/
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ
ISBN: 5-211-03645-Х
Текст
СБОРНИК ЗАЙМ
И УПРАЖНЕНИЙ
:оЛГ „диг ; ; -_м:<
НАЛ/ 1У
Б.П.ДЕМИДОВИЧ
СБОРНИК ЗАДАЧ
И УПРАЖНЕНИЙ
ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
13-е издание, исправленное
Рекомендовано Государственным комитетом
Российской Федерации по высшему образованию
в качестве учебного пособия
для студентов математических и физических
специальностей высших учебных заведений
Издательство
Московского университета
Издательство ЧеРо
1997
ББК 22.161
ДЗО
УДК 517(075.8)
Рецензент: кафедра высшей математики МФТИ
Печатается по постановлению
Редакционно-издательского совета
Московского университета
Демидович Б.П.
ДЗО Сборник задач и упражнений по математи-
ческому анализу: Учеб, пособие. — 13-е изд.,
испр. — М.: Изд-во Моск, уи-та, ЧеРо, 1997.
— 624 с.
ISBN 5-211-03645-Х
В сборник (11-е изд. — 1995 г.) включено свыше 4000 задач и
упражнений по важнейшим разделам математического анализа:
введение в анализ; дифференциальное исчисление фукнцнй одной
переменной; неопределенный и определенный интегралы; ряды;
дифференциальное исчисление функций нескольких переменных;
интегралы, зависящие от параметра; кратные и криволинейные ин-
тегралы. Почти ко всем задачам даны ответы. В приложении поме-
шены таблицы.
Для студентов физических и механико-математических специ-
альностей высших учебных заведений.
Учебное издание
Демидович Борис Павлович
СБОРНИК ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Заа. редакцией Л.А.Николова.
Художественный редактор Л.В.Мухина.
Н/К
ЛР J* 040414 от 18.04.97.
Подписано печать 3.06.96. Формат 84x108/32. Бумага офсетная.
Офсетвая печать. Усл. печ. л. 82,2. Тираж 6000 экз.
Изд. J* 8151. Заказ J* 2383
Ордена “Звак Почета* издательство Московского университета
103009, Москва, Большая Никитская ул., 5/7
Издательство “ЧеРо*
Москва, Большой Власьевский пер., д. 11, к. 208
т. 241 3390, 938 2348
Великолукская городская типография Уприиформвечатв Псковской
области, 182100, г. Великие Луки, ул. Полиграфистов, 78/12
ISBN 5-211-03645-Х © Демидович Б.П.,1996
БОРИС ПАВЛОВИЧ ДЕМИДОВИЧ
(1906-1977)
ОГЛАВЛЕНИЕ
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Отдел I. Введение анализ ....................................................... 7
§ 1. Вещественные числа ..................... 7
§ 2. Теория последовательностей.......12
§ 3. Понятие функции .....................26
§ 4. Графическое изображение функции .... 35
§ 5. Предел функции .......................47
§ 6. О-снмволнка .......................72
§ 7. Непрерывность функции .......................77
§ 8. Обратная функция. Функции, заданные пара-
метрически 87
§ 9. Равномерная непрерывность функции ... 90
§ 10. Функциональные уравнения..........94
Отдел II. Дифференциальное исчисление функций од-
ной переменной ................................ 96
§ 1. Производная явной функции ..............................................96
§ 2. Производная обратной функции. Производнаи
функции, заданной параметрически. Производ-
ная функции, заданной в неявном виде . . . .114
§ 3. Геометрический смысл производной.......................................117
§ 4. Дифференциал функции...................................................120
§ 5. Производные и дифференциалы высших поряд-
ков .........................................124
§ 6. Теоремы Ролля, Лагрвнжа и Кошн .... 134
§ 7. Возрастание и убывание функции. Неравен-
ства ........................................................................140
§ 8. Направление вогнутости. Точки перегиба . . 144
§ 9. Раскрытие неопределенностей ...........................................147
§ 10. Формула Тейлора........................................................151
§ 11. Экстремум функции. Наибольшее и наимень-
шее значения функции ........................156
§ 12. Построение графиков функции по характер-
ным точкам ..................................................................161
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций . . . 164
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта 167
j 15. Приближенное решеине уравнений .... 170
Отдел III. Неопределенный интеграл...............172
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы ... 172
§ 2. Интегрирование рациональных функций . . . 184
§ 3. Интегрирование некоторых иррациональных
функций .....................................187
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций 192
§ 5. Интегрирование различных трансцендентных
функций .....................................198
§ 6. Разные примеры на интегрирование функций 201
Отдел IV. Определенный интеграл .................204
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы . . 204
§ 2. Вычисление определенных интегралов с по-
мощью неопределенных ........................208
§ 3. Теоремы о среднем ....................219
§ 4. Несобственные интегралы ..............223
§ 5. Вычисление площадей ..................230
§ 6. Вычисление длин дуг ..................234
§ 7. Вычисление объемов....................236
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения 239
§ 9. Вычисление моментов. Координаты центра тя-
жести .......................................240
§ 10. Задачи из механики и физики ..........242
§ 11. Приближенное вычисление определенных инте-
гралов ......................................244
Отдел V. Ряды ...................................246
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости знако-
постоянных рядов.............................246
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов 259
§ 3. Действия над рядами...................267
§ 4. Функциональные ряды ................ 268
§ 5. Степенные ряды........................281
§ 6. Ряды Фурье ...........................294
§ 7. Суммирование рядов ...................300
§ 8. Нахождение определенных интегралов с по-
мощью рядов..................................305
§ 9. Бесконечные произведения..............307
§ 10. Формула Стирлинга ....................314
§ 11. Приближение непрерывных функций много-
членами .....................................315
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Отдел VI. Дифференциальное исчисление функций
нескольких переменных ...........................318
§ 1. Предел функции. Непрерывность..........318
§ 2. Частные производные. Дифференциал функ-
ции .........................................324
§ 3. Дифференцирование неявных функций .... 338
§ 4. Замена переменных .....................348
<5 5 . Геометрические приложения ............361
§ 6. Формула Тейлора .......................367
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных 370
Отдел VII Интегралы, зависящие от параметра . . 379
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 379
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от пара-
метра. Равномерная сходимость интегралов 385
§ 3. Дифференцирование н интегрирование несоб-
ственных интегралов под знаком интеграла . . 392
§ 4. Эйлеровы интегралы....................... 400
§ 5. Интегральная формула Фурье ................404
Отдел VIII. Кратные н криволинейные интегралы . 406
§ 1. Двойные интегралы..................406
§ 2. Вычисление площадей ................. , 414
§ 3. Вычисление объемов.................416
§ 4. Вычисление площадей поверхностей .... 419
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике 421
§ 6. Тройные интегралы..................424
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных инте-
гралов .......................................428
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике 431
$ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы 435
§ 10. Многократные интегралы ...................439
§ 11. Криволинейные интегралы ..................443
§ 12. Формула Грнна ............................452
§ 13. Физические приложения криволинейных инте-
гралов . 456
§ 14. Поверхностные интегралы............460
§ 15. Формула Стокса ...........................464
§ 16. Формула Остроградского ...................466
§ 17. Элементы теории поля...............471
Отаеты .............................................480
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ФУНКЦИИ ОДНОЙ НЕЗАВИСИМОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
ОТДЕЛ I
ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
§ 1. Вещественные числа
1°. Метод математической индукции. Чтобы
доказать, что некоторая теорема верна для всякого натурального
числа п, достаточно доказать: 1) что эта теорема справедлива для
п = I и 2) что если эта теорема справедлива для какого-нибудь
натурального числа п, то она справедлива также и для следующе-
го натурального числа п -j- 1.
2°: Сечение. Разбиение рациональных чисел на два клас-
са А и В называется сечением, если выполнены следующие усло-
вия: 1) оба класса не пусты; 2) каждое рациональное число по-
падает в один и только в один класс и 3) любое число, принадле-
жащее классу А (нижний класс), меньше произвольного числа,
принадлежащего классу В (верхний класс). Сечение А/В опреде-
ляет: а) рациональное число, если или нижний класс А имеет наи-
большее число илн же верхний класс В имеет наименьшее число, и
б) иррациональное число, если класс А не имеет наибольшего
числа, а класс В — наименьшего числа. Числа рациональные и
иррациональные носят название вещественных или действитель-
ных *).
3°. Абсолютная величина. Если х — вещественное
число, то абсолютной величиной\х\ называется неотрицательное
число, определяемое следующими условиями:
— х, если х < 0;
х, если х >0.
Для любых вещественных чисел х и у имеет место неравенство
|х|-|у|^1*+у1С|х| + |у|.
4°. Верхняя и ннжняя грани. Пусть X = {х}—•
ограниченное множество вещественных чисел. Число
т = inf {х}
называется нижней гранью множества X, если:
*) В дальнейшем под словом число мы будем понимать
вещественное число, если ие оговорено противное.
8 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
I) каждое х£Х*) удовлетворяет неравенству
х>т;
2) каково бы ни было е > 0, существует x'G X такое, что
х' < т + е.
Аналогично число
М — sup {х)
называется верхней гранью множества X, если:
1) каждое х£Х удовлетворяет неравенству
х < М,
2) для любого е > 0 существует х"6 X такое, что
х' > М — е.
Если множество X не ограничено снизу, то принято говорить,
что
inf {х) = — оо;
если же множество X не ограничено сверху, то полагают
sup (xj =4-00.
5®. Абсолютная н относительная погреш*
Н о с т и. Если а (а >#> 0) есть точное значение измеряемой вели*
чины, а х — приближенное значение этой величины, то
Д = |х — о|
называется абсолютной погрешностью, а
— относительной погрешностью измеряемой величины.
Говорят, что число it имеет п верных знаков, если абсолютная
погрешность этого числа ие превышает половины единицы раз*
ряда, выражаемого л-й значащей цифрой.
Применяя метод математической индукции, доказать,
что для любого натурального числа п справедливы сле-
дующие равенства:
1. 1+2+ . . . +п = 2^-±-^-.
*) Запись х£ X означает, что число х принадлежит миоже*
ству X.
2. 1*4-2®+ . . | п® — я -*•!) <2я + О
3. 1® + 2®+ . . . +«’ = (!+2+ . . . +п)®.
4. 1 + 2 + 2® + . . . + 2"-1 = 2" — 1.
5. Пусть rf"! = а (а — Л). . . [а — (п — 1) h J и
о») = 1.
Доказать, что (а + &)1"1= £ С"а1п~тУт\ где С? —
ГП »0
число сочетаний из п элементов по т. Вывести отсюда
формулу бинома Ньютона.
6. Доказать неравенство Бернулли:
(1 + xt)(l + х2) . . . (1 + х„) >
> 1 + + X, + ... + х„.
где Xi, xit . . хп — числа одного и того же знака,
большие — 1.
7. Доказать, что если х>—1, то справедливо не-
равенство
(1 + х)п > 1 + пх (п > 1),
причем знак равенства имеет место лишь при х «= 0.
8. Доказать неравенство
У при п>1.
Указание. Использовать неравенство
(п + 2 Y+> /, , 1 \"+1
9. Доказать неравенство
21-41 . . . (2п)!>[(« +1)1 при л>1.
10. Доказать неравенство
1____3_ 2п — 1 1
2 4 2п V2n+ 1 '
10.1. Доказать неравенства:
1+~7Г+-7Г + -"+-7^>^г <л:>2*
б) пп+1 > (п + 1)п (п > 3):
в)
sin
п
У, sinxA
А=1
(0 с хк < я;
£=!, 2........л);
г) (2п)!<22л(л!)1.
11. Пусть с — положительное число, не являющееся
точным квадратом целого числа, и А/В — сечение, опре-
деляющее вещественное число л/с, где в класс В входят
все положительные рациональные числа b такие, что
Ьг с, а в класс А — все остальные рациональные числа.
Доказать, что в классе А нет наибольшего числа, а
в классе В нет наименьшего числа.
12. Сечение A/В, определяющее число У2 , строится
следующим образом: класс А содержит все рациональные
числа а такие, что а3 < 2; класс В содержит все осталь-
ные рациональные числа. Доказать, что в классе А нет
наибольшего числа, а в классе В — наименьшего.
13. Построив соответствующие сечения, доказать ра-
венства:
а) 7^ + 78" = 718"; б) 72 7з" = Тб".
14. Построить сечение, определяющее число 2VT
15. Доказать, что всякое непустое числовое множе-
ство, ограниченное снизу, имеет нижнюю грань, а всякое
непустое числовое множество, ограниченное сверху,
имеет верхнюю грань.
16. Показать, что множество всех правильных раци-
ональных дробей mln, где тип — натуральные числа и
0 < т < п, не имеет наименьшего и наибольшего эле-
ментов. Найти нижнюю и верхнюю грани этого мно-
жества.
17. Определить нижнюю и верхнюю грани множества
рациональных чисел г, удовлетворяющих неравенству
г3 < 2.
18. Пусть {—х} — множество чисел, противополож-
ных числам х€{х}. Доказать, что
a) inf{—х} =—sup{x}; б) sup(—х} =—inf {х}.
19. Пусть {х + у} есть множество всех сумм
х + у, где х£ {х} и у €{у}.
Доказать равенства:
a) inf {х + у} — inf {х} + inf {у};
б) sup {х + у} — sup {х} + sup {у}.
20. Пусть {ху} есть множество всех произведений ху,
где хС {х} и у £{у}, причем X > 0 и у > 0.
Доказать равенства:
a) inf {ху} = inf(x}- inf {у};
б) sup {ху} = sup(x}-sup {у}.
21. Доказать неравенства:
а) |х —г/| >||х| — |^||;
б) |х + Xj + . . . + х„| >
>1*1 -(1*11 + ... + 1*Л
Решить неравенства:
22. |х+1|<0,01. 23. |х—2|>10.
24. |х|>|х-|- 11. 25. |2х—1|<|х—11.
26. |х+2|+|х—2| < 12. 27. |х+2|—|х|>1.
28. ||х + 1|—I*—1||<1. 29. |х(1— х)|<0,05.
30. Доказать тождество
31. При измерении длины в 10 см абсолютная погреш-
ность составляла 0,5 мм; при измерении расстояния
в 500 км абсолютная погрешность была равна 200 м.
Какое измерение точнее?
32. Определить, сколько верных знаков содержит
число х = 2,3752, если относительная погрешность этого
числа составляет I %?
33. Число х — 12,125 содержит 3 верных знака.
Определить, какова относительная погрешность этого
числа.
34. Стороны прямоугольника равны:
х = 2,50 см ± 0,01 см, у — 4,00 см ± 0,02 см.
В каких границах заключается площадь S этого прямо-
угольника? Каковы абсолютная погрешность Д и относи-
тельная погрешность 6 площади прямоугольника, если
за стороны его принять средние значения?
35. Вес тела р = 12,59 гс ± 0,01 гс, а его объем
v — 3,2 см3 ± 0,2 см3. Определить удельный вес тела
и оценить абсолютную и относительную погрешности
удельного веса, если за вес тела и объем его принять
средние значения.
36. Радиус круга г = 7,2 м ± 0,1 м. С какой мини-
мальной относительной погрешностью может быть опре-
делена площадь круга, если принять п = 3,14?
37. Измерения прямоугольного параллелепипеда
суть:
х = 24,7 м ± 0,2 м,
у = 6,5 м ± 0,1 м,
z = 1,2 м ± 0,1 м.
В каких границах заключается объем о этого параллеле-
пипеда? С какими абсолютной и относительной погреш-
ностями может быть определен объем этого параллеле-
пипеда, если за его измерения принять средние значения?
38. С какой абсолютной погрешностью следует изме-
рить сторону квадрата х, где 2 м < х < 3 м, чтобы
иметь возможность определить площадь этого квадрата
с точностью до 0,001 м2?
39. С какими абсолютными погрешностями Л доста-
точно измерить стороны х и у прямоугольника, чтобы
площадь его можно было вычислить с точностью до
0,01 м2, если ориентировочно стороны прямоугольника
не превышают 10 м каждая?
40. Пусть 6 (х) и б (у) — относительные погрешности
чисел х и у, 6 (ху) — относительная погрешность числа
Доказать, что 6 (ху) < 6 (х) + 6 (у) 4- 6 (х)6 (у).
§ 2. Теория последовательностей
1°. Понятие предела последовательно-
сти. Говорят, что последовательность xlf ж2...х„, . . ., или
иначе х„ (п = 1, 2, . . .), имеет своим пределом число а (короче,
сходится к о), т. е.
lim хп = а,
П->00
еслв для любого е > 0 существует число N = N (в) такое, что
I хп — а | < е при n > AL
В частности, хп называется бесконечно малой, если
Пт хп — 0.
П-ХМ
Последовательность, не имеющая предела, называется расходя*
щейся.
2°. Признаки существования предела.
1) Если
Уп хп гп
U
Пт уп = Пт гп — с,
П—>оо П->оо
то
Нт хп = с.
п-+оо
2) Монотонная и ограниченная последовательность имеет
предел.
3) Критерий Коши. Для существования предела
последовательности х„ необходимо и достаточно, чтобы для лю-
бого в > 0 существовало число N — N (е) такое, что
1*л —«л+рКе.
если только n > N и р > 0.
3° . Основные теоремы о пределах после-
довательностей. Предполагая, что существуют
lim хп и Пт Ул,
П-+ОО П-*-оо
имеем:
1) если *лСул. то Нт xn^lim у„;
2) lim (*„ ± у„) = Пт хп ± Нт уп;
ОО П>*00 П->оо
3) Нт (х„Уп) = lim хп lim уп;
П~*оо П—*оо П->ао
lim х„
4) lim ------- = —----------’ если ',т Ул^О-
л-»оо Уп Нт уп пчоо
П->ОО
4°. Число е. Последовательность
(в = 1, 2,...)
имеет конечный предел
lim (14- —Y = e = 2,718 281 8284. . .
О-ооо \ П /
5е. Бесконечный предел. Символическая запись
lim хп = оо
П-*30
обозначает, что, каково бы ин было Е > 0, существует число
Л’ = W (Е) такое, что
| хп | > Е при л> N.
6°. Предельная точка. Число £ (или символ оо)
называется частичным пределом {предельной точкой) данной
последовательности хп (п = 1, 2, . . .), если существует ее
подпоследовательность
х₽1’ х₽г- • • • • хоп> ••• (1 Pi < Рг < • • •)
такая, что
lim хРп = g.
Всякая ограниченная последовательность имеет по меньшей
мере один конечный частичный предел (принцип Больцано — Вей-
ерш трасса). Если этот частичный предел единственный, то он же
является конечным пределом данной последовательности.
Наименьший частичный предел (конечный или бесконечный)
последовательности хп
lim *л
Г1-.ЭС
называется нижним пределом, а наибольший частичный предел ее
lim хп
л-+зо
называется верхним пределом этой последовательности.
Равенство
lim хп = lim хп
П-*-00
является необходимым и достаточным условием существования
предела (конечного или бесконечного) последовательности хп.
41. Пусть
Х„ = —- (п=1, 2,...).
Доказать, что
lim хп = 1,
И->оо
определив для каждого е > О число N = N (е) такое, что
| хп — 11 < е, если n > N.
Заполнить следующую таблицу:
е 0,1 0,01 0,001 0,0001 • • •
N
42. Доказать, что хп (п = 1, 2, . . .) есть бесконечно
малая (т. е. имеет предел, равный 0), указав для всякого
е > 0 число, N = N (е) такое, что | хп | < е при п > N,
еслп
Для каждого из этих случаев заполнить следующую
таблицу:
8 0,1 0,001 0,0001 • • *
N
43. Доказать, что последовательности
а) хп = (—1)лп, б) = в) x„ = lg(lgn) (л>2)
имеют бесконечный предел при п -*• оо (т. е. являются
бесконечно большими), определив для всякого Е > 0
чиело N — N (Е) такое, что |х„ | > Е при п > N.
Для каждого из этих случаев заполнить следующую
таблицу:
£ 10 100 1000 10 000 • • •
44. Показать, что хп = п<гГ>п (п — 1, 2, . . .) не
ограничена, однако не является бесконечно большой
при п -> ОО.
45. Сформулировать с помощью неравенств следую-
щие утверждения:
a) limx„ = oo; б) lim хп =—оо; в) lim хп =4-00.
Предполагая, что п пробегает натуральный ряд чисел,
определить значения следующих выражений:
46.
lim
Л—►ОО
ЮОООп
пг + 1
47. lim {'s/п 4- 1 —Vя)-
48. lim ->-n-2-sin^ .
П-»-оо Л 4" 1
50. lim -1.+ a + a;+ •
л->оо 1 4~ 4~ 4“
49. lim .. -1-2Г+3"
n-oo ( - 2)"+l 4- 3"+l
J_ nn _ .
. + bn
51.
52. lim J-_^- + -3-_...+J.-1)?22-
n~+<x П fl П n
53. limf—
Л— 00 L П3
2» 1 — n2
n3 “Г ' ‘ ‘ n3
KA !• Г 12 1 32
54. lim---------1----
л-*оо L n3 n3
, (2r>—1)*
' n3
55. limf—
«-«A 2 2* 23
56. lim Г—!---1---!-----1- . . . 4-
n-oo L 1 -2 2-3
57. lim (л/2 yr2 y/~2 . . . \r'.
rt-*oo
Доказать следующие равенства:
2n — 1
+ l2”
1
n (n+ 1)
58. lim—^-=0. 59. lim-^—=0.
Л—►oo 2n n->oo n!
60. lim—=0 (a>l). 61. lim—= 0.
fl-*OO On П-^-OQ /l!
62. limnQn = 0, если |<?|<1.
63. Iim^=l (a>0). 64. lim - = 0 (a>l).
n-*00 n~*<30 fl
65. lim Yn = 1. 66. lim —= 0.
Л-+-00 Л-+ОО ?/” mI
67. Какое выражение больше при достаточно боль-
ших п:
а) 100л + 200 или 0,01п2?; б) 2я или п1000?;
в) 1000я или п!?
68. Доказать, что
limf—
п-*оо \ 2 4
2п )
Указание. См. пример 10.
69. Доказать, что последовательность
Хп=(1+4~)"(л=1>2> • • J
монотонно возрастает и ограничена сверху, а последо-
вательность
i/n=(i+4-)n+1(«=1’2. • • •)
монотонно убывает и ограничена снизу. Отсюда вывести,
что эти последовательности имеют общий предел
lim (1 4- ——Y = lim fl 4——У+' — е.
Я-»оо \ П / П-^х \ П /
Указание. Составить отношения--, --- и восполь-
хп Уп—i
зоваться неравенством примера 7.
70. Доказать, что
0<е—fl+— У<— (п=1, 2, . . .).
\ л / п
При каких значениях показателя п выражение (1 4——)
будет отличаться от числа е меньше чем на 0,001?
71. Пусть рп/(п =1, 2, . . .) — произвольная по-
следовательность чисел, стремящаяся к +оо, и qn (п =
= 1,2,...) — произвольная последовательность чисел,
стремящаяся к — оо (рп, qn£ [—1, 0]). Доказать, что
lim fl 4- —Yn = lim f 1 4-—Y" = e.
П-Р-ОО \ Pn J П-+ОО \ Qn /
(1 \n
1 4---J = e, доказать, что
lim fl4- 1 4—, +_L\=e.
n->oo\ 21 31 n! J
Вывести отсюда формулу
е = 2 4—-—|—-—
21 31
1 е„
nl nln
(*)
Где 0 < 0„ < 1, и вычислить число е с точностью до 10~5.
73. Доказать, что число е иррационально.
74. Доказать неравенство
75. Доказать неравенства:
а) —L-<ln(14-—)< —,
' п+ 1 \ п ) п
где п — любое натуральное число;
б) 1 4- а < а“,
где а — вещественное число, отличное от нуля.
76. Доказать, что lim п (а1/я — 1) = 1п а (а> 0)’,
п->со
где In а есть логарифм числа а при основании е=2,718 .. .
Пользуясь теоремой о существовании предела моно-
тонной и ограниченной последовательности, доказать
сходимость следующих последовательностей:
П. (,.1. 2,. . .),
где pi (i == 0, 1, 2, . . .) — целые неотрицательные чис-
ла, не превышающие 9, начиная с рх.
7я г 10 11 п + 9
/О. Хп -------- ... --------I
1 3 2п — 1
— 0-4-)0~4-) -0-^г-)-
80. ^-(|+4-)(1+-Ь)-- О+^г)-
81. х1®=д/2', x2 = /\/2+V2'. • • •» хп =
= a/2+V2+ . . . .
п корней
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость сле-
дующих последовательностей:
82. хп = аа + axq + . . . Л-а^,
где |а*| < М (k = 0, 1, 2, . . .) и | | < 1.
83. sin 1 , sin 2 , , sin п * ' 2- ~
84. cos 1! , cos 21 , , cosn! xn — h . . . 4 1-2 2-3 »(n + l)
85. , . 1 , 1 , ,1 Xn - 1 1 2г 1 Зг 1 ' * ' 1 я« ’
Указание. Воспользоваться неравенством
1 1 1
— <--------------:-----------
л- л — 1 п
(л = 2, 3, . .
86. Говорят, что последовательность хп (п = 1,
2, . . .) имеет ограниченное изменение, если существует
число С такое, что
I х2 — хг | Ч- | х3 — х j | Ч* . . . + | хл — х„_! | < С
(п = 2, 3, . . .)•
Доказать, что последовательность с ограниченным из-
менением сходится.
Построить пример сходящейся последовательности,
не имеющей ограниченного изменения.
87. Сформулировать, что значит, что для данной по-
следовательности не выполнен критерий Коши.
88. Пользуясь критерием Коши, доказать расходи-
мость последовательности
89. Доказать, что если последовательность хп (п =
= 1, 2, . . .) сходится, то любая ее подпоследователь-
ность хРп также сходится и имеет тот же самый предел:
lim хр = lim х„.
П-+О9 П-*ао
90. Доказать,- что монотонная последовательность
будет сходящейся, если сходится некоторая ее подпосле-
довательность.
91. Доказать, что если lim хп == а, то
Л-►оо
lim |х„| = |а|.
л-*яо
20 ОТДЕЛ ! ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
92. Если х„ -> а, то что можно сказать о пределе
lim _£а±1_?
П-.ОО хп
93. Доказать, что сходящаяся числовая последова-
тельность ограничена.
94. Доказать, что сходящаяся числовая последова-
тельность достигает либо своей верхней грани, либо своей
нижней грани, либо той и другой. Построить примеры по-
следовательностей всех трех типов.
95. Доказать, что числовая последовательность
х„ (п — 1, 2, . . .), стремящаяся к + <ю, обязательно
достигает своей нижней грани.
Найти наибольший член последовательности хп (п =
» 1, 2, .. .), если:
96. х„ = -£-. 97. х„ =
У?—. 98. х„ = =
100+ п л!
Найти наименьший член последовательности хп (п
= 1,2, . . .), если:
99. хп==п*—9п—100. 100. х„ = п + —
п
Для последовательности х„ (n = 1, 2, . . .) найти
inf х„, sup х„, Нт хп и lim х„ , если:
101. х„ = 1-1-. 101.1.х„ = (-1)«-1(2 + -5-у
102. Хп=-±^+ 1 +
п 2
103. х„ — 1 +—-—cos--.
п л+ 1 2
104. Хягв1+2(-1)»+« + 3.(-1)“^
105. хП =J—cos ——. 106. х„ = (-1)"л.
л + 1 3
107. х„ = —п [2+(—!)»]. 108. xn = n<-’>".
109. x„=l+nsin-==-. 110. х„ = —-
4 П **“
Найти lim хп и lim хп, если:
111. Л—>00 л2 2ля х — cos . 1 +Л з
112. Хя == (! + 4“)" (-1)" + Sin .
113. п . • ля х„ = sm* . п + 1 4
114. хп = ? 1+2п-<-,)П- 115. x„ = cos'1-^-. о
Найти частичные пределы следующих последователь-
ностей:
3 17 1
—| - * —— * . . . у
4 8 8 2”
2п —1
2" ’ * ’ *
117. 1. —, 1+—,
2 2
J_, i+J_, _1_ + _
4 4 2
1.1 1
1 1________1_ 1
4 ’ 3 + 4 ’ 5 ’
----------------------- +_L,..., _1—+ -L,
п-------------------п 2 п п — 1л
1
»+1 ” "
118. J-, -L, -L, JL, —, _1_,
2 3 3 4 4 4 5
2 3 4
5 ’ 5 ’ 5 ’ “ ‘
119. = ---1-^ + 2(-1)".
120, *п = -~ [(п+ &) + (—1)п(а—Ь)].
*
г
121, Построить пример числовой последовательности,
имеющей в качестве своих частичных пределов данные
числа
Ид, • • •» Пр.
122. Построить пример числовой последовательности,
для которой все члены данной числовой последователь-
ности
^1> • • •» • • •
являются ее частичными пределами. Какие еще частич-
ные пределы обязательно имеет построенная последова-
тельность?
123. Построить пример последовательности:
а) не имеющей конечных частичных пределов;
б) имеющей единственный конечный частичный пре-
дел, но не являющейся сходящейся;
в) имеющей бесконечное множество частичных пре-
делов;
г) имеющей в качестве своего частичного предела
каждое вещественное число.
124. Доказать, что последовательности хп и у„ =
= ХпУп (п = 1, 2, . . .) имеют одни и те же частичные
пределы.
125. Доказать, что из ограниченной последователь-
ности хп (п ~ 1, 2, . . .) всегда можно выделить сходя-
щуюся подпоследовательность хРп (п = 1, 2, . . .).
126. Доказать, что если последовательность хп (п —
— 1, 2, . . .) не ограничена, то существует подпоследо-
вательность хр такая, что lim хр = оо.
127. Пусть последовательность хп (п — 1, 2, . . .)’
сходится, а последовательность уп (п = 1, 2, . . .) рас-
ходится. Что можно утверждать о сходимости последо-
вательностей:
а) хп + уп-, б) хпуп?
Привести соответствующие примеры.
128. Пусть последовательности хп и уп (п — 1,
2, . . .) расходятся. Можно ли утверждать, что последо-
вательности
а) хп + уп; б) хпуп
также расходятся? Привести соответствующие примеры.
129. Пусть lim хп = 0, и уп (п = 1, 2, . . .) —
произвольная последовательность. Можно ли утвер-
ждать, что lim хпуп — 0? Привести соответствующие
л-*оо
примеры.
130. Пусть
lim x„i/„ = 0.
л-*эо
Следует ли отсюда, что либо lim хп = 0, либо lim #„= 0?
Л-*ЭО Л-*0О
Рассмотреть пример: хп =------------, уп —-------------
0 = 1. 2, . . .).
131. Доказать, что
a) lim хп 4-lim уп < lim (хп + yn) < lim xn 4- lim yn
П-+ОО п-*ж н-*эо л-*оо л-*оо
и
6) lim xrt + lim i/n< lim (x„ + i/„) < fTm xn + fim t/4.
n->oo п—!ж n-юо Л-»ЭО
Построить примеры, когда в этих соотношениях
имеют место строгие неравенства.
132. Пусть хя>0и#п > 0 (л=1, 2, . . .). Доказать,
что
a) limxn-lim//„ < lim (хпуп) < lim xn- lim yn
n-*ao n-*ao п-*эо л->эо
И
6) lim Xn'lim#n < lim (xnyn) < lim xn-lim yn.
л-*ао n-*oo n-+tx n*-*oo
Построить примеры, когда в этих соотношениях
имеют место строгие неравенства.
133. Доказать, что если lim хп существует, то, какова
бы ни была последовательность уп (п — 1, 2, . . .),
имеем:
a) Iim(xn4-i/n) = lim хп4-Йт//„
Л->00 Л-ЬЭО Л—*00
и
б) Пт (хпуп) = liт хп • Пт уп (х„ > 0).
П->00 л->оо л-*оо
134. Доказать, что если для некоторой последователь-
ности хп (п=1, 2, . ..), какова бы ни была последователь-
ность уп (п = 1, 2, .. .), имеет место по меньшей мере
одно из равенств:
a) lim (xn + y„) = Iim xn + TTm уп
Л-*ОО Г1-+0О Л-hOQ
И ПИ
б) Tim (хпуп) = ПпГ х„ • Ши уп (х„ >0),
Л->ОО л-*оо л-*оо
то последовательность хп — сходящаяся.
135. Доказать, что если хп >0 (п = 1, 2, . . .) и
lim хп- lim —!— = 1,
Л-*-оо Л-*оо Хп
то последовательность хп— сходящаяся/
136. Доказать, что если последовательность хп (п =
= 1, 2, . . .) ограничена и Пт (хп+1—х„) = 0, то ча-
стичные пределы этой последовательности расположены
всюду плотно между ее нижним и верхним пределами:
l = limxn и L = limjcn,
^0 Я-°°
то есть любое число из отрезка [/, L1 является частич-
ным пределом данной последовательности.
137. Пусть числовая последовательность хм, xt, . . .
.... хп, . . . удовлетворяет условию
О < хт+п < хт +х„ (m, п = 1, 2, . . . ).
Доказать, что lim существует.
Л-*ос П
138. Доказать, что если последовательность хп(п = 1,
2, . . .) сходится, то последовательность средних ариф-
метических
— (*1+*2 + . . . +*п) (n—1, 2, . . .)
п
также сходится и
lim *» + *» + • •+хпюНт Ха#
П->О0 Л Л-*ОВ
Обратное утверждение неверно: построить пример.
139. Доказать, что если lim хп = + <ю, то
Н-*оо
Пт ** + **+ • - • = + оо.
Л~>оо Л
140. Домазать, что если последовательность хп (п *-
— 1, 2, . . .) сходится И Хп >0, то
lim ял . . . хп = Um хп.
п-»ло
141. Доказать, что если хп >0 (п = 1, 2, . . то
lim хп = lim ,
предполагая, что предел, стоящий в правой части по-
следнего равенства, существует.
142. Доказать, что
lim —-----= е.
я-00
143. Доказать теорему Штольца: если
а) Уп+1> Уп (« =1. 2, . . .);
б) lim уп = 4- оо, в) существует lim *я+1 ~ Хп
л-*« л-»оо У п+1 — Уп
ТО
lim -is- = lim x"+1 ~ *n .
л-»® Уп n—<*> Уп + 1 — Уп
144. Найти:
a) lim —— (a>l); 6) lim 16 n
145. Доказать, что если p — натуральное число, то
lim 1Р+2Р+ • • • + пр
л₽+1 р 4-1
<5) |im( ------_1
Л-*оо \ п? р -J- 1 / 2
в) iim • • - ч-сгл-!)» = у........
л-мо л₽+1 1
146. Доказать, что последовательность
хп=1+4-+-г+ • • • -1ПП («=>• 2-- • 1
2 □ П
СХОДИТСЯ.
Таким образом, имеет место формула
1 +—— 4—— 4” • • • 4--------= С 4-1п п4-еп1
JL о fl
где С — 0,577216 ... — так называемая постоянная
Эйлера н еп -> 0 при п -> оо.
147. Найти lim (—5-------1--5----1- • • • 4——Y
П-.ОО
Л 4- 1
«4-2
148. Последовательность чисел хп (п = 1, 2, . . .)
определяется следующими формулами:
х^а, x2 = b, xn = -Xn~1-y-n--1- (n = 3, 4.. . .).
Найти lim xn.
149 (н). Пусть xn (n — 1, 2, . . .) — последователь-
ность чисел, определяемая следующей формулой:
Хо>О, х„+1 = -у-(х„-]—) (n = 0, 1, 2, . . .).
Доказать, что limjc„ = l.
Л-*-эо
150. Доказать, что последовательности хп и уп (п =
= 1, 2, . . .), определяемые следующими формулами:
Xi = a, у! = Ь, ха+1=^/хпуп, Уп+i — Хп + ^-,
имеют общий предел
р(а, b) = lim хп = lim уп
rt->00 Л-**оо
(арифметико-геометрическое среднее чисел а и Ь).
§ 3. Понятие функции
1°. Понятие функции. Переменная у называется
однозначной функцией f, от переменной х в данной области из-
менения X = (х), если каждому значению х £ X ставится
в соответствие одно определенное действительное значение
у = f (х), принадлежащее некоторому множеству Y = (у).
Множество X иосит название области определения или об-
ласти существования функции t (х); Y называется множеством
значений этой функции.
В простейших случаях множество X представляет собой
или открытый промежуток (интервал) ] а, b [ — (а, Ь):
а < х < Ь или полуоткрытые промежутки
|а, 6) = (а, Ы: а < * < Ь, [а, Ь [ = [а, 6): а < х < Ь,
или замкнутый промежуток (сегмент) [а, 61: а <1 х Ь, где
а и Ь — некоторые вещественные числа или символы — оо и
+ оо (в последних случаях равенства исключаются). Если каж-
дому значению х из X соответствует одно или несколько зна-
чений y = fi(x), то у называется многозначной функцией от х.
2°. Обратная функция. Если под х понимать
любое значение, удовлетворяющее уравнению
/ (*) = У.
где р — фиксированное число, принадлежащее множеству зна-
чений Y функции / (х), то это соответствие определяет на мио*
жестве Y некоторую, вообще говоря, многозначную функцию
* >» /"‘(у),
называемую обратной по отношению к функции I (х). Если
?>ункция у = f, (х) монотонна в строгом смысле, т. е. f, (х2) >f, (xj)
или соответственно f, (х2) < j (Xj)) при х2 > х4. то обратная
функция х = (у) является однозначной и монотонной в том
же смысле.
Определить области существования следующих фуню
ций:
152. у = ^3х—Xя
154. a) = log(x2—4); б) log(x+2)4-log(x—2).
155. у = д/з!п(Ух). 156< y = VC0SX* •
Ух ,
158. у
sin лх
159. y = arcsin
160. у — arccos (2sinx,
161. i/ = lg[cos (1g x)]. 162(h). t/ = (x + |x|) Vxsin’ju .
163. у = ctg лх 4- arccos (2х).
164. t/ = arcsin(l—x) 4-lg Og x). 165. t/ = (2x)l
165.1. у = log2log31og4x. 165.2. у = y^lg tg x .
165.3. у = ysin2x 4-ysin3x (0 <2л).
Определить области существования и множество
вначений следующих функций:
166. у=;^2 + х—х* . 167. ^/ = lg(l—2cosx).
168. у — arccos ——— . 169, у = arcsin (1g ——.
я 14-х’ к Ю 7
170. у = (—1)х.
171. В треугольник АВС (рис. 1), основание кото-
рого АС = b и высота BD — Л, вписан прямоугольник
KLMN, высота которого NM — х. Выразить периметр
Р прямоугольника K.LMN и его площадь S как функ-
ции от х.
Построить графики функций Р = Р (х) и S = S (х).
172. В треугольнике АВС сторона АВ = 6 см, сто-
рона АС = 8 см и угол В А С — х. Выразить ВС = а
и площадь АВС — S как функции переменной х. По-
строить графики функций а — а (х) и S = S (х).
173. В равнобедренной трапеции ABCD (рис. 2),
основания которой AD = а и ВС = b (а ~>Ъ), а высота
НВ = h, проведена прямая MN || НВ и отстоящая от
Рис. 2
вершины А на расстоянии АМ = х. Выразить пло-
щадь S фигуры ABNMA как функцию переменной
к. Построить график функции: S = S (х).
174. На сегменте 0 < х < 1 оси Ох равномер-
но распределена масса, равная 2 г, а в точках этой
оси х = 2 и х = 3 находятся сосредоточенные массы
оо 1 г в каждой. Составить аналитическое выражение
функции т = т (х) (— со < х <. + <»), численно
равной массе, находящейся в интервале (—со , х),
и построить график этой функции.
175. Функция у — sgn х определяется следующим
образом:
—L если х<0;
sgnx =
О, если х = 0;
1, если х>0.
Построить график этой функции. Показать, что
| х | = х sgn х.
176. Функция у — (х! (целая часть числа х) опре-
деляется следующим образом: если х — п + г, где п —
целое число и 0 < г < 1, то (х) = п.
Построить график этой функции.
177. Пусть
У = л (х) (х > 0)
обозначает число простых чисел, не превышающих
числа х. Построить график этой функции для значений
аргумента 0 < х < 20.
На какое множество Еу отображает множество Еа
функция у — f (х), если:
178(h). у = х*,
179. I/= 1g х,
180. у = —— arctg х,
Ех = (-1<х^2).
Ех = {10<х<1000).
£х = {—а><х<4-оо}.
181. y = ctg—, Ех = {0<|х| < 1).
182. у = |х|, Ех = (1 < |х| < 2).
Переменная х пробегает интервал 0<х<1. Ка-
кое множество пробегает переменная у, если:
183. у = а+(Ь — а)х. 184. у = —
185' У = 185 186‘
187. z/ = ctgnx. 188. i/=x4-[2xj.
189. Найти f (0), f (1), f (2), f (3), f (4), если f (x) —
«= x*—6x3 + 1 lx2—6x.
190. Найти f (— 1), f (— 0,001), f (100), если f (x) =»
«= 1g (x2).
191. Найти /(0,9), /(0,99), /(0,999), /(1), если
/ (x) = 1 + [х].
192. Найти / (- 2), / (- 1), / (0), / (1), / (2), если
j 14-х при — оо<х<0,
f(x) — | 2* при 0<х<Ч-оо.
193. Найти /(0), /(— х), /(х4-1), /(х)+1,
f(——\ , если
Ч * J f (х)
Z(x)==_kz£_.
14-х
194. Найти значения х, для которых: 1) / (х) = 0j
2) / (х) > 0; 3) / (х) < 0, если:
а) /(х)==х—х8; б) /(x) = sin-^-;
в) /(х) = (х4-|х|)(1—х).
195. Найти <р (х) = , если:
h
а) / (х) = ах 4- Ь; б) / (х) = х2; в) / (х) = а'.
196. Пусть / (х) = ах2 4- Ьх 4- с. Показать, что
/ (х 4- 3) - 3/ (х 4- 2) 4- 3/ (х 4- 1) - / (х) в 0
197. Найти целую линейную функцию / (х) = ах 4- Ь,
если / (0) = — 2 и / (3) = 5.
Чему равны / (1) и / (2) (линейная интерполяция)?
198. Найти целую рациональную функцию второй
степени: / (х) = ах2 4- Ьх 4- с, если
/(-2) = 0. /(0) = 1, /(1) = 5.
Чему равны / (— 1) и / (0,5) (квадратичная интерпо-
ляция)?
199. Найти целую рациональную функцию третьей
степени:
/(х) = axs4-bx24-cx+d,
если / (—1) = 0, /(0) = 2, /(1) = —3, /(2) = 5.
200. Найти функцию вида f (х) — а + Ьсх, если
/ (0) = 15, f (2) = 30, / (4) = 90.
201. Доказать, что если для линейной функции
f (х) = ах + b
значения аргумента х = х„ (п = 1, 2, . . .) образуют
арифметическую прогрессию, то соответствующие зна-
чения функции уп — f (х„) (п — 1, 2, . . .) образуют
также арифметическую прогрессию.
202. Доказать, что если для показательной функции
f (х) = 0х (а > 0)
значения аргумента х » хя (п = 1, 2, . . .) образуют
арифметическую прогрессию, то соответствующие зна-
чения функции уп = f (xn) (n = 1, 2, . . .) образуют
геометрическую прогрессию).
203. Пусть функция f (и) определена при 0 < и <1.
Найти области определения функций:
a) f(sinx); б) f(lnx); в)
204. Пусть f(x) — -~(a*+a-x) (а>0). Пока-
зать, что
f (х + у) + f (х—у) = 2f (х) f (у).
205. Пусть f (х) + f (у) = f (z). Определить z, если
a) f(x) = ar, б) f(x) = —;
X
в) f(x) = arctgx (|Х|<1); г) f(x) = 1og-*4~*'.
1 — X
Найти ф [ф (х) ], ф [ф (х) ], ф (ф (х) 1 и ф [ф (х) I,
если:
206. ф(х) = х2 и ф(х) — 2х,
207. ф(x) = sgпx и ф(х) = ——.
х
208. ф(х) =
0 при х < 0, (0
х при х>0 И — ( »х4
прих<0,
при х>0.
209. Найти f If (х) ], f {f [f (x) ]}, если
1
1—X
210. Пусть fn (x)=f (f(. , ,f (x))). Найти fH (x), если
it раз
211. Найти f (x), если f (x + 1) = x*—3x + 2.
212. Найти /(x), если f fx -]—= x* + (| x | > 2).
213. Найти f(x), если / Г—'j = х+дД+x* (x>0).
\ X J
213.1. Найти f (x), если
Доказать, что следующие функции являются моно-
тонио возрастающими в указанных промежутках:
214. /(х) = х2 (0<х<4-оо).
215. f(x) = sinx (--у-<х<-2-).
216. f(x) = tgx (--Г<Х<'Т")’
217. f(x) = 2x + sinx (—оо <х< 4-оо).
Доказать, что следующие функции являются моно-
тонно убывающими в указанных промежутках;
218. / (х) = х* (—оо<х<0).
219. f (х) = cos х (0 < х < л).
220. f(x) = ctgx (0<х<л).
221. Исследовать на монотонность следующие функ-
ции:
a) f(x) = ax4-b; б) f(x) = ax’4-bx4-c;j
в) f(x)=x8; г) =
д) f(x) = a* (a>0).
222. Можно ли почленно логарифмировать нера-
венство?
223. Пусть <р (х), ф (х) и f (х) — монотонно возрас-
тающие функции. Доказать, что если
Ф (х) < f (х) < Ф (х),
Ф [ф (х) ] < / I/ (х) ] С Ф 1ф (х) ].
Определить обратную функцию х = ф (у) и ее об-
ласть существования, если;
224« I/= 2x4-3 (—оо<х< 4-оо).
225, у — х2; а) —оо<х<0; б) 0<х<4-оо.
226. «/ = -4^ (*¥=-1).
14-х
227. у — ^\ — хг ; а) —1<х<0; б) О С х < 1
228. i/ = shx, где sh х = -у- (6х — е-х)
(—оо<х< 4-оо).
229. y = thx, где thx= е ~~е
ех 4- е
( —ОО<Х< 4-оо).
230.
х,
X2,
2х,
если
если
если
У —
— оо<х<1;
1 < х < 4;
4<х< 4-оо.
231. Функция f (х), определенная в симметричном
интервале (— /, /), называется четной, если
/ (- х) = f (х);
и нечетной, если
f (- х) = - f (х).
Определить, какие из данных функций f (х) являются
четными, а какие нечетными:
a) f (х) = Зх—х3; б) f (х) = ^(1-х)2 4- ^ (f -f-x)^;
в) f(x) = a* + a-' (а>0); г) f (х) = In-J——
1 + X
Д) f (х) = 1п (х + VI 4-х2).
232. Доказать, что всякую функцию f (х), опреде-
ленную в симметричном интервале (— /, /), можно пред-
ставить в виде суммы четной и нечетной функций.
233. Функция f (х), определенная на множестве Е,
называется периодической, если существует число Г > О
(период функции — в широком смысле слова!) такое,
что
f (х ± T)z= f (х) при х £ Е.
Выяснить, какие из данных функций являются пе-
риодическими, и определить наименьший период их,
если:
a) f (х) = A cos Хх + В sin Хх;
б) f (x) = sinx+—— sin 2x4—— sin3x;
2 3
В) f (x) = 2 tg -J-3 tg —J-; r) f (x) = sin2x;
& о
д) f(x) = sinx2;
ж) f(x) = tgV*"i
e) f(x) = Vtg*;
з) f (x) = sinx4-sin (x V^)«
234. Доказать, что для функции Дирихле
f 1, если х рационально,
у (И — { г
(О, если х иррационально,
периодом является любое рациональное число.
235. Доказать, что сумма и произведение двух пе-
риодических функций, которые определены на общем
множестве и периоды которых соизмеримы, есть функ-
ции также периодические.
235.1. Функция / (х) называется антипериодической,
если
f(x+T) = -f(x) (Т>0).
Доказать, что f (х) — периодическая с периодом 2Т.
236. Доказать, что если для функции f (х) (— оо <
< х < + оо) выполнено равенство f (х 4- Т) = kf (х),
где k и Т — положительные постоянные, то f (х) =
= ах<р (х), где а — постоянная, а <р (х) — периодиче-
ская функция с периодом Т.
§ 4. Графическое изображение функции
1°. Для построения графика фуикиии у — f (х) поступают
следующим образом: 1) определяют область существования
функции: X = {х); 2) выбирают достаточно густую сеть зна-
чений аргумента хг, х»....хп из X н составляют таблицу
соответствующих значений функции
У1 = l(xi) (»=!, 2.....л);
3) наносят систему точек Mi (х^, у() (i = 1, 2, . . . , п) иа коор-
динатную плоскость Оху н соединяют их линией, характер ко-
торой учитывает положение промежуточных точек.
2=. Чтобы получить грамотный график функции, следует
изучить общие свойства этой функции.
В первую очередь нужно: I) решив уравнение f (х) = О,
определить точки пересечения графика функции с осью Ох
(нули функции}-, 2) установить области изменения аргумента,
где функция положительна или отрицательна; 3) если возможно,
выяснить промежутки монотонности (возрастания или убы-
вания) функции; 4) изучить поведение функции при неограни-
ченном приближении аргумента к граничным точкам области
существования функции.
В этом параграфе предполагается, что свойства простейших
элементарных функций — степенной, показательной, тригоно-
метрических и т. п., известны читателю.
Пользуясь этими свойствами, можно, не проделывая боль-
шой вычислительной работы, сразу рисовать эскизы графиков
многих функций- Другие графики иногда удается свести к ком-
бинации (сумме или произведению и т. п.) этих простейших
графиков.
237, Построить график линейной однородной функции
У = ах
при а = 0; 1/2; 1; 2; — 1.
238. Построить график линейной функции
У = х + b
при b = 0, 1, 2, — 1.
239. Построить графики линейных функций:
a) y = 2x+3; б) г/= 2—0,1х; ----|---1.
240. Температурный коэффициент линейного расши-
рения железа а — 1,2-10"®. Построить в подходящем
масштабе график функции
I = / (Т) (— 40° < Т < 100°),
где Т — температура в градусах и I — длина железного
стержня при температуре Т, если I = 100 см при Т = 0°.
3*
241. На числовой оси движутся две материальные
точки. Первая в начальный момент времени /== 0 на-
ходилась на 20 м влево от начала координат и имела
скорость 01 = 10 м/с; вторая при t — Q находилась
на 30 м вправо от точки О и имела скорость vt =
= — 20 м/с. Построить графики уравнений движений
этих точек и найти время и место их встречи.
242. Построить графики целых рациональных функ*
ций 2-й степени (параболы)"
а) у = ахг при а=1, 1/2, 2, — 1;
б) у — (х—х0)г при *0 = 0, 1, 2, —Г,
в) у = х? + с при с = 0, 1, 2, —1.
243. Построить график квадратного трехчлена
у => ах1 4- Ьс + с,
приведя его к виду
у = Уа 4- а (х—ха )*.
Рассмотреть примеры:
а) у = 8х—2х*; б) z/ = x2—Зх + 2;
в) у=— хЛ + 2х— 1; г) у = -^-х*4-*4-1.
244. Материальная точка брошена под углом а = 45°
к плоскости горизонта с начальной скоростью ов =
= 600 м/с. Построить график траектории движения
и найти наибольшую высоту подъема и дальность по-
лета (приближенно считать g « 10 м/с*; сопротивле-
нием воздуха пренебречь).
Построить графики целых рациональных функций
степени выше второй:
245. у = х*+1. 246. г/ = (1—х2)(24-х).
247. г/ = х2—х4. 248. у = х(а—х)*(а+х)3 (а>0).
Построить графики дробно-линейных функций (ги-
перболы):
249. у = —. 250. u = -lr2L.
х * 14-х
251. Построить график дробно-линейной функции
у — „ да—fec^feO, с=/=0),
ex 4* d
приведя ее к виду
। т
У ” Уо Н-------.
х —хв
Зх -U 2
Рассмотреть пример уд-—.
252. Газ при давлении р0 *»» 1 кгс/ма занимает объем
= 12 м8. Построить график изменения объема v
газа в зависимости от давления р, если температура
газа остается постоянной (закон Бойля—Мариотта).
Построить графики дробных рациональных функций;
253. у — х-]—— (гипербола).
X
254. у — х8 ~ (трезубец Ньютона).
X
255. у~х+'
X1
256. у — (кривая Аньези).
2х
257. у —----— (серпантин Ньютона).
1 4* я1
258. у —----1---. 259. г/ =-------.
I—х» я 1-х*
262. у = —-)(JC~2) ..
(х —1)(х4-2)
263. Построить эскиз графика функции
ах* 4- frx + с
aix + bi
(ai 0),
приведя ее к виду
i/==Ax4-/n4
X —X#
Рассмотреть пример
264. Построить график абсолютной величины силы
притяжения F материальной точки, находящейся на
расстоянии х от притягивающего центра, если F =
= 10 кгс при х = 1 м (закон Ньютона).
265. Согласно закону Ван-дер-Ваальса объем v ре-
ального газа и его давление р при постоянной темпера-
туре связаны соотношением
(р + -~)(Ц-6) = с.
Построить график функции р =р (v), если а = 2
b = 0,1 и с = 10.
Построить графики иррациональных функций:
2G6. i/=±V—х—2 (парабола).
267. у=±хд/х (парабола Нейля).
268. у = ±-у-д/100—(эллипс).
269. у = ± V*2—1 (гипербола).
270. а/-‘7*- . 271. y = ±xV100—Xs.
V l + x
272. у = ± х а / —-— (циссоида).
V 10 — х
273. у = ± V(x*—1)(9—хг).
274. Построить график степенной функции у = х"
при: а) п = 1, 3, 5; б) п = 2, 4, 6.
275. Построить график степенной функции у — хп
при: а) п = — 1, — 3; б) п = — 2, — 4.
276. Построить график радикала у — Ух" при:
а) т = 2, 4; б) т = 3, 5.
ffl..
277. Построить график радикала у = у х*, если:
а) т = 2, k = 1; б) т = 2, k = 3; в) т = 3, k = 1;
г) т — 3, k = 2; д) т = 3, k = 4; е) т = 4, k = 2;
ж) т = 4, k = 3.
278. Построить график показательной функции
у = а* при а — 1/2, 1, 2, е, 10.
279. Построить график сложной показательной функ-
ции у = eVi, если:
а) б) //!==— х»; в) уг =—;
X
Г) У1 = —Т-; Д) !/1=----7-; е) </!= ,-2ха -
х- Хг 1 — X2
280. Построить график логарифмической функции
у = logo* при а — 1/2, 2, е, 10.
281. Построить графики функций:
а) у = In (— х); б) у = — In х.
282. Построить график сложной логарифмической
функции у — In уи если:
а) У1 = 1 + х2; б) уг = (х-1) (х—2)2 (х-3)’;
в) !/1 = ; г) ^1=: Д) № = 1 + е\
283. Построить график функции у = log,. 2.
284. Построить график функции у — A sin х при
А = 1, 10, — 2.
285. Построить график функции у = sin (х—х0),
если х0 = 0, л/4, л/2, Зл/4, л.
286. Построить график функции у = sin пх, если
п = 1, 2, 3, 1/2, 1/3.
287. Построить график функции
у = a cos х + b sin х,
приведя ее к виду
У = A sin (х—х0).
Рассмотреть пример: у = 6 cos х + 8 sin х.
Построить графики тригонометрических функций:
288. у = cos х. 289. у — tg х. 290. у = ctg х.
291. у = sec х. 292. у — esc х. 293. у — sin2 х.
294. у = sin’x. 295. у — ctg2x.
296. у = sin x-sin Зх. 297. у — ± Vcos *•
Построить графики функций:
298. у = sinXs. 299. у —sin ——. 300. у = cos-2-
300.1. y = sinx. sin——. 301. y = tg-^-.
301.1. y = sec ——.
303. y=±Vi—
305. y = e*cosx.
307. y-~ C05X—.
J l + *a
309. у = cos (In x).
302. у = x (2 4-sin -L).
я _n. sinx
sin----. 304. у -------
X X
306. y = ±2_JtVsiniu •
308. у — In (cos x).
310. у = е,/5‘"\
Построить графики обратных круговых функций:
311. у = arcsin х. 312. у — arccos х.
313. у = arctg х. 314. у = arcctgx.
315. у = arcsin
* х
317. у = arcctg ——.
X
319. у = arcsin (cos х).
321. у •= arctg (tg х). 3
323. Построить график
316. у — arccos —.
318. у = arcsin(sinx).
320. у = arccos (cos х).
22. у = arcsin (2 sin х).
функции
у = arcsin ух,
если:
а) 1/!=1-----б) f/i = -
в) й = - ; г) ух=е*.
1 I л
324. Построить график функции у — arctg уи если:
а) У1 = & 6) =
в) ^-шх,
г) У1 = ——.
sinx
$ 4. ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОВРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 41
324.1. Построить графики функций:
а) р = х3-Зх + 2; б) £/ = —-----;
(1 — х) (1 4- х)^
В) t/= ;" ; г) t/ = Vx(l—X2) ;
| X J 1
д) у = 3sin(-*-4--j-); е) ^ctg-^j-;
ж) У= 1_^гЛ-ж i з) !/=lg(*2—3x4-2);
и) z/ = arcsin(-|-sinx);
к) p=arctg(—!—-4------Ц-4-—Ц-);
\х—1 х—2 х—3/
Л) У = logcos к Sin х; м) у = (sin x)ct« х.
325. Зная график функции у — f (х), построить гра-
фики функций:
а) у = — f (*); б) у - / (— х); в) у = — / (— х).
326. Зная график функции у = f (х), построить гра-
фики функций:
а) у - / (х—х0); б) у = р0 4- / (х—х0);
в) у = / (2х); г) у - / (kx 4- b) (k =£ 0).
326.1. Пусть
* И —1*1 при |х| < 1;
[О при |х|>1.
Построить графики функций:
У-----+ W
при t = 0, t = 1 и t = 2.
327. Построить графики функций:
а) £/ = 24-^1—х; б) у=1— е~х;
в) у=1п(14-х);
г) у = — arcsin (14-х); д) у = 3 4- 2 cos Зх.
328. Зная график функции у — f (х), построить гра*
фики функций:
а) у = |/(х)|; б) у=-1_(|/(х)|47(х));
в) У----^-(l/WI-/(x)).
329. Зная график функции у = / (х), построить гра-
фики функций:
а) У = /2(*); б) у = -г/ГМ; в) у=1п/(х);
г) у = f(f (х)); д) у = sgn f (х); е) у = [/ (х)].
329. 1. Пусть
f (х) = (х—а) (Ь—х) (а < Ь).
Построить графики функций:
а) У = Цх\, б) у = Р(х)-, в) у =
г) = Д) z/ = eHx); е) y=\gf(xy,
ж) y = arcctg/(х).
329. 2. Построить графики функций:
а) у — arcsin [sin/ (х)]; б) у = arcsin [cosf(x)[;
в) y = arccos[sin/(x)]; г) у — arccos [cos / (х)];
д) y = arctg[tg/(x)],
если: 1) f (х) = х2; 2) / (х) = х3.
330. Зная графики функций у = f (х) и у — g (xj,
построить графики функций:
а) у f (х) + g (х); б) у = f (х) g (х); в) у = f (g (х)).
Применяя правило сложения графиков, построить
графики следующих функций:
331. у=1+х + е*. 332. у = (х+1)"2 + (х—I)"3.
333. y = x4-sinx. 334. ^ = x-[-arctgx.
335. z/ = cos х + ~ cos 2х+-у cos Зх.
336. y = sinx--— sin 3x -f- -i- sin 5x.
3 5
$ 4 ГРАФИЧЕСКОЕ ИЗОБРАЖЕНИЕ ФУНКЦИИ 43
337. y = sin*x-f-cos4x. 338. у = |1—х|4-| 1+х|.
339. у = |1—х|—| Ц-х|.
340. Построить графики гиперболических функций:
a) y=chx, где ch х =-i-(е* 4-е~*);
б) y = shx, где shx=е-*);
в) y = thx, где thx= sh.
ch х
Применяя правило умножения графиков, построить
графики функций:
341. y = xsinx. 342. y — xcosx.
343. y = x2sin3x. 344. У =
345. у = г*** cos2x. 346. y = xsgn(sinx).
347. у = [х]|sinлх|. 348. у = cosx-sgn(sinx).
349. Пусть
f(x) = J 1*1’ ес-та 1*1<
I 0, если |х|>1.
Построить график функции
У “ f{x)f (а—х),
если:
а) а = 0; б) а = 1; в) а — 2.
350. Построить график функции
у = х + V* sgn (sin лх)«
Построить график функции »/=- *- . если:
351. f (х) = х2 (1—х2). 352. / (х) = х (1—х)2.
353. f (х) = sin2x. 354. f (х) = In х.
355. f (х) = e^sin х.
356. Построить график сложной функции у = f (и},
где и 2 sin х, если:
/(«)==
— 1 при — оо<«<—1;
и при —1 < и < 1;
1 при 1 < и < 4- оо.
357. Пусть
ф(х)=у (х+|х|) и -ф(х) ==
х, если х<0;
х2, если х>0.
Построить графики функций:
а) у = <р [<р (х) ]; б) у = ф [ф (х) Jj
в) у = ф [ф (х)]; г) у = ф 1ф (х) ].
358. Пусть
{1, если |х| < 1;
О, если |х|>1,
и
«,(ж)яв(2-^ 1*1 <2;
I 2, если |х|>2.
Построить графики функций:
а) у = Ф 1ф (х) ]; б) у = ф [ф (х) ];
в) у - Ф 1ф (х) ]; г) у = ф [ф (х) ].
359. Функцию f (х), определенную в положительной
области х > 0, продолжить в отрицательную область
х < 0 таким образом, чтобы полученная функция была:
1) четной; 2) нечетной, если:
а)/(х) = 1—х; б) f (х) = 2х—х2; в) /(х) = д/х;
г) f(x) = sinx; д) / (х) = ех; е) f(x) = lnx.
Построить соответствующие графики функций.
360. Определить, относительно каких вертикальных
осей симметричны графики функций:
а) у = ахг + Ьх+с; б) +;
в) у = ^а + х +-у/Ь—х (0<а<Ь);
г) у=а + Ьсо$х.
361. Определить, относительно каких центров сим-
метричны графики функций:
V it. ОХ + b
а) у = ах+Ь', б) у =—;
ex -f- а
в) у = ах? + Ьхг+сх+<1;
fl) У^ Ц-у^х—2.
362. Построить графики периодических функций:
а) 0= | sin х|; б) у = sgn cos х; в) у = / (х),
где f (х) = А ~-^2—“)• если 0 х< 21 и f (х + 2/) sa
= / (х);
г) y=(xi—2 [-у];
д) у « (х), где (х) — расстояние от числа х до бли-
жайшего к нему целого числа.
363. Доказать, что если график функции у =
“ f (х) (— оо < х < + оо) симметричен относительно
двух вертикальных осей х = а и х = b (Ь > а), то
функция f (х) — периодическая.
364. Доказать, что если график функции у =
= f (х) (— 00 < х < + оо) симметричен относительно
двух точек А (а, у0), и В (b, yt) (5 > а), то функция
/ (х) есть сумма линейной функции и периодической
функции. В частности, если у0 = уи то функция f (х) —
периодическая.
365. Доказать, что если график функции у =>
(х) (— о® < х < + оо) симметричен относитель-
но точки А (а, у0) и прямой х = b (Ь а), то функ-
ция f (х) — периодическая.
366. Построить график функции у = / (х) (— оо <
< х < 4- оо), если f (х 4- 1) = 2/ (х) и f (х) = х (1—х)
при 0Сх< I.
367. Построить график функции
У "= / (х) (— оо < х < 4- оо)',
если/ (х 4- л) = / (х) 4- sin х и f (х) = ОприО < х <л.
368. Построить график функции у = у (х), если:
а) х=у—у3-, б) х = -^--,
1 + у2
в) £ = у—\пу, г) x“ = sint/.
369. Построить графики функций у — у (х), задан-
ных параметрически, если:
а) х — l—t, у = 1—/2;
б)х=/4--р y^t + -L-,
в) х = 10 cos t, у — sin t (эллипс);
г) х — ch t, у — sh t (гипербола)';
д) x = 5 cos2 t, у = 3 sin2/;
e) x = 2 (/—sin /), у = 2 (1—cos /) (циклоида);
ж) x=‘+y/rt, у = {^/4-1, (/>0).
370. Построить графики неявных функций:
а) х2—ху 4- у11 — 1 (эллипс);
б) х3 + у3—Зху = 0 (декартов лист);
в) Vх 4-W = 1 (парабола);
г) х2/3 + у213 = 4 (астроида);
д) sin х = sin у; е) cos (лх2) = cos (лу);
ж) х« = у* (х > 0, у > 0); з) х— |х| = у—| у\.
37 0.1. Построить графики неявных функций:
a) min (х, у) = 1; б) max (х, у) = 1;
в) max (| х|, |у |) = 1; г) min (х2, у) = 1.
371. Построить графики функций г = г (<р) в поляр-
ной системе координат (г, <р), если:
а) г = <р (спираль Архимеда);
б) г = — (гиперболическая спираль);
Я»
в) г = —5— (0 < ф< 4- оо);
q>+ 1
г) г = 2ф/2я (логарифмическая спираль);
д) г = 2 (1 4- cos <р) (кардиоида);
е) г = 10 sin 3<р (трехлепестковая роза);
ж) г2 = 36 cos 2ф (лемниската Бернулли);
з) Ф =—
Т — 1
и) ф = 2л sin г.
371. 1. Построить в полярных координатах г и ф
графики следующих функций:
а) ф — 4г—г2; б) ф — з ; в) г2 + ф2 = 100.
371. 2. Построить в полярных координатах г и ф
графики функций, заданных параметрически (/ > 0 —
параметр):
а) ф — t cos21, б) ф = 1 —2~' sin -у-,
r = fsin»f, J f==l-2-'cos—.
2
372. Приближенно решить уравнение
х3—Зх +1=0,
построив график функции у — х3—Зх + 1.
Графически решить следующие уравнения:
373. х3—4х—1 = 0. 374. х4—4х +1=0.
375. х = 2~*. 376. 1g х = 0,1 х.
377. 10х = х2. 378. 1g х = х (0 С х < 2л).
Графически решить системы уравнений:
379. х + у2 = 1, 16х2 + у = 4.
380. х2 + у2 = 100, у = 10 (х2—х—2).
§ 5. Предел функции
Г. Ограниченность функции. Функция [ (х)
называется ограниченной на данном промежутке (а, Ь), если
существуют некоторые числа m и М такие, что
m < М
при х £ (a, i).
Число m0 = inf {/ (х)} =» max т называется нижней
х£(а, Ь)
гранью функции f (х), а число Мп = sup {/(х)) = minAf иа-
xg(a, Ь)
зывается верхней гранью функции I (х) на данном промежутке
(а, Ъ). Разность Мо—т0 называется колебанием функции иа про-
межутке (а, />).
2°. Предел функции в точке. Пусть функция
I (х) определена на множестве X = (х), имеющем точку сгу-
щения а. Запись
lim [ (х) — А (1)
х-ю
обозначает, что для каждого числа е>0 существует число
6=6 (е) > 0 такое, что для всех х, для которых f (х) имеет смысл
и которые удовлетворяют условию 0<|х—а| < б, справед-
ливо неравенство
lf(x) -А |<е.
Для существования предела .функции (1) необходимо и до-
статочно, чтобы для каждой последовательности х„ -* а, хп =#
а (х, £ X; л=1, 2, . . .), было выполнено равенство
lim/(x„)=»A.
Л—>ОО
Имеют место два замечательных предела:
1) lim JLULL =, 1, 2) lim (1 + x)I/Jt = е.
*-*•0 X х-»0
Критерий Коши. Предел функции f (х) в точке а
существует тогда и только тогда, если для каждого е > 0 най-
дется б = б (е) > 0 такое, что
Н(х') - f(x") I < в,
как только 0 <|х' — а| < б н 0 < |х" — а| < б, где х' п
х" — любые точки из области определения функции f (х).
3°. Односторонние пределы. Число А' на-
зывается пределом слева функции f (х) в точке а:
Л'= lim f(x) = /(a-0),
x->a—О
если
1-4' — f (х) | < в при 0 < а—х < б (8).
Аналогично, число А’ называется пределом справа функции
I (х) в точке а:
А" = lim f (х) = f (а + 0>
x-»a-f-0
если
I А" — [ (х)| < в при 0 < х—а < б (е).
Для существования предела функции I (х) в точке а необ-
ходимо и достаточно, чтобы
f (а—0) = f (а + 0).
4°. Бесконечный предел. Условная запись
lim I (х) = оо
обозначает, что для любого Е > 0 справедливо неравенство:
|£ (х) 1 > Е, если только 0 < |х—а| < б (Е).
5°. Частичный предел. Если для некоторой по-
следовательности хл -► а (хл #= а) имеет место равенство
lim f (x„) = В,
П-+оо
то число (или символ оо) В называется частичным пределом
(соответственно конечным или бесконечным) функции f (ж)
в точке а.
Наименьший и наибольший из этих частичных пределов
обозначаются
lim f (х) и lim f (х)
х-т х-м
и называются соответственно нижним и верхним пределам*
функции f (х) в точке а.
Равенство
lim f (х) = lim f (х)
x-t-a x-ta
необходимо и достаточно для существования предела (соответст-
венно конечного или бесконечного) функции f (х) в точке а.
381. Показать, что функция, определяемая усло-
виями:
/ (х) = п, если х = —,
п
где m н п — взаимно простые целые числа и п>0 й
f (х) = 0, если х иррационально,
конечна, но не ограничена в каждой точке х (т. е. не
ограничена в любой окрестности этой точки).
382. Если функция f (х) определена и локально огра-
ничена в каждой точке: а) интервала, б) сегмента, то
является ли эта функция ограниченной на данном ин-
тервале нли соответственно сегменте?
Привести соответствующие примеры.
д-ззаз
383. Показать, что функция /(х) =
14-х*
14-х*
ограни-
чена в интервале — оо •< х < 4- оо.
384. Показать, что функция f(x) = —cos — не ог-
раничена в любой окрестности точки х = 0, однако не
является бесконечно большой при х -> 0.
385. Исследовать на ограниченность функцию
f (х) = Inx-sin2 —
х
в интервале 0 < х < е.
386. Показать, что функция f(x) =
в области
14-х
0 < х < 4- оо имеет нижнюю грань т = 0 и верхнюю
грань М = 1.
387. Функция f (х) определена и монотонно возра-
стает на сегменте 1а, Ь\. Чему равны ее нижняя и верх-
няя грани на этом сегменте?
Определить нижнюю и верхнюю грани функций]
388. f (х) = х2 на [— 2, 5).
389. /(х)=у-р-г на (—оо, 4-оо).
390. f(x) = -^-_ „а (0, 4-оо).
1 4* *
391. f(x) = x4--~- на (0, 4"оо).
392. f (х) = sin х на (0, 4- оо ).
393. f (х) = sin х 4- cos х на (0, 2л J.
394. f (х) = 2* на (— 1, 2).
395. f (х) = (xl: а) на (0, 2) и б) на [0, 2].
396. f (х) = х — [х] на [О, 1 ].
397. Определить колебание функции
f (х) = х2
на интервалах: а) (1; 3); б) (1,9; 2,1); в) (1,99; 2,01);
г) (1,999; 2,001).
398. Определить колебание функции
f (х) = arctg-^-
на интервалах: а) (— 1; 1); б) (—0,1; 0,1); в) (—0,01;
0,01); г) (—0,001; 0,001).
399. Пусть т If ] и М If ] — соответственно нижняя
и верхняя грани функции f (х) на промежутке (а, Ь).
Доказать, что если f2 (х) и f г (х) — функции, опреде-
ленные на (а, Ь), то
т Ifi + f2l > т [fj + tn [f2]
и
M lfx + fj < M IfJ + M IfJ.
Построить примеры функций f2 (х) и f2 (х), для ко-
торых в последних соотношениях имеет место: а) случай
равенства и б) случай неравенства.
400. Пусть функция f (х) определена в области
1а, + оо) и ограничена на каждом сегменте (а, 6]g
а: 1а, + оо).
Положим:
/п(х)= inf f(g) и М(х) = sup f(£).
Построить графики функций у = т (х) и у = М (х),
если:
а) f М = sin х и б) f (х) = cos х.
401. С помощью «е—б»-рассуждений доказать, что
limx2 =4.
*-»2
Заполнить следующую таблицу:
е 0,1 0,01 0,001 0,0001 • • •
в
402. На языке «Е—б» доказать, что
Заполнить следующую таблицу:
Е 10 100 1000 10000 • * •
8
403. Сформулировать с помощью неравенств еле*
дующие утверждения:
a) lim/(x) = b; б) lim /(х) = Ь; в) lim f(x) = b.
х-*а х-»о—0 х-»в-Н>
Привести соответствующие примеры.
Сформулировать с помощью неравенств следующие
утверждения и привести соответствующие примеры:
404. a) Пт/(х) = Ь; б) lim /(х) = Ь;
«-♦со
в) lim f(x) = b.
«-♦-|-ОО
405. a) llmf(x) = oo;
«-♦fl
в) limf(x) = 4-оо;
«-♦fl
д) lim f(x)=—оо;
х-»о—О
е) lim f (х) = + оо;
Х-»в—С
a) lim / (х) =—оо;
«-♦«<4-0
406. a) lim/(x) = oo;
«-♦оо
в) limf (х) = +оо;
«—♦о©
д) lim / (х) = — оо;
Я-Ь—еа
ж) lim /(х)=оо;
и) lim /(х)«=Ч-оо.
б) lim / (х) = — оо;
«-♦fl
г) lim /(х) = оо;
*-»а—0
ж) lim f (х) = оо;
х-ма+0
и) lim f (х) = + оо.
х-»о-(-0
б) limf (х)= —оо;
«*♦00
г) lim /(х) = оо;
е) lim f(x)=+oo;
«-♦—ОО
в) Пт f(x)= — оо;
407. Пусть у = f (х). Сформулировать с помощью
неравенств, что значит:
а) у -* Ь — 0 при х -* а;
б) у -* Ь—0 при х -+ а—0;
в) у -* Ь—0 при х -> а + 0;
г) у b + 0 при х -> а;
д) у -* b + 0 при х -> а—0;
е) у -> Ь + 0 при х а + 0;
ж) у -> О при х -> оо;
з) у -* b—0 при х -* — со;
и) у -> Ь—0 при х -+ + оо;
к) у -> Ъ + 0 при х -> оо;
л) у -* Ь + 0 при х -> — оо;
м) у Ь + 0 при х -> + оо.
Привести соответствующие примеры.
408. Пусть
Р (х) = + Охх’-Ч- .. . + ап,
где at (t=0, 1,..., n; п > l.a# =# 0) — вещественные
числа.
Доказать, что lim | Р (х) | = + оо.
«-►оо
409. Пусть гда
Оо* + орг" * +. . . + bm
Се & 0 и &0 & 0.
Доказать, что
оо, если п>т\
lim R (х) = —-, если п = т;
«-►оо
О, если п,<.т.
410. Пусть R (х)
Q W
где Р (х) и Q (х) — многочлены от х и
Р (а) = Q (а) = 0.
Какие возможные значения имеет выражение
lim ?
54 ОТДЕЛ I. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Найти значения следующих выражений:
ли \ V *г — 1
411. a) hm—-------
«-о 2х2 —х—1
ч .• X2-!
в) lim—--------.
Х->оо 2х2 — X — 1
х2 — 1
б) lim
*-и 2х2 — х — 1
412e lim (1 + X) (1 + 2х) (1 + Зх) - 1
Х-*0 X
413. lim
х-*0
(1 + х)*- (1 + 5Х)
414. lim тх'>-----—(m и п—натуральные
Ж-.0 х2
числа).
415 Пш (х—1) (х —2) (х —3) (х —4) (х —5)
х-*оо (5х— I)5
416. lim <2*~3>”<3*+Г .
х-оо (2х+1)“
417. lim
«-►оо П+1
1(пх)л+1] 2
418. lim
420. lim
х2 —5x4-6
х2 —8x4- 15
х* — 3x4-2
Х-.1 х5-4х4-3
.no .. х3 —2х—1
422. lim ---------
х-,-1 x5 — 2x — 1
419. lim-x3~3x + 2 .
х-fl X* — 4x 4- 3
.nt x3 —2x2 — 4x-}-8
421. lim-------------1—
x-2 x4 — 8x24-16
423. lim
x_2 (x3—12x4-16)lu
424. lim
х— 1
424.1. lim
x—►!
xioo — 2x 4- 1
x50 _ 2x 4- 1
xm__i
425. lim---‘—(m и n—натуральные числа).
X->1 xn — 1
426. lim-^———"a —— (n—натуральное
x_»a (x — a)2
число).
427. lim хП4’1~~<п~к + ” . (и — натуральное число),
x-l (x — 1)1
428. limf—
1—х'”
п
1—хп
(тип —натураль-
ные числа).
429. lim — Г(*+— ) + (*+— ) +
П-» п [Д П / \ nJ
430. lim-!-f^+—)'+(«+—Y+...
n-oo n L\ nJ \ nJ
(л-1)а у
Указание. См. пример 2.
431. |im 1*4-3»+.,, + (2»-l)>
n-,» 22 + 42+. . . + (2п)г
432. limA.l34-y+...+ n3_JL4
П-»оо \ л3 4 J
Указание. См. пример 3.
433. lim 1-+4Ч-Р+... + СЗ—г>-
л-.- |1 + 4 +7+. . . + (Зя — 2)|г
434. Определить площадь криволинейного треуголь-
ника ОАМ (рис. 3), ограниченного параболой у =»
Рис. 3
= b (х/а)а, осью Ох и прямой х — а, рассматривая
ее как предел суммы площадей вписанных прямо-
угольников с основаниями а/п, где п -> оо.
Найти пределы:
435. lim
х»4-00
V- 3.— ♦
х + v х + ]/ х
now. mu -----.......- --.
х-+°° 5/2*+1
437. lim У^-3-.
*-*< Vх — 2
438. lim -^--~x ~3 .
439. *-*0 -yjx* — a2
440. lim + 13 ~ 2 Vх + 1 . x-.3 x2 — 9
441. Um ^~6+3. *_._2 Xs+8
442. lim .<x.-.2_. 443. пт -Vg+2x x-‘« V?-4 ~8 Ух-2
444. lim y<1 x ~1 (л—целое число), «-►о x
445. lim Vi-2*-** -(1 + x> *-►0 X
446. lim /3+3»->>-3 . x-И) X + X2
447. lim . »-° х + 2У^
448. lim у' + «-У'т^. x-И) у 14-x — /1—X
449. lim Vx+2 -^x+20
451. lim-------*------.
**° 5/1+ 5х-(!+*)
452. lim ./1 + а* ,Т 1+• fe'- (т и п—целые числа).
ж_о *
453. lim —/1 + сц + (тип — целые
— —'* *-»о *
числа).
454. Пусть Р(х) = 01X4-0^4- . . . -t-a„x" и т—
целое число.
Доказать, что lim =-^-,
х-н) х т
Найти пределы:
тг—_____________.
455. lim-2—----(m и п—целые числа).
455.1. limf----5----------3—\
—‘4 1 -V* 1-V* /
456. lim ~ И1 ~ J.! ~ ,
Х-.1 (1-*)»-1
457. lim [V(x4-a)(x4-5) —х].
X-*-rOO
458. lim (^х4-Vx+
x-*-hao
459. lim х(-^х*4-2х — 2^/x?+x 4-x).
461. lim (У х3 +х* +1 —у/ х’—х2 +1 ).
Х-*оо
462. lim (^х^ + Зх1 —7ха—2х).
х-»4'эо
463. lim х>/з [(х4- 1)2/з_ (х_i)2/3j.
«-►ОО
464. lim х^Сд/х + г — 2д/х+1 + 5/Г).
465. lim [jZ(х—ах) . . . (х+а„) —х].
X > f-30
... I- (*— V*2 — 1 )П + (х + Vх’— 1 )” /
466. lim ------------- Y----------— (п—нату-
Х-.+0О Xя
ральное число).
л„- с (V1 + х2 + х)” — 1 + хг — х)я .
467. игл v ——!-----------------— (п—нату-
х-»0 X
ральное число).
468. Изучить поведение корней и хг квадратного
уравнения ах1 + Ьх + с = 0, у которого коэффициент
а стремится к нулю, а коэффициенты Ь и с постоянны,
причем Ь Ф 0.
469. Найти постоянные а и b из условия
lim —ах—Z>A = O.
«-□Д *+1 >
470. Найти постоянные а( и bt (i = 1, 2) из условий:
lim (^/х2—х+1 —alx—bl) = 0
«-►—»
и
lim д/х2—х + 1—агх—Ьг) = 0.
X к | ОО
Найти пределы:
471. lim--'n5x . 472. lim
Х-*0 X х->оо X
473. lim sl"W* (/п и п—целые числа).
jm-л sinn*
474. lim 1~с”—. 474.1. lim-Ч^-.
Х-.0 Хг
474.2. Iimxctg3x.
х-»0
475. lim-Ч»-?]™. .
x-»o sin3»
477. lim-cos x~ S__^x.
x-»0 X3
479. lim tg2xtg^-—
X-.Q X
476. lim sin5x~sin3* .
x-»o sinx
478. lim--~*~sinx~cosx .
x-»0 1 4- sin px — cos px
x). 480. lim(I— x)tg~.
481. Доказать равенства:
a) lim sin x = sin a; 6) lim cos x = cos a;
x-+a x-hi
в) lim tgx = tga
X-Hl
n=0, ±1, ±2,. . .
Найти пределы:
483. lim -x~~cosa
x-mi x — a
482. lim-sinx~s1"-
x-»a x — a
484. lim-4*~~4°.,
x-.a x—a
486. lim-sec--~—a-
x-*a x — a
485. lim—~c4g .
x-»o x — a
487. lim -cosecx-coseca
x-*a x — a
488 lim sin (a + 2x) ~~ 2 sin <a + x) + sin a
x-0 x3
489 Hm cos — 2 cos (a 4- x) 4- cos а
x-»0 X3
490. lim 4(a + 2x) — 2tg (a4-x)4-tga
x-»0 X3
491. lim ctg (a + 2x) ~ 2 c4(a + x) 4- ctg a
X-.0 x3
492 lim sin (a + *)sin <a + 2*) —sin2 °
x-»0 x
493. lim -2?int£+sinx~l
х-»л/6 2 sin3x — 3 sin * 4- 1
484 lim 1 — со» * cos 2х cos Зж
Х-»0 1 — cos х
sinfx---2-')
495. lim -Л...---3 496. lim
x-»n/3 1 — 2 COS X x-MJ/3 f . я \
c“C+t)
4(7 llm <8 (» + «> *8 («- .> - >8* a ,
X-.0 X* *
498. lim—?—£*ga* .
x-»?t/4 2—ctgX—ctg’x
499. l;m VJ +*gx-V‘ + sinx
X-M) X»
500. lim—-.......x----
Vi + *sin * — л
501. lim
x-»0 sin’x
502. lim-Vi-C0SXi...
X-*0 1—>cosx
503. lim
1 — V COS X
х*° 1 — cos (V* )
504. lim-^cos*
X‘
505. Jim (sin Vx + 1 — sin^/x).
506. a) lim
x-0
(1—Vx)/(1—X)
(1—v*j/(l—X)
(1—Vxj/d-BX)
507. limf-S^LY'. see. lim f i-i
x-»«A 2x — 1 )
JK-*-»к 2x2+x-}- 1 J
509. lim fsinn..- Y
n-*<X> \ 3n + 1 /
510. lim
*-*Я/4+0
tg2x
513. lim (
х-*оо \
х* + 2х-1 \1/<
2х* —Зх —2/
514. lim^b=2x.
х-*в
515. lim pi#.Y.
516. lim p£±h-Y (Oi>0, a»>0).
х-Ф.-1-оо x a** + b* J
517. lim(l+x2)cl«‘*. 518. lim(l+siniu)**»"*.
«-♦o *-*i
519. lim I--—5— I
ж-о\ 14-sin* /
5,8.1.
x-»0\ 1 + sinx /
520. 521. limpSi-yH
х-мД sine / x-*o\ cos2x /
522. lim (tgx)'«2*. 523. lim (sinx)*»*.
x-Mt/4 x-*afi
525. limfsin — 4. cos—.
X-»oo \ x r x J
xr....
525. lim / cos V* •
x-*0
527. limf-^i-J-Y. 528. limcos»—#=-.
529. lim — -- - . 530. lim *[ln(x4-l)—Inx],
*-* 0 X x-f-tve
531. lim-—~lnfl (a>0).
х-*а X — a
532. lim [sin In (x 4-1)—sin In x].
533. 7im“ .ln..^-x+1) .
X^+oo In (x“ + X + 1)
534. lim ftg -100~*-Х-8
X—ok 1 + 100x’
535. lim J"£±*-2-
536. lim Js/.' + V**3/*) .
*•*+* 1п(1 + Ух +Vx)
537. |;™ -log (х + + 1Qg 2 tog х .
л-о л» (*->«!•
In tgf— + ajt')
538. lim-----V-------539. lim .
x—о sinfcx x—о in cosfcx
540. limfln—х + л/1 ~n8x8 ).
\ x + V1 — x* /
540.1. lim—(f|x + <v/1~f,V).,
*-o ln(x+Vl—**)
541. lim — ~ 1 -(g>0). 542. lim —(a>0).
x—0 x x-*a X — a
Б43. lim **"**0 (fl>0). 544. lim (x-J-e*)1'»,
x—a x — a ,_o
545. lim№ y V/x\
x—0\ l + x-3* /
545.1. 1imf-^'sinxcosttx Y*8**.
x—о \ 1 4- sin x cos px J
545.2. lim —{nx°^ . 545.3. lim—
x-i sin(nxP) x-i in [cos (n-2*)l ‘
546. lim tg" f 4- —Y 547. lim —,
n—oo \ 4 nJ x_o sin ax —sin px
548. lim 4^1 (a>0). 549. lim-?-^< (a>0).
550. l,m а-+^-2^х (a>0).
551. lim
Ж-oo (x 4- a 4- •
552. lining—1) (x>0).
553. Hm (x>0).
rr-*ao *
554. lim Y (fl>0, h>0).
555. lim f-tZ±ZL) (a>0, b>0).
n *oo \ 2 J
556. + (а>0, Ь>0, с>0).
х-*0\ 3 /
557. limf^'+^+^Y" (а>0, (,>0, О»
х-*о \ в + 6 + с /
/ _х2 М2 \1/х
558. lim I -£-± -- ) (а>0, Ь>0).
х-»о\ а*+6* / v '
л ,ж2
559. Нт--- (а>0, Ь>0).
х-»о (a*-fr*)2 v ’
„ах__аха
560. lim—----— (а>0).
х-»а 0х — Xе
561. a) lim 2П..(.! + У1; б) lim
Х->—О In (1 + 2*) х-Н-оо
562. lim In (1 + 2*) In fl+ —).
Х-+-4-ОО \ X /
563. lim (1—х) logjt 2.
к->1
564. Доказать, что
lim — = 0 (а>1, п>0).
х->4-ао а*
565. Доказать, что
lim -fe-=0 (а>1, в>0).
Найти пределы:
566. a) lim-^+^; б) lim .......|п^+^..
' х-»о In (х4 + е2*) ' х-»+<» in (х4 + е2*)
567. lim---+ -.
*-° In (х + V1 + X2 )
568. lim Цх+2) In (х+ 2)—2 (х+1) In (х+ 1)+х In х].
569. lim In (х In а)-In
In аг
In —
а
(а>1).
570. lim f In х+ . in-»^±-L^.
1- V1 + xsin X— 1
571. lim-2—.
х-*о е» — 1
=70 1:- cos (хе*)-cos (хе-*)
573. lim (2e*/(*+l) —1)(*1+1)/*. 574. lim (2 —х)“«(«х/2)
х-*0 х-*1
575. lim 1.--sTg+l>x . -(а>0. ₽>0).
х-*л/2 У(1 — sin“ х) (1 — sinP х)
xf- sh х ,, ..__________ ch х—1
576. a) lim-------; б) lim-------------;
х-*о х х-»о Xs
в) lim -th—-- (см. пример 340).
х-0 х
576.1. lim—— (см. пример 340).
X—о In (ch Зх)
577. lim shV’2 + * -
ж->4-оо ch х
> х i- sh х — sho -x chx — ch fl
577.1. a) lim---------------; 6) lim-------------------.
x-»a X—fl x-»a X —fl
577.2. lim —ln- h x- . 578. lim (x—Inchx).
X-*0 In COS X X-^+oo
gSin 2x __ x
579. lim-------------
x-»o thx
/ u Я
' ch —
580. lim ----------—
П-+ОО Л
COS ---
581. lim arcsin ~л .
X-.OO 1 + *
582. lim arccos (д/х2 + x —x).
583. lim arctg 584. lim arctg------------
X^2 S (X-2)2 X-.-OO S
585. Um ..arctg <* + h>-arctgx .
h-*0 h
щЛ±А-
586. lim---------—----------.
х-»о arctg (1 4- х) — arctg (1 — х)
587. lim [л arctg----J----tgn (— 4——Y].
n(x!4-l) + x H
588. limxf—-----arctg—-—Y
x-»oo к 4 6 x+ 1 J
589. lim x (——arcsin — x .
x-H-oo k, 2 Vx2+ 1 /
[/ _ iwt -.cosec (n Vl+л*)
1 + -!-ii-1
Л J
591. lim—592. limxlnx.
x-»0 X*04 x-H-0
593. a) lim (-0ca4-x —x); 6) lim (д/х24-х**—х\
X-»—00 X-»4-0O
594. a) lim (-\/l 4-x-4-xa <—yi—x4-xa);
00
6) lim (yi-4-x+x1 —--уЧ +*2 )
x-»4- oo
594.1 Найти h— lim f(x)— lim f(x), если
X->-*oo
fw-in
* + V*a+ ь1
595. a) lim arctg—1—; 6) lim arctg—-—.
*-»l—0 1—X x-»14-o 1 —X
596. a) lim ----Ц—; 6) lim----------Г—,
' X-»-» 1+?/* x-»+0 l+e1/Jt
597. a) lim -ln(1 + eX) ; 6) lim -ln(1+e<) .
00 X X->4-00 X
598. Доказать, что
a)
>24-0 при
б)
5-23*3
2x on
----->2—0 при
599. Доказать, что
а) 2л->1—0 при х—>—0;
б) 2х->14-0 при х->4-0.
600. Найти f (1), / (1—0), f (1 4- 0), если f (х) =
= х 4- lx2 1.
601. Найти / (л), / (л—0), / (л 4- 0) (л = 0, ± 1, . .
если / (х) = sgn (sin пх).
Найти:
602. lim х л/cos —. 603. limxf—1.
*-»о V * L * J
604. lim sin (л д/л2 4-1 )•
4->0О
605. lim sin2(лд/л24-л).
П-*>оо
606. lim sin sin ... sin x.
/X—>00 '
п раз
607. Если lim <p (x) — А и lim ф (x) = В, то следует
*-mi x-t-A
ли отсюда, что
lim ф (ф (х)) = В?
Рассмотреть пример: ф (х) = 1/q при х = p/q, где
р и q — взаимно простые целые числа и ф (х) — 0 при
х — иррациональном; ф (х) — 1 при х 0 и ф (х) = 0
при х = 0; причем х -> 0.
608. Доказать теоремы Коши: если функция / (х)
определена в интервале (а, 4-°°) и ограничена в каждом
конечном интервале (а, Ь), то
a) lim = lim (/ (х 4-1)—/ (х)];
б) iim {/ (х)]'м = lim (? (х) > С>0),
*- ►4-ос Х->4-оо I \Х)
предполагая, что пределы в правых частях равенств
существуют.
609. Доказать, что если: а) функция / (х) определена
в области х > а; б) ограничена в каждой конечной об-
ласти а <. х •< Ь\ ъ) lim 1/ (х 4- 1) — / (х) ] = со, то
г->-Ноо
lim — = оо.
610. Доказать, что если: 1) функция f (х) определена
в области х > а; 2) ограничена в каждой конечной об-
ласти а < х < Ь; 3) для некоторого натурального п
существует конечный или бесконечный предел
lim У<5+1)-/(х) = /,
Х-»4-00 Хп
ТО
lim =
*-»+» хп** n+ 1
611. Доказать, что
a) lim (1 4- —V = е*;
л-+-оо \ П /
б) lim(14-x4--£- + ...+^-)вЛ
п-+ао \ /I Л! /
612. Доказать, что
lim nsin(2nen!) = 2n.
П-ФОО
Указание. Использовать формулу (*) примера 72.
Построить график функций:
613. а) у = 1—х100; б) y=lim (1—х2л)(—1<хс1)
п->оо
vlOO
614- а) (х>0); б> У=Пт——-(х>0).
1 -f- П-*оо 1 т X
615. у = lim —(х#=0).
Л-»оо хп+х~п г >
616. х— lim z\/х2-!—— .
п-»оо V п*
617. у= lim 1 + хп (х>0).
Л-ФОО
618. у= lim !4-х»4-(Д£.у (х>0).
619. у— lim — х (х>0).
'»-»<» 2гп | Xй1
620. a) y = sinie09x; б) у= lim sin2nx.
п-»оо
621. у«lim 1п(2П + *П) (х>0).
П—*ао П
622. у= lim (х— l)arctgx™.
П-*-оо
623. у = lim ?/14-е"(х+1).
625. у = lim —5— In — (x> 0).
625.1. у = li m--------------- (x > 0).
tgM w* + i
625.2. у = lim xsgn | sin2 (л!лх) |.
625.3. Построить кривую
lim Vr|x|n4-|y|n «1.
n-*oo
626. Асимптотой (наклонной) для кривой у = f (х)
называется прямая у — kx 4- b, для которой
lim (/ (х)—(Лх4-Ь)]=0.
Х-*-оо
Используя это уравнение, вывести необходимые и до-
статочные условия существования асимптоты.
627. Найти асимптоты и построить следующие кри-
вые:
а) z.+\_2 i б) у=
в) у=|/х3—х3 ; г) у = —;
6х — 1
д) у— In (1 + е*)\ е) ы==х-}-arccos—.
к
Найти следующие пределы:
г гЛ+1 -П+2 rtn -I
628. lim —-----------------+ . . . 4- —— .
n-+»L («4-1)1 (n +2)1 (2n)l J
629. lim [(1 4-x)(l 4-x’)(l 4-x4). . . (1 4-*2n)L если
|x|<l.
G30. lim (cos cos — . . . cos .
n-оЛ 2 4 2n )
631. Пусть lim == 1, где ф (х) > 0 и пусть
х-*0 ф(х)
a«nZ£0 (m = 1, 2,...) прип-»оо, т. е. |атя | < е
при т — 1, 2, . . . и п > N (е).
Доказать, что
lim [ф («!„) + ф («гл) + . . . +ф(аяя)] =
nt-»
= lim [ф(а1я)+Ф(агя) + . . . +ф(аяя)1, (1)
предполагая, что предел в правой части равенства (1J
существует.
Пользуясь предыдущей теоремой, найти:
п _______
т- !1т.КУ, + ^-1)-
633. lim y(sin~Y
n-t-oo L^t \ Л* Z
*=1
634. lim £(aft"”—l) (a>0).
rt->oo fc=l
n
635. Iimll(1 + V')-
n->oojfe=l ' n '
n
636. lim П cos~ */- -
n-»oo *=1 « Vn
637. : Последовательность xn задана равенствами!
= *2 = 'Vfl + Vfl > хз— v a+V я + л/a t • • «
(a>0).
Найти lim xn.
n-p-oo
637.1. Последовательность хп задается следующим
образом:
X} = 0, хг = 1,
= + (л=2, 3, . . .).
Найти lim хп
Л-»00
637.2. Последовательность уп определяется с по-
мощью последовательности хп соотношениями:
Уо = хо, уп = хп—ax„_i (л = 1, 2, . . .),
где (ос i < 1. Найти lim хп, если lim уп = Ь.
л-*ао
637.3. Последовательность хп определяется следую-
щим образом:
Ao -= 1. хп = - —— (л = 1, 2, . . , ).
1 + хч-1
Найти !im д„.
л-*оо
Указание Рассмотреть разности между хп и корнями
уравнения х = ----- .
1 +*
638. Последовательность функций
Уп = УЛх) (0<х<1)
определяется следующим образом:
о'2
х . х /„ о о \
«/! = — . = ----— (л = 2, 3, . . .).
Найти lim уп.
639. Последовательность функций уп = уп (xj
(0 < х < 1) определяется следующим образом:
yi=f’ = т + (л==2’3” •
Найти lim уп.
639.1. Пусть х> 0 и уп = yn_i (2—хуп_х J (л = 1,
Доказать, что если yi > 0 (i = 0, 1), то после-
довательность уп сходится и
lim уа = —.
Л->оо X
Указание. Изучить разность
639.2. Для нахождения у — у/х, где х>0, при-
меняется следующий процесс: у0 > 0 — произвольно,
+ <п=1’ 2" •
2 \ У п-1 /
Доказать, что
lim уп = у/х.
П-+0О
Указание. Использовать формулу
Уп —У* ( Vn-i — л/х У (n^i).
Уп + V* \ У п-1 + Ух ) "
640. Для приближенного решения уравнения Кеплера
х—esinx = /n (0<8<1) (1)
полагают
х0 — т, Xj = m + еsinх0, . . . , x„ = m4-esinx„_11 . . .
(метод последовательных приближений).
Доказать, что существует g = lim хп и число £ яв-
Л->00
ляется единственным корнем уравнения (1).
641. Если <1>А [/] есть колебание функции / (х) на
сегменте |х—< h (h > 0), то число
(оо Ifl = lim (ой (fl
называется колебанием функции f (х) в точке £.
Определить колебание функции f (х) в точке х = 0,
если f (0) = 0 и при х Ф 0 имеем:
а) f(*) = sin-i~; б) f (х) = —4coss—;
в) f (x)=x(2+sin-i-); г) f(x) = -4arctS~;
д) ;(X) = Jsinxl . е) f(x)=----!---j
Ж) /(x) = (l +|x|)V«.
642. Пусть f (x) = sin —.
X
Доказать, что, каково бы ни было число а, удовлет-
воряющее условию — 1 < а < 1, можно выбрать по-
следовательность хп -> 0 (л = 1, 2, . . .) такую, что
lim f (xn) = а.
643. Определить
I = lim f (х) и L = lim f (х),
х-*0 х-»0
если:
a) f(x) = sin2 — 4—— arctg —;
X Я X
б) f (х) = (2 —х2) cos —; в) f (х) = ^1+cos*-^yeC 0/Ж>
644. Определить
I ~ W и — l*m f (*)»
Х->0О Х-*ОО
если:
a) f (х) = sin х; б) f (х) = х2 cos2 х;
в) f (х) = 2*‘п *•; г) f (х) = —(х>0).
I —J Л dill Л
§ 6. 0-символика
1°. Запись
Ф (х) = О (чр (х)) при х £ X
обозначает, что существует постоянная А такая, что
| ср (х) К A It (х) | для х£Х, (1)
Аналогично пишут
Ф (х) = О (ф (х)) при ха, (2)
если неравенство (1) выполнено в некоторой окрестности Ua
точки а (х #= а). В частности, если ф (х) 0 при х £ Uo (х а),
то соотношение (2) заведомо имеет место, если существует ко-
нечный Ит *5^ 0. В этом случае будем писать <р (х) =
x-ta Ip (х)
= О* (t (X)).
Если
lim ФЯ-^fe^o (р>0),
то ф (х) называется бесконечно малой порядка р относительно
бесконечно малой х. Аналогично, если
lim = k Ф 0 (р > 0),
х-»оо хр
то ф (х) называется бесконечно большой порядка р относительно
бесконечно большой х
2°. Запись
ф (х) = о (ф (х)) при х -> а
обозначает, что
ф (х) = а (х) ф (х) (x£Ua, х^а), (3)
где а (х) -♦ 0 при х -► а. Если ф (х) =# 0 при х £ Ua, хфа,
то равенство (3) эквивалентно утверждению
limJ₽<±=0.
Х-.Я ф (х)
3°. Функции ф (х) и ф (х) называются эквивалентными
(Ф (х) ~ ф (х)) при х -* а, если
Ф (*) — Ф W =- о (Ф (*)) при х —► а. (4)
Если ф (х) =# 0 при х £ Ua, х а, то из (4) имеем
*-*а ф(х)
При х -> 0 справедливы соотношения эквивалентности!
sin х ~ х; tg х ~ х; а* — 1 ~ х In а (а > 0);
ln(l-f-x)~x; 1 + х — 1~ —,
Вообще
Ф (х) + о (ф (х)) ~ ф (х).
При нахождении предела отношения двух бесконечно ма-
лых (или бесконечно больших) функций
при х -* а данные функции можно заме-
нять эквивалентными.
645. Считая центральный угол
АОВ = х (рис. 4) бесконечно малой
1-го порядка, определить порядки
малости следующих величин: а) хорды
ЛВ; б) стрелки CD; в) площади сек-
тора АОВ; г) площади треугольника
АВС; д) площади трапеции АВВ^А^;
е) площади сегмента АВС.
646. Пусть о (f (х)) — произвольная функция, имею-
щая при х -> а более низкий порядок роста, чем функ-
ция f (х), и О (f (х)) — любая функция, имеющая при
х -> а тот же порядок роста, что и функция f (х), где
/ (х) > 0.
Показать, что
а) о (о (f (х))) = о (f (х)); б) О (о (f (х))) = о (f (х));
в) о (О (f (х))) = о (f (х)); г) О (О (/ (х))) = О (/ (х)),
Д) О (f (х)) + о (I (х)) = О (I (х)).
647. Пусть х —*• 0 и п > 0. Показать, что
а) СО (х") = О (х") (С =/= 0 — постоянная);
б) О (хл) + О (хт) = О (хп)
в) О (хл) О (хт) = О (хп+т).
648. Пусть х-+ + оо и п>0. Показать, что
а) СО (хп) — О (хл);
б) О (хп) + О (хт) = О (хл) (п > т);
в) О (х") О (хт) = О (хп+т).
649. Показать, что символ ~ обладает свойствами:
1) рефлексивности: <р (х) ~ <р (х); 2) симметрии; если
<р (х) ~ ф (х), то ф (х) ~ ф (х); 3) транзитивности: если
Ф (х) ~ ф (х) и ф (х) ~ 7. (х), то <р (х) ~ X (х).
650. Пусть х -> 0. Доказать следующие равенства:
а) 2х—х2 = О (х); б) х sin л/х = О (х3/2);
в) х si п — = О (| х |); г) In х = о (е
д) д/х + д/х + л/х ~^х;
е) arctg —= 0(1);
х
ж) (1 + х)л = 1 + пх + о (х).
651. Пусть х-> + оо. Доказать следующие равен-
ства:
а) 2х3—Зх2 +1 = О (Xs);
б) -тЦ-=°(—
X2 -f- 1 4X7
в) x4-x2sinx = 0(x2); г)
д) 1пх = о(хе) (е>0); е) хр?~х = о у-);
ж) д/х 4- д/х + -х[х '\[х\ з) x24-xln100 х ~ х2.
652. Доказать, что при достаточно большом х > О
имеют место неравенства:
а) х2 + 10х+100<0,001х3;
б) 1п100°х<^/х’; в) х10е*<;е2х.
65 2.1. Доказать асимптотическую формулу
^х*-\-рх-\-д —х
Р_
2
+о(—)
\ X /
при х -> + оо.
653. Пусть х -> 0. Выделить главный член вида
Схп (С — постоянная) и определить порядки малости
относительно переменной х следующих функций:
а) 2х—3.x3 4-а®; б) дЛ +х—VI—х>
в) V1—^х—1^1—Зх; г) tgx—sinx.
654. Пусть х —>• 0. Показать, что бесконечно малые
a) б) f(x) =
1п X
не сравнимы с бесконечно малой хл (п > 0), каково
бы ни было п, т. е. ни при каком п не может иметь место
f (х)
равенство lim - = k, где k — конечная величина,
хчО Хп
отличная от нуля.
655. Пусть х -► 1. Выделить главный член вида
С (х—1)" и определить порядки малости относительно
бесконечно малой х—1 следующих функций:
а) х3—3x4-2; б) 1 — V*"
в) 1пх; г) ех —е\ д) х* —1.
656. Пусть х-*- + оо. Выделить главный член вида
С*** и определить порядки роста относительно бесконечно
большой х следующих функций:
а) 4-100х+ Ю000; б) ------—-----;
ха — 3x4- I
в) X 4-V*"; Г) д/14-V1 +V* •
657. Пусть х-> 4- оо. Выделить главный член вида
и определить порядки малости относительно
бесконечно малой — следующих функций:
X
а) ““т-; б) 1—Vх ’•
X* -f- 1
в) Vx4-2 — 2</*4-1 + Vх": г) — sin —.
X X
658. Пусть х -* 1. Выделить главный член вида
С(—“уУ и определить порядки роста относительно
бесконечно большой —-— следующих функций:
X — 1
659. Пусть х -► 4- оо и fn (х) = х» (п — 1, 2, . . .).
Доказать, что 1) каждая из функций fn (х) растет бы-
стрее, чем предшествующая функция (х); 2) функ-
ция ех растет быстрее, чем каждая из функций fn (х)'
<п = 1. 2, . . .).
660. Пусть х 4- оо и
fn(x) = ^T (П = 1, 2, . . .).
Доказать, что 1) каждая из функций fn (х)’ растет
медленнее, чем предшествующая функция (х)}
2) функция f (х) = In х растет медленнее, чем каждая1
из функций fn (х) (л=1, 2, . . .).
661. Доказать, что какова бы ни была последова-
тельность функций
/1 (Д ft (*)» • • • , fn (*)> • • • (*о < х < + оо),
можно построить функцию f (х), которая при х-> + оо
растет быстрее, чем каждая из функций fn (х) (п = 1,
2, . . .).
§ 7. Непрерывность функции
1°. Непрерывность функции. Функция f (х)
называется непрерывной при х — х0 (или в точке х0), если
lim f (х) == / (х0). (1)
т. е. если функция f (х) определена при х = х0 и для каждого
е > 0 существует в — о (в, х0) > 0 такое, что при | х—х01 < б
для всех значений I (х), имеющих смысл, выполнено неравенство
И (*) — I (*о) I < в.
Функция f (х) называется непрерывной на данном множестве
X — {х} (интервале, сегменте и т. п.), если эта функция непре-
рывна в каждой точке множества X.
Если при некотором значении х = х0, принадлежащем об-
ласти определения X =» {х) функции f (х) или являющемся
предельной точкой этого множества, равенство (1) не выполнено
(т. е. или (а) не существует число f (х0), иными словами, функ-
ция не определена в точке х = х0, или (б) не существует lim f (х),
или (в) обе части формулы (1) имеют смысл, ио равенство между
ними не имеет места), то х0 называется точкой разрыва функции
f (х).
Различают: 1) точки х0 разрыва первого рода, для которых
существуют конечные односторонние пределы:
f(x9 — 0) = lim /(х) и f (хо4-О)= lim f(x)
0 х-»х„+0
и 2) точки разрыва второго рода — все остальные. Разность
/ (*о + 0) - f (х0—0)
называется скачком функции в точке х0.
Если выполнено равенство
I (*о - 0) = f (х9 4- 0),
то точка разрыва х0 называется устранимой. Если по меньшей
мере один из пределов / (х0 — 0) или f (х0 + 0) равен символу оо,
то х0 называется точкой бесконечного разрыва.
Если выполнено равенство
t (*в — 0) = f (*о) (или / (х0 + 0) — I (х0)),
то говорят, что функция f (х0) непрерывна слева (справа) в точке х0.
Для непрерывности функции f (х) в точке х0 необходимо и до-
статочно равенство трех чисел:
I (х0 — 0) = I (х0 + 0) = I (х0).
2е. Непрерывность элементарных функ-
ций. Если функции [ (х) и g (х) непрерывны при значении
к = х0, то функции
a) f (*) ± g (*); б) t (х) g (х); в) (g (хо)¥=О)
также непрерывны при х — х0.
В частности: а) целая рациональная функция
Р (х) = а0 + а,х + .. . + о„х"
непрерывна при любом значении х; б) дробная рациональная
функция
(х) = °0 01Х "Ь • • • ~Ь
bt + М + • - - + Ьтхт
Непрерывна при всех значениях х, не обращающих знаменателя
в нуль.
Вообще основные элементарные функции: хл, sin х, cos х,
tg х, 0х, loga х, a res in х, arccos х, arctg х, . . . непрерывны во
всех точках, где они определены.
Более общий результат следующий: если функция / (х)
непрерывна при х — х0 и функция g (у) непрерывна при у —
•= I (*о). то функция g ([ (х)) непрерывна прн х = хв.
3°. Основные теоремы о непрерывных
функциях. Если функция f (х) непрерывна на конечном
сегменте [a, i], то: 1) f (х) ограничена на этом сегменте; 2) до-
стигает на нем своей ннжней грани т и верхней грани М (тео-
рема Вейерштрасса); 3) принимает на каждом интервале
(а, Р) с (а, 6] все промежуточные значения между f (а) и
f (Р) (теорема Коши). В частности, если [ (а) t (Р) < 0, то най-
дется значение у (а < у < Р) такое, что [ (у) = 0.
662. Дан график непрерывной функции у = f (х).
Для данной точки а и числа г > 0 указать геометриче-
ски число 6 >• 0 такое, что \f (х)— f(a)\<Z& при
\х—а| < 6.
663. Требуется изготовить металлическую квадрат-
ную пластинку, сторона которой х0 = 10 см. В каких
пределах допустимо изменять сторону х этой пластинки,
если площадь ее у — хг может отличаться от проектной
Vo = 100 см2 не больше чем а) на ± 1 см2; б) на ± 0,1 см2;
в) на ± 0,01 см2; г) на ± е см2?
664. Ребро куба заключается между 2 м и 3 м. С ка-
кой абсолютной погрешностью А допустимо измерите
ребро х этого куба, чтобы объем его у можно было вы-
числить с абсолютной погрешностью, не превышающей
8 м3, если: а) 8 = 0,1 м3; б) 8 = 0,01 м3; в) 8 = 0,001 м3?
665. В какой максимальной окрестности точки
х0 = 100 ордината графика функции у = 'х/х отли-
чается от ордън?^’.! Vo = Ю меньше чем на 8 = Ю"’®
(л > 0)? Определить размеры этой окрестности при
п = 0, 1, 2, 3.
666. С помощью «е—б»-рассуждений доказать, что
функция f (х) = Xs непрерывна при х = 5.
Заполнить следующую таблицу:
8 1 0,1 0,01 0,001 • « «
б
667. Пусть f (х) = — и в => 0,001. Для значений
X
х0 = 0,1; 0,01; 0,001; . . . найти максимально большие
положительные числа б = б (в, х0) такие, чтобы из
неравенства | х—х01 < б вытекало бы неравенство
If (х) —f (X0)|<8.
Можно ли для данного 8 — 0,001 выбрать такое
б > 0, которое годилось бы для всех значений х0 из
интервала (0,1), т. е. такое, что если |х—х0|<б, то
If (х)—f(x0)|<8, каково бы ни было значение
х0 е (0,1)?
668. Сформулировать на языке «е—б» в положитель-
ном смысле следующее утверждение: функция f (х),
определенная в точке х0, не является непрерывной в этой
точке.
669. Пусть для некоторых чисел 8 > 0 можно найти
соответствующие числа б = б (в, х0) > 0 такие, что
1 f (х) — f (х0) | < в, если только 1 х—х01 < б.
Можно ли утверждать, что функция f (х) непрерывна
в точке х0, если: а) числа 8 образуют конечное множество;
б) числа в образуют бесконечное множество двоичных
дробей е = (п = 1, 2. . . .).
670. Пусть даиа функция f (х) = х 4- 0,001 [х).
Показать, что для каждого 8 > 0,001 можно по-
добрать б = б (в, х) > 0 такое, что | f (х') — f (х) | < е,
если только |х'—х( < б, а для 0<е < 0,001 для всех
значений х этого сделать нельзя.
В каких точках нарушается непрерывность этой
функции?
671. Пусть для каждого достаточно малого числа
6>0 существует в = 8 (б, х0)>0 такое, что если
| х—х01 < 6, то выполнено неравенство | f (х) — f (х0) |<е.
Следует ли отсюда, что функция f (х) непрерывна при
х = х0? Какое свойство функции f (х) описывается дан-
ными неравенствами?
672. Пусть для каждого числа е > 0 существует
число 6 = 6 (е, х0) > 0 такое, что если | f (х) — / (х0) |<е,
то |х—х0|<6. Следует лн отсюда, что функция f (х)
непрерывна при значении х = х0? Какое свойство функ-
ции описывается этими неравенствами?
673. Пусть для каждого числа 6 > 0 существует
число е = е (6, х0) > 0 такое, что если | f (х) — /(х0) |<е,
то | х—х01 < 6.
Следует ли отсюда, что функция f (х) непрерывна
при х = х0? Какое свойство функции f (х) описывается
данными неравенствами?
Рассмотреть пример:
( arctg х, если х рационально,
' — I л—arctg х, если х иррационально.
674. С помощью «е—6»-рассуждеиий доказать не-
прерывность следующих функций: а) ах + Ь; б) х2»
в) х3; г) Vx"; д) Ух ; е) sin х; ж) cos х; з) arctg х.
Исследовать на непрерывность и изобразить графи-
чески следующие функции:
675. / (х) = |х|.
4 , если x=f=2\
676. f (х) — х — 2
А, если х=2.
677. f(x) = ——. если х=/= —1 и /( — !)—про-
(1 х)
довольно.
678. а) /1(х)=|-^-|, если х^=0 и /1(0) = 1;
I i^i I
б) ft (X) = -7^7-. если х=#0 и /2 (0) = 1.
1*1
679. f (х) = sin —, если х#=0 и f (0) —произвольно.
680. f (х) = xsin —, если ху=0 и /(0) = 0.
X
681. Нх) = е-1/х>, если х=#0 и / (0) = 0.
682. / (х) =--——, если х#=1 и /(1)—прпиэ-
1+е1/*
сольно.
683. f (х) =xlnx*, если х=£0 и f(O) = a.
684. f (х) = sgn х. 685. f (х) = lx J.
686. f (х) = д/* —I V*”L
Определить точки разрыва функций и исследовать
характер этих точек, если:
687. и =--------. 688. » = > + *-.
v 0 + х)’ У 1+*3
1 I
689.1/ =—-----------. 690. у = —--------£±2-.
v х3 — Зх + 2 1 1
х— 1 х
691. у=-±—. 692. у=л/ >-с”.я^-.
* sin х а V 4 — ха
693. у = cos' —. 694. у = sgn (sin
Л
cos ---
695. у =------—. 696. у = arctg —.
Л X
cos —
X
697. у = *\fx arctg —. 698. у == e*+V«.
х
699. у=-±-. 700. у= ; *,_л .
Inx 1 —ех/| *
Исследовать на непрерывность и нарисовать эскиза
графиков следующих функций:
701. у = sgn (sin х). 702. у = х — 1х].
703. у = х 1х]. 704. у = (х ] sin лх.
705. {/ = х2— [х*]. 706. х = [“]-
707. у = х(—J. 708. у = sgn(cos—
6-2МЗ
709. у =[—-]sgn(sin-J-). 710. y = ctg-~.
711. y = sec2-^-. 712. y = (—1)^1.
713. у - arctg f—+ —Ц- + —M-
\ x x—1 x — 2 J
714. y=-----?---. 715. y=------!--.
x*sinJx sin(x*)
716. u=ln--------------. 717. y=e-V*.
* (»4-l)(x-3)
718. y=l—r-vx-. 719. y=th—.
Исследовать на непрерывность и построить графики
следующих функций:
720. y=lim—1—(х>0). 721. у=Нт-^5-.
П »оо 1 + Хп л->оо Л* "г Л
722. y=lim +х2п. 723. у = lim cos2" х.
п-*оо п-»оо
у /woo 1 4“ (2 sin х)2/1 ’
725. у«lim [х arctg (nctgx)].
П->00
726.
727.
728. y= lim (l+x)thtx.
6+4-00
729. Является ли непрерывной функция
J 2х, если 0 <х<1,
/W —12—х, если 1<х<2.
730. Пусть
{е*, если х<0,
а4-х, если х>0.
При каком выборе числа а функция f (х) будет непрерыв-
ной?
731. Исследовать следующие функции на непрерыв-
ность и выяснить характер точек разрыва, если:
а) = Ь
В) f(x) =
х при |х|< 1,
1 при | х|> 1;
cos -— при |х|<1,
|х—1| при |х|>1;
. ., , f ctg1 лх для
г) ,М“(о для
(sin лх для
Д) f(x) = \n
' (0 для
нецелого х,
целого х;
рационального х,
иррационального х.
732. Функция d — d (х) представляет собой крат-
чайшее расстояние точки х числовой оси Ох от множества
точек ее, состоящего из отрезков' 0<х<1и2<х <3.
Найти аналитическое выражение функции d, построить
ее график и исследовать иа не-
прерывность.
733. Фигура Е состоит из
равнобедренного треугольника
с основанием 1 и высотой / и
двух прямоугольников с осно-
ваниями 1 каждый и высотами,
равными 2 и 3 (рис. 5). Функ-
ция 3 = 3 (у) (0 < у < + оо)
представляет собой площадь
части фигуры Е, заключенной
между параллелями Y = 0 и Рис. 5
Y — у, а функция b = Ь (у)
(О «S у < + оо) есть длина сечеиия фигуры Е парал-
лелью Y = у. Найти аналитические выражения функ-
ций 3 и Ь, построить их графики и исследовать на не*
прерывность.
734. Доказать, что функция Дирихле
Х(х) = lim Him cos" (лт!х)|
<п-*оо |л->оо j
разрывна при каждом значении х-
6*
735. Исследовать на непрерывность функцию
f W = xj. (х),
где % (х) — функция Дирихле (см. предыдущую задачу).
Построить эскиз графика этой функции.
736. Доказать, что функция Римана
—, если х— где тип взаимно
f (х) —
простые числа;
О, если х иррационально,
разрывна при каждом рациональном значении х и не-
прерывна при каждом иррациональном значении х.
Построить эскиз графика этой функции.
737. Исследовать иа непрерывность функцию f (х),
заданную следующим образом:
«+1
если х есть несократимая рациональная дробь — (п>1), и
f (х) = | х|,
если х— иррациональное число. Построить эскиз гра-
фика этой функции.
738. Функция / (х) = 1 ~ c°s х- определена для всех
значений аргумента х, кроме х = 0. Какое значение
следует приписать функции f (х) в точке х = 0, чтобы
эта функция была непрерывной при х = 0?
739. Показать, что при любом выборе числа f(l)
функция f (х) = -p-J— будет разрывна при х = 1.
740. Функция f (х) теряет смысл при х = 0. Опреде-
лить число f (0) так, чтобы f (х) была непрерывна при
х — 0, если:
a) f(x)^y^x -1-. б) f(x) = -^-_;
3/Т+7- 1
в) /(x) = sinxsin —; г) f(х) = (1 4-х)’/х;
X
д'» f W = е) f w = х* (* > °):
ха
ж) f (х) — X 1п2х.
741. Обязательно ли будет разрывна в данной точке х0
сумма двух функций f (х) + g (х), если: а) функция
f (х) непрерывна, а функция g (х) разрывна при х = х0;
б) обе функции f (х) и g (х) разрывны при х = х0? По-
строить соответствующие примеры.
742. Обязательно ли произведение двух функций
f (х) S (х) терпит разрыв непрерывности в данной точке
х0, если: а) функция f (х) непрерывна, а функция g (х)
разрывна в этой точке; б) обе функции f (х) и g (х) раз-
рывны при х — х0? Построить соответствующие при-
меры.
743. Можно ли утверждать, что квадрат разрывной
функции есть также разрывная функция?
Построить пример всюду разрывной функции, квад-
рат которой есть функция непрерывная.
744. Исследовать на непрерывность функции fig(x)]
И g V (х) ], если:
а) f W = sgn х и g (х) = 1 + х2;
б) f (х) = sgn х и g (х) == х (1—х2);
в) f (х) = sgn х и g (х) = 1 + х — [х ].
745. Исследовать на непрерывность сложную функ-
цию у = f(u), где и — <р (х), если
| и при 0<ц С 1;
f(M)—|2—и при 1<и<2
и
(х при х рациональном;
Ф (*) = ) г» (0 < х < 1)’.
т ' (2—х при х иррациональном
746. Доказать, что если f (х) — непрерывная функ-
йия, то F (х) = | f (х) | есть также непрерывная функция.
747. Доказать, что если функция f (х) непрерывна,
то функция
•—с, если /(х)<—с;
fc (X) = f (X), если I f (х) К с;
с, если f(x)>c,
где с — любое положительное число, также непрерывна.
748. Доказать, что если функция f (х) непрерывна
на сегменте [а, Ь ], то функции
т(х) — inf {f($} и М(х) = sup {/(£)}
также непрерывны на [а, Ь].
749. Доказать, что если функции f (х) и g (х) непре-
рывны, то функции
ф (х) = min Г/ (х), g (х) ] и ф (х) = max [f (х), g (х) 1
также непрерывны.
750. Пусть функция f (х) определена и ограничена
па сегменте [а, 6]. Доказать, что функции
m(x)= inf {(/©} и Л4(х)= sup
непрерывны слева на сегменте [а, 6].
751. Доказать, что если функция f (х) непрерывна
в промежутке а < х < + оо и существует конечный
lim f (х), то эта функция ограничена в данном проме-
4-00
жутке.
752. Пусть функция f (х) непрерывна и ограничена
в интервале (х0, + оо). Доказать, что, каково бы ни
было число Т, найдется последовательность хл -* + оо
такая, что
lim [f(xn + T)-/(xn)]=O.
П->00
753. Пусть ф (х) и ф (х) — непрерывные периодиче-
ские функции, определенные при — оо < к <. + оо и
lim [ф(х)—ф(х)] = О.
х->4-°°
Доказать, что ф (х) * ф (х).
754. Доказать, что все точки разрыва ограниченной
монотонной функции являются точками разрыва 1-го
рода.
755. Доказать, что если функция / (х) обладает сле-
дующими свойствами: 1) определена и монотонна на
сегменте [а, Ь ]; 2) в качестве своих значений принимает
все числа между f (а) и f (Ь), то эта функция непрерывна
на [а, 6].
756. Показать, что функция f(x) = sin—?—.если
х — а
и / (а) = 0, принимает на любом сегменте [а, bl
все промежуточные значения между f (а) и f (b), однако
не является непрерывной на [а, Ь].
757. Доказать, что если функция f (х) непрерывна
на интервале (а, Ь) и х1г х2, . . . , хп — любые значения
из этого интервала, то между ними найдется число §
такое, что
/ © = — (*i) +/ (*«) +. . •+f (х„)1.
п
758. Пусть f (х) непрерывна в интервале (а, Ь) и
f = lim/(x) и L^limffx).
л->а х-*о
Доказать, что, каково бы ни было число X, где
I < X < L, существует последовательность хл-> а (п =
= 1, 2, . . .) такая, что
lim/(x„)=X.
§ 8. Обратная функция.
Функции, заданные параметрически
1°. Существование и непрерывность об*
ратной функции. Если функция у = / (х) обладает
следующими свойствами: 1) определена и непрерывна на интер-
вале (a, i); 2) монотонна в строгом смысле на этом интервале,
fo существует однозначная обратная функция х = /-1 (у), опре-
деленная, непрерывная и соответственно монотонная в строгом
Смысле иа интервале (4, В), где А — lim f (х) и В — lim f (х).
