/\^У1ФТИ
А. Е. Умнов, Е. А. Умнов
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
о о о к К! К g tT1 к Е х
р W к о к к КС
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «МОСКОВСКИЙ ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ (ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ)»
А. Е. Умнов, Е. А. Умнов
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Учебное пособие
МОСКВА МФТИ 2016
УДК 517.9(075)
ББК 22.161.6я73
У54
Рецензенты:
Доктор технических наук, профессор департамента прикладной математики Московского института электроники и математики национального исследовательского университета «Высшая школа экономики» В. Н. Афанасьев Кандидат физико-математических наук, доцент
кафедры математических основ управления МФТИ А. Г. Бирюков
Умнов, А. Е., Умнов, Е. А.
У54	Основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений :
учебное пособие / А.Е. Умнов, Е. А. Умнов. - М. : МФТИ, 2016. - 293 с.
ISBN 978-5-7417-0618-3
Содержит основные разделы теории обыкновенных дифференциальных уравнений и введение в вариационное исчисление.
Набор рассматриваемых в учебном пособии вопросов соответствует стандартной университетской программе по предмету «Обыкновенные дифференциальные уравнения» и может являться основой для последующего, более глубокого, ознакомления как с теорией, так и с приложениями данного предмета. Изложение материала, достаточно подробное и ясное, включает описание методов решения некоторых, принципиально важных для успешного освоения курса, задач.
Предназначено для студентов высших учебных заведений физико-математического, технического, естественнонаучного и экономического направлений подготовки, программа обучения которых предусматривает изучение базовых тем данного учебного курса, а также для преподавателей кафедр университетов и вузов естественнонаучного профиля.
УДК 517.9(075)
ББК 22.161.6я73
Печатается по решению Редакционно-издательского совета Московского физико-технического института (государственного университета)
ISBN 978-5-7417-0618-3	© Умнов А. Е., Умнов Е. А., 2016
© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2016
Оглавление
ОТ АВТОРОВ..............................................6
0.1. Введение...........................................7
Глава 1. Простейшие методы решения дифференциальных уравнений..............................................11
1.1.	Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной........................................11
1.2.	Уравнения с разделяющимися переменными........17
1.3.	Линейные уравнения первого порядка............20
1.4.	Уравнения первого порядка в дифференциалах....24
1.5.	Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной............................33
1.6.	О методах понижения порядка уравнения и других специальных алгоритмах..............................39
Глава 2. Линейные дифференциальные уравнения порядка п с постоянными коэффициентами...........................42
2.1.	Линейные уравнения тг-го порядка. Основные понятия и свойства.........................................42
2.2.	Дифференциальные многочлены и их свойства.....48
2.3.	Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.....................................51
2.4.	Выделение вещественных решений................56
2.5.	Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.....................................60
3
Глава 3. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами............................67
3.1.	Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай базиса из собственных векторов)............................69
3.2.	Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай жорданова базиса)...........................77
3.3.	Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами........................88
3.4.	Показательная функция матрицы..................93
3.5.	Элементы операционного исчисления.............106
Глава 4.	Задача Коши...................................114
4.1.	Постановка задачи Коши........................114
4.2.	Принцип сжимающих операторов..................116
4.3.	Существование и единственность решения задачи Коши ..122
4.4.	Продолжаемость локального решения задачи Коши.127
4.5.	Исследование зависимости решения задачи Коши от параметров......................................130
4.6.	Задача Коши для уравнений, не разрешенных относительно производной...........................133
4.7.	Существование и единственность решения задачи Коши в линейном и квазилинейном случаях.................140
Глава 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами...........................144
5.1.	Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами.....................................144
5.2.	Построение общего решения линейной системы с переменными коэффициентами.......................153
5.3.	Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.....................................161
5.4.	линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами.....................................170
5.5.	Решение дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов. Уравнение Бесселя.................180
4
Глава 6. Системы нелинейных дифференциальных уравнений... 192
6.1.	Автономные системы уравнений и их свойства....192
6.2.	Устойчивость положения равновесия автономной системы............................................200
6.3.	Положения равновесия автономных систем второго порядка ............................................211
6.4.	Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений..........................226
6.5.	Линейные уравнения в частных производных первого порядка............................................233
Глава 7. Введение в вариационное исчисление............243
7.1.	Простейшая задача	вариационного исчисления....243
7.2.	Задачи вариационного исчисления с функционалами обобщенного вида...................................253
7.3.	Задачи вариационного исчисления с граничными условиями обобщенного вида.........................260
7.4.	Условные вариационные задачи..................264
7.5.	Замечания о достаточных условиях оптимальности в задачах вариационного исчисления.................271
Приложение. Метод корневых векторов решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными
коэффициентами....................................278
Литература........................................287
Предметный указатель..............................288
5
ОТ АВТОРОВ
Данное пособие предназначено для студентов, проходящих обучение в бакалавриате высшей школы по специализациям «Прикладные математика и физика», а также «Системный анализ». Оно также может быть полезным как при подготовке к Государственному квалификационному экзамену по высшей математике, так и вступительному экзамену в магистратуру.
При составлении пособия авторы старались добиться по возможности максимального соответствия спектру тем и вопросов, традиционно включаемых в курс «Обыкновенные дифференциальные уравнения», допуская при этом, что порядок следования материала, логика и методика его изложения могут быть существенно различными.
Авторы искренне благодарны профессору Е. С. Половинкину за доброжелательную критику и существенную помощь в определении структуры пособия в целом. Выражаем глубокую признательность доценту В. Б. Трушину, тщательно ознакомившемуся с предварительными вариантами рукописи и сделавшему большое количество полезных замечаний и предложений по улучшению текста.
Умнов А.Е., Умнов Е.А. Москва, декабрь 2016 г. www.Umnov.ru
6
0.1. Введение
Одним из достаточно широко используемых средств исследования какого-либо реального объекта или процесса является математическое моделирование - построение, формализованного в терминах математических понятий, описания этого объекта или процесса, адекватно отражающего все его существенные свойства. Вполне очевидно, что наиболее предпочтительной формой математической модели является набор или система функциональных соотношений, в явном виде связывающих основные количественные характеристики, описывающие моделируемый объект или явление. Однако на практике добиться этого удается не всегда и приходится использовать более сложные, косвенные формы описания интересующих исследователя зависимостей.
Поясним сказанное примером. Пусть предметом исследования является процесс изменения (во времени) концентрации примеси в растворе. Мы предполагаем, что все внешние для данного процесса условия неизменны (или меняются пренебрежимо слабо), в силу чего интересующую нас зависимость можно считать функциональной, а ее формализованное описание имеет вид функции К = где t - время, прошедшее с момента начала наблюдения, а К - величина, характеризующая уровень концентрации примеси в растворе.
Предположим, что априорное исследование процесса растворения приводит к заключению, что (с достаточно высокой точностью) скорость убывания концентрации пропорциональна величине самой концентрации и может быть оценена величиной производной по времени от функции K(i). Это позволяет в качестве математически формализованного описания (то есть модели) наблюдаемого процесса использовать равенство
где величина А постоянна и положительна. При этом нетрудно убедиться, что это соотношение оказывается верным равенством при
K(t) = С  e~xt V С.	(0.1.2)
Полученная функция и является ответом на вопрос исследования, описанного в данном примере. Соотношение вида (0.1.1) принято называть дифференциальным уравнением, а функцию (0.1.2) - его решением.
7
Наличие большого числа прикладных исследований в физике, технике, экономике, биологии и других научных направлениях, в которых математическая модель содержит компоненты, связывающие искомые функциональные зависимости с их дифференциальными характеристиками, приводит к заключению о важности для процесса моделирования получения для конкретного дифференциального уравнения ответов на вопросы: «Имеет ли это дифференциальное уравнение решения?», «А если имеет, то какими свойствами эти решения обладают?». Раздел высшей математики, позволяющий получать ответы на эти (и связанные с ними) вопросы, носит название теории дифференциальных уравнений. Изложению основ этой теории и посвящен настоящий курс лекций.
Ввиду большого разнообразия в способах задания связей между искомой функцией и ее производными, дадим вначале определения основных понятий, которые будут использоваться в рамках данного курса. Обратите внимание, что в разных разделах курса эти определения, по мере необходимости, могут несколько изменяться, уточняться или пополняться новыми условиями.
Определение Дифференциальным уравнением будем называть 0.1.1.	соотношение типа равенство, каждая часть кото-
рого может содержать как искомую функциональную зависимость, так и ее производные функции.
Определение Если искомая зависимость, входящая в запись 0.1.2	дифференциального уравнения, является функци-
ей одной независимой переменной, то такое уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если же искомая функция зависит от нескольких независимых переменных, то уравнение называется уравнением в частных производных.
Пусть искомая функция у(х) зависит от одной переменной х, тогда дифференциальное уравнение, связывающее эту функцию с ее производными, принято записывать в виде
р(х,у,у',у",...,у^') =0,	(0.1.3)
где F - известная непрерывная функция от п + 2 переменных.
Определение Порядком дифференциального уравнения называет-0.1.3	ся порядок старшей производной от неизвестной
функции у(х).
8
В соответствии с этим определением уравнение (0.1.3) является обыкновенным дифференциальным уравнением порядка п. В дальнейшем, если не оговорено иное, термин дифференциальное уравнение будет означать обыкновенное дифференциальное уравнение.
Определение Функция у(х) называется частным решением диф-0-1-4	ференциального уравнения (0.1.3), если
-	функция у(х) имеет в своей области определения непрерывные производные до n-го порядка включительно;
-	область определения и область значений функции у(х) согласуются с областью определения функции F (^i, ж2, • • •, rrn+i, жп+2), то есть
II X у(х) у'(х) ... у{п\х) ||т G Q \/ж G X;
- уравнение (0.1.3) превращается подстановкой у(х) в верное равенство.
Множество всех частных решений дифференциального уравнения называется его общим решением.
При этом следует иметь в виду, что общее решение дифференциального уравнения лишь в ряде конкретных случаев может быть представлено как элементарная функция, зависящая от каких-то параметров. Например, как формула (0.1.2) описывает общее решение уравнения (0.1.1).
Если требуется найти общее решение какого-либо дифференциального уравнения, то говорят, что нужно решить (или, что то же самое, проинтегрировать) это дифференциальное уравнение. Однако достаточно часто в процессе исследования оказывается необходимым найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее некоторым дополнительным условиям. Например, допустим, что среди решений уравнения (0.1.1) нас интересуют лишь те, для которых концентрация примеси в начальный момент равна 70%. Найти это решение в рассматриваемом случае несложно, выбрав в формуле (0.1.2) такое значение параметра С, при котором К(0) = 0.7, то есть С = 0.7.
Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения, которое, возможно, как и некоторые его производные, имеют в точке хо заранее заданные значения, называется задачей Кошщ точные формулировки которой, различные для разных классов диффе
9
ренциальных уравнений, будут рассмотрены в соответствующих разделах курса.
Отметим также, что задача отыскания частного решения, удовлетворяющего условиям, задаваемым для нескольких, отличных друг от друга, значений независимой переменной, носит название краевой задачи. Понятно, что также могут возникать задачи отыскания частных решений, удовлетворяющих ограничениям со структурой более сложной, чем в задаче Коши или в краевой задаче.
Теперь заметим, что метод решения задач типа задачи Коши или краевой задачи, основанный на выделении нужного частного решения из общего, мало эффективен, а часто и вовсе невозможен, поскольку редко когда удается получить форму записи общего решения, пригодную для выделения частных решений. Поэтому весьма полезными для практики оказываются методы исследования дифференциальных уравнений, позволяющих делать заключения об особенностях (таких как существование, единственность, непрерывность, дифференцируемость и т.п.) нужных частных решений без построения общего решения и основанных лишь на использовании свойств функций, входящих в запись уравнения.
Важность этих методов обусловлена следующими факторами. Во-первых, (как уже отмечалось) для подавляющего большинства классов дифференциальных уравнений получение формульной записи решений затруднено или просто невозможно. Использование же численных алгоритмов интегрирования корректно лишь в тех случаях, когда существование и единственность искомого решения обоснованы.
Во-вторых, при построении математических моделей неизбежно использование различных параметров, констант и других количественных характеристик, значения которых могут иметь некоторую погрешность. Поэтому при использовании в математической модели дифференциальных уравнений необходимо быть уверенным в том, что малые изменения значений параметров приводят к малым вариациям решений. Иначе говоря, необходимо обоснование свойства непрерывности решений по всем константам, используемым в формулировке уравнений, включая начальные, краевые и прочие количественные характеристики.
Детальному изучению этого направления посвящена значительная часть нашего курса, хотя вначале будут рассмотрены аналитические методы поиска общих решений для часто используемых в приложениях классов дифференциальных уравнений.
10
Глава X
Простейшие методы решения дифференциальных уравнений
1.1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной
Изучение методов решения дифференциальных уравнений начнем с уравнений вида
У' =	(1.1.1)
являющегося частным случаем уравнения (0.1.3) при п = 1.
Символическая запись (1.1.1) означает следующее. Пусть в двухмерном евклидовом пространстве Е2 с элементами, имеющими в стандартном ортонормированном базисе координатные представления || х у ||т, задана функция двух переменных /(ж, у). Тогда можно дать
Определение Функция у(х) называется частным решением диф-1.1.1	ференциального уравнения (1.1.1), если
-	/(ж, у) определена и непрерывна в некоторой области Q С Е2 ,
-	у = у(х) - непрерывно дифференцируемая в своей области определения X С R функция, причем || х у(х) ||т Е Q \/х е X ,
-	у'&) = / (ж, т/(ж)) \/х е X .
Поскольку каждой упорядоченной паре чисел {ж, у} можно поставить во взаимно однозначное соответствие точку координатной плос
11
кости с координатным представлением || х у ||т, то график функции у = у(х) можно рассматривать как геометрическое представление частного решения уравнения (1.1.1). Этот график обычно называют интегральной кривой1 уравнения (1.1.1).
Рассмотрим теперь альтернативные способы записи уравнения (1.1.1). Использовав определение первого дифференциала, это уравнение можно представить в виде
= /Ц, у),
(1-1-2)
в котором производная функция у' (х) выражена в виде дроби - отношения дифференциалов переменных у и х.
Из курса математического анализа известно, что формульная запись функции может отличаться от стандартного вида - явной зависимости у = у(х). Например, функция у = у(х), являющаяся частным решением уравнения (1.1.1), может быть представлена обратной х = х(у), если эта обратная функция существует. В этом случае х = х(у) есть частное решение уравнения
dx 1
dy f(x,y) ’
(1.1.3)
интегрирование которого может оказаться более простой задачей, чем решение уравнения (1.1.1). При этом, пользуясь таким представлением частного решения уравнения (1.1.1), следует иметь в виду, что уравнения (1.1.2) и (1.1.3), вообще говоря, неравносильны: некоторые решения одного из них могут не являться решениями другого.
Другой возможный способ описания частного решения уравнения (1.1.1) - задание неявной зависимости у от х, например, соотношением Ф(х,?/) = 0. В силу теоремы о неявных функциях в этом случае (при выполнении естественных ограничений) оказывается справедливым равенство
дФ дФ ,	„
я—I” я- ’ Ух ~ 0 , дх ду
и уравнение (1.1.1) принимает вид
дФ
у) 
ду
1 Слово кривая здесь не совсем удачное, так как график решения вполне может быть и прямой. Термин линия., видимо, был бы более уместен.
12
Иногда для описания частного решения уравнения (1.1.1) оказывается удобным использование параметрического способа задания функции. Пусть, например,
х = х(б), у = уХ),
t е 0.
Согласно соответствующей теореме из курса математического анали-y't
за, производная у'х = —, а уравнение (1.1.1) будет иметь вид xt
y’t = / (ЛДуО)  x't.
Использование альтернативных способов представления решений в ряде случаев может существенно упростить процедуру интегрирования уравнения (1.1.1). Соответствующие примеры будут приведены в других разделах курса.
Вместе с тем может оказаться так, что ни один из рассмотренных выше способов описания частных решений оказывается неприменимым. Например, для уравнения у' = е~х каждое частное решение не выражается через элементарные функции, а представимо в виде
у(х) = у* е~и du ,
XQ
то есть выражается через определенный интеграл с переменным верхним пределом.
Использование для записи решения дифференциального уравнения сочетания конечного числа операций над элементарными функциями и их суперпозиций с выражениями, содержащими определенные интегралы с переменным верхним пределом, принято называть интегрированием в квадратурах.
При этом отметим, что в общем случае и интегрирование в квадратурах может не давать описания частных решений уравнения (1.1.1). Жозеф Лиувилль показал, например, что уравнение у' = у2-\-х в квадратурах не разрешимо.
Поскольку в общем случае явный вид решения уравнения (1.1.1) найти не удается, то ради получения хотя бы приближенного представления о его свойствах, целесообразно попытаться выяснить геометрический смысл этого уравнения и его решений. Для этого можно поставить в соответствие каждой точке || х у ||т некоторого множества Q С Е2 вектор с координатным представлением || 1 f(x,y) ||т.
13
Полученное векторное множество принято называть полем направлений уравнения (1.1.1). Его основные геометрические свойства определяет теорема, называемая теоремой существования и единственности решения задачи Коши вида
найти частное решение уравнения у' = f(x,y),
для которого у(х0) = у0 с {адоЦЮ. (1-1-4)
Теорема
1.1.1 (Коши)
Пусть функции f(x,y) и
непрерывны в обла-
сти Q, а X С R — проекция Q на ось Ож, тогда
— Va?o в X ЗА > 0 такое, что решение задачи Коши (1.1.4) существует \/ж е Ид(жо)
и
- если у = yi(x), х € Xi, и у = у2(Ц, х G Х2, -два решения задачи Коши (1.1.4), причем х0 е xt n х2, то i/i(ж) = у2(х) \/х е xt п х2.
Доказательство.
Доказательство будет приведено позднее (см. следствие 4.3.1 в § 4.3) для более общей формулировки теоремы.
Теорема доказана.
Из определения производной функции в точке следует, что tgo = у’ = /(ж, у)
(см. рис. 1.1). Поскольку f(x,y) - функция, то интегральные кривые пересекаться не могут, а могут лишь, в крайнем случае, касаться друг друга. Если же функция /(ж, у) достаточно гладкая, чтобы удовлетворить условиям теоремы 1.1.1, то невозможным оказывается и касание.
Свойство интегральных кривых, заключающееся в том, что они не пересекаются и не касаются, можно использовать для построения приближенного эскиза их графиков, поскольку очевидно, что каждая из точек плоскости Оху, для которой f(x,y) = к, где к = const, имеет касательную к интегральной кривой с одним и тем же угловым коэффициентом к = tga. Линию, каждая точка которой имеет один и тот же угловой коэффициент, называют изоклиной. Графическое представление семейства изоклин на плоскости Оху позволяет делать заключения о некоторых свойствах интегральных кривых и строить эскизы их графиков, что демонстрирует
14
Задача Для уравнения уг = у + х построить эскиз интегральных 1.1.1 кривых.
Решение. Заметим, что в данной задаче условия теоремы 1.1.1 выполнены, а область Q есть вся координатная плоскость Оху. Уравнения изоклин имеют вид у = — х + /с, следовательно, это семейство параллельных прямых, изображенных серым цветом на рис. 1.2.
Вполне очевидны следующие свойства интегральных кривых: во-первых, они возрастают в точках, где к > О, и убывают там, где к < 0; во-вторых, у = — х — 1 - частное решение исходного уравнения.
Если предположить, что функция у(х) дважды непрерывно дифференцируема, то из условия у' = у+х следует
у" = у' + 1 = у + х + 1 .
То есть интегральные кривые выпуклы вниз в точках, для которых у + х > —1 (так как здесь у" > 0), и соответственно выпуклы вверх при у + х < —1. При у + х = 0 касательные к интегральным кривым горизонтальны, сами же интегральные кривые выпуклы вниз. Следовательно, в этих точках частные решения исходного уравнения имеют минимум.
Принимая во внимание отмеченные свойства интеграль-Решение ных кривых, строим эскиз их графиков, который показан получено, на рис. 1.2 черными цветом.
В завершение обсуждения геометрической интерпретации уравнения (1.1.1) отметим следующее важное обстоятельство. Теорема Коши устанавливает существование и единственность решения задачи Коши локально, лишь в некоторой, достаточно малой окрестности точки xq. Однако это решение может существовать и быть единственным на существенно более протяженном промежутке (содержащем хо), чем Ua(x0).
Примером может служить случай, когда
у = У1(х), х е Х1 и у = у2(ж), х G Х2
суть два решения задачи Коши (1.1.4) с xq е Xi П Х2, но Xi ф Х2.
По теореме Коши решение этой задачи имеет вид
У = У1 (ж), X G Xt \ (Xt п х2).
15
Рис. 1.1. Поле направлений дифференциального уравнения (1.1.1)
Рис. 1.2. Эскиз семейства интегральных кривых задачи 1.1.1
Аналогично в	решением будет у = Таким образом,
функция
1/(ж) = <
2/1Ц), жеХД^ПХг), У1(Ц = У2Ц), G х G Х1 Г12.
у2(х), жех2\(х1пх2)
Уж е Х1 и х2
(1.1.5)
16
есть решение задачи Коши на более широком, чем Х± или JG, промежутке.
В этом случае принято говорить, что функция (1.1.5) есть продолжение решения задачи Коши (1.1.4) с промежутка Х± на множество Х± U Х2 . Аналогично эта же функция является продолжением с Х2 на Xi U Х2 . Само решение yi(x) = У2(х) называется продолжимым.
1.2.	Уравнения с разделяющимися переменными
Уравнения класса (1.1.1), имеющие вид
у' = f(x)g(y) ,
(1-2-1)
где /(х) и д(у) непрерывны на промежутках X и Y соответственно, принято называть уравнениями с разделяющимися переменными. Эти уравнения всегда интегрируются в квадратурах.
Сначала выделим очевидный случай: если существуют принадлежащие промежутку Y числа cti, • • •, Щ такие, что д(с^) = 0, то функции у(х) = ai\/i = [1, к] суть частные решения уравнения (1.2.1).
Если же у то есть д(у) 0), то уравнение (1.2.1) равносильно уравнению
-JL- = /(ж) или	= Г'(ж) ,
, a F (х) = /(х), то есть G(y) и F(x) суть неко-
W Gx(y(x)) =
Ц) торые первообразные функции и /(ж) соответственно.
Известно, что если две дифференцируемые функции на некотором промежутке имеют равные производные, то эти функции могут отличаться только на константу. Поэтому справедливо равенство G(y(x)) = Е(х) + С или же просто
G(y) = Г(ж) + С ,
(1-2.2)
которое определяет другое семейство частных решений уравнения (1.2.1) и изображающих их на плоскости Оху интегральных кривых.
Заметим, что (при желании) для любого у из Y - подмножества У, не содержащего точек, на которых д(у) = 0, - это равенство представимо и как у = G-1 (F(x) + С) , поскольку функция Gf(y) непрерывна и знакопостоянна на У, а функция G(y) непрерывна и монотонна, и, следовательно, имеет обратную.
17
Рассмотрим теперь для уравнения (1.2.1) задачу Коши вида: найти частное решение у = у(х) уравнения (1.2.1), для которого уъ = /(х0), где х0 е X и у0 е У.
Во-первых, если д(уо) = 0, то задача (1.2.2) имеет очевидное решение у(х) = уо. Если же д(уо) ф 0 при у$ е У, то решение задачи Коши, в силу (1.2.2), будет иметь вид
G(y) - G(y$) = F(x) - F(x0) .
Обратите внимание, что в качестве константы С в формуле (1.2.2) выбрано число G(?/o) — F(xq).
Во-вторых, возможны случаи, когда решение задачи Коши не единственно, что иллюстрирует
Задача
1.2.1
Решить задачи Коши для уравнения
(1.2.3)
«) У(1) = 1 ,
6) у(0) = 0 .
Решение. Найдем вначале общее решение данного уравнения. Легко видеть, что у(х) = 0 есть его частное решение. Если же Щ) 0, то из д(у) = З Д/2 и /(ж) = 1 следует G(y) = f/y и F(x) = х, что дает
^/у = х + С =Ф у=(х + С)3.
Итак, решение Коши 1.2.1а - функция у = х3, единственное в окрестности (1 — Ai, 1 + Д2). При этом 0 < Ai < 1 и О < А2 < +оо, поскольку при Ai > 1 единственность нарушается, и, следовательно, интервал (0, +сю) является максимально широким множеством однозначной продолжимости решения задачи Коши 1.2.1а.
Решение задачи Коши 1.2.1b не единственное. Множество графиков решений задачи Коши в этом случае состоит из гладких интегральных кривых, составленных из «подходящих кусков» конкретных частных решений уравнения Решение (1.2.3), при условии, что хотя бы один из этих кусков про-получено. ходит через точку (0; 0).
18
Рис. 1.3. Интегральные кривые для уравнения в задаче 1.2.1
Таким образом, общее решение уравнения (1.2.3) есть совокупность частного решения у(х) = 0, семейства функций у = (х + С)3 VC е R и всевозможных непрерывно дифференцируемых функций, составленных из подходящих фрагментов функций у(х) = 0 и у = (х + С)3.
Например, интегральной кривой будет линия, проходящая через точки А — (0; 0) — (1; 0) — К, а линия В — (0; 0) — (2; 0) — К интегральной кривой не является, поскольку она не есть график функции (нет однозначности в зависимости у от х).
Заметим, что в задаче 1.2.1 множество Q - это вся координатная плоскость, в любой точке которой функция д(у) = y/у^ непрерывна, в то время как частная производная
дд _ 2
ду З^у
будет непрерывной лишь при \/у	0.
19
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка 1-2.1	(1.1.1), имеющее вид (или сводящееся к виду)
(1-2-4)
называется уравнением однородным по переменным х и у .
Однородное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными при помощи перехода от неизвестной функции у(х) к новой неизвестной и(х) по формуле у(х) = хи(х).
Действительно, при такой замене у' = хи' + и и уравнение (1.2.4) принимает вид
хи' + и = f(u) ,
в котором переменные х и и разделяются.
Задача
1.2.2
Показать, что уравнение
а±х + b-py + ci «2-г + Ь2у + с2
det
Н|
«2
bl
Z>2
с
^0
сводится к однородному при замене х = u+xq иу= v-\-y^
где
сцхо + Ьгуо +ci = О, а2^о + Ь2уо + с2 = 0.
Как можно решить данное уравнение, если
det
«1
а2 Ъ2
= 0?
1.3. Линейные уравнения первого порядка
Определение Дифференциальное уравнение первого порядка,
1-3.1	имеющее вид
у' + а(х)у = 6(х) \/х е X ,	(1.3.1)
где а(х) и 6(х) - известные непрерывные при х 6 X функции, называется линейным уравнением первого порядка.
20
Другими словами, линейное дифференциальное уравнение первого порядка - это уравнение, в которое yf(x) и у(х) входят линейно. Функции же а(х) и 6(х), вообще говоря, могут быть и нелинейными.
Как и в алгебре, будем называть уравнение (1.3.1) однородным, если Ь(х) = 0 при х Е X, иначе - неоднородным. Заметим также, что уравнение (1.3.1) можно записать в виде yf = —a(x)y + b(x), откуда следует, что для него множество Q есть полоса {х Е X \/у}, в которой выполнены условия теоремы Коши.
Теперь убедимся, что линейное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, всегда интегрируется в квадратурах.
Сначала найдем общее решение однородного уравнения у' = —а(х)у. Оно имеет очевидное частное решение у(х) = 0, а в случае у(х) Д 0 равносильно уравнению
— = —a(x)dx , решение которого In \у\ = — а(и) dtz + 1п(7 ,
XQ
где С > 0, а хо - любое фиксированное число из промежутка X. Объединение этих двух случаев дает формулу частных решений однородного уравнения
— f а(и) du
у(х) = Cip(x), где ip(x) = е х° V С. (1.3.2)
Теорема Формула (1.3.2) описывает общее решение одно-1.3.1 родного уравнения (1.3.1).
Доказательство.
Мы убедились, что при любом фиксированном С функция С<р(х) есть частное решение однородного уравнения. Покажем теперь, что любое частное решение этого уравнения представимо в виде С<р(х).
Пусть г(х) - некоторое частное решение однородного уравнения (1.3.1). Поскольку <р(хо) = 1, где xq - некоторая точка, принадлежащая X, то функция w(x) = z[xo)(p(x) будет иметь в хо значение z(xq).
21
То есть функции z(x) и w(x) в xq имеют равные значения и потому являются решением задачи Коши для однородного уравнения с начальным условием {х^ z(xq)}, которое согласно теореме Коши существует и единственно на промежутке X. Откуда следует, что
z(x) = z(xo)ip(x) = Со^(х) \/х е X, где Со = Дх0).
Теорема доказана.
Затем будем искать частное решение неоднородного уравнения (1.3.1), следуя рекомендации Жозефа Лагранжа, методом вариации постоянной, а именно в виде у(х) = С(х)(Дх), где (Дх) - частное решение однородного уравнения, задаваемое формулой (1.3.2) при С = 1.
Подставляя у(х} = С(х)^(х) в исходное уравнение (1.3.1), получаем
Cf(x)tp(x) + С(х)ф'(х) = —а(х)С(х)ф(х) + Ь(х)
С'(х)ср(х) + С(х) (^р'(х) + a(x)(p(x)j = Ь(х) .
Откуда следует С'(х)ср(х) = Ь(х), поскольку <р(х) - частное решение однородного уравнения, а значит (Д(х)+а(х)^(х) = 0. Теперь находим
Г Ъ(у)
С(х) = /	— dv, где Xi Е X, а затем и
J </д)
X!
у{х) = С(ж)<р(ж) =
Наконец, записываем общее решение неоднородного уравнения (1.3.1) как
- J a(u) du х ьм
у(х) = Се х°	+ <р(х) /	, ( du
J
X!
или
XXV
— f a(u) du — f а(и) du f a(t) dt
y(x) = Ce x° + e x°	• ex° b(v) dv . (1.3.3)
X!
Данное выражение вряд ли стоит держать в памяти, достаточно помнить лишь правило:
22
общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения однородного уравнения, находимого методом разделения переменных, и частного решения неоднородного, получаемого методом Лагранжа (вариации постоянной).
При этом формула (1.3.3) заслуживает некоторого пояснения. Дело в том, что это выражение содержит три произвольные константы -С, xq и xi, между которыми имеется существенная разница: С есть вещественный параметр, изменение значения которого в пределах от —сю до +сю позволяет получить все частные решения уравнения (1.3.1). Значения же величин xq и х± произвольные (из промежутка X), но фиксированные. Их изменение допустимо, оно поменяет лишь вид формулы (1.3.3), но не изменит общего решения уравнения (1.3.1).
Задача Решить уравнение
1.3.1
у' + а(х)у = Ь(х)ур ,
(1.3.4)
называемое уравнением Бернулли.
Решение. Заметим, что при р = 0 или при р = 1 уравнение (1.3.4) уже само по себе есть линейное, первого порядка. Кроме того, при р > 0 оно, очевидно, имеет тривиальное решение у(х) = 0.
Пусть р Д 0, р Д 1 и у(х) Д 0, тогда исходное уравнение почленным делением на ур сводится к равносильному уравнению
уг 1
---h а(х)--- = Ь(х) .
уР >ур-у >
Вводя новую неизвестную функцию и(х) = уг~р(х\ в си-(1-р)?/ лу и = -------- получаем
Ур
и' + (1 — р)а(х)и = (1 — р)Ь(х)
- уравнение первого порядка, линейное относительно функции и(х).
23
Наконец отметим, что уравнение Бернулли также можно решать методом вариации постоянной. С практической Решение точки зрения этот подход может оказаться даже более получено, эффективным, чем метод замены переменной.
1.4. Уравнения первого порядка в дифференциалах
Если в уравнении (1.1.1) производную у'{х) представить как отношение дифференциалов переменных у и ж, то оно может быть записано в виде dy — f(x, y)dx = 0, что позволяет рассматривать уравнение
Р(ж, y)dx + Q(x, y)dy = О
(1-4-1)
как формальное обобщение линейного уравнения первого порядка (1.1.1).
Будем предполагать, что функции Р(х,у) и Q(x,y) определены и непрерывны в области Q С Е2 и не обращаются в ноль одновременно ни в одной точке этой области. Последнее условие аналитически может быть сформулировано в виде
|Р(ж,у)| + \Q(x,у)\ > О
е Q.
У
Определение
1.4.1
Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид (1.4.1), где функции Р(х,у) и Q(x,y) удовлетворяют сформулированным выше условиям, называется линейным уравнением первого порядка в дифференциалах.
Более общий вид уравнения (1.4.1) (по сравнению с уравнением (1.2.1)) обусловлен, во-первых, тем, что при Р(х,у) = —f(x,y) и Q(x,y) = 1 уравнение (1.1.1) следует как частный случай из уравнения (1.4.1), и, во-вторых, тем, что переменные х и у в уравнение (1.4.1) входят равноправно, то есть нет явного указания на то, является ли у функцией х (или наоборот).
Более того, опираясь на известную теорему из курса математического анализа об инвариантности формы первого дифференциала, можно допустить, что и у, и х одновременно являются функциями некоторой переменной t, а это, в свою очередь, позволяет дать определение решения уравнения (1.4.1), обобщающее определение (1.1.1).
24
Определение Непрерывно дифференцируемая вектор-функция 1.4.2
аД)
У Д
шением уравнения (1.4.1), если x(t) уХ
, где t Е 0 С R, называется частным ре-
E^X/tES;
P(x(t),y(ty)x'(t) + Q(x(t),y(ty)y'(t) = 0 .
Из этого определения непосредственно следует, что изображающая частное решение интегральная кривая является в области Q гладкой яД) уХ
6 0. В отличие от
линией, заданной параметрически как
уравнения (1.1.1), эта интегральная кривая не обязательно является графиком какой-либо функции у = у(х). Она может иметь участки, которые есть графики функции х = х(у). Кроме того, поле направлений уравнения (1.4.1) может содержать векторы, параллельные оси Оу.
Рассмотрим теперь основные методы решения линейных уравнений первого порядка в дифференциалах.
1°. Пусть исходное уравнение представимо в виде
, , QXy) , п
dx + 7ТТ\ dy = 0 Qi(y)
хо
Pi(x}Qi(y)dx + P2(x)Q2(y)dy = 0 , тогда можно применить метод разделения переменных. Если Р2(х) 7^ 0 и Qi(y) 0, то это уравнение равносильно
У[ Q2X) 10ЛЕ^ = а-
Уо
(1-4-2)
Кроме того, могут быть еще решения вида у = у при Qi(y) = О и х = х при Р2(х) = 0. Это следует выяснять непосредственной проверкой. И, наконец, в случае, если какие-либо интегральные кривые касаются друг друга, то исходное уравнение будет иметь составные решения, образованные из частей частных решений (1.4.2), у = у и х = х.
2°. Если функции Р(х,у) и Q(x,?/) однородные степени к (то есть Р(ах,ау) = акР(х,уУ), то можно использовать подстановку вида у = хи, которая приведет (как и в задаче 1.2.2) исходное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными.
25
3°. Р ле	ассмотрим уравнение (1.4.1), добавив к указанным в опреде-нии (1.4.1) ограничениям условие непрерывности в области Q дР dQ
ча	стных производных —— и ——. ду дх
Опреде 1.4.3	зление Дифференциальное уравнение первого порядка, имеющее вид (1.4.1), называется уравнением первого порядка в полных дифференциалах, если существует функция U(x,y), непрерывно дифференцируемая в области Q такая, что dU = Р(х, y)dx + Q(x, y)dy.
в еде ния (1.4. яснить, существу Необз выполне	ланных предположениях очевидно, что все решения уравне-1) удовлетворяют равенству U(x,y) = С. Остается только вы-зри каких условиях на Р(х, у) и Q(x, у) такая функция U(х, у) ^ет. А если существует, то как ее можно найти? юдимым условием существования такой функции является ние равенства дР dQ	z 1АЗ ду дх
которое шений	в силу определения 1.4.3 вытекает из такой цепочки соотно- дР _ d2U _ d2U _ dQ ду дхду дудх дх
Следует условие ции U(x тическог ден из ci	отметить, что в случае, когда область Q является односвязной, (1.4.3) оказывается достаточным для существования функ-, у). Соответствующая теорема доказывается в курсе матема-ю анализа. Конкретный вид функции U(x,y) может быть най-зстемы уравнений: S	<1А4)
Задача	Решить уравнение
1.4.1	e~ydx — (2у + xe~y)dy = 0 .
26
Решение. Сначала проверим выполнение условия (1.4.3). Коэффициенты при дифференциалах суть непрерывно дифференцируемые функции на всей координатной плоскости и для них
дР	dQ
ду	дх
то есть данное уравнение есть уравнение в полных дифференциалах.
Система уравнений (1.4.4) в данном случае имеет вид
dU
— = е~у дх
dU
ду
—2у — хе у
Из первого уравнения этой системы находим, что L7(x, у) = хе~у + С (у) . Подставляя это выражение во второе уравнение, получаем
—хе~у + С'(у) = —2у — хе~у =Ф
=> С'(у) = —2у =>
=> С(у) = -у2 + К .
И окончательно из L7(x, у) = хе~у — у2+К получаем ответ
Решение задачи:
получено.	хе у — у2 = С .
4°. Пусть уравнение (1.4.1) таково, что в области Q
дР dQ ду дх ’
то есть данное уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. В этом случае можно поставить задачу поиска непрерывно дифференцируемой и не равной тождественно нулю в области Q функции д(х,?/), такой что
д(ур) d(yQ)
ду дх
27
Например, для уравнения
х2у3 dx + {х3у2 + х) dy = О
- это функция у(х,у) = —, поскольку после умножения на нее ху
уравнение становится уравнением в полных дифференциалах:
2	2^
ху dx + х у dy Н-= 0
или /22	\
d + = °’
Заметим, что при этом теряются решения исходного уравнения: х = 0 и у = 0.
Если функции Р(х, у) и Q(x, у) непрерывно дифференцируемы и не обращаются в ноль одновременно в Q, то такая функция, называемая интегрирующим множителем, существует (всегда!) и удовлетворяет уравнению
ду	ду	(дР dQ\
—тгЕ- 1А5
дх	ду	\ ду	дх I
Уравнение (1.4.5) есть уравнение в частных производных первого порядка и его интегрирование, вообще говоря, более сложная задача, чем поиск решений уравнения (1.4.1).
Однако, поскольку нам требуется лишь какое-нибудь частное решение, то иногда интегрирующий множитель удается найти подбором, опираясь на какие-либо особые свойства или частный вид функций Р(х,у) и Q(x,y).
При этом может оказаться удобным разбить процедуру поиска функции у(х, у) на последовательные шаги, каждый из которых состоит в выделении некоторого полного дифференциала или выполнения замены переменных.
Наконец, применяя метод интегрирующего множителя, следует не забывать о том, что уравнения F(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0 и y(x,y)P{x,y)dx + y(x,y)Q(x,y)dy = 0 не равносильны друг другу и в процессе решения может потребоваться дополнительное исследование.
Проиллюстрируем теперь использование этого метода.
28
Задача
1.4.2
Решить уравнение
ч У ydx — xdy = 2х tg— dx .
Решение.
С формальной точки зрения решение данной задачи вполне допустимо описать примерно такой фразой: «За-
метим, что в качестве интегрирующего множителя можно
1 у
взять функцию д(х, у) = ~ ctg—, позволяющую преоб-
разевать уравнение к виду d In sin —
= — dx2». Однако
процедура решения окажется более прозрачной и понятной, если ее разбить на несколько последовательных шагов.
Вначале в левой части исходного уравнения выделим
У
полный дифференциал от — :
ydx — xdy у -----5---= 2х tg— dx	или
, У\ , У , 2
— d \ — I = tg— dx .
\ х / х
Затем выполним разделение переменных —их2:
= —dx2 .
Отметим, что на этом этапе мы потеряли решение у = 0.
Наконец, пользуясь инвариантностью формы первого дифференциала, получаем:
У ,[У\ cos — d I — I --------= —dx2
. У
sin —
X
или
У dsin — -----— = —dx2 .
. У sin —
X
29
Откуда
din
. У
sm —
= d (—x2) или In
sin — x
= -x2+lnC ,
где С > 0. Окончательно, с учетом решения у = 0, получаем ответ задачи:
Решение
получено.
sin - = Се х2 VC .
Задачу поиска интегрирующего множителя иногда можно упростить, сделав некоторые предположения о его виде. Например, можно попытаться найти интегрирующий множитель среди функций, зависящих только от одной из переменных х или у, или же в виде д(/(х, ?/)), где f(x,y) - некоторая конкретная функция, и т.п.
Подобные подходы, как показывает вычислительная практика, весьма редко приводят к желаемому результату. Более эффективными оказываются методы построения интегрирующих множителей, основанные на следующих рассуждениях.
Заметим, что если д(х, у) есть интегрирующий множитель уравнения F(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, то есть
yPdx + yQdy = dn(x, ?/),
то интегрирующим множителем для исходного уравнения будет являться и функция д(х, y)F(u(x, у)\ где F(u) - произвольная, непрерывно дифференцируемая функция одной переменной. Действительно,
yF(u) (Pdx + Qdy) = F(u) (yPdx + yQdy) = F(u)du = б/Ф(п),
где Ф'(п) = F(u).
Иначе говоря, интегрирующих множителей бесконечно много, и эту неединственность также можно попытаться использовать для построения одного из них. Например, попробуем представить левую часть исходного уравнения в виде
(Pi + Р2) dx + (Qi + Q2) dy = (Pidx + Qidy) + (P2dx + Cfedy)
так, чтобы и Д2 _ интегрирующие множители уравнений
P^dx + Qidy = 0 и P}dx + Q?dy = 0,	(1.4.6)
30
находились бы сравнительно легко. При этом будут справедливы равенства
У\Р\ dx + //iQi dy = dui и У2Р2 dx + 112Q2 dy = du2.
Подберем теперь функции F± и F2 так, чтобы
//1F1(W1) = //2-F2(w2) = м.
Решение исходной задачи в этом случае записывается в виде
М (Pdx + Qdy) = М (P]dx + Qidy) + М (P2dx + Cfody) =
= //lFi(ni) (Pjdx + Qidy) + M2F2(^2) (p2dx + Q2dy) =
= Fi(tzi) (/ii (Prdx + Qidy)) + F2(u2) (ц2 (P2dx + Q2d?/)) =
= Fi(ni)dni + F2(u2)du2 = d^rtur) + Ф2(п2)) = °-
Откуда, окончательно
Ф1 (ni(x,?/)) + Ф2 (п2(х,?/)) = С.
(1-4.7)
Практическое применение описанного метода иллюстрирует
Задача
1.4.3
Решить уравнение
(х3 - ху2 - у) dx+ (х2у -у3 +x)dy = 0 .
Решение. Уравнения (1.4.6) сформируем, отнеся к первому их них
слагаемые с первыми степенями независимых переменных и ко второму - слагаемые третьего порядка, получим
—ydx + xdy = 0 и (х3 — ху2^ dx + {х2у — у3^ dy = 0 .
31
Для первого уравнения имеем
—ydx + xdy = О
М1(^,3/) = -2 и и1(х,у) = ~.
ХЛ	X
Действуя аналогично для второго уравнения, находим
‘3 — ху2^ dx + (х2у — у3) dy = О
х2 (xdx + ydy) — у2 (xdx + ydy) = 0 («2-.»2УД^)=о
(	\	1	(	. х2 +у2
=>	У'А-Г',у) = —-и и2(х,у) = -----.
хл — ул	2
Теперь подберем функции ТДпД и F^u^) так, чтобы выполнялось равенство	— М2^2(^2), т0 есть
Откуда следует, что можно взять, например,
Fl (Ui) = -----2 и -^2 («г) = 1 
1	U-^
Наконец, использовав соотношение (1.4.7), получим
32
В итоге получаем решения в виде
Решение
Завершая процедуру решения задачи, обратим внимание на то, что функции Р(х,у) и Q(x,y) исходного уравнения определены на всей плоскости Е2, а использованные интегрирующие множители - нет. Поэтому следует проверить, не являются ли решениями х = 0 и у = Непосредственная проверка показывает, что у = =Ьх суть так-
no лучено . же решения.
1.5.	Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной
Рассмотрим теперь методы решения уравнений 1-го порядка, не разрешенных относительно производной. Эти уравнения согласно формуле (0.1.3) при п = 1 и определению (0.1.4) записываются в виде
F (х, у, у') = 0 ,	(1.5.1)
где F(x, у, z) - известная функция от трех переменных, непрерывная в непустой области Q С IT3, а у(х) - искомая функция от х 6 X.
В рамках этого параграфа условимся обозначать «штрихом» дифференцирование по переменной х, а «верхней точкой» дифференцирование по t. Для дальнейших рассуждений оказывается удобным
Определение
1.5.1
Вектор-функция
( х = <p(t),
1 y =
(1.5.2)
t € 0 ,
называется частным решением в параметрической форме дифференциального уравнения (1.5.1),
если
-	(p(t) и ^(t) непрерывно дифференцируемы е 0 ;
-	(p(t) е X Vt е 0, причем (p(t) Д о W е 0,
и || <p(t) V’(t) I|т е Q Vt G 0 ;
f	^(t)\
-	F U), Ш =owe0.
\	vp) I
33
Отметим, что в этом определении (по сравнению с определением (1.4.2)) неравенство |<£(£)| +	> 0 заменено условием ф(ф) ф О,
гарантирующим локальное существование функции ?/(х) Vx 6 X. При этом интегральной кривой является график частного решения у(х), заданного параметрически вектор-функцией (1.5.2).
Для решения уравнения (1.5.1) в общем случае можно применить метод введения параметра, заключающийся в замене у' = р и последующем решении алгебраическо-дифференциальной системы уравне-
ний:
F(x, у,р) = О, dy = р dx.
(1.5.3)
Имеет место
Теорема Система уравнений (1.5.3) и уравнение (1.5.1)
1.5.1 равносильны.
Доказательство.
С одной стороны, если х = у = t Е 0, - решение уравнения (1.5.1), то в силу
#)	dy
p(t) = У (x(t)) =	. z 4 7 = —
ффф ф(ф) dt dx
оба уравнения системы (1.5.3) являются верными равенствами \/t е 0.
Обратно, если функции	p(t)} суть решение си-
стемы (1.5.3), то из dy = р dx следует
dy	ip(t)dt	Дг)
= • 77\	= У ЧИ)) = Р^) '
dx	ф\ф) dt	ф\ф)
а из первого уравнения системы (1.5.3) получаем
/	?Ш)\
F фЩ -тту = О V£ е 0 .
Теорема доказана.
Опишем теперь схему решения системы (1.5.3). Предположим, что существуют непрерывно дифференцируемые функции х = f(u,v),y = = g(u,v) и р = h(u,v), определенные для всех (и, v) Е Ф С F2, такие,
34
что
F(/(n,r),p(n,r),/z(n,r)) = 0.
Кроме того, потребуем, чтобы ранг матрицы Якоби был равен двум, то есть чтобы
дх дх
ди дх
г ду ду =2
ди дх
др др
ди дх
Иначе говоря, якобианы перехода от переменных {х,у,р} к переменным {щ х} не обращаются в ноль одновременно ни для какой точки в Ф, то есть
д(х, у)	д(у,р)
9(щ г)	9(щ г)
9(р, х) д(и, х)
У (и, х) е Ф,
где
д(х,у)
<Э(щ г)
= det
дх дх ди дх
ду ду ди дх
ду ду
д(у,р)	ди дх
Тй----г = det
др др ди дх
д(р, х)
4 = det д(и, X)
др др ди дх
дх дх ди дх
Отметим, что геометрически данную замену переменных можно трактовать как смену представления некоторой гладкой поверхности S в Е3 при помощи уравнения F(x, у,р) = 0 на ее параметрическое описание:
х = f(u,x) ,
< у = g(u,x) ,	\/(щг)еФ.	(1.5.4)
р = /г(щ г)
Если сформулированные выше условия на функции /(п, г), д(и,х) и /г(щ г) выполнены, то в силу (доказываемой в курсе математического
35
анализа) теоремы о замене переменных в записи системы (1.5.3) можно перейти от переменных {х, у,р} к переменным {n, v}. При этом первое ее уравнение удовлетворяется в Ф тождественно, а второе принимает
вид
ду	Эд	[ df	df
—— du + —— dv = h(u. v) —— du + —— dv
OU	OV	\ OU	dv
или
ду	df\	( dg	df\
JL-h-^]du+[^-h^]dv = O.
