + 402 _ (! _|_ v) __ (3 + р2 _~ —h 4 (1 + v) {S2 In р(7.33)66
Me = -5£- 1 + v + 4vP-(1+v)P‘-(1+3v)p2 +ID+ - (l-;)P— +4(1 +v)PMnp(7.34)Пример. Круглая пластина толщиной д= 10 см, радиусом а—
150 см, жестко защемленная по контуру, находится под действием17ТТТТм.0,07030,3750,00569°додоРис. 1.29w0,0 №0,0137%а,0,01950,167,0,0537нагрузки q = 0,25 кг/см2, равномерно распределенной по кольцу,
ограниченному внешним контуром и окружностью радиусом Л>=
= 75 см, концентрической к контуру (рис. 1.29). Материал — желе¬
зобетон ^£= 1,9*105 кг/см2; v = • Построить эпюры прогибов до,изгибающих моментов Mr, М& и перерезывающих сил Qr.
Решение. Полагая /3= — = 0,5, пользуемся формуламиа(7.27) — (7-29) для £> = 0; 0,25 и 0,5 и формулами (7.31) — (7.34)
для 0 = 0,5; 0,75 и 1,0.5*67
Приводим расчетные формулыдля р < (3:ю= (0,0056 - 0,0076р2);Мг = Мв = да2 0,0178;Qr = 0.для Р > р:w = -^—(- 0,0019 - 0,00135р2+
+ 0,0156р‘ —0,00391пр —— 0,0312р2 In р);Mr = qa2 ^0,1309 — 0,1979р2 -0,0033е10,0729 In р ;Ме = qa2/0,0788 — 0,0937р2 +
+ ^55 4. 0,0729 In р^ ;Р2Qr=-qaL--^-\ 0,5.В табл. 1.43 приведены найденные величины перемещений и
усилий.Таблица 1.43гР= аWмгQr0да40,0056 —D0,0178 qa20,0178 qa200,250,0051 *0,0178 „0,0178 ,00,500,0037 ,0,0178 „0,0178 .00,500,0037 .0,0178 „0,0178 .00,750,0015 „0,0072 ,0,0109 „—0,208 qa1,000-0,0703 ,—0,0118 ,-0,375 ,На рис. 1.29 построены эпюры до, Mr, Мв , Qr.
Вычислим:qa=0,25*150 = 37,5 кг/см;qa*=37,5 • 150 = 5625 кг;qa4 37,5 - 1503 -12 -35 - 7_- - = : = 7,77 СМ.D 1,9 • 105 * 103 - 36Результаты вычислений приведены в табл. 1.44.68
Таблица 1.44 ‘гр=-пw (см)м ( кг'см \/ кг-см \о ( кг \Мг\ J® ^ см Jг\см)00,0056 • 7,77=0,04350,0178-5625=10010000,250,0051 • 7,77=0,039610010000,500,0037 • 7,77=0,028710010000,500,0037 • 7,77=0,028710010000,750,0015-7,77=0,01160,0072 - 5625 = 40,50,0109-5625=61,3—0,2083 - 37,5=«.—7,81,000—0,0703-5625=—0,0118 * 5625=—0,375 - 37,5==—395,4=—66,4«=—14г. Нагрузка, распределенная по поверхности пластины и изме¬
няющаяся вдоль радиуса по линейному закону <7 = <7о(1-~£)
(рис. 1.30).Обозначенияq0 — интенсивность нагрузки в центре пластины, кг/см2;Q=— q^a2 — полная нагрузка, кг.3Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 2.Расчетные формулы [15]= (129 — 290р2 + 225р4 — 64р5);14400DЯо*3
720Dр (29 — 45р2 + 16р3);Qr = -~f~ Р(3-2Р);О[29 (1 Н- v) - 45 (3 + v) р2 + 16 (4 + v) р3];М, =м% =Яо^2720720(7.35)(7.36)(7.37)(7.38)[29 (1 + v) - 45 (1 + 3v) р* + 16 (1 -f 4v) р3]; (7.39)* 6 Мг * 6Л1ве . (7.40)В**о0 =В центре пластины (^ = 0):* * 29q0a2 (1 + v)
аг = ов = ята = —s 120В3^tnax43?0а4
4800D(7.41)(7.42)Пример- Круглая пластина толщиной 6 — 3 см, радиусом а =
100 см, жестко закрепленная по контуру, находится под действием
распределенной по всей поверхности пластины нагрузки, изменяю-69
щейся вдоль радиуса по линейному закону q=qo( 1—д), где интен¬
сивность нагрузки в центре пластины <70= 10 кг/см2 (рис. 1.30). Ма¬
териал— сталь (£=2,1 106 кг! см2; Построить эпюры про¬
гибов до, изгибающих моментов Мг, М% и перерезывающих сил Qr.Решение. Пользуемся формулами (7.35), (7.37) — (7.40).Приводим расчетные формулы:w = (0,0089 - 0,020р2 + 0,0155р4 — 0,0044р5);Mr = q„a2 (0,0537 - 0,2085р2 + 0,0964р3);Мв = q„a2 (0,0537 - 0,1251р2 + 0,0519р3);Qr = — q0a (0,5р — 0,3333р2).Подставляя д = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0, находим величины, приве¬
денные в табл. 1.45.Таблица 1.45Гр=—WМгм@Qrq0a400,0089 ——0,0537 qQa20,0537 q^a100.250,00770,0422 „0,0470 „—0,1042 q0a0,500,00470,0137 я0,0289 „—0,1667 .0,750,0015-0,0229 „0,0053 ,—0,1875 „1,000—0,0584 »—0,0195 „—6,1667 „На рис-1.30 построены эпюры до, Мт, М% , Qr
Вычислим:q0a=\0-100=103 кг!см;
<7оЯ2= 105 кг;q0a4 _ 109 • 12 • 8D= 187,5 см.2,1 • 106 • 27 • 2Выполнив вычисления, определяем величины, приведенные
в табл. 1.46.Таблица 1.46rЛ w (cm)м ( кг'см \Мь(кг'см \0 ( K MaM - JЛв\ CM Jr 1 CM j00,0089* 187,5 = 1,675370537000,250,0077-187,5=1,4542204700—104,20,500,0047* 187,5=0,8813702890—166,70,750,0015-187,5=0,28—2290530—187,51,000—5840—1950—166,770
д. Нагрузка, изменяющаяся вдоль диаметров по параболиче¬
скому закону q = q0(\ — д2) (рис. 1.31).Обозначения величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы (15]п0,0276,00695 г0,031rfrrL , °'033 ^гГР)1 *|^|/[ с/д а0,0055£---- аозз 0, 20,083 0,т5г1ттШ1тъ^п7ТгтРис. 1.32Vм, = [5(1 + v) — 6 (3 + v) р2 + (5 + v)p4); (7.46)Л(е = -^- [5(1 + V) — 6(1 +3v)p2 + (l +5v)p«], (7.47)Пример. Круглая пластина толщиной д — 3 см, радиусом а =
= 100 см, жестко закрепленная по контуру, находится под действием
распределенной по всей поверхности пластины нагрузки, изменяю¬
щейся вдоль диаметров по параболическому закону q = q0(\—g2),
где интенсивность нагрузки в центре пластины <70= 1 кг!см2(рис. 1.31). Материал — сталь ^£ = 2,1 • 106 кг/см2; ^ = . По¬
строить эпюры прогибов до, изгибающих моментов Мг, М& и пере¬
резывающих сил Qr.71
Решение. Пользуемся формулами (7.43), (7.45) — (7.47).
Приводим расчетные формулы:да = .ML (0,0122 - 0,0260р2 + 0,0156р4 - 0,0017ре);
Mr = q0a2 (0,0695 — 0,2084р2 + 0,0556р4);
Мв = q„a (0,0695 — 0,125р2 + 0,0278р4);
Q, = — <?о« (0,5р — 0,25р3).Подставляя д=0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0, вычисляем значения, поме¬
щенные в табл. 1.47.Таблица 1.47гаWмгм9Qr0q0a*
0,0122 —^—0,0695 q0a20,0695 <70а200,250,0106 ,0,0567 .0,0618 „-0,12110,500,0066 .0,0208 „0.040J ,—0,21870,750,0022 „-0,0302 .0,0079 „—0,26951,000—0,0834 .-0,0278 .—0,25На рис. 1.31 построены эпюры до, Mr, М&, Qr
Вычислим:<70а= 1 • 100= 102 кг] см;
<70я2= 104 кг;108 -12-8д0а*= 18,75 см.D 2,1 • 10е - 27 - 9Результаты вычислений приведены в табл. 1.48.Таблица 1.48Г.. / кг-см \( кг сн \Л / кг \аW (СМ)МЛ см )щ{«)Qr ( см )00,0122-18,75 =0,0695 • 104 = 6950,0695-104 = 6950=0,22870,250,0106-18,75 =0,0567- 104=5670,0618-104=618—0,1211 -102== 0,1988=—12.110,500,0066-18,75=0,0208 • 104=2080,040-104=4001ОVoОО•оюII=0,1238= —21,870,750,0022 -18,75=—0,0302 • 104 =0,0079-104 = 79—0,2695-102==0,0413=—302= —26,951,000—0,0834 • 104 =—0,0278-104=—0,25-102=—25= —834= —27872
е. Нагрузка, изменяющаяся вдоль радиусов по параболическому
закону q=q0(\—р)2 (рис. 1.32).ОбозначенияQ = — q0a2 — полная нагрузка на пластину, кг.6Обозначения остальных величин те же, что и в § 1-Расчетные формулы [2, 15]= (83 _ 205р2 + 225р4 — 128р5 + 25ре);14400D ' ’Т = ^ Р (41 - 90р2 + 64р3 - 15р‘);Qr = - ~ Р(6 - 8р + Зр2); (7.49)м' = [4Ц! + _ 90 (з + р2 + 64 (4 + v) р3 -(7.48)1440— 15 (5 + v) р4];М0 = [41 (1 + v) - 90 (1 + 3v) р2 + 64 (1 + 4v) р3 -
1440-15(l+5v) р4];* 6 мт * ш@аг — ———; О© =(7.50)5а 52Пример. Круглая пластина толщиной $= 12 см, радиусом а =
= 160 см, жестко закрепленная по контуру, находится под действием
нагрузки, распределенной по всей поверхности пластины и изменяю¬
щейся вдоль радиусов по параболическому закону q = qo(\—д)2, где
интенсивность нагрузки в центре пластины <70 = 0,4 кг)см2 (рис. 1.32).Материал — железобетон ^Е=1,9 105 кг/см2; v = Построитьэпюры прогибов до, изгибающих моментов Mr, М& и перерезываю¬
щих сил Qr.Решение. Пользуемся формулами (7.48) — (7.50). Приводим
найденные зависимости:w = -3^- (0,0058 - 0,0142р2 + 0,0156р4 — 0,0089р5 + 0,0017рс);М, = 70аг (0,0330 - 0,1967р2 + 0,1840р3 - 0,0535р4);Me = <7„а2 (0,0330 - 0,0932р2 + 0,0736р3 - 0,0190р4);QT = — q0a (0,5р — 0,6667р2 -f- 0,25р3).73
Подставляя £=0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0, находим величины, приве¬
денные в табл. 1.49.Таблица 1.49гр =аWмгмьQr09оа*0,0058 D0,0330 <70л20,0330 q0a200,250,0049 ,0,0234 „0,0283 .—0,0872 qba0,500,0029 .0,0035 .0,0177 .-0,1146 .0,750,0009 ,—0,0169 „0,0057 ,—0,1054 .1,000—0,0331 .—0,0055 „—0,0833 .На рис. 1.32 построены эпюры до, Mr, М© и Qr.
Вычислим:#оЯ = 0,4-160=64 кг/см;
qoa2 = 64•160 =10240 кг;?0а4 10240 • 1602 . 12 • 35 Л 0— — У, о С М.D 1,9 • 105 • 123 • 3Результаты вычислений помещены в табл. 1.50-Таблица 1.50ГCi — w (см)м (кг см \м* ( кг см \0 ( кг \р аМ « )е1 « )Г\см)00,0058 • 9,3=0,0540,0330 • 10240 =
=337,9337,900,250,0049 • 9,3=0,0460,0234 • 10240=0,0283 • 10240 =-0,0872-64 ==239,6'=289,8=—5,580,500,0029 • 9,3=0,0270,0035- 10240=35,80,0177 - 10240=—0,1146*64 == 181,2= —7,330,750,0009 • 9,3=0,008—0,0169 • 10240=0,0057- 10240 = 58,4—0,1054-64 ==—173,1=—6,741,000—0,0331 • 10240 =—0,0055 • 10240=—0,0833*64 ==—338,9= —56,3= —5,33ж. Защемленная по контуру круглая пластина под действием
нагрузки, меняющейся вдоль радиуса по степенному закону qs р
(рис. 1.33).Обозначенияq S9S—осесимметричная нормальная нагрузка, распределенная
по поверхности пластины, кг/см2;5 = 0, 1, 2, 3, ...Обозначения'остальных величин те же, что и в § 1.74
Расчетные формулы__дУw —D (S + 2)2 (5 + 4)2УИГ =да2 (1 + у)(s + 2)2(s + 4)1s + 3 + v
1+vrvS+2 ]Мв —<УД2(1 + у) I ^(s + 2)2 (S + 4)1 Т У }1 — (s + 3) v 2\1+V ]’Г-рйWРис. 1.33(7.51)(7.52)з. Свободно опертая пластина под действием нагрузки, меняю¬
щейся вдоль радиуса по степенному закону q = qsps (рис. 1.34).
Обозначения величин те же, что и в случаях «а» § 2 и «ж» § 7.Расчетные формулыw =1D(s + 2)2 (s + 4)2(s ~4~ 2) (s 4* 5 -j- v)
2(1+у)+(s + 4) (s + 3 + у) 2 42(1 + у) Р РМв =J _ 1 + (5 + 3) У +25 + 3 + У(s + 3 + у)(s + 2)2(« + 4)м 9s“4s + 3 + v) ^ _ s+2)_
(s + 2)2(s + 4)(7.53)(7.54)и. Нагрузка, приложенная к малому центральному кругу(рис. 1.35).Обозначения
Р — действующая нагрузка, кг\Ь\ — радиус малого круга, по площади которого считаем распре¬
деленной заданную силу, см\р = А .аОбозначения остальных величин те же, что и в § 1.75
Расчетные формулы [9]Для участка g>fi:Ю0,0796
/©
а ГТТПТгтт^0,0265njarxs*^W —Ра2
16 Dtz(1 — р2 + 2р21пр);0,0199Ра'4А21М^гттШрв.0,159Qr = —Ра4DkР2па(7.55)
plnp; (7.56)
• — ; (7.57)Мт= —tn-(l+v)lnpj; (7.58)47СМв4т.[v+(l+v)lnp]; (7.59)БР, 1ь*.. r J SаaW -^Ц-UU I К);'I I I LLLLU-^ и0,0252paП.tf№93 sftf]Vom0,093“Sf ЗМ..ШПШгпшл^п,iM11,00—1—ТгптпPQpaPuc. L35Puc. 1.36* ^r * /7 Cf\\e,= -^—; ae=-p— . (7.60)В центре пластины:Qr — 0; (7.61)w = . (7.62)16£>nНаибольшие растягивающие нормальные напряжения в точке В
(рис. 1.35) под грузом можно определить по формуле«В = (1 + V) (о,485In -f- + 0,52\ . (7.63)Пример. Круглая пластина толщиной 6=3 сж, радиусом а=
=60 сж, жестко закрепленная по контуру, находится под действием76
сосредоточенной силы Р=3000 кг, распределенной по площади ма¬
лого центрального круга радиусом b\ = 1 см (рис. 1.35). Материал —сталь ^£=2,1 -106 кг/см2; Построить эпюры прогибов w, из¬гибающих моментов Mr, Me и перерезывающих сил Qr. Вычислить
максимальное напряжение в центре ов .Решение. Полагая /?= — , пользуемся формулами (7.55),60(7.57) —(7.59).Приводим расчетные зависимости:да = (0,0199 - 0,0199р2 + 0,0398р2 In р);МГ = - Р (0,0796 - 0,1061 In р);М» = - Р(0,0265 + 0,1061 In р);Q.= -~ 0,1592 — .а рПринимая £=0,05; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0, находим величины, приве¬
денные в табл. 1.51.Таблица 1.51гр =аWМгж0QrРа2Р0,050,0196——0,2382 Р0,2903 Р—3,184 —Dа0,250,0152 .0,0675 „0,1206 ,—0,6368 ,0,500,008 ,—0,0061 ,0,0470 ,—0,3184 „0,750,0024 „-0,0796 .—0,02653 „—0,1592 .На рис. 1.35 построены эпюры w, Мт, Me , Qr.
Вычислим:3000Ра2Dа 603000 • 602 • 12 • 8= 50 кг/см;= 2,04 см.приведенные2,1 • 10е • З3 • 9Используя табл. 1.51, находим результаты,
в табл. 1.52.В точке В величины w и о в определяем по формулам (7.61)
и (7.62):ш=0,0199-2,04 = 0,0406 см;ав =4 - 0,485 , 6027In+ 0,52j Р = 0J352P = 0,7352 • 3000 == 2206 кг!см2.77
Таблица 1.52Г,, ( кг см \w / кг-см \Л ( кг \р=—аw (см)М « )1 Ж°( с* )Г{ см )0,050,0196 * 2,04 =0,0400,2382*3000=714,60,2903 • 3000= 870,9-3,184-50 ==—159,20,250,0152 * 2,04 =0,0310,0675 • 3000 = 202,50,1206-3000 = 361,8—0,6368 • 50==—31,80,500,008*2,04=0,016—0,0061 • 3000=0,0470 * 3000=141—0,3184-50 ==—18,3=—15,90,750,0024 • 2,04 = 0,005—0,0491 • 3000=0,004 - 3000=120—0,2123-50 ==—147,3=—10,61,000—0,0796 * 3000=—0,0265 • 3000=-0,1592-50== —238,8= —79,5= —7,96к. Нагрузка, равномерно распределенная по концентрической
окружности радиуса Ь2 (рис. 1.36).Обозначенияа — радиус пластины, см;
р — интенсивность нагрузки, кг/см\р=-^ .аОбозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [2, 4, 9, 11]Для центральной части пластины (Ор [1 ~ Р2 + 2Р2 In р -|- (1 - р2 + 2 In Р) р2]; (7.64)w =раА8 Dср = —4 DРр(1 — Р2 + 2 In Р);Qr = 0;Мт = М» = - р (1 + v) (1 - р2 + 21„ р);4* *Ог = 00 =6Л4ГВ2В центре пластины ({>=0):*^тах —раА8DЗарР4В2- Р (1 — Р2 + 2р2 In р);
(l+v)(l-p2 + 21np).(7.65)(7.66)(7.67)(7.68)(7.69)(7.70)Напряжение а* будет в центральной части максимальным в том
случае, когда ^<0,31.Для внешней части пластины (Р<р<1):,3W —рас8 DPU1 + Р2) (1 - Р2) + 2 (Р2 + Р2) In р];(7.71)78
ра*
~4DAfr = -i^pr 4 rPp P2 ) — 2 In pP2Me = —pap2-(l-v)X-_(l+v)(P-21np)P22v + (l-v)ii-(l+v)(p-2!np)Qr=--^P.(7.72)(7.73)(7.74)(7.75)У защемленного края3 paЪ*P(i-P2).Напряжение о* будет максимальным у защемленного края в том
случае, когда /?>0,31.Пример. Круглая пластина толщиной д= 12 см, радиусом а =
= 140 см, жестко закрепленная по контуру, находится под действием
нагрузки /?=20 кг!см, равномерно распределенной по концентриче¬
ской окружности радиусом 62 = 70 см (рис. 1.36). Материал — желе¬
зобетон ^£= 1,9-105 кг/см2; v = ~^r)- Построить эпюры прогибов до,.изгибающих моментов МГ, М% и перерезывающих сил Qr •Решение. Полагая в =—=0,5, пользуемся формулами (7.64),а(7.66) и (7.67) для £=0; 0,25; 0,5 и формулами (7.71), (7.73) —
(7.75) — для £ = 0,5; 0,75 и 1,0.Приводим полученные выражениядля р < р:до = (0,0252 - 0,0398Р2)ра?DМг = Мв = 0,0928ра;для р > р:
w =(0,078 -0,078р2 ++ 0,0313 In p + 0,125p2 In Р)ралDQr = 0.Результаты вычислений приведены в табл. 1.53.79Ж, = - ^0,2135 - ^59 ++ 0,2917 In р) ра;Мв =—ра[ 0,0052 + ++ 0,2917 In р ;Qr = — 0,5 — .
Таблица 1.53гаWмгмеQrСО00,0252—2^—0,0928 ра0,0928 ра00,250,0227 „0,0928 .0,0928 „00,500,0152 „0,0928 ,0,0928 ,00,500,0152 .0,0928 .0,0928 ,—1 Р0,750,0049 .0,0833 и0,0324 .—0,6667 р1,000—0,1875 „—0,0312 „-0,5На рис. 1.36 построены эпюры wy Мт> М@ , Qr.
Вычислим:ра*ра = 20 • 140 = 2800 кг\
28 • 142 • 104 -12-35D1,9 • 105 - 123 - 36= 1,95 см.Вычисленные значения перемещений и усилий
в табл. 1.54.приведеныТаблица 1.54гаw (см)м ( кг см \Ма( кг см \«' (S)г{ « )в1 «•* J00,0252 • 1,95=0,04910,0928-2800=259,8259,800,250,0227 • 1,95=0,0443259,8259,800,500,0152-1,95=0,0296259,8259,800,500,0152 -1,95 =0,0296259,8259,8—200,750,0049-1,95 = 0,00950,0833 - 2800=233,20,0324 • 2800=90,7—13,31,000—0,1876 -2800 525—0,0312 • 2800=—87,4—10л. Нагрузка в виде радиальных моментов, равномерно распреде¬
ленных по окружности радиусом Ь2, концентрической к опорному
контуру (рис. 1.37).Обозначенияр=а .аОбозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [7, 15]Для внутренней части пластины (0<р<$):W = — [2р2 In р + (1 — р2) Р2];4 D(7.76)80
Ма(7.77)(7.78)М1 Г"МI Л.аft '
гаw-ш0,5630JH2"^UJJS ПЦЩД^д0Л37 О,-
И I 11 111 IРис. 1.37Для наружной части пластины (1>р>/3)Ма?W —2Dр2 (р2 — 2 In р — 1);<Р =Ма р2М =Ме = -2 DМра
2р2
Л1р2
2р2(1 ~ р2);
р[р2(1 + V) + (1 -V)];
[р2 (1 + v) Ч- (1 — v)];Qr- о.(7.79)(7.80)(7.81)(7.82)(7.83)Глава втораяСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН постоянной толщины
§ 8. Пластина, свободно опертая по наружному контуруа. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности
пластины (рис. 1.38).6—51181
Обозначенияа, b — радиусы наружного и внутреннего контуров пла¬
стины, см;й ь •Р= V ’аq — интенсивность равномерно распределенной внеш¬
ней поперечной нагрузки, кг/см2;р — интенсивность внешней нагрузки, распределенной
по окружности, ке(см;Р — сосредоточенная сила, кг;М — интенсивность моментной радиальной нагрузки,
кг-см! см;w — прогибы пластины, см;ц> — угол поворота срединной поверхности пластины
в меридиональной плоскости;Мт— интенсивность радиальных изгибающих моментов,
кг-см/см;М& — интенсивность окружных изгибающих моментов,
кг-см j см;Qr — интенсивность радиальных перерезывающих уси-• лий, кг/см;(ar)i, (a0)1— нормальные напряжения в крайних волокнах на на¬
ружном контуре кольцевой пластины ^при д == — = l) ;а }(ог)р , (ов)р—нормальные напряжения в крайних волокнах на
внутреннем контуре кольцевой пластины |при д =
ьПриводимые ниже формулы пригодны для практических расче-2тов пластин, если 6< — (а—Ь) при свободно опертых контурах и3если (?<— (а—Ь) при жестко закрепленных контурах пластины.3Расчетные формулы i[4, 8, 10, 15]w = ~r^T It”— Г(3 + V) (1 — 2р2) -ь Аг] (1 — Р-') — (1 — Р4) —64 D I 1 — V4 ^ In р — 8р2р2 In р} ; (8.1)1 —ааг
ср = -* т 1.6 D1 (3+v-4p* + A)p-p1* + -i +1 + v ' ' • ■ / ■ 1 + 4р2р In р
82(8.2)
(8.3)Mr=-^
Г 16(3 + -*)(l-p2) + *fl-y) + 4(l +v)j}4npj; (8.4)2 (l _ v) (1 - 2|32) + (1+ 3v) (1 - p2) +qa-~1б+ * 1 +4 +4(1 +у) P2lnp]•где3 + v + 4(l+v)_il_ Inp*or6 Mr* 6iVf0o0 =52 ’ 52На внутреннем контуре пластины (д=ф)Zqa2(8.5)(8.6)
(8.7)^max — а0 —- [3 + V + P* (1 - v) - 4P2 + 4 (1 + v) p2 In p].(8.8)452 (i _ pa) r 4 'Нормальные напряжения на внутреннем и наружном контурах
пластины при коэффициенте Пуассона v=0,3 можно вычислять по
формулам:(ar)i = °; (er)ps°;(о© )1 = k%, 1 ■ ; (°в )р = k&, ргдек®м0,525 + 0,9Э2 — 1,425fi4 + 3,9р4 In р .
1—р2_ 2,475 — Зр2 4- 0,535р4 4- 3,9р2 In р(8.9)(8.10)(8.11)(8.12)1 -р2Значения коэффициентов k@,\ и &е,р, входящих в формулу (8.10),
для ряда отношений /3 = — приведены в табл. 1.55.Т а б л <и ц а 1.55аа160,200,250,300,350,400,450,500,55kb, 1
Л0.р0,55902,26070,57162,12540,59162,08290,61141,96340,62951,83900,64401,7104Пр о д0,65341,5778олжен0,65601,4425: ие т а (0,65021,30525 л. 1.55|3 - ь
а0,600,650,700,750,800,850,900,954iЛ0,э0,63451,16540,60761,02410,56900,8810,51500,73740,44690,59190,36250,44580,2600,29740,14040,149783
Если радиус внутреннего контура пластины очень мал, то3qa? (3 + v)'max452(8.13)Пример 1. Кольцевая пластина толщиной б= 10 см, внешним
радиусом а=180 см, внутренним 6=90 см, свободно опертая по
внешнему контуру, находится под действием нагрузки интенсив¬
ностью <7 = 0,08 кг!см2, распределенной по поверхности пластины(рис. 1.39). Материал — железобетон (£= 1,9-105 кг/см2; v = —) .Построить эпюры прогибов до, изгибающих моментов МГУ М% и пе¬
ререзывающих сил Qr. Вычислить максимальный прогиб дотах и
максимальные изгибающие моменты и напряжения в пластине.Решение. Полагая fi=—=0,5, представляем в (8.1), (8.3) —(8.6) 0=0,5; 0,75; 1,0.Приводим полученные выражения:,4W =64D(2,6093 - 3,6093р2 + Р4 - 2,5061 In р - 2р2 In р);МГ = да2 (0,2306- 0,1979р2- +0,0729 In р] ;
Ме = да2 [ 0,1785 - 0,0938р2 + -f 0,0729 In р | ;Qr= — да 0,5р —р°
0,125Результаты вычислений помещены в табл. 1.56.Таблица 1.56ГаWМгЩQr0,50qa40,060100,2350 qa200,750,0320 „0,0403 qa20,1628 „—0,208 qa1,00000,1174 .-0,375 .На рис. 1.39 построены эпюры до, Mr, Me , Qr.
Вычислим:да=0,08-180= 14,4 кг/см\
да2—14,4-180=2592 кг;qa12592 • 180* -12-35= 5,16 см.D 1,9 • 105 • 103 - 36Величины прогибов и усилий в пластине приведены в табл. 1.57.84
Таблица 1.57Гр=—аw (см)м ( кг см )т ^ см }/ кг см \9( ™ J0,500,751,000,0601 • 5,16=0,310
0,0320-5,16=0,165
000,0403-2592=104,500,2350-2592 = 609,1
0,1628 - 2592 = 422
0,1174 - 2592 = 3040—0,208 • 14,4=—3
—0,375 • 14,4=—5,4Максимальный прогиб, изгибающий момент и окружное нор¬
мальное напряжение на внутреннем контуре пластины равны:Wmax — 0,0601 -5,16 = 0,310 см;Мтах = (Мв )р = 0,235 • 2592 = 609,1 кг • см/см;°т.ж=(*вЬ = 1,41 -^-=1,41 ^- = 36,5 кг!см\Пример 2. Кольцевая пластина толщиной 4 см, внешним
радиусом а=90 см и внутренним 6=15 см, свободно опертая по на¬
ружному контуру, находится под действием нагрузки интенсив¬
ностью <7 = 0,2 кг/см2, равномерно распределенной по поверхности
пластины (рис. 1.39). Материал — сталь (£=2,1106 кг/см2; у=0,3).
Вычислить величины прогибов w, изгибающих моментов Мг, М% и
перерезывающих сил Qr. Определить окружные напряжения на вну¬
треннем и наружном контурах пластины.Ь 1Решение. Полагая р=—=— , подставляем их значения в (8.1),(8.3) —(8.5).Приводим полученные расчетные формулы:w = (0,0613 - 0,0769р2 + 0,0156р‘ - 0,0075 In р — 0,0035р2 In р);+ 0,0090 In pj ;^ +0,0090lnpj ;Qr = - qa |0,5p - 0,01385 yj .Результаты вычислений приведены в табл. 1.58.Таблица 1.58гр =аWжгщ«г160,1209 q*00,3768 qa?00,250,1135 „0,1018 qa20,2706 ,—0,0694 qa0,500,0854 .0,1326 ,0,1913 ,—0,2222 .0,750,0468 „0,0836 ,0,1462 .—0,3565 ,1,00000,0932 ,—0,4861 ,85Mr = qa2 (о,2115 — 0,2062р2 — —
Me = qa2 (0,2067 -0,1188р2 + ^
Вычислим:qa4 qa=0,2-90= 18 кг/см;
qa2= 18*90= 1620 кг;
1620 • 902 . 12 • 0,91D2,1 - 106 • 64= 1,07 см,«01П-. Г ь-ки0,32 'ww 1 .„ mi^0,601 1
13'W 1 Ч|Ш/щ"0,2351LJ:Рdi^i,0,032VJ | I DSpQ©nt0,3 bсщщ;гтггтТП'0,751,0Puc. 1.39-f-
Puc. 1.40MmpaВеличины прогибов и усилий в пластине приведены в табл. 1.59.Таблица 1.59гР=—аW (см)м,(кг-см ^Ми ( Кг'СМ \MS-)С* J® ( см }1а0,1209-1,07 = 0,12800,3768 • 1620 = 610,400,250,1135-1,07=0,121ОО00•1620 = 164,90,2706 • 1620=438,4—0,0694 -18=
=—1,250,500,0854 • 1,07=0,0910,1326-1620=214,80,1913-1620=309,91—0,2222-18=—40,750,0468 • 1,07=0,0500,0836 •1620=135,40,1462-1620=236,8—0,3565 -18=
=—6,421,60000,0932-1620=150,9—0,4861 -18=
=—8,75Максимальные прогиб и изгибающий момент на внутреннем кон¬
туре пластины равны:‘ZE’max = 0,128 см; Мтах = 610,4 кг • см!см.Пользуясь формулами (8.10) и данными табл. 1.55 для 0 == —=—, найдем окружные напряжения (<з©)р и (а0)! на внутрен-а 6нем и внешнем контурах пластины, приведенные в табл. 1.60.86
Таблица 1.60(3 -а(- >е (^)с). (-5-)12,2607-101 = 2290,5590-101=56,56б. Нагрузка, равномерно распределенная по внутреннему кон¬
туру пластины (рис. 1.40).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8-Расчетные формулы [8, 9, 10, 15]w =раъ$
8 D3 + v-2fet_^ _р2^ +Akx1+v1 —VIn p -f 2p2 In ppa?$ ( 1 — kxcp = ——— — p2D I 1 + v r_*L_ . J plnp) ;1 — V pQr=—— ;kl l\ — l\ — 0 + v) In p1 — v — kxгдеkt — (1 + v)Э2!1 —P21)-(1 +v)lnpIn p.; (8.14)(8.15)(8.16)(8.17)(8.18)
(8.19)Нормальные напряжения на внутреннем и наружном контурах
пластины при коэффициенте Пуассона ^ = 0,3 можно вычислить по
формулам:(er)i =0; (зг)р==0;(°*)i=~,а "> (®e)p ~ke,f2 Tip52, 1,24232 In 3 ^ oo/ioгде k%,\ = ——-—-— 0,3343;
1—р2k = 1,242 In р 0,3343.,р 1 — р2(8.20)(8.21)(8.22)(8.23)Значения коэффициентов ke, 1 и kn. р, приведенные в формулах(8.21) — (8.23), для ряда отношений й= — даются в табл. 1.61.а87
Наибольший прогиб на внутреннем контуре пластины при коэф¬
фициенте Пуассона о> = 0,3 можно вычислить по формулераъ$2к1$) — kw, ргде_ 0,5514 (1 — Р2) , 1,614 In1 р8 — "1 “ 7Т •’р р 1 — р2(8.24)(8.25)Значения коэффициентов kWt р для ряда отношений fi — — приве-CLдены в табл. 1.61.Таблица 1.61•О QIIQCL0,20,250,300,350,400,450,500,55— V 1~k0. Р
kw, Р0,422,420,70350,4492,1690,72370,4821,9780,73310,5161,8200,73220,5511,6860,72120,5861,57$0,70100,6221,4820,67200,6561,3990,6348Продолжение табл. 1.610,600,650,700,750,800,850,900f95““ 1
— kB, Р
kw, р0,6911,3250,59060,7261,2610,53760,7601,2030,47840,7941,1510,41290,8271,1040,34140,8611,0610,26390,8921,0230,18120,9471,0130,0929Прогибы, радиальные и окружные моменты в пластине при коэф¬
фициенте Пуассона v = 0 (железобетонные пластины) можно вы¬
числять по формулам:W = К ; (8.26)Мг = krpa$; (8.27)Ме = k&pa$. (8.28)Значения коэффициентов kw , kr и k% , входящих в формулыЬ г(8.26) — (8.28), для ряда отношений /?=— при ряде значений д = —а априведены на табл. 1.62.Пример 1. Кольцевая пластина толщиной <5=10 см, внешним
радиусом а =180 см и внутренним 6 = 90 см, опертая по внешнему
контуру, находится под действием нагрузки интенсивностью р =
= 15 кг/см, распределенной по внутреннему контуру пластины(рис- 1.40). Материал — железобетон /£=1,9105 кг/см2; v = ~jrJ •88
Коэффициент
Построить эпюры прогибов w, изгибающих моментов Мг, М% и пе¬
ререзывающих сил Qr. Вычислить максимальный прогиб nymax , мак¬
симальные изгибающие моменты и напряжения в пластине.Решение. Полагая =0,5 в (8.14), (8.16) — (8.18), приво¬
дим расчетные формулы:аW —раъD(0,1408 - 0,1408р2 - 0,0808 In р + 0,125р2 In р);Мт = ра ^0,0674 — 0,0674 ~ — 0,2916 In pj ;Мь=ра /о,2757 + 0,0674-^—0,2916 In р^ ;Q = _ 0,5 S- .PiРезультаты вычислений для о = — =0,5; 0,75 и 1,0 приведеныав табл. 1.63.Таблица 1.63ГР== аW"гЩ. <?г0,50раг
°,140 ^00,7474 ра—Р0,750,0648 .0,0315 ра0,4791 .—0,6667 р1,00000,3431 „0,5 „Вычислим:/?а= 15* 180=2700 кг\рс? __ 15 • 1803 • 12 • 35 __ - 07 — — О,о/ СМ.D 1,9 . 105 • 36 - 103Величины прогибов w и усилий в пластине приведены в табл. 1.64,
а их эпюры — на рис. 1.40.Таблица 1.64г/ кг см \w / кг-см \Л ( кг \w (см)М см )щ{«)Qr у~СЛ1 )0,500,14 ♦ 5,37=0,75200,7474 - 2700 =2018—150,750,0648 • 5,37=0,3480,0315 • 2700 = 85,050,4791 -2700=—0,6667 • 15=—10= 1293,61,00000,3431 • 2700= 926,4—0,5 • 15=—7,590
Максимальный прогиб дотах и максимальный изгибающий мо¬
мент Мтах на внутреннем контуре пластины равны:wшах= 0,752 см\yWmax = = 2018 кг • см j см.
Максимальные напряжения/ \ б • 2018 1 о1 1 / 90шах=(а©)р = —— = 121,1 кг! СМ2.Ю2Пример 2. Кольцевая пластина толщиной 6=2 см, внешним
радиусом а = 90 см и внутренним 6=15 см, свободно опертая по на¬
ружному контуру, находится под действием нагрузки интенсив¬
ностью /? = 5 кг/см, равномерно распределенной по внутреннему кон¬
туру пластины (рис. 1.40). Материал — сталь (£=2,1-106 кг!см2;
v = 0,3). Определить прогибы w, изгибающие моменты Мт, М% и
перерезывающие силы Qr.Решение. Полагая $=-^ = в (8.14), (8.16) — (8.18), приво¬
дим расчетные формулы:аW =ра*(0,0549 - 0,0549р2 - 0,0079 In р + 0,0416р2 In р);Мг=ра (0,0056 - --"°5- 0,1084In р| ;Л4& — ра j 0,0638 Н-0,0638Р20,1084 In р ;Qr = ~i^-6 рГ 1Результаты вычислений для д= — — —; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0 при-а 6ведены в табл. 1.65.Таблица 1.65тр = —WAfrмв«г1раг60,0654 —02,5529 ра1*Фо0,250,0588 „0,0670 ра1,2347 ,-0,6667 .0,500,0395 .0,0585 ,0,3941 „—0,3334 .0,750,0196 „0,0269 ,0,2084 „—0,2222 .1,00000,1276 ,—0,1667 .Вычисляем:ра?~Dра=5-90=450 кг;
450 • 8100 • 12 • 0,912,1 - 106- 8= 2,369 см.91
Величины прогибов w и усилий в пластине приведены в табл. 1.66.Таблица 1.66160,250,500,750,000,0654 • 2,369=0,1550,0588-2,369=0,139
0.0395 • 2,369 =0,094
0,0196-2,369 =0,046
000,0670 • 450=30,0
0,0585 • 450=26,3
0,0269-450=12,1
О2,5529-450=1148,81,2347-450=555,6
0,3941i- 450=177,3
0,2084-450=93,8
0,1276-450=57,4—5—0,6667-5=
—0,3333 • 5=
—0,2222 * 5 =
—0,1667 • 5=—3,3
—1,67
-1,1
—0,83в. Радиальная моментная нагрузка, равномерно распределенная
по внутреннему контуру пластины (рис. 1.41).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [9, 15]w —Ма2
2 DМаD1 + v11+ Vр +-2 11 —V1 4- V 1 • ■1 — V рIn рQr = 0;W0,1775мwМа*Mr = Mk 1 —Me = Mk (1 + -yгдеf.. ^rfTT-Wk -=P2".0,67^ЩЩ]^—1—Puc. 1.41li(8.29)(8.30>(8.31 >(8.32)(8.33)(8.34)w = kПрогибы, радиальные и окруж¬
ные моменты в пластине при коэф¬
фициенте Пуассона v = 0 (железо¬
бетонные пластины) можно вы¬
числять по формулам:12Л*аг ; (8.35)£6®Mr = krM\ (8.36)Me = keM. (8.37)Значения коэффициентов kw, kr и k% , входящих в формулы(8.35) — (8.37), для ряда отношений fi= — и при различных значе-аниях д приведены в табл. 1.67.92
Таблица 1.67Коэффициент\ ГР == Ыар а00,10,20,3 |0,4 |0,50,60,7 |0,80,900,100,02830,200,02110,08710,300,01680,06910,16410,400,01350,05670,13220,2545km0,500,01080,04450,10560,20350,3560w0,600,00840,03460,08220,15830,27690,46730,700,00620,02550,06050,11650,20390,34410,58770,800,00410,01680,03990,07680,13440,22680,38730,71670,900,00200,00830,01980,03820,06680,11270,19250,35620,85421.0000000000000,101,00000,200,24241,00000,300,10210,42131,00000,400,05300,21870,51921,0000— k.0,500,03030,12500,29670,57141,0СС0КГ0,600,01800,07410,17580,33860,59261,0000,700,01050,04340,10290,19830,34690,58551,0С000,800,00570,02340,05560,10710,18750,31640,54041,00000,900,00240,00980,02320,04470,07820,13190,22540,52781,00001,0000000000000,101,02020,200,26261,08330,300,12230,50461,19780,400,07320,30210,71701,3810^80,500,05050,20830,49450,95241,66670,600,03820,15740,37360,71961,25932,1250,700,03070.12670.3С070,57921,01321,71052,92160,800,02590,10680,25340,48810,85421,44122,46264,55540,900,02260,09310,22100,42560,74491,25692,14693,97249,52621,000,02020,08330,19780,38100,66671,1251,92163,55548,5262
Пример 1. Кольцевая пластина толщиной <$=10 см, внешним
радиусом а=180 см и внутренним 6=90 см, свободно опертая по
внешнему контуру, находится под действием радиальной момент-ной нагрузки Af = 300 кг-см/см, равномерно распределенной по вну¬
треннему контуру пластины (рис. 1.41). Материал — железобетон^£= 1,9-105 /сг/сж2; Построить эпюры прогибов w и изгибаю¬щих моментов Мг и Me. Вычислить максимальный прогиб wmax и
максимальный изгибающий момент в пластине.Решение. Полагая р ——=0,5, подставляем эти значенияв (8.29), (8.31) —(8.34).Приводим расчетные формулы:W = (0,1428 —0,1428р2-0,41пр);МГ = М 0,3333 ^1 -Же = М 0,3333Qr — 0-Результаты вычислений для £=0,5; 0,75 и 1,0 приведены
в табл. 1.68.Таблица 1.68Гр — аW«г0,50Ма20,384 ~гГ—М1,6667 М00,750,1775 „—0,2593 *0,9259 „00,00000,6667 ,0Вычислим:Ма2 300 • 1802 • 12 • 35 Л -Л_ — = 0,597 СМ.D 1,9 • 105 . 103 • 36Величины прогибов w и усилий в пластине приведены в табл. 1.69,
а их эпюры на рис. 1.41.Максимальные прогиб Дотах и изгибающий момент Мтах на вну¬
треннем контуре пластины равны:ЯУтах= 0,229 см;А/max = Afe = 500 кг • см/см.94
Таблица 1.69Г( кг-см \.. ( кг-см \л / Кг \р- аw (см)*г( с* )М*[ см )| ( см )0,500,384 • 0,597=0,229—30050000,750,1775 - 0,597 = 0,10- 77,8277,801,00002000Пример 2- Вычислить прогибы до, изгибающие моменты Мт
и Me по данным первого примера, приняв приближенно v=0.
Решение. Пользуясь формулами (8.35) — (8.37) и даннымитабл. 1.67 при /?=—=0,5, найдем величины прогибов и усилий в пла-&стине, приведенные в табл. 1.70.Таблица 1.70г,, / кг-см \.. / кг-см \^ аw (см)Мг г у см JЩ[ см )0,500,3560 - 0,614 = 0,219о81IIоОсо•71,667;-300=5000,700,2039-0,614=0,125—0,3469 * 300=—104,11,0136-300=304,10,800,1344-0,614=0,0836—0,1875 • 300=—56,250,8542 • 300=256,31,00000,6667 - 300 = 200г. Радиальная моментная нагрузка, равномерно распределенная
по наружному контуру пластины (рис .1.42).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [9, 10, 15]w —Ма212D (1 — Ра) <1 + v>
Ма 11 — р2 — 2|32 1 v In р<р =DМ,Ме =Qr = 0; мр / 1“ 1 — р2 \ р21(l-p»)(l+v)(8.40)Р +1—V
1 + V J2_1—V(8.38)(8.39)1«опУИр21Р2Н~1(8.41)(8.42)п■3>/77 *70wРис. 1.42При коэффициенте Пуассона v=0 (железобетонные плиты)
можно вычислять прогибы, радиальные и окружные моменты и
углы поворота на опоре по формулам:, 12Ма2 /о /|о\* Е№~ ' ( *95
Таблица 1.71КоэффициентrP =b/a• p = r aо 10.1 10.20,30.4 |0,50,61 0,71 0,81 0,900,50000,10,49500,52330,20,48000,49100,55660,30,45500,47180,52410,61910,40,42000,43350,47570,55220,6746kw0,50,37500,38580,41950,48060,57840,7310Vu0,60,32000,32840,35460,40220,47820,59690,78330,70,25500,26120,28050,31550,37150,45890,59600,84270,80,18000,18410,19680,21990,25680,31440,40470,56730,89670,90,09500,09700,10330,11480,13320,16180,20660,28750,45120,94921,0000000000001,00000,11,000000,21,00000,757600,31,00000,89790,578700,41,00000,94700,78120,48060kr0,51,00000,96970,87500,70330,42860"т0,61,00000,98200,92590,82420,66140,407400,71,00000,98950,95660,89710,80170,65310,414500,81,00000,99430,97660,94440,89290,81250,68360,459600,91,00000,99760,99020,97680,95530,92180,86810,77460,583001,01,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,00001,000001,00000,11,00002,02020,21,00001,26262,08330,31,00001,12231,50462,19780,41,00001,07321,30211,71702,3810ko0.51,00001,05051,20831,49451,95202,666700,61,00001,03821,15741,37361,71962,25933,12500,71,00001,03071,12671,30071,57922,01362,71043,92160,81,00001,02591,10681,25341,488!1,85422,44143,46205,55560,91,00001,02261,09311,22101,42561,74482,25693,14694,972610,52641,01,00001,02021,08331,19781,38101,66672,12502,92164,55569,5264k'lI 1.0| 1,0000| 1,02021 1,0833| 1,1978I 1,3810 |1,6667| 2,1250| 2,9216 j| 4,5556 |9,5264
\ШаЕЪЪ
Mr = krM;М.® = k% vVf.
Значения коэффициентов kwt kf, kn k&(8.43) —(8.46), для ряда отношений 0 =а(8.44)(8.45)(8.46)входящих в формулы
при различных значе¬ниях q приведены в табл. 1-71.Пример. Кольцевая пластина толщиной d=10 см, внешним
радиусом а=180 см и внутренним 6=90 см, свободно опертая по
внешнему контуру, находится под действием радиальной момент-ной нагрузки М = 300 кг-см/см, равномерно распределенной по на¬
ружному контуру пластины. Материал — железобетон |£=1,9хХ105 кг/см2; v==-jrj • Найти прогибы w, изгибающие моменты МпМ& и Qr. Вычислить максимальные прогиб штах и изгибающий мо¬
мент Мтах в пластине.Решение. Полагая в=—=0,5 в (8.38), (8.40) — (8.42), при-аводим расчетные формулы:Ма?W —D(0,5714 - 0,5714р2-0,4 In р);УИГ =JVI& =М3м4 —4 +13Qr = 0.Результаты вычислений для ^=0,5; 0,75
в табл. 1.72.и 1,0 приведены
Таблица 1.72Гр== —Wжгмь«г0,50Ма2
0,7058 —02,6667 М00,750,3651 „0,7405 М1,9255 ,01,0001,00 ,1,6667 „0Вычислим:Ма2300 • 324 • 102 - 12 ♦ 35= 0,598 см.D 1,9 • 105 • 103 • 36Величины прогибов w и усилий в пластине приведены в табл. 1.73.7—511 97
Таблица 1.73Г,, / кг-см \яж / кг-см \р = тw (см)М «С )М г* )г [см 10,500,7058 • 0,598=0,42202,6667 - 300 = 80000,750,3651 * 0,598=0,2180,7405 • 300=222,11,9255 • 300=577,701,00001,6667* 300=5000Максимальные прогиб штах и изгибающий момент Мтах на вну¬
треннем контуре пластины равны:•«W = 0,42 см\Л1тах = ^0 = 800 кг • см!см.Принимая приближенно ^=0 и пользуясь формулами (8.43),(8.45), (8.46) и данными табл. 1.71 для в =—=0,5, найдем вели-ачины прогибов w и усилий в пластине, приведенные в табл. 1.74.Таблица 1.74г,, / кг-см \/ кг-см \р = тw (см)М см)Щ[ СМ )0,500,731-0,598=0,43702,6667 • 300=8000,700,459-0,598=0,2750,6531!- 300= 195,92,0136-300=604,10,800,3144 * 0,598=0,1880,8125-300=243,91,854-300=556,31,000Ь- 300=3001,6667-300=500§ 9. Пластина с центральным абсолютно жестким диском,
свободно опертая по наружному контуруа. Нагрузка, равномерно распределенная по контуру жесткого
диска (рис. 1.43).Обозначенияа — радиус наружного контура пластины, см\
b — радиус диска, см\р — интенсивность внешней нагрузки, распределенной по контуру
диска, кг)см.Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 8.w =<? = —Расчетные формулы [4]ра^ [р2 in р + Ml - р2) + К In р];1AD(9.1)(9.2)98
Mr =Мв = -pa§3 + v + 2 (1 +v)lnp — 2kx (1 + v) —Ml-*)'p2P<$41 +3v + 2(l + v) In p — 2kt (1 +v) + -M1-~v>P*Qr = ^ ,; (9.3); (9.4)(9.5)Puc. 1.43где0,5(1 + v) + P (1 - v)A_ 2p2(l+v) I 1/Co ; [3 + v + p2 (1 — v) (1 + 2 In p)];
— In P(1 + v) + p» (1 — v) \l+vНа защемленном внутреннем контуре пластины (д=р)
ра3 1,5(3 (1 — v2)(9.6)(9.7)®\пах —£8з 1+v + P(1_v)-|3 + V-2(1+',)P2-— (1 -■*) Р4 Н-8Р21пР — 4(1 +v)pMnJp];* , ра
— ar = kr-^—,*^шах(9.8)(9.9)гдезрkr = r 1 + v 4- (1 — v)f(l —V) (1 — р2) —2(1 н-V)lnp]. (9.10)Значения коэффициента kr, входящего в формулу (9.9), приве¬
дены для ряда отношений /?=— в табл. 1.75 при v=0,3-аТаблица 1.75р0,10,20,30,40.50,60,70,80,9К1,5332,1942,4882,5242,3672,0601,6421,1430,589б. Нагрузка, равномерно распределенная по поверхности пла¬
стины (рис. 1.44).7*99
Обозначенияq — интенсивность равномерно распределенной внешней попереч¬
ной нагрузки, кг!см2.Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [3]I-1 +Р4 + К.(1 - Р2) - 8рТ In Р + ^In р]. (9.11)04 Uf = - -Вт [4Р3 +- 2Р (- -4?2 - 8Р2 |п Р) + ^Р-1 J: (9Л2)о4 идаМг= —г 64Qr = + Jr- Р-— ; (9ЛЗ)4 (3 + v) (р2 — 2Р) + 2 (1 + v) (- /С, - 8(5Чп р) -и 1 — v
А2Р2(9.14)Мв = --^- [4(1+3v) (р2 — 2(32) + 2 (1 + м) (— К] — 8р2In р) +о4+ (9.15)Р2гдеАп Г«3 + v) (2?2 — 1) + (1—v)(l +41пр) р‘]; (9.16)1 + V + р2 (1 — V)Кг= Г- * ■ , [3 + v-(5 + v)^ + 4(l+v)pMnPJ. (9.17)1 + V + р2(1 — V)На внутреннем контуре пластины (д=0) при коэффициенте Пуас¬
сона v = 16прогиб*шах = 6ю-^-; (9-18)ЕЬ3изгибающий моментMr = krqa2. (9.19)Значения коэффициентов kwy kr, входящих в формулы (9.18)
и (9.19), для ряда отношений /?=— приведены в табл. 1.76.а100
Таблица 1.76р0,20,30,40,50,60,70.80,5360,4110,2880,1820.09960,04440,0137kf0,3010,2810,2540,2210,18300,14110,0965Если d>— (а—Ь), то для учета прогиба от касательных напря-зжений к штах следует добавить величину Aw, которая определяется
по формулеAw= °’97^а2 (1 -р2 + 2р21пр).§ 10. Пластина, свободно опертая по внутреннему контуруа. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности
пластины (рис. 1.45).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.qaw = —^—64 D 1 1 + vРасчетные формулы [6, 15][(3 + v) (р* - 2) + Л,1 (Р2 - Р2) - (Р* - р<) -4Р21 -ki Inр8р2 In(10.1)qa?1160 I 1 Н- v[(3 4- v) р2 --4 + ^]p-p» +Р2У+ 4р InР+(10.2)W0,073 ,ШЗМ =16(3 + V) (р2 - р2) +м 0,01731D+£^1; (Ю.З)Me =qa1162(1 -у) (Р2-2) +0,2911 до
IV®ЩЙШ^[0,75Рис. 1.45+ (!+3v)(p2-p2) ++ *i (ь+ ~г) + 4(1 +v)lny^=Т(т-р(10.4)(10.5)101
где£i = 3 + v + 4(l -fv)1 —In p.(10.6)Нормальные напряжения на внутреннем и наружном контурах
пластины при коэффициенте Пуассона ^ = 0,3 можно вычислять по
формулам:(®r) 1 “ 0; (з,)р = 0;qa*В252где£в,р = —
ke.i = —0,525ft4 + 0, 9ft2 — 1,425 — 3,9 1n ft1 —ft22,474ft4 — 3ft8 + 0,525 — 3,9ft2 In ft
1 —ft2(10.7)(10.8)(10.9)(10.10)Значения коэффициентов 6©,i , , входящих в формулы (10.8),
приведены в табл. 1-77.Таблица 1.77р160,200,250,30130,350,400,450,50~кЬ, Р5,74745,09214,30923,68783,33723,17652,74542,37362,046310,69160,72460,73070,76650,78560,79340,80960,81450,8073Продолжение табл. 1.77Р0,550,600,650,700,75.0,800,850,900,95~кь, р
~~ *е, 11,75870,78711,49870,75441,26250,70721,04540,6480,84430,57440,65590,48690,47940,38480,31320,26970,15280,1344Максимальные напряжения на внутреннем контуре пластиныJmaxЗ^а2[—4(1 + v) In Р + 4P2v + (1 — v) р4 —4В2(1 - ft2)-(l+3v)]. (10.11)Максимальный прогиб на наружном контуре пластины
3<7(1 -v)a4^max16£537 + 3v + (5 + v)P‘-4(3 + v) р +4(3 + v)(i + v)у „ . (1 + уур» 1п;р_1 — У Г Г (l-v)(l-P)2(10.12)102
Пример 1. Кольцевая пластина толщиной <?=10 см, внешним
радиусом а=180 см и внутренним 6=90 см, свободно опертая по
внутреннему контуру, находится под действием нагрузки интенсив¬
ностью <7 = 0,16 кг!см2, равномерно распределенной по поверхностипластины (рис. 1.45). Материал — железобетон [£=1,9-105 кг!см2\\v=—j. Построить эпюры прогибов w, изгибающих моментов МпМ& и перерезывающих сил Qr.Решение. Полагая fl = — = 0,5 в (10.1), (10.3) — (10.5), приво-адим расчетные формулы:w = (- 0,0291 + 0,0862р2 + 0,0156р4 + 0,0215 In р - 0,125р2 In р)
Mr = qa? А),1801 — 0,1979р2 + 0,0179 -i- + 0,2917 In pj ;Afe = qa2 0,0283 - 0,0938p2 — 0,0179 у + 0,2917 In fj ;Qr = qa0,5— 0,5p] .Принимая q= — = 0,5; 0,75 и 1,0, найдем величины, приведенные
в табл. 1.78.аТаблица 1.78Г^ ~ аWжгЩ«г0,5000—0,3255 qa20,75 qa0,75aat0,0489 —0,0167 qa2—0,1967 „0,29 .1,000,0731 „0-0,1399 .0На рис-1.45 построены эпюры.до, Мт, Мв и Qr.
Вычисляем:qa = 0,16* 180 = 28,8 кг!см\
qa2 = 28,8* 180 = 5184 кг\
qal 5184 . 1802 -12 -35= 10,3 см.D 1,9 • 105 • 10® • 36Величины прогибов и усилий в пластине приведены в табл. 1.79.ЮЗ
Т а б л и ц а 1.79Г,, / кг-см \/ кг-см \Л 1 кг \w (см)Мг т \ см JМ - )Qr ( см )0,5000—0,3255*5184=0,75-28,8==—1687,4=21,60,750,0489 • 10,3=0,5040,0167-5184=—0,1967 -5184 =0,29-28,8== 86,57=—1019,7=8,41,000,0731 • 10,3=0,7520—0,1399-5184 =0= —725,2Пример 2. Кольцевая пластина толщиной д = 3 см, внешним
радиусом а = 90 см и внутренним 6 = 30 см, свободно опертая по вну¬
треннему контуру, находится под действием нагрузки интенсив¬
ностью <7=0,5 кг!см2, равномерно распределенной по поверхности
пластины (рис. 1.45). Материал — сталь (£ = 2,1 -106 ksJcm2; v = 0,3).
Вычислить прогибы w, изгибающие моменты МГ и Me и перерезы¬
вающие силы Q., а также окружные нормальные напряжения.А 1Решение. Подставляя v = 0,S и в =— = — в (10.1), (10.3) —а 3(10.5), получим:■w = (0,2246р2 - 0,0251 + 0,0156р‘ + 0,030961пЗ р -— 0,1248р2 In Зр);Mr = qa21—0Me =qa2 (- 0,0230 - 0,1188р2 — 0,0231V р2Qr = qa (-М- _ 0,5pj .Г 1Результаты вычислений для —=—; 0,5; 0,75 и 1,0 приведеныа 3в табл. 1-80.Таблица 1.80IIа.Wж0«г100—0,5812 qa21,3333 qa30,50qa40,0319— 0,0055 да?-0,3504 .0,750,750,0743 „-0,0137 „—0,2044 .0,292 ,1,000,122 ,0-0,1439 и0+ 0,325 In р ] ;,1725 — 0,2062р2 + -0,^2217 + 0,325 In 3pj ;104
Вычислим:<70 = 0,5-90=45 кг! см;qa2=0,5*8100=4050 кг;qa4 4050.8100.12.0,91 с010— = 5 = 6,318 СМ.D 2,1 • 106 • 27Величины прогибов и усилий в пластине приведены в табл. 1.81.Таблица 1.81ГР = 1Гw {см)м (кг см )\ см 1Afe ГСМ)\ см )мэ130,500,751,0000,0319 • 6,318=0,202
0,0743 - 6,318 = 0,469
0,122*6,318=0,771—0,0055-4050=— 22 30,0137 ♦ 4050=55,50-0,5812-4050=
=■—2353,8
—0,3504 • 4050=
=—1419,1
—0,2044 • 4050=
=—827,8
—0,1439-4050=
=1582,81,3334-45=60,00,75-45=33,80,292-45=13,10Пользуясь формулами (10.8) и данными табл. 1.77 для /?=—3 ,найдем окружные напряжения (а0)р и (se)i на внутреннем и внеш¬
нем контурах пластины, которые приведены в табл. 1.82.Т а б л и ц а 1.82Э“в)р (£.)(зе),\смг)1— 1501,74— 353,523б. Нагрузка, равномерно распределенная по внешнему контуру
пластины (рис. 1.46).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.wрай8 D1 +vра?
~2DРасчетные формулы [6, 15]
Akx- III -3 + v~2*‘ (р2 - Р2) + -^2- Р2 In 4- + 2р2In р11 — kx
1+VР —С1Р21 —V
р— pinQr=— ;
рУИв = -^2[■—*■(*+ 1 ) + (1 + v) In(10.13)(10.14)(10.15)(10.16)
(10.17)105
где= -1 + v In p.(10.18)- г-ь-Ха§■iL .W1 ШЧ I$ §,-ттгПТГU ' 1
Isршш^Иттпп1—^2Нормальные напряжения на внут¬
реннем и наружном контурах плас¬
тины при коэффициенте Пуассона
v = 0,3 можно вычислить по форму¬
лам:(°r)i = 0; (*г)р= 0; (10.19)(°в)э =^0,Р ,(10.20)гдеРыс. /.45fee.p =■■ 0,3343; (10.21)Ле. 1 = — 0,3343. (10.22)Наибольший прогиб будет на внешнем контуре пластиныpa3^K , (10.23)W = kw,\ЕЬ3где0,55140^. 16UР2 1 — Р2(10.24)Значения коэффициентов k®, р, k©, i и i, входящих в формулы
(10.20), (10.23), для ряда отношений В = — приведены в табл. 1-83.аТаблица 1.83f0,200,250,300,350,400,450,500,55~kB, р
^w, 1
^0, 10,4200,712,420,4490,7252,1690,4820,7311,9780,5160,731,8200,5510,7151,686П р о i0,5860,701,578I, о л ж е 10,6220,671,482i и е та0,6560,631,399б л. 1.83Р0,600,650,700,750,800,850,900,95—Чр^w, 1
_\ 10,6910,571,3250,7261,2610,7600,51,2030,7941,1510,8270,35—1,1040,8600,31,0610,8920,11,0230,9471,013106
Пример 1. Кольцевая пластина толщиной б = 12 см, внешним
радиусом а= 140 см и внутренним Ь = 70 см, свободно опертая по
внутреннему контуру, находится под действием нагрузки интенсив¬
ностью /? = 20 кг!см, равномерно распределенной по внешнему кон¬
туру пластины (рис. 1.46). Материал — железобетон |^£=1,9ХХЮ5 кг!см2; Построить эпюры прогибов до, изгибающихмоментов Mr, Me и перерезывающих сил Qr . Вычислить максималь¬
ный прогиб дотах и максимальные изгибающие моменты в пластине.Решение. Полагая ^=—=0,5 в (10.13), (10.15) — (10.17), при¬
водим расчетные формулы:аW =ра'■D(0,1426 — 0,5703р2 — 0,1248 In 2р + 0,25р2 In 2р);Мт = — ра (0,1348 —О,1348р2— 0,5834 In р) ;Me =-pal 0,5514+ 0,1348 -0,5834 In р] ;Qr =fP_PrРезультаты вычислений для p =—=0,5; 0,75 и 1,0 приведеныав табл- 1.84.Таблица 1.84гр=—Wмв0,5000— 1,4950 ра2,0 рраъ0,750,1763 —D—0,1678 ра—0,9588 „1,333 .1,000,3577 .0—0,6862 „1,0 .Вычисляем:ра6ра = 20• 140 = 2800 кг\
2800 • 1402 • 12-35D= 1,946 см.1,9 - 105 • 123 - 36Величины прогибов до и усилий в пластине приведены в табл. 1.85,
а их эпюры на рис. 1.46.Максимальный прогиб на внешнем контуре пластины равен-Дотах = 0,697 CM.107
Таблица 1.85Г.. / кг-см ,,, / кг-см \Л / кг\Р = 1Гw (си)Мг г у см Jсм )(ей)0,5000—1,4950-2800=—4186400,750,1763-1,946=0,3441—0,1678-2800=—0,9588 - 2800=26,7= —469,8=—2684,61,000,3577-1,946=0,6970—0,6862 ,-2800 =20=*—1921,4Максимальный изгибающий момент на внутреннем контуре пла¬
стины равенМтах = Мв = —4186 лгг • см/см.Пр и мер 2. Кольцевая пластина толщиной 6=3 см, внешним
радиусом а=90 см и внутренним 6 = 30 см, свободно опертая по вну¬
треннему контуру, находится под действием нагрузки р=10 кг!см
равномерно распределенной по внешнему контуру пластины. Мате¬
риал— сталь (£ = 2,1 -106 кг/см2; о>=0,3). Определить прогибы до„
изгибающие моменты МГ, М% и перерезывающую силу Qr. Вычис¬
лить максимальный изгибающий момент в пластине.Решение. Полагая /3=—=4" в (10.13), (10.15) — (1017), при¬
водим расчетные формулы:аw = —райD(0,4843 - 0,6263р2 + 0,1275 In р + 0,25р2 In р);м, = -ра (0,0893 - _ 0,65 In р) ;Me = —ра (0,4392 + _°’°893 _ о,65 In р) ;Qr =Г 1Результаты вычислений для р =—= —; 0,5; 0,75 и 1,0 приведеныа 3в табл. 1.86.Т а б л и ц а 1.86-оII
й |WжгЩ«г1300—1,9570 ра3 рраг0,500,0100'-^-—0,5041 ра—0,9254 „2 .0,750,0653 .-0,1176 „—0,7851 „1,3333 *1,000,1420 ,0—0,5285 „1108
Вычислим:pa = 10-90=900 кг;
10 • DO3 • 12 • 0,91= 1,405 см.D 2,1 • 10е • З3Величины прогибов w и усилий в пластине приведены в табл. 1.87.Таблица 1.87Г,, / кг-см \„ / кг-см \п ( кг \р=аW (см)М ( т \ см 1е( “ )Qr [ 7лГ)1300-1,957-900==—1761,3з г 10=300,500,01 • 1,405 =0,014—0,5041 • 900=—0,9254 • 900=2-10=20=—453,7=—832,90,750,0653- 1,405=0,092-0,1176-900=-0,7851-900=1,3333 -10= 13,333=—105,8=—706,61,000,1420-1,405=0,1200—0,5285 - 900=10= —475,7Максимальный изгибающий моментМтях — Me = — 1761,3 кг • см/см.в. Радиальная моментная нагрузка, равномерно распределенная
по наружному контуру пластины (рис. 1.47).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [8, 9, 15]Ма2 1W2D <1 + V) <1 — ра>
Ма 1Р2- рт + 2±^- р2 1п Р? = —D (1 + V)(l —Р2)Qr=°;М ( р2р +\—у
. 1 + v р1 V р -мг=Мв =1-р2М
1—р2— 11 + У(10.25)(10.26)(10.27)(10.28)(10.29)Ь 1 1Эпюры w, Mr, Me при /3=— = — и v = — построены на рис. 1.47.а 2 6Радиальные и окружные моменты на внутреннем и внешнем кон¬
турах пластины при коэффициенте Пуассона ^ = 0,3, можно вы¬
числять по формулам:(зг)э = 0; (er)i-ek.i109М(10.30)
(°е)р = k®> Р ~О2(»e)i = Ae. 1гдеNМWА77777Гf=s. 5а■8§-МаDke, р =
ke, 1 —kr, i = 6;
12(10.31)(10.32)(10.33)(10.34)(10.35)1ЗПШЖ1*1 — р26(1+ р2)1 - р2Наибольший прогиб на внеш
нем контуре пластины равенМа2”^тах —Рис. /.47X2D (1 + v)рз1 — Р2При коэффициенте Пуассона v=0,3 имеемМа21£531-2-р^х1 — VIn р) . (10.36)
(10.37)где4,2 (1 — р2) — 15,6р2 In р*W,\— J ^2Значения коэффициентов kWt\y &©, р, Ле,ь входящих в формулы(10.31), (10-32) и (10.37), для ряда отношений р=— приведеныав табл. 1.88.Таблица 1.88Р0,200,250,300,350,400,450,500,55К, р12,34312,79213,13813,66814,25615,04815,99617,208*8.16,3436,7967,1887,6718,2699,0489,99811,207kw, 15,24625,64176,05766,48626,92277,36297,80418,2451Продолжение табл. 1.88Р0,600,650,700,750,800,850,900,95\ Р18,74420,78423,53227,42033,33643,24363,276127,84*8,112,74614,78317,53121,42227,3337,2457,56117,08kw, 18,68239,11679,54639,970410,390111,256911,2096 110
г. Радиальная моментная нагрузка, равномерно распределенная
по внутреннему контуру пластины (рис. 1.48).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы (6, 9, 15]w =Ма2Р2<р =2D (l + v)<pa-l)Ма В2рг — р2 — 2 In рD (1 Ч- v) (pa — 1)Р +1—v
1 + V 1
• ррN МиТ,Г Х-._Рис. 1.48Рис. 1.49(10.38)(10.39)I!Q, = 0; (10.40)Жв = ^1ГГг(1+^)- (10'42>При коэффициенте Пуассона v = 0,3 можно вычислять напряже¬
ния на внутреннем и внешнем контурах пластины по формулам:<«Л=*ы>-£-; («,), = 0; (10.43)(зв)р = ke.t = ; (°e)i = ke, 1 , (10.44)о-4 о2гдеkr, f = 6; (10.45)*e.P=—6j1+spa) i (10-46>6e. 1 = -—— • (10.47)1 — r2Значения коэффициентов ke, p и k%t \, входящих в формулыb(10.44), для ряда отношений в= — приведены в табл. 1.89.аМаксимальный прогиб пластины на наружном контуре®«в = *-1-jjjT . (Ю-48)111
Таблица 1.89р0,200,250,300,350,400,45 | 0,500,55onф ©
1 16,50,56,7960,8007,1881,1877,6711,6748,2692,281П р о л9,0483,0471 о л ж е I9.9983.999ш е та11,2075,205б л. 1.89Р0,600,650,700,750,800,850,9—Vp' ■ ‘
”~^0, 1При коэЗначени
ряда othoi12,7466,748ффициеня коэфф]
лений /5 =14j783
8,781те Пуас
kw. 1 —яциентаь= — при
а17.53111.531сона
= 4,2р2 -kw,\i ВХведены в21,42215,4240,3
15,6р2 In
1 —ft2
одящего
; табл. I.!27.33321.333Рв форм
90.37.23731.238улу (10.
Т а б л57,562
5i,156(10.49)
48), дляица 1.90Р0,200,250,300,350,400,450,500,55kw, 11,21,72,22,53,3П р о д4t о л ж е I4,6I и е та^5,3
б л. 1.90р0,600,650,700,750,800,850,90kw, 15,96,77,48,18,99,610,4д. Нагрузка, равномерно распределенная по окружности, кон¬
центрической к контуру пластины (рис. 1.49).Обозначения
р — интенсивность нагрузки, кг/см;62 — радиус окружности, к которой приложена нагрузка, см;ап ^2а = .аОбозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 8-112
Расчетные формулы [15]Для внутренней относительно нагрузки части пластин (/3<р<а):wра3а+(Р2+ а’—1) In -£-+-L. |„-J-+1 —РInУ"11 —v2(1 + v)<хгз + у2(1+v)Р+1(10.50)ра%а.|2р in j- + A. In in 4- +аР(1 —v)pР+* - т^7 Р2 + l) - -y.(l - *2)} ; (Ю.51)м, — —р2 \ 1 + Vраа '2(1+v)1— 1In■fin- — Inр'— (1 — v)(l — в») (-J---VH ;Мв =V In — + In ——|- —- In —PP(10.52)+ (l-v)2^ — Л —(1 — ос2) (4г + ЛP2Qr = —/><x(10.53)(10.54)Для наружной относительно нагрузки части пластины (а <р<1):а/раъаADР Р3(р2 + а2 — 1) In 4" + 1п -у +Р2+21+1 In -2--11 —VРIn 4- + HV-\■)1 -V1-2(1 + v)г —3 + v2(1 + v)Р2+1(10.55)ра?а
Mr=-paa1 — VXI—- p +1 + v p1f-)]‘(10.56)2(l+v) -т-i ln-=- + (l-v) “PP!-l -Ц-1(10.57)M& = —paa2d + v)(^ + l)ln|- + (l-v)(^—a*- 1+ 1(10.58)e. Радиальная моментная нагрузка, равномерно распределенная
по окружности, концентрической к контуру (рис. 1.50).ОбозначенияМ — интенсивность моментной нагрузки, кг-см1см.Обозначения остальных величин те же, что и в случаях «а» § 8
и «д» § 10.Расчетные формулы [2, 15]Для внутренней относительно нагрузки части пластины (fi <Р<а):w =Ма22D | — — 1Р2+1п^2 (1 + у) \Р £а2 +1 +ср —Ма2Dp —— 1Izil.JL + iwa.+1+v ft2 M 1-v(10.59)(10.60)Mr =MB =MM2[y-1-|[(l-v)«2+(l + v)]J-i---i-j ; (10.61)
[(1 - v) a2 + (1 + v)] (± + -L) ; (10.62)P2 P!Qr — 0.(10.63)Для наружной относительно нагрузки части пластины (а<р<1):Ма21—v1 1 \ /~2 1 \ I2а2 / 1
<рI 1 + v+ 2ll37,nМаа а Р+ a2 In 1 In —Р Р Р21 + v \ /1 — v2DP1м&'жГ =ж1АмРис. 1.501 — v / \ 1+ vр2 + 1 ;(10.64)(10.65)ifnELРис. 1.51мг =М& —м21(1 — -у) а2Р2+ (1+V)Р2М2(i-'.0— )£_ + (i+v)Qr = 0.-V-l ; (10.66)y + l); (10.67)
(10.68)§11. Пластина, внутренний контур которой оперт, а внешний
прогибается, но не поворачивается, под действием нагрузки,
равномерно распределенной по всей поверхностиОбозначения те же, что и в случае «а» § 8 (рис. 1.51).Расчетные формулы [2, 4, 6]w =qa4
64 D_р* + р«-2(р»-р»)(1 + 1С) ++ 8 (р2 In р — р2 In р) + 4/С In? =
Мг =дай16 Dqa116[р3 — Р (1 — К) — 4р In Р — /ср~1 ];— 5 — v + р2 (3 + v) — 4 (1 + v) In р -f1 — V —(1 -f. v)p2P2(11.1)(11.2)(11.3)qa*16— 1 — 5v -f p2 (1 + 3v) —4(1 + v) In p —8*115
1 — V — (1 + v) р2
p2кQr = 0t5qa (p-1 — p),(П.4)(11.5)гдеK =P2l_v + (l+^pT [5 + ^-P2(3 + v)+4(1 + v)] In p. (11.6)Нормальные напряжения на внутреннем и наружном контурах
пластины при коэффициенте Пуассона v = 0>3 можно вычислять по
формулам:Or, (3 = 0; 0гЛ = kr,qa1Ь2о©, р =О©, 1 = &0, 1qa?(11.7)(11.8)в2 82
Коэффициенты kr, ь k», р и k»,\ определяются по формулам:(11.9)k = 0,525 - Зр> + 2,475ft4 — 3,9ft2 In ft .
Г’1 0,7 +1,3ft2A 2,0475 — 2,73ft2 + 0,6825ft4 + 2,73 In ft + 5,07ft2 In ft 0.7+1.3Ц* : (ПЛ0)0,15-0,9У + 0.7426У-1,17 ln ? _0,7+ 1,3ft2Значения коэффициентов kr,u p и £0,1, входящих в формулы(11.7) и (11.8), для ряда отношений /J= — приведены в табл. 1.91.аТаблица 1.91р0,200,250,300,350,400,450,500,55Кл0,87780,87660,85410,81020,74900,67440,59070,5026Чр3,26392,43851,81101,32980,96170,68230,47270,3185—Ч10,26320,26310,25610,24310,22460,20230,17720,1507Продолжение табл. 1.91Р0,600,650,700,750,800,850,900,950,41350,32740,24750,17570,11460,06540,02960,0074Чр0,20660,12820,07410,04020,01920,00740,00210,0002Ч 10,12400,09820,07420,05270,03430,01960,00880,0022116
§ 12. Пластина, свободно опертая по окружности, концентрической
к контуру, под действием нагрузки, равномерно распределенной
по окружности, расположенной между опорным и внутреннимконтурамиОбозначения (рис. 1.52)а — радиус наружного контура пластины, см;
b — радиус внутреннего контура пластины, см;Ь2 — радиус окружности, к которой приложена нагрузка, см;
bz — радиус опорного контура, см;
р=ь ь2 щ ьгОбозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетная формула (2, б, 10]М _ /о 1+V , т |.Т2_П2Л1т,х- 2(1_р) ^ ,_v Ш а , Т(12.1)§ 13. Пластина, жестко закрепленная по внешнему контуруа. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности
пластины (рис. 1.53).1ТНШПГТ".''_ тпгш::ь_ г9а\"Рис. 1.53Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [6, 10]= 1— 1 + 2(* — — 2Р2) 0 — Р2) + Р4 — 4*! 1п р117
<р =qa?16 D— 8(32р2 In р];(1 — kx) р р3 -f- kx 1- 4р2р In р(13.1)(13.2)Qr=-^(p-e2t|;1(13.3)мг= qa?16(1 + v)(l - kt) + 4Р2-(3 + V) р2- (1 - v) ktX +р2Мв = -^
16+ 4(1 + •*) Р21п р(1 + v) (1 _ А,) + 4vfi2 _ (1 + 3v) р2 +(13.4)+ (I — V) -4 + 4(1 + V) Р2 In Р)(13.5)гдеk = (1-у)Р2 + (1+у)(1 + 4РМпР) ps (13 6)(1 — V) + (1 +V)p2 'На рис. 1.54 построены эпюры w, Mr, Me, Qr для случая /3 =ь п к 1= — =0,5 и v = —а 6Нормальные напряжения на наружном и внутреннем контурахпластины при коэффициенте - Пуассона v = 0,3 можно вычис-л ять по формулам:I^мщцгMrVJIfTrtw—rt-гГГТ^и )§ ^
fiW § (13.7)qaРис. 1.54(ае)э ~ Р
(a©)i = ke, iqa252qa2(13.8)гдеи _ 1,425р4 — 0,9р2 —0,525 —3,9р41прКг 1 ,0,7 + 1, Зр2, _ —0,6825^ + 0,6825 + 2,73ft2 In Р .
