/
Текст
СПРАВОЧНАЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА
В.Ф. ЗАЙЦЕВ, А. Д. ПОЛЯНИН
СПРАВОЧНИК
ПО ОБЫКНОВЕННЫМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ
УРАВНЕНИЯМ
МОСКВА
ИЗДАТЕЛЬСКАЯ ФИРМА
«ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛИТЕРАТУРА»
2001
ББК 22.1
3-17
УДК 517.9@83)
3-17 Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по обыкновенным дифференциаль-
дифференциальным уравнениям. —М.: Физматлит, 2001. —576 с —ISBN 5-9221-0102-1.
Справочник содержит около 5200 обыкновенных дифференциальных уравнений с реше-
решениями (больше, чем любая другая книга). Особое внимание уделяется уравнениям общего вида,
которые зависят от произвольных функций. Приведены некоторые точные решения уравнений
нелинейной механики и теоретической физики (которые встречаются в задачах теплопровод-
теплопроводности, массопереноса, теории упругости, гидродинамики, теории колебаний, теории горения,
теории химических реакторов и др.). В ряде разделов указаны также асимптотические решения.
Кратко излагаются точные, асимптотические и приближенные методы решения уравнений
и задач теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Описаны свойства наиболее
распространенных специальных функций.
Справочник предназначен для широкого круга научных работников, преподавателей вузов,
инженеров и студентов, специализирующихся в различных областях математики, физики,
механики, теории управления и инженерных наук.
Табл. 30. Ил. 4. Библиогр. 66 назв.
Справочное издание
ЗАЙЦЕВ Валентин Федорович
ПОЛЯНИН Андрей Дмитриевич
СПРАВОЧНИК ПО ОБЫКНОВЕННЫМ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
Компьютерная верстка А. И. Журов, А. Д. Полянин
Формат 70 х 100/16. Гарнитура тайме. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 46,5.
Усл. изд. л. 53,5. Подписано к печати 21.02.2001. Тираж 0000 экз. Заказ №
ООО Издательская фирма «Физико-математическая литература»
113093, Москва, ул. Б. Серпуховская, д. 8/7, стр. 2; ЛР № 020297 от 27.11.1991
Отпечатано в типографии ППП «Наука» Академиздатцентра РАН.
121099, Москва, Шубинский пер., 6
© В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин, 2001
ISBN 5-9221-0102-1 © Физматлит, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 8
Некоторые обозначения и замечания 9
Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения 10
0.1. Уравнения первого порядка 10
0.1.1. Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и единственности . . 10
0.1.2. Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие методы
интегрирования 11
0.1.3. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель 13
0.1.4. Уравнение Риккати 14
0.1.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной 16
0.1.6. Приближенные аналитические методы решения уравнений 18
0.1.7. Численное интегрирование дифференциальных уравнений 19
0.2. Линейные уравнения второго порядка 20
0.2.1. Формулы для общего решения. Некоторые преобразования 20
0.2.2. Представление решений в виде ряда по независимой переменной 22
0.2.3. Асимптотические решения 23
0.2.4. Краевые задачи 26
0.2.5. Задачи на собственные значения 28
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка 31
0.3.1. Вид общего решения. Задача Коши 31
0.3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка 31
0.3.3. Методы регулярных разложений по независимой переменной и малому
параметру 33
0.3.4. Методы возмущений, используемые в механике и физике 35
0.3.5. Метод Галеркина и его модификации (проекционные методы) 41
0.3.6. Метод последовательных приближений и численные методы 43
0.4. Линейные уравнения произвольного порядка 44
0.4.1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами 44
0.4.2. Линейные уравнения с переменными коэффициентами 45
0.4.3. Асимптотические решения линейных уравнений 47
0.5. Нелинейные уравнения произвольного порядка 48
5.1.1. Вид общего решения. Задача Коши 48
0.5.2. Уравнения, допускающие понижение порядка 48
1. Уравнения первого порядка 50
1.1. Простейшие уравнения, содержащие произвольные функции, интегрируемые в
замкнутой форме 50
1.1.1. Уравнения вида у'х = /(ж) 50
1.1.2. Уравнения вида у'х = f(y) 50
1.1.3. Уравнение с разделяющимися переменными у'х = f(x)g(y) 50
1.1.4. Линейное уравнение д(х)ух = fi(x)y + /о(х) 50
1.1.5. Уравнение Бернулли g(x)yfx = fi(x)y + fn(x)yn 50
1.1.6. Однородное уравнение у'х = f(y/x) 50
1.2. Уравнение Риккати д(х)ух = J2{x)y2 + fi(x)y + /о(х) 51
1.2.1. Представление общего решения с помощью частного 51
1.2.2. Уравнения, содержащие степенные функции 51
1.2.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 56
Оглавление
1.2.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 59
1.2.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 60
1.2.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 61
1.2.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 64
1.2.8. Уравнения, содержащие произвольные функции 66
1.2.9. Некоторые преобразования 69
1.3. Уравнения Абеля второго рода 70
1.3.1. Уравнения вида уу'х — у = /(ж) 70
1.3.2. Уравнения вида уу'х = f(x)y + 1 82
1.3.3. Уравнения вида уу'х = fi(x)y + /0(ж) 83
1.3.4. Уравнения вида [gi(x)y -\- до(х)]ух = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 93
1.3.5. Некоторые уравнения первого и второго порядков, приводимые к уравнениям
Абеля второго рода 97
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 98
1.4.1. Уравнения Абеля первого рода у'х = /з(ж)?/3 + f2 (х)у2+ f\(x)y + /о (ж) .... 98
1.4.2. Уравнения вида (А22у2+А12ху+Ацх2+А0)у'х = В22у2+В12ху+Вцх2+В0 102
1.4.3. Уравнения вида (А22у2 + А\2ху + Ацх2 + А2у + А\х)у'х =
= В22у2 + В12ху + Вцх2 + В2у + Вхх 104
1.4.4. Уравнения вида (А22у2 + А\2ху + Ацх2 + А2у + А\х + А0)ух =
= В22у2 + В12ху + Вцх2 + В2у + Bix + Во 111
1.4.5. Уравнения вида (Азу3 + А2ху2 + А\х2у + Аох3 + а\у + аох)ух =
= В3у3 + В2ху2 + Bix2y + Box3 +biy + box 114
1.5. Уравнения вида f(x,y)yfx = д(х,у), содержащие произвольные параметры 118
1.5.1. Уравнения, содержащие степенные функции 118
1.5.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 121
1.5.3. Уравнения, содержащие гиперболические функции 124
1.5.4. Уравнения, содержащие логарифмические функции 126
1.5.5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 127
1.5.6. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических и
тригонометрических функций 128
1.6. Уравнения вида f(x,y,yfx) = 0, содержащие произвольные параметры 130
1.6.1. Уравнения второй степени относительно у'х 130
1.6.2. Уравнения третьей степени относительно у'х 135
1.6.3. Уравнения вида (у'х) = f(y) + д(х) 136
1.6.4. Другие уравнения 144
1.7. Уравнения вида f(x,y)y'x = д(х,у), содержащие произвольные функции 146
1.7.1. Уравнения, содержащие степенные функции 146
1.7.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные и гиперболические функции ... 147
1.7.3. Уравнения, содержащие логарифмические функции 149
1.7.4. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 150
1.7.5. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических и
тригонометрических функций 151
1.8. Уравнения вида f(x,y,y'x) = 0, содержащие произвольные функции 152
1.8.1. Отдельные уравнения 152
1.8.2. Некоторые преобразования 154
2. Уравнения второго порядка 156
2.1. Линейные уравнения второго порядка 156
2.1.1. Представление общего решения с помощью частного 156
2.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции 156
2.1.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 184
2.1.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 189
2.1.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 193
2.1.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 195
2.1.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 206
2.1.8. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических,
тригонометрических и других функций 211
Оглавление
2.1.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 218
2.1.10. Некоторые преобразования 224
2.2. Автономные уравнения ухх = F(y, y'x) 226
2.2.1. Уравнения вида ухх — у'х = f(y) 227
2.2.2. Уравнения вида ухх + f(y)yx +у = 0 230
2.2.3. Уравнения Льенарда ухх + f(y)yx + д[у) = 0 232
2.2.4. Уравнения Рэлея ухх + f(yx) + д(у) = 0 234
2.3. Уравнение Эмдена — Фаулера ухх = Ахпуш 236
2.3.1. Точные решения 236
2.3.2. Первые интегралы (законы сохранения) 241
2.3.3. Некоторые формулы и преобразования 243
2.4. Уравнения вида ухх = А1ХП1ут1 + А2хП2ут2 243
2.4.1. Классификационная таблица 243
2.4.2. Точные решения 246
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера ухх = Ахпут(ух) 263
2.5.1. Классификационная таблица 263
2.5.2. Точные решения 266
2.5.3. Некоторые формулы и преобразования 279
2.6. Уравнения вида ухх = AlXniymi (yx)h + А2хП2ут2(у'хI'2 281
2.6.1. Модифицированное уравнение Эмдена — Фаулера ?/"ж = Aix~1y'x+A2xnyrn 281
2.6.2. Уравнения вида ухх = {Aixniymi + А2хП2уШ2)(ухI 290
2.6.3. Уравнения вида ухх = аАхпут(ухI + Ахп-1угп+1{у'хI-1 314
2.6.4. Другие уравнения A\ ф Ь) 327
2.7. Уравнения вида ухх = f(x)g(y)h(yx) 331
2.7.1. Уравнения вида ухх = f(x)g(y) 331
2.7.2. Уравнения, содержащие степенные функции (h ф const) 333
2.7.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции (h ф const) 337
2.7.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции (h ф const) 340
2.7.5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции (h ф const) 341
2.7.6. Некоторые преобразования 341
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 342
2.8.1. Уравнения, содержащие степенные функции 342
2.8.2. Уравнения Пенлеве 347
2.8.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 352
2.8.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 357
2.8.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 359
2.8.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 361
2.8.7. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических
и тригонометрических функций 364
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 366
2.9.1. Уравнения вида F(x, у)ухх + G(x, у) = 0 366
2.9.2. Уравнения вида F(x, у)ухх + G(x, у)ух + Я(ж, у) = 0 371
м
2.9.3. Уравнения вида F(x,y)yxx + ? Ст(х,у)(ух)ш = 0 (М = 2,3,4) 374
т=0
2.9.4. Уравнения вида F(x, у, yfx)yxx + G(x, у,ух) = 0 376
2.9.5. Уравнения вида F(x, у, у'х, ухх) = 0 382
2.9.6. Уравнения общего вида, допускающие понижение порядка 383
2.9.7. Некоторые преобразования 385
3. Уравнения третьего порядка 388
3.1. Линейные уравнения 388
3.1.1. Предварительные замечания 388
3.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции 388
3.1.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 403
3.1.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции 407
3.1.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции 414
Оглавление
3.1.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 417
3.1.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции 427
3.1.8. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных, логарифмических,
тригонометрических и других функций 431
3.1.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 437
3.2. Уравнения вида Ух"хх = Аха у^у1^ {y'ix)S 445
3.2.1. Классификационная таблица 445
3.2.2. Уравнения вида уххх = Аур 451
3.2.3. Уравнения вида уххх = Ахаур 452
3.2.4. Уравнения при \*у\ + \8\ / 0 453
3.2.5. Некоторые преобразования 475
3.3. Уравнения вида уххх = f(y)g(y'x)h(yxx) 476
3.3.1. Уравнения, содержащие степенные функции 476
3.3.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 478
3.3.3. Другие уравнения 481
3.4. Нелинейные уравнения с произвольными параметрами 483
3.4.1. Уравнения, содержащие степенные функции 483
3.4.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 487
3.4.3. Уравнения, содержащие гиперболические функции 489
3.4.4. Уравнения, содержащие логарифмические функции 491
3.4.5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 493
3.5. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные функции 495
3.5.1. Уравнения вида F(x,y)y'xxx + G(x,y) = О 495
3.5.2. Уравнения вида F(x, у, у'х)уххх + G(x, y,y'x) = 0 496
3.5.3. Уравятия вида F(x, у, у'^у'^ + G(x, у, у'^у'^ + Н(х, у, у'х) = 0 500
3.5.4. Уравнения вида F(x,y,yx)yx"xx + ?<?«(*, у, yiXyi'*)* =0 503
a
3.5.5. Уравнения вида F(x, у, ух,ухх)уххх + G(x,y,y'x,yxx) = 0 505
4. Уравнения четвертого порядка 507
4.1. Линейные уравнения 507
4.1.1. Предварительные замечания 507
4.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции 507
4.1.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные, гиперболические и
логарифмические функции 513
4.1.4. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 515
4.1.5. Уравнения, содержащие произвольные функции 516
4.2. Нелинейные уравнения 519
4.2.1. Уравнения, содержащие степенные функции 519
4.2.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные, логарифмические и
тригонометрические функции 521
4.2.3. Уравнения, содержащие произвольные функции 522
5. Уравнения более высоких порядков 527
5.1. Линейные уравнения 527
5.1.1. Предварительные замечания 527
5.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции 527
5.1.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 532
5.1.4. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 533
5.1.5. Уравнения, содержащие произвольные функции 534
5.2. Нелинейные уравнения 537
5.2.1. Уравнения, содержащие степенные функции 537
5.2.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции 541
5.2.3. Уравнения, содержащие гиперболические функции 541
5.2.4. Уравнения, содержащие логарифмические функции 543
5.2.5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции 544
5.2.6. Уравнения, содержащие произвольные функции 545
Оглавление
Приложения 553
П.1. Элементарные функции и их свойства 553
П. 1.1. Тригонометрические функции 553
П. 1.2. Гиперболические функции 555
П. 1.3. Обратные тригонометрические функции 557
П. 1.4. Обратные гиперболические функции 558
П.2. Специальные функции 559
П.2.1. Некоторые символы и коэффициенты 559
П.2.2. Интеграл вероятностей и интегральная показательная функция 560
П.2.3. Интегральный синус и интегральный косинус. Интегралы Френеля 561
П.2.4. Гамма-функция. Бета-функция 562
П.2.5. Неполные гамма-функции 563
П.2.6. Функции Бесселя 564
П.2.1. Модифицированные функции Бесселя 567
П.2.8. Вырожденные гипергеометрические функции 568
П.2.9. Гипергеометрические функции 570
П.2.10. Функции Лежандра 571
П.2.11. Ортогональные многочлены 572
Список литературы 575
ПРЕДИСЛОВИЕ
Точные решения (в замкнутом виде) дифференциальных уравнений всегда играли и про-
продолжают играть огромную роль в формировании правильного понимания качественных осо-
особенностей многих явлений и процессов в различных областях естествознания. Эти решения
часто используются в качестве «тестовых задач» для проверки корректности и оценки точности
различных асимптотических, приближенных и численных методов.
В книге описано более 5200 обыкновенных дифференциальных уравнений с решениями.
При отборе материала авторы отдавали наибольшее предпочтение следующим двум важным
типам уравнений.
1. Уравнения, которые традиционно привлекали внимание многих исследователей, — уравне-
уравнения наиболее простого внешнего вида, но представляющие большие трудности для инте-
интегрирования (уравнения Абеля, Эмдена — Фаулера и др.).
2. Уравнения, которые встречаются в различных приложениях (в теории тепломассопереноса,
теории упругости, нелинейной механике, гидродинамике, теории нелинейных колебаний,
теории горения, теории химических реакторов и др.).
Особое внимание уделяется уравнениям общего вида, которые зависят от произвольных
функций. Остальные уравнения содержат один или более свободных параметров (фактически в
книге рассматриваются сразу целые семейства обыкновенных дифференциальных уравнений),
значения которых можно фиксировать по усмотрению читателя. Многие точные решения полу-
получены за счет применения новых методов теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
Описаны некоторые новые разрешимые уравнения и указаны полезные преобразования. В ряде
разделов приведены асимптотические решения уравнений нелинейной механики и теоретиче-
теоретической физики. В целом, справочник содержит больше обыкновенных дифференциальных урав-
уравнений, чем любые другие книги.
Для удобства читателей во введении даны некоторые определения и кратко описаны точные,
асимптотические и приближенные методы решения уравнений и задач теории обыкновенных
дифференциальных уравнений. Приведены формулировки теорем существования и единствен-
единственности решений. Рассмотрены линейные задачи на собственные значения. В конце книги имеется
приложение, где описаны свойства наиболее распространенных специальных функций.
Расположение уравнений внутри всех разделов отвечает принципу «от простого к сложно-
сложному». Это существенным образом облегчает работу с материалом. Достаточно подробное огла-
оглавление поможет читателю находить искомые уравнения.
При составлении книги широко использовались справочники Э. Камке A976), М. Мерфи
(Murphy, 1960), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A995, 1997); ссылки на них обычно опускаются.
Отдельные разделы книги могут быть использованы в качестве основы для проведения
практических занятий и лекций по обыкновенным дифференциальным уравнениям.
Авторы благодарны А. И. Журову за неизменную и многообразную помощь при написании
этой книги и признательны В. Ф. Журавлеву и А. П. Горячеву за ценные замечания. Авторы
особо признательны А. Мусьё (A. Moussiaux), протестировавшему ряд решений, что позволило
устранить отдельные неточности и опечатки.
Авторы надеются, что справочник окажется полезным для широкого круга научных работ-
работников, преподавателей вузов, инженеров и студентов, специализирующихся в области приклад-
прикладной математики, механики, физики, теории управления и инженерных наук.
В. Ф. Зайцев
А. Д. Полянин
НЕКОТОРЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И ЗАМЕЧАНИЯ
1. При записи исходных дифференциальных уравнений независимое переменное обознача-
обозначается через ж, а искомая функция — через у. В приведенных решениях произвольные постоянные
интегрирования обозначаются С, Со, С\, Сг, • • .Часто решение записывается в параметриче-
параметрическом виде (см., например, разд. 1.3.1, 2.3.1).
2. Обозначения производных:
/ dy ,, d2y m dsy „„ d4y rn) dny
ух = -^, ухх = ^-, уххх = ^з-, ухххх = -^-; уУ = ^г при п > 5-
3. Краткие обозначения частных производных:
fx = %> fv = %' 9x = %' 9v = %' где * = Кх'у)> 9 = д{х,у).
(d \n
f— ) д, которое действует
dx /
следующим образом:
5. В некоторых разделах книги (см., например, 1.3, 2.3-2.6, 3.2-3.3) для компактности
изложения используется сокращенная запись решений, содержащая знаки "±" и "=р." Такие
решения описываются двумя формулами — первая соответствует верхним знакам, а вторая —
нижним знакам. Например, решение уравнения 1.3.1.16 можно записать в параметрическом виде
х = af'1 ехр(=рг2), у = af'1 [ехр(=рг2) ± 2т/], где / = Г ехр(=рг2) dr-C, A = т2а2.
Эта запись означает, что решения уравнения 1.3.1.16 описываются двумя формулами:
2а2
x = af 1ехр(-т2), у = af х [ехр(-т2) + 2т/], где /=/ ехр(-т2) dr - С, А = -
(соответствует верхним знакам) и
ж = а/ехр(т2), y = af~1[exp(r2) -2т/], где / = Г ехр(т2) dr - С, А = 2а2.
(соответствует нижним знакам).
6. Для сравнения функций / = /(е) и д = д(е), где е — малый параметр, используется
символ порядка О. Запись / = О(д) означает, что величина \f/g\ ограничена при е —>- 0.
fix)
7. В формулах, содержащих выражения типа —^-, часто не оговаривается, что а ф 2.
а — 2
8. В решениях комбинации вида ipn(x) = xn+1 обычно можно доопределять при
п = — 1 по правилу: cp-i(x) = In |ж|. Это связано с тем, что такие комбинации появляются в
результате интегрирования степенной функции: ipn(x) = / хп dx.
9. При ссылках в тексте на конкретные уравнения запись вида «4.1.2.5» означает «уравне-
«уравнение 5 из раздела 4.1.2».
Введение. Некоторые определения, уравнения,
методы и решения
0.1. Уравнения первого порядка
0.1.1. Общие понятия. Задача Коши. Теоремы существования и
единственности
0.1.1-1. Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение* первого порядка, разрешенное относительно про-
производной, имеет вид
Ух=/(х,у). A)
Иногда его записывают с помощью дифференциалов: dy = f(x,y)dx.
Решением дифференциального уравнения называется функция г/(ж), которая при подста-
подстановке в уравнение обращает его в тождество. Общим решением дифференциального уравнения
называется совокупность всех его частных решений. В ряде случаев общее решение удается
записать в виде функции у = <р(х,С), зависящей от одной произвольной постоянной С; при
конкретных значениях С эта функция определяет конкретные решения уравнения (частные
решения). На практике чаще встречается запись общего решения в неявном виде Ф(ж, г/, С) =0
или в параметрической форме: х = x(t,C), у = y(t,C).
Геометрически общее решение (общий интеграл) представляет собой семейство кривых
на плоскости ху, зависящих от одного параметра С; эти кривые называются интегральными
кривыми данного уравнения. Частному решению (частному интегралу) соответствует одна
кривая семейства, проходящая через заданную точку плоскости.
Уравнение у'х = /(ж, г/) для каждой точки (ж, г/) определяет значение у'х, т. е. угловой
коэффициент касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку (задает поле
направлений на плоскости ху). Задача решения дифференциального уравнения первого порядка
с геометрической точки зрения состоит в нахождении кривых, направление касательных к
которым совпадает с направлением поля в соответствующих точках.
0.1.1-2. Задача Коши. Теоремы существования и единственности.
1°. Задача Коши: требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее начальному ус-
условию
у = уо при х = х0. B)
Геометрический смысл задачи Коши: надо найти интегральную кривую уравнения A),
проходящую через точку (жо, г/о).
Условие B) часто записывают в виде г/(жо) = г/о или y\x=XQ = г/о.
2°. Теорема существования (теорема Пеано). Пусть функция /(ж, г/) непрерывна в открытой
области D плоскости ху. Тогда через каждую точку (жо,г/о) области D проходит по крайней
мере одна интегральная кривая уравнения A), и каждая из этих кривых может быть продолжена
в обе стороны вплоть до границы любой замкнутой области, целиком содержащейся в D и
содержащей точку (жо, у о) внутри себя.
3°. Теорема единственности. Пусть функция /(ж, г/) непрерывна в открытой области D и
имеет там ограниченную частную производную по у (или выполняется условие Липшица:
|/(ж, у) — /(ж, z)\ ^ М\у — z\, где М — некоторая положительная константа). Тогда существует
единственное решение уравнения A), удовлетворяющее условию B).
* Обыкновенное дифференциальное уравнение далее часто будем называть «дифференциальное урав-
уравнение» или более кратко — «уравнение».
0.1. Уравнения первого порядка 11
0.1.1-3. Уравнения, не разрешенные относительно производной. Теорема существования.
В общем случае уравнения, не разрешенные относительно производной, имеют вид
F(x,y,y'x) = 0. C)
Теорема существования и единственности. Существует единственное решение у = у(х)
уравнения C), удовлетворяющее условиям y\x=XQ = у0 и ух\х=Хо = to, где to — один из
действительных корней уравнения F(xo,yo,to) = 0, если в некоторой окрестности точки
(жо, 2/о, to) выполнены условия:
1) функция F(x, у, t) —непрерывна по всем трем аргументам;
2) частная производная Ft существует и отлична от нуля;
3) существует ограниченная по модулю частная производная Fy: \Fy\ ^ М.
Указанное решение существует при \х—хо | ^ а, где а > 0 — некоторое (достаточно малое) число.
0.1.1-4. Особые решения.
1°. Точки (ж, у), в которых нарушается единственность решений уравнения C), называются
особыми. Если удовлетворяются условия 1) и 3) теоремы существования и единственности, то
в особых точках должны одновременно выполняться равенства
F(x,y,t) = 0, Ft(x,y,t) = 0, D)
которые представляют собой параметрическую запись t-дискриминантной кривой. Исключая
из D) параметр t, в ряде случаев можно получить уравнение этой кривой в неявном виде
Ф(ж, у) = 0. Если какая-нибудь ветвь у = ф(х) кривой Ф(ж, у) = 0 состоит из особых точек и
одновременно является интегральной кривой, то она называется особой интегральной кривой,
а функция у = ф(х) — особым решением уравнения C).
2°. Особые решения можно найти путем определения огибающей семейства интегральных
кривых Ф(х,у,С) = 0 уравнения C). Огибающая входит в состав С-дискриминантной кривой,
которая задается уравнениями
Ф(х,у,С) = 0, Фс(х,у,С) = 0.
Некоторая ветвь С-дискриминантной кривой будет огибающей, если на ней:
1) существуют ограниченные по модулю частные производные: |ФЖ| < Mi, \ФУ\ < Мъ',
|| ||/
® Литература к разд. 0.1.1: В. В. Степанов A958), И. Г. Петровский A970), Э. Камке A976), А. Н. Ти-
Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников A980), Г. Корн, Т. Корн A984).
0.1.2. Уравнения, разрешенные относительно производной. Простейшие
методы интегрирования
0.1.2-1. Уравнения с разделенными и разделяющимися переменными.
1°. Уравнения с разделенными переменными имеют вид
f{y)y'x =я(х).
Эквивалентная запись уравнения: f(y) dy = g(x) dx (правая часть уравнения зависит только от
х, а левая — только от у). Общее решение получается почленным интегрированием:
где С — произвольная постоянная.
2°. Уравнения с разделяющимися переменными имеют вид
fi(y)gi(x)yx = f2(y)g2(x).
Делим обе части на f2(y)gi(x). В результате приходим к уравнению с разделенными перемен-
переменными. После интегрирования получим
Замечание. При почленном делении уравнения на f2(y)gi(x) могут быть потеряны реше-
решения, обращающие функцию /2 (у) в нуль.
12 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.1.2-2. Уравнение вида у'х = f(ax + by).
Замена z = ах + by приводит данное уравнение к уравнению с разделенными переменными
z'x = bf(z) + а, см. разд. 0.1.2-1.
0.1.2-3. Однородные уравнения и приводящиеся к ним.
1°. Однородные уравнения не меняются при одновременном растяжении (сжатии) независимой
и зависимой переменных по правилу: х —»¦ ах, у —»¦ ау, где а — произвольная постоянная
(а ф 0). Они могут быть записаны в виде
Замена и = ?//ж приводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными
хи'х = f(u) — ui см- разд. 0.1.2-1.
2°. К однородному уравнению приводится уравнение
V а2
2х + Ь2у + с2 / '
При а\х -\-b\y ф к(п2Х + Ь2у) надо перейти к новым переменным ^ = х — хо, т] = у — у о, где
постоянные хо и уо определяем путем решения линейной алгебраической системы
сцхо + biyo + с\ = 0,
Й2Жо + &2|/0 + С2 = 0.
В результате для функции г\ = г](?) получим уравнение
/€
Последнее после деления числителя и знаменателя аргумента функции / на ? принимает вид
однородного уравнения, правая часть которого зависит только от отношения переменных т//?.
При а\х -\-b\y = к(п2Х + 622/) см. уравнение из разд. 0.1.2-2.
0.1.2-4. Обобщенно-однородные уравнения и приводящиеся к ним.
1°. Обобщенно-однородные уравнения не меняются при одновременном растяжении (сжатии)
независимой и зависимой переменных по правилу: х —»¦ ах, у ^ аку, где а ф 0 — произвольная
постоянная, а А; — некоторое число. Они могут быть записаны в виде
/ к — 1 е( —к\
Ух=х f(yx ).
Замена и = ух~к приводит обобщенно-однородное уравнение к уравнению с разделяющимися
переменными хих = f(u) — ки, см. разд. 0.1.2-1.
2°. К обобщенно-однородному уравнению сводится уравнение
Ух =Vf(eXxy).
Для этого надо сделать замену z = ех и положить Л = — к.
0.1.2-5. Линейное уравнение.
Линейное уравнение первого порядка имеет вид
Ух +f(?)y = g(x).
Решение ищем в виде произведения у = uv, где функция v = v(x) удовлетворяет «укороченному»
уравнению v'x + f(x)v = 0 [в качестве такой функции можно взять частное решение v = e~F,
где F = J f(x) dx]. Для функции и = и(х) получим уравнение с разделяющимися переменными
v(x)u'x = g(x). Интегрируя уравнение для и, находим общее решение
где
= Jf(x)dx
0.1. Уравнения первого порядка 13
0.1.2-6. Уравнение Бернулли.
Уравнение Бернулли имеет вид
y'x+f(x)y = g(x)ya, а / 0, 1.
Подстановка z = у1~а приводит его к линейному уравнению z'x + A — a)f{x)z = A — a)g(x),
которое рассматривается в разд. 0.1.2-5. Учитывая сказанное, получим общий интеграл
ух-а = Ce~F + (l-a)e~F feFg(x)dx, где F = A - а) Г f(x) dx.
0.1.2-7. Уравнение вида ху'х = у + f(x)g(y/x).
Замена и = у/х приводит данное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными
х2их = f{x)g[u), см. разд. 0.1.2-1.
0.1.2-8. Уравнение Дарбу.
Уравнение Дарбу можно записать в виде
Если сделать подстановку у = xz(x), а затем принять z за независимое переменное, то получим
уравнение Бернулли из разд. 0.1.2-6:
[g(z)-zf(z)]x'z=xf(z) + xa+1h(z).
® Литература к разделу 0.1.2: В. В. Степанов A958), А. Ф. Филиппов A970), Н. М. Матвеев A970),
Э. Камке A976), М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко A978), А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева,
А. Г. Свешников A980), D. Zwillinger A989), A. Moussiaux A996).
0.1.3. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
0.1.3-1. Уравнение в полных дифференциалах.
Уравнение в полных дифференциалах имеет вид
f(x,y)dx + g(x,y)dy = 0, где — = -^-.
Левая часть этого уравнения представляет собой полный дифференциал некоторой функции
двух переменных U(x,y).
Общий интеграл: U(x, у) = С, где функция U определяется из системы
dU _ dU _
дх ' ду
Интегрируя первое уравнение, имеем U = J f(x,y) dx + Ф(г/) (при интегрировании переменная
у рассматривается как параметр). Подстановка этого выражения во второе уравнение позволяет
найти функцию Ф (а затем и функцию U). В итоге общий интеграл уравнения в полных
дифференциалах можно представить в виде
гх гу
где ж о и у о — произвольные числа.
0.1.3-2. Интегрирующий множитель.
Интегрирующим множителем для уравнения
f(x,y)dx + g(x,y)dy = 0
называется такая функция /л(х,у) ф 0, после умножения на которую левая часть этого
уравнения становится полным дифференциалом (а само уравнение — уравнением в полных
дифференциалах).
14
Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
ТАБЛИЦА 1
Интегрирующий множитель \i = fi(x,y) для некоторых типов обыкновенных
дифференциальных уравнений / dx + g dy = 0, где / = f(x,y), g = д(х,у)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Условия на функции / и д
/ - y(f{xy), g - xip(xy)
fx — #t/' Л/ — ~#ж
А^ = ф)
^ = ч>{у)
L^f- = Ф + у)
^^%=?>(a;2+S/2)
xg—yf ^v у у
fy-9x= ^(ж)# - ^Ы/
Интегрирующий множитель
^ "" xf-yg
^= Р+д'2
ц = exp [f (p(x) dx]
li = ехтр[-f (p(y) dy]
ti = exp[f(p(z)dz], z = x + y
fi = exip[f(p(z)dz], z = xy
A* - exp [ f ip(z)dz], z - I
V = exP [t / v(z) dz\ i z = x2+v2
li = exp [/ ч>(х) dx + / ip(y) dy]
V = exp[/ ip{uj) du]
Замечания
xf -yg^ 0;
(f(z), ip(z) —любые функции
/ + ig — аналитическая функция
комплексного переменного х + гу
(f(x) —любая функция
(f(y) —любая функция
(p(z) —любая функция
(f(z) —любая функция
(f(z) —любая функция
(p(z) —любая функция
(f(x), ip(y) —любые функции
uj = ш(х,у) —любая функция
двух переменных
Интегрирующий множитель удовлетворяет уравнению с частными производными первого
порядка
f (
У dx J dy \dy dx
решить которое, вообще говоря, не проще, чем исходное уравнение.
В табл. 1 указаны некоторые частные случаи, когда можно найти явный вид интегрирую-
интегрирующего множителя.
® Литература к разделу 0.1.3: В. В. Степанов A958), А. Ф. Филиппов A970), Н. М. Матвеев A970),
Э. Камке A976), М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко A978), А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева,
А. Г. Свешников A980), D. Zwillinger A989), A. Moussiaux A996).
0.1.4. Уравнение Риккати
0.1.4-1. Общее уравнение Риккати. Простейшие случаи интегрирования.
Общее уравнение Риккати имеет вид
y'x=f2(x)y2 + fi(x)y + f0(x). A)
При /г = 0 оно вырождается в линейное уравнение (см. разд. 0.1.2-5), а при /о = 0 — в уравнение
Бернулли (см. разд. 0.1.2-6 при а = 2). При произвольных функциях /2, /i, /о уравнение Риккати
в квадратурах не интегрируется.
Ниже указаны некоторые частные случаи, когда уравнение Риккати интегрируется в ква-
квадратурах.
1°. Функции /2, /i, /о пропорциональны:
у'х =(р(х)(ау2 + Ъу + с),
где а, 6, с — константы. Это уравнение с разделяющимися переменными, см. разд. 0.1.2-1.
0.1. Уравнения первого порядка 15
2°. Уравнение Риккати
Ух =а^+Ъ^-
X2 X
является однородным, см. разд. 0.1.2-3.
3°. Уравнение Риккати
у'х = ахпу2 Н у + сх~п~2
х
является обобщенно-однородным, см. разд. 0.1.2-4 (при к = — п— 1). Замена z = хп+1у приводит
его к уравнению с разделяющимися переменными xz'x = az2 + (b + п + l)z + с.
4°. Уравнение Риккати
ух = ах у -\ у + сх
с помощью подстановки у = xm~nz приводится к уравнению с разделяющимися переменными
x-n-mzx =az2 +c.
О других уравнениях Риккати, интегрируемых в квадратурах, см. разд. 1.2.
0.1.4-2. Полиномиальные решения уравнения Риккати.
Пусть /2 = 1, a fi(x) и /о(ж) —многочлены. Если степень многочлена А = f2 — 2(fi)'x — 4/o
нечетна, то уравнение Риккати не может иметь полиномиального решения. Если А имеет
четную степень, то рассматриваемому уравнению могут удовлетворить лишь многочлены
где [л/А] означает целую рациональную часть разложения у/А по убывающим степеням х
(так, например, [у/х2 — 2х + 3] = х — 1).
0.1.4-3. Использование частных решений для построения общего решения.
1°. Пусть известно частное решение уравнения Риккати уо = уо(х). Тогда общее решение
находится по формуле
у = уо(х) + Ф(х) [С- I Ф(х)/2(х) dx\~\
где
Ф(х) = ехр|У [2/2(ж)г/0(ж) + fi(x)] dx}.
Частному решению г/о (ж) соответствует значение С = оо.
2°. Пусть у\ = у\{х) и ?/2 = ?/2(х) —два различных частных решения уравнения A). Тогда
общее решение можно найти по формуле:
У= Сс
Частному решению yi(x) соответствует значение С = оо, а решению г/2 (ж) —значение G = 0.
3°. Пусть у\ = г/1 (ж), 2/2 = 2/2 (ж), 2/з = г/з(ж) —три различных частных решения уравнения A).
Тогда общее решение находится без квадратур:
2/ ~ 2/2 2/з~2/1 _ ?
2/ - 2/1 2/3-2/2
Это означает, что уравнение Риккати имеет фундаментальную систему решений.
0.1.4-6. Некоторые преобразования.
1°. Преобразование (<^, ф\, гр2, фз, Фа —произвольные функции)
переводит общее уравнение Риккати в уравнение Риккати для функции и = и(?).
2°. Пусть 2/о = 2/о (ж) —частное решения уравнения A). Тогда замена 2/ = 2/о + 1/г^ приводит
к линейному уравнению для функции w = w(x):
wx + [2/2(жJ/о(ж) + fi(x)]w + /2(ж) = 0.
О его решении см. в разд. 0.1.2-5.
16
Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.1.4-5. Приведение уравнения Риккати к линейному уравнению второго порядка.
Преобразование
и{х) = ехр(- / f2ydx)
приводит общее уравнение Риккати к линейному уравнению второго порядка
huL - [(/2)'* + /1/2К + /0/22^ = 0>
которое часто решается проще, чем исходное уравнение A).
0.1.4-6. Приведение уравнения Риккати к канонической форме.
1°. Общее уравнение Риккати A) с помощью преобразования
где
приводится к канонической форме
Здесь функция Ф определяется формулой
B)
C)
штрих обозначает производную по ?.
Преобразование B) зависит от функции ср = <р(?), которая может быть произвольной.
Поэтому исходное уравнение Риккати за счет выбора различных функций ср в B) порождает
различные функции Ф в уравнении C). [На практике чаще всего используется преобразование
B) с
2°. В частном случае, когда исходное уравнение имеет каноническую форму
преобразование B) принимает вид
и приводит к уравнению C), в правой части которого стоит функция
k 2
Если исходное уравнение интегрируется в квадратурах, то за счет выбора различных
функций ср можно получить различные интегрируемые уравнения вида C). В разделе 1.2.9
указаны некоторые преобразования уравнения Риккати для конкретных функций ср.
® Литература к разд. 0.1.4: В. В. Степанов A958), G. M. Murphi A960), Э. Камке A976), В. Ф. Зайцев,
А. Д. Полянин A995).
0.1.5. Уравнения, не разрешенные относительно производной
0.1.5-1. Метод «интегрирования посредством дифференцирования».
A)
В общем случае уравнение, не разрешенное относительно производной
F(x,y,y'x)=0
представим в эквивалентном виде
F(x,y,t) = 0, t = y'x. B)
Ищем решение в параметрической форме х = x(t), у = y(t). Учитывая первое соотношение B),
найдем дифференциал функции F:
Fx dx + Fydy + Ft dt = 0.
C)
0.1. Уравнения первого порядка 17
Используя связь dy = t dx, исключим последовательно dy и dx в выражении C). В результате
приходим к системе двух дифференциальных уравнений
dx = Ft dy = tFt ()
dt Fx + tFy dt Fx+tFy' У J
Если удается решить эту систему, то решение исходного уравнения A) получается в
параметрической форме х = x(t), у = y(t).
Замечание 1. При использовании данного метода возможна потеря отдельных решений
(этот вопрос надо исследовать дополнительно).
0.1.5-2. Уравнения вида у = f(y'x).
Это уравнение является частным случаем уравнения A) при F(x,y,t) = у — f(t). Процедура,
описанная в разд. 0.1.5-1, приводит к уравнениям
dt t ' " '-'• E)
Здесь вместо второго уравнения системы D) использовано исходное уравнение (так можно
делать поскольку первое уравнение системы не зависит от у).
Интегрируя первое уравнение E), получим решение в параметрическом виде
0.1.5-3. Уравнения вида х = f(y'x
Это уравнение является частным случаем уравнения A) при F(x,y,t) = х — f(t). Процедура,
описанная в разд. 0.1.5-1, приводит к уравнениям
х = т' it= tf{t)- F)
Здесь вместо первого уравнения системы D) использовано исходное уравнение (так можно
делать поскольку второе уравнение системы не зависит от х).
Интегрируя второе уравнение F), получим решение в параметрическом виде
= /(*), у = jtf\t)dt
0.1.5-4. Уравнение Клеро у = ху'х + f(y'x).
Уравнение Клеро является частным случаем уравнения A) при F(x,y,t) =y — xt — f(t) и может
быть записано в виде
y = xt + f(t), t = y'x. G)
Заменяя в равенстве dy = y'x dx величины dy и у'х их значениями из G), приходим к уравнению
[ая-/'(*)]* = 0,
которое распадается на два уравнения: dt = 0 и х + f'(t) = 0. Решение первого очевидно:
t = С. Оно дает общее решение уравнения Клеро
у = Сх + f(C), (8)
представляющее собой семейство прямых. Второе уравнение дает решение в параметрической
форме
* = -/'(*). y = -tf'(t) + f(t),
которое является особым и представляет собой огибающую семейства прямых (8).
2 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
18 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.1.5-5. Уравнение Лагранжа у = xf(y'x) + д(у'х)-
Уравнение Лагранжа является частным случаем уравнения A) при F(x, y,t) =y — xf(t) — g(t).
В частном случае f(t) = t оно совпадает с уравнением Клеро (см. разд. 0.1.5-4).
Процедура, описанная в разд. 0.1.5-1, приводит к уравнениям
Здесь вместо второго уравнения системы D) использовано исходное уравнение (так можно
делать поскольку первое уравнение системы не зависит от у).
Первое уравнение системы (9) является линейным. Его общее решение имеет вид
х = <p(t)C + ip(t) (функции (риф определяются по формулам из разд. 0.1.2-5). Подставляя это
выражение во второе равенство (9), находим общее решение уравнения Лагранжа в параметри-
параметрической форме
х = <p(t)C + 1>(t), у = [p(t)C + i>(t)]f(t) + g(t).
Замечание 2. Данный метод может привести к потере решений вида у = tkX + g(tk), где
tk —корни уравнения f(t) — t = 0. Эти решения могут быть как частными, так и особыми.
® Литература к разд. 0.1.5: В. В. Степанов A958), G. M. Murphi A960), Э. Камке A976).
0.1.6. Приближенные аналитические методы решения уравнений
0.1.6-1. Метод последовательных приближений (метод Пикара).
Метод последовательных приближений состоит из двух этапов. На первом этапе задача Коши
Ух = f(x,y) (уравнение), A)
у(хо) = у о (начальное условие) B)
сводится к эквивалентному интегральному уравнению
у(х) = уо+ Г f(t,y(t))dt. C)
Затем решение уравнения C) ищется с помощью последовательных приближений по формуле
Уп+1(х)=уо+ Г f(t,yn(t))dt; п = 0, 1, 2, ...
Jx0
Выбор начального приближения г/о (ж) безразличен; проще всего за начальное приближение
взять число уо. Указанный процесс сходится при п —»¦ оо, если выполнены условия теорем из
разд. 0.1.1-2.
0.1.6-2. Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной.
Решение задачи Коши A)-B) можно искать в виде ряда Тейлора по степеням разности (ж — хо):
у(х) = у(хо) + у'хЫ(х - х0) + У"х^о) (х - хоJ + ... D)
Первый коэффициент у(хо) в решении D) задается начальным условием B). Последующие
значения производных искомой величины в точке х = ж о определяются из уравнения A) и
его следствий (полученных путем последовательного дифференцирования уравнения) с учетом
начального условия B). В частности, полагая в уравнении A) х = хо и подставляя значение B),
находим значение первой производной:
Ух(хо) = /(жо,2/о). E)
Дифференцируя далее уравнение A), имеем
У хх = fx(x,y) + fy(x,y)y'x. F)
Подставив в правую часть этого равенства х = хо, начальное условие B) и первую производную
E), вычислим значение второй производной:
Ухх(хо) = fx(xo,yo) + f(xo,yo)fy(xo,yo).
Подобным образом определяются и последующие производные искомой величины при х = хо.
Полученное данным методом решение D) обычно можно использовать лишь в некоторой
(достаточно малой) окрестности точки х = xq.
0.1. Уравнения первого порядка 19
0.1.6-3. Метод регулярного разложения по малому параметру.
Рассмотрим уравнение общего вида с параметром е:
y'x = f(x,y,e). G)
Пусть функция / может быть представлена в виде степенного ряда по параметру е:
оо
/(*,»,?) = !>"/» (*,»)• (8)
п=0
Решение задачи Коши для уравнения G) с начальным условием B) при е —»¦ 0 ищут в виде
регулярного разложения по степеням малого параметра:
оо
i/ = 5>nYn(x). (9)
п=0
Выражение (9) подставляют в уравнение G) с учетом представления (8). Затем функции
fn разлагают в ряд по малому параметру и собирают члены при одинаковых степенях е.
Приравнивая выражения при одинаковых степенях малого параметра в правой и левой частях
полученного равенства, приходят к системе уравнений для функций Yn:
Уо' = /о(ж,Уо), (Ю)
Y{=g{x,Y0)Yl+h{x,Y0), g[x,y) = ^-. A1)
ду
Здесь выписаны только первые два уравнения, штрихом обозначены производные по ж. Началь-
Начальные условия для функций Yn получаются из B) с учетом разложения (9):
Yq{xq) = г/о, Yi(x0) = 0.
Успех применимости данного метода, в первую очередь, определяется возможностью по-
построить решение уравнения (9) для главного члена разложения Yq. Важно отметить, что осталь-
остальные члены разложения Yn при п ^ 1 описываются линейными уравнениями с однородными
начальными условиями.
Замечание 1. В разд. 0.3.3-2 приведен пример решения задачи Коши методом регулярного
разложения для уравнения второго порядка (там же обсуждаются характерные особенности
этого метода).
Замечание 2. Для решения задач, описываемых дифференциальными уравнениями пер-
первого порядка с малым параметром, используются также методы растянутых координат, двух-
масштабных разложений и сращиваемых асимптотических разложений. Основные идеи этих
методов излагаются в разд. 0.3.4.
® Литература кразд. 0.1.6: G. M. Murphi A960), А. Ф. Филиппов A970), Н. С. Бахвалов A973), Э. Камке
A976), М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко A978), Г. Корн, Т. Корн A984).
0.1.7. Численное интегрирование дифференциальных уравнений
0.1.7-1. Метод ломаных Эйлера.
Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения первого порядка
Ух = f(x,y)
с начальным условием у(хо) = г/о- Требуется найти приближенное решение уравнения у = г/(ж)
на отрезке [жо, ж*].
Разделим отрезок [жо,ж*] на п равных частей длиной Аж = — —. Будем искать
приближенные значения г/i, г/2, ..., уп функции г/(ж) в точках деления xi, жг, ..., хп = ж*.
При заданном начальном условии г/о = г/(жо) значения искомой величины г/& = у(хк) в
остальных точках Хк = жо + к Ах при достаточно малом А ж последовательно вычисляются по
формуле
Ук+i =Ук + f(xk,yk)Ax (ломаная Эйлера),
где & = 0, 1, ...,п — 1. Метод Эйлера является одношаговым методом первого порядка
точности (относительно шага Аж).
20 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.1.7-2. Одношаговые методы второго порядка точности.
Два одношаговых метода решения задачи Коши второго порядка точности определяются
рекуррентными формулами:
Ук + 1 =Ук+ f(xk + тгДж, Ук + \
Ук+i =Ук + \[fk + /Ofc+i, yk + fkAx)]Ax,
где fk = f(xk,yk); к = 0, 1, ..., п - 1.
0.1.7-3. Метод Рунге — Кутты четвертого порядка точности.
Этот метод получил широкое распространение. Искомые значения у к последовательно вычи-
вычисляются по формулам
Ук+i = Ук + |(/i + 2/2 + 2/з + /4)Аж,
где использованы краткие обозначения
2/fe), /2 = /(xfc + |Дж, ук + !
/з = f{xk + iАж, j/fe + у/2Дж), /4 = /(ж* + Ах, j/fe + /3Аж).
Замечание 1. Все методы, описанные в разд. 0.1.7, являются частными случаями метода
Рунге — Кутты (этот метод излагается в книгах, указанных ниже в списке литературы).
Замечание 2. На практике вычисления проводят по любой из приведенных выше рекур-
рекуррентных формул с двумя разными шагами Ах и -|-Дж, где малая величина Ах выбрана про-
произвольно. Затем сравнивают результаты в общих точках. Если в пределах заданной точности
результаты совпадают, то считают, что выбранный шаг Ах обеспечивает заданную точность
вычисления. Если результаты в пределах заданной точности не совпадают, то шаг уменьшают в
два раза и проводят вычисления с шагами \Ах и \Ах и опять сравнивают результаты и т. д.
(Нередко сравнивают результаты вычислений с шагами, различающимися в десять и более раз.)
® Литература к разд. 0.1.7: Н. С. Бахвалов A973), Э. Камке A976), Г. Корн, Т. Корн A984).
0.2. Линейные уравнения второго порядка
0.2.1. Формулы для общего решения. Некоторые преобразования
0.2.1-1. Линейные однородные уравнения. Различные представления общего решения.
1°. Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка общего вида
h{x)V'lx + h{x)y'x + f0{x)y = Q. A)
Линейное однородное уравнение имеет тривиальное решение у = 0.
Пусть yi(x) и ?/2(х) — фундаментальная система решений (нетривиальные линейно неза-
независимые частные решения) уравнения A). Тогда общее решение дается формулой
у = Ciyi(x) + С2у2(х), B)
где С\ и С2 — произвольные постоянные.
2°. Пусть у\ = у\ (х) —любое нетривиальное частное решение уравнения A). Тогда его общее
решение можно представить в следующем виде:
, где F = jj-dx. C)
Для конкретных уравнений, рассмотренных далее в разделах 2.1.2-2.1.8, часто будут
указаны только частные решения. Общие решения этих уравнений можно получить с помощью
формулы C).
0.2. Линейные уравнения второго порядка 21
3°. Рассмотрим уравнение, записанное в канонической форме (о приведении уравнений к
такому виду см. разд. 0.2.1-3):
Ухх + f(x)y = 0.
Пусть у\ [х) —любое нетривиальное частное решение этого уравнения. Тогда общее решение
можно определить по формуле C) при F = 0 или по формуле B), где
Здесь |/i = yi(x), штрих обозначает производную по х. Последнюю формулу полезно исполь-
использовать, когда у\ обращается в нуль в некоторых точках.
0.2.1-2. Детерминант Вронского и формула Лиувилля.
Детерминант Вронского (вронскиан):
W(x) =
yi(x) y2(x)
= 2/1 (
где yi(x), у2(х) — фундаментальная система решений уравнения A).
Формула Лиувилля:
Г рх f u\ .
dt\.
[ Jx0 /2(«) J
0.2.1-3. Приведение к канонической форме.
1°. Замена
у = и(х) exp (-jjj- dx) D)
приводит уравнение A) к канонической (или нормальной) форме
и':х + Пх)и = 0, где / = А_
J2
2°. Замена D) является частным случаем более общего преобразования ((р — произвольная
функция):
У =
которое приводит исходное уравнение к канонической форме.
0.2.1-4. Приведение к уравнению Риккати.
Замена и = у'х/у приводит линейное однородное уравнение второго порядка A) к уравнению
Риккати
/2(жК + f2{x)u2 + fi(x)u + /о (х) = 0,
которое рассматривается в разд. 0.1.4.
0.2.1-5. Линейные неоднородные уравнения. Теорема существования.
Линейное неоднородное уравнение второго порядка имеет вид
f2(x)y'lx + fi(x)y'x + fo(x)y = g(x). F)
Теорема существования и единственности. Пусть при а < х < Ъ функции /2, /ь /о, g
непрерывны и /2 /0. Тогда при любых начальных условиях
у(х0) = А, у'х(хо) = В,
где хо — произвольная точка из данного интервала (А, В — любые заданные числа), решение
уравнения F) существует и единственно. Это решение определено при всех х Е (а, Ь).
22 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.2.1-6. Линейные неоднородные уравнения. Различные представления общего решения.
1°. Общее решение линейного неоднородного уравнения F) равно сумме общего решения со-
соответствующего однородного уравнения A) и любого частного решения данного неоднородного
уравнения.
2°. Пусть у\ = у\ (ж) и ?/2 = 2/2 (х) — фундаментальная система решений соответствующего
однородного уравнения при д = 0. Тогда общее решения уравнения F) можно представить в
виде формулы
a dx С q dx ,„,
yi j m ^
f q
у = Ciyi + С2у2 + У2 j V^YW ~yi j mf
где W = г/1 (г/2)ж — 2/2B/1)^ —детерминант Вронского.
3°. Пусть известно нетривиальное частное решение 2/1 = 2/1 (ж) однородного уравнения при
д = 0. Тогда для построения общего решения уравнения F) можно использовать формулу G),
где второе частное решение 2/2 = 2/2 (х) определяется выражением
2/2=2/1 f^-dx, где F=f^-dx, W = e~F, (8)
В разделах 2.1.2-2.1.8 рассматриваются только однородные уравнения, решения соответ-
соответствующих неоднородных уравнений можно получить с помощью формул G) и (8).
4°. Пусть г/1 и г/2 — решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с одина-
одинаковой левой и разной правой частью: L [у\] = pi (ж) и L [г/г] = #2(ж), где L [2/] —левая часть
уравнения F). Тогда функция г/ = 2/1 + 2/2 является решением уравнения L [г/] = д\(х) + дъ{х).
0.2.1 -7. Преобразование Куммера — Лиувилля.
Преобразование
x = a(t), y = /3(t)* + 7(t), (9)
где а(?), /3(?), 7(?) —произвольные достаточно гладкие функции (/3 ф 0), переводит любое
линейное дифференциальное уравнение в линейное для функции z = z(t). В частном случае
7 = 0 однородное уравнение преобразуется в однородное.
Частные виды преобразования (9) широко используются для упрощения линейных диффе-
дифференциальных уравнений второго и более высоких порядков.
® Литература кразд. 0.2.1: Э. Камке A976), Г. Корн, Т. Корн A984), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A995),
С. Ю. Доброхотов A998).
0.2.2. Представление решений в виде ряда по независимой переменной
0.2.2-1. Коэффициенты уравнения представимы в виде обычных степенных рядов.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение общего вида
у'хх + f(x)y'x + g(x)y = 0. (l)
Пусть функции f(x) и д(х) могут быть представлены в окрестности точки х = хо в виде
обычных степенных рядов
оо оо
f(x) = Y,An(x-xo)n, g(x) = Y,Bn(x-xo)n, B)
71 = 0 71 = 0
сходящихся в области \х — хо\ < R, где R = min{i?i,i?2}, R\ и R% —радиусы сходимости
рядов B). В этом случае ж о является регулярной точкой и уравнение A) имеет два линейно
независимых решения вида
оо оо
2/1 (х) = ^2ап(х - хо)п, 2/2(ж) = ^2bn(x - хо)п. C)
71 = 0 71 = 0
Значения ап и Ъп определяются путем подстановки рядов B) в уравнение A) с последующим
приравниванием нулю коэффициентов при одинаковых степенях (х — хо).*
Предварительно должны быть собраны члены, имеющие одинаковые степени (х — х0) , /с = 0, 1, ...
0.2. Линейные уравнения второго порядка 23
0.2.2-2. Коэффициенты уравнения имеют полюса в некоторой точке.
Пусть функции /(ж) и д(х) имеют полюса в точке ж = жо и могут быть представлены в области
ж — жо| < R в виде рядов
оо оо
f(x)= Y, An(x-x0)n, g{x)= Y, Вп(х-хо)п. D)
71 = —1 71 = —2
В этом случае ж о является слабо особой точкой. Пусть Ai и А 2 — корни определяющего
квадратного уравнения
Существуют три типа различных решений дифференциального уравнения A) в зависимости от
корней определяющего уравнения.
1. Если Ai ф \2 и Ai — А2 —не равно целому числу, то уравнение A) имеет два линейно
независимых решения вида
г/i (ж) = |ж-жо|Л1
г/2 (ж) = |ж — жо|Л2 11 + ^ Ьп(х — хо)п\.
71 = 1
2. Если Ai = A2 = А, то уравнение A) имеет два линейно независимых решения вида
оо
г/i (ж) = |ж-жо|Л[1 + ^\
71 = 1
ОО
гу2(ж) = г/i (ж) In |ж — жо| + |ж — жо| /~^ Ъп{х — хо)п.
п=0
3. Если Ai = A2 + N, где N — целое положительное число, то уравнение A) имеет два
линейно независимых решения вида
г/i (ж) = |ж - жо|Л1
г/2 (ж) = kyi(x) In |ж — жо| + |ж — жо|А2 ^_J 6п(ж — жо)те,
гг=О
где коэффициент к может быть равным нулю.
При построении решений в каждом из этих трех случаев используется стандартная проце-
процедура: в исходное уравнение A) подставляются выражения для г/i иг/2, затем приравниваются
нулю коэффициенты рядов при (ж — хо)п и (ж — хо)п In |ж — жо| для различных значений п, что
приводит к системе рекуррентных соотношений для определения неизвестных коэффициентов.
® Литература к разд. 0.2.2: G. M. Murphi A960), Э. Камке A976), Г. Корн, Т. Корн A984), D. Zwillinger
A989).
0.2.3. Асимптотические решения
В данном разделе приведены асимптотические решения при е —»¦ 0 (е > 0) линейных
дифференциальных уравнений, содержащих произвольные (достаточно гладкие) функции, для
вещественных значений независимой переменной.
0.2.3-1. Уравнения не содержат у'х. Главные члены асимптотических разложений.
1°. Рассмотрим уравнение
e2y'L - f(x)y = 0 A)
на отрезке а ^ ж ^Ь.
24 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
Случай 1. При / ф 0 главные члены асимптотических разложений фундаментальной
системы решений при е —»¦ 0 определяются формулами
=Г1/4
=Г1/4ехр(--!- У v7dA у2 = Г1/А exp(j J л/f dx\ при / > О,
j J
j J y/=
при/<0.
Случай 2. Построим асимптотическое решение уравнения A) в окрестности точки поворота
х = жо, в которой функция /(ж) обращается в нуль: /(ж<э) = 0. Считаем, что /(ж) может быть
представлена в виде
/(ж) = (хо — х)ф(х), где ф(х) > 0.
В этом случае асимптотическое решение при е —»¦ 0 (е > 0) описывается тремя различными
формулами:
при ж > хо:
У = 1-7Wj ' <JGicos|-
при ж < жо:
У = [/О)] ^1°'1ехР|7
в окрестности точки поворота ж = жо:
y = Ci Bi(z) + C2 Ai(z), z = ?-2/3[?Кжо)]1/3(жо - ж),
где Ai(z) и Bi(^) — функции Эйри первого и второго рода (см. уравнение 2.1.2.2).
Постоянные интегрирования С\, С2 и С\, С2 в приведенных выше асимптотических
решениях связаны соотношениями
le^xotfCi, C2 =
V 7Г у7Г
0.2.3-2. Уравнения не содержат у'х. Двучленные асимптотические разложения.
Двучленные асимптотические разложения решения уравнения A) при />0и?—>-0на отрезке
а ^ х ^.Ь имеют вид
где жо —любое число, удовлетворяющее неравенству а ^ жо ^ Ь.
Асимптотические разложения фундаментальной системы решений уравнения A) при / < 0
получаются путем отделения действительной и мнимой части в формуле B).
0.2.3-3. Уравнения специального вида, не содержащие первой производной.
Рассмотрим уравнение
e2y':x-xm-2f(x)y = 0 C)
на отрезке а ^ ж ^ Ь, где а < 0 и Ъ > 0, при условии, что m — целое положительное число и
/(ж) / 0. В этом случае главный член асимптотического решения при е —»¦ 0 в окрестности точки
ж = 0 выражается через решение более простого модельного уравнения, которое получается из
C) путем подстановки вместо функции /(ж) константы /@) (решение модельного уравнения
выражается через функции Бесселя порядка 1/т, см. уравнение 2.1.2.7).
Ниже приведены формулы, которые описывают главные члены асимптотических разложе-
разложений фундаментальной системы решений уравнения C) при а<ж<0и0<ж<6 (исключая
малую окрестность точки ж = 0). Будем выделять три различных случая:
0.2. Линейные уравнения второго порядка
25
1°. Пусть т — четное число и /(ж) > 0. Тогда
[/(ж)]/4ехр[- Г ^/f(x~jdx\ при ж<0,
L? Jo J
k~1[f(x)]-1/4exp\- Г y/f(x)dx\ при ж>0;
L? Jo 1
[/(ж)]/4ехр[-- Г y/f(x)dx\ при ж<0,
L ? Jo J
-1/4 Г 1 Г / 1
k[f(x)] ехр / у /(ж) dx\ при ж > 0,
L ^ Jo J
где / = /(ж), к = sinf — ).
\ га /
2°. Пусть ?тг — четное число и /(ж) < 0. Тогда
|/0c)r1/4cos[-- / y/\f(x)\dx+— 1 при ж<0,
L ? io 4 J
2/2 =
L 7 о
A;|/(^)r1/4cos[- Г y/\f(
L? «/о
2/2 =
ж)| с/ж | при ж > 0;
-^] приж<0,
A;|/(x)
r1/4
cos[-
L
Wl^+—1 приж>0,
4 J
3°. Пусть т — нечетное число. Тогда
|/(ж)Г1/4
cos [-
2/2 =
где / = /(ж), /с = si
[-1 Г vi/WI с/ж + ^1 при ж < 0,
-А;[/(ж)]/4ехр[- Г ^/j{x)dx\ при ж > 0;
2 Vе Jo \
|/(ж)Г1/4 cos [-- Г y/\f(x)\dx - ^-} при ж < 0,
L ? Jo 4 J
при ж>0,
0.2.3-4. Уравнения не содержат у'х. Коэффициенты уравнений зависят от е.
Рассмотрим уравнение вида
?2Ухх — /(Ж5 sJ/ = 0 D)
на отрезке а^х ^Ь при условии / ф 0. Будем считать, что функцию /(ж, е) можно представить
в виде
fc=0
Тогда главные члены асимптотических разложений фундаментальной системы решений урав-
уравнения D) определяются формулами
,-1/4, , Г 1
2/1 = /о (ж) ехр ——
с) ехр — / -
Jo\x)
jo\x)
26 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.2.3-5. Уравнения содержат у'х.
1°. Рассмотрим уравнение
еу'хх + д(х)Ух + f(x)y = 0
на отрезке 0 ^ х ^ 1. При д(х) > 0 асимптотическое решение этого уравнения, удовлетворяющее
граничным условиям г/@) = С\, г/A) = Сг, можно записать в следующем виде:
1 + С2 ехр [ / Щ- dx] + O(s),
\J 9х) \
где к = ехр / -Щ- dx .
[Jo 9(x) \
2°. Рассмотрим теперь уравнение
e2y'L + ед{х)у'х + f(x)y = 0 E)
на отрезке а ^ х ^Ь. Считаем, что
D(x) = [д(х)}2 - 4f(x) ф 0.
Тогда главные члены асимптотических разложений фундаментальной системы решений урав-
уравнения E) при е —»¦ 0 описываются формулами
0.2.3-6. Уравнения общего вида.
Более общее уравнение
2 (х, е)у'х + /(ж, е)у = 0
с помощью замены у = w ехр I — — д dx J приводится к уравнению
?2и>хХ + (/ - \д2 - \eg'x)w = 0,
которое рассмотрено в разд. 0.2.3-4.
® Литература к разд. 0.2.3: В. Вазов A968), М. В. Федорюк A983), А. Найфе A976, 1984), Ф. Олвер
A990).
0.2.4. Краевые задачи
0.2.4-1. Первая, вторая, третья и смешанные краевые задачи (xi
Рассмотрим линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка
y'L+f(x)y'x+g(x)y = h(x). A)
1°. Первая краевая задача. Требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее гранич-
граничным условиям
у = а\ при х = xi, у = а2 при х = Х2. B)
(Задаются значения искомая величины в двух различных точках х\ ижг).
2°. Вторая краевая задача. Требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее гранич-
граничным условиям
у'х = а\ при х = xi, у'х = а2 при х = Х2. C)
(Задаются значения производной искомой величины в двух различных точках х\ ижг.)
3°. Третья краевая задача. Требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее гранич-
граничным условиям
y'x-kiy = ai при x = xi,
Ух + fay = «2 ПрИ X = Х2.
0.2. Линейные уравнения второго порядка 27
4°. Смешанная краевая задача. Требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее
граничным условиям
у = а\ при х = xi, у'х = ci2 при х = Х2. E)
(В одной точке задается искомая величина, а в другой — значение ее производной.)
Граничные условия A), B), C) и D) называются однородными, если а\ = п2 = 0.
0.2.4-2. Упрощение граничных условий. Приведение уравнения к самосопряженному виду.
1°. Неоднородные граничные условия с помощью замены z = A2X2 + А\х + Aq + у можно
свести к однородным граничным условиям (константы А2,А\,Ао подбираются методом не-
неопределенных коэффициентов). В частности, неоднородные граничные условия первого рода A)
приводятся к однородным граничным условиям линейной заменой
z = у — — —ух — х\) — а\.
Х<2 — X -^
2°. Умножением на функцию р(х) = ехр / f(x) dx\ уравнение A) приводится к самосопря-
самосопряженному виду
\р(х)Ух]'х + q(x)y = г(х). F)
Далее без ограничения общности вместо уравнения A) будем рассматривать уравнение F).
Считаем, что функции р, pfx, q, г — непрерывны на отрезке х\ ^ ж ^^2 ир> 0.
0.2.4-3. Функция Грина. Решение краевых задач для неоднородного уравнения.
Функцией Грина первой краевой задачи для уравнения F) с однородными граничными услови-
условиями B) называется функция двух аргументов G(x,s), удовлетворяющая условиям:
1°. Функция G(x,s) непрерывна по х при фиксированном s, где х\ ^ж^Ж2,Ж1 ^ s ^ Х2.
2°. Функция G(x,s) является решением однородного уравнения F) при г = 0 для всех
xi < ж < Ж2, исключая точку х = s.
3°. Функция G(x, s) удовлетворяет однородным граничным условиям G(xi, s) = G(x2, s) = 0.
4°. В точке х = s производная Gfx(x, s) имеет разрыв первого рода со скачком l/p(s), т. е.
G'x(x,s)\x^s,x>s - G'x(x,s)\x^s,x<s = —гт-
Для второй, третьей и смешанной краевой задачи в определении функции Грина в усло-
условии 3° берутся однородные граничные условия C), D) и E) при а\ = п2 = 0; остальные условия
не меняются.
Решение неоднородного уравнения F) с соответствующими однородными граничными
условиями выражается через функцию Грина по формуле*
у(х) = / G(x,s)r(s)ds.
JXl
0.2.4-4. Представление функция Грина через частные решения.
Рассмотрим первую краевую задачу. Пусть у\ = yi(x) и у2 = у2 (х) —линейно независимые
частные решения однородного уравнения F) (при г = 0), удовлетворяющие условиям
2/1 (ал) = 0, J/2 (ж2) = 0.
(Каждое из решений удовлетворяет одному из однородных граничных условий.)
Функция Грина выражается через решения однородного уравнения следующим образом:
Г
G(x s) _ J P(s)W(s)
при Х1
V Li{ \ при s ^ x ^ Ж
p(s)W(s)
где W(x) = yi(x)yf2(x) — y[(x)y2(x) — определитель Вронского.
* Считается, что однородная краевая задача [при г(х) = 0 и а1 = а2 = 0] имеет только тривиальное
решение.
28 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
Замечание. Составную формулу G) можно использовать также для построения функции
Грина во второй, третьей и смешанной краевых задачах. Для этого надо найти линейно
независимые частные решения однородного уравнения у\ = yi(x) и г/2 = г/2 (х), первое из
которых удовлетворяет соответствующему однородному граничному условию при х = х\,
а второе — при х = Х2.
® Литература к разд. 0.2.4: Л. Э. Эльсгольц A969), Э. Камке A976), А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева,
А. Г. Свешников A980).
0.2.5. Задачи на собственные значения
0.2.5-1. Задача Штурма — Лиувилля.
Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка
[f(x)y'x]'x + [\g(x) - h(x)]y = 0 A)
с однородными линейными граничными условиями общего вида
aiyfx+biy = 0 при x = xi,
п2Ух + 02 2/ = 0 ПрИ X = Х2-
Считается, что при х\ ^ х ^ Х2 функции /, fx, g, h непрерывны и / > 0, д > 0. Предполагается
также, что |ai| + |bi| > 0, \а2\ + \Ь2\ > 0.
Задача Штурма—Лиувилля: требуется найти те значения параметра Л = Хп, при которых
существует нетривиальное решение задачи A), B). Такие значения параметра Хп называются
собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения уп = уп(х) —
собственными функциями.
0.2.5-2. Общие свойства задачи Штурма — Лиувилля A)-B)-
1°. Существует бесконечное (счетное) множество собственных значений. Все собственные
значения вещественны и могут быть упорядочены Ai < A2 < Аз < • • •, причем Хп —»¦ оо при
п —>- оо (поэтому может быть лишь конечное число отрицательных собственных значений).
Каждое собственное значение имеет кратность 1.
2°. Собственные функции определяются с точностью до постоянного множителя. Каждая
собственная функция уп(х) имеет в открытом интервале (xi, X2) ровно п — 1 нулей.
3°. Собственные функции уп(х) и ут(х) при п / т ортогональны между собой с весом д(х)
на отрезке х\ ^ х ^ Х2'.
/ д(х)уп(х)ут(х) dx = 0 при п / т.
JXl
4°. Произвольная функция F(x), имеющая непрерывную производную и удовлетворяющая
граничным условиям задачи Штурма — Лиувилля, разлагается в абсолютно и равномерно
сходящийся ряд по собственным функциям:
71 = 1
где коэффициенты Фурье Fn функции F{x) вычисляются по формулам
1 СХ1 СХ1
Fn = Т\—мГ / g(x)F(x)yn(x)dx, \\уп\\2 = / g(x)yl(x)dx.
\\Уп\\ ^xi JХ1
5°. При выполнении условий
h(x) ^ 0, aioi ^ 0, a2b2 ^ 0 C)
отрицательных собственных значений нет. Если h = 0,bi=b2=0, то наименьшим собственным
значением будет Ai =0, которому отвечает собственная функция (pi = const. В остальных
случаях при выполнении условий C) все собственные значения положительны.
0.2. Линейные уравнения второго порядка 29
6°. Для собственных значений справедлива асимптотическая формула при п —»¦ оо:
В разд. 0.2.5-3 — 0.2.5-6 будут описаны также специальные свойства задачи Штурма —
Лиувилля, которые зависят от конкретного вида граничных условий.
Замечание 1. Уравнение A) сводится к случаю /(ж) = 1, д(х) = 1 с помощью замены
"Щлх, u@ = [f(x)g(x)]1/4y(x).
При этом граничные условия преобразуются в граничные условия аналогичного вида.
Замечание 2. Линейное уравнение второго порядка
^{.х)Ухх + (fi(x)yfx + [А + <ро(х)]у = 0
можно представить в виде уравнения A), где функции /(ж), д(х), h(x) определяются по
формулам
-схрГ/ ^lW dx\ a(x)- * схр|7 ^lW dx\ h(x)- ^oW схр|7
0.2.5-3. Задачи с граничными условиями первого рода (случай ai = п2 = 0, &i = 62 = 1).
Отметим некоторые специальные свойства задачи Штурма — Лиувилля первой краевой задачи
для уравнения A) с граничными условиями
У = 0 ПрИ X = XI, У = 0 ПрИ Ж = Ж2- E)
1°. При п —>- оо для оценки собственных значений Хп можно использовать асимптотику D).
При этом для собственных функций уп(х) справедлива формула
|1/4 . Г™ г ГаЩ'', 1 л/1\ д
2°. При h ^ 0 для наименьшего собственного значения имеет место оценка сверху (принцип
Рэлея):
[X2[f(x)(z'xJ+h(x)z2}dx
Ai < ^ j^ , F)
/ g(x)z2 dx
JXl
где z = z(x) — любая дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям
z(xi) = z(x2) = 0. Знак равенства в F) достигается при z = yi(x), где yi(x) — собствен-
собственная функция задачи Штурма — Лиувилля, соответствующая собственному значению Аь Для
получения конкретных оценок в правой части F) можно положить z = (ж — Ж].)(ж2 — ж) или
. Г 7Г(Ж — Хл) 1
Z = S1I1 — — .
L х2 — х1 J
3°. Расширение отрезка [xi, X2] ведет к уменьшению собственных значений.
4°. Пусть выполнены неравенства
0 < /min ^ /(ж) ^ /щах, 0 < #тт ^ д(х) ^ ^тах, 0 < /lmin ^ h(x) ^ /imax-
Тогда для собственных значений справедливы двусторонние оценки:
/min _i_ min <^ \ <^ ¦'max _i_ max
#тах (Ж2~Ж1) S'max #min (^2~Xl) S'min
5°. В инженерных расчетах для определения собственных значений можно использовать при-
приближенную формулу
Эта формула обеспечивает точный результат при f(x)g(x) = const, h(x)/g(x) = const
(в частности, при постоянных коэффициентах уравнения / = /о, h = ho, g = до) и дает
правильную асимптотику D) для любых /(ж), h(ж), д(х). Кроме того, при /(ж) = const,
д(х) = const формула G) дает правильных два первых члена разложения при п —»¦ оо [сказанное
справедливо также при выполнении условия f(x)g(x) = const].
30 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
6°. Пусть /(ж) = д(х) = 1 и функция h = h(x) имеет непрерывную производную. Асимптоти-
Асимптотические формулы для собственных значений Хп и собственных функций уп(х) при п —»- оо:
г/тг(ж) = sin — \(xi-x)H(x,X2) + (x2-x)H(xi,x)\ cos - — +Оi—т- ,
х2-хх тгп L J Жз-Ж! V n2 J
где
%,^L Г h(x)dx. (8)
7°. Рассмотрим задачу на собственные значения для уравнения с малым параметром
Ухх + [А + eh(x)]y = 0 (е -+ 0)
и граничными условиями E) при xi = 0, Х2 = 1. Считаем, что /г(ж) = h(—x).
Собственные значения и нормированные собственные функции:
9 9 ? \.—"^ Ji. Ч /
\п = тг п - sAnn Н > nfc + О(е ), Anfc = 2 / /г(ж) sir
7Г2 ^—' П2 — к2 '
кфп
sinGrA;x) ¦
7Г2 ^—' П2 — k2
кфп
Здесь суммирование ведется по А; от 1 до оо. Следующий член разложения уп приведен в книге
А. Найфе A976, стр. 81-84).
0.2.5-4. Задачи с граничными условиями второго рода (случай а\ = п2 = 1, Ь\ = 62 = 0).
Отметим некоторые специальные свойства задачи Штурма — Лиувилля второй краевой задачи
для уравнения A) с граничными условиями
у'х = 0 ПрИ X = XI, Ух = 0 ПрИ Ж = Ж2-
1°. При /г > 0 для наименьшего собственного значения имеет место оценка сверху F),
где z = z(x) — любая дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям
z'x(xi) = z'x{x2) = 0. Знак равенства в F) достигается при z = yi(x), где yi(x) — собственная
функция задачи Штурма — Лиувилля, соответствующая собственному значению Аь
2°. Пусть /(ж) = д{х) = 1 и функция h = h(x) имеет непрерывную производную. Асимптоти-
Асимптотические формулы для собственных значений Хп и собственных функций уп(х) при п —>- оо:
7г(п-1) 1
ж2 жх
- жх) 1 Г, ч и( ч
s ^- + — — (ал -х)Н(х,х2)
х2 — хх тг(п — 1) L
/ Nrr/ \1 • 7Г(П - 1)(Ж - ЖХ) ,
(ж2 -ж)Я(ж1,ж) sin—^ — +
J х2 — ж1
где функция i7(i6, г;) определяется по формуле (8).
0.2.5-5. Задачи с граничными условиями третьего рода (случай ai = а,2 = 1, bi ф 0, Ь2 ф 0).
Рассмотрим третью краевую задачу для уравнения A) с граничными условиями B) при
а\ = а 2 = 1. Пусть f(x)=g(x) = ln функция h = h(x) имеет непрерывную производную.
Асимптотические формулы для собственных значений Хп и собственных функций уп(х)
при п —>- оо:
/Т 7Г(П — 1) 1
л/А =^^ +
[Н(
L
Уп{х) =cos
7г(п —
X2 — X-^
где функция Н(и, v) определяется по формуле (8).
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка 31
0.2.5-6. Задачи со смешанными граничными условиями (случай а\ = &2 = 1, а 2 = Ъ\ = 0).
Отметим некоторые специальные свойства задачи Штурма — Лиувилля смешанной краевой
задачи для уравнения A) с граничными условиями
у'х = 0 ПрИ X = XI, у = 0 ПрИ X = Х2-
1°. При h ^ 0 для наименьшего собственного значения имеет место оценка сверху F), где
z = z(x) —любая дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая условиям z'x(x\) =0
и z(x2) = 0. Знак равенства в F) достигается при z = yi(x), где yi(x) — собственная функция
задачи Штурма — Лиувилля, соответствующая собственному значению Аь
2°. Пусть /(ж) = д(х) = 1 и функция h = h(x) имеет непрерывную производную. Асимптоти-
Асимптотические формулы для собственных значений Хп и собственных функций уп(х) при п —»¦ оо:
ж2 - жх) тгBп -
7гBп — 1)(х — хЛ)
• 7гBп-1)(х-х1)
где функция Н(и, v) определяется по формуле (8).
® Литература к разделу 0.2.5: В. М. Бабич, М. Б. Капилевич, С. Г. Михлин и др. A964), Э. Камке
A976), Л. Коллатц A968), В. А. Марченко A977), А. Г. Костюченко, И. С. Саргсян A979), Б. М. Левитан,
И. С. Саргсян A988), Л. Д. Акуленко, С. В. Нестеров A997), В. А. Винокуров, В. А. Садовничий B000).
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка
0.3.1. Вид общего решения. Задача Коши.
0.3.1-1. Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, разрешенное относительно стар-
старшей производной, имеет вид
Ухх = f(x,y,y'x). A)
Общее решение этого уравнения зависит от двух произвольных постоянных С\ и С2 ¦ В ряде
случаев общее решение удается записать в явном виде у = (p(x,Ci,C2) (чаще встречается
представление общего решения в неявном виде или в параметрической форме).
0.3.1-2. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
1°. Задача Когми: требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее начальным ус-
условиям
у(хо) = уо, yfx(xo) = yi. B)
(Задается искомая величина г/о и ее производная г/i в одной точке хо.)
2°. Теорема существования и единственности. Пусть f(x,y,z) является непрерывной функ-
функцией всех аргументов в некоторой окрестности точки (xo,yo,yi) и в этой окрестности
имеет ограниченные частные производные fy и fz [или удовлетворяет условию Липшица
|/(ж, у, z) — f(x, г/, z)\ ^ A(\y — y\ + \z — г|), где А > 0 — некоторая константа]. Тогда существует
единственное решение уравнения A), удовлетворяющее начальным условиям B).
® Литература к разделу 0.3.1: В. В. Степанов A958), И. Г. Петровский A970), Э. Камке A976), Г. Корн,
Т. Корн A984), А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников A980).
0.3.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
0.3.2-1. Уравнения, не содержащее явно у.
В общем случае уравнения, не содержащее явно у, имеют вид
F(x,Vx,v'xx) = 0- A)
Эти уравнения не меняются при произвольном сдвиге зависимой переменной: у —»¦ у + const.
Замена у'х = z(x) с учетом формулы ух'х = z'x(x) приводит A) к уравнению первого порядка:
32 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.3.2-2. Уравнения, не содержащее явно х (автономные уравнения).
В общем случае уравнения, не содержащее явно х, имеют вид
F(v,Vx,v'xx) = 0- B)
Эти уравнения не меняются при произвольном сдвиге независимой переменной: х —»- х + const.
Подстановка у'х = w(y) (у играет роль независимой переменной) с учетом равенств
ухх = w'x = Уо'уУх = w'yW приводит B) к уравнению первого порядка: F(y,w, ww'y) = 0.
Замечание 1. Уравнение у"х= f(y+ax2+bx+c) заменой и = у+ах2+Ъх+с приводится
к уравнению рассматриваемого вида u'xx = f(u) + 2а.
0.3.2-3. Уравнения вида F(ax + by, у'х, Ухх) = 0-
Эти уравнения не меняются при одновременном сдвиге независимой и зависимой переменных
по правилу: х —»¦ х -\-Ъс, у —»¦ у — ас, где с — произвольная постоянная.
При Ь = 0 см. уравнение A). При 6/0 замена bw = ах + by приводит к уравнению B):
F(bw, w'x - a/b, wxx) = 0.
0.3.2-4. Уравнения вида F(x,xy'x — у,УхХ) = 0-
Замена w(x) = ху'х — у приводит к уравнению первого порядка: F(x,w,wfx/x) = 0.
0.3.2-5. Однородные уравнения.
1°. Однородные уравнения относительно независимой переменной не меняются при растяже-
растяжении (сжатии) независимой переменной по правилу: х —»¦ ах, где а — произвольная постоянная
(а ф 0). В общем случае они могут быть записаны в виде
Р(у,ху'х,х2Ухх) = 0. C)
Подстановка z(y) = хух приводит к уравнению первого порядка: F(y, z, zz'y — z) = 0.
2°. Однородные уравнения относительно зависимой переменной не меняются при растяжении
(сжатии) искомой величины по правилу: у —»¦ ау, где а — произвольная постоянная (а ф 0).
В общем случае они могут быть записаны в виде
F(x,y'Jy,y'L/y) = 0. D)
Подстановка z{x) = у'х/у приводит к уравнению первого порядка: F(x, z, zx + z2) = 0.
3°. Однородные уравнения относительно двух переменных не меняются при одновременном
растяжении (сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: х —»¦ ах, у —»¦ ау, где
а — произвольная постоянная (а ф 0). В общем случае они могут быть записаны в виде
Р(у/х,Ух,ху'хх) = 0. E)
Преобразование t = 1п|ж|, w = у/х приводит к автономному уравнению из разд. 0.3.2-2:
F(w, w't + w, w'tt + w't) = 0.
0.3.2-6. Обобщенно-однородные уравнения.
1°. Обобщенно-однородные уравнения не меняются при одновременном растяжении (сжатии)
независимой и зависимой переменных по правилу: х —»¦ ах, у -Лаку, где а ф 0 — произвольная
постоянная, а к — некоторое число. Они могут быть записаны в виде
F(x-ky,x1-ky'x,x2-kvZx)=0. F)
Преобразование t = In ж, w = x~ky приводит к автономному уравнению из разд. 0.3.2-2:
F(w, w't + kw, w'u + Bife - l)w't + k(k - l)w) = 0.
2°. Наиболее общая форма записи обобщенно-однородных уравнений:
Г(хпут,ху'х/у,х2у':х/у)=0. G)
Преобразование z = хпут, и = ху'х/у приводит это уравнение к уравнению первого порядка:
T{z, и, z(mu + n)u'z — и + и2) = 0.
Замечание 2. При т ф 0 уравнение G) эквивалентно уравнению F), где к = —п/т.
Частным значениям п = 0 и т = 0 соответствуют однородные уравнения относительно
независимой и зависимой переменной C) и D). При п = — т ф 0 имеем однородное уравнение
относительно двух переменных E).
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка 33
0.3.2-7. Уравнения, инвариантные относительно преобразований «растяжения-сдвига».
1°. Уравнения вида
F(eXxy,ex*y'x,eXxy':x)=0 (8)
не меняются при одновременном сдвиге и растяжении переменных по правилу: х —»¦ х + а,
у —»> /3?/, где /3 = е~аЛ, а — любое. Замена w = eXxy приводит (8) к уравнению из разд. 0.3.2-2:
F(w, w'x - Xw, w"x - 2Xwfx + X2w) = 0.
2°. Уравнения вида
F(eXxyn,y'x/y,y':jy) = O (9)
не меняются при одновременном сдвиге и растяжении переменных по правилу: х —»¦ х + а,
I/ —>- /Зг/, где /3 = ехр(—аХ/п), а — любое. Преобразование z = eXxyn, w = y'x/y приводит (9)
к уравнению первого порядка: F(z,w, z(nw + X)wfz + w2) = 0.
3°. Уравнения вида
F{xneXv,xyx,x2y'x'x)=Q A0)
не меняются при одновременном растяжении и сдвиге переменных по правилу: х —»¦ ах,
у^>у+C,тде а = ехр(—/ЗХ/п), C — любое. Преобразование z = xneXy, w = xy'x приводит A0)
к уравнению первого порядка: F(z, w, z(Xw + n)w'z — w) =0.
Замечание З. Методы, основанные на групповом и дискретно-групповом анализе диф-
дифференциальных уравнений, излагаются в книгах Л. В. Овсянникова A978), П. Олвера A986),
Н. X. Ибрагимова (Ibragimov, 1994), В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 1994).
0.3.2-8. Приведение квазилинейных уравнений к нормальной форме.
Рассмотрим уравнение
v'L+f(x)Vx+9(x)v = *(x,v) A1)
с линейной левой и нелинейной правой частью. Пусть yi(x) и г/2 (ж) — фундаментальная
система решений «укороченного» линейного уравнения при Ф = 0. Преобразование
J/M ^L A2)
u
Vl(x)
приводит уравнение (И) к нормальной форме
где
Здесь W(x) = г/iг/2 — У2У1 — вронскиан «укороченного» уравнения, а переменную х надо
выразить через ? с помощью первого равенства A2).
Преобразование A2) удобно использовать для упрощения и классификации уравнений вида
A1) при Ф(ж,г/) = h(x)yk, уменьшая число рассматриваемых функций с трех до одной:
{/,я,М=Чо,о,м.
® Литература к разделу 0.3.2: В. В. Степанов A958), А. Ф. Филиппов A970), Н. М. Матвеев A970),
Э. Камке A976), М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко A978), А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева,
А. Г. Свешников A980), В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин A993, 1995, 1997), A. D. Polyanin, V. F. Zaitsev A995).
0.3.3. Методы регулярных разложений по независимой переменной и
малому параметру
0.3.3-1. Метод разложения в ряд Тейлора по независимой переменной.
Решение задачи Коши
Ухх = f(x,y,y'x), A)
у(хо)=уо, у'х(х0)=у1 B)
можно искать в виде ряда Тейлора по степеням разности (х — хо):
у{х) = у(х0) + у'х(хо)(х - хо) + y^o) (х - хоJ + ^[go) (а; -
3 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
34 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
Первые два коэффициента у(хо) и у'х(хо) в решении C) задаются начальными условиями B).
Последующие значения производных искомой величины в точке х = ж о определяются из
уравнения A) и его следствий (полученных путем последовательного дифференцирования
уравнения) с учетом начальных условий B). В частности, полагая в уравнении A) х = хо и
подставляя значения B), находим значение второй производной:
= f(xo,yo,yi). D)
Дифференцируя далее уравнение A), имеем
Уххх = fx О, у,ух) + fy(x, у, ух)ух + fy, (ж, у, ух)ухх. E)
Подставив в правую часть равенства E) значение х = хо, начальные условия B) и значение
второй производной D), вычислим значение третьей производной:
Ух'хх(хо) = fx(x0,2/о,г/1) + fy(x0,yo,yi)yi + f(xo,yo,yi)fyi(ж0,уо,yi).
Аналогичным образом определяются и последующие производные искомой величины.
Полученное данным методом решение C) обычно можно использовать лишь в некоторой
окрестности точки х = xq.
0.3.3-2. Метод регулярного (прямого) разложения по малому параметру.
Рассмотрим уравнение общего вида с параметром е:
Ухх + /(х,у,ух,е) = 0. F)
Пусть функция / может быть представлена в виде степенного ряда по параметру е:
оо
f(x,y,y'x,e) = ^2snfn(x,y,y'x). G)
п=0
Решение задачи Коши и различных краевых задач для уравнения F) при е —»¦ 0 ищут в виде
регулярного разложения по степеням малого параметра:
оо
у = ^2епуп(х). (8)
п=0
Выражение (8) подставляют в уравнение F) с учетом представления G). Затем функции
fn разлагают в ряд по малому параметру и собирают члены при одинаковых степенях е.
Приравнивая полученные выражения (при одинаковых степенях е) нулю, приходят к системе
уравнений для функций уп:
Уо +/оО,2/о,?/о) = 0, (9)
у'( + F(x, yo,y'o)yi+G(x, 2/о, y'o)yi + fi(x, у0, Уо) = О, F = |^, G = Ц^. A0)
Здесь выписаны только первые два уравнения, штрихом обозначены производные по х. Началь-
Начальные (или граничные) условия для функций уп получаются с учетом разложения (8).
Успех применимости данного метода, в первую очередь, определяется возможностью по-
построить решение уравнения (9) для главного члена разложения г/о- Важно отметить, что осталь-
остальные члены разложения уп при п ^ 1 описываются линейными уравнениями (с однородными
начальными условиями).
Пример. Колебания точечного материального тела, соединенного с нелинейной пружиной, описыва-
описываются уравнением Дюффинга и начальными условиями:
У хх + У + ?У3 = °> 2/@) = а> Ух (°) = °>
где у — отклонение от положения равновесия, х — безразмерное время.
При е —>¦ 0 приближенное решение данной задачи ищем в виде асимптотического разложения (8). Под-
Подставим его в уравнение и начальные условия и разложим по степеням е. Приравнивая затем коэффициенты
при одинаковых степенях малого параметра, получим следующие задачи для определения функций уоиуг:
Уо + Уо = °5 Уо = а> 2/о = °5
2/1+2/1 = -2/о' 2/i=0' 2/i=0.
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка 35
Решение задачи для старшего члена разложения имеет вид
у0 = a cos ж.
Подставив это выражение в уравнение для следующего члена разложения и учитывая тождество
cos3 х = j- cos Sx + -|- cos x, получим
v'i +2/i = -^a3(cos3x + 3cosx), ^ =0, ?/i =0.
В результате интегрирования находим
Таким образом, решение исходной задачи дается формулой
у = a cos ж + еа3 [—-^xsinx + -^-(cos3x — 3cosx)] + О(е2).
Замечание 1. Из-за наличия слагаемого ж sin ж имеем у-^/у^—уоо при х —> оо. Поэтому полученное
решение непригодно при больших временах. Его можно использовать только при еж < 1 (следствие
условия применимости разложения: у0 ^> еу^).
Указанное обстоятельство является типичным при использовании метода регулярного разложения по
малому параметру (оно становится непригодным при больших значениях независимой переменной). Этот
метод также нельзя использовать, если разложение (8) начинается с отрицательных степеней е. Методы,
позволяющие преодолеть указанные трудности, рассматриваются в разд. 0.3.4.
Замечание 2. Растущие при х —>¦ сю слагаемые типа х sin x, которые ограничивают область приме-
применимости асимптотических разложений, называются вековыми (или секулярными) членами.
® Литература к разд. 0.3.3: А. Ф. Филиппов A970), Э. Камке A976), А. Найфе A976, 1984).
0.3.4. Методы возмущений, используемые в механике и физике
Методы возмущений широко используются для решения задач нелинейной механики и теорети-
теоретической физики, которые описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром.
Основная цель данных методов заключается в получении приближенного решения, равномерно
пригодного при е —»¦ 0 для всех (в том числе для больших и малых) значений независимой
переменной.
Уравнения с малым параметром можно разделить на два типа:
1) —если порядок уравнения сохраняется при е = 0;
2) — если порядок уравнения становится меньше при е = 0.
Для уравнений первого типа решения соответствующих задач* будут достаточно гладкими
(слабо меняются при уменьшении е). Об уравнениях второго типа говорят, что они вырожда-
вырождаются при е = 0 (или сингулярно возмущены). В соответствующих задачах обычно возникают
тонкие пограничные слои, толщина которых существенно зависит от е, характеризующиеся
большими градиентами искомой величины.
Все методы возмущений имеют ограниченную область применимости; возможность ис-
использования конкретного метода зависит от типа рассматриваемых уравнений или задач. Наи-
Наиболее распространенные методы возмущений кратко описаны в табл. 3 (метод регулярных раз-
разложений излагается в разд. 0.3.3-2). Ниже приводятся дополнительные замечания и конкретные
примеры по некоторым методам. На практике ограничиваются получением нескольких первых
членов асимптотического разложения.
Во многих задачах нелинейной механики и теоретической физики независимой переменной
является безразмерное время t. Поэтому в данном разделе по традиции часто используется
обозначение х = t, где 0 ^ t < оо.
0.3.4-1. Метод растянутых параметров (метод Линдстедта — Пуанкаре).
Характерные особенности метода растянутых параметров проиллюстрируем на конкретном
примере (используемое преобразование независимой переменной и вид разложения указаны в
первой строке табл. 3).
Пример 1. Рассмотрим уравнение Дюффинга
= 0. A)
Здесь и далее считается, что начальные или граничные условия не зависят от параметра е.
36
Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
ТАБЛИЦА 3
Методы возмущений, используемые в нелинейной механике и теоретической физике
(в третьем столбце указаны п первых членов разложений по малому параметру ё)
Название
метода
Метод
растянутых
параметров
@^?<оо)
Метод
растянутых
переменных
@^?<оо)
Метод
усреднения
(или метод
осреднения,
0^?<оо)
Метод
Крылова —
Боголюбова —
Митропольского
@^?<оо)
Метод
двухмасштабных
разложений
@^?<оо)
Метод
многих
масштабов
@ ^ t < оо)
Метод
сращиваемых
асимптотических
разложений
(О^х^Ь)
Метод
составных
разложений
(О^жО)
Примеры задач,
решаемых этим методом
Ищутся периодические
решения уравнения
Уа + и%у = ?/(у,у'ь).
См. также разд. 0.3.4-1.
Задача Коши:
y't = f(t,y,z)\ y(to) = yo
(/ — специального вида).
См. также задачу в методе
растянутых параметров.
Задача Коши:
y't't + u;%y = ?f(y,yft);
2/@) = 2/0, у[@) = У1.
Более общие задачи
см. в разд. 0.3.4-2, п. 2°.
Ищутся периодические
решения уравнения
Уи + и%у = ?/(у,у'ь).
Задача Коши для этого
и других уравнений.
Задача Коши:
ytt + UJly = ef(y,y't);
2/@) = 2/0, y't(O) = y1.
Краевые задачи описаны
в разд. 0.3.4-3, п. 2°.
Ищутся периодические
решения уравнения
Уи+и1у = ?}{у,у[).
Задача Коши для этого
и других уравнений.
Краевая задача:
?Ухх + 1(х>У)Ух = 9(х,у),
2/@) = 2/0' У(ь) = Уъ
(считается, что / > 0).
Другие задачи описаны
в разд. 0.3.4-4, п. 2°.
Краевая задача:
?y"x + f(xiy)yx = 9(x,y),
2/@) = 2/о» У(ь) = Уъ
(считается, что / > 0).
Краевые задачи для
других уравнений.
В каком виде
ищется решение
к=0
t = s(l+? екшк)
V(t) = nf: екук(г),
к=0
t=z+nf:6k(pk(z)
k=i
y = a(t) cos (p(i),
где амплитуда а и фаза (р
описываются уравнениями:
п-1
y = acos(p+ J2 ?:Ук(а1(Р)>
к = 1
а и (р описываются уравнениями:
к = 1
к = 1
п-1
У= Е ^Ук^^), где
к=0
? = et, r) = t(l + nf: ексику
A=^ + (l + ,i2+...}|_
п-1
У= Е екУъ где
fc=0
Ук = Ук(Т0,Т1,...,Тп),Тк = еН
Внешнее разложение:
У=1:<гк(е)Ук(х)> ОД^О-
к=0
Внутреннее разложение (z = x/e):
У=ПщЕсгкШк(*)> O^x^O(s).
к=0
y = Y(x,e) + Y(z,e),
У = П1:стк{е)Ук{х\
к=0
Y = J:<Tk(e)Yk(z), z = -.
к=о ?
Здесь Yk —>¦ 0 при z —>¦ сю.
Дополнительные
условия и замечания
Ищутся ук, шк;
Ук+1/Ук = ОA)-
За счет выбора посто-
постоянных ик устраняются
вековые члены.
Ищутся ук, (рк;
Ук+1/Ук = О{1),
(Pk+i/(Pk = °A)
Ищутся а, (р;
/s=^/o27rsin^d^
F =
=f(a cos (p,—aujo sin tp)
Ищутся ук, Ак, Фк;
yk — периодические
функции по аргументу
(р с периодом 2тг.
Считается, что ук
не содержат cos (p.
Ищутся ук, иик;
Ук+1/Ук = ОA).
За счет выбора посто-
постоянных иок устраняются
вековые члены.
Ищутся ук;
Ук+1/Ук = ОA).
При п — 1 данный
метод эквивалентен
методу усреднения.
Ищутся ук,ук,ак,ак;
Ук+г/Ук = ОA),
Ук+1/Ук = ОA).
Используется
процедура сращивания:
2/(ж->>0) = 2/(г-юо).
Ищутся Yk, Yk, ak, ak;
Y(b,e) = yb9
Y@,e) + Y@,e) = yo.
Для построения реше-
решения используются два
вида записи уравнения
(в переменных х и z).
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка 37
Сделав замену t = z(l + euj± + ...), имеем
?4 + A+^1 + ...JB/ + ^3) = 0. B)
Решение ищем в виде ряда у = yo(z) + sy1(z) + ... Подставим его в уравнение B) и приравняем
коэффициенты при одинаковых степенях е. В результате для определения двух первых членов ряда
получим следующую систему (штрихи обозначают производные по z):
2/0 + 2/о = °> C)
2/1+2/1 = -2/o-2wi2/o- D)
Общее решение уравнения C) дается формулой
у0 = acos(z + b), E)
где a, b — постоянные интегрирования. Уравнение D) с учетом E) после элементарных преобразований
принимает вид
При и1 ф —-^-а2 частное решение уравнения F) содержит вековой член, пропорциональный z cos(z + b).
В этом случае при достаточно больших z нельзя удовлетворить условию применимости разложения:
y1/yQ = ОA) (см. последний столбец первой строки табл. 3). Чтобы выполнялось данное условие
необходимо положить
= -¦§¦ о2- G)
В этом случае решение уравнения F) определяется формулой
у1 = J^-a3 cos [3(z + b)]. (8)
Аналогичным образом можно определить и дальнейшие члены разложения.
Используя выражения E), G), (8), получим решение уравнения Дюффинга в виде
=[1- fsa2 + О(в2)] -1 = 1 + f ва2 + О(е2).
0.3.4-2. Метод усреднения (схема Ван-дер-Поля — Крылова — Боголюбова).
1°. Метод усреднения состоит из двух этапов. На первом этапе нелинейное уравнение второго
порядка
y'tt+uly = ef{y,yt) (9)
с помощью преобразования
y't = —ojoasmcp, где a = a(t), cp
сводится к эквивалентной системе дифференциальных уравнений первого порядка
at = — /(a cos if, —ojoasmcp) simp, (p't = ujq — /(a cos cp, — ouoasmcp) cos (p. A0)
Правые части уравнений A0) периодичны по ср, при этом амплитуда а является слабо меняю-
меняющейся функцией времени. За время, в течение которого фаза ср изменяется на величину равную
2тг, амплитуда и характер колебаний меняются мало.
На втором этапе правые части уравнений A0) усредняют по (р. В результате получают
приближенную систему
a't = - — fs(a), (p't = ujo - —!—/c(a), A1)
где
fs(a) = / simpf (a cos (p,—uooa simp) dip, /c(a) = / costpf (a cos (p,—ouoa simp) dtp.
2тг Jo 2тг Jo
Система уравнений A1) существенно проще исходной системы A0): первое уравнение A1) для
амплитуды колебаний а является уравнением с разделяющимися переменными и элементарно
интегрируется; затем интегрируется второе уравнение A1), которое линейно относительно (р.
Отметим, что метод Крылова — Боголюбова — Митропольского (см. четвертую строку
табл. 3) является обобщением описанной схемы метода усреднения и позволяет получать
последующие члены асимптотического разложения при е —»¦ 0.
38 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
2°. Опишем теперь более общую схему метода усреднения. Будем рассматривать нелинейное
уравнение второго порядка
ytt + g(t,y,y't) = ef(t,y,y't). A2)
Сначала преобразуем его к эквивалентной системе уравнений:
yi = u, ut+g(t,y,u) = ef(t,y,u). A3)
Пусть известно общее решение «укороченной» системы A3) при е = 0:
yo = <p(t,CuC2), uo = iP(t,CuC2), A4)
где С\, С2 — постоянные интегрирования. Используя идеи метода вариации произвольных
постоянных, перейдем в системе A3) от переменных у, и к переменным Лагранжа х\, ж2 по
формулам
y = (f(t,Xi,X2), U = tp(t,Xi,X2), A5)
где сриф — те же самые функции, которые определяют общее решение «укороченной» системы
A4). Преобразование A5) позволяет привести систему A3) к стандартной форме:
х\ = eFi(t,xi,X2), x'2 = eF2(t,xi,X2). A6)
Здесь штрих обозначает производную по t и использованы краткие обозначения:
_ д(р ф _ дФ
дхк ' дхк '
(f = (p(t,Xi,X2), ф = 1p(t,Xi,X2).
Важно отметить, что система A6) эквивалентна исходному уравнению A2). Искомые
величины х\ и х2 являются медленно меняющимися функциями времени.
В результате процедуры усреднения система A6) заменяется на более простую приближен-
приближенную автономную систему уравнений
x'1=eTi(xux2), x'2 = eT2(xux2), A7)
где
1 fT
Тк{%\-> Х2) = — / Fk(t, xi, X2) dt, если Fk является Т-периодической функцией по t;
Т Jo
1 fT
Тк(х\-> х2) = nm — / Fk(t, xi, X2) dt, если Fk не является периодической функцией по t.
Т^оо Т Jo
Замечание 1. Метод усреднения применим к уравнениям (9) и A2) с негладкой правой
частью.
Замечание 2. Метод усреднения допускает строгое математическое обоснование. Суще-
Существует также процедура, позволяющая находить последующие члены разложения. Об этом см.
книги Н. Н. Моисеева A969), Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского A974), Е. А. Гребени-
кова A986), В. Ф. Журавлева, Д. М. Климова A988).
0.3.4-3. Метод двухмасштабных разложений (схема Коула — Кеворкяна).
1°. Характерные особенности метода двухмасштабных разложений сначала проиллюстрируем
на примере решения конкретной задачи. Затем опишем возможные обобщения и модификации
метода.
Пример 2. Рассмотрим уравнение Ван-дер-Поля:
y't't + y = s(l-y2)y't. A8)
Его решение ищем в виде (см. пятую строку табл. 3):
У =
? = et, r)= ( )
Подставив A9) в A8) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях е, для первых двух членов
разложения получим
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка 39
Общее решение уравнения B0) дается формулой
2/0 = A(Ocosr/ + B(Osinr/. B2)
Зависимость величин А и В от медленной переменной ? на этом этапе не определяется.
Подставим B2) в правую часть уравнения B1). В результате после элементарных преобразований
получим
д2у
-ф- +У1= [-2B'f: + \В{± - А2 - В2)] cos ту + [24 - \А{± -А2 - В2)] sin г? +
+ \{В2> -3A2B)cos3r]+ ^(А3 -ЗАВ2) sin Зг?. B3)
Решение этого уравнения не должно содержать неограниченные члены при ц —>¦ сю; в противном случае не
будет выполнено необходимое условие 2/i /2/0 = 0A)- Поэтому коэффициенты при cost? и sin ту должны
быть равны нулю:
-2^ + ^БD-А2-Б2) = 0,
2А^-^АD-А2-Б2) = 0. V ^
Условия B4) являются уравнениями для определения величин А = А(?) и В = В(?). Умножим первое
уравнение B4) на — В, а второе — на А, и сложим. Имеем
r^_|rD-r2) = 0, где г2 = А2 + В2. B5)
Интегрируя методом разделения переменных, получим
г2 = —0 -^Ц г, B6)
где г0 — начальная амплитуда колебаний.
Выразив А я В через амплитуду г и фазу tp, имеем А = г cos tp, В = —г sin (p. Подставив эти
выражения в одно из уравнений B4) и используя B5), находим ^ = 0 или ip = ip0 = const. Поэтому
главный член искомого разложения может быть записан в виде
где ?, = et, г] = ?, а зависимость г(?) определяется по формуле B6).
2°. Метод двухмасштабных разложений может использоваться также для решения краевых
задач, когда в уравнении малый параметр стоит при старшей производной (такие задачи для
области 0 ^ х ^ а приведены в седьмой строке табл. 3 и разд. 0.3.4-4). В тех случаях, когда
пограничный слой расположен в окрестности точки х = 0, (а его толщина имеет порядок е),
решение ищется в виде
У = 2/0 (?, г))
f = ж, ц = ?~1[g0(x) -\-egi(x) + ?2g2(x) + ...],
где функции yk = 2/fc(?5 v)? 9k = 9k(x) подлежат определению. Производная по х вычисляется
по правилу:
d д i д 8,1/,, 1,21, \ д
б?ж д? дг] д? ? х ' дг]
На члены асимптотических разложений в рассматриваемой области накладываются дополни-
дополнительные условия: ук+\/ук = 0A), Як+х/Як = 0A) при & = 0, 1, ...; #о(ж) ->• ж при х ->• 0.
Замечание. Метод двухмасштабных разложений используется также для решения задач
механики и физики, описываемых уравнениями с частными производными.
0.3.4-4. Метод сращиваемых асимптотических разложений.
1°. Характерные особенности метода сращиваемых асимптотических разложений сначала про-
проиллюстрируем на примере решения конкретной краевой задачи (вид асимптотических разло-
разложений указан в седьмой строке табл. 3). Затем опишем возможные обобщения и модификации
метода.
Пример 3. Рассмотрим линейную краевую задачу
zy'L + У'Х+ f(x)y = 0, B7)
3/@)= а, з/A) = Ь, B8)
40 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
где 0 < /@) < оо.
При е = 0 происходит вырождение уравнения B7); решение соответствующего уравнения первого
порядка
у'х + f(x)y = 0 B9)
не может удовлетворить сразу обоим граничным условиям B8). Можно показать, что должно быть опущено
условие при х = 0 (в окрестности этой точки возникает пограничный слой).
Главный член внешнего разложения у = уо(х) + О(е) описывается уравнением B9). Его решение,
удовлетворяющее второму граничному условию B8), имеет вид
] C0)
Старший член внутреннего разложения в пограничном слое вблизи левой границы ищем в виде
(см. третий столбец седьмой строки табл. 3):
у = yo(z) + O(e), z = х/е, C1)
где z — растянутая переменная. Подставив C1) в уравнение B7) и выделив члены при е~1, получим
»о + Уо = 0, C2)
где штрихи обозначают производные по z. Решение уравнения C2), удовлетворяющее первому граничному
условию B8), имеет вид
?/q = a — С + Се . \^J
Постоянная интегрирования С определяется из условия сращивания главных членов внешнего и внутрен-
внутреннего разложений:
/ п\ ~ / \ ^44^
Подставив C0) и C3) в условие C4), получим
Г1
C = a-be<f>, где < / >= / f(x)dx. C5)
Jo
Учитывая формулы C0), C1), C3), C5) приближенное решение можно представить в виде:
Г be<f> + (а - be<f>)e-x/? при 0 ^ х ^ О(е),
У=\ \ f1 1 C6)
I b exp / /(С) ^ при О(е) ^ ж ^ 1.
Видно, что внутри тонкого пограничного слоя, толщина которого пропорциональна е, решение быстро
меняется на конечную величину А = Ье<^> — а.
Чтобы определить функцию у на всем отрезке х Е [0,1] с помощью формулы C6) надо в некоторой
промежуточной точке х = х0 «переключаться» с одной части решения на другую. Такое переключение
не слишком удобно и на практике вместо двойной формулы C6) часто используют составное решение.
В подобных случаях оно определяется так:
У — Уо\х) ~г Уо\%) ^? ^ = lim Уо\х) = lim Уо\^)'
В рассматриваемой задаче А = Ье<^> и составное решение принимает вид
Г1
у = la-i
При е <С х <С 1 оно переходит во внешнее решение у$(х), а при 0 <С х <С ? — во внутреннее решение,
давая тем самым приближенное описание искомой величины во всей рассматриваемой области.
2°. Рассмотрим теперь уравнение общего вида
ey'L =F{x,y,y'x) C7)
с граничными условиями B8).
Для главного члена внешнего разложения у = г/о (ж) + ... имеем уравнение
F(x,yo,yo) = 0.
В общем случае при использовании метода сращиваемых асимптотических разложений
положение пограничного слоя и вид внутренней (растянутой) переменной должны определяться
в ходе решения задачи.
Сначала предположим, что пограничный слой расположен в окрестности левой границы.
В уравнении C6) сделаем замену z = x/6(e); после чего представим его в виде
C8)
Зависимость S = S(e) выбирается из условия, что величина в правой части уравнения C8) имеет
отличный от нуля конечный предел при е —»¦ 0 (при условии, что величины z, у, y'z имеют
порядок единицы).
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка 41
Пример 4. При F(x,y,yfx) = —kxxy'x + у, где О <С Л < 1, замена z = х/8(е) приводит уравнение
C7) к виду
y"z = kz yz + —у-
? ?
Для того, чтобы правая часть этого уравнения имела отличный от нуля конечный предел при е —>¦ 0 надо
положить 51+х /е = 1 (вместо единицы можно взять любую положительную константу). Отсюда получим
1
искомую зависимость 6 = е 1+х .
Главный член внутреннего разложения в пограничном слое у = yo(z) + ... описывается уравнением
2/о + kzxy'o = 0, где штрихи обозначают производные по z.
При неправильном выборе положения пограничного слоя не удается срастить внешнее
и внутреннее разложение. В этом случае надо рассмотреть случай, когда пограничный слой
расположен справа (этот случай сводится к предыдущему заменой х = 1 — z). В рассмотренном
выше примере 4 пограничный слой расположен слева при к > О, и справа — при к < 0.
При построении дальнейших членов разложения процедура сращивания (см. табл. 3,
седьмая строка, последний столбец) в развернутом форме имеет вид:
внутреннее разложение внешнего разложения (разложение у при х —»¦ 0) =
= внешнее разложение внутреннего разложения {разложение у при z —ь оо).
Замечание 1. Метод сращиваемых асимптотических разложений применяется также для
построения периодических решений сингулярно возмущенных уравнений (например, в задаче
о релаксационных колебаниях осциллятора Ван-дер-Поля).
Замечание 2. В некоторых задачах может возникать два пограничных слоя [например,
когда правая часть уравнения C7) не зависит явно от у'х].
Замечание 3. Метод сращиваемых асимптотических разложений используется также для
решения уравнений (рассматриваемых в полу ограниченных областях), которые не вырождаются
при е = 0. В этих случаях пограничные слои отсутствуют, во внутренней области используется
исходная переменная, а во внешней области вводится растянутая координата.
Замечание 4. Метод сращиваемых асимптотических разложений успешно применяется
для решения различных задач математической физики, описываемых уравнениями с частными
производными (он играет большую роль в теории тепло- и массопереноса и гидродинамики).
® Литература к разд. 0.3.4: М. Ван-Дайк A967), В. Вазов A968), Н. Н. Моисеев A969), Ю. А. Ми-
тропольский A971), Дж. Коул A972), Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский A974) Е. Ф. Мищенко,
Н. X. Розов A975), А. Найфе A976, 1984), Е. А. Гребеников A986), В. Н. Богаевский, А. Я. Повзнер A987),
В. Ф. Журавлев, Д. М. Климов A988), А. М. Ильин A989).
0.3.5. Метод Галеркина и его модификации (проекционные методы)
0.3.5-1. Общий вид приближенного решения.
Рассмотрим краевую задачу для уравнения
Ш - /(*) = о A)
с линейными однородными граничными условиями при х = х±их = Х2 (х\^х^Х2). Здесь 5—
линейный или нелинейный дифференциальный оператор второго (или более высокого) порядка,
у = у{х) —искомая величина, / = f(x) —некоторая заданная функция. Считается, что ^[0] = 0.
Выберем некоторую последовательность линейно независимых функций
<р = <рп(*) (n=l,2,...,N), B)
удовлетворяющих тем же граничным условиям, что и функция у = г/(ж). Во всех рассматрива-
рассматриваемых далее методах приближенное решение уравнения A) ищется виде линейной комбинации
N
yN = ^Anipn(x), C)
71 = 1
где коэффициенты Ап заранее неизвестны и подлежат определению в ходе решения задачи.
Конечную сумму C) называют аппроксимирующей функцией. Остаток Ядг, полученный в
результате подстановки конечной суммы C) в левую часть уравнения A), имеет вид
Rn = $[ук] - /. D)
Если остаток Rn тождественно равен нулю, то функция ун будет точным решением
уравнения A). В общем случае Rn ф 0.
42 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.3.5-2. Метод Галеркина.
Для определения коэффициентов разложения Ап в сумме C) возьмем другую последователь-
последовательность линейно независимых функций
ф = фк(х) (k = l,2,...,N). F)
Умножим обе части D) на фк и проинтегрируем по области V = {х\ ^ х ^ жг}, в которой
ищется решение уравнения A). Потребуем, чтобы соответствующие интегралы обращались в
нуль, как это имеет место для точного решения. В результате для определения неизвестных
коэффициентов Ап получим систему линейных алгебраических уравнений
[x = 0 (к = 1,2, ...,7V). G)
JXl
Равенства G) означают, что аппроксимирующая функция C) удовлетворяет уравнению A)
«в среднем» (т. е. интегрально) с весовыми элементами фк • Если ввести скалярное произведение
ГХ2
любых двух функций д и h по формуле <g,h>= ghdx, то уравнения G) можно трактовать
JXl
как условия ортогональности остатка Rn ко всем взвешивающим функциям фк •
Метод Галеркина позволяет решать не только краевые задачи, но и задачи на собственные
значения (в этом случае полагают / = Ху и одновременно ищут собственные функции уп и
собственные значения параметра Хп).
Обоснование применимости метода Галеркина к конкретным краевым задачам можно найти
в специальной литературе, приведенной в конце разд. 0.3.5. Ниже описаны другие методы,
которые являются частными случаями метода Галеркина.
Замечание. В качестве членов (рп(х) в аппроксимирующей функции C) чаще всего
выбирают подходящие последовательности многочленов или тригонометрических функций.
0.3.5-3. Методы Бубнова — Галеркина, моментов и наименьших квадратов.
1°. Последовательности функций B) и F) в методе Галеркина можно выбирать произвольным
образом. В частном случае, когда обе последовательности одинаковы:
<Рк(х) = Ых) (k = l,2,...,N), (8)
указанный метод принято называть методом Бубнова — Галеркина.
2°. Метод моментов характеризуется тем, что в качестве взвешивающих функций в F) выби-
выбираются степенные функции
фк=хк. (9)
3°. Иногда функции фк определяют через функции срк при помощи равенств
Фк = ЗМ (к = 1, 2, ...),
где 5 — дифференциальный оператор, входящий в уравнение A). Эту разновидность метода
Галеркина называют методом наименьших квадратов.
0.3.5-4. Метод коллокаций.
В методе коллокаций выбирается последовательность точек Хк, где & = 1, 2, ..., N, и требуется,
чтобы остаток D) в этих точках обращался в нуль:
RN = 0 при х = хк (к = 1, 2, ..., N). A0)
Точкам Хк, в которых остаток Rn полагается равным нулю, придается наибольшее значение
при решении конкретной задачи. Число коллокационных точек N выбирается равным числу
членов ряда C), что позволяет получить замкнутую систему алгебраических уравнений для
определения неизвестных коэффициентов Ап (эта алгебраическая система будет линейной, если
рассматривается линейная краевая задача).
Отметим, что метод коллокаций является частным случаем метода Галеркина, когда функ-
функциональная последовательность F) выбирается в виде дельта-функций:
фк = S(x -Хк).
В методе коллокаций не требуется вычисления интегралов, что сильно упрощает процедуру
решения нелинейных задач (хотя точность полученных приближенных результатов обычно
ниже, чем при использовании других модификаций метода Галеркина).
0.3. Нелинейные уравнения второго порядка 43
0.3.5-5. Метод разделения области.
Рассматриваемая область V={xi ^ х ^ жг} разбивается на N подобластей: Vk={xki
где А; = 1, 2, ..., N. Взвешивающие функции в методе разделения областей выбираются так:
1 в области Т4,
вне области 14 •
Выбор подобластей Vk диктуется специфическими особенностями задачи и в общем случае
может быть произвольным (совокупность всех подобластей Vk может и не заполнять всю
область V, а отдельные подобласти Vk и Vm могут перекрывать друг друга).
фу
, _ Г 1
10
0.3.5-6. Метод квадратичной ошибки.
Иногда для определения коэффициентов Ап аппроксимирующей функции C) используется
метод квадратичной ошибки, основанный на минимизации функционала
Ф = / R2Ndx ->> min. A1)
JXl
При заданных элементах срп в C) интеграл Ф является квадратичным полиномом относительно
коэффициентов Ап. Необходимые условия минимальности A1) в этом случае имеют вид
^- = 0 (п = 1, 2, ...,Л0
и представляют собой систему алгебраических уравнений для определения Ап.
® Литература к разделу 0.3.5: Л. В. Канторович, В. И. Крылов A962), М. А. Красносельский, Г. М. Вай-
никко, П. П. Забрейко и др. A969), С. Г. Михлин A970), В. A. Finlayson A972), D. Zwillinger A989).
0.3.6. Метод последовательных приближений и численные методы
0.3.6-1. Метод последовательных приближений.
Метод последовательных приближений состоит из двух этапов. На первом этапе задача Коши
У хх = f(x,y,yx) (уравнение), A)
у(х0) = ?/о, Ух(х0) = г/о (начальные условия) B)
с помощью введения новой переменной и(х)=у'х сводится к эквивалентной системе интеграль-
интегральных уравнений
и(х) = уо+ Г fit, y(t),u(t)) dt, y(x) = уо+ Г u(t) dt. C)
Jxq Jxq
Затем решение системы C) ищется с помощью последовательных приближений по формулам
рх рх
ип+\(х) = г/о + / f(t,yn(t),un(t))dt, Уп+\{х) = уо + / un(t)dt\ п = 0, 1, 2, ...
Jxq Jxq
В качестве начального приближения можно взять числа г/о (ж) = г/о, ш(х) = у'о.
0.3.6-2. Метод Рунге — Кутты.
Для численного интегрирования задачи Коши A)-B) часто используют метод Рунге — Кутты.
Пусть Ах — некоторое достаточно малое число. Введем обозначения:
хк = хо + кАх, Ук=у(хк), Ук=Ух{хк), fk= f(xk,yk,y'k)\ k = 0, 1, 2, ...
Искомые значения ук и у'к последовательно вычисляются по формулам
Ук+i =Ук+ Ук^х + |(/i + /2 + /з)(АжJ,
Ук+1 = Ук + |(/i + 2/2 + 2/з + /4)Аж,
где
/i = f(xk, Ук, у'к),
h = f(xk + уАж, ук + у^Дж, у'к + \fiAx),
/з = f(xk + lAx, yjfc + |yiAx + \fi{Ax)\ у'к + 1/2Аж),
/4 = f(xk + Ax, yk+y'k^x+\f2(Axf, у'к + hAx).
На практике величину шага Ах определяют таким же образом, что и для уравнений первого
порядка (см. замечание 2 в разд. 0.1.7-3).
44 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
0.3.6-3. Метод пристрелки.
Для решения краевой задачи, описываемой уравнением A) с граничными условиями
y(xi) = yi, у(Х2)=у2 D)
решают вспомогательную задачу Коши для уравнения A) с начальными условиями
y(xi)=yi, y'x(xi)=a. E)
(Решение задачи Коши можно получить методом Рунге-Кутты или другим численным методом.)
Величину параметра а варьируют и подбирают из условия совпадения полученного решения
у = у(х,а) в точке х = ж2 со значением, которое задается вторым граничным условием D):
у(х2,а) = у2.
Аналогичным образом строится решение краевой задачи со смешанными граничными
условиями
У(Х1)=У1, Ух(х2) +ky(x2) = У2- F)
В этом случае также решается вспомогательная задача Коши A), E). Параметр а подбирается
из условия согласования полученного решения у = у(х,а) в точке х = Х2 со вторым граничным
условием F).
® Литература к разд. 0.3.6: Н. С. Бахвалов A973), Э. Камке A976), Г. Корн, Т. Корн A984).
0.4. Линейные уравнения произвольного порядка
0.4.1. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами
0.4.1-1. Линейные однородные уравнения.
Линейное однородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами п-го
порядка имеет вид
yin) + ап-гу^-V +¦¦¦ + а1У'х + аоу = 0. A)
Общее решение этого уравнения определяется корнями характеристического уравнения
Р(А) = 0, где P(A) = An+an-iAn~1 + --- + aiA + ao = 0. B)
Возможны следующие случаи:
1°. Все корни Ai, A2, ..., Хп характеристического уравнения B) действительны и различны.
Тогда общее решение линейного однородного дифференциального уравнения A) имеет вид
у = С\ exp(Aix) + C2 ехр(А2ж) + • • • + Сп ехр(Апж).
2°. Имеется т равных действительных корней: Ai = A2 = • • • = Хт (m ^ п), другие корни
действительны и различны. В этом случае общее решение определяется формулой
у = exp(AiaO(Ci + С2х + • • • + С^ж™) +
+ Cm+i exp(Am+ix) + Ст+2 ехр(Ат+2ж) Н \-Сп ехр(Апж).
3°. Имеется т равных комплексно сопряженных корней: А = а ± i/З Bт ^ п), другие корни
действительны и различны. В этом случае общее решение имеет вид
у = ехр(аж) cos(/3x)(Ai + А2х -\ Ь Атжт) +
+ ехр(аж) sin(^aj)(-Bi + В2х -\ h Бтжт) +
+ C2m+i ехр(А2т+1ж) + С2т+2 ехр(А2т+2ж) -\ \- Сп ехр(Апж),
где А\, ..., Аш, В\, ..., Вш, C2m+i, ..., Сп — произвольные постоянные.
4°. В общем случае, когда имеются г различных корней Ai, А2, ..., Аг с кратностями
mi, ?тг2, ..., mr, левую часть характеристического уравнения B) можно представить в виде
произведения:
Р(Х) = (А - Ai)mi (А - А2)т2 ... (А - ХгГг,
где mi + ГП2 + • • • + тг = п. Общее решение исходного уравнения дается формулой
г
y = J2 exp(A^)(Cfc,0 + Ck,ix + ¦¦¦ + Ck^-ix"-1),
fc = l
где С к,i —произвольные постоянные.
Если имеются комплексно сопряженные корни уравнения Р(А), то в указанном решении
следует выделить действительную часть с учетом формулы: exp(a ± i/3) = ea(cosf3 ± isin/3).
0.4. Линейные уравнения произвольного порядка
45
ТАБЛИЦА 3
Вид частных решений неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами
Ух + ап_1ух~ + • • • + а>\Ух + аоу = f(x) для правой части специального вида
Вид правой
части f(x)
Рт(х)еа*
(а — действи-
действительное число)
Рт(х)сО8Рх +
+ Qn(x) sinCx
[Рт(х] cos(Зх +
+ Qn(x)sinCx]eax
Корни характеристического уравнения
Хп + ап_1\п~1 + • • • + аг\ + а0 = 0
Число 0 не является корнем
характеристического уравнения (т. е. а0 ф 0)
Число 0 является корнем
характеристического уравнения (кратности г)
Число а не является корнем
характеристического уравнения
Число а является корнем
характеристического уравнения (кратности г)
Число i/З не является корнем
характеристического уравнения
Число i/З является корнем
характеристического уравнения (кратности г)
Число а + i/З не является корнем
характеристического уравнения
Число а + i/З является корнем
характеристического уравнения (кратности г)
Вид частного
решения у = у(х)
PrnW
хгРт(х)
х*Рт{х)еа*
Pu(x)cosCx +
+ Qu(x)sin/3x
xr[Pu(x) cos (Зх +
+ Qu(x)8inPx]
[Pu(x)cosCx +
+ Qu(x)sinpx]eax
xr[Pu(x) cos j3x +
+ Qu(x)sinf3x]eax
Обозначения: Рт и Qn —многочлены степени типе заданными коэффициентами; Рт и PU,QU —
многочлены степени т и v, коэффициенты которых определяются в результате подстановки данного
частного решения в исходное уравнение; v = max(m, n)\ г2 = — 1.
0.4.1-2. Линейные неоднородные уравнения.
Линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами п-го
порядка имеет вид
yin) + an-iyi71'^ + • • • + сыух + аоу = f(x). C)
Общее решение этого уравнения складывается из общего решения соответствующего од-
однородного уравнения (см. разд. 0.4.1-1) и любого частного решения неоднородного уравнения.
Если все корни Ai, А2, • • •, Ап характеристического уравнения B) различны, то уравнение C)
имеет общее решение
у =
"* dx
(при наличии комплексных корней в решении следует выделить действительную часть).
Вид частного решения для некоторых конкретных функций в правой части линейного
неоднородного уравнения указан в табл. 3.
В общем случае частное решение строится по формулам из разд. 0.4.2-3.
® Литература к разд. 0.4.1: В. В. Степанов A958), Э. Камке A976), А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева,
А. Г. Свешников A980), Г. Корн, Т. Корн A984), D. Zwillinger A989).
0.4.2. Линейные уравнения с переменными коэффициентами
0.4.2-1. Линейные однородные уравнения. Структура общего решения.
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка
fn(x)yin) + fn-iyin-r) + ¦¦¦ + fi(x)y'x + Мх)у = 0
A)
46 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
имеет вид
у = Ciyi(x) + С2у2(х) + • • • + Спуп(х), B)
где у\ (ж), ?/2(ж), ..., г/те(ж) — фундаментальная система решений (г/д. —линейно независимые
частные решения, у к ф 0); С\, Съ, • • •, Сп — произвольные постоянные.
0.4.2-2. Использование частных решений для понижения порядка уравнения.
1°. Пусть у\ = у\ (х) — нетривиальное частное решение уравнения A). Подстановка
у = у\ (х) / z(x) dx приводит к линейному уравнению (п — 1)-го порядка для функции z(x).
2°. Пусть у\ = у\{х) и ?/2 = 2/2(х) —два нетривиальных линейно независимых решения
уравнения A). Замена у = у\ \ y2w dx — у2 yiw dx приводит к линейному уравнению
(п — 2)-го порядка для функции w(x).
3°. Если известно т линейно независимых решений yi(x), 2/2(ж), ..., уш(х) уравнения A),
то можно понизить его порядок до (п — т) последовательным применением следующей
процедуры. Замена у = уш(х) I z(x) dx приводит к уравнению (п— 1)-го порядка для функции
z(x) с известными линейно независимыми решениями:
у _ (У1 V у _ (У2 V у _ (Угп-1 У
Zl — [ ) , Z2 — ( ) , ..., Zm-1 — I ) •
Замена z = zm-i(x) / w(x) dx дает уравнение (n — 2)-го порядка. Повторяя эту процедуру т
раз, в итоге придем к линейному однородному уравнению (п — т)-то порядка.
0.4.2-3. Детерминант Вронского и формула Лиувилля.
C)
Детерминант Вронского (вронскиан):
2/10*0 ••• Уп(х)
w(x)= y][y ''[ Уп}х)
где yi(x), ..., уп(х) — фундаментальная система решений однородного уравнения A);
( \ (\^^II
уук J (х) = —, m = 1, 2, ..., п — 1; к = 1, 2, ..., п.
Формула Лиувилля:
[fx f _Л(Л) 1
— / ^ dt .
^ж0 Jn\z) J
0.4.2-4. Линейные неоднородные уравнения. Построение общего решения.
1°. Линейное неоднородное дифференциальное уравнение п-го порядка имеет вид
fn(x)yin) + /n-12/i"-1' + • • • + fi(x)y'x + fo(x)y = g(x). D)
Общее решение неоднородного уравнения D) есть сумма его частного решения и общего
решения соответствующего однородного уравнения A).
2°. Пусть 2/1 (ж), ..., уп(х) — фундаментальная система решений однородного уравнения A),
a W(x) — детерминант Вронского C). Тогда общее решение линейного неоднородного уравне-
уравнения D) можно записать следующим образом:
где Wv(x) —детерминант, полученный заменой элементов v-то столбца детерминанта C) на
элементы 0, 0, ..., 0, д (идут сверху вниз, элемент д расположен снизу).
® Литература к разд. 0.4.2: В. В. Степанов A958), Э. Камке A976), А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева,
А. Г. Свешников A980), Г. Корн, Т. Корн A984), D. Zwillinger A989).
0.4. Линейные уравнения произвольного порядка 47
0.4.3. Асимптотические решения линейных уравнений
В этом разделе представлены асимптотические решения при ? —>- 0 (е > 0) некоторых линейных
обыкновенных дифференциальных уравнений старших порядков, содержащих произвольные
(достаточно гладкие) функции при вещественных значениях независимой переменной.
0.4.3-1. Уравнения четвертого порядка.
1°. Рассмотрим уравнение
Hl'L* ~ f(x)y = 0 A)
на отрезке а ^х ^Ь. При / > 0 главные члены асимптотических разложений фундаментальной
системы решений уравнения A) при е —»¦ 0 определяются формулами
2/1 = [/(х)]-3/8е
2°. Рассмотрим теперь «биквадратное» дифференциальное уравнение
?4Ухххх - 2е2д(х)у"х - f(x)y = 0. B)
Введем обозначение
D(x) = [g(x)]2 + f(x).
В области, где выполняются условия f(x) /Ои D(x) ф 0, главные члены асимптотических
разложений фундаментальной системы решений уравнения B) имеют вид
- f\k(x)dx-\ flbkfi^
e J 2 J VD(X)
h — 1 О Q Л
ft/ — 1, Z,, О, 4:,
L ? J z J V^W )
где
Ai(x) = yjg(x) + л/^(ж), Л2(ж) = -\jg{x) + л/Г)(ж),
Xs(x) = \jg{x) - VD{x~), X4(x) = -
0.4.3-3. Уравнения любого порядка.
1°. Рассмотрим уравнение
snyin) - f(x)y = 0 C)
на отрезке а ^ х ^ Ъ. Пусть / ф 0. Тогда главные члены асимптотических разложений
фундаментальной системы решений уравнения C) при е —»¦ +0 имеют вид
Ут = [№]-* + ^ expj^ J[f(x)]^ da;J[l + O(e)],
где cji, CJ2, ..., 0;^ —корни уравнения шп = 1:
cjm = cos + г sin , т = 1, 2, ..., п.
\ п / \ п )
2°. Рассмотрим теперь уравнение вида
en2/in) + en/n-i(xJ/in) + • • • + e/i(*)l4 + M*)v = 0 D)
на отрезке а ^ х ^b. Обозначим Лт = Хт(х) (т = 1, 2,..., п) —корни характеристического
уравнения
Р(х, Х) = \п+ fn-^x)^-1 + ¦¦¦ + Ых)\ + fo(x) = 0.
Пусть все корни характеристического уравнения различны на отрезке а ^ х ^ Ь, т. е.
удовлетворяют неравенствам Хш(х) ф Хк(х) при т ф к, которые эквивалентны условиям
Р\(х, Хт) ф 0. Тогда главные члены асимптотических разложений фундаментальной системы
решений уравнения D) при е —»¦ +0 даются формулами
г/т = ехР^ - / \m(x)dx - - / [\т(х)]'х лл; '.•":;/ <ь \,
48 Введение. Некоторые определения, уравнения, методы и решения
в которых использованы краткие обозначения:
Рх(х, \) = ^—= п\п~1 + (п - l)fn-1(x)Xn-2 + ... + 2\f2(x) + Д(х),
ил
Рхх(х, \) = ^=п(п- 1)Хп-2 + (п - 1)(п - 2)fn-1(x)Xn-s + ... + 6Xfs(x) +
® Литература к разд. 0.4.3: В. Вазов A968), М. В. Федорюк A983).
0.5. Нелинейные уравнения произвольного порядка
5.1.1. Вид общего решения. Задача Коши.
0.5.1-1. Уравнения, разрешенные относительно производной. Общее решение.
Обыкновенное дифференциальное уравнение п-го порядка, разрешенное относительно старшей
производной, имеет вид
у^^Пх^у',,...^-*). A)
Общее решение этого уравнения зависит от п произвольных постоянных С\,..., Сп. В ряде
случаев общее решение удается записать в явном виде у = ip(x,Ci,... ,Сп)-
0.5.1-2. Задача Коши. Теорема существования и единственности.
1°. Задача Коши: требуется найти решение уравнения A), удовлетворяющее начальным ус-
условиям
уЫ = уо, у'хЫ = у?\ •••> У{Г1)Ы = у{Г1)- B)
(В точке хо задается искомая величина у о и все ее производные до порядка п— 1 включительно.)
2°. Теорема существования и единственности. Пусть /(ж, у, zi,..., zn-i) является непрерыв-
нои функцией всех аргументов в некоторой окрестности точки (жо,2/о,2/о > • • • > У о ) и в
этой окрестности имеет ограниченные частные производные по всем аргументам, начиная со
второго. Тогда существует единственное решение уравнения A), удовлетворяющее начальным
условиям B).
® Литература к разд. 0.5.1: В. В. Степанов A958), И. Г. Петровский A970), Э. Камке A976), А. Н. Ти-
Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников A980), Г. Корн, Т. Корн A984).
0.5.2. Уравнения, допускающие понижение порядка
0.5.2-1. Уравнения, не содержащее явно у,у'х,..., г/ж •
В общем случае уравнения, не содержащие искомой функции и ее производных до порядка к
включительно, имеют вид
..,y^))=Q (l<fc + l<n). A)
Эти уравнения не меняются при произвольном сдвиге зависимой переменной: у —»¦ у + const
(они сохраняют свой вид также при замене и(х) = у + а^хк + • • • + а\х + ао, где ат —
произвольные постоянные). Подстановка z(x) = yi приводит A) к уравнению, порядок
которого на (к + 1) единицу меньше: F(x,z,z'x,..., Zx~ ~ ) =0.
0.5.2-2. Уравнения, не содержащее явно х (автономные уравнения).
В общем случае уравнения, не содержащее явно ж, имеют вид
F(y,y'x,...,yin))=0. B)
Эти уравнения не меняются при произвольном сдвиге независимой переменной: х —>- х + const.
Подстановка у'х = w(y) (у играет роль независимой переменной) понижает порядок автоном-
автономного уравнения на единицу. Старшие производные выражаются через w и ее производные по
новой независимой переменной: у"х = ww'y, y'xXX = w2wfyy + w(w'yJ, ...
0.5. Нелинейные уравнения произвольного порядка 49
0.5.2-3. Уравнения вида F{ax + Ьу,у'х,..., у{хп)) = 0.
Эти уравнения не меняются при одновременном сдвиге независимой и зависимой переменных
по правилу: х —»¦ х + be, у —»¦ у — ас, где с — произвольная постоянная.
При Ь = 0 см. уравнение A). При ЬфО замена w(x) = y+ (а/Ь)х приводит к автономному
уравнению вида B).
0.5.2-4. Уравнения вида F(x, xy'x -у,ухх,..., у{хп)) = 0.
Замена w(x) = ху'х — у понижает порядок этого уравнения на единицу.
0.5.2-5. Однородные уравнения.
1°. Однородные уравнения относительно независимой переменной не меняются при растяже-
растяжении (сжатии) независимой переменной по правилу: х —»¦ ах, где а— произвольная постоянная
[а ф 0). В общем случае они могут быть записаны в виде
F(v ту' г2?/' тпу^пЛ — 0
Г \У-> ^Ух1 ^ Ухх1 • • • j «^ Ух ) — и-
Подстановка z(y) = ху'х понижает порядок данного уравнения на единицу.
2°. Однородные уравнения относительно зависимой переменной не меняются при растяжении
(сжатии) искомой величины по правилу: у —»¦ ау, где а — произвольная постоянная (а ф 0). В
общем случае они могут быть записаны в виде
F(x, y'Jy, y'L/y,---,yin)/y)=0-
Подстановка z(x) = у'х/у понижает порядок данного уравнения на единицу.
3°. Однородные уравнения относительно двух переменных не меняются при одновременном
растяжении (сжатии) независимой и зависимой переменных по правилу: х —»¦ ах, у —»¦ ау, где
а — произвольная постоянная (а ф 0). В общем случае они могут быть записаны в виде
Г \У/Х1 Ух-i ^Ухх-) • • • 1 х Ух ) — и-
Преобразование t = In \x\, w = у/х приводит к автономному уравнению из разд. 0.5.2-2.
0.5.2-6. Обобщенно-однородные уравнения.
1°. Обобщенно-однородные уравнения не меняются при одновременном растяжении (сжатии)
независимой и зависимой переменных по правилу: х —»¦ ах, у -Лаку, где а ф 0 — произвольная
постоянная, а к — некоторое число. Они могут быть записаны в виде
F/ — к 1 — к I п — к (п)\ п
(х у,х ух,...,х ух }) =0.
Преобразование t = In ж, w = x~ky приводит к автономному уравнению из разд. 0.5.2-2.
2°. Наиболее общая форма записи обобщенно-однородных уравнений:
F(xnym,xy'x/y,---,xny(xn)/y)=0.
Преобразование z = хпут, и = хух/у понижает порядок данного уравнения на единицу.
0.5.2-7. Уравнения вида F(eXxyn, у'х/у, у'^/у, ..., ухп)/у) = 0.
Эти уравнения не меняются при одновременном сдвиге и растяжении переменных по правилу:
х —>- х + а, у —>- /Зу, где C = ехр(—аХ/п), а — любое. Преобразование z = еХхуп, w = ух/у
приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
0.5.2-8. Уравнения вида F(xneXy, ху'х, х2ухх, ..., хпухп)) = 0.
Эти уравнения не меняются при одновременном растяжении и сдвиге переменных по правилу:
х —>- ах, у —> у + /3, где а = ехр(—/ЗХ/п), C — любое. Преобразование z = хпеХу, w = хух
приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
® Литература к разделу 0.5.2: В. В. Степанов A958), А. Ф. Филиппов A970), Н. М. Матвеев A970),
Э. Камке A976), М. Л. Краснов, А. И. Киселев, Г. И. Макаренко A978), Г. Корн, Т. Корн A984), В. Ф. Зайцев,
А. Д. Полянин A993, 1995, 1997).
4 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
1. Уравнения первого порядка
1.1. Простейшие уравнения, содержащие произвольные
функции, интегрируемые в замкнутой форме*
1.1.1. Уравнения вида ух = f(x)
Решение:** у = / f(x) dx + С.
1.1.2. Уравнения вида ух = f(y)
Решение: х = / Ь С.
J /Ы
Частные решения: у = Ак, где А& — корни алгебраического уравнения f(Ak) = 0.
1.1.3. Уравнение с разделяющимися переменными ух = f(x)g(y)
: Г -^- = Г f(x) dx + С.
J д{у) J
Решение: Г ^
J д{у)
Частные решения: у = Ак, где Аи — корни алгебраического уравнения д(Ак) = 0.
Замечание. Уравнения вида fi(x)gi(y)yfx = /2(^)^2B/) путем деления обеих частей
на figi приводятся к уравнению 1.1.3.
1.1.4. Линейное уравнение д(х)ух = fi(x)y + fo(x)
Решение:
it — CeF 4- eF I r~F -*°^Х) rjr me F(r) — I Jiyaj) dr
1.1.5. Уравнение Бернулли д(х)ух = fi(x)y + fn(x)yn
Здесь n — любое число. Подстановка w(x) = г/11 приводит к линейному уравнению:
Решение:
1-?г _ ^е _|_ и — п)е / е~ п dx, где Fix) = A — п) / с/ж.
J g(x) J g(x)
1.1.6. Однородное уравнение ^ = f(y/x)
Подстановка гг(ж) = у/х приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
хи'х = f(u) — и.
Решение: / = In \х\ + С.
J f(u) - и
Частные решения: у = АкХ, где А к — корни алгебраического (трансцендентного)
уравнения Ак — f(Ak) = 0.
* В книге не рассматриваются частные случаи уравнений 1.1.1—1.1.5 для конкретных функций
/, /о, /ь /п, д\ эти уравнения легко определяются по внешнему виду и соответствующие
решения могут быть получены путем использования общих формул, приведенных в разделе 1.1.
** Здесь и далее вместо «общее решение» для краткости часто будем писать «решение».
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 51
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x)
1.2.1. Представление общего решения с помощью частного
При /г = 0 имеем линейное уравнение (см. 1.1.4), а при /о = 0 — уравнение Бернулли (см. 1.1.5
при п = 2), решения которых были приведены ранее. Ниже рассматриваются уравнения, когда
/о/2 ^ 0.
Если известно частное решение уравнения Риккати уо = уо(х), то общее решение находится
по формуле
, где Ф(ж)=е
J
Частному решению г/о (ж) соответствует значение С = оо.
Для конкретных уравнений, рассмотренных далее в разделах 1.2.2-1.2.9, часто будут
указаны только частные решения. Общие решения этих уравнений можно получить с помощью
приведенной выше формулы.
1.2.2. Уравнения, содержащие степенные функции
1. у'х = ау2 + Ъх + с.
При Ь = 0 это — уравнение вида 1.1.2. При 6/0 замена bt = bx + c приводит к уравнению
вида 1.2.2.4: y't = ay2 + Ы.
2. у'х=у2 - а2х2 + За.
Частное решение: уо = ах — ж.
3. 2/L = 2/2 + «ж2 + Ъх + с.
Частный случай уравнения 1.2.2.9 при а = 0, /3 = 0.
4. ^ = ат/2 + Ьхп.
Специальное уравнение Риккати, п — любое.
Решение: у = — —, где
а и
Ji (-Va~bxq)+C2Y1 (-y/abxq)], q
^W 2^ q 2
Jrn(z) и Ym(z) — функции Бесселя, п / —2. При n = — 2 см. уравнение 1.2.2.36.
5. у'т=у2 + anx71-1 - а2х2п.
Частное решение: уо = ахп.
6. у'х = ау2 + Ьж2тг + еж71.
При п =—1 см. уравнение 1.2.2.36. При п/—1 преобразование ?= хп+1, г] = ух~п
п + 1
приводит к уравнению вида 1.2.2.25: ?77* + а^ + ^ = 6? + •
п + 1 п + 1
7. УХ=У2 + ахпу + аж71.
Частное решение: ?/о = —1/х.
8. 2/4 =г,2+ажГ1?/ + ЬЖГ1-1.
Замена |/ = —и'х/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.42:
и'пх - ахпих + Ъхп~1и = 0.
9. У'Х=У2 + {olx + /3)т/ + аж2 + Ъх + с.
Замена ?/ = —их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.28:
и'хх - (ах + /3)их + (ах2 + Ьх + с)и = 0.
52 Уравнения первого порядка
Ю. у'х = у2 + ахпу — abxn — Ъ2.
Частное решение: уо = Ь.
11. ух = ахпу2 + Ъх~п~2.
Решение:
г~г л [ du „ Га n+\ г. п + 1
л/ао In х = / —т h 6, где и = \ — х у, В = —^^.
j иЧ^и + 1 ]/ b Vab
12. ^ = ахпу2 + Ьж™.
1°. При п ф — 1 замена ? = жп+1 приводит к уравнению вида 1.2.2.4:
„ и т — п
' — 2 А- ? п+1
2°. При п = — 1 и т ф — 1 преобразование ? = жт+1, w = — 1/г/ приводит к уравнению
вида 1.2.2.4:
Ь 2 . а ._1
+С •
+ 1
2
w
гтг + 1 m +
3°. При п = m = — 1 решение имеет вид
1п|х|= Г-р— + С.
J ay2 +b
13. ty^, = ty2 + к(ах + 6Oг(сж + с?)—7г~4.
Преобразование ? = , и = — [(еж + с/Jг/ + с(сж + с?)], где А = ad — be, приводит
сх + d A
к уравнению вида 1.2.2.4: и'^ = и2 + кА~2^п.
14. ^ = ахпу2 + Ъгпх™'1 - ab2xn+2rn.
Частное решение: уо = 6жт.
Частное решение: г/о = ж1.
16. yi = axn?/2 + Ьж™;*/ + беж7" - а^ж71.
Частное решение: г/о = —с.
17. ^ = axn?/2 - ажтгFжттг + с)у + Ьтиж.
Частное решение: уо = 6жт + с.
18. 1уж ^ —CLTix у -\- сх (ах -\- Ъ)у — сх
Частное решение: уо = (ахп + б).
^л / та 2 . » тп . i k — 1 1 т-\-к 2 п-\-2к
19. 1уж = аж ty + ох у + слзж — беж ^ — ас ж ^
Частное решение: гуо = сяА
20. ty^ = (ах2п + Ьхп-1)у2 + с.
Замена гу = —1/w приводит к уравнению вида 1.2.2.6: w'x = сги2 + аж2гг + Ъхп~1.
21. ж^Уж = ау2 -\- Ъу -\- сх2 .
Преобразование t = xb, w = x~by приводит к уравнению с разделяющимися перемен-
переменными: hw't = aw2 + с.
22. Ж1у^ = ау + bty + еж71.
Преобразование ? = ж&, г/ = 2/ж~ь приводит к специальному уравнению Риккати 1.2.2.4:
щ = —К) + — ? , где т = — - 2.
0 0 О
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 53
23. хух = ay2 + (n + bxn)y + cx2n.
Замена у = wxn приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
wx = xn~1(aw2 + bw + с).
24. ж^ = ж?/2 + ау + Ьж™.
Замена ?/ = —и'х/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.62:
хи'хХ — аи'х + Ъхпи = 0.
25. ху'х + а3ху2 + а2?/ + сцх + а0 = 0.
Замена сад = гг^/гг приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.59:
' 4
хи'хх + ci2i4 + as(aix + ао)гб = 0.
26. жт/^, = ахпу2 + by + сх~п.
Замена w = yxn приводит к уравнению с разделяющимися переменными: xw'x = aw2 +
+ (b + п)гу + с.
27. ж^ = ахпу2 +rny - ab2xn+2rn.
Частное решение: г/о = &жт.
28. ж^ = х2пу2 + (т - n)i/ + ж2™.
-— + с).
п-\-т /
29. ж^ = ожп?/2 + 6?/ + еж™.
Преобразование ? = хп~ъ, ц = г/ж& приводит к специальному уравнению Риккати 1.2.2.4:
/,т\/ 2 . j-k 1
(п + Ь)щ = ац +с? , где к =
n + 6
30. xy'x = ax2ny2 + (bxn — n)y + c.
При n = 0 это — уравнение с разделяющимися переменными. Решение при п ф 0:
71 / 2~Г7—i— =хп + С, где w = yxn.
J aw2 + bw + с
Замена w = yxn приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
32. (а2ж + Ь2){ух + Aty2) + (aix + bi)?/ + аож + 6о = 0.
Замена Ху = гг^/гг приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
/ р у ур
)и'хх + (сцх + Ъ\)и'х + Л(аож + Ьо)и = 0.
33. (аж + с)ух = а.(ау + 6жJ + /3(ау + 6ж) — 6ж + 7-
Замена t = ау + Ьх приводит к линейному уравнению относительно х = ж(?):
(aat2 + j3at + 7^ + bc)x't = ах + с.
34. 2ж2з/ш = 2т/2 + жт/ - 2а2ж.
Частное решение: г/о = ау^-
35. 2ж2^ = 2ty2 + Зж1у - 2а2ж.
Частное решение: г/о = a^/ж .
36. х2ух = ах2у2 + 6.
ж2а (х2а
Решение: г/ = — — ж2а ( х2а + С) , где Л — корень квадратного уравнения
х V 2а\ + 1 /
а\2 + Л + Ъ = 0.
54 Уравнения первого порядка
37. х2у'х = ах2у2 + Ъху + с.
Замена w = ху приводит к уравнению с разделяющимися переменными: xw'x = aw2 +
+ (b + l)w + c.
38. ж2^ = x2y2 - a2x4 + a(l - 2b)x2 - b(b + 1).
Частное решение: уо = ax + bx~ .
39. х ух = сх у + (аж + 6ж)т/ + аж + /Зж + 7-
Замена с?/ = —их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.134
при п = 1: х2ихх — х(ах + 6)г4 + с(ах2 -\- j3x -\- ^f)u = 0.
40. х2у'х = ах2у2 + Ьхп + с.
Замена w = ху + А, где А — корень квадратного уравнения а А2 — А + с = 0, приводит к
уравнению вида 1.2.2.22: жи4 = aw;2 + A ~~ 2аА)^ + Ъхп.
41. ж3»; = ж2:*/2 + -^-^- + ах2т(Ьхт + с)п.
Преобразование ^ = Ьхт + с, гу = х1~ту + ж~т приводит к уравнению вида
bm 2bm
1.2.2.4: ^ =^2+аFш)Г-
42. ж2т/ж = ах2у2 + бжт/ + еж771 + s.
Замена а^/ = —их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.127:
х2и"х - Ьхих + а(схш + s)u = 0.
43. х2у'х = ах2у2 + Ъху + еж2™ + еж™.
Замена а^/ = —их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.128:
х2и'1х - Ьхи'х + axm(cxm + s)u = 0.
44. х2у'х = сх2у2 + (ахп + 6)жт/ + схх2п + /Зж71 + 7-
Замена с|/ = —и'х/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.141:
х2ихх - (ахп + Ъ)хих + с(аж2п + /Зхп + 7)^ = 0.
45. ж2^ = (аж2тг + /Зхп + 7)?/2 + (ахп + 6)жт/ + еж2.
Замена у = —1/w приводит к уравнению вида 1.2.2.44:
ж2и4 = cx2w2 — (ахп + b)xw + аж2гг + /Зжп + j.
46. (ж2 - 1)у'х + ЛG/2 - 2жт/ + 1) = 0.
о 2Л-1 , 1 — Л 1
Замена у = х -\ приводит к уравнению аналогичного вида:
Л Л и(х)
(х2 - 1)и'х + (Л - 1)О2 - 2хи + 1) = 0.
Если Л = п — натуральное число, то повторным применением указанной замены исходное
уравнение может быть сведено к уравнению того же вида, но в котором Л = 1, т. е. к
уравнению 1.2.2.49 при а = 1, Ъ = — 1.
47. (аж2 + Ъ)ух + осу2 + (Зху + -^-(а + /3) = 0.
Частное решение: г/о = — ж.
48. (аж2 + Ъ)ух + а?/2 + /Зжт/ + 7 = 0.
¦ + Р 1
ж — ——- приводит
а и(х)
(ах2 + Ъ)их + (j - ^-^-Ъ]и2 + Bа + 0)хи + а = 0.
V а /
Замена г/ = — ж — ——- приводит к уравнению аналогичного вида:
а и(х)
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 55
49. (аж2 + b)yx + у2 - 2ху + A - а)ж2 -6 = 0.
Решение: у = х + ( / — + С)
\J ax2 -\- b /
50. (аж2 + Ьх + c)ty^, = ty2 + BАж + b)y + А(А — а)ж2 + /л.
Частные решения: у о = — Хх + А, где А = у ( — Ъ ± д/б2 — 4// — 4Лс J.
51. (аж2 + Ьх + c)ty^, = ty2 + (аж + /x)ty — А2ж2 + X(b — /jl)x + Ac.
Частное решение: уо = Аж.
52. (а2ж2 -\-Ь2х-\-с2)у'х = у2 -\- (aix-\-bi)y — A(A + ai — а2)ж2 + \(b2 — bi)x-\-\c2.
Частное решение: уо = Аж.
53. (а2ж + Ь2х + с2)ух = у + (агж + Ьг)у + аож + Ьож + со-
Пусть Л и /3 — корни алгебраической системы второго порядка
А2 + A(ai — а2) + ао = О, /З2 + /56i + со — Ас2 = О,
где первое уравнение решается независимо от второго (в общем случае приведен-
приведенная система имеет четыре корня). Если какой-то набор корней удовлетворяет условию
2Л/3 + Xbi -\-/3ai -\-bo — Xb2 = 0, то исходное уравнение имеет частное решение: уо = Хх-\-/3.
54. (ж — а)(ж — Ъ)у'х + у2 + к(у -\- х — а)(у -\- х — Ъ) = 0.
Случай к = 0 соответствует уравнению с разделяющимися переменными. Случай
к = — 1 соответствует линейному уравнению. При к ф — 1 и ^ / 0 используя замену
ки(х) = у -\- к(у -\- х), получим общее решение:
у + /с(г/ + ж — а)/ж — a\fc_^ , ,
2/ + /с (г/ + x-b)\x-b/
+ = С при а = Ъ.
у + к (у + ж — а) ж — а
55. (с2ж2 + b2x + a2)(ty^, + Aty2) + F1Ж + ai)ty + ао = 0.
Замена Ху = их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.166:
(С2Ж + Ъ2Х + OL2)UXX + (&1Ж + СЦI6Ж + Аао^б = 0.
56. х3у'х = ах3у2 + (Ьх2 + с)у + еж.
Замена ау = —и'х/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.170:
х?>и'хх — (Ьх2 + с)и'х + авжгб = 0.
57. х3у'х = ах3у2 + жFж + c)ty + аж + /3.
Замена ау = —их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.173:
х?>и'хх — х(Ъх + с)и'х + а(ах + /3)гл = 0.
58. ж(ж2 + а)(у'х -\- Ху2) + (Ьх2 -\- с)у + sx = 0.
Замена Агу = гг^/гг приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.177:
ж(ж2 + а)ихх + (Ьх2 + с)и'х + Авж^ = 0.
59. ж2 (ж + а)(ух + Ху2) + ж(Ьж + с)у + аж + /3 = 0.
Замена Агу = гг^/гг приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.181:
ж2 (ж + а)ихх + х(Ьх + с)их + А(аж + /3)и = 0.
60. (аж2 + Ьх + с)(ж1у^ — ty) — ty2 + ж2 = 0.
Решение: In у~х ~ ' " Г dx
У + X
61 4 / _ _ 4 2 _ 2
аж2 + 6ж + с
Решение: у= — + -^- tg (— +
ж ж2 V ж
56 Уравнения первого порядка
62. ж2 (ж2 + а)(у'х + Ху2) + ж(Ьж2 + с)у + s = 0.
Замена Ху = их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.206:
х2(х2 + а)ихх + х(Ъх2 + с)их + Asi6 = 0.
63. ах2 (х — IJ (у'х + Aty2) + 6ж2 + еж + s = 0.
Замена Ху = гг^/гг приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.205:
ах2(х - 1Jи'хх + Х(Ъх2 + сх + s)^ = 0.
64. а(ж2 - 1J(у'х + Aty2) + 6ж(ж2 - 1)у + еж2 + dx + s = 0.
Замена Агу = и'х/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.213:
а(х2 - 1Jихх + Ъх(х2 - 1)и'х + А(сж2 + dx + s)u = 0.
65. (аж2 + Ъх + cJ(ty^ + ty2) + A = 0.
Замена у = гг^/гг приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.220:
(ах2 + Ъх + сJ^ж + Ам = 0.
z'/' ?г-|-1 / 2?г 2 | * ть | ттт. | »
оо. ж 1уж ^ аж у -\- ох у -\- сх -\- а.
Замена w = хпу + А, где А — корень квадратного уравнения аА2 — (Ъ + n)A + d = О,
приводит к уравнению вида 1.2.2.22: жи4 = aw2 + (п + Ъ — 2aA)w + сжт.
67. х(ах + 6)ty^ = ctxny2 + (/3 — стж )ty + 7ж—7\
Преобразование t = xny, z = х~к приводит к уравнению с разделяющимися перемен-
переменными: [at2 + (C + bn)t + j]z't = —k(bz + a).
68. x2 (ax — l)(y'x + Aty2) + (рж + q)xy + гж + s = 0.
Замена Агу = гг^/гг приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.238:
х2(ахъ - l)uxx + (pxb + q)xu'x + Х(гхъ + s)w = 0.
69. (аж71 + Ьж™ + с)ух = су2 - Ъх™-Ху + аж71.
Частное решение: у о = — 1/ж.
70. (аж71 + bx™ + c)ty^ = ахп~2у2 + Ъхгп~1у + с.
Частное решение: гуо = ж.
71. (аж71 + бж™ + c)ty^ = axfey2 + /Зжй1у - аА2ж'г + /ЗАжй.
Частное решение: у о = —А.
72. (ахп + бж7™ + с)(ж!уж — ty) + еж (ty2 — Аж2) = 0.
Частные решения: у о = ±жл/А-
73. (ахп + Ьж™ + c)(yi, - у2) + an(n - 1)ж7г + 6m(m - 1)ж7Т1-2 = 0.
апхп~х +bmxm-1
Частное решение: уо = — -
ж™ + 6жт + с
1.2.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
1. у'х = ау2 + ЪеХх.
Замена t = еХх приводит к уравнению вида 1.2.2.22: Xtyt = ау2 + б?.
2. у'х=у2+аХеХх-а2е2Хх.
Частное решение: уо = аеХх.
3. ty^ = crty2 + a + &еЛж + се2Хх.
Замена ау = —их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.5:
и'1х + а(а + ЪеХх + се2Хх)и = 0.
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 57
4. у'х = ay2 + ay + Ьеж + с.
Замена cry = —и'х/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.10:
ихх — аи'х + &(Ьех + с) и = 0.
5. i? = у2 + Ьу + а(Л - Ъ)еХх - а2е2Хх.
Частное решение: г/о = аеЛж.
6. у'х = У2 + аеЛж?/ - аЬеЛж - б2.
Частное решение: г/о = Ь.
7. »; = W3 + ае2Аж(еЛж + 6)" - ^А2.
Преобразование ^ = еЛж + b, w = —(е~Лжг/ — —е~Лж1 приводит к уравнению вида
1.2.2.4: «4 =гу2+аЛ^п.
8. 1/L = 2/2 + ае8Хх + 6е6Лаз + се4Лаз - Л2.
Преобразование ^ = е2 ж, w = е~2 х( J приводит к уравнению вида 1.2.2.3:
2 22
9. 1/L =2/2+у +
Частное решение: г/о = —1/х.
10. yi = аеЛж1у2 + Ье-Лж.
Решение: / — = х + 6, где ^ = е у.
J az2 -\- \z -\-Ъ
11. »; = aefea!t,2 + 6е8Ж, к ф О.
Замена t = efcx приводит к уравнению вида 1.2.2.4: &г/? = аг/2 + bts~k.
12. yi = Ъе*ху2 + аЛеЛж -
Частное решение: г/о = аеЛж.
13. ^ = aeAjcty2 + by + се"Лж.
Замена ^ = еХху приводит к уравнению с разделяющимися переменными: z'x = az2 +
+ (b + Л) г + с.
Частное решение: уо = ЬеХх.
Частное решение: гуо = —Ле~ х.
14. tfc = ае*ху2 + \у-
Частное р
15. tfc = eAa3
16. ^ = -\еХху2 + ае^у - ае(Аг"л)ж.
Частное решение: у о = е~Лж.
П/ llx 2 | I (Л-|-/и.)аз * \ Лаз
ух = ае^ у + аоеК ^^} у — оле .
Частное решение: уо = —be x.
18. у; = aefeV + 6у + се8Ж + de~hx.
Замена t = екх приводит к уравнению вида 1.2.2.42: kt2y't = at2у2 + Ыу + ct{k+s^k + d.
19. у'я = aeBA+^)icj/2 + [be(x+^ - \]у + се"*.
Замена w = eXxy приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
w'x =
58 Уравнения первого порядка
/%л / кх 2 | * I knx I j &Bтг-|-1)аз
20. ух = ае у + by + се + ае v ^ .
Замена t = ekx приводит к уравнению вида 1.2.2.43: kt2 y't = at2 у2+Ыу+ctn+1 + dt2^n+1\
П1 ixx / i Лаз\2 I i \ Лаз
yx = e^ (у — be ) + 6Ae
Частное решение: гуо = 6еЛж.
22. ty^ = aeAa3ty2 + Ьпж71 - аЬ2еЛжж2т\
Частное решение: уо = 6жп.
23. ух = еХху2 + ажп?/ + а\хпе~Хх.
Частное решение: уо = — Хе~ ж.
24. ^ = -Лел V + ахпеХху - ахп.
Частное решение: гуо = е~Хх.
25. ty^ = аеХху2 - abxneXxy + Ьпхп~г.
Частное решение: гуо = &жп.
/^/^ / тт. 2 | * •% Лаз i 2 ть 2Лаз
^о. 1Уаз ^ аж iy -р ОАе — аи х е
Частное решение: уо = ЬеХх.
27. ty^, = ахпу2 + Aty — ab2xne2
Частное решение: уо = be x.
28. ty^ = ажпг/2 - аЪхпеХху + 6ЛеЛж.
Частное решение: гуо = 6еЛж.
29. ty^ = -(fe + l)«fety2 + ахк+1еХху - аеХх.
Частное решение: уо = х~ ~1.
30. ^ = ах"?/2 - ахп{ЬеХх + с)у + 6ЛеЛж.
Частное решение: уо = 6еЛж + с.
31. ty^ = ахпе2Хху2 + FxweAtB - A)ty + схп.
Замена w = eXxy приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
w'x = хпе х{aw2 -\-bw + с).
/>/% / Лаз/ » тг \2 ¦ » тг — 1
32. ух = ае (у — ох —с) + бпж
Частное решение: гуо = Ьхп + с.
/>/> / Лаз 2 ¦ . ¦ .2 2fe Лаз
33. Ж1уж = ае у -\- ку -\- ab x e .
Решение: у = Ъхк tgfab f xk~1eXx dx + С\.
34. ж^ = аж2тгеЛж1у2 + (ЪхпеХх - п)у + сеЛж.
Решение: / = / хп~1еХх dx + С, где w = хпу.
J aw2 + 6-ш + с J
_ _ / Лаз I i /хаз ¦ \ / 2 ¦ i х^аз 2 ¦ » х^аз
35. (ае + Ъе^ -\- с)ух = у + ке у — тп + кгпе .
Частное решение: уо = —т.
36. (ае + 6е^ + с)(ух — у ) + аЛ е + 6/х е^ = 0.
П АР —I— titlРг^
Частное решение: уо = — -
еХх
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 59
37. ух = у2 + 2а\хеХх2 - а2е2Хх2.
Частное решение: уо = ае х .
38. у'х = ае~Хх2у2 + Хху + аЬ2.
Решение: у = ЪеХх2/2 tg (аЪ Г е"Лж2/2 dx + с).
39. ^ = ах"?/2 + Лжу + аЪ2хпех"*.
Решение: у = ЬеХх<2/2 tg (ab Г хпеХх<2/2 dx
40. х4(у'х — у2) = а + 6ехр( — ) + cexpf ).
Преобразование ^ = 1/ж, гу = — ж2^/ — ж приводит к уравнению вида 1.2.3.3:
W? = w2 + а + 6efcC + ce2fcC.
1.2.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
1. у'х = осу2 + /3 + 7 ch х.
Преобразование x = 2t, ay = —и'х/и приводит к модифицированному уравнению Матье:
u"t — (а — 2qch2t)u = 0, где а = — 4а/3, q = 2«7 (см- уравнение 2.1.4.1).
2. 2/L = У2 - а2 + aAsh(A#) - a2 sh2(A#).
Частное решение: г/о = a
3. у'х=у2 - \2 +
Преобразование ^ = cth(Ax), гу = —— sh2(Ax)?/ — sh(Ax) ch(Ax) приводит к уравнению
вида 1.2.2.4: ги? = ги2 + Л^п.
4. 2/L = 2/2 + а\ - а(а + A) th.2(\x).
Частное решение: г/о = ath(Ax).
5. 2/L = 2/2 + ЗаА - А2 - а(а + A) th2(A#).
Частное решение: г/о = ath(Xx) — Acth(Ax).
6. у'х =у2 + а\- а(а + A) cth2(A#).
Частное решение: г/о = acth(Ax).
7. 2/L = 2/2 - А2 + ЗаА - а(а + A) cth2(A#).
Частное решение: уо = acth(Ax) — Ath(Ax).
8. У'Х=У2 ~ 2A2 th2(A«) - 2A2 cth2(A«).
Частное решение: гуо = Ath(Ax) + Acth(Ax).
9. у'х = у2 + аА + Ъ\ - 2аЪ - а(а + A) th2(A#) - Ъ(Ъ + A) cth2(A#).
Частное решение: уо = ath(Ax) + bcth(Xx).
10. ty^ = Ash(A«)ty2 - \sh3(\x).
Частное решение: уо = сЬ(Аж).
11. ty^ = 2
Преобразование ^ = сЬ(Аж), г^ = —гу приводит к уравнению вида 1.2.2A:
22
60 Уравнения первого порядка
12. у'х = ach(\x)y2 + bch(\x) sh.n(\x).
Преобразование ? = sh(Ax), w = —у приводит к уравнению вида 1.2.2A:
= w2 +ab\-2C-
13. ух = [ash2(\x) - \]у2 - ash2(\x) + Л - а.
Частное решение: уо = cth(Ax).
14. ух = [асЬ2(Лж) - \]у2 + а + Л - асЬ2(Лж).
Частное решение: уо = th(Ax).
15. 2у'х = [а - Л + a ch(\x)]y2 +а + \-а сЬ(Лж).
Частное решение: уо = th(yA:r).
1.2.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
1. у'х = У2 + a \n(f3x)y - ab 1п(/3ж) - Ь2.
Частное решение: уо = Ь.
2. УХ=У2 + ах In™ (Ъх)у + а 1пТГ1Fж).
Частное решение: у о = —1/х.
3. ^ = ахпу2 — abxnJtl \xixy -\- blxix -\- b.
Частное решение: уо = Ьх In x.
4. ^ = -(п + 1)жТ1?/2 + ажп+1Aпж)ту - аAпж)ТГ1.
Частное решение: г/о = х~п~1.
5. ^ = аAп жO1?/2 + Ьтж" - аЪ2х2тп(\п х)п.
Частное решение: уо = bxm.
6. 2/^ = a(ln жO1?/2 - а6жAп жOг+1т/ + Ъ In ж + Ъ.
Частное решение: уо = bx In ж.
7. ^ = аAпж)*5^ - Ьж71 - сJ + Ьпж71-1.
Частное решение: уо = 6жп + с.
8. ^ = аAпж)тг?/2 + ЬAпж)т|/ + ЬсAпж)т - ас2Aпж)тг.
Частное решение: г/о = —с.
9. жт/ж = ат/2 + b In ж + с.
Замена х = ef приводит к уравнению вида 1.2.2.1: г/J = ау2 -\-Ы -\- с.
10. ж^ = ау2 + 6 lnfe ж + с ln2fe+2 ж.
Замена t = In ж приводит к уравнению вида 1.2.2.6 при А; = п — 1: у[ = аг/2 + 6tfc + ct2k+2.
11. ж^ = (ат/ + 6 In жJ.
Решение: \пх = — + С, где z = ау + Ъ In x.
J az2 + Ь
12. жт/ж = жт/2 — а2ж1п2(/3ж) + а.
Частное решение: уо = а1п(/3ж).
13. ху'х = ху2 - а2х \n2k(f3x) + ак In'8 (/Зж).
Частное решение: уо = a In (f3x).
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 61
14. ху'х = ахпу2 + Ъ — ab2xn In2 x.
Частное решение: г/о = Ыпж.
15. ж^ = а1птгг(Лж)?/2 + Ь/ + аЬ2ж2*;1пТГ1(Аж).
Решение: у = bxk tglab I xk~x 1пт(Лж) dx + d\.
16. xyfx = axn(y + 6 In жJ — 6.
Решение: + —xn = С.
у + 6 In x n
17. жгу^, = аж2тгAп ж)т/2 + (бж71 In ж — п)у + с In ж.
Решение: / = / хп~х \nxdx + С, где w = хпу.
J aw2 -\-bw -\- с J
18. ж2^ = х2у2 + а In2 ж + Ъ In ж + с.
Преобразование ? = In ж, w = жг/ + у приводит к уравнению вида 1.2.2.3:
W? = w2 + а?2 + Ъ? + с - ^.
19. ж2^ = ж2?/2 + а(Ъ In ж + с)п + ^.
ж 1
Преобразование ? = 61пж + с, гу = —г/ + — приводит к уравнению вида 1.2.2.4:
6 26
^ =«;2+аЬ-2?п.
/%л 2/ 222 , » 2 т тп
20. х ух = а х у — ху + 6 In ж.
Замена а2г/ = —их/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.5.24:
х2и'пХ + хих + (абJ lnm х и = 0.
21. ж21п(аж)(^-2/2) = 1.
Частное решение: г/о = — [ж1п(аж)]~ .
22. (а In ж + Ъ)у'х = у2 + сAп жO1?/ - Л2 + ЛсAп жO1.
Частное решение: г/о = —А.
23. (a In ж + 6)^ = Aпж)У +су- Л2 (In x)n + сЛ.
Частное решение: г/о = —А.
1.2.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1. у'х = осу2 + /3 + 7 sin(Aaj).
Замена 2t = 2Аж + тг приводит к уравнению вида 1.2.6.2: Агу? = агу2 + C + 7cost.
2. ty^ = aty2 + /3 + 7 cos ж.
Преобразование х = 2?, агу = —и'х/и приводит к уравнению Матье 2.1.6.4:
u'tt + (а — 2gcos 2^)гг = 0, где а =
3. ух = у2 — а2 + аАзт(Аж) + а2 з1п2(Аж).
Частное решение: уо =—acos(Xx).
4. 2/L = у2 — а2 + аАсоз(Аж) + а2 соз2(Аж).
Частное решение: уо = asin(Ax).
5. у'х=У2 + А2 + С8ттг(Аж) со8-тг-4(Аж).
Частный случай уравнения 1.2.6.6 при a = 0, Ь = тт/2.
62 Уравнения первого порядка
6. у'х=У2 + A2 +csinn(Ax + a) sin1^ + Ъ).
sin(Ax + а) sin2(\x + t
-, w =
sin(Ax + b) sinF — а)
sin(Ax + a) sin2(Ax + 6) Г?/ . , /л . ,Ч1
Преобразование t = -, w = — + ctgiXx + о) приводит к
sin(Ax + b) sinF - a) L A J
уравнению вида 1.2.2A: w'^ = w2 + А^п, где А = c[Asin F — а)] 2.
7. 2/L = у2 + а sin(/3aj)y + ab sin(/3aj) — б2.
Частное решение: г/о = — Ь-
8. 2/L = 2/2 + ах s\urn{bx)y + a sinTri(te).
Частное решение: г/о = —1/х.
9. 2/L = 2/2 + а\ + а(Л - а) tg2(A^).
Частное решение: г/о = atg(Ax).
Ю. 2/L = У2 + А2 + ЗаЛ + а(Л - a) tg2(A^).
Частное решение: г/о = atg(Ax) — Actg(Ax).
11. у'х=у2 +а\ + а(Л - a) ctg2(A^).
Частное решение: гуо = — actg(Xx).
12. ^ = у2 + Л2 + ЗаЛ + а(Л - a) ctg2(A«).
Частное решение: гуо = Atg(Ax) — actg(Xx).
13. ty^ = ay2 + 6 tg x у + с.
Замена агу = —и'х/и приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.6.29:
и'хх —btgxu'x + асгб = 0.
14. ty^ = ay2 + 2ab tg ж у + b(ab - 1) tg2 ж.
Замена 16 = у + frtg ж приводит к уравнению вида 1.1.2: и'х = аи2 + 6.
15. у'х = у2 — у tg х + a(l — a) ctg2 ж.
Частное решение: гуо = — a ctg ж.
16. у'х = у2 — ту tg ж + б2 cos2™ ж.
Решение: у = —b cosm ж ctg f b / cosm ж с/ж + С).
17. у'х=у2 - 2а ctg(c^)ty + б2 - а2.
Частное решение: уо = actg(aж) — bctg(bx).
18. ty^, = у2 + miy ctg ж + b2 (sin жJтг\
Решение: у = —b sinm ж ctg (b / sinm ж с/ж + С).
19. у'х=у2 - 2Л2 tg2(Лж) - 2Л2 ctg2^).
Частное решение: уо = А^(Аж) — Atg(A^).
20. ух = у2 + \а + \Ъ + 2а6 + а(Л - a) tg2^) + 6(Л - Ъ) ^2(Лж).
Частное решение: уо = atg(A#) — 6ctg(Aa:;).
21. ty^ =ty2+aжtgтrlFж)ty + atgтrlFж).
Частное решение: уо = —1/х.
22. ух=у2 - ^-Л2 - -f-Л2tg2(Лж) +асо82(Лж)8тТ1(Лж).
_ - ^ • /л \ 2/ sin(Ax)
Преобразование t = sinfAaj), г^ = —- + \, \ приводит к уравнению вида
Acos(Ax) 2cos2(Ax)
1.2.2.4: w'z =w2+a\-2?n-
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 63
23. ух = \sin(\x)y2
Частное решение: уо = — cos(Ax).
24. у'х = \cos(\x)y2 + Acos3(A#).
Частное решение: гуо = sin(Ax).
25. 2у'х = [А + а — a sin(\x)]y2 + Л — а — a sin(A#).
ТТ J. ( ^Х , ^ \
Частное решение: уо = tg ( 1 1.
26. 2ух = [Л + а + a cos(\x)]y2 + Л — а + a cos(A#).
Частное решение: ?/о = tg f j.
27. ^ = [\ + asin2(\x)]y2 + \ - а + asin2(\x).
Частное решение: уо = —ctg(Xx).
28. у'х = [\ + a cos2 (\х)]у2 + Л - а + a cos2 (Лж).
Частное решение: г/о = tg(Ax).
29. ^ = asin(Aa?J/2 + 6sin(A«) cosTl(A«).
Преобразование ^ = cos(Ax), w = у приводит к уравнению вида 1.2.2.4:
W? =w2 + аЬ\-2С-
30. ^ = \sin(\x)y2 -\-acosn(\x)y - асоБп~г(\х).
Частное решение: уо = 1/ cos(Xx).
31. у'х = a cos(\x)y2 + 6 cos(A«) sinTl(A«).
Преобразование ? = sin(Ax), г^ = —г/ приводит к уравнению вида 1.2.2A: w'^ = w2 +
+ аЪХ~2С.
32. у'х = A sin(Aa?J/2 + a sin(Aa?J/ — а tg(A«).
Частное решение: уо = 1/ cos(Xx).
33. т/ж = \sin(\x)y2 + ожп cos(A«)t/ — ах™.
Частное решение: уо = 1/ cos(Xx).
34. ^ = -(k + l)«fe?/2 + axh+1(sinx)rny - a(sinx)rn.
Частное решение: уо = х~ ~ .
35. у'х = -(к + l)xhy2 + axh+1(tgx)my - a(tgx)m.
Частное решение: г/о = х~ ~ .
ЬА.
36.
37.
38.
у'х = asinh(Xx
Частное решение:
у'х = atgn(Xx)
Частное решение:
ух = atgk(Xx-
-\- ц)(у — Ьхп
Уо = Ьхп + с.
у2 - ab2 tgTl+2
уо = btg(Xx).
\- 1л)(у - Ъхп -
-с?
(Хх)
-сJ
+ Ьпх
+ 6Atj
+ bnxr
Частное решение: гуо = 6жп + с.
39. ж^ = a s\nrn{Xx)y2 + ку + ab2x2k siurn{Xx).
Решение: у = Ъхк tg \ab I xk~x ^mm(Xx)dx + с\.
64 Уравнения первого порядка
40. ху'х = at^rn{Xx)y2 + ky + ab2x2k tgm(Aa:).
Решение: у = Ъхк tglab f xk~x tg71 (Xx)dx -\- с].
41. sinTl+1 Bx)y'x = ay2 sin2™ x + 6 cos2tx ж.
Подстановка z = у tgn ж приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
2п sinBx)zfx = az2 + n2n+1z + 6.
42. [asin(Aa?) + &]ty^, = у2 + csin(/xa;) ty — с?2 + erf sin(/хх).
Частное решение: г/о = —d.
43. [atg(Aa?) + 6]^ = т/2 + ktgfax) y-d2 + fedtg(^).
Частное решение: г/о = —с/.
1.2.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
1.2.7-1. Уравнения, содержащие arcsinx.
1. 2/ж — 2/2 + A(arcsin х)пу — а2 + aA(arcsin жO1.
Частное решение: г/о = —а.
2. 2/L = 2/2 + A«(arcsina?)Tliy + A(arcsin жO1.
Частное решение: г/о = —1/х.
3. ^ = -(fe + l)«fety2 + A(arcsin«)Tl(«fe+1ty - 1).
Частное решение: у0 = х~к~г.
4. ty^, = A(arcsin x)ny2 -\- ay -\- ab — 62A(arcsin x)n.
Частное решение: уо = —Ъ.
5. у'х = \(ELrcsinx)ny2 - ЬАж^агсзтжO1?/ + Ьтх™'1.
Частное решение: уо = Ъхш.
6. ^ = A(arcsin х)пу2 + /Зтж" - А/32ж2тгг(агс8т х)п.
Частное решение: уо = (Зхш.
7. ^ = A(arcsin«)Tl(ty - ажт - ЬJ + атж.
Частное решение: уо = ажт + 6.
8. ху'х = A(arcsin х)пу2 + fcty + ХЪ2х2 (arcsina?O1.
Решение: гу = 6xfctg|"A6 f xk~1(<ircsmx)n dx + с].
9. xyx = (ax2rty2 + бж71^ + c)(arcsina?)rri — ny.
Замена z = xny приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
z'x = хп~1 (arcsin x)m (az2 + bz + с).
1.2.7-2. Уравнения, содержащие arccosx.
10. у'х = у2 -\- A(arccos х)пу — а2 + aA(arccos x)n.
Частное решение: уо = —а.
11. у'х = г/2 + Aa?(arccos x)ny + A(arccos жO1.
Частное решение: гуо = —1/х.
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 65
12. ух = -(k + 1)ж V + A(arccos ж)Т1(ж'г+1?/ - 1).
Частное решение: у о = х~ ~ .
13. у'х = A(arccos x)ny2 + ay + ab — 62A(arccos жO1.
Частное решение: г/о = —Ь-
14. ty^, = A(arccos х)пу2 — бАж7™(arccos жO1 ty + bmxrn~1.
Частное решение: г/о = &жт.
15. yfx = A(arccos х)пу2 + /Згаж™ - A/32«2rri(arccos жO1.
Частное решение: г/о = /Зжт.
16. ^ = A(arccos ж)Т1Aу - ажт - бJ + агаж™.
Частное решение: г/о = ажт + 6.
17. ху'х = A(arccos x)ny2 + fcty + Xb2x2 (arccos жO1.
Решение: у = bxk tglxb / xk~x(arccosx)n dx + c\.
18. xyx = (ax2rty2 + бж71^ + с) (arccos ж)™ — т/.
Замена z = xny приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
z'x = хп~1 (arccos x)m(az2 + bz + с).
1.2.7-3. Уравнения, содержащие arctgx.
19. у'х = у2 + A(arctg жO1?/ - а2 + aA(arctg жO1.
Частное решение: гуо = —а.
20. у'х=у2 + Аж(агч^ жO1?/ + A(arctg жO1.
Частное решение: у о = —1/х.
21. г/4 = -(fc + I)»'8!/2 + A(arctga;na;fe+12/ - 1).
Частное решение: у о = х~
22. ty^ = A(arctg жO1^2 + aty + ab - 62A(arctg жO1.
Частное решение: уо = —6.
23. ^ = A(arctg жO1?/2 - {^^(arctg x)ny + Ьшж".
Частное решение: уо = 6жт.
24. ^ = A(arctg жO1?/2 + Ьгаж™ - A62ж27Tl(arctg жO1.
Частное решение: уо = 6жт.
25. ух = A(arctg х)п(у — ах™ — ЬJ + атхгп~1.
Частное решение: гуо = ажт + 6.
26. хух = A(arctg х)пу2 + ку + A62ж2fe(arctg жO1.
Решение: гу = 6xfc tg ["ЛЬ f xk~1(<irctgx)n dx + с].
27. ж^ж = (ах2пу2 + bxny + c)(arctgжOrl — nty.
Замена z = xny приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
4 = ^-'(arctg ж)т(а^2 + Ьг + с).
5 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
66 Уравнения первого порядка
1.2.7-3. Уравнения, содержащие arcctgx.
28. у'х = у2 + A(arcctg х)пу — а2 + aA(arcctg жO1.
Частное решение: уо = —а.
29. у'х = у2 + Aa?(arcctg x)ny + A(arcctg жO1.
Частное решение: г/о = — 1/ж.
30. ^ = -(к + 1)ж V + A(arcctg х)п(хк+1у - 1).
Частное решение: уо = х~ ~1.
31. ty^, = A(arcctg х)пу2 + ат/ + аб — 62A(arcctg жO1.
Частное решение: г/о = — Ь.
32. ^ = A(arcctg х)пу2 - 6Aжтrl(arcctg жO1^ + Ьтх™'1.
Частное решение: г/о = &жт.
33. ^ = A(arcctg х)пу2 + Ьтж" - АЬ2ж2тгг(агсс^ жO1.
Частное решение: г/о = Ъхш.
34. yi = A(arcctg x)n(y - ах™ - ЪJ + отх.
Частное решение: гуо = ажт + 6.
35. хух = A(arcctg х)пу2 + ky + A6^2fe(arcctg жO1.
Решение: гу = Ъхк tg\\b Гxk~1(<ncctgx)n dx + c\.
36. ж^ж = (ах2пу2 + bxny + c)(arcctg ж)™ — т/.
Замена z = хпу приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
1.2.8. Уравнения, содержащие произвольные функции
> Обозначения: f = /(ж) и д = д(ж) — произвольные функции; а, Ъ, п, Л — произвольные
параметры.
1. yL = У2 + fy - а2 - af.
Частное решение: гуо = а.
2. у« = fy2 +ay-ab-b2f.
Частное решение: уо = Ъ.
3. 2/L = У2 + ж/ty + /.
Частное решение: у о = —1/х.
4- 2/L = /?/2 — axnfy + аггж71.
Частное решение: уо = ажп.
5. »; = fy2 + апх"-1 - a2x2nf.
Частное решение: уо = ахп.
6. у'а = -(п + 1)хпу2+ xn+1
Частное решение: уо = х~п~1.
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x) 67
7. ху'х = fy2 + пу + ax2nf.
Решение при а > 0: гу = л/ахп tgf д/я / хп~х f dx + Cj.
