И А. КАПЛАН
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ
ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
ЧАСТЬ V
(Численное решение алгебраических и трансцендентных уравне-
уравнений, матричное исчисление, векторный анализ и интегрирование
линейных дифференциальных уравнений первого порядка
с частными производными)
Издание второе, стереотипное
ИЗДАТЕЛЬСТВО
ХАРЬКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Харьков 1972

517
K20
Книга содержит подробный разбор и решение
типовых задач по таким разделам высшей матема-
математики: векторный анализ, алгебра матриц и их
приложений к решению задач линейной алгебры,
линейные дифференциальные уравнения с част-
частными производными первого порядка, решение
алгебраических и трансцендентных уравнений.
Книга рассчитана на студентов высших тех-
технических учебных заведений и может быть по-
полезной также преподавателям, ведущим практи-
практические занятия.
Илья Абрамович Каплан
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ
Часть V ,
Редактор Р. М. Деревянченко
Обложка художника И. Ф. Криворучко
Техредактор Г. П. Александрова
Корректор Л. П. Пипенко
Сдано н набор 28/VI 1968 г. Подписано к печати 20/Х 1968 г. БЦ 68807.
Формат 60x90Vie. Объем: 25,75 физ. печ. л., 25,75 усл. печ. л., 22,3 уч.-изд. л.
Зак. 2-177. Тираж 75000. Цена 92 коп. Св. ТП 197? г. поз. 31.
Отпечатано с матриц Книжной фабрики им. М. В. Фрунзе Комитета по печати
при Совете Министров УССР, Харьков, Донец-Захаржевская, 6/8 на Типооф-
сетной фабрике «Коммунист» Комитета по печати при Сорете Министров
УССР, Харьков, Энгельса, 11.

ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга, как и ее предыдущие четыре части, предназначена
в основном для студентов, которые обучаются по вечерней си-
системе и заочно.
В книгу вошли упражнения по векторному анализу, исчисле-
исчислению матриц и их приложению к решению систем линейных алге-
алгебраических уравнений и приведению квадратичной формы к сумме
квадратов, а также упражнения по итерационным методам реше-
решения алгебраических и трансцендентных уравнении, решение линей-
линейных дифференциальных уравнений с частными производными пер-
первого порядка.
Цель книги — помочь студенту научиться с наименьшей затратой
времени самостоятельно решать задачи по этим разделам курса
высшей математики.
Весь учебный материал разделен на отдельные практические
занятия. Как и в предыдущих четырех частях, перед каждым из
занятий помещены основные сведения из теории, а также относя-
относящиеся к нему формулы, теоремы и определения.
К упражнениям по теории матриц сведения из теории приве-
приведены полнее, чем к практическим занятиям по другим разделам
курса. Это связано с тем, что в учебной литературе теории мат-
матриц и их приложений уделяется недостаточное внимание, несмотря
на их широкое применение в технике и вычислительной практике.
Важное место занимает определение собственных значении и соб-
собственных векторов матрицы методами акад. А. Ц. Крылова и
Леверье.
Каждое практическое занятие содержит подробное решение
типовых задач различной степени трудности с полным анализом
решения. Многие задачи решаются различными способами, а целе-
целесообразность этих способов сравнивается.
Кроме этих решенных и разобранных задач, каждое практи-
практическое занятие включает большое число задач для самостоятель-
самостоятельного решения. Все они снабжены ответами, а многие из них —
промежуточными результатами и методическими указаниями. Такое
построение книги предоставляет студентам широкие возможности
для активной самостоятельной работы. \

Студенты, пользующиеся этрй книгой, перед каждым практи-
практическим замятием должны выучить относящийся к нему раздел
теории, разобрать решенные задачи с выполнением всех действий
на бумаге и только после этого приступать к задачам, предложен-
предложенным для самостоятельного решения.
Книга написана так, что она допускает не только последо-
последовательное проведение всех практических занятий, но и использо-
использование их в выборочном порядке. Например, упражнения по век-
векторному анализу (практические занятия №«ЬГ» Ц, 12, 13 и т. д.)
и упражнения по теории матриц (практические занятия №№ 4,
5, 6, 7, 8, 9) можно выполнять независимо друр от друга. Это
относится и к упражнениям по решению алгебраических и транс-
трансцендентных уравнений, а также дифференциальных уравнений
с частными производными.
Автор приносит глубокую благодарность рецензенту этой книги
доктору физико-математических наук, профессору Г. М. Баженову
и ее ответственному редактору кандидату физико-математических
наук, доценту Р. В. Солодовникову, а также кандидату техни-
технических наук А. А. Егоршину за ценные советы и замечания,
которые способствовали улучшению книги.

ПЕРВОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Численное решение алгебраических уравнений
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Алгебраическое уравнение степени п с действительными коэф-
коэффициентами
f (х) = аохп + а^-1 + а2хп~2 +-••+ ап_хх + ап = 0 A,1)
имеет п корней, среди которых могут быть действительные раз-
различные корни, действительные кратные корни, а также комп-
комплексные корни, попарно сопряженные. Если корнями уравнения
являются числа <хь <х2, ... , ап, то левая часть уравнения может
быть представлена в виде
f(x) = ao(x — aj){x~a2)(x— a3) ... (x — <х„). A,2)
Если a—корень уравнения, то левая часть уравнения делится
без остатка на х — а.
Прежде всего следует найти все действительные корни урав-
уравнения, а потом уже его комплексные корни.
1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ КОРНЕЙ
АЛГЕБРАИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
При решении алгебраических уравнений степени выше второй
мы будем отыскивать действительные корни методами последова-
последовательных приближений с использованием схемы Горнера для деле-
деления левой части уравнения на х — а, где а — действительный
корень уравнения.
В методах последовательных приближений, применяемых при
решении уравнений, отыскивается последовательность чисел хъ
х2 хп, которая имеет своим пределом число а, являющееся
корнем уравнения. Мы будем считать хп хорошим приближением
к корню а, если остаток от деления левой части уравнения на
х — хп достаточно мал.
Схема Горнера для деления многочлена на двучлен х — а, а
также схема для деления многочлена на квадратный трехчлен
х2 + рх + Я, которая понадобится при определении комплексных
корней уравнения, даны ниже.
Сейчас же укажем правило Декарта, согласно которому можно
сделать заключение о числе положительных и отрицательк
корней алгебраического уравнения.

Правило Декарта
Если в уравнении A,1) у двух соседних коэффициентов разные
знаки, то говорят, что имеет место перемена знака; если же у
двух соседних коэффициентов одинаковые знаки, то говорят, что
имеет место сохранение знака. При этом учитываются только
коэффициенты, отличные от нуля.
Пример. В уравнении
хъ —7х* — 4jc« + 5 = 0
имеют место две перемены знака (у членов первого и второго,
третьего и четвертого и одно постоянство знака у второго и
третьего членов).
Если в уравнении A,1) нет коэффициентов, равных нулю, то
оно называется «полным».
Для определения числа положительных и отрицательных кор-
корней алгебраического уравнения существует правило Декарта,
которое гласит:
, Число положительных корней алгебраического уравнения равно
J числу перемен знака в ряде коэффициентов этого уравнения или
на четное число меньше его, причем, равные нулю коэффициенты
^ просто не считаются.
г Число отрицательных корней уравнения равно числу перемен
(знака в ряде коэффициентов уравнения f( — х) = 0 или на четное
\число меньше его.
Если уравнение «полное», то число его положительных корней
равно числу перемен знака или на четное число меньше его,
а число его отрицательных корней -равно числу постоянств знака
в ряде коэффициентов или меньше его на четное число.
Это правило мы неоднократно будем применять при решении
задач.
Отделение корней. Отделением корня уравнения f(x) = O
называется нахождение отрезка [а, Ь], на концах которого функ-
функция принимает значения разных знаков и внутри которого на-
находится только один корень. Отделив корень, мы получаем воз-
возможность в качестве его приближенного значения принять любое
число из отрезка [а, Ь]. Отделение действительных корней урав-
уравнения / {х) = 0 очень удобно производить графически. Значения
действительных корней уравнения f(x) = O являются абсциссами
точек пересечения графика функции у = f (х) с осью Ох. Чтобы
указать отрезки, заключающие только по одному корню уравне-
уравнения,, не требуется особой точности.
Пример. Если график функции имеет вид, указанный на фиг. 1,1 то
уравнение имеет три простых корня. Если какой-либо действи-
действительный корень является двукратным, например, <хх = <х2 то кривая
y = f{x) касается оси Ох в точке, где х = аг (фиг. 1,2).

Если имеется трехкратный действительный корень, например,
ах = а2 = а3, то в месте касания с осью- кривая у = f{x) имеет
точку перегиба (фиг. 1,3).
я -
Фнг. 1,1
ы, *ыг*ы3
Фиг. 1.3
Графический метод отделения корней должен рассматриваться
только как вспомогательное средство при определении приближен-
приближенного значения корней и большой точности от него ждать нечего.
Отделенные графическим методом корни уточняются способами,
указанными ниже.

Способ № 1
(Способ Ньютона и его видоизменение *).
В этом способе приближенное значение действительного корня а
улучшается по формуле
/ (хп) /1 о\
(см. В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. I, гл. 6, § 2),
где через хп и хп+1 обозначены соответственно я-ое и (л+1)-ое
приближения корня. Эта формула дает возможность по известному
n-му приближению корня найти его (л+ 1)-ое приближение.
Чтобы сократить вычисления по формуле A,3), можно для
всех приближений корня удовольствоваться одним и тем же зна-
значением производной, стоящей в знаменателе дроби в этой формуле,
вычислив ее значение только для первого приближения корня.
Способ Ньютона с этим упрощением мы будем называть видоиз-
видоизмененным (модифицированным) способом Ньютона.
Когда применяется способ Ньютона, корень необходимо отде-
отделить, т. е. определить отрезок [а, Ь], в котором находится [един-
[единственный действительный корень.
За первое приближение корня следует взять ¦значение того
конца этого отрезка, на котором знак функции совпадает со зна-
знаком ее второй производной.
Способ № 2
(Способ линейной интерполяции и его видоизменение **')
В этом способе для вычисления (п+ 1)-го приближения корня
пользуются формулой
f () " ^4)
хп
хп+\ :=xn — f (*/>) f(x) — f(xt) ^>4)
(см. например, В. И. Смирнов. Курс высшей математики, т. 1,
гл. 6, § 2), причем хп и xt — значения, между которыми нахо-
находится искомый корень. Формула A,4) дает возможность по най-
найденному л-му приближению корня найти его (я + 1)-ое прибли-
приближение. В этом способе за первое приближение корня можно
принять значение любого из концов отрезка, на котором находится
отделенный корень.
Замечание. Значительную экономию вычислительной работы
можно получить при помощи этого способа, если значение дроби
f(xn)-f(x)
* Этот способ называется также способом касательных.
** Этот способ называется также способом хорд.

в формуле A,4) брать одним и тем же для всех приближений
корня.
Способ, в котором будет применено это упрощение, мы будем
называть видоизмененным (модифицированным) способом линейной
интерполяции. Часто бывает выгодно одновременно применять
способ Ньютона и способ линейной интерполяции.
Способ №3
для определения приближенного значения наибольшего и наи-
наименьшего по абсолютной величине корня алгебраического урав-
уравнения.
Если дано уравнение
f (х) = Xя + alXn~i + а2хп-* +•••+ an_lX + an -0, A,5)
то его простой, наибольший по абсолютной величине корень можно
приближенно найти из уравнения
x + ai = 0 2cz-Gt A,6)
или из уравнения
х2 + ахх + а2 = 0, A,7)
взяв его больший по абсолютной величине корень.
Укажем, что найденные таким образом приближенные значе-
значения окажутся достаточно точными, если наибольший по абсолют-
абсолютной величине корень уравнения A,5) значительно превосходит
остальные корни этого уравнения.
Приближенное значение наименьшего по абсолютной величине
корня можно найти из уравнения
an_lX + an±=0 A,8)
или из уравнения
а„_2А:2 + а„_1х + а„ = 0, A,9)
взяв его наименьший по абсолютной величине корень. Улучшение
корня, найденного по этому способу, можно провести по способу
№ 1 и № 2 или видоизменениям этих способов, указанным выше,
определив отрезок, в котором находится найденный корень.
Способ №4
В уравнении
f (х) = хп + aixn~l + а2хп-* + • • • + а„_2ха + ап_хх + ап = 0
отбираем три последних члена и решаем квадратное уравнение
в»-**1 + «»-х* + ап = 0. A,10)
9

1. Если корни этого уравнения действительны, то поступаем
так: решаем уравнение
а„_1х + ап = 0 A,11)
и за первое приближение корня берем
Левую часть уравнения A,5) делим на х — xv Деление про-
проводим по схеме Горнера (см. ниже) до тех пор, пока не останется
двучлен вида
bn-ix + an, A,13)
который не делится без остатка на х — Х\. Приравниваем нулю
двучлен A,13) и из уравнения
Ъ ,х 4- а„ = О
находим второе приближение корня
х» = —^-. A,14)
Теперь левую часть уравнения A,14) делим на х — х2 по схеме
Горнера и получаем остаток в виде
сп-гх + ап, A,15)
с которым мы поступаем, как с предыдущим: приравниваем его
нулю
cn_lX + an = 0. A,16)
Определяем третье приближение
а„
A,17)
и снова по схеме Горнера делим левую часть уравнения на х—х3.
Обычно этот процесс приводит к ряду значений хг, х2, х3, ... ,
приближающихся к искомому корню.
После того как мы остановились на некотором приближении
корня хп и приняли его за искомое значение корня, разделим
левую часть уравнения A,5) на х—хп. Получится многочлен
степени на единицу меньшей, чем левая часть данного уравнения.
Приравниваем этот многочлен нулю и с полученным новым урав-
уравнением поступаем, как было описано выше.
Замечание. При использовании этого способа может слу-
случиться, что последовательность чисел хъ х2, х3, ... не прибли-
приближается к искомому корню, т. е. имеет место так называемый
ю

расходящийся процесс. Приведем две рекомендации для улучше-
улучшения вычислений в тех случаях, когда приближение к искомому
корню происходит медленно шли «колебательно», т. е. не моно-
монотонно.
А. Если при определении вещественных корней уравнения A,5)
последовательные значения
*i~—jr-: *2 = -^Ч *, = --?-;... A.18)
я—1 я—1 л—1
меняются не монотонно, а «колебательно», то следует брать новое
приближенное значение корня для следующего деления равным
полусумме предыдущего значения и того, которое получается из
остатка выполненного деления, т. е. брать в этом случае, напри-
например, третье приближение равным
*-4 (*+¦?-)• (М9)
* я—1/
Б. Если же при определении вещественных корней значения
A,18) меняются, хотя и не монотонно, но очень медленно, надо
следующее, например, третье приближение корня, брать в этом
случае в виде
** гх-гг ' <1>20>
где тх и гг — остатки от деления левой части уравнения A,5)
соответственно на х—xif и на х—хг.
2. Если окажется, что корни уравнения A,10) комплексны, то
для вычисления пары комплексных сопряженных корней посту-
поступаем так: представляем его левую часть в виде трехчлена
x* + f=±x + ?*-. (А)
f
л—а
Этот трехчлен будем считать первым приближением к тому
трехчлену, из которого мы впоследствии определим пару корней.
На этот трехчлен делим левую часть уравнения A,5), пока не
останется трехчлен вида
который уже целиком не делится на (А). В качестве второго
приближения выделяемого трехчлена принимаем трехчлен
Х2+Ьп=1Х + А- (В)
п—а п—г
и на него снова делим левую часть уравнения до тех пор, пока
не получится остаток вида
11

За третье приближение выделяемого трехчлена принимаем трех-
трехчлен
с с
V2 | л—1 v | л (С~\
Л—2 Л—2
По коэффициентам трехчленов (А), (В) и (С) судим о том, схо-
сходится ли этот процесс. Останавливаемся на каком-либо прибли-
приближении, коэффициенты которого мало отличаются от коэффициен-
коэффициентов предыдущего. Если это будет трехчлен
х2 + Ьх + с,
то решение уравнения
х2 + Ьх + с = О
даст два корня исходного уравнения. На странице 17 указана
удобная схема для деления многочлена на квадратный трехчлен,
которая значительно облегчит процесс деления. Подробное изло-
изложение указанных выше способов можно найти, например, в книге:
И. С. Березин и Н. П. Жидков. Методы вычислений, Физ-
матгиз, 1959.
Схема Горнера
Чтобы не отсылать студента к учебникам, где изложен способ
Горнера для деления целой рациональной функции
/ (х) = айхп + а^-1 + а2хп~2 +•••+ ап_хх + ап
на линейный двучлен х — х0, приведем этот вывод здесь.
При делении многочлена
аох" + а^ + а2х"~2 -\ f- а^х -{- ап на х — х0
получится в частном многочлен степени (и— 1)
О I ^Х" 1 * I 1 я—2 I я—1
и остаток г — число, так что
QqX -f- й-уХ^ -\- п%Х * -f- •••-!- ^п—\Х ~\- пп =
= (х — х0) (Ьох"~1 + Ьгх"~2 + Ь2х"~г + • • • + bn-^x + fe"-1) + т.
A,21)
Определению подлежат коэффициенты b0, blt Ьъ ..., &„_,
частного и остаток от деления г.
12

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях буквы *
в левой и правой частях равенства A, 21), получим:
а0 = Ьо)
аг = — boxo + Ьд
Решая эти равенства относительно b0, blt b2, ..., &„_, и г,
найдем:
Ьо = ай\
Ъх — аохо + аг\
+ аг;
Эти равенства показывают, что каждый последующий коэффи-
коэффициент bt получается умножением предыдущего bi—\ на х0 и при-
прибавлением соответствующего коэффициента at. Остаток г из Ьп-\
находится также. Вычисления удобно располагать по схеме, в ко-
которой принято а0 = 1.
Схема Горнера для деления многочлена
х" + ах*"-1 + а2хп~2 + • • • + ап-\Х + ап на двучлен х — х0
в» = 1
в,
в2
Ь2хй
ь»
...
...
...
ап-\
bn-2x«
bn-\*«
Г
В первую строку вписываем коэффициенты делимого. Из схемы
видно, что коэффициенты частного получаются в третьей строке
от сложения чисел, стоящих над ними в первой и второй строках.
Приведем пример использования схемы Горнера. Разделим много-
многочлен
на х — 3. У нас х0 — 3.

3
1
1
5
3- 1=3
8
4
3 • 8 = 24
28
—3
3 ¦ 28 = 84
81
2
3 • 81 = 243
245
Коэффициенты частного равны 1; 8; 28; 81; в частном полу-
получаем х3 -)- 8*2 + 28* + 81, а остаток г = 245. Схемой Горнера удобно
пользоваться также для вычисления значений многочлена
/=(*) = аохп + «I*"-1 + а2х»-2 + ¦¦¦+ ап-хх + ап
при х = х0, т. е. значения f(x0). Вычисление f(x0) требуется при
нахождении корней по способу Ньютона, способу линейной интер-
интерполяции и при использовании способа № 4. Следует помнить, что
Дд:0) равно остатку от деления многочлена f(x) на х — х0. Так,
в приведенном примере значение / (х) при х — 3 будет f C) = 245,
т. е. равно остатку от деления f (х) на х — 3.
Случай кратных действительных корней уравнения
Известно, что если многочлен f(x) последовательно п раз де-
делить на х—а, то в остатках будем получать: после первого де-
деления f(a),'после второго f (а), после третьегоктf (a) ... , после
«-го> деления (/I—1) lf~1 (а)-
Если аг — корень кратности k уравнения A,1), то не только
/ Ы = 0, но и /' (в1) = 0; f" (в1) = 0 ... ; /<*-» {аг) = 0.
Пример. Рассмотрим уравнение
f (х) = х3 — 9хг + 24*— 16 = G.
Разделим f{x) на х—4 по схеме Горнера:
(остаток от деления; 0
есть значение функции
при х = 4).
Первое деление
4
Второе деление
4
1
1
1
—9
4
—5
4
—1
24
—20
4
—16
+ 16
0 = / D)
—4
0
= Г D)
14

Поскольку не только f D) = 0, но и f D) = 0, то х = 4 есть
двукратный корень нашего уравнения. Частное от деления f (x)
на {х—4)а равно х—1, а его коэффициенты 1 и—1 находятся
на последней строке. Поэтому третий корень уравнения получим
из уравнения
д: — 1=0; *= 1.
Случай, когда уравнение имеет два близких корня
В способе № 1 (способ Ньютона) употребляется формула A,3)
Если уравнение имеет два близких по величине корня, то зна-
знаменатель дроби в формуле A,3) будет мало отличаться от нуля,
что повлечет за собой резкое изменение правой части этой формулы
при изменении х. В этом случае следует решить уравнение f (я) = 0,
найти его корень а и разложить f (я) по степеням х — а, сохраняя
в разложении только члены с х — аи (х— аJ, т. е. разложение
функции f (х) представить в виде
и рассмотреть уравнение f (х) = 0, или
Так как а есть корень уравнения /' (х) = 0, то f (а) = 0 и послед-
последнее уравнение запишется в виде
а отсюда
A,22)
Этими соображениями мы будем пользоваться всякий раз, когда
понадобится определить два близких между собой корня.
15

2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОМПЛЕКСНЫХ КОРНЕЙ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
После того как определены все действительные корни алгебраи-
алгебраического уравнения, следует приступить к определению его комп-
комплексных .корней.
Пусть найденные действительные корни уравнения A,5) есть
числа а.х, а2, а3, ... , ak (k < п, если k — п, то решение закончено).
Разделим левую часть f {x) уравнения A,5) на произведение
{х — ах) {х — а2) (х — а3) ... {х — аА).
В частном получится многочлен <р (я) степени п — k
? ^ = (x-a1)(x-a2)(x-a3)...(x-ak) '
Деление следует проводить по схеме Горнера, разделив сначала
f (х) на х—«1, затем полученное частное — на х—сс2 и т. д.
Так как все вещественные корни уже найдены, то уравнение
? (*) = О
вещественных корней не имеет, а потому степень п — k многочлена
<р {х) будет обязательно четной. Пусть п — k = 21, а многочлен
<р(я) записывается так:
<Р (*) = Xй + di*2'-1 + d2x2l~2 -\ (- d2i-2X2 + dn-\x + d-u = 0.
A,22а)
Для определения пары комплексных корней tp (*) следует вы-
выделить квадратный трехчлен, являющийся делителем ф (х). Этот
делитель в первом приближении принимаем равным
d p A,23)
a2l-2
/-2
и делим на него многочлен <?\х) до тех пор, пока не останется
трехчлен вида
ex' + fx + k,, A,24)
не делящийся на трехчлен A,23).
Трехчлен
*¦ + ¦?* +7' A>25)
полученный из предыдущего делением всех его членов на е, при-
принимаем за второе приближение выделяемого трехчлена. Теперь
16

делим в (х) на A,25) до тех пор, пока не получится трехчлен
вида
eix* + ^х + К
уже не делящийся целиком на A,25).
Из этого трехчлена делением всех членов на ех получаем трехчлен
*+%*+%:'' A>26)
который принимаем за третье приближение выделяемого трехчлена.
Обычно уже на третьем, четвертом шаге мы получим хорошее
приближение в виде трехчлена
приравниваем его нулю и находим пару комплексных корней-
Мы остановимся на том приближении, коэффициенты которого
мало отличаются от предыдущего. Разделив <р(лс) на A,26) (соб-
(собственно, частное уже получено в последнем делении), получим
многочлен степени на 2 меньшей, чем а» (лс), и с ним поступаем
точно так же, как и с <?(х).
Замечание. Если вычисления при определении комплекс-
комплексных корней сходятся плохо, надо многочлен A,22а) преобразовать
заменой х = — в многочлен
у) = ?i (г) = рг + dipJn + <*2pj=2 H Н <ki-i y + da
или
?i (г) = ^ A + d,z + d222 + • • ¦ + d2/-iz2'-1
и рассмотреть уравнение
?i(z) = 0. A,27)
Корни уравнения у [х) —0 будут обратными величинами кор-
корней последнего уравнения A,27).
Схема для деления многочлена на квадратный трехчлен
Укажем теперь удобную схему для деления многочлена на трех-
трехчлен вида х2 + рх -f Я- Пусть
f (х) = айх" + а^-1 + а2х"-2 -\ + «„_,* + ап =
= (а:2 + рх + q) (b0x«-2 + blX"-3 + Ьгх«-* +¦¦¦+ bn-3x + bn^2) +
Коэффициенты b0, Ьъ b2, ... , bn-2, bn-\, bn находят по схеме,
которая легко получится, если, как и в схеме Горнера, сравнить
коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и в правой час-
частях предыдущего равенства.
v 17

Схема имеет такой вид:
—р
—я
«о
bo
«1
—рК
ч
-pbx
—А
Ьг
-Л
*8
~рЬц
—яьг
К
...
...
...
ап-2
—Рьп-з
-4bn-i
Ьп-2
ап-\
-Pbn-2
-ЯЬ„-.Ъ
Ьп-х
ап
-ЯК-2
Ьл
В первую строку записываются коэффициенты многочлена f (x).
Коэффициент частного&о = во- Образование чисел второй и третьей
строки ясно из схемы. Искомые коэффициенты получаются как
сумма чисел, стоящих в одном и том же столбце.
Так как в описываемом способе мы делим до тех пор, пока
не останется многочлен вида
то с помощью этой схемы коэффициенты е, f и k можно получить так:
коэффициент е — это &„_2 в третьем столбце схемы, считая
справа;
коэффициент / получится в предпоследнем столбце, если не
вписывать в него произведение—рЬ„-2;
коэффициент k равен ап — свободному члену уравнения. Иначе
говоря, е = bn_2. f e fen_i + pbn_2, k = Дп>
Приводим пример деления по этой схеме многочлена
f.{x) = 5х« + З*5 — ** + 5*3 — 2>хг + 4х + 8 на хг + 7х + 8
1
—7
—8
а0
5
5
bo
3
—35
-32
Ьх
«а
—1
224
—40
183
«8
5
—1281
+256
—1020
ь3

—3
7140
—1464
5673
bt
а5
4
—39711
8160
—31547
h
«в
8
—45384
—45376
b*
18

Итак, частное от деления равно 5х* — 32л?+ 183л:2— 1020 х +
+ 5673, а остаток равен—31547л;—45376.
Если же производить деление до получения в остатке интере-
интересующего нас квадратного трехчлена вида ехг + fx + k, то он ока-
окажется равным 5673л;2 + 8164л; + 8, причем 8164 = 8160 + 4 (8160 —
выделено жирным шрифтом), а 8 — свободный член (мы сознательно
привели несколько громоздкий пример).
Проверка решения
Проверку всех найденных корней следует произвести, пользуясь
известными свойствами корней алгебраического уравнения (формулы
Виета).
Сумма всех корней алгебраического уравнения A,1)
а их произведение
аг • а2 • ос3... ап = ^—1; —. A>^У/
После этих указаний приступим к решению задач. Рекоменду-
Рекомендуется пользоваться при этом арифмометром или любой клавишной
вычислительной машиной.
Задача 1,1- Решить уравнение
f (х) = х3 — 5л:2 + 4* + 0,092
(с точностью 0,001).
. Решение. Используя правило Декарта (стр. 6), заключаем,
что положительных корней будет два или ни одного, так как у нас
две перемены знака (Ч f- +), отрицательный же корень только
один, поскольку уравнение «полное» (коэффициентов, равных нулю,
в уравнении нет), а число сохранений знака одно в последних двух
коэффициентах: + + (см. стр. 6). Будем пользоваться указаниями
способа № 3 для определения наибольшего по абсолютной вели-
величине корня.
Составляем квадратное уравнение вида A,7). У нас ах = —5;
а2 = 4 и это уравнение имеет вид
л;2 — 5*+ 4 = 0.
Решая его, находим
Х~ 2 ± V 4 **
Принимаем хг = 4 за первое приближение наибольшего корня,
Теперь мы должны отделить корень (см. стр. 6). Делим f(x)
на х—4 по схеме Горнера (стр. 13V-
19

4
1
1
—5
4
—1
4
—4
0
0.092
0
0.092 = /D)
(остаток от деления 0,092 есть
значение левой части уравне-
уравнении при дг=4)
У нас / D) = 0,092 > 0. Возьмем х = 3,9. Разделив теперь / (д;)
на х—3,9, получим
—5 4 0,092
3.9
3,9 —4,29 —1,131
1 —1.1 —0.29 —1,039 = /C.9)
(остаток от деления —1,039 есть
значение левой части уравне-
уравнения при х = 3,9)
и /C,9) = — 1,039 <0.
Значит, f C,9) < 0, а / D) > 0 и корень содержится между 3,9
и 4. Из рассмотрения остатков деления 0,092 и —1,039 заключаем,
что искомый корень ближе к 4, чем к 3,9. Уточним корень ли-
линейной интерполяцией (способ № 2).
Второе приближение корня получим по формуле A,4), которая
для нашего случая запишется так:
Здесь хг и х, — концы отрезка [3,9; 4], в котором находится
корень. В формулу A,4) подставим
f(ж,)-/D)=*0,092; a f(xt) = /C,9) = -1,039;
_. 0,092 • D — 3.9).
*2 0.092—(—1.039)'
. 0.0092
x i ;
х2 = 4 —0,008 = 3,992.
Значит, вторым приближением корня будет х2 = 3,992.
20

Разделим теперь ^(л;) на х—3,992 по схеме Горнера:
1 —5 4 0,092
—(А)
3,992
3,992 —4,024 —0,095
1 —1,006 —0,024 —0,003 = /C,992)
Остаток от деления получился значительно меньшим (г = —0,003
вместо —1,039 в предыдущем делении). Испробуем значение х =
= 3,993. Разделим / (х) на х — 3,993:
3,993
1
1
—5
3,993
—1,007
4
•
—4,021
—0,021
0,092
—0.083
0,009 = / C,993)
От деления получился положительный остаток г = 0,009. Зна-
Значит, f C,993) >0, а / C,992) < 0. Отсюда заключаем, что значение
искомого корня уравнения промежуточное — между 3,992 и 3,993.
Ограничиваясь тремя знаками, принимаем х = 3,992.
Считая, что х находится на отрезке [3,992; 3,993], мы допускаем
погрешность, меньшую 0,001.
В схеме (А) уже имеются коэффициенты частного от деления
f(x) на л:— 3,992. Эти коэффициенты равны 1; —1,008 и —0,024,
а само частное равно х2— 1,008л;— 0,024. Приравнивая его нулю
и решая квадратное уравнение
х2— 1,008л; — 0,024 = 0,
получим (при решении пользуйтесь таблицами для извлечения
квадратных корней)
х = 0,504 ± /0,254 + 0,024;
х = 0,504 ± У^Щ
[ 1,031;
х = 0,504 ± 0,527 =
1—0,023.
Итак, корни уравнения равны
хг = —0,023; х2 = 1,031; х3 = 3,992.
Количество полученных отрицательных и положительных кор-
корней уравнения соответствуют тому, которое было определено на
21

основании правила Декарта (см. начало решения). После того
как корни найдены, их следует располагать в порядке возрастания.
Проверка. хг + х2 + х3 = —0,023 + 1,031 + 3,992 = 5, как
и должно быть на основании формулы A,28), так как у нас
— — = 5 (а0 = 1; ах == —5).
**о
На основании формулы A,29)
^ Х\ - Х2 - Х3 == \~~ 1) ~~
я = 3; ап = 0,092 и должно получиться, что хг • х2 ¦ х3 = —0,092.
Фактически же мы получаем хг ¦ х2 • х3 = —0,096, что следует
признать достаточно хорошим приближением. Мы получили х2 =
= 1,031. Точным значением корня является х2 = 1,03.
Значение наименьшего по абсолютной величине корня х — — 0,023
можно было бы найти сразу, решив уравнение вида A,11)
ая-1* + ап = °-
В нашем случае это уравнение запишется так:
Ах + 0,092 = 0.
Отсюда д; = —0,023.
Проверим этот осорень делением левой части уравнения на
х + 0,023:
—0.023
1
1
—5
—0,023
—5.023
4
+0.116
4.116
0,092
—0.094
—0.002 = /(—0,023)
(остаток от деления)
Поскольку остаток от деления мал, заключаем, что это хоро-
хорошее приближение.
Задача 1,2. Найти с точностью до 0,001 корни уравнения
/(л) = *з-, 4хг — 7х + 13 = 0.
Решение. По правилу Декарта заключаем, что положитель-
положительных корней два или их вовсе нет, так как в ряде коэффициентов
уравнения две перемены знака. Отрицательный же корень один,
поскольку число сохранения знака в ряде коэффициентов равно 1,
Начнем с определения наибольшего по абсолютной величине
корня (способ № 3, прочтите его!). Для этого составляем квадрат-
квадратное уравнение A,7), в котором ах = —4, а2 — —7.
Уравнение A,7) принимает вид
х2 — Ах — 7 = 0.
22

Отсюда x = 2
х = 2±УТГ=/+,
_ 1-1,317,
так как l/ll = 3,317.
Поскольку нас интересует больший по абсолютной величине
корень, берем х = 5,317 и будем считать 5,31-7 первым прибли-
приближенным значением корня. Теперь определим отрезок, на котором
находится корень, т. е. отделим корень. Разделив по схеме Гор-
нера левую часть данного уравнения на х — 5,317, получим
1 —4 —7 13
5,317
5,317 7,002 0.011
I 1 1,317 0,002 13.011 =/E,317)
I (остаток от деления)
Остаток от деления 13,011 и есть значение левой части урав-
уравнения при д: = 5,317. Возьмем теперь значение меньшее, чем 5,317,
например, х = 5, и для определения / E) разделим левую часть
уравнения на х — 5. Пользуясь схемой Горнера, получим
| 1 —4 —7 13
_ . - - —
1 1-2 3=/E)
(остаток от деления)
Теперь остаток от деления равен 3 и / E) = 3. Возьмем значе-
значение меньшее, чем 5, например х = 4,8, и разделим / (д;) над:—4,8;
II —4 —7 13
4,8 I 4,8 3,84 —15,168
1 0.8 —3,16 —2,168 = /D,8)
(остаток от деления
Остаток от деления равен —2,168. Остаток поменял знак. Зна-
Значение левой части уравнения при х — 4,8 будет /D,8) = —2,168.
Поскольку / E) = 3 > 0, а / D,8) = —2,168 < 0, т. е. значения
левой части данного уравнения на концах отрезка [4,8; 5] имеют
различные знаки, искомый корень находится именно на этом
отрезке. Уточним значение корня по способу № 2 линейной интер-
интерполяции. Это удобно сделать именно этим способом, так как
все величины, входящие в формулу A,4), уже вычислены. Прини-
Принимаем за первое приближение корня хх — 4,8. У нас xt = 5; хх —
= 4,8; /= (л:,) = 3; f (хх) = —2,168, и мы получаем второе прибли-
приближение корня по формуле A,4)
д
23

или, подставляя числа, будем иметь
—2,168 —3"
Значение дроби
4.8-5 _ -0.2 _
—2,168 — 3"~— 5,168 ~
и х2 = 4,8 + B,168) • (+0,039) = 4,8 + 0,084 = 4,884. Итак, второе
приближение корня х2 = 4,884.
Вычислим теперь значение левой части нашего уравнения при
х = 4,884. Вычисление производим по способу Горнера, путем деле-
деления левой части уравнения на х—4,884:
-7 13
4,884
4,884 4.317 —13,104
I 1 0.884 —2,863 —0.104 =/D,884)
I (остаток от делен
/()
(остаток от деления)
Остаток от деления г = —0,104, а потому значение левой части
уравнения при х = 4,884 будет f D,884) = —0,104. Теперь отрезок,
на котором находится корень, сузился. Этот отрезок [4,884; 5],
и мы имеем /D,884) = —0,104 < 0, a fE) = 3 > 0. Тем же спосо-
способом найдем и третье приближение по формуле A,4)
Здесь у нас дс2,= 4,884; по-прежнему дс, = 5;
f (х2) = f D,884) = -0,104; / (*,) = f E) = 3.
Подставляя эти значения в последнюю формулу, будем иметь
дг3 = 4,884 —(—0,104) •
Значение дроби
4,884 — 5 —0.116
—0.104 — 3 —3,104
(при вычислении х2 — второго приближения аналогичная дробь была
равна 0,039); х3 = 4,884 — (—0,104). @,037); х3 = 4,884 + 0,004;
х3 = 4,888, т. е. третье приближение корня будет х3 — 4,888.
Вычислим теперь значение левой части уравнения при х — 4,888.
Воспользуемся снова схемой Горнера. Разделив левую часть урав-
уравнения на. х — 4,888, получим
24

1 -4 —7 13
4,888 4,888 4,340 —13,002 - (С)
1 0,888 —2,660 —0,002 = f D,888)
(остаток от деления)
Теперь остаток от деления изменился с —0,104 в предыдущем
делении до —0,002, и значение левой части данного уравнения при
х = 4,888 будет / D,888) = — 0,002.
Так как остаток от деления мал, испытаем значение на 0,001
большее, чем третье приближение, т. е. х — 4,889. Если окажется,
что левая часть уравнения при х = 4,889 будет положительной,
то искомый корень лежит на отрезке [4,888; 4,889]. Выпо'лняем
деление левой части уравнения на х— 4,889:
| 1 —4 —7 13
4,889 \ 4,889 4,346 —12.975
1~1 0889 —2,654 0.025=/D,889)
Мы получили /D,889) = 0,025 > 0, а так как /D,888) =—0,002 < 0,
то искомый корень действительно находится на отрезке [4,888;
4,889], и мы достигли требуемой точности, так как длина этого
отрезка равна 0,001. Принимаем х = 4,888.
Вычисления можно было бы сократить, если бы при опреде-
определении третьего приближения вместо значения дроби (В), равного
0,037, мы взяли значение дроби (А), равное 0,039, которое уже
было вычислено при определении второго приближения (см. заме-
замечание к способу № 2). Тогда мы сразу получили бы х3 = х2 — / (дс2) х
X 0,039, т. е. х3 = 4,884 — (—0,104) . 0,039 = 4,884 + 0,004; х3 =
= 4,888, как и прежде, но вычислительная работа сократилась бы
значительно.
Теперь покажем, как тот же корень можно определить по спо-
способу касательных (способ № 1 Ньютона).
Было установлено, что корень находится на отрезке [4,8; 5].
У нас f(x) = x3 — 4л:2 — 7х+\3. Значит, /' (х) = Зх2 — 8л: — 7,
а /'(*) = 6*-8.
В способе Ньютона за первое приближение корня Принимается
значение того конца отрезка, заключающего корень, на котором
'знак функции такой же, как и знак ее второй производной. Вто-
Вторая производная /" (л:) положительна на всем отрезке [4,8; 5],
а функция / (л:) положительна на правом конце этого отрезка
(/ E) > 0), и за первое приближение корня следует взять х — 5.
По формуле A,3)
х - х f(Xl)
X2~Xl rw
У нас хг = 5: уже было найдено, что / (xi) = f E) = 3, a f (xx) =
= f E) = 3 • 52 — 8 ¦ 5 — 7 = 75 — 40 — 7 = 28; f' (xt) = 28 (ввиду
простоты вычислений схемой Горнера мы не пользовались).
25

Итак,
х2 = 5 — J = 5 — 0,107 = 4,893.
Для следующего применения формулы A,3) надо вычислить
значение левой части уравнения при х = 4,893. Пользуясь схемой
Горнера, разделим левую часть уравнения на х—4,893:
1 —4 —7 13
4,893
4,893 +4,369 —12,873
1 0,893 —2,631 0,127=/D.893)
(остаток от деления)
Так как остаток от деления равен 0,127, то f D,893) =0,127.
Вычислим теперь /' D,893). Для этого разделим /' (д:) = Ъхг — 8л:— 7
на х — 4,893. Остаток от деления даст /'D,893):
| 3 —8 —7
4.893 | 14.679 +32,680
|~3 : +6.679 +25.680 = Г D,893)
и так как остаток от деления равен +25,680, то /' D,893) = 25,680.
По формуле A,3)
х3 = 4,893 - +°^0 = 4,893 - 0,005 = 4,888.
Мы получили то же, что и раньше. Можно было бы восполь-
воспользоваться указанием на возможную модификацию способа № 1
(стр. 8) и принять при вычислении третьего приближения знаме-
знаменатель дроби в формуле A,3) f (х2) таким же, каким он был при
вычислении второго приближения, т. е. равным /' (xj) = 28.
Приводим вычисления дробей Шр: и р-т^х-
В первом случае 1Щ = $» = 0,00494.
Во втором случае -р^ = —¦ = 0,00454.
Если округлить полученные дроби до трех знаков после запя-
запятой, то в обоих случаях получим 0,005. При решении этого при-
примера мы убедились в выгоднести применения модификаций способа
Ньютона и способа линейной интерполяции. Повторяем, что, при-
применяя способ Ньютона с целью сокращения вычислений в формуле
A,3), значение знаменателя /' (хп) можно принимать одним и тем
же при вычислении всех приближенных значений корня, а, поль-
пользуясь способом линейной интерполяции, можно при вычислении
26

всех приближенных значений корня в формуле A,4) принимать
одним и тем же значение дроби
Теперь уже определим остальные два корня нашего уравнения.
Из таблицы (С) видно, что частное от деления левой части урав-
уравнения на х— 4,888 имеет коэффициенты 1; 0,888 и —2,660 (в таб-
таблице (С) они подчеркнуты). Поэтому искомое частное будет равно
х2 + 0,888л:—2,660. Приравниваем его нулю и решаем квадратное
уравнение
х2 + 0,888л:— 2,660 = 0;
х = —0,444 ± 1/0,197 + 2,660; \
х = —0,444 ± 1/2^857;
о 144.
1,246;
*! = —2,134 и х% = 1,246.
Итак, хг = — 2,134; хг— 1,246 и х3 = 4,888. Здесь снова под-
подчеркнем, что количество положительных и отрицательных корней,
полученных при решении, соответствует тому, которое следует из
правила Декарта.
Проверка.
Xi + х2 + х3 = 4,
что и должно быть в соответствии с формулой A,28), так как у нас
п! — —4; а0 = 1.
Вычислив затем произведение корней, получим хг • х2 • х3 =
='—12,997 вместо —13, что также следует признать хорошим
результатом — см. формулу A,29): п = 3; аа = 13; а0 = 1.
Это же уравнение
f(x) = х3 — 4л:2 — 7л: + 13 == 0
решим по способу № 4.
1. Составляем квадратное уравнение вида A,10). У нас а„_2=
= —4; а„_! = —7; ап = 13, и это уравнение запишется так:
—4л:2 — 7л: + 13 = 0,
или
4*»-+7х— 13= 0.
2. Корни этого уравнения действительны, а потому решаем
уравнение вида A,11), в котором ап-х = —7; ап = 13, само урав-
уравнение имеет вид —7л: + 13 = 0, а х = 1,857.
27

Это значение х примем за первое приближение к искомому корню
и обозначим его через хх. Делим левую часть уравнения на
лг —1,857, пользуясь схемой Горнера, и получаем
1,857
1
1
—4
1,857
—2,143
—7
—3,980
—10.980
Ьп-1
13
13
Составляем уравнение вида A,13),.в котором Ьп_х — —10,980
и по-прежнему ап = 13. Получаем — 10,980л;-f 13 = 0, откуда
вторым приближением искомого корня будет лг= 1,184. Делим
теперь левую часть уравнения на х— 1,184, пользуясь опять-таки
схемой Горнера:
1.184
1
1
—4
1,184
—2,816
—7
—3,334
—10,334
13
13
Составляем теперь уравнение вида A,16), в котором будет
10334 13 П 10334 +
с ! = —10,334 и по-прежнему а„ == 13. Получаем —10,334л;
13 = 0; х = 1,257. Это и будет третьим приближением Kopi
Делим теперь левую часть уравнения на х— 1,257;
1
13
1.257
1.257
—3.448
—2.743
13
Уравнение для определения следующего приближения имеет
вид —10,448л: -f 13 = 0 и четвертое приближение корня л:4 = 1,244.
Разделим левую часть уравнения на х— 1,244:
1
—7
13
1,244
1,244
—3,428
—2,756
—10,428
и уравнение для получения следующего приближения запишется
так:
—10,428* + 13 = 0; xt= 1,246.
28

Наследующем шаге мы найдем— то же значение х (проверьте!),
а потом на найденном значении и остановимся. Этот же корень
был получен и раньше. Способ № 4, которым мы только что поль-
пользовались, очень прост и доступен.
Задача 13. Найти корни уравнения f(x) = x*—10л:г + 44л; +
+ 29 = 0 с точностью до 0,0001.
Решение. Используя правило Декарта, заключаем, что урав-
уравнение имеет точно один отрицательный корень, так как в ряде
коэффициентов уравнения, ни один из которых не равен нулю,
число сохранений знака равно единице (у двух последних коэф-
коэффициентов).
Желая определить приближенное значение наименьшего по
абсолютной величине корня, решим, согласно способу № 3, уравне-
уравнение A,8). У нас а„_х = 44; с„ = 29 и уравнение A,8) запишется
в виде
44* + 29 = 0,
х = —0,66.
Теперь определим интервал, в котором находится искомый
корень. Разделим левую часть уравнения на х + 0,66 и опреде-
определим остаток от деления:
(А)
—0,66
1
1
—10
—0.66
—10.66
44
7,04
51,04
29
—33.69
—4.69= / (—0.66)
(остаток от деления)
Отсюда заключаем, что значение левой части уравнения при
х = —0,66 будет равно —4,69, т. е. f (—0,66) = —4,69.
Возьмем х = —0,56 и вычислим значение f (—0,56). Делим
на х -f 0,56, снова применяя схему Горнера:
(В)
—0.56
1
1
—10
—0,56
—10,56
44
5,91
49.91
29
—27.95
1.05 = /(—0,56)
(остаток отделения)
Теперь, сравнивая / (—0,66) = —4,69 и f (—0,56) = 1,05, заме-
замечаем, что значения левой часта уравнения на концах отрезка
[—0,66; —0,56] имеют противоположные знаки. Следовательно,
искомый корень находится на этом отрезке. Значение корня уточ-
29

ним по способу № 2 линейной интерполяции. Первым приближе-
приближением корня будем считать х = —0,56 и воспользуемся формулой
A,4):
У нас *!==—0,56; значение f{xx) уже подсчитано. Это оста-
остаток от деления в таблице (В): f(xi)= 1,05; xt = —0,66, a /U,) =
= —4,69 — остаток от деления в таблице (А).
Подставляя эти значения в предыдущую формулу, имеем
„ _ и ее 1 пс -0,56-(-0,66)
х2 и,ьь — i,uj> 105_(_469) ,
х, = —0,56—1,05 g-JJ.
Значение дроби
Этим значением нам придется пользоваться при вычислении сле-
следующих приближений, так как мы намерены применить способ
№ 2 в его модифицированном виде.
Итак,
х2 = —0,56— 1,05 • @,0174) = —0,56 — 0,0183; х2 = —0,5783.
Разделим теперь левую часть уравнения на х + 0,5783 и опреде-
определим остаток от деления. Пользуясь схемой Горнера, получаем
I 1 —Ю 44 29
—0,5783
—0.5783 6,1174 —28,9829
1 —10,5783 50,1174 0.0171 ==/@,5783)
' ' (остаток от деления)
Остаток от деления 0,0171 достаточно мал. Значит, мы уже близко
подошли к искомому корню.
Так как мы ищем корень с точностью до 0,0001, то прежде
чем переходить к следующему, приближению, полезно испробовать
х = —0,5784, отличающееся от предыдущего на —0,0001. Разде-
Разделим левую часть уравнения на х + 0,5784 и определим остаток
от деления. Если он окажется противоположным по знаку преды-
предыдущему остатку, то цель достигнута.
(D)
—0,5784
1
•
1
— 10
—0.5784
—10,5784
44
6.1185
50,1185
29
—28,9895
0.0115= Д—0,5784)
30

Наши ожидания не оправдались, так как остаток не поменял
знака. Но очевидно, что значение х = —0,5784 является лучшим
приближением, чем значение х = —0,5783, поскольку остаток
уменьшился. Вычисление следующего приближения по формуле
A,4) приведет нас к
но значение дроби в правой части возьмем равным дроби (С), т. е.
0,0174. У нас х2 — —0,5784; f(x2) есть остаток от деления f{x)
на х + 0,5784. В таблице (D) он уже вычислен и равен +0,0115
и /(—0,5784) = +0,0115.
Для х3 получаем
'дз = —0,5784 — 0,0115 • 0,0174,
х3 = —0,5784 — 0,0002; х3 = —0,5786.
Разделим теперь левую часть уравнения на х + 0,5786 и опре-
определим остаток от деления:
I 1 —Ю 44 29
—0.5786 | —0.5786 6,1208 —28.9999
?
1 —10.5786 50.1208 0.0001 => / (—0,5786)v '
(остаток от деления)
Итак, /(—0,5786) = 0,0001 > 0. Вычислите самостоятельно оста-
остаток от деления левой части уравнения на х + 0,5787. У вас полу-
получится —0,0055, т. е. /(—0,5787) = —0,0055 < 0, на концах отрезка
[—0,5787; —0,5786] функция f(x) имеет разные знаки. Так как
величина —0,5786 отличается от —0,5787 на 0,0001, то требуе-
требуемая точность достигнута. Принимаем х = —0,5786.
Применим теперь для отыскания того же корня способ Нью-
Ньютона (способ № 1) в модифицированном виде, т.е. в формуле A,3)
знаменатель дроби /' (хп) будем считать одним и тем же для всех
приближений.
Корень у нас уже отделен, и мы знаем, что он находится на
отрезке [—0,66; —0,56]. В способе Ньютона, как указывалось, за
первое приближение корня следует принять тот конец этого отрезка,
на котором знак функции и знак второй производной одинаковы.
Находим вторую производную от левой части уравнения.
f (х) = х3 — IOjc3 + 44* + 29.
Первая производная
П*) = 3л;2 — 20* +44,
31

a /"(*) = 6*— 20. На отрезке [—0,66; —0,56]/" (л:) всюду отри-
отрицательна. Функция же f(x) отрицательна на левом конце этого
отрезка. Следовательно, совпадение знака функции со знаком второй
производной происходит на левом конце отрезка, а потому за пер-
первое приближение к искомому корню принимаем хг = —0,66.
В таблице (А) уже вычислено значение f (х{) — f(—0,66) = —-4,69.
Теперь следует найти f (*i) = f (—0,66) и сохранить его значение
для всех последующих приближений, так как мы используем спо-
способ Ньютона в модифицированном виде. Делением /' (х) на х-\-
+ 0,66 найдем значение /'(—0,66). По схеме Горнера получаем
3 —20 44
—0,66
—1,92 +14,4672
3 —21,92 58,4672 = f (—0,66)
I (остаток от деления)
Итак, сохраняя два знака после запятой, /'(—0,66) = 58,47. Это
значение производной будем брать и в последующих приближе-
приближениях.
Используем формулу A,3) и, полагая в ней п = 1, получаем
У нас jcj = —0,66; / (xj = —4,69; f (*,) = 58,47;
x2 = -0,66 - =^J = -0,66 +. 0,0802;
x2 = —0,5798.
Для третьего приближения следует вычислить Д—0,5798).
Делением f (х) на х + 0,5798 получим
—0,5798
1
1
—10
—0,5798
-10,5798
44
6,1342
50,1342
29
—29,0678
—0,0678=/ (—0,5798)
Полагая в формуле A,3) п = 2, найдем
Хз ~ *2 f (*2) •
Но мы условились, что знаменатель дроби в правой части фор-
формулы A,3) будем брать одним и тем же во всех приближениях,
а потому возьмем его равным /' (д:) = 58,47. Тогда х2 = —0,5798,
f(x2) = —0,0678, а
= —0,5798 + 0,0012; х3 = —0,5786.

Это тот же корень, который был найден по способу № 2.
Закончим теперь решение этой задачи. У нас х = —0,5786.
В таблице (Е) уже проведено деление / (х) на х + 0,5786,
и коэффициенты частного от деления равны 1, —10,5786 и 50,1208,
а само частное будет л:2— 10,5786л: 4- 50,1208. Приравниваем его
нулю и решаем квадратное уравнение
л:2 — 10,5786л: + 50,1208 = 0;
х = 5,2893 ± 1^27,9767 —50,1208;
х = 5,2893 ± "^22,1441/;
х = 5,2893 ± / • 4,7058.
Итак,
хг = —0,5786;
• х2 = 5,2893 + 4,7058/;
х3 = 5,2893 — 4,7058/.
И здесь отметим, что уравнение в соответствии с правилом
Декарта действительно имеет только один отрицательный корень.
Проверка.
Х\ + х2 + xs = 10 (верно!), так как сумма корней по A,28) должна
быть равна — —, а у нас
ид
а1== —Ю; ао= 1 и —51= 10.
«о
Найдем произведение корней: хх • х2 • х3 = —0,5786 • E,2893 +
+ 4,7058/) • E,2893 — 4,7058/) = —0,5786 х 50,1212 = —29,0001,
а должно быть —29, так как произведение корней по A,29) равно
(— 1)" —. У нас показатель степени п = 3; ап = 29, а0 = 1 и
"о
/ iyi°,i 9Q
°»
Таким образом, проверка дала хорошие результаты.
Решим теперь этот же пример по способу № 4 (см. стр. 9).
1. Составляем квадратное уравнение вида A,10)
1Л. п ЛЛ- п 9Q
Это уравнение приобретает вид
--Юл2 + 44л:+ 29 = 0.
Умножая обе его части на —1, получим
Юл:2 — 44л: — 29 = 0. . *
2. Легко убедиться, что корни этого уравнения действительны.
Теперь решаем уравнение вида A,11), в котором у ап_х + 44;
ап = + 29, а само уравнение имеет вид
44л: + 29 = 0.
2 И. А. Каплан 33

Корень этого уравнения, « = —0,6592 принимаем за первое при-
приближение искомого корня. Левую часть уравнения делим по спо-
способу Горнера на х + 0,6592 и получаем
—0,6592
1
1
—10
—0,6592
—10.6592
44
7.0265
51,0265
Ьп-г
29
—
29
Составляем уравнение вида A,13), в котором 6,^ = 51,0265,
ап — 29. Это уравнение имеет вид
51,0265а:+ 29 = 0.
Отсюда получаем второе приближение искомого корня
х2 = —0,5683.
Теперь делим левую часть уравнения на х + 0,5683 по схеме
Горнера:
—0,5683
1 —10
44
29
—0,5683 6.0060 —
I —10.5683 50,0060 29
Затем составляем уравнение A,16), которое приобретает вид
50,0060л: + 29 = 0,
и находим, что третье приближение искомого корня будет
х3 = —0,5799.
Продолжая деление, на следующем шаге получаем
—0,5799
1
1
—10
—0,5799
—10,5799
44
6.1353
50,1353
dn-i
29
—
29
и составляем уравнение
50,1353л- + 29 = 0.
34

Отсюда четвертое приближение
Снова деля, получим
—0,5784.
—0,5784
1
1
-10
-0.5784
—10,5084
44
6,1185
50,1185
29
—
29
и для определения следующего приближения будем иметь урав-
уравнение
• 50,1185д:+ 29 = 0;
хь = —0,5786.
Следующее приближение снова даст хв = —0,5786 (проверьте
самостоятельно). На этом значении мы и остановимся.
Итак, х = —0,5786. Это то же значение, что и полученное
раньше. Однако вычислительная работа была значительно мень-
меньшей и чрезвычайно простой. Здесь способ № 4 быстро привел
к цели. Он очень прост в применении.

ВТОРОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Численное решение алгебраических уравнений
Задача 2,1. Найти с точностью до 0,00001 корни уравнения
Решение. Решим эту задачу по способу № 4. Составим
квадратное уравнение вида A,10)
— Зд:2 — 17л: +>22 = 0.
Корни этого уравнения, как нетрудно видеть, действительны,
а потому решаем уравнение A,11), которое дает —17*+ 22 = 0,
откуда хх = 1,294118 (вычисления будем вести с одним запасным
знаком). По схеме Горнера делим левую часть уравнения на
*—1,294118 и получаем
1,294118
1
—17
22
1.294118 —2.207613
—24.856918
1 —1.705882 —19,207613
2,856918
Ьп-1
Составляем уравнение вида A,13). У нас Ьп_1 = —19,207613,
а свободный член уравнения ап = 22 и для определения второго
приближения имеем —19,207613* + 22 = 0; второе приближение
х2= 1,145379.
Делим левую часть уравнения по схеме Горнера на х — х2,
т. е. на х— 1,145 379.
1,145379
1
1
—3
1,145379
—1,854621
—17
— 2,124244
—19.124244
c
22
—21,904507
+0.095493
36

(обратите внимание на то, что остаток уменьшился по абсолют-
абсолютной величине и изменил знак, однако он еще велик).
Теперь составляем уравнение A,16) в котором сп_1 = —
—19,124244 и по-прежнему ап = 22. Получаем
— 19,124244* + 22 = О,
а третье приближение х3 = 1,150372.
Делим }(х) на х— 1,150372 по схеме Горнера:
1.150372
1
1
—3
1,150372
—1,849628
—17
2,127660
—19.127660
dn-i
22
—22,003924
— 0,003924
(остаток от
деления)
Решаем уравнение A,16) которое теперь принимает вид
-19,127660л; + 22 = 0. Отсюда д:4 = 1,150167.
Новое деление по схеме Горнера f(x) на х— 1,150167 дает
(А)
1,150167
1
1
—3
1,150167
—1,849833
—17
— 2.127617
—19.127617
22
—21.999954
+ 0.000046
(остаток от
деления)
Остаток от деления изменил знак по сравнению с предыдущим
и оказался теперь достаточно малым. Мы брали четвертое при-
приближение равным xt = 1,150167. Округлим его до пяти знаков
и возьмем х = 1,15017. Произведем два деления: 1) f(x) на х —
— 1,15017 и 2) f{x) на х— 1,15016.
Первое деление дает
(А)
1,15017
1
1
—3
1,15017
—1,84983
(коэффициенты
—17
— 2,12762
—19,12762
частного)
-22
—22,00001
— 0,00001
(остаток от
деления)
и остаток от деления отрицателен.

Деление ^(л;) на х— 1,15016 дает
1.15016
1
1
—3
1,15016
—1,84984
—17
—2,12761
—19,12761
22
—21,99981
0.00019
(остаток от
деления)
и остаток от деления положителен.
Таким образом, в качестве искомого корня можно взять х =
= 1,15016 или х = 1,15017. Берем х = 1,15017, Разделим теперь
f (x) на х— 1,15017. В таблице (А) уже найдены коэффициенты
частного, а само частное равно
х2— 1,84983*— 19,12762.
Приравняем его нулю и решим уравнение
л:2 — 1,84983л; — 19,12762 = 0:
х = 0,92492 ± /0,85548+ 19,12762;
+ 5,39516
х = 0,92492 ± /19,98310 = 0,92492 ± 4,47024 = . . _,_„_
(-г- 0,040,32
Таким образом, мы получили следующие корни: хг = —3,54532;
*2= 1,15017; х3 = 5,39516.
Проверка:
Сумма корней
*i + *2 + *3 = +3,00001,
т. е. на одну стотысячную больше того, что должно было полу-
получиться. Произведение же корней
Xl .х2-х3 = — 21,99995
вместо —2*2, что также следует признать хорошим результатом.
Задача 2,2. Найти корни уравнения
f(x) = х3 — 10,91л;2 + 38,52л; — 44,36 = 0.
Реше ние. По правилу Декарта заключаем, что отрицатель-
отрицательных корней уравнение не имеет, так как нет ни одного сохра-
сохранения знака в ряде коэффициентов (-\ 1 ). Положительных
корней будет три или один, так как число перемен знака равно
трем. Испытаем в качестве корней числа 2 и 3, a f B) и f C)
38

найдем как остатки от деления f(x) соответственно на х — 2 и на
х — 3. Делим по схеме Горнера:
2
1
1
—10,91
2
8,91
38.52
—17,82
20.70
—44,36
41,40
—2,60 = Д2)
(остаток от деления)
Итак, /B) = —2,60
3
1
1
—10,91
3
—7,91
38,52
—23,73
14,79
—44.36
44,37
+ 0.01 = /C)
(остаток от деления)
и /C) = +0,01. Поскольку /B) и /C) имеют различные знаки,
в отрезке [2; 3] имеется корень, причем, так как остаток от деле-
деления f(x) на х — 3 значительно меньше по абсолютной величине,
чем остаток от деления на х — 2, мы заключаем, что корень
имеет значение, близкое к 3.
Полезно исследовать, не будет ли уравнение иметь два близ-
близких корня. Используя указания на стр. 15, разделим /' (я) на
х— 3. У нас /' (jc) = 3jc2 — 21,82л: + 38,52. Деление дает
3
3
3
—21.82
9
—12,82
38,52
—38.46
0.06 = р C)
Поскольку остаток от деления мал, делаем заключение, что
число, близкое к 3, является корнем и производной f (х). Это
говорит о том, что уравнение имеет два близких корня.
Находим корень уравнения /' (л:) = 0, т. е. уравнения
<Р (х) = За-2 — 21 ,82л: + 38,52 = 0.
Решение будем проводить по способу Ньютона. Первым прибли-
приближением корня будем считать х = 3. Двукратным последователь-
последовательным делением левой части последнего уравнения на х — 3 найдем
остаток от1 деления, причем первый остаток даст числитель,
39

а второй — знаменатель дроби в формуле A,3). Деление произво-
производим на одной таблице:
3
3
3
3
—21,82
9
—12,82
9
38,52
—38,46
+0,06 = <р C)
| з — 3,82 = <р'C)
Считая в формуле A,3) первым приближением число 3, най-
найдем, что корень уравнения f {х) = 0, который обозначим буквой а,
равен
а3
а==3~=382'
а = 3,0157.
Теперь воспользуемся формулой A,22, стр. 15), чтобы полу-
получить два близких между собою корня уравнения. Для того чтобы
воспользоваться этой формулой, нам следует найти
Да) и|/"(а).
Разделим f(x) на х — а три раза последовательно. Остаток от
яервого деления даст f(a), а остаток от третьего деления
-s-/"(a). Деление по схеме Горнера произведем на одной таблице:
3,0157
3,0157
3,0157
1
1
1
1
— 10,91
3,0157
—7,8943
3,0157
4.8786
3,0157
— 1,8629 =
38,52
—23,8068
14,7132
—14,7124
10.0008 =
•5" Г («)
—44,36
44.3706
| 0,0106=^@)
Г (а)
40

Теперь находим корни уравнения по формуле A,22). У нас
/ (а) = 0,0106; у Г (а) = —1,8629; а = 3,0157;
х,,2 = 3,0157+
*i,2 = 3,0157+ |/О7бО57 ?
хи2 = 3,0157 + 0,0747;
xx = 3,0904;
х2 = 2,9410
Сохраняя после запятой только два десятичных знака, тюлу-
чаем я, = 3,09; х2 = 2,94. Точные значения корней данного урав-
уравнения 2,92 и 3,12. Разделим f (x) на произведение (л:—2,94) к,
X {х—3,09). По схеме Горнера сначала разделим на х—2,94*
а потом на х — 3,09, причем деление выполним на одной таблице:
1 —10.91 38,52 —44.36
2.94 2.94 —23.43 +44,36
1 7.97 15,09 0 =/42,94)
3,09 3,09 —15.11
1 —4,89 — 0.02
Частное от деления равно х—4,89. Приравнивая его нулю, полу-
получаем уравнение для определения третьего корня
х— 4,89 = 0
откуда х = 4,89.
Итак, корни уравнения: хх = 2,94; х2 = 3,09; х3 — 4,89.
Проверка. Сумма корней дает хх + х2 + х3 = 10,92 вместе
10,91, а произведение корней хх • х2 • х3 = 44,40 вместо 44,36.
Полученные приближенные значения корней следует признать
хорошими.
Задача 2,3. f {х) = х* — 2х3 — 3,74^ + 8,18*— 3,48 = 0.
Решение. По правилу Декарта заключаем, что будет один
отрицательный корень, так как в ряде коэффициентов только одно
сохранение знака, положительных корней — один или три, по-
поскольку число перемен знака равно трем.
Для отыскания наибольшего по абсолютной величине корня
решим уравнение вида A,6), где в нашем случае аг = —2.
Решаем уравнение
х — 2 = 0,
откуда х = 2.
Для определения значения левой части уравнения при х = 2
разделим f (х) на х — 2 по схеме Горнера:
4}

1 -2
—3,74
—3.74
8.18
—7.48
—3,48
1,40
0,70 |-2,08=/B)
N
Теперь решим квадратное уравнение вида A,7). У нас аг =
— —2; а2 = —3,74, и A,7) запишется в виде
*2 — 2х — 3,74 = 0;
*=1±1Л +3,74; x=l±YVU; *= 1 + 2,17.
Выбираем х— 1 + 2,17 или л: = 3,17, так как мы ищем при-
приближенное значение наибольшего по абсолютной величине корня.
Найдем теперь /C,17). Пользуясь схемой Горнера, получим
3.17
1 —2
--3,74
8.18 . —3.48
3,17 3,71 —0,10
25,61
1.17 —0.03
8.08
22,13 =/C.17)
Итак, Д2)<0, а /C,17) >0 и, значит, искомый корень на-
находится на отрезке [2; 3,17], причем он ближе к 2, чем к 3,17,
так как остаток от деления на х — 2 меньше по абсолютной вели-
величине остатка от деления на х—3,17. Попробуем сузить отрезок,
на котором находится корень. Возьмем среднее арифметическое
2-1-3 17
из абсцисс концов отрезка ^' ¦ = 2,58 и рассмотрим /B,58).
• Применяя схему Горнера, получим
2,58
1 —2
—3.74 8,18 —3,48
2,58 1,50 —5,80 +6.14
(А)
1 0,58 —2.24 2,38 [2,66 = f B,58)
Поскольку f B,58) = 2,66, a f{2) = — 2,08, корень находится
в отрезке [2; 2,58]. Этот отрезок по сравнению с предыдущим
значительно сужен. Для решения задачи применим способ Нью-
Ньютона.
42

Определим f(x), чтобы решить вопрос, какой из концов этого
отрезка принять за первое приближение корня.
V (ж) .= 4*3 — блг2 — 7,48* + 8,18;
П*) = 12*2— 12* — 7,48.
Найдем значение второй производной при х = 2 и при х =
= 2,58. Снова применяя схему Горнера, получим
2
2,58
12
12
12
12
—12
24
12
—12
30.96
18,96
— 7,48
24
| 16,52 = f" B)
— 7,48
48,92
[41.44 = Г B,58)
Легко проверить, что f" {x) внутри отрезка [2; 2,58] в нуль не
обращается. Таким образом, на всем этом отрезке f" (x) сохра-
сохраняет знак, оставаясь положительной. А так как функция f(x)
положительна на правом конце отрезка [2; 2,58], то значение х
на правом конце этого отрезка, т. е. х = 2,58, и следует принять
за первое приближение искомого корня.
Нами уже найдено Д2,58) = 2,66 (табл. А), определим /'B,58),
так как f\{xn) входит в формулу A,3) в способе Ньютона.
Для определения /' B,58) разделим, f (х) на х — 2,58 по схеме
Горнера (f'(x) было получено раньше):
2,58
4 — 6
— 7.48
8.18
10.32 11,14 9,44
4,32 3,66 17,62 = Г B.58)
(остаток от деления)
Итак, Г B,58) = 17,62.
41

По формуле A,3), в которой хг = 2,58, f (*Р) = 2,66, /'(*) =
17,62,
ос
х2 = 2,58 — ^ = 2,58 — 0,15 = 2,43)
х2 = 2,43 (второе приближение корня).
Вычислим теперь f(x2) и f (х2) делением f(x) и f'(x) на * —
2,43, причем деление выполним на одной таблице:
2.43
2.43
1
1
1
—2
2,43
0.43
2,43
2,86
3,74
1,04
—2,70
6,94
4,24
8,18
—6,56
1,62
10.30
11,92 =
(остаток от
—3.48'
3,93
0,45 =
(остаток от
/'B,43)
деления)
/B.43)
деления)
Итак, /B,43) = 0,45, а /'B,43)= 11,92.
Формула A,3) дает третье приближение
.. о ло 0,45.
Л3-"'™ 11,92'
х3 = 2,43 — 0,0377; х3 = 2,3923.
Найдем еще одно приближение. Получаем f(x3) и /' (х3).
По схеме Горнера
2,3923
1
1
—2
2,3923
0,3923
—3.74
0,9385
—2,8015
8.18
—6.7020
1,4780
—3.48
3.5358
0,0558 ==
(остаток от
/B.3923)
деления)
2,3923
2,3923 6.6616 9,2345
1 2,7846 3.S601 10.7125 = /'B.3923)
(остаток от деления)

Четвертое приближение корня по формуле A,3) даст
2,3923 — jjjygg = 2,3923 — 0,0052;
xt = 2,3871.
Знаки /B,3871) и /B,3870) противоположны (проверьте), по-
поэтому мы можем утверждать, что л; == 2,3871 с точностью до
одной десятитысячной дает искомый корень.
Разделим теперь f (х) на х — 2,3871 и частное приравняем нулю.
Выполним деление по схеме Горнера:
2,3871
1
1
—2
2.3871
0.3871
—3,74
0,9240
—2.8160
8,18
—6,7221
1.4579
—3,48
4
3.4801
0,0001
(остаток
= /B.3871)
от деления]
Частное от деления равно
<р (*) «* х3 + 0,3871лга — 2,8160* + 1,4579. (В)
Округлим его коэффициенты до двух десятичных знаков, прирав-
приравняем нулю и решим уравнение
ft (х) = х3 + 0,39*2 — 2,82л;2 + 1,46 = 0.
Находим приближенное значение наименьшего по абсолютной
величине корня этого уравнения. Решаем уравнение вида A,8).
У нас а„_х = —2,82; ап = 1,46, и это уравнение принимает вид
— 2,82* + 1,46 = 0,
откуда получаем приближенное значение корня х = 0,52.
Найдем теперь отрезок, на котором находится корень. Разде-
Разделим левую часть уравнения f^x) на х — 0,52, чтобы определить
Ы0.52),
0,52
0.39
-2.82
1,46
0,52
0,47 —1.22
1 0,91 —2.35 +0.24 = ^@.52)
(остаток от деления)
Предположим, что вторым концом отрезка будет х — 1. Оста-
Остаток от деления fi(x) на х— 1 даст значение /хA)
45

0.39 —2.82
1,46
,1,39 —1,43
1
1.3?
-1.43 +0,03 «MD
(остаток от деления)
Остаток от деления сохранил знак, но значительно уменьшился.
Возьмем л: = 1,1- Разделим ft (я) на х— 1,1;
1.1
1
1
0,39
1.1
1.49
—2.82
1.64
—1.18
1.46
—1.30
+ 0.16 = /i(l.l)
Мы нашли, что ft A,1) больше, чем ft(l), т. е. мы уходим от
корня, а не приближаемся к нему. Исследуем х = 0,9. Деление
по схеме Горнера даст
0,9
1 0.39 —2.82
1,46
0,9
1.16 —1.49
1 1,29 —1.66 —0,03 = ^@,9)
(остаток от деления)
Таким образом, ft @,52) = 0,24, a ft @,9) == —0,03 и корень на-
находится на отрезке [0,52; 0,90], причем, так как ft @,9) значи-
значительно меньше по абсолютной величине, чем /@,52), то заклю-
заключаем, что корень находится ближе к 0,9, чем к 0,52. Кстати, из
того, что ft @,9) < 0, a ft A) == +0,03 >0, можно сделать заклю-
заключение, что на отрезке [0,9; 1] имеется еще один корень уравне-
уравнения. Все это заставляет прийти к выводу, что есть два близких
корня на отрезке [0,52; 1], поэтому следует поступать в соот-
соответствии с указаниями, данными на стр. 15.
Решаем уравнение f[ (х) — 0, т. е. уравнение
З*2 + 0,78* — 2,82 = 0,
и определяем его корни х = —1,10 и х = 0,84. Выбираем 0,84,
так как это значение лежит на отрезке, на котором находится
корень. Полученное значение х = 0,84 и есть величина а в фор-
формуле A,22).
Теперь воспользуемся формулами A,22) и для этого вычислим
ft @,84) и i f"x @,84). Величина ^ f'i @,84) будет остатком от трех-
трехкратного деления fx(x) на х — 0,84:
46

0.84
0,84
0.84.
1
1
1
1
0.39
0,84
1,23
0.84
2.07
0,84
2,91 =
—2.82
1.03
—1.79
1.74
-0.05 = f
¦J-Г @,84)
1,46
—1.50
1—0,04 = ft @.84)
I @.84) .
. *
Итак, /х@,84) = —0,04; -±-f @,84) = 2,91, и из формулы A,22)
(стр. 15) с учетом, что а = 0,84, получим
Jti.2 = 0.84 + V 0,0137; хи2 = 0,84 ±0,11;
^ = 0,73 и *2 = 0,95.
Эти два корня попробуем улучшить, чтобы получить их с точ-
точностью до 0,0001. Начнем с корня *1 = 0,73. Вычислим /i@,73)
и /^@,72) делением fx^x) сначала на х — 0,73, а потом на х — 0,72
0,73
0,72
I
1
1
1
0,39
0,73
1.12
0,39
0,72
1.11
—2,82
0.81
—2,01
—2,82
0,7992
—2.0208
1.46
—1,4673
1—0,0073 == frJO.73) < 0
1.46
—1.4550
1+0,0050'=/! @,72) >0
47

Таким образом, корень находится на отрезке [0,72; 0,73].
Если бы нас удовлетворяла точность в 0,01, мы бы на этом оста-
остановились.
Сузим отрезок [0,72; 0,73], взяв в качестве его левого конца
среднее арифметическое из значений 0,72 и 0,73, т. е. 0,725.
Определим знак функции на этом конце отрезка, но операции
будем производить не с многочленом ft (х), у которого коэффи-
коэффициенты округлены, а с многочленом (В).
Найдем значение многочлена (В), который у нас обозначен че-
через <р (х), и его производной при х = 0,725. Двухкратное деление
по схеме Горнера дает
0,725
0,725
1
1
Г
0,3871
0,725
0.1121
0,725
1.8371
—2,8160
0,8063
—2.0097
1,3319
1—0,6778 =
1,4579
—1.4570
|+0,0009 = <р @,725)
Т' @,725)
Таким образом, корень находится на отрезке [0,725; 0,730].
Уточним корень по способу Ньютона. Легко усмотреть, что <р" (х)
на отрезке [0,725; 0,730] сохраняет положительное значение,
поэтому за приближенное значение корня принимаем его значение
на левом конце интервала, т. е. 0,725, так как на этом конце
интервала и функция положительна: if @,725) = +0,0009.
Пользуясь формулой A,3), в которой надо взять хг — 0,725;
/ (Xl) = +0,0009; f (xi) = —0,6778, получим
х2 = 0,725 - ±§§??5 х, = 0,725 + 0,0013;
х2 = 0,7263.
Для выяснения знака <р (х) при х = 0,7263 разделим <р [х) на
х — 0,7263:
0,7263
1
1
0,3871
0.7263
1.1134
—2.8160
0,8087
—2.0073
1,4579
1.4579
0 = <р @,7263)
48

x = 0,7263 является корнем уравнения. На этом заканчиваем
уточнение корня х = 0,73.
После того как найдем корень х = 0,7263, можно разделить
<f{x) на х — 0,7263. Мы получили бы х2 + 1,1134*— 2,0073, а при-
приравняв нулю и решив квадратное уравнение я2 + 1,1134* — 2,0073 =
= 0, нашли бы корни х = —2,0789 и х = 0,9655. Но для упраж-
упражнения в применении способа Ньютона уточним полученное зна-
значение корня * = 0,95.
На стр. 46 было выяснено, что корень находится на отрезке
[0,9; 1]. На правом конце этого отрезка <рA)>0; <?" (х) на этом
отрезке имеет положительное значение, а потому за приближен-
приближенное значение корня принимаем х = 1, так как при лг == 1 и ср (х)
и ср" (х) совпадают по знаку. Вычислим значение ср {х) и ср' (х) при
х = 1 двукратным делением ср (х) на х—t\?
1
1
1
1
1
0,3871
1
1,3871
1
2.3871
—2.8160
1.3871
—1.4289
2,3871
@,9582 = <р'
1.4579
—1.4289
0,0290 = <рA)
A)
0 0290
и по формуле A,3) найдем хг= 1 — п~9582' х*~ * — 0,0303; х2 —
= 0,9697.
Чтобы получить следующее приближение, определим ср @,9697)
и ср'@,9697) двукратным делением <р (л:) на х — 0,9697
0.9697
1,9697
1
1
1
0.3871
0,9697
1,3568
0,9697
2.3265
—2,8160
1,3157
— 1,5093
2,2560
@.7557 =
1,4579
• —1,4548
|0.0031 = <р @,9697)
= <р' @,9697)
49

Теперь по формуле A,3)
х3 = 0,9697— 5^§Ь *3 = 0,9697 — 0,0041;
х3 = 0,9656.
Вычислим <р@,9656):
0.9656
1
1
0.3871
0.9656
1.3527
ч
—2,8160
1.3062
—1.5098
1.4579
1.4579
|0 = <р @.9656)
Таким образом, х = 0,9656 явдяется корнем уравнения. Три
корня заданного уравнения найдены: хх = 0,7263; х2 = 0,9656;
*, = 2,3871.
Деление f (х) на х — 2,3871 было уже произведено, и частным
является многочлен (В). Разделив (В) на х — 0,7263, а новое част-
частное на х — 0,9656, получим уравнение д^| определения послед-
последнего, четвертого корня. Деление <р (х) на х — 0,7263 выполнено
в таблице (D). Берем найденные в этой таблице коэффициенты
частного и делим его на х — 0,9656:
0,9656
1
1
1.1134
0,9656
2.0790
—2,0073
2,0075
+0,0002
Коэффициенты частного будут 1 и 2,0790, а само частное х +
4- 2,0790.
Решая уравнение х 4- 2,0790 = 0, найдем последний корень
Xi = —2,0790.
Дорнями уравнения будут числа хх = 0,7263; х2 — 0,9656; х3 =
= 2,3871; х4 = — 2,0790.
Проверка. хх + х2 + xs + хА = 2, как и должно быть, а^х
X х2 • х3 • Xi = —3,4804 (должно быть —3,48), что указывает на
хорошие результаты вычислений.
Это же уравнение можно решить проще, минуя довольно уто-
утомительное нахождение двух близких корней уравнения. Приме-
Применим способ № 4 для отыскания одного корня.
В нашем уравнении
xi _ 2ха — 3,74л;2 + 8,18* — 3,48 = О
50

выделим квадратный трехчлен вида A,Ю)
—3,74*» +8,18* —3,48.
Его корни действительны, поэтому берем уравнение вида A,11),.
т. е. 8,18л; — 3,48 = 0, откуда получаем первое приближение корня
* = 0,4254.
Делим левую часть уравнения на х— 0,4254, пользуясь схе-
схемой Горнера:
0,4254
1 -2
-3.74
8,18 —3.48
0.4254 —0,6698 —1,8759
2.6818
1 —1.5746 —4.4098
6.3041 —0.7982
Решаем уравнение A,13), в котором
= —3,4 8, т. е. уравнение
6,3041л— 3?48= 0,
и находим второе приближение
х2 = 0,5520.
Делим левую часть уравнения на х — 0,5520:
= 6,3041, а а.=
0.5520
1
1
—2
0.5520
—1,4480
-3.74
—0,7993
—4,5393
8,18
—2,5057
5.6743
—3.48
3.1322
—0,3478
Остаток от деления —0,3478 по сравнению с предыдущим
—0,7982 уменьшился по абсолютной величине, но все еще оста-
остается большим, поэтому для ускорения сходимости применим фор-
фулу A,20), в которой х2 = 0,5520, ^ = 0,4254, /^ =—0,7982,
г2 = —0,3478, и найдем третье приближение первого корня
_ 0,5520 (—0,7982) — 0,4254 • (—0,3478).
Хз~ —0,7982 — (—0,3478) '
_ —0,2926, _
Хз ~~ —0,4504' 3
5!