Х-.О4-0 х-*Д—О
Под однозначной непрерывной ветвью многозначной обратной
функции данной непрерывной функции у = f (х) понимается любая
однозначная непрерывная функция х = g(i/), определенная в
максимальной области ее существования и удовлетворяющая
в этой области уравнению f [g (у) 1 = у
2°. Непрерывность функции, заданной
параметрически. Если функции <р (/) и ф (/) опреде-
лены и непрерывны в интервале (а, 0) и функция ф (<) строго
Монотонна на этом интервале, то система уравнений
X = Ф (0. У = Ф (О
Определяет у как однозначную непрерывную функцию от х:
У = $ (Ф~* (ж)),
на интервале (а, Ъ), где а = lim ф (t) и b — lim ф (/).
<-*а+0 <-*3—0
759. Найти обратную функцию дробно-линейной
функции
У == , Ьс °)-
сх+ d
В каком случае обратная функция совпадает с данной?
760. Найти обратную функцию х — х (у), если
у = х + [х].
761. Показать, что существует единственная непре-
рывная функция у = у (х) (— оо < х < 4- оо), удов-
летворяющая уравнению Кеплера
у — е sin у — х (0 < е < 1).
762. Показать, что уравнение ctg х = kx для каж-
дого вещественного k (— оо < k < + оо) имеет в ин-
тервале 0 < х < л единственный непрерывный корень
х = х (k).
763. Может ли немонотонная функция у =?
= f (х) (— оо < х < + оо) иметь однозначную обрат-
ную функцию? Рассмотреть пример:
х, если х рационально;
—х, если х иррационально.
764. В каком случае функция у = f (х) и обратная
функция х = (у) представляют одну и ту же функ-
цию?
765. Показать, что обратная функция разрывной
функции {/==(!+ х2) sgn х есть функция непрерыв-
ная.
766. Доказать, что если функция f(x) определена
и строго монотонна на сегменте [a, b J и
lim f (x„) = / (а) (а < хя < Ь),
П-*оо
ТО
lim х„ = а.
Определить однозначные непрерывные ветви обрат-
ных функций для следующих функций:
767. у—-х2. 768. у = 2х—х». 769.у= ,
770, i/ = sinx. 771. y = cosx. 772. z/ = tgx.
773. Показать, что множество значений непрерывной
функции у = 1 + sin х, соответствующих интервалу
(О < х < 2л), есть сегмент.
774. Доказать равенство
arcsin х 4- arccos х =
775. Доказать равенство
arctg х 4- arctg — = — sgn х (х 0).
х 2
776. Доказать теорему сложения арктангенсов:
arctg х 4- arctg у —
arctg у + ел,
1 — ху
где е = е (х, у) — функция, принимающая одно из трех
значений: 0, 1, — 1.
Для каких значений у при данном значении х возмо-
жен разрыв функции е? Построить на плоскости Оху
соответствующие области непрерывности функции в
и определить значение этой функции в полученных
областях.
777. Доказать теорему сложения арксинусов:
arcsin х 4- arcsin у =
= (-= 1)е arcsin (х VI—у® 4-у V1—х® ) 4-ел
(1*1 < 1, |у|<1),
где
_ ( 0, если ху < 0 или х® 4- у2 < 1,
I sgn х, если ху > 0 и х® 4- у2 > 1.
778. Доказать теорему сложения арккосинусов:
arccos х 4- arccos у =
= (—1) arccos (ху——*® —у* ) 4-2ле
(1*1 <1, |у|< 1),
где
( 0, если х 4- у > 0,
6 <
I 1, если х 4- у < 0.
779. Построить графики функций:
а) у = arcsin х—arcsin VI—х®;
б) у = arcsin (2х V1—** )—2 arcsin ж.
780. Найти функцию у = у (х), заданную уравне-
ниями:
х = arctg /, у = arcctg / (— оо< / < + оо).
В какой области определена эта функция?
781. Пусть х = ch t, у — sh t (— оо < t < + оо)'.
В каких областях изменения параметра t перемен-
ную у можно рассматривать как однозначную функцию
от переменной х? Найти выражения у для различных
областей.
782. Каковы необходимые и достаточные условия
того, чтобы система уравнений х = <р (/), у = ф (/)
(а < t < Р) определяла бы у как однозначную функ-
цию от х?
Рассмотреть пример: х = sin*/, у = cos*/.
783. При каких условиях две системы уравнений
х — <р (/), у = ф (/) (а < / < Ь)
и
X = ф (х (т). У = Ф (х W) (а < т < ₽)
определяют одну и ту же функцию у = у (х)?
784. Пусть функции ф (х) и ф (х) определены и не-
прерывны на интервале (а, Ь) и А = inf ф (х), В =
a<x<bj
— sup ф (х). В каком случае существует однозначная
а<х<Ь
функция f (х), определенная в интервале (Л, В) и та-
кая, что
ф (х) = f (ф (х)) при а < х < &?
§ 9. Равномерная непрерывность функции
Г. Определение равномерной непрерыв-
ности. Функция [ (х) называется равномерно непрерывной
на данном множестве (интервале, сегменте и т. п.) X = (х),
если / (х) определена на X н для каждого в > 0 существует
6 = 6 (е) > 0 такое, что для любых значений х', х" £ X нз
неравенства
|х'—х" | < 6
следует неравенство
IZ (*') — I (х”) I < в.
2°. Теорема Кантора. Функция f (х), определен
ная н непрерывная на ограниченном сегменте [л, 6], равномерно
непрерывна на «том сегмевте.
785. Цех завода вырабатывает квадратные пластинки,
стороны которых х могут принимать значения в преде-
лах от 1 до 10 см. С каким допуском 6 можно обрабаты-
вать стороны этих пластинок, чтобы независимо от их
длины (в указанных границах) площадь их у отлича-
лась от проектной меньше, чем на е? Произвести чис-
ленный расчет, если:
а) е = 1 см2; б) е = 0,01 см2; в) е = 0,0001 см2.
786. Цилиндрическая муфта, ширина которой в
и длина 6, надета на кривую у — у х и скользит по
ней так, что ось муфты остается параллельной осн Ох.
Чему должно быть равно 6, чтобы эта муфта свободно
прошла участок кривой, определяемый неравенством
— 10 < х < 10, если: а) е = 1; б) в = 0,1; в) в = 0,01;
г) в произвольно мало?
787. В положительном смысле сформулировать па
языке «в—6» утверждение: функция f (х) непрерывна
на некотором множестве (интервале, сегменте и т. п.),
но не является равномерно непрерывной на этом мно-
жестве.
788. Показа-tb, что функция f (х) = 1/х непрерывна
в интервале (0, 1), но не является равномерно непре-
рывной в этом интервале.
789. Показать, что функция f (х) = sin л/х непре-
рывна и ограничена в интервале (0, 1), но не является
равномерно непрерывной в этом интервале.
790. Показать, что функция f (х) = sin х2 непрерывна
и ограничена в бесконечном интервале — оо < х <+<ю,
но не является равномерно непрерывной в этом интер-
вале.
791. Доказать, что если функция f (х) определена
и, непрерывна в области а < х < 4- оо и существует
конечный
lim f(x),
то f (х) равномерно непрерывна в этой области.
792. Показать, что неограниченная функция
f (х) = х + sin х
равномерно непрерывна на всей оси — оо < х < 4- оо.
793. Является ли равномерно непрерывной функция
/ (х) = х- на интервале а) (— I, I), где / —• любое,
сколько угодно большое положительное число; б) на
интервале (— оо, + оо)?
Исследовать на равномерную непрерывность в за*
данных областях следующие функции:
794. f (х) = ——(-1<х<1).
4 — х’
795./(х) = 1пх (0<х<1).
790. f (х) = (0<х<л).
797. f(x) = e*cos — (0<х<1).
X
798. f (х) = arctg х оо < х< + оо).
799. f (х) = -у/х (1 < х< + оо).
800. f(x) = xsinx (0<х<4-оо).
801. Показать, что функция f (х) = -sin равно*
мерно непрерывна на каждом интервале
Л = (— 1 < х < 0) и Jt = (0 < х < 1)
по отдельности, но не является равномерно непрерыв-
ной на их сумме
Л + Л = {0< | х |< 1).
801.1. Доказать, что если функция f (х) равномерно
непрерывна на каждом из сегментов [а, с ] и [с, 6], то
эта функция является равномерно непрерывной на сум-
марном сегменте [а, &].
802. Для е > 0 найти 6 °= 6 (е) (какое-нибудь!),
удовлетворяющее условиям равномерной непрерывно-
сти для функции f (х) на данном промежутке, если:
a) f(x) = 5x—3
б) /(х) = х4—2х—1
в) /(х) = —
X
г) /w==V*
д) /(x) = 2sinx—cosx
(—оо<х<4-оо);
(—2 < х < 5).
(0,1 <х^1);
(0 <х<4-оо);
(—оо<х< 4-со);
е) f (х)= хsin — (х5^=0) и /(0) = 0 (0 < х < л).
803. На сколько равных между собой отрезков до-
статочно разбить сегмент [1, 10], чтобы колебание
функции f (х) = х* на каждом из этих отрезков было
меньше 0,0001?
804. Доказать, что сумма и произведение ограни-
ченного числа равномерно непрерывных на интервале
(а, Ь) функций равномерно непрерывны на этом интер-
вале.
805. Доказать, что если ограниченная монотонная
функция / (х) непрерывна на конечном или бесконечном
интервале (а, Ь), то эта функция равномерно непрерывна
на интервале (а, Ь),
806 (h). Доказать, что если функция f (х) равно-
мерно непрерывна на конечном интервале (а, Ь), то
существуют пределы
А = lim / (х) и В = lim f (х).
х-»а4-0 х-»Ь—0
Верна ли эта теорема для бесконечного интервала (а, &)?
806.1. Доказать что для того, чтобы функцию f (х),
определенную и непрерывную на конечном интервале
(а, Ь), можно было продолжить непрерывным образом
на сегмент (а, Ь ], необходимо и достаточно, чтобы функ-
ция f (х) была равномерно непрерывна на интервале
(а, Ь).
807. Модулем непрерывности функции f (х) на про-
межутке (а, Ь) называется функция
Ф, (6) = SUp |/ (Xj) — f (х2)|,
где Xi и х8 — любые точки из (а, Ь), связанные условием
’Xj—х2] < 6.
Доказать, что для равномерной непрерывности
функции f (х) на промежутке (а, Ь) необходимо и доста-
точно, чтобы
lim со/(6) = 0.
б—+о
808. Получить оценку модуля непрерывности 6)
(см. предыдущую задачу) вида
со, (6) < С6“,
где Сна — константы, если:
a) f(x) = x® (0<х<1);
б) i(x) = ^x (0<х<а) и (а<х<4-оо),
в) f (х) = sinx-f-cosx (0^х<2л).
§ 10. Функциональные уравнения
809. Доказать, что единственная непрерывная функ-
ция f (х) (— оо < х < 4- оо), удовлетворяющая для
всех вещественных значений х и у уравнению
f(x + y) = f(x)+f(y), (1)’
есть линейная однородная f (х) = ах, где а — f (1) —•
произвольная константа.
810. Доказать, что монотонная функция f (х), удов-
летворяющая уравнению (1), есть линейная однородная.
811. Доказать, что функция f (х), удовлетворяющая
уравнению (1) и ограниченная в сколь угодно малом
интервале (— е, е), есть линейная однородная.
812. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция f (х) (— оо < х<
< + оо), удовлетворяющая для всех значений хну
уравнению
f(x+y) = /(x)/(y), (2)
есть показательная f (х) = а*, где а — f (1) — положи-
тельная постоянная.
813. Доказать, что не равная нулю тождественно
функция f (х), ограниченная в интервале (0, е) и удов-
летворяющая уравнению (2), есть показательная.
814. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция f (х) (0 < х <+ оо),
удовлетворяющая для всех положительных значений
х и у уравнению
f (ху) = f (х) + f (у),
есть логарифмическая f (х) = loge х, где а — положи-
тельная константа (а =/= 1).
815. Доказать, что единственная не равная нулю
тождественно непрерывная функция f (х) (0 < х < 4-оо),
удовлетворяющая для всех положительных значений
хну уравнению
f (ху) = f(x)f (у), (3)
есть степенная / (х) = х°, где а — постоянная.
816. Найти все непрерывные функции f (х) (— оо <;
< х < + оо), удовлетворяющие для всех веществен-
ных значений х и у уравнению (3).
817. Показать, что разрывная функция f (х) ~ sgnx
удовлетворяет уравнению (3).
818. Найти все непрерывные функции f (х) (— оо <
<х< + оо), удовлетворяющие для всех веществен-
ных значений х и у уравнению
f(x + y) + f (х—у) - 2/ (х) f (у).
819. Найти все непрерывные ограниченные функции
f (х) и g (х) (— оо < х < + оо), удовлетворяющие для
всех вещественных значений х и у системе уравнений:
f (х + у) = f(x) f (у) — g (х) g (у),
g (X + у) = f (x)g (у) + f (у) g (х),
и, сверх того, условиям нормировки:
/ (0) - 1 ng (0) = 0.
Указание. Рассмотреть функцию
F (х) = Г (х) + в* (х).
820. Пусть Л/ (х) = f (х + Дх) — / (х) и Д2/ (х) =
= Д {Af (х)} суть конечные разности функции f (х)
соответственно первого и второго порядков.
Доказать, чти если функция f (х) (— оо < х < + оо)
непрерывная нА8/ (х) = 0, то эта функция линейная,
т. е. f (х) = ах -j- b, где а и Ь — постоянные.
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Производная явной функции
1°. Определение производной. Если я и
“ х+ А* — значении независимой переменной, то разность
АУ » | (а + Ах) — I (х)
называется приращением функции у = £ (х) на сегменте [х, xj|.
Выражение
Р' = Г(«)“ Нт -7^-» (О
Дх-*0 Ах
если оио имеет смысл, носит название производной, а сама фуик-
v (х), w = w (х) имеют
ция j (х) в этом случае называется
дифференц ируемой.
Геометрически число £' (х) пред-
ставляет собой угловой коэффици-
ент касательной к графику функции
ув|(х) в точке его *(tga=f)(x)
(рис. 6).
2°. Основные правила
нахождения производи
ной. Если с — постоянная вели-
чина и функции и «= и (х), о
производные, то
1) с'оО;
2) (со)'-» си';
3) (и 4- о — и>у = и' + о' —
4) (ио)' = и'о + о'и;
в(±.)-_ль=«с <’*»>=
6) (ип)’г= пия~1и' (п— постоянное число);
7) если функция v = £(и) и и = <р(х) имеют производные,
то
Ув = Уи"?
З9. Основные формулы. Если х — независима*
переменная, то
I. (хп)' = пхп—1 (л — постоянное число).
II. (sinх)‘ = cosх. III. (cosx)'= —sinx.
IV. (tg x)' = —1—. V. (ctg xy ------------J—.
COS8 X sin8 X
VI. (arcsin x)'= — * - .
Vl—x8
VII. (arccos x)' =------ .
Vl — Xs
VIII. (arctgx)' = —-Ц-. IX. (arcctgx)' = — —L—,
X. (a*)' = a*Ina, (e^'^e*.
XI. (logox)' = —A— (a>0);
x Ina
(lnx)' = — (a>0, a=#=l; x>0).
x
XII. (shx)' = chx. XIII. (chx)' = shx.
XIV. (th xy = —1---- XV. (cth xy ---------~.
ch8x sh8x
4°. Односторонние производные. Выраже*
г , , ,. f (х+ Дх) — f (х)
t— (*) “ I,m !'— -
Ах-*—0 Дх
П
f+W =
lim Лх) —f (х)
Лх-й-о Дх
называются соответственно левой нли правой производной функ*
цин f (х) в точке х.
Для существования производной f’ (х) необходимо и до*
статочно, чтобы
Г_ (х) = f’+ (х).
5°. Бесконечная производная. Если функ*
цня I (х) непрерывна в точке х н
lim /^ +, Дх)-Нх) в
Лх-*0 Дх
то говорят, что в точке х функция f (х) имеет бесконечную произ
водную. В этом случае касательная к графику функции у
= / (х) в точке х перпендикулярна к осн Ох.
у—2383
821. Определить приращение Дх аргумента х и со-
ответствующее приращение ку функции у = 1g х, если
х изменяется от 1 до 1000.
822. Определить приращение Дх аргумента х и со-
ответствующее приращение Дг/ функции у — 1/х®, если
х изменяется от 0,01 до 0,001.
823. Переменная х получает приращение Дх. Опре-
делить приращение Дг/, если:
а) у = ах + Ь; б) y = ax2-j-bx+c; в) у = а*.
824. Доказать, что:
а) Д [f (х) + g (х) ] = Д/ (х) + kg (х);
б) ДI/ (х) g (х) ] = g (х + Дх) Д/ (х) + f (х) kg (х).
825. Через точки А (2, 4) и А' (2 + Дх, 4 4- ку)
кривой у — х2 проведена секущая АА'. Найти угловой
коэффициент этой секущей, если: а) Дх = 1; б) Дх = 0,1;
в) кх = 0,01; г) Дх произвольно мало.
Чему равен угловой коэффициент касательной к дан-
ной кривой в точке А?
826. Отрезок 1 С х < 1 + h оси Ох с помощью
функции у = х3 отображается на ось Оу. Определить
средний коэффициент растяжения и произвести числен-
ный расчет, если: a) h — 0,1; б) h — 0,01; в) h — 0,001.
Чему равен коэффициент растяжения при этом ото-
бражении в точке х = 1?
827« Закон движения точки по оси Ох дается фор-
мулой
х = 10/ + 5/2,
где / — время в секундах их — расстояние в метрах.
Найти среднюю скорость движения за промежуток вре-
мени 20 < / < 20 + Д/ и произвести численный рас-
чет, если: а) Д/ = 1; б) kt = 0,1; в) Д/ = 0,01. Чему
равна скорость движения в момент времени / = 20?
828. Исходя из определения производной, непо-
средственно найти производные следующих функций:
а) х®; б) х8; в) г) д/Т’> $ V**; е). tg х; ж) ctg х;
в) arcsin х; и) arccos х; к) arctg х.
829. Найти /' (1), f (2) и f (3), если
f (х) = (х—1) (х—2)а (х—З)3.
830. Найти f (2), если f (х) = х2 sin (х—2).
831. Найти f (1), если
f (х) = х + (х—1) arcsin .
832. Найти lim если функция f (х)
х-+а х — а
дифференцируема в точке а.
833. Доказать, что если функция / (х) дифференци-
руема и п — натуральное число, то
Ит п [/ (х + -1-)—f (х)] = f (х). (1)
Обратно, если для функции f (х) существует предел
(1), то можно ли утверждать, что эта функция имеет
производную? Рассмотреть пример функции Дирихле
(см. отд. 1, задачу 734).
Пользуясь таблицей производных, найти производ-
ные следующих функций:
834. у = 2 + х—х3.
Чему равно у' (0); у' 0-); у' (1); у’ (— 10)?
уЗ г2
835. у= —+~-----2х.
J 3 2
При каких значениях х: а) у' (х) = 0; б) у' (х) =
= - 2; в) / (х) = 10?
836. у = а5 +5а3х2—х5. 837. .
а 4- b
838. у = (х—а)(х—Ь).
839. t/ = (x + l)(x+2)2(x + 3)s.
840. у — (х sin а 4- cos а) (х cos а—sin а).
841. р = (14-пхот)(14-тх").
842. 0 = (1—х)(1—хг)«(1—Xs)3.
842.1. ;/ = (5 4-2х)10(3—4х)20.
843. у = -1-4--А.4-2L.
а х Xs X*
| а Ъ
844. Доказать формулу ( ах = ——
7. \ cx+d ) (сх + <
Найти производные функций:
845. у = —. 846. у = -1±_х.-х2
1-х2 3 1 —х + х2
847. </ =--------------
(1 — х)2(1 4-х)3
(2—х2)(2 —х3)
(1-х)2
849.
851.
852.
858.
850. =
(14-х)’ J 14-х
855. р = (1+х)л/2 + х2 ^3 + х3.
856. у=*т+У(1—х)т (14-х)я.
857. у-----*....-
-у/аг — х-
»='/ -ТГ7-'
859. </ = —-----—— -----------.
V14- X3 (х 4- V1 4-х2)
860. y = Vx + ^ + V^ •
861.
862.
863.
864.
865.
у~ V 1 4- V НУ» •
у — cos 2х—2 sin х.
у = (2-—х2) cos х 4- 2х sin х.
у = sin (cos2 х) cos (sin2 х).
у = sin” х cos пх. 866. у = sin [sin (sin х)1
867.
869.
sin2 x
sin x2
1
cosnx
868. у
COS X
2sin2x
sin x — x cos x
cos x 4- x sin x
У
У
870. у =
$ 1. ПРОИЗВОДНАЯ ЯВНОЙ ФУНКЦИИ 101
871. y=tg-|— ctg-^-.
872. y = tgx—J-tg3x+-btg»x. О О
873. у = 4у/ctg’x 4-у/ctg8x.
874. 9 X , « X у = sec2 Ь cosec2 —. a a
875. 877. у — sin [cos2 (tg3 x)]. 876. у = e~x\ y = 2^x‘x. 878. у = e* (x2—2x + 2).
879. г 1 —x2 • (1—X)2 1 r у = 1—-— sin x —1——— cos Xi e~x.
880. II 4- n 0Q KS | X
881. _ ln3-sinx+cosx J 3*
882. a sin bx — b cos bx •уa2 b2
883. у = ех+ег+ее‘х.
884. НтДтЛЯ (o>0>
885. 887. y = xfli+a*a + aaX(a>0). 886. y=ig3xa. у — In (In (In x)). 888. у = In (In2 (In3 x)).
889.
890. y»J-In 4 x*H- 1
891. y= 1 +-Lin-^_. 4(14-x‘) 4 l+x‘
892. y, . 2<6 xV3+V2
893. у = —1— In -1±±- + In 1 k 1 X 1 k ] —хл/k (0<Л<1).
894. у = In (1 x -j-1
895. //=ln(x + V*2+l )•
896. (/ = xln(х +V1+*2)—дА +х2.
897. // = х1п2(х4-д/1 4-х2) —
—2д/14-х2 In (х4* 4-х2) 4*2х.
898. // =-j-д/х24-а2-t--~ In (х4-Vx2 + °2)-
899. у =--L__ in х (а>0, 6>0).
2*Jab *Ja —х y/b
900. у = 2<3<2 4-3 In JJ-V1---2-.
x4 x
901. ff=lntg-L. 902. y=lntg(-^4-J
903. у =ctg2 x 4-In sinx.
плл i / 1 — sinx
904. у = In a /------.
V l-|-sinx
905. y=----c-^- 4- In A/I+IEZ
2sin2x V sinx
906.
__। d4~ocosx4- л/ь* — g2 sinx
a 4- b cos x
(0<|a|<|b|).
907. i/ = -i-(ln8x4-31n2x4-61nx4-6).
908. у —In --------—.
4x‘ x 16x*
909. y = ~(l —^r+xr)4-31n(14-^r+x2),
’>o-»-in[4+in(4+in4)].
911. y = x[sin(lnx)—cos(lnx)].
912. y=lntg-^—cosx-lntgx.
913. y = arcsin — .
2
1 — X . X®
914. w = arccos-г-. 915. у= arctg-.
72 а
916. у——arcctg• 917. у — л/х — arctg V*-
V2 х
918. у = х+д/1 — х2-arccosx.
920. у = arccos —. 921. у = arcsin (sin х).
922. у = arccos (cos2 х). 923. у — arcsin (sin х—cos х).
924. у = arccos дЛ —& • 925. у = arctg -р—х-,
926. r/ = arcctgf S^-X-±^X-Y
\ sinx— cosx )
927. r/ =---?-----arctg tg —)
\ V ofi ° 2/
(a>fe > 0)
928. у = arcsin J-"**-. 929. у --------T7V*
1 + x2 arccos2 (x2j
930. y — arctg x + — arctg (x2).
3
931. у = In (14- sin2 x)—2 sin x• arctg (sin x).
932. у = In (arccos —5—.
\ V* J
933. у = ln--x+~-+4- arctg (6^0).
Vx2+6’ ь b
934. у — -~^аг—x2 +~~~ arcsin — (a>0).
935. ^-L-in (L+.n8 4._J_arctg JLzl-
6 x2-x+l V3- V3
936. // = —L- In -x2+x^+1 -
4л/2 x2 —x л/2 + I
937. у = х (arcsin х)2 4- 2 д/1 —х2 arcsin х—2х.
arccos х , 1 . 1 —л/1—х2
'. у =-------1---*П........ ..- — .
х 2 1 + л/1_х2
939. у = arctg д/х2— 1--•
д/х2—1
940. y = -*rcsin^.+J-ln-^.
д/ГЗ? 2 1+х
941.
1 । х« —х24- 1
12 (х24-1)2
—Цт arctg —
2 7з 2х2 — 1
942. у —--------------arcctg Xе.
1 + х12
943.
944. у = arctg-----------.
1 + д/1 - х2
945. у = arcctg —°~2х- (а>0).
2 Д^ах — х2
946. у= 3~— д/1—2х—х2 4-2 arcsin -- ~*~_х .
2 л/2
947. у = — In ---L arctg . /> + х«
4 Ун-й-_х 2
948. у = arctg (tg2 х).
949. ;/ = д/1 —х2 • 1п /у/ * * 4-
4- — In л/'1 — 4- yi—х2 4- arcsin х.
2 1 4- V1 — х2
950. у = х arctg х-j- in (1 4-х2) —(arctg х)2.
951. у = 1п(е* 4-<14-«2х).
952. у
953. у
954. у
955. у
956. у
957. у
958. у
959. у
960. у
960.1.
960.2.
960.3.
961. у
962. у
963. у
964. у
965. у
965.1.
/ sin a sinx \
ircsm I------------1.
\ 1 — cos a cos x )
_±_|„.У?+Т,-.£УТ
47-1 Vx2+2 4-xV3
4----arctg —-—
2 X
1 . x V2
----— arctg —— —
2V2 71 +x
---—In
4 72
arcctg
72
71 4- x4 — x 72
714-х4 4- x72
X 72
7i —x2
arccos (sin х2—cos х2).
arcsin (sin х2) 4- arccos (cos x2).
gm arcsin x [cos arcsjn x) sjn arcsin X)j.
arctg е* — In
= arcctg
х 4-х* 4-х** (х>0).
х*0 + х4** + а** (а>0, х>0).
(sin x)cos x + (cos x)sin x.
(In x)* : xln x.
__Г arcsin (sin8 x) ar ctg»x
966. у = logx е. 967. у = In (ch х) + —Jr—.
2 СП X
968. z/ = —---Infcth—
J sh2x V Ч)
969. у = arctg (tg x).
970. у = arccos ~.
л-ri b , 2л/аг — Ьг , f /а —1 b ., x Л
971. y =— x-Ь—---------arctg I a/-----th—J
a о ° \ V о + b 2 /
(0 <|t>|<a).
972. Найти производную функции
у = In (cos2x т 71 + cos* x),
вводя промежуточное переменное и = cos2x.
Приемом, указанным в примере 972, найтн произ-
водные функций:
973. у = (arccos х)2 pn2 (arccos х) — In (arccos х) -у-j.
974. у = -1- arctg (/Т+^) + -у- Ь f1 + x-^-.
2 4 унТ7-!
975. „ = arcsin (е-^4.2.In(1-е-2х«).
Л/1_е-2,’ 2
дЖ 1 -
876. «/= . . д^—, y-Trarcctgo-x>
1 -j- g 1 -f-
977. Найти производные и построить графики функ-
ций и их производных, если:
а) у = |x|j б) у = х|х|; в) у = 1п |х|.
978. Найти производные следующих функций:
а) у = 1(х—1)а(х-Ь 1)3|; б) j/ = |sin’x|;
в) у = arccos ——; г) у = [х] sin2 ях.
Найти производные и построить графики функций
и их производных:
1—х при —оо<х<1;
979. у = (1—х) (2—х) при 1 < х < 2; —(2—х) при 2<х<4-оо.
980. у — (х—а)2 (х—Ь)2 при а < х < Ь; 0 вне отрезка [a, &J.
эм. ;,= ( х
I In (1 4-х) при х > 0.
982. у = . arctgх при |х| < 1; — sgn *4 — при |х|>1.
983. у = х2е_*1 при | х| < Г, -Ь при |х|>1. е
984. Производная от логарифма данной функций
У — f (*) называется логарифмической производной этой
функции:
У dx f (х)
Найти логарифмическую производную от функции у,
если:
б) у
= х* 1 f 3~х •
1-х V (34-х)1 ’
В) у = (х—(х—Oj)*1*... (X—а„)“";
г) !/=(x4-V1 + x2)'*-
985. Пусть <р (х) и ф (х) — дифференцируемые функ-
ции от х. Найти производную от функции у, если:
а) у = Vf’W+^W'. 6) У = :
Т \Х)
в) ^’Тфй (<р(х)У=0; Ф(х)>0);
г) у = log, U)ф(х) (<р (х)>0; ф(х)>0).
986. Найти у', если:
a) y = f(x2Y, б) »/ = f(sin2x)47(cos2x);
в) «/ = /(<*)г) у = f{f[f(х)]},
где f (и) — дифференцируемая функция.
986.1. Найти f (0), если
f (х) = х (х—1) (х~2) . . .(х—1000)'.
987. Доказать следующее правило дифференцирова-
ния определителя n-го порядка:
fix (X) /12 W . fin (х)
hi (*) hi (*)... fin (x)
hi (x) hi (x) . . • hn (x)
7*1 (*) In (*)••• f'kn (*) •
fП1 (x) fП2 (x) • • • fnn (x)
fnl(x)fM(x) . . . fnn(x)
988. Найти F' (x), если
1 2
x 3
— 2 —3 «4-1
989. Найти F' (x), если
F(x) =
2x
2
!
0
X»
3x2
6x
990. Дан график функции. Приближенно построить
график ее производной.
991. Показать, что функция
/(*) =
x2sin— при х=?ь0;
X
0 при х = 0
имеет разрывную производную.
992.. При каком условии функция
f(x)==x"sin— (х#=0) и f(0) = 0
а) непрерывна при х — 0; б) дифференцируема при
х — 0; в) имеет непрерывную производную при х — 0?
893. При каком условии функция
f(x) =|x|nsin——(х^=0) и f(0) = 0 (m>0)
1*Г
имеет: а) ограниченную производную в окрестности на-
чала координат; б) неограниченную производную в этой
окрестности?
994. Найти f- (а), если
f (х) = (х—а) <р (х),
где функция <р (х) непрерывна при х = а.
995. Показать, что функция
f (х) = |х—а |<р (х),
где <р (х) — непрерывная функция и ф (а) #= 0, не имеет
производной в точке а.
Чему равны односторонние производные f_ (а) и
Г+ (а)?
996. Построить пример непрерывной функции, не
имеющей производной в данных точках: ах, аг, . . . , ап.
997. Показать, что функция
/(х) — х I cos — I (ху=0) и/(0) = 0
I х I
имеет точки недифференцируемости в любой окрестно-
сти точки х — 0, но дифференцируема в этой точке.
Построить эскиз графика этой функции.
998. Показать, что функция
I № _ I х2, если х рационально;
I 0, если х иррационально,
имеет производную лишь при х = 0.
999. Исследовать на дифференцируемость следующие
функции:
а) у = |(х— 1)(х—2)2(х—3)®|; б) «/ = |cosx|;
в) у = |л2—x2|sin2x; г) у = arcsin (cos х);
Д) У =
* 1 (х+1)а при I х| < Г,
4
|х| — 1 при |х|>1.
Для функции / (х) определить левую производную
fL (х) и правую производную f+ (х), если:
1000. f (х) = |х|. 1001. / (х) - Ixl sin ях.
1002. /(х) = х cos| (х=^0), /(0) = 0.
1003. f(x) = Vsinxa.
1004. f(x) =---(х^О), f(0) = 0.
1 + е1
1005. f(x) = ^l—e~x‘.
1006. /(х) = | In | х 11 (х=/=0).
1007. f (х) = arcsin ———.
1008. / (х) = (х—2) arctg ———— (х^=2), / (2) = 0.
X ~X
1009. Показать, что функция f(*) = xsin-i- при
х =т^ 0 и f (0) — 0 непрерывна при х = 0, но не имеет
В этой точке ни левой, ни правой производной.
1009.1. Пусть х0 — точка разрыва 1-го рода функ-
ции / (х). Выражения
f м = Um K»+W-7(»>-0>.
' h-—a Л
и
е (х0 4- Л) — J (ха + 01
h
lim
'+ ь->+о
называются обобщенными односторонними (соответст-
венно левой и правой) производными функции f (х)’
в точке х0.
Найти f_ (хо) и f'+ (х0) в точках разрыва х0 функции
/ (х), если:
a) ZW-
в) /(*) =
1
1 + е‘/ж
0 f(x) = arctg
1 — Л
1010. Пусть
Xs,
ах-}-Ь,
если х<х0;
если х > х0.
Как следует подобрать коэффициенты а и Ь, чтобы
функция f (х) была непрерывной и дифференцируемой
в точке х = х0?
1011. Пусть
F(x) = ( / (А если х с *0;
если х>х0,
где функция f (х) дифференцируема слева при х = х0.
При каком выборе коэффициентов а и b функция
F (х) будет непрерывной и дифференцируемой в точке х0?
1012. На сегменте а С х с b построить сопряжение
двух полупрямых
у = (х—а) (— оо < х < а),
у = k2 (х—Ь) (Ь < х < + °0)
с помощью кубической параболы
У = А (х—а) (х—Ь) (х—с),
(где параметры А и с подлежат определению).
1013. Часть кривой У — (1*1>с) дополнить
параболой
у = а + fexa (| х | < с)
(где а и b — неизвестные параметры) так, чтобы полу-
чилась гладкая кривая.
1014. Можно ли утверждать, что сумма F (х) =
= / (х) 4- g (х) не имеет производной в точке х — х0,
если: а) функция / (х) имеет производную в точке х0,
а функция g (х) не имеет производной в этой точке;
б) обе функции f (х) и g (х) не имеют производной в
точке х0?
1015. Можно ли утверждать, что произведение
F(*) = f(x)g(x)
не имеет производной в точке х = х0, если: а) функция
f (х) имеет производную в точке х0, а функция g (х) не
имеет производной в этой точке; б) обе функции f (х)
и g (х) не имеют производной в точке х0?
Полагая х0 = 0, рассмотреть примеры: а) / (х) = х,
g (х) = |х|; б) / (х) = |х|, g (х) = |х|.
1016. Что можно сказать о дифференцируемости
функции
в данной точке х — х0, если: а) функция f (х) имеет
производную в точке х — g (х0), а функция g (х) не
имеет производной в точке х — х0- б) функция f (х) не
имеет производной в точке х = g (х0), а функция g (х)
имеет производную в точке х х0; в) функция f (х)
не имеет производной в точке х = g (х0) и функция
g (х) не имеет производной в точке х = х0?
Полагая х0 = 0, рассмотреть примеры:
a) f(x) = xa, g(x) = |х|, б) Z(x) = |x|. £(х) = х®
в) f(х) = 2х+|х|, g(x) = -^-x—^-|х|.
о «3
1017. В каких точках график функции у =
•» х + / sin х имеет вертикальные касательные?
Построить этот график.
1018. Может ли функция f (х) в точке ее разрыва
иметь: а) конечную производную; б) бесконечную про-
изводную?
Рассмотреть пример: / (х) = sgn х.
1019. Если функция f (х) дифференцируема в огра-
ниченном интервале (а, Ь) и lim / (х) = оо, то обяза-
гельно ли
1) lim f' (х) = оо; 2) lim |/' (х) | = + оо?
х-*а
Рассмотреть пример: f (х) = —+ cos— при х->0.
1020. Если функция f (х) дифференцируема в огра-
ниченном интервале (а, Ь) и lim f (х) = оо, то обяза-
х-*а
тельно ли
lim/(x) = оо?
Рассмотреть пример: f (х) = уСх при х -> 0.
1021. Пусть функция f (х) дифференцируема в ин-
тервале (х0, + оо) и существует lim / (х). Следует ли
<-►4-00
отсюда, что существует lim f (х)?
*-►4-00
Рассмотреть пример: / (х) ~ --Я.***),,
X
1022. Пусть ограниченная функция f (х) дифферен-
цируема в интервале (х0, + оо) и существует lim f (x)j
х-*оо
следует ли отсюда, что существует lim / (х) конечный
Х-Ф-00
или бесконечный?
Рассмотреть пример: f (х) = cos (In х).
1023. Можно ли почленно дифференцировать нера-
венство между функциями?
1024. Вывести формулы для сумм:
= 1 + 2х + Зх2 + . . . + лх"-1
И Qn = 1а + 22х + 32х2 + . .. + п’х»-1.
Указание. Рассмотреть (х + ха + .. . + ж")'.
1025. Вывести формулы для сумм:
Sn = sin х + sin 2х + . . . + sin пх
и
Тп = cos х + 2 cos 2х + . . . + п cos пх.
1025.1. Вывести формулу для суммы
S„ = ch х + 2ch 2х + . . . + п ch пх.
Указание. Sn = (sh ж + sh 2ж + ... + sh пх)'.
1026. Пользуясь тождеством
вывести формулу для суммы
1027* Доказать, что производная четной диффереи-
цируемой функции есть функция нечетная, а производ-
ная нечетной дифференцируемой функции есть функция
четная.
Дать геометрическую интерпретацию этого факта.
1028. Доказать, что производная дифференцируемой
периодической функции есть функция снова периодиче-
ская с тем же периодом.
1029. С какой скоростью возрастает площадь круга
в тот момент, когда ргдиус этого круга R = 10 см, если
радиус круга растет равномерно со скоростью 2 см/с?
1030. С какой скоростью изменяются площадь и диа-
гональ прямоугольника в тот момент, когда одна сторона
8~2МЗ
его х = 20 м, а другая сторона у = 15 м, если первая
сторона прямоугольника уменьшается со скоростью
1 м/с, а вторая возрастает со скоростью 2 м/с?
1031. Из одного и того же порта одновременно вышли
пароход А с направлением на северщ пароход В с на-
правлением на восток. С какой скоростью возрастает
расстояние между ними, если скорость парохода А
равна 30 км/ч, а парохода В равна 40 км/ч?
1032. Пусть
,, . ( х, если 0 < х < 2;
дх) =
[ 2х—2, если 2<х<4-оо,
и S (х) — площадь, ограниченная кривой у = f (х)’,
осью Ох и перпендикуляром к оси Ох, проведенным в точ-
ке х (х > 0).
Составить аналитическое выражение функции S (х),
найти производную S' (х) и построить график функции
У “ S' (*)•
1033. Функция S (х) есть площадь, ограниченная
дугой окружности у — л]с?—х2, осью Ох и двумя
перпендикулярами к оси Ох, проведенными в точках 0
их(|х|<а).
Составить аналитическое выражение функции S (х),
найти производную S' (х) и построить график этой про-
изводной.
§ 2. Производная обратной функции.
Производная функции, заданной параметрически.
Производная функции, заданной в неявном виде
1°. Производная обратной функции. Диф-
ференцируемая функция у = f (х) (а < х < Ь) с производной
£' (х) =£ 0 имеет однозначную непрерывную обратную функцию
х = f—1 (у), причем обратная функция также дифференцируема
и справедлива формула
г 1
хи ~ ~i~ *
Ух
2°. Производная функции, заданной па-
раметрически. Система уравнений
(«<,<».
где <р (/) н ф (0 — дифференцируемые функции и <₽' (I) Ф 0,
определяет у, в некоторой области, как однозначную дифферен-
цируемую функцию от ж:
У = Ф (<₽~1 W).
причем производная этой функции может быть найдена по фор.
нуле
3°. Производная функции, заданнойв
неявном виде. Если дифференцируемая функция у— у (ж)
удовлетворяет уравнению
F (ж, у) = О,
то производная у' — у' (ж) этой неявной функции может быть
найдена из уравнения
4- If (*. (01 = О,
dx
где F (ж, </) рассматривается как сложная функция переменной ж.
(Более подробно о дифференцировании неявных функций
см. ч. II, отд. VI, § 3.)
1034. Показать, что существует однозначная функ-
ция у — у (х), определяемая уравнением у3 + Зу = х,
и найти ее производную у'х.
1035. Показать, что существует однозначная функ-
ция у — у (х), определяемая уравнением
у — е sin у — х (0 С е < 1),
и найти производную ух.
1036. Определить области существования обратных
функций х = х (у) и найти их производные, если:
a) z/ = x-4-lnx (х>0); б) у = х+ех-,
в) у = sh х; г) у = th х.
1037< Выделить однозначные непрерывные ветви
обратных функций х = х (у), найти их производные
и построить графики, если:
а) у = 2x2—х4; б) у = д ; в) у = 2е"х—
1038. Построить эскиз графика функции у = у (х)
и найти производную у'х, если: х = — 1 +
у = 2—3t + t3. Чему равна ух (х) при х = 0 и при
х = — 1? В какой точке М (х, у) производная
у'х (х) = 0?
я*
Найти производные у'х (параметры положительны)
если:
1039. х = /1—V/, 0 = Vi —v'T.
1040. х = sin21, у = cos2t.
1041. х = a cos t, у — bsin t.
1042. х = acht. y = bsht.
1043. х = a cos21, 0 = asin21.
1044. x = a(t—sin0, y — a tost).
1045. x = c2/cos2l, y = ^ sin21.
1046. t x = arcsin ——— -, 0 = arccos —
------| у — CU WUO —в
Vi +1*
1047. Показать, что функция у = у (х), определяе-
мая системой уравнений
х = 2/ + |/| , у = 5/2 + 4/|/|,
дифференцируема при t = 0, однако ее производная
в этой точке не может быть найдена по обычной формуле.
Найти производные у'х от следующих функций, за-
данных в неявном виде:
1048. х2 + 2ху—-у* — 2х.
Чему равно у' при х = 2 и у — 4 и при х = 2 и
0 = 0?
1049. 02 = 2рх (парабола).
1050. — + -^- = 1 (эллипс).
а* Ь*
1051. + (парабола).
1052. х2/3 + у2/3 = а2/3 (астроида).
1053. arctg -£• = In </х2-}-02 (логарифмическая спи-
X
раль).
1054. Найти у'х, если:
а) г = а<р (спираль Архимеда);
б) г =» а (1 + cos q>) (кардиоида);
в) г = ас”* (логарифмическая спираль),
где г = Vх’+1/* и ф — arctg~ ~~ полярные координаты.
S 3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
§ 3. Геометрический смысл производной
117
1°. Уравнения касательной и нормали.
Уравнения касательной МТ и нормали MN к графику диффе-
ренцируемой функции у = f (х) в точке его М (х, у) (рис. 7)
соответственно имеют вид:
Y -у = у' (Х—х)
и
у _ у = _ ± (Х-х),
У
где X, Y —текущие координаты касательной или нормали,
а у* = f (х) — значение производной в точке касания.
2°. Отрезки касательной н нормали.
Для отрезков касательной и нормали: РТ — подкасательная,
PN — поднормаль, МТ — касательная, MN—нормаль (рис. 7);
учитывая, что tg а = у', получаем следующие значения:
РТ =
ТИТ = I+
I У' I
PN •= I УУ'\.
mn= |у| Vr+75^
3°. Угол между касательной и радиу-
сом-вектором точки касания. Если г = f (<р) —
уравнение кривой в полярной' системе координат и р — угол,
образованный касательной МГн радиусом-вектором ОМ точки
касания М (рис. 8), то
‘g₽=4-
г
1055. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
у = (х + 1) у'З—х
в точках: а) А (— 1, 0); б) В (2, 3); в) С (3, 0).
1056. В каких точках кривой у = 2 + х—х2 каса-
тельная к ней а) параллельна оси Ох; б) параллельна
биссектрисе первого координатного угла?
1057. Доказать, что парабола
У = а (х—хх) (х—х2) (а =£ 0, хх < х2)
пересекает ось Ох под углами а и ₽ (0 < а < —,
0 < Р < —J, равными между собой.
1058. На кривой у — 2 sin х (— я о С л) опре-
делить те участки ее, где «крутизна кривой» (т. е. | у' | \
превышает 1.
1059. Функции у — х н у! = х + 0,01 sin 1 000 лх
отличаются друг от друга не больше чем на 0,01. Что
можно сказать о максимальном значении разности
производных этих функций?
Построить соответствующие графики.
1060. Под каким углом кривая у — In х пересекает
ось Ох?
1061. Под какими углами пересекаются кривые
у = х2 и х = у2?
1062. Под какими углами пересекаются кривые
у — sin х и у = cos х?
1063. При каком выборе параметра п кривая
у = arctg пх (п > 0)
пересекает ось Ох под углом, большим 89°?
1063.1. Показать, что кривая у — |х|а
а) при 0 < а < 1 касается оси Оу;
б) при 1 <. а < + оо касается оси Ох.
1063.2. Показать, что для графика функции
| х |“, если ссУ=0 х^=0,
у —
1, если х=*=0,
предельное положение секущей, проходящей через точку
А (0, 1), есть ось Оу.
1064. Определить угол между левой и правой каса-
тельными к кривой: а) у = ^\—е~аЧ~ в точке х = 0;
Оу
б) у = arcsin----— в точке х— 1.
1065. Показать, что касательная к логарифмической
спирали г = ае""» (а и т—постоянные) образует по-
стоянный угол с радиусом-вектором точки касания.
1066. Определив длину подкасательной к кривой
у = ах", дать способ построения касательной к этой
кривой.
1067. Доказать, что у параболы у2 = 2рг
а) подкасательная равна удвоенной абсциссе точки
касания;
б) поднормаль постоянна.
Дать способ построения касательной к параболе.
1068. Доказать, что показательная кривая
У = аА (а > 0)
имеет постоянную подкасательную. Дать способ по-
строения касательной к показательной кривой.
1069. Определить длину нормали к цепной линия
у = ach —
а
в любой ее точке At (х0, z/0).
1070. Доказать, что у астроиды
^ + у2'3 = а2/3 (а>0)
длина отрезка касательной, заключенного между осями
координат, есть величина постоянная.
1071. При каком соотношении между коэффициен-
тами а, b и с парабола у = ах2 + Ьх + с касается
оси Ох?
1072. При каком условии кубическая парабола
у — х3 4- рх + q
касается оси Ох?
1073. При каком значении параметра а парабола
у — ах2 касается кривой у — 1п х?
1074. Доказать, что кривые
У = f(x) и (х) > 0) и у == f (х) sin ах,
где f (х) — дифференцируемая функция, касаются друр
друга в общих точках.
1075. Показать, что семейства гипербол х2—у2 = а
и ху = b образуют ортогональную сетку, т. е. кривые
этих семейств пересекаются под прямыми углами.
1076. Доказать, что семейства парабол
у2 — 4а (а—х) (а > 0) и у2 — 4Ь (Ь 4-х) (Ь > 0)
образуют ортогональную сетку.
1077. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
х = 2t—t2, у = 3/—t3
в точках: a) t = 0; б) t = 1.
1078. Написать уравнения касательной и нормали
к кривой
2/ + /» 2/ — /»
X =------, у =-----------—
1 +(3 а 14-/»
в точках: a) t — 0, б) t = 1, в) t = оо.
1079. Написать уравнение касательной к циклоиде
х ~ a (/—sin /), у — а (1—cos /)
в произвольной точке t — t0. Дать способ построения
касательной к циклоиде.
1080. Доказать, что трактриса
х = a (In tg — 4- cos /), у = a sin t (а > 0, 0 < /<л)
имеет отрезок касательной постоянной длины.
Написать уравнения касательной и нормали в за-
данных точках к следующим кривым:
1081. — 4- — = 1, М (6; 6, 4).
100 64
1082. ху 4- in у = 1, М (1; 1).
§ 4. Дифференциал функции
1°. Дифференциал функции. Если прираще-
ние функции у = I (х) от независимой переменной х может быть
представлево в виде
Ду «= А (х) dx -Ь о (dx),
где dx — Л.х, то линейная часть этого приращения называется
дифференциалом функции у.
dy = А (х) dx.
Для существования дифференциала функции у = f (х) необхо-
димо и достаточно, чтобы существовала конечная производная
У1 — I' (х), причем имеем:
Ду в У' ах- (1)
Формула (1) сохраняет свою силу и в том случае, если пе-
ременная х является функцией от новой независимой перемен*
иой (свойство инвариантности первого дифференциала).
2°. Оценка малых приращений функция.
Для подсчета малых приращений дифференцируемой функция
t (х) можно пользоваться формулой
I (х 4- Дх) — [ (х) « f (х) Дх,
относительная погрешность которой сколь угодно мала при до*
статочно малом |Дх|, если f' (х) =£ 0.
В частности, если независимая перемеииая х определиется
с предельной абсолютной погрешностью, равной Дх. то Дв я
6и — предельные абсолютная и относительная погрешностя
функции у = { (х) — приближенно выражаются следующими
формулами:
Дв = I /1 Дх
и
б„= |-^| Дх
I У I
1083. Для функции
/ (х) = х8—2х + 1
определить: 1) А/ (1); 2) df (1) и сравнить их, если:
а) Дх = 1; б) Дх = 0,1; в) Ах == 0,01.
1084. Уравнение движения дается формулой
х = 5/2,
где t измеряется в секундах их — в метрах.
Для момента времени t — 2 с определить &х — при-
ращение пути и dx — дифференциал пути и сравнить
их, если:
а) А/ = 1 с; б) А/ — 0,1 с; в) А/ = 0,001 с.
Найти дифференциал функции у, если:
1085. у =—. 1086. у = — arctg — (а^=0).
х а а
1087. у = — In1-^-1. 1088. Inlx+V^T?
я 2а I x-f-a I 9 1 1
1089. у = arcsin — (а Ф 0).
1090. Найти:
a) d(xe*); б) d(sinx—xcosx); в) df-i-Y
\ X9 /
г) ‘,Стг); Л d е) d(
ж) d In (1 —х2); з) d (arccos py);
K)d [_»!“£_ +_L in tgM-+JL) 1.
' I 2cosax 2 4 2 4 J J
Пусть и, v, w — дифференцируемые функции от х.
Найти дифференциал функции у, если:
1091. у — UVW. 1092. у = —. 1093. у = -1.—.
1094. у — arctg —. 1095. у = In
V
1096. Найти: а) —— (х3—2х*—х9);
d(x3) '
Д)
d (arcsin х)
d (arccos х)
в) .
d (cos x) ’
Г) d(t6x) .
d (ctg x) ’
1097. В круговом секторе радиус R — 100 см и цен-
тральный угол а = 60°. Насколько изменится площадь
этого сектора, если: а) радиус его R увеличить на 1 cmj
б) угол а уменьшить на 30'?
Дать точное и приближенное решения.
1098. Период колебания маятника (в секундах) оп-
ределяется по формуле Т — 2л , где / — длина
маятника в сантиметрах и g — 981 см/с2 — ускорение
силы тяжести.
Насколько нужно изменить длину маятника / =
в 20 см, чтобы период Т увеличился на 0,05 с?
Заменяя приращение функции дифференциалом,
найти приближенно следующие значения:
1099. ^ТД2. 1100. sin 29°. 1101. cos 151’.
1102. arctg 1,05. 1103. 1g 11.
1104. Доказать приближенную формулу
Va«4-x«a4—7
(а>0),
где | х 1 а (соотношение А В между положитель-
ными Л и В означает, что А весьма мало по сравне-
нию с В).
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
а) д/5; б) в) V120 и сравнить с табличными
данными.
1104.1. Доказать формулу
‘Ла*+х = а + —-г (а>0, х>0),
2а
где
0<г<-Ц-.
1105. Доказать приближенную формулу
У an+xfaa+—^— (а>0),
пап *
где |хЮ.
С помощью этой формулы приближенно вычислить:
а) ^9; б) ^80; в) уПбб; г) '^1ббО.
1106. Сторона квадрата х — 2,4 м ± 0,05 м. С ка-
кими предельной абсолютной и относительной погреш-
ностями можно вычислить площадь этого квадрата?
1107. С какой относительной погрешностью допу-
стимо измерить радиус R шара, чтобы объем его можно
было определить с точностью до 1 %?
1108. Для определения ускорения силы тяжести
с помощью колебания маятника пользуются формулой
g = 4ntZ/7”, где I — длина маятника, Т — полный пе-
риод колебаний маятника. Как отразится на значении g
относительная погрешность 6 при измерении: а) длины /;
б) периода Т?
1109. Определить абсолютную погрешность десятич-
ного логарифма числа х (х > 0), если относительная
погрешность этого числа равна 6.
1110. Доказать, что углы по логарифмической таб-
лице тангенсов определяются точнее, чем по логарифми-
ческой таблице синусов с тем же самым числом десятич-
ных знаков.
§ 5. Производные и дифференциалы
высших порядков
1°. Основные определения. Производные выс-
ших порядков от функции у — Цх) определяются последова-
тельно соотношениями (предполагается, что соответствующие
операции имеют смысл!):
(W (х) = {/("-!) (х)}" (п = 2, 3, ...),
Если функция I (х) имеет непрерывную производную £("> (х)
иа интервале (a, ft), то кратко пишут: d (х) £ С^п> (а, Ь). В ча-
стности, если f(x) имеет непрерывные производные всех поряд-
ков иа (a, ft), то употребляется запись: f (х) £ С<00) (а, 6).
Дифференциалы высших порядков от функции у = f (х) по-
следовательно определяются формулами
dny = d (dn~>y) (п .=» 2, 3, ...),
где принято dly = dy «« y'dx.
Если х — независимая переменная, то полагают:
d*x «= <Рх = . . . = 0.
В этом случае справедливы формулы
dny = yWdxn и /"> = .
dxP
2°. Основные формулы:
I. (д*)(п) = а* 1пп а (а$>оу, (ех)<п> = ех.
11. (sin х)<"> = sin (х 4- .
III. (cos x)(n> = cos (х +
IV. (лт)С«) == т (т — 1) . .. (m — п + 1) хт-л.
V. (1п.т)(">= ( ~ 1)П~гд(п ~ 1)1
3°. Формула Лейбница. Если функции и = <р (х)
и о = ф (х) имеют производные n-го порядка (л-кратио диффе-
ренцируемы) то
где в(0|«в, о,0|=р и С„ — число сочетаний из п эле-
ментов по I.
s 5. ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 125
Аналогично для дифференциала dn (uv) получаем;
dn (uo) = У C‘ndn-‘ud‘v,
i^O
где положено d*u = и и dnv = о.
Найти у", если:
1111. у = хл/Г+^. »» у- ?
yl—x*
1113. у = ё~х\ 1114. y = tgx.
1115. у = (1+*2) arctgх. 1116. у =
1117. y = xlnx. 1118. y = \nf(x),
1119. у = х [sin (In x) 4-cos (In x)].
1120. Найти y(Q), y' (0) и у (0), если
у а esiax cos (sin x).
Пусть и = <p (x) и v = ф (х) - - дважды дифферен-
цируемые функции. Найти у", если:
1121. у = иа. 1122. у = In -у.
1123. у = V^ + v2. 1124. у = «’ (и > 0).
Пусть / (х) — трижды дифференцируемая функция.
Найти у' и у'", если:
1125. у = /(ха). 1126. у = /(-!-).
1127. у = /(е*). 1128. y = f(lnx).
1129. у = / (ф (х)), где ф (х) — достаточное число
раз дифференцируемая функция.
ИЗО. Найти (Ру для функции у = е* в двух случаях:
а) х — независимая переменная; б) х — промежуточ*
ный аргумент.
Считая х независимой переменной, найти (Ру, если:
1131. у = фТ+х\ 1132. у - 1133, у = х1.
Пусть и и V — дважды дифференцируемые функции
от переменной х. Найти d2y, если:
1134. у = uv. 1135.0 = —.
и
1136. y = umvn (т и п—постоянные).
1137. у = аи (а>0). 1138. у = In
1139. 0= arctg — .
v
Найти производные у'х, ух>, у* от функции у = у (х),
заданной параметрически, если:
1140. х = 2/—Р,
1141. х = a cost,
1142. x = a(t—sin0,
1143. х = e'cos t,
1144. x = /'(/),
y = 3t—t\
0 = a sin t.
у — a(l—cos/).
у = e* sin t.
1145. Пусть функция у = f (x) дифференцируема до-
статочное число раз. Найти производные х', х", х'",
xw обратной функции х — f~l (у), предполагая, что эти
производные существуют.
Найти у'х, y'j, и у'х* от функции и = у (х), заданной
неявно:
1146. х2 + 0а = 25. Чему равны у', у" и у"' в точке
М (3, 4)?
1147. 0s = 2рх. 1148. х2—Х0 + 02 = 1.
Найти у'х и у", если:
1149. у* 4-2 In 0 = х4.
1150. = аеагс‘*рМ
(а>0).
1151. Пусть функция f (х) определена и дважды диф-
ференцируема при х < х0. Как следует подобрать ко-
эффициенты а, b и с, чтобы функция
Р. . (/(*). если х<х0;
/* (X) = S
I а(х—х0)24-Ь(х—х0)4-с, если х>х0
была дважды дифференцируема.
1152. Точка движется прямолинейно по закону
s = 10 + 20/ — 5/2.
Найти скорость и ускорение движения. Чему равны
скорость и ускорение в момент времени t = 2?
1153. Точка М (х, у) равномерно движется по окруж-
ности х2 + у2 — а2, делая один оборот за Т с. Найти
скорость v и ускорение / проекции точка Л1 на ось Ох,
если при t — 0 точка занимала положение (а, 0).
1154. Тяжелая материальная точка М (х, у) брошена
в вертикальной плоскости Оху под углом а к плоскости
горизонта с начальной скоростью и0. Составить (прене-
брегая сопротивлением воздуха) уравнения движения
и определить величину скорости v и ускорения /, а
также траекторию движения. Чему равны наибольшая
высота поднятия точки и дальность полета?
1155. Уравнения движения точки
х = 4 sin ait — 3 cos ait, у = 3 sin <о/ 4- 4 cos ait
(to — постоянно).
Определить траекторию движения и величину ско-
рости и ускорения.
Найти производные указанного порядка.
1156. у = *(2х-=1)2(х4-3)3; иайти у(6) и у'
1157. у ; » хт • найти у"'.
1158. у — -у/х', найти у(10).
1159. у = — найти у^\
1 — X
1160. У = - *— ; VI — X найти у'100’.
1161. у^х2^’, найти у(20).
1162. у = —. х найти у<10>.
1163. у=зх\пх; найти
1164. у = —; х найти у<®>.
1165. y = xasin2x; найти у<“>.
П66. у = C0S 3t ; найти у"'.
128 ОТДЕЛ 11. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1167. у = sin*sin2xsin3jq найти y(10).
1168. y = *shx;
1169. у •= a* cos г.
1170. у = sin1*In*;
найти //100)
найти у™.
найти уЮ.
В следующих примерах, считая х независимой пе*
ременной, найти дифференциалы указанного порядка:
1171. =
1172. f/= 1/Vx;
1173. j/ = *cos2r,
1174. у = е*1пх;
1175. у = cos*-chг,
найти (Ру.
найти <Ру.
найти d10^.
найти (Ру.
найти (Ру.
В следующих примерах найти дифференциалы ука-
занного порядка, если и — функция от *, дифференци-
руемая достаточное число раз:
1176. у = и1;
1177. j/ = e“;
1178. у = In и;
найти dl9y.
найти (Ру.
найти (Ру.
1179. Найти d*y, d3y и d*y от функции у = f (*),
считая х функцией от некоторой независимой перемен-
ной.
1180. Выразить производные у” и у"1 от функции
у = f (*) через последовательные дифференциалы пере-
менных х и у, не предполагая х независимой переменной.
1181. Показать, что функция у = Cjcos х + CjSin х,
где С\ и С г — произвольные постоянные, удовлетво-
ряет уравнению
У” + у = 0.
1182. Показать, что функция у = Cxch х + C2shx,
где Ci и С* — произвольные постоянные, удовлетво-
ряет уравнению
У''~У = °-
1183. Показать, что функция у = 4- С^*,
где Сг и Са — произвольные постоянные и Xlt —
постоянные, удовлетворяет уравнению
у"— (Ьх + М У' + = 0.
f 5 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
1184. Показать, что функция
у — Xя [Cjcos (In х) + C,sin (In х)].
где Ci и С 2 — произвольные постоянные ил — по-
стоянная, удовлетворяет уравнению
х2у" + (1—2л) ху' 4- (1 4- л2) у = 0.
1185. Показать, что функция
у = (С, cos 4- С, sin 4-
4- (С3 cos 4- Ct sin
где Ci, Сг, С3 и С4 — произвольные постоянные, удов-
летворяет уравнению
ylv 4- у = 0.
1186. Доказать, что если функция f (х) имеет произ-
водную л-го порядка, то
[f (ах 4- &))<П) « а"/(П) (ах 4- Ь).
1187. Найти Р(п) (х), если
Р(х) = аохя4-а1хп"14-. . .4-а„.
Найти у(п), если:
Указание. Разложить функцию иа простейшие дробя.
1191. у = .Lx. . 1192. у ---i-----
Vl-2x *
1193. y = sin*x. 1194. y = cos*x. 1195. t/ = sin’x.
1196. у = cos2 х. 1197. у = sin ах sin bx.
1198. у = cos ax cos bx. 1199. у = sin ax cos bx.
1200. у = sin2 ax cos bx. 1201. у = sin4x4-cos4x.
1202. y — xcosax. 1203. у = хг sin ax.
1204. у = (x2 4- 2x 4- 2) e~x. 1205. у = еЧх.
1206. у = e* cos x. 1207. у = f sin x.
1208. у = 1п-2—
v o — bx
1209. у = е?хР(х), где Р(х)—многочлен.
1210. # = xshx.
Найти dny, если:
1211. y = xV. 1212.
1213. Доказать равенства:
1) [е*“ sin (bx+= е*“ (а® + 5®)”/* sin (bx+с+Лф)
и
2) [е*“со5(Ьх+с)1(Я) = E“(a®4-b1)"/,cos(bx+c+nq>>,
гда
. Ь а
Sin ф = — И COS ф = ——=.
1214. Найти у^ , если:
а) у = ch ах cos bx-, б) у — ch ах sin bx.
1215. Преобразовав функцию f (х) — sin2₽x, где р —
натуральное число, в тригонометрический многочлен
f(x)= S Л* cos 2Ах, найти /(п) (х).
А з=0
1 —
Указание. Положить sin х~~^ — 0» W * "
*= cos х + I sin х и t = cos х — i sin x, и воспользоваться фор*
мулой Музвра.
1210. Найти f«”(x), если:
а) / (х) = sinw+1x; б) / (х) = cos*” х;
в) f(x) = cosv+1x,
аде р — целое положительное число (см. предыдущую
задачу).
Если
f(x) = h(x) + tfs(x),
где i — мнимая единица и (х), /2 (х) — действительные
функции от действительной переменной х, то по опре-
делению принимаем:
$ 5 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ 131
1217. Используя тождество
-±_=J-P-----------l_y
х* 4-1 2i \ х — i * + i )
доказать, что
~ sin К" + » агсс^Ь
Указание. Применить формулу Муавра.
1218. Найти л-ю производную от функции
f (х) = arctg х.
Найти /(п) (0), если:
1219. a) f (х) =----!------; б) f (х) = .
1220. a) f (х) = х2е“; б) f (х) = arctg х;
в) f (х) = arcsin х.
1221. a) f(x)=cos(marcsinх); б) f(x)=sin(marcsinx).
1222. a) f (х) = (arctg х)2; б) f (х) = (arcsin х)2.
1223. Найти Ля) (а), если
f (х) = (х——а)"ф (х),
где функция <р (х) имеет непрерывную производную
(л—1)-го порядка в окрестности точки а.
1224. Доказать, что функция
f(x) =
х2" sin —, если х^=0,
X
0, если х=0
(п — натуральное число) в точке х = 0 имеет произ-
водные до л-го порядка включительно и не имеет произ-
водной (л -Ь 1)-го порядка.
1225. Доказать, что функция
е ,/x*, если х^=0,
0, если х = 0
бесконечно дифференцируема при х = 0.
Построить график этой функции.
1226. Доказать, что многочлены Чебышева
Тт(х) = cos (т arccos х) (т = 1, 2, ...)
удовлетворяют уравнению
(1—х2) Тт (х)—хТт (х) + т2Тт (х) = 0.
1227. Доказать, что многочлены Лежандра
Рт(х) = —[(х2— 1)тГ> (т ъ 0, 1, 2, ...)
2тт\
удовлетворяют уравнению
(1 —х2) р'т (х)—2хР’т (X) +т (т +1) Рт (х) = 0.
Указание. Продифференцировать т + 1 раз равен*
ство (х*—1) и' = 2тхи, где и “ (х2—1)”*.
1228* Многочлены Чебышева — Лагерра определяются
формулой
Lm (х) = е* (хте"ж)<т) (т = 0, 1, 2, ...).
Найти явное выражение для многочлена Lm (х).
Доказать, что Lm (х) удовлетворяет уравнению
xLm (х) + (1—x)L'm(x)+rnL (х) = 0.
Указание. Использовать равенство хи' + (х—т) « = 0,
где и e хте_*.
1229. Пусть у = f (и) и и — <р (х). где f (и) и ф (х) —
л-кратно дифференцируемые функции.
Доказать, что
-у*-= Е Л* (х)/<*’(«),
dxn
где коэффициенты Л* (х) (k = 0, I, .. . , п) не зависят
от функции f (и).
1230. Доказать, что для л-й производной сложной
функции у = f (х2) справедлива формула
= (2х)п /<п> (х2) + (2х)п-’Лп-х»(х2) +
dxn И
,] л (л ~ о — 2) (л — 3) ^2х)л~*/('*_*)(х2) I . . ,
1231. Многочлены Чебышева—Эрмита определяются
формулой
Нт (х) = (-If Z (m = 0, 1, 2, ...).
Найти явное выражение многочленов Нт (х).
Доказать, что Нт (х) удовлетворяет уравнению
Н’т (х)—2х//„ (х)+2тНт (х) = 0.
Указание. Использовать равенство и' 4* 2хи = 0, где
и е—**.
1232. Доказать равенство
' х"+х
Указание. Применить метод математической индук-
ции.
1232.1. Доказать формулу
-^(x"lnx)=nlAnx+£ -Д
X Z
(х>0).
1232.2. Доказать формулу
d'"1 Zsinx\ (2л)! \ • о > . ,
lCn w sin X-Sn (X)COSJC1*
где
C„(x) = l--£+...+(-l)"
Xм
(2л)!
И
y3 y3rt"“l
S„(X) = x^— Jr ... +(—l)"-x —-----------.
' 31 TV / (2л—1)!
1233. Пусть — = D обозначает операцию дифферен-
dx
цирования и
t=o
—символический дифференциальный многочлен, где рк (х)
(Л = 0, 1,..., л) — некоторые непрерывные функции
от х.
Доказать, что
/(D){№(x)} = e^(D-H)«(x),
где X — постоянно.
1234. Доказать, что если в уравнении
Е аьх>!Ух} = 0
4=0
положить х — где t — независимая переменная, то
это уравнение примет вид:
SetD(D-l)...(D-* + l)i/=0,
fc==0
где D = —.
dt
§ 6. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши
1°. Теорема Ролля. Если: 1) функция / (х) опреде-
лена и непрерывна на сегменте [а, ft]; 2) [ (х) имеет конечную
производную /' (х) внутри этого сегмента; 3) / (а) = / (ft), то
существует по меньшей мере одно число с из интервала (а, Ь)
такое, что
Г W = 0.
2°. Теорема Лагранжа. Если: 1) функция f (х)
определена и непрерывна иа сегменте (a, ft 1; 2) 1 (х) имеет конеч-
ную производную f (х) на интервале (a, ft), то
f (ft) — f (в) = (ft—в) («). где а < с < ft
(формила конечных приращений).
3. Теорема К о ш н. Если: 1) функции [(х) и g (х)
определены и непрерывны на сегменте [в, ft]; 2) f (х) Hg(x)
имеют конечные производные (х) и g' (х) на интервале (a, ft);
3) Г* (*) + в'* (*) =5*= 0 «ри а < х < ft; 4) g (а) Ф g (ft), то
_Л5-.
g(b)—g(a) g’(с)
1235. Проверить справедливость теоремы Ролля для
функции
f (Х) == (х-]) (х—2) (х—3).
3/—
1236. Функция f (х) = 1—ух2 обращается в нуль
при xt = — 1 и х2 = 1, но тем не менее f (х) #= 0 при
— ) < х <. I. Объяснить кажущееся противоречие с тео-
ремой Ролля.
1237. Пусть функция f (х) имеет конечную произ*
водную /' (х) в каждой точке конечного или бесконеч-
кого интервала (а, Ь) и
lim / (х) = lim / (х).
ж-»«4-0 х-»6—О
Доказать, что /' (с) = О, где с — некоторая точка
интервала (а, Ь).
1238. Пусть: I) функция f (х) определена и имеет не-
прерывную производную (п—1)-го порядка ,(х)
на сегменте [х0, хп 1; 2} f (х) имеет производную п-го
порядка Лп> (х) в интервале (х0, хп) и 3) выполнены ра-
венства
/ (*e) e f Ui) =’...==/ (*п) (х0 < Xj < ... < x„J.
Доказать, что в интервале (хв, хл) существует по
меиьшей мере одна точка £ такая, чего (£) — 0.
1239. Пусть: 1) функция f (х) определена и имеет
непрерывную производную (р 4- ?)-го порядка /<”+«» (х)
на сегменте [а, b ]; 2} f (х), имеет производную
(р + q + 1)-го порядка (х) в интервале (а, Ь);
3) выполнены равенства
f (а) ® f ' (а) = .. . ® /**» (а) *= 0
и
f (b) ~ f (&) - . . . - /и» (Ь) - 0.
Доказать, что в таком случае /fc+ен» (с) =» 0, где
с — некоторая точка интервала (а, Ь).
1240. Доказать, что если все корни многочлена
Р„(х) = аохя-|-а1хл"1 + .. . + ап (аотАО)
с действительными коэффициентами ак (k ® 0, 1, .... nJ
вещественны, то его последовательные производные
Р'п (х), Р'п (х), ..., Рп"-” (х) также имеют лишь ве-
щественные корни.
1241. Доказать, что у многочлена Лежандра
все корни вещественные и заключены в интервале
(- 1, 1).
1242. Доказать, что у многочлена Чебышева—Ла-
герра
L„(x)=^^-(x»^
dx"
Есе корни положительные.
1243. Доказать, что у многочлена Чебышева—Эрмита
и.Ю
dxn
все корни вещественные.
1244. Найти на кривой у = х3 точку, касательная
в которой параллельна хорде, соединяющей точки
А (— 1, — 1) и В (2, 8).
1245. Верна ли формула конечных приращений для
функции f (х) = Их на сегменте la, b J, если ab <_ О?
1246. Найти функцию 0 = 0 (х, Дх) такую, что
f (х 4- Дх) — / (х) — bxf' (х 4-0Дх) (0 < 0 < 1),
если:
а)/(*) = ex’4-Ьх4-с (а=/=0); б)/(х) = х®;
в)/(х)=1/х; r)f(x) = e*.
1246.1. Пусть f (х) Е С*1* (—оо, 4-оо) и для лю-
бых х и h справедливо тождество:
Их 4- Л)-/(х)^йГ (х).
Доказать, что f (х) = ах 4- Ь, где а и Ь — постоян-
ные.
1246.2. Пусть f (х) € Ст (— оо, 4- оо) и для лю-
бых х и Л справедливо тождество
f(x + h)r-f(x)^hf'(x + ±y
Доказать, что / (х) — ах3 4- Ьх 4- с, где а, Ь и с —
постоянные.
1247. Доказать, что если х > 0, то
л/х4-1 —л/х = —/ 1 трд- >
v v 2л/*4-в(х)
где
-L<0(x)c4-’
4 2
причем lim 0 (х) — 1/4, lim 0 (х) = 1/2.
1248. Пусть
/(*) =
-— при 0 < х < 1,
1 ______। .
Определить промежуточное значение с формулы конеч-
ных приращений для функции f (х) на сегменте [0, 2 ].
1249. Пусть f (х)— f (0) = xf (& (х)), где 0 < £(х)<х.
Доказать, что если
f (х) = х sin (In х) при х > 0 и f (0) = О,
то функция 5 = 5 (х) разрывна в любом сколь угодно
малом интервале (О, £), где е > 0.
1250. Пусть функция f (х) имеет непрерывную про-
изводную f (х) в интервале (а, Ь). Можно ли для всякой
точки t из (а, Ь) указать две другие точки хг и ха из
этого интервала такие, что
(x1<e<xi)?
Х1
Рассмотреть пример: f (х) = х8 (— 1 < х с 1), где
5=0.
1251. Доказать неравенства:
а) |sinх—single|х—у|;
б) ptf1 (х—у) — рх?'1 (х—у),
если Q<y<Zx и р>1;
в) | aretga—arctg61 < |а — Ь|;
г) < in — < °, если 0<Ь <а.
а b Ь
1252. Объяснить, почему не верна формула Коши
для функций
f (х) = х8 и g (х) — Xs
иа сегменте [— 1, 11.
1253. Пусть функция f (х) дифференцируема иа сег-
менте [хх, ха], причем ххха>0. Доказать, что
—|Д Л\| = /(5)-5Г(5),
*1 — *1 I f (*1) f (X») I
где хх< £ < ха.
1254, Доказать, что если функция f (х) дифферен-
цируема, но не ограничена на конечном интервале
(a, bj, то ее производная f (х) также не ограничена
на интервале (а, Ь). Обратная теорема не верна (по-
строить пример).
1255. Доказать, что если функция f (х) имеет в ко-
нечном или бесконечном интервале (а, Ь) ограниченную
производную Г (х), то f (х) равномерно непрерывна на
(а, Ь).
1256. Доказать, что если функция f (х) дифференци-
руема в бесконечном интервале (х0, + оо) н
lim /' (х) = 0, то lim =0, т. е. f (х) = о (х) при
X-*-f-0O х-^Ц.00 X
X -> + ОО.
1257. Доказать, что если функция f (х) дифферен-
цируема в бесконечном интервале (х0, 4- оо) и
/ (х) = о (х) при х -> + оо,
то
lim |/'(х)| =0.
*-►4-00
В частности, если существует lim f' (х) = k, то k = 0.
х- ► 4' оо
1258. а) Доказать, что если: 1) функция f (х) опреде-
лена и непрерывна на сегменте lx0, X); 2) / (х) имеет
конечную производную f (х) в интервале (х0, X); 3) су-
ществует конечный или бесконечный предел lim f (х) =»
x-*Xq | О
«= f (х0 + 0), то существует соответственно конечная
или бесконечная односторонняя производная f+ (x0)j
и Г+ (х0) = Г (*о + 0).
б) Показать, что для функции
f(x) = arctg (х#=1) и f(l) = 0
существует конечный предел lim f (х), однако функция
*-м
f (х) не имеет односторонних производных £_ (1) и
/4. (1). Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
Однако в этой точке существуют обобщенные одно-
сторонние производные (см. 1009.1).
1259. Доказать, что если f (х) = 0 при а < х < Ь, то
f (х) = const при а < х < Ь.
1260. Доказать, что единственная функция
/ (х) (— оо < х < 4- оо), имеющая постоянную произ-
водную
Г W = k,
есть линейная:
f (х) = kx 4- b.
1261. Что можно сказать о функции f (х], если
Fn> (х) = о?
1261.1. Пусть f (х) 6 О00’ (— оо, 4- оо) и для каж-
дого х существует натуральное число пк (пх С п) такое,
что
Л"х)(х) = 0.
Доказать, что функция f (х) есть полином.
1262. Доказать, что единственная функция у «
= у (х) (— оо < х < 4- оо), удовлетворяющая уравне-
нию
у' — ку (X = const),
есть показательная;
у = Секх,
где С — произвольная постоянная.
Указание. Рассмотреть (уе~**)z.
1263. Проверить, что функции
f (х) = arctg и g(x) = arctg х
1 —X
имеют одинаковые производные в областях:
1) х<1 и 2) х>1.
Вывести зависимость между этими функциями.
1264. Доказать тождества:
а) 2 arctg х 4-arcsin
2х
1 + *’
= п sgn X
при | х| > 1;
б) 3 arccos х—arccos (Зх—4Х3) — я
при | х | < -i-.
1265. Доказать, что если: 1) функция f (х) непре-
рывна на сегменте [а, b ]; 2) имеет конечную производ-
ную /' (х) внутри него; 3) не является линейной, то
(а, Ь), то ее производная f (х) также не ограничена
на интервале (а, Ь). Обратная теорема не верна (по-
строить пример).
1255. Доказать, что если функция f (х) имеет в ко-
нечном или бесконечном интервале (а, Ь) ограниченную
производную f (х), то f (х) равномерно непрерывна на
(а, Ь).
1258. Доказать, что если функция f (х) дифференци-
руема в бесконечном интервале (хв, + оо) и
lim f (х) = 0, то lira =0, т. е. / (х) = о (х) при
Ж-*+о® X
X 4" оо.
1257. Доказать, что если функция f (х) дифферен-
цируема в бесконечном интервале (х0, + со) и
/ (х) = о (х) при х -> 4- оо,
то
lim |Г(х)| = 0.
х-»4-оо
В частности, если существует lim f' (х) = k, то k = 0.
X » | оо
1258. а) Доказать, что если: 1) функция / (х) опреде-
лена и непрерывна на сегменте [xe, XI; 2) / (х) имеет
конечную производную f (х) в интервале (xe, X); 3) су-
ществует конечный илн бесконечный предел lim f (х) =
х-*Хо4-О
= Г (х0 + 0), то существует соответственно конечная
или бесконечная односторонняя производная (х0)
и Г+ (хв) = Г (хв 4- 0).
б) Показать, что для функции
f(x) == arctg(Х=А1) и /0) = 0
существует конечный предел lim f (х), однако функция
*-*1
f (х) не имеет односторонних производных /1 (I) и
(1). Дать геометрическую иллюстрацию этого факта.
Однако в этой точке существуют обобщенные одно-
сторонние производные (см. 1009.1).
1259. Доказать, что если f (х) = 0 при а < х < Ь, то
/ (х) = const при а<х<Ь.
1260. Доказать, что единственная функция
f (х) (— оо < х < 4- оо), имеющая постоянную произ-
водную
Г W = k,
есть линейная:
f (х) « kx + b.
1261. Что можно сказать о функции f (х), если
(х) = О?
1261.1. Пусть / (х) g С<“> (— оо, + оо) и для каж-
дого х существует натуральное число лх (лх < л) такое,
что
/(яж) (х) . 0.
Доказать, что функция / (х) есть полином.
1262. Доказать, что единственная функция у =
= у (х) (— оо < х < + °°). удовлетворяющая уравне-
нию
у' = Ху (X = const),
есть показательная;
у = Сеи,
где С — произвольная постоянная.
Указание. Рассмотреть (уе_'*4')л.
1263. Проверить, что функции
f (х) = arctgи g(x) = arctg х
имеют одинаковые производные в областях:
1) х< 1 и 2) х> 1.
Вывести зависимость между этими функциями.
1264. Доказать тождества:
а) 2 arctg х +arcsin--—
= nsgnx
б) 3 arccos х—arccos (Зх—4х®) — л
при |х| > 1;
при |х| <
1265. Доказать, что если: 1) функция f (х) непре-
рывна на сегменте [а, Ь ]; 2) имеет конечную производ-
ную /' (х) внутри него; 3) ие является линейной, то
Доказать, что если f (а) < 0, то уравнение f (х) = О
имеет один и только один действительный корень в ин-
тервале (а, а —•
1286. Функция f (х) называется возрастающей в
точке х0, если в некоторой окрестности | х—х01 < S
знак приращения функции Д/ (х0) = f (х) — / (х0) сов-
падает со знаком приращения аргумента Дх0 — х—х0.
Доказать, что если функция f (х) (а < х < &) воз-
растает в каждой точке некоторого конечного или бес-
конечного интервала (а, Ь), то она является возрастаю-
щей на этом интервале.
1287. Показать, что функция
f (х) = х + x:sin—, если х^ 0 и f (0) = О,
возрастает в точке х = 0, но не является возрастающей
ни в каком интервале (— е, е), окружающем эту точку,
где е > 0 произвольно мало.
Построить эскиз графика функции.
1288. Доказать теорему: если 1) функции <р (х) и
ф (х) n-кратно дифференцируемы; 2) (х0) = ф(*> (хь).
(k = 0, 1.....л—1); 3) (х) > ф‘"> (х) при х > хв,
то имеет место неравенство
ф (*) > ф (х) при х > хв.
1289. Доказать следующие неравенства:
а)е*>1+х при х=/=0;
б) х—у-<In(1 + х)<х при х>0;
в) х—^-<sinx<x при х>0;
г) tgx>x+-j- при 0<х<-у;
Д) (х“+/)1/а>(*Р + 0₽)'/<$ ПРИ х>°» У>° И
О<а<0.
Дать геометрическую иллюстрацию неравенств
а) — г).
1290. Доказать неравенство
2 Я
—-x<sinx<x при 0<х<-—.
я 1
1291. Доказать, что ори х> О имеет место неравен-
ство
1292. У арифметической и геометрической прогрес-
сий число членов и крайние члены соответственно оди-
наковы и все члены прогрессий положительны. Дока-
зать, что у арифметической прогрессии сумма членов,
больше, чем у геометрической.
1293. Исходя из неравенства
Е)(а*х+ Ь*)8 > О,
где х, а», ft* (k = 1, . .., и) вещественны, доказать
неравенство Коши
✓ n s 2 л я
(Ха*ьЧ <La**£bk-
J ь-i
1294. Доказать, что среднее арифметическое поло-
жительных чисел не больше среднего квадратичного
этих же чисел, т. е.
1295. Доказать, что среднее геометрическое положи-
тельных чисел не больше среднего арифметического
этих же чисел, т. е.
. ..х„ < — (Х1 + х, + ... + хл).
Л
Указание. Применить метод математической индукции.
1296. Средней порядка s для двух положительных
чисел а и Ь называется функция, определяемая равенст-
вом
Л, (а. Ь) = » если ®=£0,
и
До (a, b) = lim Д, (а, &).
s-M)
В частности, получаем: при s = — 1 среднее гармо-
ническое; при s — 0 среднее геометрическое (доказать!)}
144 ОТДЕЛ IT. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при $ m 1 среднее арифметическое-, при s = 2 среднее
квадратичное.
Доказать, что:
1) min (a, b) С As(a, 6) < max (а, b);
2) функция As (а, Ь) при а ф Ь есть возрастающая
функция переменной s;
8) lim Д, (а, b) = min (а, Ь)\
t н-ос
lim Д,(а, Ь) = max (а, Ь).
Указание. Рассмотреть —7— [In Д, (а, b) 1.
as
1297(h). Доказать неравенства:
а) х®— 1 > а (х— 1) при а > 2, х> 1;
б) р^х — ула< х—а, если п>1, х>а>0;
в) l-f-21nxCx? при х>0.
§ 8. Направление вогнутости.
Точки перегиба
Is. Достаточные условия вогнутости.
График дифференцируемое функции у = /, (х) называется вог-
нутым вверх или выпуклым вниз {вогнутым вниз или выпуклым
вверх) иа сегменте [а, 6), если отрезок кривое
У e t (х) (а < х < Ь)
расположен выше (соответственно ниже) касательное, прове-
денное в любое точке этого отрезка. Достаточным условием
вогнутости графика вверх (вниз), в предположении существова-
ния второе производное I” (х) при а^х^ Ь, является выпол-
нение неравенства
1" (х) > 0 (f" (х) < 0) при а < х < Ь.
2е. Достаточное условие точки пере-
гиба. Точки, в которых меняется иаправлеиие вогнутости
графика функции, называются точками перегиба. Точка хд,
для которое либо f" (хв) » 0, либо f,” (х0) ие существует, при-
чем t' (хв) имеет смысл, есть точка перегиба, если [" (х) меняет
свое знак при переходе через значение хв.
1298. Исследовать направление вогнутости кривой
в точках А (— 1, 0), В (1, 2) и С (0, 0).
Найти промежутки вогнутости определенного знака
и точки перегиба графиков следующих функций:
1299. у = 3х!-х*. 1300. у = (а>0). а* 4- ж1
1301. 1303. 1305. 1307. 1308. у = х + х6/э. 1302. у — -JI 4-Х*. у = х-{- sin х. 1304. у » е-**. у = In (1 -J-x*). 1306. у » xsiu (Inx) (х> 0). у = хя (х>0). Показать, что кривая у = -£±1. * х*4-1
имеет три точки перегиба, лежащие на одной прямой.
Построить график этой функции.
1309. При каком выборе параметра h «кривая не*
роятиости»
«ул
имеет точки перегиба х •» ± о?
1310. Исследовать направление вогнутости циклоиды
х = a (i — sin 0» У = а (1—cos 0 (а > 0).
1311. Пусть функция f (х) дважды дифференцируема
в промежутке а < х < + оо, причем: 1) f (а) « А > 0j
2) Г (а) < 0; 3) f” (х) < 0 при х > а.
Доказать, что уравнение f (х) = 0 имеет один и
только один действительный корень в интервале (а, + оо).
1312. Функция f (х) называется выпуклой снизу
(сверху) на интервале (а, Ь), если для любых точек xt
и х8 из этого интервала и произвольных чисел Х8 и X,
(Хж >0, Х8 > 0, Х8 + Х81) имеет место неравен*
ство
f $“1Х1 (*1) "I" (xi)
(или соответственно противоположное неравенство
f (ХЛ + X2x8) > XJ (xx) + X J (xj).
Доказать, что: 1) функция f (x) выпукла снизу иа
(а, b), если fa (х) > 0, при а < х < Ь; 2) f (х) выпукла
сверху на (а, Ь), если, (х) < 0, при а < х < Ь.
10-JM3
1313. Показать, что функции
х" (л > 1), е*. х In х
выпуклы снизу на интервале (0, 4-°® ), а функции
х» (0 < п < 1), In х
выпуклы сверху на интервале (0, + оо).
1314. Доказать неравенства и выяснить их геомет*
рический смысл:
а) у(^ + 4/")>(-£у£)Я <^>0. У>0. х^у. л>1);
б) ^±^->eJl+v/2 (х*у);
в) xlnx+pln0>(х4-у)1п , если х>0 и у>0.
1314.1. Пусть [" (х) > 0 при а < х < Ь.
Доказать, чте
X * X *
при любых х1( х, £ [а, Ь].
1315. Доказать, что ограниченная выпуклая функ-
ция всюду непрерывна и имеет односторонние левую
и правую производные.
1316. Пусть функция f (х) дважды дифференцируема
в интервале (а, Ь) и f" (|) =#= 0, где а < ( < Ь.
Доказать, что в интервале (а, Ь) можно найти два
значения хх и х2 такие, что
I (*») — f (*i) у
Ха — Хг
1317. Доказать, что если функция f (х) дважды диф-
ференцируема в бесконечном интервале (х0, 4* оо) и
lim / (х) = 0, lim / (х) = О,
x-wco+O х-.4-оо
то в интервале (х«, + оо) имеется по меньшей мере одна
точка 1 такая, что f” (I) = 0.
§ 9. Раскрытие неопределенностей
1-й случай правила Лопитали (раскрытие
О
неопределенности вида —). Если: 1) функции f (х) Hg (х) опреде-
лены и непрерывны в некоторой окрестности (/е *) точки а,
где а — число или символ со, и при х -* а обе стремятся к нулю:
lim f (х) =* lim g (x) = 0;
x~hx x-+a
2) производные f' (x) и g‘ (x) существуют в окрестности Ue точки
а, за исключением, быть может, самой точки а, причем одновре-
менно не обращаются в нуль при х а; 3) существует конечный
или бесконечный; предел
Г(«)
нт ।
g’ («)
то имеем:
.. Цх) .. Г(х)
111X1-^-^- = lim .
g (*) g' (*)
2-й случай правила Лопитвля (раскрытие
неопределенности вида —). Если: 1) функции £ (х) и g (х) при
ОО
х -* а обе стремятси к бесконечности:
lim f (х) » limg (х) ~ со,
х->а х-*о
где а — число или символ оо;
2) производные /' (х) и g' (х) существуют дли всех х, при-
надлежащих некоторой окрестности Ue точки а и отличных от а,
причем
f'*(x) + g'* (х) =# 0 при х £ Ue и х& а;
3) существует конечный или бесконечный предел
11m-™,
**<• g' (х)
то
umIW-= lim JJfL.
«-*« g (*) g' w
Аналогичные правила справедливы для односторонних преде-
лов.
Раскрытие неопределенностей видов 0-оо, оо—оо, 1”, О’
и т. п. путем алгебраических преобразований и логарифмирова-
•) Под окрестностью Ue точки а понимается совокупность
чисел х, удовлетвориющих неравенству: 1) 0<|х—а|<в,
если а — число, и 2) |х| > 1/в, если а — символ оо.
нии приводится к раскрытию неопределенностей двух основных
типов:
0 oo
И .
0-------co
Определить значения следующих выражений:
1318. lim-^-^.
х-н) sin bx
1320. lim tgx~x
x-»o X —sinx
1322. lim .
«-4
1319. lim
х-М)
ch х — cos х
1321. lim
х2
3 tg 4х — 12 tg х
х-М) 3 sin 4х — 12 sin х
1323. lim
Х-.0
х ctg х — 1
x2
1324. lim у
я 2sin2 х — 1
. 1325. lim
х-»0
х(е*+ 1) —2(е* — 1)
x3
1326. lim
x->o x1 sin ж*
1327. lim
х-+0
arcsin 2x — 2 arcsin x
x3
1328. lim
1329. lim
a* — а3,пж
In (sin ax)
1331. lim
x-H) In(sinftx)
(a>0). 1330. limf, xX~x-
x-H \lnx —X+ 1
1332. lim .ln
x-o In (cos bx)
1333. lirn^!£^^£. 1334. lim—f—-----
x-H) x* x-M>x\thx
1335. lim A»h(shx)-Arsh (sin x) t где Arshx==
shx —sinx
1336. lim-^ (е>0).
1337. lim— (a>0, n>0). 1338. lim——-
Х-+» e"* x-0 X100
1339. lim x2*-00**.
1340. lim In x-In (1—x).
1341. lim Xе In х (e>0). 1342. lim Xх.
1343. limx*x-’. 1344. limCx** — 1).
x-*O *-*0
1345. lim//,,+lnx). 1346. limx,/<|_*’.
1347. lim(2—x)tgIU/2. 1348. lim (tg x)tgte.
x-»l n
1349.
lim (ctg x)sln*.
1351.
1353.
g -Jtt V'*
2x4- t J
a* — x In g \i>
b* — xin b )
1352. lirafJei-Y*^.
*-«> \ tg a J
/J 1 \
1355.
1357.
1358. lim
Inx x—1J’
________1______
ln(x4- ViTT2)
x — xa
—— (a>0).
ln(l + x)]’
1359. lim 11+^-
1360. lim Jg + x>x-a<
X-M) Xs
(a>0).
1362. lim (th x)*.
1363. limf arcslnx
*-*o \
1363.2. lim
x-»0
1363.4. lim (
x-»0 \
!/*•
1363.1. limf—Y/x\
x-.0\ X J
1363.3. lim
x-M)
XXl/X*
Arsh x \i/«* . ,
—~—I » где Arshx=
1364. lim Г - A * x) Z 1 • 1365. lim f—arccos xY*.
x-»° L 8 J 'n '
1366. limf-^Y^- 1367• lim-------------»
x-nAdix/ x-o
(1 i Ji \cthx _lnx
. 1368.1. lim—---.
2 J Xf+oo (Inx)*
1369. lim p x*+x* 4- x4-1 — Vx2+x+l. .
x-*4“Oo L x I
1370. lim [(х +а)1+<1/х’ —x‘+1/(x+a)j.
х-*4-оо
1371. Найти lim —, если кривая у = f (х) входит
Х-.0 х
при х -► 0 в начале координат (0, 0) (lim f (х) = f (0)—0)
х-»0
под углом а.
1372. Доказать, что lim х/|х) — 1, если непрерывная
х-»+0
кривая у «= f (х) входит при х -> 4- 0 в начало коорди-
нат (lim f (х) = 0) и при 0 < х < е целиком остается
х-.-1-О
внутри острого угла, образованного прямыми: у —
— — kx и у — kx оо).
1373. Доказать, что если для функции f (х) сущест-
вует вторая производная f" (х), то
f"(х) = lim Нх + *) + Нх-*)-3(х).
л-о Л*
1373.1. Исследовать на дифференцируемость в точке
х = 0 функцию:
/(*) =
1 1
X СХ— 1 ’
1
2 ’
если ху=0;
если х = 0.
1373.2. Найти асимптоту кривой у =
(х>0).
(1 + *)х
1374. Исследовать возможность применения правила
Лопиталя к следующим примерам:
х* sin —
. х х — sinx
a) hm-------------; б) hm----------------;
х-»о sinx х-.оо х-f-sinx
. у е~** (cos х -f- 2 sin х) + e~*a sin* x e
' *-h-oo e~x (cos x 4- sin x) ’
r) lim
(x 4-sin x cos x) e 1 2
1375. Найти предел отношения площади кругового
сегмента, имеющего хорду Ь и стрелку Л, к площади
равнобедренного треугольника, вписанного в этот сег-
мент, если дуга сегмента при неизменном радиусе /?
стремится к нулю. Пользуясь полученным результатом,
вывести приближенную формулу для площади сегмента:
3
§ 10. Формула Тейлора
Г. Локальная формула Тейлора. Если
1) функция fi (х) определена в некоторой окрестности |х—х01 < е
точки х0; 2) f (х) имеет в этой окрестности производные Г (х). . . .
_____ f<a-4 (х) до (п—1)-го порядка включительно; 3) в точке
х0 существует производная л-го порядка /<“> (х.), то
f(x) =£ в» !* — *•)* + <»(* —*в)п. (О
*=о
где
flt = (4 = 0, 1...п).
«
В частности, прв х, = 0 имеем:
При указанных условиях представление (!) единственно.
Если в точке х0 существует производная f(“+M (хе), та
остаточный член в формуле (1) может быть взит в виде
О* ((х—х.)“+«).
Из локальной формулы Тейлора (2) получаем следующие
пять важных разложений;
1. е«= t+x+^-4-. . . +-£-4-в(х").
2! л!
II. sinx = x — — + . . . 4-(— I)""1 4-о(х«").
31 (2л— 1)!
III. cosx= 1 ——4- .. . +(— 1)«-^- + о(х»м-1).
21 (2л)1
IV. (I + х)т = 1 4- тх 4- х»4- - • •
21
р m(m-l). . .(M-«4-i) t в(хЯ)
nl
V. 1п(14-х) = х——4- . . • 4-(——4-о(х«).
2 п
2е. Формула Тейлора. Если 1) функции f (х)
определена на сегменте (а, 61; 2) £ (х) имеет иа этом сегменте
непрерывные производные f' (х), .... f(n-4 (х); 3) пр.т
а<х< Ъ существует конечная производная [<п> (х), то
Л—1 .
tW - 2 ~'4г <х -e)‘ + Rn w <*)•
W) *
где
Rn (x) « ^")^ ~ье5.х~ .а)) (» - в)" (0 < 0 < 1)
nt
(остаточный член в форме Лагранжа), или
Ra (Х)« (1 _ e^n-i (х _ а)п (о < 0! < 1)
(л — 1)1
(остаточный член в форме Коши).
1376. Многочлен
Р (х) = 1 + Зх + 5х2 — 2х3
расположить по целым неотрицательным степеням дву-
члена х+1.
Написать разложения по целым неотрицательным
степеням переменной х до членов указанного порядка
включительно следующих функций:
1377. f(x)=-;±-x±4
I — X + X*
НО /<‘>(0)?
до члена с х*. Чему рав-
1378.
(1 + X)100
(1 — 2х)40 (I + 2х)м
до члена с х8.
1379. i/am + x (а>0) до члена с х®.
1380. V1— 2х + х® — у'1— Зх + х до члена с х3.
1381. е2х-х’ до члена с х5.
1382. —-— до члена с х*.
е*— 1
1383. sinx8 до члена с х18.
1384. Incosx до члена с х8
1385. sin (sinx) др члена сх8
1386. tgxAo члена с х6.
1387. In до члена с х*.
х
1388. Найти три члена разложения функции f (х) =
= д/х по целым неотрицательным степеням разности
х—1.
1389. Функцию f (х) = Xх—1 разложить по целым
неотрицательным степеням бинома х—1 до члена с
(х-1)а.
1390. Функцию у = a ch— (а >• 0) в окрестности
а
точки х = 0 приближенно заменить параболой 2-го по-
рядка. _______
1391. Функцию f (х) = д/1 + •** — х(х>0) раз-
ложить по целым неотрицательным степеням дроби ~
до члена с —.
х*
1392. Найти разложение функции f (ft) = In (х + ft)
(х > 0) по целым неотрицательным степеням прираще-
ния Л до члена с Л" (п — натуральное число).
1393. Пусть
f(x + ft)=f(x)+ftf(x) + .. . + -^/w(* + 0ft)
л I
(0 < 0 < 1), причем fn+1) (х) Ф 0.
Доказать, что Нт 0 = —-— .
л-*0 п 1
1393.1. Пусть при х —> 0 имеем
f (х) — 1 + Лх + о (х).
Доказать, что lim [/ (х)]1/х — Л
х-*0
1393.2. Пусть f (х) £ С<2> 10, Ни f (0) = f (1) = 0,
причем |f' (х)1 С А при х £ (0, 1). Доказать, что
I/' WI < -у при 0 < х < 1.
1393.3. Пусть f (х) (— оо < х < + оо) — дважды
дифференцируемая функция и
Mk — sup | f*> (x) К + oo (ft = 0, 1, 2).
—оо<х<Ц-оо
Доказать неравенство М] С 2Af0Afg.
1394. Оценить абсолютную погрешность приближен-
ных формул:
а) 1+х + 4+ . .. приО<х<Г,
2! nl
б) sinx«х—- при |х| < j;
в) tgx»х4--~ при |х|<0,1;
3
г) ^1~+ХЖ 1+—--- при0<х<1.
2 8
1395. Для каких х справедлива с точностью до 0,0001
приближенная формула: cos х = 1 —— ?
1395.1, Доказать формулу
у' о" 4* х «= а -4— -г
пап~*-
(п>2, в>0, х>0), 0<г<-2—-4—.
1396. С помощью формулы Тейлора приближенно
вычислить:
а) у^ЗО; б) v'W, в) y^lOQOi
г) д) sin 18°; е) in 1,2;
ж) arctg 0,8; s) arcsin 0,45; н) (I, I)1*3
и оценить погрешность.
1397. Вычислить:
а) е с точностью до 10"*;
б) sin Г » > » 1(Г*;
в) cos 9° » » > 1(Г*;
г) V5 » » > 10"*;
Д) Igll » » > 1(Г*.
Используя разложения I—V, найти следующие пре*
делы:
1398. lim . 1399. lim .
ж-*0 X4 х_0 X*
1400. limx^(V7+T+VT=T— 2 д/I).
1401. lim (^х*4-х* — ^х*—х*).
1402. lim [(*’—х2 + -у)е'/Х— Vх* + 1]«
1403. lim aX+a~x..-?. (a>0).
x-0 X2
1404. limpc—x®lnQ + —)}.
1405. limf—---LA. 1406. lim-f-—ctgxY
x-*0 4* sinx/ x—0 X \ X /
1406 .1. .
X-.0 x4
1406 .2. lim1.-^0SX)slnx . 1406.3. lim-*?^х)Т* .
x—O X* X-U) X*
Для бесконечно малой при х -> 0 величины у опреде-
лить главный член вида Сх" (С — постоянная), если
1407. у = tg (sin х) — sin (tg х).
1408. у - (1 +хГ — 1. 1409. у - I —H-±x)Vx..
е
1410. При каком подборе коэффициенте» а и Ь ве-
личина
х — (а + b cos х) sin х
будет бесконечно малой 5-го порядка относительно х?
1410.1. Подобрать коэффициенты Л и В так, чтобы
при х —> 0 имело место асимптотическое равенство
1410.2. При каких коэффициентах А, В, С и D спра-
ведлива при х -> 0 асимптотическая формула
е*----1±Л«с+.Вх*. +О(х»).
14-Сх4-Ох» v '
1411. Считая |х| малой величиной, вывести простые
приближенные формулы для следующих выражений:
в) "Гр —0+Т5о) "]' '>
1412* Считая х малым по абсолютной величине, вы*
вести приближенную формулу вида х = a sin х + 0 tg х
с точностью до члена с х6.
Применить эту формулу для приближенного спрям-
ления дуг малой угловой величины.
1413. Оценить относительную погрешность следую-
щего правила Чебышева: круговая дуга приближенно
равна сумме боковых сторон равнобедренного треуголь-
ника, построенного на хорде этой дуги и имеющего
высотой д/4/3 ее стрелки.
§11. Экстремум функции. Наибольшее
и наименьшее значения функции
Г. Необходимое условие экстремума.
Говорят, что функция f (х) имеет в точке хЛ экстремум (макси»
мум или минимум}, если функция определена в двухсторонней
окрестности точки х0 и для всех точек х некоторой области:
О < | х—х01 < 6, выполнено соответственно неравенство
I (х) < к (х0) «ли £ (х) > к (х0).
В точке экстремума производная £' (х0) = 0, если она су-
ществует.
2°. Достаточные условия экстремума.
Первое правило. Если 1) функция f (х) определена и непре-
рывна в некоторой окрестности | х—х01 < £ точки Хо такой,
«то f' (х0) = 0 или не существует (критическая точка); 2) к (х)
имеет конечную производную // (х) в области 0 < | х—х01< 6;
3) производная к' (х) сохраняет определенный знак слева от х0
и справа от х0, то поведение функции к (*) характеризуется
следующей таблицей:
Знак производной Вывод
*<*»
1 + + Экстремума нет
и + Максимум
III + Минимум
IV — Экстремума нет
Второе правим. Если функция I (х) имеет вторую произ-
водную I" (х) и в некоторой точке х( выполнены условия
Г (х0) - 0 в Г (х0) О,
то в этой точке функция / (х) имеет экстремум, а именно:
максимум, когда f (хо) <0. и минимум, когда
I" (х0) > 0.
Третье правим. Пусть функция / (х) имеет в некотором
интервале | х—х01 < в производные /' (х), .... /п-1 (х) н
в точке х0 производную /<“> (х0), причем
f<»> (х0) = 0 (Л = 1.п — 1), Д»> (х0) * 0.
В таком случае: 1) если л — число четное, то в точке х0 функция
I (х) имеет экстремум, а именно: максимум при
(*о) <0имииимум при /<п> (х0) > 0; 2) если л — число
нечетное, то э точке х0 функция [ (х) экстремума не
имеет.
3°. Абсолютный экстремум. Наибольшее (наи-
меньшее) значение на сегменте (а, Ы непрерывной функции
f (х) достигается илн в критической точке этой функции (т. е.
там, где производная /' (х) или равна нулю, или не существует),
или в граничных точках а и Ь данного сегмента.
Исследовать на экстремум следующие функции:
1414. у = 2 + х—х2. 1415. у - (х—I)3.
1416. у = (х—I)4.
1417. у = х*" (1—х)п (тип — целые положитель-
ные числа).
1418. у *= cos х + ch х. 1419. у = (х + I)10 е~х.
1420. у = +х+ -£+ -. . +-£)** (л— нату-
ральное число).
1421. (/ = 1х|. 1422. у = х|/3(1—х)2/3.
1423. Исследовать на экстремум в точке х = х„
функцию
f (х) «• (х—хь)"<р (х)
(п — натуральное число), где функция ф (х) непрерывна
при х = Хо и <р (х0) ¥= 0.
1424. Пусть f (х) = Г (х)= -^2- и Хо-ста-
ционариая точка функции f (х), т. е. Pt (х0) « 0,
Q (*о) ¥=0.
Доказать, что sgn /" (х0) =» sgn Pi (х0).
1425. Можно ли утверждать, что если функция f (х)
в точке х0 имеет максимум, то в некоторой достаточно
малой окрестности этой точки слева от точки х0 функция
f (х) возрастает, а справа от нее убывает?
Рассмотреть пример:
f(x)=2—x®^24-sin —если х=£0 и /(0) = 2.
1426 (и). Доказать, что функция
f (х) — е_|/х*, если х ф0, и f (0) = 0,
имеет в точке х — 0 минимум, а функция
g(x) = хе~1/х’, если х#=0, н#(0) = 0
ве имеет в точке х = 0 экстремума, хотя
fW(0) = 0, g<">(0) = 0 (л = 1, 2, ...).
Построить графики этих функций.
1427. Исследовать на экстремум функции:
a) f(x) = e-l/|xi(V2+sin ПРИ и f (0) = 0;
б) f(x) = е~1/1x1 (д/2+cosпри х^ьО и f(0) = 0.
Построить графики этих функций.
1428. Исследовать на экстремум в точке х = 0 функ-
цию
f (х) = |x|(24-cos-^-), если х^ьО и/(0) = 0.
Построить график этой функции.
Найти экстремумы следующих функций:
1429. у = Xs—6х»+9х—4. 1430. у = 2х«—х*.
1431. у — х(х—\)'(х—2)*. 1432. f/ = x4-—.
1433. у = —.
* 14-х*
1434.
х* —3x4-2
х*4-2х4-1 ’
1435. у = V2x—х* 1436. у = х
1437. у >• хе~*. 1438. у = л[х In х.
1439. у = ^-.
X
1440. w = cosx4—— cos2r
2
1441. у =
10
14- sin* х
1443. у = ех sin х.
1442. y = arctgx—*i-ln(14-**)«
1444. у = |х| е~|х~н.
Найти наименьшие и наибольшие значения следую-
щих функций:
1445. / (х) = 2* на сегменте I— 1; 5].
1446. f (х) = х2—4х 4- б на сегменте [— 3; 101.
1447. f (х) = | х2—Зх + 2| на сегменте [— 10; 10].
1448. f (х) = х + -Ь на сегменте [0,01; 100].
X
1449. /(х) = д/5—4х на сегменте f — 1; 1].
Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань (sup]
следующих функций:
1450. f (х) = xe-o,ou на интервале (0, 4- оо).
1451. f(x) = (14-х4-~4-
ле (0, 4-°°).
ХП \ 9
.4-----]е на интерва-
л! /
1452. f (х) = *- на интервале (0, 4- °°)-
14- ж*
1453. f (х) = е-** cos Xs иа интервале (—оо, 4-со).
1454. Определить нижнюю и верхнюю грани функции
f (|) = на интервале х < £ < 4- <».
Построить графики функций
М(х)= sup /О и т(х)= inf /(£).
x<{<-f-oo х<4<4-оо
1454.1. Пусть
Мк — sup II (х) II, k — 0, 1, 2, ...
X
Найти Л10, М± и Mt, если f (х) = е-**.
1455. Определить наибольший член последователь-
ности: _
а) (П = 1, 2, . ..); б) .......X?— И»1- 2> • • *
'2я л 4-10000 '
в) Уп (п = 1, 2, ...).
1456. Доказать неравенства:
а) |3х—?|<2 при |xf<2;
б) < **• + (1 —х)р < 1, если 0 < х < 1 и р> 1;
в) S'(а—х)"<———am+n при /п>0, п>0 и
’ ' (т+л)т+« г
0 < х < а\
г) *" + <?<*+а (х>0, а>0, л> 1);
д) | a sin х + b cos х | < +
14 56.1. Доказать неравенство
при — оо < х < + оо.
1457. Определить «отклонение от нуля» многочлена
Р (х) = х (х— I)2 (х + 2)
на сегменте I— 2, 1J, т. е. найти
£Р= sup |Р(х)|.
1458. При каком выборе коэффициента q многочлен
Р (х) - х» + q
наименее отклоняется от нуля на сегменте [— 1, 1],
т. е.
ЕР = sup | Р (х) | = min.
—Ю<1
1459. Абсолютным отклонением двух функций f (х)
и g (х) на сегменте la, b ] называется число
Д= sup |/(х)— g(x)|.
Определить абсолютное отклонение функций!
f (х) = х* и g (х) — х?
на сегменте [О, 1 ].
1460. Функцию f (х) •» х* на сегменте [хц xt J при-
ближенно заменить линейной функцией
g (х) = (хх + х») х + b
так, чтобы абсолютное отклонение функций f (х) и g (х)
(см. предыдущую задачу) было наименьшим, и опреде*
лить это наименьшее абсолютное отклонение.
1461. Определить минимум функции
f(x) = шах{2|х|, |1 + х|).
Определить число вещественных корней уравнения
п отделить эти корни, если:
1462. х8—6х2 + 9х—10 = 0.
1463. х8—Зх8—9х + Л = 0.
1464. Зх4—4х3—6х8 + 12х—20 = 0.
1465. х®—5х = а.
1466. In х = kx. 1467. е — ах*.
1468* sin8x*cos х = а прн 0 < х < л.
1469. ch х = kx.
1470. При каком условии уравнение х8 4- рх + q = 0
имеет: а) один вещественный корень; б) три веществен*
ных корня. Изобразить соответствующие области на
плоскости (р, q).
§ 12. Построение графиков функций
по характерным точкам
Для построения графика функции у = / (х) нужно: 1) оп-
ределить область существования этой функции и ясследовать
поведеине функции в граничных точках последней; 2) выяснить
симметрию графика и периодичность; 3) иайти точки разрыва
функции и промежутки непрерывности; 4) определить нули
функции и области постоянства знака; 5) иайти точки экстре-
мума и выяснить промежутки возрастания и убывания функции)
6) определить точки перегиба и установить, промежутки вогну-
тости определенного знака графика функции; 7) найти асимп-
тоты в случае существования их; 8) указать те или иные особен-
ности графика. В частных случаях общая схема упрощается.
В задачах, отмеченных звездочкой, точки перегиба опреде-
ляются приближенно.
Построить графики следующих функций:
1471. у = Зх—х®. 1472.
1473. £ = (х+1)(х—2)2.
2
1474*. у = А~—
3 1 «
У
1475*. у= —
1476*. у ----------------
(14-х) (1-х)’
1477. у = . 1478. у
(14-«)’
1 <|—23вЗ
1479. у = . 1480. у -------.
* (х-4-1)’ а (1-х*)*
1481. у = 1482*. у =
у (х-1)« я х*4-1
1483. у = —------— + —— . 1484. у = (х—3) Vx.
9 14-х Зх1 I — ж а
1485. у = ± V8x’-x*. 1485.1. у = -=L-.
Vxa4-1
i486, у = ± ^/(х—1)(х—2) (х—3).
1487*. у = у^х8—х»—х+1.
1488. у —уП? х* 4-1.
1489. у = (х 4- 2)2/3—(х—2)2/3.
1490. у = (х 4-1 f3 4- (х- 1Л Н91. у = —х— .
1492. у = . 1493. у = .
2х«-1 ” 7Г
1494. y=\-x+J-£-. 1495. ^1/ZZZ.
у о Т* х ух 1
1496*. у— 1497. у — sinx4-cos*х.
V х* 4-1
1498. у — (74-2cosx)sinx. 1499. y = sinx4-— sin3x.
3
150и. у=cosx—-^-cos2х. 1501. у= sin*x4-cos*x.
1502. у = sin х • sin Зх.
1503. у<=
sin ж
1504. i/=
COSX
cos2x '
ЖЛА « SITI X
1504.1.
2 4- cosx
1505. у = 2x—tg x. 1506. у =
1507. у = (1 4- х’) е~^. 1508. у = х 4- е~х.
1509. у = х2^-*. 1509.1. у = е-2л sin2 х.
1510. « = -£—. 1511. у = VI—е-<
* 14-х * v
1512. у = -~г. 1513. у = In(x4-V*®+T).
1514. у = Vх* + bln(хЧ-Vх* + 0-
1515. У"-^"* . 1516. y = x4-arctgx.
1517. у = 4- arcctgх. 1518. y = xarctgx.
1519. у = arcsin———. 1520. у = arccos.
14-ж* 1 + *’
1521. у = (х 4- 2) е',х. 1522. у =
1523*. у = In .
а х»4-1
1524. у — a arcsin ——Va>—** (a> 0).
а
1525. у = arccos ~——. 1526. у = х*.
1 — 2х
1527*. у = х1'*. 1528. у = (1 + х)1/х.
1529*. у = х (1 4- -у-)* (х > 0).
J/i—х1
1530*. у = -------
v 14-х’
(без исследования вогнутости).
Построить кривые, заданные в параметрической
форме:
1531. х=<<+2,
4
1532. х = 2/ — ?,
1533*. х= —
t — 1
1534. х = — ,
1— Iя
1535. x = t+e~',
1536. x = acos21,
11*
У 4
у ~3t-P.
у l + t**
у^^ + е-^.
y»aco&3i (a>0).
1537. х — cos* 1, у — sin* t.
1538. х = /1п/, у = -у.
1539. х = -4-, у —atg3f (a>0.)
coss t
1540. x = a(shl—1), y = a(chf—I) (a>0).
Представив уравнения кривых в параметрической
форме, построить эти кривые, если
1541. х3 + у9 — Заху = 0 (а > 0).
У Казани е. Положить у — tx.
1542. X» + у9 - X* 4- у*.
1543. х9у9 = х3—у9.
1544. ху = у* (х > 0, у > 0).
1545. Построить график кривой: ch3 х — ch3y = l.
Построить графики функций, заданных в полярной
системе координат (ф, г) (г > 0):
1546. г = а + b cos ф (0 < а < Ь).
1547. r = asin3<p (a>0). 1548. г = -=£=- (a>0).
•усозЗф
1549*. г =а , где w> 1 (fl> 0).
<р- 1
1550*. <р = arccos —~ •
Построить графики семейств кривых (а — перемен-
ный параметр):
1551. у—х9—2х-|-а. 1552. у = х-}- —.
х
1553. у — х ± *Ja (1 —Xs).
1554. У = у + 1555. у = хё~х1а.
§ 13. Задачи на максимум и минимум функций
1556. Доказать, что если функция f (х) неотрица-
тельна, то функция F (х) = Cf9 (х) (С > 0) имеет в
точности те же точки экстремума, что и функция f (х).
1557. Доказать, что если функция ф (х) — монотонно
возрастающая в строгом смысле при — оо < х < + <»,
то функции f (х) и <р (/ (х)) имеют одни и те же точки
экстремума.
1558. Определить наибольшее значение произведе-
ния m-й и n-й степеней (т > 0, п > 0) двух положи-
тельных чисел, сумма которых постоянна и равна а.
1559. Найти наименьшее значение суммы т-й и л-й
степеней (т > 0, п > 0) двух положительных чисел,
произведение которых постоянно и равно а.
1560. В каких системах логарифмов существуют
числа, равные своему логарифму?
1561. Из всех прямоугольников данной площади S
определить тот, периметр которого наименьший.
1562. Найти прямоугольный треугольник наиболь-
шей площади, если сумма катета и гипотенузы его по-
стоянна.
1563. При каких линейных размерах закрытая ци-
линдрическая банка данной вместимости V будет иметь
наименьшую полную поверхность?
1564. В данный круговой сегмент, не превышающий
полукруга, вписать прямоугольник с наибольшей пло-
щадью.
«Л вЛ
1565. В эллипс-Ь— = 1 вписать прямоуголь-
а* Ь*
ник со сторонами, параллельными осям эллипса, пло-
щадь которого наибольшая.
1566. В треугольник с основанием b и высотой h
вписать прямоугольник с наибольшим периметром.
Исследовать возможность решения этой задачи.
1567. Из круглого бревна диаметра d вытесывается
балка с прямоугольным поперечным сечением, основа-
ние которого равно b и высота h. При каких размерах
балка будет иметь наибольшую прочность, если проч-
ность ее пропорциональна bh2?
1568. В полу шар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед с квадратным основанием наибольшего
объема.
1569. В шар радиуса R вписать цилиндр наиболь-
шего объема.
1570. В шар радиуса R вписать цилиндр с наиболь-
шей полной поверхностью.
1571. Около данного шара описать конус наимень-
шего объема.
1572. Найти наибольший объем конуса с данной об-
разующей /.
1573. В прямой круговой конус с углом 2а в осевом
сечении и радиусом основания 7? вписать цилиндр с наи-
большей полной поверхностью/
1574. Найти кратчайшее расстояние точки М (р, р)
т параболы у* — 2рх.
1575. Найти кратчайшее и наибольшее расстояния
точки Л (2,0) от окружности х* + у9 = 1.
X* и*
1576. Найти наибольшую хорду эллипса-Н— =
а* Ь*
» 1 (0 < Ь < а), проходящую через вершину В (0, — Ь).
1577. Через точку М (х, у) эллипса —= 1
провести касательную, образующую с осями координат
треугольник, площадь которого наименьшая.
1578. Тело представляет собой прямой круговой
цилиндр, завершенный сверху полушаром. При каких
линейных размерах это тело будет иметь наименьшую
полную поверхность, если объем его равен V.
1579. Поперечное сечение открытого канала имеет
форму равнобедренной трапеции. При каком наклоне ф
боков «мокрый периметр» сечения будет наименьшим,
если площадь «живого сечения» воды в канале равна S,
а урозень воды равен h?
1580. ^Извилистостью» замкнутого контура, ограни-
чивающего площадь S, называется отношение периметра
этого контура к длине окружности, ограничивающей
круг той же площади S.
Какова форма равнобедренной трапеции A BCD
(Л7) || ВС), обладающей наименьшей извилистостью, если
с снование AD — 2а и острый угол BAD = а?
1581. Какой сектор следует вырезать из круга ра-
диуса R, чтобы из оставшейся части можно было свер-
нуть воронку наибольшей вместимости.
1582. Завод Л отстоит от железной дороги, идущей
с юга на север и проходящей через город В, считая по
кратчайшему расстоянию, на а км. Под каким углом ф
к железной дороге следует построить подъездной путь
от завода, чтобы транспортировка грузов из Л в В была
наиболее экономичной, если стоимость провоза тонны
груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному
пути р р., по железной дороге q р. (р > у) н город В
расположен на b км севернее завода Л?
1583. Два корабля плывут с постоянными скоро-
стями и и v по прямым линиям, составляющим угол в
5 14. КАСАНИЕ КРИВЫХ. КРУГ КРИВИЗНЫ 167
между собой. Определить наименьшее расстояние между
кораблями, если в некоторый момент расстояния их
от точки пересечения путей были соответственно равны
а и Ь.
1584. В точках А и В находятся источники света
соответственно силой Sj и S, свечей. На отрезке АВ — а
найти наименее освещенную точку М.
1585. Светящаяся точка находится на линии центров
двух непересекающихся шаров радиусов /? и г (R > г)
и расположена вне этих шаров. При каком положении
точки сумма освещенных частей поверхностей шаров
будет наибольшая?
1586. На какой высоте над центром круглого стола
радиуса а следует поместить электрическую лампочку,
чтобы освещенность края стола была наибольшей?
Указание. Яркость освещения выражается формулой
г*
где <р — угол иаклоиа лучей, г — расстояние источника света
от освещаемой площадки, k — сила источника саета.
1587. К реке шириной а м построен под прямым уг-
лом канал шириной b м. Какой максимальной длины
суда могут входить в этот канал?
1588. Суточные расходы при плавании судна состоят
из двух частей: постоянной, равной а р, и переменной,
возрастающей пропорционально кубу скорости. При ка-
кой скорости v плавание судна будет наиболее эконо-
мичным?
1589. Груз весом Р, лежащий на горизонтальной
шероховатой плоскости, требуется сдвинуть с места при-
ложенной силой. При каком наклоне этой силы к го-
ризонту величина ее будет наименьшей, если коэффи-
циент трения груза равен Л?
1590. В чашку, имеющую форму полушара радиуса а,
опущен стержень длины I > 2а. Найти положение рав«
новесия стержня.
§ 14. Касание кривых. Круг кривизны. Эволюта
Iе. К а с а н и е л-г о порядка. Говорят, что кривые
У = ф (*) и у — ф (х)
имеют в точке х. касание п~го порядка (в строгом смысле!), если
(х0) = ф(*> (Хо) (fe = 0, 1, . . ., л) и <р(п+П(х0) + ф<п+»)(хв).
В этом случае при х хв имеем:
Ф (х) — <|> (х) = О* [х — х0]п+ч.
2°. Круг кривизны. Окружность
(* - £)2 + = Я*.
имеющая с данной кривой у = f (х) касание не ниже 2-го по-
рядка, называется' кругом кривизны в соответствующей точке.
Радиус этого круга
0 + »,!)м
*------i№
называется радиусом кривизны, а величина k = — — кри-
Г\
визной.
3°. Э в о л ю т а. Геометрическое место центров (Е, ц) кру-
гов кривизны (центры кривизны)
„ у'О + у'2) , 1 + у'*
Е-х- -*к у , п = у+ т/~~
У У
называется эволютой данной кривой у = [ (х).
1591. Подобрать параметры k н Ь прямой у = kx + Ь
так, чтобы она имела с кривой у = х3—Зх3 + 2 каса-
ние порядка выше первого.
1592. При каком выборе коэффициентов а, Ъ н с
парабола
у = ах3 4- Ьх + с
имеет в точке х == х0 касание 2-го порядка с кривой
у = <?*?
1593. Какой порядок касания с осью Ох имеют в
точке х — 0 кривые:
а) у — 1—cos г, б) у — tgx—sinx;
в) у^е— (1 + хЧ~).
1594. Доказать, что кривая у — е~11х‘ при х Ф О
и у = 0 при х — 0 имеет в точке х = 0 с осью Ох ка-
сание бесконечно большого порядка.
1595. Найтн радиус и центр кривизны гиперболы
ху — 1 в точках: а) М (1, 1); б) N (100; 0,01).
Определить радиусы кривизны следующих кривых:
1596. Параболы уг — 2рх.
1597. Эллипса — + -£ = 1 (а > * > °).
а3 Ь2 *
1598. Гиперболы ——— = 1.
а» 6*
1599. Астроиды х2/3 4~ у2'3 — а13-
1600. Эллипса х = a cos t, у — b sin t.
1601. Циклоиды х — a (t—sin /), у = а (1—cos/)'.
1602. Эвольвенты круга х — a (cos t + t sin t), у —
— a (sin t—t cos t).
1603. Доказать, что радиус кривизны линии 2-го
порядка у2 — 2рх—ух2 пропорционален кубу отрезка
нормали.
1604. Написать формулу радиуса кривизны линии,
заданной в полярных координатах.
Определить радиусы кривизны кривых, заданных
в полярных координатах (параметры положительны):
1605. Спирали Архимеда г — а<р.
1606. Логарифмической спирали г — аетЧ>.
1607. Кардиоиды г = а (1 + cos <р).
1608. Лемнискаты г2 — a2cos 2<р.
1609. На кривой у =* In х найти точку, кривизна
в которой наибольшая.
1610. Максимальная кривизна кубической параболы
у = (0 < х < + оо, k > 0) равна Найти
точку х, в которой достигается эта максимальная кри-
визна.
Составить уравнения:
1611. Эволюты параболы у2 = 2рх.
1612. Эволюты эллипса----1~ — = 1.
a2 й2
1613. Эволюты астроиды х2’3 + у2/3 — а2/3.
1614. Эволюты трактрисы
х = а 1п а ~ У-------oja2—у2.
1615. Эволюты логарифмической спирали г — аетч>.