OU	OU	\ dv	dv /
(1.5.5)
Уравнение (1.5.5) является уравнением первого порядка в дифференциалах, методы решения которых рассматривались в § 1.4. Напомним, что в общем случае уравнение такого типа не интегрируется в квадратурах. В том же случае, когда решение уравнения (1.5.5) удается представить в виде v = a(n, С), где С - константа, функции
х = /(n, a(n, С)) , < у = д(и,а(и,С)} , р = h(u, а(и, С))
являются решениями системы (1.5.3), а функции
( х = f(u,a(u,C)) , I У = д(и,а(и,С))
соответственно суть параметрическая форма решений уравнения (1.5.1).
В тех случаях, когда уравнение (1.5.1) разрешимо относительно у\ у или х, метод параметризации приводит к более простым, чем уравнение (1.5.5), задачам. Первый случай рассмотрен в §§ 1.1-1.3. Для второго и третьего случаев алгоритм решения поясним на примере конкретного уравнения.
Задача
1.5.1
Решить уравнение
^ху' -у = у'Хпуу' .
36
Решение. Хотя данное уравнение легко разрешимо относительно х, целесообразнее вначале умножить его обе части на у :
‘Ixyy’ -у2 = yy'kiyy'
2 и выполнить замену переменной и = у :
и' и'
хи — и = —In — .
2	2
Поскольку у = 0 не является решением, то новое уравнение равносильно исходному.
Полученное уравнение есть так называемое уравнение Клеро. решение которого можно найти в справочниках. Однако мы воспользуемся не шаблоном, а изложенной выше схемой.
Разрешая это уравнение относительно и и полагая и' = р, получаем систему (1.5.3) в виде
р р
И=ЖР__1П_, (15б) du = р dx .
Дифференцируя первое уравнение по х и подставляя в него и' = р, получаем
. (	1 р 1\
р \ х - - In - - - =0.
r I 222/
Теперь либо
р' = 0	р = С VC>0 и из (1.5.6)
С С 2 с с
=^и = Сх — —1п —	==> у = Сх - у In у ,
либо
1 р 1	о
х----In —--= 0	р = 2е2х х,
2	2	2	г
Решение что, в свою очередь, при подстановке в первое уравнение получено, системы (1.5.6) дает у2 = е2ж-1 .
37
Интегральные кривые частных решений уравнения в задаче 1.5.1 показаны на рис. 1.4. По поводу их вида можно сделать следующие замечания.
Рис. 1.4. Интегральные кривые для уравнения в задаче 1.5.1
Во-первых, кроме решений определяемых полученными формулами, как уже указывалось ранее, имеются и «составные» решения, образуемые объединением подходящих фрагментов «формульных» решений.
Во-вторых, среди интегральных кривых имеются как пересекающиеся, так и касающиеся друг друга. Условия их существования и другие свойства будут рассмотрены позднее в § 4.6.
Сейчас лишь констатируем факт, что для уравнений вида (1.5.1) упорядоченная пара чисел {гад уо} может не определять вовсе или же определять неоднозначно (даже локально!) частное решение таких уравнений. Это обстоятельство приводит к необходимости изменения постановки задачи Коши для уравнений первого порядка, неразрешенных относительно производной.
38
Определение Задача Коши для уравнения F(x,y,yr) = 0 форму-1.5.2	лируется так: найти у(х) при условиях:
?/(х0) = у0 ,
< у'(хо)=Ро, к F(xo,yo,Po) = 0 .
(1.5.7)
При этом тройка чисел || xq у о Ро ||Т £ С Е3 называется начальными условиями задачи Коши.
Число интегральных кривых, проходящих через заданную точку координатной плоскости Оху, зависит от числа решений системы (1.5.3). Может оказаться, что через эту точку не проходит ни одна интегральная кривая, а может оказаться - что больше, чем одна. Заметим также, что единственность решения системы (1.5.3) не гарантирует единственности решения соответствующей задачи Коши, поскольку возможен случай, когда через одну точку плоскости проходят две различные интегральные кривые, имеющие в этой точке общую касательную. Все эти случаи демонстрирует рис. 1.4.
1.6. О методах понижения порядка уравнения и других специальных алгоритмах
Проблемы существования и единственности решений возникают и в случае нелинейных уравнений порядка более высокого, чем первый. Поэтому представляется полезным рассмотрение специальных методов понижения порядка, позволяющих упрощать подобные уравнения и использовать методы, рассмотренные нами ранее. Перечислим основные из них.
Порядок уравнения вида F (х, у, уг, у",..., у^п^ = 0 может быть понижен, если
1°. Левая часть исходного уравнения не содержит неизвестной функции и ее производных до k-го порядка включительно 1 < к < п. То есть уравнение имеет вид
F (х,	= 0.
В этом случае за новую неизвестную функцию принимаем и(х) = у^к\х), тогда
y(fe+1)(x) = и'(х), ... ,у^\х) = и^~к\х).
39
Порядок уравнения понизился до п — к.
2°. Формулировка уравнения не содержит независимой переменной. Это значит, что мы имеем уравнение вида
= 0.
Приняв за новую независимую переменную ?/. а за новую искомую функцию у'(х) = и(у), и учитывая, что
у'(х) = и, у"х(х) = и'Лх) = иу  у'(х) = и'уи, • • •,
понижаем порядок уравнения на единицу.
3°. Исходное уравнение является однородным относительно искомой функции и ее производных, то есть не меняется, если каждую из них умножить на к > 0. Порядок уравнения понизится на единицу при замене
у' = уи, у" = у'и + уи' = уи2 + уи', . . .
4°. Исходное уравнение таково (или же приводится к такому виду), что его левая часть является полной производной некоторого порядка. Этот метод поясним следующим примером.
Задача Понизить порядок уравнения у" + у = 0.
1.6.1
Решение. Умножив обе части этого уравнения на у\ получим
у'у" + уу' = о
или (у'2 + у2)' = 0 .
Откуда приходим к уравнению первого порядка
yf2 + y2 = C2,
где С есть произвольная константа. Легко видеть, что у него имеются решения у(х) = С 0, являющиеся посторонними для исходного уравнения.
40
Отметим, что для решения этой задачи можно использовать и метод 2°. Действительно, сделав замену у' = п, при которой у" = и'уи, мы получим
иуи + у = О
и du + у dy = 0.
Откуда следует, что
Решение
получено.
d ( ------] = 0 или окончательно у'2 + у2 = С2 .
Иногда общее решение дифференциального уравнения удается найти, если известно какое-нибудь частное решение. К таким случаям относятся методы, основанные на использовании формулы Лиувилля-Остроградского, которые будут рассмотрены позднее в §§ 5.2-5.3.
Другим примером возможности применения такого подхода служит уравнение Риккати:
у' = А(х)у2 + В(х)у + С(х),	(1.6.1)
где А(х), В(х) и С(х) - заданные функции, непрерывные на некотором интервале (а, /3).
В случае, когда известно, что уравнение (1.6.1) имеет частное решение у$(х\ его общее решение определяется формулой
у(х) = и(х) + у0(х),
где и(х) есть общее решение уравнения Бернулли:
и' = (2А(х)уп(х) + В(х)^и + А(х)и2 .
В справедливости данного утверждения убедитесь самостоятельно.
В заключение отметим, что в общем случае уравнение (1.6.1) не интегрируется в квадратурах, примером чего может служить (упомянутое в § 1.1) специальное уравнение Риккати: у' = у2 + х.
41
Глава 2
Линейные дифференциальные уравнения порядка п с постоянными коэффициентами
2.1. Линейные уравнения n-го порядка. Основные понятия и свойства
Определение	Пусть известные функции аДх), «2(^)7 ••• «п(^)
2.1.1	и Ь(х) непрерывны Vx 6 X, а искомая функция
у(х) -п раз непрерывно дифференцируема \/х 6 X. тогда уравнение вида
у(и)(ж) + а1(ж)у(п-1)(ж) + ...
... + ап-^х)у'(х} + ап(ж)?/(х) = 6(ж)	(2.1.1)
называется линейным дифференциальным уравнением п-го порядка.
Данное название оправдывается тем, что неизвестная функция у(х), так же как и ее производные, входит в уравнение (2.1.1) линейно, в то время как функции аДх), а^х), ... ап(х) и 6(х) могут быть и нелинейными. Как и раньше, в случае 6(х) =0 Vx 6 X это уравнение будем называть однородным, иначе - неоднородным.
Основные свойства решений уравнения (2.1.1) описывают следующие утверждения.
42
Теорема Если yi(x) и у%(х) суть два частных решения од-2.1.1 нородного уравнения (2.1.1), то Ciyi(x) + С2У2(%) — также частное решение этого уравнения V Ci, С2.
Доказательство.
Поскольку У1(х) и у%(х) - решения однородного уравнения (2.1.1), то справедливы равенства
^и)(ж)+а1(ж)^и-1)(а:)+.. .+а„_1(ж)?/1(а:)+ап(х)?/1(х) = 0 и т/У)(ж)+а1(ж)1/У_1)(а:) + .. ,+ап-1(х)у2(х)+ап(х)у2(х) = 0 .
Умножив первое равенство на Ст, а второе на С2, и сложив результаты умножения почленно, в силу линейности операции дифференцирования, получим
(Г1?/1(ж) + С2у2(х))(п) + О1Ц) (C'iyi(x) + C23/2(^))(n-1) + • • •
+an_i(a:) (Ci?/i(x) + С2у2(х))'+ап(х) (Ci?/i(x) + С2у2(х)) = 0 .
Но последнее равенство означает, что Ciyi(x) + С2У2(%) есть частное решение однородного уравнения (2.1.1).
Теорема доказана.
Покажите самостоятельно, что справедливо
Следствие Множество всех частных решений однородного 2.1.1 уравнения (2.1.1) является линейным пространством.
Теорема Если ?/о(^) — частное решение однородного, а у*(х) 2.1.2	— частное решение неоднородного уравнения
(2.1.1), то у$(х) +^*(ж) есть частное решение неоднородного уравнения (2.1.1).
Доказательство.
Поскольку ?/о (^) и !/*(#) ~ решения однородного и неоднородного уравнений (2.1.1) соответственно, то справедливы равенства
Уоп)(х) + а1(х)уд1~1\х) + ... + ап_1(х)у'0(х) + ап(х)у0(х) = 0
и у*('п\х)+а1(х)у*('п~1\х)+.. ,+a„_i(a:)i//*(x)+a„(x)?/*(x) = Ь(х).
43
Складывая эти равенства почленно и используя линейность операции дифференцирования, получаем
(г/о(ж) + Д(ж))(п) + (Дж) (?/о(ж) + Д (ж))(п-1) + ...
+а„_| (ж) (у0(х) + Д (ж))' + ап(х) (у0(ж) + У*(ж)) = ь(х) .
Но последнее равенство означает, что уо(х)+у*(х) есть частное решение неоднородного уравнения (2.1.1).
Теорема доказана.
Теорема Если yi(x) и у%(х) суть два частных решения неод-2.1.3 нородного уравнения (2.1.1), то yi(x) — уэ(х) есть частное решение однородного уравнения (2.1.1).
Доказательство.
Поскольку yi(x) и уэ(х) - решения неоднородного уравнения (2.1.1), то
^и)(ж)+а1(ж)^п-1)(ж) + .. .+ап_1(ж)Д(ж)+а„(ж)у1(ж) = Ь(х) и
?/У)(ж)+а1(ж)?/У_1)(х)+.. .+ап-1(х)у'2(<х)+ап(<х)у2(<х) = Ь(х).
Вычитая эти равенства почленно, в силу линейности операции дифференцирования, получаем
(ЫЦ - уг(ж))(п) + <Дж) (У1(ж) - у2(ж))(п-1) + ...
+ап_1(х) (?л(ж) - у2(хУ)' + а„(ж) (т/1(ж) - у2(х)) = 0 .
Но последнее равенство означает, что yi(x) — у%(х) есть частное решение однородного уравнения (2.1.1).
Теорема доказана.
Следствие Общее решение неоднородного уравнения (2.1.1) 2.1.2 есть сумма общего решения однородного и некоторого частного решения неоднородного уравнения (2.1.1).
44
Доказательство.
Пусть у(х) есть произвольное частное решение неоднородного уравнения (2.1.1), а у*(х) - фиксированное решение этого уравнения, тогда у(х) = (у(х) — у*(х)) + у*(х). В силу теоремы 2.1.3 уо(х) = у(х) — у*(х) - произвольное решение однородного, значит у(х) = уо(х) + у*(х).
Следствие доказано.
Теперь рассмотрим некоторые свойства комплексных функций вещественного аргумента.
В предположении, что вещественные числа а = Re А и (3 = 1mA являются соответственно вещественной и мнимой частью комплексного числа А = а + г/3, дадим определение функции еХх.
Поскольку формула Эйлера (следующая из равенства разложений в ряд Тейлора функций, стоящих в ее правой и левой частях) имеет вид
ег/3х = CQg рх sin рх ,
то естественно комплексную экспоненту определить как
еХх = е(а+г/3)х = (CQg	sin .
Тогда непосредственная проверка показывает, что будут выполняться соотношения е(А1+А2)ж _ ех±х . ех2х и еХх ' е-Хх _ 1. Например, для второй формулы
еХх . е~Хх _ еах (cog g|n ^х^ . е~ах (cos(_д_ j sin( —/?х)) =
= еахе~ах (cos (Зх + i sin (Зх) • (cos (Зх — i sin /?х) =
= cos2 (Зх — (г2) sin2 (Зх = cos2 (Зх + sin2 {Зх = 1.
Напомним также, что неотрицательное число |А| = у/а2 (З2 называется модулем комплексного числа А. Причем справедливо соотношение |еЛж | = еах, поскольку верны равенства
|еЛж| = |еаж| • \е^х\
и
\ег(3х\ = cos2 (Зх + sin2 (Зх = 1 .
Пусть функция /(х), определенная \/х Е имеет комплексные значения, тогда /(х) представима как и(х) + w(x), где функции и(х) и 'г(х) имеют вещественные значения. Теперь дадим
45
Определение Функция /(х) называется
2.1.2	.	/
-	непрерывной, если непрерывны (в обычном смысле) функции и(х) и и(х);
-	дифференцируемой, если дифференцируемы (в обычном смысле) функции и(х) и v(x);
-	интегрируемой, если интегрируемы (в обычном смысле) функции и(х) и v(x).
Согласно определению 2.1.2 будут верны равенства
/(n\x) = и^п\х) + iv^n\x) и ь	ь	ь
а	а	а
то есть дифференцирование и интегрирование выполняются для комплекснозначной функции по обычным правилам, если считать i константой. Например, для комплексной экспоненты
еХх = ХеХх и [ extd t = (еХх ~ еХх°) , АДО.
dx	J	A v	7
XQ
Проверим справедливость первого из этих двух равенств. Действительно,
— еХх = — (еах (cos fixisin fix)\ =
dx dx у	)
(d \	d (	\
gCnx zcog	g|n fix\ еах	cog fix g|n fix _
dx J	dxy	)
= ae0™ (cos fix + i sin fix) + fieax sin fix + i cos fix)^ =
= aeax(cos fix + г sin fix) + ifieax ( cos fix-sin fix ] =
\	J
= aeax (cos fix + i sin fix) + ifieax ^cos fix + i sin fix^j =
= (a + г/?)еаж(со8 fix + i sin fix) = XeXx ,
I 1\ i i
поскольку -------=-------- = — ---- = i .
\ г I	(—1)
46
Продемонстрируем использование приведенных выше теорем и формул на примере решения неоднородного линейного уравнения первого порядка специального вида
s
у'-Ху = ^Ртк(х)ех^ ,	(2.1.2)
к=1
где A, Ai,..., As - некоторые комплексные константы, а
Ршк (^) = bGk “Ь Ьгкх + ... + Ьткх к, Ьтк 0, к = [1, s],
- алгебраические многочлены степени тк. Функции вида правой части уравнения (2.1.2) называются квазимногочленами.
Согласно теореме 1.3.1 общее решение однородного уравнения (2.1.2) дается формулой уо(х) = СеХх МС. А в силу линейности этого уравнения по у и у' его частное решение есть сумма частных решений уравнений
у' - Ху = Ртк(х)еХкХ .	(2.1.3)
Теорема При А А/, частным решением уравнения (2.1.3) 2.1.4 является функция у*(х) = Qmk(x)eXkX а при А = А& - функция 2/*(ж) = xQmk(P)eXkX, где QTOfc(x) - алгеб-раический многочлен степени тк.
Доказательство.
Частное решение уравнения (2.1.3) попробуем найти не по формуле (1.3.3), а выбором из функций специального вида у* = С(х)еХкХ. Подстановка у*(х) в (2.1.3) приводит к следующему уравнению для функции С(х):
С' + (A,-A)C = Fmfc(x).	(2.1.4)
При А = А/с можем взять
О(х) —	— x(^772fc(x)	=/* У (х) —	к ,
о
где Qmk(x) = сок + cifcX + ... +	- алгебраический
многочлен порядка тк .
Если же А 7^ А& , то С(х) можно найти из уравнения (2.1.4) в виде комплекснозначного многочлена
Qmk (^) = С0/с + С1кХ + . . . +	.
47
В этом случае значения чисел j = [0,m&], находятся путем приравнивания коэффициентов при равных степенях х в правой и левой частях (2.1.4).
Теорема доказана.
2.2.	Дифференциальные многочлены и их свойства
Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка (2.1.1) в случае, когда оно однородное и имеет постоянные коэффициенты:
аоУ^ + а1у('п~1'> + ... + ап_1у' + апу = 0 , а0 0 .	(2.2.1)
Определение
2.2.1
Будем говорить, что задан оператор дифференци-
d
рования D = —, действующий в линейном простых
ранстве непрерывно дифференцируемых Vx 6 X
функций, со значениями в линейном пространстве функций, непрерывных \/х Е X. если каждой непрерывно дифференцируемой функции у(х)
ставится в соответствие единственная непрерывная функция yf(x), что символически обозначается в виде равенств:
у' (ж) = Dy(x) или у' = Dy .
Тогда очевидные равенства
позволяют определить степень дифференциального оператора с натуральным показателем к.
Наконец, используя Е - тождественный (единичный) оператор и равенство 2?° = Е, получаем естественное определение нулевой степени дифференциального оператора.
48
В силу данного определения и равенства апу = апЕу = anD°y, уравнение (2.2.1) записывается в виде
a^Dny + a\Dn~xу + ... + an_iD1y + anD®y = 0 или L(D) у = 0 ,
где L(x) = а^хпа\хп~х + .. .-\-ап_\х-\-ап - алгебраический многочлен n-й степени от х, называемый для уравнения (2.2.1) характеристическим.
При этом уравнение L(D) у = 0 можно трактовать так: результат отображения п раз непрерывно дифференцируемой функции у(х) есть функция, тождественно равная нулю \/х 6 X . Покажите самостоятельно линейность этого отображения L(JD) у —> 0.
Введем для множества дифференциальных операторов вида L(D) - дифференциальных многочленов, операции сложения и умножения.
Определение
2.2.2
Суммой дифференциальных операторов L(JD) и M(JD) называется дифференциальный оператор L(D) + такой, что
(ьф) + мф)^ у = ьф)у + мф)у Чу&С,
где С - линейное пространство достаточное число раз непрерывно дифференцируемых на X функций.
Произведением дифференциальных операторов L(JD) и M(JD) называется дифференциальный оператор L(D) • М(1У) такой, что
(ь(П) • мф)} у = ьф) (мф)у)
Чу&С.
Проверьте самостоятельно, что для операций сложения и умножения дифференциальных многочленов выполняются свойства коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности. Это позволяет оперировать с ними как с обычными алгебраическими многочленами, в частности, разлагать на линейные множители.1
К другим полезным свойствам дифференциальных многочленов относятся соотношения, справедливость которых устанавливает
ХВ дальнейших формулах для краткости оператор D° мы будем опускать.
49
Теорема Для любого комплексного числа А и любой функ-2.2.1 ции у(х) е С справедливы соотношения
ьф)еХх = L(A) • еХх ,
Ьф) (еХху(х))=еХхЬф + Х)у(х),
(Ь - x}* (eXxу(x)) = eXxy(k\x)
(2.2.2)
для любых целых неотрицательных к.
Доказательство.
Первое соотношение следует из определения дифференциального многочлена и правил дифференцирования.
В справедливости второго убедимся, доказав предварительно методом математической индукции формулу
& (еХху) = еХхф + Х~)ку .	(2.2.3)
Эта формула, очевидно, справедлива для к = 0. Заметим также, что она верна и при к = 1 :
b (еХху) = еХхЬу + еХхХу = еХх ф + а) у .
Теперь покажем, что из равенства Dk (еХху) = еХх (D-\-X)ky будет следовать соотношение Dk+1 (еХху) = eXx(D-\-X)k+1y . Действительно,
pfe + i ^еХХу^ = Q (Qk	,
но это выражение по предположению индукции равно
= еХх (Ь + A)feЬу + еХхх(Ь + а)*у =
= еХх (Ь + А)* (Ьу + Ху} = еХхф + A)fe+1y .
50
Наконец, используя соотношение (2.2.3) и формулу для характеристического многочлена, получаем второе равенство, указанное в формулировке теоремы:
п
L(D) (еХху) = еХх ап-кФ + Х)кУ = eXxL(D + Х)у .
к=0
Третью формулу мы докажем также методом математической индукции. Она очевидна для к = 0 и легко проверяется при к = 1:
- а) (еХху) = (еХху)' - ХеХху =
= ХеХху + еХху' — ХеХху = еХху' .
Пусть формула (2.2.2) справедлива, тогда
D-Xj (еХху) = (D — Х\ ((D-\}(eXxy)} =
= (Ь - л)* ((eXxy)' - XeXxy) =
= (p-X)k (eXxy’) = eXx (t/)(fe) = eXxy^k+1'>,
что доказывает третью формулу, приведенную в формулировке теоремы.
Теорема доказана.
Заметим, что второе и третье соотношения в формулировке теоремы 2.2.1 часто называются формулами сдвига.
2.3.	Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим приведенное линейное однородное уравнение порядка п с постоянными коэффициентами
у(и) + aiy(n-1) + • • • + ап-1У' + апу = 0 .	(2.3.1)
Пусть не равные друг другу числа Ai, А2, ..., As суть корни его характеристического уравнения
Хп + сдХп + ... + ап—1Х + ап = 0 ,	(2.3.2)
51
кратности fci, •••, ks соответственно. Причем, как известно из курса алгебры, к\ + кф + ... + ks = п .
Тогда характеристический многочлен уравнения (2.3.1) можно представить в виде
ЦА) = (А - Ai)fel(A - A2)fe2... (А - As)fe* ,
а дифференциальный многочлен соответственно как
L(D) = ф - Хф'ф - Х2ф ...ф- Хф‘ .
Докажем, что справедлива
Теорема Общее решение уравнения (2.3.1) имеет вид 2.3.1
уф = РгфеХ1Х + Р2феХ2Х + ... + Р8феХяХ , (2.3.3)
где Pj(x) = CjqX^1 — алгебраический много-
<7=1 член степени kj — 1 .
Доказательство.
Вначале покажем, что каждое решение уравнения (2.3.1) имеет вид (2.3.3).
Воспользуемся методом математической индукции. При п = 1 теорема верна в силу теоремы 1.3.1 и пусть доказываемая теорема верна при замене п на п — 1.
Запишем дифференциальный оператор L(D) в виде
Т(П)=М(П)(5-ЛД ,
где
мф) = ф- хф1 ф- хф2 ...ф-Хфа~х .
В этом случае уравнение Ь(1У)у(х) = 0 можно записать как
M(D)(D — Xs)y(x) = 0 или M(D)u(x) = 0 , если
ф - фуф = иф .
52
Уравнение M{D)u(x} = 0 линейное однородное, порядка п — 1. Корнями его характеристического уравнения являются числа Ai, А2, •••, As кратности Ац, /02, •••, ks — 1 соответственно, если ks > 2.
По предположению индукции его решение имеет вид
- в случае, если ks > 2 :
u(x) = Qi(x)eX1X + Q2(^)eA2a: + ... + Qs(x)eXsX ,
где Qi(x), ..., Qs_i(x) - алгебраические многочлены степени k\ — 1, ... ,ks_i — 1, а многочлен Qs(x) имеет порядок ks — 2;
- в случае, если ks = 1 :
Щ) = <Э1(ж)еА1Ж + е2(ЛеА2Ж + • • • + Qs-i(x)eAs-1X ,
то есть слагаемое с индексом s здесь отсутствует.
Найдем теперь вид функции у(х) из уравнения
Ф - Xs)y(x) = и(х)	(2.3.4)
или (что то же самое) из у' — Xsy = и(х) . Это уравнение первого порядка, правая часть которого есть сумма квазимногочленов. Применив теорему 2.1.4 к каждому из ее слагаемых, непосредственной проверкой убеждаемся, что в случае, когда ks = 1, частное решение уравнения (2.3.4) имеет вид
3/*Ц) = /?1(ж)еА1а: + Я2(ж)еА2а: + ... + J?s_i(x)eAs-ia: ,
а общее решение однородного уравнения (в силу теоремы 1.3.1) - С • eXsX. Сумма этих выражений дает функцию, указанную в формулировке теоремы.
Рассмотрим теперь случай, когда ks > 2. По теореме 2.1.4 уравнение (2.3.4) имеет частное решение вида
?/*(х) = R1(x)eX1X+Rz(x)eX2X+.. .+Rs_1(x)eXs~1X+xRs(x)eXsX,
в котором многочлен Rs(x) имеет порядок ks — 2. Складывая эту формулу с формулой общего решения однородного уравнения (2.3.4), получаем вид общего решения уравнения (2.3.1), совпадающий с (2.3.3).
53
Осталось убедиться, что любая функция вида (2.3.3) есть решение уравнения (2.3.1). Для этого достаточно показать, что если Ад ~ корень кратности к уравнения L(A) = 0, то каждая из функций
еЛ°Д хех°х, х2ех°х, ..., а?-1еЛ°ж (2.3.5)
удовлетворяет уравнению (2.3.1) Ь(1У)у = 0 .
Дифференциальный многочлен уравнения (2.3.1), как было показано ранее, имеет вид
ЦП) = ф - АД1 ф - х2ф ...ф- х3ф ,
причем среди образующих его сомножителей обязательно имеется множитель (D — Хф .
Результат действия этого оператора на функцию хтеХоХ где целое число т Е [0, к — 1], можно получить, использовав вторую формулу сдвига (2.2.2).
Действительно, согласно формуле (2.2.2),
ф - Х0)к (хтехф = ех°х (жт)(М = 0.
Откуда следует, что функция у(х) = хтеХоХ удовлетворяет условию
L(D)y = О
и, значит, является частным решением однородного уравнения (2.3.1).
Теорема доказана.
Следствие Если все корни характеристического уравне-2.3.1 ния (2.3.2) Л1, А2, ..., Ап простые (то есть кратности единица), то общее решение уравнения (2.3.1) имеет вид
Щ) = CieAia: + (Це*2® + ... + С'„ел'"2; ,	(2.3.6)
где Ci, С2, •••, Сп — произвольные комплексные константы.
54
Доказательство.
Очевидно, следует из утверждения теоремы 2.3.1.
Следствие доказано.
Следствие Базисом в линейном пространстве решений урав-2.3.2 нения (2.3.1) может служить любой упорядоченный набор из следующих п функций.
Таблица 2.3.1
еА1Ж	ел2ж		
хеХ1Х	хеХ2Х		xeXsX
			
1 g^i ж			
			1 gA g x
	1		
Доказательство.
Следует из линейной независимости данного набора функций, равенства + к% + ... + ks = п и утверждения теоремы 2.3.1.
Следствие доказано.
Заметьте, что число заполненных клеток табл. 2.3.1, вообще говоря, различно для разных ее столбцов, поскольку корни характеристического уравнения могут иметь разные кратности.
55
2.4.	Выделение вещественных решений
Достаточно часто в вычислительной практике оказывается, что уравнение (2.3.1) имеет вещественные коэффициенты:
у(и) + Р1У(п-1) + • • • + Рп-1У' + РпУ = Ъ	(2.4.1)
и требуется найти все его вещественные решения. Соответствующее характеристическое уравнение будет иметь вид
Ап + щАп 1 + • • • + рп—1А + рп = 0 .	(2.4.2)
Получим формулу общего вещественного решения этого уравнения, предполагая, что комплексные решения, определяемые формулой (2.3.3) нами уже найдены. Убедимся вначале, что справедливы следующие утверждения.
Лемма Пусть уравнение (2.4.2) имеет комплексный ко-
2.4.1 рень Ад кратности /с, то есть верно равенство
L(A) = (А - A0)fcM„-fc(A),
где Мп~к(Ао) ф 0. Тогда оно имеет корень Ао, причем той же кратности к.
Доказательство.
В силу вещественности коэффициентов в уравнении (2.4.2) и согласно свойствам комплексного сопряжения
L(A0) = Ао + piA0 + ... + Pn-i^o + Рп = L(X0) = 0 = 0.
Из того условия, что Ао есть корень кратности к характеристического уравнения (2.4.2), аналогичными рассуждениями получаем, что Z/(Ao) = Ь"(Ао) = ... = Z/fc-1)(Ao) = 0, причем L^IXq) Д 0 , а это дает
ЦА) = (А - Ao)feMn_fe(A) , Mn_fe(Ao) 0 .
Лемма доказана.
56
Лемма
2.4.2
Для того чтобы комплекснозначная функция у(х) = и(х) + iv(x) являлась решением уравнения (2.4.1), необходимо и достаточно, чтобы вещественные функции и(х) и v(x) также были решениями этого уравнения.
Доказательство.
Из линейности дифференциального многочлена, условия равенства комплексных чисел и соотношений
L(D)y(x) = L(D) (tz(x) + w(x)) = L(D)u(x) + iL(D)v(x) следует, что
L(D)y(x) = 0	(u(x) + iv(x)) = 0
f L(D)u(x) = 0 , L(D)v(x) = 0 .
Лемма доказана.
Лемма Пусть комплексно сопряженные функции
2.4.3
у(х) = и(х) + iv(x) и у(х) = и(х) — iv(x)
линейно независимы на промежутке X. Тогда будут линейно независимыми вещественные функции и(х) = Re?/(x) и 'г(х) = Im?/(x).
Доказательство.
Заметим предварительно, что
2/Ц) + у(х)
Из условия
ми(х) + yv(x) = 0 VxGX,
(2.4.3)
57
равенств
n / X , /х у(х)+у(х)	у(х)-у(х)
О = KU(X) + /1Х[Х) = х--------к /1---—---- =
I = (?+s)’w+(Ts)’w
и в силу линейной независимости у(х) и у(х) получаем, что выражения в круглых скобках должны быть равны нулю одновременно.
1
Тогда, приняв во внимание равенство — = —г, получаем i
( ж — ifi = 0 , [ х + i/i = 0 .
Поскольку эта система линейных уравнений имеет вытекающее из равенства (2.4.3) единственное решение х = у = О, то мы приходим к заключению о линейной независимости функций и(х) и v(x).
Лемма доказана.
Теперь опишем процедуру выделения вещественных решений из общего решения уравнения (2.4.1).
В силу леммы 2.4.1 для Хг = аг + i(3r - каждого невещественного (то есть с (Зг Д 0) корня кратности кг характеристического уравнения (2.4.2) - будет существовать сопряженный корень Xr = аг — i(3r , причем той же кратности. Следовательно, в табл. 2.3.1 для каждой базисной функции yqr(x) = xqeXrX, где q = 0,1, 2,..., кг — 1, найдется сопряженная ей функция yqr(x) = xqeXrX. Действительно, по формуле Эйлера:
yqr(x) = XqeXrX = Xqе(а^ХгРг)х _ хЧеагх(сО$ Д- j Sin Д,^)
и yqr(x) = xqeXrX = хяе(^~гМх = xqearX(cos (3rx -i sin/Згх) .
Поэтому вещественные функции
uqr(x) = xqearX cos (3rx и Vqr(x) = xqearX sin (3rx
будут, согласно лемме 2.4.2, решениями уравнения (2.4.1).
58
Перейдем в линейном пространстве решений от базиса, содержащегося в табл. 2.1, к новому базису, заменив каждую пару функций { yqr(x), yqr(x) } на пару функций { uqr(x), vqr(x) }. Заметим при этом, что в силу леммы 2.4.3 из линейной независимости функций yqr(x\ yqr(x) и соотношений
, ч Удг(х) + Удг(х)	yqr{x)-y (X)
ичг(х) =------------- и vqr(x) = ------------------
следует линейная независимость функций uqr(x), vqr(x).
Новый базис состоит из п вещественных функций, которые обозначим как ^(x). В нем любое вещественное решение уравнения (2.4.1) представимо как некоторая вещественная линейная комбинация функций ^(x).
Таким образом, доказана
Теорема Общее вещественное решение уравнения (2.4.1)
2.4.1 имеет вид у{х) = ^RAAx') , 3 = ^
где Rj — произвольные вещественные константы.
В заключение рассмотрим простой, но очень важный для физических и технических приложений пример.
Задача Найти все вещественные решения уравнения у"-\-ш2у = О, 2.4.1 если си > 0.
Решение. Характеристическое уравнение имеет в данном случае вид А2 + си2 = 0. У него есть два сопряженных корня Л1?2 = ±гси, кратности 1 каждое. Поэтому общее комплексное решение исходного уравнения будет
у(х) = С1егшх + С2е~гшх.
По формуле Эйлера: егшх = cos шх + i sin шх . Значит,
и(х) = Re e1Cv’x = coscjx
и г(.т) = Im e1Cv’x = sincux.
59
Переходя в Ё2 - в линейном пространстве решений исходного уравнения, от базиса {ewrc; е-^х\ к базиСу {cos cjx; sincux}, получаем окончательно
у(х) = Ri cos cjx + R2 sin сих ,
Решение где R1 и R2 - произвольные вещественные константы, получено.
2.5.	Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами
Рассмотрим теперь случай неоднородных линейных дифференциальных уравнений следующего вида:
y(n) + «iy(n 1} +  •  + an-iy' + апу = &(ж) ,
(2.5.1)
предполагая, что общее решение соответствующего однородного уравнения уже найдено.
Как и ранее, числа
{ Й1, «2, • • • •> ^n—li }
являются произвольными комплексными константами, а Ь(х) есть комплекснозначная, непрерывная функция, зависящая от вещественного аргумента х 6 X.
Согласно следствию 2.1.2 для построения общего решения неоднородного уравнения (2.5.1) достаточно найти какое-нибудь его частное решение.
Мы воспользуемся методом вариации постоянных (методом Лагранжа), основой которого является
Теорема Пусть общее решение однородного уравнения
2.5.1	(2.5.1) имеет вид
у(х) = Cig^x) + С252Ц) н----ь Cngn(x) ,
60
где функции {дг(х), у2Ц), ... дп(х)} образуют ба-зис в пространстве частных решений однородного уравнения. Тогда неоднородное уравнение (2.5.1) имеет решение вида
У*(Ц = C^xjg^x) + C2(x)g2(x) +-к Сп(ж)дп(х) ,
где непрерывно дифференцируемые функции {Ci(x), СДх), ... Сп(х)} находятся из системы линейных уравнений:
С1(Щ1(ж) + C2(x)g2(x) Н-------1- С'п(х)дп(х) = 0 ,
С^д'^х) + С^х)д'2(х) +    + С^д'^х) = О,
< «'(z) + С2(х)д2(х) +  + С^х)д'^х) = 0 ,
< С1(х)д[п + ••• + С'п(х)д^ Х)(ж) = 6(ж) .
Доказательство.
Найдем выражения для производных от функции у*(х) до п-го порядка включительно, используя следующую процедуру.
п	п
Если у* = ^2 ск9к , то у’* = 52 (C'feS'fe + С кд к)  к=\	к=\
п
Потребуем, кроме того, чтобы С'к9к = 0, ибо в этом слу-fc=i п
чае yf* = Ск9к> т0 есть Ф°РмУла Для производной упро-к=1
щается.
Дифференцируя еще раз, получаем, что
61
п	п
у"* = 52 Скдк ’ ПРИ Условии, ЧТО 52 С'кУк = 0 • к=1	к=1
Эту процедуру последовательно выполняем до получения равенства п	п
у*(п-1) =	при условии, что 52= 0 •
к=1	к=1
Наконец, подставляя полученные выражения для функции ?/*(х) и ее производных в уравнение (2.5.1), приходим к равенству
п
fc=l
9к^ + • • • +	+ Un9k
+ Хс^-‘>=ьм, к=1
а принимая во внимание, что каждая функция дк(х) есть частное решение однородного уравнения (2.5.1), получаем
условие
£сь,1'-> = ед,
к=1
которое, в совокупности с использованными ранее равенствами
п
52 СкУк } = 0 Л = [°, п - 2],
к=1
образует систему уравнений, указанную в условии теоремы.
В матричной форме данная система имеет вид
91 (Ц	92 (ж)	9п(х)		Ci		0
91 (Ц	9'2(х)	9п(х)				0
51 Ц)	92{х)	9п(х)			=	0
р2-1)(Ц	92П1)(х)	••• 9пП~г)(х)		С'п		6(х) (2.5.2)
62
В § 5.3 (теорема 5.3.3) показано, что определитель основной матрицы системы (2.5.2) (называемый определителем Вронского или вронскианом) отличен от нуля для системы линейно независимых функций {pi(x), р2(^), • • • Рп(^)}5 являющихся частными решениями уравнения (2.5.1). Поэтому, в силу теоремы Крамера, функции Ск(х) \/к = [1,п] существуют и единственны.
Теорема доказана.
Следствие Уравнение (2.5.1) интегрируется в квадратурах. 2.5.1
Доказательство.
Следует из утверждения теоремы 2.5.1 и очевидной возможности представления каждой функции
Ck{x) = Ck(u)du \/к = [1,п] ,
XQ
то есть в виде интеграла с переменным верхним пределом.
Следствие доказано.
Для некоторых классов функций Ь(х) общее решение уравнения (2.5.1) удается выразить через элементарные функции. Важный для приложений такой случай описывает
Теорема Пусть Ь(х) квазимногочлен вида Рт(х)е^ж, где 2.5.2 Рт(х) = Со 4- Сгх Ч-----k cmxm. Тогда
—	у*(х) = Qm(x)e^x, если ц не является корнем характеристического многочлена уравнения (2.5.1) (так называемый нерезонансный случай);
—	либо у*(х) = xkQrn(x)e^x, если ц — корень характеристического многочлена уравнения (2.5.1) кратности к (резонансный случай).
63
Доказательство.
Будем искать у*(х) в виде и(х)е^х. Подставим эту функцию в исходное уравнение L{D)y = Рт(х)е^ж, получим (используя «формулу сдвига», теорема 2.2.1):
Д5)(ф)е^)=Рт(^,
e»xL(D + v)u(x) = Рт(х)е^х , L(D + ц)гх(х) = Fm(x) .
(2.5.3)
1°. Пусть L(A + /у) = bo + b^X Ч- ... 4- bnXn . В нерезонансном случае L(0 Ч- ц) = L(yi) 0 и, значит, Ьо Д 0, и и(х) можно найти в виде многочлена
do Ч- d±x Ч- * * * Ч- dmxm
из уравнения (2.5.3), приравнивая коэффициенты при равных степенях х в его обеих частях.
Действительно, из равенств
bGu + b±uf + ... + bnbn^ =
— bo(do Ч- d±x Ч- • • • Ч- dmxm) + b±(do + d±x + • • • Ч- dmxrny + • • • ... Ч- bn(do Ч- d±x Ч- • • • Ч- dmxm)(n) =
= Со + С1Х ч---Ь Стхш
получаем линейную систему алгебраических уравнений с треугольной матрицей, на диагонали которой находится ненулевое число 6о,
V’
64
В итоге мы приходим к виду функции ?/*(х), указанному в нерезонансном случае формулировки теоремы.
2°. Пусть теперь ц есть корень характеристического уравнения кратности к. Покажем, что в этом случае
ЦА + м) = bkXk + 6fe+1Afc+1 + ... + ЬпХп ,	(2.5.4)
причем bj~ Д 0 .
Действительно, в резонансном случае характеристическое уравнение для уравнения (2.5.3)
£(А + ц)=0	(2.5.5)
имеет нулевой корень, поскольку
L(0 + ц) = ОД = 0 .
Аналогично, в силу того, что ц - корень кратности /с, будут верны также равенства
Цп(0 + л = 4П(Л = 0 Vj = [i,fc-1],
но	+	= L[k\^ ^0.
А это означает, что уравнение (2.5.5) имеет нулевой корень, притом той же кратности /с, и, следовательно, формула (2.5.4) верная.
Уравнение (2.5.3) теперь будет иметь вид
(bkDk + bk+1Dk+1 + ... + bnDn)u(x) = Рт(х) ,
ИЛИ
bku^k\x) + Ьк+1и(к+1\х) + ... + bnii(n\x) = Рт(х)  (2.5.6)
Порядок уравнения (2.5.6) можно понизить, введя новую неизвестную функцию w(x) =	. Получаем уравнение ви-
да
bkw(x) + bk+1w'(x) + ... + Ьпу/п~к\х) = Рт(х) ,
65
для которого, в силу Ьк 0, мы имеем нерезонансный случай, поэтому w(x) = Тт(х).
Наконец, из равенства = Тт(х)^ путем его последовательного /с-кратного интегрирования в пределах от 0 до х, получим указанный в резонансной части формулировки теоремы вид функции у*(х).
Теорема доказана.
Следствие Пусть коэффициенты уравнения (2.5.1) веще-2.5.2 ственны, a b(x) = еах (А(х) cos (Зх + В(х) sin /?х), где Q, /3 — вещественные числа, А(х) и В(х) — вещественные многочлены, один из которых степени т, а второй степени не выше, чем т. Тогда уравнение (2.5.1) имеет частное решение вида
- ?/*(х) = еах (С(х) cos/?x + В(х) sin/?x), если а + 1(3 не является корнем характеристического многочлена уравнения (2.5.1) (нерезонансный случай);
-либо у*(х) = хкеах (С(х) cos(3x + D(x) sin/За?), если a + i/3 — корень характеристического многочлена для уравнения (2.5.1) кратности к (резонансный случай).
Функции С(х) и D(x) — вещественные алгебраические многочлены степени т.
Доказательство.
Следует из утверждения теоремы 2.5.2 и правила выделения вещественного решения (теорема 2.4.1).
Следствие доказано.
66
Глава 3
Системы линейных
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
Определение
3.0.1
Нормальной системой дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами порядка п > 2 называется система уравнений вида
±1Д = «11^1 (i) + • • • + ainxn(t) +
яД<) = а21Х! (t) + ... + a2nxn(t) + bzlt), <
xn(t) = aniXi(t) + ... + ^nn^n (t) + bn(t),
где t e T, Xfe(i) к = [l,n] - комплексно-значные непрерывно дифференцируемые неизвестные функции вещественного аргумента, a bk(t\ к = [1,п] - заданные, непрерывные на Т функции, называемые свободными членами. Числа Oij = [1, п] - комплексные константы.
Данную систему уравнений часто записывают в так называемом неразвернутом виде:
п
хД) = ^^aijXj(t) + bi(t) Vi = [1,«] > j=i
(3.0.1)
67
или же в еще более простой, матричной форме ||х|| = ||Л||||х|| + ||6||, где
	«и	«12	• • •	«1п		Xl(t)		61 (i)	
PII =	«21	«22	• • •	«2п	, нд =	X2(t)	, IHI =	62 (i)	
	«п1	«п2	«пп		Xn(t)		bn(t)	
Отметим сразу, что			задача	, Коши для системы линейных урав-				
нений (3.0.1) заключается в отыскании ее частного решения, удовлетворяющего начальным условиям Xk(to) = ^(o)fc Vfc = [1,п], где х(0)ь to G T, - фиксированные комплексные числа.1 Далее (в § 4.3) будет показано, что задача Коши для системы уравнений (3.0.1) разрешима всегда и притом однозначно.
Методы решения системы уравнений (3.0.1) принципиально аналогичны методам решения линейного уравнения n-го порядка, поскольку линейное уравнение n-го порядка может быть сведено к системе вида (3.0.1) и наоборот. Иллюстрацией такого сведения, называемого методом исключения, может служить следующий пример.
Задача	Найти вещественные решения системы линейных уравне-
3.0.1	ний
X2(t)
4xi G)
2xi (^)
3x2 (t) + sin£, x2(t) — 2 cost.
Решение.
Продифференцировав обе части первого уравнения, получим равенство Xi(t) = 4хД£) — 3x2(t) + cost. Затем подставляя в него x2(t) = 2xi(t) — x2(t) — 2cost из второго уравнения системы и Зх2(t) = Xi(t) — 4хД£) — sin/; - из первого, приходим к линейному уравнению второго порядка: хД£) — 3xi (t) + 2xi (t) = sin/; + 7cos£. Его общее решение: Xi (t) = R^e1 + R2 e2t — 2 sin t + cos t.
Далее, опять-таки из первого уравнения исходной системы получаем
2
х2 (t) = Rxe1 -R2 e2t — 2 sin t + 2 cos t,
О
1 Здесь и далее нижний индекс, выделенный круглыми скобками, есть номер члена некоторого множества (последовательности), а не номер координаты.
68
где Ri и ~ произвольные вещественные константы. Наконец, в матричной форме это решение можно записать так:
Решение получено.
xi(t)
= Ri
в1-\~R2	2
2 sin t — cos t
2 sin t — 2 cos t
Использованный метод аналогичен методу исключения при решении систем алгебраических уравнений. Применение его, как правило, целесообразно лишь для достаточно простых и низкоразмерных систем вида (3.0.1).
3.1. Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай базиса из собственных векторов)
Рассмотрим теперь однородную систему линейных дифференциальных уравнений первого порядка:
Ikll = PIIIMI.
(3.1.1)
Свойства ее общего решения - совокупности всех частных решений, описываются следующим набором теорем.
Теорема 3.1.1 (Принцип суперпозиции)
Если ||x(i) (t) || и ||х(2) (t) || — частные решения систе-мы (3.1.1), то ||яД)|| = C1||X(1)(Z)||+C2||X(2)(^)|| также есть ее частное решение для любых комплексных констант Ci и С2.
Доказательство.
Если ||я?(1)(£)|| и ||^(2)(^)|| - частные решения системы (3.1.1), то справедливы равенства ||£(i)(£)|| — ||А|| ||x(i)(£)|| = ||о|| и lk(2)(i)|| - |Д||||^(2)(<)|| = ||о|| , где ||о|| - нулевой столбец.
69
Имеем
НЛОН - ДННЛОН =
= C1||x(1)(t)||+C2||i(2)(0||-C1||4||||x(1)(0||-C2||A||||x(2)(t)|| =
= C1(||i(1)(t)||-||A||||x(1)(t)||) +
+G (||i(2)(t)|| - ||A||||x(2)(t)||) = СЛОИ + C2||0|| = ||0|| .
Теорема доказана.
Следствие Множество всех частных решений однородной 3.1.1 системы (3.1.1) образует линейное пространство.
Доказательство.
Следует из аксиоматики линейного пространства и теоремы 3.1.1.
Следствие доказано.
Предположим теперь, что ||А|| - матрица системы уравнений (3.1.1), задает в п-мерном унитарном пространстве Un с ортонор-мированным базисом линейный оператор (точнее, линейное преобразование) А. Напомним также, что ненулевой элемент / Е Un называется собственным вектором оператора А, отвечающим собственному значению А, если Af = Xf. В координатной форме (как показывается в курсе линейной алгебры) последнее равенство будет иметь вид
ЦЩ111/Ц = А||/|Ь
Ответ на вопрос: «При каких ||/|| и А частное нетривиальное решение системы (3.1.1) есть вектор-функция ||х (ОН = Н/НеА‘?» дает
Теорема Для того чтобы вектор-функция ||х (ОН = ll/l|eAt 3.1.2 являлась частным нетривиальным решением системы (3.1.1), необходимо и достаточно, чтобы ||/|| был собственным вектором, а А — соответствующим собственным значением линейного преобразования, задаваемого матрицей ||А||.
70
Доказательство.
Пусть ||/|| - некоторый ненулевой столбец. Подставим ||х(/;)|| = ||/||eAf в уравнение (3.1.1), приняв во внимание ра-
венство — еЛ£ = Ле . Получим at
M\f\\eXt = 1И|| (||/||eAt) ,
то есть |Щ||||/|| = А||/|| .
Теорема доказана.