Делим теперь левую часть уравнения на х — 0,6496:
0.6496
1
1
—2
0.6496
—1.3504
—3.74
—0.8772
—4.6172
8.18
—2.9993
5,1807
—3.48
3.3654
—0,1146
Снова применяя формулу A,20) получим
_ 0,6496 (—0,3478) — 0,5520 (—0,1146).
** — —0,3478 — (—0,1146) '
Делим левую часть уравнения на х — 0,6977:
0.6977
1
1
—2
—0.6977
—1.3023
-3,74
—0.9086
. —4.6486
8.18
—3.2433
4.9367
—3.48
3,4443
—0.0357
Получаем следующее приближение по формуле A,20):
_ 0,6977 (—0,1146) — 0,6496 (—0.0357).
Xi~ —0.1146 —(—0.0357) *
-0.0568. 7iqq
*5= =00789' *s = 0,7199.
Разделим теперь левую часть уравнения на х — 0,7199:
0.7199
1
1
—2
0.7199
—1.2801
—3,74
—0,9215
—4.6615
8,18
—3,3558
4.8242
—3.48
3.4729
—0.0071
Поступая, как и раньше, найдем следующее приближение:
_ 0,7199 (—0,0357) — 0,6977 . (—0,0071) —0,0207.
*«— —0,0357 —(—0,0071) — —0,0286'
хе = 0,7238.
52

Делим теперь левую часть уравнения на х—0,7238:
0.7238
1
1
—2
0.7238
—1.2762
—3.74
—0,9237
—4.6637
8.18
—3,3756
4.8044
—3.48
3.4774
—0,0026
Следующее приближение находим тем же путем:
_ 0,7238 . (—0,0071) — 0,7199 (—0,0026).
*7 ~ —0,0071 — (—0,0026) *
х7 = 0,7260.
Разделим левую часть уравнения на х — 0,7260:
0.7260
1
1
—2
0,7260
—1,2740
—3,74
0.9249
—4,6649
8.18
—3,3867
4.7933
- —3.48
3.4799
—0.0001
Остаток от деления оказался очень малым, а потому на этом
приближении можно остановиться.
Корень 0,7260 отличается от значения 0,7263, найденного раньше,
только на 0,0003 (несмотря на то, что для улучшения сходимости
была использована формула A,20), изменение корня происходило
медленно, хотя применение этой формулы и ускорило сходи-
сходимость).
Задача 2,4. Решить уравнение
/(*)«-**— 10л;3 + 48, 16л;2 + 108,08л; + 70,76 = 0.
Рещение (рекомендуется сначала прочесть на стр. 16 «Опре-
«Определение комплексных корней алгебраических уравнений»). Прежде
всего замечаем, что последние три члена соответствуют квадрат-
квадратному уравнению с комплексными корнями. В качестве первого
приближения выделяемого из f(x) трехчлена берем трехчлен
48, 16л;2 + 108,08л; + 70,76
и делением его на коэффициент при х2 получаем трехчлен
*» +2,24*+1,47, (А)
который принимаем за первое приближение выделяемого трех-
трехчлена.
Делим левую часть уравнения на трехчлен (А) по схеме деле-
деления, указанной на стр. 18, до получения в остатке квадратного
трехчлена, который уже не делится на делитель (А).
53

—2.24
1.47
1
—
—
1
—10
—2,24
- —
-12.24
48.16
27.42
-1.47
74.11
108,08
—
17,99
126.07
70.76
70,76
Остаток от деления равен ,
74,11л;2 + 126,07л;+ 70,76.
Делением на коэффициент при хг получаем
х2 + 1,70л; + 0,95.
Делим левую часть данного уравнения на трехчлен (В)
(В)
—1.70
—0,95
-
1
—
—
. 1
-10
-1.70
—
—11.70
48,16 ,
19,89
—0,95
67.10
Ю8.08
—
+11.12
119.20
70.76
70.76
Остаток от деления равен
; 67, Юл;2 + 119,20л;+ 70,76.
Делением его на коэффициент при хг получаем
*• +1,78*+1,05.
(С)
, Если разделить левую часть уравнения на трехчлен (С), полу-
получается:
—1.78
—1.05
1
—
—
1
-10
—1.78
—
—11,78
48,16
20.96
—1.05
68.07
108.08
—
12.37
120,45
70,76
70.76
54

Коэффициенты остатка от деления подчеркнуты, а остаток от
деления будет равен
68,07л;2 + 120,45л;+ 70,76.,
Деление на коэффициент при хг приводит к трехчлену
ж2 + 1,77л; + 1,03, (D)
который незначительно отличается от трехчлена (С). Процесс очень
быстро сходился И' можно было ограничиться только тремя деле-
делениями. Приравнивая трехчлен (D) нулю, решим квадратное урав-
уравнение
л;2 + 1,77л; + 1,03 = 0; •
лг,,2 = —0,88 + 1/0,77 — 1,03;
хи2 = —0,88 + /—0,26
и окончательно
*i.2 = —0,88 ± 0,51г.
Для определения остальных двух корней надо дазделить левую
часть данного уравнения на трехчлен (D). Коэффициенты част-
частного уже известны из последней таблицы. Это 1; —11,78 и 68,07.
Таким образом, частное равно х2—11,78 л; + 68,07. Приравниваем
его нулю и решаем квадратное уравнение
л;2— 11,78л; + 68,07 = 0;
*з.4 = 5,89 ± 1/34,69 — 68,07;
хгл = 5,89 + У -33,38;
хгл = 5,89 + 5,78/.
Итак, корнями являются числа х\$ = г—0,88 + 0,51/, л;3,4 =
- 5,89 ± 5,78/.
Проверка.
Xi + хг + х3 + xt = 10,02 вместо 10;
*i • *г • *8 • Xi = 70,14 вместо 70,76.
Задача 2,5. Решить уравнение
/ (л;) = л;4 — Зл;3 + 20л;2 + 44л; + 54 = 0.
Решение. Применим тот4 же способ, что и в предыдущей
задаче. Последние три члена в уравнении приводят к квадратному
уравнению с комплексными корнями — см. уравнение A,22а)
20л;2 + 44л; + 54 = 0.
После деления на коэффициент при л;2 получаем первое прибли-
приближение выделяемого из f(x) трехчлена
г*+ 2,2*+ 2,7. (А)
55

Делим теперь f(x) на трехчлен (А):
—2,2
-2.7
1
—
—
1
—3
-2.2
—
—5,2
20
11,44
—2.70
28.74
44
—
14.04
58.04
54
— ,
—
54
Коэффициенты остатка от деления подчеркнуты, а сам оста-
остаток равен
28,74л;2 + 58,04л; + 54.
После деления на коэффициент при хг получаем
х* + 2,02л; + 1.88 (В)
и делим левую часть уравнения f (х) на трехчлен (В):
—2.02
—1,88
1
—
—
1
—3
—2,02
—
—5.02
20
10.14
—1.88
28.26
44
—
9.44
53,44
54
—
—
54
Подчеркнутые числа являются коэффициентами остатка. Он
имеет вид
28,26л;2 + 53,44л; + 54.
После деления на 28,26 этот остаток запишется так:
*•+1,89*+1,91. (С)
Проделаем еще одно приближение:
-1,89
-1,91
1
—
—
1
—3
—1,89
—
—4,89
20
9,24
—1,91
27,33
44
—
9,33
53,33
54
—
—
54
56

Коэффициенты остатка подчеркнуты, а сам остаток равен
27,33л;2 + 53,33л; + 54.
После деления на коэффициент при хг он принимает вид
х2 + 1,95л; + 1,98. (D)
По сравнению с трехчленом (С) мы получили незначительные
изменения коэффициентов. Останавливаемся на этом приближении.
Приравниваем трехчлен (D) нулю и решаем квадратное урав-
уравнение
л;2 + 1,95* + 1,98 = 0;
xli2 = —0,975 + /0,951 — 1,980;
xi.2 = —0,975 ± /—1,029;
ЛГ1,2 = —0,975+ 1,014/.
Из последней таблицы уже известны коэффициенты частного
от деления левой части данного уравнения на трехчлен (С). Это
числа 1; —4,89; 27,33; само же частное имеет вид
х* — 4,89л; + 27,33.
Приравниваем его нулю и решаем уравнение
хг — 4,89л; + 27,33 = 0.
Хз,4 = 2,445 ± /5^78—27,33;
хЗА = 2,445 + 4,620t.
Проверка.
Х\ + х2 + Хз + Ч = 2,94 вместо 3;
%1 • %2 • х3 • xt = 54,1 вместо 54.
При той небольшой точности, с которой велся расчет, результаты
можно считать довольно хорошими.
Задача 2,6. Решить уравнение
f (л;) = xi + 24,26л;3 + 274,3л;2 + 132,8л; + 231 = 0.
Решение. Решение проведем по итерационному методу Фрид-
Фридмана, сущность которого поясним на примере.
Выделяем трехчлен вида A,21) для определения комплексных
корней с наименьшим модулем. Таким трехчленом будет 274,3л;2 +
+ 132,8x4-231, который после деления на коэффициент при хг
запишется так: л;2 + 0,484л; + 0,842.
1-й шаг. Расположим сначала делимое и делитель по убываю-
убывающим степеням буквы х и проведем деление по схеме деления
многочлена на квадратный трехчлен:
57

—0,484
—0,842
1
—
1
24,26
—0.484
—
23,77
274.3
-11.5
—0,842
261,9
(остальные столбцы не вычисляем, так как остатком от деления
мы не интересуемся).
Итак, частное равно хг + 23,77л; + 261,9. Разделим его на сво-
свободный член 261,9 и получим, располагая трехчлен по возрастаю-
возрастающим степеням буквы х,
1 + 0,09л; + 0,004л;2.
(А)
2-й шаг. Расположив левую часть данного уравнения по возра-
возрастающим степеням буквы х, найдем
231 + 132,8л; + 274,3л;2 + 24,26л;3 + х\
(В)
Разделим теперь многочлен (В) на трехчлен (А). Деление выпол-
выполняем по той же схеме:
—0.09
—0,004
231
—
—
231
132,8
—20.79
—
112,01
274,3
—10,08
—0,92
263,30
Таким образом, частное равно 231 + 112,01л; + 263,30л;2. Разде-
Разделим этот трехчлен на коэффициент при хг и получим
х2 + 0,425л; + 0,877.
Повторим деление сначала так, как указано в 1-м шаге, а потом,
как указано во 2-м шаге. Выполняем его по той же схеме на
одной таблице:
58

—0,425
—0,877
После
деления
на 263,293
1
—
—
1
0.004
24,26
—0.425
—
23,835
0,9
274,3
—10,13
—0,877
*263,293
1
274.3
—10,08
—0,924
*263,296
132,8
—20,79
— •
112.01
231
—
4 —
231
—0,09
—0,004
—
Частное от первого деления равно
х2 + 23,835л; + 263,293.
(Q
Коэффициенты этЪго трехчлена делим на свободный член. Полу-
Полученные от деления коэффициенты помещены в последнем столбце
таблицы, а частное от второго деления (правая часть таблицы)
равно
263,296л;2 + 112,01л;+ 231.
Близость чисел, отмеченных звездочками, говорит о том, что
итерацию можно прекратить и считать, что левая часть уравне-
уравнения разлагается на множители
хг + 0,425л; + 0,877 и л;2 + 23,835л; + 263,293,
из которых первый был найден раньше, а второй есть трехчлен (С).
Приравнивая каждый из этих множителей нулю, получим два-
квадратных уравнения:
л;2 + 0,425л; + 0,877 = 0;
л? + 23,835* + 263,293 = 0,
решая которые, найдем корни х\2 =— 0,213 ± 0,9l2t; x3i =
= — 11,92 ± Ц.0Н.
Проверка.
*i + *а + х3 + х4 = 24,266 вместо 24,26;
Xi • х% • х3 • Xi — 230,9 вместо 231.
Эти результаты можно признать достаточно хорошими.
Задача 2,7 (для самостоятельного решения). Решить уравнение
х3 — Ъх + 1 = 0 по способу Ньютона с точностью до 0,001, а потом —
применяя способ Ньютона в модифицированном виде.
Ответ, л; = 0,202.
59

Задача 2,8 (для самостоятельного решения). Решить уравне-
уравнение х* + 2хг — 6х + 2 = 0, применяя способ линейной интерпо-
интерполяции, а потом тот же способ в модифицированном виде. Точ-
Точность 0,00001.
Ответ, х = 0,38687.
Задача 2,9_(для самостоятельного решения). Решить уравнение
х5 + 5х + 1 = 0 по способу № 4 с точностью до 0,00001.
Ответ, л; = —0,19994.
Задача 2,9а (для самостоятельного решения). Определить с точ-
точностью до 10~3 все корни уравнения
*6 + 25,0С*6 + 282,3л? + 337,5л? + 338,4л;4 + 179,9л; + 7,360 = 0
по способу № 4.
Ответ, л;! = —0,046; х2 = —0,698; x3i = — 0,213^0,912t;
х5,б = — 11,92±11,0Ь\
Задача 2,10 (для самостоятельного решения). Определить с точ-
точностью до 10~2 корнн уравнения
х3 + 6,32л;2 + 27,5л; + 31,6 = 0.
Ответ, х — —1,57.

ТРЕТЬЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Решение трансцендентных уравнений
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Графическое решение. Приближенное значение корней урав-
уравнения
/(*) = 0 C,1)
можно" получить, если тщательно вычертить на миллиметровке
кривую у = f(x) и определить абсциссы точек пересечения этой
кривой с осью Ох. Для уточнения корней, найденных графи-
графически, можно воспользоваться способом Ньютона или способом
хорд, которые описаны в первом практическом занятии, а также
указанными там же модификациями этих методов.
Вместо построения кривой у. — f (x), которое может быть затруд-
затруднительным, часто полезно представить уравнение / (х) = 0 в виде
или
*(*). C,2)
после чего построить кривые
г/= 9to и 0 = ф(х), C,3)
причем, если удачно представить функцию f(x) в виде разности
9 (х) — ф (х), то построить кривые C,3) будет значительно легче,
чем кривую у — f (x).
Если уравнение J (х) = 0 заменено уравнением C,2), то реше-
решениями исходного уравнения будут абсциссы точек пересечения
кривых C,3). Приведем пример.
Пусть требуется решить уравнение
cos* «е*—1 = 0. (А)
Представим его в виде
cos х • е* — 1
или
cos х — — | cos x = е~хщ (В)
Построим кривые y=-cosx и у = ё~*.
61

Абсциссы точек пересечения этих кривых и будут искомыми
корнями данного уравнения. Очевидно, что построить кривые (В)
значительно проще, чем кривую y = cosx-ex—1 (см. фиг. 3,0).
\ '
Фиг. 3,0
Кроме метода Ньютона и метода хорд, которые известны из
предыдущих занятий, укажем еще один распространенный метод
итерации, хотя методы хорд и касательных также являются
частным случаем итерационных методов.
Yrj \
X, Хг
Фиг. 3,1
2. Метод итерации. После того„ как уравнение / (х) = 0 пере-
переписано в виде ср (х) = i|» (х), как уже было указано, даже грубое
изображение этих кривых позволит найти приближенное значение
корней уравнения / (*.) = 0. Пусть таким приближенным значением
одного корня будет х = х0. Проведем прямую х = х0. Она встре-
встретит рассматриваемые кривые в двух точках: фиг. 3,1 или фиг. 3,2.
62

Из этих двух точек следует выбрать ту, для которой угловой
коэффициент касательной к кривой в точке х0 имеет меньшую
абсолютную величину. Положим, например, что
На фиг. 3,1 и 3,2 такой является точка Ао на кривой у = у(х).
В этой точке |<р'(*о)|< It'WI- По найденному значению х = х0
определяем ординату уо — 9 (¦*<>) точки пересечения прямой х = х0
с кривой у == <р (х). Через точку Ао [х0, <р (*„)] проводим прямую,
Хо Хг
Фиг. 3,2
параллельную оси Ох, до пересечения в точке Вх с кривой у =-
= ф (х). Ордината точки" Вг такая же, как и ордината точки Ао.
Подставляя в уравнение y = ty(x) вместо у значение у0 = <р (jc0)
и решая уравнение
находим значение ^х — второе приближение корня. Найденное дг^
является абсциссой точки 5i и, следовательно, абсциссой точки Лх.
По известной абсциссе точки А1 находим ее ординату уъ которая,
равна значению функции ср(*) при х = х1г т. е. yt = tC^i)-
Из точки Л2 проводим прямую, параллельную оси Ох, до пере-
пересечения в точке В2 с кривой г/ = -ф (^). Ордината точки 52 такая же,
как и ордината точки Av Подставляя в уравнение у — ф (х) вместо у
значение г>1 = ср (дс2) и решая уравнение
находим ^а —третье приближение корня, которое является одно-
одновременно абсциссой точек В2 и Л2.
63

Дальше поступаем так же. Зная абсциссу точки А2 из урав-
уравнения у = ср (х), заменяя в нем х на х2, находим у2 — <р (*2) —
ординату точки А2. Из точки Л2 проводим прямую, параллельную
оси Ох, до пересечения ее в точке В3 с кривой у = i|» (x). Точка В3
имеет такую же ординату, как и точка Л2. Зная ординату точки В3,
равную у2 = <р (x2), и подставляя это значение вместо у в уравне-
уравнение у = t|» (х), решаем уравнение
Ф (*)¦=? (*з)
и определяем абсциссу х3 точки В3. Значение х3 является четвер-
четвертым приближением искомого корня.
Следующие приближения находим так же.
Если угловые коэффициенты касательных к кривым у = <р (х)
и у = t|» (х) вблизи точки пересечения имеют один и тот же знак,
то последовательные приближения х0, х1у х2, ... стремятся к корню
с одной стороны (фиг. 3,1), а если эти угловые коэффициенты
имеют противоположные знаки, то приближения х0, хъ х2 стре-
стремятся к корню, принимая попеременно значения, то меньшие, то
большие корня (фиг. 3,2).
Но предложенный метод, который будем называть первым, не
является единственным. Все выкладки значительно упрощаются,
если заданное уравнение f(x) = O представить в виде
* = ?(*). C.4)
а этого можно достигнуть всегда.
Действительно, если / (я) = 0, то и \f(x) = O, где X—вели-
X—величина постоянная. Прибавляем х к обеим частям последнего
уравнения:
Обозначая теперь
9(x), C,5)
получаем уравнение C,4).
Таким образом, показано, что уравнение / {х) = 0 можно пре-
преобразовать к виду х — ^(х), но параметр X,остался свободным.
О выборе его будет сказано ниже (см. стрбб). После того как
заданное уравнение /(я) = 0 представлено в виде C,4)
х - 9 (х),
поступают так: графически или методом проб находят первое при-
приближение корня х — х0. Для получения следующего приближе-
приближения в правую часть уравнения C>4) подставляют х0 и тогда вто-
вторым приближением корня будет
64

Подставляя в правую часть уравнения C,4) хх вместо х. находим
третье приближение хг корня
Таким образом, последовательные приближения получаются по
следующей схеме:
Xi = <р («о);
C,6)
• • •
Определение последовательных приближений по этой схеме будем
называть вторым итерационным методом.
Могут встретиться два случая:
1) последовательность х0, хи х2 х„, ... сходится, т. е.
имеет предел, и тогда этот предел будет корнем уравнения
f(*) = 0;
2) последовательность х0, х\, хг, ... хп, ... расходится, пре-
предела не имеет.
Укажем теорему, выражающую условие, при котором итера-
итерационный процесс сходится.
Теорема. Пусть на отрезке [а, Ь] имеется единственный
корень уравнения х = ср (я) и во всех точках этого отрезка про-
производная <р' (х) удовлетворяет неравенству
\9'(х)\<М<1. C,7)
Если при этом выполняется и условие
Ь, C,8)
то итерационный процесс сходится, а за нулевое приближение х0
можно взять любое число из отрезка [а, Ь].
Условие C,8) означает, что все приближения х0, xlt x2,... ,
хп, ... , вычисленные по схеме C,6), находятся тоже на отрезке
[а, Ь\. Сходимость итерационного процесса будет тем лучше, чем
меньше | <р' (*) |.
Чтобы закончить пояснения, относящиеся к теории итерацион-
итерационного метода, укажем, как определить точность вычисленных зна-
значений корня. Если а— точное значение корня уравнения х = <?(х),
а число М определяется из соотношения C,7), то справедливо
следующее соотношение:
ft Xft I *^- 1 \Я I ¦**! Хц 1 • \У*У)
м
3 И. А. Каплан 65

Из этого неравенства следует, что если поставлено условие,
чтобы приближение корня хп отличалось от его точного значения
меньше на заданное число е, то приближения х0, xlt хъ ... надо
вычислять до тех пор, пока правая часть неравенства C,9) не
станет меньше этого числа е или равной ему, т. е.
ИЛИ
1 ^ Jj
(Об условиях сходимости итерационных процессов и доказательство
относящихся сюда теорем см.: Б. П. Демидович и И. А. Ма-
Марон. Основы вычислительной математики, гл. IV. Физматгиз, 1960).
Заметим, что уравнение / (х) = 0 можно различными способами
привести к виду х = ср (х). Из этих видов нужно выбрать тот,
в котором выполняется условие C,7) указанной теоремы.
Что касается числа X в формуле C,5), то его следует подо-
подобрать так, чтобы значение производной в левой части этой фор-
формулы было по абсолютной величине меньше единицы, т. е, чтобы
Из неравенства
|1 + V'W|<1
следует, что X должно удовлетворять неравенству
Такой выбор X гарантирует сходимость итерационного процесса
При решении задач этбго практического занятия рекомендуется
пользоваться такими таблицами:
1. Б. И. С era л и К. А. Семендяев. Пятизначные математические
таблицы.
2. Л. Дж. К о м р и. Шестизначные математические таблицы Чемберса.
Вычисления следует вести при помощи настольной клавишной
машины или арифмометра, а также в нужных случаях пользо-
пользоваться логарифмической линейкой.
Геометрическая интерпретация итерационного процесса, при-
применяемого к уравнению х = ср (х) с учетом использования указан-
указанной теоремы, выглядит так, как показано на фиг. 3,3, где
изображен сходящийся итерационный процесс. Здесь кривая пере-
пересекает биссектрису в точке с абсциссой а и при х > а лежит под
биссектрисой, а <р' (х) удовлетворяет условию 0<<р'(ж)< 1. Ите-
Итерационный процесс сходится, а последовательные приближения
монотонно убывают.
66

На фиг. 3,4 производная <р' (*) < О, но п0 абсолютной вели-
величине меньше единицы: | <р' (х) \ < 1. Итерационный процесс схо-
сходится, но приближения колеблются около точного значения корня.
На фиг. 3,5 показан расходящийся итерационный процесс.
Здесь <о' (х) > 1. Кривая пересекает биссектрису у — хв точке а
и при х > а лежит над биссектрисой.
На фиг. 3,6 также изображен расходящийся процесс: |<р' (х) \ > 1.
На чертеже видно, как последовательные «приближения» уда-
удаляются от точного значения корня.
Фиг. 3,3
Теперь приступим к решению задач.
Задача 3,1. Решить уравнение
Решение. Перепишем уравнение в виде C,2)
и определим графически приближенное значение отрицательного
корня (положительного корня уравнение не имеет, так как при
х > 0 е" > хг). Приближенное значение отрицательного корня
примем
Решим задачу сначала тем итерационным методом, который мы
назвали первым, а потом — вторым.
Решение первым методом. Прямая х = —0,5 пересекает кри-
кривые if (x) = хг и 9 (х) = ех в двух точках. Нам следует выбрать
ту из них, в которой угловой коэффициент касательной меньший
67

О X, х3
ах4
Фир. 3,4
/
/
/
/
1

по абсолютной величине, т. е. точку, в которой абсолютное зна-
значение производной при х = —0,5 является меньшим. У нас
ф {х) = х*; У (х) = 2х; ф' (—0,5) = 2 . (—0,5) = — 1;
<р (х) = ех) <?' (*) = ^5 ?' (-0.5) = е-0-5 = 0,60653;
| «р' @,5) | = 0,60653.
Значит,
и точку следует выбрать на кривой ср (х) = ех. Так как угловые
коэффициенты касательных, проведенных в точку пересечения
кривых ср (х) = ех и ср (х) = хг, у
противоположны по знаку, то
надо ожидать, что последова-
последовательные приближения будут
стремиться к корню, принимая
значения то больше его, то
меньше.
Чтобы найти второе прибли-
приближение, необходимо определить \ /
х из уравнения
т. е. из уравнения к задаче 3,i
х* = е*> = е-0-5 = 0,60653.
Отсюда второе приближение
хх = — 1/0,60653 = —0,77880.
(перед радикалом взят знак минус, так как корень уравнения
имеет только отрицательное значение).
Чтобы найти третье приближение корня, надо решить уравнение
т. е.
= е* = е-о.7788 = 0,45895;
х2 = — 1/0,45895 = —0,67746.
Четвертое приближение корня получим из уравнения '
т. е.
*• = 6х' = е-0-67746 = 0,50791;
х3 = — /0.5J791 = —0,71268.

Пятое приближение корня вычислим, решив уравнение
т. е. уравнение
х2 = е*. = е-о.71268 = 0,49033;
*4 = — К0.49033 = —0,70023.
Шестое приближение корня ищем из уравнения
т. е. уравнения
х2 = е*. = е-о.70023 = 0,49647;
д:5 = —1/0,49647 = —0,70460.
Для определения седьмого приближения решаем уравнение
т. е.
х2 = е*' = е-о.70460 = 0,49431;
л;в = —1/0,49431 = —0,70307.
Решив уравнение
т. е.
х* = (*• = е-о.70307 = 0,49506,
найдем восьмое приближение корня
х7 = — V0,49506 = —0,70365.
Для девятого приближения
х* = е*. = е-о.70365 _ 0,49477;
л:8 = — У 0,49477 = —0,70339.
Десятое приближение получим из уравнения
т. е.
д.2 = g-o. 70339 = 0,49490;
х9 = — "^0,49490 = —0,70349.
Одиннадцатое приближение вычислим, решив уравнение
ф (X) = ср (Х9),
70

т. е.
X* = е*9 = е-о.70349 = 0,49485;
х10 = —. 1/0,49485 = —0,70346.
Двенадцатое приближение даст
Хи = —1/0,49487 = —0,70347.
Таким образом, с точностью до 0,00001 искомый корень
х = —0,70346.
Из проведенного расчета видно, что итерационный процесс шел
очень медленно (сходимость была плохой). Как мы и ожидали,
последовательные приближения колебались около корня. Они были
то больше, то меньше. Составим таблицу приближений:
В этой таблице справа от зна-
значения приближений корня стоят
разности между этими значе-
значениями. Знаки разностей чере-
чередуются (+, —, +, —, ...), а
сами они по абсолютной величи-
величине убывают. Медленная сходи-
сходимость процесса объясняется
тем, что нулевое приближение
х0 было определено слишком
грубо. Если бы мы определили
интервал, на котором находится
корень, и подошли бы более
критично к выбору нулевого
приближения, то процесс сходи-
сходимости ускорился бы.
Чтобы убедиться в этом, най-
найдем интервал, на котором нахо-
находится корень. Для этого нужно
определить так называемую «вил-
«вилку», т. е. найти такие два значе-
значения х, при которых f(x) имеет
противоположные знаки. Эти
два значения х и определят ис-
искомый интервал, причем его надо сделать как можно меньшим
и следить за тем, чтобы на нем был единственный корень урав-
уравнения. В нашем случае имеется единственный отрицательный
корень. Методом проб определим «вилку». У нас f(x) = e* — х2.
Начнем со значения х = —0,6.
/(—0,6) = 0,54881 — 0,36 = 0,18881 >0;
/(_0,7) = 0,49659 — 0,49 = 0,00659 > 0;
/ (_о,8) = 0,44933 — 0,64 = — 0,19067 < 0.
71
№ при-
приближений
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Приближенное значение
корня
—0.50000
—0,78880
—0,67746
—0,71268
—0,70023
—0,70460
—0.70307
—0,70365
—0,70339
—0.70349
—0,70346
—0.70347
—0,28880
+0.11134
—0,03522
+0,01245
—0,00437
+0,00153
—0,00058
+0.00026
—0,00010
+0.00003
—0,00001

Таким образом, на концах интервала (—0,8; — 0,7) функция f(x)
имеет различные знаки, причем, поскольку | / (—0,7) | < | / (—0,8) |,
то корень находится ближе к —0,7, чем к —0,8.
Попытаемся сузить интервал. ПраЕый его конец оставим без
изменения, левый сдвинем направо
/ (—0,75) = 0,49237 — 0,49 < 0,
а поскольку / (—0,7) > 0, то корень находится на интервале
(-0,75; -0,7).
Попытаемся сузить и этот интервал, сдвигая его левый конец
вправо
/(—0,725) = 0,48432 — 0,52562 = —0,04130 < 0.
Так как /(—0,725) < 0, а /(—0,7) >0, то корень находится на
интервале (—0,725; —0,7). В качестве нулевого приближения
можно взять любой из концов этого интервала, а также любую
точку внутри его.
Мы возьмем за х0 правый конец интервала, т. е. х0 = —0,7.
Следующее второе приближение найдем из уравнения
У нас ф (х) = х8, <р (х) = е*. Поэтому надо определить х из урав-
уравнения
х* = ех> = е-0-7 = 0,49659; хг = — 0,70469.
Третье приближение найдем из уравнения
ф (х) = <р (х{),
т. е. из уравнения
& = е*. = е-0,70469 _ 0,49494;
х2 = — К0.49494 = —0,70352.
Четвертое приближение
= g-o.70352 = 0,49484;
Хз = — У 0,49484 = —0,70345.
Этот корень, найденный в четвертом приближении, отличается от
полученного раньше в двенадцатом приближении только на 0,00002.
Пятое приближение
хг = ех> = е-0-70345 = 0,49488.
72

Таким образом, на пятом приближении мы имеем теперь то,
что раньше на двенадцатом. Отсюда видно, насколько важно
выбрать удачно нулевое приближение.
Всю предыдущую работу мы выполнили исключительно в мето-
методических целях: 1) на большом числе упражнений читатель
освоился с решением уравнения вида <\>(х) =у (х) и 2) было по-
показано, что выбор нулевого приближения не может быть про-
произвольным, а его удачный выбор скорее ведет к цели.
Теперь для решения того же уравнения используем метод,
который мы назвали вторым: преобразуем заданное уравнение к
виду C,4)
* = ?(*)
и применим схему C,6) для его решения.*
Из уравнения е* — х2 = 0 следует, что хг = ех, а х = — Уех
(перед радикалом удержан знак минус потому, что корень, как
мы знаем, отрицателен).
В виде C,4) уравнение запишется так:
Теперь проверим, выполнено ли условие C,7), т. е. выполняется
ли во всех точках интервала (—0,725; —0,7) неравенство
С этого всегда надо начинать решение уравнения вида C,4). У нас
ср(х)=-е^; «р'(д) = _±вМ
|<р' (—0,725) | = 0,34727; 1?' (—0,7) | = 0,35230,
число М в формуле C,7) возьмем равным 0,36. Так как | <р' (л:) | < 1,
то процесс будет сходиться. Мы хотим вычислить корень с точ-
точностью 0,00001, т. е. е = 0,00001. Надо остановиться на каком-то
приближении. Для этого определим по формуле C,11), какой по
абсолютной величине должна быть разность между двумя после-
последовательными приближениями, чтобы считать, что требуемая точ-
точность достигнута. Должно выполняться на основании C,11) не-
неравенство
i I ^-еA—УИ)
I лп лп—11 "^ уй *
Так как М = 0,36; е = 0,00001, то
, . 0,00001.A-0,36)
I xn xn—i I ^ 0^36
Таким образом, мы будем считать, что требуемая точность
достигнута, если абсолютная величина разности двух последова-
последовательных приближений не больше 0,00002.
73

X
—0,7
—0,70460
—0,70307
—0.70360
—0.70342
—0,70348
—0,70346
X
~2
—0,35,
—0,35230
—0,35154
—0,35180
—0.35171
—0,35174
X
—0,70460
—0,70307
—0,70360
—0,70342
—0,70348
—0,70346
За нулевое приближение принимаем по-прежнему ха — —0,7.
~ X
Так как у нас <р (jc) = — е2 , то, применяя схему C,6) к уравнению
X
х=. е~2
и помещая вычисления в таб-
таблицу, получаем
Абсолютная величина разности
между х% — шестым приближен-
приближенным и хв — седьмым прибли-
приближенным равна 0,00002. Поэтому
на основании сделанного по фор-
формуле C,11) вычисления можно
считать, что требуемая точность
достигнута и за искомый ко-
корень принять любое из этих чи-
чисел, т. е.
х = —0,70346 или х = —0,70348.
От найденного первым методом х = —0,70347 эти значения отли-
отличаются только на 0,00001.
Читатель, по-видимому, заметил, что решение этим методом
оказалось проще, поскольку вычисления велись без извлечения
корня, как при решении первым методом, и все свелось только к вы-
вычислению степеней числа е. Быстрая сходимость здесь объяснялась
тем, что число М было ближе к нулю, чем к единице. На этом
примере мы подробно разобрали первый и второй методы. Сделаем
такое указание. Первый метод следует применять только тогда,
когда преобразование уравнения / (х) = 0 к виду х = ер (л:) пред-
представляет большие трудности. Во всех других случаях надо
стремиться к тбму, чтобы заданное уравнение было преобразовано
к виду х = f(x). Такое преобразование часто можно осуществить,
как уже указывалось, не единственным способом, причем выбрать
тот из видов, в котором число М было бы возможно меньшим,
так как при этом последовательность приближений будет быстрее
сходиться к корню заданного уравнения.
Повторим еще раз, что решение необходимо начинать с про-
проверки выполнения неравенства C,7)
во всех точках того интервала, на котором находится корень.
Задача 3,2. Решить уравнение
с точностью до 0,00001.
74

Решение. Преобразуем уравнение к виду C,4) х = <р (л:).
Получится
х = cosa: + 4.
Значит,
( 4 (A)
Теперь, чтобы легче было графически определить приближенное
значение корня (см. рисунок), запишем уравнение в виде: cosjr =
= х— 4. Абсцисса точки пересечения кривых приближенно равна 3.
Проверим, что корень находится на интервале C, ic):
/ C) = cos 3 — 3 + 4 = —0,98999 + 1 = 0,01001 > 0;
f (ir) = cos ic — ic + 4 = — 1 — 3,14159 + 4 = — 0,14159 < 0.
У
К задаче 3,2
Таким образом, «вилка» найдена. За нулевое приближение
корня надо взять число 3 — левый конец интервала, так как на
этом конце |/C)|< |/(it)|. Теперь установим, будет ли сходиться
итерационный процесс, т. е. выполняется ли неравенство C,7)
во всех точках интервала C, ic). Из (А) следует, что
<р {х) = cosх + 4; <р' (х) = —sin x;
| <р' (х) | = sin х; | ср' C) | = sin 3 = 0,14122;
|<p'(ic)| = sin it = 0.
Во всех точках интервала C, it) | ср' (д;) | < 1 и тем самым нера-
неравенство C,7) выполняется, процесс будет сходящимся, причем в
75

качестве числа М необходимо взять 0,15, так как и sin3 и sin я
меньше, чем 0,15. Итак, М = 0,15. Теперь определим, какой должна
быть абсолютная величина разности между двумя последователь-
последовательными приближениями ха и xn_v чтобы обеспечить требуемую
точность в 0,00001.
У нас е = 0,00001, М = 0,15, а потому по формуле C,11)
I « г I ^ е A - ^И) 0,00001 -A-0,15) 0.00001 . 0,85
\Хп— V-i I < — = ~" 0Л5 0Л5 =
\хп-хп_11< 0,00006. (А)
Таким образом, если между двумя последовательными при-
приближениями разность не будет превышать 0,00006, то итерацион-
итерационный процесс надо остановить и считать, что требуемая точность
достигнута.
После этих выкладок приступаем к решению задачи, поль-
пользуясь схемой C,6). У нас нулевое приближение
Применим схему C,6);
xi = <р (х„) = cos 3 + 4 = —0,98999 + 4 = 3,01001;
Хг = ? (jcJ = cos 3,01001 + 4 = —0,99135 + 4 - 3,00865;
яз = ср (х2) = cos 3,00865 + 4 = —0,99117 + 4 = 3,00883;
Xi == ср (х,) = cos 3,00883 + 4 = —0,99120 + 4 = 3,00880.
На этом можно остановиться, так как
1*4 —х3|< 0,00006,
т. е. требование (А) выполнено.
Такая быстрая сходимость обусловлена здесь малостью числа
М и удачным выбором нулевого приближения.
Итак, искомый корень
х = 3,00880.
Задача 3,3. Решить уравнение
2х — 3 In х — 3 = 0
с точностью до 0,00001.
Решение. Преобразуем прежде всего заданное уравнение к
такому виду, который позволит легче графически установить при-
приближенное значение корня. Запишем уравнение в виде
2Х з 2
1па: = —о—, или 1пх = -^-х— 1.
о
76

Построим кривые у = \пх и у = ~х—\ (см. рисунок). Из чер-
чертежа видно, что имеется два положительных корня. Определим
интервалы, в которых они содержатся.
Меньший корень л:A) находится на интервале @,5; 0,6). Дей-
Действительно,
/@,5) =2 .0,5 — 3In0,5 — 3 = 1—3 • (—0,69315) —3 =
= 0,07945 > 0;
/@,6) = 2 .0,6 —3 In 0,6 —3 = 1,2 —3 •(—0,51083) —3 =
= —0,2675 КО.
Ki задаче 3,3
Таким образом, первый корень находится на интервале @,5;
0,6), причем ближе к левому его концу, так как |/@,5)| < |/@,6)|.
Поэтому за нулевое приближение меньшего корня следует принять
Теперь преобразуем заданное уравнение к виду х = <р (х):
х = 0,5C In х +3). (А)
Вслед за этим определим, будет ли сходящимся итерационный
процесс. Для этого проверим выполнение для tp' (я) неравенства
C,7): | ср' | (х) | < 1 во всех точках интервала @,5; 0,6). У нас
?(*) = 0,5C ln* + 3); ?'(*) = °^ = M.
Очевидно, что на интервале @,5; 0,6) изоляции корня ср' (х) > 1
77

и, значит, условие C,7) не выполнено. Поэтому представим урав-
уравнение в другом виде. Из заданного уравнения
2х — Ъ\пх— 3 = 0
следует, что
х — е
Теперь уже
(В)
?' @,5) =
= -М"' 0>5~' = |е-0'66667 = 4 • 0,51342 = 0,34228;
= |
'@,6) = |ef ' о-6 в |^0-6 „ | . 0,54881 = 0,36587.
Таким образом, на интервале @,5; 0,6) условие | «р' (х) | < 1
выполнено и итерационный процесс будет сходящимся. Возьмем
М = 0,37. У нас s = 0,00001. Определим по формуле C,11), какой
должна быть разность между двумя последовательными приближе-
приближениями, чтобы мы имели право считать, что заданная точность до-
достигнута.
I у y \*г «П-М> _ 0.00001 • A - 0.37) _
\Хп—хп-г\<* м Т
0,00002.
Если абсолютная величина этой разности будет меньше или
равна 0,00002, то процесс итерации следует прекратить и считать,
что заданная точность достигнута.
За нулевое приближение меньшего корня возьмем, как мы ус-
условились, лго1* = 0,5, Применим итерационную схему C,6) к урав-
уравнению (В).
Вычисления удобно вести с помощью такой таблицы:
X
0.5
0,51342
0.51803
0.51963
0,52018
0.52037
0.52044
0,52046
2
-ъ*
0.33333
0,34228
0,34536
0,34642
0,34679
0,34692
0.34696
0,34698
1—.
—0.66667
—0,65772
—0,65464
—0,65358
—0.65321
—0,65308
—0,65304
—0,65302
.т-
0,51342
0,51803
0,51963
0.52018
0,52037
0,52044
0,52046
0,52047
78

На этом процесс итерации можно остановить и считать, что
x<i> = 0,52047.
Приступим к определению большего положительного корня. Прежде
всего, определим интервал, в котором он находится. Из чертежа
к этой задаче видно, что второй корень лгB)^3.
Рассмотрим интервал C,2; 3,3). У нас
f(x) = 2x — 31njt — 3;
f C,2) = 2 • 3,2 — 3 In 3,2 — 3 = 6,4 — 3,48549 — 3 = —0,08549 < 0;
/C,3) = 2 • 3,3 — 3In3,3 — 3 = 6,6 —3,58177—3 = 0,01823 >0.
Корень ближе к правому концу интервала его изоляции, так как
|/C,3)|< |/C,2)|, поэтому за нулевое приближение большего кор-
корня х<2> возьмем xf = 3,3.
Исследуем теперь, будет ли сходящимся процесс, если поль-
пользоваться уравнением (А):
х =» 0,5 C In х + 3).
Здесь
Т (*) = 0,5C In jc + 3); ?'(*) = ^;
?' C,2) = !| = 0,47; ?' C,3) = Ц = 0,45.
Возьмем М — 0,48. Таким образом, итерационный процесс будет
сходящимся.
Теперь определим, какой должна быть абсолютная величина
разности между двумя последовательными приближениями, чтобы
считать достигнутой заданную точность. У нас М = 0,48; е =
= 0,00001. По формуле C,11) должно быть
I _ I <•- е0—М) _ 0.00001 -A — 0,48) _
\хп xn-i\< м ~ 0.48 ~~
_ 0,00001-0.52 _
0~48 —
Как только разность между двумя последовательными приближе-
приближениями станет не больше 0,00001, мы процесс остановим. Все вы-
вычисления поместим в таблицу. Итак,, решается уравнение
х = 0,5C In jc+3),
а
J2) _ о о
Хо — о,О.
79

X
3.3
3,29088
3,28724
3,28508
3,28408
3.28364
3,28342
3.28335
3.28329
3,28326
3.28324
3.28324
In*
1.19392
1,19116
.19005
,18939
,18909
,18895
,18889
,18886
,18884
,18883
1,18883
.18883
31n*
3,58176
3.57448
3.57015
3.56817
3,56727
3,56685
3.56670
3.56658
3,56652
3.56649
3,56649
3.56649
31n x -f 3
6.58176
6,57448
6,57015
6,56817
6.56727
6,56685
6.56670
. 6,56658
6,56652
6.56649
6,56649
6.56649
0,5C1n*+3)
3,29088
3,28724
3,28508
3,28408
3.28364
3.28342
3,28335
3.28329
3,28326
3,28324
3,28324
3,28324
Больший корень
= 3,28324.
И здесь итерационный процесс шел очень медленно, так как М
было достаточно велико.
Задача 3,4. Решить уравнение
f (х) = хг + sin2 х 2 = 0.
Точность 0,0001.
¦ж
К задаче 3,4
решение. Из решения предыдущих задач читатель уяснил
общую схему, которой мы придерживались. Она состоит в сле-
следующем:
1. Заданное уравнение следует привести к виду
X = у (X).
2. Чтобы графически отделить корень, функцию / (д:) надо пред-
представить в виде
? (*>•

Так можно определить приближенное значение корня. Отделить
корень следует методом проб.
3. Необходимо проверить, удовлетворяет ли функция <р (х)
из п. 1 условию C,7)
во всех точках интервала изоляции корня.
4. Определить число М для использования неравенства C,11),
т. е. для того чтобы узнать, при какой абсолютной величине раз-
разности между двумя последовательными приближениями будет до-
достигнута требуемая точность.
5. Решение задачи провести по схеме C,6).
Придерживаясь этой схемы, решим предложенное уравнение.
1. Перепишем уравнение в виде
*2 = 2 — sin2 х = 1 + cos2 x,
откуда
х = ± l/l + cos2x (A)
2. Для того чтобы упростить построение графика функции у =
— f(x), перепишем уравнение
Из чертежа видно, что корни расположены симметрично относи-
относительно начала координат. Отделение корня дает
/ A) = 1» + sin21 — 2=1 + 0,70728 — 2 = — 0,29272 < 0;
/A,1)= 1,12 +sin2 1,1 — 2= 1,21+0,79388 —2 = 0,00388 >0.
Значение корня будет ближе к 1,1, чем к 1, так как
I/ A,1) |
Таким образом, интервал изоляции корня определен.
3. Проверка условия C,7). Из (А) следует, что
sin л: cos x
vT+ra-
Вычислим |?'A)| и |у'A,1) |, причем большая точность при этом
не требуется:
|?'A)|= 0,40; |?'A,1) | = 0,38.
Процесс будет сходиться, так как
\?'(х)\<1
во всех точках интервала изоляции корня.
81

4. Число М возьмем равным 0,41. Теперь определим по фор-
формуле C,11), какой должна быть абсолютная величина разности
между двумя последовательными приближениями, чтобы считать
требуемую точность достигнутой.
-M) 0,0001-A-0.41) 0,0001-0,59 _
— oTI ~ —O4i—~
Таким образом, когда разность между двумя последовательными
приближениями будет равна 0,0001, итерационный процесс следует
остановить.
5. Воспользуемся схемой C,6) для вычисления корня уравнения.
Исходное уравнение имеет вид.
х = |Л +cos2*; хо = 1,1.
Все вычисления поместим в таблицу:
*
1.1
1.09806
1,00878
1.09851
1.09861
cos*
0,45360
0.45532
0,45468
0.45492
cos2*
0.20575
0,20732
0.20673
0.20695
1 + cos2 *
1,20575
1.20732
1,20673
1,20695
/l + cos2*
1,09806
1,09878
1.09851
1,09861
Округляя до четырех десятичных знаков, получаем два соседних
приближения
х3= 1,0985; дг4= 1,0986.
Быстрота сходимости объясняется здесь удачным выбором нулевого
приближения, сравнительно небольшим значением числа М и не-
небольшой заданной точностью. Итак, уравнение имеет два решения
= —1,0985; л:<2> = 1,0985.
Задача 3,5. Найти наименьший положительный корень уравне-
уравнения
tg х — х = 0
с точностью до 0,0001.
Решение. 1) Представим уравнение в виде
В нашем случае оно буде'т таким:
Z2

83

2) Построим графики функций у = х и y = \.gx (см. чертеж
к этой задаче). Легко усмотреть, что за нулевое приближение можно
принять х0 = -д- тс. Таким образом корень находится на интервале
(«.-§¦«).
3) Проверяем выполнение условия C,7):
<р (*) = tg xr, <р' (л;) = sec2 л:.
Внутри интервала изоляции корня Ы, -^%)\ <р'(х) \ > 1, поэтому ус-
условие C,7) нарушено. Непосредственно видно, что если бы мы
вели решение по уравнению
и взяли х0 = -к тс, то уже второе приближение не могло бы быть
найдено. Действительно,
Xi = tg Xo = tg -у it = ± оо.
Поэтому уравнение перепишем в другом виде, а именно
* = arctg jc + tc; *0 = |- п = 4,71237.
Вычисления помещаем в таблицу. Следует иметь в виду, что к
значениям arctg x, которые находятся из таблиц (например, Чем-
берса) следует прибавлять число ж, так как прямая у — х пересе-
пересекает ту ветвь кривой у — arctgx, которая удовлетворяет условию
т. е. фактически
-| < arctg х < j-k,
х = arctg x + тс.
X
4.71237
4,50328
4,49386
4,49344
4,49341
arcf g x
1.36169
1,35227
1,35185
1.35182
1,35182
3.14159
3,14159
3.14159
3,14159
3,14159
arc tg x + я
4,50328
4,48386
4,49344
4,49341
4.49341
Таким образом, искомым корнем с четырьмя верными знаками яв-
является
х = 4,49341.
Ниже помещены задачи для самостоятельного решения.
64

Задача 3,6. Методом итерации найти корень уравнения
х1 — 2л5 — 10лга + 1 = 0
с пятью верными десятичными знаками.
Указание. Уравнение переписать в виде
л: = /0,1— 0,2л?-J-0,1л:7.
Ответ, л: = 0,31529.
Задача 3,7. Вычислить с четырьмя верными десятичными зна-
знаками действительный корень уравнения
*2 + 4 sin х ==0.
Ответ, л: = —0,9338.
Задача 3,8. Определить с шестью верными знаками корень урав-
уравнения
Зл: — cos л:— 1 = 0.
Ответ. * = 0,607104.
Задача 3,9. Найти корень уравнения
2х — logiojc = 7
с точностью до 0,0001.
Ответ. * = 3,7893.

ЧЕТВЕРТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Основные определения теории матриц •
I. ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ МАТРИЦ
1. Матрица и ее элементы
Матрицей называется система элементов (в частном случае
чисел), расположенных в определенном порядке и образующих
таблицу. Если в этой таблице т строк и п столбцов, а ее эле-
элементы обозначены через ац, где i — номер строки, а / — номер
столбца, на пересечении которых находится этот элемент, то
матрица записывается в следующем виде:
А =
ап
л
D,1)
Короче эта матрица может быть записана так:
А = [Щ/]\ (/= 1, 2, 3 т; /= 1, 2, 3 п) D,2)
Каждый элемент матрицы называется также ее компонентой.
Матрица D,1) имеет размер т х п.
Если число строк матрицы т не равно числу ее столбцов п,
то матрица называется прямоугольной.
2. Различные виды матриц
Матрица-столбец. Если в матрице только сущн столбец, т. е.
если п = 1, то она называется матрицей-столбцом и имеет такой
вид:
~ап~
А =
ап
D,3)
Матрица-столбец называется также вектором-столбцом.
* Матрицы в дальнейшем обозначаются знаком [ ], а определители квад-
квадратных матриц — знаком | |.
86

Матрица-строка. Если в матрице только одна строка, то она
называется матрицей-строкой и имеет такой вид:
А = [аи а1г а13 . . • а1п]. D,4)
Матрица-строка называется также вектором-строкой.
Примеры.
Матрица
есть матрица-столбец,
вектор-столбец.
Матрица
Ее размер 5x1. Иначе, это пятимерный
А = [2 0 4 3 7 2]
есть матрица-строка. Ее размер 1 х 6. Иначе, это шестимерный
вектор-строка. Когда это не может вызвать недоразумений, вектор-
столбец и вектор-строку мы будем называть просто вектором.
Транспонированная матрица. Если в матрице А поменять местами
строки и столбцы, то получится новая матрица, которая по сравне-
сравнению с матрицей А называется транспонированной. Транспониро-
Транспонированную матрицу будем обозначать через А'.
Примеры.
1) Если матрица
/г ===
011 012 013
021 022 023
031 0Я2 0ЯЯ
то транспонированная матрица запишется так:
0Ц 021 031
Ql2 022 032
013 023 033
_au а24 0з4_
Матрица А имеет размер 3x4, а транспонированная матрица
А' ~ размер 4x3.
3 5
2 4
2) А =
2 1
1
_
Транспонированная матрица
А' =
 3"
1 1
3 2
5 4
87

Транспонирование матрицы-столбца дает матрицу-строку и на-
наоборот.
Квадратная матрица. Если в матрице столько же строк, сколько
и столбцов, т. е. т = п, то матрица называется квадратной.
«11
а13
лп3
D,5)
Матрица D,5) имеет размер п х п. Однако в случае квадратной
матрицы вместо термина размер употребляется термин порядок.
Матрица D,5) — матрица n-го порядка. В квадратной матрице об
элементах ап, а^, а33, ... , ат говорят, что они образуют главную
диагональ, или что они стоят на главной диагонали. Об элемен-
элементах, стоящих на линиях, параллельных главной диагонали, гово-
говорят, что они образуют побочную диагональ. В матрице порядка п
имеется п—1 побочная диагональ, расположенная выше главной,
и п— 1 побочная диагональ, расположенная ниже ее.
Пример.
Матрица
1
3
1
5
4
2
4
—7
—2
0
2
2
5
— 1
0
1
— квадратная матрица четвертого порядка. В ней число строк т=
= 4 и число столбцов п = 4.
Нулевая матрица. Матрица, все элементы которой равны нулю,
называется нулевой и обозначается символом 0.
0 =
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
... о
... о
... о
... о_
п столбцов
т строк D,6)
Диагональная матрица. Квадратная матрица, у которой все
элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю,
88

называется диагональной. Эта матрица имеет следующий вид:
А =
an
0
0
0
0
0 •
0 •
аза •
•. о
.. о
• • 0
ООО
D,7)
Таким образом, в диагональной матрице все элементы с неравными
индексами равны нулю.
Скалярная матрица. Диагональная матрица, все элементы кото-
которой, стоящие на главной диагонали, равны между собой, назы-
называется скалярной матрицей. Скалярная матрица имеет такой вид:
~ап 0 0 ..• 0
0 ап 0 ••• 0
О 0 аи • • ¦ О
0 0 0
а
и_
D,8)
Единичная матрица. Диагональная матрица, у которой все эле-
элементы, стоящие на главной диагонали, равны 1, называется еди-
единичной. Единичная матрица обозначается символом Е и имеет
такой вид:
 0 0 0 ••• 0"
О 1 0 0 •.• О
О 0 1 0 ••• О
О 0 0 1 • • • О
?„ =
0 0 0 0
1
D,9)
Индекс п в символе Е показывает порядок единичной матрицы.
В матричном исчислении единичная матрица играет роль, в извест-
известной мере аналогичную той, которую в арифметике играет единица.
Верхняя треугольная матрица. Квадратная матрица, в которой
все элементы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю,
называется верхней треугольной матрицей. Она имеет вид
А =
ап а12 а13
О а22 а23
О 0 а33
0 0 0
D,10)
89

Нижняя треугольная матрица. Квадратная матрица, в которой
все элементы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю,
называется нижней треугольной матрицей. Эта матрица имеет такой
вид:
ап 0 0 0 • • • О
с21 а* 0 ,0. ... 0
а3! аз2 а33 0 • • • 0
D,11)
Симметричная матрица. Симметричной матрицей называется
квадратная матрица, в которой все элементы, расположенные сим-
симметрично относительно главной диагонали, равны между собой.
Для симметричной матрицы имеет место равенство
o,i j — ац.
Пример квадратной симметричной матрицы:
 4 2"
4 3. 6
2 6 5
D,12)
Блочная матрица. Если в матрице провести горизонтальные и
вертикальные «перегородки», то матрица окажете^ разбитой на
прямоугольные или квадратные клетки, или блоки. Такая матрица
называется блочной. Вот пример такой матрицы:
Элементы
An
А1г
А =
ап
«21
а3г
а41
_а%1
в каждом
\аг
\Т
la3i
i а12
а32
4 аи
ап
«22
^32
^42
ai2
Злоке
ais"
а23
^33.
«13
а23
«33
«43
ai3
а14
а24
«34
а44
а54
образуют
¦1 —
аи
а45
Он
flie
«26
»36
^46
CEgg
*
следующие матрицы:
а42
а82
-j
air
а4в\
90

Матрицу А можно представить в виде матрицы, элементами кото-
которой являются матрицы Ац.
[¦^11
А2х
3. Определитель матрицы. Ранг матрицы
Определителем квадратной матрицы называется определитель,
составленный из элементов матрицы, расположенных так же, как
и в матрице. Определитель матрицы Л обозначается символом | А \
или D(A).
Если определитель | Л | матрицы не равен нулю, то матрица на-
называется неособенной (иначе, невырожденной). Если же определитель
| Л | матрицы равен нулю, то матрица называется особенной (иначе,
вырожденной или сингулярной).
Ранг матрицы. В прямоугольной матрице можно вычеркнуть
несколько строк и несколько столбцов так, чтобы элементы, кото-
которые остались невычеркнутыми, образовали квадратную матрицу
порядка k. Определитель такой матрицы называется минором дан-
данной матрицы. Если, например (стр. 92) взять матрицу размером
3 х 4, то вычеркиванием одного какого-либо столбца можно полу-
получить четыре квадратных матрицы третьего порядка, вычеркиванием
двух столбцов и одной строки можно получить 18 матриц второго
порядка, а вычеркиванием трех столбцов и двух строк можно полу-
получить 12 матриц первого порядка.
Число матриц порядка к (k < min (s, г)), которое можно получить
из матрицы размером s х г, подсчитывается по формуле
n = Cks.Ckr,
где Cs и Сг есть соответственно число сочетаний из s элементов
по k в каждом и из г элементов по k в каждом, причем число
сочетаний из п элементов по т вычисляется по формуле
С" = ml (П-тI (">"*>•
Поскольку в указанной выше матрице s = 3, г = 4, число мино-
миноров порядка k = 3
гз гз _ 31 41 _ .
п — os • О4 — 3| (з _ з)! • 3! D — 3)! ~~ *
(надо учесть, что принимается 0! = 1).
Число миноров порядка k = 2
Число миноров порядка k = 1
„ /-J /ч1 3! 4! q л ю
п = Сз • С4 = щз_1)| • ЦD-1)! = 3 ' 4 = 12.
91

Рассмотрим определители всех таких квадратных матриц.
Наибольший порядок г минора матрицы, не равного нулю, на-
называется рангом матрицы. Так, если в матрице размером 3x4
определители всех матриц третьего порядка равны нулю, а хотя
бы один из определителей матриц второго порядка в этой таб-
таблице не равен нулю, то ранг заданной матрицы г равен двум
(г = 2).
Таким образом, чтобы определить ранг матрицы, надо из ее
элементов составить всевозможные квадратные матрицы вычерки-
вычеркиванием строк и столбцов и найти определители этих матриц. Ранг
заданной матрицы равен наивысшему порядку того из этих опре-
определителей, который не равен нулю.
Ранг нулевой матрицы равен нулю. Ранг диагональной квадратной
матрицы равен ее порядку, конечно, при условии, что ни один
из ее диагональных элементов не равен нулю.
Заданная матрица
[ап а1г а13 аи~\
а21 а22 а23 аи .
(hi ^32 а33 a3i]
Матрицы 3-го порядка, полученные из заданной вычеркиванием
одного столбца:
1
Го13 аи
а а пг3
[_а3а Озз
Ом]
Оа4
O84J
0
Номер
2
'И ^13
'21 ^Зз
вычеркнутого
^14 1
084
O34J
Гои
1 ^21
столбца
3
^22 ^24
аЭ2 а84
]
,111
4
Ога Огз 1
о8а O83J
Матрицы 2-го
двух столбцов и
Номер
вычеркнутой
строки
1
2
3
1 н
\г
[о зз
is
порядка, полученные
одной строки:
2 1 и
O84J
аи]
a3i\
а
[Оаа
10за
IZ
[Oia
LOaa
из заданной вычеркиванием
Номера вычеркнутых столбцов
3
O34J
Оы]
Q34J
аи\
1 и 4
[Ога ога]
[оза O33J
[aia o13]
[о8а o33j
Гои ol3]
2 н 3
[ #31 ^34 J
Гаи о14]
[au ou]
2 и
[osi
[Оц
\ап
te
4
033J
Owl
O33J
О13]
3
[Oai
Гап
[ou
и 4
Oaa]
z\
a
92

Матрицы 1-го порядка, полученные из заданной матрицы вычер-
вычеркиванием трех столбцов и двух строк:
Номера
вычеркну-
вычеркнутых строк
2 и 3
3 и 1
1 н 2
Номера вычеркнутых столбцов
2, 3 и 4
«и
аи
-и
3, 4 и 1
-
<%а
4, 1 и 2
а13
а,
агз
1, 2 и 3
аи
Ом
аи
4. Алгебраическое дополнение элемента матрицы.
Союзная матрица
Если из определителя квадратной матрицы порядка п вычерк-
вычеркнуть i-ую строку и /-ый столбец, на пересечении которых стоит
элемент ац, и составить из оставшихся элементов определитель
порядка п—1, умножив его на (—1)'+', где t+/— сумма номе-
номеров вычеркнутой строки и столбца, то полученное произведение
называется алгебраическим дополнением элемента ац матрицы
и обозначается символом Ац.
Союзная матрица. Если из алгебраических дополнений всех
элементов матрицы А составить новую матрицу и транспониро-
транспонировать ее, то полученная так матрица называется союзной по отно-
отношению к данной. Союзная матрица обозначается символом А
и записывается так:
А =
~ А А А А '
1 1 1 • • • "л1
2 2 2 . • • "/j2
tn
"an Аз/Г • • Ат
D,13)
Союзная матрица А называется также присоединенной.
5. Формула для вычисления определителей
С вычислением определителей приходится встречаться во мно-
многих случаях. Укажем весьма удобную формулу для вычисления
определителя п-го порядка:
93

1
11
Оц
021
Ci
О/ц
Bц &i2
fljl «22
йц fl]2
0,1 «32
пц Oi2
Ощ о,
12
«12 «13 • •
¦ a,, n-i (
022 Ягз • • • 02, п—1
Й32 Язз • • ¦ ИЗ, Л—1
ani ons. . .«„.^
«11 «13
«21 «23
«И «13
Яз1 «зз
Оц а13
«я! ап3
«И «1, я-1
«21 °2. л—1
Oil «1. «_1
«31 «3. л-1
«И «1. „-1
а а
«2«
«Зл
«ял
Oil «in
«21 a2n
o,i ain
«31 03n
On aln
a
nl «лл
D,14)
Предполагается, что аи Ф 0. Если ап = 0, то перестановкой
строк и столбцов всегда можно из данного определителя полу-
получить такой, в котором ап Ф 0. Эта формула очень проста в упо-
употреблении и позволяет вычисление определителя порядка п свести
к вычислению определителя порядка п— 1.
II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ НАД МАТРИЦАМИ
1. Равенство матриц. Две матрицы А и В называются рав-
равными, если: 1) обе они имеют один и тот же размер, т. е. если
число строк матрицы А равно числу строк матрицы В, а число
столбцов матрицы А равно числу столбцов матрицы В, и 2) соот-
соответственные элементы этих матриц равны между собой, причем
под соответственными элементами понимаются элементы с одними
и теми же индексами.
Таким o6pa3oMt если матрица
А =
а матрица
_ uml um2 • •
и ац = Ьц (i =1,2,..., m; / = 1, 2, ..., n), то Л = В.
94

2. Линейное преобразование. Пусть п величин хи х2, х3, ..., хп
связаны с т величинами ylt у2, г/3, • • • > Ут такими зависимостями:
у2 =
а12х2
а22х2
а13х3
a2sx3
Ут =
+ ат2х2 + am3xz
1- атпхп
D,15)
По этим формулам величины уи у2 ут выражаются линейно
и однородно через п других величин xlt х2, х3, ... , хп. Преобра-
Преобразование величин Xi, х2, ... , хп при помощи формул D,15) в вели-
величины уи у2 ут называется линейным преобразованием.
Формулы D,15) сокращенно можно записать так:
yi = ?
/¦=¦
(i = 1, 2, 3, .... т).
D,16)
Коэффициенты линейного преобразования D,15) величин xf (/ =
= 1, 2, .... п) в величины yt(f. = 1, 2, ... , т) могут быть запи-
записаны в виде матрицы
~ ц а12. . . аы
ц а22 . • . а2п
А =
¦ а,
тп _
которая называется матрицей линейного преобразования D,15)
величии Xj(j = 1, 2, ... , п) в величины yt(i = 1, 2, ... , т).
Правила алгебраических преобразований над матрицами стано-
становятся наиболее понятными, если пользоваться введенным понятием
линейного преобразования одних величин в другие.
3. Сложение и вычитание матриц. Пусть имеется линейное
преобразование
г/i = Q-nXi + ui2x2 + • • • + й\пхп
У г = О^Л + ^22*2 + • • • + <hnXn
D,17)
Ут =
величин Xj(j= 1, 2, ... , п) в величины г/<(г. = 1, 2,
Матрица этого преобразования .
т).
аи а12
лпа
. а
. а
in
2л
D,18)
. а„
95