Решение при а < 0: гу = л/|а[жгг thf-^/jaf Г xn~1fdx +
8. a:tfc = ж271/?/2 + (axnf - n)y + bf.
Замена z = xny приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
9- yL = fy2 +9У ~ a2f ~ ад.
Частное решение: г/о = сь.
Ю. у'х = fy2 +ду + апх71-1 - ахпд - a2fx2n.
Частное решение: г/о = ахп.
Н. у'т = fy2 - ахпду + апхп-х + а2х2п{д - /
Частное решение: г/о = ахп.
12. у'я = -fLy2 + fgy - д.
Частное решение: г/о = 1//-
13. wi = fy2 - fgy + д'х-
Частное решение: уо = д.
14. у'т = д(у - /J + К-
Частное решение: уо = /.
is. »; = АВ»_^..
Частное решение: гуо = —g/f.
16. f2yL - fLy2 + д(у - f) = о.
Частное решение: уо = /.
п. yL = y2 - -**=-.
Частное решение: г/о = —f'x/f-
18. 2/L = oeAicj/2 + aeAa7t, + А/.
Частное решение: уо = — — е~ ж.
a
19. 1»; = /2/2 - aeXxfy + аАеАж.
Частное решение: уо = ае х.
Аж о2е2Аж
20. 2/L = fy2 + аАеАж - о2е2Аж/.
Частное решение: уо = ае х.
21.
VL fy+y + f
Решение при а > 0: гу = у^е ж tgf v^ / е хf dx + С].
Решение при a < 0: у = у/\а\ еХх th(-y/\a~\ Г еХхf dx + с).
22.
Частное решение: гуо = аеЛж + Ъ.
68 Уравнения первого порядка
23. у'т = eXxfy2 + (о/ - Х)у + 6е-Лаг/.
Замена z = еХху приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
zx = f(x)(z2 +az + h).
24. у'х = fy2 +gy + a\eXx - аеХхд - a2e2Xxf.
Частное решение: уо = ае х.
25. yj, = fy2 - ае^ду + оАеЛш + а2е2Ла5(д - /).
Частное решение: уо = ае х.
26. у'в = fy2 + 2а\хеХх2 - a2fe2Xx\
Хх2
Частное решение: уо = ае
27. у'х = fy2 + \ху + afeXx2.
Решение при а > 0: у = л/аеХх2/2 tgU/a Г еХх2/2 f dx + С\.
Решение при а < 0: у = л/\а~\еХх2/2 th(-y/\a~\ Г еХх2/2 f dx + с\
28. y'x = fLy2+aeXxfy + aeXx.
Частное решение: г/о = — !//•
29. у'а = fy2 + д'ту + afe29.
Решение при а > 0: г/ = д/»6^ tgf л/а I fe9 dx + С) .
Решение при а < 0: г/ = vH e^ th f — у|а| / fe9 dx + С).
30. yi = fy2 -ath2(Лж)(а/ + Л) + аЛ.
Частное решение: г/о = ath(Ax).
31. 2/L = fy2 -acth2(\x)(af + Л) + аЛ.
Частное решение: г/о = acth(Ax).
32. ^ = /ty2 -a2/ + aAsh(A«) -a2/sh2(A«).
Частное решение: г/о = ach(Ax).
33. х»; = /t,2 + о - а2/Aп жJ.
Частное решение: уо = a In ж.
34. ху'х = f(y + a In жJ — а.
Решение: i + Г ^- dx = С.
у + a In х J х
35. у'х = fy2 — ах In xfy -\- alnx -\- a.
Частное решение: уо = ах In x.
36. ty^ = —а \пху2 + а/(ж In х — х)у — /.
Частное решение: уо = — -.
а(х\пх — х)
37. ух = \sin(\x)y2 + fcos(\x)y - f.
Частное решение: уо =
cos(Ax)
1.2. Уравнение Риккати д(х)у'х = f2(x)y2 + f\(x)y + fo(x) 69
38. ух = fy2 -a2f + aXsin(Xx) + a2 f sin2 (Xx).
Частное решение: уо = —acos(Xx).
39. y'x = fy2 - a2f + aAcos(Ax) + a2/cos2(A#).
Частное решение: г/о = asin(Ax).
40. yx = fy2 -atg2(Xx)(af - A) + aX.
Частное решение: уо = atg(Xx).
41. y'x = fy2 -a ctg2 (Xx) (af - X) + aA.
Частное решение: гуо = — actg(Xx).
1.2.9. Некоторые преобразования
> Обозначения: f,g,h — произвольные функции сложного аргумента, который указан в
круглых скобках после знака функции (аргумент является функцией независимой переменной х).
1- у'х = У2 + a2f(ax + b).
Преобразование ? = ах + Ь, и = у/а приводит к уравнению и^ = и2 + /(?).
Ух — У -г х ~ Кх ;
Преобразование ? = 1/х, w = — х2у — х приводит к уравнению w'% = w2 + /(?)•
^ / 2 _|_
ж (сж ¦
Преобразование ?= , w = —[(сж + сГJгу + с(сж + сГ)], где А = ad — be, приводит
к более простому уравнению: г*^ = w2 + A~2/(?).
4. ж2^ = x4f(x)y2 + 1.
Замена и = ^— — — приводит к уравнению их = и2 + /(ж).
5 2 / 2 2.1 — 71 2тг /?/ п ¦ . \
х ух = х у И Ь ж j(ax + 6).
Преобразование ? = ажп + 6, ги = х1~пу + ж~п приводит к более простому
an 2an
уравнению: w'^ = w2 + (an)~2/(?).
Замена у = —1/w приводит к уравнению аналогичного вида: w'x = h(x)w2 — g(x)w + f (х).
n I 2 А 2Лаз /?/ Лаз\
7. Ух = У i~+e ^(e )•
Преобразование ? = еЛж, w; = —е~Хху— — е~Хх приводит к более простому уравнению:
A Z
2 А2
^ _, . ае + 6 (се + d) , се - d2 л , ,
Преобразование ? = —г , w = т~^У + л •> гДе А = ad — be,
F F s ceXx + d ААеЛж у 2АеЛж
приводит к более простому уравнению: w'^ = w2 + (AA)~2/(?).
9. у'т = У2 - А2 + 8Ь-4(АЖ)/(^Ь(АЖ)).
Преобразование ? = cth(Ax), г^ = ——sh2(Xx)y — —shBAx) приводит к более простому
A z
уравнению: ^ = w2 + A~2/(?).
70
Уравнения первого порядка
Ю. у'я = у2 - А2 + сЬ-4(АЖ)/(Ш(АЖ)).
Преобразование ? = th(Ax), w = — ch.2(\x)y -\ shBAx) приводит к более простому
A 2i
уравнению: w'^ = w2 + А~2/(?).
11. ж2^ = ж2?/2 + /(a In х + 6) + \.
Преобразование {; = а\пх -\-b, w = —ху -\ приводит к более простому уравнению:
а 2а
wf? = w2 + а2
12. i? = у2 + А2 + sin-4(
Преобразование ? = ctg(Ax), w = — sin2(Ax) — + ctg(Ax) приводит к более простому
уравнению: w^ = w2 + A2
13. i? = у2 + А2 + cos-4(
Преобразование ^ = tg(Ax), w; = cos2(Ax) tg(Ax) приводит к более простому
уравнению: w'^ = w2 + A2
Преобразование t =
а)
sin(Ax + b)
sinF — a)
+ ctg(Ax + о) приводит к более
L A J
простому уравнению: w'^ = w2 + [A sinF — а)]
1.3. Уравнения Абеля второго рода
1.3.1. Уравнения вида уу'х -у = f(x)
Предварительные замечания. Для удобства читателя в табл. 4-7 дан перечень всех уравнений
Абеля, которые рассмотрены в разд. 1.3. Сначала приведены классификационные таблицы 4-6,
в которых сгруппированы уравнения Абеля, имеющие одинаковый вид функции /. В табл. 7
указаны остальные уравнения Абеля. В табл. 4 уравнения расположены по возрастанию
параметра т, в табл. 5 — по возрастанию параметра s, в табл. 6 — по возрастанию параметра р.
В последней колонке таблиц дан номер уравнения, где выписано соответствующее решение.
После таблиц приводятся все уравнения Абеля, которые объединены в «блоки», где все
решения выражаются с помощью одних и тех же функций. Перед каждым «блоком» дается
список используемых кратких обозначений.
ТАБЛИЦА 4
Уравнения вида уу'х — у = sx + Ахш, где А — произвольный параметр
т
любое
-7
-4
-5/2
-2
-2
-5/3
-5/3
-5/3
-7/5
s
2(ш + 1)
(т + 3J
15/4
6
12
0
2
-3/16
-9/100
63/4
-5/36
Уравнение
1.3.1.10
1.3.1.56
1.3.1.54
1.3.1.47
1.3.1.33
1.3.1.19
1.3.1.30
1.3.1.23
1.3.1.48
1.3.1.27
т
-1
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
0
0
1/2
2
2
s
0
-2/9
-4/25
0
20
любое
0
-12/49
-6/25
6/25
Уравнение
1.3.1.16
1.3.1.26
1.3.1.22
1.3.1.32
1.3.1.55
1.3.1.2
1.3.1.1
1.3.1.53
1.3.1.45
1.3.1.46
1.3. Уравнения Абеля второго рода
71
ТАБЛИЦА 5
Уравнения вида уу'х — у = sx + аА(ах1^2 + (ЗА + /уА2х~1/2), А — произвольный параметр
S
любое ф 0
2(ш-1)
(т-3J
-1/4
-30/121
-12/49
-12/49
-12/49
-12/49
-12/49
-12/49
-12/49
-12/49
-12/49
-6/25
-6/25
-28/121
-2/9
-2/9
-2/9
-10/49
-4/25
-4/25
0
0
0
0
0
0
0
2
2
20
сг
любое
2
(т-3J
1/4
3/242
любое
1/98
6/49
2/49
4/49
1/49
6/49
2/49
1
2/25
6/25
2/121
любое
любое
6
2/49
любое
1/50
любое
1
п + 2
п + 2
1
2
любое
2
2
любое
а
0
т(т + 3)
1
21
любое
25
1
5
-10
5
-3
1
3/49+ ЗВ
2
2
5
0
0
0
4
0
7
0
1
1
1
-1
1
0
-10
10
0
р
любое
4т2+Зт + 9
5
35
0
41
8
34
27
262
23
166
12/49 -15В/2
19
7
106
любое
0
1
61
0
49
0
2
2(п + 2)
2(п + 2)
2
4
любое
19
31
0
7
0
Зт(т + 3)
3
6
0
10
5
15
10
65
12
55
15/196 + 75В/16
6
4
15
любое
любое
2
12
любое
6
любое
любое
(п + 1)(п + 3)
2п + 3
0
3
0
30
30
любое
Уравнение
1.3.1.2
1.3.1.12
1.3.1.17
1.3.1.29
1.3.1.53
1.3.1.25
1.3.1.38
1.3.1.24
1.3.1.31
1.3.1.52
1.3.1.28
1.3.1.58
1.3.1.64
1.3.1.20
1.3.1.39
1.3.1.51
1.3.1.3
1.3.1.26
1.3.1.11
1.3.1.57
1.3.1.22
1.3.1.59
1.3.1.32
1.3.1.36
1.3.1.34
1.3.1.35
1.3.1.37
1.3.1.4
1.3.1.1
1.3.1.50
1.3.1.49
1.3.1.55
ТАБЛИЦА 6
Уравнения вида уу'х — у = sx + аАхр + CA2xq, A — произвольный параметр
V
-1
1
1
-1
-3/5
-5/11
-1/3
-1/3
-1/3
-1/3
-1/5
0
2
q
-3
Q
О
-3
-7/5
-13/11
-5/3
-5/3
-5/3
-5/3
-4/5
-1/2
3
s
любое
2т + 1
4ш2
0
-5/36
-33/196
-3/16
-3/16
-3/16
15/4
-10/49
-2/9
4/9
а
1
1
1
1
любое
286А/3
любое
3
5
6
13А/5
любое
2
-1
1
1
-1
любое
-770А/9
любое
-12
-12
-3
-7А/20
любое
2
Уравнение
1.3.1.5
1. з. 1.1 з
1.3.1.7
1.3.1.62
1.3.1.69
1.3.1.61
1.3.1.40
1.3.1.15
1.3.1.60
1.3.1.68
1.3.1.3
1.3.1.14
В большинстве случаев решения представлены в параметрическом виде
x = F1(r,C), V = F2{t,C),
где г — параметр, С — произвольная постоянная.
72
Уравнения первого порядка
ТАБЛИЦА 7
Другие уравнения Абеля уу'х — у = f(x)
Функция f(x)
Ахк~х -kBxk + kB2x2k~1
л 2 9
Ах2
625 А
1Х _ Аах1/3 + -А2.-1/3 - ^-AAx~V
4 2 4 625
6 7 Wo 31 о I/O ЮО 4 г/о
~12ЪХ + ? + Т " —Ах/
_ Аж + аяД/3 + Ь + сж-1/3 + ^-2/3
(имеется связь между коэффициентами а, 6, с, d)
21 х+ 7А2A23ж-1/7 + 280АЖ-5/7 400 А2ж-9/7)
100 9 v ;
к
VAx'2 + Bx + C
А
Vx2 + 4А
3 9а2 - 6ж2
32 64\/ж2 + а2
3 6ж2 + 5а2
— х -\
8 16Vx2 + a2
3 6ж2 + 9А
8 Ж ' 16Vx2 + A
9 ЗОж2 + ЗЗА
32 64\/ж2 + А
Л + Вехр(-^)
л[еХр(^)-1]
а2Ле2Лж-аFЛ + 1)еЛж+6
а2Ле2Лж +а\хеХх + ЬеХх
2a2\smB\x) +2asin(Ax)
Уравнение
1.3.1.6
(частное решение)
1.3.1.44
1.3.1.66
1.3.1.67
1.3.1.65
1.3.1.70
1.3.1.63
1.3.1.18
1.3.1.43
1.3.1.21
1.3.1.41
1.3.1.42
1.3.1.8
1.3.1.9
1.3.1.73
(частное решение)
1.3.1.74
(частное решение)
1.3.1.75
(частное решение)
1. УУ'Х -у = А.
Решение: х = у — A In \y + А\ + С.
2. уу'х-у = Ах + В, Аф 0.
Решение в параметрическом виде:
1.3. Уравнения Абеля второго рода
73
3.
~1/2
5.
УУ'Х-У = ~fx + A + Вх
1°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
Г B/с - 1)Стк - (к - 2)т - к - 1 1 2
= а =—
L J
Г
= а
L
1 2
1 = —6а
(к- lJCrk+1 + к2Стк + т
Стк+т + 1
Ще А = \а(к2 - к + 1), В = f а3/2B/с - 1)(к - 2)(к + 1).
2°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = ^[2Ле"Лг - (CiA - 3CW) sinuur - (ЗСщи + С2Л) coscjt]2,
где ^ =
- [2Ciuj\ + С2(Л2 - cj2)]e"Ar coscjt},
Ar + Cisincjr + C2Coscjr), A = \a(?>u2 - Л2), Б = ^a
3°. При A = 0 см. уравнение 1.3.1.26.
4. УУ'Х-У = 2А(х1/2 +4А + SA2x~1/2).
Решение в параметрическом виде:
где
х = ±аC ± 2тЬ±)\ у = ±aL±(R2±L± + г), А = -\ах'2:,
R+ = л/1+т2,
-С, R+ = л/г2 - 1,
г ^т 1 .
- = = — In
J 1-т2 2
1
1
т —
т +
+ т
— т
1
1
Решение в параметрическом виде:
х =
Здесь
1/2
(т2 +т — А) ехр ( —= arctg т ) при А < 0,
V у—А у—А /
J при А = 0,
^ при Д>0,
rctg ~j=)
2Б
2т + 1 - л/А \ Т75
- 2т + 1 + л/А /
где А = 4,4+ 1.
6. уу'х~у = Ахк~г - кВхк + кВ2х2к~1.
А
Частное решение: у0 = х — Вх — .
кВ
7' уу'х — У — Ах~г — А2х~3.
Решение в параметрическом виде:
х = ат^-In |1 +
при А < 0,
при А = 0,
при А > 0,
-ln|l +r| - Cf'2 -Ir(r-ln|l+r|-
где А = a2/2.
+ 5A2).
74
Уравнения первого порядка
8.
Решение в параметрическом виде:
л/т2 + АВ
х = А\п
А\п\т + \/т2 + АВ\ + С
у = г
/т2 + АВ +С
А.
9. wL-V = A{e2*/A - 1).
Решение в параметрическом виде:
х = А\п
(arctgr - С) , 2/ = — [г + (г2 - l)(arctgr - С)].
> В решениях уравнений 10-15 приняты обозначения:
Em,,=J(l± Тт+1)^ dr -С, Ет= Ет,0 = /A ± rm+1)/2 dr - С,
Rm =
Fm = RmEm - т.
Решение в параметрическом виде:
т + 3
у = аЕ™ х (RmEm + —Ц-т),
V т — 1 /
гдеЛ ±(
2 Vm+3
И. yyL~y= -fx + 6A2(l + 2Ax-1/2), A>0.
Решение в параметрическом виде:
х = A2R-4E~2(R2E ± 6г1/2J, 2
где ?7 = E_i/2,з/2? R = R-i/2-
- 2т),
+ Dm2 + 3m + 9) А + 3m(m + 3)А2ж~1/2].
Решение в параметрическом виде:
а _2г
х =
(m-3J LV
—°—т-2Еш[±(т - 1)тш+1Еш - 2ЕШ + 2тRm.],
m — 6
где А = -
а1/2
т - 3
13. Ш/L — У = га
/L — У
Решение в параметрическом виде:
т- [1тBш
_
У~
2amr1/2R2nE1/2
-, где а2 = — 2mA, E = Em^
3/2-
14. уу'х - у = fx + 2Аж2 + 2А2ж3.
Решение в параметрическом виде:
1.3. Уравнения Абеля второго рода
75
15. УУХ-У = ~TqX + 6Ах~1/3 - 12А2х~5/3.
Решение в параметрическом виде:
х = ar1/2E~3/2F3/2, у = \ar1/2E~3/2F-1/2{F2 - 2tF - т~2/3Е2),
где А = ^а4/3, Е = E_5/s, F = Р_5/3.
> В решениях уравнений 16-18 приняты обозначения:
/= /ехр(=рг2)^т-С, g = 2r\fexp(Tr2)dr-C] ±exp(=Rr2).
16. уух - у = Ах~г.
Решение в параметрическом виде:
х = a/ exp(=Fr2), у = а/ [exp(=Fr2) ± 2т/], где А = ^2а2.
П7/7/ _ 7/ — L^» _i_ ±.Air1/2 -\- ЪА -\- ЧА2т~г/2}
Решение в параметрическом виде:
ж=11-а[3±8т/ехр(±т2)]2, y = afexp(±r2) [Br2±l)/exp(±r2)±r], где А =
18. ?/?/L - У = ±-
! ± 8а2
Решение в параметрическом виде:
VT2/2), у = а
> 5 решениях уравнений 19-21 приняты обозначения:
- 2/2].
19.
Ах~2.
Решение в параметрическом виде:
х = \аЕ~2/\, y = a
где А = -
20. уу'х - у = --^-х + -^g-ABx1/2 + 19A + 6А2х~1/2).
Решение в параметрическом виде:
х = ar~2(bRE -ЗтJ, у = Бат~3Е[Bт + 3)Е - 2т2R], где А = -у/а.
„2
Решение в параметрическом виде:
а Е2 - 2т2Е
2\/2
У =
a 4tF2 - Е2
AV2
> В решениях уравнений 22-25 приняты обозначения:
Р2 = ±(т2 - 1), Р3 = г3 - Зт + С, Ра = ±(т4 - 6т2 + 4CV - 3).
22. уу'х - у = --^-х + Ах~1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = 5аР22Р3/3, 2/ = 4аР3/3(Р22-гР3), где А = ±^-ал/ба.
76 Уравнения первого порядка
23. уу'!В-у=-^х + Ах-6/3.
Решение в параметрическом виде:
х = 10аР33/2Р4-9/8, у = 9аРз~1/2^4~9/VI --РгРД где А = ±9а2A0аJ/3
24. yyL-y= —Ц-х + ^-АEЖ1/2 + 34А + 15A2ar1/2).
Решение в параметрическом виде:
ж = аР2A4гР3-9Р22J, 2/ = 28аР2Р3Dг2Р3-ЗгР22т^2Рз), где А =-
25. уу'х~У= -Цж + ^-АB5ж1/2 + 41А + 10А2Ж/2).
Решение в параметрическом виде:
x = aP3B1P2P4 -16Р32J, 2/ = 21аР3~4Р4(9Р22Р4Т^42-8Р2Рз2), где А = -
> 5 решениях уравнений 26-29 приняты обозначения:
Si = ехр(л/3т) + Csinr, S2 = 2ехр(л/3г) - Csinr + a/3Ccost,
53 = 2ехр(л/3г) - Csinr - л/ЗСсовг, 54 = 45i53 - 5|.
26. уу'х~У = ~fx + Аж/2.
Решение в параметрическом виде:
x = 3aS'r2S'22, ?/ = 2aS'r2(S'22-2S'iS'3), где А = 16CaK/2.
27. уу'х-у= ~~kx + ^ж/5.
Решение в параметрическом виде:
х = 48aSl/2S~5/\ у = 5aS;1/2S~5/4(8S^ - S2S4), где А = D8aJ/V.
28. уух-у = —У-ж + ^-А(-Зж1/2 + 23А + 12А2х~1/2).
Решение в параметрическом виде:
x = aS74GS'iS'3-2S'22J, у = -7aS1S^4DS21S2 -45i5f + SlS3), где A =
29. уу'л-у = -Цгх + ^АB1Ж1/2 + 35А + 6А2Ж/2).
Решение в параметрическом виде:
6!\ 6li !S2), где А = -
> 5 решениях уравнений 30, 31 приняты обозначения:
Тх =th(r + C)+tgr, T2 =th(r + C) -tgr,
(9i = chr-sin(r + C), 02 = shr + cos(r + C), 03 = shr - cos(r + C).
30. yyfx-y = -rfcx + Аж-5/3.
Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = 8аТ~3/2, 2/ = ЗаТ1/2B - TiT2), где А = -12а8/3.
Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = 4а(93/26'2/2, ?/ = За(91/26'2/2((92-6'2б'з), где А = За2DаJ/3.
1.3. Уравнения Абеля второго рода 77
31. yyL-V= —Ц-х + -±А(-10х1/2 + 27А + 10А2х-1/2).
Решение в параметрическом виде при А < 0:
х = аA0 - 7TiT2J, 2/ = 7aTi(T13 + 3TiT22-4T2), где А = -2л/а\
Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = а(91-4G(92б'з-5(92), у =-7ав^[4в2(в32 - Зв2в23 + 2в1в3), где А = д/а".
> 5 решениях уравнений 32-43 приняты обозначения:
_ ( CiJu(t) + C2Yu(t) для верхнего знака,
\ C\Iv{t) + CiKv(t) для нижнего знака,
U()t , lf^ U1=tZ't + \Z, U2 = Ul±r2Z\ Us = ±|r2Z3-2[/1[/2,
г<3е Ju(t), Yv(t)—функции Бесселя, 1и(т), Kv(t)—модифицированные функции Бесселя.
Замечание. Решения уравнений 32-43 содержат только отношение Zfu/Zu, где штрих
обозначает производную по т. Поэтому для симметрии функция Zv задается двумя произволь-
произвольными постоянными С\ и С2 (вместо этого можно, например, положить С\ = 1, С2 = С).
32. уу'х — у = Ах~1/2.
Решение в параметрическом виде:
x = ar-4/sZ-2Ul y = ar-4/sZ-2U2, где А = Т^а3/2.
33. уу'х - у = Ах~2.
Решение в параметрическом виде:
х = 2атА/2>г2Щ\ 2/ = ±3ar/3Z[/2[/3, где А = -36а3.
34. уу'х-у = А(п + 2)[ж1/2 + 2(п + 2) А + (п + 1)(п + 3)А2ж/2].
Решение в параметрическом виде:
х = aZ~2[fu - (у + \)ZV\2, у = aZ~2{f2u - 2vZufu ± r2Z2),
где А = ^va' v — •
п + 2
35. yyL-y = A(n + 2)[х1/2 + 2(n + 2)Д + Bn + 3)А2Ж-1/2].
Решение в параметрическом виде:
х = af-2[r2Zv ± B - v)fvf, у = ±ar2f-2[fl + 2A - v)Zvfv ± T2Z2],
где А = =р1Ул/а, v = .
п + 2
36. уу'х~У = Ах1/2 + 2А2 + Вж/2.
Решение в параметрическом виде:
^2^7 —2/ ryl ry \2 i27-2r 2 (ryl \2 / 2 _,_ 2\ ^21
ж = A Z,, (tZj, - Z^) , у = A Zu [т (Zu) - (у тт )ZU],
где В = A — v2)As, штрих обозначает производную по т.
37. yyL-y = 2A2 - Ах.
Решение в параметрическом виде:
х = a{Z'Q)-2{rZ0 ± 2Z'0)\ у = ±ar{Z'Q)-2[r{Z'QJ + 2ZOZ'O ± tZ\\,
где А = л/а, штрих обозначает производную по т.
78
Уравнения первого порядка
38. yyL-y= —Ц-х + -^А(х1/2 + 8А + 5А2х~1/2).
Решение в параметрическом виде:
х = 3aU^4EU2 - 7t2Z2)\ у = 28ar2Z2U^4Cr2Z2 - ZUi - 3U2),
где А = 2л/3а; Z и U\ выражаются через модифицированные функции Бесселя.
39. »»- - 0 = —&х + ^АBх1/2 + 7А + 4А2х~1/2).
Решение в параметрическом виде:
x = ar-4Z-6(UiU2-2U3J, y = 5ar-4Z-6U2(Ul -U1U3), где А = -уД/2.
40. уу'х~У = ~TqX + ЗАх~1/3 - 12А2х~5/3.
Решение в параметрическом виде:
j>3/2
T3/2Z3/2 '
Т ^3/2
_ За /з/2 ~~ ZZj3/2J3/2 — т Z3/2
~^ ^ -1/2
3/2^3/2
где Z3/2 и /з/2 выражаются через модифицированные функции Бесселя; А = -|-а4/3.
Решение в параметрическом виде:
х = -^ат-1г-3/2и[1/2щ1Bт2г3и1тги1),
у = TiaT^/2[/1/2?72-1C[/22 - \2UfU2 ± 4t2Z3Ui),
где Ъ2 = \а2.
42. уу'а - у = J-x + 1L,
Решение в параметрическом виде:
1 — J. гу — о / 2i т 7— о I Л т 1— //О ^7*-* 7" Т | О 7" Г*-* \
Ж — 2^^ 2 ^3 V ^3 ^ ОСУ2 J,
11 Q / О Q / О 1 / О О О О О
-I- Г7 О/ Z 7 О/ Z Т7 Л. / Z / Г) 7" ТО _,_ Z Г/О Т Т f)T7"Z\
— ar Z G2 су3 W^2 Т^ ^ суз — оG3 J,
где б2 = 6а2.
15а2
Решение в параметрическом виде:
х = ^aU^1 U^1(Us — U3), у = "зх °
> 5 решениях уравнений 44—52 приняты обозначения:
Е! = г3 '
- 12[/| ± At2Z3U3).
Зависимость функции р = р(т) ow параметра т задается в неявном виде:
1)
Верхний знак в формулах соответствует классической эллиптической функции Вейерштрасса
р = р(т + С2, 0, 1).
44. уух - у = Ах2 - -±-А~г.
Решение в параметрическом виде:
х = 5a(r2p=F у), у = ат2Е4, где А = ±-^а~1.
1.3. Уравнения Абеля второго рода 79
45. уу'х - у = —?ьХ + Ах2.
Решение в параметрическом виде:
х = Ъат р, у = ат Е4, где А = dz^f^-a" .
46. уу'х — у = -^-ж + Ах2.
Решение в параметрическом виде:
пт* ^^~ *~\ /~| шЧ, с\ *71 ^^~ /"I /7"" ш^ i л Т ТТ?^ АА ^^^ I ^^^_^^^ /Tf
47. ?/^ — у = 12ж + Аж~5/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ар-6/7Е~4/7, у = ар-6/7Е;4/7(Пр2Е4-3), где А = т147а7/2.
48. ^ - 7/ = -^-ж + Аж~5/3.
Решение в параметрическом виде:
х = 2aEl/2E~9/8, У = аЕ^1/2Е-9/8(9Е1т16рЕ24), где А = -If-a2BaJ/s.
49. уу'х - у = 2ж + 2АA0ж1/2 + 31А + 30А2ж/2).
Решение в параметрическом виде:
х = ар~2 [г д/±Dр3 — 1) — Зр] , |/ = — 2атр~2 [p^/d=Dp3 — 1) ± 2гр3 ± г],
где А = -у/а.
50. уух - у = 2ж + 2А(-10ж1/2 + 19А + 30А2ж~1/2).
Решение в параметрическом виде:
х = aE^2(Ei -6Е2J, у = -2aEz2(±6E2 - Е2 + 7EiE2), где А = -у/а.
Решение в параметрическом виде:
х = аB2р2Е4 -5J, ?/ = ±44ар2?3Gр?3 Т 2г), где А = ±2у/а.
52. ^ - у = --Цж + ^-АEж1/2 + 262,4 + 65А2ж/2).
Решение в параметрическом виде:
; т 15#зJ, У = 56aEz4ElFpE2 + Е4), где А =
> В решениях уравнений 53-60 приняты обозначения:
I = / — — —неполный эллиптический интеграл второго рода.
J у/±{^ - 1) F F F '
53. уу'х-у = -^х
Решение в параметрическом виде:
у ( )( R-2T2), где А = ±-Ц-
54. ?/^ — ?/ = 6ж + Ах~4.
Решение в параметрическом виде:
3/52/52), где А = 5
80 Уравнения первого порядка
55. уу'х~У = 20ж + Ах~1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = al~4/3li, у = -Ш~4/3A1 т 9т/2), где А = =Ы08а3/2.
56. уух-у = lg-х + Ах~7.
Решение в параметрическом виде:
х = all/2I-3/S, y=±aI-3/2I^/8(I2I3-M21), где А = ±|-а8.
57. уу'х-у = —Цг» + -ШАDх1/2 + 61А + 12А2х-1/2).
Решение в параметрическом виде:
x = aGRh -ЗJ, у = 14a/i[±A0r3 - l)h - R], где А = у/а.
58. уу'х-у = -Цж + -?tA(x1/2 + 166A + 66А2х~1/2).
Решение в параметрическом виде:
ж = а/2D2г/12т5/22J, ?/ = т84а/12/2(Зг/22+/2Т12г2/12), где А = ±у/а~.
59. уу'х-у = -4sx + W^G^1/2 + 49^ + 6А2Ж-1/2).
Решение в параметрическом виде:
ж = а/Г4E/2/з-16/12J, ?/ = -5а/Г4^з(=ЬЗ/з2-/2^з + 8/12/з), где А = 8у/а.
60. уух-у= ^х + 6Аж/3 - ЗА2ж/3.
Решение в параметрическом виде:
Ж = 2«г3/2713/27-3/4, y = ar-1/27r1/2/2-3/4Br7l+72-3r272), где А= -|«BаI/3.
61. wL-V= -^rX + Ax-1/3 + Bx-5/s.
Замена ж = г~3^2 приводит к уравнению
у»; = -^-5/2г, + Jrr-4 - ааг-2 - is,
которое совпадает с уравнением 1.3.3.13 при п = —1/2, с = 0, 6 = 3/4, d = 3A/2, a2 = —35.
62. уу'х-у= --^х + Ах-3/5 -Вх-7/б, В>0.
Преобразование
приводит к уравнению вида 1.3.1.3:
2 2А / 5 Л1/2 1
++
/ 2 2А / 5 Л1/2 1
9 ЗБ V 27В ) y^F
63. уух-у = к(Ах2 + Вх + С)~1/2.
Преобразование
_ 4F2w2 +6^ + 60) _ 4F2w2 + 6
Х У^^
где параметры 62, bi, &о определяются с помощью соотношений В = 4А&2 - 6о и
С = Ъ\ — 46о&2, приводит к уравнению Риккати:
±fcw? = (-\? + 62)w;2 + biw + А? + b0.
При С > 0 можно положить 62 = 0, Ъ\ = >/С, 6о = —В.
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 1994) показано, что исходное уравнение
сводится к вырожденному гипергеометрическому уравнению.
1.3. Уравнения Абеля второго рода 81
64. yy'SB-y = -^x
\А)
Замена х = (?2 + \А) приводит к уравнению вида 1.3.3.13 при п = 3, а = 4/7, с = О,
6 = A, d = 12А(\ - В):
65. уу>х-у = -^х+^В2[B-А)х1'3-
- \ВBА + 1) + В2A - ЗА)х~1/3 - АВ3х~2/3].
Преобразование
-3
X = W ,
приводит к уравнению Риккати:
VBS 525
66. yyL - у = ±x - -1'3
Преобразование
-B2)w + -В.
5 / 5
t 3
5 гДе ч = z — —a-
S 10
приводит к уравнению вида 1.3.1.46: ww'^ — w = -^-^ — ?2.
67. »»;-»= -^-x + \Ax^ + ^-A2x-^3 - ^A*
Положим А = -jfiQ-a и сделаем преобразование
.3/2 7/^,8^3 7 а<2
ж = h ' у = — w + —t — —a —
S ' y 20 V 7s 5 50?
В результате получим уравнение вида 1.3.4.30 при п = у, с = — ^-а:
[(* - ^-а)^ + \z2 - \az + \a2]w'z = -\w2
68 t/t/ - 17 — —-i^-ж 4- —A2x~1/5 ^А3ж~4/5
Положим А = 8а~2. Преобразование
уГР = «3(lfr^/5 - l^^/5): w = Ь + *~il
приводит к уравнению вида 1.3.1.64 при В = —1/49:
6". УУх У — 196 Х ~Г 3
Положим А = 4-а~2- Преобразование
448 a Vх 11 уж ), w — 7т -\- х 56
приводит к уравнению вида 1.3.1.64 при 5 = —1/49:
70. yyL-y= -&х + iA2A23x-1/7 + 280Ах-б/7 - 400А2Х-9/7).
Положим А = I/a. Преобразование
35 / . 7 3 a2 \ з/4 t 21
приводит к уравнению вида 1.3.4.30 при п = 3, с = —§5"а:
6 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
82 Уравнения первого порядка
71. уу'х — у = ах + Ъх™'.
1°. При т ф 3 преобразование
г = В2\(т-3)— + ll , w = 2(m-3)B2(bxrn~1 - ^— + — + а)
I х J V ж2 ж /
приводит к уравнению
Т (ш-3)
2°. Пусть 77г / 1 и а > —1/4. Положим
(га + 2)(га + m + l) l/.m-l o\
а = — — —-, где n = ni,2 = —( + — m — Я J
Тогда преобразование
приводит исходное уравнение к уравнению Эмдена — Фаулера: г^ = A^nwm, где
/1T/2n + m + 3\2 __
А = о[ ) , которое рассматривается далее в разд. 2.3.
V 771—1 /
72.
Положим А = — — гтгтг> ^ = — —; ^г^г- Преобразование
2(m + 2J62 2(m + 2K62 F F
^- (т + 2J _m_i т + 2 т 2(т + 1) т т + 2
л/т = — —Ьух + 6ж , w = — ^г + ж + а
т т т + 2 т
приводит к уравнению
, 2mm + 1) _i/2
[i; - W = ——^ —^Г + а + ОТ '
(m + 2J
(см. табл. 5 при а = 0 в разд. 1.3.1).
73. Уу'х-У = а2\е2Хх - а(Ь\ + 1)еЛж + Ъ.
Частное решение: г/о = «еЛж — 6.
74. уу'х~У = а2\е2Хх + аЛжеЛаг + ЪеХх.
Частное решение: г/о = аеЛж + ж Н .
аЛ
75. уу'х — у = 2a2AsinBAa?) + 2asin(\x).
Частное решение: уо = — 2asin(Ax).
76. WW; - V = c?fxf'L - Ц±$г-&, f = f(x).
Частные решения: г/i = а/ж + —-—, у2 = — ajx + —-—.
Jх Jх
1.3.2. Уравнения вида уу'х = f(x)y + 1
1. yyL = (ax + 6)ty + 1.
Замена ? = 2/— уаж2— 6ж приводит к уравнению Риккати для х = ж(?): ж^ = уа
2. ^ = (аж + 6)1у + 1.
Замена а? = — (аж + б) приводит к уравнению вида 1.3.1.33: уу^ = у + (а?
1.3. Уравнения Абеля второго рода 83
Замена ? = у — ах приводит к уравнению Бернулли: ?ж^ + а?ж + а2х2 = 0.
4» УУх — \ах -\- и) у -\- 1.
Замена z = —(аж + ЬI'2 приводит к уравнению вида 1.3.1.2: yyz = у + -|-а?.
5. j/j/i = 3(ож3/2 + 8х)~1/2у + 1.
Замена z = 12а (ах1'2 + 8I'2 приводит к уравнению вида 1.3.1.10 при т = 3:
6. уу; = (аЖ-2/3 - J-a-1*-1/3)*, + 1.
Преобразование ж = а3^2г^3, y = ^—w2 приводит к уравнению Риккати: 3a3/2?u^ =?—w2.
7. уух = аеХху + 1.
Замена ? = —е х приводит к уравнению вида 1.3.1.16: уу^ = у + (А?)-1.
А
8» 2/2/ж — (cte ж -|- be х}у ~\~ 1-
Преобразование ? = у + —е~ ж — —е х, w = eXx приводит к уравнению Риккати:
А А
wf? = aw + А?г^ — b.
9. 2/2/ж — a2/ ch ж + 1.
Частный случай уравнения 1.3.3.75 при Ъ = 0, с = 1.
10. l/1/jc — *^2/ sh ж -|- 1.
Частный случай уравнения 1.3.3.76 при b = 0, с = 1.
11. 2/2/^ = a cos(u^) у + 1.
- 2 Аи 8аи
Преобразование х = —— arctg —, у = г — — приводит к уравнению Риккати:
UJ UJ 16W2 + UJ2
и'т = —2ти2 + аи — -§-<-<;2т.
Замена х = ? + приводит к уравнению вида 1.3.2.11: уу'^ = acos(d;?) у + 1.
1.3.3. Уравнения вида уу'х = fi(x)y + fo(x)
г
Предварительные замечания. Замена ? = / f\(x)dx приводит эти уравнения к виду
!/»«=» + /(?). где №) = fo(x)/fi(x), A)
а замена г = / /о (ж) с/ж дает
1/V» =»(*)» +1. где g(z) = Mx)/fo(x). B)
Конкретные уравнения вида A) и B) рассматриваются соответственно в разд. 1.3.1 и 1.3.2.
!• 2/2/ж — (ах + ЗЬ)у + еж3 — abx2 — 2Ь2х.
Замена у = x2t + 6ж приводит к линейному уравнению для х = x(t): (—2t2 + at + с)ж? =
= ta + 6.
2. 2/2/L = (Заж + 6)т/ — а2ж3 — абж2 + еж.
Замена y = xw-\-ax2 приводит к уравнению Бернулли для x = x(w): (—w2+bw + c)x'w =
= vox + ах2.
84 Уравнения первого порядка
3. 2уу'х = (Чах + ЬЪ)у - За2х3 - 2сх2 - ЗЪ2х.
Частный случай уравнения 1.3.3.11 при т = 3/2, к = 1/2.
4. уу'х = [C - т)х - 1]у + (га - 1)(ж3 - ж2 - ах).
Преобразование х = w/z, у = — zm~1 + х2 — х — а приводит к уравнению
ww'z = w + az + zm, разрешимые случаи которого указаны в разд. 1.3.1 (см. табл. 4).
5. уу'х + х(ах2 + Ъ)у + х = 0.
Замена 2 = —\х2 приводит к уравнению вида 1.3.2.1 для y = y(z): yy'z = (—2az + b)y + l.
6. Щ/L + оA - я~г)У = а?-
Решение в параметрическом виде:
1 у = -а{т + е~ТЕ-1), где Е=
где / =
Щ/ж — а(! — Ъх~г)у = a2b.
Решение в параметрическом виде:
8. ^ = ж'1^ + 2п)ж + an]?/ - пж2т1(ж + а).
Преобразование х = —, г/ = Ьжп+ +ахп приводит к уравнению с разделяющимися
переменными: w'z = w~n — a.
9. уух = а(х - пЪ)хп~гу + с[х2 - Bп + 1Nж + п(п + 1N2]ж2тг.
Замена ^ = ахп( b) приводит к уравнению вида 1.3.1.2: yy't = у-\- (n+l)ca~2^.
V га + 1 / ^
Ю. уу'х = [аBп + к)хк + Чж71?/ + (-o2nx2fe - abxk + с)»2.
Замена y = xn(w+axk) приводит к уравнению Бернулли для х = x(w): (nw2—bw—c)xfw =
= — wx — axk+1.
11. ^ = [аBт + ^)ж^ + 6Bт-^)]ж^"^1?/-(а2тж^ + сж^ + 62т)ж2тг1-2'г-1.
Преобразование ^ = хк, у = xm(t + ахк + Ьх~к) приводит к уравнению Риккати для
z = z(t):
(—mt + 2abm — c)z't = akz + &?? + bk. A)
Замена
-, где со = с — zabm,
w
ak w
приводит уравнение A) к линейному уравнению второго порядка:
{mt2 + coJw"t + Bm + k)t(mt2 + со)^4 + afr&2w = 0. B)
Преобразование
g w(lO ^ гДе М
y/t2 + (co/m) 2m
приводит уравнение B) к уравнению Лежандра 2.1.2.212:
A - ewii - 2^+[^(«/+1) - p2(i - e2)-1]^=о, (з)
2 m2 — /c2 a6/c2 _
где v — корень квадратного уравнения v -\-v-\- — — = 0.
4m2 mc0
12. yy'x = [(m + 2l-3)x + n-2l + 3]х~1у +
+ [(га + I - 1)ж2 + (n - га - 21 + 3)ж - n + I - 2]хг~21.
Преобразование x = —w't, y = A^n~ +2wm+ ~1 — x2~ +x1~ приводит к обобщенному
w
уравнению Эмдена — Фаулера w1^ = A^nwm(w^)\ которое рассматривается в разд. 2.5.
1.3. Уравнения Абеля второго рода 85
13. уу'х = [aBn+l)x2+cx+bBn-l)]xn~2y-(na2x%acx3+dx2+bcx+nb2)x2n~3.
Здесь а, 6, с, с/, п — произвольные числа.
Замена y = xnt-\-axn+1-\-bxn~1 приводит к уравнению Риккати для функции x = x(t):
(-nt2 +ct - d + 2nab)x't = ax2 -\-tx-\-b.
14. yy'x = [a(n - l)x + bB\ + п)]хх-г(ах + b)-x~2y -
- [anx + b(\ + n)]x2X-x{ax + б)*.
Замена ?/ = — + \xx+n(ax + 6)~Л приводит к уравнению вида 1.3.4.5:
L w хп(ах + Ь) J
О + ажп+1 + bxn)w'x = [апхп + Ь(Л + ^x^w.
15. 2/2/L — а[(т — 1)х + lja??/ = а2х~1(тх + 1)(ж — 1).
Решение в параметрическом виде:
16. ^ - аA - Ъх~1/2)у = a2bx~1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = Tb2r2Z-2(ZfTJ, у = ±ab2r2Z~2 [{Z'Tf ± Z2],
где
У _ ( CiJo(t) + C2Yo(t) для верхнего знака,
\
Cilo(r) + С2Ко(т) для нижнего знака;
Jo (г) и Yo(t) — функции Бесселя, 1о(т) и Ко(т) — модифицированные функции Бесселя.
17. уу'х = Цах + Ь)-1/3х~5/3у + Цах + Ьу2/Зх~7/3.
Замена w = 1— приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
ху 3 V х /
ху
w'x = х~1/3(ах
18. Зуу'х = (-7Ах + 6s - 2\)х~1/3у + 6(As« - 1)ж/3 +
+ 2(Ах + 5А)(-Аж + 3s + 4А)ж1/3, А = AsCs + 4А).
Преобразование х = (? + As) \ ?/ = (w + 4А + 3s — Аж)ж2/3 приводит к к уравнению
1.3.4.10 при а = 1/3: [(? + As)w + DА + 3s)^]^ = \w2 + 2(ЗА + s)w + 2f.
> 5 решениях уравнений 19, 20 приняты обозначения:
19. ^ + ^-аFж - 1)х~гу = -\а2(х - 1)Dж -
Решение в параметрическом виде:
2, у = аA - rf~2g2 - r2f~2g).
20. уух - \а{1 + 2Ъх~2)у = -^а2
Решение в параметрическом виде:
), Ь= -с2.
86 Уравнения первого порядка
> В решениях уравнений 21-23 приняты обозначения:
? = ехрCт), Si =E + Csm(V3r), S2 = 2Е - Csin(>/3r)
S3 = 2Si(S2)r - (Si)fTS2 - S1S2, S4 = 2Si(Ss)r - 5(Л)'Т&
21. yyL + -^-аA3ж - 20)x~9/7y = --^a2(x - l)(x - 8)x~
Решение в параметрическом виде:
х = 64.SfS2Sz2, у = a{ASi)-Q/7 S~2/7 S~1Q/7 {St
22. yy'x + -^-аB3ж - 16)x-9/7y = --^a2(x - 1)B5ж - 32)ж1/7
Решение в параметрическом виде:
х = -^5?53-354, у = в(^5?54)-2/753-15/7Eз3 + 7542 + ^SfS4).
23. 00- + w°(lto + 85)a;-18/13t, = -^-а2(ж - 1)(х + 25)Ж-23/13
Решение в параметрическом виде:
х = -25Sf|Sf4, у = aBbSiy5/lsS~16/13(S24 + 25?| - 208Sf13Sf4).
> В решениях уравнений 24-27 приняты обозначения:
Ti = ch(r + С) cos г, Т2 = th(r + С) + tg г, Т3 = th(r + С) - tg г, Т4 = ЗТ2Т3,
6>3 = shr-cos(V
24. wi + Т5-аA3ж - lS)^-7/5^ = -^-а2(ж - l)(x - 6)x~9/5.
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = -12ТГ3Т2, 2/ = аA2Т2)/5Т1"9/5(Т13 - 5TiT22 + 12Т2).
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = 6<92<92-36>з, 2/ = аF(92(93)/56'2"9/5(^ + 5020з - 6(92(93).
25. 2/2/L + \а(Ьх + l)«-1/22/ = а2A - ж2).
Решение в параметрическом виде:
х = Т?Т2~\ у = -аТг\т! - TxTl + 4Т2).
26. ^ + ^-аA9ж - 14)х7/5у = ~^-а2(х - 1)(9ж - 14)ж9/5.
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = -f-T^Ts, у = а(^Г16Гз)-2/5(Г14 - |Г32 + -f-Тз).
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = delete,, у = {1±е\е,)-2'\еА2 + Щ - ±§-в\вА).
27. yyL + -^аCх + 7)х~13/10у = -±а2(х - 1)(х + 9)аГ8/б.
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
х = 9Т!4Т3, у = а(9Т14)/10Т3/5(Т32 - 20Т3 - 9Т?).
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
х = -%e$el у = -4a(iei
1.3. Уравнения Абеля второго рода 87
> В решениях уравнений 28-30 приняты обозначения:
Р2 = ±(т2 - 1), Рз = г3 - Зт + С, Ра = ±(т4 - 6т2 + 4Ст - 3),
Р6 = ±(т6 - 15т4 + 20Ст3 - 45т2 + 12Ст - 8С2 + 27).
28. уу'х + ^-аGж - 12)Х-7/5у = -^-а2(ж - 1)(ж - 16)ж"9/5.
Решение в параметрическом виде:
х = =Ы6Р2Р32Р4, у = аA6Р2Р32Р43Г2/5(Р42 ± 15Р|Р4 Т 16Р2Р32).
Решение в параметрическом виде:
* = f-P|P4-3P6, у = ±а(ЗР4)-9/5Р3-4/6Р6-2/6 {\Pl Т 8Р|Рб ± ^Р43).
/jn / | 3 /о iii\ —10/7 1 2/ -i\/ от\ —13/7
30. 2/з/ж + ^аCж + 11)ж х т/ = —^а (ж — 1)(ж — 27)ж ' .
Решение в параметрическом виде:
х = =р27Р43Р6, у = та(ЗР4)"9/7Р6"8/7(Р62 т 28Р32Р6 ± 27Р43).
> 5 решениях уравнений 31-38 приняты обозначения:
I = / — =¦ — неполный эллиптический интеграл второго рода,
/з = 4т/2 т /22, ^4 = hh ~ 8/?, /5 = 2Д(/ + С) - т2.
31. wL - \а(х + l)^-7/4^ = ±а2(х - 1)Cж + 5)Ж/2.
Решение в параметрическом виде:
х = |r/r4 у = |а(|гЛ)-3/4/Г1/4[A1г3 - 2)h - ±R].
При записи формул берется нижний знак (см. обозначения).
32. уу'х - \а(х + 1)х~7/4у = \а2{х - 1)(х + 5)ж/2.
Решение в параметрическом виде:
х = -\T2llh, у = -±a(ThI/2(ihK
При записи формул берется нижний знак (см. обозначения).
33. уу'х - ^аDж + 3)х~8/гу = —Ьа2{х - 1)A6ж + 5)х~9/г.
Решение в параметрическом виде:
, 3 т-2 т-1 т-2 1 /13 г12т6т2\-1/7/д7-2 | 7т2т 1Лт2м
34. ^ + ^-аA3ж - З)х~2/Зу = -\а2{х - 1)Eж - 1)ж/3.
Решение в параметрическом виде:
х = тФа\ У = -ahI4-8/S(l! ± 4 ± 4/2/4).
35. уу'х - -^а(8х - 1)х~8/7у = -^а2(х - 1)C2ж + 3)ж"9/7.
Решение в параметрическом виде:
т — ZSlT~2 TS Т'1 а— ! п( 3 7-12 7-3 7-64-1/7/0 7-3 , ?/-2
X — TJ-1 ±?>±А , 2/ — ~"зТа12"^1 1^>1Ч \61ъ± 11±
36. уу'х - аEж - 4)ж?/ = а2(х - 1)Cж - 1)ж.
Решение в параметрическом виде:
х = ±\т~\1 + СУ1^ у = 36а(/ + СJЯ~3[A ± 2т3)(/ + С) - т2Я].
88 Уравнения первого порядка
37. уу'х - |-а(Зж - 10)х~4у = \а2(х - 1)(8ж - 5)ж~7.
Решение в параметрическом виде:
х = ±^т-\1 + C)~2h, У = ±ЩаA + СL/5-3[/52 + 5т2/5 Т г3(/ + СJ].
38. щ/L + ^-аC9ж - 4)х-9/7у = -^а2(х - 1)(9ж - 16)ж1/7.
Решение в параметрическом виде:
х = =Ы6г3(/ + СJЦ\ у = |а[16г3(/ + СJ/55П2/7[3/52 + 7г2/5 Т 48т3G + СJ].
> 5 решениях уравнений 39-41 приняты обозначения:
f = J ехр(тт2) dr + С, д = 2т/ ± ехр(тг2).
39. уу'х + а(ж - 2)ж~1?/ = 2а2(ж - 1)ж~1.
Решение в параметрическом виде:
ж = техр(=рг2)/, у = а[1 Т 2т2 - rexp(=Fr2)/].
40. ^ + аCж - 2)ж?/ = -2а2(ж - 1Jх~г.
Решение в параметрическом виде:
х = i ехр(Тт2)Г V j, = 4-о [2 - exp(Tr2)/-2ff T /""s].
41. 2/2/^, + аA — Ьх~2)у = a2bx~1.
Решение в параметрическом виде:
> В решениях уравнений 42-52 приняты обозначения:
E!='t
Зависимость функции р = р(т) от параметра т задается в неявном виде:
Верхний знак в формулах соответствует классической эллиптической функции Вейерштрасса
р = р(т + С, 0,1).
Решение в параметрическом виде:
х = -§-т~ р~ Eq, у = — -|-ат(-|-?76) (Е6 + 2рЕе — Зт р ).
При записи формул берется верхний знак (см. обозначения).
41 lilt' Л ^п(ЧЧт -\- 2W~6/5?/ — —п2(т — IVQt — 4W~7^5
Решение в параметрическом виде:
х = 4т2р3Еъ2, у = ±±аDт2р3Е8бу1/5(ЗЕ26 + ЪрЕ6 т 12т2р3).
44. уу'х - \а(х - 8)х~5/2у = -\а2(х - 1)Cж - 4)ж.
Решение в параметрическом виде:
х = -|-?а?^Г2, 2/ = Ta(T^i) (E2 — 4EiL
При записи формул берется нижний знак (см. обозначения).
1.3. Уравнения Абеля второго рода 89
45. „,,; + ^аA7Ж + Щх~22/15у = -^а2(х - 1)(х + 4)Ж9/15
Решение в параметрическом виде:
х = ±4E±2El у = ±аЕ;16/15DЕ2у7/15(Е21 - ЪЕХЕ2 Т 4?23).
46. уу'х - -^аFх - 13)х~5/2у = -^-а2(ж - 1)(х - 13)ж.
Решение в параметрическом виде:
х = ^Е^2Е5, у = —^a(^-Ely1/2BEl ± 13?2?5 - 6?23).
При записи формул берется верхний знак (см. обозначения).
47. уу'х + ^аB4Ж + 11)х27/20у = -^а2(х -
Решение в параметрическом виде:
х = AElEs2, у = ±
При записи формул берется верхний знак (см. обозначения).
48. от? - -§-а(Зж + 2)X-s/5y = \а2{х - 1)(8х
Решение в параметрическом виде:
х = T-jp-'E^Ei, у = Та(ЗрЕ1Г2/5Е-3/5(ЗрЕ1 т р2Е2А ± Е4).
49. OT»i - ТаDх + 1)ж/5!/ = \а2{х - 1)B7х + 8)Ж-9/5.
Решение в параметрическом виде:
ж = -E2ElE^\ у = aE-2/5E;3/5E^9/5(El + Е2Е23 - 10?22).
50. уу'х + ^аA3ж - 3)х~4/5у = -^а2(ж - 1)B7ж - 7)ж/5.
Решение в параметрическом виде:
х = 2Е22Е^, у = аDЕ^Е1у2/5BЕ1 - ЪЕ2Е\ + 4?22).
51. уу'х - \а(х + 4)х~8/5у = \а2{х -
Решение в параметрическом виде:
±Dp3 - 1),
52. уу'х - а{2х - 1)х~5/2у = ±а2(х - 1)Cж + 1)аГ4.
Решение в параметрическом виде:
х = \т~гр~ V4p3 - 1, J/ = ^^(^р3 - 1)~3]1/2(р\Ар3 - 1 + 2тр3 - 2т).
При записи формул берется верхний знак (см. обозначения).
> В решениях уравнений 53-55 приняты обозначения:
Qi = ±т2 + Ст-1, Q2=r2±l, g3 = r3±3r + C.
53. ^ + \а(х - 6)х~7/5у = fa2(x - 1)(х + 4)ж"9/5.
Решение в параметрическом виде:
х = ±3rQ22Qs\ у = aCrQ2)-2/5Q~3/5 [(I ± 5r2)Q3 T 3rQ2].
54. уу'х + ^-аB1ж + 19)х~7/5у = -|-а2(ж - 1)(9ж - 4)ж"9/5.
Решение в параметрическом виде:
х = ±QiQ^Q3-2, ?/ = ±aQ-2/bQ-A/bQ-*>\Q% T QxQ^ ± Q\).
90 Уравнения первого порядка
55. уух - Зах-7/4у = \а2{х - 1)(х - 9)ж/2.
Решение в параметрическом виде:
х = Qi2Ql У = -aQ^1/2Q;s/2(Ql + QiQl - Q\).
При записи формул берется нижний знак (см. обозначения).
> В решениях уравнений 56, 57 принято обозначение:
к
hk = J т k-2 ехр(=рг2) dr + С.
56. уу'х — а[(т + 1)ж — 1]ж 2у = а2(т + 1)(ж — 1)ж 2.
Решение в параметрическом виде:
-т~ гп+1 ехр(±г2)/г/з, /3 =
m + 1 7 М7 m '
>^ ±(т+1)т2 - l].
57. ^ - а[(к - 2)ж + 2fc - 3^~fety = а2(к - 2)(ж - 1\
Решение в параметрическом виде:
о -Л- / , 2ч,
/г» — Х/Т 2 — /С Р"У"П(Ч~Т" I/7 7
Ду "~р~ ^ У С-Л- LII _1_ У 11Ь fe •
• 2-fe exp(=Fr2)-
\z -
58. ^ - ^-a[Dfc - 7)x - 4k + 5]ж"'гт/ = \a2Bk - 3)(ж - 1Jж1'8.
Решение в параметрическом виде:
х = (tZJU~2, у = \a(rZ)-3/5U-7/5BU2 + 5ZU - t2Z2),
где Z = CiIu(t) + CiKv(t), U = rZj. + z/Z, i/ = ; Iu(t), Ku(t)—модифици-
Ku(t)—модифицированные функции Бесселя.
> В решениях уравнений 59, 60 принято обозначение:
тп + а
59. уух - [Bп - 1)ж - аг^х'^-^у = п(х - а)х~2п.
Решение в параметрическом виде:
х = tN~\ у = t^NZ'1^ + a)Nn - т].
Частное решение: у0 = (а — х)х~п.
¦ ¦I I ^ ИФ и ^^^ I I Vm I I 1 *Jr* ^-^ #1 ^^ I ^^ I ^^ ^^^ #» 1 ^ ¦ ^^^~ ^« ^^ I ^^ ^^^ #¦ 1
v/vf# C# 4J /-п I I * ч/ I ^l I ьСу %Jv ш Щ/ I ьСу I vLj \JU I C# ^^^~ * €/tJLy I ьСу СЛ/ I
Решение в параметрическом виде:
х = rN'1, у = (г - аЛГп)1^ - (тп +a)Nn].
Частное решение: г/о = —жп(ж — а)"™.
61. уух - а[Bк - 3)ж + 1]х~ку = а2(к - 2)[(к - 1)ж + 1]х2{1~к)
Решение в параметрическом виде:
У = y^j [тЕ - A - fc)(r +
Г 1 1
где Е = / —(г + 1) i-fc dr + С.
1.3. Уравнения Абеля второго рода 91
> В решениях уравнений 62-66 приняты обозначения:
Ят = Л/1±г-+1, Еш =
Fm = RmEm - Г, Ешк = J (l ± т™*1)"^ dr + С.
62. ^ - а[(т + 2к - 3)ж + 3 - 2fc]«~fe?/ =
= а2 [(га + к - 1)ж2 - (га + 2к - 3)ж + к - 2}хг~2к.
Решение в параметрическом виде:
2 / 2(l-fc)
х = т^ЕтъВЛ-* , 2/ = атк-2Е^кк (±^±lTm+1Emk - EmkR2m + rRm2-k
а 2m-\-l a2 Зттг
63. уу'х Г(га + 2)х — 2]х~ ™, у — Г(га + 1)ж — 2ж — m-\-l]x~ ™
m m
Решение в параметрическом виде:
m + l J- _
rn±L
+ _
х = ±2E^l1Rrn, y = ±2~ ш аЕгЛ1 Ят т (Em ± 2Rm).
64. уУи-—1<——Х-2)х т у =
= —-^ [2ж2 + (га2 + га - 4)ж - (га - 1)(га + 2)]ж~ ™
Решение в параметрическом виде:
I _2_ 1+m
-- (^^ -rFro + ^
т + 2
где Ъ = ± .
m + 1
а /Зга+ 5 , га-1\ -J22^
,- / . а / Зга + 5 . га - 1 \
65. уухЛ -— жН —-
ж
а2 Г. . 1Ч 2 га2 + 2га+ 5 , 4 1
= (га + 1)ж ¦ ¦—х-\ ж
2(га + 3) Lv ' га + 1 ra + lJ
Решение в параметрическом виде:
х = Tm+1E2mF~2,
у = ar-^E^^F'^^ \F2m - Tm+lE
L
m + 1
2
/:/: ' ( m + 2 i и ггь\ а2 ( га + 1 . , ™\
66. уух-а[ \-Ъх )у = ж( \-Ъх ).
V га / га V га /
Решение в параметрическом виде:
х = стЬ^ , |/ =
67. 2/2/ж = (ае + Ъ)у + се — абе — 6 .
Преобразование ж = 1пи>, y = tw+b приводит к линейному уравнению: (—?2+a?+c)u>J =
= tw + b.
Замена ? = еж приводит к уравнению вида 1.3.3.10: уу'^ = [aB/i + А)?Л + b]?fJ'~1y +
69. 7/^ = (аеХх + 6)?/ + с[а2е2Хх + а6(Лж + 1)еЛж + Ь2Лж].
а
"л
Замена ? = —е ж + 6ж приводит к уравнению вида 1.3.1.2: г/г/^ = 2/ +
А
92 Уравнения первого порядка
70. уу'х = еХхBа\х + а + Ъ)у - е2Хх(а2\х2 + аЪх + с).
Замена у = еХх(^-\-ах) приводит к линейному уравнению дляж = ж(?): (—А^
= ах + ?.
71. ^ = еаазBаж2 + 2ж + 6)?/ + е2аж(-аж4 - Ьж2 + с).
Замена у = еаж(? + х2) приводит к уравнению Риккати для х = ж(?): (—at;2 + &? + с)х'^ =
= *2+е
72. ^ + аA + 2bx)ebxy = -a2bx2e2bx.
Решение в параметрическом виде:
х = | ехр(±т2)/, у = -^т~2 [2т2 ехр(±т2)/ ± 1] ехР[2 ехР(±г2)/],
где / = [ т'1 exp(=Fr2)dr + С.
73. ^ - а[1 + 2п + 2п(п + 1)ж]е(т1+1)аг?/ = -а2п(п + 1)A + пж)же2(тг+1)аг.
Решение в параметрическом виде:
х = BптпЕ + -J—) ехр [(п + 1)гп?;], у = атп (—Т—^ + пЕ) ехр[(п + 1)гп?;],
где Е = [ A ± rn+1)/2dr + С.
74. 7/^ + аA + 26ж1/2) ехРB6ж1/2)?/ = -a2bx3/2 ехрD6ж1/2).
Решение в параметрическом виде:
х = ct~aZ-2U2, у = -acT-AZ~2(U2 ± r2Z2) exp(-26rZ[7).
Здесь
7 _ /_,_ х-1/2 , _ Г Ci Ji(r) + C2li(r) для верхнего знака,
v у ' г ' \C\I\\t) + СчК\\т) для нижнего знака,
где J\ (г) и Yi (г) — функции Бесселя, 1\ (г) и Ki (г) — модифицированные функции
Бесселя.
75. уу'х = (a ch х + 6)т/ — аб sh ж + с.
Преобразование t = у — ashx, ? = еж приводит к уравнению Риккати: 2Ft + c)^'t =
= а^2 + 2?f - а.
76. т/т/ж = (а sh ж + Ь)у — ab ch ж + с.
Преобразование t = у — achx, ? = еж приводит к уравнению Риккати: 2Ft + c)^J =
= <2 + 2^ + а.
77. 2/з/ж = B In ж + а + 1)у -\- ж(— In2 ж — а In ж + Ь).
Преобразование х = е™, у = (? + 1^N^ приводит к линейному уравнению:
(-^2 + < + 6)Ц = гу + ^.
78. ^ = B In2 ж + 2 In ж + а)?/ + х(- In4 ж - а In2 ж + Ъ).
Преобразование x = ew, y=(^-\-w2)ew приводит к уравнению Риккати: (—^2-\-a^-\-b)w'^ =
= w2 +f.
79. т/т/ж = аж соз(а;ж2) у -\- х.
Замена ? = -|-ж2 приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.11: ?/2/^ = acosBo;?) г/ + 1.
80. т/т/ж = ах sin(u^2) у + ж.
Замена ? = -|-ж2 приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.12: г/г/^ = asinBa;?) г/ + 1.
1.3. Уравнения Абеля второго рода 93
1.3.4. Уравнения вида [gi(x)y + go{x)]y'x = f2(x)y2 + fi(x)y + fo(x)
Предварительные замечания. Замена
w=(y+^)E, где ? = ехр(- f-^-dx), A)
v 9\ J v J 9\ J
приводит эти уравнения к более простому виду:
wwx = Fi(x)w + F0(x), B)
где
Fl = [А (9о_\ + А _ 2^|ф, Fo = (А _ Ml + AW
Idx \g1J д1 д{ \ \ д1 д{ gf )
Конкретные уравнения Абеля вида B) рассматриваются в разд. 1.3.1-1.3.3. В вырожденных
случаях при Fo = 0 или Fi=0 уравнение B) представляет собой уравнение с разделяющимися
переменными.
1. (Ay + Bx + a)y'x + By + kx + b = 0.
Решение: Ay2 + кх2 + 2{Вху + ay + Ьх) = С.
2. (у + ах + Ь)у'х = осу + /Зж + 7-
Замена у = и — ах — b приводит к уравнению
гш'ж = (а + а)гб + (C — аа)х + 7 ~ ba.
При а = — а это уравнение является уравнением с разделяющимися переменными.
При а ф —а замена и = (а + a)w приводит к уравнению вида 1.3.1.1 или 1.3.1.2:
ww'x = w + А~2(/3 — аа)х + А~2G ~ Ьа), где А = а + а.
3. (т/ + акх2 -\- Ъх -\- с)у'х = —сьу2 + 2акху + шу + fc(fc + 6 — т)ж + s.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[—az2 + (m — &J + s — ck]x'z = акх2 + (Ъ + к)х + z + с.
4. {у + Аж71 + а)^ + пАхп-1у + ^ж7" + 6 = 0.
Решение: у2 + ^^ж™+1 + 2(Ахпу + ау + Ьх) = С.
5. (у + аж7^1 + Ьхп)у'х = (апхп + сж71)^.
Замена у = xn(w — Ъ) приводит к уравнению Бернулли для х = ж(ги):
[—nw2 + Fn + c)w — bc]xfw = г(;ж + ах2.
6. ж?/^ = ау2 + Ъу + схп + s.
~а
Преобразование ? = ж~а, ги = ж~а|/ приводит к уравнению гиги* = ги +
b
где А = —ab~2s, В = —аЪ~2с, т = (а — п)/а (см. разд. 1.3.1).
7. жгугу^, = —пу2 + аBп + 1)ху + by — а2пх2 — abx + с.
Замена у = w + ax приводит к уравнению Бернулли для х = x(w): (—nw2 +hw + c)x'w =
= vox + аж2.
8. 2жгугу^ = A — n)y2 + [аBп + 1)ж + 2n - 1]гу - а2пж2 - Ьх - п.
Преобразование ж = ?2, гу = ?t + а?2 + 1 приводит к уравнению Риккати:
(-nt2 + 2ап - Ь)& = а?2 +1? + 1.
9. (Ажгу - А^гу + Вж- В^)гу^ = Су2 + .Ожгу + (В - Dk)y.
Преобразование х = w + к, у = ?ги приводит к линейному уравнению для w = w(x):
[(С - А)^2 + DQw't = A^w + Б.
94 Уравнения первого порядка
10. [(Sax + \s)y + DЛ + Ss)x]y'x = 2ау2 + 2(ЗЛ + s)y + 2ж.
Замена w = ау2 + (ЗА + s)y + х приводит к уравнению вида 1.3.3.3:
2ww'y = (lay + 5b)w - 3a2ys - 2cy2 - 3b2y,
где b = s + 2Л, с = yaA3A + 6s).
11. [Dax + \s)y + DЛ + Ss)x]yfx = \ay2 + 2(ЗЛ + s)y + 2x.
\ay2 + (ЗЛ + s)y + ж п
Замена w = \ay2 + (ЗЛ + s)y + ж приводит к уравнению вида 1.3.3.3:
= {lay + bb)w - 3a2ys - 2cy2 - 3b2y,
где b = s + 2Л, с = ^аF0Л + 25s).
12. BАжт/ + ат/ + bx + с)з/^ = At/2 + Ak2x2 + ray + k(ak -\- b — m)x -\- s.
Замена у = z + kx приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[Az2 + (m - ak)z + s - ck]x'z = 2Akx2 + BA^ + ak + Ь)ж + a^ + с.
ii Го i/i \л 2(m+l) 1 / 1 — m 2 . rn — 1
13. 2жу + A - m)A2/ ' , о Х\У* = —о—У + п + ъУ + ж-
L III -\- О J .4 fli -|- О
Замена w = 1/2 H У + ж приводит к уравнению вида 1.3.3.4:
wwy = [C - т)у - l]w + (т- 1)(у3 - у2 - ау), где а = А - т .
\ТТЬ -\- о)
14. хBау + Ьх)у'х = аB - тп)у2 + 6A - тп)ху + сх2 + Аж™+2.
Преобразование ^ = у/х, w = —Axm + amz2 + frmz — с приводит к уравнению с
разделяющимися переменными: ww'z = mBaz + 6)(а?тг^2+ 6?тг^ — с).
15. (ху + ж2 + а)у^ = у2 + жу + 6.
Решение: (х-\-уJ-\-а-\-b = С(Ьх - ауJ.
16. BАху + Вж2 + 6)^ = Ау2 + к(Ак + В)ж2 + с.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
(Az2 + с - ЬАОж'г = BАк + Б)ж2 + 2А^ж + Ъ.
17. (Ажу + Вх2 + Азж)^ = D?/2 + Еху + ^ж2 + ку.
Замена у = xz приводит к линейному уравнению для х = x(z):
[(D - A)z2 + (E- B)z + F]x'z = (Az + B)x + A;
18. (Аху + Bx2 + fex)^ = Ay2 + Вжу + (Ab + fc)y + Вбж + bk.
Частный случай уравнения 1.3.4.22. Решения: у = Сж — Ъ и А^/ + ??ж + А; = 0.
19. BАжт/ + Вж2 + кх)у'х = Ау2 + Сжу + Dx2 + ку - Cf3x - Af32 - kf3.
Замена у = ?х + /3 приводит к линейному уравнению для х = х(?):
[-Af + (С - В)? + D]x'z = BА? + В)х + 2AJ5 + к.
20. (Ажу + Bx2 + fex)?/i, = Ау2 + Сжу + Г)ж2 + (к — А/3)у - С/Зх - к/3.
Замена у = ?х + /3 приводит к линейному уравнению для х = х(?):
[(С - В)? + D]xfz = (А? + В)х + Af3 + k.
21. (Аху + Аку + Вх2 + Вкх)у'х = Су2 + ?>жт/ + &(?> - В)у.
Преобразование х = w — к, у = ^гу приводит к линейному уравнению:
[(С - A)f + (D- B)?\wf? = Щ + B)w - кВ.
1.3. Уравнения Абеля второго рода 95
22. (Аху + Вх2 + агх + Ьгу + ci)^ = А?/2 + Вху + а2ж + Ь2у + с2.
Уравнение Якоби.
1°. Преобразование ж = ж + а, у = у -\- /3, где а и /3 — параметры, которые определяются
путем решения алгебраической системы
Aaf3 + Во? + aia + Ьф + ci = О, А/32 + Ба/3 + a2a + b2f3 + с2 = О,
приводит к уравнению
(Ажг/ + Вх2 + а1Ж + biy)y'x = Ay2 + Бжг/ + а2х + 52г/,
где
ai=2Ba + Ap + ai, а2 = В/3 + а2, bi=Aa + bi, h = 2А/3 + Ва + b2.
Преобразование z = y/x, ? = 1/ж дает линейное уравнение:
[5i^2 + (ai - 62)^ - а2]С = (hz + ai)C + Az + Б.
2°. Исходное уравнение может быть представлено в виде
(хух — у)(пзх + тзу + fe) — у'х(п\х + mi г/ + A?i) + п2х + Ш2|/ + к2 = 0.
Его решение можно записать в параметрической форме с помощью формул x(t) = х\/х$,
y{t) = х2/хз, где xi, х2, хз определяются из системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами:
= П\Х\
2)'t = П2Х1 + Ш2Ж2 + k2X3,
23. {Аху + Вж2 + ат/ + Ьх + с)т/^ = кАху + кВх2 + шу + fc(afc + 6 — т)ж + s.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для ж = ж (г):
[(m - aA;)^ + s - ck]x'z = (Ak + В)х2 + (А^ + ак + Ь)ж + а^ + с.
24. BАху + Вж2 + а?/ + 6ж + с)у„ = А?/2 + fc(Afc + В)х2 + afc?/ + Ъкх + s.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
(Az2 + s - ck)x'z = BAk + B)x2 + BA? + ak + Ь)ж + a^ + с
25. BАжт/ — Akx2 -\- ay -\- bx + c)y?. = At/2 + my + fc(afc + 6 — m)x -\- s.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[Az2 + (m — a&)? + s — с&]ж'г = АА;ж2 + BA^ + ak + Ь)ж + a^ + с.
BАжт/ + Вж2 + ay — akx + 6O/^, = At/2 + fe(Afc + B)x2 + ray — mkx + s.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для ж = ж(^):
[А^2 + (m - aA;)^ + s - bk]x'z = BAk + Б)ж2 + 2Azx + az + с.
26.
27. BАху + Вж + ay + 6ж + с)у'х = Ат/ + fc(Afc + .В)ж + 6т/ + afc ж + s.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для ж = ж(^):
[А?2 + (b - ak)z + s - с^ж^ = BАк + Б)ж2 + BAz + ak + Ъ)х + az + с.
28. [Аху + .Вж2 + (га — 1)Аау — (АЬт + Ва)х]у'х =
= Ау2 + Вху - (АЬ + Ват)у + (га - 1)В6ж.
Частный случай уравнения 1.3.4.22. Решение в параметрическом виде:
_ at + ACtm _ bt - BC?m
ж~ t + c ' y~ t + c
Решение в неявном виде:
Ст(Ау + Вх)т + [А(Ь -у) + В(а - ж)]т(а?/ - Ьх) = 0.
96 Уравнения первого порядка
29. [(ах + с)у + A — п)ж2 + Bп — 1)ж — п]ух = 2ау2 + 2ху.
Замена w = ay + ж приводит к уравнению вида 1.3.4.8:
2yww'y = A — n)w2 + [aBn + 1)г/ + 2п — l]w — а2пу2 —by — n,
где b = Bn — l)a — c.
30. [(ж + c)y + (n + 1)ж2 — aBn + 1)ж + a2n]yfx = т/2 + 2xy.
3n — 1
Преобразование
Зга - 1 1 Зга - 1 ж п
z= , w= +
n — 1 у n — 1 у n — 1
приводит к уравнению вида 1.3.4.8:
2zww'z = A — n)w2 + [aBn + l)z + 2n — l]w — a2nz2 — bz — n,
(Зга - l)c + anBn + 1)
где D =
n- 1
31. xBaxy + 6O/^, = —a(m + 3)жт/2 — 6(ra + 2)т/ + сжт.
Преобразование z = xy, w = —схш+ +a(m+l)x у +b(m+l)xy приводит к уравнению
с разделяющимися переменными: ww'z = (m + lJBaz + b)(az2 + 62).
32. [(а2ж2 + aix + ao)y + 62ж2 + Ьгх + 6o]l/L = с2?/2 + сгу + с0.
л 7/ I ^» /у/ I st 11)
Уравнение Риккати относительно х = х(у). Замена х = — приводит
а2у + b2 w
к линейному уравнению второго порядка:
f2Wyy - [(f2)y + fif2]w'y + foflw = 0,
33. [A2а2ж2- 7аж + 1)?/ + 4сж2- 56ж]^ = -2ж(За2т/2+ 2ст/ + 362).
Замена гу = хCа2у2 + 2с^/ + 362) приводит к уравнению вида 1.3.3.3:
2wwy = (lay + 5b)w - 3a2ys - 2cy2 - 3b2y.
34. x[(m - l)(Ax + B)y + m(Dx2 + Ex + F)]y'x =
= [A(l - n)x - Bn]y2 + [DB - n)x2 + E(l - n)x - Fn]y.
Решение: Axy + Dx2 + Ex + By + F = Cxnym.
35. x2Baxy -\- b)y'x = —4ax2y2 — Sbxy -\- ex2 -\- k.
Преобразование z = xy, w = 2ax2y2 + 2bxy — ex2 — к приводит к уравнению с
разделяющимися переменными: ww'z = 2Baz + b)Baz2 + 2bz — к).
36. (xy + axn -\- bx2)y'x = y2 -\- cxn -\- bxy.
Преобразование t = y/x, z = xn~2 приводит к линейному уравнению: (с — at)z't =
= (n-2)(az +
37. хBахпу + b)yx = -a(Sn + m)xny2 - bBn + m)y + ixm+ cx~n
Преобразование z = xn|/, w = — Axn+rn + (n + m)(az2 +bz) — с приводит к уравнению
с разделяющимися переменными: ww'z = (п + mJBaz + 6) f a^2 + 6^ — j.
38. ^ = -n?/2 + aBn + 1)еж?/ + by - a2ne2x - abex + с
Преобразование ж = ln?, у = w + a? приводит к уравнению Бернулли относительно
f = ^(гу): (-nw2 +bw + c)?'w = w? + a?2.
1.3. Уравнения Абеля второго рода 97
1.3.5. Некоторые уравнения первого и второго порядков, приводимые к
уравнениям Абеля второго рода
> Обозначения: f, g, h, р, ср, ф, Ф, F, G — произвольные функции разных аргументов.
1.3.5-1. Квазиоднородное уравнение:
f(xuy)xu+1y'x + g{xvy) + Ахх = 0.
В частном случае Л = 0 это уравнение является обобщенно-однородным уравнением.
Преобразование z = хиу, w = Ахх + g(z) — vzf(z) приводит к уравнению Абеля:
ww'z = [-(А + v)f + g'z- vzfz\w + \f(g - vzf).
1.3.5-2. Квазиоднородное уравнение:
f(xuy)xu+1y'x +g(xuy) + xx[h(xuy)xu+1y'x +p(xuy)] = 0.
Преобразование z = xuy, ? = x~x приводит к уравнению Абеля:
{z) - vzf(z)](+p(z) - uzh(z)}C = А/(г)С2 + A/i(«)C
1.3.5-3. Уравнения теории химических реакторов и теории горения:
Ч I ?( \
Ухх -аУх = ТУУ)-
Замена w(y) = у'х/а приводит к уравнению Абеля: ww'y — w = а~2/(г/), разрешимые случаи
которого рассмотрены в разд. 1.3.1.
1.3.5-4. Уравнения теории нелинейных колебаний:
Ухх + (р(у)у'х + у = о.
Замена z(y) = y'x приводит к уравнению Абеля:
zzy + 4>{y)z + y = ^ A)
которое с помощью подстановки т = -|-(а — у2) приводится к следующему виду:
zz'T=g(T)z + l, где g{r) = ±^±J^±. B)
Конкретные случаи уравнения B) рассмотрены в разд. 1.3.2.
1.3.5-5. Уравнения теории нелинейных колебаний:
у'хх + Чу'х) + у = о-
Преобразование z = y'x, w = —у — Ф(у'х) приводит к уравнению Абеля вида A):
ww' + Ф' (z)w + z = 0.
1.3.5-6. Однородное уравнение относительно независимой переменной:
х2у"х = xg(y)y'x + f(y).
Замена w(y) = xyx приводит к уравнению Абеля: ww'y = [g(y) + l]w + f(y).
1.3.5-7. Обобщенно-однородное уравнение второго порядка:
Преобразование t = yxk, и = xk(xyx + ky) приводит к уравнению Абеля:
ищ = [g(t) + 2k + l]u + f{t) - ktg(t) - k(k + l)t.
Уравнение Эмдена — Фаулера, которое рассматривается в разд. 2.3, определяется формулами
g(t) = 0, /@ = Atm, k = ¦?§-.
7 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
98 Уравнения первого порядка
1.3.5-8. Обобщенно-однородное уравнение второго порядка:
Ухх =Х ун
Преобразование ц = —у'х, w = xa+2yf3~1 приводит к уравнению Абеля:
У
[F(r])w + G{rj) + rj- r]2^ = [(C -l)rj + a + 2]w.
Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера, которое рассматривается в разд. 2.5, определяется
формулами а = п — I, /3 = m + l, F(rf) = Arf, G(rf) = 0.
1.3.5-9. Уравнение, инвариантное относительно преобразования «растяжения-сдвига»:
Ухх = х e^yf(xyx) + х д(хух).
Преобразование ? = ху'х, и = ха+2е/3у приводит к уравнению Абеля:
[/(С)« + 9@ + СК = (PC + а + 2)«.
1.3.5-10. Уравнение, инвариантное относительно преобразования «сдвига-растяжения»:
Преобразование ? = у'х/у, w = еаху/3~1 приводит к уравнению Абеля:
+ 9@ - ?2К = К/^ - 1)^ + ajti;-
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у
1.4.1. Уравнения Абеля первого рода ^ = /з(жJ/3+/2(жJ/2+/1(ж)?/+/о(ж)
Предварительные замечания.
1°. Пусть уо = |/о (ж) —частное решение уравнения Абеля первого рода. Замена у — уо = 1/w
приводит к уравнению Абеля второго рода:
ww'x = -C/зг/о + 2/22/о + fi)w2 - C/зг/о + h)w - /3,
которое рассматривается в разд. 1.3. Для /о (ж) = 0 в качестве частного решения можно взять
Уо = 0.
2°. Преобразование
\ где В = ехр
приводит исходное уравнение к нормальной форме:
L
1. у'х=ау3 -\-Ъх~3/2.
Частный случай уравнения 1.4.1.9 при п = —1/2.
2. 2/L = -У3 + За2ж27/ - 2а3ж3 + а.
Замена ?/ = 1/w + аж приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.1: wwx = 3axw + 1.
3. у'х = -у3 + (ах + ЬJ/2.
Замена |/ = —1/w приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.1: wwx = (ах + b)w + 1.
4. 2/L = -2/3 + (аж + 6)-22/2.
Замена у = —1/w приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.2: u>u4 = (ах + b)~2w + 1.
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 99
5- »; = -У3 + (ах + Ь)~1/2у2.
Замена у = — 1/w приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.4: ww'x = (ах + b)~1'2w + 1.
6. ух = ау3 + ЗаЬху2 -Ь- 2аЪ3х3.
Частный случай уравнения 1.4.1.10 при п = 0, т = 1.
7. ^ = аж?/3 + by2.
Замена и = ху приводит к уравнению с разделяющимися переменными: хих = аи3 +
+ Ьи2 + и.
8. у'х = аху3 + ЗаЪх2у2 -Ъ- 2а63ж4.
Частный случай уравнения 1.4.1.10 при п = т = 1.
9. У; = аЖ2"+V
Замена w = |/xn+1 приводит к уравнению с разделяющимися переменными: xw'x = aw
+ (n+ l)w; + 6.
При а = — —, b = -|-A(n + 1) имеем решение в параметрическом виде:
) A(l + — )exp(-F), где F = г - ± In ^
s
10. ^ = ах"?/3 + ЗаЬж7^™;*/2 - Ьтж" - 2а63жТ1+3тгг.
Замена w = у + bxm приводит к уравнению Бернулли: w'x = axnws — 3ab2xn+2mw.
11. у'х = ахпу3 + ЗаЪх^^у2 + еж'8?/ - 2аЪ3хп+3гп + 6сжТГ1+'г - Ьтж™.
Замена w = y-\-bxm приводит к уравнению Бернулли: гу^. =axnws-\-(cxk —3ab2xn+2m)w.
12. 9^ = -^(ож1"" + ЬJЛ+V - жтгг(9а + 2
При Л = — замена у = ( — + ) (ах ш +Ь) приводит к уравнению
Sail — m) V w ax + bxm J v '
ЗаA — т) V w ах + Ьж"
^ж = ги + аж + Ьхш, которое рассматривается в разд. 1.3.1.
13. ху'х = ах^у3 + (Ьх2 — 1)у + еж.
Замена w = ху приводит к уравнению с разделяющимися переменными: wx =
= x(aw3 + bw + с).
14. хух = ay3 + 3abxny2 - Ъпхп - 2ab3x3n.
Замена w = у + 6жп приводит к уравнению Бернулли: w'x = ax~1ws — 3ab2x2n~1w.
15. хух = ах2п+гу3 + Fж - п)у + еж11.
Замена w = ухп приводит к уравнению с разделяющимися переменными: w'x = aws +
+ bw + с.
16. ж^ = ахп+2у3 + (Ьж71 - 1)?/ + еж71.
Замена w = ху приводит к уравнению с разделяющимися переменными: wx =
= xn~1(aw3 + bw + c).
17. х2у'х = у3 - За2х4у + 2а3ж6 + 2аж3.
1 12
Преобразование ж = —, у = — +аж приводит к уравнению вида 1.3.2.2:
18. i? = -(аж + 6жттгJ/3+2/2.
Замена у = —1/w приводит к уравнению wwx =w + ax + Ъхш', которое рассматривается
в разд. 1.3.1.
100 Уравнения первого порядка
19. ух = (Ах2 + Вх + С)~1/2у3 + у2.
Замена у = — 1/w приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.63:
wwx = w- (Ах2 + Вх + СУ1/2.
Л - -х-16/9(ах - -M34/JV -и -^-
Ух — х [ах 25 ) у -\- 27
Решение в параметрическом виде:
где
Ei = т p =F 1, E2 = гл/±Dр3 - 1) + 2p.
Зависимость функции р = р(т) от параметра т задается в неявном виде:
-/¦
-С.
Верхний знак в формулах соответствует классической эллиптической функции Вейер-
штрасса р = р(т + С, 0,1).
21. ^ = _2/3+аеЛ-2/2.
Замена |/ = —1/w приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.7: ww'x = aeXxw + 1.
22. j/4 = -у3 + 3a2e2Aa5j/ - 2о3еЗЛш + оАеЛш.
Замена у = — + ае ж приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.7: ww'x = 3aeXxw + 1.
23. j/4 = -|-A-VAV + |-А2е-Лш.
Решение в параметрическом виде:
я=у, 2/ = -A(l + ^)e-F, где F = г - | In |г + || + С.
24. yi = ae2^^3 + бе^т/2 + су + ^е"Лж.
Замена у = we~Xx приводит к уравнению с разделяющимися переменными: w'x = au>3 +
+ bw2 + (с + Л)гу + d.
25. ^ = аеХху3 + 3abeXxy2 + су - 2ab3eXx + 6с.
Замена ги = у + 6 приводит к уравнению Бернушш: wx = aeXxws + (с — За62еЛж)ги.
26. tfc = ае^т/3 + / М
Замена w = у + Ъе^х приводит к уравнению Бернушш: wx = aeXxw3 — 3ab
27. у'х = аеХху3 + ЗаЬе(л+^ V + 2а62е(л+2^)аз2/ - Ъ^х.
Замена w = у + Ъе^х приводит к уравнению Бернушти: wx = aeXxws — ah2
28. у'я = ае^у3 + ЗаЬе^+^у2 + цу - 2оЬ3е(л+3^)аг.
Замена w = y+he^x приводит к уравнению Бернушти: wx =aeXxw3-\-[/i—3ab2
29. у'х = аеХху3 + ЗаЪе(х+*)ху2 + [(Заб2 + с)е(л+2Аг)ж + s]y +
+ Ъ(аЪ2 + с)е(л+ЗАг)ж + b(s - ^)е^х.
Замена w = у + 6емж приводит к уравнению Бернушш: гу^. = aeXxw3 + [се(л+2м)ж + s]iy.
30. у'х = [а + ЬехрBж/а)]2/3 + ?/2.
Замена |/ = —1/w приводит к уравнению вида 1.3.1.8: wwx = w — а — 6ехрBж/а).
31. у'х = — -2гах~г ехрBаж2)?/3 + A — -|-аж2) ехр(—ах2).
Замена у = ( + ж)ехр(—ах ) приводит к уравнению вида 1.3.1.16: ww'x =
V 2aw J
= w + (баж).
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 101
32. у'х = —аехрBаж3)?/3 + A — 2аж3) ехр(—ах3).
(Г\ у.
Ух) ехр(—ах3) приводит к уравнению вида 1.3.1.32:
3aw /
ww'f: =w±2(9a)~1C1/2-
33. ух = —ax~2 expBax3)y3 + 2жA — ax3) exp(—ax3).
Замена у = ( + x ) exp(—ax ) приводит к уравнению вида 1.3.1.33: ww'x =
V 3aw /
= w-У (9a)~1x~2.
34. ^ = -2-а-гх-1/2 екрBах3/2)у3 + f аж/2Bаж3/2 - 1) ехр(-аж3/2).
Решение в параметрическом виде:
х = bTi/3Z2Ul y = -j
_/CiJ1/3(r
= U?±t2Z2,
) + C2Yi/s(t) (для верхнего знака),
) + С2К1/3(т) (Для нижнего знака),
Ji/з(т) и ^1/з(т) — функции Бесселя, 1\/з(т) и Кх/з(т)—модифицированные функции
Бесселя.
35. у'а = -ах-3(х2 - оL/3 exp(|i)t,3 +
+ 27а2) exp(--g-).
х- v7 у- v7 ( + )/+/3r4 / / N
т ' ^ За2/3т2/3B/-т2O/б 2(T + 1)j_T2 ^V Зт2/'
Решение в параметрическом виде:
где / = r-||
36. у'х = ay3 + bch(\x)y2.
Преобразование t = — + — sh(Ax), ? = еЛж приводит к уравнению Риккати:
У л
2
37. yfx =ay3 +bsh(\x)y2.
Преобразование t = — + — сЬ(Лж), ^ = еЛж приводит к уравнению Риккати:
У л
2
38. ух = -у3 -У- Sa2 ch2 х у - 2а3 ch3 x + а sh ж.
Замена |/ = У a ch ж приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.9: ww'x = За ch x w -У 1.
39. ух = -у3 -У- За2 sh2 ху - 2а3 sh3 ж + а ch ж.
Замена у = — + a sh ж приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.10: ww'x = За sh x w-У 1.
40. у?. = — у3 -У- acos(u>x)y2.
Замена у = —1/w приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.11: ww'x = acos(oux)w -У 1.
41. ух = -у3 -У- asin(u>x)y2.
Замена у = —1/w приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.12: wwx = asm(u;x)w -У 1.
42. ^ = -2/3 + За2 со82(Лж)з/ + аЛзт(Лж) + 2а3 соз3(Лж).
Замена у = — — acos(Ax) приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.11: wwx =
w
= — 3acos(\x)w -У 1.
102 Уравнения первого порядка
43. у'х = —у3 + За2 sin2(\х)у + aAcos(Aa?) — 2а3 sin3(Aa?).
Замена у = \- asin(Ax) приводит к уравнению вида уравнению Абеля вида 1.3.2.12:
w
ww'x = 3asin(Xx)w + 1.
> В уравнениях 44-47 приняты обозначения: f = /(ж), д = #(ж), h = h(x).
44. ух = afy3 + (bfg2 + ^Лу + с//.
Замена ?/ = gw приводит к уравнению с разделяющимися переменными: w'x = fg2 (aw3 +
+ bw + с).
45. ^ = /з/3 + Sfhy2 + (g + Sfh2)y + fh3 + gh - tix.
Замена w = у + /г(ж) приводит к уравнению Бернулли: u4 = 9(x)w + f(x)wS-
46 У:=^У' + У + /Д:
Решение: / — + С = — In \ag + b\, где и = —
J и6 - аи + 1 a f(ag -
47. ух = (у - f)(y -g)(y- aa + b9)h+ Vf _9 f* + ^~z
Решение: |„ - /|-|„ - 9|> „ - ^* """' = Cexpf^- /(/ - g)'bdrl
а + Ъ I a + b J J
1.4.2. Уравнения вида (А22у2 + A12xy + А1гх2 + A0)y'x =
= B22y2 + B12xy + В1гх2 + Во
Предварительные замечания.
1°. При А22 = 0 это — уравнение Абеля (см. разд. 1.3.4). При Вц = 0 — это уравнение Абеля
относительно х = х(у).
2°. Преобразование z = у/х, С = х~2 приводит к уравнению Абеля второго рода:
3°. Преобразование х = х + а, у = у + C, где а и C — постоянные, которые определяются
путем решения алгебраической системы второго порядка
А22р2 + A12af3 + Аца2 + Ао = О, Б22/32 + Б12а/3 + Вца2 + Во = О,
приводит к уравнению
2 Ацх2 + BА22/3 + А12а)у
Вцх2 + BБ22/3 + В12а)у
Используя преобразование ^ = у/ж, w = 1/ж, получим уравнение Абеля второго рода:
{Ы2 + (ai - 62)е - bi]«; + А22е3 + (Ai2 - B22)f + (An - 5i2)e - Б11Н =
= (a2^ + ai)w2 + (A22^2 + A12^ +
где
ai = 2Аца + Ai2/3, 61 = 2Вца + Si2/3, a2 = 2A22/3 + Ai2a, 62 = 2B22/3
4°. Замена у = t + ex, где постоянная е определяется путем решения кубического уравнения
(А22е2 + А12е + Ац)е - В22е2 - В12е - Вц = О,
приводит к уравнению Абеля второго рода относительно х = x{t):
где Q = 2В22е + В12 - еBА22е + А12).
1. (Ау2 + ж2)^ = -2ху + Вж2 + а.
Решение: Ау3 - Вх3 + 3(х2у - ах) = С.
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 103
2. (Ау2 + Вх2 - а2В)у'п = Су2 + 2Вху.
Преобразование х = w + а, у = ?w приводит к линейному уравнению:
(-Af + Cf + Bf )«4 = (Af + В)гу + 2аВ.
3. (А?/2 + Вж?/ + Сх2)у'х = Dy2 + Еху + Fa;2.
Однородное уравнение. Замена z = ?//ж приводит к уравнению с разделяющимися
переменными: xz'x = (Az2 + Bz + Cy^-Az3 + (D - B)z2 + (E - C)z + F].
4. (Ay2 - 2Akxy + Bkx2)y'x = -By2 + 2Bkxy - Ak3x2 + a.
Замена у = z + kx приводит к уравнению Риккати для х = x(z): [— (Ak + B)z2 + а]ж^ =
= k(B-Ak)x2 + Az2.
5. (А?/2 + 2Вху + А&2ж2)^ = Вт/2 + 2Ак2ху + ВАз2ж2 + а.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z): [(В — Ak)z2 + a\x'z =
= 2к(Ак + В)х2 + 2(А/с + Б)^ж + Az2.
6. (А?/2 + Вху + Сж2 + а)у?, = Аку2 + В^жт/ + Скх2 + 6.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z): (b — ak)x'z =
= (Ak2 +Bk + C)x2 + BAk + Б)^ж + Az2 + a.
7. (Ay2 + 2Вжт/ + ?>ж2 + a)yx = -By2 - 2Dxy + Ex2 + 6.
Решение: Ay3 - Ex3 + 3(Bxy2 + ?>ж2?/ + aj/ - bx) = C.
8. (Ay2 - 2Axy + Вж2 + A - B)yx = -Ay2 + 2Bxy - Bx2 + A - B.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при а = l,b = 1.
9. (Ay2 + 2Ажт/ + Bx2 + А- В)у'х = Ay2 + 2Bxy + Вж2 - А + В.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при a = 1, 6 = — 1.
10. (Ay2 - 4Аху + Вх2 + 4А- В)у'х = -2Ау2 + 2Вху - 2Вх2 + 8А - 2В.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при а = 1, 6 = 2.
11. (А?/2 + 4Ажт/ + Вж2 + 4А - В)ух = 2Ау2 + 2Вху + 2Вж2 - 8А + 2В.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при a = 1, 6 = — 2.
12. (А?/2 - 6Ажт/ + Вх2 + 9А- В)ух = -ЪАу2 + 2Вху - ЪВх2 + 24А - SB.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при а = 1, 6 = 3.
13. (А?/2 + 6Ажт/ + Вх2 + 9А- В)у'х = ЪАу2 + 2Вху + ЗВж2 - 24А + ЗВ.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при a = 1, 6 = —3.
14. 2(Ау2 - Аху + Вж2 + А - 4В)ух = -Ау2 + 4Вху - Вх2 + А - 4В.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при а = 2, 6 = 1.
15. 2( А?/2 + Ажт/ + Вх2 + А- 4В)у'х = Ау2 + 4Вху + Вж2 - А-\-4В.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при а = 2, 6 = — 1.
16. (а?/2- 26жт/ + аж2+ аб2- а3)^ = -by2 + 2ажт/ - 6ж2+ б3- а26.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при А = 1, В = 1.
17. (а?/2- 26ж# -аж2+а62+а3)^ = -by2- 2axy + 6ж2+ 63+ а26.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при А = 1, В = —1.
18. (а?/2 - 26ж# + 2аж2 + аб2 - 2а3)^ = -by2 + 4ажт/ - 26ж2 + Ъ3 - 2а2Ъ.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при А = 1, В = 2.
104 Уравнения первого порядка
19. (ау2 - 2Ъху - 2ах2 + аЪ2 + 2а3)у'х = -by2 - 4аху + 2Ъх2 + Ъ3 + 2а2Ъ.
Частный случай уравнения 1.4.2.21 при А = 1, В = —2.
20. (Ay2+Bxy+Cx2+a)y'x = Dy2+kBAk+B-2D)xy+k(-Ak2+Dk+C)x2+b.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(D - Ak)z2 + Ъ- ak]x'z = (Ак2 + Вк + С)х2 + BА/с + B)zx + As2 + a.
21. (аАу2-2ЬАху + аВх2+аЬ2А-а3В)ух = -ЬАу2+2аВху-ЬВх2+Ь3А-а2ЬВ.
Преобразование ж = w + а, у = ?w + b приводит к линейному уравнению:
(-aAf + bAf + аБ? - bB)w't = (aAf - 2bA? + aB)w + 2а2Б - 2b2A.
1.4.3. Уравнения вида (А22у2 + A12xy + А1гх2 + A2y + Mx)y'x =
= B22y2 + B12xy + BllX2 + B2y + BlX
Предварительные замечания.
1°. При A22 = 0 это — уравнение Абеля (см. разд. 1.3.4). При Вц = 0 это — уравнение Абеля
относительно х = х(у).
2°. Преобразование ? = у/х, w = 1/х приводит к уравнению Абеля второго рода:
{[A2f + (Аг - Б2)? - Вг]ь) + A22f + (А12 - B22)f + (Аи - В12)? - Bu}w^ =
= (А2? + A^w2 + (A22f + А12? + Au)w.
3°. В разд. 1.4.4 (см. п. 3°) указано другое преобразование, которое приводит исходное
уравнение к уравнению Абеля второго рода.
4°. Динамические системы второго порядка
^.=P(x,y), $L=Q(x,y), A)
которые описывают поведение простейших лагранжевых и гамильтоновых систем в механике
сводятся к уравнениям рассматриваемого вида, если
Р(ж, у) = /(ж, у)(А22у2 + А12ху + Ацх2 + А2у + AlX),
Q{x, у) = /(ж, у)(В22у2 + В12ху + Вцх2 + В2у + Вхж),
где / = /(ж, г/) — произвольная функция.
Динамические системы A), B) встречаются при анализе сложных положений равновесия.
В общем случае систему A), B) при / = 1 можно получить, если разложить функции Р и Q в
ряды Тейлора по обоим аргументам в окрестности положения равновесия ж = |/ = 0и сохранить
далее только линейные и квадратичные члены.
Пусть решение дифференциального уравнения первого порядка
(А22у2 + Ai2xy + Ацх2 + А2?/ + А\х)у'х = В22у2 + Бхгжг/ + Вцх2 + Б2?/ + В\х
можно записать в параметрическом виде х = х(и,С\), у = y(u,Ci). Тогда решение динами-
динамической системы A), B) описывается формулами
), у = у(и,а), t= Г <du +C2.
J Р{х{и,С1), yiu.C^))
Р{х{и,С1),
Последнее выражение представляет собой неявную зависимость параметра и от t, которая с
помощью двух первых формул определяет зависимость искомых функций х и у от t.
1. (у2 — х2 + ау)у'х = у2 — х2 + ах.
Решение в параметрическом виде:
х = at + СЩ-хеА\ y = -at 1и
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 105
2. (у2 - ж2 + ау)у'х = 2у2 - 2ху + ау.
Решение в параметрическом виде:
x = t + Ct2ea/\ y = Ct2ea/t.
3. (у2 — х2 + ay — ax)yfx = у2 — х2 — ay + ax.
Решение в параметрическом виде:
х = at + Се2\ у = -at + Ce2t.
4. (у2 — х2 + ay + 2ах)у'х = у2 — х2 + 2см/ + аж.
Решение в параметрическом виде:
x = -at + C\t\3e4\ y = at + C\t\3e4t.
5. (у2 — x2 + ат/ + 2аж)з/^, = 2жт/ — 2ж2 + ат/ + 2аж.
Решение в параметрическом виде:
i = t + CrVe/l, у = -2t + CrVe/*.
6. (т/2 — ж2 + ат/ — 2аж)т/ж = 4т/2 — бху + 2ж2 + ат/ — 2аж.
Решение в параметрическом виде:
7. (t/2 — ж2 + ay + Sax)y'x = —у2 + 4жт/ — Зж2 + см/ + Sax.
Решение в параметрическом виде:
x = \t + C\t\-Xe~al\ у = -\t + C\t\-Xe~alt.
8. (т/2 — ху + см/ + ах)у'х = ху — ж2 + ау + аж.
Решение в параметрическом виде:
ж = -* + С|*Г1еа/*, 2/ = t + СИ-'е^.
9. (у2 - ху + ау + ах)ух = у2 - ху + 2см/.
Решение в параметрическом виде:
х = -at + Ct2e\ y = Ct2e.
10. (у2 — ху + ат/ — 2аж)т/ж = Зу2 — Ъху + 2ж2 + ат/ — 2аж.
Решение в параметрическом виде:
x = \t + C\t\1/2ea/\ y = t + C\t\1/2ea/t.
11. (у2 + ху — 2ж2 + ау + ах)у'х = у2 -\- ху — 2ж2 + 2аж.
Решение в параметрическом виде:
ж = at + СГ2е9?, 2/ = -2at + СГ2е9?.
12. (т/2 + ху — 2ж2 + ау + ах)ух = 2у2 — ху — ж2 + ау + аж.
Решение в параметрическом виде:
ж = * + C|t|V/?, y = -t + C\t\3ea/t.
13. (т/2 + жт/ — 2ж2 + ау — ах)ух = у2 + жт/ — 2ж2 — 2ат/ + 2аж.
Решение в параметрическом виде:
х = at + Се3?, у = -2at + Се3?.
14. (т/2 -\- ху — 2х2 -\- ау — 2ах)ух = Ъу2 — 7ху + 2ж2 + ау — 2ах.
Решение в параметрическом виде:
x=U + C\tfAea/\ y=U + C\t\s/4ea/t.
106 Уравнения первого порядка
15. (у2 - 2ху + ж2 + ау)у'х = ау.
Решение: х = у + а .
С-1п|з/|
16. (т/2 — 2жт/ + ж2 + ат/ + ах)у'х = —у2 + 2жт/ — ж2 + ау + аж.
Решение в параметрическом виде:
17. {у2 - 2ху + ж2 + ау + 2аж)^ = -2(т/2 - 2жу + ж2) + ау + 2аж.
Решение в параметрическом виде:
х = — -
18. (у2 — 2ху + х2 + ау — 2ах)у'х = 2(у2 — 2ху + ж2) + ау — 2ах.
(?/ / у )ух
Решение в параметрическом виде:
х = -4т + Ct, у= -^- + Ct.
In |*| In |*|
19. {у2 + 2жт/ + ж2 + ау + 2ажJ/?, = — у2 — 2ху — ж2 + 2ау -\-
Решение в параметрическом виде:
ах.
Ъа У V 5а
20. (т/2 + 2ху + ж2 + ау — ах)у'х = —у2 — 2ху — ж2 + ау — ах.
Решение в параметрическом виде:
21. (у2 + 2жт/ + ж2 + ау — 2ах)у'х = —у2 — 2ху — ж2 — 2ау + аж.
Решение в параметрическом виде:
/1+2 / /|^2
V а / ' V а У
22. (т/2 + 2ху — Зж2 + ат/ + ах)у'х = Зу2 — 2ху — ж2 + ат/ + аж.
Решение в параметрическом виде:
x = \t + Ct2ea/\ y = -\t + Ct2ea/t.
23. (у2 + 2xy — Зж2 + ay + ax)yx = у2 + 2жт/ — Зж2 — ат/ + Заж.
Решение в параметрическом виде:
ж = а* + C\t\ 1е8?, |/= —За*+
24. (у2 -\- 2ху — Зж2 + ау + 2аж)^ = т/2 + 2жт/ — Зж2 + Заж.
Решение в параметрическом виде:
х = at + С|*Г3е16*, 2/ = -За* + С|*Г3е16*.
25. (т/2 — ж2 + ат/ + Ьх)у'х = у2 — х2 -\- by -\- ах.
Решение в параметрическом виде:
х = (а — b)t + С|*| а~& е ?, у = (Ь — а)* + С|*| а~& е ?, а фЪ.
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 107
26. (у2 - ху + ау + Ьх)у'х = у2 - ху + (а + Ъ)у.
Решение в параметрическом виде:
х = -Ы + СЩ^е\ y = C\t\^ke\ 6/0.
27. (у2 + ху - 2х2 + ау + Ьж)^ = 2/2 + жт/ - 2ж2 + (Ъ - а)у + 2ах.
Решение в параметрическом виде:
х = Bа - b)t + C\t\~^be9\ у = 2(b - 2a)t + СЩ~~^ь е9\ Ъ / 2а.
28. (у2 — 2ху + ж2 + ат/ — аЪх)у'х = Ь(у2 — 2ху + ж2) + ат/ — абж.
Решение в параметрическом виде:
а 1 ^, аб 1 ^, , ,
— 1 In |*| ' * 6-1 In |*|
ау + Ьж)у?,
Решение в параметрическом виде:
29. {у2 + 2жт/ - Зж2 + ау + Ьж)у?, = ?/2 + 2жт/ - Зж2 + (Ъ - 2а)у + Заж.
х = (За - b)t + C\t\~^be16t, у = 3(b - 3a)t + СЩ'^ь e1Q\ Ъ ф За.
30. {у2 - Зху + 2ж2 + ау + Ьж)у?, = у2 ~ Зжт/ + 2ж2 + (За + 6)?/ - 2аж.
Решение в параметрическом виде:
х = Ba + h)t + C\t\~^+he~\ у = 2Bа + b)t + СЩ~^+ъ е~\ Ьф -2а.
31. {у2 + Зжт/ — 4ж2+ ат/ + Ьх)у'х = у2 -\- Зху — 4ж2+ F — За)т/ + 4аж.
Решение в параметрическом виде:
х = Dа - b)t + С|*Г^^е25?, у = 4F — 4a)t + C\t\~~^b е2Ъ\ Ъ ф 4а.
32. [у2 + Ажт/ - (А + 1)ж2 + by - 2Ъх]у'х = (А + 4)т/2 - (А + 6)жт/ + 2ж2 + fa/ - 26ж.
Решение в параметрическом виде:
х = ^^ + СщШеъ/\ y=-?L- + C\t\Weh/\ Аф-3.
33. (у2 - 2Аху + А2ж2 + by - bx)yx = Ay2 - 2А2ху + А3ж2 + by - bx.
Решение в параметрическом виде:
= C\l+ 2(A~1)f3 + c2t, y = AC\\+
V 36 V
f + ct, y AC\\+ f + CX ЪфО.
36 V 36
34. [у2 - 2Аху + BА - 1)ж2 + by - АЪх\у'х = {2- А)у2 - 2ху + Ах2 + Ьу- АЪх.
Решение в параметрическом виде:
^ t2eb' ^^
Ct2eb'\ y = ^^+Ct2eb/t, Аф\.
1 А
х + Cte\ y
1 — А 1 — А
35. {у2 -2Аху-\-А2х2 -\-ау-\-Ьх)ух = А(у2 -2Аху-\-А2х2)-\-{аА-\-а-\-Ь)у-аАх.
Решение в параметрическом виде:
[аА-\-Ъ (л л\2 "I Г аА-\-Ъ
где a + 6 ф 0 и B - A)a + 6/0.
36. [?/2 - (A + 2)жт/ + (A + 1)ж2 + by - Abx]yx = -Axy + Ax2 + by - Abx.
Решение в параметрическом виде:
- + C\t\Ae{A-1)b/\ y= +C\t\Ae{A-1)b/\ Аф\.
1 — A 1 — A
108 Уравнения первого порядка
37. [Ау2 + Ху-(А + 1)ж2 + Ьу + Ьх\ух = (А + 1)у2 - ху - Ах2 + by + Ъх.
Решение в параметрическом виде:
x = t + СЩ2А+1еъ/\ y = -t + C\t\2A+1eh/t.
38. {Ay2 + Вху + Сх2 + кх)ух = Dy2 + Еху + Fx2 + ку.
Замена у = xz приводит к линейному уравнению для х = x(z):
[-Azs + {D- B)z2 + {E- C)z + F]x'z = (Az2 + Bz + C)x + k.
39. (Ay2 + Bxy + Сж2 - аВу - схСх)ух = Dy2 + Еху + a(C - Я)у.
Преобразование х = w -\- а, у = ?u> приводит к линейному уравнению:
[-Af 3 + (D- B)f + (E- C^w's = (Af + В? + С)«; + aC.
40. (А?/2 + 2Вху + ААз2ж2 + ат/ + 6ж)^ = By2 + 2А&2жт/ + Вк2х2 + by + ак2х.
Частный случай уравнения 1.4.3.57 при С = Ак2.
41. (А?/2 + 2Вху + А&2ж2 + ат/ + 6ж)^ = By2 + 2А&2жт/ + Вк2х2 + afc?/ + 6Азж.
Частный случай уравнения 1.4.3.62 при С = А&2.
42. (А?/2 + 2Вжт/ + Ак2х2 +ау- акх)ух = By2 + 2Ак2ху + В&2ж2 + ту - ткх.
Частный случай уравнения 1.4.3.61 при С = Ак2.
43. (Ау2 + 2Вжт/ - Вкх2 + ау + Ьх)ух = By2 + 2Ак2ху - Ак3х2 + by + ак2х.
Частный случай уравнения 1.4.3.58 при т = Ь.
44. (Ау2 + 2Вху - Вкх2 + ау + Ьж)^ = Вт/2 + 2А&2жт/ - Ак3х2 + afo/ + 6Азж.
Частный случай уравнения 1.4.3.62 при С = —Вк.
45. (^4.?/2 + 2Вху — Вкх2 + ат/ — акх)у'х = By2 + 2А^2жт/ — ААз3ж2 + тт/ — ткх.
Частный случай уравнения 1.4.3.61 при С = —Вк.
46. (Ат/2 + 2Акху + Сж2 + ат/ + Ьж)^ = Аку2 + 2А^2жт/ + САзж2 + by + а&2ж.
Частный случай уравнения 1.4.3.57 при 5 = Ак.
47. (А?/2 + 2Акху + Сж2 + ш/ + Ьх)у'х = Аку2 + 2Ак2ху + С&ж2 + afc?/ + Ъкх.
Частный случай уравнения 1.4.3.62 при В = А&.
48. (Ау2 + 2А&Ж7/ + Сж2 + ау — акх)ух = Аку2 + 2Ак2ху + Скх2 + rm/ — га&ж.
Частный случай уравнения 1.4.3.61 при В = Ак.
49. (А?/2 - 2Акху + В&ж2 + ау + Ьж)у?, = -Вт/2 + 2Вкху - Ак3х2 + Ьу + ак2х.
Частный случай уравнения 1.4.3.59 при т = Ь.
50. (Ау2 - 2Акху + Вкх2 + ау + Ьж)^ = -Вт/2 + 2Вкху - Ак3х2 + afo/ +
Частный случай уравнения 1.4.3.59 при т = ак.
51. [ty2 + 2Аху + А2ж2 + (А - 1)В7/ - 2АВх]ух =
= -А(у2 + 2Аху + А2ж2) - (А2
Решение в параметрическом виде (А ф 2, В ф 0):
И+
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 109
52. [у2 - 2Аху + А2х2 + (В - 1)ку + (А - В)кх]ух =
= А(у2 - 2Аху + А2х2) + (АВ - 1)ку - А(В - 1)кх.
Решение в параметрическом виде E/2, к ф 0):
С2 \в _ А-1 21 2 Г в _ А-1 21
L (B-2)fc J У [ (В-2)* J
53. [2у2 -(А + 3)ху +(А + 1)х2 + By - АВх\у^ =
= (А + 1)у2 - (ЗА + 1)ху + 2Ах2 + Ву- АВх.
Решение в параметрическом виде:
±B^ ^ \-в?\ Аф1.
у
54. [2у2 - (ЗА + 1)ху + (ЗА - 1)х2 + By - АВх]ух =
= C - А)у2 - (А + 3)ху + 2Ах2 + By - АВх.
Решение в параметрическом виде:
^ в/ ^в'\ АфХ.
55. [А(у2 - 2ху + х2) - А(А - В)у + В(А - В)х]у'х =
= В(у2 - 2ху + х2) - А(А - В)у + В(А - В)х.
Решение в параметрическом виде:
56. (Ay2 + Bxy + Cx2 + ay + bx)y'x = Aky2 + Bkxy + Ckx2 + ny+(ak + b- n)x.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
(п - ak)zx'z = (Ак2 + Вк + С)х2 + [BАк + B)z + ак + Ь]х + Az2 + az.
57. (Ay2 + 2Вху + Cx2 + ay + Ьх)у'х =
= By2 + 2Ак2ху + к(-Ак2 + Bk + С)х2 + by + ак2х.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(В - Ak)z + Ъ- ak]zx'z = (Ак2 + 2Вк + С)х2 + [2(Ак + B)z + ак + Ь]х + Az2 + аг.
58. (Ау2 + 2Вжт/ - ВАзж2 + ау + Ьж)^ =
= Вт/2 + 2А^2жт/ - Ак3х2 +ту + к(ак + Ь- т)х.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(В - Ak)z + т - ak]zx'z = (Ак2 + Вк)х2 + [2(Ак + Б)^ + ак + Ь]ж + А^2 + az.
59. (At/2 - 2Акху + ВАзж2 + ат/ + Ьж)^ =
= -By2 + 2Вкху - Ак3х2 + rm/ + к(ак + b - т)х.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[-(Ак + B)z + m- ak]zx'z = к(В - Ак)х2 + (ак + Ь)х + Az2 + a^.
60. (Ау2 + 2Вжт/ + Ак2х2 + ау + Ьх)у'х =
= By2 + 2Ак2ху + Вк2х2 + rm/ + fc(afc + b - т)х.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(В - Ak)z + m- ak]zx'z = 2к(Ак + В)х2 + [2(Ак + B)z + ак + Ь]ж + А?2 + а^.
110 Уравнения первого порядка
61. (Ау2 + 2Вху + Сх2 +ау - акх)у'х =
= By2 + 2Ак2ху + к(-Ак2 + Вк + С)х2 + ту - ткх.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(В - Ak)z2 + т - ak]zx'z = (Ак2 + 2Вк + С)х2 + 2(Ак + B)zx + Az2 + аз.
62. {Ay2 + 2Вж?/ + Сж2 + ау + Ьж)^ =
= Вт/2 + 2А&2жт/ + к(-Ак2 + Вк + С)х2 + afo/ + Ькх.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
(В - Ak)z2x'z = (Ак2 + 2Вк + С)х2 + [2(Ак + В)г + ак + Ь]ж + As2 + a^.
63. {(А - 1)у2 + [2 - A(fe + 1)]ху + (Afe - 1)ж2 + By - Вкх}ух =
= (А - к)у2 + [2к - А(к + 1)]ху + (А - 1)кх2 + By - Вкх.
Решение в параметрическом виде:
64. [А(ау2 + /Эху + -ух2) + Bа - А2^ + (/3 -
+ В(ау2 + /Зжт/ + -ух2) + (/3 - АВ(тJ/ + B7 - В2сг)ж = 0.
Решение: ау2 + /Зж^/ + *ух2 — Аау — Вах + а = С ехр(—Ау — Вх).
65. 2 2 2
+ к(-А22к2 + В22к + Ац)ж2 + В22/ + к(А2к + Аг - В2)х.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(В22 - A22k)z + B2 - A2k]zxz = (A22k2 + А12к + Ац)х2 +
+ [{2А22к + A12)z + А2А; + Ai]x + А22^2 + А2^.
> В уравнениях 66-70 приняты обозначения: А = АЪ — аВ ф 0, 6 = АЪ + аВ.
66. (Аа2?/2 - 2АаЪху + А62ж2 - ААат/ + АаВх)у'х =
Решение в параметрическом виде:
= a2By2 - 2аВЬху + ВЬ2х2 - ААЬу + АВЬх.
= кАаЪу2 - кдЪху + кВЪ2х2 - AАЪ + А)у + IBbx.
х = -^— + aCt, у = —?— + bCt.
In |*| In |*|
67. [kAa2y2 — kdaxy + kaBbx2 — lAay +
= )Ы
Решение в параметрическом виде:
x = At + aC\t\l+1ekA\ у = Bt
68. [кАа2у2 - а(кб - A)xy + b(kaB - A)x2 + lAay - laBx]yx =
= a(kBb + A)y2 - b(kd + A)xy + kBb2x2 + Мб?/ - ШЬж.
Решение в параметрическом виде:
х = At + aC\t\k+1 ехр(—V ?/ = Б* + bC\t\k+1 expf —
V А* / V А*
69. (кА3у2 — 2кА2Вху -\- кАВ2х2 — а2у
= kA2By2 - 2kAB2xy + &В3ж2 - aby + 62ж.
Решение в параметрическом виде:
х = АС
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 111
70. [кА3у2 - 2кА2Вху + кАВ2х2 + 1Аау - (lAb + A)x]y'x =
= кА2Ву2 - 2kAB2xy + кВ3х2 + (laB - А)у - IBbx.
Решение в параметрическом виде G ф 1):
х = AC2 (V+1 + -f^t2) + aCt, у = ВС2 (V+1 + -f^t2) + bCt.
1.4.4. Уравнения вида (А22у2 + А12ху + А1гх2 + А2у + Агх + А0)у'х =
= В22у2 + В12ху + В11Х2 + В2у + Вгх + Во
Предварительные замечания.
1°. При А22 = 0 это — уравнение Абеля (см. разд. 1.3.4). При Вц = 0 это — уравнение Абеля
для х = х(у). При А2 = А\ = ??2 = В\ = 0 см. разд. 1.4.2. При Aq = Во = 0 см. разд. 1.4.3.
2°. Преобразование х = х + а, у = у + /3, где а и /3 — постоянные, которые определяются
путем решения алгебраической системы второго порядка
А22р2 + A12af3 + Аца2 + А2/3 + Аха + Ао = 0,
?22/32 + B12af3 + Вца2 + Б2/3 + Вк* + Бо = 0,
приводит к уравнению
где
а2 = 2А22Р + Ai2a + A2, ai
b2 = 2В22Р + 5i2a + Б2, 6i = 2Вца + B12f3 + Бь
Преобразование ? = ?//ж, w = 1/х позволяет получить уравнение Абеля второго рода:
{[а2? + (ai - 62)е - bi]w + А22е3 + (А12 - B22)f + (An - В12)? - Bn}wf^ =
= (a2^ + (n)w2 + (A22^2 + A12?, + Ац)гу.
3°. Замена у = z -\- ex, где постоянная е определяется путем решения кубического уравнения
(А22?2 + А12? + Ац)е - В22?2 - В12? - Вц = 0,
приводит к уравнению Абеля второго рода для х = x(z):
[(Qz + R)x + (В22 - A22?)z2 + (B2 - A2e)z + Bo - Aos]xz =
= (A22?2 + A12? + Ац)х2 + [BA22s + A12)z + A2s + Ai]x + A22^2 + A2z + Ao,
где
g = 2Б22в + B12 - ?BA22? + A12), R = B2? + B1- s(A2? + Ai).
1. (y + ax + bJy'x = (ay + /3x + 7J-
Частный случай уравнения 1.7.1.6 при /B) = z~2.
2. (А?/2 + Вху - схВу + кх- ак)у'х = Су2 + Dxy + (к - cxD)y.
Преобразование х = w + a, 2/ = u>? приводит к линейному уравнению:
[-Af + (С - S)f + D?\wfz = (Af + Б^^ + А;.
3. (Ау2 + 2Аху + Вж2 + А - В)^ = Ау2 + 2Вжт/ + Dx2 + 2(В - Л)ж + D - А.
Преобразование х = w + 1, 2/ = ?ги — 1 приводит к линейному уравнению:
4. (А?/2 - 2Ажт/ + Вх2 + А- В)ух = -Ау2 + 2Вху + Сж2 + 2(В + С)ж + А + С.
Преобразование ж = w — 1, 2/ = ?w — 1 приводит к линейному уравнению:
(-Af + Af + Б^ + С)Ц = (А^2 - 2А^ + В)гу + 2(А - В).
112 Уравнения первого порядка
5. (Ау2 + 2Аху + Вх2 + А- В)у'х = Ау2 + 2Вху + Сж2 + 2(С - В)х - А + С.
Преобразование х = w — 1, у = ?ги + 1 приводит к линейному уравнению:
(-Af - Af + В? + С)Ц = (^2 + 2^ + в)™ + 2(А ~ в)-
6. (А?/2 - 2Аху + Вж2 + А - В)ух = -Ау2 + 2Вху + Сж2 - 2(В + С)ж + А + С.
Преобразование х = w + 1, ?/ = ?ги + 1 приводит к линейному уравнению:
7. (Ат/2 - 2Аху + Вж2 + А - В)^ =
= Су2 + 2Вжт/ + Dx2 - 2(А + С)у - 2(В + Л)ж + 2А + С + D.
Преобразование х = w + 1, у = ?ги + 1 приводит к линейному уравнению:
[-Af + BА + C)f + В?,+ D]wf? = (Af - 2А^ + B)w + 2(В - А).
8. BАу2 -2Аху+Вх2+2А-4В)у'х = -Ay2+2Bxy+Dx2-2(B+2D)x+A+4D.
Частный случай уравнения 1.4.4.34 при а = 2, C = 1, С = — А
Преобразование ж = w + 1, ?/ = ?w — 2 приводит к линейному уравнению:
(-Af - 2Af + В? + С)Ц = (Af + 4^ + B)w + 2B - SA.
Преобразование х = w + 1, |/ = ?ги + 2 приводит к линейному уравнению:
(-Af + 2Af + В? + С)Ц = (А^2 - 4А^ + В)гу + 2В - 8А.
11. (Ау2 + 4Ажт/ + Вж2 + 4А - В)ух =
= Су2 + 2Вху + 2Вж2 + 4(С - 2А)у + 2В + 4С - 16А.
Преобразование х = w + 1, |/ = ^гу — 2 приводит к линейному уравнению:
[-Af + (С - 4,A)f + В? + 2Б]Ц = (А^2 + 4А^ + В)гу + 2В - 8А.
Частный случай уравнения 1.4.4.34 при а = 2, /3 = —1, С = А.
13. BAy2-\-2Axy-Bx2-\-2A-\-4B)yfx=Ay2-2Bxy-Dx2-\-2(B-2D)x-A-4D.
Частный случай уравнения 1.4.4.34 при а = —2, C = 1, С = — А
Частный случай уравнения 1.4.4.27 при С = А&2.
Частный случай уравнения 1.4.4.32 при С = Ак .
16. (А7/2+2Вж2/+А&2ж2+а2/-а&ж+6)^ = By2-\-2Ak2xy-\-Bk2x2-\-my-mkx-\-s.
Частный случай уравнения 1.4.4.31 при С = Ак2.
Частный случай уравнения 1.4.4.28 при т = Ь.
Частный случай уравнения 1.4.4.32 при С = —Вк.
19. (Ау2 + 2Вху-Вкх2+ау-акх+Ъ)у'х = By2 + 2Ak2xy-Aksx2+rny-rnkx+s.
Частный случай уравнения 1.4.4.31 при С = —Вк.
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 113
20. (Ay2 + 2Akxy + Cx2 +ay + bx + m)y'x = Aky2+ 2Ak2xy + Ckx
Частный случай уравнения 1.4.4.27 при В = Ак.
21. (Ау2 + 2Акху + Сх2 + ау + Ьх + т)ух = Аку2 + 2Ак2ху + Скх2
Частный случай уравнения 1.4.4.32 при В = Ак.
22. (Ау2 -\-2Akxy-\-Cx2 -\-ау — акх-\-Ь)у'х = Аку2-\-2Ак2ху-\-Скх2-\-my-mkx-\-s.
Частный случай уравнения 1.4.4.31 при В = Ак.
23. (Ау2 -2Акху+Вкх2 +ау+Ъх+с)у'х = -By2 -\-2Вкху-Ак3х2+by+ak2x+s.
Частный случай уравнения 1.4.4.29 при т = Ь.
24. (Ау2 -2Акху+Вкх2 +ау+Ъх+с)у'х = -By2 -\-2Вкху-Ак3х2+aky+bkx+s.
Частный случай уравнения 1.4.4.29 при т = ак.
25. (Ау2 + 2Вху + Сх2 - 2Af3y + кх + А/32)^ =
= Вт/2 + Яж7/ + Fx2 + ку - Ef3x - Bf32 - kf3.
Замена w = у — /3 приводит к уравнению вида 1.4.3.38:
(Aw2 + 2Bxw + Сх2 + kx)wx = Bw2 + Exw + Fx2 + to, где к = к + 2B/3.
26. (At/2 + Вжту + Сх2 + ау + Ъх + т)у'х =
= Аку2 + Вкху + Скх2 + nty + fc(afc + 6 — п)ж + s.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для ж = ж (г):
[(п - ak)z + s - mfc]^ = (Ак2 + Вк + С)х2 + [BАк + Б)^ + аА; + Ь]ж + Az2 +az + m.
27. (А?/2 + 2Вху + Сж2 + ау + Ьж + т)^ =
= By2 + 2А&2жт/ + к(-Ак2 + Вк + С)х2 + by + а&2ж + s.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = ж (г):
[(В - Ak)z2 + (Ъ- ak)z + s - mk]x'z =
= (Ак2 + 2Вк + С)х2 + [2(AJfe + Б)^ + ак + Ь]ж + А^2 + а^ + т.
28. (А?/2 + 2Вху - Вкх2 + а?/ + Ьх + с)у?, =
= .Вт/2 + 2А^2жт/ — Ак3х2 + ту + fc(afc + Ъ — т)х -\- s.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(B-Ak)z2 + (m-ak)z+s-ck]x'z = (Ak2 + Bk)x2 + [2(Ak + B)z+ak+b]x + Az2+az+c.
29. (Ay2 - 2Акху + Вкх2 + ау + Ъх + с)у'х =
= —By2 -\- 2Вкху — Ак3х2 + ту + к(ак + b — т)х -\- s.
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[-(Ак + B)z2 + (m - a?;)? + s - ck]x'z = k(B - Ak)x2 + (ak + b)x + A^2 + az + с
30. (A?/2 + 2Вжт/ + Ak2x2 +ay + bx + c)yfx =
= By2 + 2Ak2xy + Bk2x2 + rm/ + fc(afc + b - m)x + s.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(B-Ak)z2 + (m-ak)z+s-ck]xz=2k(Ak + B)x2 + [2(Ak + B)z+ak+b]x + Az2+az+c.
31. (Ay2 + 2Вжт/ + Сж2 + ау - акх + Ь)ух =
= By2 + 2Ак2ху + fc(-Afc2 + Вк + С)ж2 + rm/ - тАзж + s.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
8 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
114 Уравнения первого порядка
32. (Ау2 + 2Вху + Сх2 + ау + Ъх + т)^ =
= Вт/2 + 2Ак2ху + fc(-Afc2 + Bfc + С)ж2 + аку
Замена у = z + кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(В - Ak)z2 + s - mk]x'z = (Ак2 + 2Вк + С)х2 + [2(Ак + В)з + а/с + Ь]ж + Az2
33. [А(а?/2 + 0ху + 7ж2) + (AS + 2а)у + (As + 0)х + А* + 8]у'х +
+ В(сху2 + /Зжт/ + 7ж2) + (BJ + /3O/ + (Be + 27)ж + Вст + е = 0.
Решение: ау2 + /Зжг/ + jx2 + Sy + ex + а = С ехр(—Ау — Вх).
34. (схАу2 - 2f3Axy + Вх2 + а/32А - сх2В)у'х = Су2 + 2Вжт/ +
+ Dx2 - 20ЦЗА + С)у - 2(olD + /ЗВ)ж + ol2D + 02B0А + С).
Преобразование ж = ги + а, у = ^гу + /3 приводит к линейному уравнению:
[-aAf + B/М + C)f + Б^ + ^>]Ц = (аА^2 - 2/ЗА^ + B)w 2
35. (А22У2 + А12ху + Ацж2 + А2?/ + Aix + А0)у'х =
= В22У2 + кBА22к + Ai2 - 2В22)ху + к(-А22к2
+ В22/ + к(А2к + Аг- В2)х + Во.
Замена у = z -\- кх приводит к уравнению Риккати для х = x(z):
[(В22 - A22k)z2 + (В2 - A2k)z + Во - Aok]x'z =
= (А22к2 + А12к + Ац)х2 + [BА22к + Ai2)^ + А2А; + Аг]х + А22^2 + A2z + Ао.
36. (А222/2 + А12ху + Ащ2 + А2у L
= В22у2 + В12Ж7/ + Вцх2
Здесь Ajj, Bij, A\ —произвольные параметры, а остальные коэффициенты определяются
соотношениями
А2 = -А12а - 2А22C,
Ао = -Аца2 + A22f32 - Aia,
В2 = BАц - В12)а + (А12 - 2В22)/3 + Аи
Bi = -2Вца-В12р,
Во = Вца2 + (В12 - 2Ац)а/3 + (В22 - A12)f32 - Аф,
где а, C — любые.
Преобразование х = w + а, у = ^w + C приводит к линейному уравнению:
[-A22f + (Б22 - А12)? + (В12 - Ац)? + Вп]^ = (A22f + А^ + Ац)«; + fc,
где А; = 2Аца + Ai2/3 + Аь
1.4.5. Уравнения вида (А3у3 + А2ху2 + Агх2у + А0х3 + агу + аох)у'х =
= В3у3 + В2ху2 + Вгх2у + В0х3 + Ьгу + Ьох
1. (у3 — х2у + ау + Ьх)у'х = ху2 — х3 + by + ах.
Решение в параметрическом виде F/0):
х = С'НЩ^е'1 + \ЪСЩ~^е\ у = С~НЩ^~е~ь - \bC\t\~^~e .
2. (у3 - ху2 - х2у + х3 + a?/J/L = -?/3 + ху2 + ж2?/ - ж3 + аж.
Решение в параметрическом виде:
х = С'1 signte/? + ^aC\t\elf\ у = С'1 signte/? - \аСЩе1/ь.
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у 115
3. (у3 + ху2 - х2у - х3 + ау + Ьх)у'х = -у3 - ху2 + х2у + х3 + Ъу + ах.
Решение в параметрическом виде (а ф —Ь):
Ъ-а / Л+2 ч Ъ-а , л?2 ч
x = t + C\t\ b+a expf У y = t-C\t\ ь+а expf J.
О *~\ c\ • О О О О
4. (?/ + ж?/ — 2ж т/ + 2а?/ + ах)ух = —у + ж?/ + 4ж ?/ — 4ж — а?/ + 4аж.
Решение в параметрическом виде:
5. (у3 + ж?/2 - 5ж2# + Зж3 + ау + ож)^ = -З?/3 - Зж?/2 + 15х2у - 9ж3 - ау + Заж.
Решение в параметрическом виде:
х = С'1 signte/? + -^аСЩе11^ у = С'1 signte/? - -^аСЩе1/ь.
6. (у3 + 2жт/2 — ж2т/ — 2ж3 + lay + ах)ух = 2ху2 + 2ж2т/ — 4ж3 — ау + 4аж.
Решение в параметрическом виде:
х = СЧЩе1/ь - \aC\t\xexl\ у =
7. (у3 - Ъх2у + 2ж3 + lay + ажO/1 = -2у3 + 6ж2?/ - 4ж3 - ау + 4аж.
Решение в параметрическом виде:
ж = С'1 signte'1^ + |aC|t|e1/?, у = С'1 signte'1^ - \аСЩе1/1.
8. (у3 + Зж?/2 - 4ж3 + ау + 6ж)^ = -2?/3 - 6ж?/2 + 8ж3 + (Ъ - а)у + 2аж.
Решение в параметрическом виде (а / —Ь):
Ъ-2а
[^^] y = t-2C\t\ ь+а
9. C 223 ' 3 2 2
Решение в параметрическом виде (афЪ):
_ Sa-b Sa-b
y = С~ХЩ~ 2(«-&) e~l + -f^{a - b)C\t\ 2^~^ e.
10. (у3 + Зж?/2 + Зж2?/ + ж3 - ay + ax)yx = -у3 - Зху2 - Зж2?/ - ж3 - ау + аж.
Решение в параметрическом виде:
x = Ct±-^—^/2t4-\-l, y = CtT -^л/2?4 + 1.
11. (у + Зж?/ + Зж у -\- х + а?/ + Ъх)ух = —у — Зху — Зж у — х -\- by -\- ах.
Решение в параметрическом виде F ф —2а):
12. (?/3 - 4ху2 + 4ж2?/ + а?/ - аж)?/^ = Зу3 - 14ху2 + 20х2у - 8ж3 + 2а?/ - 2аж.
Решение в параметрическом виде:
13. (?/3
Решение в параметрическом виде:
х = С'1 sign* е/? + aC|t|e1/?, j/ = С signte/? + 2aC\t\e1/b
116 Уравнения первого порядка
14. (у3-5ху2 + 7х2у-3х3+ау-2ах)ух = 3у3-15х
Решение в параметрическом виде:
х = С'1 signte/? + ^aC\t\elf\ у = С'1 signte/? + faC\t\elft.
15. (у3 - Ъху2 + 8х2у - 4х3 +ау + Ъх)у'х =
= 2у3 - Ю
Решение в параметрическом виде (а ф —Ь):
= 2у3 - Юху2 + 16х2у - 8х3 + (За + Ъ)у - 2ах.
16. (у3 + Ъху2 + Зх2у - 9х3 +ау + Ьх)у'х =
= -Зу3 - \Ъху2 - 9х2у + 27ж3 + (Ъ - 2а)у + Зах.
Решение в параметрическом виде (а ф —Ь):
Ь — За / оо +2 ч Ъ — За • оо /2 ч
ь+а ехр(—^-), 2/ = * — ЗС|*| ь+а ехр(-^— ).
\ а + 6 / \ а + 6 /
17. (у3 - бху2 + 11ж21/ - 6ж3 + ат/ +
= 2у3 - llxy2 + 18х2у - 9х3 + Dа + Ъ)у - Зах.
Решение в параметрическом виде (а ф —^Ъ)\
2>а+Ъ 2>а+Ъ
4а+2Ь е~ь - (а + -1-6
у = С~1Щ~1^+Ые~ь - 3(а + \b
18. (у3 - бху2 + 12х2у - 8х3 - ау + ах)ух = 2у3-12ху2 + 24х2у-16х3-ау +ах.
Решение в параметрическом виде (а > 0):
19. Bу3 - Зху2 + х2у + ау + Ьх)у'х = у3 - ху2 + (а + Ъ)у.
Решение в параметрическом виде (а ф —2Ъ)\
х = С^Щ-^+^е-1 + (а + 26)C|t|^We?, у = С'^Щ'^Ш е~ь.
20. Bу3 -\-3xy2 -Зх2у-2х3 -\-ау-\-Ъх)у'х = -у3 + 3ху2 + 6х2у-8х3 -(а-Ъ)у+2ах.
Решение в параметрическом виде (а ф 2Ь):
х =
у = СЧЩ^^е' + -^(
21. Bу3 - 9ху2 + 13х2у - 6ж3 + ау + Ьх)ух =
= Зу3 - 13ху2 + 18х2у - 8х3 + (За + Ь)у - 2ах.
Решение в параметрическом виде (а ф — -§-6):
х = С^Щ-^+ы е-? - (За + ^
2а+Ъ
у = С*!*! 3«+2& е~ь - 2Cа
22. (Зт/3 - ху2 - Зх2у + х3 + ат/)^ = -т/3 + Зжт/2 + ж2?/ - Зж3 + ах.
Решение в параметрическом виде:
х = СЧ'е111 + \аСеех1\ у =
1.4. Уравнения, содержащие полиномиальные функции у
117
23. (Зу3 + ху2 — Зх2у — х3 + ау)у'х = у3 + Зж?/2 — ж2?/ — Зж3 + ах.
Решение в параметрическом виде:
х =
у =
3 2кху2 + к2х2
24. (ху2 — 2кх2у + к2х3 + ат/ — ах)ух = у3 — 2кху2 + к2х2у
Решение в параметрическом виде (& / 1):
25.
Ък2х2у - к3х3 - ау + ах)у'х =
= ку3 — Зк2ху2 + Зк3х2у —
— ау + ах.
Решение в параметрическом виде (а > 0, к ф 1):
x = Ct± C2^—*-V2t2 + l, y = Ct±
26. (у3 - Зкху2 + Зк2х2у - к3х3 + ау +
= fc?/3 - Зк2ху2 + Зк3х2у - к4х3 + [(fc
Решение в параметрическом виде (Ь ф \(к — 3)а, к ф 1):
)а + Ь]у - ках.
27.
(/с-3)а-26 J L1 ' (/c-3)a-
[t/3 - (к + 2)жт/2 + Bfe + l)x2y - kx3 + 2ay - (к + 1)ож]^ =
= fc?/3 - fc(fc + 2)xy2 + fcBfc + l)x2y - k2x3 + (fe
Решение в параметрическом виде (к Ф 1):
28.
[?/3 - (fe + 2)ж?/2 - fc(fc - 4)х2у -\-к2(к- 2)ж3
= Bк - 1)у3 - кDк - 1)ху2
Решение в параметрическом виде (к Ф —1):
= Bк - 1)у3 - кDк - 1)ху2 + к2Bк + 1)х2у - к3х3 + кау - ках.
29.
- Bfc
ау
1)ху2
[(к
- Ьж.
Решение в параметрическом виде (а ф —Ь, к ф 1):
ка+Ъ
fca+b
30. (Ау3 -\- ху2 — Ах2у — х3 + ау + Ьх)у'х = у3
1°. Решение в параметрическом виде при Ь ф 0:
аж.
а — Ъ
= C~1t\t\ 26 \t + l\
ЪА — а
= C~1t\t\
а — Ъ
ЪА — а
26
Ъ — а а — ЪА
2& \t + l\ 2&
Ъ — а а — ЪА
26 |^ + 1| 26
2°. Решение в параметрическом виде при Ъ = 0:
\aC\t\
118 Уравнения первого порядка
31. (у + у + у + +)ух у+у + у
Частный случай уравнения 1.7.1.13. Преобразование t = у/х, и = х2 приводит к
линейному уравнению:
[PB(t)-tPA(t)]ut = 2PA(t)u + 2a,
где PA(t) = A3ts + A2t2 + Axt + Ao, PB(t) = B3ts + B2t2 + Btf + Bo.
32. [Ay3 + (A + 2)xy2 -(A- 4)x2y -(A- 2)x3 + ay - ax]y'x =
= -(A - 2)y3 - (A - 4)xy2 + (A + 2)x2y + Ax3 - ay + ax.
Решение в параметрическом виде:
33. [Ay3 + S(A + l)xy2 + 12x2y - 4(A - S)x3 + ay - ax\y'x =
= -BA - 3)y3 - 6(A - 2)xy2 + 12x2y + SAx3 - 2ay + 2ax.
Решение в параметрическом виде:
1.5. Уравнения вида f(x,y)y'x = д(х,у), содержащие
произвольные параметры
1.5.1. Уравнения, содержащие степенные функции
1. yfx =
Замена w = B/A).s/y приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.32: ww/x=w-\-2BA~2x~1^2.
2. у'т = Ау/у + Вх-1.
Пусть А = ±2а~1л/Ь, В = =f46 (b > 0). Решение в параметрическом виде:
x = af(r), y = b[2r±f(r)]2, где /(г) = ехр(=рт2) [|ехр(тг2) dr
3. у'х = Ау/у + Вх'2.
Замена w = 2А~1л/у приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.33: ww'x =w-\-2BA~2x~2.
4. ух = ал/у + Ьх + ex™.
Замена w = 2а~1л/у приводит к уравнению Абеля второго рода: ww'x = w +
+ 2а~2 (Ьх + сжт), которое рассматривается в разд. 1.3.1.
5. ^ = а?/71 + Ьх 1~п .
Решение: / -л = In \х + С, где w = ух п~1 .
J awn + T^-w + b '
6. yi = Ays - Bxk.
Преобразование ж = (w'z} к , у = \( — Js, где Л = f — J , приводит к обобщенному
уравнению Эмдена — Фаулера:
_ Л/с _J-
которое рассматривается в разд. 2.5 (в классификационной таблице надо смотреть урав-
уравнения, удовлетворяющие условию п + т + 1 = 0).
7.5. Уравнения вида f(x,y)y'x = g(x,y), содержащие произвольные параметры 119
7. ух = (ах + Ьу + с)п.
Частный случай уравнения 1.7.1.1 при /(?) = ?те.
8. ух = ажт-п-птуп + Ъх™.
Решение:
Г dw и(а\1/пл | | /й\1/п -m-i л т + 1/бЛ1/^
/ —^—л—гт+с = ь\т) 1п ж ' где w=\t) ух ' Л = —i—( —)
J wn — Xw + 1 \ b / \ b / b \ a /
9. у; = аЖ"-1?/т+1 + bxnh-1ymh+1.
Обобщенно-однородное уравнение 1.7.1.3 при /(?) = at; + Ь^
10. ^ = ахкуу/у + бж™?/ + cxsy/y.
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при f(x) = ахк, д(х) = 6жт, /г(ж) = cxs, n = 1/2.
11. »; = оа!*»1-1-* + Ьж?, + еж'»1""-
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при f(x) = ахк, д(х) = 6жт, /г(ж) = cxs.
12. у; = xn-1y1-m(axn + bym)h.
Частный случай уравнения 1.7.1.7 при /(?) = ^к.
13. awi = » + axn-mym + Ьхп~кук.
Замена ?/ = xw приводит к уравнению с разделяющимися переменными: w'x =
= xn-2(awm+bwk).
14. (ауп + Ьж)у^. = 1.
Решение: х = еЪу (с + а I yne~hy dy}.
15. х(хуп + а)у'х +Ъу = О.
Решение: пЪ - а = х(Суа/ь + уп).
16. ж(аут + т)^ = i/fte^^-^y^ - п].
Частный случай уравнения 1.7.1.16 при /(?) = а^, р(^) = 1, /г(^) = Ы;Х, к = п.
17. (ажп + Ьх2 + сху)у'х = кхп + бжт/ + ст/2.
Преобразование ? = ?//ж> ^ = жп~2 приводит к линейному уравнению для z =
4
рр ?/
(к - atL = (п - 2)(аз + Ъ + с*).
18. (ат/71 + 6ж2 + сху)ух = куп + бжт/ + су2.
Преобразование t = ?//ж> z = жп~2 приводит к линейному уравнению z =
tn(k - atL = (п- 2)(atnz + b + ct).
19. (ахп + Ьуп + ж)^ = axhyn-h + /Зж™^"™ + у.
Преобразование t = г//ж, ^ = хп~1 приводит к линейному уравнению:
(atn~k + ptn~m - Ып+1 - atL = in - l)(btn +a)z + n-l.
20. (axn + byn + Ax2 + Bxy)yx = сххкуп~к + f3xrnyn-rn + Ажт/ + Вт/2.
Преобразование t = y/x, z = жп~2 приводит к линейному уравнению:
(atn~k + ptn-m - Ып+1 - atL = (п- 2)(Ып + a)z + (n - 2)(Bt + A).
21. [(ax + б?/O1 + 6ж]^ = c(ax + буI71 - ax.
Частный случай уравнения 1.7.1.14 при /(?) = ^п, р(^) = 1, /г(^) = с^т.
22. [(ах + б?/O1 + Ъу]у'х = с(ах + бт/O" - ау.
Частный случай уравнения 1.7.1.15 при /(?) = ^п, д(?) = 1, /г(^) = с^т.
120 Уравнения первого порядка
23. (аж + /Зу + 7Гу'х = (ах + by + сO1.
Частный случай уравнения 1.7.1.6 при /(?) = ?те.
24. (аж™ + Ьу)^ = ж71?/1-.
Частный случай уравнения 1.7.1.7 при /(?) = 1/?.
25. (ау™ + Ъхп + s)^ + сххк + Ъпх^у + /3 = 0.
Решение:
аф(х) + Ьжтег/ + sy + (Зх = С,
\
... — при т ф — 1, , ( ч I при к ф — 1,
где (р(у) = < т + 1 ^(ж) = < /с + 1
[ In \у\ при т =—1, [1п|ж| при к = — 1.
26. (лж т/71 -|- Ьху™ -\- су }ух — шур ~\~ fiyq -\- /у.
Уравнение Риккати относительно ж = ж(|/).
27 (лт71?/™ -I- тЪ/' — hTk4i'nJtrn~k A- a
?1. {СЮ; у -|~ Usjyx — UO; у -|~ у.
Преобразование t = у/х, z = хп+гп~1 приводит к линейному уравнению:
tm(btn~k - at)zt = (n + m- l)(atmz + 1).
28. x(axnyrn + а)у'х + y(bxnyrn + /3) = 0.
_. (уах ) (уах^) ^у л тЗ — па ,_, mb — па
Решение: — + — = С, где А = , В = .
А В аC -ba а/3 - ba
29. х(апхкуГ1+к + s)y'x + у^тх^^у1" + s) = 0.
Решение: a&?/n + 6&жт — s(xy)~k = С.
30. (axnf + Аж2 + Вжу)^ = bxkyn^rn-k + Ажу + By2.
Преобразование t = г//ж, z = жп+т~2 приводит к линейному уравнению:
tm(btn-k - at)z't = (n + m- 2)(atmz + Bt + A).
31. (атж71;*/™-1 + 6?/fe)^ + anxn-1yrn + cxs = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = &|/fc? ^(ж) = сх''¦
32. (ахпугп + Ьхук)у'х = cxys + /3.
Уравнение Бернулли относительно ж = х(у) (см. разд. 1.1.5).
33. х(ахп-кугп + т)^ = у(ЪхХп-куХгп - п).
Частный случай уравнения 1.7.1.16 при /(?) = а?, р(^) = 1, /г(^) = 6?л.
34. x(axnyrn-k + m)yi, = y(bxXnyXrn-k - n).
Частный случай уравнения 1.7.1.17 при /(?) = а^, р(^) = 1, /г(^) = 6^Л.
35. (ах^у™-1 + tewfc+1i/ml-1)i/L = сжля1/тя.
Частный случай уравнения 1.7.1.3 при /(?) = c^s(a^ + b^k)~1.
36. (ox" + bjr)bj? = ex"!,1-™.
Частный случай уравнения 1.7.1.7 при /(?) = c^~fc.
37. ху'х = ау + ^л/?/2 + еж2.
Подстановка ги = у/х приводит к уравнению с разделяющимися переменными: xw'x =
= (a — l)w + b^/w2 + с.
38- (+
где г2 = (ж + aJ + #2, rl = (x - aJ +
Уравнение силовых линий, соответствующих закону Кулона.
х + а х — а „
Решение: е\ + в2 = С.
7.5. Уравнения вида f(x,y)y'x = g(x,y), содержащие произвольные параметры 121
1.5.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
1/ xi | I аз
ух = ае + бе .
Решение в параметрическом виде:
ж = In г, у = 6т — In ( С — а / dr J.
т/ж = ае + 6ж .
1°. Решение в параметрическом виде при п ф — 1:
ж = г ri+1 , у = г — In С — / г~ п+1 ехр( —— ) dr\.
п + 1 L п -\- 1 J \п + 1/ J
2°. Решение в параметрическом виде при п = — 1, Ъ ф — 1:
ж = i
3°. Решение в параметрическом виде при п = — 1, b = — 1:
ж = ег, |/ = —г — 1п(С — ат).
Решение в параметрическом виде:
где а = Т%В2, Ъ = ±А~1В, Е = / exp(=Fr2) dr + С.
4. yi = Aey+ax - а.
Частный случай уравнения 1.7.1.2 при /(?) = Ае^, п = 1, 6 = 0.
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при /(ж) = ае^ж, д(ж) = 6емж.
ух = ае -\- ох .
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при /(ж) = аеих, д{х) = 6жп.
7/ тг Аг/ | * vx
ух = аж е + ое
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при /(ж) = ажп, д(ж) = Ьеих.
8. ^ = ажпеЛу + бж7".
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при /(ж) = ахп, д{х) = 6жт.
Частный случай уравнения 1.7.2.8 при /(ж) = аеих, д(х) = 0, h(x) = 6емж.
10. ^ = ахпеХу + 6xme~Ay.
Частный случай уравнения 1.7.2.8 при /(ж) = ахп, д{х) = 0, h(x) = 6жт.
Частный случай уравнения 1.7.2.10 при /(?) = ^п, 6 = 0.
12. ^ = (аеу + te"feI/fe.
Решение в параметрическом виде:
kdr
x = exp<T-—\t[T) + C\>, y=t(r ) + O, где
122 Уравнения первого порядка
13. ух = (аук + ЪехI/к.
Решение в параметрическом виде:
,, ч Г kdr
где fir)
14. ух = ахп-1еХпу + Ъхгп-1еХгпу.
Частный случай уравнения 1.7.2.2 при /(?) = а^п~1 + b^rn~1.
-* р> I ТЬ— 1 OCU | » ТЬТГЬ—1 OLTTbXI
15. ух = ах е -\- ох е .
Частный случай уравнения 1.7.2А при /(?) = а? + Ъ^ш.
Частный случай уравнения 1.7.2.1 при /(?) = a^n+1 + 6.
П/ сказ тп-1-1 | * сктгаз тгтп-1-1
Частный случай уравнения 1.7.2.3 при /(?) = а? + 6^п.
18. ух = aeXnaiyn+1 + beXrnxyrn^rl.
Частный случай уравнения 1.7.2.1 при /(?) = a^n+1 + 6^m+1.
Частный случай уравнения 1.7.2.9 при /(?) = ^ + с.
/%/\ / Tt k I 1 Tt OCX fe-1-l
^"* 2/аз -- ^«^ 2/ ~г "Ж &У — с^2/-
Частный случай уравнения 1.7.2.7 при /(ж) = хп, д(^) = а + Ы;, m = 1.
21. ^ = аеЛж2/1+7г + бе^у + ce^xy1~ri.
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при /(ж) = аеХх, д{х) = be^x, h(x) = сеих.
22. yi = aeAtBi/1+Tl + Ье^у + cxV"n
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при /(ж) = аеЛж, р(ж) = 6емж, h(x) = сжт.
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при /(ж) = ахк, д{х) = 6еЛж, /г(ж) = схт.
/щ л I Лаз 1-1-то. | i тть | /хаз 1 — ть
^4. ух = ле т/ -|- ож т/ -|- се у
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при /(ж) = аеХх, д(х) = Ьхш, h(x) = семж.
25. ух = аеХхуг+п + bx™y + схку1~п.
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при /(ж) = аеХх, д{х) = 6жт, /г(ж) =
Частный случай уравнения 1.7.2.6 при /(ж) = хк~х, д(^) = a? + 6?m.
27. Fт/ + \)у'х = сеааг~|~ у — ау.
Частный случай уравнения 1.7.1.15 при /(?) = Л, р(^) = 1, /&(?) = се^.
28. хуух = ахпеу — пу.
Частный случай уравнения 1.7.2.11 при /(?) = a^, a = 1.
^У. "^ У Ух LLtlu о — '"У
Частный случай уравнения 1.7.2.12 при /(?) = a^, a = 1.
30. (аеу + Ъех)ух = 1.
Решение в параметрическом виде:
(г ear \
С — Ь I dr ), |/ = In г.
схк.
7.5. Уравнения вида f(x,y)y'x = g(x,y), содержащие произвольные параметры 123
31. (ауп + Ьех)у'х = 1.
1°. Решение в параметрическом виде при п ф — 1:
а [ b Г п ( ат \ 1 !
х = т — In С — / т п+1 ехр ( j dr , у = т ri+1 .
2°. Решение в параметрическом виде при п = — 1, а ф — 1:
х = —\п(Се~ат — ег), у = ет.
3°. Решение в параметрическом виде при п = — 1, а = — 1:
ж = -r-ln(C-br), 2/ = er.
32. (аеу ^
Се + —^еу при 6 / 1,
Решение в неявном виде: х = < 1 — о
U
(C + m/) при 6 =
33. (аеу + 6ж2)^ = 1.
Решения в параметрическом виде:
TQnZ)T, j, ln(^), Z =
И
i r(lnZ);, y
где Jo(t) и Yo(t) — функции Бесселя, 1о(т) и Kq{t) — модифицированные функции
Бесселя.
34. (аеу + Ьх~г)у'х = 1.
Пусть а = ±А/В, Ь = =f2A2. Решение в параметрическом виде:
Ж = А[2т±ехр(=рт2)/(т)], 2/ = 1п[Б/(г)]тг2, где /(г) = [| ехр(тг2) dr
35. Fеау + с)^ = еаж+Ьу - аеау.
Частный случай уравнения 1.7.2.13 при /(?) = с, р(^) = 1, h(?) = e^.
36. (аеаш + Ъе?у)у'т = eax~pv.
Частный случай уравнения 1.7.2.9 при /(?) = ^~1.
37. (е"ж+т« + 0/3J/4 + Ье"ш+'3а + оа = 0.
Частный случай уравнения 1.7.2.15 при f(y) = elv', g{x) = Ъе"х.
38. (eaa!+by + Ьх)у'п = сеах+Ьу - ах.
Частный случай уравнения 1.7.1.14 при /(?) = е^, д(?) = 1, ft(?) = се5.
39. (еа'+Ьу + Ъу)у'„ = ceax+bv - ay.
Частный случай уравнения 1.7.1.15 при /(?) = е^, д(?) = 1, /г(^) = се^.
40. (аеахут + Ь)у'т = у.
Частный случай уравнения 1.7.2.3 при /(?) = (а^ + Ь)~г.
41. (eaa!j/" + аC)у'„ + Ьеих+Cу + аа = О.
Частный случай уравнения 1.7.2.15 при /(г/) = |/n? #(ж) = ^е^ж.
42. (eaa!i/n + а/3)у'х + бж^е^17 + аа = 0.
Частный случай уравнения 1.7.2.15 при /(г/) = уп, д(х) = Ъхш.
124 Уравнения первого порядка
43. (еа"ут + тх)у'а! = у(Ьеапхупт - ах).
Частный случай уравнения 1.7.2.17 при /(?) = ?, д(?) = 1, h(?) = b^n.
44. я;(жпеа!/ + ау)у« = &агт"т*ео'глу - т/.
Частный случай уравнения 1.7.2.16 при /(?) = ?, р(?) = 1, /i(?) = 6^т.
45. (ахпеХу + Ъхе*у)у'х = е"у.
Уравнение Бернулли относительно ж = ж(г/) (см. 1.1.5).
46. (ахпеХу + Ьху^у'п = е™.
Уравнение Бернулли относительно ж = ж (г/).
47. (asc"»™ + ЬхеХу)у'х = ук.
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
48. (oxnWm + Ьх»*)^ = еАг/.
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
49. (огаж^ + 6)^ + опж""^ + сеЛаг = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = 6, р(ж) = сеХх.
50. (атхпугп-1 + ЬеХу)у'х + опж""^ + с = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = ЬеХу', д(х) = с.
51. (amxnym~1 + b2/feJ/L + anxn-1yrn + сеЛаг = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = &|/fc? ^(ж) = сеХх.
52. [(ож + Ь»)п + Ье""]»; = с(ож + 6у)т - ае"ж.
Частный случай уравнения 1.7.2.14 при /(?) = ^п, д(х) = 1, /г(^) = с^т.
53. [(аж + Ьу)п + 6еау]^ = с(аж + Ъу)™ - аеау.
Частный случай уравнения 1.7.2.13 при /(?) = ^п, р(ж) = 1, /&(?) = с^т.
1.5.3. Уравнения, содержащие гиперболические функции
1. у'х = a ch(\y) + Ъ ch(i/«).
Частный случай уравнения 1.7.2.18 при f(x) = 0, д(х) = а, /&(ж) = ЬсЬA/ж).
2. у'х = a sh(\y) + 6 sh(i/«).
Частный случай уравнения 1.7.2.18 при f(x) = а, #(ж) = 0, h(x) = 6sh(i/x).
3. у'х = ахп ch(\y) + Ъх™.
Частный случай уравнения 1.7.2.18 при f(x) = 0, д(х) = ахп, h(x) = 6жт.
4. yi = ажп sh(A^) + Ъх™.
Частный случай уравнения 1.7.2.18 при f(x) = ахп, д{х) = 0, h(x) = Ъхш.
5. у; =o?/1+rl + bt, + csh(Aa;)?/1-tl.
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при f(x) = а, #(ж) = b, h(x) = csh(Ax).
6. у'а = ау1+п + Ь sh{\x)y + су1'*1.
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при f(x) = а, д(х) = bsh(\x), h(x) = с.
7. y'x=ychx {aynm sh71 ж + by™).
Частный случай уравнения 1.7.2.20 при /(?) = а^п + Ь^.
7.5. Уравнения вида f(x,y)y'x = g(x,y), содержащие произвольные параметры 125
8. yL =yshx(aynrnchn-1x + bym).
Частный случай уравнения 1.7.2.22 при /(?) = а^п + Ь^.
9. ху'х = (ах71 ch у -\- b) cth у.
Частный случай уравнения 1.7.2.23 при /(?) = at; + Ь.
10. ж^ = (ахп shy -\-b) thт/.
Частный случай уравнения 1.7.2.21 при /(?) = а? + 6.
11. (а?/™ ch ж + 6)^ = ?/™+1 sh ж.
Частный случай уравнения 1.7.2.22 при /(?) = ^(а^ + Ь).
12. (ат/7" sh х + &Ы = ?/Tri+1 ch ж.
Частный случай уравнения 1.7.2.20 при /(?) = ^(а^ + Ь).
к
13. (аж71 + Ьх ch™ з/)^ = ук.
Уравнение Бернулли относительно х = х(у) (см. 1.1.5).
14. (axn + bxthmy)y'fB =yk.
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
15. (аж71 + bx ch™ у)^ = chk(\y).
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
16. (аж71 + bx th™ y)^ = thfe(A?/).
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
17. (атхпугп-1 + 6)^ + апж71?/™ + С8Ь'8(Лж) = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = 6, р(ж) = cshk(\x).
18. (атж71?/™-1 + 6)^ + anxn-1yrn + cthfc(Ax) = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = b, g(x) = cthk(Xx).
19. (ож"!/ + Ьж)^ = chk{\y).
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
20. (oxnWm + Ьх)»; = thfe(Ay).
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
21. (аж71 ch™ т/ + Ъх)у'х = shk(\y).
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
22. (аж" th у + te)tf; = ук.
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
23. (атж71?/™-1 + 6 shfe ?/)^ + апж71?/™ + с = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = 6shfc |/, р(ж) = с.
24. (amxnyrn-1 + 6 thfe т/)^ + апж71?/™ + с = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = bthk у, д{х) = с.
126 Уравнения первого порядка
1.5.4. Уравнения, содержащие логарифмические функции
1. yL = у(осх + т\пу + /3).
Частный случай уравнения 1.7.2.3 при /(?) =\п? + /3.
2. ух = аж*571" V™+1 (nlnx + mlny).
Частный случай уравнения 1.7.1.3 при /(?) = а^к 1п?.
3. у'х = ахпу In2 у + Ьх^у In у + схку.
Частный случай уравнения 1.7.3.1 при f(x) = ахп, д{х) = bxm, h{x) = схк.
4. жу?. = (ат/ + n In жO71 + /3.
Частный случай уравнения 1.7.2.4 при /(?) = lnm ? + /3.
5. жт/ж = т/(п1пж + rain?/).
Частный случай уравнения 1.7.1.3 при /(?) = 1п?.
6. тху'х = axsyk(n \пх -\- т\пу) — пу.
Частный случай уравнения 1.7.1.5 при fix) = —xs-1, а(?) = 1п?.
т
7. (жа + 6)^ = ^/ж" + с(\пу — In ж).
Частный случай уравнения 1.7.1.12 при /(?) = 6, р(^) = cln^, h(?) = 1.
8. ж(ат/ + /3)у'х = п In ж + (а - п)т/.
Частный случай уравнения 1.7.2.16 при /(?) = /3, р(^) = 1, /&(?) = 1п^.
9. х(а -\- тхк)ух = y(bn In ж + bm In у — пхк).
Частный случай уравнения 1.7.1.16 при /(?) = а, р(^) = 1, /&(?) =
10. ж(а + тук)у'х = y(bn In ж + Ьт \пу — пук).
Частный случай уравнения 1.7.1.17 при /(?) = а, р(?) = 1, /г(^) =
11. (агпхпугп-1 + 6)^ + апж71^ + с\пк(\х) = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при f(y) = b, g{x) = clnfc(Ax
12. (aln^ + бж)^ = 1.
Решение: х = еЪу (- [ ?— dy + с) - - In j/.
\b J у J b
13. жAп т/)^ = y{axnkyk + Ьж71;*/) - ny In т/.
Частный случай уравнения 1.7.3.7 при /(?) = a^fc +6^, m = 1.
14. х(а + га In у)у'х = y(bxnyrn — п In у + с).
Частный случай уравнения 1.7.3.9 при /(?) = а, р(?) = 1, /г(^) = Ъ^ + с.
15. (аж71 + Ьх In771 з/)^ = \пк(\у).
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
16. ж(ажп1/т + га In х)ух = yibx^y™1* - п In ж).
Частный случай уравнения 1.7.3.10 при /(?) = а^, р(?) = 1, /г(^) = Ы;к.
17. ж(ажп1/т + га In ?/)^ = y(bxnkymk - п\пу).
Частный случай уравнения 1.7.3.9 при /(?) = а^, р(^) = 1, /&(?) = 6^fc.
18. (агаж71?/771-1 + 6 lnfe т/)^ + апхп-1угп + с = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при f(y) = 61nfc |/, р(ж) = с.
7.5. Уравнения вида f(x,y)y'x = g(x,y), содержащие произвольные параметры 127
19. (ахп In™ у + Ьх)у'!В = 1пк(\у).
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
20. (ахп In™ у + bx \nk y)yfx = ys.
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
1.5.5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1. ух = acos(ay) + /3 cos (bx).
Частный случай уравнения 1.7.4.11 при /(ж) = а, д(х) = 0, h(x) = f3cos(bx).
2. y'x — sin(ax) cos(by) + cos(ax) sinF?/).
Частный случай уравнения 1.7.1.1 при /(?) = sin?, с = 0.
3. у'х = atg(bxy).
Решение удовлетворяет соотношению
2\ ГЬ
abx ), где w = у\ —.
/ ехр(у^2) costvabxt) dt = С
Jo
4. 7/^, = бж71 cos(a?/) + еж™.
Частный случай уравнения 1.7.4.11 при f(x) = 6жп, д(х) = 0, /г(ж) = сх
5. ^ = бж71 sin(ay) + еж™.
Частный случай уравнения 1.7.4.11 при /(ж) = 0, д(х) = 6жп, /г(ж) = сх
6. у'х = у cos ж (aynrn sin71 ж + by™).
Частный случай уравнения 1.7А Л при /(?) = a^n + 6^.
7. 2/L = У sin ж (a?/71™ cos71 ж + fo/™).
Частный случай уравнения 1.7.4.3 при /(?) = a^n + 6^.
, sin2 у cos2 у
cos^ ж sin^ ж
Частный случай уравнения 1.7.4.14 при /(?) = at; + б^.
9. ^ = а?/1+7г + 6т/ + С8т(Лж)?/1-7г.
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при f(x) = а, д(ж) = b, h(x) = csin(Ax).
10. yx = ay1^™ + 6зт(АжJ/ + суг~п.
Частный случай уравнения 1.7.1.4 при /(ж) = а, д(х) = 6sin(Ax), /г(ж) = с.
11. жт/ж + a sin(foc + ст/) = 0.
UlT I /°7/
Замена w = xtg — приводит к уравнению Риккати вида 1.2.2.22:
2xwx - bw2 + 2(ac - l)w - bx2 = 0.
12. xyx = ax2 tg(by) + y.
Замена у = xw приводит к уравнению вида 1.5.5.3: w'x = atg(bxw).
13. хух = ахп cos2 т/ + b cos т/ sin у.
Частный случай уравнения 1.7.4.8 при /(?) = у(а^ + Ь).
14. жт/ж = аж71 sin2 у -\- b cos т/ sin у.
Частный случай уравнения 1.7.4.7 при /(?) = 4-(а^ + Ь).
128 Уравнения первого порядка
15. хух = ах™ sinfe у cos2~k у — n sin 2т/.
Частный случай уравнения 1.7.4.18 при f(x) = ахш~2пк~1, д(?) = ^к.
16. A + tg2 у)у'а = a tg™+1 у + Ь tg т/ + схп tg1-™ у.
Частный случай уравнения 1.7.4.19 при /(ж) = а, #(ж) = 6, /г(ж) = схп.
17. (атж71^ + Ь)^ + апж"^ + csinh(\x) = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при f(y) = b, g(x) = csinfc(Ax).
18. (arnxnyrn-1 + 6)^ + апж"^ + ctgh(\x) = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при f(y) = b, g(x) = ctgfc(Ax).
19. (аж"?/ + te)wi = cosfe(At,).
Уравнение Бернулли относительно х = х(у) (см. 1.1.5).
20. (ахпут + Ьх)у'х = tgh(\y).
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
21. (ay™ cos х + Ь)у'х = у™^ sin ж.
Частный случай уравнения 1.7.4.3 при /(?) = ^(а^ + б).
22. (ат/™ sin ж + Ь)у'х = у™*1 cos ж.
Частный случай уравнения 1.7.4.4 при /(?) = ^(а^ + б).
23. (ажп + 6ж cos7 ?/)^ = ук.
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
24. (ажп + bx cos™ у)у'х = cos (Ат/).
Уравнение Бернулли относительно х = х(у).
25. (огаж^ + 6 cosfe у)у'т + опж""^ + с = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = bcosk у, д{х) = с.
26. (ажп cos7" т/ + Ъх)у'х = cosh(\y).
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
27. (ox" + tetgm»)»; =t,fe.
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
28. (ож" + Ьх tgm y)y; = tgfe(Aj/).
Уравнение Бернулли относительно ж = ж (г/).
29. (агпхпугп-1 + 6 tgfe т/)^ + апж71^ + с = 0.
Частный случай уравнения 1.7.1.19 при /(г/) = frtgfc |/, р(ж) = с.
30. (ож" tg у + Ьх)»; = tgfe(Aj/).
Уравнение Бернулли относительно х = ж (г/).
1.5.6. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных,
логарифмических и тригонометрических функций
1. у'х = аж^ + Ып™ ж.
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при f(x) = ажп, д(х) = 61nm ж.
7.5. Уравнения вида f(x,y)y'x = g(x,y), содержащие произвольные параметры 129
2. ух = a \nn(vx)eXy + Ъх™.
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при f(x) = ahin{yx), g(x) = Ъхш.
3. у'а!=аеХу(\у + 1пх)т.
Частный случай уравнения 1.7.2.2 при /(?) = alnm ?.
4. y'a!=ae-Xx(\x
Частный случай уравнения 1.7.2.1 при /(?) = alnm ?.
5. ^ = ay In2 з/ + fa/ In у + сеХху.
Частный случай уравнения 1.7.3.1 при f(x) = а, д(ж) = 6, h(x) = сеЛж.
6. ^ = ay In2 з/ + beXxy \ny -\- су.
Частный случай уравнения 1.7.3.1 при f(x) = a, g{x) = 6еЛж, /г(ж) = с.
7. 2/^, = аеу sin ж + 6 tg x.
Частный случай уравнения 1.7.5.6 при /(?) = а^ + Ъ.
8. ^ = (аех sin т/ + 6) tg т/.
Частный случай уравнения 1.7.5.4 при /(?) = а^ + 6.
9. у'х = аех sin2 т/ + be~x cos2 т/.
Частный случай уравнения 1.7.5.8 при /(?) = у(а^ + Ь/^).
10. у'х = a cosnAлх)еХу + Ьх™.
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при f(x) = acosn(//x), g(x) = 6жт.
11. 7/^, = ахпе у + 6cosTri(/xa?).
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при f(x) = ажп, д(ж) = Ь cosm(//ж).
12. ^ = ажпеЛу + 6tgTri(/x«).
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при f(x) = axn, g(x) = btgm{^ix).
13. ^ = atgTl(^)eAy + Ъх™.
Частный случай уравнения 1.7.2.5 при f(x) = atgn(//x), д(х) = 6жт.
14. ^ = АеХх cos(ay) + Ве^33 sin(ay) + AeXx.
Замена w = tg( \ay) приводит к линейному уравнению: w'x = aBe^xw + aAeXx.
15. 7/^, = a sin(//a?) sh(A?/) + Ьсоб(/лх) ch(\y).
Частный случай уравнения 1.7.2.18 при f(x) = asin(//x), д(х) = bcos(fix), h(x) = 0.
16. 2/L = «2/ In2 у + fa/ In у + с sin71 (Лж)з/.
Частный случай уравнения 1.7.3.1 при /(ж) = а, д{х) = b, h(x) = csinn(Ax).
17. A + tg2 у)у'а = a tg1+™ у + Ъ tg у + сеЛш tg1-™ у.
Частный случай уравнения 1.7.4.19 при /(ж) = а, д{х) = 6, /г(ж) = сеХх.
18. (аеж cos т/ + b)yfx = ctg т/.
Частный случай уравнения 1.7.5.5 при /(?) = (а^ + б).
19. (аех sin т/ + 6)^ = tg у.
Частный случай уравнения 1.7.5.4 при /(?) = (а? + Ь).
20. (аеу cos ж + 6)т/^ = tg ж.
Частный случай уравнения 1.7.5.6 при /(?) = (а^ + Ь).
9 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
130 Уравнения первого порядка
21. (аеу sin х + Ь)у'х = ctg х.
Частный случай уравнения 1.7.5.7 при /(?) = (а? + б).
22. (eaa!i/n + а/3)^ + бе*3" In7" ж + аос = 0.
Частный случай уравнения 1.7.2.15 при f(y) = уп, д(х) = 61nm х.
23. (eaa!i/n + а/3)^ + ЬеРу cos7" ж + аос = 0.
Частный случай уравнения 1.7.2.15 при f(y) = уп, д(х) = 6cosm ж.
24. (eaJC cos71 т/ + а/3)у'х + бе^17 со8ТТ1(Лж) + аос = 0.
Частный случай уравнения 1.7.2.15 при f(y) = cosn у, д(х) = 6cosm(Ax)
1.6. Уравнения вида f(x,y,y'x) = 0, содержащие
произвольные параметры
1.6.1. Уравнения второй степени относительно у'х
1- (yL) = ay + bx2.
См. уравнение 1.6.3.43.
2- (yLJ = У + ах2 + Ьх + с.
Замена и> = 2^/^/ + ах2 +Ъх + с приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.2: ww'x — w
= 4ах + 2b.
3. B/LJ — а?/3 + Ьу + с.
Решение: х = С ± '
/¦
+ с
См. уравнение 1.6.3.26.
5. (yLJ = ay + bVx + с, а ^ 0.
Замена аги = 2^/ау + бу/ж + с приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.32: ww'x — w =
= 6а-2ж-1/2.
(?/LJ + а2/^ + by = 0.
Решение в параметрическом виде:
bx = -2t-a\nt + C, by = -t2 - at.
(yL) + ayyL = bx + с
Дифференцируем по ж, принимаем ?/ за независимое переменное и полагаем ^ = yfx.
2 ^ 2
В итоге получим линейное уравнение для у = г/(?): (а^2 — 6)^ + а^?/ + 2^2 = 0.
8. Ш2 + «ж^ + by + еж2 = 0.
Преобразование х = еь, у = х2и приводит к автономному уравнению:
(ut + 2и + -|-а) = -^а2 — с — ?т,
которое после извлечения корня и переноса слагаемых 2гб + -|-а из левой части в правую
преобразуется к уравнению вида 1.1.2.
9. у = ху'х + ах2 + b(y'xf + су'х + d, а ф 0.
Дифференцируя по ж, а затем вводя новые переменные t = у'х, w(t) = —2аж, приходим к
уравнению Абеля вида 1.3.1.2: ww't — w = —4abt — 2ас.
1.6. Уравнения вида f(x,y,y'x) = 0, содержащие произвольные параметры 131
Ю. (y'xf + (ах + Ь)у'х -ау + с = О, а ф 0.
Решения:
у = [ах + Ь)С + аС2 + са~х и 4а?/ = 4с — (ах + бJ.
11. (у'хJ + (ат/ + 6ж)^ + abxy = 0.
Это уравнение можно представить в виде произведения: (у'х + ау)(у'х + Ьх) = 0. Поэтому
его решения имеют вид
у = Се~ах и y = -±bx2 + С.
12. (^J + аж2^+Ьж?/ = 0.
Преобразование z = \пх, и = ух~3 приводит к уравнению, которое не зависит явно от z:
(uzf + (а + 6^)^ + (За + Ъ + 9tt)u = 0.
Разрешая его относительно uz, получим уравнение вида 1.1.2.
13.
Замена w = 2 \у + ажт+ — — —х + Ь приводит к уравнению Абеля вида
1.3.1.10: ww'x-w = - 2}Ш + Ц х + 2а(т + 1)жт.
(т + ЗJ
14. (yiJ = Ху + аж2 + tem+1 + с.
При Л ф 0 замена Лг^ = 2(\у + аж2 + 6жт+1 + сI/2 приводит к уравнению Абеля:
wwx -w = 4a\~2x + 2Ъ\~2(т + 1)жт,
которое рассматривается в разд. 1.3.1.
Отметим, что уравнения 1.6.1.1, 1.6.1.2, 1.6.1.4, 1.6.1.5, 1.6.1.13 являются частными
случаями данного уравнения.
15. a(yfxf - уу'х - х = 0.
Решение в параметрическом виде:
х= I [r? + Ab(*+i/*2 + i )]^ y = at-—.
16. ж(у?.) = ажт/ + 6.
См. уравнение 1.6.3.32.
17. ж(з/^) = аху + 6ж + с, о^О.
Замена aw = 2д/'ay + Ъ + еж приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.33: u>u4 — ^ =
18. ж(^J -а^+6 = 0.
1°. При а ф\ имеем решение в параметрическом виде:
х = Ct -\ ?2, aty = xt2 + 6, где А; = .
2а — 1 а — 1
2°. При а = 1 решение имеет вид С (у — Сх) = Ъ.
19. ж(^) + ауу'х + 6ж = 0.
1°. При а / — 1 имеем решение в параметрическом виде:
х = Ct\(a + l)t2 + b|~&+iT, у = - — [t2 + 6).
at
Кроме того, имеются решения: у = ±жч/ .
V а + 1
2°. При а = — 1 имеем решение в параметрическом виде:
132 Уравнения первого порядка
20. х(у'хJ - уу'х + ау = 0.
Решение в параметрическом виде:
x = C(t- a) exp(-t/a), у = Ct2 ехр(-*/а).
Кроме того, имеется решение у = 0.
21. ж(^J -щ/L + аж2^ + fa/L + с = 0, а ^ 0.
Поделим обе части уравнения на у'х, а затем продифференцируем по х. После введения
новых переменных t = y'x, w(t) = — 2ах, приходим к уравнению Абеля вида 1.3.1.33:
ww't — w = act~2.
22. y(yfxf + axyfx -\-by = 0.
Решение в параметрическом виде:
m=tb/{a+b\ а + 2Ь
b)m=tb/{a+b\ где т=
2(а + о)
Решения у = ±х\/—а — Ъ соответствуют предельному случаю С —»¦ оо. Имеется также
решение г/ = 0.
23. Ш A/I?
Решения: С(Сх — у + а) + b = 0 и (г/ — аJ = 46ж.
24. ах(у'хJ + Fж - ат/ + к)у'х - by = 0.
Уравнение Клеро. Его решения:
С + и
* аС + Ъ (at + ЪУ ' * at + Ъ'
25. ax(yxf -(ау + Ъх-а- Ь)ух + by = 0.
Дифференцируя уравнение по ж, имеем Bаху'х — ау — Ьх + а + Ь)г/жж = 0- Приравнивая
последовательно оба сомножителя нулю и интегрируя, находим решения:
П(п -J- h\
у = Сх ¦
и (ш/ + &жа&)
аС — 6
26. ж(^J + oyj/i + tenWm = 0.
Замена х = е* приводит к уравнению вида 1.6.1.56: (y't) + ауу[ + Ье(гг+1-"ут = 0.
27. x2(y'xf - Bху + а)у'х + у2 = 0.
Решения: у = аС2х + аG и ^/ = .
4ж
28. ax2(yfxf - 2ахуух + у2 - а(а - 1)х2 = 0.
Решения:
где к = у (а — 1)/а.
29. (а2 - 1)ж2(^J + 2ж^ - у2 + а2ж2 = 0.
Решение в параметрическом виде:
х = C(f + 1)/2 (t + лД2 + 1)~1Л\ 2/ = xt +
30. ж2(^J + (ах2 у3 + Ъ)у'х + абт/3 = 0.
Уравнение можно представить в виде произведения: (у'х +ау3)(х2у'х +Ь) = 0. Приравнивая
последовательно оба сомножителя нулю и интегрируя, находим решения:
у'2 = 2ах + С и у = Ь/х + С.
31. аху(ух) — (ау2 + Ьх2 + к)у'х + бжт/ = 0.
Уравнение линий кривизны поверхности, задаваемой уравнением Ах2 + By2 + Cz2 = 1,
где а = АВ[С - В), Ъ = АВ(А - С), к = С (В - А).
Решения:
(аС-Ъ)у2 = С(аС-Ъ)х2 - кС и ау2 = Ьх2 ± 2х\[-Ък - к.
1.6. Уравнения вида f(x,y,yfx) = 0, содержащие произвольные параметры 133
32. y2(y'S =ах2у2 + Ь.
См. уравнение 1.6.3.34.
33. y2(y'xf=ax-^5y2 + b.
См. уравнение 1.6.3.28.
34. y2(y'xf + 2ахуу'х + A - а)у2 + ах2 + (а - 1N = О.
Решения:
у2+ах2 -Ъ= (а-1)(ж +СJ и ?/2 + аж2 - 6 = 0.
35. (а — Ь)у2 (у'х) — 2Ьхуу'х + ау2 — Ьх2 — аЬ = 0.
Решения:
и (а - Ъ)у2 - Ъх2 = (а - Ъ)Ъ.
ж + ?/ Сж + 6
4а
36. (ж2 - а)(^J - 2ж^ - х2 = 0.
Разрешим уравнение относительно ?/, затем продифференцируем по ж и положим
w(x) = y'x. В результате имеем распадающееся уравнение: (xwfx—w)(x2w2+x2—aw2) = 0.
Приравнивая каждый из сомножителей нулю и интегрируя, получим решения:
у = J-(x2 - а - С2) и у2 + х2 = а (у ф 0).
37. (ха-аа)A?K
Это уравнение можно записать в виде произведения: (ху'х + ау'х +1/) (хух — аух -\-у) = 0.
Приравнивая каждый из сомножителей нулю и интегрируя, получим решения:
(х + а)у = С и (ж — а)у = С.
38. (ж2 + a)(y'xf - 2хуу'х + у2 + 6 = 0.
Дифференцируя по ж, получим распадающееся уравнение: [(ж2 + а)у'х — ху]ухх = 0.
Приравнивая каждый из сомножителей нулю и интегрируя, получим решения:
у = Cix + С2, где аС2 + С\ + 6 = 0; 6ж2 + ш/2 + аб = 0.
39. (ау - х2)(ухJ + 2хуух - у2 = 0.
Решение: (Сг/ + жJ = 4ау.
40.
См. уравнение 1.6.3.44.
41. (ах2+by)(y'nf =х2у.
См. уравнение 1.6.3.46.
42. (ажт/ + Ъ)(у'хJ = у.
См. уравнение 1.6.3.33.
43. (у2 - а2х2)(у'хJ + 2хуу'х + A - а2)х2 = О.
Решение в параметрическом виде:
Ct п С
у = аС-—==
\А2 + 1
44. (ау - ЪхJ[а2(у'хJ + Ъ2] - к2(ау'х + ЪJ = О.
Разрешим уравнение относительно ау—Ьхи продифференцируем по ж. Полагая w(x)=y'x,
получим распадающееся уравнение для w(x): (aw — b)[(a2w2 + б2K'2 ± abkw'x] = 0.
Приравнивая каждый из сомножителей нулю и интегрируя, получим решения:
(Ьх - СJ + (ау - СJ = к2 и ау-Ьх = ±кл/2.
134 Уравнения первого порядка
45. х3(у'хJ + х2уу'х + а = 0.
Решения: Сху = С2х + а и жгу2 = 4а.
46. ху2(у'хJ = ау2 + 6ж.
См. уравнение 1.6.3.45.
47. (a*V + b)(vi)a = *3-
См. уравнение 1.6.3.35.
48. (ху'х + аJ - 2ау + ж2 = 0, а ^ 0.