Возможный вид общего решения однородной системы линейных дифференциальных уравнений устанавливает
Теорема Пусть в линейном пространстве Un существу-3.1.3 ет базис {||/(i)||, ||/(2)||,......,	||/(п)||} из собствен-
ных векторов линейного преобразования, задаваемого в исходном базисе матрицей ||А||, и пусть {Ai, А2, ... Ап} — соответствующие этим собственным векторам собственные значения (среди которых могут быть и равные). Тогда
- М Ц/d)||eAlt + С2||/(2)||е^‘ + ... + C„||/(n)||eA"t, где Ci, С*2, • • •, Сп — произвольные комплексные числа, является частным решением системы (3.1.1);
— и каждое частное решение системы (3.1.1) может быть представлено в виде Cl ||/(1) ||еА14 + c2\\f{2)\\e^ + ... + Сп||/(„)||еА"‘.
Доказательство.
Справедливость первого пункта следует из теорем 3.1.1 и 3.1.2.
Докажем второй пункт. Пусть ||х(£)|| - некоторое частное решение системы (3.1.1). Оно (в силу условия теоремы) \/t Е Т может быть разложено по базису из собственных векторов преобразования ||А|| :
МЛН =А(Л||/(1)||+1?2(011/(2)||+...+пп(011/(„)||. (3.1.2)
71
Подставим это выражение в систему (3.1.1), получим
А 011/(1)11 + ^2011/(2)11 + • • • + /?пО11/(п)П =
= а (о и л п ц/(1) ||+в2о1ин и/(2) II +...+ад) ин н/(п) и =
= Di(£)Ai ||/(i) || + £>2(£)А21|/(2) || + • • • + Dn(t)Хп||/(п) || .
Откуда получаем равенство
(ададад)) ||/(1)||+...+(ад)-Аиад)) 11/(»)11 = И-
В силу линейной независимости базисных элементов из него следует, что
ададад) = о vfc = [i,n]	=^> ад) = сад,
что в сочетании с равенством (3.1.2) дает требуемый формат записи решения.
Теорема доказана.
Следствие В условиях теоремы 3.1.3 линейное простран-3.1.2 ство, образованное всеми частными решениями однородной системы (3.1.1), п-мерное.
Доказательство.
Следует из определения конечномерного линейного пространства и теоремы 3.1.3.
Следствие доказано.
Таким образом, в тех случаях, когда из собственных векторов линейного преобразования А можно образовать базис в Un, общее решение системы (3.1.1) определяется теоремой 3.1.3.
В качестве достаточных признаков такой возможности удобно использовать следующие, доказываемые в курсе линейной алгебры, критерии.
Из собственных векторов линейного преобразования можно образовать базис в L7n, если
-	все собственные значения А попарно различны или
-	матрица ||А|| эрмитовская (то есть a:j7 = aij \/i,j = [1,п]) в Un (или же, в случае Еп. симметрическая).
72
Использование утверждения теоремы 3.1.3 можно проиллюстрировать следующим примером.
Задача Найти общее решение системы линейных уравнений 3.1.1
±i(t) =	x2(t)	+ X3(t),
<	= Xi(t)	- Ж3(Д
x3(t) = Ж1Д - x2(t).
Решение. Найдем собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, задаваемого в U3 матрицей
\\Л\\ =
О 1	1
1	0	-1
1 -1 о
являющейся матрицей данной системы дифференциальных уравнений.
Собственные значения являются корнями характеристического уравнения
det
-А
1
1
1 1
-А -1
-1 -А
А3 - ЗА + 2 = 0 .
= О
Или (А+2)(А—I)2 = 0 , откуда Ai = —2, А2д = 1 .
Пусть собственные векторы имеют координатные представления ||/|| = ||£i	£з|Г- Каждый собственный век-
тор находится из системы линейных уравнений
|Д - АД| II/II = Ml.
Для собственного значения Ai = —2 имеем
2	1	1
1	2	-1
1 -1	2
О о о
Ci
$2
Сз
f + £2 + £з — 0 , [ £1 + 2£2 - £з = 0 ,
что дает ||/(1)|| = || - 1 1 1||т.
73
Для собственного значения Л2,з — 1, У которого кратность 2, получаем
-1 1 1
1 -1 -1
1 -1 -1
О о о
6
Сз
{ £1 - & - £з = о.
Откуда ||/(2)|| = ||1 1 0||т и 11/(3)11 = ||1 О 1||т.
Легко убедиться, что все три собственных вектора линейно независимые и образуют базис в U1 * 3. Тогда, согласно теореме 3.1.3, общее решение исходной системы может быть записано в виде
Решение
x3(t)
-1
1
1
e~2t + C2
1
1
0
+ c3
1 0
1

получено. где Ci, C2 и C3 - произвольные комплексные числа.
Если матрица исходной системы уравнений вещественна, то из общего комплексного решения можно выделить вещественные решения. В этом случае невещественные корни характеристического уравнения попарно комплексно сопряжены. Комплексно сопряженными при этом окажутся и соответствующие пары решений, входящие в базис. Каждую такую пару следует заменить двумя вещественными функциями, являющимися вещественной и мнимой частями исходной пары. То есть процедура этого выделения в точности совпадает с методом, изложенным в § 2.4, за исключением некоторых технических деталей, для иллюстрации которых достаточно рассмотреть конкретный пример.
Задача	Найти общее решение системы линейных уравнений			
3.1.2		£Д) =	-	МО - X3(t),
	<	М*) =	Xl(t) +	мд
		„ *з(<) =	ЗЖ1 (t)	+	X3(t).
Решение. Найдем собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, задаваемого в U3 матрицей
1 -1 -1
1	1	О
3	0	1
\\А\\ =
74
Собственные значения являются корнями характеристического уравнения
det
1-А	-1
1 1-А
3 О
-1
О
1-А
= О	(1—А)3+4(1—А) = 0.
Или (А—1) ((А — I)2 + 4) =0, откуда Ai = 1, А2,з = 1±2г.
Пусть собственные векторы имеют координатные представления ||/|| = ||£i ^2 61Г Опять-таки каждый собственный вектор находится из системы линейных урав-нений |Д-АД|||/|| = ||о|| .
Для собственного значения Ai = 1 имеем
0 -1 -1
1	0	0
3	0	0
6 + Сз — 0 , 6 = 0,
что дает ||/(i)|| = ||0 1 - 1||т.
Для А2,з = 1 ± 2г достаточно найти лишь один собственный вектор, например для А2 = 1 + 2г, поскольку другой должен быть ему комплексно сопряженным.
Имеем
—2г	-1	-1
1 —2г	0
3	0	—2г
6 - 2г£2 = о , 36 - 2?6 = 0 .
Откуда ||/(2)|| = ||2г 1 3||т и ||/(3)|| = || - 2г 1 3||т. Все три собственных вектора линейно независимые (поскольку собственные значения попарно различны) и образуют базис в U3 . Согласно теореме 3.1.3, общее решение исходной системы может быть записано в виде
xi(t) x2(t) x3(t)
2г
1
3
е(1+2г)г+Сз
—2г
1
3
6
$2
6
6
6
6

о о о
о о о

75
где Ci, С2 и Сз - произвольные комплексные постоянные.
Пусть Ф+(£) =
2г
1
3
е(1+2г)^ Найдем НеФ+(£) и 1шФ+(/;).
Использовав правила действий с матрицами и формулу Эйлера, получим
Ф+(£) =
el (cos 2t + i sin 2t) =
Решение
получено.
0
1
3
0
1
3
el cos 2t —
e* sin 2t +
e* sin 2t
cos 2t
Или, сгруппировав подобные члены, получим
Ф+(£) =
—2 sin 2t cos 2t
3 cos 2t
2 cos 2t sin 2t
3 sin 2t
что дает
ИеФ+(£) =
—2 sin 2t cos 2t
3 cos 2t
1шФ+(£) =
2 cos 2t sin 2t
3 sin 2t
Теперь общее вещественное решение может быть записано в виде
rci(i)
X2(t)
X3(t)
= R1
О
1
-1
еЧ
О
1 + i
3
+ 4
e*
2 О О
и
2
0
0
2
0
0
e
e*
—2 sin 2t
cos 2t
3 cos 2t
+ -Вз
2 cos 2t
sin 2t
3 sin 2t
e
где 7?i, R2 и R3 - произвольные вещественные постоянные.
76
3.2. Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай жорданова базиса)
Рассмотрим теперь процедуру построения общего решения системы уравнений (3.1.1) в случае, когда условия теоремы 3.1.3 не выполнены. Такая ситуация может возникнуть при наличии кратных корней у характеристического уравнения линейного преобразования Л, порождаемого в Un матрицей ||Л||.
Действительно, из курса линейной алгебры известно, что размерность собственного подпространства, отвечающего собственному значению кратности fc, не меньше, чем единица, но не больше, чем к. Поэтому максимальное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственному значению кратности к > 2, может оказаться строго меньше, чем к. Что, в свою очередь, будет означать, что полное число линейно независимых собственных векторов линейного оператора ||Л|| окажется меньше п - размерности Un, ибо полное число корней характеристического уравнения (с учетом их кратности) всегда равно п. И, следовательно, в линейном пространстве частных решений системы уравнений (3.1.1) не удается построить базис вида, указанного в формулировке теоремы 3.1.3.
Примером матрицы с подобными свойствами является квадратная матрица порядка I > 2 следующего вида:
WJ1W =	Ао 0 0	1 Ао 0	0 1 Ао	...	0 ...	0 ...	0	0 0 0	0 0 0	(3.2.1)
II Ч II	0	0	0	... Ао	1	0	
	0	0	0	...	0	Ао	1	
	0	0	0	...	0	0	Ао	
Такую матрицу называют жордановой клеткой порядка I. У нее все элементы, стоящие на главной диагонали, одинаковы, элементы, расположенные на первой наддиагонали, равны единице, а остальные элементы нули.
Матрица ||Л||, определяющая некоторое линейное преобразование Ji в U1, имеет единственное собственное значение А = До кратности /, которому отвечает лишь один линейно независимый собственный вектор ||/|| = ||1 0 0 ... 0||т, поскольку rg \\J] — AqT?|| = I — 1. Иначе говоря, размерность собственного подпространства равна единице и базис из собственных векторов || JJ| в U1 не существует.
77
Здесь стоит отметить, что, во-первых, система (3.1.1) в случае, когда ||Л|| = ||Л ||, легко решается. Это показано в конце данного параграфа. И, во-вторых, элементы базиса в U1, в котором преобразование ||А|| имеет матрицу вида (3.2.1), должны удовлетворять следующим соотношениям:
Ц1111М1 = ММ1, 1Ш11|^(2)|| = Ao||/l(2)II + ||/l(l)II , mill|ft(3)ll = Ao||ft(3)ll + l|ft(2)ll,	ЦТ - Х0Е||||/z(1)|| = ||01|, ||А-А0Е /г(2) = ||/i(i)||, =>	Й-Ао^||||Л(з)|| = ||Л(2)||,
Й111М1 = ММ1 + II^-dII	M-AoSiiiiMIMfy-d (3.2.2)
Действительно, согласно определению матрицы линейного преобразования, ее столбцами (в некотором конкретном базисе {||^(i)||,	||^(2)1Ь	•••?	||^)||}) являются координатные столбцы
образов базисных элементов. Тогда, учитывая структуру матрицы (3.2.1), мы приходим к формулам (3.2.2).
Теперь оказывается возможным построить в пространстве частных решений системы (3.1.1) базис, позволяющий описать ее общее решение, добавив к собственным векторам ||А|| специальные дополнительные элементы пространства Un. Рассмотрим эту процедуру подробнее.
Пусть Ад ~ собственное значение, a ||/z(i)|| - соответствующий ему собственный вектор линейного преобразования ||А||, действующего в Un. Тогда можно дать
Определение
3.2.1
Элементы ||Л(1)||, ||Л(2)||, ••• , ||Л(г)||, принадлежащие U1 и являющиеся решениями уравнений
||А-ЛоЯ|| 11^(1) II = и >
||А-А0Я||||М1 = 11М1’
||Л-Ао^||||Л(з)|| = ||Л(2)||,	(3-2.3)
||А - Ao-E||||/i(/)|| — ||Л(г-1)|| , в то время как уравнение
||A-AoS||||^+1)|| = \\hm\\
78
решений не имеет, называются жордановой цепочкой длины Z, начинающейся с собственного вектора ||/z(i)||.
Элементы 11 Zz(2) Ib II ^(з) IЬ • • • Л ^(/) 11 называются присоединенными векторами к вектору ими-
Например (покажите это самостоятельно), жорданова цепочка, построенная для матрицы вида (3.2.1) с начальным собственным вектором ||/|| = || 1 0 0 ... 0||т, является стандартным базисом в линейном пространстве U1.
Заметим также, что уравнения (3.2.3) можно записать в других формах, а именно, если обозначить \\В\\ = ||А — А^Е||, то в виде
ЙМНН1.	ММ1 = И,
MMI = IIMh	Й1>(2)|1 = и,
IRIIMI = IIMI, НД|311М1 = IHI,	(3-2.4)
mmhwi- ЙГНМ1 = и •
Опишем теперь основные свойства жордановых цепочек.
Теорема Множество элементов в U1, являющихся
— какой-либо жордановой цепочкой
3.2.1
— либо объединением нескольких различных жордановых цепочек, линейно независимое.
Доказательство.
Докажем первое утверждение.
Из соотношений (3.2.4) следует, что
IR>(S+1)II = ИМИ Vs = [1,1 -1]
(3.2.5)
||B|n|/i(s+1)|| = И Vr > s, Vs = [1,Z - 1] ,
79
поскольку результат умножения матрицы \\В\\ на присоединенный вектор есть или присоединенный вектор с номером на единицу меньшим, или же нулевой столбец. Действительно, Vs = [1,1 — 1]
1|вГ11^+1)11 = l|B||s-1||B||||/l(s+1)|| = НДПНМ! = •••
... = ||В||2||/г(3)|| = ||В||||В||||Л(3)|| = ||В||||Л(2)|1 = ИМИ •
Пусть
ClII^(I)II + С2||/i(2)II 4- ... + Gllfypll = Ikll •
Покажем, что в этом случае линейная комбинация в левой части равенства тривиальная.
Действительно, умножив обе части равенства на ||В|р-1, получим
l|B|r-1^ih(i)ll + ^h(2)ll+ ... +G||/z(0||) = |H|,
^il|B|r-1h(1)||+c2||B|r-1||/z(2)||+... wdlW^IIMI = и
или (с учетом (3.2.5))
GM(i)ll = M ^=о.
Затем, подставив Ci = 0 и умножив обе части на ||В||/-2, получим
G_>(i)ll = M G-i=o
и т.д.
А из тривиальности рассматриваемой линейной комбинации следует справедливость первого утверждения теоремы.
Второе утверждение доказывается аналогично.
Теорема доказана.
В курсе линейной алгебры (см., например, [5]) также доказывается важная для рассматриваемой задачи
80
Теорема Для любого линейного преобразования А в JJn су-3.2.2 ществует базис (называемый жордановым), обра-(Жордана) зованный из всех жордановых цепочек для всех попарно различных собственных значений этого преобразования.
Определение
3.2.2
Жордановым блоком, отвечающим собственному значению До кратности к с Q-мерным собственным подпространством, назовем квадратную, порядка к, блочно-диагональную матрицу ||ДАо)|| вида
11АОо)|| II о ||	...	|| о ||
II О II ||J/2(Ao)|| ... II О II
II о II II О II А 11Д(Ао)||
где расположенные на главной диагонали квад-ратные подматрицы ||JZ1||, ||Л2||, ..., \\Jtg || суть жордановы клетки, отвечающие собственному значению До и каждому из q линейно независимых собственных векторов, начинающих соответствующие жордановы цепочки, имеющие длины Z1, 12, ... lq.
Через || О || обозначены нулевые подматрицы подходящего размера.
Отметим, что при этом сумма порядков (длин) жордановых клеток в блоке равна кратности собственного значения До, то есть
11	1%	• 4- lq — к .
Например, жордановы блоки с^ = 4ид = 2 могут иметь вид
Пусть линейное преобразование ||А||, действующее в Un, заданное матрицей ||А||, имеет характеристический многочлен вида
ЦА) = (А - Ai)fel (А - A2)fe2 •... • (А - А,,,.)'”" ,
причем Xj Xi при j i и ki + к2 + ... + кш = п.
81
Определение
3.2.3
Будем говорить, что матрица ||А|| имеет нормальную жорданову форму, если она записана в блочно-диагональном виде:
	ИМИ	II о II •	• II о ||
PII =	II ОII	ими ..	• II о II
	II о II	lie'll	• • 11ЛМ11
где расположенные на главной диагонали квад
ратные подматрицы
ЦДАОЦ, ||ДА2)||, ... ||J(Am)||
являются жордановыми блоками, отвечающими попарно различным собственным значениям преобразования А, а через || О || обозначены нулевые подматрицы подходящего размера.
Иначе говоря, матрица имеет нормальную жорданову форму, если у нее на главной диагонали расположены т жордановых блоков, где т - число различных собственных значений матрицы ||А||, а остальные элементы - нули.
Резюмируя определения (3.2.1) - (3.2.3) можно констатировать, что жорданов блок с номером s есть квадратная подматрица порядка ks (ks - кратность As), состоящая из qs жордановых клеток, где qs - максимальное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих A.s, равное размерности его собственного подпространства. На главной диагонали каждого блока расположено As - собственное значение, которому этот блок соответствует.
Напомним, что собственным подпространством собственного значения As называется совокупность всех2 собственных векторов, отвечающих этому собственному значению, и в курсе линейной алгебры доказывается, что
1 < qs < ka Vs = [l,m] .
Причем, какое именно значение из этого диапазона имеет величина qs - размерность собственного подпространства, - зависит только от матрицы || А|| .
2Дополненная, естественно, нулевым элементом.
82
Таким образом, qs равно максимальному числу линейно независимых собственных векторов, отвечающих As, и для матрицы ||А|| в жор-дановой форме будут справедливы следующие утверждения.
1°. Число ее жордановых блоков равно числу различных собственных значений матрицы ||А||.
2°. Размер каждого блока равен кратности собственного значения, соответствующего этому блоку. Сумма размеров всех блоков равна п - размеру матрицы ||А||.
3°. Число жордановых клеток в жордановом блоке равно размерности собственного подпространства собственного значения, соответствующего этому блоку, и равно числу жордановых цепочек, начинающихся с различных линейно независимых собственных векторов этого подпространства.
4°. Сумма размеров всех жордановых клеток в жордановом блоке равна размеру этого блока, то есть кратности собственного значения, соответствующего данному блоку.
Теорема Матрица каждого линейного преобразования 3.2.3 в Un имеет в жордановом базисе нормальную жорданову форму.
Доказательство.
По определению столбцами матрицы линейного оператора в конкретном базисе служат координатные представления образов базисных элементов.
Пусть базис жорданов и состоит из объединения всех жордановых цепочек, отвечающих собственным значениям матрицы || А||, то есть имеет вид
••• ? ||^(sl)lb ||^(s2)|b ••• ,||М|| , •• J ’
где s - номер цепочки. Тогда равенства (3.2.3) можно рассматривать как координатные разложения образов базисных элементов по жорданову базису, которые существуют и единственны.
83
Значит, координатное представление образа каждого базисного элемента является столбцом, у которого все компоненты нулевые, за исключением одного, равного Aqs, или двух, равных 1 и AOs соответственно.
Следовательно, матрица ||А|| в жордановом базисе имеет жорданову форму.
Теорема доказана.
Теоремы 3.2.2 (Жордана) и 3.2.3 в совокупности утверждают, что для любого линейного преобразования в Un имеется жорданов базис, в котором матрица этого преобразования имеет жорданову форму, то есть состоит из жордановых клеток вида (3.2.1), расположенных вдоль главной диагонали. Воспользуемся этим фактом для решения однородной системы (3.1.1) в случае, когда условия теоремы 3.1.3 не выполняются.
Пусть невырожденная матрица
(7ц	(712	•••	^1п
(721	&22	•••	&2п
&п1	&п2	• • •	^пп
есть матрица перехода от исходного базиса в Un к жорданову базису. Тогда матрица ||J|| = ||S||-1||A||||S|| будет иметь жорданову форму, причем (как показывается в курсе линейной алгебры) характеристические многочлены у матриц || J\\ и ||А|| одинаковые. А значит, корни их характеристических уравнений одинаковые и одинаковой кратности.
Выполнив замену неизвестных в системе ||х|| = ||А||||х|| по формуле
п
11Д<)11 = ll^llll 3/WII или	,	(3.2.6)
J=1
получим ||S||||у|| = ||4||||S||||i/|| или ||у|| = ||S||-11|А||||5||||?/|| и оконча-тельно
Цу|| = 1ИНМ1,	(3.2.7)
где || J\\ - жорданова матрица.
Система уравнений (3.2.7) имеет блочно-диагональную матрицу. Поэтому решения y(t) можно искать для каждой жордановой клетки отдельно. Например, для самой первой клетки, положив А = Ai
84
и I = h, имеем (с учетом (3.2.4)) подсистему вида
У1		A 1	0	... 0	0		У1
У2		0 A 1	... 0	0		У2
Уз	=	0	0 A ...	0	0		Уз
У1-1		0	0	0	... A 1		У1-1
У1		0	0	0	...	0 A		У1
или
У1 = Ayi + Уч , Уч = Хуч + Уз ,
Уз = Мз + 2/4 ,
У1-1 = >«/i-i + У1 , „ У1 = >4П 
Последнюю систему удобнее решать, сделав предварительно под-становку:
2/Д) = еА%Д) VJ=[1,/].
В этом случае для Uj(t) \/j = [1,1] получаем систему
iii(t) = u2(t) , u2(t) = u3(t) , u3(t) = u4(t) ,
iii-i(t) = ui(t) , = 0 .
Решив эту систему, начиная с последнего уравнения, найдем, что
ui(t) = Ci ,
— Cit + Ci-i ,
t2
=Cl—+ Cl-it + Cl-2 ,
t1-1	tl~2	t
U1^ = Cl([^+Cl-1([^2y + --- + C2V + C1 '
85
Откуда
yi(t) = Ciext ,
yl_1(t) = (clt + Cl_iyxt , ft2	\
yi-2(t) = ( Ci-% + Ci-it + Ci-2 \ ext ,
yi(t)= (Сг(ГТТ)! + Сг-1(Д7^)! + --- + С2Л + С1 )
Проведя аналогичные вычисления для всех клеток во всех жордановых блоках, получаем общее решение системы уравнений (3.2.7). Переход к исходным неизвестным выполняется по формулам (3.2.6), которые позволяют получить общее решение системы (3.1.1), итоговый вид которого определяет
Теорема 3.2.4
Общее решение однородной системы (3.1.1) есть вектор-функция, каждая компонента которой имеет вид
Q
Xi(t) = У?	= [1, П1 ,
1=1
где Ai, А2, ••• \ — все различные собственные значения матрицы ||А||, a — алгебраический многочлен,
— степень которого на единицу меньше длины самой длинной из жордановых цепочек, отвечающих собственному значению Аг
— и коэффициенты которого зависят от п произвольных комплексных постоянных със2,...,сп.
Заметьте, что набор констант Ci, С2,..., Сп один и тот же для каждого из многочленов Р^ (О •
В заключение обсуждения вопроса о построении общего решения системы (3.1.1) сделаем некоторые замечания.
86
Во-первых, из теоремы 3.2.4 следует, что общее решение системы (3.1.1) можно искать методом неопределенных коэффициентов, не прибегая к построению жорданова базиса. Подробнее этот вопрос рассмотрен в Приложении. Во-вторых, в случае вещественной матрицы ||А|| выделение вещественного решения выполняется тем же методом, что был рассмотрен в § 3.1.
Наконец, для задач с невысокой размерностью, которые часто встречаются в приложениях, целесообразно использовать итоговые формулы для общих решений, записанные в удобном для запоминания формате. Приведем их для п = 2, 3, исключая случаи, удовлетворяющие условиям теоремы 3.1.3.
Пусть п = 2 и А есть двукратное собственное значение, у которого собственное подпространство одномерное. Тогда общее решение системы (3.1.1) можно представить в виде
ДДII = CiIIhw||eAi + С2 (Wh^Wt + ||%)||) eAt ’	(3.2.8)
где ||ft(i)|| - собственный вектор, отвечающий собственному значению A, a ||ft(2)|| - присоединенный к нему вектор, найденный по формулам (3.2.2).
Пусть теперь п = 3. В случае, когда Ai простое и ему отвечает собственный вектор ||/z(i) ||, а А2 двукратное с собственным вектором ||fy2) || и присоединенным ||/z(3)||, формула общего решения такова:
||%)|| = С1||%)||бА1% С2||%)||бА2%С3 (||%)||i + ||%)11)	’
Если в трехмерной задаче кратность собственного значения А равна трем, то возможны два случая.
Или размерность собственного подпространства есть два и жордановых цепочек две, одна из которых состоит лишь из собственного вектора ||/z(i)||, а вторая состоит из собственного вектора ||/z(2)|| и присоединенного ||/г(з)||, тогда решение имеет вид
11%)Н = Cl||%)||eAt + C2||%)||eAt + Сз (||%%+ ||%)Ю	
Или же размерность собственного подпространства с собственным вектором ||/г(1)|| равна одному, то в единственной жордановой цепочке будут два присоединенных к ||fyi)|| вектора ||/г(2)|| и ||/z(3)||. Общее решение в этом случае дается формулой
11%)Н = ( СДМН + С2 (||%)||г + ||%)||) +
87
f	t	\ \
+ +з (J|^(i)||^y + 11^(2) II :jj + II Mil J }eXt •
Во всех формулах Ci, C2 и C3 - произвольные комплексные константы.
Следует заметить, что использование теоремы Жордана возможно потребует больших затрат вычислительных ресурсов, чем представляется изначально.
Дело в том, что жорданова цепочка, вообще говоря, может начинаться не с любого собственного вектора, отвечающего конкретному собственному значению. Например, в U3 линейное преобразование, заданное матрицей
О 0 1
ООО, ООО
имеет троекратное нулевое собственное значение и соответствующее ему двумерное собственное подпространство.
Убедитесь непосредственной проверкой, что для собственного вектора || 1 0 0||т присоединенные векторы существуют, а для ||0 1 0||т - нет. То есть для построения жордановой цепочки предварительно надо найти те собственные векторы, для которых уравнения (3.2.2) разрешимы.
3.3.	Неоднородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами
Рассмотрим нормальную линейную неоднородную систему вида
11^)11 = 11^1111^)11 + 11^)11 vtGTc/?1, (3.3.1)
где коэффициенты матрицы ||А|| комплексные константы. Комплекснозначную непрерывную вектор-функцию ||6(£)||, независящую от неизвестных, будем называть для краткости неоднородностью.
Теорема Общее решение неоднородной системы (3.3.1)
3.3.1 представимо как сумма общего решения однородной системы (3.1.1) и частного решения той же неоднородной системы (3.3.1).
88
Доказательство.
Пусть ||х*(£)|| - частное решение неоднородной системы (3.3.1), а ||?/(£)|| - произвольное решение однородной. Тогда
||i*(i)ll = MIIIMWII +11^)11
и ||y(t)|| = 1141111^)11 .
Сложив эти равенства почленно, получим
WWW + IliTOII = МП (|ШП + IMWIl) + WWW,
то есть ||х(£)|| = ||?/(£)|| + ||#*(£)|| _ произвольное решение неоднородной системы (3.3.1).
Обратно, пусть ||х(^)|| - произвольное частное решение неоднородной системы, а ||х*(£)|| - некоторое фиксированное частное решение неоднородной. Сделаем замену неизвест-ной ||яД)|| = \\y(t)\\ + ||x*(t)||. Тогда
шп + 1м*(он = Миши + miimwii + imn,
и, поскольку ||±*(£)|| = ||А||||х*(£)|| + ||6(£)||, получаем
WWW = Mil 1Ш11.
То есть ||?/(£)|| есть решение однородной системы.
Теорема доказана.
Достаточно часто поиск частного решения неоднородной системы удается упростить путем его разделения на более простые (с вычислительной точки зрения) процедуры. Основой такого разделения может служить
Теорема Пусть ||я\1)(£)|| — решение системы (3.3.1) с неод-
3.3.2 нородностью ||6(i)(£)||, а ||х(2)(^)|| — решение системы (3.3.1) с неоднородностью ||&(2)(^)1Ь тогДа
IH0II = 1К1)(Д1 +11^(2)011
будет решением системы (3.3.1) с неоднородностью
IIW4IW0II + IIWMI-
89
Доказательство.
l|i(i)(i)ll = PIIHi)WII + ll&(i)(i)ll
И
||i(2)(i)|| = ||A||||x(2)(i)|| + h2)(0ll-
Тогда
imil = lk(i)(i)ll + l|i(2)(i)|| =
= Kllll^wWII+IHIIII^WII + II^WII+II^WII = = ii4HMi)ii + imii.
||i(t)|| = M||Mi)|| + ||6(t)||.
Теорема доказана.
Таким образом, согласно теореме 3.3.1, для решения неоднородной системы (3.3.1) необходимо (помимо решения соответствующей однородной системы) найти некоторое частное решение неоднородной.
Как и в случае линейного неоднородного уравнения n-го порядка, это частное решение неоднородной системы может быть найдено в квадратурах при помощи формулы общего решения однородной методом вариации постоянных, что доказывает
Теорема Частным решением системы (3.3.1) является
3.3.3 вектор-функция
lk*(t)||=^C-fc(t)kfe)(t)||,	(3.3.2)
к=1
где {||5(1Д)П, ||5(2)(Д|,-.. ,||ff(n)(i)||} -некоторый ба-зис в линейном n-мерном пространстве частных решений однородной системы (3.1.1), а функции Ck(t) находятся из матричного уравнения
п
£dfe(t)||P(fe)(t)|| = ||6(t)||.
к=1
90
Доказательство.
Подставив (3.3.2) в (3.3.1), получим п	п	п
E^feii+Ec*feii = pii E^feii + fell -
k=l	k=l	k=l
n	n
E^feii = Ec* (-fell + ин fell) + fell •
k=l	k=l
Выражения, стоящие в круглых скобках, равны нулю, поскольку каждый базисный элемент ||р(/с)|| есть решение однородной системы (3.1.1.) Поэтому получаем
п
Efe)fewii = feii-
к=1
Теорема доказана.
В случае, когда неоднородности в системе (3.3.1) выражаются только через суммы и произведения вещественных функций atk, eat, cos (3t и sin Д, ее частное решение может быть найдено без использования интегрирования - методом неопределенных коэффициентов. Действительно, при у = а + i{3 оказывается справедливой
Теорема Пусть система уравнений (3.3.1) такова, что
3.3.4	||i(i)|| = ||А||||Д<)|| + ||p(i)||e7*, где
НОН = fell im+fe-i)l|fe + . • .+ ||«(1)1Г+||«(0)|| •
Тогда частное решение системы (3.3.1) имеет вид ||д(£)||е7*, где ||q(^)|| — вектор-многочлен
— степени не выше, чем ///, если у не является корнем характеристического уравнения,
— степени не выше, чем если у является корнем характеристического уравнения, а I — размер максимальной из жордановых клеток, отвечающих этому корню в жор-дановой форме матрицы ||А||.
91
Доказательство.
Приведем матрицу ||А|| к жордановой форме ||J|| тем же преобразованием ||S||, что было использовано в § 3.2 для однородной системы. В этом случае ||S|| есть матрица перехода в пространстве Un от исходного базиса к жорданову, и справедливы соотношения
\т\\ = ||5||||j/(i)|| и |И| = ||5|Г1||А||||5|| .
В результате вместо (3.2.6) получим для жордановой клетки, отвечающей А - корню характеристического уравнения, систему уравнений
11^)11 = 1ИНШН + еЩ|р(ОН,
которая заменой неизвестных по формулам yj(t) = extUj(t) приводится к виду
iii(i) = w2(t) +йС)е(7-А)4 , w2(f) = w3(i) +p2C)e(7-A)t , w3(t) = u4(t) + p3(i)e(7-A)f ,
Ф-Д) = ui(t) + pi-i(t)e^ A)t ,
где Pj(t) - алгебраические многочлены степени не выше, чем т. Из этой системы последовательно находим функции wZ-i(t),... ,u2(i), и1(Д
Если у А, то
t
ui(i) = У pi(s)e^~x^sds = ^(t)e(7-A)f, to
причем степень многочлена qi(t) такая же, что и у многочлена Для других решений ситуация аналогичная. Значит, первое утверждение теоремы справедливо.
Если 7 = А, то	= 1, и при каждом интегрировании
степень многочлена увеличивается на единицу. После I шагов получаем многочлен степени не выше, чем т +1.
92
Из всех жордановых клеток, отвечающих собственному значению А, выбираем клетку максимального размера. Ее I и определяет наибольший порядок алгебраических многочленов
Выполнив обратный переход (как в § 3.2) от функций ||гг(£)|| к функциям ||х(^)|| по формулам
11ЛД1 = няншн >
получим второе утверждение теоремы.
Теорема доказана.
3.4.	Показательная функция матрицы
Рассмотрим квадратные матрицы порядка п. Для них определены операции сравнения, сложения и умножения числа на матрицу. Теперь, если использовать умножение и обращение матриц, можно определить и операцию возведения матрицы в степень с любым целым показателем.
Определение
3.4.1
Степенью fc, где к > 2 - натуральное число, квадратной матрицы || А|| порядка п называется квадратная матрица ЦАЦ^ того же порядка, равная
||A||fc = ||A||.||A||-....||A|| .
к
Кроме того, будем считать, что ||А||° = ||£?|| и ЦАЦ1 = ||А||. Наконец, при det ||А||	0 поло-
жим ЦД1/И1 = ЦАЦ-1 и
II Д|-к = ИГ1 • ИГ1 • И1У
к
при к > 2.
Заметим, что из этого определения следует выполнение при любых целых кит равенства ||А||/с+т = ||АЦ^ЦА||т.
93
Далее, определим для матриц, выполняемых поэлементно, операции предельного перехода, дифференцирования и интегрирования. То есть дадим
Определение
3.4.2
Пусть элементами матрицы ||А(£)|| являются функции \/i,j = [l,n], \/t E T. Тогда элементами матрицы
-	lim ||A(t)|| будут числа = lim ^(t);
t—t—
d \\A(B)\\	d
~	------будут функции = — otijft);
t
-	f || A(tz)|| du будут интегралы с переменно
t
ным верхним пределом (t) = f &ij (и) du .
to
Определения 3.4.1 и 3.4.2 позволяют вводить в рассмотрение и другие, более сложные функции матриц, используя для их описания ряды, то есть суммы с неограниченным числом слагаемых.
Отметим, что здесь (как и ранее) нижний индекс в круглых скобках является номером, в данном случае слагаемого в сумме.
Определение
3.4.3
Матрица \\В\\ называется суммой матричного +оо
ряда 52 Ш(оИ’ если	числовой ряд
/с=0 +оо
52 составленный из Д-х элементов матриц /с=0
||A(/c) ||, сходится к Д-му элементу ||В||.
Аналогичным образом определяются понятия абсолютной сходимости матричного ряда, а также равномерной сходимости рядов, составленьем из матриц, элементами которых являются функции.
Здесь же отметим, что, в силу определений 3.4.2 и 3.4.3, для матричных рядов оказываются справедливыми аналогичные доказанным в курсе математического анализа теоремы о непрерывности суммы ряда, а также о возможности его почленного дифференцирования и интегрирования.
Для дальнейшего анализа условий сходимости матричных рядов оказывается полезным
94
Определение
3.4.4
Нормой матрицы ||А|| называется число (||А||), равное max |ад?|.
гД=[1,п]
Теорема Если (||А(£)(£)||) < а^\/к = 0,1, 2,..., Vt Е Т и Ma-
В.4.1	+2?
жорирующий ЧИСЛОВОЙ ряд 22 ак сходится, то
к=0
+оо
матричный ряд	СХОДИТСЯ абсолютно
/с=0
и равномерно на множестве Т.
Доказательство.
Следует из определений 3.4.3 и 3.4.4, а также соответствующих свойств функциональных рядов.
Теорема доказана.
Имеет место
Теорема Для любой квадратной матрицы ||А|| и каждого
3.4.2 р > 0 матричный ряд
/с=0
tk\\A\\k к\
(ЗЛ1)
сходится абсолютно и равномерно в круге \t\ < р комплексной плоскости.
Доказательство.
Согласно определению 3.4.4, для любой квадратной матрицы || А|| существует неотрицательное число М = (||А||), для которого |с^| <	= [1,п]. Оценим, исходя из правила
умножения матриц, норму матрицы ||А||2. Поскольку
и
п
IIл||2 = ||А|| • ||4||, то а0(2) = ^2aigasj
5 = 1
п
laij(2)l 52|«Л1аЛ < пМ2 .
5 = 1
Действуя аналогично для больших степеней матрицы ||А||, по индукции получаем |c^(fc)l — пк~ХМк.
95
В силу определения 3.4.3 сходимость матричного ряда (3.4.1) равносильна сходимости числовых рядов
Too j-A;
t aij(k) _ x ,
2- k\ ~ +
k=0
, ^2q^(2)	/о л 9\
1!	+	2|	+	3|	+••• (4.4.2)
для всех = [1,п]. В этой формуле слагаемое есть символ Кронекера.
Сходимость каждого из рядов (3.4.2) следует из сходимости мажорирующего числового ряда
рМ р2пМ2 ’1Г + 2!
к\
который сходится по признаку д’Аламбера (проверьте это самостоятельно!).
Наконец, используя утверждение теоремы 3.4.1, приходим к доказываемому результату.
Теорема доказана.
Определение
3.4.5
Показательной функцией (или экспонентой матрицы ||А|| называется сумма матричного ря да
vTI< iipim MILIITIT ину 2-	= 11^11 + — + ТГ+ ^г+
Согласно этому определению и правилу умножения числа на мат-
рицу, сумма матричного ряда (3.4.1) будет иметь вид
||р|| Ш|1 mi2
2^	= ||£|1 + ЛГ+
/с=0
(3.4.3)
Основные свойства матричной экспоненты описывает
96
Теорема Пусть ||А|| и \\В\\ — квадратные матрицы поряд-
3.4.3 кап. Тогда для матричной экспоненты справедливы равенства:
- если ||А|| • \\В\\ = ||В|| • ЦАЦ, ТО	е1|А|| + ||В|| = е||А||е||В||.
_	е*||Л|| = ||Л|| et||A|| .
Доказательство.
Докажем первое утверждение теоремы.
Имеем, с одной стороны,
еИ|| е\\в\\ =
+ оо +оо
= ££Pfem||<l|BF
/с=0 т=0
С другой стороны,
1|А||+||В|| = ||Я+ И1 + ИД1 , (И1 + 11Я)2
+ оо +оо
= EE^ii<iibh
(3.4.5)
/с=0 т=0
поскольку из коммутируемости матриц ||А|| и \\В\\ следует справедливость матричного аналога формулы бинома Ньютона, то есть равенств вида
(||Л||+||В||)2 = (||Л||+||В||)(||А||+||В||) =
= |Ц||2 + ЦАЦ ||В|| + ||В|| II All + ||В||2 = ЦАЦ2 + 2ЦАЦ 11Д| + ||В||2
и им подобным.
97
Таким образом, матрицы ||А|| и ||В||, в предположении коммутативности их произведения, по алгебраическим свойствам не отличаются от чисел. Значит, вид разложений (3.4.4) и (3.4.5) не зависит от того, являются ли ||А|| и \\В\\ числами или матрицами.
Сравним теперь значения коэффициентов д^т и исходя из факта, что разложение функции в степенной ряд, если существует, то единственно. Это дает
9кт =	\/к, т = 0,1, 2, 3,...,
то есть выражения (3.4.4) и (3.4.5) совпадают.
Убедимся теперь в справедливости второго утверждения теоремы.
Поскольку в нашем случае матричный ряд (3.4.3) сходится на множестве Т, а ряд, составленный из производных его членов, сходится равномерно к производной от суммы ряда, его можно почленно дифференцировать. Поэтому
4e^ii_l(|io + ^+!W + W+ )_ dt ~ dt 11 + 1! +	2! +	3!	+--J “
|М|| , t|H|p i2||< Г||А||4 1
- ИН +	+ • • • -
чи|(||т^+^+рД...) =
= |Ц|| е‘ИЛ11 .
И мы приходим к заключению о справедливости второго утверждения теоремы.
Теорема доказана.
Следствие Матрица ||X(t)|| = является решением зада-
3.4.1 чи Коши для однородной системы уравнений
Й|| = И||||хц
с начальным условием ||Х(0)|| = ||£||.
98
Доказательство.
Очевидно, вытекает из второго утверждения теоремы 3.4.3.
Следствие доказано.
Иными словами, следствие 3.4.1 утверждает, что столбцами матрицы е*НлН являются частные решения однородной системы уравнений ||±|| = || А|| ||а;||, начальные условия для которых суть столбцы единичной матрицы. Такие решения, очевидно, линейно независимые и образуют базис в п-мерном линейном пространстве частных решений этой системы уравнений, что, очевидно, позволяет находить и общее решение этой системы уравнений.
Значит, общее решение однородной системы (3.1.1) (в силу теоремы 3.1.1) может быть представлено с помощью матричной экспоненты в виде
^l(t) Я2(£)
Щг)
где Ci, С2, • • •, Сп - произвольные комплексные числа.
Другим способом вычисления матричной экспоненты (альтернативным следствию 3.4.1) служит формула (3.4.3). Однако ее использование в случае произвольной матрицы ||А|| является непростой задачей. Значительно более эффективным (с вычислительной точки зрения) методом нахождения е1 оказывается алгоритм, основанный на следующих двух леммах.
Лемма
3.4.1
Если матрица \\D\\ диагональна, то есть имеет вид
\\D\\ =
Ai	О	О
О	Д2	О
О	О	А3
ООО
ООО
О	О
О	О
О	О
An-i	О
О	Ап
99
ТО е||^|| =		ООО • о 4 SD ООО	•	й	о эт О о <	•	о	о 0^0	•	о	о < о о	•	о	о	
Доказательство.
Следует из определения (3.4.5) и правил умножения матриц.
Лемма доказана.
Лемма Пусть матрицы ||А||, \\В\\ и ||S|| — квадратные, по-s. 4.2 рядка п, и пусть матрица ||S|| имеет обратную.
Тогда если ЦАЦ = ||5||||В||||S||-1, то
е‘||л|1 = ||S||e‘l|B|l||S'||-1 Vi € Т.
Доказательство.
Имеем
|Щ| = IISIIIIBIHISII-1 ,
mu2 = mu mu mr1 • miiiiBiimir1 = mu mrmir1,
mu3 = miimiimr1 • mu ih2 mr1 = mu iKmir1, 'чййг'-‘ 'm	" miiiiBipmii-1,
Подставляя в формулу (3.4.3)	= ||S||||^||||aS||—1, полу-
чаем
е^ц = miimiimir1+£ ^miiiiBirmir1 =
К!
k=l
= mu (mil+£Йт||Ч тг1 = mii^'mir1 •
\ k=l К' /
Лемма доказана.
100
Из курса линейной алгебры известно, что если в Un существует базис из собственных векторов матрицы ||А||, то матрица
нт = ||sr1p||||s||
(где ||S|| есть матрица перехода от исходного базиса к базису из собственных векторов) диагональна. Построив этот базис и вычислив матрицы ||S|| и \\D\\ (см. лемму 3.4.1), используя лемму 3.4.2, найдем искомую матричную экспоненту по формуле
et||A|| = ||5||et||O|| Ц5Ц-1 .
В случае, когда базис из собственных векторов матрицы || Л|| не существует, всегда возможно, согласно теореме 3.2.2 (Жордана), перейти (при помощи невырожденной матрицы перехода ||S||) к базису, в котором матрица ||Л|| будет иметь нормальную жорданову форму ||J||, то есть иметь блочно-диагональную структуру, составленную из жордановых, размера I х /, клеток (3.2.1) вида
|Ц(А) II =
А	1	0	...	0	0	0 0	А	1	...	0	0	0 0	0	А	...	0	0	0 0	0	0	...	А	1	0 0	0	0	...	0	А	1 0	0	0	...	0	0	А
Покажем теперь, что экспоненту жордановой клетки можно найти, не вычисляя сумму какого-либо ряда. Действительно,
£||Л(А)|| = £А||Е|| + ДЛ(0)||, где
О	1	О
О	0	1
ООО
ООО
ООО
ООО
1И(0)|| =
ООО
ООО
ООО
О	1	о
О	0	1
ООО
Матрицы \\Е\\ и || Ji(0)||, очевидно, коммутируют, поэтому (согласно теореме 3.4.3)
et\\JiW\\ = ДАЦВЦ+tllД(0)|| = etA||B|| . et\\Д(0)|| .
101
Первый сомножитель легко вычисляется при помощи леммы 3.4.1.
Второй найдем при помощи формулы (3.4.3):
—|— схэ -f-k
е4||Л(0)П =У2 -||Jz(0)||fe.	(3.4.6)
/с=0
Заметим, что согласно правилу умножения матриц
О О
О О
О О
|Ц(0)||2 =		 0	0 0	0 0	0
1	...	0	0	0 0	...	0	0	0 0	...	0	0	0
0	...	0	0	1 0	...	0	0	0 0	...	0	0	0
1И(о)Г2
ООО
ООО
ООО
О	1	о
О	0	1
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
inwr1
ООО
ООО
ООО
О 0	1
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
ООО
То есть при каждом последовательном увеличении показателя к наддиагональ из единиц в || Л(0) ||к укорачивается на единицу и сдвигается вправо на один столбец.
При к = I матрица || J/(0)||fc оказывается нулевой и ряд (3.4.6) обрывается, превращаясь в обычную сумму с конечным числом слагаемых.
102
В итоге получаем, что
I1 4-к e*||^(o)||=£_||J;(o)||fe = /с=0
	1 0 0	t TI 1 0	t2 2! ’ t TI ’ 1 ..	tl~3  а-з)! ti~4	tl~2 (/-2)! tl~3	t1-1 (/-1)! tl~2	(3.4.7)
				•• (/-4)! tl~5 • (/ — 5)!	(/-3)! tl~4 (/-4)!	(/-2)! tl~3 (/-3)!	
					t	't2	
	0	0	0	..	1	TI	2! t	
	0	0	0	..	0	1	TI	
	0	0	0	..	0	0	1	
Вычисляя аналогичным методом экспоненты всех жордановых клеток матрицы || J||, из которых составлена клеточно-диагональная матрица и возвращаясь в исходный базис, используя формулу
et||A|| = ||5||et||J|| Ц5Ц-1 5
получаем искомую экспоненту матрицы £||А||.
Проиллюстрируем изложенную теорию следующим примером.
Задача Найти е^1лН , если ||А|| =
3.4.1
Решение. Решим задачу двумя способами.
В первом способе воспользуемся следствием 3.4.1. Для этого нам нужно решить указанные в нем задачи Коши, для чего вначале найдем общее решение системы уравнений вида
±i(i)
X2(t)
3 -1
1 1
жД)
X2(t)
(3.4.8)
103
Матрица ||А|| имеет (проверьте это!) двукратное собственное значение Лц2 = 2 и соответствующее ему одномерное собственное подпространство, базисом в котором является собственный вектор ||/z(i)|| = ||1 1||т. По формулам (3.2.2) найдем присоединенный вектор ||/z(2)|| = = ||^7i ЫЛ который в нашем случае определяется из системы линейных уравнений
1 -1	т
1 -1	т
Щ-г]2 = ^
1
О
Используя (3.2.8), запишем общее решение системы (3.4.8) в виде
МО
МО
= cie2t
+ C2e2t }
1
О
или в координатной форме
Д = Cie2t + C2e2t (t + 1), ж2Д = Cie2t + C*2e2ti .
Из общего решения находим нужные решения задач Коши.
Из
Ж1(0) ж2(0)
Д + С2 — 1
Д = О,
Г Д = о, t 6*2 = 1,
1
О
то есть

1
1
t + 1 t
Аналогично,
из
Ж1(0) ж2(0)
О
1
Д+Д = 0,	( Сг = 1,
Д = 1,	\ с2 = -1,
104
откуда
X1W)
4(0
i
i
i о
—t
i -t
Наконец, следуя правилу, указанному в формулировке следствия 3.4.1, составляем искомую матрицу
et||A|| = e2t
t + 1 ~t
t 1 -t
Во втором варианте решения задачи приведем матрицу к жордановой форме и затем воспользуемся леммами 3.4.1 и 3.4.2.