0,Р 0,7 + 1, Зрke, \ =*0,4275Р4 - 0,27р2 — 0,1575 — 1,17р4 In р(13.9)(13.10)(13.11)0,7 + 1,Зр2Значения коэффициентов kr, 1, £е,р, кв, ь входящих в формулы(13.7) и (13.8), для ряда отношений в=— приведены в табл. 1.92.а118
Таблица 1.92р0,200,250,300,350,400,450,500,55-к л0,7300,7240,6810,6430,5960,5410,4800,443Чр0,6720,5680,4660,3220,2920,2210,1630,089~~к%,10,2180,2130,2040,1930,1670,1620,1440,133Продолжение табл. 1.92Р0,600,650,700,750,800,850,900,95~kr, 10,3480,2810,2170,1720,1050,0610,0280,007kb. Р0,0790,0510,0310,0170,0090,0040,0030,00110,1040,0840,0650,0470,0320,0190,0090,002Максимальные нормальные напряжения будут у наружного за¬
крепленного края пластины3 qa?'max“ (3r)l = -4521 — 2р2 ++ft4(l-v) + 4ft4(l + v) In Э -f- Э2 (1 +v)(l_v) + (l +v)ft2По внутреннему контуру пластины имеем1— ft4 + 0 ,45ft2 In ft'maxv /р 4521 — v -f- (1 + v) ft2Максимальный прогиб на внутреннем контуре пластины(13.12)(13.13)(^гпах)р=Рqat
64 Б[- 1 + 2 (1 4- kx - 2|32) (1 - р2) + р* -— Akx In В — 8р4 In р]. (13.14)При коэффициенте Пуассона v=0,3 можно вычислять макси¬
мальный прогиб по формуле(<^шах)р=Р — few, (3— Ь64Dгдеи _0,7 — 5,5ft2 — 3,1ft4 + 7,9ft6 - 5,2ft2 In ft — 18,8ft4lnft — 20,8ft4ln2ft/vm; R •P 0,7 +1,3ft2(13.15)(13.16)Значения коэффициента kWf$, входящего в формулу (13.15), для
ряда отношений /? = — приведены в табл. 1.93.а119
Таблица 1.93р0,200,250,300,350,400,450,500,55Лю,Р0,17510,16400,14320,12160,09890,07720,05740,037(Продолжение табл. 1.930,600,650,700,750,800,850,900,95са>, р0,02710,01700,00970,00510,00240,00100,00060,0007Пример- Кольцевая пластина толщиной 6 = 3 см, внешним ра¬
диусом а=90 см и внутренним Ь = 30 см с жестко закрепленным
внешним контуром находится под действием нагрузки q = 0,2 кг/см2,
равномерно распределенной по всей поверхности пластины. Мате¬
риал— сталь (£ = 2,1-106 кг!см2; v = 0,3). Вычислить прогибы на
внутреннем крае и нормальные напряжения на наружном и вну¬
треннем контурах пластины.Решение. Полагая /3= —=— и подставляя данные табл. 1.92а 3и 1.93 в формулы (13.7), (13.8) и (13.15), найдем следующие ве¬
личины:qa252» (Зв)р = 0,40да*52(®e)i= —0,2-^—; (яутах>р=з = °,13 64Dqa4Вычисляем:qa2 0,2-90 * ОА , ,4 — -=180 кг 1см?',В2 З2qa4 0,2 - 904 • 12 • 0,91D2,1 • 106 • З3= 2,52 см.Величины прогибов w и напряжений на контурах пластины при¬
ведены в табл. 1.94.Таблица 1.94рw (см)■г (£)10,13-2,52=0,32800,40 • 180,0 = 72,0310-0,66-18,0=—120,0—0,2 • 180,0=—36,0120
б. Нагрузка, равномерно распределенная по внутреннему кон¬
туру пластины (рис. 1.55).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [6, 10, 15]
ю = -^Г l(l+2*I)(l-P2) + 4A1lnp + 2p2lnp]; (13.17)о L)ра2ft¥=1К Р- — -— plnp ; (13.18)0 WOrwPQ*« —4^ 1Qr= . (13.19) „JM>p .М,- 1 + (1+ 1“14чД P&lUn^mr— (1 + v)lnp(13.20)Рис. 1.55УИй =ра$— v + (l + v)6t — (1 - — (1 +v)lnpгдеfc — 1 + (1 + ^)1n ft Q21 1 — V + (I + v) ft2, (13.21)(13.22)На рис- 1.55 построены эпюры w, Mr, Мэ , Qr в пластине при /?=
= — =0,5 w v= ~ .а оНормальные напряжения на наружном и внутреннем контурах
пластины при коэффициенте Пуассона v = 0,3 можно вычислить по
формулам:Ыр = 0; (°r), = kr. 1ра52(з©)р = £©, р ; (a0)j = &0t iгдеkr,\ =k%, р =— 0,334 + 0,334ft2 + 1,24ft2In ft0,7 + 1,3ft2— 0,435 + 0,435ft2 — 0,87 In ft0,7 +1,3ft2121(13.23)(13.24)(13.25)(13.26)
k@, 1 =— 0,1 + 0,1(3* + 0,3725 In p
0,7 + 1, 3p2(13.27)Значения коэффициентов kr, и &е, р, k®, \, входящих в формулы
(13.23) и (13.24), для ряда отношений fi=— приведены в табл. 1.95.аТаблица 1.95р0,200,250,300,350,400,450,50~kr, 1
\ р
~kb, 10,53251,30670,92490,53281,02180,78100,5365
0,7976
0,66030,52670,61870,55730,50920,47550,46840,48740,36020,39160,45400,27000,3250Продолжение табл. 1.95Р0,550,600,650,700,750,800,850,90-К,х0,41820,37820,33510,28950,24330,19410,14530,0966Чр0,19830,14210,09890,06620,04190,02450,01260,0052~къ,\0,26750,21770,17470,13750,10540,07780,05380,0332Максимальные нормальные напряжения:
у закрепленного края пластины'max52по внутреннему контуру пластины'шах— (з©)р — —3 ра§
S2v +(1 - у) — (1 + у) + 2 (1 — у2) In р1—У + () +v)p2(13.28). (13.29)Максимальный прогиб на внутреннем контуре пластины(®шах)мэ = 1(1 + 26,) (1 - р2) + 4Й, In р + 2F- In р]. (13.30)При коэффициенте Пуассона *>=0,3 прогибы можно вычислять
по формуле(^max)p=P kw, ррай(31.31)гдеkw, р_ 2*ft (0,5652ft2— 0,717ft4+ 0,152+ 1,738ft2 in ft + l,13ft2ln2ft)0,7 + 1,3ft2Значения коэффициентов kWt$ для ряда отношений р=— приве-адены в табл. 1.96.122
Таблица 1.96р0,200,250,300,350,400,450,500,55ъKW,P0,29830,3410,36020,35670,33430,30400,25500,2057Продолжение табл. 1.96р0,600,650,700,750,800,850,900,95kw, р0,15870,12780,08220,04770,02560,01210,00390,0010Пример. Кольцевая пластина толщиной 6=3 см, внешним ра¬
диусом а = 80 см и внутренним b = 20 см с жестко закрепленным
внешним контуром находится под действием нагрузки интенсив¬
ностью /? = 56 кг!см, равномерно распределенной по внутреннему
контуру пластины (рис. 1.55). Материал — сталь (£=2,1-106 /сг/сж2;
v = 0,3). Вычислить прогибы на внутреннем крае и нормальные на¬
пряжения на внешнем и внутреннем контурах пластины-Решение. Полагая /?= —=0,25 и пользуясь данными табл. 1.95аи 1.96 и формулами (13.1), (13.23) и (13.24), найдем следующие ве¬
личины:= 0,341 ;
(°г)р = (°r)i = - 0.85 ;
(<*)„ = 1,607 ; (вв), = - 0,266 ^ .Вычислим:ра_ = J6^80_ = _4480_ f6а 9 9 'ра8 56 • 803 п глс7— — = =0,5057 см.ЕЬ3 2,1 -Ю6- 27Величины прогибов w и напряжений на контурах пластины при¬
ведены в табл. 1.97.Т а б л и ц а 1.97г( кг \( кг \Р== аW (см)°г ( см*)0,250,17241,607-497,7 =799,81,000—0,85-497,7=-423,045—0,266-497,7=—132,39123
в. Радиальная моментная нагрузка, равномерно распределенная
по внутреннему контуру пластины (рис. 1.56).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [8, 9, 10, 15]Ма2W =ммЯ jt7^’* г: -*§ 1 MQ'ль.птгттПТ■sГ вАОЪ^ГТТГгт^-.,, <р =2D
+ 21п р);
Ма
~D(1 — Р2 +(13.32)кг |р —Рис. 1.56Qr = 0;М, = - Mki
+ (1-^)-ггдеМв=-Мк,k, =1 -f v — (1 — v)1 — v 4- (1 + v) J32(13.33)(13.34)1 +v +(13.35)(13.36)(13.37)На рис. 1.56 построены эпюры ш, Мп М-> для пластины при В—Ь л с 1= — =0,5 и v= — .а бНапряжения на наружном и внутреннем контурах пластины при
коэффициенте Пуассона v = 0,3 можно вычислить по формулам:(*^0)(3 ^0, Р ~~ у (^©)l Г== ^0, 1гдев2* ~ 12Р2kr, 1 =6 ;0,7 + 1, Зр2и 7, 8fi2 — 4,2 .«0, р = k&, 1 =В20,7 + 1,3р2
3,6Р2(13.38)(13.39)(13.40)(13.41)(13.42)0,7+1,3(32Значения коэффициентов kr, ь Afc, р, Л©, i, входящих в формулы
(13.38) и (13.39), для ряда отношений f} = — приведены в табл. 1.98.а124
Таблица 1.98р1/60,250,300,350,400,450,50кгЛ0,4520,9621,3221,7111,9642,5222,927р5,4144,3754,2823,7773,0202,7202,195*0.10,1360,2890,3970,5130,5980,7570,878Продолжение табл. 1.98Р0,550,600,650,700,750,800,850,900,95К13,3203,7024,0594,3984,7165,0145,2905,5505,785,р-1,684-1,193—0,724—0,2830,1310,5170,8761,2041,51710,9961,1111,2181,3201,4151,5041,5871,6651,736Максимальные радиальные нормальные напряжения будут на
внутреннем контуре пластины (р=/3). Если кольцо не слишком узкое, а именно при Р< \/ -—А макси-У 1 +3vмальные окружные нормальные напряжения (з0)тах будут также
на внутреннем контуре пластины.Максимальный прогиб на внутреннем крае пластины6М (1 — v2) а2 р2(1 — р2 + 21п£)(^шах)р=3(13.43)ЕЪ3 1 — v + (1 — v) р2При коэффициенте Пуассона v=0,3 прогибы можно вычислять
по формуле(ow)p=p = kw> р , (13.44)гдеЕЬ3_5,46Р4 5,46Р2 — 10,92ft2 In g_,Р 0,7 + 1,3р2 7Значения коэффициента kw< р, входящего в формулу (13.44), дляряда отношений в=— приведены в табл. 1.99.аТаблица 1.99Р | 0,200,250,300,350,400,450,500,55kw, р0,65640,8009 | 0,90130,95070,9548Про,;0,9178
1 о л ж е 10,8462
л и е та0,7521
б л. 1.99Р0,600,650,700,750,800,850,900,95kW. Р0,64210,52430,40710,29560,19670,11420,05260,0134125
§ 14. Пластина с центральным диском, жестко закрепленная повнешнему контуруа. Нагрузка, равномерно распределенная по поверхности пла¬
стины (рис. 1.57).яMrРис. 1.57Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [4, 6, 10]w =qcr64D2(1-Р+ ^ )(1-р2) + 4(^ ++ -Т-рг)1п р ~ 8р2р2 |п р +р4 ~ 11 ; (14'1)qa?Ср = 2 т 16 D— (1 — Э2 + f*'"! \ р + fР2 + 4рМп р ^ 11 — р— 2|32р (2 In Р + 1) + Р31 - р2(14.2)Мг =16(1 + V) 1 +1 — ра+ -4Р< ‘"J I Р-2 + 4р2 (1 + v) In р - (3 + v) ?1—Р2(14.3)Л1в—^16(1+v) 1 +4р4 In р1 - р2(1 +5v) Р2 — (! -V) р ++4р4 In р
1—Р2р-2 + 4р2 (1 + v) In р — (1 + 3v) р2(14.4)Qr= + 0,5^a(p-p2p-i). (14.5)Максимальные прогибы и радиальные моменты на наружном и
внутреннем контурах пластины при коэффициенте Пуассона v=0,3
можно вычислять по формулам:qa4 .^maxЕЬ3(14.6)126
Mr=b = kbqa2;Nir—a kaQ Cl?,где^ = 0,1706 1-4(3'11 +4ft4In ft1 — ft24ft4In ftIn P+ зр<kb = 0,25 1+ 3fi2 + -iP2ka = 0,25 1 + P2 +4P2 In p1 — ps(14.7)(14.8)(14.9)(14.10)(14.11)Значения коэффициентов kw, kb и ka , входящих в формулы
(14.6) — (14.8), для ряда отношений в = — приведены в табл- 1.100.аТаблица 1.100р0,20,30,40,50,60,70,80,90,11200,07460,04430,02300,01000,00330,00060,0001~ka0,22290,19320,15790,12020,08340,05040,02080,0032h0,19290,15350,11550,08150,05270,02980,01340,0032б. Нагрузка, равномерно распределенная по контуру жесткого
диска (рис. 1.58).Обозначения
р — интенсивность нагрузки, кг!см.Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [2, 4, 10]W = JJET 1р21п Р — (1 — Р2) (*ж — 0,5) — In р], (14.12)гдеkr=WРис. 1.58
ft2 In ft1 —127
Максимальные прогибы и радиальные моменты на наружном и
внутреннем контурах пластины при коэффициенте Пуассона г> = 0,3
можно вычислять по формулам:^tnax —£53Mr=b = kbpa\Mr=a = kapay(14.13)(14.14)(14.15)гдеkw = 2,7302 P -■ [1,5 — 3P2 + 1,5p* - 2 In p + 2p2 In p +1 IV+ 2p2 (In p)2];(14.16)ka = 1,09208 -j-?— [3p2 In p + 2 (1 - p2)]; (14.17)k„= f°'[546°^ [6p2 In p - 10p2 + 3p« + 7]. (14.18)Значения коэффициентов kwy ka, kb , входящих в формулы(14.13) — (14.15), для ряда отношений Р = — приведены в табл. 1.101.аТаблица 1.101р0,20,30.40,50,60,70,80,9к2,66143,32523,72673,86563,72693,29272,54131,45100,39290,53820,64490,71360,74570,74300,70730,6409kb17,68510,9497,47095,31143,81872,70971,84231,1370§ 15. Пластина с жестко закрепленным внутренним контурома. Нагрузка, равномерно распределенная но всей поверхности
пластины (рис. 1.59).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [4, 8, 10, 15]w =да464 D— Р4 + 2 (Р2 — — 2) (Р2_р2)+р*_— Ak§2 InР8р2 In —даъСр = —2 16D(Р2 — ^i) Р — Р3 — + 4р Inр рQr = —да(15.1)(15.2)(15.3)128
м =qa216(1+v) (p2_fel)+4_(3 + v)p2PAfe =qa*16(1+v) (p*P(15.4)— £,) 4- 4v — (1 4- 3v) P2 4-
P2♦ ♦ ♦ ♦ t ♦I4- v) In —} ft, (15.5)0,180IFfelTTTrrtt^гдеs -?
0,012
0.029гтп 111 iftl 111 m1—v+fl+v) (ft—41np)h —1 l+v + (l-v)P£•J2^Dqa2qaг
-qa(15.6)mrPuc. 1.59ar =S2* 6M0a© = —-—(15.7)На рис. 1.59 построены эпюры прогибов ш, изгибающих момен-тов Мг, Мв и перерезывающих усилий Qr в пластине при /? =— =0,5а1и v= — .6Нормальные напряжения на наружном и внутреннем контурах
пластины при коэффициенте Пуассона г>=0,3 можно вычислить по
формулам:К= («,),=0;qa153; (oe)i = k®, i ,где1,425 — 0,9ft2 — 0,525ft4 + 3,9 In ft1,3 + 0,7ft20,4275 —0,27ft2- 0,1575ft4 + 1,17 In ftK® 0 = : I,P 1,3 +0,7ft2, —0,6825 + 0,6825ft4 —2,73ft2 In ft/с© 1 = .1,3 +0,7ft2(15.8)(15.9)(15.10)(15.11)(15.12)Значения коэффициентов kr, p, &e, p, k&t i, входящих в формулыb(15.8) и (15.9), для ряда отношений fi = — приведены в табл. 1.102.а9—511129
Таблица 1.1020,200,250,300,350,400,450,500,55—k
—k
—kr, P
0, Pe.i3,68111,10440,18223,00630,90180,22432,99800,73870,25552,01180,60360,27711,63310,49000,29381,31710,39390,30281,04160,31240,30550,81170,24350,3022Продолжение табл. 1.1020,600,650,700.750,800,850,900,95-k—kcr, P:e,pe,i0,61860,18550,29290,45690,13710,27770,32440,09730,25640,21800,06540,22910,13530,04060,19570,07370,02210,15650,03190,00950,11020,00770,00230,0554Максимальные нормальные напряжения будут на внутреннем
закрепленном контуре пластины°тах — (аг)р3 qa1
4 В21 + 3v— 4vft2 — (1 — v) ft4+ 4(1 + v)lnft(1 + v) + (1 — v) ft2. (15.13)Максимальный прогиб будет на наружном контуре пластины*^шах= («),_, = -££-[(5 - р») (1 - р>) + 8 In Р + 2М1 - Р +о4/у+ 2р2 In Р)]. (15.14)При коэффициенте Пуассона г> = 0,3 можно вычислять максималь¬
ный прогиб по формуле<а‘ (15.15)(<^max)p = 1 — &W, 1ЕЬЪгдеkWj 1 —1,348 — 0,529ft2 — 0,938ft* + 0,119ft6 + 3,21ft2In ft _1,3 +0,7ft23,55ft2 In ft + 0,888ft4 In ft(15.16)1,3 ± 0,7ft2 v 7Значения коэффициента kw,u входящего в формулу (15.15), дляряда отношений В — — приведены в табл. 1.103.аТаблица I 103р0,200,250,300,350,400,450,500,550,600,700,80kw, 10,560,430,340,270,200,140,080,050,0450,0220,01б. Нагрузка, равномерно распределенная по наружному контуру
пластины (рис. 1.60).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.130
w — —рал8 DРасчетные формулы [8, 10, 15]р(1 -{- 2kx) (р2 - р2) + 4ЭД* In + 2р2 In; (15.17)ра1т 2 DРар In —
р / р— к, [р —
(15.1,8)Qr =_ /> .Г кГi0оSlwжг = -раMl+v)р21 -f (l-v)^-^-р2VOсь*ра3А/ “-«аллцц D"г'^ацц§
U CS/Чдшл МИШИ IUJJ
§1 1 11 1 1 w^тшттгпТПТ.,<N1IV.Мишшп/?— (1 + v) In —р; (15.20)Puc.I.60м* = -^2где— v + (l + v)^i — (1 — v)^iP2(1 + v) ln-£-, (15.21)k _ 1 — (1 + v)lnp
1 1+V + (1-V)P=(15.22)На рис. 1.60 построены эпюры w, Мг, Me , Qr в пластине при fi=— — = 0,5 и v— — .а 6Нормальные напряжения на внутреннем и наружном контурах
пластины при коэффициенте Пуассона v = 0,3 можно вычислить по
формулам:(Ор=^.р-4f; Ы. = 0;(«в)? — йе, р ; (oe)i = *е, 1 ,гдеКъ = -£©, р =£е, 1 =— 0,3342 + 0,3342р2 ± 1,241 In р
1,3 + 0,7022тс;= —0,1 +0,1ра+ 0,3726 In р 2ic.1.3 + 0,7р2— 0,435 + 0,435p2-0,87p2in р1.3 + 0,7р2(15.23)(15.24)(15.25)(15.26)(15.27)9*131
Значения коэффициентов kr, р, &е, р и i, входящих в формулы(15.23) и (15.24), для ряда отношений /? = А приведены в табл. 1.104.аТаблица 1.104р0,200,250,300,350,400,450.500,55Г t lJ10,7889,5048,2867,2346,3065,4774,7304,051—Р3,292,8522,4862,1701,8921,6441,4191,215~кь, 11,7101,5541,3891,2231,0580,8980,7470,607Продолжение табл. 1.104Р0,60 !0,650,700,750,800,850,900,95~кГ, р3,4312,8662,3441,8661,4271,0240,6540,3131~h, р1,0290,8590,7030,5590,4250,3070,1960,0936—^0,10,4830,3630,2650,1830,1170,06430,02920,0068Максимальные нормальные напряжения будут у закрепленного
края пластины/ \ *
^max — \^/7р —Zpa(I -v)(j>2- 1) + 2(1 +v) In?1 + V -Н (1 — V) рзМаксимальный прогиб на внешнем контуре пластины. (15.28)(^шах)р = 1 —рай80f(l - 2k,) (1 - р2) + 2 In р (1 + 2Лг1Р2)]. (15.29)При коэффициенте Пуассона v = 0,3 прогибы можно вычислять
по формуле(^max)p = l few, Р .ра*ЕЬ3(15.30)где. 2*р (0,7169-0,5648р2 — 0,1521р4 + 1,738р21п р — 1,129£21п2р /1К Qi4R>а* в — .,Р 1,3 + 0, 7р2Значения коэффициента kWi р, входящего в формулу (15.30), для
ряда отношений /3= — приведены в табл. 1.105.аТаблица 1.105Р0,200,250,300,350,400,450,500,55kw, Р0,44000,46130,45480,42740,38720,33220,27580,2191Продолжение табл. 1.105р0,600,650,700,750,800,850,900,95ЬР0,16530,11840,07890,04810,02550,01120,00300,0001132
в. Радиальная моментная нагрузка, равномерно распределенная
по внешнему контуру пластины (рис, 1.61).ОбозначенияМ — интенсивность нагрузки, кг'см1см.Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы (8, 9, 10, 15]w= —МаР2D *^-Р2 + Р2-2РЧп р
Ма , / Эа \Qr = 0;Mr = Mk1
Afe = MkjP2l-fv + (l — v)P21 + V — (1 — v)Гf*2где1(15.32)(15.33)(15.34)(15.35)(15.36)(15.37)1 + V+(1-V) ft2На рис. 1.61 построены эпюры до, Мп М& в пластине при j3 =ft Л, 1— =0,5 и V— —а 6При коэффициенте Пуас
сона v = 0,3 нормальные на¬
пряжения на внутреннем и
наружном контурах пласти¬
ны можно вычислить по фор¬
мулам:/ ч и М
Юр — Кг, (3м-ft 1. ®NаS2МОМ(cr)i=kr,i— ; (15.38)52§/н,шшпшт§.*ИтШтпггггтптиашип*(ве)р == k&, рМЬ2Рис. 1.61(°e)i = ke, iгдеkr, р =121,3 + 0,7р2
133м52> kr, 1 — 6|(15.39)(15.40)
ke, p —3,6k%, i ==6(1,3-0,7^2)l,3 + 0,7p2(15.41)1,3 + 0,702Значения коэффициентов kr, p, kr,u ke, p, k@, i, входящих в фор¬
мулы (15.38), (15.39) и (15.45), для ряда отношений /?=— приве-адены в табл. 1.106-Таблица 1.106р0,200,250,300,350,400,450,500,55kr, р9,0448,9308,8048,6608,49918,324г8,1367,938К, 16,06,06,06,06,06,06,06,0*0, 15,7475,6095,4455,2575,0484,7794,5764,319кь, р2,7112,6792,6412,5982,5502,4972,4412,381V13,4173,1052,7772,4442,1141,8001,4981,213Продолжение табл. 1.106Р0,600,6510,700,750,800,850,900,957,7327,5207,3047,0856,8656,6456,4286,212V.6,06,06,06,06,06,06,06,0*e. I4,0523,7763,4953,2102,9242,6392,3562,075*«. р2,3202,2562,1902,1252,0601,9941,9281,864Vi0,9580,7300,5340,3670,2320,1290,0850,138maxМаксимальные радиальные нормальные напряжения (аг)
будут на внутреннем закрепленном контуре пластины (аг> а0)* / *\ 12М /л с
= Ые = — • (15.42)'max[1 +v + (l — V) рз]Максимальный прогиб на наружном контуре пластины равен(15.43)\ _ 6Мд2(1—v2) 1_р2 + 2р21пр
^Шшах»Р=1— ЕЪ% , . . , „о •1 + v + (1 - v)p2При коэффициенте Пуассона г> = 0,3 можно вычислить макси¬
мальный прогиб w по формуле(15.44)гдеkw, 1 ЕЬ35,46(1— Р2 + 2^2 in р)1,3 + 0,7р2(15.45)Величины kWy 1 для ряда значений = — приведены в табл. 1.106.а134
§ 16. Пластина, внутренний контур которой жестко закреплен,
а внешний прогибается, но не поворачиваетсяа. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности
пластины (рис. 1.62).111* 1 пгпх1\******** *-ГГььгQРис. 1.62Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 8.Расчетные формулы [4, 8]w = -64DР4 _ + 2 (1 - *,) (Р2 _ рз) + щ in 4- -8 (р2 In р — р2 In Р)(16.1)Мг = -У—
Г 162(1 — v) — (3 v) р2 + 4 (1 + v) In р ++ (1 + v) (3 + k}) Н -— kxР2(16.2)Мв =qa2164v + 4(l + v) In p — (1 +3v) p2 + (l + v) {kx -f 1) —— (1 — v)*iгде*>=i^V+i'p2-(16.3)(16.4)Нормальные напряжения на внутреннем и наружном контурах
пластины при коэффициенте Пуассона г=0,3 вычисляются по фор¬
мулам:т2 пп2CJ (I / ч # QCL(ог)р=i=kr,i52Ьг(16.5)(<зв)Р==р = ket рда2; (^©)p=i = &е,1Ь2(16.6)135
гдеkr, р —2,25 — 3ft2 + 0,75Э4 + 3 In ftkr, 1 =1-ft20,75 — 0,75ft4 + 3ft2 In ftke, p =&0, l —1 —ft20,675 + 0,225ft4— 0,9ft2 + 0,9 In ft .1 — ft20,225 —0,225ft4 + 0,9ft2 In ft1 —ft2(16.7)(16.8)
(16.9)(16.10)Максимальный прогиб на наружном контуре пластины при коэф¬
фициенте Пуассона v=0,3 равенqa*(^max)p=l ^w, 1ЕЪ*(16.11)гдеk-w, 1 0,5121 — 1,195ft2 — 0,683ft2 In ft — 2,73ft2 In2 ft — 0,683ft4 In ft1 — ft20t 854ft4 — 0,171ft61 — ft2(16.12)Значения коэффициентов kr, p, kr, i, ke, p, k&, i, kw, i, входящих
в формулы (16.5), (16.6) и (16.11), для ряда отношений /?=— при-аведены в табл. 1.107.Таблица 1.107р0,200,250,300,350,400,450,500,55~kr, р2,8092,2331,7871,4311,1420,90560,71030,5484К, 10,57870,51970,46910,40220,34640,29360,24470,1992~kb, р0,84280,66990,53600,42930,34270,27050,21300,1645\ 10,17360,15590,13800,12060,10390,08810,07340,0597kw, 10,23440,17950,13460,09880,17090,04930,03310,0215Продолжение табл. 1.107Р0,600,650,700,750,800,850,900,95~kr, р0,41480,30480,21570,14470,09000,04900,02170,0054kr, 10,15790,12140,08970,06240,04000,02270,00900,0023— *0,Р0,12440,09140,06470,04340,02700,01450,00650,0045\ 10,04730,03640,02670,01870,01200,00680,00270,0006kw,l0,01350,00780,00450,00190,00080,000500136
Если толщина пластины д> — (а—Ь), то к значению (штах )P=i3из (16.11) добавляется величинагде= JX375fo= (рг — 1 — 21пр),so vr r/G =(16.13)2(l+v)б. Нагрузка, равномерно распределенная по наружному контуру
пластины (рис. 1.63).Рис. 1.63Обозначенияр — интенсивность равномерной поперечной нагрузки на наруж¬
ном контуре пластины, кг/см.Обозначения всех остальных величин те же, что и в случае «а» § 8-w =Расчетные формулы [8]
ig. p2_p2_2pMnp-^f (Р2 — 1 + 2 In Э — 2 In Р)1 + Г1п! fi+v + ^^ + o + v)inpMr =раv +1 —Р2
Р2 In Р1 +V-р2
1 - V+ (1 + V) In р; (16.14)
; (16.15)
. (16.16)l-Р у гНормальные напряжения на внутреннем и наружном контурах
пластины при коэффициенте Пуассона v=0,3 вычисляются по фор¬
мулам:(°в)р = &>, ( ~ ; (зв), = k«, 1рагдеи с\ л77К I 0,9549 In р
kr, в = 0,4775 : — ;’ И 1 J ^2 ’(16.17)(16.18)(16.19)137
0,9549^ In 8
'•1 ~ 0.4775 + P;kvy f = 0,1431 + 0,2862 ln^ ;P 1 - P20,2862p2In pke> i = 0,1431 +l-p*(16.20)(16.21)(16.22)Максимальные нормальные напряжения omax будут у закреплен¬
ного края пластины3ра (л 2 In р'max1 +52 \ 1 — р2Максимальный прогиб на наружном контуре пластиныРаЪ I 1 09. In2 Р(16.23)(®\пах)р = 1(1^.24)8 D \ 1 1—Р3 ' 4 ;При коэффициенте Пуассона г» = 0,3 можно вычислить макси¬
мальный прогиб по формуле(^шах)р = 1 —kw, 1ра*ЕЬ3гдеkw, 1 —_ 2к (0,217 - 0,434р2 + 0,217р^ — 0,868 In2 р)1—Р2(16.25)(16.26)Значения коэффициентов kr, р, kr, i, k@, р, k@, \ и kw,\, входящих
в формулы (16.17), (16.18) и (16.25), для ряда отношений (3=—априведены в табл. 1.108.Т а б л и ц а 1.108р0,200,250,300,350,400,450,500,55-*г.р1,01660,93450,78590,66500,56410,47850,40500,3410kr.10,41350,38930,36380,33760,31090,28390,25700,2300~h.р0,33670,28010,23550,19930,16900,14340,12140,1022^0,10,12400,11670,10910,10120,09320,08510,07710,0690^w,, 113,40549,90167,44735,65454,30623,27272,47131,8439П р о до л ж е н.и е т а бл. 1.108р0,600,650,700,750,800,850,900,95~kr.р0,28470,23480,19030,15040,11450,08160,05220,0259, 10,20320,17670,15030,12440,09880,07360,04830,0241-кр0,08530,07030,05700,04510,03430,02450,01560,0074^0,10,06090,05290,04500,03960,02960,02200,01450,0072, 11,35180,96500,66520,4351.0,26350,14030,05950,0128138
§ 17. Пластина, жестко закрепленная по обоим контурам,
под действием нагрузки, равномерно распределенной
вдоль концентрической окружностиОбозначения (рис. 1.64)а — радиус пластины, см;
b — радиус внутреннего контура пластины, см;Ь2 — радиус окружности, по которой распределена нагрузка, см;? = — . Ра =Р =а а ар — интенсивность нагрузки, кг/см.Расчетные формулыДля части пластины, заключенной между внутренним контуром
и окружностью радиуса b2($<p< fi\):W =~ Р 2 (2 In р — 1)-I- Д,)(2 + 41п2Р — 4 In Р) —
— 8р-2 Д3] +
4 ! [р2 (Д + Д,) --2 1п Э — 1- 8Д3] In р + 4Д3| ; (17.1)
<р = ^2!_ (р(21пр_4 ОД ( v1) + Ai) —(Д + Ai) [1 —J— (2 In р — I)2] — 8р %Рис. 1.64— Р2 In р — 1_1_ ИА + Д,)-8А, I (17 2р 2 In р — I | ' 'мг =442(1 +,)р(Д + Д1) + (1 -v) (Д +Д,)—(1 +v)X(А + А,) [I + (2 In р - I)2] - 8р-2Д32 In р — 11 —Vр-р2 (Д + Ai) - ВД3
2 In р — 1►; (17.3)
(17.4)Для части пластины, заключенной между наружным контуром и
окружностью радиуса 62(^2<р< 1):139
w =/>М34DA(p3 (in Р _ 1) д, + р2Д2 + (д, - 2Д2)1п р + (Д, - Д2)}; (17.5)<Р = jp (2 In Р - 1) 4Д, + 2рЛ2 + (Д, - 2Лг) j-j ;|[2(l+v)p+l-v]A1 + 2(l+v)As-(17.6)AL =р$.2а
~4D~1—у
р2(Д. —2А.)Qr = -A±^.Выше приняты следующие обозначения матриц:
Д =(17.7)(17.8)KnKl2Kl3KipKnKu^21 *22*"23(17.9);^2р^22^2Ъ(17.10);КщКз'уКзз^3/Аз2^33КпЪЛ*KnK„KXp*21*2/^23(17.11); Д3 =*21^22^2 p(17.12)/СзЛзрК,,^31*32^3 pВыражения коэффициентов Кц
(17.12), приведены в табл. 1.109.входящих в формулы (17.9) —Т а б л и ц а 1.109киВыражения*и*иК13К1р*21*23к23
*2р
*31к3>*33кзр2р2 In f2 — р*[1 + (2 In p - l)2j —2 (In p2 + 1) (2 In p — 1)
2(2 In pa 4-1 — Р») (2 In p— 1)b \28— — 1 —2 In p2 + 2 In p — 1;2p| (In ft, — 1) (2 In p — 1) — pf[l + (2 In p — l)3] + 2p2 In P3
Э| [I + (2 In ^ — l)2] — p2 + 2 In p — 1
2(Pi —1)(21п Э — 1)8 —+ 1p^ (2ln p2 - 1J (2 In p - 1) - p^ [1 + (2 In p - l)2) + P2
(1 + v) Pi [1 + (2 In p - l)2] + P2 (1 -v) - (1 - v) (2 In p - 1)2 [ 1 — v + (1 + v)] (2 In p — 1)-8 (1+v) +(l + v)
f?(21np-l)[l-v +2?,(1 +v)]-pl(l+v)[l + (21np-l)2]-p2(l— v)140
Глава третьяНЕСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ И КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИНПОСТОЯННОЙ толщины§ 18. Основные дифференциальные уравнения и зависимостиОбозначенияа, б — радиус и толщина пластины, см\г, в — полярные координаты точки пластины;
гР = — — относительный радиус;
аЕу v — модуль упругости и коэффициент Пуассона мате¬
риала пластины;гл ЕЪ12(1 2) —цилиндрическая жесткость пластины, кг-см;w — прогиб пластины, см;(р, гр — углы поворота срединной плоскости пластины со¬
ответственно в меридиональной плоскости и в пло¬
скости, касательной к цилиндрическому сечению;Мг — радиальный изгибающий момент на единицу
длины цилиндрического сечения пластины, кгХ
X см 1см;Мй — окружной изгибающий момент на единицу длины
меридионального сечения пластины, кг-см! см;Мгв — крутящий момент на единицу длины цилиндри¬
ческого либо меридионального сечения, кг-см! см;Qr, Qe—перерезывающее усилие соответственно на еди¬
ницу длины цилиндрического и меридионального
сечения, кг/см;Vr — опорная реакция на единицу длины контура пла¬
стины, кг! см;<7о — интенсивность поперечной нагрузки на контуре
пластины в точке с угловой координатой 6 =
= 0, кг!см2.Изгиб круглых и кольцевых пластин под действием произвольной
нагрузки сопровождается деформацией, несимметричной относи¬
тельно центра. Прогибы, углы поворота и внутренние усилия в от¬
дельных точках пластины зависят от обеих полярных координат г
и & (рис. 1.65).Основное дифференциальное уравнение, из которого могут быть
определены прогибы w, имеет видAAw=,JL + J_J_ + J-_*L_W*-+ +1 дг* г дг г2 ае2 ) \ дг* г дг+ - = (18.1)г2 ае2 ) о '141
где* d'2w . 1bw — dr2 гdw 1drd2wдв2(18.2)После того, как найдена функция прогибов до (г, 6), могут быть
определены усилия в пластине по следующим формулам:Рис. 1.65Mr=-D
М@ = — D
Mrs =(1d2w
dr21+ vdwdrdw+1dr r1 d2w^D(vQr = —r*d2w
drd0ae2d2wd®2d'2w
dr2dwd0dr(Д-до);О© = — D —d (Aw)vr = Qr-iaedMr0(18.3)(18.4)(18.5)(18.6)(18.7)(18.8)r d0Углы поворота элемента срединной плоскости пластины опреде¬
ляются зависимостями:dw? =1» =1drdw(18.9)(18.10)г d& v JНаиболее естественный путь решения уравнения (18.1) заклю¬
чается в том, что заданную поверхностную поперечную нагрузку142
q(r, в), а также силы и моменты, приложенные к контуру пластины,
представляют в виде тригонометрических рядов по угловой коор¬
динате 6. Тогда интеграл уравнения (18.1) может быть представ¬
лен в следующей форме:После подстановки (18.11) в (18.1) получим две группы обыкно¬
венных дифференциальных уравнений: одна относительно функ¬
ций fk (г), а другая — относительно функции Ф^/*)-Каждое уравнение, соответствующее члену разложения k, содер¬
жит постоянные интегрирования, определяемые из краевых условий
пластины.Рассмотрим наиболее часто встречающиеся условия на краях
круглых и кольцевых пластин.1. Край пластины г = а свободно оперт:3. Край пластины г=а не оперт и не загружен сосредоточенными
на краю силами или моментами:4- Край пластины г —а не оперт и загружен радиальными мо¬
ментами Л1а :Заметим, что все сказанное во введении относительно области
применения технической теории изгиба тонких пластин остается
в силе й здесь.§ 19. Круглая пластина, свободно опертая по контуруа. Поперечная нагрузка, приложенная ко всей поверхности пла¬
стины и изменяющаяся по закону плоскости q = qocos &, проходя¬
щей через центр пластины (рис. 1.66).Обозначения величин указаны в § 18.ОО ооw— 2 fk (г) cos Ш -f V Фк (г) sin &в. (18.11)(18.12)2. Край пластины г=а жестко закреплен:(18.13)(18.14)(18.15)Могут быть рассмотрены также другие условия на контуре пла¬
стины.143
Расчетные формулы [11,2]С— q°a
Т д0а*W = ———
192 D1(1 — Р2) Р
3 + v[7 -f v — (3 + v) р2] cos 0; (19.1)192D 3 + v[7 + v — 6 (5 + v) р2 4- 5 (3 + v) р4] cos 0; (19.2)Ф =1[7 +Qr =192 D 3 + v. 2 (5 + v) р2 + (3 +-fv)p4]sin0; (19.3)q0a 1Qe =—24 3 + v+ v)-9(3 +
+ v) p2] cos 0;q0a .1[2 (5 -4-24 3 + v+ v) — 3 (3 +
4- v) p2] sin 0;(19.4)2(5 +(19.5)SnTfflll-4o48p2) cos 0;я0д2(5 + v)P(l-1(19.6)
P 1(5 +i WPuc. 1.66_ <7o«2Мгй = —481 — v
3 +V48 3 + v
v)(l -h 3v) — (3 + v) (1 -f
+ 5v)p2]cos0; (19.7)p[5-f-v — (3-f v) p2] sin 0; (19.8)у _ „?og_ cos 04
r 4(19.9)Изгибающий момент Mr достигает максимального значения при
р — и равену 3(Мг)шах <?0а2 (5 + у)72 /3(19.10)Me достигает максимального значения приГ (5 + v) (1 + Зу)3 (1 + 5у) (3 + у)144I(19.11)
и равен(Мв)тзх70а2 (5 4- v) (1 + 3v)(19.12)72 (3 + v)Пример. Круглая пластина толщиной б= 12 см и радиусом а =
= 160 см, свободно опертая по контуру, находится под действием
поперечной нагрузки q, приложенной по всей поверхности пластины
и изменяющейся по закону q = qog cos 6, где qo—\ кг/см2. Мате¬
риал— железобетон ^£=1,9*105 qкг/см2; v=—). Построить эпюрыIпрогибов w, изгибающих и крутя¬
щих моментов Мг, М@ и Мг& иперерезывающих сил Qr и Q© . vftTrillSTlTlTi^
Вычислить максимальные изгиба- w^flTU 111 m 1111 ГП>ьющие моменты в пластине.Решение. Пользуемся фор¬
мулами (191) — (19.9):Г-fiOIчццщщгТ® = ^-(р-р3) (0,0118-м,лгтТТМтттгг^10,0052р2) cos 0;(0,0118-D1W*§1ТПТггг>.i■0,05Юр2 + 0,0260р4) cos в;ЯоаD(0,0118 — 0,0170р2 +§§са“!JjBLLU^QoQ**СШШ\№\ТШРТ^йТШШПТТть4- 0,0052р4) sin 0;Qr = Яоа (0,1363 — 0,3759р2) cos 0;Qe = q0u (0,1363 — 0,1253р2) sin 0;Mr = q0a2 0,1076 (p — p3) cos 0;Me = q0a2 (0,051 Op —— 0,0382p3) cos 0;Mr* = q0a2 (0,0283 —— 0,0174p3) sin 0;Vr = qba 0,25 cos 0. Pac' L67Для значений относительной радиальной координаты @ = 0; 0,25;0,50; 0,75 и 1,0, лежащих на диаметрах 0 = 0 и 6>=у пластины, вы¬
числены величины перемещений, углов поворота и внутренних уси¬
лий, помещенные в табл. 1.110.0,011СьФ"ГТТГгг!ф§q0o10—511145
146Таблица 1.110г^ аеО)<рФQrСеМГ^Г0Vr007С2ТС000дпаг
—0,0012——
D00,0118 „00,0118^
D00,1363 д0ао—0,1363 ,0—0,1363 q0a
00000000000,25 gGa
0-0,25 .0,250712710,0027—D0—0,0027 ,-0,0087 ,
00,0087 „00,0108 ,
00,1128 .
0—0,1128 .0-0,1284 ,
00,0252 qQa?
0-0,0252 „0,0122 д0а2
0-0,0122 .00,0068 д0а2
00,25 .0 .-0,25 .0,5007t~2~7С0,0039 .
0-0,0039 .-0,0007 .
00,0007 „00,0079 „
00,0423 ,
0—0,0423 „0-0,1049 „
00,0404 ,
0—0,0404 ,0,0207 ,■
0—0,0207 в00,0120 .
00,25 .
0-0,25 „0,750те2те0,0029 ,
0—0,0029 ,0,0087 ,
0-0,0087 ,00,0039 ;
0—0,0752 .
00,0752 .0—0,0658 „
00,0353 .
0—0,0353 .0,0221 в
0-0,0221 .00,0139 .
00,25 .
0-0,25 .1,000те2те0000,0132 .
0—0,0132 ,ООО—0,2397 „
00,2397 „0—0,0110 „
0ООО0,0128 в
0-0,0128 ,00,0110 .
00,25 .
0 .-0,25 .
Таблица I.Illг^ ( кг \Л ( кг \/ кг см \/ кг см \( кг-см 'i(Ki \рг=тедо (сл*)<рфQr ( см )Лме( ™ )см )уг Ц00—0,0002021,80800000400п2000,00170—21,80800000п00,00170—21,80800000-4000,0626—0,00130—18,04800645,12312,320400,25т:2000,00160—20,544000174,0801C-0,06260,00130-18,04800-645,12-312,320—4000,0905—0,000106,768001034,24529,920400,50тсо000,00120—16,784000307,2071-0,09050,00010—6,76800-1034,24-529,920—4000,06730,00130—12,03200903,68565,760400,757ZО000,00060—10,528000355,8071-0,0673-0,0013012,03200-903,68—565,760—40000,00190—38,352000327,680401,00по00о0—1,760000281,60Z710—0,0019038,352000—327,680—40 ;
На рис. 1.67 построены эпюры до, Mr% М© и Qf в сечении 0=0 и
эпюры Q© и Мгв в сечении 0=90°.Вычислим:доа= 1 • 160= 160 кг!см\qoa2= 1 • 1602 = 25600 кг;У|//.Яоа А'77/sD= 0,1456;Рис. 1.68■^- = 23,2 см.
DРезультаты вычислений помещены в табл. 1.111.Максимальное значение момента М% (при £ = 0,666 и в = 0)/л, v 25600 . 6 . 31*3 Q71(Me)тях= =871 кг • см см.\ шах 72 . 19 •6.2 . 24 'б. Сосредоточенный момент М, приложенный к центральному
жесткому диску радиуса b (рис. 1.68).Обозначения величин те же, что и в § 18.Расчетные формулы [2, 10, И]МаW —|— 1(1 +■')+(! — ■»)?4] Р3 +Вжй [(3 + V) + (1 - V) р*]+ (1 + v)(1 - р2)2Р + 2[(3 + V) + (1 - V) р4] pin Р —
— Р2 [(1 + V) р2 - (3 + V)] -j-J cos в; (19.13)<р =м|з Г(1 + v) + (1 - V) Р<] Р2 - [(7 + 3v) -8*D[(3 + v) + (l-v)P‘]— 2 (1 + v) р2 + (3 — v) р4] — 2 [(3 + v) + (1 — v) р4] In р —
— 1(1 + v) f*2 — (3 + v)]l cos0; (19.14)
Jф =M r^|(l+v)(l-p2)2 + [(l+v) +— v) p4] [8rcD [(3 -Ь v) + (1
+ (1 -v)P']p2 + 2[3 + v + (1 -v)p4]lnp ++ p2[(i +v)p2-(3 + v)]_Lj sine;(19.15)Qr =2na2 [3 + v + (1 — v) РЧj2[(l+v)+(l-v)p4] +
+ [(3 + v) + (l-v)p4]-i-j cos©; (19.16)148
+ [(3 + V) + (1 - V) p<] -i-J sin 0; (19.17)M, = (2 (3 + v) [1 + v + (1 — v)p<]p +r 8tui[3 + v + (1— v)p*] \ V ' V+ 2(1 +v)[3 + v + (l -*)P‘] — + 2 (1 — v) p2 [(1 + v) p2 —P- (3 + v)] • -Ij cos в; (19.18)
я „4. хм nrf2(1+34)I1+v + (l-v)p1l +87га [3 + V + (1 — v) з4] [+ (1 + v)2 (1 - P2)2 -i 2(1 — V)p2 [(1 + v) P2 -P-(3 + v)]-U cos0; (19.19)= [о?1~',)пЛ< чй<Г (t1 +v + (1 — v) P4]p-f3 + v +4iza [3 + v + (1 — v) p4] [+ (1 - *) P4] — - P210 + *) P2 - (3 + V)] ±\ sin в. (19.20)
P P3 JПример. Круглая пластина толщиной <5=2 см и радиусом
а =100 см, свободно опертая по контуру, находится под действиеммомента М = 100000 кг-см, приложенного к центральному жесткому
диску радиуса 6 = 0,2 м. Материал — железобетон ^£=1,9ХX Ю5 кг/см; v = ~jrj- Определить прогибы до, изгибающие и крутя¬
щие моменты Mr, Me , МгВ , перерезывающие силы Qr и Qe.
Решение. Используя (19.13) — (19.20), находим:W = ^0,0150р3 - 0,0135р - 0,0795 In р - 0,0015 у j cos 9;
9 = 0,0452р2 + 0,0930 + 0,0795 In р - 0,0015 у) cos 0;ф = m,0150p2 - 0,0135 - 0,0795 in р - 0,0015
QT= — (о,1205 + 0,1591 —\ cos в;а2 \ р2—\ sin в;Р2/Qe=“- ^0,1205- 0,1591 -i-j sin в;149
; Me = — —/0,0452p - 0,0663 — — 0,0026 —\ cos 0;a \ P f jMre = — (- 0,0251 p + 0,663 — + 0,0026-M sin 0.71Принимая q=0,2; 0,5; 0,75; 1,0 и 0 = 0; —; л, найдем величины,2приведенные в табл. 1.112.Таблица 1.112Гр=те(219фQrQ&мгМЬЯв0—0,0145-МаD0,0279-мD04,1074-М
а•0—2,4152—а—0,4225—а00,20я20я09»-0,0736-мD0я3,8526Ма*00—0,0003—а1C0,0145«0,0279Я0я—4,1074•02,4152 .0,4225 ,00-0,0191и—0,0303Я0я0,7642я0Я-0,4612 .—0,1196 ,00,501C~2~0«»0Я-0,0303я0я0,5094я00—0,8754 .1C0,0191я0,0303Я0я-0,7642я0я0,4612 ,0,1196 .00-0,0108и-0,0466Я0я0,4104я0я-0,2642 .-0,0941 ,00.75it.201»0Я0,0035я0я0,1556я00-0,5619 .1C0,0108я0,0466я0я0,4104я0я0,2642 ,0,0941 ,000я-0,0481я0я0,2866я0я-0,2103 .-0,0854 .01,001C20я0я0,0322я0я0,0318я00-0,3304 .1C0я0,0481я0я-0,2866я0я0,2103 .0,0854 .0Вычислим:МаDМD= 0,7675;_ 100000 ■ 100 . 12 • 351,9 • 105 8 • 36= 10 кг/см\а1а76,75 см\= 1000 кг • см/см.Результаты вычислений помещены в табл. 1.113.в. Поперечная нагрузка, равномерно распределенная по малому
эксцентричному кругу радиуса го (рис. 1.69).
Таблица 1.113Го ( кг \«•(£)/ кг-см \Ми ( кг см \м и ( кг см \^ — аеш (сж)(Ь1Qr [ ся )г { см )"1 « )У см )0-1,11290,0214041,0740—2415,2—422,500,207С~2~00—0,0565038,52600-0,3к1,1129—0,02140-41,07402415,2422,500—1,4660—0,023307,6420-461,2—119,600,50к200-0,023305,09400—875,4711,46600,023300—7,6420461,2119,600—0,8289—0,357704,1040-264,2—94,100,75тс2000,002701,55600-561,97С0,82890,35770—4,1040264,294,1»000—0,036902,8660-210,3—8,5401,00тс2000,024700,31800-330,4тс00,03690—2,8660210,38,540
Обозначенияе — расстояние между центром пластины и центром нагру¬
женного круга, см (за начало полярной системы коор¬
динат принят центр нагруженного круга Oi);Р — равнодействующая нагрузки, кг\Г\ = 0\С — расстояние от начала координат до рассматриваемой
точки пластины, см\
а\ = 0\В — расстояние от начала координат до соответствующей
точки на контуре пластины, см.Обозначения остальных величин те же, что и в § 18.Расчетные формулы [2, 10]
w = k0 (г? — Ь0аг\ + С0а3) + (rf — bxar\ + Cxa*rx) cos <p 4-где+ К (r\ — Ь2аг\ + С8а2г?) cos 2cp,b 2 (1 + v) (g3 — b0ae2 + C0fl3) p#0 9 (5 + v) D%a4^ 2 (3 + v) (g4~ Ьхаеъ + С2дУ) p.1 3(9 + V)Djm6ka (4 + v)2 (£4 — Ъхаеъ + С2л2£2)p;cft =(9 + v) (5 + v) Dna63(2 + •») . 3(4 + v) . ■ _ 2(5 + v)2(1 +v) ’ 1 2(3 + v) ’ 2 4 +v4 + v 6 + v r, 6 + vc,=(19.21)(19.22)(19.23)(19.24)(19.25)(19.26)2 (1 + v) 1 2 (3 + V) ' “ 4 + vМаксимальные напряжения в пластине под центром нагружен¬
ного участка равны(®r)tnax (^в)шах 3 Р1 + (1 + v) Inа — е(1 —-v)А(а — еУНапряжения в любой точке С вычисляют по формулам<*1(19.27)шах(1 + V) In1 + (1 + v) Inал(19.28)Os = (ое)max(1 + v) In—+ 1—V
Г11 + (1 + v) In ^'о(19.29)153
г. Сосредоточенный момент М, приложенный в центре пластины
(рис. 1.70).Обозначения всех величин те же, что и в § 18.w = —МаРасчетные формулы [И],[(1 + р — (1 + v) р3 + 2 (3+v) р In pi cos 0; (19.30)8те (3 + v) DМ. = _ ж<1+у> (1 — р2) cos в; (19.31)4 кар— _ MS1 ±:’)_ [(3 + V) — (! + 3v) Р2] cos в; (19.32)Л/вQ, *= —4тшр (3 + v)М2кау (3 + v)[2 (1 + v) р2 + (3 + v)] cos 0. (19.33)§ 20. Круглая пластина, жестко закрепленная по контуруа. Поперечная нагрузка, приложенная ко всей поверхности пла¬
стины и изменяющаяся по закону плоскости q = qoQ cos 0, проходя¬
щей через центр пластины (рис. 1.71).Обозначения всех величин те же, что и в §• 19.Расчетные формулы [2, 15]Р (1 — р2)2 cos 0;w192 DтЗQr =192 DЯоа (2 — 9р2)
24COS 0;(20.1)(20.2)(20.3)(20.4)Qe =Яоа24(2-— Зр2) sin 0; (20.5)м _4£L
т 48р [3 -I- v —— (5 + v) р2] cos 0; (20.6)Af« =Яоа48P [1 -f 3v — (\ + 5v) p2] cos 0;AirQ =(1 — v) p (1 - p2) sin 0;Я487Vr = q0a cos 0.г 24 “ о(20.7)(20.8)
(20.9)154
Пример. Круглая пластина толщиной 6=12 см и радиусом
«=160 см, жестко закрепленная по контуру, находится под дей¬
ствием поперечной нагрузки q, приложенной по всей поверхности
пластины и изменяющейся по закону q = qoQ cos 0, где qo= 1,0 кг!см2.Материал — железобетон (Е —'S.>
§1строить эпюры прогибов до, из¬
гибающих и крутящих момен¬
тов МГ, М& и Мг& и перерезы¬
вающих сил Qr и Q& .Решение. Пользуемся
формулами (20.1) — (20.9):W = ~^D~ °’0052Р(1 “— р2)2 cos 0;9D0,0052 (1 - 6р2 +?+ 5р4) cos 0;0,0052(1 -D 4— р2)2 sin 0;Qr= q0a • 0,0417 (2 — 9р2) cos 0;Мт = q0a2p (0,0659 —— 0,1075р2) cos О;Qe = — q0a • 0,0417 (2 —— 3p2) sin 0;Me = q0a2? (0,0312 —— 0,0381p2)cos 0;Mr9 = -q0a3 • 0,0173p (1 -— p2) sin 0;Vr = q0a • 0,2917 cos 0.Принимая ^ = 0; 0,25; 0,5; 0,75 и 1,0 и 0 = 0; —; л, найдем вели-2чины, приведенные в табл. 1.114.На рис. 1.72 построены эпюры до, Мп М©, Qr при 0 = 0° и Q© и
Мг% при 0 = 90°.Вычислим:Чоа> _ 1.160*-12 - 35 = 0 1 456;Рис. 1.73DD 1,9 • 105 • 123 • 361 . 1604 .12-351,9 • Ю5 • 123 • 36
15$= 23,2 см.
Таблица 1.114Гр=т0W9фQrМгЩ^Г0vr00—0,0052^00,0834 q0a00000,2917 q0c0к200900—0,0834 q0‘a00009ic00,0052Я0-0,0834909000—0,291700о.ооп^4-0,0034п00,0599п090,0148 <70я20,0072 ^0л2'090,291790,25TZ~2тс0—0,00111»900,0034пп0,0048^
0 .0—0,0599пп—0,07560990—0,0148990—0,0072 .—0,0032 q0a2
00—0,29179900,001590,0010п0-0,0104п090,0195*0,01084 »090,291790,501C21C090п0,0029 „09—0,05219090—0,0043909-0,0015п-0,0010п00,0104п0»-0,01959—0,01084 ,09—0,2917900,0008п0,0041п0-0,1277п090,004190,0073 ,090,291790,751C0090п0,1914 .0п0,01319090—0,0033W0971—0,0008п-0,0041900,1277п09-0,00419—0,0073 .09-0,291790000—0,2919п09-0,04179-0,0069 ,9091,00тсо0000п0,04179090909ZIt0000,2919п090,041790,0069 „9—0,29179
Таблица 1.115гЛ [ кг \/ кг-см \/ кг-см \М и ( KZ'CM \vT{—\г \ см }Р“Теа» (сл)9фQr (CJ,jМг [ см )"1 « )У см )00—0,0008013,344000046,67207С20000-13,8440000«*>00,00080—13,3440000-46,67200,0255-0,000509,5840378,88184,32046,6720,251Cт000,00070—12,09600-81,9207С-0,02550,00050-9,5840-378,88—184,320—46,67200,03480,000140—1,6640499,2276,48046,6720,507Со000,00040—8,33600—110,0802п—0,0348—0,0001401,6640—499,2—276,480—46,67200,01860,00060—20,4320104,96186,38046,6720,75тсо000,002802,09600—84,48027С—0,0186—0,0006020,4320—104,96—186,380—46,6720000—46,7040—1067,52—176,64046,6721,007Со00006,67200002тс00046,70401067,52176,640—46,672
Результаты вычислений помещены в табл. 1.115.б. Нагрузка в виде сосредоточенного момента М, приложенного
к центральному жесткому диску (рис. 1.73).Такой случай встречается при проектировании гибких соединений
валов.ОбозначенияЪ — радиус центрального жесткого диска, см.Обозначения остальных величин те же, что и в § 18.Расчетные формулы [10, 11]Угол поворота ф центральной жесткой части пластины и макси¬
мальные радиальные напряжения на внутреннем (@=@) и наруж¬
ном (£=1) контурах пластины определяются по формулам:* = -^•1^ (20.10)
(«r)rt> = kr. t -2- ?; (20.11)а(сг)(-х = кгЛ — -ь (20.12)аВеличины коэффициентов k? , kr,$ и kr,it входящих в формулы
(20.10) — (20.12), при различных значениях /3 =— помещеныав табл. 1.116.Таблица 1.116>-4-0.50,60.70,8*г.е14,1719,5436,2582,26*Л17,Ю12,8525,6566,50*912,4028,4877,90314,00в. Поперечная нагрузка, равномерно распределенная по малому
эксцентричному кругу радиуса г0 (рис. 1.74).Обозначенияе — расстояние между центром пластины и центром нагру¬
женного круга, см (за начало полярной системы коорди¬
нат принят центр нагруженного круга Oi);Р — равнодействующая нагрузка, кг\158
г\-=0\С —расстояние от начала координат до рассматриваемой
точки пластины С, см;
г0 — радиус круга, к которому приложена нагрузка, см;г' — расстояние между точкой пластины С и точкой F, лежа-:
щей на пересечении линии центров с касательной, прове¬
денной к контуру пластины через точку В.Обозначения остальных величин те же, что и в § 18.Расчетные формулы [2, 4, 11, 16, 17]Прогиб в точке Сw —ЗР(1 _v2)
2 я£53еъг'ъ&г\\-г\ 1пегar^Максимальные напряжения возникают:
в точке приложения нагрузки 0\3 Р Г а — е(1 +v)ln + {1 +ч)#П1 ах=2и52когда г0<0,6(а—ё)\(20.13)4 (a — ef(20.14)Рис. 1.75
159
у закрепленного края°шах аг3 Р
2лЬ212 (a- ef(20.15)когда г0>0,6(а—е).г. Сосредоточенная сила Р, приложенная в любой точке пла¬
стины (рис. 1.75).ОбозначенияЬ2 — расстояние от центра пластины до места приложения сосре¬
доточенной силы, см\p=-k.аОбозначения остальных величин те же, что и в § 18.Расчетные формулы (11, 13]Прогиб пластины под силой равен(20.16)w = -^~ (1 -ту.16 п£>д. Сосредоточенный момент, приложенный в центре пластины
(рис. 1.76).ОбозначенияМ — сосредоточенный момент, кг-см; г^ аОбозначения остальных величин те же, что и в § 18.WW —Рис. 1.76
Расчетные формулы [11, 13]^а (р — р3 + 2р In р) cos 0;Мг =Ms =87iDМ4ярМ4тсрQr= —[(1 + v) — (3 -f v) p2] cos 0;[1 + v — (1 -f 3v) p2] cos 0;
м2nay(1 + 2p2) cos 9.(20.17)(20.18)(20.19)(20.20)160
§ 21. Кольцевая пластина, жестко закрепленная
по внутреннему контуру и не опертая по наружному,
под действием поперечной нагрузки, приложенной
ко всей поверхности пластины и изменяющейся
по закону плоскости q = qoQ cos 0Обозначения всех величин те же, что и в § 18 (рис. 1-77).I•paуЯоаРис. 1.77Расчетные формулы [11]? = —192 Dcos 0;Qr =—9636p2 + 4 Вcos 0;Qb =q0a12p2 + 4В H ) sin 0;Mr = -19296 \4(5 + v) p3 + 2(3 + v)Bp + 2(l -v)c4-4F+ (l+v)Pcos 0;Af0 =Qod21924(5 + v) p3 -f 2 (15+ 3v) fip — 2 (1 — v) С —+ 0 + *)cos 0;Mr&= (—— 4p3 - 2Bp - —^ sin e,192 \ Р» t11—511161(21.1)(21.2)(21.3)(21.4)(21.5)(21.6)+(21.7)(21.8)
гдед __ (v + 24) р2 ^ ^),5 + In р(v-l)p-(l + V)32 + 19v + v2+ 4(v-l)p_ 0-v)(v + 24)^2£ = -v + 24+(21.9)(21.10)C =P2[(v-l)p-(l + v)iL+^+y)?8 -4( + v)S5-132 + 19v + v232 + 19v +(21.11)(V-1)P-(1+V)+ 4 (v — 1) p5 -’r+(l-v)(v + 24) p»(21.12)Пример. Кольцевая пластина толщиной 6=2 см, наружным
радиусом а=100 см и внутренним 6=20 см, жестко закрепленная
по внутреннему контуру и не опертая по наружному, находится пол
действием поперечной нагрузки, приложенной ко всей поверхности
пластины и изменяющейся по закону плоскости q = qoQ cos в, где^о=0,04 кг!см2. Материал — сталь /е = 2,1*106 кг!cm2, v— -■). Опре¬делить прогибы до, изгибающие и крутящие моменты Mr, М& и Мг&
перерезывающие силы Qr и Q@ .Решение. Пользуемся формулами (21.1) — (21.8):w= ^0,0052р5 + 0,0783р - 0,0317 -
— 0,0683 р In р^ cos 0;0,0068р<( = — -3^- /о,0260р4 + 0,0100 - 0,0950р2 + ЗУ8— 0,0683 In р^ cos ©;q0a*0,0052р4 - 0,0783 - 0,0317р2 -0,0683 In р) sin 0;0,0068Qr — q0a ( 0,3751 р2 — 0,2539 + -в’*366 ] cos 0;Р2162
М. = —q„a2 (o.llllp3 — 0,2112р — 0,0091 — — 0,0910 —) cos в;\ Р3 Р }Мв= — q„a2 (о,1 lllp3 — 0,1267р + 0,0091 — + 0,0910 —) cos в;\ р3 р!Мге=Я„а? _ 0,0139р3 + 0,0423р _|_ ^i®455\ gjn Q\ р3 р !Принимая £=0,2; 0,5; 0,75 и 1,0 и в = 0; — и я, найдем величины,2приведенные в табл. 1.117.Подставляя значения <70, а и D, найдем:q0a = 0,04 • 100 = 4 кг/см;q0a2 = 0,04 • 1002 =400 кг; 0,04 ♦ 1003 ■ 8 > 12 q Q2g.D ~ 2,Ь10в. 8-9 “ '—°— = 2,5 СМ.DРезультаты вычислений приведены в табл. 1.118.§ 22. Круглая пластина под действием сосредоточенной
поперечной силы, приложенной к контуру и уравновешенной
силой и моментом, действующими в центре пластиныОбозначения (рис- 1.78)Р — сосредоточенная сила, кг;а — радиус пластины, см;г, О — полярные координаты точки;
га6 — толщина пластины, см.Обозначения остальных величин те же, что и в § 18.
Таблица 1.117Гр“ аО9фQr<30мгмьмгЬ0,200ТС2ТС0,0022-0—0,0022я0д4Z)яЯ-0,2867-00,2867ЯФгDяя00,0163-0Я*агDя3,17610-3,1761ЯоаР9Я03,6639 q0a
01,6340 q^d2
0—1,6340 »-1,56801,568<7оЯ2яя0—0,9014 qQa?
000,04141»—0,0610я0я0,3863Я0я0,3466—0,2053я00,50тс20I»0я0,0906я0Я0,7690я0я090,0376 .тс .-0,04140,0610я0я—0,3863Я0я-0,3466Я0,20539000,0478|>—0,0034я0я0,2000»0я0,2514п—0,0917■00,75тс20»0я0,0696я0V я0,4265я0я0Я0,0680 .тс—0,0478У»0,0034я09-0,2000я0я—0,2514я0,0917Я000,0450я0,0521ь0Я0,2578я0я0,2002я—0,0845901,00тсо0я090,0450Ч—'0я0,2655я0я0Я0,0648 .Zтс—0,0450я—0,0521я0я—0,2578я0я-0,2002я0,0845Я0
Таблица 1.118г(слс)MS)ц ( кг см \Ми ( кг'смАМ о ( Кг'СМ \Р= аб<рфг\ “ )*1 “ )\ CM J00,0055—0,0072012,70440653,6—627,200,207Е2000,0004014,655600—360,56ТЕ—0,00550,00720—12,70440—653,6627,2000,1035—0,001501,54520138,64-82,1200,5071~2~000,002303,0760015,04тс—0,10350,00150— 1,54520—138,6482,12000,1195—0,000100,80100,56—36,6800,75712000,001701,70600027,27С-0,11950,00010—0,80—100,5636,68000,11250,001301,0312080,08—33,801,007Со000,001101,06200025,92JL71—0,1125>—0,00130-1,03120—80,0833,80
w =Яд2
87C Da)Расчетные формулы [1,2](— р cos 0 ) р2 -|- (о (2 cos 0 — р) р In р\"+1 /со— (о> — 1) (1 — 2pcos0 4-р2)$1 — ((О2 — 1) ^COS Л0(п-1)/2=2, 3, 4Qr =2тШ0> }- (2 -) —^ COS 0 + ((1) — 1) — (<s2 + 1)Qe = —2 ка<лMr + Мв =Г /[rсо'P2,p■**2tc1— N+ (1 +v)lnp —— (1 + v) (— \ cos 0 + 4 1 + v 5,Me - Mr =1 — V2ic+3 +v
(1—v)2 2P —3 + vPcos 0 ++ 4^-- -Ve, + —(i-4-Ы ;3 + V p2<0Mre = —2 n(1—V)2
3 + v1+1 + VPJsin 0 — ——h0) p21 -(03 1 »где0) 3 + V .1 + V ’Si —2So. ==In (1 — 2p cos 0 + p2);p (cos 0 — p)S3 —si = arctg1 —2p cos в + p2p sin 0 1 — 2p cos 0 + p2p sin 01 — p cos 0
166(22.1)(22.2)(22.3)(22.4)(22.5)(22.6)(22.7)(22.8)
(22.9)(22.10)(22.11)
Изгибающие и крутящие моменты, а также перерезывающие
силы и прогибы пластины для различных значений д и О можно
вычислить по готовым формулам:W = k,WQ© = k%Ра'г»D ’(22.12)Р
•г ?(22.13)арг% — ;(22.14)аттР\(22.15)т%Р\(22.16)mre Р.(22.17)= 0,3 величиныпараметров kw ,kn ke, mr, m%, mr%, входящих в формулы (22.12) — (22.17), приве¬
дены в табл. 1.119 для различных значений 0и д.Таблица 1.119«3 •аasРkwкгЧтГШ0тгЬ0,00оооооо00,10—0,0209617,814750-1,39751—1,2478000,25—0,028443,374250-0,65357—0,490450f\0,50-0,013891,273240-0,35424—0,136250и0,65— 0—0,262200,0033000,750,022931,194890—0,211140,1034500,900,053732,2195300,13590 01,000,07679ОО000,3347000,00ООоооооооо0,10—16,882764,08129-0,60692—1,981110,403820,25—3,270570,59021—0,62355—0,494570,117771 с:0,50—1,185110,00719—0,39502—0,095750,114691D0,65— —0,20960—0,075440,137920,75—0,78643—0,34501—0,152040,020020,146580,90—0,48114—0,624930,046000,00514 1,000,15236—0,6670700,001970,158610,00ООоо0оооо0,10 12,7806611,15509-0,96420—1,568900,454360,25 2,515521,65513—0,41189—0,506770,251640,50 0,796350,24638-0,18963—0,262780,17069■Ю0,65 -0,07530—0,25160 0,75-—.0,35094—0,02392-0,04121—0,230230,123200,90 0,20218—0,06743-0,01014-0,20690 1,000,13119-0,072980—0,195030,08247167
Продолжение табл. 1.1190, градр^Wkr*0mrщmrb0,00• ООс»ООООоо0,10—1,5726415,79007—0,014881—0,391580,511270,25—0,591752,43039-0,06112—0,293850,18954оп0,50—0,241920,54749—0,01143—0,217390,067430,65— —0,00220—0,17140 0,75—0,120530,224220,00049—0,171400,024000,90—0,081870,154640,00021-0,15180 1,000,063660,127320—0,141280,045000,00ОООООООО0,10—--9,7505311,181580,492300,454640,284730,25——1,248031,750270,125000,098720,065360,50——0,204630,426170,027850,016650,00097I ОО0,65— 0,011400,00565 0,75——0,048930,193600,005670,00253—0,001390,90——0,016650,14015 0,00142 1,00 —0,003860,1180000,00070-0,017520,000ооОО0,100,02521-14,4339100,718390,9258200,250,05050-1,9798500,175610,2904100,500,08837—0,3819700,033600,129870I0U0,65 0,013000,0982000,750,12652-0,1162100,004570,0854500,900,14940—0,056510 и,0730501,000,16628-0,03183000,067550§ 23. Круглая пластина, опертая в отдельных точках
а. Пластина, опертая в двух точках контура, под действием со¬
средоточенной силы, приложенной в центре (рис. 1.79, а).
Обозначения те же, что и в § 18.Расчетные формулы [2, 11, 16]w =Ра28nD(Ор2 -f- (I)2 In р —О)— 1OJ(1 + Р2) In (1 — 2р2 cos 20 +ООI Л\ I о л 1 1 + 2р COS 0 + Р2 1/2 14 V' Рл cos+ р4) + 2рcos0In —i-S +(“2-1) 2j -77—1 — 2р cos 0 + р2 п2 (п —п0
(п - 1)л-2. 4(23.1)Мг + Мв =2п+ in (1 - 2р2 cos 29 + р4)3 + V(23.2)168
Mb — Мг =2те1 —v 1+n 1+ — г In (1 — 2р2 cos 20 + р4) —-2 —(1-Р2)3 + V р2COS 20 — р2Mr© = —2тс1 — V3 + v1 — 2p2 cos 20 + p4
sin 20(23.3)(P2-1)1 + V 13 + V p2arctg1 — 2p2 cos 20 + p4
p2 sin 201 — p2 cos 20где0) = 3 + v1 — v(23.5)Прогиб в центре пластины
при коэффициенте Пуассона
у=0,25 равен(w)^0=1,37-^- . (23.6)Прогиб в точке В (рис.