1616. Доказать, что эволюта циклоиды
х — a (t — sin t), у = а (1 .— cos /)
есть также циклоида, отличающаяся от данной только
положением.
§ 15. Приближенное решение уравнений
Iе. Правило пропорциональных частей
iметод хорд). Если функция [ (х) непрерывна на сегменте
а, Ь] и
f (а) I (Ь) < 0,
причем £' (х) #= 0 при а < х < Ь, то уравнение
I « = 0 (1)
имеет один и только один действительный корень £ в промежутке
(а, Ь). За первое приближение этого корня можно принять зна-
чение
*1 = а + fit,
где
61
На)
(b — а).
Применяя далее этот способ к тому из промежутков (a, xt)
или (хь Ъ), на концах которого функции f (х) равнозначна,
получим второе приближение х, корня 5 и т. д. Для оценки
n-го приближения х„ справедлива формула
|х„-£1С ^(Хп)| , (2)
т
где m= inf |Г(х)|, причем
а<х<ь
lim хп = Е.
Л-.О0
2°. Правило Ньютона (метод касатель*
и ы х). Если f' (х) Ф 0 на сегменте (а, Ь| и / (а) /" (а) > О,
то за первое приближение Ei нория £ уравнения (1) можно при-
нять значение
Повторяя этот прием, получаем быстро сходящиеся к корню
Е последовательные приближения Ел (" — 1> 2, . . .), точность
которых оценивается, например, по формуле (2).
Для грубой ориентировки полезно нарисовать набросок
графика функции у — I (х).
Пользуясь методом пропорциональных частей, опре-
делить с точностью до 0,001 корни следующих уравнений:
1617. Xs—6х 4-2 = 0. 1618. х*——х—1=0.
1619. х—0,lsinx = 2. 1620. cosx = x®.
Пользуясь методом Ньютона, определить с указан-
ной точностью корни следующих уравнений:
1621. л? +-т"= Юх (с точностью до 10-3).
1622. xlgx=l (с точностью до 10~‘).
1623. cos x-ch х = 1 (с точностью до 10~3) (для по-
ложительного корня).
1624. х + е* — 0 (с точностью до 10"6).
1625. х th х = 1 (с точностью до 10"’).
1626. С точностью до 0,001 найти три первых поло-
жительных корня уравнения tg х = х.
1627. С точностью до Ю-3 найти два положительных
корня уравнения ctgx=—------
ОТДЕЛ III
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Простейшие неопределенные интегралы
1°. Понятие неопределенного ввтег«
рала. Если функция [ (х) определена и непрерывна иа про-
межутке (а, Ь} и F (х) — ее первообразная, т. е. F'* (х) “ i (х)
при а < х < Ь, то
JI (х) dx — F (х) + С, a<ix<ib,
ret С — произвольная постоянная.
2°.Основные свойства неопределенного
нтеграла:
a) б) Jd<I>(x) =Ф(х)+С;
a) У Af (х) dx ~ A У f (х) dx (A — const) A 0)j
r) УI/(*) + g (x)] dx - У t (x)dx + $g(x)dx.
3°. Таблица простейший интегралов:
Г Xn+1
I. Jxndx» —-4- C -1).
»+1
II. f — -ln|x|4-C (x-jbO).
J *
III С ** r- f arctg x+C,
j 1 + x1 t — arcctg x+C.
IV. € ——— = — In I 1 + x-1 + C.
J 1—x* 2 | I—x |
У Г dx | arcsin x+C,
J Vl—«* I —arccosx+C.
vi- C ——=inix+v?m+c.
J Vx^± 1
VII. У a*dx^-£— + C (a>0, a -jt I); У^х-^+С.
Ino
VIII. У sin xdx « — cosx+ С, IX. J cosx dx =sin x-f- C.
X. =— ctgx+C.
J sin1*
XI. f—= tgx+C.
J. cos’*
XII. f sh *d* =» ch * + С. XIII. f ch* d* — sh *+C._
XIV. f-^- = — cth*+C.
J sh**
XV. f — = th*4-C.
J ch**
4°. Основные методы интегрирования.
а) Метод введения нового аргумента. Если
f t(x) dx = F (*) + С,
то
f { (и) du ~ F (и) + C,
где и = ф (x) — непрерывно дифференцируемая функция.
б) Метод разложения. Если
t (х) = h (х) + t. (*).
то
f t(x) dx — f 11 (X) dx + f f, (x) dx.
а) Метод подстановки. Если [ (x) — непрерывна, то, по*
лагая
х = <р (/),
где ф (0 непрерывна вместе со своей производной ф' (0, получим
f Mx) dx = f I (ф (0) ф' (0 dt.
г) Метод интегрирования по частям. Если и и о — иеко*
торые дифференцируемые функции от х, то
f и do = ио — f о du.
Применяя таблицу простейших интегралов, найти
следующие интегралы:
1628. f(3—x*)’dx. 1629. fx«(5—x)*dx.
1630. /(I— х)(1 — 2х)(1 — 3x)dx.
1631.
1632. + + J633. C^±-Ldx.
J \ XX* X» J \ ^/~
1636. f(l--J
1635. ( (|~ж)* dx.
J * т^х
х^х dx.
1637. ( — т^Зж)2 dx.
J х
1638. ( V*4 + «-«+2 dx 1639 С _*М*_
J х* J 1 + *»
1640. f.<Мх . 1641. f-^+3 dx.
1642. (-yi+y+VLEgL dx.
j Vi—x«
1643. ( dx.
J V*4— 1
1644. J(2*4-3*)’dx.
1645. 1646. Г-^+А- dx.
J 10* J e*4-l
1647. J(1 + sinx + cosx)dx.
1648. fVT—sin 2x dx (0 < x < n).
1649. fctg2xdx. 1650. ftg2xdx.
1651. j" (a sh x + b ch x) dx. 1652. J th2 x dx.
1653. Jcth2xdx.
1654. Доказать, что если/f (x)dx == F(x)+C, to
J f (ax4- 6) dx = A-F(ax -}- b) +C (a^=0).
Найти интегралы:
1655. J-7^7 • <856. J(2x—3)10dx.
1657. j }/ 1—3x dx.
1658. €—— .......
J V2 —5»
1659. (--------.
J (5x-2)®/2
1660. ( ~-+—
J 1 — x
1661.5———.
J 24-3x*
dx
2 —Зх4'
1663. I ---
J V2 —3*4
1664. f -
J д/Зх»—2
1665. + 1666. f (sin5x—sln5a)dx<
1667. f-----—-----------.
J sin4 (2x 4- —
dx
1 + cos X
dx
dx
1 — cos ж
ли/U. I ——‘ •
J I 4- sin x
1671. f[sh(2x+l)4-ch(2x—l)]dx.
1672. f———. 1673. (*—?*
J ch4— J sb4 —
2 2
Путем надлежащего преобразования подынтеграль
ного выражения найти следующие интегралы!
1674. С ~dx .
J V1—X4
1675. fx»j/i+xs dx.
1676. f———. 1677. f———.
J 3 —2x* J (1 + *4)4
1678. f xdx . 1679. ( УЛх .
J 4+*« J jfl—2
1680.
Указание. —— = 2d(‘^x).
1681. f sin —.—
J х X»
1682. С---------.
j 1
1683. С.......... 1684. С---,
J х^х2-! J (х*+ I)372
1685. (*——-----. 1686. (---—------.
J (х1 — I)372 J (8х» + 27)2/3
1687. Г —— —-..... 1688. С— dx -
j V*u + *) jV*u—*)
1689. fxe-^dx.
e*dx
1691.
1692. C dx
J V 14-e“
1693. 1694. f--------—-------.
J X J X In x In (In x)
1695. J’sin6xcosxdx.
1696. f —sin?—-dx.
j Vcos* *
1697. Jtgxdx. 1698. fctgxdx.
1699. C 3Sin*±C0SX dx.
J -/"sin x — cos x
1700. f— sinx cos *..........dx.
J V°* sin* *+ t>* COS* X
1700 .1. C sinx dx. 1700.2. C —£5?-* — dx.
J -Vе05 2x J Vcos 2*
1700 .3. C s-x...dx.
Veh 2x
1701. f------------.
J sin* х / ctg х
1702. f—-——--------. 1703.
J sin1 x + 2cos*x J sinx
1704. 1705. 1706.
cos x J sb x J ch x
shxchx-----dx. 1708. f-------.
Vsh4 * + ch4 x J ch* x У th* x
1709. ( arct3*dx.
J 1 + **
1710. f----------dx........
J (arcsin x)’ V1 - x*
1711. ln dx.
1712. f^±_Ldx.
J x*+l
Указание. + —^j-^dx = d^x--
1713. ( x*~1 dx. 1714. [.. ^.4» .
J x*4-l J (x»+ I)4
1715. C —«ff*.-.
j Vi+*n+i
1716. f----!—In-^-Ldx.
J 1 —x* 1—x
1717.
j -V2+cos!i*
1718. ( sin*.cos*—rfx. 1719. f У У- dx.
sin4 x + cos4 x J 9* — 4*
________xdx___________
Vl + x*+V(l + x*)’
Применяя метод разложения, вычислить интегралы:
1721. $х*(2— 3x^dx. 1721.1. fx(l— х)ыdx.
1722. С ‘----dx. 1723. f—— dx,
J 1 — x J 1 + X
|2—2M3
1720.
1724. (—— dx. 1725. (* .fl ± dx.
J 3+х J 1 + х»
1726. f-gdx. 1727. f-----------^-~-dx.
J 2-х» J (1 —x)i«>
1728. dx.
J X+1
1729. C dx
j V* +1 + Vх—i
1730. f x^2—5x dx.
Указание. Xе»-~-|-(2 —5x).
5 5
1731. ( —— .
J y'l — 3x
1732. fx’^l+x1 dx.
1733.--------f-------—-.
J (x- l)(x + 3)
Указание • " [(x + 3) — (x — !)].
4
1734.-----f----- . 1735. f—-----—------
J x»+x-2 J (x»+l)(x«4-2)
1736. f-----------------.
J (x»-2)(x»+3)
xdx ugg Г xdx
(x+2) (x+3) ' ’ J x*+3x»+2
------—-------(a^b).
(x + a)’(x+&)»
1740. f------—---------(a*¥=6a).
J (x» + a») (x»+^) ' >
1741. fsin1 xdx.
1742. J cos1 xdx. 1743. f sinx sin (x-f-a)dx.
1744. Jsin3x-sin5xdx.
1745. ( cos — -cos — dx.
J 2 3
1746. j* sin ^2x--cos (Зх + dx.
1747: f sin’ х dx. 1748. f cos* x dx.
1749. f sin*xdx. 1750. f cos*xdx.
1751. Jctg’ xdx. 1752. f tg*xdx.
1753. (sin13xsin*2x dx. 1754. f---—-----.
J sin** cos4 x
Указание. 1= sin4* + cos4*.
1755. f-----------. 1756. f-----—----.
J sin4**cos* J sinxcos4*
1757. f-££lLLdx. 1758. .
J sin* J cos4*
1759. (...dx . 1760. Г-fl+jff-dc.
J I + e* J ! + «**
1761. fsh’xdx.
1762. f ch’xdx. 1763. Jshxsh2xdx.
1764. j ch xch 3x dx. 1765. (------—----.
J J sh4*ch4*
Применяя подходящие подстановки, найти следую*
щие интегралы:
1766. fx*t<b=x dx.
1767. fx’(l—5x’)10dx.
1768. С- **....dx. 1769. С •? dx.
J V2 —* J V1 — **
1770. fxs(2 — 5x3)2/3 dx. 1771. Jcossx-Vsinx dx.
1772. f _sin <cos*.x . dx. 1773.
J 1+cos4* J cos4*
1774.
1775.
1776.
Применяя тригонометрические подстановки х =
= a sin t, х = a tg t, х = a sin2/ и т. п., найти следую-
щие интегралы (параметры положительны):
1778.
1780. fV1—x* dx-
1779. f—.
J V*2 — 2
1781.
1782. ( х /dx. 1783. ( х л/.............*— dx.
J V в — * J V 2а — а
1784. С—------
J д/(х — а)(Ь — *)
Указание. Применить подстановку x—a — sin1t.
1785. fV(x—а)(Ь—х) dx.
Применяя гиперболические подстановки х = a sh /,
х = a ch t и т. п., найти следующие интегралы (пара-
метры положительны):
1786. /д/а2 + х2 dx.
’787. f —-------dx.
j -Vе* +
”88- S a/WF
1789. С .......dx -----.
J + о) (* + t>)
1790. J V(x+a)(x4*6) dx.
Указание. Положить * + a == (b—a) sh2/.
Применяя метод интегрирования по частям, найти
следующие интегралы:
1791. finxdx. 1792. fx"lnxdx (n#=—1).
1793. dx. 1794. f Vx In2xdx.
1795. fxe-»dx. 1796. fx2e-2«dx.
1797. fx*e-*'dx. 1798. fxcosxdx.
1799. Jx®sin2xdx. 1800. fxshxdx.
1801. fx*ch3xdx. 1802. farctgxdx.
1803. farcsinxdx. 1804. Jrarctgxdx.
1805. f x® arccos xdx. 1806. j ar”'n x
1807. j ln(r+Vl +**)
1808. f х in -li£. dx. J 1 — X
1809. f arctg-y/x dx. 1810. f sinx-In (tgx)dx.
Найти интегралы:
1811. 1813. fx®e**dx. 1812. f (arcsin x)®dx. f x (arctg x)2 dx.
1814. ( x® In 1 dx. J 1 + *
1815. t xlnU+Vl + x1) J Vl + X*
1816. f *L_ dx. 1817. ( - . J (1 + x1)1 J (a’+x1)’
1818. 1820. JVa1—x® dx. 1819. j V*’ + a <&• fx®Va’ + ** dx. 1821. f x sin® xdx.
1822. ^e^dx. 1823. f xsin V* dx. Г „ar • tg *
1824. \ -2. dx. У а+хЧз'г
1825. t dx. 1826. fsin(lnx)dx. J (1 + x*)3/2
1827. 1829. 1831. f cos (in x) dx. 1828. f e“x cos bxdx. f e011 sin bxdx. 1830. f e®* sin® xdx. f (е“—cosx)2dx.
1832. {.^^...dx. 1833. f dx. i t* J sin1x
1834. { . xdx . 1835. C———dx.
J COS1* ) (*+ I)1
Нахождение следующих интегралов осноааио иа приведе*
нни квадратного трехчлена к каноническому виду и примене*
ИНН формул:
— arctg — + С (а 0).
а а
П. f_JL_ = J-in|^±-L
J а3 — х3 2а I а — х
-±С (а^О).
III. ( —= ± — In |а» ± *»| 4- С.
J а» ± х3 2
IV. С---- *** _ arcsin — -f- С (а > 0).
j -у^а3—х’ °
V. f —-——— = ln|*4- V*3±a3 | 4-С (а>0).
j V*3 ± °з
VI. С х<^х
j Vе3 ±х*
= ± Val±*1 4-С (а>0).
VII. f Va3-*3 = “ V«3 - *3 4-
д® др
4----arcsin----1- C (a > 0).
2 a
VIII. f V*3 ± a* dx = -у- V*3 ± a« ±
± -2— in | x 4- V*3 ± в3 14- C (a B> 0).
2
Найти интегралы:
,836. f J* H^O).
J a 4- bx3
3x« —2x— 1
У+») dx.
x'dx
dx
xdx
x« —2x»—1
xdx
x3 — 2x cos a 4-1
x* dx
x* — x3 — 2
dx
3 sin1 x — 8 sin x cos x 4-5 cos’ *
dx
sin * 4- 2 cos * 4- 3
1846.
dx
(&=^0).
1847. С —....dx-....... 1848. С—м--
J V1 — 2* — х* J V* 4* *2
1849. С—-.....dx-.—.
J V?*2 —*4-2
1850. Доказать, что если
у = ахг 4- Ьх 4- с (а О)1,
то
1853.1.
С dx =—In I ——\-^ау [4-С при а>0
J V7 V« 1 2 1
—— 1......arcsin ——?-t-C при а<0.
^у 's/ —a ^tP—bac
1851. С— xdx 1852. С— • dx.
J 4- * — *2 J V*2 4- * 4-1
1853. C— xdx
J Vl—3*2—2x*
_____________cos xdx.
*yj 14- sin *+ cos* x
1854. C—------......
j V**—2*’—1
1855. f —*+£ -яг.
J V14- *2-**
1856. C---—-------.
j * V *2 4- * 4-1
1857. C---
J **V*24-*— 1
1858. f-----.....-.
J (x+ 1)V*24-1
1859. f-----—....-.
j (*—i) V*2—2
1860. f---------
J (*+2)*V*24-2x —5
1861. j^2 + x—^dx. 1862. JV2+*+*’^-
1863. f д/х*4-2х*—1 xdx.
1864. Г—. - ds. 1865. f—-*+1 dx.
J * V1 -f- * — x3 J x^x*+ l
§ 2. Интегрирование рациональных функций
Применяя метод неопределенных коэффициентов
найти следующие интегралы:
------------dx.
(х —2)(х4-5)
1867.
1868.
1870.
1872.
1873.
xdx
(х + О (х+2)(х+3)
x10dx , „„
dx.
--------------dx.
(х+ l)3(x—1)
----------dx.
х3 —5х*4-6х
С xdx
J х3 —3x4-2
1875.
1876.
1878.
1879.
1880.
1881.
1883.
1885.
х3 —3x4- 2
Г____________dx___________
J (х 4-1) (х 4-2)3 (х 4-З)3 ’
.£4.?£±±-dx.
х«4-5х34-4
_______________dx
(х3 — 4х 4- 4) (х3 — 4х 4- 5)
________xdx_______
(х— I)1 (х3 4-2x4-2)
1877. (----------------
J (х4-1) (х«4-1)
х (14-х) (14-х 4-х3)
———. 1882. ( —
х3 4-1 J х3 — 1
dx
х> — 1
dx
х*4-х»4-1
__________4х__________
(14-*) а + **) о + **) ‘
x*dx
9
— 1
2
1889.
1890. При каком условии интеграл
) *»(*-!)>
представляет собой рациональную функцию?
Применяя метод Остроградского, найти интеграл»
(*+ 1)»
——------. 1894. (-
(*»+ 1)’ J
dx
(х«+1)» *
____*‘ + Зх-2___
(х- !)(*»+х+ 1)1
92. f—
J (**+!)»
x*dx
(ж» 4-2x4-2)* '
(**-!)»
Выделить алгебраическую часть следующих интег-
ралов:
1898.
1900.
J (х*4-х4-1)’
1901. Найти интеграл
dx
1902. При каком условии интеграл
Г gx*4-2Px4-y Дх
J (ах* +'2Ьх 4- с)*
представляет собой рациональную функцию?
Применяя различные приемы, найти следующие ин
тегралы:
1903. [ dx. 1904. f-x<fx . J (x-l)W J X<*-1
1905. 190e. f-iLHLdx. J *“+3 J X*+1
1907. f dx. 1908. f —— . J x (X» + 3x< 4- 2) J (x10 —10)»
1909. C xu dx lgl0 Г x*dx J x«4-3x«4-2 ' J (x1»4-2x*.4-2)» •
1911. Г лл-1 f -ЗЛ-1 dx. 1912. \— dx. J X"+ 1 J (x* + 0*
1913. f — . 1914. f — . J x (x104-2) J x (xw 4- 1)»
1915. x— dx. J «(14-x7)
1916. 1 Г x«-l ) x(x«-5)(x»-5x4-1)
1917. Г X»4- 1 . \ 2- dx. J x*4-x»4- 1
1918. f ilrzJ dx. J x*4-x»4-x»4-x4-1
1919. C 1920. ( x<+1 dx. J **4-1 J **4-1
1921. Вывести рекуррентную формулу для вычис-
ления интеграла
dx
(ax’4- Ьх + с)"
(а=#0).
Пользуясь этой формулой, вычислить
/ Г dx
’ J (*’+*+1)’
Указание. Использовать тождество
4а (ах* + Ьх 4- с) = (2ах 4- Ь)2 4- (4ас—ft»).
1922. Применить подстановку t = Для вы-
числения интеграла
/=С----------------
J (x + arCx-t-ft)"
(/пип — натуральные числа).
Пользуясь этой подстановкой, найти
(* —2)»(* + 3)’
1923. Вычислить
Р п W
(х —а)"*1
~dx,
если Р„ (х) есть многочлен степени п относительно х.
Указание. Применить формулу Тейлора.
1924. Пусть R (х) = R* (х1), где R* — рациональная
функция. Какими особенностями обладает разложение
функции R (х) на рациональные дроби?
1925. Вычислить
г
J 1 + **" ’
где п — целое положительное число.
§ 3. Интегрирование некоторых
иррациональных функций
С помощью приведения подынтегральных функций
к рациональным функциям найти следующие интегралы:
1926. f---—---.
J i+V*
1927. С------------—.
J x(l + 2V* +k*)
1928. f xA±f- dx.
J «+3/2jx
1929. f ~У-~ dx.
J 1 + /*+ 1
1930. f-----£------.
J (i-bVT)VF
1931. ( ^x+1 ~^x~l-dx.
J V«+ 1 + V*— 1
1932. f-------—------.
J 3/ (x+l)«(x-D*
1933. С (а>0).
J у х3 (а — х)
1934. С-----------—----------
J V(x — а)п+1(х — Ь)п'1
(п—натуральное чис-
ло).
1935.
______dx______
1 + V* + v> + *
Указание. Положить
1936. Доказать, что интеграл
f R [х, (х—а)р/п (х—&)’/n] dx,
где R — рациональная функция и р, q, п — целые
числа, является элементарной функцией, если
р + q = kti,
где k — целое число.
Найти интегралы от простейших квадратичных ирра-
циональностей:
1937. С ** -------dx.
J V1 + х +
(х + 1) V**4-*4-1
1939. С-------dx
} (1 —x)2Vl-x»
1940. f V<2 + 2x+2 dx
J x
1941. f--------xdx....—
J (1 + x) —
1942. f 1~< + хД-^.
J Vl + x —X2
Применяя формулу
(-^^dx = Qn-1(x)t/ + U —,
J У J У
где у = ^ax2 4- bx +c, Pn (x) — многочлен степени n,
Qn-i СО — многочлен степени п—1 и Ь — число, найти
следующие интегралы:
1943. I — — dx. 1944.
J V14-2x —х2
1945. j^Va2—х2 dx.
1946. С.^-^+Их-6
J Vх* 4* 4х -j- з
1947. f----AL. .. 1948. С-----dx
j x® Vх2 4-1 j ** V **— i
1949. f----------**
J (x — 1)» Vх’4-3x+1
1950. f-------.......— .
J (x+l)*Vx>+2x
1951. При каком условии интеграл
fli*24- ftiX-Wi
V a*2 4- ft* 4*c
представляет собой алгебраическую функцию?
SP fx) / " -
. .J.'... dx, где и = уах® 4- bx+c, раз-
Q(*)j/
лагая рациональную функцию на простейшие
Q (*)
дроби.
1952.
xdx
J (х—1)2V1 + 2x —х1
1953. С--------xdx
J (Xs—1) Vx2 —X—1
1954.
1955.
c ,47..* dx.
(*+ I)2
x3
dx.
1956. I —
J (*2
x dx
1957. Г--------AL-------
} (14-х2) Vl — *2
1958. I ----- -
J (x«+l)Vx«-l
1959. С-------- .
J (1—х*)У14-х»
196°. t Х?'Г2...
J х»+1
Приводя квадратные трехчлены к каноническому
виду, вычислить следующие интегралы:
1961. f-----------— ......-.
J (х1 + X + 1) V**+ * — 1
1962. ( ----------—............
J (4 — 2х 4- х*) <24-2х —х»
1963. € -----(x+Ddx----------'
J (Х*4-Х + 1) Vx*+ *+ 1
1964. С помощью дробно-линейной подстановки х»
а + fit
«в вычислить интеграл
с__________dx__________
J (х1—х + 1) V*1 + * +1
1965. Найти
г________________dx_________
J (х*+2) V2x« —2x4-5
Применяя подстановки Эйлера
1) Vox* 4-Ьх4-с = ±д/ах 4-г.если а>0;
2) ^(v^+bx+c = ха ± д/с, если с>0;
3) Va(x—xj)(x—х,) = 2 (х—xj,
найти следующие интегралы:
1966. \------ - ----.
J x4-V**4-*4-1
1967. Г----- dx
J l4-Vl-2x —х»
1968. j х V**—2x4-2 dx.
1969. С х-Ух’ + Зх + а^
J x+V^+Sx-f-Z
1970. С----dx
j b+V*(i+«)]2
Применяя различные методы, найти следующие ин-
тегралы:
1971. С ***
j -V*2+1 — 1
1972. f ------xdx ....- .
J (1 — x3) -\Л—X3
1973. C—=-----—---------------.
j V2 + Vi—* + Vi+*
1974. ( ^+^ + <±^1— dx,
J 1 + X + 1 + X + X1
1975. f V^+ P -dx.
j V* + V*+1
1976. C----.............
J (X*+ 1) Vx*+ 1
1977. C----О dx-------.
J (x1—1) Vx‘+1
1978. C---- dx
J xV^+2**—1
1979. C----,
J X V*1 + ** + I
1980. Доказать, что нахождение интеграла
J R (x, y/ax + b , dx,
где R — рациональная функция, сводится к интегриро-
ванию рациональной функции.
Интеграл от дифференциального бинома
$xn,(a+bxay,dx.
гле т, п и р — рациональные числа, может быть приведен к ин-
тегрированию рациональных функций лишь в следующих трех
случаях (теорема Чебышева}:
Случай 1. Пусть р — целое. Полагаем х= zN, где
N — общий знаменатель дробей тип.
тп | 1
С л у ч а й 2. Пусть-------— целое. Полагаем а + 6хл =»
п
а*, где N — знаменатель дроби р.
— А «И. Ш-4" 1 f
Сл у ч ай 3. Пусть —+р — целое. Применяем под-
егаиовку ах~п + Ь •= г\ где N — знаменатель дроби р.
Если п •= 1, то эти случаи эквивалентны следующим;
1) р — целое; 2) т — целое; 3) т + р — целое.
Найти следующие интегралы;
1981. fVx* + *<
1985. I---------.
J Vl + x*
1986. (---—-----.
J ^1 + **
1987. I----------.
J xy't + x*
1989. f>/3x—
1990. В каких случаях интеграл
JVI + *"* dx,
где т — рациональное число, представляет собой эле*
ментарную функцию?
§ 4. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы вида j »lnmx cos” х dx, где т а п — целые
числа, вычислаются с помощью искусственных преобразований
или применением формул понижения.
Найти интегралы:
1991. J cos5 xdx. 1992. Jsin*xdx.
1993. fcos*xdx. 1994. J sin*xcos*xdx.
1995. f sin*xcos5xdx. 1996. f sin5xcos5xdx.
1997, Г sin*«-dx. 1998. f c?s< x -dx.
J cos4* J sin3*
1999. ( dx -. 2000. ( -Д—.
J sin3* J cos3*
2001. f------------. 2002. f— dx—-.
J sin4*cos4* J sin3*cos**
2003. f-----.
J Sin X COS4 X
2004. j tg5xdx. 2005. Jctg*xdx.
2006. f-^-dx.
J cos4 *
2007. f • dx------.
J Vsin3 * cos* *
2008. f-----dx----. 2009. C—.
J cos * y'sin3* J
2010. C———.
J
2011. Вывести формулы понижения для интегралов;
a) /n = f sinnxdx; б) Kn = fcosnxdx (п>2)
и о- помощью их вычислить
f sin* х dx и f cos® х dx.
2012. Вывести формулы понижения для интегралов'
а) = б) Кп = (-4- <п>2)
J sin"* J cos'1*
и о помощью их вычислить
Г d* Г dx
J sin3 * J cos’ *
Следующие интегралы вычисляются с помощью применения
формул:
I. sin a sin ₽ «= — [cos (а — 0) — cos (а + ₽)].
2
II. cos a cos р = — [cos (а — Р) — cos (а + Р)].
III. sin a cos P = = -L [ sin (a — P) + sin (a + ₽)J.
Найти интегралы:
2013. j* sin5xcosxdx. 2014. f cosxcos2xcos3xdx.
2015. \ sin xsin — sin— dx.
J 2 3
2016. Jsinxsin(x+a)sin(x + &)dx.
2017. jcos2axcos2&xdx. 2018. f sin32x-cos23xdx.
Следующие интегралы вычисляются путем применения тож-
деств:
sin (a — Р) = sin [(х + a) — (х + Р)]
и
cos (a — Р) » cos [(х + a) — (х + Р)].
Найти интегралы:
2019. (---------—----------.
J sin (х a) sin (х + 6)
2020. (---------—----------.
J sin (х + a) cos (х + 6)
2021. €--------------------
J cos (х + a) cos (х + Ь)
2022. С-------------. 2023. (-------—-----.
J sinx—sin a J cos x-j- cos a
2024. J tg x tg (x 4-a) dr.
Интегралы вида
J R (sin x, cos x) dx,
где R — рациональная функция, в общем случае приводятся
к интегрированию рациональных функций с помощью подста-
новин ‘g — = t.
а) Если выполнено равенство
R (— sin х, cos х) sa — R (sin x, cos x)
или
R (sin x, — cos x) e — R (sin x, cos x),
то выгодно применять подстановку cos x = t или соответственно
sin x = t.
б) Если выполнено равенство
R (— sin x, — cos x) sa R (sin x, cos x),
то полезно применять подстановку tg x = t.
Найти интегралы:
2025. ----------------.
J 2 sin х — cos х + 5
2026. С------—-----.
J (2+ cos x)sin х
2027. f------------dx. 2028. f-------—----;
J sin x 4- 2 cos x J 1 + e cos x
a) 0<e<l; 6) e>l.
2029. (———dx. 2030. (--------—--------.
J 14-sin*x J a* sin* x 4-6* cos* x
2031. (------cos*xdx-----.
J (a* sin* x + 6* cos1 x)3
2032. C—sinxcosx dx.
J sin x 4- cos x
2033. C--------—---------.
J (a sin x + 6 cos x)*
2034. (-----si"xdx----
J sin3 x + cos3 x
2035. (--------—------.
J sin* x + cos* x
2036. t-s-*naxcosax dx.
J sin’ x + cos3 x
2037. C ..sina x-cos,x dx. 2038. ( sinx cos x- dx.
J sin* x + cos* x J 1 + sin* x
2039. f--------—------. 2040. Г-------—--------.
J sin’ x + cos’ x J (sin* x + 2 cos* x)1
2041. Найти интеграл С-------------—------, приведя
J a sin х + b cos x
знаменатель к логарифмическому виду.
2042. Доказать, что
Sai sin х + b, cos х . . . о * , , , , , г.
—-----— -----dx = Ax + B In asinx4- &cosx| 4-C,
a sin «4- 6 cos x
где А, В, C — постоянные.
Указание. Положить
Cisin x + bicos x = A (a sin л + b cos x) 4" В (a cos x—b sin x),
где А и В — постоянные.
Найти интегралы:
2043. f-?!Px~C0SX dx. 2043.1.
J sin x + 2 cos x
sin x
sin x — 3 cos x
dx.
2044. (____£-----. 2045. ( a»sin*dx.
J 3 + 5 tg х J (ах sin х 4- b cos x)*
2046. Доказать, что
( = Ax + в ln|asinx +
J a sin x + b cos x 4- c
+ 5cosx + c| + C f------
J a sin x + b cos x + c
где А, В, C—некоторые постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
2047. C sinx+-2c”x—Ldx.
J sin x — 2 cos x4~ j
2048. f-------—----------dx.
J sin x + cos x
2049. ( 2sinx + cosx
J 3 sin x 4- 4 cos x — 2
2050. Доказать, что
f Qi sin» x +2bi sinx cos x4-ctcos*x = д sjn x_|_
J a sin x+ b cos x
4- В COS X 4- C (---—------->
J a sin x 4-6 cos x
где А, В, C — постоянные коэффициенты.
Найти интегралы:
2051 f s'n> x — 4 sin x cos x 4- 3 cos2 x
J sin x 4-cos x
2052 f sin* x — sin x cos x 4- 2 cos* x
J sin x 4- 2 cos x
2053. Доказать, что если (a—с)1 4- 6l=#= 0, то
Г Qi sin х 4- 6i cos х rfx==
J a sin* x 4-26 sin x cos x 4-c cos* x
= 4 C__^l— + b{—,
J 6|И| 4- К, J 4- ^2
где A, В — неопределенные коэффициенты, X,—
корни уравнения
|°7К \| = 0
| 6 С — А)
щ = (а— ХАsinx4-bcosх и kt =------Ц— (1 = 1, 2).
а —
Найти интегралы:
2054. С..?™x-™x.~dx.
J 3sin2х 4-4 cos2 х
2Q55 Г(sin х + cos х) dx
J 2 sin2 x — 4 sin x cos x -j- 5 cos2 x
2056. ( sin>-2^.A.dr
J 1 + 4 sin x cos x
2057. Доказать, что
_________dx__________
(a sin x+ b cos x)n
A sin x + В cos x
ca 1_________________—
(a sin x + b cos x)n-x
c[----------—---------,
J (a sin x+ b cos x)n“2
где А, В, C — неопределенные коэффициенты.
2058. Найти
dx_________
(sin x 4-2 cos x)’
2059. Доказать, что
dx A sin x
(a 4- b cos x)n (a 4- b cos x)n~x
h в (-------------------4- С C-----------—--------
J (a 4- b cos x)n-x J (a 4- b cos x)"~s
и определить коэффициенты А, В и С, если п — нату
ральное число, большее единицы.
Найти интегралы:
2060.
2061.
2062.
2063.
Г_______sin х dx____
J cos x Vn- sin2 x
p sin’x .
\--------------dx.
J COS2 X Vtg X
f sin xdx
J V2 + s’n 2*
f g- (0<e<l).
J (i-Ь8cos*)
„ , x-l- a
cosn-x ——
___________2_
sinn+x .x~4.
(|a|¥d*l),
COS --L—
о
Указание, Положить t «-------------.
ж —а
sin-----
2
2065. Вывести формулу понижения для интеграла
Г* / __ Л \ Я
sin
2
х + Д
2
/п =
dx
sin
(n — натуральное число).
§ 5. Интегрирование различных
трансцендентных функций
2066. Доказать, что если Р (х) — многочлен сте.
пени п, то
f P(x)e"dx =
La a* ' an+1 J
2067. Доказать, что если Р (х) — многочлен сте-
пени п, то
j Р (x)cosaxdx—
sin ax Г
a L
, cos ax
+ a*
P” (x) PIV (x)
a* + a*
Pm (x) , PV (x)
a1 a*
и
JP(X)sin ax dr
cos ax
a
[P(x)
sin ax
P”(x)
PIV (x)
a*
PV (x)
a*
Найти интегралы:
2068. f xt&dx. 2069. f (x*—2x+2) erx dx.
2070. Jx®sin5xdx. 2071. J (14-xl)’cosxdx.
2072. fx’e-*’dx.
2073. § хге^* dx.
2074. f cos2 bx dx,
2076. f хе* sin х dx.
2078. f хе* sin* х dx.
2080. jcos’^/xdx.
2075. Je0* stn3&xdx.
2077. f x2ex cos x dx.
2079. f (x—sinx)8dx.
2081. Доказать, что если R —рациональная функция
и числа аи а2, . . . , а„ соизмеримы, то интеграл
$R(ea'\ ......eaHdx
есть элементарная функция.
Найти следующие интегралы:
2085.
dx
(1 + ’
dx
eiX 4-^ — 2
dx
-2*
-----dx.
f 1 +
2086. \—---------
J +
*88-
dx.
dx.
2087. C-----—
2089. JVe2*4-4e* — 1 dx.
2090.
dx
2091. Доказать, что интеграл
f R (x) eax dx,
где R — рациональная функция, знаменатель которой
имеет лишь действительные корни, выражается через
элементарные функции и трансцендентную функцию
где
J ~ dx = li (е°*) + С,
Пх==(-^
J In х
2092. В каком случае интеграл
Г Р(—}e*dx,
J \ х /
где Р(—)==ав4-—4-...ка9,ах, • • • ,а„—
постоянны, представляет собой элементарную функцию?
Найти интегралы:
2093. [0---^’^dx. 2094. К1--------^*)е~Х(1х-
2095. f----е”---dx. 2096. f—^—dx.
2097. f -dx.
J (x-2)«
Найти интегралы, содержащие функции In f (x),
arctg f (x), arcsin f (x), arccos f (x), где f (x) — алгебраи-
ческая функция:
2098. J in" xdx (л—натуральное число).
2099. fXs in’xdx.
2100. $(^)'dx.
2101. j in ((x4-a)*+fl (x 4- fe)*+6J •
2102. J In* (x 4- Vl 4-**) dx.
dx
(x+a)(x + b)
2103. Jln(Vl—x 4-Vl +x)dx.
2104. J2105- f*arctg(x + ndx‘
2106. JVT arctg Vх"dx. 2107. fx arcsin (1—x)dx.
2108. f arcsin Vх dx. 2109. J x arccos dx.
2110. ( arcsin dx.
J 14-*
^f££2L£-dx.
(1 — x1)»/»
x arccos x
(1 - *»)»/»
2113. f x arctg x in (14- x*) dx.
2114. fxln-i±4dx. 2115. ( ±Ii+VI±EbL.
J 1 — * J (14- x*)’/*
ции:
2Пв.
2118.
2120.
2123.
Найти интегралы, содержащие гиперболические функ«
fsh’xch’xdx. 2117. f ch4 xdx.
fsh’xdx. 2119. f shxsh2xsh3xdx.
Jthxdx. 2121. fcth®xdx. 2122. $<fihx dx.
C dx
J sh x 4- 2 ch x
2123.1. —---------------
sh2 x — 4 sh x ch x 4- 9 cha x
2123.2. |----—------.
J 0,1 4-ch x
ch xdx
3shx —4chx
2124. f shaxsinfexdx.
2125. fshaxcosfrxdx.
§ в. Разные примеры на интегрирование функций
Найти интегралы:
2128.
(* dx
J <-(14-**) ‘
dx
2127.
2129.
xtdx
a-x»)» ’
2130.
2132.
2131. С------<£ж
J х» V1 — **
2133. f — x&dx- ... 2134. C...---------.
J V14- x’ J V*2U -«)
2135. C----— 2136. f—
J x Vl 4- x3 4- x* J x V*4 — 2x* — 1
2137. € 1 + VI~X—dx.
J 1_ Vi — x«
2138. C —. 2139. f ln(' + *+**> dx.
J 14-VM^ J U + x)l
2140. f (2x4-3) arccos (2x—3) dx.
2141. j" xln(44-x*)dx.
2142. l±*-dx.
J ** V1 —X*
2143. С *ln0±VT+?ldx.
J Ун-** _________________
2144. f х Ух* +1 1пУх2— 1 dx.
2145. f— х —1П——-dx.
J V1 —X2 V1 — X
2146.------f------ . 2147. f----------dx.
J (2 +sinx)1 J sinex+cosex
J sin xVT+ cos X
2149. f °— ~t — arctgxdx.
J x2+1 6
2150. f^+^-ln ———— I dx.
J “2-i x+l I
2151. f—^—dx.
J (1 + *2)2
2152. f dx. 2153. f --sin2jc-dx.
J Vu- х» j V7+cos*x
2154. C *aK^-dx.
J Vl—X2
2155. f x4arctg^dx. 2156. ( xarcct^-X-dx.
J l + x« J (14-x2)2
f X In (x Ц- V1 4- ** )
’ J (I-*2)2
2158. f yi—xl arcsin xdx.
2159. fx(14-x2)arcctgxdx. 2160.fx*(l +lnx)dx.
2161. f tefr^dx. 2162. f-^^-dx.
J ex J e*/2(14-e*)
2163.
2164.
2166.
r__________dx__________
J (ex«+l)2 —(^Ч-I)2
fyth2x + l dx. 2165. C 1 + sin-~-e*dx.
J v J 1 + cos x
J|x|dx. 2167. fx|x|dx. 2168. j(x+|x|)’dx.
2169. f{|l+xl-|l-x|}dx.
2170. je-l*idx. 2171. fmax(l, x®)dx.
2172. J <р (х) dx, где ф (х) — расстояние числа * до
ближайшего целого числа.
2173. f [х] |sinnx|dx (х > 0).
. , (1—х® при Iх|< 1
2174. J7(x)dx, где f(x)= , .. F '
J v ' (1 —|x| при IX|> 1
2175. J / (х) dx, где f(x) =
1,
х+1,
2х,
если —оо<*<0;
если 0<х«$Г,
если 1 <х<+<».
2176. Найти f xf" (х) dx.
2177. Найти f f (2х) dx.
2178. Найти f(x), если f' (x2)=— (х>0).
х
2179. Найти f {х), если f (sin8 х) «= cos2 х.
2180. Найти f (х), если
... (1 при 0<хс 1;
/ (In х) = |
' (х при 1<х<+оо
И f (0) = 0.
2180.1. Пусть f (х) — монотонная непрерывная функ»
ция и Л1 (*) — ее обратная функция.
Доказать, что если
f f (х) dx = F (х) + С,
то
fr (x)dx = xf~l (x)-F(f~' (X)) +C.
Рассмотреть примеры: a) f (x) — xn(n > 0}J
б) / (x) = ex; в) f (x) = arcsin x; r) f (x) = Arth x.
ОТДЕЛ IV
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определенный интеграл как предел суммы
Г. Интеграл в смысле Римана. Если функ-
пня { («) определена на (a, 6J н а = ж0 <*!<*»<•• <*л =*
«= Ь, то интегралом функции t (х) на сегменте (а, Ь ] называется
число
ь л-1
f f (х) dx = lim У t (&) b*t, (1)
a tnax|Ax(|-»0£J
где x, < < xz+1 и Ax, = X(+i — xt.
Для существования предела (1) необходимо и достаточно,
чтобы нижняя интегральная сумма
л—I
S «= У /п<Дх(
InO
и верхняя интегральная сумма
л—1
5= £ Mi&xi,
где
mi= inf f(x) и sup f(x),
xf«5*<Xi+l
имели общий предел при max | Дх, | -> 0.
Функции f (х), для которых предел в правой части равенства
(1) существует, называются интегрируемыми (собственно) на
соответствующем промежутке. В частности, а) непрерывная
функция; б) ограниченная функция, имеющая конечное число
точек разрыва; в) ограниченная монотонная функция,— инте-
грируемы на любом конечном сегменте. Если функция / (х) не
ограничена на сегменте [а, Ь), то она собственно неннтегрируема
на [а, 6).
2°. Условие интегрируемости. Необходи-
мым и достаточным условием интегрируемости иа данном сег-
тате [а, 6] функции [ (х) является выполнение равенства
л—I
lim У <о,Дх^ = 0,
max] AXfl-И)
где ш/ = A!/— mi — колебание функции f (х) на сегменте
U,
2181. Найти интегральную сумму S„ для функции
fix) = 1 + х
на сегменте (—1,4), разбивая его на п равных проме-
жутков и выбирая значения аргумента (i' = 0, 1, . . .
. . . , п—1) в серединах этих промежутков.
2182. Для данных функций f (х) найти нижнюю S,
и верхнюю интегральные суммы на соответствующих
сегментах, деля их на п равных частей, если
a) f (х) = х3 I— 2 < х < 3 ];
б) f (х) = у/х’ (0 < х < 1 ];
в) f (х) = 2х (0 < х < 10).
2183. Найти нижнюю интегральную сумму для
функции f (х) = х* на сегменте [1, 2), разбивая этот
сегмент на п частей, длины которых образуют геомет-
рическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы
при п -> ОО?
2184. Исходя из определения интеграла, найти
т
где о0 н g — постоянны.
Вычислить определенные интегралы, рассматривая их
как пределы соответствующих интегральных сумм и
производя разбиение промежутка интеграции надлежа-
щим образом:
2 I Я/2
2185. f х* dx. 2186. fa'dx (а>0). 2187. J sinxdx.
-io о
2188. J cos tdt.
о
b
2189. (— (0<a<5).
J x*
a
Указание. Положить & = Vxixi+t (i = 0, 1.л).
»
2190. fxmdx (0<a<5", m=/= — 1).
a
Указание. Выбрать точки деления так, чтобы их
абсциссы Xi образовывали геометрическую прогрессию.
808 ОТДЕЛ IV. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
»
2191. (0<о<6).
а
2192. Вычислить интеграл Пуассона
Я
£ In (1~2а cos х + а*) dx
при: а) |а| < 1? б) |а| > 1.
Указание. Воспользоваться разложением многочлена
а1"—1 на квадратичные множители.
2193. Пусть функции f (х) и <р (х) непрерывны на
la, b ]. Доказать, что
Пт E/(U4>(9<)Axi =f/(x)<p(x)dx,
max |3xJ-»0 i =0 a
где x( < & < xi+1, Xi < 9, < Xi+l (i = 0, 1,... ,n—1) я
Ax{ — Xi+i —xt (хц = a, x„ = b).
2193.1. Пусть f (x) ограничена и монотонна на [0, 1 ].
Доказать, что
и *~1
2193.2. Пусть функция f (х) ограничена и выпукла
сверху (см. 1312) на сегменте (а, 6].
Доказать, что
(Ь_а) <[f(x)dx<(b-a)f•
2193.3. Пусть f (х) £ Cw 11, + оо) и f (х) > О,
f (х) > 0, f" (х) < 0 при х £ 11, + оо).
Доказать, что
jg/(*) = 4-f(/,)+JZ(x)dx + 0(1)
при П-> оо.
2193.4. Пусть f (х) £ С(|> 1а, 6] и
Ь п
дя = fr(x)dx----+
a fcanl
Найти lim пД„.
П-+оо
2194. Показать, что разрывная функция
f (х) = sgn (sin-?-)
интегрируема на промежутке [0, 1J.
2195. Показать, что функция Римаиа
(0, если х иррационально;
т (1/л, если х = т/п,
где т и п (п. > 1) — взаимно простые целые числа,
интегрируема на любом конечном промежутке.
2196. Показать, что функция
f (х) = —--Г —1, если хд^О
х L х J
и f (0) = 0, интегрируема на сегменте [0, 1J.
2197, Доказать, что функция Дирихле
(0, если х иррационально;
Х(х)— | j. если х рационально,
не интегрируема на любом промежутке.
2198. Пусть функция f (х) интегрируема на [а, Ь]
fn (х) = sup f (х) при Xi < x<xi+1,
где
хг = а-}-— (5— a) (1=0, 1........л; п=1, 2, . . .
п
0 ь
Доказать, что lim f fn (х) dx — f f (x) dx.
2199. Доказать, что если функция f (х) интегрируем^
на [a, b), то существует последовательность непрерыв*
ных функций фя (х) (п = 1, 2, . . .) такая, что
С с
J f (x)dx— lim J <pn{x)dx приа<с<Ь.
a n-»oo a
2200. Доказать, что если ограниченная функция
f (х) интегрируема на сегменте [а, Ь ], то абсолютная
величина ее | f (х) | также интегрируема на (a, b J, при*
чем
t> »
Yf(x)dx <f|f(x)|dx.
а а
2201. Пусть функция / (х) абсолютно интегрируема
ь
на сегменте [а, b ], т. е. интеграл f | f (х) | dx сущест-
а
вует. Является ли эта функция интегрируемой на [a, b)?
Рассмотреть пример:
{1, если х рационально;
— 1, если х иррационально.
2202. Пусть функция f (х) интегрируема на (a, b)
и А < f (х) < В при а с х < Ь, а функция ф (х) опре-
делена и непрерывна на сегменте 1-4, В]. Доказать, что
функция <р (f (х)) интегрируема на [a, &J.
2203. Если функции f (х) и ф (х) интегрируемы, то
обязательно ли функция f (ф (х)) также интегрируема?
Рассмотреть пример:
10, если х = 0;
f W — j j, если
в ф (х) — функция Римана (см. задачу 2195).
2204. Пусть функция f (х) интегрируема на сегменте
[Я, В ]. Доказать, что f (х) обладает свойством интег-
ь
ральной непрерывности, т. е. lim J \f (x-j-Л)—f(x) |dx = 0,
h->0 a
где la, die [Л, В].
2205. Пусть функция f (x) интегрируема на сегменте
b
(a, b ]. Доказать, что равенство f f* (x) dx = 0 имеет
a
место тогда и только тогда, когда f (х) = 0 во всех точ-
ках непрерывности функции f (х), принадлежащих сег-
менту [а, Ы.
§ 2. Вычисление определенных интегралов
с помощью неопределенных
1°. Формула Ньютона — Лейбница. Если
функция f, (х) определена н непрерывна на сегменте [а, 6] и
F (х) — ее первообразная, т, е. F' (х) = I (х), то
b ь
$f(x)dx>=F (Ь) — F (а) — F (х) | .
а а
b
Определенный интеграл J [ (х) dx прн Н*) > 0 геомет-
а
ряческн представляет собой площадь S криволинейной трапе-
4 2. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 209
ции, ограниченной кривой у — f (х), осью Ох и двумя перпен-
дикулярами к осн Ох: х — а и х = b (рис. 9).
2°. Формула интегрирования по частя».
Если £ (х), g(x) £ С<’> [в, Ь], то
ь & ь
f («) g' (*) dX = f (X) g (X) | _ J g (X) J' (X) dx.
af a a
3°. Замена переменной. Если: 1) функция f (х)
непрерывна иа сегменте [а, 6]; 2) функция ф (<) непрерывна
вместе со своей производной ф' (/) на сегменте [а, 0], где а ==•
•= Ф (а), b = ф (р); 3) сложная функция [ (ф (/)) определена
и непрерывна на [а, ₽], то
о р
р (X) dx = р (ф (0) ф' (0 dt.
а а
Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти сле-
дующие определенные интегралы и нарисовать соот-
ветствующие криволинейные площади:
2206.
2208.
2210.
2212.
Я
2207. f sin xdx.
b
1/2
2209. f . d* --.
J Vi-*2
-1/2
2
2211. f|l—x|dx.
b
dx________
x’ — 2x cos a 4- 1
(0<a<n).
2л
2213. f—-------- (0<е<1).
J 1 + е cos х
о
1
2214. f —.... dx . —
J V(1 — 2ax + as)(l — 2bx + ft*)
(|a|<l, [b|<l, ab>Q\
Л/2
2215. ( —
J a1 sin’ x 4- ft® cos1 x
o
2216. Объяснить, почему формальное применение
формулы Ньютона—Лейбница приводит к неверным
результатам, если:
1 2л 1
-Что-
—1 0 — 1
1
2217. Найти f — (--------Ц,—
J . dx k 1 + 2,/х )
— I
100 Л
2218. Найти j VI—cos 2х dx.
С помощью определенных интегралов найти пределы
следующих сумм:
2219. lim (——I—$-+ . .
П->оо \ П* П2
2220. lim (—i----1---—
П-*оо \ Л 4“ 1 Л 4* 2
2221. lim (—-—4-—~— + • • . -t—-Y
п-^Дл’4-1* л® 4-2® п’4-л®7
2222. lim — (sin — 4-sin -^-4- . . . 4-sin
Я-.М л к п л л /
2223. lim -1Р±2-.+-: (р>0).
п-ю л?-"- ’
Найти
2225. lim
П->зо П
2226. lim
rt—>оо
Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших
порядков, найти пределы следующих сумм:
22ЭТ- l™[(,+T)si"v+(l+v)si"^+-'-
...+(1 + -2211Л5|п <"-’>"1.
\ п J п* J
п
2228. lim sin — . V------1----
"*“ " / . 2+cos-^L
fci n
2229. lim
tl-tx
22 V(n»+ *)(»*+ *+i)
»=i
/ a’/»
2230. lim | ——
n-*oo I Л 4“ 1
n*
<£!n
(х>0),
tfifn
«+-
n
2
2231. Найти:
. » » »
——f sin — f sin x*dx, — f sin x*dx.
dx i da a db a
2232. Найти:
a) dt-, 6)
о
в) f cos(n/2)d(.
dx sin *
2233. Найти:
d
dx
dt
f cos xsdx
a) lim —----------
б)
J (arctg x)2 dx
lim ——t==—
х
в) lim
2233.1. Пусть f (х) £ С [0, + оо] и f (х) -> А при
х-> + оо. Найти lim ff(nx)dx.
Я-poo О
* 1
2234. Доказать, что \ e*'dx------6х при х->оо.
б 2х
tin z _____
f Vtg * л*
2235. Найти lim —----------------.
<-+0 ______
I Vsinx dx
о
2236. Пусть f (х) — непрерывная положительная
(tf(t)dt
функция. Доказать, что функция <р(х) = —----------воз-
растает при х > 0.
2237. Найти:
9
a) ff(x)dx, если f(x)
о
| х» при 0<х<1,
(2—х при 1<х<2;
б) p(x)dx, если f(x) =
х при 0 < х < t,
1--у—у- при 1<х<1.
2238. Вычислить и построить графики интегралов
1 = 1 (а), рассматривая их как функции параметра а,
если:
1
а) 1 = f х |х—а | dx;
б)
/=С-------
J 1 + 2а cos х 4- а2
о
В)
л
Г________sin х dx________
J V1 — 2а cos х + а*
о
Применяя формулу интегрирования по частям, найти
следующие определенные интегралы:
In 2 я
2239. J xe~*dx. 2240. fxsin xdx.
о о
2241. f х® cos xdx. 2242. f |lnx|dx.
0 l/e
> V3
2243. j arccosxdx. 2244. f x arctgxdx.
о 0
Применяя подходящую замену переменной, найти
следующие определенные интегралы:
* . а _________
2245. С____~. 2246. f х2л/а’—ха dx.
0.75 1л 2 _____
2247. С -------” 2248. f д/е»—1 dx.
J (х+1) V*’+l °
О
I
2249. € dx.
J V*(l— X)
о
1
р 1 Ц. Xе
2250. Вычислить интеграл J — dx, полагая
2251. Объяснить, почему формальная замена х =*
«= <р-(0 приводит к неверным результатам, если:
> Г 1
a) J dx, где 1 = х2/3; б) \ , где х = —•
^“1 J 1 “1“ X *
В)
dx
1 + sin* х
где tgx = t.
о
3 3 ——
2252. Можно ли в интеграле jxy^l — х* dx поло-
о
жить х = sin ft
i
2253, Можно ли в интеграле | д/1 —х3 dx при за»
мене переменной х — sin t в качестве новых пределов
взять числа л и —?
2
2254. Доказать, что если / (х) непрерывна иа [а, Ъ ],
то
ь 1
f f (х) dx = (b—a) J f (a + (b — a) x) dx.
a 0
2255. Доказать равенство
f Xs/ (x3) dx = -i- f xf (x) dx (a>0).
u 2 о
2256< Пусть f (x) — непрерывная функция на сег-
менте (Л, В] ю (а, 5]. Найти ~ $f(x + y)dy при
(а—х, Ь—х]с2 [Л, В].
2257. Доказать, что если f (х) непрерывна на 10, 1 ],
то
п/2 я/2
a) j f(sinx)dx« J f(cosx)dx;
о о
я я
б) J х/(sin x)cfx =~ f f (sinx)dx
2258. Доказать, что для непрерывной на [—/, /]
i i
функции f (х) имеем: 1) f /(x)dx = 2j f(x)dx, если
—/ о
I
функция f (х) четная, и 2) f f(x)dx—0, если функция
f (х) нечетная. Дать геометрическую интерпретацию
этих фактов.
2259. Доказать, что одна из первообразных четной
функции есть функция нечетная, а всякая первообраз»
ная нечетной функции есть функция четная.
2260, Вычислить интеграл
2
$ О+'-т) e*+w**dx,
введя новую переменную
f = x+-L.
X
2я
2261. В интеграле | f(x)cos xdx выполнить замену
переменного sin х = t.
2262. Вычислить интеграл
j |[cos(ln-L.)]]dx,
—2пл
где п — натуральное число.
2263. Найти f- xsin-x.dx.
J 14- cos2 x
о
3
2264. Найти интеграл С ——dx, если
J ! + /*(»)
^•1
' х3(х — 2)
2265. Доказать, что если f (х) — непрерывная пе-
риодическая функция, определенная при — оо < х <
< + оо и имеющая период Т, то
| f{x)dx={f(x)dx,
а О
где а — любое число.
2266. Доказать, что при п нечетном функции
X X
F(х) = f sin"xdx и G(x) = f cos'1 xdx
О о
периодические с периодом 2л; а при п четном каждая
из этих функций есть сумма линейной функции и пе-
риодической функции.
X
2267, Доказать, что функция F (х) = f f(x) dx,
х0
где f (х) — непрерывная периодическая функция с пе-
риодом Т, в общем случае, есть сумма линейной функ-
ции и периодической функции периода Г.
Вычислить интегралы:
1
2268. fx(2—x'f'dx.
2269. I -----—------.
J. x»4-x-bl
2270. |(xlnx)*dx. 2271. ^x^T^xdx.
—1 i
2272. V --?*—.... 2273. р“УГ+Зхгdx.
J x Vx1 — 1
з
2274.
\ arcsin
о
2n
dx
dx.
2275.
J (2 4-cosx)(3+cosx)
о
2Л
2276.
dx
2277.
J sin4 x 4- cos* x
о
Я/.
J sin xsin2xsin3xdx.
о
я 1
n
2279.
In 2
2280. J sh*xdx.
С помощью формул понижения вычислить интегралы,
зависящие от параметра п, принимающего целые по-
ложительные значения:
Я/2 Я/2
2281. 4== J sin"xdx. 2282. In — J 0 0 Я/4 1 cos" xdx
2283. 4 е Г tg2"xdx. 2284. /„=|(1 —x3)ndx.
2285. f —5"*L-. 2286. /„ = i J xm (In x)" dx.
V1
О
л/t
2287. I.- ff
J \ sin х 4- cos х /
о
Если f (х) = (х) 4- ift (х) есть комплексная функция от
действительной переменной х, где ft (х) = Re f (х), [t (х) «
= Im f (х) и Р = — 1, то по определению полагают:
f f (х) dx = f ft (х) dx + « f ft (x) dx.
Очевидно, что
Re f f (x) dx » f Re f (x) dx
и
Im f t (x) dx = f Im f (x) dx.
2288. Пользуясь формулой Эйлера
= cos x 4- i sin x,
показать, что
2? I 0, если m=£n,
I ginxg—imx fa _ /
б (2л, если m=n
(n и m — целые).
2289. Показать, что
ь
Г . _ вв(а+ф)
I e(a+iP)xdx= —-------------
J а+ф
a
(аир — постоянные).
Пользуясь формулами Эйлера:
cos х=(е‘х 4- е~и), sin х= (е1*—
вычислить интегралы (тип — целые положительный
числа):
Я/2
2290. | sin2"* х cos2" х dx.
2Й1. f -sin nx- dx. 2292. f—^+1)x dx.
J sinx J cosx
о о
я n
2293. f cos" x cos nxdx. 2294. fsin"xsinnxdr.
Найти интегралы (п—натуральное число):
я
2295. § sin"-1 х cos (n + 1) х dx.
я
2296. $ cos"-1 xsin (n+ 1) xdx.
о
2Я
2297. $ cos2" x dx.
о
П/2
2298. § In cos x • cos 2nx dx.
2299. Применяя многократное интегрирование по
частям, вычислить интеграл Эйлера: В (т, п) —
i
= $хт-1(1—x)n-1 dx, где т и п—целые положитель-
о
ные числа.
2300. Многочлен Лежандра Рп(х} определяется фор-
мулой: PnW = -J-r-£r[(x2-l)'’] (л = 0, 1,2 . . .).
Доказать, что
S Ря(х)Р,(х)&=
—i
0, если т.=£=п,
—-—, если т — п,
2л +1
2301. Пусть функция f(x) собственно интегрируема
на [а, Ь] и F (х) — функция такая, что F'(x) — f(x)
всюду в [а, Ь], за исключением, быть может, конечного
числа внутренних точек с,- (t— 1, . . . , р) и точек а
и Ь, где функция Р(х) терпит разрыв 1-го рода («обоб-
щенная первообразная»). Доказать, что
ь Р
s f (х) dx=F(b-0)-F(a+0)- 2 [Г (с( + 0)-F (Cl-0)]
a t —1
2302. Пусть функция f(x) собственно интегрируема
на сегменте [а, Ь] и
Р(х) = С + $/(Ю d$
а
—ее неопределенный интеграл.
Доказать, что функция F (х) непрерывна и во всех
точках непрерывности функции f (х) имеет место
равенство
F' W = f (х).
Что можно сказать о производной функции F (х)
в точках разрыва функции f (х)?
Рассмотреть примеры:
а) = (п = ±1> ±2> • • • ) и /(х) = 0 при
х=£ — \
п
б) f (х) = sgn X.
Найти неопределенные интегралы от ограниченных
разрывных функций:
2303. Jsgnxdx. 2304. fsgn(sinx)dx.
2305. f [x] dx (x>0). 2306. fx[x]dx (x>0).
2307. f(— l)Mdx.
* „ fl. если I x\<J,
2308. p(x)dx, где /(x) =
0 u, ec Л И | X I I •
Вычислить определенные интегралы от ограничен-
ных разрывных функций:
3 2
2309. J'sgn(x—x3)dx. 2310. f[e*]dx.
о о
6 п
2311. J [х] sin лх/6 dx. 2312. f х sgn (cos х) dx.
о о
л+1
2313. j In [х] dx, где а—натуральное число.
i
2314. fsgn[sin(lnx)]dx.
о
2315. Найти f |cosx| Vsinx dx, где E — множество
E
тех значений сегмента (0, 4л], для которых подынтег-
ральное выражение имеет смысл.
§ 3. Теоремы о среднем
1°. Среднее значение функции. Число
1 Г
м [/1 = ---J f(x)dx
b —а а
называется средним значением функции ) (х) на промежутке
[а, ft|.
Еслв функция f (х) непрерывна на (а, ft), то найдется точка
с £ (а, Ь) такая, что
М Ц] — I (с).
2°. Первая теорема о среднем. Если: 1) функ*
цнн I (х) н q> (х) ограничены н соответственно интегрируемы на
сегменте [а, ft); 2) функция ф (х) не меяяет знака при а < х < Ь,
то
ъ ь
р(х)Ф(«М*в |*Jф(х)
а а
гдетСрСМ и т= inf f(x), М •= sup f(x);3) если, сверх
a<x<ft a<x<ft
того, функция I (х) непрерывна на сегменте [а, ft], то ц == [ (с),
где а с < Ь.
3°. Вторая теорема о среднем. Если: I) функ-
ции j (х) н ф (х) ограничены в собственно интегрируемы на сег-
менте (а, ft); 2) функция ф (х) монотонна при a<x<ft, то
ь Eft
f f (*) Ф (*) dx = ф (а 4- 0) J f (х) dx 4- ф (Ь — 0) f t (х) dx,
а а 5
где а 5 < ft; 3) если, сверх того, функция ф (х) монотонно
убывающая (в широком смысле!) н неотрицательная, то
ft Е
Р (*) Ф W^x = ф (а 4-0) р (х) dx (a<6<ft);
а а
3') если же функция ф (х) монотонно возрастающая (в ши-
роком смысле) и неотрицательная, то
ft ь
Р (х) ф (*) dx = ф (ft — 0) р (х) dx .
а ।
2316. Определить знаки следующих определенным
интегралов:
2Л
а) (х sin х dx; б) f S‘n * dx,
о J х
о
2 I
в) f x?2xdx; г) f ж3 In xdx.
-2 f/2
2317. Какой интеграл больше:
Я/2 П/2
a) j sin10xdx или | sin3xdx?
i i
6) fe-'dx или fe-^dx?
Л 2Л
в) f e-*’cos2 xdx или f е-** cos4 xdx?
О л
2318. Определить средние значения данных функций
в указанных промежутках:
a) f (х) - х2 на (0, 1 );
б) Цх)~^ на [0, 100];
в) f (х) = 10 + 2 sin х + 3 cos х на (0, 2л ];
г) f (х) — sin х sin (х + ф) на (0, 2л ].
2319. Найти среднее значение длины фокального
радиуса-вектора эллипса
г.-------£--- (0<е<1).
1 — е cos ф
2320. Найти среднее значение скорости свободно
падающего тела, начальная скорость которого равна ц>.
2321. Сила переменного тока меняется по закону
(2л/ , \
—— + ф].
где х’о — амплитуда, t — время, Т — период и ф — на-
чальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы
тока.
2321.1. Пусть / (х) С (0, + оо) и iim f (х) » А.
Х->+оо
Найти
lim — f/(x)dx.
Х-*4-ао X 0
Рассмотреть пример / (х) = arctg х.
2322. Пусть
jf(t)dt=x/(0x).
Найти 0, если:
a) f(t) = t" (п > - 1); б) f (/) = In f, в) / (/) =» е*.
Чему равны lim 0 и lim 0?
Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить ин-
тегралы:
2л I
2323. f-------------. 2324. С-----------dx.
j l + 0.5cosx )
100
2325. С
х+ 100
2326. Доказать равенства:
1 - Я/2
a) lim I ——dx — О; б) lim J sin" xdx =»0.
rt->aoJ 14-Х n-» '0
2326.1. Найти:
i к
a) lim f ....; 6) lim f f (x) —,
е-И) J ex* + 1 e-H-0 J x
о м
где a > 0, b > 0 и / (x) £ C (0, 1 J.
2327. Пусть f (x) непрерывна на [a, b ] и <p W непре-
рывна на [a, 6) и дифференцируема на (a, b), причем
ф' (х) > 0 при а < х < Ь.
Доказать вторую теорему о среднем, применяя ин-
тегрирование по частям и используя первую теорему
о среднем.
Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить ин-
тегралы:
200я .
2328. f ^-dx.
100Я X
ft
Г е-®*
2329. \----sinxdx (a > 0; 0<a<b).
J x
a
b
2330. fsinx’dx (0<a<6).
a
2331. Пусть функции ф (x) и ф (х) интегрируемы на
промежутке la, bl вместе со своими квадратами. Дока-
вать неравенство Коши—Буняковского
Гб 1» ft ь
U ф(х)ф(х)«1х> С J ф2 (х) dx j ф* (х) dx.
la j а а
2332. Пусть функция f (х) непрерывно дифференци-
руема на сегменте [а, b ] и / (а) = 0.
»
Доказать неравенство ЛР < (b—a) f [,2(x)dx, где
Al == sup
a^x^b
2333. Доказать равенство
П-гР
lim i -in~ dx — Q (p>0).
Л-*оо J X
n
§ 4. Несобственные интегралы
1°. Несобственная интегрируемость
функций. Если функция f (х) собственно интегрируема иа
каждом конечном сегменте [a, i], то, по определению, полагают:
-{-оо b
J f(x)dx = lim p(x)dx. (1)
Если функция f (x) не ограничена в окрестности точки b
н собственно интегрируема на каждом сегменте [а, b—el (е > 0),
то принимают:
ь Ь—е,
f f (х) dx = lim Г f (х) dx. <2)
а е-+° а
Если пределы (1) или (2) существуют, то соответствующий
интеграл называется сходящимся, в противном случае — рас-
ходящимся (в элементарном'смысле!).
2°. Критерий Коши. Для сходимости интеграла (1)
необходимо и достаточно, чтобы для любого а > 0 существовало
число b = b (е) такое, что при любых b' > Ь и b" > b было бы
выполнено неравенство
[ t(x)dx
ь'
Аналогично формулируется критерий Коши для интеграла
типа (2).
3е. Признаки абсолютной сходимости.
Если (х) | несобственно интегрируема, то соответствующий
элементарный интеграл (1) или (2) от функции [ (х) называется
абсолютно сходящимся и является интегралом заведомо сходя-
щимся.
Признак сравнения I. Пусть |f (х) | < F (х) при х > а.
4~оо +°°
Если j F (х) dx сходится, то интеграл J f (х) dx сходится
а а
абсолютно.
Признак сравнения П. Если ф (х) > 0 и <р (х) — О* (ф (х))
4-оо 4"00
ирн х -*- + оо, то интегралы J <p (х) dx н J ф (х) dx сходятся
а а
или расходятся одновременно. В частности, это имеет место,
если <₽ (х) ~ ф (х) при х -* + оо.
Признак сравнения III. а) Пусть
/(х) = 0®^-^-^ при х-»--|-оо.
В таком случае интеграл (I) сходится, если р > 1, и расходится,
если р<1.
б) Пусть
f (х) = О* f 1---А при х-*й —0.
В таком случае интеграл (2) сходится, если р < 1 и расходится,
если р > 1.
4®. Специальный признак сходимости.
Если: 1) функция <р (х) монотонно стремится к нулю при х -*• -f- оо
и 2) функция I (х) имеет ограниченную первообразную
F(*) = f/(5)d6.
0
то интеграл
f /(х)ф(х)4х
а
сходится, вообще говоря, не абсолютно.
В частности, интегралы
-Не +»
f COS X . С sin X , . .
| ——-dx и I ----------— dx (a>0)
J x» J X»
a a
сходятся, если p > 0.
5°. Главное значение в смысле Коши,
Если функция I (х) такова, что при любом е > 0 существую*
собственные интегралы
с—в ь
J f{x)dx н f f(x)dx (а<с<й),
а с4-е
то под главным значением в смысле Коши (о. р.) понимается число
ь гс—в b -I
v. p.ff(x)dx= Hm I f f(x)dx-f- f Z(x)<txL
a e-H-0 L 0 с+г J
Аналогично
4-oo a
v. p. f f(x)dx= lim f t(x)dx.
-Zoo e-H-oo„0
Вычислить интегралы:
4-00 I
2334. J (a>0). 2335. jinxdx.
Ц*оо 1
2336. С . 2337. С
\ 1 + х2 J
—ОО — 1
4-00
2338. f ---------—-----. 2339.
J х24-х —2
dx
(х«+х4-1)‘ ’
4-00 4-00
2340. f —. 2341. f -ЗЩ-dx.
J 14-х3 J x*4-l
о о
2342. I-------ax
j (2 — x) V1 — *
o
4-00
2343. C .......... - .
J xV14-x34-xw
i
4-00 4-00
2344. f x‘n x dx. 2345. f
J (14- *2)3 J
о о
arctg x
(1 4- x2)2/»
4-00
2346. | e~axcos bxdx (a>0).
+°°
2347. J e~axsinbxdx (a>0).
о
С помощью формул понижения вычислить следую*
щие несобственные интегралы (га — натуральное число)}
4-00
2348. 1п= xne~xdx.
------—------- (ас — Ь‘>0).
(ах2 4- 2Ьх 4- с)п ' ’
2350. /„
_________dx________
х(х4- 1) . . . (х4- п)
2351. /Я=С------- хП<1х
} V(l-x)(l + x)
О
15-2ИЗ
+»
2352. /„ = j
о
dx
chn+1x
я/2 я/2
2353. a) f In sin xdx; б) j In cos xdx.
2354. Найти f g~x/2 —-s--n x cos~— dx. где E— mho-
J Vs>n*
в
жество тех значений х интервала (0, +<»), для которых
подынтегральное выражение имеет смысл.
2355. Доказать равенство
f (ах 4- — )dx = ~- J f (^/xJ4-4ab) dx,
о о
где а > 0 и Ъ > 0, предполагая, что интеграл в левой
части равенства имеет смысл.
2356. Средним, значением функции f (х) на интервале
1 х
(О, + оо) называется число M\f\ — lim —
Найти средние значения следующих функций:
a) f (х) = sin’ х 4- cos’ (х <у/2У,
б) f (х) = arctg х; в) f (х) = д/х sin х.
2357. Найти:
а) Нт х f cos t di;
*->о J
X
Ц-оо
f
в) lim—-------------;
in —
f К14-1* л
6) lim ------------
X-+VO X3
r) lim x“ C dt,
x-*0 J
X
где a > 0 н f (t) — непрерывная функция на сегменте
fO, U.
Исследовать сходимость интегралов
2358. f----—------. 2359. f-------—-----.
J х«-х*+1 J
2
2360. 2361. (xp~le-xdx.
J In X J
о о
1 +®
2362. fx^ln’—dx. 2363. f —dx (n > 0).
J X J 1 x*
2364. ( arctgflx dx (a =/= 0). 2365. ( —(- + *}dx.
J Xя ' J Xя
о 0
2366. f —-”ct^ dx (n> 0).
J 2 + xn '
о
2367.
2368.
2370.
4-00
f* cosax
J 14-хя
4-00
f "id,.
J X
0
xndx
Vb^x<
Я12
2369. f--------—-------.
J sin? x cos® x
2370.1.
4-00
2371. f —-—.
J x₽ + x®
0
П/2
2373. f-^^dx.
J Vх
о ¥
i
2372. ( —nx dx.
J 1—X2
4-00
C dx
J xpln«x
4-oo
r______________dx____________
J x₽ (In x)« (In In x/ *
2376.
4-°»
Г___________________dx_________________
Jj*— «1l₽,lx — Csl”*... |x —an|P«
<an)‘
4-00
23 76.1. f х“|х—l|₽dx.
О
4-00
2377. ( Рт dx, где Рт (х) и Рп (х) — взаимно
.) Рп (*)
о
простые многочлены соответственно степеней тип.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
следующие интегралы:
4-00
2378. Г -^-dx.
J X
о
Указание. | sin х | > sin2x.
+» 4-°°
2379. j* *-°**..dx. 2380. J xpsin(x^dx (<?=/=0).
, х^ЮО 0
л/2 4-°°
23 80.1. ( sin (sec x) dx. 2380.2. f x2 cos (e*) dx.
b о
2381. (<?>0).
4-00
2383. sin xdx,
J Pn (x)
где Pm (x) и Pn (x) — целые многочлены н Pn(x) > О,
если х > а > 0.
+«
2384. Если J f (х) dx сходится, то обязательно ли
а
f (х) -> 0 при X -> + °0?
Рассмотреть примеры:
a) f sin(xa)dx; б) f (— l)l*’Jdx.
О о
2384.1. Пусть f (х) £ Cw [х0, + со), |f (х)|<С
4-00
при х0 < х < + со и f \f (x)|dx сходится. Доказать,
*0
что / (х) 0 при х + оо.
Указание. Рассмотреть интеграл
+»
f f(x)f'(x)dx.
«о
2385. Можно ли сходящийся несобственный интеграл
ь
f f(x)dx
а
от неограниченной функции f (х), определенной на la, b J,
рассматривать как предел соответствующей интегральной
суммы S f (Ь) Д*<. где X/ < С и Дх, = х1+1—х(?
f«=0
2386. Пусть
T/Wdx (1)
а
сходится и функция ф (х) ограничена.
Обязательно ли сходится интеграл
T/WfWdx? (2)
<3
Привести соответствующий пример.
Что можно сказать о сходимости интеграла (2), если
интеграл (1) сходится абсолютно?
4-00
2387. Доказать, что если J f (х) dx сходится и f (х) —
а
монотонная функция, то f (х) = О (—
2388. Пусть функция f (х) монотонна в промежутке
0< х С 1 и не ограничена в окрестности точки х = 0.
।
Доказать, что если существует f f (х) dx, то
о
lim — У f (—) = [f (х) dx.
п-»«. п \ л ) J
к—1 О
2389. Доказать, что если функция / (х) монотонна
и ограничена в интервале 0 < х < а и существует не-
а
собственный интеграл [ х” f (х) dx, то
о
lim xp+V (х) — 0.
«->4-0
2390. Показать, что:
a) v. р. 0! Ov. р. +f_Sl_=O!
t) X J A *""* X
—i 0
+«
в) v. p. J sinxdx = 0.
—QO
2391. Доказать, что при x > 0 существует
lix = v. р.
F J In 6
о
Найти следующие интегралы:
Ч-оо 2
2392. V. р. {-----------. 2393. v. р.
r J х*-Зх+2 r J xlnx
о 1/2
+ов +<х>
2394. v. р. С > + х dx. 2395. v. р. f arctg xdx.
J 1 + X* *-00
§ 5. Вычисление площадей
1°. Площадь в прямоугольных к о о р д я »
ватах. Площадь S плоской фигуры A1AtBiBi (рис. Ю)«
Рис. 10
ограниченной двумя непрерывными кривыми у — Ki (х) и
у — у% (х) (у4 (х) > у^ (х)) и двумя прямыми х = а и х “ Ь
(а < Ь), равна
»
1У» (*)—01 (*)]<**•
а
2°. Площадь фигуры, ограниченной к р и •
вой, эадаииой в параметрическом виде.
Если х =*(/), у = у (0 [0 t Т1 — параметрические
уравнения кусочно гладкой простой замкнутой кривой С,
пробегаемой против хода часовой стрелки и ограничивающей
слева от себя фигуру с площадью 3 (рис. 11), то
т т
3 = -|y(/)x'(0^=p(0 у'
или
1 г
S = -±-f 1*(0у' (0-х'(0у(01Л.
2 о
3°. Площадь в полярных координатах.
Площадь S сектора О АВ (рис. 12), ограниченного непрерывной
Рис. 13
кривой г = г (<р) в двумя полупрямыми <р = а и <р = ₽ (а < Р),
равна
1 $
S = —j г2 (<р) dtf.
2 а
2396. Доказать, что площадь прямого параболиче-
ского сегмента равна
S = — Ыг,
з
где b — основание и ft — высота сегмента (рис. 13).
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за-
данными
2397.
2398.
2399.
2400.
в прямоугольных координатах *):
ах = у2, ау = хг.
у = х2, х + у = 2.
У — 2х—х2, х 4- у = 0.
у = 11g х|, у = 0, х = 0,1, х = 10.
2400.1. у — 2х, у — 2, х = 0.
2400.2. у = (х + 1)г, х = sin яу, у = 0 (0 С у < 1).
*) Все параметры в этом н следующих параграфах отдела IV
считаются положительными.
2401. у — х; у = х + sin8* (0 < х < л).
2402^=тЪ’’
»Л
2403. —+А- = 1
а» Ь»
2404. у2 = х2 (а2—х2).
2405. у2 — 2рх, 27 ру2 — 8 (х—р)3.
2406. Ах2 + 2Вху 4- Су2 = 1 (Л > 1, АС—В2- > 0)\
2407. у8 =——— (циссоида), х = 2а.
2а — х
2408. x = aln a + Vo2 —/L—л]с?—у2, у = 0 (трак-
У
триса).
2409. у2 =----(х>0; л>—2).
9 (1 + *я+2)2
2410. у = е~* |sinx|, </= 0 (х>0).
2411. В каком отношении парабола у2 = 2х делит
площадь круга х2 + у2 = 8?
2412 (н). Выразить координаты точки М (х, у) ги-
перболы х2 — у2 = 1 как функции площади гипербо-
лического сектора S == ОМ'М, ограниченного дугой
гиперболы М'М и двумя лучами ОМ и ОМ', где
М' (х, —у)—точка, симметричная М относительно
оси Ох.
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за-
данными параметрически:
2413. х = a (t—sin /), у = а (I — cos t) (0 С t <2л)
(циклоида) и у = 0.
2414. х = 2t—t2, у = 2t2—t3.
2415. х = a (cos t + t sin t), у = a (sin t — / cos /)
(0 < t С 2л) (развертка круга) и х = а, у =5 0.
2416. х = а (2 cos /—cos 2t), у — а (2 sin t — sin 2/).
2417. x — — cos3/, у — — sin3/ (c2 = a2— b2) (эво-
a b
люта эллипса).
2417.1. x = acos/, y —------—.
Найти площади фигур, ограниченных кривыми, за-
данными в полярных координатах:
2418. /'? = o8cos2<p (лемниската).
2419. г = а (1 4- cos ф) (кардиоида).
2420. г = a sin Зф (трилистник).
242L f== l-cosqi' (паРаб0Ла>’ <Р=Т’ Ф=Т‘
2422. г =----------- (0 < е < I) (эллипс).
1 + е cos <р
24 22.1. г = 3 + 2 cos tp.
24 22.2. г = —. г = —^— (0<фС—Y
Ф sin ф \ 2 )
2423. г = асозф, r = a(cos<p-f-sin<p) (М O^eS}.
2424. Найти площадь сектора, ограниченного кривой
Ф = г arctg г
и двумя лучами ф = 0 и ф =
л
V3 '
2424.1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой
Г8 + ф’= 1.
2424.2. На$ти площадь фигуры, ограниченной ле»
пестком кривой
Ф = sin (лг) (0 < г С 1).
2424.3. Найти площадь фигуры, ограниченной л»-
ниями
Ф = 4г—г3, ф = 0.
2424.4. Найти площадь фигуры, ограниченной ли»
ниями
Ф = г — sin г, ф — л.
2425. Найти площадь фигуры, ограниченной замкну»
той кривой
_ 2а/ nt
Г =-------, ф -------.
14-/’ т 14-/
Перейдя к полярным координатам, найти площади
фигур, ограниченных кривыми:
2426. х3 4- у3 ~ Заху (лист Декарта).
2427. х* 4- у4 = а2 (х2 4- у2)-
2428. (х2 4- у3)2 == 2агху (лемниската).
Приведя уравнения к параметрическому виду, найти
площади фигур, ограниченных кривыми:
2429. х2/34-|/2/3 = а2/3 (астроида).
2430. x4 + y4 = ax2t/.
Указание. Положить у = tx.
§ 6. Вычисление длин дуг
Г. Длина дуги в прямоугольных коор*
д н н а т а х. Длина дуги отрезка гладкой (непрерывно диф-
ференцируемой) кривой
у = у(х)
равна
s = $ V1 + У'* (*) 4х.
а
2°. Длина дуги кривой, заданной пара-
метрически. Если кривая С задана уравнениями
x^x(t), y = y(f)
где x(Z), Ко. T], то длина дуги кривой С равна
т _____________
s = $ 7*'* (/>+/* СО
*0
3°. Длина дуги в полярных к о о р Д и н а-
г а х. Если
г = г(ф) (а<ф<₽),
где г (ф) G С<‘> (а, ₽|, то длина дуги соответствующего отрезка
кривой равна
s = $ 7г’(Ф) + ''* (ф) dtp.
а
Длины дуг пространственных кривых см. в отд. VIII.
Найти длины дуг следующих кривых:
2431. у = х3)г (0<х<4).
2432. у* = 2рх (О С х С х0).
2433. y — ach — от точки А (0, а) до точки B(b, h).
2434. у = е* (О С х С х0).
2435. х = -^-£)2—^-1пу (1 С у С е).
2436. у = a In---— (0 < х < Ь<а).
а* — х1
2437. i/ = lncosx ^0сх<а<-у).
2438. х = a In —~ %-—^/д8—у2 (О<6<0Са).
2439. у* = --*-• (О С х с —д\
2а — х \ з J
2440. ?/3 + у2/3 = а2/3 (астроида).
2441. х =— cos3/, у — —sin3/, с2 = д2—ft2 (эволю-
а b
та эллипса).
2442. х = cos4/, у = sin4/.
2443. х = а (/ — sin /), у = а (1—cos /) (0 С /<2я).
2444. х = a (cos / + / sin /), у = a (sin /—/ cos /)
при 0 С / С 2л (развертка окружности).
2445. х = a (sh /— /), у = a (ch /—1) (0 < / с Г).
2445.1. х = ch3/, у = sh8/ (0 С / С Т).
2446. г = aq> (спираль Архимеда) при 0 < <р < 2п
2447. г = ае"1* (т > 0) при 0 < г < а.
2448. г = а (1 + cos ф).
2449. г=—/------- Г|ф|С—Y
1 + cos <р \ т 2 J
2450. г — a sin3 .
3
2451. г = ath (0 С ф < 2л).
2452. ф = -у (г + -J-) 0 < г <3).
2452.1. ф = л/r (0<г<5).
2452.2. ф = f dp (0 С г С R).
о ₽
2452.3. r= 1+cos/, ф =/—tg-y (0</<Т<л).
2453. Доказать, что длина дуги эллипса
х = a cos /, у = b sin /
равна длине одной волны синусоиды у = с sin где
с = л/а2—Ь2.
2454. Парабола 4ау = х* катится по оси Ох. Дока-
зать, что фокус параболы описывает ценную линию.
2455. Найти отношение площади, ограниченной пет*
лей кривой
!/= ±(4—
к площади круга, длина окружности которого равна
длине контура этой кривой.
§ 7. Вычисление объемов
1°. Объем тела по известным поперек,
н ы м сечениям. Если объем У тела существует и 5 “ S (х)
fa х И есть площадь сечения тела плоскостью, перпенди-
кулярной к оси Ох в точке х, то
»
И = J S (х) dx.
а
2°. Объем тела вращения. Объем тела, обра-
дованного вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции
0 ^.у sg у (х),
где у (х) — непрерывная однозначная функция, равен
»
y*(x)dx.
а
В более общем случае, объем кольца, образованного вращением
вокруг оси Ох фигуры а < х Ь, уг (х) у yt (х), где
yt (х) и yt (х) — непрерывные неотрицательные функции, равен
*
V = я J (х) — (х)]<*х.
О
2456. Найти объем чердака, основание которого есть
прямоугольник со сторонами а и Ъ, верхнее ребро
равно с, а высота равна h.
2457. Найти объем обелиска, параллельные основа-
ния которого суть прямоугольники со сторонами А,
В и а, Ь, а высота равна h.
2458. Найти объем усеченного конуса, основания
которого суть эллипсы с полуосями А, В и а, Ь, а вы-
сота равна h.
2459. Найти объем параболоида вращения, основа-
ние которого S, а высота равна И.
2460. Пусть для кубируемого тела площадь S — S (х)
его поперечного сечения, перпендикулярного коси Ох,
изменяется по квадратичному закону:
S (х) = Ахг 4- Вх + С [а < х < 6],
где А, В и С — постоянные.
Доказать, что объем этого тела равен
-^[S(a)+4Sp±*) + S(&)],
V-
где Н = b—а (формула Симпсона).
2461. Тело представляет собой множество точек
М (х, у, г), где О С 2 С 1, причем О С х < 1, О С pel,
если z рационально, и — 1 х с 0, — 1 < у С 0, если
z иррационально. Доказать, что объем этого тела не
существует, хотя соответствующий интеграл
J 5(2)42-1.
Найти объемы тел, ограниченных следующими по-
верхностями:
2462. -4 + -£-=1, z = —х, z = 0.
а4 б4 а
2463. -^r + -^r + -v = l (эллипсоид).
аг 64 с4
2464. —+-£-----— = \, 2 = ±с.
а4 с»
2465. № + z2 = аа, у2 + 2а - аа.
2466. ха + уг + z2 = аа, х2 + у9 — ах.
2467. 2а = Ь (а—х), ха + у* — ах.
2468. —+ -Н = 1 (0<z<a).
в4 г4
2469. х + у+га=1,х = 01 у — 0, г = 0.
2470. ха + у1 4- z2 + ху + уг + гх = аа.
2471. Доказать, что объем тела, образованного вра-
щением вокруг оси Оу плоской фигуры
а С х < Ь, 0 С у С у (х),
где у (х) — однозначная непрерывная функция, равен
ь
У(, = 2л J xy(x)dx.
а
Найти объемы тел, ограниченных поверхностями,
полученными при вращении отрезков следующих лииий:
2472. у — b J 3 (0 < х < а) вокруг оси Ох (ней-
лоид).
2473. у — 2х—х2, у = 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг
оси Оу.
2474. у = sin х, у — О (О С х < л): а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу.
у — b — : а) вокруг оси Ох;
а
2475. у = b
б) вокруг оси Оу
2476. у — е~*, у — 0 (0 < х < + оо): а) вокруг
оси Ох; б) вокруг оси Оу.
24 7,7. х2 4* (у—Ь)2 — а2 (0 < а С Ь) вокруг оси Ох.
2478. х2—ху 4- у2 — а2 вокруг оси Ох.
2479. у = е~* д/sin х (О С х < 4- оо) вокруг оси Ох.
2480. х — a (t—sin t), у = а (1 — cos t) (0 < /<2л),
у = 0: а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг
прямой у — 2а.
2481. х — a sin3/, у = b cash (0 С Г С 2л): а) во-
круг оси Ох; б) вокруг оси Оу.
2481.1. Найти объем тела, образованного вращением
площади петли кривой х = 2t—t2, у — 4!—t3 вокруг:
а) оси Ох; б) оси Оу.
2482. Доказать, что объем тела, образованного вра-
щением вокруг полярной оси плоской фигуры
ОсаСфС0<л, ОСгСг(ф)
(ф и г — полярные координаты), равен
V = /г3 (ф) si п ф dtp.
а
Найти объемы тел, образованных вращением плоских
фигур, заданных в полярных координатах:
2483. г = а (1 4- cos ф) (0 С ф С 2л): а) вокруг
полярной оси; б) вокруг прямой г cos ф =-------
2484. (х2 + у2)2 = а2 (х2—у2): а) вокруг оси Ох;
б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой у = х.
Указание. Перейти к полярным координатам.
2484.1. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда
т = аф (а > 0; 0 < ф < л),
вокруг полярной оси.
2484.2. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры, ограниченной линиями: ф = яг3, ф = я, во-
круг полярной оси,
2485. Найти объем тела, образованного вращением
фигуры а с г < а д/2 sin 2ф вокруг полярной оси.
$ 8. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТЕЙ ВРАЩЕНИЯ 239
§ 8. Вычисление площадей поверхностей вращения
Площадь поверхности, образованной вращением гладкой
кривой АВ вокруг осн Ох, равна
в
Р 2я J | у | ds,
где ds — дифференциал дуги.
Найти площади поверхностей, образованных враще-
нием следующих кривых:
2486. !/=хд/— (0Сх<а) вокруг оси Ох.
V о
2487. у — a cos (|х| С Ь) вокруг оси Ох.
2488. у — tg х^О < х с вокруг оси Ох.
2489. у9 = 2рх (0 < х < х0): а) вокруг оси Оя
б) вокруг оси Оу.
2490. 1 (0< Ь^а); а) вокруг оси Ох|
б) вокруг оси Оу.
2491. х’ + (у—ft)’ » a’ (ft > а) вокруг оси Ох.
2492. х273+у213 = а2/3 вокруг оси Ох.
2493. y = ach —(|х|С ft); а) вокруг оси Ох; б) во-
а
круг оси Оу.
2494. ± х = а In 0 ----^аг — у2 вокруг
оси Ох.
2495. х = a (t — sin t), у = а (1 — cos t) (0^ /<2я);
а) вокруг оси Ох; б) вокруг оси Оу; в) вокруг прямой
у = 2а.
2496. х = a cos’/, у — a sin3/ вокруг прямой у » х.
2497« г = а (1 + cos <р) вокруг полярной оси.
2498. г’ = а2 cos 2<р: а) вокруг полярной оси} б) во-
круг оси q> = в) вокруг оси Ф = у
2499. Тело образовано вращением вокруг оси Ох фи-
гуры, ограниченной параболой ay — а2—х2 и осью Ох,
Найти отношение поверхности тела вращения к поверх-
ности равновеликого шара.
2500. Фигура, ограниченная параболой уг = 2рх и
прямой х — р/2, вращается вокруг прямой у = р.
Найти объем и поверхность тела вращения.
§ 9. Вычисление моментов.
Координаты центра тяжести
1°. Моменты. Если на плоскости Оху масса М плотно-
сти Р — Р (у) заполняет некоторый ограниченный континуум
Q (линию, плоскую область) и со = со (у) — соответствующая
мера (длина дуги, площадь) той части континуума Й, ординаты
которой не превышают у, то k-м моментом массы М относительно
оси Ох называется число
Мк = lira = fpy*d® (»<)(* = °-1.2-..•).
тахЛ</1-*-0 I=i Q
д-де Дус = у,—Ус-1 н Део (у,) = со (у,) — со (у^_т).
Как частные случаи, получаем при k = 0 массу М, при
k = 1 — статический момент, при k = 2 — момент инерции.
Аналогично определяются моменты массы относительно
координатных плоскостей.
Если р= 1, то соответствующий момент называется гео-
метрическим (момент линии, плоской фигуры, тела и т. д.).
2°. Центр тяжести. Координаты центра тяжести
(х0, у„) однородной плоской фигуры площади S определяются
по формулам
ХО=—Уо=— .
где Л/}*1 —геометрические статические моменты фигуры
относительно осей Оу и Ох.
2501. Найти статический момент и момент инерции
дуги полуокружности радиуса а относительно диаметра,
проходящего через концы этой дуги.
2501.1. Найти статический момент дуги параболы
y"i — 2px (0 < х < р/2)
относительно прямой х = р/2.
2502. Найти статический момент и момент инерции
однородной треугольной пластинки с основанием b
и высотой h относительно основания (р = 1).
2502.1. Найти моменты инерции /х = М™ и !у =
относительно осей Ох и Оу параболического сегмента,
ограниченного кривыми
ау = 2ах — х2 (а > 0) и у = 0.
Чему равны радиусы инерции гх и гу, т. е. величины,
определяемые соотношениями
/ = Sr2, / = Sr2,
х х' у у'
где S — площадь сегмента?
2503. Найти моменты инерции однородной эллипти-
ческой пластинки с полуосями а и b относительно ее
главных осей (р = 1).
2504. Найти статический момент и момент инерции
однородного кругового конуса с радиусом основания г
и высотой h относительно плоскости основания этого
конуса (р — 1).
2504.1. Найти момент инерции однородного шара
радиуса R и массы М относительно его диаметра.
2505. Доказать первую теорему Гульдена: площадь
поверхности, образованной вращением плоской дуги С
вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости
дуги, равна длине этой дуги, умноженной на длину
окружности, описываемой центром тяжести дуги С.
2506. Доказать вторую теорему Гульдена: объем
тела, образованного вращением плоской фигуры S во-
круг не пересекающей ее оси, расположенной в плоско-
сти фигуры, равен произведению площади S на длину
окружности, описываемой центром тяжести этой фи-
гуры.
2507. Определить координаты центра тяжести кру-
говой дуги: х = a cos <р, у = a sin <р (| <р| < а с л).
2508. Определить координаты центра тяжести об-
ласти, ограниченной параболами ах = у2, ау =
= х2 (а > 0).
2509. Определить координаты центра тяжести об-
ласти + < 1 (0 < х < а, 0 < у < Ь).
2510. Определить центр тяжести однородного полу-
шара радиуса а.
2511. Определить координаты центра тяжести
С (<Ро> го) ДУГИ ОР логарифмической спирали г =
= aem<f (т > 0) от точки 0 (— оо, 0) до точки Р (<р, г).
Какую кривую описывает точка С при движении
точки Р?
2512. Определить координаты центра тяжести об-
ласти, ограниченной кривой г = а (1 + cos <р).
j g—2383
2513. Определить координаты центра тяжести об-
ласти, ограниченной первой аркой циклоиды х *=
— a (t — sin /), у = а (1 — cos t) (О С t С 2л) и
осью Ох.
2514. Определить координаты центра тяжести тела,
образованного вращением площади О С х < а; у2 С 2рх
вокруг оси Ох.
2515. Определить координаты центра тяжести по-
лусферы х2 + у2 + z2 = а2 (г 0).
§ 10. Задачи из механики и физики
Составляя соответствующие интегральные суммы и на-
ходя их пределы, решить следующие задачи:
2516. Определить массу стержня длины I = 10 м,
если линейная плотность стержня меняется по закону
5 = 6 + 0,Зх кг/м, где х — расстояние от одного из
концов стержня.
2517. Какую работу надо затратить, чтобы тело
массы т поднять с поверхности Земли, радиус которой R,
на высоту Л? Чему равна эта работа, если тело удаляется
в бесконечность?
2518. Какую работу надо затратить, чтобы растя-
нуть упругую пружину на 10 см, если сила в 1 кгс ра-
стягивает эту пружину иа 1 см?
Указание. Использовать закон Гука.
2519. Цилиндр диаметра 20 см и длины 80 см заполнен
паром под давлением 10 кгс/см2. Какую» работу надо
затратить, чтобы уменьшить объем пара в два'раза, счи-
тая, что температура пара остается постоянной?
2520. Определить силу давления вода на вертикаль-
ную стенку, имеющую форму полукруга радиуса а, диа-
метр которого находится на поверхности воды.
2521. Определить силу давления воды на вертикаль-
ную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее осно-
вание которой а = 10 м, верхнее b = 6 м и высота
h — 5 м, если уровень погружения нижнего основания
с — 20 м.
Составляя дифференциальные уравнения, решить сле-
дующие задачи:
2522. Скорость точки меняется по закону:
v = + а/.
Какой путь пройдет эта точка за промежуток вре-
мени [О, Т1?
2523. Однородный шар радиуса R и плотности д
вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью
со. Определить кинетическую энергию шара.
2524. С какой силой притягивает материальная бес-
конечная прямая с постоянной линейной плотностью р0
материальную точку массы т, находящуюся на расстоя-
нии а от этой прямой?
2525. Определить, с какой силой притягивает круг-
лая пластинка радиуса а и постоянной поверхностной
плотности So материальную точку Р массы т, находя-
щуюся на перпендикуляре к плоскости пластинки, про-
ходящем через центр ее Q, на кратчайшем расстоянии
PQ, равном Ь.
2526. Согласно закону Торичелли скорость истече-
ния жидкости из сосуда равна v — с -у/2 gh, где g —
ускорение силы тяжести, Л — высота уровня жидкости
над отверстием и с = 0,6 — опытный коэффициент.
В какое время опорожнится наполненная доверху
вертикальная цилиндрическая бочка диаметра D = 1 м
и высотой Н = 2 м через круглое отверстие в дне диа-
метра d = 1 см?
2527. Какую форму должен иметь сосуд, представ-
ляющий собой тело вращения, чтобы понижение уровня
жидкости при истечении было равномерным?
2528. Скорость распада радия в каждый момент вре-
мени пропорциональна его наличному количеству.
Найти закон распада радия, если в начальный момент
t = 0 имелось Qo граммов радия, а через время Т =
= 1600 лет его количество уменьшится в два раза.
2529. Для случая процесса второго порядка скорость
химической реакции, переводящей вещество Л в ве-
щество В, пропорциональна произведению концентра-
ции этих веществ. Какой процент вещества В будет
содержаться в сосуде через t = 1 ч., если при t — 0 мин.
имелось 20 % вещества В, а при t = 15 мин. его
стало 80 %?
2530. Согласно закону Гука относительное удлинение
е стержня пропорционально напряжению силы а в со-
ответствующем поперечном сечении, т. е. е = а/Е, где
Е — модуль Юнга.
Определить удлинение тяжелого стержня конической
16*
формы, укрепленного основанием и обращенного вер-
шиной вниз, если радиус основания равен /?, высота
конуса Н н удельный вес у.
§ 11. Приближенное вычисление определенных
интегралов
1°. Формула прямоугольников. Если функ-
Пия у = у (х) непрерывна и дифференцируема достаточное число
Ь — а
раз на конечном сегменте {о, ft] и Л = -,х{ =a+ih (1=0,
1, • • • . «). Ути V (*т). то
Jy (я)Л» = Л(Ув + ?1+ • . - + Ул-1)+Ля.
а
где
Яя» - ~а)* у'® (asU<ft).
2®. Формула трапеций. При тех же обозначе-
ниях имеем:
^У (x)dx~ft(Jl±±!_+y1+jll+. . . + Fn_^+ Rn
где
я„=«(V) (я<5'сь).
3°. Параболическая формула (формула
Симпсона). Полагая п = 2k, получим:
Г Л
J у (х) dx = ~ ](у» + ytiH 4- 4 <У14- у» + • • >4- У1*-1) 4“
4- 2 (у»4- у« 4- • • • 4- У1*-1)14- Яп,
где
R--—(•<»•<»)•
IOU
2531. Применяя формулу прямоугольников (п = 12),
приближенно вычислить
2я
f х sin xdx
о
п результат сравнить с точным ответом.
С помощью формулы трапеций вычислить интегралы
и оценить их погрешности, если:
1 1
2532. j (п = 8). 2533. j (п = 12).
о
о
1 —sin’ х dx (n = 6).
о
С помощью формулы Симпсона вычислить интегралы:
9
2535. | V* dx (п = 4).
2536. £ -у'З + созх dx (п = 6).
Я/2
2537. f -^-dx (л = 10).
1
2538. f---—— (п = 6).
J In (1 4-х)
о
2539. Принимая п = 10, вычислить константу Ка-
талана
2540. Пользуясь формулой —= | ——
4 J 1 +•;
вычис-
лить число л с точностью до 1СГ5.
1
2541. Вычислить ^'dx с точностью до 0,001.
1
2542. Вычислить I (е*—1) In — dx с точностью
до IO"*.
2543. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл ве-
+«
роятностей J e~x'dx.
2544.
которого
2545.
о
Приближенно найти длину эллипса, полуссн
а — 10 и b = 6.
Построить по точкам график функции
У=\
о
приняв Дх = л/3.
^~dt (0<х<2л),
§ 1. Числовые ряды. Признаки сходимости
знакопостоянных рядов
1°. О б щ и е понятия. Числовой ряд
4- • • • + ап 4-. • • = У ап (I)
Л=1
называется сходящимся, если существует конечный предел
lim Sn = S (сумма ряда),
fl-* 00
где Sn = at 4- л» 4- . • . + ан. В противном случае ряд (1)
называется расходящимся.
2°. Критерий Коши. Для сходимости ряда (1) не*
обходимо и достаточно, чтобы для любого в > 0 существовала
число = N (е) такое, что при »>#ир>О(пир — нату
ральиые числа) было выполнено неравенство
<в.
В частности, если ряд сходится, то
lim ап = 0.
Д—>00
3°. Признак сравнения 1. Пусть, кроме ряда (1),
имеем ряд
Ьх 4- bt 4- • •. 4- bn 4* • • • (2)
Если при п > выполнено неравенство
^^ап^Ьп,
то 1) из сходимости ряда (2) следует сходимость ряда (1); 2) из
расходимости ряда (1) следует расходимость ряда (2).
В частности, если ап ~ Ьп при п -» <ю, то ряды с знакопо-
ложительными членами (1) и (2) сходятся или расходятся одно*
временно.
4°. Признак сравнения П. Если
ол = О* (нтЪ’
\ лр /
то а) при р > I ряд (1) сходится и б) при р 1 расходится.
5°. Признак Д а л а м бе р а. Если а„ > 0 (л “ 1,
2, . . .) и
Нт -®2±!- = ?,
л->® ап
то а) при q < 1 ряд (1) сходится и б) при q > 1 расходится.
6°. Признак Коши. Если ап > 0 (л = 1, 2, . . . )и
lim = q,
Л-*оо
то а) при q < 1 ряд (1) сходится и б) при q> 1 расходится.
7°. Признак Раабе. Если ап > 0 (л = 1, 2, . . .) и
Пт п(——-------А ” р,
Л-*ОО \ J
то а) при р > 1 ряд (1) сходится и б) при р < 1 расходится.
8°. Признак Гаусса. Если ап > 0 (л = 1, 2, .. .) и
«.x-i-JL_|---,
ал+1 п я'+в
где ,| 0„| < С и в > 0, то а) при X > 1 ряд (1) сходится и б) при
X < 1 расходится; в) при X = 1 ряд (1) сходится, если р > 1,
и расходится, если р 1.
9°. Интегральный признак Коши. Если
f (х) (х > 1) — неотрицательная невозрастающая непрерывная
функция, то ряд
ОО
Енп)
л==1
сходится или расходится одновременно с интегралом
Доказать непосредственно сходимость следующих
рядов и найти их суммы:
2546. 1_J.+J._2.+ „.4.d=JCL+...
2547-(t+t)+(^-+v)+---
*) Значение символа О* см. отдел I, § 6, 1°.
2548.
2549.
1_+_з_4—$-4-... .
2 2* 2» 2я
+ —!—4.... 4----!---4-
1-2 2-3 3-4 л (л 4- 1)
2550. —1-4—— + . .. +-------+------+ .. .
1-4 4-7 (Зл - 2) (Зл 4-I)
2551. а) sin а 4-sin 2а 4-... 4-gn sin па 4-. . .;
б) <?cos a4-</2cos2a4-. . - + Чп cos па 4- • . •
2552. £ (д/«Т2 — 2 д/л+Т + л/л)-
л==1
ОО
2553. Исследовать сходимость ряда у sinnx.
Указание. Показать, что при x<£kn(k — целое) невоз-
можно, чтобы sin пх -* 0 при л -* oot
ОО
2554. Доказать, что если ряд£а„ сходится, то ряд
п«=(
оо рп+1~1
у А„, где А„ — У сц (P1=1, pi<p2<...),
Яжв|
полученный в результате группировки членов данного
ряда без нарушения порядка следования их, также
сходится и имеет ту же сумму. Обратное неверно; при-
вести пример.
00
2555. Доказать, что если члены ряда X а„ положи-
00
тельны и рядУ Ап, полученный в результате группи-
ровки членов этого ряда, сходится, то данный ряд также
сходится.
Исследовать сходимость рядов:
2556. 1-14-1 — 1 + 1 — 14-. ..
2557. 0,001 + д/бЖ + vW + . ..
2559. 1 +— + — + — +.. . 4--------!--+
1 3 5 7 ‘ 2л—1
2560. JL+J-4__L+ ,, --!-+ ,
1001 2001 3001 IOOOn-f-1
2561. 1+— --+...
3 5 2n —1
2562. 1 -1—-—к -5—к ... j------F . ..
3» 5* + (2n -1)»
2563. —— 4-——+—^4- • • .
л/г 2д/з зл/*
n V»4-1
2564. —!—4- —!— 4- •. •
УГз VsT
V(2n - 1) (2л 4- О
2565. Доказать, что ряд чисел, обратных членам
арифметической прогрессии, расходится.
ОО оо
2566. Доказать, что если ряды У, ап (А)
л=1 л=1
оо
сходятся и ая^с„ ^Ья (л= 1, 2, ...), то ряд У с„ (С) также
сходится. Что можно сказать о сходимости ряда (С),
если ряды (4) и (В) расходятся?
2567. Пусть даны два расходящихся ряда
оо оо
У ая и У Ья с неотрицательными членами.
Л = 1 И=|
Что можно сказать о сходимости рядов:
оо оо
а) У min (ап, Ья) и б) £ max (а„, й„)?
Лв| Дя»1
ОО
2568. Доказать, что если ряд У ая (а„ > 0) сходится,
Л=1
оо
то ряд Е4 также сходится. Обратное утверждение
/1=1
неверно; привести примеры.
ОО 00
2569. Доказать, что если ряды У а„ и У Ь2„ сходятся,
Л=1
оо оо оо
то сходятся также ряды^ | апЬ„ |, ^?(а„ 4- Ма» *
А=-1 Пая»1 |Ив1
2570. Доказать, что если lim пап = а 0, то ряд
Л-*оо
оо
£ ап расходится.
л=1
оо
2571. Доказать, что если ряд 22 ап с положитель-
П=1
ними и монотонно убывающими членами сходится, то
lim пап = 0.
П->оо
оо
2572. Является ли сходящимся ряд 22 ап> если
lim (an+i + <in+2+ • . • +о„+р)=0
Л-►ОО
при р = 1, 2, 3, . . .?
Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость
следующих рядов:
2573. 0о + ^-+...+-^-+... (|а„|<10).
2574 sin х I s‘n %* I । sin пх .
____ cosx— cos2x . cos 2х — cos Зх ,
2575. j-------+------------+ . . .
2575.1. +
I2
22
cos пх — COS (п + 1) X ,
I
п
, COS Xя ,
• • л ; г • • •
п2
Указание. Использовать неравенство
1 1 = 1 1
п2 п (п — 1) п — 1 п
(п=2. 3. . . .).
Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость
следующих рядов:
2576. 1 + — + — .
2 3 л
2577. 1 + -?-------------------L+...
2 3 4 ^5 6
2577.1. + +...+-- * -4-...
Vl-2 <2-3 -Vn<n4-1)
Пользуясь признаками сравнения, Даламбера или
Коши, исследовать сходимость рядов:
2578. 1000 , 1000» , 1000s , 1000" , 11 21 + 31 ’ л! ’ ”
2579. (Н)а (21)2 (nl)s . 2! Ь 41 1 * ’ * 1 (2nl> * ’ "
2580. _LL+2L + JL+...+^L+... 1 22 3s n"
2581. . 2-11 . 2»-2t , 2MI . a) ; h • • • ' 1 1 2s 32 , 2я"' | . ‘ ’ nn * 311 . 33-2l . 3S-3I . 6> i ' г* 1 s’ 1 '' • , 3nn! , . . . I n„ ....
2582. (l!)s (2I>2 (3t)a (n!)2 2 2* 2* । • • • I 2«*
2583. 1000 . 1000-1001 . 1000-1001-1002 1 1-3 1-3-5 + • • ’
2584. 4 4-7 4-7-10 . 22-6 2-6-10
2585. z -кг)... . . . (V2 -”V2).
2585.1. ^ап,
Л»1
где
f 1/п, если п — т*,
“'= «ли <”- число}.
оо П
2585.2. УляГ]—; —
Дл 11 l + *2+cos2to
П=1 *=1
2587.
202
отдел v. ряды
ОО
2588. V-------1---
Zu
п=2
2589.1. У-----—
2а+Зп
Л«1
2589
2589.2. yf2LzJ-Y<-,>.
ZA «+1 /
л «2
2591. Доказать, что если
Hm_£2U_ = ? (ая>0),
л-р-ао ап
то ая*= о где gt > д.
2591.1. Пусть для членов знакоположительного ряда
ОО
X а„(ап>0) выполнено неравенство
e=i
< р< 1 при п > п0.
ап
Доказать, что для остатка ряда
Rn — ап+1 + О/1+» + . . .
имеет место оценка
п р'’-'S+l
Rn < ап» —-------. если п п0.
1 —Р
оо
2591.2. Сколько членов ряда У , где l(2n)!!J2—
Zu (4»i!
Л»1
«= 2-4 . . . 2п, достаточно взять, чтобы соответствую-
щая частная сумма Sn отличалась от суммы ряда S
меньше, чем на е = 10"*?
2592. Доказать, что если ПпГ= q< 1 (ап>0),
п-+-оо ап
оо
то ряд £ ап сходится.
II 1
Обратное утверждение неверно. Рассмотреть пример
J_+_L+J_+_L+_L+_L+...
2 3 2» 3» 2» 3»
00
2593. Доказать, что если для ряда 52ая(ая>0)
п=1
существует
НтЛ»±!_=?, (А)
П-+ао Од
то существует также
lim =Ч- (Б)
Н-*ОО
Обратное утверждение неверно: если существует
предел (Б), то предел (А) может и не существовать.
Рассмотреть пример
Z” з+(-1)"
2а+1
а=1
2594. Доказать, что если Пгп s=q (0^0),
«-►ОО
то а) прн q < 1 ряд £ ап сходится; б) при ?>1 этот
п=.1
ряд расходится (обобщенный признак Коши).
Исследовать сходимость рядов:
2595. у..2 + <-1)У, 2596. Ь&М
Zj 2" £j 2"
я»!
2597.
2597.1
I -f- cos n
2 +cos n
Пользуясь признаками Раабе и Гаусса, исследовать
сходимость следующих рядов:
2598. (—Y 4- (-L5-Y 4- (..У3:? Y + ...
К 2 J V. 2-4 ) к 2-4-6 ) т
2599 а [ а(а + Ф а (о+ <*)(»+2d)
b 'Г b(b+d) "Г b(b+d)(b+ 2d)
(а>0, b>0, d>Q).
2600. У
nW
2601. У--------=-------------------—.
Z-< (2+ 71)(2+ V2) . . . (2+7")
Л=1
2602. У----------------------------- (<7>0).
Z-i q(q + V) . . • (<? + ")
fl=l
р (р + 1) . . . (р + л — 1) 1
п! л’
2604. У( Ь3:5- • -t2"-1» Г-—.
ZjL 2-4-6 ... (2л) J пч
Ла»1
Л=1
2606 (н). Доказать, что если для зиакоположитель*
оо
ного ряда У, ап (ап > 0) при п -> оо выполнено условие
Пв=1
ТО
где е > 0 произвольно мало; причем, если р > 0, то
ап | 0 при п оо, т. е. ап при п > п0. монотонно убы-
вая, стремится к нулю, когда п -> оо.
Определив порядок убывания общего члена аЛ) нс-
оо
следовать сходимость ряда У ап, если
Л=1
2607. an = 2!^±£lI^^LJL±£p., где n« +
" n«+bin«-l+ . . . +bq
+ &!«’-* + . . . +bq>Q.
2608. an=—— sin —.
np n
2609.
2610.
2611.
2612.
2613.
an= (V«+l — 7/T)p In
fl 1
an = lnp (sec —) .
(a>0, b>0).
2614. a„ =
1
nl+l/A ’
2614.1. Доказать признак Жамэ: зиакоположитель
оо
ный ряд £an(an>0) сходится, если
п=1
(1 — > р>1 при n>nQ,
' 7 Inn
и расходится, если
(1 — 1 при п>п0.
' 7 Inn
2615. Доказать, что ряд £ an(an>0) сходится,
п=1
1П —
если существует а>0 такое, что --------— >1+апрн
in п
In —
п > п0, и расходится, если —-—— < 1 при п0 (ло~
1п п
гарифмический признак).
Исследовать сходимость рядов с
общим членом:
2616. ап = п1пж (х>0).
2617.
2618.
1
(In In n)ln n
1
(lnn)ln,nn
(п>1).
Пользуясь интегральным признаком Коши, иссле-
довать сходимость рядов с общим членом:
2619. ап=—2— (и>1).
л 1п₽ л
2620. а„ =-----!------
л (In л)₽ (In In л)’
(п>2).
2620.1. Исследовать сходимость ряда
1п2-1пЗ . . 1п(л-Ь1)
1п(2 4-р)-1п(3+р) . . . In (л-f- 1 + р)
(Р>0).
2620.2. Исследовать сходимость ряда , где
л—1
<v (п) — число цифр числа п.
2620.3. Пусть ?.,(«=!, 2, . . .) — последователь-
ные положительные корни уравнения tg х = х.
оо
Исследовать сходимость ряда У, Х72.
Лв1
ОО
2621. Исследовать сходимость ряда V* ——L—.
In (л!)
л =2
оо
2622. Доказать, что ряд £ ал с положительными
монотонно убывающими членами сходится нли расхо-
оо
днтся одновременно с рядом У 2яа2„.
л=0
2623. Пусть f (х) — положительная монотонно не-
возрастающая функция.
ОО
Доказать, что если ряд У f (п) сходится, то для
л =1
остатка его
Rn = f f(k)
Л=п+1
справедлива оценка
f f (х) dxcRn <f (n +1) + J f W dx.
©•{'I ©4-1
Пользуясь этим, найти сумму ряда Y с точ-
Пи!
ностью до 0,01.
2624. Доказать признак Ермакова: пусть f (х) — по-
ложительная монотонно убывающая функция и
Ит = х.
*-♦“> t (*)
Ряд £ f (п) сходится, если X < 1, и расходится,
если X > 1.
•а
2625. Доказать признак Лобачевского: ряд £ а, о по-
Л®1
ложительными и монотонно стремящимися к нулю чле-
нами сходится или расходится одновременно с рядом
а»
рт 2-т, где рт — наибольший номер членов Да»
т=О
удовлетворяющих неравенству
(п=1, 2........рт).
Исследовать сходимость следующих рядов!
оо
2626. У
L-i па
п=2
ОО
2627. У, (-у/n +а—па + л + 6 ).
п=.| ' z
2628. ffctg-—--------sin—
& 4л — 2 2n+i J
л=1
оо
2629. У (-±=— а/In -£±i- ).
Ди \ ул V п /
Л=1
°® оо 3/—
2630. У -1п(п|) . 2631. •
/ » Л® л=«1
П=1
2632. £ п’е-7".
Лв1
1
2633.
» а Тп п-|-»
2634. £ ее ,п я+г'
1
2635.
2636.
2637.
Л
cos —
2638.
2639.
пТгп
/. (Inn)"
n»2
2640.
П=1
) (а>0, Ъ>0, с>0)
п
2
2641. Z(n"“ —1).
n==4
oo
2642. У [in ------In [sin— Yl.
ZuL Л® \ />« /J
M=d
oo
2643. £ a~<b ln я+с'«»n) (a>0).
n=|
oo
2644. У-----------£--------- (a>0, 6>0).
Zu (n + ay'+b (n + by1-* ' 7
n=l
2645. У Ип+,1)!Г„„>
Zu 21-41. . . (2n)l
л=1
Исследовать сходимость рядов X un co следующими
общими членами:
2646.
2647.
(п+П n
2648. ы„= f ~~r~dx-
пя
rH-1
2649. un= J e~*x dx.
n
Л/Л
2650. u„= ( -^-dx.
J 1 + x
0
2651.
2652.
un =
Un =
(2n)l
n
Eln’*
n«
Заменив последовательности xn (n = 1, 2, . . .) со-
ответствующими рядами, исследовать сходимость их.
если:
2653. хя= 1 + -тг + • • • +Ч=г-2 • V2 Vя
2654. v _ V Jn* <»n ")2 n k 2 fc=i
2655. Сколько примерно надо взять членов ряда, чтобы
найти его сумму с точностью до 10"5, если
оо оо оо
а) у_1.; б) У—22—; в) У-----!—.
Zu П* Z_i (п+ 1)1 Zu (2л-г 1)1
Лк&1 Fl»l
§ 2. Признаки сходимости знакопеременных рядов
1°. Абсолютная сходимость ряда. Ряд
(и
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
£|в«|- (2)
и<=1
В этом случае ряд (1) также сходится. Сумма абсолютно сходя-
щегося ряда ие зависит от порядка слагаемых.
Для определения абсолютной сходимости ряда (1) достаточно
применить к ряду (2) известные признаки сходимости для знако-
постоянных рядов.
Если ряд (1) сходится, а ряд (2) расходится, то ряд (1) на-
зывается условно (не абсолютно) сходящимся. Сумму условно
сходящегося ряда путем перестановки слагаемых можно сде-
лать равной любому числу (теорема Римана).
2°. Признак Лейбница. Знакочередующийся ряд
*1 - *2 + b3-Ь4+ . . . + (-1)п-* Ь„+ . . -
(&ч5г0) сходится (вообще говоря, не абсолютно), если
а) ьп > Ьл-н (п = 1, 2, . . .) и б) lim Ьп = 0. В этом случае
П->со
для остатка ряда
/?„ = (- 1)" Ья+1 + (- 1)"+1ьп+, + . . .
имеем оценку
₽л = (-1)',епбп+1
3°. П р и з и а к Абеля. Ряд
2 апЬп (3)
п=|
со
сходится, если: 1) ряд£ ап сходится; 2) числа bn (п — 1, 2, . . .)
Л=1
образуют монотонную и ограниченную последовательность.
4°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится, если:
л
1) частичные суммы Ап = ограничены в совокупности;
i=i
2) Ьп монотонно стремится к нулю при «-*•<».
2656. Доказать, что члены не абсолютно сходяще-
гося ряда можно без перестановки сгруппировать так,
что полученный новый ряд будет абсолютно сходящимся.
со
2657. Доказать, что ряд является сходящимся,
л=1
если выполнены условия: а) общий член этого ряда ап
ОО
стремится к нулю при п-> оо; б) ряд ^Лп, получен-
ий
ный в результате группировки членов данного ряда
без нарушения их порядка, сходится; в) число слагае-
₽п+1 *
мых ait входящих в член А„ «= £ а( (1 ..),
ограничено.
2658. Доказать, что сумма сходящегося ряда не из-
менится, если члены этого ряда переставить так, что ни
один из них не удаляется от своего прежнего положе-
ния больше чем на т мест, где т — некоторое заранее
заданное число.
Доказать сходимость следующих рядов и найти их
суммы:
2659. 1 - + ----4- . . .
2 4 8
2660. 1 + -1-----------------—+...
2 4 8 16 32
Указание. Применить формулу 1 Ч—— + . . . Н—~—
= С + In п + е„, где С — постоянная Эйлера н lim е„ = 0.
«-►ОО
2662. Зная, что in 2, найти суммы ря-
п=1
дов, полученных из данного в результате перестановки
его членов:
а) i + _L_JL+_L+JL_JL+...
3 2 5 7 4
И
б) 1—L+-L.__L__L+...
2 4 3 6 8
ОО
Е( 1)п+1
—------ переста-
П=1
вить так, чтобы он стал расходящимся.
Исследовать сходимость знакопеременных рядов:
2864. У
Д, S'*
П=|
«+т+т--Г-Г-Г+Т+
+ — 4-
8
2666.1. Пусть
S (—
(1)
где Ьп > 0 и Ьп -► 0 при п -> оо. Следует ли отсюда,
что ряд (1) сходится? Рассмотреть пример
2+(-1)п
2667. ln^” sin-^-. 2668. j?( —l)n21£ZL
Л«1 Л^1
2669.
Iя —Х1—
л + 100
2670.
2671.
V (-Dn
L v« +(-i)n
л «2
sin (л д/п2 + Аа )
2672.
2673.
V (-
/j я
оо
V (-пп
2673.1. У—!—cos-^£
/ In2 л л -J-
п=2
2674. Доказать, что знакочередующийся ряд
+ + • » • +(—1)п—'^пЧ- • • • С’лХО
сходится, если
-22_=b1 + -2-+o('_LY
Ьп+1 П \nj
где р > 0 (см. 2606 (н)).
Исследовать на абсолютную (кроме 2690) и условную
сходимость следующие ряды:
2675. . 2676. £
П=1 П=1
(-I)"-1
„Р+1/П
2677. £ln[i+_tzjr
n=2
2678. £(—!)'
П=1
2я sin2*1 х
2679.
л=1
2680. У—
л=2
п
2681
(-I)"-1
2683,
П=1
2682
_ , . пл
пр+ sin---
4
. пл
sin-----
4
П=1
,n _____!_
«4-1 l0®/^
ZmIOO
(_l)«(n-l)/2_fL_
n=l
ОО
Z. ЛЛ оо
$Ш 12 \ ' (— nlVH
----—. 2687. > -1--
ln« U пр
Д=2
Е(-П11пп’
-—!2------.
п
2689. У (— 11Г Ь3~5, * ,(2п~ ° Г.
£j I 2-4-6 . . .(2л) J
2690. Г sinn'.sin-"L. 2691. £sinn«.
ft л»1
/<=1
Указание. Доказать, что lim sin п* =£ 0.
Л—>00
2692. Пусть
о (х) — а°хР + °1ХР~1 + . • • Ч- ор
1 W + bi^-Ч- ... +ьв
— рациональная функция, где а0 ф О, Ьо 0 и [Ь^х* +
+ biXP-1 + . . . + bq | > 0 при х > п0.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
ряд
f (—!)«/?(«).
Л я До
Исследовать сходимость рядов:
2693. — 1 ч— 1 + — 1_
1" 2« з₽ 4? 5₽ 64
2694. 1 + 1 — + 1 1 •——Ь
з₽ 2Р 7₽ &
2695. 1 + 1 Л-4. -Ч- 1 — + -Л- +
з₽ р 5Р 7Р з₽ 9₽
1 1
1Р у» + • • •
2696. 1 — -1-4. -Ч- 1 Л-+ Л-+
2^ 1 ЗР 4Р 5» &>
—--—-
7₽ 8» ‘ 9Р
2697. Доказать, что ряды
a) sinx4
б) cosx4
sin2x , sin Зх
2 + 3
cos 2х , cos Зх
не абсолютно сходятся
2698. Для рядов
3
в интервале (0, л)'.
ZCOS лх
пР~
П*1
У-—1- (0<х<л)
П=1
2
определить для совокупности параметров (р, х): а) об-
ласть абсолютной сходимости; б) область неабсолютной
сходимости.