Замена 2агу — х2 = и2 приводит к уравнению хии'х — а(и — а) + х2 = 0. Полагая
и—а = жги (ж), получим {xw-\-a)w'x-\-w2 -\-1 = 0. Принимая w за независимую переменную,
приходим к линейному уравнению, решение которого имеет вид
х = (w2 + 1)/2 [С -a\n(
w
49. (ж^ + 7/ + 2ажJ = 4(ху + аж2 + Ъ).
Замена и = ху + аж2 + 6 приводит к уравнению вида 1.1.2: их =
50. (ау^
См. уравнение 1.6.3.27.
51. {ax2ys/5 + bj/Hj/4J = х2у.
См. уравнение 1.6.3.29.
52. (а2ж + 622/ + с2)(з/ж) + (а1ж + ^1?/ + сг)ух + аож + 6О2/ + с0 = 0.
Преобразование Лежандра ж = г4, гу = tut — и (yfx = t) приводит к линейному уравнению:
где f(t) = a2t2 + ait + а0, g(t) = b2t2 + bit + bo, h(t) = -c2t2 - at - c0.
53. (y'S = aev + b.
См. уравнение 1.6.3.3 при к = 2.
54. (y'nf = а + Ьех.
См. уравнение 1.6.3.4 при к = 2.
55. (j/;J = aj/2 + 6eil!.
См. уравнение 1.6.3.8 при к = 2.
56. (j/4J + aj/j/4 + be^j/™ = 0.
1°. При т ф 2 разрешая уравнение относительно у'х и используя замену ги = еХхут~2,
приходим к уравнению с разделяющимися переменными (см. разд. 1.1.2):
, 2 - т / /-;—
гиж = Лги + (^а ± у а2 —
2°. При т = 2 разрешая исходное уравнение относительно ух, получим уравнение с
разделяющимися переменными:
%у'х = 2/(-«± V«2 -
57. ж2 (у'х) = ах2еу + Ь.
См. уравнение 1.6.3.9 при к = 2.
58. (аеу + Ьж2)(т/ж) = 1.
См. уравнение 1.6.3.9 при к = —2.
1.6. Уравнения вида f(x,y,yfx) = 0, содержащие произвольные параметры 135
59. (aeV+b)B/iJ=X/2-
См. уравнение 1.6.3.8 при к = —2.
60. (y'xf = ау + Ыпх.
См. уравнение 1.6.3.13.
(y'xf = \у + а\пх + Ъ, Л^О.
Замена Лги = 2л/\у + a In ж + Ъ приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.16: wwx — w =
21
61. (y'xf =
62. (yfxf - xyyx + у2 \п(ау) = 0.
Решения:
ay = ехр(Сж — С2) и ау = ехр(-^ж2).
63. (a In з/ + Ъх){у'х) = 1.
См. уравнение 1.6.3.14.
1.6.2. Уравнения третьей степени относительно ^
!• (з/ж) + ах + &2/ + с — 0.
Частный случай уравнения 1.8.1.14 при /(ги) = w3.
2. аB/ж) + Ьух = ж.
Частный случай уравнения 1.8.1.1 при f(w) = aw3 + to.
Частный случай уравнения 1.8.1.2 при f(w) = aw3 + to.
4. ^(l/jc) H~ «^2/ж -- 2/-
Частный случай уравнения 1.8.1.6 при f(w) = aw3.
5. a(l/L) + Ъху'х = у.
Частный случай уравнения 1.8.1.7 при f(w) = to, g{x) = аг^3.
6» (?/ж) — ахУх ~\- х — 0, а ф 0.
Решение в параметрическом виде:
_ at _ а2 4?3 + 1
7- (?/ж) — ахУУх + 2ат/ = 0.
Дифференцируя по ж и исключая у, получим для w(x) = y'x распадающееся уравнение:
[2(wxJ — axwx + aw](9w — ах2) = 0. Приравнивая каждый сомножитель нулю и
интегрируя, находим решения:
у=\аС{х-СJ и у=^ах3.
8. а(у'хK + bB/LJ — х-
Частный случай уравнения 1.8.1.1 при f(w) = aw3 + to2.
9. aB/L) + ^(?/L) = У-
Частный случай уравнения 1.8.1.2 при f(w) = aw3 + to2.
Решение в параметрическом виде:
2Ьх = -3t2 + 2at - 2а2 ln(t + a) + С, fo/ = -абж - t3 - at2 - d.
Кроме того, имеется решение у = — аж — с//6.
136 Уравнения первого порядка
11. а(у'хK + Ь(у'хJ + су'х = у + d.
Решение в параметрическом виде:
х = С + \at2 + Ш + с In |t|, у = ats + Ы2 + cb - d.
12. а(у'хK + bx(y'xf = у.
Частный случай уравнения 1.8.1.7 при f(w) = bw2, д(х) = aw3.
13. oa;(j/iK + fo/L = У-
Частный случай уравнения 1.8.1.7 при f(w) = aw3, g(w) = bw.
14. ox(»;)a + Цу'пJ = у.
Частный случай уравнения 1.8.1.7 при f(w) = aw3, g(w) = bw2.
15. (ax + Ъу + c)(y'xK = ax + /3y + 7.
Поделим обе части на аж + by + с, затем возведем в степень 1/3. В результате получим
уравнение вида 1.7.1.6 при f(w) = w~1^3.
16. ах \Ух) ~
Решение: (у — аС3/2) =
17. (х2 - a2)(yxf + Ъх(х2 - a2){y'xf + у'а + Ьх = 0.
Это уравнение можно представить в виде произведения: (у'х -\-bx)[(y'x) (х2 — а2) +1] =0.
Приравнивая каждый сомножитель нулю и интегрируя, находим решения:
у = Ьх + С и у = ± arcsin hC.
Частный случай уравнения 1.8.1.8 при f(w) = aw3.
19. (жт/ж — уK + ат/ + 6ж = 0.
Частный случай уравнения 1.8.1.11 при f(w) = 1, g(w) = а, /г(г^) = Ъ, п = 3.
20. (ху'х — уK -\- ауу'х + Ьх = 0.
Частный случай уравнения 1.8.1.11 при f(w) = 1, g{w) = au>, h(w) = b, n = 3.
21. (ж^ - уK + ажт/1 + 6y = 0.
Частный случай уравнения 1.8.1.11 при f(w) = 1, g(w) = 6, /г(г^) = aw, n = 3.
1.6.3. Уравнения вида (^)fc = /(у) + д(х)
Предварительные замечания.
1°. В общем случае уравнение
(yfx)k = f{y)+g{x) A)
с помощью преобразования t = / [#(ж)] с/ж, и= [f(y)]~ dy приводится к уравнению
аналогичного вида
(щ) = F(u) + G(t),
где функции F = i^(^) nG = G(t) задаются в параметрическом виде следующими выражениями:
F(u) = j^, u = J[f(y)}-1/kdy,
G(t) = —T^ri t = [q(x)] dx.
g(x) J
2°. Принимая у в качестве независимой переменной, получим из A) уравнение аналогичного
вида для х = х(у):
(x'v)-k = д(х) ¦
1.6. Уравнения вида f(x,y,yx) = 0, содержащие произвольные параметры 137
3°. Уравнение
y'x=aVy + 9(x) (к = 1, / = «л/^)
путем замены w(x) = 2a ^/у приводится к уравнению Абеля wwx — w = 2a~2g(x), которое
рассматривается в разд. 1.3.1.
4°. Уравнение
y'x = v~1+g{x) (fc = i, f = y-1)
является другой формой записи уравнения Абеля уух = д(х)у + 1, которое рассматривается в
разд. 1.3.2.
5°. Уравнение
ух = ays-\-g(x) (k = l, f = ays)
заменой aw = у — / g(x)dx с последующим возведением обеих частей полученного равенства
в степень 1/s, после исключения у приводится к уравнению рассматриваемого вида:
/ / ч1/s f / \ 1
(wx) = aw + / дух) ах.
6°. Уравнение
Ш2=о,у + д(х) (к = 2, / = ау, а ф 0)
с помощью замены aw = 2 д/а^/ + д(х) приводится к уравнению Абеля второго рода:
ww'x = w + (f(x), где (р = 2а~2 дх(х),
которое рассматривается в разд. 1.3.1.
7°. Уравнение
(у'хI/2 =ау + д(х) (к = 1/2, f = ау)
после возведения обеих частей в квадрат и последующей замены z = ay + д(х) приводится к
уравнению Риккати:
/ 2 , /
zx =az +gx.
Для некоторых конкретных функций д = д(х) решения последнего уравнения приведены в
разд. 1.2.
8°. Уравнение
(у'хI/2 = ау1/2 + д(х) (к = 1/2, / = ау1'2)
после возведения обеих частей в квадрат и последующей замены у = ехр(а2ж)^2 приводится к
уравнению Абеля второго рода:
(см. разд. 1.3.3).
9°. Уравнение
(У'х)~1/2 = f(y)+ax (к = -1/2, д = ах)
после возведения обеих частей в квадрат и последующей замены v = f(y) + ах приводится к
уравнению Риккати:
v'y =av2 + f'y.
Для некоторых конкретных функций / = f(x) решения последнего уравнения приведены в
разд. 1.2.
10°. Для удобства читателя в табл. 8-12 дан перечень всех уравнений вида A), которые
рассмотрены в разд. 1.6.3. В пяти классификационных таблицах сгруппированы уравнения,
имеющие одинаковый вид функций / и д. В последней колонке таблиц дан номер уравнения,
где выписано соответствующее решение. После таблиц приводятся уравнения вида A), которые
объединены в «блоки», где все решения выражаются с помощью одних и тех же функций. Перед
каждым «блоком» дается список используемых кратких обозначений.
138
Уравнения первого порядка
ТАБЛИЦА 8
Уравнения вида (у'х) = Ays + Вхг
к
любое
любое
любое
(кф-1, 1)
любое
любое
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
-1
s
любое
(зфк)
любое
к
1-к
0
1
-1
-1
-2/5
1/2
2
2
любое
(вфО)
любое
(зф-2,0)
-2
-2
-2
-1
-1/2
-1/2
г
ks
k-s
0
к
1 + /с
любое
1
-2
1
_2
1
-2
1
1
2
-1
1/2
2
1/2
-1
1/2
Решение
1.6.3.7
1.6.3.1
1.6.3.6
1.6.3.2
1.6.3.5
1.6.3.46
1.6.3.33
1.6.3.29
1.6.3.27
1.6.3.35
1.6.3.44
1.6.3.10
1.6.3.15
1.6.3.21
1.6.3.31
1.6.3.36
1.6.3.12
1.6.3.40
1.6.3.25
к
1
-1
-1/2
-1/2
1/2
1/2
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
s
1
1
любое
(зф-1,0)
-1
1
1
-1
-1
-1
1/2
1/2
1/2
1/2
-2
-2
-2
1
1
1
г
1
1/2
1
1
любое
(гф-1,0)
-1
-2
-1/2
1
-2
-1
-1/2
1
-1
-2/5
2
-1
1/2
2
Решение
1.6.3.23
1.6.3.42
1.6.3.17
1.6.3.38
1.6.3.16
1.6.3.37
1.6.3.20
1.6.3.39
1.6.3.22
1.6.3.30
1.6.3.11
1.6.3.24
1.6.3.41
1.6.3.45
1.6.3.28
1.6.3.34
1.6.3.32
1.6.3.26
1.6.3.43
2.
3.
4.
5.
Решение: х= I (Ays + B)~1/k dy + С.
(ух) =А + Вх .
Решение: у = Г(А +BxrI/k dx+ C.
( ' \к Л У i т->
(ух) =Аеу + В.
Решение: х= I\Аеу + В)~1/к dy + С.
Решение: у= I\a + BexI/k dx + С.
{у'х)к =
Решение в параметрическом виде:
х = [(Ат1/к + В)'1 dr + C, у=—\т-В [(Ат1/к + В)'1 dr - ВС
1.6. Уравнения вида f(x,y,yx) = 0, содержащие произвольные параметры
139
ТАБЛИЦА 9
Уравнения вида
к
(у'х)к =
Вхг
к
любое
любое
-1
-1
-1
-1/2
1
г
-к
0
-1
1
2
1
любое
Решение
1.6.3.9
1.6.3.3
1.5.2.34
1.5.2.32
1.5.2.33
1.6.3.19
1.5.2.2
ТАБЛИЦА 11
Уравнения вида
к
{у'х)к = А
Вех
к
-1
1
Решение
1.5.2.30
1.5.2.1
6. (y'x)h = Ay*-* + Bx i+*
Решение в параметрическом виде:
dr
\к\ф1.
ТАБЛИЦА 10
Уравнения вида
Ух)к = Ays + Ве
к
любое
любое
-1
1/2
1
s
к
0
любое
1
-1
Решение
1.6.3.8
1.6.3.4
1.5.2.31
1.6.3.18
1.5.2.3
ТАБЛИЦА 12
Уравнения, содержащие
логарифмические функции
Вид уравнения
(УхГ2 = А\пу + Вх
(^Г1 =А\пу + Вх
Ш2 =Ау + В\пх
Решение
1.6.3.14
1.5.4.12
1.6.3.13
+ С) * , у = Ъ[т-,
dr
к к к
где А = a i+* 6 i-fc /ЗБ, Б = a i+*
a(k
fc-1
7.
8.
9.
Решение в параметрическом виде:
Решение в параметрическом виде:
J[(А + Be-kT
l/k
)+-]"'4
Решение в параметрическом виде:
;
= | [(Б + Ле^Г17* + 1] "Х dr + С.
140 Уравнения первого порядка
Ш = Ays + Вх.
Решение: х = еВу (а Г yse~By
> В решениях уравнений 11-14 принято обозначение:
F=
11. у'х = Ау1/2 + Вх-\
Решение в параметрическом виде:
x = aFexp(=pr2), у = Ъ[2т ± Fexp(=pr2)]2, где А = ±2a~V/2, В =
12. (у'хГ1 = Ау-1^Вх1/2.
Решение в параметрическом виде:
x = a[2r±Fexp(=pr2)]2, у = №ехр(=рг2), где А = =F4a, В = ±2а1/2Ъ~\
13. (y'xf = Ay + В In x.
Решение в параметрическом виде:
х = aFexp(=Fr2), у = Ъ{[2т ± Fexp(=Fr2)]2 ± 41n(aF) - 4т2},
где А = 4а~2Ь, В = =р4ЬА
14. (ух)-2 = А\пу + Вх.
Решение в параметрическом виде:
х = а{[2т ± Fexp(=Fr2)]2 ± 41nFF) - 4r2}, j/ = &Fexp(=Rr2),
где А = т4аБ, В = 4ab~2.
> 5 решениях уравнений 15-19 приняты обозначения:
_ ( C\Jv(j) + C'lYvij) для верхнего знака,
\ C\IV(т) + CiKv(r) Элл нижнего знака,
где Ju(t) и Yv(t) —функции Бесселя, Iv(t) и Ки(т) —модифицированные функции Бесселя.
Замечание. В решения уравнений 15-19 входит только отношение Z'T/Z = (\nZ)'T.
Поэтому для симметрии функция Z задается с помощью двух произвольных постоянных С\
и С2 (вместо этого можно положить, например, С\ = 1 и С2 = С).
15. (у'пУ1 = Ays + Bx2, вф-2, вфО.
Решение в параметрическом виде:
х = ar~2u [r(In Z)'T + v\, у = Ът2\
где v =
Л s + 2 ,-i-s D s + 2 -i,-i
, А = =F afr , B = — a b .
' ^2 2
s+2
16. Ш1/2 = Ay + В/, г ф -1, г ^ 0.
Решение в параметрическом виде:
х = ат2\ у = Ът2и[т(InZ)'T +v± ^r2],
1 л ,_if (r + lN]1/2 r + l _
= , A = b — , 5 = =F a 6A.
r + 1 ' L 2a J ' ^ 2r
где
1.6. Уравнения вида f(x,y,y'x) = 0, содержащие произвольные параметры 141
17. (j,;)-1/2 = Ays + Bx, аф-1,8фО.
Решение в параметрическом виде:
2s
= Ьт21/,
1 a
где v = , А = =F
s + 1 ' ^
s + 1 ' ^ 2s
18. (у'хI/2 = Ау + Вех.
Решение в параметрическом виде:
, D -if (s+ljal1/2
, В = а — - —
' L 26 J
х
= 1п(ат2), у = b[r(\nZ)'T ± ^-г2],
где v = О, А = ^(-^-бI72, Б = TJo^bA
19. Ш~1/2
Решение в параметрическом виде:
х = a[r(\nZ)'T ± |т2], у = 1п(Ьт2),
> В решениях уравнений 20-35 приняты обозначения:
_ Г CiJi/3(r) + С2У1/3О") ^ верхнего знака,
~ \ Ci/i/3(r) + С2К1/3(т) для нижнего знака,
где J\/${t) и Ух/зО")—функции Бесселя, 1\/${т) и Ki/S(r)—модифицированные функции
Бесселя;
ТТ ^>У' \ ^ >У ТТ ТТ2 -L ^2 гу2 тт \ 2 2 /уЗ ОТТ ТТ
С/1 = TZT -\- -д"^5 1/2 = Ui ±T Z , Us = ^"з" ^ ~" ^^/1^2-
Замечание. В решения уравнений 20-35 входит только отношение Z'T/Z = (\n.Z)'T.
Поэтому для симметрии функция Z задается с помощью двух произвольных постоянных С\
и С2 (вместо этого можно положить, например, С\ = 1 и С2 = С).
20. у'а = Ay'1 + Вх~2.
Решение в параметрическом виде:
21. (у'х) — Ау ~2 + Вх~г.
Решение в параметрическом виде:
x = ar~2/sZ~1U21U3, y = br~4/sZ~2U2, где А = ^\аЬ, В = 2а2Ь~\
22. у'х = Ay'1 + Вх.
Решение в параметрическом виде:
x = ar~2/sZ~1Uu y = br~4/sZ~2U2, где А = =Fj-a~V, В = 2a~2b.
23. (у'х) — ^-2/ + Вх~г.
Решение в параметрическом виде:
24. y'^Ay^i + Bx-1'2.
Решение в параметрическом виде:
U2, где А = 2а b , В = Тта
142 Уравнения первого порядка
25. (y'J-^Ay-W + Bx1".
Решение в параметрическом виде:
х = ат-8/3г-*и1, y = br-4/sZ-2Ul где А = Т^аЪ~1/2, B = 2al/2b~
26. Ш2 = Ау + Вх1/2.
Решение в параметрическом виде:
x = aT~i/3Z-2Ul y = br-a/3Z-\ui±±T*Z3Ui), где А = 4а~Х
27. (yL)~2 = Ау1/2 + Вх.
Решение в параметрическом виде:
х = aT-8/3z-4(ui ± ±т2г3иг), у = Ьт-4'3г-2и2,
где А = ТтаЬ~1/2В, В = 4аЬ~2.
28. (yLf = Ay'2 + Вх~2/6.
Решение в параметрическом виде:
х = ат-ъ'3г-6'2и1/2, у = Ьт-4'3г-2{Щ ± ±т2г3и^
где А = ^а-2'ъЪ2В, В = ^а^Ч2.
29. {у'х)-2 = Ау-2"- + Вх-2.
Решение в параметрическом виде:
х = ar-A'3Z-2{U22 ± ir'Z'U^2, у = bT-^Z
где А = ^а2Ь-&'\ В = т^а2Ь~2'ъА.
30. у'а = Ау1/2 + Вх~2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат41Ч2Щ\ у = Ьт-А'*г-2Щ2и1 где А = ±±а~1Ъ1/2, В = -4аЬ.
31. (У'х)-1 = Ау-2 + Вх1/2.
Решение в параметрическом виде:
x = ar/3Z[/2[/32, y = br4/sZ2U2\ где А = -4аЪ, B = ±^a1/2b~\
32. (y'af = Ay + Bx-1.
Решение в параметрическом виде:
х = атА/3г2щ\ у = Ьт-А/3г-2щ2{и1 - 4и1),
где А = Ц-а-2Ъ, В = АаЪА.
33. Ш~2 = Ау-г + Вх.
Решение в параметрическом виде:
x = ar/3Z[/2([/32-4[/23), y = bT4/sZ2Uz\ где А = АаЪВ, B = ^-ab~
34. (y'xf = Ау~2 + Вх2.
Решение в параметрическом виде:
/ U^\Ul-AU^Il2, где А = 4а2Ъ2В, В=^-а~4Ь
1.6. Уравнения вида f(x,y,y'x) = 0, содержащие произвольные параметры 143
35.
(yL) у +
Решение в параметрическом виде:
х = ar-^Z-'U^iUl - ®Jlfl\ у =
где А = 1§-а2Ъ-\ В = 4а2Ъ2А.
> В решениях уравнений 36-46 приняты обозначения:
{C\tv + С2Т~и для верхнего знака,
С\ sin(i/ In r) + С2 cos(i/ In r) для нижнего знака,
С\ In т + С2 для v = О,
{A + v)C\tv + A — v)C2T~v для верхнего знака,
(С\ —уСъ) sin(i/lnr) + (C2 + ^Ci) cos(^lnr) для нижнего знака,
+C2
{
i + i +2
Замечание. Функции R и Q содержат две произвольные постоянные С\ и Сч. Одну из
них можно произвольно зафиксировать, положив равной любому отличному от нуля числу
(например, можно положить С2 = =Ы_А пРи этом другая постоянная может принимать любые
значения.
36.
(yL) = Ау + Вх.
Решение в параметрическом виде:
А = -1т аъ9 В = -i-
v =
37. (уа) у +
Решение в параметрическом виде:
f) где А = Ь (- ±) W\ В =
где А=
38. (у'ху1/2 = Ау-1 + Вх.
Решение в параметрическом виде:
39. у'а = у+
Решение в параметрическом виде:
где A={-l±v2) —, В = а-1/2Ъ.
2а
40. (у'х) — Ау~г'2 + Вх~г.
Решение в параметрическом виде:
х = arQ, y = br2R2, где А = а6~1/2, Б = (—1 ± i/2) —.
41. ^ = At/1/2 + Вх.
Решение в параметрическом виде:
x = cltR, y = br2Q2, где А = 2(-1 ±v2)a~1b1/2, В = 4а~2Ъ.
42. (yLI = Ay + Вх1/2.
Решение в параметрическом виде:
x = ar2Q2, y = brR, где А = АаЪ~2, В = 2(-1 ± v2)a1/2b~1.
144 Уравнения первого порядка
43. (y'af = Ау + Вх2.
Решение в параметрическом виде:
x = arR, y = br2[Q2 - (-l±is2)R% где А = 16a~2b, В = (-1 ± v2)a~2bA.
44. (у'ху2 = Ау2 + Вх.
Решение в параметрическом виде:
x = ar2[Q2 -(-l±is2)R% y = brR, где А = (-1 ± v2)ab~2B, В = 16аЪ~2.
45. (y'xf = Ay-2 + Bx-\
Решение в параметрическом виде:
x = ar2R2, y = br[Q2 -(-l±iy2)R2]1/\ где A=(-1±i/2)o"Vb, B = a~1b2.
46. (y'x)-2 = Ay-1+Bx~2.
Решение в параметрическом виде:
x = ar[Q2 -(-l±is2)R2]1/2, y = br2R2, где A = a2b~\ В = {-I±v2)a2b~1 A.
1.6.4. Другие уравнения
1. у = ху'х + ах2 + Ьл/уЬ + с, а ф 0.
Продифференцируем уравнение по ж и введем новые переменные по формулам t = у'х,
w(t) = — 2ах. Получим уравнение Абеля вида 1.3.1.32: ww't — w = —аЫ~х^2.
2. у = ху'п + ах2 + Цу'пJ + с(у'я)т+1 + d, а ф О.
Продифференцируем уравнение по ж и введем новые переменные по формулам t = у'х,
w(t) = — 2ах. Получим уравнение Абеля: ww't —w = —4abt — 2ас(т-\- 1)?т, разрешимые
случаи которого указаны в разд. 1.3.1.
3. a(yfx)ri + Ъ{у'х)гп = х.
1°. Решение в параметрическом виде при пф — 1, та ф — 1:
ж = аГ + ЬГ\ ?/ = С ^!^+1 ±^+\
Г +
2°. Решение в параметрическом виде при п = — 1, т ф — 1:
^ = С + a In |t| ^
ж + 6t, г/ С + a In |t| +
4. a(^O1 + Ь(ух)гп = у.
1°. Решение в параметрическом виде при п ф 1, т ф 1:
П — 1 771 — 1
2°. Решение в параметрическом виде при п = 1, т ф 1:
х = С + a In |t| + _^_tm-\ y = at + btm.
5. у = жу?,+a(y?,)T\
re,
Решение: ?/ = Сж + aGn. Кроме того, при п ф \ имеется решение ?/ = Аж "--1 , где
aA71-1/!71 = -(n-l)n-1.
6. ?/ = ж^ +ажп(^)т.
Частный случай уравнения 1.8.1.8 при f(w) = awm.
1.6. Уравнения вида f(x,y,y'x) = 0, содержащие произвольные параметры 145
7. т/ = аж (з/ж) + 2хух.
Частный случай уравнения 1.8.1.9 при f(w) = awn.
8. »;=oa!n(x»;-W)m.
Преобразование Лежандра х = w't, у = ?wj — гу (г/J. = t) приводит к уравнению
t = awm(wft)n. Оно интегрируется с помощью разделения переменных.
1°. Решение в параметрическом виде при т ф —п, пф — 1:
1 1 m
г t \ 1~^Г+^Г
-)п +с
а /
1 1
- a J J [ п + 1 V а .
2°. Решение в параметрическом виде при т = —п, пф — 1:
1 г in i-i-ir in
ж = С — exp 4— , 2/ = С \t[ — - 1 exp и —
\aJ [n + 1 \aJ J y [\aJ J [n + 1 \aJ J
3°. Решение в параметрическом виде при т ф —п, п = — 1:
ж = — [аA - т) In |t| + С] 1-™ , y = tx- [a(l - m) In |t| + С] i-
a
4°. Решение при т = 1, n = — 1 имеет вид: ?/ = Сж а-г .
9. ж = аехр(Лу?,) + 6ехр(/х^).
Частный случай уравнения 1.8.1.1 при /(гу) = аехр(Аги) + bexp(/iw).
10. ?/ = аехр(Л^) + бехр(^).
Частный случай уравнения 1.8.1.2 при f(w) = аехр(Лг^) + Ьехр(/хгу).
11. у = ху'х + ожп ехр(Луш).
Частный случай уравнения 1.8.1.8 при /(гу) = аехр(Лг^).
12. у = ахехр(\у'х) + 6ехр(/х^).
Частный случай уравнения 1.8.1.7 при f(w) = аехр(Лг^), р(гу) = Ьехр(/Ш7).
13. In yi + ж^ + ат/ + 6 = 0.
1°. Решение в параметрическом виде при а ф 0, а ф — 1:
1 1 1
ж= — + С? «+1 , ?/ = - —(ж* + 1п
at a
2°. Решение в параметрическом виде при а = 0:
ж , 2/ C
3°. Решения при а = — 1:
?/ = Сж + 1пС + 6 и г/ = 1п(-1/ж) + Ь-1.
14. т/ = ху'х + аж2 + b In ^ + с, а ф 0.
Продифференцируем уравнение по ж и введем новые переменные по формулам t = у'х,
w(t) = —2аж. Получим уравнение Абеля вида 1.3.1.16: ww't — w = —2abt~1.
15. у = xyfx + ахп ln^Ayi.).
Частный случай уравнения 1.8.1.8 при f(w) = а1пт(Лг^).
16. у = хух + ах sin {кух).
Частный случай уравнения 1.8.1.8 при f(w) = asinm(?;u>).
17. у = хух + аж71 cos™ (ку'х).
Частный случай уравнения 1.8.1.8 при f(w) = acosm(?;u>).
18. у = ху'х+ ахп tg7" (ky'x).
Частный случай уравнения 1.8.1.8 при /(ги) =
10 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
146 Уравнения первого порядка
1.7. Уравнения вида f(x,y)y'x = g(x,y), содержащие
произвольные функции
> Обозначения: f,g,h — произвольные функции сложного аргумента, который указан в
круглых скобках после знака функции и может зависеть от обеих переменных х и у.
1.7.1. Уравнения, содержащие степенные функции
1- у'х = /(«ж + Ъу + с).
При Ъ = 0 это — уравнение вида 1.1.1. При b ф О замена и(х) = ах + by + с приводит к
уравнению вида 1.1.2: и'х = hf(u).
2. у'х= f(y + axn + b)-anxn-1.
Замена и = у + ахп + Ъ приводит к уравнению вида 1.1.2: их = f(u).
з. »; = ^-f(xnym).
х
Обобщенно-однородное уравнение. Замена z = xnym приводит к уравнению с разделяю-
разделяющимися переменными: xz'x = nz + mzf(z).
4. yL = f(x)y1+n+g(x)y + h(x)y1-n.
Замена w = yn приводит к уравнению Риккати: w'x = nf(x)w2 + ng(x)w + nh(x).
5. yL = - — :L+ykf(x)g(xnym)-
m x
Замена z = xnym приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
п — nk к-\-т— 1
z'x = тх rn f(x)z rn g(z).
1 °. При А = аC — Ъа ф 0 преобразование х = и + , у = v (и) + приводит
к уравнению
аи + 6г>
/ ?( аи + bv \
vu = /( ПГ)'
V аи + pv /
Деля числитель и знаменатель дроби в правой части на и, получим однородное уравнение
вида 1.1.6.
2°. При А = 0, b ф 0 замена v(x) = ах + by + с приводит к уравнению вида 1.1.2:
v = a + bf[ .
V /3v + 67 - Ф )
3°. При А = 0, /3 ф 0 замена г;(ж) = ах + /Зг/ + 7 также приводит к уравнению вида 1.1.2:
7. y'a = xn-xyx-mf{axn + bym).
Замена w = axn + bym приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
w'x = х71'1^ + bmf(w)].
8. упу'х + ахп + g(x)f(yn^1 + a^+1) = 0.
Замена ги = уп+1 + ажп+1 приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
w'x + (n+l)g(x)f(w) = 0.
9. [«
Уравнение Бернулли относительно х = ж(г/) (см. 1.1.5).
1.7. Уравнения вида f(x,y)yfx = g(x,y), содержащие произвольные функции 147
10. [х2 + xf(y) + g(y)]yL = h(y).
Уравнение Риккати относительно х = х(у) (см. разд. 1.2).
У* = [f(x)y + g(x)]y/(y - а)(у - Ъ).
Замена и2 = (у — а)/(у — Ь) приводит к уравнению Риккати:
±2и'х = [bf(x) + д(х)]и2 - af{x) - д(х).
Замена у = xt приводит к уравнению Бернулли относительно функции х = x(t):
13. [Ртг(ж, у) + xRrrt(x, у)]у'х = Qn(x, у) + уНггъ(х, у).
Уравнение Дарбу. Здесь Рп, Qn — однородные многочлены степени n, Rm —однородный
многочлен степени т. Уравнение Дарбу после деления на хп приводится к уравнению
вида 1.7.1.12.
14. [f(ax + by) + bxg(ax + by)]yfx = h(ax + by) — axg(ax + by).
Замена t = ax + by приводит к линейному уравнению для функции х = x(t):
[af(t) + bh(t)]xft = bg(t)x + f(t).
15. [f(ax + by) + byg(ax + by)]yfx = h(ax + by) - ayg(ax + by).
Замена t = ax + by приводит к линейному уравнению для функции у = y(t):
[a f{t) + bh(t)]y't = -ag(t)y + h(t).
16. x[f(xnym) + тхкд(хпут)]у'а = y[h(xnym) - nxhg(xnym)].
Преобразование t = xnym, z = x~k приводит к линейному уравнению для z = z(t):
t[nf(t) + mh(t)]z't = -kf(t)z - kmg(t).
17. x[f(xnyrn) + rnyhg(xnyrn)]yx = y[h(xnyrn) - nyhg(xnyrn)].
Преобразование t = xnym, z = y~k приводит к линейному уравнению для z = z(t):
t[nf(t) + mh(t)]z't = -kh(t)z + kng(t).
18. x[sf(xnyrn) - mg(xkys)]y'x = y[ng(xkys) - kf(xnyrn)].
Преобразование t = хпуш, w = xkys приводит к уравнению с разделяющимися
переменными: tf(t)w't = wg(w).
19. [f(y) + arnxnyrn-1]yx + 0(ж) + anx^y™ = 0.
Решение: / f(y) dy + f g(x) dx + axnyn = С
20. /(ж,1/Ы+^(ж,1/)=0, где jL = jlLm
Уравнение в полных дифференциалах.
ГУ ГХ
Решение: / f(xo,t)dt+ / g(t,y) dt = С, где хо и уо—любые числа.
Jy0 Jx0
Л.1.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные
и гиперболические функции
1. у'х = e-Xxf(eXxy).
Замена и = еХху приводит к уравнению вида 1.1.2: и'х = f(u) + Хи.
2. yL = ex*f(ex*x).
Замена и = еХух приводит к уравнению с разделяющимися переменными: хих =
= Хи2 f{u) + и.
ю*
148 Уравнения первого порядка
3. VL = yf(eaxym)-
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «сдвига-растяжения». Замена
z = еахуш приводит к уравнению вида 1.1.2: z'x = az + mzf(z).
4. у'т = ±f(x"eay).
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «растяжения-сдвига». Замена
z = хпеау приводит к уравнению с разделяющимися переменными: xz'x = nz + azf(z).
5. yL = f(x)eXv + д(х).
Замена и = е~Ху приводит к линейному уравнению: и'х = —Xg(x)u — Xf(x).
6. yL = ~ + f(x)g(xnev).
Замена z = xney приводит к уравнению с разделяющимися переменными: z'x = f(x)zg(z).
V + yhf(x)g(ea'ym)-
Замена z = еахуш приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
7- yL = ~
—(l — k)x\f(x)z m g(z).
L m J
8. у'т = f(x)eXy + д(х) + h{x)e~Xy.
Замена и = еХу приводит к уравнению Риккати: и'х = \f(x)u2 + Хд(х)и + Xh(x).
9. y'a!=eax->Svf(aeax+be'3y).
Замена w = aeax + Ъе^у приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
wx = e [aa +
Ю- »; = f(y + aeXx + b)-a\eXx.
Замена w = у + аеЛж + b приводит к уравнению вида 1.1.2: w'x = f(w).
п т (х е )
11.
12. yL = --=-
аж жу
Замена t = хпеау приводит к линейному уравнению относительно функции у = y(t):
Замена t = хпеау приводит к уравнению Риккати: a2tf(t)y't = — пу2 + af(t).
13. [f(ax + 6т/) + beayg(ax + fo/)]?/L = h(ax + 6т/) — aeayg(ax + 6т/).
Преобразование ? = аж + 6|/, 2 = е~ау приводит к линейному уравнению для г = з(?):
[a/(t) + ЬЛ(*)]4 = -ah(t)z + aap(t).
14. [/(«ж + by) + beaxg(ax + fo/)]?/L = h(ax + 6т/) — aeaxg(ax + 6т/).
Преобразование ? = аж + 6|/, 2 = е~аж приводит к линейному уравнению для г = з(?):
[a/(t) + bft(t)]«i = -а/(<)г - abff(t).
15. [е"ж/(г/) + а0\у'а + е?уд(х) + аа. = 0.
Решение: /" e~0vf(y) dy + Г е~ахд(х) dx - ае'"*-^ = С.
16. x[f(xneav) + aW(«weev)]i/L = h(«weev) - nyg(xneay).
Замена t = xneay приводит к линейному уравнению относительно функции у = y(t):
t[nf(t) + ah(t)]y't = -ng(t)y + h(t).
1.7. Уравнения вида f(x,y)yfx = g(x,y), содержащие произвольные функции 149
17. [f(ea'ym) + тхд(еа'ут)]у'я = y[h(eaxym) - axg(ea*ym)].
Замена t = eaxym приводит к линейному уравнению относительно функции х = x(t):
t[af(t) + mh(t)]x't = mg(t)x + f(t).
18. y'x = f(x) sh(\y) + g(x) ch(\y) + h(x).
Замена и = еХу приводит к уравнению Риккати: 2и'х = Л(/ + g)u2 + 2Xhu + Х(д — /).
19. pi = f(x) sh2(\y) + ^(ж) ch2(A2/) + h(x) shB\y) + 5(ж).
Замена w = th(A|/) приводит к уравнению Риккати: w'x = Л(/ + s)w2 + 2Xhw + A(g — s).
20. y'x =ycthxf(yrnshx).
Преобразование t = shx, ^ = |/m приводит к уравнению вида 1.7.1.3: tz't = mzf(tz).
21. w; =a;-1thj//(a;"shj/).
Преобразование t = жп, ^ = shy приводит к уравнению вида 1.7.1.3: ntz't = zf(tz).
22. y'x = ythx f{yrn ch ж).
Замена t = chx приводит к уравнению вида 1.7.1.3: ty't = yf(tym).
23. ^ = ж cthy f(xn chy).
Замена z = chy приводит к уравнению вида 1.7.1.3: xz'x = zf(xnz).
1.7.3. Уравнения, содержащие логарифмические функции
1- Ух = f(x)y In2 У + 9(Х)У In у + h(x)y.
Замена 16 = ln^/ приводит к уравнению Риккати: и'х = f(x)u2 + д(х)и + /г(ж).
2. г/^х-у^
Замена ? = In ж приводит к уравнению вида 1.7.1.3: у[ = —[tym f(tym)].
3. y'a!=x-n-1yf(xnlny).
! Z f(xnz)
Замена z = \ny приводит к уравнению вида 1.7.1.3: zx =
X
X XnZ
4. y'x =x-1eyf(ey\nx).
Замена t = In ж приводит к уравнению вида 1.7.2.4: 2/J = —[tey/(tey)].
5. у'х = ye~xf(ex Iny).
r> l лит)' f(eXz)
Замена z = iny приводит к уравнению вида 1.7.2.3: zx = z— -.
6. у'х = —nx~1y In у + yf(x)g(xn In #).
Замена ги(ж) = жп1п|/ приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
™'х = xnf(x)g(w).
i п' - п У _l vf(xnym)
'• Ух — ~г : •
т х xlny
Преобразование t = xnym, z = \пу приводит к линейному уравнению для z = z(t):
m2tf(t)z't = -nz + mf(t).
, n у yf(xny™)
2/33 m x "•" aj(lnj/J '
Преобразование t = хпуш, z = \ny приводит к уравнению Риккати: m2tf(t)z't =
= -nz2 +mf(t).
150 Уравнения первого порядка
9. x[f(xnym)+m]nyg(xnym)]y'a=y[h(xnym)-nlnyg(xnym)].
Преобразование t = хпут, z = In у приводит к линейному уравнению для z = z(t):
t[nf(t) + mh(t)]z't = -ng(t)z + h(t).
10. x[f(xnyrn) + mIn xg(xnyrn)]yfx = y[h(xnyrn) - n Inж g(xnyrn)].
Преобразование t = xnym, z = In ж приводит к линейному уравнению для z = z(t):
t[nf(t) + m/i(t)]4 = mg(t)z
1.7.4. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1. yL = 2/T"+1 sin x F{yrn cos x).
Уравнение вида 1.7.4.3 при /(?) =
2. 2/L = 2/Tri+1 cos x F{yrn sin ж).
Уравнение вида 1.7.4.4 при /(?) =
3. у'х = ytgx f(yrn cos ж).
Замена t = cosx приводит к уравнению вида 1.7.1.3: y't = f(tym).
уравнению вида 1.7.1.3: y't =
4. yL = У ctg ж /(у771 sin ж).
Замена t = sin ж приводит к уравнению вида 1.7.1.3: y't = —f(tym).
5. 2/^ = ж tg т/ /(ж71 sin у).
Преобразование t = xn, z = sin^/ приводит к уравнению вида 1.7.1.3: ntz't = zf(tz).
6. 2/^ = ж ctg 7/ /(ж71 cos у).
Преобразование t = жп, z = cosy приводит к уравнению вида 1.7.1.3: ntz't = —zf(tz)
7. ^ = ж sin 2y f(xn tg ?/).
Преобразование t = жп, z = tgy приводит к уравнению вида 1.7.1.3: ntz't = 2zf(tz).
8. ^ = ж sin 2т/ /(ж71 ctg у).
Преобразование t = xn, z = ctg у приводит к уравнению вида 1.7.1.3: ntz't = —2zf(tz)
9- k
Замена t = tgx приводит к уравнению вида 1.7.1.3: 2ty[ = yf(tym).
Замена t = ctg ж приводит к уравнению вида 1.7.1.3: 2ty't = —yf(tym).
И. 2/L = f(x) cos(ay) + #(ж) sin(ay) + /ь(ж).
Замена u = tg(ay/2) приводит к уравнению Риккати: 2ux=a(h — f)u2 +2agu+a(f + h).
12. yfx = /(ж) cos2(ay) + ^(ж) sin2(a?/) + h(x) sinBay) + в(ж).
Замена и = tg(ay) приводит к уравнению Риккати: их = а(д + s)i62 + 2а/ггб + а(/ + s).
13. у'х = f(y + a tg ж) - a tg2 ж.
Замена гб = у + atgx приводит к уравнению вида 1.1.2: и'х = а + /(гг).
Преобразование ? = tgx, z = tgy приводит к уравнению вида 1.7.1.3: tz't = zf(tz).
15. 2/^ = ctg xtgy /(sin ж sin у).
Преобразование t = sin ж, z = sin у приводит к уравнению вида 1.7.1.3: tz't = zf(tz).
1.7. Уравнения вида f(x,y)yfx = g(x,y), содержащие произвольные функции 151
16. у'х = - ctg ж tg у -\ ^-g(sin ж sin у).
cos у
Замена w(x) = sin х sin у приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
w'x = sin x f(x)g(w).
17. ух = - ?
sin 2ж
Замена ги(ж) = tgxtg^/ приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
w'x =tgxf(x)g(w).
18. у'х = —пх~г sin 2y + cos2 у f(x)g(x2n tg ?/).
Замена w(x) = х2п tgy приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
w'x = x2nf(x)g(w).
19. A + tg2 y)y'x = f(x) tg™+1 у + g(x) tg у + Мж) tg1"^ 2/.
Замена гб = tgm |/ приводит к уравнению Риккати: их = mf(x)u2 + mg(x)u + mh(x).
1.7.5. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных,
логарифмических и тригонометрических функций
1. у'* = — sin 22/ + c°s2 2/ /(ж)#(е2ж tg з/).
Замена ги(ж) = е2х tgy приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
™'х = e2xf(x)g(w).
^ ^, = F(excosy)
х ех sin у
Уравнение вида 1.7.5.5 при /(?) =
3. у'х = еу cos ж F(ey sin ж).
Уравнение вида 1.7.5.7 при /(?) =
4. 2/L = tg2//(eJCsin7/).
Замена ^ = sin^/ приводит к уравнению вида 1.7.2.3: z'x = zf(exz).
5. 2/^ = ctg у f(ex cos у).
Замена z = cos^/ приводит к уравнению вида 1.7.2.3: z'x = —zf(exz).
6. 2/L = tg ж /(еу cos ж).
Замена t = cos ж приводит к уравнению вида 1.7.2.4: ty't = —f(tey).
7. 7/^, = ctg ж /(еу sin ж).
Замена t = sin ж приводит к уравнению вида 1.7.2.4: ?г/? = f(tey).
8. pi =sin2?//(eJCtg?/).
Замена z = tgx приводит к уравнению вида 1.7.2.3: z'x = 2zf(exz).
9. у'х = sin 2т/ f(ex ctg ?/).
Замена ^ = ctgx приводит к уравнению вида 1.7.2.3: z'x = —2zf(exz).
0. у; -
еж cos у
Уравнение вида 1.7.5.4 при /(^) = F(?)/?.
11. 7/^, = еу sin ж F(ey cos ж).
Уравнение вида 1.7.5.6 при /(?) =
Замена t = tgx приводит к уравнению вида 1.7.2.4: 2ty't = f(tey).
152 Уравнения первого порядка
, _ /(e"ctgg)
13> Vx - sin2a! •
Замена t = ctgx приводит к уравнению вида 1.7.2.4: 2ty't = —f(tey).
14. у'я =e-
Замена и = Хх -\-\ny приводит к уравнению вида 1.1.2: и'х = е~иf(u) + Л.
15. у'а =eXyf(Xy + lnx).
Замена и = Ху + In ж приводит к уравнению с разделяющимися переменными:
хи'х = Xeuf(u) + 1.
1.8. Уравнения вида f(x,y,y'x) = 0, содержащие
произвольные функции
1.8.1. Отдельные уравнения
1. х = f(y'a).
Решение в параметрическом виде:
x = f(t), y = jtf't(t)dt + C.
2. у = /(»;).
Решение в параметрическом виде:
fUt)f + C, y = f(t).
3. хпут = /(—)¦
Уравнение вида 1.8.2.3. Введем новую переменную ги(ж) = ху'х/у, затем поделим обе
части уравнения на хпуш и продифференцируем по ж. В результате получим уравнение с
разделяющимися переменными: xf'w(w)w'x = (mw + n)f(w).
Решение в параметрическом виде:
In
/ 7—
(mw + n)f(w)
Имеются решения вида ?/ = A/.x~n^m, где Аи —корни алгебраического (трансцендент-
(трансцендентного) уравнения А™ — f(—n/m) = 0.
4. хпеау = f{xy'm).
Замена у = \пи приводит к уравнению вида 1.8.1.3: хпиа = f(xu'x/u).
5. еа"уп = f(y'Jy)-
Замена х = \nt приводит к уравнению вида 1.8.1.3: tayn = f(ty't/y).
6. y = xy'x '
Уравнение Клеро. Решение: у = Сх + f(C).
Особое решение в параметрическом виде:
7-
Уравнение Лагранжа—Даламбера. При /(?) = t см. уравнение 1.8.1.6. Дифференцируя
по ж, приходим к линейному уравнению относительно х = x(t), где t = у'х:
1.8. Уравнения вида f(x,y,y'x) = 0, содержащие произвольные функции
153
8. у = xnf(yfx) + ху'х.
Дифференцируя по ж и обозначая t = у'х, получим для ж = x(t) уравнение Бернулли:
1 п f(t) nf(t)
9. y = f(x(y'xf)+2xyx.
Решение: [у - f(C)]2 = 4Сж.
10. у = f(x(yx)n) -\ —-хух.
7Ъ — X
Решение: у = f(Cn) +
пС
п — 1
П. (ху'т - y)nf(y'a) + yg(v'm) + xh(y'a) = о.
Преобразование Лежандра х = щ, у = tu't — и (у'х = t) приводит к уравнению Бернулли:
h(t)]v!t=g(t)u +
14.
15.
12. (y'^f + [f(x) + g{x)]y'm + f(x)g(x) = О.
Это уравнение может быть представлено в виде произведения: [у'х + f(x)][yfx +g(x)] = 0,
т. е. распадается на два простых уравнения у'х +/(ж) = 0 и у'х + д(х) = 0. Интегрируя,
получим решения
у+ Г f(x)dx = C и у+ Ig(x)dx = C.
13. (yLf + zfyyL+gy2 = (д - f2) жр(-2 J" fdx).
Здесь / = /(ж), д = д(х). Решение:
хр(^- / fdx^smU у/д - р dx + с) при р > /2,
ехр (- JX f dx^j ch(У"
при
Решение в параметрическом виде:
х = С —
Кроме того, имеется решение у = ах + /3, где а и /3 определяются путем решения системы
двух алгебраических уравнений
а + 6а = 0, /(а) + 6/3 + s = 0.
Полагая и(х) = г/г/J. + ж и дифференцируя по ж, получим
и',Й(щ) -2и + 2х] = 0. A)
Приравнивая первый сомножитель нулю, а затем интегрируя, имеем у2 = —(х — СJ + В.
Подставляя это выражение в исходное уравнение, находим константу В = f(C). В ре-
результате получим решение: у2 = /(С) — (ж — СJ.
Другое решение, соответствующее равенству нулю второго сомножителя в A), можно
записать в параметрическом виде:
x = u-\f'u{u), V2 = f{u)-\[fu{u)f.
154 Уравнения первого порядка
16. у = а(у'пJ + f(x - 2ау'а).
Частный случай уравнения 1.8.1.18 при п = 2.
Решение:
(xC).
Кроме того, имеется решение, которое может быть представлено в параметрическом виде:
x = t + 2afl(t), V 2
17. y =
Частный случай уравнения 1.8.1.18 при п = 3.
Решение:
Кроме того, имеется решение, которое может быть представлено в параметрическом виде:
x = t + Za[ft{t)}\ у = f(t) + 2a[ft{t)f.
18. y = a(n- l)(i?)n + f(x - ап^)-1).
Дифференцируя по ж, приходим к распадающемуся уравнению:
[1 - ап(п - 1){У'Х)П~2У'Ц [у', ~ /»'(*)] = 0, A)
где t = х — ап(у'х)п . Приравняем первый сомножитель нулю и проинтегрируем
соответствующее уравнение. Подставляя полученное выражение в исходное уравнение,
находим решение:
Другое решение, соответствующее равенству нулю второго сомножителя в A), можно
записать в параметрическом виде:
19. f{x2 + j/2)V(j/4J + l = xy'a-y.
Полагая x = r(t) cost, у = r(t) sint и интегрируя, получим решение:
-
20. Ф(/и + fvy'm, f - x(fa + fyvL)) = 0.
Здесь приняты обозначения: f = f(x,y), fx = -^-, fy = -^-.
Дифференцируя по ж, получим
Ux + fyy'X(bu-x<s>v) = ^
где Фи и Фу —частные производные функции Ф(гб, v). Приравнивая первый сомножитель
нулю, находим решение:
f(x,y) = Cx + A, где Ф(С,А) = 0.
Остается исследовать, имеет ли уравнение Фи — жФ^=0 какие-либо решения, и какие из
них удовлетворяют исходному уравнению.
1.8.2. Некоторые преобразования
Введем новую переменную t = yfx,a затем продифференцируем обе части уравнения по х.
В итоге получим уравнение для у = y(t):
[1 - tfy(y, t)]y't = tft(y, t), где ft = Ц-, fy = J?.
Если у = y{t) —решение последнего уравнения, то решение исходного уравнения может
быть записано в параметрическом виде:
x = f(y(t),t), y = y(t).
1.8. Уравнения вида f(x,y,yx) = 0, содержащие произвольные функции 155
2. у = fix ii )
Введем новую переменную t = yfx,a затем продифференцируем обе части уравнения по ж.
В итоге получим уравнение для ж = x(t):
[t-fx(x,t)]x't = ft(x,t), где ft = —-, fx = — •
Если ж = x(t) —решение последнего уравнения, то решение исходного уравнения может
быть записано в параметрическом виде:
x = x(t), y = f(x(t),t).
3. х^у™ = fix y% —).
V у /
Введем новые переменные z = xkys, w = ——, затем поделим обе части уравнения
У
на хпут и продифференцируем по ж. В результате получим следующее уравнение для
w = w(z):
z(sw + k)(fz + fwwfz) = (mw + n)/, где / = f(z, w),
которое обычно проще, чем исходное уравнение (его можно разрешить относительно
производной). Если w = w(z) —решение полученного уравнения, то решение исходного
уравнения может быть записано в параметрическом виде:
xky' = z, xnym=f{z,w(z)).
4 ^гпросУ — ¦е(-ггпр(Ву тп' Л
t. «/• е — j yd, e , а^ух).
Замена у = \пи приводит к уравнению вида 1.8.2.3: хпиа = f(^xrnu , хих/и).
5. еа'уп = f(e^'ym, y'Jy).
Замена ж = \nt приводит к уравнению вида 1.8.2.3: tayn = f(tym, tyt/y).
6. /(ж, хух - у, ух) = 0.
Преобразование Лежандра x = u't, y = tu't—u (ух = t), где и = u(t), приводит к уравнению
f(uft, и, t) = 0. Обратное преобразование: t = ух, и = хух — у, щ = ж.
При Л ф 0 преобразование Лг^ = 2 д/А^/ + /(ж) приводит к уравнению Абеля второго рода:
ww'x=w + (p(x), где (р = 2Х~2 ffx(x),
которое для конкретных функций (р рассматривается в разд. 1.3.1.
8. у = ху'х + ах2 + f(y'm), афО.
Продифференцируем уравнение по ж и введем новые переменные t = у'х, w = — 2аж.
В результате приходим к уравнению Абеля второго рода:
ww't = w + cp(t), где ср = -2aft(t),
которое для конкретных функций (р рассматривается в разд. 1.3.1.
2. Уравнения второго порядка
2.1. Линейные уравнения второго порядка
2.1.1. Представление общего решения с помощью частного
1°. Линейное однородное уравнение второго порядка имеет вид
h{x)V'lx + h{x)y'x + f0{x)y = Q. A)
Пусть уо = г/о (ж) —любое нетривиальное частное решение этого уравнения. Тогда общее
решение уравнения A) можно представить в следующем виде:
где F=[^-dx. B)
J /2
Для конкретных уравнений, рассмотренных далее в разд. 2.1.2-2.1.8, часто будут указаны
только частные решения. Общие решения этих уравнений можно получить с помощью форму-
формулы B) (см. также разд. 0.2.1-1, п. 3°).
Замечание. В разд. 2.1.2-2.1.8 рассматриваются только однородные уравнения, решения
соответствующих неоднородных уравнений можно получить с помощью формул G) и (8) из
разд. 0.2.1.
2°. Пусть получено частное решение линейного однородного уравнения в виде аналитической
формулы у = [/(ж)]а, которую можно использовать при f(x) ^ 0. Если рассматриваемое
уравнение имеет смысл в области тех значений х, при которых f(x) < 0, то в этой области
частным решением будет функция у = |/(ж)|а.
3°. Пусть y = Cif(x)[g(x)]a-\-C2f(x)[g(x)]b — общее решение линейного однородного уравне-
уравнения при афЪ, гдеаиб — свободные параметры. Тогда функция у = f(x)[g(x)]a[Ci-\-C2 \пд(х)]
будет общим решением того же уравнения при а = Ъ.
2.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции
1. y'L + ау = о.
Уравнение свободных колебаний.
{Cish(xy/fa[) + С2сп(жл/[а[) при а < 0,
С\ + С2х при а = 0,
С\ Бш(хл/а) + G2 соъ(хл/а) при а > 0.
2. у"х — (ах + Ъ)у = 0, а ф 0.
Замена ? = а~2^3(ах + Ь) приводит к уравнению Эйри
»« -1» = о, A)
которое часто встречается в различных приложениях. Решение уравнения A) можно
записать в виде
у = С1 Ai(?) + C2 Bi(?),
где Ai(?) и Bi(?) — функции Эйри первого и второго рода.
Функции Эйри можно представить в виде определенных интегралов:
1 Г°
2.1. Линейные уравнения второго порядка 157
Функции Эйри можно выразить через функции Бесселя или модифицированные функции
Бесселя порядка ±1/3 с помощью формул
где z = \e/2-
При ? —>- oo главные члены асимптотических разложений функций Эйри имеют вид
-1),
4 /
2v^
л/7Г л/7Г V 4
Уравнение Эйри A) является частным случаем уравнения 2.1.2.7 при п = 1.
3. у"х — (а2х2 + а)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(-|-аж ).
4. 2/жж — («ж2 + Ъ)у = 0.
Преобразование z = х2л/а, и = е2/2?/ приводит к вырожденному гипергеометрическому
уравнению 2.1.2.65: гг^ + ( — — z)uz — — f ^^ + 1 W = 0.
5. у"х + а3жB — ажIу = 0.
Частное решение: г/о = ехр(— ^а2х2 + аж).
Замена ? = ж Н приводит к уравнению вида 2.1.2.4: г/*'* — (at;2 + с )г/ = 0.
2а V 4а /
7. 2/L - ахпу = 0.
1°. При п = — 2 см. уравнение Эйлера 2.1.2.118, а при п = —4 см. уравнение 2.1.2.198
(в этих случаях решение выражается через элементарные функции).
2°. Пусть 2/(п + 2) = 2т + 1, где m — целое число.
Решение:
— -^— xq ) при m ^ О,
0 / J
Ciexpf ^жМ +С2ехр(-^жЛ1 при т < О,
о7 п + 2 1
где D = —, а = = .
dx 2 2m + 1
3°. Для произвольного п решение выражается через функции Бесселя и модифицирован-
модифицированные функции Бесселя первого и второго рода (см. уравнения 2.1.2.121 и 2.1.2.122):
при а < О,
^^)| при а > О,
где g = y(
2п + пхп~1)
8. y'L - а(ах2п + пхп~1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( хп+1).
V п + 1 /
158 Уравнения второго порядка
9. у"х - ахп-2{ахп + п + 1)у = 0.
тт ( ахП \
Частное решение: уо = х ехр .
V п /
10. т/1 + (аж2п + Ьж71)^ = 0.
Замена ? = жп+1 приводит к уравнению вида 2.1.2.103: (га + 1J?^ + га(га + 1)у'^ +
+ « + 6J/ = 0.
11. 2/L + а^ + by = 0.
Линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. В физике это
уравнение называют уравнением затухающих колебаний.
1°. Решение при Л2 = а2 — АЪ > 0:
„ /Л — а\„ / —Л — а \
у = С1ехр^-^—х) +С2ехр(^ х).
2°. Решение при Л2 = 46 — а2 > 0:
/ ах \ („ . Хх „ \х\
у = ехрг—) [Ci sin—+°2 cos —) ¦
3°. Решение при а2 = 46:
12. j/L + aj/4 + (Ъх + с)у = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.103.
13. у"х + «2/L — (Ьх2 + с)т/ = 0.
Замена у = гбехр(^-ж2л/б) приводит к уравнению вида 2.1.2.103: г4/ж
+ (ал/бж -с + л/б)^ = 0.
14. 2/L + а^ + Ъ(-Ъх2 + аж + 1)?/ = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—^-6ж2).
15. 7/L + а^ + Ъх(-Ъх3 + аж + 2)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—-|-6ж3).
16. tyL + ayi + Ъ(-Ъх2п + ажп + пхп~г)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр (— жп+1).
V п + 1 /
17. y'L + «2/L + Ь(-Ьж2тг - ахп + пх^у = 0.
Частное решение: г/о = ехр( — хп+1 —ах].
V п + 1 /
18. S/1 + »t/i + (п + 1)у = 0, п = 1, 2, 3, .. .
Решение: у = А-|ехр(-^-) [d + С2 /ехр(^") ^] }•
19. 2/L - 2ж^ + 2т/ = 0, п = 1, 2, 3, . ..
2^ПГ 2 Г f 2 1 1
Решение: у = ехр(ж )—— <ехр(—х ) Ci + Сг / ехр(ж ) cm >.
При Ci = (—1)п, С2 = 0 это решение определяет полиномы Эрмита.
20. y'L + 2аж^ + (Ьх4 + а2х2 + еж + a)ty = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.46 при п = 1, т = 2.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 159
21. y'L + (ах + Ь)у'х +ау = О.
Частное решение: уо = ехр(— -|-аж — Ъх).
22. ухх + (аж + Ь)у'х — ау = 0.
Частное решение: у0 = ах + Ъ.
23. tyl + (аж + Ь)^ + с(ож + Ь - с)у = 0.
Частное решение: ?/о = е~сх.
24. tyl + (аж + 2Ъ)ух + (абж - а + Ь2)^ = 0.
Частное решение: уо = же~
25. 2/L + (аж + Ъ)у'х + (еж + d)?/ = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.103.
26. y'L + (аж + Ъ)у'х + с[(а - с)ж2 + 6ж + 1]т/ = 0.
Частное решение: уо = ехр(— -|-сж2).
27. 7/L + 2(аж + Ь)ух + (а2ж2 + 2аЬх + с)?/ = 0.
Замена и = уехр{\ах2 + Ъх) приводит к уравнению вида 2.1.2.1: и'1х + (с — а — Ь2)и = 0.
28. 2/L + (аж + 6)^ + (аж2 + /Зж + 7J/ = 0.
Замена у = иexp(sx2), где s — корень квадратного уравнения 4s2 -\-2as-\-a = 0, приводит
к уравнению вида 2.1.2.103: и"х + [(а + As)x + b]ux + [(C + 26s)x + 7 + Щи = 0.
29. т/1 + (аж + b)t? + c{-cx2n + аж^-^1 + бж71 + пхп~г)у = 0.
Частное решение: уо = exp f — хп+ ).
30. у"х + а(ж2 - Ъ2)ух - а{х + 6)т/ = 0.
Частное решение: уо = х — Ъ.
31. ухх + (аж2 + Ь)^ + с(аж2 + Ъ - с)у = 0.
Частное решение: уо = е~сж.
32. 2/1 + (аж2 + 2Ъ)ух + (абж2 - аж + Ъ2)у = 0.
Частное решение: уо = хе~
33. 2/1 + Bж2 + а)^ + (ж4 + аж2 + 2ж + 6)т/ = 0.
Замена и = уехр(-|-ж3) приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
и хх + аих + Ъи = 0.
34. 2/1 + (аж2 + Ьж)^ + (аж2 + /Зж + 7)з/ = 0.
1°. Частный случай уравнения 2.1.2.141 при п = 1.
2°. Случай а = 0, /3 = За, 7 = 26. Частное решение: г/о = жехр(—-|-аж3 — т^2)-
35. 2/1 + (абж2 + Ъх + 2а)^ + а2(Ьж2 + 1)у = 0.
Частное решение: уо = (аж + 1)е~ах.
36. 2/1 + (аж2 + 6ж + c)t/L + x{abx2 -\-Ъс-\- 2а)у = 0.
Частное решение: у о = ехр(—-|-аж3 — сх).
37. 2/1 + (аж2 + Ъх + c)t/L + (абж3 + аеж2 + Ъ)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр(— ^-^ж2 — еж).
160 Уравнения второго порядка
38. ухх + (ах3 + 2Ъ)у'х + (аЪх3 - ах2 + Ъ2)у = 0.
Частное решение: уо = хе~ х.
39. ухх + (ах3 + Ьж)^ + 2Bах2 + 6)?/ = 0.
Частное решение: г/о = жехр(—-^аж4 — убж2).
40. 7/L + (аЬх3 + Ьж2 + 2а)у'а + а2(Ьж3 + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = (аж + 1)е~ах.
41. tyL + аж^: = 0.
Это уравнение встречается в теории диффузионного пограничного слоя.
л л f ( axn+1 \ .
Решение: у = С\ + Сг / ехр dx.
J \ п + 1 /
42. tyL + axn2/l + Ъх^у = 0.
При п = — 1 см. уравнение Эйлера 2.1.2.118. При п ф — 1 замена 2 = хп+1 приводит к
уравнению вида 2.1.2.103: (n + lJzy"z + (n + l)(az + n)^
43. у"х + гаж71^ + а(ах2п + пхп-г)у = 0.
Частное решение: уо = х ехр (— жп+1).
V п + 1 /
44. y'U + axn2/l + (Ьх2п + схп-г)у = 0.
Замена ? = жп+1 приводит к уравнению вида 2.1.2.103:
(n + lJ^ + (n + l)(a? + п)у? + (^ + с)у = 0.
45. tyL + ахпу'х - b(axn"rrn + 6ж2тгг + тх™'1^ = 0.
Частное решение: уо = ехр f хш+1 \.
46. у"х + гаж71^ + (а2ж2тг + Ъх2гп + апж71 + сх™'1^ = 0.
Подстановка и> = 2/ехР( жп+1 ) приводит к уравнению вида 2.1.2.10: w'lx +
V п + 1 /
+ (Ъх2ш +cxrn-1)w = 0.
47. tyL + (ахп + 6)^ + с(ажп + Ъ - с)у = 0.
Частное решение: г/о = е~сх.
48. tyL + (ажп + 2Ъ)у'х + (абж71 - аж71 + 62)ty = 0.
Частное решение: уо = же~ х.
49. tyL + (абж™ + бж71 + 2а)^ + а2(Ъхп + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = (аж + 1)е~ах.
50. tyL + (абж71 + 26Ж71 - а2х)у'х + 0@^^ + бж71 - а2х)у = 0.
Частное решение: уо = (аж + 2)е~ах.
51. tyL + жп[аж2 + (ас + 6)ж + Ъс]у'х - хп(ах + Ъ)у = 0.
Частное решение: уо = ж + с.
52. j/L + (ож" + Ъхт)у'„ - (ох" + Ьхт-г)у = 0.
Частное решение: гуо = х.
53. 2/L + (ахп + Ьх™^ + (апж71 + bmxrn-1)y = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение первого порядка: у'х + (ажп + Ьхт)у = С.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 161
54. y'L + (ахп + Ъхт)у'„ + [а(п + I)*" + Ь(т + I)»™-1]*, = О.
тт fa пл-\ Ь т + \\
Частное решение: г/о = ж ехр — ж — ж .
F У У\ 71+1 Ш + 1 /
55. ухх + (ахп + Ьж™)^ + с(ахп + Ьж™ - с)?/ = 0.
Частное решение: г/о = е~сж.
56. 7/L + (ахп + bxrn)yfx + [а6жттг+тг + Ь(га + ^ж™ - ахп-г]у = 0.
Частное решение: уо = х ехр ( — хш+1).
V m + 1 /
57. у"х + (ажп + Ъх™ + с)^ + (а6жтгг+тг + Ъсх™ + апхп-1)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр f — xn+1 —ex).
58. xy'L + il/i + ay = 0.
i cos л/4аж + Сг sin л/4аж при аж > О,
Решение: у =
^y ch д/4|аж| + d sh у4|аж| при ах < 0.
59. Ж1у^ж + а2/ж + (&ж + с)у — 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.103.
60. жг/"ж + пу'х + Ьх1~2пу = 0.
При п = 1 см. уравнение Эйлера 2.1.2.118. При п ф 1 решение описывается формулами
^l-n | _|_ q^ cog i —х1~п ) при 6 > О,
У =
ехр Г^Н^ж1-^) + С2 ехр Г^^ж1-^) при Ъ < 0.
61. ж^ж + A - Зп)у'х - а2-п1 х2гь~ху = 0.
Решение: у = Ci(axn + 1) ехр(-ажп) + С2(-ахп + 1) ехр(ажп).
62. хухх + aty^ + бж71^ = 0.
При п = — 1 или 6 = 0 см. уравнение Эйлера 2.1.2.118. При п ф — 1 и 6 / 0 решение
выражается через функции Бесселя:
п + 1
63. жт/L + ау?, + 6жТ1(-6жТ1+1 + а + n)ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр ( — жп+1).
V п + 1 /
64. хухх + ахух + aty = 0.
Частное решение: г/о = же~аж.
65. ж^ж + (Ь — х)у'х — ау = 0.
Вырожденное гипергеометрическое уравнение.
При b ф 0, —1, —2, —3, ... одним из решений является ряд Куммера:
где (а)к = «(« + 1)... (а + к — 1), (а)о = 1. При 6 > а > 0 это решение можно записать
в виде определенного интеграла
Ф(а,Ь;х)=
Г(а) ГF — а)
где () /
Jo
11 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
/ е ?z <it — гамма-функция.
Jo
162
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 13
Частные случаи функции Куммера Ф(а, 6;
а
а
1
а
1
~2~
—п
—п
—п
п + 1
Ъ
а
2
а + 1
3
~2~
1
2
3
2
2z/ + l
2п + 2
2ж
—ж
о
—ж
ж2
2
ж2
2
ж
2ж
2ж
Ф
ех
1 ж ,
ж
аж~а7(а, ж)
ert x
2
Bn)! I 2/ 2nl j
Bn + l)ll 2/ W^+iW
Принятые обозначения
—
—
неполная гамма-функция
7(а,ж) = Г е'1^-1 dt
Jo
интеграл вероятностей
2 Гх
erfx=—— / ехр(—t2) dt
\/к Jo
многочлены Эрмита
2 НП 2
Нп(х)-(-1Гех ^г(е-х ),
п- 0, 1, 2, 3, ...
многочлены Лаггера
г(а)/ ч е х « / -ж п+а\
П W П\ dXn [C X h
a = b-l,
(Ь)п=Ь(Ь+1)...(Ь + п-1)
модифицированные
функции Бесселя
Если 6 — нецелое число, то общее решение имеет вид
у = СгФ(а, Ъ- х) + С2х1~ьФ(а -6 + 1, 2 - Ь; х).
В табл. 13 указаны некоторые частные случаи, когда Ф выражается через более простые
функции.
Функция Ф обладает свойствами:
Ф(а, Ь] х) = ехФ(Ь — а, Ь; —ж);
-^Ф(а, 6; ж) = ^Ф(а + п, 6 + п; ж),
аж ^)
Главные члены асимптотических разложений при больших значениях аргумента:
^)] при х -»¦ +оо,
(^)] при ^-°°'
Решением вырожденного гипергеометрического уравнения является функция
Ф(а, 6; я;) =
Г(а-
(о, Ь;
Г(о)
1, 2-Ь; х).
2.1. Линейные уравнения второго порядка 163
Путем предельного перехода при 6 —»¦ п для целых значений п можно получить
Ф(а,п;ж) = -\^ -|ф(а,п+1;жIпж+
п!Г(а — п) I
2^ (
r=0
(a)r
' _|_ i\
1)! ^
y (a-n)r xr~n
Г(а) ^ (l-n)r r! '
где n = 0, 1, 2, ... (при n = 0 последняя сумма опускается), ^(з) = [1пГ(?)]'г —
логарифмическая производная гамма-функции:
71-1
^A) = —7> ?КП) = ~7 + TJ ^-15 7 = 0,5772 ... —постоянная Эйлера.
fc=i
Если 6 — отрицательное число, то представление для функции Ф можно получить с
помощью формулы
Ф(а,Ь;ж) =ж1"ьФ(а-Ь+1, 2-6; ж),
которая справедлива для всех значений ж.
При 6 / 0? ~1> ~2, —3, ... общее решение вырожденного гипергеометрического
уравнения можно записать в виде
у = С1Ф(а, Ь; х) + С2Ф(а, 6; ж),
а при 6 = 0, —1, —2, —3, ... —в виде
у = ХХ~Ь [Ci<$>(a -6 + 1, 2-6; х) + С2Ф(а -6+1, 2-6; ж)].
Функции Ф иФ подробно описаны в книгах Г. Бейтмена, А. Эрдейи A973, т. 1),
М. Абрамовица, И. Стиган A979). См. также разд. П.2.8.
66. ху"х + (ах + Ь)у'х + с[(а - с)х + 6]?/ = 0.
Частное решение: уо = е~сх.
67. жт/L + Bаж + Ь)^ + а(ож + Ъ)у = 0.
Решение: У = (С^1+ ?fT^ ^ 5 # }'
^ \е ax(Ci +С21п|ж|) при 6=1.
68. жт/^ж + [(а + Ъ)х + п + т]^ + (абж + ап + Ът)у = 0.
Здесь пит — натуральные числа; а фЬ или п ф т.
Решение: у = de""-^ [ж"^"^] + Сае*-^- [ж"^&-^].
69. ж^'ж + (аж + 6)^ + (сх + с?)?/ = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.103.
70. ху"х — (ах + 1)у'х — Ьх2(Ьх + а)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(— -|-6ж2).
71. жт/L - (lax + 1)^ + Fж3 + а2х + а)т/ = 0.
Решение: у = еаж [Ci 8т(|ж2л/б) + С2 со8(^-ж2л/б)].
72. ж^ж + (аж + Ъ)ух + сж(—еж2 + ах + 6 + 1) = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—^-сж2).
73. жт/L - Bаж2 + 1)^ + 6ж3?/ = 0.
Решение: у = С\ ехр[-|- (а + л/а2 — б)ж2] + С2 ехр[^- (а — л/а2 — б)ж2].
и*
164 Уравнения второго порядка
74. хухх + (abx2 + Ъ- Ъ)ух + 2а2(Ъ - 2)х3у = 0.
Частное решение: уо = (ах +1) ехр(—ах ).
75. хухх + {ах2 + Ьх)ух - [асх2 + (а + be + с2)х + Ь + 2c]ty = 0.
Частное решение: г/о = хесх.
76. ж?/"ж + (аж2 + Ьх + 2)у« + 6т/ = 0.
Частное решение: г/о = а + —.
ж
77. ж?/"ж + (аж2 + Ьж + с)у« + Bаж + Ь)у = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение первого порядка: ху'х + (ах2 + Ъх + с—1)у = С.
78. ху"х + {ах2 + Ъх + с)у'х + (с - 1)(аж + Ъ)у = 0.
Частное решение: уо = ж1-с.
79. ж^/L + {ах2 + Ъх + с)у'х + {Ах2 + Вж + С)у = 0.
1°. Пусть А = ак, В = к(Ь — к), С = ск, где к — любое число.
Частное решение: г/о = e~fca\
2°. Пусть А = а(Ъ + к),В = а(с+1) -к(Ь + к),С = -ск.
Частное решение: у о = ехр(— ^ах + кх).
3°. Пусть А = а(Ъ + ife), В = 2а - Ък - к2, С = Ъ(с - 1) + &(с - 2).
Частное решение: г/о = хх~с ехр(— \ах2 + кх).
4°. Пусть А = -ак, В = а(с - 1) - jfe(b + jfe), С = Ъ(с - 1) + &(с - 2).
Частное решение: уо = ж1~се/гж.
80. xy'L + («ж2 + 6ж + 2)^ + {сх2 + dx + Ъ)у = 0.
Замена и = ху приводит к уравнению вида 2.1.2.103: u'xX-\-(ax-\-h)ux-\-(cx-\-d — a)u = 0.
81. ху"х + {ах3 + 6)t^ + аF - 1)х2у = 0.
Частное решение: уо = ж1" .
82. жз/L + ж(аж2 + Ъ)у'х + (Заж2 + 6)ty = 0.
Частное решение: у о = жехр(—-|-аж3 — 6ж).
83. жз/L + (аж3 + Ьж2 + 2)у'х + бж?/ = 0.
Частное решение: уо = а + —.
84. Ж1ужж + {abx3 + 6ж2 + аж — 1)?/^ + a2bx3y = 0.
Частное решение: гуо = (аж + 1)е~ах.
85. жз/L + (аж3 + Ьж2 + сх + d)?/L + (d - 1)(аж2 + 6ж + c)ty = 0.
Частное решение: уо = хх~ .
86. жг/L + ахпу'х + (абж71 - аж71 - 62ж + 26)ty = 0.
Частное решение: уо = хе~Ъх.
87. хухх + {ахп + 2)ух -\- ахп у = 0.
Частное решение: уо = ж.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 165
88. хухх + (ж71 + 1 - п)у'х + bx2rb~xy = 0.
1°. При Ъ ф \ решение имеет вид
П / V П
2
где /3i и /З2 — корни квадратного уравнения (З2 -\- C -\- b = 0.
2°. При Ъ = -|- решение имеет вид
89. ж?/"ж + (ахп + Ь)^ + апхп-1у = 0.
1-& / ахп \
Частное решение: уо = х ехр ( ).
90. xy'L + (ахп + Ь)у'я + а{Ь - ^х^у = 0.
Частное решение: уо = ж1" .
91. Ж2/1 + (ахп + b)t? + а(Ь + п - l)^71-1?/ = 0.
тт ( ахП \
Частное решение: уо = ехр .
V п /
92. ж^ж + (ажп + Ъ)у'х + с(ахп — сх + 6)т/ = 0.
Частное решение: ?/о = е~сж.
93. xy'L + (абж71 + Ь - Зп + 1J/« + а2п(Ь - гг)х2гг-ху = 0.
Частное решение: уо = (ахп + 1) ехр(—ажп).
94. алС + (ахп + Ь)»; + (еж2"-1 + Ли"-1)» = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.141 при 7 = 0.
95. Ж2/1 + (ажп + Ьхп-г + 2)yL + Ьхп-2у = 0.
Частное решение: у0 = а -\ .
х
96. хухх + (ахп + bx)yfx + (abxn + апж71 — 6)ty = 0.
Частное решение: уо = х ехр ( ).
V п /
97. жт/"ж + (abxn + Ьхп~1 -\- ах — 1)у'х + a2bxny = 0.
Частное решение: г/о = (аж + 1)е~ах.
98. ж?/"ж + (ажп + Ьж™ + с)ух + (с - 1)(ажтг + bxrn~1)y = 0.
Частное решение: г/о = ж1-с.
99. хухх + (а6жтг+тгг + апхп + бж7" + 1 - 2n)ty^ + a2hnx2ri+rn-1y = 0.
Частное решение: г/о = (ажп + 1) ехр(—ажп).
100. (ж + а)ухх + Fж + c)ty^, + by = 0.
/ fk + c-1 \
Частное решение: гуо = ехр ( — / ах ).
V J х + а /
101. (сцж + ао)ухх + F1Ж + &oJ/L — m6ity = 0.
При т = 1, 2, 3, ... частным решением этого уравнения является полином степени т,
который определяется формулой
\~^ { 1 "\ Г тт — т— 1 г/ , \П2 , т r^ii^ "г
УО = 7 I ) Ж ./Ж й1Ж + Cln j-b' Н~ С^О-Ь' Г Ж ,
/е=0 :
где D = —, Ixu = при v ф — 1.
сЬ г/ + 1
166
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 14
Решения уравнения 2.1.2.103 при различных значениях определяющих параметров
Решение:?/ ehxz(?), где f —
А
Условия
а2^0,
а2 =0,
а2 фО,
2 л
а^ = 4ада2
а2 = а-L = 0,
h
D-a1
2a2
a0
ax
fti
2a2
h
2b2
A
a2
А(Л)
1
a2
1
/x
a2
2b2h + b1
h
a2
±b0b2-bj
4ao62
z
J(a,b;O
J{a,\;kt?)
Параметры
a = B(h)/A(h),
b = (a2bi — a-j_ 62H*2
а = В{Ь)Ц2а1),
k = -aj{2b2)
1 2b9h + bi
2 2a2
C = 2y/B(h)
2/О0Ч1/2
3 V 62 /
Обозначения: D2 = af—4a0a2, A(h) = 2a2h-\-a1, B(h) = b2h2-\-b1h-\-b0
102. (ox + bJ/L + 5(сж + cfK/L - s2[(a + c)x + 6 + cfly = 0.
Частное решение: г/о = esx.
103. (а2ж + Ь2)у"х + («1» + &iJ/L + («ож + 60)l/ = 0.
Пусть 3{а, Ъ] х) — любое решение вырожденного гипергеометрического уравнения
хУхх + (^ — ж)г/ж — аг/ = 0 (см. 2.1.2.65), a Z^(x) —любое решение уравнения Бесселя
я2Ухх + хУх + (^2 ~~ 1/2)у = 0 (см- 2.1.2.121). Результаты решения исходного уравнения
приведены в итоговой табл. 14.
Отметим, что при а2 = —1, Ь2 = 1, bi = ao = 0 решениями исходного уравнения
являются полиномы Чебышева Тп(х) и Un(x):
n [A - х2)-
при ai = —1, bo = n 5
Un{x) = J^ ^-?>n [A - x2)n+*l при ai = -3, 6o = n(n + 2),
2П (т)гг + 1 V 1 - Ж2 L J
где D = —, (A)n = A(A + 1)... (A + n — 1).
104. (ж + X)y'L + (ажп + бж^ + c)y'x + (an/ + Ьгих™'1^ = О.
+ c-
f f axn + 6жт -f
Частное решение: уо = exp I — /
V J x + Л
- с/ж
105. x2y"x + aty = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.118. Замена х = еь приводит к уравнению с постоянными
коэффициентами: y't't — у[ + ау = 0.
106. х2у"х + (ож + Ъ)у = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.127.
107. ж2^ж + [а2х2 - п(п + l)]ty = 0, п = 0, 1, 2, ...
n+i / з глчп / Ci cosax + C2 sin ax \ d
Решение: ух ^ = (х D) [ —± —-^ , где D = —.
V x2n~i у
108. х7
- [а2х2
п(п + 1)]у = 0, п = 0, 1, 2, ...
Решение: 2/жп+1 = O3?>)n /f^if^ + ^f_!!.y где D = —
2.1. Линейные уравнения второго порядка 167
109. х2ухх - (а2х2 + 2аЪх + Ь2 - Ъ)у = 0.
Частное решение: г/о = хъеах.
ПО. ж2?/"ж + (аж2 + Ьх + с)?/ = 0.
Замена г/ = жлгг, где Л — корень квадратного уравнения Л2 — Л + с = 0, приводит к
уравнению вида 2.1.2.103: хихх + 2Хи'х + (ах + Ъ)и = 0.
При a = —-^,b = k,c=^- — т2 исходное уравнение называют уравнением Уиттекера.
111. х2ухх — (аж3 + -?в)у = 0.
Частное решение: г/о = ж~1/4 expd-y^^3^).
112. ж2^ж - [а2ж4 + аBЪ - 1)ж2 + Ь{Ь + l)]ty = 0.
Частное решение: уо = х~ ехр(— уаж2).
113. х2ухх + (аж71 + 6)ty = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.127.
114. ж2^ж - [а2ж2тг + аB6 + п - 1)жтг + Ъ(Ъ - 1)]у = 0.
тт ъ f а п\
Частное решение: уо = х ехр( —х ).
115. х2ухх + (аж2тг + бж71 + c)ty = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.141.
116. ж2?/,' + (ах3п + 6ж2тг Н ¦ )у = 0.
те—1
Преобразование ? = ажп + b, w = ух 2 приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
// . / \ — 2 ? Г\
117. х2у':х + [ах2п(Ь
= 0-
те-1
Преобразование ? = 6жп + с, ги = гуж 2 приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
118. ж2^ш + аху'х + Ъу = О.
Уравнение Эйлера.
Решение:
{\х\^-(Ci\x\» + С2|жГ^) при A - аJ > 46,
\х\^(Ci + С2\п\х\) при A-аJ = 46,
1 —о
|ж| 2 [Cisin(//In|aj|) + C2cos(//In|a;|)] при A - аJ < 46,
где //=||A-аJ-46|1/2.
119. x2y'L + я53/« + [х2 - (n + iJ ]?/ = 0, п = 0, 1, 2, ...
Частный случай уравнения 2.1.2.121.
Решение: j/ = хп^ ' — -— (Ci + С2 1 .
l\ х ах / \ х хул
120. x2y'L + ху'т - [х2 + (п + iJ ]?/ = 0, п = 0, 1, 2, ...
Частный случай уравнения 2.1.2.122.
Решение: р
168 Уравнения второго порядка
121. x2y'L + ху'т + (х2 -и2)у = О.
Уравнение Бесселя.
1°. Пусть v — любое нецелое число. Тогда общее решение имеет вид
у = С1Л(х) + С2?„(х), A)
где Jv(x) и Yv(x) — функции Бесселя первого и второго рода:
Решение A) обозначают у = Zv(x) и называют цилиндрической функцией.
Для цилиндрических функций справедливы следующие соотношения:
±\xvZv(x)\ = xvZv-x(x\ j^[x-vZu(x)] = -x~vZu+1(x).
Функции Ju и Yu могут быть представлены в виде определенных интегралов (при
х > 0):
тгЛ (ж) = / cos(x sin 6> — i/^) d6 — sin tti/ / exp(—x sh t — i/t) <it,
Jo Jo
7TYu(x)= sm(x sin 6-v6)d6- / (e"? + e""? cosiny)e-xsht dt.
Jo Jo
2°. При v = n+ -|-, где n = 0, 1, 2, ..., функции Бесселя выражаются через элементарные
функции:
х dx J х
3°. Пусть I/ = n — любое целое число. Тогда справедливы равенства:
J.n{x) = (-l)nJn(x), Y-n(x) = (-l)nYn{x).
Общее решение описывается формулой A), где функция Jn(x) получается подстановкой
значения v = п в формулу B), а функция Yn(x) находится в результате предельного
перехода при v -Л п и для неотрицательных п имеет вид
/c!(n + /c)!
71—1
где фA) = —7, ф(п) = —7 + 2 &1, 7 = 0,5772... — постоянная Эйлера,
ф(х) = [1пГ(ж)]/ж —логарифмическая производная гамма-функции .
Для целочисленных значений п^Ои больших х имеем
n+i(x) = (-l)n+1(cosx-sinx) + O(x~2).
Функция Jn(x) может быть представлена в виде определенного интеграла
1 [п
Jn(x) = — / cos(x sin t — nt)dt; n = 0,1,2,...
7Г Jo
Функции Бесселя более подробно описаны в разд. П.2.6. См. также книги Г. Бейтмена,
А. Эрдейи A974, т. 2) и М. Абрамовица, И. Стиган A979).
2.1. Линейные уравнения второго порядка 169
122. x2y'L + ху'т - (х2 +и2)у = О.
Модифицированное уравнение Бесселя. Заменой х = гх (г2 = — 1) оно приводится к
уравнению Бесселя 2.1.2.121.
Решение:
y = C1Iv{x) + C2Kv{x),
где 1и(х) и Ки(х) —модифицированные функции Бесселя первого и второго рода:
Имеется связь с функцией Бесселя:
Модифицированные функции Бесселя при v = п + у, где п = 0, 1, 2,..., можно
определить с помощью формул, указанных в 2.1.2.121.
Пусть v = п — целое неотрицательное число. Тогда
2 ^
m=0
n+2rn ф(п + m
V 2 / m!(n
m=0
гдеп = 0, 1, 2, ...; ip(z)—логарифмическая производная гамма-функции (см. 2.1.2.121);
при п = 0 первая сумма опускается.
При х —>- +оо главные члены асимптотических разложений имеют вид
Iu(x) ~ , Kv(x) ~
/27гж
; е
/2ж
Модифицированные функции Бесселя более подробно описаны в разд. П.2.7. См. так-
также книги Г. Бейтмена, А. Эрдейи A974, т. 2) и М. Абрамовица, И. Стиган A979).
123. х2у':х + 2Ж2/; - (а2х2 + 2)у = 0.
Решение: х2у = Ci(ax - 1)еах + С2(ах + 1)е~ах.
124. ж2^ж - 2аж^ + [Ъ2х2 + а(а + 1)]у = 0.
^а + c^x]a+i при fc = Q
125. х2у"х - 2аху'х + [-Ъ2х2 + а(а + 1)]?/ = 0.
Решение- у - { М^^ + С^Ъх) ПРИ Ъ Ф °'
Решение, у _ | Q^a + С2|ж|а+1 при ft = Q
126. ж27/^ж + \ху'х + (аж2 + 6ж + с)т/ = 0.
Замена у = хки, где А; — корень уравнения к2 + (Л — 1)?; + с = 0, приводит к уравнению
вида 2.1.2.103: хи"х + (Л + 2&)< + (ах + Ь)м = 0.
127. x2y'L + «ж^ + (Ъхп + с)у = 0, пф 0.
Случай Ъ = 0 соответствует уравнению Эйлера 2.1.2.118.
При 6/0 решение имеет вид
где ^ = ^- д/A — аJ — 4с; Л (г) и У^, (г) — функции Бесселя первого и второго рода.
128. х2у"х + аж^ + хп(Ъхп + с)?/ = 0.
Замена t;=xn приводит к уравнению вида 2.1.2.103: п2^у'^+п(п— 1+а)г/^ + (Ь?+с)г/ =
170 Уравнения второго порядка
129. х2ухх + (ах + Ъ)ух + су = 0.
Преобразование ж = ?~г, у = ^ke^w, где А; — корень квадратного уравнения
к2 + A — а)к + с = 0, приводит к уравнению вида 2.1.2.103:
^w'lt + [B - Ь)? + 2А; + 2 - а]Ц + [A - b)f + 2А; + 2 - а - 6A;]w = 0.
130. х2ухх + аж22/1 + (Ъх2 + еж + с?)?/ = 0.
Замена у = гбехр(— \ах) приводит к уравнению вида 2.1.2.110:
131. х2ухх + (аж2 + Ъ)ух + с[(а - с)ж2 + Ъ]у = 0.
Частное решение: уо = е~сж.
132. х2ухх + («ж2 + 6ж)^ - by = 0.
Частное решение: г/о = ж~&е~аж.
133. х2у"х + (аж2 + bx)yfx + [fe(a — Аз)ж2 + (an + 6fc — 2кп)х + ггF — п — 1)]у = 0.
Частное решение: уо = х~пе~ х.
134. а2х2ухх + (сцж2 + Ъгх)у'х + (а0ж2 + 60ж + со)у = 0.
Замена г/ = ж^г^, где А; — корень уравнения агА;2 + (bi — а2)А; + со = 0, приводит к
уравнению вида 2.1.2.103: a2xw'xx + (а\х + 2агА; + b\)w'x + (аож + aiA; + bo)w = 0.
135. ж2^'ж + [аж2 + (аЪ - 1)ж + Ь]ух + а26жт/ = 0.
Частное решение: г/о = (аж + 1)е~ах.
136. ж2^ж - 2ж(ж2 - а)^ + {2пж2 + [(-1)п - 1]а}у = 0.
При п = 0, 1, 2, ... частными решениями являются полиномы: уо = Рп(х), где Ро = 1,
Pi = ж, Р2 = 2ж2 — 1 — 2а, Рз = 2ж3 — C + 2а)ж, ... Полиномы содержат только четные
степени х для четных п и только нечетные степени х для нечетных п.
137. ж2^ж + ж(аж2 + Ъх + с)^ + (Аж3 + Вж2 + Сж + D)ty = 0.
1°. Замена у = xkw, где А; — корень квадратного уравнения к2 + (с — 1)& + D = О,
приводит к уравнению вида 2.1.2.79 (см. также 2.1.2.75-2.1.2.78):
жгУжж + (а^2 + Ъх + с + 2А;)^4 + [Аж2 + (Б + аА;)ж + С + 6&]г/ = 0.
2°. Пусть s и г — произвольные параметры.
При А = ar, В = as + br — г2, С = bs + сг — 2rs, D = s(c — s — 1) частное решение
имеет вид г/о = x~se~rx
При А = а(Ь - г), Б = а(с - s + 1) + r(b - г), С = bs + сг - 2rs, D = s(c - s - 1)
частное решение имеет вид г/о = ж~вехр(— -|-аж2 — гж).
138. ж2^'ж + ажпу1 - (абж71 + аеж71 + 62ж2 + 2Ъсх + с2 - с)у = 0.
Частное решение: уо = хсеЬх.
139. ж2^ж + ажп2/1 + (а6жтг+2тгг - Ь2ж4тгг+2 + атж71 - га2 - m)ty = 0.
Частное решение: у0 = х~т exp f ж2т+1 J.
140. ж2^ж + х(ахп + Ъ)у'х + Ъ(ахп - 1)у = 0.
Частное решение: уо = х~ .
141. ж21у1 + х(ахп + b)yi + (аж2тг + /Зж™ + 7)l/ = 0.
Преобразование ? = жп, ги = 2/^~fc? ГДе ^ — корень квадратного уравнения
п2А;2 + п(Ь —1)А; + 7 = 0, приводит к уравнению вида 2.1.2.103:
2 2 + п(п - 1 + b)]w't + (a? + kna + ^)гу = 0.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 171
142. х2ухх + хBахп + Ъ)ух + [а2х2п + а(Ъ + п - 1)хп + схх2гп + 0хт + Цу = 0.
Замена w = ?/ехр(—XJ приводит к уравнению вида 2.1.2.141: x2wxx + 6жи4 +
+ (аж2т + (Зхт + 7)гу = 0.
143. ж2^ж + (ажтг+2 + 6ж2 + с)у'х + (апжтг+1 + асж71 + 6c)ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр( жп+1 — Ъх ).
V п + 1 /
144. A - х2)ухх + п(п - 1)у = 0, п = 0, 1, 2, ...
Это уравнение встречается в гидродинамике при описании осесимметричных медленных
(стоксовых) течений.
При п ^ 2 решение имеет вид
где Зп{х) и %п(х) — функции Гегенбауэра, которые выражаются через функции Лежан-
Лежандра первого и второго рода (см. 2.1.2.147):
Т < \- Рп-2(Х)-Рп№ gj < \_ Qn-2(X)-Qn№
Jn\X) — , ПпуХ) — .
2п — 1 2п — 1
При п = 0 и п = 1 решение имеет вид г/ = Ci + C2X.
145. (ж2 - оа)»;'и + ьу; - ev = о.
2а+Ъ 2а-Ъ
Частное решение: уо = Dх — Ь)\х + а\ 2а \х — а\ 2а .
146. (ж2 - 1J/L + ху'х + ау = 0.
1°. При а = к > 0 решение имеет вид
_ Г Cicos(?;Arcli|x|) + C2 sin(A; Arch |ж|) при |ж| > 1,
\ С\ exp(A;arccosx) + С2 ехр(—kdnccosx) при |ж| < 1,
где Arch х = In (x + л/ж2 — 1).
2°. При а = — к2 < 0 решение имеет вид
' С\ ехр(& Arch |ж|) + G2 ехр(—к Arch |ж|) при |ж| > 1,
\ С\ cos (A; arccos х) + С2 sin (A; arccos x) при |ж| < 1.
3°. При а = —п2, где п = 0, 1, 2, ..., частное решение выражается через полиномы
Чебышева Тп{х) = 21~п cos(narccos x).
147. A - ж2)^ж - 2хух + п(п + l)ty = 0, п = 0, 1, 2, ...
Уравнение Лежандра.
Решение
где полиномы Лежандра Рп(х) и функции Лежандра второго рода Qn(x) находятся по
формулам
Рп(х) = ^Г^(*2 " 1)". Qn(x) = 1рп(х)Ь j±| - ^ ^-Pm-l(x)Pn-m(x).
m = l
Для определения функций Рп = Рте(ж) удобно использовать рекуррентные формулы:
Первые три функции Qn = Qn(x) имеют вид
Qo(x) = - In , QiO) = — In 1, Q2(x) = In —x.
AY — X AY — X 4t 1 — X A
Все нули многочлена Рп(х) действительны и лежат в интервале |ж| < 1. Функ-
Функции Рп(х) образуют на отрезке — 1 ^ х ^ 1 ортогональную систему, причем
@ при пф т,
Pn(x)Pm(x)dx= I 2
v J v J 1 при п = т.
I 2n + l
172 Уравнения второго порядка
148. A - x2)y'L - ixyL + v{v + 1)у = О.
Уравнение Лежандра, v — любое. Случай v = п, где п — целое число, см. в 2.1.2.147.
Замена z = х2 приводит к гипергеометрическому уравнению. Поэтому при |ж| < 1
решение можно записать в виде
где F(a, /3,7; х) —гипергеометрический ряд (см. 2.1.2.158).
Полиномы и уравнение Лежандра подробно рассмотрены в книгах Э. Т. Уиттекера,
Дж. Н. Ватсона A963), Г. Бейтмена, А. Эрдейи A973, т. 1), Э. Камке A976), М. Абрамо-
вица, И. Стиган A979). См. также разд. П.2.10-4.
149. (ж2 - 1)ухх + 2(п + 1)хух - (i/ + п + l)(i/ -п)у = О, п = 1, 2, 3, ...
dn
Решение: у = ——уи(х), где уи —общее решение уравнения Лежандра 2.1.2.148.
150. (ж2 - 1)ухх - 2(п - 1)хух - (и - п + l)(i/ + п)у = О, п = 1, 2, 3, ...
Решение: ?/ = |ж2 — 1|п——yv(x), где г/^ —общее решение уравнения Лежандра
2.1.2.148.
151. (аж2 + Ъ)ухх + аж^ + су = 0.
Замена z = — приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
J у ах2 + Ъ
152. (ж2 + а)ухх + 2Ъхух + 2F — 1)у = 0.
Частное решение: г/о = (ж2 + аI.
153. (аж2 + Ъ)ухх + Bгг + 1)аху'х + cty = 0, п = 1, 2, 3, ...
Это уравнение получено путем n-кратного дифференцирования уравнения вида 2.1.2.151:
(аж2 + 6)гбжЖ + ажг4 + (с — ап2)и = 0.
Решение: v = .
у dxn
154. A — х2)ухх — хух + Bаж2 + Ъ)у = 0.
Это уравнение представляет собой алгебраическую форму уравнения Матье. Замена
х = cos z приводит к уравнению Матье 2.1.6.4: y'z'z + (а + Ъ + а cos 22)г/ = 0.
155. A — х2)ухх + (аж + Ъ)у'х + су = 0.
Замена 2z = 1 + ж приводит к гипергеометрическому уравнению 2.1.2.158:
зA — z)y"zz + [аз + \(Ь — a)]y'z + су = 0.
При а = — 2т — 3, 6 = 0, с = Л решениями уравнения являются функции Гегенбауэра.
В другом частном случае — при а = —а — C — 2, b = C — а, с = п(п + а + C + 1) —
решениями уравнения являются полиномы Якоби
т=0
где Cfr —биномиальные коэффициенты (см. разд. П.2.1-2).
156. (аж2 + Ь)ухх + (еж2 + d)yx + Л[(с - аЛ)ж2 + d - 6A]ty = 0.
Частное решение: г/о = е~Лж.
157. (аж2 + 6)tyL + [Л(с + а)ж2 + (с - а)ж + 26Л]^ + Л2(еж2 + Ъ)у = 0.
Частное решение: уо = (Лж + 1)е~ ж.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 173
158. ж(ж - 1)ухх + [(а + /3 + 1)х - -у]у'х + сх/Зу = 0.
Гипергеометрическое уравнение Гаусса. При 7/0? — 1? —2, —3, ... одно из решений
представляется гипергеометрическим рядом:
F(a,/3,7; x) = l + E ^j*^* ^Г' (")* =<*(<* + 1) •••(<* + * - 1),
который заведомо сходится при |ж| < 1.
Это решение при j > C > 0 можно записать в виде определенного интеграла
где Г(/3)—гамма-функция.
Если 7 — нецелое число, то общее решение гипергеометрического уравнения имеет
вид
у = CiF(a, /3,7; ж) + C2x1F(a - 7 + 1, /3 - 7 + 1, 2 - 7; х).
В вырожденных случаях при j = 0, — 1, —2, —3, ... одно из решений гипергеоме-
гипергеометрического уравнения соответствует значениям С\ = 0, С2 = 1, а при 7 = 1, 2, ... —
значениям Ci = 1, С2 = 0. В этих случаях общее решение можно построить с помощью
формулы, приведенной в разд. 2.1.1.
В табл. 15 указаны некоторые частные случаи, когда F выражается через элементар-
элементарные функции. В табл. 16 приведены общие решения гипергеометрического уравнения при
некоторых значениях определяющих параметров.
Функция F обладает следующими свойствами:
F(a, А 7; х) = A - Xya^F(j - a, 7 - & 75
F(a^,j;x) = (l-xyaF(a, 7-А 75 ^-),
dxn
3,7; ж) = ()"^)" F(a + n, /3 + п, 7
G)
Гипергеометрические функции подробно рассмотрены в книгах Г. Бейтмена, А. Эр-
дейи A973, т. 1), М. Абрамовица, И. Стиган A979). См. также разд. П.2.9.
159. х(х + а)у"х + (Ьх + c)yfx -\- dy = 0.
Замена х = — az приводит к гипергеометрическому уравнению 2.1.2.158: z(\ — z)y"z +
+ [(с/а) - bz]y'z -dy = 0.
160. 2х(х - 1)у"х + Bх - 1)ух + {ах + Ъ)у = 0.
Замена х = cos2 ? приводит к уравнению Матье 2.1.6.4: г/^ — (а + 26 + a cos 2^)y = 0.
161. (ж2 + 2ах + Ь)?/"ж + (ж + а)ух - гп2у = 0.
Решение: y = Ci(x + a+ л/х2 + 2аж + b)m + С2(х + а+ л/х2 + 2аж + b)~m.
162. (аж2 + 6ж + cJ/L + (dx + fc)^ + (d - 2a)y = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение первого порядка: (ах2 -\- Ъх -\- с)у'х -\-
+ [(а1 - 2а)х + к-Ъ]у = С.
163. (аж2 + Ьх + с)^ж + (Азж + d)y'x — ку = 0.
Частное решение: ?/о = кх + с/.
164. (аж2 + 2Ъх + cJ/L + (ах + Ь)^ + d?/ = 0.
Замена ? = / —^^^^^^^^ приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
J у ах2 + 2Ъх + с
i& + dy = 0.
174
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 15
Некоторые частные случаи, когда гипергеометрическая
функция F(a,P,j'jZ) выражается через элементарные функции
7
(-n)k((*)k x"
ho
(-n)fc(«fc
, где п = 1,2,3,...
2жA-2а)
l-a
2а-1
cosBax)
1 а
sin[Ba-l)a:]
(a-l)smBx)
2-а
sin[Ba-2)x]
(a — 1) sinBsc)
1-а
cos[Ba —
tg2x
cos2a xcosBax)
а + 1
а+\
2а + 1
2а
— arcsm x
X
— arctg x
X
In
га+1
n+m+1
П+Ш+/ + 2
n\ II (n-\-m)\ (m-
ln(l -
F = —
dxn+
, n,m,L =
A-х)
l
dxl
2.1. Линейные уравнения второго порядка
175
ТАБЛИЦА 16
Общие решения гипергеометрического уравнения при некоторых значениях определяющих параметров
а
0
а
а
а
1
а
а
13
а--*-
«+*
Р
7
7
2a + l
1
2
to|co
7
a + 1
Решение: у = г/(ж)
С* J-Г* / ^ ~7|«. 1
°1 +°2 / Ж |Ж 1
C1(l + v^^)-2o+C2x-ita(l + v^^Ja
-^[cl(i + v^)—+c2(i-^)—]
k-H-^(c1+c2/
M-(c1+c,/*
х-
х-ЦЭ-^)
165. (ax2 + 26ж + c)y"x + 3(аж + 6)^ + dy = 0.
Замена гб = 2
+ (аж + Ъ)их
2 + 26ж + c| приводит к уравнению вида 2.1.2.164: (ах2+2Ьх+с)и'х
- a)u = 0.
166. (а2ж2 + 62ж + с2)у"х + (&1Ж + сг)у'х + сО2/ = 0.
Пусть Ai и Аг —корни квадратного уравнения агА2 + 62 А + С2 = 0.
г замена
z = —
А А
А2 -
приводит к гипергеометрическому уравнению
- z)y"zz - (Ах + В)У; - Су = О,
1°. При Ai
2.1.2.158:
а2 а2(^2 ~~ ^i) а2
2°. При Ai = A2 = А преобразование ж = А + ^~1,г/ = ?fci6, где А; — корень квадратного
уравнения а2&2 + (аг — bi)& + со = 0, приводит к уравнению вида 2.1.2.103:
'U ^ Abi)w = 0.
+ С1
3°. Пусть со = —а2п(п — 1) — bin, где п — натуральное число. Тогда существует частное
м
решение полиномиального вида: г/о (ж) = ^ агпХш, где М ^ п.
т = 1
167. (аж2 + 6ж + с)^ш - (ж2 - к2)ух + (ж + fcJ/ = 0.
Частное решение: уо = х — к.
168. (аж2 + Ъх + с)?/"ж + (ж3 + fe3)^ - (ж2 - кх + ^2)т/ = 0.
Частное решение: г/о = х + А;.
169. х3у"х + (аж + б)?/ = 0.
Частный случай уравнения 2.1.2.127 при п = — 1.
170. ж3^ж + (аж2 + 6)tyL + еж?/ = 0.
Замена х = 1/г приводит к уравнению вида 2.1.2.134: z2y"z + ^B — а — bz)yz + су = 0.
176
Уравнения второго порядка
171.
172.
173.
174.
175.
176.
177.
178.
179.
х3ухх + (ах2 + Ъх)у'х + Ъу = О.
Частное решение: уо = а — 2 + —.
х
х3ухх + (ах2 + Ъх)ух + су = 0.
Замена х = 1/z приводит к уравнению вида 2.1.2.103: zy"z + B — а — bz)y'z + су = 0.
ж3?/"ж + (аж2 + Ьж)^ + (сх + d)?/ = 0.
Замена у = xfct6, где к = —d/b, приводит к уравнению вида 2.1.2.129:
ж2?4'ж + [(а + 2к)х + Ь]их + [А;(а + А; - 1) + с]и = 0.
При с = 0 и d = Ъ(а — 2) частное решение имеет вид уо = еъ^х.
ж3^ж + (аж3 - ж2 + абж + Ь)у'х + а26жт/ = 0.
Частное решение: у о = (ах + 1)е~ах.
ж3^'ж + ж(ажтг + 6)^ - (ажп - абж71 + Ь)у = 0.
Частное решение: уо = х exp f — j.
ж(аж2 + Ъ)у"х + 2(аж2 + Ъ)ух - 2аху = 0.
Частное решение: уо = ах + —.
ж
ж(ж2 + aJ/L + (Ьж2 + с)ух + sxy = 0.
Замена а^ = —х2 приводит к гипергеометрическому уравнению 2.1.2.158:
z(\ - z)y'L + 1 [i + .1 - A + b)z] y'z - \sy = 0.
ж2(аж + Ь)у^х + [еж2 + Bb + аЛ)ж + ЪХ]у'х + Л(с - 2а)у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — ).
V х /
ж2(аж + 6)^'ж - 2ж(аж + 2Ъ)у'х + 2(аж + 36)?/ = 0.
ClX2 + C2x3
Решение: у =
ах + Ь
180.
С2\х
т + 1
181.
Решение: у =
ж2(ж
—
аж + 6
при т ф п — 1,
при т = п — 1.
(box
= 0.
Замена у = xfci6, где к — корень квадратного уравнения
приводит к уравнению вида 2.1.2.159:
182.
183.
= 0.
х(х + а2)^ж + [BА; + Ь\)х + 2А;а2 + а\]их + [А;2
(аж3 + Ьж2 + сх)ухх + (аж2 + /Зх + 2с)^ + (/3 -
Частное решение: уо = 2а — а + .
(аж3 + Ьж2 + сх)ухх + (аж2 + /Зх + 2с)^ - (аж + 26 - /3)?/ = 0
+ к(а\ — аг) + ао = О,
- 1) + 60]^ = 0.
тт , о/л ^ , Л л
Частное решение: г/о = «ж + 2(/3 — о) + —, где Л =
х
2.1. Линейные уравнения второго порядка 177
184. (ах3 + Ьх2 + сх)ухх + [~2ах2 - (Ь + 1)ж + k]y'x + 2(аж + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = (а& + Ь — 1)ж2 + (с + &)Bж — к).
185. (аж3 + 6ж2 + сх)ухх + (пж2 + гаж + fc)y?, + (fc — 1) [(п — а&)ж + т — Ък]у = 0.
Частное решение: г/о = ж1" .
186. (аж3 + 6ж2 + сж)?/"ж + [(т - а)ж2 + Bсга - 1)ж - с]у'х + (-2тж + l)ty = 0.
Частное решение: г/о = (а + ш)ж2 + BЪ + 4cm — 1)(ж + с).
187. (аж3 + Ьж2 + сх)у"х + (пж2 + тх + &Ы + [-2(а + п)х + l]ty = 0.
При выполнении условия
2Bа + п)(с + к) + BЬ + 2т + 1)[т + 1 + 2к(а + п)] = О
частное решение имеет вид г/о = Bа + п)ж2 + B6 + 2т + 1)(х — к).
188. (аж3 + ж2 + Ь)ухх + а2ж(ж2 - Ъ)у'х - а3Ъху = 0.
Частное решение: уо = (аж + 2)е~ах.
189. 2ж(аж2 + Ьх + с)?/"ж + (аж2 - с)ух + Лж2?/ = 0.
Г / ж \1/2
Замена ^ = / ( —^ ) с/ж приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
J \ ах2 + Ьх + с /
тами: 2гу^ + Лгу = 0.
190. ж(аж2 + Ьх + 1)?/L + («ж2 + /Зх + тJ/ш + (пж + m)ty = 0.
Замена у = ж1^ приводит к уравнению аналогичного вида:
ж(аж2 + Ьх + 1)г^ж + [(а + 2а - 2а7)ж2 + (/3 + 2Ъ - 2bj)x + 2 - j]w'x +
+ {[n + A - 7)(а - «7)]ж + m + A - 7)(^ ~ ^7)}^ = 0.
191. ж(ж - 1)(ж - а)ухх + {(а + /3 + 1)ж2 -
- [а + /3 + 1 + аG + <*) - <*]ж + а7}^ + («/Зж - g)ty = 0.
Уравнение Гойна (Неип).
При |а| ^ 1 и 7 ^ 0, —1, —2, —3, ... решение может быть представлено в виде ряда
оо
F(a, g; a, /3,7, 5, х) = ^ cnxn,
гг=О
коэффициенты которого определяются рекуррентными формулами
со = 1, a7Ci = q,
а(п+ l)G + n)cn+i = [аG + ^ + п- 1) + а + C - S + п + — ]псп -
- [(п - 1)(п - 2) + (п - 1)(а + /3 + 1) + а^]сп-ь
Этот ряд заведомо сходится при |ж| ^ 1.
Если 7 — нецелое число, то общее решение уравнения Гойна можно представить в
следующем виде:
у = CiF(a, g; a, /3,7, <J, ж) + С2|x|1F(a, gi; а - 7 + 1, /3 - 7 + 1, 2 - 7, ^, ж),
где gi = g + (а - 7 + 1)(/^ - 7 + 1) - "? + Hi ~ 1)-
В табл. 17 указаны некоторые преобразования, сохраняющие вид уравнения Гойна.
(Если при некоторых значениях определяющих параметров хотя бы одно из приведенных
уравнений интегрируется в квадратурах, то и все другие уравнения при тех же параметрах
интегрируются в квадратурах.)
Об уравнении Гойна см. также книги:
1. S. Yu. Slavyanov, W. Lay, A. Seeger. Heun's Differential Equation. Oxford Univ. Press, 1955.
2. A. Ronveaux (Ed.) Heun's Differential Equations. Oxford Univ. Press, 1995.
12 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
178
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 17
Некоторые преобразования, сохраняющие вид уравнения Гойна
1*
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Новые переменные
i = x,w = y
? = 1 — ж, w = у
? = ж, w = жI7?/
ж
? = —, «; = ж
а
1
?=—,«; =
ж
Ж
ау
?=1 , ги = ?/
а
ж
? = —? w =
а
& ж- 1
ж
ж
ау
= \х\ау
t а(ж — 1)
s" ж(а-1) ' W~
t x
S -, 1 W
ж — 1
ж(а-1)
а(х - 1)
-- хау
Х~1\ау
\х-1ау
Обозначения: qx = q + (a —
qs = qa~
1
1
1
а
а
1
7
1 .
а
-
а
1
а
1
а
1
а
а
а
-
а
-
f
а
1
а
1
а
1
1
1
а
q
otP-
Qi
а
qs
q
q
q
q
q
q
q
!)(/^-0
а(а-7
Параметры преобразованного
-q
a -
a -
a -
' + 1)
a
a
-7 + 1
-7 + 1
a
a
a
-7 + 1
a
a
a
a
-aC +
-aa~1(
13-
p-
a -
a -
a -
a -
a -
a -
P
P
-7 +
-7 +
-7 +
P
C
b7-
-7 +
-7 +
-5 +
-5 +
-1)
1
1
1
1
1
1
1
1
a
a
<?2 =
aS.
уравнения
7
S
2-7
2-7
-C + 1
7
P - 7 -
-5 + 1
-C + 1
5
5
7
7
= qi+ a5(
6
7
S
-6 + 1
7
a+-s~+Y
a-0 + 1
a + /3 -7-
-S+l
a-P + 1
-S+1
1-7),
Эта строка соответствует исходному уравнению, остальные указывают переменные и параметры
преобразованного уравнения для w = ги(?)-
192. (ах3 + 6ж2 + еж + €?)^ш - (ж2 - Л2)^ + (х + Л)у = 0.
Частное решение: у0 = х — X.
193. 2(аж3 + Ъх2 + еж + d)^ + (Заж2 + 2Ъх + с)^ + \у = 0.
Замена ? = .
J у ax6 + bx2 + ex + d
тами: ly'L + Xy = 0.
приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
194. 2(аж3 + 6ж2 + еж + d)y"x + 3Cаж2 + 2Ьх + с)^ + (бах + 26 + Л)т/ = 0.
Это уравнение получается путем дифференцирования уравнения 2.1.2.193.
195. (ах3 + Ьж2 + еж + d)y"x + [аж2 + (а7 + /3)ж + 0ч]у'т - (схх + 0)у = 0.
Частное решение: у0 = х + j.
196. (аж3 + Ьж2 + еж + d)y"x + (ж3 + Л3)^ - (ж2 - Лж + \2)у = 0.
Частное решение: у0 = х + X.
197. 2ж(аж2 + Ьх + с)?/"ж + [аB - Аз)ж2 + 6A - к)х - ск]ух + \хк+гу = 0.
f xk
Замена ? = / ^^=
«У у ax2
2y'L + Xy = 0.
x^l2 dx
Ьх + с
приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
2.1. Линейные уравнения второго порядка 179
198. х4ухх + ау = 0.
Преобразование z = 1/ж, г*, = у/х приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами: u'z'z + аи = 0.
199. ж4?/"ж + (аж2 + Ьх + с)?/ = 0.
Преобразование г = 1/ж, г*, = г//ж приводит к уравнению вида 2.1.2.110: z2ufzz +
+ (cz2 +bz + a)u = 0.
200. х*ухх - (а + Ь)ж2^ + [(а + Ь)х + а6]т/ = 0.
Г С1же-а/ж + С2же-&/ж при а / 6,
Решение: |/ = < -а/х
t (С\х + С2)е а'ж при а = Ъ.
201. ж4^'ж + 2ж2(ж + а)ух + Ъу = 0.
Замена z = 1/ж приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: yzz — 2ay'z +
+ Ъу = 0.
202. ж4^'ж + ахпу'х - (аж71 + абж71 + Ъ2)у = 0.
Частное решение: уо = же~ 'ж.
Решение: у = С1|ж|т|ж — а\1~т + Сг|ж|1 ~^^|ж — а|т, где ??г — корень квадратного
уравнения m(m — 1)а2 = —Ъ.
204. ж2(ж — аJухх -\- by = еж2(ж — аJ.
Решение:
аBт - 1)
где ?тг — корень квадратного уравнения т(т — 1)а2 = —Ъ.
205. аж2(ж - 1Jухх + Fж2 + сх + <% = °-
Пусть р и g — корни квадратных уравнений
ар(р - 1) + d = 0, ag(g -l)+6 + c + d = 0.
Замена ?у = жр(ж — l)qw приводит к гипергеометрическому уравнению 2.1.2.158:
ах(х - l)w'lx + 2а[(р + q)x - p]w'x + Bapq -с- 2d)w = 0.
206. ж2(ж2 + а)ухх + (Ьж2 + с)хух + dy = 0.
Замена ^ = ж2 приводит к уравнению вида 2.1.2.181:
?(? )у^ ^[( 1)^ + а + с]^ + dy = 0.
207. (ж2 + 1Jухх +ау = 0.
Уравнение Халъма (Halm).
1°. Решение при а + 1 = (З2 > 0:
?у = у ж2 + 1 [Ci cos(/3 arctg ж) + С2 sin(/5 arctg ж)].
2°. Решение при а + 1 = -/З2 < 0:
у = л/х2 + 1 [Ci ch(/3 arctg x) + С2 sh(/3 arctg ж)].
3°. Решение при а = — 1:
у = л/ж2 + 1 (Ci + C2 arctg ж).
12*
180
Уравнения второго порядка
208. (х2 - Vfy'L +ay = 0.
1°. Решение при а — 1 = 4/32 > 0:
у = л/|ж2-1| [Ci cos f/3 In -^Ч) + C2sin(/31n
ж- 1
2°. Решение при а - 1 = -4/32 < 0:
ж- 1
ж- 1
-B/3 + 1)/2
)¦
3°. Решение при а = 1:
209.
Уравнение изгиба сжатого стержня с двойными стенками параболического сечения.
1°. Для верхнего знака (суженный стержень) решение имеет вид
у = ух2 + а2 (С\ cos u + C2 sin и), и = arctg ( — ).
а \ а /
2°. Для нижнего знака (стержень с выступами) решение имеет вид
у = у/а2 — х2 (С\ cos и + G2 sin и), гб =
210. (аж2 + bJ7/L + 2аж(аж2 + Ъ)у'х + су = 0.
х\ < а.
Замена
ах2 + b
приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
211. (х2 -
- 1)у'х - [i/(i/
= 0.
Здесь v — произвольный параметр, п — неотрицательное целое число. Частный случай
уравнения 2.1.2.212.
1°. При п = 0 это уравнение совпадает с уравнением Лежандра 2.1.2.148. Обозначим его
общее решение уи(х).
2°. При п = 1, 2, 3, ... общее решение исходного уравнения определяется формулой
212. A -
+ [v(u + 1)A - ж2) - M2]t/ = О.
Уравнение Лежандра, v и /i — произвольные параметры.
Преобразование х = 1 — 2?, ?/ = |ж2 — 1|м/2и> приводит к гипергеометрическому
уравнению 2.1.2.158:
?(? - 1)«& + (/х + 1)A - 2^L + {у ~ Ч){у +1* + IV = 0
с параметрами а = /i — г/, /3 = fi + г/ + 1, j = fi + 1.
В частности, исходное уравнение интегрируется в квадратурах при г/ = /i или
I/ = —/i — 1.
Более подробно о решениях уравнения Лежандра написано в разд. П.2.10. См. также
книги Г. Бейтмена, А. Эрдейи A973, т. 1) и М. Абрамовица, И. Стиган A979).
2.1. Линейные уравнения второго порядка
181
213. а(х2 - 1Jухх + Ъх(х2 - 1)у'х + (сх2 + dx + е)у = 0.
Преобразование
? = ±(х + 1), «; = |Ж + 1|-р|а;-1|-'г2/,
где параметры р и q определяются путем решения алгебраической системы второго
порядка
4aq(q - 1) + 2bq + с + d + e = 0, (р - g)[2a(p + q - 1) + 6] = с/,
приводит к гипергеометрическому уравнению 2.1.2.158 для w = w(?).
214. (аж2 + bJ2/L + Bаж + с)(аж2 + Ъ)у'х + ky = 0.
Замена ^ =
ах2 + b
приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
215. (аж2 + ЪJу"х + (аж2 + 6)(еж2 + d)y'x + 2Fс - ad)xy = 0.
еж2 + d
тт f [ сх2 +d , \
Частное решение: г/о = ехр — / — с/ж .
V J ах2 -\-Ъ /
216. (ж2 + afy'L + Ьж^ж2 + а)^ - (Ъх^1 + а)у = 0.
Частное решение: у о = ух2 + а.
217. (ж2 + аJухх + Ьж^ж2 + а)ух - т[6жтг+1 + (т - 1)ж2 + а]у = 0.
Частное решение: г/о = (ж2 + а)т/2.
218. (ж - аJ(ж - 6JtyL - cty = 0, афЪ.
Преобразование ? = In
х — b
,2
= (х — Ъ)г) приводит к уравнению с постоянными
коэффициентами: (а — ЬJ(щ^ — щ) — сц = 0. Поэтому решение исходного уравнения
имеет вид
где Л2 =4с(а-6)
/0.
\x-b\
= 0.
Пусть ki и &2 —корни квадратного уравнения (а — ЪJк2 + (а — Ь)(а + Ъ + \)к + // = 0.
1°. При к\ ф к2 решение имеет вид
х — а
219. (ж - аJ(ж - ЪJухх + (ж - а)(ж - Ь)Bж + Л)^ +
х — b
2°. При к\ = &2 = к решение имеет вид
х — а
x-b
У =
220. (аж2 + Ьх + cJtyL +
Преобразование ? = /
ж — <
Aty = 0.
+ Ьх + с '
постоянными коэффициентами: ги^ +
ac— -^6
+ с
; = 0.
221. (аж2 + Ьх + с
Замена ? = /
Bаж + к)(ах2
приводит к уравнению с
= 0.
dx
axz + ox + с
{k- b)y't + my = 0.
приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
222.
Преобразование ? = ж~2, w = yx~2 приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами: 4г17^ + аг^ = 0.
182 Уравнения второго порядка
223. х6ухх + (Зж2 + а)х3ух + by = 0.
Замена ? = х~2 приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: 4гу^ —
- 2ау'{: + by = 0.
224. y'L + у'х J2 A " <*- - f3n) ь ^ а -
3
(Ъ\х — ai)(b2X — а,2)(Ьзх — аз) ^-^ bnx — ап
3
Уравнение Римана. Обозначим это уравнение
а2 аз х\ A)
У) У
h 132 /Зз
уравнение A) переходит в гипергеометрическое уравнение 2.1.2.158.
Преобразование
, J\X ~\~ -D 0-1 X — Qj-\ \0оХ — Q/Q /с\\
с = , w = -L-t ° 9-!—и, B)
s Сж + Л \b2x-a2\r+s У v У
где AD — ВС ф 0, приводит исходное уравнение к уравнению аналогичного вида:
Ах А2 A3
В! В2 В3
ai + г а2 - г - s a3 + s
01 + г 02-r-s 0з + s
где Л, = Aan + ВЪп, Вп = Сап + Dbn.
Полагая в B) г = -ab s = -a3, A = bi/Аз, 5 = -ai/A3, С = -Ь2/А2, D = а2/А2,
получим гипергеометрическое уравнение C).
225. хпу"х + с(аж + Ь)п~4у = 0.
Преобразование ? = , гу = приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
ax + b ax + b
2
226. хпу"х + аж^ - (Ъ2хп + гбж71 + абж + а)у = 0.
Частное решение: г/о = же&ж.
227. жпС + (ож + 6)^ -ау = 0.
Частное решение: уо = ах + Ъ.
228. хпу"х + (аж71 + Ъх)у'х + (а - 1N?/ = 0.
Частное решение: г/о = ж1-а.
229. х"»;',. + BЯ;71-1 + ах2 + Ъх)у'х + by = 0.
Частное решение: г/о = а -\ .
х
230. xny'L + (ажп + Ь)у'х + с[(а - с)хп + Цу = 0.
Частное решение: г/о = е~сж.
231. хпухх + (ажп — ж71 + абж + 6)ty^, + a2bxy = 0.
Частное решение: гуо = (аж + 1)е~ах.
232. жп^'в + (аж^-^^ + 1)у'х + ажттгA + тхп~г)у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — xm+1).
V т + 1 /
2.1. Линейные уравнения второго порядка 183
233. (ахп + b)y'L + (схп + <Х)у'„ + Л[(с - оА)*" + d - Ь\]у = О.
Частное решение: уо = е~ х.
234. (ахп + Ьх + с)ухх = ап(п — 1)хп~2у.
Частное решение: уо = ажп + Ьх + с.
235. ж^71 + 1J/L + [(а - Ъ)хп + а - п]^ + 6A - а)хп-1у = 0.
Частное решение: г/о = (жте + 1)&/г\
236. Ж(ж2тг + a)y'L + (ж2тг + а -
Решение: у = Ci(xn + ^х2п+а)Ъ/п +
237. ж2(а2ж2тг - 1)^ш + х[а2(п + 1)ж2тг + п - 1]у'х - v(y + 1)а2п2х2пу = 0.
Решение: у = уи(ахп), где уи(х) — общее решение уравнения Лежандра 2.1.2.148.
238. х2(ахп - \)y'L + х(архп + g)^ + (arxn + s)?/ = 0.
Найдем корни А\, А2 и В\, В2 квадратных уравнений
А2 - (q + 1)А - s = О, Б2 - (р - 1)Б + г = О
и определим параметры с, а, C, j с помощью выражений
Ах + В1 а Ах+В2 А1-А2
A -, р = ^+ 1
п п п
Тогда решение исходного уравнения имеет вид
у = x°w(axn),
где w = w(?) — общее решение гипергеометрического уравнения 2.1.2.158:
f (f - 1)w'k + [(a + C + l)f - 7Щ + а^ = °-
239. (хп + aJs/l - tew[(b - 1)хп + а(п - 1)]у = 0.
Частное решение: уо = \хп + а\ 'п.
240. (ажп + 6J2/L + (ахп + 6)(еж71 + d)y'x + nFc - ad)xn-xy = 0.
тт f Г СХп + d „ \
Частное решение: уо = ехр — / ах .
V J ахп -\-Ъ /
241. (хп + aJ2/L + ^^(ж71 + а)у'х - xn-2(bxrn^1 + an - а)у = 0.
Частное решение: уо = (жп + аI'п.
242. (ажп + ЪJухх + ^^(аж71 + Ъ)ух + (еж771 - апж71 - 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — / — ) •
243. х2{ахп + ЬJухх + (п + 1)ж(а2ж2тг - 62)^ + ст/ = 0.
Замена ? = — In ( ) приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
пЬ V ахп -\-Ь /
у'^ - Ъ(п + 2)у'( +су = О.
244. {ахп+1 + Ьхп + c)y'L + (ахп + /Эх"'1 + ~,)у'х +
+ [п(а -а- ап)хп~1 + (п - 1)(/3 - Ьп)хп~2]у = О.
Г ( (ап + а-а)хп+ (Ьп-^х™-1--у , "|
Частное решение: у0 = ехр [у i Jn+i + Ьа.„ + с dx\ ¦
245. ((и" + Ьхт + с)»;',. + (А - х)у'т + J/ = 0.
Частное решение: уо = х — X.
184 Уравнения второго порядка
246. (ахп + Ьхт + c)y'L + (А2 - ж2)^ + (х + Х)у = О.
Частное решение: уо = х — А.
247. 2(ахп + Ъх™ + с)у"х + (anx"'1 + brnxrn-1)yfx + dy = 0.
Замена ? = / —1^^^=^^^= приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
J \/ахп + Ьхш + с
248. (ажп + b)m+1i/L/e + (ажп + 6)^ - апш/?/ = 0.
тт Г f dx 1
Частное решение: у0 = ехр [- j {ахП+ь)т\ •
2
249. xPny'L + [2Ргг + (ах2 + te)QTl_2]^ + bQn-iy = 0.
Здесь Рп = Рп(х) и Qn-2 = <2п-2(ж) — произвольные полиномы степени п и п — 2,
соответственно.
Частное решение: г/0 = а + —•
2.1.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
1. y'L + аеХху = 0, Л ф 0.
Решение: j/ = ftJ0(^ek/2) + С2У0(^^еЛж/2), где Jv(z) и УД^) — функции
Бесселя.
2. j/L + (аеш - Ь)у = 0.
Решение: у = CiJ2VEBy/Eех/2) + С2?2^B^ех/2).
3. y'L + а(АеЛж - ае2Х*)У = О-
Частное решение: уо = ехр ( — —еХх j.
4. 2/1 - [а2е2ж + аB6 + 1)еж + Ь2]у = О.
Частное решение: уо = ехр(аеж + Ьж).
5. y'L - (ае2Лж + ЬеХх + с)у = О.
Преобразование z = eXx, w = z~ky, где к = у/с/\, приводит к уравнению вида 2.1.2.103:
y?zw"zz + A2Bfc + l)w'z - (az + b)w = 0.
6. y'L + (ае4Лш + Ьезх°> + ce2Aa5 - \\>)y = 0.
Преобразование ? = еЛж, г^ = yeXx^2 приводит к уравнению вида 2.1.2.6:
гу^ + Л(а?2 + Ь? + с)гу = 0.
7. 2,1 + [ае2ЛагFеЛаг + с)" - ^Л2]?/ = 0.
Преобразование ? = 6еЛж + с, гу = уеХх^2 приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
^2
8. y'L + ay'x + бе2^./ = 0.
Преобразование ? = еаж, гб = уеах приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами: иГ?? + Ьа~2и = 0.
9. y'L - ау'х + Ье2аа>у = 0.
Замена ? = еах приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: у1^ -\-Ъа~2у = 0.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 185
10. y'L + ау'п + (ЬеХх + с)у = О.
Решение:
П
-ах/2\п j B\/Ь Хх/2
где Ju(z) hYu(z) — функции Бесселя.
ЗЛаз ¦ . 2Лаз ,1 — A
A \2 \
12. ?/L - yL + [ae2X*(bex* + c)n + ±=^-]y = 0.
Замена z = ex приводит к уравнению вида 2.1.2.117: z2y"z+ \az2X(bzx+c)n-\ 2/ = 0.
13. y'L + 2aeXmy'm + оеЛж(аеАж + \)y = 0.
Решение: ?/ = exp( e x)(Ci-\-C2x).
14. j/L + (a + 6)еАж^ + aeXx(beXx + X)y = 0.
Частное решение: j/o = exp f — — eAl J.
15. y'L + aex°>y'x - be^(aeXa! + be^ + ц)у = О.
Частное решение: у о = exp ( —е^х ).
V ii /
16. 7/L + 2ke»xy'x + (ае2Лж + 6еЛж + k2e2»x + ^/хе^ж + с) у = 0.
Замена w; = 2/exp( — е^х) приводит к уравнению вида 2.1.3.5: w"x + (ae2Xx+beXx+c)w = 0.
Kfi J
17. y'L + аеЛж^ + b(axneXx - bx2n + пхп-г)у = 0.
Частное решение: уо = exp ( xn+1 j.
18. 7/L + 2aeXxy'x + (а2е2Лж + a\eXx + 6ж2тг + схп-г)у = 0.
Замена u> = 2/expf—eXx ) приводит к уравнению вида 2.1.2.10: w"x-\-(bx2n-\-cxn~1)w = 0.
19. y'L - (a + гбе5)^ + б^25!/ = 0.
Частное решение: уо = ехр ( —еах ).
20. y'L + (ае2Хх + \)у'„ - а\е2Хху = О.
Частное решение: уо = ае х + Ле~ ж.
21. j/L + (аеАж - A)Wi + be2Xxy = 0.
Замена ^ = еХх приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: А2^ +
+ a\y't +by = O.
22. y'L + (аеХх + 6)^ + с(аеХх + 6 - с)у = 0.
Частное решение: г/о = е~сх.
23. 7/L + (а + Ье2Хх)у'х + Л(а - Л - Ье2^ = 0.
Частное решение: уо = be х + ае~ ж.
186 Уравнения второго порядка
24. y'L + (abeXx + Ь- 3A)t^ + а2\(Ь - Х)е2Хху = О.
Частное решение: уо = (ае х + 1) ехр(—ае х).
25. y'L + Bаех°> - \)у'х + (а2е2Ха! + Ье^)у = 0.
Частный случай уравнения 2.1.3.30.
26. y'L + BаеАж + Ь)у'т + [а2е2Хх + а(Ь + А)еЛж + с]у = 0.
Замена w = ?/ехр(—е Х) приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
w'xx + bw'x + cw = 0.
27. j/L + (аеАж + 26 - A)t,^ + (се2Лж + аЬеЛж + b2 - b\)y = О.
Преобразование ? = —е ж, и> = е&ж|/ приводит к уравнению с постоянными коэффици-
А
А
ентами: w'^ + аг^^ + cw = 0.
28. 2/L + (аеж + 6)^ + [с(а - с)е2х + (ак + Ъс + с - 2ск)ех + к(Ъ - к)]у = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—сеж — /гж).
29. y'L + (аеЛж + 6)^ + (ае2Лж + /ЗеЛж + 7)у = 0.
Замена ? = ех приводит к уравнению вида 2.1.2.141:
? У« + «Л + Ь + 1)?^ + (а?2 А + /9^Л + 7J/ = 0.
30. y'L + Bаех°> - \)у'х + (а2е2Ло! + Ье2^ + се^ + к)у = 0.
Замена w = у expf —е х J приводит к уравнению вида 2.1.3.5:
31. y'L + BаеЛж + 6 - Л)^ + (а2е2Хх + а6еЛаз + се2»х + de^33 + /Ь)у = 0.
Замена w = у expf —е ж + х) приводит к уравнению вида 2.1.3.5:
V A Z /
wlx + [се2"ж + de»x + к - ±{Ъ - \J]w = 0.
32. y'L + (аеЛаг + Ье^а)у'я + аеЛаг(Ье^ + Х)у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( е ж j.
33. y'L + ex*(ae2^ + Ь)у'а + /х[еАаг(Ь - ое2^) - ц]у = 0.
Частное решение: г/о = аемж + Ъе~^х.
34. tyl + (аеЛж + Ье^ + с)^ + (аЛеЛж + Ъ»е»х)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр( — — еЛж — —емж —еж).
V Л \i /
35. »;'„ + (аеАаг + Ье^ш + c)j/4 + [obe(A+^)a! + асеАаг + Ь»е^]у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( е^х — еж ).
V ц, )
36. y'L + (аеЛж + 2Ье»х - \)у'х + [а6е(л+^)аз + се2Хх + 62е2^ + Ц» - \)е»х]у = 0.
1°. При Л = 0 уравнение совпадает с 2.1.3.26, а при // = 0 — совпадает с 2.1.3.27.
2°. При Х/1 ф 0 преобразование ? = —еЛж, ги = ?/ехр(—е^х ) приводит к уравнению с
постоянными коэффициентами: w'^ + аги^ + сг^ = 0.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 187
37. y'L + [abe(x+^ + а\ех°> + be»* - 2Х]у'т + a2b\e^x+^y = 0.
Частное решение: уо = (ае х + 1) ехр(—ае х).
38. 7/L + (ах + 6)еЛж^ - аеЛж?/ = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
39. t/L + (ажеАж + 25)^ + {abxeXsB - aeXsB + Ь2)у = 0.
Частное решение: уо = же~ ж.
40. y'L + х(аеХа! + Ъе^)у'„ - (аех°> + Ье^)у = 0.
Частное решение: уо = х.
41. y'L + (ахп + beXlB)y'x + (abxneXlB + апх^у = 0.
Частное решение: ?/o = expf xn+ J.
42. у^'д. + aexp(bxn)y'x + с[аехрFж7г) — с]у = 0.
Частное решение: уо = е~сж.
43. т/^ + (ах + 6) ехр(Лж7г)^ — аехр(\хп)у = 0.
Частное решение: уо = ах -\- Ь.
44. 2/L + ахп ехрFжтгг)^ - аж71 ехрFжтгг)?/ = 0.
Частное решение: уо = ж.
45. жт/L - Bаж2 + 1)^ + 46ж3 ехрBЛж2)?/ = 0.
Решение:
где Л B;) nYu(z) — функции Бесселя.
46. жт/L + ахеХху'х + аеЛжA + Лж)?/ = 0.
Частное решение: уо = х exp f — — е ж j.
47. жт/L + ахеХху'х - [а(Ьх + 1)еЛж + Ь(Ьх + 2)]у = 0.
Частное решение: уо = хе х.
48. жт/L + (ахеХх + 6)^ + аF - 1)еХху = 0.
Частное решение: уо = ж1" .
49. жт/L + [а(Ьж + 1)еХх + Ъх - 1]у'х + аЪ2хеХху = 0.
Частное решение: ?/о = (Ьх + 1)е~ ж.
50. хухх + [(аж2 + Ьх)еХх + 2]^ + 6еЛж?/ = 0.
Частное решение: у0 = а + —.
51. xy'L + (аж71 + ЪеХх)у'х + аж71^^ + п - 1)у = 0.
Частное решение: у о = ехр ( хп ).
\ п /
52. х»;'и + {ахеХ1В + Ьж")^ + [аСбж71 - 1)еЛш + Ьпх^у = 0.
Частное решение: уо = х ехр (——жп ).
188 Уравнения второго порядка
53. хухх + [{ахп + 1)еХх + апхп + 1 - 2п]у'х + a2 nx2rb~x еХх у = 0.
Частное решение: г/о = (ажп + 1) ехр(—ахп).
54. жгу! + (аеХх + Ье^)^ + (аЛеЛж + Ь^х)у = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение первого порядка: ху'х + (аеХх +Ъе^х — 1)у = С.
55. ж?/"ж + [ахп exp(te™) + с]^ + а(с - 1)хп-г exp(te™J/ = 0.
Частное решение: уо = х ~с.
56. (ж + a)y'L + FеЛж + с)у'а + 6ЛеЛж2/ = 0.
тт ( f 1 - с - ЬеЛж \
Частное решение: г/о = ехр / ах .
\J х + а /
57. 4ж2т/"ж + [аж2п ехрFжтг) + 1 - п2]у = 0.
71—1
Преобразование ? = 6жп, w = ух 2 приводит к уравнению вида 2.1.3.1: 4и^
Vw = 0.
58. x*y'L + 2аж^ + [(Ь2е2сх - v2)c2x2 + а(а - 1)]у = 0.
Решение: у = x~a[CiJu(becx) + C2Yu(becx)], где Л(^) и У^(^) — функции Бесселя.
59. x2y'L + ахеХху'х + 6(аеЛж - Ъ - 1)у = 0.
Частное решение: уо = х~ .
60. x2y'L + ж(аеЛж + 26)^ + [а(сх + 6)еЛж - с2х2 + 6F - l)]ty = 0.
Частное решение: уо = х~ье~сх.
61. xAy'L + (е2/х -»2)у = 0.
Решение: у = ж[С1Л(е1/ж) + C2Yu(e1^x)], где Л(^) и Yu(z) —функции Бесселя.
62. x*y'L + [aexp(^) + b ехр (А) + с] у = 0.
Преобразование ? = 1/ж, и> = г//ж приводит к уравнению вида 2.1.3.5: w'^ +
+ (ае24 + 6еЛС + c)w = 0.
63. ж41у1 + ах2еХху'х + [а(Ь - х)еХх - Ъ2]у = 0.
Частное решение: г/о = жехрF/ж).
64. (ж2 + аJ^ + ЬеХх(х2 + а)^ - FжеЛж + а)у = 0.
Частное решение: г/о = л/ж2 + а.
65. (ж71 + аJ^ш + Ъ(хп + а)еЛж^ - хп-2(ЪхеХх + an - а)у = 0.
Частное решение: уо = (жп + аI .
66. (аж71 + 6JtyL + с(ажтг + 6)еЛш^ + (сеХх - апх71'1 - 1)у = 0.
тт ( [ dx \
Частное решение: гуо = ехр — / .
F У У\ J axn + bJ
67. (а2е2Хх + b)y'L - Ь\у'х - a2\2v2e2Xxy = 0.
Решение: у = Сх (аеХх + л/а2е2Лж + 6) ^ + С2 (аеЛж + л/а2е2Лж + 6)"^.
68. 2(аеХх + 6)tyL + а\еХху'х + cty = 0.
Замена ? = / — г приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
J VaeXx + 6
2у& + сгу = 0.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 189
69. (аеЛж + b)y'L + (сеЛж + d)y'm + fc[(c - afc)eAa! + d - bk]y = 0.
Частное решение: j/o = e~fcl.
70. (оеЛж + b)i/L + (сеЛж + d)y'm + {neXx + m)y = 0.
При a = 0 см. уравнение 2.1.3.29. При а ф 0 преобразование ? = аеЛж, u> = y^~k, где А; —
корень квадратного уравнения b\2k2 +dXk + m = 0, приводит к уравнению вида 2.1.2.159:
аЛ2?(? + b)w't? + A[BaA;A + аЛ + с)? + аB6А;А + 6Л + d)]^ + (аА;2А2 + сА;А + n)w = 0.
71. (еж + k)y'L + (аеЛж + Ъе»х + с)^ + (аЛеЛж + bfjte^ - ех)у = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение первого порядка:
(ех + к)у'х + (аеХх
72. (аеЛж + 6J^ж + сеХх(\Ъ - сеХх)у = 0.
Частное решение: г/о = (аеЛж + 6)fc, где А; = — —.
аХ
73. (аеХх + bJs/l + сг(аеЛж + Ь)у'а + сеЛж((т + \Ъ - сеХх)у = 0.
Частное решение: г/о = (аеЛж + 6)fc, где А; = .
аХ
74. (оеЛш + bfy'L + (оАеЛш + с)(оеЛш + Ь)у'т + ту = 0.
Замена ? = / —т приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
J аеХх + b
у'1% + cy't +my = 0.
75. (аеХх + bJy'L + fce^(aeAa3 + Ь)у'х + ceAa3(fce^ - сеЛаз + \b)y = 0.
Частное решение: у о = (аеЛж + Ь)к, где А; = — —.
аХ
76. 4(аеЛж + b^y'L + [fce2Aa3(ceAa3 + d)n~* - \2(аеХх + b)w]y = 0.
Преобразование t = — , w = —г приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
4гу^ + A;(AA)-2?-nw = 0, где А = ad - be.
11. (aeXx + bx + c)y'L - a\2eXxy = 0.
Частное решение: yo = ae x + bx + c.
78. [(M + Ь)еЛш + c]yZx - c\2y = 0.
Частное решение: yo = ce~ x -\- ax -\-b.
2.1.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
1. у"х - (a-2qch2x)y = 0.
Модифицированное уравнение Матъе. Замена х = г? приводит к уравнению Матье 2.1.6.4:
Для собственных значений уравнения Матье а = an(q) и a = 6n(g) соответствующие
решения модифицированного уравнения Матье имеют вид
^ sh[BA;
к=0
где р может принимать значения 0 и 1, а коэффициенты А^^ и В^+р приведены в
2.1.6.4.
Модифицированное уравнение Матье подробно рассмотрено в книгах Н. В. Мак-
Лахлана A953), М. Абрамовица, И. Стиган A979), Г. Бейтмена, А. Эрдейи A967, т. 3).
190 Уравнения второго порядка
2. y"x + ( + )y
Используя формулу ch 2х = 2 ch2 х — 1, получим уравнение вида 2.1.4.1:
Ухх + (тга +
3. 2/жж — а[асЬ2Fж) + 6sh(foc)]ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр — sh(foc) .
4. 2/L - а[а sh2(bx) + 6ch(foc)]ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр — сЬ(Ьж) .
5. y'L + (a ch2 ж + bsh2 x + с)у = 0.
Используя формулы 2 sh2 ж = chBx) — 1 и 2 ch2 ж = сЬBж) + 1, приходим к уравнению
вида 2.1.4.1:
6. ?/L + [a th(Aa;) + b]y = 0.
^-r r- * 1 — th(Asc) j.—k/\ 7
Преобразование t = ;—'-, w = yt ' , где & — корень квадратного уравнения
1 + th(Asc)
4к2 + b — а = 0, приводит к уравнению вида 2.1.2.159:
4А2^ + l)wfx + 4АB/с + Л)Й + 1)Ц + D/с2 + а + b)w = 0.
7. tyL -4a2th2Cax)y = 0.
Частное решение: г/о = shCax)[chCax)]~1'3.
8. 2/L + [аЛ - а(а + Л) th2(A«)]ty = 0.
Частное решение: г/о = [сп(Аж)]~а/л.
9. 2/L + [ЗаЛ - Л2 - а(а + Л) th2(\x)]y = 0.
Частное решение: гуо = sh(\x)[ch(\x)]~a' .
Ю. 2/L + [a cth(Ax) + Ь]у = 0.
Преобразование ^ = ;—-, w = у^~к^х, где А; — корень квадратного уравнения
1 + th(Asc)
4А;2 + Ъ — а = 0, приводит к уравнению вида 2.1.2.159:
4А2^ - l)w'lt + 4АBА; + А)(^ - l)wt + DA;2 + а + b)w = 0.
11. у"х - 4а2 cth2Cax)y = 0.
Частное решение: уо = chCax)[shCax)]~1/3.
12. 2/L + [а\ - а(а + Л) cth2(Xx)]y = 0.
Частное решение: гуо = [sh(Ax)]~a^ .
13. y'L + [ЗаЛ - Л2 - а(а + Л) cth2(Xx)]y = 0.
Частное решение: уо = ch(Ax)[sh(Ax)]~a/A.
14. y'L + ayi - Л[Л + a th(A^)]ty = 0.
Частное решение: уо = сЬ(Аж).
15. 2/жж + ash(Aa?)ty^, + 6[ash(Aa?) — 6]ty = 0.
Частное решение: уо = е~ х.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 191
16. y'L + a sh(\x)y'x - Л[Л + ch(\x)]y = 0.
Частное решение: г/о = вЬ(Лж).
17. y'L + « сЬ(Лж)^ - Л[Л + sh(\x)]y = 0.
Частное решение: г/о = сп(Аж).
18. y'L + 2thxy'x+ay = 0.
Cl cos(bx"> + °2 sin(^) ПРИ а ~ 1 = ^ > °>
Решение- гу ch х -
Решение, г/ сп ж - j ^ ch(^} + ^ sh(^} при
19. 7/L + а 1Ь(Лж)^ + 6[а 1Ь(Лж) - Ъ]у = 0.
Частное решение: г/о = е~&ж.
20. tyL - Л1Ь(Лж)^ - a2 ch2(A^)ty = 0.
Решение: у = С\ ехр — sh(Ax) + C2 ехр sh(Ax) .
21. tyL - th x y'x + а2 cth2 х (sh жJтгг-21у = 0.
Решение: y = Vshx~\CiJ 1 f— shm ж) + С2У i (—sh.mx)], где Ju(z)hYv(z
функции Бесселя.
22. y'L + 2thxy'x + (ax2 + bx + c)y = 0.
Замена и = ychx приводит к уравнению вида 2.1.2.6: u'lx + (аж + Ъх + с — 1)гб = 0.
23. tyL + 2thxy'x + (axn + l)ty = 0.
Замена и = ychx приводит к уравнению вида 2.1.2.7: и'1х + ахпи = 0.
24. tyL + 2thxy'x + (ax2ri + бж71 + 1)у = 0.
Замена гб = ychx приводит к уравнению вида 2.1.2.10: и'хх + (ах2п + Ьхп~1)и = 0.
25. ухх + 2n cth ж ух + (п2 - a2)ty = 0, п = 1, 2, 3, ...
Решение: у = (— -Г(С1еаж + С2е-аж).
V sh х dx J
26. tyL + B th ж + a)yx + (athx + b)y = 0.
Замена и = ychx приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: ихх +
+ аи'х + (Ь- 1)и = 0.
27. y'L +atWl(\x)y'x - Л[Л + a thn+1 (Хх)]у = 0.
Частное решение: уо = сп(Аж).
28. ухх + (аж + 6) shn(\x)y'x - a shn(\x)y = 0.
Частное решение: у0 = ах + Ъ.
29. ухх + (аж + Ь) thn(\x)y'x -athn(\x)y = 0.
Частное решение: у0 = ах + Ъ.
30. y'L + аж71 chm(Aa0i? - ахп~х chm(A«)y = 0.
Частное решение: г/о = ж.
31. ухх + «ж71 Ш^Лж)^ - аж71 t\srn(\x)y = 0.
Частное решение: г/о = ж.
32. хухх + аж сЬл(Лж)^ - [а(Ъх + 1) ^"(Лж) + Ъ(Ъх + 2)]ty = 0.
Частное решение: г/о = же&ж.
192 Уравнения второго порядка
33. хухх + axt\in(\x)yx - [a(bx + 1) 1ЬТ1(Лж) + b(bx + 2)]y = 0.
Частное решение: уо = хеЪх.
34. хухх + [аж сЬ^Лж) + Ъ]ух + а(Ь - 1) сЬ^Лж)^ = 0.
Частное решение: уо = х ~ .
35. ж?/"ж + [аж!ЬТ1(Лж) + Ъ]у'х + а(Ь - 1) thn(\x)y = 0.
Частное решение: уо = ж1" .
36. ж?/"ж + [(аж2 + Ьх) сЬ^Лж) + 2]^ + bchn(\x)y = 0.
Частное решение: уо = а + —.
37. жт/L + [(ах2 + Ьж) 1Ьтг(Лж) + 2]у'х + bthn(\x)y = 0.
Частное решение: уо = а + —.
ж
38. жт/L + (а sh™ х + bxrn+1)yx + Ьж™(а sh71 ж + т)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр(— жт+ ).
V т + 1 /
39. хухх + (а!Ьтгж + 6жТГ1+1)^ + ^^(а th71 ж + т)т/ = 0.
Частное решение: г/о = ехр ( — жт+1).
V т + 1 /
40. ж2^ж + ах ch71 (Лж)^ + 6[а ch71 (Лж) - 6 - 1]у = 0.
Частное решение: уо = х
41. ж2^ж + аж!Ьтг(Лж)^ + Ъ[а thn(\x) - Ъ - 1]у = 0.
Частное решение: уо = х
42. (a sh ж + 6)ty^ + (с sh ж + d)y'x + Л[(с - аЛ) sh ж + d - Ъ\]у = 0.
Частное решение: уо = е ж.
43. (a th ж + 6)tyL + (с th ж + d)ty^ + Л[(с - аЛ) th ж + d - 6A]ty = 0.
Частное решение: г/о = е~Хх.
44. [а!Ь(Лж) + 6]tyL + [с!Ь(Лж) + d]yx + [п^Лж) + т]у = 0.
Преобразование ? = ;—f, г^ = у^~к^х, где А; — корень квадратного уравнения
1 — th(Asc)
4(а — 6)А;2 + 2(с — d)k + n — m = 0, приводит к уравнению вида 2.1.2.159:
+ [4(а + Ъ)к2 + 2(с + с/) А; + п + т]гу = 0.
45. [а + Ъ cth(\x)]yxx + [с + d cth(Ax)]^ + [п + т cth(\x)]y = 0.
Умножая это уравнение на th(Ax), приходим к уравнению 2.1.4.44.
46. ch2 (ах)ухх -Ъу = О.
Замена ах = In л I @ < ? < 1) приводит к гипергеометрическому уравнению
2.1.2.158: ?(? - 1)у'^ + B? - 1)^ + а~2Ьу = 0.
47. sh2 (ах)ухх — by = 0.
Замена аж = ±1п — (? > 0) приводит к уравнению 2.1.2.177:
¦ 4а~ Ь?у = 0.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 193
48. ухх sh2 ж - [a2 sh2 ж + п(п - 1)]у = О, а ф 0; п = 1, 2, 3, ...
Решение: y = shnx(— — Y (Cieax + С2е~аж)-
V sh ж б?ж /
49. shTl(A«)?/L + [а сЬТ1-4(Лж) - Л2 shn(\x)]y = 0.
Преобразование ? = th(Ax), u> = приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
сЬ(Лж)
w'^+a\-2Cn™ = Q-
50. сп^Лж)*/", + [ashn-*(\x) - Л2 ^"(Лж)]?/ = 0.
Преобразование ? = cth(Ax), u> = —-—- приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
sh(Ax)
51. [a sh(A#) + 6ж + c]?/L - аЛ2 sh(A«)?/ = 0.
Частное решение: уо = a sh(Ax) + Ъх + с.
52. [а сЬ(Лж) + Ъх -\- с]у"х — аЛ2 ch(\x)y = 0.
Частное решение: уо = a ch(Ax) + Ьх + с.
2.1.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
1. y'L - (а2х2 In2 х + a In ж + а)?/ = 0.
Частное решение: г/о = е~ах /4жаж /2.
2. ?/"ж - (а2ж2тг In2 ж + апхп~г In ж + аж71)?/ = 0.
Частное решение: г/о = e~Fx(n+1)F, где F = —-.
(п + 1J
3. y'L +а\пп(Ъх)у'х + с[а lnw(te) - с]у = 0.
Частное решение: г/о = е~сж.
4. 2/L + [а Ь" (Ьж) + с]у'х + ас \пп (Ъх)у = 0.
Частное решение: уо = е~сх.
5. 2/L + (аж + 6) 1птг(сж)^ - а \пп(сх)у = 0.
Частное решение: уо = ах + Ъ.
6. 2/L + ахп \nrn(bx)yfx - ах'1 \пгп{Ъх)у = 0.
Частное решение: уо = х.
7. ж^ж — (а2ж In2 ж + а)у = 0.
Частное решение: уо = е~ажжаж.
8. ж^/L - [а2ж1п2тг(Ьж) + апХп*1-1 (Ъх)]у = 0.
Частное решение: уо = ехр а / lnn (Ьж) dx .
9. ж^ж + ах In ж ty^ + аAп ж + l)ty = 0.
Частное решение: уо = еахх1~ах.
10. жг/^ж + (аж In ж + 6)ty^, + (аб In ж + а)у = 0.
Частное решение: г/о = еажж~аж.
11. ж^'ж + Bаж In ж + l)ty^ + (а2ж In2 ж + а In ж + а)у = 0.
Решение: у = eaxx~ax{Ci + C2 In ж).
13 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
194 Уравнения второго порядка
12. хухх + In х(ах + b)yfx + а{Ъ In2 х + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = еажж~аж.
13. хухх + аж1пТ1Fж)^ + an In71 (Ъх)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр —а / 1пп(Ъж) с/ж .
14. хухх + аж In71 жт/ж + (а In71 ж + an In71 x)y = 0.
Частное решение: г/о = ж ехр ( —а / 1пп ж с/ж).
15. хухх + (аж71 In ж + 1)ух — ах71'1 у = 0.
Частное решение: г/о = In x.
16. жт/L + {ах In71 ж + 1)^ - a In71 ж # = 0.
Частное решение: г/о = In ж.
17. ж^/L + {ах In71 ж + Ь)ух + а(Ь - 1) In71 ж ty = 0.
Частное решение: г/о = ж1.
18. ж^/L + [(аж2 + Ьж) In71 (еж) + 2]^ + Ыпп{сх)у = 0.
Частное решение: у0 = а -\ .
х
19. хухх + (аж71 + 6 In771 х)ух + аж71 F In771 ж + п - l)ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр f ——жп j.
20. хухх + (аж71 + Ъх In771 ж)^ + [Ь(ажп - 1) In771 ж + апхп~х\у = 0.
Частное решение: уо = х ехр ( жп ).
21. ж2^ж + (а1пж + ЬIу = 0.
Преобразование ? = a In ж + Ъ — -j, w = ух 1'2 приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
22. х2ухх + (a In2 ж + Ъ In ж + с)у = 0.
Преобразование ? = In ж, w = г/ж/2 приводит к уравнению вида 2.1.2.6: г^^ +
23. ж2?/"ж + [а(Ыпж + сO1 + -L]y = 0.
Преобразование ? = 61пж + с, w = г/ж/2 приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
24. ж2^ж + ху'х + alnn(bx)y = 0.
Решение:
у = д/1п(Ъж) C\J 1 ( —— 1пт(Ъж) j + G2^ 1 ( —— 1птFж) j , т = —(п + 2),
где Л (г) nYu(z) — функции Бесселя.
25. ж2^ж + хух + (а 1п2тг ж + Ь In71 ж)?/ = 0.
Замена ? = In ж приводит к уравнению вида 2.1.2.10: г/^ + (а?2гг + Ъ^п~1)у = 0.
26. ж2^ж + жBа In ж + 1)ух + (ж2 + а2 In2 ж + 6)ty = 0.
Замена у = г^ехр(—-|-uln2 ж) приводит к уравнению Бесселя 2.1.2.121: x2w'^
+ (х2 + b- a)w = 0.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 195
27. х2ухх + жB In ж + а + 1)у« + (Ь2 ж + a In ж + Ъ)у = 0.
Преобразование ? = \пх, w = г/ехр (у In2 ж) приводит к уравнению с постоянными
коэффициентами: w'^ + aw'^ + (Ь — l)w = 0.
28. x2yxx + жB In x + a)^ + [In2 x + (a - 1) In x + Ьж71 + с]?/ = 0.
Замена u> = г/ехр (у In2 ж) приводит к уравнению вида 2.1.2.127: x2w"x + axu4 +
+ (&En+C-l)w = 0.
29. ж2?/"ж + ax \nn (bx)y'x + c[a \nn (bx) - с - l]y = 0.
Частное решение: у о = ж~с.
30. х2у"х + ж(ажп + 6 In х)у'х + ^(аж71 In ж - In ж + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—y^ln2 ж).
31. ж(ж + а)?/"ж + жF In ж + с)^ + by = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — / ах ).
V J х + а /
32. ж42/1 + аж2 \пп(Ьх)у'х + [а(с - ж) \пп(Ьх) - с2]у = 0.
Частное решение: уо = х ехр (—).
33. (a In ж + 6)^'ж + (с In ж + dJ/L + А[(с - аЛ) In ж + d - ЬХ]у = 0.
Частное решение: г/о = е~Лж.
34. х\пхухх — пу'х — а2жAп хJп^~1у = 0.
Решение: у = CieaF + C2e~aF, где F= f\nnxdx.
35. ж 1п(аж)^ж - [п 1п(аж) + т]ух - 62ж2тг+11п2тгг+1 (аж)?/ = 0.
Решение: у = debF + C2e~bF, где F= Г хп \пт(ах) dx.
36. ж2 1п(аж)^ж + у = 0.
Решение: у = С\ 1п(аж) + Сч 1п(аж) / [1п(аж)]~2 dx.
37. ж In2 ж ty^, + (аж + 1) In ж ty^ + Ъху = 0.
Замена ? = / приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: у1^ +
+ ay's +by = O.
38. ж(аж In ж + 6ж + с)ухх — ау = 0.
Частное решение: г/о = ах In ж + 6ж + с.
39. ж2 (a In ж + 6ж + с)ухх -\- ау = 0.
Частное решение: г/о = а\пх -\-Ьх -\- с.
40. 1птг(аж)^/ж + (б2 - ж2)^ + (ж + Ъ)у = 0.
Частное решение: г/о = х — Ь.
2.1.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1- у"х + а2у = bsin(Xx).
Уравнение вынужденных колебаний.
{С\ sin(ax) + C2 cos(ax) + — sin(Ax) при а / Л,
a - Л
С\ sin(ax) + С2 cos(ax) xcos(ax) при а = Л.
2а
13*
196
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 18
Общее решение уравнения Матье, представленное с помощью периодических функций <Pi(x) и (р2(х)
Условие
»iW>i
W')l<i
Общее решение у = ?/(ж)
Cie^Vl(x) + C2e-^V2(x)
(Сi cos z/ж + C2 sin г/ж)^ (ж) +
+ (Сг cos г/ж — C2 sin vx)(f2 (ж)
C^aO + C^x)
Период функций
у?1 и (f2
7Г
2тг
7Г
7Г
Показатель
\i — действительное число
р — действительная часть \i
\i = iv — чисто мнимое число,
cosBtt*/) =У1(тг)
2.
Уравнение вынужденных колебаний.
Решение: у =
sin(ax) + C2 cos(ax) +
а2-Л2
cos(Ax) при а / Л,
С\ sin(ax) + C2 cos(ax) -\ xsm(ax) при а = Л.
3. y"x + [asin(A«) + 6]т/ = 0.
Замена Xx = 2? + -|- приводит к уравнению Матье 2.1.6.4:
2/^ + DaA~2 cos 2^ + 46A)^/ = 0.
4. 2/L + (a - 2g cos 2x)y = 0.
Уравнение Матье.
1°. Для заданных чисел а и q существует решение у(х) и характеристический показа-
показатель /1, такие, что
^(ж + тт) = е27Т^у(х).
При малых q приближенное значение показателя ц можно найти из уравнения
Если |/1 (ж) —решение уравнения Матье, удовлетворяющее начальным условиям у\ @) = 1,
г/i @) = 0, то характеристический показатель определяется из условия
сЬBтт//) = 2/1 (тг).
Решение yi(x), а следовательно и //, с любой степенью точности может быть найдено с
помощью численных или приближенных методов.
Решение имеет различную структуру в зависимости от величины у\ (тг) и может быть
представлено с помощью двух вспомогательных периодических функций (fi(x) и <^г(ж)
(см. табл. 18).
2°. В приложениях основной интерес представляют периодические решения уравнения
Матье, получающиеся при определенных значениях параметров а и q (такие значения а
называются собственными значениями). Наиболее важные решения описаны в табл. 19.
Функции Матье обладают следующими свойствами:
се2п(х, -q) = (-l)nce2ri(^Y -ж, qj, ce2n+i(x, -q) = (-l)n se2n+i (у -ж, qj,
se2n(x, -q) = (-l)nse2n(^y -ж, qj, se2n+i(x, -q) = (-l)n ce2n+i [^ - x, qj.
Приближенную зависимость собственных значений ап (или Ъп) от параметра q можно
получить, если задать достаточно большой номер т, а затем отбросить член с макси-
максимальным номером в рекуррентных формулах (указанных в табл. 19). Приравнивая далее
2.1. Линейные уравнения второго порядка
197
ТАБЛИЦА 19
Периодические решения уравнения Матье сеп = cen(x,q) и sen = sen(x,q)
(для четных п функции сеп и sen имеют период тг, а для нечетных п — период 2тг); каждому значению
параметра q соответствуют определенные собственные значения а = an(q) и b = bn(q); n = 0, 1, 2, ...
Функции Матье
се2п(ж,д)= J2 А$^со8Bтх)
т=0
се2п+1(Ж, <?) = ? ^2m+\ cos [Bш+1)ж]
т=0
оо
se2n(^4)=E S2^sinBmx),
т=0
seo = 0
se2n+1(x, q) = f: В1^\\ sin [Bт+1)ж]
m=0
Рекуррентные соотношения
для коэффициентов
пл2п_ л2п.
qs\2 —a2n^±0 '
qA\n = (a2n-A)A2n-2qA2n;
QA22^+2 = (a2n-4m2)A22^-
-qA2^_2, т^2
qAf>+1 = (a2n+1-l-q)Aln+1;
^2т"+3=[а2„+1-Bт+1J]х
xAl^W-qA^t1,, m?l
qB2n = (b2n-4)B2n;
ЧВ1пт+2 = {Ь2п-4т2)В2пт-
-9^2т-2. т^2
9В|п+1 = (Ь2»+1-1-9)В?"+1;
<?B22™+3 = [b2n+i-Bm+lJ]x
X^mVl-^mt1!, т>1
Условия
нормировки
№J+Е№J=
т=0
Г 2 при п = 0
~~ 1 1 при п ^ 1
v^ /А2п + 1ч2_
т=0
оо о
v^ / тэ2п \2 -1
Ъ \В2гп) =1
т=0
v^ (я2п + 1 \2_
т=0
определитель соответствующей линейной однородной системы для коэффициентов А7^
(или Bl^) к нулю, получим алгебраическое уравнение для определения an(q) (или bn(q)).
Для фиксированного действительного q ф 0 собственные значения ап и 6П действительны
и различны; при этом
если q > 0, то ао < Ь\ < а\ < 62 < а2 < • • •;
если q < 0, то ао < ai < Ъ\ < 62 < а2 < аз < &з < Ъа < • • •
Собственные значения обладают свойствами
CL2n(-q) = CL2n(q), b2n(-q) = b2n{q), a2n+i(-q) = b2n+i(q)-
Решение уравнения Матье, отвечающее собственному значению ап (или Ъп) имеет п нулей
в интервале 0 ^ х < тг (д — действительное число).
Ниже приведены два главных члена асимптотических разложений функций Матье сеп(ж, д)
и sen(x, д) и соответствующие им собственные значения an(q) и 6п(д) при д —»¦ 0:
сео (ж, д) = ^^ A — — cos 2х ), ао (а) = — — + ;
V У х/2 V 2 /' КЧ) 2 128
cei(x,g) =cosx — — cos3x, ai(g) = l + g;
8
ce2 (ж, g) = cos 2x + - ^1 — J , a2 (g) = 4 + —;
cen(x,q) =cosnx + — \
4 L
cos(n-\-2)x cos(n — 2)ж
ra +1
n — 1
, ч 2
an(q) = n
2(n2 -1)
sei (ж, g) = sin ж — — sin Зж, Ь\ (g) = 1 — g;
8
2
se2 (ж, g) = sin 2ж sin 4ж, b2 (g) = 4 ;
ж,д) =8шпж — — '
Более подробно функции Матье описаны в книгах Н. В. Мак-Лахлана A953), Э. Т. Уиттеке-
ра, Дж. Н. Ватсона A963), Г. Бейтмена, А. Эрдейи A967, т. 3), М. Абрамовица, И. Стиган A979).
198 Уравнения второго порядка
5. у"х + (« sin2 ж + Ъ)у = 0.
Используя тригонометрическую формулу 2 sin2 х = 1 — cos 2ж, получим уравнение Матье
2.1.6.4: у%х + (\а + Ъ- \acos2x)y = 0.
6. 2/L + (« cos2 х + Ъ)у = 0.
Используя тригонометрическую формулу 2 cos ж = 1 + cos 2ж, получим уравнение Матье
2.1.6.4: yfnX + (Ya + b+
7. Ухх — а[а sin2 (bx) + 6cos(foc)]ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр — — cos(frr) .
8. Ухх — а[а cos2 (bx) + 6sin(foc)]ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр — — sin(bx) .
9. s/1 + а[Л + (Л - а) tg2(A^)]ty = 0.
Частное решение: г/о = [cos(Ax)]a/A.
Ю. tyL + (atg2^ + 6)ty = 0.
Преобразование ^ = sin2 x, w = у cosm ж, где ?тг — корень квадратного уравнения
т2 + т + a = 0 приводит к гипергеометрическому уравнению 2.1.2.158:
№ - l)w& + [A - т)? - \Щ - \{т + b)w = 0.
11. у"х + а [Л + (Л - a) ctg2(A^)]ty = 0.
Частное решение: г/о = [sin(Ax)]a' .
12. tyL + (actg2^ + 6)ty = 0.
Замена х = ? + -|- приводит к уравнению вида 2.1.6.10: г/^ + (atg2 ? + 6)гу = 0.
13. Ухх ~\~ о, sin(bx)yfx + c[axn sin(foc) — сж2тг + пхп~1]у = 0.
Частное решение: гуо = ехр ( хп+1).
14. 2/жж + (а sin ж + 6)ty^ + а(Ъ sin ж + cos x)y = 0.
Частное решение: уо = exp(acosx).
15. Ухх + asinTl(te)ty^J + с [a sin71 (bx) — с]у = 0.
Частное решение: уо = е~сх.
16. 2/жж + [asinTl(te) + c]ty^ + ac sinn (bx)y = 0.
Частное решение: уо = е~сж.
17. г/"ж + (a sin71 x -\- b sin x)y'x + 6(а sin71"^1 ж + cos x)y = 0.
Частное решение: уо = exp(frcosx).
18. Ухх + (аа5 + b) sinn(сх)у'х - asinn(cx)y = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
19. 2/L + ажп sin™^)^ - аж71 sin™(Ъх)у = 0.
Частное решение: уо = ж.
20. 2/L + ахп sin™(Ъх)у'х + с[ажтг+'г sinTTl(te) - сж2;г + ^ж'8]?/ = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — хк+1).
V к + 1 /
2.1. Линейные уравнения второго порядка 199
21. Ухх + (a cos ж + 6)т/ж + аF cos ж — sin х)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—a sin ж).
22. 2/L + acosTl(te)^ + c[acosn(bx) - с]у = 0.
Частное решение: г/о = е~сж.
23. у"ж + [acosTlFa?) + с]у'х + ас cos71 (bx)y = 0.
Частное решение: г/о = е~сж.
24. Уда. + (a cos71 х -\- Ъ cos ж)^ + b(a cos71"* ж — sin x)y = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—6 sin ж).
25. Удд. + (аж + b) cosn (сх)у'х — a cos71 (сх)у = 0.
Частное решение: у0 = ах + Ъ.
26. ужа, + ах cos (bx)yx — ах cos (Ьх)у = 0.
Частное решение: г/о = ж.
27. y'L + «ж71 со8ттгFж)^ + c[axn+h со87тгFж) - сж2;г + кхк-г]у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( —хк+1).
28. y'L + (а - Л) tg(A«)i/L + а\у = 0.
Частное решение: гуо = [cos(Ax)]a/A.
29. у„ш + a tg ж у^ + by = 0.
1°. Замена ? = sin ж приводит к уравнению вида 2.1.2.155: (^2 — 1)г/^ + A—а)^у'^—Ьу = О.
2°. Решение при a = —2:
sin(kx) + С2 cos(A;x) при b + 1 = &2 > О,
yCOSX - 1 ^ ^/7_4 , ^ сЬ^ж) п^ ь+ j = _k2 < Q
3°. Решение при а = 2, 6 = 3: у = C\ cos3 ж + С2 sini(l + 2 cos2 ж).
30. yxx -\- ntgxyfx + a2 (cos xJny = 0.
Решение: у = C\ sin(cm) + C2 cos(cm), где и = cosn ж с/ж.
31. 2/L + tg ж ty^ + a2 cos2 «(sin xJn~2y = 0.
Решение: у = Vsinx Ci J_j_ I — sinn ж j + С2У_1_ (— sinn ж j , где Jv (z) и Yu (z) —
функции Бесселя.
32. yxx -\- atgxyfx -\- (btg2 ж + c)y = 0.
Частный случай уравнения 2.1.6.55.
33. yxx + tg ж ty^ - a(a - 1) ctg2 xy = 0.
I Ci I sin ж Ia + С21 sin ж a при a ^ -~-,
Решение: гу = < /—.
[^ yj I sin ж I (Ci + C2 In I sina^l) при a = —.
34. tyL - 2Лtg(Лж) ty^ + (аж2 + bx + c)ty = 0.
Замена 1б = гусо8(Аж) приводит к уравнению вида 2.1.2.6: и'1х + (аж2 + 6ж + с + Л2)гб = 0.
35. tyL - 2Atg^) ух + (аж2тг + бж71 - A2)ty = 0.
Замена и = гусо8(Лж) приводит к уравнению вида 2.1.2.10: и'хх + (ах2п + Ьхп~1)и = 0.
200 Уравнения второго порядка
36. ухх + a tg71 (Ьх) у'х + с[а tg71 (Ьх) - с]у = 0.
Частное решение: г/о = е~сх.
37. y'L + atgn(\x) y'x + b[atg;n+1(Xx) + (Л - Ь) tg2(\x) + Л]^ = 0.
Частное решение: г/о = [cos(Ax)]&/A.
38. 7/L + a tg71 ж ^ + (а tg7^1 х-a tg71 ж + 4)у = 0.
Частное решение: г/о = sin ж cos ж.
39. 2/L + [atgTX(te) + с]у'х + actgTl(te)?/ = 0.
Частное решение: уо = е~сх.
40. 2/L + tg х (a tg71 ж + Ъ - 1)у'х + (ab tg7^2 х - a tg71 х + 26 + 2)у = 0.
Частное решение: г/о = sin x cos ж.
41. у'^ + (аж + 6) tg71^) ^ - atg71^)?/ = 0.
Частное решение: у0 = ах + Ъ.
42. y'L + аж71 tg™(te) у'х - ах"-1 tErn(bx)y = 0.
Частное решение: г/о = х.
43. 2/L + аж71 tgTTl(te) ^ + с[ажтг+'г tgTTl(te) - сх2к + ^ж'8]?/ = 0.
Частное решение: г/о = ехр (— —-—хк+1).
44. ухх + ctg Ж1/1 + i/(i/ + 1)у = 0.
Замена ? = cos ж приводит к уравнению Лежандра 2.1.2.148: (?2 — 1)г/^ +
- i/(i/+ 1J/= 0.
45. 7/L + 2a ctg(a«) у'х + (б2 - а2)^ = 0.
тт cos(bx)
Частное решение: г/о =
sin(ax)
46. т/^ + (Л — а) с^(Лж) ^ + аЛт/ = 0.
Частное решение: г/о = [sin(Ax)]a^ .
47. т/1 + a ctg(Aaj) у'х+Ъу = 0.
Замена ? = Лж + -|- приводит к уравнению вида 2.1.6.29: г/^ — аЛ tg ? г/^ + Ъ\~2у = 0.
48. 2/L - 2аctgBаж) у'х - b2 sin2Bax)y = 0.
Решение: у = Ci ехр — sin2 (аж) + Сч ехр sin2 (аж) .
La J La J
49. ухх — nctgxy'x + a2(sinxJny = 0.
Решение: у = Ci 8т(агг) + Сг С08(агг), где и = / sinn ж а'ж.
50. ухх - 2 ctgB«) 2/L + a tg2 ж т/ = 0.
Замена ? = cos ж приводит к уравнению Эйлера 2.1.2.118: ^2у'^ — ^ + ау = 0.
51. 2/L + a ctg(Aaj) ^ + 6[А + (А - а - Ъ) ctg2(Аж)]?/ = 0.
Частное решение: уо = [sin(Xx)]b^x.
52. 2/L + a ctg ж ^ + (Ь ctg2 ж + с)у = 0.
Частный случай уравнения 2.1.6.55.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 201
53. ухх + 2Л ctg(Aa?) ^ + (аж2 + Ьж + с)?/ = 0.
Замена u = ysin(\x) приводит к уравнению вида 2.1.2.6: и'1х + (ах2 +Ъх + с + \2)и = 0.
54. т/1 + 2Actg(Aaj) j? + (ах2п + Ьж71 - A2)ty = 0.
Замена и = ysin(Xx) приводит к уравнению вида 2.1.2.10: и'1х + (ах2п + Ъхп~1)и = 0.
55. 2/1 + (a tg х + Ъ ctg ж)т/ж + (а tg2 х + /3 ctg2 ж + 7J/ = °
Преобразование ? = sin2 x, y = w sinn ж cosm ж, где пит — корни квадратных уравнений
п2 + (Ъ - 1)п + C = 0, т2 - (а + 1)т + а = О,
приводит к гипергеометрическому уравнению 2.1.2.158:
56. 2/1 + а ctg71 (Ъх) у'х + с[а ctg71 (Ъх) - с]у = 0.
Частное решение: ?/о = е~сх.
57. 7/L + [a ctg71 (Ьж) + с]^ + ас ctg71 (Ъх)у = 0.
Частное решение: г/о = е~сж.
58. 7/L + (аж + 6) ctg71 (еж) у'х - а ctg7г(cж)?/ = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
59. j/L + ож" ctg^Cba;) ^ - ахп~х ctgm(bx)y = О.
Частное решение: уо = ж.
60. у"х + аж71 ctgTTl(te) у'х + с[ажтг+'г ctgTTl(te) - cx2k + ^ж'8]?/ = 0.
Частное решение: г/о = ехр (— xfc+1).
61. ж^'ж + [(аж2 + Ьх) sin71 (еж) + 2]у'х + bsinn(cx)y = 0.
Частное решение: уо = а -\ .
62. хухх + (аж7г+1 + 6 sin771 х)ух + аж71 F sin771 х + п)у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( хп+1).
V п + 1 /
63. хухх + (аж71 + 6ж sin771 ж)^ + [Ъ(ахп - 1) sin771 ж + апхп~х\у = 0.
Частное решение: уо = х ехр f жп J.
64. жт/L + ахп sin^ibx) у'х - [а(сх + 1)ж7г sinTTl(te) + с2ж + 2с]у = 0.
Частное решение: г/о = жесж.
65. ж^'ж + [аж71 sinTTl(te) + с]у'х + а(с - 1)ж7г sin™(Ъх)у = 0.
Частное решение: г/о = ж1-с.
66. ж^ж + аж cosri(te) ty^ - [а(сж + 1) cosri(te) + с2ж + 2с]у = 0.
Частное решение: уо = жесж.
67. Ж1ужж + [(аж2 + bx) cos71 (еж) + 2]у'х + Ьсоэ^сж)^ = 0.
Частное решение: уо = а -\- —.
68. хухх + (аж7г+1 + 6 cos771 х)ух + ажтгF cos771 ж + п)у = 0.
Частное решение: уо = ехр (— хп+1).
V п + 1 /
202 Уравнения второго порядка
69. хухх + [ахп cos™(foc) + c]yL + °>(с ~~ 1)ж71~1 cos™(foc)ty = 0.
Частное решение: уо = х1~с.
70. хухх + (аж71 + 6ж cos™ х)у'х + [^(аж71 — 1) cos™ ж + апхп~1]у = 0.
Частное решение: г/о = х ехр ( жп ).
V п /
71. ж?/"ж - 2Лж tg(Ax) tyL + (ax + 6)ty = 0.
Замена и = у cos(Ax) приводит к уравнению вида 2.1.2.59: жг4'ж + [(а + А2)ж + 6]гб = 0.
72. хухх + ах tgn(bx) у'х — [а(сх + 1) tgn(bx) + с2х + 2с]у = 0.
Частное решение: уо = хесх.
Частное решение: г/о = а + —.
х
74. хухх + (ажп+1 +6tg™ж)ty; + ахп(Ъ tg™ ж + п)у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — хп+1).
V п + 1 /
75. хухх + (аж71 + 6ж tg™ х)ух + [^(аж71 - 1) tg™ ж + апхп~г]у = 0.
Частное решение: уо = х ехр ( жп ).
76. жг/L + [аж71 tg™(te) + c]ty^ + а(с - 1)ж7г tg™(te)ty = 0.
Частное решение: уо = х ~с.
77. ж^ж + 2Аж ctg(Aж) ух + (аж + Ъ)у = 0.
Замена и = у sin(Ax) приводит к уравнению вида 2.1.2.59: хи'1х + [(а + \2)х + 6]гб = 0.
78. Ж1ужж + аж ctgn(bx) ух — [а(сж + 1) ctgri(te) + с2ж + 2с]у = 0.
Частное решение: уо = хесх.
79. жг/L + (аж7г+1 + 6 ctg™ х)ух + ажтгF ctg™ ж + n)ty = 0.
Частное решение: у о = ехр ( хп+1).
V п + 1 /
80. хухх + (аж71 + Ъх ctg™ ж)^ + [Ь(ажп - 1) ctg™ ж + апж71]?/ = 0.
Частное решение: уо = х ехр f жп J.
81. хухх + [аж71 ctg™(te) + с]ух + а(с - 1)ж7г ctg™(te)ty = 0.
Частное решение: уо = ж1-с.
82. х2ухх + ж(а sin71 ж + 1)?/^ + Ь(а sin71 ж — 6)ty = 0.
Частное решение: уо = х~ .
83. х2ухх + ж(а sin71 ж + 6)ty^, + 6(а sin71 ж — l)ty = 0.
Частное решение: уо = х~ .
84. х2ухх + аж71 sin™(te)ty^ + с[ахп~г sinm(bx) - с - 1]у = 0.
Частное решение: у о = ж~с.
85. х2ухх + ж(а cos71 ж + 1)?/^ + Ь(а cos71 ж — Ь)у = 0.
Частное решение: уо = х~ .
2.1. Линейные уравнения второго порядка 203
86. х2ухх + х(а cos71 ж + 6)т/^ + 6(а cos71 ж — 1)у = 0.
Частное решение: уо = х~ .
87. ж2т/"ж + ахп cos™(Ьх)у'х + с^аж71 cosTTl(te) - с - 1]?/ = 0.
Частное решение: г/о = ж~с.
88. ж2?/"ж - 2Лж2 tg(Ax) ^ + (аж2 + Ьх + с)?/ = 0.
Замена гг = ^/cos(Ax) приводит к уравнению вида 2.1.2.110:
х и'хх + [(а + Л )х +Ъх + с]и = 0.
89. х2ухх + жA - 2ж tg х)ух - (ж tg ж + v2)y = 0.
Решение: у cos х = CiJu (х) + СгУ^ (ж), где J*, (ж) и Yv (x) — функции Бесселя.
90. х2у"х — хBх tg ж + k)yfx + (аж2 + 6ж + с + kx tg ж)т/ = 0.
Замена и = ycosx приводит к уравнению вида 2.1.2.126:
ж\"ж - кхих + [(а + 1)ж2 + 6ж + ф = 0.
91. ж2^'ж + ж(а tg71 ж + 1)^ + 6(а tg71 х - Ъ)у = 0.
Частное решение: уо = х~ .
92. ж2^'ж + ж(а tg71 ж + 6)^ + Ъ(а tg71 ж - 1)у = 0.
Частное решение: у0 = х~ь.
93. ж2^'ж + аж71 tgTTl(te) ^ + сК tgTTl(te) - с - 1]у = 0.
Частное решение: г/о = х~с.
94. ж2^'ж + 2Лж2 ctg(Ax) у'х + (аж2 + Ьх + с)?/ = 0.
Замена и = iysin(Ax) приводит к уравнению вида 2.1.2.110:
х2и'хх + [(а + Л2)ж2 + Ьх + с]гг = 0.
95. х2ухх + жBж ctg ж + fc)^ + (аж2 + Ьх + с + kx ctg ж)т/ = 0.
Замена и = г/ sin x приводит к уравнению вида 2.1.2.126:
х2и'хх + &жг4 + [(а + 1)х2 +Ъх + с]и = 0.
96. ж2^'ж + ж(а ctg71 ж + 1)^ + Ъ(а ctg71 х - Ъ)у = 0.
Частное решение: г/о = х ъ.
97. х2ухх + ж(а ctg71 ж + Ъ)ух + Ъ(а ctg71 ж - 1)у = 0.
Частное решение: у0 = х~ь.
Частное решение: г/о = х~с.
99. * « ¦ Г • ^
'ж + [a sin (A) + ф = 0.
Преобразование ? = 1/ж, г^ = г//ж приводит к уравнению вида 2.1.6.3:
+b]w = 0.
100. ж4^'ж + аж2 sinTl(te) ^ + [а(с - ж) sinTl(te) - с2]у = 0.
Частное решение: г/о = жехр(с/ж).
101. хАухх + аж2 cosri(te) 7/^, + [а(с — ж) cosri(te) — с2]у = 0.
Частное решение: г/о = жехр(с/ж).
204 Уравнения второго порядка
102. х4ухх + ах2 t%n{bx) ух + [а(с - х) tgn(bx) - с2]у = 0.
Частное решение: уо = жехр(с/ж).
103. х4ухх + ах2 ctgn(bx) у'х + [а(с - х) ctgTl(te) - с2]у = 0.
Частное решение: уо = жехр(с/ж).
104. sinBaj) ухх -у'х + 2а2 sin2 x у = 0.
Решение: у = Ci sin (cm) + C2 cos (cm), где и = / ytgx с/ж.
105. sinBx) 7/L - 2ny'x + 2a2 sin2 ж (tg хJп-гу = 0.
Решение: у = C\ sin(cm) + C2 cos(cm), где и = tgn ж с/ж.
106. sin ж ухх + cos xy'x -\- v(y + 1) sin жу = 0.
Замена ? = cos ж приводит к уравнению Лежандра 2.1.2.148: A — ?2)^ ^
+ i/(i/ + \)у = 0.
107. sin х ухх + Bп + 1) cos ж т/^ + (i/ — п) (у + п + 1) sin ж т/ = 0.