Пусть имеется другое линейное преобразование величин */(/=
1, 2, .. • , п) в величины zt(i = 1, 2, ... , т) по формулам
Ь12х
12х2
Ьгпхп;
D,19)
Матрица этого преобразования
Ь2п Ь2п •
. b
1/1
¦Ъ„
D,20)
Составим теперь линейное преобразование величин x,(j =
= 1, 2, ... , п) в величины u/(i = 1, 2 яг), являющиеся суммой
величин г/, и 2/. Для этого сложим линейные преобразования
D,17) и D,19) и получим
= («И
2) Х2
«2
i) *l + (am2 + Ьт2) Хг-\ + (птп + Ьтп) Х„.
D,21)
Линейное преобразование D,21) представляет собой сумму линей-
линейных преобразований D,17) и D,19).
Матрицу этого преобразования
~ап
Ьп
Ь12
а1п
п2п + Ь
Ь1п
2п
Кг
• атп + К
D,22)
и следует рассматривать как сумму матриц линейных преобразо-
преобразований D,17) и D,19), т. е. как сумму матриц D,18) и D,19), т. е.
как А-\- В. Таким образом,
А + В = С. D,23)
Итак, суммой двух прямоугольных матриц А и В равных раз-
размеров (т х п) называется матрица С того же размера, элементы
которой Сц равны сумме соответствующих элементов матриц
А я В.
96

если
аи +
D,24)
(I = 1, 2, ... , т; /¦= 1, 2, ... , л), т. е.
u\n
2
¦ а„
bml
¦ ¦ .Ь„
bu a12 + b12 . . . aln + bln
^21 «22 + &22 • • • a2n + b2r,
Си
Cml
С12 . .
С22 . •
ст2 • •
¦ • ¦ ат
• С2п
bmn _
D,25)
Сумму следует понимать в алгебраическом смысле. Это зна-
значит, что разность А — В матриц А и В одного и того же порядка
есть матрица D того же порядка, элементы которой равны раз-
разности соответствующих элементов матриц А и В, т. е.
Понятие суммы матриц распространяется на любое число
матриц. Сумма матриц подчиняется таким законам:
а) перемест ительному
А + В = В + А\
б) сочетательному
(А + В) + С = А + (В + С).
Пример.
Г2 3 5 71 И —3 4 01
[l 4 2 3J + |_2 13 — 2J
_ Г2 + 1 3 + (—3) 5 + 4 7 + °]_Г3 ° 9 71
= [l 4- 2 4+1 2 + 3 3 + (—2)J"-|_3 б 5 1J*
4 И. А, Каплан 97

4. Умножение матрицы на число. Если умножить обе части
каждой из формул линейного преобразования D,17) на число а,
то получим
D,26)
Формулы D,26) определяют линейное преобразование величин
X/ (/ = 1, 2, ..., п) в величины о, (t — 1, 2,. *., т.). Матрица коэф-
коэффициентов этого преобразования
-<ши ш1г
аа21 аа22
аа,
аа„
аа,
¦ml
аа,
¦тп_
D,27)
естественно, может рассматриваться как произведение матрицы А
преобразования D,17) на число а.
Таким образом, возникает правило умножения матрицы на
число: чтобы умножить матрицу А на число а, надо на это
число умножить каждый элемент матрицы А.
Пример.
"" " " ~~ ~10 15 20 25
5 10 —Г5 0
10 5 5 15
Имеют место следующие равенства:
D,28)
5. Умножение матриц. Возьмем линейное преобразование вели-
величин Xj(j = 1, 2,... , п) в величины yt{j, = 1, 2, ..., т), опреде-
определяемое формулами
Ух = ^11*1 ~\~ ^12^ "f" • • • -f- i
У* = ^21^1 + «22*2 + h < .„--„ ^ 2^
с матрицей преобразование
~an a12
U21 ^22 •
А =
<hn
-«mi
D,30)
98

Рассмотрим еще одно линейное преобразование, которое пре-
преобразует величины y((i = 1, 2,... , т) в величины гг(г = 1, '2,...
..., s) по формулам
+ Ь12у2 + ¦ • • 4- Ь1тут
+ Ь22у2 + + 2тдт
D,«э 1)
с матрицей преобразования
D
'21
. . .6.
m
-Ai
D,32)
Отметим уже в этом месте, что число строк в мачрице А первого
линейного преобразования равно числу столбцов в матрице В
второго преобразования.
Поставим перед собой задачу выразить величии! г, (г = 1, 2,...
..., s) через величины д;/(/= 1, 2,... , п). Для этого заменим
в формулах D,31^ величинн g((t = 1, 2,... , nt) их значениями из
формуян D,29)?
гх = Ьи (а^Х! + а12х2 + «¦-¦ + о^*,,) + b12 (aaiXj, + а22х2
+ '¦¦ + a2nxj + ¦ • • + blm {ат1х1 Н- ат2х2 + «• + а^
г2 = бз!^!^ -|г а1гх2 + • -. -+ а1яд;п) + Ъ22 {а2Ххх +
аыхш)
" Каждую из этих формул преобразуем, собирая члены с общими
множителями х/ и вынося эти множители за скобки:
-f
п +
+ Ь1пат2) Х2 + - • -
г2 = (Ь21ац + Ь22а21 + •" + Ь2тат1
+ Ь22а22 + • • • 4- Knfl^) x2 4- • • • 4-
4-
zs = (Ьааи
4-
4-
Мы получили формулы линейного преобразования величин
>:/(/ = 1, 2, ... , п) в величины гг(г = 1, 2,..., s), минуя проме-
99

+ b12a2n
^22^21 +
+ Ь22а2п '
bimOmn)
2rrflml) • • • {Ь21п1п
жуточное преобразование D,31). Матрица этого окончательного
линейного преобразования
. D,33)
h • • • + bsmaml) ... (bslaln +
+ bs2a2n + ••• + bsmamn)
Матрица С называется произведением матрицы В на матрицу А.
= ВА.
Размер ее равен s X л.
Ь12 . . . Ь1т~
. . .Ь
'2т
ьа
ап аХ2
a2i а22
а„
а
¦па
Элемент сц матрицы С, стоящий в i-ой строке и }-ом
столбце, равен сумме произведений элементвв i-ой строки мат-
матрицы В на соответствующие элементы j-го столбца матрицы
А, т. е.
• т
сц = btfii] + Ьф^ + • • • + bimamj = 2 bikakl. D,34)
Например, *
с23 = Ь21а13 + ^22^23 + • • • + Ь2тат3.
Формула D,33) и определяет произведение матрицы В на матрицу А.
Свойства произведения двух матриц, а) Не всякие две мат-
матрицы можно перемножить. Произведение В А двух матриц в ука-
указанном порядке возможно в том и только в том случае, если
число ствлбцов матрицы В равно числу строк матрицы А. Если
размер матрицы В равен s X т, а размер матрицы А равен
т X п, то матрица В А имеет размер s x п. Символически это
можно записать так:
(s X т)-{т х л) = s X л.
D,35)
Значит, в матрице, являющейся произведением двух матриц,
число строк равно числу строк левого сомножителя, а число
столбцов—числу столбцов правого сомножителя.
б) Произведение двух матриц в общем случае не обладает
свойством переместительности (иначе говорят, что оно не обла-
обладает свойством коммутативности), т. е.
ВАфАВ.
100

Значит, в общем случае менять местами матрицы-сомножители
нельзя, не изменив их произведения. В этом состоит одно из от-
отличий законов алгебры матриц от законов элементарной алгебры.
Если изменить порядок сомножителей, может оказаться, что
вообще умножить матрицы невозможно.
В произведении ВА двух матриц В и А мы будем говорить,
что матрица А умножается слева на матрицу В, или что матрица В
умножается справа на матрицу А.
Если размер матрицы А равен (р х п), а матрицы В — (пх р),
то можно составить как произведение АВ, так и произведение ВА.
При этом размер матрицы АВ равен (р х р), а матрицы В А —
(п х п).
Укажем, что для двух квадратных матриц одного и того же
порядка это условие выполняется, но подчеркнем, что и в этом
случае, как правило, В А ф АВ.
Две матрицы А и В называются перестановочными (иначе
коммутативными), если имеет место равенство ВА = АВ. Приме-
Примером перестановочных матриц являются квадратная и единичная
матрицы одного и того же порядка.
Ниже дано большое число упражнений на произведение ма-
матриц. Здесь же для иллюстрации сделанного вывода- выполним
подробно только один пример умножения двух матриц и покажем,
как применяется формула D,34) образования элемента матрицы-
произведения.
Пример.
5
1
2
4
¦3
•3
¦ 3
•3
5- 1
1 • 1
2 • 1
4- 1
+ 3-3
+ (-1)
+ 1-3
+ (-2)

1 —
2
3 —2"
1 0
1 3
4—2 2
+ 3 -24
+
— 1) •
+ 1-2 +
+ (-2)-
+ (-2)-
•3 + 0 •
+ 3 • 3
• 3 + 2-:
-(-2)
2 + 0
3- 4
2 + 2
3 5
3 1
2
3 4
3
— 1
16
8
-4
4
4
•5
• 5
¦5
•5
9
1
11
10
1 2
2 1
4 2
5 •
1 •
2 ¦
4-
4-3-
3
5
3 —2
3 -4
=
2 + 3 • 1 + (-2) ¦ 2
2 + (—1)- 1+0-2
2+1-1+3-2
2 + (—2) -1 + 2-2
(-2) +
-2) • (-4)
+ (-1) • (-2) + 0 ¦ (-4)
+ 1-
(—2) + 3 • (—4)
+ (-2)-(-2)+2-(-4)
15
0
18
12
27
7
—4
16
•
Здесь умножение было возможно, так как число столбцов в
первом сомножителе равно числу строк во втором. Первый сомно-
101

житель был размером 4x3, второй 3x4, а матрица-произве-
матрица-произведение имеет размер 4x4, как это следует из D,35).
6. Произведение нескольких матриц. Если перемножить две
матрицы А и В, то мы получим в общем случае матрицу С =
АВ, которую можно умножить, если умножение допустимо, на
матрицу D, т. е. составить произведение трех матриц ABD.
Произведение трех матриц ABD следует понимать так: матри-
матрица А умножается справа на матрицу В, а полученная матрица
умножается справа на матрицу D. Количество перемножаемых
матриц может быть любым, лишь бы можно было перемножить
каждые две рядом стоящие матрицы.
7. Законы умножения матриц.
а) Если можно перемножить матрицы А и В и произведение
АВ этих матриц можно умножить на матрицу С, то допустимо
составить и произведения (АВ)С и А (ВС). В таком случае полу-
получается равенство, выражающее ассоциативный (сочетательный) за-
закон произведения матриц.
А(ВС) = (АВ)С. D,36)
Имеют место также:
б) сочетательный закон относительно скалярного сомножителя
Л(а5)
D,37)
и два дистрибутивных закона:
в) (Л + В) ¦ С = А ¦ С + В ¦ С; D,38)
г) С • (Л + В) = С • А + С • В. D,39)
8. Возведение матрицы в степень. Если А *— квадратная матри-
матрица, an — целое положительное число, то
А" = А- А- А- А ... А
л множителей
Матрица А" называется л-ой степенью матрицы А. При этом
А3 = А ¦ А2 = А2 ¦ А;
А* = А-А3 = А2-А2 = А3-А
и т. д.
Матрица Л2 называется квадратом матрицы Л, а матрица А3 —
ее кубом.
Теперь приступим к решению задач.
Задача 4,1. Произведите указанные действия над векторами-
столбцами:
U =
102
' 3 "
1
2
• V =
" 5
6
0
; W =
1
1
1

1) W; 2) —V; 3) U + 4V; 4)
6) 3U — 2V + W; 7) 2U — V + 3W.
Решение.
1) На основании формулы D,27)
3?/ = 3
2) По формуле D,27)
у 1
3) Матрица
А = U + 41/
W; 5) U —
Г
L
[!]¦
"—5 "
6
0
ю со о
¦[
=
9 "
3
-
5 "
—6
0
с
1
2
¦
"—20 "
24
0
По формуле D,25), согласно которой для сложения двух матриц
равнвх размеров надо сложить их соответствующие эяеюенты,
получаем
"—17
А = 25
2
4) Пользуясь формулой D,25) для сложения двух матриц, а
также сочетательным законом сложения, находим
[IHi]-
—1
8
3
5) Применяя сочетательный закон сложения матриц и правила
вычитания и сложения матриц, получаем
U
U— V).
8"
—5
2
f W
-f
"Г
1
1
"з"
1
2
=
—
"—5"
+6
0
9"
4
1
+
"Г
1
1
103

6) На основании правила умножения матрицы на число, пра-
правила сложения и вычитания матриц и сочетательного закона для
сложения имеем
SU — 2V + 4W
3
6
—
"—10"
12
0
+
о
"
4
4
Г
1
2
—2
"—5"
6
0
"9-(-10)
3— 12
(
-ч
0
+4
+ 4"
+ 4
+ 4
"Г
1
1
=
23"
5
10
7) 2U
"б"
2
4_
—
_ V + 3№ = 2
"—51
6
0
+
"
3
3
"з
1
2
—
2—6
4—С
—5
6
0
) + О
» + 3
+ 3_
+ 3
=

1
1
14"
j
7
Задача 4,2 (для самостоятельного решения). Произведите
указанные действия над матрицами-столбцами
1
4
3
2
; v =
0
0
1
_2_
; IF-
1
4
—2
_—1
1 Т =
— 1
—2
—3
4_
W— T>, 2)U—V + W —
4W + Т; 5) W + 2V + 4Г
1) u+V + W— T>, 2)U—V + W — Ti 3)
4) 2U — 3V
Ответ.
1)
Задача 4,3. Над векторами-строками U = [2, —1, 2]; V =
= [—1, 0, 5]; W — [\, 4, 3] провести указанные действия: 1) 2V\
2) — 3V; 3) U + V—W; 4) 2U + V — 3W; 5) U + 2V + 3W.
Решение.
1) Пользуясь формулой D,27) умножения матриц на число, имеем
2С/ = 2[2, -1, 2] = [4, -2, 4].
3
10
5
— 1
; 2)
3
10
3
; 3)
1
6
—1
7_
; 4)
5
22
— 8
2
; 5)
12
38
18
_—18_
2) На основании той же формулы
_31/ = -3[-1, 0, 5] = [3, 0,
¦15].
104

3) Пользуясь формулой D,25) сложения матриц и свойством
сочетательности сложения, получаем
U + V-W = [2, -1, 2] + [-1, 0, 5]-[1, 4, 3] =
= [2 + (-1)—1, -1 + 0-4, 2 + 5 —3] = [0, -5, 4].
4) 2U + V-W = 2[2, —1, 2] + [-1, 0, 5] —[1, 4, 3] =
= [4, -2, 4] + [—1, 0, 5] —[1, 4, 3] =
= [4 + (—1) — 1, -2 + 0-4, 4+ 5-3] = [2, -6, 6].
5) U + 2V + 3W = [2, —1, 2] + 2[-1, 0, 5] + 3[1, 4, 3] =
= [2, — 1, -2] + [-2, 0, 10] + [3, 12, 9] =
= [2 + (-2) + 3, - 1 + 0 + 12, -2 + 10 + 9] =¦ [3, 11, 17].
Задача 4,4 (для самостоятельного решения). Докажите, что
сумма вектора-столбца
щ
и2
с нулевым вектором-столбцом
"О"
О
6
того же размера равна U, т. е. что
U + 0 = U. D,40)
Докажите также, что равенство D,40) остается верным для
случая, когда U — вектор-строка, а 0 — нулевой вектор-строка
того же размера, что и U.
Задача 4,5 (для самостоятельного решения). Докажите, что
нулевой вектор-столбец или нулевой вектор-строка не изменяется
от умножения его на любое число.
Задача 4,6 (для самостоятельного решения). Докажите, что
если U и V — два вектора (оба векторы-столбцы или оба векторы-
строки) с одинаковым числом компонент, то
U + 01/ = U;
Задача 4,7. Какое соотношение связывает компоненты векто-
векторов U и V, если имеет место равенство
3U — 2V = 0?
105

Решение. Под 0 следует понимать нулевой вектор тех же
размеров, что и векторы U и V, размеры которых равны между
собой. Элементами вектора ЗС/ — 2V являются числа 3(/,— 2Vt.
Две матрицы равны, если равны их размеры и соответствующие
элементы (стр. 94).
Значит, должно выполняться равенство
ЗС// — 2^ = 0,
а отсюда следует, что между компонентами матриц существует
зависимость
Задача 4,8 (для самостоятельного решения). Если векторы U,
К и 0 имеют один и тот же размер, то какое соотношение свя-
связывает компоненты векторов U и V при наличии следующих
равенств:
1) 2U + V— 5C/ + 4V--0;
2) IOV — 3U + 3V + 4U = O;
3) U + V — 2U — 2К = 0.
Ответ. 1) Vt = Щ-'i 2) Ut = -13V/ 3) U, = —V,.
Задача 4,9. Найти указанные суммы, а в случаях, когда это
невозможно сделать, объясните причину:
1)
2) [5, 7, -4] + 0 • [5, 4, 2];
3) [7, 8, -1] + 7—4 +
Задача 4,10. Найдите d, a2 и а3, если
0
0
1
; 4) 2
г
1
1
+ з
2"
4
—2
+5
'7'
2
1
а2
а.
+
2
3
— 1
=
7
8
—3
Решение. Складывая первую и вторую матрицы в левой
части равенства и приравнивая сумму правой части, получаем
а2 +
aa —
2
3
1
=
7
8
—3
106

Используем теперь определение равенства двух матриц:
ах + 2 = 7; а2 + 3 = 8; а3 — 1 = —3,
откуда
ах = 5; а2 = 5; а3 = —2.
Задача 4,11 (для самостоятельного решения). Найдите компо-
компоненты blt b2 и b3 вектора-столбца b, если
3"
О
4
1 /
/
/
ГХ'(З.б)
¦2Х-К-12) /
Фиг. 4,1
Ответ. &! = -=-; Ь2 = 0; 63 = —=-.
О О
Задача 4,12 (для самостоятельного решения). Чему равны
компоненты wa w2i w3 вектора-столбца w, если
Ответ. wt — w2 = w3 = 0.
w2
0
107

Задача 4,13 (для самостоятельного решения). Что можно сказать
о компонентах ац а2; а3 и а4 вектора а, если
аГ
а2
а3
а4
=
0
0
0
0
Ответ. аи а2, а3 и а4 — любые числа.
Умножению вектора на число можно дать геометрическую
интерпретацию. Рассмотрим прямоугольную систему координат
Фиг. 4,2
на плоскости. Двумерный вектор-строку [а, Ь] можно рассматри-
рассматривать как точку этой плоскости, абсцисса которой — а, а ордината Ь.
Точки, определяемые произведением числа С на вектор [а, Ь],
т. е. точки С • [а, Ь] лежат на одной прямой, проходящей через
начало координат и точку [а, Ь]. На фиг. 4,1 показаны точки,
соответствующие вектору х = [3, 6] и векторам 2х, —х, —2х,
Сумме и разности векторов-строк можно также дать геометри-
геометрическое истолкование. Если х = [а, Ь], у = [с, d]. Составим век-
векторы х + у, х — у, у — х и —х — у. Эти векторы будут точками,
показанными на фиг. 4,2, для случая, когда х = [2, 3] и у = [7, 2].
Задача 4,14. Построить точки, соответствующие векторам х —
= [2, 3] и у = [-3, 8].
108

Найти и построить точки, отвечающие векторам: 1)
2) х + у; 3) 2х — Ъу; 4) 3* + 2z/; 5) у — 2х.
Задача 4,15. Сложить матрицы
2 3
4 5
-1 2
О 5
2
—4
—7
-2 3
0 4
-3 5
1 1
-5
7
1
2
Решение. По формуле D,25) для матриц получаем
0 6 —4'
4 9 9
-4 7 -3
1 6 — 5.
Задача 4,16. Вычислить матрицу
А = 2
Решение. Используя формулу D,27) для умножения матрицы
на число и формулу D,25) вычитания матриц находим последо-
последовательно
5
3
—4
2"
7
5
— 3-
"—4
1
2
5
1
0
¦[.'
10
6
8
4
14
10
-12
" 3
6
15
3
0
22
о
— 14
-11
11
10
Задача 4,17 (для самостоятельного решения). Выполнить действия
-7
-З
2 5 4]
1 0 5J
2 4 5 -3
0 -3
3]
lj*
Ответ.
Г—
[—
Задача 4,18. Матрицу
—48 0 15 33
33 6 9 27
]¦

0
0
0
5
0
0"
0
5
представить в виде произведения числа на единичную матрицу.
109

Решение.
Задача 4,19. Сложить матрицы
"l
0
0
0
1
0
0"
0
1
= 1-U--3*
7
0
5
0
7
2
4"
2
11
и В =
2
0
4
0
2
5
3
j
—7
Решение. Матрица А может быть записана в виде блочной
матрицы
В =
Так как матрицы
Г7 О
LO '
то сумма
7
0
—7
'2
0
™—_
4
0
7
! 4
1 2
1 ~
~2
0
2
__—...
5
1 П-
|.з-
1-1
_[
1-7_
=
_5
~2Е
_4
7Е2
____
2
2 !
e_ .
5
-
4
2
11_
з~
_1
-7_
1
7Е,
_-5~Т
4
2
+
_4~~~
9 0
0 9
-1 7
3
— 1
—7_
7]
1
i
=
9 Е2 I 7"
1_1

ПЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Умножения матриц. Формулы для проверки Умножение
матриц. Обратная матрица и способы ее получения.
А. ЗАДАЧИ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ
Задача 5,1. Найти произведение вектора-строки
А = [аъ аъ а3, .... аа]
на вектор-столбец
_&„_¦
Прежде чем умножать матрицы, надо убедиться, что такое
умножение имеет смысл.
Решение. В данном случае получить произведение возможно,
так как размер матрицы А равен 1 х п, а матрицы В — п х 1,
т. е. число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В (фор-
(формула D,35), стр. 100). В произведении будем иметь матрицу раз-
размером A х п) • (п х 1) = 1 х 1, т. е. некоторое число.
Действительно, на основании формулы D,34)
[аи а2,
аа]
V
-А-
= а А + аф* + a3bs + ... + anba
Сумма этих произведений есть число. Еще раз подчеркнем, что
произведение вектора-строки (первый сомножитель) на вектор-
столбец (второй сомножитель) есть число (можно сказать, что
такое произведение является скаляром).
Задача 5,2. Найти произведение векторов
А = [2, 4, 5, 7] и В =
2"
3
— 1
4
111

Решение. АВ = 2 • 2 + 4 • (— 3) + 5 . (— 1) -f 7 • 4 =
= 4—12—5 + 28= 15.
Задача 5,3. Если а — вектор-строка, Ь — вектор-столбец с одним
и тем же числом элементов, а а — число, то доказать, что
а (а • Ъ) = (аа) • Ъ — а • (ab).
Доказательство. 1) Пусть
а == [аъ а2, а3, ..., ап]; Ь =
"V
Ья
Тогда по формуле умножения матриц
а -Ь = [аъ а2, а3, ..., аа]
-К-
-К.
= аф! + аф2 + афа + ... + anbn;
а.(а-Ь) = о.афг + ааф2 + <шфя + ... + a anbn) (А)
2) аа = а [а1( а2, а3, .... ап] = [ааь <ш2> аа3, ... , аа„]
по формуле D,25) умножения матриц (см. также предыдущую
задачу)
(аа) . b = [аа1( шц, аа3, ... , аа„]
Л-
aaj^ -f ^2^2 + о^з -f ... -f <ш*Ьп)- (В)
Сравнивая выражения (А) и (В), приходим к выводу, что
a (a • b) = (a • a) b.
Самостоятельно докажите, что каждое из этих выражений равно
a • (a*).
Задача 5,4 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если a—трехмерный вектор-строка, b и с — трехмерные векторы-
столбцы и a — некоторое число, то имеют место равенства
a • (ab) = a (a • b);
a ¦ Ф + c) = a • b -|- a • c.
112

Задача 5,5. Пусть А = [х, у] и векторы-столбцы а и Ь равны
соответственно
-й- -И-
Определить *, и #, если известно, что Л • а = х, a A • В = у.
Решение. По условию А • а = х, а А • b = у, т. е.
U = *; (*, У] • Ы
= У-
Отсюда для определения хну получится система уравнений
Ъх + Ъу = х\ j
6х -{-8у = у )
или
2х + Ъу = 0; |
6* + 7у = 0. j
Так как определитель этой системы
2 5
?>= б ? =14-30 = -16^0,
то она допускает только нулевое решение: х = у = 0.
Задача 5,6 (для самостоятельного решения). Пусть х— [xlt x2],
а векторы а и b равны соответственно
Определить хх и д:2, если х • а = 4; *•& = —1„
Ответ: *! = -g-; х2 — -^.
Задача 5,
Решени
=
1
2
3
—5
7.
е.
2
2
• 2
• 2
Найти
а =
произв
1
1
2
3
—5
По формуле
• а •
1 -С
2-С
з.:
с <¦
J 1
$ 2
J 3
J -
-5
еден
le
. b =
D, 33)
1
I
2
3
-5
•(-1)
¦ (—1)
1)
с
Г9 Ч
L » *^
, если
получаем
[2, 3
, -И
2
4
6
— 10
__
3
6
9
-15
— 1
2
g
5
113

Обратим внимание на то, что произведение вектора-столбца справа
на вектор-строку представляет собой матрицу, а не число, как
в том случае, когда вектор-столбец умножался слева на вектор-
строку.
Размер полученной матрицы определяется по известной формуле
D,35), которая в нашем случае запишется так:
D х 1) • A X 3) = D х 3).
Действительно, получилась матрица с четырьмя строками и тремя
столбцами. Таким образом, произведение вектора-столбца справа
на вектор-строку есть матрица, у которой элементы любой ее строки
(столбца) пропорциональны соответствующим элементам другой ее
строки (столбца).
Задача 5,8 (для самостоятельного решения). Найти произведения
5"
7
—3
2
[1, 2, -2, 3, 4]; 2)
[4, 5].
5
7
3
2
10
14
— 6
4
— 10
— 14
6
4
15
21
g
6
20
28
— 12
8
2)
4
8
— 12
5
10
-15
1)
Ответ.
1)
(В. ЗАДАЧИ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ И МАТРИЦ
Задача 5,9. Найти произведение АВ вектора А = [5, 7, —2]
,на матрицу
Г 2 3 Г
В= 1 4 2
_2 3 —1_
Решение. Убедимся прежде всего в том, что умножение имеет
смысл: число столбцов матрицы А равно трем, а в матрице В
столько же строк. Поэтому произвести умножение можно:
[23 Г
1 4 2
—2 3 -1
= [5-2 + 71 + (—2) • (—2); 5 • 3 + 7 • 4 + (—2) • 3;
5 1+7-2 + (—2) • (—1)] = [21, 37, 21]. Получился вектор-строка
с тремя элементами, как и должно быть по правилу D,35):
A х 3) •¦ C х 3) = A х 3).
114

Задача 5,10 (для самостоятельного решения). Найти произведе-
произведение АВ, если
 Г
А = Ц, 0, -1]; 5= 2 3
2 8
Ответ. A, —7).
Задача 5,11. Найти произведение АВ, если
¦В i i; 4j}
Решение. Умножение возможно, так как число столбцов
матрицы А равно числу строк матрицы В.
По правилу D,34) умножения матриц получаем
I
5 7 -4
Ь 5 1
Я-Н
_Г5- 3 + 7-2 + (-4)- (
-[2 3 5-2+Ь (-1)
33]
Размер этой матрицы B х 1), как и должно быть по правилу
D,35):
B х 3) • C х 1) = B х 1).
Задача 5,12. (для самостоятельного решения). Найти произве-
произведение АВ матриц А я В, если
1)
-е
-2 —1
Л = | 7 2
3 4
-3
5
1
0
5
7
4т
2; В =
lj
- j-
1
2
3
. 0_
3
1
.2
7
1
4
0
2-1
3
2
5.
2) А =
3) А = [5, 7, -2,
Ответ. 1) 20 ;
-3]; В =
Г2
3
5
1
2
—4
2)
23п
14
15
L17J
L7 2J
3) [0,21].
Задача 5,13. Подрядчик-строитель заключил договор на возве-
возведение таких строений: 3 жилых домов, 5 детских садов и 9 домов
отдыха. Материалами для строительства являются сталь, лес, стекло,
краска. Количество сырья, а также рабочей силы на каждый вид
115

-строения выражено в некоторых условных единицах и дается та-
такой матрицей
Жилой дом
Детский сад
Дом отдыха
Сталь
ПО
1- 7
5
Лес
17
12
15
Стекло
8
4
10
Краска
5
3
4
Рабочая сила

8 .
9\
Единица стали стоит 12 рублей, единица леса — 7 рублей, еди-
единица стекла — 5 рублей, единица краски — 4 рубля, единица ра-
рабочей силы — 10 рублей.
Определить: 1) общее количество потребных материалов и ра-
рабочей силы; 2) стоимость материалов и рабочей силы для каждого
вида строений; 3) общую стоимость материалов и рабочей силы.
(Все цифры, входящие в задачу, условны и не соответствуют действи-
действительным данным).
Решение. Договор, заключенный подрядчиком на возведение
•строений, представим вектором-строкой В = [3, 5, 9]. Чтобы узнать
количество необходимых материалов, надо перемножить матрицы
? и Аи найти произведение ВА в указанном порядке, т. е. матрицу
В умножить справа на матрицу А. Это произведение имеет смысл,
так как в матрице В три столбца, а в матрице А столько же строк.
В результате получится матрица, размер которой по формуле D,35)
.равен Ax5), так как
A х 3) • C х 5) = A х 5),
т. е. получится вектор-строка с пятью элементами. Итак, общее
количество материалов, необходимых на все строения, в очень ком-
компактной записи равно
10 17 8 5 11
ВА = [3,5,9] ¦ 7 12 4 3 8 | =
5 15 10 4 9
!]¦
= [3 • 10+5 • 7+9 -5; 3 ¦ 17+5 -12 + 9-15; 3 -8+5 • 4+9 • 10;
3-5 + 5 -3 + 9-4; |»3- 11+5 • 8+9 ¦ 9] = [ПО, 246, 134, 66, 154]
(применено правило D,34) умножения матриц).
Таким образом, подрядчик должен приобрести: стали ПО еди-
единиц, леса 246 единиц, стекла 134 единицы, краски 66 единиц и
154 единицы рабочей силы.
Чтобы узнать стоимость материалов и рабочей силы для каж-
каждого вида строений, поступим так: расположим цены материалов
2"
в вектор-столбец и получим С ¦
7
5
4
10
Умножим теперь справа
.116

матрицу А на вектор-столбец С по правилу D,34) умножения
матриц и получим вектор-столбец с тремя элементами, так как
размер матрицы АС равен
C х 5) • E X 1) = C х 1).
10
7
5
17
12
15
8
4
10
5
3
4
10
7
5
12+ 17
12+ 12
12+ 15
7+ 8
7+ 4
7+10
5 + 5
5 + 3
5 + 4
и"
8
9_
4 +
4 +
4 +
11
8
S
2"
7
5
4
• 10
• 10
• 10
409
280
321
(Умножение этих матриц в другом порядке СА не имеет смысла.
Почему?)
Итак, стоимость материалов и рабочей силы для жилого дома —
409 рублей, для детского сада — 280 рублей, для дома отдыха —
321 рубль. Чтобы ответить на третий вопрос задачи, составим
произведение матриц
ВАС = (ЯЛ) • С = [ПО, 246, 134, 66, 154].
Это же число можно получить и иначе:
09"
¦12'
7
5
4
10
= 5516.
ВАС = В - (АС) = [3, 5, 9].
280
321
= 5516.
Итак, общая стоимость всех строений 5516 рублей (условных,
конечно).
Задача 5,14 (для самостоятельного решения). Произвести ука-
указанные действия:
3)
" 1
5
2
—3
—2
4
0"
4
2
— 1
3
5
2
1
-1
«U -№
117

5)
7)
9)
[2,
[:
Ответ.
о, -
d\
«2
1)[
1
¦4].
L
и
~в1;
1
2
0
8)
1
0
.0
2)
с
>
1
5
1
0
0
0
1
0
[-
5
2
2
0
1
0
Г
0
1_
-18
—2
1
4
о]
И]
4
—3
7
; 3)
7
5
з.
~
1
;
4
11
3
-2
-5
3
6) [х, у]
[w t\
4) Г 2\
; 5) [2, —16. 2, —20, —20, 2\\
8)
IV]
д;2 ; 9)
я2
Задача 5,15 (ддя самостоятельного решения). Найти х и
из уравнения
Указание. Использовать определение равенства двух матриц
(стр. 100).
л 7 15
Ответ, х = Tgf # = 1з*
Задача 5,16 (для самостоятельного решения). Из произведения
¦[—3, 2]. Г д] = [3. -7]
найти матрицу
Указание. Использовать определение равенства матриц.
Ответ.
118

Задача 5,17. Найти вектор а из уравнения
Решение. Система
= 13)
= — 4J
противоречива. Величины ах и а2 определить невозможно.
Задача 5,18. > Найти вектор и из уравнения
И 31.Ы=[ 71
L ю -6J UJ [-Щ
Решение. Произведя умножение в левой части равенства,
получим
¦ 3«21 _ Г 71
¦6m2J ~ L—14J
откуда, пользуясь определением равенства двух матриц, находим
систему уравнений
—5«! + Зи2 = 71
10«! 6«2 =
Легко усмотрев», что второе уравнение является следствием
первого. Оно получается из первого умножением обеих его частей
на —2. Поэтому фактически мы имеем одно уравнение с двумя
неизвестными
i —Ъих 4- Зм2 = 7,
откуда
5«! = 3«2 — 7.
Обозначим «2 через k. Тогда
—5 5;
а искомый вектор
и =
5"
k
П
где & — любое число.
Таким образом, предложенное уравнение имеет бесконечное
множество решений.
119

Задача 5,19. Найти вектор и, если
р з
б 9
1 ЫМ
j UJ иЛ
Решение. Выполнив в левой части равенства умножение
матриц, а в правой умножение числа на матрицу, получим
ГЦ иЛ
L11 и>_|"
Зи
Но если две матрицы равны, то их соответствующие элементы
равны, потому получаем систему уравнений:
или
—9«х + 3«2 =
6ых — 2и<) = '
Получилась система из двух линейных однородных уравнений
с двумя неизвестными. Так как определитель этой системы
—9 3
6 —2
то система допускает решения, отличные от нулевого. Легко усмот-
усмотреть, что второе уравнение есть следствие первого. Оно получается из
о
первого умножением его на — у. Таким образом, мы имеем одно
уравнение с двумя неизвестными, и решений будет бесконечное
множество. Из второго уравнения следует, что
и2 = 3«х.
Если обозначить щ = k, то и2 — 3k и вектор
где k — любое число.
Задача 5,20 (для самостоятельного решения). Найти х и у из
уравнений:
Ответ. 1) х = 3k; у = 2k; 2) x = 4k; y = 5k, где k — любое
число.
120

С. УМНОЖЕНИЕ
Задача 5,21
л
МАТРИЦ
. Даны
2 5
-1 2
матрицы
7 41- в
о -з) в =
5
—2
—3
1
7
3
0
1*
1
0
1
2
2
2
1
2
С =
1 О
О 1
4 1
О 2
1
2
1
— 1
2
О
1
2
; D =
2
3
5
1
— 1
О
—2
—3
Найти: 1) компоненту матрицы АВ, стоящую во второй строке
и третьем столбце;
2) компоненту, стоящую в третьей строке и втором столбце
матрицы BD;
3) компоненту, стоящую в последней строке и последнем столбце
матрицы AD;
4) компоненту, стоящую в третьей строке и первом столбце
матрицы CD.
Решение. Искомую компоненту будем обозначать во всех
четырех случаях через сц, причем первый индекс i означает номер
строки, а второй индекс /—номер столбца, в которых находится
эта компонента.
1) Умножим вторую строку матрицы А на третий столбец
матрицы В:
= [-1, 2, 0, -3]
[—1 • 1 + 2 • О + 0 • 1 + (—3) -2] =
= — 7.
2) Умножим третью строку матрицы В на второй столбец
матрицы D:
Г—Г
Сз2 = 1-3, 0, 1, 1]. _2
—3
== —з • (—1) + о • о;+ 1 • (—2) + Г- (—3) = —2.
3) Матрица AD по правилу D,35) имеет размер
B х 4) • D х 2) = B х 2).
Поэтому в ней две строки и два столбца. Значит, ее последней
121

= [-1, 2, 0, -31
строкой является вторая и последним столбцом — второй. Искомая
компонента
-—г
О
—2
2
+'(-зы-3)=ю.
"
3
= -1-(-1) + 2-0 + 0.(-2) +
4)с31
= 4
1-3 + 1.54-1.1= 17.
Задача 5,22. В условии предыдущей задачи определить размеры
матрицы; 1) АС; 2) DA; 3) AD; 4) ВС; 5) СЯ; 6) DAC; 7) BCD А.
Решение. 1) Размер матрицы АС B х 4) • D х 4) = B х 4).
Она имеет две строки и четыре столбца.
2) Размер матрицы DA определится из формулы
D х 2) • B х 4) = D х 4).
Значит, матрвда DA — квадратная с четырьмя строками и четырьмя
столбцами.
3) Размер мириця AD B х 4J • D х 2) = B х 2). Это тоже
квадратная матрица с двумя строками и двумя столбцами.
4) Размер матрицы ВС D х 4) • D х 4) = D х 4).
5) Размер матрицы СВ D х 4).
6) Матрицн DAC можно получить в таком порядке: a) DA,
б) (DA) С или составить сначала произведение АС, а потом умно-
умножить его слева на D : D • (АС). Размер DA определен в пункте
2. Он равен D X 4). Если матрицу А размером 4x4 умножить на
матрицу С размером 4x4, то получим матрицу DAC размером
D х 4) • D х 4) = D х 4).
I
Если же взять DAC = D • (АС), то, зная, что размер АС равен
B х 4), и учитывая, что размер D равен Dx2), а также, что
матрица АС умножается на матрицу D слева, находим
D х 2) х B х 4) = D х 4).
7) Размер произведения четырех матриц BCDA можно опреде-
определить так, если учесть сочетательное свойство произведения:
а) BCDA = (ВС) • (DA);
б) BCDA = В • (CDА);
в) BCDA = (BCD) ¦ А.
Для упражнения определим размер матрицы BCDA во всех этих
трех случаях:
122

а) Размер матрицы ВС равен D х 4) (см. пункт 4). _ Размер
матрицы DA тоже равен Dx4). Поэтому размер матрицы BCD A
равен D х 4) • D X 4) = D х 4).
б) Определим сначала размер матрицы CD А. Матрица CD A =
= С • {DA). Но размер матрицы С равен D х 4), а размер матрицы
DA уже определен в п. 2 и тоже равен D х 4). Поэтому матрица
CD А имеет размер D х 4) • D х 4) = D х 4). Умножая эту мат-
матрицу слева на матрицу В, размер которой равен Dx4), найдем,
что матрица BCD А имеет размер
D X 4) • D X 4) = D X 4).
Как и следовало ожидать, мы получили тот же результат.
в) Вычисления надо выполнить самостоятельно. Результат, ко-
конечно, должен получиться тот же самый. Правило умножения
матриц дается формулой D,34). На первый взгляд, оно может по-
показаться громоздким и сложным. Однако те, кому приходится часто
и много работать с матрицами, очень быстро привыкают безоши-
безошибочно это правило применять и оно представляется им исключи-
исключительно простым; палец левой руки должен скользить слева направо
вдоль строк первой матрицы, а палец правой руки должен при этом
скользить по столбцам второй матрицы.сверху вниз. Проделав не-
несколько упражнений, правило умножения матриц можно легко осво-
освоить.
Здесь мы приведем три способа проверки правильности проде-
проделанного умножения. Эти способы указана Л. К. Нарадои и мы по-
покажем их на примерах.
I способ проверки. Пусть
А-\7 4 21
Л~16 -3 5J'
1
3
4
2"
—1
5
A)
27
17
20
40
Для проверки умножения составляем две матрицы-столбца D
и F: в первой матрице D элементы равны сумме элементов в соот-
соответствующей строке матрицы В
1+2
4 + 5
B)
а во второй матрице F элементы равны сумме элементов в соот-
соответствующей строке матрицы произведения С
27 + 20'
17 + 40
'Ы471
C)
123

Произведение матрицы Аи D должно равняться матрице F (AD = F)
'3 + 4-2 + 2'9
- 3 — 3 - 2 + 5 • 9J
7 4
6 -3 5
II способ проверки. Составляем две матрицы-строки G и Я:
в первой матрице G элементами являются суммы элементов в каж-
каждом столбце в первом сомножителе (матрица А)
4-3, 2+ 5] = [13, 1, 7],
E)
а во второй матрице Я элементами являются суммы элементов
в каждом столбце матрицы произведения С
Я = [27+ 17, 20 + 40] = [44, 60]. F)
Произведение матриц G и В должно равняться матрице Я (GB = Я).
 2
3 —1
4 5
2 + 1 . (—1) + 7 • 5] = [44, 60] = Я.
7]
= [13- 1 + 1 .3 + 7-4;
13
G)
III способ проверки. Составляем матрицу-строку G, элементы
которой равны сумме элементов в соответствующих столбцах пер-
первого сомножителя G = [13, 1, 7]. Составляем матрицу-столбец D
так, что ее элементы ргвны сумме элементов в соответствующих
строках второго сомножителя
Гз"
D =
Произведение GD должно быть равно сумме всех элементов
матрицы С
Гз"
GD = [13, 1, 7].
= 13-3 + 1 .2 + 7-9=104 =
= 27 + 17 + 20 + 40.
Задача 5,23. Перемножить матрицы
А
\2 3—1 2 4"
=10 5—1 2
[3 2 0 1 —4
" 2 3-
1 2
4 —5
—2 —3
— 1 4
124

Решение (столбцы I, II отделены пунктирной линией)
Г 2
1
2 + 3
2+0
* +2
2-3+3
1 -3 + 0
3-3 + 2
1 + (-l)-4 + 2.(-2) + 4-(-l)
7+Т-1)~Т-5У+ТГ(-зУ + Г.
2 + 5-(-5) + (-l)-(-3). +4-
2 + 0 • (—5) + 1 • (—3) + (—4) • 4
—5 27"
22 -11
10 —6
Получилась матрица размером 3x2, как и должно быть:
C X 5) • E х 2) = C х 2).
Правильность выполненного умножения установите первым спо-
способом проверки.
Задача 5,24. Найти произведение матриц
3
3
4
1
—2
1
D
—2
1
—3
4
2
1
5
4
2
8
—1
5
1
0
'4
3
4
3
Решение (столбцы I—IV отделены пунктирными линиями)
АВ=
4 . (—2) + 3
2 . (-2) + 4
1 + 1 - (-3)
1 + (-2) • (-3)i
- 1 + 1 • (-3)
2.5 + 3-4+1 -2
4.5 + 3-4 + (—2)
2-5 + 4- 4+1 -2
2
4
2
¦ 4 + 3 ¦
4+3
•4 + 4
2 + 1-1
2 + (-2)
2+Ы
14-8 + 3- (—!) + (—2) -5
2.T+30+4
4-1+3-0 + (—2) -
2 - 1 + 4-0+ 1 -4
—4 15
1 20
24
28
18
19
•3 + 3
•3 + 3
•3 + 4
6 21'
-4 18
¦4+1-3
4 + (-2)-3
4+1 -3
—3 17 28 17 6 25
Получилась матрица размером 3x6, как и должно быть по пра-
правилу D,35), так как размер матрицы А равен Cx3), матрицы В C х 6),
а размер матрицы АВ (произведения матриц А и В) равен C х 3) х
х C х 6) = C х 6).
Правильность умножения самостоятельно установите вторым спо-
способом проверки.
125

Задача 5,25 (для самостоятельного решения). Найти произведе-
произведение матриц:
1) Л =
2) Л =
3) Л =
4) Л =
3 —1
2 2
2 Ч
3 2J
1 3 4"
2 5 0
1 4 2
1
3 0]
я 2
5
[2 1
; 5 =

0
2
7 4
0' 3
— 1
—2
—3
5
7
3
4
0
1
3
7
—4 —7
— 1
2
2
—6
7]
-3/
Правильность умножения проверьте по одному из указанны* спо-
способов.
Отве
3)
0
4
6
т. 1) ^
— 19
— 12
— 15
5
15
26
19
О
10
13
1
4)
б)
3—8
7 —19
9 —26
__Ю 27
Ю 17
8
22
44
—30
14 11
21 18 29 Г
1
6
25
7
Задача 5,26. Доказать, что произведение АВ матриц
. Га 01 _ ГО 0]
А = . _ и В= ,
[Ь 0} [с d\
. Го о!
есть нулевая матрица 0 = L. .
Доказательство.
\а °1 fO Oi
Эта задача показьгоает, что произведение двух матриц
может быть нулевой матрицей и тогда, когда ни одна
из матриц сомножителей не является нулевой.
Задача 5,27 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если
Т 0l
fl 01 ло ГО 0]
= [о о}то Ав = [о о\
126

и придумайте пример, когда произведение двух квадратных матриц
третьего порядка является нулевой матрицей, а ни одна из пере-
перемножаемых матриц не является нулевой.
Задача 5,28. Доказать, что произведение двух диагональных
матриц одного и того же порядка есть диагональная матрица того
же порядка.
Доказательство. Пусть даны диагональные матрицы Л и В:
л =
Тогда
ап
0
Lb
А
0
а22
0 (
0
0
)
"а
0
_о
... о -
... 0
•• апп
хАг 0
0
R
0 ...
32 0 ...
0 ...
Vbu
0
.0
о
0
0
Ьгг
0
0
0
0
... о -
... 0
... ьм.
что и доказывает требуемое.
Отметим, что произведение двух диагональных матриц одного
и того же порядка коммутативно: для этих матриц АВ = В А.
Задача 5,29. Доказать, что произведение АЕи = Л, если А —
квадратная матрица порядка л, а Е„ — единичная матрица того же
порядка. Убедиться, что АЕя = ЕпА, т. е. матрицы Л и ? — ком-
коммутативны, если они одного и того же порядка.
Доказательство. Пусть
а12 а13
а2
А _ 1 2 3 • • • Я
I
,i аЛ2 ояз • • • ат
По правилу умножения матриц получаем
[1 0 0 ... 0-|
01 0:.°-
о о о ... iJ
ап а12 а13 ... а1п~л
CL%\ CL22 ^23 • • • &W* I
ani %2 ««з • • • anJ
Этот пример показывает, что в матричной алгебре единичная
матрица играет такую же роль, какую в обычной алгебре играет 1,
Задача 5,29а (для самостоятельного решения). Убедиться, что
матрицы А и В не коммутативны.
Г5 2 11 ГЗ 2 П
Л=4 3 8; В=\2 4—2.
Ll 5 2J Ll 2 3J
127

Ответ.
АВ
Задача 5,30. Даны матрицы
20
26
15
20
36
26
4]
22 ;
-31
Г24
В А = 24
L16
17
6
23
21
30
23
Убедиться, что выполняются следующие алгебраические законы:
1) (А + В) С = АС + ВС;
2) А(В + С) = АВ + ВС;
3) А (ВС) = (АВ) ¦ С.
Задача 5,31. Проверить ассоциативный закон умножения мат-
матриц на примере матриц
А
Г-2 3 51 Г-1 7 2] Г-1 2]
~ [—4 2 3J' В= 3 14; С= 3 0.
L 0 5 7J L 0 5J
Задача 5,32 (для самостоятельного решения). На примере квад-
квадратной и диагональной матриц третьего порядка убедиться в спра-
справедливости таких утверждений:
1) умножение квадратной матрицы слева на диагональную мат-
матрицу сводится к умножению на постоянную величину всех эле-
элементов каждой строки этой матрицы;
2) умножение квадратной матрицы справа на диагональную
матрицу сводится к умножению на постоянную величину всех
элементов каждого столбца этой матрицы.
О. СТЕПЕНИ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ
Если А — квадратная матрица, то Ak ¦ А1 = Ak+l\ (AkI = Akl.
Задача 5,33. Матрица
HI !]•
Найти А2, А3, А* и А\
Решение.
1] Г2 11 Г 7 61.
4J ' [З 4j — [l8 19] •
Г32 31
л«_Мм_Г 7 6] Г 7 6 _ 157 156].
А -(А) -^18 19J-[i8 19J — [468 469]'
л._Мм_[32 31] [32 31] _ Г 3907 3906]
л -I*) -[93 94J ' [93 94J — [11718 11719]*
128

Задача 5,34 (для самостоятельного решения). Матрица
,_Г1,000 0,2001
л~ [0,200 1.000J -
Найти Л3 и Л5.
Ответ.
л» _ Г 1.120 0,608]. ,8 _ [1,408 1,0801
А -[0,608 1.120J' А - [l,080 1.408J*
Задача 5,35 (для самостоятельного решения). Показать, что
все степени матрицы
Г0 1 0]
= 0 0 1 ,
Ll 1 Oj
начиная с пятой, не содержат элементов, равных нулю, а степени
меньше пятой этим свойством не обладают.
Задача 5,36 (для самостоятельного решения). Доказать, что
любая целая степень п единичной матрицы Е есть та же единич-
единичная матрица, т. е.
?" = Е.
Е. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА И СПОСОБЫ ЕЕ ПОЛУЧЕНИЯ
Если две матрицы А и В—квадратные одного и того же порядка,
а их произведение АВ есть единичная матрица
то матрица В называется матрицей обратная к Л и обозначается
символом Л"
A-A~i = E. E,1)
Следует иметь в виду, что квадратная матрица Л и ей обрат-
обратная Л коммутативны, т. е. Л • Аг1 = Л • Л = Е.
Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную,
необходимо и достаточно, чтобы определитель \ А \ матрицы А
не был равен нулю, т. е. матрица Л не должна быть особенной
(вырожденной).
Формула для вычисления обратной матрицы
Если Л — союзная матрица для матрицы Л (формула D,13),
стр. 93), то обратная матрица для Л
т. е., чтобы найти матрицу, обратную матрице Л, надо составить
для Л союзную матрицу Л, найти определитель | Л | матрицы Л
5 И. А. Каплан 129

и разделить А на \А\. Следует иметь в виду, что если порядок
матрицы А большой, то получение обратной матрицы по этой
формуле требует сложной вычислительной работы. Кроме того,
существуют другие способы нахождения обратной матрицы. Мы
укажем их после нескольких упражнений на применение фор-
формулы E,2).
Операция определения обратной матрицы Л имеет исклю-
исключительно важное значение для решения системы линейных алгеб-
алгебраических уравнений.
Задача 5,37. Доказать, что матрица
является обратной для матрицы
Г4 О
Л= 0 1
L3 О
51
-6 .
4J
_[
Г4 О 51 Г 4 0 —51
А- А~1= 0 1 —6 • —18 1 24 U=
1.3 0 4j L —3 0 4]
(—3)
6
+ () + ()(
4 + 0-(-18) +4-(-3)
4 • (—5) + 0-24+5
0 . (_5) + 1 . 24 + (
3 • (—5) + 0-24 + 4
4
О
3
3-4 1 Г1 0 01
-6)- 4 U 0 1 0
1-4 J L0 0 1J
0 + 0
0 +
0 + 0
0
1
0
1 + 5-0
+ (-6)
1+4-0
Е.
Легко проверить, что и произведение Л на Л в обратном
рядке, т. е. Л • Л тоже есть единичная матрица. Действительно,
Г 4 0 —51 Г4 0 51 П 0 01
Л~1.Л= —18 1 24 . 0 1—6 = 0 1 О \=Е.
L —3 0 4j L3 О 4J Lo 0 1J
Задача 5,38. Найти союзную матрицу для матрицы
Л = I 4 2 1 .
-V4W11J *\J 41ЙМ ¦
ГЗ 1
1=4 2
L3 -1
A)
Решение. Напомним (см. стр. 93), что для составления
союзной матрицы Л надо найти алгебраические дополнения Ац
элементов матрицы Л, из этих элементов составить матрицу
Ли Л12 Л13
¦1 2 3 С*/
АЛЛ
_Л31 Л32 33„
130

и транспонировать ее, т. е. поменять местами строки и столбцы,
сохраняя их порядок. Полученная матрица А и будет союзной
для матрицы А
В нашем случае
Ац
•2
.A»
Ац
¦2
3
A31
•2
A33
составляем матрицу B)
11
—3
5
—17 —10
21 6
—11 2
Транспонируем ее и получим союзную матрицу
11 —3 5"
— 17 21 —И
— 10 6 2
C)
Задача 5,39. Найти матрицу А~г, обратную матрице А преды-
предыдущей задачи.
Решение. Чтобы воспользоваться формулой E,2), надо знать
союзную матрицу А для матриц А и определитель матрицы А.
В предыдущей задаче союзная матрица А найдена. Это матрица
C). Осталось найти |Л|, Воспользуемся правилом Сарруса
\А\ =
1 —2
2 1
= 3-2-5
(—1).(—2)+
3 —
3 —1 5
— (— 2)-2.3 — (*— 1). 1 -3 —4-1-5 = 30+ 8
* +12 + 3 — 20 = 36. -
131

Подставляя значения А и | А | в формулу E,2), получаем
Проверка:
А • Л =
1 _2|
2 1 .
-1 5J
11
— 17
— 10
~ И
од
ОО
17
36
5
_18
—
—3
21
6
36
1
7
12
1
6"
И
36
17
36
5
18
5
— 11
1
12
7
12
1
6"
2
5
ос
36
11
36
1
18
?
•
5
36
11
~36
1
18
=

0
0
0
1
0
о"
0
1
Задача 5.40 (для самостоятельного решения). Найти обратную
матрицу Л для матрицы
Г2 1 Г
А =
'10 2
1 2
и показать,
Ответ.
что
АА~1 =
А'1
л-м =
=
—2
4
\
Е.
— 1
1
2
—3
— 1
Задача 5,41 (для самостоятельного решения). Найти матрицу
А~1, обратную матрице
~2 1 1
А=
3 2 1
1 2 0
и проверить, что А • А~х — А~х • Л = Е.
Ответ.
—2 2 —1
1 —]
4 -3
132

Задача 5,42. Матрица
А =
2 110"
3 2 13
12 0 2
2 0 2 1
Найти для нее обратную матрицу А~1 и проверить, что АА~Х =
= Л~М = Е.
Указание. Определитель А удобно вычислить по формуле
D,14). Применение этой формулы приведет к вычислению опре-
определителя
Ответ
Задача 5,43.
А
найти обратные.
Ответ.
Л~! =
1
I
л =
Для
Го
= о
Li
"о
1
0
V
- 2
7
3
т
0
4
7
1
—1
3 —1
-2 2
6
7
5
7
— 1
2
Т
матриц
1
0
0
0
0
1
0"
1
0_
и
1"
0
0
f
6
4
2
«
1
1
Л
и
D
в-1

0
0
7.
4~
~ 7
1
7
1
1
7_
0
0
1

0
0
0
0
1
о"
1
0
0"
1
0
Выше было указано, что процесс определения обратной матрицы
очень трудоемкий, когда порядок матрицы п большой. Уже для
случая п=4 определение обратной матрицы в задаче 5,42 потре-
потребовало достаточно много времени. Мы укажем прием для вычис-
вычисления обратной матрицы, который не вызывает столь значительных
трудностей.
Пусть требуется найти матрицу, обратную квадратной матрице
А порядка п. Разобьем эту матрицу на блоки и представим ее
в виде
133

где au и a82 — квадратные матрицы, а матрицы <х12 и a2I могут
быть как квадратными, так и прямоугольными. Пусть
: a22 a21an <*12.
E,4)
Тогда A~1, обратная матрица для матрицы А, находится по формуле
^^+^»^Чг1 ~af-?P1]. E.5)
Непосредственным умножением А на А~г легко усмотреть, что
А Л~1 р
/1/1 Ld.
Будем обозначать через Л2, Л3, Ait ... квадратные матрицы
порядков, соответственно равных 2, 3, 4, ... (т. е. индекс при
названии матрицы указывает ее порядок).
Если обозначить
т = p-i<x21, E,6)
то формула E,5) примет более простой вид:
"р
_
1
E,7)
Этой формулой мы и будем пользоваться на практике. Она удобна
тем, что содержит только две обратные матрицы: а и Р"*1. Вы-
Выполним несколько упражнений на применение этой формулы. В даль-
дальнейшем операцию нахождения обратной матрицы Для данной бу-
будем называть обращением матрицы.
Задача 5,44. Для матрицы
2
3
1
2
1
2
2
0
1
1
0
2
0
3
2
1
найти обратную.
В задаче 5,42 обратная матрица для заданной была уже най-
найдена самостоятельно. Здесь мы определим обратную матрицу по
формуле E,7).
Решение. Матрицу А разобьем на блоки и представим ее в
таком виде:
2
3
1
_2
1
2
2
0
| 1
| 1
! о
(Г
3
2
1_
_ Гаи ахг1
La2i я22]
134

У нас
= [2 Ч. = П °1. = [1 21 ГО 21
LtJ 2J 11 <3J L2 OJ L2 1J
Чтобы найти р,' надо знать матрицу а^1", обратную, матрице <xu.
Найти а очень просто по формуле E,2), которую мы здесь пе-
перепишем в виде
Y—1 an
„—1
11 -
Для матрицы,au союзная матрица
Г 2 —Ч
ац = [-3 2J'
а определитель матрицы au равен
Поэтому по предыдущей формуле
2 —
Определяем р по формуле E,4). Для этого вычислим произве-
произведение трех матриц
Г1 21 Г 2 —11 Г1 01 Г—4 31
- [2 о] [-3 2\ [l . з] = [ 4 -21 Х
х П 01 _ Г-1 91 .
х Li з! L 2 — е\ •
Г—1 91 Г1 -71
-[ 2 _6J = [0 7J.
Чтобы использовать формулу E,7), надо вычислить матрицу 6~»,
обратную матрице р. Для этого применим формулу E,2). Союзная
для р матрица
а | Р | = 7. ПоэтсЗму
135

Теперь переходим к вычислению элементов матрицы E,7).
1 ^ П

Начнем с ее элемента а"
Т по формуле E,6):
о-1 » Г7
+ <*
аиха12
L
Г1
р (
Прежде всего определим
21 14
2
3
—3
6
-11
21
-3
6
]¦'
1 f1 °Ы l
d Li з] L—l
Г 1—31.1 Г21 141 1 Г 15 141
¦•«fr-Ll б|*У[2 oJ = y[-9 -14J:
-i_l Г 15 141 Г 2 ~1]-1 \~12 131
ii -7 '[—9 -I4J L—3 2J-7 •[ 24 —19J
[12 131
-у у
24 19 *
у ~yj
Первый элемент первой строки в матрице E,7) равен
[12 13
~У У
24 19
7 7.
2
7
3
Ly
7
7 J
Второй элемент первой строки
Первый элемент второй строки в формуле E,7)
Г21
2
'3-L
2 —
3
° — П
Второй элемент второй строки
Подставляя найденные элементы матрицы E,7), получаем окон-
окончательно _
4'
_2
7
3_
7
О
_4
' 7
*-'
5
"" 7
— 1
J2_
7
1
1
О
136

К решению задачи можно подойти и иначе. Разобьем матрицу
А на блоки так:
2
3
1
_2
Теперь уже
1
2
2
0
1
1
0
2

3
1
0
3
2
1_
1
2
2
1
1
0
2
3
1
_2
;
1
2
2
0
«12
1 1
! 1
1 [
0 1
2 !
Г°1
= 3
2
0
3
2
1
а21=[2 0 2]; а22 = 1.
Для применения формулы E,7) надо найти матрицу а, обрат-
обратную матрице <хи. Это можно сделать так: рассмотреть матрицу
'2 1
4-3 2
_1 2 О
и найти ей обратную по той же формуле, разбив ее на блоки
следующим образом:
 1 I Г
Здесь
I 3 2_|_1
1
2 ! О
<Хи =
1з Jl ai2 = LlJ!
Матрицу, обратную Л = , надо найти непосредственно по
формуле E,2).
Если провеати все вычисления, то окажется, что
—2 2 —1
1 -1 1
4—3 1
Остальные вычисления следует провести самостоятельно.
Задача 5,45. Найти обратную матрицу для матрицы
5
7
6
5
7
10
8
7
6
8
10
9
5
7
9
10
137

Решение. Разобьем матрицу А на блоки
5
7
6
5
7
10
8
7
6 1
8 I
10 1
9 |
5
7
9
_5
Aa
7 9
5~
7
9
io_
Здесь
*и= Аа=
6
7
10
8
6
8
10
; аи ==
"
7
9
«2i = [5, 7, 9]; <x22 = 10.
Для применения формулы E,7) надо найти матрицу а, обрат-
обратную матрице <xu = As, т. е. найти сначала Л. Сделаем это также
по формуле E,7).
Представим А3 в виде блочной матрицы
7 16"
10 ! 8
8 I 10
8
_6 8 ! 10 J
Полагаем, что здесь
аа = Аа = [^ ioj; ai2 — [ 8 J • а21 ~ t6> 81; а22 = 10-
Чтобы использовать формулу E,7) для вычисления Л, надо найти
в.~* — Ajl. Это следует сделать непосредственно по формуле E,2).
Окажется, что
i-i -A-i-\ 10 ~71
При вычислении А3 х получим р = 2,
18
— 11
—2
— 11
7
1
2
1
JL
138

При вычислении Л найдем, что р = -g,
T
h
50 —30 —15
—30 18 9
—15 9 4,5
68 -41 —17
—41 25 10
— 17 10 5
Г ю-]
r*= -6 ;
L-3.
-fa = [10, -6, -3].
-otf «„
Окончательно
Л—1 _
Л4 —
68
—41
— 17
10
—41
25
10
—6
— 17
10
5
—3
10
—6
—3
2
Задача 5,46 (для самостоятельного решения) Найти матрицы,
обратные данным:
1) 4 =
Ответ.
1)
[—2—12
4 1 -3
1 1 -1
3) V
2)
1 —2
1 0
— 1 3
1 —6
5
22
15
5'
15
_
5
1
TJ
139

Обращение матрицы является весьма существенным при реше-
решении систем линейных алгебраических уравнений.
На этом занятии мы выполнили упражнения, которые знакомят
с принципиальной стороной этого вопроса, с основной формулой
для получения обратной матрицы [формула E,2)] и ее примене-
применением, а также упражнения по формуле E,7), которая не требует
столь громоздких вычислений, как формула E,2).
С другими численными методами получения обратной матрицы
читатель может познакомиться по книге Р. Ф р е з е р, В. Дункан
и А. К о л л а р. «Теория матриц и ее приложения к дифференциаль-
дифференциальным уравнениям и динамике» (Изд-во «Иностранная литература»,
Москва, 1950).

ШЕСТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Обращение треугольной матрицы (верхней и нижней).
Разложение квадратной матрицы на произведение двух треугольных. Вычис-
Вычисление обратной матрицы при помощи представления ее в виде произведения
двух треугольных матриц.
I. ОБРАЩЕНИЕ ВЕРХНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
Краткие сведения из теории
Сущность метода обращения верхней треугольной матрицы
разберем на матрицах четвертого порядка, а формулы для обра-
обращения верхней треугольной матрицы любого порядка приведем
без вывода. (Заметим еще раз, что обращение матриц имеет исклю-
исключительно большое значение для решения систем линейных алгебра-
алгебраических уравнений, которыми^ мы будем заниматься на следующем
практическом занятии)
Пусть А — верхняя треугольная матрица четвертого порядка
«11
0
0
0
«12
«22
0
0
«13
«23
«33
0
«14
«24
«34
«44-
а искомая обратная ей матрица, элементы которой хц подлежат
определению, запишется в виде
*11 «12 «13 «14~
*21 «22 «23 «24
*31 «32 «33 «34
-«41 «42 «43 «44.
По определению обратной матрицы должно выполняться равенство
Л~" д .1 - р
л — i-.,
т. е.
-«41
2
2
«42
А23
А33
«14
«24
«34
«44.
«11
0
0
.0
«12
«22
0
0
«13
«23
«33
0
аи~
«24
«34
«44-
-1
0
0
_0
0
1
0
0
0
0
1
0
о-
0
0
1
14]

Используя правило умножения матриц, перемножим матрицы
в левой части равенства
' Ctj2^22 ^11^13 ~Т~ & 12^23 '
^22^22 ^21^13 i~~ ^2^23 '
«310Ц .a31fl12 + «32^22 «31С13 4" «32023 '
4* а42022 «41013 4" «42023 '
¦ «12024 4" «13034 4"
«21014 4" «22024 4" «23034 4"
«31014 ""Г~ «32024 4" 033034 4"
- а44044_
10 0 0"
0 10 0
0 0 10
.0 0 0 1_
Исходя из определения равенства двух матриц, для отыскания
неизвестных величин получаем уравнения, сравнив соответствую-
соответствующие элементы первых строк,
, (I)
ац012 4- «12022 = 0; B)
C)
D)
E)
F)
G)
4" «12024 4" «13G34 + «14044 = 0«
Из этих уравнений следует:
ИЗ A) an = J-;
из B) a12 = — -!L_ii = _ _
из C)
__ «цД13 + «12^23 1
D)
аи
(8)
Проделав аналогичную работу для второй, третьей и четвер-
четвертой строк, получим для второй строки
«210ц == Oj (9)
«21012 I «22022 == *! (^^-')
«21013 4" «22023 4" «23033 === ^» A1)
«21014 + «22024 4" «23034 4" «24044 = 0 (I2)
из (9) а21 = 0. A3)
142

С учетом, что <х21 = 0, получаем:
из A0) «22 =~; . A4)
ИЗ A1) С^23 ~*~ ~~ ¦———=—— ^22^23? (*")
з
из A2) а24 = — a"a" + g^°2* + tt23°3* = — -L '
Для третьей строки
= 0; A7)
+ «згвгг = 0; A8)
«31а13 + «32^23 + «ЗЗЙЗЗ = I! A9)
«31^14 + «32^24 + «ЗЗа34 + «34Я44 = Q- B0)
Из этих уравнений следует:
из A7) а31 = 0. B1)
Учитывая, что <x3i = 0. из A8) получаем
«32 = 0, B2)
а учитывая, что и <х31 = 0, и <х32 = 0, находим:
из A9) а33 = —-; B3)
3
из B0) д34 = -^ =-^«ззаз*. B4)
И наконец, для четвертой строки имеем
а41ап = 0; B5)
a4iai2.+ «42a22 = 0; B6)
«41U13 + «42^23 + «43^33 = 0> B7)
«41Й14 + «42^24 + «43^34 + «44^44 = !• B8)
B9)
C0)
C1)
C2)
Равенства (9), B1), B2), B9), C0) и C1) показывают, что
равны нулю те элементы обратной матрицы А, у которых пер-
первый индекс i больше второго индекса /, т. е. если i > /, то
ad = 0. ^ F,1)
143
Из
а с
B5), B6) и B7)
учетом этого из
следует, что
<Х41 =
а42 =
<х43 =
B8) получаем
«44 =
0;
0;
0,
1

Из равенств E), A4), B3) и C2) диагональные элементы обратной
матрицы Л, у которых первый и второй индексы равны (i = j),
определяются так:
1 _ i ' . _ J
&11 — "Z— j ^22 — ¦¦¦¦¦¦—- I CC33 = —• — j &44 — ~—' f
1 2 ^33 4
что можно объединить одной записью: если i = /, то
я«=^-« F>2)
По формулам F), G), (8), A5), A6), B4) и C2) определяются
те элементы обратной матрицы для верхней треугольной, у кото-
которых первый индекс i меньше второго индекса / (i < j), т.е. эле-
элементы, стоящие над главной диагональю. Полученная по этим
формулам обращенная матрица будет также верхней треугольной.
Когда верхняя треугольная матрица имеет порядок п, эле-
элементы обратной ей матрицы находятся по аналогичным формулам,
которые имеют следующий вид:
если »=/, то «я = ед-; F,3)
если i > /, то ац — 0; F,4)
если / < /, то ati = — ^- 2j a/*a*/. F,5)
Например, по формуле F,5) элемент обратной матрицы
4
= — — («11^15+ «12^28 + «13^35 + а14а«). F,6)
Замечания. Применяя формулу F,5), надо иметь в виду,
что будут равны нулю те произведения, в которых первый индекс
элемента а больше второго индекса. Можно указать простое пра-
правило для определения элементов обращенной верхней треугольной
матрицы.
1. Определить диагональные элементы обращенной матрицы
П9 формуле F,3).
2. После этого матрицы подписать одну под другой.
3. На места элементов, стоящих ниже главной, вписать нули.
4. Чтобы определить элемент, стоящий над главной диагональю
обратной матрицы, надо составить алгебраическую сумму произ-
произведений элементов, стоящих в обращенной матрице Л, левее
определяемого, на соответствующие элементы того столбца мат-
матрицы А (т. е. той матрицы, для которой ищется обратная), в ко-
144

тором стоит определяемый гэлемент. Эту алгебраическую сумму
надо разделить на диагональный элемент матрицы Л, стоящий
в том же столбце, что и определяемый элемент. Определяемый
элемент равен этому частному, взятому с обратным знаком.
По этому правилу выражение в скобках в F,6) получается
так: искомый элемент <xis матрицы Л находится в первой строке
и пятом столбце. Перед ним в первой строке обратной матрицы
А~х стоят элементы аш а12, а13, и а14, а в пятом столбце матрицы
А — элементы ап, а23, азв и а48. Составляется алгебраическая
сумма произведений первого элемента в первой строке матрицы
Л" на первый элемент в пятом столбце матрицы А, второго
элемента в первой строке матрицы Л на второй элемент в пятом
столбце матрицы Лит. д. Для уяснения этого правила решим
несколько задач.
Задача 6,1. Найти обратную матрицу для матрицы
 12 1"
0 8 3 2
0 0 6 4
0 0 0 4
Решение, п. I. Находим диагональные элементы <xu, <x22, <x3S
и <х44 обращенной матрицы по формуле F,3)
_ _L — J_
nft. 2 и 3. Подписываем матрицы одну под другой и вписываем
нули на места элементов, стоящих под главной диагональю
~3 1 2 Г
О 8
О О
.0 0
3
Л =
п. 4. Определяем элементы а//, стоящие над главной диагональю
(t < /), по формуле F,5), пользуясь указанным в п. 4 правилом.
145

1
3
0
0
0
у1
8
1
8
0
0
!¦''+
о.
0-
1
24
(-2
' + 1
1 + 0

3
0
0
0
1
3
4")-2 +
4
Г2+(
4
1
4
1
4
1
24 '
1
"8"
0
0
<
о-
(-
—
i + (
—
6
2 + т
6
1
6
0
44/ ¦
А)-
i
13
144
1
16
1
1
" "
0
Для проверки перемножьте матрицы
что получится
единичная матрица
с
Г,
4
~1 0
0 1
0 0
0 0
0
0
1
0
о-
0
0
1
•
в)"
3
—13
144
•3 1
16
4 1
36
— 0
1
6
_
1"
36
0
1
1
1
4_
ф
А и Л и убедитесь,
При решении этой задачи все элементы обратной матрицы
были представлены в виде простых дробей. Мы так поступили
для облегчения контроля. На практике же все вычисления ведутся
в десятичных дробях.
/—i
Отметим, что вычисление ]У] а,-Аа*/ по формуле F,5) с помощью
настольных клавишных счетных машин или на арифмометре не
требует никаких промежуточных записей, так как эти машины
позволяют производить накопление произведений.
146

Задача 6,2 (для самостоятельного решения). Найти матрицы,
обратные верхним треугольным:
 5 4 3"
0 3 4 2
0 0 3 1
0 0 0 4
2) А =
3) Л =
—3 2
0 2
0 0
0 О
О О
О О
О
—4
1 —3 2
0 3 0
О 0 4
О 0 0
1 2 -
О —1
О О
о о
о о
5 4 6
О 2
-1
2
5
О
О
3
1
-2
1
О —4
и проверить ответ умножением А на А~х (произведение должно
быть единичной матрицей).
Ответ. 1)
ъ_
¦ 6
1
3
о
о
_4_
9
А_
9
_1_
т
__
72
1
18
\_
2
_L
4
2)
1 +2 -f
31
¦ 5
3)
О —1
О О
о о
о о
—з- ^
о
о
о
о
о
_2_
5
_1_
5
о
о
10
20
1
3
1
т
о
о
_4_
3
2
1
о
о -4
п
9
2
1
2
1
4_
^_
2
4
1
о о
о о
_1_
3
о
о
2
о
4
IX
'27
13
' 3
7
ю*
147

«. ОБРАЩЕНИЕ НИЖНЕЙ ТРЕУГОЛЬНОЙ МАТРИЦЫ
Поступая так же, как и для обращения верхней треугольной
матрицы, получаем формулы для определения элементов матрицы,
которая обратна нижней треугольной матрице
Ai 0 0 0... 0"
Ь21 Ь22 0 0... 0
^31 Ь32 Ь33 0... 0
21
31
I)
0
P22
Рз2
0
0
Рзз
• • • ¦ •
0...
, 0...
0...
(Г
0
0
При i < I p/; = 0 F,7)
(т. е. все элементы, находящиеся над главной диагональю, равны
нулю).
При i = j Рн=г-. F,8)
По этой формуле находятся диагональные элементы.
/—1
При i > / Р// = — г-
4-1
F,9)
По этой формуле определяются элементы, находящиеся ниже
главной диагонали. Из приведенных формул видно, что обратная
матрица для нижней треугольной является также нижней треуголь-
треугольной.
Пример применения формулы F,9). Пусть требуется определить
Рбз (i = 5; / = 3; i > j).
1
k=i
р5з = -Л(м«
В скобки заключена алгебраическая сумма произведений элемен-
элементов, начиная с первого, того столбца, в котором находится опре-
определяемый элемент, на соответствующие элементы той строки мат-
матрицы В (той матрицы, для которой ищется обратная), в которой
стоит определяемый элемент. Среди произведений, стоящих в скобке,
могут быть и равные нулю. Это будут те произведения, у которых
множитель р1 имеет первый индекс меньше второго.
148

Задача 6,3. Найти матрицу, обратную нижней треугольной
матрице
5 =
О
2
-3
2
О О"
О О
4 О
— 1 3
Решение. Прежде всего по формуле F,8) определяем диаго-
диагональные элементы: Bn = g- = у = 1; В22 = -г- = —; В33 = JL =
— Т' Р44~ fc^"" з •
Вписываем эти элементы в главную диагональ и вписываем
нули на места над ней. Теперь следует определить элементы В21;
О . D . D . О . О
Р31> Р32. P41i P42. Р43-
Эти элементы вычислим по формуле F,9). Для удобства по-
помещаем матрицу В~1 под матрицей В.