26 98.1. Исследовать сходимость рядоз:
/ ~л In п
л«2
1
б)
л =2
2699. Для ряда
V sinn
Zu л 4-10 sin п
'1=10
Z(_ Пп-1 (1 + Р) (2 + р) . • (л 4 Р)
' л!л«
определить: а) область абсолютной сходимости; б) об-
ласть условной сходимости.
2700. Исследовать сходимость ряда
где
м=1
m(m —1). . .(m —n-j-1)
л!
2701. Если ряд ап сходится и
п=1
lim — = 1,
n-f-oo аа
то можно ли утверждать, что ряд £ Ьп также схо-
дится?
Рассмотреть примеры
Е(-1)п и у Г (-1)" ! 11
V» Z-iL “J’
Л«в| Н==1
ОО
2702. Пусть £ ап — не абсолютно сходящийся ряд и
Рд=Е |O<I2±O<' N*=Y/ai^at'-
Доказать, что
lim Лд- = 1.
П-*оо Рп
2703. Доказать, что сумма ряда
У (-Р”*1
Zj пР
п=1
для каждого р > 0 лежит между -Ь и 1.
2703.1. Сколько членов ряда следует взять, чтобы
получить его сумму с точностью до е = 10"*, если:
a) б) у
/ J 1 / J л/п
Л=1 Л»1
2704. Доказать, что если члены ряда
!_____________1_ 1____1_ 1______
2 + 3 4 + 5
переставить так, чтобы группу р последовательных по-
ложительных членов сменяла группа q последователь-
ных отрицательных членов, то сумма нового ряда будет
1п2 + —In —.
2 q
2705, Доказать, что гармонический ряд
останется расходящимся, если, не переставляя его чле-
нов, изменить знаки их так, чтобы за р положитель-
ными членами следовало бы q отрицательных (р q).
Сходимость будет иметь место лишь при р = q.
§ 3. Действия над рядами
Сумма н произведение рядов. По опреде-
лению полагают:
оо |**с оо
а) £ ап ± £<>„=£(«„ + ьп);
Л«1 Л=1 Лзв|
00 00 00
<5) £ “л Z “ Z сп,
П2г| Да»1 Да]
где
сп = 01Ъп + Мл-i + ... + a„bi.
Равенство а) имеет неформальный смысл, если оба ряда
00 00
^Гап и У Ьп сходятся, а равенство б) —если, сверх того, по
п=1 п=1
меньшей мере одни из этих рядов сходится абсолютно.
2706. Что можно сказать о сумме двух рядов, из ко-
торых а) один ряд сходится, а другой расходится; б) оба
ряда расходятся?
2707. Найти сумму двух рядов:
Hal
Найти суммы следующих рядов:
2708. yr-L+-LJ)L-|.
Д, L з" J
Па.1
2710. £ xtn/2]^(n+D/2] (| ху | < 1).
ЛавО
00 оо
2711. Показать, что V V —~ —
nl Z_j nl
л^о п=0
(ОО 00
S Я") и £(я+1)в" (|<7|<1).
Л«0 / ДяаО
2713. Показать, что квадрат сходящегося ряда
есть ряд расходящийся.
2714. Доказать, что произведение двух сходящихся
рядов
(«>о> » у 1=22. <р>0)
л® / . Я₽
П=1 п=1
есть ряд сходящийся, если а + ₽ > 1, и расходящийся,
если а + 0 < 1.
2715. Проверить, что произведение двух расходя-
щихся рядов
есть абсолютно сходящийся ряд.
§ 4. Функциональные ряды
Iе. Область сходимости. Совокупность Х9 тел
значений х, для которых сходится функциональный ряд
«1 («) +««(*) + ..•+ ип(х) + . . . , (1)
называется областью сходимости этого ряда, а функция
S (х) = lim У ut (х) (х € *о)
П-.00 "1
— его суммой.
2е. Равномерная сходимость. Последова-
тельность функций
11 (*). fi («). • • • . • • •
называется равномерно сходящейся на множестве X, если:
1) существует предельная функция
I(x) = Um fn (х) (хбХ);
л-*оо
2) для любого числа е > 0 можно указать число N = N (е)
такое, что
И (*) — fn W I < в
при п> N в х £ X. В этом случае пишут: fn (x)z^f (х).
Функциональный ряд (1) называется равномерно сходя-
щимся на множестве X, если равномерно сходится на этом мио*
жестве последовательность его частичных сумм:
л
Sn (*) — £ «4 («) (л == 1, 2, . . . ).
1=1
3s. Критерий Коши. Для равномерной сходимости
ряда (1) на множестве X необходимо и достаточно, чтобы для
каждого е > 0 существовало число N = N (в) такое, что при
n>N н р> О' было выполнено неравенство
I $л+р (х) — Sn (х) | =
л+р
4=л+1
<8
для всех х € X.
4°. Признак Вейерштрасса. Ряд (1) сходится
абсолютно и равномерно на множестве X, если существует схо*
дящнйся числовой ряд
Ci + ct+ • • • +с„+ ... (?)
такой, что
I ип (х) |< сп при х € X (л = 1, 2,. . .).
5°. Признак Абеля. Ряд
ОО
Ол (х) ьп (х) (3)
оо
сходится равномерно на множестве X, если: I) ряд а„ (х)
Л»1
сходится равномерно иа множестве X; 2) функции bn (х) (л == 1,
2, . . .) ограничены в совокупности и при каждом х образуют
монотонную последовательность.
6°. Признак Дирихле. Ряд (3) сходится равно*
мерно на множестве X, если: 1) частичные суммы ^Га„ (х) и со*
Л—1
вокупности ограничены; 2) последовательность Ьп (х) (л = 1,
2, . . ) монотонна для каждого х и равномерно на X стремится
к нулю при л -* ОО.
7°. Свойства функциональных рядои.
а) Сумма равномерно сходящегося ряда непрерывных функций
есть функция непрерывная.
б) Если функциональный ряд (1) сходится равномерно ня
каждом [a, 0] с (а, Ь) и существуют конечные пределы
lim ил (х) = А„ (п = 1, 2, . . . ),
00
то 1) ряд сходится и 2) имеет место равенство
п=|
Нт «п(х)
в) Если члены сходящегося ряда (1) непрерывно дн<М>с*
00
ренцнруемы прн а < х < b н ряд производных ип (х) схо-
П=1
дится равномерно на интервале (а, 6), то
[со *1 оо
£ ип(х) = £ и'(х) при х£(а, &).
П=1 J /1—1
г) Если члены ряда (1) непрерывны и этот ряд сходится
равномерно на конечном сегменте [а, 6], то
Ь ( оо } со b
н £ «п w}dx = Е fUn dx- ю
а I л=1 ) п=1 а
Ь
Вообще формула (4) верна, если J Rn (х) dx-*O при п оо,
а
00
где Rn (х) == щ (х). Это последнее условие годится также
в для случая бесконечных пределов интеграции.
Определить области сходимости (абсолютной и ус-
ловной) следующих функциональных рядов:
2716. Г2717. f±z2)LfJLz2LY.
Zu Xя Zu 2п — 1 k 1 + х /
Л=1 п=|
2718. У—!1—f-----£—Y.
Zu n+1 k 2х+ 1 )
Пав!
2719. У-L3-- -.-(2п-1) /_2х_у
Zu 2-4. . . (2п) к 1 + х» J
272°. £ Л^2_х«(1 -х)".
2721.
2722. У-Ь-О". .
Zu (х+п)”
П=1
2723. У-w.Psinnx
Zu l'+п»
Л«в1
(q>0; 0<х<л).
2724.
(ряд Ламберта).
2725. х(х+ ")
Л=1
2728. £ пе~ях.
п=1
2729.
1
1 + омх»
П=|
2730. (2—*) (2—х,/2) (2—х'/З). . . (2—х1/") (х>0).
2731. 2732- £
п=1 л=|
(х>0;у>0).
2733. V —— (у>0). 2734.
n+y"
Е1И *1"’+ \у I"1-
П»1
2735. £ !?1L±-£L (Х>О). 2738.
2737. Доказать, что если ряд Лорана У, а„хя схо-
П=г—-ОО
ДИТСЯ при X = Xj и при X = Хг (|хх| < |х8|), то этот
ряд сходится также при IxJ < |х| < |ха|.
2738. Определить область сходимости ряда Лорана
п
2<л1
и иайти его сумму.
2739. Определить области сходимости (абсолютной
и условной) рядов Ньютона'.
Z°° **"* б) У 1 xtn] - в) У
П1 ' пр Л1 ’ Aj п"
п=1 л®1 п=1
где х1"! «в х (х—1) . . . [х — (n—1)].
2740« Доказать, что если ряд Дирихле^—- схо-
Л~|
дится при х = *о» то этот РЯД сходится также при х >х0.
2741. Доказать, что для равномерной сходимости
иа множестве X последовательности fn (х) (л = 1, 2, . ..)
к предельной функции / (х) необходимо и достаточно,
чтобы
lim fsuprn(x)l=O,
n-wt 1*€Х j
где rn (х) = 1/(х) — fn (х)|.
2742. Что значит, что последовательность /п(х) (л = 1,
2, .. .): а) сходится на интервале (х0, 4- оо); б) сходится
равномерно на каждом конечном интервале (а,
Ь) с± (х0, 4- оо); в) сходится равномерно на интервале
(А, + «>)?
2743, Для последовательности
fn(x) = x" (л= 1, 2, . . .) (0 < х < 1)
определить наименьший номер члена N = N (г, х), на-
чиная с которого отклонение членов последовательно-
сти в данной точке х от предельной функции не превы-
шает 0,001, если х = —, —^3-...........—-—♦ - • •
10 д/к> Vio
Сходится ли эта последовательность равномерно на
интервале (0, 1)?
ОО
2744. Сколько членов рядаУ* sin **.- следует взять,
Zu л (л + О
л=|
чтобы частная сумма Sn (х) отличалась при — оо < х <
< 4- оо от суммы ряда меньше чем на е? Произвести
численный расчет при: а) е = 0,1; б) в = 0,01 j в) е •=>
*= 0,001.
2745. При каких п будет обеспечено выполнение
неравенства
<0,001 (0 < х < 10)?
f=0
Исследовать последовательности на равномерную схо-
димость в указанных промежутках:
2746. fn(x) = x"; а)О<х<—; б)0^х<1.
2
2747. fn (х) = х" —х"+'; 0 < х < 1.
2748. fn (х) = х"—х3"; 0 < х с 1.
2749. f„(x) = —1—; 0<х<4-оо.
*+ п
2750./я(х) =; 0<х<1.
1 + «+ *
2751. fn (х) —; а) 0 < х < 1 -в;
14-х"
б) 1— еСхСНе; в) 14-есх<4-оо, гдее>0.
2752. f„(x)=—; а)0<х<1;
1 -г ПгХ*
б) 1<х< 4- 00.
2753. fn(х) = А/х’4—— оо<х<4-оо.
V ла
2754. fn(x) = n (<^x4‘~-V*); 0<х<4-оо»
2755. а) Ц (х) = ; — оо <х< 4- «>;
Л
б) /„ (х) = sin; —со<х<4-оо.
2756. a) fn (х) = arctg nx; 0<х< 4- б) fn (х) =»
= х arctgпх; 0<х<4-оо.
2757< fn (х) = е» 0<х< 1.
2758. Д,(х) = а) —/<х</, где /—любое
положительное число; б)—оо <х< 4- оо.
2759. fn (X) = — in —; 0<х< 1.
л п
2760. /п(х) = 04-— У’, а) На конечном интер-
вале (а, 6); б) на интервале (—оо, 4-оо).
2761. fn (х) = п (х’/"—1); 1 < х < а.
2762. fn (x) = v<T+F'; 0 < х С 2.
18-“w
2763. /в(х) =
п2х, если 0 < к < —;
п
пг(—---xY если —<х<—;
\ п J п п
2
О, если х >—
п
на сегменте 0 < х < 1.
2764. Пусть f (х) — произвольная функция, опреде-
ленная иа сегменте la, b J, и fn (х) = (п=
п
<= 1, 2, . . .).
Доказать, что /„ (х) Д? f (х) (а < х < Ь) при п-> оо.
2765. Пусть функция f (х) имеет непрерывную про-
изводную / (х) в интервале (а, Ь) и
fn (х) = п р (х 4- y) — f (х)] •
Доказать, что fn (х) /' (х) на сегменте а < х < (3,
где а < а < 0 < Ь.
п—-1
2766. Пусть fn (х) = y f (х 4- y) • f W ~
<="о
непрерывная на (— оо, 4- оо) функция. Доказать, что
последовательность fn (х) сходится равномерно на лю-
бом конечном сегменте [а, Ь].
Исследовать характер сходимости следующих рядов:
2767. X хп а) на интервале |x|<q, где ?<1;
п=0
б) на интервале |х1<1.
оо
2768< V на сегменте — 1 < х < 1.
Zu
Ла I
QO
2768 .1. V на интервале (0, 4- оо).
Zu л!
nU)
2769. £ (1—х)х" на сегменте 0 <х < 1.
ЛаО
оо
2771. У -------------------------; 0<х< +
Zu [(л — 1)х+ 1] (пх+ 1)
Пв1
2772. V--------!------; 0<Х<4-оо.
Zu (X + Я) (х + п + I)
п—1
2773. У--------------—-----------;
La (1 + х) (1 + 2х) . . . (1 + лх)
П=1
а) 0 < х < в, где е > 0; б) е < х < + оо.
2774. Пользуясь признаком Вейерштрасса, доказать
равномерную сходимость в указанных промежутках
следующих функциональных рядов:
a)Z-7b-' -“<*< + “1
П=1
Л=1
оо
в) У ТЛГТГ ’ 0 С Х< + оо;
Ди 14"я4*8
П»1
Г) у—2*—, |х|<-1-оо;
Zu 14-п‘х*
00
д) ^-—Н*"+х-я), -у <1*1^2;
Л=1
оо
е) ♦ 1*1<в» где а — произвольное
Аш-
положительное число;
18*
ж) у* --Л""* , |х|< + оо;
La /л* 4- х*
Л®1
оо
ч V* COS ПХ | | - ,
з) ) ——, |х|<Ч-оо;
Л®1
со
ч Т”* sin л* . . _ . ___,
И) \ . |х|<4-оо;
2Lj пуп
Л®1
оо
к) У In (14-—Л-), |х|<а;
Z_I k nln*n /
п—2
со
л) 2 -v2e-'u, о < х< 4- оо;
flat!
СО
м) У arctg . |х|<4-оо.
4.J х®+ л3
л®1
Исследовать на равномерную сходимость в указан-
ных промежутках следующие функциональные ряды:
оо
2775. У -siyx- а) на сегменте в < к < 2л — е,
л«|
где в>0; б) на сегменте 0 < х < 2л.
00
2776. У 2" sin——; 0<х< 4- оо.
Zu зп*
Л»1
2777. У -(-~-Vn-; 0<х<4-°°.
*4- я
n=i
Указание. Оценить остаток ряда,
00
2778. У - (~^-П....; 0 < х < 2я.
п4-sinx
п—а
Е” П (л-1)
(~П .....— ; |х|<10.
Vn*4-e*
Л~1
— оо<х< 4-ОО.
2781. у ..sinxsinn^; 0<х<4-оо.
л=|
-L-...V....0 с х< 4-00.
Vn(n4-x)
Ла|
2783. Может ли последовательность разрывных функ-
ций сходиться равномерно к непрерывной функции?
Рассмотреть пример
fn(x) = —Ф(х) (п = 1, 2. ...),
п
где ф (х) — / 0’ если х иРРационально;
( 1, если х рационально.
оо
2784. Доказать, что если ряд У. |/п(х)| сходится
Я=|
оо
равномерно на [а, b ], то ряд У fn(x) также сходится
П=1
равномерно на [а, 6].
оо
2785. Если рядУ/„(х) сходится абсолютно и равно-
мерно на [а, Ы, то обязательно ли ряд£ |/п(х) | схо-
П=1
дится равномерно на [а, б]?
оо
Рассмотреть пример £ ( — D" (1 —х) х"> гДе 0 < х < 1.
л=0
2786. Доказать, что абсолютно и равномерно сходя-
щийся ряд
ЕМ (0 < х С 1),
Л=1
О, если 0 < х < 2~(я+1’;
где /„(х) =
— sin2 (2л+'лх), если 2-<п+1’<х<2_";
О, если 2~п < х < 1,
нельзя мажорировать сходящимся числовым рядом с не-
отрицательными членами.
00
2787. Доказать, что если ряд У Фл(х), члены кото-
рого суть монотонные функции на сегменте [а, 6], схо-
дится абсолютно в концевых точках этого сегмента, то
данный ряд сходится абсолютно и равномерно на сег-
менте [а, Ы.
во
2788. Доказать, что степенной ряд У. а„хп сходится
п=0
абсолютно и равномерно на любом сегменте, целиком
лежащем внутри его интервала сходимости,
оо
2789. Пусть а„ -> оо так, что ряд У | 1 сходится.
Л=1
00
Доказать, что ряд J—сходится абсолютной равно-
Л»1
мерно на любом ограниченном замкнутом множестве,
не содержащем точек а„ (л = 1, 2, . . .).
оо
2790. Доказать, что если ряд У, ап сходится, то ряд
Л=1
оо
Дирихле -^-сходится равномерно при х > 0.
Л«1
00
2791. Пусть ряд X ап сходится. Доказать, что ряд
л=|
2 апе~пх сходится равномерно в области х > 0.
Ця*1
00
2792. Показать, что функция f(x) = у не'
п=1
прерывна и имеет непрерывную производную в области
— ОО < х < + оо.
2793. Показать, что функция
+<»
= у
Z-I — х)2
л»—оо
а) определена и непрерывна во всех точках, за исключе-
нием целочисленных: х = 0, ± 1, ± 2,... j б) перио-
дическая с периодом, равным 1.
оо
2794. Показать, что ряд 2 [пхе~пх—(п—1) хг1,_|> *]
П—I
сходится неравномерно на сегменте 0 < х < 1, однако
его сумма есть функция, непрерывная на этомсегменте.
2795. Определить области существования * функций
f (х) и исследовать их на непрерывность, если
л=1 л=й|
в)/(х) = у. / п.
Z-r (1 + **)"
Л==1
2796. Пусть /•*(&= 1,2,...) — рациональные числа
сегмента [0, 1 ]. Показать, что функция
k^i
обладает следующими свойствами: 1) непрерывна; 2) диф-
ференцируема в иррациональных точках и недифферен-
цируема в рациональных.
2797, Доказать, что дзета-функция Римана
непрерывна в области х > 1 и имеет в этой области не-
прерывные производные всех порядков.
2798. Доказать, что тэта-функция
+ 00
0 (х) = х е-"п‘х
определена и бесконечно дифференцируема при х > 0.
2799. Определить область существования функции
f (х) и исследовать ее на дифференцируемость, если:
Л -j- X п* •{- х1
я=1 а»1
2800. Показать, что последовательность
= — arctgх" (n= 1, 2, . . .)
п
сходится равномерно на интервале (— оо, + оо), но
[lim fn (х)]' Ф lim fn (1).
л-*оо х—I П->ОО
2801. Показать, что последовательность
fn W = # + — sin п (х+
п \ 2 )
сходится равномерно на интервале (— оо, 4- оо), но
[ lim fn (x)f =/= lin fn(x).
Л—>ОО П—>оо
2802. При каких значениях параметра а: а) после-
довательность
fn (х) = пахе~ях (1)
(п = 1,2,...) сходится на сегменте [0, 1 ]; б) последо-
вательность (1) сходится равномерно на [0, 1); в) воз-
можен предельный переход под знаком интеграла
lim f fn (х) dx?
rt~*qr 0
2803. Показать, что последовательность
fn(x) = nxe-n*’ (л=1, 2, . . .)
сходится на сегменте [0, 11, но
1 1
f [lim fn (x)J dx=#= lim ffn (x)dx.
О л-*ао л—>oo 0
2804. Показать, что последовательность
Ш = пх (1-х)" (п = 1, 2, . . .)
сходится неравномерно на сегменте [0, 11, однако
1 1
lim f fn (х) dx = f lim fn(x) dx.
Л-+ОО 0 0 л-»-ое
2805. Законен ли переход к пределу под знаке»!
интеграла в выражении
Найти:
2806. lim y±z2r2.._JL_.
*-+1-0 Zu П Xя +1
n«=i
2807. lim £ (x« —x"+‘).
X-+-1—0 /1=^1
OD QO
2808. lim V—L-. 2808.1. lim V-------------—.
X-+4-0 Zu 2"n* x-wo Zu 1 + n»**
л=1 n»l
2809. Законно ли почленное дифференцирование ряда
Ё эгс1е -5-’
Л=1
2810. Законно ли почленное интегрирование ряда
ZQ -х2"-1)
Л=1
на сегменте (0, 11?
2811. Пусть f (х) (— оо < х < + оо) — бесконечно
дифференцируемая функция и последовательность ее
производных f(n) (х) (п — 1,2,.. .) сходится равномерно
на каждом конечном интервале (а, Ь) к функции <р (х).
Доказать, что <р (х) = Се*, где С — постоянная вели-
чина. Рассмотреть пример fn(x) = е~<х~п^, п— 1,2,...
2811.1. Пусть функции fn(x), л=1, 2, ... . — опреде-
лены и ограничены на (— оо, + оо) и /п (х) ср (х) на
каждом сегменте 1а, Ь]. Следует ли отсюда, что
lim sup f (х) — sup ф (х)?
Л->00 Ж X
§ 5. Степенные ряды
Iе. Интервал сходимости. Для каждого сте-
пенного ряда
во + а, (х—а) + ... + ап(х~а)п + ...
существует замкнутый интервал сходимости: |х—вну-
три которого данный ряд сходится, а вне расходится. Радиус
сходимости R определяется по формуле Коши — Адамара
—= Пт У| ал |
Радиус сходимости R может быть вычислен также по формуле
Я = lim -2Д— I,
п-»оо ал+1 I
если этот предел существует.
2°. Теорема Абеля. Если степенной ряд S (х) =
ОО
ss £ алх" (| х 1 < R) сходится в концевой точке х = R иитер-
л=0
вала сходимости, то
S (Я) = lim S (х).
x-*R—О
3°. Р я д Тейлора. Аналитическая в точке а функция
f (х) в некоторой окрестности этой точки разлагается в степен-
ной ряд
k=0
Остаточный член этого ряда
Rn (х) = t (х) —V — > (°' (х — а)*
/ j к!
fe=0
Может быть представлен в виде
Rn(*) = (х _ (0<e< 1)
(/»4- 1)!
(форма Лагранжа), или в виде
Rn (X) = Ч± М-х.-.а» . (1 _е1)П (х -п)«+1 (0«0!<3 1)
nl
(форма Коши).
Необходимо помнить следующие пять основных разложе*
ний:
>.^.>+,+^+...+-5-+...
(--- ОО < X < + оо).
X» Z2"’1
II. sinx = x----4- ... 4- (-1)"-1 —-----------1----
31 (2п—1)1
( -- 00 <5 X <3 + оо).
_а ,ая
III. COS X = 1--4- . . . +(-1)" —------{- • • •
21 (2л)1
( — оо <3 х < 4- оо),
IV. (1 + х)т = 1 + тх + х»+ . .,
21
. . . + + ... <3 1}.
л!
V. 1п(1 + х) = х--^ + -^—. ,.+(_i)«-*£L+...
2 3 л
(—1<х<1).
4°. Действия со степенными рядами,
Внутри общего интервала сходимости |х—а|<Л имеем:
а) £ ап(х — а)п± £ bn(x — a)n=> £ (an ± М (х — а)"}
/1=0 ftassQ П=0
Q ап(х — а)п Ьп(х — а)п>= сп(х — а)а,
ns=0 nssO л==0
где' сп = а06п + Д16л-14* . . . +
в) Г У, ап (х — а)п1 = У (л + 1) ая+1 (х — а)п>
dx Ln=o J п=О
г)
ап (х — а)п
dx = С
л + 1
(х - a)n+t.
5°. Степенные
с т и. Рассмотрим ряд
ряды комплексной о б л а-
£ сп (г — а)п,
п»0
где
сп — ап + tl>n, а = а + /₽, г = х + iy, Р = — 1.
Для каждого такого ряда имеется замкнутый круг сходимости
|г—а | R, внутри которого данный ряд сходится (и притом
абсолютно), а вне расходится. Радиус сходимости R равен ра-
диусу сходимости степенного ряда
п=0
в действительной области.
Определить радиус и интервал сходимости и иссле-
довать поведение в граничных точках интервала сходи-
мости следующих степенных рядов:
2812. . 2813. £ Л±{-2>" (х+ 1)».
П=| П«=|
2814. Г
U (2л)!
я «4
2815. £a"’x" (0<а<1).
Я«4
2816.
Я «4
л*
яп- Г-й-*1 (“»>•
л-1
2818. уг?3:?1М<2Я-Р rtex-LY
Lt L 2 4-6... (2л) J к 2 )
л—i
IP
2820. £
m (/л — 1)... (от -г л + 1) хП
п!
я «4
ИЙ1. £(.
а»
(а>0, Ь>0).
2822. У —
Lj а"+ 6»
(а>0, Ь>0).
л
2823. У-^г (а>0).
Zu а'/л
2824.
“ Xя
у_(2л)П_
L (2л + 1)!1
л—1
2829.
П=1
2827'ЁО+т+--+т)л
п=|
2828. £
Л=1
2829. V (, + 2cos-t)'’ ’Г’ х"’
/ .Л--------2-£— хп. 2830. > -----.
/ , In п Lu 2"
»=1
Z(______ntV"”!
—--------хп (ряд Принсгейма).
и=1
Ziov<n>
-----------(1—х)п, где v(n)—число цифр
л=1
числа п.
2831.2. Vf——Y.
Ди \ sinn /
л—1
2832. Определить область сходимости гипергеомет-
рического ряда
1 I а Р х I «<«+ l)P(P-h » xi . .
l-v Ь2у(т+1)
«(«+!). , .(g+„-l)P(p+l). . ,(р+>|-1)^
1-2. . .л-т(у+1). . .(v + « —О
Найти область сходимости обобщенных степенных
рядов:
2833. У—! (_LzLi_Yw 2834. VJ-sin—.
Lt 2л+1 к 1 + х ) ' L, Xя
ПявО rise!
2835. У
Li 2"*
2836. £ (! +---)“"t е~пх.
л=1
2837. V
Zu <3п)1
л=!
2838, Функцию
tg"X.
Ш = х3
разложить по целым неотрицательным степеням бинома
х + 1.
2839, Функцию
f(x) = —1— (С^о)
а — х
разложить в степенной ряд: а) по степеням х; б) по сте-
пеням бинома х—-Ь, где b Ф а', в) по степеням —. Ука-
X
зать соответствующие области сходимости.
2840. Функцию f (х) = 1п х разложить по целым
неотрицательным степеням разности х—1 и выяснить
интервал сходимости разложения.
Найтн сумму ряда
n=i
Написать разложения следующих функций по це-
лым неотрицательным степеням переменной х н найти
соответствующие интервалы сходимости:
2841. f (х) = sh х. 2842. f (х) = ch х.
2843. f (х) = sinax. 2844. f (х) = ах (а > 0).
2845. f (х) — sin (р arcsin х).
2846. f (х) — cos (р arcsin х).
2847. Написать три члена разложения функции
f (х) = Xх по целым неотрицательным степеням разно-
сти х—1.
2848. Написать три члена разложения функции
f (х) = (1 + х)1/х (х Ф 0) и f (0) = е по целым неотри-
цательным степеням переменной х.
2849. Функции sin (х + й) и cos (х + ft) разложить
по целым неотрицательный степеням переменной ft.
2850. Определить интервал сходимости разложения
в степенной ряд функции:
/(%) =----f-----
xs —5x4-6
а) по степеням х; б) по степеням бинома х—5, не произ-
водя самого разложения.
2850.1. Можно ли утверждать, что
N
2 ~*SinX Иа (—0°’ +оо)
nSl
при Л/->со?
Пользуясь основными разложениями I—V, написать
разложения в степенной ряд относительно х следую-
щих функций:
2851. е
2852. cos* х.
2854.
2855.
2853.
1
sin3 х.
(1-х)»
2856. ——-----
д/1-2х
2857. In
х10
1 —х
1—х
2858.
14-х — 2х»
Указание. Разложить данную дробь на простейшие.
2859.
2861
12 —5х
6 —5х —х»
1
1 — X — X»
2860.
2862.
(1-х) (1—х»)
1
2862.1. f(x)
1
Чему равно f<1000) (0)?
2863.
х cos а — х»
1 — 2х cos а 4- х»
2864.
xsin д
1 — 2х cos а 4- х»
2865
xsh д
1 — 2х ch а 4- х»
2866
2867
(1 — х») V1 — X»
2868. е*«* “ cos (х sin а).
1
Указание. Применить формулы Эйлера.
Разложив предварительно производные, путем по-
членного интегрирования получить разложения в сте-
пенной ряд следующих функций:
ОО
2869. f (х) = arctg х. Найти сумму ряда^Г •
П=х1
2870. f (х) = arcsin х. 2871. f (х) = in (х + VT+3?).
2872. f(x) = ln (1—2xcosa+x*).
2873. Применяя различные методы, найти разложе-
ния в степенной ряд следующих функций:
а) /(х) = (14--*)1п(Ц-х);
б) f(x) = ~ In 737 + -^- arctg х-,
в) / (х) = arctg ;
1 + 4х
г) f(x) = arctg ---2х— ;
д) f (х)=х arctg х— In V1 +*’:
е) f (х) = arccos (1—2x2);
ж) f (x) = xarcsinx4-д/!—x2;
3) f (x) = x In (x + VI +** )—V1 +xi-
2874. Используя единственность разложения
f (x + h)-f (x) = hf (x) +^-Г (x) + . . . ,
найти производные n-го порядка от следующих функций:
а) f(x) = ex\ б) /(х) = е“/*; в) /(х) = arctg х.
2875.
Функцию f (х) = in 1
2 + 2х 4- х*
разложить по
целым положительным степеням бинома х + 1.
2876.
Функцию f (х) =
разложить в степен-
ной ряд по отрицательным степеням переменной х.
2877. Функцию f (х) = in х разложить в степенной
ряд по целым положительным степеням дроби .
2878. Функцию f (х) = — х— разложить в сте-
пенной ряд по целым положительным степеням дробя
X
2879. Пусть f (х) = . Доказать непосредст-
п=0
венно, что
f (х) (X + у).
2880. Пусть по определению
V» , х2я+1 V' , х*п
Sinx=) (—1)л--------------- и созх=) (— 1)п-----------
Д, (2л + 1)1 L (2л)1
flsseO /1=0
Доказать, что
a) sinxcosx = -i- sin2x; б) sin2x-|-cos2x=l.
2881. Написать несколько членов разложения в сте-
пенной ряд функции
Производя соответствующие действия со степенными
рядами, получить разложения в степенные ряды сле-
дующих функций:
2882. f (х) = (1 + х) е-х. 2883. f (х) = (1 — х)’ ch V* •
2884. f(x) = ln2(l—х). 2885. f (х) — (1 -f-x2) arctg х.
2886. f (х) = ех cos х. 2887. f (х) = ех sin х.
2888. f (х) = . 2889. f (х) = (arctg х)2.
1 + х
2890. f(x) = (-l£2^Ly.
Написать три члена разложения (отличные от нуля)
в степенной ряд по положительным степеням перемен-
ной х следующих функций:
2891. f(x)==tgx. 2892. f(x) = thx.
2893. f(x) = ctgx---—.
х
2894. Пусть разложение sec х записано в виде
оо
sec х = V ——— х2п.
Zu (2п)1
п=0
Вывести рекуррентное соотношение для коэффици-
ентов Еп (числа Эйлера).
2895. Разложить в степенной ряд функцию
/(*) = —
Vl —2/х+х2
ОО
2896. Пусть f (х) = 2} апх*. Написать разложение
п=0
функции F (х) — .
1 — X
ОО
2897. Если ряд 2} апхп имеет радиус сходимости Rlf
n=Q
оо
а ряд 2} Ьпхп— радиус сходимости Т?2, то какой ра-
л=0
диус сходимости R имеют ряды
а) 1(ап±Ьп)хя- б)
л=0 л=0
2898. Пусть I — lim I —I и L = цт I ..,a" .. I,
П-.0О I вЛ+1 I Л-.0О I вп+1 I
Доказать, что радиус сходимости R степенного ряда
ОО
£ апхп удовлетворяет неравенству
п=0
К R < L.
2899. Доказать, что если f (х) = 2] апхп, причем
|п\ ап | <М (n= 1, 2, .. .),
где М — постоянная, то: 1) f (х) бесконечно дифферен-
цируема в любой точке а; 2) справедливо разложение
/(х) = У* (х—а)" (|х|< + оо).
Z-i rtl
л=0
2899.1, Пусть f (х) £ £<“> (а, Ь) и | ^п}(х) | < с" (п
= О, 1, 2, . . .) при х £ (а, Ъ). Доказать, что функция
f (х) разлагается в степенной ряд
f W = S ап (х —х0)я (х0 £ (а, Ь)),
п=0
сходящийся в интервале (а, Ь).
2899.2. Пусть / (х) £ С(ов) 1—1,11 и /<я> (х) > 0 (п =
= 0, 1, 2, . . .) при х £ 1— 1,11. Доказать, что в ин-
тервале (—1,1) функция f (х) разлагается в степенной
ряд
оо
/(*)= Е апхп.
flassQ
Указание. Используя монотонность производных
<(я) (х) для остаточного члена Rn (х) ряда Тейлора функции
£ (х), получить оценку
I Rn (*) I < 1 х 1Я+1 f (О-
2900. Доказать, что если 1) ап > 0 и 2) существует
оо оо
lim Е^хя = 5, то Y.anRn = s-
0 n=0 n=0
Разложить в степенной ряд функции:
2901. ]e~pdt. 2902. f------------ —.
° j Vi —
о
2903. f -«!£-£_ di. 2904. f dx.
J t J x
о 0
X
2905. J ~ (написать четыре члена).
Применяя почленное дифференцирование, вычислить
суммы следующих рядов:
2906. х+ — + —J- . . .
3 5'
2907. х--+ ----------. .
3 5
2908. 1+-AL + _£Lj_ . . ,
2! 4!
2909.
X . ха X3
1-2 + 2-3 + 3-4
2910. 1-'-—х + —3-x24--i-^-x3+. ..
2 2-4 2-4-6
Указание. Производную ряда умножить иа 1—х.
Применяя почленное интегрирование,
суммы рядов:
2911. х + 2х2 + Зх3 + . . .
2912. х—4х2 + 9х3—16х* + . . .
2913. Ь2х + 2-Зх2 + 3-4х3 4- . . .
ОО
—
(4л)!
RassQ
ряет уравнению y,v — у.
оо
2915. Показать, что ряд у=
л=0
ряет уравнению ху" + у'—у — 0.
вычислить
удовлетво-
удовлетво-
Определить радиус и круг сходимости
рядов в комплексной области (г = х +• iy):
2916.
п-2я
степенных
2917.
(1 + /)я гя
(n-l-1) (п + 2)
г"
„а+Ф
2920.
2921. Пользуясь формулой бинома Ньютона, при-
ближенно вычислить /9 и оценить ошибку, которая
получится, если взять три члена разложения.
2922. Приближенно вычислить:
a) arctg 1,2; б) у' 1000; в)—г) In 1,25
и оценить соответствующие погрешности.
Пользуясь соответствующими разложениями, вычис-
лить с указанной степенью точности следующие значе-
ния функций:
2923. sin 18° с точностью до 10"®.
2924. cos 1° с точностью до 10"®.
2925. tg 9° с точностью до 10"3.
2926. е с точностью до 10"®.
2927. In 1,2 с точностью до 10"4.
2928. Исходя из равенства
л . 1
— = arcsin —,
6 2
найти число п с точностью до 10"4.
2929. Пользуясь тождеством
_2L = arctg -j- + arctg -у-,
вычислить число я с точностью до 0,001.
2930. Пользуясь тождеством
~ = 4 arctg — -----arctg ——,
4 5 239
определить число л с точностью до 10""®.
2931. Пользуясь формулой
In (п +1) = In п + 2 Г------1------i;
v ‘ ' [ 2n+ 1 3(2n+l)!
найти In 2 и In 3 с точностью до 10"®.
2932. С помощью разложений подынтегральных функ-
ций в ряды вычислить с точностью до 0,001 следующие
интегралы:
1
a) J e-^dxr,
2
i Г sin к .
б) f ei/xdx; в) \ —— dx;
2 J *
1 I -f-00
г) (cosx’dx; д) (-^y-dr, е) ( -~т
и 3 * J * "i *
О 0 s
1/3 1
ЮЭ
Г In (1 Ц- х) .
И) } — X
10
1/2 1/2 1
Г arctg х . f arcsin х , f ,,
к) \ --7— dx-. Л) \ --------dx; м) \x*dx.
00 о
2933. Найти с точностью до 0,01 длину дуги одной
полуволны синусоиды
у = sin х (0 < х < л).
2934. Найти с точностью до 0,01 длину дуги эллипса
с полуосями а — 1 и b = 1/2.
2935. Провод, подвешенный иа двух столбах, рас-
стояние между которыми равно 2/ = 20 м, имеет форму
параболы. Вычислить с точностью до 1 см длину про-
вода, если стрелка прогиба Л = 40 см.
§ 6. Ряды Фурье
Iе. Теорема разложения. Если функция f (х)
кусочио-непрерывна и имеет кусочно-непрерывную производ-
ную I' (х) в интервале (— I, tj, причем ее точки разрыва £ регу-
лярны (т. е. I (5) = — U 0) -Н (£ + 0)]), то функция [ (х)
в этом интервал* может быть представлена рядом Фурье
ОО f (*) - 2 + 2^ («л cos п=1 4 где I 1 ( , . . ППХ an= { \ f (х) cos { пях . плх \ z + 6„sin t j. (1) dx (/1 = 0. 1, 2, ... ) (2)
и
I
1 f . ППХ
6Я = — \f(*)sin—-—dx (/i=l,2, . . . (2')
•-1
В частности:
а) если функция [ (х) четная, то имеем:
ОО
Ол . ЧТ5 ПЯХ
I to = —-—I- У ап cos —-—» (3)
п=1
где
I
2 Г ., лях ,
ап = — \ f to cos—-—dx (n = 0, 1, 2, . . .);
о
б) если функция [ (х) нечетная, то получаем:
ОО
ЕЛЯХ
sm—-— f 0)
п=1
где
i
2 Г , лях ,
&„ = —\f(x)sin—-—dx (л=1, 2, . .
о
Функцию f, (х), определенную в интервале (0, Z) и обладаю*
щую в ием приведенными выше свойствами непрерывности,
можно в этом интервале представить как формулой (3), так
и формулой (4).
2°. Условие полноты. Для всякой интегрируемой
на отрезке [—/, Z] вместе со своим квадратом функции / (х)
формально построенный ряд (1) с коэффициентами (2), (2') удов*
летворяет равенству Ляпунова
.2 ОО I
— + Е (а2п + ^) = ~ J f to dx.
3°. Интегрирование рядов Фурье. Ряд
Фурье (1), даже расходящийся, интегрируемой по Риману в ин-
тервале (— I, I) функции I (х) можно интегрировать почленно
в этом интервале.
2936. Функцию
f (х) = sin4x
разложить в ряд Фурье.
2937. Каков будет ряд Фурье для тригонометриче-
ского многочлена
п
Рп (*) = X cos ix -г Р; sin ix)?
4=0
2938. Разложить в ряд Фурье функцию
/ (х) “ sgn х (— л < х < л).
Нарисовать график функции и графики нескольких
частных сумм ряда Фурье этой функции.
Пользуясь разложением, иайти сумму ряда Лейбница
2п — 1
Разложить в ряд Фурье в указанных интервалах
следующие функции:
2939. / (х) =
А, если 0<х</;
0, если /<х<2/.
где А — постоянная, в интервале (0, 2Z).
2940. f (х) = х в интервале (— л, л).
2941. f (х) = —--- в интервале (0, 2л).
2942. f(x) = |x| в интервале (—л, л).
2943. / (х) =
ах, если —л<х<0;
Ьх, если 0<х<л,
где а и b — постоянные,
2944. f (х) = л2—х2
2945. f (х) = cos ах
не целое).
2946. f (х) = sin ах
в интервале (— л, л).
в интервале (— л, л).
в интервале (— л, л) (а —
не целое).
2947« f (х) = sh ах
2948. f (х) = еах
2949. f (х) = х
2950. / (х) = х sin х
2951. f(x)=xcosx
в интервале (— л, л) (а —
в интервале (— л, л).
в интервале (— й, й).
в интервале (а, а + 21).
в интервале (— л, л).
(л л \
----2~ ’ ~2~)’
Разложить в ряды Фурье следующие периодические
функции:
2952. f (х) = sgn (cos х).
2953. f (х) = arcsin (sin x).
2954. f (x) = arcsin (cos xj. 2955. f (x) = x — [xj.
2956. f (x) = (x) — расстояние x до ближайшего це-
лого числа.
2957. f (х) = | sin х |. 2958. f (x) = | cos x ].
oo
2959. f (x) = V a" (| a | < 1).
/ . sinx
n= 1
2960. Разложить в ряд Фурье функцию
f (х) = sec х
Указание. Вывести соотношение между коэффициен-
тами ап и an-г.
2961. Функцию f (х) = х2 разложить в ряд Фурье»
а) в интервале (— л, л) по косинусам кратных дуг}
б) в интервале (0, л) по синусам кратных дуг; в) в ин-
тервале (0, 2л).
Нарисовать график функций и графики сумм рядов
Фурье для случаев а), б) и в).
Пользуясь этими разложениями, найти суммы рядов:
оо оо оо
I V (-1)"*1 и у I
n2 Zu «2 Zu (2n — I)2 •
,1=1 п=1 п=|
2362. Исходя из разложения
оо
о \ sinnx , .
Х = 2 2 (— 1)я+*------------ ( —л<Х<л),
л=1
почленным интегрированием получить разложения в ряд
Фурье на интервале (— л, л) функций х2, х3 и х4.
2963. Написать равенство Ляпунова для функции
1 при |х|<а;
0 при а<|х|<л.
Исходя из равенства Ляпунова, найти суммы рядов:
sin2 ла
~л2
cos2 ла
~пг
2964. Разложить в ряд Фурье функцию
х, если 0 < х 1;
/(х) = | 1, если 1<х<2;
3—х, если2^х<3.
Пользуясь формулами
cos х = -£-(/ 4-7),
sinx = -J-(i —1\
где t = еи и t — е~1х, получить разложение в ряд Фурье
следующих функций:
2965. cos2m х (т — целое положительное число).
2966.
2967,
2968.
у sin x_______
1 — 2q cos x -}- q*
1 — 2q cos x -j- q1
1 — q cos x
1 — 2q cos х -}-
2969. in (1—2q cos x + q2)
(I <?«!).
(I<?ld).
(I <7l < П.
Разложить в ряд Фурье неограниченные периодиче-
ские функции:
2970. f(х) = In sin—.
2971. f(x) = ln cos —.
2972. / (x) = In
2973. Разложить в ряд Фурье функцию
f(x) = In/у |ctg-£-1 di (—л<х<л).
о
2974. Разложить в ряд Фурье функции
х = х (s), у = у (s) (0 С s < 4а),
дающие параметрическое представление контура квад-
рата: 0 < х < а, 0 •< у < а, где $ — длина дуги, от-
считанная против хода часовой стрелки от точки О
(0, 0).
2975. Как следует продолжить заданную в интер-
вале (0, л/2) интегрируемую функцию f (х) в интервал
(— л, л), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
/(х) = 2 a„cos(2n —1)х (—л<х<л)?
п=1
2976. Как следует продолжить заданную в интервале
(О, л/2) интегрируемую функцию f (х) в интервал
(— л, л), чтобы ее разложение в ряд Фурье имело вид
f(х) = S 6Bsin(2n —1)х ( —л<х<л)?
п=»1
2977. Функцию
f И-*(“*)
разложить в интервале (0, л/2):
а) по косинусам нечетных дуг; б) по синусам нечет-
ных дуг.
Нарисовать графики суммы рядов Фурье для слу-
чаев а) и б).
2978. Функция f (х) антипериодична с периодом л,
т. е.
f (х + л) > — f (х).
Какой особенностью обладает ряд Фурье этой функ-
ции в интервале (— л, л)?
2979. Какой особенностью обладает ряд Фурье функ-
ции f (х) в интервале (— л, л), если f (х + л) и f (х)?
2980. Какими особенностями обладают коэффициенты
Фурье ап, bn (п = 1, 2, . . .) функции у = f (х) периода
2л, если график функции: а) имеет центры симметрии
в точках (0, 0), (± л/2, 0); б) имеет центр симметрии
в начале координат и оси симметрии х = ± л/2?
2981. Как связаны между собой коэффициенты Фурье
Ьп и ая, ₽„ (п = 0, 1, 2, .. .) функций <р (х) и ф (х),
если
Ф (— х) s ф (х)?
2982. Как связаны между собой коэффициенты Фурье
ая, Ьп и ап, (а = 0, 1, 2, . . .) функций <р (х) и ф (х),
если
ф (— х) S — Ф (х)?
2983. Зная коэффициенты Фурье ап, Ьп (п = 0, 1,
2,. . .) интегрируемой функции f (х), имеющей период
2л, вычислить коэффициенты Фурье ап, Ьп (п = 0, 1,
2, . . .) «смещенной» функции f (х + й) (й = const).
2984. Зная коэффициенты Фурье ап, Ьп (а — 0, 1,
2, . . .) интегрируемой функции f (х) периода 2л, вы-
числить коэффициенты Фурье А„, Вп (п = 0, 1, 2, . . .)
функции Стеклова
1
Za(x) = 4t j f®dl
М х— h
2985. Пусть f (х) — непрерывная функция с перио-
дом 2л и ап, Ьп (/1 = 0, 1,2,...) — ее коэффициенты
Фурье. Определить коэффициенты Фурье Ап, Вп (п = 0,
1, 2, . . .) свернутой функции
F(x)= — Г/(0/(х+0Л.
я Л
Пользуясь полученным результатом, вывести ра-
венство Ляпунова.
§ 7. Суммирование рядов
1°. Непосредственное суммирование.
Если
«л == »л+1 — »л (Л = 1, 2, ... ) И lim Vn — Vao.
rt-*oo
TO
У. Un = Voo — O£.
n==l
В частности, если
1
un==--------------------.
Пл^л+1 • • Ол+m
где числа a; (i = 1, 2, . . .) образуют арифметическую прогрес-
сию со знаменателем d, то
1 1
»д =-----J----------------------•
та апап+1... Qn-t-m—i
В некоторых случаях искомый ряд удается представить
в виде линейной комбинации известных рядов:
V* (— 1)л+1 Я*
> ------------«а —— и T. П.
Z-! 12
л»|
оо
2°. Метод Абеля. Если ряд У ап сходится, то
ДявЭ
00 оо
У а„ = lim У ао*".
n=0 1 — О я==о
00
Сумма степеииого ряда У апхп в простейших примерах иахо«
tlssO
дится с помощью почленного дифференцирования или интегри-
рования.
3°. Суммирование тригонометрических
рядов. Для нахождения сумм рядов
00 00
У. ап cos пх и У. ап sin пх
Я=0 Я=1
их обычно рассматривают как действительную часть и соответст-
венно как коэффициент мнимой части суммы степенного ряда
00
в комплексной области У artz”, где z = ete.
tlssO
Здесь во многих случаях полезен ряд
00
ZZ" 1
— = ln-TZT «’К»'
Я=1
Найти суммы рядов:
2986.
2987.
2988.
2989.
2990.
1-3
L
3-5 5-7
1-2-3 2-3-4 3-4-5
J______L_+_1_________L
1-2 2-3 3-4 4-5
________п________
(« + 1)(п+2) (д+3)
(т—натуральное
число).
1
2991.
—-----4-----!---4-----——
12-3 3-4-5 5-6-7
2м2-
л =2
2994. У-----------—-
/ л п (2л + 1)
Л=1
2993. У —2п~-~
Zu «* (л 4-1)
п=1
Я95.
Л=1
2996. У 2"(я —. 2997. V ------------------------------
Л «I / , «а(«4-1)а
л=0 л—1
оо
2998. У--------------------------.
/ j л* («+!)*(«+2)*
Л=я1
2999. У —зооо, у ~ ?>*
/. (2лЧ-1)1 Д, «*+«-2
я=О Л=х2
3001. Пусть Р (х) = а,, + ахх + . . . + атх^. Найти
сумму ряда
ЕР(п)
П|
Найти суммы следующих рядов:
8002. У 3003. У -I.--1,)"”*-- х". /. 2"л1 Z-J («4-1)1 f|s4). ПякО ео во
3004. у jzjHfrL+JL 3005. У -яМ-. Zu (2«)< Z-. (2«4- 1)1 П=г=0 Л=0
С помощью почленного дифференцирования найти
суммы рядов:
3007. У
/ . л (2л — 1)
п=1
8008. V
Lu 4«+1
п=0
00
3009. V о(о + <0 • —l)rf]—
/ , d -2d . . .nd
n=l
Указание. Производную ряда умножить на 1—х.
ЗОЮ. ———
3 2
С помощью почленного интегрирования найти сумма
рядов:
ЗОН. £ л**"-1. 3012. fn(« + 2)x".
П=1 Л=х1
3013. У ХЧ+.П/2".
/ . nl
л «О
Используя метод Абеля, найти суммы следующих
рядов:
3014. 1--—+ —-----— +...
4 7 10
3015. 1—L_|—!----!—р...
3 5 7
3016. 1——+ —------L±A_+<..
2 2-4 2-4-6
3017. 1 + —-- + ——L+.,,
2 32-4 5
Найти суммы следующих тригонометрических рядов*
3018.
sin пх
3019.
cos пх
п
п
3020.
sin па sin пх
п
3021.
3022.
3023.
8024.
3025.
3026.
sin8 на sin пх
n
sin (2n — 1) x
2n — 1
cos (2n — 1) x
(2n — I)2
cos nx
nl
sin nx
n (n + 1)
8027. Построить кривую
sin nx-sin ny q
n2 “
Найти суммы следующих рядов:
3028. У* М1- (2х)2п.
L (2n)l
n=l
3030. —------1-------?!------
X+1 (*+!){* +2)
3029. У
L (2n)l
n=0
(x+ l)(x+2)(x + 3)
3031. —------!----—-------------J- . . . при условии,
Oa 4~ x Og 4~ x Оз т x
oo
что x > 0, an > 0 (n = 1, 2, . . .) и ряд ) — рас-
an
n=l
ХОДЯЩИЙСЯ.
3032.
Хг
X*
1—X2 1—X* 1—х«
если
3033. У*------------------, если а) б) |х|>1.
Д (1-хл)(1 -х«+») ' 1
П=1
§ 8. Нахождение определенных интегралов
с помощью рядов
С помощью разложения подынтегральной функции
в ряд вычислить следующие интегралы:
3034. fin--— dx. 3035. t
JI — X J X
0 0
3036. C—dx.
J x
0
dx.
1
3037. fx₽-4n(l— x»)dx (p>0, <?>0).
0
I
3038. f In x • In (1 — x) dx.
3039.
x dx
е2ях — 1
3040.
3041. Разложить по целым положительным степеням
модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл
1-го рода
я/2
F(k) = С — .....-d<p....-.
J y/l — k2 sin2 q>
о
3042. Разложить по целым положительным степеням
модуля k (0 < k < 1) полный эллиптический интеграл
2-го рода
я/2 ___________
E(k) = j -y/l—A2 sin8 ф dtp.
3043. Выразить длину дуги эллипса
х = a cos t, х — b sin t (0 C t < 2л)
с помощью ряда, расположенного по целым положитель-
ным степеням эксцентриситета.
Доказать равенства:
3044. fJ£. = y_L,
J Xх La пп
0 n=sl
8045. С е~х' sinaxdx = — V *~ afe+t.
J 2 La (2«+ 1)1
0 л=0
2л
8046. f е®05 х cos (sin х) cos пх dx = ~ (n—Q, 1,2,...).
б nl
Найти!
2я
8047. f 6е cos * cos (a sin х—пх) dx (п—натуральное
о
число).
3048. f-------—---------dx.
J 1 — 2а cos х + а*
о
Указание См. пример 2864.
я
8049. jln(l—2а cos х + а8) dx.
3050. Доказать формулу
C_£l_dx==J------L + _2L_...
J а + х а а* а*
. . . +( — !)«-» <п~~1)! +(— 1)"-^L
1 ' ' ап ' ап+*
где а > 0 и 0 < 0„ < 1.
С какой точностью выразится интеграл
(1)
Г
I --------dx,
J 100+х
о
если в формуле (1) взять два члена?
§ 9. Бесконечные произведения
1°. Сходимость произведения. Бесконечное
произведение
PiPi • • • Рп • • • = П Рп 0)
71=1
называется сходящимся, если существует конечный и отличный
от нуля предел
п
lim ТТ pi — lim Рп — Р.
П—*ОО £_-] ЛеОО
Если Р — 0 и нн один из сомножителей рп не равен нулю,
то произведение (1) называется расходящимся к нулю-, в против-
ном случае произведение называется сходящимся к нулю.
Необходимым условием сходимости является
lim рп1.
Л-*оо
Сходимость произведения (1) равносильна сходимости ряда
У |пРл-
л=л0
(2)
Если рп = 1 + ап (п = 1, 2, . . .) и аП не меняет знака,
то для сходимости произведения (1) необходимо и достаточно,
чтобы был сходящийся ряд
У «л = Z (Рп— 1). (3)
Л=1 Л=1
В общем случае, когда <хл не сохраняет постоянного знака
и ряд (3) сходится, произведение (1) будет сходиться или расхо-
диться к нулю вместе с рядом
f а2л=У(Рл-1)2-
П=1 /1=1
2е. Абсолютная сходимость. Произведение (!)
называется • абсолютно или условно (не абсолютно) сводящимся
в зависимости от того, абсолютно или условно сходится ряд (2),
Необходимым и достаточным условием абсолютной сходимости
произведения (1) является абсолютная сходимость ряда (3).
3°. Разложение функций в бесконечные
произведения, Прн — оо < х < + оо имеют место раз-
ложения
хг \
пглг ) ’
COS X — £1
4х*
(2п — 1)ал»
В частности, из первого при х — я/2 получаем формулу
Валлиса
я__ТТ 2л 2л
2 “И 2л — 1 2л + 1 *
Л&1
Доказать следующие равенства:
3051
•ПО
л===2
3053
--—] = -•
п (« + 1) J 3
зом- П [1+(тУ“]"2-
3055. П cos—
11 2n+1 я
Л=1
3056. П cos — = -^-.
11 2П х
л=1
3057. ffch —= -^.
11 2» х
Л=1
3058. Д (1 + х’") = -J— (|х|< 1).
л=0
3059. — = —------—2-- .... 2 _ . ..
v? v2+vf V2+V2+V?
3060. П —--------Зл_ = —.
11 Зл-1 Зя+1 3л/3-
Доказать сходимость и определить значения следую-
щих бесконечных произведений:
3061. П п*~4-. 3062. П Г1 +-----1---1.
iAL «(« + 2) J
3063. П (2п+ 1)(2п+..?_.
11 (2п + 3) (2/1 + 5)
3064. П а’-1’"/'1 (а>0).
л=1
оо
3065- Следует ли из сходимости произведений JJ рп
п=1
ОО 00
и П Яп сходимость произведений: а) П(Рл-г<7д);
П=1 П=1
б) П Р2п, в) П РпЯп, Г) П —?
/1=1 л=1 11 qn
Исследовать сходимость следующих бесконечных про-
изведений:
зове. П —. 3067. П ("+1)а .
«’«• п('+-^)- 3069- п('-т)-
Л«=1 Лга2
3071. П "*nt.f1Я + bl , Где n8 + an-|-fc>0 при
11 п* + ап + Ь
П^Пц
П > По.
3072. ТТ , где п0>Ь<
11 (и — Ьг) (n — bj . . . (п — Ьр)
П—По
(i = l. 2.....р).
3076. 3077. Д (1+ ~)е-'/п.
3078. jj(i ——где О0.
3079.
3080. П (14
1 Xя* т
хп
2я
3081.
3082.
Xя
\ e +х’/2л
п=1 \ уп /
3083- n(1+^-)c“v-
3084. JJ
X X Р
п I
\ п J
со _____________________
3085. П In (л 4-х) — In л .
3086. Доказать, что произведение Ц cos хп сходится,
д«=1
ОО
если сходится ряд Ц х„.
Л=1
3087* Доказать, что произведение JJ tg(-^-4-
сходится, если абсолютно сходится ряд
Исследовать на абсолютную и условную сходимость
следующие бесконечные произведения:
3088. Д р 4- ]
сходится, хотя ряд
расходится.
оо
3099» Показать, что произведение Ц(14-ап), где
п=!
-----—, если п = 2k—1,
п 1 , 1 . 1
-— + — + —— > если n = 2k,
yk « kyk
OO oo
сходится, хотя оба ряда Уа„и У, а« расходятся,
и—1 а=1
3100. Пусть
CW
{дзета-функция Римана) и р„ (п — 1, 2, . . .) — после-
довательные простые числа.
оо > | К —1
Доказать, что ТТ (1-------) = С (х).
п=1 ' Рп '
°О J
3101. Доказать, что произведение 0---------) и
со
ряд У —— , где рп (п= 1, 2, . . .)—последовательные про-
Z-J Рп
Л=1
стые числа, расходятся (Эйлер).
3102. Пусть ап > 0 (п = 1, 2, . . .) и
_£2_ = l + _L + o(_!_') (е>0).
an+i п к л1+е )
Доказать, что
Указание. Рассмотреть
lim аппр = at ГТ (1 —Y
«-*«> * х ап \ nJ
П=1
3103. С помощью формулы Валлиса доказать, что
1-3-5 . . (2л — 1)
2-4.6... (2л)
3104. Доказать, что выражение
л!е'*
а„ =----------
„n+1/з
имеет отличный от нуля предел А при и -> оо.
Вывести отсюда формулу СтирЛинга
и! = Апп+'^е-п (1 4-еп),
где lim еп = 0 А
п>*оо
Указание. Искомый предел представить в виде беско-
нечного произведения
А = lim ап = 01 ТТ ап+1/ап.
п-*°° П=1
Для определения константы А воспользоваться формулой
Валлиса.
3105. Согласно Эйлеру гамма-функция Г (х) опреде-
ляется следующей формулой:
п-»оо х(х+ 1). . . (х-|-л)
Исходя из этой формулы: а) представить функцию
Г (х) в виде бесконечного произведения; б) показать,
что Г (х) имеет смысл для всех действительных х, не
равных целому отрицательному числу; в) вывести свой-
ство
Г (х + 1) = хГ (х);
г) получить значение Г (п) для п целого и положитель-
ного.
3106. Пусть функция f (х) собственно интегрируема
на сегменте [а, 6] и
= fin=f(a + i&n) (i = l, 2,. . .,п).
п
Доказать, что
»
JL. SlWdx
lim Ц(1+Ш) *=еа
Л-*со »=0
3107. Доказать, что
lim
П-+ОО
]/ П (а + ib)
V 2
... *зва ——
n-l......................t
У, (a+ «*)
где fl > 0 и b > 0.
3108. Пусть fn (х) (n = 1, 2, . . .) — непрерывные
функции на интервале (а, Ь) н | fn (х) | сп (n = 1,
оо
2, . . .), где ряд У с„ сходится.
Л=1
Доказать, что функция
F W = ft U+fn(x)l (IM*) КО-
Л=1
непрерывна на интервале (а, Ь).
8109. Найти выражение для производной функции
F(x) = ft И +fn(x)].
л=1
Каковы достаточные условия существования F1 (х)?
3110. Доказать, что если 0 < х < у, то
Нт • •..-(5.+_2) = о.
Л-*ОО у (у + 1) . . . (у + п)
§ 10. Формула Стирлинга
Для вычисления nt при больших значениях п полезна фор-
мула Стирлинга
п! =. ппе~п+вп/11п (0 < 0„ < 1).
Пользуясь формулой Стирлинга, приближенно вы-
числить:
3111. 1g 100! 3112. 1-3-5 . . . 1999.
ЗПЗ. ЗЦ4. Cioo.
2-4-6 ... 100
1 2я
3116. f(l— x2)60dx. 3117. | sin200 xdx.
3118. Вывести асимптотическую формулу для про-
изведения
(2п—1)1! = 1-3-5 . . . (2п—1).
3119. Приближенно вычислить С"п, если п велико.
3120. Пользуясь формулой Стирлинга, найти сле-
дующие пределы!
a) lim п\; б) lim —-—;
Л-4-ОО Л-400
в) lim---------------; г) lim —1п .
Д-4-00 2//О- 1 \1 I Л-4-00 In tln
§11. Приближение непрерывных функций многочленами
1°. Интерполяционная форму ла Лаг»
р а я ж а. Многочлен Лагранжа
а
_ у* (х — х0) . . . (х — х<-1) (х — XjJ . . - (X — Хп)
п £-л (X/ — Хр) . . . (xt — х,_1) (х{ — Xt+1) . . . (х< — х„) 1
i=0
обладает свойством Р„ (xt) = (i=0, 1, . . . , п),
2°. Многочлены Бернштейна. Если f (х) —
непрерывная иа сегменте [0, 1] функция, то многочлены Бернш-
тейна
п
вп М = (4") C"xl (l " Х)Я~‘
i=0
прн л -* оо сходятся равномерно на сегменте [0, 1] к функции
I (х).
3121. Построить многочлен Р„(х) наименьшей сте-
пени п, принимающий заданную систему значений:
X —2 0 4 5
У 5 1 —3 1
Чему приближенно равны
/’„('-1). Р„(1). Рл(6)?
3122. Написать уравнение параболы у = ах* 4-
+ Ьх + с, проходящей через три точки: А (х0—Л, у
В (х0, уо), С (хй + Л, yj.
3123. Вывести формулу для приближенного извле-
чения корней у = Vх (1 < х < 100)» используя зна-
чения х0 = 1, уо = 1; х, = 25, «/j = 5; х2 = 100,
у2 = 10.
3124. Вывести приближенную формулу вида
sin х° « ах + Ьх3 (0 х < 90; х = аге х°),
используя значения
sin 0° = 0, -sin 30° = — , sin 90° = 1.
2
Пользуясь этой формулой, приближенно найти:
sin 20°, sin 40°, sin 80°.
3125. Построить для функции f (х) « |х| на сегменте
1 — 1, 1] интерполяционный многочлен Лагранжа, при-
няв за узлы точки: х= 0, !•
3126. Заменив функцию у (х) многочленом Лагранжа,
2
приближенно вычислить J у (х) dx, где
О
X 0 0,5 1 1,5 2
У (У) 5 4,5 3 2,5 5
3127. Составить многочлены Бернштейна Вп (х) для
функций х, х2, х3 на сегменте [0, 1 ].
3128. Написать формулу многочленов Бернштейна
В„ (х) для функции f (х), заданной на сегменте [а, 6].
3129. Приблизить функцию / (х) = на сег-
менте [— 1, 1] многочленом Бернштейна Bt (х).
Построить графики функций у = и У —
— Вх (х).
3130. Приблизить функцию f (х) = |х| при
— 1 С х < 1 многочленами Бернштейна четного по-
рядка.
3131. Написать многочлен Бернштейна Вп (х) для
функции
f (х) — екх (а < х Ь).
3132. Вычислить многочлен Вп (х) для функции
f (х) — cos х на сегменте —х с .
3133. Доказать, что | х| — lim Рп (х) на сегменте
I— 1, 1 ], где
р. м - I —- У 1 ъ • <г-3> (1 -«)'.
2 / . 2 4 . . . (2i>
3133.1. Пусть f (х) £ С [а, 41 и
ь
Л44= J x*f (x)dx = 0 (k=0, 1, 2,. . .).
а
Доказать, что f (х) as 0 при х £ [а, Ь].
Указание. Использовать теорему Вейерштрасса об
аппроксимации непрерывной функции многочленами.
3134. Пусть f (х) — непрерывная 2л-периодическая
функция и ап, Ьп (п — 0, 1, 2, . . .) —ее коэффициенты
Фурье. Доказать, что тригонометрические многочлены
Фейера
п—1
(*) =* “ + £ (1------ifli cos tx 4- bt sin ix)
i=i
равномерно сходятся к функции f (х) на отрезке
[— л, л ].
3135. Построить многочлен Фейера o2,-i W для
функции
/ (х) = | х | при — л < х л.
ЧАСТЬ ВТОРА Я
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
ОТДЕЛ VI
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Предел функции. Непрерывность
Г. Предел функции. Пусть функция [ (Р) =
= / (xj, xt, ... , х„) определена иа множестве Е, имеющем
точку сгущения Ро. Говорят, что
lim /(Р) = А,
Р-*ра
если для любого е > О существует б = б (е, Ро) > 0 такое, что
|/(Р) — Л ( < е,
если только Р £ Е и 0 < р (Р, Ро) < 6, где р (Р, Ро) — рас»
стояние между точками Р и Ро.
2°. Непрерывность. Функция I (Р) называется
непрерывной в точке Ра, если
lim f(P)=f(P0).
Р-*Р,
Функция t (Р) непрерывна в данной области, если она непре-
рывиа в каждой точке этой области.
3°. Равномерная непрерывность. Функция
[ (Р) называется равномерно непрерывной в области G, если для
каждого е > 0 существует б > 0, зависящее только от е, та-
кое, что для любых точек Р' и Р" нз G имеет место неравенство
1МП -4(Р")1<е,
если только
Р (Р', Р") < 8.
Функция, непрерывная в ограниченной н замкнутой об-
ласти, равномерно непрерывна в этой области.
Определить и изобразить области существования
следующих функций:
3136. и = х-\-'\/у. 3137. u = V1 —х2 Ч-
3138. u = Vl—х2—У*. 3139. и=—---
Vx2+y2—1
3140. и~'^(х2+у2—1)(4—х2—у2).
3141. Е II ЬЭ “ (4 1 + г * 1 1 * •
3142. u = Vl-(x2 + #.
3143. и = 1п( —X—у).
3144. . У и = arcsin —. X
3145. и = arccos—-—, х + у
3146. и = arcsin -i- + arcsin (1 —у). У2
3147. u = Vs»n(xa + «/2).
3148. 2 и = arccos —• у/X3 + у2
3149. u = ln(x«/z). 3150. u = ln(—1—х2—y24-z2).
Построить линии уровня следующих функций:
3151. 3153. Z = x+y. 3152. г = х2z/2. z = x2—у2. 3154. г = (х + у)2.
3155. г=^~. 3156. z = ? . х ха+2уа
3157. 3159. 2 — л]ху. 3158. г = |х| + «/. z = |x| + |jf|—|х + г/|.
3159.1. z = min(x, у). 3159.2. z = max(]x|, |у |).
3159.3. 2 = min(x2, у). 3160. г = .
3161. г = х» (х> 0). 3162. z = хЧ~х (х > 0),.
3163. г-1пА/-<<-°>’+«‘.- (а>0). V (х + а)3 + уа
3164. 2-arctg 7 (а>0). х1 -Ь у2 — а2
3165. z = sgn (sin х sin у).
Найти поверхности уровня следующих функций:
3166. и = х + у + z. 3167. и = х2 4- у2 + z2.
3168. и = х2 + у2 — г2. 3169. и = (х + у)2 + г2,
3170. и = sgn sin (х2 + у2 + z2).
Исследовать характер поверхностей по данным их
уравнениям:
3171. г = / (у—ах). 3172. z = f (V*2 + У*)-
3173. г = 3174. г = ^("7)’
3175. Построить график функции
F (0 = f (cos t, sin t),
где
| 1, если y>x,
l(x, y)— |Ot если y<^x,
3176. Найти f (1, —'j, если f (x, y) = .
3177. Найти f (x), если
/(-£-)= V^+7. (l>0).
3178. Пусть
z = л/у + f (V* — !)•
Определить функции / иг, если г — х при у = 1.
3179. Пусть
г » х + у + f (х—у).
Найти функции /иг, если г = х? при у — 0.
3180. Найти f (х, у), если f (х + у, —) = х^—у3.
3181. Показать, что для функции
f(x, y)~-±=JL
х+ У
имеем:
lim Him f(x, у)\ = 1; lim (lim/(х, y)l = — 1,
*-+o Ijz-<-o j jm-o I *-»o J
в то время как lim f (x, у) не существует.
X-.0
3182. Показать, что для функции
fix =_________хгУ—. .
’ У) xV+U-i/P
имеем:
lim (lim/(х, у)\ = lim (limf(x, y)l = 0,
х-»0 J lx-.O /
тем не менее lim f (x, у) не существует.
x->0
3183. Показать, что для функции
f(x, у) = (•*+ £/) sin — sin —
* у
оба повторных предела lim /lim f (х, у)\ и lim (lim f(x, у)\
J 4/—►О U-H) /
не существуют, тем не менее существует lim f (х, у) = 0.
Х-.0
V-0
3183.1. Существует ли предел
х_о х2+ уг
U-t-0
3183.2. Чему равен предел функции
f(x, у) = хге~{х'~и}
вдоль любого луча
х = / cos а, у — t sin а (0 < t < + со)
при t -* + ОО?
Можно ли эту функцию назвать бесконечно малой
при х-> оо и у-*- со?
3184. Найти lim|lim/(x, у)\ и lim(limf(x,
х-*а j y-+b (х-нз Г
если:
а) / (х, = т а = °°> Ь =
хг + у*
б) f(x, у) = а = оо, b=+Q-,
1 -р X
в) f (х, у) =sin———, а=оо, & = оо;
2х+у
г) f (х, у) = — tg ——, а = 0, b = оо;
ху 1 4- ху
Д) /(х, £/) = logx (х Н-£/), а=1, 6 = 0.
Найти следующие двойные пределы:
3185. lim------. 3186. lim—+yi-.
Х-> ОО № - ху у2 х->со х* + У*
у-*- оо У-+9О
3187. lim -sinxy-. 3188. lim (ха +1/«)
х-*0 X х->4-оо
у-*а у-*+оо
2*1—2383
3189. lim (—~—¥‘. 3190. lim (г* + t/УЧ
Х-.4-ОО \ X2 + у2 J Х-. О
(/-►4-00 О
3191. lim fl + — у/(ж+>),
Х-*оо \ X J
3192. lim.
3193. По каким направлениям <р существует конеч»
ный предел:
a) lim е*л*’+И>; б) lim е*’-"’- sin2xz/,
р-Н-о р->4’°°
если х = р cos <р и у = р sin <р?
Найти точки разрыва следующих функций:
3194. ц =--------. 3195. и = ху--,
¥ *г+х+у
3196. -*+..у_ . 3197. u = sin —.
Xs + у2 ху
3198. и=----. 3199. u = ln(l— х2—у2).
sin xsin у
3200. u = -i-.
хуг
3201. u = ln— 1
V(* — a)s + (У — b)2 4- (г — cP
3202. Показать, что функция
f(x, у) =
-----— , если х2 + г/2 Ф О,
х2 + у2
О, если xa + i/a = 0,
непрерывна по каждой переменной х и у в отдельности
(при фиксированном значении другой переменной), но
не является непрерывной по совокупности этих пере-
менных.
3203. Показать, что функция
f(x, У) —
х2у
х* + у2 '
О,
если х2-|-г/2=#0;
если х2 + у2 — 0,
а точке О (0, 0) непрерывна вдоль каждого луча
х = t cos а, у = t sin а (0 < t < + оо),
проходящего через эту точку, т. е. существует
limf(/cosa, /sitta) = f(0, 0);
/—о
однако эта функция не является непрерывной в точке
(0, 0).
3203.1. Исследовать на равномерную непрерывность
линейную функцию и = 2х—Зу + 5 в бесконечной пло-
скости Еа «= {|х| < 4- оо, |у\ < 4- оо}.
3203.2. Исследовать на равномерную непрерывность
в плоскости Е? = {|х| < 4- оо, |t/|< 4- оо} функцию
ы = д/х2 4- у*.
3203.3. Будет ли равномерно непрерывной функция
/ (*> У) = sin--?—г
' 4 1 -X2 —02
в области х2 4- у* <Z 1.
3203.4. Дана функция и — arcsin—. Является ли
у
эта функция непрерывной в своей области опреде-
ления £?
Будет ли функция и равномерно непрерывной в об-
ласти Е?
3204. Показать, что множество точек разрыва функ-
ции f (х, у) — х sin—, если у Ф 0 и f (х, 0) = 0, не
у
является замкнутым.
3205. Доказать, что если функция f (х, у) в некото-
рой области G непрерывна по переменной х и равно-
мерно относительно х непрерывна по переменной у, то
эта функция непрерывна в рассматриваемой области.
3206. Доказать, что если в некоторой области G
функция f (х, у) непрерывна по переменной х и удовлет-
воряет условию Липшица по переменной у, т. е.
I/ (х, y') — f{x, $Г)| < L\y'—у"1,
где (х, у') £ G, (х, у") £ G и L — постоянная, то эта
функция непрерывна в данной области.
3207. Доказать, что если функция f (х, у), грь
(х, у) £ Е, непрерывна по каждой переменной х и у
в отдельности и монотонна по одной из них, то эта функ-
ция непрерывна по совокупности переменных в области Е
{теорема Юнга).
3208. Пусть функция f (х, у) непрерывна в области
а < х < Д, b у В, а последовательность функций
21*
Ф„ (х) (л = 1, 2, . . .) сходится равномерно на (а, А ]
и удовлетворяет условию b < ф„ (х) < В. Доказать,
что последовательность функций
W = f (х, Фя(х)) (п = 1, 2, . . .)
также сходится равномерно на (а, А ].
3209. Пусть: 1) функция f (х, у) непрерывна в области
/?(а<х<Л; b < у < В); 2) функция ф (х) непре-
рывна в интервале (а, А) и имеет значения, принадле-
жащие интервалу (Ь, В). Доказать, что функция
F (х) = f (х, ф (х))
непрерывна в интервале (а, А).
3210. Пусть: 1) функция f (х, у) непрерывна в обла-
сти R (а < х < А; b < у < В); 2) функции х = ф (и, п)
и у = ф (и, v) непрерывны в области R' (а' < и < А';
b' < v < В') и имеют значения, принадлежащие со-
ответственно интервалам (а, А) и (Ь, В). Доказать, что
функция
В (и, v) = f (ф (и, о), ф (и, v))
непрерывна в области R’.
§ 2. Частные производные. Дифференциал функции
1°. Частные производные. Результат частного
дифференцирования функции нескольких переменных не за-
висит от порядка дифференцирования, если все производные,
входящие в вычисление, непрерывны.
2°. Дифференциал функции. Если полное при-
ращение функции f (х, у, г) от независимых переменных х, у,, г
может быть представлено в виде
А/, (х, у, г) = ЛДх + В Ду + СДг + о (р),
где коэффициенты А, В, С не зависят от Дх, Ду, Дг и р =
= д/(Дхр + (Ду)’ + (Дг)2, то функция f (х, у, г) называется
дифференцируемой в точке (х, у, г), а линейная часть приращения
А Ах + В Ду + + С Дг, равная
df (х, у, г) = /' (х, у, г) dx + f‘y (х, у, г) dy -f- f'2 (х, у, г) dz, (1)
где dx = Дх, dy — Ay, dz = Дг, называется дифференциалом
этой функции.
Формула (1) сохраняет свое значение и в том случае, когда
переменные х, у, г являются некоторыми дифференцируемыми
функциями от независимых переменных.
Если х, у, z — независимые переменные, и функция
f (х, у, г) имеет непрерывные частные производные до n-го порядка
включительно, то для дифференциалов высших порядков имеет
место символическая формула
dnf(x. у, zj =(dx-^-+dy-^~ + dz-^—'V I (х, у, г).
\ дх ду дг J
3°. Производная сложной функции. Если
а> = f (х, у, г) дифференцируема и = <р (и, о), у = ф (м, о),
а = X (и, о), где функции <р, ф, х дифференцируемы, то
dw dw дх dw ду । dw дг
ди дх ди ду ди дг ди
dw dw dx । dw ду । dw dz
do dx do dy do dz do
Для вычисления производных второго порядка функции w
полезно пользоваться символическими формулами:
d*w f п d 1Л д d\* , dP\ dw ,
“тт-»=('’i —+ Q1 —4-Я1 — I а’+-т-2-——h
дия \ дх ду дг J ди дх
dQi
ди
dw . dRi
ду + ди
dw
дг
и
d*w
ди до
дх ду дг J\
д X . dPi dw dQi
__ 1 м« < __*_______1___i±-
~~ + (?2 -у- +
дх ду
dw
до dx do ду
dRi dw
до дг
2
где
Q1=-&-, R^*-,
du du du
do do do
4°. Производная в данном направлении.
Если направление I в пространстве Охуг характеризуется на-
правляющими косинусами {cos a, cos 0, cos у} и функция и —
s= Z (х> !/• г) дифференцируема, то производная по направлению
I вычисляется по формуле
du ди .du о , du
----=------ cos а 4---cos р 4-----cos у.
dl dx ду дг
Скорость наибольшего роста функций в данной точке, по вели-
чине и направлению, определяется вектором — градиентом
функции:
. ди . , ди 1 , ди .
grad и <=--i 4------/-{-----я,
дх ду дг
величина которого равна
8211. Показать, что
/;(х, b) = -~-[f(x, &)].
dx
3212. Найти fx(x, 1), если
f(x, y)=x + (y—l) arcsin д/ — .
V у
3212.1. Найти /ДО, 0) и f't (0, 0), если / (х, у) = у^ху.
Является ли эта функция дифференцируемой в точке О
(0, 0)?
3212.2. Является ли дифференцируемой в точке
О (0, 0) функция
/ (х, у) = у' х3 + у3?
3212.3. Исследовать на дифференцируемость в точке
О (0, 0) функцию / (х, у) — Прн ха+ у2 > 0 и
/(0, 0) = 0.
Найти частные производные первого и второго по«
сядков от следующих функций:
3213. и = х^ + у*—4хг(Д 3214. и = хг/ + —
3215. и = —— . 3216. и =— -------.
3217. и =xsin(x + i/). 3218. u =
У
3219. u = tg———. 3220. u = xv.
У
3221. и = 1п(х + {/*). 3222. u = arctg—.
X
3223. u = arctg 3224. u= arcsin—x —- .
3225. u = —1 3226. u=(—Y.
3227. u = x»/z. 3228. и=хЛ
3229. Проверить равенство
д2и сРи
дх ду ди дх *
если
а) и = х2—2ху—3у2; б) и = х*';
в) и = arccos А / —- .
V у s
3230. Пусть f (х, у) —ху -~~у- .если х2 + у2 =/=0
п f (0, 0) = 0. Показать, что fxy(Q, 0) =?£ Д,* (0, 0).
3230.1. Существует ли fxy(Q, 0), если
f(x, у) —
. , При x®4-i/a>0;
Xs
0 при х = у = 0.
3231. Пусть и = f (х, у, г) — однородная функция
измерения п. Проверить теорему Эйлера об однородных
функциях на следующих примерах:
а) и = (х—2у + 3г)2‘, б) и = — - х- :
(X XV/Z
-----) ‘
У J
3232. Доказать, что если дифференцируемая функ-
ция и =• f (х, у, г) удовлетворяет уравнению
ди , ди , ди
X-----\-у----|-Z-----nu,
дх аду дг
то она является однородной функцией измерения п.
Указание. Рассмотреть вспомогательную функцию
f (fl г ^tx’ ty' W
3233. Доказать, что если f (х, у, z) — дифференци-
руемая однородная функция измерения п, то ее частные
производные fx (х, у, г), f'y (х, у, г), ?г (х, у, г) — бднород-
ные функции измерения п—1.
3234. Пусть и = f (х, у, г) — дважды дифференци-
руемая одноррдная функция измерения п. Доказать, что
/ д , д . д \2 .
(х—-+У—- + z —) и = п(п—1)и.
\ дх ду дг )
Найти дифференциалы первого и второго порядков
от следующих функций (х, у, г — независимые пере-
менные):
3235. и=хл’1/л. 3236. и = —.
У
3237. u = 7*a+!/8- 3238. и = In дДа + у2.
3239. и = е“У. 3240. и = xy + yz-\-zx.
3242. Найти df,(l, 1, 1) н d2f (1, 1, 1), если
1(х, у, г)=г/ТГ.
V У ________________
3243. Показать, что если и = д/х2 4- у2 +гя, то
d2u > 0.
3244. Предполагая, что х, у малы по абсолютной
величине, вывести приближенные формулы для следую-
щих выражений:
а) (1 4-x)m (1 + i/)n; б) In (1 +*) In (1 + у)\
в) arctg х+-у .
1+ ху
3245. Заменяя приращение функции дифференциа-
лом, приближенно вычислить
а) 1.002-2,003s-3.0043; б) • — 1,038------:
V 0,98 УйОб8"
в) д/1,023 + 1.973; г) sin 29° -tg 46°; д) 0.971-05.
3246. На сколько изменятся диагональ и площадь
прямоугольника со сторонами х = 6миг/ = 8м, если
первая сторона увеличится на 2 мм, а вторая сторона
уменьшится на 5 мм?
3247. Центральный угол сектора а = 60° увеличился
на Да = 1°. На сколько следует уменьшить радиус сек-
тора R = 20 см, чтобы площадь сектора осталась без
изменения?
3248. Доказать, что относительная погрешность про-
изведения приближенно равна сумме относительных по-
грешностей сомножителей.
3249. При измерении радиуса основания R и вы-
соты Н цилиндра были получены следующие результаты:
R = 2,5 м ± 0,1 м; Н — 4,0 м ± 0,2 м.
С какой абсолютной погрешностью Д и относительной
погрешностью б может быть вычислен объем цилиндра?
3250. Стороны треугольника а — 200 м ± 2 м,
b — 300 м ± 5 м и угол между ними С = 60° ± 1°.
С какой абсолютной погрешностью может быть вычис-
лена третья сторона треугольника с?
3251. Показать, что функция
f (х, у) =
непрерывна в точке (0, 0), имеет в этой точке обе частные
производные fx (0, 0) и /ДО, 0), однако не является диф-
ференцируемой в точке (0, 0).
Выяснить поведение производных fx (х, у) и f‘y (х, у}
в окрестности точкй (0, 0).
3252. Показать, что функция
f(x, у) = —------, если ха+^*¥=0
и
/ (0, 0) = 0,
в окрестности точки (0, 0) непрерывна и имеет ограни-
ченные частные производные fx(x, у) и f'9(x, у), одиако
эта функция иедифференцируема в точке (0, 0).
3253. Показать, что функция
f(x, ^) = (xa+jr2)sin——J—если х2 4V# 0
Xs + у*
и
f (0, 0) = 0,
имеет в окрестности точки (0, 0) частные производные
fx (х, у) и fy(x, у), которые разрывны в точке (0, 0) и не-
ограничены в любой окрестности ее; тем не менее эта
функция дифференцируема в точке (0, 0).
3254. Доказать, что функция f (х, у), имеющая огра-
ниченные частные производные fx(x, у) и /Дх, у) в не-
которой выпуклой области Е, равномерно непрерывна
в этой области.
3255. Доказать, что если функция / (х, у) непрерывна
по переменной х при каждом фиксированном значении у
и имеет ограниченную производную f'g (х, у) по перемен-
ной у, то эта функция непрерывна по совокупности пе-
ременных
Найти
задачах:
3256.
» н у.
указанные частные производные в следующих
д*и д*и д*и
----, ------- —-------- если
дх* дх3ду дх2дуг
и — х—у 4 х2 4 2ху 4 у2 4 Xs—Зх2у—у9 4 х*—
— 4х2^2 4 0*.
330 ОТДЕЛ VI. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3257. сРи . . . —-—, если и = х 1п (ху). дх2ду v
3258. д6и ч . ——если a = x3siny + # sinx. дгду3
3259. (Ри „ х х 4- у + г — хуг , если и = arctg L-2—5. дх ду дг 1 — ху — хг — уг
3260. сРи » если и = ехУг. дх ду дг
3261. д*и , 1 > если и = ш .
3262. дх’ду' ’ еСЛИ “ “ {Х~Хо}Р Уа}4-
3263. дт+пи х 4- у , если и = —. дх?”дуп х — у
3264. , если u = (xa4-wa)ex+?. дхГдуп v ’
3265. (jP+Я+Ги , . , если и = хугех+у+г. дхРдуЧдгГ а
3266. 3267. Найти 0). если f (х, у) — е* sin у. Показать, что если и = f (xyz), то
d*U
дх ду дг
f(0.
где t = xyz, и найти функцию F.
3268. Найти d‘u, если и = х*—2х3у—2ху3 + у* +
4- х3—3х3у — Зху3 + у3 + 2х3~ху + 2у3 + х + у + 1.
г. д*и д*и д*и
Чему равны производные -------, -------, --------,
г дх* дх3ду дхгдуг
д*и д'и
— —..- и ----?
дх dtp ду*
Найти полные дифференциалы указанного порядка
в следующих примерах:
3269. d3u, 3270. d3u, 3271. dlou, 3272. d3u, 3273. d3u, 3274, d*u, если и = x3 + у3—Зху (х—у). если и — sin (х2 4- у2). если и = In (х + у). если и — cos х ch у. если и — xyz. если и = In (хху!/гг).
3275. dnu, если и = еах+Ьи.
3276. dnu, если и = X (х) Y (у).
3277. dnu, если и — f (х + у + г).
3278. dnu, если и = еах+ь«+сг.
3279. Пусть Рп(х, у, г) — однородный многочлен
степени п. Доказать, что
dnP„ (х, у, z) — n\ Рп (dx, dy, dz).
3280. Пусть
. ди , ди
Аи = х— +у—.
дх ду
Найти Аи и Л2и = А (Аи), если
а) ы==~7 Т- б) и = 1п^х3+у2.
* + у1
3281. Пусть
л t б2“
дх* ду*
Найти Ди, если
a) u = sin х ch у, б) и = In ^/х2 + у2.
3282. Пусть
. д*и , д*и . д*и
—ГГ + ТТ •
дх* ду* дг*
Найти Лхи и Д2и, если
a) u = x3-]-z/34-z3'— 3xyz\ б) и —— -1 —
л/х* + у* 4- г*
Найти производные первого и второго порядков от
следующих сложных функций:
3283. u=f(x2 + y2+z2).
3284. u=f (х, —Y
\ У /
3285. u = f(x, ху, хуг).
3286. Найти
дх ду
3287. Найти Ди =
, если и — f (х + у, ху).
^и д*и д*и
дх* + ду* + дг* '
332 ОТДЕЛ VI ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
если
и = f (х + у + г, х2 + у2 + г2).
Найти полные дифференциалы первого и второго
порядков от следующих сложных функций (х, у и z —
независимые переменные):
3288. и = f (/), где t — х 4- у.
3289. и = f (/), где t = 3290. и = f (^х2 +у2).
3291. и = f (/), где t = хуг. 3292. и = f (ха4* #г4-?г).
3293. и — f (е, т]), где | = ах, т] = by.
3294. и = f (s, т]), где 5 = х 4- у, т] = х—у.
3295. и = f (£, т]), где | = ху, т] = —.
У
3296. и = f (х + у, г).
3297. и = f (х + у + г, х2 + у2 + г2).
3298. u=f(—, ±.у
3299. и — f (х, у, г), где х = t, у = t2, г = /3.
3300. и = f (?, т], £), где 5 = ах, т] = by, t, = cz.
3301. и = f (Е, т), 5), где I = х2 + у2, т] = х2—у2,
С = 2ху.
Найти dau, если:
3302. и = f (ах + by 4- cz). 3303. и — f (ах, by, cz).
3304. и = f (I, т], £), где | = ахх 4- bty + cxz,
«] = агх + Ь^у + сгг, £ = а3х 4- Ьду 4- c3z._______
3305. Пусть и = / (г), где г = aJx2 + у2 + z2 и
/ — дважды дифференцируемая функция. Показать, что
Ди = F (г),
. д^и , сРи . д1и п
где Ди=—— 4-------—4--------— оператор Лапласа, и
дхг dtp дгг
найти функцию F.
3306. Пусть и и v — дважды дифференцируемые
функциц и Д — оператор Лапласа (см. задачу 3305).
Доказать, что
Д (uv) = и Ди 4- v Ди 4- 2Д (и, и),
где
. . . ди до . ди до . ди до
Д (и, V) ---------1---------1--------.
дх дх ду ду дг дг
3307. Показать, что функция
и = In л/(х—а)2 4- (у—Ь)2-
(а и b — постоянные) удовлетворяет уравнению Лапласа
дги . <Ри _q
дхг ду2
3308. Доказать, что если функция и == и (х, у) удов-
летворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3307), то
функция
v = u(—±----—
также удовлетворяет этому уравнению.
3309. Показать, что функция
и =----!----е ™
Ча yfnt
(а и Ь — постоянные) удовлетворяет уравнению тепло-
проводности
— = аг
dt дх*
3310. Доказать, что если функция и = и (х, f) удов-
летворяет уравнению теплопроводности (см. задачу
3309), то функция
о = —!—ё"^ги(—, ) (<>0)
aV7 v а 1 аЧ'
также удовлетворяет этому уравнению.
3311. Доказать, что функция
1
и = —<
где г — л/(х—а)2 + {у— Ь)2 + (г—с)2, удовлетворяет
при г 0 уравнению Лапласа
buss
д2и
дх2
дги дги _q
ду2 + дг2 ~
3312. Доказать, что если функция и = и (х, у, г)
удовлетворяет уравнению Лапласа (см. задачу 3311),
то функция
1 / k2x k2y k*z \
v=-u(—' —у
где k — постоянная и г = л/х2 + у2 + г2, также удов-
летворяет этому уравнению.
8313< Доказать, что функция
.. Cie-^+C^
где г ™ л/х2 + y2+z2 и Clt — постоянные, удов-
летворяет уравнению Гельмгольца
д*и . дги . д*и 2
дх* ду* дг*
3314. Пусть функции = их (х, у, г) и и2 = и2(х,
у, г) удовлетворяют уравнению Лапласа Ди = 0.
Доказать, что функция
V = Uj, (х, у, г) + (х2 + у2 + z2) и2 (х, у, г)
удовлетворяет бигармоническому уравнению
Д (До) — 0.
3315. Пусть f (х, у, г) есть т раз дифференцируемая
однородная функция измерения л. Доказать, что
+г_£_)т/(Х1 у, г)=ж
\ дх ду дг /
= п(п — 1).,. (п—m + l)f (X, у, г)
3316. Упростить выражение
дг , дг
secx----k sec у —,
дх * ду
если г = sin у + f (sin х — sin у), где f — дифференци-
руемая функция.
3317. Показать, что функция z = x"f^-^-^, гДе f ~~
произвольная дифференцируемая функция, удовлетво-
ряет уравнению
x-^-+2y-^-^nz.
дх ду
3318. Показать, что z = yf (х2—у2), где f—произ-
гольная дифференцируемая функция, удовлетворяет
уравнению
а дг . дг
y2—- + xy-—- = xz.
дх ду
3319. Упростить выражение + если
—7-*3^ + 2) + 4“^2+^~x’ 2—
где f — дифференцируемая функция.
3320. Пусть х2 vw, у2 = uw, z2 = uv и
f (х, у, г) = F (и, и, w).
Доказать, что
xfX + yfy + zfг = uF'u + uF'v+wF'w.
Предполагая, что произвольные функции ф, ф и т. п.
дифференцируемы достаточное число раз, проверить
следующие равенства:
3321. у——х-^~ = 0, если г=<р (х24- yF).
дх ду
3322. х2-^-ху -^- + «/* = 0, если х = -^- + ф(ху).
3323. (х2—!f)~^xy-^-=xyz,
ах ду &
если z = (уе2у' )<
3324. х + ау-^ + ₽z = пи,
дх ду дг
если и = хпф (-У—, ——
Л х“ * )
ди. . du , ди . ху
3325. х-—+у — +г~- = и + — ,
дх ду дг г
если а = -^-1пх4-хф(—,
3326. -^- = а2-у^-, если и = ф(х—а/) + ф(х4-а/).
3327.
д^и
дхг
о ^и
дх ду
^- = 0,
ду*
если и = хф(х + !/) + уф(х + у)-
3328. x*-^L + 2xy-^-+y2-^-=Q,
дх2 дх ду ду2
3329. х2
д*и
дх2
если « = ф(-^ + хф(—
+-2х£Гу^+^-~==л(п —!) и,
дх ду ду2
3330.
ди д*и
дх дхду
если и
если и = ф [х + Ф
ди д*и
ду дх2 ’
Путем последовательного дифференцирования исклю-
чить произвольные функции ф и ф:
3331. г — х-\-у(ху). 3332. у = xqp.
8333. z — ф (д/х2 4- у*). 3334. и = ф(х—у, у—г).
8335. и = ф(—, -0.
3336. г = ф(х)ф-ф(у). 3337. г = ф(х)ф(у).
8338. г=ф(х4-1/) + ф(х—у).
3339. г = хф ) + Уф
3340. z = ф(ху)+ф (“)•
3341. Найти производную функции г = ха—у2 в
точке М (1, 1), в направлении I, составляющем угол
it = 60° с положительным направлением оси Ох.
3342. Найти производную функции г = х2—ху + у2
в точке М (1, 1) в направлении /, составляющем угол а
с положительным направлением оси Ох. В каком на-
правлении эта производная имеет: а) наибольшее зна-
чение; б) наименьшее значение; в) равна 0.
3343. Найти производную функции z = In (х* + у2)
в точке М (х0, уа) в направлении, перпендикулярном
к линии уровня, проходящей через эту точку.
3344. Найти производную функции г = 1 —
в точке М (—-— , —-—по направлению внутренней
k V2 V2" J
нормали в этой точке к кривой:
а* Ь-
3345. Найти производную функции и = хуг в точке
М (1, 1, 1), в направлении / {cos a, cos Р, cos у).
Чему равна величина градиента функции в этой
точке?
3346. Найти величину и направление градиента
функции
и = —,
г
где г = Vx2 + У? + в точке Мо (х0, у0> *о)-
3347. Определить угол между градиентами функции
и = х2 + у2—г2 в точках А (е, 0, 0) и В (0, е, 0).
3348. На сколько отличается в точке М (1,2, 2) ве-
личина градиента функции u = x + y + z от величины
градиента функции
V — x + y + z + 0,001 sin (Ю’л -^х2 + у2 + z2)?
3349. Показать, что в точке Мо (х0, у0, z0) угол ме-
жду градиентами функций
и = ах2 + by2 + cz2
v = ах2 + by2 + cz2 + 2mx + 2пу 4- 2pz
(а, b, с, tn, п, р — постоянны и а2 + Ь2 + с2 Ф 0) стре-
мится к нулю, если точка Л10 удаляется в бесконечность.
3350. Пусть и — f (х, у, z) — дважды дифференци-
руемая функция. Найти= если cos а,
cos р, cos у — направляющие косинусы направления I.
3351. Пусть и = f (х, у, г)—дважды дифференци-
руемая функция и
{cos ах, cos pb cos yj, 1г {cos а2, cos p2, cos y2},
/3{cosa3, cosp3, cos y3}
—- трн взаимно перпендикулярных направления.
Доказать, что:
/ ди \2 / ди \2 . / ди \2
к д1к ) +к dh ) д1, )
di2 di2 di2 ду2 дг '
3352. Пусть и = и (х, у) — дифференцируемая функ-
ция и при у — х2 имеем:
и (х, у) — 1 и = х.
3353. Пусть функция и = и (х, у) удовлетворяет
уравнению
дги д^и
дх1 дуг
и, кроме того, следующим условиям:
и (х, 2х) — х, их (х, 2х) = л2.
Найти
ихх(х, 2х), иху(х, 2х), иуу(х, 2х).
Полагая г. = z (х, у), решить следующие уравнения:
3354. -^- = 0. 3355. = 0.
дхг дх ду
3357. Полагая и = и (х, у, г), решить уравнение
—*“....................=0.
дх ду дг
3358. Найти решение z — г (х, у) уравнения
±_=х» + 2у,
ду
удовлетворяющее условию: г (х, х*) = 1.
3359. Найти решение z = г (х, у) уравнения
№ _9
дуг *
удовлетворяющее условиям: z (х, 0) = 1, г’у(х, 0) = х.
3360. Найти решение г — г (х, у) уравнения
удовлетворяющее условиям: г (х, 0) = х, г (0, у) = у2.
§ 3. Дифференцирование неявных функций
1°. Т е о р е м а существования. Если: 1) функ»
ичя F (х, у, г) обращается в нуль в некоторой точке
Яо (х0, Уо> го)’> 2) (*• У< г)и У> г) определены н непрерывны
в окрестности точки Ав; 3) Ft (хв, у0, г0) #=0, то в некоторой доста»
точно малой окрестности точки Аа (хв, уя) существует единствен»
ная однозначная непрерывная функция
г = t (х, у),
(О
удовлетворяющая уравнению
F (», У, г) = 0
и такая, что гй = i (х0, у0).
2°. Дифференцируемость неявной функ*
цин. Если, сверх того, 4) функция F (х, у, г) диффе-
ренцируема в окрестности точки Ав (хв, ув, гв), то функция (1)
дифференцируема в окрестности точки Ао (х0, ув) и ее произ-
дг дг
водные — и — могут быть найдены из уравнений
дх ду
^.+2£_А. = 0, (2)
дх дг дх ду дг ду
Если функция F (х, у, г) дифференцируема достаточное число
раз, то последовательным дифференцнрованнем равенств (2)
вычисляются также производные высших порядков от функции г.
3е. Неявные функции, определяемые си-
стемой уравнений. Пусть функции Ft (хр . , , , хт;
У1, • • • » Уп) U = 1. 2.л) удовлетворяют следующим ус-
ловиям:
1) обращаются в нуль в точке Л« (хц, .... xm0|
Ую. • • • • Упо)< ~
2) дифференцируемы в окрестности точки Л»;
Л ( Р. Р \
3) функциональный определитель —' ’—— =#()
d(yi....Уп)
в точке Ав.
В таком случае система уравнений
Л (*i....хт; .......у„)=0 (/=1,2,..., л), (3)
однозначно определяет в некоторой окрестности точки
Ав (х10, .... Хлю) систему дифференцируемых функций
41 *= f (Xi, ..., xm) (» ==!, 2.л),
удовлетворяющих уравнениям (3) и условиям
fl (*10..Xmn) = Уи (i — 1, 2, ..., л).
Дифференциалы этих неявных функций могут быть най-
дены из системы
L, dxi Li дук
/=1 Ь=1
0=1, 2,..., л)*).
3361. Показать, что разрывная в каждой точке функ-
ция Дирихле
{1, если х рационально,
О, если х иррационально,
*) При формулировке большинства задач этого раздела без
оговорок предполагается, что выполнены условия существова-
ния неявных функций и их соответствующих производных.
22*
удовлетворяет уравнению
У2—У = 0-
3362. Пусть функция f (х) определена в интервале
(а, Ь). В каком случае уравнение
f (х) у = о
имеет при а < х < Ь единственное непрерывное решение
У = 0?
3363. Пусть функции f (х) ng (х) определены и не-
прерывны в интервале (а, Ь). В каком случае уравнение
f (х) У = g (х)
имеет в интервале (а, Ь) единственное непрерывное ре-
шение?
3364. Пусть дано уравнение
х2 + у* = 1 (I)
п
У = У (х) (- 1 < х < 1) (2)
— однозначная функция, удовлетворяющая уравне-
нию (1).
1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет
уравнению (1)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1)?
3) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (0) = 1;
б) у (I) = 0?
3365. Пусть дано уравнение
х2 = у* (I)
и
у = у (х) (— оо < х < + оо) (2)
есть однозначная функция, удовлетворяющая уравне-
нию (1).
1) Сколько однозначных функций (2) удовлетворяет
уравнению (1)?
2) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1)?
3) Сколько однозначных дифференцируемых функций
(2) удовлетворяет уравнению (1)?
4) Сколько однозначных непрерывных функций (2)
удовлетворяет уравнению (1), если: а) у (1) = lj
б) у (0) = О?
5) Сколько однозначных непрерывных функций
У — У (*) (1—б < х < 1 +6) удовлетворяет уравнению
(1), если у (1) = 1 и 6 достаточно мало?
3366. Уравнение х2 + у2 = & + у* определяет у как
многозначную функцию от х. В каких областях эта
функция 1) однозначна, 2) двузначна, 3) трехзначна,
4) четырехзначна? Определить точки ветвления этой
функции и ее однозначные непрерывные ветви.
3367. Найти точки ветвления и непрерывные одно-
значные ветви у — у (х) (— 1 < х < 1) многозначной
функции у, определяемой уравнением (х2 + z/2)2 —
= х2—z/2.
3368. Пусть f (х) — непрерывна при а < х < Ь н
Ф (у) — монотонно возрастает и непрерывна при с <у<&
В каком случае уравнение <р (у) — f (х) определяет одно-
значную функцию у = ф-1 (f (х))?
Рассмотреть примеры: a) sin у + sh у = х; б) =
— — sin2x.
3369. Пусть
х = У + <Р (У), (1)
где ф (0) — 0 и | ф' (у) | < k < 1 при — а < у < а. До-
казать, что при —е < х < е существует единственная
дифференцируемая функция у = у (х), удовлетворяю-
щая уравнению (1), и такая, что у (0) — 0.
3370. Пусть у = у (х) — неявная функция, опреде-
ляемая уравнением
х = ky + ф (у),
где постоянная k 0, и ф (у) — дифференцируемая
периодическая функция периода w такая, что |ф' б/)| <
< |Л|. Доказать, что
У = -^- + Ф(х),
К
где ф (х) — периодическая функция с периодом |/?| ш.
Найти у' и у” для функций у, определяемых следую-
щими уравнениями;
3371. х2 + 2ху—у2 = а2. 3372. In ^х2- + z/2 =
= arctg—.
X
3373. у — е sin у = х (0 < е < 1).
3374. х* — у* (х у). 3375. у = 2х arctg —.
х
3376. Доказать, что при
1 + ху = k (х—у),
где k — постоянная величина, имеет место равенство
dx____________________________dy
1-f-x2 “ 1 + № ’
3377. Доказать, что если
х2у2 + х2 + у2 — 1 = О,
го при ху > 0 имеет место равенство
„ + -., —= о.
V1 — У*
3378. Доказать, что уравнение
(х2 + у2)2 = а2 (х2-у2) (а 0)
В окрестности точки х = 0, у = 0 определяет две диф-
ференцируемые функции: у — ух (х) и у = уъ(х). Найти
|/1(0) И 1/2 (0)-
3379. Найти у при х == 0 и у = 0, если
(х2 + у2)2 = Зх2у—у3.
3380. Найти у', у" и у"', если х2 + ху + у2 =* 3.
3381. Найти у', у” и у"' при х = 0, у — 1, если
х2—ху + 2у2 + х—у—1 = 0.
3382. Доказать, что для кривой 2-го порядка
ах2 -Ь 2Ьху + су2 + 2dx + 2еу + / = 0
справедливо равенство
-^-((у")-2/31=о.
dx3
Для функции z = z (х, у) найти частные производные
первого и второго порядков, если:
3383. х2 + у2 + z2 = а2. 3384. г3—Зхуг = а3.
3385. х + у + г = е*.
3386. z = \jx2—y2 • tg — г --.
V*2 — у2
3387. х + у + z = e-u+«+*>.
3388. Пусть
х2 + у2 + г2 — Зхуг — 0 (1)
в
f (х, у, z) = ху2г3.
3390.
3391.
3392.
Найти: a) f'x (1, 1, 1), если z = г (х, у) есть неявная функ-
ция, определяемая уравнением (1); б) fx (1, 1, 1), если
у = у (х, г) есть неявная функция, определяемая урав-
нением (1). Объяснить, почему эти производные раз-
личны.
3389. Найти при х — 1, у = — 2,
дх2 дх ду ду2
z=l, если х2 + 2у2 + 3z2 + ху—г—9 = 0.
Найти dz и d2z, если:
fA
= 1.
а2 Ь2 с2
xyz = х + у + 3.
2L = in.2_ + i. 3393. z = х 4-arctg.
г у г— х
3394. Найти du, если и3 — 3 (х + у) и2 + з8 = 0.
3395. Найти —, если
дх ду
F(x + y + z, х2+#2 + з2) = 0.
3396. Найти и если
дх ду
F(x—y, y—z,z—x) = 0.
3397. Найти —, — и —, если
дх ду дх2
F (х, х + у,х+у + г) = 0.
3398. Найти , если F (хг, уг) = 0.
дх2
3399. Найти d2z, если:
a) F(x + z, y + z) = b б) F(±, -0 = 0.
3391.1. Пусть з = z (х, у) — та дифференцируемая
функция, определяемая уравнением
г3 — xz + у = 0,
которая при х = 3, у = — 2 принимает значение г = 2.
Найти dz (3, — 2) и d2z (3, — 2).
3400. Пусть х = х {у, г), у = у (х, z), z — z (х, у) —•
функции, определяемые уравнением F (х, у, г) = 0.
Доказать, что
дх ду дг
ду дг ' дх
3401. Найти --и ——, если х 4- у 4- z = 0, х2 4-
dz dz
4- у2 + г2 = 1.
3402. Найти и при х = 1,
dz dz dzi dz1
у = — 1, г — 2, если х2 4- у2 = — г2, х 4- у 4- г — 2.
3403. Найтии J?L, если хи—yv — О,
дх ду дх ду
уи 4- xv — 1.
3403.1. Система уравнений
хе“+°4-2ын== 1,
ueu~v---!f— = 2х
14»
определяет дифференцируемые функции и = и (х, у)
и v ~ v (х, у) такие, что и (1, 2) — 0 и v (1, 2) = 0.
Найти du (1, 2) и dv (1, 2).
3404. Найти du, dv, d2u и d2v, если
3405. Найти du, dv,d?uH d2v при x ~ 1, у = 1, и — О,
v — —, если
4
е«мcos= , eu/*sin—— —1—.
у д/2 у ^2
3406. Пусть
х = t 4- Г1, у = t2 4- Г2, г — t3 4- t~3.
Найти
dx dx dx1 dx*
3407. В какой области плоскости Оху система урав-
нений
х = и 4- v, у = и2 4- V2, г — и3 4- у3.
где параметры и и v принимают всевозможные вещест-
венные значения, определяет г как функцию от пере-
менных х и у? Найти производные -у- и -у-.
3407.1. Найти и в точке и — 1, v = 1, если
дх ду
х = и4-1пи,
у — V — In и,
z = 2u+v.
d^z
3407.2. Найти---в точке и = 2, и — 1, если
дх ду
х — и 4-v2,
у —и*—и2
z — 2uv.
3408. Найтиесли
дх*
х = cos <р cos ф, у = cos ф sin ф, z = sin ф.
тт • дЧ d2z d^z
3409. Найти ---------, ------и--------, если
дх* дх ду ду*
х — и cos V, у = и sin v, Z — v.
3410. Пусть z = z (х, у) функция определяется си-
стемой уравнений:
х = е“+с, у = e“~u, z = uv
(«ни — параметры). Найти dz и d2z, при и — 0 и v — 0.
3411. Найти и если z — х2 + уй, где у =»
dx dx*
— у (х) определяется из уравнения
х2 — ху + у2 = 1.
п», л г т г ди ди х-4- г
3412. Найти— и ---, если и ——1, где z опре-
дх ду у + г
деляется из уравнения zt? — хе* + у&-
3413. Пусть уравнения х = ф (и, и), у = ф (и, и),
2 = X (и> v) определяют z как функцию от х и у. Найти
дг дг
---и-----.
дх ду
3414. Пусть х = ф (и, и), у — ф (и, о). Найти част-
ные производные первого и второго порядков от обрат-
ных функций: и = и (х, у) и v = v (х, у).
чти- и г ди ди ди ди
дх ду дх ду
а) х — и cos—, у — a sin —;
и и
б) х = е“ + и sin v, у = е“ — и cos и.
3416. Функция и = и (х) определяется системой
уравнений
и = f (х, у, z), g (х, у, г) = 0, h (х, у, г) = 0.
и . du d2u
Наити ----и ------.
dx dx2
3417. Функция и = и (х, у) определяется системой
уравнений
и = f (х, у, г, /), g (у, г, 0 = 0, h (г, t) = 0.
и . ди ди
Наити — и --------.
дх ду
3418. Пусть х = f (и, v, w), у = g (и, v, w), г —
<= h (и, v, w). Найти и .
дх ду дг
3419. Пусть функция z = z (х, у) удовлетворяет
системе уравнений f (х, у, z, i) = 0, g (х, у, z, t) — 0,
где t — переменный параметр. Найти dz.
3420. Пусть и = f (г), где г — неявная функция от
переменных х и у, определяемая уравнением г —
= х + уф (z).
Доказать формулу Лагранжа
дуп 5x"-i V V дх f
Указание. Доказать формулу для л — 1 и применить
метод математической индукции.
3421. Показать, что функция z = z (х, у), опреде-
ляемая уравнением
Ф (х — az, у ~ bz) = 0, (1)
где Ф (и, v) — произвольная дифференцируемая функ-
ция от переменных и и и (а и b — постоянные), являются
решением уравнения
а — + Ь — =1.
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (1).
3422. Показать, что функция z — z (х, у), определяе-
мая уравнением
ф (.-*-.5° , ..У ~ = о, (2J
\ г — г0 г — га)
где Ф (и, у) — произвольная дифференцируемая функ
ция от переменных и и и, удовлетворяет уравнению
(х — х0)-^-+ (у—у0) =Z—Zo.
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (2).
3423. Показать, что функция z = г (х, у), определяе-
мая уравнением
ах + by + cz — Ф (х2 + у2 + г2), (3)
где Ф (и) — произвольная дифференцируемая функция
от переменной и и а, Ьис — постоянные, удовлетворяет
уравнению
(су— bz) + (az—сх) -~ — Ьх —ау.
дх ду
Выяснить геометрические свойства поверхности (3).
3424. Функция г = г (х, у) задана уравнением
x2 + y* + z2 = yf(-Yy
Показать, что
(х2-^-?2) А. + 2ху = 2xz.
дх ду
3425. Функция г = г (х, у) задана уравнением
р(х+гу~\ у+гх'1) = 0.
Показать, что
дг , дг
х — +у — = г—ху.
дх ду
3426. Показать, что функция г = г (х, у), опреде*
ляемая системой уравнений:
xcosa+У sina-f- In z — f (a), |
—x sin a 4-У cos a = f' (a), j
где a = a (x, y) — переменный параметр и f (a) — про-
извольная дифференцируемая функция, удовлетворяет
уравнению
3427. Показать, что функция г == г (х, у), заданная
системой уравнений:
г = ах -f-JL-f./(а),
а
0 = х----(“)•
а1
удовлетворяет уравнению
дг дг
дх ду
3428. Показать, что функция г = г (х, у), заданная
уравнениями
удовлетворяет уравнению
3429. Показать, что функция г = г (х, у), заданная
уравнениями
г = ах+уф(“)+Ф(а). |
0 = х+уф' (а)4-ф' (а), J
удовлетворяет уравнению
д2г д*г / Уг у = $
дх2 ду2 \ дх ду )
3430. Показать, что неявная функция z = г (х, у),
определяемая уравнением
у « хф (г) + ф (z),
удовлетворяет уравнению
/ дг у д-г _£ дг d** । / Дг у Д*г _ q
\ ду ) дх1 дх ду дх ду \ дх ) ду2
§ 4. Замена переменных
1°. Замена переменных в выражении, со*
держащем обыкновенные производные.
Пусть в дифференциальном выражении
Л=Ф(*, У. Ух. Ухх, . . .)
требуется перейти к новым переменным: t — независимой пе«
ременной ни — функции, связанным с прежними переменными
х и у уравнениями
X = f it, U). У = g(t, и). (I)
Дифференцируя уравнения <1), будем иметь:
. dt ди 1
УХ df < df ' '
dt + du U‘
Аналогично выражаются высшие производные рхх, ... В ре*
•ультате мы получаем:
А= и, ut, utt, .. .).
2’. Замена независимых переменных в
выражении, содержащем частные произ*
водные. Если в дифференциальном выражении
_ г / дг дг д*г дгг д*г \
к дх ду дх1 дх ду ду1 J
положить
X- f(u, v), у = g (и, о), (2)
где и и v — новые независимые переменные, то последователь*
дг дг
ные частные производные — » —, ... определяются из сле-
дя ду
дующих уравнений:
дг дг df . дг dg
' == —-j— —— ,
ди дх ди ду ди
дг дг df дг dg
dv dx dv dy dv
и t. n.
3°. Замена независимых переменных и
функции в выражении, содержащем част-
ные производные. В более общем случае, если имеем
уравнения
*=/(“. v, w), у = g (и, v, w), г= h (и, v, w), (3)
где и, v — новые независимые переменные и w = w (и, v) —
dz дг
новая функция, то для частных производных —» — , , , *
получаем такие уравнения:
dz / df । df dw \ । дг / dg dg dw \ _
dx \ du dw du J dy \ du dw du )
dh , dh dw
== —---1_—------—»
du dw du
dz / df । df dw
dx \ dv dw dv
dg . dg da> \
dv dw dv J
d/i । dh dw
dv dw dv
и т. n.
В некоторых случаях замены переменных удобно пользо-
ваться полными дифференциалами.
3431. Преобразовать уравнение у'у'”—Зу"2 — х,
приняв у за новую независимую переменную.
3432. Таким же образом преобразовать уравнение
y'2yW-\Qy'y"y"' + 15у"’ = 0.
3433. Преобразовать уравнение
9
у"+—У' + У —О,
X
приняв х за функцию и t — ху — за независимое пере-
менное.
Вводя новые переменные, преобразовать следующие
обыкновенные дифференциальные уравнения:
3434. хяу" 4- ху' + у = 0, если х — е1.
8435. у"' = » если t — In | х|.
3436. (1—ха) у” — ху' + пяу — 0, если х = cos t.
3437, thx-J---------y = Q, если x=lntg —.
ch1 х 2
-1/2$ р(Б><18
3438. у"+р (х) y'+q (х) у—О, если у=ие *•
где р (х) £ С(|>.
3439. х*у" 4- хуу'- — 2уя = 0, если х = е* и у — ие2‘,
где и = и (0.
3440. (1 4- х*)ау" == у, если х = tg t и у =—^—,
cos t
где « = u (0.
3441. (1—x®)V! = — у, если х = th tuy == ——,
ch t
где и = и (0.
3442. у" 4- (х 4- у) (1 4- у')9 == 0, если х = и + t
в у = и—t, где и = и (t).
3443. у'” — з?у" + ху' — у = 0, если х = ~
иу=-у, где и = и (0.
3444. Преобразовать уравнение Стокса
/' =------Ау-------
у (* —а)*(х —Ь)*
полагая
в принимая и за функцию переменной t.
3445. Показать, что если уравнение
преобразовать подстановкой х = ф (£) в уравнение
то
[2рф Q^+Q'a)] iQa)i-3/2=
= [2р (х) q (х) +(f (х)] [q (х)]-’*.
3446. В уравнении Ф (у, у', у”) = 0, где Ф — од-
нородная функция переменных у, у', у'1, положить
X
$ udx
У-е* .
3447. В уравнении F (х2у”', ху', у} « 0, где F —•
однородная функция своих аргументов, положить
и=х-^—.
У
3448. Доказать, что уравнение
у'" (1 + у'3) - Зу'у"* _ О
не меняет своего вида при томографическом преобразо-
вании
X —
аЛ + М + ci ДаЕ + М + с»
а£4-6т) + с ’ У в£+Ьт) + с
Указание. Данное преобразование представить в виде
композиции простейших преобразований:
х = аХ + рУ + у, у = У;
Х=——, У= —
*1 Хх
и
Х1 = + с, Уi = а£ + 62т] + с4»
3449. Доказать, что шварииан
5[х(0]=-^—АГ2^]а
X' (0 2 L X' (О J
не меняет своего значения при дробно-линейном преоб*
разовании:
у — _e*<Q + ь. [а(1—Ьс^=<3}.
Преобразовать к полярным координатам г и <р, по-
лагая х = г cos <р, у — г sin ф, следующие уравнения!
3450. =
d* х — у
3451. (ху'—у}2 = 2ху (1 + /*).
3452. (х2 + у*)*у" = (х + уу')\
3453. Преобразовать к полярным координатам вы*
*+ уч'
ражение —г-/у-.
ху' — у
3454. Кривизну плоской кривой
К =—LM_
(1 + ^2)3/2
выразить в полярных координатах г и <р.
3455. В системе уравнений
£L = y + kx(x* + y*), 4Ь=_х + /гу(х* + у*)
перейти к полярным координатам.
3456. Преобразовать выражение
введя новые функции г — хг + у2, <р = arctg — •
3457. В преобразовании Лежандра каждой точке
(х, у) кривой у = у (х) ставится в соответствие точка
(X, У), где
X := у', У = ху'—у.
Найти У', Y" и У"'.
Вводя новые независимые переменные I и т], решить
следующие уравнения:
3458. = если g = x-f-z/ и т] = х—у.
дх ду а u у
3459. у—--х-^- — 0, если £ = х и г\ — х2 + у*.
дх ду
3460. а + b = 1 (а =#= 0), если | — х и т| =
дх ду
^y—bz.
3461. х-^- +у -^- = г, если Е = х и г) = —.
дх ду х
Принимая и и v за новые независимые переменные,
преобразовать следующие уравнения:
3462. х а/ 1 ~гУ2 — — ху, если и = 1пх и о=*
дх ду
= ln(z/ + Vl+«/2)-
3463. (х + у)—-(х-у)-^- = 0, если и=.
дх ду
= In -\/№ + //2 и и=arctg —.
3464. х +у-^- — г + ^х2 + у2 + г3, если
дх ду
и— — и u = z + Vx24-y2 + z2 .
X
3465. х + у , если и = 2х —2* и
дх ду г
V = — .
г
3466. (x4-z)-^- + (y 4-z)-^-=x+j/+z, если
дх ду
u—x-\-z и v = y + z.
3467. Преобразовать выражение
(2+gx) + (г + gy) Л—(z»-e«+«),
дх ду
приняв за новые независимые переменные
1 = y + ze~x, ti — x-i-ze-o.
3468. Преобразовать выражение
(v)’+(t)‘
полагая
x — uv, у = — {и2—х^).
2
3469. В уравнении
дх ду дг
положить I — X, Я = у—х, С = Z—X.
3470. Преобразовать уравнение
(x-z)^-+y-^-^0,
дх ду
приняв х за функцию, а у и z — за независимые пере-
менные.
3471. Преобразовать уравнение
дх ду
приняв х за функцию, а и — у—z, v — у + г — за не-
зависимые переменные.
3472. Преобразовать выражение
Н£)’+«)’
приняв х за функцию и и = хг, v — уг — за независи-
мые переменные.
3473. В уравнении
(у + z + и) + (х + г + и) 4- (х+у + и) «
дх ду дг
=х+у+г
положить:
е* = х—и, ё^ = у—и, £ = г—и.
Перейти к новым переменным и, v, w, где w =•
<= w (и, и), в следующих уравнениях:
3474, у —--х-—— — (у—х)г, если
дх ду
и=х2+у*, п= —-)——, u> = lnz—(x-f-y).
х у
3475. ха—+уа —=га, если
дх ду
11 11
и—Х, U —-------> W—--------.
ух г х
3476. (xz/4-z)4-+(l-ya)~ = x + //z, если
Ох оу
и = уг—Х( V = XZ—yt W = ху—2.
МП. если
к дх J V ду J дх ду
х = иё", y = ve°, z = we*.
3478. Преобразовать выражение
полагая
и — 1пд/ *2 + v = arctg z, а/ = х + у + г,
где w — w (и, v).
3479. Преобразовать выражение
дг , дг
дх * ду
полагая и = хе*, v = уег, w = гег, где w = w (и, v).
3480. В уравнении
х —~+у—-+з—- = « + —-
дх ду дг г
х у „ и
положить: с = —. ri ——• ь = z, ю =— , где w =
г г г
= Щ (ъ, П. У-
Преобразовать к полярным координатам г и <р, по>
лагая х — г cos <р, у — г sin ф, следующие выражения»
3481. —I/—. 3482. w = х — + у— ,
ду дх дх ду
3483. w-(-St-V+(*.}'. 3434. ш
\ дх J '\ ду ) дх* ду*
олое « д*и , п д*и . , дги
3485. w = x' — +2xy — .
3486. w^tf—-----2ху-^—+х*-^~—
у дх* v дхду ду*
( дг . дг \
— (-«-7- +У-Т-)»
\ дх ду J
3487. В выражении
j ди ду ди ди
дх ду ду дх
положить X — Г COS ф, y^r sin ф.
3488, Решить уравнение ~тт' = аг-т4'> введя новые
di* дх*
независимые переменные
ё= х—at, т] = х + at.
Приняв и и v за новые независимые переменные,
преобразовать следующие уравнения:
3489. 2 — -Ь——----— 4-—4- —= 0, если
дх2 дх ду ду2 дх ду
и — х + 2у + 2 и и=х—у— 1.
3490. (1 + х»)^441+ ^)^+х-$-+/,-£- = 0,
дх2 ду2 дх ду
если и = In(х + V 1 + х2) и и = In (у 4- V 1 + У2)-
3491. ах2-^- + 2Ьху ———\-су> — =0 (а,Ь,с—
дх2 дх ду ду*
постоянны), если и = In х и v = In у.
3492,
3493.
^L + 2!L = O, если
дх2 ду2
х у
и —-----------и VZ=---------2----
х2 + у2 х2 + у2
д1г . д2г , , п
-----------h/nz = O, если
дх2 ду2
х = еи cos v, у — еи sin v.
3494. = (у>0), если
дх2 ду2 2 ду
и = х—2 W и v — х + 2 у/у.
3495. х2——у2 —= 0, если и = ху и и = —.
дх2 ду2 у
3496. x24t-(^ + ^)vT" + ^TT = 0’ если
дх2 дх ду ду2
1 , 1
и = х+у И 0 =--1-.
х у
3497. + -уг+</-“ +
дх2 дхду ду2 дх
4-х — = 0, если U = 4-(X2 + i/2) и v=xy.
ду 2
3498. х2 ———2xsin^———Hsin2# — если
дх2 дх ду ду2
u = xtg— и v = x.
2
3499. х—----у-^- = 0 (х>0, у>0), если
дх2 ду2
X = (и + V)2 и у == (и—о)2.
3500. = f 1 + — Y, если
дхду \ ду )
ц = х и V '= у + Z.
3501. С помощью линейной замены
В = X + Кгу, Т] = X + КгУ
преобразовать уравнение
А^- + 2В——(-С —=0, (1)
дх» дхду ду2
где А, В и С — постоянные и АС—Bz < 0, к виду
.. ^“- = 0.
Найти общий вид функции, удовлетворяющей урав-
нению (1).
3502. Доказать, что вид уравнения Лапласа
. д‘г д»г п
дх» ду2
не меняется при любой невырожденной замене перемен'
ных
х = <р (и, и), у = ф (и, о),
удовлетворяющей условиям:
dq> дф дф дф
ди dv dv ди
3503. Преобразовать уравнения
а) Д«я-^- + -^=0; б) Д(Ди) = 0,
дх* ду*
полагая и = / (г), где г = Vх’ + Уг-
3504. Какой вид принимает уравнение
-^- + сш = 0,
дхду
если положить
w = / (и),
где и = (х—х0) (у—//о)?
3505. Преобразовать выражение
. дги . d»u . ди
~Х дх2 дхду + дх ’
полагая
х + У = X, у = ХУ.