Здесь v — любое, п — натуральное число. Замена ? = cos ж приводит к уравнению вида
2.1.2.149: (?2 - l)y'lt + 2(п + 1)?^ + (п - i/)(i/ + п + l)j/ = 0.
108. sin2 ж 2/L + ay = 0.
Частный случай уравнения 2.1.6.110.
109. sin2 ж ухх - [a sin2 ж + п(п - 1)]у = 0, п = 1, 2, 3, ...
Решение: 2/ = 8тггж('^ !V(Cie^ + С2б-Ж^).
V sin ж dx / v y
110. sin2 ж у"ж + (л sin2 ж + 6)т/ = 0.
Полагая ж = 2? и используя тригонометрические формулы sin 2? = 2 sin ? cos ? и
6 = 6(sin2 ? + cos2 ?J, после деления всех членов на sin2 ж приходим к уравнению вида
2.1.6.55: y'lz + Ftg4 + frctg2 ? + 4a + 2% = 0.
111. sin2xyxx - {[(a262 - (a + IJ] sin2 ж + a(a + 1N sin 2ж + a(a - 1)}?/ = 0.
Частное решение: г/о = eabx sina ж (cos ж + 6 sin ж).
112. sin2 ж 2/^ж + sin ж cos xy'x -\- \y(y + 1) sin2 ж — n2]y = 0.
Здесь i/ — любое, п = 0, 1, 2, ...
Преобразование ? = cos ж, у = u>sinn ж приводит к уравнению вида 2.1.2.149:
f ' 2(n + 1)?Ц + (n - i/)(n + v + 1)гу = 0.
113. sin2 ж удд. + sin ж (a cos ж + Ъ)ух + (a cos2 ж + /3 cos ж + 7K/ = 0.
Полагая ж = 2? и используя тригонометрические формулы
sinB?) = 2 sin ^ cos ^, cosB?) = cos2 ? — sin2 ?, 6 = 6(sin2 ? + cos2 ?),
/3 = /3(sin2 ? + cos2 ?), 7 = 7(sin2 ? + cos2 ?J,
после деления всех членов на sin2 ж приходим к уравнению вида 2.1.6.55:
114. cos2 ж ухх — [a cos2 ж + п(п — 1)]у = 0, п = 1, 2, 3, ...
Решение: ^cos^f—^ !V(Cie^ + С2е-Ж^).
V cos х dx J v 7
115. cos2 ж т/"ж + (a cos2 ж + 6)y = 0.
Замена ж = ? + -|-7г приводит к уравнению вида 2.1.6.110: sin2 ? у1^ + (a sin2 ? + Ь)г/ = 0.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 205
116. cos2 ж ухх + a sinB#) ух + [Ъ cosB#) + с]у = 0.
Деля на cos2 ж и используя формулы
sinBx) = 2 sin ж cos ж, cosBx) = cos2 ж — sin2 ж, с = c(sin2 x + cos2 ж),
получим уравнение вида 2.1.6.55: ухх + 2atgxy'x + [(с — Ъ) tg2 ж + Ъ + с]г/ = 0.
117. cos2 (ах) ухх + (п — 1)а sinBaa?) ^ + па2[(п — 1) sin2 (ax) + cos2(aa?)]7/ = 0.
Частное решение: г/о = со8п(аж).
118. cos2 ж у"ж + cos х (°> sin х + &)?/ж + (ск sin2 х -\- /3 sin ж + *у)у — 0.
Замена ж = ? + -у приводит к уравнению вида 2.1.6.113:
sin2 ?г/^ — sin ? (a cos ? + Ь)г/? + (а cos2 ? + /3 cos ? + 7J/ = 0.
119. sin ж cos2 ж 2/^ж + cos ж (а sin2 ж + 6)т/^ + с sin ж т/ = 0.
1°. Деля на sin ж cos2 ж и полагая 6 = 6(sin2 ж + cos2 ж), с = c(sin2 ж + cos2 ж), получим
уравнение вида 2.1.6.55: у%х + [(а + 6) tg ж + bctgx]yfx + c(tg2 ж + 1)г/ = 0.
2°. Частные решения:
г/о = cosa ж при с = а(Ь+1),
S/o^g1"^ при с = (а + 2)(Ь — 1),
г/о = sin1" жсо8аН :ж при с = 2(а + 6 — 1).
120. sin ж cos2 ж т/"ж + cos ж (a sin2 ж — 1)^ + Ь sin3 ж т/ = 0.
Решение: у = C\(cosx)kl + (^(совж)^, где A?i и &2 — корни квадратного уравнения
2
к2 - ак + Ъ = 0.
121. sin2 ж cos2 ж yl + (a sin2 x -\- b cos2 ж + с sin2 ж cos2 ж)т/ = 0.
Деля на sin2 ж cos2 ж и полагая a = a (sin2 ж + cos2 x), b = 6(sin2 ж + cos2 ж), получим
уравнение вида 2.1.6.55: ухх + (atg2 ж + frctg2 ж + a + Ъ + с)г/ = 0.
122. [а зт(Аж) + 6ж + с]у"х + аЛ2 зт(Аж) 7/ = 0.
Частное решение: уо = а 8т(Аж) + Ьх + с.
123. [а соз(Лж) + 6ж + с]^'ж + аЛ2 соз(Лж) у = 0.
Частное решение: уо = а со8(Лж) + 6ж + с.
124. sinn(ax) y'L + {x2 - Ь2)у'х - {х + Ъ)у = 0.
Частное решение: уо = х — Ь.
125. sin"(Лаг) у"х + [Л2 sin"(Лаг) + асо8тг-4(Лж)]?/ = 0.
Преобразование ? = tg(A#), ги = приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
cos(Ax)
гу^+аЛ?-пгу = 0.
126. (a sin71 ж + 6)^ш + (с sin71 ж + d)y?, + Л[(с - аЛ) sin71 ж + d - 6Л]т/ = 0.
Частное решение: уо = е~
127. со8тг(Лж) 7/L + [Л2 со8тг(Лж) + a sin™'4 (\х)]у = 0.
Замена Лж = -|— А? приводит к уравнению вида 2.1.6.125.
128. со8тг(аж) 7/L + (ж2 - Ъ2)у'х - (ж + 6)т/ = 0.
Частное решение: уо = х — Ь.
129. (a cos71 ж + Ь)у"х + (с cos71 ж + d)yx + Л[(с - аЛ) cos71 ж + d - 6Л]т/ = 0.
Частное решение: г/о = е~Лж.
206 Уравнения второго порядка
130. (a tg71 ж + Ъ)ухх + (еж + d)yx - су = 0.
Частное решение: у0 = сх + d.
131. (a tg71 ж + Ь)ухх + (с tg71 ж + d)y'x + Л[(с — аЛ) tg71 ж + d — b\]y = 0.
Частное решение: уо = е~Лж.
132. (a ctg71 ж + 6)tyL + (с ctg71 ж + d)y?, + Л[(с - аЛ) ctg71 x + d- b\]y = 0.
Частное решение: уо = е~Лж.
2.1.7. Уравнения, содержащие обратные
тригонометрические функции
I- Ухх + («ж + Ъ + с arcsin ж)у?. + [с(ах + 6) arcsin ж + а]у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-аж2 — Ьж).
2. 2/жж + ^(arcsin х)пу'х + с[6(агсз1пжOг — c]ty = 0.
Частное решение: уо = е~сж.
Частное решение: у о = ехр ( —хш+1).
V m + 1 /
4. 2/жж + (ах + Ь) (arcsin жO1 у'х — a(arcsin x)ny = 0.
Частное решение: уо = ах + Ь.
5. 2/жж + аж71 (arcsin жO71 ty^, — аж71 (arcsin жO71 ty = 0.
Частное решение: уо = х.
6. 2/жж + (аж + Ь -\- с arccos х)ух + [с(аж + 6) arccos ж + a]ty = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-аж2 — Ьж).
7. 2/жж + ^(arccos x)nyx + c[6(arccos жO1 — c]ty = 0.
Частное решение: уо = е~сж.
8. y'L + ^(arccos жO1^ + а[Ъх™(arccos жO1 - ах2гп + тж771]^ = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — хш+1).
\ т + 1 /
9. 2/жж + (ах + Ь) (arccos жO1^ — a(arccos x)ny = 0.
Частное решение: уо = ах -\- Ь.
Ю. Ухх + ожп(arccos жO71 у'х — ахп~1 (arccos ж)гпу = 0.
Частное решение: уо = х.
II- 2/жж + (ах + Ь + с arctg ж)^ + [с(аж + b) arctg ж + a]ty = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-аж2 — Ьж).
12. 2/жЖ + ^(arctg жO1^ + c[6(arctg жO1 — c]ty = 0.
Частное решение: уо = е~сх.
13. 2/L + b(arctg х)пух + a[teTTl(arctg жO1 - ах2гп + тж771]^ = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — хш+1).
V т + 1 /
14. 2/жЖ + (ах + Ь) (arctg жO1^ — a(arctg x)ny = 0.
Частное решение: уо = ах -\- Ь.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 207
15. ухх + aa^arctga;)™^ - aa^-^arctg х)ту = 0.
Частное решение: уо = х.
16. у"х + (ах -\- b -\- carcctg х)ух + [с(ах + b) arcctg х + а]у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—уаж2 — Ъх).
17. 2/L + b(arcctg х)пух + c[6(arcctg жO1 - с]у = 0.
Частное решение: уо = е~сх.
18. ухх + 6(arcctg жO1^ + a^bx™(arcctg х)п — ах2гп + шж'1]!/ = 0.
Частное решение: г/о = ехр ( жт+1).
V т + 1 /
19. Ухх + («ж + 6) (arcctg x)ny'x — a(arcctg x)ny = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
20. ?/"ж + аж71 (arcctg ж)™^ - аж71 (arcctg x^y = 0.
Частное решение: уо = ж.
21. жт/жж + ах arcsin х у'х — \а(Ъх + 1) arcsin ж + Ъ(Ъх + 2)]т/ = 0.
Частное решение: г/о = же&ж.
22. Ж1у^ж + [аFж + 1) arcsin х -\- Ъх — 1\ух -\- ab2x arcsin ж у = 0.
Частное решение: г/о = (Ьж + 1)е~
23. жгу"ж + [(аж2 + 6ж) arcsin ж + 2]ty^, + b arcsin xy = 0.
Частное решение: г/о = а + —.
ж
24. ж^ж + [ах(arcsin х)п + 6]ty^ + а(Ь - 1) (arcsin ж)пу = 0.
Частное решение: г/о = ж1" .
25. жг/дд. + (аж71^1 + 6 arcsin ж)^ + аж71 F arcsin ж + n)ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр (— жп+1).
V п + 1 /
26. жг/дд. + (ахп + 6ж arcsin ж)^ + [^(аж71 — 1) arcsin ж + апхп~1]у = 0.
Частное решение: г/о = х ехр (——хп ).
27. ж ty^'jc + bx arcsin ху'х -\- а(Ь arcsin ж — а — 1)у = 0.
Частное решение: у0 = х~а.
28. х2ухх + жF arcsin ж + 2)ty^, + [Ь(аж + 1) arcsin ж — а2х2]у = 0.
Частное решение: г/о = —е~аж.
ж
29. жудд. + аж arccos хух — [а(Ъх + 1) arccos ж + 6Fж + 2)]ty = 0.
Частное решение: уо = хе х.
30. хухх + [аFж + 1) arccos ж + 6ж — 1]у'х + ab2x arccos ж у = 0.
Частное решение: г/о = (Ьж + 1)е~&ж.
31. жг/да. + [(аж2 + Ъх) arccos ж + 2]ty^, + Ь arccos ж ty = 0.
Частное решение: г/о = а + —.
208 Уравнения второго порядка
32. хухх + [aa?(arccos жO1 + Ь]у'х + аF — l)(arccos х)пу = 0.
Частное решение: г/о = ж1" .
33. ж?/жж + (аж х + 6 arccos ж)^ + аж71 F arccos х + п)т/ = 0.
Частное решение: г/о = ехр ( — —-—хп+1).
V п + 1 /
34. хухх + (ажп + Ъх arccos х)у'х + \Ь(ахп — 1) arccos ж + апхть~1]у = 0.
Частное решение: уо = х ехр ( ——жп ).
V п /
35. х2ухх + 6ж arccos ж т/^, + аF arccos ж — а — 1)т/ = 0.
Частное решение: г/о = ж~а.
36. х2ухх -\- x(b arccos ж + 2)ty?, + [6(аж + 1) arccos ж — а2х2]у = 0.
Частное решение: г/о = —е~ах.
х
37. хухх + аж arctg хух — [а(Ьх + 1) arctg ж + b(bx + 2)]у = 0.
Частное решение: г/о = же&ж.
38. жудд. + [аFж + 1) arctg х -\- Ъх — 1]ух -\- ab2x arctg ж у = 0.
Частное решение: г/о = (Ьж + 1)е~Ъх.
39. жгу^а. + [(аж2 + Ъх) arctg ж + 2]у'х + 6 arctg ж у = 0.
Частное решение: г/о = а + —.
40. жг/"ж + [аж^г^жO1 + 6]ty^, + аF — 1)(arctg x)ny = 0.
Частное решение: г/о = ж1" .
41. жг/дд. + (аж71^1 + Ь arctg ж)у^ + аж71 F arctg ж + п)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр ( —жп+1).
V п + 1 /
42. жг/"ж + (аж71 + Ъх arctg ж)у?. + [^(аж71 — 1) arctg ж + апхп~1]у = 0.
Частное решение: уо = х ехр ( ——жп ).
V п /
43. жг/да. + aж(arctg7г ж + 6)ty^, — a(arctg71 ж + 6)ty = 0.
Частное решение: г/о = ж.
44. жг/да, + Ъ arctg71 xy'x -\- a(b arctg71 ж — ах)у = 0.
Частное решение: г/о = е~аж.
45. хухх + a(arctg71 ж + Ъх)у'х + аб arctg71 ж ty = 0.
Частное решение: г/о = е~ ж.
46. жг/да, + 6 arctg71 х у'х -\- ах(Ъ arctg71 ж — аж2 + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—у«ж2).
47. х2ухх + 6ж arctg xy'x -\- a(b arctg ж — а — l)ty = 0.
Частное решение: г/о = ж~а.
48. ж2^ж + x(b arctg ж + 2)ty^, + [6(аж + 1) arctg ж — а2х2]у = 0.
Частное решение: г/о = —е~а
х
2.1. Линейные уравнения второго порядка 209
49. х2ухх + a«(arctgTl ж + 6)^ — a(arctgTl ж + 6)ty = 0.
Частное решение: уо = х.
50. х2ухх + 6 arctg71 ху'х -\- а(Ъ arctg71 ж — ах2)у = 0.
Частное решение: г/о = е~аж.
51. х2ухх + a(arctgTl ж + Ъх2)у'х + абarctg71 xy = 0.
Частное решение: г/о = е~&ж.
52. ж2?у"ж + ж[(аж + Ь) arctg71 ж + 2}ух + 6 arctg71 ж у = 0.
Частное решение: г/о = а + —.
ж
53. жг/"ж + аж arcctg ж ty^, — [аFж + 1) arcctg ж + 6Fж + 2)]у = 0.
Частное решение: уо = хе х.
54. жг/дд. + [а(Ьх + 1) arcctg ж + Ьх — 1]у'х + ab2x arcctg ж ty = 0.
-Ьж
Частное решение: у о = (Ьх + 1)е
55. хухх + [(аж2 + bx) arcctg ж + 2\ух -\- Ъ arcctg ж у = 0.
Частное решение: уо = а -\ .
х
56. хухх + [aж(arcctg жO1 + 6]ty^, + а(Ъ — 1) (arcctg x)ny = 0.
Частное решение: уо = хх~ .
57. Ж1у^ж + (ажп+1 + 6 arcctg ж)^ + аж71 F arcctg ж + п)у = 0.
Частное решение: уо = ехр (— хп+1).
58. хухх + (аж71 + 6ж arcctg ж)^ + [b(axn — 1) arcctg ж + апхп~г]у = 0.
Частное решение: уо = х ехр f жп J.
59. х2ухх + 6ж arcctg ж ty^, + аF arcctg ж — а — l)ty = O.
Частное решение: уо = ж~а.
60. х2ухх + жF arcctg ж + 2)ty?, + [6(аж + 1) arcctg ж — а2х2]у = 0.
Частное решение: гуо = —е~ах.
х
61. (аж2 + Ь)ухх + с(аж2 + 6)(arcsin жO1^ — 2a[V%c(arcsin жO1 + 1]у = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
62. (аж2 + Ъ)ухх + с(аж2 + 6)(arccos х)пу'х - 2а[сж(агссоз жO1 + 1]у = 0.
Частное решение: уо = ах2 + 6.
63. (ж2 + 1)ухх - [а2(ж2 + 1) (arctg жJ + а]у = 0.
Частное решение: уо = (х2 + 1)~а'2 exp(axarctgx).
64. (аж2 + Ь)ухх + с(аж2 + Ь) (arctg жO1 ty^ - 2а[еж(arctg жO1 + l]ty = 0.
Частное решение: уо = аж2 + 6.
65. (аж2 + Ь)ухх + с(аж2 + b) (arcctg жO1^ — 2a^(arcctg жO1 + l]ty = 0.
Частное решение: уо = ах2 + 6.
14 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
210 Уравнения второго порядка
66. х4ухх + ах^ arcsin ж у'х + [а(Ь — ж) arcsin х — Ь2]у = 0.
Частное решение: уо = жехр(Ъ/ж).
67. х4ухх + ах2 arccos ху'х -\- [а(Ь — х) arccos х — Ь2]у = 0.
Частное решение: г/о = жехр(Ъ/ж).
68. ж4г/"ж + аж2 arctg ху'х-\- [а(Ь — х) arctg х — Ь2]у = 0.
Частное решение: г/о = жехр(Ъ/ж).
69. х^Ухх + аа?2 arcctg ху'х -\- [а(Ь — х) arcctg х — Ь2]у = 0.
Частное решение: уо = жехр(Ъ/ж).
70. (ж2 + 1J2/L + [a(arctg жJ + Ъ arctg х + с]у = 0.
Преобразование ? = arctg ж, ги = —^^^^ приводит к уравнению вида 2.1.2.6:
уж2 + 1
wa + (а^ + Ь? + с + 1)гу = 0.
71. (ж2 + ify'L + [6(arctg x)n - 1]у = 0.
у
Преобразование ? = arctg ж, w = —^^^= приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
Лс2 + 1
w'^ + 6?nw; = 0.
72. (ж2 + 1Jухх + [a(arcctg жJ + Ъ arcctg ж + ф = 0.
Преобразование ? = arcctg ж, ги = —-;^=^= приводит к уравнению вида 2.1.2.6:
Лс2 + 1
73. (ж2 + 1Jухх + [6(arcctg жO1 - 1]у = 0.
у
Преобразование ? = arcctg ж, w = —1^=^= приводит к уравнению вида 2.1.2.7:
Vx2 + 1
w'^ _|_ b^nw = 0.
74. (аж2 + ЬJухх + (еж + d) (arcsin жOlty^J — c(arcsin x)ny = 0.
Частное решение: г/о = сх + с/.
75. (ж2 + аJухх + 6(ж2 + a) (arcsin ж)^ty^, — [6ж(arcsin жO1 + a]ty = 0.
Частное решение: г/о = л/ж2 + а.
76. (аж2 + ЬJухх + с(аж2 + 6) (arcsin жO1 ty^, + [c(arcsin жO1 — 2аж — 1]у = 0.
Частное решение: г/о = ехр ( — / — ).
V J ах2 + Ъ /
77. (аж2 + ЪJухх + (еж + d) (arccos жO1^ — c(arccos x)ny = 0.
Частное решение: г/о = еж + с/.
78. (ж2 + аJухх + 6(ж2 + a)(arccos жO1^ — [te(arccos жO1 + a]ty = 0.
Частное решение: г/о = л/ж2 + а.
79. (аж2 + ЪJухх + с(аж2 + 6) (arccos жO1^ + [c(arccos жO1 — 2аж — l]ty = 0.
Частное решение: г/о = ехр (— / — ).
V J ах2 + Ь /
80. (аж2 + ЬJухх + (еж + d) (arctg жO1^ — c(arctg x)ny = 0.
Частное решение: г/о = еж + с/.
81. (ж2 + аJ^ш + Ь(ж2 + а) (arctg х)пух - [te(arctg жO1 + а]у = 0.
Частное решение: г/о = л/^2 + а-
2.1. Линейные уравнения второго порядка 211
82. (ах2 + ЪJухх + с(ах2 + Ь) (arctg х)пу'х + [c(arctg х)п - 2ах - 1]у = 0.
тт ( [ dx \
Частное решение: уо = ехр ( — / — ).
V J ах2 + Ь /
83. (аж2 + ЪJухх + (еж + d) (arcctg жO1^ - c(arcctg x)ny = 0.
Частное решение: у0 = сх + d.
84. (ж2 + аJухх + &(ж2 + a) (arcctg х)пу'х - [Ьх(arcctg х)п + а]?/ = 0.
Частное решение: г/о = л/ж2 + а.
85. (аж2 + ЬJу"х + с(аж2 + 6) (arcctg x)nyx + [c(arcctg жO1 - 2аж - 1]?/ = 0.
Частное решение: уо = ехр (— / — ).
V J ах2 + Ь /
2.1.8. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных,
логарифмических, тригонометрических и других функций
1. y'L + аеЛж^ + Ь[Ь + аеХх tg(te)]y = 0.
Частное решение: г/о =
2. tyL + аеЛж^ + Ь[Ь - аеХх ctg(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = sin(bx).
3. tyL + а сЬтг(Лж) ^ + 6[6 + а сЬтг(Лж) tg(te)]ty = 0.
Частное решение: г/о = cosFx).
4. 2/L + achn(\x) yx + 6[6 - achn(\x) ctg(bx)]y = 0.
Частное решение: г/о = sinFx).
5. 2/L + асЬтг(^ж) ^ + beXx[achn(kx) - beXx + A]ty = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — — е х ).
6. tyL + а 8Ьтг(Лж) ^ + Ь[Ь + а 8Ьтг(Лж) tg(te)]ty = 0.
Частное решение: уо = cos(bx).
7. 2/L + ash^iXx) yx + 6[6 - ash^iXx) ctg(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = sinfbx).
8. ухх +ashn(kx) ух + 6еЛаг[а8Ьтг(^ж) - ЪеХх + A]ty = 0.
Частное решение: уо = ехр (— — еХх).
9. ухх + athn(\x) у'х + 6[6 + athn(\x) tg(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = cosFx).
10. ухх +athn(\x) ух + 6[6 - athn(\x) ctg(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = sinfbx).
11. ухх +athTl(kx) ух + 6eAjc[athTl(^) - ЪеХх + A]ty = 0.
Частное решение: уо = ехр f — — е х ).
12. 2/L +асШтг(Лж)^ +6[6 + acthTl(Лж)tgFж)]ty = 0.
Частное решение: уо = cos(frr).
13. ухх +acthn(\x)y'x +6[6-acthTl(Лж)ctgFж)]ty = 0.
Частное решение: уо = sin(bx).
14*
212 Уравнения второго порядка
14. ухх + a cth71 (кх) у'х + beXx [a cth71 (кх) - ЬеХх + \]у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — — еХх J.
15. y'L +а\пп(\х)у'х + b[b + а\пп(\х) tg(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = cos(bx).
16. y'L -\-a\nTl(\x)y'x + 6[6-а1птг(Аж)^Fж)]?/ = 0.
Частное решение: уо = sin(bx).
17. y'L + о, In71 (кх) у'х + ЬеЛаг [a In71 (fcas) - ЬеЛаг + \]у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( е ж ).
18. 2/L +acosn(b) y'x + 6еЛаг[асо8тг(^ж) - ЬеЛаг + \]у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — — е ж j.
19. 2/L + asinn(kx) y'x + 6еЛаг[а8ттг(^ж) - beXx + A]ty = 0.
Частное решение: уо = ехр ( е ж j.
20. y'L +atgTl(kx) y'x + 6eAjc[atg7l(^) - beXx + A]ty = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — — еХх J.
21. y'L + actg71^^) ty^, + ^e x[°> ctg7г(fcж) — be x -\- \]y = 0.
Частное решение: гуо = ехр f — — еЛж J.
22. y'L + (aeXx + 6 In71 ж)^ + aeXx (b In71 ж + \)y = 0.
Частное решение: уо = ехр f — — еХх j.
23. y'L + (ле ж + b cos ж)^ + b(ae x cos ж — sin x)y = 0.
Частное решение: уо = exp(—6 sin ж).
24. y'L + (оеЛж + b cos71 ж)^ + аеЛагF cos71 ж + A)ty = 0.
Частное решение: уо = ехр ( — — е ж j.
25. y'L + (аеЛаг + b cos71 ж)^ + 6 cos71 ж (аеЛаг cos ж — п sin ж)?/ = 0.
Частное решение: уо = ехр (—bj cosn ж с/ж j.
26. y'L + (аеЛаг + 6 sin x)y'x + 6(аеЛаг sin ж + cos ж)?/ = 0.
Частное решение: уо = ехр(Ъсо8ж).
27. ухх + («еЛаг + 6 sin71 ж)^ + aeAjcFsinTl ж + A)ty = 0.
Частное решение: уо = ехр (— — еХх J.
28. ty^'jc + (ae x -\- b sin71 ж)^ + 6 sin71 ж (ae ж sin x -\- n cos ж)гу = 0.
Частное решение: уо = expf — Ъ I sinn жс/жУ
29. ухх + (аеЛаг + b tg ж)^ + F + 1)(аеХх tg ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = cos +1 ж.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 213
30. y'L + (аеХх + btg™ х)у'х + aeAjcFtg™ х + \)у = 0.
Частное решение: уо = ехр (— — еХх).
31. ухх + (аеХх + Ъ ctg ж)^ + F - 1)(аеХх ctg ж - l)ty = 0.
Частное решение: уо = sin1" ж.
32. у':х + (оеЛш + 6 ctg" х)у'„ + аеАж (Ь ctg" ж + А)</ = 0.
Частное решение: уо = ехр ( е ж ).
33. у"ж + (°> ch71 ж + 6 cos ж)^ + b(a ch71 ж cos ж — sin ж)т/ = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—6 sin ж).
34. у"ж + (а сп?г ж + 6 cos771 ж)т/ж + Ъ cos™ ж (a ch71 ж cos х — га sin ж)?/ = 0.
Частное решение: уо = ехр \—Ь\ cosm ж с/ж j.
35. у"ж + (а сп?г ж + 6 sin ж)т/ж + Ь(а ch71 ж sin ж + cos x)y = 0.
Частное решение: г/о = ехрFсо8ж).
36. Уда. + (a ch71 х -\- Ъ sin771 ж)^ + 6 sin7™ ж (а ch71 ж sin ж + га cos ж)гу = 0.
Частное решение: г/о = ехр [—Ь sinm ж с/ж J.
37. tyL + (a ch71 ж + 6 tg ж)^ + F + 1) (а ch71 ж tg ж + l)ty = 0.
Частное решение: г/о = cos +1 ж.
38. 2/L + (асЬ^ж + Ь^ж)^ + (Ъ- 1)(а ch71 ж ctg ж - 1)у = 0.
Частное решение: уо = sin1 ж.
39. у"х + (a sh71 ж + b cos ж)у?. + b(a sh71 ж cos ж — sin x)y = 0.
Частное решение: уо = ехр(—6 sin ж).
40. у"х + (a sh71 ж + 6 cos7™ ж)у?. + Ъ cos7™ ж (а sh71 ж cos ж — га sin ж)# = 0.
Частное решение: гуо = expf — Ъ I cosm xdx).
41. 2/жЖ + (о, sh71 ж + 6 sin ж)?/ж + b(a sh71 ж sin ж + cos ж)?/ = 0.
Частное решение: уо = ехр(Ъсо8ж).
42. ?/"ж + (a sh71 ж + 6 sin7™ ж)у?. + Ъ sin7™ ж (а sh™ ж sin ж + га cos ж)?/ = 0.
Частное решение: уо = expf — Ъ I sinm xdx).
43. 2/L + (a sh™ ж + 6 tg x)yfx + F + 1) (a sh™ xtgx + l)y = 0.
Частное решение: гуо = cos + ж.
44. ухх + (a sh™ ж + Ь ctg ж)^ + (Ъ - 1) (а sh™ ж ctg ж - l)ty = 0.
Частное решение: уо = sin1" ж.
45. Уда. + (a th™ х -\- Ъ cos х)у'х + 6(а th™ ж cos ж — sin ж)гу = 0.
Частное решение: уо = ехр(—6 sin ж).
46. ty^'jc + (о, th™ ж + b cos7™ ж)?/ж + 6 cos7™ ж (a th™ ж cos ж — га sin ж)гу = 0.
Частное решение: уо = ехр (—bj cosm ж с/ж J.
214 Уравнения второго порядка
47. ухх + (a th71 ж + b sin х)у'х + b(a th71 ж sin ж + cos x)y = 0.
Частное решение: уо = expFcosx).
48. ухх + (a th71 х -\- b sin™ ж)у?, + 6 sin™ ж (а th71 ж sin ж + га cos ж)у = 0.
Частное решение: уо = ехр 1—Ь sinm ж с/ж).
49. у"ж + (a th71 ж + Ь tg х)ух + (Ь + 1) (а th71 ж tg ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = cos + ж.
50. у"ж + (a th71 ж + Ъ ctg ж)у« + F - 1) (а th71 ж ctg ж - 1)у = 0.
Частное решение: г/о = sin1 ж.
51. у"ж + (о, cth71 ж + 6 cos ж)т/^ + b(a cth71 ж cos ж — sin ж)т/ = 0.
Частное решение: уо = ехр(—bsinx).
52. у"ж + (a cth71 х -\- b cos™ ж)^ + b cos™ ж (а cth71 ж cos ж — га sin ж)т/ = 0.
Частное решение: г/о = ехр 1—Ь cosm ж с/ж j.
53. ty^'jc + (a cth71 ж + 6 sin ж)yi. + b(a cth71 ж sin ж + cos x)y = 0.
Частное решение: г/о = ехрFсо8ж).
54. удд. + (a cth71 х -\- Ъ sin™ ж)у^, + 6 sin™ ж (а cth71 ж sin ж + га cos ж)у = 0.
Частное решение: г/о = ехр 1—Ь sinm ж с/ж).
55. у"х + (a cth71 ж + 6 tg х)у'х + (Ъ + 1) (а cth71 ж tg ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = cos +1 ж.
56. у"ж + (a cth71 ж + Ъ ctg ж)у^ + (Ъ - 1) (а cth71 ж ctg ж - 1)у = 0.
Частное решение: уо = sin1" ж.
57. Удд + (a In71 ж + Ъ cos ж)у^, + 6(а In71 ж cos ж — sin ж)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—6 sin ж).
58. Удд + (a In71 х -\- Ъ cos™ ж)у^, + Ъ cos™ ж (а In71 ж cos ж — га sin ж)у = 0.
Частное решение: уо = ехр 1—Ь cosm ж с/ж).
59. Удд + (a In71 х -\- Ь sin ж)у^, + b(a In71 ж sin ж + cos ж)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(Ъсо8ж).
60. Удд + (a In71 х -\- Ъ sin™ ж)у^, + Ъ sin™ ж (а In71 ж sin ж + га cos ж)у = 0.
Частное решение: уо = expf — Ъ I sinm ж с/ж).
61. у"х + (a In71 ж + Ъ tg ж)у^ + (Ъ + 1) (а In71 ж tg ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = cos&+1 ж.
62. yL + (ак^ж + Ь^ж^ + (Ъ- 1) (а In71 ж ctg ж- 1)у = 0.
Частное решение: уо = sin1" ж.
63. yL + аеХх cos(bx) ух + Ъ[Ъ + аеЛаг sinFx)]y = 0.
Частное решение: уо = cos(bx).
2.1. Линейные уравнения второго порядка 215
64. ухх + аеХх sin(bx) у'х + Ъ[Ъ - аеХх cos(bx)]y = 0.
Частное решение: г/о = sin(bx).
65. 7/L + асЬ(Ьж) 1птг(Лж) у'х - Ь[Ь + ash(bx) 1пп(\х)]у = 0.
Частное решение: уо = ch(bx).
66. у"ж + °> ch(bx) cosTl(Aa?) ty^, — b[b + a sh(foc) cosTl(Aa?)]7/ = 0.
Частное решение: г/о = сЬ(Ьж).
67. Уда. + а сЬ^Аж) cos(foc) ty^, + b[b + а ^^(Аж) sinFa?)]ty = 0.
Частное решение: г/о = cos(bx).
68. tyL + a ch(bx) sin71 (Аж) ^ - Ъ[Ъ + a sh(te) sin71 (Лж)]у = 0.
Частное решение: г/о = сЬ(Ьж).
69. tyL + асЬтг(Аж) sin(te) ty^ + b[b - асЬтг(Аж) cos(te)]ty = 0.
Частное решение: уо = sin(foc).
70. y'L + а сЬFж) tg71 (Аж) ^ - 6[6 + а sh(ta) tg71 (Xx)]y = 0.
Частное решение: уо = ch(bx).
71. tyL + a ch(bx) ctg71 (Аж) ух - Ь[Ь + a sh(ta) ctg71 (Аж)]?/ = 0.
Частное решение: уо = сЬ(Ьж).
72. 2/L + азЬ(бж) 1птг(^ж) ^ - Ь[Ь + а сЬFж) 1пТ1(^ж)]1у = 0.
Частное решение: уо = sh(bx).
73. Уда. + a sh(bx) cosn(kx) yfx — b[b + а сЬFж) соз7г(^ж)]1у = 0.
Частное решение: уо = sh(bx).
74. tyL + азЬтг(Аж) cos(te) yx + 6[6 + азЬтг(Аж) sin(te)]ty = 0.
Частное решение: у о = cos(foc).
75. ty^'jc + а вЬ(Ьж) з1п7г(^ж) ty^, — 6[6 + а сЬFж) з1п7г(^ж)]1у = 0.
Частное решение: уо = sh(bx).
76. tyL + ash^iXx) sin(bx) yx + 6[6 - аэЬ^Аж) cos(te)]ty = 0.
Частное решение: уо = sin(foc).
77. yxx + a shFx) tg71 (fca?) tyL - Ь[Ь + a ch(bx) tg71 (fex)]y = 0.
Частное решение: уо = sh(bx).
78. tyL + a sh(bx) ctg71 (Аж) ty^ - b[b + а сЬFж) ctg71 (Лаг)]у = 0.
Частное решение: уо = sh(foc).
79. ухх +athn(\x) cos(bx) y'x + b[b + athn(\x) sin(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = cos(frr).
80. yxx + а!Ь71(Аж) sin(te) yx + 6[6 - а!Ь71(Аж) cos(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = sin(foc).
81. 2/L + acthn(\x) cos(bx) yx + b[b + ас1Ь71(Аж) sin(te)]ty = 0.
Частное решение: уо = cos(bx).
82. tyL + ас1Ь71(Аж) sin(bx) yx + 6[6 - acthn(\x) cos(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = sin(foc).
83. yxx -\- а ^^(Аж) cos(bx) y'x + 6[6 + a Ы^Аж) sin(bx)]y = 0.
Частное решение: уо = cosFx).
216 Уравнения второго порядка
84. ухх + а\пп(\х) sin(bx) у'х + Ъ[Ъ - а\пп(\х) cos(bx)]y = 0.
Частное решение: г/о = sin(bx).
85. ухх + (а + Ъе2Хх) \пп(кх) у'х + Л[(а - Ье2Лаг) 1птг(^ж) - A]ty = 0.
Частное решение: г/о = 6еЛж + ае~Лж.
86. ухх + (а + Ье2Лж) cos^fca?) ^ + Л[(а - Ье2Лж) со8тг(^ж) - A]ty = 0.
Частное решение: уо = be х + ае~ ж.
87. i/L + (о + Ье2Ла!) sin™ (fez) j? + А[(о - be2XsB) sin™ (fez) - \}у = 0.
Частное решение: уо = be х + ае~ ж.
88. 1&. + (о + Ье2Аж) tgn(fcx) »; + А[(о - Ье2Лж) tgn(fcx) - А]» = 0.
Частное решение: уо = be х + ае~ ж.
89. ^ + (о + Ье2Аж) ctgtl(fca;) »; + А[(о - Ье2Хх) ctgn(kx) - \]у = 0.
Частное решение: уо = be х + ае~ ж.
90. y"x + (asn2x + b)y = 0.
Уравнение Ламе в форме Якоби, sn x — эллиптическая функция Якоби. Об этом уравнении
см. в книгах Э. Т. Уиттекера, Дж. Н. Ватсона A963), Г. Бейтмена, А. Эрдейи A967, т. 3),
Э. Камке A976).
91. y'L + [Ар{х) + В]у = 0.
Уравнение Ламе в форме Вейерштрасса, р(х) — функция Вейерштрасса. Об этом
уравнении см. в книгах Э. Т. Уиттекера, Дж. Н. Ватсона A963), Г. Бейтмена, А. Эрдейи
A967, т. 3), Э. Камке A976).
92. ху"х + (ах In х + ЪеХх)ух + а(ЪеХх In х + 1)у = 0.
Частное решение: уо = еахх~ах.
93. хухх + A - ахеХх In х)у'х + аеХху = 0.
Частное решение: уо = In ж.
94. хухх + (аж In ж + b ch71 ж)^ + a(b ch71 ж In ж + l)ty = 0.
Частное решение: уо = еахх~ах.
95. ж^ж + A - аж ch71 ж In ж)^ + а ch71 ж ty = 0.
Частное решение: г/о = In ж.
96. ж^ж + (ах In ж + 6 sh71 ж)^ + аF sh71 ж In ж + 1)у = 0.
Частное решение: у о = еажж~аж.
97. хухх + A - аж sh71 ж In х)ух + а sh71 ж у = 0.
Частное решение: уо = In ж.
98. хухх + (аж In ж + Ъ th71 ж)^ + а(Ъ th71 ж In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = еажж~аж.
99. хухх + A - аж th71 ж In х)ух + а th71 ж у = 0.
Частное решение: уо = In ж.
100. хухх + (аж In ж + Ь cth71 ж)^ + а(Ь cth71 ж In ж + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = еажж~аж.
101. жг/L + A - аж cth71 ж In х)ух + а cth71 ж у = 0.
Частное решение: уо = In ж.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 217
102. хухх + (ах In х + 6 cos71 ж)т/^ + аF cos71 ж In ж + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = еажж~аж.
103. жу"ж + A — аж cos71 ж In ж)у^ + а cos71 xy = 0.
Частное решение: г/о = In ж.
104. жг/дд. + (ах In ж + b sin71 ж)у^. + аF sin71 ж In ж + 1)у = 0.
Частное решение: г/о = еажж~аж.
105. жу"ж + A — аж sin71 ж Inж)у^ + а sin71 xy = 0.
Частное решение: г/о = In ж.
106. жу"ж + (ах In ж + Ь tg71 ж)^ + аF tg71 ж In ж + 1)у = 0.
Частное решение: у о = еажж~аж.
107. жу"ж + A — ах tg71 ж In ж)уд. + а tg71 ж ty = 0.
Частное решение: уо = In x.
108. жг/L + (аж In ж + 6 ctg71 х)у'х + аF ctg71 ж In ж + l)ty = 0.
Частное решение: у о = еахх~ах.
109. жуд-'д. + A — аж ctg71 ж In ж)^ + а ctg71 ж ty = 0.
Частное решение: уо = In x.
ПО. ж2^ж + ж(а In ж + ЪеХх)у'х + аFеЛаг In ж - In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-aln2 x).
111. ж2Уда. + ж(а In ж + 6 ch71 ж)у^ + аF ch71 ж In ж — In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—yaln2 ж).
112. ж2у"ж + ж(а In ж + Ъ sh71 ж)у^ + а(Ъ sh71 ж In ж - In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-aln2 ж).
113. ж2у"ж + ж(а In ж + Ъ th71 ж)у^ + а(Ъ th71 ж In ж - In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-aln2 ж).
114. ж2^'ж + ж(а In ж + 6 cth71 ж)у^ + аF cth71 ж In ж - In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(— \а In2 ж).
115. х2у"х + ж(а In ж + Ъ cos71 ж)у^ + аF cos71 ж In ж — In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(— \а In2 ж).
116. х2у"х + ж(а In ж + Ъ sin71 ж)у^ + аF sin71 ж In ж — In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(— у a In2 ж).
117. ж2^'ж + ж(а In ж + Ъ tg71 ж)у^ + аF tg71 ж In ж - In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—yaln2 ж).
118. х2у"х + ж(а In ж + 6 ctg71 ж)^ + a(b ctg71 ж In ж — In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-aln2 ж).
119. sin2 ж yL + sin ж (a + beXx)yx + аFеЛаг - cos x)y = 0.
(х \а
ctg — j .
120. sin2 ж у"ж + sin ж (a + 6 ch71 ж)у^ + a(b ch71 ж — cos x)y = 0.
(ж \ a
ctg — j .
218 Уравнения второго порядка
121. sin2 ж ухх + sin ж (а + b sh71 х)у'х + a(b sh71 x — cos x)y = 0.
(ж \ а
ctg — J .
122. sin2 x ухх + sin х (а + Ь th71 x)y'x + a(b th71 x - cos x)y = 0.
(ж \ а
ctg — J .
123. sin2 x ухх + sin х (а + 6 cth71 ж)^ + аF cth71 х - cos ж)?/ = 0.
(х \а
ctg — J .
124. sin2 x yxx + sin х (а + Ъ In71 ж)^ + аF In71 ж — cos ж)т/ = 0.
(х \ а
ctg — J .
125. cos2 ж ухх -\- cos ж (а + ЪеХх)ух + a(beXx + sin ж)т/ = 0.
[/Ж 7Г \ 1 а
ctg ( — + — ) •
126. cos2 ж 2/^ж + cos ж (а + Ъ ch71 ж)т/^ + аF ch71 ж + sin ж)т/ = 0.
[( X 7Г \ 1 а
ctg ( — + — ) •
127. cos2 ж ухх -\- cos ж (а + b sh71 ж)^ + a(b sh71 ж + sin x)y = 0.
[/Ж 7Г \ 1 а
ctg ( — + — ) •
128. cos2 ж ухх + cos ж (а + Ь th71 ж)^ + a(b th71 ж + sin x)y = 0.
Г / X 7Г \ 1 а
Частное решение: |/о = ctg ( 1 1 .
129. cos2 ж ухх + cos ж (а + Ь cth71 ж)^ + a(b cth71 ж + sin x)y = 0.
[/Ж 7Г \ 1 а
ctg f —- + — J I .
130. cos2 ж yxx -\- cos ж (а + b In71 ж)^ + a(b In71 ж + sin x)y = 0.
[/Ж 7Г \ 1 a
Ctg f — + J .
2.1.9. Уравнения, содержащие произвольные функции
> Обозначения: / = f(x) и д = д{х) — произвольные функции; а, Ъ, с, d, п, т, к, \, а, /3, j —
произвольные параметры.
1. ухх + ay = f.
Уравнение вынужденных колебаний без трения.
1°. Решение при а = к2 > 0:
1 Сх
у = С\ cos(kx) + С2 sin(kx) -\ / f(?)sm[k(x — ?)]d?, xo—любое.
к Jx0
2°. Решение при а = -к2 < 0:
1 Гх
у = С\ ch(kx) + С2 sh(kx) -\ / /(^) sh[k(x - ?)] d^, ж0 —любое.
к Jx0
2. »;'. + ау'х +by = f.
Уравнение вынужденных колебаний с трением. Замена у = гиехр(—-|-аж) приводит к
уравнению вида 2.1.9.1: w'lx + (Ъ — \a2)w =
2.1. Линейные уравнения второго порядка 219
3. у"х + fyL = 9
Решение: у = С\ + / е~ (Съ + / е gc/ж) с/ж, где F = I f dx.
4. 2/1 + xfy'x -fy = O.
Частное решение: уо = х.
5. 2/1 + fy'a + a(f - а)у = О.
Частное решение: уо = е~ах.
6. 2/1 + fy'm + a(xnf - ах2п + пхп~1)у = О.
Частное решение: уо = ехр (— хп+1).
7. t/1 + (/ + ахп + Ь)у'я + [(охп + Ь)/ + ом"]), = О.
Частное решение: у о = ехр ( хп+1 —Ъх).
V п + 1 /
8. Ж2/1 + ж/yi - [(ож + 1)/ + а(ах + 2)]у = 0.
Частное решение: г/о = жеаж.
9. жт/L + (ж/ + а)у'х + (а - 1)/?/ = 0.
Частное решение: г/о = ж1-а.
10. ж^/L + [(ож + 1)/ + аж - 1]^ + a2xfy = 0.
Частное решение: г/о = (аж + 1)е~ах.
11. ж^ш + [(аж2 + Ьж)/ + 2]^ + bfy = 0.
Частное решение: г/о = а + —.
12. жз/1 + (/ + a«w+1)i/L + ажтг(/ + п)у = 0.
Частное решение: уо = ехр ( хп+1).
V п + 1 /
13. ху"х + (ж/ + ахп)у'х + [(аж71 - 1)/ + апхп-х\у = 0.
Частное решение: уо = х ехр (——хп ).
14. ж^/L + [(аж71 + 1)/ + апж71 + 1 - 2п]ух + cfnx^^fy = 0.
Частное решение: гуо = (ахп + 1) ехр(—ажп).
15. ж2^ж + аху'х + f3y = f.
Неоднородное уравнение Эйлера. Замена х = е1 приводит к уравнению вида 2.1.9.2:
16. х2у"х + ж^ + (ж2 - i/2)ty = /.
Неоднородное уравнение Бесселя. Общее решение выражается через функции Бесселя:
у = CiJv(x) + C2Yv(x) + ^Yv(x) I xJv(x)f(x)dx-^Jv(x) f xYv(x)f(x)dx.
17. x2yxx + xfyx + a(f -a- l)y = 0.
Частное решение: уо = x~a.
18. ж2^ж + ж(/ + 2а)у'х + [Fж + a)f - Ъ2х2 + а(а - 1)]у = 0.
Частное решение: уо = ж~ае~ х.
220 Уравнения второго порядка
19. x2y'L + xfy'a + [(ax2n+1 + n)f - a2x*n+2 - n2 - n]y = 0.
Частное решение: уо = x~n exp (— x2n+1).
V 2n + 1 /
20. (ax2 +bx + c)yxx + (x + k)fyx - fy = 0.
Частное решение: уо = x + к.
21. xAy'L + x2fyL + [(A - x)f - \2]y = 0.
Частное решение: уо = x exp ( — j.
22. ж2(аж2 + Ъ)у"х + ж(аж2 + 6)/^ - [(ax2 - b)f + 2b]y = 0.
Частное решение: уо = ax + —.
23. (ж2 + afy'L + (x2 + a)fy'a - (xf + a)y = 0.
Частное решение: у о = ух2 + а.
24. (ж2 + aJ7/L + (ж2 + a)fy'x - m[xf + (т - 1)х2 + а]?/ = 0.
Частное решение: уо = (ж2 + а)т'2.
25. (ажп + bJ/L + (ажп + b)fy'x - anxn-2(xf + n - 1)у = 0.
Частное решение: ?/о = ажп + Ъ.
26. (ажп + Ьх)у"х + (ажп + Ьж)/^ - [(апж71 + 6)/ + ап(п - 1)хп-2]у = 0.
Частное решение: у о = ажп + Ъх.
27. (ж71 + afy'L + (ж71 + a)/i? - жтг(ж/ + an - a)y = 0.
Частное решение: г/о = (жп + аI/гг.
28. (ажп + bfy'L + (ажп + b)fy'x + (/ - апж71 - 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр (— / ).
V J ахп + b /
29. f(x)yxx + [аж2 + (ас + Ъ)х + 6с]^ - (аж + Ъ)у = 0.
Частное решение: уо = х + с.
30. i?. - (f2 + /i)» = 0.
Частное решение: уо = exp f / / dx).
3i. i?. + /»; - [о(о +1)/2 + o/:]W = о.
Частное решение: уо = exp (a / / dx).
32. y'L + 2fy'a! + (f2 + f'm)y = 0.
Решение: у = (Сгж + Ci)expf — / f dx).
33. t/L + A - a)fy'm - a(f2 + fx)y = 0.
Частное решение: уо = exp fa / f dx).
34. y'L + fyL + (fg -g2+ gL)y = o.
Частное решение: уо = exp( — / gdx).
2.1. Линейные уравнения второго порядка 221
35. y'L + 2fy'm + (f + fL + a)y = 0.
Замена и = ?/expf f dx) приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
и хх + аи = 0.
36. y'L + 2/1/1 + (f + fL + ax2n + Ьх^у = О.
Замена w = yexp( If dx) приводит к уравнению вида 2.1.2.10: wxx+a(x2n+bxn~1)w = 0.
37. y'L + B/ + а)у'х + (/2 +af + fL+ Ъ)у = 0.
Замена и = ?/ехр( f dx) приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
и хх + аих -\-Ьи = 0.
38. y'L + (/+»)»; + (л> + /:)» = о.
Частное решение: г/о = expf — / f dx).
39. жт/L + ж/t/l + (/ + ж/4)?/ = 0.
Частное решение: уо = хехр( — / /dx).
40. zt/l + (xf + о)»; + (а/ + aj/i)» = 0.
Частное решение: уо = expf— / fdx).
41. (ж + o)j/L + (/ + b)y'a + fLy = О.
Частное решение: уо = ехр ( / dx ).
42. ж2^ + жB/ + 1)у; + (/2 + ж/4 + ж2 - o)W = О.
Замена у = w ехр(— / —с/ж) приводит к уравнению Бесселя 2.1.2.121: x2w"x -\-xw'x +
+ (ж2 - а)гу = 0.
43. х2у':х + жB/ + а)у'х + [/2 + (а - 1)/ + xfx + Ьж™ + с]у = 0.
Замена w = г/ехр( / —dx) приводит к уравнению вида 2.1.2.127: x2wxx + axw'x +
+ (bxn + с)гу = 0.
44. ж2^ж + жB/ + аЖтг + 6)^ + [/2 + (аЖтг + 6-1)/ + Ж/4 + аЖ2тг+/3ЖТ1+7]2/ = 0.
Замена г^ = у expf / — dx) приводит к уравнению вида 2.1.2.141:
x2wxx + (ажп + b)xwx + (аж2п + /Зжп + j)w = 0.
45. 2fy'L + /iyi + ат/ = 0.
/dx
—= приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: 2г/^ +ау = 0.
46. fy'L - KvL - af'y = О.
Решение: у = С\еи + Сге"", где и = \[а I f dx.
47. fy'L - (fL + af)y'x + bfy = 0.
Решение: y = Ciexp(\i / / dx J+C2 expf Л2 / fdx), где Ai и Л2—корни квадратного
уравнения Л2 — аХ + Ъ = 0.
222 Уравнения второго порядка
48. fy'L - (К + af)y'x - bf(a + bf)y = 0.
Частное решение: уо = ехр(—Ь / /dx).
49. fy'L - (fL + 2af)y'x + (afL + a2 f - b2 f)y = 0.
Частное решение: уо = eax expf b / f dx).
50. fy'L + f(fL + a)y'x +by = 0.
/dx
— приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: у'^ +
+ ay's + by = 0.
51. fy'L + f(fL + 20 + a)i? + (/^ + ^2 + ag + b)y = 0.
Преобразование ^ = / —, и = у ехр f / — с/ж J приводит к уравнению с постоянными
коэффициентами: и^ + агб^ + Ьи = 0.
52. /S1& - (o/iff + b/ffi)»; - \f2a+1g2b+1y = О.
Решение: у = Cieu + С2е~и, где и = V\ f fagb dx.
53. fy'L - f'Ly = 0.
Решение: у = Cif + C2f f f~2 dx.
54. 4 fy'L - [2ff'L - (fLf + a]y = 0.
1°. Решение при а = 0:
2°. Решение при а > 0:
y =
3°. Решение при а < 0:
у = у/ (Gi cos 9? + G2 simp), где (р =
^ -^-.
/аз
Решение: y = v7 \ciJ i (-/П)+С2У1 (-ГI, где Jm(z) и Ут(^) —функции
Бесселя.
56 V'
56. l/«
57.
Решение: у = d (/ + л//2 + а)b + C2 (/ + л//2 + a) &.
Частное решение: уо = ехр ( е х ).
V А /
58. t/L + (/ + aeAic)j/; + aeAo5(/ + A)j/ = 0.
Частное решение: уо = ехр f — — е ж J.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 223
59. y'L + (a + be2XnfyL + А[(а - Ье2Ло5)/ - \]у = 0.
Частное решение: уо = ЪеХх + ае~Хх.
60. y'L + 2fy'x + (/2 + /4 + ае2Лаз + ЬеХх + с)./ = 0.
Замена и = уехр( f dx) приводит к уравнению вида 2.1.3.5: и"х + (ае2Хх+ЬеХх+с)и = 0.
61. y'L + / sh(ax)y'x -a[a + f ch(ax)]y = 0.
Частное решение: г/о = sh(ax).
62. 2/L + / ch(ax)y'x -a[a + f sh(ax)]y = 0.
Частное решение: уо = ch(ax).
63. y'L - KvL + a2e2fy = 0.
Решение: у = С\ sin la / es dx) + d cos fa / es dx).
64. t/L - fLyL - a2e2fy = 0.
Решение: у = Ci exp(a / e* dx) -\- C2 exp( —a / e* dx).
65. (аеЛа! + 6Ji/L + (аеАж + b)fy'm + ceXx(f - ceXx + \b)y = 0.
Частное решение: уо = (ае
ж
a\
66. жт/L + A - fx In ж)^ + fy = 0.
Частное решение: г/о = In ж.
67. жз/L + (/ + аж In ж)^ + а(/ In ж + l)ty = 0.
Частное решение: уо = еахх ах.
68. ж2^ж + 2жAпж + a)/^+ [i - (\пх + а + 2)f]y = 0.
Частное решение: уо = л/х (In ж + a).
69. ж2^ж + ж(/ + a In ж)^ + a(/ In ж - In ж + 1)у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-aln2 x).
70. tyL + / sin(ax)y'x + a[a - / cos(ax)]y = 0.
Частное решение: г/о = sin(ax).
71. 2/жЖ + / соз(ажIу^ + а[а + / sin(ax)]y = 0.
Частное решение: г/о = cos(ax).
72. tyL + /1/L + а[Л + / tg(A«) + (Л - а) tg2(Лж)]ty = 0.
Частное решение: уо = [cos(Ax)]a^ .
73. 2/L + М + а [А - / ctg(A«) + (А - a) ctg2 (Аж)]?/ = 0.
Частное решение: уо = [sin(Ax)]a' .
74. ty^, + (/ + a sin ж)^ + a(/ sin ж + cos x)y = 0.
Частное решение: уо = exp(acosx).
75. y'L + (/ + a cos ж)^ + a(/ cos ж — sin x)y = 0.
Частное решение: уо = exp(—a sin ж).
76. y'L + (/ + a tg ж)^ + (a + 1) (/ tg ж + l)ty = 0.
Частное решение: уо = cosa+1 x.
224 Уравнения второго порядка
77. ухх + (/ + a ctg х)ух + (а - 1) (/ ctg ж - 1)у = 0.
Частное решение: уо = sin1"" х.
78. ухх + tg х (/ + а - 1)ух + [(a tg2 х - 1)/ + 2а + 2]у = 0.
Частное решение: г/о = sin ж cosa х.
79. у"ж + (/ + а cos71 ж)^ + a cos71 ж (/ cos x — п sin ж)т/ = 0.
Частное решение: г/о = expf —a / cosn x<ixj.
80. y"x + (/ + a sin71 ж)?/ж + a sin71 ж (/ sin ж + п cos ж)?/ = О.
Частное решение: уо = expf —a / sinn xdx).
81. sin2 ж 1у^ж + sin ж (/ + a)ty^, + a(/ — cos жIу = О.
ctg — ) .
82. cos2 ж ty^, + cos ж (a + f)y'x + a(/ + sin x)y = 0.
Частное решение: г/о = ctg f — + — J .
2.1.10. Некоторые преобразования
> Обозначения: f, g, h — произвольные функции сложного аргумента, который указан в
круглых скобках после знака функции (аргумент является функцией независимой переменной х).
1 У
Преобразование ? = —, w = — приводит к уравнению w'L + f(?)w = 0.
2.
Преобразование ? = , w = —-— приводит к более простому уравнению:
сх + а сх + а
wfJt + А~~ /(?)^ = 0, где А = ad — be.
3. ж2^ж + -^ \- x2nf(axTl + b)\y = 0.
L 4 J
71—1
Преобразование ? = ажп + b, w = гуж 2 приводит к более простому уравнению:
4. ж2^ж + ж(ж/ + а)ух + (хд + 6)ty = 0, / = /(ж), # = д(х).
Замена у = ж^г^, где к — корень квадратного уравнения к2 + (a — l)k + 6 = 0, приводит
к уравнению xw'lx + (ж/ + a + 2k)w'x + (p + А;/)г^ = 0.
5. хРп(х)ухх + Qn(x)yfx + Лп_1(ж)г/ = 0,
Е стх
Замена у = xkw, где А; = 1 — ——, приводит к уравнению аналогичного вида:
а0
xPn(x)w"x + [Qn(x) + 2kPn(x)]wfx + [Rn-i(x) + Fn-!(x)]w = О,
где Fn-!(x) = ^[Qn(x) + (к - l)Pn(x)}.
2.1. Линейные уравнения второго порядка 225
6. х(х - l)Pn-i(x)yxx + Qn(x)y'x + Rn-i(x)y = О,
Преобразование ? = , w = |ж — 1\~ку, где А; — корень квадратного уравнения
х 1
an-ik2 + (bn — ап-i)k -\- Cn-i = О, приводит к уравнению аналогичного вида:
tte-VPn-lteWz + Ml-ktePn-^-Qni^
где
П— 1 71
т=0 т=0
й т V^ tmtt Un-rn-l „ ^ Дп-1(
-, // - Г 2Лаз о/ Лаз ¦ »\ 1 л 2"! ^
7. 2/жж + [е f(ae + 6) - ТЛ \у = 0.
Преобразование ^ = аеХх + b, w = yeXx^2 приводит к более простому уравнению:
& 2 = 0.
8. y'L + /(еАи)»; + 9(еЛж)г, = О.
Замена г = еХх приводит к уравнению \2z2y"z + Xz[f(z) + Л]г/^ + g(z)y = 0.
9. 2/1 + [-А2 + eh-4(Aaj)/(cth(Ax))]W = 0.
Преобразование ^ = cth(Ax), w = —-—- приводит к более простому уравнению:
sh(Ax)
w« + A-2/@w = 0.
Ю. 2/1 + [-А2 + ch-4(Aaj)/(th(Aa!))]W = О.
Преобразование ^ = th(Ax), w = приводит к более простому уравнению:
сп(Аж)
= 0.
г
li. v'L Л
4 (се
Преобразование ? = —— , w = —— приводит к более простому уравнению:
w'lt + (A\)-2f(?)w = 0, где А = ad - be.
12. f yxx + B f thx + д)у'х + (gthx + h)y = 0, f = /(ж), д = g(x), h = h(x).
Замена и = ychx приводит к более простому уравнению: fuxx + дих + (h — f)u = 0.
13. fy"x + B/^cth^ + g)y'x + (gcthx+ h)y = 0, f = f(x), g = g(x), h = h(x).
Замена и = yshx приводит к более простому уравнению: fuxx + дих + (h — f)u = 0.
Преобразование ? = а\пх + b, w = yx~1^2 приводит к более простому уравнению:
15.
тт г ^ л ах — а у г
Преобразование t = In , w = — приводит к более простому уравнению:
ж + 1 V|a;2-l|
1]-ш = 0.
15 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
226 Уравнения второго порядка
16. x2f(\nx)yxx + хд(\пх)у'х + h(\nx)y = 0.
Замена ? = In ж приводит к уравнению /(?J/?? + [#(?) ~~ /(?)]?/? + МО?/ = О-
17. 2/L + [Л2 + sin-4(A^)/(ctg(A^))]2/ = 0.
Преобразование ? = ctg(Ax), w = —- приводит к более простому уравнению:
sin(Ax)
w« + A-2/@w = 0.
18. y'L + [A2 + cos-4(Aa0/(tg(Aa0)]t/ = 0.
Преобразование ? = tg(Ax), w = %—- приводит к более простому уравнению:
cos(Ax)
'U 2 = о.
n(A# + a)
sin(Ax + a) ?/ r
Преобразование t = -, w = приводит к более простому уравнению:
F F s sin(Ax + 6) sin(Ax + 6) F F J JF
= 0.
20. fy'L + (g-2f tg x)y'x + (h-gtgx)y = 0, f = /(ж), g = g(x), h = h(x).
Замена и = у cos x приводит к более простому уравнению: fu'lx + ди'х + (f + h)u = 0.
21. fy"x + (g + 2fctgx)y'x + (h + gctgx)y = 0, f = /(ж), д = д(х), h = h(x).
Замена и = у sin ж приводит к более простому уравнению: fu'^x + Р^ж + (f + h)u = 0.
22. (ж2 + 1J7/L + /(arctg ж + б)?/ = 0.
Преобразование ? = arctg ж + b, w = ^ приводит к более простому уравнению:
«& + If (О + Ч^ = 0.
23. (ж2 + 1J2/L + /(arcctg ж + 6)у = 0.
у
Преобразование ? = arcctg x + 6, ги = приводит к более простому уравнению:
1]«> = 0.
24. J/L + f(x)y = 0.
Преобразование ж = <?>(?), |/ = ^a/I^aI приводит к уравнению аналогичного вида:
2.2. Автономные уравнения у^ж = F(y,y'x)
Предварительные замечания. Уравнения этого вида часто встречаются в разных разделах
механики, прикладной математики, физики и химической технологии.
1°. Замена w(y) = y'x приводит к уравнению первого порядка
w'y = w~1F(y,w). A)
2°. Решение исходного автономного уравнения может быть представлено в неявном виде
^У^ + С2, B)
{yC)
где w = w(y, С\) —решение уравнения первого порядка A).
3°. Решение исходного автономного уравнения может быть записано в параметрическом виде
х =
где у = г/(т, Ci), w = гу(г, Ci) —параметрическая форма решения уравнения первого по-
порядка A). Формула B) является частным случаем формулы C) при у = т.
2.2. Автономные уравнения у"х = F(y,yfx) 227
2.2.1. Уравнения вида у^х - у'х = f(y)
Предварительные замечания. Уравнения этого вида встречаются в теории горения и теории
химических реакторов.
1°. Замена w(y) = у'х приводит к уравнению Абеля ww'y —w = f(y), которое рассматривается
в разд. 1.3.1 для некоторых функций /.
2°. Решение исходного автономного уравнения может быть записано в параметрическом ви-
виде C), где у = y(r,Ci), w = w(t, C\) —параметрическая форма решения уравнения Абеля
второго рода ww'y — w = f(y).
lira +1) . m -\- 1
Решение в параметрическом виде:
т + 3
m + 3
Решение в параметрическом виде:
х = - In \Ci [ ехр(±т2) dr + С2], у = aCi ехр(±т2) [Ci Г exp(±r2) dr + C2] .
3// / 2 i 16 3/2 —1/2
2/жж — Ух = —-Q-У + -g-a 2/
Решение в параметрическом виде:
ж = -3 ln{Ci exp(-r) [ехр(Зг) + С2 sin(>/3 т)] },
_ [2ехрCт) -C2sin(>/3T) + \/3 С2 cos(\/3t)] 2
t/ ir\/
4. 2/азаз 2/аз — ЮО У -"- 100 tt У
Решение в параметрическом виде:
Ж = -|1п[±(т4-6т2+4Сп—3)]+С2, 2/=a(r3-3r+CiK/2[±(r4-6r2+4C<ir-3)]"9/
5. У хх — Ух — 1б/ — "ё4"а У
Решение в параметрическом виде:
х = Ci - 21n[sinrch(V + C2) + cosrsh(r + С2)], у = a[tgr + th(r + C2)]~S/2.
> 5 решениях уравнений 6-9 приняты обозначения:
_ j C\Ju(t) -\-Yu(t) для верхнего знака,
\ C\Iv{t) + Ки(т) для нижнего знака,
где Ju(t) и Yu(r) —функции Бесселя, 1и(т) и Ки(т) —модифицированные функции Бесселя.
6. y'L -vL = Ay-1'2.
Решение в параметрическом виде:
х = -2 Jt-1Z-\tZ't + \Z) dr + С2, у = ar-i/3Z-2[(TZ'T + \ZJ ± t2Z%
где v
= i, A = Tl«3/2.
15*
228 Уравнения второго порядка
7. y'L -yL = Ay'2.
Решение в параметрическом виде:
где v = у, А = -36а3.
8. y'L -У'* = 2А2 - Ау"\
Решение в параметрическом виде:
х = ±2 Гr~1(Zfry1(rZ ±2Z'T)dT + C2, у = cl(Z't)~2(tZ ±2Z'TJ,
где v = О, А = а1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = -2 [T~1Z~1{TZ'T-Z)dT + C2, y = B2Z~2(rZ'T-ZJ, где A = (l-v2)B3.
> В решениях уравнений 10-14 функция р = р(т) задается в неявном виде:
т=[ / \ -Cl.
J у/±D:р6 — 1)
Верхний знак в этой формуле соответствует классической эллиптической функции Вейер-
штрасса р = р(т + Ci, 0, 1).
Решение в параметрическом виде:
С2, у = 5a(r2p=F у), где А = ±-^а~1.
И. !/«« - l? = ^2/2 - -^-1/.
Решение в параметрическом виде:
ж = 51пг + G2, у = Ъат2р, где А = i-^fg-a.
12. ;?/жж - т/ж = Ау + ^/.
Решение в параметрическом виде:
ж = 51пт + С2, 2/ = 5a(r2p=F 1), где А = ±-^а~1.
13. у^-у^Иу + Ау/2.
Решение в параметрическом виде:
где / = ^±Dp3 - 1), Л = Tl47a7/2.
14. J/L - tf; = ^-J/ + Ay-5/3.
Решение в параметрическом виде:
± 2rp2)(r/ + 2Р) dr + С2, у = 2a(f ± 2rp2K/2(r/ + 2р)
где / = V±Dp3 - 1), ^ = -^a2BaJ/3.
> 5 решениях уравнений 15-18 приняты обозначения:
Т Г т dr ~ ^ ^ .
I = —. =¦ + Ci —неполный эллиптический интеграл второго рода,
-1), Ji = 2t/=f#, /2 =г(
15 ^" —W— Av1/2 - H-v
Решение в параметрическом виде:
х = -7 ГTR~1I~1dT + C2, у = 7ат21~4, где А = ±^§-Gа)
2.2. Автономные уравнения ухх = F(y,yx) 229
16. y'L — у'х = 6у + Ау~4:.
Решение в параметрическом виде:
5 у 1 2, 1 ,
17. 2/жЖ — 2/L = 20т/ + Ат/~1/2.
Решение в параметрическом виде:
~1Ii1l2dr + С2, у = а17 /|? гДе А = d=108a3^2.
is. y'L -yL = ?-y + Ay-7.
Решение в параметрическом виде:
-1I1DTllTlZy1dT + C2, y = aI11/2DTl2lTl22y3/\ где А = ±|а8.
19. 2/L - 2/L = Ау + Вт/ - В2у~3.
Подстановка w(y) = г/J. приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.5: ww'y — w =
= Ay + By-1 -В2у-3.
20. y'L-y'^—^y + Ay-^ + By-^.
Подстановка w(y) = у'х приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.61: ww'y — w =
Подстановка w(y) = г/J. приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.62: ww'y — w =
= -^г/ + л2/-3/6 + в2/-7/6.
22. y'L -yL = iy + 2Ay2 + 2А2у3.
Подстановка w(y) = |/ж приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.14: wwy — w =
= iy + 2Ay2 + 2А2у3.
23. y'L -vL = Ay"-1 - kByh + kB2y2h-\
Подстановка w(y) = y'x приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.6: ww'y — w =
= Аук~х - кВук + кВ2у2к~1.
2а
~л it I |
24. 2/жж - ух = ±
Решение в параметрическом виде:
х = т [ E^F'^F2 ± 2?;2) dr + С2, у = ±aE-1F~1(F2 =F 2?;2),
где Е= [ exp(=Fr2) dr + Си F = 2тЕ ± exp(=Fr2).
25. 2/L - yi = A + В ехр(-2у/А).
Подстановка гу(г/) = |/ж приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.8: wwy — w
А Б(/А)
26. 7/L - у'х = а2\е2Ху - а(Ь\ + 1)еХу + 6.
Подстановка w(y) = г/J. приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.73: wwy — w
= а2Ле2Л?/-аFЛ+1)еЛ?/+6.
27. y'L -У'х= а2\е2Ху + аЛ2/ел^ + ЬеХу.
Подстановка гу(г/) = ?/i приводит к уравнению Абеля вида 1.3.1.74: wwy — w
22AAA
230 Уравнения второго порядка
2.2.2. Уравнения вида у^х + f{y)y'x + у = 0
Предварительные замечания. Уравнения этого вида часто встречаются в теории нелинейных
колебаний, где переменная х играет роль времени.
1°. Преобразование
приводит к уравнению Абеля
ww'z=g(z)w + l, где g(z) = f(y)/y, у = ±y/2(a-z),
частные случаи которого рассмотрены в разд. 1.3.2.
2°. Два главных члена асимптотического решения уравнения
у"х + sF(y)y'x + у = О
при е —»¦ 0 описываются формулами
у = Acos(x + В),
где функции А = А(?) и В = В(?) зависят от медленной переменной ? = ех и определяются
путем решения автономной системы уравнений первого порядка:
А'е = —— / F(Acos ip) sin2 у?с?<^, 5^ = —— / F(A cos (p) sm tp cos tp dtp.
2тг Jo 2тг Jo
Правые части этих уравнений зависят только от функции А. Поэтому систему можно решать
последовательно, начиная с первого уравнения.
1. 2/шш + ayyL + У = 0.
Решение в параметрическом виде:
гдеЛ=1.
т(С1 +2А21п|т|-2АтI/2
2. у^х - еA - у2)у'х + у = 0.
Уравнение Ван-дер-Поля.
1°. Асимптотическое решение при е —»¦ 0:
2/ = acos(> - (9) - ^-sa3 sin[3(x - в)] + O(s2),
где
a2 = к , в = —slna еа2 -\ s2x + С2.
1 + DCf2 - l)e~™ '8 64 16
В приложениях переменная х играет роль времени, С\ — начальная амплитуда колебаний,
а С2 — начальная фаза при е = 0.
2°. При е —»¦ +оо периодическое решение уравнения Ван-дер-Поля состоит из участков
с быстрыми и медленными движениями, а период колебания определяется формулой
т = (з-:
3. 2/L + У(ау2 + ^)?/L + У = 0.
Преобразование 2 = — \у2, w = y'x приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.1:
ww'z = (—2az + b)w + 1.
Решение в параметрическом виде при а < 0:
где
iJi/s(t)-\-C2Yi/s(t) для верхнего знака,
Ii/s(t) + С2К1/3(т) Для нижнего знака,
Ji/3(r) и Yi/3(t) — функции Бесселя, /1/з(т) и К1/3(т)—модифицированные функции
Бесселя.
( CiJi
\ CiIi
2.2. Автономные уравнения у"х = F(y,yfx) 231
4. y'L + У {ay2 + Ь)~2у'х +у = 0.
Преобразование z = — \у2-> w = ух приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.2:
ww'z = (-2az + b)~2w + 1.
5. 2/1 + У(аУ2 + 6)-1/22/L + 2/ = 0.
Преобразование z = — \у2 •> w = yfx приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.4:
ww'z = (-2az + b)~1/2w + 1.
Решение в параметрическом виде:
= -aCl f(aClE> - АГ/^^ + С2, у=
J \ а / г2 — г -\- а
где E =
6.
Преобразование z = у2 , w = у'х приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.3:
ww'z = [А — )w + 1, где А = —2а.
7. 2/1 + «2/ exp(A2/2J/L + 2/ = 0.
j_
2
Преобразование z = — \у2, w = у'х приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.7:
8. y'L + 2/[oexp(Ai/2) + Ьехр(-\у2)]у'х + у = 0.
Преобразование 2 = — \у2, w = у'х приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.8:
ww'z =
9. y'L + 2ат/ ехр[аF - у2)]у'х + у = 0.
Решение в параметрическом виде:
х = =р2/с Г(Ь - 4к2т2 - In {кЕ-1])'^2^ + С2, У=(Ь- 4к2т2 - In l^1]
где а = =F^*
10. т/1 + Ay ch(V)^ + ?/ = 0.
Частный случай уравнения 2.2.2.8 при а = b = \A.
11. j/L + Aj/ sh(Aj/2)i/; + у = 0.
Частный случай уравнения 2.2.2.8 при а = —Ь = -|- А.
12. т/1 + 2 A2/2/L A/sh2[A(B-2/2)] + 2A-1 + у = 0.
Решение в параметрическом виде:
х = 2а J(F2 + 2E2)G~1Q-1 dr + С2, j/ = Q;
где
= л/F2 -
Q= л/Б - 4a2 Arsh^-iF-^F2 - 2?;2)], Arsh^ = In (
232 Уравнения второго порядка
13. y'L - ЪАуу'пу/<Ах*[А(у* - В)]-2А-* + у = О.
Решение в параметрическом виде:
х = 2а J(F2 - 2E2)G~1Q-1 dr + С2, у = Q; А = \а~\
где
Е= /exp(r2)dr + Ci, F = 2r?-exp(r2), G= л/F2 + 2?2 -8E2F2,
Q = л/В + 4а2
Преобразование z = — \у2, w = у'х приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.11:
ww'z =
15. 2/жЖ + Aysixi(ujy2)y'x -\- у = 0.
Преобразование z = —\y2, w = г/J. приводит к уравнению Абеля вида 1.3.2.12:
\y2
ww'z = — ^4iB) +
2.2.3. Уравнения Льенарда у^х + f(y)y'x + д(у) = 0
1. y'L +y + ay3 = 0.
Уравнение Дюффинга.
1°. Решение:
у
— у 2аУ ) dy + С?2-
Период колебаний с амплитудой С выражается через полный эллиптический интеграл
первого рода:
2°. При а —>- 0 асимптотическое решение уравнения Дюффинга имеет вид
2/ = Ci cos[(l + f aCl)x + C2] + -^aC\ cos[3(l + f аС?)ж + 3C2] + O(a2),
где Ci иС*2 — произвольные постоянные. Соответствующее асимптотическое разложение
для периода колебаний с амплитудой С дается формулой Т = 2тгA — -|-аС2) + О(а2).
2. y'L = (ay + Щу'х + су3 - aby2 - 2Ь2у.
Подстановка w(y) = y'x приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.1:
ww'y = (ay + 3b)w + cys — aby2 — 2b2y.
3. y'L = (Say + b)yfx — a2y3 — aby2 + cy.
Подстановка w(y) = y'x приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.2:
ww'y = (Say + b)w — a2ys — aby2 + cy.
4. 2y'L = Gay + 6b)y'x - Sa2y3 - 2cy2 - Sb2y.
Подстановка w(y) = y'x приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.3:
2ww'y = (lay + 5b)w - 3a2ys - 2cy2 - 3b2y.
5. y'L = уп~г[A + 2n)y + an]yx - ny2n(y + a).
Подстановка w(y) = y'x приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.8:
wwy = уп~ [A + 2п)у + an]w — пу п(у + а).
2.2. Автономные уравнения у"х = F(y,y'x) 233
6. y'L = a(y - пЬ)*,"^ + с[у2 - Bп + 1)Ьу + п(п + 1)Ь2]у2п-\
Подстановка w(у) = у'х приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.9:
wwy = а(у - nb)yn~1w + с[у2 - Bп + 1)Ьу + п(п + l)^2]?/271.
7. y'L = [аBп + к)ук + Ъ\уп-Ху'„ + (-а2пу2к - аЬук + с)у2п~\
Подстановка w(у) = у'х приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.10:
ww'y = [аBп + к)ук + Щу^и) + (-а2пу2к - abyk + с)г/2п~\
8. ?/l = [aBm + fcJ/24bBm-fc)]r-fe?/:-(a2m/4c1/24^1/2m^
Подстановка г^(|/) = 2/i приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.11:
ww'y = [аBт + к)у2к+ЪBт - А;)]^"^1^ - (а2ту4к + су2к + Ъ2т)у2гп-2к-\
9. 2,1 = аеХуу'х + 6еЛ^.
Решение в параметрическом виде:
х = - 4- Г г~х (Ci + A2 In |т| - At) ~г dr + С2, 2/ = ^ ln [- ^ (Ci + A2 In |г| -
л J л \- b
где А = 6/а.
10. j/L = (aev + Ь)у'ш + се2у - abev - Ъ2.
Подстановка w(y) = y'x приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.67:
ww'y = (аеу + b)w + се у — abey — Ъ .
11. y'L = [aBfi + \)eXy + Ь]е™у'т + (-а2це2Ху - аЬеХу + с)е2™'.
Подстановка w(y) = y'x приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.68:
ww'y = [aBfj, + Х)еХу + b]e^yw + (-a2fie2Xy - abeXy + c)e2^.
12. т/1 = (aeAy + Ь)у'х + с[а2е2Л^ + ab(\y + 1)ел^ + Ь2Лу].
Подстановка w(y) = |/ж приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.69:
ww'y = (аеХу + b)w + с[а2е2Ху + аЬ(Л?/ + 1)еХу + Ь2Л?/].
13. 7/L = еХуBа\у + а + 6)^ - е2Ху(а2\у2 + абт/ + с).
Подстановка w(y) = |/i приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.70:
ww'y = еХуBаХу + a + b)w - е2Ху(а2\у2 + аЬу + с).
14. y'L = еауBау2 + 2у + Ь)у« + e2ay(-a2/4 - by2 + с).
Подстановка гу(г/) = у'х приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.71:
ww'y = еауBау2 + 2у + Ь)гу + е2ау(-ay4 - by2 + с).
15. y'L = (a ch у + 6)^ — a6 sh т/ + с.
Подстановка ги(г/) = ?/i приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.75:
ww'y = (a ch у + 6)u> — afr sh у + с.
16. 2/L = (ashy + b)y'x - ab ch у + с.
Подстановка ги(г/) = ?/i приводит к уравнению Абеля вида 1.3.3.76:
ww'y = (a sh у + Ь)гу — afr ch ?/ + с.
234 Уравнения второго порядка
17. у"х + a sin у = 0.
Уравнение колебаний математического маятника (х — время, у — угол отклонения от
положения равновесия).
1°. Решение:
х = ± IBаcosy + Ci)~1/2 dy + С2.
2°. При а > 0 и начальных условиях г/@) = С>0, 2/ЦО) = О колебания математического
маятника описываются формулой
sin— = msn(\/ax), т = sin—.
2 vv y' 2
Здесь sn = sn(z) — эллиптическая функция Якоби, которая задается параметрически с
помощью выражений (j3 — параметр):
= sm/з, z=
Jo
v 1 — m2 sin2 C
3°. Период колебаний математического маятника выражается через полный эллиптиче-
эллиптический интеграл второго рода:
Г12 d/3
Т = -±=К(тп), К{т) = Г
у/а Jo
Jo \/l — т2 sin2 C
При малых амплитудах справедлива следующая асимптотическая формула для периода
колебаний:
/ 16
18. Уж + asin(u>y)y'x + bsin(u>y) = 0.
Решение в параметрическом виде:
х = -А [ г (б2 - uj2F2y1/2 dr + C2, y=-arccos(-F),
J uj V b /
где А = b/a, F = At - A2 In |r| + C\.
19. 2/L + acos(w|/)|/l + 6cos(u;7/) = 0.
Подстановка шу = uju+ ^ приводит к уравнению вида 2.2.3.18:
и'хх — asm(uju)ux — bsm(uju) = 0.
2.2.4. Уравнения Рэлея у^х + f(y'x) + д(у) = 0
Предварительные замечания. Уравнения Рэлея встречаются в теории нелинейных колебаний.
1°. Рассмотрим частный случай д(у) = у, который соответствует уравнению
v'L + nv'x) + v = o. A)
Продифференцируем A) по х и сделаем замену z(x) = y'x. В результате получим уравнение
нелинейных колебаний
4Х + Ф(гL + z = 0, где *(z) = f'z(z), B)
которое рассматривается в разд. 2.2.2.
Решение уравнения A) может быть представлено в параметрическом виде:
х = х(т,С1,С2), y = -f(z)-^-,
хт
где х = ж (г, Ci, C2), z = z(t, Ci, C2) — параметрическая форма решения уравнения B).
2°. Преобразование
f = -\{y'xf + «, w = -у- f(y'x),
приводит A) к уравнению Абеля
ww'z=H(?)w + l, где tf(f) = z~^(z), z = ±y/2(a-?). C)
Функция Ф = Ф(^) была определена ранее в B). Конкретные уравнения вида C) описаны в
разд. 1.3.2.
2.2. Автономные уравнения у"х = F(y,yfx) 235
3°. Уравнение специального вида
f + д(у) = 0 D)
с помощью замены w(y) = (ух) сводится к линейному уравнению первого порядка
w'y + 2aw + 2g(y) = 0. Поэтому решение уравнения D) может быть записано в неявном виде:
х = С2± J[Cie-2ay -G(y)]-1/2dy, где G{y) = 2е~2ау Je2avg(y)dy.
4°. Уравнение специального вида
y'L+a(y'x)*+b(y'xf+g(y) = O E)
заменой w(y) = (ух) сводится к уравнению Риккати w'y + 2aw2 + 2bw + 2д(у) = 0, которое
рассматривается в разд. 1.2.
5°. Для колебательных систем со слабой нелинейностью, описывающихся уравнением
2/"ж + ?^Ш + 2/= 0,
два главных члена асимптотического решения при е —»¦ 0 могут быть представлены в виде
формулы
у = Acos(x + В),
где функции А = А(?) и В = В(?) зависят от медленной переменной ? = еж и определяются
путем решения автономной системы дифференциальных уравнений первого порядка
А^ = / F(—Asincp) simp dip, AB'^ = / F(—Asincp) cos cpdcp.
Правые части этих уравнений зависят только от функции А. Поэтому систему можно решать
последовательно, начиная с первого уравнения.
1. V'L + a(y'xf + by = O.
Это уравнение описывает малые колебания, когда сила сопротивления пропорциональна
квадрату скорости.
Решение в неявном виде: х = Съ =Ь a I [Cia2e~2ay + Ь(у — ay)] dy.
2. y'L + 4l(9lK - Ут] + У = 0.
Уравнение Ван-дер-Поля. Дифференцируя уравнение по ж и вводя новую переменную
w{x) = yfx, получим уравнение вида 2.2.2.2: w'lx — е{1 — w2)w'x + w = 0.
Решение при е —»¦ 0:
у = —. 1 =¦ cos ж Н , =smi + О(г ).
3. »;'и + aiy'^f + 6(^J + у = О.
Преобразование ? = — y(?/i) , w = —г/ — а(г/^) ~ Ъ(у'х) приводит к уравнению Абеля
вида 1.3.2.1: ww'^ = (-8а? + 2b)w + 1.
4. 2/1 + Ш2[аШ2 + Ь]-1 + 2/ = 0.
Преобразование ? = — у (г/J.) ,w = —y — (y'x) [a(y'x) +b]~1 приводит к уравнению вида
1.3.2.2: ww't = 2b(b-2a?)-2w + l.
5. y'L + Аехр[Л(^J] + В + s/ = 0.
Дифференцируя уравнение по ж и вводя новую переменную w(x) = 2/ж> получим
уравнение вида 2.2.2.7: ги^ж + 2AXw exp(Xw2)wfx + w = 0.
6. y'L + A ch[\(y'xf] + B + y = 0.
Дифференцируя уравнение по ж и вводя новую переменную w(x) = y'x, получим
уравнение вида 2.2.2.11: wxx + 2AXw sh(A^2)^^ + w = 0.
236
Уравнения второго порядка
7. y'L + A sh[A(^J] +B + y = O.
Дифференцируя уравнение по ж и вводя новую переменную w(x) = y'x, получим
уравнение вида 2.2.2.10: wxx + 2AXw ch(Xw2)wx + w = 0.
8. y'L+a(y'xf + b sin у = 0.
Это уравнение описывает колебания математического маятника, когда сила сопротивления
пропорциональна квадрату скорости.
Решение в неявном виде: х = С2 =Ь / С\е~2ау
J L
9.
10.
+ — (cosу — 2аsinу)\ dy.
Аа2 + 1 J
j/L + A cos[A(^J] + В + у = О.
Дифференцируя уравнение по ж и вводя новую переменную w(x) = ?/ж> получим
уравнение вида 2.2.2.15: и4'ж ~ 2AA^sin(A^2)^^ + w = 0.
j/L + A sin[A(j/;J] + В + у = О.
Дифференцируя уравнение по ж и вводя новую переменную w(x) = y'x, получим
уравнение вида 2.2.2.14: wxx + 2AXw cos(\w2)wfx + w = 0.
2.3. Уравнение Эмдена — Фаулера у"х = Ахпугп
2.3.1. Точные решения
Предварительные замечания. В этом разделе во многих случаях значение несущественного
параметра А задается в виде функции двух (одного) вспомогательных коэффициентов а и Ъ:
A = V{a,b), A)
а соответствующие решения представлены в параметрической форме
х = /i(r, Си С2, а), у = /2(т, Ci, С2, Ъ), B)
где т — параметр, С\ иСг — произвольные постоянные, /i и /2 — некоторые функции.
Зафиксировав знак вспомогательного коэффициента а > 0 (или Ь > 0), следует выразить Ь
через А и а с помощью A):
Ь = ф(А, а).
Подставляя эту формулу в B), получим решение рассматриваемого уравнения (при этом
конкретное численное значение коэффициента а можно выбрать произвольно). Аналогичным
образом следует рассмотреть случай а < 0 (или Ъ < 0), который может привести к другой ветви
решения или другой области определения переменных ж и у в B).
Можно поступить и иным способом, сразу положив в A) и B) один из вспомогательных
коэффициентов (например, а) равным ±1; тогда другой однозначно выразится через А с
помощью A).
В табл. 20 дан перечень всех разрешимых уравнений Эмдена — Фаулера, решения которых
приведены в разд. 2.3.1. Сначала приводятся однопараметрические семейства (в пространстве
параметров n, m), а затем изолированные точки. Уравнения расположены по возрастанию m и
по возрастанию п (при одинаковых тп). В последней колонке указан номер искомого уравнения,
где дано его решение.
1.
y'L = Axn.
Решение:
+ C\x + C2 при n ф -1, n ф -2;
+ Cix + C2 при п = —2;
A \n \x\ dx + Gix + C2 при n = —1.
2.3. Уравнение Эмдена — Фаулера у"х = Ахпуш
237
ТАБЛИЦА 20
Разрешимые случаи уравнения Эмдена — Фаулера у"х = АхпуГ1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
га
п
Уравнение
Однопараметрические семейства
любое
любое
любое
0
1
0
-га - 3
любое
любое
Изолированные точки
-7
— 7
-5/2
-2
-2
-5/3
-5/3
1
3
-1/2
-2
1
-10/3
-7/3
2.3.1.2
2.3.1.3
2.3.1.4
2.3.1.1
2.3.1.5
2.3.1.15
2.3.1.16
2.3.1.22
2.3.1.28
2.3.1.27
2.3.1.10
2.3.1.8
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
га
-5/3
-5/3
-5/3
-5/3
-7/5
-7/5
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
-1/2
2
2
2
п
-5/6
-1/2
1
2
-13/5
1
-7/2
-5/2
-2
-4/3
-7/6
-1/2
1
-5
-20/7
-15/7
Уравнение
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
2.3.
1.23
1.24
1.7
1.9
1.14
1.13
1.12
1.6
1.26
1.17
1.18
1.25
1.11
1.19
1.21
1.20
2 11 а т
Ухх = Ау •
Решение:
3.
-1/2
Частные случаи:
1°. При т = —1/2 решение в параметрическом виде:
ж = аС13(г3-Зг + С2), y = bCt(r2 - IJ,
2°. При m = — 4 решение в параметрическом виде:
при ш =
где А = ±|
где R = ^/±Dr3 - 1), А = =F6a 2ЪЪ.
3°. При т = 2 решение в параметрическом виде:
x = aCi1r, у = ЬС2р;
где зависимость функции р от параметра г задается неявно
т = / ,..Ф ., -С,
Верхний знак в этой формуле соответствует классической эллиптической функции Вей-
ерштрасса р = р(т + Сг, 0, 1).
4°. При m = —5/2 решение в параметрическом виде:
— 1) d= 2тр I, у = ЬС\ р , где А = :
Неявная зависимость функции р от параметра т указана в п. 3°.
1°. Решение в параметрическом виде при m ф — 1:
где л =
238 Уравнения второго порядка
2°. Решение в параметрическом виде при т = — 1:
x = CiH ехр(=рг2) dr + С2] , у = Ъ ехр(=рг2) П ехр(=рг2) dr + C2] ,
где А = =f262.
ттг+З
4. j/L = A*—5-j,m.
1°. Решение в параметрическом виде при т ф — 1:
х = aCf ехр [2 /" (^—Tm+l + т2 + Ci) "^ drl,
Lj\m+1 / J
U2/
где
2°. Решение в параметрическом виде при m = — 1:
ж = аС22ехр[2 /"(8In |r|+r2 + Ci)/2dr], у = ЪС2техр[
где А = 62/а-
При п ф —2 см. уравнение 2.1.2.7. При п = — 2 см. уравнение 2.1.2.118.
6. »;'„ = аж-5/2х/-1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = аС13(т3-Зт + С2у\ У = ЪС1(т2-1J(т3-Зт+С2у\ где А = ±±а1
7. ?/L = АЖ2Г5/3.
Решение в параметрическом виде:
x = ±aC18(r4-6r2 + 4C2r-3), j/ = ^(r3 -Зт + С2K/2, где А = ±-^а-
8. 2,1 = АЖ/32/-5/3.
Решение в параметрическом виде:
х - ± аС±8 bCl(r3-3r + C2K/2 A-i^a1/
9 ?/' — 4т2?Г5/3
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = aC2 cosr ch(r + C2)[tgr + th(r + C2)], ?/ = 6C?[cosr ch(r + C2)]3/2,
где А = -^а-468/3.
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = aCflshr + cos(t + С2)], у = ЬС^сЬт - sin(T + С2)]3/2,
где Л = \а~АЪ*'\
ю. »;'„ = ах-10/V5/3-
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
где A = -^
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
x = aCr2[shr + cos(r + C2)], j/ = 6Ci[chr - sin(r + C2)]3/2[shr + cos(r + C2)]~\
где А = |4/368/3
2.3. Уравнение Эмдена — Фаулера у'^х = Ахпуш 239
11. y'L=Axy-x'\
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ ехр(—г) [ехр(Зт) + С2 sin(>/3 г)],
у = ЬС\ ехр(-2т) [2ехрCг) - С2 sin(>/3r) + л/ЗС2 cos(a/3t)]2,
где А = 16а~3Ь3/2.
> 5 решениях уравнений 12-14 приняты обозначения:
Si = ехр(Зт) + С2 sin(>/3r), S2 = 2 ехр(Зг) - С2 sin(>/3 т) + л/3 С2 аЦл/з т),
12 ту" - 4ж~7/2?7~1/2
А^' Ухх — ^±J' У
Решение в параметрическом виде:
a; = aCf1exp(r)Sr1, ?/ = 6Ci exp(-r)S'r1S'2, где А = 16(ab)s/2.
13. 2/L = Аху~7/5.
Решение в параметрическом виде:
х = aCt ехр(-2гM3, у = ЬС\ ехр(-|гM15/2, где А = ^а^5.
14. „;'„ = АХ-^V7/5.
Решение в параметрическом виде:
ж = аСГ4ехрBгM3-1, у = bCi ехр(-|гM16/253-1, где А = -Л^а
> 5 решениях уравнений 15-18 приняты обозначения:
, R= V±Dr3-1),
где 1{т) — неполный эллиптический интеграл второго рода в форме Вейерштрасса.
АЭ. Ухх — J\.Xy
Решение в параметрическом виде:
16. y'L = Ах3у~7.
Решение в параметрическом виде:
х = aCf[Arf T T~2(fR - IJ], у = bC!f1/2[4rf Т г(/Я - IJ],
где А = ±-§1а~5Ъ8.
17. y'L = Ах~*/Зу~1/2.
Решение в параметрическом виде:
18. y'L = Ах~ ' у~ ' .
где А = ±±а~2
Решение в параметрическом виде:
232 где А = ±|«
> В решениях уравнений 19-24 функция р = р(Т) задается в неявном виде:
Верхний знак в этой формуле соответствует классической эллиптической функции Вейер-
Вейерштрасса р = р(т + С2, 0, 1).
19. y'L = Ах~5у2.
Решение в параметрическом виде:
x = aCir-\ 2/ = 6C13r"V, где A =
240 Уравнения второго порядка
20. y'L = Ах~16'ту2.
Решение в параметрическом виде:
х = аС\т\ у = ЪС1т(т2рт1), где A = ±^a1/7b~
21. у':я = Ах-*°'7у*.
Решение в параметрическом виде:
х = аС1т-\ у = ЪС61т-6(т2рт1), где А = ±^-a6/
LL' Ухх — ^«^ У
Решение в параметрическом виде:
х = aClp2 [V±(V - 1) ±
где А = тЪа-*>2Ъ7>2.
23. y'L = Ax-*l*y-b'\
Решение в параметрическом виде:
*= ^
[т^±DрЗ_1) + 2р]2
24. yL = Ax-V*y-*'*.
Решение в параметрическом виде:
x = aUi \ту/±Dра-1) + 2р\ , y = b(J\;k/±4p*-L)±2rp\ ' , где Л = -^
> 5 решениях уравнений 25-28 приняты обозначения:
( CiJi/s(t) + С2У1/3О") ^лл верхнего знака,
I Ci/1/3(r)
г) + С2К1/3(Т) для нижнего знака,
где J\/2>{t) и Yi/зО")—функции Бесселя, 1\/$(т) и Ki/s(t)—модифицированные функции
Бесселя.
25. 1&. = А*-1'3»-1^-
Решение в параметрическом виде:
x = aT2/3Z2, у = Ът-2'\тг'т + \гJ, где A=\^b/af/2.
26. ^ = Ах-^у-1'2.
Решение в параметрическом виде:
x = ar-2/sZ-\ y = bT-4/sZ-2(rZfT + ±ZJ, где А = Т^Ь3/2.
27. y'L = Аху~2.
Решение в параметрическом виде:
x = aT-2/s[(TZ'T + ±ZJ±T2Z2], у = Ът2/гг2, где А=-ЦЪ/а)\
28. y'L = Ах~2у-2.
Решение в параметрическом виде:
х = t2/3[(tZ't + \ZJ±t2Z2}-\ у = bT4/sZ2[(TZ'T + \ZJ±t2Z2}~\
где А = -^Ь\
2.3. Уравнение Эмдена — Фаулера ухх = Ахпу
241
2.3.2. Первые интегралы (законы сохранения)
В этом разделе приведены первые интегралы уравнения Эмдена — Фаулера ухх = Ахпу
следующего вида:
к
Y, M*>vWx)a = С, где к = 2, 3, 4, 5.
2.3.2-1. Первые интегралы для к = 2.
2А
1°. При п = 0, т ф — 1 (т — любое):
2°. При п = — , т ф — 1 (??г — любое):
3°. При п = — ?77- — 3, т ф —1 (т — любое):
2/ /\2 г. / , 2 2А —т—1 т + 1
(г/) 2хуу + у ж j/ ^
=с.
4°. При n = —f-, m = 2:
^Ас8/7(у^J - (
5°. При п = -4f, m = 2:
V + |
V - |
" I/ = С.
2.3.2-2. Первые интегралы для к = 3.
1°. При п = 0, m = -\:
(у'хK-6Ау1/2у'х+6А2х = С\
x(v*K ~ У{У'*? ~ GAxyy'x + ^ V/2 + 3.4V = С.
2°. При п = 1, m = --|-:
B/LK - 6Ac»1/2i/L + 4V/2 + 2А2Ж3 = С.
3°. При п = —|, т = --|-:
4°. При п = --§-, т = -\:
l = с,
x\y'xf - 3x2y(y'xf + 3(ху2 - 2Ах1/2у1/2)у'х - уг + 6Ax~1/2ys/2 - бА^'1 = С.
5°. При п = — -|-, т = — ^--
2 6/^1/2 ^у/2 22/3 = С.
6°. При и = -у, m = --:
K - 3x2y(y'xf + Цху2 - 2Ах-1'2у1?2)у'х - у3 + 2Ах
- 2А2х~3 = С.
2.3.2-3. Первые интегралы для к = 4.
1°. При п = 1, т = --§¦:
<У'ХL ~ У(у'х?
2°. При и = 2, ш = —§¦:
4/3 = С,
y'x + 9А2х4у~4'3 = С.
= С.
16 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
242 Уравнения второго порядка
3°. При п = 0, т= -¦§-:
х(УхL ~ УШ3 + 6Axy-2/s(y'xf ~ 9Ау1/3у'х + 9А2ху~4/3 = С,
х2(у'хL - 2xy{y'xf + (у2 + 6Ax2y-2/s)(y'xf - 18Аху1/3у'х + 12Ау4/3 + 9А2х2у~4/3 = С.
4°. При п = -\, т = --§¦:
х(у'хL - y(y'xf + &Аху-2'Чу'хJ + 9ЛV4/3 = С.
5°. При п = — -|-, т = — -j'-
х2(у'хL - 2xy(y'xf + (у2 + 6Ах2'3у-2'3)(у'хJ + 6Ах-^у1/3у'х + 9А2Х-2'3у-^ = С,
х\у'х) -Зх'у(УхУ + Зх(у2
- (у3 + ЗАх2/3у1/3)у'х - ЗАх~1/3у4/3 + 9А2х1/3у~4/3 = С.
6°. При п = —у, т = —-|-:
х3{у'хL - Зх2у(у'хK + Зх(у2 + 2Ax-1/3y-2/3)(y'xf -
4/ / \4 , 3 / / \3 , п 2/ 2 , л -1/3 -2/3\/ /\2
ж (ух) -4х у(ух) +6х (у +Ах 'у ' )(ух) -
о /о 3 о Л -1/3 !/3\ 7 i 4 1 о /1 —1/3 4/3 , п Л2 -2/3 -4/3 /-^
— Ixyly — ЗАх у )ух + у — LZAx у -г УА х у = G.
7°. При п = --!-, m = --§-:
ж3(^L - 3x22/(^K + Зх(у2 + 2Аж7/62/-2/3)(^J -
- (у3 + 12Ах7/ву1/3)Ух + 6Ах1/6у4/3 + ЭА2^4/^-4/3 = С.
8°. При п = -!§-, т = --§-:
х4(^L - 4x*y(y'xf + бх2^2 + Ах-^у-^){у'хJ -
- 4х(у3 - 6Ax-4/sy1/s)yfx +у4- 30Ах~4/3у4/3 + 9А2х~8/гу-4/3 = С.
9°. При п = 1, m = -7:
/ / Ч4 / /чЗ о л 2 —6/ / \2 1 л —5 / 1 ,« —4 1 ^23 —12 ^-v
х{Ух) - У\Ух) + "^^ у (ух) - -^Аху ух - -у±Ау + -^А х у = С.
10°. При п = 3, га = -7:
Замечание. В случае к = 4 опущены первые интегралы вида
aF2 + /3F + 7 = С,
где функция F = F(x,y,yfx) является левой частью приведенных выше интегралов для к = 2;
а, /3, 7 — любые константы.
2.3.2-4. Первые интегралы для к = Б.
1°. При п = 0, m = -J-:
2°. При n = --I-, m = --§-:
x\y'xf - 5x4y(yfxL + 5ж3уBу - 3Ax-1/3y-2/3)(y'xf -
+ 1БА(х-1/3у10/3 ~ ^Ах-2/3у5/3 - ^А'х-1) = С.
2.4. Уравнения вида у%х =
243
2.3.3. Некоторые формулы и преобразования
1°. При тф\ уравнение Эмдена — Фаулера имеет частное решение
п + 2
п^^ г |
у = \х i-™> 5 где А = -
1 rn-l
А{т- IJ
2°. Преобразование у = w/t, х = \jt приводит к уравнению Эмдена — Фаулера с другим
показателем степени у независимой переменной:
3°. Некоторые более сложные преобразования уравнения Эмдена — Фаулера приведены в
разд. 2.5.3 (см. рис. 3).
4°. При т ф 1 и т ф — 2п — 3 преобразование
т —
приводит к уравнению Абеля
х т~1 у, и = х
+
2 ^\
-У)
1 /
г+ЗУ * '
. 2п + т + 3 ,
частные случаи которого рассмотрены в разд. 1.3.1.
5°. Некоторые более сложные преобразования, приводящие к другим уравнениям Абеля,
указаны в разд. 2.5.3.
2.4. Уравнения вида у%х = Ахху
Для частного случая А\ = 0 (или А2 = 0) см. разд. 2.3.
2.4.1. Классификационная таблица
+ А2х7
В табл. 21 указаны уравнения вида у"х = А\хПхутх + А2ХП2ут2, решения которых даны в
разд. 2.4.2. Последовательно приводятся двухпараметрические семейства (в пространстве пара-
параметров mi, rri2, n\, пг), однопараметрические семейства и изолированные точки. Уравнения
расположены по возрастанию mi, по возрастанию ni2 (при одинаковом mi), по возрастанию тм
(при одинаковых mi и тг), по возрастанию ri2 (при одинаковых mi, ni2 и ni). В последней
колонке указан номер уравнения, где приведено искомое решение.
ТАБЛИЦА 21
Разрешимые уравнения вида у'?х = A1xniymi +
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
т1
любое
любое
любое
любое
любое
1
1
1
-7
-5
т2
любое
любое
любое
0
0
любое
любое
-3
-7
-5
п1
0
-771! - 3
-т(™1+3)
0
-771! - 3
2
2
любое
(и, ф -2)
4
2
п2
0
—т2 — 3
-i(m2+3)
0
-3
2
—m2 — 1
0
3
0
Ai
любое
любое
любое
любое
любое
2(т2 + 1)
(т2+3J
2(т2 + 1)
(т2+3J
любое
любое
любое
А2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
Уравнение
2.4.2.1
2.4.2.2
2.4.2.3
2.4.2.19
2.4.2.20
2.4.2.4
2.4.2.5
2.4.2.83
2.4.2.39
2.4.2.16
16*
244
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Разрешимые
т1
-3
-3
-3
-3
-2
-2
_2
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
3
2
3
2
7
5
4
3
4
3
3
5
3
5
1
2
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
т2
-7
-7
-4
-4
-3
-3
-2
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
-2
_2
-т
5
3
5
3
7
5
7
5
1
2
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
-2
-2
-1
-1
2
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 2.3 (продолжение)
уравнения вида ухх = А1хп^ут^ + А2хп^уш^
пх
0
0
0
0
-2
1
-1
7
3
4
3
4
3
2
3
0
2
2
3
2
0
8
5
5
3
0
12
5
0
5
2
8
3
8
3
8
3
0
0
0
-3
0
-3
0
-3
0
-4
-3
-3
-3
п2
1
3
0
1
0
0
_2
10
3
10
3
7
3
4
3
2
3
0
1
-2
1
13
5
7
3
1
13
5
1
7
2
10
3
7
3
4
3
0
1
2
-2
1
-2
0
7
3
0
5
2
7
2
5
2
-2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
^2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
Уравнение
2.4.2.42
2.4.2.43
2.4.2.17
2.4.2.18
2.4.2.88
2.4.2.87
2.4.2.28
2.4.2.48
2.4.2.49
2.4.2.24
2.4.2.90
2.4.2.89
2.4.2.47
2.4.2.46
2.4.2.81
2.4.2.80
2.4.2.25
2.4.2.102
2.4.2.101
2.4.2.53
2.4.2.52
2.4.2.23
2.4.2.55
2.4.2.59
2.4.2.57
2.4.2.56
2.4.2.58
2.4.2.54
2.4.2.108
2.4.2.107
2.4.2.22
2.4.2.21
2.4.2.73
2.4.2.72
2.4.2.96
2.4.2.51
2.4.2.45
2.4.2.106
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
т1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
l
3
i
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2.4. Уравнения вида ухх = А1хП1%
Разрешимые
т2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
5
3
5
3
-7
-7
-4
-4
-3
-3
5
2
5
2
-2
-2
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
7
5
7
5
1
2
1
2
1
2
ТАБЛИЦА 2.3 (продолжение)
уравнения вида ухх = А1хп^уш^ + А2хп^ут^
п1
-3
5
3
3
2
3
2
3
2
3
2
4
3
0
0
0
0
1
10
3
0
-2
-2
-2
_2
-5
1
—2
-2
_2
_2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
_2
-2
п2
1
2
7
6
5
2
-2
1
2
0
4
3
-2
1
2
0
1
0
-\
1
-2
6
-2
3
0
0
-2
3
2
-2
1
_2
-2
-2
_2
2
3
2
3
2
3
2
3
— 2
2
5
-2
-2
-2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
15
4
15
4
6
6
любое
любое
12
12
2
2
3
16
9
100
3
4
63
4
3
16
9
100
3
4
63
4
5
36
5
36
2
9
4
25
20
А2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
245
Уравнение
2.4.2.85
2.4.2.41
2.4.2.100
2.4.2.79
2.4.2.78
2.4.2.99
2.4.2.40
2.4.2.86
2.4.2.105
2.4.2.44
2.4.2.50
2.4.2.95
2.4.2.98
2.4.2.97
2.4.2.35
2.4.2.36
2.4.2.31
2.4.2.32
2.4.2.84
2.4.2.82
2.4.2.64
2.4.2.65
2.4.2.6
2.4.2.7
2.4.2.26
2.4.2.10
2.4.2.12
2.4.2.66
2.4.2.27
2.4.2.11
2.4.2.13
2.4.2.67
2.4.2.29
2.4.2.30
2.4.2.14
2.4.2.8
2.4.2.33
246
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 2.3 {продолжение)
Разрешимые уравнения вида у'?х = А1хп^уш^ + А2хп^уш^
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
т1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3
3
3
3
т2
1
2
1
2
1
2
0
0
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
2
ni
-2
-2
-2
-5
1
-2
-2
-5
-5
20
7
20
7
15
7
15
7
0
0
-3
-3
-2
-2
-6
0
18
5
12
5
п2
1
2
1
2
1
2
-3
0
-2
3
2
-4
-3
13
12
7
9
__8_
7
0
1
-2
-2
-2
-2
-5
1
14
5
11
5
2
9
4
25
20
любое
любое
12
49
12
49
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
^2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
6
25
6
25
6
25
6
25
любое
любое
любое
любое
Уравнение
2.4.2.15
2.4.2.9
2.4.2.34
2.4.2.77
2.4.2.76
2.4.2.37
2.4.2.38
2.4.2.92
2.4.2.69
2.4.2.94
2.4.2.71
2.4.2.70
2.4.2.93
2.4.2.68
2.4.2.91
2.4.2.61
2.4.2.63
2.4.2.60
2.4.2.62
2.4.2.104
2.4.2.103
2.4.2.74
2.4.2.75
2.4.2. Точные решения
1- у"х = Агу™1 + А2уГП2, mi ф — 1, т2 ф — 1.
1°. Решение в параметрическом виде:
х = а Г (Ci + rmi+1 ± r^+i)-1/2 dr + Сз5 ^ = ^
где Ai = — а~ 6 ~rril(mi + 1), А2 = =Ь —а~ 6 ~ГП2(т2 + 1).
2°. Решение в параметрическом виде:
х = а (С\ — rmi+1 d= rm2+1) dr + C2, 2/ = br,
J
2 91 A —ТТЬЛ —3 ТТЬЛ i A —TTbO —3 ?7l9 / -g / -g
fc = Aix x ?/ x + A2x 2 ?/ 2, rm ф -1, m2 ф -1.
1°. Решение в параметрическом виде:
dr
х +Tml+1 ±Tm2+1
, У = Ьт
где Ai = |
=
1 +Tml+1 ±Tm2+1
^ + 1).
2.4. Уравнения вида у%х = А^^у171^ + А2хп^ут
247
4.
2°. Решение в параметрическом виде:
dr
Л/С1 -
где A! = -|a1
, у = Ът
dr
r + C2
1).
1°. Решение в параметрическом виде при тщ / -1и rri2 ф — 1:
ж = G2 exp
• —т +
) 'Ч
2°. Решение в параметрическом виде при тщ / -1и ?тг2 = — 1:
х = Ci ехр \[(с2 + -т2 + _^^ттг+г
у = Cirexpfi f(c2 + \
L 2 J V 4
+
Решение в параметрическом виде:
m+3
п ( [ dr „ \ rn-i ( f dr
= С i [I =¦ + C2 , у = br( =¦ +
где А = ±-
2(m + 3J
— 2(m+ 1) -2 , д -ггг-1 ггг
— —-(—. Q42 x У т- ^ж т/ ,
Решение в параметрическом виде:
т+З
С2)
где А = ±
-1J,1-т
2(m + 3J
6. 7/L = 2Ж?/ + Ax~2y-2.
Решение в параметрическом виде:
C2] /3
+ л/FTT) + С2] /3,
где А = -|63.
Решение в параметрическом виде:
ж =
где Л = --5-е
248 Уравнения второго порядка
8. y'L = ~4гх~2У + Ах~2у-1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = Ci(r3 - Зг + С2)/3, 2/ = Ь(г2-1J(г3-Зг + С2)/3, где А = ±^Ь
9. y'L = -4>*~2У + Ах~1/2у-1/2.
Решение в параметрическом виде:
) (-1)(т3-Зт + С2)/, где А = ±^Ъ
т/" — V—x~2v -г- Ax~2v~5/S
и* Ухх — юо ^ У \ J±tL У
Решение в параметрическом виде:
где А = ±^
п. у>:» = -^х-2у + Ах2'*у-^.
Решение в параметрическом виде:
z = Ci[±(t4-6t2+4C2t-3)]6/4, 2/ = bCi(r3-3r + C2K/2[±(T4-6r2+4C2r-3)]1/8,
где А = ±^Ь^.
12. y'L = \х~2у + Ах~2у-6'3.
Решение в параметрическом виде:
х = С1(т3±Зт + С2у1/\ у = Ъ(т2±1K/2(т3±Зт + С2у3/\ где А = ±±Ъ8/3.
13. у':х = ±х-2у + Ах2'3у-5'3.
Решение в параметрическом виде:
х = С1(т3±Зт + С2I/\ у = ЪС1(т2±1K/2(т3±Зт + С2у1/\ где А = ±±Ъ8/3.
14. y'L = -lx-2y + Ax-2y-^2.
Решение в параметрическом виде:
х = Ci(de2kT + C2e~kT sincj), и = лДкт,
у = hk2(Cie2kT+ C2e"fcrsincj) [2Cie2kT + С2е~кт(a/3coscj - sincj)]2,
где А = ^Ък3.
is. ^/L^-f^-^ + ^-^V172.
Решение в параметрическом виде:
х = Ci{Cie2kT + C2e~kT sincjK, cj = лДкт,
у = hk2Ci(Cie2kT+ C2e-kTsinu)[2Cie2kT+ С2е~кт (a/3coscj - sin о;)]2,
где А = 1§-Ък3.
16. y'L = AlX2y-5 + A2y-5.
Решение в параметрическом виде:
2.4. Уравнения вида у%х = А^^у171^ + А2хп^ут^ 249
1°. Решение в параметрическом виде:
1 7 л -274 л 3 -2т5
I у = Ьт, где А\ = =FQ- о , Л2 = — -~а о .
2°. Решение в параметрическом виде:
~2)~1/2
x = a\f(Ci-r 3±т 2)~ ' dr + C2\, ?/ = 6т, где Ai =:
18. ?/"ж = Агу~3 + А2ж?/~4.
1°. Решение в параметрическом виде:
где Ai = Т«^4, А2 = -^a~sb5.
2°. Решение в параметрическом виде:
где А\ = =F« 2^4, А2 = \а 3Ь5.
19. y'L = Аху™ + А2, гпф -1.
1°. Решение в параметрическом виде:
x = a[j{C1+T^±T)-1/2dT + C2\ у = Ьт,
где А! = |a-V-m(m+l), A2 = ±|a-26.
2°. Решение в параметрическом виде:
х = аП (Ci -rm+1=br)/2dr + C2], 2/ = br,
3°. Для случая m = — 1 см. уравнение 2.4.2.21.
1°. Решение в параметрическом виде:
где Ai = i-a1+m61-m(rn+l), A2 = ±\ab.
2°. Решение в параметрическом виде:
\ [ ,„ m + l , 4-1/2, ,^1~1 7 Г/"/^ т + 1 , ч-
х = а\ / (C7i —г ± г) ат-\-С2\ , v = ot / (Ci —r ± г)
где Аг = -|a1+m61-m(rn + l), А2 = ±|ab.
Решение: ж= /"(Ci + 2Ац/ + 2А2 In |г/|)/2с/г/ + С2.
22. 7/L = Ахж + А2х~2у~г.
Решение в параметрическом виде:
х = [J{Ci + 2А1Т + 2А2 In |r|)-1/2 dr + C2] "\
7i + 2Ait + 2А2 In |r|)/2 dr + C2] "X.
250 Уравнения второго порядка
23. y'L = Агх-^у-1'2 + Азх-^у-1'2.
Решение в параметрическом виде:
х = —, у = —{2Cie2kT + С2е~кт [л/3 cos(cjt) - sin(cjr)] }\
F F
где F = de2kT + С2е~кт sin(W) - ^-, А2 = 16/с3, cj = /сл/3.
А2
24. yL = А1Ж-4/3у-5/3 + А2х-7'3у-6'3.
Решение в параметрическом виде:
х = (^А2т4 + Cir3 + С2т + Сз),
у = {\А2т3 + 3Cir2 + С2K/2(^А2г4 + dr3 + С2т + Сз),
где 9CiC2 = A1+A2C3.
Решение в параметрическом виде:
х= (aClF-^X1,
\ Асу /
где
5 = Cie2kT+ C2e-krsm(V3kr), F = (S'TJ - 2SSf;r, A2 = -
2
5 б12/5
1024 a3/c6 '
26. й. = -^-ау + АЯ-уВ/8.
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
где А = — -^j-e
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = Ci[shr + cos(r + Сз)], 2/ = 6[chr - sin(r + C2)]3/2[shr + cos(r + C2)]~3/2,
где А = -fo-b8^.
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
х = Ci[ch(r + C2) cosr]2[th(r + С2) + tgr]2,
у = bCi[ch(r + С2) cosr]2[th(r + С2) + tgr]1/2,
где А = --^b8/s.
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = Ci[shr + cos(r + С2)]2, у = bCi[chr - sin(r + C2)]3/2[shr + cos(r + C2)]1/2,
где А = -^Ь8/3.
28. ?/"ж = Агх~гу~2 + A2x~2y~2.
Решение в параметрическом виде:
I А2
~L./~~i 2tIо ^7 J /^ — / Г/ ^7^ i 1 ^У\ i -^ yzl "^^ 1 I
У I L^^^ J л I '
где
rCiJ1/3(T) + C2Yi/3(T)
ICi/i/sM + CaiCi/sCr)
) для верхнего знака,
) для нижнего знака,
J\/?>(т) и ^1/з(т) — функции Бесселя, 1\/з(т) и ^^(г)—модифицированные функции
9 ¦ ¦
2~(
Бесселя; А2 = --|а~363
2.4. Уравнения вида у'^х = А^х^у1^ + А2хп*ут*
251
> В решениях уравнений 29, 30 приняты обозначения:
2kT
51 =de
52 = 2kCie2kT + кС2е
~кт
- sin(>/3 кт)],
*y' Ухх — 36 У \ У
Решение в параметрическом виде:
;, y = bS!/2S;5/i, где А=-
30. y'L = -тёх~2У + Лх2/5у-т/6.
Решение в параметрическом виде:
x = ClSl/2, y = bC1S51/2S13/\ где А=-
> В решениях уравнений 31-39 приняты обозначения:
R= >/±Dr3-l), /=/
г<3е / = 1{т) —
31. y'
- 1),
неполный эллиптический интеграл второго рода в форме Вейерьитрасса.
y'L = вх~2у + Ах-2у-*.
Решение в параметрическом виде:
32.
33.
+ Ахяу~*.
yL у + у
Решение в параметрическом виде:
y'L = 20х~2у + Ах~2у-1/2.
Решение в параметрическом виде:
34. y'L = 20х~2у + Ах~1/2у-1/2.
Решение в параметрическом виде:
/
где А =
где А =
где А = =Ы0863/2.
где А = =Ы0863/2.
y'L = ^х~2у + Ах-2у-\
Решение в параметрическом виде:
35.
36. y'L = ^х~2у + Ахву-7.
Решение в параметрическом виде:
/
37.
38.
где А = ±\ б8.
где А = ±\ Ъ8.
yL = -^xy + Axy.
Решение в параметрическом виде:
х = С1{1 + С2)-\ у
y'L = -^-x-2y + Ax-^2y^
Решение в параметрическом виде:
где А = ±%
где А = ±-^Ъ
252 Уравнения второго порядка
39. y'L = AlX4y-7 + А2х3у-7.
Решение в параметрическом виде:
Jy у =
где А2 = ±-?j-a-48.
> В решениях уравнений 40-43 приняты обозначения:
+ С2, F^t-RxE!, #i =
2, Е2=[—
J R2
2
40. s/1 = А1Ж/3 + А^-4/3^-1
Решения в параметрическом виде:
где Ai = Tf а/3?;, А2 = ±а-2/3Ъ3/2(-1)к; к = 1 и к = 2.
f а?;, А2 = ±
41. у':т = А1х-*'а + А*х-7'*у-1
Решения в параметрическом виде:
где
А! = ±f а-1/3Ь, А2 = |a-5/663/2(-l)fc+1; jfe = 1 и jfe = 2.
42. з/^, = Ai?/~3 + А2ху~7.
Решения в параметрическом виде:
х = ат-3Нк, у = Ьг-1'2Е
где Ах = т-з^-аЬ4, А2 = -^-аЬ8; к = 1 и А; = 2.
43. 1& = А12/-3 + А2ж3г,-7.
Решения в параметрическом виде:
где А\ = d=-gg-a Ь , А2 = —т^-а Ъ ; /с = 1 и /с = 2.
> 5 решениях уравнений 44, 45 приняты обозначения:
CiekT + C2e~kT - ^-т при Ах > О,
л
l sin(A;r) + С2 cos(A;r) — —^г при А\ < О,
Ai
k(dekT - С2е~кт) - 4"- при А! > О,
/2 = < ^
/c[Ci cos(A;r) — С2 sin(A;r)] -^- при
где к = J\\A\\.
44. уж = Аг + А22//2.
Решение в параметрическом виде:
— f — f2
45. 7/L = AlX~3 + Азж72?/-172.
Решение в параметрическом виде:
2.4. Уравнения вида у'^х = AlXniymi + А2хп*ут* 253
> В решениях уравнений 46, 47 приняты обозначения:
При Ах > 0:
Тг = CiekT + С2е~кт + С3 sin(fcr), к = (|AiI/4,
Т2 = k(CiekT - С2е~кт) + kCs cos(kr).
При Ах < 0:
46. y'L = А1Х2у-5/3 +
Решение в параметрическом виде:
т - Ti - А2 77 - Т3/2
где произвольные постоянные Ci, C2, С2, связаны одним соотношением
4CiC2 + С\ = ^А12А\ при Ах > 0,
CiC3 = -^А12А\ при Ai < 0.
47. »^=AiaJVe/3+^»-B/8.
Решение в параметрическом виде:
т — Тл а — т3/2
х — ii, у — ±2 1
где произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
4CiC2 + Ci = -\А[ХА2 при Ах > 0,
СхСз = -\А^А2 при Ах < 0.
> В решениях уравнений 48, 49 приняты обозначения:
При А2 > 0:
Тх = Схект + С2е~кт + С3 sm(kr), к = ЦА2I/4,
Т2 = к(Схект - С2е~кт) + кС3 cos(kr).
При А2 < 0:
Тх = eST[Cx sin(sr) + С2 cos(sr)] + С3е~8т sin(sr), s = (-\А2I/\
Т2 = seST[(Cx - С2) sin(sr) + (Сх + С2) cos(sr)] - sC3e~ST[sin(sr) - cos(sr)].
48. y'L = AlX-7'3y-5' +
Решение в параметрическом виде:
где произвольные постоянные Ci, C2, Сз связаны одним соотношением
4CiC2 + С32 = \А\А^2 при А2 > 0,
СхСз = tqAIAz2 при А2 < 0.
49. 2,1 = А1Х-*/3у-5/3 + А^-10/3^-5/3.
Решение в параметрическом виде:
ж — ix , у — 1г 12 ,
где произвольные постоянные С\, С2, С3 связаны одним соотношением
АСхС2 + Ci = -\AxAz1 при А2 > 0,
СхСз = -\AxAz1 при А2 < 0.
254 Уравнения второго порядка
> В решениях уравнений 50-53 приняты обозначения:
R2 = {Ci + С2т)ект+ Сзе"т,
R3 = CiekT -\-eST(C2 sinujt-\-Сз cos ujt),
Qx = CiklTkl + С2к2тк2 + к
Q2 = (kCi + C2 + кС2т)ект
Q3 = kCiekT + eST[(sC2 - иСз) sinuoT + (sC3 + ujC2) coswt],
&=t(Qi)'t, & = (Q2)'t, ft = (Q3)'T,
г<3е A?i, k2, ks (вещественные) или к, s±iuj (один вещественный и два комплексных) — корни
кубического уравнения Л3 — \В2\— \В\ =0. Индекс у функций Rm, Qm, Sm (m = 1, 2, 3)
выбирается в зависимости от знака выражения А = 253. — 27Bf:
А > 0 индекс т = 1,
А = 0 индекс т = 2,
А < 0 индекс т = 3.
?с/ш 2Б| = 27^1 (индекс т = 2), то
к = (\В2I/2, и = -2(\В2I/2 при Б1<0,
А; = -(|Б2I/2, ^ = 2(|Б2I/2 71/ni Bi>0.
Замечание. Выражения для Rm, Qm содержат три константы С\, С2> Сз- Одну из
них можно произвольно зафиксировать, положив равной любому отличному от нуля числу
(например, можно положить Сз = =ЫЛ пРи этом две другие константы могут принимать
произвольные значения.
50. y'L = At + А2ху~1/2.
Решение в параметрическом виде:
x = Rm, y = Q2m, где Ai=B2, A2 = Bl
51. y'L = AlX-3 + А2х~7/2у-1/2.
Решение в параметрическом виде:
ж = Я~\ y = Km1Q2m, где Аг=В2, А2 = Вг.
52. y'L = Aiy-3'* + A*xy-7'*.
Решение в параметрическом виде:
х = aBQ2m - 4RmSm + B2R2m), у = bR5J2,
где A1 = -ab-4/5A2B2, A2 = -А.в-3Ь12/5БГ2.
53. y'L = А1Ж-12/V3/5 + А2х-13'5у-7'5.
Решение в параметрическом виде:
х = aBQ2m - 4RmSm + B2Rl)~\ у = J \
Ще Al = ^a2^b8^B-2B2, A2 =-^as
> В решениях уравнений 54, 55 приняты обозначения:
1°. При А2 > 0, Ахф 0:
Ti = CiekT + C2e~kT + Сз sincjr, T2 = k(CiekT - C2e~kr) + ujC3
где к = {\[{А\ +ЗА2I/2 + Ai]}1/2, и = {\[{А\ + ЗА2I/2 - Ai]}1/2
постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением 4к2С\С2 -\-и2С\ = 0.
2°. При -А\ < ЗА2 < 0, Ai > 0:
Ti = Cirfcl +C2r"fcl +C3rfc2 +C4r"fc2, T2=k1(C1rkl - C2r~kl) + k2(C3rk2 -
где /ci={f [Ai + (A2+3A2I/2]}1/2, A;2 = {|[Ai-
янные С\, C2> Сз связаны соотношением (CiC2 + C3C4)(^f+ 3A2I/2 + (CiC2-C3C4)Ai = 0.
2.4. Уравнения вида у'^х = А^х^у1^ + А2хп*ут*
255
3°. При -А\ < ЗА2 < О, Ах < 0:
Т\ = С\ sincjir + С2 coscjit + Сз sinter, Т2 = u;i(Ci coster — C2 sin u; it) +CJ2C3
где ui ={-±[A1 + (A21 +3A2I/2]}1/2, cj2 = {-|[Ai-(Af+ 3A2I/2]}1/2;
постоянные С\, C2, Сз связаны одним соотношением и;2 (С2 + Cf) — ш\С\ = 0.
4°. При А\ + ЗА2 = 0, Ai> 0:
Ti = (Ci + C2r)efcr + (C3 + C4r)e-fcr, T2 = (JfeCi +C2 + A;C2r)efcr - (JfeC3
г<3е А; = (-I-A1I/2; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
(CiC4 - С2Сз)ЦА1I/2 + 2С2С4 = 0.
5°. При А\ + ЗА2 = 0, Ai <0:
Ti = (Ci + С2т) sin cjt + Сзг cos ujt, T2 = (cjGi + C3 + cjG2r) cos cjt + (C2 — сс;Gзг) sin ujt,
где и = (— уА].I/2/ произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
С1С3(-|А1I/2 + С22 + Сз2 = 0.
6°. 77^w ЗА2 < -А\:
Тх = ekT(Ci sinuoT + C2 cosuor) + C3e"fcr sincjr,
T2 = ект[(кС2 -\-ujCi) cosujt + (&Ci - cjC2) sincjr)] + С3е~кт(ojcosojt - ksmour),
где к = {±[А! + (-ЗА2I/2]}1/2, и = {±[-Аг + (-ЗА2I/2]}1/2; произвольные постоянные
С\, С2, Сз связаны одним соотношением С2А\ + Ci(—Ai — ЗА2I/2 = 0.
54. y'L = Агу-1'3 + А2х2у~5/3.
Решение в параметрическом виде:
55. y'L = Агх-^у-1'3 + А^
Решение в параметрическом виде:
= Т1~\
> В решениях уравнений 56-59 приняты обозначения:
Сге- + С2е-- + С3т при М > 0
С\ sin ujt + C2 cos ujt + Сзт при Ai < 0,
uj(Ci coscjt — С2 smojT) + Сз при А\ < 0,
56. j/L = Л^-1/3
Решение в параметрическом виде:
где ш =
где произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
32 + А2) + 16A2CiC2 = 0 при Ах > 0,
57.
А2)
Решение в параметрическом виде:
= 0 при А
0.
х — ±1 , у — ±1 ±2 ,
где произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
3(AxCi + А2) + lbA\CiC2 = 0 при Ах > 0,
3(AxCi + А2) + 4
+ С\) = 0 при Ai < 0.
256 Уравнения второго порядка
58. y'L = Агу-1'3 + А2ху-&'3.
Решение в параметрическом виде:
где произвольные постоянные С\, Сг, Сз связаны одним соотношением
2 + -jqA^AI = 0 при Ах > О,
С22) + -^-АГ2А| = 0 при Ах < 0.
59. y'L = Aix-e/V1/8 + А2Ж
Решение в параметрическом виде:
где произвольные постоянные С\, Сг, Сз связаны одним соотношением
2 i2 + ^-4Г2^2 = 0 при Ах > 0,
С\) + -^-АГ2А| = 0 при Ах < 0.
> В решениях уравнений 60-67 приняты обозначения:
f =
3 п Сз-
V±Dp3 - 1)
Функция р = р(т) задается неявно с помощью приведенного выше эллиптического интеграла
первого рода. Для верхнего знака функция р совпадает с классической эллиптической функцией
Вейерштрасса р = р(т + Сг, 0, 1). В решениях, которые приводятся ниже, вместо г в
качестве параметра можно взять р и использовать явную зависимость т = т(р).
ии* Уазаз — ^±J' У 1Ъ "'
Решение в параметрическом виде:
х = Cir5, у = Ьт2р, где А = ±^-6~\
Решение в параметрическом виде:
x = Cir-\ y = bCir-3p, где А = ±^Ъ~\
62. y'L = Ах~2у2 + ^Ж2/.
Решение в параметрическом виде:
х = С1Т\ у = Ъ(т2р^1), где А = ±-§^Ъ-\
63. j/L = Ах~3у2 + ^а;-2^.
Решение в параметрическом виде:
x = Cit-\ y = bCiT-\r2pTl), где А = ±^Ъ
64. j/L = 12аГ2г/ + Аж!/-5/2.
Решение в параметрическом виде:
у риру/\ где А =
65. j/L = хгж-2^ + Ах3/2у-&/2.
Решение в параметрическом виде:
bC-8/7(f±22y3/7, где А =
2.4. Уравнения вида у'^х = А^х^у1^ + А2хп*ут* 257
66. y'L = ?-х-2у + Ax-*v-s<\
Решение в параметрическом виде:
x = C1(rf + 2p)-1'4, y = b(Tf + 2p)-^8(f±2rp2f2, где A=-^
67. y'L = ^-х~2у + Ах^у-6'3.
Решение в параметрическом виде:
f + 2)-7/s(f±22f\ где А = -^
> В решениях уравнений 68-73 приняты обозначения:
h = л/±4р?-2Р1-С2, т= [ dpl = - Си
J ^±Apl-2Pl-C2
-с2, т= [ . dp2 = - а.
Функции pi = pi(r) и р2 = р2(т) являются обращениями приведенных выше эллиптиче-
эллиптических интегралов; для верхних знаков они являются классическими функциями Вейерштрасса
pi = р(т + Си 2, С2) и Р2 = р(т + Си -2, С2).
68. y'L = А1У2 + А2.
Решения в параметрическом виде:
х = ат, y = bpk,
где Аг = ±6а~2Ь-\ А2 = а~2Ь(-1)к; к = 1 и к = 2.
69. y'L = AlX-5y2 + А2х~3.
Решения в параметрическом виде:
х = ат~ , у = Ът~ pk,
где Ах = ±6а3Ь~\ А2 = аЬ(-1)к; к = 1 и к = 2.
70. ^^^ж-^^ + ^ж-977.
Решения в параметрическом виде:
х = ат7, у = Ът(т2рк Т 1),
где Ах = ±^-a1/7b-\ А2 = -±-а-5/7Ъ(-1)к; к = 1 и к = 2.
71. у':я = А1х-*°'7у* + А*х-1*'7.
Решения в параметрическом виде:
х = ат~7, у = Ьт~6(т2рк Т 1),
где Ах = ±^a6/7b~\ А2 = -^а-2/7Ь(-1)к; к = 1 и к = 2.
72. y'L =Аг+ А2у~2/3.
Решения в параметрическом виде:
х = а[/к - (-1)М, у = bpl,
где Ах = ±\а~2Ъ, А2 = JLa-2b5/3(-l)fe; к = 1 и к = 2.
73. y'L = AlX-3 + А2х~7/3у-2/3.
Решения в параметрическом виде:
х = a[fk - {-1)кт]-\ у = bpl[fk - (-1)ктГ\
где Ах = ±\аЬ, А2 = ^-a1/365/3(-l)fc; к = 1 и к = 2.
17 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
258 Уравнения второго порядка
> В решениях уравнений 74, 75 приняты обозначения:
Е = Г A ± т4)~1/2 dr + С2, к2 = ±1.
Функция Е может выть выражена через эллиптические интегралы или функции лемнискаты.
74. y'L = AlX
Решения в параметрическом виде:
х = аС1Е~ъ, у = ЬС$Е~4(тЕ-к), где А1 = ±^а8/5Ь~\ А2 = ±^a4/5b~1
75. y'L = AlXy + у
Решения в параметрическом виде:
x = aClE\ y = bdE(rE-k), где Ах = ±^a2/5b~\ А2 = ±^a1/5b~1k.
> В решениях уравнений 76-81 приняты обозначения:
Г Ji/3(r) для верхнего знака (функция Бесселя),
\ Л/з(^) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
\ if 1/з (т) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
_ {У\/з(т) для верхнего знака (функция Бесселя),
\ if /з (т) для нижнего знака (модифицированна
C2g + /3uj(g[fclT-f[gdT), ш = ( Т^ для верхнего
\ J J / [ — 1 для нижнего
знака,
знака.
76. ?/"ж = Агху + А2.
Решения в параметрическом виде:
х = ат2/\ у = т1/3Н, где Ах = Т^а'3, А2 = \a~2f3.
11. y'L = AlX~5y + А2х~3.
Решения в параметрическом виде:
х = ат~2/3, у = т~1/3Н, где Ах = Т-§-а3, А2 = fa/3.
78. y'L = AlX-3/2 + А2х~1/2у-1/2.
Решения в параметрическом виде:
х = ат2/3Н\ у = Ьт-2/3{тН'т + \Н)\ где А1 =-\а~1/2Ьр, А2 = т\а~3'2Ь3'2.
79. y'L = А1Х~3/2 + А2х-2у-^2.
Решения в параметрическом виде:
х = ат-2/3Н-\ 2/ = 6г-4/3Я-2(гЯ; + |ЯJ, где А1 = -|а-1/2Ь/3, А2 = Т|63/2
80. y'L = А1У~3/2 + А2ху~2.
Решения в параметрическом виде:
х = ат~2/3 [тт2Н2 + 2(ЗтН - [тН'т + \НJ}, у = Ьт2/3Н2,
где Аг = -ab~1/2f3A2, А2 = \а~3Ь3.
2.4. Уравнения вида у'?х = Агхп^ут^ + А2хп^ут^ 259
81. y'L = А1Х-3'2у-3'2 + А2х-2у-2.
Решения в параметрическом виде:
х = ат2/3[тт2Н2 + 2/ЗтЯ - (тН'т + \НJ}~\
у = Ът4/3Н2[тт2Н2
где Аг = -^а^Ч^/З, А2 = |Ь3.
> В решениях уравнений 82-88 приняты обозначения:
jj _ ( C\Jv{j) для верхнего знака (функция Бесселя),
v у C\Iv{t) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
... _ Г GvXvij) для верхнего знака (функция Бесселя),
v у С2Ки(т) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
Zv=aiUv+a2Vv, Xu =piUu +fcVv, Fv=tZ'u + vZv, Gv=tX'u + v
N Г ZVXV при А = -{oiifo - OL2P1J,
\aUl+f3UuVu+1V2 при A = 2
N = / ZvGv + XvFv nPu A = -(ai
1 \tN'+ 2vN при A =
N2=N?±4t2N2+u;2A ^ = B/7Г для верхнего знака,
I — 1 для нижнего знака.
Штрих соответствует производной по т.
82. у"х = Агху + А2у~3.
Решения в параметрическом виде:
х = ат2/3, у = br1/3N1/2,
где v=\, A1 = Tf «- ^ = -?ra-2b4u;2A.
83. y'L = AlXny + А2у~3, n ф -2.
Решения в параметрическом виде:
где v = -J—, А, = ^-±-а-п-2, А2 = ^a~2bWA.
84. у^х = AlX~5y + А2у~3.
Решения в параметрическом виде:
х = ат-2'\ у = br~1/3N1/2,
где v = у, А\ = T-ja3, A2 = -^та~2Ь*ш2А.
85. y'L = AlX-s + A2X-1/2y-1/2.
Решения в параметрическом виде:
x = ar2/3N, y = br~2/3N-1N2,
где v=\, A1 = -2abuj2A, A2 = ^^а^'Ч3'2.
86. y'L =Ai+ A2X-2y-1/2.
Решения в параметрическом виде:
х = ar-2/3N~\ у = br~4/3N-2Nl
где v=\, Аг = -2a~2buj2A, A2 = т|
17*
260
Уравнения второго порядка
87. у"х = Агху 2 + А2у 3.
Решения в параметрическом виде:
х = ar~2/3N~1N2, у = br2/sN,
где v=\, Ai = -^а~3Ь3, А2 = -^a~2b4uj2/\.
Решения в параметрическом виде:
х = ar2/sNN^\ у = br4/sN2N^\
> В решениях уравнений 89, 90 приняты обозначения:
А = С2 -2Ci, R= C6А + 54Бт-2т3I/2, z = 3 fr^R^dr,
) + —2- при А < О,
1
— при А > О,
лрм а = a c2 < a
лрм А = О, С2 > 0.
W(z) =
C\z
89.
// л —5/3 | л —2/3 —5/3
Решения в параметрическом виде:
х = ar~s/2(CiW2 - 2C2W + 2f
у = br-9/4(dW2 - 2C2W + 2)s/4FdW - 6C2 T R)S/2,
где Ai = 24a68/3d, A2 = -36c
чЗ/2
90.
Решения в параметрическом виде:
х = ars/2(CiW2 - 2C2W + 2)/2,
у = br~s/4(CiW2 - 2C2W + 2)"зл
где Ах = -36a~4/sb8/sB, A2 = 24a-2/368/3d.
- 6С2 т R)
З/2
> В решениях уравнений 91-102 приняты обозначения:
функции Р\ и Р2 являются общими решениями четырех модификаций первого уравнения
Пенлеве:
Р" = ±6Р? + г, Р2 = ±6Р| - г
(уравнение для Pi в случае верхнего знака является канонической формой первого уравнения
Пенлеве, см. разд. 2.8.2-1). Кроме того,
Qi = ±6Р!2 + г, Ti = r2Pi т 1, Ui = (Pi7J - 2PiQi ± 8P!3, Fi = P[Q[ + P( - Q2,
Q2 = ±6P| - r, T2 = т2Р2 т 1, C72 = (P2J - 2P2Q2 ± 8P|, У2 = P'2Q'2 -P'2- Q22;
штрих соответствует производной по т.
91. Ухх = ^4.12/2 + ^2Ж.
Решения в параметрическом виде:
х = ат, у = 6Р/е,
где Ах = ±6а~2Ь-\ А2 = а~Ч(-1)к+1\ к = 1 и к = 2.
2.4. Уравнения вида у%х = А^^у171^ + А2хп^ут^ 261
92. y'L = AlX~5y2 + А2х~4.
Решения в параметрическом виде:
х = ат~1, у = Ьт~1Рк,
где Ах = ±6a3b~\ А2 = a2b(-l)k+1; к = 1 и к = 2.
93. у':я = А1х-1*'7у* + А*х-*'7.
Решения в параметрическом виде:
х = ат7, у = бтТ/.,
где Ai = ±-^a1/7b-1, A2 = -±-a-6/7b(-l)k+1; к = 1 и к = 2.
94. у':и = А1х
Решения в параметрическом виде:
х = ат~7, у = Ьт~6Тк,
где Ах = ±^-a6/7b~\ А2 = -±-a-1/7b(-l)k+1; к = 1 и к = 2.
95. у"х = Агх + А2у~1/2.
Решения в параметрическом виде:
где Ах = ±24a~sb, A2 = 2a-2b3/2(-l)k+1; к = 1 и к = 2.
Решения в параметрическом виде:
х = аР1 у = ЪР1 (PiJ
где Ах = ±24а2Ъ, А2 = 2a1/2b3/2(-l)k+1; к = 1 и к = 2.
97. y'L = А1У1/3 + А2ху~5/3.
Решения в параметрическом виде:
т т ?> т~>3/ 2
х = аи к, У = огк ,
где Ах = Т%аЬ~2А2, А2 = --^-a~sb8/s; к = 1 и к = 2.
/ш -| [\ /О "I/O *^ /О К / О
' у» —-LU/O 1 / о | д — '/" —О/О
^в* 2/жж == -Ахж У + АгЖ т/ .
Решения в параметрическом виде:
где Ах = TSab~2A2, А2 = -^а1/3Ь8/3; к = 1 и к = 2.
99. y'L = A1x-3/2 + A2y-1'2.
х = а{Р'к)\ у = bQl,
Решения в параметрическом виде:
х
где Ах = ±а~1/2Ь{-1)к, А2 = ±6a~2bs/2; к = 1 и к = 2.
100. y'L = А1Х~3/2 + А2х~5/2у-1/2.
Решения в параметрическом виде:
х = а{Р'к)-\ y = b{P'k)-2Q2k,
где Аг = ±а-1/2Ь{-1)к, А2 = ±6а1/263/2; к = 1 и к = 2.
262 Уравнения второго порядка
101. y'L = А1У~4/3 + А2ху-5/3.
Решения в параметрическом виде:
где Аг = аЪ~1/3А2(-1)к, А2 = -^а~3Ь8/3; к = 1 и к = 2.
102. y'L = А1Ж/V4/3 + А2х-7'3у-5'3.
Решения в параметрическом виде:
= aVk~\
где Ai = -згг
36 " " v -1-/ ' ^-^ ~ 36'
> 5 решениях уравнений 103-108 приняты обозначения:
функции Pi и Р2 являются общими решениями четырех модификаций второго уравнения
Пенлеве (с параметром а = 0):
Pi = г Pi ± 2Р3, Р2 = -тР2 ± 2Р23,
где штрих соответствует производной по т. В случае верхнего знака уравнение для Pi является
канонической формой второго уравнения Пенлеве с параметром а = 0, см. разд. 2.8.2-2.
103. y'L = Агу3 + А2ху.
Решения в параметрическом виде:
X ^ UT, у = D-Lk 1
где Ai = ±2а~2Ъ-2, А2 = a3(-l)fc+1; к = 1 и к = 2.
104. y'L = Агх~6у3 + А2х~ъу.
Решения в параметрическом виде:
х = ат-\ у = Ът~1Рк,
где Ai = ±2а%~2, А2 = a3(-l)*+1; к = 1 и к = 2.
105. »;'„ = Ai + А2Ж-1/2г,-1/2.
Решения в параметрическом виде:
где Ai = ±2а~% А2 = ±а-3/2Ъ3/2(-1)к+1; к = 1 и к = 2.
106. y'L = А1Х~3 + А2х-2у-1/2.
Решения в параметрическом виде:
где Ai = ±2аЪ, А2 = i-&3/2(-l)fc+1; к = 1 и к = 2.
107. 2/L = Аг + А2ху~2.
Решения в параметрическом виде:
х = а[тР2к±Р?-{Р'кJЪ у = ЬР1 PL =
где Ai = =F2a-26(-l)fc, A2 = 2а~3Ь3(-1)к+1; к = 1 и к = 2.
108. 2/L = А1Х~3 + Азж?/-2.
Решения в параметрическом виде:
х = a[rP| ±Pfc4 - {Р'к?}-\ У = ЪР2к[тР2к±РАк
где Ai = ±2ab, A2 = 2b3; к = 1 и к = 2.
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера ухх = Ахпугп(ух)
263
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера
У = 1
2.5.1. Классификационная таблица
Случай / = 0 соответствует классическому уравнению Эмдена — Фаулера, которое рассматри-
рассматривается в разд. 2.3. Далее считается, что / / 0.
В табл. 22 представлены уравнения вида у"х = Ахпут(ух) , решения которых даны
в разд. 2.5.2. Последовательно приводятся двухпараметрические семейства (в пространстве
параметров п, т, /), однопараметрические семейства и изолированные точки. Уравнения
расположены по возрастанию /, по возрастанию т (при одинаковом /), по возрастанию п (при
одинаковых т и /). В последней колонке указан номер уравнения, где приведено искомое
решение.
ТАБЛИЦА 22
Разрешимые случаи обобщенного уравнения Эмдена — Фаулера ухх = Ахпугп(у'х)
1
т
п
Уравнение
Двухпараметрические семейства
1
2
3
любое
любое
2п + т + 3
п + т + 2
любое
0
любое
(т^-1)
0
любое
любое
(пф-1)
2.5.2.1
2.5.2.2
2.5.2.3
Однопараметрические семейства
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
любое
(^1,2)
любое
Зт + 5
2т+ 3
Зт + 5
2т+ 3
Зп + 4
2п + 3
Зп + 4
2п + 3
Зп + 4
2п + 3
1
2
3
3
-1
1
2
любое
("»?*-§¦)
любое
(">*-¦§¦)
1
2
1
-п-3
любое
(т^-1,0)
-1
любое
(т ^ -2)
-п-3
-1
1
2
1
2
1
любое
(*>*-¦§¦)
любое
(*>*-¦§¦)
любое
-1
любое
(п^-1,0)
1
любое
2.5.2.6
2.5.2.97
2.5.2.13
2.5.2.10
2.5.2.11
2.5.2.12
2.5.2.107
2.5.2.5
2.5.2.4
2.5.2.96
2.5.2.9
Изолированные точки
15
16
17
18
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
5
2
15
8
20
13
5
4
2.5.2.33
2.5.2.83
2.5.2.86
2.5.2.80
264
Разрешимые
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
случаи
1
1
2
2
3
4
5
1
1
jr
8
7
6
5
5
4
5
4
7
9
7
13
10
27
20
18
13
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
10
7
22
15
3
2
3
2
to|co
3
2
to|co
3
2
to|co
23
15
11
7
8
5
8
5
8
5
8
5
Уравнения
ВТОРОГО ПОРЯДКА
ТАБЛИЦА 2.4 (продолжение)
обобщенного уравнения Эмдена — Фаулера у"х
т
1
1
2
5
2
—2
-1
1
1
1
2
1
1
13
8
1
2
1
2
1
2
1
2
10
7
2
3
1
2
1
1
5
1
2
1
2
_2
-2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
3
2~
0
1
1
1
п
0
7
6
1
2
1
-1
3
4
1
2
2
3
1
2
0
1
1
5
2
2
3
7
2
1
1
1
1
0
1
1
5
2
2
1
2
1
-2
1
2
1
_2
1
2
1
2
1
2
1
7
4
10
7
2
3
Уравнение
2.5.2.78
2.5.2.53
2.5.2.76
2.5.2.14
2.5.2.8
2.5.2.54
2.5.2.52
2.5.2.68
2.5.2.58
2.5.2.56
2.5.2.39
2.5.2.38
2.5.2.47
2.5.2.72
2.5.2.40
2.5.2.18
2.5.2.46
2.5.2.32
2.5.2.17
2.5.2.89
2.5.2.91
2.5.2.75
2.5.2.19
2.5.2.70
2.5.2.106
2.5.2.99
2.5.2.100
2.5.2.29
2.5.2.98
2.5.2.105
2.5.2.103
2.5.2.84
2.5.2.27
2.5.2.73
2.5.2.26
2.5.2.48
2.5.2.35
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера ухх = Ахпуш(у'х)
265
ТАБЛИЦА 2.4 (продолжение)
Разрешимые случаи обобщенного уравнения Эмдена — Фаулера ухх = Ахпут(ухI
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
1
8
5
8
5
8
5
21
13
33
20
17
10
12
7
12
7
Т
7
4
9
5
13
7
13
7
2
2
11
5
7
3
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
т
1
1
1
7
2
2
3
5
2
1
1
1
2
0
2
3
3
4
1
2
-1
1
1
2
5
2
15
8
20
13
5
4
0
-5
10
3
20
7
5
2
13
5
7
3
15
-2
-2
-2
-2
4
3
7
6
5
6
П
1
2
1
5
1
2
1
2
1
2
13
8
1
2
1
1
1
2
1
1
-1
-2
5
2
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
2
5
3
2
1
2
7
5
5
3
2
_2
-1
1
2
1
1
2
1
2
5
3
Уравнение
2.5.2.24
2.5.2.74
2.5.2.94
2.5.2.45
2.5.2.87
2.5.2.49
2.5.2.44
2.5.2.42
2.5.2.51
2.5.2.50
2.5.2.81
2.5.2.65
2.5.2.61
2.5.2.7
2.5.2.16
2.5.2.95
2.5.2.64
2.5.2.36
2.5.2.69
2.5.2.71
2.5.2.67
2.5.2.66
2.5.2.79
2.5.2.31
2.5.2.37
2.5.2.85
2.5.2.22
2.5.2.43
2.5.2.25
2.5.2.82
2.5.2.104
2.5.2.15
2.5.2.101
2.5.2.28
2.5.2.59
2.5.2.60
2.5.2.93
266
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 2.4 {продолжение)
Разрешимые случаи обобщенного уравнения Эмдена — Фаулера у"х = Ахпуш(у'хI
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
т
1
2
1
2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
2
3
п
5
2
5
3
-4
5
2
1
2
2
-7
-4
-2
5
3
7
5
1
2
0
5
3
-7
Уравнение
2.5.2.90
2.5.2.92
2.5.2.55
2.5.2.88
2.5.2.20
2.5.2.77
2.5.2.62
2.5.2.57
2.5.2.102
2.5.2.23
2.5.2.41
2.5.2.30
2.5.2.21
2.5.2.34
2.5.2.63
2.5.2. Точные решения
1. yZx = Аут(у'хI.
1°. Решение в параметрическом виде при т ф — 1, / ф 2:
x = aCl-m-1 [A±тт+1)~ dr + C2, у = ЬС*-1т, где А =
2°. Решение в параметрическом виде при т = — 1, / ф 2:
72, 2/ = ^1ехР(Тт2), где А =
3°. Решение в параметрическом виде при т / — 1, / = 2:
/1 — m 2
г 1+m exp(=Fr2) dr + С2, у = br т+1 ,
4°. Решение при m = —1, I = 2:
2-1
I 2^1 т Z
где А = ±(т
2.
y=i [Cix + Сз)^ при Аф1,
{ С2 exp(Cix) при А = 1.
1°. Решение в параметрическом виде при п / — 1, / / 1:
±rn+1)^dT + C2, где
2°. Решение в параметрическом виде при п = — 1, / ф 1:
2), y = bCi J т i-i ехр(тг2) dr+C2, где А =
It
4a2
b \s~l
)
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера у"х = Ахпугп(у'х) 267
3°. Решение в параметрическом виде при п ф — 1, / = 1:
2 р 1 — те
х = ат п+1 , у = С\ т !+«- exp(+r2) dr + С2, где А = + (п + 1)а1~п.
4°. Решение при п = — 1, / = 1:
= ( d\x\A+1 + С2 при А/1,
27 \С11п|ж|+С2 при А = 1.
ттг+3
3. j/L = Ахпут(у'т)
Решение в параметрическом виде при п ф — 1, т ф — 1:
\ Г dr ^Л \ п + 1 [ dr n + 1^1
ж = ехр / ——- + С2 , г/ = гехр / ——- С2 ,
FU /(т) J' y FL m+li /(т) ш + 1 -Г
где функция / = /(г) задается неявно с помощью формулы
n + m + 2 7тг + 1
При п = — 1 см. уравнение 2.5.2.5. При т = — 1 см. уравнение 2.5.2.4.
Решение в параметрическом виде при п ф — 1, п ф 0:
ж = аг «- 5 у = ± ехр \ I Т п ( r n + пг ^ + Ci j dr + С2 ,
где А = -а~п.
При п = — 1 см. уравнение 2.5.2.7'. При п = 0 см. уравнение 2.5.2.1.
5. З/жж = ^4.ж у ух.
Решение в параметрическом виде при m ф — 1, m ф 0:
ж = ±ехр / т~^~ т~^~ -\-тт~ + Ci ) dr + С2 , V = (Ат)~
IJ V m + 1 / J
При m = — 1 см. уравнение 2.5.2.8. При m = 0 см. уравнение 2.5.2.2.
Решение в параметрическом виде при I ф 1, I ф 2:
где функция / = /(г) задается неявно с помощью формулы
1п ( т) ~Т7 = ±—r-lnr + Ci, Л= ——.
\ т X / Xf — т Л / — 2
При / = 2 см. уравнение 2.5.2.7'. При / = 1 см. уравнение 2.5.2.8.
7. »;/и = дх-1»-1(»-)а-
Решение в параметрическом виде:
х = ±е\ у = С2(тАт + ет + Ci) exp[±A /(+Ar + er + Ci)
8. 7/L = Ax-Xy-Xy'm.
Решение в параметрическом виде:
х = С2(±Ат + ет + Ci) ехр [+А /(±Аг + ет + Ci) dr], j/ = ±er.
268 Уравнения второго порядка
9 11 а ть —ть— 3/ / \3
ухх = Ах у (ух) .
Решение в параметрическом виде при п ф — 1:
где /1 =
2
При п = — 1 см. уравнение 2.5.2.15.
Зттг+5
Ю. y'L = Ахугп{ух) 2™+3 .
Решение в параметрическом виде при т ф —3/2:
— 2 Г -1-1 1/2 Г /" -1-1 —1/2 1 1
ж = аС1 s(ld=r^ ) /(ld=r^ ) dr + С2 — г >,
г /¦ _ 1 /о ПД + 2
7 /^7 (/i.~Г 1 ) ([1 — 2) I / -, I /X —|— 1 Ч / 1 I /^7
где и-
3 ,1- /ib"+2 \
1 ' (/i + 2)а L
,1 \±
т + 1 ' (/i + 2)а L 2(/* + 2N J
11. ?/L = Axny-^{y'm)'^+».
Решение в параметрическом виде при п ф —3/2:
х = aC<"+1)r"+1 [|A ± г" ]
у ЪС}{A ± "+1I/2 [/ A ± "+1)-1/2 d С] }'
п
где // =
Р +
= ЬСХ {A ± r"+1I/2 [/ A ± г"+1Г1/2 dr + C2] - г}',
fl 1 1
a(/x + 1) \ b /
12. 7/L = Axny{yx) 2-+З .
Решение в параметрическом виде при п ф —3/2:
[/A ± г"+1)/2 dr + С2] "+2,
где и = —
л ±
п + 1 ' (р, + 2N L 2(/j + 2)a
1 3m+5
13. j/L = At-T»ra(»i) 2ггг+3 •
Решение в параметрическом виде при ?тг / —3/2:
± r"+1)/2 dr + С2]
-/Х-1
Где м =
771+1 0(// + 1J
Решение в параметрическом виде:
)dr + C2] ±exp(=Fr2)}, j/ = bCi [ /
где A = =F^a ь •
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера у"х = Ахпугп(у'х) 269
15. y'L = Ах^у-2^)*.
Решение в параметрическом виде:
х = а ехр(=рг2) [J ехр(=рг2) dr + С2] , у = Сх [J ехр(=рг2) dr + C2] ,
где А = ±2а2.
Решение в параметрическом виде:
x = aCi[|exP(Tr2)dr + C2], 2/ = ЪС^т [|ехр(тг2) dr + C2] ±exp(=Fr2)},
где А = ±a2b~2.
Ч а —111 / I \7/5
Решение в параметрическом виде:
х = ±aCi(r2 - 1)(т3 - Зг + С2)/2, 2/ = ЪС\ь(тА - 6г2 + 4С2г - ЗJ,
18. й» =
Решение в параметрическом виде:
х = ±аС27(т3 - Зг + С2Г1/2(т6 - 15т4 + 20С2т3 - 45т2 + 12С2т + 27 - 8С2),
19. й. = A*-5'V(ri)
Решение в параметрическом виде:
х = aCf^r3 - Зт + Сг)^4 - 6т2 + 4С2т - 3J/3,
у = ЬС17[тъ - Зт + С2У\т6 - 15т4 + 20С2т3 - 45т2 + 12С2т + 27 - 8С22J,
где A =
20. у':я = Ах-1'*Ш*.
Решение в параметрическом виде:
ж = аС14(т2-1J, ?/ = 6С13(т3-Зт + С2), где А = ±|a
21. 2/L = ^2/(?/LK-
Решение в параметрическом виде:
ж = аС13(т3-Зт + С2), y = bCir, где А = -баб.
22. у^ = Ах-1/ау-в/2(^)8.
Решение в параметрическом виде:
ж = аС1(т2-1J(т3-Зт + С2), г/ = ЬСТ3(г3-Зг + С2), где А = т|-
23. т/1 = Аж-5/3у(^K.
Решение в параметрическом виде:
93 3/2 842-3), где А = Т-^а
270 Уравнения второго порядка
24. ухх = Ах~1/2у(у'х)
Решение в параметрическом виде:
х = аС16(т4 - 6т2 + 4С2т - ЗJ, у = ±bd(r2 - 1)(т3 - Зг + С2)~1/2,
ГДе Л= ¦— - Vl6a
Решение в параметрическом виде:
x = ±aCi(r3-3r + C2K/2(r4-6r2+4C2r-3), У = ±ЬСГ8(т4-6т2+4С2т-ЗУ
где A = T~k
^°* Ухх — J±tL
Решение в параметрическом виде:
ж = аС32(г4-6г2+4С2г-3L/3,
у = ±ЪС27{т3 - Зг + С2)~1/2(т6 - 15г4 + 20С2т3 - 45г2 + 12С2т + 27 - 8С|),
v2/5
Решение в параметрическом виде:
х = аС27(т3 - Зг + С2У\т6 - 15т4 + 20С2т3 - 45т2 + 12С2т + 27 - 8С22J,
у = ЪС^(т3 - Зт + С2)~\тА - 6т2 + 4С2т - 3J/3,
где А = -28Ъ(аЪI/2(—У/7.
V 27а /
28. у"х = Аху-2(у'хK.
1°. Решение в параметрическом виде при А < -^:
х = t(Citu + С2т~и), у = т2, где z/ = л/1 — 4А
2°. Решение в параметрическом виде при А = -^:
3°. Решение в параметрическом виде при А > -^:
х = tCi sin(i/lnT + С2), у = т , где z/ = л/4 А — 1.
Решение в параметрическом виде:
о 9 -1 о о
_l_ z / s~i v |^ •-ч —г^\ ^ 1 —z г/-I |^ \ ^-7 ^ |^ /-j \ ^-7 —v\z
где А = =fA;2, i/ = к~2(к4 + 4I'2.
Решение в параметрическом виде:
ж = аС2ехр(-2т)[2ехр(Зт) - C2sm(V3r) + л/3 С2 cos(\/3t)]2,
I/ = feCi ехр(-т) [ехр(Зт) + С2 sin(\/3 т)],
где А = -16а3/2Ь~3.
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера у"х = Ахпуш(у'х) 271
31. y'L = Ах-^у-^Ш3.
Решение в параметрическом виде:
_ аС1е-г[2ехр(Зт) -С2зт(у/3т) + \/3 С2 cos(\/3 r)] 2 _ ЪС^1ет
ехр(Зт) + C2sin(\/3r) ' ехр(Зт) + С2 sin(\/3r) '
где А = -16(а&K/2.
32. ^ж=АЖ2/-2/3(^O/5.
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = aCi[ch(r + C2) cosr]1/2[th(r + С2) - tgr],
2/ = hCt ch3(r + С2) cos3 г [th(r + С2) + tgr]3,
„л.-*.->*'(?)•".
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = aCi[chr - sin(r + C2)]/2[shr - cos(r + C2)], 2/ = 6C?[shr + cos(r + C2)]3,
Решение в параметрическом виде:
х = аСГ^сМт + С2) cost], j/ = 6Ci ch(r + C2) cosr [th(r + C2) - tgr]2,
где А = —4ab.
34. yL = A*-B'V(i,;)8.
1°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = aC3[ch(r + С2) cosr]3/2, у = ЬС\ ch(r + С2) cosr [th(r + C2) + tgr],
где А = ^<Ч-\
2°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = aC3[chr - sin(r + С2)]3/2, j/ = bCf[shr + cos(r + C2)],
-»г- // 4 —2/3 / / \8/5
35. yxx = Ax ' y(yx) .
1°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = aCf ch3(r + С2) cos3 r[th(r + С2) + tg r]3,
у = ba[ch(T + C2) cosr]1/2[th(r + C2) - tgr],
2°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = aC?[shr + cos(r + C2)]3, j/ = 6Ci[chr - sin(r + C2)]/2[shr - cos(r + C2)],
где А = -5а2^Ъ(
36. t,! = a,-1/^-5/2^M'2.
Решение в параметрическом виде:
х = aCich(r + C2)cosr[th(r + C2) -tgr]2, j/ = 6Cf ^ch^ + C2) cosr],
где А = 4a6.
272 Уравнения второго порядка
37. y'L=AX-^y(yx)
1°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
у = bCi2[ch(r + C2) cosrn^thCr + С2) + tgr]-\
где А = -^а^Ч^3.
2°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
x = aCi[chr-sin(r + C2)]3/2[shr + cos(r + C2)], у = bC^2[shr + cos(r + С2)]~\
где A = -fa8/V/3.
> 5 решениях уравнений 38-45 приняты обозначения:
? = ехрCт), Si =E + C2sm(V3r), S2 = 2Е - C2sm(V3r) + л/ЗС2 cos(a/3t),
53 = 2S'i(S'2)/r - Ei)'T52 - 5i52, 54 = 2S'i(S'3)/r - 5(S'i)/rS'3 + 5i53.
38. yL'e = Axy-1/a(yL)9/7.
Решение в параметрическом виде:
x = aC1E-1'°S:1/2S2, y = bC?E-'t'3Sl где А = icTH1'2 (—Y'7.
\ 646 /
39. y'L = Axy-™<*{y'»)»/7.
Решение в параметрическом виде:
х = aCf5E-5/6S;1/2S4, 2/ = 6C7132?-le/16538/5, где А = 7а~ Ч13/8( ^
\ 2566
40. y'L=AX-T*y-^{y'S*'™.
Решение в параметрическом виде:
x = aCr1E1/15ST1S23/5, y = bCf6E-6/3ST1Sl где А = -208а5/261/2 (^
41. 2/L = Ах~7/5у(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
x = aClE-5/6S51/2, y = bClE-2/sS3, где А = -^a
42. j/L = Ах-
Решение в параметрическом виде:
х = aCtE-A'3Sl y = bC1E-1'6S;1/2S2, где А = -la1'2^2 (—
\ 64а
43. y'L = v(y;)
Решение в параметрическом виде:
Ж = аС71?-1/в515/253-1, 2/ = ЬСГ4?;2/35з-1, где Л = -^
44. j/L = Ах-13'*УШ12/Т.
Решение в параметрическом виде:
256 \ 2/7
1
с8/5 L/^25 т^-5/6 с-1/2 с Л _ 13/8»-2/ 256 \ 2/7
63 , У = oCi Е ' Sx 04, где А = —7а х о ( 1
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера ухх = Ахпугп(ух) 273
Решение в параметрическом виде:
x = aCi5E~5/3Si1Sl, y = bCi1E1/15Si1Sl/5, где А = 208a1/265/2 (—— J
> 5 решениях уравнений 46-49 приняты обозначения:
Тх = ch(r + C2) cos г, Т2 = th(r + С2) + tg г, Т3 = th(r + С2) - tg г, Т4 = ЗТ2Т3 - 4,
0i = chr — sin(r + G2), 02 = shr + cos(r + G2), 03 = shr — cos(r + C2), 04 = 30203 —202.
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ЭллЗ/2^ 14 7/3^7/3 . 5 _2,1П/7/ 9а \2/5
x = aCil1 i4, у = bCi 11 12 , где Л = — — а
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
11 4}У 12' гЛ _
47. ?,1 = аж-8/2х/-1/2B/;)
Решение в параметрическом виде:
х = аСГ1Т-1/3Т^\ У = ЪС1Т!Т1 где А = -2Ы{аЪ) (^
48. j/L = а«-10/гВ(В;)8/в.
1°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
^14лр7/3лр7/3 ъп^гр^^гр а 5 Ю/77-2/ 96 \ 2/5
х = аС1 Тх' Т2' , у = ЬС1Т1/ Т4, где А = —а 6 (^^J
2°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
Ж = аС11Ч7/3, у = ЬС?в;1/2ел, где А = -^V (
9 V 14а
49. j/;'^^-1/^-5/2^I^10.
Решение в параметрическом виде:
x = aClT?Tl у = ЬС^ТГ1/3Т2'3, где А = 20Ъ(аЪI/2 (—
V 9а
> В решениях уравнений 50-65 приняты обозначения:
R= V±Dr3-1), Fi = 2rl(r) + C2r т R, F2 = r'^RF!-1), F3 = 4rF? T F%,
г<3е /(т) = / неполный эллиптический интеграл второго рода в форме Вейерштрасса.
J R
50. y'L = Ах{у'хO/\
Решение в параметрическом виде:
51. y'L=
Решение в параметрическом виде:
18 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
1, где А = Т^а
3
r2, где А = Т\а
274 Уравнения второго порядка
52. y'L = Ах-
Решение в параметрическом виде:
где А =
53. y'L = АЖ-7/вгг1/2Ш2/3.
Решение в параметрическом виде:
х = aC!Fr3Fl, y = bC1F^3(F2F3-8F?f, где А = Т4а-6/вЬ3/2(а/ЬJ/3.
г-л ч а —3/4 / / \8/7
54. ухх = Ах ' у(ух) .
Решение в параметрическом виде:
x = aC7MF3-\ y = bClFl-3/2(F2Fs-8F?), где А = T^
55. y'L = Ax-^yLf.
Решение в параметрическом виде:
х = аС1т~\ y = hClT-1Fi, где А =
-г II л ( I \5/4
56. ухх = Ау(ух)
Решение в параметрическом виде:
x = aC!r-1F1, y = bCiSR, где А = ±|б
57. y'L = Ах-*у(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
x = aCiF^\ y = bCirF^\ где А = ±6a5b
58. y'L = Ax-^2y(y'xM/\
Решение в параметрическом виде:
x = aC!r2F^\ y = bCr1F2, где А = ±| а1/22(/)
59. y'L = Ax-1'2y-^(y'xK.
Решение в параметрическом виде:
x = aCtF^ y = bClFl, где А = =Fya3/V2/3.
60. y'L = Ax-^y-7'«(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
x = aCiFr3Fi, j/ = bC?Ff3, где А = т{а3/26/6.
61. y'L = Axy-^(y'xI3/7.
Решение в параметрическом виде:
х = aClF-F2, y = bC^6Fl, где А = i^V1/2 (^
62. »;'„ = A^-V^K-
Решение в параметрическом виде:
x = aClFl'\ y = bCfF3, где А = Т|в8Г3.
63. ?/жж = Ах у (ух) .
Решение в параметрическом виде:
x = aClFl/2Fs\ y = bC!F3-\ где А = Т^а8Ь~5.
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера ухх = Ахпугп(ух) 275
Решение в параметрическом виде:
ге- п а —3/4/ / \13/7
65. ухх = Аху ' (ух) .
Решение в параметрическом виде:
1 ' 13 5 22 V За
> В решениях уравнений 66-95 приняты обозначения:
Функция р = р(т) задается неявно с помощью первой формулы, приведенной выше. Верхнему
знаку в этой формуле соответствует классическая эллиптическая функция Вейерштрасса
р = р(т + С2, 0, 1). Все решения даны в параметрическом виде. В качестве параметра можно
использовать т, тогда р = р(т), или р, тогда т = т(р).
66. y'L = Ax(y'xf/2.
Решение в параметрическом виде:
х = аСГ3/, y = bCir, где А = Т|- (±-^
о \ ао
67. y'L ^'f/2
Решение в параметрическом виде:
х = аСГ1(т/-р), у = ЬС1т\ где А = -la^b
68. y'L=AX-^y-^{y'xf\
Решение в параметрическом виде:
x = aC!r-V, y = bCl(Tf-p)\ где А = ifa"
69. y'L = Axy-^iy'^2.
Решение в параметрическом виде:
ж = аС13г-6(г3/ + Зг2рт1), у = ЬС1т~8, где А = |а
70. y':x = Ax-^y-^(yxf2/15.
Решение в параметрическом виде:
где А=-5
71. yL ™'13^5'2
Решение в параметрическом виде:
x = aC1r(r3f-4r2p±6), у = ЪС\\1\ где А = T^a~W^ (i^-
72. w;'^^-3/»»-173^)
Решение в параметрическом виде:
18*
где А = ^
276 Уравнения второго порядка
73. y'L = Ах{у'^/Ъ.
Решение в параметрическом виде:
x = aC^f, y = bClp-2(f±2rp2), где А = т|а/
74. y'L = Аху(у'х)8/5.
Решение в параметрическом виде:
ж = аСГ8(г/ + 2р), y = bClp(f±2Tp2)~1/2, где А = Jf а^б^За/
75. y'L = Аху\у'„O/Ъ.
Решение в параметрическом виде:
ж = аСГ27(т2рТ1)(/±2тр2)~1/2, у = ЬС!(т/+2р)-1/3, где А= -10a-V6(
76. yl^aT^V5/2^L/5.
Решение в параметрическом виде:
х = аС!7(т2р т 1J(/ ± 2тр2у\ у = bClU ± 2тр2у\т} + 2рL/3,
где A = -5a-3/V/2(^L/5.
77. j/L = Ах2(у^)\
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ р, у = 6CV г, где А = =F6a~ 6~ .
78. y'L = Ау(у'хI/2.
Решение в параметрическом виде:
х = аС1Т, y = bCr3f, где A = ±-
а
79. j/L = Ах2у-5(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
х = aCfr~1p, y = bCir~1, где А = =F6a-1&3.
80. у-ш = Ах-
Решение в параметрическом виде:
x = aClr\ y = bCi1(rf-p), где А = la^V1
81. ^'^^-^V2/3^)9'5.
Решение в параметрическом виде:
Ж = «^(т/-рJ, ^bCfr-V, где А = ^2Ь-^
82. „;'„ = ^V15/7(^K.
Решение в параметрическом виде:
х = аС1т(т2рц:1), у = ЪС\т\ где А = ^а^
83. yL = АЖ
Решение в параметрическом виде:
х = аС^т-\ ?/ = 6С13г(г3/ + Зг2рт1), где А = -\
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера у"х = Ахпугп(у'х) 277
84. y'L=AX-^y-*l\yS
Решение в параметрическом виде:
, где А = Ь*%Ч±
V 4а
Решение в параметрическом виде:
х = аС!т-в(т2рт1), у = ЬС1т-\ где А = т^а
где А = ±^-
13
86. yL = Ax
Решение в параметрическом виде:
87. у':х=АХ-^у-^(ух)
Решение в параметрическом виде:
3, где А=-^-а1'Ч-1
3
88. y'L = Ax-^(yLK.
Решение в параметрическом виде:
x = aCtp~\ y = bC71p-2(f±2rp2), где А = ±3a7/V2.
89. y'L = Ау(у'хO/5.
Решение в параметрическом виде:
x = aClp-2(f±2rp2), у = ЬСГ3/, где А = ±|Ь(ЗЬ/аK/6
90. y'L = Ах-*'*у-1'*Шя.
Решение в параметрическом виде:
x = aCf(f±2rp2y\ y = bC71p2(f±2rp2y\ где А = ±3a7/V
91. y'L = Аху(у'хO/Ъ.
Решение в параметрическом виде:
x = aC71p(f±2rp2y1/\ у = ЪСГ8(т/ + 2р), где А = -^-a-V
92. yL'e = Ax-B/V1/2(yL)8.
Решение в параметрическом виде:
x = aC19(/±2rp2K/2, г/ = ЬСГ(г/ + 2рJ, где Л = ia8/3
93. j/L = Ax-*'ay-*'°(y'*)S-
Решение в параметрическом виде:
x = aCl(f±2Tp2f2(Tf + 2p)-2, у = ЬС1в(т/ + 2р)-2, где А = ^а
94. j/L = Ах5у(у'х)8/6.
Решение в параметрическом виде:
! 1/3 2722/2, где А = 10а-
278 Уравнения второго порядка
Решение в параметрическом виде:
г — nCl( f 4- 2тп2')~1 (Vf 4- InL/3 11 — hCV(т2п =1= ЛJ ( f + Оп-^2\~г
где Л = 5а ' D
> В решениях уравнений 96, 97 приняты обозначения:
_ j C\ Ju(t) + C2Yu(t) для верхнего знака,
\ C\Iv{t) + С2Ки(т) для нижнего знака,
где Ju(t) и Yu(r) —функции Бесселя, 1и(т) и Ки(т) —модифицированные функции Бесселя.
96. y'L = Axyrn(yfmK.
Решение в параметрическом виде при m ф — 2:
x = rvZ, y = br2u, где i/= г Л ¦^m + 2^2
При m = —2 см. уравнение 2.5.2.28.
у/* Ухх = -Я-х У \Ух) ¦
Решение в параметрическом виде при / ф 3/2:
l-l л 1 / b\T~
где v = , А= =F —
3 - 21 ' 3 - 2/ V а /
При I = 3/2 см. уравнение 2.5.2.29.
_ Г CiJi/3(r) + С2У1/3О") ^^ верхнего
\ С\1\/$(т) + С2К1/3(т) для нижнег
> В решениях уравнений 98-106 приняты обозначения:
го знака,
нижнего знака,
U! = tZ't + |Z, U2 = U\ ± r2Z\ U3 = ±fr2Z3 - 2U1U2,
где Ji/s(r) и Yi/3(r)—функции Бесселя, Ii/s(r) и Ki/3(r)—модифицированные функции
Бесселя.
98. y'L=Axy-^(yLf/2.
Решение в параметрическом виде:
где А=-Ц^
а V a
99. y'L = Axy-2(y'xf/2.
Решение в параметрическом виде:
x = ar-4/3Z-1Us, у = Ьт~2/3и2, где А = -а6(±3а6I/
100. yf:x = Ax-2y-^(yfxK/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ar-4/3Z-2U2, y = T-s/3Z-2Ul, где А = ±fa3/2.
101. y'L = Ах-1'*у-*Шя.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~4/3г-2и1 y = bT-2/3Z-\ где А = ±\а3/2.
2.5. Обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера у"х = Ахпугп(у'х) 279
102. y'L = Ах-2у(у'^)\
Решение в параметрическом виде:
x = ar2/sZ\ y = br-2/sU2, где А = ¦§¦ (a/bf.
103. y'L = Ax-^2y(yfxK/2.
Решение в параметрическом виде:
х = т-**иЪ y = br-2'3Z-1Uu где А=1(Т{
104. y'L = Ax-iy-2^K.
Решение в параметрическом виде:
х = aT4/3Z2U^\ y = T2/3Z-1Uz1, где А = fa3.
105. y'L = Ax-2y(y'xf/2.
Решение в параметрическом виде:
I/2
y = bT-4/sZ-1U3, где А = ab~2 (±3abI/2.
106. у':х = Ах-^у-*(у'хK/2.
Решение в параметрическом виде:
x = r-8/3Z-2Ul y = br-4/3Z-2U2, где А = Т^Ь3/2.
107. y'L = Ахпу-п-3(у'х)^Тз.
В книгах В. Ф. Зайцева, А. Д. Полянина A993, 1994) показано, что это уравнение сводится
к уравнению Риккати, решения которого выражаются через присоединенные функции
Лежандра.
2.5.3. Некоторые формулы и преобразования
Для наглядности обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера
Ухх = Ах у (ух)
будем обозначать символом
{n, m, /}.
Здесь опущен несущественный параметр А (который можно сделать равным ±1 путем растя-
растяжения переменных по формулам х —»¦ ах, у —»¦ by за счет выбора констант а и Ь).
2.5.3-1. Частное решение.
При m + / ф 1 обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера имеет частное решение:
n + 2-l , n + 2-l \ rrXl-1 Г П + Ш+1 1 m+i-l
y = Bxi-™-i, где В=[- -) + — + .
V 1 — m — I / L АA — m — I) \
2.5.3-2. Дискретные преобразования обобщенного уравнения Эмдена — Фаулера.
1°. Принимая у за независимую переменную, для функции х = х(у) получим обобщенное
уравнение Эмдена — Фаулера с другими параметрами:
Хуу = -Ау х (ху) .
Обозначая это преобразование буквой Т, изобразим схематически его действие на параметры
уравнения:
{n, m,l} ^— — — —>- {?тг, п, 3 — /} преобразование Т.
Двукратное применение преобразования Т приводит к исходному уравнению.
280 Уравнения второго порядка
т
т+1 ' /-2'
m 2n + 1 "i
n i
т+1
/ / \ \ Г п 1_ т-Ц
{т, п, 3 - /} / / \ \Д „ + 1 ' 1 _ / ' т /
г п*—- ^Д/ l n 2гп+1\
у L 1 — / гс+ 1 т J
Рис. 1
2°. При т / О, пф — 1, //1 преобразование ? = (г/J.) ~ , w = xn+1 приводит к обобщенному
уравнению Эмдена — Фаулера для w = w(t) с другими параметрами:
1 те 2т + 1
^;; = Bt !-г гу «+1 (wj) ™ ,
где 5 = — т . Обозначая это преобразование буквой Q, изобразим схемати-
n + lL n + 1 J
чески его действие на параметры уравнения:
г п fin 2m+l \
jn, ?тг, l\ i >- s , — , > преобразование у.
L 1-/ га + 1 т )
Трехкратное применение преобразования Q приводит к исходному уравнению.
Если получено решение преобразованного уравнения w = w(t), то решение исходного
уравнения может быть записано в параметрическом виде
где к = [ ^
^ _
Различные комбинации преобразований J7 и Q порождают шесть различных обобщенных
уравнений Эмдена — Фаулера, параметры которых показаны на рис. 1.
3°. В частном случае / = 0 преобразование у = w/t, х = 1/t приводит к уравнению Эмдена —
Фаулера с другим показателем степени у независимой переменной:
Обозначая это преобразование буквой %, изобразим схематически его действие на параметры
уравнения:
{n, m, 0} < У {—п — т — 3, т, 0} преобразование %.
При / = 0 различные комбинации преобразований F, Q, % порождают двенадцать различ-
различных обобщенных уравнений Эмдена — Фаулера, параметры которых показаны на рис. 2.
При / = 0, п = 1 различные комбинации преобразований Т, G, % порождают двадцать
четыре различных обобщенных уравнений Эмдена — Фаулера, параметры которых показаны на
рис. 3.
2.5.3-3. Приведение обобщенного уравнения Эмдена — Фаулера к уравнению Абеля.
Преобразование
z=?-y'x, v = Axn-l+2yrn+l-1
У
приводит обобщенное уравнение Эмдена — Фаулера к уравнению
zlv z2
zlv - z2 + z)vz = [(m + l-l)z + n-l + 2]v.
новку ^ = v — z2~l -\- zx~\ получим уравнение
2/ - 3)z + п - 21 + 3]z~l? + [(m + I - l)z2 + (n - m - 21 + 3)z - n + I -
Используя далее подстановку ^ = v — z2~l -\- zx~\ получим уравнение Абеля второго рода
2.6. Уравнения вида у%х = A1xn^yrn^{y'x)h + А2хп*ут* (y'x)h
281
I ' п+1'
п 2га + 1
1 п-1
г га 1 п —
& I" m+1 ' ""' п
г 1
I"~2~' "
т
2п+ 1
2~' " га + 1 '
{т, п, 3}
{п, га, 0}
{—т — п — 3, га, 0}
г 1 га
'I""' ~ га+ 1 '
2га + 2п + 5
га + п + 3
1 га
га + п + 2 '
га+1 ' ""' га+п + 3
Рис.2
2.6. Уравнения вида у^х =
+ А2хп*ут*(у'хI
2.6.1. Модифицированное уравнение Эмдена — Фаулера
Для удобства читателей в этом разделе будем использовать традиционную запись модифициро-
модифицированного уравнения Эмдена — Фаулера:
xy'L - ку'х = Ахп+1ут.
При к = 0 см. разд. 2.3. При к ф — 1 замена z = xfc+1 приводит к уравнению Эмдена — Фаулера
Vzz =
(/с + 1J
п-2к
которое рассматривается в разд. 2.3.
В классификационной табл. 23 представлены все уравнения, решения которых приведены
в разд. 2.6.1. Уравнения расположены по возрастанию параметра т. В последней колонке дан
номер искомого уравнения, где выписано соответствующее решение.
282
Уравнения второго порядка
т + 11
{-!•-
m + 1
I m + 1 2 J
3m+ 5 J
Рис. 3
ТАБЛИЦА 23
Разрешимые случаи модифицированного уравнения Эмдена — Фаулера ху'^х — ку'х = Ахп+1уГ1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
т
любое
(т ^ -1)
любое
(тф-1)
любое
(т^-1)
любое
(т^-1)
-7
-7
-4
-4
-4
-2
п
любое
(n ^ -2)
любое
(п 7^ -2)
любое
(п ^ -2)
-2
любое
(n ^ -2)
любое
(n ^ -2)
любое
(п Ф -2)
любое
(п ^ -2)
-2
любое
(n ^ -2)
/с
¦И
п + т + 3
т + 1
2п + т + 3
1 — т
-1
i(n-l)
1(п-3)
In
i(n-l)
-1
i(n-l)
Уравнение
2.6.1.1
2.6.1.2
2.6.1.3
2.6.1.6
2.6.1.45
2.6.1.46
2.6.1.40
2.6.1.42
2.6.1.41
2.6.1.28
2.6. Уравнения вида у%х = A1xn^yrn^{y'x)h + А2хп*ут* (yx)h
283
ТАБЛИЦА 2.4 {продолжение)
Разрешимые случаи модифицированного уравнения Эмдена — Фаулера хухх — ку'х = Ахп+1уш
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
т
-2
5
2
5
2
5
2
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
5
3
7
5
7
5
-1
-1
-1
-1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
п
-2
любое
(п ф -2)
любое
(п ф -2)
-2
любое
(п ф -2)
любое
(п ф -2)
любое
(п ф -2)
любое
(п ф -2)
любое
(п ф -2)
любое
(n ^ -2)
любое
(n ^ -2)
любое
(п ф -2)
-2
любое
(п ф -2)
любое
(п ф -2)
любое
(п ф -2)
любое
(п ^ -2)
-2
-2
любое
(п ф -2)
любое
(n ^ -2)
любое
(n ^ -2)
любое
(n ^ -2)
любое
(п ф -2)
любое
(п Ф -2)
любое
(n ^ -2)
-2
/с
любое
\п
|Bп + 1)
-1
-Зп-7
in
^(Зп + 4)
i(n-l)
^Bп + 1)
i(n-2)
-^Cn + 10)
yFn + 5)
-1
|(n-l)
-^En + 13)
n + 1
любое
-1
-2n -5
\n
iCn + 4)
i(n-l)
|Bn + l)
-iBn + 7)
|Fn + 7)
любое
(M-l)
Уравнение
2.6.1.29
2.6.1.35
2.6.1.37
2.6.1.36
2.6.1.14
2.6.1.8
2.6.1.9
2.6.1.13
2.6.1.38
2.6.1.18
2.6.1.19
2.6.1.39
2.6.1.22
2.6.1.24
2.6.1.25
2.6.1.5
2.6.1.4
2.6.1.7
2.6.1.20
2.6.1.12
2.6.1.11
2.6.1.43
2.6.1.16
2.6.1.26
2.6.1.17
2.6.1.44
2.6.1.27
284
Уравнения
ВТОРОГО ПОРЯДКА
ТАБЛИЦА 2.4 (продолжение)
Разрешимые случаи модифицированного уравнения Эмдена — Фаулера ху%х — ку'х
Уй
38
39
40
41
42
43
44
45
46
m
1
2
1
2
1
2
1
2
2
2
2
2
2
п
-2
любое
(n ^ -2)
любое
(п # -2)
_2
любое
(п # -2)
любое
(п ф -2)
любое
(п ф -2)
любое
(n ^ -2)
-2
/с
-1
in
-iBn + 7)
-1
-7n - 15
-|(n + 5)
--LGra + 20)
-1
= Ажп+1?/т
Уравнение
2.6.1.21
2.6.1.15
2.6.1.10
2.6.1.23
2.6.1.33
2.6.1.30
2.6.1.32
2.6.1.34
2.6.1.31
1.