0
2
_3
0
2
з
2
1
2
0
0
4
— 1
1
(Ь
+ 0-
(Г
0
0
3_
•
0) = 0
(_3) J = — i- I столбец
1[о.2 + 1.(-3)] = | II столбец
4[0-3+0
0
0
J_
4
г + 1
!
III и IV
столбцы
149

1
о
~2
7
0 0 0
I
2"
3
8" 1
5 I
0 .0
14- о
24 12
Задача 6,4 (для самостоятельного решения). Найти матрицы,
обратные следующим:
1) В
1
2
3
0
3
1
0"
0
4
3)
в =
¦ 2
1
2
1
—3
2) В
0
2
2
10 0 0"
—2100
—4530
2 112.
0 0 0"
0 0 0
3 0 0
3
-2
—2 4
-1 2
и вычисления проверить умножением В на
Ответ.
0.
5j.
в-к
1)
2)
1
+2
—2
1 0
2 1
У . Т
7 1
¦12 —12
О
1
_А
з
з
0~
о
4- о
1 _L L _i
48
7_
40
и
I
т
I
т
13
24
7
20
0
0
1
У
1
т
0
0
0
0
1
4
1
10
0
0
0
и
1
5
150

III. РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОЙ МАТРИЦЫ НА ПРОИЗВЕДЕНИЕ
ДВУХ ТРЕУГОЛЬНЫХ
Основные сведения из теории
Многие методы решения системы линейных алгебраических
уравнений основаны на представлении квадратной матрицы (не треу-
треугольной) в виде произведения двух треугольных матриц, из кото-
которых одна нижняя, а другая верхняя. Для любой квадратной мат-
матрицы
~аи а1% • • • а1п
«21 «22 * ' " «2"
такое представление является возможным и единственным при соб-
соблюдении следующих условий:
1) диагональные элементы одной из треугольных матриц от-
отличны от нуля;
2) главные диагональные миноры отличны от нуля (так назы-
называются миноры определителя матрицы, у которых на главных диа-
диагоналях стоят диагональные элементы матрицы).
Такими минорами, например, будут:
«ш
а также и сам определитель матрицы | А \.
Рассмотрим такое представление на примере квадратной мат-
матрицы четвертого порядка (п = 4). Пусть требуется матрицу
аи а12 а13 вы
^21 ^22 ^23 ^24
^31 ^32 «33 ^34
Oil «42 «43 «44
ап
а-2.1
«12
а22
>
ап
а-21
«31
«12
«22
«32
«is
«23
Язз
представить как произведение двух треугольных матриц (нижней
и верхней)
С =
еп
C2i
Сп
Си
0
^22
Сзг
0
0
с3з
С43
0 ""
0
0
с,.
и В =
Ьп
0
0
0
ь12
Ьгг
0
0
ьи
ь23
^33
0
15»

т. е. предполагается, что имеет место равенство
сп О
«11
«21
«31
«41
«12
а2г
«32
«42
«13
«23
«33
«43
а14
«24
<*34
«44
0
0
<-33
с
0 ~
0
0
Сл
•
Ьп
0
0
0
Ь12
Ьц
0
0
ьы
ь23
Ь3з
0
C3i С3г
F,10)
Задача заключается в определении элементов сц (i > j) и bit (i < j).
Таких неизвестных элементов у нас 20, так как п? + п = 16 +
+ 4 = 20. Это следует из формулы для суммы членов арифмети-
арифметической прогрессии.
Перемножим матрицы в правой части равенства F,10) по пра-
правилу умножения матриц и, пользуясь равенством
А = СВ,
приравняем элементы матрицы СВ соответствующим элементам
матрицы А.
Получим такие равенства:
" ¦(!)
B)
C)
D)
E)
F)
G)
(8) F,11)
(9)
A0)
(П)
A2)
A3)
A4)
A5)
+ с42&24 ~^~ сыЬз1 + СиЬц = а44; } A^)
Мы получили 16 уравнений для определения 20 неизвестных.
Поэтому четырем неизвестным можно приписать любые значения,
причем для этого имеется бесконечное множество возможностей.
Пользуясь произвольностью выбора значений четырех неизвест-
неизвестных, положим, что каждый из четырех диагональных элементов
в первой матрице правой части F,10) равен единице:.
?ц == м ^22 == ^» ^33 == м ^44 == '"
— «12?
= «22",
= «2з;
24 — «24^
= «32!
= а4*;
152

Тогда первые четыре уравнения в F,11) позволят определить
неизвестные элементы bn, b12, b13, bu, и окажется, что
Ьц = flu! b12 = а12; b13 — а13; Ьы = ан. F,12)
Из уравнений E), (9) и A3) с учетом, что Ьп =аи, получаем:
„ а21 . ^31 . г а41 /с 1 О\
С21 = — , С31 = — , Сц — — . (Ь, 1.3)
аи аи ап
Зная, что с22 = 1, из уравнений F), G) и (8) находим
1
&22 = 022 &
1
Здесь символ суммирования $] , собственно, ничего нового не
дает. Мы его ввели для последующих обобщений — см. формулы
F,19) и F,20).
Замечание. Как покажут дальнейшие вычисления, сумми-
суммирование производится по индексу k, который изменяется от 1 до
i — 1, где i — первый индекс у определяемого элемента. В дан-
данном случае у определяемых элементов Ь22, Ь23 и b2i первый индекс
i = 2.
Из уравнений A0) и A4) находим с32 и ci%:
с __ __
^22 ^22
1
°42 — Yi
g«g —c41bia ^=i
C42 Г = Г
F,15)
В символе Yi индекс суммирования k изменяется от 1 до 1,
т. е. фактически принимает только одно значение, равное 1, при-
причем 1, стоящая сверху, есть 2—1, т. е. /—1, где / — второй
индекс у определяемых элементов с32 и с42. Как уже было заме-
замечено выше, введение такого символа в этом месте ничего нового
не дает, но необходимо для ссылок при последующем обобщении
этих формул.
153

Из уравнений A1) и A2) определим элементы Ьы и Ь33 (учи-
(учитывая, что с33 = 1):
2
— fl33 = .2j
fe = l
а34-.^
F,16)
В этих формулах индекс суммирования k в символе Л изме-
изменяется от 1 до 2, а стоящее сверху этого символа число 2 = 3— 1,
т. е. i — 1, где i — первый индекс у определяемых элементов Ь33
И &34-
Теперь из уравнения A5) найдем
2
2
В символе У, индекс суммирования k изменяется от 1 до 2,
k=l
причем число 2, стоящее сверху, есть/— 1, где / — второй индекс
у определяемого элемента см.
Наконец, из уравнения A6), учитывая, что сы — 1, получаем
3
Ьи = аи — СаЬи — 642624 — Ci3b3i = «44 S eiftbk*- F| 18)
К — 1
3
Обратим опять внимание на то, что в символе JJ индекс сумми-
рования k изменяется от 1 до 3, причем число 3, стоящее сверху,
есть 4—1, т. е. i — 1, где i — первый индекс у определяемого
элемента Ъш.
Заметим, что определение элементов bit и % чередуется: по
формулам F,12) определяются элементы fci/(/=l, 2, 3, 4) затем
по формулам F,13) — элементы оа (i = 2, 3, 4). После этого опять
определяются элементы Ъг! (/ = 2, 3, 4) по формулам F,14), а вслед
за этим по формулам F,15) — элементы сп (i = 3, 4), потом — опять
элементы &3/(/ = 3, 4) по формулам F,16), а за ними—элементы
с43 по формуле F,17) и, наконец, определяется элемент fc44 по Ф°Р-
муле F,18).
Если объединить формулы F,14), F,16) и F,18) в одну, то
окажется, что
Ьа = % - 5? с«6*/; V <}) F,19)
(t = 2, 3, 4; i = 2, 3, 4),
154

а объединение формул F,15) и F,17) дает
ац — Zi Cikbkl
сц = "-f 5 (i > j) F,20)
(i = ЗМ; j = 2, 3).
Формулы F,19) и F,20) остаются верными для представле-
представления квадратных матриц любого порядка п в виде произведения
двух треугольных матриц.
Легко показать схематически последовательность, в которой
определяются элементы btj и %: сначала заполняются строки, а по-
потом— столбцы (см. табл. 1)
Таблица 1
Оц Oja Oj3 Oj4
^21 ^22 О23 О24
а31 Оза °зз °34
- С41 ^-48 ^43 ^44-
&12 г
Lc4
&22
Сза|
1
с4а
баз
6зз
«43
Ь24
— второй шаг
— третий шаг
— четвертый шаг
ft=i
ч-?
(i > П
Представление квадратной матрицы в виде произведения ниж-
нижней и верхней треугольных матриц производится так: для удобства
вычислений записывается данная матрица А, а под ней — матрицы
С я В, как указано в табл. 2, на стр. 156, причем вместо диаго-
диагональных элементов матрицы С вписываются единицы.
Первая строка матрицы В и первый столбец матрицы С за-
заполняются так, как указано в табл. 2:
1. На основании формул F,12) в первую строку вписываются
соответствующие элементы матрицы А, а элементы первого столбца
матрицы С равны соответствующим элементам первого столбца
матрицы А, разделенным на его первый элемент—формулы F,13).
2. Элементы, стоящие над ступенчатой линией, находятся по
формуле F,19) так: берется соответствующий элемент матрицы А
и из него вычитаются произведения элементов, стоящих в той же
строке левее и в том же столбце выше, что и вычисляемый эле-
элемент, причем первый элемент строки умножается на первый элемент
столбца, второй элемент строки — на второй элемент столбца и т. д.
155

Таблица 2
«11
«31
<*41
«ia
a22
«за
a42
Ol3
aa3
йзз
043
«14
«24
034
Сц = 1 1 &ii = Ou
_ «31
Ca2=i ь2г
С4а
&13 = 013
&аз
сзз = 1 Ьзз
Ьи
bsi
С44=1 644
3. При вычислении же элементов, расположенных под ступен-
ступенчатой линией, поступают так же, как в п. 2, но полученный ре-
результат делят на диагональный элемент Ъц (/ = 2, 3), стоящий в том
же столбце (формула F,20), что и определяемый элемент. При вы-
вычислениях с помощью арифмометра или настольных клавишных
машин никаких записей вне таблицы производить не придется.
Этот алгоритм вычисления элементов двух треугольных мат-
матриц— нижней и верхней, на которые разлагается матрица А, легко
распространяется на квадратные матрицы любого порядка, что
будет показано на ряде примеров, помещенных ниже.
Задача 6,5.
Матрицу
- 1
—1
2
. 4
2
2
4
3
3
4
5
2
4"
—3
—2
1.
представить в виде произведения нижней и верхней треугольных
матриц.
Решение. Используем только что указанный порядок дейст-
действий и расположим действия, как в табл. 2, причем приведем
подробно все выкладки в каждой клетке и будем придерживаться
порядка заполнения клеток, указанного в табл. 1:
156

1
—1
2
4
2
2
4
3
3
4
5
2
4
—3
—2
1
'I1
-I—'
i-
2
1
2-(-l)x
X2=4
4-2-2
_ и
3 — 4-2 5
4 4
3
4_(_l).3-7
1
5-2.3-0 x
X7 = -l
2-4.3-(-A).7 5
—1 4
4
_3_(_1).4=1
_2_2.4 —0.1 = —10
1
¦-4-Ч-4)-
-|,-,o,-4
Итак, нижняя треугольная матрица
с =
1
-1
2
4-
а верхняя треугольная матрица
В =

0
0
0
2
4
0
0
0
1
0
5
~~ 4
3
7
— 1
0
0
0
1
5
4
0
0
0
1
4"
1
— 10
5
"Т
Легко проверить, что
Сделайте это.
СВ = А.
157

—4
ф
—3
—1
—3
—2
j
23
~ 9
U
I
—1
2 —^-.{_1)_
—2
9
2
23
9
40
_5_(_2)х
(
15
154
23
233
23
23
9
17
23
1 2 / 23
(-?)]¦
/ 233\ 26
' \ 23 j~ 233
7 9 17
9 2 23
J 1S4\ 1153
\ 23/ 233
158

Решение было проведено в простых, а не десятичных дробях,
как это обыкновенно делается на практике, для облегчения после-
последующей проверки.
Проведем вторично подробное решение еще одной аналогичной
задачи для матрицы пятого порядка.
Задача 6,6.
Матрицу
А =
2
1
5
4
3
—3
3
2
2
— 1
4
2
— 1
0
1
5
2
3
—5
2
— 1
4
2
0
4
представить в виде произведения нижней и верхней треугольных
матриц.
Решение. Поступаем так же, как и в предыдущей задаче:
искомые матрицы подпишем под матрицей А, неизвестные эле-
элементы определяем в порядке, указанном в табл. 1, а их число-
числовые значения — по приведенному алгоритму (см. пояснения, дан-
данные к табл. 2). Решение проведено на стр. 158.
Таким образом, данная матрица равна произведению двух тре-
треугольных матриц:
[
1
2
5
2
г
3
2
0
' 1
19
9
8
9
7
9
0
0
1
40
~23
17
23
0
0
0
1
26
233
0~
0
0
0
1

0
0
0
0
—3
9
2
0
0
0
4
—4
23
9
0
0
5
1
2
76
9
233
23
0
—1
9
2
—5
154
23
1153
233
Задача 6,7 (для самостоятельного решения). Представить ма-
матрицы
1)
2
5
4
1
3
2.
5
2
— 1
—2
—7
3
4
3
4
4
; 2)
1
2 0
3)
5—12
—4 0 5
.—4 1 3
¦4 0 4—2 3"
2—2 3 4—2
5—1 0—7 2
4—5 2 3—1
2 3—214
159

s виде произведения нижней и верхней треугольных матриц,
лученные ответы проверить умножением.
Ответ.
По-
2)
1
2,5
2
0,5
1
5
—4
—4
0
1
0,1818
—0,@999
0
1
—0,7272
—0,8182
3)
X

0,5
1,25
1,0
_0,5
~4
0 -
0
0
0
0
0
1
—0,6964
0,
0
0
1
7183
0
1
0,5
2,5
-1,5
0
-2
0
0
0
4
1
-5,
0
0
0
0
0
1_
о"
0
0
1 _
0
0
1
0,8185
0,4545
5
2
0
0
_0

0
0
_0
>
—3
—5
0
0
2
— И
0
0
0
Q
0
1
— 1
0,5
—5,0909
@
0
2
6,4544
0
<Г
0
0
0
—7,1542 1_
2
5
у
1,7726
0
3
-3,5
0
—4,7500
31,2324
4
—7
—2,7274
—0,5357_
4 "
— 17
5,6376
—3,9589_
X
Задача 6,8. При определении неизвестных элементов ец и Ьц
мы приняли, что Си = 1 (t = 1, 2, 3, 4). Показать, что если
взять Ьц — 1 (i = 1, 2, 3, 4), то неизвестные элементы Ьц и сц
матриц, стоящих в правой части формулы F,10), определятся
по следующим формулам:
Ьц = ?>
п.ц', С
°12.
2--,
2 = #33 = &44 == 1
= U2X, c3i = а31, ..
и °13. h °14.
,
,
bti
•если
/—1
сц = ац —^ cikbkh если i
160

Указание. В этом случае матрица А представляется в виде
произведения таких двух треугольных матриц (нижней и верхней):
1п
'¦11 °12 Й13 • •¦• п
!31 °32 °33 • • • аЗп
Lanl an2 аа3 ... aпп^
"cu 0 0 ... О
. c2i с22 0 ... О
С31 С32 С33 ... О
X
12 ы
О 1 Ь23 ... Ь2п
0 0 1 ... Ь3„
О 0 0* .'.. 1
X
Последовательность определения элементов сц Ц > f) и Ь// (t</)
указывается такой схемой:
С21 = 021
с„ = 41
II
С22 
ш iv
С32
-33
VVI—¦»
,i\ и т. д.
(Римские цифры над стрелками указывают последовательность,
в которой должны определяться элементы).
Задача 6,9. Пользуясь формулами F,21), представить матрицу
А =
2 4 6 2"
4 2 2 1
12 11
-3112
в виде произведения двух треугольных матриц нижней и верхней.
Решение. Поступим так же, как и в предыдущем случае.
Напишем матрицу А, а под ней матрицы С и В — см. формулу
F,10), причем вместо диагональных элементов матрицы В впи-
впишем 1. В нижней таблице подробно выполнены все вычисления по
формулам F,21).
6 И, А, Каплан
161

2
4
1
—з
2
1
4
1
—3
4
2
2
1
2
2—4-2 =
= —6
2—1-2 =
= 7
I
0
=
2
1-
]
— 4
—6
1 .
(—3
6
2
1
1
3
¦3
3 =
=
5
3
= -3
1
3 —7x
5
3
. 1-
1—1
2 —(-
\
/
2
1
1
2
1
-4 .
—6 '
- 1-
—2
-3-
1
-0-
_ 3
1
2
1
2 0
7x
1
Таким образом, матрица А представлена в виде произведения
А=>
2
4
1
—3
.0
—6
0
7
0
0
2
5
— т
0~
0
0
¦3
О
T
~1
n
0
0
2
.
0
0
3
5
If
1
0
1
1

0
1
На стр. 156 было указано правило преобразования матрицы
в произведение двух треугольных для случая, когда са-= 1. Вы-
Выведите аналогичное правило для рассматриваемого случая, когда
в матрице В диагональные элементы Ьы= 1.
Задача 6,10. Полагая, что в формуле F,10) элементы Ьи= 1,
представить указанные матрицы в виде произведения двух тре-
треугольных матриц:
1)
1
0
3
1
4
5
—4
0
5
1
5
1
. 7~
—2
1
2
3
2
2
1
6
3
4
1
9
0
—1
2
—3
1
2
— 1
162

Ответ:
1)
о
5
-16
О О
О О
¦I «•
1 —4 — ^
16 99
¦1 4
О 1
О О
О О
2)
2 —
2
1
О
О
-7
5
О
О
2.
О 1
о о
0 0 0
5
1
5
1
1
0
3
6
1
7
2
5
66
17
1
— 1
—3
4
У
2 3 —
1
Замечание. Во всех предыдущих вычислениях мы пред-
представляли матрицу в виде произведения двух треугольных: пер-
первый сомножитель был нижней, а второй — верхней треугольной
матрицей. Однако- такой порядок сомножителей не является обя-
обязательным и матрицу можно разложить на произведение двух
треугольных матриц так, чтобы первый сомножитель был верх-
верхней, а второй — нижней треугольной матрицей. Относящиеся
к этому случаю формулы мы указывать не будем.
IV. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ПРИ ПОМОЩИ
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ЕЕ В ВИДЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ ДВУХ
ТРЕУГОЛЬНЫХ МАТРИЦ
Задача 6,П. Доказать, что если матрица А представлена в виде
произведения двух матриц С и В, т. е.
А = СВ, A)
то матрица А~г, обратная матрице А, определяется по формуле
Доказательство. Обе части равенства A) умножим слева
на матрицу С, обратную матрице С
с-м = с^св,
B)
но произведение С~гС есть единичная матрица Е, т. е. С^С = Е,
а потому равенство B) перепишется так:
С~гА = ?5 = Я,
C)
так как произведение матрицы на единичную матрицу в любом
порядке оставляет эту матрицу без изменения. Теперь обе части
163

равенства C) умножим слева на матрицу 5, обратную матрице В,
и получим
В-Ч7-М = В~*В = Е.
Таким образом, произведение матриц
B-iC-M = ?. D)
Перепишем D) в виде
Усматривая, что произведение матриц (В~Ч^~1) и Л есть еди-
единичная матрица Е, заключаем, что матрица В~1С является
обратной для матрицы А, т. е. матрица Я^ есть Л. Итак,
А-1 = В-Ч-1, F,22)
что и требовалось доказать.
Заключение. Матрица, обратная произведению двух матриц,
равна произведению обратньщ матриц сомножителей, взятых в об-
обратном порядке.
Можно доказать, что и вообще, если матрица А равна произ-
произведению п матриц
А = Ах • А2 • А3 ... Аа,
то
(доказательство проведите самостоятельно).
Читателю уже известно, что любая матрица А, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям, указанным на стр. 151, может быть представлена
в виде произведения двух треугольных матриц С я В, а обраще-
обращение треугольной матрицы, как видно из предыдущего, не пред-
представляет больших затруднений (задачи 6,1—6,4).
Таким образом, для обращения матрицы А надо: 1) предста-
представить ее в виде произведения двух треугольных матриц С я В
(нижней и верхней, или верхней и нижней), 2) определить ма-
матрицы, обратные этим треугольным, и 3) полученные в п. 2 матрицы
перемножить в обратном порядке, т. е. если
А = СВ,
то
Л-» = В-ЧГ1. F,22)
Формула F,22) дает еще один способ получения обратной матрицы.
Итак, задачу определения обратной матрицы при помощи ис-
использования двух треугольных можно считать решенной. Однако
можно найти матрицу, обратную данной, минуя определение
матриц, обратных полученным треугольным.
164

V. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОБРАТНОЙ МАТРИЦЫ ДЛЯ ДАННОЙ
БЕЗ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАТРИЦ, ОБРАТНЫХ ТРЕУГОЛЬНЫМ
Покажем, что обращение матрицы можно произвести и без ис-
использования формулы F,22), т. е. минуя определение матриц В~г
и С, обратных тем треугольным, на которые разложена ма-
матрица А.
Из формулы F,22) умножением ее обеих частей сначала слева
на матрицу В, а потом справа на матрицу С получаем
Но произведение ВВ~1 матрицы В на обратную ей матрицу В~*
есть единичная матрица Е, потому
ВА'1 = ЕС-1, F,23)
а произведение ЕС~г единичной матрицы Е на матрицу С остав-
оставляет эту последнюю без изменений: ЕС~г = С~К Поэтому F,23)
перепишется так:
ВА-1 = С"*. F.24)
Аналогично легко показать, что
А~1С = В-К- F,25)
Введем такие обозначения:
1) элементы матрицы А будем обозначать через ati, а элементы
ей обратной матрицы — через а.ц\
2) элементы треугольных матриц В и С обозначим через Ъц
и сц соответственно, а элементы, им обратных матриц — через (Зу
и Т/у
В развернутом виде формула F,24) запишется так, причем мы
рассмотрим только тот случай, когда диагональные элементы ма-
матрицы В равны 1 (см. задачу 6,8 и указание к ней);
1 ba
О 1
о о
О О
^13 • • • bin
1 b34 ... b3n
О 0 ... 1
Та О
721 722
7з1 7з2
«11
«21
«31
«„1
«22
«32
«П2
«13 ••• «1Л
^23 • • " ^2Л
«33 • • • аЗ«
«ИЗ
••• «ЯП
О
о
о
о
о
7лз
ic-ч
о
о
о
7пп—
165

Из этой формулы легко определятся те элементы <хгу, которые
стоят в треугольнике над главной диагональю (для них первый
индекс i меньше второго индекса /: i < j). Для этого надо исполь-
использовать правило умножения матриц и условие равенства двух матриц.
Например, умножая элементы первой строки матрицы В на соот-
соответствующие элементы второго столбца матрицы А~ьа приравни-
приравнивая сумму произведений нулю — элементу 712 В матрице С, полу-
получим
«12 -
или
— О,
откуда
«12 = — ?
к=2
Здесь нижний индекс суммирования k = 2 есть первый индекс 1
определяемого элемента а12, сложенный с 1, т. е. 2=1+1- Легко
установить и общую формулу для определения элементов <х/7- при
= — ^Y> Ь1кт.ы.
*^7+1
F,26)
Для определения диагональных элементов аа и элементов а^,
стоящих под главной диагональю (/ > j), воспользуемся формулой
F,25) ,
А~1С = ВТК
«12 «13
^\ «23 •
<Х1Х \«8Я •
«21 а22 ^\
«31 «32
«Щ «П2 аЛЗ
'
-1
0
0
_р
«in
«21
«31
•
'Р.12
. 1
0
0
•
си
с21
с31
__са1
Pi....
Ргз
1 ...
0 ...
0 0..
С?22 U • •
^3S С33 • ¦
Ся2 Спз • •
Ргп
Рз»
1 _
•
. 0
. 0
. 0
* ft
Определяемые из этой формулы элементы стоят в треугольнике
первого сомножителя. Напомним, что если диагональные элементы
треугольной матрицы равны 1, то в обратной для нее матрице
диагональные элементы также равны 1 — см. формулу F,8).
166

Например, элемент аш определится из произведения элементов
последней строки первого сомножителя на соответствующие эле-
элементы последнего столбца второго, если сумму этих произведений
приравнять на основании условия равенства двух матриц элементу
PM матрицы В:
«« • 0 + ап1 • О + ••• +*т-ст='$т=1',
"" Can Cm'
Рассмотрим вычисление какого-либо другого диагонального
элемента, например а33;
«31 • 0 + а32 • 0 + азз- с33 4- «34 • С43 + «ззСвз + • • • + о-ЪпРпг = 1;
]
«зз = -—¦ [1 — («зЛз + «35^53
Ь33
(здесь нижний индекс суммирования 4 = 3+1. т. е. он равен
индексу i определяемого элемента плюс 1) и вообще
а элемент aif, стоящий под главной диагональю (t > /), находят,
как легко проверить, по формуле
F,28)
Из формул F,26) и F,27) видно, что элементы atl обратной
матрицы А~г выражаются через элементы Ьц и Сц тех треуголь-
треугольных матриц, в виде произведения которых представлена данная
матрица А, а элементы матриц, обратных треугольным, определять
нет надобности. Для удобства выпишем формулы F,26), F,27) и
F,28), по которым определяются элементы обратной матрицы:
л
=~k \1 ~
167

В заключение укажем последовательность, в которой следует
вести вычисление элементов щ-„ так как между ними существует
зависимость, определяемая формулами F,26) —F,27), причем эту
последовательность укажем применительно к матрице пятого
порядка
III а
I а,
51
IX
VII
V
«11
<=—
«21
«31
VIII
t
«12
«22
«32
«13
«23
«33
VI
¦
IV
«14 t
«42
¦Чз
II
«15
«26
GCqt
Из этой схемы видно, что сначала следует определить элемен-
элементы последней строки, начиная с последнего а55, а затем элементы
последнего столбца, начиная тоже с последнего, затем — элементы
предпоследней строки и предпоследнего столбца, опять-таки начи-
начиная с последнего и т. д. Стрелки и римские цифры, проставлен-
проставленные на этой схеме, указывают необходимую последовательность.
На практике обратную матрицу получают, пользуясь такой
схемой:
1. Выписывают данную матрицу.
2. Под ней образуют две треугольные матрицы, произведение
которых равно данной (см. предыдущие задачи).
3. Под этими матрицами по формулам F,26) — F,28) получают
обратную матрицу данной, соблюдая последовательность опреде-
определения элементов по указанной схеме.
Этот способ обращения матриц достаточно компактен и при
использовании клавишных вычислительных машин не требует про-
промежуточных записей вне таблиц, так как эти машины позволяют
вести «умножение с накоплением». Ниже эта схема применяется
при решении ряда примеров.
Задача 6,12. Обратить матрицу .
2
5
3
6
7
2
4
8
1
0
2
4
4
— 1
1
3
168

Решение
2
5
3
6
2
1
5
3
6
1
12
5
24
7
24
0
7
2
4
8
7
ТГ
31
2
1
13
2
-13
5
24
1
48
13
48
0
1
0
2
4
1
2
5
ЗТ
48
31
1
96
31
23
24
67
48
7 f
48
—2
4
—1
1
3
2
22
31
1
4
1 '
1
1
2
' 3
4
1
4
1
Ниже приведены подробные вычисления элементов
ной матрицы.
«44 ~ Z Т— 1>
К-/]
х„ обрат-
обрат31
«4* •
<x42 =
169

з_!
2
3J.
2
_ 2^21 + °43С31
О .'6 +(-2)-3+1. 6 n.
2 , ~U'
«34 =
= f 4"j • 1 = -J !
2j
5
124
0133 ==
*-¦
1
:48"
31
T* зТ/ = 48;
«32 =
3 «33C32-+ «34^42 .
C22
31
»
48'
a34C41
cu
7.
24
a23 = —
2j
5 7 , 22
67
5
b13a33 + bual3) =
1
48+2
23-
24»

«22 = Г" М —
= — этП
67
= Г" A «23^32-
«21 =
6=2 __ «22^21 Ч- 3^31 4- а24с41
Си
Си
1 ,,67 / 3\
48*Б + 48'3+ -Т Г
Г 1
«11 == — 11 1 — 2j alkCki\ = ^ П — «12^21 — Я1зСЭ1 ¦
Итак, обратная матрица
- |_
ь_
24
~24
о
"— 4
1 Ю
48 _14
О
12-
24
1
48
13
'48
О
23
24
67
48
L
48
10 —46
— 1
— 13 7
О . —96
24~
67 —36
12
48
Проверка. Должно быть А 1 ¦ А — Е. Действительно,
48
—4
10 —46
24
10 —1
— 14 —13 . 7
0 9 —96
48 О
1 0 48
О 0 48
О О
67 —36
12
48
0
0
8
0
0
0
0
48
2 7 1 4
5 2 0—1
3 4 2 1
.6 8 4 3
1 0 0 0"
0 10 0
0 0 10
_0 0 0 1
= Е
171

Повторяем, что все вычисления были выполнены в простых
дробях для более простой проверки произведенных действий. На
практике вычисления обыкновенно ведутся в десятичных дробях,
но вносимые округления влекут за собой неизбежные погрешности.
Задача 6,13 (для самостоятельного решения). Пользуясь фор-
формулами F,26) — F,28) и указанной схемой получения обратной
матрицы, обратить следующие матрицы:
2
1
4
3
3
0
2
4
4
5
1
. 2
—2
-г- 3
1
5
; 2) А =
0,888 1,059 0,667
1,059 1,512 1,031
0,667 1,031 0,837
Вычисления производить в десятичных дробях с помощью ариф-
арифмометра или клавишной вычислительной машины. Полученные
А~* ¦ А должно быть равно
результаты проверить: произведение
единичной матрице
Д-1
= Е.
Ответ. 1) Для контроля
п
L> =
;
2
1
4
_3
~1
0
0
0
0
-1,5
—4
-0,5
1,5
1
0
0
—
—\
2
-2
1
0
0 0
0 0
15 0
) 2,4667_
— 1
1,3333
—0,6889
1
A~i =
2)
—0,0538 —0,1168 +0,4414 —0,1804"
+0,4052 —0,2884 —0,1441 0,0181
—0,2163 +0,5314 —0,2342 0,2793
__0,3784 +0,5134 —0,2432 0,4054.
8,08977 —7,93495 3,32745"
=> | —7,93495 11,91472 —8,35304
3,32745 —8,35304 8,83220
172

СЕДЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Матричная запись системы линейных алгебраических урав-
уравнений. Численное решение линейных алгебраических уравнений способом
исключения.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Система п линейных алгебраических уравнений с п неизвест-
неизвестными имеет такой вид:
+ ^12*2 +
~Ь #22*2 ~Ь #23*3 ~Ь
+ ^32*2 + «33*3 +
ainxп —
п
х„ = d2;
d
аЗпХп =
G,1)
Мы будем рассматривать только такие системы линейных алге-
алгебраических уравнений, у которых число уравнений равно числу
неизвестных. В системе уравнений G,1) неизвестными являются
*i, х2, х3, ... хп, а коэффициенты % (i, j = I, 2, 3, ... п) при
неизвестных и свободные члены dt (i = 1, 2, 3, ... п) — действи-
действительные числа.
Составим матрицу А из коэффициентов ац при неизвестных
А =
an
-апл
Z
аП2 ап3... апп_
неизвестных
х =
х2
Хз
и матрицу-столбец d из свободных членов
173

Учитывая правило умножения матриц и условие равенства
двух матриц, систему G,1) можно записать в виде
а13
а23
а12
. а
х
a31 a3
а33
лЗп
Xi
х2
xs
-Хп-
~<*Г
d2
d3
Jn-
G,2)
или, учитывая введенные обозначения, всю систему уравнений G,2)
можно записать компактно в виде одного матричного уравнения
Ах = d. G,3)
Такая запись большого числа линейных уравнений в виде
одного уравнения является одним из достоинств матричных обо-
обозначений.
На предыдущем практическом занятии мы уделили большое
внимание вычислению обратной матрицы. Покажем теперь
применение этой операции для решения системы линейных алгеб-
алгебраических уравнений.
Если матрица А — неособенная, то она имеет обратную мат-
матрицу А~1. Умножим слева обе части уравнения G,3) на А~1 и,
заметив, что А~* ¦ А = Е — единичная матрица, получим столбец
неизвестных х иа равенства
x = A~id. G,4)
В этой формуле х может быть не только матрицей-столбцом, но
"й матрицей размера п х т. В этом случае и матрица d состав-
составленная из свободных членов, должна тоже иметь размер п х т.
Такой случай имеет место, например, в задаче G,3).
Таким образом, нам стоит только определить элементы а.ц
(i, /= Г, 2, ... , п) обратной матрицы А~1, и задачу определения
неизвестных систем G,1) можно считать решенной. Несколько
таких упражнений мы выполним в начале этого практического
занятия.
Но здесь же следует заметить, что в случае большого числа
п неизвестных вычисление элементов обратной матрицы становится
громоздким и затруднительным. Поэтому формула G,4) имеет
больше теоретическое значение, чем практическое, так как по
сравнению с формулами Крамера для решения системы линейных
алгебраических уравнений она никаких преимуществ в вычисле-
вычислениях не дает.
Эта формула оказывается безусловно полезной тогда, когда
рассматриваются такие системы уравнений, у которых матрица
коэффициентов при неизвестных одна и та же (такие системы
уравнений встречаются, например, в строительной механике). Вы-
174

числение обратной матрицы в таком случае приносит большую
экономию в вычислительной работе (см., например, задачу G,3).
Это практическое занятие проведем в таком порядке: сначала
будем решать системы уравнений с небольшим числом неизвестных
(два, три) по формуле G,4) (задачи 7,1—7,7), а потом укажем
удобную компактную схему решения системы G,1) методом исклю-
исключения (алгоритм Гаусса), которому дади\{ матричную трактовку.
Теория этого метода, формулы, сюда относящиеся и схема его
применения указаны после задачи 7,7.
Задача 7,1- Записать систему уравнений
2хг + Зх2 = 9;
3*! — 4*2 = 5
в виде одного матричного уравнения и решить ее по формуле G,4).
Р е ш е н и е. Систему представим в виде
Здесь матрица
М-БН
А =
3
—4
Найдем обратную ей матрицу по формуле E,2), которая в
развернутом виде выглядит так:
A~l=*
п
Х
13 -^23
Al
^32
A
33
Ai
А„
-А.
G,5)
где \А\ — определитель матрицы Л, а элементы Аа-— алгебраиче-
алгебраические дополнения ее элементов ац, причем матрица в правой части
формулы G,5) есть союзная матрица А для А. Но здесь еще раз
подчеркнем, что когда л>3, то формулой G,5) для обращения
матрицы обыкновенно не пользуются, а применяют методы, рас-
рассмотренные на пятом и шестом практических занятиях.
Воспользуемся формулой E,2) для определения обратной матрицы
\А\ =
2 3
3 —4
= -17;
Аи - (-1I+1 • (-4) = -4; А, = (-
Аа = (-1J+! • 3 = - 3; Агг = (-
¦ 3 - -3;
B) = 2.
175

Составим матрицу, союзную матрице А
- _ ГЛП Л21-| _ Г-4 -3]
А-[А12 А22\-[-3 2J>
и поэтому по формуле E,2)
Теперь по формуле G,4)
.17
4
3
17 Т7
~ ^
Хг]
хЛ ~
17
17
Л 7_
51
17
1Z
17
Задача 7,2 (для самостоятельного решения). Записать систему
уравнений
5^1 —(— Jt2 == 7;
Xl — Зх2 = 8
в виде одного матричного уравнения и решить ее по формуле G,4)
Указание. Обратная матрица по формуле E,2)
л 29 33
Ответ. Хл = те ; ДГ2 = — Тс-
Задача 7,3. Решить системы уравнений:
1) 3*!— 2х2 = 2; J 2) Зхз— 2х4 = 3; 1
4^1 Х% = I, J lXq Х& === 4, I
Решение. Матрица Л коэффициентов при неизвестных во
всех трех системах одна и та же:
176

Это тот случай, когда применение формулы G,4) является выгод-
выгодным, т. е. выгодно решить все три системы путем отыскания обрат-
обратной матрицы А~г для матрицы А. Запишем все три системы в
виде одного матричного уравнения
Г2 3
ГЗ -2-1 \
[4 -lj [
хх
х2
х3 х
xt
5]
7\
(отметим, что матрица, составленная из неизвестных, должна иметь
тот же размер, что и матрица, составленная из свободных членов).
Легко видеть, что для матрицы А обратная матрица
1Г-1
[
A~1 = -r
а потому по формуле G,4)
[1 2
-Т Т Г2
_ 4_ _3_1 ' [1
_2
5
_3
5J
3
4
Выполняя умножения в правой
Г*1 х3 хА _
[х2 Xi хв\ -
части равенства, получим
5
О 1
—1 О
5J
откуда
= 0; хг = —1.
ЙХ!—2х,= 1;
3) 2хь + Зх6 = 9;
3jc5 — 2хв = 3;
Решение этих трех систем уравнений по формуле G,4) путем
отыскания обратной матрицы потребовало значительно меньше
труда, чем решение их по известным читателю формулам Крамера.
Задача 7,4 (для самостоятельного решения). Решить системы
уравнений:
2) 2х3 + Зл;4 = 1;
ov _ о л.
4) 2х7 + Зх8 = 1;
Зх7 — 2х8 == 3.
Указание. В матричной записи все четыре системы запишут-
запишутся так (проверьте, используя правило умножения матриц и условие
их равенства):
Г2 3] ГЖ1 х3 хь дг7]_Г7 1 9 П
[3 ~2j'[x2 х, хв х8\ [10 3 3J-
177

для матрицы
обратная матрица
Ответ.
1
~~ 13
хх
х3
хъ
х7
и
1-3
L.
17
~13'
2
~ 13'
27.
~ 13'
11 .
~ 13'
2 3]
3 -2J
д

13
со)
из
2 =
6 =
8 ==
19
13
3
13
21
13
3
13
2
13
;
>
;
3
13
Задача 7,5. Решить систему уравнений
пользуясь формулой G,4).
Решение. Запишем систему в виде одного матричного урав-
уравнения
2 1 —2"
3 —2
2 —3
•
X
- г/
г
=
5
4
1
Здесь матрица коэффициентов
А =
2 1 —2
3—2 3
2—3 5
а неизвестные х, у и z найдутся из формулы
5
4
1
Обратим матрицу А, для чего применим формулу E,7)
2 1 J—2
3 — 2 j 3
Т—Т~ "
(а)
17В

Здесь
—2
«22=5.
а~1
1) аи находим непосредственно
9 1
—3 2
2) C = сс22 —
'I. 11
7 7 .
3 2 >
у ~yj
Гу у"
и ai2 = 5 — [2; —3J • I з 2
1_т —_
[1Ь
Итак, р = у; р~1 = 7.
3) -г = ГЧи = 7[2; —3] = [14;
4) a
-21].
[•1]
[14;-21]
[14; -21]
5) ап + ац1
—1
—1
6) -та„ =-[14; —211
2
У
_3
О
_2_
7
7
_Г-2-.31 f
- L—24 36J 3

7
3
7
Г2
т
3
7
1
У
2
7 J
1"
У
2
7

7
3
7
5
У
60
_7
1"
У
2
7
8 "
У
96
7_
"г

7
60
7
8 ¦"
7'
96
7
7 7 _[l —ll
60 96 - 9 —14
= -[-5; 8] = [5; -8];
7) —
—2
3
7 = —
12
• 7 =
Теперь все элементы обратной матрицы известны и по фор-
формуле E,7)
—11
А-1 =
9 —14 12
5 — 8 7
179

Заметим, что вычисление по формуле E,2) оказалось бы менее
громоздким. Следовало бы вычислить 9 определителей второго,
один определитель третьего порядка и образовать союзную ма-
матрицу А.
Подставляя матрицу А~г в формулу (а), получим
откуда
е. х = 2; у = 1; z = 0.
Задача 7,6. Решить системы уравнений
X
У
z
=±
1
— 1
9 —14
. 5
X
У
z
—8
=
1
12
7
" 2 "
1
0
1 Г51
• 4
1.1.
I
1) 4xx + 5x3 = 7;
x2 — 6x3= 11;
2)
х$ — 6*e = 2;
3*4 + 4хв = 11;J
Решение.
ного уравнения
" 4
0 '
3
Запишем
0
1
0
5
—6
4
]
все
•
'xl
x2
x3
три системы i
X4 X-
хь Xg
Xq Xq_
=
з виде
7
11
—2
одного
1
2
11
матрич
0"
5
1.
Из этого следует, что матрица неизвестных
7 1 О
11
—2
2
11
5
1
(а)
где А~х — обратная матрица Для матрицы коэффициентов
 0 5"
0 1 —6
0 4
Найдем для этой матрицы обратную. В данном случае, учи-
учитывая характер .этой матрицы, удобнее воспользоваться общей
формулой E,2) для определения обратной матрицы. Определитель
матрицы А
[Л|=1.
180

Алгебраические дополнения
Ли = 4; Д8 = —18; Аи = —3;
Лх = 0; Д2= 1; Лз = 0;
Л31 = —5; Л32 = 24; А33 = 4.
Составляем матрицу из алгебраических дополнений
4 —18 —3"
О
_5
1
24
транспонируем ее, чтобы получить союзную матрицу А и делим
на \А\ = 1. Учитывая, что на основании формулы E,2)'
получаем
4 0—5
-18 1 24
—3 0 4
Из равенства (а) следует, что
X4 X-i
4
— 18
3
0
1
0
—5"
24
4
7 1
11 2
—2 11
Отсюда, выполняя умножение матриц в правой части, полу-
получаем
х2
Учитывая условия равенства матриц, находим
*! = 38; хг = —163; х3 = —29;
*4 = — 51; л;5 = 248; *6 = 41;
х7 = —5; xs = 29; - х9 = 4.
Отметим безусловную выгоду, которую мы извлекли, приме-
применяя в данном случае определение обратной матрицы и используя
формулу G,4). Если бы эти системы решать по формулам Кра-
Крамера, то пришлось бы вычислять 10 определителей третьего
порядка. Однако подчеркнем, что экономия в вычислениях полу-
получилась вследствие того, что матрица коэффициентов во всех трех
системах была одной и той же.
181

Задача 7,7 (для самостоятельного решения). Решить системы
уравнений, применяя метод, указанный в предыдущей задаче:
*!
з*,+
3) 2х,,+
, х3
Зх^ -f-
+ 2Zl
y'i + 2zx
Уз + z.i =
+ 2z3
y3"+ 2z3
= 15;
= 14;
= -3;
= 1;
= 5; ,
*2 +.2z
3x2 + y2 + 2zs
4) 2*4 -f- z/4 -|- z4
*4 + 2z4
3*4 + г/4 + 2z4
= —4;
= 0;
==—1;
= 12.
Указание. Все четыре системы представить в виде одного
матричного уравнения
2
1
3
11*
0 2 у
1 2j [z
Для контроля
Отв е
A
т.
v Q.
Л] Jt
v 1Q-
*2 — 10,
xs =. 15;
*4 = 25;
1 X2
i yz
1 22
I =
*3
г/*'
г3
"—2
'4
1
^i =
У 2 ~
Уз =
у. =
*4
г/4
г4 _
=
— 1
1
1
= 17;
= 21;
= —26;
= -37;
И
15
,14
2
—3
j
2
1
—4
Zi
г2
¦ z3
z4
—3 0
1 —1
5 12
= 12;
у.
-7.
= -13;.
Задача 7,8 (для самостоятельного решения). Решить систему
уравнений
3*i — 2д:2 — *4 =
2хг + 2*з + *4 =
*! — 2*2 — 3jc3 — 2*4 = 1;
х2 + 2*3 + *4 = 1.
Указание. Обратная матрица коэффициентов
1
о
-1
2
1 _2 —4"
1 0/ —1
-13 6
1 —6 -J0
Ответ. *i = —4; *2 = 0; *3 = 7; *4 = —13.
Теперь приступим ко второй части упражнений этого практи-
практического занятия.
182

СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Из большого числа известных методов решения систем линей-
линейных алгебраических уравнений мы будем пользоваться только
одним из наиболее распространенных методов — методом исключе-
исключения, который обычно называется методом Гаусса (с другими мето-
методами читатель может ознакомиться по книге: Д. К. Фаддеев
и В. Н. Фаддеева. Вычислительные методы линейной алгебры,
Физматгиз, 1960).
Метод Гаусса в матричном виде позволяет указать удобную для
практики компактную схему решения, которая сводится к пред-
представлению матрицы коэффициентов в виде произведения двух тре-
треугольных матриц» а эту задачу мы уже подробно разобрали на
предыдущем практическом занятии.
В матричном виде система линейных алгебраических G,1) за-
записывается так G,3):
Ах = d,
где А.— матрица коэффициентов системы G,1).
Представим матрицу А в виде произведения нижней треуголь-
треугольной матрицы С на верхнюю треугольную матрицу В, причем ин-
интересующие нас формулы выведем применительно к случаю, когда
диагональные элементы матрицы В равны 1.
Тогда уравнение G,3) запишется в виде
G,6)
Произведение Вх матрицы Б на х — матрицу-столбец неизвест-
неизвестных, — будет матрицей-столбцом, который мы обозначим через у
Вх = д. G,7)
Уравнение G,6) перепишется в виде
Cy = d. G,8)
После того как из уравнения G,8) будет определена матрица-
столбец у, из уравнения G,7), в котором, таким образом, правая
часть окажется известной, можно определить матрицу-столбец х,
чем и закончится решение задачи.
Распишем подробно уравнение G,8), учитывая, что С — нижняя
треугольная матрица:
0 0 0 -.- 0
0 0 ... 0
с32 саз 0 • • • 0 • у3 . = d3 . G,9)
Си
Ух
У*
Уз
-Уп-
dr
d2
da
185

Здесь элементы сц (?, / = 1,2, ... , п) иззестны, так как матрица
А коэффициентов при неизвестных считается уже разложенной на
произведение двух треугольных матриц С и В.
Перемножив матрицы в левой части G,9) с учетом условия
равенства двух матриц, получаем такие уравнения для определе-
определения неизвестных уъ у2, ... , уп: ч
С31У1 + С32У2 + с33у3 = d3;
ck,i
\-ск, к~ъУь-2 + ск. ft_1^_1 + ckkyk = dk;
+ сагу2 + cn3y3 + • • • + стуя = dn.
G,10)
Из этой системы уравнений, начиная с' первого, получаем зна-
значения неизвестных у{.
из 1-го уравнения ух — — ;
из 2-го уравнения у2 =
из 3-го уравнения у3 =
из й-го уравнения
.Ун
и, наконец, из я-ого уравнения
„ _ dn
Уп —
k. к~гУк—1
С п. п—лУп—х
Все эти формулы можно объединить в одну
k~i
G,П)
После того как все yt (f = 1, 2, ... , л) определены по фор-
формуле G,11), их надо подставить в уравнение G,7), в котором все
элементы Ьц (?,/=1,2, ... , п) верхней треугольной матрицы В
уже известны, так как, повторяем еще раз, что матрица А пред-
представлена как произведение двух треугольных матриц.
184

В развернутом виде уравнение G,7) запишется так:
1 Ь12 Ь13 ... Ь1п
0 1 Ъгз . . . Ь2п
0 0 1 . . . Ь,
зп
0 0 0 . . . 1 Ь,
0 0 0 ...01
Xl
х2
Х3
Хп-1
-Хп _
Ух
У*
Уз
Уп-1
_ Уп-
• G,12)
Все диагональные элементы матрицы В равны 1. Умножив матрицы
в левой части уравнения, получим матрицу-столбец, а учитывая
условие равенства двух матриц, будем иметь такую систему урав-
уравнений
Xi + b12x2 + Ь1зхя + • • • + blnxn = z/x;
х2 -)- 62з*з + • • • + b2nxn = г/2;
хз + •ф • + ^злх« = Уз>
G,13)
п-J, n-^ra ~ Уп—V
Начиная решение этой системы уравнений с последнего, по-
получим
хп = Уп
Хп—1 = Уп—1 ''п—1> л-"-п>
Х\ = У\ — Ь12х2 — &13лг3 — . .. — ЬХпхп.
Общая формула для определения xt (i = 1, 2 п) запишется
так:
А
2j . o/ftjfft.
G,Н)
Для удобства напишем рядом формулы G,11) и G,14)
*—1
= У1— . S, ,&;Л- ,
185

По формуле G,11) элементы gt находятся так же, как и эле-
элементы &,•/ (i<j) верхней треугольной матрицы по формулам F,21).
Ниже приводится так называемая компактная вычислительная
схема для применения метода Гаусса решения линейных систем
алгебраических уравнений (табл. 1).
Таблица 1 указывает компактную схему решения системы ли-
линейных алгебраических уравнений. Приведенный аппарат формул
для решения системы линейных алгебраических уравнений по спо-
способу Гаусса приводит к такому простому правилу:
1. Заготавливаются схемы, аналогичные схеме на стр. 187.
2. Вычисления ведутся в такой же последовательности, как
и в схеме на стр. 155: сначала определяются элементы столбцов,
а потом элементы строк, т. е. элементы первого столбца, элементы
первой строки; элементы второго столбца, а потом элементы вто-
второй строки; элементы третьего столбца, а потом элементы третьей
строки и т. д.
3. Чтобы получить элементы, расположенные на главной диа-
диагонали или ниже ее, берется соответствующий элемент матрицы
А и из него вычитается сумма произведений элементов, располо-
расположенных в той же строке и в том же столбце, что и вычисляемый
элемент, причем произведения берутся так, что умножается первый
элемент в строке на первый элемент в столбце, второй в строке —
на второй в столбце и т. д.
4. Чтобы получить элемент, стоящий над главной диагональю,
поступают так же, как указано в п. 3, но полученное от вычитания
число надо еще разделить на диагональный элемент той же строки,
в которой стоит вычисляемый элемент.
5. Искомые неизвестные вычисляются в таком порядке:
Х*> Х3> ХЪ Х1>
т. е. так называемым «обратным ходом» по формуле G,14)
Если вычисления ведутся с помощью арифмометра или клавиш-
клавишной машины, то элементы в табл. 1 получаются без каких бы то
ни было промежуточных записей.
Все вычисления должны быть проконтролированы. Контроль
осуществляется так: для него отводится последний столбец и по-
последняя строка вычислительной схемы. Последний столбец делится
на две части: верхнюю и нижнюю (см. табл. 1). Элемент верхнего
столбца, который мы обозначим через ft, равен сумме элементов,
стоящих с ним в одной и той же строке,
/-1
186

КОМПАКТНАЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ СХЕМА ПРИМЕНЕНИЯ СПОСОБА ГАУССА
Таблица 1
Оц
«21 ^
O31
О41
cu=an
i
„ = «,.
c41 = atl
4
al2
022
О32
042
Л12 = "—
Оц
Саг—Оаг—
1
—О41Л12
Ol3
023
О33
043
Л13 = Г"
Oil
Оаз-С21&1Я
C33 °33
1
C43=043— С41Л13—
«^
,4
a14
a24
034
o44
6 «14
°14 ==
** c22
I
0 34 Ce 1  4 ?з24
^33
1
«-*
^2
Из v
. d4
yi=b
У* c22
C33
4 ^41^/l ^42^2 ^43^3
^4
Контрольный столбец
/с и А/
i
fl = Oll+ fl12+ «13+014+^1
/2 =a21 +022+ 0 23+ «24+^2
/з==О81+Оз2-|-Озз-|-Оз4-)-Й3
fi ==a41 +O42+a43+a44+^4
h = b-
Oil
c22
,_ h~cilkl-ci2k2-ci3k3

Элементы же нижнего контрольного, которые мы обозначим через
kt, получаются, как и элементы верхней треугольной матрицы, т. е.
по формуле
U
Контроль состоит в том, что элементы контрольного столбца
должны быть равны сумме элементов, стоящих в той же строке
над главной диагональю. Например, в схеме элементы контроль-
контрольного столбца должны быть равны:
h = 1 + Ъи + у3;
kA = t/4.
Контроль должен осуществляться после вычисления каждой строки.
Таблица 2
ч
3
1
1
2
3
1
1
1
2
1
2
1
— 1
—3
со| to
1
3
1
5
~ 3
13
3
2
н
—1
—1
1
]
1
3
2
—2
1
—9
5
х.
5
1
2
3
со| ел
—2
+4
+4
1
—2
—8
—4
0
—15
8
3
—4
2
—2
t -
У1
fi И Й;
1
—2
3
—14
1
3
7
9
2
—1
188

Задача 7,9. Решить по способу Гаусса систему уравнений
o*i -\- 2,х% — *д -р о*4 == —о;
*1 ~| *2 ~—~ Х3 J *4 ~~* ^,
И/i ^— Л^2 ""|~~ *q "j~ ^*4 ~^ v,
^*1 О*2 *з *Т* *^*4 == 1 ^*
Решение. Используя указанный аппарат формул G,11) и G,14),
с также схему, приведенную в табл. 1 на стр. 187, располагаем
все вычисления, как указано в табл. 2, стр. 188. (Вычисления про-
проведены в простых дробях для упрощения проверки по ходу реше-
решения. Дальнейшие задачи решаются в десятичных дробях).
Задача 7,10. Решить по способу Гаусса систему уравнений
2*i + *2 — 3*з + 5*4 = 18,9012;
Xi ~ х2 + *3 — 3*4 = 14,0800;
3*i + *2 — х3 ¦+ 2*4 = —2,2954;
5*i + 2*2 — 3*з + *4 = —6,3764.
Таблица 3
2
1
3
5
2 1
1 ч
3
5
3,5359
1
—1
1
2
0,5000
—1,5000 1
—0,5000
—0,5000
—26,4498
*з
—3
1
—1
—3
—1,5000
—1,6667
2,6667 1
3,6667
—8,8281
Ч
5
—3
2
1
2,5000
3,6667
—1,3750
—4,6251 1
2,3590
dt
18,9012
14,0800
—2,2954
—6,3764
9,4506
—3,0863
—12,0717
2,3590
ft и к
23,9012
12,0800
2,7046
—1,3764
М
11,9506
—0,0863
—12,4467
3,3590
t
хх
t
t
kl
189

Решение. Для решения используем компактную схему, при-
приведенную на стр. 187, в которой как уже указывалось, использо-
использованы формулы G,11) и G,14). Последний столбец отведен для
контроля. Читатель должен проделать все вычисления с помощью
арифмометра или настольной клавишной вычислительной машины.
Все вычисления помещены в табл. 3. на стр. 189.
Задача 7,11 (для самостоятельного решения). Решить-систему
уравнений
0,8320*!+ 0,4670*,-+ 0 + 0 + 0,0155*5 = 0;
0,4670*!+1,5160*2 + 0,0467*3+ 0 + 0,0294*5 =—0,302; .
0,0155*! + 0,0294*2 + 0,0561*3 + 0,0561*4 + 0,0283*5 = —0,634;
0 + 0,4670*2 + 1,7850*з + 0,5120*4 + 0,05б1д:5 = —1,163;
0 + 0+ 0,5120*з + 1,4720*4 + 0,0561*5 = —1,977.
Ответ. *! = 0,378; *2 = 0,0485; *3=0,184; *4 = —0,580; *s =
= —21,7.
Задача 7,12 (для самостоятельного решения). Решить систему
уравнений
*i + *2 + Ч + xi + *ь = 3;
*! + 2*2 + 2*з + 3*4 + 4*5 = 9;
2*i+ *2 — 2*3 + 2*4 + 3*5 = —16;
3*! + 2*2 — 3*з + 4*4 + *5 = 2;
—*! + *2 — 4*з + 4*4 + 2*5 = —12.
Ответ. *! = 1: *2 = —1; *3 = 2; *4 = —2; *5 = 3.
Задача 7,13 (для самостоятельного решения). Решить систему
уравнений
10*1+ *2— 2*з+ *4+ 2*5 = —20;
2*! + 20*2+ 3*з— *4+ 3*5= 15;
3*1— 2*2 + 25*з+ *4— 2*5 = —20;
—*!— 2лг2+ *з—Ю*4+ 2*5 = —40;
2*!+ 2л;3+ 3*з— 4*4 + 50*5 ==—75.
Ответ. *i = — 2,411; *2= 1,439; *3 = —0,633: д:4 == 3,564;
*5 = —1,130.
Задача 7,14 (для самостойтельногб решения). Решить систему
уравнений
0,5*i+ 0 "•+. *3+1,023*4=4,725;
1,5*!+ *2+ 0 +3,702*4 = 3,402;
1,273*1—2,752*2 + 3,208*з— 1,305х4 = 2,709;
2*i + *2 + . • *8 + 4,007*4 = 1,231.
Ответ. *! = —14,980; х2 = -9,682; *3 = 2,390; *4 = 9,604.
190

ВОСЬМОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Характеристическое уравнение матрицы. След матрицы.
Характеристические числа и собственные векторы матрицы. Нормирование век-
вектора. Скалярное произведение двух векторов. Ортогональные векторы. Орто-
Ортогональные матрицы. Преобразование характеристического уравнения методом
Леверье.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Характеристическое уравнение. Пусть матрица
«12 «13 '••Оц
#22 ^23 * " " #2;
А =
«21
«31
Й32 Й33
а
¦За
а вектор-столбец
п2
х3
пя-
-апп_
(8,1)
(8.2)
Умножим матрицу А' на вектор х. Произведение будет векто-
вектором-столбцом, элементы которого обозначим через yt (i =}, 2,
3 п). Если окажется, что элементы у{ этого вектора-столбца
пропорциональны соответствующим элементам вектора-столбца х
с коэффициентом пропорциональности X, т. е. если
то вектор-столбец х называется собственным вектором матрицы А,
а коэффициент пропорциональности X характеристическим числом
матрицы А, или ее собственным значением.
191

Таким образом, вектор х называется собственным вектором
матрицы А, а число X — ее характеристическим числом, или
ее собственным значением, если выяолняется равенство
Ах = he. .
Перепишем ¦ это уравнение в виде
Ах— Хд: = О
или
(А — Щх = О,
(8,3)
(8,4)
где Е — единичная матрица, порядок которой равен порядку мат-
матрицы А, а 0 — нулевой вектор-столбец, т. е. столбец, все элемен-
элементы которого равны нулю. Без множителя Е при X уравнение
(8,4) не имело бы смысла.
При условии, что вектор х ф 0, равенство (8,4) возможно
только тогда, когда определитель его левой части равен нулю, т. е.
И — Х?| =
(8,5)
Уравнение (8,5) называется характеристическим уравнением
матрицы А, а его левая часть А— Х?— характеристическим много-
многочленом. Получим уравнение (8,5) в развернутом виде. Произведение
Х? = X
Поэтому-уравнение (8,5) на основании правила вычитания мат-
матриц с учетом равенства (8,1) в развернутом виде запишется так:
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0~
0
0
1
=
X
0
0
_0
0
X
0
0
0
0
X
0
0 ...
0 ...
0 ...
0 ...
0
0
0
х_
«11 —
«21
ап
-Аи
^ fll2
«22 ~
«32
а„2
«13
л а2з
«зз-
...
-X ...
...
а
а3п
ап —
= О
(8,6)
Уравнение (8,6) и есть характеристическое уравнение (8,5).
Оно называется также вековым уравнением и очень часто встре-
встречается в теории колебаний, теоретической и строительной меха-
механике, в аэродинамике, в небесной механике и играет большую
роль в алгебре матриц. Вековым это уравнение называется пото-
потому, что к нему приводит в небесной механике задача исследова-
исследования вековых возмущений планет.
Характеристические числа или собственные значения матрицы.
Если раскрыть определитель в левой части уравнения (8,6), то полу-
192

чится уравнение относительно X, степень которого равна порядку
матрицы А (в данном случае степень этого многочлена равна п).
Характеристическое уравнение (8,6) запишется так:
(— I)
"-1
О,
(8,7)
где
Ai — сумма всех диагональных миноров 1-го порядка;
At—сумма всех диагональных миноров 2-го порядка;
Ап—сумма всех диагональных миноров л-го порядка.
Неизвестная величина X, определяемая из этого уравнения,
имеет п. значений
среди которых могут быть равные.
Таким образом, - квадратная матрица А порядка п имеет п
характеристических нисел.
Собственный вектор. Каждому характеристическому числу X,
(t=l, 2, 3, ... , п) характеристического (векового) уравнения
(8,7) соответствует на основании уравнения (8,3) собственный век-
вектор.
Собственным вектором матрицы А, принадлежащим собствен-
собственному значению X,-, называется ненулевой вектор, для которого
столбец х, составленный из его элементов, удовлетворяет матрич-
матричному уравнению (8,3)
Ах = Х,я.
Будем собственный вектор, соответствующий корню X, харак-
характеристического уравнения, обозначать через bt, а его элементы —
через blt, b2l, Ьы, ... , bnt, т. е.
Ь,=
"и
Jni-
(*= 1, 2 л)
(элементы вектора называются также его координатами, а иногда
компонентами).
7 И, А. Каплан
193

Для определения координат собственного вектора, соответству-
соответствующего характеристическому числу X,-, перепишем уравнение (8,4)
в развернутом виде.
Яц — X, а12 flj3 • • • ч1п
Q-21 @22 Х( Й23 • • ¦ а2п
«31 п32 Й33 ^i • • • аЗп
•
~Ьи~
b2i
Ьы
=
~о-
0
0
0
Выполнив умножение матриц в левой части этого уравнения,
учитывая условие равенства двух матриц, получим систему одно-
однородных уравнений для определения координат bu, b2i, bsl ... ,
bni собственного вектора bt
(«и — ^)&и + a12b2l + alsb3l + • •_• +alnbn{ = 0;
a21bu + (a22 — M b2i +
a3 Фи + a3tiht + (a33 —
-? • •. + a2nbnl = 0;
+ ¦ • • + aSnbni = 0; (8,8)
«ЛА! + апфп + an3b3i -\ f- (апп — l$ni = 0.
(t= 1, 2, 3 п)
Определитель системы равен цулю, так как из этого условия
были определены собственные значения X, матрицы А (следовательно,
эти уравнения не являются независимыми). На примерах будет
показано, как определяются неизвестные bat {i, a.— I, 2, .... п).
Таким образом, будут определены все элементы собственного
вектора bt.
Следует иметь в виду, что собственный вектор можно опреде-
определить с точностью до постоянного множителя.
Подставляя в (8,8) поочередно Х]( Х2, .... Хл, получим п соб-
собственных векторов.
Нормированный вектор. Вектор называется нормированным,
если сумма квадратов его элементов (компонент, координат)
равна 1. Так, если вектор
то он будет нормированным при выполнении условия
SSS 2
194

Чтобы нормировать вектор, надо все его элементы умножить на
число
,г 1
К l>i + Us + •
Пример. Нормировать вектор !
10"
= 1 15
Находим, что
N.
1 _ 1
/361 ~ 19
и поэтому нормированный вектор
- НГ
19
15
19
6
Действительно,
(К)'+(-?)•-'¦¦'
Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произве-
произведением двух векторов называется сумма произведений соответ-
соответствующих элементов. Так, если
v2
w3
то их скалярное произведение
VW = i>xO>i + v2w2
vsws -}-.••+ vnwn.
Взаимно-ортогональные векторы. Два вектора называются вза-
взаимно-ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Ортогональные матрицы. Матрица называется ортогональной,
если ее столбцы попарно ортогональны.
Ортонормированные матрицы. Матрица называется ортонорми-
рованной, если каждый ее столбец есть нормированный вектор,
а все столбцы попарно ортогональны.
7*
195

Легко проверить, что, например, матрица
-1
2
1
2
1
Т '
1
2
0
1
"Т
1-
2
1
2
1
2_
является ортогональной.
Раскрытие определителя в формуле (8,6). Раскрытие опреде-
определителя в левой части векового уравнения (8,6) представляет собой
очень громоздкую задачу, причем вычислительная работа стано-
становиться особенно трудоемкой при больших значениях п.
Вопросу о раскрытии этого определителя, т. е. преобразовании
его в многочлен, и тем самым преобразовании (8,6) в алгебраи-
алгебраическое уравнение, посвящено большое число работ. Существует
много методов этого преобразования, среди которых наиболее
распространенными и эффективными являются: метод А. К- Кры-
Крылова, метод Данилевского, метод Микеладзе, метод Леверье, метод,
основанный на решении системы п линейных алгебраических урав-
уравнений. Каждый из этих методов имеет как свои преимущества, так и
недостатки. Мы выполним на этом практическом занятии упражнения
по определению собственных значений матрицы и ее собственных
векторов методом Леверье, а на следующем практическом заня-
занятии— методом академика А. Н. Крылова. Заметим, что метод
Леверье в последнее время нашел большое применение в связи
с использованием счетных машин, для которых определение сте-
степеней матрицы (на чем основан этот метод) является очень прос-
простой задачей.
Метод Леверье. Следом матрицы называется сумма ее диаго-
диагональных элементов. След матрицы А обозначается символом SpA.
Для матрицы А в (8,1)
SpA = t «
ц.
Чтобы упростить последующие формулы, введем такие обозна-
обозначения для следа степеней матрицы А:
след матрицы А : SpA = Sx;
след матрицы А2: SpA2 = S2;
след матрицы А3: SpA3 = Ss.
Вообще след SpAk k-ovi степени матрицы А будем обозначать
через Sk
SpAk = Sk.
Коэффициенты А{ (t = 1, 2, ... , п) уравнения (8,7)
(— \fln+ (—I)"-2)."-1 • Ai + (
196

определяются по таким рекурентным формулам:
 = Ло ' ^
Л2 = -^- (-"j
— A0S2)',
(8,9)
А3 = -J- (ЛА —
Коэффициент Ах есть сумма диагональных элементов матрицы Л,
т. е. след матрицы Л. С другой стороны, на основании теоремы
Вьета сумма корней характеристического уравнения равна Ал.
Таким образом, сумма корней характеристического уравнения
матрицы равна ее следу.
Коэффициент Л„ в уравнении (8,7) численно равен определи-
определителю | Л | матрицы, а потому последняя из формул (8,9) позволяет
найти величину определителя матрицы Л.
Применение этого аппарата формул связано с определением
степеней матрицы Л. Решим ряд задач на применение метода
Леверье. -
Задача В,\. Определить собственные значения и собственные
векторы матрицы
Г5 1 4^
3 3 2
,6 2 10_
Решение. Характеристическое уравнение (8,6) имеет вид
т. е.
5 —X 1 4
3 3-Х 2
6 2 10—X
= 0.
После раскрытия определителя в левой части этого уравнения
получится
(~1KХ3 + (—1JЛхХг + (-1) Л2Х + Л3 = 0; (8.Ю)
Xs — Л^ + ЛаХ — Л3 = 0,
197

а коэффициенты Аъ Аг и А3 определятся по формулам (8,9).
Находим степени матрицы А и следы полученных матриц:
А2 =
дгд =
=
5
3
6
2
36
эе

3
6
1
3
2
1
3
2
4"
2
1°.
Si =±
16
16
32
4"
2
ю.
52-
62"
38
128
; s
5 1
3 3
6 2
f 16
Г5
3
6
1 -
+
1
3
2
= 5 + 3+10 =
4"
2
10
Г52 16
= 36 16
1 96 32
128 = 196; •
4"
2
1
0
80
18;
62"
38
128_
—
160
-
1728
S3 = 680 + 160 + 1728 = 2568.
Очевидно, что в наивысшей из вычисляемых степеней матрицы А
следует определить только диагональные элементы, ибо она больше
в умножении не участвует, а нас интересует только ее след, т. &.
сумма диагональных элементов.
Применяем формулы (8,9):
а\ = 18;
А2 = -j(^iSi — АД) = ^ A8 • 18 — Ы96) = 64;
Л3= -|- (АА — AlSi+ AaS,,) = у F4 • 18 — 18 • 196 + 2568) = 64
(проверьте, что определитель матрицы А равен Аа = 64). Подстав-
Подставляем эти значения в уравнение (8,10):
Xs — 18Ха + 64Х — 64 = 0.
Очевидным корнем этого уравнения является X! = 2. Разделив левую
часть уравнения на X — 2 по схеме Горнера, получаем
1—18 64 —64
2 —32 64
Подчеркнутые числа — коэффициенты того квадратного уравнения,
из которого найдем остальные два корня
X2 — 16Х + 32 = 0;
Х = 8±К32;
Х2 = 4B + К2); Х3 = 4B — ^2).
Итак, Х1==2; Х2 = 4B + }/2); Х3 = 4B — ^2).
198