3506. Показать, что уравнение
дх2 дх ду
не меняет своего вида при преобразовании переменных
1
X = UV и у — —.
3507. Показать, что уравнение
дх* дх ду ду1
не меняет своего вида при замене переменных
и = х + г и v = у + z.
3508. Преобразовать уравнение
дги . д3и , дги л
ху h Уг----------F Х2------= 0.
дх ду ду дг дх дг
полагая
х = У = К» Z = Ь].
3609. Преобразовать уравнение
Уг Уг Уг Уг Уг Уг
дх, dxj д«з дх|дх2 дх]дх3 дх2дх3
полагая
Ух — хз х 1, Уа Хх 4“ х3 х2, у3 Хх "F Xg х3.
3510. Преобразовать уравнение
х8 -уг+У* -~-+zi -й-+^ ~?Г+2хг Т7“+
дх1 ду* дг2 дхду дх дг
+ 2уг-^- = 0,
дудг
полагая
£ = —. п=—• £=#—z.
Указание. Записать уравнение в виде Аги—Аи =0,
. д , д , д
А = х—- + у —+ г —.
дх ду дг
3511. Выражения
I!
. d*u . d2u
Д2и ----------1----
дх* ду*
д2и
~дг*
преобразовать к сферическим координатам, полагая
х = г sin 0 cos <р, у = г sin 0 sin ф, z = г cos 0.
Указание. Замену переменных представить в виде ком-
позиции двух частичных замен
х = R cos <р, у — R sin ф, г = z
и
R = г sin 0, Ф = ф, г = г cos 0.
3512. В уравнении
г
д*г
дх»
д2г
ду*
ввести новую функцию w, полагая w = г2.
Приняв и и v за новые независимые переменные
и w = w (и, v) за новую функцию, преобразовать сле-
дующие уравнения:
3513. д2г . 1/ - 1 ду* 2-*- = ду 2 г —— ( X если и — —, v = xt У
w = xz— У-
3514. JH--2 дх* д*г 1 № = 0, если и~х + у,
дхду ‘ ду*
0=-^, X г w= —. X
3515. ^- + 2 дх* д*г дхду ду* = 0, если и ~ х +у,
v~x—у, ш=ху—z.
3516. = ?» если *+ У и 2_ ,
дх* дхду дх 2
х — у
и =------—, w = z&.
о
3517. —-2 -^+(1+ =0,
дх» дхду \ х ) ду*
если
II — X, v = x^-y, W = x + y + z.
3518. + =
дх* ду1 дх
если x=sinu, j/ = sin v, z = ew.
^УТ~
>
3519. (1— х2) —---------—------2х —-------— z = 0
V ' дх* ду- дх 4
(|х|<1), если и = (у + arccosх), и = -i- (у — arccosх),
Vr
w = zy 1 -
х3.
W
3520. -^- + -^- = 2
дхг дуг
^+^-(|x|>|i/|),
(х2 — уг)г
Z
дг дг
----у ——
дх_____ду
хг — уг
если и = х-\-у, v = x—у,
•у хг — у1
3521. Доказать, что всякое уравнение
<Рг . дг
----|-а—
дхду дх
дг I л
— 4-cz = 0
ду
(а, Ь, с — постоянные) путем замены
z = иеах+^,
где а и р — постоянные величины и и = и (х, у), можно
привести к виду
д2и
дхду
3522. Показать,
меняет своего вида
+- Сги = 0 (С1 = const).
&и ди
что уравнение ----------- не из-
дхг ду
при замене переменных
, X , I , и ------JT-
х' = —, у' —---, и = — е ,
У У ^/у
где и' — функция переменных х' и у'.
3523. В уравнении
«а+?)-^—а+₽+<?+2w)-^-+
дхг дхду
+р(1 + р)—-=о,
дг дг ,
где р = —— и q =---------, положить и = х + z, v =
дх ду
= у + z, w = х + у + z, считая, что w = w (и, и).
3524. В уравнении
. д2и . . дги . д2и
X2------к у2---к Z2-----—
дх2 а ду2 dz2
f ди\2 . f ди \% . f ди \3
= (х — +ИТ") + z“Z")
\ дх J \ ду / к дг /
положить х = е^, у = е\ г = е*, и — ew, где w =*
= w & , П. О-
3525. Показать, что вид уравнения
д2г д2г _ / д2г у _ Q
дх2 ду2 к дхду )
не меняется при любом распределении ролей между
переменными х, у и г.
3526. Решить уравнение
/ dz у д2г _2 дг д2г । ( дг \2 д2г _ q
\ ду ) дх2 дх ду дхду к дх ) ду2 *
приняв х за функцию от переменных у и г.
3527. Преобразовать уравнение
к дх ду ) дх2 к Зх ду ) дхду
kdx ду J ду2
применяя преобразование Лежандра
Х = — , У=-^-, Z = ху———— Zt
дх ду дх ду
где Z = Z (X, У).
§ 5. Геометрические приложения
1°. Касательная прямая и нормальная
плоскость. Уравнение касательной прямой к кривой
х= Ф (0. 0 = Ч>(О. г== Х(0
в точке ее М (х, у, г) имеет вид
Х — х Y — y = 1 —г
dx dy dz
dt dt dt
Уравнение нормальной плоскости в этой точке!
(X - х) + -J- (Y - у) + -J- (Z - г) - 0.
dt dt ds
2°. Касательная плоскость н нормаль.
Уравнение касательной плоскости к поверхности z = [ (х, у)
в точке ее М (х, у, г) имеет вид
Z-z=-J-(X-x) + ±-(Y-y).
дх ду
Уравнение нормали в точке М есть
Х — х _ Y — y = Z —г
дг дг — 1
дх ду
Если уравнение поверхности задано в неявном виде
F (х, у, z) — 0, го соответственно имеем:
-у-(Х-х)4
дх
^-(Y-y) + -~- (Z —z) = 0
ду дг
— уравнение касательной плоскости и
Х—х Y—y _Z—г
dF dF ~ dF
дх ду дг
— уравнение нормали.
3°. Огибающая кривая семейства пло-
ских кривых. Огибающая кривая однопараметрнческого
семейства кривых f (х, у, а) — 0 (а — параметр) удовлетворяет
системе уравнений:
f (х, у, а) = 0, fa (х, у, а) = 0.
4°. Огибающая поверхность семейства
поверхностей. Огибающая поверхность однопараметри-
ческого семейства поверхностей F (х, у, г, а) — 0 удовлетворяет
системе уравнений:
F (х, у, г, а) = 0, Fa(x, у, г, а) = 0.
В случае двупараметрического семейства поверхностей
Ф (х, у, г, а, Р) = 0 огибающая поверхность удовлетворяет
следующим уравнениям:
Ф (х, у, г, а, Р) = 0, Фа(х, у, г, а, Р) = 0,
Ф₽(х, у, г, а, Р) = 0.
Написать уравнения касательных прямых и нор-
мальны^ плоскостей в данных точках к следующим
кривым:
3528. х = a cos a cos t, у = a sin а cos t, г= а sin t;
в точке t = t0.
3529. х = a sin2/, у = b sin t cos t, z = c cos2 t; в
точке t = —.
4
3530. у = х, z = х2; в точке М (1, 1, 1).
3531. х2 + z2 = 10, у2 + z2 — 10; в точке М (h 1, 3).
3532. x2+y2+z2 — 6, x+y+z= 0; в точке М (1, —2,1).
3533. На кривой х = t, у = t2, z — t3 найти
точку, касательная в которой параллельна плоскости
х 4- 2у 4-2 = 4.
3534. Доказать, что касательная к винтовой линии
х — a cos t, у = a sin t, z — Ы образует постоянный
угол с осью Oz.
3535. Доказать, что кривая
х = accost, у — ае' sin/, г = аег
пересекает все образующие конуса х2 4- у2 — z2 под
одним и тем же углом.
3536. Доказать, что локсодрома
tg (у 4- -у) = е*!ф (й = const),
где <р — долгота, ф — широта точки сферы, пересекает
все меридианы сферы под постоянным углом.
3537. Найти тангенс угла, образованного касатель»
ной в точке А40 (х0, у0) к кривой
Z = f(X, у), =
' v cos a sin а
где f — дифференцируемая функция, с плоскостью Оху.
3538. Найти производную функции
х
и —— —
в точке М (1,2, — 2) в направлении касательной в этой
точке к кривой
х = t, у = 2t2, z — — 2/‘.
Написать уравнения касательной плоскости и нор*
мали в указанных точках к следующим поверхностям!
3539. z = х2 4- у2-, в точке Л40 (1. 2, 5).
3540. х2 + у2 + z2 = 169; в точке Мо (3, 4, 12).
3541. z = arctg—; в точке Мо ( 1,1,
3542. ах2 + by2 + сг2 = 1; в точке Мо (х0, у0, г0).
3543. z — у + In —; в точке Мд (1, 1, 1).
Z
3544. 2х1г + 2у1г — 8; в точке Мо (2, 2, 1).
3545. х = a cos if cos <р, у = b cos if sin <p, z —
«= c sin if; в точке Mo (<p0, if0).
3546. x = r cos <p, у '= r sin <p, z = r ctg а; в точке
Л<о (<Po. r0).
3547. х — и cos и, у = и sin и, z — аи; в точке Ма
(«о. v0).
3548. Найти предельное положение касательной
плоскости к поверхности:
х — и 4- v, у = и2 + v2, г = и3 + v3,
когда точка касания М (и, и) (и =£ и) неограниченно
приближается к точке Мо (и0, м0) линии края и = v
поверхности.
3549. На поверхности х2 + 2уг + Зг2 + 2ху +
4- 2хг + 4г/г = 8 найти точки, в которых касательные
плоскости параллельны координатным плоскостям.
3550. В какой точке эллипсоида
*2 fit
—+ + —=1
а» 6» с2
нормаль к нему образует равные углы с осями коорди-
нат?
3551. К поверхности х2 + 2у2 + Зг2 — 21 провести
касательные плоскости, параллельные плоскости
х + 4у + Qz = Q.
3552. Доказать, что касательные плоскости к поверх-
ности xyz = а3 (а > 0) образуют с плоскостями коор-
динат тетраэдр постоянного объема.
3553. Доказать, что касательные плоскости к поверх-
ности _
(a>0)
отсекают на осях координат отрезки, сумма которых
постоянна.
3554. Доказать, что касательные плоскости к конусу
г=Чт)
проходят через его вершину.
3555. Доказать, что нормали к поверхности враще-
ния
z=f(7*W) (Г¥=0)
пересекают ось вращения.
3556. Найти проекции эллипсоида
х2 + у2 4- г2 — ху — 1
на координатные плоскости.
3557. Квадрат {0 < х sg 1, 0 sg у 1} разбит на
конечное число частей о диаметра sg 6. Оценить сверху
число 6, если направления нормалей к поверхности
z = 1—х2—у2
в любых точках Р (х, у) и Pt (xlt yj, принадлежащих
одной и той же части а, отличаются меньше чем на 1°.
3558. Пусть
z = f (х, у), где (х, у) £ D, (1)
— уравнение поверхности и <p (Plt Р) — угол между
нормалями к поверхности (1) в точках Р (х, у) £ D
и Рх (*i. У1) 6 D.
Доказать, что если область D ограничена и замкнута
и функция f (х, у) имеет ограниченные производные 2-го
порядка в области D, то справедливо неравенство Ля-
пунова
<Р (Ри Р) < Ср (Рг, Р), (2)
где С — постоянная и р (Plt Р) — расстояние между
точками Р и Pt.
3559. Под каким углом пересекается цилиндр
х2 + у2 = а2 с поверхностью bz = ху в общей точке
Мо (х0, у0, г0)?
3560. Показать, что координатные поверхности сфе-
рических координат х2 + у2 4- г2 — г2, у — х tg <р,
х2 Ч- у2 — z2 tg29 попарно ортогональны.
3561. Показать, что сферы х2 4- у2 4- г2 = 2ах,
х2 + у2 + z2 = 2Ьу, х2 + у2 + г2 — 2сг образуют три-
ортогональную систему.
3562. Через каждую точку М (х, у, г) проходят при
Л = К — Ij, К = три поверхности второго по-
рядка:
Доказать ортогональность этих поверхностей.
3563. Найти производную функции и = х 4- у + г
в направлении внешней нормали сферы х -j-y -j- z = 1
в точке ее Мо (х0, у0, z0).
В каких точках сферы нормальная производная функ-
ции и имеет: а) наибольшее значение, б) наименьшее
значение, в) равна нулю?
3564. Найти производную функции и = х2 + у2 + г2
в направлении внешней нормали эллипсоида —— + —- +
= 1 в точке его Мо (х0, у0, z0).
с8
3565. Пусть и —-----нормальные производные
дп дп
функций и и v в точке поверхности F (х, у, г) = 0. До-
д . . dv . да
казать, что---(uv) — и----h v ——.
дп дп дп
Найти огибающие однопараметрических семейств пло-
ских кривых.
3566. х cos а + у sin а = р (р = const).
3567. (х—а)2 + у2 =
3568. у = kx + -2- (а = const).
3569. у2 =2рх +р2.
3570. Найти кривую, огибаемую отрезком длины I,
концы которого скользят по осям координат.
3571. Найти огибающую эллипсов+-^- = 1,
имеющих постоянную площадь S.
3572. Найти огибающую траекторий снаряда, выпу-
щенного в безвоздушном пространстве с начальной ско-
ростью и0, при варьировании в вертикальной плоскости
угла бросания а.
3573. Доказать, что огибающая нормалей плоской
кривой есть эволюта этой кривой.
3574. Исследовать характер дискриминантных кри-
вых семейств следующих линий (с — переменный па-
раметр):
а) кубических парабол у = (х—с)3;
б) полукубических парабол у2 — (х—с)3;
в) парабол Нейля у3 = (х—с)2;
г) строфоид (у—с)2 — х2 _ ~.х_.
а-f- х
3575. Определить огибающую семейства шаров ра-
диуса г, центпы клтооых расположены на окружности
х — R cos t, у — R sin t, г = 0 (/ — параметр, R > г).
3576. Найти огибающую семейства шаров
(х—t cos а)2 + (у—t cos Р)2 + (г—t cos-у)2 = 1,
где cos2a + cos2₽ + cos2/ = 1 и t — переменный ha-
раметр.
3577. Определить огибающую семейства эллипсои-
дов ——-4--^- = 1, объем V которых постоянен.
3578. Найти огибающую семейства сфер радиуса р,
центры которых расположены на поверхности конуса
х2 4- у2 = г2.
3579. Светящаяся точка находится в начале коорди-
нат. Определить конус тени, отбрасываемой шаром
(х—х0)2 -|- (у—уо)2 4- (г—г0)2 < R2,
если х2 + у2 + г2 > R2.
3580. Найти огибающую семейства плоскостей
г—г0 = р (х—х0) + q (у—у o'),
если параметры р и q связаны уравнением
р2 + 92 = 1.
§ 6. Формула Тейлора
Г. Формула Тейлора. Если функция f, (х, у)
имеет в некоторой окрестности точки (а, Ь) непрерывные все
частные производные до л 4* 1 порядка включительно, то в этой
окрестности справедлива формула
t (X, у) = I (а, Ь) 4-
Л
4-У4-<?-*) —!'/(«. *)4-Ял(х. у). «
Z-i о L а* ду J
1=1
где
1 Г д . д !«+*
R„(x, “ тттгКх"а) 7" + "Г"| х
(л 4-1)1 L дх ду А
Xf(a4-6n(x — a), &4-0„(р — »))
(0 < 0„ < 1).
2°. Ряд Тейлора. Если функция f (*, у) бесконечно
дифференцируема и lim у) = 0. то эта функция допускает
Л*>оо
представление в виде степенного ряда
ОО
f(x, y)=f(a, b)+ У -7-fW’ (a. b)(x-^a)l(y-b)l. (2)
/ i i!/l ч
i+/>i
Частные случаи формул (1) и (2) при а = Ь = О соответст-
венно носят названия формулы Маклорена и ряда Маклорена,
Аналогичные формулы имеют место для функции более чем
двух переменных.
3°. -Особые точки плоских кривых. Точка
Ма (х0, (/0) дифференцируемой кривой F (х, у) = 0 называется
особой, если
F («о. Уо) = 0. F'x(*o> Уо) = 0> F'y(xo, У»} = 0.
Пусть Мд (х0, у'о) — изолированная особая точка
кривой класса С^ н числа
А = Fхх (*<>• Уо) — °- В == Fxy (хо> Уо)' С — Fyy (*0. Уо)
не все равны нулю. Тогда, если
1) АС—В2 > 0, то MQ — изолированная точка;
2) АС—В2 < 0, то Мо—двойная точка (узел);
3) АС—В2 = 0, то Мд — точка возврата илн изолирован'
ная точка.
В случае А = В = С = 0 возможны более сложные типы
особых точек. У кривых, не принадлежащих классу гладкости
С<2>, могут быть особенности более сложной природы: точки
прекращения, угловые точки н др.
3581. Функцию f (х, у) = 2х2—ху—у2—6х—3у + 5
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
А (1, -2).
3582. Функцию f (х, у, г) — х3 + у3 + г3 — Зхуг
разложить по формуле Тейлора в окрестности точки
А (1, 1, 1).
3583. Найти приращение, получаемое функцией
f (х, у) = х2у + ху2 — 2ху, при переходе от значений
х — 1, у = — 1 к значениям = 1 + h, уг — — 1 +k.
3584. Разложить f (х + h, у + k, г + Г) по целым
положительным степеням величин h, k и I, если
/ {х, у, г) =
= Лха + By2 + Cz2 + 2Dxy + 2Ехг + 2F уг.
3585. В разложении функции f (х, у) — хУ в окрест-
ности точки А (1, 1) выписать члены до второго порядка
включительно.
3586. Разложить по формуле Маклорена до членов
четвертого порядка включительно функцию
/ (х, у) = \—х2—у2.
3587. Вывести приближенные формулы с точностью
до членов второго порядка для выражений:
ч cos х л , 1 + х 4- и
а) ------; б) arctg , , .
cos у I — х + у
если ]х] и |у\ малы по сравнению с 1.
3588. Упростить выражение
cos (х + у + г) — cos х cos у cos г,
считая х, у, г малыми по абсолютной величине.
3589. Функцию
F(x, у) —[f (х + h, y)+f (х, y + h) +
+ f (x—h, у) + f (x, y—h) l—f(x, y)
разложить по степеням h с точностью до Л4.
3590. Пусть f (Р) = f (х, у) и Pt (xit у() (i = 1, 2,
3) — вершины правильного треугольника, вписанного
в окружность с центром в точке Р (х, у) радиуса р,
причем хг = х + р, у! = у. Разложить по целым по-
ложительным степеням р с точностью до р2 функцию
3591.
△хр f (Х,
3592.
F(p) = ±tf(PM(Pt) + f(P3)]-
«J
Разложить по степеням h и k функцию
у} = f (х + h, у + k) — f (х + h, у) —
—f (х, у + k) + f (х, у).
Разложить по степеням р функцию
1 2,1
F (р) = — J/(x + pcostp, i/ + psin <p)d<p.
2Л О
Разложить в ряд Маклорена следующие функции:
3593. f (х, у) = (1 + х)т (1 + у}п.
3594. f (х, у) — In (1 + х + у).
3595. f (х, у) = 6х sin у.
3596. f (х, у) = 6х cos у.
3597. f (х, у) — sin х sh у.
3598. f (х, у) = cos х ch у.
3599. f (х, у) = sin (хг + у*).
3600. f (х, у) = In (1 + х) In (1 + у).
3601. Написать три члена разложения в ряд Макло*
оена функции / (х, у) = f (1 + х)**» dt.
24-2383 0
3602. Функцию e**» разложить в степенной ряд по
целым положительным степеням биномов х—1 и у 4- 1.
3603. Написать разложение в ряд Тейлора функции
/ (х, у) = —в окрестности точки М (1, 1).
3604. Пусть г — та неявная функция от х и у, опре-
деляемая уравнением z3—2xz 4-^=0, которая при
х = 1 и у — 1 принимает значение z — 1.
Написать несколько членов разложения функции z
по возрастающим степеням биномов х—1 и у—1.
Изучить типы особых точек следующих кривых и
примерно изобразить эти кривые:
3605. у2 = ах2 4- х3. 3606. х3 4- у3 — Зху = 0.
3607. х2 4- у2 = х* 4- /А 3608. х2 4- / = х*.
3609. (х2 4- у2)2 = а2 (х2—£f2). 3610. (у—х2)2- = х3.
3611. (а 4- х) у2 = (а—х) х2.
3612. Изучить форму кривой у2 = (х—а) (х—6)Х
X (х—с) в зависимости от значений параметров а, Ь, а
(а «s b =£ с).
Исследовать особые точки трансцендентных кривых:
3613. t/2=l —Г*2. 3614. if2 = l—е-*3. 3615. y=xlnx.
3617. y = arctgf—!—Y 3618. ^2 = sin —.
\ sin х J х
3619. у2 = sinx2. 3620. i/2 = sin3x.
§ 7. Экстремум функции нескольких переменных
Г. Определение экстремума. Пусть функция
f (Р) = f. (xj.хп) определена в окрестности точки Ро.
Если или I (Ро) > [ (Р), или / (Ро) < f, (Р) при 0 < р (Ро, Р) <
< б, то говорят, что функция [ (Р) имеет строгий экстремум
(соответственно максимум или минимум) в точке Ро.
2°. Необходимое условие экстремума.
Дифференцируемая функция t (Р) может достигать экстремума
лишь в стационарной точке Ро, т. е. такой, что dt (Ро) = 0.
Следовательно, точки экстремума функции [ (Р) удовлетворяют
системе уравнений • • • • хл) = 0(1 = 1, . . ., п).
3°. Достаточное условие экстремума.
Функция [(Р) в точке Ро имеет:
Ft
а) максимум, если dt (Р4) = 0, d2t (Ро) <0, при J} I |¥=0, и
п
б) минимум, если df (Ро)= 0. (Ро)> 0 при |dx(|=^0.
Исследование знаки второго дифференциала 4г[, (Ро) может
быть проведено путем приведения соответствующей квадратик*
ной формы к каноническому виду.
В частности, для случая функции f (х, у) двух независимых
перемеивых * и у в стационарной точке (х0, у0) (df, (х0, у0) = 0)
при условии, что D = АС — Вг £ 0, где A = fxx(x0, у0),
В = »о). с = С(хо- Уо) имеем:
1) минимум, если D > 0, А > 0 (С > 0);
2) максимум, если D > 0, А < О (С < 0);
3) отсутствие экстремума, если D < 0.
4°. Условный экстремум. Задача определения
экстремума функции f (Ру) = f. (*i> • • • , хя) при наличии ряда
соотношений <р,-(Р) = 0 (i = 1, . , . , т; т < п) сводится к на-
хождению обычного экстремума для функции Лагранжа
L(P)~f(P) + V
|як|
где hi (I — 1, . .., т) — постоянные множители. Вопрос о су-
ществовании и характере условного экстремума в простейшем
случае решается на основании исследования знака второго
дифференциала d*L (Ро) в стационарной точке Ро функции L (Р)
при условии, что переменные dxlt ..., dxn связаны соотноше-
ниями
£тЧ“0 («=1..............т).
/=1 dxf
5е. Абсолютный экс.трем ум. Функция f (Р),
дифференцируемая в ограниченной и замкнутой области, до-
стигает своих наибольшего и наименьшего значений в этой о<$>
ласти или в стаЦионариой точке, или в граничной точке области
Исследовать на экстремум следующие функции не-
скольких переменных:
3621. z = х» + (у— I)2. 3622. г = х2 — (у—1)«.
3623. г = (х—у 4- 1)».
3624. z = х2 — ху + у1 — 2х 4- у.
3625. z = х2у3 (6—-х—у). 3626. z = х’ 4- у3—Зху.
3627. г = Xе + у* — хг — 2ху—у2.
3627.1. z = 2х* 4- J/* — хг — 2у2.
3628. г = ху+^+^- (х>0, у>0).
* у "
3629. г= ху д/1 (а > 0, b > 0).
V Сг Ь*
3630. z = -У * (а2 + &2 + с2 #= 0).
ух>4.у»4-1
3631. 2Г== 1 — V*’ + «л
3632. z « eM+w (8х2—&ху 4- 3tf}.
3633. z = ex2-"(5—2х + у).
3634. г = (5х 4- 1у—25) .
3635. г = х2 + ху + у2 — 4 1п х — 10 In у.
3636. 2 = sin х 4- cos у + cos (х—у) (0 < х < я/2;
0 С у^п/2).
3637. г = sin х sin у sin (х4-у) (Ossx < л; 0<i/< я).
3638. z = х—2е/ 4- In Vх 4- f/2+3 arctg •
3639. г — ху In (х2 4- у2)-
3640. г «• х 4- у 4- 4 sin х sin у.
3641. z = (х2 4- у2)
3642. и = х2 4- у2 4- z2 4- 2х 4- 4у — 6z.
3643. и = х* 4- у2 + z2 4- 12ху 4- 2z.
3644. u = x4-—4-— 4-— (х>0, y>Q, z>0).
4х у г
3645. и » ху22* (а—х—2у—3z) (а > 0).
л! ~
3646. и = — + — + -^- + -^- (х>0, у>0, z>0,
х у г о
а>0, 6>0).
3647. и = sin х 4- sin у 4- sin z — sin (x 4- у 4- z)
(0 < x < я; 0 < у я; 0 < z < я).
3648. и = xlx| = x" (1 — Xj— 2х2— ... —пхп) (х,>0,
х,>0, .. х„>0).
3649. и = Х!4-^-4- —+ • • 4-— 4-— (хс>0,
Xl ха Хя_! Хп
2....я).
3650. Задача Гюйгенса. Между двумя по-
ложительными числами а и b вставить п чисел хь
xlf .... хп так, чтобы величина дроби
___________*1*8 Хп______
(а 4- *1) (*14- *г) • • • (хп 4- 6)
была наибольшей.
Найти экстремальные значения заданной неявно
функции 2 от переменных х и у.
3651. х2 4- у2 4- г2 — 2х 4- 2у—4z — 10 = 0.
3652. х2+ у2 + z2 — xz—yz + 2х + 2у +2z—2 =0.
3653. (х2 + у2 4- z2)2 = а2 (х2 4- у2 — z2).
Найти точки условного экстремума следующих функ-
ций:
3654. г — ху, если х + у = 1.
3655. 2 = — + — , если х2 + у2 = 1.
а Ь
3656. г = х2 + у2, если — 4--у = 1-
3657. г=Ах*+2Вху+Су2, если х2+у2=1.
3657.1. г = х2 4- 12ху 4- 2у2, если 4х2 4- у2 — 25.
3658. г = cos2x 4- cos2y, если х—у —
3659. и = х — 2у + 2г, если х2 4- у2 4- г2 = 1.
3660. и = хт упгг>, если х + у + г = а (т> 0,
п > 0, р > 0, а > 0).
3661. и = х2 4- у2 4- г2, если -4- 1
а! ь2 с*
(а>Ь>с > 0).
3662. и — ху2&, если х 4- 2у 4- Зг = а (х > 0,
у> 0, z> 0, а> 0).
3663. и = хуг, если х2 4- у2 4- г2 = 1, х 4- у 4- г =0.
3663.1. и = ху 4- уг, если х2 4- у2 = 2, у 4- г — 2
(х > 0. у > 0, г > 0).
3664. и = sin х sin у sin г, если х 4- у + z = -у-
(х > 0, у > 0, z > 0).
3665. и = — 4- — 4- —, если х2 4- у2 4- z2 = 1,
а2 Ъ2 с2
х cos а 4- у cos р 4- z cos у = О (а ~> b > с > О,
cos2 а 4- cos2₽ 4- cos2y = 1).
3666. и = (х—I)2 4- (у—п)г 4- (г—?)2, если Ах 4-
4- By 4- Cz = 0, х2 4- у2 4- z2 = R2, —L_ = _2_ в
cos а cos р
»—, где cos^a 4- cos2B 4- cos2y = 1.
cos у
3667. u=x?4-x24-. • •4--J^> если —4- — 4-• • •
4 «1 a»
... 4- —= 1 (а/>0; i = 1, 2, ..., n).
an
3668. и =xf4-xP4-.. .4-xp (p>l)i если x(4*
4-x24-.. .4-х„ = а (a>0).
8669. если
Xi xt хп
Р1*1 4* 02*2 + • • • + 0л*п = 1
(<х*>0, 0i>O, хг>0, i = 1, 2, ...» п).
3670. и = х“1х“*... х“«, если х, 4-х2 4-... 4- х„ = а
(а>0, а{>1, 4=1, 2, . . ri).
3671. Найти экстремум квадратичной формы
u=ttaiixixl (а{1 = ап)
при условии
8672. Доказать неравенство
хп+</л _ /х+у\«
~г~ =Чт4
если n > 1 и х > 0, у > 0.
Указание.
ори условии х 4* у — s.
Найти минимум функции г = (хп 4" Уп)
3673. Доказать неравенство Гёльдера
а( >0, xj > 0, i = l, 2, .. п\ й>1, -^-4--р- = 1
Указание. Найти минимум функции
2°<х« = л.
4=1
при условии
3674. Доказать неравенство Адамара для опреде-
лителя А = |а//| порядка п:
Указание. Рассмотреть экстремум определителя А 30
= | ац | при наличии соотношений
= (< = 1,2...п).
Определить наибольшие (sup) и наименьшие (inf)
значения следующих функций в указанных областях:
3675. z = х—2у—3, если 0 s$ х < 1 , 0 s$ у < 1,
О < х + у «S 1-
3676. г — х2 + у2—12х 4- 16у, если х2 4- у2 < 25.
3677. z = х2—ху 4- у2, если |х| 4-1«/| < 1.
3678. и = х2 4- 2у2 + Зг2, если х2 4- у2 4- z2 < 100.
3679. и = х 4- у 4- г, если х2 4- у2 < z < 1.
3680. Найти нижнюю грань (inf) и верхнюю грань
(sup) функции
и = (х 4- у + г) е~(*+2!/+зг)
в области х > 0, у > 0, z > 0.
3681. Показать, что функция г = (1 4- еу) cos х—у&
имеет бесконечное множество максимумов и ни одного
минимума.
3682. Является ли достаточным для минимума функ-
ции / (х, у) в точке Мо (*о, Уо)> чтобы эта функция име-
ла минимум вдоль каждой прямой, проходящей через
точку Л10?
Рассмотреть пример f (х, у) = (х—у2) (2х—у2).
3683. Данное положительное число а разложить
на п положительных сомножителей так, чтобы сумма
обратных величин их была наименьшей.
3684. Данное положительное число а разложить на п
слагаемых так, чтобы сумма их квадратов была наи-
меньшей.
3685. Данное положительное число а разложить на п
положительных множителей так, чтобы сумма заданных
положительных степеней их была наименьшей.
3686. На плоскости даны п материальных точек
Р1 (*i. У1)> Рг (хг, yz)> • • • . Рп (хп, уП) с массами, со-
ответственно равными mlt тг, . . . , тп.
При каком положении точки Р (х, у) момент инер-
ции системы относительно этой точки будет наимень-
шим?
3687. При каких размерах открытая прямоугольная
ванна данной вместимости V имеет наименьшую поверх-
ность?
3688. При каких размерах открытая цилиндриче-
ская ванна с полукруглым поперечным сечением, по-
верхность которой равна S, имеет наибольшую вмести-
мость?
3689. На сфере х2 4- у2 4- г2 = 1 найти точку,
сумма квадратов расстояний которой от п данных то-
чек Mi (xit yi, Zi) (i = 1, 2, .... n) была бы минималь-
ной.
3690. Тело состоит из прямого кругового цилиндра,
завершенного прямым круговым конусом. При дан-
ной полной поверхности тела, равной Q, определить
его измерения так, чтобы объем тела был бы наи-
большим.
3691. Тело, объем которого равен V, представляет
собой прямой прямоугольный параллелепипед, нижнее
и верхнее основания которого завершаются одинако-
выми правильными четырехугольными пирамидами. При
каком угле наклона боковых граней пирамид к их ос-
нованиям полная поверхность тела будет минималь-
ной?
3692. Найти прямоугольник данного периметра 2р,
который вращением вокруг одной из своих сторон об-
разует тело наибольшего объема.
3693. Найти треугольник данного периметра 2р, ко-
торый вращением вокруг одной из своих сторон обра-
зует тело наибольшего объема.
3694. В полушар радиуса R вписать прямоугольный
параллелепипед наибольшего объема.
3695. В данный прямой круговой конус вписать пря-
моугольный параллелепипед наибольшего объема.
3696. В эллипсоид — 4- — 4------= 1 вписать
а’ Ь* с1
прямоугольный параллелепипед наибольшего объема.
3697. В прямой круговой конус, образующая ко-
торого I наклонена к плоскости основания под углом а,
вписать прямоугольный параллелепипед с наибольшей
полной поверхностью.
3698. В сегмент эллиптического параболоида — =
«Я о
= — 4- — , г — с, вписать прямоугольный паралле-
лепипед наибольшего объема.
3699. Найти кратчайшее расстояние точки
ЛТ0 (х0, у0, z0). от плоскости Ах + By + Cz + D = 0.
3700- Определить кратчайшее расстояние d между
двумя прямыми в пространстве
х —xt у —iy г —гх
ffll Л1 Pi
и
х — хг У —у г г — га .
т, n, Р,
3701. Найти кратчайшее расстояние между парабо-
лой у — х2 и прямой х—у—2 = 0.
3702. Найти полуоси центральной кривой второго
порядка
Ах2 + 2Вху + Су2 = 1.
3703. Найти полуоси центральной поверхности вто-
рого порядка
Ах2 + By2 + Сг2 + 2Оед 4- 2Еуг 4- 2Fxz — 1.
3704. Определить площадь эллипса, образованного
пересечением цилиндра
плоскостью
Ах 4- By 4- Сг — 0.
3705. Определить площадь сечения эллипсоида
плоскостью
х cos а 4- у cos р 4- z cos у = 0,
где
cos2a 4- cos2p 4- cos2y — 1.
3706. Согласно принципу Ферма свет, исходящий
из точки А и попадающий в точку В, распространяется
по той кривой, для прохождения которой требуется
минимум времени.
Предполагая, что точки Л и В расположены в раз-
личных оптических средах, разделенных плоскостью,
причем скорость распространения света в первой среде
равна Vp а во второй v2, вывести закон преломления
света.
3707. При каком угле падения отклонение светового
луча (т. е. угол между падающим и выходящим лучами),
проходящего через призму с преломляющим углом а
и показателем преломления п, будет наименьшим? Оп-
ределить это наименьшее отклонение.
3708. Переменные величины х и у удовлетворяют
линейному уравнению у — ах + Ь, коэффициенты ко-
торого требуется определить. В результате ряда равно-
точных измерений для величин х и у получены значения
Xi, yi Ц = 1, 2, ... , п).
Пользуясь способом наименьших квадратов, опреде-
лить наивероятнейшие значения коэффициентов а и Ь.
Указание. Согласно способу наименьших квадратов
наивероятнейшими значениями коэффициентов а и b являются
те, для которых сумма квадратов погрешностей
SA?=S(axi+6-yi)2
i=i i=i
будет наименьшей.
3709. На плоскости дана система п точек 7И,(хг, Ус)
(i = l,2 п).
При каком положении прямой
х cos а 4- у sin а — р — 0
сумма квадратов отклонений данных точек от этой
прямой будет наименьшей?
3710. Функцию Xй на интервале (1, 3) приближенно
заменить линейной функцией ах + Ь так, чтобы абсо-
лютное отклонение
Д = supl хг — (ах + 6) | (1 < х < 3)
было минимальным.
ОТДЕЛ VII
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Собственные интегралы, зависящие
от параметра
1°. Непрерывность интеграла. Если функ*
ция [ (х, у) определена- и непрерывна в ограниченной области
R [а С Хг£ А; Ь ^у В], то
А
F (y) = ff(x. y)dx
а
представляет собой функцию, непрерывную на сегменте
Ь^у с В-
2. Дифференцирование под знаком ин-
теграла. Если сверх указанного в 1°, частная производная
^(х, у) непрерывна в области R, то при Ь < у < В справедлива
формула Лейбница.
4 А А
-г-р(х. y)<lx = $f'u(x, y)dx.
аУ а а
В более общем случае, когда пределы интеграции являются
дифференцируемыми функциями ф (у) и ф (у) параметра у и
а < ф (у) < А, а < ф (у) < А при Ь <у < В, имеем:
d W
~г; J L(x, y)dx—t (ф (у), у) ф' (у) — / (ф (у), у) ф' (у) +
♦<10 .
+ J /,(*. y)dx (b<y<$B).
Ф(10
3°. Интегрирование под знаком инте-
грала. При условиях 1° имеем:
В А АВ
/<*У J /(*. y)<ix = J dx[ t(x, y)dy.
ba a b
3711, Показать, что интеграл
y)dx
от разрывной функции f (х, у) ~ sgn (х—у) является
функцией непрерывной. Построить график функции
и <= F (у).
3712. Исследовать на непрерывность функцию
F(y) = (..У.Ч •
где функция / (х) непрерывна и положительна на сег-
менте 10, 1 1.
3713. Найти:
1+а . I
a) lim [------—----; б) lim [ Vх* + а* dr,
а->0 J 1 + Х»+а»’ а-0-Iv
а
2 1
в) limfx2 cos ах dr, г) lim f-------------.
а-М)0 »-«) 1+(1 + _*_у
3713.1. Найти
Я/2
lim J e~RsinedQ.
0
3714. Пусть функция f (x) непрерывна на сегменте
[Л, Bl. Доказать, что
lim-M + (А<а<х<В).
fc-H) h а
3714.1. Пусть 1) <ря(х) >0 (п = 1, 2, . . .) на
[— 1, 1 ]; 2) фп (х) ZX 0 при п -* оо на 0 < е < |х| < 1;
1
3) J фп (х) dx -+ 1 при п -> оо.
—1
Доказать, что, если / (х) £ С [— 1, 11, то
1
lim f f(x)<?n(x)dx = f (О).
Д-*0О — I
3715. Можно ли совершить предельный переход под
знаком интеграла в выражении
1
lim С—e-'Wdx?
у*
3716. Можно ли вычислить по правилу Лейбница
производную функции
1 _________
F (у) =f
О
при у = О?
3717. Вычислить F' (х), если
F(x) = f e-w’dy.
3718. Найти F' (а), если:
cos а ____________ Ь+а .
a) F(a) = j ea^~*’dx; б) F(a)= f 212“£dxj
sin a x
в) F(a)=f .12.(1 + *51 dx;
J X
a
r) F(a)=Jf(x + a. x—a)dx;
Д) F(a) = | dx*J^sin (x2 + y*—a*) dy.
3719. Найти F" (x), если
F W=jf (* + y)f (y)dy,
где I (x) — дифференцируемая функция.
3720. Найти F" (x), если
»
F W = f f^/)\x—y\dy,
a
где a<Zb и f (y) — непрерывная на [a, b] функция^
3721. Найти F" (x), если
F(x) = -L.fdGf(x + g + T|)dn (/i>0),
л2 о 0
где f (x) — непрерывная функция.
3722. Найти Л"’ (х), если
F (х) = Ь (t)(x—t)a~ldt.
3722.1. Доказать формулу
Д / jjnx \ 1 Р / пя \ , ...
——- I _и— i _------ I уп cos (у -)-) dy (1)
fix'1 k х / «"♦* J * V 2 ) J ' '
О
(л = 1, 2, ...).
Пользуясь формулой (1), получить оценку:
Idn ( sin х \ I ~ 1 .
---1-----I --------- при х£-( — оо, 4-оо).
dxn \ х /I n+ I н ’
3723. Функцию f (х) = хг на промежутке 1 х с 3
приближенно заменить линейной функцией а + Ьх так,
чтобы
з
(а + Ьх —х2)2 dx = min.
3724. Получить приближенную формулу вида
\/1 + х* а; а + Ьх (О С х 1)
из условия, что среднее квадратичное отклонение функ-
ций а + Ьх и + х2 иа данном промежутке [0, 11
является минимальным.
3725. Найти производные от полных эллиптических
интегралов
П/2
Е(k) = j -0—&2sin2<p dtp
й
п/2
F (й) = C ....d(?------ (0<&< 1)
j "\/1 — k2 sin8 <p
o
и выразить их через функции Е (k) и F (k).
Показать, что Е (k) удовлетворяет дифференциаль-
ному уравнению
Е" (k) + ±E' (*) 4--^- = °.
k 1 — Л*
8726. Доказать, что функция Бесселя целого индекса п
1 ?
Jn (х) = — I cos (лф—х sin ф) dtp
Я о
удовлетворяет уравнению Бесселя
xlJn{x\ + xj;(x) 4- (x’^rt2) J„(x) = 0.
3727. Пусть / fa) = С , где функция <р (х)
j Va— х
о
непрерывна вместе со своей производной <р' (х) на сег-
менте О < х С а.
Доказать, что при 0 < a < а имеем:
/Ча^-Ф^-Д. <(х) dx.
л/а j -\/а —х
о
Указание. Положить х = at.
3728. Показать, что функция
1
и (х) =|К(х, y)v(y)dy,
где
„ . . f х (1— у), если X су.
К(х, у) = { v а
( 1/(1—х), если х>у,
и v (у) непрерывна, удовлетворяет уравнению
и" (х) = — v (х) (О С х С 1).
3729. Найти F'x'y(x, у), если
F (х, у) — f (х— yz)f (z)dz,
xly
где f (z) — дифференцируемая функция.
3730. Пусть f (х) — дважды дифференцируемая функ-
ция и F (х) — дифференцируемая функция.
Доказать, что функция
и(х, O = -L(f(X—at) + f (х + а/)1 + -т~ f F(z)dz
2 2a x—at
удовлетворяет уравнению колебаний струны
дги
-----------------------= a2----
dfl дх*
и начальным условиям: и (х, 0) = f (х), u't (х, 0)’ = F (х].
3731. Показать, что если функция f (х) непрерывна
на сегменте [0, I] и (х—I)2 + у2 + г? =#= 0 при 0
то функция
+ У +
w(x, у, z) = ^
о
удовлетворяет уравнению Лапласа
дги дги . дги Q
дхг дуг дг*
Применяя дифференцирование по параметру, вы-
числить следующие интегралы:
я/2
3732. J In (a2 sin2 х + Ьг cos2 х) dx.
3733. j In (1 —2а cos х + а2) dx.
п/2
3734, f arctg (a tg ж)
J ‘S«
О
Я/2
3735. С ln---±-acos-.-^- (|а|<1)
J 1 — а cos ж cos ж
О
3736. Пользуясь формулой
arctg ж (* dy
х J 1 + хгу*
о
вычислить интеграл
1
Г arctg ж dx
J * Vi —«2
о
3737. Применяя интегрирование под знаком интег-
рала, вычислить интеграл
(а>0, Ь>0).
J In ж
о
3738. Вычислить интегралы:
а) С sin fin —А х —-"-dx;
J < ж J in ж
о
б) Ceos (In —А ——— dx (а>О, b>0).
J < ж J in ж
3739. Пусть F (k) и F (k) — полные эллиптические
интегралы (см. задачу 3725). Доказать формулы
a) f F (k)kdk=E (k)—k2F (k);
О
k
6) J E (k) kdk = [(1 + A2) E (k)—k2F (ft)],
о
где k\ = 1—k2.
3740. Доказать формулу
X
j xJ0 (x) dx = xJ, (x),
где Jo (x) и J j (x) — функции Бесселя индексов 0 и 1
(см. задачу 3726).
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие
от параметра.
Равномерная сходимость интегралов
1°. Определение равномерной сходи-
мости. Сходящийся несобственный интеграл
-foe. Ь
j / (х, у) dx = lim f f (x, у) dx, (I)
о г>-»4-оо “
где функция f (х, у) непрерывна в области а < -+ оо,
Уь < У < Уг- называется равномерно сходящимся в интервале
(Уh Уг)> если для любого е > 0 существует число В = В (е)
такое, что при всяком b > В имеем:
4-00
f(xt у) dx <е (У!<*У< yz).
ь
Равномерная сходимость интеграла (1) эквивалентна равно-
мерной сходимости всех рядов вида
» аЛ+1
£ У Нх. У) dx, (2)
л=0 ап
где а= а0 < ах < аг < . , . <ап < ал+1 < ... и lim ал=+ оо.
Л-+-0О
Если интеграл (1) сходится равномерно в интервале (ylt у£,
то он представляет собой непрерывную функцию
Параметра у в этом интервале.
2°. Критерий Коши. Для равномерной сходимоста
интеграла (1) в интервале (i/i, у г) необходимо и достаточно,
25-2МЗ
чтобы для любого в > 0 существовало число В = В (е) такое,
что
<в при yi<y<y2,
если только Ь' > В и Ь” > В.
3“. Критерий Вей'ерштрасса. Для равномер-
ной сходимости интеграла (1) достаточно, чтобы существовала
не зависящая от параметра у мажорирующая функция F (х)
такая, что
О I j (*. У) I F (х) при а х < + оо
и
+<»
2) f F(x)dx<3 + oo.
а
4°. Аналогичные теоремы имеют место для несобственных
интегралов от разрывных функций.
Определить области сходимости интегралов:
4-00
Г е-ах
3741. \ ----------dx.
J 1+ х2
о
3742. f —cos-- dx.
J x*> + x«
3743. f -^i-dx.
J xp
о
3744. ( —--------.
J |lnx|₽
4-«>
3746. f ——— dx (p>0).
J xP -|- sin x
о
При помощи сравнения с рядами исследовать схо-
димость следующих интегралов:
3747.
4-00
f SSH-dx.
J x-f- a
4-оо
3748. С ---—------(л>0).
J 1 -f- хп sin* х
о
+“ .
3749. ( ---3"d<---•
J Хр /sin1 2 X
п
3750. Т sin <x + ^) dr.
J хл
О
3751. Сформулировать в положительном смысле, что
4-00
значит, что интеграл f f (х, у) dx сходится неравно-
а
мерно в заданном интервале (уи уг)?
4-00
3752. Доказать, что если 1) интеграл f f (х) dx схо-
а
днтся и 2) функция ф (х, у) ограничена и монотонна
по х, то интеграл
+»
J /(х)ф(х, y)dx
а
сходится равномерно (б соответствующей области).
3753. Доказать, что равномерно сходящийся интеграл
1= j е if \ u)dx (O<i/<1)
нельзя мажорировать сходящимся интегралом, не за-
висящим от параметра.
+»
3754. Показать, что интеграл / = J a,e~axdx
1) сходится равномерно в любом промежутке
0<а < а < i и
2) сходится неравномерно в промежутке 0 < а < Ь.
3755. Доказать, что интеграл Дирихле
/=+J J^-dx
о
1) сходится равномерно на каждом сегменте [а, &], не
содержащем значения а = 0, и 2) сходится неравно-
мерно на каждом сегменте [а, 6], содержащем значе-
ние а = 0.
25*
3755 .1. Исследовать на равномерную сходимость
интеграл
4-00
Г ах
J ха
1
в следующих промежутках: а) 1 < а0 < а < + оо;
б) 1 < а <; + оо,
3755 .2. Исследовать на равномерную сходимость
интеграл
г dx п _ _,
\ — при 0<а< 1.
J *а
о
3755 .3. Показать, что интеграл J —— сходится
о
неравномерно в интервале 1 < а < + оо.
Исследовать на равномерную сходимость в указан-
ных промежутках следующие интегралы:
+оо
3756. J e~uxsinxdx (0<а0 < а< + <»)•
3757. (а a sS b).
4-00
3758. f -c-os?4-dx ( —оо<а<4-оо).
J 1 + *
3759.
4-00
dx
(х-а)г+1
о
(О < а< + оо).
4-00
3760. ( -^-e-axdx (0<а<+°°)-
J х
о
ОС
3760.1. f --nP4- dx (0 р < 10).
J X V*
4-00
3761. С e~at-^-dx (0^а<Ч-оо),
где р>0 фиксировано.
+°»
3762. j л/а e~ax'dx (0 < а< + оо).
4-00
3763. f e-<x“a>’dr, а) а<а<&; б) — оо<а<4-оо.
— в»
4-00
3764. j е~х'<’+«*»sinxdy ( — оо<х<4-оо).
+“ . 2
3765. \ -sin — dx (р>0).
J 1 + *₽
о
3765.1. Подобрать число b > 0 так, чтобы
4-00
0< I ———<е при 1,1 ^.п < 10, где е = 10"в.
J 1 + х"
ь
1
3766. Jxp-1ln’ — dx; а) р>ро>О; б) р>0
о
(<7> —1).
1
3767. С — * — dx (0 < п < 4- оо).
J Vi—«г
о
1
3768. fsin —.— (0<п<2).
J х хп
о
2
---------------f|a|<—V
^(х-1)(х-2)г---2 J
i
3770. С —sinax— dx (0 < а < 1).
J V|x — а |
о
3771. Интеграл называется равномерно сходящимся
при данном значении параметра, если он равномерно
сходится в некоторой окрестности этого значения. До-
казать, что интеграл
3769.
сходится равномерно при каждом значении а 0 и не
сходится равномерно при а = 0.
3772. Законен ли переход к пределу под знаком
интеграла в выражении
+°°
lim J ae~axdx?
3773. Функция f (х) интегрируема в промежутке
(0, + оо). Доказать формулу
lim f e~axf(x)dx— f f(x)dx.
a->4-0 о о
3773.1. Доказать, что если f (x) абсолютно интегри-
руема на [а, + оо ], то существует lim f (х).
X ► }-оо
3774. Доказать, что
+»
lim J /(x)sin nxdx = Q,
n-t’oa 0
если функция f (х) абсолютно интегрируема в про-
межутке (0, + оо).
3775. Доказать, что если 1) f (х, у) f (х, у0) в каж-
дом конечном интервале (а, Ь); 2) (х, z/)| < F (х), где
Ч-»
J F (х) dx < + оо, то
а
4~оо 4*°°
lim J f(x, y)dx = f lim/(x, у) dx.
У^-Уо a a y-*y,
3776. Вычислить интеграл
J e~x?dx= J lim +
о 0
используя предельный переход под знаком интеграла.
3776.1. Пусть f (х) — непрерывна и ограничена на
Ю, + оо). Доказать, что
lim — +f -f^-dx = /(O).
у-*Ь Я J Ха+уг
и
3776.2. Найти
ОО
lim f ———.
n-»oo J Xn + I
0
3777. Доказать, что интеграл
есть непрерывная функция параметра а.
3777.1. Показать, что
С 8,ПТ
f(a)=J
о
есть непрерывная функция в интервале 0<a< 1.
3778. Определить точки разрыва функции
4-00
F(a)-J
О
dx.
X
Построить график функции у = F (а).
Исследовать на непрерывность в указанных проме-
жутках следующие функции:
Н"°°
3779. F(a)= С —х<*х при а>2.
J 2+
о
4-00
3780. F (а) = С ~— dx при а>0.
3781. F (а) = С-—-----dx при 0<а<2.
j ха (л — х)“
о
4-00
3782. F(a)= f е~* dx при 0<а<1.
j |sinx|“
о
+»
3783. F(a) = \ ae~xa'dx при —оо<;а<4-оо.
§ 3. Дифференцирование и интегрирование
несобственных интегралов под знаком интеграла
1”. Д и ф ф е р е н ц и р о в а н и е по параметру.
Если 1) функция I (х, у) непрерывна вместе со своей, произ-
водной f' (х, у) в области а х < + оо , yt < у < у2\
4*00 4-00
2) J L (х, у) dx сходится; 3) J f'v (х, у) dx сходится равномерно
а а
в интервале (ylt уг), то
d +г°° ’
f I (х, у) dx = J ty (х, у) dx
dy а а
прн ух < у < Уг (правило Лейбница).
2°. Формула интегрирования по пара-
метру. Если 1) функция / (х, у) непрерывна при х>а и
+°°
У1^У ^Уг> 2) Г I (х, у) dx сходится равномерно в конечном
а
сегменте [ylt у2], то
4-00 4-00 у,
J dy j f(x, y)dx = J dxj f (x, y)dy. (1)
Ki a ay,
Если f (x, у) > 0, то формула (1) верна также и для беско-
нечного промежутка (t/x, Уг) в предположении, что внутренние
интегралы равенства (1) непрерывны и одна из частей равенства
(1) имеет смысл.
3784. Пользуясь формулой
f xn-‘dx = — (п> 0),
О п
вычислить интеграл
1
/ = [ хп~1 lnm х dx, пет — натуральное число,
о
3785. Пользуясь формулой
(а>0),
вычислить интеграл
где п—натуральное число.
3786. Доказать, что интеграл Дирихле
4-00
... f sin ах ,
1(a) — \ ----------------dx
о
имеет при а Ф 0 производную, однако ее нельзя найти
с помощью правила Лейбница.
Указание. Положить ах = у.
3787. Показать, что функция
4-00
р (“)= J
о
COS X
1 + (х+а)»
dx
непрерывна и дифференцируема в области
— оо < а < + .
3788. Исходя из равенства
е-^-е-Ьх »
---------------------------------------------------- j e~xvdy,
X-------------------------а
вычислить интеграл
4-00
Г е~ах — е~Ьх
\ ---------------------dx (а>0, Ь>0).
J х
о
3789. Доказать формулу Фруллани
f J(ax)~i(bx} dx = f(O)\n~ (а>0, Ь>0),
J х а
о
4-00
С f (х)
где f (х)— непрерывная функция и интеграл I --- djs
J х
А
имеет смысл при любом А > 0.
Применяя формулу Фруллани, вычислить интегралы:
4-00
о-7лп С cosax — cos bx , , n.
3790. I -----------------dx (a>0, b>0).
о
4-00
ami C sinax —sinfrx , . л.
3791. I -----------------dx (a>0, b>0).
+°°
arctg ах —arctg 6х
х
о
(а>0, Ь>0).
С помощью дифференцирования по параметру вы-
числить следующие интегралы:
+»
3793.
(а>0, 0>О).
3794.
3795.
3796.
о
е-а*> _ е-р*>
---------------dx
X
(а>0, 0>О).
е~ах — е_рх
------------- sin тх dx
х
е—CW _ е—₽х
------------- cos тх dx
X
(а>0, Р>0).
(а>0, Р>0).
Вычислить интегралы:
3797.
х! VI — х’
3798.
хг
3799.
о
+°° ,
г arctggj^^
J xaVx2—1
о
(|а|<1).
3800.
3801.
3802.
С 1п<«г,+ ^х.
J ₽!+х’
о
V arctg ах arctg fix
J *a
о
+f° ln(I + «ax8)ln(I + P8x»)
3803. Вычислить интеграл Эйлера — Пуассона
+»
/ = Г e~x'dx,
исходя из формулы
/а= f e-^dx f xe-^dy.
о о
Пользуясь интегралом Эйлера — Пуассона, найти
величины интегралов:
+°°
3804. f е-<ал=+2»х+о dx (а>0, ас—Ьа>0).
•—оо
3805. (а1ха + 2Ь1х + с1)е-<вл*+2‘х+с>4к
(а>0, ас—2>2>О).
+°°
3806. f e~axl ch bxdx (а>0).
—ОО
4-00
3807. J e-u’+a’/^jx (а>0).
о
4-оо
f e_<XJt’— е~№
3808. \ --------------dx (а>0, 0>О).
J ха
о
4-00
3809. f e~ax,cosbx dx (а>0).
о
4-оо
3810. f хе-™'sin bx dx (а>0).
о
4-оо
3811. J х2п е~*' cos 2bx dx (n — натуральное число!»
и
3811.1. Доказать, что
lim Vх J e~axPdt= л/— (а>0, 6>0).
x-^-f-oo —б V а
3812. Исходя из интеграла
+°»
/(а)= J e-at-^Ldx (а>0),
о
396 ОТДЕЛ VII. ИНТЕГРАЛЫ. ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
вычислить интеграл Дирихле
4-00
о
^-dx.
X
3812.1. Какой примерно вид имеет график интег-
рального синуса
у = S1 х,
где
Six=f-^bLdt
J t
Используя интегралы Дирихле и Фруллани, найти
величины интегралов:
+<»
Г е—— cos 6х
3813. \ ------------dx (а>0).
J X2
о
3814. f 212-^lilfc-dx (|а|У=|р|).
J х
о
|-оо
sin «X cos ftx
X
о 0
3815.
3816. f -^—-dx.
3819. f dx.
J хг
0
8820. T-sin4gx-sin,P-x-dx (оф^О),
J *
0
3821. f -sin (xt)- dx.
X
3822. ( е-^ J“n ?Asin.Px._dx (fe>0, а>0, 0>О).
J хг
о
3823. Найти разрывный множитель Дирихле
4-00
D(x) = — ( sinXcosXx-^-
л J X
о
для различных значений х. Построить график функции
У = D (х).
3824. Вычислить интегралы:
4-00 .
S sin ах .
---------ОХ',
х+Ь
—ОО
4-00 .
хч С sin ах .
б) v. р. I ------------ах.
—оо
3825. Пользуясь формулой
—:—= Г e-^+^dy,
14- х2 oJ *
вычислить интеграл Лапласа
4-00
Г cos ах
J 1 + х Х‘
о
3826. Вычислить
интеграл
х sin ах
1 + х
Вычислить интегралы:
3827. ( dx.
J 1 + х2
о
3828. ( —-ttX- dx.
J (1 + х2)2
4-00
3829. j
— ОО
cos ах
ах2 + 2&х + с
dx (а>0, ас—Ь2>0).
3830. Пользуясь формулой
(х>0),
вычислить интегралы Френеля
4~оо Ч"°°
sin(x2)dx = — \ sin_f- dx,
о о V*
• / 9\ j 1 • COS X j
\ cos(x2)ax = — \ -------ах.
О 2 о V*
Найти величины интегралов:
+-°°
3831. J sin (ах2 + 2bx -\-c)dx (а =/= 0).
*-00
+°°
3832. J sinx2-cos 2axdx.
*—оо
3833. f cos х2 • cos 2ах dx.
—со
3834. Доказать формулы:
4-00
COS «X
оа —ха
о
J Л
ах =— sinaa;
2a
4-00
2> У
о
х sin ax j л
-----------------dx -------------- cos aa,
оа — ха---------------2
где a 0 и интегралы понимаются в смысле главного
значения Коши.
3835. Найти преобразование Лапласа
FW-'T e-*f(t)dt (р>0)
для функции f (/), если:
а) — (п—натуральное число);
6)f(0 = VT: B)f(O=e“';
г) f (0 = te~at; д) f(t) = cos t\
ж) f (/) = sin a yft.
3836. Доказать формулу (интеграл Липшица)
+“ 1
I e~aZJ0 (&0 dt = — ' " (а>0),
J V“’+6’
о
1 г
где Jo W = — J cos (х sin <р) dtp— функция Бесселя
л о
0-го индекса (см. задачу 3726).
3837. Найти преобразование Вейерштрасса
F (х) = —+j° f (у) dy,
"уЛ *-oo
еслр:
a) f (y) = 1; 6) f (y) = y2;
в) f (y) — e**', r) f (y) = cos ay.
3838. Многочлены Чебышева — Эрмита определяются
формулами
Яп(х) = (-1)^*^-(е-^) (n = 0, 1, 2, ...).
Доказать, что
+.“ (0, если т Ф п\
J Hm(x)Hn(x)e~xdx—\п„ , /—
J» т v 7 ( 2лп1 'у/п, если т = п.
3839. Вычислить интеграл
<р(х)
1
2najaa
<Х—Е)« 1
°2 -L
(a^O, о2 > 0),
имеющий важное значение в теории вероятностей.
3840. Пусть функция f (х) непрерывна и абсолютно
интегрируема на промежутке (— оо, 4- оо).
Доказать, что интеграл
и(х,
х)»
4аЧ
dS
удовлетворяет уравнению теплопроводности
ди 1 &и
dt
а' дх»
и начальному условию
lim и (х, t) = f (х).
I-+0
§ 4. Эйлеровы интегралы
1°. Гамма-функция. При х > 0 имеем:
4-00
Г (х) = J tx~1e~ldt.
Основное свойство гамма-функции выражается формулой по-
нижения
Г (х + 1) = хГ (х).
Если п — целое положительное число, то
Г (п) = (п — 1)1; Г (п + -0 = ^2~—•
2°. Формула дополнения. При 0 < х < 1
имеем:
Г(х)Г(1-х)= /.......
sin яг
3°. Бета-фуикция. При х > 0 и у > 0 имеем:
1
В(х, У) =J tx~l dt
о
Справедлива формула
3841. Доказать, что гамма-функция Г (х) непрерывна
и обладает непрерывными производными всех порядков
в области х > 0.
3842. Доказать, что бета-функция В (х, у) непрерывна
и обладает непрерывными производными всех порядков
b области х > 0, у > 0.
С помощью эйлеровых интегралов вычислить сле-
дующие интегралы:
1 ______ а ____________________
3843. (-у/х—х2 dx. 3844. jx2Va2—х2 dx (а>0).
о о
3845. ( —dx.
J (1 + х)2
3846.
dx
1 + х*
4-00
3847.
J l + x*
о
п/2
3848. J sin*x*cos4x dx.
о
i
3849. C----------- (n>l).
J
о
+“
3850. f x2ne~x’dx (n—целое положительное),
Определить область Существования и выразить че-
рез эйлеровы интегралы следующие интегралы:
4-00
3851. f ——dx (п>0).
J 1 + *"
о
3852.
(1 + х)п
dx.
4-00
3853. С ——------- (а>0, Ь>0, п>0).
J (а+6хп)р v
О
ъ
3854. С ^-^^-^"-dx (0<а<Ь, с>0).
J (х +£)"*+'*+»
3855. (----—---- (т>0).
J У1 — хт
О
п/2 л/2
3856. j sinmxcos” xdx. 3857. f tgnx dx-.
8858’ f (0<|fe|<l).
J (l + fccosx)n
26~2“з
о
3859. f e-xndx (n>0).
о
4-00
3860. f xme~xndx.
о
3861. К 0 4-00 In “У
3862. xPe~ax In x dx
0
3863. 4-00 0 ^J^-dx. 1 + x
3864. 4~OO J -^Li^dx. l + x
00 -^-dx. l + x»
3864.1 J' 0
3865. 4-00 xp-t — x«-* d
0 (1 + x) In x
3866. I C xp“x — X~P J \ dx
(а>0).
1-х
(0<р<1).
3864.2. f —--dx.
J 1 + x4
0
о
Указание. Этот интеграл можно рассматривать как
lim [В (р, е) — В (1 — р, е)).
е-»4-0
4-00
3867. f -^^dx(O<a<₽).
J sh ₽x
о
1 a+1
3868. f In Г (x) dx. 3869, j In Г (x) dx (a>0).
0 a
1
3870. pn Г (x) sin лх dx.
i
3871, f 1пГ (x)cos 2nnxdx (n — натуральное число),
о
Доказать равенства:
3872. С — -------f —= — '
j Vi —-** J Vi—** 4
о о
-|-оо -f-oo
3873. f e~x‘dx- ( x2e~x'dx =—
о о вУг
л +~
3874‘ П J x'n_le_*ndx = (~)',_2'(2jr)"'^"'
m=I q
4-оо
3875. lim f e-x"dx = l.
П->ОО 0
1 1 +c°
Используя равенство—^- = - J tm*-xe^xtdi (x>0),
найти интегралы:
4-00
C cos ах
3876. J —^T~dx (0<m<l).
о
+“ .
3877. C sina< dx (0</n<2).
J x™
о
3878. Доказать формулы Эйлера:
a) f tx~' e~ u cos “ cos (kt sin a) dt = - cos ax;
0 k*
6) f tx-1e“ w cos a sin (kt sin a) dt = Г sin ax
о k*
(x>0, x>0.
3879. Найти длину дуги кривой
г” = ап cos n«p (а > 0, п — натуральное).
3880. Найти площадь, ограниченную кривой
|х]п + 1^]я = ап (п>0, а>0).
§ 5. Интегральная формула Фурье
1°. Представление функции интегра-
лом Фурье. Если 1) функция j (х) задана на оси — оо <з
< х < +<», 2) кусочно-непрерывна вместе со своей производ-
ной I' (х) в каждом конечном промежутке и 3) абсолютно инте-
грируема на интервале (—оо, Н-со), то во всех своих точках не-
прерывности она допускает представление в форме интеграла
Фурье-.
+»
f (х) = J [а (X) cos Хх + b (X) sin Хх] dX, (1)
oJ
где
! +г“ 1 +г“
а(Х)=— J fGJcosXgdgH 6(Х) =— J ©sinXfcd?.
Я —оо Л “*оо
В точках разрыва функции I (х) левая часть формулы (1) должна
быть заменена иа — {/ (х + 0) + / (х — 0)].
Для четной функции f, (х), с тем же замечанием относительно
точек разрыва, формула (1.) дает:
+*
f(x)= f a(X)cosXxdX, (2)
о
где
2 V
а(Х)=— \ f©cosXgdg.
я о
Аналогично для нечетной функции ( (х) получаем:
4-00
f(x)= j 6 (X) sin Хх dX, (3)
О
где
2 +г°
6(Х) = — f f (g) sinX£d£.
л о
2°. Представление функции интегралом
Фурье в интервале (0, + “>)• Функция / (х), заданная
в интервале (О, +оо) и кусочно-непрерывная вместе со своей
производной I' (х) на каждом конечном интервале (а, 6) с
с(0,+ <х>), абсолютно интегрируемая на (0,+ <»), по желанию
может быть представлена в данном интервале или формулой (2)
(четное продолжение), или формулой (3) (нечетное продолжение).
Представить интегралом Фурье следующие функции:
3881. /(*) =
3882. /(х) =
1, если |х|<1;
О, если |х|>1.
sgnx, если |х|<1:
О, если |х|>1.
3883. f (х) = sgn (х—а)—sgn (х—Ь) (Ь^а).
3884. f(x) =
3885. f (х) =
3886. f (х) =
О,
1
а 7
если |х|>а.
(а>0).
(а>0).
а»+х2
х
I sinx, если |х| < л;
/ W —|Qt если |х|>л
3888. f(x) =
3889. НО =
, , , л
cosx, если х <—:
1 1 2
О, если I х | > —.
1 2
A sin at, если |/| <
ш
.,, 2пп ,
если г|>------(л —нату-
<0
ральное число).
3890. f(x) = e-“l*l (а>0).
3891. f (х) — е~а 1 х 1 cos 0х (а >0).
3892. f (х) = е~а 1 х 1 sin 0х (а>0).
3893. f(x) = e~x'. 3894. f(x) = xe~*.
3895. Функцию f (х) — е~х (0 < х < + оо) пред-
ставить интегралом Фурье, продолжая ее а) четным об-
разом; б) нечетным образом.
Найти преобразование Фурье
F(x) =—f f(t)e~“xdt=—lim f f(t)e~“xdt
Л V2n '^+“4
для функции f (0, если:
3896. f(x) = e-“i*i
3897. f(x)=xc-“i*i
3898. f(x) = e~^2.
(a>0).
(a>0).
3899. f (x) = e~ x'/2 cos ax.
3900. Найти функции <p (x) и ф (x), если:
a) J ф(г/)созх«/^ = -у-р-^-;
4-00
$ f Ф0/) sin xydy = e~x (x>0).
0
§ 1. Двойные интегралы
1°. Непосредственное вычисление двой-
ного интеграла. Двойным интегралом от непрерывной
функции I (к, у), распространенным на ограниченную замкну-
тую квадрируемую область О, называется число
[ f I (х, у) dx dy = lim V у / (xh у,) Лх^у^
JJ maxi л-л л-*
° max |д^ |-»0 * I
где Дх, = х(+1 — xt, &yj — y/+t — у/ и сумма распростра-
няется на те значения i и j, для которых (х,, у/) £ft.
Если область О задана неравенствами
а х Ь, У1 (х) s=^y уг (х),
где уг (х) и уг (х) — непрерывные функции на сегменте [а, Ь],
то соответствующий двойной интеграл может быть вычислен по
формуле
ь уа(х)
у) dxdy^^dx J f (х, у) dy.
О а у, (х)
2°. Замена переменных в двойном инте-
грале. Если непрерывно дифференцируемые функции
х = х (и, о), у = у (и, о)
осуществляют одно-однозначное отображение ограниченной и
замкнутой области О в плоскости Оху на область Q' в плоско-
сти Оии, и якобиан
; О (х, у)
D(u, v)
сохраняет постоянный знак в ft за исключением, быть может,
множества меры нуль, то справедлива фо^ула
И f (х, y)dxdy = JJ f (х (и, V), у (и, о)) 111 du do.
а Q'
В частности, для случая перехода к полярным координа-
там г и ф по формулам х = г cos ф, у = .г sin ф имеем:
5 I / (*. y)dxdi/=(ff (гcos ф, г sin ф) г dr d<y
q Q'
3901. Вычислить интеграл xydxdy,
рассматривая его как предел интегральной суммы, раз-
бивая область интегрирования на квадраты прямыми
х = i/n, у — jin (t, j — 1, 2, . . . , п—1)
и выбирая значение подынтегральной функции в пра-
вых верхних вершинах этих квадратов.
3902. Составить нижнюю S и верхнюю S интеграль-
ные суммы для функции f (х, у) = х2 + у2 в области
1 х < 2, 1 < у < 3, разбивая последнюю на прямо-
угольники прямыми
х = 1 + —, у = 1 + — (i, / = 0, 1, . . . , п).
п п
Чему равны пределы этих сумм при п -> оо?
3903. Приближенно вычислить интеграл
Г Г dx dy ,
J J V24-i-x24-i/2
х’-Н'<25
аппроксимируя область интегрирования системой вписан-
ных квадратов, вершины которых Ац находятся в целочис-
ленных точках, и выбирая значения подынтегральной
функции в вершинах этих квадратов, наиболее удален-
ных от начала координат. Сравнить полученный резуль-
тат с точным значением интеграла. _____
3904. Приближенно вычислить интеграл f f -\jx-\-y dS,
s
где S — треугольник, ограниченный прямыми х = 0,
у — 0 и х + у = 1, разбив область S прямыми х —
= const, у = const, х + у — const на четыре равных
треугольника и выбрав значение подынтегральной функ-
ции в центрах тяжестей этих треугольников.
3905. Область S {х2 + у2 < 1} разбита на конечное
число квадрируемых частей AS, (i = 1, 2, . . . , п) диа-
метра меньше чем 6. При каком значении 6 будет обес-
печено выполнение неравенства
n I
sin (х 4- у) dS — £ sin (xz + yt) AS J <0,001,
где (xt, yt) £ AS,?
Вычислить интегралы:
11 1 х
3906. j dx f (х 4- у) dy. 3907. fdxl xy2dy.
0 0 Ox2
2л a
3908. £ r2 sin2q> dr.
3909. Доказать равенство
A В
П X(x)Y(y)dxdy = f X(x)dx- f Y (y)dy,
R а Ъ
если R — прямоугольник: a < x < A, b < у В, и
функции X (x) и Y (у) непрерывны на соответствующих
сегментах.
А в
3910. Вычислить 7 = f dxf f (х, у) dy, если
а b
f (X, у) = F” (х, у).
3911. Пусть f (х) — непрерывная функция в проме-
жутке а < х < Ь. Доказать неравенство
[f/(x)dxl < (b—a)f/2(x)dx,
La J a
где знак равенства имеет место лишь, если f (х) = const-
Указание. Рассмотреть интеграл
ь ь
J dx J [f (х) — f (у)]г dy.
а а
3912. Какой знак имеют интегралы:
а)
б)
в)
Jf ln(x2 + y2) dxdy;
|xl+l</|Cl
И V 1—X2—у2 dxdy,
j | arcsin (х+ у) dx dy?
0<х<1
—X
3913. Найти среднее значение функции
f (х, у) — sin2x sin2i/
в квадрате: 0 < х < л, 0 < у < л.
3914. Пользуясь теоремой о среднем, оценить ин-
теграл
_________dxdy_________
100 4- cos2 x + cos2 у
lxl+Ull<10
3915. Найти среднее значение квадрата расстояния
точки круга (х—а)2 + (у— b)2 < R2 от начала коор-
динат.
В задачах 3916—3922 в двойном интеграле
(х, у) dxdy расставить пределы интегрирования в
Q
том и другом порядке для указанных областей Q.
3916. Q — треугольник с вершинами О (0, 0), А (1, 0),
В(1, 1).
3917. Q—треугольник с вершинами 0(0, 0),
А (2, 1), В (—2, 1).
3918. Q —трапеция с вершинами О (0, 0), А (1, 0),
В (1, 2), С (0, 1).
3919. £2 — круг х2 + у2 < 1.
3920. Q — круг х2 + у2 < у.
3921. Q— параболический сегмент, ограниченный
кривыми у = х2 и у = 1.
3922. Q — круговое кольцо 1 < х2 + у2 < 4.
3923. Доказать формулу Дирихле
У) dx — ^dy f {х, y)dx (а>0).
Изменить порядок интегрирования в следующих
интегралах:
3924. fdxj f{x, y)dy. 3925. f dx T f (x, y)dy.
0 x —6 1
1 xa
3926. J dx f f (x, y) dy.
0 V
3927. f dx ^/(х, y)dy.
_i —Vi—
2 -V2x—
3828. (dx J f(x, y)dy.
1 2-x
3929. J f(x, y)dy (a>0).
0 *Дах—>е
3930. fdx f f(x, y)dy.
i о
2л sin x
3931. f dx J f{x, y)dy.
о 0
Вычислить следующие интегралы:
3932. Ц xy2dx dy, если область Я ограничена па-
Q
раболой у2 = 2рх и прямой х = р/2 (р > 0).
3933. С С ——(а > 0), если область Я ограни-
П
о
чена кратчайшей дугой окружности с центром в точке
(а, а) радиуса а, касающейся осей координат, и осями
координат.
3934. у J | ху \dx dy, если Я — круг радиуса а о
а
центром в начале координат.
3935. J J (х2 + у2) dx dy, если Я — параллелограмм
Q
со сторонами у ~ х, у = х + а, у = а п у =? За (а > 0).
3936. J J y2dx dy, если Я ограничена осью абсцисс
я
и первой аркой циклоиды х = a (t — sin t), у =
— а (1 — cos t) (0 С t С 2л).
В двой ном и нте гр ала
yjf(*. y)dxdy
Q
перейти к полярным координатам г и ф, полагая х =
= г cos ф и у = г sin <р, и расставить пределы интегри-
рования, если:
3937. Я — круг х2 + у2 < а2.
3938. Я — круг х2 + у2 С ах (а > 0).
3939. Я — кольцо а2 < х2 4- у2 < Ь2.
3940. Я — треугольник 1; 0 < у < 1—х.
3941. Я — параболический сегмент — а < х С а;
хЧа < у < а.
3942. В каком случае после перехода к полярным
координатам пределы интегрирования будут посто-
янные?
Перейти к полярным координатам г и <р, полагая
х = г cos <р и у = г sin ф, и расставить пределы интег-
рирования в том и другом порядке в следующих интег-
ралах:
1 1 1 vr7?
3943. Wf(x, y)dy, 3944. У dx У f (х, y)dy.
0 0 О I—х
2 х V3 ___________
3945. fdx f /(7x2H-t^)d^
О x
1 xa
3946. J dx f f (x, y)dy.
о о
3947. j J f (x, y) dx dy, где область Я ограничена
я
кривой (х2 + У2)2 = а2 (х2—у2) (х > 0).
Предполагая, что г и ф — полярные координаты,
изменить порядок интегрирования в следующих инте-
гралах:
л/2 a cos <₽
3948. j dip J / (ф, r) dr (a>0).
—Я/2 0
л/2 a -Vsin 2Ф
3949. J d<p J f(q>, r)dr (a>0).
0 0
3950. У^фУ/(ф, r)dr (0<a<2n).
Перейдя к полярным координатам, заменить двой-
ные интегралы однократными:
3951. Jf fW^+y^dxdy.
3952. П/ (V^+V)dxdy, Q = {|f/|C|x|; |x |<1}.
я
3953.
У J1 И)л*-
Переходя к полярным координатам, вычислить сле-
дующие двойные интегралы:
3954. fx2-{-y2 dxdy.
x2+»2<a2
3955. f У sin Ух2 4- у2 dxdy.
n*<x24-ji’<4n2
3956. Квадрат S {а < х < а + h, b <. y<Z b + h}
(а > 0, b > 0) с помощью системы функций
и = уЧх, v = '\[ху'
преобразуется в область S'. Найти отношение площади
области S' к площади S. Чему равен предел этого от-
ношения при А -> 0?
Вместо х и у ввести новые переменные иной опреде-
лить пределы интегрирования в следующих двойных
интегралах:
ь рх
3957. J dx f f (х, у) dy (0<a<b; 0 < а < g),
а ах
если и = х. v = у/х.
2 2—х
3958. f dx f f (x, у) dy, если и = x + у, v = x—у.
0 I— X
3959. j j f (x, y) dx dy, где область Я ограничена
Q _
кривыми д/х 4- “\Jy = л/а, х = О, у = 0 (а > 0),
если х = и cos*», у — и sin*».
3960. Показать, что замена переменных
х + у = £, у =
переводит треугольник 0 < х < 1, 0 < у < 1 — х в
единичный квадрат 0 < £ < 1, 0 < г) 1.
3961. При какой замене переменных криволинейный
четырехугольник, ограниченный кривыми ху = 1,
ку = 2, х—у 4-1=0, х—у—1 =0 (х > 0, у > 0),
перейдет в прямоугольник, стороны которого парал-
лельны осям координат?
Произведя соответствующие замены переменных, све-
сти двойные интегралы к однократным:
3962. П f (х 4- у) dx dy.
3963. jf f (ax 4- by 4- c) dx dy (a2 4- b2 0).
x’+
3964. J j f (xy) dx dy, где область Я ограничена
а
кривыми ху = 1, ху = 2, у = х, у — 4х (х > 0, у > 0).
Вычислить следующие двойные интегралы:
3965. [ J (х 4- у) dx dy, где область Я ограничена
о
кривой х2 4- уг = х 4- у.
3966. jf (|х| 4- \y\)dxdy.
1х1+|К1<1 ___________
3967. 1 — —;----------dxdy, где область Я
Q
X3 у3 .
ограничена эллипсом = 1.
3968. f f ix2 + y2)dxdy.
х'+у'<1
3969. J J (х 4- у) dx dy, где область Q ограничена
q
кривыми у2 = 2х, х 4- у — 4, х 4- у = 12.
3970. у у ху dx dy, где область Q ограничена кри*
И
выми ху — 1, х 4- у = 5/2.
3971. jy | cos (х4-у) | dxdy.
3972.
3973.
x2—у2 dxdy.
П Vl*/—x2l dxdy.
i*i<i
Вычислить интегралы от разрывных функций:
3974. [ у sgn (х2—у2 4- 2) dx dy.
*Ч-И<4
3975. У У [x + y]dxdy. 3976. У У ^[у-х2] dxdy.
0<х<2
0<s/<2
3977. Доказать, что ff х™у” dxdy =0, если
**+»‘<а*
тип — целые положительные числа и по меньшей
мере одно из них нечетно.
3978. Найти
Hm—у у fix, у) dxdy,
Р-» о Яр х’4-0*<р*
где f (х, у) — непрерывная функция.
3979. Найти F' (I), если
F(0= П dxdy.
3980. Найти F' (/), если
F(0= И ^/х2 + у2 dxdy.
u-n’+to-o’c
3981. Найти F' (/), если
Л0= у у fix, у) dxdy (/>0).
3982. Доказать, что если f (х, у) непрерывна, то
функция
* *4-1/—5
ч(х, г/) = -М</£ f f(g, n)dr|
2 о
удовлетворяет уравнению
3983. Пусть линии уровня функции f (х, у) — про-
стые замкнутые кривые и область S (и1( и,) ограничена
кривыми f (х, у) = и f (х, у) = v2.
Доказать, что
П f(x, y)dxdy = \ vF' (и) dv,
S (»,, v2) t>,
где F (v) — площадь, ограниченная кривыми f (x, y)=vt
и f (x, y) = v.
Указание. Область интегрирования разбить иа части,
ограниченные бесконечно близкими линиями уровня функции
I (*. У)-
§ 2. Вычисление площадей
Площадь области S, расположенной в плоскости Оху,
дается формулой
S = j f dx dy.
s
Найти площади, ограниченные следующими кри-
выми:
3984. ху = а2, х + у =~~ а (а > 0)-
3985. у2 = 2рх + р2, у2 = — 2qx + q2 (р> 0,
9>0).
3986. (х—у)2 + х2 = а2 (а > 0).
Переходя к полярным координатам, вычислить пло-
щади, ограниченные следующими кривыми:
3987. (х2 4- у2)2 = 2а2 (х2—у2)-, х2 + у2 > а2.
3988. (х3 + г/3)2 = х2 + у\ х > 0, у > 0.
3989. (х2 + у2)2 = а (х2—3ху2) (а > 0).
3990. (х2 4- у2)2 = 8а2ху; (х — а)2- 4- (у—а)2 < а2
(а>0).
Вводя обобщенные полярные координаты г и ф по
формулам
х = ar cos“ ф, у — Ьг sin“ ф (г > 0),
где а, Ь и а — надлежащим образом подобранные по«
стоянные и — = a abr cos'*-1 ф sin0-1 ф, найти
D(r, <р)
площади, ограниченные следующими кривыми (параметры
считаются положительными):
3991. J£L+J!L = JL+JL.
а2 b2 h k
3992. = JfL; x = 0, y — 0.
a» 6» h2 k2
3993. = 4 + (x>0, e/>0).
3994. pL + _£_Y = (x>0, t/>0).
3994.1 p- + -LY = ^.
\ a b J c*
399S. / + =
1; x = 0, y=Q.
Производя надлежащую замену переменных, найти
площади фигур, ограниченных кривыми:
3996. х + у = а, х + у = Ь, у = ах, У = $»
(Q < а < Ь; 0 < a < Р).
3997. ху = а2, ху = 2a2, у = х, у = 2х (х > 0;
0>О).
3998. у2 = 2рх, у2 — 2qx, х2 = 2гу, х2 = 2sy
(0 < р < q; 0 < г < s).
3998.1. х2 ~ ay, х2 = by, х? — су2, х2 = dy*
(0 < а < Ь; 0 < с < d).
3998.2. у = ахр, у = Ьхр, у = схч, у = dx^,
(0 < р < q; 0 <а< Ь; 0 < с < d).
3999. х/— +А/— =1. а/—+ а/—=2,
V а V b V а V b
-X- = JL, 4-L^JL (a>0, 6>0).
a b a b
3’99-'- (тГ+(1Г=ь (тГ+(4-Г-‘-
8T=f <">0’ ’>0)-
4000. —— 4.—-—=1, где X принимает следующие
X ~ X — с2
значения: — с2, — с2, — с2, — с2 (х>0, у>0).
3 3 3 3
4001. Найти площадь, ограниченную эллипсом
(арс 4- Ь^у 4- сх)2 4- (а2х 4- Ь^у 4- с2)2 = 1,
где б = а1й2 — a2bt =/= 0.
4002. Найти площадь, ограниченную эллипсами,
*2 У2
+ = с (“ = ы1>“г) и гиперболами
0 < < v2; х > 0, у > 0).
Указание. Положить х = с ch и cos о, у — csh u sin о.
4003. Найти площадь сечения поверхности
х2 4- у2 + г2 — ху — xz — уг = а2
плоскостью х 4- у 4- z = 0.
4004. Найти площадь сечения поверхности
— +—4-— = 0
х у г
плоскостью г = 1—2 (х + у).
§ 3. Вычисление объемов
Объем цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной по-
верхностью г — I (х, у) 0, снизу плоскостью г = 0 и с боков
прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей из пло«
скости Оху квадрируемую область О (рис. 14), равен
V = J J / (х. y)dxdy.
а
4005. Нарисовать тело, объем которого равен ин-
тегралу
V = \dx J (x2 + y2)dy.
о о
4006. Изобразить объемы, выражаемые следующими
двойными интегралами:
а) И (x + y)dxdy,
х>0, ^>0
б> $$ V'--г—
*/Ч-Уг№
В) Jf (x2 + y2)dxdy,
W+I//K1
Г) U Vх2 4-№ dxdy>
Х'+У'^х
д) И
х<й<2х
е) f f sin л Vx® + '/’ dx dy.
*+у'<У
Найти объемы тел, ограниченных следующими по«
верхностями:
4007. г = 1 4- х + у, г = 0, х + у=1, х = 0,
у = 0.
4008. х 4- у + г = а, х2 + у2 = R\ х = 0, у = 0,
г = 0 (а > /?V 2).
4009. г = х2 4- у2, у = х2, у = 1, 2 = 0.
4010. г = cos х cos у, г = 0, | х 4* у} < л/2,
jx — yi < л/2.
4011. г = sin-^- , г = 0, у = х, у = 0, х — к.
2х
4012. г = ху, х 4- у 4- г = 1, г = 0.
Переходя к полярным координатам, найти объемы
тел, ограниченных следующими поверхностям#!
4013. г2 = ху, х2 4- у' = а’«
27—2383
4014. 2 = х 4- у, (х2 4- у2)2 = 2ху, 2 = 0 (х > 0,
У> 0).
4015. 2 = х2 4- у2, х2 4- у2 = х, х2 4- у2 = 2х, г =0.
4016. х2 4- У2 4- г2 = а2, х2 4- у2 > а | х | (а > 0).
4017. х2 4- у2—аг = 0, (х2 + У2)2 = а2 (х2—у2),
2 = 0 (а > 0).
4018. г = е~{х,+у'\ г = 0, х2 4- у2 = R2.
4019. 2 — с cos я , 2 = 0, у = х tg а,
# = х tg 0 (а>0, с>0, 0 «£ а<0 «5 2л).
4020. z = х2 4- у2, z = х + у.
Найти объемы тел, ограниченных следующими по-
верхностями (параметры предполагаются положитель-
ными):
4021. JL+J!L+jL = i, jL+_yL = .jL (2>0). а* ' 6» ' с* а» с2
4022. & к ст ст о* г II ИСТ к СТ СТ О* «£• « СТ СТ*
4023. = _iL + _EL = JL + JL, г = 0. аг ba с а* Ьг а b
4024. (-Т-+—Y 4-—= 1, 2 = 0. ' а2 Ь2 ) с
4025. о II N О 11^ О II >< II е* 1 еч N U 4- 4-
4026. ** м еч еч н о ст « еч .Q « СТ м а pH СТ СТ N U %
4027. г2 = ху, х 4- у = а, х + у = b (0< а < Ь).
4028. г = х2 4* у2, ху = а2, ху — 2а2, у =-^->
у = 2х, 2 = 0.
4029. 2 = ху, х2 = у, х2 = 2у, у2 = х, у2 = 2х,
2=0.
4030. 2 = с sin^—, 2 = 0, ху=а\ у — ах, у = fix
(0 < а < 0; х > 0).
4031. 2 = х372 4- «Л2, 2 = 0, х+у = 1, х = 0, у =0.
4032. -4- —4-~=1, (—Y/34-f—Y/3=l»
с \ a J \ b J *
2 = 0.
4033. z = с arctg —, г = 0, Vx24-^2 = a arctg —
X X
(У > 0).
4033.1. г = уе~*1//*, ху—а2, ху— 2а2, у = т, у = п,
z = 0 (0 < т < л).
4034. — + +— = 1, х = 0, у=0, 2=0 (л >0).
а" Ь" с» » » • \ >
4035. (-7 + -f-)"+(-7),n==1’ *=0, у=0, 2=0
(л>0, пг>0).
§ 4. Вычисление площадей поверхностей
Г. Случай явного задания поверхности.
Площадь гладкой криволинейной поверхности г — г (х, у) вы-
ражается интегралом
4$V1+(-H+(wW-
о
где П — проекция данной поверхности иа плоскость Оху.
2°. Случай параметрического задания
поверхности. Если уравнение поверхности задано пара-
метрически:
х — х (и, о), у = у (и, о), г = г (и, о),
где (и, и) £ О, Q — ограниченная замкнутая квадрируемая
область и функции х, у и г непрерывно дифференцируемы
в области £2, то для площади поверхности имеем формулу
8 = f J V — F2 du dv,
а
где
_ дх дх . ду ду . дг дг
Г ---------1-------1------.
ди dv ди dv du dv
4036. Найти площадь части поверхности аг = ху,
заключенной внутри цилиндра х2 + у2 = а2.
4037. Найти площадь поверхности тела, ограничен-
ного поверхностями г + г2 = а2, у2 4- z2 = а2.
4038. Найти площадь части сферы х2 + у2 4- г2 = аг,
х2 и*
заключенной внутри цилиндра —— Н—— =1 (t> «£ а).
4039. Найти площадь части поверхности г® = 2ху,
отсекаемой плоскостями х + г/ = 1, х = 0, у = 0.
4040. Найти площадь части поверхности х® + у2 +
+ г® = а®, расположенной вне цилиндров х® + у2 =
= ± ах (задача Вивиани).
4011. Найти площадь части поверхности г =
= V х® + у2, заключенной внутри цилиндра х® + у2 —
~ 2х.
4042. Найти площадь части поверхности г =
— yj х2—у2, заключенной внутри цилиндра (х® + у2)2=
= а2 (х2—у2).
4043. Найти площадь части поверхности г =
= -у- (х®—у2), вырезанной плоскостями х—у — ± 1,
X + у = ± 1.
4044. Найти площадь части поверхности х® + у2 =
— 2аг, заключенной внутри цилиндра (х® + у2)2 —
= 2а2ху.
4045. Найти площадь части поверхности х® + у2 —
— а2, вырезанной плоскостями х + г = 0, х—г == 0
(х > 0, у > 0).
4045.1. Найти площадь части поверхности
(х® + у2)*2 + г = 1,
отсекаемой плоскостью г = 0.
4045.2. Найти площадь части поверхности
(—+ -J-Y + —= 1.
а Ъ ) с
вырезанной плоскостями х = 0, у = 0 и г = 0.
4045.3. Найти площадь части поверхности
-iL--£-=2z,
а Ь
вырезанной поверхностью
^2 »»2
а3 Ь2
4045.4. Найти площадь части поверхности
sin z = sh x-sh у,
отсекаемой плоскостями х — 1 и х = 2 (у > 0).
4046. Найти поверхность и объем тела, ограничен-
ного поверхностями х® + у2 — z®, х+^+г=2а
(а > 01.
4047. Найти площадь части сферы, ограниченной
двумя параллелями и двумя меридианами.
4048. Найти площадь части геликоида х = г cos ф,
у — г sin <р, г = Аф, где 0 < г < а, 0 < ф < 2л.
4049. Найти площадь части поверхности тора
к — (b + a cos ф) cos ф, у — (b + a cos ф), sin ф, г —
— a sin ф (0 < а =5 Ь), ограниченной двумя меридиа-
нами Ф = Ф1, ф = фа и двумя параллелями ф = фр
ф = ф2.
Чему равна поверхность всего тора?
4050. Найти телесный угол ш, под которым виден
из начала координат прямоугольник х = а > 0,
0 *5 у Ь, 0 =С г sg с.
Вывести приближенную формулу для ш, если а ве-
лико.
§ 5. Приложения двойных интегралов к механике
1°. Ц е и т р тяжести. Если хв и у0 — координаты
центра тяжести пластинки й, лежащей в плоскости Оху, и р =
= Р (*• У) — плотность пластиикн, то
а £2
где М = j Jp dx dy — масса пластинки,
с
Если пластинка однородна, то в формулах (1) следует по-
ложить р = 1.
2°. Моменты инерции. 1Х и 1и — моменты инер-
ции пластинки (2, лежащей в плоскости Оху, относительно коор-
динатных осей Ох и Оу — выражаются соответственно формулами
I* = $ $ py'idxdy, 1У = f f рх2 dx dy, (2)
О Q
где р = р (х, у) — плотность пластинки.
Рассматривается также центробежный момент инерции
hy^^pxydxdy. (3)
Q
Полагая р = 1 в формулах (2) и (3), получим геометри-
ческие моменты инерции плоской фигуры.
4051. Найти массу квадратной пластинки со сторо-
ной а, если плотность пластинки в каждой точке про-
порциональна расстоянию этой точки от одной из вер-
шин квадрата и равна р0 в центре квадрата.
Найти координаты центра тяжести однородных пла-
стинок, ограниченных следующими кривыми:
4052. ау — х®, х + у — 2а (а > 0).
4053. V х + V У = V а, х = 0, у — 0.
4054. х2/3 + z/2/3= а2/3 (х > 0, у 0).
4055. (— + — 'j = (петля).
\ a b J с2
4056. (х® + у2)2 = 2а2ху (х > 0, у > 0).
4057. г = а (1 + cos <р), <р = 0.
4058. х = a (t — sin t), у = а (1 — cos t) (0< /<2л),
У = 0.
4059. Найти координаты центра тяжести круглой
пластинки х® 4- у2 а®, если плотность ее в точке
М {х, у) пропорциональна расстоянию точки М от точки
А (а, 0).
4060. Определить кривую, описываемую центром тя-
жести переменной площади, ограниченной кривыми:
у — -у/ 2рх, у = 0, х — X.
Найти моменты инерции 1Х и !у относительно осей
координат Ох и Оу площадей (р ~ 1), ограниченных
следующими кривыми:
4061. -f- + -L = i, JL+JL = 1, у = 0 (^>0,
п п
bz>Q, h>0).
4062. (x—a)® + (у—a)2 = a2, x = 0, у — 0 (0<x<a).
4063. r = a (1 4- cos <p).
4064. x4 4- / = a2 (x® 4* y2).
4065. xy = a®, xy = 2a2, x — 2y, 2x = у (x > 0,
F>0).
4066. Найти полярный момент
/o==y(x2 + y®)dxdy
площади S, ограниченной кривой
(х® + у2)2 = a® (х2—у2).
4066.1. Найти центробежный момент инерции Izy
однородной фигуры, ограниченной кривыми
ау — х2, ах — у2 (а > 0).
4067. Доказать формулу Ц = + Sd®, где 1Ь
/f — моменты инерции фигуры S относительно двух
параллельных осей I и /0, из которых /0 проходит через
центр тяжести фигуры ad — расстояние между этими
осями.
4068. Доказать, что момент инерции плоской обла-
сти S относительно прямой, проходящей через ее центр
тяжести О (0, 6) и составляющей угол а с осью Ох.
равен
/ = /xcos®a — 21 ху sin a cos а + /^sin^x,
где /х и 1У — моменты инерции области S относительно
осей Ох и Оу и 1ху — центробежный момент:
4069. Найти момент инерции правильного треуголь-
ника со стороной а относительно прямой, проходящей
через центр тяжести треугольника и составляющей
угол а с его высотой.
4070. Определить силу давления воды на боковую
стенку х > 0 цилиндрического сосуда х® + у® = а®,
г = 0, если уровень воды г — h.
4071. Шар радиуса а погружен в жидкость постоян-
ной плотности S на глубину h (считая от центра шара),
где й > а. Найти силу давления жидкости на верхнюю
и нижнюю части шаровой поверхности.
4072. Прямой круговой цилиндр, радиус основания
которого равен а, а высота Ь, целиком погружен в жид-
кость плотности S так, что центр его находится на глу-
бине h под поверхностью воды, а ось цилиндра состав-
ляет угол а с вертикалью. Определить силу давления
жидкости на нижнее и верхнее основания цилиндра.
4073. Определить силу притяжения однородным ци-
линдром х® + у2 < а®, 0 < г < h, материальной точки
Р (О, О, Ь), если масса цилиндра равна М, а масса точки
равна т.
4074. Распределение давления тела на площадку
смятия
дается формулой р = р0 (1
&» )
а1
Определить среднее давление тела иа эту площадку.
4075. Луг, имеющий форму прямоугольника со сто-
ронами а и Ь, равномерно покрыт скошенной травой
с плотностью, равной р кгс/м®. Какую минимальную
работу надо затратить, чтобы собрать все сено в центре
луга, если работа по транспортировке груза Р кгс на
расстояние г равна kPr (0 < Л < 1).
§ 6. Тройные интегралы
1®. Непосредственное вычисление трой-
ного интеграла. Если функция / (х, у, г) непрерывна и
область V ограничена и определяется следующими неравен-
ствами:
X! SC X Ig Xj, £l(x)sg у sg yt (x), Z, (X, y) sg Z =gz2 (X, У),
где уг (x), yt (x), zt (x, y), z2 (xt, у) — непрерывные функции,
то тройной интеграл от функции £(х, у, г), распространенный на
область V, может быть вычислен по формуле
JJp(x, д, 2)dxdyd2 — j dx J cty J /(x, y, z)dz.
V x, V, (*) z, (x, y)
Иногда удобно также применять формулу
f(x, у, z)dxdydz = j dx J J f(x, y, z)dydz,
где S (x) — сечение области V плоскостью x = const.
2°. Замена переменных в тройном ин-
теграле. Если ограниченная кубнруемая замкнутая область
V пространства Охуг взаимно однозначно отображается на об-
ласть V' пространства O'uvw с помощью непрерывно дифферен-
цируемых функций
х = х (и, ц, w), у = у (и, v, ш), г = г (и, v, w),
D (х, у, г) ,
причем якобиан I = —-------------- при (u, v, w) V , почти
D (и v, w)
всюду (в смысле меры) сохраняет постоянный знак, то справед-
лива формула
f f J f У» dx dy dz =
v
= J £ J f (х (и, V, и»), у (и, v, к>), г (и, v, w)) 111 du dv dw.
Как частные случаи, имеем: 1) цилиндрическую систему коорди-
нат <р, г, й, где
х = г cos ф, у = г sin ф, z = h.
Р(х, у, z)
D(r, ф, h)
и 2) сферическую систему координат <р, лр, г, где
х = г cos ф cos Ч5» У — r sin <р cos ip, z = г sin ip,
и
D(x, у, z) ,
---——— = r2 cos ip.
D(r. <p, ip)
Вычислить следующие тройные интегралы:
4076. J|f xy2z3dx dy dz, где область V ограни-
чена поверхностями г = ху, у = х, .х = 1, z = 0.
4077. ( С С-dx d~ dz-, где область V ограничена
J J J (1 + х + у +z)3
v
поверхностями х + у + z = 1, х = 0, у = 0, z = 0.
4078. JJJ xyzdxdydz, vjm область V ограничена
v J
поверхностями х2 + у2 + г2 — 1, х = 0, у — 0, z = 0.
4079. J j* J + -^- + ~dx dy dz, где область V
ограничена поверхностью
а» b2 с*
4080. JJJVF4- у» dx dy dz, где область V ограг
ничена поверхностями
х2 + у2 — z2, z=l.
Различными способами расставить пределы интегра-
ции в следующих тройных интегралах:
1 1—х х+у
4081. f dx f dy J f (x, y, z)dz.
обо
i i
4082. fdx f dy f /(x, y, z)dz.
—i —Vi—х» V*a+p*
1 1 x’+j»'
4083. f dx f dy J f(x,y, z) dz.
ooo
Заменить тройные интегралы однократными:
* 5 5 ' < *+»
4084. f dg | dq 17 (g) dg. 4085. f dx f dy \f (z) dz.
4086. Найти
ЛВС
$dx$dy$f(x, у, z)dz,
а Ь с
если f (х, у, г) =? F'x'v'2 (х, у, г) и а, Ь, с, А, В, С — по-
стоянные.
Переходя к сферическим координатам, вычислить
интегралы:
4087. ШУ*2 + у2 + г2 dxdydz, где область V
ограничена поверхностью х2 + у2 + г2 = г.
1 V1 — x'J -1/2—V1
4088. f dx f dx f____z2dz.
4089. Перейти к сферическим координатам в инте-
грале
У J f f (V^ + f/’ + z2) dx dy dz,
где область V ограничена поверхностями г — х2 + у2,
X — у, X = 1, у — 0, 2 = 0.
4090. Произведя соответствующую замену перемен-
ных, вычислить тройной интеграл
V
х2 . у1 . г1 .
где V — внутренность эллипсоида —- + -тт + — = 1.
аг о2 с*
4091. Перейдя к цилиндрическим координатам, вы-
числить интеграл
!^(х1 + Уг) dxdydz,
где область V ограничена поверхностями х2 + у2 — 2г,
2 = 2.
4092. Вычислить интеграл x2dxdydz, где об-
ласть V ограничена поверхностями z = ay2, z = by2,
у > 0 (0 < а < Ь), z = ах, z = рх (0 < а < р), z =
= h (h > 0).
4093. Найти интеграл J | J xyzdx dy dz, где об-
ласть V расположена в октанте х>0, у>0, z>0
и ограничена поверхностями:
г — , г= , ху = а2, ху = Ьг, у = ах, у — Рх
т п
(О < а < Ь; 0 < а < 0; 0 < т < п).
4094. Найти среднее значение функции
f (х, у, г) = х® + уг + г®
в области х® + у2 + г® < х 4- у + г.
4095. Найти среднее значение функции
f (х, у, г) = е^ + ^+^
, х2 у2 г2 .
в области------F — + — < ь
а2 6» с®
4096. Пользуясь теоремой о среднем, оценить ин-
теграл
„= Cff ..^г_------------------------
«чйЛн’V(X “ a)i + {у ~ b)t + (г - С)а
где а® + 6® + с® > R2.
4097. Доказать, что если функция f (х, у, г) непре-
рывна в области V и
И]7(х» У> z)dxdydz — 0
для любой области ш с V, то / (х, у, г) а 0 при
(х, у, г) £ V.
4098. Найти F' (/), если:
a) F(t)= fff f(xa + yi + z2)dxdydz,
*’+»1+г««а
где / — дифференцируемая функция;
б) F(t)= (*yz)dxdydz,
0<2</
где f — дифференцируемая функция.
4099. Найти
Ш xfnyn2pdxdydz,
*,+^+2,<1
где т, п и р — целые неотрицательные числа.
4100. Вычислить интеграл Дирихле
(l—x—y—zfdxdydz
V
(р> 0, q > 0, г > 0» S > 0),
где область V ограничена плоскостями х 4- у 4- z » 1,
к = 0, у = 0, 2 = 0, полагая
X + У + 2 = g, I/ 4* Z = gl], 2 = gl]g.
§ 7. Вычисление объемов с помощью тройных интегралов
Объем области V выражается формулой
Найти объемы тел, ограниченных следующими по-
верхностями:
4101. г = х2 4- у2, 2 = 2х2 4- 2у2, у — х, у = х4.
4102. г = х 4- у, г = ху, х 4* у = 1, х = 0, у = 0.
4103. х2 4* г2 = а2, х 4- у — ± а, х—у = ± а.
4104. аг = х2 4* у2, г — д/х2 4- у2 (а > 0).
4105. аг = а2—х2—у2, г — а—х—у, х — 0, у — 0,
2 = 0 (а > 0).
4106. г = 6—х2—у2, г — л/х* + у2.
Переходя к сферическим или цилиндрическим ко-
ординатам, вычислить объемы, ограниченные поверх-
ностями:
4107. ха 4- у2 4- г2 = 2аг, х2 4- у2 < г2.
4108. (х2 4- и2 4- г2)2 = а2 (х2 + у2 — г2).
4109. (х2 4- у2 4- г2)3 = Зхуг.
4110. х2 4- у2 4- г2 = а2, х2 4- у2 4- г2 = Ь2,
х2 4- у2 = г2 (г > 0) (0 < а < Ь).
В следующих примерах удобно пользоваться обобщенными
сферическими координатами
г, <р и ф (г > 0; 0 ф 2л;------^ф «с ,
вводя их по формулам
х = ar cos“ ф cos** ф,
у = br s in“ ф cos₽ ф,
х •= cr sin$ ф
(а, Ь, с, а, Р — постоянные),
.Р (х>. У* г\ д gflafrcz^cosВ * * 11 'ф8!па *фсоа2^ 'фзт$ ’ф.
D (г. ф, ф)
Вычислить объемы тел, ограниченных поверхностями;
4П1. +
\ а3 63
4Н2. (*+£
4112.1. f—+ -^- + —Y
к а« й3 с3)
«>2 ^2
4113. —+ —= 1,
a3 63 с3
4114. —+-^- + —= 1.
а3 Ь3 с1
^.A.yL
аг + &3 '
___*.
а* I* й3 с3
х3 , и3 г
а3 63 с
= 1.
Пользуясь подходящей заменой переменных, вы-
числить объемы тел, ограниченных поверхностями (па-
раметры предполагаются положительными):
4И6. f—+4+—Y=4+-f-(x>o.4'>°« z>°)-
\ а b с J h k
4116.1. + + (Х>о, t/>0, z>0).
\ а Ь с) h k
4117. pL + _L. + ^Y = 2g. (х>0, y>Q, z>0).
4П8. (2L + JL.y + (_iy=l (х>0, у>0, г>0).
41 18.1. + (х>0, у>0,
> °). _ С_
41 18.2. + + = l (х>0. у>0.
z>0).
^•(тГ^Г+(-Т='-
4119. г — х2 + у2, z — 2 (х2 + у2), ху = а2, ху =
= 2а2, х — 2у, 2х — у (х > 0, у > 0).
4120. х2 + г2 = а2, х2 + г2 — Ь2, х2—у2—г2 = 0
(х > 0).
4121. (x2 + f/2 + z2)3 = 44j-
х34-у3
________з*!<*
4122. (~ + —+ — =— -е .
( а! 6г сJ h
4123. а---Ь---= —arcsin f—4-—4-— Y
я \а Ъ с J
а Ъ ' с
— 4- —= 1, х=0, х — а.
а Ь
—-)_±. = _£
4124. — 4- — + — = In —---ь_--£_ х = о, 2 = 0,
а & с
а b
Х + 2-=о, +
Ь с а Ь с
4125. В каком отношении делит объем шара
х- 4- уг + z2 С 4az поверхность х1 4- уг 4- az — 4а2?
4126. Найти объем и поверхность тела, ограничен-
ного поверхностями х2 4- уг = az, z = 2а —^х* 4- у2
(а > 0).
4127. Найти объем параллелепипеда, ограниченного
плоскостями
а,х 4- Ь,у 4- CiZ = ± ht (i = 1, 2, 3),
если
01 &1 С1
at Ь3 сг
аз h3 с3
¥=0.
4128. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
(ахх 4- М + cxz)2 4- (а3х + + с2г)2 4-
если
4- (а3х 4- Ь3у 4- с3г)2 = Л2,
А =
ах &1 сх
«1 Ь3 с3
а3 Ь3 с3
#=0.
4129. Найти объем тела, ограниченного поверхностью
(*2 । У* \п । г / х* , у* \п~г , , ч
а' + &’) с«* — h (a* (П>
4130, Найти объем тела, расположенного в положи-
тельном октанте пространства Oxyz (х > 0, у > 0, z > 0)
и ограниченного поверхностями:
+-7 = I (m>0’ n>0’ ₽>0)'
х = 0, у = 0, 2 = 0.
§ 8. Приложения тройных интегралов к механике
Г. М а с с а тела. Если тело занимает объем V п
р ~ Р (*. у. 2) — плотность его в точке (х, у, г), то масса тела
равна
М — J$ J р dxdy de. (1)
2°. Центр тяжести тела. Координаты центра
тяжести (х0, yt, z0) тела вычисляются по формулам
х# =
И> РУ dxdy de,
(2)
Если тело однородно, то в формулах (1) я (2) можно поло*
жить р = 1.
3°. Моменты инерции. Моментами инерции тем
относительно координатных плоскостей называются соответ-
ственно интегралы
lxV = f Д Р2^* dy de, 1уг = Щ pxtdx dy de,
l№~ty$P!?dxdyde.
Моментом инерции тела относительно некоторой оси I
называется интеграл
/х= Jj’j’p^dxdydz,
где г — расстояние переменной точки тела (х, у, г) от оси /.
В частности для координатных осей Ох, Оу и О г соответственно
имеем;
lx в Лгу 4" Ixt. lye» h e lex 4“ hy
Моментом инерции тела относительно начала координат
называется интеграл
/в = f J J Р (**+ У4+ 2’) dxdy de.
Очевидно, имеем; /0 = 1хи + 1у 4* 1гх»
4°. Потенциал поля тяготения. Нью тоно-
вым потенциалом тела в точке Р (х, у, г) называется интеграл
и (х, у, г) = J J J р ($, т), й ,
V
где V — объем тела, р = р (£, т], £) — плотность тела, н
Г = V(£-x)2+(n-!/)2+(£-z)2.
Материальная точка массы т притягивается телом с силой
F= (X, Y, Z), проекции которой X, Y, Z на осн координат
Ох, Оу, Ог равны:
X = km — = km^ У У Р
“ v v
Y = km -y^- = km у у у p d£ di] d£,
v v
Z = km y— = km у у у p ~7~ di] d£,
v
где k — постоянная закона тяготения.
4131. Найти массу тела, занимающего единичный
объем 0 < х < 1, 0 < у < 1, 0<г< 1, если плот-
ность тела в точке М (х, у, г) дается формулой р =
= X + у + Z.
4132.- Найти массу тела, заполняющего бесконечную
область х2 + у2 + z2 > 1, если плотность тела ме-
няется по закону р — рое-к^хг+у!+г\ где р0 > 0 и k >0
постоянны.
Найти координаты центра тяжести однородных тел,
ограниченных следующими поверхностями:
4133. ^ + ^- = 21, 2 = с.
а» Ьг с*
4134. z = х2 + у2, х + у — а, х = 0, у = 0, z = 0.
4135. х2 — 2рг, у2 — 2рх, х — -у-, z — 0.
4136. —+ + —= 1, х = 0, у = 0, z = 0.
а» с» v
4137. х2 + z2 = а2, у2 + г2 = а2 (г 0).
4138. х2 + у2 = 2z, х + у — z.
4139. + = (х>0, </>(), z>0;
\ a’ fe’ c2 7 abc \ ' я
а>0, 6>0, С>0).
4140. z = х® -Ь у2, г = -у (х® + у®), х + у = ± 1,
х—у — ± 1.
уМ fftl уП
4141. — + —+ — = 1, х = 0, у = 0, г = 0 (п>0,
ап Ьп сп ' ’
Х>0, у>0, г > 0).
4142. Определить координаты центра тяжести тела,
имеющего форму куба: 0 < х < 1, 0 < 1, 0 < z < 1,
если плотность тела в точке (х, у, г) равна
2а—1 2(5—1 2v—1
p = x1-“i/|_₽z
где 0 < а < 1, 0 < 0 < 1, 0 < у < 1.
Определить моменты инерции относительно коорди-
натных плоскостей однородных тел, ограниченных сле-
дующими поверхностями (параметры положительны):
4143. — + -£- + Z 1, х = 0, ^ = 0, z = 0,
а Ь с
4144. 2^4--^- + гг _ = 1. 4145.
а2 62 с2 а2 62
4146. —+ —+ Z2 _ у2 = 1, —+ у2 X
а2 о2 с2 а2 62 а
4147. -4 + -4 = 2 — . -+4= __ 2
с
4147.1. (—
4>z=a
с*
4147-2- И) +
(п>0; х > 0, у > 0, z > 0).
а Ъ с
л _________±
' а* &2 с2 *
(—=1, х = 0, у = 0, z=0
п
п
Определить моменты инерции относительно оси Ог
однородных тел, ограниченных поверхностями:
4148. z = х® + у2, х + у = ± 1, х—у = ± 1, z = 0.
4149. х® + у2 + г® = 2, х® + у2 = z® (z > 0).
4149.1. (х® + у2 + г®)3 = аъг.
4150. Найти момент инерции неоднородного шара
х® + у2 + г2 < R2 массы М относительно его диаметра,
если плотность шара в текущей точке Р (х, у, г) пропор-
циональна расстоянию этой точки от центра шара.
4151. Доказать равенство /, — /z, 4- Md2, где h —
момент инерции тела относительно некоторой оси I,
lh — момент инерции относительно оси /0, параллель-
2Q—2383
ной I и проходящей через центр тяжести тела, d — рас-
стояние между осями и М — масса тела.
4152. Доказать, что момент инерции тела, занимаю-
щего объем V, относительно оси /, проходящей через
его центр тяжести О (0, 0, 0) и образующей углы а, 0,
у с осями координат, равен:
= Ix cos® а 4- lu cos® р 4- 1г cos® у—2.Кху cos а cos Р—
—2K„ cos а cos у—2Куг cos ₽ cos V»
где 1Х, 1у, 1г — моменты инерции тела относительно
осей координат и
= f Д pxydxdydz, = fД pxzdxdydz,
Lgt^^jpyzdxdydz
— центробежные моменты.
4153. Найти момент инерции однородного цилиндра
х® 4- у2 < a®, z = ± Л, плотности р0 относительно пря-
мой х = у = г.
4154. Найти момент инерции относительно начала
координат однородного тела плотности р0, ограничен-
ного поверхностью
(х® 4- у2 + г®)® = а2 (х® 4- у2).
4155. Найти ньютонов потенциал в точке Р (х, у, г)
однородного шара £® 4- т)а + £2 < R2 плотности р0.
Указание. Положить, что ось ОС проходит через точку
Р (х, у, г).
4156. Найти ньютонов потенциал в точке Р (х, у, г)
сферического слоя £® 4- Л® 4- £® < если плот-
ность р — f (R), где / — известная функция и Р =»
= VBa + n2 + c®.
4157. Найти ньютонов потенциал в точке Р (0, 0, г)
цилиндра £® + л® С а®, 0 С С С h, постоянной плот-
ности р0.
4158. С какой силой притягивает однородный шар
£® + Л® + £® С R2 массы М материальную точку
Р (0, 0, а) массы т?
4159. Найти силу притяжения однородным цилинд-
ром 5® + т]а С а®, 0 С С С Л, плотности р0, точки
Р (0, 0, z) с единичной массой.
4160. Найти силу притяжения однородным шаро-
вым сектором плотности р0 материальной точки с мае-
сой, равной единице, помещенной в его вершине, если
радиус шаровой поверхности равен R, а угол осевого
сечения сектора равен 2а.
§ 9. Несобственные двойные и тройные интегралы
1°. Случай бесконечной области. Если дву-
мерная область £2 ие ограничена и функция { (х, у) непрерывна
на £2, то по определению полагают:
Jff(x, y)dxdy^ HmJ jf(x, у)dxdy, (1)
где Яя — любая последовательность ограниченных замкнутых
квадрируемых областей, исчерпывающая область £2. Если
предел в правой части существует и н§ зависит от выборка
последовательности Яя, то соответствующий иртеграл назы-
вается сходящимся; в противном случае — расходящимся.
Аналогично определяется несобственный тройной интеграл
от непрерывной функции, распространенный на неограниченную
трехмерную область.
2°. Случай разрывной функции. Если функ-
ции f, (х, у) непрерывна в ограниченной н замкнутой области Я
всюду, за исключением точки Р (а, Ь), то полагают:
f f f (х, у) dx dy = lim f f f (x, y) dx dy, (2)
где Ue есть область диаметра e, содержащая точку Р, п в случае
существования предела рассматриваемый интеграл называют
сходящимся; в противном случае — расходящимся.
Предполагая, что вблизи точки Р (а, Ь) имеет место равенство
/(*. У) = ф(*. У)1га.
где абсолютная величина функции <р (х, у) заключена между
числами т>0 и М>Он г= л/(х — а)’+ (у — &)*,
получим, что 1) прн а < 2 интеграл (2) сходится;
2) при а > 2 — расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл (2),
если функция f (х, у) имеет линию разрыва.
Понятие несобственного интеграла от разрывной функции
легко переносится иа случай тройных интегралов.
Исследовать иа сходимость несобственные интегралы
с бесконечной областью интегрирования (0< m <
< Iф (х, у) | С М < + оо):
dx dy.
(х»+уТ
4161.
4162.
dx dy
(1 + |х|Р) (1 + |
4163. f f-...^x'y}
J J (i + *a+ya)p
4164. f f ——
J J |x|p+lyl’
dxdy.
(р>0, <7>0).
|Х|4-|»|>«
4165. f fJlHi’JElLdxdy.
J J (х+у)”
*+v>i
4166. Доказать, что если непрерывная функция
f (х, у) неотрицательна и Sn (п — 1, 2, . . .) — какая-
нибудь последовательность ограниченных и замкнутых
областей, исчерпывающая область S, то
И/(х, y)dxdy = lim ff f(x, y)dxdy,
n
где левая часть имеет или не имеет смысла одновременно
с правой.
4167. Показать, что
lim У j sin(х* + у2)dxdy = л,
п-юо |х1<п
тогда как
lim J У sin(x*-f-i/2)dxdy=0
л-ы»
(п — натуральное число).
4168. Показать, что интеграл
х>1, у>1
J^-dxdy
(ха+у’)а
расходится, хотя повторные интегралы
ха-»а
(ха+уа)а
—у»
(ха+ У2)2
dx
сходятся.
Вычислить интегралы (параметры положительны):
4170. ( (
J J (*+у)р
4171. ( [ ...
4172. dy
(х»+у*)р
4173.
v>x’4-l
dxdy
* + у2 '
4174. J J e~{x+^dxdy.
Переходя к полярным координатам, вычислить ин-
тегралы:
-f-оо 4~00
4175. f f e-^+^dxdy.
-—ос —оо
4176. +J +f cos(x2+^)dxdy.
—00 —oo
4177. f J e~lx'+y"> sin (x2+y*)dxdy.
Вычислить интегралы:
4" 00 4-00
4178. f f e3x'+2bxy+cy,+2dx+'!ey+f dxdy, где a <0,
—oo —oo
ac — fe2>0.
4179. ff e-^'+^dxdy.
Х,/а'+ц,1Ь'> 1
+°° +* _ / ** o, x » । У* \
4180. f f xye I»* ' b b‘)dxdy(Q<\e\<l).
—oo —oo
Исследовать на сходимость несобственные двойные
интегралы от разрывных функций (0 < т < | <р (х,у) | <
С М < + оо):
4181. JJ-^^-.где область Qопределяется усло-
о
внями: |у| < х2; х2 + у2 < 1.
4182.
4183.
f f Ф<Х’ У)
J J (*2 + ху + у’)₽
f f dxty
J J l*l₽+lyl’
W+I.VK1
dxdy.
(p>Q, q>0).
°c l^yLdxdy.
J J
о 0
ф(х. у)
(1—Х2-У*)Р
dxdy.
4186. Доказать, что если 1) функция <р (х, у) вепре-
рывна в ограниченной области а < х < А, b < у < В;
2) функция / (х) непрерывна на сегменте а < х < А
и 3) р < 1, то интеграл
л в
[dX^-^^-dy
а Ь
СХОДИТСЯ.
Вычислить следующие интегралы:
4187. f ( In—• 1 dxdu.
J J J хг + у*
a x
4188. f dx f —---------— (a>0).
J J л/(а — х)(х — у)
4189. fj In sin (x—y) dxdy, где область Q огра-
о
пичена прямыми у — 0, у — х, х = л.
4190. f f —f.xdy .
J J V X2 + y1
Исследовать на сходимость следующие тройные ин-
тегралы:
4191. f f f —?-<* » г) dxdydz,
J J J (х2 + у2 + г2)₽
где 0<m <
4192. f ( ( —.............dxdydz,
J J J (x’+t/a+z2)₽
4,ю- ш
l*l+IVl+|x|>I
dx dy dz
I*!p+ly|’+l«l'
(p>0, q>0, r>0).
4194. [ { (-----y‘ 2}dxdydz-------, где 0<m <
J J J (1У-Ф(х)Р4-[г-4(х)12}р
0 0 0
< If (x, y, z)|C M< 4-oo, a q>(x) и ф(х)—непрерывные
функции иа сегменте [0, а].
4195. f f f — .
J J J 1*4-У —z|p
W<i,
|Z|«U
Вычислить интегралы:
4196.
4198.
i i 1
dx dy dz
хРуЧзГ
- 4|9\Ш
dxdy dz_
х2 — у* — г2)₽ *
dx dy dz
(xi+^+z»)a
-f-oo -f-oo 4-оо
4199. J f f e-^+f+^dxdydz.
—00 —OO —00
4200. Вычислить интеграл
4-00 4-00 4-00
f f f e~P(Xl' *•' Xt}dx1dx1dx3,
—00 —00 —OO
3 3
где P (xb x2, x3) = У S ai/XiXi (ац = an) — положи-
t=i /=i
тельио определенная квадратичная форма.
§ tO. Многократные интегралы
1°. Непосредственное вычисление крат-
ного интеграла. Если функция f, (x1F х2. . . ., хл) не-
прерывна в ограниченной области Я, определяемой неравен-
ствами
*1 *1 С
4(*Р *2....*л-1)^*л<<(*t, *2......
где х, и xt — постоянные числа и х2 (х,), х2 (х,), ...
xj,(xb х2, .... xrt_j). х’(xj. х2.хл_,) — непрерывные
функции, то соответствующий многократный интеграл может
быть вычислен по формуле
Л • • Р <*»• *2' • * ••x»)<fxidxs • • • dxn =
Q
= f dxi J dx, ... j ?(xi, x...................xn)dxn.
*1 Л xl) xn(*l’ •' ’’ xn—1)
2°. Замена переменных в кратном инте-
грале. Если 1) функция f (х1( xv . . хл) равномерно не-
прерывна в ограниченной измеримой области Я; 2) непрерывно
дифференцируемые функции
Xi = Ф1 (51, 5а.....5Л) (i = 1, 2......п)
осуществляют взаимно однозначное отображение области Я про-
440 ОТДЕЛ VI1J. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
странства . .х„ на ограниченную область Q' пространства
O'feits. • • tn » 3) якобиан
О(*1. х......хп)
" />(Ь, 5,.....5„)
сохраняет почти всюду постоянный знак (кроме множества меры
нуль) в области Q', то справедлива формула
J j ... Р (*ь хг, . . хп) dxt dxa. . . dxa =
= ...f/(q>i. <р„ t„)|/|4xd5s ..
Q
В частности, при переходе к полярным координатам
(г, *Pi> Фа> • •> Фп-i по формулам
Xi= г cos фр
х2 — г sin <Pi cos <р2>
*n-i = г sin <₽! sin ф2 . • • sin <pn_s cos q>n_i,
xn = r sin <₽i sin <jps • • • sin <pn_2 sin <pn-i
имеем:
1 =» D *г' ' ' " = г*"1 sin"-8 <₽i sin"-8 <Pj . . . sin фп-,.
D (r, <p„_i)
4201. Пусть K(x, y) — непрерывная функция в об-
ласти R (а х b ; а < у с Ь) и
Кп(х, у) =
b b b
= f f •• J К(Х, OK(flt У ... i/)d/A ... dtn.
а а а
Доказать, что
ь
Кв+т+1 (X, у) = J кп (X, о Кт (t, у) dt.
а
4202. Пусть f = (Хц хг, , хп) — непрерывная
функция в области 0 < xt < х (t = 1, 2, . . . , п). До-
казать равенство
х хх ji х х
fdxjdxs... f fdxn = fdxnfdx„_1.. Jfdxi
bo b о xa xt
(n > 2).
4203. Доказать, что
1 *1 zn-l . ( t in
№.. Л f(t1)f(t^...f(tn)dtnx=2r p(T)<fc ,
ООО /II to )
где / — непрерывная функция.
Вычислить следующие многократные интегралы:
4204. а) f Г
। I ।
J(xi 4-хг + . . + £) dxi dx2. .. dxn",
। i i
6) j f • • • + -Ч + • • • + хл)г d*idx2... dxn.
4205. ln= j dxYdx2. . . dxn.
*j>0. x2>0, . .. *n>0.
xl+xl+ • • • +*n<o
1 *1 xn-l
4206. j dxt | dxt. . . j xfy . . . xndxn.