1.79) равен«В-1.39-Ц-. (23.7)б. Пластина, опертая в
двух точках, расположенных
на концах одного диаметра,
под действием нагрузки по¬
стоянной интенсивности q,
приложенной по всей поверх¬
ности пластины (рис. 1.79, б)ппдммшг*777.2Рис. 1.79Обозначения всех величин те же, что и в § 18.Расчетные формулы [1, И, 16]
Прогиб в центре пластиныqak(w)p=o = 0,269DПрогиб в точке ВWB = 0,371 - «f(23.4)3■ »<|Ь-гО(23.8)(23.9)в. Пластина, опертая в двух точках контура, под действием двух
поперечных сосредоточенных сил, приложенных на концах перпен¬
дикулярного диаметра (рис. 1.80).Обозначения всех величин те же, что и в § 18.169
Расчетные формулы [2, И, 16]Для точек пластины, лежащих на диаметре, соединяющем опоры
1 и 3:(w)e=o =а?Р2nD (1 — v)0)(р2 —o))inJ-iP! + (a) —l)pin -5-^ +i — Р2 i — р+ 2 (о) + 1 )р arc tg р—(о) Н- 1) ( р2 +■>10-+* • • •4тжжтм!г>7г/ гпТт *; (23.10)Рис. 1.80Рис. 1.81(Мг)©=о =
(ЛТв)е=о =7С О)Р710)21 + соР*in _L±i!—)-1l — р2
1 + Р21 + р2
21 —Р21 +р2(Qr)e=o = —(Мг&)@ о=0;
8 Р7га (1 — v) СО(Qe)e=o = О,1-Р2где(О3 + v1 — v(23.11)(23.12)(23.13)(23.14)(23.15)(23.16)г. Пластина, опертая в трех точках контура, отстоящих одна от
другой на 120°, под действием сосредоточенной силы Р, приложен¬
ной в центре (рис. 1.81, а).170
Обозначения всех величин те же, что и в § 18.Прогиб в центре пластины при коэффициенте Пуассона v = 0,25(®)р=о = 0,754 . (23.17)д. Пластина, опертая в трех точках контура, отстоящих одна ог
другой на 120°, под действием нагрузки, равномерно распределен¬
ной по всей поверхности пластины (рис. 1.81,6).Обозначенияq — интенсивность нагрузки,
кг/см2.Обозначения всех величин те
же, что и в § 18.Прогиб в центре пластины
при коэффициенте Пуассона
у=0,25(да)р=о = 1,28да4(23.18)е. Пластина, опертая в четы¬
рех точках контура, отстоящих
одна от другой на 90°, под дей¬
ствием силы Р, приложенной в
центре (рис. 1.82).Обозначения всех величин
те же, что и в § 18.Расчетные формулы [2, И, 16]w —Ра2SkDО)1 о I 9 Л W 1р2 -f сор2 In Р —СО + 18(1 +р2)1п(1 —1 + 2р cos 0 + р2— 2р4 cos 40 + р8) + 2р cos 0 In —— ——-—f-1 — 2р cos 0 + р2ОО+ 2psin 0 In1 + 2р sin 0 + р2
1 — 2р sin 0 + раР+ (.и'- — 1) У Р"С0$Пвл2 (п — 1)/1=4, 8, 12(23.19)Мг + Мв =2к1 —V— (1 + v)lnp +М0мг =+Р2п-21 +2 (3 + v)In (1 — 2р4 cos 40 + р8)(23.20)121 - vV + „ v In (1 — 2р4 cos 40 -f р8) —2 (3 + v) р29/1 2\ cos 40 —Р4р (1 — р) 3 + v 1 — 2p4 cos 40 -j- р8(23.21)171
Mr® = -2n1 — v3 + vp2 (i - p2)sin 491 + v 12(3 + v) P2arc tg1 — 2p4 cos 40 -|- p8
p4 sin 46где0)1 — p4 cos 483 + v
1 —v ’(23.22)(23.23)§ 24. Круглая пластина, нагруженная вдоль нескольких
равноотстоящих радиусова. Защемленная пластина под действием нормальной нагрузки,
распределенной вдоль нескольких равноотстоящих радиусов по
степенному закону (рис- 1.83, а).Обозначенияп — число загруженных радиусов (п >3);
срр —угол поворота нормали в радиальной плоскости;
psf — нормальная нагрузка, распределенная по п равноотстоя¬
щим радиусам, кг/см.ps—интенсивность нагрузки в точке q= — = 1; 5=1, 2, 3....аРасчетные формулы {14]w=-*£-2 Ы11 (р, в)+р*+з (, -1 © - в41)sin (s -f~ 3) | в — вд
(s + 2) (s + 3)+пр5аъsin (s + 1) | в — efe
(5 + 1) (s + 2)1-P2+SnD | (s -j- 1) (s -f- 2) (s -f- 3)+ /(1)(P,0)1 ; (24.1)Puc. 1.83
172
мг + м»= SH2) (p- e) ~7TT (« -1 o-e*|> xXein(s + l)|9-etlj+ np‘a£ + y)1(s + 1) (s + 3)+ /<2)(p. 0). ; (24.2)v)-2 й8) (p. ©) + Ps+'(* - 10 - 0*1) X
kxlsin(s + i)|e-efti-sin(s + 3) |в-9*|]|+ ~v) xx-f-/(3) (p, 0) ;(24.3)s -j- 3 s -f* 1M* = £ (J$) (p, 0) + pJ+i (« _ |в - 9*|) [cos (s + l) |0 _- 0,1 - cos (а + 3) |в - в*|]) + nPsa£- ;,) /<3> (p, 0), (24.4)где 9* = k-^~, kП0, ± 1, . . ., ± ^ lj, ПРИ n~четном,0, ± 1, . . ., ± n~ - при n — нечетном.В формуле (24.4) у слагаемого с двойным знаком надо брать
плюс, если &<&k.Функции Fl£> и f{i) имеют вид:FP = [A\i] cos (S н- 1) |0 _ 0fc| + в[° cos (s + 3) |0 - 0ft|] X
X In УI — 2pcos |0 — 8Л| + р2 + [А$ sin (s + 1)|0 — 0*| ++ В{21) sin (5 -+ 3' |0 — 0А|] arc tg Psin I9 — e*L . (24.5)1 — pcos 10 — 0*1Я[(* + 1)/л| E[(s+3)ln]/w = 2 aT cos у7г0 + 2 cos jn® (i= 1, 2, 3). (24.6)
/=i /=iE[(s+\)/n] и E[(s + 3)/ri\ — целые части дробей (s+l)/n и(5 4- 3) I п. Например, если s = 6 и л = 4, то Еs 3<»+1)п= £•[7/4] = 1и Еп= Е [9/4] = 2.173
Коэффициенты, входящие в формулы (24.5) и (24.6), имеют та¬
кую структуру:А^ = --ir + -к- ' -^г - Р*+3'в!’1 =в(1)'25 + 2ps+i11$ + 2P*+111s 3ps+31. 1 .s -f- 3p5+31S + 1
1S + 1
1s -j- 2
1(5 + 1) (5 + 2)
1 qS+З»(s + l)(s+2) ' ’+1/т<!) —а/ —S + 1 — jns -j- 2
1„s+l5 + 2jn++(s + 2) (s + 3)
1P>5 + 3*(s + 2) (s + 3) *
1 1in—21(s + 1) (s + 2)1pi'1+2при j < ps+3lnp при j = — ;(s + l)(s + 2) F nb?] =1s + 3 — jn+1111s + 3 p
pinins + 2 pjn—2(s 2) (s + 3)
1При j <s -f* 3
n ps + 3lnp при j = -s - 3(s + 2)(s+3) nЛ(2)_ S 1 I 1Л1 — —^ • ж +л^2) =s + ls5 -j- 1s!2) = - 15 + 1 + _L_ps+l s + 11Ps+1:p s+\.BP =1ni + 3/><2)
ai =1S + 1 — jn
11s + 1 Pinps+1 In ps + \■>}nb?} =11s + 3 — in pinпри j <
при 7 «
при j <s + 1ПS + 1
ns -f- 3
n0s -f- 3при J = n(24.7)(24.8)(24.9)(24.10)174
л!3>=s +■ 15i3) =5+4„л+5-f 'P'5 + 3-p*+>; 43) =4 + 15 + 1
'Ii+3‘P'5 + 3-Lns+l- Д(3) — S + 4 . S + 3+ p , Hi r + _+pГ Гaf> =lbf = 1S -f” 1 — jtl
Ps+1 In P
l5+1 + 4r- t'nJ* +2PJns -f- 3 — jn
— P*+1 In p.s —I- 4 s Н- 3Jn+2->1n+ p/«-2+при j <
При j —при j <
при j =s+1(24.11)s +1яS + 1
ns -j- 3
ftS “h 3
n(24.12)В формуле (24.4):W = и?' sin (S + 1) |0 - 0*1 + B{? sin (s + 3) |0 - eft|] X
X in V\ - 2p cos |0 - 0*1 + P2 - [Af cos (s +1) |0 - e*| +(24.13)+ sf COS (s + 3) |0 — 0*|] arc tg psin|e1 — P cos |0 — 0*|/(3) ==
1£[(л+1)/л]_ f[(5 + 3)/«]_2 a)3) sin jn0 + 2 £(3) sin у/г0;
/=i /=i(24.14)b{p = <s -f- 1 — jn
ps+1 In p1S + 1Jn+2 D jnp5 3 — jn
— P5+1 In PS +A 4. g_t-? 4-pin-2Pjn+2PinПри j <
при j =При j<
при j =s + 1
ns + 1П5 + 3
ns -J- 3nДругая форма выражений для прогибов и усилий:w =пр5аъ
2 nD1(5+ 1)2(5 _|_ 3)2s -1- 1 s -I- 32со'+2[/-11(jn + s + 1) (jn — s — 3) (jn + 5 + 3)p2 _|_ pS+3P;M-•+-1(jn — s - 1) (jn + s + 1) (jn + s + 3)175р/л+2 ,.J_
+■>5 + 3[(y„)2_(s + l)2J [{jnf _ {s + 3)2]cos jn&. (24.16)tit 5 -f- 3. S + 1
Штрих при знаке суммы означает, что если * или целыеппчисла, то в сумме опускаются слагаемые, знаменатели которых при
j= £_±_? или / = 1 обращаются в нуль, а вместо них добавляются:п пnpsaz 116rtD (s 4- 1) (s + 3)р5+3 (2 In р — 1) cos (s + 1)0,. s 4" 1
если ]= целое;n1npsa316ttD (5 + 2) (s + 3)p5+3 (2 In p + 1) cos (s + 3) 0,• (24.17)s -f- 3если j= целое.nИзгибающие моменты определяются выражениями:Mr + Ме =nPsa (1 + У)
2к1оо+ £/-1(s + I)2 (s + 3) (s+1)22 (jfi -f- 1)ps+1 ++(jn + s + 1) (jn — s — 1) (jn + s + 3)
29Jn +(jn)2— (s +1)2P's+1cos jn0(24.18)где штрих при знаке суммы означает, что если (s + l)/n целое, то
вместо опущенного слагаемого при ;=(s+1)/ai добавляется nPsa (1-+v) p5+i /2 In pH ^—\ cos(s+l) 0; (24.19)2 7Z(S+ 1) \ Г s + 2) V ' V }1Z1?s + l2 (5 + 1) (s -+• 3)00/=1jn (jn—\)77(jn + s (jn — s — 3) (jn + s + 3)
jn (jn -f* 1)p/rt-2(jn + S + 1) (in — s — 1) (jn + s -+ 3)176p Jn —
2s + 15 3^ + 1cos Jn@(jn)*-(s + l)2 (y«)2-(s + 3)2
где вместо опущенных слагаемых добавляетсяcos (s + 1) ©, (24.20)npsa(\-^ pS+1 j^2lnp+ 3s + 5(s + 1) (s + 2)S -f” 1при j = ;nnpca (1 + v) j
8* P2 In p 4-35 + 7при y =ns=0Я0,40,2О-0,2-0,4-0.6Vv\Nnс\2 0\4 >
7tkNi\\1184\n\in =4Mr0,20,10-0,1-0,2-аз(s + 2) (s + 3)S 4“ 3cos (s -f 3) 0s=/(24.21)€\8a2 СI*Оч ^
>Nn4ЛчPPuc. 1.8412—511 177
Крутящий момент равеноо= Ж(1-) у г__2к jLJ [ (jn
i=ijn (in — 1)++ S + 1) (jn — 5 — 3) (jn + s -f- 3)
jn (jn + 1)(jn — s — 1) (jn + s + 1) (jn + s + 3)—1S + 15 -I- 32 \ (jn)*-(S + 1)2 (y„)2 _ (5 + 3)2где вместо опущенных слагаемых добавляется3s + 5sin yVtO,npsa( 1 -v) +18т:npsa (1 - v) +1
8«2 In p -1-
при j =
2 In p
при j =(s + 1) (s + 2)5+1П3s + 7(s + 2) (s + 3)
5 3Пsin (s + 1)0sin (s + 3) 05=0S-/Me0,80,6OA0,2sS44. >\NvsN* \sAMe0,1250,1000,0750,0500,0250 0,2 OA 0,6 0.8 p=£
S=20\NпУк■ NN \
. \ 1
\л|0,1250,1000,0750,0500,025s=340я?"\ \140 0,2 OA 0,6 0,8 p 0 0,2 OA 0,6 0,8 pPuc. 1.85
178Jn-2 !(24.22)(24.23)
Графики коэффициентов2 ямг =Мг и Мв =2пм0(24.24)naps napsдля некоторых п и s показаны на рис. 1.84—1.86. Кривая, отмечен¬
ная О, определяет значения коэффициентов Мт и Mg в точках, ле¬
жащих на радиусах загружения. Другая сплошная кривая дает
значения этих же величин посредине между соседними загружен¬
ными радиусами. Пунктирной линией обозначены те же функциипри действии осесимметричной нагрузки qs-\f1= 12-ка ’кото¬рая получается из сил, распределенных вдоль отдельных радиу¬
сов, путем их «размазывания» в окружном направлении.Для некоторых значений п и s в табл. 1.120—1.123 приведенывеличины коэффициентов Мг и М© , входящих в формулы (24.24) .В числителе таблиц помещены величины Мг , а в знаменателе Me.
В таблицах приведены мантиссы чисел и их десятичные порядки;
отрицательное значение отмечается сверху чертой, например,Г| 5873563 = 0,05873563 или 0| 328724=—0,328724.мг0,025О-0,025-0,050-0,075-0,100s=2X0\ ЧЛ80,2 С4 0,V*7Дк8\\ГPZRп=дмг0,025О-0.025-0,050-0,075-0.100s=30,80,\2 0'4 о,:б\JjTо\оxVоS-2S-3мв0,025О-0,025-0,05008NXч \0,2 0,4 О,6 0,1NsAмв0,025О-0,025^0\С\2 О,4 0,6 0,1j \Рис. 1.86179
Таблица 1.120КоординатыточекМг и М$ для ряда значений s при числе загруженных радиусов п=3ГР=1Г65=05=15=25 = 35=4I0—043333331812500012888889113541727428570,250002604878т06884220г125269342I917085221429725640288391089056421743422143581259804ТС3002328745Т16910196т12929649Г21398411228168221247545653532751876894935940548723220,500001157734I06242771т13368330Т118827760Т1109618530181681221471618750934759312095611ТС3I01193860219874024215998374223712539222410993121208328734131015519438789621494480,700I03109110Г03001834г13100213Т12503332I1191434918259161051851689531847594363390141тс3011306734Г23821065121664129238782864235212801338355677924912540810953363837341380,900022610849Г179У8Т851|Т1113031493Т1102730631829968438926912952281323986431026992860523ТС3012334385т17265339т23287408121775251т21069598452612014396666626928362896622083791,0000051827270Г27040030т1863270. 155481881120075589810— тс0т2712664II8419955тт3793318Т22040D30Г21222901381379912525987113799661200873668692Угол поворота q>р определяется равенствомdw<РР =Величины коэффициентовЬ =дР(24.25)2пРnpsa2180<Рр(24.26)
Таблица 1.121КоординатыточекМг и Mg для ряда значений s при числе загруженных радиусов п=4гР==7Ге5=05=15=25=35=40—043333318125001288889113541727428570,25000250997I1681629т1258329I113263722701123359447932751356481156981859321тс400238859т1698446I1291201т1127753227319872677896181012275141238956808030,50010854212_ 111470182г1254631т114273321831816254989982928488000271209162531тс4т0292081т1190620I111323622700692224593641307103249161183545219862573170,700Т0567044г1125561I1188472т1164265I11295301448048068255232953595342554927140112520012348527т214473323732264234191183705438808002835289652862828000,90002251072гI765335тт300205тт1156222I2910807784751888022284552249382099047С~т0Г245363тт7926591236881012203554т21246074760561579967528534239882639691,000004520650т2215740I1479350I111760 135619664721443805335279 тст0т289892тт944126гI440540Т2243193т2148700869676283237132162729580446100в некоторых точках gt, лежащих на загруженных радиусах, поме¬
щены в табл. 1.124—1.127. В качестве точек выбраны корни не¬
четных полиномов Чебышева Т 2jv+i (р), т. е.Pi = cos 2,’~1 — (г= 1, 2, . . . N),2N + \ 2 ’где для N приняты значения 3, 4 и 5.181
Таблица 1.122КоординатыточекМг и М$ для ряда значений 5 при числе загруженных радиусов «=6-оII*Ь95 = 05=15=25 = 35 = 40—043333331812500022888889т13541727428570,250002466812тт6897264Гг2728485гт11583152262026983252147812185830469791574644876617471002398558тI6851459тт2760465г"Г15251082287051396286499569453332664582112123360195920,500т06385602гI3615088гI1984086гт11270212Г6686449211512575440593601511919573561155281тсТ04263048тг2628233гI15441312295111952261481746145155639740441588204765704941726380,700I080882262г4096Т542I71804222г81252352I696534110821365648879357469924273861713742тс0I1156630тт285Т6961210П3792242266092319359816425609311438264099219158976558622660,9000I2472617т27631762тт3159451ТГ14017782Т576297820684267563077128858513699011319843тс~6~0т2549282тт8518325т24076876122303168Т21437416494292917087488468321494418831794761,0000039476960I17729990т11213011I8183653ТГ645289611843095318997336390324550961935868X0I30863900т1060491Iт5170696т22958411т2186260469259170318М72155120888752345587825182
Таблица 1.123КоординатыточекгР — аМг и Л10 для ряда значений s при числе загруженных радиусов 8s=О5=15=25-35=40—043333331812500012888889113541727428570,250002449284тI6900354тт2747742ГТ130225312107482931361777754270291987114040804352266%002402608II6818884тI2732410ТI14025232Г29077158292900671752232756855126045611575850157314671330400511839341110640122645604401928492Г6539221Г3031766Г161703329413041иГ4640974I2813699т16532762994419426328262т01536085I4437075I1865624*29435377”2638393101909519511114833221869792455195424380913т9092913т4476666Т2758241Т1845932Т1291598л01102837I24733672739485622232754344584098Т4696772т140417825713442226335452128641200248217917789973133450761159588327685773I276951621540290276584952912698929175370те02578473Г8714866I4214448Т2402644Г15П3491ГI4987913т1749677"28826810252531402344409200370978401579929Т9599461168039491525150001112935Т4739788Т2879838Т204П85т1575451к0317420101121370т5607535I3280899г21064358Г9522603I3364109I16822602984269726319301183
Таблица 1.124ог в формуле (24.26) при п=Ъs—05=15 = 25=35=42/ — 1 пPi0,011590,005610,003620,002630,00204п = cos- ? - 2Рг0,063710,022910,011420,006540,00406(1 = 1, 2, 3)Рз0,077070,018780,006710,002910,001442 i — 1 тс
Pi -со* 9- 2PiР2Рз0,007300,046850,078270,003610,018870,023770,002380,010420,010140,001760,006570,005040,001380,004460,00274(/ = 1, 2, 3, 4)?40,069290,015610,005360,002310,00116Pi0,004990,002500,001670,001250,000992/ — 1 тсРз0,034970,015030,008780,005830,00416P. “COS -П 2Рз0,067580,023510,011360,006330,00383(/ = 1, 2, 3, 4, 5)Р40,080570,022700,009060,004250,00220Рб0,061920,013350,004540,001980,00101Т а б л и ц а 1.125h9Г в формуле (24.26) при п-= 45=05=15 = 25 = 35=42/ — 1 яPi0,010260,004670,002920,002080,00159Pi = cos 7 2?20,060040,020850,010170,005760,00353(<■ = 1. 2, 3)Рз0,079200,020230,007680,003570,001902/ — 1 *р; = COSг Q ОPiРз0,006430,043080,002990,016520,001910,008850,001390,005470,001080,00367У Z(i = 1, 2, 3, 4)РзР40,076590,072380,023140,017380,009940,006410,005010,002970,002790,00159Pi0,004390,002070,001340,000980,000772/ —1 жР20,031720,012900,007300,004750,00334P/~C°S И 2Рз0,064160,021660,010290,005680,00343(/ = 1, 2, 3, 4, 5)Pi0,080170,022860,009350,004530,00245Ръ0,065200,015060,005500,002550,00138184
Таблица 1.126р/<рг в формуле (24.26) при /г=65=05=15=25=35=42/ — 1 кPi0,009140,003840,002280,001570,00117H-cos ? 2Рг0,057680,019450,009310,005210,00320(/ = 1, 2, 3)Рз0,081020,021450,008490,004120,002282 i - 1 7СPi = cos q оPi0,005700,002440,001480,001030,000785?20,040280,014680,007580,004560,00300У Z(i = 1, 2, 3, 4)РзР40,076110,074360,023120,018510,010070,007090,005190,003390,002970,00187Pi0,003870,001680,001030,000730,000562/ •— 1 я?20,029170,011490,006030,003800,00261Pi = C0S 11 2Рз0,062080,020490,009610,005280,00318(i = 1, 2, 3, 4, 5)Р40,080640,023420,009850,004950,00278Pfi0,067000,015980,006010,002850,00157Таблица 1.127р;<pr в формуле (24.26) при n=85 = 05=15=2О Оо—о5 = 42/ — 1 71Pi0,008700,003500,002000,001340,00098Pi = cos 7 2P20,057070,019090,009090,005080,00311(/ = 1, 2, 3)Рз0,081560,021810,008730,004280,002392/ — 1 it
Pi = cos q ,PiP20,005400,039370,002210,014040,001290,007110,000880,004220,000650,00274У z(i = 1, 2, 3, 4)РзP40,076230,074800,023290,018760,010240,007240,005340,003480,003100,00193Pi0,003660,001510,000890,000610,000462 i — 1 75P20,028260,010480,005530,003410,00231= cos n - 2Рз0,061610,020240,009480,005210,00315(/ = 1, 2, 3, 4, 5)P40,081010,023750,010110,005150,00294Рб0,067310,016150,006090,002900,00160185
б. Свободно опертая по контуру пластина под действием нор¬
мальной нагрузки, распределенной вдоль нескольких равноотстоя¬
щих радиусов по степенному закону (рис. 1.83, б).Обозначения те же, что и в случае «а» § 24.Расчетные формулы [14]® = ^5lVU'>(P. в) + Р5+3 (« - 10 - 0*1) sin(».+ 1)l«-^l _8r.D v 4 1 ш (s + l)(s + 2)sin (s + 3) |в — 0fe|
(s + 2) (s + 3)+ (1 — p2) Revi1^p, @)j ++пр3аг
8 kD2s + 5 + v(1 - P2) + /"> (p. 0) ; (24.27)Mr + Af* = p* (n' + v) У j/=f (p, 0) - (x — |0 — 0*|) XЛшЛ. ^ 5 + 12*X Sin (s + 1) i© — 0*| 0)1+ ( L_! xJ 2n [ 1 + vX1(s + 1) (s + 3)+ /(2,(p. в)} ;(24.28)мв-мг= p-sa(\ -v) У {Fi*>(p, 0) + ps+i (TC — ie — 0*1)x471X [sin (s + 1) |0 — 0*! — sin (s + 3) |0 — 0ft|] + 2Rev{k] (p, 0)} +, npsa( 1 — v) f / 14ks “j” 3+/(3)(p, 0)! ; (24.29)p2 s + 1) JMr% = — V) S l^*3) (P. 0) ± p"+1 (^ -10 - 0*1) XkX [cos(s + 1)(0 — 0*)— cos (s + 3)(© — ©*)] +2//tm43)(p, ©)} +npsa (1 — v) -2+8tc/(3)(Р, в),(24.30)где Re и Im — действительная и мнимая части функций, перед ко¬
торыми они стоят.В формуле (24.30) у слагаемого с двойным знаком плюс берется,
если &<вк. _ _Функции Fk) , F£3); /(/) и /(3) те же, что и в случае «а» на¬
стоящего параграфа. Далее:186
Другая форма выражений для прогибов и усилий:w =1ЪiD(5 + 1)2 (5 + З)2со '[(sa + 5s + 4) + (s + 1) v (s + 3) (s + 2 + v)2 (1+v)2(1 + v)-xX p- + PI+31 +1J ^ I Un + s + 1) Un — s — 3) (jn + s + 3)
/=1p7« +++1(jn — s — 1) (in + 5 + 1) (jn + s + 3) 2 [(y„)2_(s+l)2] [{jny _ {s + 3)2]+1 — p2(jn + 5 + 1) (jn + s + 3) (2jn + 1 + v)p inp/n+2
pS+3 _|_> cos jflBy (24.32)где штрих при 2 обозначает, что если —— или s — целые, топпслагаемые, знаменатели которых обращаются в нуль при / =5 + 1И ] =s + 3пп, опускаются, а вместо них добавляется1прьаА16%D (5 + 1) (s + 2)р*+3 (2 In р — 1) COS (s + 1) О,5 + 1если \ — целое ип1npsa? t 16тсО (s + 2) (s + 3)s + 3p*+3 (2 In P + 1) COS (5 + 3)0,если / =nцелое;(24.33)
.. . .. nPsa (I + v>
' + M* — 2rc2 (5 + 2 -f v)1CO'/=1(S + 1)2(S + 3)(1+V)
2 (jn + 1)4~где если(jtl — s — 1) (jn + s -f-1) (jn -f- s + 3) 4(Уя + 1) (jn + s + 1) (jn -(-5 + 3) (2jn + 1 + v)pM +(S+ l)2
2Ps+,-f9s+t -b(jn)*-(S+ 1>2р;лs + 1cosy>*0 j , (24.34)n—1 целое число, то вместо опущенного слагаемого,добавляется- "У+Уpi+1 (2 ,п р+тЬ) cos(s+1)в; (24-35>Ме~Мг= >.ОО/=12 (s + 1) (s + 3)
jn (jn — 1)p*+i +(jn + s + 1) (jn — s — 3) (jn -t- s 4- 3)/7=4s=0 5=/р/л-2 _j_J = v30.0/50.0500,0250\ч\\4ч\\
\ \\ \
\ \
4 ч 1\ Л T
\\lО 0,2 0,4 0,6 0,8 pРас. 1.87188
+jn(jn + 1)(jn — s — 1) (jn + s + 1) (jn + s -f 3): PJn —1s 4- 1s + 3 p*+i _) jn(jn-l) d/„_2 _2 \ (jny-(s+ l)2
PJ(Jnf — (S + 3)2 ' ' On + s + l)(/n + s + 3)(2;n + l+v)jn (jn -f- 1)(jn + s + 1) (jn + s + 3) (2jn + 1 + v)p/«COS jn0, (24.36)где если (s+l)//i или (s+3)/n целые, то вместо опущенных слагае¬
мых добавляется3s + 5npsa (1 - v) +1(s+ 1) (s 2)COS (5 + 1)05+1при ]= Ипnpsa( 1—у) 5+18я2 In р -+ ■
при / =ооiH„- wO-yj£l_3s+ 7(s + 2) (s + 3)
s + 2jncos (s + 3) 0(24.37)jn (jn — 1)2t./=is=0(jn + s + 1) (jn — s — 3) (jn + s + 3)✓7=45=/4€A
42
О
-0,2
-ом0Я?4s \О,2 О,** О,6 0,<гP-Rме0.20,1О-0,1-0,2Ос\2 СU с,6 фРs=2s-3ме0,0500,0259О-0,025-0,0500л>-ия^г~'4 Nч. \0,2 О,* о,6 ^Рмв0,0500,025О-0,025О''=^ZL0\2 С\и ц4Рис. 1.88189
+jn(Jn+l) 1 pjn (jn — s — 1) (jn + s + 1) (jn H- s + 3) 2S + 1s -j- 3jn (jn — 2)(yn)2-(S+l)2
р/л-2 _(jn + s + 1) (jn -f* s + 3) (2jn + 1 + v)jn (jn + 2)(jn + s + 1) (jn + s + 3) (2jn + 1 + v)
где вместо опущенных слагаемых добавляется3s -f* 5рМ siny/гв, (24.38)пр,а (1 - v) +1
8л2 In р +(s + 1) (s + 3)sin (sS -f- 1при J = —!— иnпРьа (1 v) ~+1
8те2 In р + ■
при j =3s-f-7(s + 1) (s + 3)5 3Пsin (s + 3) 0► (24.39)Графики коэффициентов~п 2тсЛ*г = Т7 2пМг> Me =.Afe(24.40)naps napsдля некоторых п и s показаны на рис. 1.87—1.89; принятые здесь
обозначения — те же, что и на рис- 1.84—1.86. Значения коэффи¬
циентов М г и М%\ приводятся в табл. 1.128—1.131. Этими таблицами
пользуются так же, как и табл. 1.120—1.123.п=8S=2s=3Рис. 1.89190
Таблица 1.128КоординатыточекМг и yVfg для ряда значений s при числе загруженных радиусов п=3ГР=1Ге5=05=15=25=35=40—0466666702062500195555551552083136000000,250005894194001908151т08972342Тт4914828тг315360674248472382131111987966211784306327л005704416001969Э66ГI9806876гт57251761т37998233574800817437438240918487239331633330,500004497472001877808001005538гI6061449тг396036365007592575444136223882344935423379кТ003432512001334321IГ7157988г14453100гI3030022442360414550067089012415810127228590,700003224920001688957001077765т07438999тт537608854266062492327149963910049517153306т:1Г001834496I07370489I14053926тг2569196гт1771935350016412135146105462365273724225250,900001496814001006943Т07861287Iт6472139гI547834338621381908675127427895621267619971тс3г05370479гТ2159813ТТ11915312т75752622т5238997264716695142034908779298924820078091,0000000000000Тооооооо0Iооооооо0ооооооо0ооооооо247337197547875427482——7100ооооооо0Iооооооо0Тооооооо0Гооооооо0тооооооо322457498163540424735826024101756193191
Таблица 1.129КоординатыточекМг и Afg для ряда значений s при числе загруженных радиусов п=4г^ ~ а05“05 = 15 = 25 = 35=40—076666702062501955555155208313600000,2500058303700192219т0917801II543636тI352903694386219447103208580683376933ТС005734770019578011964994Тт550030Iт43294945995271856478853245335892820410,5000041728600170928I0912856Iт552658т1363882594893228115119161717109471971710036363001448391Т785713Iг491236гт335233445806601531607521884431302907360,7000028352000142535I0892752тт610321Iт43881949222211216181127151841519594790тс00200755I0847602ТТ480853Iт311067тI21762943599971264096391933829522539170,90000124364г0801027Г06139201т5004891г421119354302166094107327788464619280714I0595452гI254454ГТ146111г9553172I6743072707049856085123373133652110351,00000ооооооо01ООСОООО0Гооооооогооооооо0ооооооо240508929214509043325751—тс00ооооооо0гооооооо0Гооооооо1ооооооо0Iооооооо4228546840762441046271787184143192
Таблица ГЛЗОКоординатыточекМг и Mq для ряда значений 5 при числе загруженных радиусов я*?6ГР”Тв5-05=15=25=3ir=40—0766666702062500195555551552083136000000.2500057993050019390651Г93898031I53205691I3473709658642720629319719670574628037379317С005732732001935808ГТ9432478т15696185I137313586619738219437889325228528293234549340,500003964992001606064Г08606688I15257280I1349519554621812015225103556961962924073122X003766315001518073гI8253148тт5152675тI35011996477145816368398169581486207332154660,700002529710001213004I07415799Iг5004111ТТ357402244633911852926105509868511734787961л002168912г09586061гI5604341гт37014911т26274996371742113319196815970411192027374010,900001016941I06114712ТТ4526496гт3614916Iт3001202325467114300608825957627585848140557С~6~г. 06609312т03023264Гт1823443Iт12373182т8988643276234010199465350421329146922245421,0000000000000I00000000Т00000000т00000000Г000000023595538959351483768630587422119434к0000000000т00000000Т00000000т00000000I000000062314457860347945497372821333192060113—511193
Таблица 1.131КоординатыточекMf и Mg для ряда значений s при числе загруженных радиусов п=8гР а05=05=15 = 25 = 35 = 40—07666667020625001955555515520831360000000578256801939995I9414067Г5468629г39317220,250646956402025471г9586908г557106213292641ТС0573599001931929т9399418г5569480I314816580626228601967478I9423152I5426808г401445700390458101578833I8492852т5219478т34930950,500526479401906371г9718989т5801200I3813527тс0379931801532926т8314998г5172196т349953880486546501691272т8511856г5092814т338055600242137401136478т6868050I4606960\32822630,70042610980171295319553553т6122393т4243569тс0223226501004100т5939063I3953366I282104080378575501376223I7119220т4329165I28990990т9195560I5277506т3800254I2980155г24428010,900312504101323282179281251550928514151710тсI6954176т3297830т2045704т1419911т10508608027890780103806715477969133841491229374100ооооооо0ооооооо0ооооооо0ооооооо0ооооооо1,000234544518850135147503781298762112060694тс0ооооооо0ооооооо0ооооооо0ооооооо0ооооооо80232400318673859146036641286357511954686Угол поворота ср9 нормали пластины в радиальной плоскости
определяется формулой (24.25). Величины коэффициентовЪ = ?г, (24.41)npsa2определяющих углы поворота нормали пластины в радиальной пло¬
скости для некоторых точек .лежащих на радиусах загружения,
даются в табл. 1.132—1.135. В качестве точек д взяты нули нечет¬
ных полиномов Чебышева-194
Таблица 1.132р/epr в формуле (24.41) при 3s = 0s=15 = 25 = 35=42 i — 1 пPi0,273690,107970,060120,038970,027587 - 2P20,263780,097740,051210,031340,02101<< = 1, 2, 3)Рз0,186020,058910,027800,015930,010272/ — 1 71
Pi -COS •PiP20,273220,271880,107920,104140,060170,056430,039060,035550,027680,02445i7 Z(i = 1, 2, 3, 4)РзP40,240460,155340,837290,047360,041720,022070,024570,012640,016010.00818Pi0,272930,107850,060160,039080,027712l 1 71P20,273950,106450,058330,037200,02590Pi-cos n ‘ 2Рз0,260290,095370,049480,030040,02001(/ = 1, 2, 3, 4, 5)P40,225530,076150,037160,021600,01398Ps0,132970,039620,018390,010550,00684Таблица 1.133hfr в формуле (24.41) при n=45=05=15=25=35 = 42/ — 1 it
P; = cos ? . 2(/ = 1, 2, 3)PiP2Рз0,266170,259770,189720,102840,095450,061420,056370,049810,029520,036110,030440,017150,025310,020420,011172/ — 1 tz
P' = C0S 9 -T
(i = l, 2, 3, 4)Pip2РзP40,265660,265920,240050,159670,102740,100330,083950,049960,056380,053660,042130,023730,036160,033530,025000,013750,025370,022930,016420,008972/ — 1 тс
Pf = cos n • 2(/ = 1, 2, 3, 4, 5)Pip2РзP4Ps0,265360,267180,256940,226710,137190,102660,101980,093570,077370,041970,056360,055180,048460,038210,019810,036160,034870,029430,022450,011480,025390,024100,019640,014670,0074913*195
Таблица 1.134р/срг в формуле (24.41) при л=65=05-15=25=35=42/ — 1 тсР; — COS7 2Pi0,261090,099150,053550,033880,02350Р20,257710,094270,049120,030030,02018(i = 1 % 3)Рз0,192190,063100,030680,017980,011782/ 1 7ГР/ = cos • —Q 9PiР20,260540,262250,099010,097870,053520,051990,033890,032320,023530,02203У Z(/=1, 2, 3, 4)РзР40,240560,162030,084640,051380,042800,024610,025600,014340,016930,00938Pi0,260220,098910,053490,033880,023552/ — 1 кPi = cos11 2Р20,262810,098920,052920,033150,02276Рз0,255400,092790,048070,029250,01958(/ = 1, 2, 3, 4, 5)Р*0,228170,078640,039240,023290,01533Рб0,139200,043060,020450,011880,00776Таблица 1.135р/(?r в формуле (24.41) при n=85 = 05=15=25=35=42/ — 1 пPi0,259520,097930,052580,033080,02284Р/ — cos • —
7 2Pa0,257330.09Ю90,049030,030010,02019(i = 1, 2, 3)Рз0,192810,063520,030970,018180,011922 / — 1 %Pi0,258950,097770,052530,033070,02285Pi — cos0 9P'20,261290,097190,051430,031890,02170У zРз0,240950,085010,043140,025880,01717. (i = 1, 2, 3, 4)• - _*t ОPi0,162500,051650,024780,014440,00944-Pi0,253630,097660,052480,033060,022842/ — 1 яP20,261550,097980,052210,032590,02231Pi — cos
■ 11 2Рз0,255200,092740,018100,029320,01966(i = 1, 2, 3, 4, 5)P40,228740,079120,039630,023590,01558P50,139550,043240,020540,011930,00779196
в. Пластина под действием моментной радиальной нагрузки, рас¬
пределенной вдоль нескольких равноотстоящих радиусов по закону
msf (рис. 1.90).Любое из перемещений и усилий для указанного вида нагрузки
может быть получено по формуле®m,s=s<f>PtS-i . (24.42)Здесь через Фт, s обозначена любая величина (перемещение или
усилие), соответствующая моментной нагрузке ms f, а через
Фр<5_1 —та же величина от нормальной нагрузки ps-1 р5-1 , при¬
чем ps-\ = ms/a. Например, прогиб wm> 2 от моментной нагрузки,
распределенной по четырем равноотстоящим радиусам по закону
т^ф, равенЧМт, 2 — 2Wpt 1 ,где wPf 1 —- прогиб в такой же пластине, вызванный нормальной на¬
грузкой, распределенной вдоль тех же четырех радиусов
по закону т2д{а.Глава четвертаяКРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ§ 25. Основные дифференциальные уравнения и зависимостиДифференциальное уравнение изгиба пластины переменной тол¬
щины имеет в полярных координата-х г, в следующий вид:гч о о , dD /0 д3т 2 + v d2wBy V ^ + - ■ 2 h ^дг у дг3 г дг21 dw . 2 d3w 3 d2w . ,• о -\лп о л /-\ 9 I Iг2 дг г2 дгдв2 г3 дВ. дЮ ( d2w , v dw . v d2w л А /or 1ЧН Н • —- - — а = 0, (25.1)дг2 \ дг2 1 г дг г2 дв2 1 4 \ >197
гдеV-до =d2wdr2+dw~dr+d2w~d&(25.2)После того, как найдена функция прогибов до (г, 8)у могут быть
определены усилия в пластине.Радиальный изгибающий момент на единицу длины цилиндри¬
ческого сечения радиуса гMr=-Dd2w , ( 1
+ vdwdr2dr+ Лd2wdQ2(25.3)Окружной изгибающий момент на единицу длины меридиональ¬
ного сечения пластины в точке г, 6Мн = — D (vd2w1dwdr2 г drИнтенсивность крутящего моментаМгв = — Me г = — D (1 — v)+1d2wаеаdwdrde(25.4)(25.5)Перерезывающие усилия на единицу длины соответственно ци¬
линдрическому и меридиональному сечениям пластины определяют¬
ся из равенств:QI-4 d I) d Dr = — D v ад —drdrd2w , /1+ v —dr2dw 1drQ©D —-— у2до — (1 — v)rd&drdr_1_rd2w~d¥dwd0; (25.6). (25.7)Опорная реакция на кромке пластины, концентричной контуру,d2 ( 1 dwVr = — DdDdrdy-w 1 — v
dr 7~d2wdrd0dr2+ -•
rdwdrdQd2wdQ2(25.8)§ 26. Свободно опертая круглая пластина толщиной, убывающейот центра по линейному законуа. Нагрузка, равномерно распределенная по всей поверхности
пластины (рис. 1.91, а).Обозначенияа — радиус пластины, см;= <?о (1—{?) — переменная толщина пластины, см;198
— толщина пластины в центре, см\
г — расстояние точки от центра пластины, см\
w — прогиб пластины, см\Мг — радиальный изгибающий момент на единицу
длины цилиндрического сечения пластины, кгХ
Хсм/см\м<£ч? | чЛвWМРис. 1.91Мв — окружной изгибающий момент на единицу длины
меридионального сечения пластины, кг-см1см\
q — интенсивность поперечной нагрузки на единицу
площади поверхности пластины, кг!см2.Расчетные формулы [2, 11]Изгибающие моменты и прогиб при коэффициенте Пуассона v=0,3
можно вычислять по формулам:Mr = krq0a2\ (26.1)M* = keq0a2; (26.2)ОВеличины коэффициентов k п k@ и kw , входящих в формулы(26.1) — (26.3), для ряда точек приведены в табл. 1.136.199
Таблица 1.136Гр“ а~кг.-*01гР а~кг-*б '—0,000,3984039840,0000,51022320,1467 '0,7680,010,3956039280,0000,52021910,14260,8100,020,3928038730,0010,53021510,1385 10,8550,030,3899038180,0020,54021090,13440,9010,040,3870037620,0030,55020680,13040,9490,050,3841037080,0050,56020260,12641,000,060,3812036530,0070,57019850,12251,0530,070,3782035990,0090,58019430,11861,1080,080,3752035450,0120,59019000,11471,1670,090,3722034910,0150,60018580,11091,2320,100,3692034370,0190,61018150,10721,2900,1Г0,3661033830,0230,62017730,10341,3570,120,3630033300,0270,63017300,09971,4270,130,3599032770,0320,64016860,09611,5000,140,3568032240,0380,65016430,09251,5770,150,3536031720,0430,66015990,08901,6580,160,3504031190,0490,67015550,08541,7420,170,3472030670,0570,68015110,08201,8310,180,3440030150,0640,69014670,07861,9260,190,3407029640,0720,70014230,07522,0240,200,3374029120,0810,71013780,07192,1280,210,3341028610,0900,72013330,06862,2440,220,3307028110,1000,73012880,06542,3410,230,3274027600,1110,74012430,06222,4760,240,3240027100,1220,75011970,05912,6050,250,3205026600,1330,76011510,05602,7430,260,3171026100,1460,77011060,05302,8890,270,3136025610,1590,78010600,05003,0450,280,3101025110,1730,79010130,04713,2120,290,3066024630,1870,80009670,04433,3870,300,3031024140,2030,81009200,04153,5810,310,2995023660,2190,82008730,03873,7800,320,2959023180,236'0,83008260,03604,000,330,2933022700,2540,84007790,03344,2350,340,2887022230,2730,85007320,03084,4930,350,2850021760,2920,86006840,02834,7720,360,2813021290,3130,87006360,02585,0790,370,2776020820,3450,88005880,02345,4120,380,2739020360,3570,89005400,02115,7780,390,2701019900,3810,90004920,01886,2020,400,2663019450,4060,91004440,01666,6700,410,2625019000,4320,92003950,01457,2030,420,2^87018550,4590,93003460,01247,8200,430,2548018100,4880,94002970,01048,5450,440,2509017660,5180,95002480,00859,3210,450,2470017220,5490,96001990,006610,520,460,2431016790,5810,97001490,004911,950,470,2392016360,6150,98001000,003214,030,480,2352015930,6510,99000500,001517,660,490,2312015510,6881,0000000,000000,000,500,2272015090,727200
Таблица 1.137гp = а*гЛ0kw0,00оооо0,000,014,1904,5010,000,023,6893,9880,000,033,4133,6830,020,043,1913,4310,030,053,0193,2370,040,062,8743,0720,060,072,7502,9180,080,082,6392,7990,100,092,5392,6810,130,102,4482,5730,160,112,3642,4730,180,122,2852,3800,220,132,2122,2920,260,142,1442,2090,300,152,0792,1300,340,162,0172,0550,390,171,9581,9840,440,181,9021,9160,490,191,8491,8510,550,201,7971,7860,600,211,6481,7280,660,221,7001,6700,720,23 11,6531,6140,790,241,6091,5600,860,251,5671,5080,930,261,5251,4581,010,271,4851,4081,060,281,4451,3621,180,291,4071,3161,250,301,3701,2721,340,311,3341,2291,430,321,2991,1871,530,331,2641,1471,610,341,2321,1091,730,351,1981,0691,840,361,1661,0321,950,371,1350,99602,060,381,1050,96102,180,391,0750,92692,300,401,0460,89372,440,411,0170,86152,560,420,98970,83012,690,430,96220,79962,830,440,93540,76992,980,450,90920,74113,130,460,88350,71303,280,470,85830,68573,440,480,83360,65913,610,490,80930,63323,780,500,78550,60813,95гР = аkr*0kw0,510,76220,58364,130,520,73930,55994,320,530,71690,53674,510,540,69480,51434,720,550,67310,49244,920,560,65190,47125,140,570,63100,45065,360,580,61040,43055,590,590,59030,41115,820,600,57050,39226,050,610,55100,37396,320,620,53190,35616,580,630,51310,33886,850,640,49460,32217,130,650,47640,30597,420,660,45860,29027,720,670,44100,27508,040,680,42380,26028,360,690,40680,24608,700,700,39010,23229,050,710,37370,21899,420,720,35760,20609,800,730,34170,193610,220,740,32610,181610,610,750,31080,170111,040,760,29570,158911,500,770,28090,148211,970,780,26630,137912,470,790,25190,128012,980,800,23780,118513,540,810,22400,109214,110,820,21030,100614,740,830,19690,092215,390,840,18370,084216,080,850,17070,076516,820,860,15790,069217,610,870,14540,062218,460,880,13310,055619,390,890,12090,049320,410,900,10900,043421,490,910,09720,037722,700,920,08570,032424,060,930,07430,027325,600,940,06320,022627,350,950,05220,018229,450,960,04140,014032,000,970,03080,010135,260,980,02030,006539,840,990,01010,003147,581,000,00000,00000,000201
б. Сосредоточенная сила Р, приложенная в центре пластины
(рис. 1*91, б).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 26.
Расчетные формулы [2, 11]
Изгибающие моменты и прогибы в пластине при коэффициенте
Пуассона г=0,3 можно вычислять по формулам:Mr = kr Р2к(26.4)— Р
А4@ = k@(26.5)w = kW2r.Ebl(26.6)Величины коэффициентов kn k& и kw, входящих в формулы
(26.4) — (26.6), для ряда точек Q- — приведены в табл. 1.137.Таблица 1.138р =а0,000,010,020,030,040,050,060,070,080,090,100,110,120,130,140,150,160,170,180,190,200,210,220,230,240,25*82,0737
2,0592
2,0448
2,0305
2,0162
2,0021
1,9880
1,9740
1,9600
1,9461
1 9323
1,9186
1,9050
1,8914
1,8779
1,8645
1,8512
1,8379
1,8247
1,8116
1,7986
1,7856
1,7728
1,7600
1,7472
1,73462,07372,04482,01611,98761,95941,93141,90361,87611,84881,82171,79481,76821,74181,71561,68961,66931,63841,61311,58811,56121,53871,51431,49021,46631,44261,41920,0000,0000,0040,0080,0140,0230,0330,0450,0600,0770,0950,1170,1400,1660,1950,2260,2590,2960,3350,3770,4230,4710,5230,5780,6360,698р =а0,260,270,280,290,300,310,320,330,340,350,360,370,380,390,400,410,420,430,440,450,460,470,480,490,501,72201,70951,69711,68471,67241,66021,64811,63611,62411,61221,60041,58861,57701,56541,55391,54241,53101,51981,50851,49741,48631,47531,46441,45361,44281,39601,37301,35021,32771,30531,28321,26141,23971,21831,19711,17621,15551,13501,11471,09461,07481,05521,03581,01670,997730,979020,960550,942290,924270,90645-ft,w0,7640,8340,9070,9851,0671,1541,2451,3411,4431,5491,6611,7781,9022,0322,1682,3112,4612.6192,7852,9593,1413,3323,5343,7453,967202
Продолжение табл. 1.138ГР = -^Гкг*6г^ — аК*0_ ь
Kw0,511,43210,888894,2000,761,18930,5221317,360,521,42150,871534,4450,771,18050,5103518,490,531,41100,854404,7020,781,17190,4987919,730,541,40050,837504,9730,791,16330,4874521,090,551,39010,820825,2580,801,15480,4763422,570,561,37980,804365,5580,811,14630,4654424,210,571,36960,788135,8740,821,13800,4547726,030,581,35940,772126,2080,831,12970,4443128,050,591,34930,756346,5590,841,12140,4340830,320,601,33930,740786,9290,851,11330,4240632,870,611,32940,725447,3230,861,10520,4142735,780,621,31950,710337,7370,871,09720,4046939,120,631,30970,695448,1760,881,08930,3953343,000,641,30000,680778,6410,891,08150,3861947,560,651,29040,666339,1340,901,07370,3772752,990,661,28080,652119,6570,911,06600,3685759,590,671,27130,6381110,210,921,05840,3600867,780,681,26190,6243310,810,931,05080,3518178,230,691,25260,6107811,440.941,04330,3437692,050,701,24330,5974512,110,951,03590 „33593111,250,711,23410,5843412,840,961,02860,32831139,790,721,22500,5714513,610,971,02130,32091186,910,731,21600,5587914,450,981,01410,31373280,260,741,20700,5463515,340,991,00700,30676557,330,751,19810,5341216,311,001,00000,30000оов. Нагрузка в виде радиальных моментов М, равномерно распре¬
деленных по контуру пластины (рис. 1.91, в).Обозначения всех величин те же, что и в случае «а» § 26.
Расчетные формулы [2]Изгибающие моменты и прогибы в пластине при коэффициенте
Пуассона v = 0,3 можно вычислять по формулам:Mr = kTM\ (26.7)
Мв = £0М; (26.8)= (26.9)Значения коэффициентов kr> ke,kw, входящих в формулы
(26.7)—(26.9), для ряда точек о= — приведены в табл. 1138.а /203
§ 27. Пластина толщиной, изменяющейся вдоль радиуса по
экспоненциальному закону, под действием равномерной нагрузкиа. Пластина, жестко закрепленная по контуру (рис. 1.92, а)Обозначения—Лр*ёР=д0е ь —переменная толщина пластины, см\II 1 НПШТППШ~:7 ' 1 /тлишсв?/;;;;////////.ап</7/;//zan 4WШМННИИНШГШ!IHIU 1ГГГТГГТТПО/////////А////////1 бр ™аWРис. 1.92п — варьируемый параметр (рис. 1.92, в);<50 — толщина пластины в центре, см;
бр — толщина пластины на расстоянии г от центра, см.
Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 26.Расчетные формулы [11]wшах__и. 6(1 V2) _4>k-W У ’ЕК* I L «5 <>°r= ±kT-т да2;* 3<30 = ± k@ -к- qa2.ъо(27.1)(27.2)(27.3)204
Коэффициент kw для пластин с разными величинами параметра п
приведен в табл. 1.139.Таблица 1.139п4321О0,08010,06390,05050,0398Продолжение табл. 1.139п0-1—2-3-4к0,03130,02460,01920,01520,01195Коэффициенты kr и k%, входящие в формулы (27.2) — (27*3), для
пластин с разными величинами параметра п для последовательных
значений д=— приведены в табл. 1.140 и 1.141.аТаблица 1.140пkr при Р=-£-00,20.40.60,81,0—4-3-2—101234-0,092-0,104—0,123—0,135-0,155—0,182—0,213—0,235-0,266—0,071—0,087—0,110—0,125—0,143—0,168—0,200—0,228-0,260—0,035-0,045—0,057—0,069—0,090—0,130—0,162—0,200—0,2450,0500,0400,030-0,020—0,040—0,053—0,068-0,105-0,1720,070
0, ('73
0,077
0,081
0,085
0,089
0,030
0,096
0,100Та б0,0730,1020,1410,1900,2720,3250,4200,5600,680• лица 1.141п*6 при р= а00.20.40,60,81.0—4
—3
—2
—1
0 •
1
234—0,080—0,105-0,130—0,155—0,170—0,198—0,225-0,254—0,290—0,070
—0,090
—0,110
—0,132
—*0,158
-0,186
—0,208
-0,238
—0,270—0,060—0,076-0,091—0,116—0,134-0,160—0,190-0,220—0,250—0,050—0,061-0,072-0,083—0,097—0,110-0,130—0,155-0,1900,0400,0300,020—0,010—0,028—0,042—0,058—0,073—0,0900,0400,0500,0620,0860,1080,1290,1520,1780,200б. Свободно опертая по контуру пластина (рис. 1.92,6).
Обозначения те же, что и в случае «а» § 26.205
Расчетные формулы [11]»«.« = К 6(173~')2 ?«4; (27.4)ЕЬ0°Г = ± к, 4- ?а2; (27.5)О30 = ± k% \ qa2. (27.6)soКоэффициент kw для пластин с разными величинами параметра п
приведен в табл. 1.142.Таблица 1.142п432I0-1-2-3-4]0,223310,19440,16920,14710,12730,10980,09370,07910,066Коэффициенты kr и k&, входящие в формулы (27.5) и (27.6), для
пластин с разными величинами параметра п для последовательныхГзначений д=— приведены в табл- 1.143 и 1.144.аТаблица 1.143пkr прир *= г00,20,40,60.81.0—4—0,270—0,250—0,180—0,100—0,0600—3—0,302—0,286—0,226-0,151—0,1030—2—0,333—0,322—0,272—0,203—0,1460—1—0,364—0,357—0,317—0,253-0,18800—0,398—0,394—0,363-0,302—0,23101—0,428-0,430—0,411-0,354—0,27302—0,461—0,467-0,457—0,405—0,31603-0,495—0,505—0,503—0,458-0,36104—0,530—0,541—0,550-0,520-0,4060Таблица 1.144п*0 при Р = а00,20,40,60,81,0—4—0,290—0,270—0,250—0,180—0,150-0,150-3—0,320—0,301—0,281—0,217—0,181—0,156—2-0,351—0,329—0,310—0,255-0,212—0,162—1—0,379—0,359—0,342—0,393-0,243—0,1690-0,409—0,388-0,373—0,430—0,275—0,1751—0,440—0,419—0,404-0,469—0,306—0,1822—0,469—0,449—0,434—0,507—0,337—0,1863-0,500—0,478—0,463—0,545—0,367—0,1934—0,530-0,510-0,500—0,480—0,400—0,200206
§ 28. Кольцевая пластина толщиной, убывающей от центра
по линейному закону, под действием поперечной нагрузки,
распределенной по закону плоскости, проходящей через центр
пластины, при любых условиях на контуреТакая задача встречается, в частности, при расчете дисков, нахо¬
дящихся в поле кориолисовых сил инерции собственной массы
(рис. 1.93). Так, если круглый диск совершает сложное движение,
состоящее из относительного вращательного движения вокруг оси,
проходящей через центр, перпендикулярно к срединной плоскости,
и переносного движения — вращения вместе с осью вокруг другой
оси, лежащей в срединной плоскости пластины и перпендикулярной
к первой оси, то возникают кориолисовые силы инерции, распреде¬
ленные по закону плоскости и вызывающие изгиб пластины.Ниже излагается приближенный способ расчета такой системы,
основанный на методе начальных параметров и на за¬
мене пластины конического профиля пластиной, состоящей из п
кольцевых участков постоянной толщины в пределах каждого
участка. Длины участков в радиальном направлении приняты оди¬
наковыми.ОбозначенияЬ = г0 — радиус внутренней окружности пла¬
стины;a — rn+1 —радиус наружной окружности пла¬
стины;г, & — полярные координаты;R=—а — Ь 1_£—радиус «полной конической» пластины;1 + bafibг о Ь ар=у; po = P=y: р»+1<?о — толщина пластины в центре;Ьь, Ьа — толщины пластины на внутреннем и на¬
ружном контурах;&р —tfoU—о) —переменная толщина пластины;ЕЬоD0 = — — цилиндрическая жесткость пластиныв центре;wn, <?п — прогиб, угол поворота пластины в точке,
лежащей на граничной окружности ра¬
диуса гп при 0 = 0;Vr. п , Мг, п — интенсивность приведенного перерезы¬
вающего усилия и радиального изги¬
бающего момента, в цилиндрическом се¬
чении гп при <9 = 0;207
Me—интенсивность окружного изгибающего
момента в меридиональном сечении на
граничной окружности радиуса гп при
0=0;Wn-u <?п-ь Vr,n-u Мг,п-и Мв,п-1 —величины прогиба, угла пово¬
рота и усилий на граничной окружнос¬
ти радиуса гп-\ при <9 = 0;
ш0, <ро, V г, о, Мг,о, М©, о — те же величины на внутреннем контурепластины, /?=£о=— при <9 = 0;со —угловая скорость относительного вра-
щения пластины;(Oi — угловая скорость переносного вращения;
у — объемный вес материала пластины;
g — ускорение силы тяжести;у0 = 2 — ау(0\.gРасчетные формулы [2]
wn — Ап—1 -j- Вп—i То “Ь Cn-i Vr, о “Ь Фя—1 Mr, о -j- Еп— i 2; (28.1)Фл = Ап-i ^0 "Ь Bn—1 То ~Ь Сп-1 Vr, о ~Ь Ф/1—1 Мг, о + Еп-х 2; (28.2)Vr, п = Ап—1 w0 + Вп-1 ср0 -f- Сп—1 Vr, о Ч- Ф/1—1 Mff о En-i 2; (28.3)Мг, п — Ап— 1 w0 -f- Вп-1 9о Сп-х Vr, о Фл-1 Мг, о + Еп-\ Q.(28.4)
Кроме того,Же, „ = Mr, п + Мг’я+'~М'->‘. рп + к,, nRPn. (28.5)Рл+1 РпФормулы (28.1) — (28.4) содержат не действительные, а «приве¬
денные» перемещения и усилия в пластине, определяемые следую¬
щими зависимостями:wn = wn; Мг,п =<Рл = #?/»; М@,п =&Do№D0V — V • Q =
l' г, л : — V г, п, * —Mr, n’jМ©, л;
2.(28.6)Знак ~ стоит над обозначениями «приведенных» величин. Все
«♦приведенные» величины имеют размерность длины.208
—^гтгттп"ПГШТТТ^ЩПЗЗШЕПП^r-j>R
Рекуррентные формулы (28.1) — (28.4) позволяют определять
перемещения и усилия в пластине в точках, лежащих на граничной
окружности радиуса г п в зависимости от аналогичных величин на
«начальной» окружности радиуса г0-
Для облегчения расчета составлены таблицы коэффициентов
^Ап-1 , Вп-1 , ..., Еп-1 , входящих в формулы (28.1)—(28.4), в пред¬
положении, что кольцевая пластина разбивается на четыре коль¬
цевых участка одинаковой ширины в радиальном направлении.Коэффициенты Ап~\ , Вп-\ , Еп-\ для ряда параметров Qo=f$
и Qi = a приведены в табл. 1.145—1.155.Таблица 1.145Пластина с параметрами р0 ■= = 0,02 и р4 = —~ = 0,3пАп—1вп-1Сл_1 • 10»фл-1Еп-\ - W1—2,849430,15141-0,36979—0,028480,250182—28,724800,78388-2,84764-0,163012,107393-102,375002,45975—10,00840—0,5165344,363704—261,159906,00457—25,62290—1,27885195,20400tl— 1вп-1~Сп-1 • «О*!•л-1Л-1 •1041—161,4794,52675—1,52684—0,958570,158942—648,54515,16440—6,25642—3,216992,083483—158,30035,66710—15,50050-7,4970510,719104—3199,12070,86900—31,45300-14,8062037,28030пA/i—1Сп—1114197,12—91,66610,4563517,28840—0,2614324083,43—89,18310,4186917,86010—0,7791333965,04—86,59760,4007817,69810—1,5105443847,18—84,03690,3867917,17400-2,40025пА*лп-1<-1*Сп-1 • 10л*V-1Еп-1 • 1011374,30—8,17490,353491,78670—0,662682639,15—13,95920,624872,93504—3,722223887,63—19,38600,875894,03713—10,6060041120,50—24,47191,109905,07615—22,41810210
Таблица 1.146Пластина с параметрами р„ = —= 0,1 и р4 = = 0,4К кп*л-1вп-1Сп_1 • ю*фп-1Еп-\ • ‘0*10,958160,07918—0,90419—0,041470,0017920,452120,20479—7,19160—0,179750,040383-1,072290,43218—25,54800—0,460860,320334—3,673210,76551—66,23500—1,007111,01410пАп-1вп-1^tl — 1*я—12ГЯ_1 • ю*1—2,350171,23502—0,03408—1,085401,095802—11,790992,17910—0,14239—2,641001,013903—19,570012,93423—0,35630-5,141524,597604—50,795496,17154-0,75012—9,4368315,10000пАп— 1—1Сп—11• 10>129,85478—2,985490,62548—2,25634—5,28500231,01292—3,101310,515502,99595—16,39100330,31797—3,031520,464383,22353—27,16400428,63990-2,861860,432693,26775—39,00900пА*лп-1<-гг*сп-1Л*Фя-1К-i ■,с"15,22461-0,522470,052310,96629—0,2424527,75323—0,774670,088871,14899—1,0375039,85342—0,984750,120151,35535—2,50070411,45599—1,144380,148051,55711-4,70810Таблица 1.147Пластина с параметрами р0 = = 0,1 и р(= == 0,5Д *\пля-1вп — \Ся_1 • ю*фп-1Еп-\ -Ю*10,875020,11250—2,12190—0,076470,121002—0,358300,33583-17,61500-0,356570,302903—4,247990,82478—66,62400—1,022191,158804-13,691121,96938—187,40000—2,445861,67380пАп-\вп-1Сп— 1ф/1-i~еп-\ -10*14,375101,43750-0,05946—1,522210,812572-21,385073,13849—0,26688—4,172663,413103—57,752236,77517—0,72762-9,2815515,225004—132,3738414,24724—1,71633—11,1228355,98200пАп-1! 1Сп — 1®-л1!л_1 • ю»12,998691-2,998670,578132,65625—10,1600022,983381—2,983350,479903,22786—23,5250032,862845—2,862830,434423,31852-39,1830042,731868—2,731850,403843,26482—55,62500пл*Ал-1**л-1с**ф 1
/г —115,99734—0,599730,065621,03126—0,4383328,95008—0,895000,110641,80170-1,93260311,45314-1,145120,148781,57741—4,72090413,65931—1,365920,181931,83241—8,9033014*211
Таблица 1.148Пластина с параметрами р0 «= = 0,1 и р4 е=» =06А АпАц — 1вп—1Сп-1фя-1Еп-1 • 10*12340,73597-.1,73503—10,20237—33,892550,151400,523481,495193,98914-0,00413—0,03628—0,14849—0,47061—0,12509—0,63342—2,01619—5,529390,014930,370662,9515015,53400пЛл-1вп-1^Я —1®я-1Ёп-\ • Ю»1234—6,81250—34,51650—103,45369—279,618611,68118
4,45152
11,34500
28,96014—0,09239
—0,45003
—1,38482
—3,83300—2,02452
—6,28748
—16,12269
—40,562710,485956,6112039,33100176,27000пЛ/г-1вп-1^п—1*п-1%-1 •123429,4034528,4511626,9047725,31885—2,94019—2,84499—2,69037—2,531790,545100,456280,413240,381982,947373,356393,339033,20885—13,29500
-31,31800
—51,76500
—71,54100пА*лп-1С*S-1Л*фя-14-1 I»*12346,615439,9576512,7795415,19240-0,66158—0,99574-1,27791-1,519230,078200,131130,175240,212541,107611,460461,796562,09221Т—0,69941
—3,15550
—7,46110
—14,20100а б лиц а 1.149Пластина с параметрами р0 = —= 0,1 и p.t = —= 0,8И. КпАп-1вп-1с«-\фя-1Еп_1 • Ю*12340,25179—7,11256-39,78727—195,648660,249821,161274,6037820,36521—0,01156
—0,11664
—0,59729
-2,919570,27365-1,67619-6,96737—30,699580,062982,0006021,48200192,65000п 1 Ап — 1 | -®/г—1Сп—1фя-1Ёп-\ • 10*1234—12,79050
—75,41578
—305,81109
—1497,424802,279068,5416831,58104150,76866—0,18361
—1,08614
—4,53^76
—22,72008—3,27346—13,25164-48,23667—225,840361,4868026,4580022,337001889,72000пАп-1вп—1^-1*п-15,-1 * Ю*123427,4477825,6160923,6088421,69018—2,74485—2,56167—2,36038—2,032100,503360,426120,382740,348323,528843,469133,291893,05881—20,31900
—48,20500
—76,10800
—95,63100пЛ*Ап-1Clс*Л*фл-1<_1 'Ю312347,5483411,5272714,7521817,26778—0,75484—1,15275—1,47525—1,747380,102060,169530,223120,267851,27907
1,78335
2,21744
2,59071—1,43720
—6,65880
—16,10100
-28,89200212
Таблица 1.150Пластина с параметрами р0 *= = 0,14 и р4 = ■= 0,4Д А'tл 'Л/2-Iвп-1С/1-1 • «0»ФЛ-1£л-1 • 10»10,991000,06512—0,71939—0,036090,0015420,884540,14617—5,78660—0,149840,0290630,506400,26411—20,41800—0,369630,371914—0,321830,44854—52,10500—7,744860,91850пАп-1вп-\сп-\*Л-1Ёп-\ • 10»1—0,454981,06370-0,03165-1,080320,094582—3,288351,46037—0,13260—2,430090,933423-8,585262,24931—0,32638—4,35781 •3,970604-17,155373,45522—0,65924-7,2253612,25200пАп— 1вп-1С/г—1*п-11О•ft18,41608—1,178260,709461,14375—7,9675029,43409—1,320840,587001,78271—16,7920039,44428—1,322340,522081,99968—26,5800049,24449—1,297570,481122,11441—37,02000пл*п—\*Вп-\с*S-1А*/7— 1*Еп-1 • 10311,72529-0,241550,049830,91739-0,2355422,54722—0,356640,085900,98635—0,9674133,16417-0,443010,116391,08779—2,2899043,69797—0,519040,143461,19575—4,12790? VТаблица 1.151Пластина с параметрами р0 = = 0,14 и р« — —<= 0,6н КпАп — 1вп-1сп-1 • и*фп-1Еп—\ • 10»10,939490,12347—0,00398-0,120680,1603620,191510,34319—0,56435—0,564350,321643—2,380510,81829-0,14101—1,652952,298504—9,304471,90260—0,43500—4,1723711,74500/г—1—1Са-1Еп_ 1 . 10»1—21,059521,28881—0,09748—2,067230,560232-11,580442,61425—0,47078—5,736945,805303—33,932425,75052—1,41310—13,3528335,413004—87,6056713,26452—3,76217—20,72045143,35000пАп-1^/г—1*п-1~^п— 118,91855—1,248580,610051,70305—7,6845028,92520—1,249520,500652,14131—27,3260038,92520—1,191430,447022,22003—47,2950048,05011—1,127010,410662,18110—66,08600tlА*Ап-1*I Вп-1с*с/г-1*фп-1*Еп-\ • 10412,27419-0,318390,078700,98330—0,7486023,30230—0,462320,132281,17067-2,5840034,12746—0,577830,176411,86589-6,3602044,83005—0,676190,218741,54200—12,09500213
Таблица 1.152Пластина с параметрами р0 = = 0,14 и р4 = = 0,8*\ АпЛ/г-1-8/1-1Сп-1фп-1IIОм10,781700,19552—0,01204—0,272110,073352—1,670580,70391-0,12122—1,500712,156503-12,332022,36245-0,61026-5,6782221,676004-60,453919,26995—2,90256—22,70977182,16000пАп-1вп-1^-лг—1фп- 1*«-1 •10*1—4,340451,60766—0,20390-3,320511,804502—26,691324,73905—1,19415—11,8645829,624003-104,9319315,70070—4,87455-39,39091234,030004—484,6821968,93082—23,29824—158,705751838,77000п•^/г—11С/г — 1¥/г-1\-\ • ю»18,52498—1,196040,553442,05216—22,4180028,08684—1,133900,456982,29909—49,5260037,48580—1,049450,406312,23934—75,6330046,38364-0,964970,367182,10105—93,73900п*Ап-1с*Ln-1*фп-1<-1 • 1СЗ12,60016—0,364020,104241,08493—1,5680023,80082—0,532430,173081,37784—6,7790034,75350—0,666040,227131,64246-15,7670045.5С689-0,771680,269641,85583—27,57500Т а б л и ц а 1.153Пластина с параметрами р0 = -г£- = 0,18 и р4 = =0,4К нпЛ/г-1вп -1! сп_j • 10»iф/г—1ЕП-\ • Ю*11,004080,05426—0,52342—0,030080,0011020,978810,11382-4,24380—и,122780,0204230,675310,18745—14,89900-0,293040,1183440,639700,28487-98,62200-0,566710,43437пАп-1вп-1сп-\ • ю»ф/г—1ся_р ю»1—0,021701,00391-0,02749— 1,065590,080832—0,991731,17851-0,11539—2,ЗООвО0,768003-^■2,845521,51222—0,28012-3,898353,101504—5,825852,04288—0,55238-6,068599,97630пАп—1вп-1Сп—1^п-1\-\ • 10312,91501—0,524710,779120,61992—8,0665023,56277—0,641300,659841,04552—16,3950033,68884-0,663990,586261,29198—25,1260043,67465—0,661440,538071,43256—34.У35С0пи*Ап-1*Вп-1*С/г-1**V-1*Еп-\ • 1С*10,68503—0,123310,045520,91165—0,2094021,03321—0,185990,079630,92389-0,8303531,27512—0,229540,108800,96821—1,8724041,47199—0,264980,134621,02364—3,35860214
Таблица 1.154Пластина с параметрами р0 = —— = 0,18 и р4 = —— = 0,6Н лп^я—1 | -®/1 —1С п—1фл-1Еп-1 • Ю*12340,987950,71444—0,24471—2,751700.Ю7170,260860,538521,09969—0,00368
—0,03244
-0,12938
—0,39035—0,11662—0,52251—1,44573—3,423980,015630,346212,4761011,67500п Ап_хвп-1—1Ёп-\ • ю*1234—0,70147—4,70063-13,75997—34,455471,126271,846133,524327,39074—0,09946
—0,47878
—1,41155
—3,65679—2,16641-5,59904—12,13516—16,100390,495207,0853037,06500147,94000« -4/г—1вп—\Cft—i^я-11 • »о*12343,395223,546233,421213,25541—0,61111
—0,63830
—0,61586
-0,586530,669340,548500,485620,443931,058421,458931,582191,59590—15,73300—32,80400—50,53400—67,34000Л** | Ап-1ClС*
п—1Л*Фл-1<-1 • ">•12340,967591,383001,693471,95321-0,17417—0,24894—0,30485—0,342840,077080,130840,174920,212340,93323
1,03053
1,14682
1,25754Т—0,74888—3,04070-6,93940—12,37600'аблица 1.155Пластина с параметрами р0 = —= 0,18 и р4 = = 0,8ГЧ Дп Ап—1 | вп—1Cft—1фп—1 j Еп-1 • 10*12340,92743—0,08446-4,46522—23,330130,168060,505211,448744,98922—0,01220—0,12325—0,61480—2,82863-0,27640—1,42986—5,09381—18,509510,07955
2,22280
21,22300
166,04000пАп-1вп—\ ! С ц— J*л-1Еп_ j • 10»1234—1,77531—11,83040—45,60907—199,827121,319553,129539,2091836,89878-0,22136—1,29230—5,19727-23,76615-3,52075—11,52734—35,35193—138,677502,0640032,03000239,560001756,69000я ^«—1вп—1Сп—1«л-1 ! *л-1 • 10*12343,351123,242833,024212,79370-0,60321
—0,58479
—0,54435
—0,502730,602190,491260,433580,391611,36131
1,63841
1,64344
1,56598-23,94800—50,18200—74,55800—91,41300Л*« п — 1Clс*п—1Л*л—1С1 • 10‘12341,12263
1,59194
1,95606
2,23932-0,20207—0,28655-0,35111-0,402190,105020,175780,230330,273510,99335
1,17» >15
1,33906
1,47791-1,62600—6,71070—15,15800—26,06600215
Схема расчетаСначала должны быть определены начальные параметры, зави¬
сящие от условий на контурах пластины. Рассмотрим основные
случаи.1. Оба контура пластины свободно оперты —w0 — Мг,о = 0;Vr, о и <р0 определяются из краевых уравнений:Мг, п = 0,wn = 0апри рл = р4 = —R 403,02смЧ>С*$«SiI01о*20С)Рис. 1.94216
2. Оба контура жестко закреплены —w = ?о = 0;W, о и Мг, о определяются из краевых уравнений:<РЛ = °.
wn = О,3. Внутренний контур жестко закреплен, а наружный не оперт —при р„а9i~T= <Ро = 0;Vr, о и Жг,о—определяются из краевых условий:Wq = 0,при р=р4 =Mr, 0 = 0Аналогично могут быть легко определены начальные параметры
при других краевых условиях, причем приходится составлять не бо¬
лее двух уравнений.Пример. Кольцевой стальной диск с радиусом внутренней
окружности го = 6=2,25 см (рис. 1.94), радиусом наружного контура
г4 = а=30,0 см, радиусом полного диска R—103,02 см, толщиной на
оси <?<>=0,634 см и на наружном контуре да = 0,45 см, свободно оперт
по внутреннему контуру. Определить перемещения и усилия в диске
при сложном его вращении с относительной угловой скоростью со
вокруг оси z, перпендикулярной к срединной плоскости, и с пере¬
носной угловой скоростью о)\ вокруг оси х, лежащей в срединной
плоскости и проходящей через центр диска.Решение. Разбив диск на четыре участка, выписываем
в табл. 1.156 величины относительных граничных радиусов участков.Таблица 1.156п01234Гп2,2509,18716,12523,06230,000Гп9п~ R0,021840,089180,156520,223860,29121Так как £о=0,022 и £4—0,29, то пользуемся коэффициентами, по¬
мещенными в табл. 1.145.Начальные параметры до0, Фо, Мг,о, Vr,о находим из краевых ус¬
ловий пластины.Учитывая свободное опирание на внутреннем контуре £0
(рис. 1.94), следует положить w0=Mr,о =0.217
Два других начальных параметра фо и Vr,o определяем из усло¬
вия, что на внешнем контуре (Q=Q4)V Г ,4 = Mr, 4 = О,илиVг,4 = -^зТо Н- сз W.o + £32 *=* 0;Жг,4 = -^зТо Н- СзКЛо 4~ £з2 = 0.Подставляя из табл. 1.145 вместо коэффициентов В3, Ез их
величины, получим:- 84,0369<ро + 0,386795 УгЛ - 0,02406852 = 0;- 24,4719ср0 + 0,110999 Км - 0,0022418 2 = 0.В результате решения этой системы найдены величины началь¬
ных параметров:Vr,o = 2,7192;
ср0= 1,2236 . 10-2 2,причем Q задана и определяется формулой (28.6).Далее, по формулам (28.1) — (28.5) и найденным значениям% iffкоэффициентов Ап-\—Еп-\ из табл. М45 вычислим приведенные
усилия и перемещения. Их величины помещены в табл. 1.157. На¬
конец, учтя зависимости (28.6) и абсолютные размеры пластины,
определяем искомые величины амплитуд усилий и перемещений,7которые приведены в табл. 1.158. Заметим, что Q=2~~ (оо)\ .6Графики перемещений и усилий построены на рис. 1.94.Т а б л и ц а 1.157п~ ю*Wn 2~ 10**г.п L~ ю*мг, п 2001,311542,91174010,909371,492840,12392—4,3548321,995431,629480,04165—1,5062333,163111,752590,01609—0,2796444,340321,7381600Таблица 1.158п1®ЛНГ1Vn 2Vn-Tмг, п 2001,7094419592,3000112,21051,94574833,828—3018,730226,79342,20594280,268—1044,110342,47232,28429108,291—193,845458,27922,2654800218
§ 29. Круглая пластина переменной толщины, опертая
в равноотстоящих точках контураОбозначения (рис. 1.95)= 80р2/3 — переменная толщина пластины, см\до — толщина пластины на наружном контуре, см\D0 = —
" 1«ЕЬ)12(1 — у2)ГПТЖНЖЖЖЖЖт77777777а7ТГУWРис. 1.95п — число опорных точек пластины;
q — интенсивность внешней нагрузки, /сг/сж2.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 26.Расчетные формулы [2, 12]w qa* (1 - р3)qa41-Р2)ОО+<уд4 у
Lb4s (s — 1 + v) £)q 8(1 + v) Dq
m* — kn — 2+(1 — v)D0 kn (kn — 1) [(kn)2(mk — 3) — (kn — 2)(mk—m* + 2v)]£=1,2OOqa4cos kn&Xгде(1—v)D0 ^-l (knf(mk — 3) — (kn — 2) (mlk — mk + 2v)
A=l,2P kn 0in - 1) Ps2 = 2 (1 — v) ;
ttifi — (kn)2 -j- 2(1 v).219X(29.1)(29.2)
На кромке пластины при £=1*-Ях' (1 — v) Dr. ~X(1 — V) 1^0*=1,2(mk — kn — 2)(1 — cos ktiQ)(29.3)[(kn)2 (mk — 3) — (kn — 2) (m^ — + 2v)] kn (kn — 1)Прогибы различных точек на контуре можно вычислять по фор¬
муле(29.4), qaЫ)р=l — tZyi)DoПри коэффициенте Пуассона ^=0,3 коэффициент kw , приведен¬
ный в формуле (29.4), при 4 и 8 точках опирания определяется из
табл. 1.159.Таблица 1.159/2=4п ==80, град0, градbw0, град00250,03370050,0027300,040550,0017100,0093350,0458100,0048150,0172400,0492150,0074200,0256450,0593200,009022,50,0310122,50,0117§ 30. Круглая пластина гиперболического профиля под действием
контурной нагрузки, обладающей циклической симметриейа. Закрепленная в центре пластина под действием сосредоточен¬
ных радиальных моментов М, приложенных к контуру на равных
расстояниях (рис. 1.96).ОбозначенияВа— толщина пластины на наружном контуре, см;. гор —толщина пластины на расстоянии д = — ;&е8р=80р 3 — уравнение, по которому меняется толщина пла¬
стины, см;
е — любое положительное число;
w — прогиб пластины, см;п —- число моментов М.220
Расчетные формулы [2, 12]ООw = B0rm-“ + £ (Акягт> + cknrm‘) cos knQ;
м, = - D Г+ V р- i* + -L -*«-Y1;r L дг2 \ г вг г2 аез )ал г\ ( d^w . 1 dw . 1 d2w \Mq = — D v — ,\ dr* 1 r dr r* de2 )гдеD njWa1+e“m°*Dq 2яН1т02 (m02 — 1 + v)я,=£8^ a*X12 (1 — v3) ’^ (mf — — l2m3 + f3) ^kn ~ X1[(mg —ptmz — — /tmf — l2tnt + l3)—(m{ — pxmt — p2)(ml -1— lxm\ — l2mz + lz)]
221(30.1)(30.2)(30.3)(30.4)(30.5)(30.6)
Ckn —XnM (;m\ — lxm\ — l2mx + /3)
тМхат*-&~11X[(ml — рхтх — р2) {ml — lxm% — l2m3 + /3) — (т1—рхтг —1— р2)(т\— 1хт\ — 1%тх + /3)] ’=а + у т + #л2 + Vn + скчг ;Г т2 = а>— р/ т + k2n2 + -i- |/tj -f ck2п2 '•>ттъ —а + |/ Т + — -i- jAj -f- с/г2/г2 iа = 1 •+-1 ? I 1 +v ,1T = — e2 + __ e + 1 ;7] = (1 — v)2e2 ;
c = 4(2 + e)(2-fvs);m02(30.7)(30.8)I/l\ — 2 + e ;/2 = (2 - v)(£/*)2 - (1 - v) s ;/3 = [3 + v(S-l)](b)2;/?i=l — v;
p2 = v(kti)2.Приведенное выше решение может быть использовано для опре¬
деления изгибных напряжений, вызванных во вращающемся диске
инерционными силами массы лопастей, прикрепленных к наруж¬
ному контуру так, что центры тяжести их не лежат в срединной
плоскости диска. Однако в этом случае следует учесть то обстоя¬
тельство, что лопасти имеют конечную ширину, и радиальные мо¬
менты не сосредоточены, а распределены вдоль небольших дуг кон¬
тура, соответствующих центральным углам 2 fi (рис. 1.96). В этом
случае формула (ЗОЛ) для прогибов остается без изменений- Выра¬
жения коэффициентов Akn и Ckn приводим ниже:A kn М (mg — — /2тз + h) s*n kn$ 1~ M (щ — 1гт\ — l2mt + /3) sin kn (J 1kn — и 1 и T ’TzHiar‘(30.9)222
гдеТ = (m\ — P\fn^ — р2) (гп\ — 1{т\^2т1 "Г /3) —— (т\ — р1т1 — Р2)(т1 — 1ут\ - 12тъ + /3)(30.10)Пример. Вычислить прогибы пластин гиперболического про¬
филя, опертых в центре, при действии на контур 4, 8 и 16 радиаль¬
ных моментов, вызванных инерционными силами лопастей шири¬
ной, соответствующей центральному углу 2/7=4°. Рассмотреть два2 _ 5профиля Вр = р 3 при е—2 и Вр = 8ар 3 при £ = 5.Решение. Вычисленные значения относительных прогибовW — — WМа3104,где£»*<*>12 (1 — -Л2приведены в табл. 1.160 для п=4, е=2 и 0=2°. В нижней строке
табл. 1.160 даны величины относительных прогибов^СИМ - ®сим-^-Ю4,
сим Ма*найденные в случае, когда нагрузка распределена равномерно
в окружном направлении.Таблица 1.1600, градР - -г~а~0, градр = -га0,250,50,751.00,250,50.751.02513,56) 59,2603,51524ЗначениеW3013,15148,6524,712483512,82140,1463,51051015,02197,1920,639904012,60134,6424,9930514,94195,1903,734744512,53132,5411,88991014,73189,5854,728661514,40180,9720,32323Значение2013,99170,4692,2189322,513,77164,6647,21694- 113,77 |164,8 |657,1 || 1973Как видно из таблицы, наибольший прогиб wmdLX имеет место на
кромке диска (^=1); он превышает на 120% прогиб при соответ¬
ствующей симметричной нагрузке (шсим ). Отношение наибольшегопрогиба к наименьшемуwшах^tnlnна кромке составляет 4,4. Для то-223
чек, удаленных от обода, степень неравномерности прогибов быстро
уменьшается- Так, прир = 0,75: -aw > 0>сим на 40% , —т-ах = 2,25;^mlnр = 0,5: wm&x > wCUH на 19,6%, —ах = 1,5 ;^minр = 0,25: ^тах> ^Сим на 9%,^^- = 1,2.С увеличением числа лопаток неравномерность в величинах про¬
гибов и усилий быстро уменьшается, что видно из табл. 1.161, где
приведены величины прогибов срединной плоскости того же диска
при п=8, е = 2 и /3 = 2°.Таблица 1.161 Таблица 1.1621, градр =га0, градр =га0,250,50,751,00,250,50,751.0Значение wЗначение w013,77164,8666,2244500,15112,30177,41919513,77164,8662,4220250,14711,93170,814021013,77164,8659,11959100,13310,88152,19901513,77164,8652,51785150,1139,29124,96782013,77164,8648,01708200,0887,3794,544522,513,77164,8647,2169422,50,0756,4586,88336Значение юсимЗначение о»сим—13,77164,8657,11973—0,0756,4586,88550На окружностях £ = 0,25 и £ = 0,5 прогибы диска практически не
отличаются от соответствующих величин при симметричной на¬
грузке. В точках £ = 0,75 прогиб wm&x>w сим всего на 1,4%, а на
кромке при д= 1 штах >шсим на 24%.В случае 16 лопаток наибольший прогиб на кромке диска превы¬
шает прогиб при симметричной нагрузке всего на 4,9%.Далее рассчитан диск, толщина которого меняется более резко:58Р = р 3.Величины прогибов срединной плоскости диска при п=4, е = 5 и
/J=2° приведены в табл. 1.162.Как и следовало ожидать, неравномерность в величине прогибов
в этом случае имеет более резкий характер. Так, на кромке при
{?=1 и>тах>‘а;сим на 247%, при £ = 0,75 — на 104% и в точках
£=0,5 — больше на 91%.224
Однако и здесь с увеличением лопаток неравномерность прогибов
и усилий быстро уменьшается- Уже при 8 лопатках максимальные
прогибы диска в указанных точках превышают величины прогибов
при симметричной нагрузке соответственно на 78, 8 и 1%. В слу¬
чае 16 лопаток максимальный
прогиб на ободе превышает про¬
гиб при симметричной нагрузке
всего на 19%.б. Закрепленная в центре пла¬
стина под действием сосредото¬
ченных поперечных сил Я, прило¬
женных к контуру на равных рас¬
стояниях (рис. 1.97).Обозначения те же, что и в слу¬
чае «а» настоящего параграфа.Расчетные формулы [2, 12]Уравнение прогибов *w = А 0гп1»' + BQrm<* -bОО+ 2 И +А>=1,2+ Cknrm*) cos kn 0, (30.11)t 'рГrriаа.WРис. 1.97гдеВо —пР2^//х (1 - v) е (2 + е)
пР (m0l — 1+v) am °i—т°»2%Hl (1 — v) e (m02 — 1 + v) m(30.12)(30.13)02. _ nPa2+ m' (m\ — рхтъ — p.,) 1nkn~ — * ~ztzH, T(30.14)r nPa + 3 (m\ —P\m\ — p2) 1 .^kn — * ~ZT >tzH1 t(30.15)T = \{m\ — pjnz — /?2) [tn\ — l^m] — 12тг + /3)]— (m\ — plm1 — p2)(ml — lxml — 1гтъ 4- /3);(30.16)15—511H,=ЕЬ3ааг12(1 — v2)
225(30.17)
Глава пятаяИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН, ЛЕЖАЩИХ НА СПЛОШНОМ
УПРУГОМ ОСНОВАНИИ§ 31. Основные предпосылки расчета и классификация пластинВ качестве упругого основания рассматривается связный грунт
либо порода, деформацию которых правильнее описывать уравне¬
ниями теории упругости для полупространства, чем на основе из¬
вестной гипотезы Циммермана — Винклера о линейной зависимости
между прогибом и реакцией в данной точке.Обозначенияг — расстояние от центра пластины до рассчитывае¬
мого сечения, см\<p~tg (р — угол наклона пластины в меридиональной пло¬
скости;Е1, vi — модуль упругости и коэффициент Пуассона мате*
риала пластины;Е(), vo — модуль упругости и коэффициент Пуассона мате¬
риала основания;Е 53D — ^^ цилиндрическая жесткость пластины, кг-см\р—интенсивность реакции основания, кг)см2.