Согласно теореме 3.2.2 (Жордана) жорданов базис в рассматриваемом случае состоит из элементов ||/zi|| и ||/г2||-Значит, ||S|| - матрица перехода от исходного базиса к жорданову, будет иметь вид
PII =
поскольку ее столбцами служат координатные представления элементов нового базиса. Как известно, матрица перехода невырожденная, поэтому обратная ей матрица существует и единственна:
1НГ1
о 1
1 -1
Переход к жордановой форме осуществляется по правилу
\\j\\ = lisirimiiisii,
что дает жорданову клетку
Ш =
О 1
1 -1
3 -1
1 1
1 1
1 о
2 1
О 2
В нашем случае А = 2 и I = 2, поэтому из (3.4.7) и из £||Л(А)|| = А£||Е||+£||Л(0)|| следует
105
et\\ J2 (A)ll = e2f||B||+t|| J2(0)|| = e2f||B|| . et\\ J2(0)|| =
e2t 0
0 e2t
1 t
0 1
1 t
0 1
= e2t
Наконец, по формуле = ||S|| e^JH||S|| 1 получаем
Решение получено.
ef||A|| = e2t	1 1 0 1	1 t 0 1	0 1	1 -1
2t	1+t	—t		
= е	t	1 -t '		
3.5. Элементы операционного исчисления
Операционное исчисление, или метод Хевисайда, является одним из наиболее эффективных алгоритмов решения линейных дифференциальных уравнений (и систем уравнений) с постоянными коэффициентами. Приведем его краткое описание.3
Определение
3.5.1
Определение
3.5.2
Оригиналом называется функция f(t) такая, что
1° f(t) = 0 при t < 0 и она непрерывна при t > 0, за исключением, быть может, конеч-
ного числа точек;
2° для каждой /(£) существуют константы М и а такие, что |/(£)| < Meat при t > 0.
Функция F(p) (зависящая от комплексной переменной р) вида
+оо
F(p) = I	(3.5.1)
О
называется изображением функции /(£), или же преобразованием Лапласа функции f(t), что кратко записывается как f(t) = F(p).
3Строгое и полное описание этого метода можно найти, например, в [6].
106
Сформулируем основные свойства преобразования Лапласа в виде следующего набора утверждений.
Лемма В условиях определения 3.5.1 несобственный ин-3.5.1 теграл (3.5.1), очевидно, сходится в комплексной полуплоскости Rep > а.
Доказательство.
Справедливость утверждения леммы вытекает из следующей оценки. При а — Rep < 0 имеем
Too	+оо
I	< +оо.
О	о
Лемма доказана.
Лемма Несобственный интеграл (3.5.1) является в обла-3.5.2 сти своего существования бесконечно дифференцируемой функцией.
Доказательство.
Обоснование утверждения леммы основано на определении производной от функции комплексного переменного и потому рассматривается в курсе ТФКП.
Лемма доказана.
Теорема Преобразование Лапласа линейно. 3.5.1
Доказательство.
Пусть f(t) = F(p) и g(t) = G(p), а а и {3 - постоянные, тогда, в силу линейности операции интегрирования,
«/(<) +	.= аГ(р) + fiG(p) .
Теорема доказана.
Теорема Изображение производной имеет вид
3’5'2 .
107
Доказательство.
Пусть к = 1, тогда, интегрируя по частям и используя определения 3.5.1 и 3.5.2, получаем
+оо
/Д) = I e~ptf'(t)dt =
О
=
рГ(р)-/(+0) .
Применим индукцию. Пусть доказываемая формула верна для к = т. Покажем, что тогда она будет верна и для к = т + 1. Действительно, пусть g(f) =	тогда
/(т+1) (*) = </(*) .=	- </(+0) =
= р pmF(p) -	- ... - /(m“1)(+0)
/(m)(+0) •
Теорема доказана.
Теорема Для любого s > 0 f(t — s) = е psF(p) .
3.5.3
Доказательство.
Поскольку f(t — s) = 0 при t < s, то, сделав замену переменной t — s = и, получим
+оо
f(t - s) = У e~ptf(t — s)dt = О
+оо
у e-p(M+s)y^) du = e-psF^ .
О
Теорема доказана.
Из определения 3.5.2 следует, что изображение для каждого оригинала существует и единственно. При этом естественно возникает во
108
прос: всегда ли по изображению можно восстановить оригинал? Ответ на этот вопрос дает доказываемая в курсе ТФКП
Теорема Оригинал по изображению восстанавливается 3.5.4 единственным образом, с точностью до значений в точках разрывов, и определяется формулой
c+iw
f(t) = lim [ etpF(p) dp .
c—iw
(3.5.2)
В формуле (3.5.2) интеграл берется на комплексной плоскости по любой прямой Re z = с > а .
Рассмотрим теперь применение операционного исчисления для решения линейного дифференциального уравнения
y(n) + aiy(n-1) +  •  + ап-!р' + апу = b(t) (3.5.3)
(или L(D)y(t) = b(t)) с комплексными постоянными коэффициентами в случае, когда b(t) есть квазимногочлен при t > 0. Начальные условия будем считать известными:
2/(+0) = С1, Д+0) = С2, Д(+0) = Сз, ..., 2/п“1(+0) = Сп . (3.5.4)
Согласно теоремам 2.5.1 и 2.5.2, y(t) - каждое решение этого уравнения для неотрицательных t, также есть квазимногочлен. Доопределим значения функций b(t) и y(t) тождественными нулями при t < 0. Тогда эти функции являются некоторыми оригиналами, поскольку пункт 2° определения 3.5.1 выполняется для квазимногочленов очевидным образом.
Пусть b(t) = В (у) и y(t) = Y(p). Применяя преобразование Лапласа (в комплексной полуплоскости Rep > сць т0 есть в которой оно существует) к обеим частям уравнения (3.5.3) и учитывая условия (3.5.3), в силу теоремы 3.5.2 получаем
(рп + aip"-1 + ... + ап_рр + а„) Y(р) - Н(р) = В(р)
или Т(р)У(р) — Н(р) = В(р) ,	(3.5.5)
где Я(р) = pn-rC^pn-2C2Y.. .+pCn_!+Cn+
(рп 2Ci + рп 3С*2 + ... рСп_2 + Cn-i)+.. .+an_iCi .
109
Уравнение (3.5.5) относительно У(р) линейное и алгебраическое. Его решение при Rep > ад есть
В(р) + В(р) Г(р)
Хотя оригинал y(t) по найденному изображению Y(р) можно получить при помощи формулы (3.5.2), удобнее поступить иначе: воспользоваться взаимной однозначностью связи оригиналов и отображений, допускающей «подбор» решений при помощи таблицы 3.5.1, основой которой служит
Лемма
3.5.3
Справедливо соотношение
+оо
= / e-^Vdt = о
к\
(р - А)^1 ’
Доказательство.
Интегрируя изображение последовательно к раз по частям, получаем
Too
О
= —------tk +	------ / е x^tk 1dt =
Х-р	Р-Х J
°	о
+оо
= Д [	= ... =	Д, .
p-XJ	(р- А)/с+1
о
Лемма доказана.
Содержимое таблицы 3.5.1 получается из формулы, полученной в лемме 3.5.3, и формулы Эйлера е/аЛ = cos wt -\-isinwt. Функция У(р) дробно-рациональная и всегда может быть разложена на простейшие дроби, подобные представленным в таблице 3.5.1.
110
Наконец, линейность преобразования Лапласа и взаимная однозначность сопоставления оригинала и изображения позволяют находить решение как уравнения (3.5.3) для любого квазимогочлена b(t\ так и системы линейных дифференциальных уравнений.
Таблица 3.5.1
Оригинал	Изображение	Оригинал	Изображение
tkext , /с=0,1,2,...	fe!	t cos cut	p2 — cu2
	(p - A)fe+!		(p2 + CJ2)2
chcj£	p p2 — CJ2	t sin out	2pcu (p2 + CJ2)2
shcj£	^3 № 1 E E №	ext cos cut	P~A (p — A)2 + cu2
sin/; t	arcctgp	ext sin cut	cu
			(p — A)2 + cu2
Заметим также, что в случае, когда начальные условия не заданы, операционный метод дает общее решение уравнения (3.5.3), выраженное через п произвольных комплексных констант Ст, С2, ..., Сп.
Следующие примеры демонстрируют практическую эффективность операционного метода.
Задача Решить задачу Коши:
3.5.1
х" + cjq х = A cos cut
при х(0) = а/(0) = 0 ,
где c<Jo > 0, си>0иЛ^0 - некоторые константы.
111
Решение. Пусть x(t) = Х(р). Воспользовавшись таблицей 3.5.1 и приравняв изображения от обеих частей данного уравнения, получим
(р2 + Д) Х(р) = 2^ 2 
Откуда vf \ Av х(р) = (р2 + Д) (р2 + W2) 
Если си с<Д) (то есть если мы имеем нерезонансный случай), то, разложив найденное изображение на простейшие дроби
х( х А	( Р__________Р )
Д — W2 ур2 + w2 Р2 + Ду
из таблицы 3.5.1 получаем
^4
х(£) = —-----— (coscj£ — COSCJq^) •
CJq —
Если же со = cjq (резонансный случай), то
Х(р) =
Ар
(р2 + Д Г
и опять-таки по таблице 3.5.1 находим, что
Решение
получено.
Задача
3.5.2
x(t) = -— t sincjQ^ • 2c<Jo
Решить задачу Коши для системы линейных уравнений
х = — х — 2у + 2е * , у = Зх + 4у +
при х(0) = у(0) = —1 .
112
Решение.
Пусть x(t) = Х(р) и y(t) = Y(p). Поскольку собственные числа основной матрицы системы Ai = 1 и А2 = 2, то изображения неизвестных будут существовать (покажите это самостоятельно!) в комплексной полуплоскости Rep > 2 = max{ —1, 1, 2}.
Применив преобразование Лапласа к обеим частям каждого уравнения системы, получим
рХ-(-1) = -Х-2У+—
<	Р+1
рУ-(-1) = ЗХ + 4У+—
I	р+1
Следовательно, для изображений неизвестных мы имеем систему линейных уравнений
(р+1)Х + 2У = -^Л1,
J	р+1
-М + (р-4’5' = -гД.
решения которой легко находятся и имеют вид
_	- Р2 + 7р - 4
<	(р+1)(р2 - Зр + 2) ’
Y(	- Р2 - 4р + 3
,	{Р)~ (р + 1)(р2 — Зр + 2) ’
Разложения этих изображений на простейшие дроби дает
'	2	12
<	р+1	р-1 + р-2’
у(р) = -2— +—-—.
w р+1	р-1	р-2
Наконец, используя линейность преобразования Лапласа и таблицу 3.5.1, по полученным изображениям восстанавливаем оригиналы искомых функций, которые являются решением задачи Коши:
Решение
получено.
x(t)
—2е * — el -h 2e2t , е~* + et - 3e2t .
113
Глава 4
Задача Коши
4.1.	Постановка задачи Коши
Определение
4.1.1
Нормальной системой дифференциальных уравнений порядка п >2 называется система уравнений вида
У2Г(х) =	f2(x,y1(x),y2(x),...,yn(x)) ,
ч Уп(х) =	fn(x,y1{x),y2{x\...,yn(x)')
или же в векторной форме
у'Ц) = 7(ж,у(ж)) ,
где х 6 [а, Ь] - независимая переменная, функции
||у(Щ| = II У1Ц) УгЦ) ... уп(х) ||т
суть неизвестные, а компоненты вектора /
II Ж У) 11 =
/1 (х,у1,у2,...,уп) h(x,yi,y2,... ,уп)
fn (X, уг, у2, ...,Уп)
- заданные, непрерывные в некоторой непустой области G С Еп+1, функции от п + 1 переменной.
114
Определение
4.1.2
Вектор-функция ?/*(х) называется решением задачи Коши, если
- у*(х) непрерывно дифференцируема на [а, Ь\;
-для верно:
- У* Ц) = ЛХ 2/*(Ц) Vx G
е G Vx е [а, Ь] ;
а, Ь]	(4.1.1)
и, кроме того, выполнены начальные условия:
У*(хо) = у0 , х0 е [а, Ь] ,
(4-1.2)
Рассмотрим теперь систему интегральных уравнений
#(Х = Уо +
(4.1.3)
Вектор-функцию у(х) назовем решением этой системы, если
у(х) непрерывно дифференцируема на [а, Ь] ; у(х) удовлетворяет условию
е G \/х е [а, Ь]
- у(х) =у0+ f f{u, у(и)) du Ух е [а, 6].
ХО
Для задачи Коши оказывается справедливой
Теорема Для того чтобы вектор-функция у*(х) являлась 4.1.1 решением задачи Коши (4.1.1) — (4.1.2), необходимо и достаточно, чтобы у*(х) была решением системы интегральных уравнений (4.1.3).
Доказательство.
Пусть у*(х) есть решение задачи Коши. Тогда интегрирование от xq до х тождества
у'(х) = ЛХ<7(Ц) Vx £ [а,Ь]
дает тождество (4.1.3), поскольку верно равенство (4.1.2).
115
Обратно, из непрерывности подынтегральной функции в тождестве (4.1.3) следует, что его можно дифференцировать по х - верхнему пределу интегрирования. Это дает тождество (4.1.1). Наконец, из условия (4.1.3) следует при х = хо, что j/(xo) = уо-
Теорема доказана.
4.2.	Принцип сжимающих операторов
Вначале напомним несколько определений из курса математического анализа.
Если каждому элементу х некоторого линейного пространства Л поставлено в однозначное соответствие неотрицательное (называемое нормой х) число (х) такое, что Vx, у 6 Л и любого вещественного числа А справедливы соотношения:
1° (Ах) = |А| (х) (однородность нормы) ;
2° (х + у} < (х) + (у) (неравенство треугольника) ;
3° (х) = 0 х = о,
то такое линейное пространство называется нормированным.
Отметим, что нормированное пространство является метрическим с метрикой (то есть расстоянием между элементами), определяемой по формуле
р(х,у) = {х-у) .	(4-2.1)
Напомним также, что метрическое пространство, в котором каждая фундаментальная последовательность сходится, называется полным, а полное (в смысле метрики (4.2.1)) нормированное линейное пространство называется банаховым.
Рассмотрим теперь некоторый оператор Ф с множеством определения U, принадлежащим банахову пространству X, и со значениями в том же пространстве. Иначе говоря, Ф есть преобразование вида
Ф : U С X X.
Дадим следующие определения.
Определение
4.2.1
Элемент х* 6 U называется неподвижной точкой преобразования Ф, если
116
Определение
4.2.2
Определение
4.2.3
Оператор Ф называется сжимающим преобразованием на множестве U, если существует число q Е (0,1) такое, что
Фж - Фу) < q{x — у} \/х, у е U .
Число q в этом случае называется коэффициентом сжатия.
Оператор Ф называется непрерывным на xq Е U, если Vs > 0	> 0 такое, что Vx Е U§£(xq)
справедливо неравенство
Фх — Фхо ) < s.
При этом оператор, непрерывный на каждом элементе множества U, называется непрерывным на этом множестве.
Заметим, что каждый сжимающий оператор является непрерыв-£
ным на множестве ?7, поскольку выбор по правилу S£ = - обеспечи-Q
вает выполнение условий определения 4.2.3. Проверьте это самостоятельно.
Иллюстрацией определений (4.2.1) и (4.2.2) может служить
Задача В X - линейном пространстве функций х(£), непрерыв-4.2.1 ных на промежутке [0,1], - с нормой
(x(t)) = max I x(t) I, te[o,i]
найти коэффициент сжатия и неподвижную точку для оператора Ф, действие которого определяется формулой
Фх(£) = 1 +t2
1
о
117
Решение. Рассмотрим последовательность элементов в пространстве X, заданную соотношением x^(t) =	где
к - натуральное число. Пусть x^(t) = 1, тогда
1
Ф^(!) (t) = 1 + t2 у* и du = 1 + -t2 . о
Аналогично
1 / х
//	1 \	5
и 1 + -и2 du = 1 + -t2 \	2	I	8
ох 7
и
1	/	X
//	5	\	21
и I 1 Н—и2 I du = 1 Н-t2 .
\	о /	32
0 х	7
Графики нескольких первых членов этой последовательности показаны на рис. 4.1.
Предположим, что данная последовательность сходится к функции x*(t) = 1 + At2, которая есть неподвижная точка рассматриваемого оператора. Число А определим из условия x*(t) = Фх*(£), которое в рассматриваемом случае имеет вид
1
1 + At2 = 1 + t2 У и (1 + А u2) du . о
2
Проверьте самостоятельно, что отсюда следует А = -.
3
Убедимся теперь в сжимаемости оператора Ф. Поскольку в нашем случае метрика задается формулой
р(х,у) = ДД - УХ)} = max
te [0,1]
ДО - уХ)
118
то оказывается полезной оценка: Vx(£), y(t) Е X.
о
= у < аД) -	> •
Наконец, при t Е [0,1]
I	I	t2
max Фх(<) - ФуД < — < x(t) - y(f) > ,
£Е[и,1] I	I
что окончательно дает
- Фу(ф < ^(x(t) - y(t)} .
Значит, оператор Ф сжимающий, с коэффициентом сжа-
Решение	]_
получено. тия = 2 *
Рис. 4.1. К решению задачи 4.2.1
119
В общем случае оказывается справедливой (называемая в математической литературе принципом сжимающих операторов)
Теорема
4.2.1
Пусть оператор Ф является на Ur{xo) С X — замкнутом шаре радиуса г с центром на элементе хо — сжимающим преобразованием с коэффициентом сжатия д, И пусть при этом выполнено условие
(фх0 -ХО) < (1 -q)r .
Тогда в Ur(xo) С X существует единственная неподвижная для Ф точка х* такая, что
—	последовательность хд^ = Ф^(то-1) (где т = = 1,2,...) сходится к х*;
—	при этом оценка скорости сходимости имеет вид ( Х(т) — х* } < дшг.
Доказательство.
Вначале покажем, что вся последовательность {х(т)} лежит в шаре Ur(xo). Действительно, \/х Е Ur(xo) имеется оценка
Ф х — хо ) < ( Ф х — Ф Хо
+ ( Фх0 - Хо ) <
< д {X - Хо } + (1 - q)r < gr + (1 - д)г = г .
Из произвольности х Е Ur(xo) следует, что вся последовательность {х(т)} лежит в шаре Ur(xo).
Введем обозначение а = (1 — д)г и последовательно получим оценки
( Х(1) -хо) = (Фжо-жо\<а,
(х(2) -Х(1) } = Дж(1) - Фж0 ) <?{z(i) - Хо) < aq,
<У(з) -Х(2) ) = (Ь(2) - Фх(1) ) <q{x(2) -Ж(1) ) < aq2,
( ж(т+1) - х(то) ) < aqm ,
120
С помощью этих оценок покажем, что последовательность {^(т)} фундаментальна в X.
Действительно, в силу неравенства треугольника
%(т)} —	(m+p) Дт+р—1) ) Т ^-Дт+р—1) ^(т+р—2)}Т
+ ••• + ( ж(то+1) - х(то) ) < a [qm+p 1 + qm+p 2 + ... + qm J = a(qm — qm+p) aqm
1-q	- 1-q’
и, окончательно, из условия a < (1 — q)r получаем, что
{ X(m+p) - Ж(ТО) ) <	< qmr .	(4.2.2)
Из последнего неравенства следует фундаментальность последовательности {дт)}, а вследствие полноты банахова пространства X также и ее сходимость к некоторому элементу х* 6 X. Поскольку правая часть оценки (4.2.2) не зависит от р, то, перейдя к пределу при р —> +сю, получим требуемую оценку скорости сходимости.
Мы уже показали, что вся последовательность {дт)} лежит в шаре ЕД(хо), тогда, положив т = 0 в неравенстве (4.2.2) и перейдя в	< г к пределу при р —> +сю, в силу
замкнутости шара получим, что х* 6 Ur(x$).
Из условия сжимаемости оператора Ф в шаре Ur(x$) следует его непрерывность на этом множестве. Поэтому в равенстве Ф^(то-1) = дт) можно перейти к пределу при т —> +сю и получить, что Фж* = х*. Значит, х* - неподвижная точка оператора Ф.
Осталось убедиться в единственности х* 6 Ur(x$). Предположим, что Фж* =х*и Фх** = х**. Тогда, в силу сжимаемости оператора Ф
(х* -х**) = (фа:* -Фа:**) <q (х* - а:**),
но это возможно лишь при X** = X*.
Теорема доказана.
121
4.3.	Существование и единственность решения задачи Коши
В этом параграфе мы сформулируем и докажем основную теорему о существовании и единственности локального решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравнений n-го порядка (см. определения 4.1.1 и 4.1.2.)
Предварительно дадим
Определение
4.3.1
Будем говорить, что вектор-функция F(x,y) при
X
У
&GQ E"+l
удовлетворяет условию Липшица относительно у равномерно по х Е [а, 6], если 3L > 0 такое, что
у(1)) - Дж, #(2))) < L { yW -	)
У(1)
^(2)
Е G . Число L в этом
случае называется константой Липшица.
Е G и V
Из курса математического анализа известно, что в нормированном конечномерном линейном пространстве все нормы эквивалентны, поэтому далее (для упрощения рассуждений) под нормой элемента у(х) рассматриваемого банахова пространства n-мерных вектор-функций мы будем понимать число
Щж)) = max max |т/Щ)| .
k= [1 ,п] a?G[a,fe]
Тогда будет справедлива
Лемма Если у(х) непрерывная на [а, Ь] вектор-функция,
4.3.1 то имеет место неравенство
122
Доказательство.
Имеем оценку
yk(x)dx < / \ук(х)\ dx < / { у(х)) dx = (у(х)) \b - а\ ,
которая верна \/к = [1,п].
Следовательно, она верна и для максимальной по к левой части и потому утверждение леммы справедливо.
Лемма доказана.
Приведем теперь доказательство теоремы Коши в ее общем вари-
анте.
Теорема Пусть в области G С Е71^1 вектор-функция f(x,y) 4.3.1
(Коши)
— непрерывна,
— на каждом компакте в области G удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица, равной L.
Тогда V
Уо
Е G найдется 6 > 0 такое, что на
отрезке [ х$ — 6, х$ + 6 ] существует и притом един-ственное решение задачи Коши:
у' = fa,у), у(х0) = Уо .
Доказательство.
Согласно определению нормы для любой замкнутой и ограниченной области Q С G существуют числа М > 0 и L > О такие, что
(f(x,y)}<M V
е Q,
поскольку вектор-функция f(x,y) непрерывна в Q и
< L{y-z} \/
X
z
е Q >
123
так как f(x,y) удовлетворяет условию Липшица.
Рассмотрим в £?n+1 замкнутый цилиндр
___ I X СЕ [ Xq 3^, Xq ~I- Зр ] , 1 г ~ [ (У-Уо) < г •	J
В последней формуле пусть параметр
г ^г = м + Ьг'
а положительное г возьмем, в свою очередь, настолько малым, чтобы Qr С G.
Геометрическая интерпретация сделаного выбора параметров для п = 1 показана на рис. 4.2.
На множестве Хг - вектор-функций непрерывно дифференцируемых на отрезке [xq — xq +	], - построим оператор,
действие которого определяется формулой
$27= Уо + У f(u,y(u))du .	(4.3.1)
ХО
Тогда система интегральных уравнений (4.1.3) может быть записана в виде у(х) = Ф у(х). Причем этот оператор является сжимающим на замкнутом шаре радиуса тис центром на элементе у$ :
Ur(yo) = {у & хг : {у-уо}<г}.
Действительно, в силу определения нормы, леммы 4.3.1 и условия Липшица справедлива оценка
У(и.
Хо <	L ( у(и) — z(u)) du Xq	< 6rL (Щ) - Дг)) .
124
Сжимаемость следует из очевидного неравенства для коэффициента сжатия:
— 5pL —
Lr
М + Lr<
С другой стороны, в силу леммы 4.3.1 и ограниченности вектор-функции f(x,y) имеем
Wo - Уо ) <
< 6rM = (1 — qr)r.
Заметим, что последнее равенство вытекает непосредствен-
но из формулы 6Г =
г
М • Действительно,
6ГМ =
М
М + Lr
125
Согласно теореме 4.2.1 (принцип сжимающих операторов) оператор Ф имеет в шаре Ur(yo) единственную неподвижную точку являющуюся решением уравнения
= Ф з7*(ж),
которое в свою очередь в силу теоремы 4.1.1 есть решение исходной задачи Коши (4.1.1) - (4.1.2).
Теорема доказана.
Следствие Утверждение теоремы 1.1.1 справедливо.
4.3.1
Доказательство.
Покажем вначале, что если вектор-функция /(£), х 6 Rn (с координатным представлением || /1(х) /2^) ••• fn(%) IIТ) непрерывно дифференцируема в выпуклой, замкнутой и ограниченной области G, то она удовлетворяет условию Липшица.
Из курса математического анализа известно (лемма Адама-ра), что V?/, z е G
fk(y) - fk(z)= (gradfk(^k)),y - *) V/c = [l,n] ,
W f(fc) =	+ (1 - A(fe))£, A(fe) e [0,1], то есть при-
надлежит отрезку, соединяющему у и z.
Тогда
п
\fk(y) - fk(z)\ < 52 -Zj\
3=1
dfk^ dXj
n
< M 52 \yj - Zj\ < nM (y- z) ,
3=1
где M = max max xEG
dfk(x) dxj
126
Окончательно,
(f(y)-f<X)}<L(y-z) ,
где L = пМ.
Таким образом, из условия теоремы 1.1.1 следует выполнение условий теоремы 4.3.1. Поэтому утверждение теоремы 1.1.1, совпадающее с утверждением теоремы 4.3.1, справедливо.
Следствие доказано.
4.4.	Продолжаемость локального решения задачи Коши
В заключительной части § 1.1 было введено понятие продолжения решения задачи Коши. Уточним и расширим это понятие, дав
Определение
4.4.1
Пусть вектор-функция ?/(х), х Е [а,6], - решение задачи Коши (4.1.1) - (4.1.2). Будем говорить, что вектор-функция г(х), х Е [а, В], - частное решение уравнения (4.1.1), является продолжением вперед решения у(х\ если
b < В и г(х) = у(х), х Е [а, Ь].
В случае когда В = -hoc, решение задачи Коши называется неограниченно продолжаемым вперед.
Продолжаемость назад решения задачи Коши определяется аналогично для А < а.
Наконец, решение задачи Коши у(х) называется непродолжаемым на промежутке {а, 6}, если для каждого другого решения щ(х), определенного на промежутке {А, В} и совпадающего с у(х) на {А, В} П {а, 6}, оказывается, что
{А,В}С{щ6}.
127
Имеет место
Теорема	Пусть в области G выполнены условия теоре-
4	.4.1	мы 4.3.1 (Коши). Тогда задача Коши (4.1.1) —
(	4.1.2) имеет единственное непродолжимое решение, определенное на некотором максимальном интервале (а,/3).
Доказательство.
Для простоты сначала рассмотрим лишь случай продолжения вперед. Пусть у(х) - локальное решение задачи Коши,
существование и единственность которого следует из теоремы 4.3.1. И пусть G - замкнутая, ограниченная область. Покажем, что решение может быть продолжено вперед до у - границы G.
Если оказалось, что
Xq -|- Otdr у(%о + абг)
6 у, 0 < а < 1, то дока-
зательство этого утверждения завершено. В противном слу-
чае положим х\ = Xq + дг и решим новую задачу Коши: z' = /(x,z), z(xi) = у(х\). Находим ее решение на отрезке [хо,Х2], где Х2 > х\ и т.д. В итоге мы получаем монотонно возрастающую последовательность {х/Д , которая ограничена сверху в силу ограниченности G. Значит, она имеет предел В = supfx/Д, поскольку G замкнуто.
к
Из ограниченности производной решения задачи Коши следует равномерная непрерывность этого решения. Значит, точка || В z(B) ||т е у и дальнейшее продолжение вперед в G невозможно.
Пусть G не является замкнутой, ограниченной обла-
стью. Аппроксимируем ее изнутри расширяющейся последовательностью замкнутых, ограниченных областей {СДп)}
с границами 7(п) \/п такими, что
С U (п+1) С G. Для каждого п
хо
Уо
решение задачи Коши
£ Г(п) И Г(п)
существует на отрезке [нп,6п], причем

у(ап)

И
Е 7(п) •
128
Последовательность {ап} монотонно убывающая, а {Ьп} монотонно возрастающая. Следовательно, они имеют пределы (быть может, бесконечные), равные а и {3 соответственно.
Таким образом, интервал (а, /3) оказывается максимальным интервалом существования решения задачи Коши в области G.
Теорема доказана.
Из доказанной теоремы следует, что точки графика решения задачи Коши могут подходить сколь угодно близко к границе области G или же уходить в бесконечность, если область G не ограниченна. Иначе говоря, продолжение возможно пока выполняются условия существования и единственности, что иллюстрирует
Задача Найти максимальное непродолжимое решение следую-
4.4.1 щих задач Коши (при п = 1).
Решение. 1°. у' = 1, ?/(0) = О, G = {|?/| < 2, |х| < 1}. В этом случае график решения у(х) = х достигает гра-< 1 ницы области G, а его предельная точка принадлежит этой границе.
2°. Пусть у' = у2 + 1, ?/(0) = 0, а область G = Е2. (7Г 7г\ — — , — I ,
а непродолжаемое на нем решение задачи Коши
Щ)
= tg.T стремится к ±ос при х —> =Ь —.
Решение получено.
3°. у' =-----cos—, у I — I = 1, а область G =
х~ х \ 7Г /
= {х > 0, —ос < у < -hoc}. Решение задачи Коши
у(х) = sin —. Его предельные точки при х —> +0 х
заполняют отрезок [—1,1] на оси Оу.
129
4.5.	Исследование зависимости решения задачи Коши от параметров
В реальных приложениях постановка задачи Коши может зависеть от некоторых параметров, значения которых a priori известны, но с некоторой, вообще говоря, ненулевой погрешностью. В этом случае важно убедиться в том, что малые вариации значений параметров приводят к малым вариациям решения. Данное свойство принято называть корректностью постановки задачи Коши. Найдем условия, гарантирующие наличие данного свойства.
Покажем, что справедливы следующие теоремы о гладкости, непрерывной зависимости и дифференцируемости решений задачи Коши по параметрам. Во-первых, имеет место
Теорема Пусть вектор-функция f(x,y) непрерывно диф-4.5.1 ференцируема в G по всем своим переменным до (О глад- порядка N > 1. Тогда любое решение системы кости) дифференциальных уравнений вида у' = f(x,y) имеет непрерывные производные порядка N + 1.
Доказательство.
При N = 1 теорема верна в силу теоремы Коши. Применим к рассматриваемой системе теорему о дифференцируемости сложной функции. Получим
- = Д.
дх dyi дх i=l
То есть существует непрерывная вторая производная от у.
Пусть теперь N = 2. Снова применив к последнему равенству теорему о дифференцируемости сложной функции, придем к заключению о существовании непрерывной производной третьего порядка и т.д.
Теорема доказана.
Таким образом, чем выше степень гладкости правых частей исходной системы, тем выше степень гладкости ее решений.
Далее, будет справедлива
130
Теорема Пусть р — параметр. Тогда если функции f{x,y,p)
4.5.2	df{x,y,p)
(О не- и -----~q~,- = [1>п1 непрерывны в области G по
прерыв- совокупности всех своих аргументов, то решение ности) задачи Коши
у' = f(x, У,р),	у(хо) = у0
при ||жо у о Poir € G непрерывно по совокупности переменных {х,р} в некотором прямоугольнике:
П =
I X — Хо | < , |р-ро| < 8р.
Доказательство.
Рассматриваемую задачу Коши можно записать в следующем, операторном виде
у = Фу, где Фу = уо + J
х0
Согласно теоремам 4.2.1 {принцип сжимающих операторов) и 4.3.1 {Коши) это уравнение имеет в некоторой замкнутой, ограниченной окрестности у$ в банаховом пространстве непрерывно дифференцируемых функций единственное решение.
Покажем теперь, что в силу сжимаемости оператора Ф решение задачи Коши является непрерывной функцией р. Выберем г > 0 и дг так, как это было сделано при доказательстве теоремы 4.3.1. В этом случае коэффициент сжатия оператора Ф будет равен qr. По следствию 4.3.1 из условия теоремы вытекает, что 3L > 0 такое, что qr = 8rL.
Из теоремы 4.2.1 следует, что рекуррентно определенная вектор-функциональная последовательность
У[к)(х,р) = Уо + f\u, У(к-1)(и,Р),Р
du ,
131
X
р
У(о)(х,р) = уо ,
еп,
сходится к ?/*(х,р), причем (как следует из теоремы 4.2.1):
(У(к)(х,р) ~ У*(х,р)) < (qr)kr , где qr = 5rL < 1 .
Тогда по признаку Вейерштрасса имеет место равномерная по р сходимость:
X
р
У(м(ж>-Р)	У*(х,р) ,
еп,
и из непрерывности	\/к = 0,1,2,... следует непре-
рывность р*(х,р).
Теорема доказана.
Следующая, приводимая здесь без доказательства, теорема устанавливает условия дифференцируемости решения задачи Коши.
Теорема 4.5.3 (О дифференцируемости)
Пусть в области G пространства {х,у,р} вектор-функция f(x,y,p) имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам до порядка N > 1 включительно.
Тогда решение задачи Коши р*(х,р) имеет непрерывные частные производные по всем своим аргументам до порядка N. При этом частная про-ду*
изводная —— является решением задачи Коши др
для уравнения в вариациях по параметру р :
d diT™ df ду£ ! df dx dp “J дук dp dp
с начальным условием
= 0 .
X=Xq
Наконец, также будет верной
132
Теорема Если вектор-функция / имеет в области G непре-4.5.4 рывные частные производные по всем своим аргументам, то решение задачи Коши ?/*(х, хо, ?/о) (как функция начальных условий) будет непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности хо по аргументам х,хо,Уо-
Доказательство.
Сделаем замену переменных: и = х — xq , z = у — у$. Тогда исходная задача Коши
У' = f(x, у) , Що) = Уо	(4.5.4)
примет вид z' = f(u + xq, z + у$) , ДО) = о, или
= g(u, z, х0, уо), z(0) = б.	(4.5.5)
Таким образом, в формулировке задачи (4.5.5) исходные начальные данные хо,^Ь превратились в параметры правой части дифференциального уравнения, а новые начальные условия стали независимыми от параметров.
В силу условий доказываемой теоремы, для задачи (4.5.5) оказываются справедливыми утверждения теорем 4.5.2 и 4.5.3 о непрерывной зависимости и дифференцируемости решения задачи Коши по параметрам. А из равносильности задач (4.5.5) и (4.5.4) следует, что эти условия будут справедливы и для исходной задачи (4.5.4).
Теорема доказана.
4.6. Задача Коши для уравнений, не разрешенных относительно производной
В § 1.5 были обсуждены методы нахождения общего решения уравнений, не разрешенных относительно производной, то есть уравнений вида
F(x,y,y') = 0 .
(4.6.1)
133
Как и раньше, мы будем предполагать, что скалярные функции
/	х dF
F(x, у, d) и	вещественны и непрерывны в некоторой непустой об-
ласти G С Е3 .
Задачей Коши для уравнения (4.6.1), согласно определению 1.5.2, называется задача поиска решения уравнения (4.6.1), удовлетворяю-
щего условиям
2/(жо) = Уо, у'(х0) = d0, где F(x0, уо, d0) = 0.
(4.6.2)
Условия однозначной разрешимости задачи Коши (4.6.1) - (4.6.2) дает
Теорема
4.6.1
dF
ласти G и пусть —— dd
z	х dF
Пусть функции F(x, у, d) и непрерывны в об-
0, тогда найдется (ж0, уо, d0)
6 > 0 такое, что решение задачи Коши (4.6.1) — (4.6.2) существует и единственно на интервале (х0	Хо+£).
Доказательство.
Согласно известной из курса математического анализа теореме о неявной функции уравнение F(x, у, d) = 0 разрешимо относительно d в форме единственной и непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки || хо уо ||т функции d = f(x,y).
Это означает, что задача Коши (4.6.1) - (4.6.2) равносильна задаче Коши вида
у'<Х) = f(x,y), где у(х0) = уо,
(4.6.3)
существование и единственность решения которой были доказаны в теореме 4.3.1.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда условия теоремы 4.6.1 не выполняются.
134
Определение
4.6.1
Точка || xq Уо ||Т называется неособой, если существует ее окрестность такая, что через эту точку в данной окрестности проходит интегральная кривая задачи (4.6.3) и притом только одна.
Иначе точка || хо у о ||Т называется особой.
Решение задачи Коши (4.6.1) - (4.6.2), все точки которого особые, называется особым решением.
Геометрически данное определение может быть интерпретировано так: в каждой точке интегральной кривой особого решения ее касается интегральная кривая другого решения уравнения (4.6.1), то есть решения, не совпадающего с особым в некоторой окрестности точки касания. Аналитически для существования особых решений необходимо нарушение условий теоремы 4.6.1, которое может быть сформулировано в виде системы уравнений
F(x,y,d) =0,
< dF,
(4.6.4)
Если из этой системы исключить d, то переменные х и у будут, вообще говоря, связаны некоторым соотношением вида D(x,y) = 0.
Определение
4.6.2
Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению D(x,y) = 0, называется дискриминантной кривой уравнения (4.6.1).
Из сказанного следует, что интегральная кривая особого решения обязана быть дискриминантной кривой. Обратное, вообще говоря, не верно, но тем не менее искать особые решения следует среди дискриминантных кривых. Проиллюстрируем этот факт следующими задачами.
Задача	Найти дискриминантные кривые и особые решения урав-
4.6.1	нений.
-1 О /2	т-х	/ Л Л \ Г	У - 01
1	. у = у. Решив систему (4.6.4) к , _ по-Решение.	( 2d — I),
лучим дискриминантную кривую вида у = 0. Это - очевидно решение.
135
При этом исходное уравнение также имеет реше-/	\ 2
I х	\
ния вида у = I — + С I . Нетрудно убедиться, что
у = 0 - особое решение. (См. рис. 4.3.)
на-
/2	ТТ	7 АП А\ f d2 — X = О,
2	. у = х. Из системы (4.6.4) < 2d — Q
ходим, что дискриминантная кривая есть х = 0.
2
Данное уравнение имеет решения у =
однако дискриминантная кривая х = 0 - не реше-
ние уравнения, а геометрическое место точек возврата его интегральных кривых. (См. рис. 4.4.)
3°. у'2 — 4у3(1 — у) = 0. Система (4.6.4) в этом случае такова:
( d2 — 4у3 (1 — у) = 0 , | 2d = 0 .
Значит, дискриминантная кривая задается уравнением у3(\ — у) = 0 и состоит из двух ветвей: у = 0 и у = 1. Легко видеть, что обе они являются решениями. Проверьте самостоятельно, что исходное уравнение также имеет решения
Решение
получено.
1
У= 1 + (ж - С)2 '
Заметим, что при этом на у = 1 единственность нарушается, а на у = 0 - нет. Значит, у = 0 -неособое решение. Наконец, поскольку у = 1 есть касательная к нелинейным интегральным кривым, делаем заключение, что у = 1 - особое решение. (См. рис. 4.5.)
В общем случае, для выделения особого решения уравнения (4.6.1) следует:
1°. Найти общее решение уравнения (4.6.1).
2°. Найти дискриминантные кривые уравнения (4.6.1), которые являются частными решениями этого уравнения.
3°. Проверить выполнение определения особого решения для дискриминантных кривых, являющихся частными решениями уравнения (4.6.1).
136
Более конкретно, последовательность шагов исследования в п. 3° следующая. Пусть ?/(х, С) \/х 6 [а, Ь] есть однопараметрическое множество частных решений уравнения (4.6.1), а у+(х) - частное решение этого уравнение, которое подозревается в том, что оно особое. Решение ?/+(х) будет особым, если \/х Е [а,Ь\ у переопределенной системы
3/(ж,С)	= Д(ж) ,
< ду(х,С)	dy+(x)
< дх	dx
(4.6.5)
найдется хотя бы одно решение С = С(х).
Рис. 4.3. Интегральные кривые задачи 4.6.1 (1°)
Проиллюстрируем применение описанной схемы для конкретной задачи. Методы поиска частных решений уравнений, не разрешенных относительно производной, нами рассматривались в § 1.5; здесь же мы воспользуемся (в упрощенном варианте) ранее полученным решением задачи 1.5.1.
137
Рис. 4.4. Интегральные кривые задачи 4.6.1 (2°)
Рис. 4.5. Интегральные кривые задачи 4.6.1 (3°)
138
Задача
4.6.2
Найти особые решения уравнения
/ У 1 У
ХУ - У = -1П-.
Решение.
1°. Общее решение данного уравнения найдем методом введения параметра (см § 1.5, задача 1.5.1):
т/(х,С) = Сх-|1п| VC>0, у(х) = е2ж-1 .
2°. Составим систему (4.6.4) для определения вида линии 4?(х, у) = 0 - дискриминантной кривой:
d d xd-y - -In - = °,
1 d 1
x---In-----= 0.
2	2	2
Ее решением будет функция у = е2ж-1 ? которая, очевидно, есть частное решение исходного уравнения. Таким образом,
z х	С С
у(х.С) = Сх — у In у, у+(х) = е2ж-1.
3°. Наконец, для проверки выполнения определения особого решения составим систему (4.6.5).
С С ~ _л Сх------In — = е2х 1 ,
2	2
с = 2е2х~1 .
Решение
получено.
Она совместна VC > 0, причем ее решение есть функция (х) = 2е2ж-1 . Это и означает, что у+(х) = е2ж-1 - особое решение исходного уравнения. Вид соответствующих интегральных кривых показан на рис. 4.6.
139
Рис. 4.6. Интегральные кривые задачи 4.6.2
4.7. Существование и единственность решения задачи Коши в линейном и квазилинейном случаях
Пусть матрица || А(х) || и вектор-функция || 6(х) || непрерывны для любого х 6 (а,/3). Рассмотрим следующую задачу Коши для системы линейных дифференциальных уравнений:
НИ = II АЦ) IIII #|| + II Щ) II, #Ы = #о,	(4.7.1)
а также тесно с ней связанную задачу Коши вида
НИ = НЖШ, #Ы=#о,	(4.7.2)
140
для квазилинейного случая, когда правая часть в (4.7.2) определена \/х Е R и может расти при (у) —> -hoc не быстрее линейной функции.
Последнее условие формально означает, что lim	—————— = 0 .
<^>^+оо	(?/)
Например, (Л ~ УЖ k > 1 ИЛИ /Л ~ 1п($.
Рассмотрим вначале задачу (4.7.2). Имеет место
Теорема Пусть вектор-функция f(x,y) непрерывна в непу-4.7.1	стой области G С En+1 : {х Е (а,/3) , у Е Еп},
а также квазилинейна в G.
И пусть f(x,y) в любой замкнутой области
Q:{xe [ао,/?о] С (а,/?) , у 6 Еп}
удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица, равной L.
Тогда V
х0
Уо
Е G на всем интервале задача
Коши (4.7.2) имеет решение и притом единствен
ное.
Доказательство.
Пусть хо Е [сео? До] • По условию теоремы существует такое число L > 0, что на множестве Q справедлива оценка
< f(x,y) > < L-<y — z> .
Выберем некоторое фиксированное число 6 Е
ратор
Опе-
для которого на [хо,хо + <5] верна оценка
< Фу — Ф£> < L5 < у — z > ,
141
сжимающий, поскольку в силу выбора J имеем L6 < 1. Тогда, согласно теореме 4.3.1, решение задачи Коши существует на [хо,^о + <5] и единственно.
Построим теперь продолжение полученного решения на отрезок [хо,^о + 2<5] при помощи интегрального уравнения
Щ) = у(хо + 6) + У f(u, у (и)) du,
жо+<5
правую часть которого мы опять-таки рассматриваем как сжимающий оператор, но уже на отрезке [хо + 6, хо + 2<5]. Заметим, что стыковка решений задач Коши на отрезках [хо, хо + J] и [хо + (5, хо + 25] гладкая. Действительно, в силу непрерывности f(x,y) и уравнения yf = f(x,y) будет непрерывной также и вектор-функция у'. Таким образом, решение задачи Коши оказывается продолженным вперед на величи-ну 5.
Нетрудно видеть, что процедура продолжения вперед, вплоть до границы множества Q, может иметь лишь конечное число шагов 7V, поскольку величины и Д конечные. Здесь N - минимальное натуральное число, удовлетворяющее неравенству
хо + N6 > /?0 •
Аналогично обстоит дело и с продолжением решения задачи Коши назад.
В итоге получаем, что решение задачи Коши существует и единственно на всем отрезке [сщ, /Зо], а поскольку этот отрезок, содержащийся в интервале (а,/3), произвольный, то мы приходим к заключению о справедливости утверждения теоремы.
Теорема доказана.
Следствие
4.7.1
Пусть матрица || А(х) || и вектор-функция || 6(х) ||
непрерывны \/х Е Тогда V
Хо
Уо
Е G на всем
интервале задача Коши (4.7.1) имеет реше-
ние и притом единственное.
142
Доказательство.
Если взять
L = max max	,
же[сио,/?о] 2,j = [l,n]
то для задачи (4.7.1) будут удовлетворены все условия теоремы 4.7.1, в силу чего утверждение следствия является справедливым.
Следствие доказано.
В заключение следует отметить, что в отличие от теоремы 4.3.1 (Коши), устанавливающей существование и единственность решения задачи Коши лишь локально, теорема 4.7.1 имеет глобальный характер. Кроме того, итерационная процедура
зЦ)(ж) = $37(6-1)Щ к = 1,2,3,...,
для квазилинейных и линейных задач сходится из любой начальной точки множества G, в то время как в общем случае сходимость гарантируется лишь для начальных приближений, достаточно близких к точному решению задачи Коши.
Поясним это следующим примером: рассмотрим задачи Коши с начальными условиями у(0) = 1 и г(0) = 0 для систем:
/	7
У = х,
<	, У , .
z =---------k sm х
х — 1
/	7
У = z,
<	, У , .
z =---------к sm у.
х — 1
Решение задачи Коши для первой (линейной) системы существует и единственно (причем непродолжимое) на всем интервале х 6 (—сю, 1), в то время как для второй (нелинейной) системы можно утверждать, что решение задачи Коши существует и единственно лишь на некотором интервале (а,/3) С (—сю, 1), содержащем точку х = 0.
143
Глава 5
Системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
Изучение линейных дифференциальных уравнений и систем таких уравнений традиционно выделяется в отдельное направление, поскольку эти уравнения и системы обладают рядом специфических особенностей, к которым в первую очередь следует отнести возможность выражения их общего решения через конечный набор некоторых частных решений.
5.1.	Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами
Определение
5.1.1
Нормальной системой дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами порядка п > 2 называется система уравнений вида
±i(t) =a11(t)x1(t) +...+aln(t)xn(t) + b1(t),
= a2i(t)xi(t) + ... + a2n(t)xn(t) + 62(i),
< xn(t) — anl(t)xt(t) 4-... 4- cinn(t)xn(£) 4~
(5.1.1)
144
где t Е Q - вещественный аргумент, комплекснозначные к = [1,п] - неизвестные функции, а 6/ф£), к = [1,п] - заданные, непрерывные на Q функции, называемые свободными членами. Комплекснозначные функции заданы и непрерывны на Q Vz,J = [1,п].
Пусть
	«110	ai2(i) •••	«In О
ион =	«210	«22 О •••	«2nO
	«п1 (^)	«n2 (^)	• • •	«nn (^)
	О)		M)
нон =	ж2О	, 11^011 =	&2O
	(i)		b«(t)
тогда систему уравнений (5.1.1) можно записать в так называемом неразвернутом виде:
п
Xi(t) =	+ М^)	= [1?П]
J = 1
или же, в еще более компактной, матричной форме:
\Ш\\ = ||AW||||^)|| +||^)11 •
(5.1.2)
Предварительно также отметим, что для случая вещественной матричной функции ||A(t)|| справедлива
Лемма Пусть матрица || А(х) || вещественная, тогда
5*	1°. Rex — вещественная и Imf — мнимая ча-
сти x(t) — решения однородной системы (5.1.2) ||х(£)|| = ||A(t)||||x(t)||, также являются решениями этой системы.
145
2°. Rex — вещественная и Imx — мнимая части x(t) — решения неоднородной систе-мы (5.1.2) ||x(i)|| = ||A(i)||||x(i)|| + ||b(t)||, яв-ляются решениями неоднородных систем:
||Ref(i)|| = P(i)||||Ref(i)|| + ||Re^)||
и ||1тДД| = ||A(i)||||Imf(t)|| + ||Imb(t)||
соответственно.
3°. Верно утверждение, обратное утверждению 2°.
Доказательство.
Доказательство следует из линейности операции дифференцирования, распределительного свойства умножения матриц и условия равенства комплексных чисел.
Лемма доказана.
Рассмотрим теперь основные свойства нормальных систем линейных дифференциальных уравнений.