4207. J J*’-J +x» + • • • +xn
*1>o, *8>o...*n> о
xi+x»+ • • • +xn< 1
4208. Найти объем «-мерного параллелепипеда, огра-
ниченного плоскостями
Vi + «,2х2 + . . . + atnxn = ± ht (i =1,2....п),
если А =1 ait 1 =/= 0.
4209. Найти объем «-мерной пирамиды
Л+21+ . . . 4-^2. с 1, Xf>0 (1 = 1,2......п)
01 в, ап
(at > 0, i = 1,2, .. ., п).
4210. Найти объем «-мерного конуса, ограниченного
Ооверхностями
4211. Найти объем «-мерного шара
х* + х1 + . . .+х2
4212. Найти f f • • f x„dxidx2. .. dxn, где область Q
О
определяется неравенствами
«V 4Ь
4213. Вычислить
dxidxt . . . dxn
4214. Доказать равенство
X Xj Xn-1
Cdx1Jdxs...f f(xn)dx„=j
0 0 0 0
4215. Доказать равенство
*1 xn
m):.idu.
(n - 1)!
-±-^-urf(u)du.
п +1 —
2 • •
4216. Доказать формулу Дирихле
J J---J • x’n-1dx.dx2. . . dx -=
•* •» J л 4 * П 4 Z п
2’ ’ • •’ Л*"
• •+*„<!
t . Г (P1) Г (pa) , . , Г (p„)
Г (Pi + Рг + • • • + Рп +
(Р1, рг, ...» рп > 0).
4217. Доказать формулу Лиувилля
f Г .. f
8 * * rt
. . . x’’n ’dx.dx,. . . dx„ =
П j z n
— . VJPAFJpJ • • • Г , Г f lu\ u₽i+₽2+ • • • +P/.-1 (iu
Г (Pi + Ps + • • + Pn) u
(Pl. Рг.............Pn>ty,
где f (и) — непрерывная функция.
Указание. Применить метод математической индукции.
4218. Привести к однократному интегралу л-кратный
интеграл (л > 2)
J J - J /(д/х|+х2+- -+х«) dxA • • Ч-
О
распространенный по области *?+х1+---+4<яг.
где f (и) — непрерывная функция.
4219. Вычислить потенциал на себя однородного шара
радиуса R и плотности р0, т, е. найти интеграл
«=—dxidyidzidxzdy^zi
4+^+4<r2
где 2 = V(*i—хг)2 + (jh—У’У + (Zi—2г)г.
4220. Вычислить n-кратный интеграл
{п П }
Е anxixj+2 Е ьл+4
<• i=1 > dxidx2 ...dxn,
•—GO —GO •—GO
П
если £ atjXiXj(aij = aii)— положительно определен-
i. /=i
ная квадратичная форма.
§ 11. Криволинейные интегралы
1°. Криволинейный интеграл 1-го рода.
Если h (х, у, г) — функция, определенная и непрерывнаи в точ-
ках гладкой кривой С
Х= X (0. у = у (t), z = г (0 Uo 5S * 5S Л (1)
и ds — дифференциал дуги, то по определению полагают
т
ff(x, у, г) ds = р(х(0, у СО, z(0) V*'*(0 + y'2(0 + z,2(0^-
с tQ
Особенность этого интеграла состоит в том, что он не зависит от
направления кривой С.
2°. Механические приложения криволи-
нейного интеграла 1-города. Если р= р (х, у, г)
— линейная плотность в текущей точке (х, у, г) кривой С, то
масса кривой С равна:
At = J р (х, у, г) ds.
Координаты центра тяжести (х0, у0, г0) этой кривой выра-
жаются формулами
1с 1г
*о = —J 2р(*. У. ds, Уа = — I Ур(х, у, z)ds,
At ё At ё
Zo =-7~f 2р (х, у, г) ds.
At ё
3°. Криволинейный интеграл 2-го рода.
Если функции Р = Р (х, у, г), Q = Q (х, у, г), R = R (х, у. г)
непрерывны в точках кривой (1), пробегаемой в направле-
нии возрастания параметра t, то полагают
J Р (х, у, z)dx-\-Q (х, у, z)dy+ R (х, у, г) dz =
Т
= jV(*«. У (О, г(0)х'(0+<2(*(0. y{t). г (!))/(/) +
+ R(x(0, f/(0, z(/))a'(0)<H. (2)
При изменении направления обхода кривой С этот интеграл изме-
няет свой знак на обратный, Механически интеграл (2) представ-
ляет собой работу переменной силы {Р, Q, R), точка приложен
имя которой описывает кривую С.
4°. Случаи полного дифференциала. Если
Р (х, у, г) dx + Q (х, у, г) dy + R (х, у, zj dz — du,
где и = и (х, у, г) — однозначная функция в области V, то
независимо от вида кривой С, целиком расположенной в области
V, имеем:
J Р dx + Q dy + R dz — и (x2, уг, z£ — u (xlt yb zj,
где (x,, j/j, Zj) — начальная и (x2, уг, z2) — конечная точка
пути. В простейшем случае, если область V односвязна н функ-
ции Р, Q н R обладают непрерывными частными производными
первого порядка, для этого необходимо и достаточно, чтобы
в области V были тождественно выполнены следующие условия:
dP dQ dR дР
ду дх дг ду дх дг
Тогда в простейшем случае стандартной параллелопидальной
области V, функцию и можно найти по формуле
х и г
U (х, у» z) « f Р (х, yt z) dx + J Q (xOl yt z)dy + J R (xOt z)dz+ct
*3 Уо Zo
где (x0, y0, z0) — некоторая фиксированная точка области V и
с — произвольная постоянная.
Механически этот случай соответствует работе силы, имею-
щей потенциал.
Вычислить следующие криволинейные интегралы 1-го
рода:
4221. J (х + у) ds, где С — контур треугольника
с вершинами О (О, 0), Л (1, 0) и В (0, 1).
4222. J у* ds, где С — арка циклоиды
х — a (t — sin t), у = а (1 — cos f) (0 < t С 2л).
4223. J (х8 + у2) ds, где С — кривая
х = a (cos t 4- t sin t), у — a (sin t — f cos t)
(0 < t < 2л).
4224. | xy ds, где C — дуга гиперболы
x = a ch t, у = a sh t (0 < t с /0).
4225. J(x</34-i/V3)ds, где С — дуга астроиды
л^+^3 = а2/3.
4226. J e^x'+^ds, где С—выпуклый контур, ограничен-
ный кривыми г =а, <р = 0, ф = — (г Иф—полярные коор-
4
динаты).
4227. J | у | ds, где С — дуга лемнискаты
(х2 + р2)2 = а2 (х2 — р2).
4228. J х ds, где С — часть логарифмической спи-
рали г = aekv (k > 0), находящаяся внутри круга г<а.
4229. (Vx24-z/2ds, где С—окружность х24-р2 = ах.
с
4230. С —, где С—цепная линия u = ach —.
J у* а
Найти длины дуг пространственных кривых (пара-
метры положительны):
4231. х = 3t, у = З/2, г = 2/3, от О (0, 0, 0) до
А (3, 3, 2).
4232. х = cos t, у = e~'sin t, г = er1, при
0 < t<_ +оо.
4233. w = a arcsin — , z = — In от 0(0, 0, 0)
a 4 a 4* *
ДО A(x0, y0, z0).
4234. (x—у)* = а(х + у), x2—y2 = -|-z2 от 0(0, 0, 0)
до A(x0, y0, z0).
4235. x2 4- у2 = cz, — = tg — от 0 (0, 0, 0) до
X c
A(x0, y0, z0). ______
4236. x2 4- y2 4- z2 = a2, Vx24-i/2ch(arctg-^-) = a or
точки A (a, 0, 0) до точки В (x, у, z).
Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода,
взятые вдоль пространственных кривых:
4237. j (х2 4- р2 4- z2) ds, где С — часть винтовой
линии
х = a cos t, у = a sin t, г = bt (0 < t < 2л).
4238. J хг ds, где С — окружность
х8 + у2 + z2 = а\ х + у + г = 0.
4239. f z ds, где С — коническая винтовая линия
с
х = t cos t, у = t sin t, z = t (0 t c 4)-
4240. J z ds, где C — дуга кривой хг + у3 — z3,
j’ = ах от точки О (0, 0, 0) до точки А (а, а, ац/2).
4241. Найти массу кривой х — a cos t, у = b sint
(а > b > 0; 0 < t < 2л), если линейная плотность
ее в точке (х, у) равна р = |i/|.
4241.1. Найти массу дуги параболы
у3 = 2рх (0 < х < р/2),
если линейная плотность параболы в текущей точке
М (х, у) равна \у |.
4242. Найти массу дуги кривой х = at, y = -^-t\
z = ~t* (0 < t < 1),
плотность которой меняется по
закону р = л/2у!а.
4243. Вычислить координаты центра тяжести дуги
однородной кривой у = a ch — от точки А (0, а) до
точки В (b, h).
4244. Определить центр тяжести дуги циклоиды
х = a (t — sin t), у = а (1 — cos t) (0 sS t < л).
4244.1. Найти статические моменты
Sj,=Jxds, SK=^yds
дуги С астроиды
Х2/3 у2/3 — д2/3 (х > 0, I/ > 0)
относительно осей координат.
4244.2. Найти момент инерции окружности х7 +
4- у* = а* относительно ее диаметра.
4244.3. Найти полярные моменты инерции
Ц = J + У2) ds
относительно точки О (0,0) следующих линий: а) контура
С квадрата max {| х |, |i/|} = а; б) контура С правиль-
ного треугольника с вершинами в полярных координатах
Р{а, 0), Q(a, Я(а.-у-)-
4244.4. Найти средний полярный радиус астроиды
х2/3 у2/3 _ Д2/3,
т. е. число г0 (го > 0), определяемое формулой
/o = s-ro,
где /0 — полярный момент инерции астроиды, относи-
тельно начала координат (см. 4244.3) и s — длина дуги
астроиды.
4245. Вычислить координаты центра тяжести контура
сферического треугольника х2 + у2 + г2 = а2; х > 0,
у > 0, z > 0.
4246. Найти координаты центра тяжести однородной
дуги
х = е* cos у = е! sin t, г = е* (— оо < t sgO).
4247. Найти моменты инерции относительно коорди-
натных осей одного витка винтовой линии
х = a cos t, y = as'mt, г = t (0 < / < 2л).
4248. Вычислить криволинейный интеграл 2-го типа
f xdy—ydx,
ОА
где О — начало координат и точка А имеет координаты
(1, 2), если: а) ОА —отрезок прямой линии; б) ОА —•
парабола, ось которой есть Оу; в) ОА — ломаная ли-
ния, состоящая из отрезка ОВ оси Ох и отрезка В А, па-
раллельного оси Оу.
4249. Вычислить
J xdy + ydx
ОА
для путей а), б) и в), указанных в предыдущей задаче*
Вычислить следующие криволинейные интегралы 2-го
рода, взятые вдоль указанных кривых, в направлении
возрастания параметра:
4250. J (х2 — 2ху) dx + (у2 — 2ху) dy, где С —
с
парабола
У = х2 (—1 с х 1).
4251. [ (х2 + у2) dx + (х2 — у2) dy, где С — кри-
'с
вая
у = 1 — | 1 — х | (0 х < 2).
4252. д) (х + у) dx + (х — у) dy, где С — эллипо
с
Г* «А
—I. пробегаемый против хода часовой стрелки.
4253. J (2а — у) dx + х dy, где С — арка цикло-
иды
х = a (t — sin t), у = а (1 — cos t)
(0 < t < 2л).
4254. (5 dx—(5—, Где с — окружность
л2+ у2 = а2, пробегаемая
40=;=; 4х + dy
против хода часовой стрелки.
, где A BCD А — контур квад-
ABCDA
1ата с вершинами А (1, 0), В (0, 1), С(— 1, 0),
4256. ( dx sin у + dy sin х, где АВ — отрезок пря-
дя
мой между точками А (0, л) и В (л, 0).
4257. (j) dy arctg —---dx, где OmA — отрезок па-
ОтАпО
раболы у = х2 и ОпА — отрезок прямой у = х.
Убедившись, что подынтегральное выражение яв-
ляется полным дифференциалом, вычислить следующие
Криволинейные интегралы:
(2. 3) (3, —4)
4258. J х dy + у dx. 4259. f х dx + у dy.
(-1, 2) (0. I)
е. з,-
4260. f (x + y)dx + (x—y)dy.
(0. i)
(I, b
4261. j (x—y)(dx—dy).
<t, —u
(a, t»
4262. f f (x + y) (dx + dy), где I (и) непрерывна.
(0. 0)
<1. 2)
лосо f У dx % dy »
4263. \ -----------вдоль путей, не пересекающих
в? I) *
оси Оу.
(6, в)
4264. С * + У dy вдоль ПуТей( не проходящих
J Vх2+ !/2
и. 0)
через начало координат.
4265. j <р (х) dx + ф (у) dy, ф и ф — непрерыв-
Ui, у,)
ные функции.
<3. 0)
4266. [ (х4 + 4ху3) dx + (6x2i/2 — btf) dy.
1-2. -1)
<1. 0)
4267. ( xdy ~ у dx- вдоль путей, не пересекающих
J и — у)'1
(0, -1)
прямой у — х.
(2, л)
4268. $ (1—=y-cos—)dx + (sin-^- + — cos
<1. Л)
вдоль путей, не пересекающих оси Оу.
(a, by
4269. f е* (cos у dx—sin у dy).
(0. 0)
4270. Доказать, что если f (и) — непрерывная функ-
ция и С — кусочно гладкий замкнутый контур, то
<f/(x2 + t/2)(xdx+ydz/) =0.
Найти первообразную функцию г, если:
4271. dz = (хг+2ху —yi!)dx+ (х2—2ху—у*) dy.
29—2383
4272. dz
4273. dz —
у dx — xdy
3х2 — 2ху+3у2
(х2 4- 2ху + 5уг) dx + (х2 — 2ху + У*) dy
(*+у)3
4274. dz — 6х [еу(х — у + 2) + у\ dx +
+ ех [еу (х — у) + 1] dy.
4275. d1 = ^’"f-dx + ^"““-dy.
дхп+1дут дхпдут+х
42 76.& = -^±-Г1п-Ьи-
дхп+2дут~2
дп+т+1
дхп~1дут+2
(in —где г = Vх3 +у3.
4277. Доказать, что для криволинейного интеграла
справедлива следующая оценка:
| + < LM,
где L — длина пути интеграции и М — max + Q3
иа дуге С.
4278. Оценить интеграл
/л= (g _
J (х2+ху+у2)2
Доказать, что lim lR =0.
Вычислить криволинейные интегралы, взятые вдоль
пространственных кривых (координатная система пред-
полагается правой):
4279. J (у3 — z3) dx + 2yz dy — x3dz, где С — кри-
с
вая х = t, у = t3, z = t3 (0 < t < 1), пробегаемая в
направлении возрастания параметра.
4280. Г у dx + z dy + х dz, где С —виток винтовой
с
линии х = a cos t, у = a sin t, z — bt (0 < t < 2л),
пробегаемый в направлении возрастания параметра.
4281. [ (jy — z) dx + (z — x)dy + (x — y)dz, где
'c
С — окружность x3 + у3 + z3 — a3, у = x tg a (0 <
< a <z л), пробегаемая против хода часовой стрелки,
если смотреть со стороны положительных х.
4282. J у3 dx + z3 dy + х3 dz, где С — часть кри-
с
вой Вивиани х2 4- у2 + z2 — а2, х2 4* у2 ~ ах (г >
> 0, а > 0), пробегаемая против часовой стрелки, если
смотреть с положительной части (х > а) оси Ох.
4283. f (у2 — z2) dx 4- (z2 — х2) dy 4- (х2 — у2) dz,
с
где С — контур, ограничивающий часть сферы х2 4- у2 4-
4- г2 = 1, х > 0, у > 0, z > 0, пробегаемый так, что
внешняя сторона этой поверхности остается слева.
Найти следующие криволинейные интегралы от пол-
ных дифференциалов:
(2, 3. —4)
4284. f xdx-\-y2dy—z3dz.
0,1.1)
№. 1. 1)
4285. f уг dxxz dyху dz.
(1. 2. 3)
№. z,)
4286. C J; у dy+z/k » где точка (xlt ylt zj
j V^+^+z2
№. Pl. Z,)
расположена на сфере x2 4- у2 4- z2 e а2, а точка (x2i
y2, z2) — на сфере x2 4- у2 4- z2 — b2 {a > 0, b > 0).
№.№.. z>)
4287. f <p (x) dx 4- ф (у) dy 4- X (z) dz, где <p,
№. 0i. z,)
ф, X — непрерывные функции.
№. 0i. zj
4288. J f (x +y 4- z) (dx 4- dy 4- dz), rjief —
№. 0i. z,i
непрерывная функция.
№. 0i. zj
4289. f f (Vх® 4-J/2 4-z2) (xdx4-уdy 4- zdz), где
№. 01. Zt)
f—непрерывная функция.
Найти первообразную функцию и, если:
4290. du — (х2 — 2yz) dx 4* (у2 — 2xz) dy 4*
4- (z2 — 2ху) dz.
4291.
4292.
—Ч-dz.
(x+y—z)dx+(x+y — z)dy+{x + y+z}dz
х2 4- У2 4- Z2 4- 2ху
4293. Найти работу, производимую силой тяжести,
когда точка массы т перемещается из положения
(хх, ylt zx) в положение (х2, Уг> гг) (ось Ог направлена
вертикально вверх).
4294. Найти работу упругой силы, направленной
к началу координат, величина которой пропорциональна
удалению материальной точки о начала координат,
если эта точка описывает в направлении, противополож-
ном ходу часовой стрелки, положительную четверть
х2 . у2 ,
эллипса-------h-2— = 1.
a2 t>2
4295. Найти работу силы тяготения F — k!r\ гдег =
= Vx2 + «/2 + z2, действующей на единичную массу,
когда последняя перемещается и точки Мг (хх, уи zx)
в точку Мг (х2, у2, z2).
§ 12. Формула Грииа
1°. Связь криволинейного интеграла
с двойным. Если С — замкнутый простой кусочно гладкий
контур, ограничивающий конечную односвязную область S.
пробегаемый так, что область S остается слева, и функции
Р (х, у), Q (х, у) непрерывны вместе со своими частными производ-
ными первого порядка Р'(х, у) и Q' (х, у) в области S и иа ее
границе, то имеет место формула Грина
фр(х, y)dx-\-Q(x, = ---^-)dxdj/. (1)
% s
Формула (1) справедлива также и для конечной области S,
ограниченной несколькими простыми контурами, если под гра-
ницей С последней понимать сумму всех граничных контуров,
направление обхода которых выбирается так, что область S
остается слева.
2° . Площадь плоской области. Площадь S
фигуры, ограниченной простым кусочно гладким контуром С,
равна
S = § xdy— — & у dx= — <5 (хdy — у dx).
с с 2 С
В этом параграфе, если не оговорено противное, предпола-
гается, что замкнутый контур интеграции простой (без точек
самопересечения) и пробегается так, что ограниченная нм об-
ласть, не содержащая бесконечно удаленной точки, остается
слева (положительное направление).
4296. С помощью формулы Грина преобразовать кри-
волинейный интеграл
Z = д/*2 + У2 dx-f-t/[xz/-t-ln(x-f-д/*2 + У2)]dy,
где контур С ограничивает конечную область S.
4297. Применяя формулу Грина, вычислить криво-
линейный интеграл
/ = £ (х -j- у )2 dx— (х2 + уг) dy,
к
где Л — пробегаемый в положительном направлении
контур треугольника АВС с вершинами А (1, 1), В (3, 2),
С (2, 5).
Проверить найденный результат, вычисляя интеграл
непосредственно.
Применяя формулу Грина, вычислить следующие
криволинейные интегралы:
4298. § xy2dy—x'~ydx, где С — окружность
х2 -г у~ = а*.
4299. <$(х + у) dx,— (х — у) dy, где С — эллипс
'с
х - У1 _ .
а- ‘ Ъ-
4300. $ е* Ц1—cos y)dx — (у — sin у) dy], где С ₽
пробегаемый в положительном направлении, контур,
ограничивающий область 0<х<л, 0<у < sin х.
4301. £ g-u’-yp (Cos 2ху dx --sin 2ху dy).
4302. На сколько отличаются друг от друга криво-
линейные интегралы
Л= f (x-t-ypax—(X—yfdy
АгпВ
И
f (xf-yfdx— (х—yfdy,
АпВ
где АтВ — прямая, соединяющая точки А (1, 1) и
В (2, 6), и АпВ — парабола с вертикальной осью, про-
ходящая через те же точки А и В и начало координат?
4303. Вычислить криволинейный интеграл
| (e*siny—ту) dx + fe* cos п — т) dti,
ЛтО
где АтО — верхняя полуокружность х2 + у2 — ах, про-
бегаемая от точки А (а, 0) до точки О (0, 0).
Указание. Дополнить луть АтО до замкнутого прямо
линейным отрезком ОА оси Ох.
4304. Вычислить криволинейный интеграл
f 1ф0/)ех— ту] dx + [ф'(4/) e*—m]dy,
АтВ
где <р (у) и ф' (у) — непрерывные функции и АтВ — про-
извольный путь, соединяющий точки А (хи уи
В (хг, уг), но ограничивающий вместе с отрезком АВ
площадь АтВА данной величины S.
4305. Определить две дважды непрерывно дифферен-
цируемые функции Р (х, у) и Q (х,. у) так, чтобы кри-
волинейный интеграл
/ = £Р(х+а, z/-|-p)dx-f-Q(x + a, y + $)dy
для любого замкнутого контура С не зависел от постоян-
ных аир.
4306. Какому условию должна удовлетворять диффе-
ренцируемая функция F (х, у), чтобы криволинейный
интеграл
f F(x, y)(ydx+ xdy)
АтВ
не зависел от вида пути интегрирования?
4307. Вычислить
у _ Д xdy— у dx
У х2+У2
где С — простой замкнутый контур, не проходящий
через начало координат, пробегаемый в положительном
направлении.
Указание. Рассмотреть два случая: 1) начало коорди-
нат находится вне контура; 2) контур С окружает начало коор-
динат.
С помощью криволинейных интегралов вычислить
площади, ограниченные следующими кривыми:
4308. Эллипсом х = a cos t, у = b sin t (0 < t С
< 2л).
4309. Астроидой х — a cos3?, у = b sin3 t (0 < t С
< 2л).
4310. Параболой (х + у)2 = ах (а> 0) и осью Ох.
4311. Петлей декартова листа х3 + у9 = Наху
(а>0).
Указание. Положить у = tx.
4312. Лемнискатой (х2 + у3}3 = а3 (х2 — у3).
Указание. Положить у = х tg <р.
4313. Кривой х3 + у3 = х2 + у3 и осями координат.
4314. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(х + у)п+т+' = ахпут (а > 0, п > 0, т > 0).
4315. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(т)”+(!)'=
и осями координат.
(а>0, 6>0, л>0)
Указание. Положить —= cos2^"<p, *= sin2'"‘<p.
а •
4316. Вычислить площадь, ограниченную кривой
(f)W-(fT+(fF
(а 2> 0, b > 0, п > I) и осями координат.
4317. Вычислить площадь петли кривой
)'(!)'
(а>0, Ь>0, с>0, л>0).
4318. Эпициклоидой называется кривая, описываемая
точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся без
скольжения по неподвижной окружности радиуса R и
остающейся вне нее.
Найти площадь, ограниченную эпициклоидой, пред-
D
полагая, что отношение — — п есть целое число (л >1).
Г
Разобрать частный случай г = R (кардиоида).
4319. Гипоциклоидой называется кривая, описывае-
мая точкой подвижной окружности радиуса г, катящейся
без скольжения по неподвижной окружности радиуса R
и остающейся внутри нее. Найти площадь, ограниченную
гипоциклоидой, предполагая, что отношение Rlr = л
есть целое число (п > 2).
Разобрать частный случай г = R/4 (астроида).
4320. Вычислить площадь части цилиндрической по-
верхности х2 + у2 = ах, вырезанной поверхностью
х2 + у2 + z2 -= а2.
4320.1. Доказать, что объем тела, образованного
вращением вокруг оси Ох простого замкнутого контура С,
расположенного в верхней полуплоскости у > 0 равен
V = —л <5 y2dx.
с
4321. Вычислить
1 CXdY — YdX
~ 2л у Х»+ Y2 '
с
если X = ах + by, Y = сх + dy и простой замкнутый
контур С окружает начало координат (ad — be Ф 0).
4322. Вычислить интеграл 1 (см. предыдущую за-
дачу), если X = <р (х, у), Y — ф (х, у), и простой кон-
тур С окружает начало координат, причем кривые
Ф (х, у) = 0 и ф (х, у) = 0 имеют несколько простых точек
пересечения внутри контура С.
4323. Показать, что если С — замкнутый контур и
I — произвольное направление, то
<jjcos(Z, n)ds = 0,
с
где п — внешняя нормаль к контуру С.
4324. Найти значение интеграла
/ = [х cos (л, х) 4- у cos<(«. у)] ds,
с
где С — простая замкнутая кривая, ограничивающая
конечную область S, и п — внешняя нормаль к ней.
4325. Найти
lim -±-&(F'n)ds,
d (S)-*0 S £
где S — площадь, ограниченная контуром С, окружаю-
щим точку (х0, j/о), d(S)—диаметр области S, п—еди-
ничный вектор внешней нормали контура С и F {X, Y} —
вектор, непрерывно дифференцируемый в S + С.
§ 13. Физические приложения криволинейных
интегралов
4326. С какой силой притягивает масса М, равно
мерно распределенная по верхней полуокружности х2 4-
+ у2 — а2, у > 0, материальную точку массы т, зани-
мающую положение (0, 0)?
4327. Вычислить логарифмический интеграл простого
слоя
и (X, у) = Ф х In ф- ds,
с
где х = const — плотность, r= V(£—x)2-t-(q—у)2
и контур С есть окружность £2 -f- rj2 = /?2.
4328. Вычислить в полярных координатах р и <р
логарифмические потенциалы простого слоя
2Л 2л
С I с t
/1 = I cos /пф In — с/ф и /2 = \ sin тф In — иф,
о о
где г — расстояние между точкой (р, <р) и переменной
точкой (1, ф) и т — натуральнье число.
4329. Вычислить интеграл Гаусса
. . .£ cos (Г, т
и (X, у) = ф--------as,
fj Г
с
где г =V(£—*)г~Нт1—к')2 —длине) вектоэа г, со-
единяющего точку Д (х, и' с переменной точкой .И (|, q)
простого замкнутого гладкого контура С, (г, я) — угол
между вектором г и внешней нормалью я к кривой С
в точке ее М.
4330. Вычислить в полярных координатах э и ф
логарифмические потенциалы двойного слоя
2л
v Г и cojir, л) j.
Ai = \ cos тф--——— аф,
J г
о
2Л
tz С • cos (г, п) ..
А 2 = \ S1H тф---------аф,
J г
и
где г — расстояние между точкой А (р, <р) и переменной
точкой М (1, ф), (г, л)— угол между направлением
АМ = г и радиусом ОМ — п, проведенным из точки
О (0, 0), и т — натуральное число.
4331. Дважды дифференцируемая функция и =
— и (х, у) называется гармонической, если Au sa
d’-и д*и п п
+ ~ О- Доказать, что и есть гармоническая
458 ОТДЕЛ VIII. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
функция тогда и только тогда, если
(6 — ^ = 0,
J дп
л _ _ ди
где С— произвольный замкнутый контур и —-------про-
on
изводная по внешней нормали к этому контуру.
4332. Доказать, что
s
Г л.
T)U------ as,
J дп
с
где гладкий контур С ограничивает конечную область S.
4333. Доказать, что функция, гармоническая внутри
конечной области S и на ее границе С, однозначно опре-
деляется своими значениями на контуре С (см. задачу
4332).
4334. Доказать вторую формулу Грина на плоскости
ди dv
где гладкий контур С ограничивает конечную область S
д
и-------производная по направлению внешней нормали
дп
к С.
4335. Пользуясь второй формулой Грина, доказать,
что если и = и (х, у) — гармоническая функция в зам-
кнутой конечной области S, то
. . 1 С / д In г
и{-Х'
2л j \ дп
С
In г -^-)ds,
дп )
где С — граница области S, п — направление внешней
нормали к контуру С, (х, у) — внутренняя точка обла-
сти S и г = — х)2 + (Л — У)2 — расстояние между
точкой (х, у) и переменной точкой (Е, л) контура С.
Указание. Вырезать точку (х, у) из области S вместе
с бесконечно малой круговой окрестностью ее и применить вто-
рую формулу Грина к оставшейся части области S.
4336. Доказать теорему о среднем для гармониче-
ской функции и (М) — и (х, у)-.
и(М) Tl)<fc’
ZJvx\ J
с
где С — окружность радиуса R с центром в точке М.
4337. Доказать, что функция и (х, у), гармониче-
ская в ограниченной и замкнутой области и не являю-
щаяся постоянной в этой области, не может достигать
своих наибольшего и наименьшего значений во внутрен-
ней точке этой области (принцип максимума).
4338. Доказать формулу Римана
где
, , . д2и . ди ди .
L [и] = ——-------Ь а —-----h о —---h си,
дх ду дх ду
, д^и dv l ди ,,
М Ы =--------------а-------о-------Fcv
дх ду дх ду
(а, Ь, с — постоянные), Р и Q — некоторые опреде-
ленные функции и контур С ограничивает конечную
область S.
4339. Пусть и — и (х, у) и v = v (х, у) — компо-
ненты скорости установившегося потока жидкости. Опре-
делить количество жидкости, вытекшее за единицу вре-
мени из ограниченной контуром С области S (т. е. раз-
ность между количествами вышедшей и вошедшей жид-
кости). Какому уравнению удовлетворяют функции и и а,
если жидкость несжимаема и в области S отсутствуют
источники и стоки?
4340. Согласно закону Био—Савара электрический
ток I, протекающий по элементу проводника ds, создает
в точке пространства М (х, у, г) магнитное поле с на-
пряжением
г3
где г — вектор, соединяющий элемент ds с точкой М,
и k — коэффициент пропорциональности. Найти проек-
ции Нх, Ну, Нг напряжения магнитного поля Н в
точке М для случая замкнутого проводника С.
§ 14. Поверхностные интегралы
Iе. Поверхностный интеграл 1-го рода.
Если S — кусочно гладкая двусторонняя поверхность
х = х (и, V) у = у (и, о) г = г (и, о) * ((и, о) £ Й) (1)
и f (х, у, г) — функция, определенная и непрерывная в точках
поверхности S, то
у, г) dS — J р (х (и, V), у (и, v), г (и, t>)) VEG—Г* du dv,
(2)
f = дх дх | ду
ди dv ди dv
dz дг
ди dv
В частном случае, если уравнение поверхности 3 имеет вид
z = г (х, у) ((х, у) £ о),
где г(х, у) — однозначная непрерывно дифференцируемая функ-
ция, то
f Р (х. У. z)dS =
“И f(x,y, г (х, у)) у l +
Этот интеграл не зависит от выбора стороны поверхности S.
Если функцию /. (х, у, г) рассматривать как плотность по-
верхности S в точке (х, у, г), то интеграл (2) представляет собой
массу этой поверхности.
2°. Поверхностный интеграл 2-го рода.
Если S — гладкая двусторонняя поверхность, 3+ — ее сторона,
характеризуемая направлением нормали A (cos a, cos (3, cosy),
Р = Р (х, у, г), Q = Q (х, у, г), R = R (х, у, г) — три функ-
ции, определенные и непрерывные на поверхности 3, то
f > Р dy dz+Q dz dx-\-R dx dy— J f (P cos a-f-Q cos (J-J-Z? cos y)dS. (3)
3* s
Если поверхность 3 задана в параметрическом виде (1), то
направляющие косинусы нормали л определяются по форму*
Лэм:
4 „ В
ccs а =----- --------------, cos р ........ •........ ,
± д/А2 + В2 + С2 ±V-43+Ba+CJ
С
cos V ------ — ,
+ В-'+С2
где А = , В= д(г’ х} , , И знак
д (u, V) д (и, tj д (и, о)
перед радикалом выбирается надлежащим образом.
При переходе к другой стороне 3~ поверхности S интеграл (3)
меняет свой знак на обратный.
4341. На сколько отличаются друг от друга поверх-
ностные интегралы
/1 = И(x2 + {/2 + z2)dS и + +
S Р
где S — поверхность сферы х2 4* у2 + г1 = а2 и Р
поверхность октаэдра |х| + |z/| + |z| = a, вписан-
ного в эту сферу?
4342. Вычислить [J г dS, где S — часть поверх-
's
ности хй + г2 — 2аг (а > 0), вырезанная поверхностью
г = л/х2 + у2.
Вычислить следующие поверхностные интегралы
1-го рода:
4343. JJ (A' + y + z) dS, где S — поверхность
х2 + у2 + г2 = а2, г > 0.
4344. Г f (х2 + у2) dS, где S — граница тела
"s
д/х2 + у2 < г < 1.
4345. J у»~ * где $ — граница тетраэдра
s
x + «/ + z<l, х>0, z/>0, z > 0.
4346. jj \xyz\dS, где S — часть поверхности г =*
= х2 + у2, отсекаемая плоскостью z = 1.
4347. где $ — поверхность эллипсоида н
s
h — расстояние центра эллипсоида до плоскости,
касательной к элементу dS поверхности эллипсоида.
4348. ffzdS, где S — часть поверхности геликоида
x = ucosv, y = usinv, z — v (0<Zu<.a‘, 0<о<2л).
4349. J J z2 dS, где S — часть поверхности конуса
х = г cos <р sin а, у = г sin ф sin а, z = г cos а
(0<г<а; 0СфС2л) и а—постоянная
4350. ^(xy+yz + zx)dS,
где S — часть конической
поверхности z = -у/х2 + у2, вырезанная поверхностью
х2 + у2 = 2ах.
4351. Доказать формулу Пуассона
J f f (ах + by + сг) dS = 2л f f (и -у/a2 + b2 + c2) du,
S —1
где S есть поверхность сферы х2 + у2 + г* = 1.
4352. Найти массу параболической оболочки
г^±.(х2 + у2) (0<г<1),
плотность которой меняется по закону р = г.
4352.1. Найти массу полусферы
х2 + у2 + г2 = а2 (г > 0).
плотность которой в каждой ее точке М (х, у, г) равна г!а.
4352.2. Найти статические моменты однородной тре-
угольной пластинки х + у + г = а(х^> 0, у > 0,
z > 0) относительно координатных плоскостей.
4353. Вычислить момент инерции относительно оси Ог
однородной сферической оболочки х2 + у2 + г2 — о4
(г > 0) плотности р0.
4354. Вычислить момент инерции однородной кони-
ческой оболочки —---------—=0 (0 < г с Ь) плот-
с2 а* Ь2
ности р0 относительно прямой
х у . г—&
10 о
4355. Найти координаты центра тяжести части одно-
родной поверхности г = ^х2 + у2, вырезанной по-
верхностью х2 + у2 = ах.
4356. Найти координаты центра тяжести однород-
ной поверхности
г = д/аг—х2—у2 (х>0; у > 0; х + у^.а).
4356.1. Найти полярные моменты инерции
'о = у(хг + «г + г2И5
следующих поверхностей S:
а) поверхности куба max (| х |, |у|, | г |}= а;
б) полной поверхности цилиндра х2 + у2 < R2; О С
Z < Н.
4356.2. Найти моменты инерции треугольной пла-
стинки
х + у + z = 1 (х > О, у > О, z > 0)
относительно координатных плоскостей.
4357. С какой силой притягивает однородная усе
ценная коническая поверхность
х = г cos q>, у = г sin ф, г — г
(0 < ф < 2л, 0 < b < г < а)
плотности ро материальную точку массы т, помещенную
в вершине этой поверхности?
4358. Найти потенциал однородной сферической по-
верхности х2 4- у2 + г2 — a2 (S) плотности р0 на точку
Alo (*о. Уо> zo)< т. е. вычислить интеграл и = j* j* —>
s
где г = д/(х—х0)2 + (у—у0)2 + (z—z0)2.
4359. Вычислить
И f{x,y,z}dS,
x+y+z-rt
где
11—x2—у2—г2, если х2 + у2 + г2 < Г,
f(x, у, г) — j q, если j.
Построить график функции и = F (/).
4360. Вычислить интеграл
F(0 = И /(х, у, z)dS,
где ______
f^Xt yt + если z> Vx24-y2;
0, если г < д/х2 + у2.
4361, Вычислить интеграл
F(x, у, г, = Л, QdS,
S
где S — переменная сфера
ft - х)2 + (п - у)2 + ft - z)2 *= t2,
Й
/а, л, о={ог
если + т]2 + £2<а2;
если £2 + г)2 + £2 > а2,
предполагая, что
г — л/х2 + y2 + z2 >а>0.
Вычислить следующие поверхностные интегралы 2-го
рода:
4362. JJ(хdy dzу dz dxгdxdy), где S — внешняя
сторона сферы х2 + у2 + г2 = а2.
g (у), h (г) — непрерывные функции и S — внешняя
сторона поверхности параллелепипеда 0 < х < а; 0 <
< у b; 0 С г < с.
4364. f J (у—г) dy dz 4- (г—х) dzdx 4- (х—у) dx dy,
где S — внешняя сторона конической поверхности х2 +
-г у2 — г2 (О С г < h).
4365. + + где S - внеш-
S
няя сторона эллипсоида —-4—4—— =1.
а2 о2 с1
4366. f J х2 dy dz 4- у2 dz dx 4- z2 dx dy, где S — внеш-
ня я сторона сферы (х — а)2 4* (у — Ь)2 4- (г —с)2= R-.
§ 15. Формула Стокса
Если Р — Р (х, у, г), Q — Q (х, у, г), R = R (х, у, г) —
непрерывно дифференцируемые функции и С — простой замкну-
тый кусочна гладкий контур, ограничивающий конечную ку-
сочно гладкую двустороннюю поверхность S, то имеет место
формула Стокса:
cos a cos 0 cos у
J Pdx+Qdy+Rdz-lj
д д
дх ду
Р Q
д
дг
dS.
R
где cos а cos 0, cos у — направляющие косинусы нормали к по-
верхности S, направленной в ту сторону, относительно которой
обход контура С совершается против хода часовой стрелки
(для правой координатной системы).
4367. Применяя формулу Стокса, вычислить кри-
волинейный интеграл J у dx 4- г dy 4- х dz, * где С —
окружность х2 + у2 + г2 — а2, х + у + г — О, про-
бегаемая против хода часовой стрелки, если смотреть
с положительной стороны оси Ох.
Проверить результат непосредственным вычислением.
4368. Вычислить интеграл
f (х2—yz)dx + (y2—xz)dy4-(z2— xyjdz,
AmB
взятый по отрезку винтовой линии
x = acosq>, y = asin<p, z = -^-q>
от точки А (а, 0, 0) до точки В (а, 0, Л).
Указание. Дополнить кривую АтВ прямолинейным
отрезком и применить формулу Стокса.
4369. Пусть С — замкнутый контур, расположен-
ный в плоскости х cos а 4- у cos 0 4- г cos у — р = 0
(cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы нормали
плоскости) и ограничивающий площадку S.
Найти
dx dy dz
cos a cos p cos у »
x у г
где контур С пробегается в положительном направле-
нии.
Применяя формулу Стокса, вычислить интегралы?
4370. f (у 4- z) dx 4- (г 4- х) dy 4- (х 4- у) dz, где
С
С — эллипс х — a sin2 t, у = 2а sin t cos t, г = a cos2 t
(0 < t < л), пробегаемый в направлении возрастания
параметра t.
4371. J (у — z) dx 4- (г — х) dy 4- (х — у) dz, где
с
С — эллипс х2 4- = а2 — 4- — = 1 (о > 0. Л > 0),
a h
пробегаемый против хода часовой стрелки, если смотреть
с положительной стороны оси Ох.
4372. J (у2 4- г2) dx 4- (х2 4- г2) dy 4- (х2 4- у2) dz,
где С — кривая х2 4- у2 4- z2 = 2Rx, х2 4- у2 = 2гх (0<
<.r<R, z > 0), пробегаемая так, что ограниченная
30~23»3
ею на внешней стороне сферы х2 + у2 + г2 = 2Rx наи-
меньшая область остается слева.
4373. f (у2 — г2) dx + (z2 — х2) dy + (х2 — у2) dz,
с
где С — сечение поверхности куба
С у < a, 0 < г С а плоскостью
О < х < а, О С
. , 3
х + у + г = —а,
пробегаемое против хода часовой стрелки, если смот-
реть с положительной стороны оси Ох.
4374. f y2z2dx + x2z2dy + x2y2dz, где С — замкну-
с
тая кривая х = a cos t, у = a cos 2t, г = a cos 3/,
пробегаемая в направлении возрастания параметра t.
4375. Доказать, что функция
W (х, у, z) = ki J J -cos п} dS (k = со nst),
s
где S — площадка, ограниченная контуром С, п — нор-
маль к поверхности S и г — радиус-вектор, соединяю-
щий точку пространства М (х, у, г) с текущей точкой
Л (£• контура С, является потенциалом магнит-
ного поля Н, создаваемого током t, протекающим по
контуру С (см. задачу 4340).
§ 16. Формула Остроградского
Если S — кусочно гладкая поверхность, ограничивающая
объем V, и Р = Р (х, у, z), Q = Q (х, у, z), R = R (х, у, г) —
функции, непрерывные вместе со своими частными производ-
ными 1-го порядка в области V + S, то справедлива формула
Острогродского'.
J f(P cos а + Q cos р + R cos у) dS «=•
V
где cos a, cos Р, cos у — направляющие косинусы внешней нор-
мали к поверхности S.
Применяя формулу Остроградского, преобразовать
следующие поверхностные интегралы, если гладкая по-
верхность S ограничивает конечный объем V и cos а,
cos 0, cos у — направляющие косинусы внешней нормали
к поверхности S:
4376. j jX3dy dz+y3 dzdx-\-z3dxdy.
4377. yzdydz+zxdzdx-\-xydxdy.
4378. (( xcosa+ycosP + £cosY dSj
S лЛ2+^ + г2
4379. J J cos a + cos P + •y- cos t)
te-
4381. Доказать, что если S — замкнутая простая
поверхность и I — любое постоянное направление, то
J J cos (п, /) dS — О,
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
4382. Доказать, что объем тела, ограниченного по-
верхностью S, равен
V = “JJ (х cos a 4-{/cos 04-г cos y)dS,
где cos a, cos 0, cos у — направляющие косинусы внеш-
ней нормали к поверхности S.
4383. Доказать, что объем конуса, ограниченного
гладкой конической поверхностью F (х, у, г) = 0 и
плоскостью Ах 4- By 4- Cz 4- D = 0, равен
V = — SH,
3
где S — площадь основания конуса, расположенного
и данной плоскости, и Я — его высота.
4384. Найти объем тела, ограниченного поверхностя-
ми: г = ± с и
х = a cos и cos v 4- b sin и sin о,'
y = acosMsinv—b sin и cos v,
z = csinu.
4385. Найти объем тела, ограниченного поверхно-
стью
х = и cos и, у — и sin о, г = —и 4- a cos v
(« >0)
и плоскостями: х = 0 и г = 0 (a > 0).
4385.1. Найти объем тела, ограниченного тором
х = (b + a cos tp) cos ф,
у = (& + acosif)sin ф,
z = asint|>
(0<as$ b).
4386. Доказать формулу
= jj f(x, у, г, t)dS + fJJ -—dxdydz
хг+^+гг^Р х'+у’+г-^Р
(/>0).
С помощью формулы Остроградского вычислить сле-
дующие поверхностные интегралы:
4387. у х2 dy dz + у2 dz dx + z2 dx dy, где S —
внешняя сторона границы куба 0<x<a, 0<z/<a,
О < z < a.
4388. у xs dy dz + y3 dz dx + z3 dx dy, где S —
внешняя сторона сферы x2 + у2 + г2 = a2.
4389. J J (х — у + z) dy dz + (y — z + x) dz dx -t~
4- (z — x -r y) dx dy, где S — внешняя сторона поверх-
ности
|x —z/ + z| + |i/ — z + x| + |z —x + i/| = 1.
4390. Вычислить f f (x2 cos a+y2 cos 0 + z2 cos y) dS,
s
где S — часть конической поверхности хг+у2 — г2
(О < г < й) и cos a, cos ₽, cos у — направляющие
косинусы внешней нормали к этой поверхности.
Указание. Присоединить часть плоскости г = h,
*2 + у2 Л2.
4391. Доказать формулу
V S
где S — замкнутая поверхность, ограничивающая объем
V, п — внешняя нормаль к поверхности S в текущей
точке ее (Е, ц. О, г = — х)2 + (!) ~ !/)Л + (£ ~ гР
иг — радиус-вектор, идущий от точки (х, у, г) к точке
(L Т). &
4392. Вычислить интеграл Гаусса
s
где S — простая замкнутая гладкая поверхность, огра-
ничивающая объем V, п — внешняя нормаль к поверх-
ности S в точке ее (5, т), £), г — радиус-вектор, соеди-
няющий точку (х, у, г) с точкой (£, j], Q и г =
=V(£-*)2 + (n-i/)2+ (?-z)2.
Рассмотреть два случая:
а) когда поверхность S не окружает точку (х, у, г),
б) когда поверхность S окружает точку (х, у, г).
4393. Доказать, что если
дх2 ду2 dz2
и S — гладкая поверхность, ограничивающая конечное
тело V, то справедливы следующие формулы:
s
s
v
v
г (-^)2]<*х dydz+ Г J и Дм dxdydz,
0 v
где и — функция, непрерывная вместе со своими част-
ными производными до второго порядка включительно
в области V + S, и —----производная по внешней нор-
дп
мали к поверхности S.
4394. Доказать вторую формулу Грина в простран-
стве
№
V
До
•о
ди до
дп дп
dS,
5
и V
где объем V ограничен поверхностью S, п — направ-
ление внешней нормали к поверхности S и функции
и — и (х, у, г), v — v (х, у, z) дважды дифференци-
руемы в области V + S.
4395. Функция и ~ и (х, у, г), обладающая не-
прерывными производными до второго порядка включи-
тельно в некоторой области, называется гармонической
в этой области, если
дх2 ду2 дг2
Доказать, что если и — гармоническая функция в ко-
нечной замкнутой области V, ограниченной гладкой
поверхностью S, то справедливы формулы:
S
V
S
где п — внешняя нормаль к поверхности S.
Пользуясь формулой б), доказать, что функция, гар-
моническая в области V, однозначно определяется сво-
ими значениями на ее границе S.
4396. Доказать, что если функция и = и (х, у, г) —
гармоническая в конечной замкнутой области V, огра-
ниченной гладкой поверхностью S, то
S
где г — радиус-вектор, идущий из внутренней точки
(х, у, z) области V в переменную точку (|, т|, £) поверх-
ности S, г = V(£ ~ х)г + (л ~ У)2 + (С —z)S * * 8. « —
вектор внешней нормали к поверхности S в точке (5, £).
4397. Доказать, что если и = и (х, у, z) — функция,
гармоническая внутри сферы S радиуса R с центром
в (х0, у0, z0), той (х0, у0, z0) = -^?JJu(x, у, z) dS
s
(теорема о среднем).
4398. Доказать, что функция и = и (х, у, г), не-
прерывная в ограниченной замкнутой области V и гармо-
ническая внутри нее, не может достигать своих наиболь-
шего и наименьшего значений во внутренней точке обла-
сти, если эта функция не является тождественной
постоянной (принцип максимума).
4399. Тело V целиком погружено в жидкость. Исходя
из закона Паскаля, доказать, что выталкивающая сила
жидкости равна весу жидкости в объеме тела и напра-
влена вертикально вверх (закон Архимеда).
4400. Пусть St — переменная сфера (£ — х)г +
+ (П — У)г + (i — г)2 =. /2 н функция f (g, р, Q —
непрерывна. Доказать, что функция
удовлетворяет волновому уравнению
д*и . д*и . д2и______дЧг_
дх* + dy* + dz* ~ dt*
и начальным условиям: и
= °. -J-l =f(x, У, Z).
/=о dt |/=о
,, „ ди
Указание. Производную—— выразить тройным ните-
dt
гралом.
§ 17. Элементы теории поля
.1°. Градиент. Если и (г) = и (х, у, г), где г = xl 4-
+ yj + zk, есть непрерывно дифференцируемое скалярное поле,
то градиентом его называется вектор
. ди . , ди , , ди
grad и = —— I + к
дх ду дг
или, короче, gradu=Vu, где V = /~——1-*~-• Гра-
дх ду дг
диент поля и в дайной точке (х, у, г) иаправлеи по нормали
к поверхности уровня и (х, у, г) = С, проходящей через эту
точку. Этот вектор для каждой точки поля по величине
и направлению дает наибольшую скорость изменения функции и,
Производнаи поля и в некотором направлении I {cos а,
cos р, cos у) равна:
du . , ди , ди о , ди
—-— = grad и-I -cos а 4---cos В 4--cos у.
d/ дх ду дг
2°. Дивергенция поля и ротация (внхрь)
поля. Если
а (г) = ах (х, у, г) I 4- ау (х, у, г) J + аг (х, у, г) к
есть непрерывно дифференцируемое векторное поле, то скаляр
.. „ дах . да„ , да,
div а = \а. =—— + —Ь + —--
дх ду дг
называется дивергенцией или расходимостью этого поля.
Вектор
i J k
д д д
rot а = V X а — —- —— ——
дх ду дг
ах ау аг
носит название ротации или вихря поля.
3°. Поток вектора через поверхность.
Если вектор а (г) порождает векторное поле в области Q, то по-
током вектора через данную поверхность S, расположенную
в О, в указанную сторону, характеризуемую единичным векто-
ром нормали п (cos a, cos 0, cos у), называется интеграл
( [ andS = J Г (ах cos а + ау cos 0 4- аг cos у) dS,
' s sJ
где сп = аг. — нормальная проекция вектора. Формула Остро-
градскосо в векторной трактовке принимает вид ^andS =
S
«= j [ J div a dxdy de, где S есть поверхность, ограничиваю-
щая объем V, и n — единичный вектор внешней нормали к по-
верхности S.
4°. Циркуляция вектора. Линейным интегралом
от вектора а (г), взятым по некоторой кривой С (работа поля),
называется число
[ a dr = Г axdx aydy а^г.
с с
Если контур С замкнут, то линейный интеграл называется
циркуляцией вектора а вдоль контура С.
В векторной форме формула Стокса имеет вид ф a dr =
t
= J J (rot a)n dS, где C — замкнутый контур, ограничивающий
поверхность S, причем направление нормали л к поверхности
S должно быть выбрано так, чтобы для наблюдателя, стоящего иа
поверхности S, головой по направлению нормали, обход контура
С совершался против хода часовой стрелки (для правой системы
координат).
5°. Потенциальное поле. Векторное поле а (г),
являющееся градиентом некоторого скаляра и;
grad и = а.
называется потенциальным, а величина и называется потенциа-
лом поля.
Если потенциал и — однозначная функция, то
J1 a dr = и (В) — и (А).
В частности, в этом случае циркуляция вектора а равна нулю.
Необходимым и достаточным условием потенциальности
поля а, заданного в поверхностно односвязной области, яв-
ляется выполнение условия rot а = 0, т. е, такое поле должно
быть безвихревым.
4401. Найти величину и направление градиента поля
и = х2 + 2у2 + Зг2 + ху + Зх —- 2у — 6г в точках:
а) О (0, 0, 0); б) А (1, 1, 1) н в) В (2, 0, 1). В какой
точке градиент поля равен нулю?
4401.1. Пусть и = ху — г2. Найти величину и на-
правление grad и в точке М (—9, 12, 10).
Чему равна производная — в направлении биссек-
д1
трисы координатного угла хОу?
4402. В каких точках пространства Oxyz градиент
поля
и — х3 + у3 + г3 — Зхуг
а) перпендикулярен к оси Ог; б) параллелен оси Ог;
в) равен нулю?
4403. Дано скалярное поле
и = In — ,
где г= д/(х— о)г + (У — Ь)2 + (г— с)2. В каких
точках пространства Oxyz имеет место равенство
| grad и | = 1?
4404. Построить поверхности уровня скалярного поля
и = д/^г + 1/г + (г4 8F + д/х2 + у24-(г—8)г.
Найти поверхность уровня, проходящую через точку
М (9, 12, 2S). Чему равен max и в области х2 + у2 +
4- г2 < 36?
4405. Найти угол <р между градиентами поля
+ У2 + г2
в точках Л (1, 2, 2) и В (—3, 1, 0).
4406. Пусть дано скалярное поле и = — г —.
у/хг + уг+ г2
Построить поверхности уровня и поверхности рав-
ного модуля градиента поля.
Найти inf u, sup и, inf|grad и |, sup | grad и\ в обла-
сти 1 < z < 2.
4407. С точностью до бесконечно малых высших по-
рядков найти расстояние в точке Мй (х0, у, z0) между
двумя бесконечно близкими поверхностями уровня
«(х, у, г) = с и и (х, у, z) = с + Ас,
где и (х0, у0, z0) = с (grad и (х0, у0, z0) 0).
4408. Доказать формулы:
a) grad (и + с) = grad и (с — постоянно);
б) grad си = с grad и {с — постоянно);
в) grad (и + v) = grad и + grad v;
г) grad uv — v grad и 4- и grad v;
д) grad (и2) = 2u grad u;
e) grad f (и) = f (u) grad u.
4409. Вычислить: a) grad r; 6) grad г2; в) grad —,
где r — xi-^-yjA-zk.
4410. Найти grad / (г), где r — <\/x2 + y2 + z2.
4411. Найти grad (cr), где c—постоянный вектор и
г — радиус-вектор из начала координат.
4412. Найти grad {|с X rj2} (с — постоянный век-
тор).
4413. Доказать формулу grad / (и, v) = $— grad и 4*
ди
'—~ Srad и.
dv
<414. Доказать формулу V2 (uv) = u\72v 4~ 4*
4- 2V«\7 v, где
dx
v2 = vv =
. d , d
j-----Ь к —,
J ду дг
d2 . d2 , d3
дх2 ду2 дг2
4415. Доказать, что если функция и = и (х, у, z)
дифференцируема в выпуклой области Й и | grad и j С М,
где М — постоянная, то для любых точек А, В из Q
имеем:
| и (Л) — и (В); < /Ир (Л, В),
где р (Л, В) — расстояние между точками Л и В.
4415.1. Для функции и = и (х, у, г) выразить
grad и: а) в цилиндрических координатах; б) в сфериче-
ских координатах.
4416. Наити производную поля и —-4—!L-4-_i—
Ь8 с*
в данной точке М (х, у, г) в направлении радиуса-век-
тора г этой точки.
В каком случае эта производная будет равна вели-
чине градиента?
4417. Найти производную поля и = Ifr, где г —
= -yjx2, + у2 + z2, в направлении /{cos a, cos р, cos у}.
В каком случае эта производная равна нулю?
4418. Найти производную поля и = и (х, у, г) в на-
правлении градиента поля о = v (х, у, г).
В какой случае эта производная будет равна нулю?
4419. Написать в ортах векторное поле а = С X
X grad и, если
и — aretn —- и с — 14-/-гЛ.
V*24-^
4420. Определить силовые линии векторного поля
a — xi+yj + 2zk.
4421. Доказать непосредственным вычислением, что
дивергенция вектора а не зависит от выбора прямо-
угольной координатной системы.
4422. Доказать, что div а(Л4) = Цт —— И а„ dS,
d (S)-»O V s
где S — замкнутая поверхность, окружающая точку М
и ограничивающая объем V, п — внешняя нормаль к по-
верхности S, d (S) — диаметр поверхности 3.
4422.1. Найти дивергенцию поля а=а~-—
V«г + У3
в точке М (3, 4, Е). Чему приближенно равен поток П
вектора а через бесконечно малую сферу (х — З)2 +
4- (У - 4)2 4- (z — 5)* = е2?
4423. Найти
дх ду дг
(1)х
4424. Доказать, что a) div (а 4- b) — div а 4- div b;
б) div (ис) = с drad и {с — постоянный вектор, и —ска-
ляр); в) div (иа) = и div а 4- a grad и.
4425. Найти div (grad и).
4426< Найти div [grad f (г)], где г = д/ х2 + уг + г2.
В каком случае div [grad f (г)| = О?
4427< Вычислить: a) div г; б) div г/г.
4428. Вычислить div [f (г) с], где с — постоянный
вектор.
4429. Найти div [ f (г) г]. В каком случае диверген-
ция этого вектора равна нулю?
4430. Найти: a) div (и grad и); б) div (и grad v).
4431. Жидкость, заполняющая пространство, вра-
щается вокруг оси Ог против часовой стрелки с постоян-
ной угловой скоростью со. Найти дивергенцию вектора
скорости v и вектора ускорения w в точке М (х, у, г)
Пространства в данный момент времени.
4432. Найти дивергенцию гравитационного силового
поля, создаваемого конечной системой притягивающих
центров.
4433. Найти выражение дивергенции плоского век-
тора а = а (г, ср) в полярных координатах г и ср.
4434. Выразить div а (х, у, г) в ортогональных кри-
волинейных координатах и, v, w, если х = f (и, v, w),
у = g (и, v, w), z— h (и, v, w). Как частный случай
получить выражение div а в цилиндрических и сфериче-
ских координатах.
Указание. Рассмотреть поток вектора а через беско-
нечно малый параллелепипед, ограниченный поверхностями
и — const, v = const, w = const.
4435. Доказать, что: a) rot (а + b) = rot а + rotfti
б) rot [на) =? и rot a -t- grad (и х а).
4436. Найти: a) rot г; б) rot [f (г) г].
4436.1. Найти величину и направление rot с в точке
М (1, 2,—2), если а =—/+ —J + —Л.
г х у
4437. Найти: a) rot cf (г); б) rot [ex f (г) г] (с —•
постоянный вектор).
4438. Доказать, что div (а х b) = b rot а —a rot Ь.
4439. Найти: a) rot (grad и); б) div (rot а).
4440. Жидкость, заполняющая пространство, вра-
щается вокруг оси I {cos a, cos р, cos у} с постоянной
угловой скоростью и. Найти ротацию вектора линейной
скорости v в точке пространства М (х, у, z) в данный
момент времени.
4440.1. Найти выражение ротации плоского вектора
а — а (г, <р) в полярных координатах г и <р.
4440.2. Выразить rot а (х, у, г) а) в цилиндриче-
ских координатах; б) в сферических координатах.
4441. Найти поток вектора г:
а) через боковую поверхность конуса х2 + у2 < z?
(О < г < Л);
б) через основание этого конуса.
4442. Найти поток вектора а — iyz +Jxz + kxy: а) че-
рез боковую поверхность цилиндра х2 + у2 С а2 (0 С z <
< Л); б) через полную поверхность этого цилиндра.
4443. Найти поток радиуса-вектора г через поверх-
ность z=l — л]х2 + у2 (0 < z < 1).
4444. Найти поток вектора а = хЧ + y2j +z2k через
положительный октант сферы х2 + у2 + z2 = 1, х > О,
у > 0, г > 0.
4445. Найти поток вектора а = yi + zj + xk через
полную поверхность пирамиды, ограниченной плоско-
стями х = 0, у = 0, z = 0, х + у + z = а (а > 0).
Проверить результат, применяя формулу Остроград-
ского.
4445.1. Найти поток вектора а — хЧ + y2J + z2k
через сферу х2 + у2 + г2 = х.
4446. Доказать, что поток вектора а через поверх-
ность S, заданную уравнением г = г (и, v) ((и, о) £ Q),
равен
S Q
где ап = ап и п — единичный вектор нормали к по-
верхности S.
4447. Найти поток вектора а = mrlr3 {т— постоян-
ная) через замкнутую поверхность S, окружающую на-
чало координат.
п
4448. Найти поток вектора а (г) = grad (—*
1—1
где ег — постоянные иг( — расстояния точек Mt {источ-
ники) от переменной точки М {г), через замкнутую по-
верхность S, окружающую точки Л4г (i = 1, 2, . . ., п).
4449. Доказать, что dS = J $ V2u dx dy dz,
s v
где поверхность S ограничивает тело V.
4450. Количество тепла, протекающее в поле темпе-
ратуры и за единицу времени через элемент поверхности
dS, равно dQ = —Ад grad и dS, где k — коэффициент
внутренней теплопроводности и п — единичный вектор
нормали к поверхности S. Определить количество тепла,
накопленное телом V за единицу времени. Используя
скорость повышения температуры, вывести уравнение,
которому удовлетворяет температура тела (уравнение
теплопроводности).
4451. Находящаяся в движении несжимаемая жид-
кость заполняет объем V. Предполагая, что в области V
отсутствуют источники и стоки, вывести уравнение нераз-
рывности.
-^-4-div(P®) = 0,
at
где р = р (х, у, г) — плотность жидкости, v — вектор
скорости, t — время
Указание. Рассмотреть поток жидкости через произ-
вольный объем <о, содержащийся в V.
4452. Найти работу вектора а =г вдоль отрезка вин-
товой линии г = la cos t + Ja sin t + kbt (0 < / <2л).
4452.1. Найти работу поля a = — i 4----/ + ~ k
у г X
вдоль прямолинейного отрезка, соединяющего точки
М (1, 1, 1) и W (2, 4, 8).
4452.2. Найти работу поля а =* 1е«~г 4- Je?~* 4-
+ kex~y вдоль прямолинейного отрезка между точками
О (0, 0, 0) и М (1, 3, 5).
4452.3. Найти работу поля a — (yA-z)^ (2+ x)J 4-
+ (х + у) k вдоль кратчайшей дуги большого круга
сферы х2 + у2 + г2 = 25, соединяющей точки М (3, 4, 0)
и N (0, 0, 5).
4453. Найти работу вектора а — f (г) г, где f — не-
прерывная функция, вдоль дуги АВ.
4454. Найти циркуляцию вектора а — —yl 4- xj 4-
+ ck (с — постоянная): а) вдоль окружности х2 + у2 =
= 1, z — 0; б) вдоль окружности (х — 2)г 4- у2 = 1,
z — 0.
4455. Найти циркуляцию Г вектора а
== grad ^arctg —) вдоль контура С в двух случаях: а) С не
окружает ось Oz; б) С окружает ось Ог.
4455.1. Дано векторное поле
а = —у—1--------------t—j+'/xyk-
у г уг
Вычислив rot а в точке М (1, 1, 1), приближенно
найти циркуляцию Г поля вдоль бесконечно малой ок-
ружности
(x-l)2 + (t/-l)2 + (z-l)2 = e2, |
(х—l)cosa + (i/—1) cos p + (z—1) cos у= 0, J
где cos2 а + cos2 0 + cos2 у = 1.
4456. Плоский установившийся поток жидкости ха-
рактеризуется вектором скорости
W = и (х, у) I + V (х, у) j.
Определить: 1) количество жидкости Q, протекающее че-
рез замкнутый контур С, ограничивающий область 3
(расход жидкости); 2) циркуляцию Г вектора скорости
вдоль контура С. Каким уравнениям удовлетворяют
функции и и v, если жидкость несжимаема и поток без-
вихревой?
4457. Показать, что поле
а = yz (2х + у + г) I + xz (х + 2у + z)j +
+ ху (х + у + 2г) к
— потенциальное и найти потенциал этого поля.
4457.1. Убедившись в потенциальности поля
а ---------i------------J-----------ft,
(у + г)1'2 +
найти работу поля вдоль пути, соединяющего в положи-
тельном октанте точки М (1, 1, 3) и N (2, 4, 5).
4458. Найти потенциал гравитационного поля
создаваемого массой т, помещенной в начале координат.
4459. Найти потенциал гравитационного поля, со-
здаваемого системой масс (i = 1, 2, . . ., п), поме-
щенных в точках Mt (i = 1, 2, . . ., ri).
4460. Доказать, что поле а = f (г) г, где f (г) — од-
нозначная непрерывная функция, является потенциаль-
ным. Найти потенциал этого поля.
ОТВЕТЫ
ЧАСТЬ 1
отдел I
16. 0; 1. 17. — V2; V2.22. — 1,01< х<—0,99. 23. х<
1 2
<—8; х>12. 24. х<---25. 0<х< —. 26. 1х|<6.
2 3
27. х>-----. 28.-----<х< —. 29. —"V30—<х<
2 2 2 10
_ 5 —л/20 54-д/20 _ _ 5+д/зО о, D
<---------; ----—----<х<------1—г---. 31. Второе.
10 ’10 10
82. Два знака. 33. Не превышает 0,41 %. 34. 9,9102 см* <
<3< 10,0902 см*; Д<0,0902 см*; в<0,91 %. 35. 3,93 гс/см’±
Л 0,27 гс/см»; 6 <7,3 %. 36. 6 <3,05 %. 37. 172,480 м* <
< v < 213,642 м3; о = 192,660 м* ± 20,982 м3; б « 12 _%.
1 / 2
88. А <0,17 мм. 39. А <0,0005 м.42.
я V ®
1g—
* *>1 +-^Ь г) » 23301Р-. «3. .)
6) N в) АГ5» low. 46. 0. 47. 0. 48. 0 . 49. —.
I 1g 2 J ’ " 3
60. • 1 . 51. —. 52. —. 53. —. 54. —. 55. 3.
1—а 2 2 3 3
66. 1. 57. 2. 67. а) второе; а) первое; в) второе. 72. ем
*= 2,71828 ... 92. Равен 1, если а=#0 и принадлежит [•—1,
Ц или не существует, если а = 0. 96. xs = 1—. 97. xjoo "
1 100010ОТ
₽ —. 98. xjooo = ——--------------«2,49-104». 99. х4=х6= — 120.
20 10001
100. х10 = 20. 101. 0; 1; 1; 1. 101.1. — 3 —; 5; —2; 2.
2
102. — 1; 1 —; 0; 1. 103. 0; 2; 0; 2. 104. — 4; 6; — 4; 6.
2
105.-----— • i| —i-. j, Юб. —oo; + oo; —oo; 4-co.
2 2
107. —oo; •— I; —co; —oo. 108. 0; -f- oo; 0; -f- oo, 109. —oo}
4-00; —00; 4-OO. 110. —5; 1,25; 0; 0. 111. 1.
112. —64-------«4-1. 113.01 1. 114. 1; 2. 116. 0;
I V2 )
1. 116. 0; 1. 117. 1; —; —; . . . ;0. 118.Bce вешест-
2 3
венные числа, заключенные между 0 и 1, включая последние.
119. 1, 5. 120. а; Ь. 127. а) расходится, б) может как сходить-
ся, так и расходиться. 128. а) нельзя; б) нельзя. 129. Нет.
130. Нет. 144. а) 0; 6)0. 147. 1п 2. 148.-i-(а 4-26). 151. —оо<
<х<4-оо, х=/=—1. 152. —оо<х<— V3 и
153. — 1<х<1. 154. а) |х|>2; б) х£>2. 155. 46’лг < х <
<(26 4-1)’л» (6-0. 1, 2, . . .). 156. |х|< д/~7~ и
/^/-^-(46-1) <|х|</^/-у (46 4-1) (6=1.2. . . .),
=0, 1, 2. . . .). 158. х > 0, х п (п. = 1, 2, . . .). 159.--<
3
<х<1. 160. ] х—6л | < —^- (6-0, ± 1, ±2, ...),
161. lOC^-Wn < х < (6=0, ±1, ±2,. . .), 162. х=
— —1, —2, —3. ... и х>0. 163. х<30, х=# —л(л = 1,
1 Q
2, . . .). 164. 1<х<2. 165. х = —, 1, —, 2. . . .
2 2
165.1. х> 4. 165.2. 6я < х < 6л 4- -у- (6 = 0, ±1, . . .).
165.3. 0<х< — и —<х<—. 166. —1<х<2; 0<
3 3 2
1 167. 26я 4- —<х<26л 4-— (6 = 0, ±1,
2 3 3
cfcA • . .); — oo<Jy<lg3. 168. — оо<х< 4-00;
< л. 169. I <х< 100;--— —. 170. х=--,
2 2 а?4-1
(О < х<Л);
172. а =
= V100 — 96cos х (0<х<л), S = 24sinx (0<х<л). 173. S=
Л , . . а — Ь с ,/ а—Ь \
«= -----х2, если 0 < х<___; $ = Л I х------I,
а-Ъ 2 к. 4 J
а—Ьа+Ь „ ,Га+& (а — х)2Т
2 2 L 2 a—b J
если ^х^а. 174; т (х)=0, если —оо<х^0; т (х)=
2
= 2х, если 0<х^1; m(x) = Q, если 1 <<х<2; т(х)=3,
если 2<х^3; т (х) = 4, если 3 < х< + оо. 178. Еу—{0^
<у<4). 179. £у = {1<у<3). 180. Еу = {0 < у < 1).
181. Еу = {lssly|< 4-оо). 182. Еу~ (1 <у<2). 183. а<
<у<Ъ ПРН о < Ь и ПРИ о>t>. 184. 1<у< + оо.
183. 0>у>—оо и 4-00 >у>1. 186. 0<Зу< —. 187. 4-оо>
1 3
>У> — оо. 188. 0<у<— и — <у<2. 189. 0; 0; 0; 0;
2 2
24. 190. 0; —6; 4. 191. 1; 1; 1; 2. 192. —1; 0; 1; 2; 4.
193. 1, * + * —* 2 1 1 + *
1 — х ’ 2+ х ’ 14-х * *4-1 * 1—х
194. а) / (х) = О, если х= — 1, х = 0их=1; f (х)>0, если
— оо <х< — 1 и 0 < х<< 1; f (х) < 0, если — 1<х<0 н 1<
1
если х = ± —;
k ’
б) I (х)=0,
/ (х) > 0, если
•-----< х <------- и-----------< х <------------(k = О, 1,
2fe4-l 2k 2*4-1 2*4-2
2, . . .); f(x)<0, если-------<*< —-------- и------—<х<
2k+ 2 2* 4- 1 2k
1
2*4- 1
<
(* = 0, 1, 2,
); в) I (х) = 0, если х < 0 и
х= 1; f (х)>0, если 0<х< 1; f(x)<30, если 1 <х< 4" °°-
д*__ 1 7
195. а) а; б) 2x4-Л; в) аж- —-197. /(х) =. — х — 2;
h 3
1 2 7 17
Г(1)=4-; f(2)-2^-. 198. f (х) х2 4-- х 4- 1;
О О 0 0
2 17 10 7
= f(0,5)«2-li-. 199. f(x) = -^-x«----‘-х*-
О 24 3 2
---—х+2. 200. ?(*)—Ю4-5-2*. 203. a) 2fen<gx<3n +
6
Ч-2Лл(й = 0, ± 1, ± 2, . . .). б) 1<х<е; в) х>0, хф
sjtfcffc — O, 1, 2, ...). 205. а) г*»х4-у; б) ?= —2—•
«4-У
в) г = ; г) г = —е 206. <р (<р (х)) — г4;
1 — ху 1 4- ху
ф № (х)) - 2«*; ф (ф (х)) - 2“; ф (ф (х)) = 2Л 207. ф (ф (х)) -
О sgn х; ф (ф (х)) = X (х =#= 0); ф (ф (х)) >» ф (ф (х)) = sgn х (х =#•
^=0). 208. ф(Ф(х)) = <р(х); ф (<р(х)) — ф(х); ф(ф(х))-
«= <р (ф (х)) — 0. 209.-х(хфО, хф 1). 210. )л(х)=
=-----------. 211. х2 —5x4-6. 212. х2—2f|x|>2—\
yr+^~ 2>
213. 213.1. f(x) = ^~—J. 221. а) Воз-
растает при а>0 и убывает при а<30; б) при а£>0 убывает
в интервале^—оо, —возрастаете интервале^—4*°°^;
в) возрастаег, г) при ad — be £>0 возрастает в интервала»
(— оо, ——) и^-------— , 4- 00У Д) возрастает прнс^1
и убывает при 0<^а<1. 222. Можно, если основание лога-»
рифмов больше 1. 224. -2-^— (— оо<у<4-оо). 225. а) — л/у
(0 <У < 4- оо): б) V7 (0<у<4- оо). 226. 1 ~~У (уф — 1).
Ч-У
227. a) — V1— у2 (0<у<1); б) V1 — у* (0<у<1). 228. Arshi/=>
«= In (у 4- V1 + У2) (— оо < у < 4- оо). 229. Arth у =•
= 11п -l+jLt-Kyd).
2 1 — у
230. х = у, если —°°<1У<|1>
x = Vy. если 1 < у < 16; x=log,i/, если 16«$р<|4-оо.
231. а) Нечетная; б) четная; в) четная; г) нечетная; д) нечет*
ная. 233. а) Периодическая, LT = 2л/к; б) периодическая,
Т — 2п, в) периодическая, 7 я 6л; г) периодическая, Т = nj
д) непериодическая; е) периодическая, гТ = л; ж) непериоди*
2 1
ческая; з) непериодическая. 241. <>=1— с, х— — 3— ы.
3 3
243. х,=
4ас — Ь2
У = х---------•
36000 ’
Ь
2а ’
8 км; 36 км. 251. хв =---------—; у0 = —. 252. р — (о >
с с v
>0). 263.* = —, т=-—, п~ —--------------------------------— (aib—
ai а1 “1 о?
6. , Ю ,________
—abi), хо=----------• 264. у —-----. 287. А = V“2 + t>2 ; sin х0=
=------—, cos х0 =--------. 356. у «= 2 sin х, если | х — я* | ,
А А 6
и у — (— 1)*, если — < | х — л* | < -^5- (* = 0, ±1, ±2, . . .).
6 6
357. а) у — -у- (х + ! х ]); б) и в) у — х* если х > 0; у «= О»
если х<0; г) у — х, если х<0; у = х4, если х>0. 358. а) у—
= 1; б) у = 1, если 1 | х | V3 ; у = 0, если | х | < 1 или
|x|>V3; в) у = 1, если |х|< 1; у = 2, если ] х| > 1; г) у=
= — 2, если | х |>2; у = 2— (2 — х2)2, если | х ]<2. 359. При х<
< 0 имеем: а) 1) f (х) = 1 + х, 2) f (х) «а — (1 4- х); б) 1) f (х)=
— — 2х — х2, 2) f (х) = 2х + х2; в) 1) / (х) = V — х, 2) / (х) «=
= — V — *; г) 1) f (X) = — sin X, 2) f (х) = sin x; д) 1) f (x) =
•= e~x, 2) f(x) =—«"*; e) 1) f (x) «= In (— x), 2) f (x) =
= —ln( —x). 360. a) x=---—; 6) x = —; в) x=--—
2a 2 2
r) x « kn (k = 0, ±1, ± 2, . . .). 361. a) (Xq, axt 4- b), где x0—
— произвольно; 6) (--—Y в) (x0, y0)> W x0 =----------—
\ C c J 3a
и !/0 = axg+t>Xg+cx0 4-d; r) (2, 0); д) (2, 1). 372. Кории:
— 1.88; 0,35; 1,53. 373. 2,11; —0,25; — 1,86. 374. 0,25;
1,49 . 375. 0,64. 376. 1,37; 10. 377. —0,54. 378. 0; 4,49.
379. xj = —0,57, у! = —1,26; Xj — — 0,42, y2 = l,19; xs =
«=0,45. ys = 0,74; x4 = 0,54, 1/4=—0,68. 380. хг= — 1,30,
= 9,91; x2=2,30, y2 = 9,73; x#= —0,62, y3 = —9,98; x4«»
«=1,62, y4«= —9,87. 382. а) Вообще говоря, нет; б) да.
385. Ограничена сверху и иеограиичена снизу. 387. / (а) и (5).
888. 0; 25. 389. 0; 1. 390. 0: 1. 391. 2; 4-00. 392. — 1;
1. 393. — V2; V2. 394.-—-; 4. 395, а) 0> j. б) 0; 2
396. 0; 1. 397. а) 8; б) 0,8; в) 0,08; г) 0,008. 398. а) л;
9 1
6) л; в) л; г) л. 411. а) 1; б) —; в) —. 412. 6. 413. 10.
3 2
1 Ч 30 _ " |я+‘>
114. — лт(л—т). 415. 5"* 416. f—А . 417. п 2
418. 1_ 2 ' 419. —. 420. 1. 421. 2 1 4 422. —. 3
423. 424. 424.1. 2 2 1 24 .л_ 426. . n
426. Л (Л — 1) • a"-2. 427. A-1).,. 428. - m — n . 429. x-\-
2 2 2
4- — . 430. х»4-ах + —. 431. 1. 432. —. 433. 3
2 3 2
434. —. 435. 1. 436. ——. 437. —. 438. -2. 439. ——
3 V2 3 у/2a
440. —. 441. - — . 442. —. 443. —. 444. —
16 144 4 5 л
445. —2. 446. — 9 Я 4
447. —— . 448. — . 449. 4-—
4 27 2 27
7 450. —. 451. — — . 452. — JL, 453.
36 2 tn n m n
455. —. 455.1. — . 466. 457. . -I- (a+4- 458. —
m 2 n! 2 2
459. — —. 460. 1. 461. —. 462. 2. 4 1 463. —. 464.
4 3 3 4
465. (dj Ц- “b • . + an). 466. 2". 467. 2л. 468. lim хг =
П о-»0
«=оо, lim х2——— . 469. а = 1, b => — 1. 470. at — ±1: 6,- =>
а-*о b
==:₽ —(1=1, 2). 471. 5. 472. 0. 473. (— l)m-n — .
2 л
474. J-. 474.1. 1. 474.2. —. 475. —. 476. 2. 477. 4
2 3 2
1 1 2
478. —. 479.--------- 480. —. 482. cose. 483. —sine
р 2 я
484. sec2a fa=#(2*+l) —, *=0, ±1, . . Л. 485.------------J—
к 2 J sin2 a
(a^kn, где k — целое). 486. -s-n— (a (2k + 1) — , где
cos2 a 2
k—целое). 487.-------cos °— (a#=An, где k—целое). 488. —sin a.
sin2 a
489. —cosa. 490. ^s‘n° fa#= (2fe4- 1) — , где fe — целое Y
cos2 a к 2 J
491. —— — (a^fen, где k — целое). 492. —sin2a. 493. —3
sin2 a 2
494. 14. 495.
(а =И= (2Л + »)-J"»
500. —. 501.
3
------. 496. _ 24. 497.
V3*
)Q
. 498. —.
4
cos 2а
cos4 а
499. —.
4
--------. 562. V2 . 503. 0. 504. 3. 505. 0.
506. a) —; б) х /— ; в) I. 507. 0. 508. 0. 509. 0. 510. 0.
2 V 3
511. 1. 512. е3. 513. 1. 514. ег\ 515. е20. 516. 0, если 0!<а2;
-l-оо, если аг>а/, А—Мь, если ах — а2. 517. е. 518. е~1.
519. I. 519.1. Vе- 520- ectea (а¥=Ля — целое). 521. е3''2.
522. в"1. 523. 1. 524. е"2. 525. е. 526. —?—. 527. е*«.
V*
528. е-*‘А 529. 1. 530. 1. 531. —. 532. 0. 533.—. 534. —2.
а 5
Ч Ч
635. —. 536. —. 537.
2 2
538. 539.
540. 0. 540.1. п. 541. In а. 542. а'Чп —. 543. а°1пеа. 544. А
е
545. —. 545.1. 545.2.—. 545.3. —2. 546. А
3 ₽
547. 1. 548. — а“—₽. 549. а*1па. 550. ах1п2а. 551. е-(а+ь).
₽
552. 1пх. 553. 1п х. 554. у^~Ь. 555. ab. 556. y/~abc.
557. (ааХб6сг)1/‘а+6+£>. 558. 559. fln-Y”*. 560. а°а1па.
y/ab \ 5 /
561. а) 0; б) —. 562. 1п8. 563. — 1п2. 566. а) — • б) —.
' 1п2 2’2
567. 1.568.0. 569. Ina2. 570. — . 571. —. 572.-2. 573. А
8 2
574. «2/я. 575. -а + Р . 576. а) 1; б) — ;в) 1. 576.1. — .
Vap 2 9
577. 2sh—577.1. a) ch a; б) sha. 577.2. — 1. 578. In 2.
2
579. 1. 580. e"’. 581. — — . 582. 2 Л 583. 2
584. 585. ! . 586. 2. 587. e* -. 588. — .
4 14- x2 x’4- 1 2
S89. 1. 590. е2/л. 591. 0. 592. 0. 593. а) 4- оо; б) -у .
594. а) —1; б) 1. 594.1. In — . 595. а) — • б)-----—.
а2 2’2
596. а) 1; б) 0. 597. а) 0; б) 1. 600. 2; I; 2. 601. 0; ( — 1)я~,5
( —1)п. 602. 0. 603. 1. 604. 0. 605. 1. 606. 0. 613. б) 1/=1,
если | х\ < 1; у — 0, если | х | = 1. 614. б) у = 0, если 0 ^х<1;
у = —, если х = 1; у = 1, если 1 O<j + оо. 615. у = — 1,
2
если 0<|х]<1; у = 0, если |х| = 1; у<= 1, если |х|«>1.
616. </=|х|. 617. у=з 1, если 0< х< 1; у>= х, если х>1.
№
618. у<= 1, если 0^х< 1;у = х, если 1 < х < 2; у —-,еслн
х>2. 619. у = 0, если 0 < х<2; у — 2 V2. если х = 2; у = хг,
еслих>2. 620. б) у = 0, если х=#= (2fe + 1); у=1, если
х= (2*+ 1)-2- (k = 0, ± 1, ± 2; . . .). 621. </= 1п2, если 0<
х 2; у = 1п х, если х > 2. 622. у •= 0, если — 1 < х < Г. у =
«= — (х — 1), если х> 1. 623. у <= 1, если х < — 1; у —
2
если х> — 1. 624. у «= х при х<0; у — -у- при х«=0; у= 1
при х>0. 625. — . 625.1. у = л/х при 0<*<1и 4k — 1 <3
х
<х<4*4-1; </=х при 4k— 3<х<4*—2 н 4k — 2<х<4*—
— 1; у = -2- (д/х 4- х) при х=2*—1 (k — 1, 2, 3,. ..). 625.2. у—
= 0, если х—рационально; у = х, если х — иррационально.
625.3. Контур квадрата шах(|х|, |у|}*=1. 627. а) х=1; х=—2,
у—х— 1; б) у—х4~ — при х—>• 4-оо, у= — х-----при х->
2 2
-----« .) Г) р = . „рИ „ + „, ,„0 „р» ~
-* — оо; д) у — 0 при х—►— оо, у = х при х-> 4- е) у =>
= х4-—. 628. 0. 629.-!--. 630.-21221. 632.—.
2 1—х х 6
633. —.
2
634. — In а. 635. Ve . 636. е-о’/’. 637. — (1 4*
2 2
4-V14-4a). 637.1.—. 637.2. ---. 637.3.
3 1—a
638. VT+7 — 1. 639. 1 — 641. а) 2; 6) 4- оо; в) 0;
г) 1; д) 2; е) 1; ж) 2sh 1. 643. а) 1 = — 1, L = 2; б) 1 — —2.
£ = 2; в) Z = 2, L = e. 644. а) I = — 1, L = 1; 6)1 = 0, £ =
= -4- оо; в) 1 = —— , L = 2; г) I = 0, L = -|- оо. 645. а) Пер-
2
вого порядка; б) второго; в) первого; г) третьего; д) третьего;
w2 уЗ
е) третьего. 653. а) 2х; б) х; в)——; г) ——. 655. а) 3 (х—!)’;
б -Q-—fL2_. в) х—1; г) е(х —1); д) х —1. 656. а) х2;
3/2
(1 \3 1/1 \1/2
— I ; б) —( —) ;
°’-1(4-)” Ч4-У-
д) !-. 663. а) 9,95 <х< 10,05; б) 9,995 <х< 10,005;
х— 1
в) 9<9995<X<3 10,0005; г) V100—е < х < VlOO-j-e. 664. Д<
<——; a) A<J3,7 мм; б) А <0,37 мм; в) Д <0,037 мм.
27 ’
665. 100 [1 — 10-(п+1>]2< х < 100 [1 + 10-(п«)]2; а) 81 < х < 121;
б) 98,01 <х< 102,01; в) 99,8001 <х< 100,2001; г) 99,980001<
<х< 100,020001. 666. 6 = minf—, 1Y 667. 6 =--------------—«
V Н ) 1 + ехо
«O.OOlxjj; а) [6 « 10-5; б) 6 « 10~7; в) 6 ® 10“9. Нельзя.
669. а) Нельзя; б) можно. 671. Нет; ограниченность в точке
х0. [672. Нет; если функция [ (х) определена в конечном про-
межутке (а, 6), то эти неравенства выполнены всегда; если
по меньшей мере а или Ь равно символу оо, то lim \[ (х)| —
х->оо
= -|-оо. 673. Нет; однозначность и непрерывность обратной
функции. 675. Непрерывна. 676. Непрерывна, если А = 4,
и разрывна при х — 2, если А ф 4. 677. Разрывна при х—
——1. 678. а) Непрерывна; б) разрывна при х = 0.
679. Разрывна при х — 0. 680. Непрерывна. 681. Непрерывна.
682. Разрывна при х — 1. 683. Непрерывна при а — 0 и раз-
рывна при а Ф 0. 684. Разрывна при х = 0. 685. Разрывна
при х » k (Л — целое). 686. Разрывна при х = k2 (k — 1,
2, .. .). 687. х = —1 —точка бесконечного разрыва, 688. х =
= —1 — устранимая точка разрыва. 689. х = —2 и х = 1 —
точки бесконечного разрыва. 690. х = 0 и х = 1 — устранимые
точки разрыва; х — —1 — точка бесконечного разрыва.
691. х ~ 0 — устранимая точка разрыва; х — kn (А = ± 1,
sfc 2, . ..) —точки бесконечного разрыва. 692. х = ± 2 —
устранимые точки разрыва. 693. х — 0 — точка разрыва 2-го
рода. 694. х = — (k = ± 1, ±2, . ..) — точки разрыва 1-го
k
рода; х — 0 — точка разрыва 2-го рода. 695. х = 0 и х =
2
= 1' (А = 0, ±1, . . .) — устранимые точки разрыва.
696. х=0—точка разрыва 1-го рода. 697. х=0— устрани*
мая точка разрыва. 698. х = 0 — точка разрыва 2-го рода.
699. х = 0 — устранимая точка разрыва; х = 1 — точка беско-
нечного разрыва. 700. х = 0 — точка бесконечного разрыва;
х = 1 — точка разрыва 2-го рода. 701. х = kn (k — 0, ± 1,
±2, . . .) — точки разрыва 1-гО рода. 702. х = k (k = 0, ±1,
±2,...)—точки разрыва 1-го рода. 703. х = k (A = ±1,
it 2, .. .) — точки разрыва 1-го рода. 704. Функция непре-
рывна. 705. х — ±Vn (п = 1, 2, . . .) — точки разрыва 1-го
рода. 706. х = — (А = ±1, ±2, . . .) — точки разрыва 1-го
k
рода; х— 0 — точка бесконечного разрыва. 707. x = -^—(fc =i
k
= ±1, ±2, . . .) — точки разрыва 1-го рода; х = 0 — устра-
2
ннмая точка разрыва. 708. х =--------(Л—О, ±1, ±2, ..
(2А+1)я ’
— точки разрыва 1-го рода; х == 0 — точка разрыва 2-го рода.
709. х = ± — и х =± —(А = 1, 2, . . .) — точки раз-
k k
рыва 1-го рода, х = 0 — точка разрыва 2-го рода. 710. х =»
= —— (= ± 1, ± 2, . . .) — точки бесконечного разрыва; х ==
А
2
= 0 — точка разрыва 2-го рода. 711. х=----------- (А *= О,
(2А + 1) я
±1, ±2, . . .) — точки бесконечного разрыва; х = О — точка
разрыва 2-го рода. 712. х = ± V" (n = 1, 2, . . .) — точки
разрыва 1-го рода. 713. х = 0, х = 1 и х= 2 — точки разрыва
1-го рода. 714. х *= Ая (А = О, ± 1, ± 2, . . .) — точки бес-
конечного разрыва. 715. х = ± -у/kn (А = О, 1,2,...) —
точки бесконечного разрыва. 716. х— —1 и хс3—точки
бесконечного разрыва. 717. х=0— точка разрыва 2-го рода.
718. х = О — устранимая точка разрыва. 719. х = ± 1 -
точки разрыва 1-го рода. 720. у — 1, если 0<х< 1; у —
<= если х = 1; у — 0, если х > 1; х = 1 — точка раз-
рыва 1-го рода. 721. у — sgn х; х = О — точка разрыва 1-го
рода. 722. у — 1, если |xl^ 1; у—х2, если |х| >1. Функ-
ция непрерывна. 723. у = 0, если х Ф Ал; у = 1, если х =
= kn (А = О, ± 1, ± 2, . ..); х = kn — точки разрыва 1-го
рода. 724. у—х, если | х — Ал | < —; у = — , если х =
= kn ± —; у — 0, если — < | х — kn |< —— (А = О,
6 6 6
± 1, ., х — kn ± —------------точки разрыва 1-го рода. 725. у=
6
л « . । ТС Л «I
= — х, если kn < х < kn 4--------; у ------------х, если kn 4*
2 2 2
-т---< х < kn + я; у = 0, если х — kn 4---------(k = О,
2 2
kn
± 1, . . .); х =-----точки разрыва 1-го рода. 726. у = х
при х < 0; у = х2 при х > 0. Функция непрерывна. 727. у =
= 0 при х < 0 и у = х при х>0. Функция непрерывна.
728. у — — (1 + х) при х < 0; у = 0 при х = 0 и у = 1 +
4- х при х > 0; х = 0 — точка разрыва 1-го рода.
729. Нет. 730. а — 1. 731. а) Функция непре-
рывна; б) х — —1 —точка разрыва 1-го рода; в) х— —1 —
точка разрыва 1-го рода; г) х = k (k = 0, ± 1, ±2, . . .) —
точки бесконечного разрыва; д) х¥= k (А = 0, ±1, ±2. . . .)
— точки разрыва 2-го рода. 732. d — —х при — оо < х < 0;
d = 0 при 0 < х 1; d = х — 1 при 1 < х 4 = 2 —х
3
при — < х < 2; 4=0 при 2 < х < 3; 4 = х — 3 при
дЪ
3 < х < 4-оо. Функция — непрерывна. 733. S = Зу — ~
1 5
приО<«/^1; 3 = -—4-21/ при 1 <у<2; 3 = — +у при
2 2
п „ 11
2 < у < 3; 3 = —— при 3<у< 4-оо; функция — непрерывна,
5 = 3 — у при 0<t/< 1; Ь— 2 при 1 < у < 2; 5=1 при 2<
< У 3; 5 = 0 при 3<^<4-°о;х = 2и х = 3 — точки раз-
рыва 1-го рода. 735. Разрывна при х #= 0 и непрерывна при
х = 0, 737. Разрывна при всех отрицательных значениях и
положительных рациональных значеииих аргумента. 738.
t (0) = 0,5. 740. а) ,5; б) 2; в) 0; г) е; д) 0; е) 1; ж) 0. 841.
а) Да; б) нет. 742. а) Нет; б) нет. 743. Нет. Пример: / (х) =
= 1, если х — рационально, и [ (х) = —1, если х — ирраци-
онально. 744. a) I (g (х)) непрерывна, g (х)) разрывна при х=0;
б) f: (g (х)) разрывна при х = —1, х = 0 и х = 1, g ([ (х)) =0
непрерывна; в) [ (g (х)) и g (I (х)) непрерывны. 745. { (ф (х)) «= х.
— du b
759. х =---------; a + d«0- 760. х®» у— kt если 2k
су — а
<(/<2Л+ 1 (k «0, ±1, ±2, • • •)._ 764. /(f(x))-u,
767. х= — Уу (0<у<3 + оо); х=Уу (0 ag у < + оо).
768. х = 1 — У1 — у ( — оо < у < 1); х == 1 + У1 — у (— оо <
1 — у 1 — у1
<у<1). 769. х =------------— (- 1<у<1), х~
У
= —— -----— (0 <|у|<1). 770. х = ( — 1)* arcsin у +
+ kn (k = 0, ±1, ± 2, . . . ) (— 1 у < 1). 771. х = 2Лл ±
± arccos у (k = 0, ±1, ±2,. . .) (—1<у<1). 772. х=>
= arctg у + kn (k = 0, ± 1, ± 2, . . .) (— оо < у < -J- оо),
776. е=0, если ху<1; e = sgnx, если ху> 1. 779. а) у =
п п
=------> если —1 х < 0; у =2 arcsin х--— • если
2 2
0<х<1; б) у = —(л + 4 arcsin х), если — 1^х< —
1 1 , .
у = 0, если — —^=— < х < —^=—; у = п — 4 arcsin х, если
1 л / я л \
"УГ <х< 1. 780. у=—-х (—Г
781. у=Ух2 —1 (1<х< + оо); у = — Ух2 — 1 (1<х+оо).
782. Для всех /, для которых <p (t) = х, где х — произвольное
значение функции ф (/), функция ф (1) должна иметь одно и то
же значение. 783. Множество значений х (т) ПРИ « < т < Р
должно быть интервалом (а, Ь). 784. Для всех значений х, для
которых ф (х) = и, где и — произвольное число из интервала
(4, В), функция ф (х) должна принимать одно и то же значение.
785. |б| < см. а) 0,5 мм; б) 0,005 мм; в) 0,00005 мм.
1 5 е’
786. а) 6 < —; б) б < 2,5-10-*; в) в < — г) 6 < —
(8 < 1). 793. а) Да; б) нет. 794. Равномерно непрерывна.
795. Не является равномерно непрерывной. 796. Равномерно
непрерывна. 797. Не является равномерно непрерывной.
798. Равномерно непрерывна. 799. Равномерно непрерывна,
е
800. Не является равномерно непрерывной. 802. а) б = —;
5
б) б = -^-; в) 6 = 0,01е; г) б = еа (е<1); д) б = —;
Q 3
е) о = mini—» —--------I.
\ 3 34-е )
808. a) щ (в) < &; б) и/ (5) < VT;
в)ау(в)<6д/2. 818. f(x)=cosax
819. f (x) = cos ах; g(x) = ± sin ах
803. «>1800 000.
ИЛИ f (х) еа ch ОХ.
(a = const).
ОТДЕЛ II
821. Дх = 999; Ду = 3. 822. Дх =— 0,009; Ду = 990 000.
823. а) Ду = аДх; б) Ду = (2ах4- b) Дх+ а (Дх)2; в) Ду =
= а*(аАх— 1). 825. а) 5; б) 4,1; в) 4,01; г) 4 4-Дх; 4.
826. 34-3/i4-/i2; а) 3,31; 3, б) 3,0301; в) 3,003001; 3.
827. а) оср = 215 м/с; б) оср = 210,5 м/с; в) оср —
= 210,05 м/с; 210 м/с. 828. а) 2х; б) Зх»; в) — (х^0);
г) ~ о" Г~ ' > °)’ (х=#=0); е) --—
2 Ух 3 ^х-г cos» х
л 1
(х^(2Л-1) 1-0. ± 1, . . .); ж) --^ТГ
(х^йя, й = 0, ±1, . . .); з) -у===— (|х|<1);
и) —гД-v- (1*1 <0; к) ;-;1 ; - в29- -8‘> °; °-
V1—х» 14-х»
830. 4. 831. 1 + Y’ 832, f'(а)' 8341 = 2х"> I.
О, — 1, 21. 835. у' = х»4-х —2; а) —2; 1; б) — 1;
0; в) —4; 3. 836. 10а»х —5х*. 837. —-—.
а-}- Ь
838. 2х-(а4-Ь). 839. 2(х4-2) (х4-3)» (Зх»4-11x4-9).
840. х sin 2а 4-cos 2а. 841. тп (хт-14- Xя-14- (т + «) xm+n-1].
842. — (1 — х)»(1 — х»)(1— х»)» (14-6x4-15x2 4- 14х»),
842.1. — 20 (17 4- 12х) (5 4- 2х)’ (3 — 4Х)1’. 843.
(х*0).
845.
2(1 4-х»)
(1 - х2)»
1
х»
846.
848.
2(1-2х) . М7 1-х4-4х»
(1—х4-х2)2 ‘ (1 — х)»(1 4-х)«
12— 6х — 6х»4- 2х» 4- 5х* — Зх»
(1-х)»
(|Х 1=^=1).
(|Х|=^1).
(х¥=1).
849. - <|-^-1((Р + ^+(Р-9.)х1
(14-х)«+‘ '
гР—1 (1 __ хК""1
8501—----------- (р — ($+ 1)х-(Р4-у- 1)х»] (х^ — 1).
(1 + х)»
851. 1+ „ /~ +—----------- (х>0).
2 Vх з3/^-
-----------TV=~ (x>0)- 853
" y Зх /x
4-----U=- (x>0). 854.
X Vx
6 + 3x+8xi4-4x3+2x«4-3xs
oOO. - 11 ----—---
Уг+^^ОН-х»)»
„„ (n-m)-(n4-m)x ___ a*
85o. • 857. ~
(n + m) "‘Vo - x)n (1 + x)m (fl2 -
„ „ з >—
_ 2x2 / 1 4- x*
Qxl<la|). 858. J/ (|x|#=l).
859. •“ з/n •
(1 + x2)3'2
862. —2cos x(14-2sinx). 863. x2sinx. 864.—sin2x-cos (cos2x).
865. nsinn-1x-cos (n -f- 1) x. 866. cos x-
•cos (sin x) -cos [sin (sin x)]. 867.
2 sin x (cos x sin x2 — x sin x cos x2)
sin’x2
(x2 #= kn', k 1, 2,
868.
*=0,
k — целое
869.
x2
2 sin2 x
nsinx /
cosn+Ix V
(cos x 4- x sin x)2
871.
(x ftnj
2£-l
2
2
sin2x *
(х¥=*л; *=>0, ±1, ±2....). 872. 14- tg« x (x
¥=(2*4-1)-^; * = 0, ± 1. . . .). 873. ------?
3 sin4 x /ctg x
(x Ф kn, k — целое). 874.
2x
—16 cos —
__________a
. « 2x
a sin2---
a
£«~целое). 875. — 3tg2x-sec2x-sin(2tg2 x)-cos [cos2(tg>x)J
877.
880.
88!.
883.
— + kn, k — целое I • 878.
3 z
------ 2tg ,/x sec2 —- In 2.
x’ x
e* (sin x — cos x)
2 sin2 -7-
2
l + ln23
3* sin *'
Z[l + e*x(l 4-e*2*)]. 884.
— 2x«-**.
878. xV. 879. хге~* sin x.
(x Ф 2kn, k — целое).
882. Va2 + &2 e°* s in bx.
(a a — b\
lnT-~)(x>0)-
885. cP-х°в-'4- axP~lax<l In a 4- ax-cP* in2 a.
886. — lg«lg2x2 (x + 0). 887. —— (x>e).
x x In x In (in x)
№ 8'9-
<«>-') -угг «-!>'>. »!• t(A„,
(•*<». №•
<l«l<l). <«. ;(I + VFH>
895. ' г^т^' 89e- in(x+Vx*4-i )•
Vx2 4-1
897. In2 (x 4- VF+T). 898. Vx24-a3 . 899. --------——
(i«i< Vi)'
8
-"7vt=T~- «><*<»)•
1
901. —:—
sin X
(0<x —2Лл<л, ft —целое). 902. -----------
cosx
x — 2йл I < • k — целое).
<x —2Лл<л, k — целое). 904.
_ COS2 X
k — целое). 905. ——-------
sm3x
V&2 —a2
906. —-----------.
a 4- b cos x
908. -7— Inx (x > 0). 909.
903. — ctg3x (0<
1 / 2k — 1
---------I x =#=-----------л.
cos x \ 2
(0<x — 2kn<a, k — целое).
ln3x
807.--------— x>0).
x2
2x
1 4-^bR
911. 2sin(lnx) (х>0). 912. sin xlntgx^O<x — 2kn
k — целое). 913. (|x|<2). 914. ———1
— x2 V1 + 2x — x*
(|x - 11 < V2). 915---{a # 0). 916. ----!— (x=#0).
x«+a* ' x»4-2
917. ——(x>0). 918.-----------—x arccos x (| x | < 1).
2(1 + x) Vl-x3
919. arcsin /1/—-— (x>0). 920........— -.. (I x I > 1).
* 1 + x |x|Vx2—1
921. sgn(cosx)(x =A я, k-целое). 922. -M31™)””».
' 2 ' V1 +cos2 X
x=£krt, k — целое). 923. .s‘n x+ c2£x fo<^x— kn< —,
Vsin 2x ' 2
k — целое). 924--^nx (0< | x | < 1). 925.--— (x=jM).
/ V1 - X» 1 +x*
_ 2sgn x
14-х» ‘
926. 1 (x^—+kn, k—целое), 927.--------------------. 928.
\ 4 J a-\-b cosx
4x
(x=/=0). 929. ——————-----------------(I x | < 1). 930. -
V1 — X4 arccos3 (x2)
931. —2 cos x-arctg (sin x). 932.-----------5---------
2x Vx— 1 arccos ——
д/х
a2 4- ft2 ,_______
933. --------X-------- (x>—a). 934. Va2 —x2.935.
(x+a) (x2+ ft2)
(x> 1).
1
x?+ 1
(x=^ -1).
938. , (I xI >54=1). 937. (arcsin x)2 (|x| < 1).
x* 4" 1
938.
940.
arccos x
(0<|x| < 1).
939.
X In X
(x2-!)3/2
(X > 1).
x arcsin x
(1-x2)3'2
(|X|< 1).
941.
X3
X6+ 1
ла„ 12xs
942.--------------
(1 + x12)2
943.
(|х|<1). 945.
1
(0<х<а).
952.
954.
947.
1
948.
946.
2дЛ—x2 X2
Vi — 2x — x2 sin2x
sin4 х-у cos* х
2fe — 1
2
X In
1—X
1
2(l + x2]
1
л, k — целое
(|х|<1). 950.
X2
Vl-x2______x
x Vl—X2
arctg х. 951.
sin a sgn (cos x — cos a) .
953. ---------—------------------ (cos x cos a).
1 — cos a cos x
(х4— 1) Vx»+2
(0 < | X | < 1). 955. ..У^Х* (| x ।
1). 956.
4
(| x|<l). 957. 25(c?^+sin*)
Vs'n (2X2)
958.
959.
960.
(1+ x2)2 — x*
Л = 0, 1. .
Z few
2х [sgn (cos х2) + sgn (sin x2)] (| x | =f= ——
» k=0, 1, 2,
960.1.
6
960.2.
960.3.
2m
VF^-J2
Cm (arcsinx) CQS m (arcsjn x) (|x[ < 1).
x3
з
.. - — . \9 4 -
l+x4)
Xs cos
1
2
Ctg-L
In 2-sin
961. l + xxX
962. ха-1хх<’X
esct—
‘•(О ¥= (х) гФ + (х) «*)
(х) + (х) г<ЬД
(х) Л (х) ф. 4- (х) ,<Ь (х) <Ь <Е 888
1=.’
’Р — X Гу
‘ < (8
и
!(е т ¥= X ‘\^х ‘о х)
(гХ— 6) (X- 1)Х£ (гХ—1)Х
ехг+гх>+х9£—frS 9 ‘ гх—х—]
Hdu (jX— l)iX_2X3= -ив
(в ‘fr86 1<1 х | иди о=,Я !1>| х |
I < |х| иди г/j = / Ц >х >
иди ------
I
/ 386
•оо + >х>о иди
-------- ,й
I
!0>х иди i — tfl -J86 ’[fl 'р]Э* иди О = Л t[fl ‘р]Эх иди
(<? —р —xg) (<? — х) (р —х) 3 = ,4 -086 <» +>х>з иди I = ,Н
!3>х> j иди е — хз= ,Л !i>x>oo— иди ] — = ,Л -646
•xuj uts [х] и (л
z
1(1 <|х|)------------(я !|х uts | -хг uts— (9
I ъ
X
!(l+x)uSs(i — хз)г(14-х) (I— х) (в -8Д6 fo¥=x)—(я !1х|г(9
,, . о , . . _ г(хг° +1) . .
:(0=/=x)xu3s (в -446 '(О < о) х-Р §P3JB — -— ’946 ’(0¥=х)
р ul хгцу
-1) - 'S46 ' г* — 1Д + l) Л .40 |x|)
Сх-з) U!S3JB ,х-ахг T-* X роз + IД
(x S033JB) Ul -X S033JB — г £46 ' XZ UIS •346
x ip v +<? X ЦЭ хг чэ
•696
хцэд+в 10 =r= xj - (x qs) u3s 046 j
xsqs xc41 '496 X (l¥=* *0<*) xSoi) — •996
"" 89u 6
X jSOO + IД (X г8ОЭ)
S033JB
‘1 + '0 = ?
(х uts) uSs-x SOS
UIS3JE
(х SO3) uSs-x uts
(X;.SO3)SO33JB ZX + I I
хгЭ}эдв+ ?U|Sj ujsajB U1 x SpjB J
, , l+* tn*
- ,Я TS96 (I < x) I(x ui) Ul x Ul x + x гщ г—x] ‘S96
• (эои-эп — it ‘ — x>o) (X sob Ul — X x u,s+1(x soa) —
— (x uts ui—x jSp) x soo+1(x uts) -Юб '(OO) (* 4 — l) ъ_х1\Х £96
•(0<*) (* u)+1) ° ul Xx»xx+(x “I ° ul +— )xoxxv + (x UI ° + О X
46^
Hiaaio
б) XteLtQ—(<р2 <Х)4--ф2 (х) ф о): в) ” ‘Уф (х) х
<Р»(Х)+Ф»(*)
Т'.Ф 1пф(х)1; г)-^.-1--------------
I ф(х) Ф(х) ф2(х) J Ч»(X) 1п<р(х)
.---. 1пФ(х) - . 986. а) 2х/' (х2); б) sin 2х (Г (sin2 х) -
ф (х) in2 ф (х)
— f (cos* х)]; в) е! м [ех[' (ех) + f (х) f (е*)]; г) f (х) f' (f (x)J X
Xf {f [f (X)]}. 986.1. I 0001 988. 3x2+ 15. 989. 6x2. 992. a) n>
>0; 6) n> 1; в) n>2. 993. a) n>m+ 1; 6) 1
994. ф(а). 995. f_ (<*) — — ф(а). f+ (a) = Ф (a)-
999. а) Недифференцируема при x = 1; б) недифференциру-
2k — 1 , . . .
ема при x —-------л, Л—целое; в) дифференцируема всюду}
г) иедиффереицируема при х = kn, k — целое; д) иедиффереи-
цируема при х •=»—!. 1000. f_ (х) = 4 (х) — sgn х прих=#0
в С (0) = - 1, f'+ (0) = 1. 1001. С (х) = (х) = я [х] cos лх
при х vutnwiy числу; f- (Л) = я (k — 1) (— 1)*, 4 (k) — nk X
X (— 1)* при k целом. 1002. 4 (x) = f’+ (x) = (cos — — X
\ X X
х™-7) ^('“т)"р” f- (ST?)"
'---(2Л+1)-±, 4 ('-2-')==(2ft+l)-i. 1003. 4(x) =
= 4 (x) = —XC0S- при ^2kn < | x | < V(2fe + 0 л (k = 0, 1,
V sin x2
2, . . .); 4 (0) = - 1, 4 (0) = 1; (V(2fe+ l) л) = + oo,
4. (д/2йя} = ± oo (k = 1, 2, . . .). 1004. 4 (x) = 4 (x) =
1+6 + —^e1/x
₽---7----------при x^O; 4 (0)=l, 4 (0)=(0). 1005. 4 (x)=
(l + e,/JC)2
= 4(x)= ----— - — при х=?*=0; 4(0)=—1. 4(0)=l.
д/l - e~x'
1006. f’_ (x) — f, (x) — —, где e — — 1 при 0< |x|< 1 и e =
T X
«=1 при l<|x|<+oo f- (Tl)=-1, jf;(=Fl)«l. 1007. fl(x)«
= 4 (x)= —n₽“ + p> t- (±0 = т1' й (±0=
1 + x2
, < 1 х—2
= =₽1- Ю08. f_ (x) = f+ (x) — arctg-------— - при
x — 2 (x —2)3+ 1
x^2; f'f (2) •» Тя/2. 1009.1. a) f. (0) = — 1/2, 4 (0) = 1/2;
6) f'. (1) = 4 (1)= 1/2; в) f'. (0) = 4 (0) = 0. 1010. a —2x0;
b= —x%. 1011. a = fl (x0); * = I (x0) — Xof (x0). 1012. A =
= A±h_, c=....^+^. . 1013.a = -^-, 5 =___________2*-.
(b — a)* 2 kx + Л2 2c 2c3
1014. а) Можно; б) нельзя. 1015. а) Нельзя, б) нельзя.
1016. а), б), в) Функция F (х) может как иметь производную
f'(x), так и не иметь ее. 1017. х = Ля(й = 0, ±1, ±2, .. .).
1018. а) Не может; б) может. 1019. 1) Не обязательно; 2) обяза-
тельно. 1020. Необязательно. 1021. Не следует. 1022. Не следует.
„ 1 — (Я-Н) x"4-nxn+I
1023. Вообще говоря, нельзя. 1024. Рп——5—11-----
(1 — х)2
1 + х — (п + l)3x" + (2п2 + 2п — 1) хп+1 — п*хп+г
ПХ . л+1
sin ----sin —!—
2 2х
1025. S„ =--------------—
X
sin —
2
х . 2n-|-l . . пх
п sin —- sin---------х — sin3-------
2 2 2
2 sin3——
2
.x . / , 1 \ n "x
n sh — sh I n 4---j x — sh3----
1025.1. S„ ------2----i------LL-----------?—, M»6. S„=
2sh3 —
2
= _Lctg —-------ctgx. 1029. 40я см3/с. 1030. 25 m3/c; 0,4 м/с.
2» 2"
1031. 50 км/ч. 1032. S(x) = —, если 0<x<2; S(x) = x3 —
— 2x-}-2, если x>2; S' (x) — x, если 0<x<2; S'(x) = 2x —2,
если x > 2. 1033. S (x) - л/a2 — x3 -f- — arcsin ;
2 2 a
S' (x) = Va2 —x3 sgn x (0 < | x К a). 1034. y'x = ..... .
1035. у --------J-----. 1036. a) — оо <у< + oo; x'=--------;
1-ecosj y x-H
6) — oo<j/<4-oo, xu —----------------; в) — oo<p< 4-oo,
1-x + K
*о= ——; О — Kyci; х = —. юз?. a)xi=.
лЛ + у'
= — Vi + V* — у (—<» <у < 1); *> =* — V* — Vi — у
<о<у<1); *«=• дЛ — Vi —у (0<у<1); *4=в д/i+Vi — у
( —оо<уС1); х'=——1-----— (I!== 1, 2, 3. 4). б) Zj =
4х (1 — х8)
= -л ~г~ (0<*<1); *»= л/—— (<><у<1);
V 1— у N 1 —у
= 2); в) хх =« — In (1 + V1 — У) ( —oo<y<l)j
2уа
Xj „ In L±VlZy <fi<y < 1); ' = -
У
1
2(е-* —е-“)
(с •» 1. 2).
ЯР
1038. (1 + 0; -3; - f в-(-4; 4).
1039. 1/ ~ <**>’ ,04°- ^в-‘
V r(i_yr)3
(0<х<1). 1041. ух = — — ctg/(0<|l|<n). 1042. у' = — X
а а
Xcth/(|/|>0). 1043. у*х = — tg / А —целое).
1044. yx=ctg — (t=£2kn., А —целое). 1045. y' = tgf х
1046. ух = sgn 1
(0<|/|< + оо). 1048. у'=------—,-----------—.1049.
х—у 2 2 у
Ю50.----1051. — а/— . 1052. — ]/*Х .
агу V х V х
1053. - Х+-У- . 1054. a) tg (<р + arctg <р); б) —ctg f<p =5^=0,
х — у 2 \
ф ¥= ± -у-); в) tg ^<р + arctg ——). 1055. а) у = 'У4 (х+1);
Уг
у ---------— (х+1); б) у =«3, х«2; в) х = 3, у = 0.
1056. а) (—, 2—Y
\2 4 )'
б) (0, 2). 1058. |х|<Х ц — <
3 3
< | * к я. 1059. max I у, — у I = 10л « 31 ,4. 1060. —.
1 4
1061. arctg я» аге 37°. 1062. arctg 2 ^2 » аге 70°30'.
1063. п > 57,3. 1064. а) 2 arctg —?— • б) . 1066. I — |.
|а| ’ 2 I п I
1069. -ру. 1071. 62 — 4ас = 0. 1072. (~~~У + “ ° •
1073. а=—. 1077. а) Зх —2у = 0, 2х4-Зу = 0; б) Зх-у —
— 1 0, х + Зу — 7 = 0. 1078. а) у = х, у = — х; б) Зх — у —
— 4 — 0, х4-3у —3 = 0; в) у= — х, у = х. 1079. у — 2а =
= (х—а/0) ctg —. Касательная к циклоиде перпендикулярна
+ И
к отрезку, соединяющему точку касания с точкой соприкоснове-
ния катящегося круга. 1081. Зх + 5у — 50 = 0, 5х —Зу—10,8
= 0. 1082. х4-2у — 3 = 0, 2х — у— 1 = 0. 1083. &f(l) => Дх
4-3 (Дх)’+(Дх)э; 4/(1)=Дх. а) 5, 1; б) 0,131, 0,1; в) 0,010301,0,01.
1084. Дх = 20Д/4- 5 (ДО2, dx=20At; а) 25 м, 20 м; б) 2,05 м,
2 м; в) 0,020005 м, 0,02 м. 1085.------— (х4=0). 1086------——.
х2- а2 + х2
Ю37.----(|x|^=|aD. 1088. ------------—-----. 1089. -Sgnfl- dx
xi-at
(jx| < )a|). 1090. a) (1 4- x) e*dx; 6) x sin xdx; в)—
. .. , 2 — In x . , .. x dx , dx
(x¥=0); r) ------—— dx(x>0); д)— ; e) — --——•
2x Д/V д/а2 -|- x1 “
(|х|<1);ж)-------flx|<l); з) --------------—------(]x|> 1);
хд/х2—1
u) ——— (x=£ — 4-far, k — цглоеЛ. 1091. vw du 4- uw da 4*
cossx \ 2 )
j .««л vdu — 2udv . ... и du + adv
-4-uodw. 1092. --------------(t>¥=0). 1093.---------!-------
o3 (u24-o2)2/2
, . . vdu — udv ... . n. Inn. udu-4-uda
(u2-4-o2>0). 1094. ---------- (и24-п2> 0). 1095.-----!-------
u2 4- a* u2 4"
(u24-o2>0). 1096. a) 1—4X3 —3x«; 6) —J— ( cos x—
/ л
о) —Ctgx(x^=ftn, fe — целое); г) —tg'xlxgfc-
лое); д) — 1(|х|<1). 1097. а) Увеличится иа 104,7 см8;
6) уменьшится на 43,6 см2, 1098. Увеличить на 2,23 см.
1099. 1,007 (по таблицам: 1,0066). 1100. 0,4849 (по таблицам:
0,4848). 1101. —0,8747 (по таблицам: — 0,8746). 1102. 0,8104=
= arc 46О26' (по таблицам: аге 46°24'). 1103. 1,043 (по табли-
цам: 1,041). 1104. а) 2,25 (по таблицам: 2,24); б) 5,833 (по
таблицам: 5,831); в) 10,9546 (по таблицам: 10,9545). 1105.
а) 2,083 (по таблицам: 2,080); б) 2,9907 (по таблицам: 2,9907);
в) 1,938 (по таблицам; 1,931); г) 1,9954 (по таблицам: 1,9953).
1106. 0,24 №; 4,2 %. 1107. 6«sc0,33 %. 1108. a) 6g = 6£;
б) 6g = 26r. 1109. 0,435. ЦП. 5.ff+2x,i) . 1Ц2. --------
* _ (14-х2)3/2 (1 —х2)5/2
Q х | < 1). 1113. 2е~*’(2х* - I). 1114. -2slnx- (х л,
cos3 х \ 2
А = 0, ± 1, . • . Y 1П5. ——---------)-2arctgx. 1116. -—----р
J 1 + X2 (1-х2)2
(1 4-2x2) arcsin х |П7 ±(х>0) ; ц8 /(х)Г'(х)-Г2(х)
(1 — х2)5/2 х р (х)
2
tf(x)>0). 1119.--------sin (Inx) (x>0). 1120. у (0) == 1, / (0)=»
x
UU^ — LL1^ _
= 1, j/"(0)«=0. 1121. 2 (uu” + u'2). H22. —--------—-------—
U* VZ
(u* -I- v2) (uu* 4- vv") 4- (u'v — i/tHa
(„О0). И23. < + " {u7+v^{----------------------M^2>0).
1124. y"=u»^0 ——hf'lnu^ + v ~~~ “ 4- u" In ц j.
1125. y" = 4x2/" (x2) 4- 2/' (x2); = 8x3/"'(x3) 4-12x/" (x2).
1126. K”= Г' =
x4 \ x 7 x3 \ x /
=----)----------------тг(“)----------?-/'(—)’ 1127.1/' =
X* \ X J X“ \ X J X* \ X }
•= e^r (e*) + (^)l y"' = (И + Зе“Г (e*) 4- «*/' (e*)-
1128. Z = -TlF(lnx)-f'(lnx)]; у'" = Ц- If'" (In x) -
X2 X3
-ЗГ (Inx) 4-2/'(In x)]. 1129. у' = Ф'2(х)Г(<р(х))4-
4- ф" (x) f (Ф (x)); у"'=ф'8 (x) f" (ф(х)) 4- 3<p' (x) ф" (x)f" (<p (x))4-
4-ф'(х)Г(ф(х)). ИЗО. a) e*dx2; 6) e2 (dx2 4* d2 x).
dx2 2 In x — 3 л ,
,,3h 'n-kx2?^ * ,132- ------?------dx2(x>0).
U i * / л
1133. Xх Г(1 + In х)г + — 1 dx1. 1134. uiPv + 2dudv + vd2u.
L x J
(v d2u — и cPv) — 2dv (vdu — и dv)
1135. --------------j-------5------------ (u > 0).
1136. um~2vn~2 {[m (m — I) v2du22mnuvdudv + n(n — 1) u!d»s]+
4- uv (mvd-u + nad2»)). 1137. au In a (du1 In a 4- d2u).
1138. [(v2 — u2) du1 — 4uvdudv 4- (u2 — o’) dv1 4" (u1 4" °*) (ud2u 4-
4- wPt'J (u24- v2)“2(u24- o2>0). 1139. [ — 2uvdu2 4- 2 (u1 —
— o2) dudv4- 2uvdv24- (u2 4- v2) (vd2u — ud2o)J (u2 4- v2)~2 (u14- y’>
3 3
>0). Tirzy: <'*'>•
1141. y" - —--------7-7—; y'" = — (t krt.
* asin3i a’sin0/
i
cos —
1 2
k — целое). 1142. у" = —--------------—; ym =----------j-
4a sin4— 4a2 sin’ —
2
k — целое). 1143. ya «=д------------------------;
V2 cos3 4" ~
л,ш — . e~2i (2 sin 14- cos f) / Л
у I * A
cos* 4- ~) \ 4
1 Г (0
11ЛА
1144. y “ f'(0 ’ У -
t 1 4K ! • »» У" . - у'ут-ЗуЯ1 .
y' у'1 у’Ч
«IV = y'iytv — \Qy'y”y>" 4- 15у"3 (/¥=0). 1146.
y'1 У
25 3 25 225
У3 У3 ’ 4 ’ 64 ’ 1024 ‘
1 1Л1 p p* Зр3 п 4 в „1 2х —у
114/. » » • И4о. у — >
У У3 У3 х - 2у
6 54х 114Q 2**» -
у = • 114v. и вз — I
(x —2t/)3 (х — 2у)ь v 1 + у* ‘
2x2y
У" ° ' nwd " [3 (1 4- Jf2)8 4- 2X4 (1 - у1)]. 1150. B' -
\ * I У )
x+ у . „ 2(х’ + у2) .1
x — y b-=f' (x0); 1153. o = 1154. ’ “ (x-t/)3 c = /(x0). 1152. 20 — 2ло 2л — Sln 1 T T x = Vgt cos a, 1 Jul. 10/, - 10; 4л2о «— g i 0, —10. ?л 3S '' / T -
J2
2 ’
= V°o — 2vog/sina + g2/2 ; / = g; y==xtga ——;
2vg cosra
9.9 2
sirr а ил
--------; ---sin 2a. 1155. x2-f-y2=25; 5|<в|, 5<в2.
2g g
1156. yW = 4-6!; y<’> = 0. 1157. y'" = — —m + 2'
17!!
(x¥=0). 1158. y(io)=_——(x>0),
где nil обозначает произведение натуральных чисел, не превы-
шающих числа п, и одинаковой четности с ним, т. е. 171! =
8!
== 1-3-5 ... 17. 1159. /8> = (х¥=1).
19711(399 —х) 1
1160. и(1«о>=----------------г-- (х<1).
» 2100 (1 — х)100 V1 — х 1 ’
1161. (/(!°) = 2“е“ (х2+ 20х-(- 95). 1162. yW = е* X
10 А‘
X 2 С-1)' —Д-, гдеЛ{0= 10-9- . . . (11—/)иЛ“0=1.
.=1 х‘+х
6 274
1163. у<5>= — —- (х>0). 1164. у(Ч =--------—
X4 х’
1165. = 280 ( — х’ sin 2х ч- 50х cos 2х +
120,
-----1пх(х>0),
Xе
1225 \
~Г~ 51П2Х/
1166. у” =
27(1—Зх)2 —36 . „ 27(1—Зх)2 —28
----------vi?— sm Зх — -----------------Гп7Г~ cos Зх
(1 — Зх)7/3 (1 - Зх)10/3
1167. = —28sin2x— 218sin4x-j- 28-310sin6x.
1168.
1170.
y(ioo) = xshx+ 100 ch x. 1169. yiv = — 4e*cosx.
. / 60 180 . 120 . „„ , \
+ |--------------------------------1--------------1- 32 In x j cos 2x.
\ x8 x* x3 /
15
1171. 120dx5. 1172. ---------, '7—- dx3 (x>0).
вх3 -yx
1173. — 1024 (x cos 2x + 5 sin 2x) dx10. 1174. e* f"lnx +
4 6,8 6 \
-J-—:—I--------:-----71 dx*. 1175. 8sinxshxdx*
х х3 х3 х* J
1176. 2ud™u + 20dud®u + 90d3ud’u 4- 240d3ud’u 4- 420d‘ud»u +
4- 252 (d3u)3. 1177. e“ (du4 4- 6du3d2u 4- 4ducPu 4- 3d’u3 4- d*u).
1178.
2dti*_____3dud*u . d3u
u3 u3 u
117».
d3y — //"dx34*
4- j/'d3x; d’J/ » //'"dx3 4- 3//"dxd3x 4- j/'d3x;
d*y =ywdx* +
4- 6//'"dx3d3x 4- 4y"dxd*x 4- 3y"d№ 4- y'd*x. 1180.
dx dy <Px <Py dx • ..m dx dy <Px <Py -3d’x dx dy d3x d*y
1187. 189. d*x ’ 9 (— 1) P(">(x) = Ml 488. —' : Г (-1)" 1 1 n L x"-*-4 (1—x)"+l J’ dx6 l,-3n!c"-4ad—5c) (ex 4- d)n+i 1190. (- l)"n!X
_____!_____1 1191 _±3- •
(x—l)n+‘ J ‘ (1 —2x)n+,/2
(-!)"+М-4. , . (3n-5)(3n4-2x)
’ 3n (1 4- x)n+I'3
Г 1
L (x —2)n+1
(n>2; хФ— I). 1193.