Весьма важной расчетной характеристикой круглой плиты на
упругом полупространстве является показатель гибкости1 — v? Е0 ( а1 - -I ElФундаментные плиты в зависимости от величины коэффициентагибкости S могут быть отнесены к одной из следующих групп:1при S< пластину считают абсолютно жесткой;1при ^"<5<10 учитывают конечную жесткость пластины;при *S> 10 считают, что пластина имеет неограниченные размеры
в плане либо является абсолютно гибкой.В тех случаях, когда грунтовое основание имеет мало связную
структуру, не рекомендуется пользоваться моделью упругого полу¬
пространства, а исходить из гипотезы Винклера.§ 32. Абсолютно жесткая пластина постоянной толщины
под действием нагрузки, симметричной относительно центраа. Сосредоточенная сила Р, приложенная в центре пластины
(рис. 1.98).Обозначения те же, что и в § 31.226
Расчетные формулы [2, 3]PQ-4)w =2 аЕгр = kp~—\а1W ШШыМ, = krP;
Me = kgP;
рQr= — kа(32.1)(32.2)(32.3)(32.4)(32.5)Рис. 1.98Величины коэффициентов kf, kr, k$ и 6q, входящие в формулы(32.1) — (32.5), при значении коэффициента Пуассона о>1 = -^-(же-глезобетонные плиты) для различных точек д=~7 приведены
в табл. 1.163.Таблица 1.163Коэф¬р = г 1афици¬енты00,10,20,30,40,50,60,70,80,9 || 1.0kp0,1590,1600,1620,1670,1740,1840,1990,2230,2650,365ооkrоо0,1750,1110,0750,0510,0330,0200,0100,00400коо0,2450,1770,1400,1140,0950,0800,0680,0580,0500,044kQоо1,5910,7930,5230,3850,2970,2330,1810,1350,0870При определении радиальных и окружных изгибающих момен¬
тов вблизи места приложения сосредоточенной силы следует счи-
тать силу равномерно распределенной по центральному кругу ма¬
лого радиуса. В этом случае величины коэффициентов kr —ke, вхо¬
дящие в формулы (32-3) — (32.4), при г> = ~для различных значе-
ьний Р=~ приведены в табл. 1.164.Таблица 1.164Р0,0050,010,020,030,040,050,0750,10о,15;1**IIл*CD0,5320,4680,4030,3660,3390,3180,2800,2540,215Пример. Рассчитать круглую железобетонную плиту диамет¬
ром 2а = 300 см, толщиной <5=40 см, лежащую на грунте, с Е0=
= 250 кг/см2у г>о=0,3. Плита несет сосредоточенную нагрузку
в центре Р=25000 кг, распределенную по центральному кругу диа¬
метром 26 = 30 см.15*227
Решение. Находим показатель гибкости5 = 335250150'36 • 0,91 1,9 • 105 \ 40= 0,222.1Так как 5пользуемся формулами (32.2) — (32.5) для абсо¬
лютно жестких пластин.Осадка пластины, согласно (32.1), равна25000 - 0,91w —— 0,303 см.2 • 150 • 250Пользуясь табл. 1.163 и 1.164, находим величины реакции осно-гвания и внутренние усилия в точках Q—~ =0,05; 0,1; 0,3; 0,5; 0,8; 0,9Результаты приведены в табл. 1.165.Таблица 1.165rP==1TJ(jb)м /кг-cm\
py CM J«0 (^)Qr{-^)0,0050,1761330013300_0,10,17863506350—26,50,30,18618753500—87,30,50,2048252375—49,50,80,2941001450—22,50,90,40601250— 14,5б. Нагрузка, равномерно распределенная по поверхности цент¬
рального круга радиуса b (рис. L99).Обозначенияаq — интенсивность нагрузки, кг{см2.Обозначения остальных величин те же, что и в § 31.Расчетные формулы [2, 3]ЯР«о4 fЯ\tm5Шrb 'ЬшbШQaр =Яw =2/1-Р2
'о>2 £пда(32.6)(32.7)
(32. 8)Рис. 1.99 Vr = — KQ (32.9)Величины коэффициентов kr ,k» и kq при коэффициенте Пуассона
1 ьv\ =■ “^“(железобетонные плиты) для различных значенийгд= “приведены в табл. 1.166—1.168.М т = krqa2; M& = ke qa2
Qr = — fcg qa.228
Таблица 1.166Коэффициент kfв формуле (32. 8) при р = г/а00,10,20,3 |0,40,5 0,60,70,80,91.00,10,00800,00600,00360,00240,00160,00100,00060,0С030,0001000,20,02370,02180,01590,01020,00680,00450,00260,00140,0005000,30,04260,04060,03490.02530,01660,01060,00640,00330,00120,000100,40,06160,05980,05430,04490,03240,02050,01240,00660,00250,000200,50,07880,07710,07180,06300,05110,03570,01250,01140,0470,000700,60,09220,09060,08570,07750,06640,05190,03450,01860,00800,001600,70,10010,09880,09420,08660,07640,06320,04750,02890,01260,002900,80,10080,09930,09950,08660,07940,06770,05370,03740,01930,004900,90,09260,09140,08790,08190,07400,06390,05190,03810,02310,008001,00,07370,07270,06970,06470,05820,04990,04010,02910,01770,00680КЗKJч>Таблица 1.167Коэффициент ftg в формуле (32.8) при р=г/а0 ='а0,10,20,30,40,50,60,70,80,91,00,10,00800,00700,00540,00430,00350,00310,00250,00210,00180,00160,00140,20,02370,02280,02000,01650,01380,01160,00970,00830,00700,00620,00540,30,04260,04160,03900,03430,02920,02470,02100,01790,01520,01320,01170,40,06160,06080,05830,05370,04790,04100,03520,02990,02550,02210,01950,50,07880,07800,07560,07140,06580,05850,05030,04320,03700,03200,02880,60,09220,09140,08910,08510,07990,07310,06480,05580,04810,04150,03650,70,10010,09940,09740,09360,08890,08260,07500,06620,05700,04910,04310,80,10080,09990,09830,09500,09070,08510,07840,07050,06160,05290,04120,90,09260,09200,09050,08750,08390,07890,07320,06640,05900,05100,04411.00,07370,07310,07.140,06930,06630,06230,05760,05220,04620,04020,0348
Таблица 1.168Коэффициент kq в формуле (32.9) при р = rjaр- t00,10.20,30,40,50,60,70.80.9 !1,00,100,0500,0250,0160,0120,0090,0070,0060,0040,00300,200,0500,1000,0660,0480,0370,0290,0230,0170,01100,300,0500,0990,1480,1090,0840,0660,0510,0380,02500,400,0500,0980,1460,1930,1490,1170,0910,0680,04400,500,0490,0970,1440,1900,2330,1830,1430,1060,06800,600,0490,0960,1420,1850,2260,2640,2060,1530,09800,700,0490,0950,1390,1800,2170,2510,2800,2080,13400,800,0480,0940,1350,1730,2070,2360,2580,2720,17500,900,0480,0920,1310,1660,1960,2190,2340,2380,22101,000,0470,0900,1270,1580,1830,2000,2070,2000,1680Примечание. Прир=$ в табл. 1.168 указаны значения kq, относящиесяк точкам пластины, примыкающим изнутри к окружности, ограничивающей на¬
грузку. При определении коэффициента kq для точек, примыкающих извне к ок¬
ружности р = /б, следует от табличного значения отнять единицу.Эпюра Ale построенная вдоль радиуса пластины, имеет в точке
Q=fi скачок.в. Нагрузка, равномерно распределенная по окружности ра¬
диуса b, концентрической к контуру (рис. 1.100).Обозначения
р — интенсивность нагрузки, распределенной по окружности ра¬
диус 1 Ь, кг}см.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 31.Расчетные формулыР =а V1 — р2"iF~ Р »Е0, %1WРис. 1.100(3 (1 — v ) теw = — 2: рВоMr = krpa;
Me = kepa;Qr = -kQp .(32.10)(32.11)(32.12)(32.13)(32.14)Величины коэффициентов kr , ke и kq при коэффициенте Пуас-1 ьсона vi = (железобетонные плиты) для различных значении р= аГи д=— приведены в табл. 1.169—1.171.CL230
Таблица 1.169Коэффициент kr в формуле (32.12) при р = г/аа00.10,20,30.4j 0,50,60.70,80.91,00,10,1300,1300,0750,0490,0330,0210,0130,0070,002000,20,1780,1780,1800,1110,0720,0460,0280,0180,006000,30,1930,1940,1950,1980,1250,0790,0470,0250,0100,00100,40,1840,1850,1880,1920,1970,1230,0740,0400,0170,00300,50,1560,1570,1600,1650,1720,1820,1090,0590,0260,00600,60,1100,1110,1140,1210,1290,1400,1550,0860,0390,01100,70,0430,0480,0520,0590,0690,0820,0990,1200,0560,01700,8-0,035-0,033-0,028-0,020-0,0090,0060,0260,0490,0780,02500,9-0,132-0,131-0,125-0,116-0,104-0,086-0,065-0,038-0,0050,03601,0-0,248-0,246-0,240-0,230-0,216-0,197-0,173-0,144-0,107-0,0620Таблица 1.170ьКоэффициент k§ вформуле (32.13)при р == г/ар==т-00.10,20,30.40.50.60,70.80.91.00,10,1300,1300,1060,0850,0700,0580,0490,0420,0350,0310,0270,20,1780,1780,1790,1550,1310,1100,0940,0800,0690,0590,0520,30,1930,1940,1940,1950,1750,1510,1290,1100,0940,0810,0720,40,1840,1850,1860,1880,1900,1720,1500,1300,1110,0960,0840,50,1560,1570,1580,1600,1640,1690,1530,1330,1150,0990,0870,60,1100,1100,1120,1150,1190,1240,1310,1190,1020,0880,0770,70,0460,0470,0490,0520,0570,0630,0710,0810,0710,0610,0510,8-0,035-0,034-0,031-0,028-0,023-0,016-0,0060,0050,0170,0130,0090,9-0,132-0,132-0,129-0,125-0,119-0,110-0,101-0,088-0,074-0,056-0,0541,0-0,248-0,247-0,244-0,239-0,233-0,224-0,213-0,200-0,183-0,164-0,139Таблица 1.171ЬКоэффициент kqв формуле (32.14) iпри р = rla^ а00,10 20,30.40,50.60,70.80.91.00,100,0010,498-0,329-0,242-0,187-0.147-0,114-0,085-0,05500,200,0010,004-0,658-0,483-0,373-0,293-0,228-0,170-0,10900,300,0020,0060,014-0,725-0,560-0,440-0,343-0,255-0,16400,400,0020,0080,0180,033-0,746-0,587-0,457-0,340-0,21900,500,0030,0100,0230,0420,067-0,733-0,571-0,425-0,27300,600,0030,0120,0280,0500,0800,120-0,686-0,510-0,32800,700,0040,0140,0320,0580,0940,1400,200-0,595-0,38300,800,0040,0160,0370,0670,1070,1600,2290,320-0,43800,900,0050,0180,0420,0750,1210,1800,2570,3600,50801,000,0050,0200,0460,0840,1340,2000,2860,4000,5641,0231
§ 33. Пластина конечной жесткости под действием нагрузки,
симметричной относительно центраКруглая плита считается конечной жесткости, если величина по
казателя гибкости£(1л3Еколеблется в пределах— 10.2а. Нагрузка, равномерно распре¬
деленная по всей поверхности(рис. 1.101).Обозначения те же, что и в § 31.Расчетные формулы [2, 3]w — kр = kjq ;4Я\а*WDMr = kTqa2;
Mq = kv qa2;
Qr= — kQqa;a-(33.1)(33.2)(33.3)(33.4)(33.5)(33.6)Величины коэффициентов kjr, kw , kr , k» ,kQ при коэффициенте
Пуассона vi=“g" (железобетонные плиты) для различных значенийгпоказателей гибкости 5 и различных д= “приведены в табл. 1.172—
1.177.Таблица 1.172Коэффициент kp 1в формуле (33.1) при р == г laSо 110,10,20,30.4j 0.50,60,70,80,90,50,570,580,590,600,620,660,720,821,021,4010,610,610,620,630,650,680,730,831,011,3820,660,660,660,670,680,710,750,831,001,3430,700,700,700,700,710,730,770,840,991,3150,760,760,760,760,760,770,790,850,981,27100,860,860,850,840,830,830,830,860,961,20232
Таблица 1.173Коэффициент kw вформуле (33.2)при р =г/аS00,10,20,30,40,50,60.70,80,91,00,50,8300,8300,8290,8280,8260,8250,8220,8200,8170,8150,81310,4200,4200,4190,4180,4160,4150,4130,4110,4080,4060,40420,2140,2140,2140,2130,2110,2100,2080,2060,2040,2020,20030,1450,1450,1450,1440,1420,1410,1400,1380,1350,1340,13250,0900,0890,0890,0880,0870,0860,0840,0830,0810,0790,078100,0470,0460,0460,0450,0440,0440,0430,0420,040:0,0390,038Таблица 1.174Коэффициент kf вформуле (33.3)при Р =г/аS00,10,20,30,40,50,60,70,80.91,00,50,0540,0530,0510,0460,0410,0340,0260,0170,0090,002010,0510,0500,0480,0440,0390,0320,0250,0170,0080,002020,0460,0450,0430,0400,0350,0300,0230,0150,0080,002030,0420,0410,0400,0370,0320,0270,0210,0140,0070,0020о0,0350,0350,0340,0310,0280,0240,0180,0130,0070,0020100,0250,0250,0240,0230,0210,0180,0140,0100,0060,0010Таблица 1.175Коэффициент £q 1в формуле (33.4)при Р == г/аS0| 0,10,20,30.40,50.60,70,80,91.00,50,0540,0530,0520,0500,0480,044,0,0400,0360,0310,0270,02410,0510,0510,0500,0480,0450,0420,0380,0340,0300,0260,02220,0460,0460,0450,0430,0410,0380,0350,0310,0270,0230,02030,0420,0420,0410,0390,0370,0350,0320,0290,0250,0210,01950,0350,0350,0340,0330,0320,0300,0270,0250,0220,0180,016100,0250,0250,0250,0240,0230,0220,0200,0180,0160,0140,012Таблица 1.176Коэффициент kq в формуле (33.5) при р = г/аS0,10,20,30,40,50,60,70,80,910,50,0210,0420,0620,0800,0950,1090,1150,1090,080010,0200,0390,0570,0750,0900,1030,1090,1040,075090,0170,0340,0510,0660,0810,0920,0990,0950,070030,0150,0300,0450,0590,0730,0840,0910,0880,065050,0120,0240,0360,0480,0600,0700,0770,0770,0580100,0070,0140,0220,0310,0400,0490,0570,0490,0460Таблица 1.1770,510ky в форму¬
ле (33.6)—0,0241-0,0230—0,0210 -0,0192-0,0165—0,0123233
б. Нагрузка интенсивностью ру равномерно распределенная по
краю пластины (рис. 1.102).Обозначения всех величин те же, что и в § 31.
Расчетные формулы [2, 3]РР = kj р ;(33.7)аи аЪ™=к D р\(33.8)II5(33.9)Ж© = —ke ра;(33.10)Qr = kQp;(33.11)(33.12)Рис. 1.102и я29 = 9 ~Б р'Величины коэффициентов kjy kw , kr , k% , k9 при коэффициенте
Пуассона vi=-g- (железобетонные плиты) для различных значений
показателей гибкости S и различных д—— приведены в табл. 1.178—
1.183.Таблица 1.178сКоэффициент kp вформуле (33.7) при р = г/ао00,10,20,30,40,50,60,70,80.90,50,920,930,951,001,071,181,341,612,082,9710,770,780,810,870,961,081,271,582,103,0820,510,530,570,640,750,921,151,532,153,2830,310,320,370,460,590,781,051,482,183,4550,000,010,070,170,330,570,891,392,233,7210—0,43-0,42—0,35-0,24—0,07—0,200,601,232,284,14Таблица 1.179Коэффициент kwB формуле (33.8) при р =г/аS00,10,20,30,40,50,60,70,80,91.00,51,5761,5771,5801,5861,5941,6031,6151,6281,6421,6571,67310,7480,7600,7630,7700,7770,7870,7980,8090,8230,8380,85220,3560,3580,3600,3650,3710,3800,3890,4010,4130,4260,44030,2250,2260,2280,2330,2380,2460,2550,2650,2760,2880,30150,1230,1210,1250,1290,1340,1400,1480,1570,1670,1790,192100,0530,0530,0550,0570,0600,0640,0700,0760,0840,0920,101234
Таблица 1.180Коэффициент kf в формуле (33.9) при р =г/аS00,10,20,30,40,50,60,70,80.91,00,50,2640,2640,2560,2470,2330,2150,1910,1610,1220,071010,2470,2460,2410,2330,2220,2060,1840,1570,1200,071020,2200,2190,2160,2100,2010,1890,1720,1490,1770,070030,1970,1960,1940,1900,1850,1760,1620,1430,1140,069050,1610,1610,1610,1600,1580,1540,1460,1330,1090,0690100,1060,1060,1080,1120,1160,1200,1200,1150,1000,0670Таблица 1.181Коэффициент*9 в формуле (33.10) при р =г/аS00,10,20,30,40,50,60,70,8 j0,91,00,50,2640,2630,2600,2560,2490,2410,2300,2170,2000,1790,15110,2470,2470,2450,2410,2350,2280,2190,2060,1910,1710,14520,2200,2190,2180,2150,2110 2060,1990,1890,1760,1580,13330,1970,1960,1950,1940,1910,1870,1820,1740,1630,1470,12450,1610,1610,1610,1610,1600,1590,1560,1510,1430,1300,108100,1060,1060,1070,1090,1110,1130,1150,1140,1110,1030,085Таблица 1.182Коэффициентk ф в формуле (33.11) при р *= г/а50,10,20,30,40,50,60,70,80,9 |1,00,50,050,090,140,200,260,330,420,540,711,010,040,080,120,170,230,300,390,510,691,020,030,050,090,130,180,240,330,460,661,030,020,030,060,090,130,190,280,420,611,050,000,000,010,030,060,120,200,350,581,010-0,02—0,04—0,05-0,05—0,040,010,090,240,511,0Таблица 1.183S0,5123510А(р в формуле (33.12)0,1560,149| 0,1370,1270,1120,087в. Нагрузка в виде радиальных моментов М, равномерно рас¬
пределенных по краю пластины (рис. 1.103).Обозначения всех величин те же, что и в § 31.
Расчетные формулы [2, 3]Рмw = kw^-M;'"WDMr = krM;
AIq — kq ДА(33.13)(33.14)(33.15)(33.16)мм235
Qr =£(? — ; (33.17)a<p = * (33.18)
Величины коэффициентов kj, kw , , £w, kq и k9 при коэффи¬
циенте Пуассона v\=~^ (железобетонные плиты) для различныхгзначений показателей гибкости S и различных д= а приведены
в табл. 1.184—1.189.Таблица 1.184СКоэффициент кгр в формуле (33.13) при р == г/ао00,10.20.30.40,50.6! 0,70,80,90,5-0,65-0,64—0,62-0,58—0,53-0,45-0,34—0,170,090,541-1,22-1,20-1.17-1,10-1,00—0,85—0,65—0,330,171,022—2,16—2,14—2,08—1,97-1,81—1,56—1,19-0,630,271,863—2,91—2,88—2,81—2,68—2,47-2,15—1,67-0,910,342,565-3,97—3,95—3,87—3,73—3,48-3,09—2,46-1,410,393,6610—5,24—5,24—5,22—5,15—4,98—4,61-3,88-2,470,235,42Таблица 1.185Коэффициент kw вформуле (33.14) при р =rjaS010,1 j0,20,30,40.50,60,70,80,91,00,5-0,245-0,244-0,229-0,209-0,181-0,145-0,100-0,0480,0140,0830,1611-0,231-0,227-0,216-0,198-0,171-0,138-0,096-0,0460,0130,0790,1542-0,207-0,204-0,195-0,178-0,155-0,125-0,088-0,0430,0110,0730,1433-0,188-0,185-0,177-0,162-0,142-0,115-0,081-0,0400,0090,0660,1335-0,157-0,155-0,148-0,137-0,121-0,099-0,071-0,0360,0070,0570,11710-0,110-0,108-0,105-0,098-0,088-0,074-0,0540,0290,0030,0430,092Таблица 1.186Коэффициент kf в: формуле (33.15) при р == г/а5о0,10,20,30,40,50,60.70,80,91,00,5—0,93-0,93—0,93-0,94—0,95—0,96-0,97—0,98-0,99— 1,00-1,01—0,86—0,86-0,87-0,88—0,90-0,92-0,94-0,96—0,98—1,00-1,02-0,75—0,75—0,76—0,78—0,81-0,85—0,89—0,93-0,96-0,99-1,03—0,65—0,66-0,68-0,71-0,74-0,79-0,84-0,90-0,95-0,99,v-1.05—0,51-0,52—0,54-0,58—0,63—0,70—0,77—0,85-0,93-0,98-1,010-0,29—0,30—0,33-0,39-0,45-0,54-0,65-0,77—0,88—0,97-1,0236
Таблица 1.187Коэффициент k$ в формуле (33.16) при р = г/аS00,10,20,30,40,50,60.70,80,91,00,5-0,93—0,93—0,93—0,93-0,94-0,94—0,95-0,95—0,96—0,96—0,971—0,86-0,86-0,86-0,87-0,88-0,89-0,90-0,91-0,92-0,93-0,942—0,75—0,75-0,75—0,76—0,78—0,80—0,82—0,84-0,86—0,88—0,893—0,65—0,66—0,67-0,68—0,70—0,72—0,75—0,78-0,80-0,83—0,855-0,51—0,51—0,52—0,54—0,57—0,60—0,64—0,68-0,72—0,76—0,7910-0,29—0,30—0,31—0,34—0,37—0,41-0,46—0,52—0,58—0,64—0,69Таблица1.188Коэффициент kq вформуле (33.17)при Р == г/аS00.10,20,30,40,50,60,70,80,91,00,50-0,03-0,06—0,09—0,12—0,14-0,15—0,15-0,14-0,10010—0,06-0,12-0,17-0,22—0,26-0,29-0,29—0,26-0,18020-0,11—0,21—0,31-0,40—0,47-0,52-0,53-0,48-0,34030—0,14-0,29—0,42—0,54-0,64-0,71-0,73—0,67—0,47050-0,20—0,39—0,58-0,75-0,90—1,00-1,04-0,97-0,680100-0,26-0,52-0,78-1,03-0,26-1,44-1,53-1,46-1,050Таблица 1.189S0,5123510*tp в формуле (33.18)0,8250,7960,7470,7050,6400,535г. Сосредоточенная нагрузка, приложенная в центре пластины
(см. рис. 98).Обозначения всех величин те же, что и в § 31.Расчетные формулы^ |
II■*г(33.19)Clв QII(33.20)Mr = kTP;(33.21)Me = k&P;(33.22)= -kQ—;
a(33.23)<?=k9^p.(33.24)Величины коэффициентов k Р у k W* kr, k% , kq, при коэффи¬
циенте Пуассона vi=^r (железобетонные плиты) для различных
гзначений показателей гибкости 5 и различных д= —приведены
в табл. 1.190—1.195.Таблица 1.190сКоэффициент крв формуле (33.19) при р = г/зо0 1<м0,20.30,40,50,60,70.80,90,50,260,260,250,240,230.230,240,260,300,4110,350,340,310,290,260,250,250,260,280,3720,500,480,430,380,320,290,270,260,240,3030,630,600,530,450,370,820,290,250,210,2450,870,820,710,570,450,370,310,240,140,14101,331,251,040,780,560,420,330,200,00—0,03Т а б ли ц а 1.191Коэффициент kwв формуле (33.20) при р= г/а500,10,20,30,40,50,60,70,80.91,00,50,2850,2840,2810,2780,2740,2700,2660,2610,2580,2530,24910,1540,1530,1500,1470,1430,1390,1360,1310,1270,1240,12120,0870,0860,0830,0810,0770,0730,0700,0660,0620,0580,05430,0640,0630,0600,0580,0540,0510,0480,0440,0410,0380,03550,0440,0430,0400,0380,0350,0320,0290,0260,023 |0,0200,017100,0270,0260,0240,0220,0190,0170,0150,0120,01010,0080,005Таблица 1.192СКоэффициентkf в формуле (33.21) при р= г/аО00,10,20,30,40,50,60,70,80,90,50,1630,1010,0650,0420,0260,0140,0060,0010010,1580,0960,0620,0390,0230,0120,0050,0010020,1490,0880,0550,0330,0190,0090,00300030,1410,0810,0490,0290,0150,0070,00200050,1290,0700,0400,0220,0100,0040,001000100,1090,0520,0250,0110,0030,002-0,001000Таблица 1.193Коэффициент 1fep в формуле (33.22) при р= г/аS00,10,20,30.40,50,60,70,80,90,50,2300,1660,1290,1040,0860,0710,0600,0510,0440,03910,2240,1610,1240,1000,0820,0670,0570,0490,0420,03720,2150,1520,1160,0930,0750,0620,0520,0440,0380,03430,2070,1450,1090,0860,0690,0570,0480,0410,0350,03150,1950,1330,0980,0770,0610,0490,0410,0350,0310,027100,1740,1130,0800,0610,0410,0370,0310,0270,0230,021238
Таблица 1.194Коэффициент kq в формуле (33.23) при p == rja9 ’ 's00,10,20,30,40,50,60,70,80,91,00,5oo1,580,770,490,350,260,190,140,100,0601oo1,580,760,480,340,250,180,130,090,0502oo1,570,750,470,320,230,160,120,080,0403oo1,560,740,450,300,210,150,100,070,0405oo1,550,720,430,270,180,120,080,060,03010oo1,530,680,380,230,140,080,040,030,030Таблица 1.195s0,5l23510в формуле (33.24)0,039| 0,0380,035| 0,0320,0280,021ЛИТЕРАТУРА1. Вайнберг Д. В. Напряженное состояние дисков и пластин. К-, Изд-во
АН УССР, 1952.2. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Пластины, диски, балки-стенки.
К., Госстройиздат УССР, 1959.3. Горбунов-Посадов М. И. Плиты на упругом основании (теория и
таблицы для расчета). М., Госстройиздат, 1941.4. Канторович 3. Б. Основы расчета химических машин и аппаратов.
М., Машгиз, 1962.5. Кит о в ер К. А. Круглые тонкие плиты. М.— Л., Госстройиздат, 1953.6. К о в а л е н к о А. Д. Пластины и оболочки в роторах турбомашин. К.,
Изд-во АН УССР, 1955.7. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля. Т. II. Пластины.
М., Госстройиздат, 1941.8. Переходцева А. М. Расчет на изгиб круглых кольцевых пластин.
Труды ЦАГИ. Вып. 103. 1936.9. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический. М., Госстройиздат,
1960.10. Справочник энциклопедический. Машиностроение. Т. I, книга 2. М., Маш¬
гиз, 1947.11. Тимошенко С. П., В о й н о в с к и й - К р и ге р С. Пластины и обо¬
лочки. М., Физматгиз, 1963.12. У м а н с к и й Э. С. Изгиб диска гиперболического профиля контурной
нагрузкой, обладающей циклической симметрией. Сб. трудов института строи¬
тельной механики АН УССР. № 15. К., Изд-во АН УССР, 1953.13. У л и ц к и й И. И., Р ы в к и н С. А., С а м о л е т о в М. В., Д ы х о в и ч-
ный А. А. Железобетонные конструкции (расчет и конструирование). К-, Гос-
техиздат УССР, 1948.14. Шулькин Ю. Б. Напряженно-деформированное состояние круглого
диска, нагруженного пю отдельным радиусам. М., Изд-во АН СССР. Механика
и машиностроение, № 2, 1964.15. Beton — Kalender, Taschenbuch fur den Beton und Stahlbetonbau. Verlag von
Wilhelm Ernst und Sohn, Berlin, 1944.16. N a d a i A. Elastische Platten. Verlag von Lilhelm Ernst und Sohn, Berlin,
1944.17. Roark R. Formulas for Stresses and Strain, New-Jork, 1943.
Раздел IIКРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ РЕБРИСТЫЕ ПЛАСТИНЫГлава перваяСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН ПОСТОЯННОЙ толщиныУСИЛЕННЫХ КОЛЬЦЕВЫМИ РЕБРАМИ1. Пластина с одним кольцевым ребром, свободно опертаяпо контуруОбозначения (рис. II. 1)а, д — радиус и толщина пластины, см;b — радиус опорного контура пластины, см;£5*12 (1 — V2) — цилиндрическая жесткость пластины, кг!см;Е\ — модуль упругости материала ребра, кг!см2;т11 — момент инерции поперечного сечения ребра относи¬
тельно оси, лежащей в срединной плоскости пла¬стины, см*;*! =£,/tRDR — радиус осевой линии ребра, см;— относительная жесткость ребра на изгиб;г — радиус-вектор точки пластины, см;М°г,Mr ,q = — — относительная координата;Ro — радиус окружности, где приложена нагрузка, см;
w° — прогибы неподкрепленной пластины, см;
w — прогибы ребристой пластины, см;М© — интенсивность изгибающих моментов в пластине без
ребер, кг-см)см;Мн — интенсивность изгибающих моментов в ребристой
пластине, кг-см!см;1=fL * JRр\ 1Р| #7 Т '1 | л ь•— h*ГАL * гаW= J_ ——71 ~ р “ R
До*П1 =аЪRo
_ Яо .R аХ1 = (v + 1 — 8i) ; Х2 = (v — 1 “А);Х6 = (v -f- 1) ; Х7 = v— 1 ;v •Расчетные формулы [5, 8, 9]
w = w° — (р, P)*i(&i, р)аср°(р) + с,240Рис. ПЛ(1.1)
гдеМр> Р) = -!1, v) О — р2) — 4 1пр при Р<р <1;1 +1 + V*i(*i. ?) = А3—— 2 In р ] при 0 < р < р; (1.2)(1 +v) bi(ЬЗ)4 2(l+v) + [P*(l-v) + (l+v)]&1Константа С определяется из условия, что прогиб равен нулю на
опорном контуре г = Ь.Изгибающие моменты:
при р < р < 1Mr=M°r + 4D<1~V> оО(3) . (1 — р-2 ) х,;ам<= Же 4- 4p(l~ v) ®0(1.4)а<р0(Р)(1 + р-2ГА;Mr = M? + -4— ср»(Р)аМв = Me + — <р° (Э)а(1 -v) + !±i
4 7 '
'(!->)+ 1+v1 >Р2*1.(1.5)(1.6)Величины и\(д, /3) и хЛ$ь Р), входящие в формулы, для различ¬
ных значений параметров fi приведены в табл. II.1, II.2.В табл. II.3 приведены выражения для прогибов до пластины для
ряда нагрузок и схем, изображенных на рис. 11.2.Таблица II.1ГаКоэффициент (х, (р, (3) в формуле (1.1)(3 = R/a0,20,40,60.81.000,20,40,60,81,09,5157,4724,5702,7331,28006,7426,1994,5702,7331,28005,1204,8554,0592,7331,28003,9693,8043,2972,4571,2800Та3,0772,9542,5851,9691,1080блица 11.2гР =аКоэффициент (5, |3) в формулах (1.1), (1.4), (1,5)р = Rja0,20,40,61.00,51,02,00,009960,016550,024730,019660,032400,047940,028880,046970,068370,037470,059800,085300,045140,076520,0984816—511241
Продолжение табл. II.2гаКоэффициент X, (о,, (3) в формулах (1.1), (1.4), (1.5)Р = R/a0,20,4' 0.60,81.05,00,035170,068320,094110,114640,12897100,040930,077750,107610,129480,14381оо0,048950,092070,125640,148740,16250P=JCR0qШ2Rn2а1Я?P-23iR0pаР1VZ'Zвр=2KR0pRR .Рис. II.2аж242
Таблица II.3РасчетнаясхемаВыражения для прогибовРис. II. 2, аw =qa464D. „ 3 + v + 5i о , 5 + v + Sjр — 2 pJ 4- 1+v + ^i 1 Ч~ v -f-qa4 5 + v 4^max = 64 D 1 + v +(17)(1.8)Рис. II. 2, 6Pa2w =A416rcDпри 0 < p < %
Pa2ОЧз + 2p2) In p -f . (1 — p2) j ^ о "I" 22r?; (1.9)w =+16*£>
P4+ К2lzril
14г,42 + 42 0 - P2) + 0)3 + 2P2) ln % +
где P = тг/?2<?(4 — 5TJ)(1.10)Рис. II. 2, вw =^a4~8D-J- p4 — p2 ln p +8®шах —qa4
64D3 + v +4(1 +v + 5,)
7 -(- 3v -j* Зь j
1 + v -f 5t(1.11)(1.12)Рис. II. 2, г16*При % < р <1Pa2w =(1 — Р2) 9[(3 + v + + т]3 (5j + v — 1)] +8;:D \ 2 (1 + V + 5j)+ (p2 + li)ln P(1.13)ПрИ 0 < p < t)gPa2w =I 2 (1 + v + bj)+ (P2 + "nb ln%|;Pa2wmax8tiDгде P = 2kRqP2 (1 + v + lt)243[(3 + v + ^ + p2 (51 + v-l)] +(1.14)
, (1.15)3 H- v -j- 5i n n(1 — Тз) + ^з ln ^з)
Продолжение табл. II.3РасчетнаясхемаВыражения для прогибовРис. II. 2, дw =Ра2
16tiD^тах —3 + v +2 (1 + v + Bj)Ра2 3 + v ++ 2р2In р16tiD 1 v +(1.16)(1.17)Рис. II. 2, вПри (3 > рРа2w =lfi П Г 2) . 04 ГГГ ^4XeT'2P2 ln Р “4Х6 (1п "1 )251 +16*D [т]2лб(й1 + 2) — ViJ+ 2X6Ti25iP21п (*1Р) — 2X7Si [р2 In (TlP) — In Tfj] — &iX6 + 2X8Tfj2 (1 —— P2) + (V — 2 ln rj) + 5,p2 (X7 — v\)}.
При 1 > p >fiPa2(118)да ={(2Ag ln -j- 2) 2bj ln p -f-16rcD [irj2X6 (56 + 2) — 5xX7]+ (2Л + МЛ2 - 5 A)0 - P2) ~ (*, + 2) 2X6f p2 ln Tj + 25j (X7 -- 2 - 2X6) ln f) + [(&j + 2) fX6 - 8tX7] 2p2 ln (-rjp)} (1.19)Рис. II. 2, жПри rj3 < p < 1Pa2да =1fi Г) Г> * °W?> I 9\1 {(^1 + 2SjX6 ln T,g TQ2
16r.D [X7B, — rX6 (Oj + 2)]- 2т|Х„) 2 In p + 2 (»,»i - “ 2"l\> f In p - (1 —- P»)[X, (28, In TJ, - 28, + 2r| + r^Sj) + X8 (f8x + 2ч»)]). (1.20)ПрИ (3 < p < 7]3Pa2да =16nD [btX7 — i)2Xe (5j + 2)]— (X7t)2 + X8r(2)(51 + 2)o — r!b + 85iln ii + (p2—'чзК5! ++ 2)[X7 (1)2 — V) + 2X6i]2 ln Tfjil + [5j (1)2 — 1) + 2ir| —— ln p] 4X6 In Tfj! + 8Sj ln Tfjjj . (1.21)При 0 < p < (3Pa2w =1 6kD [b{k7 - r,2X6 (ij + 2)]+ 85, ln Tfj! + (1 — r(з)(ВхХ7 — Х8Вхт2 — 2X7 — 2X7Bx In yj3 — 2X8Yj2) ++ 4X6 (\ ln ^ + Tfj| + p2y]2) In Tfj! + 2 (1 — fj2P2)(l — li) . (1-22)
где P = 2nR0p244
§ 2. Пластина с одним кольцевым ребром, жестко закрепленнаяпо внешнему контуруОбозначения всех величин те же, что и в § 1 (рис. II.3).Расчетные формулы [3, 5]Р=2пй0ржжмтинншт!' II £RmааP=2JTR0p J7-ooEgRl RtPгдеРис. 11.3W = w0 + Mp> P)X2(8i> P) a <P°(P),^2 (p» P) = ~(1 — p2) + In p при p < p < 1;Mp. P) =l — p2
2^2p2 -f- In p при 0 < p < p ;X2(8b p) =2 + (1 — P2) 8,
Изгибающие моменты в пластине:
при ft < р < 1м, = м°г - х2 А«ро (Р) [(1 + v) + (, _ v) р_2 ];аDМе = М"в- Х2 — <р°([3) [(1 + v) - (1 - v)p-2 ];CL245(2.1)(2.2)(2.3)(2.4)
Mr = M°r+ (1 - P)(l + v) <f>° (p);ayMe = M% + ^ (1 - P2)( 1 + v) *• (p).(2.5)В табл. 11.4 приведены выражения прогибов w пластины для ряда
схем. Формулы (2.14) — (2.17) относятся к случаю весьма большойизгибной жесткости ребра (7i=<x).Таблица II.4РасчетнаясхемаВыражение для прогибовРис. II. 3, аw =qa4
64DПри р < рw —qaA64 D(1 ~Р2)2 +2 + (1—Р2)
При Р < р < 14Р2&!(1 - Р2)2Р211п р +т(1-р2); (2.6)(2.7)Рис. II. 3, бРис. II. 3, вПри 0 < р < РРа2w ={4т,у In р —4В1(1п-г))2 +16*D [V (5, + 2) - 5г]+ 2т)251р2 In — 25j [р2 1п (т]Р) — ln rj] — В, + 2-г)2 (1 — р2) ++ (f - 2 In tj) + BlP2 (1 - f)} ; (2.8)при p < p < 1
Pa2 {(2f + V12-51)(l-p2) +w =16*0 [tf (5! +2)-8,]4- 45, In-t] ln p — 2т|2р2 (5x + 2)lni)“f-26tlnt] +
+ [(5i + 2) ija — 8J 2p2 ln (i]p)}(2.9)При Tj3 < p < 1Pa2w ~ {(1 — P2) [25i (1 — In Yj.) —16tcD [Ьг — -г;2 (b, + 2)]j u VfV 1V 117- W + 4) (»1 + 2)] + 28, (1 + p!) ln p -;[(P2 + (5, + 2) if ++ 28, In n,] 2 In p); (2.10)при P < p < Y]3Pa2w = — — {(1 — tj2) [25ЛГ— ln rj3 + in p) —\6%D [Вг — + 2)] u *зм 1Л ‘ 13 v*- (42 + V) <h + 2)] + (P2 - 4m + 2) [(1)1 - V) + 2f ln 1),] ++ [Мч!-1) + 2^-6,1пр]41ти); (2.11)
Продолжение табл. II.4РасчетнаясхемаВыражения для прогибовРис. II. 3, впри 0 < р < рЯл2w = г {2S, (-п2 — 1) In in. ++ О — т1з) (5i — ^iTi2 — 2tj2 — 25г In т]3 — 2) -f-
+ 4 (5, In r, + r2 + pY) In t]i + 2 (1 - Vp2) (1 _ t,2)} ,
где P = 2 kRqP(2.12)Рис. II. 3, zPa2При ri3 < p < 1- {[2(1 ^ In Yh) — (т;2 + 7|2)] (1 — p3) +(2.13)16t:D (1 — t,2)+ [(p2 + r,$) Tf + 2 In Tfjt + (p2 + 1)] 2 In p};
при p < p < rj3Pa2w —16*0(1 -fT ^1— 713)12(1 + ln p ~ ln 7l3> — (T|2 + T‘2)] ++ (P2 — Чз) [(^2 — ri2) + 2,j2 ln li] + [(^2 — 1) — In p] 4 ln t|,}; (2.14)при 0 < p < pPa2w =16nD(l -f)+ (21ni] + ir]2 — 1) 2 ln Yji],где P — 2 kR0p(2.15)Рис. II. 3, dPa2w =При (3 < p < 1{[(l-pa) + 2p»ln(pr1)](r»-l) +16^D (rf — l)j+ 4 lmrj ln p — 2p2tj2 ln r, + 2 ln tj};
при 0 < p < Pw —•Pa2
16tcD2p2 In (pTj) + (1 — p2)4 (ln t])2
•r)2 — 1(2.16)(2.17)§ 3. Пластина с двумя кольцевыми ребрами, свободно опертаяпо внешнему контуруе,12aDОбозначения (рис. II.4, II.5)
— относительная жесткость наружного ребра на изгиб;247
5 ! = относительная жесткость внутреннего ребра на изгиб;= V -j- 82 ”Ь 1 > ^4 ~ V “Г ^2 — ^== V 4" ^2 3-1 Г 1—,—iL яаОбозначения остальных ве¬
личин те же, что и в § 1.Рис. II.4Расчетные формулы [3, 5, 8, 9]В табл. II.5 даны выражения прогибов w для некоторых частных
случаев загружения пластины. Рис. II.5, в, д относится к предель¬
ным случаям, когда изгибная жесткость внутреннего ребра весьма
велика.Рис. II.5248
. # Таблица 11.5РасчетнаясхемаВыражения для прогибовРис. II. 5, аПри irjg < р < 1
Ра?+ 2JJ ->«!.)-- (М2 + К4> <6i + 2)] (1 - Р2) + 2>ч6, (1 + ?) 1л р -- [(Р2 + Тз) («t + 2) V + 26, In r„] 2Х3 ln p); (3.1)При P < P < 7)зPa216*£> [&Л - (St + 2) rt4z] ([2А'51 (1 ~ ln T‘3 + In P) “— (М2 + W) Ф1 + 2)] (1 — *l§) + (P2 “ ^з) (5i + 2) (^4 (i)2 ~ V) +
+ 2X3T]2 ln 7)!] + [&i (f\2 — 0 + 2tt)2 — In p] 4X3 ln 7]j ++ ln Yjj); (3.2)при 0 < p < pPa2W - 16nD [6,X4 - (8, + 2) V*3] W' ^ 1П 41 + “*’1' ++ (I rj) (&xX4 Xs^jTj2 2X572 2X45t In t]2 2X4) ++ 4Хз [5t 1П 7) + (7)2 + Т(2р2)] 1П 7], + 2 (1 — Tj2p2) (X4 — X4T)|)}t (3.3)
где P — 2nR0pРис. II. 5, бПри P < p < 1W=if\n?l ~ 0Г , 9v, К1—P2) (2M. (1 - In 7)^ -16tc£) (OjX4 — 7,-X3 (5j -|- 2)](^5ri2 "1" ^4) (&t + 2)] + 2X45x (1 -|- p2) ln p
— [(P2 + P2) (Si + 2) r,2 + 2bt ln t,] 2X3 In p}; (3.4)при 0 < p < P“'=16,0[81хГ-Л(Ь, + 2)1 (вМп, + (1-Р)(»Л-— Xg^T]2 — 2X57]2 — 2X4) + 4X3 [St ln 7] + (1 + 7j2p2)] ln 7) 4-+ 2(1 — 7)2p2) (1 — p2) X4), (3.5)где P = 2nR0p249
Продолжение табл. 11.5РасчетнаясхемаВыражения для прогибовРис. II. 5, вПри % < р < 1w ~ 1 fi-n п 2> \ № ~ р2) ^ ~ 1п ^ ~ Х&Т|2 ” +
lo^Z) (Л4 т] Л3)+ 2Х4 (1 + р2) In р — [(р2 + т]з) г,2 -)- 2 In Tfjj] 2Х3 ln р}; (3.6)при р < р < ТГ)3Ра2" - 16*0 (Л4 - fX.) ('11 -$ 12Х< (1 + 1"Р)-- (Мг + W)] + (р2 — Тз) [К (^2 “ т!2) + 2А87)2 In TJi] ++ [(т]2 — 1) — in р] 4Х3 In + 8 ln %}, (3.7)где Р = 2-RqPРис. II. 5, гПри р < р < 1Ра2» = ;ВП|„ /* , <л й ! , «Х3 'П ч + 1) 45, In р +16*0 (ч2Х3 (S, + 2) — В,/4]+ (1 - р2) (2т,% + А55,т)2 -6,Х4) - (6, + 2) 2MV In ч ++ 2i48, In г, + [т)2Х3 (6, + 2) - 6,Х4] 2р2 In ((И))}; (3.8)при 0 < р < рРа2W = ЛГ21 /S ±91 »)1 1П Р ~ 4Xj,Bl (1П Т‘)2 +
16jtD [т^л, (с>1 + 2) — Ь1Л4]+ 2А3т]251р2 In (рг() — 2Х4 В j (р2 In р + р2 Ini) — In t|) — \ (Х4 -f Х5 —— h) + 2А5тг)2 (1 — р2) + O')2 “ 2 In rj) + В,р2 (Х4 — Л)} (3-9)Рис. II. 5, дПри р < р < 1Ра2w = 1А п / 21 •> v (4 ln Р + 2 (ij^a — Х4) р2 In р +16< D (т] A3 — Л4)+ 2А4 (1 - р2) In 1) + (М2 - Х4) (1 - р2) + 4Х„ In -I, In р}; (3.10)при Р < р < Гц.W = 1« П / 21 1 \ (2 — Р2 ln (Р^ + 2Х4 In 4-4^*(in Г,)2 +lOTcZ^ [tj Aj ^4/+ Mf>2-1) + h (1 - чУ) + ** № - 1) - 2X5 In ij) (3.11)
Глава втораяСИММЕТРИЧНЫЙ ИЗГИБ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН ПОСТОЯННОЙ толщиныС КОЛЬЦЕВЫМИ РЕБРАМИ§ 4. Пластина с подкрепленным отверстием, свободно опертая
по окружности, концентрической с контуроммт1$тМ. ■¥-\~frn RRuГ m ^аа4}(ШШТННУ Rг ■*0авЪгRn7777Рис. 11.6Обозначения (рис. 11.6)R — радиус оси внутреннего ребра и отверстия, см;М, т — интенсивность моментной нагрузки на наружном и вну¬
треннем контурах пластины, кг-см/см;
р — интенсивность поперечной кольцевой нагрузки, кг/см;
q — интенсивность распределенной нагрузки, кг/см2.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 1 и 3.Расчетные формулы [5, 8, 9]W с= w° — Из (р) хз (8р р) аср° (р) + С,(4.1)гдеРз (Р) =(1 — р2) — 4 In р;1Здесь(1-х) {Ъ1 + 1-ч) + 2Р(\+ч-Ъ1)
3+V(4.2)1 —Постоянная С определяется из условия, что прогиб равен нулю
на опорном контуре.251
Изгибающие моменты в пластине определяются по формулам:М, = М°г + (р-2 - 1) ?° (Р);** (4.3)Мв = М°е- (р-2 + 1) фО (Р);гдеД* = [(1 - v2) (V _ 1) + 8t (I + v) V _|_ (1 _ v) 8j]. (4.4)Ниже приведены некоторые частные случаи изгиба кольцевых
пластин с подкрепленным отверстием,а. Изгибающие моменты равномерно распределены по краям.(рис. 11.6, а)-ОбозначенияМ — интенсивность моментной нагрузки на наружном контуре*
кг-см/см;т — интенсивность моментной нагрузки на внутреннем контуре*кг-см j см.Остальные обозначения те же, что и в § 1.Расчетные формулы [3, 5, 8, 9]а2W = ~~2DA— ~ ^ ~ М71‘2 ^ ~ V + р2 ++ 2[да(1 +v)-M(l +v -8,)] In fop)] + С; (4.5>Мг — — -J- (TO(1-V--)(1- p-2)4-M[(l-v)(l+V-
А*— st) р-2 — (1 + v) (1 — v + s,) VII:М»= — \т (1 - V-) (1 4- р-2 ) — Л4[(I — v) (1 -f V —Д.(4.6>— Мр-2 -I- (1 + к) (1 --v + М1)2!)- jб. Пластина, свободно опертая по внутреннему краю, под дей¬
ствием нагрузки, равномерно распределенной по внешнему крак>(рис. 11.6, б) .Обозначенияр — интенсивность нагрузки, кг/см;Р — равнодействующая нагрузка, кг.Обозначения остальных величин те же, что и в § 1.Расчетные формулы [3, 5, 8]
w = —— |4т]2 [(1 -f v — ot) ('1 -j- v) In In — ++ 2 [т)2 (1 4 v) (v — 1 — 8,) 4- (1 — v) (1 4- v — 8Х)] ln252
-f- ^ 1 —j [y\2 (3 + v) (1 v -f 8j) — (1 — v) (3 v — B,) -f-+ 2tj2 (1 + v) (1 — v Sj) In 7j]| , (4.7)где Р=2яар\Mr =pa2Д-8,(1-v) 1-4, R2— 7 + 8i) — (■ — v) (• + v — Si)lln —‘Ч2 (1 + v)— v + 8,)_(l-v)(l+v-81)Kl + v)[f(l + V) ( I —r* /r(l-fv)(l-
ln Tj 1 ; (4.8)R2Ate = ——— {v^ (1 — v) (1 — rj2) -j-(l_hv)[7]2(l +v)(l _ v 4~ ^i) —
2Д* 1(1 + v) (1 — V + 8j) -f< [R2 “(1 —v)(l 4-v —8j)]ln ^--T)2(l-bv)A-j- (l-v)(l+v + bj)— 7)25, ( 1 — V) ^1 Максимальное напряжение в пластине2краmax к\ *9
о-Ini) — (1 + v) (1 — v)- (т,- — 1)R'-(4.9)(4.10)Значение коэффициентов k\ при ^ = 0,3 приведены в табл. II.6
в зависимости от параметров б\ и 77.Таблица 11.6ЗД
5, = -rJ11RD1,251.5234501,1001,241,481,872,172,4110,2310,3950,6230,9191,121,271,30,1940,3450,5560,8301,021,1620,2080,3700,6120,9321,151,3150,2190,4020,6891,081,341,54100,2230,4150,7201,141,421,64ОО0,2270,4280,7531,201,511,75в. Пластина, свободно опертая по наружному краю, под дей¬
ствием равномерно распределенной нагрузки (рис. II.6, в).Обозначенияq — интенсивность нагрузки, кг/см2-
Обозначения остальных величин те же, что и в § 1.253
qr4W — — 64 Dгде qRAi16DA*Расчетные формулы [3, 5, 8, 9]-1- In In — + D3 + Z)4 y (4.11)■((1 + v - 80 [(3 + v) (2 - V) + 4 (1 + v) In ч1-
— (1+v) (3 + v 8j));qR48DD464DA,{[16 + 8 (1 + v) In — (5 + v) 7)2 JXX И2 (1 — v 5i) + 2 (1 + v — bx) In 7)1 + [(v — 1) — (1 4- v) In tq] X
X [2 (3 4* v — 8,) 4 7]2 (5 — 3v 4- 3SX)J};D,= qR432 DA,{7j2 (1 — v 4- Sj) [(3 + v) (2 — 7j2) 4- 4(1 4- v) In ^ 4-+ (l-v) (&j — 3 — v)](.
Изгибающие моменты:Л1Г = -^
r 16— (3 + *) — + 4(1 + v)ln —+ 2(3 +v)* /^2M@ =qR216-4(1 +v)C4 + 2(l -*) C,-(1 4 3v)^- + 4(l+v)ln^- + 2(l+3v)
R* R4(1 4- v) C4 — 2 (1 — v) Ci' (4.12)гдеc;=-^-d4,qR4 ‘ g£4Максимальное напряжение в пластине'max= k0qa2В2Значения коэффициента &2 при г>=0,3 приведены в табл. II.7
в зависимости от параметров 61 и г}.г. Пластина, свободно опертая по внешнему контуру, под дей¬
ствием нагрузки, равномерно распределенной по окружности r=Ro
(рис. II.6, г).Обозначения те же, что и в § 1 и п. «б» § 4.Расчетные формулы [5, 8, 9]При 1?з<Р< 1254
Таблица II.7EtIx8, =а71 = ~R~RD1,251.52341 500,5920,9761,4431,8812,0822,19210,1240,3100,6070,9251,0751,1571.30,1070,2710,5410,8360,9751,05220,1110,2910,5960,9381,1031,16350,1180,3170,6711,0861,2891,401100,1200,3260,7011,1461,3661,487200,1210,3320,7171,1791,4081,534000,1220,3360,7341,1241,4531,585w =(2ХЛ ln т), + ^Х2Х6 - Х,Х,) 2г)2 In у +16kD (*^2X2Xg — XjX7)+ W\h - W 2-£- ln — + [2X.X, (1 - In TJ,) -tf2 r^2 (^J2^ + (ir)2tf2(4.13)При /?<р<?7зPa2+ ^2 (^e7!2 “b ^7^2 )] — 2Xj ^ln TJi — 1 + In j 4"Ы+4R22X6 In r\l -f--j- 2Xx (1 — Tfjl) Inгде^7 (^8 ^7^3) 2Xj ln 7)i| ,P = 2jtR0p.(4.14)§ 5. Пластина с подкрепленным отверстием, жестко закрепленная
по внешнему контуру, под действием осесимметричной нагрузкиФункция прогибов определяется следующим общим выражениемw = w° — Мр)Х4(8и Р) ЛсР° (Р)> (5.1)гдеi*4 (р) = y (р2 - О -|п р;М*|. Р) =(1—м + »,) + Р2(1 + V — »,)255
Изгибающие моменты:DbtR&о
DB,мг=(i-v) —i- (i + *)Ra огде(l_v) —-(H V)dw°т0(P);(5.2)<P°(P) = -dr I P=PД0 = ’I2 (S1 + 1 — 4) + (1 + v — 8l)-а. Пластина под действием равномерно распределенной на¬
грузки (рис. 11.7, а).Обозначенияq — интенсивность нагрузки, кг/см2-
Обозначения те же, что и в § 1.Расчетные формулы [5, 8, 9]^ +Dl\n^- + Di^r\n^+D3 + Di 4W =64 DRRR2(5.3)где*>! = -qr?R*16£)Д0[(1 + v — Sj) (7)2 - 4In т,) + (8, + 1 - V)]; (5.4)D,- —2 8D(5.5)НЖППНКЖЖНН/? , Я%IP [I
t±=iR6RРис. II.7D,= (1 - v + 8,) + V (3v -5 - 38,) + 4V (1 + v - 8i)lni) +64DA0+ 4 (3 + v — 8X) In7j — 2 (3 + v — &i) — 16 (1 -f v — 8X) ln2Tj]; (5.6)
Di = qR - [(3 + v — 6X) + (1 — v + 8t) (2i)2 - У 4- 4У ln 4)]. (5.7)32DA0256
Максимальное напряжение в пластине определяется по формуле* - k qa2JmaxЗначения коэффициента /г3 при г> = 0,3 приведены в табл. II.8
в зависимости от параметров di и г\.Таблица II.8Et/t1 ГУRDк) = alR1,25 |1,5 |121 34500,1050,2590,4800,6570,7100,73010,0990,2360,4300,6000,6650,69520,0950,2230,4090,5810,6510,68550,0870,2070,3860,5630,6390,676100,0820,1970,3750,5550,6330,672000,0720,1820,3610,5460,6290,668б. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной
по окружности r = Ro (рис. 11.7,6).Обозначения те же, что и в § 1 и 4.Расчетные формулы [5, 8, 9]При ?7з<р< 1= ~ ~№кЬ(?2->д ((2>11п 111 + ^ 21п Т ++ (ч2*, - >i) 2р2 In -у + [2Х, (1 - In т),)-- X, (1,2 + -ч! )] (1 — р*)|. (5.8)При Р<р<г]з
W = — {( 1 — In 7]j — ln 4Xj ln —167iDWK-lJ u n “(Чз + + (1 —733)2X1ln-^- + (p2-1)l)X8vj +-f 0 - %) (M2 + Mi - 2)4) J , (5.9)гдеP = 2ziRop.в. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределен¬
ной по внутреннему краю пластины (рис. II.7, в).Обозначения те же, что и в § 1 и в п. «г» § 4.Расчетные формулы [5, 8, 9]ffi> = D,ln — + Z>, — In — + D. + Di— , (5.10)1 R 2 R? R Л2 v ’17—511 257
гдеD ,=PrfR24DA07t[1 — (1 + v — 8j) In tj];D0 =PR2
8 тс D(5.11)(5.12)£>* = -——— (2 [(3 + v — 8,) — 2(1 +v —8,)lni)]Ti2lmi
16я£)Д0— t]4 (8i + 1 — v) — t]2 (3 + v — 8j));(5.13)D,=гдеPR216kDA0[t]2 (1 -f- 2 In 7]) (^i + l — v) + (3 + v — &j)], *14)P=2jiRp\A0 = TQ2 (§! + 1 — v) + (1 -f- v Bj).(5.15)82 —где§ 6. Пластина с подкрепленным внешним контуром,
свободно опертая по этому контуруОбозначения (рис. 11.8)- относительная жесткость ребра на изгиб-aDРасчетные формулы [5, 8]W = <w° — Н4 (р, TQ)^4(82i 7l)acP0(7l)»1*4 (p. V)= (1~v)-^- (1 — p2) — (1 + V) In p;(K* 7l) ~(1— V) (»,+ 1+V)1J» + (1 +v)f»a + v-l)(6.1)(6.2)(6.3)Рис. II.8Выражения прогибов для некоторых случаев нагрузки приведены
в табл. II.9.258
Таблица II.9РасчетнаясхемаВыражения для прогибовРис. II. 8, аРа2w =16nD (Х4Х6 — ttj2X3X7)а| (Х6Х3 1пт) — 82) 4 In — + (Х3Х7т)2.1- Х4Хе) 2рЧп — + [2Х4Х6 (1 - In ■,) - X, (f Х5 + Х4)] (1 - р*) j , (6.4)
где Р = 2 izRpРис. II. 8, бw =При r)3 < р < 1Ра2 f 1—————— < (2Х3Х6 In ■»)! + тг)|Х3Х7 — Х4Х6) 2 In -f16kD (тг]2Х3Х7 — X4Xe) [ р+ — Ve) 2р2 ln — + [2Х4Х6 (1 — in tjj) —P- b (Л + $ч)] (1 - p2)|;(6.5)при p < P < t]3Pa2w =\6nD (yj2X3X7 — X4X6)До2X4X6 I ln — 1 I + X5X7irj2XX (1 — *)з) + [X6 (Xx -f- 2X3 — X5) — X3X7t)2 (i]| -f- p2)] 2 In у\х -Ь+ 4X3X6 ln irj1 ln p + X4X7 (t]2 — rfy p2| , (6.6)где P = 2;iR0p§ 7. Пластина с подкрепленными наружным и внутренним
контурами, свободно опертая по наружному контуруОбозначения те же, что и в § 1 и 3.р■ 1Р1 .кR1 Я. R0ааРис. 11.9Расчетные формулы [5, 8, 9]В табл. 11.10 даны выражения прогибов для некоторых частных
случаев загружения кольцевой пластины.17*259
Таблица 11.10РасчетнаясхемаВыражения для прогибовРис. II. 9, аПри Tja < р < 1ш - i6*m4 wv, - к\) {А 11(1 - Л ll ~ 2Х> 1п р| ++ (Х4р2 — X5)2£ilnp}; (7.1)
при р < р < KJ*Ра? ( 0 Го
w= ^\ Mi [0—Чз>*«— 2XS In Yjj] + Л2Х4 (р2 Tfj3) Х2Т|2 -f-+ 2Х.Ы *° — (Х,л| — Xt) ln TritJ , (7.2)где P = 2кЯ0р;Ax = 2\\ (in - 1) + X2 (t(2X5 + r|X4), (7.3)A2 = *4 (1 — $ — 2X3 1П (7.4)
—XjX4 (7.5)Рис. И. 9, бPa? [ ,1w~ ir nn у 2\ 'i[(2X1X3 In ij — Xj_X4 + X3X3)J 2 in +
lojtD (Хгд4 — X2X3Tf)2) ( p+ (X2X3f - xtx4) 2p2 In — + [2A,X4 (1 - ln Tj) - X2X4 +P+ MS1 (1 - r)J. (™)где P = 2 TzRp.Глава третьяИЗГИБ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН, УСИЛЕННЫХ РАВНООТСТОЯЩИМИРАДИАЛЬНЫМИ РЕБРАМИ§ 8. О методе расчета [1, 2, 7, 10, 11, 12, 13]Приближенный метод расчета основывается на том, что при
большом числе ребер (больше восьми) можно упругие характери¬
стики ребристой пластины усреднить и рассматривать ее, как кон¬
структивно ортотропную пластину, обладающую различной жест¬
костью в радиальном и окружном направлениях.Предполагаем, что жесткость ребристой пластины при изгибе
в окружном направлении не зависит от наличия ребер и опреде¬
ляется ее цилиндрической жесткостью. Жесткость пластины при из¬
гибе в меридиональной плоскости увеличивается за счет присоеди¬
нения изгибной жесткости ребер, принимаемой равномерно распре¬
деленной по цилиндрическим сечениям. При этом учитывается, что
ребро деформируется как балка, в отличие от пластины, испыты¬
вающей двумерное напряженное состояние.260
D =ЕЪ312(1 — v2)Рис. 11.10Обозначения (рис. 11.10)б — толщина собственно пластины, см;Е, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона ма¬
териала пластины;— цилиндрическая жесткость пластины, кг-см;R — радиус наружной окружности пластины, см;
г0 — радиус внутренней окружности пластины, см;
г — расстояние точки от центра пластины, см;гр = — относительный радиус;/=Я, b — высота ребра, ширина ребра, см;Ь . k fit ga-— • -—— момент инерции поперечных сечений ребер отно¬
сительно центральной главной оси, лежащей на
срединной плоскости, на единицу длины окруж¬
ности пластины, см3;D = EI —усредненная жесткость ребер, кг-см2;
k — число ребер;
w — прогиб пластины, см;ср — угол между касательной к деформированной сре¬
динной плоскости ортотропной пластины и осью г;
МГ—радиальный изгибающий момент на единицу
длины цилиндрического сечения пластины, кгХX см! см;Me — окружной изгибающий момент на единицу длины
меридионального сечения пластины, кг'см!см;Qr — поперечная сила на единицу длины цилиндриче¬
ского сечения пластины, кг!см;
оГ — нормальное напряжение в цилиндрическом сече¬
нии собственно пластины, ке!см2;
о© — нормальное напряжение в меридиональном сече¬
нии пластины, кг!см2;ог— нормальное напряжение в ребре, кг!см2;
х — относительная координата;261
х =bk( 1—N2) нг— S32tzRВ3(8.1)q — интенсивность поперечной нагрузки на единицу
площади пластины, кг/см2-
Основное уравнение изгиба+11ср 4.X2#2Qr = 0. (8.2)dxг2 1+д: dx jc(1+jc)‘ D 1+л:■ЯЕсли пластина нагружена по всей поверхности равномерно рас¬
пределенной нагрузкой <7, то величина поперечной силы предста¬
вится выражениемQr =1IR j qxdx H——(8.3)Постоянная С определяется из граничных условий для попереч¬
ной силы в зависимости от расположения опор и вида поперечной
нагрузки.Решение уравнения может быть представлено в формеср = С1ср(1) + С2ср(2) + ?<°> 4- ср(с),гдесрО) ==х;(8.4)<p(2) = jcln ^1 + -М- 1;(0) Х3Р3ср q =q 4 ^ SD.(0)л;2 х In (1 + х)2ерс = — СXR2Dх In (1 4- х).(8.5)Постоянные интегрирования Сi и С2 определяются из краевых
условий.Прогиб пластиныw = Схт{1) + С2ш(2) 4 w{q] 4- ДОс* + С3,(8.6)где<ДО(2) : - IRw^ = -lRх2 In 1 +XW{q) =116DX''In (1 x) — X— xi +H x2 — x — (x2 — 1) ln (1 -f- x)2^(C0) = сX2/?24 D(x2 — 1) In (1 + x) i- X2 + X(8.7)262
Сз — новая постоянная, определяемая из условий опирания пла¬
стины.Изгибающие моменты:мг = с,ж^ + сгм\'? + йС + Мс;Me = с,Ml'1 + Сгм'е’+ Л1!% + ЛЩ ; |(2)г(0)г(°1.илиМг = —DIR1 + —'’
хd<? . <р
—I—v -J—dx хMe =DгдеМУ(!)IRDIRф . d<pT v TXdx
1Al?) =DIRl+,+ -L In 1 + i—^Л / \ Л / Л1 I 1 "l- 3 V 2
1 H——— x x2 —— 1 + V +In (1 + x)1 + (l + v + 4)ln + *)
(1 + v);MI) =DIRAil2) = D\R(1+v) ln { 1 + i\- fJL + TJL(°) _0<7 — Я g*(1 +2v)-2l±i *2(l+v)ln(l+jc)
С1 + X(1 + v) In (1 + *) +УХНормальные напряжения в пластине и в ребре:Ez 1за1 — V2Ez1 — V2IR1_*L_ + v JLfiber л:IREzJLд:dcp+ Vrfcp(8.8)(8.9)(8.10)(8.11)(8.12)1 IR dxгде z — расстояние точки от срединной плоскости пластины.263(8.13)(8.14)(8.15)
§ 9. Пример расчета ребристой пластиныРассчитаем на изгиб круглую дюралевую пластину с 16 радиаль¬
ными ребрами, свободно опертую по наружному краю. Внутренний
контур пластины скреплен с абсолютно жесткой шайбой, несущей
в центре силу Р (рис. 11.11).Рис. 11.116 ЬИсходные данные: R = 19 см; /*о=4 см; Н=5 см; 6 = 0,5 см; д=
= 1 см; k = 16; £ = 0,7*106 кг!см2; ^=1/з-
Решение. Поперечная сила, приходящаяся на единицу длиныокружности радиуса г,Qr= •Vr 2 wПостоянную С определим из выражения (8.3). Полагая в нем
<7=0 и Qr — —• -гг-, получим2пхПараметр Я найдем из (8.1)2r. R S3264
На основании (8.4) и (8.5), положив ^ =0 (так как <7 = 0), полу¬
чим выражение для угла поворотаср — С\Х -j- С гX In ( 1 +1-1IR4тxDл;1п(1+л:). (9.1)Выражения для изгибающих моментов запишем на основании
(8.8) — (8.12), полагая Mrq =0 и М&1 =0:Мг =DIR1 + V-f- С2— рIR4тФ(9.2)Me — ^ |C, (1 + v) + C2(1 +v)ln (1 + —1 X++ pIR4 nDXx1 + x+ (1 + v)ln(l -\-x)(9.3)Выражение для прогиба найдем из соотношений (8.6) и (8.7),<s
(яПриняв =0W = —IR2IR4kD1Сгх2 In 1 H — In (1 + x) — xC3.(9.4)Постоянные Си Сг, Сз определим из граничных условий задачи
на внутреннем и наружном контурах пластины: на внутреннем
крае равен нулю угол поворота сечения д?, на наружном контуре
равны нулю изгибающий момент Мт и прогиб w.Следовательно:Ромт = оw — 0При Л* =Подставляя в равенство (9.1) *=-у-, а в равенство (9.3)и приравнивая их нулю, получим для определения С\ и Сг следую¬
щую систему уравнений:0,0285С1 — 0,898С2 - 0,0008в^Ш^ + в.бЭбСз — 2,107IR4r.DIR4kD= 0;= 0.265
Из третьего граничного условия определяем постоянную С3
0,0183Ci - 0,223Сг — С3 - 0,00156 = 0.а/\1\I<£11ъ1к4тzDВ результате
С1== 0,0188IRDDl*R2DС2 = 0,0525 • 10-2
С3 = 0,0503 . 10-3Рис.II. 12Пользуясь найденными значениями постоянных и равенствами(9.2) и (9.3), можно построить кривые изгибающих моментов Мг
и Мв в пластине в функции от радиуса. Эти кривые нанесены на
рис. 11.11. Там же построена эпюра прогибов пластины w-Нормальные напряжения <зг и в пластине и ог в ребре вычис¬
лены по формулам (8.13), (8.14) и (8.15). Эпюры этих напряжений
в пяти сечениях пластины построены на рис. 11.12.§ 10. Расчетные таблицы и пользование ими [2]Для упрощения расчетов составлена табл. 11.11. В графах 2, б и 7
приведены значения частных решений однородной задачи, в графах
3—5 и 8—11—соответствующие значения кривизны и прогибов.