Если записать равенство (5.1.2) в виде
ПЛОП - MWII НЛД1 = 1Й)Н или
^-imi
imn = imn,
то его можно рассматривать как определение дифференциального оператора L, действующего в линейном пространстве непрерывно дифференцируемых вектор-функций x(t) t Е О, образы которых принадлежат линейному пространству непрерывных вектор-функций b(t). Иначе говоря, в операторной форме
Lx{t) = b(t), где L =	- || A(t) || .
146
В рассматриваемом случае для любых непрерывно дифференцируемых вектор-функций u(t) и #(£), а также любого числа А, очевидно, выполняются равенства:
L(u(t) +	= Lu(t) + Lv(€) , L(Xu(tY) = XLu(t) ,
из которых следует, что L есть отображение и притом линейное.
Имеет место
Лемма Справедливы следующие утверждения. 5.1.2
1°. Любая линейная комбинация частных решений однородной системы уравнений также является ее частным решением.
2°. Сумма частного решения неоднородной системы уравнений и частного решения однородной системы есть частное решение неоднородной системы уравнения.
3°. Разность двух частных решений неоднородной системы уравнений есть частное решение однородной системы.
Доказательство.
Пусть £(1)(£), £(2)(£),.. •, ^(т)(^) - частные решения однородного уравнения Lx(t) = о, тогда справедливость утверждения 1° следует из равенства
т
i=l
т
г=1
для любых чисел {Ai, А2, ... , Am} .
Утверждения 2° и 3° проверяются непосредственно. Действительно, пусть x(t) - частное решение однородной системы уравнений Lx(t) = о, a y(t), 17(i)(£), 2/(2)W _ частные решения неоднородной системы Ly(t) = b(t).
147
Тогда
L (x(t) + y(t\) = Lx(t) + Ly(t) = 6 + b(t) = b(t)
и	L (1/(1) (t) - yt(2) (i)) = L#(1) (t) - Li/(2) (t) = b(t) - b(t) = о .
Лемма доказана.
Убедимся теперь, что справедлива
Теорема Общее решение неоднородной системы диффе-5.1.1 ренциальных уравнений Ly(t) = b(t) есть сумма любого частного решения этой неоднородной системы и общего решения однородной системы = о.
Доказательство.
Предварительно еще раз отметим, что здесь термин общее решение системы дифференциальных уравнений обозначает лишь совокупность всех тех (и только тех!) вектор-фу нкций, которые являются частными решениями данной системы, а не метод(ы) их нахождения.
По условию теоремы множество Части, реш. неоднор. состоит из одной конкретной вектор-функции w(t), которая
является частным решением неоднородной системы, а множество Общ. реш. однор. содержит все вектор-функции - частные решения однородной системы. Тогда, в силу п. 2° леммы 5.1.2, множество
Части, реш. неоднор.
Общ. реш. однор.
состоит только из вектор-функций, являющихся частными решениями неоднородной системы. Покажем, что это множество содержит все частные решения неоднородной системы. Действительно, вектор-функция v(t) — w(t), где -некоторое произвольное частное решение неоднородной системы, обязательно (по условию теоремы и в силу п. 3° леммы 5.1.2) содержится во множестве
Общ. реш. однор.
148
То есть v(t) — w(t) E Общ. реш. однор.
но тогда v(t) Е w(t) +	Общ. реш. однор.
что и является утверждением теоремы.
Теорема доказана.
Введем теперь понятия линейной зависимости и линейной независимости для вектор-функций.
Определение	Вектор-функции £(i)(^), £(2)(£),... ,^(т)(^) назы-
5.1.2	ваются линейно зависимыми на множестве Q,
если существуют не равные нулю одновременно числа Ai, Л2, ... Хш такие, что
= О \/t Е Q.
(5.1.3)
Определение
5.1.3
Вектор-функции x^(t\ £(2)(£),..., x^(t) называются линейно независимыми на множестве Q, если из условия
XiX^(t) = б \/t Е Q
следует, что А ] = Л2 = ... = Ат = 0.
Следует обратить внимание на то, что понятие линейной зависимости вектор-функций {£(i)(£), Х(2)(£), ...,	на некотором мно-
жестве t Е Q отличается от понятия линейной зависимости векторов, используемого в линейной алгебре.
Задача Будут ли линейно зависимыми на R вектор-функции
5.1.1
1
1
II^dWII =
и П^(2)(0П =
t t
149
Решение.
Алгебраические векторы
t t
, очевидно, ли-
нейно зависимы при любом фиксированном t Е (—сю, +оо),
поскольку t
1	_	t
1	“	t
Однако как вектор-функции они линейно независимы, поскольку из
Ai
1
1
+ А2
t _ О t ~ О
(например, при t = 1 и t = 2) следует, что Ai и А2 удовлетворяют системе уравнений
Решение
( Ai + А2 = 0,
[ Ai + 2А2 = 0,
получено. имеющей единственное решение Ai = А2 = 0 .
Полезным инструментом, позволяющим делать заключения о линейной зависимости или линейной независимости системы вектор-функций, служит определитель специального вида, называемый определителем Вронского.
Определение
5.1.4
Детерминантом Вронского (или вронскианом) системы m-мерных вектор-функций {x(i)(£), £(2)(£), ••• , #(т)(0} называется определитель квадратной матрицы m-го порядка, столбцы которого суть координатные представления этих вектор-функций:
	Ж1(1)	#1(2)	• •	ж1(т)	
W(t) = det	ж2(1)	#2(2)	• •	х2(т)	
	#т(1)	#т(2)	(5-	1-4)
Напомним, что, как и раньше, нижний индекс в круглых скобках является номером вектор-функции, а нижний индекс без скобок - номером координаты.
150
Будет иметь место
Лемма
5.1.3
Пусть W(£) — вронскиан системы вектор-функций
Ж(2)(^), • • •, ^(т)(0,	• Тогда справедливы
следующие утверждения.
1°. Если	£(2)(0, • • • > Дт)(0 линейно зави-
симы на множестве Q, то ИД£) = 0 на Q.
2°. Если ИД£) не обращается в ноль ни в одной точке множества Q, то вектор-функции £(2)(0, •••> ^(т)(0 линейно независимы на Q.
Доказательство.
Справедливость леммы следует из того, что столбцы квадратной матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда детерминант этой матрицы равен нулю.
Лемма доказана.
Утверждения, обратные утверждениям леммы 5.1.3, не верны. Убедитесь в этом, рассмотрев в качестве примера вектор-функции, указанные в условии задачи 5.1.1.
Теорема 5.1.2
Если вектор-функции
{£(!)(£), Ж(2)(Д	Ж(п)(*)}
являются решениями однородной системы уравнений ||х(£)|| = ||А(£)|| ||х(£)|| с непрерывной матрицей ||А(£)|| е Q, то они линейно зависимы тогда и только тогда, когда их вронскиан W(£) = 0 на Q.
Доказательство.
Необходимость следует из и. 1° леммы 5.1.3.
Докажем достаточность. Предположим, что 6 Q такое, что ИД^о) = 0- Для этого Д столбцы вронскиана линейно зависимы, и потому существуют не равные нулю одновременно константы Ai, А2, ... Ап такие, что
151
J2Afe^(fe)(to) =0. fc=i
Используя эти константы, построим новую вектор-функцию
п
^*(*) =	(5.1.5)
fc=i
Она в силу леммы 5.1.2 есть решение задачи Коши для системы уравнений ||х(£)|| = ||А(£)||||х(£)|| с начальным условием x*(to) = б.
С другой стороны, функция z(t) = б есть решение задачи Коши для уравнения ||z(£)|| = ||A(£)||||z(£)|| с z(to) = б. И в силу теоремы существования и единственности
т*(£) = z(t) = б,
то есть вектор-функция (5.1.5) всюду равна нулю и решения {	(£), £(2)(£),..., Ж(п)(f) } линейно зависимы.
Теорема доказана.
Отметим, что, если вектор-функции { £(i)(£),£(2)(£),...,x^(t) } не являются решениями однородной системы дифференциальных уравнений ||х(£)|| = ||А(£)|| ||х(£)||, то утверждение теоремы 5.1.2 не верно.
Проверьте самостоятельно, что, например, вектор-функции
1
1
II^dWII =
и П^(2)(0П =
t t
не могут являться решениями никакой системы дифференциальных уравнений вида
(	= an(£)xi + qi2(£)x2 ,
[ ±2 = q2i(^)xi + q22(^)x2 ,
хотя они линейно независимые вектор-функции.
152
Непрерывность матрицы ||А(£)|| в условии теоремы также существенна, поскольку именно она гарантирует существование и единственность решения задачи Коши. Иначе говоря, в случае, когда вектор-функции { £(i)(£), Х(2)(£),..., x^(t) } хотя и являются решениями однородной системы дифференциальных уравнений, но матрица ||А(£)|| не непрерывна, утверждение теоремы 5.1.2 может не быть верным.
5.2.	Построение общего решения линейной системы с переменными коэффициентами
Рассмотрим теперь вопрос о построении формулы, описывающей общее решение системы дифференциальных уравнений вида (5.1.1). Вначале дадим
Определение
5.2.1
Фундаментальной системой решений называется совокупность п любых линейно независимых частных решений однородной системы уравнений
|Ht)|| = ||A(t)||||f(t)||.
(5.2.1)
Лемма Фундаментальные системы для систем (5.2.1)
5.2.1 с непрерывной матрицей ||A(t)|| существуют.
Доказательство.
В справедливости утверждения леммы убедимся непосредственным построением.
Во-первых, при некотором значении Е Q выберем п линейно независимых n-мерных векторов {	^2р • • • ’ ^(п) }•
Далее, пусть { £(i)(£), £(2)(£),..., x^(t) } суть решения задач Коши вида
l|£(fc)WII = m(*)lll|£(fc)(*)ll - ^(fc)Go) =^(fc) •
153
Эти решения - вектор-функции x^(t\ существуют и единственны.
Они линейно независимые, поскольку их значения при t = линейно независимые векторы, и равенство
п
Vt е Q
к=1
ВОЗМОЖНО ЛИШЬ при А1 = А2 = • • • = Хп = 0 .
Лемма доказана.
Формулу для общего решения однородной системы дифференциальных уравнений вида (5.2.1) описывает
Теорема Пусть вектор-функции { х^ (£), Х(2) (£),..., X(n) (t) } 5.2.1 являются линейно независимыми частными решениями однородной системы уравнений (5.2.1) с непрерывной матрицей ||A(t)|| \/t G Q, тогда общее решение этой системы имеет вид
п
x(t) = '^2/CkX(k)(t'), к=1
(5.2.2)
где Ci, С2, • • •, Сп — произвольные постоянные.
Доказательство.
Из и. 1° леммы 5.1.2 следует, что каждая линейная комбинация вида (5.2.2) является частным решением системы уравнений (5.2.1).
Покажем теперь, что любое решение этой системы может быть представлено в виде формулы (5.2.2).
Пусть Х(о)(О - какое-то решение системы (5.2.1). Выберем to Е Q, при котором 1У(£) - вронскиан линейно независимой системы решений { X(i)(£), Х(2)(£),..., Х(п)(£) } - отличен от п
нуля, и рассмотрим равенство Х(О)(£о) = 52 ^^(/с)(^о) • к=1
154
Развернутая (координатная) форма этого равенства может быть записана как система п линейных уравнений с п неизвестными CJ, (?2, • • •, С* :
СТЖ1(1)(М + С/2Х1(2)(^о) + . . . +	— Хцо/М ,
СТ#2(1) (Л)) + ^#2(2) (Л)) + . . . + C^X2{n)(t0) = Х2(о)(£о) ,
k #п(1)(^о) “Ь С2^п(2)(^о) “Ь • • • “Ь Cn#n(n) (to) #п(О)(^о) •
Определитель основной матрицы этой системы:
det
#i(i)(M #2(1) (Л))
#п(1) (Л))
#1(2) (^о) ••• #1(п)(^о)
#2(2) (Л)) ••• #2(п)(М
#п(2)(^о) ••• #п(п)(^о)
= Wo)^0.
Тогда, согласно теореме Крамера, значения неизвестных -констант СТ, С2, • • •, С* существуют и определяются однозначно.
В этом случае вектор-функция x*(t) =	CT#(/c)(t) есть ре-
к=1
шение задачи Коши для системы (5.2.1) с начальным условием x*(to) = #(о)(^о)« Равно как и вектор-функция £(0)(t) является (по построению) решением этой же задачи Коши.
п
При t = to Х(о)(£о) = Х*(^о) = 12 CT#(/c)(to), значит, по тео-к=1
реме единственности они должны совпадать и Vi е Q. Таким образом, получаем, что любое решение системы (5.2.1) представимо в виде (5.2.2).
Теорема доказана.
Альтернативную формулировку доказанной теореме дает
Следствие Множество всех решений однородной системы 5.2.1 линейных дифференциальных уравнений (5.2.1) является n-мерным линейным пространством, базисом в котором может служить любая фундаментальная система ее решений.
В вычислительной практике достаточно часто используют другую форму записи общего решения, основой которой служит
155
Определение	Фундаментальной матрицей однородной систе-
5.2.2	мы дифференциальных уравнений (5.2.1) назы-
вается квадратная матрица порядка п, столбцами которой служат координатные представления вектор-функций, образующих фундаментальную систему решений.
Пусть вектор-функции { x^(t), x^)(t), ...,	Е Q } образуют
фундаментальную систему решений. Тогда во введенных выше обозначениях фундаментальная матрица имеет вид
1Ш011 =
Ж1(1)(0	ж1(2)(<)	...	£l(n)(t)
ж2(1)(<)	a:2(2)(t)	...	ж2(„)(<)
*^п(1)(^)	*^п(2)(^)	^п(п) (О
а общее решение однородной системы (5.2.1) может быть представлено в форме
||f(i)|| = ||X(t)||||C||,
где ||С|| = || Ci С*2 ... Сп ||т - вектор-столбец произвольных констант в записи решения.
Отметим, что фундаментальная матрица невырожденная, поскольку ее детерминант является вронскианом линейно независимого набора решений системы (5.2.1) и, следовательно, отличен от нуля \/t Е О.
В качестве упражнения самостоятельно покажите, что также справедлива
Теорема
5.2.2
Если ||Х(£)|| — фундаментальная матрица системы (5.2.1), то
1° матрица ||У(1)|| = ||X(t)|| ||S||, где Ц^Ц - произ-вольная квадратная невырожденная матрица порядка п, также фундаментальная матрица этой системы;
2° для двух любых фундаментальных матриц ||X(t)|| и ||У(£)|| системы (5.2.1) существует и притом единственная квадратная невырожденная матрица ||S|| такая, что ||У(t)|| = = ||X(t)||||S||.
156
Универсального способа построения фундаментальной системы решений для (5.2.1), к сожалению, до сих пор не найдено. Однако имеется возможность вычисления частных решений этой однородной системы уравнений по другим, найденным ранее, ее частным решениям.
Вначале дадим
Определение
5.2.3
п
Функция Sp||A(£)|| = akk(t) называется сле-к=1
дом1 квадратной матрицы ||А(£)|| порядка п.
Для этого понятия оказывается справедливой
Лемма Пусть квадратная матрица ||Q(t)|| в точке t = to
5.2.3 невырождена и дифференцируема. Тогда
det||Q(Q|| det ||Q(t)||
= Sp( ||Q(t)|| • HQWr1) •
Доказательство.
Из формулы Тейлора следует, что
||Q(to + А)|| = ||Q(t0)|| + ||Q(to)||А + ||о(А)||	при А —> 0.
Тогда
det ||Q(t0 + А)|| = det
[llQ(io)|| + IIQ(io)||A + ||о(Д)||]
= det ||Q(to)|| • det [||E|| + ||Q(t0)|| • ||Q(t0)II“XA +
(5.2.3)
Теперь покажем, что при А —> О
det [||Е|| + ||Q(to)|| • ||Q(to)||-1 А + ||о(А)||] =
= 1 + Sp (||Q(to)|| • ||Q(to)ГХ) А + о(А).	(5.2.4)
1От die Spur - след (нем.).
157
Действительно,
det [||Е|| + ||Q(t0)|| • ||Q(to)Г1 A + ||о(Д)||] =
= det
1+ДцД + О	/512 Д “Ь о	...	/?1ПД + о
/?21Д + О 1 +/?2?Д + О ...	/?2пД + О
/?п1Д + О	/Зп2 Д + О	... 1 + ДПД + О
где = (||Q(t0)|| • ||Q(io)|| *) Vz,j = [1,п].
Из курса линейной алгебры известно, что детерминант квадратной матрицы представляется как сумма п\ слагаемых, каждое из которых есть произведение п различных элементов этой матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Значит, (в рассматриваемом случае) только произведение элементов матрицы, стоящих на главной диагонали, есть величина порядка 0(1), а не 0(Д) или меньшего.
По той же причине члены порядка малости Д могут содержаться только в произведении элементов, стоящих на главной диагонали, которое равно
(1 + ДиД + °(Д)) (1 + /^2?Д + о(Д)) . . . (1 + /?ППД + о(Д)) —
= 1 + Д У2/Ь+о(Д) = l + A-Sp (||Q(t)|| • IIQWir1) +о(Д), к=1
что и доказывает равенство (5.2.4).
С его помощью равенство (5.2.3) может быть записано в виде
det ||Q(to + Д)|| - det ||Q(t0)|| Д
= det ||Q(t0)|| • Sp (||Q(t)|| • ||Q(t)||-1) + перейдя в котором к пределу при Д —> 0, получим
^|| = Sp(llQWII-114(011-') 
Лемма доказана.
158
Рассмотрим снова однородную систему линейных дифференциальных уравнений (5.2.1):
Как и раньше, будем предполагать, что матрица Щ(£)|| непрерывна при t Е Q.
Пусть { £(1)(^), £(2)(^),... ,^(n)W } _ некоторый набор любых частных решений системы (5.2.1), а VE(t) = det ||X(t)|| - вронскиан этого набора решений. Тогда справедлива
Теорема Для любых t Е Q, верно соотношение (называ-
5.2.3 емое формулой Лиувилля-Остроградского):
(Лиувилля
(t	\
f	\
I Sp||А(гх)||с/гг I .	(5.2.5)
to	/
Доказательство.
Если частные решения { £(i)(t), £(2)(t),... , X(n)(t) } линейно зависимые на множестве Q, то VE(t) = 0, t Е Q, и равенство (5.2.5) очевидно.
В случае, когда эти частные решения линейно независимые, они образуют фундаментальную систему с фундаментальной матрицей ||X(t)|| , то есть вектор-функции { £(i)(t), X(2)(t),.. •, X(n)(t) } суть столбцы этой матрицы. Тогда справедливо матричное равенство
||X(t)|| = ||A(t)||n(t)||.
Далее из
||X(t)||||X(t)||-1 = ||A(t)|||mt)||||X(t)||-1
имеем
||X(t)||||X(t)||-1 = ||4(t)||,
159
а в силу леммы 5.2.3 получаем
W)_ det||X(t)||	/ z	...A _c ||4Z.X|,
w(t) ~ det ||x(t)|| “ Sp VIXWIHIXWII ) - SpHWII
или, окончательно,
W(t)
I	wrSp|m|-
Интегрируя это равенство no t. получаем соотношение (5.2.5).
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай неоднородной системы линейных уравнений с переменными коэффициентами:
||i(t)|| = ||A(t)||||f(t)|| + ||b(t)||.	(5.2.6)
Общее решение соответствующей однородной системы (5.2.1) будем считать известным, а матричные функции ||А(£)|| и ||6(£)|| - непрерывными \/t Е О.
Согласно теореме 5.1.1 общее решение неоднородной системы представимо как сумма частного решения неоднородной и общего решения однородной систем уравнений. Следовательно, задача построения общего решения неоднородной системы сводится к поиску частного решения неоднородной системы, для получения которого воспользуемся методом вариации постоянных (см. § 1.3 и теорему 2.5.1).
Пусть ||Х(£)|| - фундаментальная матрица однородной системы (5.2.1). В этом случае будет верна
Теорема Система (5.2.6) имеет частное решение вида 5.2.4
t
I|f*(t)ll = l|X(t)|| I ||X(zOirW)ll^- (5.2.7) to
Доказательство.
Частное решение неоднородной системы (5.2.6) будем искать в виде
||f*(t)|| = ||X(t)||||C(t)||,
160
где C(t) - некоторая неизвестная заранее вектор-функция.
Подставив это выражение в (5.2.6), с учетом равенства
||X(t)|| = ||A(t)||n(t)||, получим
||A(t)||||X(i)||||C(t)|| + ||X(t)||||6(i)|| =
= ||4(t)||||X(t)||||C(t)|| + ||6(t)||.
Откуда, в силу невырожденности фундаментальной матрицы,
||ф)|| = ||x(f)rW)||
и, окончательно,
t
||f*(t)|| = ||X(t)|| j ||X(u)||-1||6(u)||du.
tn
Теорема доказана.
5.3.	Линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами
Рассмотрим линейное уравнение n-го порядка вида
an(t)y^n\t) +	+ • • • + М0*/(0 +	= 6(0 ,
(5.3.1)
где a/c(0 и b(t) непрерывны \/k = [0, n\ \/t G Q и an(t) 0 \/t G Q .
Оно всегда может быть сведено при помощи следующей замены переменных:
Xi(0 = y(t), х2(0 = y(t), х3(0 = y(t) , ...
xn^(f) = y(n~2\t) , xn(t) = y^Xf) (5.3.2)
161
к равносильной системе линейных уравнений
Xl(t) = x2(t), x2(t) = x3(t),
(5.3.3)
Xn-l(t) = Xn(t) , ' /п Л afe-i(i) Xn(t) = -
E^K—1\V/	, , b(t)
~ 77\~хк\1) + ~ 77V-k=l ^n\t)	^n\t)
Или в матричном
виде
||A(i)||||f(Z)|| + ||b(Z)||,
где
\\A(t)\\ =	0 0 0 0 MO	1 0 0 0 «1(0	0 1 0 0 «2(0	0 0 0 0 &п—2 (t)	0 0 0 1 *	^n—1(0
imii =	(0 0 0 0 b(t)/an(t)	«n (0	(f) 11ДД1 =	on (t) ^l(t) x2(t) xn-l(t) xn(t)	(£) ^(0 y(t) ^(n-2)(^) 2/(n-1)(P
Формулы (5.3.2) и (5.3.3) позволяют делать заключения о свойствах уравнений вида (5.3.1) и их решений, используя результаты, полученные в § 5.1-5.2 для систем линейных уравнений.
Если на Q b(t) = 0, то есть уравнение
an(t)y(n\t) + ап-Д)?/"-1^) + ... +	+ a0(t)y(t) = 0 (5.3.4)
является однородным, то система (5.3.3) также линейная, однородная и имеет вид
жД) = x2(t), x2(t) = x3(t),
Xn-l(t) = xn(t) ,
xn(t) = - E 777^)’ k=l an\y)
(5.3.5)
162
и соответственно матричную форму
||f(t)|| = ||A(t)||||f(t)||.
Вначале убедимся, что справедлива
Лемма	При замене переменных (5.3.2) линейно зависи-
5.3.1	мые решения уравнения (5.3.4) переходят в ли-
нейно зависимые решения системы (5.3.5), и наоборот.
Аналогично, при замене переменных (5.3.2) линейно независимые решения уравнения (5.3.4) переходят в линейно независимые решения системы (5.3.5), и наоборот.
Доказательство.
Пусть частные решения y(i)(t), j/(2)(t), ••• , У(к)№ уравнения (5.3.4) линейно зависимые, то есть существуют не рав-ные одновременно нулю числа Ai, А2, ... , Xk такие, что
к
= °-
i=l
(5.3.6)
Дифференцируя последовательно это равенство п — 1 раз, получаем соотношения
к
= °’ где m = [1,п - 1].	(5.3.7)
г=1
Причем равенства (5.3.6) и (5.3.7) можно записать, использовав (5.3.2), в векторном виде как
к
У2^^(г)(О = О, г=1
(5.3.8)
что доказывает линейную зависимость вектор-функций { £(!)(£), £(2)(£), • • • ,^(/с)(0 } - частных решений однородной системы (5.3.5).
163
Обратно, пусть частные решения системы (5.3.5) {	(t), £(2) (£),..., х^) (t) } линейно зависимы, то есть
верно векторное равенство (5.3.8) при Л7, i =	не
равных нулю одновременно.
Тогда, взяв из его покоординатной записи первую строку, получим (с учетом формул замены (5.3.2)) равенство (5.3.6). Значит, частные решения y^ft), 7/(2)(£), ••• >	уравне-
ния (5.3.4) линейно зависимые.
Доказательство второй части утверждения леммы аналогично доказательству первой части.
Лемма доказана.
Теперь мы можем сформулировать для уравнения (5.3.1) утверждения, аналогичные доказанным ранее для систем (5.1.1). Так, вид общего решения однородного уравнения (5.3.4) описывает
Теорема Пусть функции У(1)(0Л(2)й, ••• Л(п)(0 суть ли-
5.3.1 нейно независимые частные решения однородного уравнения (5.3.4). Тогда общее решение этого уравнения дается формулой
п
уХ) =	,
к=1
где Ci, С2, ... , Сп — произвольные постоянные.
Доказательство.
Следует непосредственно из теоремы 5.2.1 и леммы 5.3.1.
Теорема доказана.
По аналогии с определением 5.2.1 будет уместным и
Определение
5.3.1
Фундаментальной системой решений уравнения (5.3.4) называется совокупность любых п его линейно независимых частных решений.
При этом будет иметь место
164
Теорема Для множества частных решений однородного 5.3.2 уравнения (5.3.4) справедливы утверждения:
1°. Фундаментальные системы этого уравнения существуют.
2°. Общее решение уравнения (5.3.4) есть произвольная линейная комбинация фундаментального набора решений.
3°. Множество всех частных решений однородного уравнения (5.3.4) является п-мер-ным линейным пространством, базисом в котором может служить любая фундаментальная система решений.
Доказательство.
Следует из леммы 5.2.1, теоремы 5.2.1 и леммы 5.3.1.
Теорема доказана.
Учитывая замену переменных (5.3.2), для уравнения (5.3.1) можно дать
Определение
5.3.2
Вронскианом набора п—1 раз непрерывно диффе-ренцируемых функций 3/(1) (t), 3/(2) (t), • • • , 2/(n)(0 называется
det
2/(1) (О
2/(1) (О
2/(2) (i)	•••	2/(и)Д
2/(2) (0	•••	2/(и)Д


обозначаемый, как и раньше, VK(t).
Перечислим теперь свойства решений однородного уравнения (5.3.4), описываемые с помощью понятия вронскиана.
165
Теорема Пусть функции 2/(1)(t), 3/(2)(t), ••• , J/(n)(t) определе-5.3.3 ны и п — 1 раз непрерывно дифференцируемы Е Q и 1У(£) — их вронскиан. Тогда
1°. Если ?/(1)(0? 2/(2) (О, ••• , 2/(п)(0 линейно зависимы на Q , то W(£) = О V£ Е Q .
2°. Если вронскиан 1У(£) ни в какой точке Q не равен нулю, то y(1)(t), У(2)(£), ••• , 3/(n)(t) линейно независимы на Q.
3°. Частные решения однородного уравнения (5.3.4) ?/(i)(t), ?/(2)(t), ••• , линейно за-висимы тогда и только тогда, когда и их вронскиан тождественно равен нулю, то есть W(£) = О	Е Q.
4°. Если i/(i)(t), ?/(2)(0, ••• , 2/(n)(0 - частные ре-шения однородного уравнения (5.3.4), то Vto, Е Q, справедлива формула Лиувилля—Остроградского:
= W (£0) ехр
Доказательство.
Следует из лемм 5.1.3 и 5.3.1, теорем 5.1.2 и 5.2.3, поскольку для уравнения (5.3.1) и системы (5.3.3) имеет место равенство
Sp||A(t)|| =-^^2. tln (у )
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (5.3.1). Структуру его общего решения описывает
Теорема Общее решение неоднородного дифференциаль-5.3.4 ного уравнения (5.3.1) есть сумма любого частного решения этого неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения (5.3.4).
166
Доказательство.
Аналогично доказательству теоремы 5.1.1.
Теорема доказана.
Как и в случае неоднородной системы (5.3.3), частное решение неоднородного уравнения может быть найдено методом вариации постоянных.
Теорема Пусть частные решения однородного уравне-5.3.5 ния (5.3.4) {?/(1)(Д i/(2)(f), ... , ?/(иД)} образуют фундаментальную систему, тогда неоднородное уравнение (5.3.1) имеет частное решение вида
п
?/*(*) =
к=1
(5.3.9)
где функции СтД£), к = [1,п] определяются как квадратуры решений системы линейных уравнений
2/(1) (0	2/(2) (t)	••• 2/(иД)		Ci(t)		0 n	
2/(1) (0	2/(2) (0	•••	2/(»)(i)		C2(t)		и n	
2/(1) (0	2/(2) (t)	•••	2/(n)(«)		С*з(0	=	и	
				Cn(t)		ЬХ) aM	
						(5.3.10)	
Доказательство.
Следует из того, что метод доказательства теоремы 2.5.1 (для линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами) без каких-либо ограничений применим в случае дифференциального уравнения (5.3.1).
Теорема доказана.
Проиллюстрируем практическое применение изложенной в данном параграфе теории следующим примером.
167
Задача
5.3.1
Решение.
Найти общее решение уравнения
t2y - t(t + 3)^ +	+ 3)?/ = .
Поскольку общих регулярных методов отыскания частных решений уравнений типа
t2y - t(t + 3)у + (2t + 3)у = 0	(5.3.11)
не существует, попробуем подобрать одно из частных решений в виде алгебраического многочлена степени ш. то есть в виде y(t) = tm + ...
Подставляя это выражение в (5.3.11), получаем
(-m + 2)tm+1 + ... = 0,
и, приравняв нулю коэффициент при tm+1, найдем, что т = 2. Значит, частное решение имеет смысл искать в виде y(t) = t2 + pt + Q. Если эту формулу подставить снова в (5.3.11), то уравнение примет вид
t2(p — 1) + g(2t + 3) = 0 ,
откуда следует, что р=1ид = 0, то есть одно частное решение уравнения (5.3.11) найдено:
2/(1 Д) = t2 + t.
Поскольку найденное частное решение не равно тождественно нулю, то для отыскания 7/(2)(£) - второго частного решения уравнения (5.3.11), можно использовать формулу Лиувилля-Остроградского, приведенную в пункте 4° теоремы 5.3.3. Запишем эту формулу в виде
det
t2 + t	2/(2) W
2i + 1	y(2)(t)
= C exp
tz + 3
------du
и
168
что (покажите это самостоятельно!) сводится к дифференциальному уравнению
d I
dt \ t2 + t
Cte'
W
Затем, используя равенство
d С tC
dt t + l~ (£ + I)2’
получаем второе частное решение у(2) (£) = te*.
Нетрудно убедиться, что пара частных решений y^(t) и ?/(2) (£) образует фундаментальную систему для уравнения (5.3.11). Поэтому общее решение этого однородного уравнения имеет вид
y(t) = Ci (t2 + ^) + C2tC ,
где Ci и С‘2 - произвольные вещественные константы.
Найдем теперь частное решение исходного неоднородного уравнения в виде
y*(t) = CA(t)(t2 + t) + C2(i)ie‘ ,	(5.3.12)
то есть используя метод вариации постоянных.
В решаемой задаче система линейных уравнений (5.3.10) записывается так:
t2 +t tC
2t + 1 (t + 1)е*
C1W
о i2
Ее решениями являются функции
Ci(t) = -1 и C2(t) = (t + l)e-‘.
Соответственно
C'i(i) =-i и C*2(i) =-(i + 2)е-4.
169
Теперь находим частное решение неоднородного уравнения по формуле (5.3.12):
y*(t) =-i3 - 2(i2 + t),
что позволяет записать общее решение исходного неоднородного уравнения в виде
y(t) =	+ t) +	,
Решение
получено. где Ci и С2 - произвольные вещественные константы.
5.4.	Линейные уравнения второго порядка с переменными коэффициентами
Как уже отмечалось, в большинстве случаев решения линейного уравнения с переменными коэффициентами не выражаются даже в квадратурах. Поэтому важными оказываются косвенные методы, позволяющие делать заключения о свойствах таких решений без построения их явного вида, определяемого теоремой 5.3.4.
В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением только вещественных функций вещественного переменного, что позволит более широко использовать неравенства для описания свойств решений. Например, если для простого уравнения второго порядка
2/ + ао(О^ = О	(5.4.1)
имеем ао(£) > ОД 6 Q, то (согласно известной из курса математического анализа теореме) можно утверждать, что при у > 0 график любого частного решения на Q будет иметь выпуклость вверх, поскольку в этом случае
у = -a0(t)y < 0.
Менее очевидные, но также практически полезные методы могут быть применены для исследования нулей решений, то есть значений независимой переменной t, для которых искомая функция принимает нулевое значение. Далее будем рассматривать линейные однородные уравнения второго порядка вида
a2(i)i/ + ai(t)y + ao(t)y = 0,	(5.4.2)
где функции ao(t), ai(i), (ДЦ € Q, непрерывно дифференцируемы и a2(t) 0.
170
Вначале убедимся, что уравнение (5.4.2) может быть приведено к виду (5.4.1) при помощи линейной замены искомой функции по формуле y(t) = p(t)u(t), где u(t) - новая неизвестная функция, а
p(t) = exp
1 f ai(s)
2./ a2(s)
to
(5.4.3)
Действительно, если в уравнение (5.4.2) подставить y(t) = то мы получим
(«2Р и + 2«2Р и + «2Р и) + (aiP и + «ip и) + аор и = О
или
а2рй 4- (2а2р + ctip)u + (а2р + а-рр + aGp)u = 0 ,
то есть получаем уравнение, не содержащее слагаемого с ?'/, поскольку выбранная по формуле (5.4.3) функция p(t) удовлетворяет легко проверяемому равенству 2а2р + арр = 0 .
Для уравнения (5.4.1) справедлива
Лемма Всякое ненулевое решение уравнения (5.4.1) мо-5.4.1 жет иметь лишь конечное число нулей на любом конечном отрезке.
Доказательство.
Предположим, что нетривиальное (то есть y(t) ф 0) непрерывно дифференцируемое решение уравнения (5.4.1) имеет на отрезке [а, (3] бесконечное число нулей, образующих числовую последовательность {£т}. Эта последовательность по теореме Больцано-Вейерштрасса имеет предельную точку t* Е [а, /3], причем без ограничения общности можно счи-
(5.4.4)
тать, что
lim = С.
т^ос
171
Поскольку y(t) непрерывна, то lim y(tm) = 0 = у (t*). m—>ос
С другой стороны, в силу y(tm) = ?/(£m+i) = 0 по теореме Ролля между точками tm и tm+i найдется точка 0т такая, что у (От) = 0. Тогда для непрерывно дифференцируемой y(t) из (5.4.4) следует, что y(t*) = 0.
Из условий y(t*) = 0 и y(t*) = 0 по теореме единственности решения задачи Коши получаем, что y(t) = 0 \/t G [а,/?]. Однако это противоречит условию леммы.
Лемма доказана.
Теорема 5.4.1 (Штурма)
Пусть функции «о(О и -Ао(^) непрерывны и таковы, что Aq(£) > «о(О З/t G [а,/?] •
Тогда в промежутке между соседними нулями Н и /2 любого нетривиального решения уравнения
у + а$у = 0
(5.4.5)
имеется по крайней мере один нуль любого нетривиального решения уравнения
z Т ^4.о^ — 0 ч
(5.4.6)
или же г(И) = z(£2) = 0 и A0(t) = aG(t) \/t G [<т,(3].
Доказательство.
Пусть y(ti) = y(t2) = 0 и, кроме того, y(t) 0, z(t) 0 \/t G (Н,^)- Без потери общности считаем, что на этом интервале y(t) > 0 (иначе можно взять решение — y(t)). Тогда
y(ti) = lim > 0 , y(t2) = Пт < 0 .
В силу теоремы единственности эти производные не могут быть нулевыми и потому y(ti) > 0 и y(t2) < 0 (иначе решение получилось бы тривиальным).
172
Умножая обе части уравнения (5.4.5) на z(f), а обе части (5.4.6) - на — y(t) и складывая их почленно, получим
yz - zy = (A0(t) - aa(t))y(t)z(t).
Прибавляя и вычитая yz в левой части, полученное равенство можно преобразовать к виду
—{yz - zy) = (АД) - a0(t))y(t)z(t).
Интегрируя это равенство в пределах от Н до £2 и учитывая, что y(ti) = у(12) = 0, получаем
^2
уДДД>) -^(ti)^(ti) = У \A0(t) - aG(t)\y(t)z(t) dt.
Если предположить, что теорема Штурма не верна, то должна реализоваться одна из следующих трех возможностей:
1°.
3°.
z(f) >0 \/t е [Н, £2] •
z(f) >0 Vt е [Н, £2),	z(t2) = 0.
z(t) >0 \/t е (Н, t2],	^(Н) = 0 •
Правая часть этого равенства во всех трех случаях очевидно неотрицательная, в силу
Ао(£) > а0(^),	> 0 е [а,(3],
а левая - отрицательная, поскольку т/(Н) > 0, ^(^2) < 0 и y(ti) = y(t2) = 0.
Полученное противоречие показывает, что теорема Штурма верна.
Теорема доказана.
Следствие На отрезке, где «о(О < 0, любое нетривиальное 5.4.1 решение y[t) уравнения (5.4.1) может обратиться
в нуль не более чем в одной точке.
173
Доказательство.
Применим теорему Штурма к паре уравнений
y + q(t)y = O и z-\-Qz = Q.
Предположим, что первое из них имеет на Q по крайней мере два нуля Н < Ь}. Тогда в силу условия q(t) < 0 \/t Е О каждое нетривиальное решение второго уравнения в силу теоремы 5.4.1 обязано иметь хотя бы один нуль на (Н, £?)•
Однако легко видеть, что z(t) = 1 - нетривиальное решение второго уравнения, такого нуля не имеет. Следовательно, предположение о том, что первое уравнение может иметь более одного нуля, не верное.
Следствие доказано.
Заметим, что для случая «о(0 > 0 оценка числа нулей решений уравнения (5.4.1) может оказаться более сложной задачей. Например, если у уравнения
2
У- -ру = 0
С2
общее решение y(t) = Ci^2 + —	(« Трезубец Ньютона») в области
его определения имеет не более одного нуля, то у уравнения
1
у + -^у = 0
число нулей общего решения
y(t) = Ci\Asin(V/31nV^) + C2a/£cos(a/31h Vt)
(находимого, например, при помощи подстановки ta и формулы Эйлера) не ограничено.
Следствие 5.4.2 (О чередовании нулей)
В промежутке между любыми двумя соседними нулями одного из двух линейно независимых решений уравнения (5.4.1) содержится ровно один нуль другого решения.
174
Доказательство.
Пусть ?/(i) (£) и у(2) (0 - линейно независимые, нетривиальные решения уравнения (5.4.1). Применим теорему Штурма к паре уравнений вида
У(1) + з(0У(1) =0 И у(2) + g(t)y(2) = о.
(Мы формально положили q(t) = Q(t) \/t G Q.)
Если H и t2 - соседние несовпадающие нули первого уравнения, то между ними имеется хотя бы один нуль второго уравнения £*. Общих нулей у y^(t) и у(2)(0 быть не может. Действительно, если, например, y^(t*) = ?/(2)(£*) = 0, то вронскиан Ш(£*) = 0 и решения y^(t) и ?/(2)(0 линейно зависимые. Поэтому t* Е (Н, ^)-
Остается доказать, что t* единственное. Предположим, что существует также такое, что
2/(2)(£**) = 0, Н < ^ < £** < h .
Тогда по теореме Штурма у y(i)(t) должен иметься нуль на [£*, £**], что противоречит предположению о том, что Н и - соседние нули решения y^ft). Значит, £*=£**.
Следствие доказано.
Отметим, что для линейных уравнений порядка большего, чем два (п > 2), следствие 5.4.2, вообще говоря, не верно. Например, для линейно независимых решений y(i)(t) = sin£ и т/(2)(0 = 1 уравнения У + у = 0 чередования нулей нет.
Следствие Если некоторое нетривиальное решение уравне-5.4.3 ния (5.4.1) имеет бесконечное число нулей, то и каждое его нетривиальное решение имеет бесконечное число нулей.
Доказательство.
Вытекает непосредственно из утверждения следствия 5.4.2.
Следствие доказано.
175
Проиллюстрируем практическое применение теоремы Штурма следующими примерами.
Задача Оценить сверху и снизу расстояние между соседними ну-5.4.1 лями нетривиального решения уравнения
у + 2ty = 0 для t е [20, 45] .	(5.4.7)
Решение. По условию задачи «о(^) = 2t. Пусть ш2 <	< О2
на указанном в условии задачи промежутке t Е [20, 45] . Сравним решения данного уравнения с решениями уравнений с постоянными коэффициентами
z + си2г = 0, ш > 0 и	(5.4.8)
z + Q2z = 0, Q>0,	(5.4.9)
решения которых представимы соответственно в виде
z(t) = Ci sin (cut + C2) и
z(t) = Ci sin (Qt + C2) •
Рассмотрим вначале пару уравнений (5.4.7) и (5.4.8). Пусть t\z и t^z ~ последовательные нули уравнения
7Г
(5.4.8), то есть t2z = t\z Н-, a t\y и t2y - последователь-
ная пара нулей уравнения (5.4.7) на промежутке [tiz, t2Z] • По теореме Штурма имеем
ilz < ^1у < ^2у < ^2z •
Откуда получаем оценки
77	77
^2у < t^2z = ilz Н- — ^1у Н- • CU	CU
И окончательно
^2г/ tly
(5.4.10)
176
Рассмотрев пару уравнений (5.4.7) и (5.4.9), получаем путем аналогичных рассуждений оценку
Q’
(5.4.11)
Вернемся теперь к условию исходной задачи и рассмотрим два крайних значения параметра: ш и Q, для которых
О < ш2 = 40 < 2t < 90 = Q2 We [20, 45] .
Для указанного промежутка t расстояние d между соседними нулями исходного уравнения (5.4.7) в силу оценок (5.4.10) и (5.4.11) будет удовлетворять системе неравенств
7Г	7Г
-<d< -.
\L	ш
Откуда получаем искомую оценку:
Решение
получено.
0.3 < —= < d < —= < 0.5 .
3/10	2/10
Задача
5.4.2
Доказать, что нетривиальные решения уравнения
(5.4.12)
имеют
-	при а = 12 не более трех нулей;
1
-	при а = - не более одного нуля.
Решение. Исследуемое уравнение относится к виду (5.4.5). Установим вначале свойства функции ао(£), позволяющие воспользоваться утверждениями теоремы Штурма и ее следствиями.
177
/	3 — t
Во-первых, очевидно, что функция I у—-------y/t I оп-
ределена при t Е [0, 3] и является монотонно убывающей на этом отрезке, поскольку
3-1 2Д 2
Значит, она имеет значение у - - максимальную величину на отрезке [0, 3] при t = 0.
Во-вторых, из равенств
3-t
2
следует, что для указанных в условии задачи значений параметра а функция ао(£) > 0 при t Е [0, 1) и ао(£) < 0 при t Е [1, 3].
Рассмотрим теперь отдельно случай а = 12. При t Е [0, 1) имеет место оценка
z \	/3	4
<12\/-< 12 - - = 16. у Z	о
Поэтому в качестве уравнения (5.4.6) можно использо-
вать (с Ao(t) = 16) уравнение
z + 16 z = 0 сретением z(t) = С sin(4Z; + ф). (5.4.13)
Из теоремы Штурма следует, что число нулей нетривиального решения уравнения (5.4.12) на полуинтервале [0, 1) не превосходит N + 1, где N - число нулей нетривиального решения уравнения (5.4.13) на том же промежутке.
178
Расстояние между последовательными нулями реше-
ния z(t) равно —,
поэтому 7V* - минимально возможное
число таких нулей на полуинтервале [0, 1), равняется
2V*
7г/4
1
7г/4
Следовательно, максимальное число нулей нетривиального решения уравнения (5.4.12) на полуинтервале [0, 1) не превосходит 7V* + 1 = 2.
На отрезке [1,3] для уравнения (5.4.12) оказывается спра
ведливым следствие 5.4.1, что означает наличие у нетри-
виального решения этого уравнения не более чем одно-
го нуля. Таким образом, нетривиальное решение уравнения (5.4.12) на отрезке [0, 3] в совокупности может иметь не более трех нулей.
1
В заключение рассмотрим случай а = -. Повторив рассуждения, проведенные для случая а = 12, получим
оценку
/ч 1 Д 14	1
“»(,) - 4^2 <ТЗ= 3
Тогда в качестве уравнения (5.4.6) (в пару к (5.4.12)) можно взять уравнение
z-\—z = 0	с решением z(£) = Сsin(—= + </>), (5.4.14)
3	у 3
у нетривиального решения которого расстояние между соседними нулями равно тгуЛз > [0, 3] =3.
Это означает, что уравнение (5.4.14) имеет нетривиальное решение, у которого нет нулей на отрезке [0, 3] . Но тогда Решение нетривиальное решение уравнения (5.4.12) может иметь получено. на этом отрезке не более одного нуля.
179
5.5.	Решение дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов.
Уравнение Бесселя
Известно, что решения линейных уравнений, коэффициенты которых выражаются через элементарные функции, вообще говоря, не только не являются элементарными, но и даже не представляются в квадратурах. В таком случае целесообразно попытаться искать решения в более общем, чем квадратуры, виде, а именно в виде некоторого функционального ряда, используя для этой цели аналитическую теорию дифференциальных уравнений.
Одна из центральных теорем этого раздела математики утверждает, что если все коэффициенты линейного однородного уравнения (5.3.4) аналитичны, то есть представимы в виде степенных рядов в некотором круге комплексной плоскости 1t — to | < R. то каждое решение этого уравнения разлагается в этом же круге в степенной ряд:
+оо
УХ) = ^2ak(t-t0)k .
/с=0
Напомним, что аналитические функции внутри круга сходимости можно дифференцировать любое число раз, и радиус круга сходимости при этом меняться не будет.2
В дальнейшем, для простоты, будем полагать, что to = 0. Особенности использования предлагаемого подхода рассмотрим для случая уравнения второго порядка (5.4.2) на примере следующих задач.
Задача Найти общее решение уравнения Эйри\ 5.5.1
y-ty = Q.	(5.5.1)
Решение. Решение уравнения (5.5.1) ищем в виде ряда
+оо
y(t) =	,
/v = 0
(5.5.2)
априорно предполагая его сходящимся.
2 Подробно основы теории аналитических функций рассматриваются в курсе ТФКП.
180
Подставляя в уравнение (5.5.1), полученное формальным дифференцированием, выражение
Too у(£) = 52fc(fc ~ l)afetfe-2 , fe=2
получаем равенство
Too	Too
52	- i)aktk~2 - 52 aktk+1 = о.
k=2	k=0
После замены индексов суммирования и пределов их изменения:
-	в первой сумме меняем к — 2 на т с пределами изменения 0 < т < +сю ,
-	во второй сумме меняем к + 1 на т с пределами изменения 1 < т < +сю ,
приводим уравнение к виду
Too	Too
52 Т + l)(m + 2)am+2tm - 52	= о
m=0	т=1
или окончательно
Too /
2«2 + 52 ( (т + 1)(т + 2)ат+2 -
т — 1
1
= 0.
Поскольку из равенства нулю суммы сходящегося ряда следует равенство нулю всех его коэффициентов, то получаем
<*2 = 0, (т + l)(m + 2)ат+2 - от-1 = О,
что дает рекуррентные соотношения
OifYi — 1
q2 = о , am+2 = 7 —дт---------гдг Vm > 1.
(т + 1)(т + 2)
181
Важно отметить, что коэффициенты qq и сц пока не определены, но их значения могут быть произвольными.
Чтобы гарантировать нетривиальность построенного решения, положим <то = 1и(Т1=О, что равносильно заданию начальных условий для задачи Коши: ?/(0) = 1 и 2/(0) = 0. Тогда отличными от нуля будут (проверьте!) лишь коэффициенты с индексами Зк, и мы получаем решение вида
“I-00	fSk
У(1)Д - 1 + Е (2  3)(5 • 6)... ((З/с — 1) • 3fc)  (5'5’3)
Второе нетривиальное решение строится аналогично С(То = Ои(Т1 = 1.В этом случае отличными от нуля оказываются лишь коэффициенты с индексами Зк + 1, и решение имеет вид
+оо	^-З/с+1
У(2)(t) - t + Е (3.4)(б • 7)... (3£ • (3£ + 1)) ’ (5'5’4)
Каждый из рядов (5.5.3) и (5.5.4) сходится (по признаку д’Аламбера) при любом вещественном t. Следовательно, их можно почленно дифференцировать и непосредственной подстановкой убедиться в том, что ?/(i)(t) и х/(2)(^) суть решения уравнения Эйри.