2.
3.
xy'U - -i-n»; = Axn+1ym,
Решение в параметрическом виде:
тф-1, пф -2.
где A = ±\{
xyL+ у« Ах
Решение в параметрическом виде:
где А =
-1, п ф -2.
(l±Tm+1)-1/2dT+C2\
2(m
m — 1
Решение в параметрическом виде:
-1/2
Л
где А =
У =
4(n + 2J
B.
(m — IJ
4. xy'L - inyL = Ax^y-1, n ф -2.
Решение в параметрическом виде:
2
х = aCl [j ехр(тг2) dr + C2] "^, 2/ = ЬС!П+2 ехр(тг2),
где i = T|(
2.6. Уравнения вида y'J,x = AlXn^ym^(y'x)h + A2xniymi(y'xI2 285
5. xy'L - (n + l)Wi = Ахп+1у-\ п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
1 2 , 2Л . .-1-V2
+ т +1пН
6. жт/L + ^ = Аж^, m ^ -1.
Решение в параметрическом виде:
/2] у = Ьт, где А = гЬ^б171^ + 1).
Ж2/^Ж — ку'х = Ах~1у~1, к ф —
Решение в параметрическом виде:
« ^7," _ ±n<il' — 4-ГТ1+17/~5/3 Г7 ^ —2
°* ^Ухх 2 Г1Уж — J^-dy У 5 П ^р А.
Решение в параметрическом виде:
х = аС!(т3±Зт + С2)^, у = ЬС!п+в(т2±1K/\ где A = ±^e-n-V/3(n+2J
9. xy'L - М3п + 4)У* = Ахп+1у-б/3, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
х = аС^(т3 ± Зт + С2)~"+ё", у = ЪС1п+6{т2 ± 1K/2(т3 ± Зт + С2)~\
где А = ±^а-п-Ч^3(п + 2J.
10. xtf;',. + -|-Bn + 7)tf; = Axn+1y1/2, пф-2.
Решение в параметрическом виде:
= аС1
\[ , TdT +C2}^, y = bCln+4r2\l , TdT +C2}~\
U л/±Dт3-1) i U ^±Dт3-1) J
где Л = ±^f-a IU
Решение в параметрическом виде:
2
x = aC13(r3-3r + C2)^+J, у = ЬС2п+4(т2 -1)\ где A = ±^-(n+2Ja"n"
12. ху"х + Bп + 5)^ = Ажп+1?//2, n ^ —2.
Решение в параметрическом виде:
х = aCf(rs - Зт + Сз)^^, 2/ = &С2гг+4(т2 - lf(rs - Зт + Сз),
13 т?/' ^Гг? — 1Ъ/ — 4тп+11//3 Г7 ^ -2
XJ» "^ УхХ ^5^ V /Ух Л~Л-г1Ь If ^ It -f— А.
Решение в параметрическом виде:
о
х = aCt [±(г4 - 6г2 + 4С2т - 3)] ^+2~, у = ЬС*п+6(т3 - Зт + С2K/2,
1дс ^i — и= fi4 i /* -г *) и,
286 Уравнения второго порядка
14. xy'L + Cn + 7)j? = Ахп+1у-5/3, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
х = aCf [±(т4 - 6т2 + 4С2т - 3)] "^+е";
у = ±ЬС31п+в(т3 - Зг + С2K/V - 6г2 + 4С2г - З),
где A = ±|i-(n + 2Ja-"-268/3.
15. zt/l - ±пу'а = i4a;n+V/a, n ^ -2.
Решение в параметрическом виде:
16. хС-т!"-1)»^^"^»'1". п/-2.
Решение в параметрическом виде:
где А =
х= [de2sT + C2e-ST s
у = {2Cise2sT + C2se-ST [л/3 cos(a/3 sr) - 8т(л/з sr)] }\
где A=^s3(n + 2J.
17. жт/L + iBn + 7)у'х = Ахп+1у-1/2, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
х= [Cie2sT + C2e-STs
_ {2C1se2sT + C2se~ST [V3cos(V3sr) - sin(>/3sr)] }
У ~ Cxe2sT + C2e~ST s
где A=^s
18. xy'L - \{n - 2)y'x = Ахп+гу-5/3, п ф -2.
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
^^2-, у = ЪС*п+6 [ch(r+C2) cosr]3/2,
где A = -^a
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = aCf [shr + cos(t + С2)] ^+2", у = ЬС^+^сЬт - sin (г + С2)]3/2,
где A=^a-"
19. Ж^'ш + ^(Зп
1°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
4 4
ж = aCf [ch(r + С2) cos г] 3™+6 [th(r + С2) + tg г] 3™+
у = bCln+Q [ch(r + C2) cos r]1/2 [th(r + С2) + tg r] -1,
где А = -^га
2°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
4
a; = aCf[shT+cos(r+C2)]^+6, y = bC3"+6[chr-sin(T+C2)]3/2[shT+cos(r+C2)]"J
где Л=Ц-а-п-2Ь8/3(
2.6. Уравнения вида у'^х = A1xn^yrn^{y'x)h + А2хп*ут* (yx)h 287
20. ху"х + у'х = Ах~гу~г.
Решение в параметрическом виде:
х = С2 ехр[ fBA\n \т\ + Ci)~1/2 с/г], у = т.
21. ж?/"ж + у'х = Ах~гу~1/2.
Решение в параметрическом виде:
ж = ехр(±т3-ЗС1Т + С2), y = b(±r2-Ci)\ где А = ±|-
22. xy'L+yL = Ах~1у-5/3.
Решение в параметрическом виде:
х = exp(Cir3 ± Зг + С2), 2/ = (±3A/CiK/8(Cir2 ± 1K/2.
23. xy'L+y'x = Ах-гу1/2.
Решение в параметрическом виде:
\ у = Ът2, где А = ±12Ъ1/2.
> 5 решениях уравнений 24, 25 приняты обозначения:
Si = Cie2sr + C2e"sr Йт(л/3 st), S2 = 2Cise2sT + C2se~ST[V3 cos(V3st) - sin(>/3 sr)],
24. Ж2/1 - i(n - 1)^ = АЖТ1+12/-7/5, п ^ -2.
Решение в параметрическом виде:
^ = «53^, y = bSl'\ где Л = -
25. xy'L + \{bn + lS)y'x = Ахп+1у-7/5, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
a^aSg1^, 2/ = b515/253-1, где А = -J^a-"-V2/6S-e(n + 2J.
> 5 решениях уравнений 26-29 приняты обозначения:
_ Г Ci Ji/зО") + Сг^/зСт) для верхнего знака,
~ \ Ci/i/3(t) + С2К1/3(т) для нижнего знака,
где Ji/зО") w ^./з!7)—функции Бесселя, 1\/3{т) и Ki/3(t)—модифицированные функции
Бесселя.
26. xyZx-\{2n + l)y'SB = Axn+1y-1/2, пф-2.
Решение в параметрическом виде:
-2/\Z'\Z)\ где А = ^а-п-2Ъ3/2
где А = Т^3/2(к + IJ.
27. xy'L - ky'x = Ах-т-у-1', к ф -1.
Решение в параметрическом виде:
288 Уравнения второго порядка
28. xy'L-\(n-l)y'n=Axn+1y-2, пф-2.
Решение в параметрическом виде:
„ — пг3 п-~~^Р1 17 г 7' л- х 7\2 + г2 72Л~^+2 1, — КГп+2г2/372
1 L V ' 3 ' J 'а 1 "
где А = —2~a~n~ 6 (п + 2) .
29. жт/L - fc^ = Ах~гу~2, к ф -1.
Решение в параметрическом виде:
х = ClTW [(tZ't + \ZJ ± r2Z2] -1ТГ, у = bT4/3Z2 [{tZ't + iZJ± t2Z2] ~\
где у4 = —^б (к + 1) .
> 5 решениях уравнений 30-39 приняты обозначения:
Функция р задается неявно с помощью первого интеграла; верхний знак соответствует
классической эллиптической функции Вейерштрасса р = р(т + Сг, 0, 1).
ДО Т"»/' Х П1»' Л'/»71"''»!2 П -/" 9
Решение в параметрическом виде:
где А = d= —a n 6 (п + 2) .
31. Ж7/^Ж + у'х = Ах~гу2.
Решение в параметрическом виде:
х = С2ет, у = Ър(т, 0, Ci),
где А = гЬбб; эллиптическая функция Вейерштрасса р = р(т, 0, Ci) определяется
[Р^3 ^ 4-V2 ,
неявно с помощью интеграла т = / D^ — Ci) «^.
«/ оо
32. жт/L + i(n + Ъ)ух = Ахп+гу2, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
33. хухх + Gп + 15)у'х = Ахп+гу2, пф-2.
Решение в параметрическом виде:
34. хухх + \Gп + 20)ух = Ахп+гу2, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
где А = гЬ^а-"-2^1^ + 2J.
35. жт/L - \пу'х = АжТ1+12/-5/2, n ^ -2.
Решение в параметрическом виде:
^ 2п+4р-2
= ЬС2п+4р-2, где Л = Т|
2.6. Уравнения вида у'?х = А1хп^уш^(у'хI1 + А2хп^утп^{у'хI'2 289
36. хухх + у'х = Ах~гу~5/2.
Решение в параметрическом виде:
л — L/2 exp[§y yj n= 4тр ;j, у — up ,
где А = =f367/2; эллиптическая функция Вейерштрасса р = p(r, 0, Ci) определяется
неявно с помощью интеграла г = / D^3 — Ci) c/^.
J оо
37. хУхх — "з"(^^ ~1~ ^-/2/ж -- -^ж у 1 ть ~ф- —2.
Решение в параметрическом виде:
х = aClp-^U ± 2тр2Г W, у = bCln+A{f ± 2V),
где А = =p-g-a~n~ Ь ' (п + 2) .
¦JO. 'ЬУхх — ~3~ V "Т" *-)Ух — -^1-ьЬ у ^ II -^ —л.
Решение в параметрическом виде:
39. хухх |-Fгг + Ъ)у'х = Ахгь^~1у~5'3, п ф —2.
Решение в параметрическом виде:
х = аСЦт/ + 2р)-з?в-, у = 6Cfn+6(/ ± 2гр2K/2(г/ + 2р),
где А = —-щ-а~п~
> 5 решениях уравнений 40-46 приняты обозначения:
R = л/±Dт3 - 1), Fi = 2r/(r) + C2r т R, F2 = ^{RFx - 1),
где 1{т) = / неполный эллиптический интеграл второго рода в форме Вейерштрасса.
J R
40. xy'U - \пу'х = Ахп+1у~*, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
+2", y = bC?+2T~\ где А = Т\а-п-2Ъъ{п + 2J.
41. ж^ж -\- у'х = Ах~гу~4.
Решение в параметрическом виде:
х =
42. х^'и--|-(п-1I,;=Ажп+1»-4, пф-2.
Решение в параметрическом виде:
х = ciC/^ (tF-\ ) n~r^ 5 ^ = ЪСл F-\ , где у4. ^ ^-^-о- 6 G7- -Ь 2) .
43. жт/L - \{Zn + 4)^ = Ахп+1у-1/2, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
2
x = aCfF^+2~, y = bC2n+4F2, где А = ±3a~n~V/2(n + 2J.
19 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
290
Уравнения второго порядка
44. xy'L - j-Fn + 7)у'х = Ах^
Решение в параметрическом виде:
46. ху"х - \{п - 3)у'х = Ахп+гу 7,
Решение в параметрическом виде:
где Л =
п ф -2.
x = aC?F1 2n+4 , y = bCln+AF^Fl,
45. xy'L - т(" - 1J/4 = Ахп+1у-7, n ф -2.
Решение в параметрическом виде:
где А = ±if a->-2
где А =
пф-2.
у =
2J.
2J
2.6.2. Уравнения вида у%х = {Агхп^ут^ +
При А\ = 0 или ^2 = 0 см. разд. 2.5; при / = 0 см. разд. 2.4.
В табл. 24 представлены все уравнения, решения которых приведены в разд. 2.6.2. Урав-
Уравнения расположены по возрастанию /, по возрастанию т\ (при одинаковом /), по возраста-
возрастанию Ш2 (при одинаковых / и mi, vn\ ^ гаг), по возрастанию п\ (при одинаковых /, ггц, гаг), по
возрастанию П2 (при одинаковых /, mi, гаг, ni). В последней колонке указан номер искомого
уравнения, где приведено соответствующее решение.
ТАБЛИЦА 24
Разрешимые случаи уравнения у%х = (А1ж77'1 у™1 +А2хП2уШ2
)(y'J
1
любое
{1ф2)
m1+2n1+3
m1+n1+2
любое
любое
С #2)
любое
(^2)
Зш1+5
2т1+3
т^^+3
3n:+4
Th+1
2(п!+2)
п:+3
любое
(^1,2)
любое
любое
0
любое
0
любое
любое
1
1
1
любое
(т2ф-\)
любое
0
-1
0
-т1-2
гп1 — 1
2
0
0
0
0
любое
любое
ЫФ-1)
0
любое
1
1
любое
любое
0
п2
0
m2(n1-\-l)—m1-\-n1
т1-\-1
любое
0
-1
0
0
-п1-2
п1 — 1
2
1
любые
любые
любые
любые
любые
любые
любые
любые
любые
любые
Уравнение
2.6.2.1
2.6.2.98
2.6.2.5
2.6.2.2
2.6.2.6
2.6.2.21
2.6.2.94
2.6.2.22
2.6.2.95
2.6.2.20
2.6. Уравнения вида
291
ТАБЛИЦА 24 (продолжение)
Разрешимые случаи уравнения ухх = (А1хП1 у™1 -\-А2хП2уГП2){у'хI
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
2
2
2
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
3
3
3
т1
1
4
1
1
1
1
1
1
1
1
0
0
0
1
любое
0
0
1
1
любое
любое
1
1
7
~~ 4
13
8
15
13
14
13
3
4
1
2
1
1
2
любое
любое
любое
(т^-2)
т2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
любое
-2
1
2
0
0
любое
(т2^-1)
-1
0
0
15
8
15
8
20
13
20
13
5
4
5
4
0
0
0
любое
любое
любое
0
15
8
15
8
20
13
20
13
5
4
5
4
0
0
любое
любое
0
0
т1
0
0
-2
1
2
0
0
-2
0
0
0
0
0
0
0
7
4
0
0
-тт^-З
-2m1-3
1
п2
1
7
4
13
8
15
13
14
13
3
4
1
2
1
2
любое
-1
1
1
т2
1
1
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
4
1
1
—т2— 3
—2т2— 3
0
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
^2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
Уравнение
2.6.2.71
2.6.2.81
2.6.2.66
2.6.2.68
2.6.2.84
2.6.2.64
2.6.2.78
2.6.2.62
2.6.2.75
2.6.2.7
2.6.2.8
2.6.2.25
2.6.2.23
2.6.2.97
2.6.2.107
2.6.2.105
2.6.2.108
2.6.2.106
2.6.2.3
2.6.2.4
2.6.2.26
2.6.2.24
2.6.2.80
2.6.2.65
2.6.2.67
2.6.2.83
2.6.2.63
2.6.2.77
2.6.2.72
2.6.2.61
2.6.2.74
2.6.2.9
2.6.2.93
2.6.2.49
19*
292
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 24 (продолжение)
Разрешимые случаи уравнения у"х = (А1ж77'1 ymi +А2жп2уШ2)(ухI
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
т1
любое
любое
(т^-2)
-5
-4
-3
-3
-3
14
5
8
3
5
2
5
2
5
2
12
5
7
3
7
3
7
~~ 3
7
3
11
5
2
-2
-2
-2
-2
-2
2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
-2
—2
т2
-3
0
-6
-5
-5
-5
7
2
18
5
10
3
-4
7
2
-3
13
5
10
3
10
3
-3
8
3
12
5
—п2 — 1
-3
-3
-3
-3
-3
2
-2
-2
-2
-2
_2
-2
-2
-2
-2
-2
%
—т1— 3
1
1
0
0
0
0
2
1
3
1
2
1
2
J_
2
3
5
5
3
5
3
2
3
5
3
2
1
_2
-1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
п2
0
-3
3
2
1
2
1
2
3
5
3
0
1
2
0
7
5
5
3
1
3
0
1
3
3
любое
0
0
2
2
0
любое
-7
-4
5
2
-2
5
3
5
3
5
3
5
3
7
5
1
2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
2(п2 + 1)
(п2+3J
любое
любое
6
25
6
25
любое
2(п2 + 1)
(п2+3J
15
4
-6
-12
-2
63
4
3
4
9
100
3
16
5
36
-20
^2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
Уравнение
2.6.2.19
2.6.2.51
2.6.2.100
2.6.2.76
2.6.2.44
2.6.2.58
2.6.2.28
2.6.2.112
2.6.2.38
2.6.2.86
2.6.2.13
2.6.2.32
2.6.2.30
2.6.2.34
2.6.2.88
2.6.2.70
2.6.2.42
2.6.2.113
2.6.2.132
2.6.2.104
2.6.2.12
2.6.2.145
2.6.2.144
2.6.2.102
2.6.2.116
2.6.2.117
2.6.2.118
2.6.2.119
2.6.2.120
2.6.2.124
2.6.2.123
2.6.2.122
2.6.2.121
2.6.2.125
2.6.2.128
2.6. Уравнения вида y'xfx=A1xn±ym± (y'x)h+A2xn2ym2(y'x)h
293
ТАБЛИЦА 24 {продолжение)
Разрешимые случаи уравнения ухх = (А-^х™1 у™1 -\-А2хп<2угп'2){у1х)
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
т1
-2
-2
_2
-2
-2
13
7
12
7
5
3
8
5
3
2
3
2
3
2
3
2
4
3
4
3
4
3
4
3
9
7
7
6
8
7
-1
2
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
т2
-2
-2
-2
-2
-2
20
7
20
7
7
3
13
5
5
2
-2
-2
-2
10
3
8
3
7
3
4
3
15
7
5
3
15
7
-2
4
3
-3
-2
-2
-2
3
2
-5
-2
-2
3
2
2
3
1
2
0
0
0
п1
1
1
1
2
2
0
0
4
3
7
5
0
3
2
0
1
2
5
3
5
3
5
3
0
0
1
2
0
-2
5
3
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
-3
-3
0
1
2
5
3
0
1
3
0
0
п2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
5
3
7
5
1
2
-2
1
2
1
5
3
1
3
5
3
1
2
2
0
2
-2
5
3
0
1
1
1
0
1
-2
1
2
0
5
3
1
2
5
3
-1
2
4
25
2
9
12
49
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
А2
любое
любое
любое
6
25
6
25
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
12
49
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
-20
4
25
2
9
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
Уравнение
2.6.2.127
2.6.2.126
2.6.2.129
2.6.2.131
2.6.2.130
2.6.2.82
2.6.2.60
2.6.2.92
2.6.2.109
2.6.2.90
2.6.2.48
2.6.2.46
2.6.2.143
2.6.2.36
2.6.2.40
2.6.2.14
2.6.2.15
2.6.2.59
2.6.2.16
2.6.2.79
2.6.2.110
2.6.2.115
2.6.2.53
2.6.2.141
2.6.2.134
2.6.2.137
2.6.2.45
2.6.2.52
2.6.2.56
2.6.2.54
2.6.2.89
2.6.2.114
2.6.2.101
2.6.2.39
2.6.2.11
2.6.2.69
294
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 24 {продолжение)
Разрешимые случаи уравнения yfj.x = (А-^х™1 у™1 +А2хП2угп'2){у1х)
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
т1
0
0
2
"В"
2
т
2
3
2
3
2
3
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
2
2
2
2
3
3
4
6
т2
0
0
-2
-2
-2
-2
-2
-2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-2
0
0
0
1
-2
0
3
-2
0
2
7
5
5
3
5
3
5
3
5
3
-2
-7
-4
-2
-2
-2
5
3
5
3
5
3
7
5
1
2
0
0
1
1
1
5
2
-5
5
3
5
3
5
3
-4
-7
-7
— 7
п2
1
2
0
1
1
1
1
1
1
-3
-3
-3
3
2
0
4
3
1
3
1
3
3
5
0
1
2
2
-3
0
3
1
-5
5
3
1
3
5
3
1
-3
-7
1
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
А2
любое
любое
5
36
63
4
3
4
9
100
3
16
-2
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
любое
-12
любое
любое
любое
любое
-6
любое
любое
15
4
Уравнение
2.6.2.31
2.6.2.57
2.6.2.139
2.6.2.147
2.6.2.136
2.6.2.135
2.6.2.138
2.6.2.133
2.6.2.17
2.6.2.10
2.6.2.55
2.6.2.47
2.6.2.103
2.6.2.91
2.6.2.41
2.6.2.87
2.6.2.29
2.6.2.27
2.6.2.85
2.6.2.73
2.6.2.50
2.6.2.43
2.6.2.99
2.6.2.146
2.6.2.96
2.6.2.35
2.6.2.37
2.6.2.33
2.6.2.140
2.6.2.18
2.6.2.111
2.6.2.142
Iff / а ТТЬЛ i A TThO \ / f \ ** 1 / c% / -i / -i
Ухх = (Aiy + А2У )(yx) 5 ' 7^ 2, mi ^ —1, rri2 9^ —1.
1°. Решение в параметрическом виде:
х = а [ (Ci + rmi+1 ± rm2+1)T:2" ^r + c2, y = br,
где Ax = m} 7 a^2^1711"^ A2 = =b Ш2 7 аг~261~т2~г.
2.6. Уравнения вида у%х = A1xn^ym^{y'x)h + А2хп*ут* (yx)h 295
2°. Решение в параметрическом виде:
х = а Г (Ci - rmi+1 ± r-2+i)T32- dr + с^ у = Ът^
где Al= mi + \*
2. i/L/e = (i4it/m i/)(i/L), ^, ^
Решение: ж = /[Ci + АЙи112/-+1 + B - /)А2 In у]11Тdy + С2.
J L т + 1 J
3. »;'„ = (Aiymi + A2ym2)(y'1Bf, mi / -1, т2 / -1.
Решение: х = d /expf ^—ym^+1 42—у™г+А dy + C2.
J V m1 + 1 m2 + 1 /
4. 7/L = (Aiym + Аз./-1)^J, т ф -1.
Решение: ж = Ci /|/"Л2 expf-^— 2/m+1) ^ + C2.
j V m + 1 /
5. »;'„ = (AlXni + A?xn*){y'J, 1ф1, n, / -1, n2 ^ -1.
1°. Решение в параметрическом виде:
х = ат, у = Ъ f(Ci+ тП1+1 ± rn2+1) "i^ dr + С2,
где Ai = ^±laz—V-z, А2 = ±i^±la'-n2-2bi-^
2°. Решение в параметрическом виде:
х = ат, у = Ъ f(Ci- rni+1 ± тП2+1) "i^ dr + C2,
где А! =
аЬ9 М ±^аьш
6. y'L = (Aixn + A2x-1)(y'aI, 1ф1, пф-1.
Решение: у= [ \Ci + AlA ~ ^ хп+1 + A - /)А2 1пж1 ~ГЦ dx + С2.
i L га + 1 J
7. 2/L = (Ахж711 + Азж712)^, щ ф -1, п2 ^ -1.
Решение: у = d /expf —^ЖП1+1 + _^^2_жп2+Л ^ + ^
J V гах + 1 ^2 + 1 ^
8. 2/жЖ = (^1ЖП + Агж)^, п ф —1.
Решение: j/ = Ci /жЛ2 expf ^— xn+1) dx + С2.
9. 2/;'ж = (А1Ж-1-32/1+А2Ж-2-3^2)(^K, mi #-2,
1°. Решение в параметрическом виде:
х = атU(Ci + r-mi~2 ± r-^2-2^-1/2 dr +
_ _т 2 _тО-2Ч-1/2 , /
где А! = |ami+46-mi-2(mi+2), A2 = ±|am2+46-m2-2(m2 + 2).
2°. Решение в параметрическом виде:
где Ai = -iami+46-mi-2(mi+2), Л2 = ±|am2+46-m2-2(m2 + 2).
296 Уравнения второго порядка
1°. Решение в параметрическом виде:
\ -1
,„ . \ , w + С2 ) ,
где А! = ^аЧ~3, А2 = ±а4Ь~2.
2°. Решение в параметрическом виде:
= ат
где Ai = -|-a6b-3, A2 = ±a4b~2.
Решение: у= Г(Ci - 2Ахх - 2А2 1пж)/2 dx + С2.
12. y'ix = (А1х~1у-2 + А2у-3)(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
dr
13. „;'„ = (Агх-^у-^
Решение в параметрическом виде:
х = ^-{2Cie2fcr + С2е~кт [л/3cos(cjt) - sin(cjr)] }2,
где F = Cie2kT + С2е~кт sin(cjr) - ^-, А2 = -16/с3, cj = А;л/3.
А2
14. yL = (Д1Я!-в/а»-4/8 + А2Ж-5/V7/3)(^K.
Решение в параметрическом виде:
где Ах =9CiC3-3C|.
> 5 решениях уравнений 15-18 приняты обозначения:
2, Е2= [ —
J R2
15. yL = (Al2/-4/3 + А2Ж-1/22/-4/3)(^K.
Решение в параметрическом виде:
ж = aFfc2, у = Ьт~3Е1,
где Лх = ±|аЬ-2/3, Л2 = -|-a3/V2/3(-l)*+1; fc = 1 и к = 2.
16. yL = (Агх-^у-7" + Azy-^Hy'»K.
Решение в параметрическом виде:
х = ar3E^3Fl у = ЬтъЕ1\
где Ах = ia3/26-6/e(-l)fc, А2 = т1«Ь/3; к = 1 и к = 2.
2.6. Уравнения вида у%х = Аххп^ymi (y'x)h + А2хп2ут2(у'х)'2 297
17. y'L = (AlX-Ty + A2X-3)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
х = ат-1/2Е1к/\ у = Ът-3Нк,
где Ах = ^а8Ь-3, А2 = ±^a4b~2; к = 1 и к = 2.
18. y'L = (AlX-7y3 + A2x-3)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
х = атъ/2Е]/2Щ\ у = Ът3Щ\
где Аг = -^а%-\ А2 = Т^а4Ь~2; к = 1 и к = 2.
> В решениях уравнений 19-22 приняты обозначения:
= л/Ci ± Г7+1 + г, Е!=[-^- + С2, F1=2R1-E1,
J ti
R2 = y/d ± Г7+1 - г, Е2=[ — + С2, F2 = 2R2 + E2, Н2 = 4(т - R2F2) - Е2,.
J R2
19. 1&. = (A!»"-3?, + А2у-3)(^K, m 7^ -2.
Решение в параметрическом виде:
ж = атЕ^1, y = bEfr1, j = —m — 3,
где Ai = ±^-am+4&-m-2(m + 2), A2 = ^-a&(-l)fc; jfe = 1 и jfe = 2.
20. y'L = (А1У + A2x)(y'aI, 1ф1, 1ф2.
Решение в параметрическом виде:
x = aFk, у = ЪЕк, 7=
1-2'
где А\ = ab~1A2(—l)fc+1, A2 = — ±- — ; А; = 1 и А; = 2.
2аЬ L 6 J
Зттг+5
21. ?/" = (
Решение в параметрическом виде:
. it^y+2 . 2т + 3
' м = аЬ~
22. y'L = (AlXny
Решение в параметрическом виде:
п + 1 7
ГДе : ~ ~ 4G + 2) а 7 LT G + 2)а \ ' 2~а 1 Н~)'
5 решениях уравнений 23-26 приняты обозначения:
= [^- + С2, Fi=2Ri-Eu Hi=4(t-.
-r±lnr, E2= [ — + C2, F2 = 2R2 + E2, H2 = A(t - R2F2) - E22.
J R2
23. ?/"ж
Решение в параметрическом виде:
x = aFk, y = bEk,
где Ai = ab~1A2(-l)k, A2 = ±\а~2\ к = 1 и к = 2.
298 Уравнения второго порядка
24. у"х = (Агу + А2х)(у'хJ.
Решение в параметрическом виде:
х = аЕк, y = bFk,
где Ах = Т\Ъ~2, А2 = a^bA^-l)*6; к = 1 и к = 2.
25. y'L = (Аг + А2ху-2)у'х.
Решение в параметрическом виде:
х = аНк, у = ЬЕк,
где Ах = ab~2A2(-l)k, А2 = ±^-а6; к = 1 и к = 2.
26. yf:x = (A1x-2y
Решение в параметрическом виде:
х = аЕк, у = ЬНк,
где Ах = =р|а2^, А2 = а~2ЪАх{-1)к!; А; = 1 и jfe = 2.
> В решениях уравнений 27-30 приняты обозначения:
Rx = Cxrkl + C2rfc2 + C3rfc3,
JR2 = (Ci + C2r)efcr + C3ea;r,
Я3 = CxekT -\-eST(C2 sinujt-\-Сз cos ujt),
Qi = Cifcir*1 + C2A;2rfc2 + Сзк3ткз,
Q2 = (kCx + C2 + A;C2r)efcr + иС^\
Q3 = kCxekT + eST[(sC2 - uC3) sinuor + (sC3 + cjC2) coscjt],
&=t(Qi)'t, & = (Q2)'t, ft = (Q3)'T,
г<3е A?i, fe, А;з (вещественные) или к, s±iuj (один вещественный и два комплексных) — корни
кубического уравнения Л3 — \В2\ — \В\ =0. Индексу функций Rm, Qm, Sm (m = 1, 2, 3)
выбирается в зависимости от знака выражения А = 253. — 21 В\:
при А > 0 индекс т = 1,
«pw А = 0 индекс т = 2,
«pw А < 0 индекс т = 3.
= 27Б2 (индекс т = 2), то
при Вх<0,
при Вх>0.
Замечание. Выражения для Rm, Qm содержат три константы Сх, С2> Сз. Одну из
них можно произвольно зафиксировать, положив равной любому отличному от нуля числу
(например, можно положить Сз = =Ы_А при этом две другие константы могут принимать
произвольные значения.
27. y':x = (A1x-1/2y + A2)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
x = Q2m, y = Rm, где Ai = -Bi, A2 = -B2.
28. y'L = (А1У-3 + Azx-^y-^HyLK.
Решение в параметрическом виде:
x = R^l1Q2m, y = R^\ где Ах = -В2, А2 = -Вх.
2.6. Уравнения вида y'J.x = A1xn^ym^{y'xf1 + А2хп? ут? (у'х)'2 299
29. y'L = (AlX-7/5y + A2x-3/5)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
x = aRbJl2, y = bBQ2m-4RmSm+B2R2m),
где Аг = -^а12^^-2, A2 = -а
30. y'L = (Агх-^у-12'5 + A2X
Решение в параметрическом виде:
х = aR5rjBBQ2n - 4RmSm + B2R2my\ у = bBQ2m - 4Rm
А — а
> В решениях уравнений 31, 32 приняты обозначения:
CiekT + C2e~kT - ^-т при В2 > О,
f 1 — I B<2
/1 — \ в,
С\ sin(A;r) + C2 cos(kr) — ——т при В2 < О,
В2
k(dekT - de~kT) - ^- при В2 > О,
Л=4 В
k[d cos(kr) — С2 sin(A;r)] при В2 < О,
В2
где к = ^\\В2\.
Решение в параметрическом виде:
х = /|, у = /i, где А\ = — В2, А2 = —В\.
Решение в параметрическом виде:
х = fiXfl, y = /f1, где Ai =—Bi, A2 =—В2.
> 5 решениях уравнений 33-36 приняты обозначения:
При В! > 0:
Ts~i кт , s~i —кт , s~i • /т \ 7 / 4 d \1/4
1 ^ Oie + (_/2в Н~ Суз sm^/CTj, /с = ( -t-di ) ,
Т2 = A;(Ciefcr - de~kr) + A;C3 cos(A;r).
При Вх < 0:
Ti = eST[d sin(sr) + C2cos(sr)] + C3e"sr sin(sr), s = {-\BiI/A,
T2 = seST[(d - d) sin(sr) + (d + d) cos(sr)] - sC3e"sr[sin(sr) - cos(sr)].
зз. ?/L = (Ai^-5/^2 + a^-5/3^)^K.
Решение в параметрическом виде:
т _ тз/2 _ т _ 2
где В\ = — Ai, ^2 = — А2; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны соотношением
CiC3 = -TqA^2A22 при Ai > 0,
4CiC2 + С'з2 = \А-[2А22 при Ai < 0.
300 Уравнения второго порядка
лл „ " (А т —5/3 —7/3 ¦ а _—5/3 —10/3\/ / \3
34. 2/жж = (Ахж у + А2х у )\Ух) -
Решение в параметрическом виде:
где В\ = — А2, В2 = —Ai; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны соотношением
CiC3 = -yqAIAz2 при А2 > О,
4CiC2 + С\ = \A\A22 при А2 < 0.
Решение в параметрическом виде:
Ж = Т23/2, у = Ти
где В\ = —А\, В2 = — А2; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны соотношением
С1С3 = —\А^1А2 при А\ > О,
4CiC2 + С\ = -\А~[ХА2 при Ai < 0.
Решение в параметрическом виде:
г- — rri—lrriS/2 _ ГТ1-1
х — ±1 ±2 •> У — -Li •>
где В\ = — А2, В2 = —Ai; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны соотношением
С1С3 = —\A\A~2~1 при А2 > 0,
4CiC2 + С\ = —\A\A~2~1 при А2 < 0.
> В решениях уравнений 37, 38 приняты обозначения:
1°. При В! > 0, В2 ф 0:
Ti = dekT + C2e-fcr + Cssincjr, T2 = k(dekT - С2е~кт) + cjC3 coscjt,
= 0.
2°. При -В\ < ЗВг < 0, Б2 > 0:
где
к1 = {|[Б2 + (Б2
(dC2 + СзСа){В22 + ЗБО172 + (CiC2 - СзСА)В2 = 0.
3°. При -Bi < ЗЯ1 <0,В2< 0:
Ti = Ci sincjir + С2 cosujit + Сз sino;2r, T2 = o;i(Ci coscjit — C2 sincjir) +а;2Сз coso;2r,
где
4°. При В\ + 3^i =0,B2> 0:
fc e"fcr, T2 = (jfeCi +C2 + /cC2r)efcr - (А;С3 -
1В2I/2 (C1C4 C2C3)(f B2I/2
fc = AВ2I/2, (C1C4 - C2C3)(f B2I/2 + 2С2С4 = 0.
2.6. Уравнения вида у%х = AlXn^ym^ (y'x)h + А2хп*ут* (y'x)h 301
5°. При В\ + 3^1 =0, В2 < 0:
Т\ = {С\ + С2т) sin ujt + Сзт cos cjt, T2 = (ujCi + Сз + о;G2г) cos ujt + (С2 — о;Сзт) sin ujt,
о; = (-|б2I/2, CiC3(-1b2I/2 + c22 + с! = о.
6°. /7/ш 3^1 < -В\:
Тх = ekT(Ci sin ujt + С2 coscjt) + Сге~кт sin ujt,
T2 = ект[(кС2 +ujCi) cos ujt + (Aid - ujC2) sincjr)] + C3e~fcr(cjcoscjr - &sincjr),
где
ЗВ1I/2]}1/2, C2B2+C1(-Bl-3B1I/2 = 0.
37. j/L = (Л1Ж-5/3у2 + A2X-1/3)(y'xK.
Решение в параметрическом виде:
= Т23/2, у = Ти где Bi = -Ai, B2 = -A2.
Т2,
38. у-ш = (Ахх-1/^-8/8 + А*х-*'*у-10'*)(у'и)а.
Решение в параметрическом виде:
Х = Т^Т^\ у = ТГ\ где В!
Т { Cie + С2е~"т + Сзт при В > 0,
> В решениях уравнений 39-42 приняты обозначения:
ieUT + С2е~шт + Сзт
l sin ujt + С2 cos ujt + Сзт при В < О,
гр _ \ uj(CieL0T — С2е L0T) + Сз wpw 5 > О,
\ o;(Ci coscjt — С2 sincjr) + Сз «pw 5 < О,
™ 7/' _ / л^т~1/3 -\- Ar>r~5/3}(i/}3
Jy* Ухх — V. 1 "^ ~ -^12«^ )\Ух) •
Решение в параметрическом виде:
где В = —Ai; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
3(AiC32 + А2) - 4AJ(Ci + С2) = 0 при Ах > О,
3(AiC32 + А2) - 16AJCiC2 = 0 при Ах < 0.
Решение в параметрическом виде:
где В = — А2; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
+ А2С32) - ±А\{С\ + С2) = 0 при А2 > 0,
+ А2С32) - 16A^CiC2 = 0 при А2 < 0.
41. УхХ = (AlX-5/3y + A2x-1/3)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
т), y Tlr\
где 5 = — А2; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
3A2Cl - 4Л1(С? + С\) - -feA\A? = 0 при А2 > 0,
3A2Ci - I6A2C1C2 - -^AlAz2 = 0 при А2 < 0.
302 Уравнения второго порядка
42. y'L = (А1Х-*'*у-7'а + Azx-^y-^HyLf.
Решение в параметрическом виде:
где В = — А2; произвольные постоянные С\, С2, Сз связаны одним соотношением
ЪА2С\ - ±А\(С\ + С\) - -yqAIA^2 = 0 при А2 > О,
3A2Ci - 16A22CiC2 - -tqAIAz2 = 0 при А2 < 0.
> В решениях уравнений 43-48 приняты обозначения:
г _ ( J\/2,{T) для верхнего знака (функция Бесселя),
* ~ \li/s(T) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
_ \Yi/2,(t) для верхнего знака (функция Бесселя),
\ К\/2,{т) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
l3u(g [ f dr - f fgdr), и = { if f * верхнего знака,
V J J / [ — 1 для нижнего знака.
43. y':x = (AlXy + A2)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
х = т1/3Н, у = Ът2/3, где А1=±^Ъ-\ A2 = -^b~2(i.
44. y'L = (А1У-3 + A2xy-6)(yi!f.
Решение в параметрическом виде:
х = т~1/3Н, у = Ът~2/3, где А1=-^ЫЗ, А2 = ±^Ъ3.
45. y'L = {Aix-X'*y-1'* + A2y-3'2)(yLK.
Решение в параметрическом виде:
х = ат-2/\тН'т + \Н)\ у = Ът2/3Н2, где Аг = ±|а3/26/2, А2 = ±ab~1/2f3.
46. y'L = (А1У-3/2 + А2х-1/2у-2)(у'1СK.
Решение в параметрическом виде:
х = ат-А/3Н-2{тН'т + \НJ, у = Ът-2/3Н-2, где А, = ±аЪ~1/2р, А2 = ±\а3'2.
47. y'L = (AlX-2y + A2x-3/2)(y'!BK.
Решение в параметрическом виде:
х = ат2/3Н2, у = Ът~2/3 [^т2Н2 + 2/ЗтН - (тН'т + \НJ},
где Ai = --|а3Ь, А2 = -a~1/2bpAi.
48. y'L = (AlX-3/2y-3/2 + A2X-2y-2)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
х = ат4/3Н2[Тт2Н2 + 2(ЗтН - (тН'т + ±НJ]~\
у = Ът2/3[Тт2Н2 + 2(ЗтН - (тН'т + \НJу\
где Аг = ^аУЧ-^р, А2 = -fa3.
2.6. Уравнения вида у'^х = A^y^iy'J1 + A2xn2ym2(y'x)'2 303
49. y'L = (AlXymi + A2ym*){y'xf, пи ф -2.
Решение в параметрическом виде:
где
/ =
'е А \ h — ^т2 ~ Гп1 +
/ ' т1 + 2
Jv(t) для верхнего знака (функция Бесселя),
Iv(t) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
_ Уи(т) для верхнего знака (функция Бесселя),
' Ки(т) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
А — ± — fm Ч-2J6~т1~2 А ——Ъ~Ш2 в и — I ~^^ Для верхнего знака,
4 '2 j \ — 1 для нижнего знака.
> В решениях уравнений 50-56 приняты обозначения:
jj _ Г C\Jv(t) для верхнего знака (функция Бесселя),
у С\1и(т) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
У _ Г GvXvij) для верхнего знака (функция Бесселя),
у С2Ки(т) для нижнего знака (модифицированная функция Бесселя),
N= \ZVXV npuA = -(
N = [ ZvGv + XvFv nPu A = ~(aife ~ «2/З1J,
1 \ tN' + 2vN при A = 4a7 - f32,
N2 = N? ± 4t2N2 + и2 А ш = { 2/7Г для веРхнего знака>
I — 1 для нижнего знака.
Штрих соответствует производной по т.
50. у"х = (Агху + А2х~3)(у'х) .
Решение в параметрическом виде:
х = ar1/3N1/2, у = Ът2/3,
где и=±, А1= ±-|Ь, А2 = -^ra4b-2u2A.
51. y'L = (AlXym + А2Х-3)(у'хK, m ф -2.
Решение в параметрическом виде:
где г/=_-!_, А1 = ±\Ъ-т-2{т + 2J, А2 = --^аWA(m + 2J.
52. y'L = (А1Х-3 + A2xy-6)(y'xK.
Решение в параметрическом виде:
х = ar-1/3N1/2, у = Ът-2/3,
где v = i, Л! = -^а46-2о.2Д, Л2 = ±f63.
53. »;'„ = (Агх-^у-1^ + A2j/-3)(^K.
Решение в параметрическом виде:
х = ar73^^2, у = br2/3N,
где i/ = |, Ai = ±f a3/2b-3/2, А2 = 2аЪи2А.
304 Уравнения второго порядка
54. y'L = (Ai + A2x-1/2y-2)(y'a!f.
Решение в параметрическом виде:
где v=\, Ax= 2ab~2uj2A, А2 = ±fa3/2.
55. y'L = (AlX-2y + A2X-3)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
где v=\, A1 = -j|g-a3b-3, A2 = --^аЧ^^А.
56. y'L = (Агх-3 + А*х-ау-3)Ш*.
Решение в параметрическом виде:
х = ar4/sN2N2\ у = bT2/sNNz\
где v=\, А1 = --^а4Ъ-2и2А, А2 = -^а3.
> В решениях уравнений 57—72 приняты обозначения:
h = J±4pl-2Pl-C2, r= f . dpl = - Си
Jl - U2
h = xl±Apl + 2p2-C2, r= f dp2 Ci.
Функции pi = Pi(t) и р2 = р2(т) являются обращениями приведенных выше эллиптиче-
эллиптических интегралов; для верхних знаков они являются классическими функциями Вейерштрасса
pi = р(т + Си 2, С2) и р2 = р(т + Си -2, С2).
57. y'L
Решение в параметрическом виде:
где Ai = тба-1^2, А2 = ab~2(-l)k+1; к = 1 и к = 2.
58. y'L = (А1У~3 + А2х2у-5)(У'ХK.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~1рк, у = Ът~1,
где Ах = аЪ(-1)к+\ А2 = тба^3; к = 1 и к = 2.
59. y'L = (А1У~9/7 + А2х2у-15'7)(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
х = ат(т2рк Т 1), У = Ьт7,
где Аг = ^ab~b'7{-l)k+1, A2 = ^a^b1'7; к = 1 и к = 2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~6(т2рк Т 1), У = Ьт~7,
где Л! = -?.a*-2/7(-l)*+1, Л2 = Т JLa?,6/7; fe = 1 и к = 2.
61. У;'ж = (.41?/ + А2а;)(^M/2.
Решение в параметрическом виде:
где
yli = аб-^гС-!)*, А2 = -2аЬ(±6а/ЬI/2; fe = 1 и it = 2.
2.6. Уравнения вида у'^х = Аххп^ j/mi (yx)h + А2хп^ут^(у'х)'2 305
62. y'L = (A1y + A2X)(y'!CI/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат, у = b[fk - (-1L
где Ai = 2аЬ(±6Ь/аI/2, А2 = а-1ЬА1(-1)к; к = 1 и к = 2.
63. y'L = {Агу~3/А + А2Ху~^)(у'х)ъ/2.
Решение в параметрическом виде:
х = а[2т/к-2рк + (-1)к+1т2}, у = Ът\
где Ai = ab-1/2A2{-l)k, A2 = -^а-1Ь1/4(±За/ЬI/2; к = 1ик = 2.
64. „;'„, = (А1Х-5/4у + A2x-3/*)(yLI/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат\ у = Ъ[2т/к - 2рк + (-l)fc+1r2],
где А! = ia1/4b-1(±36/aI/2, А2 = а-1/2ЬА!{-1)к; к = 1 и к = 2.
65. y'L = (А1У-^* + А2ХУ-^*)(У'ХM/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат-6[2т3Д + 6т2рк т 2 + (-1) V], у = Ьт"8,
где А! = аЬ-1/4А2{-1)к, А2 = -^а-1Ь7/8(т6а/ЬI/2; к = 1 и к = 2.
66. y'L = (Агх-^у + А2Х-13'а)(у'»I/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат-8, у = Ьт-6[2т3/к + 6т2рк Т 2 + (-1)кт%
где А! = -±га"%-1{^ЪЪ/аI12, А2 = a-1/46Ai(-l)*; к = 1 и к = 2.
67. y'L = (А1У-^13 + A2Xy-20^)(y'xf/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ar[brsfk - 20т2рк ± 30 - (-1)кт% у = Ьт13,
где A1=a6-5/13A2(-l)fc, A2 = -—a-1^13^—У7'; /с = 1 и/с = 2.
65 V 136 /
68. y'L = (А1Х-20'13у + А2Х-^13)(у'хI/2.
Решение в параметрическом виде:
= ат13, у = br[br3fk - 20т2рк ± 30 - (~1)кт%
х
где А\ = —а ' Ь ± , А2 = а ' ЬА\( — 1) ; к = 1 и А; = 2.
65 V 13а У v ; >
Решение в параметрическом виде:
x = apl y = b[fk-(-l)kr],
где Ai = ТтаЬ~2> А* = -T2-a5/3b-2(-l)k+1; к = 1 и к = 2.
Решение в параметрическом виде:
х = ap3k[fk - (-I^t], у = b[fk ~ (-I)*5-?-],
где Ai = ^a5/V/3(-l)fc+1, A2 = Т\аЪ\ к = 1 и к = 2.
20 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
306 Уравнения второго порядка
71. y'L = (Агу-1^ + ^'1'2
х = a{fk - г2 Т4р3к), у = b[fk - (-l)fcr]4/3,
Решение в параметрическом виде:
-г2
и з/2Л л \ ±а~3Ь11/4(та/ЬI/2 при к = 1,
где Ах=аЪ~3/2А2, А2 = < им i /9
\±а-3Ъ11/4(±а/ЪI/2 при /с = 2.
Решение в параметрическом виде:
ж = a[fk - (-1)V]4/3, у = b(fk - г2 =F 4^
где Ai = | Ta11/46-3(TV«I/2 при к = 1,
\та11/4^(±^/«I/2 при /с = 2,
> 5 решениях уравнений 73-92 приняты обозначения:
функции Рх и Р2 являются общими решениями четырех модификаций первого уравнения
Пенлеве
Рх = ±6Р2 + т, Р2 = ±6Р22 - г
(уравнение для Рх в случае верхнего знака является канонической формой первого уравнения
Пенлеве; см. разд. 2.8.2-1). Кроме того,
Qx = ±6Р2 + г, Q2 = ±6Р22 - г,
т™> Г) TD ~- ТУ О TD i , ^
IXX — ?±Х ~ Т 1 Л2 — 1г2 -\- Т ,
Sx = ЗтР[ - ЗРх - г3, S2 = ЗтР2 - ЗР2 + г3,
Т2 = т2Р2 т 1,
[/2 = (P^J-2P2Q2±8P23,
У 2 — ±24z2 — ±2 — Ц/25
W2 = т3Р2 + Зт2Р2 =F 1 - г5,
Zx = 6(т3Р{ - 4т2Рх ± 6) - г5, Z2 = 6(г3Рз - 4т2Р2 ± 6) + г5,
где штрих соответствует производной по т.
73. y'L = (А1У + A2x2)(y'SB)S.
Решение в параметрическом виде:
= r2Pl
= (Pif
= Pi'Oi
= т3Р[
Tl,
-2PiQi±
+ H-QI,
+ 3r2Pi т 1
8Pf,
¦ + Т
где Ai = ab~3(-l)k, A2 = т^а~1Ь~2; к = 1 и к = 2.
Решение в параметрическом виде:
где Ах =ab~2A2(-l)k+\ А2 = -2а6(±За/6I/2; к = 1 и к = 2.
75. у"х = (^4i?/ + А2Ж )(?/ж)
Решение в параметрическом виде:
X ^= (XT^ у ^= и1Ъ}г у
где Ai =2а6(±36/«I/2, А2 = a6Ai(-l)fc+1; jfe = 1 и jfe = 2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~1Рк, у = 6т,
где Ai = a&2(-l)fc, A2 = ^ба^; jfe = 1 и jfe = 2.
2.6. Уравнения вида y'J,x = AlXn^ym^(y'x)h + A2xniymi(yx)h 307
77. y'L = (Агу-1'2 + А2ху-*'*)(У'т)*'*.
Решение в параметрическом виде:
x = aSk, y = br4,
где A1=ab-s/4A2(-l)k+\ А2 = -^а~ V1/4(±2a/6I/2; к = 1 и к = 2.
78. y'L = (А1Х-5/4у + А2х-1/2)(у'хI/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат4, y = bSk,
где А1 = \а-1/АЪ-1{±2Ъ/аI/\ А2 = a-3/46Ai(-l)fc+1; к = 1 и к = 2.
79. 2,1 = (А12/-8/7 + А2х2у-15'7)(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
х = атТк, у = Ьт7,
где Аг = -^ab/7'(-1)*. А2 = т^а^77; к = 1 и к = 2.
80. yL = (А12
Решение в параметрическом виде:
х = ar~6Wk, y = br~8,
где А1=аЪ-1/8А2(-1)к, А2 = |a-V/8(T3a/6I/2; jfe = 1 и jfe = 2.
81. s/1 = (AlX-15/8y + А2Ж/4)(^I/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~8, у = 6r~6VFfc,
где Ai = -±а7/8Ъ-1(тЗЬ/аI/2, А2 = a-1/86Ai(-l)fc; jfe = 1 и jfe = 2.
82. ./I = (Al2/-13/7 + А2х2у-20'7)(ухK.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~6Тк, у = Ьт~7,
где Аг = -^ab/7'(-1)*. А2 = т^а^7; к = 1 и к = 2.
83. yL = (А12
Решение в параметрическом виде:
x = arZk, y = brls,
где Ai=ab-6/13A2(-l)*+1, A2 =-—a^13 f±^)/; /с = 1 и/с = 2.
13 V 13о /
84. ухх = (Aiql
Решение в параметрическом виде:
х = ат13,
2 / / Ь \1/2
13 V 13а/ '
85. у1
Решение в параметрическом виде:
х = а{Р'к)\ у = ЬРк,
где Ах = т24аЬ, А2 = 2а3/2Ъ-2(-1)к; к = 1ик =
86. j/L = (Агх-^у^2 + А2у-*)(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
где
20*
Ах = 2а3/2Ь1/2(-1)к, А2 = т^аЬ2; к = 1 и к = 2.
308 Уравнения второго порядка
87. y'L = (AlX-*'ay + Азх1'*)^)*.
Решение в параметрическом виде:
где Ах = -^а8/3Ъ~3, А2 = т^а~2ЪАц к = 1 и к = 2.
88. y'L = (Ai*-e/V7/8 + Aax1/8y-10/8)(yL)8.
Решение в параметрическом виде:
x = aP3k/2Uk\ y = bUk\
где Ai = -^-а8/3Ь1/3, А2 = т8а~2ЬАи к = 1ик = 2.
89. у':т = (А1х-1'* + Азу-*'я)(у'аK.
Решение в параметрическом виде:
x = aQl у = Ъ{Р'к)\
где Аг = тба3^, А2 = ^ab-^i-l)^1; к = 1 и к = 2.
90. y'L = (ЛцГ3/2 + А2Х-1/2у-5/2)(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
где Аг = ±ab-1/2(-l)k+1, A2 = Т6а3/261/2; к = 1ик = 2.
91. y'L = (А1Х-5/3у + А2Х-*/3)Ш3.
Решение в параметрическом виде:
х = а{Р'к)\ y = bVk,
где А! = --^-а8/36, А2 = а-1/гЬА!{-1)к; к = 1 и к = 2.
92. „;'„ = (Агх-^у-5^ + А2Ж-5/3у-7/3)B/;K.
Решение в параметрическом виде:
где Аг = 1La7/36-1/3(-l)*!+1, A2 = -^а8/3Ь1/3; к = 1 и fe = 2.
> 5 решениях уравнений 93-96 приняты обозначения:
4 А?! + 1 &2 + 1
-г2 + ^^_г^+! + 2В2 In |r| лрм к = кхф -1, к2 = -1.
4 /С Н~ 1
93. j/L = (Aix-ami-atfmi + А2Ж
Решение в параметрическом виде:
где hi = -2mi - 3, к2 = -2m2 - 3, Ai = -Bu A2 = -B2.
(ттг —1 ч т-\-Ъ
А1хут + А2у 2 j(tf;)™+a.
Решение в параметрическом виде:
х = aF~1/2G, у = bF~^+^,
/ 7 m + З 7 . л кЬк+1 Г 4аБ: 1V* --тхт-
где ki=k = —-, к2 = 0, Ах = - Д , -42 = -4а6 л+i
m + 1 (/с + 1)а L (/с + 1N J
2.6. Уравнения вида y'J,x = AlXn^ym^(y'x)h + A2xniymi(y'xI2
309
95. y'L =
Решение в параметрическом виде:
где
7
= О,
L
1Г
L
А2 = —4а fc+! bAiB2.
96. у"х = (Агх~5у2 + А2л ПУх
Решение в параметрическом виде:
-A2
91.
Решение в параметрическом виде:
•-,1/2 / 1 f fdr \ „-i i/2 / 1 С fdr \
х = С\т ' ехр -— / , , у = Сл т ' ехр — / , ,
где
/ =
¦[*¦
Т-^\С2 +
2(тх
Т-1'2[С2 +
2G71! +1)
+
2(т2 + 1)
+ -A2lnr]
2 J
J P f ' f '
При ГГЦ ф -1, Ш2 = -1.
98. y'L = [A1xnyrni + А2х
Решение в параметрическом виде:
( f dr \
x = Ciexp(/ —I,
\J rz J
mi+i / n + I f dr \
\ m1-\-l J tz /
где ^ = 2;(г) —решение алгебраического уравнения
(z - Ш1+П| ) (z - П+ ) т1+П + 2 = r" гтн+п + 2 ^ + 1
V 777/-^ -|- 1 /V TTl^ -\- 1 / V 771-^ H~ 77/ -|- Z
^2G7^! + 1) m
,
- In
При Ш2 /-1,
ПрИ 7712 = —1.
> В решениях уравнений 99-108 приняты обозначения:
функции Р\ и Ръ являются общими решениями четырех модификаций второго уравнения
Пенлеве (с параметром а = 0)
Р" = tPi ± 2Р!3, Р% = -тР2 ± 2Р23
(уравнение для Pi в случае верхнего знака является канонической формой второго уравнения
Пенлеве с параметром а = 0; см. разд. 2.8.2-2);
Qi = rPl ± Р:4 - (Р[)\ fa = Р[ Т PiQi, Si = 2P[Q1 - Pf
g2 = tpI ± p24 - OP2J, я2 = Р2 ± P2Q2, 52 = 2P^g2 + p23
где штрих соответствует производной по т.
99. y'L = (AlXy + A2x3)(y'a!f.
Решение в параметрическом виде:
х = аРк, у = Ьт,
где Ai = 63(-l)fc, A2 = T2a6; к = 1 и к = 2.
310 Уравнения второго порядка
100. y'L = (Агху-6 + А2х3у-в)(у'а!K.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~1Рк, у = Ьт~1,
где Ах = Ь3(-1)к, А2 = T2a~2b4; к = 1 и к = 2.
101. y'L = (Аг + А2х-1/2у-1/2)(у'хK.
Решения в параметрическом виде:
х = а{Р'к)\ у = ЬР1, Р'к = (РкУт,
где Ai = T2ab~2, А2 = ±а3/2Ь-3/2{-1)к; к = 1 и к = 2.
102. y'L = (AlX-1/2y-2 + A2y-3)(yi!f.
Решения в параметрическом виде:
х = аРк-2(Рк*J, у = ЪРъ\ Рк = (Рк)'г,
где Ai = \аъ'2{-\)к, А2 = Т^аЬ; к = 1ик = 2.
103. y'L = (AlX-2y + А2)(у'1СK.
Решения в параметрическом виде:
x = aPl, у = Ь[rPl ± Pt - {Р'кJ], Р'к = (Рк)'т,
где А! = 2аЧ~г{-1)к, А2 = ±2аЬ~2{-1)к; к = 1 и к = 2.
104. y'L = (AlX-2y-2 + A2y-3)(y'1BK.
Решения в параметрическом виде:
х = аРк2[тР2к ±Р? - (Н)Т\ У = Ъ[тР2к±Р? - {Р'к?]
где A-i = -2а3, А2 = ^2аЪ; к = \пк = 2.
105. y'L = {Ai + А2ху-1/2)(у'хK/2.
Решения в параметрическом виде:
x = aP^Rk, y = bQ2k,
при к = 1,
где А1 = ^аЬ ^А2{-1)\ А2 =
106. y'L = (AlX-1/2y + А2)(^K/2.
Решения в параметрическом виде:
x = aQl, y = bPk~1Rk,
л Г -2а1/2Ъ-2BЪ/аI/2 при к = 1, , -1/2,
™А1 = Ы'' M = Ta /b
107. ухх = (Аг -
Решения в параметрическом виде:
л и-2Л ( i\k л \a-2b2Babf
где Ах = Tab гА2{-1)\ А2 = < 2 2; ' J/v
\а~2Ъ2{-2а Ъ
Y'2 при к = 1,
-2а/ЪI/2 при к = 2.
Решения в параметрическом виде:
, Г -а2Ъ-2BЪ/аI/2 при jfe = 1,
где Ai = ^ ) I . F
^ —а о у—1о/а) ' при к = z,
2.6. Уравнения вида у%х = A1xn^yrn^{y'x)h + А2хп*ут* (y'x)h
311
109. y'L = (AlX-7'5y-»'5 + A2a,-
Решение в параметрическом виде:
где 5 = Cie2kT + С2е~кт sin^fo-), F = (S'TJ - 2SS'IT, A2 = ^a12/
110. y'L = (Агх^у-1 + A2x-2y-2)(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
х = aCiT2/3Z2{bCir-2/3[(rZ; + \ZJ ± t2Z2] - ^\
у = {bClr-^[(rZ'r + \ZJ ± t2Z2] - A
где
л _ 9_ З7-3 z —
z { 1^1/з(г) + С2У1/3М Для верхнего знака,
2 a ' \ С'г/х/зСт) + С2К1/3(т) Для нижнего знака,
и Yi/s(t) — функции Бесселя, Ii/s(t) и Ki/s(t)—модифицированные функции
/
Бесселя.
111. y'L =
Решение в параметрическом виде:
A2x-7y3)(y'xf.
где R = д/±Dт3 - 1), F = 2т /гД dr + С2т т R, G = 4tF2 t t~2(RF - IJ,
А2 = Т^а%~3.
> В решениях уравнений 112, 113 приняты обозначения:
Е = ГA ± r4)/2 dr + С2, А;2 = =Ы;
функция Е может быть выражена через эллиптические интегралы.
112. „;'„ = (Агх^у-1^5 + A2x3y-ls'5)(y'xK.
Решения в параметрическом виде:
к), у = ЪС1Е~\ где Ах = =F^a
где
A2 = T^a~
113. y'L = (А^у-11'5 +
Решения в параметрическом виде:
x = aCiE(rE-k), y = bCiE
> В решениях уравнений 114, 115 приняты обозначения:
А = С22 - 2Ci, R = C6А + МВт - 2т3I/2, z = 3 [ —,
J tR
+ —— при А < 0;
—2- при А > 0;
при А = 0, C2 < О/
wpw A = 0, C2 > 0.
312 Уравнения второго порядка
114. y'L = (А1Х-^3 + А2х-б/3у-2/3)Ш3.
Решения в параметрическом виде:
х = ar-9/4(dW2- 2C2W + 2K/4FdW - 6С2 Т
у = bT-s/2(CiW2- 2C2W + 2K/2,
где А1 = -24а8/3Ь~2Си А2 = 36a8/3b~4/3B.
115. y'L = (Агх-^у-^ + Aax-e/8y-4/8)(yL)8.
Решения в параметрическом виде:
х = ar-s/4(CiW2- 2C2W + 2ys/4FCiW - 6С2 Т
у = Ьт3/2(С!]У2- 2C2W + 2)-3/2,
где А! = 36a8/3b~4/3B, A2 = -24a8/3b-2/3d.
лл<: " Г2(п+1) ^ _2/ / Ч3 /о __l л
116. ухх = [ /^ + 3J ж + ^ж Jl/ B/ш) 5 пф -Ъ, пф -1.
Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.4 для ж = ж (г/):
„ _2 ( )
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.35 для х = х(у):
118. y'L = (~вх + Ax-*)y-2{y'xf.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.31 для х = х(у):
х" = ц~2(§х — Ах~4)
119. y'L — ( —12ж + Ах~5'2)у~2(у'х) .
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.64 для ж = х(у):
120. у"ж — ( —2ж + ^-Ж~2)т/~2(т/ж) •
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.6 для х = х(у):
121. ?/"ж = (yq-x + ix~5/3)|/~2(^) .
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.26 для х = ж (г/):
Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.10 для ж = ж (г/):
'' _ 7|-2/ 9_^ _ 4^r-5/3Ni
уу У \ 100 -^T-»t' /•
Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.12 для ж = х(у):
124. j/L = (--f-ж + Аж-5/3)зГ2Ш3.
Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.66 для ж = х(у):
2.6. Уравнения вида у%х = Аххп^ymi (y'x)h + А2хп2ут2(у'х)'2 313
125. y'L = (-k* + Ax-7/5)y-2(y'xf.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.29 для х = х(у):
х'^=у-\-^х-Ах-Уъ).
126. у':„ = ах + Ах-^)у-*Ш\
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.14 для х = х(у):
р у у
хуу — У \ 25~^ -А-Х J.
127. y'L = (-^-a
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.8 для х = х(у):
^уу
128. 2/L = (-2
Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.33 для х = ж(г/):
129. y'L — (~Ц~Ж Н~ ^-Ж1 )у~2(у'х) •
Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.37 для х = х(у):
х" = у~2(-—х - Ах1/2).
130. y'L = (Ах2 + -?g-x)y~2(y'xK.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.60 для х = х(у):
131. y'L = (Ах2 - ^Х)у-2(у'а!K.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.62 для х = х(у):
т" — 1Г2(-Ат2 -4- -$-т)
хуу —У У ^±х т 25 Х''
i^2 ii" — Г 2(п т Ч yii~2 -\- Атп11~гь~1~\ in' I3 r? i? —Я —1
1JZ" Уазаз — ^ , „ч2 ЛУ П^ ^^^ У \Ух) 5 '* 7^ °? х-
Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.5 для х = х(у):
-п-1 п
133. y'L = (Ах~2у - 2xy-2)(y'xf.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.7 для х = х(у):
х'^у = 2у~2х - Аух~2.
134. y'L = {Ах-^у-^ + -^ху-*){у>х)\
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.9 для х = х(у):
х'^ = -^у-2х-Ау-^х-^.
135. y'L = (Ах-^у2^ + -JL_xy-2)(y'x)\
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.11 для х = х(у):
136. y'L = (Ax-6/sy2'3 - \ху-2)(у'хK.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.13 для х = х(у):
<9 = j-y~2x - V/3z/3.
137. y'L = (Ах-^у-1'2 + 1ху-2)(у>„)\
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.15 для х = х(у):
хуу — 9У х — Щ} X
314 Уравнения второго порядка
138. y'L = (А ^
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.27 для х = х(у):
т" — - 3 7/-2т /Ь/2/3^-5/3
уу — 16 У У
139. y'L = (Az-^V75 + ^ху-2)Ш3.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.30 для х = х(у):
140. y'L = (Ах~4у3 -
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.32 для х = х(у):
х'^у = 6у~2х - Ау3х~\
141. y'L = (Ax~1/2y-1/2 - 20xy-2)(y'xf.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.34 для х = х(у):
142. y'L = (Ах-7ув - ^-Ху-2)(У'ХK.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.36 для х = х(у):
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.38 для х = х(у):
144. y'L = {-kxy-2 + Ax2y-3)(y'xf.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.61 для х = х(
vyy
/V»" Ля. ^/Г>^ 6 -?/~2
145. y'L = (~^ху-2 + Ах2у-3)(у'а!K.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.63 для х = х(у):
<„ = -Ау~3х2 + ^у~2х.
146. y'L = {Ах-Ы2у3'2 - 12ху-2)(У'хK.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.65 для х = х(у):
147. y'L = {Ах-Ъ'3у2'3 - <$-ху-2)Ш3.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.4.2.67 для х = х(у):
II _ 63 -2 л 2/2, -5/3
2.6.3. Уравнения вида ^ж = стАхпуггь{у/хI + Ахгг-1угп+1(у'хI-1
В табл. 25 представлены все уравнения, решения которых приведены в разд. 2.6.3. Сначала
расположены двухпараметрические семейства (в пространстве параметров n, m, /), затем одно-
параметрические семейства и изолированные точки. Уравнения расположены по возрастанию
параметра /. В последней колонке указан номер искомого уравнения, где дано соответствующее
решение.
2.6. Уравнения вида ухх =
315
ТАБЛИЦА 25
Разрешимые уравнения вида ухх = аАхпуш(ухI + Ахп~1угп+1(у'хI~1
1
любое
любое
любое
любое
m + 3
m + 2
3n + 2
n + 1
1
1
1
3
~2
2
2
2
2
2
2
5
~2
3
3
3
0
0
0
0
0
0
0
0
1
m
любое
(тф-1)
1 -I
-2
0
любое
(тф-1,-2)
0
любое
(тф-1)
0
1
0
любое
(тф-1)
любое
(тф-1)
любое
(т^-1)
любое
(тф-1)
любое
(т^-1)
-1
любое
(тф-1,-2)
любое
(т ^ -2)
любое
(т ф -2)
любое
-3
-3
-3
0
0
0
0
0
-3
п
—т — 1
1-2
1
-1
1
любое
-т - 2
любое
(п^-1)
любое
(^0,-2)
любое
любое
(пфО)
т + 1
-2т-2
т + 1
2
0
любое
(п^О)
1
-т-2
1
2
-1
1
2
2
-2
-1
-1
2
5
2
1
а
-1
-1
-1
-1
т + 1
1
п
-1
1
п
2
п
1
п
-1
-1
-1
-1
любое
любое
т + 1
-1
т + 1
т + 1
2
2
-4
-1
-1
-2
-1
5
2
1
2
-1
Уравнение
2.6.3.75
2.6.3.76
2.6.3.79
2.6.3.80
2.6.3.74
2.6.3.73
2.6.3.1
2.6.3.23
2.6.3.37
2.6.3.41
2.6.3.85
2.6.3.82
2.6.3.83
2.6.3.84
2.6.3.87
2.6.3.86
2.6.3.42
2.6.3.3
2.6.3.24
2.6.3.38
2.6.3.65
2.6.3.61
2.6.3.35
2.6.3.48
2.6.3.50
2.6.3.33
2.6.3.59
2.6.3.63
2.6.3.15
316
Уравнения второго порядка
ТАБЛИЦА 25 {продолжение)
Разрешимые уравнения вида ухх = аАхпут{у'х) + Axn~1ym^~1(yfx) ~
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
3
2
3
2
3
2
2
5
2
5
2
5
2
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
т
—2
-2
-2
-2
-2
-2
_2
-2
-2
-1
-\
-\
-\
-\
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
-1
_2
3
2
0
-5
-3
-3
-3
_2
-2
_2
-2
_2
-2
-2
п
-2
-1
-1
-1
1
2
1
2
1
1
1
-1
-2
-1
1
2
1
-1
1
1
-4
-1
-2
1
-1
1
2
1
0
1
1
1
2
-1
1
2
2
-1
-1
-1
0
1
2
1
2
сг
1
2
любое
-1
1
2
-1
любое
-2
-1
-1
1
4
-1
-1
1
2
-1
любое
-1
1
2
-2
-1
1
-1
-2
1
любое
-1
1
2
1
-2
2
-4
-1
любое
-1
1
-1
-1
-1
1
2
Уравнение
2.6.3.51
2.6.3.71
2.6.3.7
2.6.3.5
2.6.3.55
2.6.3.13
2.6.3.69
2.6.3.11
2.6.3.29
2.6.3.2
2.6.3.53
2.6.3.45
2.6.3.31
2.6.3.57
2.6.3.77
2.6.3.67
2.6.3.9
2.6.3.21
2.6.3.39
2.6.3.25
2.6.3.17
2.6.3.27
2.6.3.43
2.6.3.19
2.6.3.81
2.6.3.28
2.6.3.44
2.6.3.20
2.6.3.22
2.6.3.52
2.6.3.54
2.6.3.26
2.6.3.72
2.6.3.8
2.6.3.6
2.6.3.4
2.6.3.46
2.6.3.78
2.6.3.40
2.6. Уравнения вида у%х = Аххп^ут^ {y'x)h + А2хпъушъ (у'хУ2
317
ТАБЛИЦА 25 (продолжение)
Разрешимые уравнения вида ухх = аАхпут\у'хI + Ахп~1угп+1(у'хI~1
1
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
4
4
4
4
4
4
4
4
m
3
2
3
2
1
2
0
0
0
0
0
0
0
0
-3
-2
-2
-2
1
2
2
5
1
1
П
-1
1
2
-1
-2
-1
-1
-1
1
2
1
1
2
1
-2
1
1
-2
1
_2
1
а
1
2
-1
-1
-1
любое
-1
1
2
2
любое
-1
1
-1
1
2
-1
1
2
1
4
2
5
-1
2
Уравнение
2.6.3.56
2.6.3.32
2.6.3.14
2.6.3.16
2.6.3.70
2.6.3.30
2.6.3.12
2.6.3.58
2.6.3.68
2.6.3.10
2.6.3.18
2.6.3.47
2.6.3.66
2.6.3.34
2.6.3.49
2.6.3.62
2.6.3.60
2.6.3.36
2.6.3.64
Iff A —ТХЬ — 2 ТТЬ f A —ТТЬ'
yxx = Ax у yx- Ax
Решение в параметрическом виде:
2.
4.
где А = ^(т + \)ат+1Ь~т.
y'L = Ах-Ху-Ху'х - Ах~2.
Решение в параметрическом виде:
г'1 ехр(=рт2) dr + C2] ~\
yxx = Ax у (yx) - Ax
Решение в параметрическом виде:
гпф-1.
у = -^г
т
где A =
Решение в параметрическом виде:
А / 2\
х = ~— exp(=Fr )
dr
_±Trn + l
-2.
2)dr + C2] \
318 Уравнения второго порядка
> В решениях уравнений 5-12 принято обозначение:
f = /exp(=Rr2)dr + C2.
5. y'L = Ах~гу~2ух + Ах~2у~г.
Решение в параметрическом виде:
2\ 2)Г1], где А = ±2Ъ2.
6. y'L = Ах гу 2(y'xf-\-Ax 2y 1(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
ж = а[2г±ехр(тг2)/], у = d exp^r2)/, где А = Т2а2.
7. ухх = Ах~гу~2ух - Ах~2у~г.
Решение в параметрическом виде:
8. y'L = Ax^y-^yLf - Ax-2y-\y'S-
Решение в параметрическом виде:
Ж = а/[2т/±ехр(Тт2)]~\ у = d [2r/ ± ехр(Тт2)]~\ где А = ±\а2.
9. y'L — Аху'х — Ау.
Решение в параметрическом виде:
х = ат, y = Ci[2rf±exp(TT2)l где А = т2а.
10. y'L = Ax(y'xf -Ay(y'xJ.
Решение в параметрическом виде:
х = Ci[2rf ± exp(=Fr2)], у = Ьт, где А = =р2Ь~2.
Решение в параметрическом виде:
x = aCi[2r2/±rexp(=Fr2)±/], ?/ = bCi[2rf ± exp(=Fr2)], где А = т\а~2Ь
Решение в параметрическом виде:
? = aCi[2r/±exp(=Fr2)], у = bd[2r2f ± тexp(=Fr2) ± /], где А = т\а2Ь~
> В решениях уравнений 13-22 приняты обозначения:
Е = у/т(т + 1) - ln(^ + у/тТг) + С2, F = Е)]1^- ~ т.
Решение в параметрическом виде:
x = aCtF~2, у = bCiT~1EF~2, где А = -a~3/V.
14. 2/жЖ = ^ж~1т/~1/2(^K — iaj"V/2(l/lJ-
Решение в параметрическом виде:
r — nC?T~1EF~2 ii — hCt F~2 где А — —n2h~3^2
2.6. Уравнения вида у%х =
^ {y'x)h + А2хпъушъ {ухУ2
319
15.
y'L = Лху Зу'х - Ау 2.
Решение в параметрическом виде:
~2Ь3
= bC2F~\ где А = -2а~2Ь
лг
16.
// л —2 / / \3 л —3 / / \2
ухх = Ах (ух) - Ах у(ух)
Решение в параметрическом виде:
х = aCiF~\ у =
Ужа. = Ахуу'х + Ау2.
Решение в параметрическом виде:
'т + 1
где А = -2asb 2.
18.
19.
Решение в параметрическом виде:
Решение в параметрическом виде:
'т + 1 „ .
'т + 1
где A =
-E2), где A = -a~1b~2.
20.
21.
22.
23.
// /5/2 /3/2
ухх = Ах(ух) + Ау(ух)
Решение в параметрическом виде:
x = aClF-\l^±^, y = bCr1(Fx[^~-ET-1), где А = -2Ъ~2 (-^Х'*.
V т VV7" / \ а /
Ухх — S±X УУх — 4s±X у .
Решение в параметрическом виде:
х = aCirE(rF2 + r2F - Е2)~\ у = bCfrEF'^rF2 + т2F - Е2)~\
где А = — 2asb~1.
y'L = 2Ах2у-5(у'хK - Axy-*(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
х = clCitEF'^tF2 + t2F - Е2)~\ у = ЬСхтЕ{тЕ2 + t2F - E2)~\
где А = -2а~1Ь3.
y'L = Ахпу'х -\- пАхп~1у, п ф —1.
Решение в параметрическом виде:
), где А = (п + 1)а~гг~1/3.
320 Уравнения второго порядка
24. y':x=Axym(y'xK + -^-Tym+1(y'xf, тф-2.
Решение в параметрическом виде:
х = С1е[3т( [T~J^e-f3rdT + C2), у = Ът~^, где А = -
m +
> В решениях уравнений 25-36 приняты обозначения:
( ти + С2Т~и для верхнего знака,
R = \ sin(i/ In r) + С2 cos(i/ In r) <3лл нижнего знака,
I In г + Сг «pw is = О,
( A + г/)ти + A — v)C2T~v для верхнего знака,
Q = < A — ^Сг) sin(i/ In r) + (Сг + ^) cos(i/ In r) для нижнего знака,
I In т + 1 + С2 при is = 0.
25. т/1 = Ах-2уу'х - Ах~3у2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~2, y = br~2R~1Q,
где v = С\, А = ab~1; в формулах могут быть функции R и Q из всех трех указанных
выше случаев.
26. j/L = ^V3^K - Аху-2^J.
Решение в параметрическом виде:
x = ar~2R~1Q, у = Ът~2,
где и = Ci, А = а~1Ь; в формулах могут быть функции Я и Q из всех трех указанных
выше случаев.
^ // л —1/ / \3/2 4 —2 / / \1/2
27. 2/жж = Аж (уш) - Аж у(ух) .
Решение в параметрическом виде:
х = ат~2, y=±br~2BQR~1-l±is2), где i/ = Си А = Bа/ЬI/2.
/^о // л —2/ / \5/2 . —1/ / чЗ/2
28. т/жж = Ажт/ (т/ж) - Ау B/ш) •
Решение в параметрическом виде:
ж = \aT~2{2QR-1 -l±is2), y = br~2, где i/ = Ci, A = Bb/aI/2.
29. 7/L = i4ajtr2tfc-i4tr\
Решение в параметрическом виде:
x = clCitR, y = bCirQ, где А = a~V(l =F i/2).
30. i/L/e = i4«-1(t/LK-i4«-2t/(t/LJ.
Решение в параметрическом виде:
x = aCirQ, y = bCirR, где А = a2b~2(l =F v2).
31 ту" - Ax~1/2v~1/2vf - Ax~3/2v1/2
Решение в параметрическом виде:
x = ar2R2, y = br2Q2, где is = Си A = a~1/2b1/2.
32. y'L = Ах^у-^Ш3 - Ах-^у-^Ш2.
Решение в параметрическом виде:
x = ar2Q2, y = br2R2, где is = Си A = a1/2b~1/2.
2.6. Уравнения вида у^х = A1xn^yrn^{y'x)h + А2хп*ут* (yx)h 321
33. ухх = Ах~г - Ах~2у(у'х)~г.
Решение в параметрическом виде:
x = ar2R2, у = br2[Q2 + A =F v2)R2], где v = Ci, A = 2a~1b.
34. j?e = Axy-2(y'xL - Ау-г(ух)*.
Решение в параметрическом виде:
х = ar2[Q2 + A =рг/2)Я2], y = br2R2, где i/= Ci, А = 2а6~\
35. т/^ = Ах2у~3 — Аху~2{ух)~ .
Решение в параметрическом виде:
x = aCirR, y = bdr[Q2 + A Т ^2)Я2]1/2, где i = 4(lT^)a"V.
36. y'L = Ах-2у(у'хL - Ax-3y2(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
х = аС\т[Q2 + A =F v2)R2] , у = bCirR, где А = 4A =F i/2)a46~4.
> В решениях уравнений 37-50 приняты обозначения:
(т) + C2Yu(t) для верхних знаков,
Z =
^ <3лл нижних знаков,
где Jv(t) и Yv(t) —функции Бесселя, 1и(т) и Ки(т) —модифицированные функции Бесселя.
37. ухх = 2Ахпуу'х + пАхп-гу2, п ф 0, п ф -2.
Решение в параметрическом виде:
х = aCi т ~ и, у = bCi+ т~ ьZ~ (rZfT + uZ),
где i/ =
n + 2 2
38. i/жж — i™ + 1)^ж2т/тгг(т/ж) + 2Лжут^1(^) 5 тп ^ —1? тп ф —3.
Решение в параметрическом виде:
х = aC^m~2T~2vZ~x{TZ'T + i/Z), у = bCiT2~2\
где v =
m + 2 m + 3 _i т_2
, А = а Ъ
2
т + 3 2
39. т/1 = гАж-1^ - Ах~2у2.
Решение в параметрическом виде:
x = Cir2, y = brZ~1ZfT, где v = 0, А =-^-б.
40. 7/1 = Ax2y-2(y'xf -2Axy-1(y'xf.
Решение в параметрическом виде:
х = arZ~1Z'T, y = Cir2, где v = 0, А = -ja.
41. 7/L = Ажл(^K/2 + nAxn-xy(yxf11, пфО, пф-1.
Решение в параметрическом виде:
+ , , ni 2a
где i/= ^ A (+l) n x
21 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
у = ЪС2п+1т-2» [z-\tZ't + vZ) ± -^—^
322 Уравнения второго порядка
42. y'L = (т + ^Аху™^M'2 + Аут+\у'^/2, т ф -1, т ф -2.
Решение в параметрическом виде:
х = aClm-\-2» [z-\tZ't + vZ) ± щ^т2], у = ЬСгт4^,
где v =
= dr\ y = b(rZ-1Z'T±\r2), где i/= О, А =-|(-6
m + 2 v y L (m + 2)a.
43. 2/1 — 2Аж~1/2B/ж) — Аж~"
Решение в параметрическом виде:
-и _.
2
Решение в параметрическом виде:
x = a(rZ~1ZfT± \т2), y = Cir4, где i/= О, А = -\{-а)~1/2.
Решение в параметрическом виде:
x = dZ-2, y = bT2Z-2(Z'TJ, где v = О, А = -Ь1'2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат2Z~2(Z'Tf, y = CiZ~2, где i/= О, А =-a1/2.
Решение в параметрическом виде:
x = aZ~1BrZ'T±r2Z), y = CiZ~\ где v = О, А = 4a.
48. 2/1 = ^ж~2 — Ах~3у(у'х)~ .
Решение в параметрическом виде:
x = CiZ~\ y = bZ-1BrZfT±r2Z), где v = 0, А = 46.
49. 2/1 = Аху-2(ухL - 2Ау-1(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
х = aCi[r2(ZfTJ + 2tZZ't ±t2Z% y = bCiZ2, где v = О, А = \ah~x.
50. 2/1 = 2Аж"х - Ах~2у(у'х)~г.
Решение в параметрическом виде:
где v = О, А = ^-а^
> 5 решениях уравнений 51-66 приняты обозначения:
j (г) <3лл верхних знаков,
з(т) для нижних знаков,
ТТ Г7^ i 1 ^ 7" Г 7" Г^ _L ^ /у2, тт \^ 2 2 г/2> ОГГ Г Г
где Ji/s(t) и Yi/зО")—функции Бесселя, Ii/s(t) и Ki/s(t)—модифицированные функции
Бесселя.
51. 2/1 = Ах-2у-2ух + 2Аж-32Г\
Решение в параметрическом виде:
<1t~2/sZ~1Uz1U3, где А = 2а62.
2.6. Уравнения вида у'^х = AlXniymi (y'x)h + А2хп*ут2 (y'x)h 323
Решение в параметрическом виде:
х = clCi t Z U~2 Us, у = ЪС\Т Z U~2 , где А = —2а Ъ.
53. y'L — Ах~ у~ у'х — 4Ах~ у .
Решение в параметрическом виде:
1U2~2Ui, где А = =F4a^1/:
54. y'L ~-
Решение в параметрическом виде:
55. y'L = 2Ax-1/2y-2y'sc + Ax-3/2y-\
Решение в параметрическом виде:
г* пл4 -4/3 7~^ТТ^ it hr1 п-~^/3 7~^ТТ т-ттр» А I- 1 ^~1/2^2
Л — CtLyi/ Zj СУ i « ц — C/Ly 1 / ^/ С/ 2 1 Де тт. — ^С ~тг CL О .
Решение в параметрическом виде:
ж = аС1г-4/3^-2[/2, y = bCtr-4/sZ-2Ul где А = T|aV1/2.
57. 7/L = Аху~1/2у'х + 2А2/1/2.
Решение в параметрическом виде:
ж = aCJiT Z tVi, |/ = bU\T Z U2, где Л = 2a о .
58. 2/жж = 2Аж / (?/ж) + -А ж У {у'х) ¦
Решение в параметрическом виде:
a; = aC714r-8/3Z-4t/22, y = bCiT-2/sZ-1Uu где Л =-2а1/2Ь.
59. j/L = 5АЖ-2/5 - 2АЖ-7/52/B/;)-1.
Решение в параметрическом виде:
60. 2/жж = 2Аху (l/jc) — ^^2/ (з/ж) •
Решение в параметрическом виде:
где А=-^с
где А = ±±а~5/2Ъ4.
где А = ±\а4Ь~ъ'2.
6i. i/;fe =
Решение в параметрическом виде:
62. ухх = Ах~ у~ ' (ух) - 4Ах~ у ' (ух) .
Решение в параметрическом виде:
63. y'L = Ax2 + 2Axy(y'x)-1.
Решение в параметрическом виде:
!с72~2(с7з - 4[/|), где А = ^-а~4Ь.
21*
324 Уравнения второго порядка
64. ухх = 2Аху(у'хL + Ау2(у'хK.
Решение в параметрическом виде:
у-И — 4/3 г/ — 2тт— 2 /Т7-2 лг7-3\ 7/^ 2/2>г7тт—1/2 л 32 7—4
ж = aCiT ' Z U2 (U3 — 4[/2), |/ = bCir ' ZU2 , где А = —^-ab
65. t/^jc = 2Аж~ у~ + Ax~ y~ (y'x)
Решение в параметрическом виде:
66. y'L = Ах-2у-2{у'хL + 2Ax-3y-1{y'xf.
Решение в параметрическом виде:
> В решениях уравнений 67-72 приняты обозначения:
М = С1Ф(Л, у; ±т) + С2Ф(Л, у; ±г),
г<3е Ф w Ф—линейно независимые решения вырожденного гипергеометрического уравнения
тМ"Т + (\± т)М'т -ХМ = 0.
Функция Ф = Ф(Л, -|-; ±т) может быть представлена в виде вырожденного гипергеометриче-
гипергеометрического ряда (см. уравнение 2.1.2.65).
67. ухх = Агху'х + А2у.
Решение в параметрическом виде:
х = ат1/2, у = М, где Ах = ±2а~2, А2 = ±4а~2А.
68. т/^ж = Ахж!
Решение в параметрическом виде:
71 Л" 7 1/2
ж = М, у = от , где
69. 2/жЖ = Ахжт/" 2/ж + А2у~ .
Решение в параметрическом виде:
х = М, у = ±Ът1/2М'т, где А\ = тЬ2Х, А2 = ±Ъ2(Х+\).
1/3 о i 2
70. ухх = Агх~ (ух) + А2х~ у(ух) .
Решение в параметрическом виде:
х = d=ar / Мгт, у = М, где А\ = =F^ (А + у), А2 = d=a Л.
Решение в параметрическом виде:
х = М, |/ = гЬбг^2./^"./^"^, где А\ = ±62Л, А2 = ±у&2.
72. т/^ = Ai«~17/~2(^) + А2х~2у~г(у'х) .
Решение в параметрическом виде:
х = ±ат1/2М~1М!Г, у = М~\ где Ах = Ту«2, ^2 = Та2Х.
73. ^ж = АжТ1(^) 7г+1 + пАхгь~1у(у'х) 7г+1 , n ^ 0, п^-1.
Решение в параметрическом виде:
где fc = _^±i, A =
1
' — 9 /О V /
n nzp V a /
2.6. Уравнения вида у%х = A^y^iy'J1 + А2хп*ут* {y'x)h 325
74. y'ix = А(т + 1)хут(у'х) ™+* + Аут+1(у'х) «Ч-» , тф -1, т ф -2.
Решение в параметрическом виде:
d
т + 2 т + 2 _2, _то Г а(т +
ГДе fe--^TT' ^-" '1 " L
Г а(т + 1)/3 ] 7^+2
L 6 J
75. 2/;'ж = Ая;-"г-12/гггB/;)'-ЛЖ-гг
Решение в параметрическом виде:
„ A-2 f dr\ .„ l~2 . ( 1-2 Г dr\
x = aCi exp / — , у = bCir ™+i-i exp / —
где
J,= m-H-l(^ + Carfc)-lr_T) fc=
^ _
76. j/L = Аг1-3»1-1^I - Ac'-'y'-'d/iI-1, l ф 2.
Решение в параметрическом виде:
где F = B - I) [C + е(г)г] ^ - 1, А = B -
~2
77. т/1 = Аж^ - Ах~2у.
Решение: ,= /^+^1" при А / 1,
у \(Ci+C2\n\x\) при А = 1.
78. 2/L = Аху-2(у'хK - Ау-\у'х)\
Решение в неявном виде: х = { С}У + ЭД^ „ ПРИ
()
> 5 решениях уравнений 79, 80 приняты обозначения:
+ 1п|т| + С2 ирм /3 = 0.
79. »;/l.3iI1i11
Решение в параметрическом виде:
х = aCi[r/3+1 - {C + 1)/] ехр(- ^ r^1/1 dr), у = ЬСх ехр
/-3
80. у"х = Л
Решение в параметрическом виде:
х = ad ехр(- J И/ dr), у = bd[rfi+1 - (/3 + 1)/] ехр(- J И/ dr),
где /J = Lll, А = -а1-1^-'.
326
Уравнения второго порядка
81. y'L = Aiy-\y'S + A2x~1yl
1°. Решение при Ai ф 1, Аъф —1:
2°. Решение при Ai ф 1, А^ = —1:
3°. Решение при А\ = 1, Аъ ф —1:
4°. Решение при А\ = 1, А2 = — 1:
> 5 решениях уравнений 82-84 приняты обозначения:
82. j/L =Axm+1ym(y'xf-Axmym+1y'x, m ф -1.
Решение в параметрическом виде:
83. j/L = Ax-2™-2y™(y'xJ - Ax
Решение в параметрическом виде:
84. y'L =
m-\-l
~5-
2, fc = m.
m ф -1.
k = m.
т ^ -1.
Решение в параметрическом виде:
85. y'L=Axnym{y'xf-Axn-1ym+1y'<B, m ф -1, n ф 0.
Решение в параметрическом виде:
где F = F(r) —решение трансцендентного уравнения
86. y'L = A^y-^iy'S + A2xn-1y'x,
Решение:
у = Сi e>
ff
87. 7/L = A1yrn(yfx
Решение:
где F= f A - AlXn
^ -1.
dx.
2.6. Уравнения вида ухх =
А,х^у^{у'хI^ +А2хп2 утНУхУ2
327
ТАБЛИЦА 26
Разрешимые уравнения вида ухх = А,хП1уШ1 (yx)h + А2хп^уш^ (yx)h, 1, ф 12
h
любое
любое
любое
любое
1
1
1
2
2
2
2
2
2
5
2
3
3
3
3
3
к
любое
любое
любое
3-1,
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
2
0
1
2
2
2
т,
любое
0
1-1,
1-1,
1
2
1
2
1
2
-1
любое
любое
(т, ф -1)
любое
(т, ф -1)
-1
-1
любое
любое*
(т, ф -2)
любое
0
0
1
т2
т,
0
1-12
1,-2
1
2
1
2
0
1
любое
0
0
0
0
т, +2
m-L + 3
любое
0
0
0
п,
0
любое
1,-2
1,-2
0
0
0
любое
0
0
0
любое
0
т, +2
тх +3
1
1
2
0
1
2
п2
0
12 -2
1-1,
0
1
0
любое
-1
любое
(п2 ф -1)
-1
любое
любое
{п2 ф -1)
т,
-1
1
2
1
2
1
2
Уравнение
2.6.4.3
2.6.4.4
2.6.4.9
2.6.4.8
2.6.4.1
2.6.4.14
2.6.4.16
2.6.4.18
2.6.4.13
2.6.4.5
2.6.4.7
2.6.4.12
2.6.4.6
2.6.4.11
2.6.4.10
2.6.4.19
2.6.4.2
2.6.4.17
2.6.4.15
При т1 = —2 см. уравнение 2.6.4.8 для I = 3.
2.6.4. Другие уравнения (/1 ф /•_»)
В табл. 26 дан перечень всех уравнений, которые рассмотрены в разд. 2.6.4. Уравнения
расположены по возрастанию параметра h (для изолированных точек h > /2)- В последней
колонке указан номер искомого уравнения, где выписано соответствующее решение.
1. y'L = Агу-^у'* + А^у-1'2.
Решение в параметрическом виде:
2.
Решение в параметрическом виде:
. ехр(—А2т) + -
С2,
= Ci ехр(-Л2г) -
С2.
328 Уравнения второго порядка
3. y'L = А1ут(у'а!I1 + Азут(у'яIа.
1°. Решение в параметрическом виде при т ф — 1:
С 1 7_1 m
х = С2+ (Ait1 + А2т 2) /" "i+i с/г, 2/ = /
где / = d + (m + 1) jT(AlTh + Азт*2) dr.
2°. Решение в параметрическом виде при m = — 1:
х = С2+ ({Mr1 +A2Thy1efdr, у = е/,
где f = CJ(Ah+Ahy1d
4. i/L/e, (t/L)(t/L)
1°. Решение в параметрическом виде при п ф — 1:
Ж = /^ТГ, у = С2 + Jr(A1rh +А
где / = Ci + (n +
2°. Решение в параметрическом виде при п = — 1:
ж = е/, 2/ = С2+ f r(AlTl1
где / = Ci /(^i^1 + ^r^2) dr.
5. 7/L = Al2/^(^J + A2xny'a, пф-1, тиф -1.
Решение:
6. 7/^ = A1y~1(yfxJ + Агж71^, n ф —1.
1°. Решение при Ai / 1:
2°. Решение при А\ = 1:
2/ = C2 exp [Ci Г ехр (^^-жп+1) с/ж].
7. y'L = A1yrn(yfxf + Азж^, m ^ -1.
1°. Решение при А2 ф — 1:
2°. Решение при А2 = —1:
8. yL = Дха,1-3»1-1^)' + Азх
Решение в параметрическом виде:
2.6. Уравнения вида у%х = A1xn^yrn^{y'x)h + А2хп*ут* (y'x)h
329
9.
Решение в параметрическом виде:
10. y':x=Axm+3ym(y'xf-Axmym+\ тф-1.
Решение в параметрическом виде:
"'"
п.
*¦]
Решение в параметрическом виде:
^1/2 / 1 f Vdr \ „-i i/2 / 1 С Vdr \
х = С\т ' ехр -— / —. , у = Сл т ' ехр — / —. .
Здесь функция У = У (г) задана параметрически г = т(и), V = V(iA) с помощью формул,
приведенных ниже.
1°. При m ф -1, m ф -3/2:
гу Г С2 Jv(u) + Yu(u) для верхнего знака, т , ч Л, / ч , _
где Z = < г, т > < . Тг \ \ ^ Ju(u) и Yu(u) — функции Бесселя,
yC2lu{u) + Ки(и) для нижнего знака, v у \ ; -tj
Iv (и) и Kv (и) — модифицированные функции Бесселя,
1 _ / 2т +:
~3~' а ~ V А6~
2т +
2°. Прит = -1:
3°. Прит = -3/2:
V = <
где Z = C2Mu)+Y0(u).
. -k)u~k
2А C2uk+u~k
1 С2 In и + С2 + 1
2 А С2 In w + 1
1 (С2 — k) sin(/c In it) + A + /сС2) cos(/c In w)
. 2A C2 sin(/c lnw) + cos(/c lnw)
при A2 < -|-,
при А2 = 4-,
8
.2 !
8'
где fc =
12.
1°. Решение при ri2 ф — 1:
, где F =
2°. Решение при П2 = — 1, A2 / — 1, ^4
1
~ni ~ 1-
A2 + 1 nx + A2 + 1
3°. Решение при п2 = —1, A2 = —1:
г Г -i / A \ — 1 "I
у = C\ exp\ I x~ (C2 + Inx —xni ) dx\.
IJ V nx / J
4°. Решение при П2 = — 1, A2 = — гц — 1:
с/ж
]¦
330 Уравнения второго порядка
13. y'L = Aiymi (y'nf + Аа*-1!,"*3»;.
1°. Решение при mi ф — 1:
2°. Решение при тщ = — 1, Ai / 1, Ai / ^^2 + 1:
3°. Решение при mi = —1, Ai = 1:
x = Ci exp[/ y-1 (C2 +lny + -h-y^y1 dy\.
4°. Решение при mi = — 1, A\ = m2 + 1:
ж = Ci exp [y i/ (C2 - -^-У~Ш2 + ^2 In y^j ~X dy\.
> В решениях уравнений 14, 15 приняты обозначения:
( Cirfcl + С2тк* + С3тк* при B2(SBf + 27В2) < О,
R = I CirekT + С2еат при SBf + 27В2 = О,
[ CiekT + C2epr coscjt лрм Б2(8Б? + 27Б2) > О,
( CikiTki + С2к2тк2 + C3ferfc3 лрм Б2(8Б? + 27В2) < О,
Q = I Ci(l + A;r)efcr + CWe^ лрм 8Б? + 27В2 = О,
{ CikekT + С2ерт(рcosojt-иsinит) при B2(8Bf + 27В2) > О,
г<3е A?i, fe, fe (вещественные) или к, p±ioj (один вещественный и два комплексных) — корни
кубического уравнения
\г-В1\2-±-В2 = 0.
В частном случае SBf = —27В2 имеем k = -jBi (двукратный корень) и а = — \Bi (простой
корень).
Замечание. В выражениях для R и Q постоянную Сз можно положить равной любому
отличному от нуля числу (например, Сз = =Ы/
14. j/L = Aiy-1/2y'x +
Решение в параметрическом виде:
х = R, y = Q2, где Bi=Ai, В2 = А2.
15. y'L = Агх-^уШ3 + Аъх-^Ш*.
Решение в параметрическом виде:
x = Q2, y = R, где Bi = -A2, B2 = -Ах.
> В решениях уравнений 16, 17 приняты обозначения:
!TBi/2(Cirk + С2т~к) + Сз при В\ + 2В2 > О,
Cirexp(\Bir) + С2 при В\ + 2В2 = О,
С\ ехр(\Bit) cos(cjt) + С2 при В\ + 2В2 < О,
{rBl/2[(Ci(Bi + 2k)rk + C2(Bi - 2k)r~k] при В\ + 2В2 > О,
Ci{BiT + 2)e*v{\BiT) при В\ + 2В2 = О,
i ехр(-|-Б1г)[Б1 cos(W) - 2cj sin(cjr)] лрм В\ + 2Б2 < О,
где к = \^/В1+2В2> и = \^-(B2 + 2B2).
16. y'L = Aiy-1/2y'x + А2.
Решение в параметрическом виде:
x = R, y=\Q2, где Bi=Ai, B2 = А2.
2.7. Уравнения вида у%х = f(x)g(y)h(y'x)
331
17. y'L = Аг^K + А2х-1/2(у'хJ.
Решение в параметрическом виде:
x = \Q2, y = R, где В! = -А2, В2 = -Ах.
18. y'L = Aix^y-\y'xf
Решение: у = С\ ехр — / — , где w = w(x) — общее решение линейного
L J (А-^х71! — l)w J
уравнения второго порядка: {А\хП1 — 1)гп"х — А\п\хП1~хw'x -\-А\хП2 {А\хП1 — lJw = 0.
19. y'L =
Решение: х = С\ ехр / ^ — , где w = w(y) — общее решение линейного
IJ (А2ут2 + l)w J
уравнения второго порядка: (A2yrn'2 + l)wyy-A2rri2yrn'2~1w'y-Aiyrni (A2ym2+lJw = 0.
2.7. Уравнения вида у%х = f(x)g(y)h(y'x)
При /(ж) = const xn, g(y) = const уш, h(w) = const см. разд. 2.3.
При f(x) = const xn, g(y) = const ym, h{w) = const wl см. разд. 2.5.
2.7.1. Уравнения вида у^х = f(x)g(y)
^^ тф-Z, тф-1.
См. уравнение 2.4.2.4.
2. ^^-^JJLy )
См. уравнение 2.4.2.35.
3. 1&. =Ж-2F2/ + .4Х/-4).
См. уравнение 2.4.2.31.
4. у^ =х-2A2у + Ау-5/2).
См. уравнение 2.4.2.64.
5. 1& =Ж-2B2/ + .4г,-2).
См. уравнение 2.4.2.6.
6. y'L=x-2{—^y + Ay-^
См. уравнение 2.4.2.26.
См. уравнение 2.4.2.10.
8. V'L = х-\±у + Ау~*'*).
См. уравнение 2.4.2.12.
9. 2/L=^-2(^-?/ + ^-5/3).
См. уравнение 2.4.2.66.
10. у':„=х-2(—1ёУ 7'
См. уравнение 2.4.2.29.
11. У>:„=х-*{-\у
См. уравнение 2.4.2.14.
332 Уравнения второго порядка
12. у':х=х-*{-^у + Ау-^).
См. уравнение 2.4.2.8.
13. y'L = х~2B0у + Ау~1/2).
См. уравнение 2.4.2.33.
и. у':х = х-*{-^у + Ау^).
См. уравнение 2.4.2.37.
15. y'L = х~2(АУ2 - -^у).
См. уравнение 2.4.2.60.
16. y'L = х~2(Ау2 + -^у).
См. уравнение 2.4.2.62.
17. y'L=x-*'a{A + By-^2).
См. уравнение 2.4.2.40.
18. t/L = (Аж4 + Вх3)у-7.
См. уравнение 2.4.2.39.
19. j/L = (Лж2 + В)у~5.
См. уравнение 2.4.2.16.
20. j/L = (Лж + Вх~2)у-2.
См. уравнение 2.4.2.28.
21. J&. = (Аж-7/3 + Вж
См. уравнение 2.4.2.48.
22. t/L = (Ах-4'* + Вх)у
См. уравнение 2.4.2.49.
23. ^'^(Аж-^+Вж-7/3^-5/3.
См. уравнение 2.4.2.24.
24. yl = (^-2/3+ifcrr4/3hr5/3.
См. уравнение 2.4.2.90.
25. y'L = {A + Вх-2/3)у-5/3.
См. уравнение 2.4.2.89.
26. j/L = (Ах2 + В)^5/3.
См. уравнение 2.4.2.47.
27. y'L = (Ах2 + Вх)у-5/3.
См. уравнение 2.4.2.46.
28. j/L = Л(аж-2/3 + Ьх-Ь/ЗJу-Ъ/3.
Частный случай уравнения 2.7.1.37 при с = 1, d = 0.
29. »;'„ = (Аж-8/5 + вж-13/5)^-7/5.
См. уравнение 2.4.2.25.
30. t/L = (Ах'6/2 + Вх-7'2)у-^2.
См. уравнение 2.4.2.23.
2.7. Уравнения вида у"х = f(x)g(у)h(yfx) 333
31. y'L = А(ах6 + Ьх4Г1/2у-^2.
Частный случай уравнения 2.7.1.38 при с = 1, d = 0.
32. y'L = А(ах15/8 + Ьх7/8Г4/3у-1/2.
Частный случай уравнения 2.7.1.39 при с = 1, d = 0.
33. y'L = A{ax"a + Ъх^Г^у\
Частный случай уравнения 2.7.1.40 при с = 1, d = 0.
34. y'L = (ах2 +Ъх + с)у~5/3.
Преобразование х = x(t), у = (я4) приводит к уравнению третьего порядка:
2xtxttt — (хи) = -д-(аж
Дифференцируя его по t и сокращая на x't, получим линейное уравнение с постоянными
коэффициентами четвертого порядка: Зж"ш = 4аж + 26.
35. y'L = (аЖ
Преобразование х = 1/t, у = w/t приводит к уравнению вида 2.7.1.34: w"t =
= (at2 +Ы + с)ио-ъ/\
36. y'L = (ax2 + Ьж + сO1./-271-3.
Частный случай уравнения 2.9.1.14 при /(?) = ^~2гг.
37. y'L = А(ах + Ъ)\сх + d)-lo/3y-s/3.
AПГ I /) 7/
Преобразование ^ = , w = приводит к уравнению Эмдена — Фаулера вида
СХ ~т~ d CX ~т~ ^
2.3.1.9: «4'5 = АД-2С2ад-5/3, где Д = ad-bc.
38. j/L = А(ах + Ь)-1/2(сх + d)-2y-1/2.
тт г i. ах + Ъ у ^
Преобразование g = , u> = приводит к уравнению Эмдена — Фаулера вида
сх + d ex + d
2.3.1.25: ^ = АД-2Г1/2^/2, где А = ad - be.
39. y'L = А(ах + b)~4/3(cx + d)/V1/2.
^-r^ ^ ax -\-b у _ _
Преобразование g = , г^ = —-— приводит к уравнению Эмдена — Фаулера вида
сх + d ex + d
2.3.1.17: w'lz = AA~2C4/3w~1/2, где А = ad - be.
40. y'L = A(ax + b)-15/7(cx + d)0/ 7y2.
A IT I /) 7/
Преобразование ? = , w = приводит к уравнению Эмдена — Фаулера вида
СХ ~т~ ^ СЖ ~т~ d
2.3.1.20: ^ = АА~2С15/7™2, где А = ad - 6с.
2
Ъх) ехр(ку).
Замена kw = ку + ах2 + 6ж приводит к уравнению вида 2.9.1.1: wxx = Aekw + 2a&
2.7.2. Уравнения, содержащие степенные функции (// ^ const)
См. уравнение 2.6.2.116.
См. уравнение 2.6.2.117.
334 Уравнения второго порядка
См. уравнение 2.6.2.118.
4. y'L = (-12* + Ах-5/2)у-2(У'хK.
См. уравнение 2.6.2.119.
5. y'L = (-2* + Ах-2)у-2{У'„K.
См. уравнение 2.6.2.120.
См. уравнение 2.6.2.121.
См. уравнение 2.6.2.122.
"• Ухх — V 4~^ ~1~ -г*-ЗС )у \Ух) •
См. уравнение 2.6.2.123.
См. уравнение 2.6.2.124.
См. уравнение 2.6.2.125.
См. уравнение 2.6.2.126.
См. уравнение 2.6.2.127.
13. у"х = ( —20ж + Ах~1/2)у~2(у'х) .
См. уравнение 2.6.2.128.
См. уравнение 2.6.2.129.
См. уравнение 2.6.2.130.
16. y'L = (Ах2 - -^х)у-2{У'„K.
См. уравнение 2.6.2.131.
См. уравнение 2.6.2.15.
См. уравнение 2.6.2.111.
19. |/"ж = х~5 (Ау2 + -Е?)B/ж) •
См. уравнение 2.6.2.96.
20. t/L = х-2(Ау-г + Ву-2)(у'хK.
См. уравнение 2.6.2.110.
21- 2/жж = ж (Ат/ + ±*?
См. уравнение 2.6.2.34.
2.7. Уравнения вида у"х = f(x)g(y)h(y'x) 335
22. y'L = x-*
См. уравнение 2.6.2.36.
23. y'L = х-^(Ау-^3 + Ву-7'3)^K.
См. уравнение 2.6.2.14.
24. y'L = х-^(Ау-^3 + By-^HyLf.
См. уравнение 2.6.2.115.
25. y'L=x-^3(A + By-^){y'xK.
См. уравнение 2.6.2.114.
26. у':х=х-5/3(Ау2+В)(у'хK.
См. уравнение 2.6.2.35.
27. т/1 = *-5/3(,V + Ву){у'х)\
См. уравнение 2.6.2.33.
28. y'L = Ах-*'3{ау-^ + Ьу~^J (y'xf.
Частный случай уравнения 2.7.2.37 при с = 1, с/ = 0.
29. t,! = Ж-7/8(АзГ8/5 3
См. уравнение 2.6.2.109.
30. y'L = x-^iAy-5'2 +
См. уравнение 2.6.2.13.
31. y'L = Ах-^
Частный случай уравнения 2.7.2.38 при с = 1, с/ = 0.
32. ^ = А*-1/2^18/8 + ЬУ7/8Г4/VK.
Частный случай уравнения 2.7.2.39 при с = 1, d = 0.
33. y'L = Aq
Частный случай уравнения 2.7.2.40 при с = 1, d = 0.
34. Ухх ~~ зс \^У Н~ by H~ СчКУх) •
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.7.1.34 для функции
х = х(у): х'уу = -(ay2 + by + с)ж~5/3.
35. у" = х~
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.7.1.35 для функции
х = х(у): x'lv = -(ay0/3 + by/3 + су-А'3)Х-^.
36. y'L = х~2п-3(ау2 +by + c)"(^K.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.9.1.14 для функции
х = х(у):
х'уу = ~(ау2 + Ъу + с)пх-2п~3 [случай /(?) = -Г2п].
37. y'L = Ах-6/3(ау + bf{cy + d)0^K.
Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение вида 2.7.1.37 для функции
х = х(у): хЧУ = -А{ау + b)\cy //
336 Уравнения второго порядка
38. y'L = Ах-1/2(ау + b)-1/2(cy + d)-a(WJ,)a.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.7.1.38 для функции
х = х(у): 4, = -А(ау + b)/2(«/ + d)"^/2.
39. y'L = Ах-1/2(ау + b)-A/\cy + d)-7/e(y'xf.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.7.1.39 для функции
х = х(у): х';у = -А(ау + Ь)-4/3(«/ + d)-7/ex~1/2.
40. y'L = Ах2(ау + b)-15/r{cy + d)-20/r{y'xf.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.7.1.40 для функции
х = х(у): x'jv = -А(ау + Ь)5/7'(су + d)0/V.
41. y':x=Ax-^2y-2[(y'xf+B2]1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = а(и2 - iy\ru±R)\ у = bT-\u2 - 1)/2,
где Я = л/г2-2г-1 + Сь и = =Fth(c2 + f R'1 dr^, A = -\a~1/2b2, В = \а~1Ъ.
42. y':x = Ax-^y-2[(y'xf-B*]1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = а(и2 + 1)~\ти± ЯJ, у = Ът'^и2 + 1)/2,
где R = VCi -т2 -2т-\ и = ±tg(c2 + f R'1 dr^, А = -\а~1/2Ъ2, В = \а~1Ъ.
43. y':x = Ax-^y-*[B*-(y>xf]1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = аA - u2)~\ru T R)\ У = Ьт'1^ - и2)~1/2,
где Я = л/г2-2г-1 + Сь и = ±th(c2 + f R'1 dr^j, А = -\а~1/2Ъ2, В = ^а'Ч.
44. y'L = ^"V1/2(^J[(^J + B2]1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат~\и2 - 1)/2, у = Ъ(и2 - 1)~\tu±RJ,
где Я = л/г2-2г-1 + Сь и = =Fth(c2 + /R'1 dr^, А = -\аЧ~2>/2, B = 2a~1b.
45. y'L = Ax-*y-^(y'xf[(y'xf - B2]1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат-\\ - u2ylf\ y = b(l- и2у\ти т R)\
где Я = л/г2-2г-1 + Сь и = ±th(c2 + /R'1 dr), А = -±а3Ь~3/2, B = 2a~1b.
46. y'L = Ax-2y-^(y'xf[B2 - (y'xf]1/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ат-\1 + u2ylf\ у = Ъ{1 + и2у\ти ± ЯJ,
где Я=л/-г2-2г-1 + Сь и = ±tg(c2+ jR'1 dr}, A = -\asb~s/2, B = 2a~1b.
2.7. Уравнения вида у"х = f(x)g(у)h(yfx) 337
2.7.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции (// ^ const)
Предварительные замечания.
1°. При I ф\ — т уравнение
ухх = Ае у (ух) A)
имеет частное решение
у = ВеХх, где Л = -, В = (АХ1~2)Х.
1 — 771 — 4
2°. При т ф 0 и / ф 1 уравнение A) с помощью преобразования
* = О/жI" , w = ех
приводится к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера относительно функции w = w(t):
1 2m + l
w"t = Bt ^-i w'1 {w't) rn 5 B)
1
где 5 = —m[A(l — /)] m . Уравнения вида B) рассматриваются в разд. 2.5.
Если получено общее решение w = w(t) уравнения Эмдена — Фаулера B), то решение
исходного уравнения A) может быть записано в параметрическом виде с помощью формул
1 1
х = lnu>, |/ = k(w't) m , где А; = [АA — /)] m .
3°. При I ф п -\-2 уравнение
2/жж = Аж еу(^/ж) C)
имеет частное решение
у = \\п(Вх), где А = /-п-2, Б = (-^^) Л .
4°. Принимая |/ за независимую переменную, из уравнения C) получим уравнение вида A) для
функции х = х(у):
x'iv = -Ае*хп(х'уK-'.
5°. При п ф — 1 и / ф 1 уравнение C) с помощью преобразования
, / / \1 —J п + 1
t = (ух) , и = х ^
приводится к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера для функции и = u(t):
«« = ^г t^TU-^T{u'tf. D)
П + 1
Уравнения этого вида рассматриваются в разд. 2.5.
Если получено общее решение и = u(t) уравнения Эмдена — Фаулера D), то решение
исходного уравнения C) может быть записано в параметрическом виде с помощью формул
х = ^^+Г, у = -\п(щ) +1п—у —.
А[1 I)
y'L = Aex{y'J.
1°. Решение в параметрическом виде при I ф 1:
х = infi-^J—^-'r], у = а 11A ±т)^Т dr + С2.
2°. Решение в параметрическом виде при / = 1:
х = Ь(±^-), У = С! J 1 exp(±r) dr + С2.
22 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
338 Уравнения второго порядка
2. y'L = Ae"ym(ytf.
1°. Решение в параметрическом виде при т ф — 1:
где функция / = /(г) задана неявно с помощью выражения
т га +
2°. Решение при m = — 1:
3. ?/"ж = Аежт/.
1°. Решение при А > 0:
где Io(z) и Хо(^) —модифицированные функции Бесселя.
2°. Решение при А < 0:
где Jo(z) и УЬ(^) — функции Бесселя.
4. tf^Ae",,-1'3^)8^.
Решение в параметрическом виде:
х = т2 -ln(A/), 2/ = Ci[2r/-exp(V2)]2, где / = /exp(r2) dr + С2.
г- // 4 Ж / / \3/2
5. ухх = Ае у(ух) .
Решение в параметрическом виде:
[()] {^J^), где / =
6. y'L = Aev(y'J.
1°. Решение в параметрическом виде при / ф 2:
2°. Решение в параметрическом виде при 1 = 2:
х = d J 1 ехр(тг) dr + С2, 2/ =
7. 7/L = Ахпеуух.
1°. Решение в параметрическом виде при п ф — 1:
¦='Ч-^(/т+й)]- »=/т+а-
где функция / = /(г) задается неявно с помощью выражения
^rn+1 - In г +
1
r n + 1/ (n + l)/-r
2°. Решение при п = — 1:
2.7. Уравнения вида у"х = f(x)g(у)h(yfx) 339
8. y'L = Ах~1/2еу(у'х)
Решение в параметрическом виде:
ж = С1[2г/-ехр(г2)]2, у = т2 -1п(-ДГ), где / = J exp(r2) dr + С2.
9. 7/L = Ажеу(^K/2.
Решение в параметрическом виде:
, где / =
1°. Решение в параметрическом виде при А > 0:
ж = d Jo Bт) + С21оBт), 2/ = In (г/л/1),
где Jo (г) и Уо(^) — функции Бесселя.
2°. Решение в параметрическом виде при А < 0:
ж = Ci/0Br) + С2К0Bт), у = 1п(т
где /о (г) и Ko(z) —модифицированные функции Бесселя.
11. v'^=Aemev(v'J.
Решение в параметрическом виде:
где / =
—у г2 Чу-уг1 4Ci при //1,2;
г + In |r| + Ci при / = 1;
1
In г — — + С\ при / = 2.
т
12. y'L = Аекр(кх) екр(ау2 + by)(y'xf.
Принимая у за независимую переменную, получим уравнение вида 2.7.1.41 для функции
х = х(у)\ х'уу = -Аехр(ау2 + by) exp(kx).
13. y'L = Аеху-^2(У'ХK/2^У'Х-2В.
Решение в параметрическом виде:
х = Цат^Ь^)], у = Bch2 u(rthu±RJ,
где а = -А^В'112, R = \/21пт + г2 + Си и = С2 Т f R'1 dr.
f R'1
14. y'L = Ае-у-^{у'хK/^2В-у'х.
Решение в параметрическом виде:
х = In[ат(cosгб)], ?/ = Б cos2 u(rtgu± ЯJ,
где а = -А-1Б-1/2, R = л/2 In г - г2 + Сь и = С2± f R^dr.
15. т/1 = АЖ-1/2е^л/^-В.
Решение в параметрическом виде:
ж = cos2
2S
где
22*
= А~1л/2, Я = л/2 In т -т2 + Ci, u = C2± f R X dr.
340 Уравнения второго порядка
16. y'L = Ax-1/2eyyWB-yL
Решение в параметрическом виде:
х = ch2 u(rthu ± RJ, у = \n[br(chu)~1],
*2В
где о = Л
Сь и = С2 Т f R'1 <
2.7.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции (// ^ const)
Решение в параметрическом виде:
х = achu (r thu ± Я), у = и/ои,
где А = а~2, Я = л/21пт + г2 + СЬ u = C2T f R'1 dr.
2. ^'ж
Решение в параметрическом виде:
х = ash 16 (г cthu ± Я), у = и/ои,
где А = а~2, Я = л/21пт + г2 + Ci, u = C2T f R'1 dr.
Решение в параметрическом виде:
ж = а(и2 + 1)~1/2(та±Я), 2/ = и~1\п(и+ л/^2 + 1),
где A = 2aV^, Д = VCi -г2 -2т-1, и = ± tg(c2 + Г R'1 dr\
4. 7/L = Axsh(uy)(y'xf/2.
Решение в параметрическом виде:
х = а(и2 — 1) (tu±R), у = dza;1п(гб + у гб2 — 1),
где А = ±2a~2A/acj, Я = л/Ci + г2 -2т-1, и = Tth(c2 + f R'1 dr).
5. ?/"ж = Ach(waj)i/(^K/2.
Решение в параметрическом виде:
х = и'1 \п(и + лД2 + 1), 2/ = 6(^2 + 1)/2(™ ± Я),
где A = -26-2A/kJ, R = VCi -r2 -2т-\ и = ±tg(c2 + f R'1 dr^.
6. y'L = Ash(u>x)y(y'aK/2.
Решение в параметрическом виде:
х = ±uj~1 \n(u + л/и2 - 1), 2/ = Ъ(и2 - 1)~1/2(ти ± R),
где А = т2Ь-2л/ьп, R = y/Ci + т2 - 2т~\ и = т th(с2 + /" R~x drV
7. 7/L = ^[ch^)]
Решение в параметрическом виде:
х = и/ои, у = bchu (r thu ± Я),
где А = -6~2, Я = л/21пт + т2 + Сь и = С2 т [R'1 dr.
8. 7/L = ^[sh^)]-2./^J.
Решение в параметрическом виде:
x = u/lj, у = Ъ sh гб (г cth и ± Я),
где А = -6~2, Я = л/2 In г + т2 + d, и = С2 =F Г R'1 dr.
2.7. Уравнения вида у"х = f(x)g(у)h(yfx) 341
2.7.5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции (// ^ const)
> В решениях следующих уравнений 1-4 приняты обозначения:
R = V21iit-t2 + Ci, u = C2± f R'1 dr.
1. у"х = Ax[cos(uy)]~2yfx.
Решение в параметрическом виде:
х = acosu(rtgu ± Я), у = и/и, где А = а~2.
Решение в параметрическом виде:
х = a sin 16 (г ctg и =F Я), у = и/ои, где А = а~2.
3. ^
Решение в параметрическом виде:
х = ои~1и, у = bcosu(rtgu± R), где А =—Ь2.
4. ^ = A[sin(u>#)]~22/(^J.
Решение в параметрическом виде:
х = ои~1и, у = 6 sin и (г ctg 16 =F R), где А =—b2.
> 5 решениях следующих уравнений 5-8 приняты обозначения:
R= д/т2 -2т-1 + Ci, ii = ±thfe+ IR'1 dr\
5. 7/L ff/2
Решение в параметрическом виде:
ж = a(l — i62) (ru^fR), у = a; arccosii, где А = 2a~2(—aa;I^2.
6. y"x = Axsin(u>y) (y'xK/2-
Решение в параметрическом виде:
х = a(l — i62)~ (ri6=F Я), 2/ = ^-1 arccosii, где А = 2а~2(аоиI/2.
7. ^ = A cos(u>a?) y(y'xK/2-
Решение в параметрическом виде:
х = cjarccosii, 2/ = ЬA -^2)/2(rii=F^), где А = -26(-6cjI/2.
8. t/L/e, = Asin(o;«)i/(i/LK/2.
Решение в параметрическом виде:
х = cjarccosii, 2/ = ЬA -u2)~1/2(tutR), где А = -2Ъ~2{ЪиI/2.
2.7.6. Некоторые преобразования
Для наглядности уравнение
Ухх = fi(x)gi(y)hi(y'x) A)
будем обозначать символом {/, д, /г}.
1°. Принимая |/ за независимую переменную, получим уравнение аналогичного вида для
х = х(у):
ХуУ = gi(y)fi(x)hl(xfy), где hl(w) = -wshi(l/w).
Обозначим это преобразование буквой Т.
342 Уравнения второго порядка
2°. Преобразование Беклунда
х = / ™ , у= fi(x)dx, где гу = ^, B)
приводит к уравнению аналогичного вида для ^ = г/(ж):
где функции /2, р2, /&2 определяются через исходные функции fi, gi, hi в параметрическом
виде по формулам
- /_ч _ f dw
/2 (ж) = гу, ж= / ;
г/= fi(x)dx\
(ж) ' У J
1
tl2{W) = — 3~~^ W =
Преобразование B) обозначим буквой Q.
Для уравнений вида A), где /i, pi, hi являются степенными функциями своих аргументов,
преобразование Q (с точностью до постоянных множителей) рассматривается в разд. 2.5.3. Для
уравнений A) с экспоненциальными функциями /i и pi, преобразование Q рассматривается в
разд. 2.7.3.
Пусть получено решение у = у(х) преобразованного уравнения. Тогда формулы
У= fi(x)dx, у'п = ——-,
J 9i(y)
дает возможность найти решение исходного уравнения A) в параметрическом виде х = х(х),
у = у(х).
3°. Двукратное применение преобразования Q к исходному уравнению приводит к уравнению
аналогичного вида:
где функции /3, дз, hs определяются через исходные функции fi, gi, hi в параметрическом
виде по формулам
9ъ{У) = ТТ> У— j
1 - [ w dw
w J h1(w)
Трехкратное применение преобразования Q приводит к исходному уравнению.
Различные комбинации преобразований Т и Q порождают шесть различных уравнений
рассматриваемого вида, которые показаны на рис. 4.
1 и
4°. В частном случае д(у) = ут, h = 1 преобразование х = —, у = — приводит к уравнению
аналогичного вида:
и';Т = т-т~3)
Обозначим это преобразование буквой %.
При д(у) = уш и h = 1 различные комбинации преобразований J7, Q, 7{ порождают
двенадцать различных уравнений вида A).
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие
произвольные параметры
2.8.1. Уравнения, содержащие степенные функции
1. Утт = (О^У + ЬХ + С)П.
Частный случай уравнения 2.9.1.2 при /(?) = ^п.
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 343
{/1, 91, M* ~ ^{Л. 92, h2)
2. y'L = (ay + bx2)n + с
Замена aw = ay + 6ж2 приводит к уравнению вида 2.9.1.1: и4'ж = anwn + с + —.
а
/¦» // л — 2тг — 3/ . \тг
3. Ухх — лж (Ж2/ + а) •
Частный случай уравнения 2.9.1.8 при /(?) = Л^п, 6 = с = 0.
4. 2/жж — («ж2 + Ъх + с)у~5.
Частный случай уравнения 2.9.1.14 при /(?) = ?~2.
Решение определяется из уравнения первого порядка ах(у'х + 2by1^2) = w(x,y,C), где
функция и> задана неявно: и> — In |ги + а1/2] = а~1^2(у1^2 + 6жJ + С.
Ухх — Л(ах -\- о) (еж + а) у .
тт ^ .аж + 6 ?/
Преобразование g = , w = приводит к уравнению Эмдена — Фаулера
СУХ ~т~ ^ СУХ ~т~ ^
(см. разд. 2.3): гу^ = AA~2^n^m, где А = ad — be.
7. ?/"ж = с
Частный случай уравнения 2.9.1.6 при /(?) = c^~nk~m~s(a^n + бO0.
8// m —2nk — 2m — 3/ 2n ¦ . п\к
Ухх = сх у (ау -\- ох ) .
Частный случай уравнения 2.9.1.7 при /(?) = с^~2пк~2тп~3 (а^2п + Ь) .
9. 2/жЖ = (аУ2 + ^Ж2/ + еж2 + oty + /Зж + 7) ? а ^ 0.
Замена 2агб = 2ау -\-Ъх -\- а приводит к уравнению вида 2.9.1.14:
и- \
VAx'2 + Bx + C )
2а[3 — Ьа „ _ 4а7 — а2
где /@=Г(ое2 + 1) ' , vl = ™А " , В =
4а 2а 4а
10. j/L = \у~1/3 + (ах2 + Ьх + с)у-б/3.
Преобразование х = x(t), у = (x't) приводит к уравнению третьего порядка:
2x'tx'm ~ (x'uf = iHx'tf + i(ax2 + bx + с).
Дифференцируя это уравнение по t и сокращая на x't, получим линейное уравнение с
постоянными коэффициентами четвертого порядка: Зж"ш = 2Лж^ + 4аж + 2Ь.
344 Уравнения второго порядка
11. y'L = A*"8'V1/3 + (а*-10'3 + Ьх~7'3 + сх-4'3)у-5'3.
Преобразование ж = 1/t, у = w/t приводит к уравнению вида 2.8.1.10:
w'u = Xw~1/S + (at2 + Ы + c)w~5/s.
12. y'L + 3yyL + У3 + axny = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при /(ж) = ахп.
13. y'L + Bау + bxn)y'a + bnxn~xy = О.
Частный случай уравнения 2.9.2.15 при /(ж) = Ьхп.
14. 2/жЖ = ахп(ху'х — уJ + Ьж™.
Частный случай уравнения 2.9.3.4 при /(ж) = 6жт, д(ж) = 0, h(x) = ажп.
15. yZ.=axn(xy'a-y)m.
Частный случай уравнения 2.9.4.30 при f(x) = ахп, р(?) = ?т.
16. »;',.=ox-n-V(aJ»--w)m-
Частный случай уравнения 2.9.4.31 при /(?) = а^т.
17. j/L = ax-1ynyUxyL - у)т.
Частный случай уравнения 2.9.4.33 при /(г/) = ауп, д(?) = ^т.
2п-\-т
18. j/L = ох"'-1»1"*-1 (ху'т - у) —^~.
Частный случай уравнения 2.9.4.32 при /(?) = а^к.
19. y'L=kxa(y'nf(xy'n-yy.
Преобразование Лежандра х = wft, у = ?г«4 — гу, где w = w(t), приводит к обобщенному
уравнению Эмдена — Фаулера: w"t = —1~ w~1'(wft) a. Разрешимые уравнения этого
типа описаны в разд. 2.3 и 2.5.
2п-\-т — пк
20. y'L = ахп-1ут-1(у'<а) "+™ (ж»; - i/)fc.
Частный случай уравнения 2.9.4.36 при
21. 2/жЖ = ахп(ху'х — у) + bxrn(xyrx — у)к.
Частный случай уравнения 2.9.4.39 при /(ж) = ахп, д{х) = 6жт.
22. xy'L = пу'х + аЖ2"+1 + Ьх2п+1ут.
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при /'(у) = а + Ьут.
23. xi/i',. = -(n + 1)!/; + ож-1 + 6Ж'гггг+'г-12/"г.
Частный случай уравнения 2.9.2.7 при /(?) = а 4- Ь^т.
24. yy'L-\(y'*? =ах2+Ьх + с.
Замена |/ = w4^3 приводит к частному случаю уравнения 2.8.1.10 при А = 0:
4гС = 3(ах2 +Ъх + c)w~5/3.
25. Зуу"х - 2{y'xf = ах2 + Ъх + с.
Замена у = ws приводит к уравнению вида 2.8.1.4: 9w"x = (аж2 + Ъх + с)ги~5.
26. 2ОТ?'и = (!?)а+Ь*'У-«-
Частный случай уравнения 2.9.3.7 при /(ж) = —Ъхп.
27. от,;'. = n(y'xf - оу4-2 + Ьхту2.
Частный случай уравнения 2.9.3.8 при /(ж) = —Ьхт.
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 345
28. yy'L = n(»;)a + ахку2 + bxmyn+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при f(x) = —ахк, д(х) = —Ъхш.
29. (п + 2)уу'х'х - (п + 1)Ш2 = («ж2 + Ьж + сO1.
Замена у = u>n+2 приводит к уравнению вида 2.7.1.36:
30. yy'L = Ш2 + ахпуу'х + to™*,2-
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при f(x) = — ахп, д(х) = —Ьхт.
31. ото;'. + 6(j/4J + (хп + \)туу'х = 0.
Решение: у^ = d /exp[-- f\хп + \)т Ac] dx + С2.
32. (у + ax)i?. = ЬЖ"(Ж2/; - уJ.
Замена у = — ах + ж^ приводит к уравнению xzz"x + 2^^ — bxn+2>(zlxJ = 0. Полагая
w = ^/^, получим уравнение Бернулли: xw'x + 2^ + хA — bxn+2)w = 0.
33. x2y'L = п(п + 1)у + ах3п+2 + Ьхпт+3п+2ут.
Частный случай уравнения 2.9.1.16 при /(?) = а + 6^т.
34. z^l = fc(fc + 1)„ + ox^+^+^te3^1 + c)nWm.
Преобразование ^ = Ъх2к+1 + с, u> = |/^fc приводит к уравнению Эмдена — Фаулера
(см. разд. 2.3): w'^ = ab~2Bk + l)^nw;m.
35. ж2^ж + ху'х = ауп + 6.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при f(y) = a^/n + 6.
36. х2у"х = -(п + т + 1)хух - пту + аж-Нп-2т^
Частный случай уравнения 2.9.2.11 при /(?) = а^к.
37. ж2^ж + аж^ + 6т/ = сж71^7".
Преобразование х = ?а, ^/ = ^w, где a = ±—^^, C = ±—^ , D = A — аJ — 46,
VD 2у D 2
33
V у
приводит к уравнению Эмдена — Фаулера: w'^ = ca2^na+rnC~C~2wrn. Разрешимые
уравнения этого типа описаны в разд. 2.3.
38. х2у'^ = п(п)у {уху)
Частный случай уравнения 2.9.4.37 при f(x) = ахп~2.
39. (аж2 + 6)^ш + ахух + ст/71 = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при f(y) = c^/n.
40. (ay + bx2)y'L = 1.
Частный случай уравнения 2.8.1.2 при п = — 1, с = 0.
41. жт/з/^ = х(ухJ - уух + аж*у.
Частный случай уравнения 2.9.4.14 при /(?) = а?, р(?) = 1, к = п — 1, s =
42. 2/22/^ж + 2/(?/L) = аж + 6.
Полагая l/^/ = их(х), получим —ихиххх + 3A6^) = (ах + Ъ)(их) . Принимая и
за независимую переменную, приходим к линейному уравнению третьего порядка с
постоянными коэффициентами: х'"ии = ах -\-Ь.
346 Уравнения второго порядка
43. (ж + аJу2у"х = Ьх.
х + а
У
Преобразование ? = In , w = — приводит к уравнению вида 2.2.1.7:
44. (у2 + ах2 + 2Ьж + cfyxx + sy = 0.
Деля на коэффициент при ухх и умножая на ах(хух —у)+ ЬBху'х —у)+ су'х, приходим к
уравнению в полных дифференциалах. Интегрируя, получим уравнение первого порядка
{ах2 + 2Ъх + c){y'xf - 2{ах + Ь)уу'х + ау2 + f = С
45. (ож + 6J(сж + dfy'L = sy + A(ax + Ь)к(сх
?/2 + ах2 + 26ж + с
( ах + b\ ( ax + b\ m-i 2/
Преобразование ? = In I ), w = ( J приводит к автономному
уравнению: wf^ — {2n-\-l)w'^-\-{n2-\-n—sA~2)w = AA~2wm, где n= , A = ad—be.
46. (a2 - Ж2)F2 - y*)y'L + (a2 - ж2)^J = x(b2 - у*)у'я.
Решение: arcsin — = C\ + C2 arcsin —.
b b
47. (ayn + bxn)y'L + cxn~3 = 0.
Частный случай уравнения 2.9.1.6 при /(?) = —с(а^п + б).
48. (ат/71 + Ъхп)у':х + ст/71 = 0.
Частный случай уравнения 2.9.1.6 при /(?) = -с?п~3(а?п + Ь).
49. (ат/271 + бж71)^ + ст/271-3 = 0.
Частный случай уравнения 2.9.1.7 при /(?) = -с?2гг~3(а?2гг + Ь).
50. (ауп + бж71)^ + еж771./71-771-3 = 0.
Частный случай уравнения 2.9.1.6 при /(?) = -c?n~m~3(a?n + 6)~\
51. (а^/271 + бж71)^ + сж7-^271-27—3 = 0.
Частный случай уравнения 2.9.1.7 при /(?) = -c?2nm(a?2n + Ь).
52. (ужJ = а(ху'х - у) + /3?/L + 7-
Дифференцируя по х, имеем
y'LBy"L - ах - C) = 0. A)
Приравнивая нулю второй сомножитель и интегрируя, находим
у = -±ах4 + -±-рх3 + С2ж2 + Cix + Со- B)
Между постоянными интегрирования d и параметрами а, /3, 7 существует связь
4Cf = /3Ci — aCo +7, которая получена в результате подстановки решения B) в исходное
уравнение.
Кроме того, имеется решение, отвечающее первому сомножителю в A):
C0, где f3Ci - аС0 + 7 = О-
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 347
2.8.2. Уравнения Пенлеве
Предварительные замечания. Особые точки решений дифференциальных уравнений могут
быть неподвижными и подвижными. Координаты неподвижных особых точек одинаковы для
различных решений данного уравнения. Координаты подвижных особых точек меняются в
зависимости от выбора конкретного решения.
Уравнения Пенлеве встречаются в различных областях теоретической и математической
физики. Они появились в результате классификации на комплексной плоскости дифференци-
дифференциальных уравнений второго порядка вида
Ч 7~>/ I \
yzz = R{z,y,yz),
где R = R(z,y,w) — функция рациональная по у и w и аналитическая по z. П. Пенлеве и
Б. Гамбье показали, что все уравнения данного вида, решения которых не имеют подвижных
особых точек, за исключением быть может полюсов, сводятся к 50 классам уравнений. Из
них 44 класса интегрируются в квадратурах или допускают понижение порядка. Остальные
6 уравнений являются неприводимыми, их называют уравнениями Пенлеве (а их решения —
трансцендентными функциями Пенлеве или трансцендентами Пенлеве).
Канонические формы уравнений Пенлеве приведены далее в разд. 2.8.2-1 —2.8.2-6. Реше-
Решения первого, второго и четвертого уравнений Пенлеве имеют подвижные полюса (неподвижных
особых точек нет). Решения третьего и пятого уравнений Пенлеве имеют две неподвижные
логарифмические точки ветвления: z = 0 и z = oo. Решения шестого уравнения Пенлеве имеют
три неподвижные логарифмические точки ветвления: z = 0, z = 1 и z = оо.
2.8.1-1. Первое уравнение Пенлеве.
1°. Первое уравнение Пенлеве имеет вид
y'L = & + z. A)
Его решения — однозначные функции z.
В окрестности подвижного полюса zp решения уравнения A) пред ставимы в виде ряда
U2 = — 7о"^Р5 аЗ = — "ё" 5 а4 = С, <3б = 0, <3б = "з00~^Р'
где zp и С — произвольные постоянные; коэффициенты ап (п ^ 7) однозначно определяются
через zp и С.
2°. В окрестности любой фиксированной точки z = zq решение задачи Коши для первого
уравнения Пенлеве A) может быть представлено рядом Тейлора (см. разд. 0.3.3-1):
у = А+Б(г-го)+1FЛ2+го)(г-гоJ+^A2ЛВ+1)(г-гоK+1FЛ3+В2+Лго)(г-гоL+...,
где А и В — начальные данные задачи Коши: y\z=z0 = A, yz\z=Zo = В.
Замечание. Аналогичным образом можно представить решения задачи Коши для второго
и четвертого уравнений Пенлеве (для остальных уравнений Пенлеве из рассмотрения надо
исключить неподвижные особые точки).
3°. Для больших значений \z\ справедлива асимптотическая формула:
-а; 12, b),
Вейерц
<-/¦
где р(?; 12,6) —эллиптическая функция Вейерштрасса, которая задается неявно с помощью
интеграла
dp
р3 -Ylp-Ь
а, Ъ — некоторые константы.
Первое уравнение Пенлеве A) инвариантно относительно растяжения переменных z = \z,
у = А3?/, где А5 = 1.
348 Уравнения второго порядка
2.8.1-2. Второе уравнение Пенлеве.
1°. Второе уравнение Пенлеве имеет вид
y"z = 2у3 + zy + a. B)
Его решения — однозначные функции z.
В окрестности подвижного полюса zp решения уравнения B) допускают следующие
разложения:
оо
У= + V bn(z-zp) ,
Z~ZP n = l
Ь\ = — \mzp, b2 = — \(m + a), Ьз = С, Ъа = -^zp(m + За),
b5 = -^ [B7 + 81а2 - 2zl)m + 108а - 2lbCzp],
где т = ±1; zp и С — произвольные постоянные; коэффициенты Ъп (п ^ 6) однозначно
определяются через zp и С.
2°. Обозначим решение второго уравнения Пенлеве при фиксированном параметре а символом
y(z,a). Справедливо соотношение:
y(z,-a) = -y(z,a), C)
а решения y(z,a) и y(z,a — 1) связаны между собой преобразованиями Беклунда:
y(z,a- 1) = -y(z,a) + —— Q г ,
2а — 1 ^ ^
!,(*, а) = -j,(^,a - 1) - 2y,{Zta_
Поэтому для изучения общего решения уравнения B) при произвольных значениях а достаточ-
достаточно построить его для всех а из полосы 0 ^ Re a < у.
Три решения, отвечающие значениям а и a ± 1, связаны рациональным соотношением:
+ 2^ + 1) + Bа - 1)уа
где использовано обозначение уа = y(z,a).
Решения y(z,a) и y(z,—a — 1) связаны между собой преобразованиями Беклунда:
( _ _ v _ ( v 2а + 1
/ ч / -,ч 2« + 1
2yfz(z, -a - 1) + 2?/2(^, -a - 1) + z '
3°. При a = 0 уравнение B) имеет тривиальное решение у = 0. Отсюда с учетом формул C), D)
следует, что второе уравнение Пенлеве при a = ±1, =Ь2, ... имеет рациональные частные
решения:
y(z,±l) = T-,
z
, y(z,±2) ±(^
z V z z6 + 4
При a = ^- уравнение B) имеет однопараметрическое семейство решений
E)
(Здесь функция ги является решением линейного уравнения второго порядка w"zz + \zw = 0,
см. 2.1.2.2 и 2.1.2.7 при п = 1.) Из формул C)-E) следует, что второе уравнение Пенлеве для всех
a = п + у, где п = 0, =Ы, ±2, ..., имеет однопараметрическое семейство решений, которые
выражаются через функции Бесселя.
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 349
2.8.1-3. Третье уравнение Пенлеве.
1°. Третье уравнение Пенлеве имеет вид
yz {f p) rf ()
у у z у
Если перейти к новой независимой переменной по формуле z = e*% то решения преобразован-
преобразованного уравнения будут однозначными функциями ?.
Любое решение уравнения Риккати
y'z=ky2 + ^-y + c, G)
К Z
где к2 =7, с2 = — ?, к/3 + с(а — 2&) = 0, будет также решением уравнения F). Положив в G)
z = Хт, у = — -^-, где л = —, получим линейное уравнение:
ки кс
а , к — Ol i _
итт + ит +16 = О,
/ст
общее решение которого выражается через функции Бесселя:
__ () ^L (
2k 2fc
2°. В ряде частных случаев уравнение F) может быть проинтегрировано в квадратурах.
Перепишем уравнение F) в виде интегродифференциальных выражений двумя различными
способами:
^^CfУ/К^^^М (8)
Из выражения (8) при a = f3 = j = S = 0 имеем общее решение у = C\zCtl.
Складывая (8) и удвоенное равенство (9), получим
У ^У2 ' ^ У
Вычитая из (8) удвоенное равенство (9), имеем
±2 ^( 1У A - ау)е< = -4 /GeV + ae^)dC- (И)
/ У ^У2 ' ^ У ' J
Положив 6 = C = 0 в уравнении A0)и7 = « = 0в уравнении A1), после интегрирования получим
- 72/2е2С = d, A2)
у J У У* У
Уравнения A2) и A3) интегрируются в элементарных функциях. Замена у = e~^/v приводит
A2) к автономному виду
(u?) = 2av +7 + A + C\)v2. A4)
В итоге находим решение
2а
У =
{a2 In2 z + 2aC In я + С2 - 7)
1
К C2z2rn +K1zrn + K2
при С\ = — 1, C = 6 = 0;
при Ci = —1, а = C = 6 = 0;
при Ci / -1, /3 = 6 = 0,
Cx + 1 4C2A + CJ2
Уравнение A3) преобразуется к уравнению A4) с помощью замены у = ve^.
При /3 = —a, S = —7 подстановка у = е~г™ приводит уравнение F) к следующему виду:
// . 1 / 2а . .
игг + —г^г = sin г^ + 27 sin 2w.
350 Уравнения второго порядка
2.8.1-4. Четвертое уравнение Пенлеве.
1°. Четвертое уравнение Пенлеве имеет вид
y'L = Щ?- + f у3 + 4zv2 +2^ ~ а^У + f
Его решения — однозначные функции z.
В окрестности подвижного полюса zp решения уравнения A5) допускают следующие
разложения:
оо
У = -^— -zp-^-(z2p + 2a- 4m)B - zp) + C{z - zvf + ? a, {z - zp)\
z zv * j=3
где m = d=l; zp и С — произвольные постоянные; коэффициенты aj (j ^ 3) однозначно
определяются через а, C, zp, С.
2°. Если выполняется условие C + 2A + amJ = 0, где т = ±1, то все решения уравнения
Риккати
y'z = ту2 + 2mzy — 2A + am)
одновременно являются решениями четвертого уравнения Пенлеве A5).
Уравнение A5) инвариантно относительно преобразования у = \у, z = Xz,a = aA2, C = /3,
где А4 = 1.
3°. Решения уравнения A5) при различных значениях а и C связаны между собой преобразо-
преобразованиями Беклунда:
У = -^-(У* ~<1- 2szy ~ s^2)' Ч = ~2^'
у=~ibj^'z"р+2szy+s^2)' p2=~2^
2C = -(as - 1 - \pf', 4а = -2s -2a- 3sp,
где у = y(z,a,/3),y = y(z,a,/3), s — произвольный параметр.
2.8.1-5. Пятое уравнение Пенлеве.
1°. Пятое уравнение Пенлеве имеет вид
^^(^)^ ^^. A6)
у J z у
Если перейти к новой независимой переменной по формуле z = e*% то решения преобразован-
преобразованного уравнения будут однозначными функциями ?.
Решения пятого уравнения Пенлеве при различных значениях определяющих параметров
связаны соотношениями:
y(z, a, /3,7, S) = y(-z, a, /3, -7, ?),
y(z,a, 0,7,6) = — —.
y(z,-/3,-a,-j,6)
2°. Положив z = el в A6), получим
^ ^la (у -1
При 7 = ? = 0 уравнение A7) после однократного интегрирования приводится к автономному
уравнению первого порядка:
y't = (y
которое легко интегрируется в квадратурах.
Если выполнено условие
7 = V^2S A + у/^20 )
то любое решение уравнения Риккати
zyz = л/2а~у2 + (л/^2^ - л/2^ - л/^20)у + л/^ A8)
будет также решением пятого уравнения Пенлеве A6). Уравнение A8) может быть приведено
к вырожденному гипергеометрическому уравнению 2.1.2.65.
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 351
2.8.1-6. Шестое уравнение Пенлеве.
1°. Шестое уравнение Пенлеве имеет вид
Vzz = — (— + —^ + —^—)(v'zJ -(— + —^— + —^—)y'z +
2\у у-1 y-zJ \z z-1 y-zJ
~(~ i \ -\
A9)
Здесь точки ? = 0,? = 1и? = оо являются неподвижными логарифмическими точками
ветвления.
П. Пенлеве нашел два случая интегрируемости этого уравнения. При а = Р = *у = д = 0
общее решение уравнения A9) имеет вид
B0)
у = Е(Сщл + CW2, z),
где Е(и, z) —эллиптическая функция, определяемая неявно с помощью интеграла
- l)(y - z)
с периодами 2ш\, 2ио2, которые являются функциями z. При а = /3 = *у = 0, $ = т
решение уравнения A9) имеет вид
у = E(w + Cilji + C2UJ2, z),
где w — любое нетривиальное частное решение линейного уравнения
w-,-, — w у + w = U,
z(z-l) 4ф-1)
E(u, z) —эллиптическая функция, определяемая формулой B0).
2°. Между решениями уравнения A9) с различными параметрами существуют три соотно-
соотношения:
y(z, -р, -а, 7, S) = —-^
1
y(z, -p, -7, а, 6) = 1- ——-
у{ 1 _ •> а, Р, 7,
у( z, —Р, —a, —S + —, —7 + — ) = •
V 2 2 У y(z, a, C, 7, ^)
Последовательное применение этих соотношений дает 24 уравнения вида A9) с различными
значениями параметров, связанные известными преобразованиями.
3°. Все решения уравнения Риккати
/ \j2OL 2 ^Z
V? = V + :—V -h ——
z(z — 1) z(z — 1) z -
где
', — (а-\- C -\- ^ -\- 8) _ \/—2C — (а + C — 7 — <
являются также решениями уравнения A9), если \/2а — \/—2/3 / 1и выполняется условие
- а + 7 - S) + 2л/^2/3 (За - C - -у + S) + W~^P (Р - а +-у - 6 - 1) +
+ (а + /3 + 7 + ?J + 2(а - р - j - 4ар - 2а7 - %PS) = 0,
для у/—аР берется значение, которое совпадает с л/ал/^р.
® Литература к разд. 2.8.2: Э. Л. Айне A939), В. В. Голубев A950), G. M. Murphy A960), В. И. Громак,
Н. А. Лукашевич A990), Математическая физика A998, с. 427).
352 Уравнения второго порядка
2.8.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
1. y'L =\2у + а ехр[Л(п + S)x]yn.
Частный случай уравнения 2.9.1.25 при /(?) = а^п.
2. y'L = \2У + oe""Wm, А ф О.
Преобразование ? = е2Хх, w = ?/еЛж приводит к уравнению Эмдена — Фаулера
(см. разд. 2.3):
// & &п ш 11 — ЗА — тА
"«=4^ w ' где п =
3. y'L = \2У + аел(т+а)-(ЬеаА- + с)пут, А ф 0.
Преобразование ^ = Ье2Хх + с, w = уеХх приводит к уравнению Эмдена — Фаулера:
4// \2 . д Л(тп+3)аз/ 2Лаз . »\тг/ 2Лаз . -^—п — т — З гп
Ухх = X у -\- Ае к ^ } (ае + Ъ) (се + а) у .
Преобразован
(см. разд. 2.3):
Преобразование g = —^ , г^ = —^ приводит к уравнению Эмдена—Фаулера
w'x = ABA\y2Cwm, где А = ad - be.
5. y'L = ау'х + be2axyn.
Частный случай уравнения 2.9.2.23 при f(y) = Ьуп.
6. 1?и = -а»;+Ье«""У'-1.
Частный случай уравнения 2.9.2.24 при /(?) = Ь^п~1.
7. J/L + о»; + 6j/ = сеЛш2/"г.
Замена ^ = еж приводит к уравнению вида 2.8.1.37: ?,2у'^ + (а + 1)?г4 +Ъу =
8. J/L = -(м + f)tf; - i/w + ae*^-2^^-1.
Частный случай уравнения 2.9.2.25 при /(?) = a^n-1.
9. J/L = Aj/4 + Ьжу + ae2XsBy-3.
Частный случай уравнения 2.9.2.26 при /(ж) = —Ъх.
10. y'L = XyL + Ье'1^ + ае2Х*у-3.
Частный случай уравнения 2.9.2.26 при f(x) = —Ье^х.
И. y'L = ayL + ЬехрBаж + с?/71).
Частный случай уравнения 2.9.2.23 при f(y) = bexp(cyn).
12. з/L + Зт/^ + у3 + аеЛж?/ = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при /(ж) = аеЛж.
13. 2/жж = ахеуух + аеу.
Решение: ?/ = Саж — lnf — а / xe°lXdx + C2J.
14. 7/L ^гае^^+ае^2-
Решение в параметрическом виде:
Здесь Z = CiJi(r) + С2У1(г) или Z = Ci/i(r) + С2Кх{т), где Л(т) и
функции Бесселя, 1\ (г) и Ki (r) — модифицированные функции Бесселя.
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 353
-* г* II ть 11 I \ ть — 1 г/
15. ухх = ах еуух + апх еу.
Решение: у = С\х — In С2 — а / хп exp(Cix) dx .
16. y'L = ae-iT1'3»; + 2aeV/2-
Решение в параметрическом виде:
Ж = 1п(±^/)тт2, 2/ = С12[2г±ехр(тт2)/]2, где / = [|ехр(тт2) dT+C2] ~\
17. j/L + Bоу + 6еАж)^ + АЬеЛжг, = О.
Интегрируя, получим уравнение Риккати: у'х + ау2 + ЬеХху = С.
18. j/^ae^+^ + l).
Решение: г/ = — In ( Cie~ 2X ех ). Предельному случаю Сг —>- — 1 соответствует
I/ = —ж — ln(Ci — ах).
19. »;'„ = a(y'xf - ЪеАау + схп.
Частный случай уравнения 2.9.3.17 при f(x) = — схп.
20. y'L = a(^J - be4av + сех*.
Частный случай уравнения 2.9.3.17 при f(x) = — сеХх.
21. y'L = a{y'nf + bxneay + cxm.
Частный случай уравнения 2.9.3.16 при f(x) = —bxn, g(x) = — cxm.
22. y'L = a{y'nf + beay+- + kxm.
Частный случай уравнения 2.9.3.16 при f(x) = —becx, g(x) = —кхш.
23. y'L = a(y'xf + Ъеау+Х* + ce^.
Частный случай уравнения 2.9.3.16 при f(x) = —beXx, g(x) = — ce^x.
24. y'L+ayn{y'xf + beXy + с = 0.
Частный случай уравнения 2.93Л при /(^/) = a^/n, ^(i/) = beXy + с.
/%^ // ть / I \2 . , Лаз /
25. ?/жж = ay (yx) +be ух.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = ауп, д(х) = ЬеХх.
26. y'L+ae^iy'^f +Ьуп+с = О.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = аеХу, ^(i/) = fo/n + с.
27. j/L + аеХу(у'^ + Ъе»у + с = О.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при /(^/) = аеХу, д(?/) = 6ему + с.
28. j/L = аеЛ«Ш2 + tenWi.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = аеХу, р(ж) = 6жп.
29. j/L = аеЛ«(^J + Ье^у'».
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = аеХу, д(ж) = 6емж.
30. »;'„ = oeA-(xtf; - j/J + be5.
Частный случай уравнения 2.9.3.4 при f(x) = be^x, g(x) = 0, h(x) = aeXx.
31. y'L + beatcym{y'<Bf + ay'm = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.25 при f(y) = bym.
23 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
354 Уравнения второго порядка
32. y'L + Ьев"+Л*(»;)8 + ayL = О.
Частный случай уравнения 2.9.3.25 при f(y) = beXy.
/>/> // аз/ / \3 . аз / / \2
33. т/азаз = ае (ух) + ае у(ух) .
Решение: х = С\у — In fa / ye°lV dy + C2J.
34. т/L = axey(yfxK + aey(yiJ.
Решение в параметрическом виде:
U1^ у = \пт.
/>с- // 2 ту/ / \3 . о г// / \2
35. ухх = ах еу(ух) -\-2ахеу(ух) .
Решение в параметрическом виде:
Здесь Z = CiJi(r) + С2У1(г) или Z = Ci/i(r) + C2Ki(r), где Л(г) и yi(r) —
функции Бесселя, 1\ (г) и К\ (г) — модифицированные функции Бесселя.
36. yL (ух) + ^)
Решение в параметрическом виде:
(^) [|r2
37.
ж = С2[2т±ехр(=рг2)/]2, ?/ = ln(=F-^-/)=FT-2, где /=[/ехр(т
Решение: х = Ciy - In (a I упеСгУ dy + С2\
Решение: х = — lnfCie 2У -\ еу ). Предельному случаю С2 —>- 1 соответствует
ж = -j/-ln(Ci +aj/).
-»л // аз/ / \3/2 . аз / / \1/2
39. ухх = ае (ух) + ае у{ух)
Решение в параметрическом виде:
х = In г2, у = -2a~2r~4[Z~1(rZfr +2Z) =F \т2],
где
_ Г CiJ2(t) + С2У2(т) для верхних знаков,
^1^2(т) + С2К2(г) для нижних знаков,
J2 (г) и У2 (г) — функции Бесселя, /2 (г) и К2 (г) — модифицированные функции Бесселя.
40. y'L = ахеу{У'^/2 + ае"(у'т)а/:>.
Решение в параметрическом виде:
х = -2a~2r~4[Z~1(rZfT + 2Z) Т \т2], у = In г2,
где
_ Г CiЛ(т) + С2У2{т) для верхних знаков,
\ С\12(т) + С2К2(г) для нижних знаков,
J2 (г) и У2 (г) — функции Бесселя, /2 (т) и i^2 (т) — модифицированные функции Бесселя.
41. 7/жаз = -аух +Ъе У (ух) ¦
Частный случай уравнения 2.9.4.49 при f(y) = —byk, n = m + 2.
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 355
42. ухх = -ух + Ъе у ^ (ух) .
УТЪ Л. — гС
Частный случай уравнения 2.9.4.52 при /(?) = Ы;.
43. y'L = у'а + Аехр[(п + 2 - l)x]ym(y'aI.
Подстановка ? = ех приводит к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера: у'^ =
_ A^nym(y^I, которое рассматривается в разд. 2.5.
44. y'L = -(y'xf + Axn exp[(m + I - l)y] (y'xI.
Подстановка w = ey приводит к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера: w"x =
= Axnwrn(w'x)\ которое рассматривается в разд. 2.5.
45.
Частный случай уравнения 2.9.4.51 при /(?) = Ь^.
46. у':я=ауп(у'а)* + Ьех*(у'я)к.
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = ayn, g(y) = ЬеХу.
47. y'L=aexy(y'xf + byn(y'x)h.
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = аеХу, ^(i/) = byn.
48. j/L = oeA"(tf;)a + be™(y'x)h.
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = аеХу, g(?/) = 6ему.
49. y'L = axn(xy'a! -у)+ ЪеХх(ху'„ - у)к.
Частный случай уравнения 2.9.4.39 при /(ж) = ахп, д(ж) = 6еЛж.
50. ухх = аеХх(ху'х — у) + Ъхп(ху'х — у)к.
Частный случай уравнения 2.9.4.39 при /(ж) = аеЛж, д(х) = Ъхп.
51. ?/L=aeiE+{'[B,;)i + (?/;)i], //2.
Решение в параметрическом виде:
х = т- I ^г-С2, у = I ^г + С2, где F= [оB -
52. y'L = аех*(ху'х - у) + 6e"-(xtf; - у)к.
Частный случай уравнения 2.9.4.39 при /(ж) = аеЛж, д{х) = 6емж.
53. ii!W;'<.+W;=oxneAw.
Это уравнение встречается в теории горения и гидродинамике. Преобразование ? = In ж,
и> = Л|/ + (п + 1) In ж приводит к автономному уравнению вида 2.9.1.1: w'^ = a\ew.
Решение в параметрическом виде:
где
1
1
" ln
/С2 ^JC2 + 2aXel + ^/C~2
2
при G2 = 0,
2 у/С2 + 2a\et „ _
^^ arctg -?—^ при С2 < 0.
—С2 л/~^2
23*
356 Уравнения второго порядка
ел II I I 2п-\-1 Лг/
54. хухх = пух + ах ^ е у.
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = аеХу.
55. хухх = пу'х + аж2тг+1 ехр(Л?/ТГ1).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = aexp(A?/m).
56. я^+^аЛ^Г.
Преобразование ? = ху'х, w = жГ1~т+1еЛг/ приводит к линейному уравнению первого
порядка: a(mw^ = \? + п — т + 1.
57. xy'L + ту'х + аж—^^Ау^)- = 0
Частный случай уравнения 2.9.4.11 при f(y) = aeAy.
58. xy'L +y'x = (ахпеХу + Ьж)^).
Преобразование ? = ж^, гу = xn~m+1eAy приводит к уравнению первого порядка с
разделяющимися переменными: ?m(aw + b)w'^ = (Л^ + п — т + 1)и>.
59. 2J/J/L = (t,^J + 6eAV - a.
Частный случай уравнения 2.9.3.7 при /(ж) = —ЬеХх.
60. yj/L = niy'S - ау4п~2 + 6eAV.
Частный случай уравнения 2.9.3.8 при /(ж) = —ЬеХх.
61. yj/L = niy'S + ахту2 + Ьех*уп+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при /(ж) = — ахт, д{х) = —ЬеХх.
г~ II / / \2 . Лж 2 , 1 т тг + 1
62. уухх = п(ух) +ае у + Ьх у ^ .
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при /(ж) = — аеХх, д(х) = —Ьхт.
/-/> // / I \2 . Лаз 2 | * /хаз тг-1-1
63. уухх = п(ух) +ае у + for т/ ^ .
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при /(ж) = — аеХх, д{х) = —Ье^х.
64. т/т/^аз = (l/LJ + ахпуу'х + ЬеХху2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при /(ж) = — ахп, д{х) = —ЬеХх.
65. »»;'„ = (t/LJ + аеХхуу'х + Ьхпу2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при /(ж) = — аеХх, д{х) = —Ьхп.
66. yy'L = (yLf + ae^yyl, + Ье^у2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при /(ж) = — аеХх, д(х) = —Ъе^х.
67. yy'L = (yLf+beaxyn(y'1B)k.
Частный случай уравнения 2.9.4.53 при /(?) = Ь^, д(?) = ?к, п = т — к -\-2.
68. yy'L = (yLf + (аеАжу" + Ьу2-т)(у'^)т.
Преобразование ? = 2/i/l/> ги = eAx^n+m-2 приводит к уравнению первого порядка с
разделяющимися переменными: ^m(aw + b)w'^ = [(n + ?тг — 2)? + X]w.
69. ж2^ = ажп+2еу + п.
Частный случай уравнения 2.9.1.27 при /(?) = а?.
70. ж2^ + ж^ = аеХу + 6.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при /(^/) = аеХу + 6.
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 357
71. x^y'L + ху'п = кхпеау + Ь.
Частный случай уравнения 2.9.2.29 при /(?) = к^ + Ъ.
72. (ах2 + Ъ)у"х + аху'х + сеЛу = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при f(y) = сеЛу.
73. (ае2ш + Ь)»;'„ + ае3"»; + с»" = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = ае х -\-b, f(y) = —суп.
74. (ае2ж + 6)</1 + ае3"»; + сеЛ« = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = ае2ж + Ъ, f(y) = —сеЛу.
2.8.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
1. y'L = \2У + a(ch\x)-n-3yn.
Частный случай уравнения 2.9.1.31 при /(?) = а^п.
2. 2/1 = \2У + аСзЬАж)-"-3!,".
Частный случай уравнения 2.9.1.30 при /(?) = a^n.
3. 2/L =A2i/ \
Преобразование ^ = th(Ax), w = —^—- приводит к уравнению Эмдена — Фаулера:
wf?? = a\~2t;nwrn, которое рассматривается в разд. 2.3.
4. y'L =\2y 3
Преобразование ? = cth(Ax), u> = —-—- приводит к уравнению Эмдена — Фаулера:
sh(Ax)
()
wf?? = а\~2^пи]ш, которое рассматривается в разд. 2.3.
5. Уж = Ъ сЬ(Аж) у + ау~3.
Частный случай уравнения 2.9.1.17 при /(ж) = — bch(Xx).
6. 2/L = ^> sh(A#) у + а?/~3.
Частный случай уравнения 2.9.1.17 при /(ж) = — frsh(Ax).
7. 2/L + Syy'* + 2/3 + а сЬ(Аж) у = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при /(ж) = ach(Ax).
8. 2/L + Зуу'т + 2/3 + (a sh х + 6J/ = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при /(ж) = ash ж + Ъ.
9. y'L + ayn(y'af + bchmy + c = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при /(г/) = од™, д(у) = &chm 2/ + с.
10. y'L + ayn{y'xf + bthmy + c = O.
Частный случай уравнения 2.93Л при /(г/) = a?/n, р(г/) = &thm у + с.
11. г/1 = ayn{y'xf + bshm(\x) у'т.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при /(г/) = a?/n, р(ж) = 6shm(Ax).
12. 2/^а. = ауп(у'х) + 6thTri(A«) ^.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при /(г/) = a^/n, р(ж) = 6thm(Ax).
13. y'L + a ch™ у (t?J + bym + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при /(г/) = achn |/, р(г/) = 6|/т + с.
358 Уравнения второго порядка
14. y'L +achny (y'S + bchm(At,) + с = О.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = achn у, д{у) = bchm(Ay) + с.
15. y'L =ashny (y'S + bxmyl
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = ashn у, д(х) = Ьхш.
16. y'L =ashny (y'S + bShm(\x) y'a.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = ashn у, g(x) = 6shm(Ax).
17. y'L + a th" у {y'^f + bym + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = athn у, д(у) = Ьуш + с.
18. y'L +athny {y'xf + bthm{\y) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.93Л при f(y) = athn |/, д(у) = 6thm(A|/) + с.
19. y'L =athny {y'xf + bxmy'x.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = athn у, д(х) = Ьхт.
20. y'L = a thn у {y'xf + bthm{\x) y'x.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = athn у, д(х) = bth.m(Xx).
21. y'L = ayn(y'xf + bchmy (y'x)h.
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = ауп, д(у) = bch171 у.
22. ?/"ж = ауп(у'хJ + 6thTri7/(^) .
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = a^/n, ^(i/) = bth.m у.
23. j/L =achny (yrf + by^iy'S-
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = achn у, д(у) = bym.
24. j/L = a th" у (y'^f + bym(y'S-
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = athn у, д(у) = Ьуш.
25. xy'L = ny'x + ax2n+1 chm{\y).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = achrn(Xy).
26. xy'L = ny'x + ax2n+1 shm{\y).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = ashrn(Xy).
27. xy'L = ny'n + ax2n+1 thm(\y).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = athm(\y).
28. xy'L = ny'n + ax2n+1 cthm(Xy).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = acthm(Xy).
29. 2yy'L = Ш2 + b сЬ^САж) у2 - а.
Частный случай уравнения 2.9.3.7 при f(x) = — bch.m(Xx).
30. yy'L = n{y'xf - ay4n-2 + b сЬ^Аж) у2.
Частный случай уравнения 2.9.3.8 при f(x) = — bch.m(Xx).
31. yy'L = n{y'xf + axmy2 + bchk{\x) yn+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при f(x) = — ахт, д(х) = — bchk(Xx).
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 359
32. yy'L = n(y'S + ахту2 + bshk(\x) yn+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при /(ж) = — ахт, д(х) = — bshk{Xx).
33. yy'L = n{y'xf + ахту2 + bthk{\x) yn+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при f(x) = — ахт, д{х) = —bt\ik(Xx).
34. yy'L = Ш2 + ахпуу'х + bchm(\x) у2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при /(ж) = — ахп, д{х) = — bchm(Xx).
35. уу"х = (у'х) + а сЬ^Лж) yyfx + bx™y2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при f(x) = — achn(\x), g(x) = —Ьхт.
36. x2y'L +xy'x=a ch" (Xy) + Ь.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при f(y) = achn(Xy) + b.
37. х2 y'L +xy'1B=a sh" (AW) + b.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при f(y) = ashn(Xy) + b.
38. x2y'L +xy'x=a thn(Xy) + b.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при f(y) = ath.n(Xy) + b.
39. x2y"x +xy'x=a cthn(\y) + b.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при f(y) = acth.n(Xy) + b.
40. (аж2 + Ъ)у"х + axi/l + chn(\y) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при /(^/) = chn(A|/) + с.
41. (аж2 + 6J/L + ахух + shTl(A?/) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при f(y) = shn(A|/) + с.
42. (аж2 + Ъ)ухх + аж^ + thTl(A?/) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при /(^/) = thn(A|/) + с.
43. (аж2 + Ъ)ухх + аж^ + cthn(\y) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при f(y) = cthn(A|/) + с.
2.8.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
1- у"х = ах~3(\пу — In ж).
Частный случай уравнения 2.9.1.6 при /(?) =
2. y'L =аж-3/2B1П?/-1пж).
Частный случай уравнения 2.9.1.7 при /(?) =
3. »;'« + aj/"(j/;J +61nmj, + c = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f{y) = ауп, д{у) = Ыпт у + с.
4. y'L = ayn(y'xf + Ыпт(\х) у'х.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = ауп, д(х) = Ь\пт(Хх).
5. y'L +a\nny (у'хJ + Ьут + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = alnn у, д(у) = Ьут + с.
2/жж = a In i/ (yx) + 6ж ?/ж.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = alnn у, д(х) = bxm.
360 Уравнения второго порядка
7. y'L =alnny (y'^f + Ыпт(\х) yl
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = а\пп у, д(х) = Ыпт(Ла;).
8. y'L = ах-2у-\у'„)А - 2ах~3 lny (t^K.
Решение в параметрическом виде:
х = X[(F ± 2тJ ± 41n(CiF)]1/2, у = С
2\ Г f / 2\ 1 ~~ ^ / 1 2\ 1/4
где F = exp(=Fr ) / exp(=Fr ) dr + С2 , Л = (± — аС^ J
7/^ж = 2а1пжт/~3 — ах~1у~2(у'х)~ .
Решение в параметрическом виде:
х = CiF, y = X[(F± 2тJ ± 4ln(CiF)]
где F =
1/2
10. y'L = ayn(y'xf + ЪЫту (y'x)h.
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = ауп, д(у) = Ь\пт у.
И. y'L = a In" у Uf + bym(y'x)h.
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = alnn у, д(у) = Ъуш.
12. xy'L = пу'х + ах2п+1 Ыт{\у).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = а\пш(Ху).
13. ху"х = — (п + 1)у'х + ахп~1(\пу + п\пх).
Частный случай уравнения 2.9.2.7 при
14. ху"х = (ау + п\пх)ух.
Частный случай уравнения 2.9.2.28 при
15. хухх + хBау + In х + Ь)ух + у = 0.
Интегрируя, получим уравнение Риккати: ^ + a^/2 + (In ж + Ъ)у = С.
16. J/J/L = n(j/;J + ахту2 + blnh{\x) yn+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при f(x) = — ахт, д(х) = — Ь\пк(Хх).
17. yy'L = (yLJ + а ^(Аж) от? + бж^у2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при /(ж) = — а\пп(Хх), д(х) = —Ъхш.
18. J/J/L = B/^J + ахпуу'1В + Ыпт(\х) у2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при f(x) = — ахп, д(х) = — Ь\пт(Хх).
19. уу"х = (ах + п\пу)(ух) .
Частный случай уравнения 2.9.3.18 при
20. х2ухх = х2(у + a In ж + Ъ)п + а.
Частный случай уравнения 2.9.1.32 при
21. ж2^ж = п(п + 1)у + аж3т1+2Aп т/ + n In ж).
Частный случай уравнения 2.9.1.16 при
1 —ттг
1 ттг
22. ж2^ + ^j/ + Аж^~(а In х + Ь)пут = 0.
ние {; = а\пх -\- b, w =
Cwm = 0 (см. разд. 2.3).
ГЦ
Преобразование {; = а\пх -\- b, w = —— приводит к уравнению Эмдена — Фаулера:
jx
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 361
23. x2yL +ху'х=а \пп(\у) + Ъ.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при f(y) = а\пп(Ху) + Ъ.
24. (ах2 + 6J/L + аху'х + с\пп(\у) = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при /(?/) = с\пп(Ху).
2.8.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1. y'L = ~\2У + «(cos \x)ny-n-3.
Частный случай уравнения 2.9.1.37 при /(?) = а^~п~3.
2. J/L = -\2У + o(sin Ax)"iT"-a.
Частный случай уравнения 2.9.1.36 при /(?) = а^~п~3.
3. ^ш = _Л2у + a cosTl(A«) sinTri(A«) т/-71-^.
Преобразование ^ = ctg(Ax), w; = ———- приводит к уравнению Эмдена — Фаулера:
sin(Ax)
w'^ = a\-2Cw~n~m~S (см. разд. 2.3).
4. y'L = -А2 2/ + asinTl(A«)[sin(A«) +
Преобразование ? = 1 + bctg(Xx), w = —- приводит к уравнению Эмдена —
sin(Ax)
Фаулера: w'^ = aFA)-2?mw;-n-m-3 (см. разд. 2.3).
5. y'L = -\2y + Asinn(\x + a) sinTri(A« + 6) у-"-™'3.
r ,. sin(Ax + a) y
Преобразование t = ) f-, w; = —^ приводит к уравнению Эмдена —
sin(Ax + b) sm(Xx + b)
Фаулера: w# = A[Xsin(b - а)]-2С^~п~т~3 (см. разд. 2.3).
6. y'L = b cos(A«) у + ay~3.
Частный случай уравнения 2.9.1.17 при f(x) = —bcos(Xx).
7. y'L = b sin(A#) у + см/~3.
Частный случай уравнения 2.9.1.17 при f(x) = — bsin(Xx).
8. y'L = 2(cos x)~2y + o(ctg a?)rl+3t,tl.
Частный случай уравнения 2.9Л 39 при /(?) = а?п.
9. »;'„ = 2(sin х)-2у + o(tg a;)'1+3j/".
Частный случай уравнения 2.9.1.38 при /(?) = а?п.
10. j/L = (n + l)(tga;)^ + пу + a(coSx)nm-2ym-1.
Частный случай уравнения 2.9.2.36 при /(?) = а^т~1.
11. 7/L + 3^ + у3 + а 8т(Аж) т/ = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при /(ж) = asin(Ax).
12. y'L + 3^ + у3 + (a cos ж + 6)?/ = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.1 при f(x) = a cos ж + 6.
13. y'L + Ba?/ + b sin ж)^ + 6(cos x)y = 0.
Интегрируя, получим уравнение Риккати: у'х + a^/2 + b(smx)y = С.
14. y'L + ayn(y'S + b sinm y + c = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = a^/n, g(y) = 6sinm у + c.
362 Уравнения второго порядка
15. y'L + ayn(y'S + btgmy + c = O.
Частный случай уравнения 2.93Л при f(y) = ауп, д(у) = btgm у + с.
16. y'L = ayn(y'a!f + bsinm(\x) у'т.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f{y) = ауп, д{х) = 6sinm(Aa;).
17. y'L = ayn(y'xf + btgm(\x) y'x.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = ауп, д(х) = btgm(\x).
18. y'L + a sin™ у (y'xf + bym + c = O.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = asinn у, д(у) = Ьут + с.
19. y'L + a sin" yiy'^f + b sinm(Xy) + с = О.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = a sin™ у, д{у) = bsinm(Ay) + с.
20. y'L = a sin" у (y'S + Ьхту'а!.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = asinn у, д(х) = Ъхш.
21. y'L = a sin" у {y'^f + Ъ sin^A*) yl
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = asinn у, д(х) = 6sinm(Ax).
22. y'L +atgny{y'xf + bym + c = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при /(^/) = atgn у, д(у) = 6|/т + с.
23. »;'„ + a tg" у (j/4J + Ъ tg™(Ay) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.93Л при f(y) = atgn |/, ^(i/) = btgrn(Xy) + с.
24. y'L =atgny (y'nf + bxmy'1B.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f{y) = atg™ у, д(х) = bxm.
25. y'L =atgny (y'S + btgm(\x) y'a.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = atgn у, д(х) = btgm(Xx).
26. y'L = ayn(y'S + bsin™ у (y'^f.
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = ауп, д(у) = bsmm у.
27. y'L = at,"^J + btg™ у (у'п)".
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = ауп, д(у) = btgm у.
28. yxx=asm y(yx) + by (yx) .
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = asinn у, д(у) = Ьут.
29. y'L =atgny (ytf + Ьу™^)".
Частный случай уравнения 2.9.4.10 при f(y) = atgn у, д(у) = Ьут.
30. хухх = пу'х + ax2n+1 cos^iXy).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = acosm(A|/).
31. xy'L = пу'х + ax2n+1 sinm(\y).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = asmm(Xy).
32. xy'L = пу'п + ax2n+1 tgm(\y).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = atgm(Xy).
33. xy'L = пу'х + ax2n+1 ctgm(Xy).
Частный случай уравнения 2.9.2.6 при f(y) = actgm(Xy).
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 363
34. lyy'L = (yLf + Ь 8т(Лж) у2 - а.
Частный случай уравнения 2.9.3.7 при /(ж) = — frsin(Ax).
35. yy'L = n{y'xf - ay**1'2 + b ein(Aaj) у2.
Частный случай уравнения 2.9.3.8 при /(ж) = —bsin(Xx).
36. yy'L = n(y'S + ахту2 + bcosh(\x) yn+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при f{x) = —axm, g(x) = —bcosk(\x).
37. yy'L = n(y'S + ахту2 + bsinh(\x) yn+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при f{x) = —ахт, д(х) = —bsmk(Xx).
38. yy'L = n(y'xf + ахту2 + btgk(\x) yn+1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при /(ж) = — ахт, д{х) = — htgk{\x).
39. уу"х = п(у'хJ + a sin(\x) у2 + 6sin(/xa?) уп^1.
Частный случай уравнения 2.9.3.9 при f(x) = — asin(Ax), g(x) = — bsm(fix).
40. yy'L = (y'xf + axnyy'x + 6sin^(A^) y2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при f(x) = — ахп, д{х) = —6sinm(Ax).
41. 2/2/жж = (?/ж) + аж уух + 6tg (Лж) у .
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при f(x) = — ахп, д(х) = — btgrn(Xx).
42. j/j/L = (y'S + а 8;п"(АЖ) уу'п + Ьж?,2.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при f(x) = — asmn(\x), g{x) = —Ьхш.
43. ж2^'ж + ж^ = a sinn(\y) + 6.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при /(^/) = asinn(\y) + 6.
44. х2у'^ +ху'х=а tgn(\y) + b.
Частный случай уравнения 2.9.2.10 при f(y) = atgn(Xy) + 6.
45. х2ухх +ax2tgxy'x + n(aжtgж-n- 1)?/ = 6жТ1ТГ1+2(со8 жJ"^.
Частный случай уравнения 2.9.2.39 при /(?) = Ь^ш~3.
46. (аж2 + ЬJ/^ж + аху'х + costi(At/) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при f(y) = cosn(A|/) + с.
47. (аж2 + Ъ)ухх + аж^ + sinTl(A?/) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при /(^/) = sinn(A|/) + с.
48. (аж2 + Ъ)ухх + аж^ + tgTl(A?/) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при f(y) = tg^ (Ay) + с.
49. (аж2 + Ъ)ухх + аж^ + ctgTl(A?/) + с = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.13 при /(у) = ctgn(Ay) + с.
50. sin ж 2/^ж + -|- cos xy'x = ауп + 6.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = sin ж, f(y) = ауп + 6.
51. sin ж 2/^ж + -|- cos xyx = a sinTl(A7/) + 6.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = sin ж, f(y) = asinn(Ay) + b.
52. sin ж ухх + -|- cos xy'x = a cosn(\y) + 6.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = sin ж, f(y) = acosn(Ay) + b.
364 Уравнения второго порядка
53. sin х у"х + \ cos ху'х = a tg71 (\у) + Ъ.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = sin ж, f(y) = atgn(Xy) + b.
54. sin2 x y"x = n(n + 1 - n sin2 x)y + a(sin x)nrn+3™+22/™.
Частный случай уравнения 2.9.1.40 при /(?) = a^m.
55. cos2 ж 2/L = n(n + 1 - n cos2 ж)?/ + a(cos x)nrn+3n+2ym.
Частный случай уравнения 2.9.1.41 при /(?) = a^m.
2.8.7. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных,
логарифмических и тригонометрических функций
1. y'L = \2У + аеЗХх(\пу + Лж).
Частный случай уравнения 2.9.1.25 при /(?) =
2. J/L = -о»; + Ьеоа!Aп у + ох).
Частный случай уравнения 2.9.2.24 при /(?) =
3. j/L=a^+6e2aa!lnrl(At/).
Частный случай уравнения 2.9.2.23 при /(г/) =
4. J/L = ау'х + 6е2ош sin" (Aj/).
Частный случай уравнения 2.9.2.23 при /(г/) = 6sinn(A|/).
5. j/L=a^+6e2aa!tgrl(At/).
Частный случай уравнения 2.9.2.23 при /(г/) = 6tgrt(A^/).
6. j/L + otgaj»; +6(otgx - Ь)р = сеЬтх(совхJаут-3.
Частный случай уравнения 2.9.2.38 при /(?) = с^т~3.
7. »;'и = a(t,^J - ЬеАау + csh(Xx).
Частный случай уравнения 2.9.3.17 при /(ж) = — csh(Ax).
8. 2/1 = a(y'S + 6 сЬГ1(АЖ)еаг' + схт.
Частный случай уравнения 2.9.3.16 при /(ж) = — 6chn(Ax), д(х) = —сжт.
9. »;« = a(y'S + 6 lnn(Aii!)eew + схт.
Частный случай уравнения 2.9.3.16 при f{x) = — Ып"(Аж), з(ж) = —еж1".
10. y'L = a(y'S + 6 lnn(Aa!)eew + сеих.
Частный случай уравнения 2.9.3.16 при f{x) = —Ып"(Аж), д(х) = —се"х.
11. y'L = a(y'S - be4av + с sin(Ax).
Частный случай уравнения 2.9.3.17 при /(ж) = — csin(Ax).
12. j/L = a(t,^J + b sintl(Aa;)ea{' + сжт.
Частный случай уравнения 2.9.3.16 при /(ж) = —6sinn(Ax), д(ж) = — схш
13. »;'„ = a(y'xf + 6 sintl(Aa;)ea{' + се™.
Частный случай уравнения 2.9.3.16 при /(ж) = —6sinn(Ax), д(ж) = — се
14. j/L+aeA!'(j/;J+61n"j/ + c = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при /(г/) = аеЛу, р(г/) = 61nn г/ + с.
их
2.8. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные параметры 365
15. y'L+aeXv(y'S + , +
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = аеХу, g(?/) = 6sinn у + с.
16. j/L = oeA"(tf;)a + ЬЫп{цх)у'х.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = аеХу, д(ж) = 61nn(//x).
17. »;'„ = aeXy(y'xf + Ь sin" fax)»;.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = аеХу, д(ж) = 6sinn(//x).
18. j/L = аеЛ«(^J + btgn (/**)»;.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при /(?/) = аеЛу, g{x) = btgn(/jJx).
19. »;'„ + о In" t, (у; J + ЬеЛу + с = О.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при /(^/) = alnn у, д(у) = ЬеХу + с.
20. j/L =a\nny (j/4J + beAicj/;.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f{y) = a In" у, д{х) = beXx.
21. y'L =alnny (y'^f + bsmm(\x)y'a!.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = alnn у, д{х) = 6sinm(Ax).
22. y'L + a sin" у (y'm)* + beXy + с = О.
Частный случай уравнения 2.9.3.1 при f(y) = asinn у, д(у) = 6еЛу + с.
/%/> // • тг / / \2 . , Лаз /
23. ухх = a sin т/ (т/а.) + бе 7/ж.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = asinn у, д{х) = 6еЛж.
24. 2/^ = asin71?/ (^) -\-Ыпгп(\х)ух.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = asinn у, д{х) = Ь\пт(\х).
25. j/L =atgny (yLf + beXay'a.
Частный случай уравнения 2.9.3.2 при f(y) = atgn у, д(х) = ЬеХх.
26. j/L + Ьеах chiXyUy'^f + аУ; = О.
Частный случай уравнения 2.9.3.25 при f(y) = bch(Xy).
27. y'L + Ъеаа> sin(A2/)B/;K + ау'т = 0.
Частный случай уравнения 2.9.3.25 при f(y) = bsin(Xy).
28. ж^/жаз — аж ln x eVy'x + «еу.
Решение: у = - \n\eClX (с2 - — \ х~хе~с^х dx) + — In ж].
29. 2/2/L = aex(yfxK + aexу In у (yfxJ.
Решение: x = - \n\eCiy (c2 + — [y^e'0^ dy) - — lnyl.
L V G-^ «/ / G-l -I
30. j/j/L = (y'^f + аеХхуу'„ + Ь sin"^)^.
Частный случай уравнения 2.9.3.6 при f(x) = —аеЛж, д(ж) = — bsmn(iyx).
31. (ае2ж + b)y'L + ае2ж^ = chn(\y) + с.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = ае2х + 6, /(г/) = chn(Xy) + с.
32. (ае2ж + Ь)у'^ + ае2ж^ = tnn{Xy) + с.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д{х) = ае2х + 6, /(^/) = thn(Xy) + с.