Проиллюстрируем порядок пользования таблицей на примере-Рассчитаем на изгиб пластину с геометрическими размерами и
способом нагружения, указанными в предыдущем параграфе.Постоянная Я имеет значениех= »*(»-*> . =7Ж
2 izR 53Зная Я, определим значения переменной х на внутреннем и на¬
ружном контурах пластины:л;0 = = 0,0285; ** = 4-= 0,135.А А.Интерполируя, берем из табл. 11.11 значения частных решений,
приведенные в табл. 11.12.После этого по формулам (8.5) и (8.6) вычисляем:(0)<Рс2DМкг(1) А2/?2CIR Dзначения которых сведем в табл. 11.13266D С
267—9(2)0,001
0,002
0,003
0,004
0,005
0,006
0,007
0,008
0,009
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,10
0,15
0 20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
0,70
0,75
0,80
0,85
0,90
0,95
1.00,9930910,9875670,9825640,9778980,9734840,9602680,9652180,9613090,9575250,9538490,9213640,8939170,8696760,8477740,8276980,8091150,7917850,7755300,7602110,6944670,6416480,5976400,5601010,5275280,4988960,4734710,4506950,4301460,4114950,3944930,3788800,3645870,3512560,3388390,3275110,3168480,306853tfcpdx(2)5,909755,218614,815174,529434,302274,127963,975793,844223,728403,625022,951432,565242,296552,092141,328301,792361,676761,576681,488801,167320,9584260,8094380,6971000,6091800,5384760,4804120,4319430,3909370,3558420,3254890,2550840,2758550,2559740,2372320,2208930,2062870,193147X< XJO)q Vdx_ dx xX8 D2DX C\R8 D4/ q\*R*q\9R*4560,1-10—80,00199850,3-10-»0,8-10 70,00399400,2-10“*0,27.10-*0,00598650,89-10—80,16-10*0,00797610,2-10—70,2-10-*0,0099620,4- lO-»0,3-10—*0,0119460,7.10—»0,5-10-*0,0152270,114-10*0,7-10-*0,0159050,20-10“*o,mo—50,0178790,30-10—*0,14-10“60,0198510,40-10—*0,105-10-*0,0394100,26-10—*0,35-10—50,0586850,88-10—50,822-10—50,0776820,207-10—*0,1592-Ю—*0,0964090,402-10—*0,273-10—*0,1148730,689-10—*0,429.10—*0,1330790,1086.10—*0,635-10—*0,1510350,161-10—*0,896-10—*0,1587460,228-10-»0,0020120,1862190,000310,0039470,2701970,0010120,0089890,3489890,0023220,0168940,4231440,0043940,0281330,4931330,0073640,0431140,5593640,0113550,0621860,6221860,0164720,0856580,6819080,0228140,1137980,7387980,0304650,1468440,7930940,0395050,1850040,8450040,0400000,2284650,9947160,0620250,2773930,9423930,0756280,3319380,9881880,0908660,392231,032230,1077870,458401,074650,1264360,530541,115540,1468540,608761,155010,1690790,693151,193150,193147Таблица 11.11X2 DXXC\R«,<1) 2D2D(2)," iR40)x16Dx ?х*я*8910XX
AD
CteR*110,00099950,00199800,00299550,00399210,00498760,00598210,00697560,00796820,00^95980,00955040,01980260,00295590,00392210,0487900,0582690,0676590,0769610,0861780,095310,1397620,1823220,2321440,2623640,3001050,3364720,3715640,4054650,4382550,4700040,5007750,5306280,5596160,5877870,6151860,6418540,6678820,6931470,M0-5
0,4-10“8
0,9,10“"*
0,16.10-*
0,25.10“*
0,36-10“*
0,49-10 1
0,64-10—*
0,81-10“*
0,0001
0,0004
0,0009
0,0016
0,0025
0,0036
0,0049
0,0064
0,0081
0,0100
0,0225
0,0400
0,0625
0,0900
0,1225
0,1600
0,2025
0,2500
0,3025
0,3600
0,4225
0,4900
0,5625
0,6400
0,7225
0,8100
0,9025
1,00000,00199260,00397310,00594320,00790360,00985490,01179760.01373210,01568870,01757770,01948880,03838560,05637650,07600810,09117870,1079310,1242970,1403040,1559760,1713310,2439320,3105520,3725540,4303940,4847400,5360300,5846260,6308130,6748350,7169010,7571950,7958440,8330190,8687920,9032830,9366140,9688361,000000,30Ю-»0,3510-90,4010“90,5010“90,7010“90,90io—90,1010“80,30io-®0,5010“80,8010“80,2810—»0,4510“»0,7010“»0,9010“»0,1110-*0,2310—*0,5410—*0,7410-*0,1410—60,995IO-50,37710—*0,00011240,00027400,00057610,00109730,00192920,00319290,00502690,00759700,01109590,01573760,02176950,02946400,03912040,05107300,06567950,08333300,10-10“8
0,10-Ю-"»
0,30-10“»
0,50.10“»
0,85-10—7
0,115.10-*
0,242.10—*
0,310.10—*
0,486-10-*
0,665-10-*
0,532-10-6
0,178-10-*
0,4214-10—*
0,8182- 10—*
0,0001409
0,0002229
0,0003316
0,0004703
0,0006431
0,002133
0,004971
0,009552
0,016249
0,025408
0,037364
0,052428
0,070901
0,093067
0,119197
0,149552
0,184379
0,223918
0,268397
0,318036
0,373048
0,433637
0,500000
Таблица 11.12Вели¬'f1*р(1>Ч0)- Л х~ dx X! 1
о(2) 2«#> 40чиныК'i11dxdx2 D
Х CXR2Dх схя) IRXRс Cl*R**0XR0,02850,135-0,898-0,712112.6231.6240,0558 |
0,245 |0,02810,12620,0008250,01870,05370,2220,16-10-40,00168Таблица 11.13Величины»s?> 20м(') W jм(2)м(0) 2 ХЯС CXRг О |1r Dг С*0-0,0008__Xr 8,7198,695-2,107В рассматриваемой задаче необходимо удовлетворить следую¬
щие граничные условия:ср = 0 при х = лг0 = 0,0285;Mr = 0,l Л 10Ст I при х = хц =0,135.w = 0 )Используя таблицу, получим систему уравнений:0.0285С, - 0,898С, — 0,0008 Р = 0;12 2D8.719С! —8,695С2- 2,107 -Ш— Р = 0;12 2D0,0187С. - 0,222С» — 0,00168 Р = 0.IR 20Из составленной системы уравнений можно получить те же при¬
мерно величины постоянных Си С2 и С3, какие были найдены в пре¬
дыдущем параграфе. После этого с помощью табл. 11.11 можно
вычислить искомые значения прогибов и напряжений.ЛИТЕРАТУРА1. ВайнбергД. В. Методы расчета круглых ребристых пластин. Сб. «Рас¬
чет пространственных конструкций». Вып. V. М., Госстройиздат, 1959.2. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Пластины, диски, балки-стенки.
К., Госстройиздат УССР, 1959.3. Горский В. Г. Расчет круглых пластинок переменной толщины, под¬
крепленных кольцевыми элементами (ребрами). Сб. «Расчет на прочность».
Вып. 7. М., Машгиз, 1961.4. Горский В. Г. Исследование веса круглых пластин, подкрепленных
ребрами жесткости. Сб. «Расчеты на прочность». Вып. 8. М., Машгиз, 1962.5. Грач С. А. Теоретическое и экспериментальное исследование некоторых
задач изгиба и растяжения пластинок с ребрами жесткости. Изд. Львовского уни¬
верситета, 1958.268
6. Д у х о в н ы й А. Н. Приближенное решение задачи о прогибе круглых и
кольцевых пластин, усиленных радиальными ребрами. Труды ВИГМ, вып. XXX.
Исследование гидромашин. М., 1962.7. Д у х о в н ы й А. Н. О критерии осесимметричности характера деформи¬
рованного состояния круглых и кольцевых пластин, усиленных радиальными
ребрами. Труды ВИГМ. Вып. XXXI. Исследование гидромашин. М., 1962.8. Савин Г. Н, Ф лейшман Н. П. Пластинки и оболочки с ребрами
жесткости. К., «Наукова думка», 1964.9. Фле й ш м а н Н. П. Круглые и кольцевые плиты минимального веса.
Сб. «Расчеты на прочность». Вып. 8. М., Машгиз, 1962.10. Шулькин Ю. Б. Уравнения задачи о циклически-симметричной дефор¬
мации круглой пластины, усиленной радиальными ребрами. Известия АН СССР.
Механика. 1965, № 2.11. Шулькин Ю. Б. К расчету круговых пластин, усиленных радиальными
ребрами. Сб. «Исследования по строительной механике». Труды ЛИИЖТ.
Вып. 249. Л., 1966.12. Черных К. Ф., Чистякова К. Н. К расчету круговой пластины,
усиленной радиальными ребрами. Ученые записки Ленинградского государствен¬
ного университета. Серия математических наук. № 280, вып. 35, 1960.13. Conway Н. D. The ribbed circular plate. J. Appl.. Mech., Trans. ASME,
E30, 1963, № 3.
Раздел IIIИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИНГлава перваяТЕХНИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИЗГИБА ПЛАСТИН§ 1. Основные уравнения и соотношенияРассматривается ортотропная пластина переменной жесткости
с главными направлениями упругости, параллельными координат¬
ным осям х и у.Интенсивность изгибающих и крутящих моментов в соответ¬
ствующих сечениях пластины (рис. III. 1) определяется через функ¬
цию прогибов ш следующими формулами:■ ж г>. I d2w . d2wMx = — Dx —— +v2d*2 дугMxy = 2Dk d'wдхдуИнтенсивность перерезывающих усилий (рис. III.1):* (D -^-+d3 йгшдх у дх2 ду2Qv = !-([>*-^г + Dt д%1(1.2)у ду дх2 ’ * ду-Интенсивность приведенных перерезывающих усилий представ¬ляется выражениями:d*w . / г» »-v \ d^wдхдуVx = -[D1^+(D3-2Dk)
Vv = ~\D2^ + (D3-2Db)2(1.3)У \ ‘ дуз ' 4“ “ дудх2Сосредоточенные реакции в узлах опертой пластиныV0 = 2Dk-^~ .. (1.4)0 к дхдуВыше приняты следующие обозначения:Dь ^2 — жесткости изгиба пластины в главных направле¬
ниях;D3=Di^2 + 2 Dk — главная жесткость пластины;270
Dk — жесткость кручения;
vu V2 — коэффициенты Пуассона материала пластины
в главных направлениях.В общем случае параметры жесткости пластины являются пере¬
менными величинами, зависящими от координат х, у.ГГтуОООIг1^гГ/ , t t °г г I / h о oim777 / у
А
Л?ис. ниПриводим дифференциальные уравнения равновесия элемента
пластины:dQy dQxН ; b <7 = 0;дудхQажду
dAf*дхдМ— т,ху— т(1.5)(1.6)
(1.7)дх дугде q — интенсивность поперечной нагрузки;
тх, ту — интенсивности моментной нагрузки, приложенной к сре¬
динной поверхности пластины.Из (1.1), (1.2) и (1.5) — (1.7) можно получить основное диффе¬
ренциальное уравнение изгиба ортотропной пластины переменной
жесткости:dxw
дх*дРхдхдх3дх2d?w , дЮ,
+дхду2d2wду2+271
+ 2дР2ду+ 2d'6wдугдРгдуdzwдх^дуd*w
ду4+ V2+ 2
дЮгдРяd3wдх дхду2
d2w2 Адл:2+ ^iдЮ2ду2d*wдх2ду'2d2wдх2д2додлгду <9лсг^у= ?.гдеq = qдтхдх+д/и,ду(1.8)(1.9)В случае постоянных жесткостей пластины уравнение (1.8) упро¬
щаетсягч , о г» ~ d*w /Л 1ЛЧDi —— + 2 Ds + Do —— = *7. (1.10)дл:4 djt2cty2 ду4Соответственно для изотропной пластины постоянной толщиныV2V2^ =+ 2+(1.11)дл:4 ' дх2ду* ду2 DПолная энергия деформации изотропной пластины может быть
представлена выражениемЭ= 1dxdy,(1.12)Рис. III.2где интегрирование распрост¬
раняется по всей поверхности
пластины.Задача расчета пластин на
изгиб сводится к интегрирова¬
нию уравнения (1.8) либо
(1.10), (1.11) при соблюдении
краевых и контактных условий.
Ниже дается формулировка
наиболее характерных крае¬
вых условий для прямоуголь¬
ных пластин.Защемленный край
х=0 пластины (рис.
III.2, а). Основное уравнение
вида (1.8), (1.10), (1.11) не
записывается. Граничные усло¬
вия:w = 0;dwдх= 0.(1.13)272
Шарнирно опертый край я=0 (рис. III.2,б). Основ¬
ное уравнение для контура не записывают. Граничные условия:А d2w . d2w ~ /л л л\® = 0; Л*, = —+ v —= 0. (1.14)Край пластины х = 0 не оперт (рис. III.2,в) и на¬
гружен поперечной нагрузкой интенсивностью
рх и изгибающими моментами интенсивностью
тх. Краевые условия выражаются равенствами:дът . /сл ч дгт /л 1С\+ (2~v) , , , =Рх- (1Л5)дх3 дхду2d2w . д2хю
= fnvдх2 ду2Край пластины х=0 жестко соединен с реб¬
ром (рис. III.2,г).Краевые (контактные) условия для изотропной пластины:(Мб)а,*. ■ - - ■- <|17>где D — цилиндрическая жесткость пластины;El, GIk —изгибная и крутильная жесткость ребра;рх, ту— интенсивности поперечной нагрузки и крутящих момен¬
тов, приложенных непосредственно к ребру.Для ребра на правой грани х=а (рис. III.2, г) в уравнении (1.17)следует впереди рх поставить знак минус.Край пластины (*=0) шарнирно соединен с реб¬
ром (рис. 111.2,(9). Краевое уравнение (1.17) остается без измене¬
ния, равенство (1.16) следует заменить таким:+ v_a%_ = 0> (1Л8)дх2 ду2Край пластины (*=0) подкреплен неоседаю¬
щим ребром, оказывающим упругое сопротивле¬
ние закручиванию (рис. Ш.2,е). Граничное условие (1.17)
заменяется условием ш = 0, граничное условие (1.16) остается без
изменения.Пластина, две противоположные стороны ко¬
торой защемлены, а две другие не оперты
(рис. III.2,ж). Граничные условия для угла 1—2 имеют следующий
вид:Wi-2=Hr =0; (1Л9)18—511273
(Мх)d2w+ vд2до= 0.дл:2 ' dy2 yj_2Аналогично могут быть сформулированы и другие виды крае&ых
условий.§ 2. О методах решенияЗадачи изгиба пластин сводятся к решению дифференциальных
уравнений в частных производных, часто с переменными коэффи¬
циентами и при сложных краевых условиях. Точное решение из¬
вестно только для отдельных сравнительно простых задач. Для
определения прогибов и усилий в прямоугольной пластине, шар¬
нирно опертой по четырем сторонам (рис. III.3, а), используется
метод двойных тригонометрических рядов. Функцию прогибов за¬
дают в виде рядат=сосоsinmtiтпх \ . I mzysin'(2.1)a I \ bm=1, 2 ... /2=1, 2 ...каждый член ряда (2.1) удовлетворяет условиям на контуре пла¬
стины. Прогибы краев х = 0, х=а, у = 0, у = Ь тождественно равны
нулю. Изгибающие моменты Мх и Му , выражаемые формулами
(1.1), также равны нулю соответственно на краях л; = 0, х=а и
у = 0, у = Ь.Если действующую на пластину нагрузку q разложить в двой¬
ной тригонометрический ряд вида/2—00 /71=00тжхqmn Sin [ 1 sinшха ) \ bл = 1, 2 ... т=1, 2 ...и ввести ряды (2.1) и (2.2) в бигармоническое уравнение(2.2)d*wдх4+ 2d*wдх 2дус*■+d*w
ду4±_D(2.3)то получают алгебраические
уравнения относительно ис¬
комых коэффициентов wmn.Таким образом будет най¬
дена функция прогибов пла¬
стины w (х, у) в виде суммы
двойного ряда (2.1). После
этого по формулам (1.1) —
(1.4) могут быть вычислены
усилия в сечениях пластины.
Решение является точным
в той мере, с какой степенью точности заданная нагрузка представ¬
лена рядом (2.2).Рис. 111.3274
wМожно расширить класс задач, решаемых аналитически, если
рассмотреть прямоугольные пластины, два противоположных края
которых шарнирно оперты.В этом случае представляют искомую функцию прогибов пла¬
стины в виде ординарного тригонометрического рядага=со(•*. У) = tPm(y)sin-!2^. (2.4)m = 1, 2 ...где ср является функцией только координаты у.Каждый член этого ряда удовлетворяет на краях я=0 и х=а
граничным условиям:ш = 0; Мх—0.Остается найти <рт (у) так, чтобы удовлетворять граничным усло¬
виям на краях у = 0 и у=Ь и уравнению__д^_ =дх* дхЧу* ду* D v 'Решение ищут в видеw = -f- w2 (2.6)и принимают(x‘l — 2 ах3 + а3х). (2.7)Функция w\ представляет собой прогиб равномерно нагруженной
полоски, параллельной оси х, которая удовлетворяет (2.5) и гра¬
ничным условиям на краях х = 0 и х — а.Выражение должно удовлетворять однородному уравнениюа** + 2 + = а (2Л)дх4 дх2ду2 ду2Его следует выбрать таким, чтобы сумма (2.6) удовлетворяла всем
граничным условиям задачи.Взяв ш2 в виде ряда (2.4) и подставив в (2.8), получимооSd^m о m2lz2 d4m . т*тЛ \ . тпх Л /п п\——— 2 —Н ср sin = 0. (2.9)dy4 а2 dy2 а* ) a v 'm = 1Таким образом приходим к обыкновенным дифференциальным
уравнениям вместо уравнений в частных производныхJ-Ъг- _ 2 ■ -^0- + Фш = 0. (2.10)dy4 й2 dy2 а4 'Общий интеграл уравнения (2.10)Чт (У) = -*%-[a*ch + Вт -22- sh J25L +D у а а а+ C„,sh -^ + Dm^ch^-) . (2.11)а а а18* 275
Следовательно,ооw = —7— (х4 - 2ах3 + а3х) + (лт ch+24D ' D \ т ат=1sh + Q gh +
а а а. j-. тку тку \ . ткх /Г) 10Ч+ DOT — ch — sin . (2.12)a a J аЭто выражение удовлетворяет уравнению (2.5) и граничным усло¬
виям на краях я=0 и х=а. В нем остаются неопределенными лишь
постоянные Ат, ..., Dm, которые должны быть подобраны так, чтобы
были соблюдены условия на гранях у=0, у=Ь.Разложим (2.7) в тригонометрический рядСО(л;4 — 2ах* + а3х) — - 4qa*~ V _L_ sin ткх - . (2.13)k5D ть а24Dт—\После этого получаем решение задачисо_я^У -J- + Amch^ + Bm^-sh^_ +D ^ \ а т а а/71 = 1I t. т~У , г-v тку , тку \ . ткх /г> 1у1ч+ Ст sh у— +Dm —у— ch ——) sin , (2.14)а а а акоторое позволяет удовлетворять любым условиям на краях г/ = О,
у=ь.К расчету пластин с успехом применяют вариационные методы.
Ряд задач решен с помощью метода Ритца — Тимошенко. Изогну¬
тую поверхность пластины подбирают в виде рядасо■W— 2 апЯЛх< у)’ (2-15)т—1коэффициенты которого являются обобщенными координатами
упругой системы. Составляют выражения для работы внешних силТ = JJ q (х, y)w(x, y)dxdy (2.16)и потенциальной энергии упругой системы (1.12) и заменяют в них
w(x, у) выражением (2.15).Составляя в согласии с принципом Лагранжа уравненияd(V,-7L = 0, (2.17)получают систему линейных алгебраических уравнений относи¬
тельно коэффициентов ат, и таким образом находят приближен¬
ное выражение функции прогибов w(x, у), после чего нетрудно вы¬
числить усилия в пластине.276
Во многих случаях используются вариационные методы Галер-
кина — Бубнова, Канторовича и др-
В связи с развитием вычислительной техники с успехом исполь¬
зуется разностный метод и метод конечных элементов.§ 3. Переход к разностным уравнениямПеречисленные в § 2 методы решения задач об изгибе пластин
могут быть приложены к расчету сравнительно небольшого класса
объектов. Между тем, пластины и пластинчатые системы, приме¬
няемые в качестве конструктивных частей в различных отраслях
техники, отличаются большим разнообразием форм и краевых усло¬
вий. В этих сложных прикладных задачах большими возможностями
обладает метод сеток.Сущность метода сеток заключается в замене производных ко¬
нечными разностями и интегралов суммами. Дифференциальные
уравнения в частных производных приводятся к системам алгебраи¬
ческих уравнений, содержащих вместо разрешающих функций их
дискретные значения в ряде узлов сетки, наносимой на расчетную
схему пластины.Метод сеток, являясь приближенным по существу, допускает
уточнение решения задачи путем сгущения сетки. Последнее при¬
водит к увеличению числа уравнений. Однако современные ре¬
сурсы электронных вычислительных машин позволяют решать си¬
стемы алгебраических уравнений с большим числом неизвестных.Центральные разностные аппроксимации производных, входящих
в уравнения изгиба пластин (рис. III.4):dw \дхwl — w'i
21 хd*w \ Cwi — 4 (Wk + Wf) -f (ws 4- wt)dx4■4(3.1)277
d*w \ _6wi — 4 (wm + wn) + (wu + wv) .ty* Ji 4d*w \ 4w-L — 2 («;„ 4 «7 4 i0OT + w*) + (®9 4- «V 4 wp 4- w0)dx'dy' ),Располагая выражениями (3.1), легко представить бигармониче-
ское уравнение в разностной форме. Запишем его для узла i пла¬
стины (см. рис. III.4):0,5L (■№>), = », , (3.2)либо в развернутой форме0,5 ([12 (ft2 + а2) + 16] Wj — 8 (Р2 + 1)(% + ш,)-— 8(а2 + 1) (wm + wn) + 4(wq + wr + w0 + wp) ++ 2p2 (ws + wt) + 2a2 (wu + w„)) = y , (3.3)где lx, Xy — шаги сетки;a = [3 — ly ■h КD[ — цилиндрическая жесткость пластины в узле i;
q — интенсивность внешней нагрузки в зоне узла £;
со*— весовой коэффициент в узле.Если в зоне узла i нагрузка q равномерно распределена, то = 1.
При отсутствии нагрузки в ячейках сетки, окружающих узел i, ве¬
совой коэффициент со i =0.В работе [2] развит вариационный метод вывода краевых раз¬
ностных уравнений, основанный на минимизации выражения упру¬
гого потенциала системы, представленного в дискретной форме от¬
носительно узловых значений функции прогибов.§ 4. Сеточные операторы для некоторых граничных условийМетод сеток, используемый в технической теории упругости, от¬
личается той особенностью, что в систему разрешающих разност¬
ных уравнений входят в качестве неизвестных дискретные значения
искомой функции в узлах сетки, находящихся за пределами об¬
ласти, занятой упругим телом.При решении задач об изгибе пластин приходится составлять,
кроме основного разрешающего уравнения для узлов сетки, при¬
надлежащей пластине, дополнительные уравнения для контурных
и законтурных узлов. Вид этих уравнений, которые мы называем
разностными операторами, зависит от характера краевых условий.
Ниже приведены таблицы с разностными операторами для наибо¬
лее важных типов краевых и контактных условий, встречающихся
при расчете прямоугольных пластин [1].278
На рис. III.5, а представлен в символическом виде разностный
оператор L(w) t бигармонического уравнения (2.5) или (3.3) для
внутреннего узла сеточной области, отмеченного большим кружоч¬
ком с жирной точкой внутри. Для того, чтобы по этой схеме запи¬
сать соответствующее уравнение, необходимо совместить узел i
рис. III.4 с узлом i рис. 111.5, а и соответственно оси координат
х, у. Пользуясь обозначениями узлов, приведенными на рис. II 1.4,
и величинами коэффициентов, стоящих соответственно у узлов
сетки рис. III.5, а, записывают разностный оператор бигармониче¬
ского уравнения (3.3) для внутреннего узла i пластины.На рис. 111.5,6—г в условной записи представлены разностные
операторы L(w)lt входящие в левую сторону разрешающих сеточ¬
ных уравнений типа (3.3) для узлов сетки, прилегающих к неопер-
тому краю прямоугольной пластины. Так, для узла i, лежащего на
свободном контуре, имеем согласно рис. II 1.5, б и обозначению уз¬
лов согласно рис. III.40,5 |[6(Р2 -f а2) + 8]wi — 4(Р2 + 1) (wk + wt) — 2 (а2 + v)wn ++ (— ба2 + 2v — 8) wm + v (wq + wr) + (4 — v) {w0 -f wp) ++ P2 (ws -f wt) -f- 2o.2wu) = cof ■ qXx^y = 0,5 - q)*)y- • (4.1)и IВ правой части уравнения (4.1) принимается величина весового
коэффициента =0,5 и (ot =1, если в окрестности узла i есть по¬
перечная нагрузка q.Для законтурного узла сетки согласно рис. III.5, г краевое уравне¬
ние имеет следующий вид:0,5 [a 2Wi - 2(a + v)®m + v (w0 + wp) + orwu\ = а>(. = 0. (4.2)В правой части уравнения (3.5) весовой коэффициент o)t принят
равным нулю, как для законтурного узла.На рис. III.5, д—и приведены разностные операторы, т. е. левые
части сеточных уравнений для узлов, расположенных около внеш¬
него угла прямоугольной пластины, образованного двумя неопер-
тыми краями пластины. Не записывая уравнений, отметим, что для
рис. III.5, д—и величина со принимается соответственно 0,25; 0,5;
1,0; 0.На рис. III.5, к—н представлены условно разностные операторы
для узлов, расположенных около входящего угла, образованного
двумя неопертыми сторонами пластины. Правило образования по
этим схемам сеточных операторов ясно. В правых частях уравне¬
ний следует принимать величину со для рис. II 1.5, к—я, равной соот¬
ветственно 0,75; 1,0; 0,5; 0.Дополнительные операторы для пластин, шарнирно опертых по
краям либо по линии, параллельной краям, приведены на рис. 111.6,
а—в.На рис. III.7, а—е даны операторы для узлов сетки, расположен¬
ных в зонах жестко закрепленных краев, где пересекается неопер-279
I»аШбо*-&*+))) 0,5 Р0,5а*ги
тая сторона с жестко закрепленной, и вблизи жестко закреплен¬
ного угла пластины.На рис. III.8 представлены дополнительные части сеточных опе¬
раторов, зависящие от наличия ребер, подкрепляющих пластину.
Разностные контактные уравнения для ребристых пластин удобно
представлять в следующем виде:0,51 (w), + 0,5 L (о,)? = , (4.3)гдеL (w)i — сеточный оператор для узла i гладкой пластины,
взятый соответствующим образом из рис. II 1.5;L (w)% — дополнительный сеточный оператор для того же
узла, относящийся к ребру и взятый из рис. III.8;EI — изгибная жесткость ребра, проходящего через
узел;ЕЬгD = — - ^ цилиндрическая жесткость пластины;<»>; — весовой коэффициент, смысл которого был разъ¬
яснен выше.Таким образом, для узла i ребристой пластины уравнение (4.3),
учитывая схемы на рис. III.5, а и III.8, а, примет следующий вид:282
\уi(^0.5a20,5 {[12 -{- a2) -j- 16] Wf — 8 (р2 -f~ 1) i^k “1“ *®i) —
— 8 (а2 + 1) (wn + wm) + 4 (wq + wT + wQ + wp) +2?2 (ws + wt) + 2a2 (wu -f wj\ + 0,5
— 4a (wk + wt) + a (ws + wt)\ = 1ElD<7xfoyD[ 6aze>f(4.4)283
гдеар-а =EI(4.5)Если ребро не проходит через узел сетки (рис. III.8, д), то в урав¬
нении (4.3) следует изгибную жесткость EI ребра заменить кру¬
тильной GIk и пользоваться схемами рис. III.8, д, е и обозначе¬
ниями узлов на рис. Ш.4.вНа рис. 111.8Рис. III.8с = . GIk
4Х*Х*(4.6)После того, как будет составлена полная система разностных
уравнений для пластины и найдены прогибы во всех узлах, могут
быть вычислены усилия и реакции.На рис. III.9 приведены в условной форме выражения для интен¬
сивности изгибающих моментов Мх (рис. III.9, а), Му (рис. III.9, б)
и крутящих моментов Мху (рис. II 1.9, в) в узле i пластины. Согласно
схеме (рис. III.9, а)(Мх\ =Л2+ V>2Лу— 2 (1 + v(wm + wn)Wt + (wk -f Wi) +
Ebz 112(1 —v2) ^По рис. III. 10 можно вычислить опорные реакции пластины, поль¬
зуясь следующей формулой284
у чva2/ с~2(hm2)/ VIVГ -s/Уva2^-1J мя -J-1/ 12(Мг) Лг1Vfl2:2(мрг)iг 4
1*[~12(18^ 4У6А-(H)( .! i
i®н-(H) ^ 1 l2(bt)'A,hJVш шУРис. III.9ОМЛуL4-VЩ"-6a$2v-84-U2агРис. 111.10Vt =D2XjpX^L(w)i + wiq\x\,где у.— величина реакции в опертом узле;D — цилиндрическая жесткость пластины;285(4.8)
^у—шаги сетки;L (w)i—сеточный оператор, представленный в условной записи
схемами на рис. III.6;
о). — весовой коэффициент, смысл которого был разъяснен
ранее.Так, реакция в узле i шарнирно опертой стороны пластины
(см. рис. III.6)Vt = 0,5 [— 2 (а2 + v) wn + (— 6а2 -f 2v — 8) wm -fкхЬу+ V (wq + wr) + (4 - v) (w0 + wp)] + 0,5qXx\y. (4.9)Глава втораяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН, СВОБОДНО ОПЕРТЫХ ПО КОНТУРУ§ 5. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхностиа. Пластина из материала с коэффициентом Пуассона v=0,3.Обозначения (рис. 111.11)а, b — размеры сторон пластины, см;
ьц. = отношение сторон пластины;а(У — толщина пластины, см;Е — модуль нормальной упругости материала
пластины, кг/см2;v — коэффициент Пуассона;ЕЬЪD = ^ цилиндрическая жесткость пластины, кг-см;q — интенсивность внешней распределенной на¬
грузки, кг/см2;w — прогиб пластины (положителен при направ¬
лении вниз), см;Мх—изгибающий момент вокруг оси у на еди¬
ницу длины сечения, перпендикулярного
к оси ху кг-см!см;Му — изгибающий момент вокруг оси х на еди¬
ницу длины сечения, перпендикулярного
к оси у, кг-см)см;Qx, Qy — перерезывающие усилия на единицу длины
сечения, перпендикулярного к осям соответ¬
ственно х, у у кг! см;Vx' Vy — реакции на единицу длины опорных кро¬
мок, перпендикулярных соответственно
к осям х и у, кг!см;286
6 млVo — реакции, сосредоточенные в вершинах пря¬
моугольного опорного контура пластины, кг;ах =И ov =Шуw — kxда*ЕЬ3— нормальные напряжения в краиних волок¬
нах пластины, вызванные изгибающими мо¬
ментами соответственно Мх, Му, кг/см2.
Расчетные формулы [5]Г8 \К L С(5.1)А<5 1^F \jLГD-У-ТТ "АwMx = k2qa2; My = ksqa2;(5.2)Qx = Kqa\ Qy — kbqb; (5.3)Vx = k6 qa: Vy=k4qb\V0 = k8qab. (5.4)Величины коэффициентовkU ^2» fa, •••> ^8i В ЗЗВИСИ"мости от отношения сторон
Ь/а, приведены в табл.III.1—III.4 для наиболее ха¬
рактерных точек пластины(рИС. IIIЛ1) ПрИ КОЭффнЦИ- (j /енте Пуассона о> = 0,3.На рис. III.12, а, б пред¬
ставлены эпюры изгибающих
моментов Му и Мх в сечении рис jjjjjу = 0 пластины при г>=0,25;кривые /, //, III соответствуют значениям bja— 1, bja —2 и bja — оо
(случай балки). На рис. III.12, в представлены эпюры перерезываю¬
щих сил Qx в сечении у = 0; кривые I и II соответствуют значениям
bfa = 1, b/a = 2; прямая III относится к случаю bja= со.На рис. III.12, г изображены перерезывающие усилия Qx и Qy
(кривые I) и реакции опор Vх, Vу (кривые II) квадратной пла¬
стины.На рис. 111.12, д для пластины с соотношением сторон bja=2 изо¬
бражены перерезывающие усилия Qx в сечении я=0,5 а (кривая /);
реакции Vx по краю я = 0,5 а (кривая II); перерезывающие силы Qy
по краю # = 0,5 b (кривая III); реакции Vy по краю у=0,вЬ (кри¬
вая IV).При пользовании таблицами следует придерживаться принятых
обозначений в тексте и на рисунках, соблюдать единые размер¬
ности всех величин.б. Пластины из материала с коэффициентом Пуассона v— -jl-(см. рис. III.13).287
Рис. Ill.12
Обозначенияq — интенсивность нагрузки, кг!см2.Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 5.I'жII!ш/шшш/ш.1“У1Рис. II 1.13Расчетные формулы [3]w = аqa41D(5.5)Mx = a2qa2; My = a3qa2; (5.6)Q = <xiqa; V=a bqa\ V0 = & 6qab. (5.7)Величины коэффициентов a\—а& приведены в табл- III.5—111.7
для ряда точек пластины (рис. III. 13) при г> = 1/б-Таблица III.1Таблица III.2kv в формуле (5.1)для точек ^IrCk2 iв формуле (5.2)
для точекА3 в формуле (5.2)
для точекIIdLQЕF И
г iОИFОЕF1,00,04330,03200,03201.00,04790,03560,03910,04790,03910,03561.10,05300,03840.03*31.10,05530,04140,04450,04940,04100,03661.20,06160,04500,04441.20,06260,08710,04960,05010,04220,03711.30,06970,05110,05011.30,06930,05240.05410,05040,04330,03731.40,07700,05700,05551.40,07530,05730,05880,05060,04410,03721.50,08430,06260,06041.50,08120,06200,06270,04990,04470,03691.60,09060,06780,06491.60,08620,06630,06740,04930,04500,03651.70,09640,07260,06901.70,09080,07040,06950,04860,04530,03611.80,10170,07690,07271.80,09480,07390,07240,04790,04560,03551.90,10640,08140,07701.90,09850,07750,07500,04710,04560,03502.00,11060,08430,07902,00,10170,08170,07730,04640,04460,03443,00,13360,11230,09523,00,11890,10240,08940,0404 •0,04410,03044.00,14000,12630,09974.00,12350,11330,09270,03840,04200,02885,00,14160,14090,10095,00,12460,11890,09350,03750,04020,0284оо0,14220,14220,1013оо0,12500,12500,0937 10,03750,03750,028119—511 289
Таблица III.3Таблица III.4^5*IIdLJfe4 в формуле
(5.3) для точекк5 в формуле
(5.3) для точекS'лАke в формуле
(5.4) для точекk7 в формуле
(5.4) для точекЛ3 в фор¬
муле (5.4)
в верши¬
нахНGКLЯоКLА, В9 С. Д1,00,3380,2810,3380,2811,00,4200,3540,4200,354-0,0651,10,3 00,3020,3150,2611,10,4400,3750,3990,334-0,0641,20,3800,3200,2940,2431,20,4550,3910,3770,314—0,0631,30,3970,3360,2750,2271,30,4680,4050,35/0,296—0,0621,40,4110,3500,2580,2131,40,4780,4180,3370,280—0,0591,50,4240,3630,2420,2001,50,4860,4280,3200,264—0,0571,60,4350,3760,2280,1881,60,4910,4380,3030,250—0,0551,70,4440,3860,2160,1781,70,4960,4460,2870,237-0,0531,80,4520,3950,2050,1681,80,4990,4530,2730,225—0,Q501,90,4590,4040,1940,1601,90,5020,4590,2600,214-—0,0482,00,4650,4120,1850,1522,00,5030,4640,2480,205—0,0463,00,4930,4610,1240,1023,00,5050,4940,1660,137—0,0324,00,4980,4820,0930,0764,00,5020,5020,1250,103—0,0245,00,5000,4920,0740,0615,00,5010,5040,1000,082-0,019оо0,5000,500 1—ОО0,5000,500———Таблица III.5р.=а/Ьаг в формуле (5.5) для точек12450,500,010130,007250,007810,005600,600,008650,006180,006590,004720,700,007260,005200,005450,003950,800,006030,004350,004460,003250,900,004980,003630,003590,002641,000,004050,002950,002950,00217Таблица III.6[L=albа.3 вформуле (5.6) для точека8 вформуле (5.6) для точек124512450,500,09940,07760,07750,06000,03350,02460,03570,02620,600,08600,06650,06810,05170,03800,02770,03720,02730,700,07300,05700,05500,04430,04220,02990,03790,02780,800,06170,04890,04560,03680,04270,03130,03750,02760,900,05160,04150,03800,03150,04350,03180,03650,02711,000,04290,03550,03160,02640,04290,03160,03550,0262Таблица III.71х=а/Ьа4 вформуле (5.7) для точека5 в формуле (5.7) для точекв„ в фор¬
муле (5.7)
для вер¬
шины78367836О0,500,3700,3030,4650,4120,5260,4370,5120,474-0,05620,600,3660,3010,4410,3880,5110,4200,5060,459—0,06460,700,3620,2960,4150,3570,4960,4080,4940,444-0,07110,800,3550,2910,3880,3260,4810,3980,4800,426-0,07600,900,3480,2850,3630,3040,4610,3940,4600,409-0,07821,000,3370,2810,3370,2810,4390,3930,4390,393—0,0788290
§ 6. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной
по поверхности центрального прямоугольника либо вдоль отрезкаоси симметрииОбозначенияРасчетные формулы [7]Для изгибающих момен¬
тов в центре пластины (х=
=У=0):MXt = k2P = k2qaibI\ (6.1)Му„ = k3P = (6.2)Величины коэффициентов
&2 и kz для пластин с различ¬
ными отношениями сторон и
при различных отношениях~и (рис. III.14,а) при¬
ведены в табл. II 1.8—II 1.14
для коэффициентов Пуассо¬
на v = 0,3 и в табл. 111.15—1111.20 при v=~^ •Для практики представля¬
ет интерес изменение усилий
в пластине, загруженной по
полосе, в зависимости от ши-Рис. II 1.14У/////////А'//////////,а, b — стороны пластины, см;
аь b 1 — стороны загруженного прямоугольника, см;
q — интенсивность нагрузки, кг/см2;P = qa\b\ — равнодействую-
щая нагрузки,
кг;v — коэффициент Пу¬
ассона материа¬
ла пластины.Обозначения остальных
величин те же, что и в слу¬
чае «а» § 5.рсяfНИН\1 7^7\wау<г-СМнIШ//ШЛI7777Iwрины полосы при неизменной величине равнодействующей нагруз¬
ки. На рис. III. 15 изображена свободно опертая прямоугольная
пластина под действием нагрузки постоянной интенсивности вдоль19*291
<////////А/////////Л/.77777777)77777777,7?!с>**лг~*■шI'//////////у//////////.
\а,i•Х7777777Л77777777%,£I/777УРис. II 1.15Рис. II 1.16
линии л;=0. Равнодействующая нагрузки составляет Р=рЬ. Ин¬
тенсивность этой нагрузки, отнесенная ко всей поверхности пласти¬
ны, равна р=—- (рис. III.15, а).Таблица III.8Ьгкгв формуле (6.1)при Ъ == а и—1
аCL00,10,20,30,40.50,60,70,80,91,00ОО0,3210,2510,2090,1800,1580,1410,1250,1120,1020,0920,10,3780,2840,2320,1970,1700,1500,1340,1200,1080,0980,0880,20,3080,2540,2140,1840,1610,1420,1270,1140,1030,0930,0840,30,2620,2^50,1950,1680,1510,1340,1200,1080,0980,0880,0800,40,2320,2030,1790,1580,1410,1260,1130,1020,0920,0840,0760,50,2080,1850,1640,1460,1310,1160,1060,0960,0870,0790,0710,60,1880,1680,1500,1350,1210,1090,0990,0900,0810,0740,0670,70,1700,1530,1370,1240,1120,1010,0910,0830,0760,0690,0620,80,1550,1400,1260,1140,1030,0940,0850,0770,0700,0630,0570,90,1410,1270,1150,1040,0940,0860,0780,0700,0640,0580,0531,00,1270,1150,1050,0950,0860,0780,0710,0640,0580,0530,048. Таблица 111.9ь,/7ksв формуле (6.2)при Ъ =а иа00,10,20,30,40,50,60,70,80.91,00оо0,3780,3080,2620,2320,2080,1880,1700,1550,1410,1270,10,3210,2840,2540,2250,2030,1850,1680,1530,1400,1270,1150,20,2510,2320,2140,1950,1790,1640,1500,1370,1260,1150,1050,30,2090,1970,1840,1680,1580,1460,1350,1240,1140,1040,0950,40,1800,1700,1610,1510,1410,1310,1210,1120,1030,0940,0860,50,1580,1500,1420,1340,1260,1160,1090,1010,0940,0860,0780,60,1410,1340,1270,1200,1130,1060,0990,0910,0850,0780,0710,70,1250,1200,1140,1080,1020,0960,0900,0830,0770,0700,0640,80,1120,1080,1030,0980,0920,0870,0810,0760,0700,0640,0580,90,1020,0980,0930,0880,0840,0790,0740,0690,0630,0580,0531,00,0920,0880,0840,0800,0760,0710,0670,0620,0570,0530,048Т а б л и ц а ШЛОь>CLk2 1в формуле (6.1)при b =1,2а и -atаft*в формуле (6.2) при Ъ= 1,2а 1а,и ——
а00,20,40,60,81,000,20,40,6 |0,81,00оо0,2650,1980,1540,1250,103оо0,3010,2320,1860,1530,1260,20,3220,2290,1770,1420,1)60,0950,2490,2110,1770,1490,125!0,1040,40,2500,1970,1580,1290,1060,0880,1790,1600,1400,1210,103,0,0850,60,2060,1690,1390,1160,0950,0780,1400,1270,1130,0990,08510,0700,80,1710,1460,1210,1010,0840,0700,1130,1030,0930,0820,070'0,0591,00,1490,1250,1050,0880,0740,0610,0940,0860,0780,0690,0590,0491,20,1260,1070,0900,0760,0630,0520,0790,0730,0660,0580,0500,042293
Таблица III.l 1_bi_Лв формуле (6.1)при Ь == 1,4а иа-хаЛ, |в формуле (6.2)1 при Ь ■■= 1,4а иаU00,20,40,60,81.000,20,40,60,81,00оо0,2760,2080,1630,1340,110оо0,2990,2300,1830,1510,1250,20,3320,2390,1860,1520,1250,1030,2460,2080,1750,1470,1240,1020,40,2610,2070,1680,1380,1150,0950,1770,1570,1380,1190,1010,0830,60,2190,1810,1510,1260,1050,0860,1380,1250,1110,0970,0830,0690,80,1870,1580,1340,1120,0940,0780,1120,1020,0910,0800,0690,0581,00,1620,1390,1180,1000,0840,0700,0930,0850,0770,0680,0580,0491,20,1410,1220,1040,0890,0750,0620,0790,0720,0650,0580,0500,0421.40,1230,1060,0910,0770,0650,0540,0680,0620,0560,0500,0430,036Таблица III.12А_Лкг вформуле (6.1)при Ь-= 1,6а и«Iаk3 вформуле (6.2)1 при t> = 1,6аИ°‘ас*00,20.40.60,81,000,20,40.60,81,00оо0,2820,2140,1690,1390,114оо0,2970,2280,1820,1510,1230,20,3400,2460,1930,1570,1300,1070,2440,2060,1730,1450,1220,1010,40,2680,2140,1750,1440,1200,0990,1740,1550,1360,1170,0990,0820,60,2260,1880,1570,1320,1100,0910,1350,1230,1090,0950,0810,0680,80,1960,1660,1410,1200,1000,0830,1100,1000,0890,0790,0680,0561,00,1710,1470,1260,1080,0910,0750,0910,0830,0750,0660,0570,04.71,20,1510,1310,1130,0970,0820,0680,0770,0710,0640,0560,0490,0411,40,1340,1170,1010,0860.0730,0610,0670,0610,0550,0490,0420,0351,60,1180,1030,0890,0770,0660,0540,0580,0540,0480,0430,0370,031Т а б л и ц а 111.13А.л •k2 в формуле (6.1)при b= 1,8а уai[аk3 вформуле (6.2)при Ь= 1,8аа1Лг00,20,40,60,81.000,20,40,60,81.00оо0,2860,2180,1730,1430,117оо0,2950,2260,1800,1490,1220,20,3450,2500,1970,1610,1320,1100,2430,2040,1710,1440,1210,1000,40,2730,2190,1790,1480,1230,1020,1730,1540,1340,1150,0980,0810,60,2300,1920,1610,1350,1130,0940,1340,1210,1070,0940,0800,0670,80,2000,1710,1460,1230,1040,0860,1080,0980,0880,0770,0660,0551,00,1770,1530,1320,1120,0950,0790,0890,0820,0730,0650,0560,0461,20,1570,1370,1190,1020,0360,0720,0760,0690,0620,0550,0470,0391,40,1400,1230,1070,0920,0780,0650,0650,0600,0540,0470,0410,0341,60,1260,1110,0960,0830,0710,0590,0570,0520,0470,0420,0360,0301,80,1130,0990,0860,0750,0630,0530,0510,0460,0420,0370,0320,027294
Таблица III.14k2 iформуле (6.1) при b=2a иaiak3 вформуле (6.2)приb—2aалиaCL00 20,40,60,81,000,2040,60.81,00oo0,2890,2200,1750,1440,118oo0,2940,2250,1790,1480,1220,20,3470,2520,1990,1630,1350,1110,2420,2030,1700,1430,1200,0990,40,2750,2210,1810,1500,1250,1030,1720,1520,1330,1140,0970,0810,60,2330,1950,1640,1380,1150,0950,1330,1200,1060,0930,0790,0660,80,2030,1740,1480,1260,1060,0880,1070,0970,0870,0760,0650,0541,00,1790,1550,1340,1150,0970,0800,0890,0810,0730,0640,0550,0461,20,1610,1410,1220,1050,0890,0740,0740,0680,0610,0540,0460,0391,40,1440,1270,1110,0960,0810,0680,0640,0580,0520,0460,0400,0331,60,1300,1150,1010,0870,0740,0620,0560,0510,0460,0400,0350,0291,80,1180,1040,0910,0790,0670,0560,0490,0450,0410,0360,0310,0262,00,1070,0940,0830,0720,0610,0510,0440,041|0,0370,0320,0280,023Таблица III.15A_k2в формуле (6.1) при Ъ=аа.и аk3 вформуле (6.2) при Ь—а иа,аa00,20,40,61,000,2| 0,40,61,00oo0,2180,1540,1200,078оо0,2850,2160,1750,1190,20,2850,1940,1410,1100,0820,2180,1940,1640,1390,0980,40,2160,1640,1260,1000,0670,1540,1410,1260,1100,0790,60,1750,1390,1200,0890,0590,1200,1100,1000,0890,0640,80,1450,1170,0950,0760,0510,0950,0870,0810,0720,0531,00,1190,0970,0790,0640,0430,0780,0710,0670,0590,043Таблица III. 16bj_k 2 Ва*формуле (6.1) при 6 = 1,2а и &k3 в формуле (6.2) при Ъ — 1,2ааа00,20,40,61,000,20.40.61,00оо0,2330,1730,1330,089оо0,2760,2130,1710,1170,20,3010,2090,1560,1270,0840.2120,1860,1490,1360,0950,40,2350,1850,1410,1170,0790,1500,1440,1230.1080,0760,60,1940,1580,1280,1080,0720,1160,1070,0970,0860,0610,80,1650,1360,1130,0940,0640,0930,0860,0800,0710,0501,20,1200,1010,0840,0710,0490,0650,0610,0560,0500,041Таблица III.17ЬгС1Л2 в формуле(6.1) при 6 = 1,4ааk3 в формуле (6.2) при .Ь = 1.4аа00.20.40.61,000,20.40.61,00оо0,2440,1830,1500,097оо0,2720,2080,1670,1140,20,3110,1190,1700,1390,0930,2080,1820,1510,1310,0920,40,2470,1920,1550,1290,0870,1460,1340,1200,1040,0720,60,2080,1710,1410,1170,0800,1120,1040,0940,0830,0600,80,1790,1500,1260,1060,0730,0890,0830,0760,0680,0481,40,1180,1010,0860,0740,0510,0530,0500,0440,0400,030295
Таблица III.18bj_аа*к2 в формуле (6.1) при 6 = 1,6а иа«k3 в формуле (6.2) при 6= 1,6а и а00,20,40,61,000,20.40,61,000,20,40,60,81,6оо0,3200,2550,2160,1890,1150,2520,2270,2020,1780,1590,1000,1900,1750,1620,1480,1350,0860,1500,1430,1320,124 .0,1140,0750,1000,0970,0900,0850,0780,052оо0,2060,1440,1080,0870,0440,2680,1790,1310,1010,0800,0410,2070,1510,1160,0920,0730,038Таб0,1650,1280,1010,0800,0650,035лица0,1120,0900,0700,0570,0470,024III.19Ьгаахk2 з формуле (6.1) при Ь — 1,8а иа,k3 в формуле (6.2) при 6 = 1,8о иCL00,20,40,61,000,20,40.61.000,20,40,60,81,8000,3240,2600,2210,1930,1100,2560,2320,2060,1830,1630,0970,1950,1810,1650,1530,1390,0850,1540,1460,1380,1280,1170,0730,1040,1000,0940,0880,0810,073оо0,1830,1410,1050,0840,0360,2360,1770,1290,0980,0770,0350,2040,1500,1030,0890,0700,041Таб0,1630,1250,0990,0770,0620,028лица0,1080,0860,0670,0560,0450,024111.20аа*k2 в формуле (6.1) при Ь = 2а и CLk3 в формуле (6.2) при Ь = 2а и(X00,2 i0,40,61.000.20,40,61.000,20,40,60,82,0оо0,3270,2620,2230,1970,1050,2590,2330,2090,1860,1660,0920,1970,1830,1710,1560,1430,0700,1560,1500,1390,1300,1200,0700,1070,1020,0960,0890,0840,049оо0,2020,1390,1050,0820,0300,2550,1750,1270,0950,0750,0280,2030,1560,1140,0860,0700,0250,1610,1240,0$60,0760,0600,0230,1100,0860,0690,0540,0430,017На рис. III.16, а построены кривые изменения величин изгибаю¬
щих моментов в центре пластины МлГо, МУо , когда постоянная на¬
грузка всей пластины Р распространяется по пластине, оставаясь
равномерно распределенной (рис. III. 15, б). По оси х отложены отно¬
шения —. При —= 0 нагрузка Р равномерно распределена по ли-CL &нии *=0. Отношение-^1 = 1 отвечает равномерно распределенной на¬
грузке по всей пластине (случай, изображенный пунктирной линией
на рис. III. 15, а).На рис. 111.16,6 представлены кривые изменения МХй и МУо,
когда постоянная нагрузка распространяется постепенно в виде296
полрсы, ограниченной линиями *=±0,5ai, у=±0,ЬЬ\ по ширине
квадратной пластины (см. рис. II 1.15, б), при изменении отноше-ания -3 от нуля (нагрузка отсутствует) до 1 (нагрузка по всей пла-а'//////////////////уа\рРис. 111.17/7777/7777На рис. III.16, б, г построены эпюры изгибающих моментов Мх
и Му соответственно в сечениях у = 0 и *=0 квадратной свободно"
опертой пластины (при у=0,25), нагруженной равномерной нагруз¬кой ркгна длине b линии я = 0 (см. рис. III.14, б)Для той же пластины построена на рис. НГ.17, б эпюра перере¬
зывающих усилий Qx в сечении у=0. На рис. III.17, а изображены
эпюры распределенных опорных реакций по контуру пластины.Если нагрузка распределена вдоль линии, совпадающей с осью
симметрии у (см. рис. III.14, б), например, на длине 6i = 0,6 а, тоя, О л Ьгч — — = 0 иааа= 0,6.297
По этим параметрам следует искать в табл. 111.8—111.20 коэффи¬
циенты &2 и /г3. Кроме того, в этом случае Р=рЬ, где р — нагрузка
на единицу длины загруженного отрезка.§ 7. Пластина под действием сосредоточенной силы,приложенной в центреОбозначения (рис. III.18, III.19)Я — размер в плане квадрата сетки, нанесенной на пла¬
стину, см;P=q№ — величина сосредоточенной силы, кг;q — интенсивность распределенной в пределах ячейки на¬
грузки, кг/см2.Обозначения остальных величин те же, что и в § 6.Расчетные формулы [3]Величины прогибов, изгибающих моментов, перерезывающих сил
и опорных реакций определяются по формулам:\уи Щ шw — w— PI?_/
-■ in','/////iH12Ш-Шa
2'a2'2 a///// - x///V Tn
//■яrr 7 I|wPuc. 111.18Коэффициенты w — V0
приведены в табл. 111.21
для ряда точек квадрат¬
ной пластины (рис. 111.18)
и в табл. 111.22 для точек
прямоугольной пластины
с отношением сторон
а= 1,5 b (рис. III.19).Приведенные значения по-1лучены при V—-Q-.I-СМD(7.1)МХ = МХР; М = МУР; (7.2)Qv -Qx = Qx ~r ’ Q,V=V~ V0=V0P.(7.3)I*W Ш Ш Z 17 /////;////^////-У////////у//SVy- /
/
//
/7s///■J'y1У/10111213Кш—15a2'a 2&оa2'4-iJn//w
///77C\,ОСЧ1\wРис. III.19298
Таблица 111.21Точки на
рис. III,18wКоэффициенты в формулах (7.1) — (7.3) при а = Ь
Л? М.. “Ь Q .. 17V./0,07650,03990,03990,07170,071720,11550,04540,09770,17380 30,07650,03990,03990,0717—0,0717 40,11550,09770,045400,1738 50,19280,32940,329400 60,11550,09770,04540—0,1738 70,07650,03990,0399-0,07170,0717 80,11550,04540,0977-0,17380 90,07650,03990,0399—0,0717-0,0717 /00000 -0,1440II0000,066400,1072 III0000,106400,1700 IV0000,066400,1072V00000 —0,1440VI00000,06640,1072 VII00000,10640,1700 VIII00000,06640,1072 IX00000 —0,1440X000—0,066400,1072 XI000—0,106400,1700 XII000-0,066400,1072 XIII00000 —0,1440XIV0000—0,06640,1072 XV0000—0,10640,1700 XVI0000-0,06640,1072 Таблица III .22Точки наКоэффициенты в формулах (7.1) — (7.3) приа — 1,5 Ьрис. 111.19W<*хQvyVК10,06490,0060,03510,0440,03320,095960,0080,0600,0680——30,06490,0060,0350,044-0,033——40,1790,0380,0640,0610,095——S0,19810,0600,1500,1500——60,12900,0380,0640,061—0,095——70,17060,1300,07500,169——80,18730,2650,35000——90,17060,1300,0750-0,169——100,12900,0380,064-0,0610,095——110,19810,0600,150—0,1500——120,12900,0380,064—0,061—0,095——130,06490,0060,035—0,0440,033——140,005960,0080,060—0,0680——150,06490,0060,035—0,044-0,033——I00000—-0,108II0000,03300,065—III0000,05300,095—IV0000,03300,065—V00000——0,108299
Продолжение табл. 111.22Точки наКоэффициенты в формулах (7.1) — (7 3) приа = 1.5 Ьрис. III. 19WЧуVКоVI00000,0400,040VII00000,0880,113—VIII00000,1300.185—IX00000,0880,113—X00000,0400,040—XI00000 —0,10»XII000-0,03300,065—XIII000—0,05300.095—XIV000—0,03300,065—XV00000 —0,105XVI0000—0,0400,040—XVII0000-0,0880,113«—XVIII0000—0,1300,185—XIX0000—0,0880,113—XX0000—0,0400,040—Для определения изгибающих моментов в центре пластин при
различных соотношениях сторон можно пользоваться уточнен¬
ными формулами:4к(1 + v) In(1 + v) ln
2 а2 ане+ 1+k\PTie4тс— (1 — v — ;4т.(7.4)(7.5)При вычислении изгибающих моментов МХо и МУо считают, что
груз Р равномерно распределен в круге радиуса е, превышающего
в несколько раз толщину пластины д, в зависимости от фактиче¬
ской зоны, занятой локальной нагрузкой.Sf. 5ftВеличины коэффициентов k<i и йз в формулах (7.1) и (7.2) при¬
ведены в табл. II 1.23.Таблица II 1.23ъа1,01,21,41,61,82,0оо*К2—0,565—0,350—0,211—0,125—0,073-0,0420**30,1350,1150,0850,0570,0370,0230§ 8. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через опорную кромку пластиныОбозначения (рис. 111.20)2 а— интенсивность нагрузки в функции от коорди¬
наты х, кг/см2\
q — наибольшая интенсивность нагрузки, кг{см2.300
Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 5.а. Пластины из материала с коэффициентом Пуассона а> = 0,3.Расчетные формулы [5]Для случая а>Ь\
qb4 .ЕЬ\(8.1)Mx = a2qb2\ Му — a3qb2; (8.2)Qx = a Aqa\ Qy = а bqb\ (8.3)Vх — а6^а; Vy = *tfb;VQ = a8qab. (8.4)Величины коэффициентов
<zi—«8, в зависимости от отно-ашения сторон —, приведены втабл. 111.24—111.27 для рядаточек пластины (рис. III.20).На рис. Ш.21,а построеныэпюры изгибающих моментовМх в сечении у — 0 пластины са 1 а 0
-отношением сторон— =1,—О Ои- = 3 (рис. III.20) при v = 0,25.ькП'УВн2\1/г иаЛО JС,",\о29*eftWРис. 111.20Рис. II 1.21301
На рис. 111.21, бив изображены эпюры изгибающих моментов Mv^ уи Мхь сечении у = 0 той же пластины с отношением сторон — =1,а— =2 и — = оо при v = 0,25.
а аТаблица 111.24аа, в формуле(8.1) для точекЪЕD/Fоо0,03550,07110,08530,10665,00,03550,07080,08500,10544,00,03550,07000,08200,09083,00,03500,06880,07560,07722,00,03150,05530,05920,05371,90,03070,05320,05660,05081,80,02950,05080,05360,04741,70,02850,04820,05060,04411,60,02720,04530,04720,04061,50,02560,04210,04360,03701,40,02380,03850,03970,03321,30,02170,03480,03550,02941,20,01950,03080,03120,02551,10,01670,02650,02680,02171,00,01430,02210,02200,0177Таблица III.25а«2в формуле (8.2) для точека« вформуле (8.2) для точекЬЕО/ ;FЕО/FОО0,00940,01870,02250,02810,03120,06250,07500,09375,00,00940,01870,02300,03090,03120,06230,07420,08774,00,00940,01920,02370,03260,03120,06170,07270,08203,00,00960,02020,02560,03450,03090,05940,06780,07152,00,01080,02320,02850,03480,02840,05080,05540,05231,90,01110,02350,02880,03450,02780,04920,05330,04981,80,01150,02390,02910,03410,02690,04740,05090,04701,70,01170,02430,02930,03370,02610,04540,04850,04421,60,01200,02460,02940,03310,02510,04310,04570,04121,50,01230,02490,02940,03240,02390,04060,04280,03811,40,01260,02530,02920,03150,02250,03760,03960,03481,30,01290,02520,02900,03040,02090,03460,03600,03141,20,01310,02500,02840,02910,01920,03130,03230,02791,10,01340,02470,02760,02760,01690,02760,02850,02451,00,01320,02390,02640,02590,01490,02390,02450,0207На рис. 111.22, а приведены эпюры перерезывающих усилий Qx
в сечении у=0 квадратной пластины от нагрузки, показанной на
рис. 111.20.На рис. 111.22,6 вычерчены эпюры перерезывающих усилий и
реакций опор для квадратной пластины при v = 0,25. Кривые /—III
изображают перерезывающие усилия, а кривые IV—VI — реакции
по краям *= ±0,5 а и у= ±0,5 b.302
Таблица II 1.26а«1в формуле (8.3) для точек«в в Формуле (8.3) для точект~я2 |оая1 | оtикиL,ОО___-0,1250,2505,00,0050,0040,0690,0570,1250,2504,00,0080,0060,0850,0700,1250,2493,00,0140,0100,1100,0910,1250,2462,00,0310,0230,1540,1290,1220,2321,90,0330,0250,1610,1340,1210,2291,80,0370,0280,1680,1400,1190,2261,70,041 i0,0310,1750,1470,1180,2221,60,0450,0340,1830,1540,1160,2171,50,0510,0380,1920,1620,1140,2121,40,0570,0430,2010,1700,1120,2051,30,0630,0480,2120,1790,1090,1981,20,0710,0540,2230,1890,1050,1901,10,0800,0610,2350,2000,1000,1801,00,0900,0690,2480,2120,0950,1690,300 0,2Э90,3670,2970,3580,2920,3370,2670,2900,2630,2830,2580,2750,2520,2680,2460,2590,2380,2490,2300,2390,2210,2270,2110,2150,1990,2020,1860,187Таблица 111.27а1Гав в формуле (8.4) для точека7 в формуле (8.4) для точека8 в формуле (8.4)
в вершинахЯ2 02я,0|иК U LxВ j с ■оо5.04.03.00,0080,0130,0230,0060,0100,0180,0920,1120,1430,0760,0930,1190,1250,1250,1250,1250,2500,2500,2510,2520,3000,3010,3010,3040,3750,3)10,3770,363—0,002 Н7—0,001 -vm—0,0)3 —Э,0>5303
Продолжение табл. III.27аа, в формуле (8.4) для точека7 в формуле (8.4) для точека8 в формуле (8.4)
в вершинахbя2OiGtАииВС2,00,0500,0380,1970,1660,1270,2510,2960,337—0,013—0,0331,90,0550,0410,2050,1720,1270,2510,2940,331-0,014—0,0341,80,0600,0450,2130,1790,1270,2490,2910,325—0,016—0,0351,70,0660,0500,2210,1870,1270,2480,2380,318—0,017-0,0361,60,0730,0550,2300,1950,1270,2450,2840,311—0,018—0,0371,50,-0800,0600,2400,2040,1270,2430,2790,302—0,020—0,0371,40,0880,0670,2500,2130,1260,2390,2730,292—0,021—0,0381,30,0970,0740,2600,2230,1240,2340.2660,281—0,023—0,0391,20,1060,0810,2710,2330,1220,2270,2570,269—0,024—0,0391,10,1160,0900,2820,2440,1200,2200,2470,255—0,025—0,0391,00,1260,0900,2940,2560,1150,2100,2340,239—0,026-0,039Расчетные формулы [5]Для случая а<Ь:® - P. -f£- : (8-5)Mx = $tfia2\ Му = $sqa2; (8.6)= Qy = $b9b\ (8.7)vx =■ PeW = p7^; V0 = P8?a6. (8.8)Величины коэффициентов fiu /?8 в зависимости от отношениясторон для ряда точек пластины (см. рис. 111.20) приведеныв табл. 111.28—III.31.При пользовании таблицами следует придерживаться принятых
в тексте и на рисунках обозначений и следить за параметрами,
указанными в таблицах.Таблица 111.28Ьа(3, в формуле (8.5) для точекЕОIF1,00,01430,02210,02200,01771,10,01730,02650,02640,02101,20,02030,03080,03050,02411,30,02310,03480,03440,02711,40,02570,03850,03800,02981,50,02810,04210,04140,03231,60,03030,04530,04440,03461,70,03230,04820,04720,03661,80,03420,05080,04970,03851,90,03580,05320,05190.04022,00,03730,05530,05390,04173,00,04540,06680,06470,04984,00,04770,07000,06790,05215,00,04820,07080,06870,0527оо0,04840,07110,06900,0529304
Таблица 111.29ъPi в формуле (8.6) для точекРз вформуле (8.6) для точекаЕ01FЕОIF1,00,01320,02390,02640,02590,01490,02390,02450,02071,10,01£60,02760,03020,02890,01550,02470,02510,02111,20,01790,03130,03380,03180,01580,02500,02540,02131,3О.ОГОО0,03460,03710,03440,01600,02520,02550,02131,40,02210,03760,0402. 0,03670,01600,02530,02540,02121,50,02390,04060,04290,03880,01590,02490,02520,02101,60,02560,04310,04540,04070,01580,02460,02490,02071,70,02720,04540,04760,04240,01550,02430,02460,02051,80,02860,04740,04960,04390,01530,02390,02420,02021,90,02980,04920,05130,04520,01500,02350,02380,01992,00,03090,05080,05290,04630,01480,02320,02340,01973,00,03690,05940,06110,05250,01280,02020,02070,01764,00,03850,06170,06320,05410,01200,01920,01960,01685,00,03890,06230,06380,05460,01180,01870,01930,0166оо0,03910,06250,06400,05470,01170,01870,01190,0165Таблица 111.30Ь04в формуле (8.7) для точекР3 в формуле (8.7) для точекаЯ,02Н1GiLiКиL,1,00,0900,0690,2480,2120,0950,1690,1860,1871,10,1000,0770,2600,2240,0890,1570,1730,1731,20,1090,0850,2710,2350,0830,1470,1610,1601,30,1170,0910,2800,2440,0780,1370,1510,1491,40,1240,0980,2880,2530,0730,1290,1410,1391,50,1300,1030,2940,2600,0690,1210,1330,1311,60,1350,1090,3000,2670,0650,1140,1250,1231,70,1390,1130,3050,2730,0620,1080,1180,1161,80,1430,1170,3090,2780,0580,1020,1120,1101,90,1460,1210,3130,2830,0550,0970,1060,1042.00,1490,1250,3160,2870,0530,0920,1010,0993,00,1630,1480,3300,3130,0350,0620,0670,0664,00,1660,1580,3320,3240,0270,0460,0510,0505,00,1670,1630,3330,3290,0210,0370,0400,540оо0,1670,1670,3330,333————Таблица 111.31Р,1 в формуле (8.8)Г-гi7 в фом;^’ле (8.8)в формуле (8.8)ь/ 7для точекдля точекв вершинахая,G*я,GiUКиLtВс1,00,1260,09810,2940,2560,1150,2100,2340,239—0,026-0,0391,10,1360,1070,3040,2670,1100, 990,2210,224—0,026—0,0381,20,1440,1140,3120,2760,1050,1890,2080,209—0,026-0,0371,30,1500,1210,3180,2840,1000,1780,1960,196—0,026—0,0361,40,1550,1260,3230,2920,0950,1690,1850,184-0,025—0,0351,50,1590,1320,3270,2970,0900,1600,1750,174-0,024—0,0331,60,1620,1360,3300,3020,0860.1510,1660,164—0,023—0,0321,70,1640,1400,3320,3060,0820,1440,1570,155—0,022—0,03020—511 305
Продолжение табл. 111.31р« в формуле (8.8)р7 в формуле (8.8)Рв в формуле (8.8)ьдля точекдля точекв вершинахйЯ»Огя,Giи1 КиВ1 с1,80,1660,1430,3330,3100,0780,1360,1490,147—0,021-0,0291.90,1670,1460,3340,3130,0740,1300,1420,140—0,021-0,0282;00,1680,1490,3350,3160,0710,1240,1350,134—0,020-0,0273,00,1690,1630,3360,3310,0480,0830,0910,089-0,014—0,0184,00,1680,1670,3340,3340,0360,0630,0680,067-0,010—ft,0145,00,1670,1680,3340,3350,0290,0500,0550,054—0,008—0,011оо0,1670,1670,3330,333 — — ■ ■б. Пластина из материала с коэффициентом Пуассона v=xU
(рис. 111.23).Обозначенияq (а — ?х) ,qv= — —интенсивность нагрузки в функции от координа-2 аты х, кг 1см2\q — наибольшая интенсивность нагрузки, кг/см2.
Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 5.Расчетные формулы [7]W = ■^— при 0,5 < — < 1,0;КD
дЬ*
Dпри 1,11а: 2,0;в////////////уC////////////S45679 101112 13/4■"Чi -i ■*^4*4V///Aа4У///Лаp////z'/////а4" /
л.| ^ДШШТТТПТтт-^^ /'м'Д/Рис. 111.231(8.9)Мх =k2qa2 при 0,5 < < 1,0;k2qb2 при 1,11аУ2,0;(8.10)306
^ Таблица 111.32аПрогибы W вточкахнг12611105131470,50qa40,00505 -jj-0,00380qa4~D~qa40,00483^-qa40,00382^-qa40,00299^-Я ■■ОоСЛсл1qa40,00343^-0,00261^-0,600.00432 „0,00329я0,00412 ,0,00329 ,0,00256 .0,00384 .0,00289 ,0,00216 .0,700,00363 „0,00273я0,00348 ,0,00279 ,0,00215 »0,00314 „0,00241 .0,00180 .0,800,00302 я0,00223»0,00292 ,0,00236 .0,00178 .0,00268 „0,00199 .0,00147 .0,900,00249 „0,0018290,00242 ,0,00196 ,0,00147 ,0,00220 .0,00163 „0,00117 .1.000,00203 „0,00147т0,00199 .0,00164 „0,00122 ,0,00178 .0,00131 .0,00095 .1,110,00249^0,00179qb40,00247^0,00206?^0,00153^0,00214^0,00157^0,00111^DDDDDDDD1,250,00302 „0,00217я0,00306 „0,00256 .0,00189 ,0,00264 .0,00190 .0,00137 .1,430,00363 .0,00260я0,00370 .0,00323 ,0,00234 ,0,00309 „0,00222 .0,00160 „1,660,00432 „0,00309я0,00449 .0,00402 .0,00293 ,0,00361 .0,00257 .0,00181 *2,000,00506 ,0,00362п0,00541 ,0,00493 „0,00365 .0,00413 .0,00288 .0,00196 .Т а б л и ц а II 1.33аИзгибающие моменты М в точках12611105131470,500,600,700,800,901,001,111,251,431,662,(00.0496 qa?0,0388qa20,0515qa20,0455qa20,0370qa20,0419qa20,0301qa20.0230qa20,04310,0329Я0,0454»0,0407я0,0323п0,0361я0,0257я0.0193п0,03660,027590,0392я0,036190,0284п0,030190,0209я0,0160ь0,03080,022890,0337п0,031490,024190,025190,017590,012690,02580,019090,028990,0277Я0,0209Я0,020790,013990,0107Я0.02150,0158Я0,0244Я0,0240я0,0183п0,0169Я0,011590,0080Я0.0218 ab*0,01590,0254qb*0,0258qb20,0196qb»0,0164qb20,0108qb»0,0076оto0,02130,0156я0,02589»0,0270я0,0205ш0,0160я0,0105я0,0072т0,02060,014990,0255«0,0281»ч0,0209я0,015090,0098я0.006990,01890,0139У»0,0247я0,0286я0,021090,0134Я0,0086я0,006390,0167я0.0122я0,023090,0285я0,0208Я0,0114Я0,0072я0,0054.9■
Таблица 111.34a1Изгибающие моменты Л1^.в точкахZt>'12.11' 101', : ,513 ..- 1470,50N «0,0167qa2 J 0,0178qa-0,0165qa20,0136^ оqa-0,0148qa20,0148qa20,0109qa20,0114qa20^600,0189w0,0186я0,0185я0,01530,0150Я0,0167я0,0123я0,0122»0,70- 0,0206tr0,0190n0,0201я0,0166я0,0157я0,0181я0,0133я0,0121и0; 800,0215».0,0189я0,0211я0,0174»0,0160я0*01880,0139я0,0116»0,900,0218я0,0183я0,0215' я0,01791»0,0157Я0,0191»0,0139я0,0114я1,000,0215rt0,0178я0,0214я0,0179я0,0155я0,0186я0,0137Я -0,0110я1,110,0258qb*0,0208qb>0,0259qb20,0219qb20,0187qb20,0222qb20,0161qb20,0128qb21,250,0308Я0,0245я0,0313»0,02670,02290,02620,0190я0,01391,430,0367Я0,0285я0,0378я0,0328» 10,0282и0,0311»0,0222я0,01631.660,0431я0,0332я0,0454я0,0404»0,03250,03581»0,0253я0,01922,000,0496я0,0378я0,0538я0,0496я0,0388»0,0404я0,0280я0,0210»UJsT а б л и ц a 111.35dПеререзывающие силы Qв точкахbl2i3 i498150,500,198 qa0,185 qa0,106 qa0,287 qa0,316 qa0,125 qa0,149 qa0,600,196 „0,183 „0,104 ,0,274 „0,3030,114 „0,138 „0,700,194 „0,181 ,0.Ю2 „0,256 „0,289 .0,101 ,0,126 .0,800,191 „0,178 „0,099 „0,239 .0,275 „0,087 .0,113 „0,900,188 „0,174 ,0,096 .0,226 „0,261 .0,078 „0,102 .1,000,186 „0,169 „0,094 .0,212 .0,247 „0,069 ,0,090 я* J w
1,110t202 qb '0,-181 qb- 0,100 qb0,219 qb0,260 qb0,066 qb0,088 qb1,250,220 B0,194 .0,107 .0,228 .0,272 .0,063 .0,083 ,1,43 "I• 0,242 ,0,207 ff0,114 .0,238 .0,286 .0,058 „0,077 .1,660,267 .0,221 „0,120 .0,249 „0,295 ,0,053 ,0,070 .2,00 |0,289 ,0,232 „0,123 .0,259 „0,309 ,0,044 „0,062
Mv =Q =v=01
осо-сепри0,5 <аЬk3qb2при1,11 <аbkAqaпри0,5 < -аЬkkqbпри1,11 < -аЬfh qaпри0,5 <аЬkbqb\при1,11 <аЬ< 1,0;< 1,0;1,0;l/0 = klt-ic.b.(8 11)(8.12)(8.13)(8.H)В табл. 111.32—111.36 приведены величины прогибов и усилийв ряде точек пластины (рис. III.23) при различны^ отношенияхаТ а б л и и я II 1.36аhОпорные реакции V в точкахСосредоточенные
реакции .в вер¬
шинах•23 i498ПА |В0,с00,281 qa0,263 qa0,151 q.r0,323 qa0,340 q.i0,151 qa0,172 qa-0,0321 qab—0,0242 qab0,600,276 ,0,256 ,0,144 ,0,315 .0,315 „0,144 ,0,169 .-0.0371 .—0,0275 .0,70,270 ,0,248 ,0,133 ,0,307 .0,332 „0,137 ,0,163 .0,0412 ,- 0,0299 ,0,800,264 „0,241 ,0,133 .0,296 .0,325 ,0,130 „0,156 ,-0.0445 ,-0,0315 ,0,900,262 „0,232 ,0,132 .0,286 .0,314 ,0,123 .0,145 .-0,0463 ,-0,0319 „1,000,261 .0,219 ,0,131 .0,277 ,0,304 .0,116 „0,135 .-0,0474 . 11-0,0314 ,1,110,27 qb0,228 qb0,130 qb0,284 qb0,325 qb0,110 qb0,137 qb-0,0475 ,-(,0307 ,1,351,297 ,0,240 ,0,129 „0,294 ,0,345 .0,104 ,0,136 .-0,0474 «-0,0285 .1,430,314 ,0,248 .0,129 ,0,308 „ .0,366 .0,100 ,0,130 „—0.0458 „-0,0253 .1,660,313 „0,253 ,0,129 .0,324 ,0,389 „0,096 „0,122 ,-0.0436 ,-0,0210 .2,000,345 ,0,256 ,0,129 ,0,346 ,0,414 ,0,091 „0,112 ,—0,0401 ,-0,0162 ,§ 9. Пластина под действием нагрузки в эиде трехгранной призмы,
основанием которой служит равнобедренный треугольник,
перпендикулярный к двум кромкам пластиныОбозначенияq — наибольшая интенсивность нагрузки, кг/см2-
Обозначения остальных величин те же, что и в случае «а» § 5.Расчетные формулы [7]Для случая а>6:wd = ?i — ;0 ri £53ЛГг„=Ра<7&2; Му, = $гдЬ>\(9.1)(9.2)309
■OjMqaQx = Qy = P>#:Vx = ^qa-\ Vy = M>; V0 = M«*-Для случая a<b:да4ВA
/
. /^iC\4 //
/^ <N*^//
>
/УК Lу//*/WraTH’$777777?a'2777ГГГa2*| j^ftrTllTTiTn^H1 'TTTT / T / / rw'I£?"ЛГ(9.3)(9.4)(9.5)(9.6)(9.7)(9.8)Величины прогибов и усилий в ря¬
де точек пластины (рис. III.24) приЬ аразличных отношениях сторон—и уприведены в табл. II 1.37—III.38
при коэффициенте Пуассона ^=0,3.