Эти решения представимы в виде рядов, содержащих не совпадающие по порядку степени t. Поэтому они, очевидно, линейно независимые и образуют фундаментальную систему для уравнения (5.5.1). Значит, его общее решение имеет вид
Решение
получено. y(t) = Ci?/(i)(t) + С*2Т/(2)(^) V{C1, С2} 6 R.
Рассмотренный выше пример показывает, что в случае аналитичности функций, присутствующих в записи уравнения (5.4.2), для построения решения можно попытаться применить метод неопределенных коэффициентов. Если же коэффициенты уравнения (5.4.2) анали
182
тичны не во всех точках t Е Q, то описываемая схема решения может усложниться. Поясним это следующим примером, дав предварительно
Определение
5.5.1
Точка to Е Q называется обыкновенной точкой уравнения (5.4.2), если все коэффициенты уравнения аналитичны в этой точке. Иначе эта точка 4) Е Q называется особой точкой уравнения (5.4.2).
При наличии особых точек у коэффициентов уравнения (5.4.2) упомянутая основная теорема теории аналитических функций уже не является справедливой, и его решение придется искать в более сложном, чем степенной ряд, виде.
Например, в приложениях достаточно часто возникает необходимость решения так называемого уравнения Бесселя:
t2y + ty + (t2-р2)у = 0,	(5.5.5)
где р - некоторый действительный параметр.
Попробуем искать решения уравнения Бесселя (5.5.5) в виде степенного ряда:
+оо
y(0 = tX 5?	, «о о.
fe=o
(5.5.6)
Подставляя это выражение в (5.5.5), получаем равенство
+ A)(fc + А - 1) + (k + А) + (t2 - р2)) aktk+x = 0,
к=0 '	'
которое можно записать так:
+ оо z	\	+оо
И к 4- А)2 — р2 )	+ У2 °^т^т+Л+2 = 0 •
/с=0	'	т=0
183
Приравнивая последовательно нулю коэффициенты при всех различных степенях t. получаем систему равенств:
(А2 - р2)а0 = 0,
((А+ I)2 -p2)ai =0,
((А + 2)2 — p2)ci2 + cto = 0,
((А + З)2 - р2)а3 + «1 = 0,
((А + fc)2 - р2)ак + ак-2 = 0,
Очевидно, что из оо Ф 0 следует А = ±р. Кроме того, cti = 0, откуда и все ct2fc+i = 0 V/c = 1, 2, 3,...
Рассмотрим вначале случай, когда А = р > 0. Для коэффициентов а2к Ук = 1,2,3,... при этом получаем формулу
=__________(-1)%__________
а2к 22к(р + 1)(р + 2)... (р + к)к\ ’ которую можно записать, использовав такие известные соотношения для гамма-функции Эйлера как
Г(к + 1) = к\ и Г(р + к + 1) = (р + 1)(р + 2)... (р + &)Г(р + 1),
в виде
а2к 22к+рГ(к + 1)Г(р + к + 1У
Заметим, что при этом ради упрощения данной формулы было выбра
но конкретное значение параметра qq =
——-------Это, однако (как
2^Г(р + 1)	’ v
будет видно из дальнейшего), не приведет к потере общности рассуж
дений.
Для найденных значений коэффициентов ряд (5.5.6) сходится по признаку д’Аламбера (проверьте это самостоятельно!) для всех вещественных t. Его предельная функция
+°° (—1}к
»‘> = £ 2^.-Г(£1)Г(р + А: + 1) ^Г' <
184
является частным решением уравнения (5.5.5) и называется функцией Бесселя первого рода порядка р > 0.
При нецелом А = — р < 0 получается другое частное решение уравнения Бесселя (5.5.5), если в формуле (5.5.7) значение р заменить на — р , поскольку само уравнение (5.5.5) при такой подстановке не изменится. Это решение имеет вид
J (i) = V___________________________t2fe-p р > 0
”Р ^22fe-Pr(fc + l)r(-p+fc + l) ’ Р
и называется функцией Бесселя первого рода порядка —р.
Функции Jp(t) и при нецелом р > 0, очевидно, линейно независимые, поскольку представляющие их ряды начинаются со степеней t различного порядка. Значит, эти функции образуют фундаментальную систему решений и общее решение уравнения Бесселя описывается формулой
y(t) = CiJp(t) + CzJ-pft) .
Если р = п целое, то общее решение уравнения Бесселя имеет иной вид. Дело в том, что в этом случае из свойств гамма-функции Эйлера следует, что J_n(t) = (—Y)nJn(f) и функции Бесселя первого рода не образуют фундаментальную систему решений, поскольку они являются линейно зависимыми.
Частное решение, линейно независимое с Jn(t\ можно построить по формуле Лиувилля-Остроградского. Это решение, обозначаемое обычно Yn(f), называется функцией Бесселя второго рода порядка п. Таким образом, общее решение уравнения Бесселя для целого значения р имеет вид
y(t) = C\Jp(t) + C2Yp(t) .
Из свойств функции Бесселя второго рода отметим (без доказательства), что при £ —> 0 справедливы оценки:
Yo(t)~olnt и	пеМ,
1п
из которых следует, что Yn(f) не ограничена в окрестности точки t = 0 .
Рассмотрим теперь, как ведут себя ограниченные решения уравнения Бесселя при больших значениях их аргумента, то есть при t +ос .
При помощи формулы (5.4.3), то есть замены у (Б) =	• это урав-
нение может быть приведено к виду, не содержащему первой произ
185
водной от неизвестной функции:
( р2 — 1/4\ й + 1 - -—тг— \и = 0 ,	5.5.9)
\ /
которое можно записать как
й + и = F(t)u,	(5.5.10)
р2 — 1/4
где F(t) = 1-----.
Предположим, что функция и(ф) в правой части уравнения (5.5.10) нам известна, тогда это уравнение можно привести к интегральной форме методом, аналогичным использованному при доказательстве теоремы 2.5.1 методу неопределенных коэффициентов.
Конкретно: поскольку общее решение однородного уравнения й+ +и = 0 есть Ci cost + C^sint, частное решение неоднородного уравнения (5.5.10) можно представить в виде Ci(t)cost + C^t) sin t, где функции Ci(t) и C*2(t) находятся из системы линейных уравнений
( Ci cos t + С2 sin t = 0 ,
[ — Ci sin t + C*2 cos t = F(t)n(t)
в виде интегралов с переменными нижними пределами
+оо	+оо
Ci(t)= у* F(v)u(v) sinr dv и C*2(t) = — J F(v)u(v) cos v dv . t	t
В результате получаем интегральное уравнение вида
+оо
n(t) = Ci cost + С2 sint — У sin(t — v)F(v)u(v) dv , t
из которого, в силу |n(t)| < А - предположения об ограниченности n(t), следуют интересующие нас оценки.
|n(t) — Ci cos t — С2 sin t| =
v)F(v)u(v) dv
+00
У AF(v) dv t
при t -Д +oc .
186
Следовательно, уравнение (5.5.10) имеет решения
ui(t) = cost + О ( -\	и uz(t) = sin/; + О ( -
при t +сю, а соответственно уравнение Бесселя (5.5.5) решения
z ч cos t
У1 (t) =	+ О
sin t
У2^) = —^ + °
Завершая обсуждение асимптотических свойств уравнения Бесселя, отметим, что данное уравнение в окрестности точки t = +сю не ограниченных вещественных решений не имеет. Доказательство этого факта выходит за рамки нашего курса.
Использование степенных рядов для получения приближенных описаний решений дифференциальных уравнений на практике осложняется тем обстоятельством, что малые изменения в записи уравнения или в дополнительных условиях (начальных, краевых и т.д.), вообще говоря, могут приводить к немалым изменениям в решениях. В этих случаях принято говорить о нерегулярности (некорректности) постановки задачи, а сами малые изменения условий называть сингулярными возмущениями.
Хотя изучение свойств таких задач и методов их решений не является составной частью нашего курса, ввиду важности их для приложений представляется целесообразным рассмотреть конкретный пример задачи, содержащей в своем условии сингулярное возмущение.
Задача Найти y(t, s) - решение краевой задачи, где е - малый 5.5.2 параметр и t Е [0,1],
еу + У + У = F(t),	(5.5.11)
при условиях
2/(0) = 0 и Щ) = 1	(5.5.12)
Для
a)	F(t) = 1,
б)	F(t) = 1 + t.
187
Решение. 1°. Рассмотрим вначале случай F(t) = 1. В качестве частного решение уравнения (5.5.11), очевидно, можно взять функцию y(t) = 1. Тогда его общее решение будет
y(t,s) = l + CieAlt + C2eA2t ,
где Ci и (?2 - произвольные константы, a Ai и А2 -корни характеристического уравнения sA2 + А + 1 = О, равные соответственно
- 1 + х - 1 -
Л1 = ------Е------ И Л2 =-----------Е------•
Для определения значений констант (71 и С2 используем краевые условия (5.5.12), из которых следует, что
Г С1 + С2 = -1,
\ eA1Ci + еА2С2 =	0.
Откуда получаем
ел2
Ci = —т-------т- и	С2 = -д-----т-
и находим решение краевой задачи
С”^2
y(t,s) = 1 - ед2 _ gAi eAlt + ед2 _ gAi еА"
где t е [0,1].
2°. Исследуем теперь асимптотическое поведение найденного решения краевой задачи при s —> 0 . Для Ai и А2 имеем соответственно оценки:
- 1 + Д1 - 4s 1	1 .------
------------=---+ — v/1 -4s =
2s	2s 2sV
= -^+^(1-2£ + °(£)) =-l + O(£)
188
И
A? =
1
2~e
- 1 - Д -4s _	1
“ ~2s
o(e)) =--+1 + 0(e) .
2s

Проверьте самостоятельно, что также справедливы оценки: Ci = 0(e) , Съ = — 1 + 0(e) и
eX2t = exp | —|+0(s), ie|O, 1], s>0. \ £
Теперь можно выписать формулу асимптотической оценки при е > 0 и для решения краевой задачи:
y(t, е) = 1 — ехр
+ 0(e) ,
из которой следует, что
lim w(t, е) = <	’
£—> I О	I i ,
если
если
t = О, t е (0,1].
Графики функций y(t,e) для
s = 0.1, 0.05, 0.025, 0.01, 0.001
показаны на рис. 5.1.
Исследование при е < 0 сводится к уже рассмотренному случаю при помощи замены переменной t на —t.
3°. Отметим важный факт, следующий из предыдущего рассмотрения: предельный переход е +0, выполненный в решении задачи (5.5.11) - (5.5.12), приводит к результату, отличающемуся от результата предельного перехода в условии этой задачи.
189
Рис. 5.1. Графики решений краевой задачи для различных е > О
Действительно, если в уравнении (5.5.11) положить s = 0 и оставить лишь одно краевое условие ?/(1) = 1, то мы получим решение для уравнения первого порядка у у = 1 вида y(t) = 1 \/t G [0,1]. Это решение будет близко к решению задачи (5.5.11)-(5.5.12) везде на отрезке [0,1 ], за исключением s-окрестности точки t = 0, где решения будут значительно отличаться.
Эту окрестность принято называть пограничным слоем, а отмеченное различие решений - поведением типа пограничного слоя. Математически природа эффекта пограничного слоя вполне очевидна: возмущенное уравнение (то есть уравнение (5.5.11) с е 0) есть уравнение второго порядка, в то время как невозмущенное является уравнением первого порядка, решения которого могут не удовлетворять двум различным краевым условиям.
190
Решение
получено.
В заключение обратим внимание на то, что эффект пограничного слоя возникает не при любом возмущении. Например, в случае б) при F(t) = 1 + t решение невозмущенной задачи имеет вид y(t) = t и является при этом также решением краевой возмущенной задачи при любом 8.
191
Глава 6
Системы нелинейных
дифференциальных уравнений
6.1.	Автономные системы уравнений и их свойства
Определение
6.1.1
Нормальной автономной системой дифференциальных уравнений порядка п > 2 с неизвестной вектор-функцией x(f) называется система уравнений вида
х = F{x), xeQCEn ,	(6.1.1)
где вектор-функция F(x) в Q удовлетворяет условиям теоремы 4.3.1 (Коши) при t Е Т.
Согласно данному определению независимая переменная t в условие автономной системы явно не входит. При этом отметим, что любая система вида х = F(t,x) может быть сведена к автономной путем введения дополнительной скалярной неизвестной xn+i(£) = t. Координатная форма системы (6.1.1) в этом случае пополняется (п + 1)-м ^п+1
уравнением —-— = 1 и принимает автономный вид at
' dxk
— = Fk(xn+1,x1,x1,x2,...,xn) Vfc = [l,n], a t
dxn\\ i
< dt
Переменные xi,X2,... ,xn принято называть фазовыми переменными.
192
Пусть x(t) есть некоторое частное решение системы (6.1.1), тогда вектор-функция x(t), t Е (—сю,+сю), параметрически задает некоторую линию в Е'а. называемую фазовой траекторией этой системы. Совокупность фазовых траекторий для всех частных решений будем именовать фазовым портретом системы (6.1.1).
Заметим, что фазовая траектория и интегральная кривая суть различные способы наглядного представления решений системы (6.1.1), поскольку они образованы точками пространств разных размерностей: n-мерного фазового пространства и (п + 1)-мерного пространства, образованного векторами с координатными представлениями ви-да || t, Ж1, ж2, ..., жи||т (см. рис. 6.1).
Рис. 6.1. Интегральные кривые и фазовые траектории
Стрелкой на фазовой траектории принято указывать направление перемещения точки по фазовой траектории при возрастании координаты t.
Пример 6.1.1. Для автономной системы
±1
Х2
—Х\
каждая интегральная кривая есть в E3{t, ад,х2} винтовая (или прямая при Ci = 0) линия
яд = Ci cos(t + С2), х2 = Ci sin(t + С2),
193
в то время как фазовые траектории являются в E2{xi,X2} окружностями (или точкой при Ci = 0) вида х2 +х% = С2 . Причем для каждой фазовой траектории с конкретным значением Ci имеется бесконечно много интегральных кривых с различными значениями (?2.
Укажем некоторые полезные свойства решений автономных систем и их фазовых траекторий.
Теорема Если вектор-функция x(t) есть решение автоном-6.1.1 ной системы (6.1.1) при t Е (a, ft) С Т, то вектор-функция x(t + с) (где с — такая константа, что (а — с, р — с) С Т) также является решением системы (6.1.1), но при t Е (а — с, р — с).
Доказательство.
Следует непосредственно из равенств dx(t + c) dx(t + c) dt d(t + c) v v 77
Теорема доказана.
Теорема Если фазовые траектории решений х(£), t Е Т\ 6.1.2 и y(t), t Е Т2 автономной системы (6.1.1) имеют общую точку а = х(Н) = ?/(£2)9 то У(1) = F — ^2) для всех С при которых определены обе части последнего тождества.
Доказательство.
Вектор-функция z(t) = x(t + ti — £2) в силу теоремы 6.1.1 является решением системы (6.1.1) для всех t таких, что
t ti — t2 Е Ti .
Кроме того, z(*2> = a:(ti) =а = y(t2).
Тогда по теореме единственности z(t) = y(t) для всех t, при которых обе части этого тождества определены.
Теорема доказана.
194
Из теоремы 6.1.2 следует, что фазовые траектории автономных систем либо не пересекаются, либо совпадают. Поэтому вектор-функцию F(x) можно рассматривать в области Q как задающую векторное поле фазовых скоростей, каждый ненулевой элемент которого является вектором, касательным к фазовой траектории, проходящей через точку х е Q. Для точек с нулевой фазовой скоростью используется
Определение Положением равновесия или точкой покоя1 си 6.1.2	стемы (6.1.1) называется ее решение вида
x(t) = xq Е Q \/t Е (—ос, +ос)
такое, что F(xo) = о.
Иначе говоря, положение равновесия есть постоянное (во времени) решение системы (6.1.1), фазовая траектория которого является точкой в фазовом пространстве Еп, а соответствующая этому решению интегральная кривая в £?n+1 есть прямая, параллельная оси Ot. Из определения 6.1.2 также следует, что поиск положений равновесия системы (6.1.1) сводится к решению конечной (не дифференциальной) системы уравнений F(xo) = о.
Наконец, из вышесказанного следует, что неособое решение не может проходить через стационарную точку ни при каких конечных t. Оно может лишь асимптотически к ней приближаться при t +сю или при t —сю.
Теорема Пусть х(б), t Е Т, — неособое решение систе-6.1.3 мы (6.1.1), фазовая траектория для которого замкнутая линия. Тогда x(t) — периодическая функция.
Доказательство.
В силу условий теоремы Г - фазовая траектория, отвечающая решению x(t), есть гладкая замкнутая линия в Еп, элемент длины дуги которой равен
dL = \dx\ = |±(£)|d£ = |F(x(£))|d£.
1 Используются также термины особое решение или стационарное решение.
195
Рассмотрим 7 - некоторую дугу линии Г, начинающуюся в точке х(0). В силу теоремы 6.1.1 для каждой ее точки остается справедливым равенство (6.1.1). В этом случае длина дуги 7 для t Е (О, Р) при Р > 0 определяется формулой
р l(p) = I • О
Поскольку точки линии Г в своей совокупности образуют ограниченное и замкнутое множество, то для непрерывной на этом множестве функции |Р(ж)| существуют числа т и М такие, что
О < т < |Р(х)| < М < -hoc ,
а по свойствам определенного интеграла: тР < L(P) < МР.
Из неравенства тР < L(P) следует, что монотонно возрастающая функция L(P) стремится к -hoc при Р -hoc.
Поскольку гладкая линия Г замкнутая, то она имеет ограниченную длину, которую обозначим L*. В этом случае при малых Р > О
L(P) < MP < Р,
так как дуга 7 является частью линии Г (например, при Р < М/М).
Поэтому существует (а в силу монотонности L(P) единственное) число Р* > 0, являющееся решением уравнения
р*
L(P*) = S или S = / \F(x(t))\dt.
О
При Р = Р* 7 совпадает с Г и х(Р*) = х(0), иначе 7 была бы частью Г. Значит, число Р* - наименьший положительный период вектор-функции x(t).
Теорема доказана.
Из теорем 6.1.1-6.1.3 вытекает
Следствие Каждая фазовая траектория автономной систе-6.1.1 мы (6.1.1) является либо точкой, либо незамкнутой или замкнутой линией без самопересечений.
196
Доказательство.
Действительно, незамкнутая траектория, очевидно, не имеет точек самопересечения. В случае замкнутой фазовой траектории точек самопересечения также быть не может, поскольку из равенства x(ti) = х(^) при некоторых £i, £2 Е [О, Р*] и |^2 ~ £i| < Р* следует, что решение x(t) имеет период Р** = I ^2 — ^1 | < Р*, что невозможно, поскольку Р* наименьший положительный период.
Следствие доказано.
Групповое свойство автономной системы (6.1.1) описывает
Теорема Пусть х(£, а) есть решение задачи Коши следую-
6.1.4 щего вида: х = F(x), х(0) = а. Тогда
x(t, х(^о, а)) = x(t + а)
на любом интервале, на котором определены обе части данного тождества.
Доказательство.
Вектор-функции x(£,x(£q,cO) и x(t + t^a) при t = 0 равны вектору x(to,a). По теореме единственности они совпадают для всех допустимых значений t.
Теорема доказана.
Следует отметить, что исследование поведения фазовых траекторий системы (6.1.1) в малой окрестности некоторой точки фазового пространства единообразно выполнить удается далеко не всегда. Например, в случаях, когда рассматриваемая точка является положением равновесия, оказывается, что фазовый портрет существенно зависит от типа этого равновесия (соответствующие случаи будут рассмотрены в следующем параграфе). Однако в окрестности неособой точки характер поведения фазовой траектории качественно одинаков для любых автономных систем.
Пусть формулы х = <р(у) У у е О С Еп, х е Q С Е7/, задают замену переменных { ад, Х2, ..., хп } на { щ, у^ ..., уп}- Напомним
197
Определение
6.1.3
Замена переменных х = р(у) называется гладкой обратимой в 0, если
1° преобразование х = взаимно однозначно отображает 0 в Q;
2° вектор-функции х = и обратная к ней у =	непрерывно дифференцируе-
мые в 0 и Q соответственно;
3° якобиан
а(ж1, ж2,жга) д(У1, у2,  , уп) Л
Vi/eO.
Определение
6.1.4
Замена переменных у = ср х(х) называется обратной к замене х = р (у).
Замена переменных, обратная к гладкой и обратимой, также гладкая и обратимая в силу определений 6.1.3 и 6.1.4.
Теорема В малой окрестности точки а Е Еп. не являющей-6.1.5 ся положением равновесия, система (6.1.1) может (О	быть приведена к виду
выпрямлении	II II О О
траек-	
торий)	Уп—1 — о, k Уп = 1
гладкой обратимой заменой х = р(у).
(6.1.2)
Доказательство.
Предварительно нетрудно заметить, что решения системы (6.1.2) всегда существуют и имеют вид
3/i(i) = <71, y2(t) = С2, • • • ,	= Cn_i, yn(t) = t+Cn,
соответствующие им интегральные кривые (извините за невольный каламбур) суть прямые линии в £?n+1.
Поскольку а не является положением равновесия для системы (6.1.1), то F(a) о. Без ограничения общности будем считать, что Fn(a) 0.
198
Рассмотрим для системы (6.1.1) задачу Коши с начальным условием следующего специального вида:
т(0) =
У1
У2
Уп—1
Уп
где числа { щ, ?/2, • • •, У п-1 } суть произвольные константы, а уп = CLn ( &п - п-я компонента вектора а ).
Пусть х = cp(t,y) есть решение этой задачи Коши. По свойствам решения задачи Коши в найдется (вообще говоря, малая) окрестность точки {t = 0, у = а} такая, что функция х = у) существует, единственна и непрерывно дифференцируема.
Убедимся теперь, что вектор-функцию х = у) можно рассматривать как определение в Еп гладкой обратимой замены переменных
{xi, х2, ..., xn-i, хп}	{щ, ?/2, Уп-i, t}.
(6.1.3)
Заметим, что во введенных обозначениях <^(0, у) = у. Тогда в точке {t = 0, у = а} очевидны равенства
=	Vz=[l,n], VJ = [l,n —1],
где 8ij - символ Кронекера. Кроме того, поскольку x(f) -решение системы (6.1.1), то
^- = Ft(x) Vz = [l,n],
Вычислим определитель матрицы Якоби для замены переменных (6.1.4):
0(^1, х2, ...,хп) d(<Pi, </?2,<Аг-1, <pn)
d(yi,y2,---,yn)	d(yi,y2,...,yn-i,t)
199
В точке {t = 0, у = а} этот определитель будет равен
	1 0	0	... 1 ...	0 0	Ч(«)	
det					= Fn(d) ± 0.
	0	0	...	1	-Fk-i(a)	
	0	0	...	0	Fn(a)	
Что означает законность применения теоремы о системе неявных функций в случае х =	у).
Осталось убедиться, что гладкая обратимая замена переменных (6.1.3) приводит систему (6.1.1) к виду (6.1.2).
Действительно, для замены, обратной к (6.1.3), имеем
ук = Uk(x) Ук = [1,п - 1], t = V(x),	(6.1.4)
где U(x) и V(-c) - некоторые непрерывно дифференциру-емые в окрестности точки а функции. В случае, когда х = = ip(t,y) есть решение рассматриваемой задачи Коши, будут верными равенства
ук(х) = Ск = const \/к = [1,п - 1], уп = V(x) = t.
Откуда следует, что в новых переменных система (6.1.1) имеет вид (6.1.2), а фазовые траектории являются отрезками параллельных прямых.
Теорема доказана.
6.2. Устойчивость положения равновесия автономной системы
Выше было отмечено, что достижение особых точек при движении по фазовой траекториям возможно лишь при t сю. Это означает, что изучение поведения решений системы (6.1.1) в окрестностях таких точек требует исследования их поведения при t сю. Одним из самых важных пунктов этого исследования является ответ на вопрос: в каких случаях малые изменения начальных условий и правых частей системы (6.1.1) приводят к малым изменениям решений на бесконечных интервалах ( —сю, Т) и (Т, +сю)? Получением ответа на этот вопрос и занимается математическая теория устойчивости, в созда
200
нии и развитии которой большую роль сыграли российские ученые и в первую очередь А. М. Ляпунов.
Пусть x(t, а) есть решение задачи Коши:
	х = F(x), x(to) = а Е Cl	(6.2.1)
такое, что lim x(t,a) = хо, a xq - положение равновесия (особое ре-t—>ос
шение) системы (6.1.1), т.е. F(xq) = о.
Дадим следующие определения:
Определение 6.2.1	Положение равновесия xq называется устойчивым по Ляпунову (или просто устойчивым), если 1° найдется А > 0 такое, что решение х(£, а) задачи (6.2.1) существует на t Е Т для любых а таких, что | а — хо| < А; 2° V s > 0 3	> 0 такое, что если | а — хо | < F, то | x(t, а) — хо | < £	ЕТ. Иначе положение равновесия называется неустойчивым.
Определение 6.2.2	Положение равновесия хо называется асимптотически устойчивым, если 1° оно устойчиво по Ляпунову, 2° при достаточно малых | а — хо |
lim x(t, а) = х0.
t—>ос
Для данных определений сделаем следующие замечания.
Во-первых, мы рассматриваем устойчивость по отношению лишь к малым отклонениям от положений равновесия.
Во-вторых, использование одних лишь определений 6.2.1 и 6.2.2 для исследования устойчивости эффективно в тех случаях, когда возможно либо построение общего решения, либо выявление таких свойств решений, как ограниченность, возрастание или убывание.
201
Следует также обратить внимание, что пункты 1° и 2° в определении 6.2.2 независимы: из 1° не следует 2°, а из 2° не следует 1°. Эту особенность определения 6.2.2 иллюстрируют пример 6.1.1 и
Задача	Устойчиво ли нулевое решение уравнения х = —х21
6.2.1
Решение. Очевидно, что x(i) = 0 есть решение данного уравне-
ния. Общее ненулевое решение описывается формулой
t + C’
где С - произвольная константа.
Заметим, что, хотя lim x(t) = 0, устойчивым нулевое t—>+оо решение не является.
Действительно, при t = — С интегральная кривая имеет вертикальную асимптоту, и VC < 0 из условия Решение |х(0)| < <5 условие |х(£)| < £ ПРИ (0,+оо) следополучено. вать не будет.
Наконец, отметим, что понятия устойчивости и неустойчивости можно распространить как на неавтономные системы, так и на системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметров.
В главе 3 были получены формы общего решения систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Рассмотрим теперь проблему устойчивости положений равновесия для систем (6.1.1) вида
PII = 1И1НЫ1,
(6.2.2)
где ||А|| =
«11
«21
«п1
«12
«22
«п2
«1п «2п
«пп
^l(t)
xn(t)
Здесь числа ~ комплексные константы.
Пусть матрица ||А|| задает линейное преобразование в унитарном пространстве L7n, имеющее собственные значения Ai, А2, ... Ап, среди которых, быть может, имеются равные. Тогда для положения равновесия x(t) = о справедлива
202
Теорема
6.2.1
1°. Если ReAj <0 VJ = [1,п], то x(t) = о асимптотически устойчиво.
2°. Если ReAj <0 VJ = [1,п] и для каждого А с ReAj = 0 его кратность совпадает с размерностью собственного подпространства, то х(£) = о устойчиво по Ляпунову.
3°. Если имеется хотя бы одно А с ReA > 0 или хотя бы для одного А с ReA = 0 кратность больше размерности собственного подпространства, то x(t) = о неустойчиво.
Доказательство.
По теореме 3.2.4 общее решение системы (6.2.2) есть вектор-функция, каждая компонента которой имеет вид
Q
хкХ) =	Vfc = [l,n],	(6.2.3)
J=1
где Ai, А2, ... Xq - все различные собственные значения матрицы || А||, a Pkj(t) ~ алгебраический многочлен, степень которого на единицу меньше длины самой длинной из жордановых цепочек, отвечающих собственному значению Ау, и коэффициенты которого выражаются через п произвольных комплексных постоянных Ci, С2,..., Сп .
Напомним также, что для А = a+ifl справедливы равенства
P(t)ext = P(t)eat (cos /3t + i sin Д) ,
причем | cos /3t + i sin fit | = 1.
1°. Пусть ReAj <0 VJ = [l,n], тогда (известно из курса математического анализа)
lim Pkj(t)eXit = 0 Vfc = [l,n], Vj = [l,q]. t^+oc
Тогда каждое решение системы (6.2.2) при t +сю стремится к нулю и, следовательно, ограничено на t Е [^о,+сю).
203
Эти утверждения, очевидно, верны и для фундаментальных (базисных) решений, служащих столбцами фундаментальной матрицы ЦХЦ, норма которой также оказывается ограниченной, то есть
ЗМ>0 : (||Х||) <М.
А поскольку в наших обозначениях для фундаментальной матрицы
ММ11 = МН
<Ht,a)||><<||X||><||a||),
то из (||а||) < получаем, что (||х(£, а)||) < е при

Vs > 0.
Откуда следует устойчивость х = о по Ляпунову.
Наконец, из условия lim x(t,a) = о получаем, что х = о >+оо
устойчиво асимптотически.
2°. В этом случае слагаемые в (6.2.3), для которых ВеАу < 0, ограничены по тем же соображениям, что и в пункте 1°.
Слагаемым с ВеА;у = 0 соответствуют в (6.2.3) многочлены нулевой степени, поскольку предполагается, что кратность таких собственных значений равна размерности собственного подпространства (в Un существует базис из собственных векторов). Многочлены нулевой степени суть константы и, значит, ограничены.
Получив те же оценки, что и в случае 1°, приходим к заключению о справедливости пункта 2°.
3°. Допустим, что ReAj* > 0 для некоторого Aj* . Тогда соответствующее слагаемое в (6.2.3) не ограничено на t Е [^о, +сю).
У задачи Коши (6.2.1) всегда есть вещественное неограниченное решение x(t,a). Действительно, если x(t,a) неограниченное и комплексное, то хотя бы одно из вещественных решений Rex(£,a) или 1шх(£,а) обязательно неограничен-
ное.
<5
Пусть J > 0 любое и сколь угодно малое. Тогда при С = —— 2|а|
мы имеем неограниченное решение y(t) = Cx(t,a), для которого
204
|j/(to)l = |Ca:(to,a)| =
6
2
Значит, положение равновесия х = о неустойчивое.
Если же ReAj < О VJ, но имеется собственное значение с ReAj* = 0 для некоторого Aj*, кратность которого больше размерности собственного подпространства, то из теоремы 3.2.4 следует, что в формуле (6.2.3) имеется многочлен степени, не меньшей, чем 1, старший коэффициент которого не нулевой. И, поскольку |	= 1, это решение неограни-
ченно, а положение равновесия неустойчиво.
Теорема доказана.
Заметим, что хотя теорема 6.2.1 сформулирована и доказана как набор достаточных условий, несложно убедиться, что эти условия одновременно являются и необходимыми.
Вернемся теперь к рассмотрению системы (6.2.1) в предположении, что xq = о является ее положением равновесия, то есть Т(о) = о. Опишем возможные подходы к исследованию такого положения равновесия на устойчивость. При этом мы ограничимся лишь необходимыми определениями новых понятий и формулировками теорем, доказательства которых выходят за рамки нашего курса и будут заменены ссылками на соответствующие источники.
Первый подход носит название исследования устойчивости по линейному приближению и заключается в следующем.
Пусть вектор-функция Е(х) дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия х$ = о. Тогда она представима в этой окрестности по формуле Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано) в неразвернутом матричном виде как
И(х)|| = ||А||и + цад||,
dFi
где матрица ||А|| имеет элементы аЛ7 такие, что	,
Э х=о
а вектор-функция R(x) не только равна о при х = о, но и удовлетворяет условию
205
Тогда система уравнений (6.2.1) принимает вид
и = и|||кн + пади
(6.2.4)
и оказывается справедливой
Теорема 6.2.2 (Об устойчивости по линейному приближению)
1°. Если матрица системы ||Л|| такова, что ВеАу < < О VJ = [1,п], то решение системы (6.2.4) x(t) = о асимптотически устойчиво.
2°. Если матрица ||Л|| имеет хотя бы одно А с ReAj > 0, то решение системы (6.2.4) x(t) = о неустойчиво.
3°. Если max Re A j = 0, то устойчивость (или з
неустойчивость) x(t) = о зависит не только от матрицы || А||, но и от вектор-функции R(x).
Доказательство.
См. [2], гл. 4, § 20.
Теорема доказана.
Условия пунктов 1° и 2° являются достаточными для того, чтобы делать заключения об устойчивости (или неустойчивости) положения равновесия х = о системы (6.2.4). Положения равновесия, удовлетворяющие этим условиям, принято называть грубыми положениями равновесия.
Положения равновесия, для которых оказываются справедливыми условия пункта 3°, называются негрубыми положениями равновесия. Исследование особых решений в этом случае может быть выполнено альтернативным методом, разработанным А. М. Ляпуновым, основой которого служат следующие определения и теоремы.
Определение
6.2.3
Функция Ф(х) такая, что Ф(о) = 0, называется в некоторой проколотой окрестности U элемента
X = о
-	положительно определенной, если Ф(ж) >0 \/х е U;
-	отрицательно определенной, если Ф(х) <0 \/х е U;
-	неотрицательной, если Ф(х) >0 \/х EU;
-	неположительной, если Ф(х) < 0 Мх е U.
206
Определение
6.2.4
Производной в силу системы (6.2.1) от функции Ф(х) называется выражение
Ф(х) = || gradФ(ж) ||т ||F(x)|| =
ЭФ(х) дх.
Fj(x).
Нетрудно заметить, что производная в силу системы2 (6.2.1) есть полная производная по t от сложной функции Ф(х(£)), если x(t) -решение этой системы. Причем для вычисления значений такой производной знать само решение не требуется.
Определение
6.2.5
Положительно определенная в некоторой проколотой окрестности U элемента х = о функция V(x) называется функцией А.М. Ляпунова, если
У (х) <0 \/х е U,
где У(х) - производная в силу системы (6.2.4).
Исследование системы (6.2.1) по методу Ляпунова базируется на следующих трех теоремах.
Теорема Если в некоторой окрестности положения рав-6.2.3 новесия системы (6.2.1) х = о существует функ-(Ляпуно- ция Ляпунова V(x), то это положение равновесия ва об устойчиво по Ляпунову.
устойчи-
вости)
Доказательство.
См. [3], гл. 4, § 6.
Теорема доказана.
2 В формулах производную в силу системы будем помечать наклонным верхним штрихом, например, F.
207
Другими словами, согласно теореме 6.2.3, неположительность производной в силу системы (6.2.4) от функции Ляпунова гарантирует устойчивость положения равновесия.
Теорема Если в некоторой окрестности положения равно-6.2.4	весия системы (6.2.1) х = о существует функция
(Об	Ляпунова V(x) такая, что ее производная в силу
асимпто- системы (6.2.1) V(x) отрицательно определена тической в этой окрестности, то данное положение равно-устойчи- весия асимптотически устойчиво.
вости)
Доказательство.
См. [3], гл. 4, § 6.
Теорема доказана.
Доказательство неустойчивости положения равновесия может основываться на использовании специальной функции W(x), называемой функцией Н. Г. Четаева.
Пусть U - некоторая окрестность х = о, a О С U такая, что х = о - граничная точка Q.
Теорема 6.2.5 (Четаева о неустойчивости)
Если существует функция W(х) непрерывно дифференцируемая на Q такая, что
W(ж) > 0, W(ж) >0 Vx е Q,
где W(х) — производная в силу системы, и все точки х* G Q, в которых ИДх*) = 0, суть граничные точки Q.
Тогда положение равновесия х = о неустойчиво.
Доказательство.
См. [3], гл. 4, § 6.
Теорема доказана.
Как уже отмечалось ранее, условия, сформулированные в теоремах 6.2.3-6.2.5, позволяют делать заключения о типе устойчивости негрубых положений равновесия, когда теорема об устойчивости по линейному приближению неприменима. При этом важно, что для получения этих заключений не требуется находить решения систем вида 6.2.4.
208
С другой стороны, общей методики построения функций V(x) и W(x) не имеется, и для этой цели приходится использовать специфику решаемой задачи. Например, доказано, что функция Ляпунова всегда существует в окрестности асимптотически устойчивого положения равновесия. Однако в более общем случае такие функции имеются не для любого класса систем дифференциальных уравнений.
Особенности практического применения методов Ляпунова и Чета-ева проиллюстрируем на примере решения двух следующих задач.
Задача Найти и исследовать на устойчивость положения равно-
6.2.2 весия автономной системы
—xf + Х2 1
-xf - ххх2.
(6.2.5)
Решение. 1°. У данной системы единственное положение равновесия - начало координат. Матрица ||А||, очевидно, нулевая и теорема 6.2.2 не применима.
2°. Покажем, что функция V(xi,X2) = х% + х% удовлетворяет условиям теоремы 6.2.4. Действительно, она положительно определенная в любой окрестности начала координат и 7(0,0) = 0.
Ее производная в силу системы (6.2.5) равна
V(xi, х2) = 2xi (—+ х%) + 2х2 (—%2 ~ ^1^2) =
= — 2X1 — 2X2
и является отрицательно определенной в любой окрестности начала координат.
Тогда по теореме 6.2.4 начало координат есть асимп-Решение	готически устойчивое положение равновесия для си-
получено.	стемы (6.2.5).
Задача Найти и исследовать на устойчивость положения равно-6.2.3 весия автономной системы
Х1
±2
q.2
Xi
XiX^ .
+ 2^,
(6.2.6)
209
Решение.
1°. У системы (6.2.6) начало координат единственное положение равновесия. Матрица ||А|| также нулевая, и потому теорема 6.2.2 не применима.
2°. Пусть
U = {(хх;х2) :	+ #2 < Д,
а 0 = {(хх; х2) G U : x\ > x^} •
Покажем, что функция ИДхх,х2) = x^ — x\ удовлетворяет в Q условиям теоремы 6.2.5. Действительно, здесь она положительно определенная и ИДО, 0) = 0. (см. рис. 6.2).
Ее производная в силу системы (6.2.6)
ЙДхх,х2) = 2xi (^i + 2х^) — 4Х2Х1Х2 = 2х^
Решение
получено.
является положительно определенной в Q, а начало координат есть единственная точка, в которой ЙДхх,х2) = 0.
Тогда по теореме 6.2.5 получаем, что начало координат есть неустойчивое положение равновесия для системы (6.2.6).
210
6.3. Положения равновесия автономных систем второго порядка
Как уже было отмечено, теорема 6.1.5 (о выпрямлении траекторий) не применима в окрестностях положений равновесия. Исследование поведения фазовых траекторий в этих областях требует использования более сложных, специальных методов, рассмотрению которых посвящен данный параграф.
Основой этих методов является локальная линеаризация системы (6.1.1) в малой окрестности положения равновесия, а также набор условий, гарантирующий совпадение в этой окрестности характеров поведения (или, как принято говорить, эквивалентность) фазовых траекторий исходной и линеаризованных систем.
Рассмотрим в качестве примера вещественную нелинейную автономную систему второго порядка:
=	/1(Х1,Х2),
Х2 =	/2(^1,^2),
(6.3.1)
где /i(xi,X2) и /2(^1,^2) _ заданные вещественные дважды непрерывно дифференцируемые в области Q С Е2 функции. Найдем фазовый портрет для этой системы в окрестности некоторой точки II^oi ^02 ||т е Q.
Без потери общности можно считать, что || xqi ^02 ||Т = || 0 0 ||т, поскольку начало координат фазовой плоскости переносится в рассматриваемую точку линейной невырожденной заменой:
У1 = ^1 - я01 ,
У2 =	~ Х02 •
Если начало координат не есть особая точка, то фазовый портрет можно получать, применяя теорему 6.1.5 (о выпрямлении траекторий), из которой следует, что фазовые траектории в малой окрестности начала координат суть почти прямые, непересекающиеся линии.
Допустим теперь, что начало координат является положением равновесия системы (6.3.1). Тогда из равенств /1(0,0) = 0 и /2(0,0) = 0 и формулы Тейлора следуют соотношения
/1(Ж1,Ж2)
/2(Ж1, х2)
<ТцХ1 +
«21^1	+
Q12X2 + о(у/х2 + х!>) ,
а22х2 + о(\/х2 + х% ),
где
= 1,2-
211
Тогда система (6.3.1) может быть записана в виде
±2
Q11X1	+	С112Х2	+	о(у/х^ + ^2 )	,
<Т21^1	+	С122^2	+	о(\А‘1 +
и естественно дать
Определение
6.3.1
Линейная однородная система
±1
±2
□31^1	+	<Т12^2 ,
0^21^1	+	<^22^2
(6.3.2)
называется линеаризацией системы (6.3.1) в начале координат.
Как и раньше, будем использовать обозначение
ин =
(Лц Q12
Q21	^22
Основой для исследования поведения фазовых траекторий в окрестности положения равновесия нелинейной системы (6.3.1) служит
Теорема Если для матрицы ||А|| все собственные значения 6.3.1 различны и имеют ненулевые вещественные ча-(0	сти, то особая точка в начале координат систе-
линеари- мы (6.3.1) имеет тот же тип, что и ее линеариза-зации) ция (6.3.2). При этом сохраняются особенности подхода фазовых траекторий к особой точке, направления закручивания и устойчивость.
Доказательство.
Доказательство достаточно сложное и выходит за рамки нашего курса. Его можно найти, например, в [8], § 30.
Теорема доказана.
В силу вышеизложенного представляется целесообразным вначале изучение характера поведения фазовых траекторий линейных автономных систем, которое мы выполним для случая п = 2, то есть для случая, когда фазовое пространство есть двумерная плоскость.
212
Рассмотрим линейную, с вещественными коэффициентами, автономную систему уравнений вида
±2
(ТцХ1 +	0^12^2,
Ct21#l +	<^22^2
(6.3.3)
или же в развернутой и неразвернутой в матричных формах:
i = s; s z •	и||=и11пи-
где
1Н1=	• «л« = S • «х«= S
Определение
6.3.2
Если det || А|| 0, то систему (6.3.3) называют простой, и называют сложной при det ||Л|| =0.
В силу определений 6.1.2 и 6.3.2 простая система (согласно теореме Крамера) имеет единственное положение равновесия - начало координат в Е2 точку о.
Для исследования характера поведения фазовых траекторий системы (6.3.3) удобно найти аналитическое представление ее общего решения, что (как было показано в § 3.1-3.2) требует нахождения собственных значений Ai и А2, а также собственных векторов линейного преобразования, задаваемого матрицей ||А||, обозначаемых далее как НМиНЫ-
Рассмотрим последовательно следующие четыре случая.
1°. Числа Ai и А2 вещественные, различные и отличные от нуля В этом случае в Е2 существует базис из собственных векторов ||/zi|| и ||/z21|, в котором система (6.3.3) имеет вид
Г У1 = А1Щ, ( У2 = А2?/2
и соответственно решения yx(f) = CieAlt и y^t) = С^е^, где и С2 -произвольные константы. Уравнения фазовых траекторий получаются из этих решений исключением t и имеют вид
/	\ А2/А1
I У1 \
У2 = с2 тг при С1 0,
\С1/	(6.3.4)
3/1=0
при Ci = 0.
213
Из формул (6.3.4) следует, что если Ai и А2 одного знака, то фазовые траектории являются дугами парабол, касающимися в начале координат оси Oyi при |Ai| < |А2|. При |Ai| > IA2I траектории в начале координат касаются оси Оу%.
Если Ai и А2 отрицательны, то движение с ростом t по фазовым траекториям происходит по направлению к началу координат, и положение равновесия называется асимптотически устойчивым узлом.
В случае, когда Ai и А2 положительны, движение происходит от начала координат (неустойчивый узел). Следует отметить, что координатные полуоси, равно как и само начало координат, также являются фазовыми траекториями.
Наконец, следует выполнить обратный переход к исходным переменным Xi и Х2, который является линейным невырожденным (аффинным) преобразованием в Е2. Само преобразование при построении фазового портрета находить необязательно. Достаточно воспользоваться тем его свойством, что собственные векторы матрицы ||А|| являются направляющими векторами прямолинейных фазовых траекторий3.
Итоговый вид фазовых портретов для положения равновесия типа устойчивый узел показан на рис. 6.3А, а для положения равновесия типа неустойчивый узел - на рис. 6.3В.
Рис. 6.3. Положение равновесия узел
3Это свойство следует из теоремы 3.1.2 и того факта, что для прямолинейных фазовых траекторий вектор фазовой скорости коллинеарен самой траектории.
214
Если Ai и А2 разных знаков, то положение равновесия называется седлом. Оно всегда неустойчиво, поскольку одно из собственных значений матрицы ||А|| положительно.
В базисе из собственных векторов фазовые траектории седла (отличные от координатных полуосей и начала координат) по свойствам аналогичны ветвям гипербол. Действительно, из (6.3.4) имеем
lim | т/2| = +00 , lim у2 = 0 .
?/1—>0	| |—>-|-0О
Движение по траекториям, являющимся координатными полуосями, направлено от начала координат для оси, которой соответствует А > О, и направлено к началу координат, если А < 0. По остальным фазовым траекториям направление движения в каждой четверти координатной плоскости определяется направлением движения по смежным координатным полуосям (см. рис. 6.4).
Переход к исходным переменным выполняется так же, как и в случае узла.
Рис. 6.4. Положение равновесия седло с Ai > 0, А2 < 0
2°. Собственные значения вещественные, равные и отличные от нуля
Пусть Ai=A2 = Ay^0. Матрица системы (6.3.3) в жордановом базисе может оказаться диагональной, а может и нет.
В первом случае решение будет yi(t) = C±ext и y2(t) = C2ext. Значит, фазовые траектории суть полупрямые, исходящие из начала коорди
215
нат при А > 0 или входящие в него при А < 0. (См. рис. 6.5А.) Такое положение равновесия называется соответственно неустойчивым или асимптотически устойчивым дикритическим узлом.
Во втором случае система принимает вид
У1
У2
^У1	+ У2,
>^У2 •
Ее общее решение yi(t) = (Ci + C^t) ext и ?/2(0 = Czext, где Ci и C% -произвольные константы. Уравнения фазовых траекторий получаются из этих решений исключением t и имеют вид (см. рис. 6.5В)
С*1	У2	У2
3/1 =	v	In	—	при 6*2 0,
С>2	А	С>2
2/2=0
при С*2 = 0 .
Данная особая точка называется вырожденным узлом - неустойчивым, если А > 0, и устойчивым, если А < 0.
Переход к исходным переменным выполняется так же, как и в предыдущих случаях.
Рис. 6.5. Положения равновесия дикритический узел и вырожденный узел
3°. Собственные значения, невещественные и неравные друг другу
В этом случае из вещественности коэффициентов матрицы ||Л|| следует, что Ai = а if3 и А2 = а — при условии (3	0. Собственные
216
векторы ||/и11 и II ^21|, отвечающие Ai и А2, - комплексно сопряженные и линейно независимые элементы в унитарном пространстве L72, поэтому
НМЧЫ1 + ФН и IIЫ = IH -ФН,
где \\р || и \\q\\ - вещественные и линейно независимые элементы пространства Е2.
Комплекснозначная вектор-функция
\\x(f)\\ = CieAltHM = С1е(°+^ (||р II + г||<?||)
по теореме 3.1.2 является решением системы (6.3.3) при любой комплексной константе С\. Кроме того, согласно лемме 2.4.2, решением системы (6.3.3) будет и вещественная вектор-функция Re ||х(£)|| .
Найдем ее вид, представив предварительно константу Ст в экспоненциальной форме Ст = р еге , где р > 0 , О - произвольные вещественные постоянные. Из
МОП =peat+^t+^ (||р|| +i\\q\\)
получаем, что
Re ||х(£)|| = \\р || peat cos(/?£ + 0) — \\q\\ peat sin(/?£ + 3).
В силу линейной независимости \\р || и \\q\\ можно утверждать, что скалярные функции
/ У1 (О = Р eat cos(/3t + 6»),	,	.
[ У2^) = PeCd sin(/?Z; + 3)	\	/
задают параметрическое представление интегральных кривых системы (6.3.1) в новом декартовом базисе { \\р ||; — ||д|| }, а сами являются соответствующими декартовыми координатами.