Проверьте, равно ли произведение корней характеристического
уравнения определителю матрицы А.
Теперь приступим к определению собственных векторов. Си-
Систему (8,8) для нашей задачи, учитывая, что
ап = 5; а12 = 1; а13 = 4;
#2i — 3; fl22 = 3; о23 == 2;
а31 = 6; а32 = 2; а33 = 10,
перепишем так:
(8,11)
66
Определение первого собственного вектора (i = 1). Для
Х1 = 2 получаем
36ц + 6„ + 2Ь31 = 0;
6Ьц + 2ft21 + 8b3i = 0.
Определитель этой системы, конечно, равен нулю (почему?).
Третье уравнение является следствием первого: если первое урав-
уравнение умножить на два, то получится третье. Отбросим третье
уравнение и решим систему двух линейных однородных уравнений
с тремя неизвестными:
36ц + 6„ + 26,i = 0..
Напомним решение таких систем. Если имеется система уравне-
уравнений вида
023*3
ТО
fll2 ^13
«22 а23
' 2
flu
«23
flu
«21
К9 Лд
flu
«21
fll2
«22
k.
Здесь k имеет произвольное значение, а определители полу-
получаются из матрицы коэффициентов
Си я12 а,3"|
Й21 #22 &2з\
вычеркиванием из нее столбца коэффициентов при определяемом
неизвестном.
199

В нашем случае матрица коэффициентов имеет вид
ГЗ 1 41
3 1 2 '
&,,<=
1 4
1 2
k; b21 =
4 3
2 3
k; bai =
3 1
3 1
k;
bn = — 2k; b21 = 6k; b31 = 0.
Первый собственный вектор
0
Определение второго собственного вектора (i = 2). Подставляя в
систему (8,11) второе собственное значение матрицы Х2 = 4B -f-/2),
получаем систему уравнений
E-8-
„
+ Ь
22
или
(-3 - 4 V2) Ьа + b2i
Ц12 + (-5 -
+ АЬп
+ 2Ьяя
+A0 —8 — 4
+ 4ЬЯ2
22 + 2ba2
= 0;
=0;
= 0;
= 0;
Определитель этой системы также равен нулю. Отбросим третье
уравнение и решим систему уравнений
(-3 -4 V'2) Ь12 + Ь22 + 4Ьзг = 0;
ЗЬ1г + (—5 -4V2) Ь22 + 2Ь32 = 0.
Матрица коэффициентов записывается так:
Г_3 -4/2 1 41
[ 3 —5—4/2 2J'
а неизвестные равны
1 4
—5—41^2 2
k; b22 —
—3—4/2
4 —3—
2 3
1
—5—4/2
т. е.
й„ = B2 +16/2) к, Ь22 = A8 + 8/2) k; Ь32 = D4 + 32/2)к.
200

Второй собственный вектор
22 + 16/2
18+ 8/2
.44 + 32/2,
Определение третьего собственного вектора (/=3). Для Х3 =
= 4B — /2) из системы (8,11) получаем
I 4ft = о*
+ 2Ь = О*
+ A0 — 8 + 4/2)&зз = 0
или
^23
:уЗЗ
^33
У33
= 0;
= 0;
= 0.
Ясно, что определитель и этой системы уравнений равен нулю.
Отбрасываем первое уравнение и решаем систему уравнений
ЗЬ13 + (-5 + 4
Ь23
2Ь33 = 0;
Получаем
Таким образом, третий собственный вектор
18— 12/2
= F-12l/2)ft;
Ья = k
6—12/2
,36 — 24/2
Учитывая, что собственные векторы определяются с точностью
до постоянного множителя, можно, полагая fe= 1, матрицу соб-
собственных векторов записать в таком виде:
Г~2
'- 6
L о
—2 22 + 16/2 18—12/2]
6 18+8/2 6—12/2 .
44 + 32/2 36 — 24/2J
Замечание. Очевидно, что, давая множителю k различные
значения, этой матрице можно придать бесконечное множество
видов. Данное замечание относится и к следующим задачам, в
которых, определяются собственные векторы и их матрица.
: 201

Задача 8,2. Для матрицы
Г И —6 Т
А.= — 6 10 —4
2 —4 6
найти ее собственные значения и собственные векторы.
Решение.
Заданная матрица — симметричная.
Эти матрицы обладают такими важными свойствами:
1. Матрица, составленная из собственных векторов симмет-
симметричной матрицы, ортогональна.
2. Матрица, составленная из собственных нормированных
векторов симметричной матрицы, также ортогональна.
3. Если матрица Ь — ортонормированная, то матрица, транспо-
транспонированная по отношению к ней, является для нее и обратной,
т. е.
а это значит, что
V = Ь~К
Следует также иметь в виду, что если Ь—симметричная
матрица, то транспонированная по отношению к ней матрица Ь'
совпадает с матрицей Ь.
4. Если Ь— матрица, составленная из собственных нормиро-
нормированных векторов, то произведение
Ь ¦ А • Ь'1 =
т. е. это произведение равно диагональной матрице, диагональные
элементы которой равны собственным значениям матрицы.
5. Собственные значения симметричной матрицы — вещественные
числа.
Характеристическое уравнение (8,6) в нашем случае запишется
так:
11—I —6 2
_6 Ю—X —4
=0.
(8,12)
2 —4 6—X
Если раскрыть определитель в левой части, то получится на
основании (8,7) уравнение
(-1K*3 + (- 1)М^2 + (-1) А21 + Аа = 0
или
1я—А11г + А2\ — Аа = 0. (8,13)
202

Определяем вторую и третью степени матрицы А:
11
—6
2
—6
10
4
11
—6
2
2"
4
6.
—6
10
4
161
— 134
58
i*
2"
-4
6
1 + 1
¦ 11
—6
2
— 134 58"
152 —76
— 76
56
10 + 6 = 27;
—6
10
—4
2"
—4
6
А3 = А, • А =
• 161 —134 58Т
— 134 152 —76 •
58 —76 66 J
—6
10
— 4
2
—4
6
S2= 161 + 152 + 56 =369;
11
—6
2
2691
2628 •
756
S3 = 2691 + 2628 + 756 = 6075.
Мы заметили, что данная матрица А — симметричная. Ее квад-
квадрат А2 — также симметричная матрица.
Теперь определяем коэффициенты Аи А3 и А3 характеристи-
характеристического уравнения по формулам (8,9)
x = 1 • 27 = 27;
к = у (ЛА — S2) = i- B7 • 27 — 369) = 180;
А3 = ~ (А А. — AS2 + S3) = 1 A,80 • 27 — 27 • 369 + 6075) = 324
(проверьте что определитель матрицы А равен А3 = 324).
Таким образом, уравнение (8,13) запишется в виде
\з _ 27X2 + 180Х _ 324 = 0.
Одним корнем уравнения является Xt = 3, в чем легко убе-
убедиться непосредственной проверкой. Разделим левую часть урав-
уравнения на X — 3 по схеме Горнера:
1 —27 180 —324
3 —72 324
1 —24
108
0
203

Коэффициенты частного подчеркнуты. Квадратное уравнение
для определения остальных двух корней запишется так: '
Х*_24Х+ 108 = 0;
X = 12 ± К144— 108;
Х2 = 6; Х3 = 18.
Итак, корни характеристического уравнения
А-2 = о; A.2 == о; Х3 = \о
(проверьте, равна ли сумма корней следу матрицы, а их произ-
произведение—ее определителю).
Система уравнений (8,8) для определения координат собствен-
собственных векторов в нашем случае запишется так:
A1
Х,) bu-6b2l +
-6^ +A0-
(8,14)
Подставим в нее поочередно Ха, Х2 и Х3.
Определение первого собственного вектора (/= 1). Подставляем
в систему (8,14) Х1 = 3 и получаем
8Ьп — Gb21 + 2b3l = 0;
Ясно, что определитель этой системы равен нулю. Здесь неза-
независимы только два уравнения (действительно, если сложить второе
уравнение с третьим и сумму умножить на —2, то получится пер-
первое уравнение). Рассмотрим систему, состоящую из первого и вто-
второго уравнений
Матрица коэффициентов
Г 8 —6 2]
[-6 7 -4j;
Ьп = 106; Ь21 = 206; Ь31 = 206,
а первый собственный вектор
Г10
20
20.
204

Определение второго собственного вектора (/ = 2). Подставляем
в систему (8,14) Ха = 6 и получаем для определения координат
второго собственного вектора систему уравнений
. ЪЬ12 — 6622 + 2b32 = 0;
—6Ь12 + Ab22 — 4Ь32 = 0;
2Ь12 — 4&22 = 0,
определитель которой равен нулю. Независимых уравнений в этой
системе только два (если второе уравнение разделить на —2 и сло-
сложить с третьим, то получится первое).
Решим систему, состоящую из второго и третьего уравнений.
Матрица коэффициентов
г_6 4 —4],
' [2—4 0J'
Ь12 = — 16ft; &22 — —8А; Ь32
а второй собственный вектор
—16"
—8
16
Определение третьего собственного вектора (/= 3). Система
(8,14) для Х3 = 18 примет такой вид:
—&Ь1а — 8b23 — 4b33 = 0;
2b — 4b 12b = 0
Определитель этой системы равен нулю. Здесь опять-таки только
два уравнения независимы (если первое уравнение умножить на
—2, а второе на 2 и сложить их, то получится третье уравнение).
Матрица коэффициентов первых двух уравнений
—7 —6 2
bl3 = 40ft; b23 = — 40ft;
а третий собственный вектор
40
—40
20.
Так как собственные векторы определяются с точностью до по-
постоянного множителя, то можно взять ft = 1 для Ьь Ь% и Ь3.
205

Матрица b собственных векторов матрицы А при k = 1 запи-
запишется так:
Г10 —16 40"
b = 20 — 8 —40
20 16 20
Матрица b по свойству 1 симметрических матриц (стр. 202), как
легко проверить, действительно ортогональна:
Ьх ¦ Ь2 = 10 • (—16) + 20 • (—8) + 20 • 16 = 0;
Ьг • Ь3 = 10 • 40 + 20 . (—40) + 20 • 20 = 0;
Ь2-Ь3 = —16 • 40 + (—8) • (—40) + 16 • 20 = 0.
Пронормируем, каждый из собственных векторов Ьъ Ь2 и Ь3 и со-
составим матрицу из нормированных собственных векторов.
Для первого собственного вектора Ь± нормирующий множитель
(см. стр. 194).
Для второго собственного вектора Ь2 нормирующий множитель
J _ 1
ТР 24*
N,=
Знак минус перед корнем выбран для того, чтобы матрица пре-
преобразования Ъ была симметричной.
Для третьего собственного вектора Ь3 нормирующий множитель
1
(—40)г + 202
1
60"
Нормированные собственнйе векторы обозначим соответственно
через bv b2, ba:
1
т
2
3
2
3_
•
; ь2 =
2~
3
1
3
2
~" 3"
; ь3 =
- 2~
3
2
3
1
3_
и составим из них матрицу
~\
3
2
3
2
_3
2
3
1
3
2
Л
2-
3
2
~~ 3
1
3
< ?¦ I ?.
(8,15)
206

Проверим выполнение свойства 2 симметричных матриц (стр. 202).
Составим скалярные произведения Вг • Ь2, ВХ>В3 и В2 • Ь3. Легко
убедиться, что каждое из них равно нулю.
Таким образом, векторы blt b2 и b3 попарно ортогональны,
матрица (8,15) — ортогональная матрица, а так как векторы Вг,
В2 и Ь3 нормированы, то матрица (8,15) ортонормирована.
Заметив, что матрица (8,15) ортонормированная, проверим выпол-
выполнение третьего свойства.
Составим произведение b • В' и убедимся, что получится еди-
единичная матрица. Это будет означать, что матрица В' обратна
матрице Ъ:
'-L — —
~ъ з з з
1 J_ _ 2_ 2и
3 3  ' 3
b-b' =
3_
3
2
3_
1 0 0]
0 1 0 = Е.
_0 0 1J
Поскольку b • b' = Е, то В' есть матрица, обратная Ъ.
Теперь проверим выполнение свойства 4. Составим произведе-
произведение b • А • В~Ч
X
в-
1
3"
2
3
2
з"
А • b *
2
3
1
3
2
1
1
2-
3
1
-"з
1
з_
2
Г 3
! 1
Г 3
! 2
Г 3
—
1
А
4
12
3
0
О
2~
2
3
1
3_
2
о
1 -
— 12
0 0"
6 0
0 18
•
11
—6
2
—
2
-4
6
•
-1
3
2
3
2
3
•
—6
10
—4
2
—4
2
3
1

2
3
6
><
2
3
2
3
1
3
(8,17)
207

Действительно, получилась диагональная матрица с диагональ-
диагональными элементами, равными Х2 = 3, Х2 = 6 и Х3 = 18.
Отметим также выполнение свойства 5: все собственные числа
симметричной матрицы — действительные числа. Этим мы и за-
закончим решение данной задачи.
Задача 8,3. Найти собственные значения и собственные век-
векторы симметричной матрицы
Гб 3 2
А = 3 6 2
2 2
и проверить свойства 1 и 2 симметричных матриц, указанные в
предыдущей задаче.
Решение. Характеристическое уравнение запишется так:
6 —X 3
3 6—X
2 2
2
2
1-Х
= 0.
Если раскрыть определитель в его левой части, то получится
уравнение такое же, как и (8,13).
Xs —
(8,18)
Чтобы найти коэффициенты Аъ А2 и А3, найдем А*— вторую
степень матрицы А и диагональные элементы матрицы А3.
t = 13;
А3 = А* • А =
49 40
40 49
20 20
20"
20
9

3
2
3
6
2
2"
2
1.
49 40 20
40 49 20
20 20 9
454
• ; S2 =
107.
454
89
S. = 997.
Ax = Sj = 13;
Л ' / Л О
13-107) = 31;
±C\ • 13— 13 • 107 + 997) =3.
208

С этими значениями коэффициентов уравнение (8,18) запишет-
запишется так:
— 3 = 0.
Его корнем, как легко проверить, будет Хх == 3. Разделим левую
часть этого уравнения на X — 3 по схеме Горнера;
1 —13 31 —3
3 —30 3
Коэффициенты частного от деления подчеркнуты, а квадрат-^
ное уравнение для определения остальных двух корней будет
таким:
Х2 _ 10Х + 1 = 0 .
Таким образом, собственные значения матрицы найдены
Ха = 3; Х2 = 5 + 2Кб; Х3 = 5 — 2]/б.
Система уравнений (8,9) для определения собственных векто-
векторов с найденными собственными значениями матрицы А запишет-
запишется так:
ЪЬи + F - X.) b2[ + 2Ьп - 0 (8,19)
2Ьи + 2Ьи + A - X.) Ьи = 0
Для определения собственных векторов подставляем в эту си-
систему поочередно Х3, Х2 и Х3.
Определение первого собственного вектора (/= 1). При Х1 = 3
система (8,19) примет вид
36ц + 3fc21 + 2&3i = 0;
36ц + 3fc21 + 2b31 = 0;
2Ь11+2Ьи — 2Ьи = 0.
Определитель этой системы равен, конечно, нулю. Здесь вто-
второе уравнение совпадает с первым. Независимых уравнений в си-
системе два.
Решим систему уравнений из второго и третьего уравнений
36ц + ЗЬ21 + 2^31 = 0;
2&Ц+2&И — 2&31 = 0.
209

Матрица коэффициентов записывается так:
[3 3 2]
|2 2 —2J'
bit = —10&; boi = 10&; Ьчл = О,
а первый собственный вектор
"" — 10
10
0
Определение второго собственного вектора (/ = 2). Для Х2 •
система (8,19) запишется так:
или
A —
+ 36
22
+ 26
22
+ 24
is + 2Ь
+ 0-
+ 2b3i
+ 2b32
+ (-4
32
5 — 2К<
•2КбN3!
3)Ь32 =
= 0;
= 0;
, = 0.
= 0;
= 0;
= 0
Определитель этой системы равен нулю, в ней только два неза-
независимых уравнения.
Решим систему из первого и второго уравнений
З612 + A - 2 Кб) b22 + 2b32 = 0.
Матрица коэффициентов этой системы имеет вид
1 — 2Кб 3 2|
[1 — 2Кб 3 _ 2]
[ 3 1—Кб 2J'
Неизвестные определяются формулами
Второй собственный вектор
16
¦4 Кб
4Кб
•4Кб
210

Определение третьего собственного вектора (/ = 3). При Х3 =
= 5 — 2/б" система (8,19) примет следующий вид:
F — 5 + 2 /6) Ь13 + 3623 + 2Ь33 = 0;
3&1з + F — 5 + 2 /6) Ь23 + 2Ь33 = 0;
2Ь13 + 2Ь23 + A —5 + 2 /6) Ь33 = 0
или
2/бN
13
+ A + 2 /6) Ьгз + 26
33
=0:
= 0;
Опять-таки определитель этой системы равен нулю, независимых
уравнений в ней два. Решая систему из первого и второго урав-
уравнений, находим, что
а третий собственный вектор
4—4/6
4 — 4/6
16 + 4/6
Так как собственные векторы определяются с точностью до постоян-
постоянного множителя, то, полагая k = 1 в выражениях для blt b2 и b3,
получаем матрицу собственных векторов
Ьг Ь2 Ь3
— 10 4 + 4/6 4—4/б"
Ь= 10 4 + 4/6 4—4/6 . (8,20)
0 16 — 4/6 16 +4/6 J
Убедимся в выполнении первого свойства симметричных матриц:
составим скалярные произведения собственных векторов
bxb2 = —10 • D/6 + 4) + 10D/6 + 4) + 0 • A6 — 4/6) = 0;
Ь1Ь, = —10D — 4/6)+ 10D— 4/6) + 0A6+ 4/6) = 0;
b2b3 = D/6 + 4)D- 4/6) + D/6 + 4)D- 4/6^ +
+ A6 —4/6)A6 + 4/6) = 0.
Таким образом, матрица (8,20), составленная из собственных
векторов симметричной матрицы А, является ортогональной.
Теперь пронормируем собственные векторы Ьъ Ь2 и Ь3 и убе-
убедимся в выполнении второго свойства симметрических матриц,
указанного в предыдущей задаче.
211

Для первого собственного вектора нормирующий множитель
1 ~ У(—1 оJ + ю2 ~~ ю У?'
сам этот вектор в нормированном виде
~уТ
1
0
Для второго собственного вектора нормирующий множитель
У D + 4 У бJ + D + 4 /бJ + A6 — 4 У бJ 8 J/9 —
а сам этот вектор в нормированном виде
1
_У 6 + 2 У 6 _
Наконец, для третьего собственного вектора нормирующий мно-
1 1
житель
У D — 4J/6J + D — 4 КбJ + A6 + 4 /бJ
а в нормированном виде
1
2^3+ /6
1
1/б-2/б_
Матрица 6 нормированных собственных векторов имеет вид
1
У2
1
/2
0
1
1
2J/3-
1
Уб+2
Ьг
уъ
УЪ
ICO
1
2>'3 +
1
1
Y& — 2
—'
уъ
Уъ
/б_
212

Легко проверить, что и эта матрица ортогональна, так как
Ьг • Ьг = 0; Ьх • Ь3 = 0; Ь2 • Ьа = 0;
Тем самым выполнено и свойство 2.
Теперь легко проверить, что
Ь-Ь' =
b-A-b' =
о _ о "I
2 Кб 0 ,
О 5— 2/6 J
т. е. выполняется и четвертое свойство ортогональных матриц.
Выполняется и свойство 5: все собственные значения задан-
заданной симметрической матрицы — действительные числа.
Задача 8,4 (для самостоятельного решения). Найти собственные
значения и собственные векторы матрицы
3 2 1
2 4 2
1 2 3
Промежуточные результаты:
1. Характеристическое уравнение
хз_ ЮХ2+ 24Х—16 = 0.
2. Собственные значения матрицы
3. Система уравнений для определения собственных векторов
C — ^i)bu + 262< + b3t = 0;
= 0;
l
bu + ^i +C-
Первый собственный вектор (/ = 1)
Второй собственный вектор
2/2
2/2
213

Третий собственный вектор
[4— 2V2'
4-4]/
4 — 21/2.
Матрица собственных векторов
1 4 + 2|/2 4—2K2
О 4 + 41/2 4 — 41/2
.—1 4+2/2" 4 — 21/2
Проверить, что имеют место равенства
Г 2 0 0
Ь-Ь' = Е и Ь-А-Ь'= о 4 + 2/2 0
0 о 4 — 21/2
Задача 8,5 (для самостоятельного решения). Найти собствен-
собственные значения матрицы
5 13 2"
,_ 2 3. 1 3
4 2 4 6
3 13 4
Промежуточные
эезультаты:
1. Характеристическое уравнение
5—X 1 3
2 3-Х 1
4 2 4-Х
3 1 3 4
2. Степени матрицы Л:
Л2 =
Л* =
45 16 34
29 16 22
58 24 48
41 16 34
45 16 34 39
29 16 22 31
58 24" 48 62
41 16 34 43_
—
"10 200 404
358 152 284
716 288 576
502 200 404
2
3
6
~— А
39"
31
62
43_
~5
2 :
4 1
_3
498"
362
724
506.
= 0.
1 3 2"
3 1 3
2 4 6
1 3 4_
>
214

10 200 404 498 5 13 2"
358 151 284 362 2 3 13
716 288 576 724 4 2 4 6
_502 200 404 506_ _3 1 3 4.
6060
1744 •
• 6912
• • 6052
3. Следы матрицы
¦ Sj = 16 — след матрицы А;
S2= 152 — след матрицы А2;
S3 = 1744 — след матрицы А3;
Si = 20768 — след матрицы Л4.
4. По формулам (8,9) определяются коэффициенты характеристи-
характеристического уравнения:
A1 = S1= 16;
A2 = j(A1S1 — 52) = уA6. 16— 152) = 52;
1..„ ,~ , ~з) 1 E2- 16— 16- 152 +1744) = 48;
Д> = y^Si~ AlS*
Л4 = -1 (A3Sj. — A2S2+A1S3 —Si)= -i D8 • 16 — 52 . 152 + 16 x
X 1744 — 20768) = 0.
5. Характеристическое уравнение
Ответ. Собственные значения матрицы А:
Xj = 0; л2 = 2; а3 = 12; л4 = 2;
h + ^ + h + \ = Si.
Убедиться, что определитель матрицы
\А\ = 0,
т. е. матрица особенная (иначе — вырожденная)!.
215

ДЕВЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Преобразование характеристического уравнения методом
академика А. Н. Крылова, Теорема Кэли — Гамильтона.
1. МЕТОД АКАДЕМИКА А. Н. КРЫЛОВА ДЛЯ РАСКРЫТИЯ
ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ В ВЕКОВОМ УРАВНЕНИИ .
Академик А. Н. Крылов указал удобный метод раскрытия опре-
определителя в левой части уравнения (8,6). Сущность этого метода
заключается в том, что определитель путем алгебраических преоб-
преобразований приводится к такому виду, который позволяет его легко
вычислить.
Трудность раскрытия определителя состоит в том, что неиз-
неизвестная величина X входит только в диагональные элементы. Мето-
Методом А. Н. Крылова определитель в левой части (8,6) преобразу-
преобразуется так, что неизвестные величины X оказываются не диагональ-
диагональными его элементами, а элементами столбца. Это дает возмож-
возможность на основании известных свойств определителей разложить
его по элементам этого столбца, довольно просто представить
определитель в уравнении (8,6) в виде многочлена и получить
алгебраическое уравнение с неизвестным X.
Ознакомиться с теорией этого вопроса можно по таким источ-
источникам:
1. А. Н. Крылов. О численном решении уравнения, которым в техни-
технических вопросах определяются частоты малых колебаний материальных систем
(«Известия Академии наук СССР», 1931).
2. Н. Н. Лузин. О методе академика Крылова составления векового
уравнения («Известия Академии наук СССР», 1931).
3. А. К. Сушкевич. Основы высшей алгебры, глава IX, § 171 (Изда-
(Издательство ОНТИ, 1937).
Здесь же, не вдаваясь в теоретические подробности, мы изло-
изложим метод академика А. Н. Крылова и покажем на примерах его
применение.
Левая часть векового уравнения (8,6) записывается так:
\А—1Е\.
Для применения метода Крылова надо выполнить следующее:
1. Составить первые строки последовательных степеней матрицы
А, т. е. первые строки матриц А2, А3, А*, ..., Ап.
216

Если обозначить через а$ элементы первой строки к-ой сте-
степени матрицы А, то их просто можно определить по формуле при-
приведения
11
(9,1)
где верхний индекс (k) — указатель степени матрицы, причем k =
= 2, 3, 4, .... л; /= 1, 2, .... л, «i}' = «i/. Эта формула по-
позволяет по известным элементам первой строки матрицы Ак~1
и элементам матрицы А найти элементы первой строки матрицы Ак.
Таким образом, должны быть составлены матрицы
,B) _B) „B)"
11 «12 ••• «1л
А* =
Ап =
«11
аC)
«12
• • • «
(з)
1л
in 2 • • • "т
Л (л) Л(п) _'
2. После того как первые строки степеней матрицы А найдены,,
составить определитель такого вида:
D(X) =
1 .0
X" «<?>
«12
аA)
3
аB)
«13
аC)
«13
,<3>
Нп
АЛ (*11 1*19 «
«11
12
.(я)
*13
(9,2>
в котором степени неизвестной величины X уже расположены в пер-
первом столбце, а строки степеней матрицы А являются строками
минора элемента, стоящего в левом верхнем углу в (9,2).
217

Этот определитель тождествен определителю левой части урав-
уравнения (8,6), а раскрыть его значительно проще: его надо только
разложить по элементам первого столбца. Получится уравнение
степени п относительно X. Решение его и даст собственные значения
исходной матрицы. Определитель (9,2) называется определителем
Крылова. Преобразованием определителя \А — ХЕ\ в уравнении
(8,6) к виду (9,2) обойдены все большие трудности, связанные с его
раскрытием.
3. Надо с помощью тождественных преобразований определи-
определителя (9,2) внести дальнейшие упрощения в разложение этого опре-
определителя по элементам первого столбца.
Предполагая, что элементы второй строки в (9,2) а[%, а[$
а$ не равны нулю, разделим элементы столбцов, начиная с третьего,
соответственно на
®
что равносильно вынесению
за знак определителя произведения а^ • а$ .. а^'. После этого
деления получится» определитель вида
1
О
1
О
л(~/ /jdj
2 «13
а11 ~ТЦ ~а\
... о
... 1
aJL
(9,3)
Обозначим дроби ^ через bfk, где k = 2, 3, 4,
4, ... ft, т. е.
з,
и определитель (9,3) примет вид
1
X
X2
Хз
1
аи
аB)
0
1
ьB)
0
1
ft»
bS
... 0
... 1
... ь$!
Лп)
а
О13
(9,4)
218

Вычтем теперь из элементов четвертого и следующего за ним
столбцов определителя (9,4) соответствующие элементы третьего
столбца и получим определитель
11 0 0 ... О
где
X а?> 1 0 ... О
X* eg» ^2 <# •¦
С13
/
с(з)
(9,5)
= 3, 4, ... л; / = 2, 3, 4, ... ft)
С определителем (9,5) поступаем так же, как и с определителем
(9,2), но начиная уже- с четвертого столбца.
Предполагая, что элементы третьей строки с^', ... с^' не равны
нулю, разделим все элементы столбцов, начиная с четвертого со-
соответственно на cj|'. ... , cJJ-, т. е. на верхний, не равный нулю
элемент этого столбца.
Такое деление равносильно вынесению за знак определителя
,B)
произведения qj
с™. Получится определитель вида
где
1 1 О
X а!1,' 1
B)
П
X*
Кп а11
13
An)
о
о
d(n)
«1я
(9,6)
< =1г,(*. / = 3, 4, ... л);
После этого вычтем из элементов пятого и следующего за ним
столбцов соответствующие элементы четвертого столбца, отчего
величина определителя не изменится.
219

Определитель примет вид
1
X
X2
X»
In
1
all
an
C)
"ii
all
0
1
1,B)
bC)
0 ...
0 ...
1 ...
3 • • •
An)
3
0
0
0
e
e
C)
(9,7)
где
j(/>
1
X
X*
X»
•
•
X"
1
au
au
au
•
an
0
1
blu
m
fo(n)
0
0
1
dfj
An)
3
... 0
... 0
... 0
... 0
1
... SpA
(/ = 3, 4 n); k = 4, 5 n).
Поступая так же с элементами пятого и следующих столбцов,
получим в конце концов определитель такого вида:
(9,8)
Следует помнить, что в правом нижнем углу определителя дол-
должен получиться след SpA матрицы А. Заметим, что чем выше
порядок матрицы А, собственные значения которой отыскиваются,
тем эффективнее описанный метод, предложенный академиком Кры-
Крыловым.
Переходя к уравнению (8,6), мы видим, что в его левой части
находится определитель (9,8), множителями перед которым будут
указанные выше произведения
(пм . пШ /7(l)U/'B) . л>B) л.B)\ (Q СП
V"l2 3 • • • "in/1°13 °14 • • • cln / • • • э \У>У)
а в правой части — нуль.
Эти множители можно отбросить, что равносильно сокращению
уравнения на все произведение (9,9). После описанных преобразо-
преобразований вместо уравнения (8,6) получится уравнение
11 0 0 0 ... О
а$ 1 0 0 ... О
1 аЙ» 6?>
13
1
О
О
Xй
Ь# d
{n)
13
. . 1
...SpA
= 0.
(9,10)
220

Если среди элементов, на которые требовалось производить де-
деление, окажутся равные нулю, то надо сразу раскрывать опреде-
определитель (9,2), не прибегая к дальнейшим его преобразованиям, или
переставить строки так, чтобы избежать этой неприятности. Теперь
применим описанный метод к нескольким матрицам, выполняя все
указанные операции последовательно. В качестве матриц возьмем
те, которые нам уже встретились в задачах 8,1—8,5.
Задача 9, 1. По методу академика А. Н. Крылова найти ха-
характеристическое уравнение матрицы
А =
1
3
2
4
2
10
Решение. 1. С этой матрицей мы уже встречались в задаче
8,1. Находим первые строки последовательных степеней матрицы А
по формуле приведения (9, 1)
52
*
680
16
224
62
9
860"
Первые строки матриц Л2 и Л3 можно получить проще, не при-
прибегая к формуле (9,1): на отдельном листке бумаги написать мат-
матрицу Л и этот листок приставлять поочередно к матрице Л и Л2,
составляя сумму произведений элементов первой строки этих мат-
матриц на соответствующие столбцы «приставной» матрицы.
2. Составляем определитель вида (9,2)
D(X) =
1
X
X2
Xs
1
5
52
680
0
1
16
224
0
4
62
860
• (первая строка за-
заданной матрицы)
3. Теперь разделим элементы каждого столбца, начиная с треть-
третьего, на верхние их элементы, находящиеся во второй строке:
D(X) =
1
X
X2
Xs
1
5
52
680
0
1
16
224
0
1
62
4
860
= 4
1
X
X2
Xs
1
5
52
680
0
1
16
224
0
1
31
2
215
221

Вычтем из элементов четвертого столбца соответствующие эле-
элементы третьего. Получится определитель
D (X) = 4 •
1
5
52
680
0
1
0
1 — 1
16 ^ — 16
224 215 — 224
= 4х
X
1
X
X*
Xs
1
5
52
680
0
1
16
224
0
•0
1
2
—9
Теперь разделим все элементы четвертого столбца на —~-:
1
X
X2
Xs
1
5
52
680
0
1
16
224
0
0
1
18
Еще раз напомним: последний элемент последнего столбца равен
следу заданной матрицы, т. е. сумме ее диагональных элементов,
а предпоследний элемент должен быть равен 1. Раскроем этот опре-
определитель по элементам первого столбца, начиная с его последнего
элемента.
-i)
1
52
680
f
-X-
1
0
16
224
1
с
52
0
1
18
0
> 1
16
+ 1-
0
0
1
-t
5
52
680
If
1
5
680
. 0
3 1
224 18
0
1
224
1
.
I
0
1
18
"'¦" А
1. Определитель при Xs равен
1 0 0
5 1 0
52 16 1
1 0
16 1
= 1.
(Напомним, что если все элементы какого-либо ряда определителя,
кроме оДного, равны нулю, то определитель равен произведению
этого, не равного нулю элемента, на его алгебраическое дополне-
дополнение).
222

2. Определитель при X*
1
5
680
0
1
224
3. Определитель при X
1 0
52 16
680 224
4. Свободный член
0
О
18
О
1
18
5
52
680 5
1 0
16 1
>24 18
—28
—440
=
1
18
1
'224
16
224
О
—28
—440
О
18
1
18
= 18.
= 64
1
16
224
О
1
18
_ = _ (—64) = 64.
Таким образом,
D (X) = 4 • (— 1) (—Xs + 18Х2 + 64Х + 64).
Характеристическое уравнение запишется так:
D (X) = О
или
• (~ т) (~х
18Х2 +64Х +64) =
Сокращая на множитель 4 • (— у] и умножая обе части уравне-
уравнения на —1, получим окончательно
Хз _ 18Х* — 64Х — 64 =. 0.
Это же уравнение было найдено в задаче 8,1.
Задача 9,2. Найти методом академика А. Н. Крылова харак-
характеристическое уравнение матрицы
А =
1—6 21
— 6 Ю —4 I.
2—4 6J
Решение. Эта матрица нам уже встречалась в задаче 8,2.
1. Находим первые строки ее степеней А2 и А3, пользуясь фор-
223

мулой (9,1) или приставной табличкой (это в данном случае, пожа-
пожалуй, проще)
-161 —134 58
А3 =
2691 —2538 1205"
2. Составляем определитель вида (9,2)
110 0
X 11 —6 2
X2 161 —134 58
Xs 2691 —2538 1206
D(X) =
первая строка
матрицы А
3. Разделим элементы третьего столбца на элемент — 6, а эле-
элементы четвертого столбца на 2, в результате чего определитель
D (X) = — 6 • 2
1
X
X2
Xs
1
11
161
2691
0
1
67
3
423
0
1
29
603
Вычтем из элементов четвертого столбца соответствующие эле-
элементы третьего столбца. Тогда
110 0
X 11 1 0
D (X) = — 6 • 2
= —6-2
X* 161
Xs
1
X
X2
Xs
2691
1
11
161
2691
Разделим элементы четвертого столбца на
Е 99- ^
3 3
423 603 — 423
0 0
1 0
67 20
3 3
423 180
20
20
1
X
X2
X»
0
1
11 1
ifil 67
161 т
2691 423
0
0
1
27
224

Контроль: Последний элемент в последнем столбце равен следу
матрицы А.
Разлагаем этот определитель по элементам первого столбца,,
начиная с его последнего элемента
20
— Xs
1
11
161
0
1
67
У
— X
1
161
2691
Определитель при X3
1 0
11 1
161 Ц-
Определитель при" X2
1 0
11
2691
Определитель при X
1
161
2691
0 О
67
У 1
423 27
.0
1 0
423 27
11
161
2691
1 О
1
11
2691
1 О
67
3 1
423 27
== 1*
1 О
423—27
= 27.
0
67
"
423
0
1
27
=
67
Т
423
1
27
= 180.
Свободный член
И
161
1
67
7
2691 423
0
1
27
254
"Т
1
67
3
—1962 423
0
1
27
0
1
423 27
(к элементам первого столбца прибавлены элементы второго
столбца, умноженные на —11)
254 ,
—г 1
1962 27
— (—324) = 324.
8 И. А. Каплан
225

Таким образом, приравнивая D (X), нулю, получаем характери-
характеристическое уравнение для матрицы А
+ 27X2 _ 180х + 324) = О,
D(X) = -6.2.f(-
или окончательно
X3 —27Х2 + 180Х — 324 = 0.
Такое же уравнение найдено и в решении задачи 8,2.
Задача 9,3. Методом академика Крылова найти характеристи-
характеристическое уравнение матрицы
Гб 3 2"
3 6 2
2 2 1
Решение. С этой матрицей мы встречались в задаче 8,3.
1. Определим первые строки ее степеней А2 и А3, пользуясь
формулой приведения (9,1) или «приставной» матрицей.-
49
454
40
• ¦ •
427
20
198"
2. Составляем определитель вида (9,2)
110 0
X 6 3 2
X2 49 40 20
X3 454 427 198
>- первая строка
матрицы А
3. Разделим все элементы третьего столбца на 3 (верхний эле-
элемент этого столбца в его второй строке), а элементы четвертого
на 2 (верхний элемент во второй строке этого столбца):
D(X)
= 3-2-
1
X
X2
Xs
1
6
49
454
0
1
40
3
427
3
0
1
10
99
226

Теперь из элементов четвертого столбца вычтем соответствую-
соответствующие элементы третьего столбца
110 0
X 6 1 0
лг\
X2
D (X), = 3 • 2
• f -
X. 454 *? -!2
ю
Разделим все элементы четвертого столбца на элемент — -^ и по-
получим
D (к) = 3 ¦ 2
И)
1
X
X2
Xs
1
6
49
454
0
1
Т
427
0
0
1
13
Разлагаем этот определитель по элементам первого столбца,
начиная с его последнего-элемента,
D(X) = 3.2. (--?
—Xs
1 О
6 1
49 ^°
1
6
о
1
— X
1
49
0
40
3
AZ.A 427 1О
454 -g- 13
+ 1
6
49
1
40
3
лсл 427
454 -т
454 ™ 13
о
1
13
Определитель при Xs
1 О
6 1
49 «
Определитель при X*
1 0
6
1 0
40
Т 1
= 1.
454
1
427
0
0
13
1
427
3
0
13
13.
227

Определитель при X
1
49
454 2f!
О
40
3
427
3
0
1
13
40
3
427
3
1
13
Свободный член
6
49
454
1
40
3
427
Т
0
1
13
0
—31
—400
= 31.
О
1
^ 13
1
40
"
427
3
(элементы второго столбца умножены на —6 и прибавлены
к элементам первого столбца)
—31 1
-400 13
= -(-3) = 3.
Подставляя эти значения определителей в D (X) и приравни-
приравнивая нулю полученное выражение, находим характеристическое
уравнение
D (X) = 3 • 2 (— у) (—X* + 13X2 _ 3ix + 3) = 0
и окончательно
—3 = 0.
Это же уравнение было получено в задаче 8,3.
Задача 9,4 (для самостоятельного решения). Методом академика
Крылова найти характеристическое уравнение 'матрицы
А =
3 2 1
2 4 2
1 2 3
Ответ. Is— 10Х2 + 24Х— 16 = 0 (см. задачу 8,4).
Задача 9,5 (для самостоятельного решения). Найти методом
академика Крылова характеристическое уравнение матрицы
 13 2"
2 3 13
4 2 4 6
3 13 4
228

Промежуточные результаты:
45 16 34 39
510 200 404 498
6060 2416 4840 6036
2. Определитель (9,2) имеет вид
D(X) =
1
X
X2
X3
1
5
45
510
0
1
16
200
0
3
34
404
0
2
39
498
Х« 6060 2416 4840 6036
Ответ. Х*—16Х3 + 52Х2—48Х = 0.
Задача 9,6 (для самостоятельного решения). Найти методом
академика Крылова характеристическое уравнение матрицы
Л =
432 Г
4 8 6 4 2
3 6 9 6 3
2 4.684
12 3 4 5
и ее собственные значения.
Промежуточные результаты:
Первая строка в матрице Л2
55 80 81 64 35.
Первая строка в матрице А3
1001 1672 1863 1568 889.
Первая строка в матрице Л4
21307 36608 41877 35968 20651.
Первая строка в матрице Л5
471185 814528 938223 810656 467281.
229

Определитель
D (X) =,
1
X
Хг
X3
(9,2)
1
5
55
1001
0
4
80
1672
0
3
81
1863
0
2
64
1568
0
1
35
889
X* 21307 36608, 41877 35968 20651
X6 471185 814528 938223 810656 467281
После преобразования по указанной схеме получится характе-
характеристическое уравнение
0
0
0
0 =0.
1
X6 471185 203632 15587 814 35
После разложения этого определителя по элементам первого
столбца и вычисления определителей при степенях X это уравне-
уравнение примет вид
Хб _ 35Х* + 336Х3 — 1296Х2 + 2160Х — 1296 = 0.
Его корни — собственные значения матрицы А
1
X
X2
X3
X*
1
5
55
1001
21307
0
1
20
418
9152
0
0
1
29
4807
7
0
0
0
1
230
7
2; Х2 = 3; Х3 = 6; Х4 = 12 +
Xs = 12 —
Задача 9,7 (для самостоятельного решения) Методом Крылова
найти характеристическое уравнение матрицы
0 1 ¦ 0"|
0 0 1
-6 -1 4J
и ее собственные значения
Ответ. X3— 4Х2 + Х + 6 = 0;
Xj = —1; Х2 = 2; Х3 = 3.
Задача 9,8. Методом Крылова найти характеристическое урав-
уравнение матрицы
0
0
0
48
1
0
0
—28
0
1
0
—8
0"
0
1
7
и ее собственные значения.
230

Ответ. X* —7Хз + 8Х2 + 28Х —48 = 0;
f-i — —2; Х2 = 2; Х3 = 3; л4 = 4.
II. ТЕОРЕМА КЭЛИ-ГАМИЛЬТОНА.
Теорема Кэли-Гамильтона в матричном исчислении является
одной из важнейших. Вот ее формулировка:
Каждая квадратная матрица удовлетворяет своему характе-
характеристическому уравнению, которое следует понимать в матрич-
матричном смысле.
Объясним это.
Если для матрицы А характеристическое уравнение имеет вид
(8J) <
AТ( i)i л^1 ( 1МХ2
то получается матричное равенство
(— 1)" Ап + (— I)"-1 АХА*~Х + (— l)n~2A2An-z + • • • +
Л+Л? = 0, (9,11)
где Е — единичная матрица того же порядка, что и А, а 0 —
нулевая матрица.
Определение обратной матрицы при помощи
теоремы Кэли-Гамильтона
Если А — невырожденная матрица, то равенство (9,11) позво-
позволяет найти А~г — матрицу, обратную А.
Умножим (9,11) слева на А~1:
(—1)" Ап~1 + (—I)"-1 ЛИ" + • • • + (—1)Л„_1Л~М +
Отсюда, учитывая, чТо А~ХА — Е, получим
А-* = — ±-l(-iyA"-2+(-ir-[AiAn-2+ ••• +(-1)Л,-1?]. (9,12).
Эта формула дает удобный практический метод вычисления
обратной матрицы, так как определить коэффициенты Аъ А2
А3, ..., Ап характеристического уравнения можно по формулам
(8,9).
Задача 9,9. Доказать, что матрица
Г5 1
= 3 3
|_6 2
4
3 2
2 10
231

удовлетворяет своему характеристическому уравнению
X»—18Ха + 64Х—64 = 0
(см. задачу 9,1).
Решение. Заменим в левой части характеристического, урав-
уравнения X на матрицу А:
или
Г5 1
3 3
[б 2
А3 —18А* +64/1 — 64?
+ 64
(9,13)
4"
2
10
3
—
18.
5
3
6
1
3
2
4
2
10
Убедимся, что это выражение равно нулевой матрице.
Найдем сначала квадрат, а потом куб матрицы А
5
3
,6
1
3
2
4"
2
10
S3
2
2
36
96
5 1
3 3
6 2
16
16
32
A
2
10
62'
38
128
52 16 62
A3 = Ла • A = 36 16 38
.96 32 128
680 224 860
456 160 556
1344 448 1728
Подставляем полученные степени матрицы А в выражение (9,13)
и убедимся, что оно обратится в нулевую матрицу
680 224
456 160
1344 448
860
556
1728
— 18
+ 64
Г5 1
3 3
[б 2
680
456
1344 448
320 64 256
192 192 128
384 128 640
3 2
2 10
224
160
2 16 62
36 16 38
96 32 128
1 0 0"
— 64
0 1
0 0
860
556
1728
—
_
'64
0
0
" 936 288
648 288
1728 576
0 0"
64 0
0 64
=
1116
684
2304_
 0
0 0
0 0
+
о"
0
0
232

Задача 9,10. Найти матрицу, обратную матрице Л предыдущей
задачи. /
Решение. Характеристическим уравнением матрицы Л явля-
является уравнение
Хз _ 18Х2 + 64Х — 64 = 0
(см. задачу 8,1).
На основании теоремы Кэли-Гамильтона матрица А удовлет-
удовлетворяет этому характеристическому уравнению. Поэтому
лз _ 18Л2 + 64Л — 64? = 0.
Умножая, как это делалось при выводе формулы (9,12), обе
части этого уравнения на Л~1, получим
Л • Л3— 18Л~1 • Ла + 64 Л • Л — 64Л • Е = 0,
откуда
Л* — 18Л + 64? = 64Л-1,
а
Л = щ (А* — 18л + 64?)
Матрица Л2 уже была найдена в предыдущей задаче
2 16 62"
36 16 38
,96 32 128
Поэтому обратная к А матрица
1
— с7
1
[52
36
196
52
36
96
16
16
•32
16
16
32
62"
38
128
62]
38
128_
— 18.
—
" 90
54
108
Г 26
= F -18
¦
-12
5
3
6
18
54
36
-2
26
-4
1
f
3 2
2 10,
72]
36
180,
+ 64 •
-j-
— 10"
2
12
4
1
0
0
0
0 64
0
¦
0
0
1
0
0"
0
64
0
0
1
Таким образом, обратная матрица
[26 —2
— 18 26
-12 -4
13 -1
—9 13
-6 -2
— 10
2
12
—5"
1
6
233

Проверка:
1
3
—9
—6
=

0
О
—1
13
—2
0-
1
0
-5
0"
0
1
1
6
= ?.
5 1
3 3
6 2
4
2
10
Заметим, что формула Кэли-Гамильтона позволяет, зная
(п— 1)-ую степень матрицы А, найти ее n-ую степень, учитывая,
что коэффициенты характеристического уравнения легко вычисля-
вычисляются по формулам (8,9).
Так, из характеристического уравнения задачи 9,9
.Х»_ 18X2 + 64^ — 64 = 0
на основании теоремы Кэли-Гамильтона следует
А3 — 18Л2 + 64Л — 64? = 6,
Л3 = 18Л2—
откуда
Действительно, легко проверить, что найденное раньше значе-
значение (см. задачу 9,9)
18 •
Убедитесь, что это выражение равно матрице
52
36
96
16
16
32
62"
38
128
— 64-
5
3
6
1
3
2
4"
2
10
+ 64-

0
0
0
1
0
0"
0
1
А3 =
680
456
.1344
224
160
448
860
556
1728
•
Задача 9,11 (для самостоятельного решения). Доказать, что
матрица
А =
11
-6
2
—6
10
—4
2'
4
6
удовлетворяет своему характеристическому уравнению
X3—27Р + 180Х — 324 = 0
и найти матрицу А~\ обратную матрице А.
234

Ответ.
44 28 4
28 62 32
4 32 74
Задача'9,12 (для самостоятельного решения). Для матрицы
[6 3 2"
1='3 6 2
2 1
характеристическим уравнением является
X*—13Х*+13Х—3 = 0.
Найти Л3 и Л.
Указание. На основании теоремы Кэли-Гамильтона мат-
матрица А удовлетворяет своему характеристическому уравнению,
т. е. имеет место равенство
Л"—13Л2 + 31Л — 3? = 0.
Отсюда
Л3= 13Л2 —
а • на основании
Ответ.
Л3 =
54
427
198
формулы (9,12)
Л
427
454
198
1981
198,;
89
— 13Л + ЗШ).
1
' 2
1
—6
1
2
-6
—6
—6
27
Задача 9,13 (для' самостоятельного решения). Для матрицы
 2 Г
Л= 2 4 2
1 2 3
характеристическим является уравнение
— 16 = 0.
Убедиться, что эта матрица удовлетворяет этому характери-
характеристическому уравнению. Определить обратную матрицу Л~х и
найти Л3.
Ответ.
А'1 = — • —4
О —4
235

= ЮЛ2 — 24Л
[84 112
112 160
76 112
16?;
76
112
84
Задача 9,14 (для самостоятельного решейия). Найти характе-
характеристическое уравнение матрицы
 2 2'
2 1—2
/4=
2 —2
1
ее собственные значения и, пользуясь теоремой Кэли-Гамильтона,
обратную ей матрицу Л
Ответ. 1) I3— За2 — 9л + 27 = 0;
2.) A.J = о; Ag == "I '¦з == —¦-'>
О\ Д~1 * I/Л О. А
О) /1 оу ^Л О/1 -
[_3 —6 -6"
-6 -3 6
-6 6 —3_

ДЕСЯТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ
Содержание. Применение матриц к приведению квадратичной формы
двух переменных к сумме квадратов (к каноническому виду). Упрощение урав-
уравнений кривых второго, порядка.
СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Упрощениями уравнений кривых второго порядка мы уже за-
занимались в первой части этой книги на четырнадцатом практи-
практическом занятии. Сейчас возвратимся к этому вопросу и покажем,
что привлечение матричного исчисления к решению этой задачи
значительно облегчит его.
Прежде всего кратко изложим теорию приведения квадратич-
квадратичной формы двух переменных к сумме квадратов, к так называе-
называемому каноническому виду, и полученные выводы применим к уп-
упрощению общего уравнения кривой второго порядка.
КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ
И ПРИВЕДЕНИЕ ЕЕ К СУММЕ КВАДРАТОВ
(К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ).
Квадратичной формой двух переменных называется выражение
вида
2 2
F (хи х2) = ? S aijXiX,. A0,1)
В развернутом виде оно записывается так:
2
F(Xlt Хъ) = 2
/
Окончательно
1г х2) = аих\ + anXiX2 + а^х^х^ + а22х\. A0,2)
Если окажется, что коэффициенты а12 и а21 при произведении
хух2 равны между собой, т. е. a2i—a12, то формула A0,2) при-
примет вид
F {хи хг) = аиА + 2% 2xlXi Н- <Игх\. A0 Л)
237

С таким видом квадратичной- формы мы будем встречаться
при решении задач. Легко проверить, что выражение A0,2) может
быть записано в виде произведения трех матриц
YX%
Введем такие обозначения:
2J.
А — матрица коэффициентов квадратичной формы.
Если квадратичная форма имеет вид A0,2), то матрица ее
коэффициентов будет симметричной и запишется так:
-ё а-
a22i
Таким образом, элементы, стоящие на второй диагонали, равны
между собой и каждый из них равен половине коэффициента при
произведении ххх2 в квадратичной форме A0,2i). Именно в таком
виде A0,4i) мы и будем применять матрицу А коэффициентов квад-
квадратичной формы при решении задач. Обозначим
Х = '^1; A0,5)
1*2-1
Х' = [х1 х2] A0,6)
(матрица X' является транспонированной матрицей X).
Выражение A0,3) с этими обозначениями запишется так:
F(xlt x2) = X'AX. A0,7)
Задача состоит в том, чтобы выражение A0,2!) или, что то
же, выражение A0,7) представить в виде суммы квадратов. В этом
виде оно не должно содержать члена с произведением переменных
Xi и х2. Преобразуем это выражение к новым переменным х[ и х'2
так, чтобы оно приняло вид
F{xv *а =*!*;»+W, (Ю,8)
причем может оказаться, что один из коэффициентов Хх или Х2
будет, равен нулю. Это выражение, как легко проверить, можно
представить в виде произведения трех матриц
238

или, введя обозначения
= [х[ х
2);
получим
F(x'v x'2) = X'*LX*.
A0,10)
A0,11)
A0,12)
1
(ЮЛЗ)
Таким образом, задача сводится к определению коэффициентов
и Х2 в выражении A0,8).
М
Фиг. 10,1
Перейдем к геометрическому истолкованию этого преобразо-
преобразования. Будем рассматривать переменные хг и х2 как координаты
точки М на плоскости в системе прямоугольных координат (xlt
х2): ось О*! — ось абсцисс, а ось Ох2—ось ординат. Сохраняя
без изменений начало координат, повернем систему координат
xl0x2 на некоторый угол а. Мы получим новую систему коор-
координат, которую обозначим х[0х'2, а координаты точки М в новой
слстеме координат — через х\ и х2 (фиг. 10,1).
Единичные векторы осей первоначальной системы координат
назовем i и /, а новой системы координат — соответственно ix и jv
Обозначим
cos(i, i^) = cos a = ln; cos(i, /x) = cos (90° + a)
cos(/,v ix) = cos(90° — a)=sina = Z21; cos(/, /!)=
,. A0,14)
239

Радиус-вектор точки М (хи хг) в первоначальной системе коор-
координат
r = xj + xj,
а в новой системе координат
г = x1i1 -j- x2ji,
поэтому
xj + xj = x'J! + x'Ji. A0,15)
Умножая обе части этого равенства сначала на Г, а потом на
/..учитывая также, что скалярное произведение двух векторов
равно произведению их модулей на косинус угла между ними,
принимая во внимание обозначения A0,14) и то, что модуль орта
равен единице, зная, что для скалярных произведений ортов осей
прямоугольной системы координат имеют место равенства
0, если k ф р
1, если k = р,
получаем
Х\ == X^lii -j- X2/j2*
х2 = x[l21 + x'2l22. A0,16)
Эти формулы выражают первоначальные координаты хх и х2
точки через ее новые координаты х[ и х'2. В матричном виде эти
формулы выглядят так:
М«[{" Н-И]. (Ю.17)
Учитывая уже введенные обозначения A0,5) и A0,10) и вводя
обозначение
S = [!" Н, (Ю,18)
1-421 *22J
формулы A0,17) перепишем в виде
X = SX*. A0,19)
Матрица S называется матрицей преобразования. Заметим, что,
как это следует на основании A0,14), она ортонормирована. Дей-
Действительно,
Из этого вытекает, что транспонированная к ней матрица
Г/ / 
о/ _ hi '2i
, S ~ Ua /J
240

является для нее и обратной, т. е.
S' = S A0,20)
(убедитесь, что SS' — Е).
Умножив обе части формулы A0,19) слева на S, получим
или, читая справа налево,
X* = S~1X. A0,21)
Для перехода от новых координат х[ и х'2 точки М к ее пер-
первоначальным координатам надо уравнения A0,16) решить относи-
относительно х[ и х'2. Это легко сделать, умножив скалярно обе части
равенства A0,15) сначала на ilt а потом на Д. Учитывая замеча-
замечание относительно скалярного произведения ортов осей прямоуголь-
прямоугольной системы координат (стр. 240) и прочитывая полученные равенства
справа налево, получим
Xi = *1< и -f- X2I2H
x'2 = x1l12 + x2l22. A0,22)
Эти формулы выражают новые координаты х[ и х\ точки М через
ее первоначальные координаты.
В матричном виде они запишутся так:
Но матрица
Г/11 hi)
ill» k2i
по отношению к матрице S A0,18) является транспонированной,
а поэтому она равна 5', а на основании A0,20) она равна 5.
Поэтому формула A0,23) совпадает с ранее полученной форму-
формулой A0,21)
X* =
Легко проверить, что наряду с A0,21) имеет место и равенство
X'* = X'S, A0,24)
а с равенством A0,19) — равенство
X' = X'*S~K A0,25)
Теперь уже мы можем от старых переменных перейти к новым,
для чего заменим вA0,7) X' по формуле A0,25), а X—по формуле
A0,19). В новых переменных х^ и х2 функция ^(^i, x2) запишет-
запишется так:
F (*;, х2) = X'*S~1ASX*. A0,26)
241

Если обозначить
S-*AS = A; A0,27)
то
F(x'lt x'2) = X'*A*X*.
Сравнивая/ это выражение с выражением A0,13), приходим к вы-
выводу, что
Л* = L,
т. е. на основании A0,27)
= L
Если это равенство умножить слева на S, то
= SL,
ИЛИ i
AS=SL. A0,28)
Из этого матричного уравнения должны быть определены эле-
элементы матрицы L, т. е. величины Хх и Х2, а также элементы
матрицы S, т. е. величины lu, l12, hi и /22.
Выполним умножение в левой и правой частях A0,28), учиты-
учитывая A0,4), A0,12) и A0,18),
[а а 1 Г* * 1 Г* * 1 Г^ 01
«21 «22-* *-^21 ^22-1 L ^21 ^22-* LU ^2-»
Отсюда следует:
Г«11*11 ~\~ «12*21 «11*12 " «12*221 |*11^1 *12^2| ¦
п 1 I п t I _1_ л / I = / 1 / 1 I *
Lu2i4ii -|- fl-22t2l «21^12 Г «22^22' '¦^21^'1 ь22^2'
На основании условия о равенстве двух матриц получаем
Эти две системы уравнений перепишем: ч
(«и — К) *п + «i2*2i = 0; (ап — \2) /12 + а12/22 = 0;
Зацишем их и в виде одной системы уравнений
(аи — М 1ц + a12l2i = 0 )
- ХЛ/,. = 0 )'
в которой индекс t может принимать значения 1 и 2.
Эта система является системой двух линейных однородных
уравнений. Для того чтобы она имела не тривиальное решение, не-
242

обходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю,
т. е. чтобы
O-W —~ ^ #12
#21 #22 X
= 0 A0,31)
(индекс i у X мы опустили).
Нетрудно видеть, что уравнение A0,31) есть характеристичес-
характеристическое уравнение матрицы А. Раскрыв определитель A0,31), получим
квадратное уравнение, решив которое, определим Хх и Х2, т. е.
собственные значения матрицы А. Подставляя поочередно эти
значения X в систему A0,30), найдем элементы 1п, /21, /12, /22
матрицы преобразования S. После того как определены Xj и Х2,
преобразование квадратичной формы к каноническому виду можно
считать законченным. Элементы матрицы S необходимы для того,
чтобы по формулам A0,16) выразить первоначальные координаты
хг и х? через новые координаты х[ и х'.2.
Заметим, что. решая квадратное уравнение относительно X,
можно встретиться с тремя случаями: 1) ~кг и Х2 различны; 2) Хх=
= Х2; 3) какое-нибудь из этих значений равно нулю.
Задача 10,1. Преобразовать к каноническому виду уравнение
с^2 л% % i 2^2 __ 24
Решение. Матрица коэффициентов А в формуле A0,4) в дан-
данном случае имеет вид
А-\ 5 ~21
1-2 2J' .
а характеристическое уравнение A0,31) запишется так:
Отсюда
т. е.
-2 2-Х
= 0.
E —Х)B—X)—4 = 0,
\2 _ 7Х . 6 =
0
Возникает вопрос — какому из найденных значений X приписать
значение Хь а какому Х2? Условимся так нумеровать значения X,
чтобы угол поворота а координатных осей ХтРх2 был острым, т. е.
так, чтобы выполнялось неравенство tg а > 0. В матрицу S фор-
формулы A0,18) входят элементы /ш 121 и 11Ъ 122. На основании
формул A0,14)
/u = cos а; 112 = —sin а
/21 = sin а; /22 = cos а,
243

а потому
tg«~jj, или tga = -|\ A0,32)
Пользуясь системами A0,29), надо так пронумеровать X, чтобы
отношения
были положительными.
Примем сначала 'Хх = 1.
В первую систему A0,29) подставим lt= 1. Учитывая, что
пц =5; а12 = —2; а21 — —2; (a12 == a21); ^82 == 2,
получим
5
u + ()/21 0.
Отсюда
4/n-2/21 = 0;
-2/ц + /21 = 0.
Очевидно, что второе уравнение является следствием первого. От-
Отбрасывая второе уравнение, имеем
4/„-2/21 = 0,
откуда
'и о
/ — »
«и
т. е. на основании A0,32) tga = 2>0.
На этом положительном значении tg a мы и остановимся и будем
считать, что \х = 1, а значит, Х2 = 6. В дальнейшем нет надоб-
надобности рассматривать два уравнения в каждой из систем A0,29),
так как второе уравнение в них является следствием первого.
Если бы мы в качестве X приняли \х = 6, то с учетом зна-
значений Chi 0i2> ^22 получили бы
E_6)/и-2/21 = 0з
—/ц — 2/21 = 0,
откуда
кх_ 1
Т — —о"»
т. е. на основании A0,32) tga = — у. Заметьте, что произведение
найденных тангенсов равно —1. Так как при Хх = 1 мы получили
tg a > 0, а при 1Х = 6 оказалось, что tg a < 0, надо оставить
именно эту нумерацию и взять
^•i =1; Х2 = о.
244

В преобразованном виде заданное уравнение запишется так (фор-
(формула 10,8):
х? + %х? = 24.
Оно определяет эллипс
с полуосями
+ А2
а = 2/6; 6 = 2.
Из условия, что tg a = 2, мы определим и угол поворота.
К задаче 10,1
Задача 10,2 (для самостоятельного решения). Преобразовать
к каноническому виду уравнение
11х2 + 8ху + btf — 78 = 0.
Указание. В отличие от предыдущей задачи переменные
здесь обозначены через х и у, а не через хх и х2.
Корнями Х1 и Х2 характеристического уравнения являются
числа 3 и 13. Чтобы выполнялось неравенство tg a > 0, надо за-
занумеровать X
Xj = loj />2 ^ о.
Окажется, что
Если бы взять >•! = 3, то
Заметьте, что произведение найденных тангенсов равно —1.
245

Ответ. Преобразованное уравнение имеет вид
\Ъх\ + Ъу\ — 78 = 0
или
2 а
Xl . i!i _ 1
6 "т" 26 ~ -
Кривая — эллипс с полуосями п = |^6; b = j/26.
Задача 10,3 (для самостоятельного решения). Упростить урав-
уравнение линии
13л:2 + бху + 5у2 — 56 = 0.
Указание. Характеристическое уравнение имеет вид
13-Х 3
3 5-Х =а
Его корнями являются числа 4 и 14. Если принять, что Xj = 4,
то
Если же Xj = 14, то tga = y. Это значение tga определится из
уравнения
' —ki + 3/21 = 0.
Ответ. В каноническом виде заданное уравнение запишется
так:
14^ + 4^—56 = 0
или
8 2
4 + 14 ~ Ь
Кривая — эллипс с полуосями а — 2; b — ]/Т5.
Теперь решим несколько задач на упрощение общего уравнения
кривой второго порядка.
Задача 10,4. Привести к простейшему виду уравнение линии
2 + 2xi + 9xi + 12х2—2 = 0-
Решение. Матрица коэффициентов квадратичной формы
2х\, входящей в левую часть уравнения, запишется так:
Г2 51
2\
I
а характеристическое уравнение этой матрицы
[2-Х 5
L 5 2 —
246

Его корнями являются числа — 3 и 7. Выясним, какое из них
принять за \1г а какое — за \2- Для этого воспользуемся первым
уравнением первой системы A0,29), полагая в нем ап = 2; а12 =
= #21 == "> ^22 == 2, Л^ = О.
12-(-3)]/п + 5/21 = 0; 5/„ + 5/я1 =* 0;
Таким образом, если Хх = —3, то tg a < 0. Положим теперь, что
li = 7. Тогда из того же уравнения
' B-7) /и + 5/21 = 0; —5/ц + 5/81 = 0; /„ =,/„;
tgo = ja=i. (ю.зз)
'11
На этом значении мы и остановимся, приняв, таким образом, что
Квадратичная форма 2x1 ~Ь lOxLxs + 2x\ приобретет вид
1х'\—Ъх'\. A0,34)
Чтобы определить все элементы матрицы преобразования S, нам
осталось найти соотношение, связывающее /12 и /22. Для этого
воспользуемся первым уравнением второй системы в A0,29):
(аП ^г) *12 + #12^22 = 0
или
[2- (-3)] /1Я + 5/22 = 0; 5/и + 5/22 = 0;
'l2 1. I I
I »l '22 '12-
Так как на основании A0,32)
то
tga=l.
Таким образом, получилось прежнее значение для tg a — см. A0,33).
С учетом найденных зависимостей между /21 и 1и и между /22
и /12 матрица преобразования
о ' Г'и hi\ _ [Ai *1г1 im ос»
L*21 '22J Ltn — (j2J
Но следует иметь в виду, что в формуле A0,18) матрица S яв-
является ортонормированной, как это было подчеркнуто на стр. 240
и использовано в последующем выводе. Поэтому и, полученную
при решении этой задачи матрицу S в формуле A0,35) надо при-
привести к такому же виду, чтобы она стала матрицей преобразования.
24?