На рис. Ш.25,а построена эпюра пе¬
ререзывающих усилий в сечении
# = 0 квадратной пластины.= a 2qa2\ М Уо — ляда2;Qx =~* а4яъ Qy = а5<?&;Vx = a6qa; Vy = ^qb\
V0 = a8qab.Рис. 111.24310
Таблица 111.37Прогибы и усилия в пластине при b < аьWq в центреМ в центрелоМ в центре'0Vв точке НVу в точке ИQx в точке Нв точке ЯУ0 в точкеСOQ0,1422^0,0375 qb*0,1250 qb30,500 qa0,500qa3.00,0968 „0,0387п0,092290,045qa0,44290,027 qa0,4109—0,010 qab2,00,0749 .0,0392в0,070790,091»0,41290,05790,365щ—0,02391,90,0710 ,0,0392а0,0681»0,09890,40790,06290,3689-0,024»1.80,0681 „0,0391я0,065190,10690,40290,06890,3509—0,02691,70,0642 .0,039090,06091»0,11590,39690,07490,3429—0,02891.60,0600 „0,038890,058590,12490,38990,0811»0,332•—0,02991.50,0555 .0,038690,054890,13590,38190,09090,3229—0,03191,40,0507 .0,038290,0508fP0,14690,37190,09990,3119-0,03391.30,0456 и0,0376)0,0464п0,15890,36090,10990,2989-0,03591,20,0401 „0,036890,041890,17190,34790,120V0,2849-0,03691.10,0345 .0,035690,038990,18590,33290,13390,2689—0,03791.00,0287 „0,0340п0,031790,19990,31590,14790,2509—0,0389Таблица 111.38ьПрогибы и усилия в пластине при b > ааwQ в центреМ в центре0М в центре
УоQx в точке НQy в точке КV x в точке HV в точке КV0 в точке С1,0ааА0,0287-1-30,0340 qa20,0317 qa20,199qa0,315qb0,147qa0,250qb—0,038 qabi,i0,0343 ,0,0390 .0,0326 .0,21290,29790,16190,2329—0,038 .1.20,0398 .0,0436 „0,0330 .0,22290,28090,17390,2169—0,0371,30,0449 .0,0479 ,0,0332 .0,23090,26590,18490,2029—0,0361,40,0497 ,0,0518 .0,0331 в0,23690,25090,19390,189ft—0,0351.50,0542 „0,0554 ,0,0329 .0,24190,23690,20290,1789—0,0341.60,0582 .0,0586 .0,0325 .0,24690,22410,20890,1689—0,0331.70,0619 .0,0615 „0,0321 ,0,247»0,21290,21490,1589—0,0311.R0,0652 .0,0641 „0,0316 .0,24990,201II0,220ft0,1509—0,0301,90,0682 „0,0664 .0,0311 .0,251II0,191ft0,224ft0,142ft—0,0292.00,0709 .0,0685 .0,0306 „0,252п0,183*0,228ft0,135ft—0,0283,00,0855 „0,0794 ,,0,0270 .0,253п0,122ft0,245ft0,090ft-0,019оо0,0910 .0,0833 .0,0250 .0,250•—ft0,250ft—ft—
На рис. III.25, б вычерчены кривы-е:/ — реакций Vх на опорах х— ±0,5 а\II — реакций Vу на опорах у= ±0,5 а;III — перерезывающих усилий Qx при х=IV — перерезывающих усилий Qy при у =± 0,5 а;±0,5 а.§ 10. Пластина под действием нагрузки в виде двух прямых
трехгранных призм с максимальными ординатами
вдоль двух параллельных кромок пластиныТакая нагрузка равна равномерно распределенной нагрузке за вы¬
четом призматической нагрузки, рассмотренной в предыдущем
параграфе.Обозначения (рис. III.26)<7 — наибольшая интенсивность внешней нагрузки, кг/см2.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 5.Расчетные формулы [7]Изгибающие моменты в центре пластины:( ь
12qb2 приу■^/////Л у//////лСЛОК\12Яа ПРИrrrfiаЪ_а< 1;
> 1:(10.1)' —1.у 19О§«5ГM9'\ 11СМРис. 111.27Рис. 111.2643qb2 при — < 1;а7зqa2 при — > 1.а(Ю.2)312
Величины изгибающих моментов приведены в двух последних
графах табл. III.39 для пластины из материала с коэффициентом
Пуассона ^ = 0,25. Там же для сравнения помещены соответствую¬
щие значения для двух других случаев нагрузки.Таблица 111.39Изгибающие моменты iз центре пластиныьНагрузка, равномерно рас¬Нагрузка призмойНагрузка двумя криз-апределенная (рис. 111.11)(рис. III.24)мами (рис. 111.26)И*МмхоУох0УоД'ОУо00,0312 qb20,1250 qb20.0312 qb20,1250 qb2000,500,0415 „0,1008 „0,0359 „0,0697 .0,0056 qb*0,0311 qb*0,670,0462 ,0,0798 „0,0362 .0,0536 „0,0100 „0,0262 „1,00.0460 ,0,0460 „0,0328 .0,0304 ,0,0132 ,0,0156 ,1.50,0798 qa20,0462 qa20,0545 qa20,0304 qa20,0253 qa20,0158 qa?2,00,1008 ,0,0415 „0,0679 ,0,0274 ,0,0321 „0,0141 .ОО0,1250 „0,0312 .0,0833 ,0,0208 .0,0417 в0,0104 .На рис. III.27 построены кривые перерезывающих усилий Qx
и Qv по краям *=±0,5 а и у=±0,5Ь квадратной пластины.§ 11. Квадратная пластина под нагрузкой в виде пирамидыОбозначения (рис. III.28)
а — сторона квадратной пластины, см;Ь= — а У 2 — половина диагонали квадрата, см;<5 — толщина пластин, см;Е — модуль упругости материала пластины, кг/см2;
v — коэффициент Пуассона;q — интенсивность нагрузки в центре пластины, кг/см2;Р — равнодействующая нагрузки, кг;
w — прогиб пластины, см;Мх—изгибающий момент вокруг оси у на единицу длины
сечения, перпендикулярного оси х, кг'см/см;Му — изгибающий момент вокруг оси х на единицу длины
сечения, перпендикулярного оси у, кг-см)см;Qx — перерезывающее усилие на единицу длины сечения,
перпендикулярного оси х', кг/см;гQy — перерезывающее усилие на единицу длины сечения,,
перпендикулярного оси у', кг!см.Расчетные формулы [7]Прогиб в центре пластины (х=у = 0) равен—0,075 Ра-. (11.1)313
Максимальная величина изгибающего момента (в центре пла¬стины)Му = Мх = 0,0625 (1 + v) Р. (11.2)\УПеререзывающее усилие на
опоре при *=0,5 ЬQx = — 0,365а(11.3)Перерезывающее усилие на
опоре при *=0,25 bQx = - 0,282а(11.4)Рис. 111.28§ 12. Квадратная пластина под нагрузкой, распределенной
по обеим диагоналям и действующей в одну сторонуОбозначения (рис. II 1.29, а)р — интенсивность нагрузки, кг!см\Р — полная нагрузка, действующая на пластину, кг.
Остальные обозначения те же, что и в § 11.ftРис. 111.29Расчетные формулы [7]
Прогиб в центре пластин (х—у = 0)wr'max= 0,0531 (|~—I Ра2. (12.1)
£8» ' '314
Изгибающие моменты в центре пластин определяются по фор¬мулеМх = Му = 0,0625 (1 + v) Р. (12.2)Перерезывающие силы на опорахQx> =Qy' = — 0,706Р. (12.3)§ 13. Квадратная пластина под нагрузкой, распределенной
по обеим диагоналям и действующей в разные стороныОбозначения те же, что и в § 5 и 11 (рис. III. 29, б).Расчетные формулы [7]Прогиб в центре пластины равен нулю. Изгибающие моменты
определяются по формулам:Л*х = (1—v) 0,0833/>&; (13.1)Му = — (1 -v) 0,0833pb.На опорах * = 0 и х=Ь изгибающие моментыП-i + lL V_i
^ (2k — 1
Л=1th(13.2)Перерезывающие силы определяются по формулам:О = _ р • О = р(ь~ 2У) .х 2 Ь ’ у 2 Ьп р (х—у) V'iЦх' = (13.3)2 ЬНа краю ЛВ пластиныQ,' = . (13.4)2Ь§ 14. Квадратная пластина под действием нагрузки,
равномерно распределенной по диагоналиРешение этой задачи достигается сложением результатов, полу¬
ченных в § 12 и 13. Интенсивность нагрузки вдоль диагонали ока¬
жется равной р\ =2 р.Обозначения (рис. II 1.29, в)Р — равнодействующая нагрузки, приложенной к диагонали, кг.
Обозначения остальных величин те же, что и в §§ 12, 13.Расчетные формулы [7]Прогибы и изгибающие моменты в центре пластины вычисляют
по формулам:= 0,0531 (1 ~ 'г) Ра* ; (14.1)EV V '315^max
Мх = Mmax = (0,0833 0,0416v) P; (14.2)My = /Ит,„ = (0,0416 + 0,0833) P. (14.3)При коэффициенте Пуассона j>=0,3 изгибающие моменты равны
соответственно:Мх = Mmax = 0.0958Р; (14.4)Му = МтЫ = 0,ШЬР. (14.5)Глава третьяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН, СВОБОДНО ОПЕРТЫХ ТРЕМЯ КРОМКАМИИ ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННЫХ ЧЕТВЕРТОЙ§ 15. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхностиОбозначения (рис. II 1.30)а> b — размеры сторон пластины, см;Ьа— отношение сторон;■Qlc\j■Qlf\д — толщина пластины, см;Е — модуль упругости материала пластины, кг/см2;v — коэффициент Пуассона;
q — интенсивность внешней рас¬
пределенной нагрузки,
кг/см2;w — прогиб пластины (положи¬
телен при направлении
вниз), см;М — изгибающий момент вокруг
оси у на единицу длины
сечения, перпендикулярно¬
го к оси х, кг-см/см;Му— изгибающий момент вокруг
оси * на единицу длины
сечения, перпендикулярно¬
го к оси у, кг-см/см;Qv—перерезывающее усилие на
единицу длины сечения,
перпендикулярного к оси ху
кг] см;Qy—перерезывающее усилие на
единицу длины сечения,перпендикулярного к оси у, кг/см;Vx > У у — реакции на единицу длины опорных кромок, перпенди¬
кулярных соответственно к осям х и у, кг/см;Рис. 111.30316
VQ — реакции, сосредоточенные в вершинах прямоугольного
опорного контура пластины, кг.Расчетные величины [7]В табл. II 1.40—II 1.42 приведены величины прогибов и усилий
в наиболее характерных точках пластины (см. рис. II 1.30) при зна¬
чения коэффициента Пуассона материала у = 0,3.Таблица III.40аbПрогибыи изгибающие моменты в пластинедо0 в центремх*0в центреМх в точкев центреЖ в точке
я‘00,057-qa4
ЕЪ20,062qa2—0,125qa20,019qa2-0,037qa20,500,053я0,060п-0,122п0,023»—0,037п0,670,046п0,054я—0,111п0,028п—0,033щ0,710,044Я0,052п—0,108»0,030п-0,032п0,770,041я0,050п—0,103п0,031п—0,031щ0,830,038я0,047я—0,098п0,032п—0,029п0,900,035п0,043и-0,091п0,033»—0,027п1,000,030я0,039я—0,084п0,034—0,025п1,100,038-qb4
ЕЬЪ0,042qb2—0,092qb20,011qb2—0,028qb21,200,04790,044я—0,098ft0,049п-0,029п1,300,055»0,045п—0,104п0,056п—0,031п1,400,063Я0,047я—0,109п0,063п—0,033п1,500,070я0,048я—0,112п0,069п—0,034п2,000,101я0,047я—0,122п0,094п—0,037п300,142и0,037я-0,1251»0,125м—0,037яТ а б л и ц а 111.41а1ГПеререзывающие силы в пластинев точкахQwyв точкахЯ,I11НхкС и О00,375qa0,625qa000,500,371п0,644п0,140qb-0,194qb0,670,361п0,633п0,188я—0,261Л.п0,710,355V0,628п0,202я-0,278ff0,770,348п0,6221*0,218' я-0,299ft0,830,340»0,612п0,236я-О.ЗЛ)ft0,900,328п0,598п0,258я—0,345pf1,000,313»0,581я0,282я-0,371* ff1,100,297п0,568я0,308я-0,396n1,200,282п0,536я0,331я—0,417II1,300,266»0,510я0,353я—0,434ff1,400,252п0,486я0,372я—0,451n1,500,238п0,463я0,389я—0,460n2,000,184п0,365я0,448я—0,489nоо 0,500я—0,500n317
Т а б л и ц а II 1.42Опорные реакции в пластинеаЬ'в •гочкахV в
Уточках IV0 в вершинеКС и D jВ00,375 qa0,625 qaи,500,388 .0.644 .0,182 qb—0,330 qb—0,032 qab0,670,398 ,0.633 .0,244 . 1-0,444 .-0,040 .0,710,397 .0.628 ,0,262 .-0,472 .—0,043 .0,830,394 „0,612 .0,303 .-0,544 .—0,049 .0,900,387 .0,598 „0,328 .—0,586 ,-0,051 .1,000,378 .0,581 „0,354 .-0,631 .-0,053 .■1.100,367 .0,558 „0,371 .—0,673 .-0,054 ж1,200,353 ,0,536 .0,387 .-0,708 .-0,056 .1,300,339 .0,510 ,0.401 .-0,734 .—0,055 .1,400,324 „0,486 ,0,414 .-0,766 „-0,055 »1,500,310 „0,473 „0,431 .-0,781 .-0,054 .2,00; 0.246 .0,365 .0,465 „-0,831 .-0,045 .ОО——0,500 „—0,850 „—Таблица III .43аПрогибы и изгибающие моменты в пластинеЬWo в центреМ в центреМ в центре
' вj Мх в точке //,0,50аа40,00488-^2—0,0594 qa210,0157 qa21—0,1213 qa20,600,00452 ,0,0555 ,0,0194 ,—0,1160 .0,700,00407 ,0,0510 .0,0232 ,—0,1087 ,0,800,003660,0459 .0,0259 .-0,1007 .0,900,00323 .0,0409 „0.0283 ,—0,0924 „1,0')0,00279 .0,0358 .0,0296 .—0,0847 .1,110,00361 дЬА0,0383 qb20,0377 qb2—0,0926 qb21,250,00463 .0,0396 .0.0478 .-0,1015 .1,430,00593 .0,0402 .0,0606 .-0,1101 .1,660,00750 .0,0386 „0,0752 „-0,1170 .2,000,00927 ,0,0351 .0,0915 .—0,1218 „318
В табл. II 1.43 даны значения прогибов и изгибающих моментовв ояде точек пластины (рис. III.30) при v = -r~ •1 6На рис. 111.31 у а, б вычерчены кривые изгибающих моментов Му
по краю *=0,5 а и перерезывающие силы Q* и Q v по краям квад¬
ратной пластины, схема кото¬рой изображена на рис. III.30,
при г>=0,25.§ 16. Пластина под действием
нагрузки, распределенной
по закону плоскости,
проходящей через свободно
опертую кромку, с наибольшей
интенсивностью вдоль жестко
закрепленной кромкиОбозначения всех величин
те же, что и в § 15.Расчетные величины [7]В табл. 111.44—111.46 приве¬
дены величины прогибов w з11■*» АIН,А+,777777777Е=*77777777^
а"2—тттттгпТПТТ^‘°|Рис. 111.32Таблица III.44аПрогибы и изгибающие моменты в пластинеьw0 в центреI М в центре
I д 0Мx в точке Н|мv0 в центре0ааА0,0260,029 qa2—0,067 qa20,009 qa-0,500,025 .0,029 .-0,063 ,0,011 .0,670,021 .0,026 .-0,061 .0,013 „1,000,014 .0,019 .-0,048 ,0,016 .1,500,0330,028 qb'1—0,071 qb2 .0,034 qb22,000,049 .0,024 ,—0,084 ,0,046 „оо0,071 ,0,019 ,-0,125 .0,062 „Таблица 111.45Перерезывающие силы в пластинеаQuв точкахьV* в точкахУНъfftк \1 с00,100 qa0,400 qa000,500,100 ,0,408 .0/68 qb—0,128 qb0,670,095 ,0,400 .0,091 ,-0,170 ,1,000,076 ,0,381 .0,136 .—0,245 .1,500,048 .0,329 .0,190 .—0,321 .2,000,030 ,0,277 .0,221 „-0,365 .090—0,250 ,i -0,500 „319
центре пластины и усилия в наиболее характерных точках плас¬
тины (рис. III.32) при коэффициенте Пуассона г> = 0,3.В табл. 111.47 приведены величины изгибающих моментов в рядеточек пластины (рис. III.32) из материала с коэффициентом -jl.Таблица II 1.46аЬОпорные реакции iв пластинеизточкахVв точкахV„ в вершинеИ,ИхКСВ00,100 qa0,400qa000,500,105 „0,408п0,091 qb-0,218qb0,< 11 qb0,670,1Ю я0,400я0,117 .—0,290»0,015 ,1,000,102 .0,381я0,171 .—0,416п0,019 „1,500,073 .0,329я0,226 .-0,546п0,017 .2,000,049 „0,277я0,245 „—0,621ft0,013 .оо0 0,250 ,-0,850п Таблица II 1.47Прогибы и изгибающие моменты впластинес:~Ь~“'шах(Жж)шах
в пролете(М \' У'шах
в пролетем•'ов центрев центреMx
в точке ,ff i0,500,00220qa4
D0,0281 qa20,0096 qa20,0278 qa20,0074qa2—0,0653qa0,600,00203я0,0266 „0,0109 „0,0263 „0,0088ft-0,0629я0,700,00185п0,0244 „0,0123 ,0,0240 .0,0105п—0,0597n0,800,00167п0,0220 .0,0127 г0,0219 ,0,0118ft—0,0561я0,900,00148п0,0196 .0,0131 .0,0196 „0,0131п—0,0523ft1,000,00128it0,0174 .0,0137 ,0,0173 „0,0137»-0,0495я1,110,00168qb4
~7Т0,0187 qb20,0175 qb20,0188 qb20,0175qb2-0,0549qb'1,250,00217ISit0,0204 .0,0225 „0,0202 „0,0275n-0,0612я1,430,< 0279п0,0219 „0,0288 ,0,0202 „0,0275n—0,0689ft1,660,00357ft0,0228 „0,0367 „0,0194 ,0,0361n-0,0764ft2,000,00446n0,0229 ,0,0451 .0,0179 .0,0411ft-0,0840n§ 17. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости , проходящей через свободно опертую кромку,
с наибольшей интенсивностью вдоль параллельной ей свободноопертой кромкиОбозначения всех величин те же, что и в § 15.Расчетные величины [5]В табл. 111.48 приведены величины опорных изгибарщих момен¬
тов Му в наиболее характерных точках пластины (рис. II 1.33) при
коэффициенте Пуассона г» = 0,25.320
Таблица .111.48аОпорные моменты Afy вточкахЬи \1 к0-0,031 qb 2-0,062 qb'2—0,094 qb20,50-0,031 .—0,061 .-0,073 .0,67—0,030 .—0,056 „-0,060 .1,00-0,025 „-0,042 „-0,040 .1,50—0,034 qa2—0,056 qa2—0,050 qa22,00—0,038 „-0,061 .-0,053 ,оо—0,039 „-0,062 „—0,055 ,<*1с\&11] Q } ОА Ан~оН,Ч-±а2а2.1 0 H,х *>"1 -^'*гфгГ• 77л7 X 77777Рис. 111.34}WРис. 111.33§ 18. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через жестко
закрепленную кромкуОбозначения (рис. 111.34)а, Ь — размеры сторон пластины, см;q — наибольшая интенсивность нагрузки, кг/см2.Обозначения остальных величин те же, что и в § 15.Расчетные величины [5]Величины прогиба wQ и изгибающих моментов в центре и в опор¬
ных кромках пластины для случая г’= 0,3 приведены в табл. II 1.49,для пластины с коэффициентом Пуассона v= —в табл. III.50.()При пользовании таблицами следует придерживаться обозначе¬
ний, принятых в тексте и на рис. III.34.21—5'Л321
Таблица III .49аПрогибы и усилия в пластинеЪWшахv)0 в центреМ в центре
лоМ в центреУоМх в точке Я,0,50,0309qa4ЕЬг0,0292qa4£530,0320qa20,0124qa?—0,0560qa?0,60,0285п0,0271я0,0301я0,0143п—0,0531я0,70,0256я0,0242я0,0280я0,0161п—0,0490я0,80,0229я0,0217п0,025400,0170»—0,0446ш0,90,0201я0,0191п0,0230Я0,0177п—0,0402»1,00,0174я0,0165я0,0203Я0,0181п—0,035291,110,0225qb4ЕЬЪ0,0212qb4ЕЬ30,0218qb20,0224q№—0,0378qb*1,250,0229я0,0268я0,0225п0,02749—0,0402*1,430,0370я0,0342я0,0239я0,0340п—0,0411я1,660,0461я0,0429Я0,0241У*0,0408—0,0405я2,000,0575»0,0526Я0,0231п0,0486*—0,0377яТаблица III.50Прогибыи усилия в пластинааьWmaxмгх0в центреМУов центре(^)шахв пролетев пролетев точкеИг0,500,00283qa4
D0,0316qa?0,0083qa?0,0396 qa?0,0134 qa*—0,0560 qa*0,600,00261я0,0294я0,0105Я0,0367 ,0,0140 ,-0,0531Я0,700,00234п0,0269я0,0126я0,0333 ,0,0151 ,—0,0490W0,800,00210»0,0240я0,0140я0,0300 „0,0160 „-0,0446я0,900,00184»0,0214я0,0151я0,0269 ,0,0167 .—0,0402я1,000,00159п0,0185п0,0159»0,0238 ,0,0174 „—0,0352я1.110,00206qb4
п0,0195qb20,0202qb20,0258 qb20,0221 q№—0,0378 qb*1,250,00269п0,0195я0,0253я0,0277 .0,0280 .—0,0402я1,430,00339п0,0199я0,0320я0,0290 .0,0353 .-0,0411я1,660,00423п0,0191я0,0390я0,0298 .0,0439 .-0,040592,000,00526Я0,0180я0,0474я0,0295 „0,0535 .—0,0377ЯГлава четвертаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН, ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННЫХ
ДВУМЯ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ КРОМКАМИ И СВОБОДНО ОПЕРТЫХДВУМЯ ДРУГИМИ§ 19. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхностиОбозначения (рис. 111.35)а, Ъ, д — размеры пластины, см;q — интенсивность нагрузки, кг!см2.Обозначения остальных величин те же, что и в § 15.322
Рис. 111.85а21*
Расчетные величины [7]Величины прогибов и внутренних усилий в наиболее характер¬
ных точках пластины при различных отношениях сторон — приве-адены в табл. III.51, 111.53 при v =
= 0,3, в табл. 111.54— при v = 1M
и в табл. 111.52 — при ^ = 0,3 и
v=4*.На рис. 111.36, а построены эпю¬рыМизгибающих моментом Mv иXРис. 111.37в сечении у —0 квадратной
пластины, схема которой изобра¬
жена на рис. 111.35. На рис.
111.36,6 приведена эпюра опор¬
ных моментов Му в сечении х=
= 0,5 а той же пластины. На рис.
111.36, в кривая I изображает
эпюру опорных реакций в сечении
* = 0,5 а, кривая II — эпюру пере¬
резывающих сил по краю */=0,5 6,
кривая III — эпюру опорных
реакций по краю у = 0,5Ь той же
пластины.Т а б л и ц а III.51ь■аП пи иты и изги5аю дис моменты в пластикев центре jМв центрехов центреу оМх в точке И1ооаа40,0284^530,0417 qa?0,0125 qa2-0,0833qa?2,00,0284 „0,0421я0,0142я—0,0842я1,50,0270 .0,0406я0,0172я—0,0829п1,40,0262 „0,0399я0,0189я—0,0808Я1,30,0255 „0,0388я0,0202я—0,0793и1.20,0243 *0,0374я0,0216я—0,0770п1.10,0228 .0,0356п0,0230я-0,0739я1,00,0214 .0,0332п0,0244я—0,0698я0,900,0276^ 4
EV0,0370 qb20,0309qb2—0,0788qb20,830,0349 „0,0401я0,0377я—0,08681»0,780,0425 „0,0426Я0,0447я-0,0938я0,710,0504 „0,0446я0,0517я—0,0998я0,670,0582 „0,04600,0585я—0,1049я0,630,0658 „0,0469я0,0650я-0,1090я0,600,0730 „0,0474я0,0711п—0,1124я0,560,0799 .0,0476п0,0768—0,1152»»0,530,0863 „0,0476я0,0821я—0,1173|>0,500,0987 „0,0474я0,0869я—0,1191я0,330,1276 „0,0421я0,1144m-0,1246я0,250,1383 „0,0390я0,1223Я-0,1250я0,200,1412 ,0,0379я0,1243я-0,1250я00.1422 .0,0375я0,1250я-0,1250я324
Таблица 111.52Таблица 111.53ьаПеререзывающие усилияв пластинеьаОпорные реакции в пластинеQx в точкеQy вточкахVх в точкахН\кСКсоо0,500qa00оо0 2,00,511я0,119 qb—0,164 qb2,00,154 qb—0,279 qb1,50,524Я0,160 ,—0,219я1,50,206я—0,373 „1,40,525я0,171 .—0,235я1,40,221я—0,400 „1,30,527»0,185 .—0,253Я1.30,238п-0,431 .1,20,526я0,202 ,—0,275я1,20,258п-0,467 „1,10,523я0,221 .-0,299я1,10,282я-0,508 .1,00,516п0,244 .—0,327я1,00,310я—0,555 .0,900,506я0,270 .—0,355у0,900,339я—0,603 „0,830,492я0,294 .—0,380я0,830,365я-0,646 .0,780,477я0,318 .-0,402я0,780,389я-0,683 .0,710,461я0,339 .—0,421я0,710,410я—0,715 .0,670,444я0,359 .-0,437я0,670,429я-0,742 .0,630,426я0,378 .—0,450я0,630,444я-0,765 .0,600,409я0,394 .-0,461я0,600,456я—0,783 ,0,560,392я0,408 .—0,469*»0,560,468я—0,797 „0,530,376я0.421 .-0,476я0,530,476я—0,809 „0,500,360я0,432 .—0,481я0,500,483я-0,818 „0,330,247я0,485 .—0,499я0,330,504я-0,848 .0,250,188я0,497 .—0,500я0,250,505я-0,849 .0,200,148я0,499 „-0,500я0,200,501я-0,850 ,0—0,500 „-0,500я00,500я—0,850 .Таблица II 1.54аЬПрогибы и изгибающие моменты в пластинеw0 в центреЖ в центре
•'оЖ в центреVoв точке0,500,0262qa4
~D0,0416qa20,0083qa2-0,0847qa?0,600,0253п0,0408я0,0109я—0,0838п0,700,0240я0,0392я0,0138я-0,0816УУ0,800,0227я0,0367я0,0161я-0,07821*0,900,0212я0,0341я0,0188я—0,0745я1,000,0192я0,0312я0,0205я—0,0698я1,110,0261qb4
п0,0343qa10,0275-0,0799qb*1,250,0355Lsя0,0371я0.0369я—0,0902я>1,430,0479я0,0393я0,0498я-0,1018п1,660,0644я0,0392я0,0651я—0,1107п2,000,0844я0,0367я0,0838я—0,12!3»§ 20. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по поверхности центрального прямоугольникаОбозначения (рис. II 1.37)а, b — размеры сторон пластин, см;
аь Ь\ — размеры нагруженного прямоугольного участка, см;
q — интенсивность поперечной нагрузки, кг/см2;P=a\b\q—-полная нагрузка, действующая на пластину, кг.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 15.325
Расчетные формулы [5]Значения изгибающих моментов в центре пластины:MXo = k2P = k2a1blq\ (20.1)Му0 = къР = kza^bvq (20.2)и изгибающий момент посредине жестко закрепленной пластиныМх = k2P =~k2alblq. (20.3)В табл. II 1.55—II 1.87 даны коэффициенты k2t &з и k2 в зависи-bi а,мости от относительных размеров — и —— загруженного участка.а аКоэффициент Пуассона принят равным *> = 0,25.Таблица 111.55btК% Вформуле (20.1). „ «•
при о=2а и —
а1а00,20,40,60,81.000,2100,1460,1060,0820,0670,20,2710,1770,1270,0960,0760,0610,40,2020,1500,1120,0850,0670,0540,60,1630,1260,0980,0760,0600,0470,80,1370,1070,0840,0660,0520,0421,00,1150,0920,0730,0580,0450,0371,20, Юо0,0810,0650,0520,0410,0331,40,0880,0710,0570,0460,0360,0291,6- 0,0770,0630,0510,0400,0320,0261.80,0700,0570,0460,0370,0290,0242,00,0630,0510,0410,0320,0260,020Т a б л ица iIII.56btк3 вформуле (20.2), Л а
при b =2а и —
а1а00.20,40,60,81,00оо0,2360,1710,1290,1020,0820,20,1800,1470,1170,0930,0740,0610,40,1140,0980,0810,0660,0540,0430,60,0790,0690,0580,0480,0380,0310,80,0570,0500,0420,0340,0280,0231,00,0440,0380,0310,0260,0210,0171,20,0310,0280,0230,0190,0150,0121,40,0270,0220,0180,0150,0120,0101.60,0230,0180,0150,0120,0100,0081,80,0200,0160,0130,0100,0090,0072,00,0170,0140,0120,0100,0080,006326
Таблица Ш.57Ь,«а Ваформуле (20.3) при Ь=2а и —1а00,20,40,60,81.00-0,168—0,168—0,167—0,167—0,165—0,1640.2—0,164-0,164—0,163—0,160—0,155—0,1400.4—0,155—0.154—0,152—0,147—0,138—0,1210.6—0,141—0.140—0,137-0,130-0,120—0,1030.8—0,126-0,125-0,121-0,115—0,104—0,0891,0—0,112-0,111-0,107—0,100—0,090—0,0771.2—0,099—0,098—0,094-0,088—0,079—0,0671.4—0,088—0,087—0,083-0,078—0,069—0,0591,6-0,078—0,077—0,074—0,069-0,062—0,0531,8-0,070-0,069-0,066—0,062—0,055—0,0472.0—0,063-0,062-0,060-0,056-0,050—0,042Таблица 111.58/с2 в формуле (20.1) при 6 = 1,8а иа00,20,40,60,81.00ОО0,2090,1450,1070,0830,0660,20,2710,1770,1280,0970,0760,0610.40,2030,1500,1120,0860,0680,0540.60,1630,1260,0970,0760,0680,0480,80,1360,1070,0850,0660,0530,0421,00,1170,0930,0740,0590,0460,0371.20,1000,0810,0650,0520,0410,0331,40,0880,0710,0570,0450,0360,0291.60,0780,0630,0500,0400,0320,0261,80,0700,0560,0460,0360,0290,023Таблица III .59fr,CL1к» в формуле (20.2) при 6 = 1,8а и —-(Xа00,20,40,60,81.00оо0,2360,1710,1290,1030,0820.20,1800,1460,1170,0940,0740,0600.40,1150,0980,0810,0660,0540,0430.60,0790,0680,0580,0480,0380,0320.80,0580,0490,0420,0350,0280,0221,00,0430,0380,0310,0250,0200,0171,20,0340,0290,0240,0190,0150,0131,40,0280,0230,0190,0150,0120,0101,60,0230,0200,0170,0130,0110,0081,80,0200,0170,0140,0110,009.0,007327
Т а б л и ц a 111.60Ь,в формуле (20.3) при 6=1,8а и —tа00.20,40,60,81.000.20,40,60,81,01,21,41,61,8—0,168—0,165—0,155-0,141-0,127-0,112-0,099—0,088-0,078—0,070-0,168—0,164-0,154-0,140-0,125-0,111-0,098-0,087—0,077—0,069—0,167
—0,163
-0,152
—0,137
-0,122
-0,107
-0,094
-0,083
-0,074
—0,066—0,166-0,161-0,147-0,131-0.U5-0,100-0,088—0,078-0,069—0,062—0,165
—0,156
—0,138
—0,120
-0,104
—0,091
—0,079
—0,070 ;
-0,062
-0,055Т a б л и:—0,164
-0,140
—0,121
—0,103
-0.089
-0,077
—0,067
—0.059
—0,052
-4),047ца 111.61Ь>«2 в формуле (20.1) при fc = l 6а иаа00,20.40,60,81,00ОО0,2100,1460,1060,0840,0660,20,2710,1780,1270,0970,0750,0600,40,2020,1500,1120,0860,0670,0540,60,1630,1260,0980,0760,0600,0480,80,1370,1090,0850,0670,0530,0421,00,1160,0930,0730,0590,0460,0371,20,1000,0810,0640,0510,0400,0331,40,0870,0710,0560,0450,0360,0291,60,0770,0630,0500,0400,0330,026Таблица 111.62А.аif, в формуле (20.2) при 6= 1,6а иа0,20,40,60,81.0О0.20,40,60,81,01,21,41,6ОО0,1800,1150,0790,0590,0440,0350,0280,0250,2360,1470,0980,0690,0510,0380,0300,0250,0210,1710,1170,0820,0580,0420,0320,0250,0200,0170,1290,0030,0670,0480,0350,0260,0190,0170,0140,1030,0750,0540,0390.0280,0210,0170,0140,0120,0820,0610,0430,0320,0230.0170,0130,0110,009328
Таблица 111.63к_ &Ак% в формуле (20.3) при 6= 1.6а иа00,20,40,60,81,00—0,168—0.168-0,168-0,167—0,165-0,1640,2-0,165—0,165—0,163—0,161—0,156—0,1410,4—0,155-0,154—0,152—0,147—0,138—0,1210,6—0,142—0,141—0,137-0,131—0,120—0,1030,8-0,127—0,126-0,122—0,115—0,104—0,089'1,0-0,112—0,111—0,107—0,101-0,090-0,0771,2—0,099-0,098—0,095—0,088—0,079-0,0671,4—0,088—0,087-0,083—0,078-0,069—0,0591,6-0,077—0,076-0,073-0,068-0,061-0,052Т a б л и ]ца 111.64А.к.} в формуле (20.1) при 6=1,■4а иа00,20,40,60,81.00ОО10,2100,1470,1070,0830,0670,20,2700,1780,1280,0970,0760,0610,40,2030,1490,1120,0860,0680,0550,60,1640,1270,0980,0760,0600,0480,80,1360,1070,0850,0670,0530,0421,00,1160,0920,0730,0580,0460,0371,20,0990,0800,0640,0510,0400,0321,40,0860,0690,0550,0440,0350,028Таблица 111.65-itкг в формуле (20.2) при 6=1,4а иCLа00,20,40,60,81.00оо0,2370,1720,1290,1020,0830,20,1810,1470,1180,0940,0760,0610,40,1150,1000,0830,0680,0540,0430,60,0810,0710,0600,0490,0400,0330,80,0600,0520,0430,0360,0290,0231,00,0460,0400,0330,0270,0230,0181.20,0370,0320,0280,0220,0190,0151,40,0310,0270,0220,0180,0150,012329
Таблица 111.66— CL\к2 в формуле (20.3) при Ь=1,4а и ——аа00.20,40,60.81.00-0,169—0,169-0,168-0,167-0,166—0,1640,2—0,166—0,165-0,164—0,162—0,157-0,1410,4—0,156—0,155-0,153-0,148—0,139—а, 1210,6—0,142-0,141—0,138—0,131—0,121—0,1040*8—0,127-0,126—0,122-0,115—0,105—0,0891,0—0,112—0,111—0,107-0,100—0,091—0,0771.2—0,098—0,097—0,094-0,087—0,078—0,0671,4—0,086—0,0851 -0,081—0,076—0,068—0,058Таблица 111.67biа1к2 в формуле (20.1) при &=1,2а и ——аа00.20,40,60,81.00ОО0,2100,1460,1060,0830,0670,20,2710,1790,1280,0970,0750,0600,40,2030,1510,1130,0870,0680,0540,60,1620,1260,0970,0770,0590,0480,80,1350,1060,0830,0660,0520,0421,00,1130,0910,0720,0560,0450,0361,20,0960,0770,0610,048 10,0390,031Таблица! 111.68Ъук3 в формуле (20.2) при 6 = 1,2а иаа00,20.40.60,8! 1.о0оо0,2400,1740,1320,1040,0840,20,1830,1510,1210,0960,0770,0620,40,1180,1030,0860,0700,0570,0460,60,0840,073 .0,0620,0510,0420,0330,80,0630,0550,0470,0390,0320,0261.00,0490,0440,0370,0310,0250,0201,20,0410,0360,0310,0250,0200,017Таблица 111.69А-аKt в формуле (20.3) при &=1,2а и1_00.20.40,60,81.00—0,169—0,169—0,168—0,167—0,166—0,1650,2-0,165—0,165—0,164-0,161—0,157-0,1410,4-0,155—0,155-0,152—0,147-0,139-0,121330
Продолжение табл. 111.69Кг в формуле (20.3) при Ь=1,2а иаа00,20,40.60,81.00,6-0,141—0,140—0,137—0,130—0,120—0,1030,8—0,125—0,124—0,120—0,113—0,103—0,0891.0—0,109—0,108—0,104—0,098—0,089—0,0761,2—0,093—0,092-0,089—0,083—0,076—0,064Таблица 111.706.к2в формуле (20.1) при а=Ь и -а,аа00.20,40,60.81.00ОО0,2710,1990,1580,1290,1060,20,2120,1780,1460,1210,1010,0840,40,1400,1260,1090,0930,0790,0650,60,1060,0950,0830,0720,0620,0510,80,0820,0740,0650,0570,0480,0401,00,0660,0590,0520,0460,0390,032Таблица 111.71К зв формуле (20.2) при а=Ь и -о,аа00,20,40,60,81.00оо0,1890,1240,0910,0690,0560,20,2500,1580,1070,0790,0610,0490,40,1780,1250,0900,0670,0520,0420,60,1360,1000,0740,0550,0430,0350,80,1080,0810,0600,0450,0350,0281,00,0870,0650,0480,0360,0280,023Таблица Ш.72*iК*в формуле (20.3) при а=Ь и -«1аа00,20,40,60,81.00—0,166—0,162-0,151-0,136—0,117-0,0980,2—0,166—0,162—0,150—0,135-0,116—0,0970,4—0,166—0,161-0,149—0,132—0,113—0,0940,6—0,165—0,159-0,145-0,126—0,108—0,0900,8—0,164—0,155-0,136—0,117—0,098—0,0821.0—0,163-0,140-0,119—0,101—0,084—0,070331
Таблица 111.73а1в формуле (20.1) при а = \,1Ь и CLа00,20,40,60.81,00ОО0,2780,2110,1670,1380,1140,20,2200,1880,1570,1310,1100,0910,40,1530,1380,1200,1030,0880,0730,60,1170,1050,0940,0820,0700,0580,80,0920,0830,0750,0660,0570,0471.0-0,0740,0680,0610,0540,0460,0391.20,0630,0570,0510,0450,0380,032Таблица 111.74ахк% в формуле (20.2) при а=\,2Ь и ——CLа00,20,40,60,8( 1,00оо0,2120,1490,1100,0870,0710,20,2720,1810,1310,1000,0790,0640,40,2040,1510,1140,0900,0720,0580,60,1610,1250,0970,0780,0610,0500,80,1310,1030,0810,0650,0520,0431.00,1090,0860,0680,0540,0440,0361.20,0910,0730,0570,0460,0370,030Таблица 111.75к3 в формуле (20.3) при а=1,2Ь иаа00,20,40,60,81,00—0,156—0,153—0,144-0,131—0,1140,2-0,156—0,153-0,144—0,131—0,1140,4-0,157-0,153-0,144—0,130-0,1130,6-0,157—0,153—0,143—0,128—0,1110,8-0,158—0,153—0,140—0,124-0,1061.0-0,158-0,150-0,134—0,116-0,0991.2с-0,158—0,138—0,120—0,103—0,087—0,096-0,095—0,094—0,092—0,088-0,082—0,072Таблица III.76Ьгк.х в формуле (20.1) при а=1,4б иCLа00,20.40,60,81,00ОО0,2830,2160,1720,1410,1170,20,2260,1920,1620,1360,1140,0940,40,1590,1430,1250,1080,0910,075332
Продолжение табл. 111.76Ьг/fj в формуле (20.1) при а=1,4Ь исса00,20,40,60,81.00,60,1220,1110,0990,0870,0740,0620,80,0970,0890,0790,0700,0600,0501.00,0790,0730,0660,0580,0510,0421.20,0670,0620,0570,0490,0420,0351.40,0570,0530,0470,0410,0360,030Таблица 111,77bt.dKt в формуле (20.2) при а = 1,44 и —1а00,20,40,60,81.00оо0,2320,1690,1280,1030,0850,20,2920,2000,1500,1180,0960,0790,40,2240,1700,1330,1060,0870,0720,60,1830,1450,1170,0940,0780,0630,80,1520,1230,1010,0820,0680,0561.00,1290,1050,0870,0710,0580,0481,20,1090,0910,0740,0610,0500,0411.40,0940,0770,0640,0530,0440,036Таблица III .78—к2 в формуле (20.3) при а = 1,4о и —-а00,20,40,00,81.00—0,140-0,138—0,131—0,119-0,104-0,0880,2-0,141—0,138—0,131—0,119—0,105—0,0880,4—0,142—0,139-0,131-0,119—0,105—0,0880,6—0,143-0,140—0,132-0,120-0,105-0,0880,8—0,146—0,142-0,133-0,120-0,104—0,0871.0—0,147-0,143—0,132-0,117-0,101-0,0841.2—0,149-0,142-0,128—0,012-0,095—0,0791,4-0,150—0,133-0,116-0,101—0,086-0,071Таблица 111.79ь,кг в формуле (20.1) при а=1,66 и —иLа00,2 j0,4 Ii0,60,81.00оо0,2850,2190,1740,1440,1180,20,2290,1950,1640,1380,1160,0960,40,1620,1450,1270,1100,0930,0770,60,1240,1130,1010,0880,0760,0630,80,1000,092 .0,0820,0720,0620,052333
Продолжение табл. III.79Л_кг в формуле (20.1) при а= 1,6ft и -—(Xа00,20,40,60,81,01,00,0820,0750,0680,0600,0520,0431,20,0690,0640,0580,0510,0440,0361,40,0590,0550,0490,0440,0380,0310,0520,0480,0430,0380,0330,027Таблица 111.80Ъ,ак* в формуле (20.2) при а= 1,6ft и —а00,20,40,60,81,00оо0,2480,1830,1420,1170,0940,20,3100,2160,1640,1320,1080,0880,40,2400,1870,1480,1200,0980,0810,60,1980,1610,1320,1090,0890,0740,80,1690,1400,1170,0960,0800,0661,00,1450,1210,1020,0850,0710,0591,20,1250,1060,0890,0750,0620,0521,40,1090,0920,0770,0650,0550,0451,60,0960,0810,0680,0580,0490,040Таблица 111.81«2 в формуле (20.3) при а— 1,6ft и а100,20,40,60,81,00-0,122—0,120—0,113—0,104—0,091—0,0770,2—0,122—0,120—0,114-0,104—0,092—0,0770,4—0,124-0,121-0,115—0,105—0,092—0,0780,6—0,126-0,123—0,117-0,106—0,093-0,0780,8—0,128-0,126—0,119—0,108—0,095—0,0791,0-0,132-0,129—0,121—0,109—0,095-0,0791,2-0,135-0,131-0,121—0,108—0,094-0,0781,4—0,138—0,132—0,119—0,104—0,090—0,0751,6—0,141—0,125—0,110—0,096—0,082-0,068Таблица 111.82к% в формуле (20.1) при а=1,8ft иаа00,20,40,60,81,00оо0,2850,2190,1750,1440,1180,20,2290,1950,1640,1390,1150,0950,40,1620,1450,1270,1100,0980,0770,60,1240,1130,1010,0890,0760,0630,80,1000,0910,0820,0730,0630,051334
Продолжение табл. 111.82Ь,к2 в формуле (20.1) при а = \,ЬЬ и1га00,20,40,60,81,01,00,0820,0760,0680,0600,052’0,0431,20,0690,0640,0580,0510,0440,0361,40,0600,0550,0500,0440,0380,0311,60,0520,0480,0440,0390,0340,0271,80,0460,0430,0390,0340,0290,024Таблица 1Ц.83h.Кг в формуле (20.2) при а=\,ЪЬ и1ь... ^,а00,20,40,60,81,00ОО0,2600,1940,1520,1250,1020,2—0,3210,2770,1760,1420,1170,0960,4-0,2520.1980,1590,1300,1080,0890,6—0,2110,1730,1430,1190,0990,0820,8—0,1800,1510,1270,1070,0890,0731,0-0,1580,1340,1140,0960,0800,0661,2-0,1370,1180,1010,0860,0720,0601,4-0,1210,1050,900,0760,0640,0531,6—0,1080,0920,0790,0670,0570,0471,8—0,0960,0820,0710,0600,0510,042Таблица 111.84ь,к% в формуле (20.3) при а=1,86 иCLа00,20,40,60,81,00—0,103—0,101—0,096—0,088—0,077—0,0650,2—0,103—0,101—0,096—0,088—0,078-0,0650,4—0,105—0,103—0,098—0,089—0,079—0,0660,6—0,107—0,105—0,100-0,091—0,080—0,0670,8-0,110—0,109-0,103—0,094—0,082—0,0691,0—0,114—0,112—0,106-0,096—0,084—0,0711,2—0,118—0,116—0,109—0,098—0,085—0,0721,4—0,123—0,119—0,111-0,099—0,086—0,0711,6—0,127—0,121—0,110—0,097-0,083—0,0691,8-0,130—0,117—0,103-0,090—0,077—0,064Таблица 111.85ь,аа*«а в формуле (20.1) при а=2Ь и —-Ctr00,20.40,60,81,000,2оо0,2280,2840,1940,218 .
0,1630,1740,1370,1430,1150,1180,096335
Продолжение табл. III.85Kt в формуле (20.1) при а=2Ь и —-ла00,20.40.60,81.00,40,60,81,01.21.41.61.82,0щ0,1600,1230,0980,0810,0680,0590,0520,0460,0400,1440,1120,0900,0750,0620,0540,0470,0420,0370,1260,1000,0810,0670,0560,0480,0420,0370,0340,1090,0880,0710,0600,0500,0430,0370,0320,0300,0930,0750,0620,0520,0430,0370,0320,0290,026Т а б л ,и 10,0770,0630,0520,0430,0360,0310,0270,0240,022да III.86аа.кг в формуле (20.2) при а=‘2Ь и (X00,20.40,60,81.000,20,40,60,81.01,21.41,61,82,0оо0,3300,2590,2190,1900,1650,1470,1300,1160,1040,0940,2680,2350,2070,1810,1600,1410,1270,1140,1010,0920,0820,2020,1830,1670,1510,1350,1210,1100,0980,0880,0790,0710,1590,1490,1370,1260,1140,1030,0940,0840,0750,0680,0610,1300,1230,1140,1050,0950,0860,0790,0700,0630,0570,052Т а б л и0,1070,1010,0930,0860,0790,0720,0650,0590,0530,0480,043ца III.87а—» а,кг в формуле (20.3) при а = 26 и CL010.2 0,4 0,60,81.000,20,40,60,81,01,21,41.61,82,0—0,085
—0,085
—0.086
—0,089
-0,093
—0,097
—0,101
-0,106
—0,111
—0,116
—0,120—0,083—0,084—0,085-0,088—0,091—0,095—0,099—0,104-0,108-0,111-0,108—0,079—0,079-0,081—0,083—0,086-0,090-0,091—0,098—0,100-0,101-0,096—0,079
—0,073
—0,074
—0,076
—0,079
- 0.082
—0,085
—0,086
—0,090
—0,089
-0,084—0,064
—0,064
-0,065
—0,067
—0,070
—0,072
-0,075
-0,077
—0,078
—0,076
- 0,072-0,054—0,054—0,055-0,056-0,058—0,061—0,063—0,064*-0,065-0.064—0,060336
§ 21. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через жестко закрепленнуюкромкуОбозначенияа, Ь, д — размеры пластины, см\q — наибольшая интенсивность поперечной нагрузки, mjcM2.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 15.Расчетные формулы [5]В табл. III.88 приведены величины изгибающих моменто© Мхв опорных точках Н\ и #2 пласти¬
ны (рис. II 1.38) при коэффициен¬
те Пуассона материала г» = 0,3 для» аразличных отношении-- .В табл. 111.89 и 111.90 даны
перерезывающие усилия и изги¬
бающие моменты (рис. Ш.38) в
характерных точках той же плас¬
тины при V—— .6Таблица III.88а"VИзгибающие моменты Мх в точкахИ%я,0—0,0333 qa2-0,0500 qa20,50—0,0296 ,-0,0546 „0,67-0,0331 „—0,0498 „1,00-0,0268 „-0,0431 „1,50! —0,0362 qb2-0,0686 qb22,00-0,0354 „—0,0837 ,Таблица 111.89Перерезывающие силы впластинеаbв точкахQy в точкахН2ВАС00,150qa0,350qa0000,500,146п0,36699-0,047qb—0,060qb—0,117qb0,670,162п0,3629—0,06890,080ш0,15191,000,157п0,359п—0,1009»0,12299-0,226»1,500,122п0,322п-0,124п0,18091—0,313т2,000,089п0,271п-0,11990,21099-0,3629OQ——00,250»—0,500Ш22—511 337
Т а б л и ц а 111.90Прогибы и изгибающие моменты в пластинеа~Ъ~“>тахМххов центрев центреWx) max
в пролете(^у) шах
в пролетеМХх
в точке Я,Afar,
в точке Ht0,500,00132 qa40,0208<7а20,0043qa?0,0214?а20,0071^а2-0,0512^2—0,0336?a20,600,700,800,901,000,00126 „
0,00120 „
0,00114 .
0,00116 ,
0,00096 .0,0203 ,
0,0195 ,
0,0184 ,
0,0171 .
0,0156 .0,0054 „
0,0069 „
0,0081 ,
0,0094 .
0,0103 ,0,0209 „
0,0200 .
0,0188 ,
0,0175 .
0,0161 „0,0081 „
0,0091 .
0,0098 „
0,0102 .
0,0104 в-0,0506 ,
-0,0493 ,
—0,0472 *
-0,0456 „
-0,0432 *—0,0333 „
—0,0324 „
—0,0309 ,
—0,0290 ,
—0,0267 -1,110,00130 qb4
D0,0172^20,0\37qb*0,0183^620,0139^2—0,0504qb*—0р987б31,251,431,662,000,00177 ,
0,00239 ,
0,00322 ,
0,00422 .0,0185 .
0,0197 „
0,0196 „
0,0183 .0,0184 „
0,0249 .
0,0325 ,
0,0418 я0,0203 ,
0,0221 ,
0,0225 „
0,0234 .0,0187 „
0,0253 „
0,0330 „
0,0427 „-0,0575 „
—0,0676 „
—0,0748 „
—0,0840 „-0,0323 „
—0,0342 .
—0,0360 „
-0,0374 .§ 22. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромкуОбозначения те же, что и в § 20, 21-Расчетные величины [5]В табл. 111.91 даны величины изгибающих моментов на жестко
закрепленной кромке пластины (рис. III.39) из материала с коэф¬
фициентом Пуассона г=0,25, а в табл. 111.92 — значения прогибови изгибающих моментов для случая v=— (железобетонные пла-6стины).ОКЧ|КLйшщшн.ЖТаблица 111.91=гдгпгпТПТТТ~T#hIVРис. 111.39ьОпорный момент в пластине
(рис. 111.39) в точкахаикLt0—0,021 qb2—0,042 qb3—0,062 qb*0,50—0,021 *-0,042 ,-0,062 „0,67-0,021 „—0,041 *-0,048 „1,0—0,020 „—0,035 „—0,035 .1,5—0,032 qa?—0,052 qa2—0,0487a22,0—0,037 „-0,060 ,—0,053 „оо—0,039 „-0,062 „—0,055 .338
Т а б л и ца III .92Прогибы и изгибающие моменты в пластинеа~Ъwшахмхов центрев центре(Мр тах
в пролетеШу) max
в пролетеМу
в точке КIМу) щах
на закрепленной
кромке0,500,600,700,800,901,001,111,251,431,662,000,00422^
0,00323 „
0,00239 „
0,00177 „
0,00130 „0,00098 .qb*
0,00112#-0,00126 „
0,00137 „
0,00150 „
0,00161 „0,0418 qa?
0,0325 „
0,0249 „
0,0184 .
0,0137 „
0,0103 .0,0094 qb20,0081 „0,0069 „0,0054 „0,0043 „0,0183 qa2
0,0195 „
0,0197 ,,
0,0185 „
0,0172 .
0,0158 ,0,0171 qb20,0184 „0,0195 „
0,02030,0208 „0,0444 qa2
0,0354 „
0,0281 „
0,0228 „
0,0188 *
0,0154 „0,0158 qb20,0156 „0,0150 *0,0138 ,0,0117 „0,0188qa2—0,0607qa?—0,0611qa20,020099—0,055399—0,0560990,020299-0,0509n—0,0522990,019399-0,045199-0,0475990,0180»—0,039999—0,0424n0,0165»—0,034999-0,0375990,0185qo2-0,0372qb2-0,0405qb20,020699—0,039199-0,0433990,0229—0,040899—0,0473990,0247-0,0419if—0,0521•Ф0,026099-0,042499-0,0572n
Глава пятаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН С ЧАСТИЧНО ЗАКРЕПЛЕННЫМ КОНТУРОМ§ 23. Пластина, жестко закрепленная двумя кромками,
сходящимися в вершине, и свободно опертая двумя другими,
под действием равномерно распределенной нагрузки<S|C44fitРис. 111.40Обозначения (рис. 111.40)q — интенсивность нагрузки,
кг/см2;P = qab — полная нагрузка, кг.Обозначения остальных величин
те же, что и в § 15.Расчетные величины [18]В табл. 111.93 приведены величи¬
ны прогибов и изгибающих момен¬
тов в пластине с коэффициентомПуассона v= а в табл. 111.94
моменты для случая v = 0,3.Таблица III.93Прогибы иизгибающие моменты в пластинеаЪ%в центре |0в центре•*ов центреМх
в точке //,Мув точке/0,500,00468qa*D0,0571qa?0,0165qa?—0,1184 qa'2-0,07840,600,00418»0,05170,0209п—0,1091 „—0,07760,700,00360tf0,0454»0,0245п—0,0996 „—0,0766п0,800,00308п0,0390п0,0262п-0,0875 .-0,0747»0,900,00257п0,0329»0,0274п—0,0773 „—0,0711я1,000,00210п0,0273п0,0273п—0,0674 в—0,0674п1,110,00257qb*D0,0274qb20,0329qb2—0,0711 qb2—0,0773qb21,250,00308п0,0262п0,0390п—0,0747 „—0,0875п1,430,00360п0,0245>90,0454п-0,0766 „—0,0988п1,660,00418ft0,0209п0,05179—0,0776 .—0,1091п2,000,00468*90,0165»0,0571п-0,0784 .—0,1184п340
Таблица 111.9Прогибы иизгибающие моменты в пластинеabW.0в центремх0в центре*0в центреМх
в точке НхМу
в точке10,50,0511 $?-£530,0581 qa?0,0240 qa2-0,1184 qa2-0,0784qa?0,60,0456 „0,0434 .0,0275я—0,1091я—0,0776я0,70,0393 „0,0478 .0,0302я—0,0988я—0,0766я0,80,0336 „0,0416 ,0,0310я—0,0875я—0,0747я0,90,0281 я0,0359 ,0,0313я—0,0773я—0,0711я1,00,0229 „0,0304 „0,0304я—0,0674я—0,0674я1,110,0281 qb*
£530,0313 qb*0,0359qb2-0,0711qb2-0,0773qb21,250,0336 ,0,0310 ,0,0416я—0,0747я—0,0875я1,430,0393 .0,0302 „0,0478п—0,0766я—0,0988я1,66. 0,0456 „0,0275 .0,0434Я-0,0776я—0,1091я2,000,0511 „0,0240 „0,0581Я—0,0784я—0,1184я§ 24. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно
опертая четвертой, под действием равномерной нагрузкиОбозначения (рис. 111.41)q — интенсивность нагруз¬
ки, кг 1см2;ЕЬ3D= ТТЛ ? цилиндриче-12(1 — v)-ская жест¬
кость плас¬
тины, кг-см.
Обозначения остальных ве¬
личин те же, что и в § 20.Расчетные формулы [18]В табл. 111.95 приведены
значения прогибов и изгибаю¬
щих моментов для пластины
с коэффициентом Пуассона6 * Рис. 111.41В табл. 111.96 даны величины изгибающих моментов в центре пла¬
стины при v = 0,S.341f / Tf f >Ojy^L<вГI0,'1 CM
Таблица 111.95Прогибы и изгибающие моменты в пластинеа%
в центремх0в центремув центреМХ
в точке НгMy
в точ ке К0,50Ооо4^СЛО0,0551да?0,0187 да2—0,1126 да2—0,0780 да20,600,00384 „0,0477п0,0228»-0,1018 ,—0,0770 ,0,700,00317 я0,0402п0,0258п—0,0887 .-0,0745 .0,800,00258 ,0,0327п0,0273я—0,0758 ,—0,0704 *0,900,00204 ,0,026190,0267и-0,0644 „—0,0654 „1,000,00157 „0,0204п0,0256»-0,0545 .-0,0597 .1,110,00183D0,0195qb20,0292qb2—0,0554 qb2-0,0660 qb21,250,00205 „0,0177»0,0332п-0,0564 .—0,0717 ,1,430,00224 „0,0149п0,0365п—0,0565 „-0,0771 .1,660,00242 „0,0123п0,0394п-0,0562 .—0,0811 ,2,000,00254 ,0,0095п0,0411п—0,0559 »Ti—0,0835 „
а блиц a III.96Прогибы иизгибающие моменты в пластинеаЬ%
в центремх0в центре■’ов центреМх
в точке HiМув точке К0,50,0491 qai0,0564 да20,0259 qa2-0,1126 qa2—0,0780 qа20,60,0419 „0,0498п0,0289п—0,1018 „—0,0770 „0,70,0346 ,0,0428я0,0308W—0,0887 .—0,0745 „0,80,0282 ,0,035890,0312«-0,0758 .—0,0704 ,0,90,0223 .0,029290,0297п-0,0644 .—0,0654 .1,00,0172 .0,023690,0278п—0,0545 ,-0,0597 .1,110,0200 qb4ЕЬэ0,0231qb20,0312qb2—0,0554 qb*—0,0660 qb21,250,0224 ,0,021890,03499—0,0564-0,0717 .1,430,0245 ,0,019690,03779—0,0565 .-0,0771 „1,660,0264 ,0,017490,0402»—0,0562 „—0,0811 „2,000,0277 .0,0149п0,0415п—0,0559 ,—0,0835 .342
ф§ 25. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно
опертая четвертой, под нагрузкой, распределенной по закону
плоскости, проходящей через свободно опертую кромкуОбозначения всех
те же, что и в § 15.величинРасчетные формулы [7, 15]Величина наибольшего про¬
гиба дотах, изгибающих момен-
тов Млг0 и МУо в центре и мо¬
ментов в характерных точках
пластины (рис. 111.42) приве¬
дены в табл. II 1.97 для v =и в табл. 111.98 для *>=0,3.16Рис. 111.42Таблица 111.97Прогибы и изгибающие моменты в пластинешахоцентрем•'о
в центре^х max
в пролетеМу шах
в пролетеМХ
в точкеН\Мув точке Ку шах
на сторо¬
нах ВС
и AD0,500,600,700,800,901,001.111,251,431,662,(00,00203qa10,00173
0,00145
0,00119
0,00095
0,00074
0,00087
0,00099
0,00110
0,00123
0,001410,0258 qa!0,0228 .0,0193 ,0,0159 ,0,0130 .0,0103 ,0,0100 „0,0097 ,0,0081 „0,0065 ,0,0051 ,0,0088 qa20,0104 .0,0118 .0,0124 .0,0125 .0,0119 .0,0139 .0,0159 .0,0176 ,0,0195 .0,0205 ,0,0261 qa*0,0228 ,0,0193 ,0,0159 .0,0135 .0,0112 „0,0117 .0,0118 ,0,0121 .0,0125 „0,0130 ,0,0120 qa*0,0104 .0,0118 ,0,0124 ,0,0125 ,0,0121 ,0,0142 ,0,0163 ,0,0183 ,0,0212 .0,0244 .-0,0614 qa*-0,0565 ,-0,0505 „-0,0445 .-0,0389 .-0,0040 .-0,0362 .-0,0384 .-0,0406 .-0,0428 .-0,0448 .—0,0362 qa*-0,0358 „-0,0347 .-0,0328 .-0,0306 .-0,0283 ,-0,0313 .-0,0345 .-0,0375 ,-0,0397 ,-0,0412 ,—0,0362 qa*-0,0358 .-0,0347 .-0,0328 ,-0.0306 .-0,0285 .-0,0324 .-0,0366 .-0,0413 .-0,0459 .-0,0498 .Таблица 111.98Прогибыи изгибающие моменты в пластинеab“'max®0в центремх0в центрев центремхв точке НхМу
в точке К0,50,0222 q*\ЕЬг0,0222 qai
£530,0264 qa20,0119<7Я2—0,0614 qa2—0,0362 qa20,60,70,80,91,00,0189 ,
0,0158 ,
0,0130 ,
0,0104 „
0,00808 „0,0189 „
0,0158 „
0,0130 .
0,0104 .
0,00808 ,0,0237 ,
0,0205 „
0,0172 я
0,0140 „
0,0117 „0,0133 .
0,0142 „
0,0143 „
0,0140 ,
0,0131 .—0,0565 ,
—0,0505 в
—0,0445 ,
—0,0389 .
-0,0340 „—0,0358 .
—0,0347 „
-0,0328 .
—0,0306 .
-0,0285 „343
Продолжение табл. 111.98Прогибыи изгибающие моменты в пластинеаЬ“'шах%
в центремх0в центрем^0в центреМх
в точке НхМу
в точке К1,110,0095 qi>i
ЕЬ30,0095 qb4
ЕЬ30,0117 qb20,0149^2—0,0362 qb2—0,0313 qb21,151,431,662,000,0108 ,
0,0120 ,
0,0134 „
0,0154 .0,0108 ,
0,0118 ,
0,0127 „
0,0135 „0,0117 „
0,0103 „
0,0091 .
0,0078 „0,0169 .
0,0183 ,
0,0199 ,
0,0207 „-0,0384 .
-0,0406 .
—0,0428 „
-0,0448 .—0,0345 .
—0,0375 .
-0,0397 .
-0,0412 .§ 26. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно
опертая четвертой, под нагрузкой, распределенной по закону
плоскости, проходящей через закрепленную кромкуОбозначенияа, Ь, 6 — размеры пластины, см;q — наибольшая интенсивность нагрузки, кг/см2.Обозначения остальных ве¬
личин те же, что и в § 15.Расчетные формулы [18]Величины максимальных
прогибов и изгибающих момен¬
тов в наиболее характерных
точках пластины (рис. II 1.43)
для ряда отношений сторон
пластины приведены в табл,
111.99 при коэффициенте Пуас-и в табл. III.1001 |]ТГПТггптгггг-г^в/7777/(1,1см1сона V —6Рис. 111.43для о>=0,3.Таблица 111.99аЬПрогибы и изгибающие моменты в пластинеО)шахмх0в центрем*0в центре^х) шах
в пролете(Му) тах
в пролетеМх
в точкеМу
в точке К(Му) щах
на сторо¬
нах ВС
и AD0,500,00263-*>■§0,0293 qa*0,0101 qa20,0363 qa*0,0124 qa*—0,0512 qa*-0,0419 qa2-0,0464 qa•0,600,00221я0,0249 ,0,0124 .0,0314 .0,0137 .-0,0453щ0,0411 .-0,0458 .0,700,00182я0,0208 .0,0140 ,0,0270 ,0,0152 „-0,0382я-0,0399 „—0,0447 .0,800,00148*0,0168 ,0,0146 ,0,0229 „0,0160 „-0,0313VI-0,0375 .-0,0419 .0,900,00117я0.0131 .0,0141 .0,0191 ,0,0158 „-0,02557)-0,0346 „-0,0385 ,1,000,00090я0,0103 .0,0137 .0,0157 ,0,0152 ,-0,0205-0,0314 ,-0,0361 ,1.110,00107я0,0093 ,0,0153 ,0,0162 „0,0276 .-0,0192ъ-0,0336 ,—0,0392 .1,250,00122я0,0082 ,0,0173 .0,0160 .3,0201 „-0,0179Щ-0,0362 „-0,0432 .1,430,00133я0,0070 .0,0193 ,0,0156 ,0,0225 ,-0,0158m-0 0396 .—0,0483 .1,660,00141я0,0056 .0,0199 ,0,0157 .0,0249 ,-0,0134w—0,0414 ,-0,0532 .2,000,00148я0,0044 „0,0206 .0,0139 ,0,0264 ,-0,0111я—0,0423 .-0,0591 .344
Таблица 111.100аПрогибы и изгибающие моменты в пластинеw.шахwов центрев центреМу*ов центреМх
в точке Я,0,50,0287qa4Ш0,02700,0300!0,0139 qa?-0,05120,60,0241»0,0229я0,0261ft0,0156 „—0,04530,70,0199я0,0188п0,0222ft0,0165 ,-0,03820,80,0162п0,0152ft0,0185ft0,0166 „-0,03130,90,0128п0,0119п0,0148ft0,0156 ,-0,02551,00,0098qb4ЕЬ30,0091qb40,0120<M0,0120^62-0,02051,110,0117»0,0104tt0,0112ft0,0112 „—0,01921,250,0133ft0,0116п0,0104ft0,0180 „-0,01791,430,0145»0,0127п0,0095it0,0199 ,—0,01581,660,0154п0,0136ft0,0083190,0202 ,-0,01342,000,01611»0,0142ft0,0072ft0,0208 ,-0,0111Му
в точке К-0,0419 qa2-0,0411 .-0,0399 ,-0,0375 „-0,0346 .-0,0314 qb2-0,0336 „-0,0362 ,-0,0396 ,
-0,0414 .-0,0423 „Глава шестаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН С ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННЫМ КОНТУРОМ§ 27. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхностиОбозначения всех величин те же, что и в § 5 и 15.вигРис. III.44345Рис. III.45
Расчетные формулы [7]Величины прогибов и изгибающих моментов в центре пластины,
перерезывающих усилий и опорных реакций в характерных точках
пластины (рис. 111.44) приведены в табл. III.101 для v=0,3 и втабл. III. 102 для v= — .6Таблица II1.101Прогибы и изгибающие моменты в пластинеаЬюов центремх0в центре'ов центремхв точке Ямув точке Кв точке Я0» А'в точке Л1,00,0138??*ЕЬЪ0,0229 qa?0,0229<уа2-0,0517 qa2-0,0517 qa?0,452 qa0,452 qa1Л1,21.31.41.50,0165 ,
0,0191 „
0,0210 .
0,0277 „
0,0241 „0,0267 „
0,0302 .
0,0328 .
0,0350 ,
0,0368 .0,0234 .
0,0231 ,
0,0224 .
0,0215 .
0,0204 .-0,0554 .
—0,0612 „
—0,0668 *
-0,0714 „
-0,0753 .—0,0491 „
-0,0504 .
-0,0508 „
—0,0511 „
—0,0515 ,0,448 .
0,471 .
0,491 .
0,505 .
0,517 .0,412 .
0,381 .
0,352 ,
0,327 .
0,305 ,Таблица III.102Прогибы иизгибающие моменты в пластинеаЬШо
в центреМхов центрежу■^0в центреМх
в точкеяМу
в точкек0,500,00251qa4
~D0,0405 qa20,0104 qa2—0,0818qa2—0,0559qa%0,600,002341»0,0379 .0,0137 .—0,0782п—0,0562п0,700,00208п0,0340 .0,0169 „—0,0723п-0,0561и0,800,00182п0,0295 .0,0189 „—0,0652п—0,0551п0,900,00154190,0249 „0,0202 .—0,0580»-0,05321*1,000,00128п0,0205 .0,0205 ,—0,0506я—0,0506•1,110,00154qbKD0,0202 qb20,0249 qb2—0,0532qb2—0,0580qb21,250,00182п0,0189 .0,0295 .-0,0551п—0,0652п1,430,00208п0,0169 .0,0340 „—0,0561п—0,0723п1,660,00234п0,0137 .0,0379 ,—0,0562п—0,0782п2,000,00251п0,0104 »0,0405 „—0,0559я—0,0818п§ 28. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через контур пластиныОбозначения (рис. II 1.45)a, bf д — размеры пластины, см;q — наибольшая интенсивность нагрузки, Kef см2.346
Обозначения остальных величин те же, что и в § 5 и 15.Расчетные формулы [3]В табл. III. 103 приведены величины прогибов и изгибающих мо¬
ментов в наиболее характерных точках пластины (рис. II 1.45)с коэффициентом Пуассона v=-g- и в табл. 111.104 те же величины
в случае v=0,3.§ 29. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложеннойв центреОбозначения , п ш(рис. 111.46, II 1.47)X — сторона квадра¬
та сетки, нане¬
сенной на плас-
тину, см\
q — интенсивность
нагрузки, кг/см2;
P=qX2 — нагрузка на
клетку, кг.Обозначения осталь¬
ных величин те же, что и
в § 5 и 15.г1478- /77 5Ав2I%936Iх*Ш х?А . А . АWWWУАа//Шixi JL\п^<ОмСмСм'ШIIIIкААКа22а2W2й В ртах*>vww/4VxVxV>7(VxWxV10wmx13<5■211IkУ//лУ/а/7 $3691215XZ5,П Ш *Яй хм R
_ А . А . J» .W5W7АаУ_m /7Рис. III.46I\дXШШ|<\|CSIСмнIIЙААа2V2Рис. 111.47347В
Прогибы и изгибающиеаЬТО)max0в центрем•’ов центрешах j
в пролете0,500,00125 ^0,0203qa20,0052qa20,0208 qa20,600,00117 .0,0189я0,0068я0,0192 „0,700,00104 .0,0171я0,0085я0,0171 .0,800,00091 „0,0148я0,0095я0,0154 .0,900,00077 .0,0125я0,0101я0,0136 ,1,000,00064 „0,0103я0,0103я0,0116 ,1.110,00077 дЬ4
D0,0101qb20,0125qb20,0122 qb*1,250,00091 .0,0095я0,0148я0,0124 .1,430,00104 .0,0085я0,0171я0,0120 я1,660,00118 ,0,0068я0,0189я0,0125 .2,000,00139 .0,0052п0,0203я0,0129 ,Прогибы и изгибающиеа“’maxW0в центреМх0в центре0,50,0136£5*0,0136 *0*EV>0,0206 q i20,60,0128 .0,0128 .0,0194 .0,70,0114 ,0,0114 .0,0178 .0,80,0100 .0,0100 .0,0158 .0,90,0084 qb\ЕЬ3ООо
оо
4*
% *0,0136 qb21,00,0070 „0,0070 „0,0114 ,1,110,0084 .0,0084 .0,0116 .1,250,0100 .0,0100 .0,0113 .1,420,0114 .0,0114 ..0,0106 ,1,660,0129 „0,0128 .0,0093 .2,00,0152 .0,0136 „0,0079 .348
Таблица III.103моменты в пластине(Му) тах
в пролетеМхх
в точке //,Мх,
в точкеяаМу
в точке КWy) шах
на сторонах
ВС и AD0,0083 qa2—0,0494qa?—0,0323qa2—0,0280qa2—0,0294 qa20,0082 „—0,0474ш—0,0308я—0,0281я—0,0297 ,0,0085 „-0,0444я—0,0278я—0,0280я—0,0298 „0,0095 „—0,0408я—0,0245я-0,0275я-0,0291 ,0,0103 ,-0,0370я—0,0211я—0,0266я—0,0286 ,0,0105 „-0,0330я—0,0176я-0,0253я—0,0270 „0,0128 qb2—0,0359qb2-0,0174qb2—0,0290?&2—0,0313 qb20,0153 .—0,0383я-0,0169я—0,0326я-0,0359 ,0,0179 ,-0,0406я-0,0155я—0,0362я-0,0414 .0,0211 „—0,0428я-0,0135я-0,0391я—0,0461 .0,0238 .—0,0448я—0,0110»—0,0409я-0,0500 .Таблица III.104моменты в пластинеi■’о| в центреМх
в точке Н{Мхв точке НгМу
в точке К+0,0079 qa2-0 .0494 qa2—0,0322 qa2-0,0280 qa2+0,0093 ,-0,0474 .-0,0308 ,—0,0281 .0,0106 .—0,0444 „—0,0278 ,-0,0280 „0,0113 „-0,0408 ,—0,0245 ,—0,0275 .0,0116 qb2-0,0370 qb2—0,0211 qb2—0,0266 qb20,0114 „-0,0330 .—0,0176 .—0,0253 ,0,0136 .—0,0359 .-0,0174 в—0,0290 ,0,0158 „—0,0383 .—0,0169 .—0,0326 ,0,0178 „-0,0406 .—0,0155 ,—0,0362 .0,0194 .-0,0428 ,—0,0135 .—0,0391 .0,0206 .—0,0448 в-0,0110 „-0,0409 ,349
Расчетные формулы [5, 18]Прогибы и усилия в пластине:— №w = w ;DМХ = МХР; Му = МуР; (29.1)Q,=&X; Qy = Qy-^;Коэффициенты Мх—V, входящие в формулы (29.1), приведены
в табл. III.105 для ряда точек квадратной пластины (рис. 111.46)при коэффициенте Пуассона г> = —. В табл. III.106 помещены рас-6четные величины в ряде точек пластины с соотношением сторона/6=3/2 (рис. 111.47) при v= — .6При вычислении прогибов и усилий предполагается, что груз Р
равномерно распределен в квадрате со стороной Я.Таблица III.105Точки(рис.Коэффициенты в формулах (29.1) при а/6=*/»111.46)WМХМуQxQyV10,0200—0,002—0,0020,0550,05520,0432—0,0060,0540,2120 30,0200—0,002—0,0020,055—0,055 40,04320,054—0,00600,212 50,09600,1500,1500060,04320,054—0,0060—0,21270,0200-0,002—0,002—0,0550,05580,0432-0,0060,054—0,212090,0200—0,002-0,002—0,055-0,055I000000110-0,062—0,0100,0520,1000,052III0-0,120—0,0190,20000,200IV0—0,162—0,0100,052—0,1000,052V00000. 0VI0—0,0100,062—0,1000,0520,052VII0—0,019—0,12000,2000,200VIII0—0,010-0,0620,1000,0520,052IX000000X0—0,062—0,010—0,052—0,1000,052XI0-0,120—0,019—0,20000,200XII0—0,062-0,010—0,0520,1000,052XIII000000XIV0—0,010—0,0620,100-0,0520,052XV0—0,019—0,1200—0,2000,200XVI0—0,010—0,062—0,100—0,0520,052350
Таблица 111.106Точки(рис.Коэффициенты в формулах (29.1) при о/Ь=*/зIII.47)WМхМуQxQyV10,0112—0,013—0,0020,0110,01820,0224-0,0210,0190,0540 30,0112—0,013—0,0020,011—0,018 40,03680,0100,0040,0290,125 50,07200,0020,0800,1380 60,03680,0100,0040,029-0,125 70,06080,0480,00700,215—80,12160,2150,30000 90,06080,0480,0070—0,215 100,03680,0100,004—0,0290,215 и0,07200,0020,0800,1380 120,03680,0100,004—0,029—0,125 130,0112—0,013-0,002—0,0110,018 140,0244-0,0210,019-0,0540 150,0112-0,013—0,002—0,011—0,018 1000000110—0,023-0,0040,0130,0450,013III0—0,053—0,0090,07200,072IV0-0,023—0,0040,013—0,0450,013V000000VI0-0,004-0,023—0,065—0,012—0,012VII0—0,017—0,105—0,0880,1280,128VIII0—0,027-0,16000,2380,238IX0—0,017—0,1050,0880,1280,128X0-0,004—0,0230,054—0,012—0,012XI000000XII0-0,023-0,004—0,013—0,0450,013XIII0—0,053—0,009—0,00900,072XIV0—0,023—0,004—0,0130,0450,013XV000000XVI0—0,004—0,0230,0650,012—0,012XVII0—0,017—0,1050,088—0,1280,128XVIII0—0,027—0,1600-0,2380,238XIX0-0,017—0,105-0,088-0,1280,128XX0—0,004-0,023—0,0650,012—0,012Глава седьмаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН, СВОБОДНО ОПЕРТЫХ ТРЕМЯ КРОМКАМИИ НЕОПЕРТЫХ ЧЕТВЕРТОЙ§ 30. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхностиОбозначения (рис. II 1.48)а, Ь, 6 — размеры пластины, см;q — интенсивность внешней распределенной нагрузки,
кг!см2.351
Обозначения остальных величин те же, что и в § 15.Расчетные формулы [7]В табл. III.107—III.109 приведены величины прогибов и изги¬
бающих моментов в наиболее характерных точках пластины в соот¬
ветствии с указанными значениями коэффициента Пуассона мате¬
риала. Там же даны Qx, Qy, Vx, Vy и V0.На рис. III.49, а даны эпюры изгибающих моментов Мх и Мув сечении у = 0 квадратной плас¬
тины, загруженной по схеме на
рис. 111.48, при г> = 0,3. Прямая М
изображает изгибающий момент
в сечении у—0, если пластину
рассматривать как балку, свобод¬
но опертую краями #=±0,5 а.На рис. 111.49, б построены эпю¬
ры усилий в пластине. Кривая 1
дает распределение перерезываю¬
щих сил по краям у= ±0,5 Ь, кри¬
вая II — по краю *=+0,5 а, и
кривая III — по краю х=—0,5 а.