Определение вида фазовых траекторий удобно выполнить, перейдя от декартовой системы координат к полярной по стандартным формулам
P1=rcos^’	(6.3.6)
I У2 = SIH р .	v 7
Сопоставление формул (6.3.5) и (6.3.6) позволяет получить параметрическое представление фазовых траекторий в полярной системе ко
ординат:
г = р eat,
р =	+ 3,
(6.3.7)
217
из которого следует, что фазовые траектории в базисе { \\р ||; — \\q\\ }
при а > 0 суть раскручивающиеся от начала координат логарифмические спирали (положение равновесия называется неустойчивым фокусом);
при а < 0 суть скручивающиеся к началу координат логарифмические спирали (положение равновесия называется асимптотически устойчивым фокусом)]
при а = 0 образуют систему концентрических окружностей с центром в начале координат (положение равновесия называется центром). Это положение равновесия устойчиво по Ляпунову.
Важно отметить: формулы (6.3.7) дают все вещественные решения, поскольку для каждой точки { щ, у%} существуют значения полярных координат р и 0 такие, что через эту точку проходит единственная фазовая траектория вида (6.3.7).
Переход от базиса {||р||; — ||q|| } к исходному выполняется стандартно.
Направление движения по фазовым траекториям (то есть по часовой стрелке или против) можно установить, найдя фазовую скорость для некоторой конкретной точки, не являющейся положением равновесия. Например, из (6.3.3) следует, что в точке || 1 О ||т фазовая скорость равна вектору Цац ct2i ||Т-
Кроме того, для уточнения вида фазовой траектории полезной может оказаться информация о точках, в которых касательная к ней либо горизонтальна (то есть ±2 = 0), либо вертикальна (±i = 0). Уравнения соответствующих изоклин находятся из системы (6.3.3) и имеют вид
«21^1 + (422^2 = 0 ИЛИ QiiXi + ai2%2 = 0
соответственно.
Графики фазовых траекторий показаны на рис. 6.6.
4°. Определитель матрицы системы (6.3.3) равен нулю
Если det ||А|| = 0, то согласно определению 6.3.2 система (6.3.3) называется сложной и в жордановом базисе ее матрица может иметь один из трех следующих видов:
А 0
0 0
0 1
0 0
0 0
0 0
218
Рис. 6.6. Положения равновесия фокус и центр
В первом из этих трех случаев Ai = Ау^0иА2 = 0 решение в жордановом базисе будет yi(t) = Ciext и ?/2(0 = Поэтому все точки прямой У\ = 0 являются положениями равновесия. При этом обе полупрямые ?/2 = С2 суть фазовые траектории. Движение по ним при £ —> -hoc идет к прямой у\ = 0 при А < 0 и от прямой у\ = 0 при А > 0.
Во втором случае решение имеет вид y\(t) = С\ + C^t и = С^. Здесь все точки прямой у2 = 0 являются положениями равновесия, и каждая из прямых у 2 = С2 - фазовая траектория. Движение по ним при t -hoc идет справа налево при С2 < 0 и слева направо при С2 >0.
Наконец, в третьем случае каждая точка фазовой плоскости есть особая точка - положение равновесия.
Примеры фазовых портретов для сложных систем показаны на рис. 6.7. Важно отметить, что для сложных систем (6.3.3) изменения коэффициентов или добавления к правым частям слагаемых, малых по сравнению с линейными, могут радикально изменить фазовый портрет.
Продемонстрируем использование теоремы о линеаризации на приме-4
ре следующих задач.
4Применимость теоремы 6.3.1 проверьте самостоятельно.
219
Рис. 6.7. Положения равновесия для сложной системы
Задача Найти положения равновесия, определить их характер 6.3.1 и нарисовать эскиз фазовых траекторий линеаризаций в окрестности положения равновесия для автономной системы
х = In (3 + у - у2 у = arcsin (х — у2
Решение. 1°. Находим положения равновесия
In (3 + у - у2 arcsin (х — у2
Х1
У1
о,	> Г з + у + у2 =
О [ х — у2 =
1, О
1, -1
J т2 = 4, или <	о
1 У 2 = 2.
2°. Исследуем положение равновесия - точку 7И(1; — 1). Вначале перенесем начало координат в особую точку М при помощи замены переменных:
В этом случае справедливы равенства
и + 1, v — 1.
In (3 + у — у2) = In (3 + (v — 1) — (v — l)2) = = In (1 + 3v — v2) = 3v 4- o(a/^2 + f2 ),
arcsin (x — y2} = arcsin (и + 1 — (v — l)2) = = arcsin (u + 2v — г>2) = и + 2v 4- o(\/ru2 4- v2 ).
220
Откуда следует, что линеаризация (6.3.3) для особой точки М имеет вид
( й
I
Зс, и + 2v
ИИ =
о з
1 2
Найдем собственные значения матрицы ||Л||, решив характеристическое уравнение det | |А — А£?|| = 0.
det ЦЛ-АЕЦ
det
-А 3
1	2 —А
А2—2А—3 = 0.
Следовательно, Ai = — 1, А2 = 3, и положение равновесия М есть седло.
Собственные векторы \\h\\ матрицы ||Л|| найдем, решив для каждого из собственных значений систему уравнений
||Л - АД| \\h\\ = и.
В нашем случае для Ai = — 1
нм = д
Аналогично для А2 = 3
При построении эскиза фазового портрета для особой точки М учитываем, что прямолинейные фазовые траектории имеют своими направляющими собственные векторы ||М и Ц/2-2Ц и являются при этом асимптотами для криволинейных траекторий. Направления движения по прямолинейным траекториям: от начала координат для асимптоты с ||/г2||, так как А2 = 3 > 0, и соответственно к началу координат для асимптоты с ||/zi||, так как Ai = -1 < 0.
221
Как следствие этого факта, направления движения по криволинейным фазовым траекториям при этом оказываются однозначно определенными, поскольку в силу непрерывности они должны совпадать с направлениями движения по прямолинейным как при t +сю, так и при £ —> — сю. Итоговый вид эскиза показан на рис. 6.8А.
Рис. 6.8. Фазовые портреты положений равновесия для задачи 6.3.1
3°. Исследуем теперь второе положение равновесия -точку 7V( 4; 2). Вначале перенесем начало координат в особую точку N при помощи замены переменных:
и
v
х — 4, У-2
X
У
и + 4, v + 2.
В этом случае справедливы равенства:
In (3 + у - у2) = In (3 + (v + 2) - (v 4- 2)2) = = In (13?? ??2) = 3?? + о(\/и2 + ??2),
arcsin (т — ?/2) = arcsin (и + 4 — (v + 2)2) = = arcsin (и — Фи — ??2) = и — Фи + о(у/и2 -ф v2).
222
Откуда следует, что линеаризация (6.3.3) для особой точки N имеет вид
— 3v, и — 4v
О -3
1 —4
Найдем собственные значения матрицы ||А||, решив характеристическое уравнение det ||А — АЕ|| = 0.
det
-А -3
1 -4-А
А2 + 4А + 3 = 0.
Следовательно, Ai = — 1, А2 = —3, и положение равновесия N есть устойчивый узел. Собственные векторы ||h|| матрицы ||А|| найдем, решив для каждого из собственных значений систему уравнений ||А —А1?|| \\h\\ = = IMI 
В нашем случае для Ai = — 1
1
1
Ai 3
1	2 — Ai
-3
-3
6 т/i
0
0
3
1
Аналогично для А2 = — 3
-А2	3
1	2 — А2
3 -3
1 -1
&
%
0
0
1
1
Исследуем теперь свойства фазовых траекторий. Это удобно сделать, перейдя в базис из собственных векторов, то есть в базис {||/и||; ||^2||}? координаты в котором обозначим как p(t) и q(t). В этом базисе (как было показано в § 3.1) решения линеаризованной системы (6.3.3) имеют особенно простой вид:
p(t)
C2e~3t,
223
где Ci и С2 - произвольные константы. При Ci = О вид фазовых траекторий очевиден: в зависимости от С2, это прямолинейные лучи или точка.
Исключив t из этих равенств при Ci 7^ 0, получим уравнения фазовых траекторий в виде q = Dp3, где D - произвольная константа. То есть траектории суть дуги кубичных парабол, касающихся в нуле оси ||/zi||.
Решение получено.
Задача 6.3.2
Направление движения по всем траекториям одинаково: к положению равновесия. Эскиз портрета показан на рис. 6.8В.
Найти расположенные во второй четверти положения равновесия автономной системы:
ехр (4х + Зу — 4) — 1, т2 — 4х — Зу.
Определить их характер и нарисовать эскиз фазовых траекторий.
Решение.
1°. Находим положения равновесия
ехр (4х + Зу — 4) — 1 т2 — 4х — Зу
О,	( 4х + Зу = 4,
О	[ 4х + Зу = х2
У1
2, -4/3
или
Х2
У2
-2, 4.
х
У
2°. Перенесем начало координат в положение равновесия - точку М( —2; 4), расположенную во второй четверти, сделав замену переменных х = и — 2 и у = v+4.
В этом случае значения функций, стоящих в правых частях исследуемой автономной системы, будут равны
ехр (4х + Зу — 4) — 1 = ехр {4и + 3v) — 1, х2 — 4х — Зу = и2 — 8и — 3v.
224
В этой задаче (в отличие от решения задачи 6.3.1) для нахождения коэффициентов линеаризации (6.3.8) мы не будем применять разложений по формуле Тейлора, а воспользуемся формулами (6.3.7), из которых непо-
средственно следует, что в новом начале координат, то
есть в точке
и
V
О
О
д /	\
«11 = — exp (4и + 3v — 4) —1 = 4, ои\	)
д /	\
«12 = т- exp (4tz + 3v - 4) —1 = 3 , ov\	J
Э / 2	\
«21 = —( и —8u—3v = —8 , ди\	/
д / 9	\
«22 = и —8u—3v = —3. dv\	J
Полученные равенства проверьте самостоятельно.
Откуда следует, что линеаризация (6.3.8) для особой точки М имеет вид
й = 4и + 3v , v = — 8и — 3v
ин =
4	3
-8 -3
3°. Найдем собственные значения матрицы ||А|| :
det
4-А 3
-8	-3-А
А2 —А+ 12 = 0.
Следовательно, А1д = (1 ± г%/47) /2, и положение рав-новесия М есть неустойчивый фокус. Заметим, что раскручивание спирали фазовой траектории происходит по часовой стрелке, поскольку вектор фазовой скорости, например в точке
и
V
0
1
есть
й v
225
Наконец, легко видеть, что АВ - изоклина горизонтальных касательных к исследуемой фазовой траектории, имеет уравнение 8гх + 3'С = 0, в то время как CD - изокли-Решение на вертикальных, уравнение 4и + 3v = 0. Итоговый вид получено. эскиза показан на рис. 6.9.
Рис. 6.9. Фазовый портрет положения равновесия для задачи 6.3.2
6.4. Первые интегралы систем обыкновенных дифференциальных уравнений
Пусть в области задана автономная система
± = F(x), х е Q С Fn ,	(6.4.1)
где F(x) - непрерывно дифференцируемая, вещественная вектор-функция. Пусть также х(£), t Е Г, - решение системы (6.4.1) на промежутке Т.
226
Определение
6.4.1
Непрерывно дифференцируемая в Q функция и(х) называется первым интегралом системы (6.4.1), если u(x(ty) = const \/t е Т для каждого решения х(к) этой системы.
Примером первого интеграла может служить функция и(х) = const. Условия существования нетривиальных первых интегралов могут быть сформулированы с помощью понятий производной в силу системы (см. определение (6.2.4)) и функциональной независимости первых интегралов.
Определение
6.4.2
Первые интегралы {г/Дх), к = [l,s], s < п} называются функционально независимыми в точке а Е Q, если ранг матрицы Якоби равен s, то есть
rg
дик dxj
= s , где к = [1, s], j = [1, п] .
Согласно этому определению, функциональная зависимость, исходя из известной теоремы о неявных функциях [4], означает возможность функционально выразить (локально) один первый интеграл через другой.
Следует также отметить различие понятий функциональной зависимости и линейной зависимости. Из линейной зависимости следует функциональная, но не наоборот. Пример: функции tzi(xi, хЕ) = Х1+Х2 и ^2(34^2) = (#1 + ^?)2 функционально зависимы в Е2, хотя они линейно независимы.
Критерий существования первого интеграла описывает
Теорема Для того чтобы непрерывно дифференцируемая 6.4.1 в области Q функция и(х) являлась первым интегралом системы (6.4.1), необходимо и достаточно, чтобы й(х) — производная от и(х) в силу системы (6.4.1) — равнялась нулю Vx Е Q.
227
Доказательство.
Пусть x(t) - некоторое решение системы (6.4.1). Рассмотрим функцию v(t) = u{x(f)). Согласно правилу дифференцирования сложной функции
™ ди	™ ди
vX> = 52	= 52	=и(х^> 
j=l J	j=1 J
Откуда мы имеем для первого интеграла
и(х(д)) = const
й(х(д)) = О
v(t) = 0. (6.4.2)
А по теореме 4.3.1 (Коши) через каждую точку О проходит некоторая интегральная кривая системы (6.4.1), на которой выполняются соотношения (6.4.2).
Теорема доказана.
Выясним теперь геометрический смысл первого интеграла. Пусть ди
—— + 0 для некоторого j и пусть С - любое из значений первого дх^
интеграла tz(x), принимаемых в Q. Тогда уравнение и(х) = С задает в Еп (п — 1)-мерную гиперповерхность Г, на которой целиком лежат фазовые траектории системы (6.4.1).
Действительно, пусть точка а принадлежит поверхности Г, тогда и(а) = С. Поскольку и(х) - первый интеграл, то в любой точке фазовой траектории, проходящей через а, будет и(х) = С. Значит, вся эта траектория лежит на Г. Заметим, что обратное не верно: не любая линия на поверхности уровня есть фазовая траектория.
ди
Если известен какой-либо первый интеграл и(х\ у которого —— Д О dxj
для некоторого J, то система (6.4.1) может быть сведена к системе
с меньшим на единицу числом неизвестных функций. Для этого следует Xj выразить при помощи уравнения и(х) = С через остальные неизвестные и подставить это выражение во все (кроме J-ro) уравнения исходной системы (6.4.1). Знание же п — 1 функционально независимых первых интегралов позволяет получить решение системы (6.4.1)
в квадратурах.
Поскольку любая непрерывно дифференцируемая функция от нескольких первых интегралов системы (6.4.1), очевидно, также является
228
ее первым интегралом, то первых интегралов у этой системы бесконечно много. При этом однако возникает вопрос о том, какое число из них может оказаться функционально независимыми. Ответ на данный вопрос находится при помощи нижеследующих рассуждений.
Система (6.4.1) в неразвернутом матричном виде записывается так:
||±|| = \\F(x)\\ , xeQCEn.
(6.4.3)
При гладкой обратимой замене переменных ||х|| = ||р(?/)|| с матрицей Якоби
надн =
dgt дУз
\/i,j = [1, п]
и якобианом
det |Д(У) || =	0 у ,
в области Q*, являющейся образом области Q, автономная система (6.4.3) примет вид
IMI = цад||-1цад2/))11, 1/Gfi‘cF. (6.4.4)
Система (6.4.4) непосредственно получается из (6.4.3) в силу равенств
рп = надтп = дш)и-
На вопрос о том, как связаны первые интегралы автономных систем (6.4.3) и (6.4.4), отвечает
Теорема Для того чтобы непрерывно дифференцируемая 6.4.2 функция п(х), х Е Q, являлась первым интегралом системы (6.4.3), необходимо и достаточно, чтобы функция v(y) = и(д(?/)), у Е Q*, являлась первым интегралом системы (6.4.4).
229
Доказательство.
Поскольку из теоремы 6.4.1 следует, что tz(x), х Е Q, есть первый интеграл системы (6.4.3) тогда и только тогда, когда й(х) = 0, х Е Q, a v(y), у Е Q*, есть первый интеграл системы (6.4.4) тогда и только тогда, когда v(y) = 0, у Е Q*, то для доказательства теоремы достаточно убедиться лишь в том, что
й(х) = v(y) при х = д(у) \/у eQ*.
Действительно, в этом случае из й(х) = 0, х Е Q, будет следовать, что v(y) =0, у Е Q*, и наоборот.
Справедливость равенства й(х) = v(y) при х = д(у) \/у Е Q* проверим непосредственно. Во введенных выше обозначениях имеем
г’(у) = II gradr>(?/)||T||y|| = || gradw(y)||T||G(y)|| Д|Г(р(у))|| =
(поскольку по правилам дифференцирования сложной фун-кции || grad-17(у)||т = || grad w(s(?/))||T||G(?/)|| )
= || grad m(5(2/))||t||G(2/)|| ||G'(3/)||-1 \\F(g(yY)\\ =
= || gradu(^(j/))||T||E'|| ||ГШ)|| = = || grad w(:r)||T||F(:r)|| = й(ж).
Теорема доказана.
Достаточные условия существования п — 1 функционально независимых первых интегралов системы (6.4.3), а также формулу для любого ее первого интеграла дает
Теорема Пусть точка а Е Q не есть положение равновесия 6.4.3 системы (6.4.3). Тогда
1° в w С Q — некоторой окрестности точки а — существует множество, состоящее из п — 1 функционально независимых первых интегралов Ы1(ж), г42(ж), ..., ып-1(ж);
230
2° для любого первого интеграла и(х) найдется непрерывно дифференцируемая функция Ф(£1, £2, • • •, £п-1) такая, что
и(х) = Ф(г/1(х), и2(х\ ..., ип_1(хУ), х Е ш.
Доказательство.
1°. Поскольку точка а Е Q не есть положение равновесия системы (6.4.3), то по теореме 6.1.5 (о выпрямлении траекторий) для а найдется окрестность ш и гладкая обратимая замена переменных х = д(у) в этой окрестности такие, что система (6.4.3) примет вид
У1 = о,
У2 = О,
(6.4.5)
Уп—1 — о, ч Уп = 1?
решениями которой будут функции:
yx(t) = Cx, у2(^ = С2,... , yn-i(t) = Сп-х, yn(t)=t+Cn.
Нетрудно видеть, что система (6.4.5) имеет п — 1 независимых первых интегралов:
= У1, v2(y) = у2,..., Vn-^y) = ?/n_i.
Поскольку замена переменных имеет гладкую обратную у = h(x) с невырожденным якобианом, то по теореме 6.4.2 система (6.4.3) будет иметь п — 1 независимых при х = а первых интегралов вида
их = /zi(x), и2 = h2(x),..., ип_х = hn-x(x).
2°. Всякий первый интеграл системы (6.4.5) представим
в виде
v(y) = Ф(?/1, У2, - --,Уп-1))
231
где Ф - произвольная непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Поэтому, в силу теоремы 6.4.2 при замене переменных у = h(x) и х = д(у),
и(ж) = w(g(y)) = v(y) = Ф(/11(ж), /г2(Ц, • • •, /г„-1(ж)) =
= $(ui(x), «гЦ), • • •, «п-1(ж))
есть произвольный первый интеграл системы (6.4.3).
Теорема доказана.
Следует также иметь в виду, что теорема гарантирует существование функции Ф лишь в со - окрестности неособой точки а, но не разом во всей области Q. Что касается окрестностей положения равновесия, то в них первые интегралы могут как существовать, так и нет. Тут оказывается необходимым дополнительное исследование.
В заключение продемонстрируем некоторые приемы отыскания первых интегралов на примере решения следующей задачи.
Задача Найти независимые первые интегралы для системы диф-
6.4.1 ференциальных уравнений
Решение.
Исключая независимую переменную t из первых двух dx dy
уравнений, получаем — = —, что дает у = С±х.
х у
У
Значит, — есть первый интеграл рассматриваемой систе-х
мы дифференциальных уравнений.
При поиске первых интегралов часто оказывается удобным использование правила пропорций (или свойства равных дробей): если
«1	Q2	(Тт
/?1	@2	Ртп '
232
то
A^lCEi +	+ • • • + kmC^m	ОЦ
k\P\ + &2/^2 “h ’ ’ ’ + к mftm
Для использования этого правила запишем исходную систему в так называемом симметричном виде, когда нет явного указания на то, какая из переменных является независимой. В этом случае для записи используются не производные, а дифференциалы:
dx dy dz х	у	х2 + у2 + z
Заметим, что в рассматриваемом случае (по правилу пропорций)
(—2x)dx	(—2y)dy dz dz — 2xdx — 2ydy
(—2x)x	(—2y)y x2 + y2 + z z — x2 — y2
а это дает равенство полных дифференциалов
d(z — х2 — у2) dx	z — х2 — у2
2	2	^2*
z — xz — yz X	X
z — х — у
Из равенства-----------= С*2 , в свою очередь, получаем
х
2	2
z — хл — у другой первый интеграл-----------, который, очевидно,
х
Решение независим от найденного ранее, поскольку он в своей заполучено . писи содержит переменную z.
6.5. Линейные уравнения в частных производных первого порядка
До сих пор в нашем курсе рассматривались дифференциальные уравнения (системы уравнений), в которых неизвестными являлись функции (вектор-функции) от одной независимой переменной. Однако в приложениях достаточно часто возникают дифференциальные уравнения, неизвестные в которых являются функциями от нескольких переменных. При этом если такие уравнения содержат частные производные от неизвестных порядка не выше первого, то (как будет показано ниже) их решения сводятся к решению систем обыкновенных диф
233
ференциальных уравнений и потому традиционно изучаются в курсах, подобных нашему. Уравнения с частными производными более высоких порядков рассматриваются в других разделах высшей математики, например, в курсе уравнений математической физики.
Пусть в некоторой области G С T?2n+1, п > 2, определена действительная непрерывно дифференцируемая функция
Г(Ж1, Х2, . . . , Хп, U, рг, Р2, Рп)
такая, что
в каждой точке G.
Тогда можно дать
Определение
6.5.1
Уравнение вида
(ди	ди	ди \
Х1, Х2, xn, U, 7—, 7—, ..., 7-- = О
их\ дх2	дхп I
(6.5.1) называется уравнением в частных производных первого порядка относительно неизвестной функции и = и(х), х Е Q С Еп, где
||ж|| = ||Ж1, Ж2, . . • , ЖИ||Т.
Определение
6.5.2
Функция и =	х2, ..., хп) называется реше-
нием уравнения (6.5.1), если
1°. tz(xi, х2, .. •, хп) - непрерывно дифференцируемая функция в Q.
2°. \/х Е Q точка
ди	ди	ди
Х1, х2, ..., хп, и, их\ дх2	дхп
eG.
234
3°. Vt e Q
I	du du
F xi, x2, ..., xn, u, -—, -—, \	ux\ dx2
Среди уравнений вида (6.5.1) важную для приложений роль играют их специальные частные случаи: линейные и квазилинейные уравнения. К линейным уравнениям в частных производных первого порядка относят уравнения вида
™	du
ао(ж1, х2, хп)и+ У ак(хг, х2, , хп)~— = Ъ(хъ х2, ..., хп), охк
k=i
а квазилинейными называют уравнения
п
х2, ...
к=1
du
Хп, и)---- = 6(xi, Х2, • • • , хп
дхк
Как легко видеть, к линейным относятся уравнения, в запись которых неизвестная функция и ее производные входят линейно, а для квазилинейных уравнений линейность имеется лишь по производным.
Важно: в обоих случаях предполагается, что известные функции а/Дад, Х2, • • •, хп) и a/c(xi, х2, ..., хп, и) удовлетворяют в О и в G соответственно условиям
п	п
и ^а2к(х, и) °.
/с=1	&=1
Приступим теперь к рассмотрению методов решения уравнений (6.5.1). Поскольку алгоритмы решений для разных классов этих уравнений базируются на идеях, аналогичных друг другу, рассмотрим подробно метод решения линейных однородных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка:
п
&к (*^1, Х‘), • • • , %п)
к=1
du(x) дхк
= 0,
(6.5.2)
где ак(х) У к = [1, п] - известные непрерывно дифференцируемые в О функции такие, что
У^а^(х) 0 VxeQ.
k=i
235
Введем в рассмотрение вектор-функцию а(х) такую, что
|| а(ж)|| = || ai(a;i, х2,• • • ,хп), а2(ж1, яг2,...,аД,...,a„(xi, х2,... ,жи)||т.
Тогда уравнение (6.5.2) можно записать в неразвернутом матричном виде как
|| а(ж)||т|| gradu(a:)|| =0.
Определение
6.5.3
Автономная система
11^)11 = 11^)11
(6.5.3)
называется характеристической системой для уравнения (6.5.2), а ее фазовые траектории - характеристиками этого уравнения.
Связь между решением уравнения (6.5.2) и решением его характеристической системы (6.5.3) описывает
Теорема В некоторой окрестности каждой точки хо Е Q 6.5.1 общее решение уравнения (6.5.2) имеет вид
Щ) = Ф (щ(ж), и2(х), ..., ип-1 (х)) ,
где Uk(x),k = [1,п — 1] — функционально незави-симые в хо первые интегралы характеристической системы (6.5.3), а Ф (£i,	• • •, £п-1) — любая
непрерывно дифференцируемая функция от п — 1 переменной.
Доказательство.
1°. По теореме 6.4.1 каждое решение уравнения (6.5.2) является первым интегралом его характеристической системы (6.5.3), поскольку из (6.5.2) следует, что производная этого решения в силу системы (6.5.3) оказывается равной нулю.
2°. Согласно пункту 2° теоремы 6.4.3 для и(х) любого первого интеграла характеристической системы (6.5.3) в некоторой окрестности точки хо Е Q существуют п — 1 функционально независимых первых интегралов {tzi(x), ^2(^)5 • • •, ^n-i(^)} таких, что
236
и(х) = Ф (tzi(x), и2(х), ..., tzn-i(x)) ,
где Ф(£1, ^2, • ••, £п-1) - любая непрерывно дифференцируемая функция от п — 1 переменной.
Теорема доказана.
Таким образом, можно заключить, что общее решение однородного уравнения в частных производных первого порядка содержит в своей записи произвольную непрерывно дифференцируемую функцию, в то время как, например, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения х = F(t, х) выражается через произвольную постоянную.
Для неоднородного дифференциального уравнения в частных производных первого порядка правило записи общего решения полностью аналогично случаю обыкновенных дифференциальных уравнений: общее решение неоднородного уравнения есть общее решение однородного, сложенного с частным (любым!) решением неоднородного.
Выделение конкретного частного решения из общего для уравнений в частных производных осуществляется путем задания дополнительных условий: начальных, краевых, смешанных и т.д.
Рассмотрим в качестве примера задачу Коши для уравнения (6.5.2).
Пусть непрерывно дифференцируемая функция s(cc), х е Q С Еп такова, что grads(x) Д о Vx е Q. Тогда уравнение <s(x) = 0 задает в Q гладкую (п — 1)-мерную гиперповерхность д, называемую начальной поверхностью. И пусть на этой начальной поверхности задана непрерывно дифференцируемая функция <^(х). Теперь мы можем дать
Определение Задачей Коши называется задача отыскания и(х)
6.5.4	- такого решения уравнения
|| а(ж)||т|| grad ы(ж)|| =0,
(6.5.4)
для которого и(х)
= Дх).

Задача Коши для линейных однородных уравнений в частных производных первого порядка, в отличие от случая обыкновенных линейных уравнений первого порядка, обладает следующими особенностями. Во-первых, ее решение существует и единственно не для любой гладкой начальной поверхности д. Во-вторых, ее разрешимость имеет локальный характер.
237
Для уточнения условий однозначной разрешимости задачи Коши дадим
Определение
6.5.5
Характеристической точкой задачи Коши вида (6.5.4) называется точка xq Е у такая, что
в(ж0) = II а(ж0)||Т|| gradв(ж0)|| =0.
Сравнение определений 6.5.4 и 6.5.5 дает следующую геометрическую интерпретацию: в характеристической точке вектор а(хо) касается поверхности 7. При этом оказывается справедливой
Теорема Если точка xq Е у не является характеристиче-6.5.2 ской точкой задачи Коши (6.5.4), то в w С Q -некоторой окрестности xq — решение задачи Коши существует и единственно.
Доказательство.
Поскольку хо Е у не является характеристической точкой задачи Коши (6.5.4), то а(хо) 7^ о. Тогда в со - некоторой окрестности хо, существует п — 1 функционально независимых первых интегралов характеристической системы (6.5.3) и общее решение уравнения (6.5.4) есть
и(х) = Ф (tzi(x), щ^), • • •, ^n-l(^) ) •
Начальное условие и(х) = <Дх) однозначно определяет в си вид функции Ф (£1, £2, • • •, £п-1)« Чтобы убедиться в этом, вначале покажем, что в со к системе уравнений
ик(х) = Ск, к = [1,п - 1], <s(x) = 0
(6.5.5)
применима (известная из курса математического анализа) теорема о системе неявных функций.
Поскольку все функции, входящие в условие системы (6.5.5), непрерывно дифференцируемы в си, то достаточно показать, что якобиан
Э(м1, ц2, • • •, Ц„_1, s)
<Э(Ж1, Ж2,	Хп-!, хп)
+ 0.
Ж=Жо
238
Если предположить противное, то есть что J = 0, то из линейной независимости первых п — 1 строк матрицы Якоби следует, что последняя ее строка есть нетривиальная линейная комбинация остальных строк. Значит,
ds 2-4 ди а
дхк	3 дхк~
J=1
Найдем в этом случае значение s(x) - производной в силу системы (6.5.3), при х = х$. Имеем
п— 1 о
Здхк ~
поскольку все г/Дх), j = [1,п — 1] суть первые интегралы характеристической системы (6.5.3).
Этот результат противоречит условию доказываемой теоремы о том, что хо не характеристическая точка задачи Коши. Поэтому J 0, теорема о системе неявных функций применима в рассматриваемом случае и в окрестности ш существует единственное непрерывно дифференцируемое решение системы (6.5.5) х = f (щ, U2, ..., un-i).
Наконец, Vx Е у П ш справедливо равенство
<р(ж) =</?(/( W1, и2, ... , Un-1) ) = Ф ( «1, «2, • • • , «п-1) •
Поскольку функции Дж) И /(ui, U2, ..., «п-1) известны, то функция
и(х) = Ф (tZl(x), U2(x), • • • , tzn_l(x) ) , являющаяся решением задачи Коши в с<д также известна и единственна.
Теорема доказана.
239
Теперь продемонстрируем особенности практического использования полученных теоретических результатов.
Задача Найти общее решение уравнения 6.5.1
9 ди	z ди	оди
x1 2— + y(z - x)—-z2 — = О дх	ду	dz
и решить для этого уравнения задачу Коши с начальным условием
и = у при х = z .
Решение.	1°. Для данного уравнения в частных производных со-
ставляем характеристическую систему в симметричной форме:
dx dy	dz
х2 y(z — x)	z2
2°. Один из двух функционально независимых первых интегралов находим так:
dx dz х2 + z2
3°. Другой первый интеграл попробуем найти из уравнения
dx dy	z — х dy
— H  ------- = 0 или —— dx = —
xz y(z — X)	xz	у
С учетом z =
- условия связи, следующего
из уже найденного первого интеграла, получаем
1	1 \ dy
х(С\х — 1)	х J Х у
240
Разложение первого слагаемого в больших скобках дает
1	_ А В
х(С\х — 1) х + С\х — 1
=> A = -l;B = Ci.
Откуда
2
Ст	dy
С1Х - 1	у
— Inx2 + Ci In |Cix — 1| = In \у\ + In |С21 •
Сгх- 1
Поэтому ------- = С2 , что, с учетом равенства
z = —-----, окончательно дает xyz = С2.
С1Х — 1
Найденные первые интегралы, очевидно, функционально независимы, поскольку формула для одного из них содержит независимую переменную у, а для другого - нет. Таким образом, в силу теоремы 6.5.1, общее решение исходного уравнения будет иметь вид
п(х, ?/, г) = Ф | — Н—, xyz
4°. Рассмотрим теперь задачу Коши. Отметим, что в данной задаче у, z) = 7. а начальная поверхность у - это плоскость х — z = 0, то есть s(x, 7. z) = х — z. Составим вначале вспомогательную систему уравнений (6.5.5), включающую формулы первых интегралов и уравнение, задающее начальную поверхность
1 1
—I—
< X Z xyz
х — Z
Сь
С2.
0.
(6.5.6)
241
Конкретный вид функции Ф, дающей решение задачи Коши, можно найти, если при помощи вспомогательной системы (6.5.6) выразить независимые переменные через С\ и С% и подставить эти выражения в формулу начальной поверхности. Действительно, из системы (6.5.6) получаем
У
2 с? с?с2
4 2 с?
Первые интегралы (равно как и любые непрерывно дифференцируемые функции от них) сохраняют постоянные значения на траекториях характеристической системы. Поэтому те условия связи между первыми интегралами, которые имеют место на начальной поверхности, остаются верными при движении вдоль траекторий.
В нашем случае на начальной поверхности
с?с2
4
поэтому решением задачи Коши будет функция
Решение
получено.
Ф(х, г) =
(ж + z)2y 4хг
242
Глава 7
Введение в вариационное исчисление
7.1. Простейшая задача вариационного исчисления
Обозначим как С1 [а, Ь] множество всех непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] вещественных функций, расстояние между которыми определяется формулой
р(У1,У2)= max |?/1(ж) - у2(х)\ + max |^(ж) - у'2(х)\ \/уъу2 е Сх[а,Ь] 
Заметим, что множество С1 [а, Ь] является линейным нормированным пространством с нормой (у) = max |?/(х)| + max |?/(х)| .
Пусть F(x^y^p) - непрерывно дифференцируемая при всех х е [а, д], у Е (—оо,+оо) и р Е (—оо,+оо) функция. Рассмотрим функционал
ь
J(y) = / F(x,y(x),y\x))dx
(7.1.1)
на множестве С\в [a, b] G С1 [а, Ь] функций у(х), удовлетворяющих условиям у(а) = А и у(Ь) = В.
243
Определение
7.1.1
Будем говорить, что функционал (7.1.1) достигает на функции у*(х) слабого локального минимума (максимума), если найдется число е > О такое, что
Vj/Ц) е С\в[а, Ь] : р (?/(ж), у*(ж) ) < е
выполняется неравенство
J(2/) > Ж) ( Ж < Ж) ) •
Если неравенства строгие (при у у*), то говорят о строгом экстремуме. В случае, когда неравенства удовлетворяются для всех функций у(х) Е С\в\а,Ь\, экстремум называют абсолютным.
Задачу отыскания слабого локального экстремума называют простейшей вариационной задачей, или же задачей с закрепленными концами.
Основным инструментом при исследовании на экстремум функционала вида (7.1.1) служит его вариация - функционал, являющийся обобщением понятия производной по направлению функции многих переменных. Для его определения нам потребуется еще одно подмножество в пространстве С1 [а, Ь], а именно Сд0[а, 6] - множество непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций h(x) таких, что h(a) = = h(b) = 0.
Заметим, что при любом вещественном параметре а функция у(х, а) = y(x) + ah(x) е С\в\а,Ь\, если h(x) е Сд0[а, Ь]. Это свойство дает основание называть ah(x) допустимым приращением или допустимой вариацией у(х) - аргумента исследуемого функционала (7.1.1). Наконец, рассматривая при |а| < е множество значений функционала ь
J(y-\-ah) = у* F (х, у(х) + ah(x), у'(х) + ahf(x)) dx ,	(7.1.2)
а
можно делать заключения об экстремальных свойствах исходного функционала (7.1.1) в малой окрестности функции у(х) (в пространстве С1 [а, 6]).
244
Более конкретно, величину и направление изменения J(y+ah) (как функции параметра а при фиксированных у(х) и /г(х)) можно оцени-dJ(y + ah) вать числом ---------
da
си=О
При сделанных предположениях (для малых по модулю значений а) функционал + ah) является непрерывно дифференцируемой функцией а. С другой стороны, (7.1.2) можно рассматривать как собственный интеграл, зависящий от параметра а, для которого справедлива теорема Лейбница (см., например, [4]), утверждающая, что
dJ(y + ah)
dx . (7.1.3)
Определение
7.1.2
Выражение
dJ(y + ah)
называется первой вариацией функционала J(y) на функции у(х) при \/h(x) Е Сд0[а, Ь].
Первую вариацию принято обозначать h).
Обратите внимание на структурное сходство формулы (7.1.3) с формулой
QF ™ dF
определяющей в Еп величину производной функции F (£i, £2, • • • Сп) по направлению ||/|| = || сщ, ..., c<jn|| .
Необходимое условие существования слабого экстремума, используя понятие первой вариации, формулирует
Теорема Если у*(х) есть решение простейшей вариацион-7.1.1 ной задачи, то SJ(y*, h) = 0 V/z(x) е Cq0[cz, b\.
245
Доказательство.
Пусть для определенности функционал J(y) имеет на функции у*(х) Е СдВ[а,Ь\ слабый локальный минимум. Тогда, согласно определению 7.1.1, в С^в[а, Ь] существует некоторая окрестность U£(y*) такая, что \/у(х) Е U£(y*) выполнено неравенство
ДЩ)) > ЖЦ))-
При этом у(х) может быть представлена в виде y*(x)+ah(x), где h(x) Е Сд0[а, Ь]. И для непрерывно дифференцируемой по параметру а функции J(?/*(x)+q/z(x)) верно неравенство
J (у*(х) + ah(x)) > J(y*(x)) \/h(x) еСд0[а,6].
Значит, функция J(?/*(x) + ah(x)) имеет минимум в а = О и, следовательно, ее производная dJ(y*, h) = 0 (в силу (7.1.3) и определения 7.1.2) для любой фиксированной функции h(x) Е Cqo 1а, Ч-
Теорема доказана.
При использовании теоремы 7.1.1 необходимо убеждаться в равенстве нулю первой вариации dJ(y*, К) одновременно для всех функций h(x) Е Сд0[а, 6], что может оказаться непростой задачей.
Более удобное для практического использования необходимое условие экстремума в случае простейшей вариационной задачи можно получить (следуя Лагранжу), проверив, что верна (часто называемая основной леммой вариационного исчисления)
Лемма Если /(#) непрерывна на [а, Ь]
7.1.1
ь
и у* f(x)h(x) dx = 0 V/z(x) Е Сохо[а, 6], а
то f(x) = 0 на [а,Ь].
246
Доказательство.
Предположим противное. Пусть /(х) ф 0, х е [а, Ь]. Тогда Зхо 6 [а, Ь] такое, что /(хо) ф 0. Например, пусть /(хо) > 0.
В силу непрерывности /(х), х е [а, Ь] найдется Д > 0 такое, что
/(ж) > -/Цо) Ух € [ж0 - Д,жо + А].
В С()о [«,/>] выберем функцию /г(ж) =
_ ( (х — (ж0 — Д))2(ж — (ж0 + А))2, х е [ж0 — Д,ж0 + А], [ 0,	ж [жо - А, ж0 + А].
Согласно интегральной теореме о среднем имеем оценку
Ь	ж0+А
f(x)h(x) dx = У f(x)h(x) dx = а	Хо— А
Жо+А	Жо+А
= /(£) У h(x)dx > |/(ж0) У h(x)dx>0, жо-А	жо-А
где £ Е (xq—Д, xq+Д). Но это противоречит условию леммы.
Лемма доказана.
Лемма 7.1.1 позволяет получить необходимое условие простейшей вариационной задачи в следующей упрощенной форме, которую дает
Теорема Пусть F(x,y,p) — дважды непрерывно диффе-7.1.2 ренцируемая при всех х Е [а,6], у Е (—ос, +сю) и р Е (—оо,+оо) функция. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция У*(х), х Е [а, 6], есть решение простейшей вариационной задачи, то она удовлетворяет уравнению Эйлера*.
dF d dF ду dx ду'
(7-1.4)
247
Доказательство.
Поскольку у* (х) есть решение простейшей вариационной задачи, то dJ(y*,h) = 0 для любой h(x) е Сд0[а, Ь]. С учетом формулы (7.1.3) это дает
В условиях теоремы второе слагаемое в подынтегральной функции можно проинтегрировать по частям:
dF(x,y(x),y'(x))	.
U “ ду'	[х
поскольку h(a) = h(b) = 0.
Из непрерывности функции
и основной леммы вариационного исчисления (лемма 7.1.1) следует, что у*(х) удовлетворяет уравнению Эйлера (7.1.4).
Теорема доказана.
Определение
7.1.3
Всякое решение уравнения Эйлера (7.1.4) называется экстремалью функционала J(x,y, у').
В случае, когда эта экстремаль принадлежит множеству С\в [а, Ь], она называется допустимой экстремалью.
Сделанное при выводе уравнения Эйлера предположение о непрерывности второй производной допустимой экстремали оказывается излишним, если использовать приводимою здесь без доказательства следующую лемму.
248
Лемма 7.1.2 (Дюбуа-Реймона)
Если /(#) непрерывна на [а, Ь]
f(x)h'(x) dx = 0 V/z(x) е Cq0[а, b\.
и
то /(х) = const на [а, Ь].
х \и,у\и^,у \и))
Действительно, пусть G\x) = J ---------------- du. Тогда, в силу
а
теоремы 7.1.1 и формулы 7.1.3, имеем
ь /	х
г /	dF \
dJ(y*,h) = O = у I G'(x)h+ — h' \ dx =
а '	'
(интегрируя первое слагаемое по частям)
если учесть, что /г(х) 6 Сд0[а,6].
Применив теперь утверждение леммы Дюбуа-Реймона, получаем интегральную форму уравнения Эйлера:
dF f dF
—----/ —— du = const.
ду' J dy
a
Откуда окончательно следует, что
d dF dF dx dy' dy
Полученное условие экстремальности является необходимым, но не достаточным. Однако в тех случаях, когда допустимая экстремаль однозначно определяется уравнением Эйлера и граничными условиями, целесообразно попытаться выполнить исследование на экстремальность непосредственно по его определению. Использование этого метода иллюстрирует
249
Задача Решить простейшую вариационную задачу: 7.1.1 1 /	\
Ду) = У \ х3 + \у2 + 2у'2\ dx , у(0) = 0, у(1) = 2 .
О'	'
Решение. Заметим, что 1 /	х
17/1	\
ЛД = 4 + у ( 2у2 + 2у/2 ) dx
О'	'
и исследование на экстремальность достаточно выполнить для функционала
Составим и решим уравнение Эйлера. Имеем
dF _ dF _ f d dF ду У ’ dy' ’ dx dy'
Следовательно,
d dF dF dx dy' dy
4y" - у = 0 .
Общее решение этого уравнения
у(х) = Ст ехр I - I + С2 ехр
есть множество всех экстремалей, в том числе и допустимых.
Граничные условия имеют вид
Г	+ с21 = О,
[ Сте^ + С2е~^ = 2 .
250
Откуда находим, что
1
с, = -с2 = —,
811 2
и единственная допустимая экстремаль дается формулой
х
2sh —
У*(Ц = ----2 .
Sh2
Исследуем найденную допустимую экстремаль на оптимальность. Пусть h(x) - произвольная пробная функция из класса Cq0 [0,1]. Оценим знак приращения функционала
Ху* + ft) - J(y*) =
I +	+ 2((^)Z + h,)2 _	dx =
о
(проинтегрировав второй интеграл по частям и перегруппировав слагаемые)
=д о
4(y*)")hdx+4(y*yh
Решение
получено.
поскольку первый интеграл равен нулю в силу равенства у* — 4(у*У' = 0, а проинтегрированная часть есть ноль по свойству пробной функции /г(0) = /г(1) = 0.
Таким образом, приходим к заключению о том, что допустимая экстремаль у* (х) доставляет исследуемому функционалу абсолютный минимум.
251
Допустимая экстремаль, находимая из уравнения Эйлера, вообще говоря, не обязательно является решением простейшей вариационной задачи. Этот факт демонстрирует
Задача
7.1.2
Решить простейшую вариационную задачу:
i/(0) = 1, 1/(7г) = 2 .
Решение. Уравнение Эйлера в данном случае имеет вид
25 т
Его общее решение есть
Ьх	Ьх
х) = Ci cos — + С*2 sin —
а допустимая экстремаль
5т 5х
у (т) = cos — + 2 sin — .
Возьмем h(x)
е Cq0[0,7t] вида h(x)
1
= — sinnx, где к к
и п - произвольные натуральные числа. Тогда, выпол-
нив преобразования, аналогичные сделанным при реше-
нии задачи 7.1.1, получим
Д7 = Ж + /г)-Ж) =
7Г
2^’
у{
Решение
получено.
Откуда следует, что V& Е N
AJ < 0 при п = 1; 2
и Д J > 0 при п > 3.
Значит, у*(х) не является решением данной вариационной задачи.
252
7.2.	Задачи вариационного исчисления с функционалами обобщенного вида
Рассмотрим теперь более общие постановки задач вариационного исчисления, а именно случаи, когда оптимизируемый функционал представляется:
-	интегралом, зависящим от производных высших порядков;
-	интегралом, зависящим от нескольких неизвестных функций;
-	кратным интегралом от неизвестной функции нескольких переменных;
Функционалы, зависящие от производных высших порядков
Рассмотрим Ск[а,Ь\ - множество всех к раз {к > 2) непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] вещественных функций, расстояние между которыми определяется формулой
к
Иг(Ц) = max |т/1(ж) - у2(х)\ + V max МДж) - ?/Д(ж) хЕ [а,о\	*—хЕ[а,о\ I	I
г=1
4yi(x),y2(x) е Ск[а,Ь] .
Ясно, что в этом случае множество Ск[а, Ь] является линейным нормированным пространством.
Пусть F(x, . ,р/с) - непрерывно дифференцируемая к-\-1 раз при всех х Е [а, д], у Е (—сю, +сю) и pi Е (—сю, +сю) Vz = [1, к] функция. Рассмотрим функционал ь
J(y) = f Г (x,y(x),y\x),y'\x),...,y(k\x)^dx	(7.2.1)
а
на множестве C^g[a,b\ С Ск[а,Ь] функций у(х), удовлетворяющих условиям у^(а) = Ai и у(г\Ь) = Bi^i = [0, к — 1].
По аналогии с ранее использованной символикой, через С+*[а,Ь\ будем обозначать подмножество функций /г(х) в Ск[а,Ь], для которых /г(г)(а) = 0 и = 0 Vz = [0, к — 1]. Заметим также, что для данного класса функций справедлив аналог основной леммы вариационного исчисления.
253
Определение
7.2.1
Будем говорить, что функционал (7.2.1) достигает на функции ?/*(х) слабого локального минимума (максимума), если найдется число е > О такое, что
УЩ) € CkAS[a, Ь] : р( у(х), у*(х)) < е
выполняется неравенство
Лу) > Лу*) ( Лу) < Лу*) ) •
Если неравенства строгие, то говорят о строгом экстремуме. Если же неравенства удовлетворяются для всех функций у(х) Е С^[а,Ь\, то экстремум называют абсолютным.
Как и в случае простейшей вариационной задачи, из теоремы Лейбница следует, что справедливо равенство
dJ(y + ah)
(7.2.2)
левая часть которого называется первой вариацией функционала (7.2.1).
Повторяя рассуждения, проведенные в предыдущем параграфе, нетрудно убедиться, что равенство нулю этой первой вариации есть необходимое условие существования экстремума функционала (7.2.1).
Более того, выполнив последовательное интегрирование по частям выражения, стоящего в правой части (7.2.2), в силу свойств функций h(x) Е Сд0[а, д], можно прийти к заключению, что справедлива
254
Теорема Если 2 к раз непрерывно дифференцируемая
7.2.1 функция	[а, Ь] является слабым экстре-
мумом для функционала (7.2.1), то она удовлетворяет уравнению Эйлера-Пуассона:
dF d dF d2 dF dy dx dyf dx2 dy"
dk dF dxk dyVd
= 0. (7.2.3)
Эта теорема является сравнительно удобным инструментом, позволяющим выделять «подозрительные на экстремум функционала» (7.2.1) функции.
Определение
7.2.2
Всякое решение уравнения (7.2.3) называется экстремалью функционала J(x,	, у^).
В случае, когда эта экстремаль принадлежит множеству С^[а, 6], она называется допустимой экстремалью.
Функционалы, зависящие от нескольких неизвестных
функций
Пусть С1 [а, Ь] - множество всех вектор-функций у(х) с непрерывно дифференцируемыми на [а,Ь] компонентами у^(х)\/к Е [1,п]. В этом случае у'(х) также будет являться вектор-функцией с компонентами у'к(х)\/к Е [1,п]. И пусть расстояние между вектор-функциями у^(х) и ?/(2)(ж) определяется формулой
Р (#(1)(Ц,#(2)(Ц) =
п	п
= max 52 । У1к^ ~ У2к^ । + Чах. 52 ।	~ у'^х>> I
V ?7(1)(ж),#(2)(Ц 6 С1 [а, Ь] .