366 Уравнения второго порядка
33. (ае2ж + b)y'L + ае2*^ = 1пп(\у) + с.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = ае2х + Ъ, f(y) = \пп(Ху) + с.
34. (ое2ш + b)y'L + ш?"у'т = sinn{\y) + с.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = ае2х + b, f(y) = smn(Xy) + с.
35. (ое2ш + b)y'L + ae2a°y'x = tgn(Xy) + с.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = ае х + b, f(y) = tgn(Xy) + с.
36. sin x y"x + \ cos xy'x = аеХу + Ъ.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д{х) = sin ж, f(y) = аеХу + 6.
37. sin х у"х + -^ cos xyx = a chTl(A?/) + 6.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = sin ж, /(г/) = achn(A|/) + 6.
38. sin х у"х + -^ cos ху'х = a shn(\y) + Ъ.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = sin ж, /(г/) = ashn(A|/) + 6.
39. sin х ухх + -^ cos ху'х = a thn(\y) + Ъ.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = sin ж, /(г/) = athn(A|/) + 6.
40. sin x yxx + \ cos xy'x— a In71 т/ + 6.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = sin ж, /(г/) = alnn у -\-Ъ.
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции
> Обозначения: f, д, h, <р, гр — произвольные функции сложных аргументов, указанных в
круглых скобках после знака функции (аргумент может зависеть от х, у, ух).
2.9.1. Уравнения вида F(x,y)y%x + G(x,y) = 0
1- »-- = /(»)¦
Автономное уравнение. Встречается в механике, теории горения и теории массопереноса
с химическими реакциями. Замена и(у) = у'х приводит к уравнению первого порядка
с разделяющимися переменными: ииу = /(г/).
Решение: [\Ci+2 Г f(y)dy\ dy = C2±x.
Частные решения: у = Ак, где Ак —корни алгебраического уравнения f(Ak) = 0.
2. y'L =
Замена w = ay + Ъх + с приводит к уравнению вида 2.9.1.1: w"x = af(w).
3. ухх = f(y + ax2 + Ъх + с).
Замена w = у + ах2 -\-Ъх -\- с приводит к уравнению вида 2.9.1.1: w"x = f(w) + 2a.
4. 2/L = f(y + ажп + Ъх2 + еж) - an(n - 1)хп~2.
Замена гу = г/ + ажп + 6ж2 + еж приводит к уравнению вида 2.9.1.1: wxx = f(w) + 26.
Однородное уравнение. Преобразование t = — 1п|ж|, z = у/х приводит к автономному
уравнению z'lt — z't = f(z). Понижая его порядок с помощью подстановки w(z) = wft,
получим уравнение Абеля ww'z — w = f(w), которое рассматривается в разд. 1.3.1.
Преобразование ? = 1/ж, и> = |//ж приводит к уравнению вида 2.9.1.1: w'^ = f(w).
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 367
7. yl = ж-3
Полагая w = ух~1^2, получим
— (xwx) = -wwx + 2f(w)wx.
Интегрирование этого уравнения приводит к уравнению первого порядка с разделяющи-
разделяющимися переменными.
С\ + \w2 + 2 / f{w) dw\ dw = C2± In ж.
Преобразование ^ = 1/x, w = г//ж приводит к уравнению вида 2.9.1.3: w'^ =
о v" - г f( ax + by + c \
у' Ухх — . , . J \ I /э I / '
ах + by + с V olx + /Зу + 7 ^
Частный случай уравнения 2.9.1.11.
1°. При аC — Ъа = 0 это уравнение вида 2.9.1.2.
2°. При а/3 — Ъа ф 0 преобразование
2 = Ж - Жо, W = у -у0,
где постоянные жо иуо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
ахо + Ъуо + с = 0, ахо + /Зг/о + 7 = 0>
приводит к однородному уравнению вида 2.9.1.5:
^, = -F( — ), где F(g) = —-г-/( ^ )•
10 // _ 1 / аж + by + с \
* ^^ ( + Ь + K
Частный случай уравнения 2.9.1.12.
1°. При аC — Ъа = 0 это уравнение вида 2.9.1.2.
2°. При а/3 — Ъа ф 0 преобразование
2 = Ж - Жо, W = у -у0,
где постоянные жо иуо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
ажо + Ъуо + с = 0, ахо + /Зуо +7 = 0,
приводит к разрешимому уравнению вида 2.9.1.6:
„ 1 / гу \
(а + 6^K V a +
р/ CL2X + Ь2У + С2 Л
J ^ + СЗ /
biy + ci V а3ж + Ь3у + с3
Пусть выполнено условие:
а\ Ь\ с\
U2 &2 C2
= 0.
При а2^з — «з^2 /0 преобразование
^ = х - жо, w = у -у0,
где постоянные жо иуо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
агжо + Ъ2уо + С2 = 0, азжо + Ъзуо + сз = 0,
приводит к однородному уравнению вида 2.9.1.5:
// 1 f W \
z \z/
где
a3
368 Уравнения второго порядка
Ь2у + с2
biy
Ь\
Пусть выполнено условие:
а2 &2 C2
=0.
При а2^з — «з^2 /0 преобразование
z = х - х0, w = у -г/0,
где постоянные хо и уо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
агжо + Ь2уо + С2 = 0, азхо + Ьзуо + сз = 0,
приводит к разрешимому уравнению вида 2.9.1.6:
г3 \г/
13. j/L = x-3/2^2 1/2
Замена w = ay + bx приводит к уравнению вида 2.9.1.7: wxx = ах 3^2 f(wx 1^2).
14. y'L=y-*f( . у )¦
V д/аж2 + Ьх + с /
Полагая гг(ж) = у (ах2 + Ъх + с)~1^2 и интегрируя, получим уравнение первого порядка
с разделяющимися переменными:
(ах2 + hx + cf(uxJ = (\Ъ2 -ас)и2 + 2 Гu~3f(u)du
15. {ах +Ьх + с) ухх =
Vaa;2 + Ьж + с
Полагая w = ay+Cx+j и обозначая f(z) = ——<p(z), получим уравнение вида 2.9.1.14:
OLZ6
П -3 / \
WXX=W (
V аж2 + 6ж + с
16. 7/L = п(п + 1)ж-22/ + x3nf(yxn).
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ф = ж~п.
17. 2/L + f(x)y = ay'3.
Уравнение Ермакова. Пусть w = w(x)—любое нетривиальное решение «укороченного»
линейного уравнения w"x + f(x)w = 0. Преобразование ? = / ——, 2 = — приводит
J w2 w
к автономному уравнению вида 2.9.1.1: z1^ = az~s.
Решение: С\у2 = aw2 + w2 ( C2 + Ci / —-) .
V J w2 /
18. 2/L + /(«)?/ = д'х(х)у~г - g2(x)y~3.
Обобщенное уравнение Ермакова. Решение:
1/2
где w = гу(ж) — общее решение «укороченного» линейного уравнения wxx — f(x)w = 0.
19. (axn + b)y'L = an(n - 1)хп~2у + y~2
Преобразование ? = / —-, w = приводит к уравнению вида 2.9.1.1:
J (axn + ЪJ axn + b
«& = w~2f(w).
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 369
20. y'L = (ах + b)-2y-1/2f(y1/2 + сх) + 2с2.
Решение определяется из уравнения первого порядка
c), A)
ах + о
где функция if = (и, С) — общее решение уравнения Абеля второго рода
<р<р'и -2(au + bc)<p = 2f(u).
Об уравнениях Абеля этого типа см. разд. 1.3.3. Уравнение A) подстановкой у1^2 =и — сх
приводится к более простому виду:
2(ах + Ь)(и — сх)
Преобразование ? = / ——, w = — приводит к уравнению вида 2.9.1.1: w'L = f(w).
J яр2 яр ^
Решение: Г [Ci + 2 Г f(w) dw^ ~^*'dw = С2 ± f
22. х(х + аJу"х = f(y/x).
(rp I A \ 7/
), z = — приводит к автономному уравнению вида 2.9.6.2:
X / Ж
;г^ — zf? = a~2 f(z). Понижая порядок этого уравнения с помощью подстановки w(z) = z'^,
получим уравнение Абеля второго рода: ww'z — w = a~2f(z). Об уравнении Абеля
см. разд. 1.3.1.
23 ti" 1 /
xz {ах -\- by -\- с) V
2 (ах -\- by -\- с) V схх + (Зу + '
При аC — Ъа / 0 преобразование
z = х - хо, w = у -у0,
где постоянные хо и уо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
ахо + Ьуо + с = 0, ахо + /Зуо +7 = 0,
приводит к уравнению вида 2.9.1.22:
Ь2 ^ V (cx-\-d)ri^1 )'
тт Л . , / аж + 6 \ (аж + Ь)пу
Преобразование ? = In ( 1, w = у приводит к автономному уравнению
вида 2.9.6.2:
гу^ — Bп + 1)^ + n(n + l)w = A~2 f(w), где А = ad — be.
25. ?/l=A2t, + e3A*/(t,eA*).
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ^ = е~Лж.
26. »;'„ = f(y + аеАж + Ь) - аА2еЛж.
Замена w = у + аеХх + 6 приводит к уравнению вида 2.9.1.1: w'lx = f(w).
27. a;2j/L = x2f(xney) + п.
Замена у = w — п\пх приводит к уравнению вида 2.9.1.1: w'lx = f(ew).
24 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
370 Уравнения второго порядка
28. ухх = f(y + a sh ж + Ь) — a sh ж.
Замена w = у + ashx + b приводит к уравнению вида 2.9.1.1: wxx = f(w).
29. ухх = f(y + a ch x + b) — a ch x.
Замена w = y + achx + b приводит к уравнению вида 2.9.1.1: wxx = f(w).
30. y':x=X>y
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ф = sh Аж.
31. y'L=X>y
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ф = ch Аж.
32. х2ухх = ж2 f(y + a In ж + Ь) + а.
Замена w = у + a In ж + 6 приводит к уравнению вида 2.9.1.1: wxx = f(w).
v " - У . !
(In жK
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ^ = In ж.
2/жж — f(y~\~a sin ж + 6) + a sin ж.
Замена w = у -\- a sin ж + Ь приводит к уравнению вида 2.9.1.1: wxx = f(w).
УхХ = f(y + о, cos x -\-b) -\- a cos ж.
Замена w = у + a cos ж + 6 приводит к уравнению вида 2.9.1.1: wxx = f(w).
36. ,L = -A^
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ^ = sin Аж.
37. y':x = -X2y
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ф = cos Аж.
38. у"х = 2(sin х)~2у + (tg xKf(y tg ж).
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ^ = ctgж.
39. ухх = 2(cos x)~2y + (ctg жK/B/ ctg ж).
Частный случай уравнения 2.9.1.21 при ф = tgж.
40. sin2 ж 2/^ж = п(п + 1 — п sin2 х)у + sin3Tl+2 ж/(т/ sin71 ж).
Замена ж = ? + -|- приводит к уравнению вида 2.9.1.41:
COS ?^? = П(п + 1 — nCOS ?)|/+ COS t;J (у COS ?).
41. cos2 ж 2/^ж = n(n + 1 — n cos2 ж)т/ + cos3n+2 xf(y cos71 ж).
Преобразование ? = / cos2n ж с/ж, w = y cosn ж приводит к автономному уравнению вида
2.9.1.1: wf^ =f(w).
2
42. 7/L = cp-3f(y- + t/>) + ^^2/ - W>1 - 2^^, ^ = cp(x), ф = il>(x).
/dx у
——, w = — + ф приводит к автономному уравнению вида 2.9.1.1:
(р2 (f
w'u = f(w).
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 371
2.9.2. Уравнения вида F(x,y)y^x + G(x,y)y'x + H(x,y) = О
1. y'L + Зуу'х + у3 + f(x)y = О.
Замена у = wl w dx) приводит к линейному однородному уравнению второго
порядка: wxx + f(x)w = 0.
2. y'L + 3fyy'x + fy3 + fLy2 + g(x)y = 0, / = f(x).
Замена у = w( fwdxJ приводит к линейному однородному уравнению второго
порядка: wxx + g(x)w = 0.
3. y'L + [2ау + f(x)]y'x + af(x)y2 = g(x).
Полагая и = y'x + ay , получим их + f(x)u = g(x). Таким образом исходное уравнение
сводится к линейному уравнению первого порядка и уравнению Риккати.
4. y'L + [Зу + f(x)]y'm + у3 + f(x)y2 + g(x)y + h(x) = 0.
Замена у = их/и приводит к линейному уравнению третьего порядка: и"хх + f(x)uxx +
+ g(x)u'x + h(x)u = 0.
5. y'L - (n + I)g(x)yn-Iy'x = f(x)y + gL(x)yn - g2(x)y2n-1.
1
Решение: у = w\C + A — n) I g(x)wn~1 dx\ 1~n , где w = w(x) —общее решение
«укороченного» линейного уравнения wxx = f(x)w.
6. xy'L=ny'a!+x2n+1f(y).
Умножая обе части на х~2п~1, получим уравнение вида 2.9.2.17.
1°. Решение при п ф — 1:
Л г п-1/2 xn+i
C1+2jf(y)dy] dy = ±^-TT+C2.
2°. Решение при п = — 1:
+ 2 У /(у) dy] ~1/2 dp = ± In \х\ + С2.
7. ху"х + (n -
Преобразование ? = хп, w = ?/xn приводит к автономному уравнению вида 2.9.1.1:
п2^ = /И.
8. жт/L - пу« + f(x)y = ах2п^гу-3.
Замена w = ух~п'2 приводит к уравнению Ермакова 2.9.1.17:
и i —2г /•/ \ 1 / i г»м —3
wxx + ж F/(x) ~~ Xnvn "^ ^JJ^ = aW
9. xy'L = f(y)y'm.
Замена w(y) = хух/у приводит к линейному уравнению первого порядка: yw'y = —w +
+ 1+ /(!/)•
10. ж2?/! + awi = f(y)-
Замена х = d=e? приводит к уравнению вида 2.9.1.1: y't't = f(y).
11. ж2^ж + (п + га + 1)ж^ + пгат/ = ж71™ f(yxn).
1°. При пфт преобразование ? = жп~т, г^ = ухп приводит к автономному уравнению
вида 2.9.1.1: (n - mJw'^ = f(w).
2°. При п = т преобразование ? = In ж, w = |/xn приводит к автономному уравнению
вида 2.9.1.1: w'^ = f(w).
24*
372 Уравнения второго порядка
12. х2ухх = f(y/x)(xyfx - у).
Частный случай уравнения 2.9.3.24 при д(х) = h(x) = 0.
13. (ах2 + Ъ)ухх + аху'х + f(y) = 0.
/dx
— приводит к автономному уравнению вида 2.9.1.1: y'L + f(y) = 0.
Vax2 -\-Ь
14. х3ухх = f(y/x)(xyfx - у).
Частный случай уравнения 2.9.4.34 при g(z) = z.
15. y'L + [ay + f(x)]y'a! + fUx)y = O.
Интегрируя, получим уравнение Риккати: у'х + f(x)y + \ау2 = С.
16. j/L + [f(x) + д(у)]у'х + f'm(x)V = 0.
Интегрируя, получим уравнение первого порядка: у'х + f(x)y + / д(у) dy = С.
17. gy'L + -§-0-0- = /(У)» 9 = 9(«).
Интегрируя, получим уравнение с разделяющимися переменными:
Решение при д(х) ^ 0:
+ 2 / /(у) dp] /2 dy = С2 ± / -^=.
18. j/L + B/у + s)tf; + /^у2 + д'ху = 0, f = f(x),g = g(x).
Интегрируя, получим уравнение Риккати: у'х + f у2 + 9У = С.
19. y'L + (з/у + ±)у'а + /22/3 + /4?/2 + Bfg + h)y + д'х + °^ = 0.
Здесь / = /(ж), ? = #0), /г = h(x).
Решение: у = —, где и = и(х) — общее решение линейного уравнения
f(x)u
" ( f'x , WX \ ' , ? П
ихх - [^f- + -^ )их + fgu = 0,
f +
а ^ = гу(ж) —общее решение другого линейного уравнения w"x + h(x)w = 0.
20. т/1 + [3/(ж)у + 2д(х) + ^(ж)?/]^ + f(х)у3 + [/4 (ж) + 2f(x)g(x)]y2 +
+ [^(ж) + д2(х) + 2f(x)g(x) -р(х)]у + ^(ж) + 2^(ж)Л(ж) + Н2(х)у~1 = 0.
Решение удовлетворяет уравнению Риккати у'х + f(x)y2 + [д(ж) — ^(ж, С)]г/ + h(x) = 0,
где z = z(x,C) — общее решение другого уравнения Риккати z'x + z2 = р(х).
и. Л - ^й + (f f - р
Преобразование ^ = / —^- с/ж, w = — приводит к автономному уравнению вида 2.9.1.1:
V у2
Здесь / = /(ж), ? = д(х), h = h(x).
Решение определяется из уравнения Абеля второго рода уу'х = ——у2 — f(x)y — g(x),
w
где w = w(x) — общее решение линейного уравнения wxx + h(x)w = 0. Об уравнении
Абеля см. разд. 1.3.
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 373
23. y"x=ay'x+e2axf(y).
2аж,полу*
1-1/2
Умножая обе части на е 2ах, получим уравнение вида 2.9.2.17.
= С2 ± -еаж.
Решение: Г [Ci + 2 /" /(?/) dj/
24. ?/жж = -аух + е /(т/е ).
Преобразование ? = еаж, гу = ?/еаж приводит к уравнению вида 2.9.1.1: w'^ = а~2 f(w).
25. j/L + (м + I/)»; + ^/ху = е("-а")и/(»е'1И).
1°. При // / ^ преобразование ? = е^~^ж, ги = ?/емж приводит к автономному уравнению
вида 2.9.1.1: (ц - vJw'^ = f (w).
2°. При ц = ъ> замена w = 2/е^ж приводит к автономному уравнению вида 2.9.1.1:
26. y'L - \у'х + /(х)у = ае2Хху~3.
Замена w = ye~Xx^2 приводит к уравнению Ермакова 2.9.1.17:
wxx + [/(ж) "" Х^ \W = aW
27. a;t,L - пу^ - а(ах + п)у = x2n+1eSax f(yeax).
Частный случай уравнения 2.9.2.21 при (р = хп, ф = е~аж.
28. xy'L=f{xneay)y'!B.
Преобразование z = хпеау, и> = ж^/^ приводит к уравнению первого порядка с разделя-
разделяющимися переменными: z(aw + n)w'z = [/(^) + 1]гу.
29. ж2 г/1 + xwi = f{xneav).
Преобразование z = xneay, w = ж^/i приводит к уравнению первого порядка с разделя-
разделяющимися переменными: z(aw + n)w'z = /B).
30. ж2^ж - ах2у'х - п(ах + п + 1)у = х3п+2е2ах f(yxn).
Частный случай уравнения 2.9.2.21 при ср = еаж, ^ = х~п.
31. (ае2Аж + 5J/1 + аАе2^ + f(y) = 0.
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д(х) = ае2Хх + 6.
32. ?/L + д'ху'х + fy = ае~2ду~3, f = /(ж), д = д(х).
Замена w = уе9^2 приводит к уравнению Ермакова 2.9.1.17:
33. y'L-^yL-
Преобразование ? = / (ре2ах dx, w = уеах приводит к уравнению вида 2.9.1.1:
«& = /М-
34. х2ухх + ж^ = /(?/ + а In ж + b In2 ж).
Замена х = ef приводит к уравнению вида 2.9.1.3: yftft = f {у -\- at -\-Ы2).
35. j/1 + Am tg(Ax)tf; + /(ж)?/ = a[cos{\x)]2my-3.
Частный случай уравнения 2.9.2.32 при д = — m\ncos(\x).
36. ухх — (п + 1) tg ж ^ — пу = cos71 ж f(y cos71 ж).
Частный случай уравнения 2.9.2.21 при 9? = cos"™ х, ф = cos~n x.
374 Уравнения второго порядка
37. ухх + (т - п) tg ж ух - п[(гп + 1) tg2 х + 1]у = cos2rri+Tl ж f(y cos71 ж).
Частный случай уравнения 2.9.2.21 при ср = cosm~n х, ф = cos~n ж.
38. ухх + a tg х у'х + Ь(а tg ж - 6)?/ = cos2a ж e3bxf(yebx).
Частный случай уравнения 2.9.2.21 при (р = cosa ж, ^ = е~Ъх.
39. ж2т/"ж + аж2 tg ж ^ + п(аж tg ж - п - 1)?/ = ж3т1+2 cos2a ж f{yxn).
Частный случай уравнения 2.9.2.21 при if = cosa ж, ^ = х~п.
40. х2ухх — ах2 ctg ж т/ж — п(аж ctg ж + п + 1)т/ = ж3т1+2 sin2a ж f(yxn).
Частный случай уравнения 2.9.2.21 при 9? = sina x, ф = ж~п.
41. sin ж 7/L + \ cos ж ^ = f(y).
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д = sin ж.
42. cos ж 2/^ж - ^- sin ж ^ = /(?/).
Частный случай уравнения 2.9.2.17 при д = cos ж.
2.9.3. Уравнения вида F(x,y)y^x + ^ Grri(x,y)(y/x)rn = О (М = 2, 3, 4)
1. v'L + f(y)(yLf + g(v) = о.
Замена ги(г/) = (у'х) приводит к линейному неоднородному уравнению первого порядка:
w'y + 2f(y)w + 2g(y) = 0.
2. v'L = f(y)(yLf + g(x)yL-
Деля на yfx, получим уравнение в полных дифференциалах. Его решения находятся из
равенства
Ы\у'х\= f f(y)dy + f g(x)dx + C,
разрешив которое относительно у'х, получим уравнение с разделяющимися переменными.
Кроме того, у = С\ — решение при любом С\.
3. ухх = — ~(хух - у)ух.
Преобразование z = хпуш, w = приводит к уравнению с разделяющимися
У
переменными: z(mw + n)w'z = [f(z) — l](w2 — w).
4. y"x = f(x) + g(x)(xy'x - y) + h(x)(xyfx - yJ.
Замена w{x) =xyfx—y приводит к уравнению Риккати: w'x =xf(x)-\-xg(x)w-\-xh(x)w2.
5. yy'L + {vLf + f{x)yyL + g{x) = o.
Замена и = у2 приводит к линейному уравнению: ихх + f(x)ux + 2д(х) = 0.
6. уухх - (yfxJ + f(x)yyfx + д(х)у2 = 0.
Замена и = у'х/у приводит к линейному уравнению первого порядка: u'x+f(x)u+g(x) = 0.
7. 2yy'L - (y'xf + f(x)y2 +o = 0, a > 0.
Если и и v — два решения линейного уравнения ^ухх + f(x)y = 0, удовлетворяющие
условию (uvx — uxvJ = а, то у = uv — решение исходного уравнения.
8. yy'L - n(y'xf + f(x)y2 + ay4™ = 0.
1°. При п = 1 это — уравнение вида 2.9.3.6.
2°. При п ф 1 замена u> = 2/ln приводит к уравнению Ермакова: wxx + A — n)f(x)w +
+ a(l - n)w~3 = 0.
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 375
9. yy'L - n(»;)a + f(x)y2 + g(x)yn+1 = 0.
Замена w = y1~n приводит к линейному неоднородному уравнению: wxx + (l—ri)f(x)w+
+ A - п)р(ж) = 0.
Ю. yy'L + a(y'xf + /(ж)то^ + g(x)y2 = 0.
Замена w = ya+1 приводит к линейному уравнению: wxx + f(x)wx + (a + l)g(x)w = 0.
11. щ/1 - 2(^J - (fy
Интегрируя, получим уравнение Риккати: у'х + С?/2 + /?/ + g = 0.
12. yy'L - (y'xf + (/з/2 + д)у'х + /4?/3 - д'ху = о, / = /(ж), # = б'(ж)-
Интегрируя, получим уравнение Риккати: у'х + fy2 + Сг/ — р = 0.
13. 2/1 + Ш2 + [2/2/2 + 2(/ + ^)у + ^ + 2h]yL + /22/4 + 2fgy3 +
+ B/4 + д2 + 2/^O/2 + (^ + 2^ЛJ/ + Л^ + h2 - р = 0.
Здесь / = /(ж), д = д(х), h = h(x), p = р(х).
Решение удовлетворяет уравнению Риккати у'х + f(x)y2+g(x)y + h(x) — z(x, С) = 0,
где z = z(x,C) — общее решение другого уравнения Риккати z'x + z2 = р(х).
14. yy'L = f(x)(yLf-
Замена w(x) = xy'x/y приводит к уравнению Бернулли 1.1.5: xw'x = w + [f(x) — l]w2.
15. yy'L + f(x)(yLf + g(x)yy'm + h(x)y2 = 0.
Замена и = yx/y приводит к уравнению Риккати: их + A + f)u2 + ди + h = 0.
16. y'L - a(y'S + f(x)eav + g{x) = О.
Замена w = e~ay приводит к линейному уравнению: wxx — ag(x)w = af(x).
17. j/L - a(y'S + be4ew + f(x) = 0.
Замена ги = e~ay приводит к уравнению Ермакова 2.9.1.17: wxx — af(x)w = abw~s.
18. Щ/1 = f(ea'yn)(y'af.
Преобразование z = eaxyn, w = г/^/?/ приводит к уравнению первого порядка с
разделяющимися переменными: z(nw + a)w'z = [f(z) — l]w2.
19. 2/1 = xf(y)(y'xf.
Принимая |/ за независимую переменную, получим линейное уравнение для х = х(у):
х'уу = ~f(y)x.
20. y'L + [xf(y) + ЯЫ]Ш3 + h(y)(y'xf = 0.
Принимая |/ за независимую переменную, получим линейное уравнение для х = х(у):
х'уу - Цу)х'у - f(y)x - д(у) = 0.
21. х ухх =
Частный случай уравнения 2.9.4.35 при к = 2.
22. xsy'L + [x4f{y) + a](y'xf = 0.
Принимая у за независимую переменную, получим для х = х(у) уравнение вида 2.9.1.17:
х'уу - f(y)x - ах~3 = 0.
23. ухх = х~г[f(y) + g(y)(xyfx - у) + h(y)(xyx - уJ]у'х.
Замена w(у) = хух — у приводит к уравнению Риккати: w'y = f(y) + g(y)w + h(y)w2.
376 Уравнения второго порядка
24# у = х~
Преобразование z = y/x, w = хух/у приводит к уравнению Риккати: zw'z = z2h(z)w2 +
+ [zg(z)-l]w + f(z).
25. y'L + ea"f(y)(y'.)a + о»; = О.
Замена ^ = е~ах приводит к уравнению вида 2.9.4.2 при g(z) =aszs: y'^—af(y)(y'^) =0.
Частный случай уравнения 2.9.4.8 при п = —3/2, m = 1, /B) = 2<?>(;г).
27. 3/jcjc H~ f(y)(yx) H~ Gliy^iyx} ~\~ ^(з/) -~ О-
Замена w(y) = (yx) приводит к уравнению Риккати: w'y + 2f(y)w2 + 2g(y)w + 2h(y) = 0.
Частный случай уравнения 2.9.4.46 при п = 4,<^ = ж~т.
29. (у + aaOt/1 = f(x)(xy'lc - yf.
Замена ?/ = — ах + ж^ приводит к уравнению xzzxx + 22;^ — ж3 f(x)(zx) = 0. Полагая
далее w = ^/2;, получим уравнение Бернулли: xwx + 2w + [х — x3f(x)]w2 = 0.
2.9.4. Уравнения вида F(x,y,yx)y^x + G(x,y,y'x) = 0
1. y'L = f(x)g(yL).
Замена и(х) = у'х приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися перемен-
переменными: и'х = f(x)g(u).
2. y'L = f(y)g(y'x).
Замена и(у) = у'х приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися перемен-
переменными: ии'у = f(y)g(u).
Кроме того, могут быть решения вида у = Ах + С, где А — корни уравнения д(А) = 0,
С — любое; и решения вида у = В, где В — корни уравнения f(B) = 0.
3. y'L = f(ax + by + c)g(y'x).
При b = 0 имеем уравнение вида 2.9АЛ. При 6/0 замена и(х) = у + (ах + с)/Ь приводит
к уравнению вида 2.9.4.2: и'хх = f(bu)g(ux — — J.
4 7 " — т1 f(-rni/ 1
ч» Уазаз — «^ J V**' Ух/'
Замена ги(ж) = ж77^ приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися пере-
переменными: xwx = f(w) + nw.
5 11 — 2п — 1 /?/ тг / \
2/жж = У f(y Ух)-
Замена w(y) = yny'x приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися пере-
переменными: yww'y = f(w) + nw2.
,, У of xy'x
о- Ухх = -^гТ\
х2 \ у
Замена w(x) = xy'x/y приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными: xwx = f(w) + w — w2.
Обозначая и = у'х и переходя к новым переменным t = / , w = 2л/ж, имеем
J f(u)
у = (w't) . Дифференцируя это выражение по ж, получим линейное уравнение второго
порядка w'tt = g(t)w, где функция g(t) задается параметрически:
du
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 377
8.
ху
Преобразование z = хпут, w = xy'x/y дает
1 2п+т
z(mw + n)w'z = z~ m+1 f(z)w n+rn + w — w2.
2n+m
Поделим обе части этого уравнения на w п+ш и введем новую переменную
В результате получим линейное уравнение первого порядка:
1
(n + m)zC = -С + z n+™ f(z).
9. y'L + Пх)у'я + д(х)(у'я)к = 0.
Замена и(х) = у'х приводит к уравнению Бернулли: их + f(x)u + g(x)uk = 0.
ю. y'L = f(y)(vLf+g(y)(yL)k-
Замена w(y) = у'х приводит к уравнению Бернулли: w'y = f(y)w + g(y)wk~1.
п. zt,i + xnm-3m+l/(»)(»;)" + m»; = o.
Частный случай уравнения 2.9.4.46 при 9? = x~m.
Л~ а п — кп — km _i / fe_i —ко, п т\, / \fe+i
12 т/ = х у + х у f(x у )(у) ^
_i / fe_i —ко, п т\, / \
х ух + х у f(x у )(ух)
km
Переходя к новым переменным z = xnym, w = xy'x/y, имеем
z(mw + n)w'z = nAfc~fc)w - w2 + f(z)wk+1.
Умножая обе части на w~k~1 и делая замену ^ = w1~ — —w~ , получим
и 1
линейное уравнение первого порядка: z(^z = С + f(z).
т
13.
уШ + ХуЧ{ху)Ы,)-
Переходя к новым переменным z = xnym, w = xyx/y, имеем
z(mw + n)wz = w -\ -w +f(z)w^ .
rZTl
Умножая обе части на w~k~2 и делая замену С = —w~k + w~k~1, получим
к к + 1
>/& + !> г/\
линейное уравнение первого порядка: zQz = — Q — j(z).
14. y'L = y-\y'S - х-^У* + x
у
Преобразование z = xnym, w = xyx/y приводит к уравнению первого порядка с
разделяющимися переменными: z(mw + n)w'z = f(z)g(w).
Ухх —
/аху + Ь
Обозначая и = у'х, перепишем уравнение в виде: [л/хufx/f(и)] = ay + Ъх~х.
Дифференцируя обе части по ж и вводя новые переменные t = — / / ч , z = л/х,
2 J f(u)
получим уравнение вида 2.9.1.17: z"t = au(t)z — bz~s.
378 Уравнения второго порядка
16. y'L = fiyL)
21.
\Jay + Ьж2
Обозначая и = ух, перепишем уравнение в виде: [ufx/ f(u)] = ау-\-Ъх2. Дифференцируя
обе части по ж и вводя новую переменную t = / , получим для ж = x(t)
J f(u)
интегрируемое в квадратурах линейное уравнение второго порядка: 2ж'/? = 2bx + au(t).
Здесь функция и = u(t) задана неявно: t = / ——-.
J f(u)
y'L = /(^)
л/ах + by2
Принимая у за независимую переменную, для ж = х(у) получим уравнение вида 2.9.4.16:
18. у"х = (ах2 + Ъху + су2 + olx + /Зу + 7)
Преобразование х = At + 5гб + С, у = Dt + Ри + Q, где гб = гг(?), путем подходящего
выбора постоянных А, В, С, D, P, Q приводит это уравнение к одному из уравнений
вида 2.9.4.15, 2.9.4.16, 2.9.4.17.
19 у" -
уаху + Ьж3/2 + сх
Обозначая и = у'х, перепишем уравнение в виде: [у/х и'х/f (и)~\ = ау + бу/ж + с.
Дифференцируя обе части по ж и вводя новые переменные t = — / , z = у/х,
Z J J yUj
получим линейное уравнение второго порядка: 2z'lt = 2au(t)z+b. Здесь функция и = u(t)
. 1 С du
задана неявно: t = — / ———.
20. y'L =
V' axy + by3/2 + cy
Принимая у за независимую переменную, для х = х(у) получим уравнение вида 2.9.4.19:
x'iv = -(axy + by3'2 + cy)-1/2f(l/x'y)(x'yf.
\J аху + Ьж2 + сж3/2 + dx
Замена aw = ay + bx приводит к уравнению вида 2.9.4.19: wxx =
+ by2 + су3/2 + dy
Принимая у за независимую переменную, для х = ж(г/) получим уравнение вида 2.9.4.21:
<„ = -(axy + by2 + су3'2 + dy)-1/2f(l/x'y)(x'yf.
y/axw + сж3/2 + (
22. ?/" = —
23.
24. y'L =a + f(x)V(yLJ - lay.
Обозначая и = y'x, перепишем уравнение в виде: (их — aJ[f(x)]~2 = и2 — 2ау.
Дифференцируя обе части по ж и сокращая на (и'х — а), получим линейное уравнение:
fu'xx = f'xu'x + fSu — af'x- Имеется также однопараметрическое семейство решений:
U 2
Преобразование Лежандра х = w't, у = tt^J — ги (г/J. = t, г/^ж = l/w"t) приводит к
линейному уравнению второго порядка: w"t = [f(t) -\-tg{t)]w't — g(t)w + h(t).
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 379
25. y'L = /(xWvLixyL - V).
Преобразование Лежандра х = w't, у = tw't — w приводит к уравнению вида 2.9.4.7:
" = 1
Wtt ~ /K)x/to •
26. y'L = f(y)(xyL-yI/2(vLJ-
Преобразование х = tw't —w, у = —w't, где w = w(t), приводит к уравнению вида 2.9.4.7:
// _ 1
Wtt~ f(
27. y"x=x-2(xy'x-y)f(y'x).
Преобразование Лежандра х = wft, у = tw't — w (y'x = ?, ухх = l/w't't) приводит к
о (л о 1 л " (wtJ
уравнению вида 2.9.3.14: wtt = \\ .
f(t)w
28. y'L=x-3f(xy'a-y)(yL)~1.
Преобразование Лежандра х = w'u у = tw't — w приводит к уравнению вида 2.9.3.19:
3
29. у = х~
Замена w = у'х — — приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными: xw'x = —w + f(w).
30. ухх = f(x)g(xyfx - у).
Замена w = xyx — у приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными: wx = xf(x)g(w).
31. y'L = x-n-3ynf{xy'x - у).
Преобразование х = 1/?, у = и>/? приводит к автономному уравнению вида 2.9.4.2:
32.
тт " - ^ ел л ^г 7
Частный случаи уравнения 2.9.4.36 при /с =
33. ?/"ж = x~1f(y)g(xyfx - у)ух.
Замена w(y) = ху'х — у приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными: w'y = f(y)g(w).
34. ухх = x~3f(y/x)g(xyfx - у).
Преобразование x = l/t, y = w/t приводит к уравнению вида 2.9.4.2: w't't = f(w)g(—w't).
35. y'L = x-2f(y/x)(xy'x - y)(y'x)k.
Полагая z = y/x, w = xy'x/y, получим уравнение Бернулли: zw'z = —w + zk f(z)wk.
Имеются частные решения у = Сх и у = С\ (при к > 0).
f/™п,,тп\ 2п-\-т — Ttfc
36. ^ = /( J ^у-) "+- (^ - ») ¦
Преобразование ^ = хпуш, w = xy'x/y приводит к уравнению
к — 1 2п+т — пк
z(mw + n)w'z = z п+ш f(z)w n+m (w — 1) + w — w2.
2n-\-m
Умножая обе части на w~ n+m и переходя к новой переменной по формуле
т п к — 1
C,=w п+ш —w~ п+ш , получим уравнение Бернулли: (n + m)z?rz = —? + z n+m /(^)C •
380 Уравнения второго порядка
37. y'L = п(п - 1)х~2у + f(x)(xy'll! - пу)т.
Замена w = хпу'х — пхп~1у приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными: w'x = xn+rn-nm f(x)wm.
38. y'L = п(п - 1)х~2у + f(x)g(xTlyx - пх^у).
Замена w = хпу'х — пхп~1у приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися
переменными: w'x = хпf(x)g(w).
39. ухх = f(x)(xyfx - у) + д(х)(ху'х - у)к.
Замена w(x) = хух — у приводит к уравнению Бернулли: wx = xf(x)w + xg(x)wk.
40. у"х = ж [f(y)(xyx - у) + д(у)(ху'х - у)к]ух-
Замена w(у) = хух — у приводит к уравнению Бернулли: w'y = f(y)w + g(y)wk.
Полагая z = y/x, w = xy'x/y, получим уравнение Бернулли: zw'z=[zf(z) — l]w+zkg(z)wk.
42. ухх = х (хух - у) f{ — ) + х (хух - у) 9[—)-
Преобразование х = —1/?, у = — w/t приводит к уравнению вида 2.9.4.10: w"t =
= f(w)(w'tJ+g(w)(w't)k.
^(пгггьо,т\ 2п-\-т — пк / п „ ,т\
43. y'L = f(X V } Ш "+- (х»; - yf + 9{Х У } У'Л*У'* ~ У)-
ху ху
Преобразование z = хпуш, w = ху'х/у с последующей заменой С, = w п+ш — w п+ш
fc-i
приводит к уравнению Бернулли: (п + m)zC,'z = [g(z) — 1]С + z п+ш f{z)C, .
2п-\-т-\-3 тг + 1
44. у':х = хпут(у'х) "+-+2 F(C), С = (xyL - у)Ш~ п+т+2 ¦
Преобразование Лежандра х = w't, у = tw't — w приводит к уравнению вида 2.9.4.36:
2а+]-аЬ ь п + 1 ,
Ь m
45. ^ = ?^ПШ^ + «^^^^ш-у^^
xy xy xy
Преобразование z = xnym, w = xyx/y с последующей заменой (,(z) = w п+ш —w n+m
l l
приводит к уравнению Риккати: (n-\-m)zC,'z = z п+ш h(z)( +[g(z) — l](i+z п+ш f(z).
46. y'L + tp2-
Замена ^ = / (f(x) dx приводит к уравнению вида 2.9.4.2: у'^ + f{y){y'^)n = 0.
47. gy'L + ±gW* = fiyMyLVg), g = g{x).
Замена w (у) = ухЛ/д приводит к уравнению первого порядка с разделяющимися пере-
переменными: wwfy = f(y)h(w).
48. fy'L + ±fLvL = fg(y)(vLf + fnHy)(y'SBfn, f = f(x).
/dx
—^^= приводит к автономному уравнению вида 2.9.4.10: y'L =
\/f(x)
49. y'L + ea^-2^f(y)(y'x)n + ay'x = 0.
Частный случай уравнения 2.9АЛ6 при ср = е~
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 381
50. y'L = -х-гу'х + x-2f(xneay)g(xy'x).
Преобразование z = хпеау, w = хух приводит к уравнению первого порядка с разделя-
разделяющимися переменными: z(aw + n)w'z = f(z)g(w).
51. y'L = -^-{У*? + *fe-2/(*"e^)(^)fc.
Переходя к новым переменным z = хпеау, w = ху'х, имеем
/ \/ а 1 — к 2 г/ \ к
z(aw + n)wz = w +w + jyz)w .
Умножая обе части на w~k и делая замену v = w ~ -\ w ~ , получим
линейное уравнение первого порядка: zv'z = v + f(z).
п
52. ?/жж = -___^ + у f(e у )(ух) .
Переходя к новым переменным z = eaxym, w = yfx/y, имеем
/ . \ / 2 а 2 — к . г/ \ к
zimw + a)wz = —w — w + j(z)w .
m 1 — к
ЛТ г -к m 2-fc , а 1-fc
Умножая обе части на г^ и делая замену г> = w + w , получим
линейное уравнение первого порядка: mzv'z = (к — 2)v + mf(z).
53. j/L = у-гШ2 + yf(ea!Bym)9(y'Jy)-
Преобразование z = еахуш, w = г/^/г/ приводит к уравнению первого порядка с
разделяющимися переменными: z(mw + a)w'z = f(z)g(w).
54. j/L = x-*f(xneav) exp(-—a!Wi).
Преобразование ? = жпеау, w = xy'x дает уравнение ^(аг^+п)г^^ =w+f(z) expf г^;),
. / а \
которое с помощью подстановки ? = г^ехр! —w 1 сводится к линейному уравнению
V п /
первого порядка: nz(Jz = С + /(^)-
55. y'L = —?-y'a
Преобразование z = eaxym, w = y'x/y приводит к уравнению
zimw + a)w'z = — — г^ \nw — w2 + f(z)w.
m
Деля обе части на w и делая замену г> = mu> + a\nw, получим линейное уравнение
первого порядка: mzv'z = — v + mf(z).
56. j/L = —^(y'xf ln(xy'x) + f(xneay)(y'xf.
Преобразование z = xneay, u> = ж^ приводит к уравнению
z(aw + п)гу^ = w — —w \nw + w f(z).
n
Деля обе части на w2 и делая замену v = a\nw — nw~1, получим линейное уравнение
первого порядка: nzv'z = — v + nf(z).
57. fiyxy"x + fcyylx + fs(yfxJ + /42/2/L + /s?/2 =0, Д = Л(ж).
Замена гу(ж) = y'x/y приводит к уравнению Абеля: (fiw + /2)^ + f\w3 + (/2 + /з)^2 +
+ /б = 0.
58. f{y'x)y'L + il(l/)l/« + Л(ж) = 0.
Интегрируя, получим
/ /О) du + / p(j/) dj/ + / Л(ж) с?ж = С, где и = ух.
382 Уравнения второго порядка
2.9.5. Уравнения вида F(x, у, у'х, у^х) = О
1. у = f{y'L).
Замена w(y) = \{у'х) приводит к уравнению вида 1.8.1.2: у = f(w'y).
г. * = »
Преобразование t = у , w = (ух) приводит к уравнению вида 1.8.1.7: w = tf {w't).
3. у = xf{x3y'L).
Преобразование х = 1/t, у = w/t приводит к уравнению вида 2.9.5.1: w = f(w"t).
4. у = ах2 + Ъх + с + /B/L).
Замена w = у — ах2 — Ъх — с приводит к уравнению вида 2.9.5.1: w = f{w'lx + 2а).
ж?/ж - 2/ = /(ж Ухх)-
Частный случай уравнения 2.9.5.10 при ср = хп.
6. ху'х = у + а(у'хJ + 6^ + с + /(l/D-
Преобразование Лежандра ж = ги?, |/ = ^t ~ w (Ух = ^ 2/жж = ^/w'tt) приводит к
уравнению вида 2.9.5A: w = at2 + bt + с + f(l/w"t).
) + ж?/ = ?/
Решение: 2?/ = Cix2 + 2xf(Ci) + С^2.
8. /B/L+2/) = (?/LJ + (^J.
Дифференцируя по ж, приходим к распадающемуся уравнению
[f'iVxx +У) - ЪУххКУххх + Ух) = 0.
Приравнивая нулю второй сомножитель, получим г/^жж +2/ж = 0- Решения этого уравнения
имеют вид
где А2 =
Приравниваю нулю выражение в квадратных скобках (первый сомножитель), находим
особое решение в параметрическом виде:
J л /df(ll\ — \ f (ll\~\2
9. /(a;)(t/L-aJ = B,;J
Дифференцируя по ж, получим
(Ухх - a)[Zfy'xxx + /х2/хх - 2у'х ~ af'x] = 0. A)
/dx
w = yfx, приходим к линейному неоднородному уравнению второго порядка с постоянны-
постоянными коэффициентами:
w^-w= -afx, B)
в котором правую часть надо выразить через ?. Подставив решение уравнения B) в
исходное уравнение, можно получить связь между постоянными интегрирования.
Приравнивая в A) выражение в круглых скобках нулю, находим особое решение:
\ 2
10. ху'х - у = f{vy'L), V = (f(x).
Преобразование ?= / —dx, w = xyfx—y приводит к уравнению вида 1.8.1.2: w = f(w'A.
J ф
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 383
Решения получаем из равенства (у — С\J = 2Сг(х — А) + Cf, где F(C\, А) = 0. Вопрос
о том, имеются ли другие решения, требует дополнительного исследования.
Л- 1-1/" " ' 2 II п ' I О \ Гк
12. F(yxx, хухх - ух, х ухх - 2хух + 2у) = 0.
Решениями заведомо являются все функции вида у = \Ах2 — С\х + уСг, где посто-
постоянная А = А(С\,С2) определяется из алгебраического (трансцендентного) уравнения
F(A,Ci,C2)=0.
= о.
Решениями заведомо являются все функции вида (х — С\J + {у — С2J = А2,
где постоянная А = A(Ci,C2) определяется из алгебраического (трансцендентного)
уравнения F(Ci, Сг, А) = 0.
14. xy'x-y = f(eXxyx'x).
15.
Частный случай уравнения 2.9.5.10 при (р = еХх.
Частный случай уравнения 2.9.5.10 при ср = sin ж.
2.9.6. Уравнения общего вида, допускающие понижение порядка
1. Ухх = F(x, yx).
Замена w(x) = y'x приводит к уравнению первого порядка: w'x = F(x,w).
2. y'L = F(y, y'x).
Автономное уравнение. Замена w(y) = у'х приводит к уравнению первого порядка:
ww'y = F(y, w).
3. ухх = F(ax + by, yx).
Замена bw = ax + by приводит к уравнению вида 2.9.6.2: w"x = Fybw, wx — — J.
4. »:. = -i/(f«:).
Однородное уравнение. Частный случай уравнения 2.9.6.6 при к = 1.
//_ 1 „/аж + Ьу + с ,\
1°. При а/3 — Ьа = 0 замена bw = ах -\-by -\-с приводит к автономному уравнению вида
2.9.6.2.
2°. При а/3 — Ьа ф 0 преобразование
z = х - х0, w = у -у0,
где постоянные хо и уо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
ахо + Ьуо + с = 0, ажо + /Зг/о + 7 = 0>
приводит к однородному уравнению вида 2.9.6.4:
1 W
[) где
6. yL = a!'-3F(a!-fci,, x1-^).
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование t = In ж, w = x~fc|/ приводит к
уравнению вида 2.9.6.2: w"t + Bк — l)w't + к(к — l)w = F(w, w't +
384 Уравнения второго порядка
7. VL ^(y,
2 V у
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование z = хпут, w = xy'x/y приводит к
уравнению первого порядка: z(mw + n)w'z = F(z, w) + w — w2.
8. 7/L = F(x, xy'x - y).
Замена w(x) = xy'x — у приводит к уравнению первого порядка: wx = xF(x, w).
9. ухх = .
Замена w(x) = y'x — — приводит к уравнению первого порядка: xwx = —w + xF(x, w).
x
Замена w(y) = xyx — у приводит к уравнению первого порядка: (у + w)w'y = F(y, w).
Замена w(y) = fy'x приводит к уравнению первого порядка: ww'y = Ф(г/,ги).
12. 2/^а. = 2ауу'х + F(aj, у?. — а?/2).
Это уравнение можно получить путем исключения неизвестной функции z из системы
дифференциальных уравнений первого порядка:
zx=F(x,z), A)
у'х - ay2 = z. B)
Если получено общее решение z = z(x,Ci) уравнения A) (которое можно решать
независимо), то исходное уравнение сводится к уравнению Риккати B) с известной правой
частью.
л /¦» // —ах т-1/ ах ах I \
13. ухх = е F(e у, е ух).
Замена w = eaxy приводит к уравнению вида 2.9.6.2: wxx—2aw'x+a2w = F(w, w'x—aw).
14. y'L = yF(eaa°ym, y'Jy).
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «сдвига-растяжения». Преобра-
Преобразование z = еахуш, w = у'х/у приводит к уравнению первого порядка: z(mw + a)w'z =
= F(z, w) — w2. См. также разд. 0.3.2-7.
15. ухх = x-2F(xneay, xy'x).
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «растяжения-сдвига». Преобра-
Преобразование z = хпеау, w = ху'х приводит к уравнению первого порядка: z(aw + n)wz =
= F(z, w) + w. См. также разд. 0.3.2-7.
16. ухх = e2ayF(xeay, е~ауух).
Преобразование z = хеау', w = e~ayyx приводит к уравнению первого порядка:
(azw + l)w'z = F(z, w) — aw2.
17. yxx = aeyy'x + F(x, y'x — aey).
Это уравнение можно получить путем исключения неизвестной функции z из системы
дифференциальных уравнений первого порядка:
z'x=F(x,z), A)
у'х - aev = z. B)
Если получено общее решение z = z(x,Ci) уравнения A) (которое можно решать
независимо), то исходное уравнение сводится к уравнению B), которое интегрируется в
квадратурах (см. уравнение 1.7.2.5).
18. ухх = (руу'х + (fx + F(x, ух - <р), ср = ср(х, у).
Замена w = у'х — (р(х, у) приводит к уравнению первого порядка: wx = F(x, w).
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 385
19. у"х = x~2F(ay + Ъ In ж, ж^).
Преобразование z = а?/ + 6 In ж, и> = ж?/^ приводит к уравнению первого порядка:
(aw + b)w'z = ^(^, гу) + w.
20. ?/"ж = yF(ax -\-b\ny, у'х/у).
Преобразование z = ах + b\ny, w = y'x/y приводит к уравнению первого порядка:
(bw + a)w'z = F(z, w) — w .
21. j/L = F(x, y).
Пусть F Ф y>(x)y + ф(х), т. е. уравнение является нелинейным. Тогда его порядок можно
понизить на единицу, если правая часть уравнения имеет вид:
F(x, у) = Г3/2Е{ф(и) + j[\ff''xx{u + V) + f^g'LE'1] dx}, A)
где
E = exp(k f Z^), V = Г f-^gE^dx, и = //2E~xy -V;
Ф = Ф(и), f = /(ж), g = р(ж) — произвольные функции, к — произвольная постоянная.
Интеграл в A) можно выразить через функции Е и V. Возможны следующие случаи:
1°. При /i'L^O:
F{x, у) = Г3/2ЕФ(и) + \Г2 [Vf'L ~ (fxf]y+ \Г2 Bfg'x - f'xg + 2kg) +k2f~3/2EV.
2°. При / = ax2 + bx + c, f'x ф -2к, f'x ф \к:
F(x,y) = f-*>2E<S>{u) + y-2Bfglx-fxg+2kg) + (k2+\&)rV2EV, где A = 4ac-b2.
3°. При f = C-2kx:
F(x,y) = f-2№(y + W) + fg'x+2kg], где W = -Jf-1gdx.
4°. При / = \кх + Р:
F(ЖJг/) = Ф(/-22/-г7) + /-2(/^ + |fc<7) + ffc2г7, где U = fr3gdx.
Во всех указанных случаях преобразование
t = [ f~xdx, и = Гх12Е~ху - V
приводит к автономному уравнению u"t + 2ku't + к2и = Ф(и), которое с помощью замены
z(u) = u't сводится к уравнению Абеля: zz'u + 2kz + к2и = Ф(и) (см. разд. 1.3.1).
Решение исходного уравнения в случае 1° при к = 0:
— + С2, где Щи)= I*Ф(и)в,и.
Решение исходного уравнения в случае 2° при к = 0:
2 / . du =± Г dx +С2, где Ъ(и)= [ Ф(и)йи.
J у/8Щи) - Аи2 + Сх J ax2+bx + c ' V У У V У
2.9.7. Некоторые преобразования
X
Преобразование ? = 1/ж, гу = у/х приводит к уравнению w'^ + F(?, гу) = 0.
2. 2/L = n(n + 1)х~2у + Ж3тг^(Ж2тг+1, ж71^).
Преобразование ? = ж2гг+1, гу = хпу приводит к уравнению Bп + lJw'^ =
25 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
386 Уравнения второго порядка
э.
ах + b ax + b
Преобразование ? = , w = —-— приводит к уравнению w'L + A~2F(?, w) = 0,
ах -\-Ь ах -\-Ь чч
где А = ad — be.
4. х2у"х + аху'х + by + F(x, у) = 0.
Преобразование х = ?^, у = ^w, где параметры i/ и // определяются путем решения
алгебраической системы
2// + 1 + (а — l)i/ = 0, ii2 + (а — l)/ii/ + fo/2 = 0,
приводит уравнение к виду
5. y'L = п(п + 1)х~2у + xSnF(ax2n+1 + Ь, хпу).
Преобразование ? = ах2п+1+Ь, w = xny приводит к уравнению a2Bn+lJw'^=F(^,w).
6. y'L = \2У + еЗЛ*Р(ае2Л* + 6, ех'у).
Преобразование ? = ае2Хх +b, w = eXxy приводит к уравнению w'^ = BaA)~2F(?, гу).
7 чй" =\2v I вЗЛЖ
2Хх + d ' ce2Xx
се
ае2Хх + ь еЛЖ
Преобразование ? = —— , w = —^т—— приводит к уравнению
wit = BAA)F(?, w), где А = ad - be.
8. y'L = \2y + sh(A^) F(cth(\x),
Преобразование ? = cth(Ax), гу = —у—— приводит к уравнению w'L = A~2F(?, w).
sh(Ax) ^^
9. y'L = \2y + ch-3(\x)F(th(\x),
Преобразование ? = th(Ax), w = —у—— приводит к уравнению w'L = A~2F(?, w).
сЬ(Аж) чч
10. ж2С + т1/ + У^^(а1пж + 6, -^) =0.
Преобразование ? = alnx + 6, гу = ^^ приводит к уравнению w'^ +a~2F(?, гу) = 0.
JX
Преобразование ? = In , w = , приводит к уравнению 4ги^ = F(?,w)+w.
X ~т~ -L -w^ | Ж 11
12. j/L + \2y + sin"8 (Ax) F(ctg(Aa!), ^r^y) = 0.
Преобразование ? = ctg(Ax), w = ———r- приводит к уравнению w'^ + A~2F(?, w) = 0.
sin( \x)
13. y'L + \2У + со8-3(АЖ) F(tg(Aaj),
cos(Aa;)
= 0.
Преобразование ? = tg(Ax), w = —- приводит к уравнению w'L + A~2F(?, w) = 0.
cos(Ax) ^^
2.9. Уравнения, содержащие произвольные функции 387
U. у':. + »•„ + -.-(Л. + ») F («f, д^) = 0.
тт г /. sin(Ax + a)
Преобразование ? = ^ г •> w =
sin(\x + b)
15. (ж2 + 1) ухХ + F ( arctg ж + 6,
Преобразование ? = arctg ж+6, w = /^-^= приводит к уравнению w^+w+F(?, гу) = 0.
16. (ж2 + 1K/2у"х + F Urcctg ж + 6, у ^ ) = 0.
Преобразование ? = arcctgx+6, ц; = г-^= приводит к уравнению wf^-\-w-\-F(^w) = 0.
17. y'L + F(», ?/) = 0.
Преобразование х = <р(?), у = w* aip'^ приводит к уравнению
Знак параметра a должен совпадать со знаком производной <^.
18. J/L + f(x, y)(y'xf + fl(x, y)(y'xf = 0.
Принимая |/ за независимую переменную, получим следующее уравнение для х = х(у):
хуу - д(х, у)ху - f(x, у) = о.
19. F(x, у, у'х, y'L) = 0.
Преобразование Лежандра х = wft, у = tt^J — u>, где гу = гу(^), с учетом равенств у'х = t,
г/^д. = 1/w'tt приводит к уравнению
F[w't, tw't - w, t, —— ) = 0.
v wtt J
Если известно решение исходного уравнения, то решение преобразованного уравнения
записывается в параметрическом виде:
t = y'x, w = xy'x-y, где у = у(х).
25*
3. Уравнения третьего порядка
3.1. Линейные уравнения
3.1.1. Предварительные замечания
1°. Линейное однородное уравнение третьего порядка имеет вид
h(x)y'xxx + h(x)y'lx + fi(x)y'x + fo(x)y = 0. A)
Пусть уо = уо(х) — нетривиальное частное решение этого уравнения. Замена
у = г/о (ж) / z(x)dx
приводит к линейному уравнению второго порядка:
fsyoz" + C/з2/о + /22/оУ + C/з2/о + 2/22/о + fiyo)z = 0, B)
где штрихи соответствуют производным по х.
2°. Пусть у\ = у\ (х) и ?/2 = ?/2 (ж) —два линейно независимых частных решения уравнения A).
Тогда общее решение этого уравнения можно записать в виде
y = Ciyi + С2У2 + С3\У2 I yiipdx-yi I У2Фdxj, C)
где
ф = ехр(- / у-c^xj B/12/2 - 2/12/2) -
Для конкретных уравнений, рассматриваемых далее в разд. 3.1.2-3.1.8, часто будут указаны
только частные решения; при этом общее решение можно получить с помощью формулы C).
3°. Линейное неоднородное уравнение третьего порядка имеет вид:
h(x)y'l'xx + f2(x)yxx + fi(x)y'x + fo(x)y = g(x). D)
Пусть 2/i = 2/i (x) и 2/2 = 2/2 (x) —два линейно независимых частных решения соответству-
соответствующего однородного уравнения A). Тогда общее решение уравнения D) определяется форму-
формулой C), в которой следует положить
-^- f-l-AeFdx), где F=f^dx, А = у'1У2 - yiy'2.
^з J /з J J /з
/з /' J h
4°. Замена у = z exp f — — / — dx j приводит A) к уравнению, в котором отсутствует вторая
^ 3 J /3 /
производная:
/// , /_ / 1_ 2 . \ / . / 1_ // 1_ , 2_ 3 , \ _ q
где <рк = fk/h (к = 0, 1, 2).
3.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции
при Л = О,
с2 cos ^ + С3 sin ^ ) при Л ф О,
3.1. Линейные уравнения 389
2. y"Lx + ^У = ах2 + Ьх + с.
1 2
Решение: у = w -\- —(аж + Ьх + с), где и> — общее решение уравнения 3.1.2.1:
А
w'xXX + \W = 0.
~ ill . i
3. 2/жжж = «жт/ + о.
Частный случай уравнения 5.1.2.4.
4. ?/"L + (ах + 6O/ = 0.
При а = 0 это — уравнение вида 3.1.2.1. При а ф 0 замена а? = аж + 6 приводит к
уравнению вида 3.1.2.3: у'^ + а^у = 0.
_ 111,3 1
5. 2/жжж -\- ах у = Ьх.
Замена ? = ж2 приводит к уравнению вида 3.1.2.90: 2?г/^? + Зг/^ + \а?,у = -|-Ь.
6. »;';„ + (За2ж - а3»3)^ = О.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: у^х + аху'х +
+ (а2ж2 — а)у = Сехр(^-«ж2). О решении соответствующего однородного уравнения
см. 2.1.2.28.
7. yZx = ахпу.
1°. При п = -9, -7, -6, -9/2, -3, -3/2, 1, 3 см. соответственно уравнения 3.1.2.183,
3.1.2.180, 3.1.2.175, 3.1.2.185, 3.1.2.150, 3.1.2.184, 3.1.2.3, 3.1.2.5.
2°. Преобразование ж = t-1, у = wt~2 приводит к уравнению аналогичного вида:
w'xxx = -at~n-6w.
3°. При п ф —3 преобразование ? = ж(гг+3)/3, гб = жп/32/ приводит к уравнению вида
3.1.2.151: ?3и'1'а + A - 1У2)Ыц + (v2 - I - av3?3)u = 0, где v = -^.
8. y"Lx + [а3ж3тг - З^пх2"-1 + ап(п - 1)хп-2]у = 0.
/ аж?г + 1 \ , axn + l \ /•
Частное решение: уо = ехр ( — ). Замена у = ехр ( — ) / z(x) dx приводит
Vn + 1/ V п + 1 / J
к уравнению второго порядка вида 2.1.2.44:
zxx — Зах zx + (За ж — Запж )z = 0.
9. 2/"L + abt,^ + а2жC - Ь - ож2)?, = О.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх + ахух +
-\-(а2х2-\-ab — а)у = С ехр(^-«ж2). О решении соответствующего однородного уравнения
см. 2.1.2.28.
Ю. yZ* + аху'х + апт/ = 0, п = 1, 2, 3, ...
Решение: |/ = wx~ , где г^ — решение линейного уравнения второго порядка:
wxx + axw = G.
П. y*L + «ж^ - 2ау = 0.
Замена г^ = хух — 2у приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.2: wxx -\-axw = 0.
12. у"'хх + аху'х + Ь(ах + Ъ2)у = 0.
Частное решение: уо = е~ х. Замена w = yfx + by приводит к уравнению вида 2.1.2.12:
wxx - bwx + (ax + b2)w = 0.
13. y"L + «ж^ + (абж + a + Ъ3)у = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх — Ьух +
+ (ах + Ъ2)у = Се~Ъх. О решении соответствующего однородного уравнения второго
порядка см. 2.1.2.103.
390 Уравнения третьего порядка
14. 2/"L + (ах + Ь)у'х + ау = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение второго порядка: ухх + (ах + Ъ)у = С.
О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.2.2.
15. ?/"L + (ах + 6)^ - ау = 0.
Частное решение: уо = ах + Ъ. Преобразование ? = аж + 6, 2 = —
ах + Ь (ах + бJ
приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.62: ^z'^ +3^ + а~2^2z = 0.
16. у"'хх + (ах + 6)^ + Say = 0.
Замена а^ = ах + Ъ приводит к уравнению вида 3.1.2.35 при т = 0: у'^ +а?)у'^ -\-3ay = 0.
17. ?/"L + Bаж + Ъ)у'х + ау = 0.
Замена а^ = ах-\-^Ъ приводит к уравнению вида 3.1.2.37 при п= 1: у'^-\-2а^у'^-\-ау = 0.
18. J/"L + (ах - Ъ*)у'а + аЪху = 0.
Замена w = у'х +Ьу приводит к уравнению вида 2.1.2.103: w'xx — bw'x + axw = 0.
19. 2/L'L + (ax - Ъ2)у'х + а(Ьж + l)y = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх — Ъу'х +
+ аху = Се~Ъх. О решении соответствующего однородного уравнения второго порядка
см. 2.1.2.103.
20. у"'хх + (ах + Ь)^ + с(ах + 6 + с2)?/ = 0.
Замена w = у'х -\- су приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.12:
wxx — cw'x + (ax -\-b -\- c2)w = 0.
21. y"Lx + (ах + Ь)^ + сж(с2ж2 + ах + 6 - Зс)^ = 0.
Частное решение: г/о = ехр(—\сх2). Замена г/ = ехр(—\сх2) I z(x)dx приводит к
уравнению вида 2.1.2.28: zxx — 3cxzfx + (Зс2х2 -\- ах -\-Ъ — 3c)z = 0.
22. »;';„ + ож2^ + аху = О.
Частный случай уравнения 3.1.2.36 при п = 1.
23. ?/"L + аж2у1 - 2ажт/ = 0.
Замена w = жг/ж — 2г/ приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.7:
wxx + ax2w = 0.
24. ?/^ж — a2x2yfx + а2жт/ = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх + ахух —
— ау = Сехр(уаж2). О решении соответствующего однородного уравнения второго
порядка см. 2.1.2.103.
25. уххх + ах2у'х + Ъ(ах2 + б2)?/ = 0.
Замена w = у'х +Ьу приводит к уравнению вида 2.1.2.28: wxx — bw'x + (ax2 +b2)w = 0.
26. 2/L'L + (а - 1)Ь2ж2^ + Ь2х(аЬх2 + 2а + 1)з/ = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх — Ъху'х +
+ (ab2x2 + Ъ)у = Gехр(—убж2). О решении соответствующего однородного уравнения
см. 2.1.2.28.
27. Ух"хх + («ж2 + Ъ)у'х + 2аЖ2/ = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх +
+ (ах2 + Ь)у = С. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.2.4.
3.1. Линейные уравнения 391
28. y"L + (ах2 - Ъ2)у'х + ахB - Ъх)у = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх + Ъу'х +
+ ах2 у = СеЪх. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.2.13.
29. у"'хх + (ах2 + Ь)^ + с(аж2 + Ъ + с2)?/ = 0.
Замена w = у'х -\- су приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.13: wxx — cwx +
+ (ах2 +b + c2)w = 0.
30. уххх - (ЗЬ2ж2 + а + 36)^ + 2Ъх(Ъ2х2 - а)у = 0.
1°. Частные решения при а > 0: ?/i = ехр(у6ж2 + х^/а), у2 =
2°. Частные решения при а < 0:
l/i = cos(xyj—а) ехр(у6ж ), 2/2 = sin
3°. Частные решения при а = 0: |/i = ехр(-|-6ж2), |/2 =
31. y'Z* + («ж2 + Ьх + с)^ + Азж[(а + &2)ж2 + Ьх + с - 3&]з/ = 0.
Частное решение: |/о = ехр(— -|-?;ж2). Замена |/ = ехр(— -|-?;ж2) z(x)dx приводит к
линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.28:
4а; — 3kxzx + [(а + Зк )х +Ъх + с — 3k]z = 0.
32. iC + (ах4 + ЬЖ)у; - 2(аЖ3 + Ъ)у = 0.
Частный случай уравнения 3.1.2.38 при п = 2.
33. iC + аж"^ - гаж71-1?/ = 0.
Замена w = xy'x—2y приводит к уравнению второго порядка вид а 2.1.2.7: wxx+axnw = 0.
34. Ух"хх + a«wi/L + апж71!/ = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх +ахпу = С.
О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.2.7.
35. yZ* + ажт+12/1 + а(т + S)xmy = 0.
Замена х = t-1, у = г^^~2 приводит к уравнению вида 3.1.2.34 при п = — m — 5:
w'ut + at"m^ - а(т + 5)t"mw; = 0.
36. yZ* + a«2wyi + anx2n~xy = 0.
Решение:
у = ClXJ2(u) + йжЛМПМ + C3xY2(u),
где i/ = — -, и = — -xn+1\ Ju(u) и Yu(u) — функции Бесселя.
Решение:
у = C\w\ + C2W1W2 +
где w\ и W2 —фундаментальная система решений уравнения второго порядка вида 2.1.2.7:
2wxx + axnw = 0.
38. у'ххх + (ах2п + bxn-1)yfx - 2(ах2п-1 + bxn~2)y = 0.
Замена w = хух — 2у приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.10: wxx +
39. ?/^ + (аж2" + 6ж"-1)^-
). Замена у = ехр( ) / z(x) dx приводит к
га + 1 / Vn + 1/J
линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.44:
zxx + 3cxnzx + [(a + Зс2)х2п + F + Зсп)^"-1]^ = 0.
392 Уравнения третьего порядка
40. уххх + Заухх + За2у'х + а3у = 0.
Решение: у = e~ax(Ci + С2х + С3х2).
41. у"'хх + о>2у"х + агух + аО2/ = 0.
Линейное уравнение третьего порядка с постоянными коэффициентами.
Введем обозначение: Р(Х) = Л3 + а2А2 + а\Х + ао.
1°. Пусть характеристический многочлен Р(Л) можно разложить на множители:
Р(Л) = (Л — Ai)(A — А2)(А — Аз), где Ai, A2, A3 — действительные числа.
{CieXlX + С2еХ2Х + С3еЛзЖ, если все корни Хк различны;
(Ci + С2ж)еЛ1Ж + С3еЛзЖ, если Ai = А2 / А3;
(Ci + С2ж + С3ж2)еЛ1Ж, если Ai = А2 = Л3.
2°. Пусть Р(Х) = (А - Ai)(A2 + 2&iA + Ьо), где Ь? < Ъо.
Решение: у = C\eXlX + е~&1Ж(С2 cos//ж + Сз sin//ж), где /л = y/bo^-Щ.
42. ?/ж + а^ж + Fж + с)^ + (абж + ас + 6)т/ = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: у"х +
+ (Ъх + с)у = Се~ах. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.2.2.
43. »;';„ + 3at,L + 2(Ьж + о2)^ + ЬBах + 1)у = 0.
Частный случай уравнения 3.1.2.71 при п = 0, m = 1.
44. 2/^,ж + ау"х + Fж2 + еж + d)^ + a(bx2 + еж + d)?/ = 0.
Замена w = у'х -\- ay приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.6: w"x +
+ (Ъх2 + сх + d)w = 0.
45. ^'L + as/1 + Ьхпу'х + аЬж7^ = 0.
Замена w = у'х+ау приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.7: wxx -\-bxnw = 0.
46. уххх + Захухх + За2ж2^ + (а3ж3 + 6)?/ = 0.
Замена у = гиехр(— -|-аж ) приводит к уравнению с постоянными коэффициентами:
4 = 0.
47. j/^'L + ажу! + (abx + a - 62)t,^ + oby = 0.
Частные решения: y\ = e~ x, y2 = e~ x / ехрB6ж — Ya^2) ^ж-
48. 2/L'L + Зажт/L + Bа2ж2 + a + 6)^ + abxy = 0.
Решение:
2/ = C\w\ + C2w\w2 + Сзги2,
где гУ1 и г^;2 —линейно независимые решения уравнения второго порядка вида 2.1.2.25:
wxx +axw'x + \bw = 0.
49. уххх + Зажт/L + Bа2ж2 + 2Ъх + а)^ + ЬBаж2 + 1)у = 0.
Частный случай уравнения 3.1.2.71 при п = 1, m = 1.
50. 2/L'L + Зажт/L + 3(а2ж2 + а)^ + (а3ж3 + 6ж + с)?/ = 0.
Замена y = exp(—^ax2)w приводит к уравнению вида 3.1.2.4: wxxx + [(b — 3a2)x+c]w = 0.
51. 2/"L + Зажт/L + [2(а2 + 6)ж2 + о]ух + 2Ьж(аж2 + 1)у = 0.
Частный случай уравнения 3.1.2.71 при п = 1, m = 2.
52. 2/^,ж + (ож + &)з/жЖ + (а^ж + а + с)?/ж + &С2/ = °-
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх + ахух +
+ су = Се~Ъх. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.2.25.
3.1. Линейные уравнения 393
53. уххх + {аЪх + а + Ъ)ухх + ab2xyfx — ab2y = 0.
Частные решения: г/i = ж, у2 = е~&ж.
54. ?/"L + (аж + Ъ)ухх + [(аЬ + с)ж + а\ух + с(Ьж + 1)у = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх + аху'х +
+ сху = Се~Ъх. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.2.25.
55. уххх + (аж + Ъ + cJ/L + (асж + Ьс + s)^ + 5(аж + Ъ)у = 0.
Частные решения: у\ = еЛ1Ж, |/2 = ех<2Х, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
Л2 + сЛ + s = 0.
56. 2/L'L + (аж + Ъ)ухх + (еж + 2а)ух + а[(с - а6)ж2 + Ъ]у = 0.
Частное решение: уо = ехр(—^-«ж2). Замена у = ехр(— -|-йж2) / z(x)dx приводит к
линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.28:
4'ж + 0 - 2ажL + [а2ж2 + (с - 2а6)ж - а]^ = 0.
57. уххх + {ах + 6)^ш + (еж + d)yx + [аеж2 + {ad + Ьс)ж + с + М]?/ = 0.
В результате интегрирования получим линейное неоднородное уравнение второго по-
порядка: ухх + (cx + d)y = С ехр(—-|-аж2 — Ъх). О решении соответствующего однородного
уравнения см. 2.1.2.2.
58. yZx + {ax + b)yxx + {ax2+f3x + j)yx-k[ax2 + {ak + f3)x + k2 +
Замена w = у'х — ку приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.28:
w"x + (ах + Ъ + ?;)^4 + [a^2 + (ак + /3)ж + А;2 + Ьк + 7]^ = О-
59. Ух"хх ~ х2у':х + (а + Ъ - 1)ху'х - аЪу = 0.
Следующие три ряда, сходящиеся при всех значениях ж, образуют фундаментальную
систему решений:
_ ^ ab(a - 3)F - 3) ... (а - Зп + 3)F - Зп + 3) Зп
У1" +^1 ^ ж '
2/з = — +
^-f (Зп + 1)!
n = l
~ (а - 2)(Ь - 2)(а - 5)(Ь - 5) ... (а - Зп + 1)(Ь -Зп + 1) 3гг+2
2 ^-^ (Зп
п = 1
60. ?/"L + ахпухх - 2ахп~2у = 0.
Замена w = жг/^ — 2у приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.42: wxx +axnw'x +
+ axn~1w = 0.
61. 2/L'L + ажп|/1 - Ьух - abxny = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = exp(—xVb), у2 = <
2°. Частные решения при 6 < 0: у\ = cos^v
Частные решения: ^д = ж, у2 = х .
63. 2/L'L + ажп1/1 + bxn-1yfx - 2{а + Ь)хп-2у = 0.
Замена и> = ж^ — 2^/ приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.42: wxx -\-axnwx +
64. Ух"хх + axnC - {ах™-1 - Ьх2)у'х + 6ж(ажТ1+1 + S)y = 0.
Частные решения: у\ = со8(уж2л/б), ^/2 = sin(-|-
394 Уравнения третьего порядка
65. y'Z* + axny'L + (abxn + апхп~х - Ъ2)у'„ + abnxn~xy = О.
Частные решения: у\ = е~ х, г/2 = е~ х / expf 2bx xn+1) dx.
uu* Уххх \ uu^ Ухх \ UtL Ух UtL У — u-
Частное решение: г/о = x.
67. y"L + ra"ju + bxmy'm + bxm-1(axn+1 + m)y = 0.
Замена w = г/^ж +Ъхшу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +axnw = 0.
68. iC + oaj"»;'. - b{2axn + 3b)y'm + Ь2{ахп + 26)у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, у2 = хе х.
69. j/4'L + oa;"j/L + (оЬж" - Ь2 + c)j/4 + с(ож" - b)i/ = 0.
Частные решения: у\ = eXlX, г/2 = еХ2Х, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
Л2 + ЬЛ + с = 0.
70. y'Z, + axny'L + (bxm - с2)у'„ - с(асхп + Ьхт)у = 0.
Частное решение: уо = есх.
71. Уххх + Ъахпу"х + Bа2ж2тг + 2Ьхгп + апхп-г)ух + 6BажТ1+тгг + тхгп-1)у = 0.
Решение:
I/ = Ciu>i + C2W1W2 + C3W2,
где гУ1, г^2 —фундаментальная система решений линейного уравнения второго порядка:
wlx + axnw'x + \Ъхши) = 0.
72. ^'L = (ж71 - a)y'L + (ажп - 6)^ + Ьхпу.
Частные решения: у\ = eXlX, у2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
2
Л2
73. у"'Хх + (ажп + b)y'L + («еж71 + 6с + т)^ + (т + с2)^71 + 6 - с)у = 0.
Частные решения: у\ = eXlX, У2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
Л2 + сЛ + т + с2 = 0.
74. ^'L + (ажп - b)y'L + ca:mi? - b(abxn + сж^)^ = 0.
Частное решение: г/о = е&ж.
75. ^L + (ж71 + a)y'L + (ажп + бж7")^ + abx^y = 0.
Частное решение: г/о = е~аж.
76. ty^L + (аж71 + с)!/^ + [асхп + (on + Ъ)хп-г]у'т + ^[сж71-1 + (п - 1)ж7г-2]2/ = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх -\-ахпу'х +
+ Ъхп~1у = Се~сх. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.2.42.
77. iC + (ож" + ba;)j/L + b{axn+1 + 2)y'a + abxny = 0.
Частные решения: у\ = exp(— -jbx2), y2 = exp(— \hx2} I ехр(^-^ж2) dx.
78. yZx + (ажп + Ъх)у"х + (абж^-^1 + беж + Ь - с2)ух + с(аЬж7г+1 - аеж71 + 6)ty = 0.
Частные решения: у\ = е~сх, г/2 = е~сж / ехрBсж — у^ж2) dx.
79. iC + (оЬж" + ож-1 + 6)j/L + ab2xny'x - ab2xn~xy = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = е~ х.
3.1. Линейные уравнения 395
80. y'Z, + (axn + bxm)y'L + су'я + с(ахп + Ьхт)у = О.
1°. Частные решения при с > 0: yi = cos (x у/с), у2 = sin(xy/c).
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ж^/^с), ?/2 = ехр
81. ^'L + (ахп + tem)l/«« + (абж^™ + Ъсх™ + Ьт^ - с2)у'х +
+ с(а6жТ1+ТГ1 - асхп + brnxrn-1)y = О.
ехр ( 2сж — ) с/ж.
V т + 1 /
82. ж^ж - а2(ож + 3)у = 0.
Частное решение: уо = жеаж. Замена |/ = хеах I z(x) dx приводит к уравнению второго
порядка вида 2.1.2.103: xz^x + 3(аж + l)z'x + За(ах + 2)z = 0.
83. жт/^ж + ау'х + 6F2ж + а)у = 0.
Замена w = yfx+by приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.103: xw"x — bxw'x +
+ (b2x + a)w = 0.
84. ху"'хх + аху'х - [Ъ(а + Ь2)ж + а + ЗЬ2]^ = 0.
Частное решение: г/о = хеЪх. Замена у = же&ж / z(x) dx приводит к уравнению второго
порядка вида 2.1.2.103: xzxx + 3(bx + l)zx + [(а + ЗЬ2)х + 6b]z = 0.
85. Ж7/^,Ж + (b — a2x)yfx + aby = 0.
Замена w = yx -\- ay приводит к уравнению вида 2.1.2.103: xwxx — axwx + bw = 0.
86. жт/^L + (ax2 + Ьж)^ - 2(аж + b)y = 0.
Замена w = ж^ — 2|/ приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.2:
wxx + (ах + Ь)ги = 0.
87. хуххх + (аж3 + Ъх)ух - 2(аж2 + 6)?/ = 0.
Замена w = хух — 2у приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2А:
wxx + (ах2 + b)w = 0.
88. ху'ххх + Зухх + ажт/ = 0.
Замена w = ху приводит к уравнению с постоянными коэффициентами вида 3.1.2.1:
Wxxx "I" aw = О-
89. хуххх - Зпухх +аху = О, п = О, 1, 2, ...
Решение: у = ж3гг+2( — ) (-^-), где w — общее решение уравнения 3.1.2.1:
V х2 dx / V х2 /
гу^д. + аги = 0.
90. Ъху'ххх + Зт/^ж + лжу = Ь, а ф 0.
Решение:
где Ai, А2, A3 — корни кубического уравнения 2А3 + а = 0; А4 = — оо при ж > 0 и
А4 = +оо при ж < 0. Кроме того, на постоянные интегрирования Си накладывается условие
л/а (С\ + Gг + Gз + С а) + Ь = 0, а интегралы берутся вдоль прямых линий.
91. ху'ххх + Зт/^ж + сьх2у = Ь.
Замена w = ху приводит к уравнению вида 3.1.2.3: wxxx + axw = 6.
yL, ЖУххх \ **Ухх \ О,Х у — ОХ.
Замена w = ху приводит к уравнению вида 3.1.2.5: wxxx + аж3и> = Ьх.
396 Уравнения третьего порядка
93. ху'ххх + аухх + abyfx + Ь3ху = 0.
Замена w = у'х -\-Ьу приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
xwxx + (а — bx)wx + b2xw = 0.
94. хуххх + (а + Ь)ухх - хух - ау = О, а > О, 6 > 0.
Решение:
Л
У =
где 7i = —1, А = 72 = 0? 02 = 1; если ж > 0, то 7з = 1, /Зз = +оо; если ж < 0, то 7з = —оо,
/Зз = -1.
95. хуххх + ат/L + (Ь - с2)ху'х - с(ас + Ъх)у = 0.
Замена w = у'х — су приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
xw'xx + (сх + a)w'x + (bx + ас)гу = 0.
96. Ж7/^,Ж + а^ж + [(с — Ь2)х + аб]^ + с(а — Ъх)у = 0.
Частные решения: у\ = ех±х, у2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
Л2 + ЬХ + с = 0.
97. ж^ш + ат/L + бж71^ + Ъ(а + п - l)^71-1^ = 0.
Замена w = ухх + Ъхп~1у приводит к линейному уравнению первого порядка:
xw'x + aw = 0.
98. хух'хх + (аж + ЬJ/жЖ — a2by = 0.
Замена w = ух -\- ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
xwxx + bwx — abw = 0.
99. хух'хх + (ах + Ъ)ухх + сж^ - су = 0.
Замена и> = хух — у приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
xw'xx + (ах + b — l)w'x + cxw = 0.
100. хуххх + (ах + 3J/L + (bx + 2а)^ + (еж + Ъ)у = 0.
Замена w = ху приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: wxxx + awxx +
+ bwx + cw = 0.
101. xyxxx + (аж + 3J/L + a(bx + 2)^ + b[b(a - b)x + а]т/ = О.
Решение: у = 1 Ic^'^ + С2е"&ж/2 cosf^^) + С3е~Ьх/2 sinf
V 2 У V 2
Частные решения: у\ = х, у2 = е~ах.
103. хуххх — (ж + 2а)ухх — (ж — 2а — 1)ух + (ж — 1)у = 0.
Решение: у = dex + жа+1[С2/а+1(ж) + CsKa+i(x)], где Ia(x) и Ка(х) — модифици-
модифицированные функции Бесселя.
104. 2ху'ххх — 4(ж + а — 1)ухх + Bж + 6а — Ъ)у'х + A — 2а)у = 0.
Решение: у = Ciex + xaex/2[C2Ia(x/2) + С3^а(ж/2)], где /а(г) и ^(^—модифи-
^(^—модифицированные функции Бесселя.
105. 2хуххх + 3Bаж + к)ухх + 6Fж + ак)ух + Bсж + ЗЪк)у = 0, fc > 0.
Решение:
4 Л
7/ —\^Г / ^ exz\P(^](k-2^2 rl? Г,— Г, Го Го
У — / ^v \ е [*\z)\ azi ^4 — —Ol — L/2 — L/3,
v = l
где P (^) = zs + 3a^2 + 36^ + c; Ai, A2, Аз — корни этого многочлена, которые
предполагаются различными; А4 = — оо при ж>0и А4 = +оо при х < 0.
3.1. Линейные уравнения 397
106. хуххх + (ах + Ъ)ухх + [(ас + s — с2)х + bc]yfx + s[(a — с)х + 6]т/ = 0.
Частные решения: у\ = еЛ1Ж, г/2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
Л2 + сЛ + s = 0.
107. ж^ж + (аж2 + Ь + 2)^/1 - аЬ(Ь + 1)?/ = 0.
Частный случай уравнения 3.1.2.109 при п = 2.
108. zt^'L + (аж2 + b)t,L + 4аху'а! + lay = О.
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка: хух + (ах2 +Ъ—2)у =
= Ci + С2ж.
109. ж?/ + (ажп + Ь + 2)з?ш - а6F + 1)хп-2у = 0.
Замена w = ж^/^ + 6|/ приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.42:
w'nx + axn~1w'x - a(b + l)xn~2w = 0.
ПО. ху'?ш + (ахп + 3O/1 + (гаж71 + Ьх)у'х + ^(аж71 + 1)у = 0.
Частные решения: |/i = —cos(xv6), 2/2 = —sin
111. Ж2/^ж + (axn+1 + 3O/1 + аFж + 2)xny'x + 6(а6жтг+1 + axn - Ъ2х)у = О.
1 / bx \ ( Ъх\/Ъ \ 1 ( bx\ . ( Ъх\/Ъ \
Частные решения: yi = — exp ( — — J cos I J, 2/2 = — exp ( — — J sin ( J.
112. xyZ* + (ажп + 3O/1 + (abxn + 2axn-1 - b2x)y'x + b(axn-1 - b)y = 0.
Частные решения: у\ = —, у2 = — е~Ъх.
X X
113. (ax + 6)^'L + cyx + fc(afc2^ + bk2 + cO/ = 0.
Замена w = y'x -\- ky приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
(ах + b)wxx — к(ах + b)wx + (ак2х + 6&2 + c)w = 0.
114. (ах + 2)^'L - а3ж^ + 2а3у = 0.
Частные решения: у\ = ж2, ^/2 = е~аж.
115. (асж + 6с — а)у'ххх — с3(ах + 6)^ + ас3у = 0.
Частные решения: у\ = аж + 6, ?/2 = есж.
116. (ах + 6)^'L + (еж + d)yx + s[(as2 + с)х + 6s2 + d]?/ = 0.
Замена w = у'х -\- sy приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
(ах + b)wxx — s(ax + b)wx + [(as2 + c)x + 6s2 + d]w = 0.
117. (аж + b)yxxx + [(c - ak2)x + d- bk2]yx + Аз(сж + d)y = 0.
Замена w = yx -\- ky приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
(ах + b)wxx — к(ах + b)wx + (сх + с?)ги = 0.
118. (аж + b)yZ, + [Ца + 1)х + Ь2 + l]t,L + Ь2ж^ - Ь2у = О.
Частные решения: у\ = х, у2 = е~ х.
119. (ах + 6)^'L + к(ах + 6)^ш + (еж + d)yx + Аз(сж + d)y = 0.
Замена w = ух -\- ку приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
(ах + b)wxx + (сх + d)w = 0.
120. (ах + Ь)Ух"хх + (еж + d)t?e + [(а\ + с/х)ж + Ь\ + ^]2/L +
+ (Л + ц2)[(с - ац)х + d- bfj,]y = 0.
Частные решения: у\ = exp(six), 2/2 = exp(s2x), где s\ и S2 — корни квадратного
уравнения s2 + /is + Л + /i2 = 0.
398 Уравнения третьего порядка
121. (ах + Ъ)уххх + (еж + d)yxx - k[(Sak + 2c)x + ЗЬк + 2d]yfx +
+ к2[Bак + с)ж + 2Ък + с?]?/ = 0.
Частные решения: гц = екх, у2 = же^.
122. (ах + 6)?/"L + (еж + d)yxx + зж(аж + Ъ)у'х + 5[сж2 + (а + с?)ж + Ъ]у = 0.
Замена w = г/^ж + sx|/ приводит к линейному уравнению первого порядка: (ах + b)w'x +
+ (еж + d)w = 0.
123. A - х)уххх + х(ах - 2а + 1)?/L + (-аж2 + 2а - 1)^ + 2а(х - 1)у = 0.
Частные решения: у\ = ж2, 2/2 = еж.
124. (аж + Ь)у"'хх - (а3х3 - За2х + Ъ3)у'х + а6ж(а2ж2 - За - Ъ2)у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ^/2 = ехр(—^-«ж2).
125. (аж + Ъ)уххх + (еж + d)?/"^ + sxn(ах + Ъ)у'х + еж71 [еж2 + (an + d)x + &гг]т/ = 0.
Замена г^ = у"х +sxny приводит к линейному уравнению первого порядка: (ах + b)w'x +
+ (сх + d)w = 0.
126. (аж - 1)уххх + ж(а6жТ1+1 - 2Ьхп - а2)ухх +
+ BЪхп - а2Ъхп+2 + а2)^ + 2аЬ(аж - 1)хпу = 0.
Частные решения: у\ = ж2, у2 = еаж.
127. х2уххх - 6у'х + аж2?/ + 2Ьж = 0.
Замена у = x2w приводит к уравнению 3.1.2.159 с искомой функцией w вместо у.
128. х2у'ххх + (аж2 + Ъх — т2 — т)у'х + (га — 1)(аж + Ъ)у = 0.
Замена w = ху'х + (т — 1)у приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
xwxx — (т + l)wx + (ах + b)w = 0.
129. х2уххх + (аж2 + Ъх + с)^ - fe[(a + к2)х2 + Ъх + с]у = 0.
Замена w = ух — ку приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.130:
x2wxx + kx2wx + [(a + к2)х2 + Ъх + с]ги = 0.
130. Ж2^ж + (ахп - б2 - Ь)^ + а(Ь - I)»"?/ = 0.
Замена w = ж^ + (Ь — 1)у приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.62:
xwxx - (b + l)wi + axn~1w = 0.
131. ж2^ж + Зжт/L - 3^ + ax2у + 6 = 0.
Решение: |/ = — ( — ), где функция w = w(x) удовлетворяет уравнению с постоянными
dx V х /
коэффициентами вида 3.1.2.2: гу^ж + aw; = &•
132. а3»;';. + бЖ?/1 + 6У; + аж2^ = ъ.
Замена w = ж2^/ приводит к уравнению с постоянными коэффициентами вида 3.1.2.2:
wxxx +aw = b.
133. х2уххх - 3(п + т)хухх + ЗпCга + 1)ух - х2у = 0, га, п = 1, 2, 3, ...
Решение:
у = l[ (S - 3/х - 1) П (8 ~ ^ ~ 2) Е
где S = ж —, иок —три корня кубического уравнения и3 = 1.
134. х2у'ххх + 6ж^'ж + 6^ + аж3?/ = Ъ.
Замена w = ж2^/ приводит к уравнению вида 3.1.2.3: wxxx + axw = 6.
3.1. Линейные уравнения 399
135. х2уххх ~ 2(n + 1)хухх - (ах2 - 6п)у'х + 2аху = О, п = 1, 2, 3, .
Решение:
i + С2ж4 + Csx2n+1 при а = О,
Ci{ax2 - 4п + 2) + С2еж^Р(ж) + C3e-Xy/EQ{x) при а / О,
где Р(ж) и Q(x) — некоторые многочлены степени ^ 2п + 2.
136. ж2^ж + Зжт/L + Dа2х2а + 1 - 4aV)^ + 4а3ж2а?/ = О.
Решение: у = CiJ%(xa) + C2Jb(xa)Yb(xa) + С3Уь2(жа), где Jb(z) и Уь(г) — функции
Бесселя.
137. х2уххх + a«22/L + (Ъх + с)^ + а(Ъх + с)?/ = О.
Замена w = у'х -\- ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.106:
x2w'L + (bx + c)w = 0.
138. х2у"'хх + ах2у"х + (бж71 + с)^ + а(Ъхп + с)?/ = О.
Замена w = у'х + ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.113:
x2w'xX + (bxn + c)w = 0.
139. х2Ух"хх ~ (х + а)Ж2/1 + аBх + 1)^ - а(ж + 1)у = 0.
Решение: у = Ciex +ж(а+1)/2[С2Ja+iBA/^) +C3Ya+iBy/a~x)], где Ja(^) и Уа(^) —
функции Бесселя.
140. х2у'х"хх - (х2 - 2x)yf:x - (х2 + а2 - \)у'х + (х2 - 2х + а2 - ^)у = 0.
Решение: 2/ = ^1еЖ + л/^ [С2/а(ж)+Gз^а(ж)], где 1а(х) и Ка(ж) — модифицированные
функции Бесселя.
141. х2у'х"хх - 2х(х - l)y'L + (х2 - 2х + \ - а2)ух + (а2 - \)у = 0.
Решение: j/ = Ciex + л/^еж/2 [С2/а(ж/2) + С3Ка(х/2)], где /а(^) и Ка(z) — модифи-
модифицированные функции Бесселя.
142. х2уххх - 3(х - а)хухх + [2х2 + 4F - а)х + аBа - 1)]ух - 2ЬBх - 2а + 1)у = 0.
Решение:
+ C2W1W2
где w\, W2 — фундаментальная система решений уравнения второго порядка вида
2.1.2.103: xw'xx + (a - x)w'x + bw = 0.
143. x2yxxx + ж[(а + c)x + 6]^'ж + [(ас + а)ж2 +
+ Fс + /3)х + 7]2/ш + с(ах2 + /Зж + 7)?/ = 0.
Замена w = у'х -\- су приводит к уравнению вида 2.1.2.141 при п = 1:
x2w"x + ж(аж + 6)u4 + (аж2 + /Зж + 7)^ = 0.
144. x2yZ* + (axn+1 - b2 - b)y'm + a(b - l)xny = 0.
Замена w = xyx + (b — l)y приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.62:
xwxx - (b + l)w'x + axnw = 0.
2у'" - Ъахп+г(п + ахп+1)у' + ахп(п - п2
о /ажп+1 \ / axn+1 \
1 . Частные решения при nf -1: у\ = ехр ( ), у2 = х ехр ( ).
145. х2у'х"хх - Ъахп+г(п + ахп+1)у'я + ахп(п - п2 + 2a2^2Tl+2J/ = 0.
xn+1
, у2 р
2°. Частные решения при п = — 1: ух = ха, у2 = ха+1.
146. ж2^ж + (a^+1 + te)^ + [a(b - 2)жЛ + с]^ + а(с - Ъ + 2)^Tl2/ = 0.
Частные решения: у\ = жт1, |/2 = хШ2, где тщ и ?тг2 — корни квадратного уравнения:
т2 + (Ъ - 3)ш + с-6 + 2 = 0.
400 Уравнения третьего порядка
147. х(ах + Ъ)у'ххх + х(сх + d)yx — 2(сх + d)y = 0.
Замена w = хух — 2у приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.103:
(ах + b)wxx + (сх + d)w = 0.
148. 2х(х - 1)уххх + 3Bж - 1)ухх + Bаж + Ъ)ух + ау = 0.
Решение:
2/ = CWi + C2W1W2 + Сз^2,
где wi,W2 — фундаментальная система решений уравнения 2х(х — l)wxx + Bх — l)wx +
+ (-|-аж + -^^— yI^ = 0' котоРое подстановкой ж = cos2 ? приводится к уравнению
Матье 2.1.6.4: 2и>^ = (а + Ь — 2 + acos2^)w.
149. (агж2 + агж + ао)ух'хх + F1Ж + Ьо)ухх + (сгж + со)?/ж — тс\у = 0.
Пусть ci / 0 и ?тг — натуральное число. Тогда уравнение имеет частное решение в виде
многочлена степени т, которое описывается формулой
[ж™/^"™^2 + aix + ao)i^3 + (&1Ж + bo)D2 + coi^]}fcxm,
A rV + l
где D = —, lx = при v Ф — 1.
dx v + 1
150. x*yZx = a{a2 - l)y.
Частный случай уравнения 3.1.2.161. Решение: у = x(C\xni + Сгж™2 + Сзха), где п\ и
П2 —корни квадратного уравнения п2 + an + а2 — 1 = 0.
151. ж3^ж + A - а2)ж^ + (Ъх3 + а2 - 1)?/ = 0.
При а = ±1 имеем уравнение с постоянными коэффициентами вида 3.1.2.1, а при 6 = 0 —
уравнение Эйлера 3.1.2.161. Если Ъ ф 0 и а — натуральное число (а / 1), то
з
У = хх~а J2 С (Л)Р()
где Ai, Л2, Аз — корни кубического уравнения А3 = Ь; Рк(х) — некоторый многочлен
степени не выше 3(а — 1).
Если обозначить через уа решение данного уравнения при произвольном (в том числе
и комплексном) а, то имеет место рекуррентная формула, выражающая уа+з через уа'.
Уа+2, = Ъуа + Bа + 3)х-1у'а - (а + 1)Bа + 3)(x~2^ - х~3уа), A)
где штрихи обозначают производные по х.
Так как у±\ = е~Лж, соответствующие трем значениям А, удовлетворяющим условию
А3 = Ь, образуют фундаментальную систему решений, то с помощью формулы A) можно
найти все уп для всех целых значений п, которые не делятся на три. В частности,
2/2 = (ж-1 + А)е-Лж (А3 = Ъ).
152. х уххх + Dж + ах)ух — ау = 0.
Решение:
у = CixJ2(x) + СгжЛООУгДж) + СзхУ?(х),
где Ju(x) и У1/(ж) — функции Бесселя; 4z/2 = 1 — а.
153. ж3^ж + ж[аж2 + 36A - Ь)]ух + 2Ь(аж2 + Ь2 - 1)у = 0.
1°. Частные решения при а > 0: у\ = хъ sin(xv/a), 2/2 = ж& cos(xA/a).
2°. Частные решения при а < 0: ?/i = ж& ехр(—ж^/—а), ?/2 = хъ ехр(ж^/—а).
3°. Частные решения при a = 0: 2/1 = xb, y2 = ж&+1.
154. х3ух'хх + ж(аж2 + 6ж + с)^ + (к - 1)(ах2 + Ъх + с + к2 + к)у = 0.
Замена w = хух + (А; — 1)у приводит к линейному уравнению второго порядка вида
2.1.2.126: x2wxx - (к + l)xwx + (ax2 +bx + c + k2 + k)w = 0.
3.1. Линейные уравнения 401
155. х3уххх + ахпух + (Ъ- 1){ахп-г + Ь2 + Ь)у = 0.
Замена w = ж?/^ + (Ь — 1)у приводит к линейному уравнению второго порядка вида
2.1.2.127: x2w'^x - (Ъ + l)xw'x + (ах71'1 + б2 + Ь)ги = 0.
156. х3уххх + х(ахп + 6)^ - 2(ажтг + Ъ)у = 0.
Замена w = ж^ — 2?/ приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.113:
x2wxx + (ахп + b)w = 0.
157. х3уххх + ж(ажп + Ъ - с)ух + (с - 1)(ажтг + Ь + с2)?/ = 0.
Замена w = ж^/^ + (с — 1)г/ приводит к линейному уравнению второго порядка вида
2.1.2.127: Л"ж - (с + 1)ж^ + (ажп + 6 + c2)w; = 0.
158. х3Ух"хх + (аж2п + 1 - п2)хух + [6ж3тг + а(п - 1)х2п + п2 - 1]у = 0.
Преобразование ? = —жп, 2 = хп~ху приводит к уравнению с постоянными коэффи-
п
циентами: z'^ + az'^ + bz = 0.
159. zVL + 6a?2t,L + (ож3 - 12)</ + 26 = О.
Решение: ?/ = —( ~^~ )> где ^ = w(x) удовлетворяет уравнению с постоянными
dx \ х2 /
коэффициентами вида 3.1.2.2: гу^ж + aw; = b.
160. ж3^ж + ах2ухх + 6ж^ + (а - 2N?/ = 0.
Частный случай уравнения 3.1.2.161. Решение: у = С\х2~а + Сгж™1 + Сзж™2, где п\ и
П2 —корни квадратного уравнения п2 — п + Ъ = 0.
161. х3ух'хх + ах2ухх + 6ж^ + ст/ = 0.
Уравнение Эйлера. Замена ? = In |ж| приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами вида 3.1.2.41: y%t + (а - 3)y't't + B - а + b)j/{ + q/ = 0.
162. ж3^ж + Sax2yxx + За(а - 1)хух + [6ж3 + а(а - 1)(а - 2)]у = 0.
Замена w = жа|/ приводит к уравнению с постоянными коэффициентами 3.1.2.1:
wZx + bw = 0.
163. ж3^ж + Sax2yxx + За(а - 1)ж^ + [бж71 + а(а - 1)(а - 2)]у = 0.
Замена г^ = хау приводит к уравнению вида 3.1.2.7: w'l'xx + bxn~sw = 0.
164. х3уххх + 3A - а)х2ухх + ж[4Ь2с2ж2с + 1 - 4i/V + За(а - 1)]^ +
+ [4Ъ2с2(с - а)х2с + aDi/2c2 - а2)]?/ = 0.
Решение:
у = CixaJl(u) + C2xaJu(u)Yu(u) + СзжаУ,2О),
где и = 6жс; Л(гб) и У^(гб) — функции Бесселя.
165. х3у'х"хх + (аж2 + b)yf:x + 2Bа - 9)ж^ + 2(а - 6)у = 0.
После двукратного интегрирования получим линейное уравнение первого порядка: xsyfx +
+ [(а - 6)ж2 + Ь]у = Ci + С2ж.
166. ж3^ж + ж2(аж + Ъ)ухх + сж^ + с(ах + Ъ - 2)у = 0.
Частные решения: у\ = хПг, у2 = жП2, где п\ и П2 —корни квадратного уравнения
п — п + с = 0.
167. ж3з/^ж + ж2Bаж + Ъ)ухх + ж(а2ж2 + 2а6ж + с)ух + (а26ж2 + be - 2с)у = 0.
Частные решения: у\ = е~ажжП1, у2 = е~ажжП2, где щ и П2 —корни квадратного
уравнения п2 — п + с = 0.
168. ж3^ж + ажп1/1 + 6ж^ + Ъ(ахп-2 - 2)у = 0.
Частные решения: у\ = жт1, у2 = жт2, где ??ii и т2 —корни квадратного уравнения
т2 — т + Ь = 0.
26 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
402 Уравнения третьего порядка
169. х3уххх + х2(ахп + Ь)ухх + х(ахп + Ь - 1)ух + (ахп + Ь - 3)у = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), |/2 = sin(lnx).
170. х3уххх + х2(ахп + 6 + с + 1)?/"ж +
+ x[ctx2n + (ас + /3)хп + 7 + Ьс]у'х + (с — 1)(аж2п + /Зж71 + 7J/ — 0.
Замена ги = жг/J. + (с — 1)г/ приводит к линейному уравнению второго порядка вида
2.1.2.141: Л"ж + ж(ажп + 6)^ + (ах2п + /Зжп + j)w = 0.
171. х2 (ах + Ь)у'ххх + (еж — 6га2 — Ьт)ух + (га — 1)(с + ага2 + ат)у = 0.
Замена ги = жг/J. + (т — 1)г/ приводит к гипергеометрическому уравнению 2.1.2.159:
ж(аж + b)wxx — (т + 1)(аж + 6)^ + (с + am2 + am)w = 0.
172. х(ах2 -\- bx -\- с)у'ххх + жт/^, — 2т/ = 0.
Замена ги = жг/J. — 2у приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.166:
(ах2 + bx + c)wxx + w = 0.
173. (аж + Ь)х3ух'хх + (еж + d)x2yxx + я(аж + 6)ж^ + s[(c - 2а)ж + d — 26]?/ = 0.
Частные решения: у\ = ж711, г/2 = жП2, где щ и П2 —корни квадратного уравнения
п2 — п + s = 0.
174. х5уххх -
Решение: г/ =
| :
175. х6уххх = ау + 6ж2.
Преобразование ж = t, у = wt~2 приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами вида 3.1.2.2: u>"/? + aw + 6 = 0.
176. х6ух'хх + ах2у'х + F — 2ах)у = 0.
Преобразование ж = ?-1, у = wt~2 приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами: w"lt + au>J ~ bw = 0.
177. х6уххх + 6ж5т/"ж - a?/ + 26ж = 0.
Замена х = t~x приводит к уравнению вида 3.1.2.127: t2y'ut ~ §Уь + at2у — 2Ы = 0.
178. (х-аK(х-ЬKу'^-су = 0, афЬ.
У
Преобразование t = In
x — b
(X -
приводит к уравнению с постоянными
коэффициентами: (а — bK(w't"t — 3w"t + 2w't) — cw = 0.
179. (ax2 +bx + cfyxxx = ky.
tt r t f dx У
Преобразование t = / — , w = — приводит к уравнению с
J ax2 + bx + c ax2 + bx + c
постоянными коэффициентами: w'^ + Dac — b2)w'^ = kw.
180. x7yxxx = ay + 6ж3.
Преобразование x = t-1, y = wt~2 приводит к уравнению вида 3.1.2.3: wft"t
181. х7Ух"хх + («ж + 6O/ = 0.
Преобразование ж = ?-1, y = wt~2 приводит к уравнению вида 3.1.2.4: w'ttt — (bt+a)w = Q.
182. ж9^'! + (а3 - Ъа2х2)у = 0.
Преобразование х = t~x, у = wt~2 приводит к уравнению вида 3.1.2.6: w"lt +
+ Ca2t - a3t3)w = 0.
3.1. Линейные уравнения 403
183. х уххх = ау.
Преобразование х = t, у = и>?~2 приводит к уравнению вида 3.1.2.5: w"/t + at3w = 0.
184. х3/2Ух"хх = ау.
Частный случай уравнения 5.1.2.25 при п = 1.
-о_ 9/2 ///
185. х ' уххх = ау.
Частный случай уравнения 5.1.2.26 при п = 1.
186. ж2(ж71 + a)^'L + жFжТГ1+1 + 2пхп + сж)^ж +
+1 + п(п - l)^71]^ + Ът(т - ^х^у = 0.
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка: (хп + а)у'х +
+ (Ъхт + с)у = d
3.1.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
1. yZx - аеХх(а2е2Хх + ЗаЛеЛаз + Л2)./ = 0.
Частное решение: уо =expf—еХх). Замена у = expf—еХх) / z(x)dx приводит к
уравнению второго порядка вида 2.1.3.29: z"x + 3aeXxz'x + (За2е2Лж + 3a\eXx)z = 0.
2 111 | Лаз / | \ Лаз » /хаз
Уххх +ае ух + а\е у = Ъе* .
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх -\-аеХху =
_ —е^х _|_ ^ q решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.3.1.
ц
3. у"'хх + аеХху'х + Ь(аеХх + Ь2)у = 0.
Замена w = у'х -\-Ъу приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.3.10: wxx — bwx +
+ (аеЛж+62)™ = 0.
4. y"L + аеЛж^ + Ъх(аеХх + 62ж2 - ЗЪ)у = 0.
Частное решение: |/о = ехр(— ^-Ъх ).
5. yZL + oeAicj/; + [o(A - 6)еЛаг - 63]i/ = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх + Ъу'х +
+ (аеХх +Ъ2)у = СеЪх. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.3.10.
6. у"'хх + (аеЛж - Ь2)^ + аЬеХху = 0.
Замена w = у'х + by приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.10:
wxx - bwx + aeXxw = 0.
7. y"L + (аеЛж - Ъ2)у'х + а(Л - Ъ)еХху = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх + Ъу'х +
+ аеХху = СеЪх. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.3.10.
8. ?/"L + (аеЛж + Ъ)у'„ + с(аеЛж + Ь + с2)у = О.
Замена w = у'х + су приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.10:
wlx - cw'x + (аеХх +b + c2)w = 0.
9. у"'хх + (ах + Ъ)еХху'х - аеХху = 0.
Частное решение: уо = ах -\- Ь.
Ю. y"L + (ае2Аж + ЬеЛж)?/; - с(ое2Лж + ЬеЛж + с2)у = О.
Замена w = ух — су приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
wlx + cw'x + (ae2Xx + 6еЛж + c2)w = 0.
26*
404 Уравнения третьего порядка
Лаз/ Лаз ¦ \\ / ¦ Лаз /г» 2 2Лаз \2\ ^
(ае + Л)^ + ае Bа е — Л )у = 0.
Частные решения: у\ = ехр ( —еХх ), у2 = х exp ( —еЛж J.
12. у™. - (За2е2Лаз + За\еХх + Ъ)у'х + аеХхBа2е2Хх - 26 - Л2)./ = 0.
1°. Частные решения при Ь > 0:
2/1 = expf уеЛж - xVbY у2 = expf уеЛж + xVbj.
2°. Частные решения при Ъ < 0:
г/! = cos(xa/^6) expf уеЛжУ 2/2 = sin(xV^b) expf yeAxJ.
13. 2/"L + ay'L + 6еЛаз^ + а6еЛаз2/ = 0.
Замена w = yfx+ay приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.3.1: w"x+beXxw = 0.
14. y'Z* + ay'L + (beXx + c)y'a + [b(a + А)еЛж + ac]y = 0.
В результате интегрирования получим линейное неоднородное уравнение второго поряд-
порядка: ухх + (ЬеХх + с)у = Се~ах. О решении соответствующего однородного уравнения
см. 2.1.3.2.
1; /// . // . /I 2Лаз | Лаз\ / ¦ /» 2Лаз ¦ Лаз\ ^
15. уххх + аухх + (be + се )уш + а(Ъе + се )у = 0.
Замена w = у'х -\- ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
Wxx + (be2Xx + сеЛж)^ = 0.
16. 2/"L + aeXxy'L - b2 (aeXx + b)y = 0.
Замена w = yfx — by приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
™"ж + (аеХх + b)it;J. + 6(аеЛж + b)w = 0.
17. у"'хх + аеЛж2/1 - 6^ - abeXxy = 0.
1°. Частные решения при b > 0: ?/i = ехр(—жлА), 2/2 = ех
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = со8(жл/^б), ^/2 = sin^)
18. уххх + aeAa32/L + abeXxyx + б3./ = 0.
Замена w = ух -\- by приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
wxx + (аеХх - b)wx + b2w = 0.
19. уххх + ae^s/l - 6BаеЛж + ЗЪ)у'х + 62(аеЛж + 2Ь)у = 0.
Частные решения: у\ = е&ж, ^/2 = хеЪх.
20. ^'L + aeAa3s/l + Fе^ж - с2)^ - с(асеХх + бе^33)./ = 0.
Частное решение: уо = есх.
21. j/4'L + oeAicj/L + (оЬеЛш - б2 + с)^ + с(оеЛш - 6)j/ = 0.
Частные решения: у\ = е^1Х, у2 = е^233, где C\ и /^2 —корни квадратного уравнения
(З2 + 6/3 + с = 0.
22. ^'L + aeAa3s/l + [а(Ь + \)еХх - Ь2]ух + аЪ\еХху = 0.
Частные решения: у\ = е~&ж, ^/2 = е~Ъх I expf 26ж — —еХх J с/ж.
23. ^'L + ae^s/l + бж71^ + bxn-1(axeXx + n)y = 0.
Замена w = г/^ж -\-bxny приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x-\-aeXxw = 0.
3.1. Линейные уравнения 405
24. y'Z* + axeXxy'L + (bx2 - oe*')»i + bx(ax2eXx + 3)y = 0.
1°. Частные решения при b > 0: j/i = сов(-|-а;2л/Ь), */2 = sin(-|-x2
2°. Частные решения при b < 0: j/i = exp(— -i-s:2\/^b), »/2 = exp(— |i2/4).
25. j/^'L + ax2eXxy'L - 2axeXxy'!B + 2aeXxy = 0.
Частные решения: j/i = ж, t/2 = x2.
26. j/4'L + (оеЛш + б)»;'. - аЬ*еХяу = 0.
Замена w = ух -\- by приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
wxx + aeXxwx - abeXxw = 0.
27. ^'L + (аеЛж + b)y'L - c2(aeXx + 6 + c)y = 0.
Замена w = y'x — су приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
г^'ж + (аеХх -\-b-\- c)wx + с(аеХх -\-b-\- c)w = 0.
28. yZx + (аеЛж + b)y'L + с(аеЛаз + 6)^ + с3у = 0.
Замена w = ух -\- су приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
wxx + (aeXx +b- c)wx + c2w = 0.
29. з/L'L + (beax + 2aJ/L - a(beax + a)^ - 2a32/ = 0.
Частные решения: у\ = еаж, |/2 = е~аж + —.
a
30. y'Z, = (eXx - a)y'L + (аеАж - Ь)у'а + beXxy.
Частные решения: у\ = е^1Х, у2 = е^2Х, где /3i и /^2 —корни квадратного уравнения
(З2 + аC + 6 = 0.
31. 2/L'L + (аеЛж + b)y'L + (сеЛж + d)yi - s[(as + с)еЛж + 6s + d + s2]s/ = 0.
Замена w = yx — sy приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
wxx + (аеХх +Ъ + s)w'x + [(as + c)eXx +bs + d + s2]w = 0.
32. з/L'L + (aeXx + b)t?e + (ce2Xx + d)yi - s(ce2Ajc + aseXx + 6s + d + s2)^ = 0.
Замена w = yx — sy приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.3.29:
wxx + (аеХх + 6 + s)^4 + (се2Хх + aseAx + 6s + d + s2)w; = 0.
33. yZx + (аеЛж + b)y'L + (сеЛаз + d)y'x - keXx[k(a + fc)e2Aa3 +
+ (a\ + 3fcA + bk + с)еЛж + Л2 + 6Л + d]?/ = 0.
Частное решение: уо =ехр(—е х). Замена у = ехр(—е х) / z(x)dx приводит к
линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.29.
34. у^ш + BаеЛж+Ь)?/"а!+аеАж(аеЛа!+2Ь+ЗА)^+оеАж[а(Ь+2А)еА2
Частные решения: j/i=expf еХх), у2 = хещ>( еХх).
35. iC + (оеЛш - 6)j/L + се^""!/; - 6(оЬеЛш + се^)у = 0.
Частное решение: уо = е х.
36. iC + (еЛаг + о)»;'. + (аеЛаг + Ье^)у'х + аЬе^у = 0.
Частное решение: уо = е~ах.
37. »;';„ + (ах + ЬеАж)^'ш + а(ЬжеАж + 2)j? + аЬеАж?/ = О.
Частные решения: у\ = ехр(— -|-аж ), |/2 = ехр(— -|-аж ) / ехр(уаж ) dx.
406 Уравнения третьего порядка
38. y'Z* + (abxeXx + ЬеХх + a)y'L + аЧхе^у'^ - a2beXxy = 0.
Частные решения: у\ = х, г/2 = е~ах.
39. уххх + ахп(ЬеХх + 2Х)у'х[х - \(abxTleXx + Л)^ - 2а\3хпу = 0.
Частные решения: yi = e х, у2 = е~ х -\ .
А
40. Ух"хх + (ахп - 2beXx)y'L - ЪеХхBахп - ЪеХх
+ ЪеХх[ахп(ЪеХх - Л) + 2Ъ\еХх - \2]у = 0.
Частные решения: у\ = ехр ( —еХх ), у2 = х ехр ( —еХх ).
41. |С + (оеЛа! + be^)y'L + су'х + с(аеХа! + Ье^)у = 0.
Замена w = г/^ж + с|/ приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ (аеХх
42.
- асеЛж + б/хе^]?/ = 0.
Частные решения: у\ = е~сж, ^/2 = е~сж / expf 2сх — —е^х J с/ж.
43. »^и + аех*(Ье^ + 2M)t,L - м(аЬе<л+">* + м)»- - 2aM3eA^ = 0.
1 / Ьх \ ( bxVs \ 1 / Ьх \ . ( bx
Частные решения: у\ = — ехр ( — — J cos ( J, у2 = — ехр ( — — J sin (
Частные решения: у\ = емж, ^/2 = е~мж Ч .
44. ху"'хх + «2/L + жFеЛж + с)у'х + [6(Лж + а)еХх + ас]?/ = 0.
Замена w = г/^ж + (ЬеХх + с)у приводит к линейному уравнению первого порядка:
xw'x + aw = 0.
45. xy'Z* + ахеХху'х - 2аеХху = 0.
Замена w = xyfx—2y приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.3.1: гп"х-\-аеХхгп = 0.
46. xyZL = (еХх - ax)y'L + (аеХх - Ьх)у'т + ЬеХху.
Частные решения: у\ = е^1Х, у2 = е^2Х, где f3\ и fc —корни квадратного уравнения
/З2 + а/3 + Ъ = 0.
47. Ж?/^ж + (ахеХх + 3)^ + аFж + 2)еХху'х + Ь(аЬхеХх + аеЛж - 62ЖJ/ = 0.
\
1.
48. х3у'?* + х(ахеХх + b)y'L + [а(Ь - 2)хеХх + с\у'т + а(с - Ь + 2)еХху = 0.
Частные решения: у\ = хПг, у2 = хП2, —где п\ и П2 —корни квадратного уравнения
п2 + (Ь - 3)п + с - Ъ + 2 = 0.
49. х3ух'хх + Ьх2еХхухх + аж^ + а(ЪеХх - 2)у = 0.
Частные решения: у\ = жП1, у2 = ж™2, где п\ и П2 — корни квадратного уравнения
п2 - п + а = 0.
50. Ж3^ж + ж2(аеЛж + Ь)^ + х(аЬеХх + с - 6)^ + с(аеХх - 2)у = 0.
Частные решения: у\ = жП1, у2 = ж™2, где п\ и П2 — корни квадратного уравнения
п2 + F-1)п + с = 0.
51. (аех + Ь)Ух"хх ~ аеху = 0.
Частное решение: уо = аех + 6.
52. Fсеаж + о + c)yZL - (Ьс3еах + а3 + с3)^ + ас(а2 - с2)у = 0.
Частные решения: у\ = есж, |/2 = е~ах + 6.
3.1. Линейные уравнения 407
53. (аеЛж + b)yZ* + (сеЛж + d)y'L + к(аеХх + Ь)у'т + к(сех* + d)y = 0.
1°. Частные решения при к > 0: у\ = cos(xv^), у 2 = sin(x\/k).
2°. Частные решения при к < 0: г/i = ехр(—ху/—к), у2 = ехр(ж>/^&).
54. (аеж + Ъх)у'ххх — аеху = 0.
Частное решение: г/о = «еж + Ьж.
55. (аеж + bx2)yZx ~ аеху = 0.
Частное решение: г/о = аех + 6ж2.
56. (ажеж + Ь)у"'хх + Ьу = 0.
Частное решение: уо = ах -\-Ье~х.
57. (ах2ех + 6)^ш + by = 0.
Частное решение: уо = ах + 6е~ж.
3.1.4. Уравнения, содержащие гиперболические функции
1- y"Lx — a3 th(ax)y = 0.
Частное решение: г/о = сЬ(аж). Замена г/ = ch(ax) / z(x)dx приводит к уравнению
второго порядка вида 2.1.4.44: z"x + 3ath(ax)zfx + За2^ = 0.
2. 2/ж4ж — «3 cth(ax)y = 0.
Частное решение: уо = sh(ax). Замена г/ = sh(ax) / z(x) dx приводит к уравнению
второго порядка вида 2.1.4.45: z"x + 3a cth(ax)z'x + За2^ = 0.
3. y'Z* ~ За2у'х + 2а3 th(ax)y = 0.
Частные решения: у\ = сЬ(аж), г/2 = xch(ax).
4. 2/L'L - За2у'х + 2а3 cth(a^)ty = 0.
Частные решения: у\ = sh(ax), г/2 = xsh(ax).
5. y"L + [а сЬBж) + Ь]у'а + a shBx)y = О.
Решение:
у = Сгг^х + C2W1W2 + C3W2,
где г^1 и г^2 —фундаментальная система решений модифицированного уравнения Матье
2.1.4.1: 4г^ж + [a chBx) + b]w = 0.
6. y"L + аухх + 6 сЬBж)^ + ab chBx)y = 0.
Замена w = у'х -\- ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.4.1:
wxx +bchBx)w = 0.
7. 2/"L + «2/L + ^> ch2 x y'x + a6 ch2 x у = 0.
Замена w = y'x + ay приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.4.2:
wxx + Ъ ch2 ж w = 0.
8. 2/ж4ж + ау"х + & sh2 xyx-\- ah sh2 ж ty = 0.
Замена w = у'х -\- ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.4.5:
wxx + Ъ sh2 х w = 0.
9. 2/"L + «2/L + [bth(A«) + c]yx + а[ЫЬ(Лж) + с]у = 0.
Замена w = y'x + ay приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.4.6:
w'xx + [bth(Xx) + с]г^ = 0.
408 Уравнения третьего порядка
Ю. yZ* + a>y'L ~ \[2ath(\x) + ЗЛ]^ + Л2[2а1Ь2(Лж) + 2Л1Ь(Лж) - а]у = 0.
Частные решения: у\ = сЬ(Лж), г/2 = жсп(Аж).
П. 2/"L + ау"х + [Ьс1Ь(Лж) + с]у'х + а[Ьс!Ь(Лж) + с]?/ = 0.
Замена w = у'х -\- ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.4.10:
™"х + [bcth(Xx) + c]w = 0.
12. y"L + «2/L - A[2a с!Ь(Лж) + ЗЛ]^ + Л2 [2a cth2 (Лж) + 2Л с!Ь(Лж) - а]т/ = 0.
Частные решения: у\ = sh(Ax), y2 = xsh(Ax).
13. 2/"L + асЪп(\х)у':х + byi + abchn(\x)y = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = cos(xaA), 2/2 = sin(x\/b).
2°. Частные решения при Ъ < 0: |/i = ехр(—xy/^-b), у2 =
14. iC + осЬ^САж)^ + Ьж^ + ЬЖгтг-1[ая;сЬ'г(АЖ) + т]у = 0.
Замена w = г/^ж + Ьхшу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ achn(\x)w = 0.
15. y'Z* +асЪТ1(\х)ух'х + abchn(\x)yfx + 62[ochn(Aa;) - b]y = 0.
Частные решения: ?/i = e~ x'2 со8(у6жл/з), 2/2 = e~ ж^2 8т(^-^жл/з).
16. J/"L + о ch" (Аж)^ - b[2a ch" (Аж) + 36]^ + b2 [a ch" (Аж) + 2b]y = 0.
Частные решения: ?/i = e ж, y2 = xe x.
17. 2/L'L + a ch71 ж 7/L + (a6 chn x + с - Ъ2)у'х + c(a ch71 x - b)y = 0.
Частные решения: ?/i = exp(Aix), y2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг—корни квадратного
уравнения А2 + ЬХ + с = 0.
18. 2/L'L + «ж ch71 х ухх + (Ьж2 - a ch71 ж)^ + Ьж(аж2 ch71 ж + 3)?/ = 0.
Частные решения: у\ = со8(-|-ж2лА), 2/2 = 8т(-|-ж2лА)-
19. 2/L'L + ах2 сЪп{\х)ухх - 2ах сЪп{\х)ух + 2а сЪп{\х)у = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х .
20. я™,. = (ch" ж - а)^'ж + (a ch" ж - Ь)»4 + Ь ch" ж ».
Частные решения: ?/i = exp(Aix), y2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг—корни квадратного
уравнения А2 + аХ + Ъ = 0.
21. 2/L'L + (a ch71 ж + bx)yxx + Ь(аж ch71 ж + 2)ух +abchnxy = 0.
Частные решения: у\ =ехр(—-|-Ьж ), ^/2 = ехр(—убж ) / ехр(^-^ж ) с/ж.
22. ух'хх + а8Ь71(Лж)^/ж + 6^ + abshn(\x)y = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = со8(жлА), 2/2 = sm{x\/b).
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = exp(—xy/^b), у2 =
23. ^'L + а8Ьтг(ЛжJ/1 + бж771^ + 6жттг-1[аж8Ь7г(Лж) + гп]у = 0.
Замена w = г/^ж + Ъхшу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ ashn(Xx)w = 0.
24. 2/L'L + ashn(\x)yxx + а68Ьтг(Лж)^ + b2[ashn(\x) - b]y = 0.
Частные решения: y\ = e~ ж'2 со8(у6жл/з), У2 = е~ ж'2 8т(^-
3.1. Линейные уравнения 409
25. yZ, + a sh" (\x)y'L - b[2a sh" (\x) + 36]t^ + b2 [a sh" (\x) + 2b]y = 0.
Частные решения: y\ = e ж, г/2 = xe x.
26. ?/"L + a sh71 ж 7/L + (ab sh71 ж + с - Ъ2)у'х + c(a sh71 x - b)y = 0.
Частные решения: г/i = exp(Aix), 2/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Л2—корни квадратного
уравнения Л2 + ЬХ + с = 0.
27. ?/"L + аж sh71 ж 7/L + (Ьж2 - a sh71 ж)^ + Ьж(аж2 sh71 ж + 3)?/ = 0.
Частные решения: у\ = cos(yX2v^), 2/2 = 8т(^-ж2лА)-
28. ?/"L + аж2 8Ьтг(Лж)^/ж - 2аж зЬтг(Лж)^ + 2а shn(\x)y = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
29. 1С = (sh" ж - о)^ + (о sh" ж - Ь)у'х + Ъ sh" x у.
Частные решения: у\ = exp(Aix), у2 = ехр(Л2ж), где Ai и Лг—корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + Ъ = 0.
30. ^L + (a sh71 ж + Ьж)^ж + Ь(аж sh71 ж + 2)^ + ab sh71 ж # = 0.
Частные решения: у\ = ехр(— \Ьх ), ^/2 = ехр(— ^Ьх ) / ехр(^-^ж ) dx.
31. 2/L'L - th ж ^ш - ау'х + athxy = 0.
1°. Решение при а > 0: у = Ci ехр(—жу^) + Сг ехр(жу/а) + Сз chx.
2°. Решение при а < 0: у = Ci cos(x^/—а) + С2 sin(x^/—а) + Сз chx.
32. »;';„ + ath^AaOt/l + Ьж^ + tem-1[oxthn(Aii!) + т]у = О.
Замена w = г/^ж + Ьхту приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ athn(Xx)w = 0.
33. y'Z* + a th71 (Лж)^ж + ab th71 (Лж)^ + b2 [a th71 (Лж) - b]y = 0.
Частные решения: yi = е~Ъх/2 cos(\hxVz), y2 = e~bx/2 бш(\Ьху/з).
34. yZx +atYin(\x)y'L - b[2athn(\x) + 3b]y'x + b2[athn(\x) + 26]^/ = 0.
Частные решения: y\ = e ж, y2 = xe x.
35. 2/L'L + oth^Ax)^ + [аб!Ьтг(Лж) + с - Ь2]^ + c[a 1Ьтг(Лж) - b]y = 0.
Частные решения: у\ = exp(/3i#), 2/2 = ехр(/^2ж), где /3i и /5г —корни квадратного
уравнения /З2 + b/З + с = 0.
36. ^L + ахпу"х - Bахп th ж + 3)^ + [ажтгB th2 ж - 1) + 2 th ж]?/ = 0.
Частные решения: у\ = chx, |/2 = жсЬж.
37. 2/L'L + a th71 ж 2/L - Ba th'-^1 ж + 3)^ + Ba th7^2 ж - a th71 ж + 2 th ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = chx, ^/2 = xchx.
38. y'xxx + аж th71 ж yxx + Fж2 - a th71 ж)^ + bx(ax2 th71 ж + 3)?/ = 0.
Частные решения: у\ = со8(уЖ2лА), 2/2 = 8т(^-ж2лА).
39. 2/L'L + аж2 th71 (Лж)^ж - 2аж th71 (Лж)^ + 2а th71 (\x)y = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
40. 2/L'L = (th71 ж - aJ/L + (a th71 ж - b)yx + 6 th71 ж т/.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 2/2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг—корни квадратного
уравнения А2 + аХ + Ъ = 0.
410 Уравнения третьего порядка
41. y"L + (a th71 ж + Ъх)ухх + Цах th71 x + 2)^ + ab th71 ж ?/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(— убж2), у2 = ехр(—убж2) / ехр^бж2) с/ж.
42. 2/^ + [аж"AЬЖ-6)-6]2/1 + [аF2-1)Жтг-1]^
Частные решения: у\ = е&ж, ^/2 = спж.
43. ?/"L + [Л1Ь(Лж)(ажтг - 1) - аж71]?/", - а\2хпух + а\2хп-1у = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = сп(Аж).
44. ?/"L + (a th7^1 х-аЫЪпх- Ъ)у"х +
+ [а(Ъ2 - 1) th71 ж - 1]^ + Ъ(-аЪ thw+1 ж + а th71 ж + 1)?/ = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ^/2 = chx.
45. 2/^,ж — cth ж у"х — ау'х + a cth xy = 0.
1°. Решение при а > 0: у = Ci ехр(—жд/a) + Сг ехр(жл/«) + Сз sh ж.
2°. Решение при а < 0: у = Ci cos(x^/—а) + С2 sin(x^/—а) + Сз shx.
46. 2/L'L + (а cth ж - аЪ - Ъ)у'^х + (аЬ2 - а - 1)^ + Ь(-аЬ cth ж + а + 1)у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, |/2 = shx.
47. 2/L'L + acthn(\x)yxx + бж771^ + бж771^ сШ^Лж) + т]т/ = 0.
Замена w = г/^ж + Ъхшу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ acthn(\x)w = 0.
48. уххх + acthn(\x)yxx + a6cth7г(Лж)^ + 62[acth7г(Лж) - b]y = 0.
Частные решения: у\ = е~ ж'2 со8(у6жл/з), 2/2 = е~ х'2 8ш(-|-&ел/з).
49. j/4'L + оcth"(Aa;)j/L - 6[2аcth^CAa;) + Щу'х + Ь2[а^^(Аж) + 2Ь]у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, у2 = хе х.
50. ?/"L + аж cth71 ж ?/"ж + Fж2 - а cth71 ж)^ + Ъх(ах2 cth71 ж + 3)?/ = 0.
Частные решения: у\ = со8(-|-ж2лА), 2/2 = 8т(-|-ж2лА)-
51. 2/L'L + «ж2 cth7г(Лж)?/L - гажсШ^Лж)^ + 2аcth7г(Лж)?/ = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
52. уххх + axnC - Bахп cth ж + 3)^ + [ажлB cth2 ж - 1) + 2 cth ж]?/ = 0.
Частные решения: у\ = sh х, у2 = х sh ж.
53. ^L +a cth7гж 7/L - Ba cthTl^1x-\-3)yx + Ba cth7г+2ж-a cth7гж + 2 cth x)y = 0.
Частные решения: у\ = sh ж, y2 = x sh ж.
54. ^L + (a cth71 ж + Ьх)ухх + 6(аж cth71 ж + 2)yx + аб cth71 xy = 0.
Частные решения: у\ = exp(—y^2), y2 = exp(—убж2) / ехр(-|-&Е2) dx.
55. 2/L'L + [Лс^ЛжНаж71 - 1) - axn-x\yxx - a\2xny'x + a\2xn-1y = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = sh(Xx).
56. жт/^L + x[a сЬBж) + 6]^ - 2[a сЬBж) + 6]?/ = 0.
Замена ги = ж^ — 2y приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.4.1:
w'lx + [а спBж) + b]w = 0.
3.1. Линейные уравнения 411
57. хуххх + x(a ch2 ж + Ъ)у'х - 2(а ch2 х + Ь)у = 0.
Замена w = ж^ — 2?/ приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.4.2:
w'xx + (а сд2 ж + Ь)гу = 0.
58. хуххх + х(а sh2 ж + Ь)^ - 2(а sh2 ж + 6)у = 0.
Замена гу = жг/J. — 2у приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.4.5:
2 х + b)w = 0.
59. жт/^L = (ch71 ж - аж)С + (а ch71 ж - Ъх)у'х +bchnx у.
Частные решения: у\ = exp(Aix), у2 = ехр(Л2ж), где Ai и Лг —корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + Ъ = 0.
60. ж2з/^ж + (аж2^71 х + Ъх)у"х + [а(Ъ-2)хс\1п х + с]у'х + а(с- Ь + 2) ch71 ж # = 0.
Частные решения: у\ = жт1, у2 = х™2, где тщ и Ш2 — корни квадратного уравнения
т2 + (Ь- 3)ш + с-6 + 2 = 0.
61. ж2^ж + (аж28Ь7гж + 6ж)^/ж + [а(^-
Частные решения: |/i = xmi, y2 = жт2, где ??ii и т2 —корни квадратного уравнения
т2 + (Ь- 3)ш + с-6 + 2 = 0.
62. ж2^ж + (аж2 th71 ж + Ьх)у"х + [аF-2)ж!Ьтг ж + с]у'х + а(с- Ъ + 2)tWl ж ?/ = 0.
Частные решения: у\ = xmi, у2 = х™2, где ??ii и Ш2 — корни квадратного уравнения
т2 + F - 3)т + с-6 + 2 = 0.
63. ж2^ж + (аж2
Частные решения: |/i = xmi, |/2 = жт2, где mi и ??г2 —корни квадратного уравнения
т2 + (Ъ- 3)ш + с-6 + 2 = 0.
64. ж3^ж + ж2(асЬтг ж + Ъ)ухх + ж(а6сЬтг ж + с - Ъ)ух + с(а ch71 ж - 2)у = 0.
Частные решения: у\ = жт1, 1/2 = хШ2, где тщ и ?тг2 —корни квадратного уравнения
т2 + (Ь- 1)т + с = 0.
65. x3yfxxx +x2(ashnx + b)yxx + x(ab shn х + с - Ъ)у'х + с(а shn х - 2)у = 0.
Частные решения: у\ = хШг, |/2 = ж™2, где тщ и ?тг2 —корни квадратного уравнения
т2 + (Ь- 1)т + с = 0.
66. х3уххх + ж2(а1Ьтг ж + Ь)ухх + ж(аб!Ьтг ж + с - Ь)ух + с(а th71 ж - 2)у = 0.
Частные решения: у\ = ж™1, 2/2 = х™2, где тщ и Ш2 —корни квадратного уравнения
т2 + (Ь- 1)т + с = 0.
67. х3ух'хх + ж2(a cth71 ж + Ь)ухх + ж(а6с!Ь7г ж + с — 6)т/^ + с(а cth71 ж — 2)т/ = 0.
Частные решения: г/i = х™1, у2 = жт2, где mi и ??г2 —корни квадратного уравнения
т2 + (Ь- 1)т + с = 0.
68. ch71 ж ^'L + ат/L + аЬух + Ъ2(а-Ъ ch71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = е~ ж'2 со8(-|-6жл/з), |/2 = е~ ж'2 8т(^-
69. ch" х yZ* + ay'L + bchnxy'a! + aby = 0.
1°. Частные решения при b > 0: yi = cos(xv^), 2/2 = sm(xy/b).
2°. Частные решения при b < 0: 2/1 = exp(—xy/^-b), 2/2 = ех
70. ch71 ж 2/^L + ayxx - bBa + 36 ch71 ж)^ + 62 (a + 26 ch71 x)y = 0.
Частные решения: ?/i = e ж, y2 = xe x.
412 Уравнения третьего порядка
71. ch71 ж Ух"хх + y'L + [(b - a2) ch71 ж + a]j? + 6A - a ch71 x)y = 0.
Частные решения: y\ = eXlX, У2 = ex<2X, где Ai и Л2 —корни квадратного уравнения
2
72. сЬ^Лж)^ + аж2?/! - 2аху'х + 2а?/ = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х .
73. ch71 ж ?/ж + (a ch71 ж + ах + 1)?/"ж + а2ху'х — а2у = 0.
Частные решения: у\ = ж, ^/2 = е~аж.
74. ch71 ж ^'L + (ах ch71 ж + 1)^ш + а(ж + 2 ch71 ж)^ + ат/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(—^-«ж2), 2/2 = ехр(— -|-йж2) / ехр(уаж2) с/ж.
75. ж ch71 ж ?/"L + C ch71 ж + ж)^'ж + (ах ch71 ж + 2)у'х + 0@^ ж + х)у = 0.
Частные решения: |/i = —cos^v^), 2/2 = —sin^v^)-
76. ж3 ch" x yZL + ax^y'L ~ 2x ch" xy'm + 2B ch" x - a)y = 0.
Частные решения: ?/1=ж~1, у2 = x2.
77. ж3 ch71 ж ^'L + аж2С - 6ж ch71 ж у'х + 6B ch71 ж - а)у = 0.
Частные решения: у\ = х~ , у2 = ж .
78. ж3 ch71 ж з/^L + ах2y'L + ж(а - ch71 х)у'х + (а - 3 ch71 ж)?/ = 0.
Частные решения: у\ = cos (in |ж|), у2 = sin (in |ж|).
79. ж3 ch71 жт/^L +ж2(сЬтг ж + а)^ж +ж[а- F + 1) ch71 х]у'т + ЬB chn х-а)у = 0.
тт -Vb Vb
Частные решения: у\ = ж , у2 = х
80. sh71 ж ^'L + ат/L + аб^ + б2(а - 6 sh71 x)y = 0.
Частные решения: |/i = е~ х'2 cos(y^Vo), |/2 = е~ ж^2 s
81. sh71 ж уххх + ат/L + 6 sh71 ж ^ + абт/ = 0.
1°. Частные решения при Ь > 0: ?/i = со8(жлА), у2 = 8т
2°. Частные решения при 6 < 0: у\ = ехр(—жл/^5), |/2 =
82. sh71 ж уххх + ат/L - 6Bа + 36 sh71 ж)^ + Ь2 (а + 26 sh71 x)y = 0.
Частные решения: ^д = е ж, у2 = хе х.
83. sh71 ж ^'L + y'L + [(& - a2) sh71 ж + a]^ + 6A - a sh71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = eXlX, У2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
2
84. shn(\x)y'Lx + аж22/1 - 2аж^ + 2ау = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х .
85. sh71 ж з/^L + (a sh71 ж + аж + 1)?/"ж + а2ж^ - а2у = 0.
Частные решения: у\ = ж, ^/2 = е~ах.
86. sh71 ж з/^L + (ах sh71 ж + 1)ухх + а(ж + 2 sh71 ж)^ + ау = 0.
Частные решения: у\ = ехр(—^-«ж2), |/2 = ехр(—^-«ж2) / ехр(уаж2) с/ж.
3.1. Линейные уравнения 413
87. ж sh71 ж уххх + C sh71 x + х)ухх + {ах sh71 ж + 2)^ + a(shn х + х)у = 0.
Частные решения: у\ = —cos(xv/a), 2/2 = —sin
X X
„3 „in _ '" i 2л //
88. ж3 sh71 ж ^'L + аж2?/"ж - 2х sh71 ж ^ + 2B sh71 x - а)у = 0.
Частные решения: у\ = ж~ , г/2 = х .
89. ж3 sh71 ж ?/"L + аж2С - 6ж sh71 ж ^ + 6B sh71 х - а)у = 0.
Частные решения: ?/i = х~2, у 2 = ж3.
90. ж3 sh71 ж ?/"L + ах2ухх + ж(а - sh71 х)ух + (а - 3 sh71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), у2 = sin(lnx).
91. ж3 sh71 ж ^'L + ж2(sh71 ж + aJ/L + х[а - (Ь + 1) sh71 ж]^ + 6B sh71 х - а)у = 0.
тт ->/Ь У&
Частные решения: yi = х , у2 = х
92. th71 ж ^L + ay'L + a&2/L + Ь2 (a - 6 th71 x)y = 0.
Частные решения: yi = е~Ъх/2 cos(\bxV%), y2 = е~Ъх/2
93. th71 ж ^'L + ay'L + 6 th71 ж ^ + абт/ = О.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = cos(xv^), у2 = 8т
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—жд/^6), 2/2 =
94. th71 ж у"'хх + «2/L - &Bа + 36 th71 ж)^ + Ъ2 (а + 26 th71 x)y = 0.
Частные решения: ^д = е&ж, ^/2 = хеЪх.
95. th71 ж ^'L + y'L + [(Ь - a2) th71 ж + a]^ + 6A - a th71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = eXlX, У2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
Л2+аЛ + 6 = 0.
96. 1Ьтг(Лж)?/^ж + аж2С - 2аху'х + 2ат/ = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
97. th71 ж з/^L + (a th71 ж + аж + 1)?/"ж + а2ж^ - а2у = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = е~ах.
98. th71 ж у"'хх + («ж th71 ж + 1)ухх + а(ж + 2 th71 ж)^ + ау = 0.
Частные решения: ^д = ехр(—^-«ж2), 2/2 = ехр(— -|-йж2) / ехр(уаж2) dx.
99. ж th71 ж уххх + C th71 ж + х)ухх + (аж th71 ж + 2)^ + a(thw х + х)у = 0.
Частные решения: |/i = — cos(x^/a), 2/2 = — sin(x^/a).
100. ж3 th71 ж ^'L + ах2ухх - 2ж th71 ж ух + 2B th71 ж - а)у = 0.
Частные решения: у\ = х , у2 = х .
101. ж3 th71 ж 2/^ж + ах2ухх - 6ж th71 ж ^ + 6B th71 ж - а)?/ = 0.
Частные решения: у\ = х~2, у2 = ж3.
102. ж3 th71 ж ^'L + ах2ухх + ж(а - th71 х)ух + (а - 3 th71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = cos (in |ж|), у2 = sin (in |ж|).
103. ж3 th71 ж уххх + ж2(th71 ж + а)ухх + ж[а - F + 1) th71 ж]^ + 6B th71 х - а)у = 0.
Частные решения: г/х = ж ь, у2 = х .
414 Уравнения третьего порядка
104. cth71 ж уххх + ay'L + aby'x + Ъ2(а-Ъ cth71 х)у = 0.
Частные решения: у\ = е~Ъх/2 сов^Ьжл/з), 2/2 = е~Ъх/2 зт(-|-Ьж
105. cth71 ж ?/"L + а?/"ж + 6 cth71 xy'x+ aby = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = cos(xv^), 2/2 = sm(xy/b).
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—xy/^-b), у2 = ехр()
106. cth71 ж ?/"L + аухх - ЪBа + 36 cth71 х)у'х + б2 (а + 26 cth71 x)y = 0.
Частные решения: ^д = е ж, г/2 = хе х.
107. cth71 ж ^'L + ухх + [F - a2) cth71 ж + а]^ + 6A - a cth71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = еЛ1Ж, у2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
2
108. с1Ьл(ЛжI/^ш + ax2y'L - 2аху'х + 2а./ = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
109. cth71 ж 2/ж4ж + (a cth71 ж + аж + 1)ухх + а2ху'х — а2у = 0.
Частные решения: ^д = ж, ^/2 = е~аж.
110. cth71 ж уххх + (аж cth71 ж + 1)ухх + а(ж + 2 cth71 ж)^ + ат/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(—^-«ж2), 2/2 = ехр(— -|-йж2) / ехр(уаж2) с/ж.
111. ж cth71 ж ?/ж + C cth71 ж + ж)?/"ж + (ах cth71 ж + 2)ух + c^cth71 ж + х)у = 0.
Частные решения: |/i = —cos(xv/«), 2/2 = —sin
ж ж
112. ж3 cth71 ж ^L + ах2ухх - 2ж cth71 ж ух + 2B cth71 х - а)у = 0.
Частные решения: yi = х \ у2 = х2.
113. ж3 cth71 ж ?/"L + ах2ухх - 6ж cth71 ж ^ + 6B cth71 ж - а)у = 0.
Частные решения: у\ = ж~2, у2 = х3.
114. ж3 cth71 ж з/^L + аж2С + ж(а - cth71 х)ух + (а - 3 cth71 ж)?/ = 0.
Частные решения: у\ = cos (in ж), у2 = sin (in ж).
115. ж3 cth71 xyxxx+x2(cthn х+а)у„т+х[а-(Ь+1) cth71 х]ут+Ъ{2 cth71
Частные решения: у\ = ж~ , у2 = х .
3.1.5. Уравнения, содержащие логарифмические функции
1. 2/"L + а1птг(ЛжJ/1 + Ьу'х + а61птг(ЛжJ/ = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = cos(xv^), у2 = si
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—xy/^b), у2 =
2. 2/L'L + a In71 ж ухх + a6 In71 ж ух + Ь2(а In71 ж - Ь)у = 0.
Частные решения: yi = е~Ъх/2 соъ(\Ъху/з), у2 = е~Ъх/2 sm(
3. 2/"L + a In71 ж ухх + Fж + с) ух + (абж In71 ж + ас In71 ж + Ъ)у = 0.
В результате интегрирования получим линейное неоднородное уравнение второго поряд-
порядка: УхХ + (Ьх + с)у = С ехр 1—а>1 In™ ж с/ж J. О решении соответствующего однородного
уравнения см. 2.1.2.2.
3.1. Линейные уравнения 415
4. y"Lx + a In71 (\х)ухх - b[2a In71 (Лж) + Щух + b2 [a In71 (Лж) + 2b]y = 0.
Частные решения: y\ = e ж, y2 = xe x.
5. ?/"L + a In71 ж 7/L + (ab In71 ж + с - Ь2)^ + c(a In71 x - b)y = 0.
Частные решения: ?/i = exp(Aix), 1/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Л2 —корни квадратного
уравнения Л2 + ЬХ + с = 0.
6. l/L'L + a In" (AaOj/l + ta™^ + Ьх™'1 [ax In" (Аж) + m]y = 0.
Замена w = г/^ж + bxmy приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ a\nn(\x)w = 0.
7. y"L + (а Ь71 ж + Ъ)у"х +су'х + с(а In71 х + Ь)у = 0.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos(xA/c), 2/2 = sin(xv/c)-
2°. Частные решения при с < 0: yi = ехр(—ху/^с), у2 = ехр(ж^/^с).
8. »;';, = (In" х - a)y'L + (a In" x - Ь)у'я + Ь In" ж ».
Частные решения: ^д = exp(Aix), 1/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Лг —корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + 6 = 0.
9. 2/L'L + ах In71 ж 7/L + (Ъх2 - a In71 ж)^ + Ьж(аж2 In71 ж + 3)у = 0.
Частные решения: |/i = со8(-|-ж2лА), 2/2 = 8т(^-ж2лА)-
Ю. yZ* + (« Ь" х + 6ж)^ж + 6(аж In71 ж + 2)^ + ah In71 ж т/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(— ^-Ъх ), |/2 = ехр(— ^Ъх ) / ехр(^-^ж ) dx.
П. 2/L'L + (аж In71 ж + bJ/L + a(bx - 1) In71 ж у'х - ab In71 ж у = 0.
Замена w = yfx + by приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.5.5:
w'xx + ах \пп xw'x — a W1 x w = 0.
12. y'xLx + {рЬх In71 ж + a In71 ж + b)y"x + ab2x In71 хух — ab2 In71 ж т/ = 0.
Частные решения: yi = х, у2 = е~ х.
13. з/L'L + аж2 ln"(Aa;)t,L - 2аж 1п"(Аж)^ + 2а ^"(Аж)^ = О.
Частные решения: у\ = х, у2 = х .
14. хух'хх + ахухх — b(bx In2 ж + 1)?/^ — ab(bx In2 ж + 1)т/ = 0.
Замена w = у'х + ау приводит к уравнению вида 2.1.5.7: xwxx — (b2x In2 х + 6)и> = 0.
15. xyZx + a]nn(Xx)yZ + teyi + а61птг(ЛжJ/ = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = cos{xy/b), у2 = sin(xVb).
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—xy/^b), у2 = ехр(жд/^б).
16. ж^ж + ах In ж ^'ж + (abx In ж - 62ж + а)ух + абт/ = 0.
Частные решения: yi = e~bx, 2/2 = е"&ж / ж~аже(сг+2Ь)ж с/ж.
17. жт/^L = (In71 ж - аж)С + (а In71 ж - Ьж)^ + Ь In71 ж т/.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 2/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Л2 — корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + Ъ = 0.
18. ж?/ж + {ах In71 ж + 3)?/"ж + Bа In71 ж + Ьх)ух + 6(аж In71 ж + 1)у = 0.
Частные решения: у\ = —cos (ж уЬ), 2/2 = —sin [x \/Ъ).
416 Уравнения третьего порядка
19. ху'ххх + (ах In71 ж + 3)ухх + (аЪх In71 х + 2а In71 х - Ь2х)у'х + Ъ(а \ппх-Ъ)у = 0.
1 1 — Ъх
Частные решения: у\ = —, г/2 = —е
X X
20. jBwi'i. + [а(Ь - In x)a!n + 1\y'L + ож"-1^ - аж™-2*, = О.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = In ж — Ъ + 1.
21. х2у'ххх + а1пТ1(Лж)^/ж + Ьж2^ + а61п7г(Лж)т/ = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: г/i = cos(xv^), 2/2 = sm(xy/b).
2°. Частные решения при Ъ < 0: г/i = ехр(—ж>/—б), г/2 = ехр
22. х2у"'хх + ж2 (a In ж + &)?/"ж + 2axy'ai — ay = 0.
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка: у'х + (a In х + Ь)г/ =
23. ж2^ж - Заж[аж1п2(Лж) + 1}ух + а[2а2ж2 1п3(Лж) + 1]у = 0.
Частные решения: г/i = ехр а / 1п(Лж) с/ж , у2 = х ехр а / 1п(Лж) с/ж .
24. ж2^ж + ж2 (а In ж + Ъх)ухх + 2жFж + а)ух - ау = 0.
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка: у'х -\- (а\пх-\-Ъх)у =
25. ж2^ж + (аж2 In71 ж + 6ж)^ж + [а{Ь-2)х In71 ж + с]^+а(с- Ъ + 2) In71 ж т/ = 0.
Частные решения: у\ = ж™1, г/2 = жт2, где т\ и ??г2 —корни квадратного уравнения
т2 + (Ъ- 3)ш + с-6 + 2 = 0.
26. ж3^ж + ж2 (a In ж + 6O/1 + 2аху'х - ау = 0.
В результате двукратного интегрирования получим линейное уравнение первого порядка:
ху'х + (a In х + Ь - 2)у = С\ + С2
27. ж3^ж + а]пп(\х)у'^ + 6ж3^ + а61птг(ЛжJ/ = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: г/i = cos(xv^), у2 = sin(x
2°. Частные решения при 6 < 0: у\ = ехр(—xy/^b), г/2 = е
28. ж3^ж + аж2 In71 ж т/L - 2ж^ + 2B - а In71 ж)т/ = 0.
Частные решения: г/i = ж, у2 = х2.
29. х3уххх + аж2 In71 ж ухх - 6ху'х + 6B - а In71 х)у = 0.
Частные решения: г/i = х~ , г/2 = ж .
30. х3уххх + ж2 (a In ж + Ъх)ухх + 2жFж + а)^ — ат/ = 0.
В результате двукратного интегрирования получим линейное уравнение первого порядка:
хух + (a In ж + Ъх — 2)у = С\ + i
31. х3ух'хх + ж2 (а In71 ж + Ъ)ухх + ж(а61п71 ж + с — 6)т/^ + с(а In71 ж — 2)т/ = 0.
Частные решения: г/i = х™1, г/2 = жт2, где mi и ??г2 —корни квадратного уравнения
т2 + (Ь — 1)т + с = 0.
32. In71 ж ?/"L + a?/L + abyx + Ъ2(а-Ъ In71 ж)?/ = 0.
Частные решения: г/i = е~ х'2 С08(у6жл/з), г/2 = е~ ж'2 8т(^-^жл/з).
33. In71 ж у'ххх + (аж In71 ж + 1)ухх + а(ж + 2 In71 ж)^ + а?/ = 0.
Частные решения: г/i = ехр(— ^ах ), г/2 = ехр(— ^ах ) / ехр(уаж ) с/ж.
3.1. Линейные уравнения 417
34. In71 x уххх + (а \пп х + ах + 1)?/"ж + сь2х ух — а2 у = 0.
Частные решения: г/i = х, г/2 = е~ах.
35. \пп(\х)уххх + ах2ухх — 2аху'х + 2см/ = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
36. In" х yZL + y'L + [(о - b2) In" x + Ь]у'т +a(l-b In" x)y = 0.
Частные решения: у\ = eXlX, j/2 = еА2Э;, где Ai и Аг — корни квадратного уравнения
А2 + Ь\ + а = 0.
37. In" ж yZ* + ay'L - Ц2а + 3b In" ж)^ + Ь2{а + 2Ь In" Ж)у = 0.
Частные решения: j/i = еЬх, j/г = же6*.
38. In" (\x)yZ* + ay'L + b In" (Аж)^ + aby = 0.
1°. Частные решения при 6 > 0: ?/i = cos(xv^), у2 = 8т(жл
2°. Частные решения при 6 < 0: у\ = ехр(—жл/^5), ?/2 =
3.1.6. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1. y"Lx + a3 tg(ax) у = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка:
О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.6.29.
2. yxxx-a3tg(ax)y = 0.
Частное решение: г/о = cos(ax). Замена у = cos(ax) / z(x)dx приводит к линейному
уравнению второго порядка вида 2.1.6.29: z'^ — 3tg? ^ — 3z = 0, где ? = аж.
3. y"L + a3 ctg(ax) y = 0.
Замена х = t + — приводит к линейному уравнению вида 3.1.6.2: у'Ць — as tg(at) у = 0.
2а
4. ?/"L - a3 ctg(oiB) у = О.
Замена ж = ? Н приводит к линейному уравнению вида 3.1.6.1: у"и + a3 tg(at) у = 0.
2а
5. ?/"L + За2^ + 2о3 tg(oa;) у = О.
Частные решения: гд = cos(ax), 1/2 = xcos(ax).
6. 2/L'L + a?/L + A(a - Л2) tg(A^) у = 0.
Частное решение: г/о = cos(Ax). Замена г/ = cos(Ax) / z(x)dx приводит к уравнению
второго порядка вида 2.1.6.29: z1^ — 3tg?^ + (aA~2 — 3)z = 0, где ? = Хх.
7. 2/L'L + За2у'х - 2а3 ctg(a^) у = 0.
Частные решения: г/i = sin(ax), г/2 = xsm(ax).
8. 2/L'L + « со8Bж)^ - b[a cosB«) + Ъ2]у = 0.
Используя замену w = еЪх^2{у'х — by), получим уравнение Матье 2.1.6.4: г^ж +
+ [acosBx) + -jb2]w = 0.
27 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
418 Уравнения третьего порядка
9. у"'хх + [a cosBa?) + b]yfx — a sinBa?) у = 0.
Решение:
у = CiWi + C2W1W2 + C3W2,
где гУ1 и г^2 — фундаментальная система решений уравнения Матье 2.1.6.4: 4и4'ж +
+ [acosBx) + 6]w = 0.
Ю. y"Lx + [а созBж) + Ь]^ - 2a зтBж) ?/ = 0.
Интегрируя, получим неоднородное уравнение Матье: ухх + [acosBx) + b]y = С.
И. ?/ж + [a cos(A#) + 6]^ — с[а cos(A«) + 6 + с2]?/ = 0.
Преобразование ? = у^ж? ^ = е°х/2(Ух ~ су) приводит к уравнению Матье 2.1.6.4:
w'lz + 4Л~2 [acosB?) + Ъ + f c2]w; = 0.
12. 2/L'L + [« со8Bж) - Ъ2]у'х - a[b cosB«) + 2 sinB«)]?/ = 0.
Интегрируя и делая замену w = уеЪх'2, получим неоднородное уравнение Матье:
w'lx + [acosBx) - \b2]w = Cesbx/2.
13. y"Lx + a sin ж y'x — b(a sin ж + Ь2)у = 0.
Замена w = ebx/2(y'x—by) приводит к уравнению вида 2.1.6.3: w"x + (a sin x + \b2)w = 0.
14. 2/^4ж + a sin2 xy'x — b(a sin2 ж + Ь2)у = 0.
Замена w = ebx/2(y'x—by) приводит к уравнению вида 2.1.6.5: wxx + (asm2 x+-jb2)w = 0.
15. 2/^4ж + [osin(Ax) + Ъ]у'х + аЛсоз(Лж) у = 0.
Интегрируя, получим линейное неоднородное уравнение второго порядка: ухх +
+ [asin(Ax) + b]y = С. О решении соответствующего однородного уравнения см. 2.1.6.3.
16. y"Lx + [osin(Ax) — Ь2]у'х + а[Лсоз(Лж) — bsin(\x)]y = 0.
Интегрируя и делая замену w = yebx^2, получим линейное неоднородное уравнение
второго порядка: wxx + [asin(Ax) — -^-b2]w = Cesbx^2. О решении соответствующего
однородного уравнения см. 2.1.6.3.
17. 2/^4ж + [а зт(Лж) + Ъ]у'х — с[а зт(Лж) + Ъ + с2]у = 0.
Замена w = есх^2(ух —су) приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.6.3:
wxx + [a sin(Ax) + b + -jC2]w = 0.
18. 2/"L - 3a[asin2(te) + 6cos(te)]^ + asin(bx)[b2 + 2a2 sin2(te)]?/ = 0.
Частные решения: у\ = exp cosFx) , y2 = x exp cosFx) .
19. y"L +atg2xy'a!- b(a tg2 ж + Ь2)у = 0.
Замена w = ebx^2(yx—by) приводит к уравнению вида 2.1.6.10: wxx + (atg2 x+^-b2)w = 0.
20. уххх + [atg2(Лж) + Ъ]ух - с[а tg2(Лж) + 6 + с2]?/ = 0.
Преобразование ? = Аж, и> = есх'2(у'х — су) приводит к уравнению вида 2.1.6.10: w'^ +
+ \~2(а tg2 ? + 6 + \c2)w = 0.
21. y"Lx + a ctg2 Ж1/1- b(a ctg2 ж + б2)?/ = 0.
Замена w = ebx^2(yx — by) приводит к линейному уравнению второго порядка вида
2.1.6.12: wxx + (actg2x + ^b2)w = 0.
22. уххх + аухх + F cos 2ж + с)ух + a(b cos 2ж + с)т/ = 0.
Замена w = ух -\- ау приводит к уравнению Матье 2.1.6.4: wxx + (b cos 2ж + c)w = 0.
3.1. Линейные уравнения 419
23. у'ххх + аухх + [6sin(Aa?) + c]yfx + a[b sin(\x) + с]т/ = 0.
Замена w = yx -\- ay приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.6.3:
wxx + [6sin(Ax) + c]w = 0.
24. Ух"хх + ay'L + 6 sin2 (\x)y'x + ab sin2 (Аж) у = 0.
Замена w = yx -\- ay приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.6.5:
wxx + Ь sin2 (Аж) и> = 0.
25. уххх + «2/L + (Ь tg2 ж + с)^ + а(Ь tg2 ж + с)у = 0.
Замена w = у'х -\- ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.6.10:
w'xx + (big2 x + c)w = 0.
26. 2/L'L + ayxx + Л[ЗЛ + 2atg(A^)]^ + A2{a[l + 2 tg2(A^)] + 2\tg(\x)}y = 0.
Частные решения: у\ = cos(Ax), 1/2 = xcos(Ax).
27. 2/L'L + ат/L + (b ctg2 ж + c)yx + aF ctg2 ж + c)y = 0.
Замена w = yfx + ay приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.6.12:
ж + с)гу = 0.
28. ^/
Частные решения: у\ = sin(Ax), 2/2 = xsin(Ax).
29. ^L + acosn(\x)yf:x + 6^ + abcosw(A«) у = 0.
1°. Частные решения при 6 > 0: ?/i = cos(xVb), у2 = sin(xVb).
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—xy/^b), у2 =
30. 2/L'L + a cos71 (Аж)^ж + ab cos71 (\х)у'х + б2 [a cos71 (Аж) - Ь]у = 0.
Частные решения: ^д = е~&ж/2 со8(у6жл/з), 2/2 = е~&ж/2 зт(-|-Ьжл/з).
31. 2/L'L + асо8тг(Аж)^/ж - 6[2асо8тг(Аж) + Щух + 62[асо8тг(Аж) + 2Ь]у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, у2 = хе х.
32. 2/^,ж + a cos71 ж 2/^ж + (a6 cos71 ж + с — 62)^ + с(а cos71 ж — 6)т/ = 0.
Частные решения: у\ = exp(Aix), у2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг —корни квадратного
уравнения А2 + Ь\ + с = 0.
33. 2/L'L + асо8тг(Аж)^/ж + Ьж™^ + bxrn~1[ax со8тг(Аж) + т]т/ = 0.
Замена ги = г/^ж + Ьхту приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ a cosn (Аж) w = 0.
34. 2/^,ж + (a cos71 ж + &)з/жЖ + сУп + с(а cosTl х + ^)?/ = О-
1°. Частные решения при с > 0: у\ = cos(xA/c), 2/2 = sin(xv/c)-
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ж^/^с), |/2 = ехр(ж^/^с).
35. ?/^ж = (cos71 ж — а)^ж + (a cos71 ж — 6)^ + Ь cos71 ж т/.
Частные решения: у\ = ехр(А1ж), у2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг —корни квадратного
уравнения А2 + аХ + Ъ = 0.
36. ?/ж4ж + (л cos71 ж + Ъх)ухх + 6(аж cos71 ж + 2)т/^ + аб cos71 ж т/ = 0.
Частные решения: ^д = ехр(—y^2), 1/2 = ехр(—убж2) / ехр(^-^ж2) dx.
37. Ух'хх + аж cos71 ж у"ж + (Ьж2 — a cos71 ж)т/^ + bx(ax2 cos71 ж + 3)т/ = 0.
Частные решения: у\ = со8(уЖ2лА), 2/2 = 8т(-|-
27*
420 Уравнения третьего порядка
38. y'xLx + (abx cos71 х -\- a cos71 ж + Ъ)ухх + ab2x cos71 ж у'х — ab2 cos71 xy = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = е~&ж.
39. Уххх ~\~ аж со871(Лж)т/жж — 2аж со871(Лж)т/ж + 2асоз71(Лж) у = 0.
Частные решения: yi = х, у2 = х .
40. ?/"L + a sin71 (\х)ухх - Ьух - ab sin71 (Лж) # = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = ехр(—хл/Ъ), у2 = ехр(жлА)-
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = cos(x*\/^6), 1/2 = sin^-v/^fe).
41. Уххх + a sin71 (Xx)yxx + аЬ sin71 (Лж)^ + Ь2 [а sin71 (Лж) - Ъ]у = 0.
Частные решения: ?/i = е~ х'2 со8(-|-&жл/з), 2/2 = е~ ж'2 8т(^-^жл/з).
42. ^L +asinn(\x)yxx - b[2a sinn(\x) + 36]^ + 62[asinn(Aa;) + 2b]y = 0.
Частные решения: y\ = e ж, y2 = xe x.
43. 2/ж4ж + a sin71 ж 2/^ж + (a6 sin71 ж + с — Ь2)у'х + с(а sin71 ж — 6)т/ = 0.
Частные решения: ^д = exp(Aix), 1/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Лг —корни квадратного
уравнения Л2 + ЬХ + с = 0.
44. 2/ж4ж + аэт^Аж)?/^, + Ьх^у^ + 6ж7Г1~1[аж з1п7г(Лж) + га]т/ = 0.
Замена w = г/^ж + Ъхшу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ asmn(Xx) w = 0.
45. уХХх + (a sin71 ж + b)yxx + c^ + c(a sin71 ж + b)y = 0.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos(xy/c), 1/2 = sin(xy/c).
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ж^/^с), ?/2 = ехр(ж^/^с).
46. уххх = (sin71 ж — а)ухх + (a sin71 ж — Ъ)у'х + 6 sin71 ж т/.
Частные решения: |/i = exp(Aix), y2 = ехр(Л2ж), где Ai и Лг —корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + Ъ = 0.
47. 2/ж4ж + (a s*nTl х + Ьх)ухх + 6(аж sin71 ж + 2)^ + аб sin71 ж т/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(— -jbx2), у2 = ехр(— \Ъх2} I ехр(^-^ж2) dx.
48. у'ххх + аж sin71 ж ухх + Fж2 — a sin71 х)ух + bx(ax2 sin71 ж + 3)т/ = 0.
Частные решения: yi = соё^х2л/Ь), У2 = 8т(-|-ж2лА)-
49. ?/ж4ж + (абж sin71 ж + a sin71 ж + Ь)ухх + ab2x sin71 хух — ab2 sin71 ж т/ = 0.
Частные решения: yi = х, у2 = е~ х.
50. ?/ж4ж + аж2 81п71(Лж)т/жж — 2аж зт^Аж)?/^ + 2а эт^Аж) т/ = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х .
51. 2/L'L + Лtg(Лж)?/L - a^ - aЛtg(Лж) т/ = 0.
1°. Решение при а > 0: у = Ci ехр(—хл/а) + Сг ехр(жу/а) + Сз cos(Ax).
2°. Решение при а < 0: у = С\ cos(xy^a) + C2 sin^-s/^a) + Сз cos(Ax).
52. 2/ж4ж + a tg(\x)yxx -\- Ьу'х -\- Л(аЛ + b — Л2) tg(Лж) у = 0.
Частное решение: ?/о = cos (Лж). Преобразование ж=—, у = cos(Xx) zdx приводит
A J
к уравнению второго порядка вида 2.1.6.55:
+ -г- -<
3.1. Линейные уравнения 421
53. y':L + atgn(\x)y'L + by'x + abtSn(\x) у = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: у\ = cos(xv^), 2/2 = sin
2°. Частные решения при Ь < 0: ?/i = exp(—xy/—b), у2 =
54. ^'L + atgTl(A^J/L + abt&n(\x)y'a + 62[atgTl(A^) - % = 0
Частные решения: yi = е~Ъх/2 соъ(\Ъху/з), у2 = е~Ъх/2 8
55. ?/"L + a tg71 (Лж)?/"ж - b[2a tg71 (Лж) + 36]^ + b2 [a tg71 (Лж) + 2b]y = 0.
Частные решения: y\ = e ж, y2 = xe x.
56. 2/L'L + atg71 жт/L + (abtg71 ж + с - Ь2)у'х + c(a tg71 x - b)y = 0.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 2/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Л2 —корни квадратного
уравнения Л2 + Ь\ + с = 0.
57. 1?:и + a tg" (Ах)»;'и + Ьхту'а + Ьх™'1 [ах tg" (Аж) + т]у = О.
Замена w = г/^ж + Ъхшу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ atgn(\x)w = 0.
58. у"'хх + (a tg71 ж + bJ/L + су'х + c(a tg71 ж + b)y = 0.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos(xy/c), 1/2 = sin(xy/c).
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ху/^с), У2 = exp(x^/^c).
59. ^L = (tg71 x - a)yf:x + (a tg71 ж - 6)^ + b tg71 ж у.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 2/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Х2 —корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + Ь = 0.
60. 2/L'L + (a tg71 ж + Ьж)^ж + Ъ(ах tg71 ж + 2)у'х +abtgnxy = 0.
Частные решения: ^д = ехр(— ^Ъх ), |/2 = ехр(— ^Ъх ) / ехр(-|-&Е ) dx.
61. 2/L'L + ах tg71 ж 7/L + (bx2 - a tg71 ж)^ + Ьж(аж2 tg71 ж + 3)у = 0.
Частные решения: у\ = со8(уЖ2лА), 2/2 = sm(\x2y/b).
62. ?/^ж + (абж tg71 ж + a tg71 ж + Ь)ухх + а62ж tg71 ху'х — ab2 tg71 ж т/ = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = е~ х.
63. 2/L'L + ах2 tg7г(Лж)?/L - 2аж tg71^)^ + 2а tg71^) т/ = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
64.
Частные решения: |/i = еаж, ^/2 = cos ж.
65. уххх - (ab tg71 ж + 6 tg7^1 ж + aJ/L + [6(а2 + 1) tg71 ж + 1]^ +
+ a(ab tg^1 ж - btg71 ж - 1)т/ = 0.
Частные решения: у\ = еаж, |/2 = cos ж.
66. yZ* + [\tg(Xx)(axn + 1) + ож"-1]^', - аА2»"^ + оА2*"-1?, = 0.
Частные решения: у\ = х, У2 = cos(Ax).
67. у'ххх — Лctg(Лж)^/JC — а^ + аЛс^(Лж) у = 0.
1°. Решение при а > 0: у = Ci ехр(—Хл/а) + Сг ехр(жу/а) + Сз sin(Ax).
2°. Решение при а < 0: у = С\ cos(x^/^a) + C2 sin(x^/^a) + Сз sin(Ax).
422 Уравнения третьего порядка
68. уххх + ас^п(\х)ухх + аЬс^п{Хх)у'х + Ь2[a ctg71 (Лж) - Ь]у = 0.
Частные решения: у\ = е~ х'2 cos(-|-foEv3), у2 = е~ ж'2 sin(-|-foEv3).
69. у™. + acten(\x)y'L - Ь[2аctgn(Ax) + ЗЬ]у'т + Ь2[аctgn(Aa;) + 2Ь]у = О.
Частные решения: у\ = е ж, у2 = хе х.
70. ?/ж + a ctg71 ж т/"ж + (аб ctg71 ж + с — 62)^ + с(а ctg71 ж — 6)т/ = 0.
Частные решения: у\ = exp(Aix), у2 = ехр(А2ж), где Ai и Лг —корни квадратного
уравнения Л2 + ЬХ + с = 0.
71. iC + actg~(Aa;)j/L + bxmy'x + 6a;"l-1[oa;ctg'1(Aa;) + m]tf = 0.
Замена w = y"x + bxmy приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ actgn(\x)w = 0.
72. у"'хх + (a ctg71 ж + b)y"x + с^ + с(а ctg71 ж + 6)т/ = 0.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos(xy/c), |/2 = sin(xy/c).
2°. Частные решения при с < 0: у\ = ехр(—ху/^с), у2 = ехр(ж^/^с).
73. »;';„ = (ctg" ж - a)J&, + (а ctg" x - Ь)у'а + Ъ ctg" x у.
Частные решения: у\ = exp(Aix), у2 = ехр(Л2ж), где Ai и Лг —корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + Ъ = 0.
74. 2/^,ж + аж ctg71 ж 2/^ж + (Ьх2 — a ctg71 х)ух + bx(ax2 ctg71 ж + 3)т/ = 0.
Частные решения: у\ = cos(yX2aA), 2/2 = 8т(-|-ж2лА)-
75. 2/L'L + (абж ctg71 ж + а ctg71 ж + Ь)у'^ + а62ж ctg71 ж у'х - ah2 ctg71 ж у = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = е~ х.
76. 2/L'L + аж2 ctg71^)^ - 2аж ctg7г(Лж)^ + 2а ctg7г(Лж) у = 0.
Частные решения: ^д = ж, у2 = х2.
77. ж^ж + ж(а cos 2ж + Ъ)у'х - 2(а cos 2ж + Ъ)у = 0.
Замена w = ж^ — 2|/ приводит к уравнению Матье 2.1.6.4: w"x + (a cos 2ж + b)w = 0.
78. хуххх + ж(а cos2 ж + Ъ)ух - 2(а cos2 ж + 6)?/ = 0.
Замена w = ж^ — 2у приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.6.6:
wxx + (а cos2 ж + b)w = 0.
79. жт/^ж = (cos71 ж — ах)ухх + (a cos71 ж — Ьх)у'х + 6 cos71 ж у.
Частные решения: у\ = exp(Ai#), 2/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Аг —корни квадратного
уравнения А2 + аХ + Ъ = 0.
80. ж^ж + (аж cos71 ж + 3)ухх + Bа cos71 ж + Ьж)^ + Ь(аж cos71 х + 1)у = 0.
Частные решения: ^д = — cos(xVb), у2 = — sin(xVb).
81. Ж7/^,Ж + ж[азт(Лж) + Ъ]у'х — 2[asin(Ax) + Ъ]у = 0.
Замена w = ху'х — 2у приводит к уравнению вида 2.1.6.3: wxx + [asm(Xx) + b]w = 0.
82. ху'ххх = (sin71 ж — ах)ухх + (a sin71 ж — 6ж)^ + Ъ sin71 ж т/.
Частные решения: у\ = exp(Ai#), У2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг —корни квадратного
уравнения А2 + аХ + Ъ = 0.
83. ж?/ж + (аж sin71 ж + 3)ухх + Bа sin71 ж + Ъх)у'х + 6(аж sin71 ж + 1)?/ = 0.
Частные решения: ^д = —cos (ж\/Ъ), 2/2 = —sin (ж\/Ъ).
3.1. Линейные уравнения 423
84. хуххх + х(а tg2 ж + Ъ)у'х - 2(а tg2 ж + Ъ)у = 0.
Замена w = ж^ — 2?/ приводит к уравнению вида 2.1.6.10: wxx + (atg2 ж + b)w = 0.
85. ж?/ж = (tg71 ж - ах)ухх + (a tg71 ж - Ьх)у'х + 6 tg71 ж у.
Частные решения: у\ = exp(Aix), у2 = ехр(А2ж), где Ai и Лг —корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + Ъ = 0.
86. жт/^L + (аж tg71 ж + 3)ухх + Bа tg71 ж + Ьж)^ + Ь(аж tg71 ж + 1)?/ = 0.
Частные решения: у\ = —cos(жvb), 1/2 = —sin(x
X X
Частные решения: у\ = ж, у2 = sin(A#).
88. ху'ххх + ж(а ctg2 ж + Ъ)у'х - 2(а ctg2 ж + Ъ)у = 0.
Замена w = ж^ — 2у приводит к уравнению вида 2.1.6.12: wxx + (a ctg2 ж + b)w = 0.
89. хуххх + (аж ctg71 ж + 3)ухх + Bа ctg71 ж + 6ж)^ + 6(аж ctg71 х + 1)у = 0.
1 /~~ 1 г~
Частные решения: у\ = —со8(жл/б), |/2 = —8т(жл/б).
2)
90. ж27/^ж = (cos71 ж - ах2)ухх + (a cos71 ж - 6ж2)^ + Ъ cos71 ж #.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 1/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Аг —корни квадратного
уравнения А2 + аХ + 6 = 0.
91. ж2з/^ж = (sin71 ж - ах2)ухх + (a sin71 ж - 6ж2)^ + Ъ sin71 ж #.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 2/2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг —корни квадратного
уравнения А2 + аХ + Ъ = 0.
92. a^'L = (tg" ж - aa;2)j/l + (о tg" x - Ьх2^ +Ыёпх у.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 2/2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг —корни квадратного
уравнения А2 + аХ + Ъ = 0.
93. ж2^ж = (ctg71 ж - аж2)^ж + (а ctg71 ж - Ьж2)^ + Ъ ctg71 ж т/.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 1/2 = ехр(А2ж), где Ai и Аг —корни квадратного
уравнения А2 + аХ + 6 = 0.
94. ж 2/ж4ж + «ж со871(Аж)^/ж + бжт/^, + 6[асо871(Аж) — 2]у = 0.
Частные решения: у\ = жт1, |/2 = жт2, где т\ и rri2 —корни ква^
т2 — т + Ъ = 0.
95. ж 2/жжж + аж sin у\х)ухх + 6жт/ж + 6[asin (Аж) — 2Jt/ = 0.
Частные решения: у\ = х™1, у2 = ж™2, где тщ и Ш2 —корни квадратного уравнения
т2 - т + Ъ = 0.
96. х3УхХх + аа?2 tg7г(AжO/жJc + &ж2/ж + &[atg7г(Aж) — 2]у = 0.
Частные решения: у\ = х™1, у2 = ж™2, где тщ и Ш2 —корни квадратного уравнения
т2 — т + Ь = 0.
97. х3ух'хх -\- ах2 ctgn(\х)ухх + бжт/^, + 6[actg7г(Aж) — 2]у = 0.
Частные решения: у\ = ж7711, г/2 = ж™2, где т\ и ?тг2 —корни квадратного уравнения
т2 — т + Ъ = 0.
98. cos2 ж ?/ж + a cos2 ж 7/^ж + Ъух + абт/ = 0.
Замена ж = ? + -|- приводит к уравнению вида 3.1.6.112: sin2?i/^ +
+ 6|/i + a6|/ = 0.
424 Уравнения третьего порядка
99. cos71 ж уххх + ay'L + abyx + Ъ2(а-Ъ cos71 х)у = 0.
Частные решения: у\ = е~ х'2 со8(-|-&жл/з), 2/2 = е~ ж'2 8
100. cos71 ж уххх + «2/L + Ь cos71 xyfx-\- aby = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = cos(xv^), у 2 = sin
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—ж>/-Ь), ?/2 =
101. cos71 ж yZx + «2/L - &Bа + 36 cos71 x)yx + Ь2 (а + 26 cos71 ж)^ = 0
Частные решения: у\ = е ж, у2 = хе х.
102. cos71 ж ^'L + 2/L + [F - a2) cos71 ж + а]^ + 6A - а cos71 x)y = 0.
Ча
Л2
Частные решения: у\ = еЛ1Ж, |/2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
2
103. со8тг(Лж)?/^ж + ах2ухх - 2ахух + 2ат/ = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х .
104. cos71 ж з/^,ж + (a cos71 ж + аж + 1J/^ж + о,2хух — а2у = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = е~ах.
105. cos71 ж з/^,ж + (аж cos71 ж + 1)?/^ + а(ж + 2 cos71 ж)^ + ау = 0.
Частные решения: ^д = ехр(—^-«ж2), 2/2 = ехр(— -|-йж2) / ехр(уаж2) dx.
106. ж cos71 ж у'ххх + C cos71 ж + х)ухх + (аж cos71 ж + 2)^ + a(cos71 ж + ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = —cos(xv/«), У2 = —sin(xv/a)-
107. ж3 cos71 ж 2/ж4ж + ах2у'хх — 2ж cos71 ж у'х + 2B cos71 ж — а)т/ = 0.
Частные решения: ?/1=ж~1, у2 = х2.
108. ж3 cos71 ж ?/"L + ах2ухх - 6ж cos71 ж ^ + 6B cos71 х - а)у = 0.
Частные решения: у\ = ж~2, у2 = х3.
109. ж3 cos71 ж з/^,ж + ах2ухх + ж(а — cos71 ж)^ + (а — 3 cos71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = cos (In |ж|), у 2 = sin (In |ж|).
ПО. ж3 cos71 ж уххх-\-х2(cos71 ж+а)^ж+ж[а-F+1) cos71 ж]^+6B cos71 ж-а)т/ = 0.
Частные решения: ^д = |ж|~ , у2 = |ж| .
111. з1п2ж у"Хх-\-3 sin ж cos ж 2/жж + [СО8 2aj+4i/(i/+l) 8т2ж]2/ж+2?'(?'+1) sin 2ж ?/ = 0.
Решение:
У = Ciy2 + С2У1У2 + С32/2,
где г/i, г/2 —фундаментальная система решений уравнения Лежандра 2.1.2.148, причем
аргумент х в у\ и у2 заменен на cos x.
112. sin ж уххх + a sin ж ухх + 6т/ж + абт/ = 0.
Замена w = у'х -\- ау приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.6.108:
sin2 х w"x + bw = 0.
113. sin71 ж yxxx + а^ж + afa/^, + б2 (а — b sin71 x)y = 0.
Частные решения: y\ = e~ ж'2 со8(-|-6жл/з), y2 = e~ ж'2 8т(
3.1. Линейные уравнения 425
114. sin71 ж уххх + ау"х + Ь sin71 ху'х-\- аЬу = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: yi = cos(xv^), у 2 = sin
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—xy/^-b), у2 =
115. sin71 ж уххх + «2/L - &Bа + 36 sin71 х)ух + Ь2 (а + 26 sin71 ж)?/ = 0.
Частные решения: у\ = е ж, у2 = хе х.
116. sin71 ж ^'L + 2/L + [F - a2) sin71 х + а]^ + 6A - а sin71 x)y = 0.
Частные решения: у\ = еЛ1Ж, |/2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
Л2+аЛ + 6 = 0.
117. sinTl(A^)^/L + аж2С - 2аж^ + 2ау = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
118. sin71 ж Ух"хх + (« sin71 ж + ах + 1)?/L + а2ху'х - о2у = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = е~ах.
119. sin71 ж з/^L + {ах sin71 ж + 1)ухх + а(ж + 2 sin71 х)ух + ау = 0.
Частные решения: ^д = ехр(—^-«ж ), 2/2 = ехр(— -|-аж ) / ехр(уаж ) dx.
120. ж sin71 ж у'ххх + C sin71 ж + х)ухх + (аж sin71 ж + 2)у„ + a(sin71 ж + ж)?/ = 0.
Частные решения: у\ = —cos(xv/«), У2 = —sin
(v), У
121. ж3 sin71 ж з/^L + ах2ухх - 2ж sin71 ж ух + 2B sin71 ж - а)у = 0.
Частные решения: ?/1=ж~1, у2 = х2.
122. ж3 sin71 ж 2/^ж + ах2ухх - 6ж sin71 ж ^ + 6B sin71 х - а)у = 0.
Частные решения: у\ = ж~2, у2 = х3.
123. ж3 sin71 ж з/^L + аж2С + ж(а - sin71 х)ух + (а - 3 sin71 ж)?/ = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), у2 = sin(lnx).
124. 32 ^/ ^
тт -Vb Vb
Частные решения: у\ = х , у2 = х
125. tgnxyZx + «2/L + a&2/L + Ь2(а - fetg71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = е~ х'2 cos(y6xVo), 1/2 = е~ ж^2 si
126. tg71 ж ^L + ayxx + 6 tg71 ж ^ + абт/ = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = со8(жлА), 2/2 = 8т(
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—жл/^6), ^/2 =
127. tg71 жт/^L + ay'L - bBa + 36 tg71 ж)^ + 62(a + 26 tg71 ж)^ = 0.
Частные решения: у\ = еЬх, у2 = же&ж.
128. tg71 ж ^'L + i/L + [(Ь - a2) tg71 ж + а]^ + 6A - a tg71 x)y = 0.
Частные решения: у\ = еЛ1Ж, |/2 = ех<2Х, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
Л2 +а\ + Ъ = 0.
129. tg7г(Лж)^/L + аж2С - 2аж^ + lay = 0.
2
Частные решения: у\ = ж, у2 = х .
426 Уравнения третьего порядка
Ш1 ть ill | / 1 ть | . _- х // . 2 / 2 г\
. tg ж?/жжж + (a tg ж + аж + 1)з/жж + а хух -а у = 0.
Частные решения: г/i = ж, ?/2 = е~ах.
131. tg71 ж уххх + (аж tg71 ж + 1)ухх + а(ж + 2 tg71 ж)^ + ау = 0.
Частные решения: г/i = ехр(—-|-аж ), ?/2 = ехр(— -|-аж ) / ехр(-|-аж ) dx.
132. ж tg71 ж ?/"L + C tg71 ж + ж)?/"ж + (аж tg71 ж + 2)^ + a(tgTl ж + ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = —cos(xv/«), 2/2 = —sin(xv/a)-
133. ж3 tg71 ж з/^L + ах2у"х - 2ж tg71 xym + 2B tg71 x - а)у = 0.
Частные решения: ?/1=ж~1, у2 = х2.
134. ж3 tg71 ж з/^L + ах2у"х - 6ж tg71 ж ух + 6B tg71 х - а)у = 0.
Частные решения: ^д = х~2, г/2 = х3.
135. ж3 tg71 ж ^'L + аж2С + х(а - tg71 ж)^ + (а - 3 tg71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), |/2 = sin(lnx).
136. ж3 tg71 ж ^'L + ж2 (tg71 ж + aJ/L + ж [a - (b + 1) tg71 x\y'x + 6B tg71 x - a)y = 0.