Кривая IV показывает распреде¬
ление опорных реакций по краям
г/= ±0,5 Ь, а кривая V — по краю
*=0,5 а.При пользовании таблицами следует придерживаться обозначе¬
ний, принятых в тексте и на рисунках.щРис. III.48352
Таблица III.107аЬПрогибы и изгибающие моменты в пластине при v=0,3юов центреШв точке Нгв центре0в центреМув точке Нг0,500,670,710,770,830,901,001,101,201,301,401,502,003,00ОО0,0416 qb4£&з0,0593 „
0,0636 „
0,0689 ,
0,0744 .
0,0806 „
0,0866 я
0,0951 „
0,0984 .
0,1033 ,
0,1077 „
0,1116 „
0,1255 .
0,1375 .
0,1422 „0,0775 9^1ЕЬ'Л0,1057 ,
0,1117 .
0,1192 .
0,1265 „
0,1345 „
0,1404 .
0,1451 ,
0,1511 .
0,1547 .
0,1575 ,
0,1596 „
0,1646 .
0,1660 „
0,1662 „0,0385 qb20,0551 .
0,0591 .
0,0639 »
0,0689 .
0,0744 ,
0,0799 .
0,0853 ,
0,0901 .
0,0943 .
0,0980 „
0,1012 .
0,1125 .
0,1217 „
0,1250 „0,0223 qb20,0302 „
0,0320 .
0,0338 ,
0,0356 ,
0,0373 ,
0,0390 ,
0,0403 ,
0,0411 .
0,0417 „
0,0420 „
0,0421 .
0,0414 .
0,0391 ,
0,0375 .0,0660 qb20,0833 ,
0,0882 ,
0,0944 ,
0,1003 .
0,1069 .
0,1118 .
0,1167 .
0,1206 .
0,1235 .
0,1258 ,
0,1276 и
0,1317 .
0,1329 ,
0,1330 .Таблица III.108Перерезывающиесилы и опорные реакции в пластине при v=0,3аЬ$хвточкахQy вточкахvxв точкев точкахVQ в вершинахfitСКВИгИвСв0,500,299 qb0,0900,247 qb0,231 qb0,401 qb0,329 qb0,162 qb—0,077qb20,06 Aqb20,670,335 ,0,092 я0,300 „0,288 „0,450 я0,376 „0,202 .-0,086 ,0,065 я0,710,341 .0,093 .0,325 я0,301 я0,460 „0,386 „0,211 .—0,088 я0,066 я0,770,347 .0,091 я0,342 .0,316 „0,467 я0,397 „0,221 .—0,089.0,064 .0,830,353 .0,089 я0,358 ,0,330 я0,474 я0,409 я0,231 я-0,090 ,0,063 ,0,900,358 в0,086 „0,376 „0,346 я0,478 .0,420 ,0,242 .-0,090 ,0,061 ,1,000,362 .0,084 я0,399 я0,358 „0,487 .0,437 „0,250 я—0,092 .0,060 ,1,100,365 ,0,081 ,0,410 .0,370 ,0,491 .0,442 .0,259 .—0,093 .0,058 я1,200,367 .0,080 я0,424 ,0,379 я0,494 .0,451 .0,265 „—0,093 ,0,057 .1,300,368 .0,077 я0,436 я0,386 .0,495 ,0,459 .0,270 ,—0,094 я0,055 я1,400,369 я0,075 я0,446 „0,392 я0,497 .0,465 .0,274 я-0,094.0,054 .1,500,370 я0,073 я0,454 .0,396 „0,498 я0,470 „0,277 „-0,094 .0,053 я2,000,371 .0,069 я0,479 я0,406 я0,500 „0,486 я0,284 я—0,095 я0,050 яоо0,371 я0,067 „0,500 я0,409 .0,501 я0,500 .[0,286 „-0,095 .0,049 ,Таблица III.109Прогибы и изгибающие моменты в пластине при v =-4-О11ЛW0в центремг0в центремв центреWв точке Яамув точке Нг0,300,00149 ^0,0119 qb20,0130 qb20,00285D0,0256 qb20,400,00245 ,0,0183 .0,0220 .0,00451 .0,0415 .23—511 353
Продолжение табл* III.109а~ЬПрогибы и изгибающие моменты в пластине%
в центреов центрежу■*ов центреwв точке НоМу
в точке Н20,500,600,700,800,901,001,201,502,000,00348D0,00449 ,0,00543 ,0,00620 ,0,00711 ,0,00779 ,0,00892 ,0,01016 „0,01135 „0,0242 qb20,0293 „0,0310 „0,0323 .0,0338 ,0,0338 ,0,0331 „0,0313 „0,0272 „0,0327 qb20,0432 ,0,0531 я0,0619 „0,0699 .0,0769 „0,0884 „0,1004 „0,1121 .0,006150,007670,008920,009680,010840,011580,012490,013160,01369qb4
D0,0575 qb20,0724 .0,0848 *0,0922 „0,1037 *0,1108 *0,1201 „0,1264 „0,1316 „§ 31. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через неопертую кромкуОбозначения (рис. II 1.50)а, b, & — размеры пластины, см\ВУ/////////1н.■/////////ж
11Y7777J777?{ГТГП7 и'rk|,■4 му1смРис. 111.50q — наибольшая интен¬
сивность нагрузки,
кг! см2.Обозначения остальных ве¬
личин те же, что и в § 5 и 15.
Расчетные формулы [2, 7]Величины прогибов и изгиба¬
ющих моментов в характерных
точках пластины (рис. III.50)
в зависимости от отношениясторон — приведены в табл.
ьIII.110 при коэффициенте Пу¬
ассона ^ = 0,3. В табл. III. 111
даны те же расчетные величи¬
ны для прямоугольной плас¬
тины из материала с коэффи¬
циентом Пуассона v = ~ .6Таблица III.110Прогибы и изгибающие моменты впластинеа~1Гw,0в центреWв точке //2WУв центреМх0в центреМув точке Яа0,500,670,0147 ^£530,0226 .0,0251 да*
0,0332 „0,0145^а2
0,0220 „0,0120 qa2
0,0156 ,0,0197 qa*
0,0265 »354
Продолжение табл. ШЛЮПрогибы и изгибающие моменты в пластинеаЪ®ов центреWв точке Я2WУв центреМх0в центреМув точке Я,1,000,0342ПО60,0402 Ч—£530,0331 qa*0,0214 qa*0,0325 qa*1,500,0486 ^ЕЪЪqb40,0379 4EbZ0,0453 qb*0,0231 qb*0,0308 qb52,00оо0,0582 „
0,0711 „0,0318 ,
00,0529 „
0,0625 ,0,0222 ,
0,0187 „0,0258 .
0Таблица ШЛИПрогибы и изгибающие моменты впластинеаЬшо
в центре*4в центремув центреWв точке ЯаMy
в точке Яа0,300,00051 4*1
D0,0052 qb*0,0052 qb*0,00085 ^1
D0,0086 qb20,400,500,600,700,800,901,001,201,502,000,00089 „
0,00127 ,
0,00165 „
0,00204 я
0,00242 .
0,0>284 ,
0,00311 .
0,00373 „
0,00446 ,
0,00534 „0,0084 ,
0,0113 „
0,0136 „
0,0154 „
0,0168 „
0,0177 я
0,0181 „
0,0184 .
0,0177 .
0,0155 „0,0090 ,
0,0128 „
0,0167 ,
0,0207 .
0,0247 „
0,0280 „
0,0312 ,
0,0372 „
0,0442 „
0,0522 ,,0,00149 ,
0,00202 „
0,00245 .
0,00283 .
0,00307 .
0,00323 я
0,00336 „
0,00343 я
0,00322 .
0,00281 я0,0138 .
0,0190 ,
0,0234 .
0,0271 ,
0,0297 .
0,0313 .
0,0327 .
0,0334 .
0,0314 .
0,0275 .§ 32. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной вдоль неопертой кромкиОбозначения (рис. III.51)р — нагрузка, равномерно распределенная вдоль неопертой
кромки пластины, кг/см.Обозначения остальных величин те же, что и в § 15.Расчетные формулы [15]Величины наибольшего прогиба и изгибающего момента посре¬
дине свободного края пластины (*=0; у=—0,5 6) определяются
формулами:= _Ра:3 . 7 $2 # ччEh* (3 + v) (I — ,) ’ ” '(АУ »« = -^Г ■ • 7,3. (32.2)-ТС3 + v23*355
Ширина полосы sь эквива¬
лентной данной пластине по
прочности при v=0,3_ (3 + у) ГС2S1 =X64 • 0,913(1 + v)
х а = 0,43а. (32.3)Ширина полосы s, эквива¬
лентной данной пластине по
величине максимального про¬
гиба (при г>=0,3)5*2 (3 + v) (1 —у)Рис. 111.51385 • 4 • 2 • 0,99
X а — 0,37а.X§ 33. Пластина под действием сосредоточенной силы,приложенной в центреОбозначения (рис. III.52—III.54)X — сторона квадрата сетки, нанесенной на пластину, см\
q — интенсивность нагрузки, кг/см2.Обозначения остальных величин те же, что и в § 15.— Iлf-ff V—щ/,л% ,/////f/////, J7.£шшшю12131415161718&УШуШ 2/Лш|см5111ш? I'ЪРис. II 1.52Расчетные формулы [3]Величины прогибов и усилий в пластине:рхаРис. 111.53w = а1D(33.1)356
Мх = а2Р;Му = а3Р; (33.2)Qx = а4 —;Qy = «5 . (33.3)Опорные реакции, распре¬
деленные по краям и со¬
средоточенные в углах,
равны:V=aa£1591317С26%1418а%%ь3711й15194в121620АААААА шQГ:фzrIпипf..t§ 1\wК = а7Я.(33.4)Рис. 111.54Значения коэффициентов а\—а7, входящих в формулы (33.1) —
(33.3), приведены в табл. III. 112 для квадратной пластины
(рис. III.52), в табл. III. 113 для прямоугольной пластины при afb =
=2/з (рис. 111.53) и в табл. III.114 для пластины с отношением сто¬
рон alb = 3j2 (рис. III.54). Приведенные в табл. III.112—III.114 ве-1личины вычислены при значении v= — .6Таблица III.112Точки
(рис. 111.52)Коэффициенты в формулах (33.1)—(33.4) при a/6=l/i«1«а«яа*«в«710,10480,05060,03120,06800,071920,18620,07930,08860,20150,0169— 30,19010,09610,02520,0940—0,0301— 40,18460,097700,0701 0 50,16290,11950,039200,2015— 60,30600,26680,203300,0260— 70,28570,19060,02860—0,1314— 80,26870,163500 0 90,10480,05060,0312-0,06800,0719— 100,18620,07930,0886—0,20150,0169— 110,19010,09610,0252—0,0940-0,0301— 120,18460,09770—0,0701 0 I0000,097600,0815 II0000,113800,13080,0048III0000,143900,1762 IV0000,072200,1029 V000000 VI00000,06820,1184—0,1746VII00000,13600,1844 VIII00000,06820,1184 IX000000 X000—0,072200,1029-0,1746XI000—0,143900.1762 XII000—0,113800,1308 XIII000-0,0976—0,08150,0048357
Таблица III.113Точки
(рис. 111.53)Коэффициенты в формулах (33.1)—(33.4) при а/6=2/а«1а,“3а*«5“в«710,06940,03630,00520,02870,042520,13980,06940,02970,07910,0553 30,19150,08240,08800,20270,0045 40,16680,08400,02570,0855—0,0435 50,13000,0696-0,00080,0454—0,0214 60,10600,059700,0371 0 70,10230,06450,002400,0791 80,21340,14890,035600,1740 90,31330,27060,202300,0065 100,25150,17980,02980—0,1573 110,18820,1122—0,00620—0,0484 120,15050,086600 0 130,06940,03630,0052—0,02870,0425—-Т—140,13980,06940,0297-0,07910,0553— 150,19150,08240,0880—0,20270,0045— 160,16680,08400,0257—0,0855—0,0435— 170,13000,0696-0,0008—0,0454-0,0214— 180,10600,05970—0,0371 0 I0000,0653 0,0544—0,0315110000,072600,0620 1110000,102600,1220 IV0000,089500,1494 V0000,090800,1174 VI0000,042500,0445 VII000000—0,1157VIII00000,02870,0619—IX00000,03560,0841 X00000,02870,0619 XI000000—0,1157XII000—0,042500,0445 XIII000—0,090800,1174 XIV000-0,089500,1494 XV000—0,102600,1220 XVI000-0,072600,0620 XVII000—0,0653 0,0544—0,0315а0,2593 Ь—0,2593 с -0,2472d —0,2343Таблица III.114Точки
(рис. 111.54)Коэффициенты в формулах (33.1) —(33.4) при а/Ь=8/аaiа2«аа4«5ав«710,13460,02310,02980,05080,039920,24260,03880,05420,09890,0153— 30,30150,06060,02800,0803—0,0083——40,34200,073700,0654 0 50,25050,06280,05570,05890,0989— 60,45450,10360,12720,18470,0296— 70,54550,13710,05030,0811-0,0335— 80,60820,152600,0595—— 358
Продолжение табл. 111.114Точки
(рис. III.54)Коэффициенты в формулах (33.1)—(33.4) при а/Ь=й/й<4«2<**«4«5«««790,31140,12870,061500,2246100,58170,28680,237300,0375 110,65700,22570,05220—0,1335—_120,71740,212500 0 130,25050,06280,0557—0,05890,0989 140,45450,10360,1272—0,18470,0296 150,54550,13710,0503-0,0811—0,0335 160,60820,15260-0,0595 170,13460,02310,0298—0,05080,0399 180,24260,03880,0542—0,09890,0153 190,30150,06060,0280-0,0803—0,0083 200,34200,07370—0,0654 I0000,0610 0,05080,0780II0000,071500,0903ill0000,060600,0953IV0000,039900,0649V000000—0,2244VI0000,05080,0692VII0000,10420,1606VIII0000,10150,1986IX0000,10420,1606X0000,05080,0692XI000000—0,2244XII000—0,039900XIII000—0,060600,0649XIV000—0,071500.0953XV000—0,061000,05080,0780а0,2514 b0,2514 с0,2861d—0,2110§ 34. Пластина под действием сосредоточенной силы,
приложенной посредине свободной кромкиОбозначения
(рис. 111.55—111.57)пР — q — величина сосредо¬
точенной силы, кг.
Обозначения остальных ве¬
личин те же, что и в § 15
и 33.Расчетные формулы [3]Прогибы и усилия вычисля¬
ют по формулам:Viж ш;5926Ю37114с12XЯЛЯау-Ш0|cnш:^Icsi0|c\iWРис. 111.55359
w = Piw_£>Mx = %P\ My = %P\Qx = ~~ > Qy = P5 ~Z~-BW У■|^/////////И-I'-1даа ЖJV = pe/J/<F/5/5*/718tшшСwv„=%p.(34.1)Ш WY'Ш S. I/5913172610к183711151948аИ%Ы620ЯЛяАЛЛауШ////Ш/ГгжшЖ*OlCNir£rThuhТ&ГТa_2Рис. III.56Puc. 111.57Коэффициенты приведены в табл. III.115 для квадратной
пластины (рис. 111.55), в табл. III. 116 при отношении сторон а/Ь =
=2/з (рис. 111.56) и в табл. III. 117 при отношении ajb = zl2. Коэффи¬
циент Пуассона принят v= — .Таблица III.115Точки
(рис. III.55)Коэффициенты вформулах (34.1) при a/6=ViР»Р2Р»Р<Р5Р«Р710,08080,0420—0,01540,01640,027920,18460,0930—0,02790,04470,0446 30,33300,1563—0,02570,10590,0607 40,53460,206700,2683 50,11580,0638-0,025500,0447 60,26880,1552-0,050900,0895—г 70,50080,3150—0,067900,2236 80,85660,626100 90,08080,0420—0,0154—0,01640,0279 100,18460,0930—0,0279-0,04470,0446 110,33300,1563—0,0257—0,10590,0607 120,53460,20670—0,2683 /0000,1772 0,16250,3656110000,118100,0810—360
Продолжение табл. 111.115»Точки
(рис. 111.55)Коэффициенты в1 формулах(34.1) при ajb = 1/iPiр*р*р4PsРеР7III0000,066900,0255IV0000,029200,0064 V00000 -0,1346-VI00000,01770,0522 VII00000,02090,0674 VIII00000,01770,0522 IX00000 —0,1346»X000—0,029200,0064 XI000—0,066900,0255 XII000-0,118100,0810 XIII000—0,1772—0,16250,3656-Таблица III.116-ТочкиКоэффициенты в формулах (34.1) при а/Ь=*/3(рис. 111.56)Р.РйРзр4РоР«10,02980,0120—0,00630,00340,006220,05450,0283—0,01390,00900,0110 30,10520,0543—0,02300,П2С00,0214 40,18880,0953—0,03080,04400,0397 50,32030,1507—0,02670,10070,0566 60.50510,196600,2524 70,03260,0172—0,009100,0090 80,07750,0413—0,020400,0165 90,15050,0822—0,035600,0350 г100,27430,1572—0,054500,0807 110,48110,3015—0,066600,2084 120,80800,588900 130,02980,0120—0,0063-0,00340,0062 140,05450,0283-0,0139—0,С0900,0110 150,10520,0543--0,0230—0,02000,0214 160,18880,0953- -0,0308—0,04400,0397 170,32030,1507—0,0267—0,10070,0566 180,50510,19660—0,2524 I0000,0845 0,0706.II0000,111900,0732-III0000,066600,0213-IV0000,033800,0001V0000,01590-0,0043-VI0000,00620—0,0029sVII0000 VIII00000,00340,0126-IX00000,00480,0177X00000,00340,0126XI00000 XII000-0,00620—0,0029-XIII000—0,01590—0,0043XIV000—0,033800,0001XV000—0,066600,0213-XVI000—0,111900,0732-XVII000—0,0847 0,0706361
Таблица III.117ТочкиКоэффициенты вформулах (34.1) при a/b = 9/t(рис. III.57)PiРаРар.1РбР«Рг10,16370,0363—0,00820,02250,025720,34200,0718—0 П180,05020,0285 —30,54480,1013.0670,08710,0236 —40,77170,11510,1230—0—50,28860,0708- V .01840,01560,0502 —60,60820,1475— 0.03030,04000,0646 —70,98420,2283-0.02500,09400,0728 —81,42510,2870• )0,2491—0—90,33750,0907••. 07'6200,0657——.100,71740,2040—0,050700,1069——7 71,18460,3788—0.064800,2328——121,78330,69640—0—130,28860,07080,0184—0,01560,0502——140,60820,1475—0,0303—0,04000,0646——150,98420,2283—0,0250-0,09400,0728——161,42510,28700-0,2491—0—170,16370,0363—0,0082—0,02250,0257——180,34200,0718—0,0118—0,05020,0285——190,54480,1013-0,0067-0,08710,0236——200,77170,11510-0,1230 0—10000,0742 0,06190,3948и0000,075000,0616 III0000,052600,0354 IV0000,025700,0142 V000000-0,2728VI00000,02250,0555 VII00000,03970,1010 VIII00000,04500,1169 IX00000,03970,1010 X00000,02250,0555 XI000000—0,2728XII000—0,025700,0142 XIII000-0,052600,0354 XIV000—0,075000,0616 XV000—0,07420,3508-0,350800,32770,06190,39481Глава восьмаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН, СВОБОДНО ОПЕРТЫХ
ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ КРОМКАМИ,ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННЫХ ТРЕТЬЕЙ И НЕОПЕРТЫХ ЧЕТВЕРТОЙ§ 35. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхности пластиныОбозначения (рис. II 1.58)q — интенсивность внешней распределенной нагруз¬
ки, кг! см2 \362
£&3w — прогиб пластины, см;— цилиндрическая жесткость пластины, кг-см;D--12(1 — V2)б — толщина пластины, см.;Е, v — модуль упругости II
коэффициент Пуассона
материала пластины;Мх—изгибающий момент во¬
круг оси у на единицу
длины сечения, перпен¬
дикулярного к оси х,
кг^ см/см;Му — изгибающий момент во¬
круг оси х на единицу
длины сечения, перпен¬
дикулярного к оси у,
кг-см!см.Расчетные формулы [15]н,J777777777777777/7777777777777777/'$Рис. III.58ч.В табл. III.118, III.119 приведены величины прогибов и изгибаю¬
щих моментов в наиболее характерных точках пластины при зна¬
чениях коэффициента Пуассона материала соответственно *>=0,3и v= •6При пользовании таблицами следует придерживаться обозначе¬
ний, принятых в тексте и на рисунках.Таблица III.118аЬПрогибыи изгибающиемоменты впластинеWmax
в точке НгМув точкеИхв точке Н%01,37 **0—0,500 qa20,331,03 .0,0078 qb2-0,428 .0,500,635 .0,0293V—0,319 „0,670,366 „0,0558п-0,227 „1.00,123 „0,0972п-0,119 „1.50,154 qbi0,123п—0,124 qb22,00,164 .0,131п-0,125 .3,00,166 „0,133п-0,125 .оо0,166 .0,133п-0,125 „363
Таблица Ill.i 19аПрогибы и изгибающие моменты в пластинеWов центреов центрев центреМх
в точке Н2wв точке //,мув точке Я,0,0006 qb2—0,0372 q&0,000760,0039 „—0,0560 .0,001820,0104 ,—0,0734 ,0,003190,0181 ,-0,0878 .0,004750,0270 ,-0,0992 ,0,006350,0365 .-0,1077 .0,007800,0456 .—0,1138 .0,009040,0538 ,-0,1177 .0,010030,0682 .—0,1219 .0,011470,0852 ,—0,1242 ,0,012800,1038 .—0,1250 ,0,013600,300,400,500,600,700,800,901,001,201,502,000,000290,000720,001340,002110,002970,003870,004740,005540,006940,008620,01046аЬ4D-0,0050 qb*—0,0022 „-0,0017 ,—0,0072 ,0,0130 ,0,0178 .0,0219 ,0,0254 ,0,0292 я0,0310 ,0,0290 ,qb4D0,0056 qb*0,0153 .
0,0288 „
0,0436 .
0,0594
0,0736 „
0,0858 *
0,0955 ,
0,1098 ,
0,1229 „
0,1308 №§ 36. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через неопертую кромкуи,^77777777777777777777777777777/.DОбозначения всех величин
те же, что и в § 35.Рис. 111.59Расчетные формулы [11]В табл. II 1.120 приведены
% величины прогибов и изгибаю¬
щих моментов в наиболее ха*
рактерных точках пластины
(рис. III.59) при коэффициентеПуассона v= ~jr и в табл.
III.121 при 1>=0ДТаблица III.120Прогибы1 и изгибающиемоменты в пластинеа~ГW0в центреМх0в центре^0в центреМх
в точке Я,Wв точке Я,Му
в точке Нх0,300,00009 qa4
D—0,0015 qa20,0003 qa2—0,1504 qa20,00021 ^0,0015^л20,400,500,600,700,800,901,000,00021 „
0,00042 „
0,00069 „
0,00098 ,
0,00132 „
0,00166 ,
0,00200 .0,0001 ,
0,0023 „
0,0047 ,
0,0072 .
0,0098 ,
0,0199 .
0,0138 „0,0015 „
0,0035 „
0,0063 .
0,0097 ,
0,0133 ,
0,0166 „
0,0198 ,—0,1342 ,
-0,1158 „
—0,1003 .
-0,0864 ,
-0,0746 .
—0,0655 .
1—0,0574 я0,00049 .
0,00087 .
0,00132 .
0,00171 .
0,00209 .
0,00239 .
i 0,00261 ,0,0041 .
0,0077 .
0,0122 ,
0,0162 .
0,0200 .
0,0229 „
0,0251 ,364
Продолжение табл. III.120Прогибыи изгибающие моменты в пластинеаЪW0в центреМх0в центре0в центремхв точке Htwв точке HtMy
в точке Нх1,200,00270 qb4
D0,0158 qb20,0267 qb2—0,0451 qb20,00296D0,0288 qb21,502,000,00357 „
0,00472 .0,0176 „
0,0167 „0,0356 „
0,0464 ,—0,0330 .
—0,212 „0,00295 „
0,00273 вT а б л и l0,0288 ,
0,0267 в\ а III.121Прогибыи изгибающиемоменты в пластинеаЬдао
в центреWв точке Hi0в центрежу•*0в центремхв точке Н2Мув точке //,0,30,00098 9а*ЕЬз0,0023 q—£о3-0,0014 qa20—0,1504 qa20,0015 ?а20,40,50,60,70,80,91,00,0023 я
0,0046 „
0,0075 „
0,0107 .
0,0144 ,
0,0181 „
0,0218 .0,0054 .
0,0095 ,
0,0144 .
0,0187 .
0,0228 „
0,0261 „
0,0285 в0,0004 „
0,0028 .
0,0055 „
0,0084 „
0,0114 „
0,0139 „
0,0132 „0,0015 qa2
0,0037 „
0,0068 „
0,0104 „
0,0143 „
0,0178 .
0,0213 „-0,1342 .
—0,1158 „
—0,1003 „
-0,0864 „
—0,0746 .
-0,0655 „
—0,0574 ,0,0041 .
0,0077 „
0,0122 ,
0,0162 „
0,0200 ,
0,0229 „
0,0251 ,1,20,0295 qbi£530,0323 дЬ*£530,0192 qb20,0283 qb2—0,0451 qb20,0288 qb21,52,00,0390 „
0,0515 „0,0322 .
0,0298 .0,0221 „
0,0227 .0,0372 ,
0,0478 ,—0,0330 „
—0,0212 ,0,0288 „
0,0267 ,§ 37. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложеннойк середине свободной кромкиОбозначения (рис. 111.60)Р — величина сосредоточенной силы, кг;Е&3П= — цилиндрическая же-12(1 — v2)сткость пластины на
изгиб, кг-см;Еу v — модуль упругости и
коэффициент Пуас¬
сона материала;6 — толщина пластины,
см;Мх, Му—интенсивность изги¬
бающих моментов,
действующих на се¬
чения, перпендику¬
лярные соответст-
■ венно к оси х и к осиу, кг'см/см.365ч
Расчетные формулы [16, 18]Изгибающий момент посредине закрепленной стороныМх = — 0,508Р.Прогибы вдоль свободной стороныРа*Ww 7lD(37.1)(37.2)Величины kw для ряда точек приведены в табл. III. 122.Таблица III.1220аа2 аУ~4~2аkw0,5270,4700,3800,2130,050Рассматриваются пластины, у которых —>3.аГлава девятаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН,ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННЫХ ДВУМЯ ПРОТИВОПОЛОЖНЫМИ КРОМКАМИ,
СВОБОДНО ОПЕРТЫХ ТРЕТЬЕЙ И НЕОПБРТЫХ ЧЕТВЕРТОЙ КРОМКОЙ§ 38. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхности пластиныОбозначения всех величин те же, что и в § 35.Расчетные формулы [11]Величины прогибов в центре пластины и изгибающих моментов
в наиболее ее характерных точках (рис. 111.61) представленыв табл. III.123 при коэффициенте Пуассона v= .DУШЖ&1&о н,СX1>4.с7Dншш>~|ТПТГГттт-г^.7Ш“Л7777/.Рис. 111.61366Рис. 111.62
Таблица 111.12$а~Ь~Прогибы и изгибающие моменты в пластинеW0в центреМх0в центре0в центреМу
в точке КWв точке HtМув точкея.Му
в углах (С, D0,300.00094-^0,0096 qa*0,0120 qa*-0,0377 qa*0,00160-|р0,0230qb*-0,0693qb*0,400,00122 .0,0118 .0,0186 .- 0,0472 .0,00212 .0,0307it—0,07820,500,00147 ,0,0134 .0,0233 .-0,0557 „0.00Е43 ,0,0361к—0,0846m0,600,00167 ,0,0146 .0,0268 ,—0,0612 .0,00256 „0,0403и—0,0852w0,700,00185 „0,0151 ,0,0301 ,-0,0662 .0,00264 ,0,0426я—0,0854n0,800,00202 „0,0148 .0,0331 .-0,0707 ,0,00270 „0,0438т»—0,0853w0,900,00216 ,0,0142 .0 0350 .-0,0744 .0,00274 .0,0442я-0,0850w1,000,00227 .0.0J31 .0,0363 „-0,0771 „0,00277 „0,0445я—0,0848n1,200,002450,0118 qb*0,0387 qb2-0,0805 qb*0,00281-^0,0447qa*-0,0846qa2’1,500,00256 .0,0100 .0,0408 „- 0,0828 ,0,00284 »0,0449я-0,0845Я2,000,00259 „0,0080 ,0,0417 .j —0,0833 „i0,00286 „0,0450я—0,0845nВ табл. III. 124 даны прогибы и усилия в тех же точках пластины
из материала с о>=0,3.Т а б л я ц а III.124Прогибы и изгибающиемоментыв пластинеabw0в центреwв точкеИг(1в центрев центреМу
в точке Кв точке //,Myв углах iС, D0,3°-°ю|0,01746qa1Е&0,0112 qa*0,0140 qa*-0,0377qa*0,0230 qb*-0,0693qb*0,40,50,60,70,80,91,00,01331 ,
0,01605 ,
0,01824 .
0,0202 .
0,0221 ,
0,0236 „
0,0248 ,0,02320,02650,02790,02880,02950,02990,0302яяяяяяя0,0141 ,
0,0163 .
0,0179 .
0,0188 ,
0,0191 „
0,0187 .
0,0178 .0,0198 ,
0,0246 .
0,0292 ,
0,0315 .
0,0344 .
0,0362 ,
0,0373 ,- 0,0472
-0,0557
-0,0612
—0,0662
—0,0707- 0,0744
—0,0771яяяяяяя0,0307 ,
0,0361 .
0,0403 ,
0,04*26 .
0,0438 .
0,0442 ,
0,0445 .—0,0782-0,0846-0,0852—0,0854-0,0853-0,0850-0,0848яяяяггяя1,20,0267 -§£0,0307qb*Ес30,0169 qb*0,0395 qb*-0,0805qb*0,0447 qa*-0,0846qa*1,52,00,0279 ,
0,0283 „0,0310
0 0312яя0,0154 ,
0,0136 ,0,0^13 „
0,0418 ,—0,0828—0,0833пт*0,0449 ,
0,0450 .-0,0845-0,08451»я§ 39. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через свободно опертую кромкуОбозначения (рис. II 1.62)а, Ь, д—размеры пластины, см\q — наибольшая интенсивность нагрузки, кг/см2.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 35.Расчетные формулы [И]В табл. II 1.125 приведены величины прогибов в центре пластины
и изгибающих моментов в ее характерных точках (см. рис. II 1.62)
1при v= — .367
Таблица III.125Прогибы и изгибающие моменты в пластинеаТ~wов центрем*ов центре**0в центреМу
в точке Кwв точке Нхмув точке Я,Мув углах С, D0,300,400,500,600,70■0,80■0,901,001,201,502,000,000320,000440,000560,000710,000810,000900,000980,001050,00114qa4“ZTqb*0,001200,001240,0053 qa20,0077 ,0,0090 ,0,0095 ,0,0097 ,0,0098 .0,0094 .0,0089 .0,0080 qb20,0064 .
0,0043 „0,0046 qa20,0070 .0,0092 ,0,0111 .0,0128 ,0,0144 ,0,0157 .0,0168 ,0,0188 qb*0,0203 ,
0,0209 ,—0,0138 qa*—0,0186 ,—0,0227 „-0,0262 „-0,0294 „—0,0322 .-0,0344 ,-0,0365 .-0,0393 qb2-0,0414 .-0,0425 ,0,00052-^j—0,00065 ,0,00075 „0,00080 ,0,00080 „0,00074 .0,00066 ,0,00057 ,0,00047-0,000360,00023qb4D0,0073 qa20,0099 ,0,0115 ,0,0119 .0,0118 .0,0113 .0,0106 ,0,0096 ,0,0083 qb*0,0064 .
0,0042 .—0,0212 qa1-0,0227
—0,0228
—0,0202
—0,0178
-0,0155
—0,0132
-0,0113 ,-0,0092 qb*-0,0070 ,
-0,0046 ,В табл. III. 126 даны расчетные величины в пластине из мате¬
риала с коэффициентом Пуассона ^ = 0,3.Таблица III. 126Прогибы и изгибающие моменты в пластине(рис. 111.62)а1ГW0в центрев точкея,0в центре^0в центреМу
в точке: КМу
в точкея,в углах <С, D0,30,0035qa4£о30,0057qa4Е&0,0058 qa*0,0052 qa*-0,0138qa10,0073qa2-0,0212qa*0,40,0048я0,0071я0,0085 ,0,0079 ,-0,0186я0,0099я-0,0227я0,50,0061л0,0082я0,0101 ,0,0102 ,—0,02270,0115я-0,0228я0,60,00781»0,0088я0,0108 .0,0122 ,-0,0262я0,0119я—0,0202я0,70,0089я0,0088я0,0113 .0,0138 ,-0,0294я0,0118я-0,0178я0,80,0098я0,0081я0,0115 ,0,0154 .—0,0322я0,0113я—0,0155я0,90,0107я0,0072я0,0114 .0,0166 .-0,0344я0,0106я—0,0132я1,00,0115я0,0062я0,0011 ,0,0177 ,- 0,0365я0,0096я-00113я1,20,0125qb4Ед»0,0051 -qb4Е6*0,0104 qb20,0195 qb*-0,0393qb*0,0083qb*-0,0092qb*1.50,0131я0,0039я0,0091 ,0,0207 .—0,0414я0 0064W—0,0070я2, 00,0135я0,0025'0,0071 ,0,0211 .—0,0425я0,0042я—0,0046я«О§ 40. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной вдоль неопертой кромкиОбозначения (рис. 111.63)р — нагрузка, равномерно
распределенная вдоль
неопертой кромки плас¬
тины, кг! см.Обозначения остальных ве¬
личин те же, что и в § 35.Расчетные формулы [18]Максимальный прогиб посре¬
дине свободной стороны равенWmax = 0,0126-£^- . (40.1)Рис. IJI.63368
Приближенно можно расчет пластины (рис. 111.63) заменить рас¬
четом жестко закрепленной по концам балки-полосы пролетом b и
шириной 5 = 0,207 Ьу несущей заданную нагрузку р.Глава десятаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН,ЖЕСТКО ЗАКРЕПЛЕННЫХ ТРЕМЯ КРОМКАМИ И НЕОПЕРТЫХ ЧЕТВЕРТОЙ§ 41. Пластина под действием равномерно распределенной нагрузкиОбозначенияq — наибольшая интенсивность нагрузки, кг/см2;
а, b, д — размеры пластины, см;£, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона ма¬
териала пластины;-цилиндрическая жесткость при изгибе, кг-см;12(1 —V3)w — прогибы, см;Мх—интенсивность изгибаю¬
щих моментов, действую¬
щих на сечение, перпен¬
дикулярное к оси х,
кг-см/см;Му — интенсивность изгибаю¬
щих моментов, действую¬
щих на сечение, перпен¬
дикулярное к оси у,
кг-см/см;Qx* Qy— интенсивность перерезы¬
вающего усилия, соответ¬
ственно в сечениях, пер¬
пендикулярных к осям х
и у, кг/см;Vx’ Vy— интенсивности опорных
реакций, кг/см;Vo — сосредоточенные опорные реакции в углах пла¬
стины, кг.Рис. III.64Расчетные величины [11]В табл. III. 127, III. 128 приведены величины прогибов и
изгибающих моментов (рис. 111.64) в наиболее характерных точ¬
ках пластины при коэффициентах Пуассона v= — и v = 0,3 соответ-бственно.24—511369
Таблица III.127аЪПрогибы и изгибающие моменты в пластине (рис. III.64)0в центре0в центре^0в центреМх
в точкеtfaМу
в точке Кwв точке Нхв то чкея,Му в уг¬
лах С и D0,300,00026—0,0044 qa*0,0018 qa2—0,3833 qb*-0,0131 qb*0,000670,0078 qa*-0,0333 qb*0,400,00056 ,-0,0002 ,0,0068 ,—0,2783я-0,0242 .0,00129 .0.0173 .—0,0545 .0,500,00086 „-0,0035 ,0,0120 .—0,2004я-0,0335 .0,00183 .0,0268 .-0,0709 .0,600,00114 .0,0072 „0,0177 .—0,1476я-0,0416 ,0,00219 „0,0333 „—0,0798 .0,700,00138 »0,0096 ,0,0218 .-0,1106я-0,0493 .0,00248 .0,0384 .-0,0837 ,0,800,00158 „0,0115 .0,0249 ,—0*0865V-0,0561 ,0,00263 .0,0413 .—0,0848 .0,900,00176 „0,0130 .0,0271 .—0,0691я-0,0616 ,0,00271 .0,0426 .—0,0850 „1,000,00193 ,0,0130 .0,0289 .-0,0559я—0,0664 ,0,00276 ,0,0435 .-0,0851 .1,200,00219-^0,0130 qb*0,0329 qb*-0,0387 qa*-0,0734 qa20,00281-^-*0,0443 qb*—0,0848 qa*1,500.00238 ,0,0112 ,0,0371 .—0,0248я-0,0793 ,0,00284 ,0,0449 ,—0,0846 ,2.000,00249 .0,0092 „0,0406 .—0,0139я-0,0830 ,0,00286 .0,0450 „-0,0845 ,T а б л .и ц а III.128Прогибы и изгибающие моменты в пластине (рис. 111.64)%
в центреwtв точке Нхв центре•^ов центреМх
в точке Н2Му
в точке КМу 8
точке НхМу
в углах
С и D0.30,00284-qa4ЕЬ*0,00730qa*ЯР0,40,00611я0,0141я0,50,00940я0,0200я0,60,01245я0,0239я0,70,01506я0,0271я0,80,01725я0,0287я0,90,0192я0,0296я1.00,0211я0,0301я1,20,0239 -qb4ЕЬ*0,0307qb4ЕЬ*1.50,0260я0,0310Я2,00,0272я0,0312я—0,0040 qa*-0,0007 „—0,0050 ,—0,0095 ,-0,0124 ,-0,0147 ,-0,0164 .-0,0167 .-0,0172 qb*-0,0161 ,
-0,0146 .0,0012 qb20,0066 ,0,0123 ,0,0183 ,0,0227 ,0,0259 .0,0283 .0,0300 „0,0339 qa20,0378 .0,0410 .-0,3833 qb*-0,2783 ,
-0,2004 .
-0,1476 .
-0,1106 ,
-0,0865 ,
-0,0691 .
-0,0559 ,-0,0387 qa*-0,0248 .
-0,0139 .—0,0131 qb*—0,0242 ,-0,0335 .-0,0416 ,—0,0493 „-0,0561 ,-0,0616 ,-0,0664 ,- 0,0734 qa2-0,0793 ,
-0,0830 .0,0078 qa*0,0173 .0,0268 .0,0333 ,0,0384 ,0,0413 .0,0426 ,0,0435 .0,0443 qb*0,0449 .
0,0450 ,-0,0333 qb*-0,0545 ,-0,0709 .—0,0798 ,-0,0837 .-0,0848 .-0,0850 ,-0,0851 ,- 0,0848 qa*—0,0846 ,
-0,0845 ,§ 42. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через неопертую кромкуРасчетные величины [3, 11]В табл. III. 129, III. 130 приведены величины прогибов и из¬
гибающих моментов в наиболее характерных точках пластины(рис. 111.65, а) при коэффициентах Пуассона v= — и v = 0,3.6При пользовании таблицами следует придерживаться обозначе¬
ний, принятых в тексте и на рисунках.§ 43. Пластина под действием нагрузки, распределенной
по закону плоскости, проходящей через жестко закрепленный край,параллельный свободной кромкеОбозначения величин те же, что и в § 41.370
M,1 ?^rг\L J
Vя Ilf1Jo<oо3О,T 'г LЙЯ Y"sVy 9IIIOoVOоSitjQlЛ4,J » ilг\L J
кS3■K.Voоa.24*371
Таблица III. 129а~тПрогибы и изгибающие моменты в пластине (рис. III.65, а)W0в центремх' 0в центрежу'ов центреМх
в точке Я2My
в точке Кwв точке НхМу
в точкея,Му в Уг¬
лах С и D0,300,00008-^—0,0008 qa*0,0007qa*—0,1369 qa2—0,0048 qa20,00017-^-*0,0024 qa1—0,0083 qa*0,400,00016 .0,0004 ,0,0021я-0,1147 ,-0,0079 „0,00030 .0,0048 .-0,0131 ,0,500,00025 ,0,0021 ,0,0038я—0,0916 .-0,0117 .0,00044 .0,0068 ,-0,0158 „0,600,00039 „0,0042 .0,0059я—0,0728 .-0,0160 .0,00057 ,0,0083 .-0,0166 .0,700,00054 »0,0061 ,0,0082я-0,0565 .-0,0202 ,0,00060 ,0,0092 ,-0,0164 ,0,800,00067 „0,0080 .0,0105я-0,0453 „-0,0241 ,0,00059 „0,0099 „-0,0156 .0,900,00074 ,0,0091 .0,0120я—0,0390 „-0,0272 .0,00057 ,0,0099 ,-0,0138 ,1,000,00081 ,0,0093 ,0,0130я— 0,0345 *—0,0301 ,0,00053 ,0,0095 „-0,0119 .1,200,00102-^0,0089 qb*0,0149qb*-0,0260 qb*—0,0347 qb*0,000460,0082 qb2-0,0100 qb*1,500,00116 ,0,0071 ,0,0169Я—0,0182 ,—0,0382 .0,00035 .0,0063 ,-0,0074 .2,000,00123 ,0,0051 .0,0191" я-0,0112 .—0,0412 .0,00023 ,0,0041 .-0,0046 .Таблица 111Л 30атПрогибы и изгибающие моменты в пластине (рис. 111.65, а) при v=0,3■ %
в центреш,в точке Hi0в центрежув центреМх
в точке Я*My
в точке КМу
в точкея,Myв углах
С и D0,30,40,50,60,70.80.91.»1.21,52,000.000880/0175 ,
0,ъ027 ,
0,0043 .
0,0059 ,
0,0073 ,
0,0081 .
0,0089 ,ab4
°’0111 -h
0,0127 ,
0,0135 ,0,00186-g0,0033 ,
0,0048 ‘
0,0062 .
0,0065 „
Cv0064 ,
0,0062 ,
0,0058 .0,00500,0038 .
0,0025 ,-0,0007 qa*0,0007 ,
0,0026 .
0,0049 .
0.0071 ,
0,0092 „
0,0105 .
0,0108 .0,0108 qb*0,0093 .
0,0077 .0,0005 qa20,0024 .
0,0041 ,
0,0064 .
0,0089 .
0,0113 .
0.П131 ,
0,0140 .0,0158 qb*0,0175 ,
0,0194 „—0,0098 qa*—0,0079 ,
-0,0117 ,
-0,0160 .
—0,0202 .
-0,0241 ,
-0,0272 .
—0,0301 .—0,0347 qb2-0,0382 ,
-0,0412 .—0,1369 qa*-0.1147 ,
—0,0916 „
-0,0728 .
-0,0565 ,
-0,0453 .
-0,0390 ,
-0,0345 ,—0,0260 qb*—0,0182 ,
-0,0112 ,0,0024 qa*0,0048 ,
0,0068 ,
0,0083 ,
0,0092 ,
0,0099 .
0,0099 ,
0,0095 .0,0082 qb*0,0063 „
0,0041 .—0,0083 qa*—0,0131 .
-0,0158 ,
—0,0166 .
—0,0164 .
-0,0156 .
-0,0138 .
—0,0119 ,—0,0100 qb 1—0,0074 .
—0,0046 .Расчетные величины [И]В табл. III. 131 приведены величины изгибающих моментов в наи¬
более характерных точках пластины (рис. 111.65, б) при коэффи-гиенте Пуассона v = .§ 44. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложеннойв центреОбозначенияЯ — шаг сетки, нанесенной на пластину, см\P=qX2 — величина сосредоточенной силы, кг;q — интенсивность нагрузки, распределенной равномерно
по площади ячейки, кг{см2.372
Таблица III.131аMv в точках (рис. 111.65, б)Му в точках (рис. 111.65, б)' Ь0Нг0к1,501,431,251,101,000,900,830,770,700,670,0023 qd2
0,0028 .
0,0052 ,
0,0067 „
0,0081 .
0,0097 .
0,0112 „
0,0125 „
0,0142 .
0,0149 Л—0,0056 qa2
—0,0066 ,
—0,0104 .
—0,0154 .
-0,0211 .
-0,0280 .
—0,0360 .
—0,0450 ,
—0,0549 ,
-0,0658 „0,0174 qa2
0,0194 ,
0,0248 .
0,0310 ,
0,0362 ,
0,0430 ,
0,0481 ,
0,0532 .
0,0610 „
0,0623 ,—0,0754 qb*
—0,0749 .
—0,0737 .
-0,0722 *
—0,0706 *
—0,0686 Л
-0,0666 *
—0,0645 ,
-0,0621 „
—0,0596 ,Расчетные формулы [3]
Прогибы, изгибающие моменты, перерезывающие силы и опор¬
ные реакции пластины определяются по формулам:w = w ; Мх = MJ>; Му = МуР;Qx = Qx-y-, Qy = Qy-Y< V=v -j-. (44.1)Величины коэффициентов w, Мх> Му, Qx, Qy и V, зависящие от
положения точек, приведены в табл. III. 132 для прямоугольнойпластины с отношением сторон — =1 (рис. 111.66), для отношенияь— = — (рис. 111.67) —в табл. III.133 и при — = — (рис. 111.68) —Ь 3 b 2в табл. III.134.Таблица III. 132Точки(рис.Коэффициенты в формулах (44.1)111.66)WМхМуQxQyVI0,0229—0,0088—0,01250,04670,045120,0572-0,01430,04600,22590,0071 30,0418—0,00570,00090,1028—0,0158 40,0244-0,005300,0542 050,0527-0,0544—0,021600,2169 60,13700,18160,158400,0276 70,08950,09350,00370-0,1208. 80,05430,058000 0I0—0,070500,0821 0,0821И0—0,1223-0,02040,11130,04490,11131110-0,1604—0,02670,1210—0,02850,121024* 373
Продолжение табл. III.132Коэффициенты в формулах (44.1)Точки(рве.111.66)WМХМуQxQyVIV170Л-0,06530,01090,0619—0,8020,0619гVIи0-0,0105—0,0631—0,07120,05290,0529VII0—0,0237-0,142500,09120,0912а———0,2643——Ь———-0,2643——с——— 0,2633—d——— -0,2082—Таблица III.133Точки(рис.Коэффициенты в формулах (44.1)111.67)WМхМуQxQyVI0,0109—0,0046—0,01520,01330,009420,0366—0,0058—0,00160,08880,0222 30,0629—0,01360,04560,23920,0001 40,0400-0,0056—0,00170,0968—0,0194 50,0179—0,0037-0,00940,03490,0014 60,0048-0,003900,0126 070,02390,0209—0,026700,0635 80,07890,08230,000200,1527 90,14770,19130,159200,0028 100,08550,08850,00050—0,1417 110,03800,0364—0,01640-0,0308 120,01370,017200_010—0,012500,0225 0,0225II0—0,0525—0,00880,05370,05240,0537III0—0,1174—0,01960,10910,06260,1091IV0—0,1779—0,02960,1396—0,00530,1396V0—0,1068—0,01780,0983—0,07320,0983VI0—0,0315—0,00520,0364-0,05340,0364VII0——— VIII0—0,0042—0,0252—0,02810,01110,0111IX0—0,0094—0,056300,02030,0203а———0,2730 —Ь1————0,2730 —с————0,2298—d•—————0,2242—Таблица III.134Точки(рис.111.68)Коэффициенты в формулах (44.1)WмхМуQxQyVI0,0171—0,0235-0,01570,0088-0,009820,0464—0,04450,01460,09890,0014—374
Продолжение табл. III.134Точки(рис.Коэффициенты в формулах (44.1)III.68)WМхМуQxQyV30,0530—0,04410,00160,0946—0,005640,0506-0,043000,0716—050,05570,0018—0,02860,02230,1174 60,14100,02040,07600,17610,0379 70,15170,03860,02310,0832—0,0237 80,14520,041300,0620—090,08750,0549—0,042000,2814—100,22770,19890,182200,0594—110,21460,12650,02500—0,1197.—.120,19750,101700—0I0—0,129400,0870—0,0870II0—0,1363—0,02270,0857—0,00720,0857III0—0,1151—0,01920,0628-0,04780,0628IV0—0,0406—0,00680,0239—0,05750,0239V0 VI0-0,0075—0,04520,07610,04250,0425VII0-0,0254-0,1522—0,09550,11780,1178VIII0—0,0394—0,236300,16330,1633а 0,2439 Ь —0,2439 с 0,3155 d■ -0,1967 Коэффициент Пуассона материала пластины принят равным
\>= — . Сосредоточенная сила предполагалась распределенной рав-
6
номерно по площади квадратной ячейки.§ 45. Пластина под действием силы, приложенной посрединесвободной кромкиР =Обозначения
величина сосредоточенной силы, кг.Расчетные формулы [3]
Прогибы до, изгибающие моменты Мх и Му , перерезывающие уси¬
лия Qx и Qy и опорные реакции вычисляются по формулам:— РХ 2
до = доDQ,-Q* —MX = MJ>\ му = мур-
Qy = Qy-f;(45.1)Величины коэффициентов до, Мх, Myt Qx, Qy и V, зависящие от375
Рис. 111.69Рис. II 1.7Ог<VшI1Ж5ш9Ж13X Ж17 Шг<яг6Юк18 Ш*</<ggЕ37111519 Шис'148 0&-Ш1620 SАААкАЛс1у*<|«мHIQLWPuc. 111.71положения точек, помещены в табл. 111.135 для пластины с отно¬
шением сторон — = 1 (рис. II 1.69), для отношения — --гb b 3а 3(рис. 111.70) —в табл. III.136, и для отношения сторон — = —(рис. 111.71) — в табл. III.137.При расчетах коэффициент Пуассона принят равным v— — .6376
Таблица III.135Точки(рис.111.69)Коэффициенты в формулах (45.1)WМхМуQxQyV/0,0045-0,0055—0,0160—0,0022—0,017020,0245—0,0116—0,0347-0,0308—0,0211—30,0782—0,0201—0,05070,14420,0027—40,1806—0,040000,4019—050,01190,0096—0,028800,0055—60,05510,0494-0,059900,0381—70,16840,1603-0,090500,1893—80,40230,431100—•010—0,521200,3923—0,3923II0—0,2286-0,03810,2352—0,22530,2352III0—0,0705—0,01180,0806—0,10830,0806IV0—0,0120—0,00200,0168-0,03530,0168V0 ——VI0—0,0009—0,0057—0,0100—0,0043—0,0043VII0—0,0033-0,02000—0,0108-0,0108а— 0,4038——b— ' —0,4038——с— —0,3097—Таблица III.136Точки(рис.Коэффициенты в формулах (45.1)111.70)WМХМуQxQyVI—0,0004 1—0,0007—0,0009—0,0017—0,004020—0,0024-0,0050-0,0038-0,0084 30,0052-0,0059—0,01530,0004—0,0167 40,0250—0,0118—0,03460,0319-0,0213 50,0784—0,0202—0,05080,14460,0027 60,1806-0,040000,4021 07-0,0003—0,0001—0,00210—0,0044 80,00170,0016—0,00970—0,0055 90,01380,0123—0,02730—0,0006 100,05610,0506-0,060000,0364 110,16890,1607—0,090700,1889 120,40250,431300 010—0,521400,3925 0,3925II0—0,2292—0,03820,2358—0,22470,2358III0—0,0719—0,01200,0817—0,10780,0817IV0—0,0137—0,00230,0174-0,03630,0174V00,00080,0001—0,0002—0,0076—0.0002VI00,00140,0002—0,00170,0004—0,0017VII0 VIII00,00030,00160,0009—0,0023—0,0023IX00,00030,00190—0,0035—0,0035а— 0,4040 Ь '—0,4040 с••0,3097377
Таблица III.137Точки
г (рис.
*111.71)Коэффициенты в формулах (45.1) приоwMxMyQxQyV10,0109—0,0224—0,0296—0,0155—0,030420,0484-0,0554—0,03830,0446—0,0405—30,1159—0,1023—0,04410,1553—0,0272—40,2112—0,157100,2726 050,03980,0015—0,0655—0,00680,0274_60,14730,03140,06740,04000,0333—70,32950,07200,05840,12220,0577—80,58410,098500,2936 090,05600,0172—0,085000,0612—100,20230,0916—0,092000,0885—110,45900,2356—0,096800,2264—120,85560,528000 0I0—0,552900,3279 0,3279II0—0,2989—0,04980,2110—0,21640,2110III0—0,1202—0,02000,0810—0,13760,0810IV1/0—0,0238—0,00400,01550,06010,0155VVIu0—0,0032—0,0195—0,0428—0,0018-0,0018VII0—0,0143—0,0857—0,05160,01620,0162VIII0-0,0204—0,122700,02750,0275a— 0,3682 b— —0,3682 c’— —0,3336 Глава одиннадцатаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН,ДВЕ ПРОТИВОПОЛОЖНЫЕ КРОМКИ КОТОРЫХ ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕНЫИ ДВЕ ДРУГИЕ НЕОПБРТЫ§ 46. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхностиОбозначения
<q — интенсивность нагрузки, кг/см2.
Расчетные формулы [3]
Прогибы до, изгибающие моменты Мх и Му, перерезывающие
усилия Qx и Qy и опорные реакции V вычисляются по формулам:w = w — ; Мх — Mxq\2; Му = MyqX2\
Qx=Qwx; Qy = Qyfo'> У = Vqh378(46.1)
Величины коэффициентов для ряда точек пластины приведеныв табл. III.138 для квадратной пластины при — = 1 (рис. 111.72)ьи в табл. III. 139 для прямоугольной пластины с отношением сторон
— = — (рис. 111.73).Ь 21Коэффициент Пуассона принят равным v=Уъжтжш&шжг</1Iчш7N 7
10 13\25811 и*Л’36912 15ШWш1 1АI А | А | Аа?а2//1ЧШ22I7QSSSSSZfюB622SS513V! Ш
16 19Г<25811п17 20X<<нл£ь369121518 21<<шVIЯщ wШЖЖШжжтжтА1 д1 А1 Л|-х.Аа7^«ниннииииииииинииии£гwа2wРис. III.72Рис. 111.73Таблица III.138Точки(рис.111.72)Коэффициенты в формулах (46.1)WМХМуQxQy10,457000,12430,8722020,786200,6400 0040,43740,00550,12300,00460,9842 50,74920,07380,61850,02800 70,43320,01240,122700,9832 80,74240,08940,616000 I00—1,3951 1,79291,7929и0—0,2292—1,3750-0,08252,00842,0084III0—0,2270-1,361801,99061,9906Таблица III.139Точки(рис.Коэффициенты в формулах (46.1)111.73)WмхМуQxQyVJ0,458200,12450,8745020,788400,6421 0040,43900,00600,12350,00700,9883379
Продолжение табл. III.139Точки(рис.Коэффициенты в формулах (46.1)'111.73)WМхМу! QxQyV50,75200,07500,62110,03170070,43480,01700,12400,00630,9904 80,74500,09700,61930,01110—100,43440,01990,124300,9921 110,74440,10220,619800 I00—1,3986 1,79641,7964II0—0,2300—1,3800, -0,08392,01362,0136*III0-0,2278—1,36670,00731,99351,9935IV0-0,2276—1,365401,99031,9903-§ 47. Пластина под действием сосредоточенной силы,приложенной в центреОбозначения
P = qX2 — величина сосредоточенной силы, кг.Расчетные формулы [3]В табл. III. 140 и III.141 приведены величины коэффициентов wy
Мх, Му, Qx, Qy и V, входящих в формулы для перемещений и уси¬лии:— РХ2
w = wDМу = МуР;(47.1)Qx=Qx -уQV = QV=VТабл. III.140 относится к квадратной пластинеапри т-1(рис. III.74), а табл. III.141 —к прямоугольной пластине с отноше-CL 3нием сторон — = — (рис. 111.75).Ь 2у8 V
Ю 138Яi11 1412 15Ж IтшштжщЛ | X | Л | X7 2ПРис. 111.74Рис. III.75380
Таблица III.140Точки
(рис.
III .74)Коэффициенты в формулах (47.1)VWМхМуQxQy10,02490-0,00640,0559020,056300,0611 0040,0460—0,0027—0,00660,01440,1100 50,0983—0,00190,10130,12590 70,06870,0418-0,014600,2497 80,15960,1529 '0,202100 /00—0,06940,08720,0872II0—0,0225-0,1348—0,06780,12540,1254III0—0,0325 j—0,195100,15800,1580Таблица III.141Точки(рис.Коэффициенты в формулах (47.1)III.75)WМхМуQxQyV/0,00470—0,00410,0124020,013600,0173—0040,0180—0,0096-0,0037—0,00160,0348—50,0382—0,01690,03650,03040—70,0405—0,0023—0,00560,01860,0972—80,0864—0,00080,08910,14220—100,06440,0113—0,014000,2417—и0,15070,15740,194000—I00—0,0117—0,02210,0221II0—0,0088—0,0529-0,05440,05400,0540III0—0,0198-0,1188—0,06460,11080,1108IV0—0,0304—0,182200,14480,1448§ 48. Пластина под действием сосредоточенной силы,
приложенной посредине свободной кромкиРасчетные формулы [3]Прогибы и усилия в пластине определяются по формулам:w=w - , Мх = МХР, Му—МуР,_ D _ _ (48.1)Qx = Qx~y > Qy-Qyf V=VT ■Значения коэффициентов w—V для ряда точек квадратной пла¬
стины (рис. 111.76) помещены в табл. III.142 при — =1 и в табл.ьCL 3III. 143 для прямоугольной пластины с отношением сторон ~у = ~^
(рис. 111.77).381
При вычислении прогибов и усилий предполагается, что груз Рьравномерно распределен в прямоугольнике со сторонами Я и —.2Коэффициент Пуассона при расчетах был принят равным v=—t6Я&бММеМЛЫиа2Ш7ШШ I
Ю 1311/4 J“о.12 15Ж IА I АC<piw^ICVgШitЛ \ А \ Ао210V
13IIК12дг/Ш Ш
16 ю!7\15ки18 2/ШЛ I А I Аа2РшW■^ЙСмРис. 111.76Рис. II 1.77Таблица III. 142Коэффициенты в формулах (48.1)Точки(рис.III.76)WмхМуQxQyV1—0,00440-0,00430,006402—0,004400,0003 0040,0044—0,0126—0,0060-0,01760,0008—50,0128—0,02360,0124—0,00340—70,0251—0,0338-0,0116—0,02240,0328—80,0564-0,05880,05100,03500—100,0786—0,0507-0,02010,00230,1452—110,1692—0,09050,16110,18830 130,18080—0,0400 0,40240140,402800,4316—00I000,0150_—0,0108-0,0108II0—0,0019—0,0113—0,04260,01250,0125III0—0,0121—0,0724—0,10940.08130,0813IV0—0,0383—0,2300—0,18130,23620,2362V00—0,5074 0,39290,3929Т а б л и ца III.143Коэффициенты в формулах (48.1)ТочкиГрис.111.77)WМхМуQxQyV/—0,00110—0,0002—0,002002—0,00180—0,С016—00382
Продолжение табл. III.143Точки(рис.111.77)Коэффициенты в формулах (48.1)WМХМуQxQyV4-0,0010—0,0008—0,0008-0,0029—0,00305—0,0014—0,0024—0,0012—0,00280 7-0,0002-0,0046-0,0024—0,0085-0,0042 8—0,0012—0,00940,0012—0,0049—0 100,0051-0,0154—0,0060—0,01670,0002 110,0137—0,02720,0122-0,00070 130,0250—0,0344—0,0116—0,02120,0318 140,0561-0,06000,05020,03640 16 i0,0784-0,0508—0,02020,00250,1446 17 '■0,1689—0,09060,16060,18860 190,1806 *0—0,0400 0,40160200,402400,4314 00I000,0030 -0,0034—0,0034и00,00040,0030—0,0006—0,0040—0,0040III00,00020,0014-0,0081—0,0009—0,0009IV0—0,0022—0,0132—0,03670,01690,0169V0-0,0120—0,0720—0,10800,08180,0818VI0—0,0382-0,2292-0,18120,23560,2356VII00-0,5068 0,3924-0,3924Глава двенадцатаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН,ЖЕСТКО ЗАЩЕМЛЕННЫХ ПО ДВУМ СТОРОНАМ,СХОДЯЩИМСЯ В ОДНОЙ ВЕРШИНЕ, И НЕОПЕРТЫХ ДВУМЯ ДРУГИМИ§ 49. Пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхностиОбозначения
q — интенсивность нагрузки, кг/см2;
Я — размер квадрата сетки, нанесенной на пластину, см.
Расчетные формулы [3]
Прогибы и усилия в пластине и реакции определяются по фор¬
мулам:
w = w ^ ; Mv = Mjfk2; Mv = Mq№;
D х хЧ у (49.1)Qx = Qx9^_ Qy = Qy^; v=~vqВеличины коэффициентов до—V приведены в табл. III.144 для рядаточек квадратной пластины (рис. 111.78) при — =1 и в табл. III.145ь383
0для точек прямоугольной пластины с отношением сторон — = —Ь 2(рис. 111.79). Коэффициент Пуассона при расчетах принят равным
_У~~ 6уIP /Ш 2шЮ11131512\ 16А | Л<1К\1Шю//12* L лАЗ151617/81920\Х Я21222324wp,
ojcs,OlCNiа2а2а1WРис. 111.78Рис. 111.79Таблица III144Точки
(рис.
III.78)Коэффициенты в формулах (49.1)WмхМуQxЗуV10,2861—0,2466—0,24660,07980,079820,7835—0,5998—0,09191,0505—0,2638.. 31,2726-0,9768—0,13191,7610—0,2419 41,7300—1,256201,9516—050,7835—0,0919-0,5998-0,2638—1,0505 62,16820,02980,02980,39400,3940 73,52740,08300,14470,75680,0327 84,75200,136000,7540—091,2726—0,1319-0,9768-0,24191,7610—.103,52740,14470,08300,03270,7568—115,72150,32860,32860.11810,1181—127,63410,50320—0,0583 0131,73000-1,2562—1,95160144,752000,1360 0,75400157,634100,5032 —0,05830169,998600 0I0—4,543803,9671 3,9671II0-3,3268-0,55452,8765—1,24702,8765III0-2,0498-0,34161,9569—1,28711,9569IV0-0,7525—0,12540,8298—1,02490,8298V0 VI0—0,1254—0,7525—1 02490,82980,8298VII00,3416—2,0498—1,28711,95691,9569VIII0—0,5545—3,3268-1,24702,87652,8765IX00—4,5438 3,96713,9671384
Таблица III.145Точки(рис.Коэффициенты в формулах (49.1)III.79)WМхМуQxQyV10,3102—0,3244-0,3480—0,0274—0,054520,9228—0,8225-0,21401,0821—0,4186 31,6145—1,3913—0,25782,0618—0,3503 42,3329—1,854002,4978—050,8944—0,1266—0,8631—0,38971,0254 62,6548—0,0323-0,20040,42500,4110 74,6158-0,0297-0,00100,98180,0787 86,5728—0,049101,0907—091,4608—0,1358—1,4460—0,52081,8061—104,38570,2424—0,28720,02600,9529.—117,64760,51150,13020,34940,3153—1210,86320,690900,3897——131,9191-0,2402—1,9648—0,46642,3101—145,81800,2348—0,4067-0,14761,2812—1510,17550,59740,187200,4423—1614,44290,86030—0,0118•—0172,2876—0,3189—2,3513-0,18042,6737—186,93910,1087—0,4978—0,15021,4194—1912,12120,41220,2296—0,18990,4511—2017,13780,66340—0,3687—0212,58100—2,6259 2,43970227,86300—0,5224 1,271702313,682200,3414 0,223902419,150300 —0I0-6,045204,9560.—. ..4,9560110—4,1500-0,69173,2365—1,34083,2365III0—2,3636—0,39391,9751—1,67821,9751IV0—0,7936-0,13230,7172-1,18180,7172V0 VI0-0,1299-0,7794—1,12510,70300,7030VII0—0,3750-2,2501-1,43561,90181,9018VIII0—0,6084-3,6505—1,25872,79462,7946IX0-0,7946—4,7675—1,01523,37763,3776X0—0.9468-5,6810—0,81263,89223,8922XI00—6,2051—4,64194,6419§ 50. Пластина под действием сосредоточенной силыа. Сила в центре.Обозначения величин те же, что и в § 41.Расчетные формулы [3]
Прогибы и усилия в пластине вычисляются по формулам:
w = w ; Мх = МХР\ Му = МуР;►Q, = Q,y; Qy = Qy-f; К==Т?Т'25—511385
Величины коэффициентов w> Мх, Му, Qx, Qy и V для ряда точек
квадратной пластины (рис. 111.80) приведены в табл. III.146 при
— =1, а для прямоугольной пластины с отношением сторон— = — (рис. 111.81) помещены в табл. III.147.
Ь 2
Коэффициент Пуассона принят равным v =16<у<
'Qlcsj£ ^^ICSlOlcviо7a2wя Hiill1 ! Щlil /wРис. 111.80Рис. 111.81Таблица III.146Точки(рис.Коэффициенты в формулах (50.1)III.80)wAfxMyQxQyV10,0313-0,0270—0,02700,03610,036120,0857-0,05330,04150,2564—0,0044—30,0882—0,0601—0,00400,1588-0,0244—40,0846-0,068800,1127—050,08570,0415—0,0533—0,00440,2564—60,23330,16720,16720,04680,0468—70,23760,08200,01540,0569—0,1217—80,24010,050500,0467—090,0882—0,0040—0,0601—0,02440,1588—100,23760,01540,0820—0,12170,0569—110,30530,03440,0344—0,0246—0,0246—120,34360,04C00-0,0216—0130,08460—0,0688 0,11270140,240100,0505 0,04670150,343600,0400 —0,02160160,405900 —0I0—0,218500,1562—0,1562II0—0,2342—0,03900,16730,00380,1673III0—0,2260—0,03770,1481-0,07590,1481IV0—0,0823—0,01370,0668—0,11300,0668V0 ——VI0—0,0137—0,0823-0,11300,06680,0668386
Продолжение табл. III.146Точки(рис.Коэффициенты в формулах (50.1)111.80)WМхМуQxQyVVII0—0,0378-0,2260—0,07590,14810,1481VIII0-0,0390—0,23420,00380,16730,1673IX00—0,2185 0,15620,1562а— 0,2968 —Ь— —0,2032 —с— 0,2968—d 0,2032-—Таблица III.147Точки(рис.Коэффициенты в формулах (50.1)111.81)WМхМуQxQyVI0,0196—0,0322-0,0240—0,0027-0,001220,0587—0,06650,00670,1002—0,0129—30,0796—0,0805—0,00620,1141-0,0133 40,0930—0,091000,1039 050,0681—0,0073—0,05060,00920,1189 60,18700,00470,06400,17890,0399 70,24090,01760,01770,0981—0,0223 80,27960,016600,0800 090,11540,0454—0,0805—0,01340,3037—100,32140,18960,16800,00810,0760—110,38720,11880,02340,0194—0,1122—120,44920,095700,0195 0130,1022—0,0055—0,0837-0,02820,1696—“140,28960,02380,0639—0,15240,0727—150,41520,05180,0287—0,0482-0,0110—160,52020,06210—0,0311 0170,0804—0,0171—0,08400,00200,1005—180,2442—0,00920,0112—0,04120,0560—190,39500,01020,0195—0,02870,0090—200,52740,02300—0,0266 —*210,06170—0,0845 0,0554—220,21030—0,0084 0,0420—230,367500,0134—0,0036—240,510900 —I0-0,232300,1312 0,1312II0—0,1979—0,03300,1126—0,04550,1126III0—0,1414—0,02360,0698—0,07690,0698IV0—0,0442—0,00740,0222—0,07070,0222V0 VI0—0,0082—0,0489-0,07940,04090,0409VII0—0,0298—0,1788-0,12600,12530,1253VIII0—0,0501—0,3009—0,04260,19140,1914IX0—0,0440—0,26410,05080,17370,1737X0—0,0332—0,19940,06120,11630,1163XI00—0,1416—0,07520,075225* 387
Продолжение табл. III.147Точки(рис.Коэффициенты в формулах (50.1)III.8I)WМхМуQxQyVа0,2475Ь, —t ———0,2313——с————0,3366—d —— —0,1846—б. Сила приложена в неопертом углу.Обозначения величин те же, что и в § 41.Расчетные величины [3]Прогибы и усилия в пластине определяются по формулам (50.1).