В этом случае множество С1 [а, Ь] является линейным нормированным пространством.
255
Пусть F(x, 3/1,,yn,pi, ... ,pn) - дважды непрерывно дифференцируемая при всех х Е [а, 6], Ук £ (—ос,-кос) и рк 6 (—ос,-кос) Vfc = [1, п] функция. Рассмотрим функционал
ь
Ду) = /f
X, У1(х),уп(х), уДх),у'п(х) \dx
(7.2.4)
на множестве [a, b] С С1 [а, Ь] функций у(х), удовлетворяющих условиям ук(а) = Ак и yk(b) = Вк\/к = [1, п].
Определение
7.2.3
Будем говорить, что функционал (7.2.4) достигает на функции у*(х) слабого локального минимума (максимума), если найдется число е > О такое, что
Vy(x) е Ч таких> чт0 Р ( У(Ц У*(ж) ) < е ,
выполняется неравенство
Ду) > Ду*) ( Ду) < Ду*)) •
Если неравенства строгие, то говорят о строгом экстремуме.
Если же неравенства удовлетворяются для всех функций у(х) Е С^[а, д], то экстремум называют абсолютным.
Покажем теперь, что справедлива
Теорема Если дважды непрерывно дифференцируемая
7.2.2 вектор-функция у* (х) Е [а, Ь] является слабым экстремумом для функционала (7.2.4), то ее компоненты удовлетворяют системе уравнений Эйлера'.
dF дук
d dF dx ду'к
= 0 V/c Е [1, п] .
(7.2.5)
256
Доказательство.
Присвоим в функционале (7.2.4) всем компонентам, за исключением /с-й, у(х) значения ?/*(х). Получим простейшую задачу вариационного исчисления относительно тдДх).
Необходимое условие экстремума Ук(х) имеет вид /с-го уравнения системы (7.2.5.) Поскольку к 6 [1, п\ может быть любым натуральным, то все уравнения системы (7.2.5) справедливы.
Теорема доказана.
Определение
7.2.4
Всякое решение системы уравнений (7.2.5) называется экстремалью функционала
J (ж, уг (ж), ... , уп(х), у'г (ж), . . . , У^(ж)) .
В случае, когда эта экстремаль принадлежит множеству С^>[а, 6], она называется допустимой экстремалью.
Функционалы, являющиеся кратными интегралами
В большом числе важных для приложений классов вариационных задач подлежащий оптимизации функционал представляется кратным интегралом некоторого порядка. Ниже будут приведены (без полного теоретического обоснования) основные сведения, относящиеся к случаю двойного интеграла, поскольку формальное увеличение размерности не приводит к возникновению каких-либо дополнительных теоретических трудностей.
Пусть CX(Q) - множество всех непрерывно дифференцируемых функций и(х,уУ определенных в замкнутой, ограниченной кусочногладкой линией 9Q и измеримой по Жордану области Q, принадлежащей декартовой координатной плоскости с ортонормированным базисом.
Определим расстояние между вектор-функциями tz(x, у) и v(x,y) формулой
р (tz(x, ?/), v(x, у)} = max |tz(x, у) — ^(х, у)\ +
+ max
(х,у)е&
ди(х,у) dv(x,y) дх дх
+ max (x,y)efl
ди(х,у) dv(x,y) ду ду
257
\/u(x,y),v(x,y') e CJ(Q) .
В этом случае множество CX(Q) является линейным нормированным пространством.
Обозначим через Cj(Q) подмножество функций h(x,y) е CX(Q) таких, что /г(х, у) = 0 V(x,?/) 6 9Q. Тогда справедлива обобщающая лемму 7.1.1 основная лемма вариационного исчисления
Лемма	Пусть f(x,y) непрерывна в Q и V/z(x,?/) 6 Cj(Q)
7.2.1	УУ /(ж, y)h(x, y)dxdy = 0 ,
тогда f(x,y) =0 в Q.
Доказательство леммы проводится «от противного» и дословно повторяет рассуждения, использованные при доказательстве основной леммы вариационного исчисления, за исключением формулы для функции /г(х, у).
Пусть	- дважды непрерывно дифференцируемая при
всех (х, у) Е Q и (£, ц, к) е (—ос, +ос) функция.
Рассмотрим функционал
Т( \ ffw( ( ди(х,у) ди(х,у)\
J\.y') = JJ Fl х, у, и(х,у), ———, ——— I dx (7.2.6)
на множестве C^(Q) С CX(Q) функций п(х, ?/), удовлетворяющих условию
п(х,у) = G(x,y) \/(х,у) Е 9Q,
где G(x, у) - некоторая заданная и непрерывная на 9Q функция.
258
Определение
7.2.5
Будем говорить, что функционал (7.2.6) достигает на функции tz*(x, у) слабого локального минимума (максимума), если найдется число е > О такое, что
Vtz(x, у) Е C^(Q) и р ( и(х, у), и*(х, у) ) < е
выполняется неравенство
J (и) > J(u*)	( J (и) < J(u*) ) .
Если неравенства строгие, то говорят о строгом экстремуме. Если же неравенства удовлетворяются для всех функций и(х,у) Е C^(Q), то экстремум называют абсолютным.
В сделанных предположениях оказывается справедливой
Теорема Если дважды непрерывно дифференцируемая 7.2.2 вектор-функция и*(х,у) Е C^(Q) является слабым экстремумом для функционала (7.2.6), то она удовлетворяет уравнению Эйлера-0строградского-.
dF д dF д dF
ТП-тГя-----7Г7Г = °’	(7’2’7
du dx dy dy dn
du	du	d	d
где у = ——, к = ——, a —— и — операторы полных dx	dy	dx dy
частных производных.
Определение
7.2.6
Всякое решение уравнения (7.2.7) называется экстремалью функционала
(	du du
х'у'и{х'Ла1а~у
В случае, когда эта экстремаль принадлежит множеству C^(Q), она называется допустимой экстремалью.
259
7.3.	Задачи вариационного исчисления с граничными условиями обобщенного вида
Пусть F(x, у,р) - дважды непрерывно дифференцируемая при всех х Е [а,6], у Е (—сю,+сю) и р Е (—сю,+сю) функция. И пусть у(х) принадлежит С\_ [а, Ь] - множеству непрерывно дифференцируемых на [а, Ь] функций таких, что у(а) = А.
Определение
7.3.1
Задача отыскания слабого экстремума (то есть функции ?/*(х) Е Сд_[а,Ь\ с у* (а) = А) функционала
у(ж),у'(ж)) dx
(7.3.1)
называется задачей со свободным концом.
Данное название отражает тот факт, что искомая функция при х = b может иметь любое значение.
Необходимое условие оптимальности для задачи со свободным концом дает
Теорема Если дважды непрерывно дифференцируемая 7.3.1 функция у*(х) Е С^_[а,Ь] есть решение задачи со свободным концом, то она удовлетворяет уравнению Эйлера'.
dF d dF
оу dx оу'
и граничному условию
dF ду'
(7.3.2)
х=Ь
Доказательство.
Поскольку у*(х) есть решение задачи 7.3.1 со свободным концом, то dJ(y*,h) = 0 для любой h(x) Е Сд_[а, 6], то есть такой, что h(x) Е С1 [а, Ь] и /г(а) = 0.
Используя теорему Лейбница и рассуждая, как при доказательстве теоремы 7.1.2, получаем
260
0 dJ(y* + ah) da
Второе слагаемое в подынтегральной функции можно проинтегрировать по частям. Тогда, с учетом h(а) = 0, приходим к равенству
dF (х, у, у')
h(x) dx = 0.
У=У*
Последнее равенство должно выполняться при любых h(x) Е Сд_[а, 6], в том числе и для таких, что h(b) = 0. Тогда по основной лемме вариационного исчисления получаем, что для у* (х) справедливо уравнение Эйлера, а необходимое условие принимает вид
dF (х, у(х), у'(х)) ду'
h(b) = 0 , х=Ь
что в силу произвольности h(b) приводит к равенству (7.3.2).
Теорема доказана.
Определение
7.3.2
Всякое решение уравнения Эйлера называется экстремалью в задаче со свободным концом.
В случае, когда экстремаль принадлежит множеству С_д_[а, д], она называется допустимой экстремалью.
Заметим, что аналогичное необходимое условие оптимальности может быть получено и для левого конца отрезка [а, Ь].
В задаче со свободным концом правый конец допустимой экстремали мог находиться в любой точке прямой х = Ь. Поэтому ее обобщением естественно считать задачу с подвижной границей, которая заключается в поиске экстремали (7.3.1) при условии, что правый конец экстремали находится на достаточно гладкой линии у = /(х), х Е [с, d] такой, что а < с и у*(Ъ) = f(b).
Обратите внимание, что в такой постановке значение b является неизвестным.
261
Необходимое условие оптимальности в задаче с подвижной границей дает
Теорема Если дважды непрерывно дифференцируемая 7.3.2 функция у*(х) Е Сд_[а,Ь] есть решение задачи с правым концом, лежащим на линии у = /(х), то она удовлетворяет уравнению Эйлера:
dF d dF dy dx dy'
для которого у (a) = А, а также граничному условию при х = b, носящему название условие трансверсальности:
dF(x, у, у') ду'
= 0 .
(7.3.3)
Доказательство этой теоремы, как и в ранее рассмотренных случаях, основано на использовании необходимого условия экстремума дифференцируемой функции одной переменной, свойств пробной функции, теоремы Лейбница и операции интегрирования по частям.
Вычислительные особенности решения вариационных задач с подвижной границей демонстрирует
Задача Найти допустимые экстремали для вариационной задачи
7.3.1 с подвижной границей для функционала
ь
Ду) = У (у - у'2) dx
О
с граничными условиями ?/(0) = 0, у(Ь) = Ь2 — 2 .
Решение. Отметим вначале, что в данной задаче /(х) = х2 — 2. Поскольку
dF _ dF _ f d dF dy 1’ dy' ’ dxdy'
262
то уравнение Эйлера будет иметь вид 1 + 2у" = 0, а его решение
у(х) = — -х2 + Сх + Ci .
Откуда из левого граничного условия у(0) = 0 находим, что Ci = 0.
Граничное условие на правом конце является системой равенства у(Ь) = Ь2 — 2 и условия трансверсальности. Иначе говоря, неизвестные величины С и b должны, во-первых, удовлетворять равенству
-^b2 + Cb = b2-2,	(7.3.4)
и, во-вторых, условию трансверсальности
дР
F(x,y,y') + (/'
подстановка в которое конкретных условий решаемой задачи приводит к однородному уравнению вида
2Ь2 - 4ЬС + С2 = 0.
Последнее уравнение дает либо
С = (2 + У2)6, либо С = (2 - V2)b.
В первом из этих случаев уравнение (7.3.4) вещественных решений не имеет, а во втором находится положительное значение
4\/2  Щ\/2 + 3
ь =------------------
а/23
Решение составляющее совместно с у*(х) = — -х2 + Сх решение получено. задачи.
263
7.4.	Условные вариационные задачи
В большом числе практически важных вариационных задач дополнительные условия (сужающие множество допустимых вариаций) не сводятся лишь к модификации оптимизируемого функционала или граничных условий, а являются ограничениями более общего вида.
Изопериметрическая задача
Пример одной из таких задач, условно называемых изопериметри-ческими: отыскание на плоскости замкнутой линии заданной длины, ограничивающей фигуру максимально возможной площади, был известен еще в античные времена, равно как и ее решение - окружность.
Приведем возможную постановку изопериметрической задачи. Пусть функции F(x,y,p) и G(x, ?/,р) дважды непрерывно дифференцируемы при х Е [а, Ь] и у; р Е (—сю,+сю). Рассмотрим задачу отыскания экстремума функционала по у(х) Е СдВ[а,Ь] :
ь
Ду) = f F(x,y(x),y'(xy)dx	(7.4.1)
а
при условии
ь
Щу) =	G(x,y(x),y'(x))dx = I ,	(7.4.2)
а
где А, В и I - заданные числа. Уравнение (7.4.2) принято называть условием связи, а функционал (7.4.1) - целевым функционалом.
Метод решения изопериметрической задачи - отыскания локального слабого экстремума функционала (7.4.1) при условии (7.4.2), является аналогом метода множителей Лагранжа для задачи на условный экстремум функций многих переменных. Его основой служат функция Лагранжа:
Щ, у(х), у’(х), А) = F(x, у(х), у'(х>У) + XG(x, у(х), у'(х)) , A G R
И
264
Теорема Если дважды непрерывно дифференцируемая 7.4.1 функция у* (х) есть решение изопериметрической задачи и вариация dH(y*,h) 0 V/z(x) е Сд0[а, 6], тогда найдется такое А, что удовлетворяет уравнению Эйлера следующего вида:
dL d dL
л-— л-7Г7 = 0 ' оу dx оу'
Доказательство.
Из условия теоремы следует, что если h$(x) Е Сд0[а, 6], то
J77(?/*,/zo)	0- Рассмотрим функционалы
и(а, а0) =	+ oth(x) + ао^о(^)),
cto) = H(y*(x) + ah(x) + од^о(^))
как функции от параметров а и «о V/z(x) Е Сд0 [а,Ь].
К этим функциям применимы известные теоремы о непрерывности и дифференцируемости собственных интегралов, зависящих от параметров и дающие равенства
mm п *\	9и(°>°)	9«(0,0)	*
«(0,0) = J(y ) , —-------= 6J(y,h),	---= 6J(y ,ho);
оо	oot,Q
dv(O.O)	dv(0,0)
77(0,0) = Я(Л, —^ = 6H{y*,h), -^-L=6H(y*,h0). oo	oot,Q
Их следствие - необходимое условие экстремальности у*(х), вытекающее из необходимого условия в задачах на условный экстремум, можно записать (покажите это самостоятельно или с помощью [1], гл. 9, § 5) в виде тождества
д(и, и) «о)
V/z(x) Е Cqo 1а, Ч-
си=а!о=0
= 0
Последнее равенство можно преобразовать следующим об-
разом:
$J(y*,h)	6H(y^h)
6J(y*,h0) 6H(y*,h0)
265
или	= 0 .
ЪН(у , hG)
В нашем случае 8Н(у* ,/zq)	0, поэтому существует конечное
А = — ——----такое, что
£Я(?/*,М
6J(y\h) + XdH(y*,h) = 0 ,
или же в интегральной форме
поскольку
Проинтегрировав по частям в (7.4.3) слагаемое с hf (х) и применив основную лемму вариационного исчисления (лемму 7.1.1), получим утверждение теоремы.
Теорема доказана.
Проиллюстрируем применение этой теоремы следующим примером.
Задача Решить изопериметрическую задачу для функционала 7.4.1
1
J(y) = У (z/)2 dx о
с граничными условиями ?/(0) = 0, ?/(1) = 2 и условием связи
1
Н(у) = у* ху dx = 1 .
о
266
Решение. Лагранжиан в данной задаче имеет вид
Цх, у, у', А) = (у')2 + Хху.
Уравнение Эйлера для него будет 2у" — Хх = 0, поскольку
dL	dL , d dL
7Г=Хх^ ^ = 2У ТГ^ = 2У ' оу	dy'	dx оу'
Подставив общее решение уравнения Эйлера - уравнение экстремалей
3/(ж) = —Ж3 + С1Ж + С2 ,
в условие связи и приняв во внимание граничные условия,
9 находим, что С\ = -,
С2 = 0 и А = — 30 и, следовательно,
допустимая экстремаль имеет вид
У\х) = -|ж3 + |-
Выясним теперь тип найденной допустимой экстремали.
Пусть пробная функция h(x) такова, что /г(0) = /г(1) = 0. Кроме того, условие связи не должно нарушаться при варьировании, поэтому из равенства
1 1
у* х(у* + h) dx = 1 должно следовать xh dx = 0 .
о	о
Имеем оценку
1
= J(y* + h) - J(y*) = I (2(y*)'h' + (/г')2) dx = о
(интегрируя по частям первое слагаемое и используя уравнение Эйлера 2(т/*),/ — Хх = 0, получаем с учетом свойств функции /г(х))
267
= 2y*'h
У 2(y*')',hdx + j\h')2dx =
Решение	To есть у* (x) доставляет целевому функционалу абсолют-
но лучено. ный минимум.
Рассмотренная изопериметрическая задача допускает следующее обобщение: условие связи может быть не единственным. В этом случае лагранжиан будет иметь несколько слагаемых, каждый из которых зависит от своего множителя Лагранжа. Теорема 7.4.1 обобщается на этот случай естественным образом.
Задача Лагранжа
В приложениях достаточно часто встречается класс условных вариационных задач, условия связи в которых могут задаваться для вектор-функций и притом не обязательно в интегральной форме. Примером такой условной вариационной задачи служит так называемая задача Лагранжа. Приведем ее постановку.
Пусть F(x, у, z^p^ q) и р(х, у, z) - дважды непрерывно дифференцируемые функции, заданные на х Е [а, Ь] и {?/; q} Е (—сю, +оо).
Пусть функционал
b
J(y^z)= / F(х, у(х\ z(x\ у'^х), z'(x) ] dx
является целевым (то есть необходимо найти его слабый экстремум)
на множестве пар функций < у(х); z(x) > таких, что
?/(х), z(x) Е С1 [а, Ь] ;
у(а) = Ai, у(Ь) = Въ z(a) = А2, z(b) = В2 ; g ( х, у(х), z(x)) = 0 Vx Е [а, Ь] .
Геометрически задача Лагранжа может быть интерпретирована следующим образом. Пусть в Е3 уравнение р(х, ?/, г) = 0 задает гладкую поверхность 5, а вектор-функция || t y(t) z(£)||T - непрерывно
268
дифференцируемую линию L. Тогда в задаче Лагранжа требуется найти линию L, лежащую на поверхности S и проходящую через точки {a, Ai, А2} и {b, Bi, В2}, на которой рассматриваемый целевой функционал достигает слабого локального экстремума.
Задача Лагранжа может быть сведена к простейшей вариационной задаче исключением при помощи соотношения д(х, у, z) = 0 из условий задачи одной из функций у(х) или z(x). Этот метод очевиден.
Однако на практике более эффективным оказывается другой подход. Введем в рассмотрение лагранжиан вида
L = F(x, у, z, у', zr) + А(х) д(х, у, z),
где А(х) - некоторая непрерывная на [а, Ь] функция. И пусть, кроме того, /	\ 2	/	\ 2
/ 9д\	( Эд\	. .	.
-Ч + Ьг > 0 Vx е [а, 6] .	(7.4.4)
Тогда справедлива
Теорема
7.4.2
Пусть пара дважды непрерывно дифференцируемых функций |?/*(х); г*(х)| есть решение задачи Лагранжа, тогда существует такая функция А(х) Е С[а,Ь\, что пара функций {Дж);Дж)} удо-влетворяет системе уравнений Эйлера вида
'	dL	d дЬ
.	ду	dx ду'
<	dz	dx dz'
Доказательство.
Предположим вначале, что g(x,y,z) = z — U(х, у), то есть поверхность S задается уравнением z = U(x, у). Тогда целевой функционал задачи Лагранжа имеет следующий вид:
х, у(х), U(х, у{х\), у'(х),
dU d dU дх dx ду
269
или просто
Составим для него уравнение Эйлера:
dG d dG
я---7Г7Г7 = 0 •
оу dx оу'
Будем теперь обозначать частные производные, записывая переменные, по которым производные берутся, в виде нижнего индекса, а производную по независимой переменной х будем обозначать штрихом. Тогда по правилу дифференцирования сложной функции для левой части уравнения Эйлера имеем
Fy + Fz • Uy + Fzf (Uxy + Uyy) (Fy') (Fzf • Uy) —
= Fv-(Fy,y + Uy (Fz-(FA) ,
поскольку
• Uy) = Uy • (Fzf) + Fzf • (Uxy + Uyy • y') .
Правая часть уравнения Эйлера есть 0, поэтому, приняв во внимание, что gz = 1 и ду = — Uy , запишем уравнение Эйлера в виде
Fy-(Fy,)' _FZ-(FZ,)'
9у	9z
Каждая из частей этого равенства есть функция от х. Если их обозначить как —А(х), то мы приходим к системе, указанной в условии теоремы.
В случае, когда уравнение р(х, ?/, z) = 0 не разрешимо относительно z в явном виде, можно применить (в силу условия (7.4.4)) теорему о неявных функциях, которая позволяет локально представить z как функцию от х и у.
Теорема доказана.
270
7.5. Замечания о достаточных условиях оптимальности в задачах вариационного исчисления
Формулировка достаточных условий слабого экстремума для простейшей задачи вариационного исчисления основана на использовании более сложного, чем первая вариация, понятия - второй вариации целевого функционала, которое можно рассматривать как обобщение второго дифференциала функции многих переменных.
Пусть Е(х, у,р) - трижды непрерывно дифференцируемая при всех х Е [а, 6], у Е (—сю, +сю) и р Е (—сю, +сю) функция. Рассмотрим функционал
ь
J(y) = у* F	у(х), у'(х)^ dx	(7.5.1)
а
на множестве С\в [a, b] G С1 [а, Ь] функций ?/(х), удовлетворяющих условиям у(а) = А и у(Ь) = В.
Дадим определение второй вариации функционала (7.5.1) по схеме, аналогичной использованной в § 7.1. Рассмотрим функцию у(х,а) = = у(х) + ah(x) Е С\в[а^Ъ]^ где а - вещественный параметр, а /г(х) Е Е Cq0 [а, Ь] - допустимая вариация у(х) - аргумента исследуемого функционала (7.5.1). Как и раньше, будем рассматривать множество значений функционала
ь
J(y + ah) = У F^x, у(х) -h ah(x), у'(х) + ah'(x)^dx	(7.5.2)
а
при |а| < е.
При сделанных предположениях (для малых по модулю значений а) функционал J(y + ah) является дважды непрерывно дифференцируемой функцией а. Его можно рассматривать как собственный интеграл, зависящий от параметра а, для которого справедлива упомянутая в § 7.1 теорема Лейбница согласно которой
d2J(y + ah)
d2F	d2F	d2F \
71Е',2(х) + 2дуду1 h^h'^ + d^h'2(xH dx 	(7-5-3)
271
Определение
7.5.1
Выражение
d2 J(y + ah) da2
cn=O
называется второй вариацией функционала J(у) на функции у(х) при V/z(x) Е Сд0[«, Ъ\.
Вторую вариацию принято обозначать d2J(y, h).
Преобразуем выражение для J2 J(y, /г), проинтегрировав по частям второе слагаемое в подынтегральной функции (7.5.3):
/г	И2 F	Г d с)2 F
—^h2(x)dx +	dx^
ду2	дуду'	J dxdyoy'
а	а а
Внеинтегральное слагаемое, очевидно, равно нулю, поэтому в итоге мы получаем V/z(x) Е Cg0[a, 6] :
b^J^y, h) =	( P(x)hf2(x) + Q(x)h2(x) ) dx ,
(7.5.4)
где
92F(x, y(x), y'(x))
dy'2
d2F(x,y(x),yf(x))	d d2F(x,y(x),yr(x))
dy2	dx дуду'
Выражение (7.5.4) является квадратичным функционалом при фиксированном у(х) и \/h(x) Е Сд0[а, 6].
Как и в случае экстремальных задач для функций многих переменных, в вариационном исчислении понятие второй вариации используется для формулировки достаточных условий оптимальности целевого функционала (7.5.1).
272
Определение
7.5.2
Квадратичный функционал
называется положительно определенным, если существует 8 > 0 такое, что
ь
> 8 у* ^/г,2(х) + /г2(х)^ dx \/h(x) Е Cg0 [«, Ь\. а
Если же
ь
а
то этот функционал называется отрицательно определенным.
Следующая теорема формулирует достаточные условия существования слабого экстремума, используя понятие второй вариации.
Теорема
7.5.1
Если
-	у*(х) Е С\в[а,Ъ\,
-	6J(y*,h)=Q V/z(x) Е Cg0[a, 6] и
—	функционал 82 J(y*, /г), определяемый формулой (7.5.4), положительно определенный, то функция у*(х) — решение простейшей задачи вариационного исчисления, то есть строгий слабый локальный минимум функционала (7.5.1).
Доказательство.
Можно найти в [1,3].
Теорема доказана.
273
Непосредственный анализ знака функционала J2J(?/*,/z) является весьма сложной с практической точки зрения задачей. Альтернативный подход заключается в использовании уравнения Эйлера для данного функционала, которое имеет вид
dh\
Р-] ~Qh = O. ах /
(7.5.5)
Не рассматривая в деталях рассуждения, выполненные вначале Лежандром и уточненные позднее Якоби (их можно найти, например, в [1]), отметим лишь, что исходя из этого уравнения можно показать, что справедлива
Теорема Если
7‘5'2	-у*(х)сСМ
d2F
—	для у*(х) = 0 х Е [а,Ь\	-? >0 и
ду'
—	решение уравнения (7.5.5) не имеет нулей на (а, 6),
то функция у*(х) — решение простейшей задачи вариационного исчисления, иначе говоря, есть строгий слабый локальный минимум функционала (7.5.1).
Доказательство.
Основная идея доказательства заключается в отыскании функции w(x) Е СдВ[а,Ь\ такой, что
Теорема доказана.
В заключение отметим, что хотя очевидной альтернативой применению теорем 7.5.1 и 7.5.2 является использование определения экстремума функционала (7.5.1) (см., например, решение задачи 7.1.1),
274
следует иметь в виду, что стандартные методы исследования на экстремум функций многих переменных в задачах вариационного исчисления могут иметь ограниченную применимость.
Проиллюстрируем эту особенность задач вариационного исчисления следующим примером.
Теорема	Пусть функция h(x)
7.5.3	— непрерывна на [0, тг],
(Нера- — /г(0) = /г(тг) = 0 и
венство — имеет производную с интегрируемым квад-Виртин-	ратом на (0,7г),
гера) тогда справедливо неравенство
I =	(/г,2(х) — /г2(х)) dx > 0 .	(7.5.6)
о
Доказательство.
Воспользуемся соотношением
9	1	/	\
— 1 = ctg X----2“ 5 х е (0, 7г) .
sin х
Тогда
I = [ | h'2(x) + h2 (x)ctg2x-Ц | dx =
J \	sin x I
ox	7
TV	7Г
= [ (h'2{x) + /z2(x)ctg2a?) dx — [ —^-dx. J \	' J sin x
о	0
Проинтегрировав второе слагаемое по частям, получим
I = f (h'2(x) + /z2(x)ctg2aA dx +
0 7V Tz2(x)ctgx 0	TV -	2h(x)hf (x)ctgx dx .
275
Проинтегрированная часть равна нулю, поскольку в силу условий теоремы в правой полуокрестности точки х = 0 имеем Л(0 + Дх) Дх . Аналогично, для левой полуокрестности точки х = 7г используем, что Н(тг — Дх) Дх.
Окончательно получаем
7Г
у* (/zz(x) — /z(x)ctgx)2 dx > 0 .
Теорема доказана.
Используя аппарат функционального анализа к заключению о справедливости неравенства (7.5.6) можно также прийти следующими рассуждениями.
В условиях теоремы 7.5.3 продолжим функцию /г(х) на отрезок [—тг, тг] нечетным образом. Тогда разложения в ряд Фурье по стандартной тригонометрической системе для функций /г(х) и /г'(х) будут
Too	Too
/г(х) = ^2 sin/сх и //(х) = У2 ^к cos кх , к=1	к=1
причем, в силу равенства Парсеваля,
Too
/г2(х) dx = тг У2 и
к=1
Функции /г2(х) и /г,2(х) четные по построению, поэтому
dx =
1 = 1 (h'\x) о
поскольку к > 1.
276
Таким образом, тот факт, что подынтегральная функция представима в виде разности полных квадратов, вообще говоря, не позволяет сделать заключение об отсутствии у функционала знаковой определенности - в данном примере функции h(x) и h'(x) не являются независимыми.
277
Приложение.
Метод корневых
векторов решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
В данном Приложении дается описание и краткое обоснование метода решения систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами, не требующего построения жорданова базиса.
Конкретно рассмотрим линейную однородную систему уравнений вида
±Д£) =	\/i = [1, п] ,
1=1
или же в матричной форме
||i|| = ||А|||И ,	(Рг.0.1)
где
	«11	«12	•	«1п		жД)
II Л|| =	«21	«22	•	«2п	, ид =	ж2(<)
	«п1	«п2	• • «пп		Хп (^)
Вектор-функция ||х(£)||, имеющая п скалярных компонент Xj(i), j = [1,п], являющаяся решением системы (Рг.0.1), будет удовлетво
278
рять следующим соотношениям:
f М = ||ДНИ,
PH = ДII11Д1,
и = дни = индии = ||ац2||ж|| , Д3)|| = И1131И,
(Рг.0.2)
I ||хИ|| = ||ЛГ||х|| ,
где \\Е\\ - единичная матрица порядка п.
Будем рассматривать матрицу ||Л|| как матрицу некоторого линейного преобразования, действующего в n-мерном унитарном пространстве Un с ортонормированным базисом, и пусть
= Хп + СЕ1ДП + ... + сеп—1А + ап = det (||А|| — А||Е\\) есть характеристический многочлен этого преобразования.
Тогда, согласно доказываемой в курсе линейной алгебры теоремы Гамильтона-Кэли, Т(||Л||) = ||О||, где ||О|| - квадратная нулевая матрица п-го порядка. Если учесть определение 3.4.1, описывающее возведение квадратной матрицы в целую степень, то утверждение этой теоремы можно записать в виде
цД||) = Д||” + а1 ДИ”-1 +... + «„-г ДИ + апД|| = ||О|| .
Умножив теперь первое равенство в (Рг.0.2) на аП1 второе -на an_i, ..., последнее - на единицу и сложив полученные равенства, получим
||Д(п) + Qi I|ж||("-1) + ... + ап_1||±|| + апI|жII =
= ^Д||” + а1|И||”-1 + ... + аи_1||Л||+ап|Д||)|И =Ц||Л||)|И = ||0|| . Если последнее столбцовое равенство расписать покомпонентно, то получится, что каждая из функций Xj(t) \/j = [1,п] является решением d
дифференциального уравнения L\D)y = 0, где D = — - оператор дифференцирования.
Согласно теореме 2.3.1, общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами Ь(1У)у = 0 может быть записано в виде
5	/	f	^кт-1 \
= УТ ( dml + /?w2 1J + • • • + hmk,ri	) 6 т
т=1 '	’	\ т
279
где Ai, А2, ..., As - попарно различные корни характеристического многочлена Т(А), Ац, /02, ••• ks - кратности этих корней, a hmkm ~ некоторые комплексные константы.
Следовательно, V? = [1,гг] компоненты вектор-функции ||х(£)|| -решения исходной системы (Рг.0.1), имеют вид
или в столбцовом формате
(Рг.0.3)
Теперь выясним, как связаны между собой столбцы
{Hamill, ||^т2||, •••, ||/WJ| Vm = [l,s]} .
Такая связь должна существовать, поскольку множество частных решений системы (Рг.0.1) является n-мерным линейным пространством и, следовательно, формула общего решения должна содержать ровно п произвольных комплексных констант.
Подставим выражения (Рг.0.3) в исходную систему (Рг.0.1), получим
s /	j-km-2 \
Р(^)11 = У? ( II кт2 II + II ^тЗ II ту + . . . + II	-——- ]eXmt +
m=i\ • /•/
+ У^	(11 h"ml 11	+ 11 h"m2 11 yj +	• • • + 11 hmkm 11 7T	_ , \ e	m =
m=l	'	*	k m Д/
s /	+	+km-l \
= £p|| ||feml||+||fem2|| +...+||femfcm||	_	е>^ = ИцЖ||.
m=l x	\	/ /
Введя обозначения ||Bm|| = ||A|| — Am||T?|| Vw = [l,s] и перегруппировав слагаемые, находим, что
5 (	t
У^ ( (ll^mllll^mlll “ \\hm2 ||) + (|| Вт || || hm2 || - ||||) Tjj + • • • + т=1
+ ( ||	|| 11^771(^-1) || — 11 hmkm 11 ) —	_	+
280
4-кт 1	\
\ 'Чп *-)•/
Откуда в силу линейной независимости набора функций
{ 1, t, t2, ..., j
Vm = [1, s] получаем систему равенств
' ||Bm||||/zml||	=	\\hm2\\,
||Bm||||/zm2||	=	\\hm3\\,
< .................................
II -^m || ||	— 1) ||	=	11 ^ткп1 11 i
k ll^mll\\hmkm ||	= ||°|| •
Заметим, что последняя система может быть записана в другом, более удобном для практического использования виде
f \\hm2\\	=	||Bm||||/zml||,
\\hm3\\	=	||Bm||2||/zml||,
< .................................................. (Pr.0.4)
II^mkrri ||	=	ll^mll^™ 1||^'ml|L
||Bmr-hml|| =	и.
Система (Pr. 0.4) позволяет выразить в формуле (Pr. 0.3) все столбцы ||femj|| через ||/zmi||, и в этом случае необходимость в индексе «1» отпадает. Дадим
Определение Уравнение || Вт ||кт || hm || = ||о|| называется корне-• 0.1	вым уравнением, отвечающим собственному зна-
чению Ат матрицы ||А||. Всякий столбец, являющийся решением корневого уравнения, называется корневым вектором.
Наконец, множество всех корневых векторов образует подпространство в Un, называемое корневым подпространством, отвечающим собственному значению Ат матрицы ||А||.
Учитывая формулу (Рг. 0.3) и условия (Рг. 0.4), мы приходим к заключению, что справедлива
281
Теорема
Pr. 0.1
Общее решение системы (Рг. 0.1) имеет вид
5 /	+	/2
МОП = £ (||R + pm||-+ ||Bm||2-+...
т=1 '
где |||fei||, ||^2|h • ..,||Ы j — произвольные корневые векторы, соответственно отвечающие соб-
ственным значениям < Ai, А2, ..., As
(Рг. 0.5)
Доказательство.
Следует из соотношений (Рг. 0.3) и (Рг. 0.4).
Теорема доказана.
В заключение продемонстрируем использование формулы (Рг. 0.5) на следующих примерах.
Задача Решить систему линейных уравнений
Рг. 0.1					
	X =	—х	+ У	—	2z,
<	У =	4х	+ У ,		
	Z =	2х	+ У	—	z .
Решение.
Поскольку матрица системы есть
-1 1 —2
4 1	0
2 1 -1
то
корни характеристического уравнения найдем из условия
det
-1-А	1
4 1-А
2	1
которое сводится к уравнению (А + 1)(1 — А2)=0.
282
Это уравнение имеет два различных корня: Ai = 1 кратности 1 и А2 = — 1 кратности 2. При этом
ЦВ1|| =
—2 1
4 О
2 1
—2
О
-2
и ||В2|| =
О 1 —2
4 2 О
2 1 О
Столбец ||/zi ||
11^11^21^311|Т находим из матричного
уравнения
—2 1 —2
4 0	0
2 1 —2
61
61
61
0 о о
61
61
61
о
2
1
Для случая А2 = —1 - корня кратности 2, сначала решаем уравнение ||В2||||/z2(i)II = IHI, то есть
0 1 —2
4 2	0
2 1	0
62(1)
62(1)
62(1)
62(1)
62(1)
62(1)
-1
0 о о
2
1
Затем мы решаем корневое уравнение 11В211211 /г2(2) 11 = 11 ° 11 • В нашем случае
IIB2II2
0 1 —2
4 2	0
2 1	0
0 1 —2
4 2	0
2 1 О
0 0 О
8 8-8
4 4-4
Поэтому в координатной форме корневое уравнение сводится к скалярному равенству
62(2) + 62(2) — 62(2) = 0 •
Откуда для множества решений корневого уравнения получаем формулу
о
1
1
1 о
1
||^2(2)|| —
+ D3
в2
D3
D2 + D3
где D2 и D3 - произвольные константы.
283
Наконец, для использования формулы (Рг. 0.5) необходимо вычислить
—2
0
0
0 1
4 2
2 1
||£2||||^2(2)|| —
D2
D3
D2 + D3
—2D2 4D2 2D2
D3
2D3 =(2D2 + D3)
D3
-1
2
1
+ +
Теперь мы можем записать общее решение
х(^) уЧ
= Di 2
еЧ
0
1
+
D2
D3
D2 + D3
-1
+ (2D2 + D3)
t e 1.
2
1
где 7?i, D2 и D3 - произвольные константы.
При желании вид общего решения можно изменить, приведя его к стандартному (жорданову) формату. Проверьте самостоятельно, что заменив произвольные константы по формулам
' А	=	Ci,
< d2	=	— с2	+	с3 ,
D3	=	2С2	—	С3 ,
мы получим следующую формулу для общего решения исходной системы:
о
2
1
хЧ
уЧ
в1 + С2
-1
2
1
е~Ч
= 4
-\-С3
Решение
получено.
1
1
0
-1
2
1
где Ci, С2 и С3 - произвольные константы.
284
Задача Рг.О.2
Решить систему линейных уравнений
х = 2х у = — 6х z = —4т
+	Зу	-	z,
-	бу	+	z,
—	2у	—	2z.
Решение.
Матрица системы есть
2	3-1
-6 -6	1
—4 —2 —2
. Корни харак-
теристического уравнения находятся из условия
det
2-А
-6
—4
3	-1
-6-А 1	=0,
—2 -2-А
которое можно привести к виду (А + 2)3 = 0 . То есть характеристическое уравнение имеет единственный корень Ai = — 2 кратности 3.
В рассматриваемом случае
4
-6
—4
3
—4
—2
-1
1
0
ЦВ1||2 =
2	2-1
—4 —4	2
—4 —4	2
и
з
ООО
ООО
ООО
Решаем корневое уравнение ||Bi||3||/z(1)|| = ||о||. Его реше
ние очевидное:
11Н1 =
D, D2
D3
где Z>i, D2 и D3 - произвольные константы. Поэтому
11^11111^1)11 =
47? i	+	3D2	—	D3
—67?i	—	41?2	+	D3
-4Di	-	2D2
и
285
ЦВ1||>(1)11 =
27?i	+	27?2	—	D3
—47? 1	—	47?2	+	27?з
—47? 1	—	47?2	+	27?з
= (27?г + 27?2 - 7?3)
1
—2
—2
Согласно (Рг. 0.5) общее решение системы записывается
в виде
y(t) z(t)
iiiiwi + ^iibiiiiiwi + jira2iiwib-2t
который при помощи подходящей замены неопределен-
ных коэффициентов можно представить как
ЯД)
Д)
+С*з
Ci
-1
2
2
+ C2
-1
1
1
2
2?
e
-2t
Решение
получено.
Ci, C2 и C3 - произвольные комплексные константы.
286
Литература
1.	Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. - М.: Лаборатория базовых знаний, 2011.
2.	Филиппов А.Ф. Введение в теорию дифференциальных уравнений. - М.: КомКнига, 2010.
3.	Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1985.
4.	Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Т. 1, 2. - М.: Высш, шк., 1981.
5.	Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. - М.: Наука, 1967.
6.	Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного. - М.: Наука, 1982.
7.	Треногин В.А. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Физматлит, 2009.
8.	Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974.
9.	Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1970.
287
Предметный указатель
Автономные системы дифференциальных уравнений, 6.1
Асимптотическая устойчивость положения равновесия, 6.2
Базис в линейном пространстве частных решений однородного уравнения с постоянными коэффициентами, 2.4
Банахово пространство, 4.2 Вариационная задача Лагранжа, 7.4
Выделение вещественных решений однородной системы линейных уравнений, 3.2
Выделение вещественных решений, 2.4
Вычисление матричной экспоненты, 3.4
Гладкость зависимости решений задачи Коши от параметров, 4.5
Групповое свойство автономной системы, 6.2
Дискриминантная кривая, 4.6
Дифференциальное уравнение в частных производных, 0.1
Дифференциальные многочлены, 2.3
Дифференцируемость зависимости решений задачи Коши от параметров, 4.6
Достаточные условия оптимальности в вариационных задачах, 7.5
Зависимость решений задачи Коши от начальных условий, 4.6
Задача Коши для линейного уравнения в частных производных первого порядка, 7.1
Задача Коши для нормальной системы уравнений, 4.2
Задача Коши для уравнения первого порядка, неразрешенного относительно производной, 1.6
Задачи Коши для уравнений первого порядка, не разрешенных относительно производной, 4.6
Задача Коши, 1.1
Задача с подвижной границей, 7.4
Задача со свободным концом, 7.4
Жорданов блок, 3.2
Жорданова цепочка, 3.1
Жорданова клетка, 3.2
Жорданова матрица, 3.2
Интегральная кривая, 1.1
288
Интегрирование в квадратурах, 1.1
Интегрирующий множитель, 1.4
Изоклина, 1.1
Изопериметрическая задача, 7.4
Квазимогочлены, 2.2
Коэффициент сжатия, 4.2
Краевая задача, 0.1
Критерий первого интеграла автономной системы уравнений, 6.4
Лемма Дюбуа-Реймона, 7.2
Линейная зависимость и линейная независимость функций, 5.2
Линейное дифференциальное уравнение п—го порядка, 2.1
Линейное дифференциальное уравнение с переменными коэффициентами, 5.3
Линейное пространство частных решений линейного однородного уравнения, 2.1
Линейное пространство частных решений однородной системы линейных уравнений с переменными коэффициентами, 5.2
Линейное пространство частных решений однородной системы, 3.1
Линейное уравнение первого порядка, 1.3
Линейное дифференциальное уравнения второго порядка с переменными коэффициентами, 5.4
Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами, 2.3
Линейные уравнения в частных производных первого порядка, 6.5
Матрица жордановой формы, 3.2
Матричные ряды, 3.4
Метод вариации постоянных для линейного уравнения с переменными коэффициентами, 5.4
Метод вариации постоянных для неоднородной системы линейных уравнений с переменными коэффициентами, 5.3
Метод вариации постоянных, 2.5, 3.4
Метод введения параметра, 1.5
Метод изоклин, 1.1
Метод исключения, 3.1
Метод корневых векторов решения систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, Рг.О
Метод малого параметра, 6.1
Метод Хевисайда, 3.5
Методы понижения порядка уравнения, 1.6
Метрика в нормированном линейном пространстве, 4.2
Необходимое условие существования слабого экстремума функционала, 7.2
Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами, 2.5
Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами - нерезонансный случай, 2.5
289
Неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами - резонансный случай, 2.5
Неподвижная точка преобразования, 4.2
Непрерывный оператор, 4.2
Непрерывность зависимости решений задачи Коши от параметров, 4.6
Непрерывный оператор, 4.2
Неравенство Виртингера, 7.5
Норма матрицы, 3.4
Нормальная форма записи системы дифференциальных уравнений, 4.2
Нормальные линейные системы с переменными коэффициентами, 5.1
Нормированное линейное пространство, 4.2
Общее решение дифференциального уравнения, 0.1
Общее решение линейного неоднородного уравнения с переменными коэффициентами, 5.4
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, 5.3
Общее решение линейного однородного уравнения с постоянными коэффициентами, 2.3
Общее решение линейного уравнения в частных производных первого порядка, 7.1
Общее решение неоднородного линейного уравнения, 2.1
Общее решение неоднородной системы линейных уравнений с переменными коэффициентами, 5.3
Общее решение нормальной линейной системы с переменными коэффициентами, 5.2
Общее решение однородной системы линейных уравнений, 3.1
Обыкновенное дифференциальное уравнение, 0.1
Однородные системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай базиса из собственных	векторов),
3.1
Однородное (по свободному члену) уравнение первого порядка, 1.3
Операционное исчисление, 3.5
Определитель Вронского, вронскиан, 5.2, 5.3
Основная лемма вариационного исчисления, 7.1
Особые и неособые решения задачи Коши, 4.6
Первая вариация функционала , 7.1
Первый интеграл автономной системы уравнений, 6.5
Показательная функция матрицы, 3.4
Поле направлений, 1.1
Положения равновесия автономных систем второго порядка, 6.3
Положение равновесия для сложной системы, 6.4
290
Положение равновесия нелинейной системы дифференциальных уравнений, 6.2
Положение равновесия типа вырожденный узел, 6.3
Положение равновесия типа ди-критический узел, 6.3
Положение равновесия типа седло, 6.3
Положение равновесия типа узел, 6.3
Положение равновесия типа фокус, 6.3
Положение равновесия типа центр, 6.3
Порядок дифференциального уравнения, 0.1
Поведение типа пограничного слоя, 6.1
Преобразование Лапласа, 3.5
Принцип сжимающих преобразований, 4.3
Продолжаемость решения задачи Коши, 4.5
Производная в силу системы, 6.1 Простейшая задача вариационного исчисления, 7.1
Решение дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов, 5.5
Решение неоднородной системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами, 3.3
Решение однородной системы линейных уравнений с постоянными коэффициентами (случай жорданова базиса), 3.2
Свойства комплексных функций вещественного аргумента, 2.1
Сжимающее преобразование, 4.2
Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, 3.1
Существование и единственность решения задачи Коши, 4.4
Существование и единственность решения задачи Коши в линейном и квазилинейном случаях, 5.1
Теорема Жордана, 3.2
Теорема Коши, 1.1
Теорема А.М. Ляпунова об устойчивости, 6.3
Теорема о чередовании нулей уравнения второго порядка, 5.5
Теорема о линеаризации, 6.3
Теорема о выпрямлении траекторий, 6.2
Теорема об асимптотической устойчивости, 6.3
Теорема об устойчивости положений равновесия по линейному приближению, 6.3
Теорема существования и единственности, 1.1
Теорема Н.Г. Четаева о неустойчивости, 6.3
Теорема Штурма, 5.4
Уравнение Бернулли, 1.4
Уравнение Бесселя, 5.5
Уравнение однородное по переменным, 1.3
Уравнения первого порядка в дифференциалах, 1.4
291
Уравнения первого порядка в полных дифференциалах, 1.4
Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, 1.5
Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной, 1.1
Уравнения с разделяющимися переменными, 1.3
Уравнение Риккати, 2.1
Уравнение Эйлера, 7.2
Условие Липшица, 4.3
Условия неоднозначной разрешимости задачи Коши, 4.6
Устойчивость положений равновесия для линейных систем с постоянными коэффициентами, 6.2
Устойчивость положений равновесия по линейному приближению, 6.2
Устойчивость положения равновесия по Ляпунову, 6.2
Устойчивость положения равновесия, 6.2
Условие транверсальности, 7.4
Фазовые переменные, 6.1
Фазовые траектории, 6.1
Фазовый портрет решений автономной системы, 6.1
Формула Лиувилля-Остроградс-кого для линейного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, 5.3
Формула Лиувилля-Остроградс-кого для однородной системы линейных уравне
ний с переменными коэффициентами, 5.3
Формула сдвига, 2.3
Фундаментальная матрица, 5.2
Фундаментальная система решений для нормальной линейной системы с переменными коэффициентами, 5.2
Функции Бесселя, 5.5
Функционал вариационной задачи, являющийся кратным интегралом, 7.4
Функционал вариационной задачи, зависящий от нескольких неизвестных функций, 7.3
Функционал вариационной задачи, зависящий от производных высших порядков, 7.3
Функциональная зависимость и функциональная независимость первых интегралов автономной системы уравнений, 6.5
Функциональные операции с матрицами, 3.4
Функция А.М. Ляпунова, 6.3
Функция изображение, 3.5
Функция оригинал, 3.5
Характеристическая система для линейного уравнения в частных производных первого порядка, 7.1
Характеристический многочлен, 2.3
Частное решение дифференциального уравнения, 0.1
Экспонента матрицы, 3.4
292
Учебное издание
Умнов Александр Евгеньевич
Умнов Егор Александрович
ОСНОВЫ ТЕОРИИ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Редактор Н.Е. Кобзева. Корректор И. А. Волкова Компьютерная верстка Н. Е. Кобзева
Подписано в печать 26.12.2016. Формат 60x84 x/i6-
Усл. печ. л. 18,3. Уч.-изд. л. 17,0. Тираж 200 экз. Заказ №531.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 Тел. (495) 408-58-22, e-mail: rio@mipt.ru
Отдел оперативной полиграфии «Физтех-полиграф» 141700, Московская обл., г. Долгопрудный, Институтский пер., 9 Тел. (495) 408-84-30, e-mail: polygraph@mipt.ru
Для заметок
Умнов Александр Евгеньевич, д.т.н., заслуженный профессор кафедры высшей математики МФТИ, Почетный работник высшего образования РФ. Автор более ста научных и учебных трудов, опубликованных как в нашей стране, так и за рубежом.
Умнов Егор Александрович, к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики МФТИ. Автор более тридцати учебно-методических пособий и научно-исследовательских работ по курсам высшей математики и методам математического моделирования.
ISBN 978-5-7417-0618-3