тт — л/Ь л/Ь
Частные решения: у\ = ж , у2 = х
137. ctg71 ж ^L + ат/L + аб^ + б2 (а - Ъ ctg71 ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = е~ ж^2 cos(-|-foEv3), 1/2 = е~ ж^2 s
138. ctg71 ж ^'L + ат/L + b ctg71 ж ^ + afo/ = 0.
1°. Частные решения при b > 0: 2/1 = cos(xv^), у2 = sin
2°. Частные решения при 6 < 0: у\ = ехр(—жл/^5), ?/2 =
139. ctg71 ж ^'L + аухх - ЪBа + 36 ctg71 х)у'х + б2 (а + 26 ctg71 x)y = 0.
Частные решения: ^д = е ж, у2 = хе х.
140. ctg~ ж j/4'L + y'L + [(b - a2) ctg~ x + a]y'x + 6A - a ctg~ x)y = 0.
Частные решения: у\ = eAlX, y2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
2
141. ctg7г(Лж)^/L + ах2ухх - 2ахух + 2ат/ = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х .
142. ctg71 ж ^'L + (a ctg71 ж + аж + 1)?/"ж + а2ж^ - а2у = 0.
Частные решения: у\ = ж, ^/2 = е~аж.
143. ctg71 ж з/^,ж + (аж ctg71 ж + 1)з/жЖ + а(х + 2 ^ё71 ж)?/ж + аУ = °
Частные решения: ^д = ехр(—^-«ж2), |/2 = ехр(—^-«ж2) / ехр(уаж2) dx.
144. ж ctg71 ж ^'L + C ctg71 ж + х)ухх + (аж ctg71 ж + 2)у'х + a(ctgTl ж + х)у = 0.
Частные решения: у\ = —со8(жу/а), 2/2 = —8т(жу/а)-
145. ж3 ctg71 ж з/^L + аж2С - 2ж ctg71 ху'х-\- 2B ctg71 х - а)у = 0.
Частные решения: ?д=ж~1, у 2 = ж2.
146. ж3 ctg71 ж з/^L + ах2ухх - 6ж ctg71 ху'х-\- 6B ctg71 х - а)у = 0.
Частные решения: ^д = ж~2, у2 = ж3.
3.1. Линейные уравнения 427
147. ж3 ctg71 ж уххх + ах2ухх + х(а - ctg71 х)у'х + (а - 3 ctg71 ж)?/ = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), г/2 = sin(lnx).
148. ж3 ctg71 х у"хх+х2(ctg71 ж+а)^ж+ж[а-F+1) ctg71 ж]^+ЬB ctg71 ж-а)?/ = 0.
Частные решения: г/i = ж~ 9 у2 = х
3.1.7. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции
I- 2/"L + «2/L + Ъу'х + су = arcsinfe x.
Частный случай уравнения 5.1.5.9.
2. Уххх + arcsinfe х ухх + аух + a arcsinfe x у = 0.
1°. Частные решения при а > 0: г/i = cos(xy/a), 2/2 = sin(xy/a).
2°. Частные решения при a < 0: у\ = ехр(—ж^/—а), ?/2 = ехр(ж^/—а).
Замена г^ = г/^ж + ау приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ arcsinfc x w = 0.
3. у"'хх + arcsinfe x yxx + ахпу'х + ажГ1~1(ж arcsinfe ж + п)т/ = 0.
Замена w = yf^x -\- ахпу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ arcsinfc x w = 0.
4. 2/ж4ж + arcsinfe ж 7/^ж + a arcsinfe xy'x -\- a2(arcsinfe ж — а)т/ = 0.
Частные решения: у\ = е~аж/2 cosf жК ^/2 = е~аж/2 sinf xj.
5. 2/ж4ж + arcsin ж ухх — аB arcsin ж + Sa)y'x + a2(arcsin ж + 2а)т/ = 0.
Частные решения: у\ = еаж, ^/2 = хеах.
6. 2/ж4ж + arcsinfe ж 7/^ж + (а arcsinfe х -\-Ъ — а2)ух + 6(arcsinfe ж — а)т/ = 0.
Частные решения: у\ = eXlX, У2 = еЛ2Ж, где Ai и Х2 —корни квадратного уравнения
Л2 +а\ + Ь = 0.
7. 2/ж4ж = (arcsinfe ж — а)ухх + (a arcsinfe ж — Ъ)ух -\- Ъ arcsinfe ж у.
Замена w = г/^ж + ау'х + 6|/ приводит к линейному уравнению первого порядка: wx =
= arcsinfc xw.
о fff 1 • fe //./2 .fe\/, /2 »feio\ rv
8. Уххх + ж arcsin xyxx + (аж — arcsin ж)т/ж + ax(x arcsin ж + 3)т/ = 0.
Частные решения: у\ = со8(уж2у/а), 2/2 = 8т(^-ж2л/^)-
9. 2/ж4ж + (arcsin ж + ах)ухх + а(ж arcsin ж + 2)^ + а arcsin ж 7/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(—^-«ж2), 2/2 = ехр(— -|-йж2) / ехр(уаж2) с/ж.
Ю. y'xLx + ж2 arcsinfe ж ухх — 2ж arcsinfe ж^ + 2 arcsinfe xy = 0.
Решение:
2/ = dx+G2X +Сз(ж / х~ ij)dx—x I x~ ifidx), где /0 = expf— / ж arcsin xdx).
II- 2/ж4ж + (аж arcsin ж + arcsin x-\-a)yxx -\-a2x arcsin ж т/^ — а2 arcsin ж т/ = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = е~аж.
12. yi-'iaj + arccosfe ж ухх + а^ + а arccosfe xy = 0.
1°. Частные решения при а > 0: г/i = cos(xy/a), 2/2 = sin(xy/a).
2°. Частные решения при a < 0: у\ = ехр(—ж^/—а), г/2 = ехр(ж^/—а).
Замена ги = г/^ж + аУ приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ arccosfc x w = 0.
428 Уравнения третьего порядка
13. y'xLx + arccos ж ухх + ахпух + ажТ1~1(ж arccos х + гг)т/ = 0.
Замена ги = г/"ж + ахпу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ arccosfc ж w = 0.
14. 2/ж + arccosfe ж ухх + a arccosfe ж у'х + a2(arccosfe ж — а)у = 0.
тт -ах/2 ( Я\/3 \ -ах/2 • / ^\/3 \
Частные решения: г/i = е ' cosl ж), г/2 = е ' sinl ж).
15. 2/ж + arccosfe ж гу"ж — аB arccosfe ж + 3a)ty^, + a2(arccosfe ж + 2а)т/ = 0.
Частные решения: г/i = еаж, г/2 = жеаж.
16. 2/ж4ж + arccos ж у"ж + (о, arccos х -\- Ъ — а2)у'х + 6(arccos ж — а)т/ = 0.
Частные решения: г/i = еЛ1Ж, г/2 = еЛ2Ж, где Ai и Аг —корни квадратного уравнения
А2 +а\ + Ь = 0.
17. 2/ж4ж — (arccos ж — а)ухх + (a arccos ж — 6)ty^, + 6 arccos ж ty.
Замена w = г/^ж + a?yi + by приводит к линейному уравнению первого порядка:
w'x = arccosfc xw.
18. y'xLx + ж arccos x yxx + (аж2 — arccos ж)^ + аж(ж2 arccos ж + 3)ty = 0.
Частные решения: г/i = со8(уж2у/а), |/2 =sin(-ja;2v/ft).
19. 2/ж4ж + (arccos ж + ах)ухх + а(ж arccos ж + 2)ty^, + а arccos ж ty = 0.
Частные решения: г/i = ехр(—^-«ж2), г/2 = ехр(—^-«ж2) / ехр(уаж2) dx.
20. ?/ж + ж2 arccos ж ty^c — 2ж arccos ху'х -\- 2 arccos ж ty = 0.
Решение:
гу = С1Ж + С2Ж2 + Gз(ж2 / х~3фс1х — х / х~2фAх j, где /0 = ехр(— / ж2 arccos жс/ж).
21. 2/ж4ж + («ж arccosfe ж + агссоэ'8 х-\-а)ухх-\-а2х arccosfe xy'x— a2 arccosfe ж ty = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = е~аж.
22. ty^'L + arctgfe ж tyL + ayx + а arctgfe ж у = 0.
1°. Частные решения при а > 0: г/i = С08(жЛ/а), 2/2 = sin (ж-у/а)-
2°. Частные решения при а < 0: г/i = ехр(—ж^/—а), г/2 = ехр(ж^/—а).
Замена г^ = г/^ж + аг/ приводит к линейному уравнению первого порядка:
w'x + arctgfc ж г^ = 0.
23. ty^'L + arctgfe ж tyL + ажпг/1 + аж71 (ж arctgfe ж + п)у = 0.
Замена г^ = у"х -\- ахпу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ arctgfc ж w = 0.
24. ty"L + arctgfe ж 1у^ж + a arctgfe xy'x-\- a2(arctgfe ж - а)у = 0.
тт -ах/2 ( а\/3 \ -ах/2 • / a\/3 \
Частные решения: г/i = е 7 cosf ж), г/2 = е 7 sm( ж).
25. ty^'L + arctgfe ж tyL - аB arctgfe ж + 3a)ty^ + a2(arctgfe ж + 2a)ty = 0.
Частные решения: г/i = еаж, г/2 = жеаж.
26. 1у^4ж + arctgfe ж ухх + (а arctgfe ж + Ь — а2)у'х + 6(arctgfe ж — a)ty = 0.
Частные решения: г/i = eXlX, г/2 = еЛ2Ж, где Ai и Аг —корни квадратного уравнения
А2 +а\ + Ь = 0.
3.1. Линейные уравнения 429
27. уххх = (arctgfe ж - а)ухх + (a arctgfe ж - Ъ)у'х + Ъ arctgfe x у.
Замена w = ухх + аух + by приводит к линейному уравнению первого порядка:
w'x = arctgfc x w.
28. уххх + х arctgfe х ухх + (ах2 — arctgfe х)ух + ах(х2 arctgfe х + 3)у = 0.
Частные решения: у\ = со8(уж2у/а), 2/2 = sir^ya^v^)-
29. ?/"L + (arctgfe x + аж)С + а(х arctgfe ж + 2)^ + а arctgfe ж ?/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(— ^ах ), |/2 = ехр(— ^ах ) / ехр(уаж ) dx.
30. ^L + х2 arctgfe ж 7/L - 2ж arctgfe ж ^ + 2 arctgfe ж у = 0.
Решение:
С2СB ~3ф1 ~2ф1) где ip =
х~3фс1х—х х
31. 2/ж4ж + («ж arctgfe ж + arctgfe ж + а)^ж + а2ж arctgfe xy'x — a2 arctgfe xy = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = е~аж.
32. 2/„4ш + arcctgfe ж ?/"ж + а^ш + а arcctgfe ж ?/ = 0.
1°. Частные решения при а > 0: ?/i = cos(xy/a), 2/2 = sin(xy/a).
2°. Частные решения при а < 0: ?/i = ехр(—ж^/—a), 1/2 = ехр(ж^/—a).
Замена и> = г/^ж + а|/ приводит к линейному уравнению первого порядка:
w'x + arcctgfc x w = 0.
33. 2/^,ж + arcctgfe ж 2/^ж + ахпу'х + ажТ1~1(ж arcctgfe ж + п)т/ = 0.
Замена w = ухх -\- ахпу приводит к линейному уравнению первого порядка: w'x +
+ arcctgfc x w = 0.
34. уххх + arcctgfe ж 2/^ж + a arcctgfe xy'x-\- a2(arcctgfe ж — а)т/ = 0.
Частные решения: у\ = е~аж/2 cosf жК ^/2 = е~аж/2 sinf xj.
35. 2/^,ж + arcctgfe ж ухх — аB arcctgfe ж + Sa)y'x + a2(arcctgfe ж + 2а)у = 0.
Частные решения: у\ = еаж, |/2 = хеах.
36. 2/^,ж + arcctgfe ж 7/^ж + (а arcctgfe х -\-Ъ — а2)у'х + 6(arcctgfe ж — а)т/ = 0.
Частные решения: у\ = еЛ1Ж, у2 = еЛ2Ж, где Ai и Лг —корни квадратного уравнения
2
37. ?/^ж = (arcctgfe ж — а)^ж + (а arcctgfe ж — 6)^ + Ъ arcctgfe ж т/.
Замена w = г/^ж + аух + 6|/ приводит к линейному уравнению первого порядка:
w'x = arcctgfc xw.
38. ?/^ж + ж arcctgfe ж 7/^ж + (ах2 — arcctgfe х)ух + ах(х2 arcctgfe ж + 3)у = 0.
Частные решения: |/i = cos(-|-x л/^)? 2/2 = sin(-|-? л/^)-
39. ?/^ж + (arcctgfe ж + ах)ухх + а(ж arcctgfe ж + 2)^ + а arcctgfe ж т/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(— ^ах ), |/2 = ехр(— ^ах ) / ехр(уаж ) dx.
40. 2/ж4ж + х^ arcctgfe ж 7/^ж — 2ж arcctgfe ху'х -\- 2 arcctgfe ж у = 0.
Решение:
x~sil;dx — x x
где ip =
430 Уравнения третьего порядка
41. у"'хх + («ж arcctgfe ж + arcctg*5 х-\-а)ухх-\-а2х arcctgfe xy'x—a2 arcctgfe х у = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = е~ах.
42. хуххх + (аж2 + Ь)ухх + 4аху'х + 2ат/ = arcsinfe ж.
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
ху'х + (ах2 + 6 - 2)г/ = Ci + С2ж + / ( / arcsinfc ж dx j dx.
43. хуххх + (ж arcsinfe ж + 3)т/"ж + B arcsinfe ж + ах)у'х + а(ж arcsinfe ж + 1)у = 0.
Частные решения: ?/i = — cos(хл/а), у2 = — sin(хл/а).
х v у ж v у
44. хух'хх + (ж arccos ж + 3)т/^ж + B arccos ж + ах)у'х + а(ж arccos ж + 1)т/ = 0.
Частные решения: г/i = — cos(x^/a), 2/2 = — sin(xу/а).
45. жу^4а. + (ж arctgfe ж + 3)^ж + B arctgfe ж + ах)ух + а(ж arctgfe ж + 1)у = 0.
Частные решения: у\ = —cos(xv/a), 2/2 = —sin[xy/a).
46. жу^4а. + (ж arcctgfe ж + 3)ухх + B arcctgfe ж + ах)ух + а(ж arcctgfe ж + 1)т/ = 0.
Частные решения: у\ = —cos(xv/a), У2 = —sin
47. хъуххх + [(а + 6)ж2 + Ъ]ухх + 2Bа + 3)ж^ + 2ау = arcsinfe ж.
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
х3у'х + (ах2 + 6)^/ = Ci + С2Х + / ( / arcsin жс/ж| dx.
48. ж3з/^ж + ж2 arcsinfe xyxx - 2хух + 2B - arcsinfe x)y = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х2.
49. ж3з/^ж + ж2 arcsinfe ж ^ш - 6ж^ + 6B - arcsinfe x)y = 0.
Частные решения: у\ = ж~2, у2 = х3.
50. х3уххх -\- ж2 arcsinfe ж т/^ж + ж(агсз1п'г ж — lJ/?, + (arcsinfe ж — 3)у = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), 2/2 = sin(lnx).
51. х3ух'хх Н-ж2(агсз1п'г х-\-1)ухх + х(атсБ\х1к х — а — 1)у'х — a(arcsinfe x — 2)y = 0.
Частные решения: у\ = ж"^, ^/2 = х^.
52. ж у'х'хх-\-х (arcsin х-\-а)ухх + ж (a arcsin ж+ 6 — а)т/^ +6(arcsin ж — 2)т/= 0.
Частные решения: ^д = жП1, |/2 = хП2, где ni и П2 —корни квадратного уравнения
п2 + (а- 1)п + Ь = 0.
53. х3ух'хх + ж2 arccosfe ж 7/^ж — 2ж^ + 2B — arccosfe x)y = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х2.
54. х3ух'хх + ж2 arccosfe ж 7/^ж — 6ж^ + 6B — arccosfe ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = ж~2, у2 = х3.
55. х3у'ххх -\- ж2 arccosfe ж 7/^ж + ж(агссоз'8 ж — lJ/?. + (arccosfe ж — 3)у = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), 1/2 = sin(lnx).
56. х3ух'хх + ж2(arccos ж + 1O/жж +ж(агссоз ж — а — 1)?/^ — a(arccos ж — 2)т/= 0.
Частные решения: |/i = ж~^, |/2 = ж^.
3.1. Линейные уравнения 431
57. х3у"'xx-\-x2(eltccosk х-\-а)ухх-\-х(a arccosk x-\-b — a)y'x-\-b(8Lrccosk x — 2)y = 0.
Частные решения: у\ = ж™1, г/2 = ж™2, где п\ и П2 —корни квадратного уравнения
п2 + (а- 1)п + Ь = 0.
58. х3уххх + ж2 arctgfe х ухх - 2ху'х + 2B - arctgfe x)y = 0.
Частные решения: ?/1=ж~1, у2 = х2.
59. ж3?/ж + ж2 arctgfe х ухх - 6ху'х + 6B - arctgfe x)y = 0.
Частные решения: у\ = ж~2, у2 = ж3.
60. х3уххх + ж2 arctgfe ж 2/^ж + ж(arctgfe ж — 1)ух + (arctgfe ж — 3)у = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), |/2 = sin(lnx).
61. ж37/^ж + ж2(arctgfe ж + 1)?/"ж + ж(arctgfe х-а- 1)ух - a(arctgfe ж - 2)у = 0.
Частные решения: у\ = ж~ , у2 = х ¦
62. х3уххх +ж2(arctgfeж + a)^/JC + ж^агс^*5 ж + 6 — a)y?. + 6(arctgfe x — 2)y = 0.
Частные решения: |/i = xni, У2 = жП2, где ni и П2 —корни квадратного уравнения
п2 + (а- 1)п + Ь = 0.
63. ж3т/^ж + ж2 arcctgfe ж ?/L - 2ж^ + 2B - arcctgfe x)y = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х2.
64. х3уххх + ж2 arcctgfe ж 7/^ж — 6ж^ + 6B — arcctgfe ж)т/ = 0.
Частные решения: у\ = ж~2, у2 = х3.
65. х3уххх + ж2 arcctgfe ж 7/^ж + ж(arcctgfe ж — 1)у?. + (arcctgfe ж — 3)т/ = 0.
Частные решения: у\ = cos(lnx), 2/2 = sin(lnx).
66. х3ух'хх + ж2(arcctgfe ж + 1)ухх + ж(arcctgfe ж — а — 1)^ — a(arcctgfe ж — 2)т/ = 0.
Частные решения: у\ = ж"^, у2 = ж^.
67. ж3^/4JC+2fe ^/fe ^fe
Частные решения: у\ = жП1, у2 = ж™2, где ni и П2 —корни квадратного уравнения
п2 + (а- 1)п + Ь = 0.
3.1.8. Уравнения, содержащие комбинации экспоненциальных,
логарифмических, тригонометрических и других функций
1. С» + ae^y'L + BаеЛж tg ж + 3)^ + [аеЛжB tg2 ж + 1) + 2 tg x]y = 0.
Частные решения: у\ = cos ж, у2 = ж cos ж.
2. 2/L'L + ae^y'L + C - 2аеЛж ctg x)y'x + [аеЛжB ctg2 ж + 1) - 2 ctg х]у = 0.
Частные решения: у\ = sin ж, |/2 = ж sin ж.
3. 2/"L + a ch71 ж 7/L + Bа ch71 ж tg ж + 3)^ + [а ch71 ж B tg2 ж + 1) + 2 tg x]y = 0.
Частные решения: у\ = cos ж, ^/2 = ж cos ж.
4. 2/L'L+a ch71 ж ухх + C-2а ch71 ж ctg ж)^ + [а ch71 ж B ctg2 ж + 1)-2 ctg x]y = 0.
Частные решения: у\ = sin ж, ?/2 = ж sin ж.
5. y'Z* + a sh71 ж ухх + Bа sh71 ж tg ж + Z)yx + [а sh71 ж B tg2 ж + 1) + 2 tg x]y = 0.
Частные решения: у\ = cos ж, 2/2 = ж cos ж.
432 Уравнения третьего порядка
6. y"L+a sh71 ж ухх + C-2а sh71 ж ctg x)y'x + [a sh71 ж B ctg2 ж + 1)-2 ctg ж]?/ = О.
Частные решения: y\ = sin ж, г/2 = ж sin ж.
7. ?/"L + a th71 x y'L + Ba th71 x tg ж + 3)^ + [a th71 ж B tg2 x + 1) + 2 tg ж]т/ = О.
Частные решения: y\ = cos ж, y2 = ж cos ж.
8. 2/"L+« th71 ж 7/L + C-2a th71 ж ctg х)у'т + [а th71 ж B ctg2 ж + 1)-2 ctg x]y = 0.
Частные решения: y\ = sin ж, у2 = ж sin ж.
9. y"L+a cth71 ж 2/L + Ba cth71 ж tg ж + 3)^ + [а cth71 ж B tg2 ж + 1) + 2 tg ж]?/ = О.
Частные решения: у\ = cos ж, у2 = ж cos ж.
Ю. y"Lx + a cth71 ж 2/L + C - 2a cth71 ж ctg x)y'x +
+ [a cth71 ж B ctg2 ж + 1) - 2 ctg x]y = 0.
Частные решения: у\ = sin ж, 2/2 = ж sin ж.
И. y"L + a In71 ж 2/L - Ba In71 ж th ж + 3)^ + [a In71 ж B th2 ж - 1) + 2 th x]y = 0.
Частные решения: у\ = сЬж, у2 = жсЬж.
12. 2/"L +a In71 ж 7/^ - Ba In71 ж cth ж + 3)^ + [a In71 ж B cth2 ж -1) + 2 cth x]y = 0.
Частные решения: ?/i = sh ж, y2 = x sh ж.
13. 2/L'L + a In71 ж 2/L + Ba In71 ж tg ж + 3)^ + [a In71 ж B tg2 ж + 1) + 2 tg x]y = 0.
Частные решения: у\ = cos ж, 2/2 = ж cos ж.
14. ^/L+alnтгж?/L + C-2aln7гжctgж)^ + [aln7гжBctg2ж + l)-2ctgж]?/ = 0.
Частные решения: у\ = sin ж, ?/2 = ж sin ж.
15. 2/"L +« cos71 ж 2/^ж - Ba cos71 ж th ж + 3)^ + [a cos71 ж B th2 ж -1) + 2 th x]y = 0.
Частные решения: у\ = спж, у2 = жспж.
16. 2/L'L + a cos71 ж 2/L - Ba cos71 ж cth ж + 3)y'x +
+ [a cos71 ж B cth2 ж - 1) + 2 cth ж]?/ = 0.
Частные решения: у\ = sh ж, у2 = ж sh ж.
17. 2/L'L +« sin71 ж у"х - Ba sin71 ж th ж + 3)y'x + [a sin71 ж B th2 ж -1) + 2 th x]y = 0.
Частные решения: у\ = сЬж, |/2 = жспж.
18. ^/L+asiп7гж^/JC-Basiп7гжcthж+3)^ + [asiп7гжBcth2ж-l)+2cthж]7/ = 0.
Частные решения: у\ = sh ж, У2 = x sh ж.
19. 2/L'L + a tg71 ж 7/L - Ba tg71 ж th ж + 3)^ + [a tg71 ж B th2 ж - 1) + 2 th ж]?/ = 0.
Частные решения: у\ = спж, 2/2 = жспж.
20. уххх +a tg71 ж ухх - Ba tg71 ж cth ж + 3)^ + [a tg71 ж B cth2 ж-1) + 2 cth x]y = 0.
Частные решения: у\ = sh ж, У2 = x sh ж.
21. y"L+a ctg71 ж yxx-Ba ctg71 ж th ж + 3)^ + [а ctg71 ж B th2 ж-1) + 2 th x]y = 0.
Частные решения: у\ = спж, 2/2 = жспж.
22. 2/L'L + a ctg71 ж 2/L - Ba ctg71 ж cth ж + Ъ)ух +
+ [a ctg71 ж B cth2 ж - 1) + 2 cth x]y = 0.
Частные решения: у\ = sh ж, У2 = x sh ж.
23. ^L + FeaJC + 2a) ch71 ж ?/"ж - a(beax ch71 ж + a)yx - 2a3 ch71 ж у = 0.
Частные решения: у\ = еаж, у2 =
3.1. Линейные уравнения 433
24. y'Z, + (beax + 2о) sh" x y'L - a(beax sh" x + a)t,^ - 2a3 sh"^ = 0.
Частные решения: y\ = eax, y2 = e аж + —.
a
25. yZ, + (beax + 2a) th" x y'L - a(beax th" x + а)у'„ - 2o3 th" x у = 0.
Частные решения: y\ = eax, y2 = e аж Н .
a
26. yxxx + (Ьеаж + 2a) cth71 ж ^ш - aFeaJC cth71 ж + a)^ - 2a3 cth71 ж ?/ = 0.
Частные решения: у\ = еаж, У2 = e ах + —.
а
27. ^'L + (Ьеаж + 2а) In71 ж y'L - а(Ьеах \пп ж + а)у'х - 2а3 In71 ж т/ = 0.
Частные решения: у\ = еаж, ^/2 = е~ах -\ .
а
28. yZx + (а Ь71 ж - гбе33)^ - ЬежBа In" ж - 6еж + 3)^ +
+ Ъех[а\ппх(Ъех - 1) + 26еж - 1]у = 0.
Частные решения: у\ = ехрFеж), |/2 = жехр(Ъеж).
29. 2/L'L + (a cos71 ж - 2bex)y'L - bexBa cos71 ж - Ьеж + 3)y'x +
+ 6еж[а cos71 ж (Ьеж - 1) + 2bex - 1]у = 0.
Частные решения: у\ = ехр(Ъеж), |/2 = жехрFеж).
30. y'Z* + (^еаж + 2а) cos71 ж т/L - аFеаж cos71 ж + а)^ - 2а3 cos71 xy = 0.
Частные решения: у\ = еаж, |/2 = е~ах + —.
а
31. y"L + (a sin71 ж - 2bex)y'L - ЪехBа sin71 ж - Ьеж + 3)у'х +
+ 6еж[а sin71 ж (Ьеж - 1) + 2Ъех - 1]у = 0.
Частные решения: у\ = ехрFеж), у2 = жехр(Ъеж).
32. »;';„ + (Ьеах + 2о) sin" x y'L - а{Ьеах sin" х + о)»; - 2о3 sin" x у = 0.
Частные решения: ^д = еаж, у2 = е~аж + —.
а
33. ^/L-[eЛJC(tgж + a)+a]2/L + [(a2 + l)eЛж + l]^+a[eЛж(atgж-l)-l]2/ = O.
Частные решения: у\ = еаж, ^/2 = cos ж.
34. Ух"хх + [tg х (ахеХх + 1) + аеЛж]2/1 - ажеЛж^ + аеХху = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = cos ж.
35. ^L + (a tg71 ж - гбе33)^ - 6ежBа tg71 ж - Ьеж + 3)у'х +
+ 6eaг[atg7гжFeaг - 1) + 2Ъех - 1]у = 0.
Частные решения: у\ = ехр(Ъеж), |/2 = жехрFеж).
36. Ух"хх + (&еаж + 2а) tg71 ж у^ - а(Ьеах tg71 ж + а)^ - 2а3 tg71 ж т/ = 0.
Частные решения: ^д = еаж, ^/2 = е~аж + —.
а
37. ?/;'L + [eAiE(ctga;+a)+a]t/L + [(a2 + l)eAiE + l]?/;+a[eAiE(l-a
Частные решения: у\ = е~аж, у2 = sin ж.
38. iC + [aeXsB - ctg ж {axeXsB + l)]j/L - oa;eAiI!j/; + aeXsBy = 0.
Частные решения: у\ = ж, |/2 = sin ж.
28 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
434 Уравнения третьего порядка
39. Ух"хх + (a ctg71 ж - 2bex)y'L - bexBa ctg71 ж - bex + S)yL +
+ bex[actg71 ж (bex - 1) + 2Ьеж - 1]т/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр(Ъеж), ?/2 = жехр(Ъеж).
40. у™и + (Ъеах + 2а) ctg™ ж у'^ - a{beasB ctg™ ж + а)у'а - 2а3 ctg™ x у = О.
Частные решения: ?/i = еаж, ?/2 = е~ах -\ .
а
41. y"L ~ [ch71 x (tg ж + а) + a]i?e + [(a2 + 1) ch™ ж + 1]^ +
+ a^h71 ж (a tg х - 1) - 1]у = 0.
Частные решения: у\ = еаж, |/2 = cos ж.
42. s/L'L + [chw ж (ctg ж + а) + а]^ + [(а2 + 1) ch™ ж + 1]у'х +
+ a^h71 ж A - a ctg ж) + 1]?/ = 0.
Частные решения: у\ = е~аж, 2/2 = sin ж.
43. у"'хх ~ [sh71 ж (tg ж + а) + a\y'L + [(а2 + 1) sh71 ж + 1]^ +
+ atsh71 ж (a tg ж - 1) - 1]?/ = 0.
Частные решения: у\ = еах, у2 = cos ж.
44. yZ* + [sh71 ж (ctg ж + a) + a]7/L + [(a2 + 1) sh71 ж + 1]^ +
+ a[shn x A - a ctg ж) + 1]?/ = 0.
Частные решения: у\ = е~аж, 2/2 = sin ж.
45. yZx ~ [th71 ж (tg ж + a) + a]yZ + [(a2 + 1) th71 ж + 1]^ +
+ a[thn x (a tg ж - 1) - 1]# = 0.
Частные решения: у\ = еаж, |/2 = cos ж.
46. 2/L'L + [th71 ж (ctg ж + а) + a]7/L + [(а2 + 1) th71 ж + 1]у'х +
+ a^h71 ж A - a ctg ж) + 1]?/ = 0.
Частные решения: у\ = е~ах, у2 = sin ж.
47. 2/L'L - [cth71 ж (tg ж + a) + а\у"х + [(a2 + 1) cth71 ж + 1]^ +
+ a[cthn ж (tg ж - 1) - 1]?/ = 0.
Частные решения: у\ = еаж, |/2 = cos ж.
48. у"'хх + [cth71 ж (ctg ж + а) + a]7/L + [(а2 + 1) cth71 ж + 1]^ +
+ a^th71 ж A - a ctg ж) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = е~аж, у2 = sin ж.
49. ^L + [a tg71 ж (th ж - 6) - %1 + [а(Ъ2 - 1) tg71 ж - 1]^ +
+ Ъ[а tg71 ж A - Ъ th ж) + 1]?/ = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ^/2 = сЬж.
50. 2/L'L + (a tg71 ж + 6 th771 x)yxx + С?/; + c(a tg71 ж + 6 th771 ж)т/ = 0.
1°. Частные решения при с > 0: у\ = С08(жу/с), |/2 = 8т(жу/с).
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ж^/^с), |/2 = ехр(ж^/^с).
51. 2/L'L + [a tg" ж (cth ж - Ъ) - Ъ]ухх + [а(Ъ2 - 1) tg71 ж - 1]у'х +
+ 6[a tg71 ж A - 6 cth ж) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = еЬх, у2 = shx.
3.1. Линейные уравнения 435
52. уххх + (a tg71 ж + b cth™ x)yxx + c^ + c(a tg71 ж + b cth™ ж)?/ = О.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos (ж-у/с), у 2 = sin(xv/c)-
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ж^/^с), ?/2 = ехр(ж^/^с).
53. Ух"хх + [a ctg71 ж (th х - Ь) - b]y'L + [а(Ь2 - 1) ctg71 x - 1]у'х +
+ Ъ[а ctg71 ж A - Ъ th ж) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ?/2 = chx.
54. ?/"L + a ctg71 ж th™ ж у"х - Ьу'х - ab ctg71 xt\irnxy = O.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = ехр(—хл/b), у2 =
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = со8(жл/^5), ^/2 = ()
55. yZx + [a ctg71 ж (cth х-Ъ)- b]y'L + [аF2 - 1) ctg71 ж - 1]у'а +
+ 6[а ctg71 ж A - 6 cth ж) + 1]?/ = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ^/2 = shx.
56. ^L + (a ctg71 ж + 6 cth771 ж)^'ж + су'х + с(а ctg71 ж + Ь cth771 ж)?/ = 0.
1°. Частные решения при с > 0: у\ = cos(xA/c), 2/2 = sin(xv/c)-
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—хл/^с), у2 = ехр(ж^/^с).
57. Ух"хх + [а Ь71 ж (th ж - 6) - b]y'L + [аF2 - 1) In71 ж - 1]^ +
+ Ъ[а In71 ж A - Ъ th ж) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ^/2 = chx.
58. 2/L'L + a In71 ж th771 ж у"х - Ьух - ab In71 ж th771 ж # = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = exp(—xVb), у2 =
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = cos(x*\/^6), 1/2 ()
59. уххх + [a In71 ж (cth x-b) - b]yxx + [а(Ь2 - 1) In71 ж - l]yx +
+ 6[а In71 ж A - 6 cth ж) + 1]?/ = 0.
Частные решения: у\ = еЬх, у2 = shx.
60. уххх + (a In71 ж + 6 cth771 ж)^ж + су'х + с(а In71 ж + 6 cth771 х)у = 0.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos(xy/c), 1/2 = sin(xy/c).
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ж^/^с), ?/2 = ехр(жд/^с).
61. ^'L - [In71 ж (tg ж + а) + a\y'L + [(а2 + 1) In71 ж + 1]^ +
+ а[\пп х (а tg ж - 1) - 1]?/ = 0.
Частные решения: ^д = еаж, 2/2 = cos ж.
62. ^'L + [In71 ж (ctg ж + а) + a]s/l + [(а2 + 1) In71 ж + 1]ух +
+ atln71 ж A - a ctg ж) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = е~аж, 2/2 = sin ж.
63. у'ххх + [a cos71 ж (th х — Ъ) — Ъ]ухх + [аF2 — 1) cos71 ж — 1]у'х +
+ 6[а cos71 ж A - 6 th ж) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ^/2 = chx.
64. ?/ж4ж + а cos71 ж th771 ж у"ж + ^2/ж + °>b cos71 ж th771 ж у = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = cos(xv^), 2/2 = sin(xVb).
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—жд/^6), 2/2 =
28*
436 Уравнения третьего порядка
65. уххх + [a cos71 ж (cth ж - Ъ) - Ъ]ухх + [а(Ъ2 - 1) cos71 x - 1]у'х +
+ Ъ[а cos71 х A - Ъ cth х) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ?/2 = shx.
66. ?/"L + (a cos71 х + Ъ cth771 ж)?/"ж + сух + с(а cos71 х + Ъ cth771 ж)?/ = 0.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos(xy/c), у 2 = sin(xy/c).
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ху/^с), у2 = ехр(ж^/^с).
67. ^'L + [a sin71 x(thx-b)- b]y'L + [а(Ь2 - 1) sin71 x - 1]у'х +
+ Ъ[а sin71 ж A - Ъ th ж) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = е ж, ^/2 = chx.
68. 2/L'L + a sin71 ж th771 ж 7/L + 6^ + аЪ sin71 ж th771 ж у = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = cos(xv^), 2/2 = sm(xy/b).
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—xy/^b), у2 = ехр(жл/^б).
69. 2/L'L + [a sin71 ж (cth ж - 6) - Ь]^ж + [а(Ъ2 - 1) sin71 ж - 1]у'х +
+ 6[а sin71 ж A - 6 cth ж) + 1]у = 0.
Частные решения: у\ = е&ж, ^/2 = shx.
70. 2/L'L + (a sin71 ж + 6 cth771 ж)^ж + су'х + с(а sin71 ж + Ь cth771 ж)?/ = 0.
1°. Частные решения при с > 0: у\ = cos(xy/c), 1/2 = sin(xy/c).
2°. Частные решения при с < 0: ?/i = ехр(—ху/^с), У2 = exp(x^/^c).
71. хУх"хх + [аж2еЛжF - In ж) + 2]у^ + ажеЛж^ - аеХху = 0.
Частные решения: у\ = ж, ^/2 = In ж — 6 + 1.
72. (еЛж - 1)^L - (аеХх + tg ж)^ж + (еХх + а2)^ + а(а tg ж - еЛшI/ = 0.
Частные решения: у\ = еах, у2 = cos ж.
73. a ch71 ж ^L + [tg ж (a ch71 ж + ж) + 1]ухх - ху'х + у = 0.
Частные решения: у\ = ж, У2 = cos ж.
74. a ch71 ж з/^,ж + [1 — ctg ж (а ch71 ж + ж)]^ж — ж^ + у = 0.
Частные решения: ^д = ж, ^/2 = sin ж.
75. a sh71 ж y'Z* + [tg ж (а sh71 ж + ж) + 1]^ш - ж^ + у = 0.
Частные решения: у\ = ж, У2 = cos ж.
76. a sh71 ж ^'L + [1 - ctg ж (а sh71 ж + ж)]^ж - ж^ + у = 0.
Частные решения: у\ = ж, ^/2 = sin ж.
77. a th71 ж уххх + [tg ж (а th71 ж + ж) + 1]?/"ж - ж^ + у = 0.
Частные решения: у\ = ж, ^/2 = cos ж.
78. a th71 ж ^'L + [1 - ctg ж (a th71 ж + ж)]^ж - ж^ + у = 0.
Частные решения: у\ = ж, ^/2 = sin ж.
79. a cth71 ж уххх + [tg ж (а cth71 ж + ж) + 1]ухх - хух + у = 0.
Частные решения: ^д = ж, ^/2 = cos ж.
80. a cth71 ж ^L + [1 - ctg ж (a cth71 ж + ж)]^ж - ж^ + у = 0.
Частные решения: у\ = ж, ^/2 = sin ж.
3.1. Линейные уравнения 437
81. a In71 ж уххх + [th ж (ж - а In71 х) - 1]ухх - ху'х + у = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = спж.
82. а In71 х уххх + [cth х (х - а In71 х) - 1]ухх - ху'х + у = 0.
Частные решения: г/i = ж, у2 = sh ж.
83. a In71 х уххх + [tg х (a In71 х + х) + 1]?/L - ж^ + ?/ = 0.
Частные решения: г/i = ж, у2 = cos ж.
84. a In71 х уххх + [1 - ctg ж (а In71 ж + ж)]^ж - Ху'х + у = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = sin ж.
85. a cos71 ж з/^,ж + [th ж (ж — a cos71 ж) — 1]ухх — хух + у = 0.
Частные решения: ^д = ж, ^/2 = сЬж.
86. a cos71 ж уххх + [cth ж (ж - a cos71 ж) - 1]ухх - ху'х -\-у = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = sh ж.
87. аж cos71 ж у'ххх + Bа cos71 ж - ж2 In ж + Ьх2)ухх + ж^ — у = 0.
Частные решения: у\ = ж, г/2 = 1пж — Ь + 1.
88. a sin71 ж ?/"L + [th ж (ж - а sin71 ж) - 1]ухх - хух + у = 0.
Частные решения: г/i = ж, у2 = сЬж.
89. a sin71 ж 2/ж4ж + [cth ж (ж — а sin71 ж) — 1]ухх — ху'х + т/ = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = sh ж.
90. аж sin ж 2/жжж + Bа sin ж — ж In ж + ох )ухх + жт/ж — у = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = In ж — Ъ + 1.
91. a tg71 ж уххх + [th ж (ж - а tg71 ж) - 1]ухх - ху'х + у = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = сЬж.
92. a tg" х y'Z, + [cth x (x - a tg™ x) - l]yZx - ху'х + у = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = sh ж.
93. аж tg71 ж у^хх + Bа tg71 ж - ж2 In ж + bx^y'L + ху'х - у = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = In ж — 6 + 1.
94. a ctg71 ж з/^,ж + [th ж (ж — a ctg71 ж) — 1]ухх — ху'х + у = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = спж.
95. a ctg71 ж уххх + [cth ж (ж - а ctg71 ж) - 1]ухх - хух + у = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = sh ж.
96. аж ctg71 ж уххх + Bа ctg71 ж - ж2 In ж + Ъх2)ухх + ху'х - у = 0.
Частные решения: г/i = ж, г/2 = In ж — 6 + 1.
3.1.9. Уравнения, содержащие произвольные функции
> Обозначения: / = /(ж), д = д(х), h = /г(ж) —произвольные функции аргумента ж; а, Ъ, с, п,
Л — произвольные параметры.
1. »;':. + sv» - ы + аз)У = о.
Частное решение: г/о = еах. Замена w = у'х — ау приводит к линейному уравнению
второго порядка: w'lx + aw'x + (/ + a2)w = 0.
438 Уравнения третьего порядка
2. y'L* + fyL + ax(f + а2х2 - Sa)y = 0.
Частное решение: уо = ехр(—-|-аж2). Замена у = ехр(—-|-аж2) / z{x)dx приводит к
линейному уравнению второго порядка: zxx — 3axzfx + (/ + За2ж2 — 3a)z = 0.
3. iC + (/ - а2)у'х + а/j/ = 0.
Частное решение: уо = е~ах. Замена w = ух -\- ау приводит к линейному уравнению
второго порядка: wxx — awx + fw = 0.
4. y"L + xfyL - 2fy = 0.
Частное решение: уо = x2. Замена w = xyx — 2y приводит к линейному уравнению
второго порядка: wxx + xfw = 0.
5. у"'хх + (ах + b)fyfx - afy = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
6. ?/"L + (/ - а2х2)у'1С + ax(f - За)у = О.
Частное решение: уо = ехр(— -|-аж ). Замена у = ехр(—-|-йж ) / z{x)dx приводит к
линейному уравнению второго порядка: zxx — 3axzfx + Bа2х2 — За + f)z = 0.
7. 2/L'L + (/ - а2ж2т1Ы - a[xnf + Запж2" + n(n - 1)хп-2]у = 0.
Частное решение: уо = ехр( хп+1). Замена у = ехр( хп+1) / z(x)dx
\п + 1 / \п + 1 / J
приводит к линейному уравнению второго порядка:
zxx + 3axnz'x + Ba2x2n + Запх71'1 + /)^ = 0.
8. 2/L'L + «2/L + Ьу'т +су = /(ж).
Частный случай уравнения 5.1.5.9.
9. iC + oyL + /i/L + afy = 0.
Замена w = yx -\- ay приводит к линейному уравнению второго порядка: wxx + fw = 0.
Ю. y"L + fv'L -a2(f + a)y = 0.
Частное решение: у о = еах. Замена w = yx—ay приводит к линейному уравнению второго
порядка: wxx + (/ + a)wx + a(/ + а)и> = 0.
11. у"'хх + /Ушш + ayL + «/?/ = 0.
1°. Частные решения при а > 0: ?/i = cos(xy/a), у2 = sin(xy/a).
2°. Частные решения при а < 0: ?/i = ехр(—ж^/—a), 1/2 = ехр(ж^/—a).
Замена и> = г/^ж +а^/ приводит к линейному уравнению первого порядка: wx-\-fw = 0.
12. y"L + /2/1 + ахпу'п + ахп-г (xf + п)у = О.
Замена w = yxx +ахпу приводит к линейному уравнению первого порядка: wx + fw = 0.
13. yZL + fy'L + afy'x + a3y = 0.
Замена w = yx-\-ay приводит к линейному уравнению второго порядка: wxx-\-(f — a)wx-\-
+ a2w = 0.
14. y"L + fy'L + afy'x + a2(/ - a)s/ = 0.
тт -ax/2 ( «,v3 \ -ax/2 • / fl\/3 \
Частные решения: у\ = e x cosf ж), У2 = e ' sml ж).
is. VZL + /»;'. + s»; + h = o.
Замена w = yx приводит к линейному уравнению второго порядка: w'xx-\-fw'x -\-gw-\-h = 0.
3.1. Линейные уравнения 439
16. yZL + fy'L - aBf + За)у'х + a2(/ + 2a)у = 0.
Частные решения: у\ = еах, у% = хеах.
п. y'L* + fy'L + Х9У* -ду = о.
Замена w = ху'х — у приводит к линейному уравнению второго порядка: xw"x +
+ (xf - 1)«4 + x2gw = 0.
18. y"L + fy'L + (g~ a2)y'x - a(af + g)y = 0.
Частное решение: уо = eax. Замена w = y'x — ay приводит к линейному уравнению
второго порядка: w"x + (/ + a)wx + (a/ + g)w = 0.
19. yZL + fy'L + (af + b- а2)у'х + b(f - a)y = 0.
Частные решения: у\ = eXlX, y2 = ex<2X, где Ai и Л2 —корни квадратного уравнения
Л2 +а\ + Ъ = 0.
20. y'Zx + (/ - a)y'L - a2fy = 0.
Частное решение: уо = еах. Замена w = yfx —ay приводит к уравнению второго порядка:
Wxx + fW'x + O,fw = 0.
21. y':L = (f~ a)y'L + (a/ - b)y'x + 6/^/.
Частные решения: у\ = exp(Aix), 1/2 = ехр(Л2ж), где Ai и Л2 —корни квадратного
уравнения Л2 + аХ + 6 = 0. Замена и> = ухх + а^ + 6|/ приводит к линейному уравнению
первого порядка: wx = fw.
22. yZL + (/ - a)^ + gj/4 - a(af + g)y = 0.
Частное решение: г/о = eax.
23. i/L'L + (/ + a)t,L + (a/ + <?)t^ + аду = О.
Частное решение: уо = е~аж.
24. s/L'L + xfy'L + (аж2 - f)y'x + аж(Ж2/ + 3)./ = 0.
Частные решения: у\ = cos^x2^), 2/2 = 8т(^-ж2л/«)-
25. у"'хх + (аж + b)fy"x + ж/^ - 2/т/ = 0.
Частное решение: уо = х2 + 2аж + 6.
26. i/L'L + (/ + ож)С + a(xf + 2)у'а! + afy = О.
Частные решения: у\ = ехр(—^-«ж2), 2/2 = ехр(— -|-йж2) / ехр(уаж2) с/ж.
27. i/L'L + a;2/j/L - 2xfyL + 2fy = О.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х2.
Решение:
у = С\х + Сгж2 + Сз (ж2 / х~3фdx — ж / х~2фdx j, где ^ = ехр( — / х2f dx).
28. t,"L + (/ + aa;)j/L + (g + 2а)У; + а[жд + A - ож2)/]!/ = 0.
Частное решение: уо = ехр(— -|-йж2). Замена г^ = у'х + аж|/ приводит к линейному
уравнению второго порядка: wxx + fwx + (g — axf)w = 0.
29. 2/L'L + (axf + / + aJ/L + a2xfyx - a2 fy = 0.
Частные решения: у\ = ж, |/2 = e~ax.
30. t/^'L + (ax2 + bx + c)fy'L - 2af у = 0.
Частное решение: уо = ах2 + Ъх + с.
440 Уравнения третьего порядка
31. 2/"L + x(xf + д)ухх - ду'х - 2fy = 0.
Частное решение: уо = х2. Замена w = хух — 2у приводит к линейному уравнению
второго порядка: wxx + x(xf + g)w'x + xfw = 0.
32. yZx ~ x(ax + b)fy'L + (b - a2)fy'x + 2afy = 0.
Частное решение: уо = x2 + ax + у (а2 — 6).
33. ?/"L - [Bx + a)/ + (ж2 + ax + &)flf]?/L + 2/^ + 2^?/ = 0.
Частное решение: уо = x -\- ax -\-Ь.
34. xyZx + Зт/1 + ж(аж2 + l)fy'x - {ax2 - l)fy = 0.
Частное решение: уо = ax + —.
ж
35. Ж7/^,Ж + (ах2 + ЬJ/^ж + 4аж^ + 2ау = f.
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
хух + (ах2 + b-2)y = Ci+C2x+[([fdx^ dx.
36. ху"'хх + xfy'x - [(ах + 1)/ + а3х + За2]у = 0.
Частное решение: уо = жеаж.
37. жт/^L + ж(/ - 2а)у"х + ж(^ + а2)^ - [а(ах + 2)/ + (ах + 1)^]?/ = 0.
Частное решение: уо = жеаж.
38. ху'?а + (xf + 3)j/L + B/ + ож)?,: + a(xf + l)y = 0.
Частные решения: у\ = —cos(xv/«), 2/2 = —sin
X X
39. ^L + (xf + 3O/1 + (аж + 2)fy'x + a(ax/ + / - a2x)y = 0.
Частные решения: |/i = —е~аж/2 cosf x), y% = — е~аж/2 sinf ж).
ж \2/ ж \2/
40. жт/^L + (xf + 3O/L + (axf + 2/ - а2ж)^ + a(/ - a)y = 0.
Частные решения: у\ = —, 2/2 = —e~ax.
41. xyZL + (xf + 3)j/L + B/ + oa;"+1)j/; + axn(xf + n + l)y = 0.
Замена w = xy приводит к уравнению вида 3.1.9.12:
w'xxx + f™"x + «жп^ + axn~1(xf + п)гу = 0.
42. ж^ж + (ж2/ + а + 2J/L - а(а + l)fy = 0.
Частное решение: уо = ж~а. Замена w = жг/J. + а|/ приводит к линейному уравнению
второго порядка: wxx + xfwx — (а + l)fw = 0.
43. a^'L + [ж2(аж2 + 1)/ + Z]y'L - 2fy = 0.
Частное решение: уо = ах -\ .
44. xyZ* + [х(ах2 - 1)/ + х2(ах2 + 1)д + 3]^'ж - 2fy'x - 2ду = 0.
Частное решение: уо = ах + —.
ж
45. (aa;^'L2L 22 2^
Частные решения: у\ = ж2, |/2 = еа
3.1. Линейные уравнения 441
46. x2yZ, + (xf -а2 - а)у'т + (а - l)fy = О.
Частное решение: уо = х1~а. Замена w = xy'x + (а—1)у приводит к линейному уравнению
второго порядка: xwxx — (а + l)w'x + fw = 0.
47. x2yZ, + [х(ах + 1)/ - в]»; + fy = O.
Частное решение: у0 = а + —.
48. x2yZ, + xfy'L + [x(ax + 1)д + 2/ - в]»; + ду = О.
Частное решение: г/о = сь + —.
49. я3»;';. + ж[ж(ож + 1)/ + 3]t,L - 2/t, = 0.
Частное решение: г/о = а + —.
50. я3»;';. + ж(ж/ + a)y'L + [(а - 2)х/ + b]j? + F - а + 2)/t, = О.
Интегрируя, получим неоднородное уравнение Эйлера 2.1.9.15:
х2у1х + (а - 2)хух + (Ъ - а + 2)у = Сехр(- J fdx}.
51. (аж + Ь)ху"'хх + (аж + /3)tyL + «2/L +У = f-
Интегрируя, получим линейное уравнение второго порядка:
(ах + Ь)ху'х'х + [(а - 2а)х + C - Ь]ух + (х + 2а - а)у = Г fdx + C.
52. х(х + l)ty^L + ж(/ - х - 3)у'х - (х + 1)/?/ = 0.
Частное решение: г/о = жеж.
53. tf3ty"L + ж/ty^ + (а - 1)(/ + а2 + а)у = 0.
Частное решение: уо = х ~а. Замена г^ = ху'х + (а — 1)у приводит к линейному уравнению
второго порядка: x2w"x — (а + l)xw'x + (/ + а2 + а)ги = 0.
54. ж 1ужжж + ах ухх + 6ж1уж + су = f{x).
Неоднородное уравнение Эйлера. Замена t = In |ж| приводит к уравнению вида 3.1.9.8:
Уш + (а - 3)уй + (Ъ - а + 2)у{ + су = f(±et).
55. ж3^ж + (а + 2)х2ухх + ж/ty^ + afy = 0.
Частное решение: у о = ж~а.
56. ж8»;';,. + [(а + в)х2 + b]y'L + 2Bа + 3)ж^ + Чау = f(x).
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
х3у'х + (ах2 + Ъ)у = С\ + С2ж + I ([ fdx) dx.
57. ж3^ж + ж2Fж2а+1 - 3a)tyL + 2а(а + 1)Bа + l)ty = /(ж).
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
х~2аух + (аж" +b)y = Ci + C2x+ Hf /жа с/ж) с/ж.
58. ж3^ж + ж2/?/! - 2ху'х + 2B - f)y = 0.
Частные решения: г/1=ж~1, у2 = х2.
59. ж3^ж + «2/tyL - 6ж^ + 6B - f)y = 0.
Частные решения: у\ = ж~2, у2 = х3.
442 Уравнения третьего порядка
60. x3y':L + ffv'L + x(f - 1)у'х + (/ - 3)j/ = 0.
Частные решения: y\ = cos(lnx), y2 = sin(lnx).
61. x3yZ* +x2(f + l)y'L + x{f -a- l)Wi - a(f - 2)y = 0.
Частные решения: y\ = x~ , у2 = x .
62. x3yZx + ^2(/ + a)i?e + ж(а/ + b - a)y'x + ft(/ - 2)у = 0.
Частные решения: y\ = жП1, y2 = жП2, где гц и П2 — корни квадратного уравнения
п2 + (а- 1)п + Ь = 0.
63. Ж3^ж + ж2(/ + a)y'L + ж[д + (а - l)f]y'x + (а - 2)^ = 0.
Частное решение: уо=х2~а. Замена w = xy'x + (a—2)y приводит к линейному уравнению
второго порядка: x2w"x + xfw'x + gw = 0.
64. x3yZa, +x2(f + 2ax)y'L + xBaxf + a2x2 + b)y'm + (a2x2f + bf- 2b)y = 0.
Частные решения: у\ = e~axxni, y2 = е~аххП2, где ni и П2 —корни квадратного
уравнения п2 — п + Ъ = 0.
65. xVi. + Ж2/2/4 + (а3 + а/ - 2xf)y = 0.
Частное решение: уо = х еа'х.
66. ^'4Ж + ae^y'L ~ ЗА2^ + 2A3i/ = f(x).
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
е~Ххух + (а + 2Хе~Хх)у = d + С2х + J (f fe~Xx с/ж) с/ж.
67. ^'L + (/ - а2е2Хх)у'х - aeXx(f + ЗаЛвЛаг + Л2)^ = 0.
Частное решение: г/о = expf—еХх). Замена у = expf—еХх) / z(x)dx приводит к
линейному уравнению второго порядка: zxx + 3aeXxzx + (/ + 2а2е2Лж + 3a\eXx)z = 0.
68. yZL + [A + be5)/ - а2]у'х + afy = 0.
Частное решение: уо = е~ах -\-b.
69. y':L + (/ + a)C + [a/ + A + bee")ff]»; + аду = О.
Частное решение: г/о = е~о:с + Ь.
70. y':L + (Ьеош + 2a)fy'L - а(Ьеах f + а)у'„ - 2a3fy = О.
Частные решения: у\ = еах, у2 = е~ах + —.
а
71. 2/"L + (/ - 2aeAa3J/L - aeXxBf - аеХх + 3\)у'х +
+ аеЛж[(аеЛаг - Л)/ + 2аЛеЛаг - Л2]?/ = 0.
Частные решения: у\ = ехр ( —е 1, у2 = ж ехр ( —е 1.
72. 1?:и + (/ - аеЛж)^'ш + (д - 2а\еХх)у'1В - аеХх[(аеХх + \)f + g + \2]y = 0.
Частное решение: г/о = expf—еХх). Замена у = expf—еХх) / z(x)dx приводит к
уравнению второго порядка: z"x + (f + 2aeXx)z'x + BаеХхf + д + а2е2Хх +a\eXx)z = 0.
73. y':L ': 22 '
Частные решения: у\ = есж, у2 = е~ах + —.
с
3.1. Линейные уравнения 443
74. ex*y':L + BАеА* + /Зе^ + j)yZ + (ЛаеЛи + 2/3/хе^Ы + рц2е»*у = f(x).
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
еХху'х + (/Зе^ + j)y = Ci + С2х + J (J / dx) dx.
75. y':L + fv'L + 9VL - A[A/ + th(\x)(g + \2)]y = 0.
Частное решение: уо = ch(Ax). Замена у = ch(Ax) / z{x)dx приводит к уравнению
второго порядка: z"x + [/ + 3Ath(Ax)]^ + [g + ЗА2 + 2A/th(Ax)]^ = 0.
76. ^'L + /2/L - \[2fth(\x) + ЗЛ]^ + Л2{[2 1Ь2(Лж) - 1]/ + 2Ath(A^)}2/ = 0.
Частные решения: у\ = ch(Ax), |/2 =
77. 2/;'L + M'a,-A[2/cth(Aa;) + 3A]^
Частные решения: у\ = sh(Ax), y2 =
78. yZ* + [(tha; - о)/ - a]y'L + [(о2 - 1)/ - 1\у'а + о[A - otha?)/ + l]i/ = 0.
Частные решения: у\ = еах, у2 = chx.
79. yZL + [(cth x-a)f- a]y'L + [(a2 - 1)/ - l]t,^ + o[(l - о cth ж)/ + l]i/ = 0.
Частные решения: у\ = еаж, |/2 = shx.
80. yZL + [Ath(Aa;)(a;/ - 1) - f}y'L - \2xfy'x + A2/j/ = 0.
Частные решения: у\ = x, У2 = ch(Ax).
81. y':L + [\cth(\x)(xf - 1) - /]i/L - \2xfy'x + \2fy = 0.
Частные решения: у\ = x, У2 = sh(Ax).
82. ж^ж + [ж2(a - In x)f + 2}y'L + xfy'^ - fy = 0.
Частные решения: у\ = x, y2 = In ж — a + 1.
83. i/L'L + M + tg x(f - l)y = 0.
Частное решение: уо = cos x. Замена у = cos x I z(x) dx приводит к линейному уравне-
уравнению второго порядка: z"x — 3 tg x z'x + (/ — 3)z = 0.
84. yZL + fyL + ctg x(l - f)y = 0.
Частное решение: уо = sin x.
85. yZL + fy'L + gyL + A[A/ + tg(Aa;)(g - \2)]y = 0.
Частное решение: уо = cos(Ax). Замена у = cos(Ax) / z(x)dx приводит к линейному
уравнению второго порядка: zxx + [/ — 3Atg(Ax)]^ + [g — ЗА2 — 2A/tg(A#)];s = 0.
86. yZL + fy'L + A[2/tg(Aa;) + 3\]y'x + \2{[1 + 2tS2(\x)]f + 2\tS(\x)}y = 0.
Частные решения: у\ = cos(Ax), y2 = xcos(Ax).
87. t,^'L + /?/L+A[3A-2/ctg(Aa;)]2/;+A2{[l + 2ctg2(Aa;)]/-2Actg(Aa;)}t, = 0.
Частные решения: у\ = sin(Ax), y2 = xsin(Ax).
88. yZL - [(a + tgx)f + a]y'L + [(a2 + 1)/ + l]y'm + a[(atgx-l)f-l]y = 0.
Частные решения: у\ = еаж, у2 = cos ж.
89. yZ* + [(ctg x + a)f + a]y'L + [(a2 + 1)/ + l]y'a + a[(l - a ctg ж)/ + l]y = 0.
Частные решения: у\ = e~ax, j/2 = sin ж.
444 Уравнения третьего порядка
90. y':L + [f + Xtg(Xx)(xf + l)}y'L ~ X2xfy'x + X2fy = 0.
Частные решения: y\ = ж, У2 = cos(Ax).
91. lf«;« + [/ - Xctg(Xx)(xf + l)]y'L - X2xfy'a! + X2fy = 0.
Частные решения: y\ = x, У2 = sin(Ax).
92. a sin(\x)yZx + by'L + 3aA2 sin(\x)y'x + 2аЛ3 cos(\x)y = f(x).
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
asin(Ax)^ + [b — 2a\cos(\x)]y = С\ + С2Х + / ( / f dxj dx.
93. sin(A^)^L + [a + BЛ + 1) cos(A^)]2/L -
- (Л2 + 2Л) s\xi(\x)y'x - A2 cos(\x)y = f(x).
Интегрируя дважды, получим линейное уравнение первого порядка:
sin(Аж)г/ж + [a + cos(Xx)]y = С\ + Сгж + / ( / f dx) dx.
94. (/ - 1)|C - [a/ + Atg^)]»;'. + (A2/ + а2)у'„ + aAtatgCAa;) - A/]j/ = 0.
Частные решения: у\ = eax, y2 = cos(Ax).
95. yZL + fyL + fLy = 9
Интегрируя, получим линейное уравнение второго порядка: y'lx + fy = / gdx + С.
96. i/^e + 2/yL +/iy = 0.
Решение: у = Ciwl + C2W1W2 + C3W2, где wi и w;2 —линейно независимые решения
уравнения второго порядка: 2w'lx + fw = 0.
97. t?L + /i»; + fBfL - f)v = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение второго порядка:
Ухх + fy'x + fy = СехрП fdxj.
98. yZx + (a - l)fy'x - \f'L ~ Ba + l)ffx + af]y = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение второго порядка:
Ухх + fy'x + (af - fx)y = C exp M / dxj .
99. s/L'L + (/ - a2)y'x + (/4 - af)y = 0.
Замена г^ = ухх + a^/^ + fy приводит к линейному уравнению первого порядка:
w'x — aw = 0.
ЮО. у'?а + fy'L + gy'x + (fg + g'm)y = 0.
Интегрируя, получим линейное уравнение второго порядка: ухх +ду = С ехр ( — / / dx).
101. y':L + Zfy'L + (К + 2/2 + 2д)у'т + Bfg + д'т)у = 0.
Решение:
у =
где w\ и W2 — фундаментальная система решений линейного уравнения второго порядка:
< + Ы + T9W = °
Ю2. Ух"хх + (/ + g)y'L + (/4 + /^ + /»)у« + (hx + ^h)y = 0.
Интегрируя, получим уравнение второго порядка:
Ухх + fy'x + hy = С ехр (- / 0 dxj.
ЮЗ. ^'L + (/ + g)y'L + B^ + /0 + h)y'x + @I + fg'x + ^h)y = 0.
Замена w = y'x + gy приводит к уравнению второго порядка: wxx + fw'x + hw = 0.
3.2. Уравнения вида у"хх = Ахау/3(ухO(ухх)
445
Ю4. fy"L-f"Ly = o.
Частное решение: у о = /. Замена у = / / zdx приводит к уравнению второго порядка:
Ю5. fy'xxx + f"Lxy = 9
Интегрируя, получим уравнение второго порядка: fy'xx ~ fxУх + fxxУ — I gdx + С.
106. уххх = f(x)y.
Преобразование х = t-1, у = wt~2 приводит к уравнению аналогичного вида:
,—6 Г/-1 /,\
3.2. Уравнения вида у^хх = Ах<*уР(у'хУ(у%х)д
3.2.1. Классификационная таблица
В табл. 27 дан перечень всех уравнений, решения которых приведены в разд. 3.2.2-3.2.4. После-
Последовательно приводятся двухпараметрические семейства (в пространстве параметров а, C, j, S),
однопараметрические семейства и изолированные точки. Уравнения расположены по возраста-
возрастанию 6, по возрастанию 7 (при одинаковых 6), по возрастанию C (при одинаковых 6 и 7) и
по возрастанию а (при одинаковых д, *у и /3). В последней колонке указан номер искомого
уравнения, где дано его решение.
В разд. 3.2.2-3.2.4 часто значение несущественного параметра уравнения А задается в виде
функции двух (одного) вспомогательных коэффициентов а и Ь:
A = tp(a,b), A)
а соответствующие решения представлены в параметрической форме
x = f1(r,C1,C2,C3,a), у = Ыт,СиС2,С3,Ъ), B)
где т — параметр; С\, Сг, Сз—произвольные постоянные, /i и /2—некоторые функции.
Зафиксировав знак вспомогательного коэффициента а > 0 (или Ъ > 0), следует выразить Ъ через
А и а с помощью A):
Ъ = ф{А, а).
Подставляя эту формулу в B), получим решение рассматриваемого уравнения (при этом
конкретное численное значение коэффициента а можно выбрать произвольно). Аналогичным
образом следует рассмотреть случай а < 0 (или Ъ < 0), который может привести к другой ветви
решения или другой области определения переменных ж и у в B).
ТАБЛИЦА 27
Разрешимые уравнения вида у'^'хх — АхауР(у'хO(y"x)S
6
любое
любое
Eф2)
7 + 4/^ + 5
7 + 2/5 + 3
37 + 7
2G + 2)
37 + 7
2G + 2)
любое
(8ф1, 2)
7
любое
любое
G^-1)
любое
G Ф -1)
любое
G Ф -2)
любое
G Ф -2)
-1
/5
0
0
любое
(/^-1)
1
2
1
-1
а
любое
0
0
0
0
0
Уравнение
3.2.4.15*
3.2.4.1
3.2.4.174
3.2.4.10
3.2.4.7
3.2.4.175
Дана формула приведения к решению обобщенного уравнения Эмдена — Фаулера.
446
6
любое
Fф2)
3/5 + 4
2/5 + 3
любое
(«#¦§¦)
любое
любое
любое
3/5 + 4
2/5 + 3
-1
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Уравнения третьего порядка
ТАБЛИЦА 27 (продолжение)
Разрешимые уравнения вида у'ххх = Ахау/3 (у'Х/
7
-1
0
0
1
1
1
3
3
3
любое G ф —1)
любое
-2/5-5
-13
-13
— 7
-7
-4
-4
-3
-3
-3
-3
7
3
7
3
7
3
7
3
7
3
7
3
7
3
7
3
9
5
9
5
-1
-1
Р
0
любое
1
2
любое
-1
1
любое
@ *-¦§¦)
7
5
0
0
-тG + 5)
любое (/5 ^ -2)
1
3
0
1
1
2
0
-2
-1
0
1
10
3
4
3
5
6
1
2
0
1
2
13
5
1
-2
0
7(з4'*)*
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Уравнение
3.2.4.11
3.2.4.8
3.2.4.87
3.2.4.2
3.2.4.13
3.2.4.4
3.2.4.9
3.2.4.168
3.2.4.164
3.2.4.3
3.2.4.171
3.2.4.5
3.2.4.153
3.2.4.155
3.2.4.141
3.2.4.145
3.2.4.127
3.2.4.123
3.2.4.95
3.2.4.30
3.2.4.26
3.2.4.91
3.2.4.76
3.2.4.42
3.2.4.52
3.2.4.133
3.2.4.131
3.2.4.48
3.2.4.38
3.2.4.70
3.2.4.64
3.2.4.60
3.2.4.22
3.2.4.18
6
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
3
4
5
1
1
1
1
3.2. Уравнения вида уххх
= АхауР(у'х)'
\Ухх
ТАБЛИЦА 27 {продолжение)
Разрешимые уравнения вида уххх = Ахау@ (у'а
7
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
2
2
3
3
5
5
5
5
0
3
3
3
3
0
-4
любое G^1)
-3
-3
-1
любое
Р
2~
7
2
5
2
5
2
-2
4
3
4
3
5
4
5
4
7
6
~~6
1
2
1
2
1
2
0
0
1
1
2~
0
(Р Ф -2)
-2
-5
20
15
7
0
5
2
15
8
20
13
5
4
0
7
6
1
2
-1
1
2
1
-1
У
Г ML)'
а
0
3
0
1
0
4
3
0
3
2
0
5
3
0
-3
3
2
0
любое
0
любое
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
447
Уравнение
3.2.2.2
3.2.3.3
3.2.2.3
3.2.3.4
3.2.2.6
3.2.3.5
3.2.2.4
3.2.3.7
3.2.2.8
3.2.3.6
3.2.2.5
3.2.3.8
3.2.3.9
3.2.2.7
3.2.3.1
3.2.2.1
3.2.3.2
3.2.4.35
3.2.4.165
3.2.4.161
3.2.4.85
3.2.4.82
3.2.4.105
3.2.4.117
3.2.4.111
3.2.4.101
3.2.4.74
3.2.4.114
3.2.4.120
3.2.4.108
3.2.4.104
3.2.4.157
3.2.4.137
3.2.4.140
3.2.4.32
3.2.4.24
3.2.4.177
448
6
l
l
l
_8_
7
8
7
6
5
5
4
5
4
5
4
9
7
9
7
9
7
13
10
27
20
18
13
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
7
5
10
7
22
15
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
3
2
Разрешимые
7
1
1
1
3
3
0
-4
3
3
9
4
0
0
0
0
0
— 7
5
2
13
7
1
3
0
1
3
3
11
0
0
любое
-3
-3
0
0
0
1
3
3
3
Уравнения третьего порядка
ТАБЛИЦА 27 {продолжение)
уравнения вида у'ххх = Axayf3 (ухO (уххN
любое (Eф-1)
-1
1
3
4
1
2
2
3
1
2
1
2
0
1
1
3
1
5
2
2
3
7
2
1
1
1
1
1
1
0
1
1
5
2
2
3
тG-1)
1
2
1
-2
1
2
1
1
_2
1
2
0
а
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Уравнение
3.2.4.14
3.2.4.17
3.2.4.21
3.2.4.159
3.2.4.151
3.2.4.109
3.2.4.57
3.2.4.148
3.2.4.144
3.2.4.66
3.2.4.169
3.2.4.62
3.2.4.80
3.2.4.121
3.2.4.68
3.2.4.54
3.2.4.45
3.2.4.78
3.2.4.72
3.2.4.40
3.2.4.50
3.2.4.126
3.2.4.130
3.2.4.135
3.2.4.43
3.2.4.115
3.2.4.173
3.2.4.100
3.2.4.97
3.2.4.99
3.2.4.84
3.2.4.93
3.2.4.28
3.2.4.98
3.2.4.94
3.2.4.29
3.2 ^явкеиия видя у^хх = Ахау?' (у'хУ'(у^х)д
449
ТАБЛИЦА 27 (продолжение)
Разрешимые уравнения вида у"хх = АхауР(yx)J(yxx)S
S
23
15
11
7
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
8
5
1—1| tO
to со
О СО
17
10
12
7
12
7
12
7
7
4
7
4
Т
9
5
13
7
13
7
2
2
2
2
2
2
2
11
5
7
3
5
2
5
2
5
2
5
2
5
2
7
1
3
-4
1
3
3
3
3
3
3
3
3
-6
1
3
-4
1
3
3
3
0
0
1
1
3
1
2
0
любое G ф —1)
-1
-1
-1
0
3
3
0
4
3
-4
11
4
27
13
3
2
1
Р
1
2
1
2
1
-4
7
4
10
2
3
1
2
0
1
5
1
2
1
2
1
2
1
2
13
8
1
2
5
2
1
1
1
2
1
1
0
любое (C ф 0)
-1
0
-2
-2
0
5
2
1
2
1
2
1
1
1
1
а
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Уравнение
3.2.4.116
3.2.4.47
3.2.4.125
3.2.4.55
3.2.4.46
3.2.4.79
3.2.4.73
3.2.4.41
3.2.4.51
3.2.4.129
3.2.4.136
3.2.4.69
3.2.4.122
3.2.4.81
3.2.4.170
3.2.4.67
3.2.4.63
3.2.4.56
3.2.4.147
3.2.4.143
3.2.4.110
3.2.4.160
3.2.4.152
3.2.4.12
3.2.4.139
3.2.4.176
3.2.4.16
3.2.4.33
3.2.4.25
3.2.4.19
3.2.4.138
3.2.4.158
3.2.4.75
3.2.4.113
3.2.4.119
3.2.4.107
3.2.4.103
29 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
450
6
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
Разрешимые
7
любое (^ Ф —3)
-2/5-5
любое
-9
-6
-6
17
3
33
7
21
5
-4
11
3
23
7
-3
-3
-3
-3
5
3
5
3
4
3
-1
2
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1
3
3
3
3
Уравнения третьего порядка
ТАБЛИЦА 27 (продолжение)
уравнения вида у'х'хх = Ахау/З(у'х
Р
1
любое (/5 ф -2)
-7-2
2
1
2
1
2
5
3
2
7
5
J_
2
5
3
2
-2
-1
2~
1
5
3
1
2
1
2
-2
5
3
5
2
5
3
1
2
1
-4
5
2
-2
5
3
-1
1
2
1
2
2
-7
-4
—2
5
3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
-3
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Уравнение
3.2.4.86
3.2.4.6
3.2.4.172
3.2.4.106
3.2.4.59
3.2.4.166
3.2.4.77
3.2.4.118
3.2.4.65
3.2.4.37
3.2.4.44
3.2.4.112
3.2.4.96
3.2.4.23
3.2.4.90
3.2.4.83
3.2.4.53
3.2.4.149
3.2.4.150
3.2.4.31
3.2.4.134
3.2.4.128
3.2.4.132
3.2.4.89
3.2.4.88
3.2.4.142
3.2.4.124
3.2.4.27
3.2.4.49
3.2.4.20
3.2.4.34
3.2.4.162
3.2.4.102
3.2.4.154
3.2.4.146
3.2.4.92
3.2.4.39
3.2. Уравнения вида у'"хх = Ахау/3(ух]
451
ТАБЛИЦА 27 {продолжение)
Разрешимые уравнения вида у"хх = Ахау@ (ухO (ухх)
6
3
3
3
3
3
4
4
7
3
3
3
5
7
9
5
1
Р
7
5
1
2
0
5
3
-7
1
1
а
0
0
0
0
0
0
0
Уравнение
3.2.4.61
3.2.4.58
3.2.4.36
3.2.4.71
3.2.4.156
3.2.4.167
3.2.4.163
3.2.2. Уравнения вида у"'хх =
л fff л
1. Уххх = А.
Решение: у = \Ахг + С2х2 + С\х + Со.
2. y'Zx = Ay-7'*.
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ [ [Cie2<7T + С2е-ат йт(л/3 ат)] ~3/2 dr + С3,
2, = бС? [de2(JT + Сзе""" 8т(л/3 с \
где А = -8a-369/V3.
3.
4.
/// л —5/2
Решение в параметрическом виде:
где А = -6
'" л —4/3
Решение в параметрическом виде:
х = аС[ [ R~1Brl т RJ dr + С3, 2/ = ЪС?Bт1
где Я = ^±D
- 1), /= [rR~1dT + C2, A = ±18а~3Ь7/3.
5 fff л —7/6
Уххх = Ау ' .
Решение в параметрическом виде:
х = aCls Г R~1Brl т R)~5/2 dr + С3, у = ЬС18Bт1 т Я),
где R = V±Dr3 - 1), /= [ TR-1dT + C2, A = т^а~3Ь13/6.
> 5 решениях уравнений 6, 7 приняты обозначения:
_ Г Ci Ji/3(r) + C2Yi/2,{t) для верхних знаков,
\ C\Ii/2,{t) + С2К1/3(т) для нижних знаков,
где Ji/3(r) w У\/г{т)—функции Бесселя, /i/3(r) w Xi/3(r)—модифицированные функции
Бесселя.
6.
Решение в параметрическом виде:
х = ad IV1 Z~2 dr + С3, 2/
где А = ±|
29*
452
Уравнения третьего порядка
~3Ь3/2
Решение в параметрическом виде:
x = aCi f Zdr + Сз, y = bC2r2/sZ2, где А = т^а~3Ь
8. yZx = Ay-*'*.
Частный случай уравнения 3.2.4.171 при 7 = 0.
3.2.3. Уравнения вида уххх = АхауР
При а = 0 см. разд. 3.2.2.
1. y"Lx = Аха.
Решение: у = Af(x) + С2х2 + С\х + Со, где
и аф -1, -2, -3;
(а + 1)(а + 2)(а + 3)
-ж21пЫ - ^-ж2
2 X ill |Х| ^ X
—ж In
при а = — 1;
при а = —2;
при а = —3.
2. j/4'L = Аж"^.
См. уравнение 3.1.2.7.
3. iC = Ах3у-7'2.
Решение в параметрическом виде:
где / =
), A = 8а~вЬ9/2а3.
4.
Решение в параметрическом виде:
х = аС[ [J(ts - Зг
2, =
где А = 6а-467/2.
> 5 решениях уравнений 5, б приняты обозначения:
R=
r + C3] ~\
- Зг + Сз) [/(г3 - Зг + С2)/2 с/г + Сз]
>/±Dr3-l), /= [ TRT1
5 ту'" - 4ж/377/3
Решение в параметрическом виде:
6.
где А = т18а~5/367/3.
у-ш = АЖ/32/-7/6.
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ъ [J R-\2tI t R)~5/2 dr + С3] "\
= ЪС!Bт1 Т R)~S [J R~1Brl T R)~5/2 dr + С3]
где А = т18а~4/3613/6.
3.2. Уравнения вида у%хх = Ахау? (у'хУ (у'^N 453
7 г/'" - Ах~3/2у-5/4
'• Уххх — -rlo/ у
Решение в параметрическом виде:
где z = С2 + W + АВт1'2, / = expf ( z~1/2 dr), A= ^Ba~3'2b9'A.
Решение в параметрическом виде:
х = Ci( Г Zdr + Сз) , y = br2/sZ2
где
4 тз/2 Г7 ( CiJi/s(t)-\-C2Y1/3(t) для верхних знаков,
3 ' \CiIi/3(t) + C2Ki/3(t) для нижних знаков,
Ji/2>{.T) и Yi/s(t) — функции Бесселя, Ii/3(r) и Ki/3(t)—модифицированные функции
Бесселя.
О '" _ 4-3/2-1/2
"• Уххх — -'*¦•*' У
Решение в параметрическом виде:
x = aC3exph f Pdr\ x = ЪС3Р2 ехр(^2 Г Р dr\
где Р = Р(т, Ci, C2) — общее решение второго уравнения Пенлеве:
Р"т = ±тР + 2Р3, А = ±\а~
3.2.4. Уравнения при \^\ -\-\8\фЪ
Решение в параметрическом виде:
где л =
2-5
Решение в параметрическом виде:
х = aC^+s
где л =
2ab.
1 — 5
> 5 решениях уравнений 3-10 приняты обозначения:
1, Е= I {l±Trn+1)
R= у/1±т™+1, Е= I {l±Trn+1)~1/2 dr + C2, F = RE-t
3. yZx = A(y'x)\ 7 ф -1.
Решение в параметрическом виде:
1 — 1 л , Ш + 1 2m-2,-2
где m = , A = ± a 6
454 Уравнения третьего порядка
4.
Решение в параметрическом виде:
х = аС1ш+1 [ Е-112К-Х dr + Сз, у = ЬС2г
где m=
, А
6-2 ( )
5. 2/жжж = Аур(ух) , РФ -2.
Решение в параметрическом виде:
х = аС?~3 I t-^E-Wr-1 dr + Сз, 2/ = ЪС1т~2Е~\
где m=-/3-3, A = ±i(-l)-2m(m + 1)а2т-2Ь3-т.
6. j/4'L = ^(j/;)-2^5(j/LK, /з * -2.
Решение в параметрическом виде:
х = аС™+3 I E^R'Fdr + C3, у =
где m = /3, A =
1. VZ*''
Решение в параметрическом виде:
f
х = aCf+m+2 J E-ml2R-x йт + С3, у =
2G + 2) 2mb Г (m+1N] "^+2" Г 4а2
7 + 1
3/3 + 4
8. 2/L'L = Ay^WL) 2/3+3 , /3 Ф -3/2.
Решение в параметрическом виде:
т Ь К ат + Оз, у = оС1 т
где т = ~
9. j/4'L = АуР(у'а)ไ)$&, 13 ф -3/2.
Решение в параметрическом виде:
х = aCf+m~l j' Em+lF~l/2R-1 dr + С3, у = ъс[т-1)(т+2)Е
А -
m + 2K L 4а2
3-7 + 7
Решение в параметрическом виде:
х = аС™ +2т~7 т 2 RT1 Е з F dr + Сз,
где m =
I+7' m + 1 L (m + lNJ L 2a2
3.2. Уравнения вида у'"хх = Ахау@(у'хУ (уххN 455
11. y"L
Решение в параметрическом виде:
х = aCi f т~^2 exp(=Fr2) dr + С2, у = ЬС\ f т^*~ exp(=F2r2) dr + С3,
где А=
12. ^L = A(^r(?/LJ, 7^
Решение в параметрическом виде:
= aCi [
[ т^+Т exp(=Fr2)dr + C2, у = bCi Г т^+Т exp(=Fr2) dr + С3,
где А =
Решение в параметрическом виде:
/2 Г С 3~^ 2 I ~ 2 2
rexp(=Fr ) / г1-6 exp(=Fr )dr-\-C2\ dr + Сз, у = ЬС\ exp(=Fr ),
1У J
ГДе A=^—(Tl)-Sa2S-2b1-s.
1-6
14. xi = Axi xi xi /3 9^ —1-
Решение в параметрическом виде:
г !=&. Г /• J^- 9 1~1/2 ^_
х = Ci / г 1+/з / г i+/3 exp(=Fr2) dr + С2 dr + С3, ?/ = 6r 1+/3 ,
где А = =f([3 + 1)Ь~1~Р.
1Э» У ххх — -'*¦•*' Vi/аг^ УУхх) •
Решение в параметрическом виде:
ж-а 1 1г;5 у- \ J ут) dr т з.
Здесь X = -Х"(т), Y = У (г) — общее решение обобщенного уравнения Эмдена—Фаулера:
Y?x=BXaY-<{Y^)\ где А =
16. у'" -
Решение:
Решение:
18. у'"хх =
Решение
У = <
_1_ Л
B - А)СХ
-^2- ехр(С
л —1 1 II
( f(CiyA+1
/ (С\ In |/ -
^ J
в параметрическом
(С71Ж + С2I
+ С2Г1/2с1у + Сз
виде:
при
при
при
при
А =
А =
Аф
А =
= 1, А/2;
= 1;
= 2.
-1;
-1.
= aCi j exp(=F\т2) dr + С2, 2/ = 6С2 A exp(=Fr2) dr + С3, где А = =Fa~ V.
456
Уравнения третьего порядка
?\ HI Л / ' \3/ // \2
9. уххх = А(ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
/V1/2exp(=Rr2)dr+C2, y = bCi Г ехр(=р
> В решениях уравнений 20-25 приняты обозначения:
Е = Г ехр(=рг2) dr + С2, F = 2т? ± ехр(=рг2).
где A =
20. уххх = Ау ух(ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCi /Vexp(=Rr2)?r1/2dr
»л т л I II
21. уххх = Ауухухх.
Решение в параметрическом виде:
x = Ci f Е~1/2с1т
22. 2/жжж = Ау (ух) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCi /^/2ехр(т|г2
23. ?/жжж = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = Ci Г E-s/2Fexp(TT2)dT
^ Л HI A / I \ ~3 //
24. 2/жжж = Ау(ух) ухх.
Решение в параметрическом виде:
у = ЬС\ ехр(=рг2), где А = ±\а
где А =
где А =
[
/%?. /// у» —2/ / \3/ // Ч2
25. уххх = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
/
у = ЪЕ'1 ехр(=рг2), где А =
= bC2F, где А =
3, у = ЬС2Е, где А = ±a4b~2.
> 5 решениях уравнений 26-33 приняты обозначения:
т + 1
Е= л/г(г + 1)-1п(л/^+лЛгТТ) + С2, R=J-—^, F = RE-r.
»Г HI А / I \ ~3
26. 2/жжж = А(ух) .
Решение в параметрическом виде:
3, y = bCfE, где А = -\а~%А.
,- /// л —2 / / // \3
27. уххх = Ау ух(ухх) .
Решение в параметрическом виде:
[
где A = 2a4b~\
3.2. Уравнения вида у'"хх = Ахау@(у'хУ (уххN 457
/%о /// л I / " \3/2
28. ушшш = Ауух(ухх) .
Решение в параметрическом виде:
х = аС! I\~2RrxE~xl2 dr + Сз, y = bC2R, где А = -8а(-Ъу5/2.
^л '" л/ '\3/ // \3/2
29. ушшш = А(у) (у)
Решение в параметрическом виде:
х = аС[ [ R~s/2 dr + С3, y = bCfE, где А = 4а3(-6)/2.
30. y^^AtT1^)-3.
Решение в параметрическом виде:
ж = аС15 f T-1/2R-1E-s/2dr + C3, y = bCfE~\ где А = -^a~V
31. 2/жжж = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
х = аСГ1 [ R^E'^Fdr + Cs, у = ЬС2тЕ~\ где А = 2а2Ъ.
/,/% /// л —1/2/ / \— 3 //
32. ушшш = Ау ' (ух) ухх.
Решение в параметрическом виде:
+ Cs, y = bC?F2, где А = а~%7/2.
/>/> /// л —2/ // \2
33. уххх = Ау (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
-1 f -2 -1 -1
х = аСх т R dr + Сз, 2/ = frCir ?7, где А = 2ab.
34. »^и = Ay-1/2yUy'Lf.
Решение в параметрическом виде:
х = ±аС[ f т(т2 - 1)(т3 - Зт + С2У1/2 dr + С3, 2/ = ^(г2 - IJ,
где .Л = -F -I дд Q Ь •
35. 2/„4ш = А^Уш.
Решение в параметрическом виде:
¦ — Зт + С 2) с/т + Сз, 2/ = frCi т, где А = За 6
36. j/i'L = ^(i/LK(!/LK.
Решение в параметрическом виде:
in fff л —1/2/ / \—4/ // \3
37. ушшш = Ат/ ' (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
ж = аС\ 1{т2 - 1)(т3 - Зт + С2)~3/2(т4 - 6т2 + 4С2т - 3) dr + С3,
где A = TJ§-a~1b5/2.
458 Уравнения третьего порядка
"»о /// л / / ч —7/3
38. уххх = Ау(ух) .
Решение в параметрическом виде:
х = аС[ Г (г3 - Зг + С2I/4 dr + С3, 2/ = ±6Ci16(r4 - 6г2 + 4С2г - 3),
где A = ±72a~VD6/aI/3.
~л /// л —5/3/ / \3/ // \3
39. уххх = Ау I (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
х = ±aCl J(t2 - 1)(т3 - Зг + С2I/2[±(т4 - 6т2 + 4С2т - 3)]/2 dr + С3,
у = ЬС19(т3-Зт + С2K/2,
где А = т8-9-5а66-10/3.
40. ^L = a?/(?/LO/5.
Решение в параметрическом виде:
ж = аС^1 J (г3 - Зт + С2)~3/2 dr + Сз, 2/ = ±6Ci(r2 - 1)(г3 - Зг + С2)~1/2,
гдеА ±
41. y^L = Ay-
Решение в параметрическом виде:
= ±aCf1J [±(г2 - I)f1/2(r3 - Зг + С2M/4(г4 - 6г2 + 4С2г - 3) dT + С3,
2
- 6г2 + 4С2г - ЗJ,
где A = -15-2-10aV5
42. yL'ie = Ay-7/8(yL)-7/8.
Решение в параметрическом виде:
х = аСГ Г (г3 - Зг + С2I/4[±(г4 - 6г2 + 4С2г - 3)]/2 dr + С3,
у = ±ЪС16(т4 - 6г2 + 4С2г - З),
где A = ±72a~5b17/s(a/4y1/s.
л~ m а —Ы1/ II \Ю/7
43. уххх = Ay i (ухх)
Решение в параметрическом виде:
х =
г3 Зг + С)~3/2(г4 6г2
Г [ (г3 - Зг + С2)~3/2(г4 - 6г2 + 4С2г - 3)/3 dr + С3,
у = ЪС!(т3 - Зт + С2)~\т4 - 6г2 + 4С2г - 3J/3,
л 28 _i,5/2/2a2 \3/7
где А = --а Ь' (—) .
> В решениях уравнений 44-47 принято обозначение:
Р6(т) = ±(г6 - 15г4 + 20С2г3 - 45г2 + 12С2г + 27 - 8С2).
^^ /// Л —5/3/ /ч—11/3/ // Ч3
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ J (г3 - Зг + С2I/2[±(г4 - 6г2 + 4С2г - 3)]/2P6(r) dT + С3,
у = ±bCi(TS - Зт + С2K/2(г4 - 6г2 + 4С2г - 3)~\
где A = =FtH
3.2. Уравнения вида у'?хх = Ахау$'(у'хУ'(y'^f 459
лг т а / I \—&/2/ II \7/5
45. уххх = Ау(ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
х = aCl1 [ (г3 - Зг + С2)~3/2(т4 - 6г2 + 4С2г - 3L/3 dr + С3,
л 405 -з^Л Ь Л1/2/ а2 Л2/*
где А= а Ь[±—
8 V 2а У V 126 У
Лг ш a —7/4/ / \3/ // \8/5
46. уххх = Ау ' (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
х = ±аСТ J (г3 - Зт + С2M/4(т4 - 6т2 + 4С2т - 3I/3[Рб(г)]~1/2 dr + С3,
2, = 6Ci64(t4 - 6г2 + 4С2г - 3L/3,
^^ '" л —1/2/ / \— 4/ // ч11/7
47. ушшш = Ау I (ух) (ухх)
Решение в параметрическом виде:
х = ±аС1ъ J (г3 - Зт + С2)~3/2(т4 - 6т2 + 4С2т - 3M/3Р6(т) dr + С3,
где A = T283Wf
V 36
-о /// /» / ' \ —7/3
48. 2/ = А(т/)
Решение в параметрическом виде:
ЪС!C±З + С), где А = ±^
л?\ in л —5/3 I / II \3
49. т/жжж = Ау ' ух(ухх) .
Решение в параметрическом виде:
х = ad J т(т2 ± 1I/2(т3 ± Зг + С2)/2 dr + С3,
где А = Т^а46-4/3.
-п /// л I / II \7/5
50. ?/жжж = Ауух(ухх)
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ J (г2 ± 1)~3/2(т3 ± Зг + С2)/2 dr + C3,
51. у^в
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ [ т~1/2(т2 ± 1M/4 dr + С3, 2/ = 6d8(r3 ± Зг + С2),
. 4 2,_з/2а2\3/5
где А = =F—а Ь
27 V 36 У
460 Уравнения третьего порядка
м /// л —4/3/ / ч—7/3
52. уххх = Ay / (ух) .
Решение в параметрическом виде:
х = аС[ Г (г2 ± 1I/4(т3 ± Зт + С2)/2 с/г + С3, 2/ = ^(г3 ± Зт + С2)~\
где A = ±^a
53. ^L = ^-5/3(^)-5/3(i/LK.
Решение в параметрическом виде:
х = aCi1 J(±t2 + С2т - 1)(т2 ± 1I/2(т3 ± Зг + С2)/2 dr + С3,
у = bCi(r2 ± 1K/2(г3 ± Зг + Сг),
где А = Т^а2Ь2/3(ЗЬ/аJ/3.
54. y':L = Ay{y'»)-7(y'LO/6.
Решение в параметрическом виде:
х = аС[ J (t2±1)~3/2(t3±3t + C2M/6 ^г + Сз, у =
где А = ±5а-8Ъ6Bа2/ЪJ/5.
-- /// л —4/ / чЗ/ // ч8/5
55. ушшш = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
х = аС^1 J (г2 ± 1M/4(±г2 + С2т - 1)/2(г3 ± Зг + C2)~2/S dr + С3,
где А = т52(/)
гг in л —5/2/ // \7/4
56. т/жжж = Ay 7 (ушш) •
Решение в параметрическом виде:
f
57. y':L = Ау-^{у'х)-\у':х)ъ/\
Решение в параметрическом виде:
х = аСГ [(±т2 + С2т - 1)(т2 ± 1)~3/2(т3 ± Зт + С2J/3 dr + С3,
у = ЪС18(±т2 + С2т - lJ(r2 ± 1),
где А = -Ма%»
> В решениях уравнений 58-69 приняты обозначения:
51 = Cie2kT + C2e~kT sin(W), и
52 = 2kCie2kT + кС2е~кт [л/3 cos(W) - sin(cjr)],
53 = 4/c2Cie2fcr - 2A;2C2e"fcr[A/3cos(cjr) + sin(a;r)],
54 = Si - 2SiS3, S5 = 5S2S4 + 32A;3S'13.
58. y'^ = Ay-^{y'x)\y'L)^
Решение в параметрическом виде:
х = аС? f S-1/2S2S3dT + C3, y = bCfSl где А =-a6b~9/2k3.
3.2. Уравнения вида Ух"хх = АхауР (у'хУ (у'^хN 461
59. y^L = Ay-^\y'x)-\y'Lf.
Решение в параметрическом виде:
x = aCf J S;s/2S2S4dT + C3, y = bC21S^1Sl где А = 16а~3Ь9/2к3.
гс\ т а / I \ —9/5
60. уххх = Ау(ух) .
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ f Ss/4 dr + С3, у = bCiSt, где А = -Ша-4Ък6A6Ъкг/аL/5.
гл т а —7/5/ /\3/ // Ч3
61. уххх = Ау I (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCf f Ss1/2S2S-1/2dT + C3, y = bClS\/2, где А = \ • 5а
г*\ т а ( II \9/7
62. уххх = Ау(ухх)
Решение в параметрическом виде:
Г3/2йг + С3, y = bC1S~1/2S2, где А = ^а"^ (
63. y':L = Aj/-1/2(^K(t,L)
Решение в параметрическом виде:
x = aC115fs91/4S;1/2S4dr+C3, y = bCl6Sl, где А =
64. „-,. = Aj/-13/5(^)-9/5.
Решение в параметрическом виде:
x = aCl Г S*/4S43/2dT+C3, y = bC^Si\ где А =-160a"V3/5A;6A66A;3/aL/5-
ге. т а —7/5/ /ч—21/5/ // Ч3
Решение в параметрическом виде:
/2S^2S5dT+C3, y = W1S61/2S;1, где А= ^-а-1
/:/: '" л / I \~9/4/ // \9/7
Решение в параметрическом виде:
67. „». =
Решение в параметрическом виде:
^39 [ с9/4 сЗ/5 q-1/2 , ^
ro ill a —111/ II \18/13
68. yxxx = Ay i (yxx)
Решение в параметрическом виде:
где J4 = -
462 Уравнения третьего порядка
/:п '" Л —I/2/ ' \—6/ " \21/13
69. уххх = Ау I (ух) (ухх)
Решение в параметрическом виде:
х = aCt11 S;3/2S94/5S5 dr + Сз, У = bC!°S^Sl
где А = 208 • 55а~7bls/2ksBa2/b)8/ls.
> 5 решениях уравнений 70-81 приняты обозначения:
Тх = ch(r + C2) cos г, Т2 = th(r + С2) + tg г, Т3 = th(r + С2) - tg г, Т4 = ЗТ2Т3 - 4,
6>3 = shr-cos(r + C2), 6>4 = 3(926>з - 26>?
тп '" /» 2/ / х-7/3
70. ушшш = At/ (yx)
1°. Решение в параметрическом виде:
x = aCi [Ti/4dr + C3, y = bCtT1T2, где А = -3a-5bBb/aI/3.
2°. Решение в параметрическом виде:
x = aCi [ e{/4dT + C3, y = bCte2, где А = ^а~5Ь(Ь/аI/3.
71. у^в = Ау-в/8(^)в(у^)8.
1°. Решение в параметрическом виде:
х = аС2 [TxT-^Tsdr + Cs, y = brfT*/2, где А = 64 • 3-7aV16/3.
2°. Решение в параметрическом виде:
х = аС2 Г e{/2e-1/2e3dT + C3, y = bCfel/2, где А = -256-3а866/
т^ /// л / / \—1/3/ // ч7/5
72. ушшш = Ау(ух) (ухх) .
1°. Решение в параметрическом виде:
2°. Решение в параметрическом виде:
у = «7^-^, где ^=
«-» /// >» —2/3/ /\3/ // ч8/5
73. 2/жжж = Ау ' (ух) (ухх) .
1°. Решение в параметрическом виде:
^11 /"^11/4^2^-1/2 , .^ 12лрЗлрЗ л
ж = аС;1 / Тх Т2Т3 dr+Сз, У = ЬС1 Т1Т2, где А=
2°. Решение в параметрическом виде:
J' 0203 dr + Сз, y = b(Jib2, где А = -—а
1°. Решение в параметрическом виде:
2°. Решение в параметрическом виде:
x = aCl fe-3/2dr + C3, у = ЬС2е±\ где А =-a~2b7/2(-2/b)
1/2
3.2. Уравнения вида Ух"хх = АхауР (у'хУ (у'^хN 463
пс '" л —1/2/ / \— 4/ // ч5/2
75. уххх = Ay i (ух) (ухх) .
1°. Решение в параметрическом виде:
х = аС\ ITl^TlT^dr + С3, 2/ = ЬС\Т{Т1, где А = -32а~V/2(&/2)~1/2.
2°. Решение в параметрическом виде:
х = аС! [в;3/26226зAт + Сз, у = ЬС2в^в1 где А = 16а-2Ъ7/2(-Ъ/2у1/2.
nr I" A —10/3/ / \—7/3
1°. Решение в параметрическом виде:
х = аС! I Т-5/4Т~3/2 йт + Сз, 2/ = ЪС\Т^\ где А = -За-5Ь20/3B/«I/3.
2°. Решение в параметрическом виде:
/2dT + Cs, y = bCie;\ где А = |а-16/3Ь20/3.
„„ /// д _5/3/ /ч—17/3/ // Ч3
1°. Решение в параметрическом виде:
+ С5, у = ЬС1Т^Т^1, где Л =
а
16
2°. Решение в параметрическом виде:
х = аС? [oW^dT + Cs, у = ЪС1631/2е;1, где Л = - Аа
J 4
-о /// л ( i \ —13/7/ // \7/5
78. ушшш = Ау(ух) (ухх) .
1°. Решение в параметрическом виде:
x = aGi / ТУ i2 c/r + Сз, у = ЬС111/ 1а, где А = — — а — I —— ]
2°. Решение в параметрическом виде:
f:X у = ЬС!в1/2в,, где Л = {«
79. t/L'L = Ау0/7^K^)875.
1°. Решение в параметрическом виде:
•ч19 /"^19/12^4/3^-1/2 , ^ 7^28^7/3^7/3
, 45 з 2,-ii/7/ 2a2 \3/5
где А = — • 7 a b '
16 V 76 У
2°. Решение в параметрическом виде:
х = аСГ I ^Ч4/Ч~1/2 dr + Сз, у = ЬС?8в27/3,
so. „-и = а»-в/3(»;',.I3/10.
1°. Решение в параметрическом виде:
x = aC711fT-11/6T-1/3dT+C3, у = ЪС1т-1/3Т2/3, где A=^-a-1b5/2Ba2/bK/10.
2°. Решение в параметрическом виде:
y = bCte^el'3, где А= ^а-1Ь6/2(-2в2/ЬK/1°.
464 Уравнения третьего порядка
81. yZ, = Ay-^\y'x)-\y'L)
1°. Решение в параметрическом виде:
у = ЪС\&т!т1 где А= -540а-5Ь9/2Bа2/ЪO/ю.
2°. Решение в параметрическом виде:
= ЬС1ав^в1 где А= -270a-%9/2(-2a2/
> В решениях уравнений 82—84 приняты обозначения:
Ьг = Cirk + C2r~k, Ni = A + k)Cirk + A - к)С2т~к,
L2 = Ci lnr + C2, 7V2 = Ci lnr + Ci + C2,
L3 = C\ sin(Hnr) + C2 cos(Hnr), 7V3 = (C\ — kC2) sin(?;lnr) + (C2 + &Ci) cos(Hnr).
82. у<xxx = Ay~ (yx) .
Решение в параметрическом виде:
. (I при А > -1/8,
х = It1'2 L^'2 dT + Сз, у = т2, где А; = д/|1 + 8А|, ?тг = < 2 при А = —1/8,
J I 3 при А < -1/8.
Решение в параметрическом виде:
. (I при А < 1,
х = r~1Nm dr + Сз, 2/ = тЬт, где А; = д/|А — 1|, ?тг = < 2 при А = 1,
J { 3 при А > 1.
84. Уххх ^~ Ау \Ухх)
Решение в параметрическом виде:
х = =f4 / r2L\ dr + Сз, 2/ = r2^L ГДе ^ = V 1 + 8А~2.
> 5 решениях уравнений 85-100 приняты обозначения:
,? _ ( CiJu(t) + C2Yu(t) для верхних знаков,
~ \C\Iv{t) -\- С2Ки(т) для нижних знаков,
ТТ Г7^ i 'У ТТ Т Т^ .Л— 2^2 тт \^ 2 2 г/2> ОГГ ТТ
U\ = tZt + i/Z, 172 = ^1^^^, Us = ^"з"^ ^ ~" *UiU2,
где Jv(t) и Yu(r)—функции Бесселя, Iv(t) и Ки(т)—модифицированные функции Бесселя.
85. уххх = АуР(у'хK, /3 ф -2.
Решение в параметрическом виде:
^Z-V'dr + Ca, у = Ьт2\ где v = -i—, A = T-l-b"*3-2.
86. yZL
Решение в параметрическом виде:
x = aCi [r^Uidr + Cs, y = bCiTuZ, где i/= _?_, А = ±J-
J 7 + 3 ^
87. j/4'L = Ау-1'*^)', 6^
Решение в параметрическом виде:
х = ad J r^^Zdr + Сз, У = bC2T2uZ2,
1-5 Л 4 -з,з/2 / а2 \6
где v = , А = =F а Ь ' =F— .
3 - 25 3 - 25 V^ 26 /
3.2. Уравнения вида у'?хх = Ахау'3(у'х)'г(у^хM 465
88.
Решение в параметрическом виде:
x = ad [ Zdr + Сг, у = ЪС1т~1/3 (tZ2 - Ui f Zdr-CsUi),
где v=\, А=±а
89. yZ, = Ay-V\y'L)\
Решение в параметрическом виде:
x = aCi JrZdr + Cz, y = bC2T4/3Z2, где v=\, A = -|aV3/2.
t\t\ fff л —1/2/ / \—3/ // \3
90. yxxx = Ay ' (yx) (yxx) .
Решение в параметрическом виде:
x = Ci Ir-2Z-2U1U2dT^C3, y = br-4/sZ-2Ui, где v=\, A = ±fbs/2
91. yZ* = Ay{y'x)-\
Решение в параметрическом виде:
x = aCi Г Zdr + Сз, у = ЬС2т~2/3и2, где ъ>=\, А = -Щ-а~%2>.
f\^ fff л —2/ / \3/ // \3
92. уххх = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
/2dT + C3, y = bC2T2/sZ2, где v=\, A=^a%~\
93. yf:L
Решение в параметрическом виде:
x = Ci f т'1 Z~2 dr + Сз, y = br~2/3Z-1Uu где v=\, A = 26(
94. у^в = Ау-1/а(^)8(^в)8/а.
Решение в параметрическом виде:
x = aCi f Z5/2U~1/2U2 dr + C3, y =
где v=\, A = ТЦ-а3Ь-5/2(т6/ЬI/2.
95. у'^ = Ау-\у^у\
Решение в параметрическом виде:
x = aCi [rZU-3/2dT + C3, у = ЬСхт212>Щх, где v=\, A = -^-a~6b
t\r fff л —2/ / \—3/ // \3
96. yxxx = Ay (yx) (yxx) .
Решение в параметрическом виде:
x = Ci [ ZU-3/2U3dT + C3, у = ЬтА/3г2Щ\ где v=\, A = 18b~s.
t\n fff л ( f \—3/ ff \3/2
97. yxxx = Ay(yx) (yxx) .
Решение в параметрическом виде:
x = aC1J T-2Z~2U112 dr + Сз, У =
где v=\, А = -8а-3Ъ2(±6/ЪI/2.
30 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
466 Уравнения третьего порядка
98. yZL = Ay-2(y'n)\y'Lf/2-
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ / 1
где v = -|-, А = ±-^-а 6"
99. т/ = ^4.7/ (т/ )
Решение в параметрическом виде:
х = С\ I т Z dr + Сз, у = Ьт Z 'Uii где i/ ^ —, y4. = d=-g-6 Bb)
юо. ic = ^2/-1/2(j/;)(j/D3/2.
Решение в параметрическом виде:
> В решениях уравнений 101-138 приняты обозначения:
функция р = р(т) задается неявно с помощью эллиптического интеграла первого рода:
щ —Со f — \/-\-(А<п2> — 1Л
77pw верхнем знаке функция р совпадает с классической эллиптической функцией Вейерштрасса
р = p[j + Сг, 0, 1). 5 приведенных ниже решениях вместо г в качестве параметра можно
взять р и использовать явную зависимость г = т(р).
101. уххх = А(ух) .
Решение в параметрическом виде:
х = аС2 f p~1/2dT + C3, y = bCir, где А = V4
1П« /// л 2 / / // \3
102. ;?/жжж = Ау ух(ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCl [T-l/2fdr + C3, y = bCtp, где А =
юз. y':L = Ayy'x(y'LM/2.
Решение в параметрическом виде:
x = aCl [ T~l/2p2dT + C2n y = bCff, где А = -^а3
Л1\л fff л/ '\3/ // \1/2
104. уххх = А(ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCl [ r1/2dr + C3, у = ЬС2т, где А = ±6аЬ~
105. уххх = Ау (ух) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCi1 [r-s/2p-1/2dT + C3, у = ЬС2т~\ где А = ±3a2b.
л!\г III л 2 / / \—9/ // \3
106. уххх = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCl [T-s/2(Tf-p)dT + C3, y = bCir~1p, где А =
3.2. Уравнения вида Ух"хх = АхауР(у'хУ (у'^хN 467
107. уххх = Ау(ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
-p), где А = т\аЪ{±2/аI/2.
где А = =Ь^
где А = ±5aV (
18b
лпа т л —5/4/ /\3/ // \1/2
108. уххх = Ау ' (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
I'rs(rf -
109. yZx = Ay-^{y'L)G/\
Решение в параметрическом виде:
11ft /// A —1/2/ / \—1/3/ // ч9/5
110. yxxx = Ay ' (yx) (yxx) .
Решение в параметрическом виде:
л
где А =
тб/2р1/2(т/ -p)dr + Сз, У = bCf(rf - рJ,
V3/ а2 \4/5
()
ш. v':l = Ау
Решение в параметрическом виде:
= ЪС±4т7, где А = ±3 ¦ 7aV
... /// л 2/ / ч—23/7/ // Ч3
112. уххх = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
= аСГ5 J r-7/2(rsf + Зт2р Tl)dr + Сз, у = ЪС1т{т2р т 1),
где A =
113. y'Z* =
Решение в параметрическом виде:
x = aCiJ т-\т2р т IJ йт + С3, у = ЬС1т~6(тг! + Зт2р т 1),
где А = ±|-(±6Ь/аK/4(Т66)-1/2.
114. v':l = д»-1В/8(»;)8(»^I/а.
Решение в параметрическом виде:
х = аС\ J r-6(rsf + Зт2р т I)"'7' dr + С3, 2/ = ^fr"8,
где А = ±^
115 i/'" - Дту-2/3^" J2/15
11Э» Уххх — -^-У \Ухх)
Решение в параметрическом виде:
= aClj т8(т2р т IJ dr + Сз, у = 6C7ir3(r2p T 1K,
где Л =
30*
468 Уравнения третьего порядка
116. yZ, = Ay-^(y'x)-1/3(y'Lf
Решение в параметрическом виде:
т-29/2(т3/+Зт2рТ1)(т2р ^ iI/2 dT+c3, 2/ = ЬС18т-12(г3/ + Зт2р т IJ,
а ) V 186
117. yZ, = Ау-20'7^M.
Решение в параметрическом виде:
x = aCf J т-\т2рт1Т1/2 dr + Cz, у = ЪС1т~7, где А = ±3 • 7~4aV
11О /// д 2/ / ч—33/7/ // Ч3
И8. уххх = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
х = аС! I T-7/2(r3f - 4т2р ± 6) dr + Сз, У = ЪС{2т-\т2р т I),
где А = тМ-а-12'7Ьъ'7.
119 -и" - Aviv' )~27/13(v" f/2
LLy- Уххх — -^УУУх) \Ухх)
Решение в параметрическом виде:
х = аС^11 J т~13/2(т2р т IJ dr + Сз, у = ЪС!т(т3/ - Ат2р ± 6),
где Л = -^|F6
120. yZ, = Ay{y»)\yL)
Решение в параметрическом виде:
х = аСТ j г23/2(г3/ - 4т2р ± 6)/2 dr + Сг, у = ЬС26г13,
где А = ±1|гаЬ-6/13(±39Ь)-1''2.
121. „-„ = Ay-2<3(y'Lr/2°.
Решение в параметрическом виде:
х = aCl9 I т-2\т2р т I)' dr + С3, у = ЪС18т-18(т2р Т IK,
122. yZx = Ay-^2(y'x)-1/S(y'L
Решение в параметрическом виде:
l1 J rlo(rsf - 4т2р ± 6)(т2р т I)'7' dr + С3, У = bC\r1{T2if - 4т2р ± бJ,
х = l J (f р )(
a2 \13/20
)
где А = Т20а b [ ) [±
123. yZx
Решение в параметрическом виде:
J p-2dr + C^ y = bClp-2(f±2Tp2), где А = -192a" V.
3.2. Уравнения вида Ух"хх = Ахау^{у'хУ\у'^хM 469
л»л in л — 5/2 / / // \3
124. уххх = Ау ' ух(ухх) .
Решение в параметрическом виде:
~1/2dT + C3, y = bClp-\ где А = ±|-а4Ь/2.
^^с '" л I / " \8/5
125. уххх = Ауух(ухх)
Решение в параметрическом виде:
x = aCl3 J'p3(f±2TP2y1/2dT + Cs, y = bC?f, где А = Т|б (^
126. v':l = А(у'а)а(У':„)т/*.
Решение в параметрическом виде:
х = aC\7 I p-3/~1/2 Лт + С3, у = bCl4p-2(f ± 2гр2),
. 5 2,2Уь
где А = ^-аЪ
127. yZ, = Ау-^(у'„)-\
Решение в параметрическом виде:
"^ где А =
i~o ill л —5/2/ // \3
128. уххх = Ау ' (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
= aCi1 J(f± 2тр2Г3/2(т/ + 2р) йт + С3, у =
где А = -^-a^b4'.
^/%л /// л / I \3/ // \8/5
129. уххх = Ау(ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
~1/2(f ± 2тр2M/4 йт + Сз, у = ЬС1в(т/ + 2р),
. 10 2,-4/2а2 \3/6
где А = -a b (—) .
Решение в параметрическом виде:
х = aCl11 U ± 2тр2Г3/2(т/ + 2р)/2 dr + С3, У = bC7lP(f ± 2гр2)/2,
где A = —10a2b~4l
V 36
Решение в параметрическом виде:
х = aCf I (/ ± 2тр2I/4(т/ + 2р) dr + Сз, у = bCi2{rf + 2рJ,
где Л = -648а-567/2F6/аI/3.
132 «'" - Av~5/3(v" K
1JA* Уххх — -"-У \Ухх) •
Решение в параметрическом виде:
x = aCi [p(f±2rp2I/2dT + C3, y = bC!(f±2rp2K/2, гдеА = ±^га3
470 Уравнения третьего порядка
из. v':l = Ау-*'*(У'~г7/я-
Решение в параметрическом виде:
х = аСТ I (/ ± 2гр2I/4(г/ + 2р) йт + С3, у = bC32(rf + 2р)
где А = -64Sa-5b2S/6Fb/aI/s.
134. xi — ^\.xj (xi ) (xi )
Решение в параметрическом виде:
х = аСГ1 J(r2p т 1)(/ ± 2тр2I/2(т/ + 2р) dr + С3,
y = bCl(f ±2rp2f2(rf + 2р)~2,
где А=-^а3Ь-1/3FЪ/аJ/3.
135. v'?m = Ay(y'9>I1(y'<L)r'*.
Решение в параметрическом виде:
х = аС!1 J(f±2TP2y3/2(Tf + 2p)ls/6dT + Cs, у = ЪС27{т2рт 1)(/ :
где А = -20а10Ъ-12Bа2/ЪJ/5.
л~ш in л 5/ / чЗ/ // ч8/5
1«5о. 7/ ^ ^4.7/ G/ ) G/ )
Решение в параметрическом виде:
х = aCl3 I (т2р т 1)/2(/ ± 2гр2M/4(г/ + 2р)-4/3 dr + C3, у = bC\\rf + 2р)-1/3,
где А = 20а2Ъ~8Bа2/ЪK/5.
л~ьп in а —1/2/ / \— 4/ // ч4/5
137. 7/жжж = Ат/ ' (ух) (ухх)
Решение в параметрическом виде:
х = aCt7 f(r2p т 1)(/ ± 2гр2)-3/2(г/ + 2рL/3 dr + Сз,
2/ = 6C7154(r2pTlJ(/±2rp2),
где А=-320а-7Ьп/2(^1L/5.
V 46 /
^^о /" л —5/2/ // \И/5
138. уххх = Ay / (ухх)
Решение в параметрическом виде:
р ± 2гр2)/2(г/ + 2рI/3 dr+Сз, y = bCl4(f ± 2rp2y\rf + 2рL/3,
где А=— abs/2( — )
4 \ 46 /
> 5 решениях уравнений 139, 140 приняты обозначения:
—-—тк+1 + —rfc + С2 при А; / О, А; / -1;
//с + 1 /с
т + 1п|г| + С2 при А; = 0;
х
In |r| - — + С2 при А; = -1.
139. уххх = Ау15(ух)~г(уххJ, /3 фО.
Решение в параметрическом виде:
г 1-/3
х = Ci т Р ехр(—-к-U) dr + Сз, у = Ът1' , где к = 1/C, А = —2Ь~^.
3.2. Уравнения вида у'?хх = Ахау'3(у'х)'г(у^хM 471
140. y':L = Ay-x(y'^y'L, 1ф1.
Решение в параметрическом виде:
x = aCi [тТ^г~1еис1т + Сз, У = еи, где к = —?—, А = a7~V~7.
J 7-1
> В решениях уравнений 141-170 приняты обозначения:
R= >/±Dr3-l), Ii=2tItR, h =t~1(RI1 - 1),
/з = 4r/2 T /|, ^4 = /2/3 - 8/?, /5 = 2Я/ - r2,
г<3е / = / \-C2 —неполный эллиптический интеграл второго рода в форме Вейерштрасса.
J R
л лл fff л / ' \ —7
141. уххх = А(ух) .
Решение в параметрическом виде:
/2Я^г + Сз, у = ЬС!т~11и где А = 108
. Уххх = Ау ух(ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCi1 [ T-3/2I-1/2dr + Cs, y = bCtr~1, где А = ±24a4b.
143. у'?* = Ауу№*O/*.
Решение в параметрическом виде:
x = aCl4rb'2i;1'2R-1dr + C,, y = bC?R, где А = ^Ъ~2 Ы^г
J о V ои
ллл fff л/ '\3/ // \5/4
144. ?/жжж = А(у) B/)
Решение в параметрическом виде:
r-2R-*/2dr + C^ y = bCl°r-1Iu где А = -4а2Ъ~3 (т
145. у"'хх = Ау(у'х)~7.
Решение в параметрическом виде:
/2Я^г + Сз, у = ЪС10т1Г1, где А = тЗ
. 2/жжж = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCi Ir-1/2I~s/2I2R~1dr + C3, y = bCtl^\ где А = ±24aV\
147. Ух"хх =
Решение в параметрическом виде:
x = aCl f IiR^dr + Cs, у = ЬС212, где А = -4a6 (±—
1/)О /// л —1/2/ /\3/ // \5/4
148. ?/жжж = Ат/ ' (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
где A = i
472 Уравнения третьего порядка
149. y':L = Ay-^{y'x)-b/\y'L)\
Решение в параметрическом виде:
= аС^1 [ Tl'^hBr1 dr + С3, у = ЬС?/|,
где A = Tira2b-1
1fft /// .. —1/2/ /ч—4/3/ // Ч3
150. ?/жжж = Ау I (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCi JI'^hhR'1 dr + Сз, y = bCl°ir3lh где А = =F#aV1/2(±3b/aI/3
1r1 /// ,. —1/2/ /\3/ // \8/7
151. ?/жжж = At/ 7 (т/ж) (ушш) .
Решение в параметрическом виде:
^ г-/% /// А / It \13/7
152. ?/жжж = Ау(ухх)
Решение в параметрическом виде:
где А = T72aV f
V 66
где А = ^
2
153. y'Z* = Ay^)-13.
Решение в параметрическом виде:
•ч13 [ тЗ/4р-1 у . п КП16 Т A -LQ О25 -16^13
х = aCi / У1/ Я аг+ Сз, у = bCi Уз, где Л = ±3 • 2 а о .
где А =
л=л fff л —7/ г \3/ // \3
154. уххх = Ау (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
1 f 1-
л ее f Л 3 / / \ —13
155. уххх = Ау (ух)
Решение в параметрическом виде:
x = aC{1 Jl^I^R-'dr + Cs, у = ЪС\6Ц\ где А = ±3 ¦ 22ъа~1%1\
156. у'?а = Ау~7{y'J7{y'L?¦
Решение в параметрическом виде:
x = ad J 1-1/21-3/21411-ит + Сз, y = bCUl/2Is\ гДе А = =Fl92a1(V2.
1Г- /// ,. _7/6/ // \2/3
157. ушшш = Ау I (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
у = ЪС1°1Г31!, где А =
158. y'Z, = Ay-^\y'^'\y'L)"b.
Решение в параметрическом виде:
х = аС! ГI~5/2Iz1I4R~1dT + C3, y = bCfl^sli, где А = 861/2Bа/3I/3.
3.2. Уравнения вида Ух"хх = Ахау? (у'хУ (у'^N 473
1ГЛ /// л —3/4/ / \3/ // \8/7
159. уххх = Ау ' (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
г = act1 J/;'4/,-1/4-д-1 * + с, у = ьс!'1;\
160. уххх = Ау(ух) (ухх)
Решение в параметрическом виде:
х = aCl9 I I^ltRT1 dr + Cs, y = bCfir3/2h,
где А = -а Ь (±-) {—) .
161. 7/жжж = А(?/ш) •
Решение в параметрическом виде:
х = aCi1 [ R'1 dr + С3, у = hCi jtRT1 dr + C2, где A =
162. у^в = Ау1/а^(^в)8.
Решение в параметрическом виде:
x = aCl ГтГ1/2ат + С3, y = bCfr2, где А = T24aV7/2.
163. 2/жжж = Ауух(ухх) .
Решение в параметрическом виде:
x = aCl I т2Гх12ВГх dr + C?,, y = bCfR, где А = -^aV5.
Решение в параметрическом виде:
x = aCi1 [TR-s/2dr + C3, y = bC2 frR~1dT + C2, где A = 9a~2b~
165. у'?. = Ау-7'*(у'ш)*.
Решение в параметрическом виде:
x = aCi fr^R^dr + Ca, у = ЬС2Г\ где А = =F6a~V/2.
166. ^L = ^1/2(^)(?/LK.
Решение в параметрическом виде:
Г1<1т + Сз1 у = ЪС%т2Г1, где А = V/2
167. у^в
Решение в параметрическом виде:
r^R^dr + Cs, y = bCl6h, где A = -
Ш1И л —7/5/ / \3/ // \—1
. 2/жжж = Ау ' (ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
= bCiI6/2, где А = f-o" V/5.
474
Уравнения третьего порядка
169.
Решение в параметрическом виде:
где А = l
2
186
лил 14 а —1/2/ /\1/3/ // \12/7
170. уххх = Ау ' {ух) ' (ухх)
Решение в параметрическом виде:
х = аС1ъ J
л 7 -1,1/2/ а Л1/3/ а2 \5/7
где А = — — а Ь' [—
4 V 36 У V 186 У
> В решениях уравнений 171, 172 приняты обозначения:
dr + Сз, у =
прик = -1.
•7 + 5
171. у'?а=Ау- — (у'ау.
Решение в параметрическом виде:
dr + Сз, у = bCff,
где fc=iG-i), А=\
л-~ т л —-у —2/ / \Т/ // \3
172. уххх = Ay ^ (ухO(ухх) •
Решение в параметрическом виде:
= C1rf1/\ где к = -7 - 2, А =-2
173. у^в = Ау^(у;Г(у^)8/а.
Решение в параметрическом виде:
где
U = ехр
Vdr
tVV2 + 4
A =
174. yxxx = j _
Решение в параметрическом виде:
, v =
при7/-1,
при 7 = -1>
/
7+4/3 + 5
-1.
dr + Сз,
2
где А = а7-1^^-7^^-
ического уравнения
7+2/3+3
В, С/ = ехрП ^), z = z(r) — решение алгебра-
алгебра7 + 2/3 + 3
3.2. Уравнения вида Ух"хх = Ахау? (у'хУ (у'^N 475
Решение в параметрическом виде:
х = aCt3 I Tk-xU^z~x dr + С3, у = bC2S-4k(kz - г)[/1//с:,
где к = , А = a~4bs ( ) В, U = ехр( / — ), z = ^(r) —решение
5 — 2 2 \ b / \J z /
трансцендентного уравнения
176. j/i'L = At,-1^)-1^!J.
Решение в параметрическом виде:
x = ±Ci Г eTz-1/2U~1/2 dr + С3, 2/ = ±ier,
где ^ = =|=Ат + е + Сг, с/ = exp I d=A / — ).
V J z J
177. xi ^ ^4.7/ (т/ ) xi
Решение в параметрическом виде:
где г = ±А + г + С, С/ р(т /
\ J z
3.2.5. Некоторые преобразования
Рассмотрим здесь некоторые преобразования уравнения
у'1'хх = АхауC(ухI(у'1х) .
1°. В частном случае 7 = ^ = 0 преобразование х = 1/t, у = w/t2 приводит уравнение
у"хх = Axayf3
к уравнению аналогичного вида с другими параметрами:
J" |/ = , ч приводит
2°. В частном случае а = 6 = 0 преобразование х = — / г /
[
уравнение
i/жжж — -п-У \Ух)
к уравнению аналогичного вида с другими параметрами:
^ттт — ^-^ \шт) •
3°. В частном случае /3 = 0 замена и(х) = у'х приводит уравнение
m л сх. / I \1 / II \&
уххх = Ах (ух) (ухх)
к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера
II л ос 7 ( I \^
ихх = Ах иу(их) ,
которое рассматривается в разд. 23 ж 2.5.
4°. В частном случае а = 0 замена v(y) = (y'xJ сводит уравнение
in \ E ( i \1 ( и \$
уххх = Ау^(ух) (ухх)
к обобщенному уравнению Эмдена — Фаулера
которое рассматривается в разд. 2.3 и 2.5.
476 Уравнения третьего порядка
3.3. Уравнения вида у'?.х = f(y)g(yrx)h(yr^x)
3.3.1. Уравнения, содержащие степенные функции
Частный случай уравнения 3.5.2.17 при f(w) = 1.
2. y':L = (Ауп + Вут)у'х.
Частный случай уравнения 3.5.2.1 при f(y) = Ay11 + Вут.
3. yZ, = (Ауп + Вут) [а(у'хK + Ъу'т].
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при /(г/) = Ь(Ауп + Вут), д(у) = а(Ауп + Вуш).
л '" —2 Г (т + 1) / / чЗ . л, /42m+ll /о -L 1
L v771 "Г л) J
Подстановка гу(г/) = (у'х) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.4:
5.
Подстановка w(y) = (y'x) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.35:
'^2^ 7
6. y':L =
Подстановка w(y) = (г/^) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.31:
'^ 2 4
7. yf:L = y-
Подстановка w(y) = (г/J.) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.64:
о fff —2 Г/ ' \3
Подстановка гу(г/) = (г/J.) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.6:
'' 2( 2)
w'y'y =
t\ fff —2 Г 3 / '
Подстановка гу(г/) = (г/J.) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.26:
yy
fff —2 Г 3 / ' \3 , a t t \— 7/3-1
=У [(У) +А(У) ' ]
Подстановка w(y) = (г/J.) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.10:
п.
Подстановка гу(г/) = (у'х) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.12:
шуу
12. у'"
Подстановка w(y) = (y'x) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.66:
3.3. Уравнения вида у'х"хх = f(y)g(y'x)h(y'^x) 477
13. y':L = y-2[-T2(y'*f 9/5
Подстановка w(y) = (ух) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.29:
Подстановка w(y) = (yfx) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.14:
<у =y4-Tw )
15. y':L=y-2[-^r(y'*f + A}-
Подстановка w(y) = (ух) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.8:
(-^w
16. y':L =
Подстановка w(y) = (y'x) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.33:
17. yZx=y-2[-^(yLK
Подстановка w(y) = (yfx) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.37:
is. y':L = y-2
Подстановка w(y) = (yx) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.60:
w'v'v = y~\2Av? few)
19. y':L =
Подстановка w(y) = (yx) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.62:
<s = y~\2Aw2 + ±w).
20. y':L = y
Подстановка w(y) = (ух) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.40:
w';v = y
21. y':L =
Подстановка w(y) = (y'xJ приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.39:
w'ly = B V + 2By3)w-7.
22. y':L
Подстановка w(y) = (у'хJ приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.16:
'; 2 \
23. yZL = (Ay-1 + Ву-2)(у'х)-3.
Подстановка w(y) = (y'x) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.28:
'; 122
Подстановка w(y) = (yxJ приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.48:
24.
<„ = B
25. y':L = (Ау~*/3 +
Подстановка w(y) = (yxJ приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.49:
478
Уравнения третьего порядка
26. yZ, = (Ay'*'3
Подстановка w(y)
у')
= (у'х) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.24:
27. yZ, = (Ау-2/3 + By-*'3)(yLrT/S.
Подстановка w(y) = (y'x) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.90:
28.
29.
/// / л —2/3\ / / \—7/3
Уххх — (-^ Н~ -^2/ )B/ж)
Подстановка ги(г/) = (у'х) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.89:
y"L = (Ay2 + В)(у'„уГ/3.
Подстановка w(y) = (y'x) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.47:
w'yy = BAy2 + 2B)w~5/s.
30. yZx = (Ay2 + Ву)(у'х)-7/3.
Подстановка w(y) = (yfx) приводит к уравнению второго порядка вида 2.4.2.46:
w'Jy = BAy2 + 2By)w-5/3.
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Ayn + Byk.
3.3.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
В табл. 28-30 представлены уравнения, решения которых приведены в этом разделе.
ТАБЛИЦА 28 ТАБЛИЦА 29
Разрешимые уравнения вида Разрешимые уравнения вида
Уххх =
6
любое
0
1
3
2
3
2
2
2
7
1
3
1
0
3
любое
G Ф -1)
-1
Уравнение
3.3.2.1
3.3.2.9
3.3.2.2
3.3.2.3
3.3.2.7
3.3.2.11
3.3.2.13
6
любое
Fф2)
1
1
3
2
3
2
2
3
Р
0
любое
(/^-1)
-1
1
2
1
0
1
Уравнение
3.3.2.4
3.3.2.12
3.3.2.14
3.3.2.5
3.3.2.8
3.3.2.6
3.3.2.10
> В решениях уравнений 1-6 приняты обозначения:
= 2r?-exp(r2), Я =
yZx = Aevy'a(y'L)\ *Ф1
Решение в параметрическом виде:
х = aCi f t^
12 dr + С3,
где к =
1 - (
¦2A-,
3.3. Уравнения вида у^хх = f{y)g{y'x)h{y'x'x)
479
2
3.
6.
ТАБЛИЦА 30
Другие разрешимые уравнения
Вид уравнения
y'"xx = Azyy'x*MWxLy'LM
Уххх=МУхУеЫУхх), 7^-1
У ххх = МУх)'1 ех*>(Ухх)
Уххх=АуCУхеМУхх), РФ-1
у'ххх = Ау-1у'хехр(ухх)
Уххх=ЛеУу'хеМ(у'хJ+Ухх]
Уравнение
3.3.2.20
3.3.2.15
3.3.2.16
3.3.2.17
3.3.2.18
3.3.2.19
W" — Aevv' v"
У'ххх — ^*е УхУхх-
Решение в параметрическом виде:
Решение в параметрическом виде:
x = CiJ Е'1 dr + Сз, у = г2 + 1п(л/2 А-1^-1).
4. yZx = Ау'аехр[(у'аJ]Ш*, &Ф*.
Решение в параметрическом виде:
• = aCi
у =
Ще к = ^—г, А = ±—*—гад-'6Ъ-
6-2
2-6
5. yZx =
Решение в параметрическом виде:
х = 4Ci J EF[t2 1
где
А = -у/2 а'
Решение в параметрическом виде:
= C1H.
> В решениях уравнений 7, 8 приняты обозначения:
'т + 1
], R =
7.
/// л ту/ / чЗ/ // \3/2
Решение в параметрическом виде:
x = aC1JR-1E-1F-1^dr
3, у =-\n(bC^sE), где А = 23/V&.
480 Уравнения третьего порядка
Решение в параметрическом виде:
где А = -4:а~1Ь~3/2.
> В решениях уравнений 9, 10 приняты обозначения:
У _ ( С\ Jo(t) + C2Yo(t) для верхних знаков,
\ Ciio 0") + С2Ко(т) для нижних знаков,
где Jo (г) и Уо(т) — функции Бесселя, 1о(т) и К0(т) —модифицированные функции Бесселя.
Решение в параметрическом виде:
х = 2Ci / r~1Z~1/2dr + C3, у = \п(^\А~1т2).
J
Решение в параметрическом виде:
Г , г / т2 м -!/2
x = Ci Z'T\\n(±— c^r + Сз, y = CiZ.
J I \ A /J
Решение в параметрическом виде:
/ тт \
(dr + Сз,
где А = \a1+1k, U = / — + Ci; / = /(г)—решение трансцендентного уравнения
Л/ - т Л
Решение в параметрическом виде:
где А = а~C~1к, U = / — + Ci; / = /(т) —решение трансцендентного уравнения
13. уххх = Аеу(ух) (ухх) .
Решение в параметрическом виде:
где
14. уххх = Ау ухехр[(ух) \ух
Решение в параметрическом виде:
dr
где W =
3.3. Уравнения вида у'^'хх = f(y)g(yfx)h(y^x)
481
> В решениях уравнений 15-19 приняты обозначения:
V = d- -1(ш + 1)(т + 1)е-г, М = d - 1(г + 2)е
Л Л
!С2 - [\n(Ci - -^—rn+1) dr при п ф -1,
У V п + 1 У
С2- /ln(Ci-Aln|r|)c/r ирм n = -l,
^ /V^M dr- \+C2.
15. 2/L'L = ^(^шO ехр(?/"ж), 7 ^ —1.
Решение в параметрическом виде:
-1 г 2т + 1 9 Г т
х = — e~TV~ 2m+2 dr + Cz, у = — / е"гУ" ^+i
где т= уG-1), Л = 2Л.
16. yZL = Aiy'^y1 ехр(^'ж).
Решение в параметрическом виде:
ж=— /exp(-r+Y^)^+C3, У=—
Л «/ Л
17. y':L = АуРу'х exp(t,L), /3 ф -1.
Решение в параметрическом виде:
С2,
, где ш = 0, А = 2Л.
где п = /3, А =
18.
Решение в параметрическом виде:
х= fw-1/2dT +
где п = -1, А = Л.
Решение в параметрическом виде:
х = —
2Л
20. iC = Ае*у'а
Решение в параметрическом виде:
У= —
2Л
где А = Л.
где
U
~ J ZT^'
2-5
r + ln|r|
—^r1-5 + C2 при 8 ф 2, 8 ф 1;
1 — 0
2 при 5 = 1;
С2 при 5 = 2.
3.3.3. Другие уравнения
1. 2/жжж = Аууx{ch[u(ух) ]} ушш.
Подстановка у'х = у/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.4.1:
и'^у = Ау[ск(ши)]-2и'у.
2.
Подстановка у'х = \/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.4.2:
<„ = Ay[sh(u;u)]-2U'y.
31 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
482 Уравнения третьего порядка
3. уххх = Ауух ch[u>(y'xJ] (уххK/2.
Подстановка у'х = у/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.4.3:
4. уххх -
Подстановка у'х = л/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7 А А:
'чЗ/2
5. yZx = Ach(uy) (y'xf(yxxK/2.
Подстановка у'х = \/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.4.5:
// _ А . \ / ' \3/2
6. уххх = Ash(uy) (ух) {ухх)
Подстановка у'х = л/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.4.6:
ч -™- л / \ / I \3/2
7. y':L = А
Подстановка у'х = у/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.4.7:
8. y':L = A
Подстановка у'х = y/u(y) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.4.8:
9. y':L (y)yUyL)
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Achn(ujy).
ю. y':L = a sh"(шу) yL{y'Lr.
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Ashn(ujy).
п. y':L. = Atbn(w)v'M*)m.
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Athn(ujy).
12. VZX = АсЛ.\Г{шу) У'ЛУ'^Г-
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Acthn(ujy).
13. y':L = Alnn(u>y)yUy'Lr-
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = А\пп(иоу).
14. уххх = Ayyx{cos[u;(yx) \\ ухх.
Подстановка у'х = у/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.5.1:
и'уу = Ay[cos(uju)]~2uy.
15. Ух"хх = Ayyfx{sin[u;(yxJ]}-2yf:x.
Подстановка ух = л/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.5.2:
и'уу = Ay[sm(uju)]~2uy.
16. yZx = A[cos(u;y)]-2(yxK(y':xf.
Подстановка у'х = \/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.5.3:
и'уу = \A[cos(uy)]~2u(u'yJ.
3.4. Нелинейные уравнения с произвольными параметрами 483
17. y':L = А[в
Подстановка ух = \/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.5.4:
18. 2/"L = Ayyx cos[w(^J] B/LK/2-
Подстановка y'x = \/u(y) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.5.5:
// / \/ / \3/2
иуу = ycos(u;u)(u)
9. 2/"L = Ayyxs\u[(jj{yx) ] (ухх)
Подстановка ух = л/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.5.6:
А • / w / \3/2
'2/2/
чЗ/2
20.
Подстановка у'х = у/и(у) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.5.7:
// А / \ / / \3/2
^уу = —=-cos(ujy)u(uy)
21. ^'L = Asin(u,y) (yLfiv'LK'2.
Подстановка ух = y/u(y) приводит к уравнению второго порядка вида 2.7.5.8:
// А . , . , , .3/2
и = sm(uy)u(u)
22. уххх = Acosn(u;y) y'ta(y^ta)rn.
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Acosn(ouy).
23. уххх = A sin (иу)ух(ухх) .
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Asinn(ujy).
24. y':L=Atgn(u:y)yUy'Lr-
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Atgn(ujy).
25. уххх = Actg (иу)ух(ухх) .
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = Actgn(o;|/).
26. ?/жжж = A(arcsin7/) ух(ухх) .
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = A(arcsin|/)n.
27. уххх = A(arctgy) yx(yxx) .
Частный случай уравнения 3.5.4.19 при f(y) = A(dLictgy)n.
3.4. Нелинейные уравнения с произвольными параметрами
3.4.1. Уравнения, содержащие степенные функции
Используя преобразование, указанное в 3.5.2.21, приводим это уравнение к линейному
неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами.
Решение в параметрическом виде F/0):
J Mr)
31*
где ^(r) = -^+C1e-fcT + C2efcT/2sin^i, к =
b 2
484 Уравнения третьего порядка
2. y':L = аху-5'2 + Ьх3у-7'2.
Преобразование х = 1/t, у = w/t2 приводит к уравнению вида 3.4.1.1: w'l'tt =
= _а^-5/2_^-7/2>
3. у'ххх = (у + ах2 + Ъх + c)n.
Замена z = у + аж2 + Ъх + с приводит к уравнению 4"ж = 2те, разрешимые случаи
которого указаны в разд. 3.2.2.
4. yZ* = (ах + Ь)п(сх + drn-2m-*ym.
тт г , ах + Ь у
Преобразование t, = , w = — приводит к более простому уравнению:
сх + d (ex + аJ
w'^t = A-sCwm, где А = ad-be (см. разд. 3.2.2, 3.2.3).
5. у'?. =
Частный случай уравнения 3.5.2.18 при /(?) = 1.
6. »;/:,. = ьа!ап-1(а!-о)-8»-п-
Частный случай уравнения 3.5.1.9 при /(?) = Ь^~п.
п III —п — 2 п I —п — 3 п-\-1
7. уххх = ах у ух- ах у ^ .
Частный случай уравнения 3.5.2.2 при /(?) = а^п.
о /// —2?г —4 тг / г» — In — 5 тг + 1
8. 2/жжж = аж У Ух - 2ах у ^ .
Частный случай уравнения 3.5.2.3 при /(?) = а^п.
9. J/4'L = Лу-Зу4 + ау~5/2 + Ьу/2.
Преобразование х = [^(г)]~ ^г? 2/ = [9?(г)]~1 приводит к линейному уравнению с
постоянными коэффициентами: (p"fTT — \ф'т + Ьср + а = 0.
Ю. iC = -ж?/; + ж!/ + ах1/2у-5/2.
Частный случай уравнения 3.5.2.20 при /(?) = а.
лл ill —2 / , —3 , —3/4 —5/4
11. Уххх = -х ух -\-х у + ах 'у ' .
Частный случай уравнения 3.5.2.19 при /(?) = а.
12. y':L=ayny'x+bym{y'x)\
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при /(г/) = a^/n,
13. yZ^by-iyLf+aiy',,)-6.
Частный случай уравнения 3.5.2.9 при /(г/) = &|/n-
m-\-5
14. »;';„ = (at,2 + by + c)-^(y'n)m.
Частный случай уравнения 3.5.2.17 при /(?) = ?m.
л г HI / I \п
15. уххх = ах(хух - у) .
Частный случай уравнения 3.5.2.13 при /(?) = а^п
Частный случай уравнения 3.5.2.14 при F(?) = a
17. уххх = ах (хух - 2у) .
Частный случай уравнения 3.5.2.16 при /(?) = a^
18. yZ* = ax2n-7y-n(xy'x - 2yf.
Частный случай уравнения 3.5.2.6 при /(?) = а^
3.4. Нелинейные уравнения с произвольными параметрами 485
19. у'ххх = ахп~5у~п(хух - уK.
Частный случай уравнения 3.5.2.5 при /(?) = а^~п.
20. уххх = ахпугп(хух - 2уI.
Преобразование t=—, z = —— приводит к уравнению zft"t = —a(—l)lt~n~2m~l~4:zrn(zft),
X X2
которое рассматривается в разд. 3.2.
21. ху'ххх + Зухх = ахпуп.
Замена w(x) = xy приводит к уравнению wxxx = awn, которое рассматривается в
разд. 3.2.2.
22. хуххх = -\ухх + ах-п-2у2пBхух - у).
Частный случай уравнения 3.5.3.13 при /(?) = а^2п.
/*/> /// 3 " i —тг —3 2тг/г» / \3
23. хуххх = -^ухх + ах у Bхух - у) .
Частный случай уравнения 3.5.3.16 при /(?) = at; n.
~Л III . // —тг —3/ / \^г
24. хуххх + ухх = ах (хух — у) .
Частный случай уравнения 3.5.3.15 при /(?) = а^п.
25. хуххх + A — а)ухх = Ьх2а(ху'х — у)п.
Частный случай уравнения 3.5.3.6 при /(?) = 6^п.
26. ж уххх ~\~ 6ж7/жж -|- 6т/ж ^ AЖ т/
Замена ги(ж) = ж2^/ приводит к уравнению wxxx = аг^п, которое рассматривается в
разд. 3.2.2.
27. ууххх + \уху1х = ах + Ь.
Преобразование х = x(t), у = (ж?) приводит к линейному неоднородному уравнению с
постоянными коэффициентами четвертого порядка: 2х""и = ах + Ь.
28. yyZ, + Ыу"* = Ах-5/3.
Преобразование ж = x(t), у = (ж^J приводит к уравнению вида 4.2.1.1: 2х""и = Аж~5^3.
Преобразование ж = ж(?), |/ = (ж^) приводит к линейному неоднородному уравнению с
постоянными коэффициентами четвертого порядка:
У fY* ^^~ I ) 1/ъ fy* I / /vyj /V» I /~* /у~* I Ш~\ГЫ~* I s~i
где знак «+» соответствует x't > 0, знак «—» соответствует x't < 0.
30. ууххх + ЗухУхх + ахпуух = Ъх™.
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при /(ж) = ахп, д(х) = Ьхш.
31. УУХХХ + Зухухх + а[уухх + (y'xf] = Ьхп.
Частный случай уравнения 3.5.3.20 при /(ж) = Ъхп.
Частный случай уравнения 3.5.3.33 при /(ж) = еаж, д(ж) = Ъхпеах.
33. щ/ж4ж + C^ + ажпу)у"х + ахп(у'х) = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.21 при /(ж) = ажп.
34. (т/ + а)у'ххх + Ъу'хухх + супу'х = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.25 при /(^/) = суп.
486 Уравнения третьего порядка
35. (у + ах + Ъ)у'ххх + 3(у'х + а)ухх = схп.
Частный случай уравнения 3.5.3.27 при /(ж) = схп.
36. x(yy':L + SyWD + a[VV'L + (yLJ] = Ьхп.
Частный случай уравнения 3.5.3.28 при /(ж) = Ъхп.
37. x2yyZ, + жCжу; + 2ay)y'L + 2ax(y'a!f + a(a - \)уу'х = Ьхп.
Частный случай уравнения 3.5.3.33 при /(ж) = ха, д(х) = Ъхп+а~2.
^о 2 III о ' " i г»/ / \3 тг 3
38. у уххх - Ъуухухх + 2(ух) = ах у
Частный случай уравнения 3.5.3.29 при /(ж) = ахп.
39. 7/ ушшш + Srnyyxyxx + га(га - 1)(?/ш) = ах у
Частный случай уравнения 3.5.3.30 при /(ж) = ахк, п = т + 1.
-Л ъ I Hi / " \2 л / ' \2 I 2 ¦ . ¦
40. 2ухуххх - (ухх) = \(ух) + ay + by + с.
Дифференцируя по ж, а затем сокращая на ^, приходим к линейному уравнению с
постоянными коэффициентами четвертого порядка: 2у"хХХ = 2А?/"Ж + 2ау + 6.
41. 22,^'L - З^,^J = ау*-Яп(у'а)п.
Частный случай уравнения 3.5.4.10 при /(^) = а^п.
42. 2^'L - 3(t,LJ = ахЯп-*у*-3п(У'т)п.
Частный случай уравнения 3.5.4.12 при /(^) = а^п.
л"* ел I т о/ " \2 тг —4 4 —2?г/ / \П
43. 2ухуххх - 3(ухх) = ах у (ух) .
Частный случай уравнения 3.5.4.11 при /(?) = а^п.
44. 2^^'L
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = ахп, д(у) = Ьуш.
45. 2^'L - 3(t,LJ = ay"(^L + Ьх-^Ш7'*.
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = ауп, д(у) = Ъут.
46. 2^'L - 3(t,LJ = аЖ"(^J + bxmy-1(y'1Bf/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при /(ж) = ахп, д{х) = Ъхш.
г»;»;':. - (i/D2 = аж"(у;J + ау2 + 26?, + с.
Частный случай уравнения 3.5.4.5 при /(ж) = — Лжп.
48. xy'^L
Частный случай уравнения 3.5.4.14 при f(y) = ауп, д(у) = Ьут.
49. уххх = ах (хух - у) (ухх) .
Частный случай уравнения 3.5.4.17 при /(?) = а^п.
50. ушшш = аж (хух - у) (ухх) .
Частный случай уравнения 3.5.4.16 при /(?) = a^n.
51. j/4'L = [ах-5 + Ьх\ху'х - у)п] {y'Lf.
Частный случай уравнения 3.5.4.15 при /(?) = Ъ^п.
52. »?„, = [«.(j,;)" + Ьу(У*Г + с(у'т)"] (y'Lf + s(y'x)\y'Lf-
Частный случай уравнения 3.5.4.18 при /(?) = аС, д(?) = Ь?,т, Л(?) = с?к, (р(?) =
3.4. Нелинейные уравнения с произвольными параметрами 487
^/> /// ,11 п / I \т / II \тг
53. хуххх + ухх = ах (хух - у) (ухх) .
Частный случай уравнения 3.5.5.5 при /(?) = а?т, д(?) = ?те.
= л fff л гь ( f \гп ( f \1 / II \к
54. уххх = Ах (ух) (хух - у) (ухх) .
Преобразование Лежандра х = wft, у = tw't — w (yfx = t) приводит к уравнению
w'Ht = — Atrnwl(w/t)n(w/t/tK~k, которое рассматривается в разд. 3.2.
55. yZ* = ах(ху'х - vnv'Lf + Ьх(ху'х - уГШ".
Частный случай уравнения 3.5.4.20 при /(?) = а^п, д(?) = Ъ^ш.
56. 2/2/жжж = ухухх +ау (ух) (ухх) [уухх - (ух) \.
Частный случай уравнения 3.5.5.7 при /(?) = а^п, р(^) = ?т.
57. {Уххх? = а(х2у'Ла - 2хух + 2у) + by'L + с.
Дифференцируя по х, получим УхххBУхххх ~ ах2 ~ Ь) = 0. Приравнивая второй
сомножитель нулю и интегрируя, находим решение
у = -^ах6 + -^ЪхА + Сзх3 + С2ж2 + Cix + Со.
Между постоянными интегрирования С% и параметрами а, Ь, с существует связь
с,
которая получена путем подстановки указанного решения в исходное уравнение. Кроме
того, имеется отвечающее первому сомножителю решение вида у = С2х2 + С\х + Со,
где постоянные С% связаны соотношением 2аСо + 26С2 + с = 0.
3.4.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
1. y"L = а(у + Ьех + сO1 - Ьех.
Замена w = у + 6еж + с приводит к уравнению гу^ж = аи]П'•> которое рассмотрено в
разд. 3.2.2.
2. y':L=aeXyyx (yxf
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при /(г/) = аеХу,
3/// Лту / ¦ . тг / / \3
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при /(г/) = аеЛу, р(г/) = Ъуп.
4. 2/жжж = «2/ 2/ж + ^ у(?/ж) .
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при /(г/) = a^/n, р(г/) = ЬеХу.
5. уххх = Ьеу(ух) +а(ух) .
Частный случай уравнения 3.5.2.9 при /(г/) = 6еЛу.
^ /// г» л 2 / / \3 . Хту / / \тгг —5
6. уххх = 2\(ух) +ае у(ух)
Частный случай уравнения 3.5.2.23 при /(?) = а^т~6.
Частный случай уравнения 3.5.3.3 при /(?) = а^т.
8. »^и + ЗЛ»;^И + А2(^K = ае"-л".
Частный случай уравнения 3.5.3.2 при /(ж) = ае^33.
9. уххх + 3\ухухх + Л (уш) = аж е у.
Частный случай уравнения 3.5.3.2 при f(x) = ахп.
488 Уравнения третьего порядка
10. ху'ххх + A - ах)у"х = Ье2ах(ху'х - у)п.
Частный случай уравнения 3.5.3.7 при /(?) = Ы;п.
И. yy"L + SyLy'L = аеАж.
Решение: у2 = С2х2 + С\х + Со + 2а\~3еХх.
12. yy'Z, + ZyLy'L + ae^yyl, = be^.
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при /(ж) = аеХх, д(х) = Ъе^х.
13. yy'Z* + 3y'xy'L + аех*уу'х = Ьхп.
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при /(ж) = аеХх, д(х) = Ъхп.
14. ууххх + Зухухх + ах уух = be .
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при /(ж) = ахп, д(х) = ЬеХх.
15. ууххх + Зухухх + а[з/2/жж + (?/ж) J = be .
Частный случай уравнения 3.5.3.20 при /(ж) = 6еЛж.
16. yy'Z, + C»; + 2at,)t,L + 2a(^J + a2t,^ = beXx.
Частный случай уравнения 3.5.3.33 при /(ж) = еах, д{х) = Ье(уХ+а^х.
17. »»;':„ + C»; + aeXxy)y'L + aeXx(y'S = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.21 при /(ж) = аеХх.
18. (у + a)y':L + Ь?/^! + ceA«^ = О.
Частный случай уравнения 3.5.3.25 при f(y) = сеХу.
19. B/ + аж + Ь)^ж + 3(у'х + aJ/L = fceAa3.
Решение: (у + аж + бJ = С2ж2 + Схж + Со + 2&Л~3еЛж.
20. s/2^L - 3^2/L + 2(^K = аеХху3.
Решение: In \у\ = С2х2 + С\х + Со + аЛеЛж.
/%^ 2 ill ¦ о I а \ / i\/ ' \3 Лж 2 —тп
21. 2/ 2/жжж + Зтуухухх + га(га — 1)(?/ж) = ае у
Частный случай уравнения 3.5.3.30 при /(ж) = аеЛж, п = т + 1.
22. x2yyZ, + х&ху'п + 2ay)y'L + 2ax(y'a!f + a(a - \)уу'х = ЪеХх.
Частный случай уравнения 3.5.3.33 при /(ж) = жа, д(х) = Ъха~2еХх.
23. 22,^'L - (у^J = kex*(y'xf + ау2 + 25^ + с.
Частный случай уравнения 3.5.4.5 при /(ж) = —кеХх.
J
24. 2^'L - 3(t,lJ =
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = аеХх, д(у) =
25. 2ухуххх - 3(ухх) = ае (ух) + by (yx).
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = аеХх, д(у) = Ъуш.
26. 2yLy':L - Hy'Lf = axn(y'af + be""(j?L.
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = ажп, д(у) = 6ему.
/%« г» / /// о/ " \2 Лж/ / \2 . , и,Х —1/ / \5/2
27. 2ухуххх - 3(ухх) = ае (ух) -\-Ье^ у (ух) .
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при /(ж) = аеХх, д{х) = 6емж.
3.4. Нелинейные уравнения с произвольными параметрами 489
28. 2y'^y':L - Hy'Lf = aeXx(y'S + bxny-1(y'a!f/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = аеХх, д(х) = Ъхп.
«Л г» / /// о/ " \2 п / I \2 . , Лаз —1/ / \5/2
29. 2ухуххх - 3(ухх) = ах (ух) + be у (ух) .
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = ахп, д(х) = 6еЛж.
30. 2ухуххх - 3(ухх) =аеу(ух) + Ьх е^у(ух) .
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = аеЛу,
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = aeXy',
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = ауп, д(у) =
3.4.3. Уравнения, содержащие гиперболические функции
1. y"L = achn(\y)yx + bch(fiy)(yxf.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = achn(Xy), g(y) = <
2. Уххх — аупУх + bch(/j,y)(yx) .
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = ауп, д(у) =
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = ashn(Xy),
Частный случай уравнения 3.5.2.9 при f(y) = bch(Xy).
5. iC = iA2(j/;K + aCchAj/)-^J^1.
Частный случай уравнения 3.5.2.24 при /(?) = а^2ш.
6. 2/жжж = ^-А (ух) +a(sh\y) (ух) т .
Частный случай уравнения 3.5.2.25 при /(?) = a^2m.
7. 2/2/^аз + Зу'хУхх = асЬ(Аж).
Решение: у2 = С2х2 + Схж + Со + 2аЛ sh(Ax).
8. Ш/^аз + Зухухх = ash(\x).
Решение: у2 = С2х2 + С\х + Со + 2аЛ~3 сЬ(Аж).
Частный случай уравнения 3.5.3.17 при f(x) = achn(Xx).
Ю. 2/^L + ЗухУхх = а 8ЬТ1(Аж).
Частный случай уравнения 3.5.3.17 при /(ж) = ashn(Xx).
И- УУ?4. + 3»;»;',. = a th"(Aaj).
Частный случай уравнения 3.5.3.17 при /(ж) = athn(Ax).
УУххх + Зухухх + аж 2/2/ж = осп (Лж).
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при /(ж) = ахп, д(х) = 6chm(Ax).
13. УУххх + Зухухх + ахпуу'х = бэп^Аж).
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при /(ж) = ахп, д(х) = 6shm(Ax).
490 Уравнения третьего порядка
14. УУХХХ + Зу'хухх + ахпуу'х = 6thTri(A«).
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при /(ж) = ахп, д(х) = bth.m(Xx).
15. ууххх + by*y'L + «[з/2/L + (y'xf] = bchn(\x).
Частный случай уравнения 3.5.3.20 при /(ж) = bchn(Xx).
16. ууххх + З^т/L + а[уухх + (^J] = bshn(\x).
Частный случай уравнения 3.5.3.20 при /(ж) = bshn(Xx).
17. УУХХХ + Sy'xyxx + а[?/2/"ж + (?/*J] = &thTl(A«).
Частный случай уравнения 3.5.3.20 при /(ж) = bthn(Xx).
18. 2/2/ж + {Зу'х + ат/ ch71 ж)^ж + а ch71 ж (^) = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.21 при /(ж) = achn ж.
19. Щ/L'L + C2/- + °>У shTl жJ/-- + a sh71 ж (y'xf = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.21 при /(ж) = ashn ж.
20. 2/^'L + (Зу'х + ат/ th71 ж)^ж + а th71 ж (^J = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.21 при /(ж) = athn ж.
21. (s/ + а)Ух"хх + ^2/L + сс\1п(\у)у'х = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.25 при f(y) = cchn(Xy).
22. (т/ + а)у'ххх + Ъу'хухх + csh7l(A?/)^ = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.25 при f(y) = cshn(A|/).
23. (у + а)у'ххх + Ъу'хухх + cth^Ay)^ = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.25 при /(^/) = cthn(Xy).
24. т/ уххх ~г **тпуухухх -\- тпугп — 1)(т/ж) = ft en (\x)y
Частный случай уравнения 3.5.3.30 при /(ж) = achk(Xx), п = m + 1.
25. 2/22/L'L + Zrnyy'xyxx + m(m - 1)B/LK = ashfe(Ax)i/2"TO.
Частный случай уравнения 3.5.3.30 при /(ж) = ashk(Xx), n = m + 1.
26. з/ 2/жжж + Зтуухухх + га(га — 1)(?/ж) = ath (Аж)т/
Частный случай уравнения 3.5.3.30 при /(ж) = с^Ь^Аж), п = m + 1.
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = асЬ?г(Аж), д(?/) = Ьут.
i т и 2 /2 /4
28. 2ухуххх — 3(ухх) = ах (ух) -\-bch {Ху)(ух) .
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = ахп\ д(у) = ЬсЪ.ш(Ху).
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = с^Ь^Аж), д(у) = bth171 (/iy).
30. 2ухуххх — 3(ухх) = ath (Аж)(т/Ж) + 6т/ (т/ж) .
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = с^Ь^Аж), р(г/) = Ьуш.
31. 2у'ту'?* ~ Чу"*J = axn(yxf + 6thm(A2/)(^L.
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = ажп, ^(i/) = 6thm(A|/).
32. 2yfxyxxx — S(yxxJ = achn(\x)(yxJ + 6сЬ7гг(/хж)т/~1(^M 2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при /(ж) = асЬ?г(Аж), д(х) = b chm(//ж).
3.4. Нелинейные уравнения с произвольными параметрами 491
33. 2y'a!y':L - Hy'Lf = аСЪп(\х)(у'^ + bxmy-1(y'a!f/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = achn(Xx), д(х) = Ъхт.
34. 2у'аУ'?* ~ Hv'Lf = ахп{У*J +bchm(\x)y-1(y'!CN/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = ахп, д(х) = bch.m(Xx).
35. 2y'xy':L ~ 4v'LJ = «th"(Ax)(iJ + bth^i^y-1^M'2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = ath.n(Xx), g(x) = b thm(fix).
36. 2^'L - 3(t,LJ = ath-iXx)^J + bx™y-\y'nf/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = ath.n(\x), g{x) = Ьхш.
37. 2y'xyZx - 4v'LJ = axn(y'xf +btbm{\x)y-1{y'!Bf/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = ахп, д(х) = bth.m(Xx).
38. 2y'^y':L - 4y'Lf = achrl(At,)(^L + bx'1 chm(fiy)(yLO/2¦
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = achn(Xy), g(y) = bchm(
39. 2^^'L - 3(y'LJ = ach"(A2/)B/;L + ba;-1^^/;O/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = achn(Xy), g(y) = bym.
40. 2^^. - З^/^J = ayn{y'xf + Ьж ^-(AyJd/LO/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = ауп, д(у) = ЬсЪ.ш(\у).
41. 2^^'L - 3(t,LJ = ath"(At,)(t^L + bx-1 th^^t,)^O72.
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = athn(Xy), g(y) = 6thm(
42. 2^^'L - Sd/LJ = ath^AyH^L + bx^y™^O'2.
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = ath.n(Xy), g(y) = bym.
43. 2^'L - 3(t,LJ = ауп(у'„L + bx'1
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = ауп, д(у) = bthm(Xy).
3.4.4. Уравнения, содержащие логарифмические функции
1. y"Lx = alnTl(A?/)^ + b\nrn(ijiy)(yfxK.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = а\пп(Ху), д(у) = Ь\пш(цу).
2. y'Zx = аЫп{\у)у'х + bym(y'xf.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = а\пп(Ху), д(у) = Ьут.
3. iC = o^j/; + Ыпт(\у)(у'хK.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = ауп, д(у) = Ь\пт(Ху).
4. 2/L'L = «2/~5/2B1п^ - In т/).
Частный случай уравнения 3.5.2.11 при
5. 2/L'L = «2/~5/4D1n^ - In з/).
Частный случай уравнения 3.5.2.12 при /(?) =
6. ж3т/^ж = аAпт/ - \пх)(ху'х - у).
Частный случай уравнения 3.5.2.2 при /(?) =
7. ж5^, = a(ln у - 2 In х)(ж»; -
Частный случай уравнения 3.5.2.3 при /(?) =
492 Уравнения третьего порядка
8. y"L = Sy'L + a(x + In у)п (у'т +у) + Чу.
Частный случай уравнения 3.5.3.3 при /(?) = а\пп ?.
9. жух'хх = Ь(ху'х — у + a In х)ухх.
Частный случай уравнения 3.5.3.8 при /(?) = Ь?.
Ю. yy'vLn + Зу'ху"х = а\пп(Ьх).
Частный случай уравнения 3.5.3.17 при /(ж) = а\пп(Ьх).
И. »»--- + SvWl. + «*П00- = Ь lnm(A*).
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при /(ж) = ажп, р(ж) = Ь\пт(Хх).
12. J/J/4'L + Зу'ау'** + «[00-- + Ш2] = Ь \пп{\х).
Частный случай уравнения 3.5.3.20 при /(ж) = bhin{\x).
13. {у + а)у'ххх + Ъу'хухх + clnTl(A?/)^ = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.25 при /(г/) = clnn(A|/).
14. 2/ 2/жжж + Зтуухухх + га(га — 1){ух) = а\п (ох)у
Частный случай уравнения 3.5.3.30 при /(ж) = а\пк(Ьх), п = т + 1.
15. 2^'L - 3(t,LJ = O04(b0i - 2 In у).
Частный случай уравнения 3.5.4.10 при /(?) =
16. 2^^'L - 3(t,LJ = а1п"(АЖ)B/;J
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = а1п?г(Лж), р(г/) = Ь\пт(/1у).
П. 2^^. - 3(y':xf = alnn(\x)(y'xf + Ьут(у'х)А.
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = а\пп(Хх), д(у) = Ъуш.
18. 2^^ - 3(y':xf = axn(y'xf + Ыпт(\у)(у'х)\
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при f{x) = ахп, д{у) = Ыпт(\у).
19. 2y'xy':L ~ Hv'Lf = alnn(\x)(y'xf + Ыпт(цх)у-1(у'хM/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при /(ж) = а1пгг(Лж), д(х) = 61пт(//ж).
20. 2ухуххх - 3(ухх) = a In ж (уш) + 6ж у (ух) .
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при /(ж) = alnn ж, д(ж) = 6жт.
21. 2^^'L - З^J = axn(y'xf +Ыпт(\х)у-1Шб/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при /(ж) = ахп', д(х) = 61пт(Лж).
22. 2y'xy':L ~ Hv'Lf = a In" (At,) (t,LL + Ъх~г Ыт{цу){у'хO/\
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = а\пп(\у), д(у) = Ь\пш(/1у).
23. 2^'L
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = ауп, д(у) = 61пт(Л|/).
24. 2^'L
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = alnn(A|/), g(y) = 6^/m-
3.4. Нелинейные уравнения с произвольными параметрами 493
3.4.5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1. 2/"L = аупу'х + bcos(\y)(y'xK.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = ауп, д(у) = bcos(Xy).
2. ?/"L = аупу'х + bsin(\y)(y'xK.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = ауп, д(у) = bsin(Xy).
3. ?/"L = аупу'х + btg(\y)(y'xK.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f(y) = ауп, д(у) = btg(Xy).
4. у™. = a cos"(Л»)»; + Ьут(у'хK.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f{y) = acosn(\y), д{у) = Ъут.
5. y'Z, = asin^At,)^ + bym(y'a!K.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f{y) = a sin" (Ay), д{у) = Ъут.
6. y'Z, = atgn(\y)y'!B + Ьут(у'а)а.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f{y) = atgn(\y), д(у) = Ъут.
7. y"L = acosn(\y + e)y'a + bcos(fiy + 6)(y'a!K.
Частный случай уравнения 3.5.2.4 при f{y) = acosn(\y + е), д{у) = bcos(/j,y + 6).
8. y"L = bcosn(\y)(y'a!f + а(у'„уЬ.
Частный случай уравнения 3.5.2.9 при f(y) = bcosn(\y).
9. y':L = btgn(\y)(y'xf + a(y'x)-S.
Частный случай уравнения 3.5.2.9 при f(y) = btgn(Xy).
Частный случай уравнения 3.5.2.28 при /(?) = a^2m.
И. Уххх = --5"А (ух) +a(sm\y) (yx)
Частный случай уравнения 3.5.2.29 при /(?) = a^2m.
12. yy"Lx + SyWL = о, со8(Лж).
Решение: у2 = С2Х2 + С\х + Со — 2аЛ~3 sin(Ax).
13. yy'Z, + SyLy'L = a sin" (\x).
Частный случай уравнения 3.5.3.17 при f(x) = asmn(\x).
14. yyZL + 3y'xy'L = a tgn(\x).
Частный случай уравнения 3.5.3.17 при f(x) = atgn(Xx).
15. уу"'хх + Зу'хухх + asin(\x)yyfx = 6 sin71 (//ж).
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при f(x) = asin(Ax), д(х) = 6si
16. 2/2/L'L + 3yfxyxx + asin(Aa?)^ = foe71.
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при f(x) = asin(Ax), р(ж) = bxn.
17. 2/2/L'L + 3yfxyxx + axnyyfx = 6cosrri(A«).
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при f(x) = ажп, д(ж) = bcosm(\x).
18. J/J/4'L + 3J/41/L + axnyy'x = b sin^CAa;).
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при f(x) = axn, д(х) = bsmm(\x).
494 Уравнения третьего порядка
19. yy"L + Sy'ay'L + ахпуу'а = ft tgm(Aa:).
Частный случай уравнения 3.5.3.19 при f(x) = ахп, д(х) = btgm(Xx).
20. уу'"хх + Sy'xyxx + «[з/2/L + (?/^J] = Ьсоз^Лж).
Частный случай уравнения 3.5.3.20 при f(x) = bcosn(Xx).
'y'L
21. Щ/L'L + 3y'xy'L + afw^ + (i?J]
Частный случай уравнения 3.5.3.20 при /(ж) = 6tgn(Ax).
22. уу"'хх + C^ + ay sin71 ж)?/"ж + a sin71 x{y'xf = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.21 при f(x) = asinn x.
23. j/j/i'L + CУ; + at, tgn x)y'L + a tgn «(j,;J = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.21 при f(x) = atgn x.
24. (j, + a)iC + by'xy'L + с cos" {\y)y'x = 0.
Частный случай уравнения 3.5.3.25 при f(y)= ccosn(Xy).
25. (у + о)»;':. + by^y'L + с tgn (л»)»; = о.
Частный случай уравнения 3.5.3.25 при f(y) = ctgn(Xy).
26. y2y':L + Smyy'^y'L + т(т - l)(yLf = acosk(\x)y2-m.
Частный случай уравнения 3.5.3.30 при f(x) = acosfc(Ax), n = т + 1.
27. у2^'4ж + гтуу'ху'1х + т(т - l)(y'xf = atgk(Xx)y2-m.
Частный случай уравнения 3.5.3.30 при f(x) = atgk(Xx), n = т + 1.
2у'ху"'хх — 3(ухх) = acos(\x + e)(^) + bcos{iiy + ^)(l/L) •
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при /(ж) = acos(Ax + е), д(у) = bcos(/iy +
2y'xy':L ~ Hv'Lf = acos(\x)(y'xJ + bym(y'x)\
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при f(x) = acos(Ax), д(у) = Ьут.
2уху'ххх - S(yxxJ = axn(yfxJ + bcos(\y)(y'x)*.
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при f(x) = ахп, д(у) = bcos(Xy).
22,^'L - 3(y':xf = atgn(\x)(y'xf + btSm(ny)(y'x)\
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при f(x) = atgn(Xx), д(у) = btgm{^iy).
2y'xy':L ~ Hv'Lf = atgn(\x)(y'xf + bym(y'x)\
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при f(x) = atgn(Xx), д(у) = bym.
2y'xy':L - Hv'Lf = axn(y'xf + btgm(Xy)(y'x)\
Частный случай уравнения 3.5.4.7 при f(x) = ахп, д(у) = btgm(Xy).
34. 2y'a!y':L
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = asinn(Ax), д(х) = Ъsinm(//ж).
35. 2^'L
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = acosn(Xx), д(х) = 6жт.
36. 2у'аУ'?* ~ Hv'Lf = ахп{у'хJ +bcosm(Xx)y-1(y'!Cf/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = ахп, д(х) = bcosm(Xx).
3.5. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные функции 495
37. 2y'a!y':L - Hy'Lf = at%n(\x)(y'^ + Ь tgm (fix)y-1 (y'^f2'.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = atgn(Xx), g(x) = big™ (fix).
38. 2y'^y':L - 4v'Lf = at%n(\x)(y'^ + bxmy-1(y'a!f/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = atgn(Xx), g(x) = bxm.
39. 2y'^y':L - 4v'Lf = axn(y'S + btgm(\x)y-1(y'a!f/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.8 при f(x) = ахп, д(х) = btgm(Xx).
40. 2y'^y':L - 4v'Lf = a cos" (At,) (t,^L + bx'1 cosrrl(Mt/)(^O/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = acosn(\y), д(у) = bcosm(/iy).
41. 2^'L - 3(t,^J = a cos™(At,)(t,LL + Ьж^^O/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = acosn(\y), д(у) = 6^/m-
42. 2y'xyZx - Hy'Lf = ayn{y'S + Ьх~г coSm(\y)(y'x)T/2 ¦
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = ауп, д(у) = bcosm(\y).
43. 2y'xyZx
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = atgn(Xy), д(у) = btgrn(iiy).
44. 2^'
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = atgn(Xy), д(у) = bym.
45. 2^^. - 3(y':xf = ayn(y'xL + Ьх~г tgm(Xy)(y'x)T/2.
Частный случай уравнения 3.5.4.9 при f(y) = ауп, д(у) = btgrn(Xy).
3.5. Нелинейные уравнения, содержащие
произвольные функции
3.5.1. Уравнения вида F{x,y)y?xx + G(x,y) = 0
1. 2/L'L = f(y)-
Замена w(y) = (у'хJ приводит к уравнению второго порядка: wfyy = ±2f(y)w~1^2.
В частности, при f(y) = ауп полученное уравнение является уравнением Эмдена —
Фаулера, которое рассматривается в разд. 2.3.
2. ?/"L = f(x)y-1.
После однократного интегрирования имеем уу^х ~ —(у'х) = / f(x)dx + С. Замена
у = w2 приводит это уравнение к виду w'xX = — / f(x) dx + С u>~3.
3. У*'** = X~3f(y).
Подстановка t = In |ж| приводит к автономному уравнению вида 3.5.5.9: y"[t — 3y"t +
+ Н =
4. yZ, =
Преобразование t = In ж, w = yx~x приводит к автономному уравнению вида 3.5.5.9:
<и -w't = f(w).
5. yZ, = x-*f(yx-2).
реобразовани
't'h = -f(w).
Преобразование t = ж, w = yx~2 приводит к автономному уравнению вида 3.5.1.1:
496 Уравнения третьего порядка
6. y"Lx = f(y + ax3 + Ъх2 + сх + к).
Замена w = у + ах3 + Ъх2 + сх + к приводит к автономному уравнению вида 3.5.1.1:
W'xxx = f(W) + 6a-
7. yZx = f(y + аеЛж) - а\3еХх.
Замена w = у + аеЛж приводит к автономному уравнению вида 3.5.1.1: гу^ж = f(w).
8. (t, + ах2 + Ъх + c)yZ* = f(x).
Замена w = у + аж2 + 6ж + с приводит к уравнению вида 3.5.1.2: ww'"xx = /(ж).
9. х(а; - aK^'L = f(yx~2), а ф 0.
Преобразование ? = In
3.5.5.9: ^ - Згу^ + 2^ = а
= ^— приводит к автономному уравнению вида
Частный случай уравнения 5.2.6.21 при п = 3.
11. (ах2 +Ьх + cfyZ* = f ( 2 Л ^ ) •
V ах2 + Ьж + с /
__ - ^ f dx у
Преобразование с = / —?; , w = — приводит к автономному
У ах2 + 6ж + с ах2 + Ьх + с
уравнению вида 3.5.5.9: w'^ + Dac — b2)wf^ = f(w).
12. (ay + be*)t?L + be"» = /(ж).
Интегрируя, получим уравнение второго порядка
(ау + Ъех)у"х - \a(y'xf - Ьехух + Ъеху = J f(x) dx + С.
13. yZx = F(x, у).
Преобразование х = 1/t, у = w/t2 приводит к уравнению аналогичного вида:
<( = -t~4F(l/t, w/t2).
3.5.2. Уравнения вида F(x,y,y'x)y'^xx + G(x,y,y'x) = 0
1. 2/"L = f(v)v'x-
Решение: d±x = J [c2y + Ci + 2 J F(y) dy] dy, где
2.
у f i У\2
Преобразование z = —, w = [yx — — ) приводит к линейному уравнению второго
х V х /
порядка: гу^ = 2f(z) + 2. Интегрируя дважды, получим из него однородное уравнение
первого порядка:
z +C2z + Ci + 2 (z-t)f(t)dt\ , где ^ = —, ?о — любое.
Уг0 -1 ж
3.
Преобразование t = —, ^ = ^— приводит к уравнению zft"t = f(z)z't. Замена w(z) = (z'tJ
X X2
дает линейное уравнение второго порядка w"zz = 2f(z), решение которого имеет вид
^о— любое.
3.5. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные функции 497
4. уххх = f(y)yL + g(y)(yLf.
Замена z(y) = (у'х) приводит к линейному неоднородному уравнению второго порядка:
4V = 2g(y)z + 2f(y).
5. уххх = х f[ — )(xyx-y).
V X /
Преобразование z = —, w = [у'х — — ) приводит к линейному уравнению второго
х V х /
порядка: wzz = 2f(z)w + 2.
6. ^ш = Ж-7
Частный случай уравнения 3.5.2.8.
Частный случай уравнения 3.5.3.14 при к = —1. Преобразование t = In ж, z = у/х с
последующей заменой w(z) = (z't) приводит к линейному уравнению второго порядка:
«4 = 2g(z)w + 2f(z) + 2.
^^^ g / У \ / f ч 7 { У \ / I \3
Преобразование t = 1/x, z = ?//ж2 с последующей заменой w(z) = DJ приводит к
линейному уравнению второго порядка: wzz = 2g(z)w -\- 2f(z).
9. y:L f(y)(yLf+(yx)
Замена z{y) = {у'х) приводит к уравнению Ермакова 2.9.1.17: г'уУ = 2f(y)z + 2az~3.
ю. v':l = /(»;>.
Решение в параметрическом виде:
dr Гт т dr Г Г I1/2
/ ^ ±\c + 2 f{)d]
Jc3
Гт dr Гт т dr Г Г I1/2
-ТТ' ^=/ ^ГТ' где V = ±\c1 + 2 f{r)dr] .
Jc2 ^(т) Jc3 <р{т) L J J
Замена w(y) = (|/iJ приводит к уравнению вида 2.9.1.6:
w'jy=y-3F(w/y), где
i^. Уххх —У Ту
Замена w(y) = (y'x) приводит к уравнению вида 2.9.1.7:
(y^), где
13. »;';„ = «/(х»; - У).
Замена z = ху'х — у приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.2.6 при п = 1:
XZxx = Zx +XSf(z).
л л III —2 п ( I У \
14. уххх = х F[yx- -Z-).
Замена z = ху'х —у приводит к уравнению второго порядка: xzxx = z'x -\-F(z/x), которое
является частным случаем уравнения 2.9.4.12 при п = — 1, m = 1, к = — 1, F(?) = ?/(?)•
15. 2/жжж = ж
Преобразование ? = 1п|ж|, ^ = ж^/i — у дает автономное уравнение второго порядка:
z'tt — 2z't = f(z), которое заменой w(z) = \z't приводится к уравнению Абеля:
ww'z — w = \f(z) (для некоторых функций / решения этого уравнения указаны в
разд. 1.3.1).
32 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
498 Уравнения третьего порядка
л г
16
14 —4 ofl о У \
. уххх = х f[yx- 2-^J.
Преобразование t = 1/х, z = у/х2 дает z"lt — —f(—zt)- Замена w = —z't приводит к
уравнению второго порядка вида 2.9.1.1: w't't = f(w).
17. yZ, = (ay2 + by + c)-6/*f(-
+ by +
Замена w(y) = (г/J.) приводит к уравнению вида 2.9.1.14:
Преобразование t = 1/ж, ^ = |//^2 приводит к уравнению вида 3.5.2.17:
Преобразование t = In ж, ^ = |//ж с последующей заменой w(z) = (zftJ приводит к
уравнению второго порядка вида 2.9.1.7:
w'L=z-^F(wz-^), где
20. y'Z, = -x-2yL+x-3V + x1/2y-5/2
Преобразование t = In ж, z = у/х с последующей заменой w(z) = (z't) приводит к
уравнению второго порядка вида 2.9.1.6:
w'L = z-zF(w/z), где F(?) = ±2r1/2/(±\/?)-
i. y':L = f(y, vL).
Частный случай уравнения 3.5.5.9. Преобразование
х = /Ыт)Г3/2с1т, у = Иг)] A)
приводит к аналогичному уравнению для функции ср = (р(т):
Отметим два важных случая преобразований уравнений специального типа:
/// ,/ ч преобразование A) ,„ -ъ/ч ?( -1ч
/// л п преобразование A) ,„ -п-5/2
Уххх = Ау > (рттт = -А(р ' .
^ /// 1 of У i ^ У \
2. ушшш = _/(_,,,. -2-).
22.
х
Преобразование t = 1/х, z = у/х2 приводит к уравнению вида 3.5.5.9: z'Ht = —f(z, —z't).
Последнее с помощью подстановки w(z) = (z'tJ допускает понижение порядка:
w'lt = =f2W-1/2f(z, W2).
23. yZ, = 2\2Ш3 + e°x*f{e*v'a)y'm-
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = е~2Ху.
24.
/ch Xy
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = chXy.
3.5. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные функции 499
лАЙА^7
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = sh Xy.
26. уххх =
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = cthy.
27. у'ххх = —(chy)~2(y'x) + (cthyKf(y'x^cthy)yx
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = thy.
28. уххх = — \Х*(у'х) + (cos \y)~3f(— х )у'х.
^ yjcos Xy '
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = cos Xy.
^л /// 1 л 2/ / \3 . / . Л \-3nf Ух \ I
29. уххх = — -у А (?/ж) + (sin А?/) /( # =)УХ-
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = sin Xy.
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = ctgy.
31. уххх = (cost/) (з/ж) + (ctg 2/) / (у'х л/ctg у)у'х-
Частный случай уравнения 3.5.2.32 при ф(у) = tgy.
ъ~> '" 1 V'yv / ' чЗ , /-з
32. уххх = ~ — Ш +Ф J
Замена ^ = (г/J.) приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.1.21:
33. ^L + fyx +9У = -3hy-*(y'xJ - 3(h'xy3 + 2h2)y-6y'x -
- h3y~s - 3hh'xy-5 - (fh + h'Dy-2.
Здесь / = /(ж), д = р(ж), /г = h(x) —произвольные функции.
[Г h(x) dx 11/г
С + 3 / —^г— , где u> = w(x) — общее решение «укорочен-
J w6 J
ного» линейного уравнения: w'"xx + f(x)w'x + g(x)w = 0.
34. [ау + f(x)]yxxx + g(y)y'x + fxxx(x)y + ^(ж) = 0.
Это уравнение допускает первый интеграл:
[ш/ + /О)]?/"ж - \a{y'xf - fx{x)y'x + f'Jx(x)y+ I g(y)dy+ I h(x) dx = C.
35. ?/жжж = F(x,y,yx).
Пусть F ф (р(х)ух + ф(х)у + х(ж), т. е. уравнение является нелинейным. Его порядок
можно понизить на единицу, если правая часть уравнения имеет вид:
F(x, у, у'х) = Г2Е{ф(и, w) + f[2ff'J'xxw + (f2f'Jx'xx + 1ffJxxx)u -
- W"Lg + fgZ^E-1 - Bffxf'Jxx + ffZxx - 2kffZx)v] dx},
где
*==-(-*/т> v' = /tS' —fc+v- --^^^-^
Ф = Ф(гб, w), f = f(x), g = g(x)—произвольные функции; k — произвольная постоянная.
В этом случае преобразование t = If1 dx, и = f~1E~1y + V приводит к авто-
автономному уравнению, которое с помощью подстановки z(u) = щ сводится к уравнению
второго порядка: z2z'^u + z{z'u) — 3kzzfu + 3k2z — ksu = Ф(и, z — ku).
32*
500 Уравнения третьего порядка
3.5.3. Уравнения вида F(x,y,yx)y?xx + G(x,y,y'x)y%x + H(x,y,y'x) = 0
1. VZL + ay'L + Ъу'х +су = ex'f(ye-x").
Замена w(x) = ye~Xx приводит к автономному уравнению вида 3.5.5.9:
w'xxx + (ЗА + a)wxx + (ЗА2 + 2аХ + b)w'x + (А3 + аХ2 +b\ + c)w = f(w).
2. y':L + SXyLv'L + A2(i?K = f(x)e~Xy.
Решение: eXy = C2x2 + Cix + Co + — Г (ж - ?J/(*) dt, где ж0 —любое.
2 Ло
3. 2/L'L = Sy'L + 2y + f(exy)(y'x + y).
Преобразование z = exy, w = e ж(^ + г/) приводит к линейному уравнению второго
порядка: гу^ = 2/(^) + 6. Интегрируя, получим решение:
/ . dz =±ж + С3, где z = exy, <b(z) = [\ [ f(z)dz] dz.
4. xy'"xx + 3y"x = f(xy).
Замена w(x) = xy приводит к автономному уравнению вида 3.5.1.1: w'xxx = f(w).
5. ху"'хх = f(xyx - у)ухх.
Подстановка z = xy'x —у приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.2.9:
xz':x = [f(z) + i]z'x.
6. xyZL + A - a)y'L = x3af(xv'. - у).
Подстановка z = ху'х —у приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.2.6:
^^хх — d^x ~т" X J\)'
хуххх + A - ах)ухх = е f(xyx - у).
Подстановка z = ху'х — у приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.2.23:
z'^-az'x=e2axf{z).
8. хуххх = f(xy'x - у + a In x)yxx.
Подстановка z = xyx —у приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.2.28:
9. x2yZ, + Qxy'L + QyL = f(x2y).
Замена w(x) = x2y приводит к автономному уравнению вида 3.5.1.1: wxxx = f(w).
лг\ S III , 2 II о/ I \
10. x yxxx + x yxx = f(xyx - y).
Преобразование t = In \x\, z = xy'x — у приводит к автономному уравнению вида 2.9.6.2:
z't't — z't = f(z), которое заменой w = z't приводится к уравнению Абеля: ww'z —w = f(w)
(см. разд. 1.3.1).
11. х уххх + ах ухх + Ъхух = f(y).
Подстановка t = In |ж| приводит к автономному уравнению вида 3.5.5.9:
y'ut + (« - Ъ)у?г + (Ь-а + 2)y't = f{y).
12. x*yZ* + ax^y'L + bxy'x = f(xmeXy).
Преобразование t = In x, Xw = Xy + mt приводит к автономному уравнению вида 3.5.5.9:
w'ut + (а- 3)«4; + (Ь - а + 2)w't = f(eXw) + ^-(b -a + 2).
А
3.5. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные функции 501
13. x*v':L = -\^V'L + f(-±=) Bxy'x - у).
Преобразование t = ——, z = — {ху'х — \ у) приводит к линейному уравнению второго
/X X
порядка 2z"t = Sf(t) + 1, решение которого имеет вид
z = \t2 + C2t + Ci + 4 Г (t - 0/@ d?, to —любое.
Jt0
Переходя к переменным х, t = ух~1^2, получим уравнение с разделяющимися перемен-
переменными.
• ж 7/жжж = — 3(fc + 1)ж ухх + fc(fc -
+ f(xky)(xyx + fo/) + x2kg(xky)(xyfx + fo/K.
Преобразование t = In ж, z = xfc?/ с последующей заменой u>(z) = (^JJ приводит к
линейному уравнению второго порядка: w"zz = 2g(z)w + 2f(z) + 6А;2 + 6А; + 2.
.. 4 ill , 3 // p( I У \
15. ж 7/жжж +ж ?/жж = f[yx - — .
V Ж /
Замена ги(ж) = ху'х — у приводит к уравнению вида 2.9.1.6: w'xx = x~sf(w/x).
16. х4ух'хх = —-^-х3ухх + /( -^—\{2ху'х — уK.
——, z = —(жг/^ \уJ
порядка: 2z't't = 16f(t)z+±.
Преобразование t = ——, z = —(жг/^ — \уJ приводит к линейному уравнению второго
17. УУХХХ + Зухухх = /(ж).
9 9 / 9
Решение: у = Сгж -\- С\х -\- Cq -\- 1 (х — t) f(t) dt, xo —любое.