Нормирующий множитель для элементов первого столбца
1__
1
1
± VZ+Hx
нормирующий множитель для элементов второго столбца
Теперь возникает вопрос, какой знак перед корнем в выраже-
выражениях нормирующих множителей пх и п2 должен быть выбран. Так
как мы условились угол поворота а брать в первой четверти, то
tga>0, sina>0 и cosa>0. Поэтому в матрице преобразования
S элементы первого столбца /u = cosa и /21 = sina должны быть
положительными: /и > 0; /2i > 0. Во втором столбце элемент /12 =
= — sin a, а потому этот элемент должен быть отрицательным,
ибо, если —sin a < 0, то sina>0 и второй элемент этого столбца
/22 = cosa и должен быть положительным. В связи с этим после
нормирования матрицы S в формуле A0,35) следует взять у ^ пе-
перед корнем знак плюс, а у п2 — знак минус:
После этого мы можем преобразовать к новым осям и линейную
часть заданного уравнения 9лх + 12х2—2. На основании формулы
A0,19)
X
т. е. с учетом матрицы SH0Pm
[Sir
~JL __L~
yi yi
1 1
или
Отсюда
1 - 1 .
9
12"
9 _ 21 v' Д. 3 «' 9
Учитывая, что квадратичная форма в составе заданного уравнения
приобрела вид A0,34), запишем его так:
7х'2 Ъх'2 1 21}Г2х' | 3}/1? 2^0
248

Выделим полные квадраты в левой его части, переписав уравнение:
у^ + ф^-З^-?!,;)_ 2 = 0;
или
К задаче 10,4
Теперь сделаем параллельный перенос координатных осей. Поло-
Положим, что
,' , 3/2
4
/2
*i = *i + '-— |
249

Из этих формул видно, что новое начало координат Ох в системе
'л ' * 31/2
координат х1Охг имеет абсциссу, равную — , и ординату, рав-
1/2 I 3l/2 l/2\
НУЮ V' т- е- Oll Т~ ' V/ (см- Ф°РМУЛУ A2.12) преобразо-
преобразования координат' при параллельном переносе координат в двенад-
двенадцатом практическом занятии первой части этой книги). Уравнение
A0,35) принимает вид
1Л1 oxi ~ 2
ИЛИ
?l ^ 1
19 19 ~ 1ш
Т4 Т
Кривая — гиперболах полуосями
Первоначальная система координат х^0х% была повернута на угол
а, тангенс которого на основании A0,33) равен 1, а сам угол а = х •
В этой повернутой системе координат центр гиперболы находится
в точке
/ 31/2 V2)
Г~ 4 • 4 / '
Задача 10,5. Упростить уравнение линии
12л:2 — 4ху — 15г/2 — 48* — 16% + 400 = 0.
Решение. Матрица коэффициентов квадратичной формы 12л:2
— Аху + 15г/\ входящей в уравнение,
12 —
-2 15
Характеристическое уравнение этой матрицы
12 — X —2
—2 15 —
имеет корни 11 и 16.
Определим матрицу преобразования S. Из системы A0,29) при
X = 11 получаем
/и —2/21=0 и —4/12 — 2/22 = 0.
250

Отсюда из первого уравнения
а из второго
• '22 = ^12-
Угол поворота координатных осей определится из равенства
Ig ее = "g- ¦
Так как при X = 11 оказалось, что tg а > 0, мы припишем. X пер-
первый номер. Итак,
Х1== 11; Х2= 16.
Квадратичная форма 12л;2 — 4ху+ 15г/2, входящая в уравнение, при-
приобретает после поворота осей вид
llxl + l%f • A0,37)
Матрицу преобразования S, учитывая, что /2) = у /и, а /22 = — 2/12,
запишем так: ' .
'In hi
Нормирующий множитель первого столбца
1 2
A0,38)
п, =•
Нормирующий множитель второго столбца
1 1
На основании разъяснений относительно выбора знака у корня в
выражении для щ и п2 (стр. 248) .выбираем у пг знак плюс, а у
и2 — минус
Внося эти множители в матрицу A0,38), получаем
"_2_ __1_"
VI VI
1 2
251

Обратимся к преобразованию линейной части —48х — 168г/ + 400
заданного уравнения.
По формуле A0,19) выразим х и у через новые координаты хх
X = SX*\
1/5 1/5
i/1 ve_
(здесь #j заменен на л:, а х2 на г/).
[;:]
A0,39)
С помощью этих формул линейная часть заданного уравнения
-48*- 16% + 400 = -ЩХг-^У1 + 400.
С учетом того, что квадратичная часть заданного уравнения на
основании A0,37) преобразовалась'в 11дг| + 16г/^, все заданное урав-
уравнение перепишется так:
11*»+ 16^-^-^
Теперь нам осталось выделить полные квадраты
-^*) + 400 = 0;
-pi *
11 (Xl - Щ+ 16 (уг - ^~ 576 + 400 - 0;
A0,40)
Сделаем параллельный перенос координатной системы xfiyx- вве-
введем замену
12 9
X У
252

Этим преобразованием начало повернутой системы координат пере-
A2 9 \
-?=, -г=\ (учесть, что это координаты нового
начала в системе координат ХуОу{).
В системе координат лг2Огг/2 уравнение A0,40) запишется так:
!!*¦+ 16г/?= 176
или
К задаче 10,5
Кривая — эллипс. Его полуоси: а = 4; & = ]/11. Координаты но
12 9
вого начала
Ш • 9
д
12 9
в системе координат х\Оух равны -т=. и -^;
у 5 |/ 5
Докажите, что координаты нового начала Ох в первоначальной
системе координат равны C; 6), а фокусы находятся в точках с
координатами A; 5); E; 7).
Задача 10,6 (для самостоятельного решения). Упростить урав-
уравнение линии
Зх2 — 8ху + Зг/2 + 8* + 8у — 39 = 0
и определить координаты ее центра и фокусов в первоначальной си-
системе координат.
253

Указания и промежуточные результаты
1. Матрица коэффициентов
2. Характеристическое уравнение
Х2 _ 6Х — 7 = 0.
3. За Х2 принять X = — 1, а Х2 = 7.
К задаче 10,6
4. Квадратичная форма уравнения Зле2 — 8ху + Зг/2 преобра-
преобразуется к виду
-4 + 4-
5. Угол поворота определится из условия tg а = 1
hi = *11» '22 == Н2>
6. Нормирующие множители
254

7. Нормированная матрица преобразования
•Ьнорм ==
1/2
1
_
/2
1
Линейная часть заданного уравнения 8х + 8у — 39 преобразуется
к виду -^jti—39.
Ответ. Кривая — гипербола. Ее каноническое уравнение
г г
— Т- 1.
В первоначальной системе координат ее центр находится в точке
D; 4), а фокусы —в точке B; 6) и F; 2).
Задача 10,7 (для самостоятельного решения). Упростить урав-
уравнение линии
H4jc2 — 120*г/ -f- 25г/2 — 1090л: — 2616г/ + 24961 = 0.
Указания и промежуточные результаты
1. Матрица коэффициентов
144 -60
-60 25
1
Г
2. Характеристическое уравнение
X2 — 169*. = 0.
Принять, что Х2 = 0; Х2 = 169. Квадратичная форма 144л:2 — \20xy +
+ 25г/2 преобразуется в 169г/|.
А/ '
3. tga = ^; I21^-lu; l22 =
4. Нормированная матрица преобразования
T3
12
IT
13
5
5. Линейная часть уравнения
— 1090л: + 2616г/ +24961
преобразуется к виду —2834*i -f- 24961.
255

Ответ. Кривая — парабола, определяемая уравнением 13у\ =
= 218лгг. В системе координат XiOylt вершина параболы находится
в точке @? о).
Задача 10,8. Упростить уравнение линии
8*2 + 4ху + 5г/2 + 48л; — 24у + 108 = 0
и определить координаты ее фокусов в первоначальной системе
координат.
Промежуточные результаты \
1. Характеристическое уравнение
2. Матрица преобразования
"норм —
норм
- 2
1/5
1
1
1/5
2
1/5
4. В повернутой системе координат XiOyx заданное уравнение
приобретет вид
+ ^-^ + 108 = 0.
5. После выделения полных квадратов это уравнение запишется
так:
Ответ.
Координаты фокусов в первоначальной системе координат:
1-5; 6); (-3, 2),
256

ОДИННАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Поверхности уровня, производная по направлению, градиент
функции.
Это и шесть следующих практических занятий посвящаются
векторному анализу.
Прежде нем решать задачи из этого практического занятия,
рекомендуется повторить основы векторной алгебры, в особенности
такие понятия, как скалярное и векторное произведения, векторно-
скалярное произведение, двойное векторное произведение, а также
основы теории проекций.
Ниже для справок помещены основные понятия и формулы век-
векторной алгебры.
1. Вектор и его координаты. В прямоугольной системе коорди-
координат каждому вектору а ставятся в соответствие три числа — его
проекции ах, ау и аг на координатные оси Ox, Оу, Oz. Эти числа
называются координатами вектора, а вектор записывается в виде
а{ах, ау, аг}. Если точка А(хи уъ гх)—начало вектора, а точка
¦6 (хг, у2, г2) — его конец, то его проекции на оси прямоугольной
системы координат равны разностям между одноимёнными коорди-
координатами его конца и начала
о-х = *2 — Хь ау — у2 — уi; аг = г2 — гх.
Учитывая эти формулы, вектор а можно записать и в таком виде:
2. Длина вектора. Длина вектора а, или (что то же) его мо-
модуль, обозначается одним из символов \а\ или а и определяется
по формуле
Xlf + (Уг - Ulf + B2 - Zxf.
3. Равенство векторов. Два вектора одинаковой длины, лежа-
лежащие на параллельных прямых и одинаково направленные, назы-
называются равными.
4. Произведение вектора на скаляр. Произведением вектора
а на скаляр т называется вектор, модуль которого равен та —
произведению числа т на модуль вектора а. Этот новый вектор
направлен так же, как.и вектор а, если от>0, и противоположно
9 И. А. Каплан 257

ему, если т < 0. Вектор —й называется противоположным век-
вектору а.
5. Единичный вектор. Орт. Вектор, по направлению совпадаю-
совпадающий с данным вектором и по модулю (длине) равный единице,
называется единичным вектором данного вектора, или ортом.
Единичный вектор обозначается той же буквой, что и данный, но
с ноликом в виде показателя степени. Таким образом, единичный
вектор вектора а обозначается а0
а = аа°.
6. Направляющие косинусы вектора. Косинусы углов, которые
-вектор составляет с положительными направлениями координатных
осей, называются направляющими косинусами вектора. Углы, состав?
ляемые вектором с координатными осями Ох, Оу и Ог, обознача-
обозначаются в дальнейшем соответственно через а, [3 и у.
Между направляющими косинусами вектора существует соот-
соотношение
cos2 a + cos^ C + cos2 у = 1.
7. Проекция вектора на ось. Проекция вектора а на ось есть
скалярная величина, равная произведению модуля вектора на ко-
косинус угла между направлением оси и направлением вектора:
щ = прД = a cos (Г, а).
Проекции вектора а на оси Ох, Оу и Ог прямоугольной си-
системы координат обозначаются соответственно через ах, ау и аг и
определяются по формулам
аг = a cos у; cos у = —
(обозначение углов вектора с координатными осями дано в преды-
предыдущем пункте). Если а0 — единичный вектор, то на основании этих
формул (учитывая, что в этом случае его модуль равен 1) его
проекции на оси Ох, Оу, Ог равны его направляющим косинусам
(а°)х = cos а; (а°)у = cosfr (а°)г = cosy.
8. Разложение вектора по трем координатным осям прямо-
прямоугольной системы координат. Если ах, ау и аг — проекции век-
вектора а на оси Ох, Од и Ог прямоугольной системы координат, а i, j
и k — единичные векторы этих осей, то имеет место формула
a = aj + ayj + а Д
258

9. Радиус-вектор точки. Радиусом-вектором точкиМ {х, у, г)
называется вектор, обозначаемый обыкновенно через г, имеющий
начало в начале координат, а конец — в этой точке. Проекции
радиуса-вектора 7 на оси Ох, Оу, Ог равны соответственным ко-
координатам его :юнца
Г = У Г = V* ^Г = 7
' х •*' 'у vt ' г с»
поэтому . • ,
r = xi+yj + zk.
10. Скалярное произведение двух векторов. Скалярным произ-
произведением двух векторов а и Ь, которое обозначается символом
а • Ъ, называется произведение их модулей на косинус угла между
ними. Если угол между векторами обозначить буквой ср, то согласно
этому определению скалярное произведение а • Ъ векторов а и Ъ
находят по формуле
а • Ъ = ah cos ср.
Скалярное произведение двух векторов есть число. Так как
fecostp = пр-6, a a cos <р = пр^а,
скалярное произведение
а % Ъ = а пр-6 =
^СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
I. Если векторы а и & перпендикулярны: ujl&.'to их скаляр-
скалярное произведение
а • Ь = 0.
II. Скалярное произведение двух равных векторов (иначе, ска-
скалярный квадрат) равно квадрату модуля
а >а — аг.
III. Скалярное произведение векторов подчиняется законам, ана-
аналогичным законам произведения чисел:
а) а • b ~ b • а переместительный (коммутативный) закон;
б) (а + Ь)'С — й'С + Ь'С закон распределительности (дистри-
(дистрибутивности) по отношению к сложению;
в) (па) • b = n(a*'b) сочетательный (ассоциативный) закон по
отношению к умножению на число.
IV. Выражение скалярного произведения а • Ъ через проекции
этих векторов на оси прямоугольной системы координат.
Если _
а{ах, ау, аг), a b{bx, byt bz}t
то
259

Если векторы а и b перпендикулярны, то
V. Косинус угла между двумя векторами.
Если 9 — угол между векторами а и Ь, то
Clxbx + Oyby + огЬг
ИЛИ
COS9 = ~7
Если вектор а с координатными осями Ох, Оу и Ог составляет
углы, соответственно равные а, р и у, а вектор b с теми же осями
составляет углы <хь рх и т1( то косинус угла 9 между этими век-
векторами определяется по формуле
cos 9 = cos a cos a1 -f- cos p cos pz + cos у cos jt.
11. Векторное произведение двух векторов. Векторным произ-
произведением двух векторов а и Ь, которое обозначается символом
а х b (читается «а крест 6»), называется вектор, модуль которого
равен произведению модулей перемножаемых векторов на синус
угла между ними. Вектор а х b направлен по перпендикуляру к
плоскости, определяемой перемножаемыми векторами й и b в такую
сторону, что наблюдателю, смотрящему с конца вектора а х b на
перемножаемые векторы а и Ь, кажется, что для совмещения пер-
первого множителя й со вторым множителем b по кратчайшему пути
первый множитель нужно вращать против движения часовой стрелки.
Свойства векторного произведения двух векторов
I. По определению векторного произведения
| с X Ъ | = ab sin a.
II. а Х~5 = ~Ъх а,
т. е. изменение порядка сомножителей в векторном произведении
влечет за собой изменение его знака: векторное произведение не
подчиняется переместительному закону.
III. Векторное произведение подчиняется распределительному
закону по отношению к сложению
IV. Векторное произведение подчиняется сочетательному закону
относительно умножения на число
(па) х b = п(а xb).
260

V. Если известны проекции векторов а и Ъ на оси прямоугольной
системы координат
а{ах, аи, аг}\ b~{bxt by, Ьг),
то их векторное произведение определяется по формуле
а х Ъ = (аА — агЬуI + (а~Ьх — сАO ЩаА — ауЬх) Ъ,
где i, /и Л — орты координатных осей.
Отсюда видно, что проекции векторного произведения на коор-
координатные оси равны
(axb)x = а А — a2by] (а х Ь), = арх — aj>j
(а хй)г = аЛ —«А-
Векторное произведение axb двух векторов а{аж, aj,, аг) и
F{6X, 6j,, &г} может быть записано в виде определителя
[i j k
ax ay a2
bx by Ъг_
VI. Условие параллельности двух векторов. Необходимым и
достаточным условием параллельности двух векторов а{ах, ау, аг\
и b\bx, by, Ьг} является равенство нулю их векторного произве-
произведения, т. е. необходимым и достаточным условием параллельности
двух векторов является выполнение условия а х~Ь = 0, или, что
равносильно, пропорциональности их одноименных проекций
ах Оу аг
Ьх Ьу Ьг'
12. Векторно-скалярное произведение трех векторов. Так на-
называется произведение трех векторов типа (а хЪ) • с. Здесь сна-
сначала выполняется векторное произведение а х Ь, а затем оно ска-
лярно умножается на вектор "с. Через проекции сомножителей на
оси прямоугольной системы координат векторно-скалярное произ-
произведение
су с,
(а х Ь) • с =
6. b
ау
К
Свойства векторно-скалярного произведения
I. Если в векторно-скалярном произведении два каких-либо
множителя коллинеарны, то это произведение равно нулю.
И. В векторно-скалярном произведении допустима циклическая
перестановка множителей.
261

13. Векторно-векторное произведение трех векторов. Так назы-
называется произведение трех векторов, имеющее вид
а х Ф X с). ¦
Иногда вектбрно-векторное произведение называетсядвойным вектор-
векторным произведением.
Векторно-векторное произведение а х (b x с) трех векторов вы-
вычисляется, по формуле
а х (Ъ х с) = b (а • с) — с (а ¦ Ь).
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Физическое поле. Физическим полем называется часть прост-
пространства или все пространство, в котором происходит физическое
явление.
2. Скалярное поле. Физическое поле называется скалярным,
если физическое явление, его образующее, характеризуется функцией
f — f Iх, У> z)> зависящей только от координат точек про-
пространства, в котором это явление происходит. Скалярное поле пол-
полностью определено заданием одной функции f (х, у, г) трех незави-
независимых переменных. Эта функция, независимо от ее физического
смысла, называется потенциалом поля.
Если физическое явление образовало скалярное поле, то каждой
точке Р (хи Ун ?i) пространства, в котором происходит это явле-
явление, ставится в соответствие определенное число, характеризующее
данное явление в рассматриваемой точке. Это число есть частное
значение функции f (х, у, г), вычисленное в точке Р (примерами
скалярного поля являются; поле электростатического потенциала,
давление в атмосфере).
3. Поверхность уровня. Если однозначная функция соответствует
скалярному полю, образованному физическим явлением, то поверх-
поверхностью уровня (или эквипотенциальной поверхностью) этого поля
называется поверхность, во всех точках которой функция / (х, у, 2)
сохраняет одно и то же значение.
Поверхности уровня определяются уравнением
f(x, у, г) = С, A1,1)
где С — постоянная'величина.
Придавая постоянной С различные числовые значения, получим
семейство поверхностей уровня. Через каждую точку пространства
проходит одна поверхность уровня. Во всех точках поверхности
уровня физическое явление протекает одинаково.
Уравнение поверхности уровня, проходящей через точку
Уъ 2i), имеет вид
fix, у, z)=f(Xl, уъ г,). A1,2)
262

4. Производная по направлению. Производная от функции
9 (х, у, г) по направлению (Г) характеризует скорость изменения
функции <р (х, у, z) по этому направлению, вычисленную в точке
с координатами х, у, г. Эта производная вычисляется по формуле
J = gcosG, JC) + |cosG, r/)+|cos(Z, 2). A1,3)
Величина производной по направлению зависит от выбора точки Р,
в которой она вычисляется, и от выбора направления, по которому
она вычисляется. Направляющие косинусы направления 7 входят
множителями в формулу A1,3), а координаты точки Р являются
аргументами частных производных, входящих в эту. формулу.
5. Градиент функции. Градиентом скалярной функции ^ (д:, у, z)
называется вектор, проекции которого на координатные оси Ох,
Оу и Oz соответственно равны ^, -Д и ^, т. е.
grad^-gf+gf+g*. , . A1,4)
На основании этого определения проекции вектора grad 9 на
координатные оси запишутся так:
(grad9), = |; (grad9), = g; (grad 9)* = g A1,5)
(предполагается при этом, что 9 {х, у, z) — однозначная непрерывная
функция, имеющая непрерывные частные производные).
Модуль вектора grad 9 вычисляется по формуле
Если 1" — единичный вектор направления I
7° = cos (l, х) I + cos (I, y)j + cos {I, z) ~k,
то правая часть формулы A1,3) есть скалярное произведение век-
вектора grad 9 на этот единичный вектор Г
- dl
A1,7)
Так как | Т \ = 1, то скалярное произведение
grad 9 • 1° = | grad 91 • 1 • cos (grad 9, 7°) = j grad 9] • cos (grad 9, J°),
поэтому наибольшее значение скалярного произведения grad 9 ¦ 7°
равно модулю grad9. т..е. | grad у (. Это будет иметь место тогда»
263

когда направление / совпадет с направлением вектора grad <р, так
как в этом случае cos (grad <?, Г) = 1.
Поскольку производная функции <р по направлению характери-
характеризует скорость изменения функции <р по этому направлению, то можно
сказать, что вектор grad у есть вектор, в направлении которого ско-
скорость изменения функции <р является наибольшей и эта наибольшая
скорость \j§) по модулю равна | grad <р |, т. е.
или
CL- /(if
Вектор grad у в каждой точке направлен по нормали
к поверхности уровня, проходящей через точку, в сто-
сторону возрастания функции. Модуль этого вектора равен ско-
скорости изменения функции <р (х, у, г) по этому направлению нор-
нормали. Скорость изменения скалярной функции ср (х, у, г) по неко-
некоторому направлению (Г) равна проекции вектора grad <p на это
направление, т. е.
J A1,8)
В этом состоит основное свойство градиента функции: производ-
производная функции 9 по направлению 7 равна проекции вектора гради-
градиента <р на направление 7.
Величина и направление градиента не зависят от выбора коорди-
координатной системы.
Задача 11,1 (для самостоятельного решения). Найти поверх-
поверхности уровня потенциала у = — электростатического поля точеч-
точечного заряда, где г — расстояние точки М поля от точки, в которой
находится электрический заряд.
Решение. Поместим начало координат в точку, в которой
находится заряд. По формуле A1,1)
_е ~ е_
<р — г —ь; г — -?.
Если координаты точки М есть х, у и г, то
г =
264

Уравнение хъ + У% + za = га определяет семейство концентриче-
концентрических сфер с центром в точке, в которой помещен заряд.
Задача 11,2. Найти градиент потенциала <р = у- электростати-
ческого поля, | grad cp j и его направляющие косинусы, где г =
= Ух% + у2 + г2 — расстояние точки А{х, у, г\ поля от начала
координат, в котором находится заряд е.
Решение. Чтобы воспользоваться формулой A1,4) для опре-
определения grad <р, надо найти ||-, ^ и -^. У нас у = т~» а П0Т0МУ
проекция градиента этой функции на ось Ох
д (±
Поэтому
Значит,
Аналогично
дг
дх
2х
2 + у* + г* Vx* + у* + г2
Подставив значения найденных частных производных j-, Л
и ^в формулу A1,4), получим
или
grad 9 = — ~ {xl + у] + zk).
Но вектор xi + yj + zk равен радиусу-вектору г точки А {х, у, г)
— — — ~~ I ~
поля: xi + yj + zk = r, поэтому grad 9 = 3' r • Учитывая, что
— = г°, получим окончательно
grad ср = j г°.
265

По закону Кулона напряженность Е в точке' электростатического
поля точечного заряда определяется вектором -^г°* Последнюю
формулу поэтому можно переписать в виде
grad 9 — — ?
или
Из формулы A1,6)
Направляющие косинусы вектора grad-^- найдем по формулам
(gradi-,
cos
cos(g
(gradf, yj = —~; cos(grad f, 2) = — f.
Задача 11,3. Найти градиент? функции 9 (r), где г — расстояние
точки А (х, у, г) поля до начала координат (г = У^х2 + у2 + г2).
Решение. Чтобы воспользоваться формулой A1,4), определим
2jt
дг и дг г
и аналогично Ty = f\ Тг = Т
Получаем
df df dr ,,. x
г
Отсюда следует? /
266

так как xl + y'j + zk = T, a ? — орт вектора г • (г° = •?-].
Итак,
grad4>(r) = ?'(r)-?°. A1,9)
Рассмотрим важные частные случаи:
1) ?(г)=П ?'(O = /J
Тогда
gradr = ?> = -?-; A1,10)
,1 1 Г
grad_ = -_._
Окончательно
J- = —^. A1,11)
Если С — постоянная величина, то
? = —?.л A1,12)
Укажем на одно из применений только что полученного ре-
результата. •
По закону Ньютона материальная точка О массы т притяги-
притягивает материальную точку А (х, у, г) массы 1 с силой F, модуль
которой F — k -^-, где г = У х2 + у2 + га, a k — постоянная при-
притяжения.
Эта сила направлена от Л к О.
Поместим в точку О начало координат. Обозначим через г ра-
радиус-вектор О А точки А, а соответствующий ему единичный век-
вектор — через г° (г0 = — 1.
Тогда — г° будет единичным вектором для вектора ЛО, противо-
противоположного вектору г = О А. Сила F будет равна ее численной ве-
величине F, умноженной на — г°- и
m
¦p Ь— —
т. е.
F = — k-s- • r.
267

На основании формул A1,11) и A1,12)
F— . km
= grad —.
Легко проверить, что проекции силы притяжения Fx, Fy и Fz
являются частными производными функции V — — соответственно
по координатам х, у к г. Действительно, из F — — k -^ • г сле-
следует, что
г, km i-t km ,-t km
A V *"^™ Q Л| > ' *i Q +7* * 2 "" it*
X rS ' у pa •* * *¦ T
Если же взять частные производные от функции V =¦ -^, учи-
учитывая, что г -— К*2 + у2 -f 22, получим
5V Й/П ЙГ Й/П _? ЙОТ
57 ~~ 1* ' Ъ~х~~ ~W ' г' ~i*X
и аналогично
dV km dV km
ay г at дг г3 '
т. е. проекции силы притяжения равны
Таким образом, сила притяжения F — —-^- • г, о которой шла
речь, является градиентом функции V = — , т. е.
ktn
—,
а ее проекции на оси прямоугольной системы координат равны
частным производным от функции V = —, которая называется по-
потенциалом силы притяжения (это свойство потенциала силы при-
притяжения было замечено Лагранжем). Поэтому для определения силы
притяжения между двумя точками надо только найти ее потенциал,
отыскать его частные производные по координатам х, у и г, кото-
которые равны проекциям силы притяжения, а ее модуль найдется
по формуле
268

\ Если на точку А действует не только точка 0, но и неподвиж-
неподвижные точки Аи Л2, ... , Л„ с массами, соответственно равными тъ
tn2, ••• . тп> то потенциал,точки А
или
я
V = liTt>
i—l
где rt есть расстояние AAt, причем предполагается что гг ф 0.
Если масса непрерывно заполняет дугу кривой, поверхность или
тело, то потенциал этой массы относительно точки А вычисляется
по следующим формулам:
для случая кривой
V = j^5 A1,15)
i
для случая поверхности
(S)
для тела
Ш
(V)
В этих формулах dm— элемент массы.
Если точка А находится вне притягивающих масс, то все вхо-
входящие в эти формулы интегралы собственные.
В случае, когда точка А находится внутри притягивающей
массы, г становится равным нулю, подынтегральные функции не-
неограниченно возрастают, а интегралы делаются несобственными.
Однако эти интегралы существуют и проекции силы и в данном
случае определяют также по формулам A1,13). Доказательство
этого положения можно найти, например, в учебнике Г. М. Фихтен-
гольца «Курс дифференциального и интегрального исчисления»,
т. III, § 638.
Задача 11,4. Вычислить потенциал однородного призматического
стержня длиной 21 относительно материальной точки М с массой,
равной 1, лежащей на продолжении его оси. При этом учесть,
что поперечное сечение s стержня настолько мало, что стержень
можно рассматривать как отрезок прямой линии (см. чертеж).
* В этой и следующих формулах принято, что постоянная притяжения
k = 1. Это означает, что за единицу силы притяжения принята сила, с кото-
которой притягиваются друг к другу две материальные точки с массами, равными 1,
находящиеся одна от другой на расстоянии, равном единице.
269

Решение. Поместим начало координат в середину стержня./
Расстояние точки М от начала координат обозначим через х. При
решении задачи будем считать стержень отрезком прямой, поэтому
воспользуемся формулой A1,15). Если бы в условии задачи не было
этой оговорки,' интегрирование следовало бы производить по объему
стержня при помощи формулы A1,17). j
Входящий в числитель подынтегрального выражения A1, lq)
элемент массы мы найдем как произведение объема элемента стержня
на его плотность
dm — ?s dr,
где ~j — постоянная плотность стержня (постоянная потому, что
стержень однороден), dr — элемент длины стержня.
\ М
¦е о е х ¦
К задаче 11,4
В формуле A1,15) г— расстояние точки М до любой точки N
стержня, причем это расстояние на стержне при условии, что
х > I, изменяется от х — I до х + 1. По формуле A1,15) находим
х+1
J
J
X—I
Если бы точка Р находилась на продолжении оси стержня слева
от него (х < — /), то пределы интегрирования были бы /
и х—/. В этом случае
i
Итак, относительно точки М потенциал стержня
V — ¦ys In ji-j, если х > I
или
^, если х< — I.
Зная потенциал V, вычислим величину силы, с которой стер-
стержень притягивает точку. М (формула A1, И). Если х > I, то
г, 3V I 1 1 ^ 21
Если же х < — /, то
t дх
270

Учитывая, что масса т стержня равна его объему, умножен*
ному на плотность (стержень однороден), имеем
IH тогда
т =
F = +
т
+
-с jea — /а !
1~де верхний знак соответствует случаю х < — /, а нижний — слу-
случаю х > L Если бы в точке М была помещена не единица массы,
а масса тъ то сила притяжения была бы равна
К.о)
К задаче 11,5
Задача 11,5.. Вычислить потенциал однородного стержня дли-
длиной 21 относительно точки М массы т = 1, если точка находится
в любом месте плоскости (но только не внутри стержня и не на
его поверхности). Стержень рассматривать как отрезок прямой.
Решение. Обозначим координаты точки М через х и у. Ее
расстояние до переменной точки N(u, О) стержня вычисляется
по формуле.
г «= У(и-х)*+у*.
Если поперечное сечение стержня равно s, а его. плотность ¦у,
то элемент стержня длиной du имеет массу
dm =~jsdu. ' •
По формуле A1,15) потенциал стержня
С fsdu
~ J_V(u— xY
где х и у следует рассматривать как величины постоянные, а пере-
271

менной интегрирования является и. Выполняя интегрирование, по-
получим
V = Ts Ы[и-х + У(и-хГ + у*] & ==
=:TS [1П (/ - X + V(l - Xf + f) - 1П (- / - X + V(l + XY + t/2)].:
I
Окончательно
V(l + xf + y*-l-x
Таким образом, потенциал V является функцией х и у.
Теперь, зная потенциал, определим силу, с которой стержень
притягивает точку М. Выполним дифференцирование функции V
по х к у:
р _dV== Г 1 t / —A-х) _ Л _
или
.(¦' + * _.
y2 — l — х \V(l.+ xf + у*
' 1{УA-хГ+у* + 1-х).УA-хГ + у*
Отсюда
_, _ Г 1 1 I
' * ~ TS1 V<J+x?T? V(i-xf + yH
Замечая, что знаменатель первой дроби есть расстояние точки М
до левого конца стержня В(—/, О), т. е. ВМ, а знаменатель вто-
второй дроби есть расстояние точки М до правого конца стержня
А{1, О), т. е. AM, получаем
F* = Is [Ш ~~ Mr
р = dV = s
у ду '
В первых дробях каждого из произведений в квадратной скобке
последнего выражения уничтожим иррациональность в знаменателе:
р ___ fs fyjF^xf + y^—1 + x /(Г+"^Г+7г + I + х \
у у \ Vii-xT + y* У«+хр+у» )
272

или
1-х
-Till l~x 1
и окончательно
F _' T( l~x |
y У \V(lx)* + У2
( |
У \V(l-x)* + У2 V V +
Учитывая, что I — x = AC; 1 + x — ВС
У (I — x)*.+ У2 = AM, aVil + xf + Уг - BM,
получим
P fs \AC ВС 1
r^ - "~ у [лм + smj-
Преобразуем теперь выражения, найденные для Fx и Fy. Из чер-
чертежа видно, что
bm^JL-; am = -2-i 4xi =sina; f^ = sinP»
cos§' cos a' ЛМ S/W r*
поэтому F^ и F^ могут быть записаны в виде
Модуль силы притяжения
и тогда
= ]/^(cosp — cosaJ+ ^(si
= ^ |/cos2 p — 2cos a cos p + cos2 a + sin2 a + 2sin a sin J3 + sin2 p
— li у 2 — 2 (cos a cos p — sin a sin P) =
F = 2fsin^. (A)
Из'чертежа видно, что, ес^и провести дугу окружности с цент-
центром в точке М радиусом равным ординате точке М, то длина
хорды ED, которая стягивает дугу этой окружности, заключен-
заключенную между отрезками, соединяющими точку М с концами стержня,
будет равна
273

Умножая в (А) числитель и знаменатель дроби на у и замечая,
что масса т хорды ED (если считать ее плотность и поперечное
сечение такими же, как и у стержня АВ) будет равна
т =
получим
длина хорды
т. е. величина силы притяжения стержнем точки М равна силе,'
с которой эту точку притягивала бы масса т, сосредоточенная
в середине дуги ED, построенной, как указано выше. ,
Задача 11,6. Определить потен-
потенциал круглого однородного диска от-
относительно точки М единичной мас-
массы, находящейся на перпендикуляре
к диску, восстановленном из его цент-
центра. Расстояние точки М от. диска рав-
равно г, плотность диска ?, его радиус R,
толщину диска h во внимание не
принимать. Определить также силу
притяжения диском указанной точки.
Решение. Поскольку, как ука-
указано в условии задачи, толщину дис-
диска не следует принимать во внимание,
диск можно рассматривать как круг,
а поэтому при вычислении потен-
потенциала ¦ будем пользоваться формулой
A1,16). Если бы этого указания не
было, вычислять потенциал следовало бы по формуле A1,17).
Введем на плоскости диска полярные координаты р и ср, по-
поместив полюс полярной системы координат в центр диска. В поляр-
полярной системе координат элемент площади равен pdpdy. Элемент
объема диска i
К задаче 11,6
а масса этого элемента
dm —
В формуле A1,16) расстояние г точки М до элемента диска
равно
274

Модуль силы притяжения найдем по формуле A1,14). Так как
точка М симметрична по отношению к диску, то проекции F х и
Fu силы притяжения на оси Ох и Оу равны нулю: Fx — Fy — 0:
Остается найти Fz = -^
т
Если учесть, что масса диска т = vR2fh, то ¦уЛ = -д-2 и поэтому
, р 2т г— У^?2+га
Задача 11,7. Определить потенциал и силу притяжения по-
полого шара (шарового слоя) относительно точки М единичной
массы, лежащей: 1) вне шара; 2) внутри полого пространства
3) внутри массы слоя.
Радиусы шаровых поверхностей, ограничивающих слой для
внутренней и внешней поверхности, равны соответственно а и R
(a<R), плотность f является известной функцией р — расстояния
точки слоя от центра шара: ? = ф (р).
Решение. Обозначим расстояние точки М от центра шара через
2 и расположим координатные оси так,, чтобы положительное на-
направление оси Ог проходило через точку М. На чертеже ОС = а;
0D = R; ОМ = z; ON = р. Применим сферические координаты.
Известно, что в сферической системе координат элемент объема
dV = р* sin Qdpd<?dQ.
Поскольку плотность -[ = ф (р), находим, что масса элемента
слоя
dm = ф (р) р2 sin 6 dp d<?df>.
Так как мы имеем дело с телом, то для решения задачи надо
воспользоваться формулой A1,17). Входящая в нее величина '
равна расстоянию MN точки М до элемента объема и тогда по-
потенциал
16 dp d<f db
! — 2рг cos 8
R 2к * •
V = \ ф (р) р2 ар I аср I ¦
о о
275

Начнем с вычисления внутреннего интеграла
тс
= г
о
sin 6 d8 1 , /~г~,—5 ?; s
: = -К2а + р2 —2P2cos6
У г2 + р2 — 2pz cos Ь Рг
= 1 (Кг2 + Р2 + 2Pz - Кг2 + р* - 2Р2).
При вычислении интеграла была использована формула \ -^dx =
j У и
= 2 Кй + с. Производная подкоренного выражения по переменной
6 равна 2p2sin6. Следует учесть, что
2 — р, 1 если г > р (т. е. если точка Л1 лежит вне шарового слоя)
р — 2, / если 2< р (т. е. если точка М лежит внутри полого простран-
пространства).
Случай 1 (фиг. 11,1). Когда точка М лежит вне шарового слоя,
то 2 > р, У'(г— рJ = г — р, а
/ = ?[(* + р)-B-р)] =1B+ P-Z+ ?) = ¦§-.
Тогда, учитывая, что] dcp = 2u, получаем
о
о
или иначе
7 = — I 4иф (р) р2 dp. A1,18)
а
Выражение 4rcp2dp есть объем бесконечно тонкого шарового
слоя, а так как ф (р)— плотность, то 4ir^(p)p2dp есть масса бес-
бесконечно тонкого шарового слоя, поэтому J 4it<)> (p) p2 dp равен всей
а
массе т рассматриваемого шарового слоя.
Окончательно относительно внешней точки потенциал шарового
слоя
F = ^-. A1,19)
Случай 2. Если точка М лежит внутри полого пространства
шара, то 2 < р, У {г—рJ = р — 2, а интеграл
рг ' pz p
276

и тогда относительно точки, лежащей внутри полого пространства,
с учетом того, что
V = 4* J
A1,20)
Из этой формулы следует, что внутри полого пространства потен-
потенциал шарового слоя не зависит от г, т. е. он одинаков во всех
точках.
Нам осталось рассмотреть случай, когда точка М лежит внутри
шарового слоя.
Фиг. 11,1
Фиг. 11,2
Случай 3 (фиг. 11,2). Проведем две концентрических шаровых по-
поверхности: одну — радиусом z — е, другую — радиусом z + е. Эти две
поверхности разделят шаровой слой на три части: Т1г То и Тг.
Точка М лежит в слое То. По отношению к слою 7\ она является
внешней. Поэтому потенциал этого слоя, который мы обозначим через
Vlt следует вычислять по формуле A1,18), а интеграл, входящий
в эту формулу, надо вычислять в пределах от а до 2—е, после
чего вычислить предел полученного выражения при е->0. Таким
образом,
?->0
По отношению же к слою Т2 точку М нужно рассматривать
как лежащую внутри полого пространства. Поэтому потенциал
277

этого слоя, который Мы обозначим через V2, следует вычислять
по формуле A1,20), интеграл в ней взят в пределах от z + e до R,
а в полученном выражении перейти к пределу, устремляя е к нулю.
Таким образом,
?-•¦0 J
Потенциал V всего шарового слоя рассмотрим как сумму потен-
потенциалов слоев Тг и Т2.
V = VX + V2,
v. e.
г-ш R
j
а г+г
Если плотность ф (р) слоя есть величина постоянная, равная у,
то
г—«
V==Tl!?o JVdp + ^Hm J TPrfp == ^Hm-f
lim
= ^ lim [B—eK^3] + 2*T lim [^^ — B + sJ].
г+е °* s-vO e-»0
Вычисляя входящие в эту формулу пределы, можно сделать
вывод, что если шаровой слой однороден, то его потенциал на вну-
внутреннюю точку
§ -22). A1,22)
При а = 0 в шаре не будет полого пространства (полный шар)
и тогда при постоянной плотности 7 относительно внешней точки
потенциал шара на основании A1,19)
где М — масса шара.
В случае же, если точка находится внутри полного шара, а =
= 0 из A1,22) потенциал \
V = i- uT22 + 2*тЯа — 2uT23,
или
V = 2uTi?2— |xT22. A1,23)
278

Если точка лежит на поверхности шара, то г = R и из A1,23)-
следует, что потенциал однородного шара относительно точки, ле-
лежащей на его поверхности,
или
Теперь перейдем к вычислению силы, с которой точка притяги-
притягивается шаровым слоем.
Случай 1 (точка лежит вне шарового слоя). Потенциал V вы-
вычисляется по формуле A1,19). Проекция Fz силы притяжения на
ось Ог
г* дг~ г2 ' Ul,^4>
Очевидно, что проекции F х и Fy силы притяжения на оси Ох
и Оу ввиду симметрии точки М относительно шара равны нулю;
На основании A1,24) мы заключаем, что шаровой слой притя-
притягивает точку, находящуюся вне его, с такой же силой, как если
бы вся его масса шара была сосредоточена в его центре.
Случай 2 (точка лежит внутри полого пространства шара). По-
Потенциал подсчитывается по формуле A1,20), от г он не зависит.
Поэтому проекция силы притяжения на ось Ог
Случай 3 (точка находится внутри однородного шарового слоя).
На основании формулы A1,22)
Но масса слоя Tlt которую мы обозначим через -т-у, равна
4
у дау (г3 — а3), поэтому
Таким образом, получается, что сила притяжения шаровым,
слоем точки, находящейся внутри его, такая же, как если бы вся
масса этого шарового слоя находилась в его центре. Можно по-
показать, что это заключение остается верным и для неоднородного
шарового слоя.
27?

Укажем, что формулы A1,24) и A1,26) верны и тогда, когда
вместо шарового слоя берется полный шар. Тогда в этих форму-
формулах т — масса полного шара, а т1 масса шара радиуса г (г < R).
Из формулы A1,23) заключаем, что притяжение полным шаром
постоянной плотности внутренней точки
Р _dV _ 4
rz~ дг з %1Z'
1. е. притяжение пропорционально расстоянию точки от центра
шара.
Замечание. Если в точке М помещена не единичная масса, а мас-
масса т0, то при вычислении потенциала и притяжения в соответствую-
соответствующих формулах этой задачи правые части следует умножить на гп0.
Задача 11,8. Дано скалярное поле <р = ^Уг- В каком направле-
направлении функция ср будет? возрастать быстрее всего, если исходить из
точки А A, 2, —1)?
Решение. Известно, что направление, в котором функция
растет с наибольшей скоростью, указывается градиентом этой
функции. Поэтому прежде всего найдем градиент заданной функ-
функции в произвольной точке. У нас
V — г* ' Ыс~ г»1 Ту~ г2 * Ш~~ г8
Подставляя значения этих производных в формулу A1,4), опреде-
определяющую градиент? функции, получаем
Теперь найдем gradcp в точке ЛA, 2, —1), заменив в этой
формуле х, у и г их значениями в точке А:
x=h у = 2; г = — 1.
Вектор (grad ср)л = 16? -j- 12/ + 16А и указывает направление, в ко-
котором заданная функция растет скорее всего, если исходить из
точки А.
Задача 11,9 (для самостоятельного решения). Докажите, что
функция V = — (г = угх2 +у2 +гЛ удовлетворяет уравнению Лап-
Лапласа
Указание. Используйте найденные в задаче 11,4 значения
^ ®L —
дх ' Ту' дг'
280

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ ТЕОРИИ ГРАДИЕНТА
Задача 11,10. Доказать, что:
1) grad (ср + ф) == grad ср + grad ф; A1,27)
2) grad (ср • i|/| = ср grad <|» + ф grad ср; A1,28)
3) grad F (ср) = F' (<p) grad <p, A1,29)
где ф = ср (х, у, г)\ <j> = ф (а:, г/, г).
Решение. 1. Формула A1,27) следует прямо из формулы A1,4).
Действительно,
grad (ср + Ф) = §-х (ср + ОД? + щ (? + ф) / + | (<Р + Ф) й,
поэтому
= grad ср 4- grad <J>
и формула A1,27) доказана. Несмотря на свою простоту она очень
важна, так как с ее помощью решается вопрос о построении сум-
суммы векторных полей.
Частный случай. Если ф = С, то, поскольку в этом случае
частные производные
dty dty dty „
Ш ~ Ту ~ Тг ~~ U)
имеем
grad (ср + С) = grad ср.
2. Докажем теперь формулу A1,28)
grad (cp
Легко получаем:
grad(cp<j>)=?' — ' д
. Умножая обе части каждого из этих равенств соответственно
на Г, [ и k и почленно складывая, имеем
grad (cp<J>) = <J> grad cp -j- cp grad ф.
281

Частные случаи: а) если ср = ф, то
grad сра = 2ср grad cpj
б) если i|) = С, то
grad Cf = C grad ср.
3. Формулу A1,29) докажите самостоятельно.
Задача 11,11. Доказать, что, если г— радиус-вектор точки
А (х, у, 2), а ср = ср (д:, у, г) —функция трех независимых перемен-
переменных, то
d<$ = dr - grad cp
(dr • grad <j> — скалярное произведение векторов dr и grad <p).
Решение. Если функция ср = ср (х, у, г), то ее полный диф-
дифференциал
Радиус-вектор точки А(х, у, г)
7 = за + yj + zk,
а его дифференциал
dr = <&t • 1 -f dy > j -\-dz >h.
Так как вектор
¦'«-"»-?'+$?+!»¦
то скалярное произведение
¦Сравнивая это выражение с выражением (А) для полного диффе-
дифференциала функции ср, получаем требуемое равенство:
dcp = dr ¦ grad ср.
Отсюда можно сделать заключение, что, если
dcp = ^.a, A1,30)
то вектор а необходимо является градиентом некоторой функции
•? = ?(*, У, г):
а = grad ср. A1.31)
-282

Задача 11,12 (для самостоятельного решения). Найти
Задача 11,13 (для самостоятельного решения). Найти
grad (jc2 + У* + г2).
Ответ. 2г.
Задача 11,14 (для самостоятельного решения). Найти градиент
скалярного произведения г - а, где а — постоянный вектор, а г —
радиус-вектор точки _А (х,_у, г) (г = xi + у]+ zk).
Ответ, grad(r • а) = а.
Полученный результат указывает на то, что вектор grad (r • а)
во всех точках поля сохраняет постоянное направление, совпадаю-
совпадающее с направлением вектора а. • •
Кроме общего способа, основанного на применении формулы
A1,4) к функции ср = г • а = ах • х -f- ay • у -}- аг • г, можно также
воспользоваться,результатом задачи A1,11). У нас функция ср =
= г • а (а — постоянный вектор)
d<j> = d (r • а) = а • dr.
Следовательно, на основании формулы A1,31)
а = grad ср = grad (r • а).
Читая это равенство справа налево, получаем требуемое
grad (r • а) = а.
Задача 11,15. Определить grad <р(и, v), где и=*и(х, у, z), v —
= v(x, у, г).
Решение. Чтобы воспользоваться формулой A1,4), опреде-
определим частные производные j-, j- и j- по формуле Дифференци-
Дифференцирования сложных функций
<Э<р 5ср ди . dtp до ф
¦дх ди дх,' да дх '
д<р д<р' да й<р dv #
ду ~ ди ду ~*~ да ду'
д<р dtp ди д<р да
д~г~д~пд~г~т~да"дг'
283

Умножая обе части каждого из этих равенств соответственно на
i, j и k и почленно складывая их, получим
grad ср (и, v) = |? grad и + % grad v.
Задача 11,16. 1. Найти производную функции и = и(х, у, г) в
направлении градиента функции v = v (х, у, г). 2. При каком усло-
условии эта производная равна нулю?
Решение. На основании формулы A1,4)
dor , do- , дат
Проекция вектора grad и на оси прямоугольной системы координат
(grad v)х = g; (grad v)y = щ; (grad v), = g.
Направляющие косинусы вектора а находят, как известно, по фор-
формулам
Направляющие косинусы вектора grad у определим по формулам
до
cos,grad Ct-f/gfo
да
dv
cos (grad v7~z) = &*№-= T^
v& ' ' | grad v |
Производную функции и = и (х, у, г) по направлению вектора
/ = grad v, характеризуемому только что определенными косинусами,
найдем по формуле A1,3) '
dv dv dv
du ди дх . du ду , du dz
dl dx ' | grad v\ "' dy ' | grad v | dz ' | grad v |
ИЛИ
du dv . dudv ,dudv^
du __ die Ыс ~т~ 'dy ду ~*~ Ш dz
dl~ | grad у | '
284

а так как
p={gradu); |
|=(grad«b; g =
gj = (grad o),; |j = (grad о)„; ^ = (grad v)z,
то числитель последней дроби равен скалярному произведению
векторов grad u и grad У и тогда окончательно
^ ди grad и • grad v
Ш~ | grad w |
Теперь переходим ко второму вопросу задачи.
Найденная производная ^ будет равна нулю, если числитель
последней дроби равен нулю, т. е. если
grad и • grad v = 0.
Из этого следует, что производная функции и = и(х, у, г) по
направлению градиента функции v — v (x, у, г) равна нулю, если
векторы gradu и gradu перпендикулярны.

ДВЕНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Векторное поле. Потенциальные векторы/ Потенциал век*
торного поля. Циркуляция вектора. Линейный интеграл. Вихрь вектора.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Векторное поле. Физическое, поле называется векторным, если
образующее его физическое явление характеризуется вектором
(например, поле силы тяжести, поле скоростей).
В случае векторного поля каждой точке Р пространства, в кото-
котором происходит образовавшее его физическое явление, ставится
в соответствие определенный вектор а(Р), являющийся функцией
координат точки, т. е. а = а{х, у, г).
Вектор а(х, у, г) можно представить в виде
а{х, у*, г) = ах(х, у, гI + ау(х, у, г)] + аг(х, у, z)k.
Из этого следует, что для полного определения векторного поля
требуются три Скалярные функции трех независимых переменных
х, у и г: *
ах{х, у, г); ау(х, у, г); аг(х, у, г) —
— проекции вектора а (х, у, г) на оси прямоугольной системы коор-
координат (во всех последующих формулах предполагается, что эти
функции непрерывны, однозначны и имеют непрерывные частные
производные).
1. Потенциальный вектор. Вектор а называется потенциаль-
потенциальным, если он является градиентом некоторой скалярной функции
<р (х, у, z) (a = grad ср). Поле потенциального вектора а = gradcp на-
называется потенциальным, а скалярная функция у — потенциалом
этого поля. В дальнейшем предполагается, что функция ср и ее
частные производные до второго порядка включительно непрерывны.
Необходимым и достаточным условием потенциальности вектора
а является выполнение равенств:
ду ~dz ~
да* дог 0. ,
дг. дх и' Г 1и>4
да,, дах
286

Пример. Потенциальным векторным полем является поле силы
F = -ф г тяготения, вызываемого материальной точкой массы т,
помещенной в начале координат. Здесь г = у х% + У2 +'г% — Рас-
Расстояние произвольной точки пространства А (х, у, г) с массой тх=
= 1 до начала координат (г ф 0). Потенциалом этого поля является
функция V — — (см. задачу 11,3).
2. Циркуляция вектора и линейный интеграл. Циркуляцией FL
вектора а = а (х, у, г} по замкнутой линии L называется интеграл
вида \
rL = §axdx + audy + azdz, A2,2)
причем, обход замкнутого контура L в правой системе координат
должен происходить против движения часовой стрелки.
Если L — незамкнутая кривая, то интеграл в формуле A2,2)
называется-линейным интегралом вектора а и обозначается буквой и
и= \ axdx-\- ciydy + azdz A2,3)
(АВ)
или в векторной форме
и= J ~a.d~r, A2,4)
(АВ)
где dr — дифференциал радиуса-вектора точки, движущейся по кри-
кривой АВ
dr — dx * i + dy • / + dz • Ъ.
Если вектор а — сила, то формула A2,3) определяет работу
этой силы при перемещении точки по дуге АВ. v
3. Векторная линия. Векторной линией векторного поля вектора
а называется кривая, в каждой точке которой касательная совпа-
совпадает с направлением вектора а. Через каждую точку Р векторного
поля вектора а проходит по одной векторной линии.
Дифференциальные уравнения векторных линий записываются
так:
dx_dy dz
4. Вихрь вектора. Вихрем вектора, или ротором вектора а =
= а(х, у, г), обозначаемым rota, называется вектор, определяе-
определяемый формулой .
287

Проекции этого вектора на координатные оси равны
* ду дг '
Модуль вектора rot а определяется формулой
A2,7)
Формулу A2,6) можно записать в виде, удобном для запоми-
запоминания _ ¦
7 / Ъ
д д д
rota =
дх ду дг
ах аи аг
A2,9)
При этом произведения символов ^, g- и j- на ах, ау, аг
следует понимать так:
— а = ^- — а = ^
дх у дх ' ду х ~ ду '
и т. д.
Задача 12,1. Известно, что безвихревым движением жидкости
называется движение, при котором в каждой точке жидкости вы-
выполняется условие
rot v = О,
где вектор v = v (х, у, г) — скорость жидкости в рассматриваемой
точке.
Доказать, что при безвихревом движении жидкости и сущест-
существовании однозначного потенциала скорости v циркуляция скорости
v, взятая по любой замкнутой кривой, равна нулю.
Решение. Обозначим проекции скорости v на оси прямо-
прямоугольной системы координат через vxf vy, vz. РавенствЬ rot v=0 на
основании формулы A2,6) Мшно переписать в виде
Из этого следует, что
ду ~дг ' дг дх ' дх ~ду~
288

Выполнение этих равенств является необходимым и достаточ-
достаточным условием для того, чтобы вектор v был потенциальным —
см. определение на стр. 286 и формулы A2,1).
Поскольку вектор v потенциальный, то существует такая ска-
скалярная функция ср = <р (*> У; z) — потенциал скорости, что
u==grad<p
(см. определение на стр. 263).
Отсюда
т. е. если скорость v — потенциальный вектор, а функция <р =
= ?(*» У. г) — потенциал скорости, то проекция скорости на коор-
координатную ось прямоугольной системы координат равна частной
производной от потенциала скорости по соответствующей этой оси
координате. '
Из (А) следует
vx dx + vy dy -f vzdz = %dx + ^dy -\-%dz = dtp.
Линейный интеграл A2,3) по кривой АВ от выражения vxdx+
+ vydy + vzdz
) vx
(АВ)
= сРE)_сР(Л); (В)
это значит, что он не зависит от вида кривой, а только от коор-
координат ее концов А и В, так как <р (А) и ср (В) — значение потенциала
ср в точках А и В (предполагается однозначность потенциала ско-
скорости — функции ср).
Таким образом, линейный интеграл по кривой АВ от потен-
потенциального вектора равен разности значений потенциала ср в кон-
концах кривой, вдоль которой ведется интегрирование.
Если кривая АВ — замкнутая, то линейный интеграл в равен-
равенстве (В) есть циркуляция скорости, а <?(В) — ср(Л)=О, так как
точки Л и Б в случае замкнутости кривой АВ совпадут?.
Отсюда следует? вывод, что циркуляция скорости по любой
замкнутой кривой при наличии однозначного потенциала равна
нулю, т. е., если o = gradcp и ср—однозначная функция, то
§
'vx dx + Vydy -f v2dz — 0.
(Предположение об однозначности функции ср является весьма суще-
существенным. Если ср — неоднозначная функция, то сделанный вывод
не всегда верен).
10 И. А. Каплая 289

Замечание. Следует иметь в виду, что теорема о равенстве
нулю криволинейного интеграла от потенциального вектора по замк-
замкнутому контуру верна только тогда, когда пространство односвязно.
Задача 12,2. Доказать, что если v — потенциальный вектор (v =
= grad <p), то вихрь этого вектора равен нулю, т. е. что
rot (grad cp) = 0.
Решение. В предыдущей задаче было показано, что из равен-
равенства rot v = 0 следует, что v есть вектор потенциальный, т. е.
f = grad <р. Теперь решаем обратную задачу, т. е. хотим доказать,
что' если вектор v потенциальный, то его вихрь равен нулю.
Итак, дано, что и = grad ср. Отсюда
v*~Tx> V«~W z~di-
>*~ ду дг ~ dy \dz) dz \dyj ~ dz ду ду dz "
Поскольку при ограничениях, наложенных на функцию <р, изме-
изменение порядка дифференцирования не изменяет величины ее вто-
второй смешанной частной производной, то -*-4- = ^-4-, поэтому
(rot v)x = 0. Аналогично найдем, что (rot v)y = 0 и (rot v)z = 0, а
отсюда
rot v = 0.
Так как v — grad со, то rot (grad cp) = 0.
Заключение. Вихрь потенциального вектора равен нулю.
Задача 12,3. Проекции [ускорения частицы жидкости на оси
прямоугольной системы координат даются формулами
Доказать, что при существовании потенциала скорости уско-
ускорение W также является потенциальным вектором.
Решение. По условию v = grad cp, где cp — потенциал ско-
скорости. Отсюда
290

Дифференцирование обеих частей каждого из этих равенств по
х, у, г и t дает
dvx _ d*<f щ д°у JP<?_ ^ дуг д\
dt ~dxdt' dt — dydV dt ~ dzdt1
dvx d2f dvx d2ip ^ dox 52y
1x ~ Ш*' ду ~ дхду' ~дг ~ дхдг*
дх дудх'
dvz ffltf ш dvz d2tf йог d2<f
дх ~ дгдх' ду~дГду' ~дТ ~~ Ш*'
Подставляя эти значения в выражения для Wx, Wy, Wz из ус-
условия задачи; получим
W — i!^ &^! ?^ ^
дх dt дх* дх "Г" дхду ' ду
ду~дх ' Ьх + й^ * ду
*~ dz dt~~ dzdx Tx^"dzd~y Ту^"дг* дг
Замечая, что
предыдущие равенства перепишем в виде
-+8)
и, таким образом, проекции ускорения частиц жидкости являются
частными производными по координатам одной и той же функции
~2°2~^~Ж' а 0ТСЮДа на основании определения градиента функции
заключаем, что
10* 291

Итак, вектор W есть градиент некоторой функции. Это значит, что
он вектор потенциальный.
Задача 12,4. Дифференциальное уравнение неразрывности для
несжимаемой жидкости имеет вид
¦ ** . atV_uao*-n
IF ¦¦+* ~Щ + IF "" и-
Доказать, что при потенциальном движении жидкости потен-
потенциал скорости — функция <р удовлетворяет уравнению Лапласа
дУ л- ** 4- ?? - О
дх* "f" ду* ^ dz* ~ и-
Решекие. Если предположить, что движение жидкости потен-
потенциальное, то скорость v = v (х, у, г) жидкости является градиен-
градиентом некоторой функции <р:
v = grad <?,
а отсюда проекции скорости на оси прямоугольной системы коор-
координат равны частным производным потенциала скорости <р по соот-
соответствующим этим осям координатам, т. е.
- Дифференцируя обе части первого равенства по х, второго —
по*г/, третьего — по г, получим
дх а*2 ду ду*' дг az2 *
Складываем эти равенства почленно:
~дх ~~ду ' дг дх* * ду* > дг* '
По условию задачи левая часть этого равенства есть нуль, сле-
следовательно, и правая его часть равна нулю, т. е.
-*—w ~\~ -zr-1. ~4* — = 0 /to I r\\
дх* ' ду* дг* U^>1UJ
Заключение. Потенциал скорости несжимаемой жидкости
удовлетворяет уравнению Лапласа A2,10).
Обычно левая часть этого уравнения обозначается сокращенно
через Д<р, поэтому A2,10) записывается так:
. Д? = 0. A2,11)
292

Функция <р, удовлетворяющая этому уравнению,
называется гармонической. В случае плоского потенциаль-
потенциального движения несжимаемой жидкости уравнение Лапласа A2,11)
имеет вид
di' + w^0- A2-12>
Задача 12,5 (для самостоятельного решения). Доказать, что функ-
функция у — In г удовлетворяет уравнению Лапласа A2,12) (г =
= Ух? + у*).
Задача 12,6. Дано поле вектора
а = 2х • i — у • / +2 'k
Найти уравнение векторных линий.
Решение. Дифференциальные уравнения векторных линий
имеют вид A2,5). В нашем случае
ах = 2х; аи = —у,аг = г
и система дифференциальных уравнений A2,5) запишется так:
или
Интегрируя,
и
а отсюда уже
^ 2х~
получаем
1)|
¦2>Т
dx
2х~
_dy
У
—у
; 2)
семейства
\пх —
In х =
:— 1П
= щ2
da
г
dx dz
2х~ г '
векторных линий
У + In С
+ ШС2,
2) In 1/Jc = In С2г; V~x = C2z\ x = C\z2 или г2 = С3х, где
С - l
Итак, имеем следующие уравнения семейства векторных линий:
= 9l и г*=
Надо иметь в виду, что начало координат является здесь особой
точкой: если я-»-0, то у-*¦ <х> при Схф0.
293

Задача 12,7. Движение жидкости задано проекциями скорости
где k — постоянная величина. Требуется найти линии тока и направ-
направление движения.'
Решений. Если в уравнениях A2,5) ах, аи, аг — проекции
скорости частицы жидкости, то э?и уравнения при установившемся
движении жидкости называются дифференциальными уравнениями ли-
линий тока. В каждый данный момент времени каждая частица жидкости,
находящаяся на линии тока, имеет скорость, совпадающую по на-
направлению с касательной к этой линии (движение жидкости назы-
называется установившимся, если проекция скорости частицы жидкости
не зависит от времени).
В нашем случае эти дифференциальные уравнения A2,5) запи-
запишутся так:
dx _dy
—ky kx'
Отсюда
kxdx = —kydy.
Сокращая на k и интегрируя, получаем
ИЛИ
— линии тока — семейство концентрических окружностей с цент-
центром в начале координат.
Теперь определим направление движения. У нас Vx = —ky\
У у — kx, поэтому
«*(?.*)-? kx
k ух2 + 'y%
Из равенства cos (V, x) = — . ^ ¦ ¦ следует, что если х > О
и j>0, то cos (F, л:) < 0 и скорость V с положительным направ-
направлением оси Ох образует тупой угол. Это говорит о том, что дви-
движение происходит против хода часовой стрелки
Задача 12,7а. Движение жидкости задано проекциями скорости
294

Определить:
1. Уравнение семейства линий тока, а также линию тока, про-
проходящую через точку Л (—2, —3) в момент времени t = 0.
2. Траекторию частицы жидкости, которая в момент времени
t = 0 находилась в точке А (—2, —3).
Решение. 1. Дифференциальное уравнение семейства линий
тока на основании A2,5) имеет вид
dx dg
=хП~у~+~Г
Считая t — фиксированным и интегрируя, получим
— In (— х + t) = In {у + f) — In С,
откуда
Линиями тока в каждый момент времени является семейство
гипербол. При t — 0 это семейство имеет уравнение
—ху = С.
Подставляя сюда на основании условия задачи координаты точки
Л (—2, —3), получим С = —6. Искомым уравнением линии тока,
соответствующим условию задачи, будет
ху = 6.
2. Чтобы ответить на второй вопрос задачи, надо знать следу-
следующее:
1. Движение жидкости' называется неустановившимся, если
проекции скорости Vx, Vy и Vz являются функциями не только
координат, но и времени, т. е. если
Ух = Vx (х, у, z, t); Vv = Ve (х, у, z, t); Vz = Vz (x, у, z, f).
2. Дифференциальные уравнения траекторий жидкой частицы
в этом случае имеют вид /
dx dg dx _ ,.
Vx (x, у, г, t) Vy (x, у, z, t) Vz {x, g, г, t)
Тогда, чтобы получить траекторию частицы жидкости, надо про-
проинтегрировать такую систему уравнений:
d? = Vx(x, У, z, f);
% = Vu{x, y,z,f);
Vfry2t\
295

В нашем случае уравнения этой системы запишутся так
dx , .
Ж — ~х + t;
Каждое из них — линейное неоднородное уравнение первого по-
порядка с постоянными коэффициентами.
Перепишем их в виде •
dx , .
dt У —1-
Интегрируем эти уравнения по правилам 'интегрирования ли-
линейных дифференциальных уравнений:
* = Cxe-f + t—l; у = C/f — t— 1. (В)
Подставляем в эти уравнения t — О, х = —2, у = 3. Получится,
что Сг = —1, С2 = —2 и уравнения траектории примут вид
Замечание. Сравнивая уравнения (А) и (В), видим, что при
неустановившемся движении жидкости линии тока не совпадают
с траекториями жидкой частицы (при установившемся движении
жидкости линии тока являются одновременно и траекториями
частиц).
Задача 12,8. (для самостоятельного решения). Поле скоростей
жидкости задано следующим образом:
* ~ 4я ' (*2 + у* + г2) Vx* 4- Уг + г2!
v =?. — у
у =Я_.
г 4л (д.2
где Q — постоянная величина.
Определить линии тока.
Ответ.
у = Схх (семейство плоскостей, проходящих через ось Ог)]
z = С2х (семейство плоскостей, проходящих через ось Оу).
Линии пересечения плоскостей одного семейства с плоскостями
другого семейства — прямые, проходящие через начало координат.
296

Задача 12,9. {для самостоятельного решения). Напряженность
электростатического поля определяется вектором -j г , где е — по-
положительный электрический заряд, г — расстояние точки поля до
заряда, г° — единичный вектор вектора г, соединяющего точку
поля с зарядом.
Определить векторные линии поля.
Отве^. Лучи, выходящие из заряда.
Задача 12,10. Твердое тело вращается с постоянной угловой
скоростью ш вокруг некоторой оси. Известно, что во вращательном
движении линейная скорость v точек тела определяется по формуле
V = со х г,
где г — радиус-вектор точки А (х, у, г) тела. Найти rot v.
Решение. Направим вектор ш по оси вращения, которую
примем за ось Oz, в сторону, откуда вращение представляется про-
происходящим против движения часовой стрелки. Проекции векторов
ш и г на координатные оси равны:
">х = 0; % = 0; <°г = °>;
гх = х; гу = у; гг = г. (к)
Так как вектор v равен векторному произведению векторов ш и
г, то
V = О) X Г =
rx ry
Подставляя значения проекций векторов » иг из равенства (А),
получаем
1 j Ъ
5= 0 0 со
х у г
= —ч>уТ +м>х} ,
откуда следует, что проекции вектора v равны:
vx = — а>у; vy — их; vz = 0.
Чтобы воспользоваться формулой A2,6) для определения ротора
вектора, найдем входящие в эту формулу частные производные
от проекций вектора v:
dv
dVx
-.- : = 0; ^ = — со; Ц? = 0;
dx ' dy ' dz '
dvy
dx~
dv.
У — I
dv..
= 0;
do dv dv
г г _г n
~ dy ~ dz ¦
dx
297

Подставляем эти значения в формулу A2,6):
/dv dv \ - -
rot о = (^ _ g-*J А = [ш - (-со)J . k = 2<о?.
Итак,
rot Ъ — 2u>&.
В связи с тем что вектор со = u>k, приходим к заключению:
rot v = 2со,
а отсюда следует: ротор линейной скорости точек вращающегося
твердого тела имеет постоянное значение во всех точках тела
и равен удвоенной угловой скорости его вращения.
Задача 12,11 (для самостоятельного решения). Найти векторные
линии поля вектора
а = —atyi + u>xj -f- hk,
где u> и h —-г величины постоянные. '
Указания.
1. Уравнения векторных линий запишутся так!
dx _ dy _ dz _ ,,
—ay ~~ ax ~ h ~
или
2. Из первых двух уравнений получаем, дифференцируя обе
части каждого из них по t,
3. Общими решениями этих линейных, однородных уравнений с
постоянными коэффициентами будут:
х = Ах cos u>/ -f Вх sin <o/; (В)
у » А2 cos u>t + B2 sin u>L
4. Учесть уравнения (А) и показать, что между произвольными
постоянными существуют соотношения
Bi = — А; В2 = Аг
298

и тогда уравнения (В) перепишутся так:
х = Ах cos tat — A2 sin со/;
у — Aj cos at -+• Ах sin со/.
(С)
5. Если Ar — R cos а, а Л2 = R sin a, т. e. R = VA\ + A\, tg a=
= -j, то уравнения (С) запишутся так:
X = # cos (со/ -f a);
г/ = i? sin (со/ + a)-
Третье уравнение системы (А) дает
2 = « гЬ Л-
Таким образом, введены только три про-
произвольные #, а и Л3> как и должно
быть.
Уравнения (D) и (Е) определяют
винтовые линии, расположенные на ци-
цилиндре радиуса R, ось которого совпа-
совпадает с осью Ог,
Задача 12,12. Найти линейный ин-
интеграл вектора а — хЧ -»у^\ вдоль пер-
первой четверти окружности
х = Rcost; y — Rsint.
(D)
(E)
К задаче 12,12
Решение. Чтобы найти значение вектора а на заданной ок-
окружности, заменим в его выражении х на Rcost, ay — на #i
Тогда
Отсюда
cos1*; ау = — Ri sin41.
(A)
Чтобы воспользоваться формулой A2,3), найдем их и dy из
уравнения окружности
х = R cos t;
Отсюда
у = i? sin /.
d* = —R sin / <
dy = R cos / c#.
(B)
Подставляя значения (А) и (В) в формулу A2,3), получаем, учи-
299

тывая, что при движении по дуге L параметр t изменяется от О
до т:
ы=
dx + aydy = \ Ricos4(— Rsmt)dt —
тс
г"
— Я4 sin4 tR cos tdt^R5^ [cos4t • (—sin 0 — sfn4t cos 0 dt =
о
Задача 12,13 (для самостоятельного
решения). Найти линейный интеграл
вектора а = х*? — г/3/ вдоль первой чет-
четверти окружности х = R cos ? г/ = R sin Л
Ответ. ы= — ~-Я4.
Задача 12,14. Найти циркуляцию
, — х вектора а = xi — yj вдоль замкнутой
кривой, образованной осями координат
* и первой четвертью астроиды х =
К задаче 12,14 = ^ cos 3 f. y = ^ &[пз t
Решение. Линия L в формуле A2,2) состоит из дуги АВ
астроиды и отрезков АО и ОВ координатных осей. Поэтому \
rL=[axdx + aydy =\axdx + aydy + f axdx + aydy +
L BA АО
y
OB
Каждый из этих интегралов вычислим отдельно: при вычислении
первого интеграла по дуге астроиды АВ следует учесть, что так как
а = xi — yj, то ах = хг, ау= ~у.
На астроиде х — ах cos31; у = ах sin31, поэтому
ах = х = ах cos31; ay = —у = —ах sin3 /.
Из уравнений астроиды определим dx и dy
dx = —3ax cos21 sin t dt; dy — Ъа± sin* t cos / dt.
300

На дуге астроиды ВА при движении от В к А параметр t изме-
изменяется от 0 до ~, поэтому
Г
[ ах dx + ag dy = \ аг cos31 (—3at cos21 sin f) dt —
ол о
— аг sin3 ^ (Зах sin2 / cos ^) dt =
тс
= За? f (—cos5 f sin t~sin5 f cos /) Л =
sin» Л р 0-2/I i
На отрезке АО оси Ог/ имеем: л: = 0; dx = 0; вектор а = —yj;ax=
= 0; as = —#, а г/ изменяется от ах до 0
„2
!L
0 а2
^ = _ .
На отрезке ОВ оси О* г/ = 0; dy — 0; вектор а = .«; а^ = л:.
2
ов
Таким образом,
)axdx + aydy = J A:d^ = ^~
о 2
Задача 12,15 (для самостоятельного решения). Найти циркуля-
циркуляцию вектора а = уЧ по замкнутой кривой, составленной из верх-
верхней половины эллипса
х = acost; у — bsxnt
и отрезка оси Ох.
Указание. На верхней половине эллипса параметр t при
движении против хода часовой стрелки изменяется от 0 до тс.
Промежуточный результат: \ %\v?tdt = —у.
4
Ответ, -z-
о
301

/
/
Задача 12,16. Найти rota, если вектор /
/
а = C*Уг + З*2) I + 2x?yzJ+ {х*у* + Зга) "ft.
Решение. Проекции вектора а
ах = Ъх*у*г + За:8! ау = 2&уг\ аг *= х?у* + Ъг\
Применяя формулы A2,7) найдем, что rot a = О
Задача 12,17 (для самостоятельного решения). Доказать, что
поле сил тяготений точечной притягивающей массы, помещенной
в начале координат
Т = —чт х~' + У1 + г1г
<*•+*¦+!•)''
является безвихревым, т. е. что rot F = 0.
Указание.
р X
3»

ТРИНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Поток векторного поля. Дивергенция вектора. Формула
Остроградского.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1, Поверхностные интегралы. Пусть S — гладкая или кусочно
гладкая поверхность, ограниченная определенным контуром, кото-
который будем считать ее краем. На такой поверхности будем разли-
различать две стороны, понимая под этим следующее: движущаяся по
поверхности точка может с одной стброны поверхности перейти
на другую не иначе, как пересекая край поверхности..
\ Одну из этих сторон поверхности назовем внешней (верхней),
другую — внутренней (нижней). Внешней стороной считается та,
которая соответствует положительному направлению оси Oz, a
внутренняя сторона соответствует отрицательному направлению
оси Oz. На нормали к поверхности S можно рассматривать два
возможных направления: одно, идущее в сторону возрастающих,
другое — в сторону убывающих z-ов. Если на нормали выбрано
направление в сторону возрастающих z-ов, то она называется
внешней и связывается с внешней стороной поверхности. Нормаль,
направленная в сторону убывающих z-ов, называется внутренней
и связана с внутренней стороной поверхности S.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ПЕРВОГО ТИПА
(поверхностный интеграл по площади поверхности)
Пусть в каждой точке поверхности S задана функция Да:, у, г).
Поверхность S разобьем на п частей, площади которых обозначим
через ASb AS2, ... А5Л. На каждой такой площадке ASft выберем
произвольную точку Ak{xk, yk, zk), вычислим в ней значение за-
заданной функции f{x, у, г), т. е. найдем число f(xk, yk, zk) и
составим сумму произведений (интегральную сумму)
Уъ Zi) ASi + f {x2, y2, z2) AS2 -j \-f (xn, yn, zn) ASn =
Если функция / (*, у, г) непрерывна во всех точках поверхности S,
то предел этой интегральной суммы при условии, что максималь-
303

ный диаметр частей hSk стремится к нулю, существует и не зави-
зависит от способа разбиения поверхности S на части и выбора точки
Ak на каждой из этих частей. Этот предел называется поверх-
поверхностным интегралом первого типа от / {х, у, z) dS, распространен-
распространенным на поверхность 5, и обозначается символом
И7(*. у, z)ds.
Таким образом,
lim
?/(•% #4, 2ft)A5ft = JJ /(*. У. гИ5-
пч-оГ 4=1 (S)
max iSt
Формула для вычисления поверхностного
интеграла первого рода
Если поверхность S определяется уравнением г = <р (*, у), а —
ее проекция на плоскость хОд, а у — угол между внешней нор-
нормалью к поверхности S и положительным направлением оси Ог,
то имеет место формула
Jt*. У, z)dS = ^flx, у, ?(х, у)]?.. A3,1)
(S) (a)
Косинус угла у между внешней нормалью к поверхности, опре-
определяемой уравнением г = ер (*, у), и осью Ог вычисляется по
формуле
Формула A3,1) с этим значением cosy перепишется так:
JJ(*. у, z)dS = \\f[x, у, 9{х, y
(S) (и)
Косинусы углов аир между внешней нормалью к поверхности
г = f{x, у) и осями Ох и Оу соответственно равны:
дг
cos а = — _дх A3,3)
/(КГ
дг
д A3,4)
304

Если S — замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл пер-
с с
того рода обозначается символом И / (*, у, г) ds.
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИНТЕГРАЛ ВТОРОГО ТИПА
(поверхностный интеграл по координатам)
Пусть / (х, у, г) — функция, заданная в каждой точке поверх-
поверхности S. Разобьем поверхность 5 на п частей с площадями ASb
AS2, ..., ASn.
На каждой из этих частей выберем произвольную точку
Ak(xk, yk, г4) и вычислим в ней функцию f (х, у, г), т. е. найдем
число f(xk, yk, zk). Спроектируем все площади До^,', на которые
разбита поверхность S, на плоскость хОу и обозначим площади
этих проекций соответственно через &alt Ла2, ... , Лап. Если была
выбрана внешняя сторона поверхности S, то эти проекции будем
брать со знаком плюс. Если же выбрана нижняя сторона поверх-
поверхности 5, то возьмем знак минус. Составим интегральную сумму
Л—1
Если функция / (*, у, г) непрерывна в каждой точке поверх-
поверхности 5, то ее предел при условии, что max ASfc -+¦ 0 существует,
называется поверхностным интегралом второго типа от / {х, у, z) da,
распространенным на выбранную сторону поверхности E), и обоз-
обозначается символом
j j / (х, у, г) da кили J J / (х, у, z) dxdy.
(Si (S)
Таким образом,
max isfc-о H/Uft, Ук, гк)= И/(*. У> г) dxdy.
При замене выбранной стороны поверхности S противоположной
ее стороной знак интеграла поменяется на противоположный, а его
абсолютная величина сохранится прежней.
Если элементы, на которые разбита поверхность S, проекти-
проектировать на плоскость хОг и yOz, то получаются соответственно два
интеграла
(J7(*, у, z)dxdz и Ц f(x, у, z)dydz.
OS) (S)
Если Р(х, у, г), Q(x, у, г) и R (х, у, г) — функции, определен-
определенные во всех точках поверхности 5, то под составным поверхност-
поверхностным интегралом второго типа понимается интеграл вида
Р (х, у, z) dydz + Q (дс, д, z)dzdx + R {x, у, z) dx dy.
305

Подчеркиваем еще раз, что поверхность S является двусторонней,
а интеграл распространяется на ее определенную сторону, приче^
указание этой стороны следует всякий раз оговаривать.
Поверхностный интеграл второго типа вычисляют по формуле
JJ /(*,' У. z)dxdy= JJ/[*. у, ?(х, y)]dxdy, A3,5)
(S) <»)
в которой 2 = <р (х, у) — уравнение поверхности 5, а (а) — проекция
поверхности S на плоскость хОу. - .
Если S — часть цилиндрической поверхности с образующими,
параллельными осями Ог, то все ее элементы имеют проекции на
плоскость хОу, равные нулю, поэтому
f(x, у, z)dxdy — 0. A3,6)
Общая формула, по которой поверхностный интеграл второго
типа сводится к поверхностному интегралу первого типа запи-
записывается так:
jj Р dy dz + Qdz dx + R dxdy == Jj [Pcosa -f Qcos p + Rcos-\]dSt
(S) (S)
A3,7)
где P, Q и R— ограниченные функции, определенные во всех
точках поверхности S, а cos a, cos |3, cos у — направляющие коси-
косинусы нормали, направление которой соответствует выбранной сто-
стороне поверхности.
2. Поток вектора. Потоком вектора а через поверхность 5 на-
называется скаляр, определяемый формулой
ads, A3,8)
где ап — проекция вектора а на нормаль к поверхности 5, причем
нормаль берется определенная — внешняя или внутренняя.
Проекцию вектора а на нормаль к поверхности находят по
формуле
йп = ах cos (я, х) + аи cos (n, у) + аг cos (h, z). A3,9)
где cos (n, x), cos (я, у), cos(n, z) ~ направляющие косинусы нор-
нормали к поверхности 5, поэтому A3,8) можно записать в виде
П = \ I [ax cos (Я, х) + ау cos (Я, у) + аг cos (n, z)]d$. A3,10)
(S)
306