— 2"“l cos I 2x 4-
nn \
2 )
3n . Г nn \
- — 5.0^+—).
. 3n / nn \
+ —cos(3x+—).
. nn "I (а4-5)п
' 2 J 2
1195. Ysin(x+~7")“*
1196. -j-cos ^x 4-4*
(a — 6)"
1197. -- cos [(a - ft) x->
[nn 1
(a 4- 5)x4-——J.
lies. -&-J^-C0,[(«-4« + -y-] +
+ J£±t„L+l) ™ 1. Ji^ZLx
X sin Г(а — 6) X 4- ~~1 4—"0~^ b'—sin Г (a 4- b) x-j- -22-1.
L 2 J 2 L 2 J
1200.
nn
2
d" л . nn \ (2a —5)” r„ ,
— cos -------------cos I (2a — 6) x +
"I (2a 4- b)n Г nn 1
J-------4-----C°S L(2fl + * + ~~2~J’
1201. 4n“1 cos ^4х 4--—J. 1202. a"xcos^ax4------—j 4-
+ ла"'1 sin (ax 4
1203. a" xs
Xsin
1204. ( — [xJ — 2 (л — 1) x 4- (л — 1) (л — 2)].
1205.
1206. e*2n/2 cos (x + . 1207. e*W2 sin (x 4- -y-).
(n —l)!6" /
,2°8- \a*-b*x*f 1(0 + ЬХ)П + (“ 1)n_1 (fl + 6x)"J (j x 1 <
< I "i” I) ,209‘ ta”p w+спаП~Хр' w + • • • +p(n) wb
1210. {((x + n) - (- 1)" (x - n)J ch x + [(x + n) +
+ (-l)n(x-n)Jshx}.
1211. dny = ex[xn +
4- n’x"-!
(— l)"nl
»2«2- —PJTF
1214. a) (a’+ 6,)<’/2 ^cos^ncp
+ n! J dx".
dxn(x>0).
— sin
6) (a4 4- ft2)'1/2 £cos ^n<p
nn X . . /. . nn \1
-----I sh ax sin I bx 4-----J ,
2 J \ 2
лл
2
/ nn x , / , nn \'
4- sin i Лф — —-—1 sh ax cos I ox 4--—1
a ._________b
' Sn<₽ 7^4-6’
p—t [-
« £ (- l)P+*2n-’P+i (p - k)n C^p cos (2p -
*=o L
• где
1215.
2fe)x4-
Ul«. .) ^(-|).4* af Ci,+I
k=0
COS ф =
f(") (X) =
nn J
2 "J*
X
X sin[(2p-2A+l)z+“I; 6) X
L J fc=0
4=0
X CJp+1 cos [(2P - 2ft + 1) x + -y~] j •
. , ( — l)n-i(n — 1)1
1218. (l +ху/г------sin (n arcctg x) (x =/= 0).
nl _ n(2n — 3)!t
1219. a) — [2"+*+(_ l)"j; 6) ---------~T--------<" > 0-
1220. а) л(л—Da""2; 6) [(2lt> (0) = 0, f(*+M (0) =»
= (—1)4 (2Л1) (k = 0, 1. 2, .. .); в) fl2*) (0) = 0, f(2*+D (0) =
= [1-3. . .{2k — I)]2 (A = 0, 1, 2, . . .). 1221. a) fl2*) (Q)=
=• (— l)*m2 (m2 — 22) ... [тг — {2k— 2)2], fl2*-!) (0) = 0;
6) fl2*) (0) - 0, f' (0) = m, fV*+V (0) = (— l)*m {m1 — I2). . .
. . . [m2 — (2ft — I)2] (ft=l, 2, . . .). 1222. a) ft2*) (0) =
-(-l)*-!-2(2ft-1)1(1+ 4~ + . • • + 2fe^ ).
fl2*-») (0) » 0 (ft = 1, 2, . . .); 6) f<2*) (0) = 22*-1 [(ft — l)!j2,
fl2*-!) (0) « 0 (ft = 1. 2, 4..), 1223. nl<p(a).
1228. Lm (x) = ( — l)m |> — m2xm-i + ~1)!l . x"-2 + . . .
... + (- I)m mij . 1231. Hm (x) = (2x)m — .m(m~ (2x)m~2+
+ ...” 2)'(w ~ 3) (2x)m~* - . . . 1238. При x = 0
не существует конечной производной fz (х). 1244. Д (— 1, —1),
С (1 1). 1245. Не верна. 1246. а) 0 = 1/2; б) 9 —
л/ х2 + хДх + — (Дх)2 — х
= ------------------------------- (х >0, Дх > 0); в) 0 =
Дх
= — ( А/1 т——--------(* (* + >0); г) 0 = — In е.Дх~1'
Дх\ V х / Дх Дх
1248. с=-^- или V2 . 1250. Вообще говоря, нет. 1261. f(x) =
= Со'Ч-с1* + • • • + Сл-1*"-1, где с,(( = 0, 1, ...,л—1) пос-
тоянны. 1268. При —оо < х < — функция возрастает, при
— <х< 4- оо убывает. 1269. При — оо < х < — 1 функция
убывает, при —1 < х < 1 возрастает; при 1 < х < 4* оо убы-
вает. 1270. При — оо < x<t— 1 функция убывает, прн —1 <1
< х < 1 функция возрастает; при 1 < х < + оо убывает.
1271. При 0 < х < 100 функция возрастает; при 100 < х <4
< -|-оо убывает. 1272. Функция возрастает. 1273. В промежут-
ках
kn , Я \ ,
------1---1 функция возрастает; в промежутках
2 3 /
(kn , л kn . л \ , ,, ,
, 1 I убывает (k «= 0, ±1, ±2,
2------------------3-2-2 /
-)•
1274. В промежутках (-----5--> —и (----------5---,------!—
Ч2ЛЧ-1 2kJ V 2*4-1 2*4-2/
функция возрастает; в промежутках (-------!--, —!—'j
\ 2* 4“ 2 2* 4~ 1/
(----,--------убывает *-2. • • •)• 1275. При
2
— оо<х<0 функция убывает; при 0<х<--------------- возрастает;
1п 2
2
при ------<х<4- оо убывает. 1276. Прн 0 < х < п функция
1п 2
возрастает; при л < х < 4- оо убывает. 1277. Убывает при
— оо < х < —1 и 0 < х < 1; возрастает при — 1 < х < О и
1 < х<4- о°. 1278. В промежутках (е—7я/,2+2Ая, е13я/12+2*я)
функция возрастает; в промежутках (е|3я/12+24Я( е17я/12+24я)
убывает (* = 0; ±1, ± 2, . . .). 1283. Не обязательно.
1298. В точке А кривая вогнута вверх; в точке В вогнута
вниз; С — точка перегиба. 1299. График при — оо < х < 1 вог-
нут вверх; при 1 < х < 4" 00 вогнут вниз, х = 1 — точка
перегиба. 1300. При |х|<—-------------вогнутость вниз; при |х|>
д/3
а а
>----------вогнутость вверх, х = ± -—-----точки перегиба,
д/з л/з
1301. При х<0— вогнутость вниз; прн х>0 — вогнутость
вверх; х=0 —точки перегиба. 1302. Вогнутость вверх. 1303. При
2*л < х< (2*4- 1) я— вогнутость вниз; при (2*4~1)я<х<
<(2*4-2) л — вогнутость вверх; х = *я —точки перегиба (* =
— О, ± 1, ± 2, • • •). 1304. Прн | х | < V1/2—вогнутость
вниз; при |х| > V1/2 —вогнутость вверх; х= ± д/1/2 — точ-
ки перегиба. 1305. Прн |х| < 1—вогнутость вверх; при |х|>
>1—вогнутость вниз; х«= ± 1—точки перегиба. 1306. При
Зл/4 < х е2*л-|-л/4 — вогнутость вверх; при
е2*л+л/4 < ж < е2Ал+5л/4 — вогнутость вниз; х = е4я+я/4 — точ-
ки перегиба (k = 0, ±1, ± 2, 1 ). 1307. Вогнутость вверх
при 0< х< -г оо. 1309. А =
а
а > 0). 1318. — . 1319. 1. b 1320. 2. 1321. — 2. 1322. — . 3
1323. Ь 3 . 1324. —. 3 1325. —. 1326. 1227. 1. 6 2
1328. — ЗаЬ 1329. —In а. 6 1330. — 2. 1331. 1. 1332. (-2-) .
1333. —. 6 1334. 1335. 1. 3 1336. 0. 1337. 0. 1338. 0.
1339. 0. 1340. 0. 1341. 0. 1342. 1. 1343. 1. 1344. — 1. 1345. е*.
1346. е-1. 1347. «2/я. 1348. г*. 1349. 1. 1350. 1. 1351. 1.
1365. в"2/!». 1366. е-1. 1367.
1369.-------—. 1370. а.
6
1373.2. и = — (х -I- — Y
1352. e2/s<n 2а I О =ь —- , k — целое 1. 1353. ei/2<1п» а-1п* 6).
\ 2 J
1354. _L. 1355. —. 1356. 0. 1357.--------------L. 1353. cfi(lna— 1).
2 2 2
1359.-----L. 1360. —. 1361. е—2/я. 1362. 1. 1363. е1/».
2 а
1363. 1. е"1/4 1363.2. е1/3. 1363.3. е-1/3. 1363.4. е“1/». 1364. е"1^.
———. 1368. ^7. 1368.1. 0.
п — т
1371. tga. 1373.1. Г(0)=>----------!- .
12
1374. а) Правило Лопиталя непри-
е \ 2 J
меиимо, предел равен нулю; б) правило Лопиталя непримени-
мо, предел равен 1; в) формально примененное правило Лопита-
ля дает веверный результат, равный 0, предел не существует;
г) применение правила Лопиталя незаконно и приводит к не-
верному результату, равному нулю, предел ие существует.
1375. i-. 1376. 5— 13(х+ 1)+ 11 (х+ I)3 —2(х+ I)3. 1377. 1-f-
+ 2х + 2х’ — 2х* + о (х*); — 48. 1378. 1 + 60х + 1950х2 + о (х2).
1379. а 4--------------(т~ 1)**--1-о(х2). 1380. — х2 + х3+о(х3).
та"1"1 2т2а2'"-* 6
9 Ч 1
1381. 1 + 2х-|-х’------— х3- — х*---------—xi + o(xi). 1382. 1 —
X —-1-о(х«). 1383. х х7 *1» -2—+ о(х«).
2 12 720 18 3240
1384. X3 — -4-0 (х«). 1385. х- X» -—4- о (Xs). 1386. х-Ь
2 12 45 3
4-—- . 2х5 X8 -4-о (х«). 1387. — X4 ^- + о(х*).
3 15 6 180 2835
1388. 14-_1_ (х — 1) — (х-—1)2 + о ((х 8 - 1)»). 1389. (х— 1) +
«I- (х _ 1)3 +1 (х _ 1)3+ о ((х- 1)3). 1390. у = а+ + о(х«).
2 2а
1391. _2-----------!---1- о( —\ 1392. 1пх4- —-----------------— 4. ..,
2х Зх3 \ х3 ) х 2х*
hn Ч
. . . + ( — 1 У1-1--------Ь ° (Лл). 1394. а) Меньше---------;
пх" (п 4- 1)1
б) не превышает —-—; в) меньше 2-10“*; г) меньше—,
v 3840 16
1395. |х|<0,222=агс 12°30'. 1396. а) 3,1072; б) 3,0171, в) 1,9961;
г) 1,64872; д) 0,309017; е) 0,182321; ж) 0,67474 - аге 38°39'35";
а) 0,46676 = аге 26°44'37"; и) 1,12117. 1397. а) 2,718281828;
б) 0,01745241; з) 0,98769; г) 2,2361; д) 1,04139. 1398.--
1399. —. 3 1400. -. 1401. 4 —. 1402. —. 1403. 1п2а.
3 6
1404. —. 2 1405. 0. 1406. —. 3 1406.1. — 90 • 1406.2. — • 2
1406.3. —. 2 1407. —. 1408. 30 х». 1409.—. 2 1410. а = — • 3
ь- —L. 3 9 1410.1. А •= ——; 5 15 1410.2. А = —, 2
в =—, с 12 1 п 1 1П1 X 2* — , D=*—.1411. а) ; 2 12 R3 б) 4 Ап — х в) ; 3 100 ’
г)—. 1412. а-= —; ₽«»—. х 3 3 1413. —, 180 где а — половина
центрального угла дуги. 1414. Максимум у = 2— при х =—.
1415. Экстремума иет. 1416. Минимум у=0 при х=1.
1417. Минимум у = 0 при х = 0, если т — четное, и экстре-
ттпп
мумаиетпри х = 0, если т—нечетное; максимум у =------
(т+п)т™
/П п «
при х =-------; минимум у = 0 при х= 1, если п — четное,
tn 4" л
и экстремума нет при х = 1, если я — нечетное. 1418. Мииа-
мум у = 2 при х = 0. 1419. Минимум у = 0 при х = —1;
максимум у = 10l0e_* » 1 234 000 при х = 9. 1420. Максимум
у = 1 при х = 0, если я — нечетное, и экстремума нет при
х = 0, если я—четное. 1421. Минимум у — 0 при х = 0.
1 3 — 1
1422. Максимум у = —у^4 «0,529 прн х =—; минимум у=0
3 3
при х = 1; экстремума нет при х = 0. 1423. Минимум f(x0) =
= 0, если <р (х0) > 0 и я — четное; максимум f (х0) = 0, если
<р (х0) < 0 и я — четное; £ (х0) — не экстремум, если я — не-
четное. 1425. Нет. 1427. а) Минимум [ (0) — 0; б) минимум
I (0) = 0. 1428. Минимум [ (0) = 0. 1429. При х = 1 макси-
мум у = 0; при х = 3 минимум у = —4. 1430. Минимум у = О
при х=0; максимум у= 1 при х= ±1. 1431. При х =
— -J?—Vl?- ~ 0,23 минимум у ю — 0,76; при х = 1 максимум
6
р = 0; при х = « 1,43 минимум у «—0,05; при х =
= 2 экстремума нет. 1432. При х = —1 максимум у =« —2; при
х «=• 1 минимум у = 2. 1433. При х = — 1 минимум у = —1; прн
х «=» 1 максимум р = 1. 1434. При х = — минимум у—-----—.
5 24
1435. При хг= 0 и х = 2— краевой минимум у=0; прн х=1
3 3 з —
максимум у = 1. 1436. Прн х = — минимум у =--------2 «
4 8
« —0,46; при х = 1 экстремума иет. 1437. При х = I максимум
у = е-1 «0,368. 1438. При х=»4-0 краевой максимум у = О',
2
при х = е~2«0,135 минимум у :------«—0,736. 1439. При х=
е
4
= 1 минимум у = 0; прн х = е2» 7,389 максимум у = —«0,541.
еа
1440. При x = kn(k — 0, ±1, ±2. . . .) максимум у = (—1)*+•
4- —; при х = ± + 2Лл (А = 0, ±1, ±2, .. .) минимум у=
2 3
3
-------. 1441. При х«=Ал(А = 0, ±1, ±2, .. .) максимум
4
у= 10; при х«= л
О, ±1, ±2, .,.) минимум у=5.
1442. При х=> 1 максимум И = ~---^-1п 2 «0,439. 1443. Прн
х —-----J- 2лА (k = 0> ±1, ±2, . , .) минимум у = —X
^е—я/4+2йЯ; ПрИ х_-------1_ 2йл (Л —0, ±1, ±2, ...) максимум
4
u ж= V— езл/4+2*л 1444. При х =— 1 максимум и«<е“'2»
2
«0,135; при х=>0 минимум у = 0 (угловая точка); при х=>1
максимум у=1 (угловая точка). 1445. —; 32. 1446. 2; 66.
1447. 0; 132. 1448. 2; 100,01. 1449. 1; 3. 1450. 0; — «36,8.
е
1451. 0; 1. 1452. 0; — (1 + V^)» 1.2. 1453. —-^L€~3n'/'t»
2 2
is—0,067; 1. 1454. т (х) -----5-,если —оо<х^—3; т(х)=
L 1 + *
₽ 3 4-х2 ’
М(х)=~,
если
если
< -J- оо. 1455. а)
—3<х<—1; m(x) = Qt если —1<х<-|-оо;
1 Ч- х
— со<х<1; М (х) -----------, если 1<х<
3-|-х2
141“ 1 3,
-ii-« 1,77-10’; б) —; в) 73 « 1,44.
211 200
9+6V3
1457. ----» 4,оо.
4
= (*1 + *2)*-у(*? +
1458. q=------—.1459. —. 1460. g(x)=.
2 27
*2 + 6*i*2); д = v(xi ~ *г)2- 14614
о 3
1462. Один корень: (3, + оо). 1463. Одни корень: — оо < Х]<
< —1, если Л > 27; три корня: — оо < х, < —1, —1 <х2 <
<3 и 3 < х, < 4- оо, если —5 < h < 27; одни корень: 3 <
< х, < 4- °о, если Л < —5. 1464. Два корня: — оо < Xj < — 1
и 1 < х, < + оо. 1465. Один корень: — оо < xt < —1, если
— оо < а < —4; три корня: — оо < xt < —|, —1 < х, < 1,
1 < х3 < + оо, если —4 < а < 4; один корень: 1 < х, < + оо(
если 4 < а < + оо. I486. Один корень: 0 < х, < 1, если
— оо < k <0; два корня: 0<Х]<— и —<х2<4- оо, если
k k
0<Л < — ;корней нет, если /г>— . 1467. Корней нет если
г е
е2
а<0; один корень: —оо<х1<0, если0<а< —; три кор-
4
^2
ня: — оо < xt < 0, 0 < х, < 2 и 2 < х3 < + оо, если — < а <
4
<-}-оо. 1468. Два корня при | а | < 3 V3 / 16; нет корней при
| а | > 3 V3 / 16. 1469. Два корня: 0 < | х, | < | и &<|х2|<
<4-оо, где £«1, 2 — положительный корень уравнения;
cthx = x, если |Л| >sh £ « 1,50; корней нет, если |ft| >sh£.
1470. а) £> 0; + 1471. ♦). Симметрия
относительно начала координат. Нули функции: х = 0 и х =
==±л/3®±1>73. Минимум у =*—2 при х =—1; максимум у=
= 2 при х= 1. Точка перегиба х = 0, у = 0. 1472. Симметрии
относительно оси Оу. Нули х = ± V'+ V3 ~ ±1,65. Мини-
мум у = 1 при х = 0; максимум у= 1— при х=±1. Точка
перегиба; х — ±
±0,58; у= 1—.
18
1473. Симметрия от-
носительно точки А (1, 2). Нули: х = —1 и х = 2. Минимум
j/= 0 при х = 2; максимум у=4 прих = 0. Точка перегиба
х = 1, у = 2. 1474. Симметрия относительно оси Оу. Нули
функции: х = ±-\/2 « ±1,41. Максимум у = 2 при х = 0;
минимум у — 1—- « —0,12 при х = ±^2+ ~ ±2,06.
Точки перегиба: х1г 2 = ±0,77, уъ t — 1.04; х3.4 «±2,67, у& 4 «
«—0,010. Асимптота у — 0. 1475. Точки разрыва: х=2 и
х = 3. Нули: х_= ±1. Минимум у = — (10 — л/9б) « —0,20
при х= —----~ 0,42; максимум у = — (10 + V96) «—19,80
5
при х = «2,38. Точка перегиба х«—0,58, у»— 0,07.
Асимптоты: х = 2, х = 3 и у = 1. 1476. Точки разрыва: х4 =
«=—1 я хг = 1. Нуль функции х = 0. Точек экстремума нет.
Точка перегиба х « —0,22, у « —0,19. Асимптоты: х = —1,
х = 1 и у — 0. 1477. Нуль функции х = 0. Точка разрыва
13
х = —1. Минимум у = 0 при х = 0; максимум у = —9 — при
х = —4. Точек перегиба нет. Асимптоты: х = —1 и у — х — 3.
1478. Минимум у = 0 при х — —1; точка перегиба х = —4,
81
у —-----. Асимптоты: х— 1 и у = 1. 1479. Максимумы у =*
625
34V17 + 142
--------!---« —8,82 при х =
32
2
у = 0 при х = 0: минимум у = —-----------1^2_ при х=
_ 32
= *^'7—— ю 0,56. Точка перегиба х = —,и =--------—. Асим-
2 5 45
птоты: х = —1 и у = х — 3. 1480. Симметрия относительно
начала координат. Точек экстремума нет; точка перегиба х = 0,
*) К задачам на построение графиков не везде дают пол-
ные ответы.
у = 13— при х = 5; точки перегиба х = —1, у = 0. Асимпто-
2
2
ты: х = 1 и у = х + 5. 1482. Минимум у = 2— при х = 2;
максимум у « —3,2 при х —2,4; точка перегиба х = 0,
у = 8. Асимптоты: х = — 1 и у = х. 1483. Симметрия относи-
тельно оси Оу. Нули функции: х = ± « ±0,79. Точек
4
экстремума нет. Точки перегиба: * = ±/^/-^-«±0,71, у =
2
= —2—.Асимптоты: х =—1, х=0, х— 1 ну=0. 1484. Об-
3
ласть существования: 0 х < + оо. Нули: х=0 и х = 3.
Минимум у =—2 прн х= 1; краевой максимум у=0 при
х = 0. Вогнутость вверх. 1485. Область существования: |х|
<:2-\/2«*2,83. Симметрия относительно начала координат и
осей координат. Нули: х = 0 и х= ±2 д/2. Максимум |^| = 4
при х — ±2, минимум Jy | == 0 при х = 0; краевой минимум
|i/| = 0 при х = ±2^2. Точек перегиба нет. 1485.1. Нуль
функции х = 2. Минимум у —— ж —2,24 при х = —0,5.
Точка перегиба *!= — - —1,18; yi «—2,06 и xt =
8
— о,42; yt » —1,46. Асимптоты: у = —1 при х-+-
8
-*— оо и у= 1 при х-> + оо, 1486. Область существования:
1 х 2 и 3 х < + оо. Нули: х = 1, х_= 2 и х = 3.
Максимум | у | = — ^12 ж 0,62 при х = 6 - « 1,42; крае-
3 3
вые минимумы |у| = 0 при х=1, 2 и 3. 1487. Минимум у =•
2 з f____________________________ 1
= 0 при х = 1; максимум у = —/4 ж 1,06 при х =-----• точ-
3 3
ка перегиба х = —1, у — 0. Асимптота у = х——. 1488. Сим-
метрия относительно оси Оу. Минимум у = —1 прн х = 0.
Вогнутость вниз. Асимптота у = 0. 1489. Симметрия относи-
тельно начала координат. Нуль функции: х = 0. Минимум
3,— з,—
у= —у 16 » —2.52 при х= —2; максимум у = у 16 при
х=2. Точка перегиба: х=0, у=0. Асимптота: у=0- 1490. Сим-
3,________________________________________
метрия относительно оси Оу. Минимум у = у4 ж 1,59 при х =
= ± 1; максимум у = 2 прн х — 0. Вогнутость вниз. 1491. Сим-
метрия относительно начала координат. Точка разрыва: х= ± 1.
Нуль функции: х = 0. Минимум у=-у—» 1,38 при «= Уз>
У?
максимум у=---З^-прих» —Уз. Точки перегиба: xj = О,
/Т
У1 = 0 и ха>3 = ±3, уа.г = ±1 —. 1492. Область существова-
ния функции: |х|>1. Симметрия относительно оси Оу. Кра-
евой минимум у *= 0 при х = ±1. Вогнутость вниз. Асимп-
X х
тоты: у>=>— при х->4-оо и у= — — при х-*— оо. 1493. Об-
3 -
.часть существования функции: х > 0. Минимум :/=—~Уз«
« 2,60 при х — ——. Вогнутость вверх. Асимптоты у = х-(-
3
+ -у их = 0. 1494. Область существования: х >0 и х<—3.
5 4- У13
Нуль функции х =—--------«4,30. Минимум у = 13 при
х = —4; краевой максимум у = 1 при х = 0. Вогнутость
. 5 1
вверх. Асимптоты: У = ~--%* при х~*~— ®°‘« У—-~ при
х-► + оо; х— — 3 при x-и—3 — 0. 1495. Минимуму=0 при
3 г—
х = 0; максимум у =— /4 « — 1,59 при х=—2. Точки
перегиба: xt=* — — tn — 0,27, yt = р/ % **
«0,46; ха = — (24-Уз) « — 3,73, р2= --у-" ~
« — 1,72. Асимптота х= — 1. 1496. Симметрия относительно
оси Оу. Функция положительная. Максимум у = Уз «1,73
при х = 0, минимум у = У2 «1,41 при х = ±1. Точки пере-
гиба *1, а« ±0,47; У1.а« 1,14 н х314»±4,58, У».4«4.55,
Асимптоты у = ±х. 1497. Период функции: Т = 2л; основная
Уз____j
область 0 < х 2л. Нули функции: Xj=n4-arcsin———----«
Уз____j
« 1,21л и х>=2л — arcsin—-— ----« 1,79л. Минимумы у=1
л ,3л .1
при х = — и у = — 1 при х = —у; максимум у = 1 — при
п 5л _ „ „ > 1 + V33
к = — их—---------. Точки перегиба: х, = arcsin —!—1------«
6 6 8
„„„ 19 + зУзЗ , . 14-л/зЗ
« 0,32л, у, = —------*-----«1,13; х2 = л — arcsin —— ----«
32 8
« 0,68л, yt =
194-3^33
32 *
, . л/зз — 1
х3 = л + arcsin —"--------
8
1,20л, у3 = ——З л</з3.. « о,О55; х4 = 2л - arcsin —1 «
32 8
, 19 — Зд/З3
« 1,80л, у, =---------------.
32
1498. Период функции 2л; основ-
ная область —л х л. Симметрия относительно начала
координат. Нули: xt = 0 и хг, 3 =* ±л. Минимум у =
-------— V'5 « — 7,3 при х — — arccos— «—0,42л; макси-
8 4
15 ____ 1
мум у —— V15 « 7,3 при х — arccos-^- « 0.42л. Точки пе-
региба: Xi =0, уг — 0; хг. 3= ± arccos --------------—J » s
91 ____
Уз, з — ±-----V15 ~ ± 2,54; х4. 5 => ± л, у4, 5 = 0. 1499.
32
0,84л;
Пери-
од функции: Т = 2л, основная область: —л х л. Сим-
метрия относительно начала координат. Нули: хх — 0 и Хз,9=*
2 . Зл
= ±л. Минимумы: у =------— *J2 я: — 0,94 при х =-------и
л 2 л 2
х =----—, у = — прн х = —; максимумы: у =--------------
л 2 иг л Зл _
при х =-----—, у = — <2 при X = ------ И X =----. Точки
2 3 4 4
перегиба: х2 = 0, yt = 0; х2,3 = ± arcsin
Vl
±0,37л,
1500. Пе-
Уз,з = ±--------^30 » ± 0,81;
« ± 0,63л, Уз, 5 — ± д/зо ; х4, , = ±Я, yt, ,= о.
27
риод функции: Т = 2л; основная область [—л, л1. Сим-
метрия относительно оси Оу. Нули функции: х1>2 =
1_____________д/з” 1
= ±arccos---—-—« ±0,62л. Минимумы: у=— при х =
= 0; у = —1 — при х — ±л максимумы: у = — при х =
, п _ , 1 + ^33
•= ±—. Точки перегиба: хь 2 = ± arccos—11«
3 8
« ±0,18л, yt, j « 0,63; х3, 4= ± arccos —-«±0,70л.
8
y3i 4 « —0,44. 1501. Период функции: Т — основная об-
ласть Г----2-, —1. Симметрия относительно оси Оу. Функ-
L 4 4 J
ция положительная. Максимум у = 1 при х = 0; минимум у =
1 л _ , , я 3
= —при * = ± — • Точки перегиба xl<3= ± —, уз. »=~ •
ГЛ Л 1
---' — I •
Симметрия относительно оси Оу. Нули функции: xt = 0
и х,., = ± — . Минимумы: у = 0 при х — 0 и у — —1 при
3
л 9 1
х= ± —; максимум у = — при х= ± arccos«±0,21 л,
т < .1 1 + У^29 ,
Точки перегиба: хь г — ± — arccos--------«±0,11л,
У1.» * 0,29;
I 1__д/129
Хз, 4 = ± — arccos---------------«± 0,36л; ys, 4
2 16
«—0,24. 1503. Период функции: Т = я, основная область-
Зл
0 х л. Точка разрыва: х =---------. Нули: хх =0, хг — л.
4
Экстремумов нет, функция возрастает. Точка перегиба: х =
л 'Ji , Зл
= — , у=—-—. Асимптота х =------------.
4 2 4
1504. Период фун-
кции 7 = 2л, основная область [—л, nJ. Симметрия отно-
сительно оси Оу. Нули функции: хь г =±—. Минимум у = 1
при х = 0; максимум у = —1 при х = ± л. Точки перегиба:
*1. »—
Уз,, = 0. Асимптоты х — ± —
и х--=
1504.1. Период функции Т = 2л, основная область —л х <
д/з
С л. Функция нечетная. Минимум у —-----—-«—0,58 при
3
2л л/з _ „ 2л -
х =------; максимум у=—-—«0,58 при х =---------. Точ-
3 3 з
ка перегиба xt= О, У1 = 0; x2t3 = Тл, y2,s=0. 1505. Центры
симметрии (Лл, 2Лл). Нули функции: xt = 0, х2.3 « ±0,37л,...
Максимумы у = —---1 + 24л при х = — 4-Лл; минимумы
2 4
у — —----1 4- 24л) при х = —Точки пере-
244-1
гиба: х — 4л, у = 24л. Асимптоты: х =-л (k — це-
2
лое). 1506. Симметрия относительно прямой х = 1. Функция
положительна. Максимум у = е при х=1. Точки перегиба
хх, з = 1 ± - • f/113= V?» 1,65. Асимптота у = 0.
1507. Симметрия относительно оси Оу. Функция положитель-
на. Максимум у = 1 при х = 0. Точки перегиба: xlt э =
V3 5
— « ± 1,22, ylt з= —е~3/2 ж 0,56. Асимптота у —
2 2
= 0. 1508. Функция положительна. Минимум у = 1 при х =0.
Вогнутость вверх. Асимптота у — х при х—►+ оо. 1509. Фун-
кция неотрицательная; нуль х=0. Минимум у = 0 при х = 0;
максимум у =
е-V» «0,39
2
прнх = т.
Точки пере-
гиба: х2= ——V6 « —0,15, ух » 0,34 и х2 = VL. -а
3 3
« 1,48, у2«0,30. Асимптота у=0 при х->+ оо. 1509.1. Функ-
ция неотрицательная. Минимум у = 0 при х— kn (k = 0,
±1,±2,...); максимумы у= — е—(24+1/2)я При х _ ,
Точки перегиба Xk — (—1)* —-}-4л, у* = — е l24+V3< ОД*.
6 4
1510. Функция положительна при х> — 1 и отрицательна
при х < — 1. Минимум у — 1 при х = 0. ( Вогнутость вверх
при х > —1 и вогнутость вниз при х < —1х 1511. Симметрия
относительно оси Оу. Функция неотрицательная; нуль х = 0.
Минимум у = 0 (угловая точка) при х = 0. Вогнутость вниз.
1512. Область существования функции: х > 0. Нуль функции
2
х = 1. Максимум у = — « 0,74 при х = е* « 7,39. Точка пе-
е
О
региба: х = е8/3 « 14,33, у = — ё~Ч* « 0,70. Асимптоты: х = 0
3
при х-*-+0 и у = 0 при х—► + оо. 1513. Симметрия относи-
тельно начала координат. Нуль х = 0. Точек экстремума нет;
функция возрастающая. Точка перегиба: х=0, у=0. 1514. Сим-
метрия относительно начала координат. Нуль функции х = 0.
Функция возрастает. Вогнутость вверх при х> 0 и вогнутость
вниз при х < 0; 0(0, 0)—точка перегиба. 1515. Область
существования функции: |х| < 1. Симметрия относительно на-
чала координат. Функция монотонно возрастает. Вогнутость
вверх при х > 0 и вогнутость вниз при х< 0; точка перегиба:
х = 0, у = 0. Асимптоты: х = ± 1. 1516. Симметрия относи-
тельно начала координат. Нуль функции: х =0. Точек экстре-
мума нет, функция возрастающая. Точка перегиба: х = 0,
„ . л . л
у = 0. Асимптоты: у = х-------- при х—>—оо и у = х-\-------
2 2
при х—►+оо. 1517. Нуль функции х«— 5,95. Минимум
= ~ + -2-« 1,285 при х == 1; максимум у --------
«1,856 при х=— 1. Вогнутость вверх при х > 0 и вогну-
тость винз при х < 0; точка перегиба х = 0, & = Асим-
X X
Птоты: у =-----к л при х—►— оо и у = — при х—►+ оо,
2 2
1518. Симметрия отиосительно оси Оу. Функция неотрица-
тельна; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х = 0. Вогнутость
. л , л
вверх. Асимптоты: у —--------х— 1 при х—► — оо и у= — х —
2 2
— 1 при х —► + оо. 1519. Симметрия отиосительно начала
координат. Нуль функции х = 0. Минимум у =--------(угло-
л
вая точка) при х = 1; максимум у= — (угловая точка) при
х = 1. Точка перегиба х = 0, у = 0. Асимптота у ₽= 0.
1520. Симметрия относительно оси Оу. Функция неотрицатель-
на; нуль х = 0. Минимум у = 0 при х = 0 (угловая точка).
Вогнутость вниз. Асимптота у = л. 1521. Точка разрыва функ-
ции х = 0. Нуль функции х = —2. Минимум у = 4 у/е «6,59
при х = 2; максимум у = — » 0,37 при х = —1. Точка пе-
е
региба х— ——, у = — е-5/2 га 0,13. Асимптоты: х=0 и
5 5
у = х 4- 3. 1522. Область существования функции |х|>1.
Симметрия относительно оси Оу. Краевой максимум у =
= 2^2 га 2,67 при х= ±1. Вогнутость вверх. Асимптота у =
— 1. 1523. Область существования функции х< 1 и х > 2.
Точки пересечения с осями координат (0, 1п 2) и (1/3, 0). Мак-
симум у т 1,12 при х = 1 ~~ ^*0 га —0,72. Асимптоты х=
3
= 1, х = 2 и у = 0. 1524. Область существования функции
| х | а. Точки пересечения с осями координат: (0, —а) и (0,
67а, 0) (приблизительно!). Функция монотонно возрастает.
Краевой минимум у —------—а при х= —а и краевой мак-
симуму = —а при х = а. Вогнутость вверх. 1525. Область
2
существования функции: х<0 и х> —. Краевой минимум
3
2
у = 0 при х = 0; краевой максимум у = л при х = —. Вог-
3
2
нутость вниз при х^Ои вогнутость вверх при х>—. Аримп-
3
тота *526. Область существования: х > 0. Функция
положительна. Минимум у = «0,692 при х = -5- га
« 0,368; краевой максимум у = 1 при х = + 0. Вогнутость
вверх. 1527. Область существования функции х > 0. Краевой
минимум у = 0 при х — + 0; максимум у = е17' ж 1,44 при
х = е. Асимптота у = 1. 1528. Область существования: х>
> —1, х 0. Функция положительна. Устранимая точка раз-
рыва: х = 0. Точек экстремума нет, функция убывающая. Вог-
нутость вверх. Асимптоты: х=—1 и у — 1. 1529. Функция
монотонна при х > 0. Краевой минимум у = 0 прн х = 4- 0.
Асимптота у — е (х-----2")' Функция положительна.
Симметрия относительно оси Оу. Точки разрыва: х— ±1. Ми»
нимум у — е при х == 0; максимум у = —гаО, 15 при х =
_ 4 V*
= ± V3. Четыре точки перегиба. Асимптоты: * = —1 при х -»•
— 1 + 0; х — 1 при г -> 1 — 0 и у = О при х-* оо.
1531. Функции х и у — неотрицательны; хт;п = 0 при t =
==—1; (/min = о при / = 1. Вогнутость вверх при t > — 1 и
вогнутость вниз при /< —1. 1532. Точки пересечения с осями
координат: (0, 0) при t = 0; (±2 V3 — 3,0) при t = ± V 3
и (0, —2) при t = 2; xmax = 1 и i/max = 2 при t — 1 (точка
возврата); ymin = — 2 при i — —1. Вогнутость вверх при t < 1
и вогнутость вниз прн /> 1. 1533. Точка пересечения с осями
координат: (0, 0) при t = 0; xmax = 0 прн t = 0, xmtn = 4
при t = 2; у убывает при возрастании /. Точка перегиба (—0,08;
0,3) при t « — 0,32 (приближенно). Асимптоты; у = 0, х =
1x3
=-------и у —----------. 1534. Точка пересечения с осью Оу:
2 2 4
(0, 1) при t = 0; точка пересечения с осью Ох: (—1, 0) при
t — <хз. Краевые экстремумы: хт|п = 0 и (/m8X = 1 при t = 0;
хтах = —1 н (/т|п — 0 прн t — оо. Точек перегиба нет. Асимп-
тота (/ = _~. Вогнутость вверх прн |/|> 1 и вогнутость вниз
при | /| < 1. 1535. Функции х и у — положительные; хт|П =
= 1 и (/пип = 1 при t = 0 (точка возврата). При t< 0 — вог-
нутость вверх; при /> 0 — вогнутость вниз. Асимптота у =
=2х при /-♦—|-оо. 1536. Основная область: [0, л]. Точки пере-
( а п\ . я / а \
сечения с осями координат: ПРН -J
я , , я /„ а \ „Зя
при t =— ;(— а, 0) при t = —; / 0,--------------— 1 при / =-;
4 2 k V2 / 4
(—, o') при / = -52-. Экстремумы: хтаХ = а и утаХ = а при
к 2 ) 6
Л •_ л
t — 0; t/min а прИ t=- —- ; Xmin------а при t //тцх=э
О
= а при / =-----------------; хтах = а и (/1П|П = — а при / = я. Вог-
нутость вверх при 0 < / < —; вогнутость вниз прн — <
< / < я. 1537. Функции х и у — неотрицательные и периоди-
ческие; основная область 0</<-2-. Экстремумы: хт|П = 0
2
и УтаХ = 1 при / = ~ И Хтах= 1 И (/min = 0 При / = 0.
Вогнутость вверх. 1538. Область существования: / > 0. Сим-
-------— » —0.37, у = —е х —2,72 прн t = —; утах = — ,
е ее
х = е прн t = е. Точки перегиба: Xj = —д/г е~'^2 х — 0,34,
у у = —^2е"^2 х —5,82 при t = е~ ^2 «0,24 и х2 =
ч-д/Те^2 • (/2=д/2е—при t = е^2 «4,10. При / =
в> —---изменение знака вогнутости. Асимптоты: х=0 и у—
е
«= 0. 1539. Функции х и у — периодические с периодом Т =•
«= 2л, основная область —л t л. Симметрия кривой отно-
сительно осей координат. Кривая имеет две ветвн. Экстремумы:
X min = а, у = 0 при t — 0; xmax = — а, у = 0 при t = ± л.
Вогнутость вверх при — л < t < —л/2 и 0 < t < л/2; вог-
нутость вниз при —л/2 < t < 0 и л/2 < t < л. 1540. Сим-
метрия относительно оси Оу; ут\п = 0, х = 0 при t — 0.
Вогнутость вниз. 1541. Параметрические уравнения: х =
За/ За/2 . , . . „
=--------, и =--------(—оо < / <-|-оо). Симметрия относи-
1 + Is 1 + /’
тельно прямой у = х. Точка пересечения с осями координат
3 _________________________________ 3 ,—
О (0, 0) (двойная точка). хтах = а /4 х 1,59а при у = а у 2 х
«1,2а; Утах=аУ<4 прн х—а^2. Асимптота х + у + а =0.
1542. Симметрия относительно начала координат, осей коорди-
нат и биссектрис координатных углов. О (0, 0) — изолирован-
ная точка.
и (0, ± 1).
Точки пересечения с осями координат: (±1,0)
I х Imin 1
при у — 0;
I X |тах 1=1
«1,10 прн [у| = V1/2 » 0,71; | у |min = 1 прн х = 0 |у |тах=
при |х| = д/1/2.
1 — /3
уравнения: х —-----—
1543. Параметрические
у = —----— , где / = — (—оо < /<
/ х
<-|-оо). Кривая имеет две ветвн. Симметрия относительно
прямой х + у = 0. Экстремумы: хт|п = 3/2^2 х 1,89, у =
= — 3/2 уТ» — 2,38 при/= — уТ «—1,26; утах =—3/2
к = 3/2 >z4 при /= —1/2 х —0,79. Точки перегиба: хг х
х 2,18, У1 х —4,14 при / = — -£ (7 + 3 л/э) ~ — 1 >20;
г2«4,14, у2ж—2,18 при t= — |/ -i-(7 —З-у^) «—0,53;
при t=——изменение знака вогнутости. 1544. Кривая
состоит из прямой у = х и гиперболической ветви х = (1 +
4- У = (1 + (— 1 < < < + °0)- (е> е) — двойная
точка. Вогнутость вверх прн х=#у. Асимптоты: х — 1 и у =
= 1. 1545. Область существования: |х| 1п (1V2)« 0,88.
Симметрия относительно осей координат. Краевой минимум
(4/| = 0 при X = ± in (1 + V2). Вогнутость вниз при у > 0
и вогнутость вверх при у < 0. Асимптоты: у = х и у = — х.
1546. Область существования функции: г >0, |ф| ^а, где
«= arccos (--. Кривая замкнута. Симметрия относитель-
но полярной оси. Максимум г = а + Ь прн <р = 0; краевой
минимум г = 0 при <р = ± а. 1547. Область существования;
„ л 2л . 4л ~ 5л .
0<Ф<—: -----------^Ф<л, ---------. Функция г —
3 3 3 3
2л „
периодическая с периодом -----. Кривая замкнута и имеет
_ л 5л
три одинаковых лепестка. Оси симметрии: ф = —, ф=----
6 6
Зл
и ф = -у-. Начало координат 0(0, 0)—тройная точка.
При 0 < ф < — имеем; максимум г = а при ф — — и ми-
3 6
ннмум г = 0 при ф = 0 и ф == -5-. 1648. Область существо-
3
. . , л л , 5 2л
вания функции: |ф| <—и —< |ф| <—л, период ----------------.
6 2 6 3
2л
Минимум г = а при ф = 0 и ф = ± ——. Асимптоты: ф =»
3
л ____________ л 5 л л , —
— ± —, ф = ± —и ф = ±------------. 1549. Спираль, имеющая
начало координат своей асимптотической точкой; г монотонно
убывает при возрастании ф. Асимптота ф = 1. 1550. Область
д/д______________________1
существования г > —— ------«0,62. Краевой максимум ф =я
5 — 1
при г =
минимум ф в arccos— » arc 75°30' при
г = 2. Асимптота г cos <р = 1 при г -* 4- оо. 1551. Семейство
парабол с вершинами (1, а — 1) (минимумы). Точки пересече-
ния с осями координат (0, а) и (1 Т V1 —О) (при а < 1).
Вогнутость вверх. 1552. Семейство гипербол при а 0 и пря-
мая у — х при а = 0. Минимумы у —2] а) при х = |а|
и максимумы у = —2 |а| при х — —|а| (а=^0). Асимптоты
у—х и х = 0. 1553. Семейство эллипсов при 0 < а < 4- оо;
семейство гипербол при — оо < а < 0; прямая у — х при а <=
== 0. Все кривые семейств проходят через точки (—1, —1)
и (1, 1). При у > х имеем: 1) максимум у = V1 + а при х «
= —' , если а > 0; максимум у = — V1 + а при х «
V1 + а
£=-------- , если —1 <а< 0; краевые минимумы у =
V1 + д
при х — т 1 (а =# 0); 2) вогнутость вниз. При у < х имеем:
1) минимум у = — д/1 + о. при х =-----*...— » если а >0}
Vi + e
Минимум у == у/1 4- а при х =*- * , если —1 < а < 0j
краевые максимумы:/ = 1 при х — ч=1; 2) вогнутость вверх.
Асимптоты: у =(1 4- V — а)х и «/ = (1 — V —а) х при а<0,
1554. Семейство показательных кривых, если а #=0; прямая у=
= 1 4—если а — 0. Общая точка семейства (0, 1). Ми-
2
иимумы у = —— (1 4- In 2а) прн х — — In 2а, если а > 0;
2а а
У монотонно возрастает, если а 0. Асимптота у = —— .
1555. Семейство кривых, проходящих через точку (0, 0) и име-
ющих в ней общее касание с прямой у = х. Максимум у =»
» ае~1 « 0,37а при х = а, если а > 0; минимум у = ае-1 при
к = а, если а < 0. Точка перегиба х— 2а, у= 2ае~2 as 0,27а.
Асимптота у = 0. 1558. ---------------. 1559. (т 4- л) X
(т 4- п)т+л
z атп к-----’—
XI---------1т+п . 1560. Основание системы логарифмов
k ттпп J
Не должно превышать ell‘ as 1,445. 1561. Квадрат со стороной
V$- 1562. Острые углы треугольника 30° и 60°. 1563. Высота
® Г у
банки Н = 2 Л/ равна диаметру ее основания; полная
з.------ cos а 4- Vcos2 а+8
поверхность Р = V 54л V*. 1564. cos <р =------------------»
где 2а — дуга сегмента и 2<р — дуга, стягиваемая стороной
прямоугольника. 1565, Стороны прямоугольника а
и 6д/2. 1566. Если Л > Ь, то периметр Р вписанного пря-
моугольника с основанием х и высотой у имеет краевой, мак-
симум при у — Л; если Л < Ь, то Р имеет краевой минимум
при у = 0; если h = b, то периметр Р постоянен. 1567. Ь =
1568. Измерения параллелепипеда
1569. —R*. 1570. л/?2(1 +
зУз
+ V$") ® 81 % поверхности шара. 1571. Объем конуса равен
удвоенному объему шара. 1572.—Р. 1573. Если tga<3
эУз
то максимум полной поверхности цилиндра достигается
р
при г=-------2, где г — радиус основания цилиндра.
2(1—tg а)
Если tga>-i-, то при г = R имеем краевой максимум.
1574. р (3/2 — 1) /\/-УУ?- , 1575. 1; 3. 1576. Если b
а &
, то максимум длины хорды МВ —---------, где с =*
уг с
=» — 8* и точка М имеет координаты х и у, достигается
д2 . - - hi Q
при х = ±----Va* — 26*; у ; если Ь> —, то
в* УГ
краевой максимум длины хорды МВ “ 25 достигается при х=0.
у » Ь. 1577. х= —-—, у = —-—; ab. 1578. Минимум по-
Уг а/7
верхиости достигается при г = h —
ЗУ
----, где г — радиус
основания цилиндра и h — его высота. 1579. <р = 60°.
1580. Трапеция, описанная около окружности. Боковые сто-
л / О
роиы АВ = СО = a sec* —. 1581. а = 2л « аге 294°,
2 у 3
где а — центральный угол оставшегося сектора. 1582. <р =
а а , а .о
<= arccos -—, если arccos —arctg—; <р =* arctg—, если
р р ь ъ
q .а |ао :₽ 6u| sinO ...
arccos — < arctg —. 1583. — 1584.4Af=
& д/“2 + ^’ — 2uu cos О
/ з /“V
= а| 1+1/ —— I . 1585. Расстояние светящейся точки
\ V St /
от центра ббльшего шара равно х =
и х =• а — г,
а — расстояние
1589. —1587>
-V2
(аг/»-Н 62/3)3/2.
а -
—-------------, если а >
если г + R < а < г +
между центрами шаров.
1588. 0= I/ "at"’ ГДв
к — коэффициент пропорциональности. 1589. arctg к. 1590. При
/ < 4а угол наклона стержня определяется из формулы cos а=
I + л//*+ 128а» . _ .
=----------!; при I > 4а положения равновесия нет;
16а
1591. к — — 3; 6=3; у = 3 (1 — х). 1592. а = е*>; 6 =
(*2 Ч
1 — х0 4--— 1. 1593. а) Первый;
2 /
б) второй; в) второй. 1595. a) V2~. (2. 2)!
б) 500 000, (150, 500 000) (приблизительно!). 1599. р(1 +
. 2х \з/2 /а2 — е»х‘)3/2 -у/а2 — 6*
Ч------I . 1597. —--------------» где е= -------------
р / аЬ а
(е*х» —а»)з/2
—эксцентриситет эллипса. 1598. --------------» где
8= Уа>+6*
а
эксцентриситет гиперболы. 1599. 3 | аху 11/3.
(600.
—-— (1 — е2 cos2 <)з/2, rae e _ эксцентриситет эллипса,
b
1601. 2 V2aj/. 1602. at. 1604. —'-----------------------------
9 |r2 + 2r'2 — rr"\
(„si ------- 2 ,
1605. -X-.T r>------- 1606. rVl + m2 . 1607. —^2ar ,
2a2-f-r2 3
a2 / 1 In 2 \
1608. ---. 1609. I —7==— .----------— 1. 1610. x0 ® 680 m.
3r k <2 2/
1611. Полукубическая парабола 27pr)2=8(£— p)s.
1612. Астроида (a£)2^3 4- (ft-q)2^3 = ci/3, где c.2 = a2— ft2.
1613. Астроида (5+n)2/3+ (5 —t])2/3= 2a2/3. 1614. Цепная
линия т] = a ch —. 1615. Логарифмическая спираль
а
р «- тает <♦—я/2) . 1616. £ = ла 4- а (т — sinx); t]=> — 2а4*
4-а(1—cost), где т=(— л. 1617. Xi =—2,602; х2 =
= 0,340; х,= 2,262. 1618. xi= —0,724; х,= 1,221.
1619. х =2,087 = аге 119°35'. 1620. ± 0,824. 1621. х, =
= 0,472; *2 = 9,999. 1622. *1 = 2,5062. 1623. *1 = 4,7301
*2 = 7,853. 1624. *=—0,56715. 1625. *=± 1,199678.
1626. *1 = 4,493; *2=7,725; *,= 10,904. 1627. *i = 2,081|
ж, = 5,940.
ОТДЕЛ III
В ответах этого отдела ради краткости произвольная
аддитивная постоянная С опущена.
9 1 625
1628. 27* — 9*’4- — xS-------- х! 1629. —— *3— 125*«-Н
5 7 3
10 1 П . 3 ,
4- ЗОх5 — — Xе 4- — Х1. 1630. х — Зх2 4- ~у х8 "Тл
1 а1 а»
1631. 2 In 1 х|. 1632. X a In | х | — X 2х2
2 — 1633. —xVjT4-2Vx. 1634. 4 4,— 24 -ух/Г-ух 1т/Гх‘ +
+-р2’ * 1635,—Т^г(14'_Гх_Тх24'_8-х’)’
о х о /
1636. -iliLtZL , |637. 2*-—• у'72*^ 4- -у ^э*2".
= 4/— 5 2
7 у х
1638. In | х |-. 1639. х — arctg х. 1640. — х 4*
4х*
1641. х
х— 1
х+1
1642. arcsin х+In (х + Vl + хг )•
1643.
164S.
1646.
1648.
«= х
4* * * х
1644. —+2-
In 4
6х
in 6
9х___
In 9
X + Vx2 — 1
x 4- V*2 + 1
x — cos x-|- sin x.
t
cos — — cos t
Л
Л
—— ([ ] — целая часть).
4
1649.
где t «=»
— x — ctg x.
1650. — x-|-tgx. 1651. achx+&shx. 1652. x—thx.
1653. x— cthx. 1655. In|x + a|. 1656. —- (2x — 3)11.
1657.-----— (1 — Зх)4/3. 1658. ---V2—5x .
4 5
2 5 s
-----15(5» -2)—' ’“°-
1__
2 V6"
X ln —• 1663.- ?— arcsin Гхд/j-Y
V2 — xV3 V3 к V 2 J
1664. —In I x V3~ + V3x2—2 |. 1665. — (e-x+
+ -i- e-2X 'j. 1666. — x sin 5a — cos 5x; 1667.-— X
2 / 5 2
Хс1§^2х + -уУ 1668. Ig”-
1669. — ctg -y.
1670.
1672.
1675.
1677.
1679.
1681.
1671. -y-[ch(2x+l) + sh (2x—1)1.
2th — . 1673. — 2cth —
2 2
— (1 4-x3)4/3. 1676.
4
________1
2(1+x4)
lh ^-vr .
8V2 x« + V2
cos — • 1682.
x
. 1674. — Vl—'•
1
----— ln|3 —2x2|.
4
1 x2
1678. — arctg —
1680. 2 arctg V* •
. 1 i + V^+~i
x
1683. 1 — arcsin . 1*1 1 1684. X
Vxa+ 1
1685. 1686. -J3/8x3+27 .
Vx2 — 1
1687. 2 sgn х In (Vl* I + Vl 1 + *1) (x(l + x)>0).
1688. 2 arcsin -у/x . 1689. — e~z2. 1690. ln(2 + e*). , . 1
1691. arctg e*. 1692. — In (e~x + V1 + e"2*)- 1693. — In3 x, □
1 2
1694. In | In (In x)|. 1695. — »in‘x. 1696. —7=^— <
6 Vcosjc
3
1697. — In I cosx |. 1698. In I sin x|. 1699. — 1 _ 5jn 2X.
l700. -Vg^*.+?8.CO5ix— У).
a2 — b2
1700.1.
1700.2.
——7=— In | д/2 cos x 4* Vcos 2x
1
—7=— arcsin (д/2 sin x).
V2
X In (д/2 chx+Vcb2x ).
1 . ( 4
1702.
V2
1704.
1706.
2 arctg e*.
1707.
1708.
3 zthx .
1701
Vr ''
4 4—__
— y/ctgJX . 0
1703. 1П tg-y .
1705. In th— . 2
1 f ch lx ,
2 vr ’
1709. — (arctg x)2.
1710.-------------. 1711. ~ ln3/2(x+
arcsin x 3
1712. 1 k x2 — 1 1
V2~ xV2" x2 — x V 2 +1 • 1/10. 1714 -« 2VF " 1
X in ‘ x2+xV2~+l 1 /14. 15 (x3 + I)3
1715. 1 —~~g In (xn+2/2+ V1 + *n+2) при я — 2; ’ ln= 1 + *
V2" Ш 1 Л | при и ЯЭ —- £, 1/ IV. 4 1 — x *
1717. ЗГС5ш(д/ 3 sin x . 1718. -y arctg (tg2x).
1719.
_______I______
2(ln3 — In2) I 3x+2* I
1720. 2 дЛ + VI + x» .
1721. —Xs-----—x» + — x7. 1721.1.------О_~Х)П
3 5 7 11 12
1722. —x —21n|l—x|. 1723.-L(l—x)«+ln|l + x|. 1724. 9x-
Q 1
---- хг— x3 — 27 In 13 + x|. 1725. x+lnG + x1 2 3).
2-----------------------------------3
1720___— In +2 In |2—x2|-x. 1727.------!-----
V2 Va’-x 99(1 —x)w
-------1------1-------! . 1728. — —+ —----
49(1—x)M 97(1—x)”----------------------------------------5-4 3
----—4-x —In |x+ 11. 1729. — [(x+ I)3/2 — (x— I)3/2).
2 3
t730. - L+J9± 375 -(2-бх)2/2. 1731. (1 — 3x)2/«.
1732. (1 4- x2)’/2 — — (1 4- x2)«/2. 1733. -Llnl—"T1 1.
14 1734. — In I x~ 8 - * 1 17ЧК »r.t« 4 1 x+3 1 1 ...x
I • •
3 1 x + 2 | д/2 Л/2
1736. 10 V2 In x —V2 1 arctg —-—. 1737. V3
x+V^ 5л/3
J±+3!L. 1 X 1738. -In- _±* 1739. 2x + ?+* +
(x+2)2 2 x ‘+2 (a—6)2(x+a)(x+&)
4- In (a-6)3 1 x+a 1 17d0 1 ( 1 arete * —
« + b | C V b 8 6
1 , X — — arctg — (lai ¥= 1 b|). 1741. — sin2x. 1742. — +
a a 2 4 2
1x1 1
+— sin2x. 1743. —cos a-sin (2x + a). 1744. —sin2x—
4 2 4 4
— —" - sin8x. 1745. 3 sin —+ —sin1746.-— x
16 6 5 6 10
X cos ^5x 4
5л \
12 )
1747. — cos x-j- — X
1 3 1
Xcos*x. 1748. sinx-sin3x. 1749. ——sin2x-|-
3 8 4
1 sin 4x. 1750. 3 . 1 . „ , I , .
1 32 8 4 32
1751. — x — ctg X. 1752. -J-ln|cosx|.
1753. 3 „ 3 1 . 3 cos4x + —cos6x+ — X
16 ‘ui 64
tgx — ctgjx. 1755. —! .
/С COS 15Л 1ЛЛ, 1 sinx "r
+ In 1 0Q to | H + •u|a 1 -4- In 1 tg x|.
• 1/ЭО. "' л 2 cos’x
1757. in ] sin x| — - pin’x. 1758. tg x + 4"tg’x. 0
1759. x-lnfl+e*). 1760. x + 2arctge«. 1761.-------1- +
1 x. I 2
+ — sh 2x. 1762. —sh2x. 1763. “sh2x-
1764. J- sh 2x + 4- sh 4x. 1765. — (th x + cth x).
4 8
1766.----ITT (9 + 12x + 14x*) (1 - x)4/3.
140
1767.----L+55^ _5x,)U. 17e8--------2_ 8x + 3j[t) x
6600 15
X V^ x . 1769.------— (8 + 4x’ + 3x*) Vl—x4' .
15
1770,----6 + 25^_ (2 — бх3)5/3. 1771 (—-— sln’x+ — X
1000 \3 7 11
X sin* x^ Vsin’ x . 1772.------— cos’ x + — In (1 + cos’ x).
) 2 2
1773. —tg3x + —tg’x. 1774. — (—2+ Inx) Vl + bx .
3 5 3
1775. — x — 2e-'/’ +2 In(1+<*/*). 1776. x —21n(Vi+«*)•
1777. (arctg V* )*• >778. ... * --- . 1779. — Vx2 —2 +
V1 — x’ 2
+ In | x + Vx’ —2 |. 1780. — Vl—x*' + — arcsin x.
2 2
1781. ---- --------. 1782. — V«2 + x’ + a arcsin -i-.
a’V«2+x’ a
1783.----Vx(2a-x) + 3a* arcsin A. 1784. 2 X
2 V 2a
X arcsin А /——— . 1785. ——д/(х - 6) (6 — х) +
V b — а 4
, (& —а)2 / х — а t_M х /-г-.—= , а2
-I—5-----— arcsin а /------- . 1786; — л/а24- х2 4---X
4 V Ь—а 2 2
X In (х + 7а4+х2). 1787. — 7а24-х2--------— In (х+ Va2+?)-
2 2
1788. Vх* — а* — 2а In (т/х — а + V*+ <*)• если х > a;
— Vх2—а2 4-2аIn (V — х + л + V — х — а). если х< — а.
1789. 2In (Vx + а + Vx+ б), если х+а>0 и х+6>0;
— 2 in (V — х — а + V — х — ft ). если х 4- а < 0 и х 4- ft < 0.
1790. -25-±.5+Л 7(х+а)(х+6)’--(b~?L In (VF+T +
4 4
+ V*+ й). если х + а>0 и х+5>0. 1791. x(lnr—1).
1792. -*??-ЛПх----!—Vя* — 0- ,7вз--------(1п2х +
л+1 \ »+ 1 / X
4-2 In х 4-2). 1794. --xWln* х-— In х4-—Y 1795. — (х4-
3 \ 3 9/
4-1) е“*. 1796.-С±.(х24-х-h-Y). 1797. — е-х>,
__1 V
1798. хsinx4-cosx. 1799. —-------------cos2x4-sin2x.
4 2
1800. xchx —shx. 1801. f—4-—Yh 3x — f—4—?-Ax
к 3 9 > к 3 27 )
X ch Зх. 1802. x arctg x-In (1 4~ x2). 1803. x arcsin x 4-
+ 71^?. 1804.---—4—L± x"-arctgx. 1805.-?~t-—X
2 2 9
.. r,-; > ** arcsin x . 14-V1— x2
X V1 — x2 4-arccos x. 1806.--in -4—1- ,
3 xx
1807. x in (x 4- VCT?) — V1 4-x2 . 1808. x-X
X in
14-x
1 —x
1809. —- V*" 4- (1 4- x) arctg Vx .
1810. in
— cosx-lntgx. 1811. —(x3—ije**. 1812. x (arcsin x)24-2X
3
X V1 —arcsin x — 2x. 1813.
-1Y x- (arctg x)2 — x arctg x 4-
2
1 11 Jf3 I 1—— X I
4-— In(1 4-x3). 1814- — -x2 — - ln|l-x3|+ — In — .
2 3 3 3 11-4-x i
1815. Vl+x* In (x+ Vl+x" ) - x.
1818. —
—t—4
2(14-x»)
arctg x. 1817.
1818. — V«3 —x3 +
2
______X______
2a2 (a2 + X»)
I---1— arctg — (a #= 0).
2a3 a
Л® X X
----arcsin------- (e^O). 1819. ------X
2 |a| 2
X Vx! + » + —— In | x + Vx3 + n I.
2
1820.
x(2x’ + a3)
8
X Va2 + x2—— in (x+Va’+x3). 1821. —--— sin2x—
8 4 4
---cos2x. Jg22 2(Vx — l)e^x . 1823. 2(0 — x) Vx X
8
X cos Vx — 6 (2 — x) sin Vx. 1824.-----(1—x)_e«g2_ ,
2 V1 + x*
1825. Л~Ь. *1*2=^--— . 1826. — [sin (In x) — cos (In x)].
2Vl + x3 2
1827. — [sin (In x) + cos (In x)]. 1828. a cos &s*n.fo- e<«.
2 a3 + Ьг
asinfcx—bcosbx eu . n _ „ ,
1829. -----------------e“. 1830. ---(2 — sin 2x — cos 2x).
a»4-6« 8
1831. — _l_L Sin 2x —e* (cos x + sinx) + — e2* 1832. — x +
2 4 2
+ ~ In (1 + e3*) ~e~* arcctg (ex).
1833. —|x+ctg x-ln(esinx)].
1834. x tg x + In | cos x|. 1835.
1836. Д=- X
ab
Xarctg^x
если ab->0;——— In
2 V — ab
Vla|—xVl^l
если ab < 0. 1837.
X ln| VI • 1839.
X In (x2 + x + 1) +
2
V7
___1
4 V2
1
V3
arctg
In
2x — 1
V^
X» - (V2 + 1) !
x» + (V2-l) I
arctg
1838. — X
4
• 1840,—X
1841,
2
1
Tx
X In (x2 — 2xcos a + 1)4-ctg a- arctg ——cos?- (a kn, k— ue<
sin a
1 ! Or8—I
лое). 1842. 1 In (х« - ж» + 2) +---!=- arctg
4 2 л/1 V7
1843. _L (и {|х» + 11 (х3 —2)!). 1844.—In I 3sln*T5cosi
9 2 I sinx — cosx
1845. arctg x
(leT+l)
2
если b > 0; —; ~ arcsin
V — b
6<0. 1847. arcsin X~hJ-.
V2
1848.
In (x V& + a + bx1),
1848. In I x ——[- Vх* + x
I 2
1849. -4= In ( x—- + Л / x«— - x+1 |. 1851. — л/б 4- x—x2 4-
V2 \ 4 V 2 7
+ — arcsin -?x~ 1 . 1852. — In fx + — 4- Vxs4-x + 1) +
2 V2T 2 V 2 7
•)- Vx3 + * + 1 . 1853. -------arcsin 4х-,4=-.
2V2 V17
1853.1. arcsin - ?.nx—1 . 1854. - in |x3—1 + V*4-2x3—1| +
3 2
1 1 —— 3 2x8 — 1
+ о V*4—2xl— 1. 1855. — Vi+xs — x* + —arcsin----—.
2 24 ./7
+ V + arcsin %z-( x + —1858. -TlJL X
2 |x|V5 V 2 1 2 J
X In —
> V2).
. 1859.
x — 2
arcsin ----------
I860. — y.t.T.™
a x + 2
> VO. 1861. j
|x-l|V2
—5 , 1 x+7
----1----—- arcsin -
! 5 V6 |x+2|V6
2x — I /5—------j- 9
—----- V2 + x-x3 +— x
X arcsin
1862.
1863. -X?.+ Vx4 + 2xa —1-------------1-x
4 2
4-- /-• V2 + x+x*
4
Xto 1*4-1 + v*1 + 2x3 — 1 |. 1864. — Vl +* —x* +— x
2
Xarcsin
1865. In
!^-ln
V5
x«- 1
х
2
2
/5
2
1866. ln|x—2|+ln|x + 5|.
1867. —In
2
5x« ,
6
X In
~ (x+2)«
(x+l)(x+3)’
Их* 21x*
5
x— 1
(x+2)1024
4
. 43x»
+ 3
1868. —----------—+ —
9
85xa
2
8
7
+ 171x+-l X
О
1 9
1869. xH-----ln|x|-----— ln|x—2| +
6 2
+ ~“ln|x —3|.
1870.
1871.
1
3(x—1)
-yln|x» — 1|. 1873.
2
9
1
—— arctg
x— 1 I
£
3
1872.
arctg -y
1
1874.
1875.
_5
6
in
1878.
X In
5x — 6
x1 —3x+2
+ 4 In
x— 1
X —2
9x»+50x + 68 .
4(х + 2)(х+3)г
3x»+3x —2 3
8(x— l)(x+ 1)* + 16
1
x —2
(x— 1)*
I (x+l)(x + 2)“ I
I (x+3)« Г
x~t~1 I. 1876. arctgx+
x— 1 I
1 * . 1 . (x + 1)»
1877. — arcctg x 4-----------In ————
2 4 x® + 1
arctg (x-2). 1879.
8
x»+2x+2 25
arctg (x + 1).
2
---- arctg
•уз
+7r .„I,
1882. — In -
6
д/з
2x— 1
<3
(x-l)a
X In! -—-
1881. —
6
1 i 1
---------Ц- v
5(x—l)---50
1880. In I—-—I —
I 1 + * I
ln -J£±1L- +
----1 arctg x. 1884. I
2 4 ^2
— arctg-2x+—. 1883. — X
/з 7з" 4
—!---arctg-У2. . 1885. — in
2V2" 1-x* 4
In +
x»—x у 2 +1
*+l 2V3
X1 —1 1886. ! In хл/3.+ х* Ь — х
xV3 4 V? 1 — х Уз 4-х* 2
X arctg х + 4“ arctg х». 1887. - у-1- + X
6 6 (1 + х) 6
X In 1888. (1 + х)г , 1 -— arctg л 1 Уз" 1 , 2х — 1
1 _ х 4. хг -L.B- (Х-Пг 6 X* + X + 1 зУз Уз Or — I 0 arctg — . 1889. —X Уз 5
X tn 1890. х« + 2х + 2 х8 + х + 1/2 а + 264-Зс = 0. 4- arctg (х 4-1) arctg (2x4-1). 5 5 isot X2+ х4- 2 .1
8 (х — 1) (х 4-I)1 16 Л
. I х4- 1 I X Jn ~v . 1 X — 1 1 1892. 3(xs4- 1) 4 — !п - 9 (х+1)1 | X2 — X 4“ 1
2 4 — arctg- з Уз 2х — 1 — —. 1893. Уз х(Зх»4-5) , 3
8 (х2 -}- I)2 " 1 Q orcig X. о
> + 2, + 2 । 1895. х +
4(х44'1) ‘
4 _ in 16 Уг х2 4- х Уг 4-1 3 . х -у/2
хг—хУг 4-1 8У2 ‘
1896. 51+2 (- Д In • 3 (х* 4- X 4- 1) 9 (х-1)2 х2 4- х 4-1 .1. 8 + 3^ х
, 2x4-1 X arctg . Уз 1897.—^ 32 (х* — I)2 1 21 . f 4“ in - 128 1 х-t 1 2L, *4-1 1 64
X arctg х. 1898. х*4-2х 1899 8х«4-8х»4-4х-1 6(х44-х24-1) ' ' 28 (х3 4-х 4-I)2
2х+1
3(х’4-х+1) "Г
ау + са = 260.
3_________
98 (х— 1)”
1900.---------------(весь интеграл!). 1901.
Xs + х + 1
4------— arctg 2х+ 1 1902.
зУз Уз
96 (х— 1)” 97 (х— 1)”
1 I I г! 111
______’----. 1904. — !п ----------arctg х2.
99 (х— l)w-8 j х» + 1 I 4
1905. -!--arctg . 1900. — in (х* —° — + — X
4 Уз" Уз 12 Х‘-х4+‘ 3
X arctg Xs 4 J— 2<3 - arctg - 2x3— 1 д/з 1907. -L 8 1 ** In x*4-2
— In X* 1908. 1 ( x5 4. 1 X
x44-l 100 x10— 10 ' 2 V10
X In x5 — V10~ 1909. X-4.J_ in <4+1-.
x5 4- Vio 4 4 (x*4-2)4
1910. xb-\-2 1 arctg (x5 4-1). 1911. — X
10
10 (x10 4- 2x3 4- 2) n
— ln| x" 4-11) (a =# 0). 1912. -X- ^arctg Xя Xя >
X (Xя Xм 4-1 )
(n¥=0). «913.
—— In — --------. 1914. ----------------1—— X
20 xl0 + 2 10(x104-i) 10
1915. _L ln —LX!----------, 1916. — X
7 (1 + x’)« 5
X In I 1. 1917.—— arctg—-- . 1918. —5—X.
l^-sx+H vj хл/з y5~
x ln ^+,а^У1) х±.2 . „Ie. _x_ ln .
2x« + (l + V5)x + 2 4V2 x*4-x2V2 4-I
1920. arctg x4—— arctg x3. 1921. /„=
3
2ax + b
(n—1) Д (ах*4-Ьх-|-с)л“1
2n-3 2а , . . .. , 2x +1 .
-------.--- /n_lt где Д = 4ac — 62; /. =-----------(-
n-1 Д ’ 6(x3+x+l)3
2x+ 1
3(x3 + x+ 1)
. 4 ,2x4-1
1------arctg--!—.
3V? л/з
1922. I =
____!____-L-f—L + 3/-X.
(b-a)m*n~l J tm 625 К t 2
n—1
— 3ln j /j) , где t—
-—1923.
^(«)
L-i ftl (»—k) (x—a)n~k
ftastQ
x 3
P"n,(a) 1 .
-----------In |x — a|.
Л1
1924. J?(x)=P(x*) +
-----~-----I, где P — многочлен»
(а£4-х)“/ J
й:О<0=1, .... ft) —корни знаменателя и Ац — постоянные
Б38
ответы
коэффициенты. 1625.
——In fl- 2хК
2п \
К cos
fc=l
л (2k — 1)
2п
X «rctg
2k — 1
X — cos--------- л
2л
. 2k — 1
Sin -------- л
2л
. 1926. 2 V* —2 In (l + Vx).
6 /"•
X arctg 4>/* . 1928. — t*-— t*-—In 11 — 1| + — X
ф 4 2 4 8
X In (f3 +1 + 2)-arctg 2<4 -,t = |^24-x.1929. 6/ —
eV? V?
— 3f» — 2P+ — t4 + — t’--— t’4-31n (1 4-/»)—6arctg 1,
2 5 7
где /=.уТ+Ь ,930---------------------• 1931. —-
(1+Vx-)2 14-‘/7 2
---L 4-_L in I x+VA^T I- 1932.-------- 14-itL .
2 2 2 V x-1
_ -Si- + _2_ |B +-v; + -- + X
1 + 4 V2 1 — t V2 4- I2 2 V2
Xlnf— 4-x4-Vl+x4-x2 \ 1938. —In
\ 2 J
1— t* . } / a — x 4МЛ n
X arctg ----1/ —- . 1934. —X
Щ 2 V *
X 1/ -IZlL . 1935. 4-+V* — 4 Vx(14-x) - 4 X
У x—a 22
Xln(V*+Vm). 1937.-----------1=2^-714-x4-x^-----J-X
л о
2—х4-2Ухг4-х4-1
x4-l
1939.
xln
л/1—х*.
2-х
3 (1 — х)2
1 + 2х
arcsin ---- г 1П
V5
X V1 +х —х2------;
1940. R + In (х + I + R)—<2 X
где R Vx2 + 2х + 2. 1941.
3 + x + 2 V1 —X — х2
arcsin ———. 1943.
•д/б
1 2х
. 1942.---— X
4
19+5х+2х2
X д/1 4-2x'— х* — 4 arcsin —-— . 1944. х------х»4"
а/7 V 256 128
-I- — — xi + ZLA V1 4-х»---in (х+ д/1 4-х2) .
^160 80 10 ) 256
1945.
1946.
1947.
а4х
16
а2х3
~24~
а» —х» 4
а’
16
х
arcsin ------
|а|
-у---у^+37) Vx»4-4x+3 —66 In | x+24-Vx2+4x+3 t
---— д/х» + 1 4-— - In 1 +Vxi.+_L . IMS. -2x’‘+1 x
2x2 2 |x| Зх»
X V*2 — 1 • 1949. ———— Vx2 4- Зх + 1
20(x—I)2
X In
(x + 1) Уб 4- 2 Vx2 4- Зх Ц-1
X— 1
X Vx2 4- 2x---------arcsin-----------, где
8 |x4-l|
1951. 4a(ca1+*61)=8a2c14-362ai (a=/=0). 1952.
1
vr
In
x-3
|x-l|
1950.
11
40 Уб
3x4-5
8(x4-l)2
x < — 2 или x > 0.
V1 4-2x—X2
2U-x)
1953. — X
2
X arcsin
1 . I 3x+ 1 —2 Vx2 —x— 1
_,„l-----------
1 X 1
X V1 4-2X —X2 —2 arcsin ----------t=------------t=- arcsin a
V2 V2 |14-*l
1956.
(х< 1
1958.
1959.
1960.
X In
arcsin
X In-
1964.
Vx2 —4x4-3
x— 1
— 2 arcsin
или x>3). 1957. —arctg —-------
•V2 Vl—x2
1 xV2 +Vxa —1
2 V2~ x VF — Vx2 — 1
x , 1_ ln УГ+7а + х УГ _
2Vl + xa 4V2 ” Vi 4-xs_хУГ
д/у8 , |., О 1
In (x + Vx2 4- 2 ) — arctg-1-. 1961. —-j=- X
x -y6
(2x+l) УГ +V3(x*-4x-l) . 1%2_
(2x + 1) yr — Уз (x24-x— 1)
x—1 УГ x V2 + 2x —x2" 1
---7=-------X— arctg---------—---------— X
V3 3 (1—x)V2 Уб
Уб~+У2 + 2х-х'2 iee3 2(x—1)
yr — V2 4- 2x — X* ' 3 Vx2 4- X + 1
1 t Vx2 4- X 4-1 -4- 1 X
yr arcig (x-l)V2 I A Ve
1965.-----=—X
6V2
V2x2 — 2x 4- 5
arctg—rv-;----
x ln V2 (2x2 —2x 4-5) — (x 4~ I) 1
V2(2x2 —2x4-5j 4- (x 4- 1) 3
з , i , z4
1966. 2(2z4-l) 2 4- Vx2 4- x 4- 1 . 1967. 14-Vl—2x —x2 t — 1 1 . X In > где z — x4- 12z 4- 1 p T <1 г— 1 I In —2 arctg z, где >968. “J"[4* [(*-,)* + 0 I □
+ (z - I)-3] 4- l(z - I)2 - (г - I)-2! 4- [(z - 1) 4- (Z - 1)-»] j 4-
In |z — 1|, где z = x4- Vx2 — 2x 4- 2 ' .
5 1.3
—i8<7+7>--------?i7Tir+-j-"1i*-|i-
•—In I z — 21 — —In I z 4-11, где z = 4- 3x 4- 2 .
1970.
2(3 — 4?)
5(1 — г — ?2)
2 I Уб~+ I +2? I
5 V5" П| УГ — 1-2? j
где г = —*+ V* (1 4" *) • 1971. — (Ух2 4-1 +
4
4- Ух2 — 1 ) + “ In
4
X + Vx8 + I
1972.
г УЗ +^12?г + I
г УГ — J/'Тгг2’ + 1
-2 X
. / 12г2 ) 1 + х .____
X arctg —--------J, где г — —;-----. 1973. У1 + х —
гУГ-1/ 1-*
/---- 1
— V1 — х — — arcsin х.
х । 1+2х+2У1 + х+х2
(2 ч- * + 2 У1-f-х 4-х2)2
+ *3/21— 4 1(*+1)5/2-*5/2].
О
X arcsin * Х^2—. 1977.-----i
х24-1 Уг
1978. 4 arcsin * "L» (| х | > -\/У2" — 1 ).
1970.-------tL- х
Уг
хУг~ +У*44-1 '
1981. 4х
3
хУ(*4-*2)3 - 1~1~2*-Ух4-х2 4-4-1п(УГ 4-
О о
4- У1 4- х ) при х>0. 1982. -^-х576 —4х1/24-18х,/6 +
Зх,/6 3
+ |+ "^ -21 arctg х1/в. 1983. — г» - 2г2 4- Зг. где
г = л /1 4- ^х2 . 1984. — ?4-'4г3— глег— л/1—х2.
3 о
1985.
1 , г2 4-г 4-
6 ” (г — I)2
Уз
arctg
2г 4- 1
УГ ’
где г ==
х
1986.
£
4
г—1
1
1 У1 1 г_ 1
--------------------- arctg г. где г =---.1287. — In——-4-
«----------------------------------------X-О Z 1
, 1 . г»+г+1 , 1 , г3-!
+ ЧГ ln V-r+l + Ч#- "77з^’
1988. — г* — —- г*. где
4 9
1989.
Зг
2 (г3 4-1)
1 , (г+ 1)» V3 2г— 1 где г
4 П г2 — г + 1 2 arc‘g 7Г ' 1
- Э|/3*”** 1990 2 где k ± 1, ± 2, .
X m ~ k ’ • •
2 1991. sin* — sin3* 4- sin4 *. □ 1992. 5 1 16 * 4 X
3 X sin 2* + ~— sin4* + 64 -“-sin8 2x. 48 1993. 5 1 77’*+“7 16 4 X
3 Xsin2* +—-sin 4* — u4 sin3 2*. 48 1994. - X 16 sin 4* 64 4-
1 sin3 2* sin4 * 2 sin1 * , sin’ *
1 •• 1005. 5 7 9 •
cos 2* , cos3 2* cos’ 2*
A
’ 64 96 320 3cos3*
1 3 cos3 * 3.1. x 1
2 sin3 *
COS X 2 2 2 1
• AAA _ cosx 4- 1 ink * 1 2000. sinx - -4-
190V. " 2 sin3* 2 cos3 *
2 1 2 j
' 2 2 ' Д 2001. 8 — 8 ctg 2* — — ctg3 2*. «5
tg« * . 3 tg3 * 2002. B4 —1 1 ctg3* 2 - 4-3 in |tg *|.
2003. —!— 4 -4- + In tg — . MM.
COS X 3 COS8 X 6 2 4
to8 X _ ctg4*
1 2 ‘ — 1П | COS X |. 4WO. 5 '
। ctg8 X QftM tg4*
•p л “ Cig Л. XVUU. 3 5
+-|- Vtg’x.
Vr
---------- arctg
2008.
1 — fl
t V3
I (I +/)»(! + /»)
П| (1-0Ч1-/8)
где t = v sin x.
I . fl + г 1 + 1
2009.-----—— In------------—-------
2 V2 fl — z V2 + 1
где
z= Vtg * • 2010. -7- In
4
-----7Z*- arctg
V2
(a*+D* .
fl — z2+l ’’’
г -у2
z2 — 1
X arctg
3-----Г
где z « У tg x. 2011.
cos x sin'I“1x , n — 1 f „ sin x cosn-1x
"" I "" ‘П-i* Kn =
n n n
»-! K
л Л-2»
fl
— — cos x sin5 x —---------cos x sin5 x —
6 24
— cosxsinx + —x; К» = — sinxcos?x + — X
16 16 о 4o
35 35 35
Xsinxcos‘x + ——sinx cos3 x + —— sin x cos x + —rr- x.
1V& 1Z0 1лО
2012.
Kn =
_ ________cos X
n=“ (n— l)sinrt“2x
______sin x______, n — 2
(n — 1) cos"-»x + л — 1
cos x 3 cos x ,3.1
-------------------------in
4sin4x 8sin5x 8
^4-/,
Kn-t’
, 5sinx , 5 sinx , 5 In 18 ( X
24 cos4 x 16 cos2 X 16 2
2013. -- -cos4x — 1 cos 6x. 2014.
12
, sin4x sin 6x 2015. 3 cos X
1 16 24 2 6
3 lx , 3 llx 2018.
14 cos" 6 22 COS 6
X cos x — — cos (x + a 4- b) -f-
4
= -b
6 COS5 X
+f)l-
x , sin 2x .
T+~J—+
3 5x
--—- COS —- —»
10 6
1
— cos (a — 6)X
cos (3x + a + 6).
x , sin2ax , sin2ftx
sin 2 (д — ft) x
4
8a
6b
16 (a — b)
sin 2(g + &) х
16 (а + 6)
1 3
----cos6x ———
48 128
2018.
„ 1
cos 8х 4- ——
т 192
3 3
— cos 2x + — cos 4x +
10 04
cos 12x. 2019. ------------X
sin (a — b)
X In
sin(x + 6) |
sin(x + a) j
если
sin (g — 6) 0.
8020.
______1_____
cos (g — b)
sin (x + b)
cos (x + b)
если cos (a — b) Ф 0.
2021.
2
sin (g — 6)
cos (x + b)
cos (x -f- g)
если sin (a — 6) 0.
2022.
-1-in
cos a
x — a
sin--------
_________2
x 4- a
cos---------
2
(cosg¥=0). 2023. -7!—X
sin a
X in
X in
x — g
cos---------
2
cos------
2
cos X
cos (x 4- g)
3 tg ~ + 1
x arcfs—
(sing=#0). 2024. — x 4-ctggX
2025. ----Д=- x
V5 *
. 1 hi (I—cosx) (2 4-cosx)2
6 (1 4- cos x)3
1 4
2027.----------(2 sin x 4- cos x) 4----y=
5 5 Vo
arctg2 \|
---5---1. 2028. a) ----F
2 Ji V1
“"‘‘(a/iTT' “"t)’
2029. x ——
e 4- cos x 4- Vs2 — 1 sinx
I 4- e cos x
arctg (V2 tgx). 2030.
0 < e < 1;
если e > 1.
xarel8(-^).
2031.
(о2г2 4- fe2)
1 az
ЙГ‘гс'г~
(а&=^=0), где г = tg х. 2032. —(sinx — cosx)—•
1
2 vT
ln|tg(T + Vid-
eos X
a (a sin x 4- 6 cos x)
2034. 1 ]n (sin x 4- cos x)2 _ 1 arcjg ( 2 cos x — sin x \ 6 1—sinxeosx д/з ь V V3sinx )
2035. 1 ♦ / ' tg 2x \ 1 (
VS- •"“( 4 V2 )’ ‘4 |V2 4-V2 A
A «rcig
д/4 4- 2 V2 V4 —2V2 J’
если и = tg 2x • 1 1 V2-— sin2x 2037. In -^4: 2 V2 V2 4-sin2x
2038. -J- arctg (sin2 x). 2039. arctg (- tg2x\ 2040. H \2 J 4(z24-2)
3 * г "С'г V2
1 4 ‘ Ve*4-b2
. I l f x । Ф \ 1 о b
X In tg I —I- — I » где cos a> = —, Hsin<p=- . —t- .
I <2 2 J| Va!+6! Ve! + ba
x 3
2043.------------in | sin x + 2 cos x |. 2043.1. 0,1x4-0,3 In |sin x—
— 3cosx|. 2044. — + — in 15 sin x-|-3 cos x |. 2045. — ———X
1 34 34
a.sin x+ b cosx
ggi 4- ьь^ ]n
(a24-62)3/2
где cos <p=
—===- и sin <p = — . 2047.---1—— X
aJл. ьг л/ а? + b* 5 5
5 tg — + 1
6 2
X in | sin x—2 cos x+31-------arctg--------------
5 2
2048. —
2
-----— tg (—-------—'l-----— in (V2 4- sin x 4- cos x) . 2049. — x
2 \ 2------8 J-----2 5
---- in 13 sin x4-4 cos x—21 4-
s
—T= ln
5V21
2051.
—sin x 4-3 cos x 4-2 V2 In
2052. — X
5
35-гзвэ
g X (sin * 4- 3 cos *) 4 7=- In 5 V5 V5 -14-2tg — 2 9 . 2054. — 4=X V3
V5 4- l-2tg A
, / cos х X 1 , 2 4- sin х пп,, 3 ...
X arctg I —7=-1---in ——-----. 2055. — arctg (sin x—
\ y3 J 4 2—sin* 5
_2cosx) + __L_ln Уё..+2зЬ*±соа*, _3_ x
10V6 V6 —2sin*-cos* 4V2
Xin V2 (sin*4-cos*)4- 1 1 in V3 4-V2 (sin *—cos *)
V2 (sin * 4- cos *) — 1 4V6 V3 — V2(sin *—cos*)
2 sin * — cos * . I ln I / * arctg 2 \
10 (sin *+2 cos *)* 10 Vb I \2 2 )
(n — 1) (a2 — 6a)
a (2n — 3) д
(n-l)(aa-6!) ’
C =
=_______fLZ2-----. 2060. ‘ in V2+V1 + 5»5i£-.
(n — l)(a2 — 62) V2 |cos*|
2061. 2 Vtgx — ----Цг- ln tgx+^ tgf_+l ----L_ x
2V2 tg*—V2tg*+1 V2
. V2tg* ,, n. 1 . / sin* —cos* \
X arctg—-—— (tg x > 0). 2062. — arcsin I-----I —
tg*—1 2 \ V3 /
—- In (sin * + cos * + V2 4- sin 2* ). 2063.-------e —----------1-
2 (1—e2)(14-ecos*)
4-------------arctg ( A tg — 'j . 2064.---------------------X
(1—es)3/s \V 14-e 2/ л cos a
X (cos * ° (sin " ^cos a ^0)’ 20в®‘ ln~ 2^n-’ X
X cos a — Zn_j 4—— - /п-1, где n > 2 и t = sin —-—— X
n — 1 2
xfsinJLif-Y1. 2068.
к 2 J к 3 3 9 27 ?
2069. — e~x (** 4- 2). 2070. — (—----— 4- cos 5* +
V 5 25 625 J
+ (—------*^-4-------^i-YinS*. 2071. (21 — 10*24-**) sin *—
к 5 125 3125 J
A —
- (20* - 4*s) cos *. 2072.-------— (*®4-3*« +6**4-6).
2
2073. 2? — 5t* 4- 20P — 60/2 4- 120/ — 120). где t = ^x.
2074. е«Г^-+-°-М2&^-2—-2-- 1. 2075. X
L 2а 2(а24-46!) J 4
[3 (a sin 5* — & cos bx) a sin 3bx — 3b cos 3bx 1 e*
a24- 6s a’4-9ft’ J ' ~2*
gX
X [* (sin x — cos *) 4- cos *J. 2077. — [««(sin x 4- cos x) — 2*X
X sin x 4- (sin x — cos *)[. 2078. e* Г——-— (2 sin 2*4-
L 2 10
4- cos 2*) -[—L (4 Sin 2* — 3 cos 2*)1. 2079. — x* 4- — *2 4-
50 J 4 4
4- 3*2 cos * — * 0 sin * 4- -jj-sin 2*) —^5 cos * 4- -|-cos2*) —
— у cos’ *. 2080. “ 4- ~ V*"sin (2 */х) 4--j- cos (2 V*) •
2082. *4-------!---ln(14-e»). 2083. e* — ln(l 4-a*).
1 4-e*
2084------— 4- — in |е*— 114- — ln(e*-|-2). 2085. * —
2 3 6
—3 In {(1 4. «*/«) V1 4- e*/3 } _ 3 arctg e*/'. 2080. *4- — L—.
2087. — 2 arcsin (e--*/2). 2088. In (e* 4- y/evc —I ) 4- arcsin (e-x).
2089. Ve2x4-4ex — 1 4 2 In (e* 4-2 4- Ve“ 4- 4e* - 1) -
___arcsin —JL. 2090.----------Le-»(V1 4-e* _ Vl— e*)4-
e*V5 2
(VTT?-i)(i-yr=g) ж,1+^+
4 (V14-e* 4- 1)(1 4- Vl— e*) 11
4-^-+. . . 4-------—------------= 0. 2093. e*fl — —Y
21 (n -1)1 \ x )
2094. — e~x — li(e'x). 2095. e* li (e«-«) — e2 li (e«-2).
2096. —-—. 2097. — f *’ 4- 3* 4- —--------A 4.64e« X
*4-1 2 \ 2 x, — 2j
X li (e»-«). 2098. * [in" * — n in»-* * 4- л (n — 1) In"”2 *4-...-|-
4-( - ip-’n (n — 1) . . . 2 In *4-( — l)n nlj. 2099. -j-(in2 * —
---— In2 * 4- — in *------------^-Y 2100.----— fln’*4-
4 8 32 J 2хг X.
_i_— In’* 4- — In*4—YY 2101. ln(*4-a) ln(*4-&)
2 2 4 J
3102. *ln’ (* 4- Vl 4" ) — 2 Vl 4* I*1 (*4- V1 + ) + 2*.
35*
2103. — — * In (V1 — * + V1 + *) + — arcsin x.
2 2
2104. —/.|ПЛ- in (x + 7Г+~Га). 2105.-—+ —X
V1 4- x2 2 2
X In (x2 4- 2x + 2) 4- —arctg(x+ 1). 2100.-—j—-X
_ 2 3 3
X In(1 + x) + —arctg V* . 2107.--------5+jL V2x^? 4-
3 4
4- ——~ arcsin (1 — x). 2108. -Y Vх — --Y^ X
X arcsin V* • 2109.------—n * - -\/хг — l 4- -Y. arccos —.
2 _ 2 x
ci. /—i , ,, , . 2Vx xarccosx
2110. 211—V x I + (1-}-x) arcsin-* 1-. 2111. - , " — —
1 + x V1 — x2
. /1--» c.c arccos x . 1 - 1 +x
— In -v 1 — x3 . 2112. ---4-------In-1— . 2113. x —
Vl —x! 2 I—x
— arctg x4" y~"'~ arctg x-[in (1 4- x2) — 1]. 2114. x —
1 —x’ . 14-x , /——s- , x
---------In -1-- . 2115. -In -V 1 4- X3 4-:.... X
2 1 — x V14- *®
X In x4-(Vl 4- x4 1 2116.-£- + 211±L.2117.— 4—^^4-
8 32 8*4
4-jh±L. 2118. -^-chx. 2119. ±±L_
32 3 24 16
-----£±£i-. 2120. Inchx. 2121. x —cthx. 2122. 0.5 (in (e« 4-
4- Ve4* — 1) 4- arcsin (e-2X)l.
4-1Y 2123.1. —Yr-arctg
J V5
( 3 th —\
I 2 I
X arctg I ------- I. 2123.3.
\ Vh /
2123. —44г-
V3
thx-2
arctg 3"1/2 (2 th-Y 4-
20
2123.2. X
3VTT x
4 ч
-----— x-------— In 13 sh x — 4 ch x|.
a ch ax sin bx—b sh ax cos bx achaxcos bx4-bshaxslnfex
a3 4- b3 a3 4- b3
с.»» 1.1 1 * «.с-. 1 х-4-х3 1
2126.------------------------arctg x. 2127.- -----£-----------
5x‘ 3xs x 8 (1 - x’)‘ 16
XI„|J±5.|. 2,28.—!_>„ '+«:#+£—L.
I 1 — * I 4 1 — x V3 4- x» 2 V3
2129. 2д/* — з’/Г+б6/? — 61n(V7 +
1 — Хг
х,"'гТ7Г
2130.----—(15+ 10*+8*») V*(l— *) +
24
+ — arcsin V* (0<*< 1). 2131. — — V1 — ** —
8 *
_ in —+.V1---fL (| * | < I). 2132.-— V1 —*V* (x > 0).
|*| 3
I .____ I fl+zl*
2133. ——(8 — 4*« + Зх4) V1 + *’ • 2134. — in .T ----
15 2 1—z+z2
2136. — X
2
X arccos -iL±-L_. 2137. — 2 ------------— V1 — *2 — 2 X
** -yfi x x
X arcsin * fl * | < 1). 2138.---- (1 + *)» + —±2.x + ** +
2 4
QI I .. I
+ — In *4-(-V*+*2 (x>0; *<—1). 2139.
8 I 2
In (I+*+**)
__Lm_[L±^_ + V3 arctg-L±^. 2140.
2 1 + *+** Ж 4
X V — ** + $x — 2 + ( *2 + 3*
----55-) arccos (2*—3) (1 <*<2).
£$ *\/1—x®
2141. — x«+ In (4 + *«) +2 arctg — . 2142.-------------X------X
2 2 *
X arcsin x-I—— (arcsin *)a + In | * | (0<|*|<l). 2143. (1 +
2
+ VT+x2") In (1 + V1 +X2) — V1 + x2 . 2144.------—X
X Vx2 + 1 + In ----------- In ~L
з з V*2+i +i
(I * | > 1). 2145. ( 3~x — In *------A Vl—*2---------L X
I 1-x Vl-х J 2
X arcsin * — In 1 A' V1 ~ (0 < *< 1). 2146.------^21^-1-
3(2-f-sinx)
x
4 2 1
4- —2-— aretg -------. 2147. —L- X
Зд/з д/з д/2
х 1п 7-кУг. ял .....................L ---------!_ х
7 — 4 V2 — cos 4х V1 4- cos х 2 л/2
, V2 4- л/1 4-cosx Г . 1 , . , , ,.Т
X 1п --------- -—-. 2149. al х arctg х-In (х’ 4-1)1 —
Д*2—V14-cosx L 2 J
--- —— (arctg х)’. 2150. а(х In I——— I — In | х’ — 1 А4"
2 \ I х4-1 I J
4- °±1 in’ I --~L I 2151.-----------—------4- — In-----—
4 I x4- 1 I 2(14-x») 4 14-x’
(x>0). 2152. Vl-b** arctg x—In (x4 V14x*). 2153.
— In (cos’ x 4- Vl 4-cos4x). 2154.-6x4-**--2 4-x x
9 9
xVl—*’ arccos x (|x|< 1). 2155.---(x-—Л X
1 2
X arctg x-|-(arctg x)’4----ln(l+x’). 2156.
2 3
1 — x2 , In (x 4- V1 4- x’)
------------arctg x. 2157. ----—l—I—2
4(14x’) 2(1—x’)
x
4(14-x*)
1
4V2
X
X In 2158.--— 4~—Vl—x2 X
Vl 4-x* 4-x V2 4 2
X ascsin x 4- — (arcsin x)’ (| x| < 1). 2159. — -|—— 4—— X
4 4 12 4
X (1 4" x’)’ arctg x. 2160. Xх (x>0). 2161. x — e~* arcsin (e*)—
— ln(l 4-Vl —«“) (x<0). 2162. x — In (1 4-H-2e~*/2X
X arctg e*/2 — (arctg e*/2)2. 2163.-—*- (x — In (1 4-
4
4- e*ch 1)]--—. 2164. -2 In (tg x4-Vl 4- th’ x ) 4---!— X
4sh!
X In 4- th3 x 4 Vf thj 21#5 2JW _xJ_£L
Vl 4-th’x — V2 thx 2 2
2167. -•**1 . 2168. (x4|x|). 2169. (15?I 4.
3 3 i
4- —----—------— . 2170. a*—j если x<0; 1— e~*, если
2
х>0
2171.
х® 2
х, если |х| < 1;-------1---sgnx,
3 3
если | х | > 1.
2172. —+ —((х)- —V1-2
4 4 V 2/1
(х) —II, где (х) = х— [х].
2 U
2173 -lfL{[xj_ (_ l)WCosnx}. 2174. х—— при |х| < 1;
я 3
X 1
х----|х|-|---sgnx при | х| > 1. 2175. х, если —<ю<х<0;
——|-х, если 0<х<1; х’4-—• если х>1. 2176. xf (х)—
2 2
— f(x). 2177. -bf(2x). 2178. f(x) = 2 Vx. 2179.x-.
2180. f (х) = х при — оо < х < 0; f (х) = е* — 1 при 0 < х <
<4-00.
ОТДЕЛ IV
2181. 12 — . 2182. a) Sn = 16 ----------------— 4-------—, S„ =
2 — 4 2п 4я’
-,6-Н
175
2п
4п’ ’
п—1 __
б)^=тЕл/Ч’
1=1
1=1
10 230-210/"
П (2,0/П - 1) '
Ч 10 230
п(2Ю/«_1)
Sn =
2184. о0Т4- —gT».
2183. S„= 31.
“ 5
2185. 3. 2186. ° 2187. 1.
1па
I 1 ьт+1__am+1 b
2188. sin х. 2189.---------. 2190.-----------------. 2191. In — .
а Ь т 4- 1 а
2192.
а) 0, если | а | < 1; б) я!п«’, если |а| > 1.
2193.4. °- |f (а) — f (6)]. 2201. Вообще говоря нет.
2203. Не обязательно. 2206. 11 — . 2207. 2. 2208. —.
4 6
2209. — . 2210. 1. 2211. 1. 2212. --------.
3 2 sin а
2213. . 2214. —Lr Ш > + . 2215. ——.
V1 — е* ab 1 — л/ аЬ 21 ад |
2216. а) Подынтегральная функция — и ее первообразная
х
1п | х | разрывны в промежутке интеграции [—1, 11; б) функция
—arctg ('--в* Л, играющая роль первообразной, разрывна
л]2 kVa /
при 0 < х < 2л; в) функция arctg — разрывна при х = О,
х
2217. —. 2218. 200 V2 . 2219. — . 2220. In 2. 2221. — .
3 2 4
2222. —. 2223. -----?---. 2224. — (2 ^2 — 1). 2225. —.
л р+1 3 е
2226 1 Г ? dx 2227.-я. 2228. —. 2229. х+
Ь — а а 6 V3
Н—- . 2230. —— . 2231. 0; —sina2; sin й». 2232. а) 2х -/Й7*1';
2 In 2
б)——---------------- : в) (sinx — cos x)-cos (я sin2 x).
VI + V1 4-x*
л2 4
2233. a) 1; б)—; в) 0. 2233.1. A. 2235. 1. 2237. a) — ;
4 6
6) — • 2238. a) —-----— , если a<0; —-------— +-^—, если
2 3 2 3 2 3
0<а<1; -у —, если а > 1; б) , 3 2 если | а | 1 л 2аа ’
если |а|>1; в) 2, если С 1; - 2 , если |а| > 1.
|а|
2239. — 1п —. 2240. я 2241. 4л. 2242. 2 (1 Y
2 2 е )
2243. 1. 2244. — 2245. 3 2 —. 2246. 6 па*
16
2247. —— - in JL+iVL . 2248. 2 - - —. 2249. л»
V2 7 2 4
2250. —• 2251. а) Обратная функция x= ± t3/2 двузначна;
V2
б) функция x= 1/t разрывна прн t — 0; а) не существует
однозначной непрерывной ветви функции х = Arctg t, опреде-
ленной на конечном сегменте и пробегающей значения от 0 до я.
2252. Нет. 2253. Можно, 2250. [ (х + Ь) — j (х + а).
2260. —е5/2. 2281. 2 f (f (arcsin t) — f (л — arcsin /)] dt 4- 0
4- J [f (2л4- arcsin t) — f (я — arcsin /)] dt. 2262. 4n. 2263. Л» 4 ’
2264. * 32 arctg — 2л. 27 2268. 315 —. 26 2269. — In3 — 2
Я 2270 $ es — 2271. — । £ Rfi — 2272. - Л
2 V? ’ ’ 27 27 7 3
2273. 2274. — л 270 3 — V3 . 2275. 2л / 1 1
\ V3 2Д/ )
2276. 2л V2 2277. — . 6 2278 П* Я -. 2279. T(<' '-0.
6 4
2280. —In 2-------2281. /л = -^-----------41L.2L , если п =
8 1024 (2А)!1 2
„2Й; /„ = —, если n = 2k + \. 2282. См. 2281.
(2Л 4- 1)11
2283. _fl- —-------------...4-------.
I 4 V 3 5 2л -1 Л
2284.-------2®*----——. 2285. См. 2281. 2288. /„ = J.4" я1..
(2л 4- 1)1 (т4г1)л+1
2287. /„=(—l)nl—lnV2"4-— Г1----------J-4- -4-(-l)n-1—11.
I 2 L 2 п JJ
2290. ------ngm)l_(2n)l---- 2291. 0, если п четное; л, если
2»н+ая+1т|П| (т + П)1
я нечетное. 2292. (— 1)" я. 2293. ——. 2294. —— sin -25-.
2я 2я 2
г «—
2295. 0. 2296. 0. 2297. —1— (1 — Г2"'1) Гс£„ 4- 2 С|„ X
L fco
--------—-----1. 2298. —— (—1)"-1. 2299. &—У1Х” Ш
а’4-(2л — 2А)’ I 4л (т4-л—1)!
2302. В точках, разрыва функции t (х) производная F' (х) мо-
жет как существовать, так и не существовать. 2303. |х)4-С.
2304. arccos (cos х) 4- С. 2305. х [х]----tfLIIiLiJJ!-1_ с.
2306. ------И([х]+.1)(2[х]-Ц) с 2307 C._L
2 12 л
X arccos (cos nx). 2308. —(|/ 4- x| — 11 — х|) 4- С. 2300. —1.
2
40 л3
2310. 14 —In 71 2311.—. 2312.-----— . 2313. 1пл1.
я 4
2314. —th—. 2315. —. 2318. а)—; б) +; в) + ; г) — .
2 3
1 2
2317. а) Второй; б) второй; в) первый. 2318. а) —; 6)6 —;
в) 10; г) — cos <р. 2319. — ------= b — малая полуось эл-
2 V1 - е’
липса. 2320. иср = — (oo+^i)- где t>i—конечная скорость тела.
1 п / 1 1
2321. — 2321.1. А. 2322. а) 0=1/ ----------- ; 6)0=—;
2 у п 4-1 е
в) 8= — 1п —- 1....... , lim0 = —, lim 0= 1. 2323.— ±
х х х->0 2 х-*4-оо 3
± 0 (| 01 < 1). 2324. Заключается между------ и —— .
3 ю д/г 10
2325. 0,01 —0,0050 (О<0< 1). 2326.1. а) 1; б) НО) In —. а
2328. -5— (0<0<1). 2329. — 50л а 0 в (|в|<1). 2330.— (| в|<1). а
2334. —. 2335. — 1. 2336. а л. 2337. л. 2338. — In 2. 3
2339. - .4”... . 2340. . 3 д/з 3 д/з 2341. -%-. д/2 2342. —. 2
2343. — In /1 4- ——Y 2344. 0. 2345. — —1 м vd 2 . 2346.—-—. а’4-&’
2347. . 2348. /„ = Л1 а» 4- Ъ» 2349. /„ = (2л —3)11 (2л —2)1!
X — na"-‘sgna . 2350 /„ = nt У (_ цЛ+i с* In (fe 4- 1). где
(ас-Ь2)п+^ ' ‘ *=
С*— число сочетаний из л элементов по k. 2351. 1п =
(я ~ , если л— четное, и 1п — —----------, если
nil 2 nil
л — нечетное. 2352. 1п=——я, если л— четное; 1п —
л1!
е— Jf!---12LL, если п — нечетное. 2353. а)------------— In 2;
nil 2
Vs- ~я/8
б) —— 1п2. 2354. 2 У . 2355. а) 1; б) —; в) 0.
2 1 — е 2
2357. а) 1; б)—; в) 1; г) — f (0). 2358. Сходится.
3 ct
2359. Сходится. 2380. Расходится. 2361. Сходится при р>0.
2362. Сходится, если р > — 1 и q > —1. 2363. Сходится,
если т> — 1, л — m > 1. 2364. Сходится при 1 < л < 2.
2365. Сходится при 1 < л < 2. 2366. Сходится, еслит>—2,
л — т > 1. 2367. Сходится при л > 0 (а #= 0). 2368. Расхо*
дится. 2369. Сходится, если р < 1, q< 1. 2370. Сходится
прн л>—1. 2370.1. Сходится. 2371. Сходится, если mir (p,q)<£
< 1, max (р, q) > 1. 2372. Сходится. 2373. Сходится.
2374. Сходится, если р > 1, q< 1. 2375. Сходится при р>
> 1, q произвольном, r< 1 и при р = 1, q> 1, r< 1.
п
2376. Сходится, если pt < 1 (i = 1, 2, . . . , л), У р, > 1.
i=i
2376.1. Сходится при а> — 1, Р > — 1, «+₽< — !•
2377. Сходится, если Рп (х) ие имеет корней в промежутке
[0, + оо) и л> m + 1. 2378. Сходится ие абсолютно.
2379. Сходится не абсолютно. 2380. Сходится абсолютно, если
D -4- 1 D *4” 1
—1 < —-— < 0; сходится условно, если 0 !--< 1.
Р Ч
2380.1. Сходится. 2380.2. Сходится. 2381. Сходится абсолют-
но, если р>—2, ?>р4- 1; сходится условно, если р> —2,
р<<7<р+ 1. 2382. Сходится условно при 0 < л < 2.
2383. Сходится абсолютно при л > m 4- 1; сходится условно
при т<л^и + 1. 2385. Нет. 2392. ln-i-. 2393. 0.
2394. л. 2395. 0. 2397. —. 2398. 4—. 3 2 2399. 4-L. 2
2400. 9,9—8,1 lge«6,38. 2400.1. 2 — «0,56. 1п2 2400.2.
+ - Л -«0,97. 2401.— 2 . 2402. ла1. 2403. лаЬ. 2404. — а». 3
2405. -S-V2P’. 2406. - . 2407. Зла2.
2408. 15 ял’ -2=- . 2409. 2 л/АС —В1 2Я . 2410 1 cth ” « 0,546.
л 4-2 2 2
2411. (Зя+ 2): (9л — 2). 2412. x=chS, y = sh$. 2413. Зла’.
2414.—. 2415. -^-(4я’+3я). 2416. бла’. 2417. — х
15 3 8
2419.
2
2420. 2421. -2- (3 + 4V2). 2422. —
*t О \ 1 с )
2422.1. Ня. 2422.2.—. 2423. (л — 1) — . 2424. — X
я 4 2
2424.1.—. 2424.2.—. 2424.3.
4 -А-. 2424.4. я (1 + -у-). 2425. я (1 — -2-^ а*.
2426. — а’. 2427. ла’ У?. 2428. а*. 2429. — ла’.
2 8
2436. а In -2-±^-ь. 2437. In tg (— + —) . 2438. а In — .
а— Ъ \ 4 2 / Ь
1439. 4а f 1 4- V3 In . 2440. 6а 2441. .
к V2 ) аЬ
2442. 1 4- + . 2443. 8а. 2444. 2л’а. 2445.
V2 _ т __________
V2 ch---1- У ch т
2 fch 4- 1п------—•2445л-
\ 2 J 1+V2
— (сЬ’/’гТ— 1). 2446. лаУ 1 + 4л1 + — 1п(2л+ У1 + 4л’).
2 2
2447. .У|-+ а. 2448. 8а. 2449. р 1У2 + In(1 + Уг)1.
m
2450. -522L. 2451. а (2я — th я). 2452. 2 4- —1пЗ.
2 2
2452.1. 6—. 2452.2. sh Я. 2452.3. Г. 2455. «0,73.
3 5-^3
2456. — (2а 4-с). 2457. — [(2Л + а) В + (Л 4- 2a) 5] .
6 6
2458. ((2Л + а) В + (Л + 2а) 5). 2459. -у- SH. 2462. -у- X
X айс. 2463. — nabc. 2464. ?ПаЬС. . 2465. — а». 2466. — X
3 3 3 3
Xa’fn— —Y 2467. —a’VaF* 2468. -^-.2469. —
к 3 J 15 2 15
2470. —2,V^ а*. 2472. — nab*. 2473. a) -^2_; б)-?2_.
3 7 15 3
2474. а) —; б) 2я3. 2475. а) — лай3; б) -22!L .
2 ’ 15 6
2476. а)—. б) 2я. 2477. 2я2а2й. 2478. -?22-_.
2 3
2479. ---2. , 2480. а) 5я3а3; 5) бя’а»; в) 7я2а3.
5(1 —
2481. а) -5?- nab*; б) па*Ь. 2481.1. Vx «= — я, V„ =
105 105 35 *
= -^-п. 2483. а)—яа»; б) — я’а3. 2484. а) -2^- Г-уТ X
105 3 4 4 L
X In (1 + V2)---1; 6)-2^L; b)-2l2L. 2484.1.—X
3 J 4V2 4 3
X (я* — 6я«) a3. 2484.2. -я. 2485.-2*£_ . 2488. —Lf21 V13 +
3 2V2 243 к
+ 2 In J +.V-1.O . 2487. 2a Vn2a24-4b2 4- In f — 4.
2 / я k2&
+ У-<+»П и. J(V5-_V2-)+ln(^+0(Vs-O'.
2b / L 2
2489. a) ((2x0 + p) -y/2px0 4 p* — p2]; 6) — I (p 4- 4*o) X
3 4 L
X V2x0(p4- 2x0) —p2 In V25» + Vp.+ 2x„ I 24W а)2яйа4-
Vp J
> arcsine , 2п&3 .Га,,, Л
4- 2лай-----------; б) 2яа24------In I — (1 4- е) I > где е <•—
е е L b J
л/ fl* — Ь* 12
— —-----------эксцентриситет эллипса. 2491. 4л’а6. 2492. — X
а 5
(26 \ / Ь
26 + a sh--I; б) 2яа I а -f- 6 sh--
а ) V а
h \ 64 42
— a ch — |. 2494. 4яа’ , 2495. а) — ла’; б) 16я’а’; в) — х
a J 3 3
X ла’. 2496. — а’ (4 ^2 - 1) . 2497. — ла’. 2498. а) 2ла’Х
5 5
X (2 — V2); б) 2яа’ Va'; в) 4яа’. 2499. ----[ |4 +
128 3/10
4-17 In (2 + V5)l « 1,013. 2500. V = —у’; Р = 2яр’[(2 +
3
+ V2)+In (1 + V2)l . 2501. Mi = 2а’; =
2
2501.1.-£L(V2 +5ln(l +V2)l. 2502. Mt =
8 6
= _^_. 2502.1. Zx = — а*. !у = — а\ гж = а^6/3&, rv =
12 35 У 5
=aV6/5 . 2503. = —; M <«> = . 2504. M, =
* 4 1 4
rrr8/»3 yt О
= .., M. — — rW. 2504.1. I = — MR3. 2507. x0 = aX
12 30 5
X S‘" ; Уо = 0- 2508. (—a,—aY 2509. (— ,
a \ 20 20 J К 3л
2510. ^0, 0, 2511. <p0 = <₽ — а, где a =
4 1 mr „
= arctg--• rn = —. - . Логарифмическую спираль
2m Vl +4m’
Л> = t 2512. <p0“0, re = — a. 2513. xn=
V1 + 4m’ 6
5
= ла, уо = — a
6
2
2514. x0=—a, yo a 0.
3
2515. (o, 0,
2516. 75 кгс . 2517. Ah = mg
Ax^mgR. 2518. 0,5 кгс-m.
--------, где R — радиус Земли;
R h
о
2519. 1740 кгс-M. 2520. —a3.
3
2521. 708 — T. 2522. vtT + — T’. 2523. — я6<»’/?\
3 2 15
2524. Проекции силы притяжения на координатные оси; X = О,
Y — —Zktny^a, где k — постоянная тяготения. 2525. 2nftmd0 X
vf 1------,_L_где k — постоянная тяготения. 2526. При-
I Va’+Ь’ J
мерно 3 часа. 2527. Сосуд должен быть ограничен поверхностью
образованной вращением кривой у = Сх* вокруг вертикальной
оси Оу. 2528. Q = Qe-2~'/l60° 2529. 99,92 %. 2530.^.
6Е
В ответах на приближенное вычисление определенных инте-
гралов даны табличные значения. 2531. —6,2832. 2532. 0,69315-
2533. 0,83566. 2534. 1,4675. 2535. 17,333. 2536. 5,4024.
2537. 1,37039. 2538. 0,2288. 2539. 0,915966. 2540. 3,14159.
2541. 1,463.2542. 0,3179.2543. 0,8862. 2544.51,04
X 0 я/3 2я/3 п 4я/3 я/3 2л
У 0 0,99 1,65 1,85 1,72 1,52 1,42
ОТДЕЛ v
9 Ч 1
254в. 2547. —. 2548. 3. 2549. 1. 2550. — . 2551. а)
3 2 3
-------^12-------; б) . 2552. 1 - V2 .
1 — 2у cos а + <?’ 1 — 2<? cos а +
2553. Сходится лишь при х = kn (k — целое). 2556. Расходится.
2557. Расходится. 2558. Сходится. 2559. Расходится. 2560. Рас-
ходится. 2561. Расходится. 2562. Сходится. 2563. Сходится.
2564. Расходится. 2566. Может как сходиться, так и расхо-
диться. 2567. а) Может как сходиться, так и расходиться;
б) расходиться. 2578. Сходится. 2579. Сходится. 2580. Сходится.
2581. а) Сходится; б) расходится. 2582. Сходится. 2583. Схо-
дится. 2584. Сходится. 2585. Сходится. 2585.1. Сходится.
2585.2. Сходится при любых а и х. 2586. Сходится. 2587. Рас-
ходится. 2588. Расходится. 2589. Сходится. 2589.1. Сходится.
258'.).2 Сходится. 2590. Сходится. 2591.2. л >13. 2595. Сходится.
2596. Сходится. 2597 Сходится. 2597.1. Сходится. 2598. Сходится
прир>2. 2599 .Сходится при ———> 1. 2600. Сходится при
d
3
р>-----. 2601. Сходится. 2602. Сходится при р + q > 1.
2
2603. Сходится при q > р. 2604. Сходится при — + q > 1.
2605. (н). Сходится при а (<? — р) > 1. 2607. Сходится при
q> р + 1. 2608. Сходится при р > 0. 2609. Сходится при
р > 0. 2610. Сходится при р> 2611. Сходится при
Ф 1. 2612. Сходится при р> 1. 2613. Расходится. 2614. Рас-
ходится. 2614.2. Сходится при р+ х> 1. 2616. Сходится при
х<——. 2617. Сходится. 2618. Расходится. 2619. Сходится
е
при р > 1. 2620. Сходится при р> 1 q произвольном и при
р = 1, q> 1. 2620.1. Расходится. 2620.2. Сходится.
2620.3. Сходится. 2621. Расходится. 2623. 1,20. 2626. Схо-
дится при а > —. 2627. Сходится, если а = —. 2628. Рас-
2 2
ходится. 2629. Сходится. 2630. Сходится при а > 2. 2631. Схо>
дится. 2632. Сходится. 2633. Сходится. 2634. Сходится, если
с = 0, — <—1. 2635. Расходится. 2636. Сходится, если аф
d
фО. 2637. Сходится. 2638. Расходится. 2639. Сходится.
2640. Сходится, если а = -у/Ьс. 2641. Сходится, если а< —-1.
2642. Сходится, если а > —. 2643. Сходится при аь> е, с —
2
= 0 и при ас> I. 2644. Сходится при а + b > 1. 2645. Схо-
дится. 2646. Сходится. 2647. Сходится. 2648. Расходится.
2649. Сходится. 2650. Сходится. 2651. Сходится. 2652. Схо-
дится при а > 2. 2653. Сходится. 2654. Сходится. 2655. а)
9 Ч
N > 100 000; б) N > 12; в) N > 4. 2659. —. 2660. 1 —.
9 7
3 1
2661. In 2. 2662. а) —- In 2; б) — In 2. 2664. Сходитси.
2 2
2665. Сходится. 2666. Сходится. 2666.1. Не следует.
2667. Сходится. 2668. Сходится. 2669. Сходится. 2670. Расхо-
дится. 2671. Сходится. 2672. Сходится. 2673. Расходится.
2673.1. Сходится. 2675. Абсолютно сходится при р> 1; усло-
вно сходится при 0 < р 1. 2676. Абсолютно сходится при
р > 1; условно сходится при 0<р^ 1. 2677. Абсолютно
сходится при р > 1; условно сходится при -i-< р 1.
2678. Абсолютно сходится при |х—-лЛ|<— (k—целое);
условно сходится при х = nk ± —. 2679. Сходится услов
но при любом х, не равном целому отрицательному числу.
2680. Абсолютно сходится при р > 1; условие сходится при
О < р 1. 2681. Абсолютно сходится при р > 2; условно
сходится при 1 < р 2. 2682. Абсолютно сходится при р > 1;
условно сходится при 1/2<р^1. 2683. Условно сходится.
2S84. Абсолютно сходится. 2685. Расходится. 2686. Условно
сходится. 2687. Абсолютно сходится при р > 1; условно схо-
дится прн 1/2 <р ^1. 2688. Расходится. 2689. Абсолютно схо-
дится при р > 2; условно сходится при 0<р^2. 2690. Схо-
дится. 2691. Расходится. 2692. Абсолютно сходится при q>
>р + 1; условно сходится при р < q ^р + 1. 2693. Абсолют-
но сходится при р > 1, q > 1; условно сходится при 0 <
<р= р 1. 2694. Абсолютно сходится при р > 1; условно
сходится при р = 1. 2695. Абсолютно сходится при р > 1;
условно сходится при р = 1. 2696. Абсолютно сходится при
р > 1, ?>1; условно сходится при 0<р=?^1. 2698. а)р> 1;
б) 0<р^1. 2698.1. а) Сходится; б) сходится; в) сходится.
2699. а) д>р+1; б) p<q^p+l. 2700. Сходится абсолютно при
т > 0; сходится условно при —1 < т < 0. 2703.1. а) п
1 000 000; б) п 1,32-10*'. 2706. а) Расходится; б) может
2 3
как сходиться, так и расходиться. 2707. —. 2708. —,
2709.-----—. 2710. —у . 2716. Сходится абсолютно при
7 1 — ху
|х|>1. 2717. Сходится абсолютно при х > 0; сходится
условно при х = 0. 2718. Сходится абсолютно при х> —^-я
при х < — 1. 2719. Сходится абсолютно при | х | =#= 1 и сходится
условно при х=—1.2720. Сходится абсолютно при—
< х< — и при — < х< - 3,, . 2721. Сходится абсо-
3 3 6
лютио при |х —л£|< — (к = 0, ±1 ±2, .. .). 2722. Схо-
6
дится абсолютно при р>1 и х=£ k (k = —1, —2, . . .) я
сходится условно при 0 < р 1, х =/= k. 2723. Сходится абсо*
лютио при q > р + 1 и сходится условно при р < q < р + 1.
2724. Сходится абсолютно при | х| < 1. 2725. Сходится абсо-
лютно при | х| < 1. 2726. Сходится абсолютно при |х|^1«
2727. Сходится абсолютно при х #=—1. 2728. Сходится абсо*
лютио при х > 0. 2729. Сходится абсолютно при 0 < | х | <
<4-оо, если | а|>1; расходится, если | а| 1 или если х = 0.
2730. Сходится абсолютно при х — 2 и при х> е. 2731. Схо-
дится абсолютно при х> 1. 2732. Сходится, если 0 •< min (х,
у) < 1. 2733. Сходится абсолютно при |х|<1,0^у<Н-оо
и при |х| > 1, у> |х|; сходится условно при х= —1, 0^
^t/^1. 2734. Сходится абсолютно при тах(|х|, |у|)<1.
2735. Сходится абсолютно при: 1) 0 х < 1, — оо < у < 4-оо;
2) х= 1, у> 1 и 3) х> 1, 2. 2736. Сходится абсолютно
при |х— £л|< — , где k — целое число. 2738. —< |х|< 2;
4 2
—6х_(х_—J)—. 2739. а) Сходится абсолютно при х 0,
(2—х)« (2х— I)2
сходится условно при —1 <х< 0; б) сходится абсолютно при
р 4- х > 1 и при х — 0, 1, 2, . . ., сходится условно при
О < р -I- х < 1; в) сходитси абсолютно при: 1) | х| < 1, у —
произвольно; 2) х = ±1, 3) х — произвольно, у=0,
1. 2, . . сходится условно при х= 1,---— < У < —.
2743. При в = 0,001 и х = ^ОТ, N > 3m. Нет. 2744. п >
> —. 2745. п>26. 2746. а) Сходитси равномерно; б) сходится
в
неравномерно. 2747. Сходится равномерно. 2748. Сходится не-
равномерно. 2749. Сходится равномерно. 2750. Сходится рав-
номерно. 2751. а) Сходится равномерно; б) сходится неравно-
мерно; в) сходится равномерно. 2752. а) Сходится неравно-
мерно; б) сходится равномерно. 2753. Сходится равномерно.
2754. Сходится неравномерно. 2755. а) Сходится равномерно;
б) сходится неравномерно. 2756. а) Сходится неравномерно;
б) сходится равномерно. 2757. Сходится неравномерно.
2758. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2759. Сходится равномерно. 2760. а) Сходится равномерно;
б) сходится неравномерно. 2761. Сходится равномерно.
2762. Сходится равномерно. 2763. Сходится неравномерно.
2767. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2768. Сходится равномерно. 2768.1. Сходится неравномерно.
2769. Сходится неравномерно. 2770. Сходится равномерно.
2771. Сходится неравномерно. 2772. Сходится равномерно.
2773. а) Сходится неравномерно; б) сходитси равномерно.
2775. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
2776. Сходится неравномерно. 2777. Сходится равномерно.
2778. Сходится равномерно. 2779. Сходится равномерно,
2780. Сходится равномерно. 2781. Сходится равномерно.
2782. Сходится равномерно. 2783. Может. 2785. Не обяза-
тельио. 2795. а) Существует и непрерывна при х < 1.
б) существует н непрерывна при | х | < + оо; в) существует при
|х| < + оо, разрывна при х = 0. 2799. а) Существует и диф-
ференцируема при х =/= —k (k = 1, 2, 3, . . .); б) существует
при |х| < + оо, дифференцируема всюду, за исключением
х = 0. 2802. а) а произвольно; б) а < 1; в) а < 2.
1 л4
2805. Нет. 2806. —In 2. 2807. 1. 2808. 1. 2808.1.--------.
2 6
2809. Законно. 2810. Да. 2812. R = 1; (—1, 1).
При х = — 1
условно, если
если р > 1, н
сходится
0 < р < 1;
расходится.
абсолютно, если
при х = 1 сходится
если р<1. 2813.
р > 1, и
абсолютно,
-4
4
"Т)- пРи * = —
3
2
4
— сходится условно;
3
при
X = —
3
расходится. 2814. R=4; (—4,4). При х=
= ±4 расходится. 2815. R = Ч-оо; (—оо, 4-оо). 2816. R =
1 ( 1 1 А _ 1 _
=—; I--------> — I. При х = ± — расходится. 2817. R =
= + оо; (—оо, -|- оо). 2818. R = 2; (—1, 3). При х = —1 схо-
дится абсолютно, если р > 2, и условно, если 0 < р 2; при
х = 3 сходится абсолютно, если р > 2, и расходится, если р 2.