J
18. yiy'Z, + Зо»;'и + 2а2^) = f{x).
После однократного интегрирования имеем
У:х + 2ауу'х - Ш2 = е~2аХ [2 / е2аж/(х) dx + с].
19. 2/2/L'L + Зу'хухх + f(x)yyx = g(x).
Замена w = |/|/^ приводит к линейному неоднородному уравнению второго порядка:
w'xx +f(x)w = g(x).
-Л /// . о / // . г // | / / \2"| j> / \
20. ууххх + Зт/ж?/жж + а[уухх + (уш) J = /(ж).
Решение:
Г{x-t)e~atF{t)dt, где F(t)= f eatf(t)dt, x0— любое.
21. 2/?/"L + [3^ + /(aOt,]?/l + /(ж)(У;J = 0.
Решение:
? + C2 + Ci Г (х- t)e~F{t) dt, где F(t) = f f(t) dt.
Jx0 J
22. yyZ* + CyL + 2ay)y'L + 2a(y'SBf + cfyy'^ = f(x).
получим уравнение первого порядь
еахуу'х = С2х + Ci + Г (х - t)eatf(t) dt.
Интегрируя дважды, получим уравнение первого порядка с разделяющимися пере-
переменными:
502
Уравнения третьего порядка
23. уу'"хх + [Syfx + f(x)y]yxx + f(x)(yxJ + g(x)yy'x + ^(ж) = 0.
Замена w = 2/2/^ приводит к линейному неоднородному уравнению второго порядка:
w'xx + f(x)w'x + g(x)w + /&(ж) = 0.
24. (у + a)yZ* + by'xy'L = fix).
После однократного интегрирования имеем
(У + a)y'L + 4F - 1)Ш2 = У f{x) dx + С.
2
При Ъ ф — 1 замена у = w b+1 —а приводит к уравнению
'f(x)dx +
С.
(при С = 0 и /(ж) = Лжп см. разд. 2.3).
25. (# + a)y"fxx + byfxy"x + f(y)y'x = 0.
После однократного интегрирования имеем уравнение второго порядка
B/ + а)у':х + iF - l)(j/;J + | /Ы Л/ = С,
которое заменой w(y) = (г/J.) приводится к линейному уравнению первого порядка:
(у + a)w'y + F - l)w + 2 | /B/) dy = 2C.
26. (у + a)yxxx + Ьухухх + f(y)y'x = g(x).
После однократного интегрирования имеем
B/ + a)y'U + -1-(Ь -
27. (у + ах + b)yZL + 3(j? + a)t,L = /(ж).
9 9 fX 9
Решение: (г/ + аж + Ь) = С2Ж + Cix + Со + / (ж — t) /(?) c/t, где жо —любое.
Jxq
28. х{уу'ххх + Зу'хухх) + а[уухх + (з/LJ] = Дж)-
Решение:
29. у2^. - Зщ/^1 + 2(^K = f(x)y3.
гх
Решение: In \у\ = С2х2 + С\х + Со + у / (ж
Jxq
2/2^L + 3(n - l)yyWL + (n - l)(n
Решение при п ф 0:
+ Cix + Co + — / (ж -
2 Jx0
При n = 0 см. уравнение 3.5.3.29.
31. y2y':L = -Зу2у':х + 2ys + y2f(ea'y)(y'!C +y)+ д{е°>у){у'х + уK.
Замена z(x) = exy с последующим понижением порядка уравнения с помощью
подстановки w(z) = (zfxJ приводит к линейному уравнению второго порядка:
w"z = 2z~2g(z)w + 2f(z) + 6.
fX(x-t)t~aF(t)dt, где F(t)= Гt^ftydt, x0— любое.
30.
, где ж0 —любое.
= f(x)y3~n.
где ж0 —любое.
3.5. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные функции 503
32. y(fyxxx + ^-fLy"x + \f"xy'x) = g(x), f = f(x).
После однократного интегрирования получим уравнение второго порядка:
VvvLx + /'хУУх ~ f(y'xf = 2 у g(x) dx + С.
Интегрируя дважды, получим уравнение первого порядка с разделяющимися перемен-
гх
ными: f(x)yy'x = С2х + С\ + / (х - t)g(t) dt.
34. уххх + fyx +gy = -(п + 2)hyn-1y"x - (п - l)(n +
Здесь / = /(ж), g = д(ж), /i = h(x) — произвольные функции.
Решение: y = w\C + (l — n) / h(x)wn~1 dx\ 1~n , где w = w(x) — общее решение
«укороченного» линейного уравнения: w'l'xx + f(x)w'x + g(x)y = 0.
35. y'xy"Lx + f(x)y'xy"x + g(x)yy"x + h(x)(y'xJ +
] + 02O*O2/2 = 0.
Решение удовлетворяет линейному уравнению второго порядка г/^ж — z(x,C)yfx +
+ р(ж)г/ = 0, где z = z(x, С) —общее решение уравнения Риккати: z'x + z2 + /(ж)г —
() М)
3.5.4. Уравнения вида F(x,y,y'J)y™m + 52Са(х,у,у'т)(у%т)а = 0
ас
1. »»--- + @--)а - т(у-J - twL - f(x)y2 = о.
Частный случай уравнения 3.5.4.4. Решение удовлетворяет линейному уравнению второго
порядка ухх -\-\у'х~ z(x,C)y = 0, где z = z(x,C) — общее решение уравнения Риккати:
z'x + z2 - ±z = f(x).
2. yy"L + @-.)a - yLy'L - f(x)y2 = o.
Решение удовлетворяет линейному уравнению второго порядка ухх — z(x,C)y = 0, где
z = z(x, С) — общее решение уравнения Риккати: z'x + z2 = f(x).
3. yy"L + (y'L? + [2h(x) - l]yLy'L + [f(x) + h(x)]yy'L +
+ h(x)[h(x) - l](yLf + [h'm(x) + f(x)h(x)]yy'm = 0.
Частный случай уравнения 3.5.4.4 при g(x) = 0. Решение удовлетворяет линейному урав-
уравнению второго порядка: y"x+h(x)y'x—z(x,C)y = Q, где z(x,C) = F(x) \C+ F(x)dx\ ,
F(x)=exp[-Jf(x)dx].
4. yy':L + (y'Lf + [2h(x) - l]yWL + [f(x) + h{x)]yy'L +
+ h(x)[h(x) - l](y'xJ + [h'x(x) + f(x)h(x)]yy'x = g(x)y2.
Решение удовлетворяет линейному уравнению второго порядка y"x-\-h(x)yx—z(x,C)y=O,
где z = z(x, С) — общее решение уравнения Риккати: zx + z2 + f(x)z = g(x).
5. 2y'a!y':L - (y'Lf + f(x)(yLJ = ay2 + 2by + с
Дифференцируя обе части уравнения по ж, а затем сокращая на у'х, приходим к линейному
, р
уравнению четвертого порядка: ухххх + fyxx -\- \ f'xy'x = ay -\- Ь.
6. 2y'a!y':L - (y'LJ - \yWL + F(x)(y'S = eXx(ay2 + 2by + c).
Умножая обе части на е~Хх, приходим к уравнению вида 3.5.4.21 при /(ж) = е
504 Уравнения третьего порядка
7. 2^'L - 3(t,lJ = f{x)(y'af + g(y)(yLL.
Решение:
Г dy = Г dx + с
J и2(у) J w2(x)
где и = и(у) и w = гу(ж) — общие решения линейных уравнений второго порядка:
Аи у у - д(у)и = О и 4^ж + f(x)w = 0.
8. 2y'xyf:L ~ Hy'Lf = f(x)(y'xf + 9(x
Замена w(x) = —1= приводит к линейному неоднородному уравнению второго порядка:
Aw'lx + f(x)w + g(x) = 0.
9. 2^^'L - Hy'Lf = f(y)(yLL
Принимая у за независимую переменную, для функции х = ж (г/) получим уравнение вида
3.5.4.8: 24<;9 - 3«„J = 2 ^572
10. 2ухуххх -
Замена w(x) = —-= приводит к автономному уравнению второго порядка вида 2.9.1.1:
w"x = F(w), где F(w) = -\w5f(w~2).
11. 2у'у'"~ -
Подстановка w(x) = —у= приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.1.7:
у/Ух
x-^2), где
12. 2^'L 'Lf
Подстановка w(x) = —-= приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.1.6:
уУх
w'l = x~sF(wx~1), где F(?) = -4?5/(^)-
13. 2хухуххх - х(уххJ + nyfxyxx + F(x)(y'xJ = хг~п(ау2 + 2Ьу + с).
Умножая обе части на хп~1, приходим к уравнению вида 3.5.4.21 при f(x) = хп,
g(x) = xn-1F(x).
14. xy'xyZx - Зх(у':хJ + SyfxyfL = xf(y)(y'x)* + д(у)Ш*.
Принимая у за независимую переменную, для функции х = х(у) получим уравнение вида
3.5.3.23: хх'ууу + Зх'уху'у = -д(у) - f(y)xx'y.
15. у"'хх = \x3f(xyfx — у) + ах~ъ I (у"хK.
Преобразование Лежандра х = w't, у = tw't — w приводит к уравнению вида 3.5.2.9:
16.
17.
Преобразование Лежандра х = w't, у = tw't — w приводит к уравнению вида 3.5.2.12:
'4), где F(i) = -Г5/(Г4)-
Преобразование Лежандра х = wft, у = tw't — w приводит к уравнению вида 3.5.2.11:
'l' -WFM-1'2), где
3.5. Нелинейные уравнения, содержащие произвольные функции 505
18. уххх = [xf(yx) + уд(у'х)
Преобразование Лежандра х = wft, у = tw't — w приводит к линейному уравнению:
wttt = ~(p(t)wti — [fit) + tgit)]wt + git)w — hit).
19. y'xxx = f(y)y'x(yxx)rri'
Решение при тф\\
C3±x = j{2J[{\-m)F(y) + C2Y^:dy + Ciy~dy, где F(y) = j f(y)dy.
Решение при т = 1:
Cs±x = J{C2J'eF(y)dy + CiyT dy, где F(y) = j f(y) dy.
20. yxxx = xf(xyfx - y)(yxxJ + xg(xy'x - y)(yxx)k.
Преобразование Лежандра x = w't, y = tw't—w дает Wtlt = —fiw)w'tWtt—giw)w'tiwttK~k.
рр р y f()g()()
Понижая порядок этого уравнения с помощью замены z(w) = w't't (z'w = w"lt/w't), имеем
уравнение Бернулли: z'w = —f(w)z — g(w)z3~k.
= ау2
Дифференцируя обе части уравнения по ж, а затем сокращая на у'х, приходим к линейному
уравнению четвертого порядка: fy'"xxx + \fxVxxx + {g + -jfxxWxx + i^2/i =ay + b.
3.5.5. Уравнения вида F(x,y,y'x,y'^x)yZx + G(x,y,y'^y'^) = 0
Решение в параметрическом виде:
_ Г drx _ Г drx ГГ1 r2dr2
Х ' 'сг /(Г,) ' У ~ JC2 f^) JC3 /(T2) '
2. i/L'L = f(y)yLg(y"x).
После однократного интегрирования с последующей подстановкой w(y) = \{у'х)
приходим к уравнению первого порядка:
C, где ? =
Разрешив его относительно гу^, получим уравнение с разделяющимися переменными.
уххх = f(y)g(y'x)Hyxx).
Замена w(y) = \{y'x) приводит к уравнению второго порядка:
^уу = f{y)(p{w)h(Wy), где ^(w) = =Ь
которое для конкретных функций f,g,h рассматривается в разд. 2.7.
4. iC = */(«»; - y)g(y'L).
Преобразование Лежандра х = w't, у = tt^J — г^, где г^ = гу(^), приводит к уравнению
вида 3.5.5.2: w'ut = -fiw)w'tg(—^i™tt)S.
5. xy"fxx + ухх = f(xyfx - y)g(xyxx).
Замена w(x) = xy'x — у приводит к уравнению вида 2.9.4.2: w"x = f(w)g(wfx).
6. Уххх = f(x)g(x2yf:x - 2ху'х + 2у).
Замена w(x) = х2ухх — 2ху'х + 2у приводит к уравнению первого порядка с разделяю-
разделяющимися переменными: w'x = х2f{x)g{w).
506 Уравнения третьего порядка
7.
yZ, [vL^f()g(
У L 2/ J v 2/ ' v 2/
Преобразование t = yfx/y, w = г/жж/2/ приводит к уравнению первого порядка с
разделяющимися переменными: w't = f(t)g(w).
8. 2/"L = F(x,y'x,yxx).
Замена u(x) = |/i приводит к уравнению второго порядка: ихх = F(x,u, u'x).
9. 2/жжж = F(y,yx,yxx).
Автономное уравнение. Замена w(y) = (г/J.) приводит к уравнению второго порядка:
у > у
Преобразование t = 2/ж/|/> г^ = у'хх/у приводит к уравнению первого порядка:
О - t2)w't = -tw + F(t, w).
11. Ух"хх = F(x, xy'x - у, xy'L)-
Замена z = xy'x — у приводит к уравнению второго порядка: zxx = x~1z'x+ xF(x, z, z'x).
12 v" — x~k~3F(xkv xkJtlv' xh+2v" )
i*" Уххх — «^ -Г у*' У) *Ь Ух) *Ь Ухх)-
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование t = In ж, z = хку с последующей
заменой w(z) = (z't) приводит к уравнению второго порядка:
w"z = ±3(к + l)w~1/2w'z - 6к2 -12к-4± 2к(к + 1)(к + 2)zw~1/2 ±
± 2w~1/2F(z, ±w1/2 - kz, \w'z T Bk + l)w1/2 + к(к + 1)^).
13 v'" -vx-3F(xkvrn ^- x2y"x )
1J* Уххх — У^ -Г I «^ У 5 5 J •
^ 2/ 2/ J
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование t = хкут, z = xyx/y приводит к
уравнению второго порядка.
14 «'" -vx-3
1Ч* Уххх — УЛ
2/
2у"
Частный случай уравнения 3.5.5.13. Преобразование z = xyfx/y, w = х2у"х/у приводит
к уравнению первого порядка: (w + z — z2)w'z = 2w — zw + F(z, w).
л s- III t~\ / ' " \
15. yXxx = F(x, y, yx, yxx).
Преобразование Лежандра х = w't, |/ = tt^J — w приводит к уравнению
/// т-, / / , / , 1 \/ //\3
wttt =-F[wt,twt-w,t, —n-)(wtt) .
16. yZx = e-~F(e~t/, e5^, e^l).
Замена ^ = еаж|/ приводит к автономному уравнению вида 3.5.5.9:
/// о " i о 2 / 3 7-1/ / // о Г i 2 \
^ЖЖЖ - За^жж + За ?ж - а z = F(z, zx - az, zxx - 2azx +a z).
17. yZxyy,
^ У
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «сдвига-растяжения». Преобра-
Преобразование z = eaxy, w = ух/у приводит к уравнению второго порядка:
z2(w-\-aJw'z'z-\-z2(w-\-a)(w'z) -\-z(w-\-a)(Aw-\-a)w'z-\-w2' = F(z, w, z(w-\-a)wz-\-w2).
ia III —3 i-i/ my I 2 II \
18. yxxx = x F(x ey, xyx, x yxx).
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «растяжения-сдвига». Преобра-
Преобразование z = хшеу, w = ху'х + т приводит к уравнению второго порядка:
z w wzz + z w(wz) + zw wz — 3zwwz + 2w — 2m = F(z, w — m, zwwz — w + m).
4. Уравнения четвертого порядка
4.1. Линейные уравнения
4.1.1. Предварительные замечания
1°. Линейное неоднородное уравнение четвертого порядка имеет вид
Uy'xxxx + hVxxx + hy'L + fiy'x + foy = g(x), fk = fk(x). A)
Пусть yo = yo(x) — нетривиальное частное решение соответствующего однородного уравнения
(при д = 0). Замена
у = уо(х) Jz(x)dx B)
приводит к линейному уравнению третьего порядка:
fayoz" + D/4?/о + hyo)z" + (б/42/о + 3/з2/о + /22/0J' + D/42/о" + 3/з2/о + 2/2?/о + /12/0J = g,
где штрихи обозначают производные по х.
2°. Пусть |/1 = у\ (х) и у2 = ?/2 (х) —два нетривиальных линейно независимых решения
однородного уравнения A) при д = 0. Замена
У = yi I y2W dx - 2/2 / 2/1 ™ ^ж
приводит к линейному уравнению второго порядка:
/4Aiw" + (З/4А2 + /3A1V + [/4(ЗА3 + 2s) + 2/3А2 + /2Ai]iy = р,
где
А/ / д // II \ Ш HI III III
1 = У1У2 - У1У2, A2 =y1y2- yiy2 , Д3 = yx y2 - yxy2 , e = yxy2 - У1У2 •
4.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции
1°. Решение при а = 0:
у = С1+С2х + С3х2 + С4ж3.
2°. Решение при а = 4к4 > 0:
г/ = Ci ch А;ж cos kx + С2 ch kx sin &ж + Сз sh kx cos А;ж + Са sh А;ж sin А;ж.
3°. Решение при а = —к4 < 0:
у = Ci cos &ж + Сг sin &ж + Сз ch А;ж + С a sh &ж.
2. 2/™шш + \у = ах3 + Ъх2 + еж + s, Л ^ 0.
Решение: ?/ = —(ах +Ъх + сх + s) + w(x), где w(x) — общее решение уравнения
4.1.2.1: w'^xx + Xw = 0.
3. y'"L* = аху + Ь.
Частный случай уравнения 5.1.2.4 при п = 4.
4. 2/жжжж = «ж ?/•
При т = —2, —4, —6, —8, —9 см. соответственно уравнения 4.1.2.34, 4.1.2.42, 4.1.2.48,
4.1.2.49, 4.1.2.54.
Преобразование ж = t, у = и>?~3 приводит к уравнению аналогичного вида:
508 Уравнения четвертого порядка
5. ухххх + аух + by = 0.
Частный случай уравнения 4.1.2.24.
6. 2/""жж + 2ау'х — а2х2у = 0.
Частный случай уравнения 4.1.2.13 при п = 1.
7. 2/"!. + 4ож^ + Bа - а2хА)у = О.
Частный случай уравнения 4.1.2.13 при п = 2.
8. ?/""жж + «жBЬ - За - а2ж2)^ + ЬBа - Ъ + а2ж2)?/ = 0.
Замена и> = г/^ж — аху'х + &?/ приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.28:
w'xx + ажгу^. + Bа - 6 + a2x2)w = 0.
9. ухххх + axrny'a. — Sax111' гу = 0.
Частное решение: уо = х . Замена 2 = ж^ — Зу приводит к уравнению третьего порядка
вида 3.1.2.7: z^xx + axmz = 0.
Интегрируя, получим уравнение третьего порядка: у'ххх + ахту = G.
11. 2/""жж + а-х^у'п + а(га + З^™?/ = 0.
Преобразование х = t-1, у = и>?~3 приводит к уравнению вида 4.1.2.10: ги"/^ +htnw't +
+ bntn~1w = 0, где 6 = —а, п = — m — 6.
12. 2/""жж + Ьж™^ - а(а3 + Ьж™)^ = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.1 при / = Ъхш.
13. ухххх + 2апжТ1-1^ + а[п(п - 1)хп-2 - ах2п]у = 0.
Замена w = ухх + ажп|/ приводит к уравнению второго порядка вида 2.1.2.7:
w" _ arnw — n
14. 2/^'жж + (axn + 63)^ + abxny = 0.
Частное решение: уо = e~
15. ухххх + (аж71^1 + bxn)y'x — ахпу = 0.
Частное решение: ?/о = аж + 6.
16. 2/""жж + Ъаухх + а2?/ = 0.
(С\ + Сгж) cos(A;x) + (Gз + G4ж) sin(A;x) при а = к2 > О,
(Gi + Gгж) ехр(&ж) + (Gз + G4ж) ехр(—кх) при а = —к2 < 0.
17. ухххх + (а + Ь)ухх + абт/ = 0.
При а = b см. уравнение 4.1.2.16. Пусть а фЪ.
1°. Решение при а = а2 > 0, 6 = /З2 > 0:
у = d cos(ax) + C2 sin(ax) + Gз cos(/3x) + ft sin(/fo).
2°. Решение при а = а2 > 0, 6 = —/З2 < 0:
у = ft cos(ax) + ft sin(ax) + ft ехр(/3ж) + ft exp(—/5ж).
3°. Решение при а = -а2 < 0, 6 = /52 > 0:
4°. Решение при а = -а2 < О, Ъ = -/З2 < 0:
у = ft ехр(аж) + ft ехр(—аж) + ft ехр(/3ж) + ft exp(—/Зх).
4.1. Линейные уравнения 509
18. С - 2a2t,L + а" у - \(ах - b)(y'L - а2у) = 0.
Это уравнение встречается в теории турбулентности. Полагая
z(x) = ухх - а2у, A)
получим линейное уравнение второго порядка вида 2.1.2.12:
zxx — Oj z — Х(ах — b)z = 0. B)
Если даны краевые условия
4 i4(l) = 0, C)
то решение уравнения A), удовлетворяющее двум первым условиям C), можно записать
следующим образом:
2ау = еах Г e~axzdx - е~ах Г еах
Jo Jo
idx.
Jo Jo
Чтобы выполнялись два последних условия C), следует взять решение уравнения B),
удовлетворяющее интегральным соотношениям:
/ e~axzdx= f eaxzdx = 0.
Jo Jo
19. y'"Lv + axny"x + b(axn - b)y = 0.
1°. Частные решения при b > 0: yi = cos(xv^), у2 = sin (ж
2°. Частные решения при b < 0: у\ = ехр(—xy/^-b), 2/2 = е:
Замена w = у"х + by приводит к линейному уравнению второго порядка:
x + (а%п ~ b)w = 0.
20. y'Z^ + ахп+гу'Ла - 4ахпу'х + бах^у = 0.
Частные решения: у\ = ж2, у2 = х3.
Замена ги = х2у"х — 4хух + 6|/ приводит к линейному уравнению второго порядка
вида 2.1.2.7: w"x + axn+1w = 0.
21. 2/""жж + Юохпу;;и + Wanx^y'n + [3an(n - l)^ + Эа2^271]^ = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.26 при / = ахп.
22. y'"L* + (ажп + 6J/L + abxny = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: ?/i = со8(жлА), 2/2 = sm{x\/b).
2°. Частные решения при Ъ < 0: ?/i = ехр(—xy/^b), у2 =
Замена и> = г/^ж + by приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.2.7:
+ axnw = 0.
23. 2/жжжж + ayxx +bx yx + Ьггж пу = sx .
Интегрируя, получим уравнение третьего порядка:
2/жжж + аУхх + ^n|/ = s / жт с/ж + С.
24. ?/""жж + а>зу"'хх + «22/жЖ + «i?/L + «о?/ = 0.
Уравнение с постоянными коэффициентами. При ао = 0 замена ги(ж) = |/i приводит к
уравнению третьего порядка. Пусть ао/0 и ^(А) = Л4 + аз А3 + агА2 + сцА + ао —
характеристический многочлен.
510 Уравнения четвертого порядка
1°. Пусть Р(А) = (A —Ai)(A —А2)(А —Аз)(А —А4), где А1,А2,Аз,А4—действительные
числа. Возможны следующие случаи:
a) все Х{ различны:
у = Cie г + О2е 2 + Озе 3 + О4в 4 ;
b) Ai = А2; A3 и А4 различны и не равны Аь
у = (Ci + С2ж)еЛ1Ж + С3еЛзЖ + С4еЛ4Ж;
c) Ai = А2 = Аз / А4:
у = (Ci + С2ж + С3ж2)еЛ1Ж + С4еЛ4Ж;
d) Ai = А2 = A3 = А4:
2/ = (Ci + С2ж + С3ж2 + С4ж3)еЛ1Ж.
2°. Пусть Р(Л) = (А — Ai)(A — А2)(А2 + 2b\X + bo), где Ai и А2 действительны, а
Ъ\ —Ъо < 0. Возможны следующие случаи:
a) Ai ф А2:
[ () С4 sin (
b) Ai = A2:
2/ = (Ci + С2ж)еЛ1Ж + е-&1Ж[С3 cos(^) + C4 si
3°. Пусть Р(Л) = (А2 + 2hi\ + 60)(А2 + 2fc\ + /30), где Ь\ - Ьо < 0 и /3? - Д) < 0.
Возможны следующие случаи:
a) Fi-/3iJ + Fo-A)J/0:
2/ = e"&lX[Ci cos(//x) + С2 sin(//x)] + e~0lX[C3 cos(W)
где fi = д/бо - bf, 1/ = д/Д) -/З2;
b) 61 =0иЪо=0о:
у = e~blX[(Ci + C2x)cos(>e) + (С3 + С4ж) s
Решение:
4
где Xi — корни биквадратного уравнения А4 — 6аА2 + За2 = 0.
26. Ухххх + (ах + Ь)ух'хх + [Ь(а + с)ж + с]ухх + Ь2сху'х — Ъ2су = 0.
Частные решения: г/i = ж, у2 = е~ х.
~~ till П III ill 1 П
27. 2/жжжж = «ж 7/жжж + Ъух — аох у.
Частные решения: ук = exp(Afcx) (к = 1, 2, 3), где Хк — корни кубического уравнения
А3 - Ъ = 0.
/% *"» //// ¦ 77,—г" 3 /// л-» 77,—г" 2 // | л 77,—1-Х / •» 77, g~\
28. уХххх + аж 2/жжж — Заж ^ т/жж + бах ух — бах у = 0.
Частные решения: г/i = х, у2 = х2, уз = х3.
Замена w = х3у'ххх — Зх2ухх + 6x|/^ — 6у приводит к линейному уравнению первого
порядка: wx + axn+sw = 0.
29. Ух"х'хх + a»nCe + tem+1l/«« - 2Ьхту'а + гбж^-1./ = 0.
шения: у\ = ж, у2 = х .
ги = х2у"х — 2ху'х + 2|/ пр
n+1 - 2)w'x + 6xm+2w; = 0.
Частные решения: у\ = ж, у2 = х .
Замена ги = х2у"х — 2ху'х + 2|/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
'l +1 ' +2
4.1. Линейные уравнения 511
30. Ухххх + ахПУххх + Ьхгпухх + асхпух + сFжтгг — с)т/ = 0.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos(xy/c), |/2 = sin(xv/c).
2°. Частные решения при с < 0: у\ = ехр(—ху/^с), у2 = ехр
Замена гу = г/^ж + С2/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
w'xx + axnwx + (Ъжт — c)w = 0.
31. Ухххх ~\~ Q'3criyxxx ~\~ (Ьж771 -|- с)ухх -\- асхпух -\- bcxrny = 0.
1°. Частные решения при с > 0: ?/i = cos(xy/c), 1/2 = sin(xv/c).
2°. Частные решения при с < 0: у\ = ехр(—ху/^с), у2 = ехр(ж^/^с).
Замена г^ = г/^ж + с|/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
wxx + axnwx + 6xmw; = 0.
32. хухххх + 47/^ж + аху = 0.
Замена w(x) = ж|/ приводит к уравнению с постоянными коэффициентами вида 4.1.2.1:
шхххх ~т~ иw — и.
33. хухххх — 4туххх + аху = 0, т = 1, 2, 3, ...
Решение:
где гу = w(x) — общее решение уравнения с постоянными коэффициентами вида 4.1.2.1:
W'xxxx + aW = 0-
34. х2ухххх = ay.
Частный случай уравнения 5.1.2.23 при п = 2.
35. Ж2?/""жж - 2(аж2 + 6)?/1 + а(ах2 + 4)у = 0.
Частные решения: у\ =х~1^211/2(ху/а), у2=х~1^2 К1/2(ху/а) ,тдо I1/2(z) nK1/2(z) —
модифицированные функции Бесселя.
36. ж 2/жжжж + 6хуххх + 6т/жж — Л у = 0.
Уравнение поперечных колебаний остроконечного стержня.
Решение:
у= -^[Ci
где Ji(^) и У1(^) — функции Бесселя, I\(z) и К\(z) — модифицированные функции
Бесселя.
37. я3»™'™ + 2(о + 2)xy':L + (о + 1)(о + 1)y'L - Ь4у = О.
Решение:
у = X-a/2[ClJa({) + C2Ya({) + Сз1а@ + С*Ка({)],
где ^ = 2by/x, Ja(O и Ya(?) — функции Бесселя, /а(?) и Ка(?)—модифицированные
функции Бесселя.
38. ж ухххх + 8хуххх + 12т/жж + аж т/ = 0.
Замена w(x) = ж2^/ приводит к уравнению с постоянными коэффициентами вида 4.1.2.1:
xxxx
39. ж 2/жжжж + Sxyxxx + 12т/жж = аж т/ + о.
Замена гу(ж) = ж2^/ приводит к уравнению вида 4.1.2.3: wxxxx = axw + 6.
40. х2Ух"х'хх + аж^ж + (Ьх^1 + cJ/L + (а - 4)^"^ + Ь(с - 2а + 6)жтг-12/ = 0.
Замена w(x) = ж2^ж + (а — 4)жг/?. + (с — 2а + 6)г/ приводит к уравнению второго порядка
вида 2.1.2.7: w"x + bxn-1w = 0.
512 Уравнения четвертого порядка
41. х3ухххх + 2х2ух'хх - хухх + у'х - а4х3у = 0.
Решение:
у = CiJ0(ax) + C2Y0(ax) + C3Io(ax) + CaKq{ux),
где Jo(z) и Yo(z) — функции Бесселя, Io(z) и Ko(z)—модифицированные функции
Бесселя.
42. x^y'l'L* = ay.
Решение:
у =
где /ci,2 = у ± ^/т + л/а + 1, fo,4 = f- ± ^J\ - л/а + 1.
43. ж4^'жж + АзЖ32/^ж + ^2ж22/1 + А1Ж2/; + Ао?/ = 0.
Уравнение Эйлера. Замена t = In |ж| приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами вида 4.1.2.24:
y't'ut + (Аз - Ъ)у'т + (И - ЗАз + A2)y't't + BА3 - А2 + Ах - 6)y't + Аоу = 0.
44. itV™ + 2хау'?а - Bа2 + l)x2y'L + Bа2 + 1)х»; - [Ь4ж4 - а2 (а2 - 4)]t, = О.
Это уравнение описывает формы свободных поперечных колебаний тонкой упругой
круглой пластины. Оно получается в результате разделения переменных в двумерном
уравнении A Aw — b4w = 0, где А — оператор Лапласа, записанный в полярной системе
координат (х — полярный радиус).
Решение:
У = ClJa{bx) + C2Ya(bx) + Сз1а(Ьх) + CiKa{bx),
где Ja(z) и Ya(z) — функции Бесселя, Ia(z) и Ka(z) — модифицированные функции
Бесселя. В приложениях обычно а = п, где п = 0, 1, 2, ...
® Решение указано А. Л. Поповым A998).
45. ж4^и
Пусть п — натуральное число. Решение:
4
~п
у = х~п 2^. Си ехр(\их)Ри(х), а ф О,
и = 1
где Хи —четыре различных корня уравнения Л4 + а = 0, а Р*, (ж) —некоторый многочлен
степени не выше An. При а = 0 имеем уравнение Эйлера 4.1.2.43.
46. х4у'Лхх + 2B - n)xsyZ* + A - п)B - п)»2^ - а4^!/ = 0.
Решение:
где ^ = —хп'2; Jv(?) и У1/@ — функции Бесселя, Iv(?) и Ки(?)—модифицированные
п
функции Бесселя.
Ail 4 //// . л 3 /// . г л 4 ¦ /—• 2 »2\ 2п // ¦
47. ж з/жжжж + 6ж ?/жжж + [4ж + G - а - Ь )х ]ухх +
+ жA6ж2 + 1 - а2 - Ъ2)у'х + (8ж2 + а2Ъ2)у = 0.
Решение при аЪ / 0:
2/ = Ci ^(ж)Л(ж) + С2 Mx)Yv(x) + СзУЛж)Л(ж) + С4УЛж)У,(ж),
где Jfj,(x) и У/х(ж) — функции Бесселя; 2/1 = а + b, 2v = а — Ь.
48. ж*3^'^ = ау.
Частный случай уравнения 5.1.2.24 при п = 2.
49. zVL = at,.
Преобразование х = t, у = wt~s приводит к уравнению с постоянными коэффициен-
коэффициентами вида 4.1.2.1: г^^ш = aw-
4.1. Линейные уравнения 513
50. ж ухххх + 4ж уххх = ау.
Замена w(x) = ху приводит к уравнению вида 4.1.2.49: xsw'"xXX = aw.
51. (ах + бL (еж + dfy'Zxx = ку.
Преобразование ? = In , w = — приводит к уравнению с постоянными
сх + d (cx + d)s
( )
коэффициентами.
52. (ах + Ьх + с) 2/жжжж = &2/
Преобразование ? = / — , гу = -— -гттт приводит к уравнению с
J ах2+Ьх + с (ах2 + Ьх + сK/2
постоянными коэффициентами:
где D = 62-
53. (ах + бJ (еж + dNyxxxx = ку.
AПГ I /) 7/
Преобразование ? = , w = — приводит к уравнению вида 4.1.2.34:
cx + d (cx + d)s
^2 //// 7 Л—4 Д 7 7
? ^^^ = лА гу, где А = аа — ос.
54. xeyZ!Lm=ay + bx*.
Преобразование х = t~1, у = г^^~3 приводит к уравнению вида 4.1.2.3: 4wt = a?u> + 6.
55. (ах + b)9yxxxx = (сх + d)?/.
Преобразование ? = , w = —- приводит к уравнению вида 4.1.2.3:
ax + b (ax + b)s
W???? = А~ ?г^, где А = ad — be.
4.1.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные, гиперболические и
логарифмические функции
1. y"L* + а3у'х + Ьеах(а2 - Ьеах)у = 0.
Замена w = у"х + ayfx + beaxy приводит к линейному уравнению второго порядка вида
2.1.3.10: w'lx - aw'x + (a2 - beax)w = 0.
2. Ухххх + аеЛж^ - (а6еЛж + Ь4)у = 0.
Частное решение: уо = е х.
3. 1С,, + 2а\еХ!Ву'х + о(А2еЛш - ое2^)!/ = 0.
Замена w = у"х + аеХху приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.1:
wxx - aeXxw = 0.
4. Ухххх + (аеЛж + Ь3)у'х + а6еЛаз2/ = 0.
Частное решение: г/о = е~&ж.
5. 2/Гжж + (аж + Ь)еХху'х - аеХху = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
6. ?/""жж + aeAjcs/l - Ь(аеЛж + Ь)у = 0.
1°. Частные решения при Ъ > 0: г/i = ехр(—xVb), y2 =
2°. Частные решения при Ъ < 0: г/i = со8(жл/^5), г/2 =
Замена г^ = ухх — by приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.10:
wxx + (аеХх + b)w = 0.
33 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
514 Уравнения четвертого порядка
7. С + (« + beXx)y'L + abeXxy = О.
1°. Частные решения при а > 0: г/i = cos(xy/a), 2/2 = sin(xy/a).
2°. Частные решения при a < 0: yi = ехр(—ху/—а), г/2 = ехр(ж^/—а).
Замена и> = г/"ж + аг/ приводит к линейному уравнению второго порядка вида 2.1.3.1:
w"x + beXxw = 0.
8. ухххх + lOae^tyL + 10а\еХху'х + (ЗаЛ2еЛж + 9a2e2Ajc)ty = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.26 при f(x) = аеХх.
9. iC,. + aj/4'L + ЬеХяу'т + оЬеЛш2/ = 0.
Частное решение: г/о = е~аж.
-I л "" Лаз /// | 1 I 1 Лаз
Ю. ухххх = ае уххх + Ьух - abe у.
Частные решения: у к = е^кХ (к = 1, 2, 3), где /3 k —корни кубического уравнения
/3s - Ъ = 0.
П. y"L* + aeXxyZx + be^l + асеЛаг^ + с(Ье»* - с)у = 0.
1°. Частные решения при с > 0: г/i = cos(xy/c), г/2 = sin(xy/c).
2°. Частные решения при с < 0: г/i = ехр(—ху/^с), г/2 =
Замена г^ = г/^ж + С2/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
wlx + aeXxw'x + Fе^ж - c)w = 0.
12. ухххх + aeXxyZ* + (&е^ж + с)^ + aceAjctya3 + bce^y = 0.
1°. Частные решения при с > 0: г/i = cos(xA/c), г/2 = sin(xv/c)-
2°. Частные решения при с < 0: г/i = ехр(—ху/^с), г/2 = ехр(ж^/^с).
Замена ги = г/^ж + сг/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
w'nx + аеЛж^ + be^w = 0.
-(/> //// | 3 Лаз /// о 2 Лаз // ¦ л Лаз / л Лаз г\
13. 2/азазазаз + О.Х В уххх - ЗСЬХ В ухх + баЖв 1уж - бав ty = 0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2, уз = х3.
Замена w = х3ух'хх — Зх2у"х + 6ху'х — 6у приводит к линейному уравнению первого
порядка: w'x + axseXxw = 0.
14. (аех + Ь)Ух"х'хх = аеху.
Частное решение: г/о = аеж + 6.
15. (ахт + 6еш + c)iCM = be^j/, го = 1, 2, 3.
Частное решение: г/о = ажт + Ьех + с.
16. (ахгпех + 6)^шш = 6у, т = 0, 1, 2, 3.
Частное решение: г/о = ажт + 6е~ж.
17. ?/"".. + ЬехрСАж") t/L + о[Ье*р(\хп) - а]у = О.
Частный случай уравнения 4.1.5.5 при /(ж) = 6ехр(Лжп).
18. #""жж + [а + 6exp(A^Tl)]tyL + а6ехр(Лжтг) ty = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.6 при f(x) = 6ехр(Лжп).
19. С + Ь sh" (Ax) J/L + о[Ь sh" (Аж) - о]W = О.
Частный случай уравнения 4.1.5.5 при f(x) = 6shn(Ax).
20. С + [о + Ь sh" (Аж)]^ + ab sh"(Ах) » = О.
Частный случай уравнения 4.1.5.6 при f(x) = 6shn(Ax).
4.1. Линейные уравнения 515
21. y'"L* + b ch" (Ax) y'L +a[b ch" (\x) - a]y = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.5 при f(x) = bchn(Xx).
22. yZ'L* + [а + Ь chn{\x)]y'^ + ab ch"(Aa;) у = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.6 при f(x) = 6chn(Ax).
23. (ажт + Ъ ch ж)?/""жж = b ch ж ?/, т = 1, 2, 3.
Частное решение: г/о = «жт + 6 ch ж.
24. (ажт + Ь sh х)ухххх =bshxy, m = 1, 2, 3.
Частное решение: г/о = ажт + frshx.
25. ж2?/""жж + 2аж^ - а[1 + аж2 \п2(Ъх)]у = 0.
Замена г^ = у"х + а1пFж)г/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
wxx — aln(bx)w = 0.
26. yxxxx + a In (Лж)(ж ?/жжж - Зж 7/жж + 6ж?/ж - 6у) = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.15 при /(ж) = alnn(Ax).
4.1.4. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1. С + 2«Ь соз(бж) ^ - a[62 sin(bx) + a sin2 Fж)]т/ = 0.
Замена w = у'^х + asinFx)iy приводит к линейному уравнению второго порядка вида
2.1.6.3: w'lx -asin(bx)w = 0.
2. Ухххх + asinw(A«) i/L + 6[asinw(A«) - б3]./ = 0.
Частное решение: уо = е~ х.
3. С + [о sin" (А*) + Ъ*\у'т + ab sin" (\x)y = 0.
Частное решение: уо = е~ х.
4. С + «tgn (Asu) yL + b[a tgn (Aaj) - Ь3]у = 0.
Частное решение: уо = e~te.
5. wi'i'... + [otg"(Ax) + bs]y'x + abtSn(\x) у = 0.
Частное решение: уо = e~te.
6. С + « sin" (Аж) j/L + Ь[а sin" (Аж) - Ь]у = 0.
Замена w = г/^ж + ^2/ приводит к линейному однородному уравнению второго порядка:
w'lx + [asinn(Xx) - b]w = 0.
7. ухххх + [а + б8тТ1(Аж)]2/1 + absinw(A«) у = 0.
Замена гу = г/^ж + а2/ приводит к линейному однородному уравнению второго порядка:
wxx + Ь sinn (Xx) w = 0.
8. 2/Гжж + ЬtgTl(Aж) 7/L + a[6tgTl(Aж) - а]у = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.5 при f(x) = 6tgn(Ax).
9. С + [о + Ь tg" (Ajb)]»;',. + ab tg" (Ajb) у = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.6 при f(x) = 6tgn(Ax).
Ю. С + «sin"(AaO (я8»™. - 3*2t,L + вх»; - ву) = 0.
Частный случай уравнения 4.1.5.15 при /(ж) = asinn(Ax).
• 2/жжжж = a sin (Лж) уххх + 6т/ж — ab sin (Лж) т/.
Частные решения: у к = е^'8"' (к = 1, 2, 3), где Д —корни кубического уравнения
/З3 - Ъ = 0.
33*
516 Уравнения четвертого порядка
12. С = «tgn (Ax) y':L + by'. ~ "Ь tgn (Asc) W.
Частные решения: г/& = е^кХ (к = 1, 2, 3), где /3 k — корни кубического уравнения
Cs - Ъ = 0.
13. x2yf:fJxx + a sinn(Ax) (x2yf:x - 4ху'х + by) = 0.
Замена гу = ж2 г/ж ж ~~ 4жг/^ + 6г/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
w'xx + а sin72 (Аж) w = 0.
14. sin4 х ухххх + 2 sin3 x cos ж ty"L + sin2 x (sin2 ж - 3) ?/"ж +
+ sin ж cos ж B sin2 ж + 3) ух + (a4 sin4 ж — 3)т/ = 0.
Уравнение жесткой нагруженной сферической оболочки.
Если а4 = 1 — Л2, то уравнение можно записать в виде
72 I
LL(j/) - Х2у = 0, где L =-^-+ ctgx—- ctg2 ж.
Уравнение распадается на два уравнения второго порядка:
L(y) + Ху = 0, L(j/) - Aj/ = 0,
отличающихся лишь знаком параметра А. Преобразование ^ = sin2 ж, w = у/ sin ж
приводит эти уравнения к гипергеометрическим уравнения вида 2.1.2.158:
?« - 1)г4 + (К - 2Н + "И1 Т А)и; = 0.
15. (a cos ж + Ъ)ухххх = a cos ж т/.
Частное решение: уо = a cos ж + 6.
16. (аж + b cos x)yxxxx = b cos ж т/.
Частное решение: у о = аж + Ь cos ж.
17. (ажт + bcosx)yxxxx = bcosxy, m = 2, 3.
Частное решение: г/о = ажт + 6 cos ж.
18. (a sin ж + b)yxxxx = a sin ж ty.
Частное решение: уо = a sin ж + 6.
19. (аж + 6 sin x)yxxxx = b sin ж ty.
Частное решение: г/о = аж + Ъ sin ж.
20. (аж™ + Ъ sin х)ухххх = b sin ж ty, га = 2, 3.
Частное решение: г/о = ажт + 6 sin ж.
4.1.5. Уравнения, содержащие произвольные функции
> Обозначения: f, g, h — произвольные функции аргумента ж; а, Ь, с — произвольные
параметры.
1. »--- + Л? - о(/ + а3)у = О.
Частное решение: уо = еах.
2. С + (/ + «3Ы + «/У = О.
Частное решение: уо = е~ах.
3. 2/шшшш + ж/Уш - З/з/ = 0.
Частное решение: г/о = ж3. Замена г = жг/^ — Зг/ приводит к линейному уравнению
третьего порядка: z"xx + xfz = 0.
4. 2/шшшш + («ж + b)fyx - afy = 0.
Частное решение: г/о = аж + 6.
4.1. Линейные уравнения 517
5. y"L* + fy'L + a(f - a)y = 0.
1°. Частные решения при а > 0: yi = cos(xy/a), у 2 = sin(xy/a).
2°. Частные решения при а < 0: г/i = ехр(—хл/^а), у2 = ехр
Замена w = г/"ж + аг/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
Wxx + (/ - °)W = 0-
6. 2/""жж + (/ + a)?/L + afy = 0.
1°. Частные решения при а > 0: г/i = cos(xy/a), 1/2 = sin(xy/a).
2°. Частные решения при а < 0: ?/i = ехр(—ж^/—a), 1/2 = ехр(ж^/—a).
Замена w = г/^ж + ау приводит к линейному уравнению второго порядка:
7. y"L* + f(x)(x2y':x - 4ху'х + ву) = 0.
Частные решения: у\ = ж2, у2 = х3.
Замена w = ж22/жЖ — ^ху'х + 6^/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
2
8. Уъъъъ + («ж2 + Ъх + c)fy"x — 2а f у = 0.
Частное решение: г/о = ах2 +Ъх + с.
9. 1/^. + fy"L + ЗДУш - 2ду = 0.
Частное решение: уо = х .
Ю. iC- + /J/4'L - 2a3»;'. - a2/^ + а4у = О.
Частные решения: у\ = е~ах, уъ = еах.
П. »«;«. + /J/4'L + ffW». + a/?/i + а(д - а)у = О.
1°. Частные решения при а > 0: г/i = cos(xy/a), у2 = sin(xy/a).
2°. Частные решения при а < 0: г/i = ехр(—ж^/—а), г/2 = ехр(ж^/—а).
Замена ги = г/^ж + а2/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
<х + f< + {9- а)и> = 0.
12. 2/""жж + /2/L'L + (9 + a)?/L + a/?/L + о>9У = 0.
1°. Частные решения при а > 0: г/i = cos(xv/«), 2/2 = sin(xv/a)-
2°. Частные решения при а < 0: г/i = ехр(—ж^/—а), г/2 = ехр(ж^/—а).
Замена w = г/^ж + аг/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
13. y"L* + /у^ш + gy'L + ж/»1/« - Лу = 0.
Частное решение: г/о = ж.
14. у'™аа + /(ж)у^в + 9(x)(x2yf:x - 2хух + 2у) = 0.
Частные решения: г/i = х, г/2 = ж2.
Замена г = х2у"х — 2ху'х + 2г/ приводит к линейному уравнению второго порядка:
xzxx + О/ - 2)z'x + ж3р? = 0.
15. у™аа + f(x)(x3yZx ~ Зж2?/1 + 6ж^ - 6у) = 0.
Частные решения: г/i = х, г/2 = ж2, г/з = х3.
Замена w = х3у'ххх — Зх2ухх + 6ху'х — 6г/ приводит к линейному уравнению первого
порядка: w'x + x3 fw = 0.
-, Г 1111 П III | / О
16. ухххх = fyxxx + аух - afy.
Частные решения: у к = еХкХ (к = 1, 2, 3), где А& —корни кубического уравнения
Л3 - а = 0.
518 Уравнения четвертого порядка
17. С = (/ - оI»~- + (о/ - b)y'L + (bf - с)у'т + cfy.
Частные решения: у к = еХкХ (к = 1, 2, 3), где А& —корни кубического уравнения
Л3 + аЛ2 + Ъ\ + с = 0.
18. 2/""жж + (/ + a)y"Lx + (а/ + 0 + ахд)у"х + а2хду'х - а2ду = 0.
Частные решения: г/i = х, у2 = е~ах.
19. Ушттт + (/з + сь)у'ххх + (Л + af3)y"x + (/i + Q>h)v^ + a/itf = О,
где Д = Д(ж) (fe = 1, 2, 3).
Частное решение: г/о = е~ах.
20. Ж2/;'4'жж + 4»;';и + аху = f(x).
Замена w(x) = xy приводит к линейному неоднородному уравнению с постоянными
коэффициентами: w'^!cxx + aw = f(x).
21. xy'Z™ + vfv'm - [(« + 1)/ + x + 4]y = 0.
Частное решение: г/о = жеж.
22. ж2^'а,ж + oxwi'i,. + (x2f + b)y'L + (a- 4)xfy'm + (b - la + 6)fy = 0.
Замена u> = x2y"x + (a — 4)жг/^ + (b — 2a + 6)г/ приводит к линейному уравнению второго
порядка: wxx + fw = 0.
23. x*yxxxx + ax3yxxx + xfyx + (a - S)fy = 0.
Частное решение: уо = x ~a.
24. »;';'„„ + fy'm + fLy = g.
Интегрируя, получим линейное уравнение третьего порядка: уххх + fy = I gdx + С.
25. Ухххх + 2fLyL + (/1 — f2)y = 0.
Замена u> = г/^ж + /|/ приводит к линейному уравнению второго порядка: wxx — fw = 0.
26. ;*/""жж + Ю/iyL + Wfxy'x + C/4'ж + 9f2)y = 0.
Решение:
где u>i и г^2 — фундаментальная система решений линейного уравнения второго порядка:
wxx + fw = 0.
27. tfc^ + (/ + g)y'L + 2/itfc + (/^ + fg)y = 0.
Замена w = г/^ж + /l/ приводит к линейному уравнению второго порядка: wxx + gw = 0.
28. ic + в/»;';„ + D/4 + и/2 + io9)j/L + (/;'и + 7//; + в/3 +
+ 30/g + 10д'т)у'а + 3B/^g + bfg'm + 6/2g + 9L + 3g2)y = 0.
Решение:
у = Ciwf + C2WIW2 + C3W1W2 + C4WI,
где it7i и г^2 — фундаментальная система решений линейного уравнения второго порядка:
Wxx + /^ж + 9W = О-
29. (/2/L)L = 0.
Уравнение поперечных колебаний стержня.
Решение: у = d + С2х + / ^^(^з + C4t) dt.
Jxq J\t)
30. W;';'M + /»; + (/ tg ж - i)W = o.
Частное решение: г/о = cos ж.
4.2. Нелинейные уравнения 519
31. у""хх + fy'x - A + / ctg x)y = 0.
Частное решение: уо = sin x.
32. у""хх = f(x)y.
Преобразование х = t~1, у = wt~3 приводит к уравнению аналогичного вида:
w'tm = t~8f(l/t)w.
33. у"" =
Преобразование ? = , w = -—-—— приводит к более простому уравнению:
сх + d (сх + dN
= A~ f(Qw, где А = ad — be.
34. y'"La, + f(x)y'm + g(x)y + h(x) = 0.
Преобразование x = t-1, у = wt~3 приводит к уравнению аналогичного вида:
4.2. Нелинейные уравнения
4.2.1. Уравнения, содержащие степенные функции
Умножим обе части уравнения на у5^3 и продифференцируем полученное выражение
по ж. В результате получим
ЗУУХЪ) + Ьу'хУх'х'хх = 0.
Интегрируя трижды это уравнение, имеем цепочку равенств
^УУхххх + ^УхУххх - КУхх) = 2С2, A)
Зуу"х - 2(ухJ = С2х2 + Cix + Со, C)
где Со, Ci, С2 —произвольные постоянные. Исключая из A)-C) с помощью исходного
уравнения старшие производные, приходим к уравнению первого порядка:
BРух - ЗРхуJ = 9(С2 - 4:С0С2)у2 - 2Р3 + 54АРу4/3,
где Р = С2Х2 + Сix + Со- Подстановка у = (P/wK/2 приводит к уравнению с
разделяющимися переменными, интегрируя которое окончательно получим
-4С0С2) + bAAw - 2w3]~1/2— ± / -^- = С3.
Ухххх
2. »;
После однократного интегрирования имеем (т ф — 1):
2А m+i . 4
m+l , ^ х-7
у ^ + —С,
3
m + l 3
где С — произвольная постоянная. Замена ги(г/) = (ух) приводит к уравнению второго
порядка:
„-5/3
Значению G = 0 соответствует уравнение Эмдена — Фаулера, разрешимые случаи кото-
которого при частных значениях т приведены в разд. 2.3 (этим случаям соответствуют трех-
параметрические семейства частных решений исходного уравнения).
"" _ л -Зт-5 т
Ухххх — АХ У •
Преобразование x = t-1, y = t~3w(t) приводит к уравнению вида 4.2.1.2: wxxxx = Aw71
520 Уравнения четвертого порядка
Зтп+5
4 7'"' — 4т"—2—7/™
Частный случай уравнения 4.2.3.5 при f(w)= Awm.
5. y'"L* = (ay + bxk)m, к = 0, 1, 2, 3.
Замена au> = ay + 6xfc приводит к уравнению вида 4.2.1.2: wxxxx = amu>m.
6. ^"^(as + bL»™'..^»"*.
Частный случай уравнения 4.2.3.7 при /(ги) = сгит.
Зттг+5
Частный случай уравнения 4.23.9 при /(ги) = wm.
8. wZ» - faj/L + ^Г«22/ = Ь2/-5/3.
Преобразование ? = еЖл^, ги(?) = ^3^2у приводит к уравнению вида 4.2.1.1:
9. ^'L+^^^^-^V573.
Замена гу(ж) = ж|/ приводит к уравнению вида 4.2.1.1: w""xx = Аги~5/3.
Ю. XI,;':',.,. + 2yZ* = а(ху'х - у)т.
Замена w(x) = xy'x—y приводит к уравнению третьего порядка: w'xxx = awm (в разд. 3.2.2
указаны его решения при m =—у, —-|, —2, —у, —-|-, — у, 0, 1).
П. х2у':"^
Замена w{x) = х2у приводит к уравнению вида 4.2.1.1: wxxxx = аг^~5^3.
12. zVL + бж3?/^, + 7x2y'L + ху'т = ау-Ы\
Замена t = In |ж| приводит к уравнению вида 4.2.1.1: у'хххх = ау~5^3.
13. У Ухххх = ау'хУххх-
После однократного интегрирования получим уравнение третьего порядка уххх = Суа,
разрешимые случаи которого приведены в разд. 3.2.2.
14. 2/2/"!. + 4»:»:':и + Hy'Lf = ахп.
Частный случай уравнения 4.2.3.25 при f(x) = ахп.
л с //" I л I т I о/ " \2 —10/3
15. УУхххх + ^УхУххх + 3(ушш) = ау ' .
Замена w = у2 приводит к уравнению вида 4.2.1.1: wxxxx = 2au>~5/3.
^^ //// . я I in i 1 / " \2 / i l\ —1/2
16. УУхххх + -гУхУххх + -гКУхх) = (ах -\-Ь)у .
Преобразование ж = ж(?), |/ = (ж^) приводит к линейному уравнению с постоянными
коэффициентами: 2ж[5) = ах + Ъ.
17. 2/ 2/жжжж = 4т/ 2/ж2/жжж + Зу (ухх) - 6(ух) .
Частный случай уравнения 4.2.3.30 при / = 0.
Решение в параметрическом виде:
4 +
18. y'L Ухххх = a(y"LJ •
Решение: у = I Со + С\х + (С2 + Сзх) 1~а при а / 1,
+ Саж + G2 ехр(Сзж) при а = 1.
4.2. Нелинейные уравнения 521
Л ?\ Ч Hit 1 / '" \2 / / \ | /Э / |
19. уххухххх - -2-(уххх) = а(хух - у) + Рух + 7-
Дифференцируя по х, получим
v'L(vL6)-ax-P)=0. A)
Приравнивая второй сомножитель в A) нулю и интегрируя, находим решение:
у = а^- + /3^- + Ctx4 + Сзх3 + С2х2 + Сгх + Со.
6! 5!
Между постоянными интегрирования С к и параметрами а, /3, 7 существует связь
48 С2С4 - 18 Cl = -аС0 + Cd + 7,
которая получена путем подстановки указанного решения в исходное уравнение.
Другое решение, отвечающее равенству нулю первого сомножителя в A), имеет вид
C0, где аС0 - /3Ci - 7 = 0.
20. ухххх = ау ух(уххх) .
Частный случай уравнения 4.2.3.35 при f(y) = Ayk, g(w) = ws. При к = —1, s = 1
см. уравнение 4.2.1.13.
Первый интеграл имеет вид:
1
= С при fc ^ -1, s ^ 1; A)
\пуххх — у +1 = С при к ф — 1, s = 1; B)
-L / /// \1 — s л 1 /^ 7 1 1 /о\
\Уххх) — Ату = С при /с = —1, s = 1. C)
1 — s
При G = 0 равенство A) преобразуется к уравнению
1
а 1—s
которое рассматривается в разд. 3.2.2 (приведенные там решения порождают трехпараме-
трические семейства частных решений исходного уравнения при к = A — s)/3 — 1, где
Р — 2 ' 2 ' Z' 3 ' 6 ' 2 ' U' 1>'
4.2.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные, логарифмические и
тригонометрические функции
Частный случай уравнения 4.23Л при f(y) = аеЛу.
2. С™ = а(» + Ье*Г5/3 - Ьех.
Замена w = у + 6еж приводит к уравнению вида 4.2.1.1: wxxxx = аг^~5^3.
3. С = «»(» + Ьеж)т - Ьеж.
Замена w = у + Ьех приводит к уравнению вида 4.2.1.2: wxxxx = awm.
4. J/^'a,. - ^'L + бА2^ - 4A3j/4 + \4y = a exp(f\x)y-6/s.
Замена w(x) = ye~Xx приводит к уравнению вида 4.2.1.1: wxxxx = aw~5'3.
с- //// a\ fff 1 л \ 2 // yi \ 3 / 1 \ 4 ЛA —тп)ж m
5. ?/жжжж - 4Л?/ЖЖЖ + 6Л yxx - 4\ yx + \ у = ae K } у .
Замена w(x) = ye~Xx приводит к уравнению вида 4.2.1.2: wxxxx =
^ //// 1 A I III 1 o/ // \2 Лаз
6. УУХХХХ + ±yxyxxx + 3B/^) = ae .
Решение: ?/2 = С3ж3 + С2ж2 + Лж + Co + 2аЛеЛж.
522 Уравнения четвертого порядка
7. УУХХХХ + 4ухуххх + 3(?/жж) = а сЬ(Лж).
Решение: у2 = Сгх3 + С2х2 + С\х + Со + 2аЛ~4 сЬ(Лж).
8. УУХХХХ + ^Ухуххх + 3(ушш) = ath (Лж).
Частный случай уравнения 4.2.3.25 при /(ж) = ath.m(Xx).
9. y':'Jxx=alnm(by).
Частный случай уравнения 4.2.3.1 при /(г/) = а\пт(Ьу).
Ю. С =аЖ-5Aп?/-31па;).
Частный случай уравнения 4.23А при /(ги) = a\nw.
П. j/4'^ = ах-5/2B1пу - 31пж).
Частный случай уравнения 4.2.3.5 при f(w) = 2aln^.
12. »»;':',.. + 4^^'L + 3(j/LJ = a 1пгта(АЖ).
Частный случай уравнения 4.2.3.25 при /(ж) = alnm(Ax).
13. y'l'Lv =aCoSm(\y).
Частный случай уравнения 4.2.3.1 при /(г/) = acosm(A|/).
14. »;'4'M=otgm(A»).
Частный случай уравнения 4.2.3.1 при /(г/) = atgm(A|/).
15. уу""ша! + 4j? !?';„ + 3(»;'и)а = a coS(\x).
Решение: у2 = С3ж3 + С2х2 + С\х + Со + 2аЛ сов(Аж).
16. уу™т + 4yW:L
Частный случай уравнения 4.2.3.25 при /(ж) = atgm(Ax).
4.2.3. Уравнения, содержащие произвольные функции
1. ухххх = f{y).
Интегрируя, получим 2уху^хх - (уххJ = 2 J f(y)dy + 2С. Замена w(y) = \у'х\3/2
приводит к уравнению второго порядка:
„-5/3
Win, = —\ ТКУ) ay -\-b\w
Замена t = In |ж| приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.40.
3. ухххх = х f{—)'
Однородное уравнение. Преобразование t = In ж, w = у/х приводит к автономному
уравнению вида 4.2.3.40.
4. »Z» = x-*f(yx-a).
Преобразование х = t~1, у = wt~s приводит к уравнению вида 4.2.3.1: w"ttt = f(w)-
5. у':^т = х-5'2 f(yx-3'2).
Преобразование х = е?, у = xs/2w приводит к уравнению вида 4.2.3.17: w"lit ~ \wtt =
±w + f{w).
= f(y + olx* + f3x2
6. ухххх = f(y + olx* + f3x2
Замена w = у + ах3 + /Зж2 + 7^ + S приводит к уравнению вида 4.2.3.1: w'"xxx — f(w)-
4.2. Нелинейные уравнения 523
7.
Преобразование ? = In
4.2.3.40.
8. с =
ах + b
у
= -z— приводит к автономному уравнению вида
х°
Частный случай уравнения 5.2.6.21 при п = 4.
9. «Г.- = («*2 + Ь* + с)-В/
(аж2 + Ъх + с
1°. Преобразование ?= / — , w = -— -г-ттг приводит к автономному
J ах2-\-Ъх-\-с {ах2 + Ъх + сN'2
уравнению вида 4.2.3.17 для w = гу(?):
гу?^ --§-Дгу^ + ^-Д2гу =/(гу), где А = б2 - 4ас.
Поэтому после однократного интегрирования имеем
I т 1 / а \2 5 л/ '\2 9л2 2.//»/\л iy^f
гу€гу^--±-(гу^) - f А(г^) =--^-А гу + j f(w) dw + С.
о / ч | / 3/2
Замена 2;(гу) = \w^ приводит к уравнению второго порядка:
z'L, = ^Дг-1/3 + | [-JrAV + / /(«) dw + С] z-"\
2°. Первый интеграл исходного уравнения имеет вид
(Ру'х - lPLy)y':xx - ±P{y'L? + \PLvWL + Ъауу'1х - 2a{y'xf = j' f(w) dw + С,
где Р = ax2 +bx + c, w = yP~s/2.
10. y'l'L* =f(y + aex)-aex.
Замена w = у + aex приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.1: w'lxxx = f(w)-
И. у""хх = f(y + a ch ж) — а ch ж.
Подстановка w = у + achx приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.1:
<'L* = /М-
12. y'"Lx = f(y + ashx)-a shж.
Подстановка гу = |/ + ashx приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.1:
W'xxxx = f(W)-
13. у""хх = f(y + a cos ж) — a cos ж.
Подстановка гу = г/ + a cos ж приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.1:
W'xxxx = /О).
14. 2/жжЖЖ = f(y + a sin ж) — a sin ж.
Подстановка w = у + a sin ж приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.1:
W'xxxx = /О).
15. y""xx = f(y)y'x+g(x).
Интегрируя, имеем Ух"хх= I f(y)dy+ / д(х) dx + C. При д(х) = 0 порядок полученного
уравнения можно понизить на единицу с помощью замены w(y) = у'х.
16. ухххх = х f(xyx - у).
Преобразование t = In \x\, w = xy'x — у приводит к автономному уравнению третьего
порядка вида 3.5.5.9: w'l'tt — bw"t + 6wft = f(w).
524 Уравнения четвертого порядка
17. y'"L*+ay'L
После однократного интегрирования имеем
bWx'xx - (v'Lf + а{у'хJ = 2Jf{y)dy + 2С,
где С — произвольная постоянная. Замена w(y) = ||/i|3^2 приводит к уравнению второго
порядка:
w»y = - Aew-V3 + А [| f{y) dy + с] W-V3_
л о ffff —2 о/ I \ II
18. ухххх = х f(xyx - у)ухх.
Замена t = In \x\, w = хух — у приводит к уравнению третьего порядка
III г II I п I ?( \ I
wttt - bwtt + 6wt = f(w)wt,
интегрируя которое получим автономное уравнение второго порядка:
w'it — bw't + 6w = / f(w) dw + С.
Замена z(w) = \w't приводит к уравнению Абеля второго рода:
zz'w-z = ^ [-6w + I f(w) dw + С]
(см. разд. 1.3.1).
19. iCM = xmf{x'2y'L ~ 2xyL + 2y).
Подстановка w = x2y"x — 2xy'x + 2y приводит к уравнению второго порядка:
xw'xx — 2w'x = жт+3 f(w). При т = —4 замена z(w) = -|-x^^ приводит к уравнению
Абеля второго рода: zz'w — z = \f(w) (см. разд. 1.3.1).
20. 2/жжжж + а?/жжж + Ьухх + сух = е f(ye ).
Замена w{x) = ye~Xx приводит к автономному уравнению:
w'x'Lx + DЛ + a)w'l'xx + FЛ2 + ЗаЛ + 6)^ +
+ DЛ3 + ЗаЛ2 + 2Ъ\ + c)wx + (Л4 + аЛ3 + Ъ\2 + cA)w; = f(w),
которое с помощью подстановки z(w) = w'x сводится к уравнению третьего порядка.
При а = —4Л, с = 8Л3 — 2ЬХ полученное автономное уравнение с точностью до
переобозначений совпадает с 4.2.3.17 и может быть сведено к уравнению второго порядка.
~л till ¦ ,, /// о/ \
21. хухххх + 4уххх = f(xy).
Замена w(x) = xy приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.1: wxxxx = f(w).
22. х2Ух"х'хх + 8xyZx + 12?/1 = /(ж2?/).
Замена w(x) = ж2^/ приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.1: wxxxx = f(w).
23. ж з/жжжж + а3ж ?/жжж + а2х ухх + а1Ж?/ж = f(y).
Замена t = In |ж| приводит к автономному уравнению:
Уии + («з - 6)?/ш + A1 - За3 + а2)уи + Bа3 - а2 + ai - 6)yft = f(y), A)
порядок которого понижается с помощью подстановки w(y) = у[. При аз = 6, ai = а2 — 6
уравнение A) с точностью до переобозначений совпадает с 4.2.3.17 и может быть сведено
к уравнению второго порядка.
24. ж 2/жжжж + «ж 2/жжж + ож ухх + сжт/ж + S7/ = ж /B/ж )
Преобразование t = In ж, u> = ухк приводит к автономному уравнению вида 4.2.3.40.
/%^ //// | А I III | о/ " \2 П / \
25. уухххх + 4ухуххх + 3(з/жж) = /(ж).
Решение: ?/2 = С3х3 + С2ж2 + Схж + Со + у Г (ж - tff(t) dt.
Jxn.
4.2. Нелинейные уравнения 525
26. уухххх + аухуххх + (а - 1)(ушш) = /(ж).
После двукратного интегрирования имеем
yy'L + -^-(l/iJ = Cix + Со + Г(х - t)f(t)dt.
27. yy'l'L* + DyL + fy)vZL + 3(i/LJ + 3/y^L + g(x) = 0, / = /(ж).
Подстановка w = {yy'x)xx приводит к линейному неоднородному уравнению первого
порядка: w'x + fw + g = 0.
Решение:
^ = с2Ж2 + с1Ж + с0+ fX(x-tJw(t)dt,
Jxq
где гу(ж) = e"F(x) [с3 - / eF(x)g(x) dx\, F(x) = Г f(x)dx; x0— любое.
28. то^. + Dух + /2/)^L + ЗС^J + Cfyx + ^т/)^ + д(ухJ + %^ + s = 0.
Здесь / = /(ж), д = д(ж), /i = h(x), s = s(x). Замена w = г/г/J. приводит к линейному
неоднородному уравнению третьего порядка: w"xx + fwxx + gwx + /гг^ + s = 0.
29. (у + ах + Ъ)ухххх + 4(^ + а)у'ххх + 3(?/"ж) = /(ж).
Решение: (у + ах + ЪJ = Сгх3 + С2х2 + Схж + Со + у / (ж - tK/(t) dt.
//// I ill и \2 (у' L г // / \2i p/ I/' \
30. уухххх = 4ухуххх + 3B/жж) — 6 \- [уухх — {ух) \f[ ).
тт к t Ух Ухх (Ух V
Преобразование ? = -^-, w = —^— I ^^ ) приводит к линейному уравнению второго
У У ^ У '
порядка для w2: (w2)'^ = 24?2 + 2/(?). Интегрируя, получим
W ^ С^2С ~h С/1 ~h 2г ~\~ 2 / (г — t)f(t) dt.
Учитывая, что ?^ = гу, г/J. = ?^/? Уе = ?,y/w> находим решение в параметрическом виде:
где w = ±|C2? + Ci + 2?4 + 2 / '(^-^f^dt]1 2.
-%л 2 ////
31. ?/ г/а-а-а-
y':x + 2f(x)(y'xf + [f(x) - 2fUx)]y(y'xf + f'Mtfy* = 0
Решение удовлетворяет линейному однородному уравнению второго порядка ухх +
+ f(x)y'x— z(x,Ci,C2)y = 0, где z = z(x,Ci, С2) —эллиптическая функция Вейерштрас-
са, определяемая уравнением автономным уравнением второго порядка: zxx + z2 = 0.
^^ 2 //// г» l ill - 0/ \ 2 /// ¦ г»/ / \2 // л/ \ / // .
32. ?/ ухххх - 2уухуххх + /(ж)т/ уххх + 2(т/ж) т/жж - f(x)yyxyxx +
Решение удовлетворяет линейному однородному уравнению второго порядка ухх +
+ f(x)yfx — z(x, Ci, C2)y = 0, где ? = z(x, Ci, C2)—решение первого уравнения Пенлеве:
^ж + z2 = Ах.
~~ 2 //// г» / /// I г i л/ \л 2 /// / // \2 го i л/ \л i a i
33. У З/а-аива, ~ 2ууху^^, + [о + f (х)]у у^^ — J/ffc) - [3d + /(ж)]УУпУпп +
Решение удовлетворяет линейному однородному уравнению второго порядка ухх + аух —
— z(x,Ci,C2)y = 0, где z = г(ж, Ci, Сг) — общее решение линейного неоднородного
уравнения второго порядка: zxx + f(x)zx + g(x)z = /г(ж).
526 Уравнения четвертого порядка
34. уххухххх - 3(уххх) = f(xyx - у)(ухх) .
Преобразование Лежандра х = u't, у = tut — и приводит к уравнению вида 4.2.3.1:
'ii
35. yxxxx = f(y)yxg(yxxx).
Интегрируя, получим автономное уравнение третьего порядка
, где w = y'x"xx,
порядок которого далее понижается с помощью замены z(y) = у'х.
36. xy'Zxx + 2Ух"хх =
Замена w(x) = ху'х — у приводит к уравнению третьего порядка вида 3.5.2.11:
(^) где
37. х*у™т + 2xy':L = f(x2y'L - 2х»; + 2y)g(x2y':L)-
Замена w(x) = x2y"x — 2хух + 2у приводит к уравнению второго порядка вида 2.9.4.2:
w'xx = f(w)g(wfx).
38. ухххх = f(x)g(x3yx'xx - Sx2yxx + 6ху'х - 6у).
Замена w(x) = xsyxxx — Зх2ухх + 6хух — 6у приводит к уравнению первого порядка с
разделяющимися переменными: wx = xs f{x)g{w).
tt\ mi l-i/ ' " HI \
39. yxxxx = F(x, yx, yxx, yxxx).
Замена w(x) = y'x приводит к уравнению третьего порядка: wxxx = F(x, w, wfx, wxx).
40. yxxxx = F(y, yx, yxx, y'xxx).
Автономное уравнение. Замена w(y) = (y'x) приводит к уравнению третьего порядка:
41. yxxxx = F(x, xyx - y, yxx, yxxx).
Частный случай уравнения 5.2.6.44 при п = 4.
42 у"" -vf(^- ^- У*х )
у' у" ( у' \2
Преобразование ? = -^-, г^ = -^^- — ( ^^ ) приводит к уравнению второго порядка:
У У V У /
У У У
ху'
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование t = х ут, z = —^- приводит к
У
уравнению третьего порядка.
"" -vx
хххх -ух
ПГ11 ПГ II
Преобразование ^ = ——, w = ^- приводит к уравнению второго порядка.
У У
л- nil —4 1-,/ т сну I 1 II 3 III \
45. ухххх = х F(x е у, хух, х ухх, х уххх).
Преобразование z = хтеау, w = xyx приводит к уравнению третьего порядка.
Ухххх — У I У 5 5 5
^ У У У
Преобразование ^ = еахуш, w = ух/у приводит к уравнению третьего порядка.
5. Уравнения более высоких порядков
5.1. Линейные уравнения
5.1.1. Предварительные замечания
dny
В данной главе для обозначения старших производных будем использовать краткое
dxn
обозначение yi .
1°. Общее решение линейного однородного уравнения n-го порядка
fn(x)yin) + /n-iyir1' + ¦ ¦ • + fi(x)y'x + fo(x)y = 0 A)
имеет вид
у = Ciyi(x) + С2у2(х) + • • • + Спуп(х), B)
где у\ (ж), 2/2(ж), ..., уп(х) — фундаментальная система решений (у к —линейно независимые
решения, у к ф 0); Ci, C2, • • •, Сп —произвольные постоянные.
2°. Пусть уо = г/о (ж) — нетривиальное частное решение уравнения A). Замена
У = Уо(х) I z(x)dx
приводит к линейному уравнению (п — 1)-го порядка для функции z(x).
Пусть у\ = у\ (х) и ?/2 = 2/2 (х) —два нетривиальных линейно независимых решения
уравнения A). Замена
У = У1 I У^уо dx-y2 I yiw dx
приводит к линейному уравнению (п — 2)-го порядка для функции w(x).
3°. Некоторую дополнительную информацию о линейных уравнениях старших порядков
см. в разд. 0.4.1-0.4.3.
5.1.2. Уравнения, содержащие степенные функции
1. yi6) +ay = 0.
1°. Решение при а = 0:
у = С1 + С2х + С3х2 + С4х3 + С5х4 + С6х5.
2°. Решение при а = к6 > 0:
у = С\ coskx + C2 smkx + cos(y^^) (Сзсп? + ftsh^) +
+ sin(!/^)(C5ch^ + C'6sh^), где ? =
3°. Решение при а = -к6 < 0:
у = С\ ch кх + Сг sh А;ж + сп(-|-?;ж) (Сз cos^ + C4 sin^) +
^ + C6sin^), где f =
2. ^/i2-) =
Решение:
= deax + С2е~аж + ^ e*h (Ак cos ^ + вк sin (9fc
где ipк = ax cos , вк = ax sin ; Ci, C2, Afc, 5/. (k = 1, 2,..., n—1) — произвольные
n n
постоянные.
528 Уравнения более высоких порядков
3. yin) + an-iy^-^ + • • • + а1У'х + аоу = 0.
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение этого уравнения
определяется корнями характеристического уравнения:
Хп + ап-хХ71'1 Н Ь ai\ + а0 = 0.
Если все корни Ai, Л2, ..., Хп действительны и различны, то искомое решение имеет вид
у = С\ exp(Aix) + C2 ехр(А2ж) + • • • + Сп ехр(Апж).
Общий случай, включающий наличие одинаковых и (или) комплексных корней харак-
характеристического уравнения, рассмотрен в разд. 0.4.1.
4.
5.
yin) = аху + b,
Решение:
где &у — схр I
71-
yin) + ах"у'т +
а > 0.
гг
п
[VI ^ ^-^ ^ 0
11/' / ^ ^
fl u=0 п
аихи-гу = 0.
Интегрируя, получаем уравнение (п — 1)-го порядка: г/ж ~ + аж^г/ = С, где С —
произвольная постоянная.
6. yin) + аж^1^ - а(п - 1)хку = 0.
Замена z = xyfx — (n—l)y приводит к уравнению (п—1)-го порядка: Zx~ +axk+1z = 0.
7. yin) + ахк+1у'х + а{к + п)хку = 0.
Преобразование х = t~1, у = wt1~n приводит к уравнению вида 5.1.2.5: w[n -\-htuw't +
+ bvtv-xw = 0, где Ъ = a(-l)n+1, v = 1 - к - 2п.
8. yin) + axkyirn) - (abrnxh + bn)y = 0.
Частное решение: уо = е х.
9. yin) + (axh - bn-m)yim) - abmxhy = 0.
Частное решение: уо = е х.
Ю. yln) + (аж™+1 + Ьх^у'п - ах^у = 0.
Частное решение: у0 = ах + Ъ.
11. yin) + a^"^ + бж^^ + abx^y = 0.
Частное решение: уо = е~аж.
12. xyin) - nm?/?Tl~1) + ажт/ = 0, п = 2, 3, 4, ..., га = 1, 2, 3, ...
Решение:
(m + l)n-l { 1 —те d ^^z 1 —те \
у = ху^} [х —) (х w),
где г^ — общее решение уравнения с постоянными коэффициентами: Wx + ^гу = 0.
13. ж?/?Т1) + пу^-^ = аху + 6.
Замена w = ху приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: wx = clw + Ь.
14. ж^71) + пу^1-^ = ах2у + Ь.
Замена w = ху приводит к уравнению вида 5.1.2.4: wx = &xw + Ъ.
5.7. Линейные уравнения 529
15. xyin) + (n - га - l)^71) + axky'x - amxk~1y = 0.
Частное решение: г/о = хш.
16. xyin) + axhyirn) - (ахк + атхк~г + ж + п)т/ = 0.
Частное решение: уо = жеж.
17. xyin) = П-?[(аАи+1 - Av)x + Av+1]yiv).
Здесь Ап = 1, Ao = 0; a, A*, —любые (V = 1, 2, ..., n — 1).
71—1
Обозначим /(Л) = ^2 Av+i^u• Пусть все корни Ai, Л2, ..., Xn-i алгебраического
v=0
уравнения /(А) = 0 различны и /(а) / 0. Решение имеет вид:
1Я! + Спеах \х - Щ^}.
is. Yl (a»x + Мш» = °
Уравнение Лапласа. Частные решения:
где P(t) = ^2 avtv, Q(t) = ^2 bvtv\ концы интервала интегрирования аи и /3k
выбираются из условия
Во многих случаях путь интегрирования приходится выбирать в комплексной плоскости.
19. x2yin) + 2nxyin~1) + п(п - l)yin~2) = ах2у + Ъ.
Замена w = x2y приводит к уравнению с постоянными коэффициентами: wx = aw + Ь.
20. x2yin) + 2nxyin~1) + п(п - l)yin~2) = ах3у + b.
Замена w = х2у приводит к уравнению вида 5.1.2.4: w^ = axw + b.
21. ж(ж + т)ух Н~ ж(аж — ж — п)ух — а(х + га)ж ty = 0.
Частное решение: г/о = жеж.
22. x2nyin) = ay.
Преобразование х = t'1, у = wti~n приводит к уравнению с постоянными коэффици-
коэффициентами: w[n = (—l)naw.
23. xnyi2n) = ay.
Решение:
у = хп'
где In(z) и Kn(z) — модифицированные функции Бесселя; /3i, /З2, • • •, (Зп — корни
уравнения /Зп = у/а.
24. x3nyi2n) = ay.
Преобразование x = t~x, y = wt1~2n приводит к уравнению вида 5.1.2.23: tnw^2n^ =aw.
34 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
530 Уравнения более высоких порядков
25. X"+V*y?"+V = ау.
Решение:
2п
к=0
где /Зо, /3i, ..., /32п —корни уравнения f32n+1 = — ai; i2 = — 1.
26. x3n+3/2yb2n+1) = ay.
Преобразование х = t-1, у = wt~2n приводит к линейному уравнению вида 5.1.2.25:
>-%гч ТЬ (п) I 1 — 1 A — 1) I I ' | О
2/. а^Ж Ух -\- dn — lX Ух Н" ' ' ' Т" а1хУх ~Г ^02/ = U.
Уравнение Эйлера. Если все корни А& (А; = 1, 2, ..., п) алгебраического уравнения
п
22 аи\(\ — 1)... (А — v + 1) = — ао
различны, то общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид
В общем случае замена t = In |ж| приводит к уравнению с постоянными коэффици-
коэффициентами вида 5.1.2.3:
У auD(D — 1)... (D — v + 1)у = —аоу, где D = —.
*-^ dx
28. x2n+1yin) =ay + bxn.
Преобразование х = t-1, у = wt1~n приводит к линейному уравнению вида 5.1.2.4:
(п)
wt = (—1) \atw-\-b).
29. ж2т1+1?/?Т1) + пх2пу^~г) = аху.
Замена w = xy приводит к уравнению вида 5.1.2.22: x2nWx = aw.
Замена w = xy приводит к уравнению вида 5.1.2.28: x2n+1wx = aw.
31. xny?n) + 2nxn-1yi2n-1) = ay.
Замена w = xy приводит к уравнению вида 5.1.2.23: xnwi = aw.
32. x3nyi2n) + 2nx3n-1yi2n-1) = ay.
Замена w = xy приводит к уравнению вида 5.1.2.24: x3nwi = aw.
33. x yx -\- Bтъ -|- 1)ж Ух ^ cxyjxy.
Замена w = xy приводит к уравнению вида 5.1.2.25: xn+1'2Wx n = aw.
34. x3n+3/2yi2n+1) + Bn + l)x3n+1/2yi2n) = ay.
Замена w = xy приводит к уравнению вида 5.1.2.26: x2>n+2>^2wx2n = aw.
35. (ах + bJn+1yin) = (ex + d)y.
тт r ^ CX -\- d у
Преобразование t = , w = г — приводит к уравнению вида 5.1.2.4:
ах + Ъ (anr.-\-h)n-i
win = A~n?w, где А = be — ad.
5.1. Линейные уравнения
531
36. (ах + Ь)п(сх + d)nyin) = ку.
1°. Преобразование ?
ными коэффициентами.
1°. Преобразование ? = In , w =
F F S + d'
— приводит к уравнению с постоян-
П ПГ I h)
2°. Преобразование С =
5.1.2.27: Cnw?n) = ^""V
37. (аж2 + bx + c)Tl?/?Tl) = fey.
— ?
ах2 -\- Ьх -\- с
с постоянными коэффициентами.
38. (ах + Ь)п(сх + d)8n»lan) = fct,.
ттг ^ ах -\-Ъ
Преобразование t = , w =
cx + d {c
?nwfn) = kA~2nw, где А = ad - bc.
A IT I n
г приводит к уравнению Эйлера
А = ad ~ bc-
2
= г/(аж + 6ж + с)
приводит к уравнению
—— приводит к уравнению вида 5.1.2.23:
= ky
приводит к уравнению вида 5.1.2.25:
39. (ax + b)n+1/2(cx +
Преобразование ? = , w = NO
ex -\- d {ex + dJn
C+1/2wfn+1) = кА-2п-гу), где А = ad - bc.
40. Pn-i(x)yin) + Ргг-зСж)^71"^ + h Pi{x)y"x + (aix + 6i)yi - maiy = 0.
Здесь Pv(x) — многочлены степени ^ v, m — натуральное число, а\ Ф 0.
Это уравнение имеет частное решение в виде многочлена степени т, которое можно
записать следующим образом:
Уо =
d x
где D = —, Ixv =
dx v + 1
при v ф — 1.
41. [апхп + Рг,-1(ж)]у?Т1) + • • • + [а1Ж + Ро(х)]у'х + аоу = 0.
Здесь Ри(х) — многочлены степени ^ v.
Пусть при некотором целом т ^ 0 имеет место равенство
v=0
где
г/! (т — v)\
и т — наименьшее из возможных чисел, удовлетворяющих такому условию. Тогда
существует решение в виде многочлена степени т, и ни один многочлен более низкой
степени не удовлетворяет рассматриваемому уравнению.
42. [хР(д) - QF)]y = 0, S = x-^-.
Здесь P = P(z) и Q = Q(z)—произвольные многочлены степеней р и q соответственно.
Пусть Q(z + 1) = (z + l)Qi(z + 1), где Qi(z + 1) такой многочлен, что P(z) и
Qi(z + 1) не имеют общих множителей. Тогда исходное уравнение допускает формальное
решение в виде степенного ряда
Уо =
где
® Литература: Г. Бейтмен, А. Эрдейи A973, т. 1, стр. 199).
34*
532 Уравнения более высоких порядков
5.1.3. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
1. yin) + (ах + Ь)еХху'х - аеХху = 0.
Частное решение: уо = ах + Ь.
2. yln) + (аеХх - bn-m)yim) - abmeXa!y = 0.
Частное решение: уо = еЪх.
3. yln) + aj/i"-1» + Ъех'у'а + аЬеХту = 0.
Частное решение: уо = е~ах.
4. yin) + aeXxyim) - (abmeXa! + bn)y = 0.
Частное решение: уо = е х.
5- yin) = nE\Ak+1ex^ + bAk+1 - Ak)yih\
k=0
Здесь Ап = 1, Ao = 0; b и Ak —любые (к = 1, 2, ..., n — 1).
Частные решения: ?/m = еМтЖ, где /1т —корни алгебраического уравнения (п— 1)-й
i = 0.
6. ж?/?Т1) + ажеЛж1/1т) - [а(х + т)еЛж + ж + п]у = 0.
Частное решение: уо = жеж.
7. xyin) + (n-m- l)^"-4 + О!веА"»; - атеАжу = О.
Частное решение: уо = жт.
8. х(х + т)?/?Т1) + ж(аеЛж - ж - п)?/!™0 - а(ж + т)еХху = 0.
Частное решение: уо = жеж.
9. (аж™ + Ъех + c)?/?Tl) = Ъеху, т = 0, 1, ..., п - 1.
Частное решение: ?/о = ажт + 6еж + с.
10. (аж™еж + б)^ = (-1)пЬу, т = 0, 1, ..., п - 1.
Частное решение: г/о = «жт + 6е~ж.
11. (ае~+ 4: bhxh)yin) = ае*у.
v fe=o у
n-l
Частное решение: уо = аех + ^2 ЬкХ .
к=0
12. ^ + a chfe ж ?/?ТГ1) - (аб771 chfe ж + Ь71)^ = 0.
Частное решение: уо = е х.
13. р<>) + (a chfe ж - 6тг-ттг)?/?ТТ1) - ab™ chhxy = 0.
Частное решение: г/о = е&ж.
14. 2/?тг) + (аж + Ь) chm(A«)yL - a chm(A«)y = 0.
Частное решение: уо = ах + Ъ.
15. xyin) + аж chfe ж ty?Tri) - [а(ж + m) chfe ж + ж + п]у = 0.
Частное решение: г/о = жеж.
16. ^) + a shfe ж ty?Tri) - (аб^ shfe ж + b^ty = 0.
Частное решение: г/о = е&ж.
5.7. Линейные уравнения 533
17. yin) + (a shfe ж - bri-rn)yirn) - ab™ shfe ж у = 0.
Частное решение: уо = е х.
18. yln) + (ах + Ь) shm(Aa;)y; - ashm(\x)y = 0.
Частное решение: уо = ах -\- Ъ.
19. xyin) + аж shfe ж yim) - [а(х + m) shfe х + ж + п]?/ = 0.
Частное решение: уо = жеж.
20. ?/?Tl) + a thfe ж ?/?ТГ1) - (ab™ thfe ж + Ъп)у = 0.
Частное решение: г/о = е&ж.
21. ^) + (a thfe ж - bn~m)yim) - ab™ thkxy = 0.
Частное решение: уо = е х.
22. !,<,") + (ах + Ь) th (Ax)»; - а thm (Asu)» = 0.
Частное решение: уо = ах -\- Ь.
23. xyin) + аж thfe ж т/?тгг) - [а(ж + т) thfe ж + ж + гг]т/ = 0.
Частное решение: г/о = жеж.
24. ty?Tl) + a cthfe ж ty?Tri) - (аб771 cthfe ж + б71)?/ = 0.
Частное решение: г/о = е ж.
25. ?/?тг) + (a cthfc ж - 6Tl"Tri)iy?Tri) - ab™ cthfe ж ty = 0.
Частное решение: г/о = е ж.
26. ty?Tl) + (аж + 6) сШ^Лж) ^ - actWn{Xx) у = 0.
Частное решение: гуо = аж + 6.
27. xyin) + аж cthfe ж ty?Tri) - [а(ж + m) cthfe ж + ж + п]у = 0.
Частное решение: гуо = жеж.
5.1.4. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
1. уЫ + a sinfe ж ?у?ТГ1) - (ab™ sinfe ж + Ъп)у = 0.
Частное решение: уо = е х.
2. у*,"' + (a sinfc х - bn-m)yim) - abm sinfe x у = 0.
Частное решение: уо = е х.
3. ^ + aty!71) + 6sinm(Ax)i/: + ab sin™ (\x)y = 0.
Частное решение: уо = е~ах.
4. yln) + (аж + 6) зтт(Хх)у'т - a sinm(Xx)y = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
5. ty?Tl) + a cosfe ж ty?Tri) - (ab™ cosfe ж + bn)y = 0.
Частное решение: уо = е х.
6. ty?Tl) + (a cosfe ж - 6Tl"Tri)ty?Tri) - ab™ cosfe ж ty = 0.
Частное решение: уо = еЪх.
534 Уравнения более высоких порядков
7. yin) + ayi71-^ + bcosrn(\x)y'x + ab cos™(\x)y = 0.
Частное решение: уо = е~ах.
8. yin) + (ах + Ъ) cosTri(A«)^ - асоз^Лж)?/ = 0.
Частное решение: у0 = ах + Ъ.
9. yin) + a tgfe х y<,m) - (abm tgfe x + Ь71)^ = 0.
Частное решение: уо = е х.
Ю. »<Г> + (atgfe ж - Ь"-)?/^ - abm tghxy = 0.
Частное решение: уо = е х.
11. w?n> + aj/i"-1» + Ыёт(\х)у'х + abtgm{\x)y = 0.
Частное решение: уо = е~ах.
12. »?п> + (ож + Ъ) tgm(Xx)y'x - atgm{\x)y = 0.
Частное решение: уо = ах + 6.
13. ж?/?Т1) + аж sinfe(A«)?/?Tri) - [а(ж + m) sinfe(A«) + х + п]?/ = 0.
Частное решение: г/о = жеж.
14. жт/?тг) + аж соз'г(ЛжO/?ТГ1) - [а(ж + т) соз'г(Лж) + ж + п]?/ = 0.
Частное решение: г/о = жеж.
15. ж^ + aжtgfe(Лж)ly?тrl) - [а(ж + т) tgfe(Лж) + ж + п]у = 0.
Частное решение: г/о = жеж.
16. (аж™ + 6з1пжIу?7г^ = 6з1п(ж + -|-7rn)ty, m = 0, 1, ..., п — 1.
Частное решение: г/о = ажт + 6 sin ж.
17. (a sin ж + ^ bkXk)yin) = asin(x + ±-тгп)у.
v fe=o у
тг-1
Частное решение: у о = a sin ж + ^2 ЬкХ .
к=о
18. (аж™ + 6 cos ж)у^ = bcos(x -\- ^-7rn)ty, m = 0, 1, ..., п — 1.
Частное решение: гуо = ажт + Ъ cos ж.
19. (acosx+ ^ ^ж*5 lyi7^ = acos(x + -^-тгп)у.
^ к=о '
п-1
Частное решение: гуо = a sin ж + ^2 ЬкХ .
к=о
5.1.5. Уравнения, содержащие произвольные функции
1. yln) = /(*).
v=0
^j; р х _ f\
Решение: у = \ С^ж^ + / — ——f(t)dt, где жо—любое.
2. ^ + xf(x)y'x - mf(x)y = 0.
Если m = 0, 1, 2, ..., п— 1, то уравнение имеет частное решение у о = хш. В этих случаях
подстановка z = жгу^, — ?тггу приводит к уравнению (п — 1)-го порядка:
((гп) ,
^^)+/(ж)г = 0, где ?>=-?-.
В частности, при m = п — 1 имеем zxn~^ + xf(x)z = 0.
5.7. Линейные уравнения 535
3. yin) + (ах + b)f(x)y'a - af(x)y = О.
Частное решение: уо = ах + Ъ.
4. yin) + f(x)(x2y':!C-2xy'!C+2y)=0.
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
Замена z = х2ухх — 2ху'х + 2у приводит к линейному уравнению (п — 2)-го порядка.
5. yln) + f(x)yim) - [ап + amf(x)]y = 0.
Частное решение: уо = еах.
6- У1п) + (/ - an-m)yim) - amfy = О, / = /(*).
Частное решение: г/о = еах.
7. »4"> + ау^-г) + fy'x +afy = 0, f = f(x).
Частное решение: уо = е~ах.
8. yln) + f(x)yin-1) + g(x)yin-2) + h(x) = О.
Замена w(x) = yxn~ приводит к линейному неоднородному уравнению второго порядка:
w'xx + f(x)w'x + g(x)w + h(x) = 0.
9. ^ + an-iy^-^ + • • • + ai^ + aol/ = /(ж).
Линейное неоднородное уравнение с постоянными коэффициентами. Общее решение это-
этого уравнения складывается из общего решения соответствующего однородного уравнения
(см. уравнение 5.1.2.3) и любого частного решения неоднородного уравнения.
Если все корни Ai, A2, • • •, Хп характеристического уравнения
Хп + an-iУ1'1 -\ h aiA + ао = О
различны, то исходное дифференциальное уравнение имеет общее решение
у =
(при наличии комплексных корней в решении следует выделить действительную часть).
Вид частного решения для некоторых конкретных функций в правой части линейного
неоднородного уравнения указан в разд. 0.4.1-2.
10. xnyin) + bn-ix^yi"-1) + ••• + Ь1Ху'х + boy = f(x).
Замена х = аеь (а ф 0) приводит к уравнению вида 5.1.5.9.
п. yln) + fix) nf:\-i)hki c^_ia;"-fe-12,?"-fe-1) = о.
fc=O
Здесь С™ = : биномиальные коэффициенты.
/с! (т — /с)!
Частные решения: уш = жт, где т = 1, 2, ..., п — 1.
Замена z = ^ (—l)kk\ C1^-iXn~k~1yxn~k~1> приводит к линейному уравнению
fc=0
первого порядка: z'x + xn~1 f(x)z = 0, решив которое придем к уравнению (п — 1)-го
порядка вида 5.1.5.10 для функции у(х).
12. yi^=nf:\ak+1f-ak)yik\
k=O
Здесь / = /(ж); ап = 1, ао = 0; а& —любые (А; = 1, 2, ..., п — 1).
Частные решения: ук = еЛ/сЖ (А; = 1, 2, ..., п — 1), где А& —корни алгебраического
те—1
уравнения ^ a/e+iAfc = 0.
к=о
536 Уравнения более высоких порядков
13. xyin)+xfyim) -[(x + m)f + x + n]y = O, f = f(x).
Частное решение: уо = хех.
14. х(х + т)ухп) +x(f-x- n)yim) - (х + m)fy = О, / = f{x).
Частное решение: г/о = хех.
15. xhyxn) + xf(x)y'x - mf(x)y = О, m = 0, 1, ..., п - 1.
Частное решение: г/о = жт.
16. хпу1п) + (« - т - l)»"^-1» + x/tf; - mfy = О, / = /(ж).
Частное решение: г/о = жт.
17. ж-yi"» + хт/»1т) - (п! С? + т! СГ/)» = О.
Здесь / = fix), Са = биномиальные коэффициенты, Г(а)—гамма-
п\Г(а — п + 1)
функция.
Частное решение: г/о = жа.
18. жт»1") = "E^K+i/ - а*) + ah+1]yih).
к=0
Здесь / = /(ж); ап = 1, ао = 0; гп, аи —любые (к = 1, 2, ..., п — 1).
Частные решения: г/fc = еХкХ (к = 1, 2, ..., п — 1), где А& —корни алгебраического
уравнения ^ a/e+iA = 0.
/е=0
19. Е h(x)yik) = g(x)(xy'x - у).
к=2
Частное решение: уо = х.
Замена w(x) = жгу^ — гу приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
20. Е fk(x)yik) = g{x){x2y'L - 2хух + 2ty).
fc=3
Частные решения: у\ = х, у2 = х2.
Замена w(x) = х2у"х — 2ху'х + 2гу приводит к уравнению (п — 2)-го порядка.
21. Е Mx)yik) = g(x)(x3yZx ~ Zx2y'L + 6ху'х - 6у).
к=4
Частные решения: у\ = х, у2 = х2, уз = х3.
Замена w{x) = xsy"fxx — Зх2у"х -\-6xyfx — 6у приводит к уравнению (п —3)-го порядка.
22. Е fh(x)yik) + д(х) Е (-l)fcfe! С^хт~ку^-к) = 0.
к=т+1 к=О
Здесь Ст = —-—'-— биномиальные коэффициенты.
к\ (т — /с)!
Частные решения: ys = xs, где s = 1, 2, ..., т.
Замена z — ^2 (—1)к к\ С^1хт~кух~ приводит к уравнению (п — т)-го порядка:
fc=0
()rtk-m-1)(^)g(x)z = 0, где D = j-.
23. E(/fe-«A+i)j/ife) =o.
fc=O
Здесь fk = fk(x) (k = 1, 2, ..., n); /n+i = /0 = 0.
Частное решение: уо = еаж.
5.2. Нелинейные уравнения 537
24. ? xk[fk + (к - m)/fe+1]ty?fe) = 0.
fc=0
Здесь fk = fk(x) (к = 1, 2, ..., n); /n+i = /0 = 0.
Частное решение: уо = хш.
25. fyin) - fin)y = 0, / = /(ж).
Частное решение: гуо = f(x).
Первый интеграл: /_^(—1) fx~ Ух = / д(х) dx + С.
k=o J
27. sin ж ty? + sin ж f(x)yx — [sin(ж + -^-ттп) + /(ж) эт(ж + -|-7гт)]у = 0.
Частное решение: уо = sin x.
Частное решение: уо = cos ж.
29. ty?Tl) = f(x)y.
Преобразование х = t, у = wt1~n приводит к уравнению аналогичного вида:
30. vin) = (сх + d
— )w-
аж
^7 'Г* I /) 7/
Преобразование ^ = , г^ = \n-i ПРИВ°ДИТ к более простому уравнению:
= Aj^w^ где д = ad _ Ъс
31. yin) + f(x)y'x + ^(ж)у + h(x) = 0.
Преобразование x = t-1, у = wt1~n приводит к уравнению аналогичного вида:
32. yin+2) + f{x)[x2y'L - Эпху'п + п(п + 1)у] = 0.
Замена w(x) = х2у"х — 2пху'х + п(п + 1)у приводит к уравнению n-го порядка:
wxn)
Преобразование ? = ж, и> = ух2~п приводит к линейному уравнению n-го порядка:
33.
34. Ж22/?"+?
Замена г^(ж) = х2ухх + (а — 2п)ху'х + (C — an + п2 + п)у приводит к уравнению п-го
порядка: wxn^ + f(x)w = 0.
5.2. Нелинейные уравнения
5.2.1. Уравнения, содержащие степенные функции
HI П
2/ЖЖЖ = ах -
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при f(x) = ахп.
538 Уравнения более высоких порядков
2.
4.
Умножим обе части на у7^5 и продифференцируем по ж. В результате получим:
§УУх + 7у'хух = 0. Интегрируя трижды это уравнение, имеем цепочку равенств:
ЬууУ + 2ухуУ - 2уххУхххх + (уххх) = 2С2, A)
ЬУУх - ЗУхУхххх + УххУххх = 2С2Ж + Cl, B)
ЪуУхххх -8УхУххх + -B/жж) = С2ж +C7ix + C;o, C)
где Со, Ci, C2 —произвольные постоянные. Исключая из A)-C) с помощью исходного
уравнения производные высших порядков, можно получить уравнение третьего порядка,
которое далее может быть сведено к уравнению второго порядка (см. уравнение 5.2.1.4
при п = 3).
)
3. yyl } + ву*у± }
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = ахп.
Умножим обе части уравнения на у 2n-i ? a затем продифференцируем по ж. В результате
получим
Три интеграла, содержащих произвольные постоянные Со, Ci, C2 выписаны в 5.2.6.25,
где следует положить / = 0. Исключая из этих интегралов и исходного уравнения
производные высших порядков, можно получить уравнение Bп — 3)-го порядка. Это
уравнение с помощью замены
/dr
i^L, ^ = ?/Р 2 , где P = C2x2
преобразуется к автономному виду 5.2.6.43. Поэтому подстановка z(w) = w't приводит в
конечном итоге к уравнению Bп — 4)-го порядка для функции z = z(w).
5. у?п) = Аук, к ф -1.
После однократного интегрирования имеем
}(-i)n[yin)]2= -
где С — произвольная постоянная. Порядок полученного автономного уравнения далее
можно понизить с помощью подстановки w(y) = ух.
ух}=ах у .
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при /(г/) = ауш.
7. yl") = axhym.
1°. Преобразование ж = t-1, у = t1~nw(t) приводит к уравнению аналогичного вида:
wln) = (-l)nAt-k-(n-1)m-n-1wrn.
2°. Преобразование t;=xn+kyrn~1, z = xy'x/y приводит к уравнению (n—1)-го порядка.
8. 2/2/?2т1+1) = ахп + Ь.
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при /(ж) = ахп + Ъ.
9. yin) = xrn-nrn-n-1 (ay + бж71O".
Частный случай уравнения 5.2.6.12 при f(w) = (агу + 6)т.
т — 2пт — In — 1 • 2?г — 1 ч тп
10. ух } — X 2 f а?/ _|_ ЬХ 2 J .
Частный случай уравнения 5.2.6.13 при f(w) = (aw + 6)m.
5.2. Нелинейные уравнения 539
11. yin) = (ay + bxk)rn; к = 1, 2, ..., n - 1.
Замена aw = ay + 6xfc приводит к автономному уравнению: u4 = amwm (см. 5.2.1.4,
5.2.1.5, 5.2.6.43).
тп — пт — п — 1
12. yin) = (ax2 + Ъх + с) 2 у™.
Частный случай уравнения 5.2.6.24 при f(w) = wm.
Частный случай уравнения 5.2.6.23 при f(w) = u>m.
Уравнение допускает два различных (при а ф — 1) первых интеграла:
Bп) Яч а
г/i = Gil/ ,
71-1
где Ci и ft — произвольные постоянные. Исключая из них старшую производную,
приходим к автономному уравнению Bп — 1)-го порядка:
i(-l)" [yin>]2 = C\y
a+1
С С*
где С\ = — —, ft = ——. Порядок полученного уравнения понижается далее с
а + 1 а + 1
С* С*
= — —, ft = —
а + 1 а +
помощью стандартной подстановки ги(г/) = ?/i-
15.
Решение: у = \ С<> + С'137 + h Сп-зжп + (Сп_2 + Cn-ia;I1"^^^" при а ф 1,
\ Со + Cia; Н h С„-зжп + С„-2 ехр(С„-1ж) при а = 1.
16. j/?"> = «"-"^-"(«ir.
Частный случай уравнения 5.2.6.16 при f(w) = awm.
п. J/?-+1) = aJ/feJ/;(J/?->).
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = ?/~fc, р(гу) = awm.
18. ?/?")=aa;-(a;^-2/)feB/L)i.
Замена гу(ж) = ху'х — у приводит к уравнению (п — 1)-го порядка:
dn~2 ( w'x\ m_i k( , л
19. yin) = ахт1утЦу'х)тз ¦ ¦ ¦ B/?"-1))"г™+1.
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование ? = ж /, г^ = ——, где
2/
Л = п + mi — тз — 2т4 — • • • — (п — l)mn+i, // = Ш2 + шз + • • • + mn+i — 1,
приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
20. xyin) + пт/!71-^ = ах^у™.
Частный случай уравнения 5.2.6.26 при f(w) = aw171.
21. ж2^") + 2nxyin-1) + п(п - l)yin~2) = ах2тут.
Частный случай уравнения 5.2.6.27 при f(w) = awm.
540 Уравнения более высоких порядков
22. Bп - 1)уу?п+1) + Bn + l)yLy?n) = ахт.
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при /(ж) = ахш.
23. [у/у J (y'x) =
Преобразование х = x(t), у = (ж'?) приводит к линейному уравнению с постоянными
коэффициентами: 2ж^ = ах + Ъ.
24. 2 ? (-l)mW<,m)tf<3n-m) + (-l)n[w<n)]a + X(yLf = ay2 + by + c.
m=l
Дифференцируя обе части по ж и сокращая на у'х, приходим к линейному уравнению с
постоянными коэффициентами: 2ух — 2\ухх + 2ау + 6 = 0.
25. 2 Y, (-1Гу1т)у12п-т) + (-l)"^]2 = сс{ху'п - у)+ру'я+1.
Дифференцируя обе части по ж, имеем
y'L[2yi2n-1)-ax-f3]=0. A)
Приравнивая нулю второй сомножитель и интегрируя, находим
1 ах + Lll + у^ Скхк.
2 Bl)! ^
27.
у +
У 2 Bп)! 2 ^
Между постоянными интегрирования С к и параметрами а, /3, 7 существует связь
71-1
2 Yl (-l)mm\ Bn - m)! CmC2n-m + (-l)n(n!JC^ = /3d - аСо + 7,
m = 2
которая получена в результате подстановки указанного решения в исходное уравнение.
Кроме того, имеется другое решение, отвечающее равенству нулю первого сомножи-
сомножителя в A): у = С\х + Со, где (ЗС\ — аСо +7 = 0.
26.
т=1
При s = 0 см. уравнение 5.2.1.25. Пусть s ф 0. Дифференцируя уравнение по ж, имеем
2/L [2yi2n-r> + 2syZx -ax-p]=0.
Приравниваю нулю второй сомножитель, а затем интегрируя, получим
48s 12s
где u> = w(x) — общее решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами
вида 5.1.2.2: Wx~+sw = 0. Между постоянными интегрирования имеется связь,
которая находится в результате подстановки полученного решения в исходное уравнение.
Кроме того, имеется другое решение у = С\ ж + Со, где постоянные интегрирования
связаны соотношением /3Ci — аСо +7 = 0.
Дифференцируя по ж, приходим к линейному уравнению с постоянными коэффициентами:
Е amyi2m)+ay + f3 = 0.
5.2. Нелинейные уравнения 541
5.2.2. Уравнения, содержащие экспоненциальные функции
le УУаз \ °УхУхххх \ ^^УххУххх — ***J
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при f(x) = аеЛж.
2. уУ1в) + 6yLyi5) + ISyLyZL* + 10(y':Lf = аех*.
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при f(x) = аеХх.
3. у^ = аеЛ«.
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при f(y) = аеХу.
4. ^ = ах"пеЛ!/.
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при /(г/) = аеЛу.
5. </?"> = ахкеау.
Частный случай уравнения 5.2.6.34 при f(w) = aw, m = к + п.
6(тг) у» сказ тп
^ ; = Ае у .
Частный случай уравнения 5.2.2.11 при m = mi и тг = гпз = • • • = mn = 0.
7. Щ/?2г1+1) = аеЛж + Ь.
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при f(x) = аеЛж + Ъ.
8. у?° = аеЬуесшТГ\ m = 1, 2, ..., п - 1.
Замена bw = by + cxm приводит к автономному уравнению Wx = aebw, которое при
четных п допускает понижение порядка на две единицы (см. 5.2.2.3 и 5.2.6.6).
9. B« - l)yyl2n+1) + Bп + 1)»;»(,ап> = аеЛж.
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при /(ж) = аеХх.
(тг + 1) Ху / / (п)\'т
10. ^ ^ ; = ае уух(ух }) .
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при /(г/) = е~Ху, g(w) = au>m.
п. »in) = Aea^miti)m2 • • ¦ («i"')".
Замена w(x) = ^е/3ж5 ГДе 0 = ¦> приводит к автономному
т1 + ш2 Н hmn-l
уравнению вида 5.2.6.43.
12. j,?"> = Ae-"*' (»-)"" (У--)™8 • - - (У^-г)Гп-
Преобразование z = xaeay, w = xy'x, где cr = n + mi—Ш2 —2тз —3m4 (п— 1)тп,
приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
5.2.3. Уравнения, содержащие гиперболические функции
1. 2/2/аз ; + ЬУхУхххх + Ю2/жж?/жжж = ach (Лж).
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при /(ж) = achm(Ax).
2. j/j/?5) + Б»;»;';',.,. + Wy'LvZL = a shm(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при /(ж) = ashm(Ax).
3. уу^ + Ъу'ху':':хх + IOj/Lj/4'L = a thm(Aa!).
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при f(x) = athm(Ax).
/i E) i r I ПИ i -t r\ И HI j_i m/\ \
4. 2/2/i, ; + ЬУхУхххх + Ю2/ЖЖ2/ЖЖЖ = acth (Лж)-
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при f(x) = acthm(Ax).
542 Уравнения более высоких порядков
5. yyle) + 6yLyl5) + 15i?. y'l'L* + W(y':L f=achm(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = асЬт(Аж).
6. уу1в) + 6y'xyi6) + Xby'Ly'l'L* + W(y"Lf = a shm(A*).
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = ashrn(Xx).
7. yyle) + 6yLyi5) + 15y':xy':'Jxx + 10(y':Lf = a th™(AaO.
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = athm(Xx).
8. уУ1в) + 6^у?5) 'L'l'L ':Lf
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = асШт(Аж).
9. у?п) =achrn(Xy).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при f(y) = ach.m(\y).
10. у?п) =aShm(\y).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при f(y) = ash.m(Xy).
11. yi2n)=ath™(\y).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при f(y) = athm(\y).
12. yi2n) =acthrn(\y).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при f(y) = acth.m(Xy).
13. yin) =ax-nchrn(\y).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при f(y) = achrn(Xy).
14. yin) =ax-nshrn(\y).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при f(y) = ash.m(Xy).
15. yin) =ax-nthm(\y).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при f(y) = athm(Xy).
16. yin) =ax-ncthm(Xy).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при f(y) = acthm(Xy).
17. yyi2n+1) =achm(Xx).
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при /(ж) = achm(Ax).
18. yyi2n+1) =ashm(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при /(ж) = ashm(Aa:).
19. yyi2n+1) =athm(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при /(ж) = athm(Xx).
20. щ/?2т1+1) =acthrn(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при /(ж) =
21. Bп - l)yyl2n+1) + Bп + 1)у'^2п)
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при /(ж) = аспт(Аж).
22. Bn - l)yyl2n+1) + Bn + l)y'xyl2n) = a Shm(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при /(ж) = а8пт(Аж).
23. Bn - l)yyl2n+1) + Bn + l)y'xyl2n) =athm(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при /(ж) = а1;11т(Аж).
5.2. Нелинейные уравнения 543
24. Bп - 1)уу?п+1) + Bn + l)yLy?n) = acthm(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при /(ж) = acthm(Xx).
25. ухп^4 =
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = ch~k(Xy), g(w) = awm.
26. yin+1) =ashk(\y)y'x(yin))rn.
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = sh~k(Xy), g(w) = awm.
27. yin+1) = athk{\y) y',.(vln))m.
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = th~k(Xy), g{w) = awm.
(n + l) ,t fe/л \ / / (n)\'m
28. ^ ^ ; = acth (\y)yx(yl }) .
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = cth~k(Xy), g{w) = awm.
5.2.4. Уравнения, содержащие логарифмические функции
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при /(ж) = а1пт(Ъж).
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = а1пт(Ъж).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при /(г/) = alnmF|/).
4. »»<,ап+1)=о1пт(Ьх).
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при /(ж) = а1пт(Ъж).
5. 2/ж — у(схх -\- т \п у -\- Ь).
Частный случай уравнения 5.2.6.33 при f(w) = \nw + b.
Частный случай уравнения 5.2.6.34 при f(w) = \n.w + b.
7. ^ =аж"п In1"{by).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при f(y) = a\nm(by).
8. ухп) = ax~n~1[\ny + A — n) In ж].
Частный случай уравнения 5.2.6.12 при /(ги) = alntt;.
9. ^ = ах-п-к(\пу + fclnx).
Частный случай уравнения 5.2.6.14 при /(ги) = a\nw.
10. т/?тг) = аух~п(гп\пу + Ыпж).
Частный случай уравнения 5.2.6.15 при f(w) = a\nw.
11. т/?2тг) = аж"~^[21пт/+ A - 2пIпж].
Частный случай уравнения 5.2.6.13 при f(w) = 2aln^.
тг + 1
12. yin) = (ах2 + с)~ 2 [21пу + A - п) 1п(аж2 + с)].
Частный случай уравнения 5.2.6.24 при 6 = 0, f(w) =
544 Уравнения более высоких порядков
13. ухп) = Ъеах(\пу-схх).
Частный случай уравнения 5.2.6.32 при f(w) = b\n.w.
14. Bn - l)yyi2n+1) + Bn + l)y'xyi2n) = alnm(bx).
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при f(x) = a\nm(bx).
15. y^=alnh(by)y'x(yLn)r-
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = \n~k(by), g(w) = awm.
16. з/<Г+1> = ay™у'а In pi").
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = у~ш, g(w) = a\nw.
5.2.5. Уравнения, содержащие тригонометрические функции
л E) . г- f И" i t r\ И HI rn / \ \
1. ШД ; + 5yxyxxxx + Ю2/ЖЖ2/ЖЖЖ = a cos (\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при f(x) = acosm(Ax).
- C5) i r I mi i -t r\ И HI • m/\ \
2. 2/2/i ; + ^yxyxxxx + Ю?/ЖЖ7/ЖЖЖ = asm (\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при f(x) = asinm(Ax).
3E) i r- I mi i t f\ И HI , m/\ \
УУ* } + 5yxyxxxx + Wyxxyxxx = atg (Лж).
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при f(x) = atgm(Xx).
4. J/J/15) + Б»;»;';',.,. + Wy'LvZL = a ctzm{\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.1 при f(x) = actgm(Ax).
5. yyi6) + 6yLyi5) + 15y':xy':'Jxx + 10(y':Lf = a co8m(Ax).
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при f(x) = acosm(Ax).
6. Vyie) + 6VLyi5) + i5V':xy':'jxx + io(tf;':,.K = aвьт(А*).
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = asinm(Ax).
7. J/J/?6) + eW;tfi5) + lei^iC- + 10(^'LJ = a tgm (Ax).
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = atgm(Ax).
8. Щ/?6) + e»;Wi5) + let&jC. + 10(^'LJ = a с18т
Частный случай уравнения 5.2.6.4 при /(ж) = actgm(Ax).
9. j,?2rl)=acos™(At,).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при /(г/) = acosm(A|/).
10. т/?2тг) =asinTri(A?/).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при /(г/) = asinm(A|/).
11. j/?2")=otg"l(A2/).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при f{y) = atgm(\y).
12. yi2n) =actgm{\y).
Частный случай уравнения 5.2.6.6 при /(г/) = actgm(Xy).
13. ?/?Tl) = ax~n cos^iXy).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при /(г/) = acosm(A|/).
14. t/?w>=a«-wsinm(Ai/).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при /(г/) = asinm(A|/).
5.2. Нелинейные уравнения 545
15. yin) =ax-ntgm(\y).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при f(y) = atgm(Xy).
16. yin) = ах~п ctgm(Xy).
Частный случай уравнения 5.2.6.10 при f(y) = actgm(Xy).
17. уукх^4 --
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при f(x) = acosm(Ax).
18. Щ/?2т1+1) =asinrn(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при f(x) = asinm(Ax).
19. УУх2п^г) =atgrn(\x).
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при /(ж) = atgm(Ax).
20. щ/?2т1+1) = actgm(Aa?).
Частный случай уравнения 5.2.6.17 при f(x) = actgm(Ax).
21. Bn - lJ/2/?2Tl+1) + Bn + 1)у'хух2п) = а со8ТГ1(Лж).
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при /(ж) = acosm(Ax).
22. Bп - 1J/2/?2т1+1) + Bn + l)yLyi2n) = a sinTri(A«).
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при /(ж) = asinm(Ax).
23. Bп - 1)щ/?2т1+1) + Bп + 1)ухух2п) = atgTri(A«).
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при f(x) = atgm(Ax).
24. Bn - l)i/2/?2Tl+1) + Bn + 1)^2/?2ti) = actg™(A#).
Частный случай уравнения 5.2.6.25 при f(x) = actgm(Ax).
25. 2/?Tl+1) =acosfe(Ay)^(yin))m.
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = cos~fc(A|/), g(w) = аг^т.
26. ^+1) =asink(\y)yx(yxn))rn.
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = sin~k(Xy), g(w) = aw171.
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = tg~k(Xy), g(w) = awm.
Частный случай уравнения 5.2.6.18 при f(y) = ctg~k(Xy), g(w) = awm.
5.2.6. Уравнения, содержащие произвольные функции
1. ?/?/ж ~г &Ухухххх \ ivyxxyxxx = j(x).
Решение:
V2 = Счж4 + Сзж3 + Сгж2 + С\х + Со + — / (х — tL fit) dt, где xq —любое.
12 УЖо
2. Щ/?5) + ayLy""xx + (За - Ъ)ухху'ххх = /(ж).
После трехкратного интегрирования имеем
о 1 рх
УУхх + (у'х) = С2х2 + Cix + Со + — / (ж — tJ f{t) dt, где жо —любое.
35 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
546 Уравнения более высоких порядков
3. (а + у)ух } + Ьухухххх + суххуххх = /(ж).
После однократного интегрирования имеем
О + у)Ухххх + (Ь - 1)у'хУх'хх + — A - Ь + c)(y'xxf = I /О) dx + С.
4. щД ; + 6т/ж?Д ; + l^yxxyxxxx + Ю(?/жжж) = /(ж).
Решение: у2 = Съхъ + dxA + Сзж3 + Сгж2 + С\х + Со Н
5. j/ie) = (ах2 +Ьх + c)-7/2f(y(ax2 + Ьх + с)/2).
Частный случай уравнения 5.2.6.24 при п = 6.
6. у?п) = f(y).
Первый интеграл этого уравнения имеет вид
гг-1
^—л, ( \ (о ^ 1 Г / ^2 /
' -* z^^LJ /
771 = 1
Порядок полученного автономного уравнения далее можно понизить с помощью обычной
замены w(y) = у'х.
'• Ух — J \Ух )•
Полагая и(х) = ухп~ , имеем их = f(u). Находим и из равенства х = / + С\ и
J f(u)
интегрируя (п — 1) раз, получим |/.
Решение в параметрическом виде
х= Г du Г dux Г1 du2 fUn~3_dUn-^_ Г" Vi4-i
^Ci /Ы ' Ус2 /(Wi) Ус3 /О2) '"Jcn_1 f{un_2) Jcn f(un-i)
о QXn) _ _р(оЫ-2)\
Полагая и(х) = yxn~ , получим уравнение u'lx = /(гб), решение которого имеет вид
/Ни Г Г 1 !/2
-^-+С2, где ^Ы = ±К71 + 2 / /М^ •
<р(и) L J J
Выражая гб через ж и интегрируя (п — 2) раза, найдем |/.
Решение в параметрическом виде:
х= Г du = Г dUl Ги1
Jc2 (f(u) ' Jc3 (р(и±) Jc4
9. yxn) = fiy + ax™), m = 0, 1, ..., n-1.
Замена w = у + ахш приводит к автономному уравнению wx = f(w)> порядок которого
для четных п можно понизить на две единицы (см. уравнение 5.2.6.6).
10. yin)=x-nf(y).
Замена t = In |ж| приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.43.
П. y^=x^
Однородное уравнение. Частный случай уравнения 5.2.6.47. Преобразование t = In ж,
w = у/х приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.43.
12. pi") = ж""-1/**1-"!,).
Используя преобразование х = t-1, у = ti~nw, получим автономное уравнение:
W? = (—l)nf(w), порядок которого для четных п можно понизить на две единицы
(см. уравнение 5.2.6.6).
5.2. Нелинейные уравнения 547
2п-\-1 / 1 — 2п ч
13. Ух2п)=Х- 2 f(x 2 уу
Преобразование х = еь, у = х 2 w(t) приводит к автономному уравнению вида
5.2.6.28, порядок которого можно понизить на две единицы.
14. yin) = x-nf(y)
Частный случай уравнения 5.2.6.50. Преобразование t = In ж, w = xky приводит к
автономному уравнению вида 5.2.6.43.
15. yin)=yx-nf(xhym).
Преобразование t = xkym, w = —— приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
У
16. y^=yX-(^)
/ 2 //
Преобразование z = —^, w = —^- приводит к уравнению (п — 2)-го порядка.
У У
17. Щ/?2т1+1) = fix).
После однократного интегрирования имеем
2 ? (-1)-^)^—) + (-1)- [уЫ]2 = 2 [ f(x) dx + С,
m=0 ^
где использовано обозначение yi = у.
18. /(»)wi"+1) = J/^sd/i"').
После однократного интегрирования имеем
dw f dy ~ (п)
Порядок этого уравнения далее можно понизить с помощью замены z(y) = у'х.
19. yln) = f(x, у).
Преобразование х = t-1, у = t1~nw(t) приводит к уравнению аналогичного вида:
^u* Ух — Jy^i Ух 1 Ух )•
Замена w(x) = Ух~ приводит к уравнению второго порядка: w'lx = f(x,w,wfx).
п.
1°. При af3 — Ъа = 0 замена bw = ах + Ьу + с приводит к автономному уравнению вида
5.2.6.43.
2°. При аC — Ъа / 0 преобразование
2 = X - Хо, W = у - ?/о,
где постоянные хо и уо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
ах0 + Ьуо + с = 0, аж0 + /Зг/0 +7 = 0,
приводит к однородному уравнению вида 5.2.6.11:
^), где
35*
548 Уравнения более высоких порядков
22.
23.
Пусть выполнено условие:
+
а\ Ь\ с\
U2 &2 C2
= 0.
При a2bs — asb2 /0 преобразование
где постоянные жо иуо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
С12Х0 + Ь2У0 + С2 = 0, пзХо + 6з?/0 + Сз = 0,
приводит к однородному уравнению вида 2.9.1.11:
тт г , . ах + Ь у
Преобразование t, = In , w = \n-i ПРИВ°ДИТ к автономному уравнению
вида 5.2.6.43.
24. yin) = (ах2 +Ъх + с)~^~ f(y(ax2 + Ъх + с)^~).
1°. Преобразование
/г/ 1 —п,
—_ 5 w = у(ах2 + Ъх + с) 2 A)
аж2 + Ьх + с
приводит к автономному уравнению для w = w(t), которое допускает понижение порядка
с помощью замены z(w) = w't.
2°. Пусть п = 2т — четное число (т = 1, 2, 3, ...). В этом случае преобразование A)
приводит к уравнению вида 5.2.6.28, порядок которого можно понизить на две единицы.
2m-l
Положим Р = ах + Ьх + с, у = wP 2 ,а затем умножим обе части исходного
1-\-2т / 1 9?71 \
уравнения на гу^. = Р~ 2 (-Р?/ж Н Р'хУ)- В результате получим
1 — 2т
Bт)
=
Интегрируя обе части этого выражения по х (левая часть интегрируется по частям), имеем
™-2
V^y^-^ + C-ir-1 Uirn-1)yirn+1)dx= f{w)dw + C, B)
J J
k=o
где
№ = -*- [Py'x + ±^PLv) = Pyik+1) +(k-m+\)P'JV + ak{k -
(напомним, что п = 2m). Можно показать, что подынтегральное выражение в левой
части B) является полным дифференциалом. В результате получим первый интеграл
т-2
? (-1)* [Pyik+1) + (к-т+ \)Р'ху^ + ак(к -
к0
+ «A - m2)vim-
= [ f(w) dw + C.
5.2. Нелинейные уравнения 549
25. Bn — 1)уУх + Bгг + 1)у'хух2 — f(x)-
После однократного интегрирования имеем
те—1
Bп — 1)уух + 2 2_^\~ч Ух Ух + (~1) [2/ж J = / /(ж) "ж + 2G2-
Интегрируя далее, получим
VBn - 1 - 2к)(-1)кухк)ух2п-1-к) = 2С2х + Ci + Г (ж - *)/(*) dt.
k=o Jx°
Интегрируя третий раз, приходим к уравнению Bп — 2)-го порядка:
k=0 х х 2
= С2х2+ Cix + CQ + — Г(x-tJf(t)dt.
Z Jx0
26. xyxn + пУх == f{xy)-
Замена ги(ж) = ж|/ приводит к автономному уравнению: гу^ = /(w) (см. 5.2.6.6 и
5.2.6.43).
27. х2у^ + 2пжт/?7г~1^ + n(n — l)^71^ = f(x2y).
Замена w(x) = ж2^/ приводит к автономному уравнению: wx = f(w) (см. 5.2.6.6 и
5.2.6.43).
п
28. 51 «-г/!2"' = /М-
Первый интеграл имеет вид
71 у' 771 — 1 ^v
\^ 1 V^ / -i\v (v) Bт —и) , 1 / 1\тГ (т)-|2 1 ¦ /"
где С — произвольная постоянная. Порядок полученного автономного уравнения можно
далее понизить с помощью подстановки w(y) = ух.
п
L^' /_^ атХ ух — J\y).
тп=1
Замена t = In |ж| приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.43.
п
30. у J2 amyl2m+1) = f(x).
После однократного интегрирования имеем
l«V^/ ,у (и) Bт-и) , / -, чгтт, Г (m)-|2l _р /" -/ ч , ^
где обозначено ух = у.
31. 5Z «m»?m)»?a"+1-m) = fix).
Первый интеграл имеет вид
те—1
2 ^ Am|/imJ/i2n"m) + Ап [ухп)]2 = 2 / /(ж) dx + С,
т=0
550 Уравнения более высоких порядков
т
ГДе Ат = Yj ( —l)m Як = Ига — CLm-l + CLm-2 ~ «m-3 + • • • ПрИ ВЫПОЛНеНИИ УСЛОВИЯ
k=0
n-1
An = 2 ^ (—l)n~1+m Am, полученное уравнение можно проинтегрировать еще два раза
т=0
(см., в частности, уравнение 5.2.6.25).
/¦»/% (?г) сказ л/ —сказч
32. ух } = е f(ye ).
Замена w(x) = ye~ax приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.43.
33. yin)=yf(eaxym).
Преобразование z = eaxym, w(z) = у'х/у приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
34. yin) = x-nf(xmeay).
Преобразование z = xmeay, w(z) = ху'х приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
35. yin) Xx
Замена w(x) = у + аеХх приводит к автономному уравнению: Wx = f(w) (CM- 5.2.6.6
и 5.2.6.43).
36. Ух — f(y -\- Cichx) — achx.
Замена w(x) =y-\-achx приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.6: wx2 = f(w).
37. ух2п) = f(y + a sh x) - a sh x.
Замена w(x) = y + ashx приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.6: wi = f(w).
38. yi2n+1) = f(y + a ch x) - a sh x.
Подстановка w(x) = у + achx приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.43:
39. 2/?2т1+1) = /(?/ + a sh ж) - a ch x.
Подстановка w(x) = у + ash ж п
B71 + 1) /г/ ч
40. ухп^ = f(y + a cos ж) — a cos (ж + -|-7rn).
Замена ги(ж) = у + а cos ж приводит к автоном
и 5.2.6.43).
41. 2/ж = /(?/ + a sin ж) — а зт(ж + -|-7rn).
Подстановка w(x) = у + ash ж приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.43:
B71 + 1) /г/ ч
«4 ; = /(гу)
Замена w(x) = y + acosx приводит к автономному уравнению: wx = f(w) (CM- 5.2.6.6
и 5.2.6.43).
Замена гу(ж) = y + asinx приводит к автономному уравнению: Wx = f(w) (CM- 5.2.6.6
и 5.2.6.43).
42. F(x,y'x,y'L, ...,l/?w)) =0.
Замена ги(ж) = |/i приводит к уравнению (п — 1)-го порядка:
F(x, w,w'x,..., w^-^) =0.
43. F(y,yfx,yf:x, ...,yin)) =0.
Автономное уравнение. Замена w(y) = у'х приводит к уравнению (п — 1)-го порядка.
Производные исходного и преобразованного уравнения связаны формулами
// / /// 2 // . / / \2 (п) / (n—l)\f
yxx=wwy, yxxx=w wyy+w(wy) , ..., yxJ=w(yx ')
5.2. Нелинейные уравнения 551
48.
44. F(x, xy'n - у, y'L, y"L, ¦-., yin)) = 0.
Замена w(x) = xyx — у приводит к уравнению (п — 1)-го порядка:
F[ x,w, —2-, —I—*-),..., I ) = °-
у x ax V x / dxn~z V x J J
45. F(x, x2yxx - 2xyx + 2y, у'ххх, ..., T/i71^ = 0.
Замена w(x) = x2yxx — 2xy'x + 2|/ приводит к уравнению (n — 2)-го порядка:
т^( w'x dn-s (w'\\ _
\ rf.1 firf.n — 6 \ rf.1 I /
46. f^i-lfkXCtx™-kyirn~k) =F(x, yim+1\ ...,l/?
fc=0
Здесь Cm = —-—:— биномиальные коэффициенты.
к\ (m — /с)!
)кк\ C^xm~kyrn~
Замена w(x) = ^2 (—1)кк\ C^lxm~kyxrn~ приводит к уравнению (п — т)-го
к=0
порядка; производные в правой части вычисляются последовательно исходя из равенства
()
47. FB-, y'x, xy'L, ..., xn-1yin))= 0.
Однородное уравнение. Преобразование t = \nt, w = у/х приводит к автономному
уравнению вида 5.2.6.43.
аж + /Зу + 7
1°. При а/3 — Ъа = 0 замена bw = ах + by + с приводит к автономному уравнению вида
5.2.6.43.
2°. При а/3 — Ъа ф 0 преобразование
2 = Ж - Хо, W = у - уо,
где постоянные хо к уо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
ахо + Ьуо + с = 0, ажо + /Зуо +7 = 0,
приводит к однородному уравнению вида 5.2.6.47:
/ a + bw/z / , , ,n-i те-1 (п)\ к
F(——!—,wz,...,(a + bw/z) z w\ }) = 0.
V а + /З-ш/2: /
Ff а1! + !1У + !1 > 2/«5 • • •» («зж + 6з2/ + сз)"^) = 0.
c2
Пусть выполнено условие: a2 ?>2 С2
а3
При ai&2— a2bi ф 0 преобразование
= 0.
z = x-x0, w = y-y0,
где постоянные хо и уо определяются путем решения системы линейных алгебраических
уравнений
СЦХо + biyo + Ci = О, CL2XQ + &22/O + С2 = О,
приводит к однородному уравнению вида 5.2.6.47:
/ a1-\-b1w/'z / . , . чп-i n-i (те)\ п
F — / ' , wz, ..., (a3 + b3w/z) z w\ J ) = 0.
V а2 + b2w/z /
552 Уравнения более высоких порядков
3U. Г \Jb у, Jb уж, . . . , Jb yx J — U.
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование t = In ж, w = xky приводит к
автономному уравнению вида 5.2.6.43.
51. F
I У У
i in
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование z = ——, w = — приводит к
У У
уравнению (п — 2)-го порядка.
S2 ?'(т1л'игп ХУх х2у"х хпУхП) \ _ п
V У У У )
Обобщенно-однородное уравнение. Преобразование t = xkym, z = —^ приводит к
У
уравнению (п — 1)-го порядка.
53. F(e. у, е т/а,, е ухх<) ..., е т/а, J = 0.
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «сдвига-растяжения». Замена
w(x) = eaxy приводит к автономному уравнению вида 5.2.6.43.
S4 F\pOLXnrn -^L у"х Ух \ — п
V У У У )
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «сдвига-растяжения». Преобра-
у'
зование z = eaxym, w = ^- приводит его к уравнению (п — 1)-го порядка. См. также
У
разд. 0.5.2-7.
Уравнение, инвариантное относительно преобразования «растяжения-сдвига». Преобра-
Преобразование z = хтеау, w = жг/J. приводит его к уравнению (п — 1)-го порядка. См. также
разд. 0.5.2-8.
Приложения
П.1. Элементарные функции и их свойства
> В разд. П.1 обычно считается, что п — целое положительное число (другие случаи
специально оговариваются).
П.1.1. Тригонометрические функции
П. 1.1-1. Простейшие соотношения.
sin2 ж + cos2 ж = 1,
sin(—ж) = —sin ж,
sin ж
cos ж '
( — Ж) = — tg#,
tgxctgx = l,
cos(—x) = cos ж,
cos x
ctg ж = — ,
sins
ctg(-x) = -ctg ж,
«2 т»
ctg2x= -r
П. 1.1-2. Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента.
sin ж =
. — cos2 ж = ±-
tgx
= ±v 1 — sin2 ж = ±-
tgx = ±
= ±
Vl — cos2 х
— -J-
— ±
1
ctg ж
1
1
+ ctg
ctg ж
+ ctg
1
2 ж
2Ж
— cos2 x tgx
П. 1.1-3. Формулы приведения.
tg(x±n7r) = tgx,
2n +
sin(# ± птг) = (—1)п sin ж, сов(ж ± птг) = (—l)n cos ж,
—тг| = d=(—l)n cos ж, cos (ж d= тг) = =f(—l)n sin ж,
ctg(ж ± птг) = ctg ж,
, / , 2n + l \
ctg (^ж ± —-—ttJ = - tg ж,
. / . 7Г \ \/2/. , ч ^17Г^ \/2 / .ч
sm ( ж ± — 1 = (sin ж ± cos x), cos ( ж ± — 1 = (cos ж =F sm x),
_ ctg ж т 1
1 ± ctg ж
—тг j = — ctgж,
П. 1.1-4. Формулы сложения.
sin(x d= у) = sin ж cos у ± cos ж sin ?/, cos(x ± г/) = cos ж cos у =F sin ж sin y,
tg(x±y)= ^x±t^ , ctg(*±!/) = ^^I»..
554 Приложения
П. 1.1-5. Суммы и разности тригонометрических функций.
, • о- ( х + У \ ( х — У \
sin ж + sin у = 2 sin ( — 1 cos ( — 1,
л . / х — у \ ( х + у \
sin ж — sin у = 2 sin ( — 1 cos ( — 1,
(х -\- у \ ( х — у \
J cos ( ),
cos ж — cos у = —2 sin ( j sin ( j,
a cos ж + b sin ж = rsin(x + if) = rcos(x — ф),
sin2 ж — sin2 |/ = cos2 у — cos2 ж = sin(x + ?/) sin(x — г/),
sin2 ж — cos2 у = — сов(ж + 2/) сов(ж — 2/),
tga;±tgj/= -^^——, ctgж±ctg2/= Sm^ . X) ,
cos ж cos у sin ж sin ?/
где r = \/a2 + b2, sin 9? = a/r, cos if = 6/r, sin ф = 6/r, cos ^ = a/r.
П. 1.1 -6. Произведения тригонометрических функций.
sin x sin у = y[cos(x — у) — cos(x + г/)],
cos ж cos 2/ = y[cos(x — 2/) + cos(x + г/)],
sinxcos 1/ = -|"[sin(x ~~ y) + sin(x + г/)].
П. 1.1 -7. Степени тригонометрических функций.
cos ж = -|-cos 2ж +-|-, sin x = — -|-cos 2ж +-|-,
cos3 х = \ cos Зж + -f- cos ж, sin3 x = — -^ sin Зх + -f- sin ж,
cos4 ж = 4" cos 4ж + \ cos 2ж + -|-, sin4 ж = \ cos 4ж — \ cos 2ж + -f-,
о z о ' о z о '
cos5 ж = yg- cos 5ж + ^- cos Зж + J- cos ж, sin5 ж = -^ sin 5ж — -j^- sin Зж + -|- sin ж,
те—1
Е
"n cos[2(n - к)х]
cog ж = ^Г Е Cn cos[2(n к)х] + С
fc=O
те
cos2n+1 ж = -^- Y^ CL+i cos[Bn - 2А; + 1)ж],
к=0
те—1
sin2n ж = ^ГГГ E(-1)""*C2n cos[2(n - Л)Ж]
sin2n+1 ж = ^г E(-l)n""c|n+1 sin[Bn - 2
fc=O
где Cm = —;—'-—г биномиальные коэффициенты @! = 1).
к\ (т — к)\
П. 1.1-8. Тригонометрические функции кратных аргументов.
cos 2ж = 2 cos2 ж — 1 = 1 — 2 sin2 ж, sin 2ж = 2 sin ж cos ж,
cos Зж = —3 cos ж + 4 cos3 ж, sin Зж = 3 sin ж — 4 sin3 ж,
cos 4ж = 1 — 8 cos2 ж + 8 cos4 ж, sin 4ж = 4 cos ж (sin ж — 2 sin3 ж),
cos 5ж = 5 cos ж — 20 cos3 ж + 16 cos5 ж, sin 5ж = 5 sin ж — 20 sin3 ж + 16 sin5 ж,
П 9/9 ¦] \ г9 /; -1 \ 91
cosBnx) 1 + 22 D)fc^sm ж
77.7. Элементарные функции и их свойства
555
I k=1
Г
= 2ncosx si
L
BЛ).
(n2-l)(n2-22)...(n2-/c2) 2, i
П. 1.1-9. Тригонометрические формулы с половинными углами.
. о X 1 — COS Ж
sm т = —г—
1 + cos ж
2tgf
^ ,
1 + tg2 f
о Ж 1 + COS Ж
C°S 7 = ""г—'
1 — cos ж , х sin ж 1 + cos ж
, ctg — = = ,
sin ж 2 1 — cos ж sin ж
l-tg2f
1 + tg2 f
2tgf
^ •
1 - tg2 f
П. 1.1-10. Формулы Эйлера и Муавра. Связь с гиперболическими функциями.
еу+ъх = ey(cosx + г sin ж), (cos ж + zsinx)n = cos(nx) + zsin(nx), г2 = — 1,
sin(zx) = zshx, cos(zx) = chx, tg(zx) = zthx, ctg(zx) = —zcthx.
П. 1.1 -11. Формулы дифференцирования.
d sin ж d cos ж
= cos ж,
ax
ax
d tg ж
—f—
ax
П. 1.1-12. Разложения в степенной ряд.
sinx = ж -
+
+
2ж5
dx
c\ < oo),
c| <oo),
П.1.2. Гиперболические функции
П. 1.2-1. Определения и простейшие соотношения.
Определения:
shx =
chx =
thx =
, chx
2 2
Простейшие соотношения:
ch2 x — sh2 x = 1, thxcthx = l,
sh(—ж) = — shx, ch(—ж) = chx,
,, сЬж
, cthx = —¦—,
ch ж sh ж
(-x) = - th x, cth(-x) = - cth ж,
, cthx =
thx =
1 - th x =
ch2 ж '
cth ж — 1 =
sh2 ж
556
Приложения
П. 1.2-2. Соотношения между гиперболическими функциями одного аргумента (при ж ^ 0).
shx
_ 1 thsc
П. 1.2-3. Формулы сложения.
вЬ(ж ±у) = sh ж ch у ± sh у ch ж, сп(ж ± г/) = ch ж ch у ± sh ж sh г/,
i \ _ ct^ x ct^ 2/ =1= 1
th(a; ± y) =
± thxth?/
cth ?/ ± cth ж
П. 1.2-4. Суммы и разности гиперболических функций.
shx±Shy =
sh ж — sh |/= ch ж — ch г/= эЬ(ж + г/) эЬ(ж — г/),
sh2 x + ch2 |/ = ch(x + 2/) ch(x — г/),
sh(x ± y)
—^ —
sh ж sh ?/
thx ±thy =
ch x ch ?/
, cthx dzcthi/ = ±
П. 1.2-5. Произведения гиперболических функций.
shxsh?/ = у[сп(> + 2/) -сп(ж - y)],
chxch^/ = у[сп(ж + 2/) +ch(x -г/)],
sh ж ch у = ^- [sh(x + y) + sh(x — г/)].
П. 1.2-6. Степени гиперболических функций.
сп2ж= ^-^,
ch3 х = \ ch Зх + \ ch ж,
ch5 x = т±г ch 5ж + -j|- ch Зж + -| ch ж, sh5 ж = -j^- sh bx - -j|- sh 3x + -| sh ж,
2n ж = ^т E c"
E
sh2^= X
22n-l
h2n + l _ _J_
(-1)"
sh[Bn - 2fe
где Cm — биномиальные коэффициенты.
77.7. Элементарные функции и их свойства
557
П. 1.2-7. Гиперболические функции кратных аргументов.
сп2ж = 2сп2ж - 1,
ch Зж = -3 ch ж + 4 ch3 ж,
сп4ж = 1 -8сп2ж + 8сп4ж,
sh Зж = 3 sh ж + 4 sh3 ж,
2sh3 ж),
ch 5ж = 5 ch ж - 20 ch3 ж + 16 ch5 ж, sh 5ж = 5 sh ж + 20 sh3 ж + 16 sh5 ж.
8п(пж)=8пж ? 2-^-1^_,_1(сЬжГ-2^1,
fc=0
где C^, — биномиальные коэффициенты, [А] обозначает целую часть числа А.
П. 1.2-8. Связь с тригонометрическими функциями.
sh(ix) = г sin ж, сп(гж) = cos ж, th(^) = гtgж, cth(^) = —гctgж,
= -1.
П. 1.2-9. Формулы дифференцирования.
dshx
dx
= спж,
dchx . dthx
= вЬж,
dx
dx
ch2 x '
dcthx
dx
1
sh x
П. 1.2-10. Разложения в степенной ряд.
2!
3!
4!
х5
6!
х1
15 315
Т3 9т5
— + —
45 945
П.1.3. Обратные тригонометрические функции
oo),
тг/2),
тг).
П. 1.3-1. Определения. Простейшие соотношения.
sin(arcsii^) = ж, tg(arctgж) = ж,
со8(агссо8ж) = ж, ctg(arcctgж) = ж.
Главные значения обратных тригонометрических функций определяются неравенствами:
— \ ^ агсвтж ^ \, 0 ^ агссовж ^ тг (—1 ^ ж ^ 1),
— \ < ап^ж < \, 0 < arcctgж < тг (—оо < ж < оо).
Простейшие соотношения:
arcsin(—ж) = — агсвтж, arccos(—ж) = тг — агссовж,
arctg(—ж) = — ап^ж, arcctg(—ж) = тг — arcctgж,
arcsin ж + arccos ж = -|-, arctg ж + arcctg ж = -|-.
558
Приложения
П. 1.3-2. Некоторые формулы.
arccos(cosx) =
ж — 2птг при 2птг — у ^ ж ^ 2птг + -у,
—ж + 2(п + 1)тг при Bп + 1)тг — -Ц- ^ ж ^ 2(п + 1)тг + у,
ж — 2птг при 2птг ^ ж ^ Bп + 1)тг,
-ж + 2(п + 1)тг при Bп + 1)тг ^ ж ^ 2(п + 1)тг,
arctg(tgж) = ж — птг при птг — -|- < ж < птг + -|-,
arcctg(ctgж) = ж — птг при птг < ж < (п + 1)тг.
П. 1.3 -3. Формулы дифференцирования.
— arctg х = —,
dx ь 1 + х2 '
П. 1.3-4. Разложения в степенной ряд.
arctg ж
ж -+
= ж —
7Г
1
2
х3
3
1
ж3
3
+
ж5
5
1
1 •
2-
-
3 ж5
4 5
1
1-3-5
2-4-6
2 ж ' Зж3 5ж5
Разложения в степенной ряд для функций arccos ж и arcctg ж получаются с помощью формул
агссовж — \ — агсвтж, arcctg ж — \ — arctg ж.
П.1.4. Обратные гиперболические функции
П. 1.4-1. Связь с логарифмической функцией.
Arshx = In (ж + ух2 + 1
Arch ж = In (ж + ух2 — 1)
Arsh(—ж) = — АгвЬж,
Агсп(-ж) = Arch ж,
л ,, 1т 1 + ж
Artn ж = — In ,
2 1-х
Arcth ж = — In ;
2 х-1
Arth(-a) = -А^Ьж,
Arcth(-a:;) = -Arcth ж.
П. 1.4-2. Формулы дифференцирования.
(V < 1), —-Arcthж =
— Arth х —
dx 1-х2
х2 > 1).
П. 1.4-3. Разложения в степенной ряд.
1 х3
1-3 х5
1-3-5 х7
___
грО гр& гр *
^- + ^- + ^- + --- (\х\<1).
о О I
® Литература к разд. П.1: Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш A968), Г. Корн, Т. Корн A968), И. С. Градштейн,
И. М. Рыжик A975), М. Абрамовиц, И. Стиган A979), А. П. Прудников, Ю. А. Брычков, О. И. Маричев
A981), И. Н. Бронштейн, К. А. Семендяев A986), М. Я. Выгодский A995).
77.2. Специальные функции 559
П.2. Специальные функции
> В разд. П.2 обычно считается, что п — целое положительное число (другие случаи
специально оговариваются).
П.2.1. Некоторые символы и коэффициенты
П.2.1-1. Факториал.
Определения:
О! = 1! = 1, п! = 1 • 2 • 3 ... (п - 1)п = Г(п + 1), п = 2, 3,...,
Bп)!! = 2 • 4 • 6 ... Bп - 2)Bп) = Тп\ = 2пГ(п + 1),
Bп + 1)!! = 1-3-5...Bп-1)Bп + 1
= ^
„Г B*)!! прип = 2?,
П" ~ \B]fe + l)!! прип = 2/с + 1, и" ~ 1'
П.2.1-2. Биномиальные коэффициенты.
Определение:
и = "' ,.„ , где * = 1,2,...,п,
С'а = (-1)"^—-^ = _i i 1 :—^ где /е = 1,:
Общий случай:
-, где Г(ж)—гамма-функция.
Свойства:
Са = 1, Сп = О при & = — 1, —2,... или к > п,
f _ 1 "\гг /о-п — 1 V
п _ (-l)n"i п-1 _ (-II1 Bп-3)!!
1/2 - п22п-1 °2п-2 - " Bп_2)!!
/2 _ 22
П.2.1-3. Символ Похгаммера (к = 1, 2, ...)
Определение:
(a)n = а(а + 1)... (а + п - 1) = -^——^- = (-1) -
Г(а) v ' ГA-а-п)
Свойства:
/\ -1 / \ / \ / , \ / \ (п + /с — 1)!
(«)о = 1, (а)п+к = (а)п(а + п)к, (п)к = {п _ ^ ,
(а)-п = " , = тт—^—! r«e а # 1, 2,..., п;
A)п=п!, A/2). =2
^, (a + n)fc= ^^
560
Приложения
П.2.2. Интеграл вероятностей и интегральная показательная функция
П.2.2-1. Интеграл вероятностей.
Определения:
erf ж = —— / ехр(—t )dt, erfcx = 1 — erf ж = —— / exp(—? ) eft.
V71" Jo утг Jx
Представление в виде степенного ряда при ж —»¦ 0:
Bk-
Асимптотическое разложение при ж —»¦ оо:
ег?сж=^ехр(-ж2) ?(-1)™-Ш^+,
V7F Lm=0 ^
М = 1, 2,...
П.2.2-2. Интегральная показательная функция.
Определение:
-Г т
J — оо ^
dt
0
-о
— ^ + / —
Другие интегральные представления:
ж sin ? — ? cos ?
(-ж) = -е
/
io
ж sin t + ? cos ?
Представление в виде степенного ряда при х —>- 0:
+ 1п(-ж) +
fc=i
при ж < О,
cfa ) при ж > 0.
при ж < 0,
при ж > 0.
при ж < 0,
при ж > 0,
k=i
где С = 0,5772 ... — постоянная Эйлера.
Асимптотическое разложение при ж —»¦ оо:
п-1
П.2.2-3. Интегральный логарифм.
Определение:
' Сх dt
—— = Е1Aпж) при 0 < ж < 1,
lim ( / + / ) при ж > 1.
Асимптотика при малых ж:
И(ж) ~
Асимптотическое разложение при ж —»¦ 1:
77.2. Специальные функции
561
П.2.3. Интегральный синус и интегральный косинус. Интегралы
Френеля
П.2.3-1. Интегральный синус.
Определение:
Частные значения:
Свойства:
= / dt,
Jo t
sint
dt =
Si@) = 0, Si(oo) = —, si(oo) = 0.
Si(—x) = — Si(x), si(x) + si(—x) = —тг, lim
ж—)• —o
Представление в виде степенного ряда при х —»¦ 0:
Si() V l j
Асимптотическое разложение при х —»¦ оо:
_2М-1
1
m=0
где М,ЛГ = 1,2,...
П.2.3-2. Интегральный косинус.
Определение:
In ж
Г C°St
Jot
Представление в виде степенного ряда при х —»¦ 0:
Асимптотическое разложение при х —»¦ оо:
где M,iV = 1,2,...
П.2.3-3. Интегралы Френеля.
Определения:
= 0,5772 .
=J- sint2dt,
cost2dt.
У тг Jo
Представления в виде степенных рядов при ж —»¦ 0:
^ Dfc + з) Bfc + 1)! '
Асимптотические разложения при ж —»¦ оо:
1-3 , 1.3.5.7
1 1-3-5
36 В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин
562
Приложения
П.2.4. Гамма-функция. Бета-функция
П.2.4-1. Определение гамма-функции. Интегральные представления.
Гамма-функция T(z) является аналитической функцией комплексного переменного z всюду,
кроме точек z = 0, — 1, —2, ...
При Re z > 0 имеем
гоо
ГО) = / tz-xe~bdt.
Jo
При —(п + 1) <Rez < —п, где п = 0,1, 2,..., имеем
П.2.4-2. Свойства гамма-функции. Некоторые формулы.
Простейшие свойства:
Г(* +
Формула Эйлера:
Г(г) =
Формулы симметрии:
= *Г(г), Г(п+1)=п!, ГA) = ГB) =
... (Z + П)
Формулы удвоения, утроения и умножения:
Дробные значения аргумента:
Асимптотическое разложение при z -Л оо (формула Стирлинга):
|arg,
П.2.4-3. Логарифмическая производная гамма-функции.
Определение:
1пГ(,)
dz V J T(z)
Интегральные представления (Re z > 0):
(«) =\nz + J [Г1 - A - е"*)
Jo l-t
где С = — фA) = 0,5772 ... —постоянная Эйлера.
dt>
77.2. Специальные функции 563
Функциональные соотношения:
ф() фA + ) 1
ibimz) = Inm + — У^ ф( z + — ).
m *-^ V m J
Значения при целом аргументе:
П.2.4-4. Бета-функция.
Определение:
где Re ж > 0 и Re г/ > 0.
Связь с гамма-функцией:
П.2.5. Неполные гамма-функции
П.2.5-1. Интегральные представления.
Определения:
7(а,ж)= Г е'Ч01-1 dt, Rea > 0,
Г(а, ж) = / е"**" dt = Г (а) - -у (а, х).
J х
П.2.5-2. Рекуррентные формулы и асимптотические разложения.
Рекуррентные формулы:
7(а + 1, ж) = 0:7(^5 ж) - хае~х, Г(а + 1, ж) = аГ(а, ж) + хае~х.
Представления в виде степенного ряда при ж —»¦ 0:
7(а,ж)=> -—^ ^5 Г(а,ж) = Г(а) - > -—/ —.
/V У ^ п\(а + п) У J У J ^ п\(а + п)
^ ( + )
п=0
Асимптотические разложения при ж —»¦ оо:
[М-1
т=0 [
М-1
П.2.5-3. Интегральные функции, связанные с неполными гамма-функциями.
Интеграл вероятностей и интегральная показательная функция:
erf ж = -^—j(-, ж2У ег?сж = -^rf-, ж2У Е1(-ж) = -Г@,:
утг V 2 / утг V 2 /
Неполная бета-функция:
Bx(p,q)= rp-^l-ty-Ut,
Jo
где Rep > 0, Reg > 0; 0 ^ ж ^ 1.
36*
564 Приложения
П.2.6. Функции Бесселя
П.2.6-1. Определения. Некоторые свойства.
Функции Бесселя первого рода Л (ж) и второго рода Yu(x) (Yu(x) называют также функцией
Неймана) являются решениями уравнения Бесселя
х2Ухх + ху'х + О2 - v2)y = О
и определяются формулами
у, (_i)*(a;/2)^* _ J,()J()
Формула A) для Yu(x) пригодна при v ф О, =Ы, ±2, ... (случаи v ф О, =Ы, ±2, ... см. ниже).
Общее решение уравнения Бесселя имеет вид Zv(x) = C\Jv{x) + C2Yv(x) и называется
цилиндрической функцией.
Функции Бесселя обладают следующими свойствами:
2i/Zv(x) = x[Zv-X{x) + Zu+I(x)l
¦?zu(x) = ±[Zu-!(x) - Zu+1(x)] = ±[^Zu(x) - Zu±1(xj\,
-±-\xvZv{x)\ = xvZv-i(x), -^-[x-uZu(x)] = -x-uZu+1(x),
ax ax
П.2.6-2. Функции Бесселя при v = ±n ± -j, где n = 0, 1, 2,
Функции Бесселя первого рода:
/ 2 I 2
Ji/2(x) = \ sinx, J_i/2(x) = \ cosx,
V 7ГХ V КХ
т ( ^ Г^A • ^ 7 ^ А^^ 1 • ^
J3/2VX) = \ —sin х - cos х , J_3/2(^) = л/ -—cos ж - sin ж ,
2 У
Функции Бесселя второго рода:
/ 2 / 2
= —\ cosx, Y_i/2(x) = \ si
V тгж V ^ж
П.2.6-3. Функции Бесселя при v = d=n, где п = 0, 1, 2,
Пусть V = п — произвольное целое число. Справедливы соотношения:
J.n(x) = (-l)nJn(x), Y-n(x) = (-l)nYn(x).
77.2. Специальные функции 565
Функция Jn(x) получается в результате подстановки v = п в формулу A), а функция Yn(x)
находится с помощью предельного перехода при v —»¦ п и для неотрицательных п может быть
представлена в виде
vr\ 2 т ( \л х l V^ (n-k-l)\ B
к=0
2) k\(n + k)\
n-l
где фA) = —С, ф(п) = —С+ ^2 А;, С = 0,5772... — постоянная Эйлера, ф(х) = \[пГ(х)]'х —
к = 1
логарифмическая производная гамма-функции.
П.2.6-4. Вронскианы и аналогичные формулы.
v,J-v) = -—sinGri/), W(JV,YV) = —
7ГЖ 7ГЖ
()+() ()()
7ГХ
2
Jv(x)Yu+i(x) - Ju+i(x)Yu(x) = .
7TX
Здесь использовано обозначение W(f,g) = fg'x — f'xg.
П.2.6-5. Интегральные представления.
Функции Ju(x) и Yv(x) можно представить в виде определенных интегралов (при х > 0):
Г7Т ГОО
ttJu(x) = / cos(x sin в — v9)d9 — sin tti/ / exp(—xsht — i/t) <it,
«/o Jo
PIT /»OO
7ry,(x)= / sm(x sin e-v9)d9- / (e"? + e""? cos7riy)e-xsht dt.
Jo Jo
При \i/\ < \, x > 0:
_ cos(xt)dt
*AX)-- 7Г1/2Щ_„) У1 (t2 _ l
При i/ > -y:
2(ж/2)^ г71"/2 2
Ju(x) = — ., / cos(xcost) sin ^tdt (формула Пуассона).
7Г1/2Г(-|- + V) Jo
, г'2
L,H /
При v = 0, х > 0:
2 /*°° 2 Г°°
Jo(ж) = — / sin(x cht) dt, Yo(x) = —— / cos(x cht) dt.
7Г Jo 7Г Jo
При целых v = n = 0,1, 2,...,
1 Z1"
Jn(x) = — / cos(nt — x sin t)dt (формула Бесселя),
тг Jo
2 Г77/2
J2n(x) = — / cos(xsint) cosBnt) dt,
7Г Jo
2 Г77/2
J2n+iW= — / sin(xsint)sin[Bn-\-l)t]dt.
7Г Jo
566 Приложения
П.2.6-6. Асимптотические разложения.
Асимптотические разложения при |ж| —»¦ оо:
М-1
М-1
_ sinD*-2^r-^ ^ (-!)">, 2т + l)^) + О{\х\-2М~1)\ I,
т=0
М-1
п=0
где (i/, т) = —^—j-D^2 — 1)D^2 — З2)... [4z/2 — Bт — IJ] = —^
Для неотрицательных целых п и больших ж, имеем
/2п(ж) = (-1)п(со8ж + 8тж) + О(ж~2),
(/у» А ( 1 А *^ ( ллп /у» G1 "П ПРг I | )| /у»
Асимптотики при v —>- оо:
у ttv
где переменная ж фиксирована.
П.2.6-7. Нули функций Бесселя.
1°. Функции Бесселя Ju(x), Yv(x) и их производные Jfu(x), Yl(x) для действительных значе-
значений v имеют бесконечное множество действительных нулей.* Все нули простые, за исключени-
исключением, быть может, точки х = 0. Для неотрицательных значений v n-e положительные нули этих
функций обозначаются соответственно jv,n, Уи,п и jl^n, y'v,n (n = 1, 2, ...); исключение
составляет функция Jo (ж), для которой х = 0 считается первым нулем.
Трехчленные разложения нулей функций Бесселя при больших порядковых номерах п
{у фиксировано, пУ&> г/):
4г/2 - 1 4Dг/2 - 1)B8г/2 - 31) / l l \
Jv>n=a-—& W ' Ще * = <n+-v--)]
4г/2 - 1 4Dг/2 - 1)B8г/2 -31) а , х 3\
Производные функций Бесселя J'u(x) и У^(ж) для действительных значений i/ имеют
бесконечное множество действительных нулей j'u^n и у'и^п, где п = 1, 2, ... Трехчленные
разложения нулей производных функций Бесселя при больших п имеют вид:
., fjL + 3 4G//2 + 82// - 9) / , 1 з\ ,2
3(8aK
3 4G/i2 + 82/j - 9)
где /3 =
2°. Приближенные значения нулей функции Бесселя Jo (ж) можно вычислять по формуле
^ * /^ (« = 1,2,...),
jo,n = ^Dn + 3)+ -,.- зг/^з
4 2тгDп + 3) 6тг3Dп + 3K
максимальная погрешность которой составляет 0,07%.
Нули функции Бесселя Jo (ж) можно определять также по более простой приближенной
формуле
jo,n = 2,4 + 3,13 (п-1) (п = 1,2,...),
погрешность которой составляет 0,2%.
Нулями функции /(ж) называются корни трансцендентного уравнения /(ж) = 0.
77.2. Специальные функции 567
П.2.6-8. Функции Ханкеля (функции Бесселя третьего рода).
Определения:
H?\z) = Jv(z) + %Yv{z), Hi2\z) = Jv{z) - %Yv{z), i2 = -1.
Асимптотики при z —>- 0:
-In,, Hi\z)c--jJ- (ROO).
- oo:
Асимптотики при
Д [ ] (-тг < arg^ < 2тг),
(-2тг< arg, <тг).
П.2.7. Модифицированные функции Бесселя
П.2.7-1. Определения. Некоторые свойства.
Модифицированные функции Бесселя первого и второго рода 1и(х)и Ки (ж) (Ки (ж) называется
также функцией Макдональда) являются решениями модифицированного уравнения Бесселя
x2y'L + ху'х - (х2 + v2)y = 0
и определяются формулами
(о функции Ки(х) при I/ = 0,1, 2,... см. в разд. П.2.7-3).
Модифицированные функции Бесселя обладают следующими свойствами:
К-и(х) = Ки(х); I-n(x) = (-l)nIn(x), n = 0,1, 2,...;
П.2.7-2. Модифицированные функции Бесселя при v = d=n ± у, где п = 0,1, 2,.
Модифицированные функции Бесселя первого рода:
/ 2 / 2
h/2(x) = W-—shx, /_1/2(ж) = W —chx,
/2/ 1 \ Г^/ 1
h/2(x) = а -—shx + chx , /-3/2O) = А/ -—
Модифицированные функции Бесселя второго рода:
К±1/2(х) = J^- е~х, К±3/2(х) = х/-?-
0 = К_п_1/2(х) =
^х> = \/^е ^k,{n_k),Bx)u
568 Приложения
П.2.7-3. Модифицированные функции Бесселя при v = n, где п = 0, 1, 2,
Если v = п — неотрицательное целое число, то
71-1
гр 1 / rp \ JiTTt — 77- [/vi /v>n 1 j|
-TV 77, ( X) ( ± ) ifiyX) 111 ~r" У ( ± ) I I " ~r"
2 2 ^—' \ 2 / m!
m=0
7
где ip(z) —логарифмическая производная гамма-функции. При п = 0 первая сумма опускается.
П.2.7-4. Вронскианы и аналогичные формулы.
W(Iv,I-v) = —— sinGri/), ТУ G.,^) = - —
7ГЖ X
( \т / \ г / и / \ 2sin(yr^)
(x)I + i(x) I(x)Ii(x) = ^'
v()v + i() v()vi()
7ТХ
Iu(x)Ku+i(x) + Iu+i(x)Ku(x) = —,
П.2.7-5. Интегральные представления.
Функции Iv{x) и Ки(х) можно представить с помощью определенных интегралов:
t2)v-l'2dt (x > 0, v > -i),
Ки(х)= exp(-xcht)ch(i/t)dt (x > 0),
1 Г00
^(ж) = —: / cos(xsht)ch.(i/t)dt (х > 0, -1 < i/ < 1),
cos(^-Tr^) «/о
1 Г00
^(ж) = ^ г / sm(xsht)sh(irt)dt (х > 0, -1 < i/ < 1).
sin(^-7r^J Jo
При целых значениях г/ = п:
1 Г77
1п(х) = — / ехр(жcost) cos(nt) dt (n = 0,1, 2,...),
7Г Jo
K0(x)= [°° cos(xsht)dt= Г C°s(xt) ^ (ж>0).
Jo Jo v ^2 + 1
П.2.7-6. Асимптотические разложения при х -Л оо:
V^ m Dг/2 - 1)Dг/2 - З2) ... [4г/2 - Bm - :
_
П.2.8. Вырожденные гипергеометрические функции
П.2.8-1. Определения. Ряд Куммера.
Вырожденные гипергеометрические функции Ф(а, Ь\ х) и Ф(а, 6; ж) являются решениями выро-
вырожденного гипергеометрического уравнения
хУхх + (Ь- х)у'х -ау = 0.
77.2. Специальные функции
569
Если 6/0,-1, —2, —3,..., то функцию Ф(а, 6; ж) можно представить в виде ряда Куммера:
где (a)fc = а(а + 1)... (а + к — 1), (а)о = 1.
В табл. 13 из разд. 2.1.2 указаны некоторые частные случаи, когда Ф выражается через более
простые функции.
П.2.8-2. Некоторые преобразования и линейные соотношения.
Преобразования Куммера:
Ф(а, 6; ж) = ехФ(Ь - а, 6; -ж), Ф(а, 6; ж) = ж1-ьФA + а - 6, 2 - 6; х).
Линейные соотношения для функции Ф:
F - а)Ф(а - 1, 6; ж) + Bа - 6 + ж)Ф(а, 6; ж) - аФ(а + 1, 6; ж) = 0,
6F - 1)Ф(а, 6 - 1; ж) - 6F - 1 + ж)Ф(а, 6; ж) + F - а)жФ(а, 6 + 1; ж) = 0,
(а - 6 + 1)Ф(а, 6; ж) - аФ(а + 1, 6; ж) + F - 1)Ф(а, 6 - 1; ж) = 0,
6Ф(а, 6; ж) — 6Ф(а — 1, 6; ж) — жФ(а, Ь + 1; ж) = 0,
Ь(а + ж)Ф(а, 6; ж) — F — а)жФ(а, 6 + 1; ж) — аЬФ(а + 1, 6; ж) = 0,
(а - 1 + ж)Ф(а, 6; ж) + (Ъ - а)Ф(а - 1, 6; ж) - F - 1)Ф(а, 6 - 1; ж) = 0.
Линейные соотношения для функции Ф:
Ф(а - 1, 6; ж) - Bа - Ъ + ж)Ф(а, 6; ж) + а(а - Ъ + 1)Ф(а + 1, 6; ж) = 0,
(Ь- а- 1)Ф(а,Ь- 1;ж) - F- 1 +ж)Ф(а,6;ж) +жФ(а,6 + 1;ж) = 0,
Ф(а, 6; ж) - аФ(а + 1, 6; ж) - Ф(а, 6 - 1; ж) = 0,
F - а)Ф(а, 6; ж) - жФ(а, 6 + 1; ж) + Ф(а - 1, 6; ж) = 0,
(а + ж)Ф(а,6;ж) + а(Ъ - а - 1)Ф(а + 1,6; ж) -жФ(а,6+ 1;ж) = 0,
(а - 1 + ж)Ф(а, 6; ж) - Ф(а - 1, 6; ж) + (а - с + 1)Ф(а, 6 - 1; ж) = 0.
П.2.8-3. Формулы дифференцирования и вронскиан.
Формулы дифференцирования:
— Ф(а,Ь;ж) = -Ф(а + 1,
их и
п;х),
(а, 6; ж) = -аЪ(а + 1,6+1; ж), —Ф(а, 6; ж) = (-1)п(а)пЪ(а + п, 6 + п; ж).
dxn
Вронскиан:
П.2.8-4. Вырожденные гипергеометрические функции при п = 0,1,...
п\Г(а — п)
ф(а,п+1;жIпж
где п = 0,1, 2,... (последняя сумма опускается при п = 0), ip(z) = [In
производная гамма-функции:
= -с,
где С = 0,5772 ... — постоянная Эйлера.
= -С
А;,
]^ —логарифмическая
570 Приложения
Если 6 — отрицательное число, то функцию Ф можно записать с помощью формулы
Ф(а,6;ж) =ж1"ьФ(а-Ь + 1, 2-6; ж),
которая пригодна для любых значений ж.
При 6/0, —1, —2, —3, ... общее решение вырожденного гипергеометрического уравнения
можно представить в виде
у = С\Ф(а, 6; ж) + С2Ф(а, 6; ж),
а при 6 = 0, —1, —2, —3, ... —в виде
у = ХХ~Ъ [СгФ(а -6+1, 2-6; х) + С2Ф(а -6+1, 2-6; ж)].
П.2.8-5. Интегральные представления.
ф(а,6;ж) = -^ / extta~4l-ty~a~ldt при 6 > а > О,
V J Г(а)Г(Ь-а) Уо
Ф(а, 6; ж) = ——- / е~х ta~ A + t) ~a~ dt при а > 0, ж > О,
Г(а) Уо
где Г(а) —гамма-функция.
П.2.8-6. Асимптотические разложения при |ж
оо.
Ф(О) Ь; ж) = Щ-е'ха-ь J2 F"а);(,1"а)"^"п + о^-^-1), i > о,
sf \а, и, х) — { х) \ у у х) -t- ty^x п, х <^ и,
—оо < ж < оо.
П.2.9. Гипергеометрические функции
П.2.9-1. Определение. Гипергеометрический ряд.
Гипергеометрическая функция F(a,/3,j\x) является решением гипергеометрического уравне-
уравнения Гаусса
ж(ж - 1)уЧх + [(а + C + 1)ж - 7Е + a^j/ = 0.
При 7/0, —1, —2, —3, ... функцию F(a,/3,ry]x) можно представить с помощью
гипергеометрического ряда:
F(a,0,r,x) = 1 + V {a)kif)k ?l, (a)fc = a(a + 1)... (a + fc - 1),
который заведомо сходится при |ж| < 1.
В табл. 15 из разд. 2.1.2 указаны некоторые частные случаи, когда F выражается через
элементарные функции.
П.2.9-2. Основные свойства.
Функция F обладает следующими свойствами:
F(a, /3,7; х) = A - x)^-Q-/3FG - а, 7 - /J, 7;
7-А 7; ^
^^(а, /3,7; i) = (а)^(/3)" J(a + п, /3 + п, 7 + п; ж).
Если 7 не является целым числом, то общее решение гипергеометрического уравнения
можно записать в виде
у = CiF(a, /3,7; ж) + C2x1~1F(a - 7 + 1, /3 - 7 + 1, 2 - 7; ж).
77.2. Специальные функции 571
П.2.9-3. Интегральные представления.
При 7 > Р > 0 гипергеометрическую функцию можно выразить с помощью определенного
интеграла
где Г(/3) —гамма-функция.
Гипергеометрические функции более подробно обсуждаются в книгах Г. Бейтмена, А. Эр-
дейи A973, т. 1) и М. Абрамовица, И. Стиган A979).
П.2.10. Функции Лежандра
П.2.10-1. Определения. Основные формулы.
Присоединенные функции Лежандра первого и второго рода P^{z) и Q%(z) являются линейно
независимыми решениями уравнения Лежандра:
A - z2)y'L - 2zy'z + [v{v + 1) - р2A - г2)]» = О,
где параметры г/, /i и переменная z могут принимать произвольные действительные или
комплексные значения.
При |1 — z\ < 2 справедливы следующие формулы:
-i/, l + i/, 1-//,
где F(a, b, с; ^) —гипергеометрический ряд (см. разд. П.2.9).
При \z\ > 1 справедливы следующие формулы:
( j
2 ' 2 ' 5
2"г(т+") ^+мГ„2 1Г,/2р/ ^ + /> 1-^-М 1-2»/
^_1 2 .„
Функции Pu(z) = P®(z), Qu(z) = Q®(z) называются функциями Лежандра.
Модифицированные присоединенные функции Лежандра, которые рассматриваются на
разрезе действительной оси z = х, —1 < х < 1, определяются с помощью формул
П.2.10-2. Тригонометрические разложения.
При — 1 < х < 1 модифицированные присоединенные функции Лежандра можно представить
в виде тригонометрических рядов:
—- smt'r ) — о cos BA; + v + a + 1H ,
где 0 < 0 < тг.
572 Приложения
П.2.10-3. Некоторые соотношения.
р + П+ 1) р-п,
При 0 < ж < 1:
Р?(-х) = Р»(х) С08[тг(г/ + //)] - гтг-^^ж) sin[7r(i/
Q^-ж) = -Qt(x) cos[tt(z/ + //)] - \izP^(x) sin[7r(i/
При -1 < ж < 1:
Вронскианы:
1 L. W ^+M
W(P^ O^) — к — 22м V 2
Прип = 0,1,2,...:
П.2.10-4. Полиномы (многочлены) Лежандра.
Полиномы (многочлены) Лежандра Рп(х) и функции Лежандра Qn(x) определяются фор-
формулами
Р() ^^B 1)П Q() Р^Ы ^tY ^P()P()
т = 1
Полиномы Рп = Рп(х) можно вычислять последовательно с помощью рекуррентных
соотношений
РО(Х) = 1, Pl(x)=X, ..., Pn+l(x) = ^-^-хРп(х) ^_РП_1(Ж).
п + 1 п + 1
Три первых функции Qn = Qn(x) имеют вид
Явные выражения для полиномов Рп(х):
[п/2]
т=0
где С™ — биномиальные коэффициенты, [А] — целая часть числа А.
Все нули многочлена Рп (ж) действительны и лежат в интервале — 1 < ж < 1; функции Рп (ж)
образуют на отрезке — 1 ^ ж ^ 1 ортогональную систему, причем
«1 @ при п ф т,
/ Pn(x)Pm(x)dx--
J-i
2
при п = т.
Производящая функция:
1
Vl - 2sx + s2
П.2.10-5. Интегральные представления при п = 0, 1, 2, ...
?
Г
, Re ^ > 0,
t, Re, > -1.
Отметим, что в последней формуле z ф х,—1 < х <1.
77.2. Специальные функции 573
П.2.11. Ортогональные многочлены
Все нули каждого из ортогональных многочленов Vn(x), рассмотренных в этом разделе,
действительные и простые. Нули многочленов Vn(x) и Vn+i(x) перемежаются.
П.2.11 -1. Многочлены Лежандра.
Многочлены (полиномы) Лежандра Рп = Рп(х) удовлетворяют уравнению
A — х2)ухх — 2хух + п(п + 1)у = 0.
и описаны в разд. П.2.10-4.
П.2.11 -2. Многочлены Лаггера.
Многочлены Лаггера Ln = Ln(x) удовлетворяют уравнению
хухх + A - х)ух + пу = 0
и определяются формулами
Первые четыре многочлена:
L0(x) = 1, LiO) = -ж + 1, L2(x) = ж2 - Ах + 2, L3(x) = -ж3 + 9ж2 - 18ж + 6.
Рекуррентные формулы для вычисления Ln при п ^ 2:
Ln+i(x) = Bn+ 1 - ж)Ьп(ж) - n2Ln-1(x).
Функции Ln(x) образуют на интервале 0 ^ х < оо ортогональную систему, причем
f°° -хт / \т / \j Г 0 ПРИ пф тп,
I e Ln(x)Lm(x)dx = < / ,ч2
Уо v у v у (^ (п!) при п = т.
Производящая функция:
Присоединенные многочлены Лаггера степени п — к и порядка А; определяются так:
Lkn{x) = -jjgrLnix).
Они удовлетворяют дифференциальному уравнению
xyfL + (к + 1 - ж)?/я + (п - А;)?/ = 0,
где п = 1,2,... и к = 0,1,2,...
П.2.11 -3. Многочлены Чебышева.
Многочлены Чебышева Тп = Тп(х) удовлетворяют уравнению
A - х2)ухх - хух + п2у = 0 A)
и определяются формулами
Тп(х) = cosCnarccoso;) = iJ&yiT^ J^ 2*
Bn)! dxn L J
= у E(-ir(n,:m;1)vBa:)'1 («= o, i, 2,...),
2 ^—' m! (n — 2m)!
m=O V '
где [А] — целая часть А.
574 Приложения
Первые четыре многочлена имеют вид
ТоО) = 1, Тг(х)=х, Т2(х) = 2х2 - 1, Т3(х) = 4х3 - Зх.
Рекуррентные формулы для вычисления Тп при п ^ 2:
Тп+1(ж) = 2жТп(ж) - Тп_1(ж), n ^ 2.
Функции Тп(х) образуют на отрезке — 1 ^ х ^ 1 ортогональную систему, причем
\ щпп + т
при п = т = U.
Дифференциальному уравнению A) помимо многочленов Чебышева удовлетворяют также
функции Чебышева второго рода:
Uo(x) = arcsinx,
Un(x) = sin(narcsinx) = п (п = 1, 2,...).
Производящая функция:
оо
l-2sx + s2 2-^ '
71 = 0
П.2.11 -4. Многочлены Эрмита.
Многочлены Эрмита Нп = Нп(х) удовлетворяют уравнению
у хх — 'Zxy'x + 2пг/ = О
и определяются формулами
Первые четыре многочлена:
Рекуррентные формулы для вычисления Нп при п ^ 2:
Яп+1(ж) = 2жЯп(ж) - 2пЯгг_1(ж), n ^ 2.
Функции Нп(х) образуют на интервале — оо < х < оо ортогональную систему, причем
/ ехр(—х2)Нп(х)Нт(х) dx = < /— огг ,
У_оо KV ; l ; l ; [0г2 п! при п = т.
Производящая функция:
оо ^
ехр(—s2
Функции Эрмита вводятся по формуле фп(х) = ехр(—\х2)Нп(х), где п = 0,1, 2,...
П.2.11-5. Многочлены Якоби.
Многочлены Якоби Р^ = Р^ [х) удовлетворяют уравнению
A - х2)у'1х +[?-а-(а + /3 + 2)ж]^ + п(п + а + /3 + l)j/ = О
и определяются формулами
?[ -х)а+П{1+х)"
где С% — биномиальные коэффициенты.
® Литература к разд. П.2: Н. Н. Лебедев A963), Е. Янке, Ф. Эмде, Ф. Леш A968), Г. Бейтмен, А. Эрдейи
A973, 1974, 1967), М. Абрамович, И. Стиган A979), Ф. Олвер A990).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Абрамовиц М., Стиган И. (ред.). Справочник по специальным функциям. — М.: Наука, 1979. —
832 с.
Айне Э. Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. —Харьков: ГНТИУ, 1939. — 717 с.
Акуленко Л. Д., Нестеров С. В. Определение частот и форм колебаний неоднородных распреде-
распределенных систем с граничными условиями третьего рода. // Прикл. матем. и механика, 1997,
т. 61, № 4, с. 531-538.
Бабич В. М., Капилевич М. Б., Михлин С. Г. и др. Линейные уравнения математической физики. —
М.: Наука, 1964. —368 с.
Бахвалов Н. С. Численные методы. —М.: Наука, 1973. — 632 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 1. Гипергеометрическая функция.
Функции Лежандра.—М.: Наука, 1973. — 296 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 2. Функции Бесселя, функции
параболического цилиндра, ортогональные многочлены.—М.: Наука, 1974. — 296 с.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, т. 3. Эллиптические и автоморфные
функции. Функции Ламе и Матье. —М.: Наука, 1967. — 300 с.
Богаевский В. П., Повзнер А. Я. Алгебраические методы в нелинейной теории возмущений. —
М.: Наука, 1987. —256 с.
Боголюбов Н. П., Митрополъский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных
колебаний. —М.: Наука, 1974. — 503 с.
Бронштейн И. П., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся
втузов. — М.: Наука, 1986. — 544 с.
Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравне-
уравнений.— М.: Мир, 1968.—464 с.
Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкости. —М.: Мир, 1967. — 312 с.
Винокуров В. А., Садовничий В. А. Асимптотика любого порядка собственных значений и
собственных функций краевой задачи Штурма — Лиувилля на отрезке с суммируемым
потенциалом. // Изв. РАН. Серия математическая, 2000, т. 64, № 4, с. 47-108.
Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. — М.: Наука, 1995. — 870 с.
Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — М.-Л.: ГИТТЛ,
1950.—436 с.
Градштейн И. С, Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука,
1975. —1108 с.
Гребеников Е. А. Метод усреднения в прикладных задачах. —М.: Наука, 1986. — 256 с.
Громак В. И., Лукашевич П. А. Аналитические свойства решений уравнений Пенлеве. — Минск:
Университетское, 1990. — 160 с.
Доброхотов С. Ю. Интегрирование в квадратурах 2п-мерных линейных гамильтоновых систем
с п известными косоортогональными решениями.// Успехи мат. наук, 1998, т. 53, вып. 2,
с. 143-144.
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным дифференциальным уравнениям.
Приложения в механике, точные решения. — М.: Наука, 1993. —464 с.
Зайцев В., Полянин A. D. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям:
Точные решения. — М.: Физматлит, 1995. — 560 с.
Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Справочник по нелинейным обыкновенным дифференциальным
уравнениям. —М.: Факториал, 1997. — 512 с.
Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. — М.: Наука,
1989. —336 с.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976. —
576 с.
Канторович Л. В., Крылов В. И. Приближенные методы высшего анализа. — М.: Физматгиз,
1962. —708 с.
Журавлев В. Ф., Климов Д. М. Прикладные методы в теории колебаний. —М.: Наука, 1988. —
328 с.
Коллатц Л. Задачи на собственные значения.—М.: Наука, 1968. — 503 с.
576 Список литературы
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: Наука,
1984. —832 с.
Костпюченко А. Г., Саргсян И. С. Распределение собственных значений (самосопряженные
обыкновенные дифференциальные операторы).—М.: Наука, 1979.—400 с.
Коул Дж. Методы возмущений в прикладной математике.—М.: Мир, 1972. — 276 с.
Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференци-
дифференциальным уравнениям. —М.: Высшая школа, 1978. —287 с.
Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных
уравнений.—М.: Наука, 1969. — 456 с.
Лебедев П. П. Специальные функции и их приложения. —М.-Л.: Физматгиз, 1963. — 360 с.
Левитан Б. М., Саргсян И. С. Операторы Штурма — Лиувилля и Дирака. —М.: Наука, 1988. —
432 с.
Мак-Лахлан Н. В. Теория и приложения функций Матье. — М.: Изд. иностранной литературы,
1953.—476 с.
Марченко В. А. Операторы Штурма — Лиувилля и их приложения. — Киев: Наукова Думка,
1977. —332 с.
Матвеев П. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.:
Высшая школа, 1967. — 567 с.
Матвеев П. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнени-
уравнениями). — Минск: Вышэйшая школа, 1970. — 360 с.
Математическая физика. Энциклопедия (ред. Л. Д. Фаддеев). — М.: Большая Российская
энциклопедия, 1998.—691 с.
Митрополъский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике. — Киев: Наукова Думка,
1971.—440 с.
Мищенко Е. Ф., Розов П. X. Дифференциальные уравнения с малым параметром и релаксаци-
релаксационные колебания.—М.: Наука, 1975.—248 с.
Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. — М.: Наука, 1970. — 512 с.
Моисеев П. П. Асимптотические методы нелинейной механики. —М.: Наука, 1969. — 380 с.
Найфэ А. Методы возмущений. — М.: Мир, 1976. —456 с.
Найфэ А. Введение в методы возмущений. — М.: Мир, 1984. — 536 с.
Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 400 с.
Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. —М.: Мир, 1989. — 639 с.
Олвер Ф. Асимптотика и специальные функции.—М.: Наука, 1990. — 528 с.
Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука,
1970. —279 с.
Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. —
М.: Наука, 1981. —799 с.
Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. —М.: Гостехиздат, 1958. —468 с.
Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. —М.: Наука,
1985. —231 с.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. П. Курс современного анализа. Часть 2. Трансцендентные
функции. —М.: Физматлит, 1963. — 516 с.
Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений.—М.: Наука, 1983. — 352 с.
Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. —М.: Наука, 1970. — 96 с.
Элъсголъц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — М.: Наука,
1969.—424.
Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции. — М.: Наука, 1968. — 344 с.
Finlayson В. A. The Method of Weighted Residuals and Variational Principles. —New York: Academic
Press, 1972.
Ibragimov N. H. (editor). CRC Handbook of Lie Group to Differential Equations, Vol. 1. — Boca
Raton: CRC Press, 1994.—432 p.
Moussiaux A. CONVODE: un programme REDUCE pour la resolution des.equations differentielles. —
Bruxelles: Didier Hatier, 1996. —446 p.
Murphy G. M. Ordinary Differential Equations and Their Solutions. —New York: D. Van Nostrand,
I960.—451 p.
Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations. —
Boca Raton —New York: CRC Press, 1995. — 720 p.
Polyanin A. D., Zaitsev V. F. Handbuch der linearen Differentialgleichungen. —Heidelberg — Berlin:
Spectrum Akad. Verlag, 1996. —460 S.
Zaitsev V. F, Polyanin A. D. Discrete-Group Methods for Integrating Equations of Nonlinear
Mechanics. — Boca Raton: CRC Press — Begell House, 1994. — 302 p.
Zwillinger D. Handbook of Differential Equations. — San Diego: Academic Press, 1989. — 673 p.