Учитывая, что
cos (n, х) ds = dy dz\ cos (n, y) ds = dz dx\ cos (n, 2) ds = dx dy,
A3,100
формулу A3,10) запишем так:
П — [\axdydz + aydzdx + azdxdy. A3,11)
(S)
В векторной форме A3,10) запишется в виде
/7 = Jf (я-л) ds, A3,12)
где п — единичный вектор нормали, направленной от отрицатель-
отрицательной стороны поверхности к положительной (поверхность обыкно-
обыкновенно ориентируют так, что ее внешнюю сторону считают поло-
положительной, а внутреннюю — отрицательной).. В случае замкнутой
поверхности вектор п — единичный вектор внешней нормали.
3. Дивергенция. Дивергенцией (расхождением) поля вектора
а = а{х, у, г), обозначаемой diva, называется скалярная величина,
определяемая формулой
div * = &+?+?• 03,13)
Из этого определения видно, что дивергенция вектора а — ве-
величина скалярная и ее определение связано с выбором координат-
координатной системы. Ниже в связи с формулой Остроградского дается
другое определение дивергенции вектора а, которое устраняет этот
недостаток.
Термин «поток вектора» имеет физическое происхождение. Ука-
Укажем примеры физических величин, которые вычисляются при по-
помощи формулы A3,11):
а) Если векторное поле рассматривать как поле скоростей
движущейся жидкости, то поток ее П через поверхность 5 равен
количеству жидкости, протекающей через поверхность 5 в единицу
времени в направлении от отрицательной к положительной стороне
поверхности. Если поток через замкнутую поверхность 5 положи-
положителен, то это значит, что из части пространства, ограниченной
поверхностью S, вытекает больше жидкости, чем втекает в нее.
Это объясняется тем, что внутри 5 имеются источники, выде-
выделяющие жидкость.
Если поток отрицателен, то внутрь поверхности S втекает
больше жидкости, чем вытекает из нее. Это означает, что внутри
S имеются стоки, поглощающие жидкость.
307

б) Поток тепла имеет направление и является векторной вели-
величиной. Обозначим вектор потока тепла через а. Его длина изме-
измеряет количество тепла, протекшего сквозь единицу' площади в
единицу времени. Полный тепловой поток наружу через поверх-
поверхность 5 определяется также по формуле A3,11).
4. Формула Остроградского. Формулой Остроградского назы-
называется формула
<Г, + Т, + Т> =
(с) U^, 14)
= ( ( [Р cos (n, *) + Q cos (n, y)-\-R cos (n, z)] ds.
Здесь: cos(n, a:), cos (л, у), cos(n, 2) — направляющие косинусы
внешней нормали к поверхности s, ограничивающей объем v; P,
Q, и R — сокращенное обозначение функций Р — Р(х, у, г); Q =
= Q {х, у, z); R = R (x, у, г), которые предполагаются определен-
определенными в объеме v и непрерывными вместе с их частными произ-
производными первого порядка.
Формула A3,14) позволяет преобразовать интеграл, распрост-
распространенный на некоторый объем у, в интеграл по поверхности s,
которая ограничивает этот объем.
В другом виде с учетом A3,10г) формула Остроградского за-
записывается так:
^]( + § + §)dv = ^Pdydz + Qdzdx + Rdxdy. A3,15)
(с) _ (s)
Если а = а(х, у, г) — вектор, проекции которого на координат-
координатные оси равны ах, аи, аг и ах = Р(х, у, г); ау = Q{x, у, г); а, =
= R (х, у, г), то формула A3,7) запишется так:
$ «*>+ A„е,
+ ay cos (n, у) + аг cos (n, z)] ds.
Формула Остроградского A3,14) в векторной форме (если ее
прочесть справа налево):
jjands= jjjdivSfifo, A3,17)
(s) (с)
т. е. поток вектора а, являющегося непрерывной функцией точки,
через произвольную замкнутую поверхность равен интегралу от
дивергенции этого вектора по объему, ограниченному этой поверх-
поверхностью. Формула A3,17) выражает поток вектора через замкну-
замкнутую поверхность через значения дивергенции этого вектора в точ-
точках, лежащих внутри поверхности.
зов

В теории векторного поля формулы A3,16) и A3,17) имеют
исключительно важное значение.
Левая часть формулы A3,17) определяет поток вектора а через
замкнутую поверхность S — см. формулу A3,8).
Отсюда следует, что поток вектора а через замкнутую поверх-
поверхность S равен интегралу от дивергенции вектора, взятому по
объему, ограниченному поверхностью 5.
Теперь мы можем дать определение дивергенции вектора в
точке А4 объема V, не зависящее от выбора координатной системы.
Поток векторного поля через замкнутую поверхность S назы-
называют также производительностью той части пространства V, кото-
которая ограничена поверхностью 5. Если найти отношение потока П
через поверхность S к величине объема V, ограниченного этой
поверхностью, то мы получим среднюю производительность во
всей области V. Чтобы оценить производительность в точке М
объема V, необходимо вычислить среднюю производительность во
все меньших и меньших областях, окружающих точку М. Переходя
к пределу, стягивая объем такой малой области в точку, мы получим
число, характеризующее производительность векторного поля в
окрестности точки М. Это число и называется дивергенцией век-
векторного поля в точке М.
Дивергенцией векторного поля вектора а в точке М назы-
называется предел, к которому стремится отношение потока через
замкнутую поверхность, окружающую точку М, к объему обла-
области, органиченной этой поверхностью. Этот предел вычисляется
при стягивании объема V в точку М.
Таким образом,
diva = lim &—r, A3,18)
В этой форме определение дивергенции не зависит от выбора
координатной системы. Те точки векторного поля, в которых
дивергенция положительна, называются источниками, а те, в кото-
которых она отрицательна, — стоками. Эти термины объясняются
гидродинамическим истолкованием векторного поля. Если около
точки, являющейся источником, описать достаточно малую поверх-
поверхность, то поток через эту поверхность окажется положительным
и жидкость будет вытекать наружу.
Задача 13,1. Вычислить интеграл /= U (х2 + у2) zds, где5 —
(S)
верхняя половина сферы радиуса R с центром в начале коорди-
координат.
Решение. Заданный интеграл принадлежит к поверхностным
интегралам первого типа. Его следует вичислить по формуле A3,2).
Поверхность S определяется уравнением л:2 + У2 + г2 = R*
г = VR*~ л*—г/3 (А)
30»

(перед корнем удержан знак плюс потому, что рассматривается
верхняя часть поверхности сферы).
Теперь вычислим ]/l+(g|) + (gf)*» входящий в формулу A3,2).
Из (А) следует, что
дг_ х дг__ у #
Искомый интеграл после подстановки z — VR2 — х2 —у2 перепи-
перепишется по формуле A3,2) так:
Перейдем к полярным координатам. В них
— р2, a da =
Поэтому
7 в Я Р* '
Так как a — проекция S на плоскость хОу, то а —круг радиуса
R, ограниченный окружностью х2-{-у2 = R*. Переменные р й <р
изменяются в таких пределах: р от 0 до R, <рот0до2тс
О < р < R;
О < f < 2«.
Поэтому
oJ о
Задача 13,2. Вычислить поверхностный интеграл
где 5 — часть параболоида г = хг + у8, ограниченная плоскостью
z = a @
Решение. Заданный интеграл — поверхностный интеграл пер-
первого типа. Применим для его вычисления формулу A3,2). Из уравнения
310

поверхности =*г+#8 найдем ||, |? и вычислим j/ \+l^.\2+(p.Y ^
входящий в эту формулу:
Подставляя это значение корня и заменяя z на х2 + */2 в A3,2)г
получим
где а — проекция поверхности S на поскость хОу. Эта проекция
круг радиуса а. Его ограничивает окружность х2 + #2 = я2-
JJ
¦
И здесь выгодно перейти к полярным координатам, в которых
*8 + #2 = Р2;
Поэтаму
2ic a
(а) О О
Внутренний интеграл
а
J I/in? dp=4- D-kf+i^+4-1п 12«+
о
о
Указание.
f
J
-f
а ( ,р р взять по частям, полагая а = р; dy = , р р'
Jl/l + 4pa /
Ответ. / =
Задача 18,8 (для самостоятельного решения). Вычислить поверх-
поверхностный интеграл первого типа
311

где S — поверхность конуса г2 = хг-\-у2, ограниченного сверху
плоскостью z — h.
Указание. Воспользоваться формулой A3,2). После замены
под корнем г2 на х2 + у2 и вычисления 1/ i _j_ (^Ч -|-L-) (учесть,
что г = |/х2 + г/2) должно получиться
Перейти к полярным координатам.
Ответ. / =—о—.
Задача 13,4. Найти поверхностный интеграл первого типа
где S — полная поверхность тетраэдра, отсекаемого от первого
¦октанта плоскостью х -f- у -f- z = 1.
Решение. Здесь поверхность S составлена из четырех частей.
Значение величины ds в формуле A3,2) ниже указано для каж-
каждой из этих частей:
Sx — треугольник в плоскости хОу: z = 0; ds = dx dy. Он
ограничен осями Ох, Оу и прямой х + у — 1.
52 — треугольник в плоскости хОг: у — О; dz — dxdz. Он ог-
ограничен осями Ox, Oz и прямой х -\- z = \; г—\ —х.
53 — треугольник в плоскости yOz: х = 0; ds = dydz. Он огра-
ограничен координатными осями Оу, Oz и прямой y + z—l; z —
54 — заданная плоскостью, на которой z=l — х — у; ds =
= т/^З dx du, так как з^ = а- = — 1, а 1/1-
' *" • ох оу г
поэтому
Учитывая значение ds на каждой из частей и заменяя в пос-
последнем интеграле г на 1 — х — у, a ds на -/Ъ dx dy и вычисляя
отдельно каждый из четырех этих интегралов, получаем:
(Si)
312

1 1~*
(S2) (Sj) 0 0 0
1 i-y 1
(s.) s, bo о
4)
о о
Окончательно
/-O-4--I-4- — 4-^ —
1 '— w T^ *n T~ m T^ in
) (a)
1 1-х
12 ~ 12 ~ 12 ."" 12 "
Задача 13,5. Вычислить поверхностный интеграл второго типа
по верхней стороне нижней половины сферы радиуса а.
Решение. Уравнение сферы хг + у2 + г2 — а2. На нижней
половине сферы г = —>Лз2 — х2—у2. Проекция этой сферы
на плоскость хОу есть круг радиуса а, ограниченный окруж-
окружностью х2 + уг = а2. Применяя формулу A3,5) и заменяя под
знаком интеграла z на —У а2 — х2 — у2, получаем
где a — проекция сферы на плоскость хОу. Перейдем в полярные
координаты: * = pcoscp; #=psincp, элементы же площади dxdy
надо заменить на р dp dcp.T
313

Внутренний интеграл вычисляем по частям
а
j
dv = ¦
du = 2p dp
о = —у а2 — р
r2 n2
Поэтому
Z1E 2ж
= —-|а8 fsin2fdy = —|-asf-
b о
Задача 13,6. Вычислить поверхностный интеграл второго типа
где S — поверхность конуса z2 ~ х2 + у2, ограниченная плос-
плоскостью г = А.
Решение. Применяя формулу A3,5) и заменяя z2 на х2 + #2,
получаем
где a — круг, являющейся проекцией поверхности S на плоскость
хОул ограниченный окружностью х2 -j- у2 = А2. После перехода
к полярным координатам
г Г Г (Р c°s фJ • (р sin ф)* . .
/ = J J i? SZ^JE IZ_ p ф dcp;=
2ч А
<=>>
= I \ sin8 <p • cos8 <p • p? dp df — \ sin8 <p cos2cp d<p I p3 dp.
(a) 0 0
Интеграл
2ic 2ж 2»
I sin2 у • cos2 <p dy = I f-i sin 2ipj dy = -j- \ sin2 2у dy =з
о о о
2ic
1 Г 1—cos4«> . l/l sin4»\|2lc 1 1 о "
4J 2 T 4\2T 8/|o 42 4
Ответ: / =
16-
314

ЗАДАЧИ НА ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТОКА ВЕКТОРА
Задача 13,7. Определить поток вектора г — радиуса-вектора
точки через полную поверхность прямого кругового цилиндра,
если нижнее основание цилиндра лежит в плоскости хОу, его
центр находится в начале координат, радиус основания цилиндра
равен R, высота его Я.
Решение. При решении задачи воспользуемся формулой
A3,8). Через полную поверхность цилиндра поток
Я
полн. пов. —
в. ~Ь '' в
н. +П
верхн, осн.
(А)
К задаче 13,7
1. При вычислении потока через боковую поверхность цилиндра
следует учесть, что внешняя нормаль к этой поверхности в любой
ее точке перпендикулярна оси Oz, а потому проекция гп радиуса-
вектора г на нормаль к боковой поверхности цилиндра равна
радиусу цилиндра, т. е. rn = R и тогда
Пбок.
JJ rads = {{ Rds = /?'JJ ds = R -2nRH,
(бок.
пов.)
ПОВ.)
ПОВ.)
с с
так как )) ds равен боковой поверхности цилиндра. Окончательно
(бок.
пов.)
Ябок. пов. = 2k
2. На нижнем основании цилиндра вектор г перпендикулярен
вектору п — внешней нормали нижнего основания, а потому про-
315

екция вектора г на внешнюю нормаль п равна нулю, т. е. гп — О
и
Г Г г Ач П
НШКН. ОСН. *~~ 1 -V * tl ~~"
(инжн.
осн.)
3. На верхнем основании внешняя нормаль к нему параллельна
оси Oz и имеет то же направление, что и ось Oz, поэтому проек-
проекция радиуса-вектора г точек верхнего основания цилиндра на
внешнюю нормаль равна высоте цилиндра Н и
rnds= JJ Hds = H Л* = Я.«#-«
(верхн. (верхн. (верхн.
осн.) осн.) осн.)
так как \\ ds равен площади верхнего основания, т. е. iti?a.
(верхн.
осн.)
Подставляя найденные значения потоков через боковую поверх-
поверхность цилиндра, его нижнее и верхнее основание в (А), получим
поток через полную поверхность цилиндра
Я = 3kR2H.
Задача 13,8. Определить поток радиуса-вектора г точки через
прямой круговой конус, основание которого лежит в плоскости
хОу, ось совпадает с осью Oz, радиус основания равен R, вы-
высота — Н.
Решение. Через полную поверхность конуса поток
"ПОЛЯ. ПОВ. КОН. == "бОК. ПОВ. КОН. ~Г "ОСИ. КОН..
Очевидно, что поток вектора г через основание конуса равен
нулю, так как на основании конуса вектор г перпендикулярен
к нормали основания.
Проекцию радиуса-вектора 7 на нормаль к боковой поверх-
поверхности найдем по формуле A3,9). У нас
г = xl + у} + гп,
поэтому
г„ = х cos (й, х) + у cos (n, у) + z cos (n,z)
и по формуле A3,10)
Ябок. пов. кон = J j [X COS (Й, x) + t)COS(n,y) + Z COS (Й, Z)\ ds =
(бок.
ПОВ.
кон.)
== JJ xdydz + ydzdx + zdxdy.
ПОВ.
КОН)
316

Остается вычислить интегралы:
(бок.
пов.
кои)
xdydz: \ ] ydzdx: jj zdxdy.
(бок.
пов.
кон)
(бок.
пов.
кон)
(А)
I
Найдем уравнение поверхности конуса. Если на конусе взять
произвольную точку А(х, у, г), то из подобия треугольников ВОС
и ABD следует, что
¦g- = |g , но AD =
, BD=H~z
К задаче 13,8
и тогда
Я ~~ H-z •
Отсюда уравнение поверхности конуса:
да
Последний из интегралов в (А), если в него подставить г из
уравнения (В), приведется к виду
Я «*«<*-Я «(¦-я?
(бок.
пов.
кон)
(осн.
кон)
317

причем dxdy есть проекция элемента ds поверхности конуса на*
плоскость хбу и интегрирование будет вестись по проекции по-
поверхности конуса на эту плоскость, т. е. по основанию конуса.
Если перейти к полярным координатам, то, учитывая, что-
в них j/х2 + у2 — р, а элемент площади ds = p dp dy, получим
2ч Д 2тс
Два других интеграла (А) вычислить самостоятельно.
При вычислении j] xdydz учесть, что областью интегриро-
(бок.
пов.
кон)
вания явится проекция боковой поверхности конуса на плоскость
уОг, т. е. треугольник BEF. Множитель х, входящий в подынтег-
подынтегральное выражение, определить из уравнения (В) поверхности
конуса. /
Уравнения сторон BE и BF треугольника BEF получаются из
уравнения (В) поверхности конуса как уравнения линий пересече-
пересечения поверхности конуса с плоскостью уОг (уравнение этой плос-
плоскости х = 0).
В выражении (С) для х возьмем знак плюс перед корнем. Желая
вычислить jj xdydz по всей боковой поверхности конуса и счи-
(бок.
пов.
КОВ)
тая х— + |/а2П — -|И — У2, мы должны будем вследствие
сим-
318

метрии поверхности конуса относительно плоскости уОг получен-
полученный результат удвоить, <г. е.
xdydz = 2 ^ xdydz =
(бок. пов. ЬВЕР
кои)
н \ н
При вычислении внутреннего интеграла использована формула
~оГ^Р it = -i/a2 — P + у arc sin ~ + С,
причем принято, что Ф — i?2 11 — п- ) • Вычисление последнего
интеграла тем же путем даст
и тогда
т. е.
окончательно
**полн. пов. кон
(бок.
пов.
кон.)
ПОТОК
. =4^ян
"полн. пов. кон. :
= 1С
1t'V"'
Мы решили эту задачу, не прибегая к формуле Остроград-
Остроградского. Используем ее и убедимся, что это значительно сэкономит
.вычисления. Поток вектора через замкнутую поверхность S нйхо-
дят по формуле Остроградского A3,17).
Применим эту формулу для случая, когда вектором является
радиус-вектор точки г — xi + yj + 2k. На основании A3,13)
а потому
319

Ho rx = х; гу = щ гг = z, поэтому
дх ~ 1' ду ~ и дг - '•
Значит, для радиуса-вектора ?. div г — 3.
Интересующий нас поток радиуса-вектора г через замкнутую
поверхность будет равен на основании формулы A3,17)
ЯШШШ
(•S) (О) (О) (О)
т. е. поток радиуса-вектора тачки через замкнутую поверхность
S равен утроенному объему, ограниченному этой поверхностью.
Для потока • через- полную поверхность конуса, рассматриваемого
в этой задаче, имеем, учитывая, что объем конуса v =-я-тсТ?2//,
Яполн. пов. ко„. = 3 • -J- kR*H = lzR*H.
Получен тот же результат, что и раньше, но, со значительно
меньшей затратой труда, притом получен и дополнительный ре-
результат.
В задаче 13,1 поток рациуса-вектора точки через полную по-
поверхность прямого кругового цилиндра П = Зъ^Н, 'т. е. поток
радиуса-вектора точки через полную поверхность прямого круго-
кругового цилиндра равен утроенному объему цилиндра, как это сле-
следует и из формулы A3,19).
Формулу A3,19) можно истолковать так: если в установив-
установившемся потоке несжимаемой жидкости скорость любой частицы
равна ее раднусу-вектору, то количество жидкости, вытекающее
из какого-либо тела за единицу времени, равно утроенному объ-
объему этого тела.
Задача 13,9. Доказать, что если во всех точках некоторого
объема v, ограниченного поверхностью S, дивергенция вектора а
равна нулю, то поток вектора а через поверхность S равен нулю.
Решение. По формуле A3,10) поток вектора
(о)
Вектор а, для которого дивергенция равна нулю, называется
соленоидальным.
Задача 13,10. Доказать, что если во всех точках некоторого
объема V, кроме одной точки А, дивергенция вектора равна нулю,
то поток этого вектора через замкнутую поверхность, окружающую
точку А, не зависит Ьт формы этой поверхности.
320

Решение. Пусть_ во всех точках объема V, кроме точки А,
дивергенция вектора а равна нулю: diva = 0. Окружим точку А
поверхностью (Si) (см. чертеж). Тогда по условию задачи всюду
в объеме, заключенном между поверхностями S и Sb div a = 0, а
поток вектора а через поверхность S + Si равен нулю на основа-
основании результата предыдущей задачи, т. е.
д
или иначе
"" ап ds + \\ ап, ds = 0. (А)
Я'
К задаче 13,10
В этой формуле ап — проекция вектора а на внешнюю нор-
нормаль п к поверхности S, а а„% — проекция вектора а на внешнюю
нормаль пх к поверхности Sx. Внешняя нормаль к поверхности Sx
направлена внутрь (противоположно направлению внешней нормали
на поверхности S). Учитывая, что изменение направления нормали
на противоположное изменяет знак интеграла, получим
Заменяем в (А) второе слагаемое в левой части равенства его
значением из (В):
и окончательно
что и требовалось доказать. Решим задачу на применение этого
результата.
11 И. А. Каплан

Задача 13,11- Напряженность Е поля точечного электричес-
электрического заряда е на расстоянии г от этого заряда
Ё = ^г, (А)
где 7 — радиус-вектор, проведенный из заряда в рассматриваемую
точку поля А. _
Определить поток вектора Е через любую замкнутую поверх-
поверхность в двух случаях:
1) когда эта поверхность не охватывает заряда е и
2) когда заряд е расположен внутри замкнутой поверхности.
Решение. 1. Для ответа на. первый вопрос воспользуемся
формулой A3,17). Поток вектора через замкнутую поверхность S
JJ JJ
(¦S) (V)
Будем считать, что заряд е помещен в начале координат, а
точка А имеет координаты ^х, у и г. Тогда радиус-вектор г =
= xl -f у) -f zk, а его модуль г = У х2 -f у2 + г*
Поэтому равенство (Л) перепишется так:
p _ e_ v. p e ... p
тт « dEv дЕи дЕг
Найдем теперь -?, -щ* и -^.
дЕх _ х дх-
Eor = Vx*+y* + z\ а ^ =
аг 2л:
Поэтому
X
дЕх /3~ r x¦' 7
"di =е -' = е-
Аналогично
д?у_ г" — Зу2_ 5?г _ f2—3
ду ~е г6 ' ~дТ~е К
дх ду дг *
322

поэтому
л,.. Ё . Лг~ З*2) + (г2 - Зу») + (г* - Зг*) _ „ Зл» - 3(х* + у* + г2),
Но так как хг + у* + .г* = г*, то числитель последней дроби равен
нулю и в рассматриваемом случае div Е — 0.
Поскольку знаменатель последней дроби г6, то это заключение
является верным только тогда, когда г фО, т. е. всюду, кроме
начала координат. В рассматриваемом случае, когда поверхность S
не охватывает заряда е, радиус-вектор г не может быть равен
нулю, поэтому поток вектора Е
П=[[Е ds= f f f div Ё &>= f f f 0 dv = 0.
Заключение. Поток Я вектора Е — напряженности элект-
электрического поля точечного заряда.— через всякую замкнутую по-
поверхность равен нулю, если эта поверхность не охватывает заряда е.
2. Когда заряд е расположен внутри замкнутой поверхности,
т. е. когда начало координат находится внутри замкнутой по-
поверхности сделанное выше заключение оказывается неверным, так
как в этом случае радиус-вектор г в начале координат равен нулю.
Для ответа на второй вопрос задачи воспользуемся резуль-
результатами задачи A3,10).
Поскольку в рассматриваемом случае во всех точках объема
V, ограниченного поверхностью S,. кроме начала координат,
div E = 0, то" поток вектора Я не зависит от формы поверхности
S, в связи с чем за поверхность S примем сферу радиуса R с цен-
центром в начале координат.
Так как внешняя нормаль в любой точке сферы совпадает с
направлением радиуса-вектора ~г этой точки, то вектор "Е имеет
то же направление, что и внешняя нормаль к сфере, поэтому
проекция Еп вектора Е на внешнюю нормаль равна его модулю.
Так как Е = ^г = -^ • ~ , а -?- есть единичный вектор г0 ради-
радиуса-вектора г точки, то Я = -^ • Fo, а его модуль Е = -^. Поэтому
Е — е
Модуль радиуса-вектора точек сферы равен радиусу R сферы,
поэтому г = R н тогда Еп = 4г , а поток вектора Е
п - П Я \\
(S) (S) (S)
так как I \ ds равен поверхности сферы, т. е. 4тс#2.
(S)
И* 323

Заключение. Если точечный заряд е расположен внутри
замкнутой поверхности, то поток вектора Е — напряженности поля
данного заряда — через эту поверхность равен 4гсе.
Задача 13,12. Найти поток вектора а — x2l + y2j + z*k через
положительный октант сферы х2 -f у2 + г2 = R2 (х > 0, у > О,
г>0).
Решение. Воспользуемся формулой A3,11), в которой надо
взять ах = х2; ау = у2; аг = г2. Тогда поток вектора
(А)
где под S понимается поверхность сферы, расположенная в пер-
первом октанте.
Представим интеграл в формуле (А) в виде суммы трех интег-
интегралов. Областями интегрирования при вычислении этих интегралов
будут проекции поверхности S соответственно на координатные
плоскости yOz, xOz и хОу. Это видно из наличия в первом ин-
интеграле произведения dydz, во втором dxdz, в третьем dxdy
П= j]je2dydz+ jj y*dxdz + j \ z^dxdy.
?!/Ог | $хОг | $хОу ,
?- _ _
При вычислении интеграла /х выразим х2 через у2 и г2. Из урав-
уравнения сферы х2 + у2 + z2 = R2 следует, что х2 = R2 — (у2 + г2).
Перейдем к полярным координатам, в которых у2 + г2 = р2; х2 =¦
= R2—р2, a dydz надо заменить на
Поэтому
R*
J 4 "f 4 2 — 8 *
о
Вычисляя /2 и /3, найдем, что каждый из этих интегралов
TtR*
также равен —g-, а потому поток
^ я/?* я/г* я/?* з
^ я/? я/г я/?* _ з D4
8 ' 8 ' 8~ — "8"тсл: •
324

Задача 13,13 (для самостоятельного решения). Найти поток
вектора а = хЧ + у2} + z2k через поверхность сферы х2 + у2 +
+ z2 = R2.
Указание. Воспользоваться формулой A3,11). Удобно начать
с вычисления ^ г2йхйу. Из уравнения сферы х2 + у2 + г2 = R2
sx0y
найти z2 — R2 — \х2 + у2). Перейти к полярным координатам.
Ответ. Я==уkR*.
Задача 13,14. Найти поток вектора а = yi + г] + xk через
часть плоскости х + у + г = а, расположенную в первом октанте
(х > 0, у > 0, 2 > 0).
Решение. Воспользуемся фор- г
мулой A3,8), по которой
с с
n=\\ands,
и вычислим проекцию ап вектора
а на внешнюю нормаль к плоскости
х + У + 2 = а по формуле A3,9)
ап = ах cos (/г, *) + ау cos (/г, у) +
-f a2cos(n,z).
Так как эта нормаль образует
с осью Ог острый угол, в формуле
для cos(n, 2) возьмем знак плюс,
а направляющие косинусы нормали
найдем по формулам A3,3) и A3,4).
cos(n, z)
• ; cos Gг,
1
где
Уравнение плоскости х + у + г = а разрешим относительно г
и получим г = а — х — у, откуда
Р1; 9 1;
или
cos(n, г/)=^-; cos(«, 2) = ^=.
325

Из условия задачи ах = у, ау = г; аг — х. Поток Я вектора а
будет равен на основании A3,10)
Я =
~(§) IS)
где интеграл S распространен на часть плоскости х + у + г = а,
расположенную в первом октанте. Но в последнем интеграле по-
подынтегральную функцию х + у + г можно заменить из уравнения
поверхности на а, так как на поверхности S х +:
A JJ п dS = 7% 3&АВС (Я
(S) (S)
Треугольник ABC равносторонний {АВ = АС = ВС), значит,
каждый его угол равен 60°. Из равнобедренного прямоугольного
треугольника АОС следует, что АС — УсР + Ф = a V2. Высота
^I^iVl6, а потому
и окончательно
Задача 13,15 (для самостоятельного решения). Определить по-
поток вектора Ъ = yl + г/ + xk из предыдущей задачи через полную
поверхность пирамиды, ограниченной плоскостью х-\- у + г = а и
координатными плоскостями (см. чертеж к предыдущей задаче).
Указание. Искомый поток рассмотреть как сумму потоков
через грани пирамиды АОВ, ВОС, АОС и ABC, причем использо-
использовать результат предыдущей задачи: через грань ABC поток вектора
а Я = у. При вычислении потока этого вектора, например через
грань АОВ, учесть, что на этой грани cos(n, jc)=cos(n, г)=0,
а cos (/г, у) = —1 и вычисление потока через эту грань приведет
к интегралу — \\ г ds, в котором элемент? ds площади треуголь-
треугольное
ника АОВ должен быть заменен на dxdz. Уравнение прямой АВ:
х + г = а. Отсюда ПАов — — тг •
Поток через полную поверхность рассматриваемой пирамиды
равен нулю.
Ответ. П = 0.
Задача 13,16 (для самостоятельного решения). Найти поток
вектора а = хЧ + y*j + z2k через сферу (х — аJ + (з — ЬJ +
326

Указания. Искомый поток вычисляется по формуле A3,11).
1. Удобно перейти к сферическим координатам. Положим
х — а = R cos <p sin 6;
у — b = R sin cp sin 6; ,д
2 —c = /?cos9; w
.@< <р-< 2те; 0 < 9 < те).
Проверьте, действительно ли (х— af + [y — bJ -\- (г — сJ = R*.
2. При вычислении, например \\zidxdy, рассмотреть его как
сумму двух интегралов
{ j z2 dx dy = J J г2 dx d# + j J г2 d* dy,
<S) (SB) (SH)
где SB — верхняя сторона верхней половины сферы, а
SH — нижняя сторона нижней половины сферы.
Тогда
\\ г2 dx dy — \ } г2 cos (n, г)в ds + ] \ г% cos (n, г)„ ds,
где cos(n, 2)в и cos(n, г)я — косинусы угла между внешней нор-
нормалью и осью Oz соответственно на верхней стороне верхней поло-
половины и на нижней стороне нижней половины сферы.
3. Разрешить уравнение поверхности относительно г — с
г _ с д + /fli._- (Х — аJ — (у — ЬI>
г = с±1//?г-(л;-аJ-A/^-6^) (В)
где знак плюс надо взять для верхней половины сферы, а знак
минус — для нижней.
На верхней стороне верхней половины сферы cos (n, г) > О
cos (я, г) = / =====, (С)
/4I)(S)
а на нижней стороне нижней половины сферы cos (n, г) < О
cos (п, г) = — ¦
Вычисляя gj и jr- из уравнений (В) и подставляя в (С) и (D), полу-
получим в двух случаях для cos(n, z) одно и то же выражение cos (n, г) =
327

г — с
-к-. Тогда, если учесть, что в сферических координатах эле-
элемент поверхности
ds= R2 sin 6 db dy
(см. В. Смирнов. Курс высшей математики, т. II, стр. 190),
11 г2cos(h, г)вds + 11 z2cos(п г)иds =
<SB)
2 • г-^- • R* sined8d<f = /? f f z2(z — c)sini
(S) (S)
Так как cos(n, z) имеет одно и то же выражение на поверх-
поверхностях (SB) и (Sh), мы от интегралов по этим поверхностям пере-
перешли к интегралу по всей поверхности сферы. Вычислить последний
интеграл несложно. В нем на основании равенства (А) следует
взять
2 — с = Rcosb,
пределы интегрирования по 0 будут 0 и it, а по <р они равны О
И 2те.
После вычислений получим
г2 dxdy = -j tzcR3.
Аналогично вычисляются и два других интеграла:
\\x2dydz и
Ответ. П =
Задача 13,17 (для самостоятельного решения). Найти поток
вектора а = хЧ + y2j + z2A через верхнюю сторону верхней поло-
половины сферы
(ж - аJ + {у -&)* + (г - сJ = R\
Ответ. Я = 2и/( )
Задача 13,18 (для самостоятельного решения). Вычислить поток
вектора
а = (х + уI + (у — х) / + zk
через поверхность шара единичного радиуса с центром в начале
координат.
Указание. Вычислить дивергенцию вектора а. Окажется, что
и применить формулу Остроградского.
Ответ. П = 4тс.
328

ЧЕТЫРНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Свойства дивергенции. Упражнения, связанные с форму-
формулами Остроградского и Стокса.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
1. Формула Стокса. Эта формула связывает криволинейный ин-
интеграл по замкнутому контуру L с интегралом по поверхности,
ограниченной данным контуром. Она записывается так:
j>
axdx + a y dy + агйг =
Здесь L — замкнутый контур, ограничивающий поверхность S. На-
Направление нормали к поверхности S выбирается так: для наблю-
наблюдателя, стоящего на поверхности и смотрящего на нее с конца
нормали, обход контура L в правой системе координат должен
происходить против движения Часовой стрелки.
Формула A4,1) на основании формул A2,7) может быть запи-
записана так:
ф ах dx + ay dy + аг dz = ] ] [rot,, a cos (п, х) +
L (S) _
+ roti,acos(n, у) + rotzacos (л, z)]ds. A4,2)
2. Формула Стокса в векторной форме. Учитывая, что выра-
выражение в квадратных скобках под интегралом в A4,2) есть проек-
проекция вектора rot а на нормаль к поверхности, т. е. (rot a)n, формула
A4,2) в векторной форме запишется так:
фа -S^J'J (rota)nds, A4,3)
где dl — элемент дуги кривой L, рассматриваемый как малый век-
вектор, проекции которого на координатные оси равны dx, dy и dz.
Из формулы Стокса A4,2) заключаем, что циркуляция произ-
произвольного вектора по замкнутому контуру равна потоку ротора
329

этого вектора через любу» поверхность, опирающуюся на этот
контур (направление обхода контура L и направление нормали к
поверхности S должны быть согласованы одно с другим).
Свойства дивергенции
Задача 14,1. Доказать что
div (а + Ъ) = div a + div b,
где
а-а{х, у, г), b = b(x, у, г).
Решение. Векторы с и б определяются равенствами
а = aj + aj + aji;
b = bj+ b~j + bji;
Согласно формуле A3,13)
Поэтому
div
да* _1 даУ i to*] i (дЬх i дЬ
+ i + wJ + y +
Выражение, стоящее в первой скобке, есть diva, а выражение,
стоящее во второй скобке, есть div Ъ.
Итак,
div (a + b) = div a + div b.
Задача 14,2 (для самостоятельного решения). Доказать, что
div (Ua) ="a • gradt/, где а — постоянный вектор, U = U(x, у, г),
а а • grad U — скалярное произведение векторов а и grad U.
Задача 14,3. Доказать, что, если а = а(х,.у, г)\ а функция
U*=U{x, у, г), то
div {Ua) = U div a + а • grad U *
* В отличие от предыдущей задачи здесь а—переменный вектор.
330

Решение. Вектор а = aj+ aj + aji;
Ua = (Uax) ~i + (Uay) J + (Uaz) h
div (Ua) - 1 {Uax) +1 {Uay)+1 (?/аг)
a • drad U
diva
(Сумма, стоящая в первой скобке, есть а • grad U, так как проекции
вектора gradt/ на координатные оси Ох, Оу и Ог равны соответ-
dU dU dU _
ственно т-, -g- и -^, а проекции вектора а на те же оси соот-
соответственно равны ах, ау и аг).
Задача 14,4. Найти div (grad U), где U = U(x, у, г\.
Решение, div (grad U) —
-1 (grad U)x+± (grad U), + l (grad </г) -
_ д (dU\ д (dU\ д (dU) = &4J W W _
= AU (Л — оператор Лапласа).
div grad U = AU.
Задача 14,5 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если г — -/"х* + t + г*, то
Указание. Учесть, что
а . . d/ dr _df х
дх[1 WJ~"SF' дх~Ш' Т*
Задачи на формулу Остроградского
Задача 14,6. Применяя формулу Остроградского, преобразовать
поверхностный интеграл
(S)
+ у3 dx dz +
если 5 —гладкая поверхность, ограничивающая объем V.
331

Решение. На основании формулы A3,8), полагая в ней Р = х3;
Q = у3; # = г3, получаем
ffi [зг И + 4 (*3) + s И] *> = ДО (з*2 + з^ +
(V) (V)
Задача 14,7. Применяя формулу Остроградского, преобразовать
\ Vx1 + ф + 22 (cosa + cosр + cosf)ds,
(S)
где S — гладкая поверхность, ограничивающая объем V,
cos a, cos p и cos т — направляющие косинусы внешней нормали к
поверхности S.
Решение. Полагая в формуле A3,7) Р = Q = R =Ух2+у2+г*,
получаем
(V)
=fjj(-7g^+i73=L=?<+VJ_ '. .1».
(V)
(V)
Задача 14,8 (для самостоятельного решения). Преобразовать по
формуле Остроградского
х cos а + у cos р + г cos 7 j
сохраняя обозначения предыдущей задачи.
Ответ.
(V)
Задача 14,9 (для самостоятельного решения). Доказать, что
J J xdy dz-\- ydxdz + zdx dy
(S)
J J
(•S)
равен утроенному объему тела, ограниченного поверхностью S.
332

Задача 14,10 (для самостоятельного решения). Применяя фор-
формулу Остроградского, преобразовать поверхностный интеграл
(S)
где S — гладкая поверхность, ограничивающая объем V, cos a,
cosp, cos 7— направляющие косинусы внешней нормали к поверх-
поверхности S.
(V)
или в другой записи
(V)
где Дм = y-j + j-2 + 0^2 ^ть лапласиан функции «.
Задача 14,11 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если S — замкнутая простая поверхность, / — любое постоянное
направление, а п внешняя нормаль к поверхности S, то
Л cos (л, J)ds =
(S)
(S)
Указание. Заменить cos(n, /) по формуле
. cos(n, I) = cos(n, x)cos(t, x) + cos(n, y)cos{t, y) +
+ cos(n, г) cos G, г).
Задача 14,12. С помощью формулы Остроградского доказать,
что поток вихря вектора а через замкнутую поверхность равен нулю.
Решение. Вихрь вектора а определяется формулой A2,6).
Поток вектора rota через замкнутую поверхность S вычисляется
по формуле A3,8)
/7 = ff (rot a)nds.
(S)
Нам следует найти проекцию вектора rot d на нормаль к поверх-
поверхности. Пользуясь формулами A2,7) и A3,9), определим
cos <"¦х)
333

поэтому искомый поток
J
Теперь применим формулу Остроградского A3,15), полагая
в ней
ду ду ' ^ дг - ~§х ' дх ду '
д /да, даи\ *, с? /да. даг\ . д (даи дах\] ,
— I ~гг=- =-" I 4- — I -s-i s-^ I + ^r- I-3Г2 я— 11 dV =
д*аи i
)))[\дудх
Легко убедиться, что выражение, стоящее в квадратной скобке,
равно нулю:
/7 = 0.
Задача 14,13. С помощью формулы Остроградского вычислить
/ = \) хйdydz + у*dxdz + г3dxdy,
(S)
где S — внешняя сторона сферы хг + t/2 + г2 = а2.
Решение. В задаче 14,6 этот интеграл был преобразован
к виду
Наличие под знаком интеграла суммы квадратов координат ука-
указывает на целесообразность перехода к сферическим координатам,
в которых
х2 + уг + z1 == р2; do = p2 sin 8,
/ = 3 J \} р2 • р2 sin 9 dp db dcp = 3 f \ [ p4 sin 8 dp db d<o,
(V) (V)
где V—объем шара, ограниченного поверхностью S.
й i R
С С С D6 10
О
334

так как
R к 2л
[ J
= ~; Jsi
о
sin9d6 =— cos9
= 2;
Задача 14,14 (для самостоятельного решения). С помощью фор-
формулы Остроградского вычислить
(S)
х2 dy dz + z/2 dx dz + z2 dx dy,
(S)
где S — внешняя сторона куба 0< лг <а; 0<#<а;0<г<а.
Ответ, у а4'
Указание. При вычислении тройного интеграла JJJ
(V)
+ у + z)dv имеет смысл представить его в виде суммы трех
интегралов
причем каждый из них окажется равным
к-.
Например, Щ*dv ' IxdxЦ<**• а Л<*dz ~
• проекция поверхности S на плоскость уОг.
Задача 14,15 (для самостоятельного решения). Пользуясь фор-
формулой Остроградского, вычислить '
л: cos (л, x)ds,
где S — поверхность эллипсоида ^ + га- + ^- = 1.
4
Ответ, -g- izabc.
Задача 14,16. Вычислить по формуле Остроградского
[y2z cos (л, г) — t/г2 cos (л, y)]ds,
tf-
х2 г/2 г2
где S — поверхность эллипсоида -^ + р- +^"= *•
Решение. Полагаем в формуле A3,15) Р = 0; Q = — yz*i
JJ [t/22 cos (n, г) - yz2 cos (Я, г/)] ds = Jj J (уг -
где F — объем эллипсоида.
335

, Тройной интеграл вычислим по формуле C,46), которую мы
уже применяли на третьем практическом занятии в четвертой
части этой книги.
Ш/(*. у, z)dv = J dz И /(*, д, z)dxdy, A4,4)
где ЕхОу — проекция на плоскость хОу фигуры, получающейся
в сечении объема V, плоскостью, параллельной плоскости хОу,
которая соответствует фиксированному значению г. При этом го<
< г < г1г а г = г0 и г = zx — уравнения плоскостей, между которыми
содержится объем V тела, причем фигура, получающаяся в сече-
сечении, проектируется без искажения. Применим эту формулу для
вычисления интересующего нас тройного интеграла. Представим
его в таком виде:
IS (</2 - г2) do = J| J tf dx dydz - SJJ z* dx dy dz
b с
"= J f/2^JS dxdz-l z*dz Я dxdy.
b E о Е
Здесь: 1) Е&г — проекция на плоскость xOz сечения эллипсоида
плоскостью, параллельной плоскости xOz, при фиксированном зна-
значении д\ ) J dx dz равен площади этой проекции. Уравнение кон-
Ех0г
тура проекции получим из уравнения поверхности эллипсоида
-г + р- + ?Г = U считая. что в этом уравнении у — величина фик-
фиксированная.
Уравнение этого контура будет иметь вид
д2
ИЛИ
Полуосями этого эллипса будут
а его площадь равна iccx&i, т. е.
336

ЕхОг
и тогда в правой части (Л) интеграл.
dxdz =
ь ь
Г #2dt/ ffd*cfe = (V -теиф_?}dy =-nacb3.
-b ЕхОг ~Ь
2. Точно так же вычислим в правой части (А) интеграл )) dx dy,
Ех0у
учитывая, что Е&у есть проекция на плоскость хОу сечения эллип-
эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости хОу.
Уравнение контура этого сечения получим из уравнения поверх-
поверхности эллипсоида, считая, что г имеет в этом уравнении фикси-
фиксированное значение.
Уравнение контура Ехоу будет
I У2 -1
КГ ¦
а площадь эллипса
К)
>у— J J dx dy = vab A — г-Л.
В правой части (Л) второй интеграл
поэтому окончательно искомый интеграл
Задача 14,17. Вычислить интеграл Гаусса
(s)
где S — простая замкнутая гладкая поверхность, ограничивающая
объем х; п — внешняя нормаль к поверхности S в ее точке
А(х, у, z); r — радиус-вектор, соединяющий фиксированную точку
В (а, Ь, с) с переменной точкой А{х, у, г) поверхности.
Рассмотреть два случая:
1) когда поверхность S не окружает точку В и не проходит
через нее;
337

2) когда поверхность S окружает точку В.
Решение. Косинус угла между нормалью л и радиусом-век-
радиусом-вектором г определяется по формуле
cos (л, г) = cos (л, х) cos (г, х) + cos (л, у) cos (г, у) +
+ cos (л/ г) cos (?, г) (А)
(обозначения не требуют пояснений).
Модуль радиуса-вектора г
г = У (х — аJ + (у~ bf -\-(г — сJ. (В)
Косинусы углов между радиусом-вектором и координатными осями
равны '
cos (г, х) = х-^—; cos (г, у) = ^—; cos (г, г) = -—-. (С)
Подставляя эти значения в формулу (А), имеем
cos (л, г) = i^ cos (л, х) + —- cos (л, у) + г-~ cos (л, г)-
Теперь вычисляемый интеграл G перепишется так:
("(if , 2 —Г 7
G— 111 p/\p I*» v\ \ " ^*i"iC In 11\ t ш^шт^^щ^ „л*, f й\ I /7С /Г\\
Для вычисления этого интеграла применим формулу Остроградского
A3,7), в которой надо считать, что Р — '—^ \ Q =т —§-; R = —р- •
Определим g, ~ и ^.
йР г дх.
Но из формулы (В) следует, что
дгх — а х — а
- а? + (у — бJ + (г —
Поэтому
?Р г2 — 3 (х — оJ
338

и аналогично
dQ _r* — 2t(g — b)\ dR _r* — 3(г — с)».
ду г* ' дг ~ г*> '
Шг r r\ (E)
или
-ДО?
'- 3 [(* - a)» + (У- frJ + (г - cf] &
r6
(V)
Так как (д; — аJ + (</ — бJ + (г — сJ = г2, то
При этом существенно следующее: применять формулу Остро-
градского надо так, чтобы была соблюдена непрерывность функ-
функций Р, Q и R и их производных з-, gr^ и дг • Их непрерывность
будет соблюдена, когда г ФО, т. е. когда точка В {а, Ь, с) нахо-
находится вне поверхности S.
Итак, отвечая на первый вопрос задачи, можно сказать, что
когда фиксированная течка В находится вне поверхности S, ин-
интеграл Гаусса G = 0.
Теперь рассмотрим случай, когда поверхность S окружает
точку В (а, Ь, с). Преобразуя по формуле Остроградского A3,14)
двойной интеграл по поверхности S к тройному интегралу, рас-
распространенному на объем V, ограниченный этой поверхностью,
надо иметь в виду, что г — радиус-вектор, соединяющий точку
В (а, Ь, с) о любой точкой А (х, у, г) уже не поверхности S,
а области (V). Поэтому в самой точке В он равен нулю, а функ-
функции Р, Q и R и их частные производные, в которых г находится
в знаменателе, перестают быть непрерывными в этой единственной
точке области V (во всех остальных точках этой области они
непрерывны), и формулу Остроградского для преобразования ин-
интеграла Гаусса применить во всем объеме V нельзя (интеграл
Гаусса в данном случае становится несобственным).
Изолируем точку В и тем самым получим, возможность во всем
оставшемся объеме применить к интегралу Гаусса формулу Ogtpo-
градского.
Образуем вокруг точки В (а, Ь, с) сферу Sp такого радиуса р,
чтобы она целиком содержалась внутри объема X. Тогда для
объема Vlt заключенного между поверхностью S и поверхностью
339

сферы SP, формула Остроградского применима и поэтому по фор-
формулам (D) и (Е) получаем
—— cos (я> *) + a cos (га, г/) -) j- cos (га, г) Ids —
^ cos (га, х) + ^- cos (га, у) + ^-с cos (га,
Отсюда вычисляемый интеграл
^«cos («, ж)
JJ
(Sp)
На сфере Sp рассматривается внешняя нормаль.
На поверхности сферы Sp г = р, нормаль к сфере п направлена
по ее радиусу, а потому направляющие косинусы cos (га, х), cos (га, у),
и cos (га, г) нормали п равны направляющим косинусам радиуса-
вектора р, которые получаются из формул (С) заменой в них г
на р.
Таким образом, последнее равенство перепишется так:
— а х — а , и — Ъ у — Ь , г — с г — и ,
= -г- \ \ as = -у • 4тср2 = 4тс.
ра J J p2
Здесь величина -$ , как постоянная, вынесена за знак двойного
интеграла, а двойной интеграл J J ds по поверхности (Sp) равен
(SJ
площади этой поверхности, т. е. р
Итак, на второй вопрос задачи следует ответить так: если
поверхность S окружает фиксированную точку В (а, Ь, с), то ин-
интеграл Гаусса G = 4тс.
Укажем для справки, что, когда поверхность S проходит через
точку В, то интеграл Гаусса G = 2тс. Доказывать этого мы не будем.
340

Задача 14,18. Доказать, что* вихрь суммы векторных полей
равен сумме вихрей этих полей
rot (а + Е) е= rot a + rot Ъ,
Решение. Из определения вихря вектора следует
Ьх) д (аг
A4,5)
Тг
Тх
д(ау+Ьу) д(ах+Ьх)] т
дх h ду J
даг дау\ ~. , (дах даг\ -. . (дау даЛ т
дЬг дЬу\- (дЬх дЬЛ- 1дЬу
Первые три слагаемые есть rot a, a вторые три — rot b. Этим до-
доказано требуемое:
rot {а + Ъ) = rot a + rot b.
Задача 14,19. (вычисление вихря произведения скалярной функ-
функции на вектор). Доказать, что
rot (иа) = grad и х а + urota,
A4,6)
где и — скалярная функция от х, у, г.
Решение. Докажем, что проекции векторов, стоящих в левой
и правой частях доказываемого равенства, равны между собой
ди
даг ди
дай
(А)
Векторное произведение векторов grad и и а равно:
i
Отсюда следует, что
i
ди
дх
а*
j
ди
ду
ау
k
ди
дг
ди
ди
341

В равенстве (А) первые два слагаемых есть (grad и ф а) х, а выра-
выражение в круглых скобках есть проекция rota на ось Ох. Таким
образом, _
(rot ua)^= (grad иха)х + и (rot а)х. (А)
Аналогично •
(rot ua)y = (grad иха)у+и (rot а)у (В)
(rot т)г = (grad и ха)г + и (rot a)P (С)
Умножая (А), (В) и (С) соответственно на i, / и Ъ и почленно скла-
складывая, получим требуемую формулу.
Задача 14,20 (градиент скалярного произведения). Доказать,
что
grad (a- b) = a xrotb + b xrota + ^ + ^L A4,7)
— db da
Решение. В правой части доказываемого равенства послед-
последние два слагаемых являются производными одного вектора по дру-
другому вектору. Начнем с определения того, что называется произ-
производной вектора по другому вектору.
Определение. Производной вектора а по вектору Ъ называется
вектор
da да . , да , , да ,
b+b + b
.Найдем проекции этого вектора на координатные оси;
да дах-. . даи~ , да,-?
ду ду "г" ду ' ~*~ ду
да _daxj дау-. . даг т
г.
Умножая каждое из этих равенств соответственно на Ьх, Ьуи Ьг
и почленно складывая, найдем, что вектор
S да, . да, да, (дах , ,дах, , дах , \-.
S = ТхЬ* + ТуЬу +.ШЬ* = [ЖЬ* + -Щ Ьу + Ж Ч1
, 1даУ и 1даУи , ^J),); i (даг и JLda*h Лдагъ
+ [ib + ь + ibl + Ь + Ь +~7Ь
342

(¦§)„=¦ >-+Ч} "»
_ da
Отсюда следует, что проекции вектора -= на координатные оси
do
равны:
A4,8)
Спроектируем левую и правую части доказываемой формулы A4,7)
на координатные оси (очевидно, что каждая из частей этой фор-
формулы есть вектор). Учитывая, что
получим
grad (а • Ъ) = ~(axbx + aj)y +
+ §-у (a A + ajby+ агЬг) / +1 (а А + ajby + aj>z) I.
Продифференцировав первое слагаемое правой части, найдем,
что проекция grad (о • Ъ) на ось Ох равна
lgrad(a • b)]x = -gffr + а1* + -д*b + a^ + ^Ь+ а^
]x = -gffr, + ах1
или в более удобной записи,
A4,9)
Теперь спроектируем на ось Ох вектор,, стоящий в правой части
формулы A4,7),
(о х rot b)x = ay (rot Ь)г — аг (rot b)y = ^
аЛдг дх) (А>
дЬх _ , дЬт
Точно так же, меняя местами а и Ь, получаем:
да.
(В)
(Q
(D)
343

Легко заметить, что от почленного сложения (А), (В), (С) и (D)
получим [grad (a • Ь)]х. Точно так же мы прийдем к заключению,
что и проекции левой и правой части A4,7) на оси Оу и Ог равны
между собой. Но если проекции двух векторов соответственно
равны, то и сами векторы равны. Значит, требуемое доказано.
Задача 14,21 (дивергенция векторного произведения). Доказать,
что
div (а х Ь) = Ъ rot а — a rot Ъ
(вектор а — axi -J- ау\ -f- azk; вектор b = bxi -f- byj -\-b2k, причем
проекции векторов есть функции х, у и г).
Решение. Расписываем дивергенцию вектора по формуле
A3,6):
div (a xb)=g(ax Ь)х + fy(axb)y + §-z(ax b)j
div (ЪхЬ)=§-х {aybz - ару) + | (а А - а А) +
,даг, дЬх дах , дЬг
' ду х ' ду г ду г ду х '
dbz _ dbj\ Idbx __ дЬЛ . (dbj, __ dbx ,
Выражения в скобках в первой строке есть проекции вектора rot a
соответственно на оси Ох, Оу, Ог, а во второй строке выражения
в скобках являются проекциями на те же оси вектора rot b. Таким
образом, правая часть есть разность скалярных произведений
Ъ • rot а — а • rot Ъ
и, следовательно, требуемое доказано.
Задача 14,22 (дивергенция градиента). Доказать, что
div (grad /) = Д/,
где
(Af называется лапласианом функции /).
Решение. Известно, что
344

По A3,6)
~ a*2 ^~ a</2 "г йг2 "" ''
что и требоЁалось.
Задача 14,23 (дивергенция вихря). Доказать, что дивергенция
вихря равна нулю, т. е.
div(rota) = 0. D,11),
Решение. По формуле A3,6)
div(rot a) = (rot,fl); + (rot,, a); + (mtta)'t.
Но
rot а=^_^-
roixa — ду дг,
, — дах да,
rot,a = iF-aJ;
. — даи дах
rot^fl=aF—w>
поэтому
'х ду )z дх ду дг дх ' дг ду дх ду ~*~ дх дг ду дг
Задача 14,24 (дивергенция лапласиана). Доказать формулу
div(Aa) = A (diva). A4,12),
Решение. Выше в формуле A4,10) уже употреблялся термин
«лапласиан». Возвратимся к этому весьма важному понятию. Опе-
Оператором Лапласа называется выражение вида
а2 а2 а2
а^2 "¦" ар "¦" аг2" •
Если его применить к скалярной функции f, то
d*f d2f , а2/
Применяя оператор Лапласа к вектору а, имеем
Так как
a = a~i + aj + afi,
345

то, применяя к вектору а оператор Лапласа, получаем
Да = g, (aj -J- aj + aji) + ^2 (aj + aj +
, + аД) + ^ (aj + a j + a2k) =¦
^4- ^?) ft
Отсюда, применяя оператор Лапласа к вектору 3, найдем
Да = Да, • ( + Да^ • / + &аг • k.
Используя формулу (А), докажем требуемое
dlv (д5) = (-ш+w+-w)x+ Ы
д*аг д*аг д*а
Выполняем в каждой скобке дифференцирование и почленно скла-
складываем:
д2 (дах дау да,) д* (да* дау да
Выражение в круглых скобках (оно во всех слагаемых одно
и то же) есть дивергенция вектора а, а потому из последней фор-
формулы заключаем, что требуемое доказано.
Задача 14,25 — для самостоятельного решения (вихрь гради-
градиента). Доказать, что вихрь градиента равен нулю, т. е. что
rot(grad/) = 0. A4,14)
Задача 14,26 (для самостоятельного решения) (ротор- вектор-
векторного произведения). Доказать, что
rot (а х Ъ) = adivft — bdiva + ~ — U. A4,15)
Указание. .Использовать формулу A4,8) для определения
проекций вектора — на координатные оси и найти проекции левой
db
и правой части доказываемой формулы на координатные оси. Ока-
Окажется, что проекция левой части этой формулы на ось Ох
rot, (а х В) = щ (aj>y - ajbj - ^ (ajtt- а А)- (А)
346

Проекция же на ось Ох правой части
(дЬх дЬу дЬг\ , (даа дау , даЛ ,
,дах, ,дах, ,дах, дЪх дЬх дЬх
+ -Ш-Ь*+Т?Ьу + ЖЬг~~д1ах~~5ёау~~Ъа*'
Продифференцировав выражение (А), найдем, что оно равно выра-
выражению (В). ^
Задача 14,27 (вихрь вихря). Доказать, что
rot (rot о) = grad (div a) — Да. A4,16)
Решение. Обозначим
rot а =Ъ. ч (А)
Тогда
rot (rot a) — rot b.
Проекция rot (rot о) на ось Ох
[rot (rota)], = roa = !|-§f. (В)
Но из (А) следует, что
h _дах 3aj.
у~ дг дх'
, дау дах
Подставляя эти значения в формулу (В), получим
u Sax\ & [дах да
~ дхду ду* дг2 ~*~ дхдг'
Прибавим и отнимем в правой части этого равенства -т~. Тогда
.1 4.-м д*ах , дгау . д*а2
(r0t °)Ь= -Ш + ШТу + Шг -
Аналогично докажем, что проекции вектора rot (rot 5) на оси Оу
и Oz равны
[rot (rota)]y . |(diva) - Aaj (D)
[rot(rotfl)], = |(diva)-AaZj (E)
Умножая обе части равенств (С), (D) и (Е) соответственно на i, j
и k и почленно складывая, получим требуемое.
347

ПЯТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Гармонические функции. Формулы Грина.
Гармоническая функция. Функция ?/ = ?/(*, у, г), имеющая
непрерывные частные производные по переменным х, у и г до
второго порядка включительно, называется гармонической, если
она удовлетворяет уравнению Лапласа
64J дЧ/ ,d4/_Q
дх2 ду2 дг2
Левая часть этого уравнения обозначается символом AU и на-
называется лапласианом функции U.
Задача 15,1. Показать, что из формулы Остроградского A3, 17)
следует
(») (s)
причем л — внешняя нормаль к поверхности s, a W — лапласиан
функции U.
Решение. На основании формулы A3, 17), прочитывая ее
справа налево, найдем
JjJjMs. (A)
(О) (S)
Если вектор а является градиентом скалярной функции U =
= U(x, у, г), то
Учитывая, что div a = -*? -f- -^ + -^ , получим
или
.. . .. дЮ , d*U . 32U ...
d.vgrad и = ш+ф+ш = &и
(эта формула уже была выведена в задаче 14,22).
348

Известно, что проекция ап вектора а = grad U на нормаль п
равна ^ см. формулу A1,8).
Теперь, полагая в (А) вектор а = grad U, получаем требуемую
формулу
(о) (s)
Задача 15,2. (для самостоятельного решения). Основываясь на
результатах предыдущей задачи, доказать, что если U = U {х, у, z)—
гармоническая функция во всех точках области v, ограниченной
поверхностью s, то
п<гди
з- ds = О,
т. е. поток градиента гармонической функции через любую
замкнутую поверхность равен нулю.
Задача 15,3 (для самостоятельного решения). Доказать, что
функция U = — (г = У^х2 + уг + z2) — гармоническая функция во
всех точках, где она и ее частные производные до второго по-
порядка включительно непрерывны.
Задача 15,4 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если функция <р (х, у, z) — гармоническая, то и функция ^ также
гармоническая.
Указание. Продифференцировать по х уравнение Лапласа
<Э*2 т &/2 ¦•" дг2
Задача 15,5 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если U (х, у, z) — гармоническая функция, то и выражение
6U , dU . 6U
х+У + г
есть также функция гармоническая.
Указание. Учесть, что, например,
где А оператор Лапласа
л - * л. * 4- а'
а если U — гармоническая функция, то AU = 0.
349

Задача 15,6 (для самостоятельного решения). Доказать, что
если 0 = U(x, у, г) — гармоническая функция, то выражение .
1
r ' г • г )•
где г = }Лса + У2 + г2, — также гармоническая функция.
Задача 15.7. Доказать, применяя формулу Остроградского, что
Шпл\/ , dU dV . dU dV , dU dV\ . CC n dV .
W ()
(S)
где t — объем, S — ограничивающая его поверхность,
-x производная функции V по внешней нормали, а
dW
Решение. Рассмотрим вектор UgradV, где функция U =
= U (х, у, г), и найдем его дивергенцию
div (U grad V) = ~ (У grad V)x +§}(U grad V)y + ~(U grad V)r
Учитывая, что
(UgTadV)x = U~; (t/grad V)u= V~\ (f/grad У)г = t/^,-
получаем
/at/ av , r,w\ , /at/, «v . rrd*v\ , /at/ av
dV , nW\ (
32V 52V 52V
Раскрывая скобки и учитывая, что ^ + -^ + ^ = д^> находим
j. /w ,,л г;ат/ , dU dV . dUdV , dU dV ,A.
djv(t/gradl/) = f/Al/ + gJ1F+?-?+-3rir. (A)
Проекция на нормаль к поверхности S вектора U grad V равна
(?/gradV% = ?/-^-. (В)
Полагая теперь в формуле A3, 17)
а = grad V,
получаем
350
( ( ( div (U grad V)dx=\Uu grad V)n ds,

а используя равенства (А) и (В), имеем доказываемое равенство
Ш ...... dU dV . dU
Учитывая, что вектор
... dU - . dU - , dU л
а вектор
dV t , dV -. . dV -r
для их скалярного произведения получаем
Поэтому формула (С) может быть записана так:
j j j UAV dx + j jJ (grad U • grad V) dx = j j f/ ^ds.
(t) (t) (S)
Задача 15,8 (для самостоятельного решения). Основываясь на
результате, полученном в предыдущей задаче, доказать, что
Указание. В формуле (С) предыдущей задачи взять V = U.
Задача 15,9 (для самостоятельного решения). Из формулы пре-
предыдущей задачи, считая, что U — гармоническая функция, полу-
получить формулу
Ш
(V)
(в гидродинамике эта формула используется при вычислении кине-
кинетической энергии в безвихревом движении жидкости).
Задача 15, 10. Исходя из результата задачи A5, 7), вывести
первую формулу Грина
/ dU dV
(производные -^- и -^- вычисляются по внешней нормали к по-
поверхности SJ-
351

Решение. В указанной задаче была* получена формула
jj d* + jjj (gradf/ . gradV)d* = $U-^ as. (A)
(т) (т) (S)
Поменяем в этой формуле местами функции U и V:
[[[
VAUdx + Щ (gradК • gradU)dx = ]J V2Lds. (B)
т (т) *(S)
Вычтем из равенства (А) равенство (В), учитывая, что скаляр-
скалярное произведение
grad U - grad V — grad V • grad U,
и получим первую формулу Грина:
Ш(fM1/ -KAi/) d т== Я (и -S--
(S
(т)
Подчеркиваем, что эта формула имеет место для функций U
и V, непрерывных вместе с их производными первого и второго
порядка в области т. ограниченной поверхностью S. Стоящие
„ , dU dV ,
в правой части формулы производные^ и -^-берутся по направ-
направлению внешней нормали к поверхности S. Формулу Грина можно
записать в удобном для запоминания виде:
ft)"
U V
Ш AV
dx =
w
и v
dU дУ
дп дп
ds.
Задача 15, П. Применить первую формулу Грина
к функции U = —, где г — расстояние от постоянной точки
А (а, Ь, с) области х до переменной в этой области точки P(x,y,z).
Решение. Расстояние
г = у (Х — af + {y — bf + (z — сJ.
Функция U будет непрерывной функцией со своими частными про-
производными во всех точках области т за исключением точки А,
где г = 0. В этой точке сама функция U = — и ее производные
претерпевают разрыв непрерывности.
352

Известно, что функция гармоническая функция всюду, где
она непрерывна, вместе со своими частными производными до
второго порядка включительно. Значит, в нашем случае эта функ-
функция будет гармонической во всей области х за исключением
точки А.
Выделим из объема х сферу о, описанную из точки А радиу-
радиусом р, таким, что ей t не имеют общих точек. Часть области х,
полученную после этого выделения, назовем ть причем в области
¦^ функция U = — будет гармонической, а потому в ней Ш =
= Д (—J = 0. По формуле Грина A5,1) для тройного интеграла,
распространенного на область ?и учитывая, что U = — ив обла-
области 1У Ш — 0, будем иметь
(<0
dV
причем во втором интеграле правой части производные -^— и
(A)
av
1Ые Tn
д\~) берутся по внутренней нормали к поверхности о.
дпх
Рассмотрим предельное значение равенства (А), когда радиус р
сферы о стремится к нулю. В этом случае область х1 будет стре-
стремиться к области х и тройной интеграл левой части равенства (А)
будет стремиться к тройному интегралу, распространенному на
область т
= f f Г —лксг-с.
Первый интеграл в правой части равенства (А) распространен на
поверхность S, от р не зависит, поэтому при р -> 0 сохранит зна-
значение, которое имеет в равенстве (А). Остается рассмотреть пре-
предел второго интеграла правой части равенства (А) при р -> 0.
(В)
12 И. А. Каплан 3„

Определим сначала первый предел в правой части этого равен-
равенства. На поверхности сферы а г == р, поэтому — =* — . Обозначим
через {-^j-j значение производной -^- в некоторой точке Q на
сфере о. Тогда, используя теорему о среднем, получаем
р-о
(учтено, что j] da = 4Ttp2, т. е. равен площади поверхности сфе-
ры з).
Что касается второго предела в правой части равенства (В), то
прежде чем его вычислять, учтем, что нормаль к сфере о и ее
радиус совпадают, но направление нормали противоположно на-
направлению радиуса-вектора р точек поверхности сферы. Поэтому
вычисление производной по нормали n2 можно заменить вычисле-
вычислением производной по р, но тогда
М
др
Если теперь обозначить через {V)Qt значение функции V в не-
некоторой точке Qx сферы о и учесть (С),.то для рассматриваемого
предела найдем
• 4- • 4icP* = - 4* • lim (F)c, = -
так как при р -»¦ 0 тогда Qx поверхности схеры о будет стремиться
к точке А.
Таким образом,
г ал,
354

и равенство (А) дает
Отсюда окончательно
.11 ¦™— —st—¦ Lib """* I 1 у
(-4
Замечание. Проведенные рассуждения понадобились нам
в связи с тем, что точка А находилась внутри области т, поэтому
функция U = — в этой точке претерпевала разрыв непрерывности.
Если бы точка А находилась вне области х, те функция -— , как
функция точки P(x,y,z), была бы непрерывной и тогда, учиты-
учитывая, что эта функция гармоническая, т, е. что А I — ] = 0, мы из
первой формулы Грина сразу бы получили
(•с). (S)
Эта формула называется второй формулой Грина.
Если функция V = V(x, у, г)—гармоническая в области х, то
AJ/ = 0 и тогда формула (D) запишется так:
ds. A5,2)
14H-V
, „ - г дп дп
(S)
Эта формула дает выражение гармонической функции внутри об-
области через значения, принимаемые данной функцией и ее произ-
производной по нормали на границе этой области.
Задача 15, 12. Доказать, что если функция V — V (х, у, z)—•
гармоническая функция в некоторой области, a S — сфера радиуса
R с центром в точке А(а,Ь,с), лежащая со своими внутренними
точками в этой области, то
(S)
Решение. Формулу A5,2), полученную в предыдущей задаче,
применим к случаю, когда S — сфера радиуса R,
з/ 1 о*
U U . 355

Вычисляя первый интеграл этой формулы, следует т заменить
его значением на поверхности сферы, *. е. на R, а величину -щ-,
как постоянную, вынести за знак интеграла
(S) (S)
ИЛ1/
-^- ds = 0. (см.
(S) (S)
а поэтому
задачу 15,2).
Во втором интеграле производная от функции —, вычисленная
по внешней нормали, будет равна производной от этой функции
по R, так как нормаль к сфере совпадает с ее радиусом, причем
направление внешней нормали совпадает с направлением радиуса
вектора R точек сферы. Значение этой производной должно быть
вычислено на поверхности сферы, т. е. при г = R. Итак,
д(±) д(-1
дп
Учитывая эти рассуждения, получаем,для значения функции
V в центре сферы А
что и требовалось доказать.
Это равенство выражает теорему Гаусса: значение гармониче-
гармонической функции в центре сферы есть среднее арифметическое из
ее значений на поверхности сферы.
Если V — потенциал скорости жидкости, то эта формула выра-
выражает среднее значение потенциала скорости жидкости на любой
сферической поверхности, которой ограничивается объем, целиком
лежащий в жидкости, и показывает, что это среднее значение
равно значению потенциала скорости в центре сферы.

ШЕСТНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Оператор Гамильтона
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Студентам рекомендуется изучать этот вопрос по книге Н. Е. Ко-
чина «Векторное исчисление и начало тензорного исчисления».
Под оператором Гамильтона понимается символический диф-
дифференциальный оператор, обозначаемый знаком у (набла) и опре-
определяемый в декартовой системе координат? равенством
д ~ , д 7 , д т" ..f ,ч
где i, /, k — единичные векторы координатных осей Ох, Оу, Ог.
Этот оператор в дальнейшем называется «Оператор у».
Основная цель введения оператора у состоит в упрощении
таких операций над векторами и скалярами, как получение градиента
скалярной функции, образование дивергенции и ротора вектора,
образование оператора Лапласа.
Следует запомнить, что оператор у является символическим
вектором.
Оператор у .часто встречается в приложениях векторного ана-
анализа и усвоение правил обращения с ним значительно облегчает
изучение, например, такого предмета, как электротехника.
Хотя вектор у является символическим вектором, а не реаль-
реальным, мы будем формально считать, что он обладает свойствами
реального вектора, и рассматривать его произведение на скаляр-
скалярную функцию, скалярное и векторное произведение его на век-
векторы, а также и другие операции с ним.
Это не должно смущать читателя, так как из дальнейшего
видно, что в результате воздействия оператора у на скаляры
и векторы получаются величины, имеющие не символический,
а вполне реальный определенный смысл. (Однако укажем, что
недопустимо употреблять, например, такие термины: «вектор у
параллелен вектору а» или «вектор у перпендикулярен вектору а».
Бессмысленно также, например, говорить, что «вектор у равен
вектору а», так как символический вектор у не. может быть ра-
равен реальному вектору а, как он не может быть ему параллелен
или перпендикулярен).
357

В дальнейшем приняты такие обозначения:
1. Для численного произведения вектора а на функцию ср (х, у, г)
аср (х, у, г).
2. Для скалярного произведения векторов а и Ь
а-В.
3. Для векторного произведения двух векторов а и Ь
a xb.
4. Из A6,1) видно, что проекции оператора v на оси прямоугольной
¦системы координат равны
д д д
Сводка правил обращения с оператором
1. Оператор у действует на величины, стоящие за ним, и не
действует на величины, которые стоят перед ним. Так, в записи
{а • у) <р оператор у действует на ср и не действует на а.
Иногда для того, чтобы указать величину, на которую не рас-
распространяется действие оператора у, у этой величины ставится
индекс, показывающий, что данная величина рассматривается как
постоянная Например, в записи (у -ajcp следует считать, что у
на ас не действует, а на ср действует.
Выражение такого вида надо, если это возможно, преобразо-
преобразовать так, чтобы величины с индексом с стали впереди у. Как
только это будет достигнуто, индекс с можно опустить, поскольку
оператор у на величины, стоящие перед ним, не действует.
2. Численное произведение оператора у на сумму двух функ-
функций вычисляется по формуле
V (ff + Ф) = V <Р + V Ф- A6,2)
3. Скалярное произведение оператора у на сумму двух векто-
векторов вычисляется по формуле
у .(а+6) = у -a + V . A6,3)
4. Векторное произведение оператора у на сумму двух векто-
векторов вычисляется по формуле
ух(а+6) = уха + ух6. A6,4)
358

5. Произведение уср оператора у на скалярную функцию <р
равно градиенту функции <р, так
Ж? <*р>+? <Л>>+ ¦?<*?>
yep = grad cp
A6,5)
При вычислении, например ^- (icp), постоянный вектор i выне-
вынесен за знак производной. Так же было сделано и при вычислении
д ,-
ту
6. Скалярное произведение оператора у на вектор
a U, у, г) = ах(х, t/, z) ir + ay_(x, у, z)] + аг (х, у, z\ ~k
равно дивергенции вектора а.
Действительно, так как у,
? = g-j y2 = ^, то ска-
скалярное произведение у • а, равное алгебраической сумме произве-
произведений одноименных проекций, можно записать в виде
Если теперь условиться под произведением ^- ах понимать част-
частную производную от а, по х, т. е. ~, и аналогично считать,
д даи д да.
даи д
то
V и — д„
у • а = div a
A6,6)
7. Векторное произведение оператора у на вектор
а (х, у, г) = ах (х, у, z) I + ау {х, у, zfj + аг {х, у, z) k.
равно ротору вектора а.
12 И. А. Каплаы
359

Действительно, так как векторное произведение двух векторов
а и Ъ вычисляется по формуле
к
Ь х а =
i
ьг
ах ау аг
i + /
то,1 заменяя здесь вектор Ь оператором V=^ p
учитывая, что проекции оператора у на координатные оси
д д д
§j * и
будем иметь
V х а =
дх дц дг
ах аи аг
да,
V X а = rot a
A6,7)
8. Оператор у применяется к скалярному и векторному произ-
произведению двух множителей так, как к ним применяется производ-
производная, т. е. для того чтобы применить оператор к произведению
двух множителей, надо образовать сумму двух слагаемых, в каж-
каждом из которых оператор действует только на один из сомножите-
сомножителей, в то время как другой остается постоянным. Например,
v(ae х Ь)
A6,8)
причем наличие у вектора индекса с, как указывалось выше, озна-
означает, что на этот вектор оператор у не действует.
Выражения, полученные от воздействия оператора у на произ-
произведение двух сомножителей, надо преобразовать так, чтобы посто-
постоянные сомножители были поставлены перед оператором у.-
Дифференциальные операции первого порядка
Задача 16,1. Найти градиент произведения двух функций ft
и fa-
Решение. По правилу 8 из сводки правил, применяя фор-
формулу A6,5), имеем
grad (Ш =
= у (/1с
360

В первом слагаемом правой части равенства оператор у не
действует на постоянный множитель f 1с, а во втором — на постоян-
постоянный множитель f2c. Поэтому эти множители в каждом слагаемом
правой части могут быть вынесены за знак оператора и мы полу-
получаем
grad (/!/,) = fi,v/» + f *V/i-
Применяя теперь в правой части этого равенства формулу A6,5)
и опуская индекс с за ненадобностью, получаем окончательно
grad(/x/2) = М#2 Ч-Mtfi A6,9)
Задача 16,2. Найти дивергенцию произведения <ра, где ер —функ-
—функция.
Решение. По формуле A6,6)
div (ера) = у • (ера).
В правой части этого равенства оператор у применяется к чис-
численному произведению функции на вектор, поэтому на основании
правила 8 из сводки правил
у • (ера) = у • (<?са) + у • (срас) = срДу . а) + асу?•
Запись второго слагаемого правой части в виде "ас • (у-ер) была
бы неверной, так как под (у • ер) следует понимать скалярное про-
произведение вектора-оператора у на функцию ер, чего быть не может,
поскольку понятие скалярного произведения относится к произ-
произведению двух векторов.
Замечая на основании A6,6), что у •a = diva,'a на основании
A6,5) yep = grad ер и опуская индекс с, получаем окончательно
div (ера) = ер div а + а • grad <p
A6,10)
Эта формула была уже получена в задаче 14,2.
Задача 16,3 (для самостоятельного решения). Найти диверген-
дивергенцию поля ер (г) г, где г — радиус-вектор.
Указание. Использовать формулу A6,10) и учесть, что если
г = xi + yj + 2k, то divr = 3, а на основании результата задачи
11,3 grad ер (г) =<р'(г)г°. где г°—единичный вектор вектора г.
Ответ, div [ер (г) г] = 3? (г) + г г°ер' (г).
Задача 16,4. Найти ротор произведения ерй.
Решение. На основании формулы A6,7) и правила 8 из
сводки правил
rot (ер 5) = у х (ера) = у х (fc а) + у X (<рас) =
= <рс (V X а) — ае х (у?).
12* 361

Изменение между слагаемыми плюса на минус объясняется тем,
что в случае векторного произведения перестановка сомножителей
влечет за собой изменение знака векторного произведения.
Замечая, что на основании формулы A6,7) ух а — rota, а по
формуле A6,5) ycp = gradcp, получаем окончательно, опуская ин-
индексы в последнем равенстве
I rot (ера) = <р rot а — ах grad ср
A6,11)
Эта формула также была получена в задаче 14,19.
Задача 16,5 (для самостоятельного решения). Вычислить ротор
поля <р (г) ¦ г, где г — радиус-вектор.
Указание. Использовать формулу A6,11) и учесть, что век-
векторы г и grad <р (г) — коллинеарны, так как grad ср (г) = ср'(г)г°, г°—
для вектора г является единичным вектором, а также то, что
векторное произведение двух коллинеарных векторов равно нулю.
Установить, что ротор радиуса вектора г равен нулю (rot г = 0).
Ответ.
rot [ср (г) ¦ г] = 0
A6,12)
Задача 16,6. Найти div(ax5).
Решение. На основании формулы A6,6) и правила 8 из
сводки правил
div (а х В) = у • (а х В) = у • fa X 5) + у • (а х Ъс). (Л)
Дальнейшее преобразование сводится к тому, чтобы постоянные
множители в каждом из слагаемых правой части оказались перед
оператором у. В данном случае следует использовать свойство
цикличности смешанного произведения трех векторов, согласно
которому
а • ф х с) — Ь • (с ха) — с • (а хЪ)
A6,13)
Преобразуем отдельно на основании этой формулы каждое сла-
слагаемое правой части равенства (А)
у • (аг х Б) — ас • (В х у)-
Теперь в векторном произведении b x у переставим местами век-
векторы В и у и так как от такой перестановки знак векторного про-
произведения изменяется на обратный, то
В х у = ~ ух 5.

Замечая, что по A6,7) — у х 6= — rot 6 и опуская индексе
у ас, получим окончательно для первого слагаемого
V • (ас х В) = —а ¦ rot Ъ,
Используя снова формулу A6.13), преобразуем второе слагаемое
в равенстве (А)
V • (а х Ьс) — Ъс • (у х а) = Ъс ¦ rot a = b rot а,
так как v х а = rot а, а индекс с у Ьс может быть опущен.
Итак, окончательно
div (а х b) — b • rot a — а" • rot b
A6,14)
Эта формула также была получена выше, в задаче 14,21.
При решении следующих задач придется пользоваться форму-
формулой для вычисления двойного векторного произведения *.
Ах (В хС)=5 (А- С) — С(А.~В), A6,15)
согласно которой двойное векторное произведение А х (В х С) равно
произведению среднего вектора В на скалярное произведение двух
других минус правый крайний вектор С, умноженный на скаляр-
скалярное произведение двух других.
Формула A6,15) может быть записана в удобном для запоми-
запоминания виде и так:
Ъ б ' A6,16)
т. е. двойное векторное произведение равно определителю второго
порядка, в первой строке которого элементами являются векторы,
стоящие во внутренней скобке, написанные в том же порядке, а
во второй строке элементами являются" скалярные произведения
этих векторов на первый вектор.
Задача 16,7. Определить rot (a x Ъ).
Решение. На основании правила 8 из сводки правил и фор-
формулы A6,7)
rot (а х Ь) = у х (а х В) = у х (ас х Ъ) + у х (а х Ьс)-
Каждое слагаемое в правой части представляет собой двойное
векторное произведение, которое вычислим по формуле A6,16) и
* Вывод формулы A6,15) можно найти, например, в учебнике И.' И. При-
Привалова «Аналитическая геометрия».
363

преобразуем так, чтобы постоянные множители стояли перед
знаком v:
V х {ас х Ь) =
у •
Ос Ь
ас • у div Ъ
Очевидно, что у • ас = ас • у, так как скалярное произведение
двух векторов не зависит от их порядка, а постоянный множитель
должен стоять перед знаком у, скалярное же произведение у • ^
на основании A6,6) равно div Ъ.
Раскрывая последний определитель и опуская теперь за нена-
ненадобностью индекс с, получаем
у X (ас X Ъ) — a div Ъ — (а • у) Ь.
Точно так же
ух (а х Ьс) =
а
у • а у
у • а ?<¦ • у
= ф • у) а — f> div а.
(индекс с опущен, у • а = diva).
Складывая полученные результаты, окончательно имеем
rot (ax ft) = a div 6 — 6 div а+ F • у) а — (а. у) 6. A6,17)
Дополнительные сведения из теории
Выясним теперь смысл выражений вида а • у, встретившихся
в формуле A6,17), т. е. смысл скалярного произведения вектора а
на оператор у, стоящий справа от него, (следует отличать выраже-
выражение a • у от выражения у • а)
Так как
azk; у =, ^i'+1J:+ ^k,
то
A6,18)
Проекции ах, ау, аг вектора а определяются ло формулам
a* = a cos (а, х); ау = a cos (а, у);
а2 = a cos (а, г),
поэтому по формуле A6,18)
a ¦ у = acos (a, x) T + a cos (a, y) -*- + acos (a, 2K-
A6,19)
364

Выполним теперь операцию а • у над функцией <р: ,
(а - у) <р == а cos (аГ*) |? + a cos (ofi/) ^ + а cos (аГг) ^ '=
•= а |jj cos (аГ*) + § cos (аГг/) + |~ cos (аГг) ].
Выражение, стоящее в квадратных скобках на основании A1,3)
равно производной ~ от функции <р по направлению вектора а,
поэтому
A6,20)
т. е. результат применения операции а • у к функции <р
произведению длины вектора а на производную от функции <р по
направлению вектора а.
На основании A6,20) операция a • у может быть записана в
виде
A6,21)
Выполнение операции а • у над вектором b на основании A6,18)
приводи! к вектору
" -а,§. A6,22)
__ _|_аcos(a> г)_
откуда следует, если учесть равенство (В),
= а у| cos (a, x) + ~ cos (а, у) + ^cos (а^гЦ. A6,23)
Выражение, стоящее в квадратных скобках, есть производная
т - дЪ „
вектора Ь по направлению вектора а, т. е. ^. Получаем оконча-
окончательно
A6,24)
~дЬ
Задача 16,8. Определить grad (a • Ъ).
Решение. На основании A6,5) и правила 8 из сводки правил
имеем
grad (а ¦ Ъ) = у (а . б) = у (Зс • Ц + у (а • 5С). A6,25)
365

Перепишем A6,15) в виде
С (А- В)= В (А -С)— 2 х (ВхС). A6,26)
Для вычисления y(at • 5) положим в A6,26), что
Z = у; ~А = ас; В = Ъ.
Тогда
V {ас • б) — В Eс -\/) — ас X (б х у);
V(Ос • &) = (? VM —Яс х (б х у). A6,27)
Так как в случае векторного произведения перестановка сомножи-
сомножителей изменяет знак векторного произведения, то в последнем
равенстве
— Ос х (б х у) = ас X (у X 3).
Но на основании A6,7)
у х b == rot 5,
а потому
— ас х E х у) = ае х rot 5. (А)
Окончательно из A6,27)
V («с • В) = (ас • у) ? + & х rot Б.
Теперь преобразуем второе слагаемое A6,25) с помощью A6,26),
полагая там
С = у; Я = йс; В = а;
V (а • *с) = я (*= • V) — &_ х (а х у) =
= Фс • V)о + be х (у х а) = Ff • у)а + 5С х rota. (В)
Складывая полученные результаты (А) и (В) и опуская за не-
ненадобностью индекс о, окончательно имеем
grad(а • В) = (а • v)& + Ф • V)а + а х rotb~+ Ъ х rota. A6,28)
Задача 16.9 (для самостоятельного решения). Доказать, что для
всякого постоянного вектора а имеет место соотношение
у (а • Ъ) = (а • v) b + а х rot&.
Задача 16,10 (для самостоятельного решения). Доказать, что
из A6,28) при а — Ь следует
-j grad аа = (а • у) а + а х rot а. A6,29)
366

Дифференциальные операции второго порядка
Задача 16,11. Рассмотреть у2— квадрат оператора у, понимая
под этим скалярное произведение вектора у на самого себя.
Решение. Помня, что скалярное произведение двух векторов
равно алгебраической сумме произведений одноименных проекций
и что проекции оператора у на оси прямоугольной системы коор-
д д д
динат равны ^, ^-, -^, получаем
2_ _<?<? д д д д
у -У -SI --fa' Tx + Ty' ty~T~ дг' Тг'
Но так как j^ + g-2 + ^р — оператор Лапласа Д, то
т. е. квадрат оператора у равен оператору Лапласа. Поэтому
уравнение Лапласа Д<р = 0 может быть записано в виде у2? = 0.
Задача 16,12 (для самостоятельного решения). Доказать, что
ffl"+(!)"•
Задача 16,13. С помощью оператора у найти
divgradcp.
Решение. На основании A6,5) gradcp =* yep, а на основании
A6,6) diva= у • а. Поэтому -
div grad cp = у • у<р
Из результата задачи A6,11) у -у = уа и поэтому
div grad <p = у2?. A6,32)
Учитывая A6,30), получаем
div grad ?вЛ + _?
A6,33)
Задача 16.14. Найти вихрь градиента скалярного поля, т. е.
rot grad ср.
Решение. На основании A6,7) rotgrad? = у х grad<p, а так
как по A6,5) grad<p = y<p, то
rot grad f = у х у<р.
367

"Скалярный множитель <р можно вынести за знак векторного про-
произведения, поэтому
V X у? = (V х V) ?•
Но векторное произведение двух равных векторов равно нулю, а
потому vx v = 0 и окончательно
rotgrad<p = 0 I A6,34)
т. е. вихрь градиента любого скалярногополя равен нулю.
Задача 16,15. Найти graddiva, \д,е а — а(х, у, г).
Решение. На основании A6,5) и A6,6)
Было бы ошибкой считать, что у (V • а) = V2a> так как и при дей-
действиях с обыкновенными векторами умножение вектора b на ска-
скалярное произведение Ъ • с, т. е. b ¦ ф ¦ с) ф Ьг. в.
(Выражение у2а есть вектор, имеющий такой смысл: уга =
353 + -Л + g^i • Не следует смешивать у*а с (уаJ, как нельзя сме-
смешивать у2? с (v?)z)
Задача 16,16. Определить divrota, гдеа = а(дс, у, г).
Решение. По формулам A6,6) и A6,7)
div rot a = у • (V х a)-
Здесь мы имеем дело с векторно-скалярным произведением трех
векторов. Из векторной алгебры известно, что это произведение
обращается в нуль, если в него входят два равных вектора.
Таким образом
div rot a = О
A6,35)
Более сложным путем получен этот результат в задаче A4,23).
Задача 16,17. Определить rot rot а, гдеа = а(л:, у, г).
Решение. На основании A6,7) rot rot а — у х (у X а). Ис-
Используя теперь формулу A6,16) для двойного векторного произве-
произведения, получаем
V с
ух(уха)= v.v
= V(V • a) — (v • у) а.
368

Но на основании A6,6) y-a = diva, а по A6,5) v(diva) =
= grad diva. На основании задачи 16,11 у • V = V2» поэтому окон-
окончательно
V х (v Хй) = grad diva —
A6,36)
В задаче 14,27 эта формула была получена значительно более
сложными выкладками.

СЕМНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Криволинейные координаты. Ортогональные криволинейные
координаты. Запись в ортогональных криволинейных координатах основных
дифференциальных операций теории поля: градиента, дивергенции, ротора
и оператора Лапласа. Выражения градиента, дивергенции, ротора и оператора
Лапласа в цилиндрической и сферической системах координат.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
На предыдущих практических занятиях мы пользовались такими
пространственными системами координат: прямоугольной, цилиндри-
цилиндрической и сферической. В каждой из этих систем положение точки
в пространстве определяется тройкой чисел (и, v, w), причем раз-
различным точкам однозначно соответствуют различные тройки чисел
по определенному закону, присущему данной системе координат.
В прямоугольной системе координат такой тройкой чисел являются
(х, у, г) — абсцисса, ордината и аппликата точки.
В цилиндрической системе координат положение точки в про-
пространстве однозначно определяется тройкой чисел (г, <р, г), которые
называются цилиндрическими координатами точки. Здесь г и ср —
полярные координаты проекции точки на плоскость хОу «
@<<р<2*); @<г<+со),
а г — ее аппликата (—оо<г< +оо).
Между прямоугольными и цилиндрическими координатами точки
существует зависимость, определяемая формулами
x = rcosf, г/= г sin?, z — z. A7,1)
В сферической системе координат положение точки в простран-
пространстве однозначно определяется тройкой чисел (р, 0, ср). которые назы-
называются сферическими координатами точки. Здесь р — расстояние
точки от начала координат @ < р< -f со), 6 —угол между радиу-
радиусом-вектором точки и положительным направлением оси Oz @ <
<0<тг), ср — угол между положительным направлением оси Ох
и проекцией радиуса-вектора точки на плоскость хОу @ < ср < 2тг).
Зависимость между прямоугольными и сферическими координатами
дается формулами
х— psinOcoscp;
у — р sin 8 sin cpj A7,2)
z = p cos 0.
370

Координатная поверхность. Координатной называется поверх-
поверхность, на которой одна из координат точки остается постоянной.
Координатными поверхностями в прямоугольной системе координат
являются плоскости, параллельные координатным плоскостям хОу,
хОг и yOz (фиг. 17,1). На каждой из этих плоскостей одна ко-
координата сохраняет постоянное значение.
Координатными поверхностями в цилиндрической системе ко-
координат являются: 1) плоскости, параллельные плоскости хОу,
т. е. поверхности, на которых координата г остается постоянной;
2) поверхности прямых круговых цилиндров, общей осью которых
является ось Ог; на этих поверхностях постоянное значение имеет
Фиг. 17,1
Фиг. 17,2
координата г; 3)полуплоскости, проходящие через ось Ог и огра-
ограниченные ею; на них координата <р сохраняет постоянное значение
(фиг. 17,2).
Координатными поверхностями в сферической системе коЬрдинат
являются: 1) сферы с центром в начале координат; на них коорди-
координата р сохраняет постоянное значение; 2) полуплоскости, прохо-
проходящие через ось Ог и ограниченные ею; на этих кооодинатных по-
поверхностях постоянное значение сохраняет координата <р и 3) кру-
круговые конусы, общей осью которых является ось Ог; на каждой
из этих координатных поверхностей координата 9 сохраняет посто-
постоянное значение (фиг. 17,3).
Координатные линии. Координатными называются такие линии,
вдоль которых изменяется только одна координата, а две другие
сохраняют постоянное значение. Каждые две координатные поверх*
ности при пересечении образуют координатную линию.
В прямоугольной системе координат такими линиями являются
прямые, параллельные координатным осям. Например, координат-
координатная -с-линия параллельна оси Ох (фиг. 17,4).
371

Координатными линиями в цилиндрической системе координат
являются: 2-линия — прямая, параллельная оси Ог, tp-линия — ок-
p'C-onst
const
Фиг. 17,3
ружность, лежащая в горизонтальной плоскости с центром на оси
Ог, г-линия — луч, вйходящий из произвольной точки оси Ог, парал-
параллельный плоскости хОу (фиг. 17,5).
?
Z
z-линая
Фш> 17,4
Фиг. 17,5
Координатными линиями в сферической системе координат яв-
являются: р-линия — луч, выходящий из начала координат, 9-линия —
полуокружность с центром в начале координат, соединяющая две
372

точки на оси Ог, и ер-линия — окружность с центром на оси Ог,.
лежащая в плоскости, параллельной плоскости Юу (фиг. 17,6).
Криволинейная ортогональная система координат. Криволиней-
Криволинейная система координат называется ортогональной, если в любой'
точке касательные к координатным линиям, проходящим через эту
точку, пересекаются под прямым углом. Например, цилиндрическая
и сферическая системы координат являются ортогональными криво-
криволинейными системами координат. Кроме этих координатных систем,
которые являются криволинейными ортогональными, существуют
и другие.
Рассмотрим в общем виде систему ортогональных криволиней-
криволинейных координат (фиг. 17,7).
Из формул A7,1) и A7,2) видно, что
прямоугольные координаты х, у, иг точки
являются в цилиндрической системе коор-
координат функциями г, ср и г, т. е.
(А)
а в сферической системе координат х, у
и г является функциями р, 6 и <р, т. е.
у = у(р, в, <?); (В)
2 = 2(р, 6).
Пусть в общем случае в трехмерном * '
пространстве кроме прямоугольной системы фиг. 17,6
координат введена также криволинейная
система координат (и, v, w) и между ними и прямоугольными коорди-
координатами х, у и г установлено взаимно однозначное соответствие, ко-
которое описывается формулами, аналогичными формулам (А) и (В):
х— х{и, v, w);
у- у(и, v, w);
г — г{и, v, w).
A7,3)
Каждая пара координатных поверхностей, проходящих через фик-
фиксированную точку М, образует в пересечении координатную линию.
В фиксированной точке М проведем касательные к координатным
линиям Ми, Mv и Mw. Будем рассматривать только ортогональ-
ортогональные системы криволинейных координат. Это означает, что векторы
Lb L2, L3, лежащие на этих касательных, будут попарно пер-
перпендикулярны.
373

Выражения для элементов длины, площади объема
в ортогональных криволинейных координатах
Элемент длины в ортогональных криволинейных координатах.
Рассмотрим бесконечно малый криволинейный параллелепипед, вы-
вырезаемый тремя парами координатных поверхностей, соответствую-
соответствующими значениям координат и, v, w и и -f- Аи, v + Av, w + Aw.
Точка М имеет координаты и, v, w:M(u, v, w). «Гранями» этого
параллелепипеда являются координатные поверхности:
ММгМ3М2;
\ ?
V
M
M7fL2
/
/
С
/^
\
'j
Фиг. 17,7
Его «ребрами» являются координатные линии, которые получаются
в пересечении указанных «граней».
Квадрат элемента длины в прямоугольной системе координат
dsl = dx2 + dtf + dzK A7,4)
Из формул A7,3) следует, что
, дх , , дх . , дх ,
A7,5)
374

Возведем каждое из этих равенств в квадрат, почленно их сложим
и подставим в A7,4). Тогда _
. „ Гд* 5* <fy ду дг дг 1 , .
+ 2 [и • to + Ш • ЬЪ + Ш ' tojdv dw-
Рассмотрим три вектора Ъъ Ъ2, и Ls, лежащие на касатель-
касательных, проведенных из точки М к координатным линиям ММЪ ММ2
и ММ3 соответственно:
ди ' ди1 ' ди
дх- , дут . дгт
3
где ~ , Л, -^ — проекции вектора Ъъ на оси Ox, Oy, Oz;
д~» 1Г ' д~ — проекции вектора 12 на те же оси;
а~ • ali' ai — проекции вектора Ls на те же оси;
a t, /, и fe — орты этих осей.
Так как векторы Ъъ Ъ2, и Ls попарно перпендикулярны, то их
скалярные произведения Lx • Ъ2, L2 • Z,s и Lx • Ls равны нулю. Но
на основании A7,6)
? ? — 5* Sx ду ду дг дг _ „
7 J _дх дх ду ду дг дг п>
т -г дх дх .ду ду .дг дг „
L*'Ls — dH'd+d'db + h'db~{)>
поэтому в формуле для ds2 три последние слагаемые равны нулю
и тогда оказывается, что в случае ортогональных криволинейных
375

координат квадрат элемента длины содержит только квадраты диф-
дифференциалов du?, db* и dw, a
Выражения, стоящие здесь в квадратных скобках, есть квадраты
длин векторов Ъъ La и L,, определенных формулами A7,6), т. е.
эти выражения равны
toI /Э»I
поэтому
, На основании формулы A7,8) длины «ребер» рассматриваемого
бесконечно малого параллелепипеда следует принять,равными:
= L2dy; A7,91
= УЙМ, = La dw.
Эти формулы и выражают элементы длины в ортогональных
криволинейных координатах.
Множители Llt L2, Ls, которые входят в эти формулы, есть
длины векторов Ъъ Ъ2 и Ls, введенных формулами A7,6), равные
Величины Ьъ L2,~LS называются коэффициентами Ляме, отвечаю-
отвечающими точке с координатами и, v и w. От точки к точке коэф-
коэффициенты Ляме будут изменяться, поэтому они являются функция-
функциями координат точки. Вследствие этого коэффициенты Ляме назы-
называют также единицами локальной (местной) длины.
376

Элемент площади в ортогональных криволинейных координатах.
Так как рассматриваемая система криволинейных координат орто-
ортогональна, то площадь «грани» MMiMsM2, которую с точностью
до бесконечно малых высшего порядка будем считать прямоуголь-
прямоугольником,
(da)uv = (ds)u • (dsH = (Lxdu) • (L2dv);
(da)uo = LxLtdudv. A7,11)
Аналогично площади двух других граней MM2MtM7 и ММгМ^Мг
равны соответственно
[do)uw = Що • {ds)w = L^dv dw; A7,12)
(do)uw = (ds)u • {ds)w = UU&u dw. A7,13)
Формулы A7,11), A7,12) и A7,13) и определяют элемент площади
в ортогональных криволинейных координатах. .
Элемент объема в ортогональных криволинейных координатах.
Чтобы определить элемент объема в ортогональных криволинейных
координатах, найдем объем рассматриваемого бесконечно малого
криволинейного параллелепипеда. Считая с точностью до бесконеч-
бесконечно малых высшего порядка этот параллелепипед прямоугольным,
определим, что его объем
dv = (ds)u ¦ (ds)v • (ds)w\
dv = {Lxdu) ¦ (L2dv) • (Lsdw).
Окончательно элемент объема в ортогональных криволинейных ко-
координатах
dv = LxL2Lzdu, dvdw. A7,14)
Выражение проекций вектора А на касательные к координат-
координатным линиям Ми, М,„ Mw, проведенным в точке М (х, у, г)
через его проекции на оси прямоугольной системы координат.
• Проекции вектора А на оси прямоугольной системы координат
обозначим через Ах, Ау, Аг, а на касательные к линиям Ми, Mv и
Mw — через Аи, Av и Аш.
Тогда по известным формулам векторной алгебры имеем
Аи = Axcos (х, и) + Aycos {у, и) + Агcos B, и);
Av = Axcos U, v) + Apcos (у, v) -f A2cos B, v); A7,15)
¦ Aw = Л*cos (x, w) + AyCos (y, w) + AzcosB, ay).
Входящие сюда- девять косинусов легко определятся из формул
A7,6). Косинус угла между вектором а и осью L равен проекции
вектора на эту ось, разделенной на модуль вектора, т. е.
cos (a, L) = —.
377

Так как косинус угла между касательной к линии Ми и осью Ох
равен косинусу того угла, который вектор Lx составляет с осью
Ох, то, учитывая, что Llx = ^ , имеем
дх
, . ди I дх
cos (х, и) — у- = у- ' 5- •
Аналогично получаем и значения остальных косинусов. Таким об-
образом,
. ч _ 2. . <??. / I. .д1- \ — J_ дг ¦
cos(x, o) = jj.g; cos(y, f) = ^-|; cosB, v) = ±-%;
cos(^, а»)=ц-§: cos(y, w)=±.d?; cos(z, w) = ±-d?.
В дальнейшем рассматриваются только фтогональные криво-
криволинейные координаты, которые для сокращения записей мы будем
называть просто криволинейными, опуская слово «ортогональные».
Вывод формул для вычисления градиента, дивергенции, ротора
и оператора Лапласа в криволинейных координатах
Задача 17,1. Найти коэффициенты Ляме Lb L2 и Ls для цилин-
цилиндрических координат.
Решение. В цилиндрических координатах криволинейные ко-
координаты и, v, w имеют значения и = г, v = <p, w = г, а по фор-
формулам A7,1)
х = г cos у; у = г sin ср; г = г.
По
дх
dw
формулам
дх_
?* =
дх
дг
A7,
cos
_,
О-
10)
т;
Sincp;
ду =
dl
dw
получим
ду
ду
ду
дг
= 0;
0;
ср + sin2 <р = 1;
дг = д?
ди~ дг
5г дг
dv df
дг дг .
dw дг
= г;
A7,16)
Итак, в цилиндрических координатах
•э/8
A7,17)

. Задача 17,2. Найти коэффициенты Л яме для сферических ко-
координат.
Решение. В сферических координатах криволинейные коор-
координаты и, v и w имеют значения и = р; v = 6; w = <р.
По формулам A7,2)
х = psinQcostp;
дх
ди~~
дх
dv
дх
dw
дх __
Эр ~
дх
Эй
дх
Эф
* Й
COS <p Sin о;
р COS <p cos 8;
г = pcos8;
¦jr = гг = sin Ф sin 8;
оы op т >
дг__дг_
ди Эр
дг дг
¦ cos 9;
)/(cos <p sin 6J + (sin <p sin бJ + (cos 8J = 1;
2 -f (—psin0J = p;
Ls — ]/(—psinip sin 6J + (р cos <p sin 6J = psinB.
Итак, в сферических координатах
U=U L2 = p; Ls=psin8. A7,18)
Задача 17,3. Определить градиент функции V = V(x, у, г) в
криволинейных координатах, причем
х=х(и, v, w); y=y(u, v, w); 2 = г(и, v, w).
Решение. Известно, что
По формулам A7,15) проекция graduV на направление касательной
в точке М к дуге ММг (фиг. 17,7) равна
npugrad V = np^grad V • cos (х, и) -f np^grad V • cos (у, и) +
+ np2grad V • cos (г, и). . (А)
Учитывая, что
dV dV dV
npxgradK = -^; np^grad-^-; прг grad V = -g-,
а на основании формул A7,16)
cos {x, и) - 1 • |; cos {s, u) = 1 • |; cos (г, и) = -i • |,
37»

переписываем (А) в виде
§?. А. Ё^4-— — ^4-— — — =
1 (dV дх . dV ду . dV дг\
Т[ [~д~х ди* ду ' ди дг ди)'
Выражение в скобках есть нечто иное, как производная по и от
сложной функции V (х, у, г), где
х = х(и, V, w); y=y(u, v, w); z = z(u, v, w),
dV
dV
т. е. -з-.
ди
Поэтому
l fu. A7,19)
Точно так же найдем проекции градиента функции V на касатель-
касательные, проведенные в точке М к дугам ММ2 и ММ3:
?^; A7,20)
Поэтому grad V в криволинейных координатах
где еи, е0, ew — орты осей Ои, Ov и Ow соответственно.
Задача 17. Найти выражение дивергенции вектора А в криво-
криволинейных координатах,
Решение. Известно, что дивергенцией векторного поля век-
вектора А в точке М называется предел, к которому стремится отно-
отношение потока этого вектора через замкнутую поверхность S, окру-
окружающую точку М, к объему V области, ограниченной этой поверх-
поверхностью, при условии, что объем V стягивается в точку М, т. е.
A7,23)
V-+M V
Поэтому мб1 можем дивергенцию вектора А в точке М вычислить,
применяя формулу A7,23) к элементарному объему в криволиней-
криволинейных координатах, т. е. применяя ее к нашему бесконечно малому
криволинейному параллелепипеду. Вектор Л в криволинейных коор-
380

динатах запишется через его проекции на касательные в точке М
к координатным линиям так:
А = Аиеи + ЛЯ + A~ew. A7,24)
Вычислим поток вектора А через все шесть граней этого парал-
параллелепипеда.
Рассмотрим сначала две «грани», перпендикулярные к коорди-
координатной линии ЛШХ (напоминаем, что мы рассматриваем ортогональ-
ортогональные криволинейные координаты), т. е. «грани» ММ2МЛМ3 к
МхМ^М6Мц. Так как внешние нормали к этим граням имеют
противоположные направления, то проекции вектора А на них бу-
будут отличаться только знаком. Единичные векторы этих нормалей
будут — еи на левой грани и еи на правой, так как еи направлен в
сторону возрастающих_значений координаты и. Из A7,24) следует,
что проекция вектора А на нормаль к левой грани будет равна — Аа,
а на нормаль правой грани эта проекция равна Аи.
Поток через «грань» ММ2МцМ3 равен площади этой грани dax =»
= LiLzdudw, умноженной на — Аи, т. е.
nMM,MsM3 = —AJLyLidv dw.
Поток через противоположную «?рань» Af1Af3MeM4 от только что
определенного отличается на величину частного дифференциала по
переменной и от величины AULXL2, т. е. на величину
так как на этой грани криволинейная координата равна не и, а
и + du, а две другие координаты v и w имеют то же значение,
что и на левой «грани». Таким образом, поток вектора А череа
правую грань
§ ] dvdw.
ПМ1м3м.м. = \AJL1L2 + §^ (AuLiL2) da]
Складывая найденные потоки через две рассматриваемые грани,
найдем, что поток через эти две грани равен
uL1L2 + fa{AuLiL2) du\ dvdw + \—AuLxL2dvdw\ =
= gjj (AuLiL2) du dv dw.
Аналогично поток через две грани ММЛМАМ$ и М3М6М%Мг равен
13 И. А. Каплан

а через две грани MMiM3M2 и
Поток через весь объем бесконечно малого криволинейного парал-
параллелепипеда равен сумме этих потоков, т. е.
^ (AUL2L3) +1 (A^L.) + A (iW*)] d« cfo eta.
Разделив это выражение на объем параллелепипеда, равный на осно
вании формулы A7,14) L-iLJLadudv'dw, найдем по A7,23), что в
точке М
(Л<^ + 35
Задача 17,5 ]для самостоятельного решения). Найти: 1)
2) diveD и 3) diue^,.
Ответ, I) divia = ^J
2) div^ = JOT35
Задача 17,6. Найти выражение для вихря вектора Л в ортого-
ортогональных криволинейных координатах.
Решение. Положим в формуле A7,22) V = u. Так как част-
частные производные от и по о и а равны нулю, потому что и не за-
зависит от v и w, получим
^iu. A7,26)
Вычислим вихрь от обеих частей этого равенства
rot grad и == rot \j- eu).
Но на основании A6,34) rot grad u = 0, а потому
0. A7,27)
По формуле A6,11)
rot/a = grad/ х а + /rota.
На основании этого и учитывая A7,27), получаем
rot A ;„} = grad A) х ёи + ? rot iu. A7,28)
382

Вычислим gradU-j по формуле A7,22)
grad\Tj -r.ST еи + ц~дГ е« + T3-frTew
Выполняем дифференцирование в каждом слагаемом:
gr3d (Ч ~ l\U ди е" ^
Отсюда следует
Выражение, стоящее в ,скобках правой части последнего ра-
равенства, на основании формулы A7,22) равно gradLx, поэтому
окончательно
grad(i-) = —-a
Тогда из A7,28) получаем
X
rot eu=j- grad Lt x Su.
Вычислим теперь векторное произведение j- grad Lx x eu:
A7,29)
(grad Lx)u (grad 1г)а (grad.
1 0 0
Заменяя элементы второй строки этого определителя по фор-
формулам A7.19), A7,20) и A7.21), получим
еи ev sw
Lx ди Li dv L3 dw
1 0 0
Т
а отсюда уже окончательно получаем из A7,29)
.- 1 aLj I dLl7i
13*
383

Точно так же определим
После того как найдены вихри единичных векторов iu, Ъь и ёш,
можно определить и вихрь вектора А
v + Awew,
А = Аиёи
¦где Аи, Av, Aw — проекции векторов'Л по осям и, v и да.
rot A = rot (Аиеи) + rot {Avsv) + rot (Лшёю)
Пользуясь тем, что на основании A6,11)
rot fa = grad / х а + f rot a,
получим
rot Л = grad Аи х ви + grad Д, х г„ + grad Aw xsw +
+ Аи rot ёи + Av rot ёе + Лш rot би, =
1Х ди Ц dv La dm
1 О О
4-
Li да Lt dv Ц ди
О 1 О
4-
dA
w
4
dL
цц wВа>) + л° (щ; аг ёш ~~
f "
^U Aw "ЯГ ~
35V
364

М?_1?14--1_Л -Ь -А М
i ди L2 dv + 1г1х аЖ L^U « dv
_ 1 /d(AwLs) d(A0L2)l 1
~" /,3/,2 \ do аш J S« + LjLa
dw
И окончательно для вихря вектора А в криволинейных ортогональ-
ортогональных координатах
rot Л-
L2LS{ dv dw
du dv
Задача A7,7). Найти выражение оператора Лапласа AV в орто-
ортогональных криволинейных координатах.
Решение. Из формулы A6,32) известно, что
АV = div grad V.
Проекции grad У вычисляются по формулам A7,19), A7,20), A7,21)
л т/ 1 av
grad«y = ZTaU;
i av
Заменяем в формуле A7,25) проекции вектора Л проекциями grad V
ДУ = div grad V = v , >- ?- -т~ • я~ +
4- A to ^ 4. А. /*-!*» avYl
"+" dv \ Ц dv ) + dw \ Ls dwj\ '
Значит, в ортогональных криволинейных координатах оператор
Лапласа
du \ Lt ди)'*' dv[ Ц dv~j'T~dw\ L3
385

Определение градиента, дивергенции, ротора и оператора
Лапласа в цилиндрических и сферических координатах
Задача 17,8. Найти выражение градиента, дивергенции, ротора
и оператора Лапласа в цилиндрических координатах.
Решение. Из задач A7,1) и A7,2) известны значения коэф-
коэффициентов Ляме в цилиндрических и сферических координатах.
В цилиндрических координатах
1. Внося эти значения и в формулу A7,22), получим выраже-
выражение градиента в цилиндрических координатах
2. Из формулы A7,25)
Окончательно
j-vl _ дАг ' дА<? дА? Аг
3. Внося значения A7,32) в формулу A7,30), находим вираже-
ние ротора в цилиндрических координатах
Выполняя дифференцирование, получаем окончательно в цилиндри-
цилиндрических координатах
4. Выражение оператора Лапласа в цилиндрических координа-
координатах находим, внося значения A7,32) в формулу A7,31)
А1/ 1 Га / dV\ . д I I dV\ , д I
Выполняем дифференцирование:
1 dV , d*V .
386

оператор Лапласа в цилиндрических координатах
В полярных координатах на плоскости выражение оператора Лап-
Лапласа получим, опуская в нем последнее слагаемое, так как в этом
случае функция V зависит только от г и ср. Таким образом, в по-
полярных координатах оператор Лапласа
Задача 17,9 (для самостоятельного решения). Определить гра-
градиент, дивергенцию, ротор и оператор Лапласа в сферических
координатах.
Указание. Воспользоваться результатами задачи A7,2), в ко-
которой было найдено
Lj =1; L2 = р; L3 = р sin 8; и — р; v — 9; w = ср.
Ответ.
tg в ? ' р дЬ р sin 9
р sm в
ЗУ 1 dW 1
tg в Эв ^"р2 ава т-раsina в Й9а
387

ВОСЕМНАДЦАТОЕ ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ
Содержание. Интегрирование линейных дифференциальных уравнений с
частными производными первого порядка.
ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ
Чтобы выяснить происхождение линейных уравнений с частны-
частными производными первого порядка, прежде всего найдем уравне-
уравнения поверхностей цилиндрических, конических и поверхностей
вращения, а потом покажем, что найденные уравнения эквивален-
эквивалентны некоторым уравнениям с частными производными первого
порядка.
1. Цилиндрические поверхности.
Найдем уравнение цилиндрической поверхности в том случае,
когда образующая не параллельна ни одной из координатных осей,
а ее направляющей является линия, определяемая уравнениями
F(x, у, г) = 0
* 1 (Xt У> 2) = U
причем вовсе не обязательно, чтобы эта линия лежала в одной из
координатных плоскостей.
Цилиндрическая поверхность, или цилиндр, —поверхность, опи-
описываемая прямой, которая движется, оставаясь параллельной
данной прямой, пересекая при этом данную кривую, называемую
направляющей.
Уравнение образующей, если предположить, что она пересе-
пересекает плоскость хОу и проходит через точку (а, Ъ, 0), имеет вид
х-а = y—b = z — 0 .jg ~
т п р
где а и Ь — переменные параметры, а т, п и р — постоянные ве-
величины, так как по определению образующая сохраняет достоян-
достоянное направление в пространстве.
Из A8,2)
х — а 2_ у — Ь г
т р ' п р '
Из этого следует, что уравнение образующей может быть за-
записано в виде
х = кг + а;
388

где
k — — • / — —
p P
Так как прямая A8,2) пересекает направляющую A8,1), то,
подставляя в A8,1) значения х и у из A8,3), получаем
F(kz + a, lz + b, z) = 0
Если из этой системы исключить г, то получится соотношение
вида
<Р (а, 6) = 0, A8,4)
которое связывает переменные а и Ь.
Из системы A8,3) следует, что
a = х — fez;
6 = г/ — /г
и потому соотношение A8,4) перепишется в виде
<?(x-kz, y~lz) = 0. A8,5)
Этому уравнению будут удовлетворять координаты любой точ-
точки образующей цилиндрической поверхности.
Замечание. Если образующая не пересекает плоскость хОу
(т. е. параллельна ей), то вместо точки (а, Ь, 0) надо взять точку
пересечения ее с другой координатной плоскостью.
Пример. Найти уравнение цилиндрической поверхности, для
которой направляющей служит окружность
хъ + У* = 25;
а направление образующей дано отношениями m:n:p = 2:3:l.
Решение. Выполним решение рассмотренным способом.
1. Уравнение образующей запишется в виде
х — а у — Ь _ г—О
~2 3 ~~ 1 •
2. Выразим х и у из этого уравнения через г
откуда
3. Эти значения хну подставим в уравнение направляющей
и получим уравнения вида
389

4. Теперь из этой системы уравнений исключим г и будем иметь
соотношение вида A8,4), связывающее а и Ь.
В первое уравнение системы (В) подставим из второго г = 4.
(8 + af + A2 + bf = 25. (Q
5. Из (А) определим а и b
a — x — 2z; b — у —,3г.
Подставляя эти значения в (С), получим уравнение искомой
поверхности в виде
(8 + х — 2гJ + A2 + у — Зг)г = 25
или, раскрывая скобки, найдем
хг + у"- + 13гг — Axz — 6г/г + 16* + 24# — 88г + 183 = 0.
2. Конические поверхности.
Конической поверхностью,'или конусом, называется поверхность,
описываемая непрерывным движением прямой (образующей), ко-
которая проходит через неподвижную точку А (а, Ь, с) — вершину
конуса и пересекает данную линию (направляющую).
Пусть точка А(ау Ь, с) — вершина конуса, а уравнения направ-
направляющей
F(x, у, г) = 0; \ д
Ft(x, у, г) = 0./ (А)
Уравнения образующей конуса, как уравнения прямой, прохо-
проходящей через точку А(а, Ь, с), запишутся в виде
—а У —
Переменные параметры m, n и р в этих уравнениях связаны
требованием, чтобы образующая пересекала направляющую. Урав-
Уравнения (В) решим относительно х и у:
x=k{z~c)+a; y = l(z — c) + b, (С)
где
Ь т- / п
Так как образующая конической поверхности пересекает на-
направляющую, то эти значения х и у должны удовлетворять урав-
уравнениям (А). Подставляя эти значения х и у в каждое из уравне-
уравнений направляющей (А), мы получим систему двух уравнений, из
390

которых можно исключить переменную г. В результате будет
уравнение вида
ПК /)=9, (D)
связывающее переменные параметры k та. I.
Из уравнений (С) следует
и * —а. 1У — ь
Заменяя в уравнении (D) /г и / этими их значениями, полу-
получим уравнение вида
которому будут удовлетворять координаты любой точки образую-
образующей во все время ее движения; таким образом, уравнение A8,6)
и будет уравнением конической поверхности.
Решим задачу, связанную с определением уравнения кони-
конической поверхности.
Пример. Найти уравнение конуса с вершиной в начале коорди-
координат и направляющей
2 = С
(эллипс, лежащий в плоскости г = с).
Решение. Выполним решение в соответствии с указанным
способом. Образующая, как прямая, проходящая через начало
координат, будет иметь уравнения
х — 0 _ у— 0 _ г — О
от и р
или
— = -! = —
m n p '
Определим из последних уравнений хну через г
х = кг; у = 1г (k = |; / = fj (E)
и, подставив эти значения в уравнения направляющей, получим
а2 -г й2 — *;
г =с.
Теперь из этих двух уравнений исключим 2. Этого легко достичь,
подставляя в первое уравнение системы z =с. Получаем уравнение
391

т. е. уравнение вида A8, 6). Из соотношений (Е) следует
Z ' Z
Подставляем эти значения k и / в последнее уравнение:
X* <? </2 ?f _ 1
Преобразуем его к более удобному виду. Обе части уравнения
Z2
умножим на —2:
д-2 «2 22
или
1-2 /,2 72
±. i " — Л
а2 ' Ьг с2
Полученное уравнение есть уравнение конуса. Заметим, что
оно не содержит свободного члена, а все текущие координаты вхо-
входят в одной и той же степени — второй.
3. Уравнение поверхностей вращения.
Эти поверхности образуются при вращении кривой АВ, назы-
называемой образующей, около неподвижной прямой OR.
Поместим начало координат на неподвижной прямой OR, назы-
называемой осью вращения. Каждая точка М образующей АВ описы-
описывает окружность, центр которой находится на OR, а плоскость,
в которой она лежит, перпендикулярна OR: образованную так
поверхность можно рассматривать как геометрическое место этих
окружностей.
Пусть
а ~ Ь ~~ Т ( '
будут уравнения оси OR. Тогда уравнение плоскости, перпенди-
перпендикулярной к ней,
ах -\- by -\-cz = a.
Поэтому уравнения переменного круга
ах + by + cz = a; x2 -f- У% 4- г2 = р, (В)
так как круг можно рассматривать как пересечение плоскости,
перпендикулярной к OR, со сферой, имеющей центр в точке О.
Для того чтобы выразить, что этот круг пересекает кривую
АВ, нужно исключить х, у и г из уравнений (В) и уравнений
кривой АВ, а это приводит к соотношению
392

откуда
а = Ф(р). (С)
Уравнение поверхности вращения получим, исключив а и Р
из (В) и (С), заменив в (С) а на ах -f by -f cz, a p — на а;2 +
+ #2 + za
ад; + ty + cz = Ф (л;2 + у2 + г2). A8,7)
Это и есть общее уравнение поверхностей вращения вокруг
прямой — = -I- = — при произвольной функции Ф.
Найдем те дифференциальные уравнения с частными производ-
производными, которые эквивалентны полученным уравнениям цилиндри-
цилиндрической и конической поверхностей и поверхности вращения.
Введем обозначения
дг . дг
Ш = Р' ТУ = Ч-
а) Из уравнения A8,5) цилиндрической поверхности следует
у— Ьг = Ф(х~ az). A8,8)
Это уравнение определяет при произвольной функции Ф цилин-
цилиндрическую поверхность, образующие которой параллельны данной
прямой A8,2), какова бы ни была направляющая.
Продифференцируем обе части A8,8) сначала по х, а потом
по у и получим с учетом введенных обозначений
— Ьр = Ф' (х — az) • A — ар);
1 — bq = Ф' (л: — az) • (— aq).
Исключая из этих уравнений Ф\ найдем
Это уравнение уже не содержит произвольной функции и имеет
такую же степень общности, как и уравнение A8,8). Оно являете»
дифференциальным уравнением в частных производных цилиндри-
цилиндрических поверхностей.
б) Теперь' обратимся к определению дифференциального урав-
уравнения конических поверхностей. Из A8,6) следует, что
Это уравнение при произвольной функции Ф определяет кониче-
коническую поверхность с вершиной в точке (а, Ь, с). Продифференци-
Продифференцируем обе части этого уравнения по л и по у, рассматривая z как
39J

функцию независимых переменных хну. Получаем при диффе-
дифференцировании по л:
__ У — 6 Ф' Iх — а\ z — с — р (дг — а)
При дифференцировании по у
г — с — д (у — Ь) ф/ /дг— а\ (дг— a)q
(z — cf \z — сJ ' (г — c)a *
Исключаем из этих двух соотношений Ф':
(x~a)p+(y — b)q = z — c, A8,11)
иначе: (х — а)^ + (у — b)fy = 2 — с.
Это уравнение не содержит произвольных функций. Оно является
дифференциальным уравнением конических поверхностей.
в) Нам следует теперь определить дифференциальное уравнение
поверхностей вращения. Дифференцируя обе части уравнения A8,7)
сначала по л, а потом по у, получим
а+.ср = Ф' (х2 + уг + г8) • Bх +2zp);
b + cq = ®' (х2 + у2 + г2) • Bу + 2zq).
Исключаем из этих двух уравнений Ф':
(су — bz) р + (az — ex) q — bx — ay, A8,12)
иначе: (су — bz) ~ + (az — cx)~ = bx— ay.
Уравнение A8,12) и есть уравнение с частными производными
поверхностей вращения. Выпишем полученные уравнения:
уравнение цилиндрических поверхностей
уравнение конических поверхностей
уравнение поверхностей вращения
(су ~bz) p -f- (az — ex) q — bx — ay.
ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ .
ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Линейное однородное уравнение с частными производными пер-
первого порядка имеет такой вид:
394

Здесь z—Искомая функция от п независимых переменных xltx2,..., xn,
а Хх, Х2, ..., Хп — коэффициенты, которые являются функциями
тех же п независимых переменных, причем ни в один из коэффи-
коэффициентов искомая функция не входит.
Задачу интегрирования этого уравнения сводят к задаче интег-
интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Уравнение A8,13) заменяют такой системой обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений:
d dxn .я ...
" = Т~ш A8.14)
dx3
Если проинтегрировать эту систему уравнений, то получим ее
(п — 1) решений, которые содержат (я—1) различных произволь-
произвольных постоянных d, С2, ... , С„_1- Разрешив эти решения отно-
относительно произвольных постоянных, найдем выражения вида
"i(*i, x2, ... I хп) = С1-;-
и2(хъ х2 х„) = С2; A8,15)
ап—1 (Х1> хг> '"' хп) — Ca—i>
где функции ы1( ы2, ..., ип_г есть известные функции независимых
переменных хъ х2, .... , хп, причем все эти функции различны и
соотношения между ними не существует.
Укажем следующие теоремы:
Теорема 1. Всякий интеграл системы A8,14) есгь интеграл
уравнения A8,13) и наоборот: всякий интеграл уравнения A8,13)
есть интеграл системы A8,14). .
Теорема 2. Уравнение A8,13) или система A8,14) допускают
п—1 различных интегралов ыь и2, ..., иа_1, все остальные ин-
интегралы заключены в формуле
а„ = <р("ь «а, .... «„)>.
где <р — произвольная функция.
На основании этих теорем заключают,/ что всякое выражение
вида
• ?(«!, «а «„), •
какова бы ни была функция «р, будет интегралом системы A8,14),
а потому и уравнения A8,13).
Общий интеграл уравнения A8,13) имеет вид
г = ср(ы1( ы2, ... , ип). A8,16)
Из всего этого следует такое правило интегрирования линей-
линейного однородного уравнения первого порядка с частными произ-
производными:
39S

Правило. Чтобы проинтегрировать уравнение A8,13), надо со-
составить систему обыкновенных дифференциальных уравнений вида
A8,14) и проинтегрировать ее. Полученные л—1 соотношения раз-
разрешить относительно произвольных постоянных. Полученные функ-
функции ии и2, ... , ип_1 будут интегралами уравнения A8,13), а его
общий интеграл следует записать в виде A8,16)
г=ср(ы17 и2, ... , и„),
где <р — произвольная функция.
Подчеркнем, что общие решения обыкновенных дифференциаль-
дифференциальных уравнений содержат произвольные постоянные, а общие реше-
решения, дифференциальных уравнений с частными производными — про-
произвольные функции.
Примечание. Это правило сохраняется и тогда, когда коэф-
коэффициенты Xi в уравнении A8,13) содержат, кроме независимых
переменных хи х2, ..., хп, также и искомую функцию г.
К решению A8,16) следует присоединить и самоочевидное (три-
(тривиальное) решение уравнения A8,13)
2 = С„. A8,17)
Задача Коши. Эту задачу для уравнения A8,13) рассмотрим
только для того случая, когда искомая функция z является функ-
функцией двух независимых переменных, которые обозначим через х
и у. Уравнение A8,13) запишется в виде
Х + Х Ь <1813'>
а система A8,14) запишется в виде одного обыкновенного диффе-
дифференциального уравнения
К,.-**' A8,14)
Разрешая его интеграл относительно произвольной постоянной, по-
получим
и1(х,у) = Си A8,15')
а общий интеграл уравнения A8,13') запишется так:
z = <pM, A8,16')
К этому общему интегралу следует присоединить и самоочевидное
решение A8,17)
г = С2. A8,17')
Общий интеграл A8,16') уравнения A8,13') определяет семейство
поверхностей, которые называются интегральными поверхностями
этого уравнения.
396 .

Задача Коши состоит в том, что требуется найти в этом
семействе такую поверхность, которая проходит через заданную
кривую, определяемую уравнениями
у,
=n 1 08,18)
= 0. J v '
Для того чтобы эту поверхность найти, поступают так: из урав-
уравнений A8,15'),- A8,17') и A8,18) исключают х, у и z и получают
уравнение, связывающее Сг и С2; после этого С± заменяют на ult
а С2 на г. Полученное уравнение и определит ту интегральную
поверхность из семейства A8,16'), которая проходит через кри-
кривую A8,18).
Выделенную таким путём из общего интеграла A8,16') интег-
интегральную поверхность будем называть частным решением уравнения
A8,13').
Задача 18,1. Найти общий интеграл уравнения
у дх х ду - и
и его частные решения, предполагая, что определяемая этим урав-
уравнением поверхность проходит через:
1) окружность у% -f- z2 = R2; х — 0; (А)
2) эллипс р + ^ = 1; х = 0; (В)
3) гиперболу |2 —J= 1; х = 0; (С)
4) параболу у2 = 2pz; x = 0. (D)
Решение. Заданное уравнение есть линейное однородное урав-
уравнение с частными производными первого порядка.
Составляем уравнение A8,14')
dx dy
Интегрируя его, получим
хг + у2 = С» (Е)
Присоединяем к этому решению самоочевидное решение A8,17')
г = Сг. (F)
Общий интеграл в виде A8,16') запишется так:
z = <Р (** + */8).
Это уравнение определяет поверхности вращения — см. формулу
A8,7).
Теперь найдем частные решения.
1. Исключив х, у и г из уравнений (А), (Е) и (F), получим
уравнение, связывающее Сг и С2;
С, + С\ = R*.
397

Заменяя Сг и С8 их значениями из (Е) и (F), получим
Таким образом, искомой поверхностью является сфера.
2. Исключив х, у и 2 из уравнений (В), (Е) и (F), найдем
уравнение, связывающее Сх и С2:
Заменяем Ох и С2 их значениями из (Е) и (F)
fL±l!-L-= 1
т. е. эллипсоид вращения. Поступаем так же в третьем и четвер-
четвертом случаях: в третьем случае
отсюда
?l±if —12=1
т. е. искомой поверхностью является двухполостный гиперболоид
вращения. В четвертом случае искомой поверхностью является па-
параболоид вращения
Задача 18,2. Найти общий интеграл уравнения
и его частные решения, предполагая, что определяемая им поверх-
поверхность проходит через такие линии:
1) окружность у* + z2 =* R2; х = а; (А)
2) эллипс |5 + |=1} х = а; (В)
3) гиперболу ^ — ^-= i,' x = a; (С)
4) параболу г/а = 2рг; х = a. (D)
Решение. Предложенное уравнение — также линейное одно-
однородное уравнение с частными производными первого порядка. На
основании A8,14') ему соответствует уравнение
х у
Интегрируем его:
In* = In ы— lnQ, или х = -?-,
398

откуда, разрешая последнее равенство относительно Съ имеем
Присоединяем к этому интегралу самоочевидное решение
z=C2, (F)
и получаем общее решение в виде A8,16')
. «-.(*)¦
Исключив *, г/ и г из уравнений (А), (Е) и (F), имеем уравне-
уравнение, связывающее Ct и С2
в%>1 -(- Vj2 = i\ ,
а подставляя сюда значения Сх и Са из (Е) и (F), находим частное
решение
Приводим ответы на второй, третий и четвертый вопросы задачи:
3) агсV — ЪгхЧ% — Ь*с*х% = 0;
4) г = — • ^
Задача 18,3. Найти общий интеграл уравнения
Это уравнение — уравнение с частными производными первого по-
порядка.
Решение. Составляем прежде всего обыкновенное уравнение
вида A8,14'), которое соответствует данному
Решение данного уравнения г = Сь которое является самоочевид-
самоочевидным, мы сразу же используем для интегрирования уравнения (А),
подставив в него Сг вместо г. Получим
dx
откуда ,
или
xdy — ydx = — Vr* — Ci dx.
399

Разделим обе части на x?i
xdy — ydx _
xdy — ydx , Iу\ dx . I l\
или, учитывая, что ¦ ^ ==d[xj> a Ifi = d \~7]' интегРиРУя,
получим
или
- -^3-
Заменим теперь Сх на г:
X
Значит, общий интеграл на основании A8,16') будет таким:
Задача 18,4. Найти общий интеграл уравнения
Решение. Это линейное уравнение с частными производными
первого порядка, искомой функцией <р от независимых переменных
х, у, г и и. Составляем систему A8,14) обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, соответствующую заданному
d?_ dy dz da
x 1 — у2 а — уг b — yu'
n
или, умножая все знаменатели на у, будем иметь
dx dy йг du ,«.
7~ y(l-y*)~ у(а-уг)~ y(p — yu)m lA>
Отсюда выделяем такие три уравнения
n dx — dy c
l> x - уA-у*У
2) dy dz
> уA-У*) У (а-угУ
о, d?du
a
a> x
400

Интегрируем первое из них:
dx dy , Г dx _ Г dy
Ц- у(\-?у J Т-J уA-л*
Вычислим интеграл в правой части
J2/(l-</2) J f/U-f/2) y J </^J(l-</2
Отсюда для первого уравнения
\пх = \пу — y^11^ — У2) +
и, потенцируя, имеем
= (*!•
Теперь приступаем к интегрированию второго уравнения, при-
присоединив к его правой части дробь — из системы (А)
X
dy dz ш zdy ydz dx #
УA — У2) ~ yifl — уг)' уг{1 — у2) ~~ у2 (а — уг) ~ ~х '
ydz — zdy dx m ydz — zdy dx #
2 — уэг — yz + y3z ~ x ' ay2 — yz ~ x '
d(±) d(±)
dx % \ у 1 dx . \ у I dx
z x ' z x ' г
a a a
У У У
Интегрирование этого уравнения дает:
откуда
x(z — ay)_Q
У 2'
Подобным же образом для третьего уравнения получим
х (и — by) _?
У 3
и общий интеграл напишется так:
V1 — У2 х(г — ау) х(и — Ьу)\
~~у ' у ' у Г
401

Правило для интегрирования линейных уравнений
общего вида с частными производными первого порядка
Это уравнение имеет вид
где 2 — неизвестная функция от хъ х2, ..., хп, a Xlt X2, ..., X ,
Z — данные функции от xlt х2, ..., хп, г. От уравнения A8,13)
оно отличается тем, что его правая часть не нуль, а функция не-
независимых переменных и искомой функции г.
Правила интегрирования. Для интегрирования уравнения A8,19)
следует написать соответствующую ему систему обыкновенных урав-
уравнений
^l = fe= ... =^2 = ^. A8,20)
Проинтегрировав эту систему и разрешив ее интегралы отно-
относительно произвольных постоянных, получаем п различных интег-
интегралов
Ue(хи х2 хп, z) = Ct(/ = 1, 2, 3, .... я). A8,21)
Общий интеграл уравнения A8,19) есть неявная функция 2 и запи-
записывается так:
Vqjlt U2, .... Un) = 0 A8,22)
где V — произвольная функция.
Произвольную функцию, входящую в общее решение, можно
найти, если известно, что определяемая ею поверхность проходит
через заданную линию A8,18). Эту поверхность находят описанным
выше способом.
Задача 18,5. Проинтегрировать уравнение
дг , дг _ '
и найти произвольную функцию из условия, что интегральная по-
поверхность проходит через эллипс
?! _|_ У? = 1; 2 = о. (А)
Решение. Система A8,20) обыкновенных уравнений, соответ-
соответствующая этому уравнению, будет выглядеть так:
dx __dy с[г
Выделяем уравнения — — -г и -у — у • Интегрируя, получаем
dx = adz; ¦ х — az + Сх; х — аг = С^ (В)
dy = bdz; y=bz+C2; у — Ьг = Сг. (С)
402

Согласно изложенной теории на основании A8,21) общее реше-
решение имеет вид
V(x — az, y—bz) = 0.
Сличая с формулой A8,5),-заключаем, что полученное общее ре-
решение есть уравнение цилиндрических поверхностей.
Разрешим общее решение относительно искомой функции z
Теперь найдем вид произвольной функции /, исходя из условий
задачи. Исключая для этого х, у и z из уравнений (А), (В) и (С)
и найдем соотношение между Сх и С2
г2 rs
zl i — — 1-
заменяя Сг и С2 их значениями из (В) и (С), получаем
Это уравнение определяет эллиптический цилиндр.
Задача 18,6. Найти общее решение уравнения
а + ь с
Решение. Система обыкновенных уравнений, соответствующая
данному, запишется так:
dx _ dy dz du
a b с xyz'
Выделим из этой системы три таких уравнения:
dx dy ш dx tfe ш d? du_
a 61 a c' a xyz'
Первые два из них дают возможность найти два первых интеграла
ady = bdx,
или
ady — bdx = 0.
После интегрирования получим
ау—Ьх = Сь
или
_C1 + bx
У а '
403

Точно так же второе уравнение после интегрирования даст
az — сх = С2,
или
_ са +сх
а
Подставим полученные значения у и z в третье уравнение
<?* rfu
~а ~ xyz'
что даст
d? аЧи
ИЛИ
cfldu = х (Сх + to) (C2 + с*) dA:,
откуда, интегрируя, получаем
а3и = СХС2 -j + (ЬС2 + c^i) "т + be -г- -\- С3,
а, заменяя Ct и С2 их значениями, будем иметь
а*и = (ay —bx) (az — cx) y + [b(az—cx) + c(ay—bx)]j +
или после упрощений
откуда
afyz ~-a(bz + су) ~ + bc~
Общий интеграл запишется так:
V (а*и —atyzj + a(bz + сд)? — bc?, ay — bx, az — ex) = 0,
или
а3и — a2yz ~ + a (bz + су) -g- — be -^ = ? (ay — to, az — сд;).
Задача 18,7. Проинтегрировать уравнение
дг
Решение. Составляем систему A8,20) обыкновенных диффе-
дифференциальных уравнений, соответствующую заданному
dx dy dz_
у2 ху ахг'
г, dx dy dy dz
Выделяем уравнения ^ = fy и ху = Ш'
404

Преобразовывая их, получим
xdx — ydy = 0
и
dy _ dz
у ~ аг'
а интегрируя, находим первые интегралы
2 2 2
ИЛИ
и
1пг/ = _1п2 — -In
откуда
In у = — In я-
" а Са-
ИЛИ
Общий интеграл будет выглядеть так:
откуда
или
2 = г/7 (а:2 -у2).
Задача 18,7. Найти общий интеграл уравнения
дг . дг 1
ХШ+УТу=Гу-
Решение. Предложенное уравнение является линейным. Соот-
Соответствующая ему система A8,20) обыкновенных уравнений
dx _dy dz
xy
или
dx dy ,
— = — = xydz.
x у a
Умножая на ху, запишем нашу систему в виде
ydx = xdy = x%y%dz\
405

а так как
ydx + xdy = d (xy),
можем переписать,
ИЛИ
1.
2
Таким образом, мы получили два уравнения:
*1 — dS и 1 d^y) _ л,
х - у И 2 (хуу ~ аг'
Интегрируем первое из них:
\&х — In г; — 1пСь
или
JL— г
Q ~ л'
т. е.
Интегрирование второго дает
~2x~y = Z~C2'> Z + 2x~y^
а общий интеграл его имеет вид
V \х ' Z + 2xy
или
и окончательно
Задача 18,8. Найти общий интеграл уравнения
дг дг
Решение. Предложенное уравнение является линейным. Си-
Система A8,20) обыкновенных уравнений, которая ему соответствует,
запишется так:
dx dy dz
~у ~ ~х ~ х + у'
406

и мы получим два уравнения
dx dy dx— dy dz
~У ~x И x+ у ~ x+ у
ИЛИ
dx — dy = dz.
Интегрируем первое из них:
— xdx = ydy,
т. е.
xdx + ydy = 0,
откуда
2t2~2'
т. e.
Интегрируя же второе, будем иметь
dx — dy = dz; d(x — у) = dz;
или
x — у — z = C2.
Общий интеграл
F(f2 + *A x-y-z) =
откуда
x — у — г =
т. е.
z = x — у — <?(х2 + у2),
а полагая
общее решение получим в виде
z=x-y + f(x2 + y*).
Задача 18,9. Найти общий интеграл уравнения
Решение. Это уравнение также является линейным неодно-
неоднородным уравнением, и система A8,20) обыкновенных уравнений,
ему соответствующая, будет такой:
dx dy dz
sin x cos x 1 '
407
откуда lL?-=JL или ^dx = dy и 2)-?. = ?.
J ' sin* cos* sin* " ' ыпх, 1

Интегрируем первое из них:
In sin x = у — Сг
или
у — In sin x = Cv
Интегрирование же второго уравнения дает
lntg| = 2-C2
или
общий интеграл
Viz — lntg-|-> У — In sin л:) = О,
т. е.
г — In tg-|- = <р (у — In sin х),
или
2 = lntgy -f <?(y — In sin х).
Задача 18,10 (для самостоятельного решения). Найти общий
интеграл уравнения
Ответ.
1 1
, ху) = 0; ге'"-1) *""' = <? (ху).
Задача 18,11 (для самостоятельного решения). Найти общий
интеграл уравнения
У. д± 4- JL д± - xuz
е* дх ^ еУ ду~ хУг'
Ответ. Общий интеграл уравнения
V [е'1"*) <х -г, (х— 1) ех — (у—1)еу]^ 0,
откуда
еA-Х) е*г = <р [(д; — 1) е" — (у — 1) в»]
или
2 = е'^-1) e~* • 9 [(¦« — 1) е* — (г/ — 1) е").
Задача 18,12. Найти общий интеграл уравнения
9 ди . о <Эи . о <Эи
408

Ответ.
1
или, решая относительно ие*, имеем
Задача 18,13. Определить общий интеграл уравнения
дг , дг
Решение. Система A8,20) обыкновенных уравнений, соответ-
соответствующая этому линейному неоднородному уравнению, будет запи-
записана так:
dx dy dz
х ~ 7 ~ УТ'
Из нее выделим два уравнения
Интегрируем перюе,
In х = In у — In Ct
или
dx_dy dx dz
*~ У * ~
Ct ' ' ' х
С помощью полученного решения проинтегрируем второе урав-
уравнение
dx _ dz
которое преобразуем так:
dx dx
х """"¦
Заменим в нем ^ на С\.
Сокращаем еще на —:
409

и, интегрируя, получим
•* — - / г т °г
1 + с;
или, подставляя С2 = —, найдем
а отсюда
яг /-.
Теперь общий интеграл запишется так:
V * Vxa + у2) ~
или
х хг
Vx* + у*
г/2 - *г =
Обозначая
имеем окончательно
Задача 18,14 (для самостоятельного решения). Найти общие
интегралы уравнений
^У + Хг
гч дг дг
ъ)хъ~х-УТу =
Ответ.
3) г =
5) z =
410

Задача 18,15 (для самостоятельного решения). Найти общие
интегралы уравнений и их частные решения, предполагая, что по-
поверхность, определяемая уравнением, проходит через заданную
кривую
dz дг
Кривая
. » л. „„ „а,
z — и, ху — и |
Кривая
Ответ.
1) ху + z2 = а2;
2) (*2 + у2 4 z2J = 2R? (д:2 + г/2 + ху).
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Ф. Р. Рантмахер. Теория матриц. Изд-во «Наука», М., 1967.
2. С. В. Фролов, Р. Я. Ш о ста к. Курс высшей математики. Изд-во
«Высшая школа», М., 1966.
3. Р. Фрезер, В. Дункан, А. Коллар. Теория матриц и ее прило-
приложения к дифференциальным уравнениям и динамике. Изд-во иностр. литературы,
М., 1950.
4. А. П. Филин. Некоторые элементарные сведения из линейной алгебры.
Изд-во «Судпромгиз», 1961.
5. Б. В. Булгаков. Колебания. Foe. изд-во техн.-теорет. лит-ры, М., 1954.
6. К. Л а н ц о ш. Практические ¦ методы прикладного анализа. Foe. изд-во
физ.-матем. лит-ры, М., 1961.
7. М. Дж. Сальвадор и. Численные методы в технике. Изд-во иностр.
лит-ры, М., 1955.
8. Б. П. Д е м и д о в и ч и И. А. Марон. Основы вычислительной матёма-
таки. Физматгиз, М., 1960.
9. А. С. X а у с х о л д е р. Основы численного анализа. Изд-во иностр. ли-
литературы, М., 1956.
10. И. П. Мы сове к их. Лекции по методам вычислений. Физматгиз, М.,
1962.
11. И. С. Березин и Н. П. Жидков. Методы вычислений,Физматгиз,
М., 1959.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
Первое практическое занятие. Численное решение алгебраических урав-
уравнений 5
Второе практическое занятие. Численное решение алгебраических урав-
уравнений (продолжение) • 36
Третье практическое занятие. Решение трансцендентных уравнений . . 61
Четвертое практическое занятие. Основные определения теории матриц 86
Пятое практическое занятие. Умножение матриц. Формулы для про-
проверки умножения матриц. Обратная матрица и способы ее получения ... 111
Шестое практическое занятие. Обращение треугольной матрицы. Разложе-
Разложение квадратной матрицы на произведение двух треугольных. Вычисление
обратной матрицы при помощи представления ее в виде двух треугольных
матриц 141
Седьмое практическое занятие. Матричная запись системы лииейиых
алгебраических уравнений. Численное решение линейных алгрбраических
уравнений способом исключения 173
Восьмое практическое занятие. Характеристическое уравнение матрицы.
След матрицы. Характеристические числа и собственные векторы матрицы.
Нормирование вектора. Скалярное произведение двух векторов. Ортого-
Ортогональные матрицы. Преобразование характеристического уравнения методом
Леверье 191
Девятое практическое занятие. Преобразование характеристического
уравнения методом академика А. Н. Крылова. Теорема Кэли—Гамильтона 216
Десятое практическое занятие. Применение матриц к приведению
квадратичной формы двух переменных к сумме квадратов (к каноническому
виду). Упрощение уравнений кривых второго порядка 237
Одиннадцатое практическое занятие. Поверхности уровня. Производ-
Производная по направлению. Градиент функции 257
Двенадцатое практическое занятие. Векторное поле. Потенциальные
векторы. Потенциал векторного поля. Циркуляция вектора. Линейный ии-
теграл. Вихрь вектора 286
Тринадцатое практическое занятие. Поток векторного поля. Дивер-
Дивергенция вектора. Формула Остроградского 303
Четырнадцатое практическое занятие. Свойства дивергенции. Упраж-
Упражнения, связанные с формулами Остроградского и Стокса 329
Пятнадцатое практическое занятие. Гармонические фунции. Формулы
Грина 348
Шестнадцатое практическое занятие. Оператор Гамильтона ..... 357
Семнадцатое практическое занятие. Криволинейные координаты. Орто-
Ортогональные криволинейные координаты. Запись в ортогональных криволиней-
криволинейных координатах основных дифференциальных операций теории поля: гра-
градиента, дивергенции, ротора и оператора Лапласа. Выражения градиента,
дивергенции, ротора и оператора Лапласа в цилиндрической и сферической
системах координат .,, 370
Восемнадцатое практическое занятие. Интегрирование линейных диф-
дифференциальных уравнений с частными производными первого порядка . . . 388
412