Величины коэффициентов w—V для ряда точек квадратной пла¬
стины при —=1 (рис. 111.82) приведены в табл. III.148 и для пря-
ь3моугольной пластины с отношением сторон —= — (рис. 111.83) —
в табл. III.149.Ц аа7 1 1 а 1оА1 27У L 222WWРис. 111.82Рис. III.83При вычислении прогибов и усилий предполагается, что груз Рравномерно распределен в квадрате со стороной — .2388
Таблица III. 148Коэффициенты в формулах (50.1)Точки(рис.111.82)WМхМуQx^ УV10,0210—0,0858—0,0858—0,1208—0,120820,1155-0,2196—0,0929—0,0185—0,1286—30,2679-0,3756—0,09600,1647-0,0866 40,4546—0,514600,3293 050,1155—0.С929-0,2196-0,1286—0,0185 60,4409—0,1624—0,1625—0,0107—0,0107 70,9056-0,2323—0,10510,09370,0106—81,4385-0,300200,1484 090,2679—0,0960—0,3756-0,08660,1647—100,9056-0,1051-0,23230,01060,0937 и1,7642—0,1265—0,12650,07240,0724—122,7312—0,168400,1287• —-130,45460—0,5146 0,3293—141,43850—0,3002 0,1484—-152,73120—0,1684 0,1287—164,197100 0I0—1,099100,4628 0,4628и0—0,6187-0,10310,2661—0,42880,2661III0—0,2415-0,04020,0546—0,29620,0546IVVVI000—0,0262—0,0044-0,0263-0,1208—0,0263-0,0044—0,0262-0,1208—0,0263-0,0263VII0-0,0402-0,2415—0,29620,05460,0546VIII0—0,1031—0,6187-0,42880,26610,2661IX00—1,0991 0,46280,4628а ——0,1444 с ———0,1444—Таблица 111.149ТочкиКоэффициенты в формулах (50.1)(рис.111.83)WМхМуQxQ уV10,0082—0,0486—0,0531—0,0844—0,084420,0627—0,1344—0,0641—0,0418—0,0868 30,1601-0,2392—0,065000,0693—0,0577 40,2834-0,33310,1819 050,0572-0,0578—0,1440—0,1034—0,052860,2528—0,1190-0,1238—0.0474-0,0257г70,5552-0,1812—0.08С60,01700,0031 80,9094—0,235500,0532 090,1410-0,0757—0,2673—0,13640,0135_100,5440—0,1185-0,1907—0,06150,0336 111,1228-0,1633—0,1012—0,00700,0429 121,7777—0,209000,0175 130,2568—0,1036—0,4166—0,14950,1170 140,9244—0,1236—0,2628—0,05530,1038_151,8410-0,1522—0,1258—0,00080,0822—-162,8609-0,194700,0269 017v 0,4078-0,1170—0,5749-0,0836;0;2810—389
Пр одолжение табл. III.149Коэффициенты в формулах (50.1)Тйчки(рис.Ш.83)WМхМуQxQ уV181,3869—0,1021—0,3362—0,00940,1823192,6943—0,1094—0,15710,03200,1252 204,1444-0,146300,0834—0210,58060-0,7152 0,39750221,89680—0,4084 0.21940233,63310—0,2032 0,17500245,578500 —010—0,678800,2668—0,2668110—0,3629-0,06050,1409—0,27710,1409III0—0,1246—0,02080,0134-0,17940,0134IVI/0А—0,0042—0,0007—0,0249-0,0623—0,0249VV/V0-0,0002—0,0014—0,0513-0,0359—0,0359VII0—0,0171—0,1026—0,1453-0,0262—0,0262VIII0-0,0487—0,2921—0,23130,03990,0399IX0-0,0942—0,5652—0,32290,16910,1691X0—0,1563—0,9378—0,40440,37650,3765XI00—1,3740 0,54770,5477а— —-0,1254 е— —0,1742 Глава тринадцатаяИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН,ОПИРАЮЩИХСЯ В УГЛАХ НА НЕСМЕЩАЕМЫЕ ОПОРЫ§ 51. Пластина, опертая по четырем углам, под действием нагрузки,
равномерно распределенной по всей поверхностиОбозначения (рис. II 1.84, а)а, Ь, д — размеры пластины, см\£, v — модуль упругости, коэффициент Пуассона мате¬
риала пластины;ЕЬЪD — - ^ —цилиндрическая жесткость пластины, кг-см;q — интенсивность нагрузки, кг/см2;
w — прогиб пластины, см;Мх— изгибающий момент на единицу длины сечения,
перпендикулярного к оси х, кг-см/см;Му—изгибающий момент на единицу длины сечения,
перпендикулярного к оси у, кг-см/см;Vo — опорная реакция в углах пластины, кг;Vcd* Vвс — полная величина реакций на свободно опертых
сторонах СД и ВС пластины, кг.Расчетные формулы [11]В табл. III. 150 приведены величины прогибов, изгибающих мо-
ментов и опорных реакции в вершинах плиты в зависимости от
Отношения сторон прямоугольной пластины fi = —при коэффи¬циенте Пуассона vбх=0Я'х —Я'Щ.вZZ////////Z\у///////////.0Нг0 н,XI/CАаDЯ'л=0г-0
Х-2Я'нг0 н,Ксвх=0
Eft4Рис. 111.84Таблица III.150аЬW0в центреWв точке Кwв точках
и Я,мх0в центрем*0в центремхв точке КМув точках
Ht и Яа^ов
вершинах
А, В,С, D0,50,0143qb4
D0,0018qb1D0,0140qb4~D~0,0355 qb*0,1243 qb*0,0655 qb*0,1300 qb*0,1250 qb20,60,01550,0032Щ0,0145я0,0471я0,1251я0,0811я0,1345 „0,1500 .0.70,01710,0052ш0,0151w0,0619я0,1253я0,0979я0,1395 „0,1750 .0,80,01970,0082И0,0159VI0,0801я0,1262я0,11660,1459 „0,2000 „0,90.0233я0,01221»0,0167«0,1007я0,1257я0,1374я0,1531 „0,2250 .1,00,0282qa*D0,0175qa4
D0,0175qa4
D0,1231 qa*0,1231 qa*0,1604 qa*0,1604 qa*0,2500 qa*1,110,02330,01670,0122я0,1257я0,1007я0,1532я0,1374 ,0,2250 .1,250,01970.01590,0082*0,1262я0,0801я0,1459я0,1166 ,0,2000 .1,430,01710,01510,0052я0,1258я0,0619я0,1395я0,0979 „0,1750 „1,660,0159Щ0,014590,0032я0,1251я0,0471я0,1345я0,0811 .0,1500 .2,00,0145*0,0140V»0,0018n0,1243я0,0355я0,1300я0,0655 ,0,1250 „§ 52. Прямоугольная пластина, свободно опертая одной стороной
и двумя вершинами, под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхностиОбозначения (рис. 111.84,6)
q — интенсивность нагрузки, кг/см2.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 51.391
аb%
в центреWв точке КWв точках Нх и Н2Мх0в центре0,50,0137^!0,00180,0135^0,0280 qb20,60,0141 .0,0031 „0,0137 в0,0335 „0,70,0149 в0,00480,0140 .0,0397 „0,80,0161 в0,0072 ,0,0142 .0,0468 „0,90,0175 в0,0102 .0,0146 „0,0541 ,1,00,0193 .0,0140 ,0,0145 „0,0620 „1,110,0143^0,0124^D0,0099^D0,0570qa21,250,0103 в0,0107 в0,0063 „0,0515 ,1,430,0074 в0,0091 .0,0038 .0,0447 ,1,660,0053 в0,0074 .0,0021 ,0,0373 „2,00,0036 „0,0057 „0,0010 в0,0293 ,аЬ%
в центреWв точкекWв точке НчМX0в центре0в центре.0,50,60,00340,0047qb4
Dя0,00100,0020qb4
Dп0,00560,0072qb*D190,0283 qb2
0,0369 „0,0312 qb2
0,0403 в0,70,0062п0,0035п0,0086190,0454 .О:.*Ъоосоа0,80,0081п0,0057п0,0099п0,0539 .0,0546 „0,90,0101»*0,0085п0,011019 i0,0627 ,0,0640 .1,00,0124»0,0120190,0120190,0708 в0,0708 в1,111,150,0101
’ 0,081qa4
D190,01100,0099qa4
D190,00850,0057qa4
D190,0640 qa2
0,05460,0627 qa2
0,0539 в1,430,0062п0,00861»0,0035190,0489 ,0,0454 .1,660,0047п0,007290,0020190,0403 „0,0369 „2,00,0034п0,0056190,0010190,0312 ,»0,0283- .392
Таблица III.151жув центремхв точке КMyв точках Нt и #2^0в углах А и DVBC
на стороне ВС0,1234 qb20,0644 qb20,1278 qb20,122 qb0,255 qb20,1246 .0,0713 „0,1300 .0,147 „0,307 ,0,1246 „0,0899 „0,1321 „0,169 .0,362 ,0,1246 „0,1025 .0,1345 „0,190 .0,421 ,0,1245 ,0,1152 .0,1370 ,0,209 .0,482 „0,1243 „0,1280 ,0,1394 „0,228 „0,544 .0,1007 qa20,1129 qa20,1149 qa20,200 qa0,500 qa20,0798 „0,0975 .0,0924 ,0,172 ,0,456 .0,0616 .0,0822 ,0,0721 ,0,146 .0,409 .0,0459 „0,06700,0544 „0,170 я, 0,3610,0345 ,0,05l6 ,0,0384 ,0,094 „0,312 .Таблица III.152Мх
в точке КMy
В точке #ав углу АvвсVCD0,0381 qb20,0513 qb20,117 qb0,110 qb20,273 qb20,0523 „0,0661 ,0,143 .0,155 ,0,302 .0,0672 „0,0796 ,0,167 .0,205 .00328 „0,0828 „0.0916 ,0,190 .0,260 .0,350 .0,0981 ,0,1028 „0,212 .0,320 ,0,368 ,0,1128 .0,1128 .0,232 „0,384 .0,384 ,0,1028 qa20,0981 qa20,212 qa0,368 qa20,320 qa20,0919 .0,0828 .0,190 .0,350 я0,260 „0,0796 ,0,0672 „0,167 .0,328 „0,205 .0,06110,0523 ,0,143 .0,302 .0,155 ,0,0513 „0,0381 .0,117 .0,273 .0,110 .393-
Расчетные формулы [11]аТПри — < 1: При — > 1:и № . qa4w = k 1-^— ; w = k1-^—;Мх — k2qb'2; Мх = k2 qa2; (52.1)My = k^qb2; My = kzqa2;VQ = kAqb\ Vb = kKqa;V'bc —kbqbl. Vbc=kbqa2.В табл. III.151 приведены значения прогибов, изгибающих мо¬
ментов и опорных реакций, в зависимости от величин — при коэф-ьфициенте Пуассона v=~^r •§ 53. Прямоугольная пластина, опертая двумя смежными
сторонами и вершиной, под действием нагрузки, равномерно
распределенной по всей поверхностиОбозначения (рис. 111.84, в)q — интенсивность нагрузки, кг/см2.Остальные обозначения те же, что и в § 51.Расчетные формулы [11] ,При — <1: При — >1:b ь, qb4 , qa2w = kl —— ; w = k{D 1 DMx — k2qb2; Mx = k2q a2; (53.1)My = A»3 qb2; My = k3qa2;Q0 = k4qb; Q0 = kAqa;VBc = k-0qb2; Vвс = kbqa2;Vcd = k&qb2. Vcd = &6 qa2.Значения прогибов, изгибающих моментов и опорных реакцийданы в табл. III.152 в зависимости от величины — при коэффи-Ьциенте Пуассона v— — .394
Глава четырнадцатаяИЗГИБ КВАДРАТНОЙ ПЛАСТИНЫ НА УПРУГИХ ОПОРАХ
ПОД ДЕЙСТВИЕМ РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ■§ 54. Пластина, свободно лежащая двумя параллельными кромками
«а жестких опорах и двумя другими — на упруго оседающих балкахОбозначения (рис. 111.85, а)а — длина стороны пластины, см;
д — толщина пластины, см;Еу v — модуль упругости и коэффициент Пуассона
пластины;О«I-ОНа2а2ЖА■ftГ'днк•о!пчРис. 111.85Еа—модуль упругости материала балок, под¬
держивающих пластину, кг/см2;/а — момент инерции сечения балок относительно
оси и, см4;\2е / (1 v2)-j в 9-АЛ l — параметр относительной жесткости балки иЕЬ3апластины;
q — интенсивность нагрузки, кг/см2;
w — прогиб пластины, см;Wo — прогиб центра пластины, см;Мх, Му — интенсивность изгибающих моментов, дей¬
ствующих соответственно на площадки,
перпендикулярные к осям х и у, кг-см/см.Расчетные формулы [5]Прогибы пластины в центре и посредине балок и изгибающие
моменты в центре равны395
wo = ko—^——’» w = k1-^1—; (54.1)0 0 £53 1 £53Mx = k2qa2; My—ksqa2. (54.2)
Величины прогибов и моментов в пластине с коэффициентом Пуас¬
сона г =0,25 приведены в табл. III.153 для ряда параметров отно¬
сительной жесткости у. ■Т а б л и ц a III.153It®о
в центреWв точке Кмх0в центрев центреоо0,0457qa4£5300,0460 qa20,0460 qa21000,0460я00,0460 ,0,0460 „500,0463я0,0005 qaiЕЬг0,0462 ”,0,0460 ,250,0470я0,0016 .0,0467 ,0,0458 *100,0489я0,0047 .0,0482 .0,0454 „50,05201»0,0097 .0,0505 ,0,0447 „40,0534п0,0121 .0,0516 .0,0443 ,30,0557я0,01590,0534 .0,0438 „20,0603я0,0229 ,0,0567 ...0,0412 „10,0708я0,0404 ,0,0650 ,0,0385 „0,50,0859я0,0650 „0,0765 .0,0368 „00,0463я0,1624 „0,1230 „0,0230 „§ 55. Пластина, свободно лежащёя по Периметру
на упруго оседающих балках одинаковой жесткостиПредполагается, что вершины пластины не оседают-
Обозначения те же, что и в предыдущем параграфе.
Расчетные формулы [5]; (55-1)Мх^= k2qa2; My = k3qa2. (55.2)
Величины прогибов и изгибающих моментов в пластине
(рис. 111.85,6) приведены в табл. III.154 в зависимости от пара¬
метра у для пластины при *> = 0,25.Таблица III.154тшо
в центреWв точке Кмх0в центрем0в центреОО0,0457 qal£5300,0460 qa201000,0463 ,0,0003 1а1
£530,0462 „—500,0470 “0,0008 ,0,0463 .—396
Продолжение табл. III.154т®ов центреWв точке Кмх0в центремв центре250,0483 да4£530,0019£530,0467 qa?0,0002 qa?10543210,500,0522 .
0,0584 „
0,0614 .
0,0661 „
0,0751 „
0,0982 „
0,1321 .
0,2892 ,0,0050 ,
0,0101 ,
0,0125 „
0,0163 .
0,0237 .
0,0426 ,
0,0701 .
0,1971 .0,0477 .
0,0494 .
0,0502 „
0,0515 .
0,0539 .
0,0601 ,
0,0691 ,
0,1109 .0,0024 .
0,0055 ,
0,0065 „
0,0117 .
0,0177 .
0,0332 „
0,0559 .
0,1527 „Глава пятнадцатаяИЗГИБ МНОГОПРОЛЕТНЫХ ПЛАСТИН§ 56. Бесконечная пластина, опертая в вершинах прямоугольной
сетки, под действием равномерно распределенной нагрузкиОбозначения всех величин те же, что и в § 54.Расчетные формулы [5]Прогибы в центре пластины и в ,точке К, посредине отрезка ВС
(рис. II 1.86), вычисляют по
формулам:w0 = kоX£53q№£53wk = kX(56.1)ВИзгибающие моменты
центре пластины:МХо « а<7&2. М% _ j^2> (5б>2)Значения коэффициентов kc,
k, а и р приведены в табл.III.155 и III.156 для пластин с
различным отношением сторонпри г> = 0,3. Величины изгибающих моментов в характерных точках
пластины даны в табл. III. 157 и IIIЛ58.Рис. 111.86397
Таблица III.155b•0-я(T) фо S^ а1,01,11,21,31,41,52ООk<yk0,06340,04770,05320,04330,04670,04100,04230,03910,03910,03750,03680,0358Тг0,03190,03171 б л и ц a0,02840,0284: III.156Коэффи¬циентыьа1,01.11,21,31,41,52,0ООаР0,03590,03590,03720,02920,03770,02430,03850,02100,03920,01860,03930,01690,04120,01330,04170,0125Таблица III.167Изгибающие моменты Мх в пластине в точках (рис. ![II.86)ъаКNLSТ1,00,0497 qb20,0398 qb20,0109 qb2—0,0524 qb2—0,1226 qb21,10,0411 „0,0347 .0,0057 ,—0,0505 .—0,1143 ,1,2 !0,0352 .0,02840,0048 .—0,0492 .—0,1064 „1,3 I0,0304 .0,0240 ,0,0024 .—0,0466 ,—0,1004 „1,40,0263 „0,0205 »-0,0004 .-0,0451 .—0,0946 „1,5 ,0,0229 .0,0174 .—0,0015 ,—0,0436 .-0,0899 ,2,00,0109 .0,0055 „—0,0067 .—0,0388 ,—0,0740 „ОО-0,0250 .-0,0250 „—0,0250 .—0,0250 „—0,0250 .Таблица III. 158bаИзгибающие моменты в точках (рис. III.86)КNLSт1,0—0,0126 qb2—0,0206 qb2-0,0475 qb*—0,1106 q&—0,1805 qb21,1—0,0186я—0,0264 ,—0,0481я—0,1074я-0,1725ш1,2—0,0239я—0,0307 .—0,0535я-0,1061я—0,1672»1,3—0,0284я—0,0346 .—0,0559я—0,1044я—0,1587я1,4—0,0323я-0,0381 „-0,0583я—0,1029я—0,1532п1,5-0,0356я—0,0411 „-0,0596я—0,1016я-0,1485ГУ2,0-0,0475я—0,0503 .—0,0658я-0,0972я—0,1320и>о©-0,08330—0,0833 .-0,0833я-0,0833я—0,0833п398
§ 57. Трехпролетная пластина под действием нагрузки,
равномерно распределенной по поверхности двух панелейОбозначения (рис. II 1.87)а — длина стороны панели, см\q — интенсивность нагрузки,
кг/см2.Обозначения остальных вели¬
чин те же, что и в § 54.Расчетные формулы [7]Значения изгибающих момен¬
тов Мх и Му:Mx = aqa2; Му = $qa2. (57.1)Значения коэффициентов а и /J в наиболее характерных точках
пластины с квадратными панелями при v=0,3 приведены
в табл. III.159.Таблица III.159КоэффициентыТочки пластины (рис. III.87)AвС0Da—0,0804—0,0339-0,03950,0360—0,0035P—0,0241—0,01020,03430,0285—0,0058§ 58. Трехпролетная пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по средним линиям, параллельным
промежуточным опорамОбозначения (рис. II 1.88)УСА0ВDXга2а2аа2а211Л• • т 11 -\г~1М-
! |В11аааа122а22«о:LiiiinnmiiiHiHiiiatРис. 111.87mm
®И J\т m1) (JРис. III.88399A4777©
а — длина стороны панели, см;р — интенсивность распределенной нагрузки, кг(см.Обозначения остальных величин те же, что и в § 54.Расчетные формулы [7]Изгибающие моменты:Mx = kxpa; М у = k2pa. (58.1)В табл. III.160 приведены величины коэффициентов и k2 для
ряда точек пластины при v = 0,3.Таблица III.160КоэффициентыТочки пластины (рис. 111.88)ОК-0,108-0,0330,1160,0750,1060,059©0§ 59. Приближенный расчет многопролетных пластин, состоящихиз прямоугольных панелейНа рис. 111.89 схематически изображено подобного рода покры¬
тие. Пролеты и толщины всех прямоугольных панелей одинаковы.
Каждая панель несет равномерно распределенную постоянную и
временную нагрузки рп и рв. Приближенный метод расчета таких
пластинчатых систем основывается на следующих соображениях.Величины изгибающих момен-
тов в пластине над промежу¬
точными опорами зависят
главным образом от загрузки
двух смежных панелей; влия¬
нием нагрузки на более отда¬
ленных панелях можно прене¬
бречь. Поэтому опорные мо¬
менты в пластине определяют
приближенно, исходя из пред¬
положения о равномерном
распределении нагрузки по
всей площади перекрытия.
Каждая панель неразрезного
перекрытия на рис. II 1.89 рас¬
сматривается как прямоуголь¬
ная пластина, защемленная по©f'777777777777?/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/©ЛГ©©©ТТ7-Г7777777‘/.'X777777777777/.Рис. 111.89промежуточным опорам и сво¬
бодно опертая по внешнему
контуру.Шесть возможных сочетаний свободного опирания и защемления
краев таких прямоугольных фрагментов панелей изображены на
рис. 111.90 в виде отдельных схем. Номера схем проставлены в кру¬
жочках на рис. 111.90 и на соответствующих панелях неразрезной
пластины рис. II 1.89.400
ОбозначенияQnЯ вЯ = Я п + <7в
аЬМ*и, МУо ■Мх, м„интенсивность постоянной нагрузки, кг/см2;
интенсивность временной нагрузки, кг/см2\
интенсивность полной нагрузки, кг/см2;
пролет панели в направлении оси х, см\
пролет панели в направлении оси у, см\
интенсивность изгибающих моментов в центре па¬
нели, кг-см/см\интенсивность изгибающих моментов посредине за¬
щемленного края панели, кг-см/см.Расчетные формулы [18]Величины изгибающих моментов в характерных точках панелей,
изображенных на шести схемах рис. II 1.90, приведены в табл.III.161—III.166 в зависимости от отношения сторон пластин — приа,коэффициенте Пуассона v = 0,2.!©777777777?IV7777777/,' I©7ГПример. Определить расчетные изгибающие моменты в харак¬
терных точках неразрезной пластины, показанной на рис. 111.89.Решение. Найдем изгибающий момент Мр в точке F пластины
посредине опоры AD (рис. 111.89). Для этого вычислим момент за-2674—511 401
Таблица IIIЛ61Таблица III.162Изгибающие моменты в центре
пластины (рис. III.90, схема 1)Изгибающие моменты в пластине
(рис. 111.90» схема 2)ьbаав центрев точке А
МуМх0МУо0МУ000,0250qb 20,1250 qb200,0125qb20,0625 qb2-0,1250 qb20,50,0367я0,0999 „0,50,0177я0,0595 ,—0,1210 .0,60,04061»0,0868 „0,60,0214я0,0562 ,-0,1156 .0,70,0436я0,0742 ,0,70,0249я0,0514 ,—0,1086 .0,80,0446я0,0627 ,0,80,0272я0,0465 .-0,1009 .0,90,0449я0,0526 ,0,90,0294я0,0415 .—0,0922 „1,00,0442я0,0442 „1,00,0307я0,0367 .—0,0840 .1,10,0517да20,0449 qa31,10,0378qa20,0391 qa2—0,0916 ааг1,20,0592я0,0449 ,1,20,0451я0,0404 ,—0,0983 ,1,30,0660п0,0444 .1,30,0525я0,0415 „-0,1040 »1,40,0723я0,0439 ,1,40,0594я0,0418 я—0,1084 ,1,50,0784я0,0426 ,1,50,0661II0,0418 „-0,1121 .1,60,0836я0,0414 ,1,60,0722я0,0414 „—0,1148 .1,70,0885я0,0402 „1,70,0780я0,0408 „—0,1172 „1,80,0927п0,0391 »1,80,0831я0,0399 ,-0,1189 .1,90,0966я0,0378 „1,90,0879я0,0390 .—0,1204 .2,00,0999п0,0367 „2,00,0921я0,0382 ,-0,1216 .ОО0,1250йея0,0250**,,ОО0,1250я0,0250*** в
Таблица—0,1250 ,
III.163ьаИзгибающие моменты в пластине (рис. III.90, схема 3)в центрев точке А
МуМхх0МУо00,0083 qb20,0417 qb2—0,0833 qb20,50,0100 .0,0418 .—0,0842 „0,60,0121 .0,0410 я—0,0834 ,0,70,0152 „0,0393 ,—0,0814 .0,80,0173 „0,0371 ,—0,0783 »0,90,0196 „0,0344 ,—0,0743 .1,00,0216 ,0,0316 „—0,0697 .1,10,0276 qa20,0349 qa2-0,0787 qa*1,20,0344 -0,0372 „-0,0868 .1,30,0414 .0,0391 .—0,0938 .1,40,0482 .0,040о „—0,0998 .1,50,0554 ,0,0411 .-0,1049 „1,60,0620 ,0,0413 ,—0,1090 .1.70,0683 .0,0412 „—0,1122 .1,80,0741 .0,0408 „—0,1152 .1,90,0795 „0,0401 .-0,1174 .2,00,0846 .0,0394 я-0,1191 .оо0,1250**** ,0,0250*** „—0,1250 .* Mm ах =0,0364 qb2 на расстоянии 0,48 6 от короткой стороны.** Мщах = 0,0364 qa2 на расстоянии 0,48 а от короткой стороны.
*** Мшах =0,0387 qa2 на расстоянии 0,80 а от защемленного края.
**** М max =0,0174 qb2 на расстоянии 0,30 6 от опертого края.402
Таблица III.164Изгибающие моменты в пластине (рис. III.90, схема 4)bцентреамх0ЖЛ0в точке В
Мхв точке АМув точке С
"^шах0,50,0191qb20,0574Оto—0,0787 qb2—0,1180 qb20,0662 qb20,60,0228я0,0522я—0,0781—0,1093 „0,0570 в0,70,0257Я0.0460я—0,0767 .—0,0991 ,0,0501 ,0,80,0275»0,0396я—0,0746 „—0,0882 ,0,0430 .0,90,0282я0,0336я—0,(1715 .—0,0775 .0,0363 .1,00,0281я0,0281я-0,0678 .—0.0678 .0,0305 и1,10,0330qa20,0283</а2—0,0766 qa2—0,0709 qa20,0358 qa21,20,0376я0,0279я—0,0845 ,—0,0736 ,0,0407 ,1,30,0416я0,0270я—0,0915 ,—0,0754 ,0,0452 .1,40,0451я0,0260я—0,0975 .—0,0765 ,0,0491 .1,50,0481Я0,0248я-0,1028 .=0,0772 ,0,0524 .1,60,0507Я0,0236я—0,1068 ,—0,0778 „0,0553 „1,70,0529Л0,0224я-0,1104 „—0,0782 „0,0586 ,1,80,054690,0213я—0,1134 „—0,0785 .0,0608 ,1,90,0561Я0,0202я-0,1159 „- 0,0786 .0,0636 .2,00,0574Я0,0191я-0,1180 ,-0,0787 .
Таблица0,0662 .
III.165ъаИзгибающие моменты в пластине (рис. III.90, схема 5)мх0в центре'ов точке ВД*:в точке
МуА0,50,0206qb20,0554qb2—0,0783—0,114qb20,60,0245я0,0481я—0,0773 .—0,102я0,70,0268я0,0409-0,0749 .-0,0907я0,80,0277я0,0335я—0,0708 „-0,0778я0,90,0274я0,0271и—0,0657 .—0,0658я1,00,0261я0,0213я-0,0600 „ •-0,0547я1,10,0294qa-0,0204qa2—0,0659 qa2—0,056 >qa21,2- 0,0323я0,0192я—0,0705 .—0,0573я1,30,0346я0,0179я—0,0743 „—0,0574я1,40,0364я0,0166я—0,0770 „-0,0576я1,50,0378я0,0154я—0,0788 ,—0,0569я1,60,0390я0,0143я—0,0803 .-0,0568я1,70,0398я0,0133я-0,0815 .—0,0567я1.80,0405я0,0125я—0,0825 .-0,0567я1,90,0410я0,0118я-0,0831 ,—0,0565я2,00,0414я0,0110я—0,0833 в-0,0566яОО0,0417я0,0083я—0,0833 .—0,0566я26+74—511 403
Таблица III.166ъаИзгибающие моменты впластине {рис. 111.90, схема 6)мх0в це1нтрем^0в точке В
МХв точке А
Му00,0083qb20,0417qb2—0,0571 0*2-0,0833qb20,50,0118п0,04089—0,0571 „-0,082990,60,015090,0381п—0,0571 ,—0,079390,70,017890,0344п—0,0569 ,—0,0736W0,80,0198я0,02999—0,0559 .—0,066490,90,020990,02529—0,0540 ,—0,0588п1,00,021390,02139—0,0513 ,—0,051391,10,0248qa20,0210qa2—0,0581 qa2—0,0538qa11,20,0284*0,02031»—0,0639 „—0,055491,30,031390,01939—0,0687 .—0,056391,40,033790,01819—0,0726 „—0,056891,50,035890,01699-0,0757 „—0,057091,60,037290,01579—0,0780 .—0,057191,70,038590,01469—0,0799 „—0,057191,80,039590,01369—0,0812 .—0,057191,90,040290,01269—0,0822 ,—0,057192,00,0408I*0,01189—0,0829 ,—0,05719оо0,041790,00839—0,0833 „—0,05719щемления в панелях 2 и 6, примыкающих к опоре AD. Для панели 2следует пользоваться табл. III. 162, из которой найдем момент Му^
Для панели 6 пользуемся табл. III. 166, с помощью которой нахо¬
дим Млг,в. Искомый момент с достаточной точностью определяется
как среднее арифметическое из найденных величинMF = -J (Му, 2 + М~, 6).Найдем далее изгибающие моменты в центре панели 6 (рис. 111.89).
Наиболее неблагоприятное распределение нагрузки для этих мо- ш иу*0,5дв*о 6Рис. 111.91404
ментов может быть получено путем наложения нагрузок, представ¬
ленных на рис. II 1.91, а, б.Влияние равномерно распределенной нагрузки
(рис. Ш.91,а) на величину моментов учитывают с помощью
табл. III. 162.При учете воздействия шахматного распределения нагрузки, по¬
казанного на рис. 111.91,6, следует иметь в виду, что граничные
условия для каждой панели здесь остаются те же, что и для сво¬
бодно опертой пластины. Моменты в центре пластины вычисляются
с помощью табл. III.161.§ 60. Приближенный расчет безбалочного перекрытия,
опирающегося на несколько рядов равноотстоящих колонн,
под действием равномерно распределенной нагрузкиОбозначенияа, b — размер сетки колонн, см;
г0 — радиус окружности поперечного сечения круглой колон¬
ны, см\аь Ь\ — размеры поперечного сечения прямоугольной колон¬
ны, см.Обозначения остальных величин те же, что и в § 51-Расчетные формулы [18]Прогибы и моменты в центре панели (рис. II 1.92) определяют^
но формулам:® = « ~~; Му = [\qb\ Мх = р2qb\ (60.1)Значения коэффициентов a, fix и 02 в формулах (60.1) при коэф¬
фициенте Пуассона v=0,2 в зависимости от отношения -Д- приве-адены в табл. III. 167.26+ 74* 405
Таблица III.167ъааPi(3,1,00,005810,03310,03311.10 004870,02610,03521.20,004280,02100,03631.30,003870,01750,03751.40,003580,01490,03841.50,003370,01310,03872,00,002920,00920,0411ОО0,002600.С0830,0417Изгибающие моменты в точке С безбалочного покрытия над
центром круглой колонны (рис. 92, а) определяются по формулам:Мх,о =qab4лм — qab
Му, о = (1 + v)ln— — (62 + £,v)' .r0 i(60.2)Значения коэффициентов k\ и k2 в формулах (60.2) для некото-ьрых отношений приведены в табл. III. 168.CLТаблица II 1.168Ьа1.01,11,21,31,41,52,0К0,8110,8220,8290,8330,8350,8360,838k20,8110,6980,5880,4810,3740,2860,256Изгибающие моменты в характерных точках 0; 1 и 2, а также
максимальная перерезывающая сила в квадратной пластине
(рис. 111.92, б) при опирании на колонны прямоугольного сечения
определяются по формулам:MXf 1 = a {qa2;Мх,о = *оЯа2;Мх, 2 = а2^а2; (60.3)Му.2= Р*<7а2;Qmax 7<7а-Значения коэффициентов аи ао, «2, ^иу приведены в табл. III. 169
при коэффициенте Пуассона г = 0,2 в зависимости от отношения—-а406
Таблица III.169d\а«1<*0®а70,00,0331—0,01850,0512_0,1--0,19600,0329—0,01820,05082,730,2—0,1310Р.0321—0,01780,0489—0,3—0,09330,0308—0,01700,04580,8420,4—0.06780.0289—0,01580,0415 0,5—0,04870,0265—0,01400,03610,419§ 61. Квадратная, шарнирно опертая по контуру пластина,
поддерживаемая четырьмя промежуточными колоннамиОбозначения всех величин те же, что и в § 51.Расчетные формулы [18]!<*-■VWWNWWWWWWWVvТ.Ф.ФЛБЦ--^NWWNNWWWWWWWV-t{ffl1Ш1ШШв,Аошшшн&ааРассматриваются три схемы на¬
грузки: нагрузка постоянной ин¬
тенсивности на всей пластине
(рис. 111.93, а)\ нагрузка q на пе¬
риферийной части пластины (рис.
111.93,6); нагрузка на цент¬
ральной части пластины (рис.
111.93, в).Изгибающие моменты в точках
1, 2, 3,..., 9 пластины (рис. II 1.93)
при трех схемах загружения опре¬
деляются по формулам:Рис. II 1.93 мх = Pi?a2; = (61.1)Величины коэффициентов и для пластин с отношением
L = 0,25 при коэффициенте Пуассона v — 0,2 приведены в табл.III. 170 для трех схем нагрузки, указанных на рис. 111.93.407
Таблица III.170SXРис. 111.93, аРис. 111.93, бРис. III.93, в3*оНPiРаР,Р*PiРа/0,0210,021—0,048—0,0040,0690,0252—0,0400,038—0,0200,019—0,0200,01930,0690,0250,0930,027—0,024—0,00240,038—0,040—0,036—0,0360,074—0,0045-0,140-0,140—0,070—0,070—0,070—0,07060,074—0,0040,0920,014—0,018-0,01870,0250,069—0,0280,0170,0520,0528—0,0040,074—0,0020,037—0,0020,03790,0530,0530,0660,044—0,0130,009Глава шестнадцатаяИЗГИБ ОРТОТРОПНЫХ ПЛАСТИН§ 62. Приближенная теория расчетаУпругое тело называется изотропным, если его механические
свойства одинаковы во всех направлениях, и анизотропным, если
упругие свойства в разных направлениях различны. Однородным
называется тело, у которого упругие характеристики одинаковы во
всех направлениях, проведенных через любые точки.К анизотропным телам относятся: натуральная древесина, дельта¬
древесина, фанера, пластмассы; материалы с четко выраженной
кристаллической структурой (топаз, барит, полевой шпат); слои¬
стые конструкции; железобетонные конструкции, армированные
в разных направлениях различно; решетчатые конструкции и др.Упругие свойства тел с симметрией внутреннего строения отли¬
чаются тем, что в каждой их точке существуют симметричные на¬
правления, для которых механические характеристики одинаковы
(эквивалентные направления).Различные виды упругой симметрии анизотропных тел рассмат¬
риваются в работах по теории упругости анизотропного тела.Наиболее важный случай упругой симметрии, который часто
встречается в практике, заключается в том, что в каждой точке
тела обнаруживаются три взаимно перпендикулярные плоскости
упругой симметрии. Тела, обладающие такого вида упругой сим¬
метрией, называются ортогонально-анизотропными, или, короче,
ортотропными. В первом приближении ортотропными можно счи¬
тать древесину с правильными годичными слоями, дельта-древе¬
сину, фанеру и другие материалы.Приближенная теория изгиба тонких анизотропных пластин
строится на следующих двух предположениях:1. Прямолинейные отрезки, нормальные к срединной поверх¬
ности недеформированной пластины, остаются прямолинейными и
нормальными к изогнутой срединной поверхности.408
2. Напряжения, нормальные к поверхности пластины, пренебре¬
жимо малы по сравнению с напряжениями в поперечных ее сече¬
ниях.Исходя из этих предположений, для ортотропной пластины, у ко¬
торой направления осей х и у совмещены с главными направле¬
ниями упругости, уравнение для определения функции прогибов
w{x, у) имеет вид [12, 13]:гл дЧе> , or. . p. d4w , ч 1Ч+ 2°з dx,df + D2 — -q{x, у), (62.1)Е Ьъгде Z), = изгибная жесткость пластины в направле-I2(l-v,a)Е,рнии оси х, кг-см;Do = —изгибная жесткость пластины в направ-12(1-v,va) Fлении оси г/, кг-см;Dz = Dx\ + 2DK—главная жесткость пластины, кг-см;
г. GbzDK = — жесткость кручения для главных направ¬
лений;vi — коэффициент Пуассона, характеризующий
сокращение в направлении оси у при рас¬
тяжении в направлении оси х;V2 — коэффициент Пуассона, характеризующий
сокращение в направлении оси х при рас¬
тяжении в направлении оси у;Е\ — модуль упругости материала пластины
в направлении оси ху кг/см2;Е2 — модуль упругости материала пластины
в направлении оси у, кг!см2;G — модуль сдвига материала пластины, кг/см2;
д — толщина пластины, см.Изгибающие моменты Мх и Му и крутящий момент Мху на еди¬
ницу длины сечения пластины (см. рис. III. 1) определяются зави¬
симостями:(62-2)(-gr + *«-JJ Ь (62.3)(62.4)дхд уПеререзывающие усилия на единицу длины сечений пластины,
перпендикулярных соответственно оси х и оси у, равны:d3w , п dzw
Qv =D,d3wdx*dydzw~dy*(62.6)Реакции, распределенные по кромкам плиты, определяются поформулам:~D1^r + (Dt- 2DK) а>*Vx =v, = ~D,дхъd3w+ (D, — 2DK)длгд.у2dzw(62.7)(62.8)d>>3 dx2dyФормулы (62.7)—(62.8) учитывают составляющие, обусловлен¬
ные приведением крутящих моментов к поперечным усилиям.
Сосредоточенные реакции Vo в углах прямоугольной пластиныd2wКо = 2D*-дхду(62.9)Задача определения усилий в анизотропной пластине сводится
к разысканию функции прогибов w (х, у), удовлетворяющей уравне¬
нию (62.1) и граничным условиям.Величины упругих постоянных в формулах (62.1) — (62.9) для
некоторых анизотропных материалов .приведены в табл. III. 171.Таблица III. 171ФанераЕ2Л 0*-кг
см*G-103кгсм*Кленовая 5-слойная
Из волокна афары 3-слойная
Габук 3-слойная
Березовая 3- и 5-слойная
Березовая на бакелитовом клее1314211,113711,67,7907,76,014011,7121196,07§ 63. Свободно опертая по периметру пластина
под действием равномерно распределенной нагрузкиОбозначения (рис. II 1.94)а, Ь, д — размеры пластины, см;
аq — интенсивность нагрузки, кг/см2.Остальные обозначения те же, что и в § 51.Расчетные формулы [12, 13]Приводимые ниже формулы справедливы при условииD„ = VD^Dt. (63.1)410
Максимальный прогиб и максимальные изгибающие моменты
посредине пластины определяются по формулам:qb4?;^шах(■^jr)max
(^y)tnax “^11 + t*22V2V d2qa2Г= ^22 + l1llVl|/
Здесь(63.4)a1/ ~
b V Diпри a > b.77TT777T777
Q/ ^У(63.2)(63.3)4Величины коэффициентов <p, /in,
(i22 приведены в табл. III.172 в зави¬
симости от отношения г.(63.5) *4y77Z 'ГТГ'Рис. 111.94Таблица III.172Величины коэффициентов <р, iin, ^22, И-ш, ftiaa»»*. И-1а в формулах (63.2)—(63.12)//tГ18VР-111^122Р-2221*112111Р*1*2>23183(*•111,00,004070,03680,03680,2190,1190,1570,0930,1570,0930,1510,0930,04661.50,007720,02800,07280,1990,1640,3350,0890,1450,1220,2410,0810,06112,00.010130,01740,09640,1890,1810,4100,0550,1380,1330,2990,0660,06632,50.011500,00990,11000,1*30,4530,0310,0310,1370,1340,3370,0540,06703,00,012230,00550,11720,1870,1850,4760,0170,1360,1350,3650,0450,06755,00,012970,00040,12450,1860,1860,4990,0010,1360,1310,4190,0270,0679оо0,013020,00000,12500,1860,1860,5000,0000,1360,1360,5000,0000,0679Перерезывающие силы Qx и Qy, соответственно, в точках К и L
(рис. 111.94), т- е. посредине сторон пластин, определяются по фор¬
мулам:. ( . 2Z)K \ /“D7
1*111 + 1*122 V2 +(Qjc)max(Qy)max :r==sr VqaDr(63.6)t*222%]*>. (63.7)Опорные реакции Vx и Vy в точках К и L определяются по фор¬
мулам:’l*... + l*m(v+-^4l/ ^1^; (63.8)( ^л^тах411
( ^y)tnax^222 "Ь 1*122 V1 +4DK \ f P2
Di j V Dxqb. (63.9)Полное давление пластины на опоры и сосредоточенные реакции
в углах пластины равны:Vав — Vсо =[Mil + И* 122 ( v2 "Ь4 DKГ охDГУD5qabV вс — Vad =н*222 "Ь t**122 ( vl Н~4 DKГ DcDГУХК0 = ^124 DK
DГ\DnDqb2.; (63.10)
qab; (63.11)
(63.12)Если условие (63.1) не выполняется, то прогибы и изгибающие
моменты в пластине могут быть определены следующим образом.
Решая уравнение— 2D3s2 + D2 = 0, (63.13)определяют величину s. В зависимости от соотношения между ве¬
личинами жесткостей возможны три случая.Случай 1. Корни уравнения (63.13)—вещественные нерав¬
ные: ±5Ь ±52 (si>0, s2>0).Изгибающие моменты и прогибы в любом месте пластины
(рис. II 1.94) определяются по формулам:w = ——
24D,(у4 — 2by3 -г b*y) + -qb\ •Dji5S1 S2%>2— Xtl'n= 1, 3, 5So chmzSiXXO tlKSnX \s’ch -f-chnKStachnns2c/sinn%y(63.14)Mx = (уг + by) + ■ -jr- •2 it3 D оs2 — s2
ij 62oosn=\, 3, 5,tX/ГX2 / 2\ ch tlTZSiX 2 / 2\
$2 (V2 — Si) , 1 Si (V2 — S2)( flTr С nchnst%xchchtinsгаsin (63.15)CO(y2-by) +4</627Cc2 c261 2л=1, 3, 5f ..412
XПЪБлХ riKSoXch —— ch —«И1 — Vi) X s\ (1 — V2)mzs,a nits^ach — ch 2sin -22. (63.16)
b/ 2 2В формулы (63.14) — (63.16) входят положительные корни ура¬
внения (63.13).Случай 2. Корни уравнения (63.13)—вещественные равные
попарно: ±s (s>0). Этому случаю соответствуют формулы, приве¬
денные в начале § 63 при £>3= У D\D2.Случай 3. Корни уравнения (63.13)—комплексные: s±ti,
—s±ti (s>0, £>0).Прогибы и изгибающие моменты в центре пластины опреде¬
ляются по формулам:_ 5дЬ* . .
max 384D, *’= (63.17)(Муи,= -^- а,.OJКоэффициенты k\, k2 и k3 определяются из следующих выражений:со п — 1*, = 11,004 у (-1)st л5&„л=1 f 3, Бn , , rinsa n%ta .2s£ch cos Ь2 2+ (s2 - <2)sh-^- sin -^l ; (63.18)2CO Ti—1£2 = v,+-^?- £ (~ IsJ [ + t2~ ^ ^ sh -T1 X/1=1,3,5 n *-. . . trnta n , , mzsa rrnta \ ,ao lfk4Xsin 2^2st ch cos I ; (63.19)2 2 2OO fl— 1*з = 1 + 1Ж 2 <-»st n4n/1 = 1, 3,5. , . mzta 0 , , nusa trntaX sin 2st ch cos(V2 + V2 - «I + t2) sh X(63.20)2 2 2
В формулах (63.18) — (63.20):5 — положительный корень уравнения (63.13);
t — действительный коэффициент при мнимой части комплекс¬
ного корня, в формулах всегда положителен;Ьп = ch /iirsa cos rntta. (63.21)413
Для определения fei, k2, къ достаточно взять 2 члена ряда, чтобы
получить удовлетворительную точность, так как ряды быстро схо¬
дятся. Следует учитывать, что при малых отношениях а сходимость
рядов ухудшается.§ 64. Пластина, двумя параллельными сторонами свободно опертая
и двумя другими жестко защемленная, под действием равномернораспределенной нагрузкиОбозначения всех величин те же, что и в § 61—§ 63.Расчетные формулы [12]Прогибы и изгибающие моменты в любом месте пластины
(рис. 111.95) определяются по формулам:w =2 4D,(у4 — 2 by3 + Ьъу) +4qbiD2tJ>£iпЧпSo shnnS2CLX/г=1, 3, 5, ...Xch^-5l sh-^XX chbmzs2xsinшуb(64.1)Mx-_(by — y2) + -Щ-ХOOXXPuc. 111.95
nns2a ^da уDo ^л3 Д,n = 1, 3, 5, ..(v2— 52i)sh X(v2 — si) s{ shchsinrniyгдеД„ = shrms^achnns2a n tlKS2a tir.s^a
S2 Sll " СП, (64.2)(64.3)2 2 ‘ 2 2Для случая, когда корни уравнения (63.13)—комплексные
числа, прогибы в центре пластины (рис. II 1.95) и изгибающие мо¬
менты в центре пластины и посредине защемленных сторон в точ¬
ке К равны:wmax = kMXo = k 1qb28384D,Му0 k2qb2(мх)К=Ь-31~; (Л*,)к=**-®г(64.4)414
аПри отношениях «=__> 3:k0=l; Л?! = k2=l; k3 = j/ki = vj ^. (64.5)Для меньших отношений a= — коэффициенты ko, k\, k2, kz и 64bопределяются по формулам:/?„= 1-2,01tl — 1
(-1) 2ns Д,. nusa . яттйх .S ch :— sin hn — 11 3, 5| •••, . , nizSa mzta
+ t sh ; COS(oo /г-S i=iiO2 2л-12(64.6)(v2 — S2 — /2) S Ctl -^-X, . mzta . „ , ,0\ , nKSa nrctfa< sin h (v2 + s + t2) t sh cos Do; (64.7)k2 = 1 — 2,064oo n — 1•T"£(-1)ti—1,3,5, •••n3A,(1 — VjS2 — v^2) s ch - niz-Sa- Xw . mzta , /1 , о . ,0\ j. t. rntfoX sin f- (1 + V2 + V ) * sh COS (64.8)Jfe.= 1,032ool/f 2(-1)n—1
2/г3 Д,nсо л-2л=1 ,3, 5*,= 1,032*, j/-g- £(-1)я = 1, 3, 5nzAn(t sh /г^а — 5 sin nnto)\ (64.9)(t sh tnzsa — s sin /гтс/'а), (64.10)гдеДл = t sh ansa -|- 5 sin /iu/a. (64.11)В формулах (64.6—64.10) величины s и t определяются при ре¬
шении уравнения (63.13).§ 65. Свободно опертая полоса под действием нагрузки,
равномерно распределенной по прямой, перпендикулярно к опорамОбозначения всех величин те же, что и в § 61—63.Расчетные формулы [12]Максимальный прогиб и изгибающие моменты в точке О
(рис. II 1.96) независимо от того, какой случай корней имеет место
при решении уравнения (63.13), определяются по формулам:415
^max —0,939(65.1)fuc. 111.96V ~57 + v‘\f -^2- + — l/ —
V 2D, 2 ' D2pb\(65.2)(My)max = 0,0929— pb.Rl.D3(65.3)§ 66. Свободно опертая полоса под действием сосредоточеннойсилы, приложенной на оси полосыОбозначения всех величин те же, что и в § 61—§ 63-Расчетные формулы [12]Максимальный прогиб в точке О (рис. 111.97)РФ 1Dc(66.i)40|<N•^<N4у
/ '
r-Рис. III.97416
Прогиб быстро убывает по мере удаления по оси симметрии от
точки приложения силы. Можно считать прогиб равным нулю на
расстоянии:1 случайх = 12 случайГjc= \,5Ь 1/ ; (бб.З)f3 случайх = Ь 1 . (66.4)./ _^ + -L У°2. '
V 2Dj 2 у DxГлава семнадцатаяПРЯМОУГОЛЬНЫЕ РЕБРИСТЫЕ ПЛАСТИНЫ ПОД ДЕЙСТВИЕМ
РАВНОМЕРНО РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКИ§ 67. Приведенные жесткости ребристых и гофрированныхпластинРасчет гофрированных и часторебристых пластин можно тракто¬
вать приближенно с позиций теории изгиба ортотропных тонко¬
стенных пластин. Главные жесткости вычисляются в каждом кон¬
кретном случае в зависимости от типа пластины: гофрированная;
часторебристая в двух направлениях; усиленная ребрами жест¬
кости, поставленными параллельно одному из главных направле¬
ний; слоистая и др. Ниже приведены формулы для определения
главных жесткостей некоторых типов пластин.Железобетонные пластины, армированные
в обоих направлениях различно. Такие пластины рас¬
сматриваются как однородные ортотропные, жесткости которых
определяются по формулам [18]:£>, = —[/„ + (п - 1) /„]; (67.1)1 — \А, = -А- !/., + (*— 1 )/„ |; (67.2)1 —DK = ^ УЖО, ■ (67.3)Здесь:417
Es — модуль упругости материала арматуры, кг/см2;Ес, vc— модуль упругости и коэффициент Пуассона бетона;1СХ— момент инерции относительной нейтральной оси бетон¬
ной части поперечного сечения пластины (на 1 см
длины), перпендикулярного к оси у, cm4Jcm;Isx— момент инерции относительно нейтральной оси части
того же сечения, занятой арматурой, см4/см;Iсу♦ Isy—моменты инерции «погонного» сечения бетона и арма¬
туры относительно нейтральной оси, перпендикулярной
к оси х.Гофрированные пластины. Пластина, которой при¬
дана волнистость в одном направлении, например вдоль оси х
(рис. 111.98), может приближенно рассматриваться как однородная
ортотропная, если отношение длины хорды гофра I к стороне пла¬
стины а мало (7ю—Vis)->0J1111L1с1Рис. II 1.99Если осевая линия гофра синусоидакХz = Н sin/то приближенные формулы для жесткостей имеют вид:Г\ I Г\ СГГ Г\ S ЕЪ3 л,Д = — ; D2 = EI; D3 = —• ,(67.4)> 1 s 12(1 — v2) 2 3 I 12(1 +v) ’где E — модуль упругости материала гоф¬рированной пластины, кг!см2\I — длина хорды одной полуволны
гофра, см;Н — амплитуда гофра, см;s = l 1-1 — —длина дуги одной полуволны гоф-\ 4l2 Iра, см;д — толщина пластины, см;418
/= 0,5Ш21-0,81среднии «погонный» момент инерции сечения пластины плоско¬
стью xz, см41см.Пластины, усиленные часто поставленными
ребрами жесткости, параллельными оси у (рис.
111.99). Для изотропной пластины, усиленной с двух сторон парал¬
лельными ребрами (рис. 111.99), жесткости определяются по фор¬
мулам [12]:А = о, =ЕЬ3Do =£Ь312(1—v2)ЕГ(67.5)12(1 - v2)+чгде/ — момент инерции сечения ребра относительно оси, лежащей4.в срединнои плоскости пластины, см
Е, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала пла¬
стины;Е' — модуль упругости материала ребра, кг/см2;
di — расстояние между ребрами (ребра предполагаются одина¬
ковыми и расположенными на одинаковых расстояниях
друг от друга), см.Если ребра поставлены только с одной стороны пластины, то
в формулы (67.5) вместо / нужно подставить момент инерции сече¬
ния ребра относительно линии, проходящей через центры тяжести
сечений, которые не будут лежать в срединной плоскости.WТЬ. J—р П П { П П Пl! |l I J Н |1 И1 I1 1 1 '! '! I1 T Г 1. H 1 18f
r || hT Г 11i! !i иiiйьJl IIa,d, d, d, | d, d,a,.1 Ж I■ I ■ гРис. 111.100Puc. III.101Для железобетонных пластин, имеющих прямоугольные парал¬
лельные ребра (рис III.100), жесткости можно определять по фор¬
мулам:419
о — Ed^ .1 12 (ax — t + a4) ’Dt = -%~; (67.6)dxdk=d;+ c2dtгде t — ширина ребра, см\E — модуль упругости бетона, кг[см2\I — момент инерции таврового профиля с полной шири¬
ной d\, см4;5а= — ;нDK — крутильная жесткость плиты без ребер, кг-см;С — крутильная жесткость одного ребра, кг-см2-
Для пластины, усиленной в двух направлениях взаимно перпен¬
дикулярными ребрами, расположенными симметрично по обе сто¬
роны срединной плоскости, жесткости можно подсчитать по фор¬
мулам:о, , _ _12 (1 — v2) dxD2 = —Е'4'12(1—v«) rf3D - ЕЬ%LJ з (67.7)12 (1 — vOПредполагается, что оси ребер параллельны главным направле¬
ниям.В формулах (67.7):Е'\ Е" — модули упругости материала, из которых изготовлены
ребра, параллельные осям у и х, кг/см2;1\ и /2—моменты инерции сечений этих ребер относительно ли¬
ний, проходящих через центры тяжести сечений и ле¬
жащих в силу симметрии в срединных плоскостях, сж4;d\ и d2 — расстояния между ребрами, параллельными оси у и
ОСИ X, см.Если учитывать деформацию сдвига, то жесткость при кручении
пластины, усиленной взаимно перпендикулярными ребрами жест¬
кости (рис. III.101), расположенными параллельно главным осям
х и у на одинаковых расстояниях друг от друга, можно определять
по формулеа=°(т + -Йг)’ <*7Л>где G — модуль сдвига материала ребер, кг!см2\
б — толщина пластины, см\420
/1К — момент инерции при кручении сечения ребра, параллель¬
ного оси х, относительно оси, параллельной оси у и прохо¬
дящей через центр тяжести сечения ребра, см4;* [xPG/tK
т= 1 ^;6 £/2дгьр = —;
аGv/jy/gjf (v/2k Лк)/«/«G (v®/ty + /8к) ’где /2х — момент инерции сечения ребра, параллельного оси у, от¬
носительно оси, параллельной оси я, проходящей через
центр тяжести сечения, см4;/2к — момент инерции при кручении сечения ребра, параллель¬
ного оси г/, относительно оси, параллельной оси х и про¬
ходящей через центр тяжести сечения, см4;/1у— момент инерции сечения ребра, параллельного оси х, от¬
носительно оси, параллельной оси у и проходящей через
центр тяжести сечения, см4.§ 68. Свободно опертая пластина, усиленная большим числом реберОбозначения (рис. III.102)q — интенсивность нагрузки, кг/см2;
а, b — размеры сторон пластины, см;d — расстояние между осями ребер — шаг ребер, см;6 — толщина пластины, см;'//////////////Ау/////////////,IV/77777777ZY7777777777AаZJLIЛ1#l4JH»HlfllHIHiLРис. II 1.102£, v — модуль упругости и коэффициент Пуассона ма¬
териала пластины и ребер;I — момент инерции ребра с учетом пояса пластины
шириной Ь, см4;27—511421
аdb312(1—v2)/— параметр относительной жесткости пластины иребра.Расчетные формулы [17, 19]Прогиб пластины в центреw0 = (k, + 0,02840 \ 1 El £S3Изгибающие моменты в центре пластины между ребрами:(68.1)Мх, = (>1гЬ2 + д;Муй ( kzb2 Vd2
24(68.2)Я-Изгибающие моменты в пластине у ребер:d% \Mr = (k2b2- 12(68.3)Я•Изгибающий момент в пластине у средины крайнего ребраЖqd2~1Г(68.4)Наибольший изгибающий момент в ребреребер —(68.5)Величины коэффициентов ku &з и &4 в зависимости от пара¬
метра а и отношения сторон пластины — приведены в табл.III.173—III.176.Таблица 111.173ък, при Ла00,100,250,500,75 11,000,01300,01300,01300,01300,01300,01300,250,01300,01300,01300,01300,01290,01280,500,01300,01300,01300,01210,01110,01010,750,01300,01300,01170,00940,00780,00661,000,01300,01260,00960,00660,00500,0041422
Таблица III.174ькй при аа00,100,250,500,751,00000,00370,00930,01850,02780,03750,2500,00370,01020,01940,02810,03840,5000,00370,01200,02520,03570,04640,7500,00720,01970,03410,04340,05041,0000,01280,02620,03780,04380,0479Таблица III.175ъкь при аа00,100,250,'.00,751,00000,01250,03130,06250,09400,12500,2500,01250,03180,06230,09300,12350,5000,01250,03220,06000,08200,10170,7500,01380,03130,05080,06260,07131,0000,01450,02830,03890,04400,0479Таблица III.176ьKi при аа00,100,250,500,751,0000,1250,1250,1250.1250,125Ребра от¬0,250,1250,1250,1250,1240,123сутствуют0,500,1250,1250,1250,1150,1050,750,1250,1250,1110,0880,0731,000,1250,1170,0920,0610,045При весьма жестких ребрах коэффициент а=0. При отсутствии
ребер а= 1. Ребра можно считать жесткими при любом —, еслиаа < 0,1, и при всяком а, если — < 0,25.а§ 69. Пластина, защемленная по всему периметру и подкрепленнаяпосредине одним ребромОбозначения (рис. III. 103)
а, b — размеры пластины, см;
с = — расстояние между опорой и ребром, см;&F — площадь поперечного сечения ребра, см2;
q — интенсивность нагрузки, кг}см2.
Обозначения остальных величин те же, что и в § 61.27* 423
Расчетные формулы [14, 17]Наибольшие прогибы и изгибающие моменты в пластине:10-5; (69.1)^ks,w = k - qa-ЕЪ*Mx = kxqa210~5;(69.2)(69.3)шдтнгшшшМу = kyqa2 Ю-5 .Величины коэффициентов k, kx и
ky даны в табл. III.177 для харак¬
терных точек при двух отношенияхсторон пластины — при v= — •Ь 3Приведенные значения коэффициен¬
тов относятся к следующим соотно¬
шениям параметров пластины:i\ а 1 F 1 $1) — =1 при = 1 и —— =соРис. 111.103
F2) — = 2 при = 0,8 иЬ с5= 0,4;FсЬ= 0,5.Таблица III.177ят6Коэффициенты в формулах (69.1) —(69.3) (рис. III.103)к в точкахкх в точкахк у в точках12131416044,4192,468,8-105,111151329163,263,2207,6101,8-150,310691364о183228,0297,087,0— 139,08341784Z145283,0324,0108,0—165,07201888Таблица III.178m = ajbРо2451020100СО0,053,331,229,527,326,926,726,70,153,3 29,627,427,026,826,750,253,6 29,727,527,026,826,80,355,6 30,027,827,327,127,00,459,7 31,028,828,328,028,0Коэффициенты /г, k х и ky зависят от параметра2 ELкрDb(69.4)где /кр—критический момент инерции ребра, определяемый по
формуле424
(69.5)Величина Nt зависящая от т— — и /?о=—, вычисляется по фор-р ьмулеN =24(1 — V )(5+т?4 —/и2О+К)i? V» —1/п*П-Й)2--Ч/и2 J(69.6)или находится на основании табл. III178, составленной для v=0,33.§ 70. Пластина, жестко защемленная по контуру и подкрепленнаядвумя параллельными ребрамиОбозначения всех величин те же, что и в § 61.Расчетные формулы [17]Прогибы и изгибающие момен¬
ты в характерных точках пласти¬
ны (рис. III.104):т qa4
W = k 410-5 .(70.1)ЕЬзMx = kxqa2 10-5 ; (70.2)
My=~kyqa210~5. (70.3)Величины коэффициентов k, kx
и k v даны в табл. III. 179 для двух- а 1 Г» *отношении — при v= — . В табл.
ь 3III.179 приведены значения этих
коэффициентов при соотноше¬
ниях:Рис. II 1.1041) ~ =~~ 1 при ^— = 0,7 и — = 0,4;Ь сЬ сЬа2) — = 2 приОF — 0,8 и = 0,5.сЬсЬ425
Таблица III.179а~Ь~£Коэффициенты в формулах (70.1)—(70.3) (рис. III.104)к в точкахКх в точкахКу в точках123242517965,023,444,136,5—56,241664016669,927,946,043,9—67,1235657о315152,092,371,336,4-56,43868611257177,7112,279,043,2—68,5359928§ 71. Пластина, жестко защемленная по контуру и усиленнаятремя параллельными ребрамиОбозначения всех величин те же, что и в § 61.
Расчетные формулы [17]
Прогибы и моменты в пластине
(рис. III.105):
w = a S?— 10~5; (71.1)ЕЬ3Mx = axqa2 10-5 ; (71.2)
Му = ayqa2 10~5 . (71.3)
Значения а, ах и ау (табл.
III.180) вычислены при v= -j- и
соотношениях:
(71.4)(71.5)Т а б ли ц а III.180а"FеКоэффициенты в формулах (71.1) —(71.3) (рис. III.105)а в точках&х в точках<Ху в точках123 41 5361371211093813,455,224,765,412,647,114,427,619,021,5-33,9—33,618,716,531,526,8308288252120352523426Рис. II 1.105l) f = 1 при ^-=0'7;
2) — = 2 при -^-==0,8.
§ 72. Пластина, свободно опертая тремя сторонами и снабженная
прямоугольным ребром на четвертой кромкеОбозначения (рис. III.106)ау Ь, 6 — размеры пластины,
см;<?0; 0,4 до—высота и ширина
ребра, см;
q — интенсивность рас¬
пределенной на¬
грузки, кг/см2.Обозначения остальных ве¬
личин те же, что и в § 61.Расчетные формулы [17]Изгибающие моменты в плас¬
тине определяются по форму¬
лам:Мх = $да2 Ю-4;Му = чда210-4, / = 0; 1.В табл. III.181 даны значения /?о, уо, Ри У\ в точках 0 п 1 пластины
(рис. III. 106) в зависимости от отношений сторон — и высоты ребраак толщине пластины при коэффициенте Пуассона г>=0,18 для80ряда -f-.Рис. II 1.106(72.1)Таблица III.181ъ^05= 48о8= 5So6= 6аРоPiТОТ 1РоР 1If 0Т 1Р 0РхтоТ 10,6275- 80175108257—16714044242—235117- 50,7316—130234118300-23619342286-321167— 30,8349—17930012533)—30425540235-403226-11§ 73. Полоса, свободно опертая по краям и усиленная
рядом равноотстоящих реберОбозначения всех величин те же, что и в § 61—69.Расчетные формулы [17]Изгибающие моменты для ряда точек пластины (рис. II 1.107)
вычисляются по формулам:427
Mx = mlqa2 IO-4;My = ада2 10-4 ; / ■ 1; 2; 3; 4.В табл. III. 182 приведены значения ml и nt для точек 1, 2, 3 к 4ь впластины (рис. III.107) в зависимости от отношения — и — .а ВТГГ\Л/14 /\ / 21
* Ч/1\ I/ \ !
j / \ I1L ^\\\“-/4 \// \ I
г цшиншшнщ|Я '«а.йшпьЩ4&
Рис. 111.107Таблица III.182h15Jo_о=а 4505= 5805= 6иа•в* 3
•©•кТочки (рис. III.707)Д) фо SX *1234123412340,6mi208-145- 56—50192—189—54—39181-222- 44—30Щ190931088313135514099333200,7mini250143— 73—55236-253-69—42224—296—296-3124010012082175336438137— 3— 3190,8m-LЩ286-242— 87—57274-318-84—43265—372-372—31297104130178226317034185- 10- 1015ЛИТЕРАТУРА1. В а й н б е р г Д. В., Г е р а щ е и к о В. М., Р о й т ф а р б И. 3., Синяв¬
ский A. JI. Вывод сеточных уравнений изгиба пластин вариационным методом.
Сб. «Сопротивление материалов и теория сооружений». Вып. I. К-, «Буд1вельник»,
1965.2. Вайнберг Д. В., Вайнберг Е. Д. Пластины, диски, балки-стенки.
К., Госстройиздат УССР, 1959.3. В а р в а к П. М., Губерман И. О., Мирошниченко М. М.,
Предтеченский Н. Д. Таблицы для расчета прямоугольных плит. К.,
Изд. АН УССР, 1959.428
4. В а р в а к П. М. Развитие и приложение метода сеток к расчету пла¬
стинок. Ч. I. К., Изд. АН УССР, 1949.5. Г а леркин Б. Г. Тонкие упругие плиты. М., Госст,рой.издат, 1933.6. Галеркин Б. Г. К теории неразрезных пластинок. «Вестник инжене¬
ров и техников», 1927, № 6.7. Га леркин Б. Г. Собрание сочинений. Т. И. М., Изд. АН СССР, 1953.8. Гершгорин С. А. Бесконечная пластинка на опорах, расположенных
в прямоугольном порядке. «Сборник по теории сооружений». М., Кубуч, 1932.9. Д и н н и к А. Н. Избранные труды. Т. 2. К., Изд. АН УССР, 1955.Ш. Дубровин А. А. и др. Справочная книга по расчету самолета на
прочность. М.—Л., ОНТИ НКТП СССР, 1937.11. Калманок А. С. Расчет пластинок. М., Машстройиздат, 1951.12. Ле хницкий С. Г. Анизотропные пластинки. М.— Л., Техиздат, 1947.13. Л е хн и цк.и й С. Г. Теория упругости анизотропного тела. М.— Л., Гос-
техиздат, 1950.14. Л окшин А. С. К расчету прямоугольных пластинок, подкрепленных
жесткими ребрами. К., Изд. АН УССР, 1934.15. Па пк о вич П. Ф. Строительная механика корабля. Т. II. Л., Судпром-
гиз, 1941.16. Справочник проектировщика. Расчетно-теоретический. М., Госстройиздат,
1960.17. Справочник по строительной механике корабля. Под редакцией Ю. А. Ши-
манского. Т. II. М — Л., Судпромгиз, 1958.18. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и обо¬
лочки. М., Физматгиз, 1963.19. Филиппов А. П. Прямоугольные пластинки, подкрепленные упругими
ребрами. «Прикладная математика и механика». Т. I. Вып. 2. М., 1937.20. F 1 u g g е W. Handbook of engineering mechanics. New-Jork — London,
1962.
ОГЛАВЛЕНИЕПредисловие 3Введение ! ! ! 5РАЗДЕЛ I. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ ПЛАСТИНЫ ... 9
Глава первая. Симметричный изгиб круглых пластин постоян¬
ной толщины 9§ 1. Исходные уравнения и зависимости 9§ 2. Пластина, свободно опертая по контуру 13§ 3. Пластина, свободно опертая по окружности, концентрическойк контуру 37§ 4. Пластина, опертая по контуру и по концентрической окружности,под действием равномерно распределенной нагрузки 49§ 5. Пластина, опертая по контуру и в центре, под действием равно¬
мерно распределенной нагрузки 51§ 6. Пластина, опертая в центре 52§ 7. Пластина с жестко закрепленным контуром 61Глава вторая. Симметричный изгиб кольцевых пластин посто¬
янной толщины 81§ 8. Пластина, свободно опертая по наружному контуру .... 81
§ 9. Пластина с центральным абсолютно жестким диском, свободноопертая по наружному контуру 98§ 10. Пластина, свободно опертая по внутреннему контуру . . . 101
§ 11. Пластина, внутренний контур которой оперт, а внешний проги¬
бается, но не поворачивается, под действием нагрузки, равномерно рас¬
пределенной по всей поверхности пластины 115§ 12. Пластина, свободно опертая по окружности, концентрической к
контуру, под действием нагрузки, равномерно распределенной по окруж¬
ности, расположенной между опорным и внутренним контурами . . . 117
§ 13. Пластина, жестко закрепленная по внешнему контуру . . . 117
§ 14. Пластина с центральным диском, жестко закрепленная по внеш¬
нему контуру 126§ 15. Пластина с жестко закрепленным внутренним контуром . . . 128
§ 16. Пластина, внутренний контур которой жестко закреплен, а внеш¬
ний прогибается, но не поворачивается 135§ 17. Пластина, жестко закрепленная по обоим контурам, под дей¬
ствием нагрузки, равномерно распределенной вдоль концентрической
окружности 139Глава третья. Несимметричный изгиб круглых и кольцевых пластинпостоянной толщины 141§ 18. Основные дифференциальные уравнения и зависимости ... 141
§ 19. Круглая пластина, свободно опертая по контуру . . . 143
§ 20. Круглая пластина, жестко закрепленная по контуру . . . 154
§ 21. Кольцевая пластина, жестко закрепленная по внутреннему кон¬
туру и не опертая по наружному, под действием поперечной нагрузки,
приложенной ко всей поверхности пластины и изменяющейся по закону
плоскости q — qoQCOsd 161430
§ 22. Круглая пластина под действием сосредоточенной поперечной
силы, приложенной к контуру, и уравновешенной силой и моментом,действующим на центр пластины 163§ 23. Круглая пластина, опертая в отдельных точках 168§ 24. Круглая пластина, нагруженная вдоль нескольких равностоя¬
щих радиусов 172Глава четвертая. Круглые и кольцевые пластины переменной
толщины 197§ 25. Основные дифференциальные уравнения и зависимости . . . 197
§ 26. Свободно опертая круглая пластина толщиной, убывающей отцентра по линейному закону 198§ 27. Пластина толщиной, изменяющейся вдоль радиуса по экспонен¬
циальному закону, под действием равномерной нагрузки 204§ 28. Кольцевая пластина толщиной, убывающей от центра по линей¬
ному закону, под действием поперечной нагрузки, распределенной по за¬
кону плоскости, проходящей через пластины, при любых условиях наконтуре 207§ 29. Круглая пластина переменной толщины, опертая в равностоящихточках контура 219§ 30. Круглая пластина гиперболического профиля под действием кон¬
турной нагрузки, обладающей циклической симметрией 220Глава пятая. Изгиб круглых пластин, лежащих на сплошном
упругом основании 226§ 31. Основные предпосылки расчета и классификация пластин . . 226
§ 32. Абсолютно жесткая пластина постоянной толщины под действи¬
ем нагрузки, симметричной относительно центра 226§ 33. Пластина конечной жесткости под действием нагрузки, симмет¬
ричной относительно центра 232Литература 239РАЗДЕЛ II. КРУГЛЫЕ И КОЛЬЦЕВЫЕ РЕБРИСТЫЕ ПЛА¬
СТИНЫ 240Глава первая. Симметричный изгиб круглых пластин постоян¬
ной толщины, усиленных кольцевыми ребрами . 240§ 1. Пластина с одним кольцевым ребром, свободно опертая поконтуру 240§ 2. Пластина с одним кольцевым ребром, жестко закрепленная повнешнему контуру 245§ 3. Пластина с двумя кольцевыми ребрами, свободно опертая по
внешнему контуру 247Глава вторая. Симметричный изгиб кольцевых пластин постоян¬
ной толщины с кольцевыми ребрами 251§ 4. Пластина с подкрепленным отверстием, свободно опертая поокружности, концентрической с контуром 251§ 5. Пластина с подкрепленным отверстием, жестко закрепленная по
внешнему контуру, под действием осесимметричной нагрузки . . . 255
§ 6. Пластина с подкрепленным внешним контуром, свободно опер¬
тая по этому контуру 258§ 7. Пластина с подкрепленными наружным и внутренним контурами,
свободно опертая по наружному контуру 259Глава третья. Изгиб круглых пластин, усиленных равноотстоя¬
щими радиальными ребрами 260§ 8. О методе расчета 260§ 9. Пример расчета ребристой пластины 264431
§ 10. Расчетные таблицы и пользование ими 266Литература 268РАЗДЕЛ III. ИЗГИБ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН . 270Глава первая. Техническая теория изгиба пластин . 270§ 1. Основные уравнения и соотношения 270§ 2. О методах решения 274§ 3. Переход к разностным уравнениям ...... 277§ 4. Сеточные операторы для некоторых граничных условий . 278Глава вторая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опертых
по контуру 286§ 5. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности 286§ 6. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной
по поверхности центрального прямоугольника либо вдоль отрезка осисимметрии 291§ 7. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной вцентре 298§ 8. Пластина под действием нагрузки, распределенной по законуплоскости, проходящей через опорную кромку пластины 300§ 9. Пластина под действием нагрузки в виде трехгранной призмы,
основанием которой служит равнобедренный треугольник, перпендику¬
лярный к двум кромкам пластины 3091§ 10. Пластина под действием нагрузки в виде двух прямых трех-
гранных призм с максимальными ординатами вдоль двух параллельныхкромок пластины 312§ 11. Квадратная пластина под нагрузкой в виде пирамиды . . . 313-
§ 12. Квадратная пластина под нагрузкой, распределенной по обеимдиагоналям и действующей в одну сторону 314§ 13. Квадратная пластина под нагрузкой, распределенной по обеимдиагоналям и действующей в разные стороны 315§ 14. Квадратная пластина под действием нагрузки, равномерно рас¬
пределенной по диагонали 315Глава третья. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опер¬
тых тремя кромками и жестко закрепленных четвертой 316§ 15. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности 316-§ 16. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону
плоскости, проходящей через свободно опертую кромку, с наибольшейинтенсивностью вдоль жестко закрепленной кромки 319*§ 17. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону
плоскости, проходящей через свободно опертую кромку, с наибольшей
интенсивностью вдоль параллельной ей свободно опертой кромки . 320§ 18. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону
плоскости, проходящей через жестко закрепленную кромку . . 32?Глава четвертая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко за¬
крепленных двумя противоположными кромками и свободно опертых
двумя другими 322§ 19. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности 322§ 20. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо поверхности центрального прямоугольника 325§ 21. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону
плоскости, проходящей через жестко закрепленную кромку .... 337
§ 22. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону
плоскости, проходящей через свободно опертую кромку 338432
Глава пятая. Изгиб прямоугольных пластин с частично закреп¬
ленным контуром 340§ 23. Пластина, жестко закрепленная двумя кромками, сходящимися
в вершине, и свободно опертая двумя другими, под действием равномер¬
но распределенной нагрузки 340§ 24. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно
опертая четвертой, под действием равномерной нагрузки . . . . 341
§ 25. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно
опертая четвертой, под нагрузкой, распределенной по закону плоскости,проходящей через свободно опертую кромку 343§ 26. Пластина, жестко закрепленная тремя кромками и свободно
опертая четвертой, под нагрузкой, распределенной по закону плоскости,
проходящей через закрепленную кромку 344Глава шестая. Изгиб прямоугольных пластин с жестко закреп¬
ленным контуром 345§ 27. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности . 345§ 28. Пластина под действием нагрузки, распределенной по законуплоскости, проходящей через контур пластины 346§ 29. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной
в центре 347Глава седьмая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опер¬
тых тремя кромками и неопертых четвертой 351§ 30. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности 351§ 31. Пластина под действием нагрузки, распределенной по законуплоскости, проходящей через неопертую кромку 354§ 32. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойвдоль неопертой кромки 355§ 33. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложеннойв центре 356§ 34. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной
посредине свободной кромки 359Глава восьмая. Изгиб прямоугольных пластин, свободно опер¬
тых двумя параллельными кромками, жестко закрепленных третьей и
неопертых четвертой 362§ 35. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности пластины 362§ 36. Пластина под действием нагрузки, распределенной по законуплоскости, проходящей через неопертую кромку 364§ 37. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной
к середине свободной кромки 365Глава девятая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко закреп¬
ленных двумя противоположными кромками, свободно опертых третьей
я неопертых четвертой кромкой 366§ 38. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности пластины 366§ 39. Пластина под действием нагрузки, распределенной по законуплоскости, проходящей через свободно опертую кромку 367§ 40. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределенной
вдоль неопертой кромки . 368433
Глава десятая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко закреп¬
ленных тремя кромками и неопертых четвертой 369’§ 41. Пластина под действием равномерно распределенной нагрузки . 369
§ 42. Пластина под действием нагрузки, распределенной по законуплоскости, проходящей через неопертую кромку 370§ 43. Пластина под действием нагрузки, распределенной по закону
плоскости, проходящей через жестко закрепленный кран, параллельныйсвободной кромке 370§ 44. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложеннойв центре 372-§ 45. Пластина под действием силы, приложенной посредине свобод¬
ной кромки 375Глава одиннадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, две про¬
тивоположные кромки которых жестко защемлены и две другие неоперты 378;§ 46. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности 378§ 47. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложеннойв центре 380'§ 48. Пластина под действием сосредоточенной силы, приложенной
посредине свободной кромки 38!Глава двенадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, жестко
защемленных по двум сторонам, сходящимся в одной вершине, и неопер¬
тых двумя другими 383§ 49. Пластина под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности 383§ 50. Пластина под действием сосредоточенной силы 385Глава тринадцатая. Изгиб прямоугольных пластин, опираю¬
щихся в углах на несмещаемые опоры 390§ 51. Пластина, опертая по четырем углам, под действием нагрузки,равномерно распределенной по всей поверхности 390§ 52. Прямоугольная пластина, свободно опертая одной стороной и
двумя вершинами, под действием нагрузки, равномерно распределеннойпо всей поверхности 391§ 53. Прямоугольная пластина, опертая двумя смежными сторонами
и вершиной, под действием нагрузки, равномерно распределенной по всей
поверхности 394Глава четырнадцатая. Изгиб квадратной пластины на уп¬
ругих опорах под действием равномерно распределенной нагрузки 395§ 54. Пластина, свободно лежащая двумя параллельными кромками
на жестких опорах и двумя другими — на упруго оседающих балках 395
§ 55. Пластина, свободно лежащая по периметру на упруго оседаю¬
щих балках одинаковой жесткости 396Глава пятнадцатая. Изгиб многопролетных пластин . 397§56. Бесконечная пластина, опертая в вершинах прямоугольной сет¬
ки, под действием равномерно распределенной нагрузки 397§ 57. Трехпролетная пластина под действием нагрузки, равномернораспределенной по поверхности двух панелей 399§ 58. Трехпролетная пластина под действием нагрузки, равномерно
распределенной по средним линиям, параллельным промежуточным опо¬
рам 399§ 59. Приближенный расчет многопролетных пластин, состоящих из
прямоугольных панелей 400434
§ 60. Приближенный расчет безбалочного перекрытия, опирающегося
на несколько рядов равноотстоящих колонн, под действием равномернораспределенной нагрузки 405§ 61. Квадратная, шарнирно опертая по контуру пластина, поддержи¬
ваемая четырьмя промежуточными колоннами 407Глава шестнадцатая. Изгиб ортотропных пластин 408§ 62. Приближенная теория расчета 408§63. Свободно опертая по периметру пластина под действием равно¬
мерно распределенной нагрузки 410§ 64. Пластина, двумя параллельными сторонами свободно опертая и
двумя другими, жестко защемленная под действием равномерно распре¬
деленной нагрузки 414§ 65. Свободно опертая полоса под действием нагрузки, равномернораспределенной по прямой, перпендикулярной к опорам 415§ 66. Свободно опертая полоса под действием сосредоточенной силы,
приложенной на оси полосы 416Глава семнадцатая. Прямоугольные ребристые пластины под
действием равномерно распределенной нагрузки 417§ 67. Приведенные жесткости ребристых и гофрированных пластин 417
§ 68. Свободно опертая пластина, усиленная большим числом ребер . 421
§ 69. Пластина, защемленная по всему периметру и подкрепленнаяпосредине одним ребром 423§ 70. Пластина, жестко защемленная по контуру и подкрепленнаядвумя параллельными ребрами 425§ 71. Пластина, жестко защемленная по контуру и усиленная тремяпараллельными ребрами 426§ 72. Пластина, свободно опертая тремя сторонами и снабженнаяпрямоугольным ребром на четвертой кромке 427§ 73. Полоса, свободно опертая по краям и усиленная рядом равно¬
отстоящих ребер 427Литература 428
605В14УДК 624.07В а й н б е р г Д. В., В а й н б е р г Е. Д.Расчет пластин. 1970, стр. 436.Книга содержит формулы, таблицы и примеры
расчета пластин, применяемых в строительстве,
гидротехнике, на транспорте, в судостроении,
авиации, машиностроении и других отраслях тех¬
ники.Рассматриваются круглые, кольцевые и прямо¬
угольные пластины постоянной и переменной жест¬
кости, пластины, усиленные системой ребер,
а также пластины из анизотропных материалов,
находящиеся под действием распределенных и
местных нагрузок при различных краевых усло¬
виях.Книга рассчитана на инженеров-конструкторов
всех специальностей, аспирантов, студентов и на
научных работников.Рисунков 222. Таблиц 390. Библиография из
50 позиций.2—4—26I-70M
ДАВИД ВЕНИАМИНОВИЧ ВАЙНБЕРГ,
ЕВГЕНИЯ ДАВИДОВНА ВАЙНБЕРГ
РАСЧЕТ ПЛАСТИНРедакторы Э. А. Полторацкая, В. А. Кочан
Обложка художника Я. Ф. Кормыло
Художественный редактор Я. С. Величко
Технические редакторы М. Г. Минченко, О. Г. Кущеенко
Корректоры В. Б. Полищук, С. Я. КрасильниковаБФ 40588. Сдано в набор 10. XI. 1969 г. Подписано к печати 28. VIII. 1970. Бумага
типографская № 2, 60X90*/ie= 13,625 бумажных, 27,25 физ. и уел. печатных, 20,2 уч.-изд. л.
Тираж 7500. Цена 2 руб. 14 коп. Зак. 511.Издательство «Буд1вельник», Киев, Владимирская, 24.Киевская книжная типография № 6, Киев, Выборгская, 84.