2819. R = 2Р; (—2Р, 2р). При х = —2Р сходится абсолютно,
если р > 2 и расходится, если р < 2; при х = 2Р сходится
абсолютно, если р > 2, и сходится условно, если 0 < р 2.
2820. R = 1; (—1; 1). При х = —1 сходится абсолютно, если
т > 0, и расходится, если т < 0; при х = 1 сходится абсо-
лютно, если т 0, и сходится условно, если —1 < т < 0.
2821. R = min(-^~; (—R, R). При x= —R сходится
условно, если а > Ъ, и абсолютно, если а < Ъ; при х = R рас-
ходится, если а > Ъ, и сходится абсолютно, если а < Ъ.
2822. R = max (а, &); (—R, R). При х = ±R расходится.
2823. R = 1; (—1, 1). При x=Tl сходится абсолютно,
если а>1, и расходится, если а^ 1. 2824. R= 1; (—1, 1).
При х = ± 1 сходится абсолютно. 2825. R = 1; (— 1,
1). Прих = —1 сходится условно; при х = 1 расходится.
2826. R=l; (—1, 1). ’ При х— — 1 расходится; при
к = I сходится условно. 2827. R = 1; (—1, 1). При
к=±1 расходится. 2828. R = —; I-----------» — )• При
4 \ 4 4 /
Ж = ± -7- расходится. 2829.
4
«4
При
х= ±—- расходится. 2830. R — 1; (—1, 1). При х= ±!
3
схо-
дится абсолютно. 2831. R = 1; (—1, 1). При х= ±1 сходится
условно. 2831.1. При 0 < х < 2 сходится абсолютно; при х = 2
сходится условно, 2831.2. Сходится лишь при х = 0. 2832. R в
1; (—1, t). При х = —1 сходится абсолютно, если у —а —
— Р > 0, и сходится условно, если —1 < у — а — РСО;
прих=1 сходится абсолютно, если у — а — р>0, и расхо-
дится, если у — а — Р С 0. 2833. х>0. 2834. |х| > —.
2835. О < | х | < + оо. 2838. х>—1. 2837. |х—*л|< -р
где k — целое число. 2838. — 1 + 3 (х + 1) — 3 (х 4- I)1 4-
ЛажО Л=0
(|х-5| < |а - 5|); в)- £-
л=»0
2840. ( — 1)п-» - (0 < х < 2);
п ==!
ОО
(lx) <+оо). 2842.
(|х|>|а|).
In 2.
00
V
Zu (2n)l
rt=O
(|x|<4-oo). 2843.
p 22""1
/ (-Оя+1-^-ТГ«и(1*1< +“)•
La (2n)!
Л«в|
(|x|<4-oo). 2845. ЦХ4-
+ M±fh!L;,.+ ..
3! 51
a* u2 (22 — u2)
2846. -...x*- . . . (|x|<l).
(x ***** 1
2847. 1 -J-(x—l)4-(x—1)*4-------------1- . . . (0<x<2).
2848. + ‘ • •) (|X|<1)*
Л» Л’
2849. sin (x4-Л) = sin x4- Acosx — — sin x — — cosx 4“ • • •
(|Л | < 4-oo); cos (х4-Л)« cosx —fcsinx — cosx 4-
м
, —- sin X-I- ... (|Л| < 4- oo). 2850. a) ( - 2, 2)j
1* 31
б) (3, 7).
2850.1 Нет. 2851
HssO
( - 1)" X*"
п!
(1*1 < + “)•
Z” О2П-1
(“ 1)” <о\, *М(1*1< +«>)•
(2л) I
v 3W —1
Х> ( —- ;; (|ж|<+«).
Un-r 1)1
Я=1
оо
(|х|<1). 2855. £ (л 4- l)x"(|x|< 1).
п*=»0
3
2853. —X
4
00
2854. У*
п»10
2856. х +
(2л — 1)11
л1
х”+*
«-Ч х2Л-|-1
2851 > ТГТТ (I*!<’)• 2858.
/ j 2rt -f- 1
-у (1- ( —2)л]*п
(-1)" 1
6" J
и“т£["+
Аяв|
1-(-Оп
2861. у <
ПааО
2
где а„ =i
1Л X
2
— 1
X
2
(числа Фибоначчи). 2862. X
ЛажО
(| х | < 1). 2862.1
п=0
Спх", где сп
= 1, если n = 4fe; с„=— 1, если п = 26 4-1; с„ = 0.
если п = 264-2 или n = 2ft 4-3 (ft = O, ±1, ±2, . . .),
piooo)(0) = WOO!.
2863. 2 х" cos na (1*1 < О*
2864. £ х"sin na(|x| < 1). 2865. £ xnsh ла(| x|<е~ 10|).
о=0 п=0
2868.
Z(2n 4-1)1!
(2n)!t
n=sO
x»(| x| < 1).
2867. J1
n==l
(-ir^ + n + (-i)'1](-!)n/2+l „
------------------------------- xn
2888.
cos na
n\
2869.
Iя X
n
n ssQ
n*=Q
X-^TT
л
7
2870. x
n=l
(2л —1)11 x
(2n)!l
X . , (lx| < 1). 2871.
4П -f- 1
y((_1)nJ2-J)!Lx
Zu V ’ (2n)tl
хгп+1 )
^ТП<И<1>- 2872-
cos na
--------xn
n
— 2
Л=|
2873. a)
« (ii + 1)
Rs=l
E( — 1 )n 2й1-1 ( \ 1 \
2,-1—(“T <xs:t) :
ОС
n=0
OO
Ex2"
‘-Ц'"" 2,(2, —I) <l«lg'>^>
21 x|
E(2n — 1)1! x2"
(2n)l! ‘ 2n 4- 1
n=i
при 0 < x < 1 н
<x^0; ж) 1+“7"+^|
n=l
(2n — l)!! x”*+»
(2n-j-2)ll
2л -f“ 1
](|xj <i);
2874.
„ <2n — 1)’!
Iй —---------------
№ + 2)!i
2«4-1
(1*1^ 1)
n (n — 1) (n — 2) (n — 3)
2!
л (л — I)
II
X an~2x3
1’
x
2875.
n (n — 1)
(2хГ-» +
6)
(-I)"
tn
X
и (л — 1) (n — 2)
(n — 1) (n — 2) </i — 3) (n —4)
51
2!
X
(n — 1) fn — 2)
x""1 —
31
Z( — 1)"
—------— ( — 2<x<0).
x-1 \»+l
П®1
(x>0). 2878.
X
n=l
2881. 1—4-
2
(2n — 1)11
(2n)ll
/«+1
(|x| < 1).
(1*1 < +»)•
1
(2n —4)1
1 2 1 U.
— x2 —-----------Xs —
12 24
2882. 14-
fl»2
(-ly+Mn-D
nl
2883.
X [ (2n)l
n*0
2
(2n — 2)1
где 01 — 1, (— !)! = oo.
( — 2)1 = 00 иг. j, 2884.
Xn+l Г-t (_НП+1
Х'ГГ7~ (-1 <«<’)• 2885. х+2) - / х°"+>
П + 1 4л! — 1
п=1
(1*|<1).
_ _т ЛЯ
2886.
п=0
(I *|< + оо).
” 2П/2 sin
2887. ) -------------—хп (|х| <+«>).
L—i л!
п=1
2888.
хп
( — I < х< 1).
хгп
п
(1 х |sS I). 2890.
22П+1 (п|)2
(2л + 2)1
х2" (| х | 1). 2891. х 4- —х3 -j-
О
2
945
n I
(|х|<я). 2894. £0=1, £ (-l^X
4=0 I
х j?-'0'’
(2л — 1)11 Г „
(|х|<1), где Р0(х)=1; Рл (0 = -
Л1 L
_ я - о /п_2 . л(л —1)(л —2)(л-3) /п_4 _ 1
2 (2л— 1) 2-4-(2л — 1) (2л — 3) J
(л > 1) (многочлены Лежандра). 2896. £ snx", где
л==0
л
«П — У. ak- 2897. а) Я > min (Ях, /?j); б) Я > RiRs
4=0
т-n хгл+1
2901. > ( - 1)" (I х | < Ч- оо). 2902. х +
f j /II (2Л “Г 1)
п=0
(2 л—1)!! х4"*1
(2л)1! 4л Н- 1
(|*1<1).
2903. £(-.)- X
X*”** 1
(2л + 1) (2л + 1)1 ° х 1 < + ТО)-
2904. £ (— 1)" X
п«0
£2Н+1 дЛ д»Э
X----------ГТ~ (I х | 1). 2905. х-|---------—
(2л + 1)* 4 36
х*
96
1 14-х
(|х|<1). 2900. --In—-— (|х|<1). 2907. arctg х
2 1 — х
(| х | 1). 2908. ch х(| х| < + оо). 2909. 1 +
4- - In (1 - х) (|х|^1). 2910. —,-1—• (-К
х VI —X
X х (1 — х)
^х<1). 2911. —-(|Х|<1). 2912.
2х
(|х|<1). 2913. —------— (|х|<1).
(1 — х)3
(х-1)3 + (</-!)’< 4. 2917. R = —~
2216. R = 2}
*2 + </!<у-
2918. Я=1; хг + у!<1. 2919. R = 1; х2 + (/2<1.
2920. R= psin -у- |; (х— cos а)2 -|- (у — sin а)2 <
< 4 sin® —. 2921. 2,080. 2922. а) 0,87606 =
2
=агс50°11'40"; 6) 1,99527; в) 0,60653; г) 0,22314 . 2923.0,30902.
2924. 0,999848. 2925. 0,158. 2926. 2,718282. 2927. 0,1823.
2928. 3,1416. 2929. 3,142. 2930. 3,141592654. 2931. In 2=0,69315;
In 3=1,09861. 2932. а) 0,747; 6) 2,835; в) 1,605; г) 0,905;
д) 1,057; е) 0,119; ж) 0,337; з) 0,927; и) 8,041; к) 0,488;
л) 0,507; м) 0,783. 2933. 3,82. 2934. 4,84. 2935. 20,02 м.
3 1 1
2936.---------cos2xH-----cos4x. 2937. Ряд Фурье совпадает с мно-
гочленом Рп (х). 2938. — V ---------------У-L . 2L. 2939. — —
л Z-i 2k— 1 ’ 4 2
fc=i
1
2*4-1
sin (2* + l)-p
2940. 2 у* (— 1)л+» X
sin nx
П
2941.
sin пх
п=1
п
2942. —
2
4
_ _x
к-0
cos (2* 4- О *
(2* + 1)*
2943.
(a —b)n 2 (a — fe)
4
п
X
к=0
cos (2* 4~ 1) x
(2* 4- О
+ (а +
(_1)Л+1 -sin nx
п
2944.-L п»
3
( _ ПЛ+1
-----------cos nx. 2945.
n2
2 sin na
л
1
2a
Лж=1
a cos nx
n2- a2
. 2946.
2 sin ла
я
(—I)"'1'1 nsinnx
n1 — a2
2947. -S?1?-™.
я
( рпч-1 nsinnx
п* 4- а*
2948.
2 sb ah
1
2ah
(-1)"
ah cos
nnx .
--------nn sin
h____________
(ah)2 4- (nn)»
nnx
h
2949. а+/+
21
я
nna
sin —
. I
cos
ПЛХ
I
nna nnx
— cos ------- sin ------
I I
(а< x<a4-2Z). 2950. 1
1
------COS X
2
V (-l)n+x
> —--------cos nx.
Zj n«— 1
n»2
2951. — V
я Zj (4n* - 1)»
sin 2nx.
2952.
cos (2* 4- 1) X
X 2*4-1
2953.
k=O
У ( sin (2k 4-1) x.
Zu (2*4-0’
2954. AV «"С*+»)*-.
л Zu (2* + 1)*
4=0
(х =?ь целому числу). 2956.
2955. J______LV-A^
2 я Zu л
л=1
1 2 V1 cos 2л (2л + 1) х
4 л* Zu (2л +1)1
п=0
2957. —------— V - C0S--*- . 2958.
л л Zu 4fe*— 1
4=1
2.4V* (-1)^
л л Zu 4 k* — 1
*=1
X cos 2kx. 2959. -----------1- 2 V -AtL
1 — a* Zu 1 — а
Л=1
Xln(l+V2) +
cos пх.
(-1)”
т
2960. А х
(- l)w
2m — i
X cos (3k + 4) х
(_ 1)* A In (1 + V2) + —
л я
sin (2m — 1) A
cos 3kx
. 2961. a)
X
4X
-—-—cosnx(— л^х<л); б) 2л V
n* L—t
sin (26 4-1)* ,n _ . .4л*
----S---!—7— (0<х<л); в) ------
(2k + 1)» 3
—------sin лх
n
cos nx
n*
00
Zsin пх . л* я* я* .
(0<х<2я); , , . 2962. x*=<
n---------------------------------6-12-8
n»l
4- 4 V (— 1)Л . x3 _ 2л* V (— 1)"+1 sinnx +
3 £u л* Zu л
n=l n=l
OO 00
Z. ... sinflx . 1 . , „ , V* , cosnx ,
(- 1)" ——; X4 = — Л* + 8л* ) (- 1)" ——+
Z(—l)»+i а (л—а) л*—Зла + За*
---- cos лх. 2963. —1-*
п*-------------------------------------2 6
Л
2 9 OO 1 2лях . 1 00 V» cos 2лях
2964. COS L
2964. ----------— ) ——cos \
3 2л* Zu n* 3 2л* Zu n*
Л=1 Л=1
m
(0 C x < 3). 2965. -L- C?m + £ С?~* cos 2kx.
k=®l
2866. £,"sin«x(|9|<l). 2967. 1 4-2 £ </* cos пх (|?|<1).
Л=1 n=0
2968. V qn cos nx. 2969. — 2 У —— cos nx. 2970. — In 2 —
n=0 ZLu n
n=l
cos nx
n
2971.
(— 1)п+г cos nx
n
2972. —2
cos (2* + 1) x
2*4-1
2973. У
Zu (2* + 0*
k=0
2974. x(s)
4a V 1 cos (2fe-H) ns _4a_
я* Zu (2k +0* 2a л»
*=o
Sln
2a ’
lz(s)=_S_ J£.x
2 я*
y_L_cos(?fe±.»)y_ +
Zu (2*4-1)* 2a
*=o
(~1)>+1cin <2fe+‘)TO
(2*4-1)* 2a
2975. f (- x) = f (x); f (n - x) = -f (x). 2976. f (- x) = -f (x);
f (л -x) =1 (x). 2977. а) — У (Г--—- — ---L2Z_1 x
Lt IL (2k 4- О* Я (2k 4-1)» J
fc=0
xc“+ f); 4 Ё([~(iT+^ +
4-— -----------1 sin(2*4-l)x) fo<x< — Y
я (2*4-1)* J J к 2 )
£978> Gj/j = bj/i = 0 (л = 0, 1, 2, . . .) 2979. 1 = f “ ®
(л« 1, 2. 3, . . .). 2980. a) = 0» = 0; 6) an = 0, bik=
в=0. 2981. а„ = ап, Рл = — Ьп. 2982. ал = — ап, рл = Ьп.
2983. ап ап cos nh 4- bn sin- nh, bn = bn cos nh — an sin nh.
2984. До~Оо,
^n=an
sin nh
nh
Bn=*bn
sin nh
nh
(n . 1. 2, . . .).
2985. A0~a2, A n = a2n + b2n-, Bn=0(n=l,2, . . .). 2986.2-.
2987.—, 2988. 2 In 2— 1. 2989.—, 2990. —fl 4—L -I-
4 4 m \ 2
4-...+— Y 2991. in 2--------2992. —. 2993. 1.
mJ 2 4
2994. 2(1 —In 2). 2995. 2e. 2996. 3e*. 2997. —--3,
3
л» 30 1 1
2998. -----2999. — (cos 1—sin 1). 3000. — (4 in 2—1).
4 16 2 6
3001. e* (amxm4-am_1xm“1 4-. . . 4-«o). где коэффициенты
a* (fe=0, I...m) определяются из равенства P(n)=amn(n—
— 1) ... {n — m 4- 1) 4- am_jn \n — 1) ... (n — m 4- 2) +... 4-
4- am -I- a0. 3002. e*/2 (-2- + y + 1). 3003. (*’4-14- —) X
X e~x---— . 3004. (1 -—cos *------— sin x. 3005. — X
x k 2 ) 2 4
X (" sh — ch V* Y если x > 0; — ( x^~*— X
\ V* / 4 \ Vi *1
XsinVl^l — cosVfTlY если x<0. 3006. In—J—. 3007.2xX
J 1 —x
Xarctg x— ln(14-x*) (|x| < 1). 3008. — arctgx4- — X
2 4
x In JL±±- (| x I < 1). 3009. (i — «)-°/d —i (| x |<1). 3010.
1 —x
(1 — — У1/3 — 1. ЗОН. 1+ x (I x 1 < 1). 3012. X ~ x) •
I 2 J (l-x)s (1-x)3
(|x|<l). 3013. (14-2x»)ex*. 3014. —1—4.— in2.
зл/з 3
3015. —. 3016. —5—, 3017. — . 3018. ^-(0<x<
4 2 2
< 2л). 3019. — In 12 sin j (0 < x < 2л). 3020.
х + а
2
. 3021. —. если 0<х<2а; О, еслиа<х<
4
<2я — 2а;---—, если 2л—2а<х<2я. 3022. — sgn х (| х |<л).
4 4
8023. С0*Г )-----sin х (| х |<л). 3024. -—-у| х |
(|х|^л). 3025. -у- (1 + cos х) — sinxln ^2cos -у-)
(|х|<л). СЭ26. eCOSJt cos (sin x)(|x’t < + <ю). 3027. x=in, у —
г=/л (i, j=0, ± i, ± 2,...). 3028. 2 (arcsin х)*(|х| 1).
3029. — ----1----—*—arcsin , если x^O;— -------------
4-x (4-x)3'2 2 4-x
—iVEL- in Уьй + У^т t если x<9 3030 l.
(4 —x)J/2 2 x—1
3031. - 3032. a) ——: 6) -------. 3033. a) ----;
x 1—x ’ 1—x (1-x)*
6)---------- 3034. 1. 3035. 1+ V (-1)" J2----)”---!—
(x -1)» Zu (2л)И (2M-1)*
n»l
3034. -Л—. 3037. — У----------J---. 3038. 2---—.
12 Lj "(Р + ж?) 6
8043. 2ла p— (-у")2e«— ----• • •] ’ где 8 “
вксцентриситет эллипса. 3047. -----. 3048. In (I + а) при
nl
|а|< 1 ж In fl + —при |а| > I. 3049. 0 при
а* к а /
|а| < 1 и я 1па* при |а| > 1. 3050. 2-10-*. 3061. —.
з
3062. 2. 3063. —.
7
3064. а~ 3065. а) Нет; б) да; в) да;
г) да. 3066. Расходится к нулю. 3067. Сходится. 3068. Схо-
дится прн р > 1. 3069 Расходится к иулю. 3070. Сходится
при любом р. 3071. Сходится, если ах — а. 3072. Сходится,
р р
если У, ai = 22 bi. 3073. Расходится к нулю. 3074. Сходится,
3075. Сходится. 3076. Сходится. 3077. Сходится при
любом х. 3078. Сходится при любом х. 3079. Сходится
при |х| < I. 3080. Сходится при |х|< 2. 3081. Сходится
при | х | > е. 3082. Сходится при любом х. 3083. Сходится
при |х|< 1, р, произвольных и при х= ± 1, р > J, q>
>-i-. 3084. Сходится при любых х и р. 3085. Расходится.
3088. Сходится условно. 3089. Расходится. 3090. Сходится
абсолютно, если р > 1; сходится условно, если — < р 1.
2
3091. Расходится. 3092. Расходится. 3093. Расходится.
3094. Сходится условно. 3095. Сходится условно. 3096. Рас-
ходится. 3097. Сходится абсолютно при а>1; сходится
ОО
1 V1,1 J (х)
условно при — < а 1. 3109. F' (х) = F (х) у , -р-2--------------;
л=1
Z I fn to | < + °°. рл to I < СП 2, . . .). где 22 с„ <
Л=1 Л»1
< + <ю. 3111. 157,970-f-6-0,0004 (0 < 0 < 1). 3112. 10»«-7,7X
х (' + ^г)"в1< '>• 3"3'
3114. 10»-1,3784 14
~) (|9|<1). 3115. 1042-4,792-^1+
3116. 0.124.(1 (PI < 1).
3117. 0,355-^1+-^_^ (|6|< 1). 3118. (2п — 1)11 = V2 (2л)пХ
Хе"я+в»/12п Ц0я1 < 1). 3119. (|0„| < I).
3120. а) 1; б) е; в)—; г) 1. 3121. Р, (х) = 1 -
2
-----— х------------— х* + —5— х3; Р, (— 1) « 3,43;
21 14 42
Р, (I) = - 1,57; Р, (6) » 8,43. 3122. у = ув 4- ^-(х-х,)+
2Л
4- У1 ~2^±у—(х — х0)«. 3123. у = 0,808 4-0,193х —
— 0.00101Х*. 3124. sin х° да Г1 — ( ——Y]; sin 20°да0,341;
288 L К 150 J J
sin 40° да 0,645; sin 80° да О,994. 3125. Р (х) = — (7х* — 4х*).
3
3126. 7 — . 3127. fl„(x) = x; Вп (х) = х»4- х(1~х) ; Вп(х)=>
3 п
1—Ч (*—) **+—Г1—Ч **+-тх 3128- fl»(x)=
\ п J\ nJ п \ nJ п2
312». Вп (х) = 4" t1 “ х> (’ + х>* + ПТ" 0 + *>*• 3,3°- fl*« (х) а
О 16
4^)7
3131. Вп (X)
+ {^/Л_1)_£=1£
’ л , . 2х
COS----к i---SIH'
, 2п л
л . 2х .
cos-------1-----sin
2п л
Ъ -а. 3132. Вп(х)
где i2 = —I. 3135. ом_х(х)=-у
V* п—1г cos(2fe—1)х
Zu 2л—1 (2k — 1)»
ЧАСТЬ II
ОТДЕЛ VI
3136. Полуплоскость х > 0. 3137. |х| < 1;
3138. Круг ** + I- 313». Внешность круга х2 4- У*> I.
3140. Кольцо 1 < х* 4- У* < 4. 3141. Луночка х < ** 4- У* <3
< 2х. 3142. — 1 х2 4- У < 1. 3143. Полуплоскость х 4- У <3
<0. 3144. Пара вертикальных углов j у | < | х| (ж Ф 0).
3145. Пара вертикальных тупых углов, ограниченных прямыми
у = 0 и у = —2х, включая границу без общей вершины О (0, 0).
3145. Криволинейный треугольник, ограниченный параболами
у* = х, у2 = —х н прямой у = 2, исключая вершину О (0, 0).
3147. Семейство концентрических колец 2л k С ** + у* < л X
X (2fe + 1) (А = 0, 1, 2, . . .). 3148. Внешность конуса ж* +
+ у2 — z* = 0, включая границу за вычетом вершины. 3149. Со-
вокупность четырех октантов пространства. 3150. Внутренность
двуполостного гиперболоида ж2 + у2 — г2 = —1. 3151. Парал-
лельные прямые. 3152. Концентрические окружности. 3153. Се-
мейство равносторонних гипербол с общими асимптотами у =*
= ±х. 3154. Параллельные прямые. 3155. Пучок прямых с вер-
шиной в начале координат, за вычетом вершины. 3158. Семей-
ство подобных эллипсов. 3157. Совокупность равносторонних
гипербол, асимптотически приближающихся к осям координат и
расположенных в I и III квадрантах. 3158. Семейство двузвеи-
ных ломаных линий, вершины которых расположены на оси Оу,
3159. i н III квадранты при 2=0; семейство двузвенных ло-
маных линий, звенья которых параллельны осям координат,
а вершины расположены иа прямой ж + у — 0 прн z > 0.
3159.1. Линии уровня—стороны углов, параллельные поло-
жительным направлениям координатных осей Ох и Оу, с верши-
нами иа прямой у = х. 3159.2. Семейство контуров квадратов
с общим центром О (0, 0), стороны которых параллельны осям
координат Ох и Оу при z > 0; точка О (0,0) при г = 0.
3159.3. Прямые, параллельные оси Ох, если г < 0; стороны
углов, параллельные координатной оси Ох и положительной
полуоси Оу, с вершинами на параболе у = х2, если г > 0; поло-
жительная полуось Оу, если г = 0. 3160. Пучок окружностей,
проходящих через начало координат (не включая этого начала!) и
С
ортогональных к оси Ох. 3161. Кривые у —-----. 3162. Кри-
ln ж
С+х
вые у = ——. 3163. Семейство окружностей с центрами на
In х
оси Ох, ортогональных к окружности х2 -f- у2 = а2. 3164. Се-
мейство окружностей, ортогональных к оси Оу и проходящих
через точки (—а, 0), (а, 0), за вычетом последних. 3165. Прямые
к = тл и у = пл (т, п = 0, ±1, ±2, . . .), при z = 0; система
квадратов тл < х < (т + 1) л, пл < у < (п + I) л, где
(—1)т+л = г, при г= —1 или г=1. 3166. Семейство парал-
лельных плоскостей. 3167. Семейство концентрических сфер
с центром в начале координат. 3168. Семейство двуполостных
37-2383
гиперболоидов при и < 0; семейство однополостных гипербо-
лоидов при и > 0; конус при и — 0. 3169. Семейство эллипти-
ческих цилиндров, обшей осью которых является прямая х +
Ч- у — 0, г — 0. 3170. Семейство концентрических сфер ж* 4-
+ У* + г* = яп (п = 0, 1,2,...), при и = 0; семейство сфе-
рических слоев яп < х* + у1 + г* < я (л I), где (—1)" = и,
при и = —1 нли и — 1. 3171. Цилиндрическая поверхность
с направляющей г—[(у), х— 0, образующие которой параллель-
ны прямой у — ах, г = 0. 3172. Поверхность вращения кривой
г — [ (х), у — 0 вокруг оси Ог. 3173. Коническая поверхность
с вершиной в начале координат я направляющей: х= 1, г =
= I (у). 3174. Коноид с иаправляющей: х = 1, г = £ (у), обра-
зующие которого параллельны плоскости Оху, 3176. /0,—
- f (х, у). 3177. Vl + X* • 3178. НО = 21 + Р- х - х - 1 +
+ Vy (* > °)- 3179. Цх) = х* — х; z = 2у + (х — у)*.
3180. f(x, у) ~ х» 1 ~. 3183.1. Нет. 3183.2.0; нет. 3184. а) 0,
1 +У
1; б) —, 1; в) 0, 1; г) 0, 1; д) 1, оо. 3185. 0. 3186. 0. 3187. а.
2
3188. 0. 3189. 0.3190. 1.3191. е. 3192. In 2. 3193. а) —
2
С • б) — < ч> < — и 5я < <р < —. 3194. Точка раз-
2 ’ 4 4 4 4
рыва: х = 0, у = 0. 3195. Все точки прямой х + у — 0.
3196. О (0, 0) — точка бесконечного разрыва; точки прямой
х + у = 0 (х #= 0) — устранимые точки разрыва. 3197. Точки,
расположенные на осях координат. 3198. Совокупность точен
прямых х — тп а у = пя (т, л = 0, ±1, ±2, . . .). 3199. Точ-
ки окружности х* + у* = 1. 3200. Точки координатных пло-
скостей: х = 0, у = 0 я z = 0. 3201. (а, Ь, с). 3203.1. Равно-
мерно непрерывна. 3203.2. Равномерно непрерывна.
3203.3. Неравномерно непрерывна. 3203.4. Функция непре-
рывна' иа Е, но неравномерно. 3212. (х, 1) = 1. 3212.1.
£ (0, 0) = 0, f' (0, 0) == 0; функция иедиффереицируема в точ-
ке О (0, 0). 3212.2. Функция недифференцируема в точке
0(0, 0). 3212.3. Функция дифференцируема в точке 0(0, 0).
3213. — == 4х» - 8ху*, — = 4у3 - 8х»у, = 12х2 - 8у»,
дх ду дхг
-^—=> — \6ху, = 12у2 - 8х*. 3214. — = у+ —;
dxdjy ду1 дх у
Z£
ЛД + 1) Je Др»р iXQ
Дг v ”4 xz nte
, ?>+i _ Др , B*+l , ЛД 4* «*) _ ^e
i ; t(^4“lx) np I Др»р , ng “’•° t(^+»x) ^g fixz , »Д4"«* ”гё _ яе
«Д Iх , J + tx xe ”«P •ЧЧЧЛ • . fixz ^fl + x) ”sP _ ^P t »^Д + X) ”e
Я fi^xe . ' ng «(»д + x) (гД — x)Z »»P »»P , <fi + x = Дг г «g t ^ + x
" tijg xe ₽=- IKS I »IP , t^e (Q<x)xlu\l(x = —— "гё Дг • (x ui я ”e i 4- i)1-йх = - лехе ntg
гхе . x₽ . e ‘xuinx = — \-tfxfi—— огге
я •-—Eoas Vе fi X—— uis sx fi X —— uis Я Л fi <д Je Я ,~^~x3X X я • —posx tx __
tx fXZ * tx Ji Л »oas - s*fr sX Ji й Я J- •»« «Д xz txz * nte Дрхр nte я
t»8 * »* г я xg = 'eize я nte J t» r_ . 1* np •*
v гээ “ tx soo г «te txe uis xz
nte fig tx soo jXfr 4- tx uis z я xg nte tx sw »Др •(Д4-х)Щ5»-= —
~ ng tx uis xz np OIOV
Ядхд
*(Й +») UIS х — (Я + x) SOO --------
»xp . > й₽
= —~ ‘(й + X) SOO X = ——
пгв «е
‘(fi + x) uis x — (Д + x> soo Z =
• (fi + x) soo x + (Л 4- x) uis =
xe ' ______tfie , s/st^-1-»*)
np £1E£ (JZ — ,x)x ~ ng (tfi — txz)fi
fyxe , »/»<^+»X) _ tXQ t 1/^+^}
n& Jx^ fix
fie i/ctf + i*) *e Л «Др . Л
np ng XO) nte z
^xp fXg
=------- <0 =-------
nte *te
. »Д _ «Др . *fi
xz ~ «te i
t j*______ др , _d_ _ _Z_
»Z — np | ng
йехе , t*e , S
= - ... - • о ----- •---— x
nte w ч,£ x
SIS£
Др
ng
6ZS
juasxo
(ху#=1). 3224. —
дх
д2и__________2х | у |
дх2 ~ (х2 + у2)2
IУI du _ xsgny
х2 + у2 ’ ду х2 + у2 ’
д2и(х2 — у)2 sgn у д2и _
дх ду (х2 + у2)2 ду2
3225. ди X
дх (х2+у2 + г2)3/2 ’
д?и Зху
дхду (х2 + у2 + г2)6/2
2х|у|
(ха + у2)2
(У=#=0),.
д*и 2х2 — у2 — г2
дх2 (х2 + у2 + г2)6/2
ди u In х ди ____________ уи д2и у (у — г) и
ду г дг г2 дх2 х2г2
д2и и\п2х д2и уи In х х дги
-----------------, --------- —-------(2г + у In х), -------=
ду2 г2 дг2 г* * дх ду
(г + У In х) и &и уи (г + У In х) д2и
хг2 дх дг хг? ду дг
= - “‘П*(г + У1пх) (хг 0) 3228. _ди_ = * ди_ =
г3 дх х ду
,, । ди । д2и у2 (у2 — 1)
= zy21ulnx, ------------- у2 и In х In у, -----— ? ----------— и,
дг дх2 х2
д*и дги
•----= zy*~2u (г — 1 + гу2 In х) In х, -----= уги (1 + у2 In х) X
ду2 дг2
1 । г d2u г у2'1и д2и у2и In у t
X In х In2у, ——- = -----(1 + у2 In х), —= -г-------------X
дх ду х дх дг х
д2и
X(l + y*lnx), ---------- = у2~1и In х[1 + г In у (1 + у2 In х)] (х >
ду дг,
> 0, у > 0). 3230.1. fxy (0, 0) не существует. 3235. du = хт~1 X
Ху"-1 (ту dx + nx dy), d?u = х?'~2уп~2 [т(т — 1) у2 dx2 + 2тп X
X ху dx dy 4- л (л — 1) х2 dy®]. 3236. du — > d?u =а
У*
вг-----dy (у dx — х dy). 3237. du = Х , <Ри^
у2 V X2 + у2
(ydx — x dy}2
(x2 + y2)3/2
(у2 — x2) (dx2 — dy2}
3238. du =
— ixydxdy
xdx + ydy
x2 + y2
cPu =
(x2 + У2}2
. 3239. du = exy (y dx +
4- xdy); cPu = exy [y2dx2 4- 2 (1 4- xy) dxdy 4- x2dy2].
3240. du = (у + г) dx + (г + x) dy 4" (x 4" y) dz, d2u = 2 (dxdy 4-
. . . . . . . . (x2 + yi}dz — 2z(xdx + ydy)
+ dydz + dzdx). 3241. du =-----------------(x2 +y2}2-----------’
2z [(3xa — y2) dx2 + Sxydxdy 4- (3y2 — x2) dy2] —
— 4 (x2 + y2) (xdx + ydy) dz
(x2+y2)3
3242. dx — dy, —2 (dx — dy) (dy + dz). 4244. a) 1 + mx + ny‘,
б) xy; в) x + y. 3245. a) 108,972; 6) 1,055; в) 2,95; r) 0,502;
д) 0,97. 3246. Диагональ уменьшится приблизительно на 3 мм;
площадь уменьшится
шить на 1,7 мм. 3249.
3251.
3256.
Гх (х, у) н f' (х,
54и
приблизительнона 140 см2. 3247. Умень-
Д « 10,2 м3; б « 13 %. 3250. Д ж 7,6 м,
у) не ограничены в окрестности точки (0, 0).
3257.
3259.
дх*
д2и
дх2ду
д3и
= 24,
= 0.
7---=0.
дхдудг
4- х2у2г2). 3261.
д*и
-------= 0,
дх3ду
----------- - 16.
дх2ду2
3258.
3260.
д*и
д*и
дх3ду3
+и
дхдудг
6 ,
= — 6 (cos X + cos у).
= +у2 (1 + Зхуг 4
48(х-Е)г(У~П)г
дхдуд^,дг\
где г = V(x — |)2 + (у — Т|)2.
д™и
3262. ——— = р!<?!.
дх^дх4
ч„й„ 2(— l)m(rn + л— 1)1 (лх-j- ту)
О/ОО. "" ' 1 1 1 " '',г ’
(X + у)'П+Л+1
3264. е*+» X
X [ха + у2 + 2 (тх + пу) Ц- т (т — 1)Ц-л(л—1)]. 3265. (х4*
ЛЯ
4-P)(y 4-0) (г 4-*•)«'+»«. 3266. sin—— . 3267. F (t)
s= f (t) 4- 3tfn (f) 4- f2fm (t). 3268.
d*u
>— 2dxdys 4- dy4); ——— = 24,
ox4
d*u n d*u
------------ 0 ---------- — 12,
дх2ду2---dxdy3
= 6 (difi — 3dx2dy 4- 3dxdy2 4- dy3).
d4u = 24 (dx4 — 2dx2dy —
-^-= -12,
dx3dy
d*u
dy*
3270.
= 24. 3269. d?u =
<Ри = — 8 (xdx +
4- ydy)3 cos (ха 4- У2) — 12 (xdx 4- ydy) (dx2 4- dy2) sin (xa 4- ya).
91 (dx 4- dy)10
3271. d!°u= —------------—y - -
(x4-y)10
3272. dcu= — (dx3 —
— 15dx4dy2 + IMx’dy* — dy*) со» x ch у — 2dxdy (3dx* —
— 10dx2dy2 + 3dy*) sin x sh y. 3273. <Pu = bdxdydi. 3274.
rfIu = 2(-^- + -^y- + -^-Y 3275. d«« = e"*^X
\ X* y* 2s J
X (adx + My)". 3273. dnu = £ C* %<"-*> (x) Y& (y) dx^'dy*.
*=0
3277. dnu = f(n> (x + у + г) (dx + dy + dz)n. 3278. dnu =
= e<u+bv+a (adx + My 4- cd2)n. 3280. а) А и = — и,
A2u = u; б) Ли = 1, Л2и = 0. 3281. а) Ди —0; б) Ди =
= 0. 3282. а) Д1и = 9((х» —уг)» + (у« —х?)24-(г» —ху)2],
Д,и — 6 (х 4- у 4- г); б) Д1и = -^—, где г = -у/х2 4- у2 4- г2 ,
т*
Д2и = 0. 3283. -у—= 2xf'(ха 4-У* 4-г2); ~Й" =
дх дх*
~~т — /п 4- У2/Й 4- У2г2/зз 4- 2yf'u 4- 2уг{ 13 4- 2y2zf23‘, ’ ="
дх2 ду2
- - - ^и - д*и
= x2f22 4- 2х2г/гз 4- х^/зз; —= *2у2/зз;
дг2 дх ду
= xyfn 4- хуг2(за 4- х[12 4- xzfi3 4- 2хуг/гз 4-/2 4* г/з;
д*и
дхдг
— xyfи 4- *У2/гз 4- xy2zfs3 4- у/з; ——— = х2у/гз 4- х2уг/зз 4*
ду дг
4- xf'3. 3280. = fn4-(x4-y) fi2+xy[’И4- f'2. 3287. Ди = 3/п+
4-4(х4-у4-г)/;24-4(х24-у24-22)1я4-6/2. 3288. du =.
*=f' (t)(dx + dy); d,u = r,{f)(dx + dyf. 3289. du =
л-rw -a-w x
am,
д. = Г-±^)- +,,.„И*-. >MI. M_
x’ + y* (x’ + y2)372
= f (0 df, <Pu — f (f) dt2-)-f'(f)d2t, где dt = yzdx 4- zxdy 4-
4- xydz н d?t = 2 (zdxdy 4- ydxdz 4- xdydz). 3292. du — 2f' X
X (xdx 4- ydy 4- zdz); d2u — 4f* • (xdx 4- ydy 4- ate)2 4 2Г • (dx* 4-
4- dy1 4- dz2). 3293. du = af^dx 4- bf’^dy; if и = ff^dif 4-
4- 2abfi2dxdy 4. fc^^dy2. 3294. du = ft-(dx 4- dy) 4/2 X
X (dx — dy); d2u = f\(• (dx 4- dy)2 4- 2f’l3^(dx2 — dy2) +f'22X
X(dx-dy)2. 3295. du = f'l-(ydx + xdy) + f'3-
d2u = ft t • (ydx 4- xdy)2 4- 2fl3 -У— -*dy 4- X
X JH*-*W* + 2f[.dxdy _2fj. ...(ydx-*y)dy .
3299. du = f'l-(dx + dy) + f2-dr, d2u — fu-(dx + dy)2 +
4-2fJ2-(dx4 dy)dz-)-f'32-dZl. 3297. du = (dx 4 dy 4-dz) 4-
4- 2f2-(xdx + ydy + zdz); ( A - • (dx 4 dy 4 dz)2 4 4^2 X
X (dx 4- dy 4 dz) (xdx 4- ydy 4- zdz) 4 4fz2 (xdx 4- ydy 4- zdz)2 4-
4- 2fe- (dx2 4- dy2 4- dz2). 3298. du = h- ydx~xdy- 4.
Уг
, zdy — ydz „ (ydx —xdy)2 ,
4- f2 --------; d2U = /!! ------------4-
z2 y*
I (Ifdx —xdy) (zdy — ydz) , . (zdy — ydz)2
+Я“---------------------------+ to--------}-----—
_ . Ud—«l^y--------------.....32M л_
у2 г2
•= (fi + 2tf24* З^/з) dt; ^u = (f1( 4- 4tfK 4- 4f2fJ24- +
4- 12/Va + 9/4/« + 2/i + &ff3) dt2. 3300. du = af'tdx 4 bf',dy 4-
4- cfaz; d2u = a2fndf 4- tff'ndy14- c2/^*? 4- 2abftidxdy 4-
4- 2acf\^xdz +2bcf2^ydz. 3301. du = 2f’,’(xdx 4 ydy) 4.
+ 2f2(xdx—ydy) 4- 2f'3-(ydx + xdy); fu — 4fn-(xdx 4 ydy? +
4- 4f^-(x dx—y dy)2 + 4 fa- (у dx-j-x dy)2 + 8fJ2- (x2dx2 — y2dy2) 4-
4-8fi3-(*dx4-ydy) (y dx+ xdy)-f-8f23-(x dx— у dy)(y dx 4-xdy) 4-
4- 2fj- (dx2 4- di)2) 4- 2f2' (dx2 — dy2) 4- 4fadx dy. 3302. dnu =
= /(") (ax 4- by 4- cz) (a dx 4- b dy 4- c dz)n. 3303. dnu =
/ d d d \n
M adx-—- + bdy——4-cdz—- f(& t). £), где £ = ax,
\ dl dt) o£ /
[f d d
dx I —— 4- a2 —— 4-
\ dg dr)
d \ , d , d , d \ , ( d .
4- 03 ~TT-14- dy I bt —— 4- b2 4- b3 —— I -г dz I cx —- 4-
di J \ ag at] d£ J \ d§
. , d 4" Ci "7 + сз dt] d£ )] 'f& n. 0. 3305. F(r) = f" (r) + -y x
X f' (r). 3316. 1. 3319. xyz. 3331. x dz dz
dz 3332. 2x — 4- У dx dz dy -= 2z. 3333. dz dz У T~ — x = dy dy 0.
du . du du 3335. du du
JJJ4. л 1 _ dx dy dz X л "Ь У Л dx dy
rill + z = 0. 3336. dz d2z (Pz dz X
~ U. иООЛ dxdy dxdy dx
X —. 3338. - dy &z dx2 d2z _ dy1 0. 3339. dz dz x ~T~ + У =2- dx dy
3340 x2 № ..3 d2z dz dz == 0. 3341. 1
334°- dx2 У dy2 dx У dy
— V3 . 3342.
dz л
----= cos a 4- sin a, a) a = —;
dl--4
6)
5я
4
a =
2
Vxo+ Уо
Зя 7я
в) a = —— и a =» ——.
4 4
3344. —— V2 (a2 4 b2) . 3345.
ab
3343.
du __
~dT~
«= cos a 4- cos [J 4- cos 7; | grad и | = д/ 3 •
3346.
I grad и | =
1 s=? । ! ^0 cos (gradn, x) = ——— > cos (grad ut y) « r0
. Ho tsa 9 r9 cos(grad u^z) гдег0 = д/*о+('о + го r0
3347. 2 d*u d*u 3348. » 3142. 3350. —— = cos «+ dP dx2
, <Ри <Ри .. п д*и „ „ &и
'r-r-r‘cos ₽ + TTc0S V + 2 д д cos a cos ₽+2—— х
ду2 дг2 дх ду дх дг
д*и ди
X cos а cos у 4- 2 —--cos В cos у. 3352. — «=» — 0.5.
ду дг ду
3353. и'хх (х, 2х) = и"уу (х, 2х) = —4/Зх, иху (х, 2х) =• 5/Зх.
3354. г = х<р (у) + ф (У)- 3355. г = ф (х) + ф (у). 3356. г =
= «Ро (*) + 1/Ф1 (х) +. . . + у”-1 ф„_1 (х). 3357. и = ф (х, у) +
+ Ф (х, г) + X. (У’ г)- 3358. и - 1 + х*у + у* — 2х*. 3359. г -
= 1 + ху + у\ 3360. г = х + у* -|- 0,5ху (х + у). 3362. Нули
функции f (х) не могут целиком заполнять никакой интервал
(а, Р) а: (а, Ь). 3363. Множество нулей функции f (х) должно
быть нигде не плотным на интервале (а, Ь), причем каждый нуль £
функции f (х) одновременно есть нуль функции g (х) и сверх
того существует конечный предел lim [g (x)/f(x) j. 3364. 1) Бес-
численное множество; 2) две; 3) а) одна; б) две. 3365. 1) Бес-
численное множество; 2) четыре: у = х; у — —х, у= | х | и
у — —|х| ; 3) две; 4) а) две; б) четыре; 5) одна. 3366. 1) Ни-
где е= — 1, 1. 3367. Точки ветвления: (—1, 0),
<0. 0>. (1. 0); , . .(.) У
(| х | < 1), где е(х) = —1, 1, sgn х и — sgnx. 3368. Мно-
жество значений функции ф (у) должно иметь общие точ-
ки с множеством значений функции f(x). 3371. у' «
х+у . 2а2 оо,„ , х + у. „ 2(хг + у«)
3373. Ч X 1 1 1 4 1 'и 1 S * са С С h 1 < 1 1 " " "м S’ 1 •• •
у — 1—ecosy (1—ecosy)3
3374. t у3(1-1пх) . , у»1у(1-1пх)»-2(х-у)Х
У — х2(1 — 1пу) х*(1 —1пу)3
X (1 — In х) (1 — 1п у) — х (1 — 1п у)а]
ж4 (1 — 1п у)’
3375. у' = —;
X
y" = 0. 3378. y\ (0) = - 1; yj У2(О)“—V$3 ; уз(0) = л/3. 18 (0)^1. 3379. У', (0)= 0; 2x4- у .
x4-2y ’ 162x
s (x4-2y)» ’ * U+2y)» * “"*• * |Г=-4-; y"=-4-. 3383. L; -* = * 3 * 3 dx z dy у . d®z x® + z® d*z xy
d*z z ’ dx1 z® y®4-2® ’ dx dy dz yz 2» ’ dz
dy* — " ... <MO4. 2® XZ d®2 dx z*— xy ’ 2xy»z dy 9z
Z® — xy ’ dx® 2x»yz d®z (г2 — xy)3 ’ dy2 z (z* — 2хуг® — х-у») ,л„.
dz (z2 — xy)* ' dx dy dz 1 (г® —xy)2 d®z d»z _ d®2
dx dy x4-y4-z — 1 . *+у+* ’ dx® dx dy dz xz dy® dz
(x+ У 4-2-1)» ' ““W‘ уг _ d®2 dx x2 — y® У*г dy d®z
x2 —y»® ’ Jx® xyz d®2 (^-У2Г ’ X®2 dxdy . dz
(x»-y2)2 ’ dy* dz d*z (X® — у®)® dx d«z d»z „
Mfif dy 1 dx® 1. a) —2; 6) — i. 3389. 1 . d®z 394 dxdy dy* d*z 2 . — V. &Z
dx® 5 * dxdy & f x dx 3399. dz=- —(-=—4- г К a® . z® \ dx® । 2xy 1 <,) , (1—yz)dx4-(l — xz)dy ,
4-- +{ 5 ’ dy2 “ 125 ' *-H(t
““ 1- *y
2 {у(1—yz)dx®4-[x4-y—z(14-xy)|dxdy4-x(l — xz)dy2)
U-xy)®
3392. dz —+
d®2 =
У (* + «)
8393. dz = dx--------;
(x —г)® 4-у (y 4-1)
2(x-z)(y+l)l(x-z)®4-y»l .
I(x-z)2 + y(y4-l)l’
^(ydx — xdy)*
у»(х + г)*
d®z =
3394. dUsa
u*(dx + dy) — Aix 9*2
" • w«&,
u[2(x4-y)—u] dxdy
4(x-2)(y-2)
(F',4-22Fi)3
X [F2 Fh — 2F1F2F12 4- Fi F22] —
2(F;4-2xF;)(F;-r2yF2)F;
dz Ft — F3
3396. ----------;----
dx f2- F3
3397
f;-f3
dx
14- 1
F3
дг
ду
ffz
дх*
— Fj-;
+ (Fi + F2'fF33J. 3398, fai — ~ (xF i + ^2)
X (F'iF’u ~ 2F;F^;2 4- FfF^) - 22 (xFj 4- yF'2) f;’j
X
F« F.. —- 2F.F*F«о + Fj Fgj
3399. a) d*2=-—* 2 11 ; r j2 — (dx —dy)*;
б) <Рг
3399.1 ds =(2dx — dy);
i3
22
------(ydx — x dy)*.
2
(2^x’ — 5dxdy +
Z43
4-2dy*). 3401.
3402. — = 0,
dx
3403. — =
dx
xu + yo ,
-У
d*x
ds*
yu— xv
dy_____2 —X
d« x — у
d*y 1
d2* “ 4
du xe—yu
dv
dy
x* + y*
-f-У* dx
(x*4-y*>0).
x*4-y* ’ dy x*4-y*
3403.1. du =-----—dy; dv=*
3
dy _ I
...ss •— If
У — 2
«-d^JLdy. 3404. du= l!Lnt,±jE£”t,)^-<sin“-xcosg).&.
3 X COS V 4- у cos и *
d!!^ — (sin v-y cosu) dx t (sin «4-У COS u)dy .
XCOS?4-yCOSU X COS V 4- у cos и
(2dx cos о — xdo sin o) dv didy cos u — ydu sin u) du
X COS V 4- у сое U
X COS V 4- у сое и
3405. du ss — (dx 4-dy); dv=—dy------— (dx — dy); <Pu**d&3
2 4 2
cPv = -J— (dx — dy)3.
2
3406. =2f/ +— Y —=3^4-
dx \ t J' dx V
d3y
dx3
= 2;
-^- = 6p +— ).34О7. —;
dx2 \ t ) 2 ’
dz л dz 3 , . . . . . оллт t dz
-------- — 3ua; = — (u + a) (u + a). 3407.1. ------ -
dx---dy 2 dx
— = _ —. 3407.2. 3408.
dy 2 dx dy 121 dx3
sin2 tp+cos3 1 tp cos2 ip 3409. d3z sih2a <Pz = —— , ——— =3
sin3 <p dx3 u3 dx dy
cos 2a d3z _ sin 2v 3410. dz = 0; dtz —
u2 ’ dy3 u3
3411 2(x2 ~Уг) dtz 4x—2y .
®= ’“"“У ). dx X — 2y ’ dx3 ~ x—2y 1
4- 6x ЯЛ 19 du 1 J_ (x+l)(j/-x)
(x—2y)3 dx y+z ' (z-H)(y+z)»
du x + z . (y+1) (У—Х) eV*. 3413. — -X
dy (y+z)3 (г+D (y+z)3 dx I
' dip dx dip dx \ dz_________1 / dx dtp
. du dv dv du ) dy I \ du dv
dtp
du
dx
rM / = J’S. Л dip dg> du dv du dv 3414. — dx 1^ I d3tp du3 dip . dv ' dtp dv du — sa dy Шх J
ES 1 I dtp . dv * dPu _ dx3 1 (f dip l\ dv
I3
xl r dip L dv )’-2, / dip d2tp к dv du dv dtp dv d2^ S da dv ) ' du dip , dv \ dv
d2? dtp d’lp \ / dip ' d3u 1 (/ dip d3tp
X dv3 dv dtp J \ du Г}’ dxdy I3 l\ dv du3
dtp +ip \ dtp dip ( dip d3tp dtp d*ip \ f-^-x
dv du2 J dv dv \ dv dudv dv dudv J V du
X
dv
dv
dip , dtp dip
dip d2tp d<p d2!]? \ dtp dip
dv dtp dv da2 ) du du
d2u _______1 [/ dip d2tp dtp d2^ \ / dtp \2__$ / dip
dy3 I3 (\ du du3 dv du3 )\dv) \ dv
dip d2tp dtp d2ip
dv dtp dv dtp
„/ dtp \2) , dtp dip dip dip . du
\ du J) du dv dv du dx
v du . v dv f . v v a \
= cos —; -------= sin—; ---------=—(sin------------cos—I;
и dy и dx \ и и и )
X
d2tp
dtp d2’p
du dv dv du dv
dq> dtp ,
du dv
dv _ V , V . V cos — sin —; и и и 6) du sint>
dy dx e“(sint>—cost>) 4-1 *
du — COS О dv — (e“ — cos t>)
dy e“ (sin n—cos u)4-1 ’ dx и [eu (sin v — cos v) 4- 1| *
dv eu 4- sin v du I d?u 3416. — = —•
dy и [eu (sin v—cos t>)4- Ц dx 1^ dx2
I- d + ,,AYf+l<V!>.(V+
/Ji d(y, 2) V dx dy dzjj d(y, z) к dx '
+ 4 “7~ + h dy _£_Y g+ _d<f‘ e) dz J d (у, 2) pt 4- 4 \ ox 9 1
dy
где /l = _^L, d(y, г) d(g, h) d(z, x) , /3 =
= и z =s D(f,__g, h) . 34J7 du _ df . du
d(*> y) D(x, y, 2) dx dx ’ dy
_JL + _^, „е,1 = ^Ч
ду ltdy d(z, t) д(г, t)
3418. =_/!_; _^ = _4_; -^_=JL, где /,=
дх I dy l дг I
d(g,h) , d (h, f} , d(f, g) Dtf,g,h)
----------> 12 = -------- I ‘3 — ------ H ‘ =--------.
d (u, uj d (v, to) d (v, to) D (u, v, to)
3419. где /1 = .^L.g)., /1= ^Lg)..,
/3 d(x, t) d(y, t)
3431. x"'4-xx'5=0. 3432. xiv=0. 3433. — _
d (2, t) dt*
—f (—Y=°- 3434- +у=°- з435- ——3 +
\ dt ) dt2 dt2 dt2
4- 2 — 6y = 0. 3438. 4- n2t/=0. 3437. _^-4-/лг»=0.
dt dt2 dt2
3438. u" 4- [<7 (x)------- P3 (X)--L p' (x)] и = 0.
L 4 2 J
3439. -±±.4-
dH
4-(«4-3) —4-2u = 0. 3440. -^ = 0. 3441. —— = 0.
dt dt2 dt2
3442. 4- 8u f—Y = 0. 3443. t* 4- (3/4 4- 1) 4-
dt2 \dt J dt* dt2
+ —=0. 3444. u"—u'=«---------------- u. 3448. Ф (1, u, u'4-u2)=0.
dt (a — b)2
3447. F (xu' 4- u2 — u, u, 1) = 0. 3450. — = r. 3451. r’2 =*
dq>
e= 1~sln2cp ,2. 3452. r(r2 4-2r'a-n-") = r'S. 3453. —.
sin 2<p r
8454. X = (?+z'2)^ 3455. — = kr\ -£?£.= — I dt dt
3456. ю = —/7*-^Ц. 3457. Y' = x; Г' = — • Y” =
dt \ dt J y"
u"
— • 3458. z= <p(x + У). где q> — произвольная дифферен-
цируемая функция. 3459. z = <f (x1 -|- y*). 3400. z = -}-
a
+ ф(у —M- 3461. z = xq>f-£-Y 3462. — sho.
\ x ) du de
8463. A-=-A_. 3464. — . 3465. -^- = —x
du do do 2 do v
X -4±2L . 3463. (2u + о - z) — 4- (u+2o-z) — = и +о-г.
гг — и du do
Зх । dx и
dy do v
3472.
3469. — =0. 3470. — = ——L. 3471.
dy у
3473.
du
^-£- + -S- + 3“ + <e5 + e’,+ et)=°- 3474‘ -?-=0-
o»j oC do
8485.
&u , I du , 1
Ид 4- 1 — 4-—— — .
T r Or^t* дф»
3486. к>= ——
дф»
3487. / = —
3488. u — <₽(x — at) + Ф (* + at), где <p и
функции. 3489. 3——| du dv h—= 0. 3490. du
3491. a ( d*z 4.2b 4. c(
dv ди dv \
dtf 0<р дг )'
ф — произвольные
-^- + -^- = 0.
Эи* ди*
*L__
до* до )
3492 - ^~г 4 д*г 0 34 9Я 312 +- 1 m*e*az=0.
du* 1 do* du* ' dv* '
3484. = 0. 3495. - d*z 1 dz 3496. d*z
du do du dp 2u do du dv
_ 2 dz 3497. {u*— V*) d*z
u (4 — uv) dv du dv du
d*z 3498. -^4-=-- do1 2u dz 3499. 312 + 1
u2 + v* du du do 1 u*—o4 k du
dz \ n 3500. \ d*z (Pz
— и | = 0. FI -1 4 -44-« 1.
du } \ dv / du dv dv do4
3501. и = <р (х + ф (хЦ-Х^),
где Xt и X» — корни
нении A + 2fiX + СХ» = 0. 3503.
урав-
du
dr ’
/Ри
1
а) Ди
б)
X
. .к . d*u , 2 tPu
Д (Ди) =------------------
dr* г dr3
<Pw , dw . п
------1-------1- сш = 0.
du* du
I cPu . 1_
г* dr* г*
3505. А = Х
д*и
дХ*
— . 3504. и X
dr
-Y-^- +
dXdY
ди
дХ '
fг
< К
3508. £
д*и , д*и , . д*и
--------h — г --------
д£0П 0$0£
3500. —+ ~—.= 0. 3510.-^ = 0. 3511. Alu =.
д£ ду} К*
ef^Y+—(—Y+—Г—Y; д1в = _1_х
\ dr ) г* V. 00 7 г2 sin4 в \ <3<рJ г*
«= 0.
_(> Jq+_L__L.(sil
k dr ) sin0 дд \
ю f J*L+=(_^_Y
k dx* dy* ) \ dx )
3514. -^. = 0. 3515.
do* du*
+_^L==to. 3517.-^
ди до ди*
du у 1+ ’ 0»U I
00 J 1 1 sin»0 0<₽2 J’
r dw > >2 fpw
I . 3513.
I dy / du*
I 3516. d*w . du*
2
&w =0. 3518. d*w .
— h du*
। 0V*
X
<Э2ш . / dw V . f dw V .
3519. - - =--------------.
du dv 4sin2(u—p)
-^- = 0. 3524 *L +
du dv d£2
- d*w д^ш
3520. —---|-^_в0. 3523.
du* dv*
d*w , d*w _ dw . dw
Т dr? ±~d^~~~d^+~d^
+(^)г + (^")2]‘ 3526’ х=^(гт'(г)- 3527' Л(Л’ У)Х
X ——2B(X, Y)~^— +C(X, Y)~ =0. 3528. ------------— =
dY* dXdY dX* —cosasinto
----------г------—-------; г — Zo = (x—x0) cos atg/0 + (y—
— stnasin/0 cos/e
— y0) sin a tg t0, где xa = a cos a cos t9, yt = a sin a cos t0, *o =
= a sin t0. 3529. -i- 4- — = 1, (/ = —; ax— сг = — (a2-c2).
a c 2 2
OK,n x~ 1 У— 1 «—I. . , „ . oeo, *—1
3530. ------= —------=---------; х+у+2г=4. 3531. -----=
1 1 2 3
=-^-—-3x+3y—z=3. 3532. x+z=2; (/+2=0; x—z=
3 —1
=0.3533. AM—1,1,—1); Als(------i-, Д----i-). 3537. tg<₽ =
= £(x0. Уо) cos « + f 'y (z0- l/o)sin«- 3538- -77- =--“"•
3539. 2x + 4(/ —z — 5 = 0; —--=-2—- = -—
2 4—1
3540. 3x+4(/+ 12z= 169; — = — = — . 3541. 2= --
3 4 12 4
Л
2--
---L (x — y); -LzJ- я y~.L _-1_ . 3542. axax+
2 1 — 1 2
+ byoy + czo2 = 1; .X~XQ = У.~У9.. = . 3543. x+y—
AXq bye CZq
—2z = 0; —--1- = y~ 1 . =. -г~.1_. 3544. ж4.у„4г = ог
— 1—12
z —2 ... у—2 z—1
1 1 ~ —4 *
X cos ipo sin <₽o + — sin to = 1;
3545. — cos tb cos фо + — X
a b
xsectosec<po — a
be
у sec фр cosec <p0 — b z cosec to — c
ac ab
3546. x cos to +
. л. X — ra cos фо у — г0 sin фо
4- у sin фо — z tg а = 0; -— —---------=»
cos фо sin фо
_Е_—Г|* c*g ?- , 3547. ox sin ов — о.у cos р0 -f- u^z «= аи0Рр;
— tga
х — up cos op _ у —ил sin о» _ г — orB 3g48 3x_3y
a sin Op — acospp ue ’ ue
4—= 2. 3549. 4(0, ±2^2, T 2 V2 ); S(±2, T4, ±2):
«0
о* Ь* с*
C(±4, =F2, 0.) 3550. x=±-—, y = ±-, z=±-,
add
где Л я Va*+6*4-c» , 3551. * + 4y + 6z = ± 21. 3556. x2 -f-
-f-y2 —xy=l, z = 0; 3y2 + 4z2 = 4, x = 0; 3x2 + 4z2 = 4, y = 0.
3557. 6<0,003. 3559. совф=--72&г<> . 3563. — = Хр4.
о Vо2 + Ь’ дп
+ Уо + *»'< a) Xp==yp==Zp==—L-; б)х0 = уо = 2о=—^?=-;
в) на окружности х-\-у-^-г — 0, х2 + у2 + z2 = 1. 3564. — я
дп
=----------- , — . 3566. Xs + у* =• р2. 3567. у— ±х.
а/—+—+—
V о* + Ь* + с*
3568. у* = 4ах. 3569. Огибающей нет. 3570. х2/2 + у2/2 = РР.
о Ро £х$
3571. |ху|=-=—. 3572. у ------. 3574. а) у=0 — огн-
2л 2g
бающая (геометрическое место точек перегиба); б) у = 0— оги-
бающая; в) у — 0 — геометрическое место особых точек (то-
чек возората); г) х = 0 — геометрическое место двойных то-
чек, х = а — огибающая. 3575. Top (Vx2 + у2 — /?)*+ г* 5=3
= г*. 3576. х2 sin2 a + у2 sin2 ₽ + z2 sin2 у — 2xyX
Xcos a cos 0 — 2xz cos a cos у — 2yz cos (Jcos у = 1. 3577. |xyz|=«
-------- . 3578. |z± Vxa+ У2 | = p ^2 . 3579. X y- 1*4.
4л V3 Xp y0 I
_Jy г |2 + |z x |,</?t(x»+ys+ts). 3580. (x-x0)2+(y-
I Уо ?p I I Zb x0 |
- Ур)* = (z - z0)2. 3581. f (x, y) = 5 + 2 (x - I)2 — (x - 1) (y+2)—
-(У + 2)2 3582. fix, y, z) = 3Kx-l)2+(y-l)2 + (z-l)2-
-(x-1) (y-l)-(x-l) (z-l)-(y-l) (z-l)l + (x-l)»+
+ (y-l)’+(z- l)s - з (x - 1) (у - 1) (г-1). 3583. А/(1, -1)=
а=Л — Зй + ( — Л’ — 2Л*-М’)+ (h*k + hk1). 3584. f(x + h, y+k,
z+l) = f(x, у, z) + 2[h(Ax+Dy+E) + k(Dx+By+F) + lx
X(Ex+Fy + Ct)] + f(h, k, /). 3585. xH ~ Ц- (x- l)+(x- l)x
Х(у-1)+Я,(1+9(х-1), 1+0(у-1)) (O<0<1), где
Rt(*. у)a ~~ & dx +,n х-*у) + 3dx +ln *-<*y) x
X^----~ dx* + — dx dy) + dx*-------н dx»
«=*-I. dy = y—l. 3586. 1 - —(x2 + ^)----(x24-y«)s.
2 8
3587. a) 1-— (xs — уг); 6) — -j- x — xy. 3588. — (xy xz 4*
2 4
+ yz). 358». F (x, y) ~ (fxx + fyy)+-^ +$„) + '
3590. F (p) » f(x, y) 4- У) + f'Vu(x- »)]•
3591. ^(x,y)jA+yf^^'.
дх dy L-i L-z »»! (л—m)l dx'ndy"~m
д=3 т=Л
~ —
co
3592. F (p) = f (x, y) + V -i- A"f (x, у), где Д =
Zu (nl)8 \ 2 J
л®1
d* , 5s , m (m — 1) . , .
= ——. 4----. 3593. 1 4- mx 4- ny 4-2---' Xs 4- mnxy 4-
dx* dy* 21
4- n (wУ8 + • . (|x|<l. |y|<l).
3594.
mini
xmy" (|x| + |y|<l).
3596.
m,
3595.
m»0 nssQ
yn^jn+i
ml (2n + 1)1
m=sQ /i=0
хту2я
ml (2n)l
(I x| < +-OO. |y I <3 + 00).
tn»O «=0
г1Л1+1,.2Л+1
-------f-----У----------- (I X | < -t-оо. |y 1 <
(2m 4- 1)1 (2n 4- 1)1
< + оо). 3598. У У (— l)m ——У —
Li Li (2m)l (2n)t
mssO л=0
(|X|< + 00, |y|<
х"»у"
mn
(2n+l)l
(IX|<1. Iyl<l). 3601. f(x, y)=
(x-irfy + D1
m«0 n=0
mln!
ao
(IxK+oo, |y|<+oo). 3603. £ (-l)n(l + (x-l)](y-l)«
o=0
(— ОО < X < + ОО, 0 < у < 2). 3604. z = l + [2(x—l) —
— (tf - 1)] - [8 (x - 1)’ - 10 (x - I) (y- 1) + 3 (y - 1)’| +
4- . . . 3605. (0, 0) — изолированная точка, если a < 0; точка
возврата, если a = 0; двойная, если а > 0. 3606. (О, 0) —
двойная точка. 3607. (О, 0) — изолированная точка. 3608. (0,0)
— изолированная точка. 3609. (0, 0) — двойная точка.
3610. (0, 0) — точка возврата (второго рода). 3611. (0, 0) —
двойная точка. 3612. Если а< Ь < с, то кривая состоит из
овала и бесконечной ветии; если а = Ь < с, то А (а, 0) — изо-
лированная точка; если а < Ь = с, то В (Ь, 0) — двойная точ-
ка; если а = Ь=*с, то Л (а, 0) —точка возврата. 3613. (0,0) —
двойная точка. 3614. (0, 0) — точка возврата. 3615. (0, 0) —
точка прекращения. 3616. (0, 0) —угловая точка. 3617. х =
=Лл(Л=0, ±1, ±2, .. .)—точки разрыва 1-го рода. 3618. х=
=0 — точка разрыва 2-го рода. 3619. х = 0 — двойная точка.
3620. х=йл(Л=0, ±1, ±2,...)—точка возврата. 3621. zmjn =
=0 при х=0 и у—1. 3622. Точек экстремума иет. 3623. Не-
строгий минимум z=0 в точках прямой х—у-}-1=0. 3624. zmin—
=—1 при х=1 и у=0. 3625. zmax= 108 при х=2, у=3; нестрогий
минимум г — 0 при х = 0, 0<у<6; нестрогий максимум z = 0
при х = 0, — оо < у < 0 и 6 < у < -i-оо. 3626. zmin = —1
при х = 1 и у = 1. 3627. zmin — —2 при xt — —1, у, = — 1 и
хj = 1, у3= 1; экстремума нет при х=0, у = 0. 3627.1. Мак-
симум г = 0 при х = 0, у = 0; минимум z = —1— при х =
1
= ± —. У = ± 1;
седло z= — 1 при х = 0, у = ± 1, и сед-
1 1
Л г—----------при х= ±— , у = 0
8 2
3628. Минимум г = 30
при х = 5 и у = 2. ЗС29. xmin =-----------— при — =
3 V3 а
у , 1 ab х у 1
-----—7=-; ?тах=" при ---=
Ь уЗ ЗуЗ a b V3
3630. гтах = Va’+ 62 + с* при х = — , у --, если с > 0;
с с
zmin= — V^-f-^ + c2 при х = —, у = —, если с<0:
с с
экстремума нет, если с==0, а2Ц-й2#=О. 3631. гтах = 1 при
х — 0 и у = 0. 3632. Минимум г —0 прн х=0, у = 0; седло
г= — е~* при х=-------------—, у=---------—. 3633.
2 4 2
Седло г = е8 при
х= 1, у = —2 3634. Максимум г = г-12 « 2,26- Ю-* прн х=1,
у = 3; минимум г= —26-е~1/и«—25,51 при х=--—, у =
=-----. 3635. Минимум
У — 2. 3636. 2max — — 3
2
г = 7—10 In2 « 0,0685 при х=1,
при х = и у = ~. 3637. гт1п=
3 д/з 2л 3 Уз
—при х = у== —; гтах =—
о о о
прн X = у =
= —. 3638. Седло z= — 1 + — 1п2+ —л « 1,70 прн х =
3 2 4
= 1, у=1, 3639. Минимум г—---------—as —0,184 при х = у =
2е
=±—т=-«±0,43; максимум г= —— при х=—и=±-4=:
<2е 2е V2e
экстремума нет в стационарных точках х = 0, у=± 1 н х=
с= ±1, у = 0. 3640. Стационарные точки х = —^-(—1)"‘+14-
!2
+ («+«) —, у=~^-(— lyn+i-f-pn — п) — (т, п = 0, ± I,
2 12 2
±2.
.). Экстремум г=тл +
(f + Vs)
( —iyn+i + 2(—1)»,
если тип различной четности (максимум при m нечетном
и п четном, минимум прн m четном и п нечетном); экстремума
нет, если тип одинаковой четности, 3641. гт|П — 0 при
х = 0 и у = 0; нестрогий максимум г = е~1 при х* 4- уг — 1.
3642. umin = —14 при х = —I, у — —2, г — 3. 3643. Ми-
нимум и=—6913 при х=24, у——144, z=— I. 3644. Мини-
1 а7
мум и = 4 при х — — , у — 1, г = 1. 3645. umax ----- при
х = у ==г = -у-; нестрогий экстремум «=0 при у — 0, х =#= О,
1 Sq
г Ф 0, х + 2у + За ф а. 3646. Минимум и ------------
1 15/.с-ПГ 1 1 . / °’6’
при х = — у 16о145, у = — у 1ьа*Ь , г = — Л /-------------,
н 2 4 2 V 4
Л
3647. Максимум и = 4 при х = у = z = краевой минимум
и = 0 при х=у=г—0 и х = у = г — я. 3648. umax =>
(2 \п’+л+2/2 2
--------- ] при Х1 = х,= . . . =х„= — .
пг+« + 2/ п2 + « + 2
3648. Минимум в в= (n + 1) 21/п+' при x1«i2,/"+1, х2 = х^.
хл = х". 3650. Числа а, хр х2.....хл, Ь составляют геомет-
n-Н Г h
рическую прогрессию со знаменателем q= 1/ — . 3651.Мн-
V а
инмум Zj=—2 и максимум га = 6 при х=1, у ——I.
3652. гшщ= —(4 + 2л/б) при х = у = — (3 + л/б); гтаХ =
1=2^6—4 при х = у = —(3 — Уб). 3653. Нестрогий минимум
2 =
« =
За2
при х* + у* = ———, г<0; нестрогий максимум
8
За2 1
х’ + У2 = -^-. г>0. 3654. гта, =-— при
8 4
а
2V2
а
—7=- при
2 V2
be
у/а2 + Ь2
3655. гт|п — —---------------- при х =
|аЬ| _____________
_________ае . ____ Vfli + 52
Voa + &! ’ таХ | ab |
be ае
при х =" —.......?, у = —т-------- ,
Vo8 + b1 а2 + Ь!
осев -
3656. гтах — —
о* + bs
ab2
при X --------------
а2 + b2
а2Ь
у -----------
а2 + Ъ2
3657. zmin = li, гтах — А,, где Xj и Xj — корни уравнения (А—
— А) (С — А) — В2 = 0 и Ai < А,. 3657.1. Максимум г = 106
4
прих=±1—, у=±4; минимум г= — 50 при х= ±2,
и = Т 3. 3658. Экстремум 2=14- ——т=т— при х — — 4- -2^
V2 8 2
л . лй ., а
’—Т+-Г1*"0’
± I, ± 2, . . .) (максимум, если k—
четное, и минимум, если k — нечетное). 3659. umin = —3 при
1
2
х =---, у = —, г =
3 3
____2_.
3 ’
2
3
У
2
г = —
3
3660. Umax =
«тах=3 при Х = — ,
3
от+"+Рт'"л"/>Р
(zn 4- п 4- ₽)<"+«+₽
2
—------. 3661. Umin = C3 при Х—0,
У =
при
У =
т п р т+п+р
«=0, z=±c; umax = os при х=±а, у = 0, г = 0. 3662. итах =
V6.
а
х=у=г=—.
О
3663.
Umln —
при
х = у =
1
X — 2 = ---— И
Уб
1
у
1___
у/б
2
и
г =
У = 2 =
«max— ~
зуё
1
при х = </
— и
'б
1
-------и X =
-у/б
2
2 =
— И У =
2
у =* г =
Уб
1
6
3663.1. Условный максимум и = 2
3664. Umax = 4- "Ри х=у=г = -5-.
8 о
--------и
д/б
прн х = 1,
х —
3 Уб
2__
Уб
2 .
уё"
2
У = 1, 2=1.
3665. Umin—Х2 И Umax
,2, где Xi и — корни уравнения Xs—
sin3g , sinsp
—о3 Ь3 *
sin3 у
с3
cos2 а
Ь2с2
cos3 Р
а2с3
cos3 у
о3Ь3
3666.
«mln —
j?3 (Л cos « 4- й cos fl 4- С cos у)8
Л3 4- fl3 4- С3
3667.
«mln —
Л).
при
О'
1. 3,
3668. Umui
«max — Я*.
XI
п
а»
пр-1
Gn \2
£ VayP/J при х, =
(i ~ 1. 2,
л). 3870. umaX =
при
3679. 1ш и =
sup и =
равен
Л- = -А. = . .. = -?а_ =----------2--------. 3671. Экс-
ai at ап at + as +. . . + ап
тремумы и = X определяются из уравнения lay—X6i;|=0,
где Sy = 0 при i Ф j н 6« = 1. 3675. Inf г = — 5, sup г =
•= —2. 3676. Inf г = — 75; sup г = 125. 3677. Inf г — 0;
sup г = I. 3678. Inf и — 0; sup и = 300.
с= —-i-; SUP и = 1 4" V2. 3680. inf и = 0;
fit 0,37. 3682. Нет. 3683. Минимум
Уа
3684. Слагаемые равны. 3685. Множители равны
i/a.f
(а<) а‘
2......л), где а/ (I = 1. 2, . . . . п) — соответствующие пока-
( I , 1 .
вате л и степеней; наименьшее значение суммы (------1-----
\ «1 «г
+ •
3686.
. 1 \ ( l/a. 1/a, 1/а.\ 1 г '*
«л /
I п п н
х =------- У т/Xi, у =--------------У mtyi, где М = У
М (=1 М i*=l i—'
а I 3 -
3687. Измерения ванны j^2V , 4V > -^~-^2V . 3688. И =>
с
в 2R = 2 ---, где R—радиус цилиндрической поверхности
Зя
1 п . Л
и Н — ее образующая. 3689. х = —— Х(> у _ 1
2-vg,"'tKN-л/(й"У+(&") +(&") •
Минимальная сумма квадратов расстояний равна п — 2JV -f*
п
(*?+ + 2f)' 3690. Угол наклона образующих конуса
iSi
2
к его основанию равен arcsin-y. 3691. Угол наклона боко-
, 2
вых граней пирамид к их основаниям равен arcsin —.
3
3692. Стороны прямоугольника-^- и 3693. Стороны
3 3
треугольника > -у- и -у-. 3694. Измерения парал-
2/? 2R R
лелепнпеда -----> ----- н -------. 3695. Высота параллеле*
пипеда равна — высоты конуса. 3696. Измерения параллеле-
2а 2Ь 2с _______-- —
пипеда----— , ---— и --------. 3697. Высота параллелепи-
Уз Уз Уз
деда h — ! sin а- — а ~ . если а> arctg V2, и h = 0,
2tga—V2
если 0 < a < arctg л/2. 3698. Измерения параллелепипеда
а, би—. 3699. |Л*° + fly° - D1 . 3700. d= —J— х
2 <\/а* + В* + С* ±а
xi—хг У1—уг ?i—z2
/| mini I2, П1Р1 I2 , I Pirth. |2
X «1 П1 Pi т2 п2 р2 । где Д=Д 1 mtfhl + ПгРг 1 1 Ргтг 1
8701. ---—. 3702. Квадраты полуосей а2 — Х2 и Ь2 = Х2
4V2
являются корнями уравнения (1 —ХЛ) (1 —КС) —Х2В2 = 0.
8703. Квадраты полуосей а2 = Х2 Ь2 = Х2 и с2 = Х2 являются
корнями уравнения
X 4 А2 + В2 + С1.
ЛХ—i DX DX ex—1 EX EX = 0. 3704.-^^-X |C|
FX EX CX—1
3705. nabc
a2 cos2 a + b2 cos2 P -f- c2 cos2 у
Z7Q7. Угол падения равен arcsin! п sin — j; отклонение луча
равно 2 arcsin sin-^-^— a. 3708. Искомые коэффициенты
а и 6 определяются из системы уравнений а [хх] + 6 [х!]=»
п
«= [ху], a [xl] + bn= [у! ], где [ху] — У, х,у,- и т. п. Задача
!*=1
имеет определенное решение, если У, (х,—х/)2т^0. 3709. tg 2а=>
2(х-у— ху) - . - .
в= —----—-------—-----, р — х cos а + у sin а, где х
U2-W2l-ly2-(y)2l
e_L£xt Х(У( и т. п. суть средине значения.
п п й
8710. 4х — 7/2; Amin-= 1/2.
ОТДЕЛ VII
8711. F (у) = 1, если — оо<у<0; F (у)=1—2у, если 0<у<1}
F (у) “ —1, если 1 < у<4- оо. 3712. F (у) разрывна при у=О.
8713. а) —; б) 1; в) —; г) 1п 2,8 . 3713.1. 0.
4 3 1+е
3715. Нельзя. 8716. Нельзя. 8717. F' (х) = 2хе—**— е—**—•
—f yV^dy. 8718. а) - (еа >5in “1 sin а + еа ।cos а 1 cos а)+
X
4- f -\/1 — х2 еа V1—** б)----------!—A sin а (6 4-а) —
sin а X а 5 + а J
/ 1 1 X 2
— [-----1-------|sina(a+a); в) —1п(14-а2); г) /(а, —а)4-
\а а+а) а
а а’+а
4-2 f f'u(u, v)dx, где u = x4-a и v = х —а; д) 2а J sin(ji24<
0 а’—а
а’ а* х+а
4-а4 — a2) dy-|-2 J sin 2x2-cos 2ах dx—2а Г dx J cos (х24-у2—•
о 0 х—а
— a2)dy. 8719. F" (х) = 3/ (х) 4- 2xf' (х). 8720. F" (х) = 2f (ж),
если х£(а, Ь), и F*(x) = 0, если х^(а, 0). 3721. F*(x)««
= . ДгГ(х)-,где Д2/(х)=/(х4-2Л)-2/(x+ft)4-f(x). 3722. F(")(x) —
Л2
= («-!)!/ (х). 3723. 4х--—. 8724. 0,034 4- 0,428х (при-
3
близительио!). 3725.
----L. 3729. 4
+ хау(1 — y‘)f' (ху).
dE _ E—F dF _ Е _
dk k ' dk ~ 6(1 — 62)
(x. y) = x (2 — 3y2)f(xy)-j-—^-—f{—V
У2 \ У J
3732. л In JAL+1LL, 3733. Oi если
2
|д|^1; л1па2, если|а]>1. 3734. -j- sgn a In (1 4-1 a |).
8735. я arcsin a. 3736. — In (1 + V2). 3737. In * + 1 .
2 и -J- I
3738. a) arctg--------^Z-2-------. 6) — In + 26+2
1+(a+i)(6+1) ’ 2 a2 + 2a + 2
8741. a>0. 3742. Max (p, q) > 1. 8743. I---1 | < 1.
I <? I
8744. p<l. 3745. n<0 и л> —. 3746. p> —. 3747. Cxo-
2 2
дится при a>0 и при a=-----------— ~ л (л = 1, 2, . . . ).
2
3748. Сходится при n > 4. 3749. Сходится при p > 1.
3750. Сходится при — 1 < п <3 2. 3755.1. а) Сходится равно-
мерно; б) сходится неравномерно. 3755.2. Сходится неравно-
мерно. 8756. Сходится равномерно. 8757. Сходится равномерно.
8758. Сходится равномерно. 3759. Сходится неравномерно.
3760. Сходится равномерно. 3760.1. Сходится равномерно.
3761. Сходится равномерно. 3762. Сходится неравномерно.
8763. а) Сходится равномерно; б) сходится неравномерно.
8764. Сходится неравномерно. 3765. Сходится равномерно.
8765.1. 6^10’°. 3766. а) Сходится равномерно; б) схо-
дится неравномерно. 3767. Сходится равномерно. 3768. Схо-
дится неравномерно. 3769. Сходится равномерно. 3770. Схо-
дится равномерно. 3772. Нет. 3776. . 3776.2. 1.
2
3778. а = ± 1. 3779. Непрерывна. 3780. Непрерывна.
3781. Непрерывна. 8782. Непрерывна. 3783. Разрывна при
__л (-V)mri „о= « (2л—1)1! -("+4-)
(X ® и* " . о7оо. — .-------------а •
nm+l 2 (2 л)!!
3788. In —. 3790. In —. 3791. 0. 3792. — In—.
a a 2 b
3793. — ln-£-. 8794. In 8795. arctg — —
2 a (a 4- p)2«+26 m
— arctg — (т^ 0). 3796. — In . 3797. _ я (i
m 2 a2+m2
— Vl —a2). 3798. яIn 1 +Al^1....
2
3799. ~“s8n «'(1+
4- I a I - Ун?). 3800. ln(|a| + ip|) (P 0).
IPI
8801. — in (a. ± (a>0, P>0). 3802. -А. [оф (a+₽) ->
2 aap₽ 3
4- a3 In a + P3 In 0 — (a3 4- P3) In (a + ₽)[ (a > 0, ₽ > 0),
/ / _ ac~**
8803. . 3804. л/~ « “ .
2 V a
(a + 262) at — 4a&&l + 2д2с,
2a2
8805.
3807.
e-2e.
8808. Vя (VP—V«).
8809. L rb'lic. 3810. Ь^п_ e-*4*«. 3811. (—1)»X
2 V a 4a Va
X (e-b’). 3812. (n/2) sgn ₽. 3812.1. Функция
22n+l dbM
нечетная. При x > 0 минимумы в точках 2Ля и максимумы
в точках (2k — 1) л, где k — 1, 2, 3, ... Асимптоты у = А.
2
при X -* + оо и у =----— при X — оо. 3813. Л J.РI, .
2 2
— V«a. 3814. —ln|-^i-&-l.
2 I a —р I
3815. 0, если | a | < | р |j
-5-sgna, если |a|=|p|; — sgna, если |a|>IP). 3816.-х
4 2 4
X sgn a.
3817. — |a|.
2
3818.
3л
----a a
8
I.
Q I
3820. —In — . 3821.
8 P I
a—P . a—p ,
--------— arctg —4
2-------If
при Ix| < 1; D(x) = ~y
Я „ОЛЛ ® 4- P
— . 3822. —4_C_
4 2
Ain fet+(g~P)2
4 *!+(a+P)2 ‘
3819. A,
4
. a4- p
arctg----1—i——
k
3823. D(x) = ]
при x = ± 1; D (x) = 0 при | x |> I.
3824. а) л sgn a cos ab; б) я sgn a sin ab.
8825. — X
2
Хе~|а|. 3826. — sgnae_|<x'. 3827. —(1 —е~2).
2 4
3828. 2L(1. + |tt P .e-la|, 3829. .... л-cos e-lal/aV^»5.
4 V ас — Ьг а
4--j-sgnaj. 3832. Vя cos
4-—\ 3835. а) — ......; б)
4 ) pn+i
3833. Vnsin^a’4-
1
------при р>а}
р — а
г) . J >а ; “Н~Г: е)1п(1+—Y. ж) X
(Р + “)2 Р2 + 1 \ Р / 2р ^р
X е~“’/4р. 3837. а) 1; б) х2 + —• в) e2e*+fl’; г)—e~fl*/4X
2 2______
X cos ax. 3839. ф(х)«=-- e-x1/2®1, где a = a/o2 □. 02
a V 2л VI1*
3843. —. 3844. 3845. —3846. —^=r~.
8 16 2V2 Зл/З
3847. -^=- . 3848. . 3849. ---5--. 3850. x
2 V2 512 я 2"+1
nsin---
n
X Vя • 3851. --5---- (0 < m < n). 3852. В (n — m, m)
.. - ч вое» a~p ( a \m+Mn n ( »»+ 1 m + 1\
(0 < m < n). 3853. -I — I В I--!----, p---:— 1
n \ 5 / \n nJ
fo < m —</A . 3854. -----------Q)—+-X----В (m 4- 1, n+1)
\ n ) (a + c)n+1 (b + c)m+1
(m> — 1. n>— 1). 3855. — Bf—, i_J_')(n<0
m \ m n /
или л> 1). 3856. — В (— 1 - , " 1 A (m> —1, zi>
2 \ 2 2 7
я 2n-i
3857-~3838-7T^-x
2 cos-
2
—A (n > 0). 3859. — Г (J-Л (n > 0). 3860. —— X
2 ) n \ n J | n |
38S1. Г(р + 1) (p> -1).
3862. J-Г Г(р+1.)1 3863. -.....(0<р<
dp L a₽+l J sin2pn
< 1). 3864. я3 • (0 < p < 1). 3864.1. — я2.
sin3 ря 27
2
3864.2.
Зя3
32 V2
3865. in
(0<p< 1, 0<q< 1);
0(р»ф). 3866. я ctg яр. 3867. ~"'p~ tg • • 3868. Jn^Sn.
8869. in V2iT 4-a (In a— 1). 3870. — fl-f-ln—Y 3871.—.
я \ 2 / 4л
3876.
------------------ (a> 0). 3877.
2Г(rn) cos -mn
2
nam-1
2Г (m)sin
----(a>0).
тя
~2~
3879.
Г’
2a2
3881. f (x) o.
n
Г
2 Г sin X , „
— \ -----cos Xx dk.
nJ X
0
3882.
SI — cos X
X x
0
-«-oo 2 r sinX(x — a)— sinXfx — b) ..
XsinXxdX. 3883. f (x) =— \ 15-------------------—dk.
nJ X
0
+00
t / » 2Л f 1 — cos ak . .. 1
8884. f (x) =---- \ ----------cos kx dk. 3885. ----------=s
na J X2 a2 + x3
0
. -Н» +“
= — f e~oX cos kx dk. 3886. ------------— I e“«^sinXxdX.
a 0 a2 + x2 0
-|-00
8887. f(x) = — ( JilAl-sinXxdX. 3888. f (x)~
nJ 1 — 7.2
0
“|“OO -f-00
2 f cosXn/2 , „„„„ 2Aa f sin2nnX/w..
= — \ ------------cosAxaX. 3889. f(t) —---- \ -----------X
n J 1 — к2 я J X2 — w2
о 0
+“
XsinX/dX. 3890. f (x) = — f C°S — dk. 8891. f(x)=«
я J X2 + a*
4-00
<=— ( Г—----------------1-------!---"IcosXxdX. 3892. f (х)=
п J 1(Х-₽)24-«2 (X+₽)2 + a!J '
о
=----!— \ ---— dk. 3893. е-*' =
" J 1(Х - ₽)2 + а2] [(X +₽)2 + а*]
о
«=-1= f e-v/4 cos kx dk. 3894. xe~x'——L_ Г ke~V/i sinXxdX.
V л о 2 Vn 0
4*00
3895 a) e"x = — ( —C-°--U dX (0 sg x < -J- oo); 6) e~x
л J 1 -f- X1
о
4-00 /——
2 Г X sin Xx , /2
•=— \ (°<s< +<”)• 3896. F(x) = /\/— X
я J I + л1 V л
и
X —2. 3897. F (x) =—i /—----------------—-----. 3898. F(x)=
t1 + а’ V я (x2 + a2)2
= 3899. F (x) = e-^’-H’Wch ax. 3900. a) <p (y) =
'=e-v(4f>0); 6) 4>(y) = —---. - (y >0).
я 14-у2
ОТДЕЛ VIII
3901.—. 3902. S = —--------H-4----—; S = — 4-——h
4 ~ 3 n 3n* 3 n
4-—: 13—. 3903. 9,88. Точное значение 2л (7 — a/24") ® 13,20.
3ч* 3
3904. 0,402. Точное значение 0,4. 3905. б < 0,00022л3906. 1.
3907.—. 3908.-^—. 3910. I = F (4, В) — F (Л, Ь)
40 3
— г (а, В) 4- F (а, 6). 3912. а) Отрицательный; б) отрица-
тельный; в) положительный. 3913. —. 3914. 1,96 </< 2.
4
Р* * * 1 1
3915. а24-624—3916. £dx j f (х, у} dy = j dy J f(x, y)dx,
2 1 I 2v
3917. f dx f f(x, y)dy*=, f dy f f (x. y)dx, 8918.
-2 |*l/2 0 -2jr
*4-1 II 2 1
rdxj f (x, y) dy => C dy p(x, y)dx 4- Г dy J f(x,y)dx.
JO oo I v-l
i > Vi-v
39.’9. J dx J________f(x, y)dy = j dy J____f lx, y)dx,
—i -* —Vw*
1/2 1/2+V1/4—X1 1
8920. f dx j t (x, У) dy J dy J f (x, y) dx.
—1/2 1/2-V1/4-X1 0 -*Jy-f
ii i w
3921. f dx f f(x, y)dy — \dy [ fix, y)dx,
_i i о */*•
1 r —vu ____
—i i (—
3922. J dx f f(x, y)dy+ f dx f fix, y)dy +
—2 —1 t—
« 2 0 2 Vi+7
f dy J fix, y)dx-, 8925. j dy J f(x, y)dx-j-
2 w/2 —1 _2 Vh7
8927. f dy f f lx, y) dx + f dy f f [x, y) dx,
—1 -V1—к* ® —Vi— v
I 1+Vl—y“ a la—^a’—y1
3928. fdy f fix, y)dx. 3829. fdJ f Цх, y)dx +
0 2-4 0 l И/2О
3936. 3937.
12
Л/2 a cos
f dф | ff lr COS ф,
—л/2 0
Л£2
rsinwldr. 3940.
+ f f(*. y)dx -f-f dy {fix, y)dx, 3930. fdH f(x,y)dx.
a+^=^ ° *’/2° » /
1 Я—arcsin у 0 2n4-arcsin у
8931. fdy J fix, y) dx — J dy J fix, y)dx.
0 arcsin у —I я— arcsin у
8932.3933. f 2 V2—3934.—. 8935. Ua*.
2\ \ 3j 2
2л a
J d<f J rf lr cos ф, rsinip) dr. 8938.
о о
2?
rsin<p)dr, 3939. j dip J г^^совф,
0 |O|
I/Vi" cosec (Ф4-Я/4)
f гЦг cos ф, r sin ф) dr.
л/4 a sin ф/cos* ф Зя/4 a/slnt
8941. J dq> J rf (г cos ф, г sin ф) dr + J с£ф Г rffrcosip,
0 О Я/4 О
л a sin ф/cos' ф
г51Пф)<1г+ J dip f rf (г cos ф, г sin ф) dr. 8942. В Том
Зя/4 О
случае, если область интеграции ограничена двумя концентричес-
кими окружностями с центром в начале координат в двумя лу-
чами, исходящими из начала координат. 8943.
л/4 1/cos ф я/2 l/sln4P
Jdip f rf (Г COS ф, Г5ГПф)4г -f- j Йф J rf (г СО$ф,
О я/4 0
1 я/2 VF arcsin l/r
rsin ф) dr= Jrdr f f (r cos ф, r sin ф) J rdr J f(r cosip
0 0 1 arccos i/r
a/2 i
rsin<p)d<p. 3944. f 4ф J г/(гсо5ф, rsin ф)dr —
° l/Vfcosec (ф+я/4)
1 Я/4+arccos 1/rVF
= f rdr J f(rcos ф, г$тф)<1ф.
l/VF л/4—arccos l/rVF
Я/3 2/cos 9
8945. j df f rf(r)dr=.
Я/4 0
2 VF 4
— C rf(r)dr-t- Г Л2------------------arccosrf (r) dr.
** J J x о т J
° 2
Я/4 I/COS ф
3946. j dip J rf(rСО5ф, гз!пф)<1г=
0 sin ф/COS* ф
arcsin
rdr
V2
f rdr
Я/4
2r
f (r COS ф, Г 51П.ф) Йф +
, VT+4H-1
arcsin —„ ---
J f (r cos ф, r sin ф) dip.
arccos l/r
ai/eoi 2ф
> J rf(r cos ф, г$!пф) dr =•
-s- arccos —-
a 2 a‘
irdr J f(rcos ф, r sin ф) dф.
I r>
—j arccos
ига—6£
( g \ t -°
VIS Uis—--------I ’Hee '*P (<b Uis; *<bso3;)/x ==
v SI /
!>г(;—Л)-НО—n
-0),j -wee J J z 086C O<j
и» ’О) j 4- ewe (o *o) I 9 + _зД s —
g Z Д’ g
— 9) — '92.68 '9 *9468 •-----7—j-------UI 8 + “ — *9468
9 _8 Д +1 9
9,8 91
’ -=~ + -t- '6468 ““Г" ’Z468 *«S 'USE
u 9 6
881 SI SA
SUI-----— \ *0468 -jj-Et’S *6988 *-=y— *9968
*«w» 4- '4962 ‘ ’ '9968 * — '9968 *"P (") Д 2 Щ *9968
Z 9 u i
l~~ 'r*
•яр (3 + t<? 4- «р Д Я) j ВЯ — 1Д J g *8968 "P («> / J *8968
I I
о p
•Л—х=д *Лх=я *1968 pp(atujsn ,л>5оэп)/яГлря tso3atujs ( f *6968
d t/u
'ihii I "4“f ’8se£ "p(e" 'n}} Jnpn 54S6e
П—» Z 9 4
• ^+^А+9Д)(у+рД+0Д)_(У-1-р)рД S .
t/Хя) 8 ’ (v+g) 9Д (y+<?S)+«(y4-9)+(V-bg) »+«9 ’ 9 9868
8 s/Ч- S
V9— '9968 ’ ^ug *9968 *<Ьр <b г«оэ (<Ь Э;) / I -y -g968
• o
'*P W P soaaje 9 — j 4- jp (j) jj u 'S968
JA I
•jpWP
*1968 ’ *P P *<b) } j JP J ’0968
V V
•ApU *<b)jX
t° z
•S— UIS9JV —
и f 1
X J
-^-U{S3JB — —• —
И IV
609
0
~ SOWJB—
*6968 *4pP J 'PJ '8968
— соээл °
ИХЗЯХО
3985.
2 ,___ 3 л/з — я
— (Р + 4) V Р9 • 3986. ла*. 3987. --------------------
3 3
а»
3988. — Н-------In (1 + V2 )• 3989.
6 3
/ JT л/й- \
X I---------+ arcsin------------ 1. 3991.
к 2 8 J
яаг
-----
4
3990, д’Х
яаЬ / а*. , Ьг \
4 +
ab Г 2л
3 L з7з~
а2Ьг
Я2*’
3992.
3994.1.
1 (аЯ)»
1260 <?
3994.
ab
. 3995. .
70
3998.
ab
. 3993. -----X
6
a*bk (ak 2ЯЯ)
6Я‘ (ak + ЯЯ)’
(ft-и) (Я’-а2)
2(а+1) (₽ + !)'
а2 4 1
3997. -------In 2. 3998. — (q — р) (s — г). 3998.1. -ТГХ
2 3 15
X (Я» - а») «Г* - <Г’). 3998.2. (п Л, -in" Х
(Р +!)(<?+ О
X (Я,+1/,—р — р) (с“р+1/в—1 — d~р+1/«—1).
65 189 / . 1 . 12 \ .
399°- “БГ06- 3999 t
4000. (VTO- —2) arcsin 4001. | б| *
с*
4002. — [(с, — (sh 2иг — sh 2«i) — (иг — uj (sin 2vs — sin 2vJ].
4
«w. ± «м. -^=-. m. x.
4008. -2^2--------- R3. 4009. 4010. n. 4011. rt.
4 3 105
4012. -^- — 2 In 2. 4013. o Л- rf-Ma». 4014.
12 3 Vn \ 4 ) 8
<015. — л. 4016. -77-as. 4017. 4018. л(1 —
32 9 8
— e~R'). 4019. 2a!c- <P~ и)<я~ 2>..t 4020. Л-,
Яя о
4021. 4" яа&с <2 — V2"). 4022- —-лаЯсСгУГ — 1).
3 3
ЗлаЯс 2 _ _ abc
4023. --------. 4024. — яаЬс. 4025. —-— •
8 3 3
2 . _ я (Я*—а*)
4026. ф abc (Зл + 20 - 16 V2 )• 4027. —
4028. — а*. 4029. 2 4 4030. -ss-ьЛ. ».i. 4-. а а 35
4032. 75 nabc. 4033. 256 п*а*о
128 ww. I* (л — m) x
X (е“1 abc — е-*)а«. 4034. -• Зп» abc
l*(l/n)/l (о/л). 4иоо. _ t X 2m + n
X Г (1 /я»)/Г (2/п) /Г(1//п 4- 2/п). 4030. — яа* (2V2 — 1). M
4037. 16a4. 4038. 8а* arcsin b
• a 4042. 4vw V« /—— • V2 Па' 4044 2Я 4-
4040. 8a*. 4041. я V2~.
2 ' Ш3- 3 1
+ _2^_(1 + 2_in3) + Aarctg—4044. -^-X
X (20 - Зя). 4045. 2a*. 4045.1. [3 VIo" + in (3 + V Io)l-
6
1 / 1 , 1 Y*IT 1 । 1 । 1 \3/2 1 1
3 a* b* ) L\ a* t>* fi* J c* J
4 , ,_ . /a
4045.3 . — ab (2 V2 — 1) arctg 'y “ •
4045.4 ~ In (e 4- e“l). 4040. S = 4л (3 4- 2 л/З ) a1; V’=>
8л
= у— a*. 4047. (<ps — <pi) (sin фх — sin Ф0 R*, где
— долготы меридианов, фь N’t — широты параллелей, R —•
( _________ a 4- Vе* 4- Л* )
— радиус сферы. 4048. л {a-ya*4-Л* 4-Л4 In----------—----->.
I l"l J
4049. S «в а (<р, — <₽!> [6 (ф, — фО 4- a (sin ф, — sin фх)]: 4л!аЬ.
be Ьс
4050. со = arcsin —;; . . —: со « —- .
V(as4-62)(a»4-c») а1
4051. [2 4- VF In (1 4- 7Г)]. 4052. х0 - — I
8 а 256
4053. *9 = Уо = = "5~’ 4054. л0-у0- з15я . «.
а’Ь ab* ла
4055. хф = 14cs У9-~ 14с* ’ 4056. х0 = у0 = —-. О
5 16 5
4057. х0 = 6 °’ ^ = 17 а. 4058. х0 = яа; у« = — а. О
4059. х0 = —
5
Уо = 0. 4060. Парабола у0 —
1 ,___ 6Л« Л °Г — 62
<=— л/ЗОрх» • 4061. Л==——; 1У=-----------
О 14 14
(b=b|6t -6,|). 4062. Л=/»=—(16-5л). 4063. 1Ж =
10
/ _/ _ Зпа4„.
47Г
21лд* е ] 49лд*
32 ’ *= 32-
4064.
, 9 no4 a*
4065. = —a*. 0 4066. /0 = • 8 4066.1. ——. 12
4069. / a 32 V3 4070. X = ah2-, У = 0, где X,
У — проекции силы давления иа оси координат Ох и Оу.
4071. Рг = ло!6 (я — -у- а
4072. Проекции силы давления иа оси Ох и Ог, расположен-
ные в вертикальной плоскости, проходящей через ось цилин-
дра, из которых ось Ох — горизонтальная, а ось Ог — верти-
кальная, соответственно равны: Хг ——na*&(h —cosa'jx
Xsina, Zi— — ла2б^Я — — cosajcosa; Xf—nd^X
X ^Я + -ycos a ^sin a, Zy=na*i(h + -y- cos a^cos a. 4073. Про-
екции силы притяжения на оси Ох, Оу, Ог, соответственно,
равны: X = 0, У = 0, Z = — ——-------------{| Ь | — | Ь — Я | 4-
а’Я
-1- *Ja2 4- (6—Я)8 —Ve*+^s}> гАе Я — постоянная тяготе-
1 ko ______________
пня. 4074. рср = — Ро. 4075. Д = - {lab л/а2 + Ь2 -|-
, b+^a»+b* а + 7а»+б» |
+ а* 1п ---------------+ о31п---------------5.
а о j
1 1 5
4076. —— . 4077. —In 2------—. 4078.
364 2 16
1
48
л
6
4079. яаЬс.
5
1 l-x
4080.
4081. f dx < f dz f I (x, у, г) dy+
о lo 0
1 t г 1—у
f йгН dy J f(x, y, t)dx +
lo г—у
1 г V*2—tf" 1 | з? I
== J dz § dy j" f (х, у, z)dx. 4083. J dx H dzjf(x, у, z)dy-\-
0 —г 0 10 0
x’+l 1 1 > (V7 1
+ jd* f_________f(x, y, z)dy = fdzJ f dy f / (x,y,2)dx +
x> ^z—x% ' 0 (0 V?—4*
4084. -M(x-£W)C 4085. -±- } (2 - ?2) f (?) dz +
* 0 2 0
1 2
+ — f (2-z2)f(z)dz. 4080. F (A, B, C) — F(A, B, c)-
2 f
— F (A, b, C) — F (a, B, C)+F(A, b. c)+F (a, B, c) +
+ F (a, b, C) — F (a. b. c). 4087.
я
10
4088. ~ (2 V2 — 1).
15
1
4089.
cosi|>di|>
_ я’абс
4090. --------
4
16л
4091. —
4092.
COS J costy
sin ф
cos* ф
— (—
27 V a*
r2f (?) dr.
X (—7=-----------h* . 4093. -±- (—------------------lTA X
V Va Vй ) 32 \ m* пг )
X (6» -a»)[(₽*-<x’) (l+-^r)
4л
4095. 3(e —2). 4096. u = —
<5
Bl 6
+ 4 In — . 4094. —.
a J 5
_______________________
•Va2 + 6U + c’ +0R
где |0|<1. 40S8. a) F'(t) = 4я1г{ (/г); 6) F'(t) =
A
= — (0 + f .( f xyzf' (xyz) dx dy dzj >
где />0и V = (O^x^
O^y^t, 0^?^/}. 4099. О, если одно из чисел т, п
4л (m— 1)!! (л— 1)!! (р — 1)11
и р нечетно; —;---;---— -----------------——-------> если
т п р 3 (/п л р
числа т, п и р четные. 4100.
3 7
4101. ----. 4102. ------
35 24
Г(Р+ 1)Г(р + 0 Г(г+ 1) Г(з+ 1)
Г (р+? + г + s + 4)
2 _ ла’
4103.— а»(3л —4). 4104. ——.
3 6
а3 32
4105. 4108. 24 л2а3 (Зя —4). 4106. — я. 4107. яа*. 4109. -у. 4110. y(2-VD X я а*Ьс я*
4 V2~
Х(Ь3 — а3). 4111. „ • 4112. я abc. 3 Я 4
4112.1. я3а6с 5nabc
4 12 v>- yu /•
8л abc / я ( 1
4114. —— abc. 4115. —— Г3
5 3 V 2 I 4 J
. 4117.]
abc
554 400
У 4116.1. -
4118. -у-. 4118.1.
abc 4л 9
4118.2. —-----. 4118.3. ------ abc. 4119. —Л
1680 ___ 35 4
4120. -у (Я3 — а») д/у 4121. -у- а3.
J V Я \ 4 / 3
лаЬс* 3 , ( 1 1 \
4122. ---- (1—*~1)- 4123.—abc. 4124. 5abc I--------------— 1.
ЗЯ 2 \ е 3 J
4125.
4127.
4130.
4131.
бла3 яа* .
37-27.4120. V = -y-: S = —(бл/2" + 5УГ-1).
ShjhJu 4лЯ3 я* aic*
1Д | 3 | Д | Зп sin (л/л) Я
3
2
4133. (о, 0, у с у
7
4135. хв ==—р; ув — о;
18
4132. <пр,(Л+^. + ^.)г4.
2 7
4134. хв = ув = у а; гв = ~ в*.
О ov
7 3 3
й = уу Р 4136. хв= -а; у0= — 6;г0=>
l/о о о
3 За
—-“"“С. 4137. Хо= f/о= о • 4138. xq^i/o^K
о 8
5 9л 9л 9л
?0=т. 4139. Ц,- — Ь}
4141. J5L = JtL==_5L=s
а b с
4142. х0 = а; уа = Р;
2o = V. 4143. ab<? asbc 1уг~ 60
•ху — 60 ’
4 4
4144. 1лу = ~—nab<?-, /w = — ла35с;
nabc? ла’бс
4145. 1ху = 5 ’ " ~ 20 ’
аЬ*с
“ ” 60 ’
4
= — лаб’с.
, яай’с
4146. /ад - —(15л - 16); 1а = - (105л - 272);
225 15/5
ЯаРЬс 7
1уг = — (1о5п - й)- 4,41 1“У ~ Т ла6с’:
10/0 2
7^ «-^-ла^с;
О
X а3Ьс; /„
4 15л’
4Н7.1.
15я’ я*
в пес /л” виС, /ху — »лл /л“ ЛЬС*,
256 <2 * 128 <2
4U7.2.
14 4 л л
4148. /t=-—. 4149. /г=— (4л/Г —5). 4149.1. — в»,
15 15 5
4150.
где М в
-уЛ4/?«. 4153.
«= 2лроагЛ — масса цилиндра. 4154.
я’о^р
если г R;
4 л R’p.
Зг
если />/?, где г = VJf* + ys + 2* • 4156. « = 4ях
X I* f (p) min ’ P^dp, где r=V*2 + yl 4-zs.
4157. u = лр0{(Л — z) Va* + (Л — z)’ + г Vas + г’ — (Л —z)X
, ft — z + Va2 + (ft—z)’ I
X |ft — z| +z | г |J + as In ----------------- >•
уa1 + zs — г J
Шт
4158. X = 0; Г = 0; 2= —------если |a|>£.
a|a|
2 =------^^—a, если |a|</?. 4159. X = 0; F = Oj
R3
2= -2npo*{Vas + z’ - Ve’ + lft-z)’ -(|z|- |ft-z|)}.
4160. X = 0; F = 0; 2= —nfep0Rsinsa. 4161. Сходится
при 4163. р>1. 4162. Сходится п Сходится при р>~2~' ри р> 1 и 1164. Сходится Ч> 1. при
1 1 1 1
<С 1. 4165. Расходится. 4IU0.
р ч (Р-<7)(<?-1)
(Р><7 > 1). 4170. (р>1). 4171. 2л.
Р— 1 1
4172. —“7“ (р>1). 4173. я-х/2(УГ —1). 4174.
р— 1 2
4175. я я я. 4176. —. 4177. — 2 2 • 1,7е- Vfi" -ед/в,
а b d
а b Я
где 6 — и Д = b с е • 4179. — ab.
Ъ с е
d е яеа’Ь1 2(1—ег)3/2 f
4180. 4181. Сходится. 4182.
Сходится при р < 1. 4183. Сходится при 1 Т+
+ — Г> 1. 4184. Сходится при р < 1. 4185. Сходится
Ч Л тг
при р< 1. 4187. —. 4188. ла. 4189. — 1п 2. 2
4190. 2. 4191.
Сходится при
2
2
р< —. 4193. Сходится при
4194. Сходится прн р<\. 4195.
4196. Kl-p)-i(l-9)-i(l-r)-»
4192. Сходится при
Сходится при р<1.
(р<1. <7<1, г<1).
4197.
-у-. 4198. 2яв(-^-, 1—р) (р<1). 4199. я3/2.
4200.
з
6)
4207.
Д
л (Зп + 1)
12
2
где Д = | ац |.
4204. а)
4205.
ап
п!
4206.
п
3
1
420».
(п-1)! (2п+ 1)
Д1аг • • • ап
4208.
п!
4210.
2пп1
. .h„
I АГ
я(л-1)/2
—-———х
пГ
X ДА
а„.
4211.
nnf2an
4212.
Г
4213.
<п+1)/2
4218.
\ 2
пп "П/2
s77^
4220.
2Е1 е- Д/б
fi
1
мп/2—4219. и =-7Г"Я2РоЯв»
15
где 6 = | ап | и Д = I -“'/-'--L I _ окай-
I 6/1 с I
млеиный определитель.
4221. 1 + V2 .
4222.
15
4223. 2я»а»(1+2я»).
4224. — (ch3/2 2(0—О- 4225. 4а7/3
6
4226. 2(е°—1)+ — ае°.
4
4229. 2а*. 4230. — .
а
4227. 2а»(-2 Ji). 4228. .
1 + 4Л*
4231. 5. 4232. VS”. 4233. |хо14-|*о1,
где |хо|<а.
4235.
2гь
Зс
4234. —
4д/2
4237. — (За»4-4я»6») Vo»4-6». 4238. — яа». 4239. — X
3 3 3
х [(2 + ^)3/2 — 23/2]. 4240. ------------Г100 Тзв — 72 — 17 X
256 V2
v In 25 ~Ь 4 л/зб~ *1 4241. 26 (b 4- a *^s!n8 V где ев
Х _________17 J' \ 8 '
л/а* — Ъ* 2
«= —-------------эксцентриситет эллипса. 4241.1. — р3 х
а 3
X (2 V2 - 1). 4242. — Г(3 л/З - 1) + — In J..+ 2V3...l.
8 L 2 3 J
4243.
4244.
хв » ь — а
4
*о “ Уо = — “
V
Л — а , Л , аб
------- » Уо = — Н ..... -...— »
h + °--2 2 д/л* — аг
4244.1. SX = SW = — а*. 4244.2. ла».
5
4244.Х а) — в»; б) —-V3. а3. 4244.4. г0 = —
4245. Хо — Уо = *о --------•
Зл
й- —. 4247. Zx=. 2 /^ = (-^-4--^-) VW 4-л»;
= в3 >/4л»в3 + А3 . 4248. a) 0; б)—; в) 2. 4249. a) 2; 3
14 б) 2; в) 2. 4250. 15 4251. —. 4252. 0. 4253. — 2ла\ 3
4254. —2т. 4255. 0. 4256. 0. 4257. — — 1. 4258. 8. 4 аЦ-fc
4259. 12. 4260. 4. 4261. —2. 4262. j f(u)du.
4263. —. 4264. 9. Хя <9 4265. f ф («) dx 4- J Ф (У) dy. 4266. 62.
2 *1 Vi
4267. 1. 4268. я 4-1. 4269. в»cos6 — 1. 4271. a=— 4- 3
+ х*у - ху*---£- + С. 4272. —1— arctg + С.
3 2л)2 2у^2
4273. »=•-----—------Ь1п|* + у|4-С- 4274. г — е*+»(х—у +
(* + у}~ дп+т
+ 1) + & + С. 4275. а = + С. 4276. г =,
>= .fft— ( arctg —) 4- С. 4278. 11R | < — . 4279.
к у ) R*
4280. —ла*. 4281. 2л V2 a’sinf-^-aj. 4282. -
I
35 *
na3
4 ’
4283. — 4. 4284. — 53 -1— . 4285. 0. 4288. Ь —а.
12
х, lh »>+»а+Х|
4287. J <p (х) dx + j ф (у) dy + j X (г) dz. 4288. J J (и) du.
Xi Ut г> *i+ih+*i
4289. J uf(u)du. 4290. a=—(x»+g»+z»)—ixyz-^-C.
л!
4291. u = x — — 4- + C. 4292. и = In V(* +!/)* + «» +
У t
4. arctg —------J- C. 4293. A = — mg (г, — zfi. 4294. A =>
* + »
= - — (a» - t>»). 4295. A = k (—--------, Где r
2 \ 4 rt J
+ + t 2). 4298. Z-fJy'dxdy.
4297. —46 — . 4298. -2£-. 4299. — 2nab. 4300.-------------— X
3 2 5
x(e"—1). 4301. 0. 4302. Л —/t= 2. 4303. -—*** .
8
4304. mS + е*’ф (yt) — e*'<y (jfi) — m (y3 — у J-(xs — xj X
2
X (y»+j/i). 4305. P = , Q=kx + . где и — дважды
ox ду
дифференцируемая функция я k — постоянная величина.
4306. — [хГ (х. £/)] = — [j/f (х. к)}. 4307. 1) /=0; 2) /=2л.
дх ду
3 ла 3
4308. nab. 4309. — лаб 4310. . 4311. —а». 4312. а*.
8 6 2
4313. — -|---- . 4314. ~ В (2т+1, 2л+1). 4315. — X
4317. -----, 4318. л (п 4-1) (п+2) г»; блг». 4319. я X
2 (2п + 1)
Х(л— 1)(п — 2)rs; 6№. 4320. 4а». 4321. sgn (ad — be).
4322. 1 = V5 sgn—, где сумма распространена на все
L-i д (х, У)
точки пересечения кривых: <р (х, у) = 0 и 1р (х, у) — 0, лежащие
внутри контура С. 4324. 1 = 2S, где S — площадь, огра»
ниченная контуром С. 4325. Х'х (х0, y0)+F'(x0, у0),
4326. Проекции силы на осн координат равны: X = 0; У =*
= 2ктМ1яаг, где k — постоянная тяготения. 4327. u — 2nxRX
Xin——» если р « д/х* + Уг С R; ы=2лх/?1п —, если
/? р
р > R. 4328. /1 = —— pmcos mq>, /2 = -^— pmsinm<p,
tn m
если 0 < p < 1: = —— p_,ncos mq>, It = p~m sin m<p,
m tn
если p > 1. 4329. и = 2я, если точка А (х, у) лежит внутри
Монтура С; и — я, если точка А (х, у) лежит на контуре Cj
и = 0, если точка А (х, у} лежит вне контура С. 4330. Ki=
= npmcosm<p, Кг = лрт sin т<р, если 0 < р < 1; Xi = О,
К» — 0, если р = 1; Ki =--— cos /тр, Kt —-— sin mq>,
pm p"*
если p>l. 4339. Q = f C(— + —)dx dy, — + —= 0.
J J \ dx dy J dx dy
s
4340. Hx = ki&-l-lfr-y)d2-&-z)dy]; H =W(g_L-X
T r3 J r*
X [(C — Г) dx — (£ — X) dz]; Нг »= ki (f) —[($—x) dy—(n— y) dx].
T r>
4341. /!-/,= (4л - 2 V3) a4. 4342. — л д/2 a8. 4343. ла».
2
4344. -у (1 + д/Г). 4345. 2 ~ ^3 + ln 2
4348. л® [а д/1 + + in (a -j- д/1 -Г )]. 4349. ла - sin a X
2
Xcos»a(oca<y-). 4350. ^2 a\ 4352,—--^+6 .
4352.1. ла*. 4352.2. -----—--. 4353. —лроа«.
2 V3 3
лроа (За*+ 2М) л/а- + Ь* „вв а.
4354. —"' 1 —и...... . ill I. 4355» Ха • ил —— п»
12 2
?о = а~ 4356. х0 = уо = —-—гь = — (V2 -f-1).
9я 2л/7 я
4356.1. а) 40 а4; б) nR ГЯ (Я+ Я3) 4- — Я»1. 4356.2. л/з~
L 3 > 12 '
4357. Проекции силы притяжения иа оси | координат X — 0;
У — 0; Z — nkmpa In —. 4358. и = 4лр0 min (а, ) > где
b \ rt J
га “ л/*о + У о + 2q . 4359. F (0 = —(3 — Г2)3, если | /| <
18
<V3; F(/)=0, если |/|>V3 . 4360. F(/)= 1 А
6
4361. F = 0, если —a; F— [а* — (г — /)*], если г — а<
г
< I <r+ a; F = 0, если t > г + a (t > 0). 4362. 4ла3.
4363. Г + S(b)-g(0) + Мс)- Л(0) I
Ln ь с J
4364. 0. 4365. (aV+aV+bV). 4366. — (а-Н+с) Я3.
abc 3
I— Л3
4367. — ла*УЗ. 4368. ——. 4369. 2 пл. S. 4370 0.
6
а
4371. —2ла(а+Л). 4372. 2лЯг*. 4373.----— а». 4374. 0.
2
4376. зЩСх-’ + у’ + г'Чахбй/аг. 4377. 0.
V
1378. 2 С С С ----dx dy di -.
JJJ V^ + ys + r’
v
=2!L + J!fL + J^. 4330.
дх* ду* дг*
4385. —а3. 4335.1. 2n*a*b.
9
4379. J f J ku dxdy dz, где Au =□
v
0. 4384. -у- (a3 + -y-) | с I.
12
4387. 3a4. 4338. — na\
5
лЛ’’
4389. 1. 4390.------—-. 4392. a) / « 0; 6) I = 4л.
4401. a) grad и (0) = 3/ — 2/ — 6ft, | grad u (0) | « 7, cos a=3/7,
2 6
cosp= ——, cos y= —6) grad u (Л)=6/+зу, |grad и(Л)[в
«=3 л/5. cosa= —, cos Р= —~, cos у=0; в) grad и (В)
Vs Vs
= It, [grad и (В)| в 7 cosa=l, cos 0 = 0, cosy = 0>
grad и = 0 в точке М (—2, 1, 1). 4401.1. grad и (М) =
= 12/ — 9J — 20ft, |grad и (М) (= = 25. cos а зз
12 а == , cos В = 25 9 4 ди 3
25 5 ’ д1 л/2 ’
4402. а) ху = г4; б) х = у = 0 и х = У = г; в) х = у = г.
4403. г = 1. 4404. -1X5*.+.^ и* 2 —256 и1 = I (и > 16)>
—।-------— = j; max u = 20. 4405. cos ф =------— .
9S0 1024 9
4406. Поверхности уровня — полости конусов; поверхности
равного модуля градиента — торы; inf и = 0, sup и =f= 1)
inf | grad и |=0, sup | grad и | = —. 4407. ----.
2 | grad и (х0, уа, z®) |
4409. а)—; б) 2г; в)---------Х_. 4410. f (г)—. 4411. С.
г г3 г
ди 1
4412. 2г (с-с) — 2с(с-г). 4415.1. a) grad u = —~er-]-----X
dr г
ди . ди .
X-----г® 4-----ег, где er = i cos <р+/ sin ф, еф= — I sin <₽ 4-
Вф дг
+J cos <₽, et — k — орты, касательные к соответствующим ко-
. ди , 1 ди ,1
ордииатным линиям; б) grad и =----ег 4--------«е4-------X
дг г ВО rsinO
X —-е®. где et = I cos <j> sin 0 4- J sin ф sin 0 4- ft cos 0, ее=
Вф
= I cos ф cos 0+/ sin ф cos 0—ft sin 0, еф= — I sin ф4-J cos ф —
орты, касательные к соответствующим координатным линиям.
.ди 2и —s—;—г du , . ,
4416. ----------, где г — у/х* + у*+ г*-, -----=|gradu|,
dr г dr
. ..... cos(f. г) . du „
если а — Ъ = с. 4417. ----------------1----; -----=0, если
В/ г* В/
. du grad u grad о du п . , .
fir. 4418. ----= -=------------: ------ 0, если grad u_Lgrad о.
dl |grado| dl
44,9 a = » (Vх* 4- У* 4- yz) — / (Vx14- У* 4- xz) 4- ft (x—y) z .
(x* 4* У* 4- z*) Vx*4-y*
4420. у = Cjx, г = ctx*. 4422.1. div a (M) = 18/125; П =
24
bs-----nA 4423. 0. 4425. div (grad и) = Ди, где Ди =
125
•=4v + -?r+4r • 4426. f (0+ — c +
дх* dy* dz* r
c, 2
4---—, где с и Cj — постоянные. 4427. a) 3; 6) —•
r r
4428. (c-r). 4429. 3/ (r) + rf (r); f (r) = — , где
r r3
c — постоянная. 4430. а) иЛи + (grad u)*; 6) uAv 4- grad и X
Xgrad v, где Ди — оператор Лапласа. 4431. divo=0; divtt)=
=—2<ог. 4432. О, вне притягивающих центров. 4433. diva=
1 Г d , , , да™ 1
== — I------(га,) ---2- I, где а„ аф — проекции вектора а
г L dr Эф J
на координатные линии ф = const и г = const. 4434. diva=
= —5— Г — (MNau) + Л- (NLav) + — (LMa«>)l, где
LMN L du dv du> J
Ou. “v. o«> — проекции вектора a на соответствующие коорди-
, // df \2 , ( dg V , ( dh \2
натные линии и £ = х / I —-— I 4-1 —— I 4-(-] , М =
V k ди ) \ ди ) \ди )
=V(!)!+®’+©!--V(XXS)!-
Если г, ф, г — цилиндрические координаты, то div а =
= — Г —— (rar) + —S’ 4- г ~|; если г, 6, ф—сферические
г L дг <5ф дг J
координаты, то diva=-! f—— (r2a,sinO)+r —— (aesinO) h
r3 sin 0 L dr 50
4436. a) 0; 6) 0. 4436.1. rota (A4) =-—I —
Эф J 4
К 1 , ______R
— /4--k, | rot a (Al) | — — V141, cosa =-- • —, cosp=»
2 4 V141
=—cosy= — . 4437. a) (rxc); 6) 2/(r)c |-
VHT r
4- — (c(r-r) — г (c-r)]. 4439. a) 0; 6) 0. 4440. rotu =
= 2<oZ. 4440.1. rot a = — Г —— (raq>)
r L dr
dar 1 ,
----I k, где a<f и at
Эф J
— проекции вектора а, соответственно иа координатные линии
г = const и ф= const. 4440.2. a) rot а = ---^2^ с, 4.
даг
дф
где
о,=ах cos ф+fy sin <p, аф=— ax sin <p+atf cos q>, az—az, 6) rot a®
1 rd. . o. Sae "I . 1 Г 1 dar
«= --------I----- (amsin6)-------—I er-j-----------—. —— —
rsinO L 39 3q> J r L sinO Зф
•—-(гаф)1ее + — Г(ra%)-----------^-1 ev, где a, = ax cos Ф sin 9 +
dr J r L dr 30 J
4- ay sin ф sin 0 + az cos 0, ae = ax cos ф cos 0 + av sin ф cos 0 —
—OjSinO, a<f — — ax sin ф + au cos ф. 4441. а) 0; б) я/Л
4442. а) 0; б) 0. 4443. я. 4444. —. 4445. 0.
8
4445.1. —. 4447. 4ят. 4448. У et. 4450. ср-^-я»
5 dt
» div (k grad и), где с —удельная теплоемкость в р—плотность
тела. 4452. 2я*5*. 4452.1. 8 — • in 2. 4452.2. — (3 + е* —
21 4
— 12е-а). 4453. ГВ [ f(r) rdr. 4454. а) 2я; б) 2я. 4455. а) Гав ГА
«= 0; О) Г = 2яп, где л — число оборотов контура С вокруг
оси Ог- 4455.1. rot а (М) = —J—2ft, Г = — я (cos 0+2 cos у) е*.
S S
ди dv дх ду “• 4457. и= хуг(х + у + г)+С. ду дх
4457.1. —. 3 4458. и= —. 4459. и (х, у, г) = V* ~ИИ~, r L-i г,t 1»!
где расстояние переменной точки М (х, у, г) от точки Ai, (i=
=1, 2, .... л). 4460. и (х, у, г)= J if (t) dt, где г= Vх*+уа+А